Н. Н. САВЕЛЬЕВ
ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ
ТРЕХМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
ВВЕДЕНИЕ В ИНВАРИАНТ КАССОНА
Перевод с английского И.А.Дынникова
Москва
Издательство МЦНМО
2004

УДК 515.162.3 Издание осуществлено при поддержке РФФИ
ББК 22.152 (издательский проект № 02-01-14085).
_Р5§>И_
Савельев Н.Н.
С12 Лекции по топологии трехмерных многообразий. Введение в
инвариант Кассона / Пер. с англ. И. А.Дынникова. — М.: МЦНМО,
2004.— 216 с: ил.
ISBN 5-94057-118-2
Книга посвящена введению в бурно развивающуюся область математики —
топологию трехмерных многообразий. Она начинается с изложения начальных сведений
из этой области науки. Вторая часть книги посвящена инварианту Рохлина и его
свойствам, в заключительной части книги рассматривается инвариант Кассона и его
приложения. В книге приведено много примеров.
Книга предназначена для студентов и аспирантов математических
специальностей.
ББК 22.152
Translation from the English language edition: Nikolai S a v e I i e v. Lectures on the
topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson Invariant. Walter de Gruyter,
Berlin—New York, 1999.
ISBN 3-11 -016271 -7 (англ.) © Copyright 1999 by Walter de Gruyter
ISBN 3-11-016272-5 (англ.) GmbH & Co. KG. All rights reserved.
ISBN 5-94057-118-2 © МЦНМО, пер. на рус. яз., 2004.

Оглавление
Предисловие 6
Введение 9
Глоссарий 11
Лекция 1. Разбиения Хегора 25
§ 1. Введение 25
§2. Существование разбиений Хегора 25
§3. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора 27
§4. Группы классов отображений 30
§ 5. Многообразия рода Хегора не выше 1 32
§6. Многообразия Зейферта 36
Лекция 2. Перестройки Дэна 38
§1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 38
§2. Перестройки вдоль зацеплений в S3 39
§3. Многообразия Зейферта и линзы 42
§4. Перестройки и четырехмерные многообразия 45
Лекция 3. Исчисление Кирби 48
§ 1. Коэффициент зацепления 48
§2. Движения Кирби 50
§3. Матрица зацеплений 59
§4. Обращение ориентации 60
Лекция 4. Четные перестройки 61
Лекция 5. Обзор теории четырехмерных многообразий 67
§1. Определение формы пересечений 67
§2. Унимодулярные целочисленные формы 71
§3. Четырехмерные многообразия и формы пересечений 73
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем 76
§ 1. Форма пересечений 76
§2. Гомологические сферы как результат перестройки вдоль узлов 81
§3. Гомологические сферы Зейферта 81
§4. Инвариант Рохлина 83
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений 85
§1. Поверхности Зейферта 85
§ 2. Матрицы Зейферта 88
§3. Многочлен Александера 89

4
Оглавление
§4. Инварианты из поверхностей Зейферта 93
§5. Узлы в гомологических сферах 95
§6. Почти разводимые зацепления 97
Лекция 8. Расслоенные узлы 101
§1. Определение расслоенного узла 101
§2. Монодромия 102
§3. Еще о торических узлах 105
§4. Джойны 106
§5. Монодромия торических узлов 108
Лекция 9. Инвариант Арфа 111
§1. Инвариант Арфа квадратичной формы 111
§2. Инвариант Арфа узла 114
Лекция 10. Теорема Рохлина 118
§1. Характеристические поверхности 118
§2. Определение формы q 119
§3. Представление гомологических классов поверхностями . . .124
Лекция 11. Инвариант Рохлина 126
§1. Определение инварианта Рохлина 126
§2. Инвариант Рохлина для сфер Зейферта 127
§3. Формула перестройки 129
§4. Группа гомологических кобордизмов 132
Лекция 12. Инвариант Кассона 136
Лекция 13. Группа SUB) 143
Лекция 14. Пространства представлений 149
§1. Топология пространств представлений 149
§2. Неприводимые представления 150
§3. Представления групп поверхностей 151
§4. Представления групп поверхностей 151
§5. Гомологические сферы Зейферта 154
Лекция 15. Локальные свойства пространств представлений 160
Лекция 16. Инвариант Кассона для разбиений Хегора 164
§1. Пересечения пространств представлений 164
§2. Ориентации 167
§3. Независимость от разбиения Хегора 169
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов 173
§1. Предпочтительные разбиения Хегора 173

Оглавление 5
§2. Инвариант Кассона для узлов 174
§3. Разностный цикл 177
§4. Почти разводимые зацепления 179
§5. Инвариант Кассона для трилистника 180
Лекция 18. Применение инварианта Кассона 183
§1. Триангулирование четырехмерных многообразий 183
§2. Многомерные многообразия 184
Лекция 19. Инвариант Кассона для многообразий Зейферта 186
§1. Пространство 5lCE(p,q, r)) 186
§2. Вычисление инварианта Кассона 190
Предметный указатель 203

Предисловие
Настоящая книга написана на основе курса лекций, прочитанного
автором в Университете штата Мичиган осенью 1997 г. Целью этих лекций
было познакомить студентов второго курса аспирантуры с теорией
трехмерных многообразий и ее ролью в современной четырехмерной
топологии и калибровочной теории. В курсе предполагается знакомство только
с базовыми понятиями топологии, включающими фундаментальную группу,
теорию (ко)гомологий многообразий и двойственность Пуанкаре.
Последние два десятилетия в маломерной топологии наблюдался
быстрый прогресс, который привел к решению многих трудных задач. Одним
из последствий этого «ускорения истории» явилось то, что многие
результаты были опубликованы только в специализированных журналах и
монографиях. Среди них результат Кассона об инварианте Рохлина
гомотопических 3-сфер, а также его Х-инварианте. Монография' С.Акбулут,
Дж. Маккарти «Инвариант Кассона для ориентированных гомологических
3-сфер: обзор», хотя и прекрасно написана, но трудна для восприятия
студентов, прошедших лишь базовый курс алгебраической топологии. Цель
настоящей книги — перебросить столь необходимый мостик к этим
областям.
Конструкция Х-инварианта Кассона довольно элементарна в сравнении
с дальнейшими достижениями в калибровочной теории. В настоящей книге
мы не собираемся никоим образом ее использовать, поскольку это
потребовало бы от читателя широких знаний в области римановой геометрии и
уравнений с частными производными.
Книга начинается с результатов, которые могут считаться
стандартными для книги по трехмерным многообразиям: существование разбиения
Хегора, теорема Зингера о единственности разбиения Хегора с точностью
до стабильной эквивалентности и группа классов отображений
замкнутой поверхности. Затем мы вводим перестройки Дэна вдоль оснащенных
зацеплений, приводим подробное описание исчисления Кирби оснащенных
зацеплений в S3 и используем это исчисление для доказательства того, что
любое ориентируемое замкнутое трехмерное многообразие ограничивает
некоторое гладкое односвязное параллелизуемое четырехмерное
многообразие.
Вторая часть книги посвящена инварианту Рохлина и его свойствам.
Сначала мы приводим некоторые факты о четырехмерных многообразиях
и их формах пересечений, затем излагаем элементы теории узлов.
Последние включают поверхности и матрицы Зейферта, многочлен Александера
'S. Akbulut, J. McCarthy «Casson's invariant for oriented homology 3-spheres: an
exposition». Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990.

Предисловие
7
и соотношение Конвея, инвариант Арфа и его связь с многочленом Алек-
сандера. Наш подход отличается от традиционного тем, что мы работаем
в произвольной гомологической сфере, а не только в S3, хотя разница здесь
больше техническая, чем концептуальная. Эта часть завершается
геометрическим доказательством теоремы Рохлина (по М. Фридману и Р. Кирби)
и формулой перестройки для инварианта Рохлина.
В заключительной части книги рассматривается инвариант Кассона и
его приложения, и в основном мы следуем книге Акбулута и Маккарти.
Мы предлагаем здесь более интуитивный подход, чтобы выделить идеи,
лежащие в основе конструкции, и отсылаем читателя к упомянутой выше
книге за техническими подробностями.
Настоящая книга полна примеров. В этих примерах систематически
появляются многообразия Зейферта. Мы обсуждаем их разбиения Хегора,
описание через перестройки Дэна, классификацию, инвариант Рохлина,
пространства 5иB)-представлений, скрученные когомологии, инвариант
Кассона и др.
Повсюду в книге, где это представляется уместным, мы упоминаем
самые последние достижения. Например, в разделе, посвященном
четырехмерной топологии, мы приводим обзор недавних результатов, связывающих
четырехмерные многообразия с унимодулярными формами, включая
«теорему о 10/8» и многочлены Дональдсона. Инвариант Рохлина дает
ограничение на род поверхностей, вложимых в гладкое четырехмерное
многообразие. Описывая этот старый результат, мы делаем также обзор
результатов, следующих из гипотезы Тома, которая была доказана несколько
лет назад Кронхаймером и Мровкой с использованием теории Зайберга—
Виттена.
Топология трехмерных многообразий включает в себя множество
разделов, не обсуждаемых в настоящей книге. Среди них гиперболические
многообразия, гипотеза геометризации Тёрстона, несжимаемые
поверхности, разложение трехмерных многообразий на простые и многие другие.
В книге имеется список упражнений, краткие замечания о дальнейших
продвижениях и короткий список нерешенных проблем.
Данная книга во многих аспектах, и содержания, и методов, тесно
связана с книгами Акбулута, Маккарти [2] и Фоменко, Матвеева [47],
из которых я заимствовал значительное количество материала. Хочется
надеяться, что настоящее изложение сослужит свою службу доступного
введения в определенные разделы теории трехмерных многообразий.
Другие источники, которые я использовал при написании настоящей книги,
включают в себя следующие работы: Браудер [24], Финтушел, Стерн [43],
Фридман, Кирби [50], Гийу, Марен [62], Кирби [76], Ливингстон [96], Ма-

8
Предисловие
цумото [98], Маккалоф [101], Нейманн, Рэймонд [113], Рольфсен [128] и
Таубс [141].
Рисунки 1.3, 1.6, 1.10, 3.4, 3.9, 4.3 взяты из книги А.Т.Фоменко и
С. В. Матвеева «Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной
топологии» (М.: изд-во МГУ, 1991).
Я очень обязан Борису Апанасову, Оливье Коллену, Джону Дину,
Максу Форестеру, Славомиру Квасику, Вольтеру Нейманну, Ливиу Николаеску,
Франку Рэймонду, Тхангу Ле и Владимиру Тураеву за их помощь и
поддержку во время работы над этой книгой. Я хотел бы также поблагодарить
студентов, прослушавших мой курс в Университете штата Мичиган. Хочу
выразить благодарность Джону Дину, который прочел рукопись и выверил
английский язык. В течение работы над книгой я был частично
поддержан грантом NSF DMS-97-04204 и Институтом математики имени Макса
Планка в Бонне, Германия.

Введение
Топологическое пространство М называется (топологическим)
«-мерным многообразием, если каждая точка из М имеет окрестность, го-
меоморфную пространству R". Другими словами, многообразие локально
является евклидовым пространством. Чтобы не рассматривать
патологические примеры, в определение многообразия, как правило, включают
требование хаусдорфовости и наличия счетной базы топологии, что мы и
будем делать. Большинство многообразий, которые мы будем
рассматривать, будут также компактными и связными.
Пусть U и V — два открытых подмножества в «-мерном
многообразии М, каждое из которых гомеоморфно пространству W с помощью
гомеоморфизмов ср: U —> R" и ф: V —> Е". Тогда отображение
фоф-|:(р(Gп V)^i\>(U n V) @.1)
является гомеоморфизмом открытых подмножеств в евклидовом
пространстве К". Многообразие М называется гладким, если у М существует такое
открытое покрытие U, что для любых открытых подмножеств U, V € К
отображение @.1) является диффеоморфизмом (взаимно однозначным
С°°-отображением со всюду ненулевым якобианом; последнее условие
означает, что обратное отображение также класса С°°). Многообразие М
называется кусочно линейным или просто PL-многообразием, если
существует такое открытое покрытие U пространства М, что для любых
открытых множеств U, V е U отображение @.1) является кусочно
линейным гомеоморфизмом.
Триангуляция полиэдра называется комбинаторной, если
граница звезды каждой вершины PL-гомеоморфна некоторой /'/--сфере. На
каждом «-мерном PL-многообразии существует комбинаторная
триангуляция. Любой полиэдр, имеющий комбинаторную триангуляцию, является
PL-многообразием.
Хаусдорфово топологическое пространство М со счетной базой
называется «-мерным многообразием с краем, если у каждой точки М
найдется открытая окрестность, гомеоморфная либо евклидову пространству
К", либо замкнутому полупространству Rn+. Совокупность точек второго
типа либо пуста, либо является (« — 1)-мерным многообразием, которое
называется краем многообразия М и обозначается дМ. Заметим, что край
многообразия дМ всегда пуст. Многообразие М называется замкнутым,
если оно компактно и его край пуст. Аналогичные определения даются для
случая гладких и PL-многообразий.
Для нас будет очень важен следующий факт: в размерностях « < 3
понятия топологического, гладкого и кусочно линейного многообразия

10
Введение
совпадают, см. Бинг [15] и Мойз [108]. Точнее, любое топологическое
многообразие М размерности не выше трех допускает гладкую и
PL-структуры, единственные в том смысле, что всегда существует диффеоморфизм
или PL-гомеоморфизм между любыми двумя гладкими или,
соответственно, PL-многообразиями, гомеоморфными многообразию М. Кроме того,
если PL-многообразие М размерности п ^ 3 гомеоморфно гладкому
многообразию, то между ними существует гомеоморфизм, ограничение которого
на каждый симплекс некоторой триангуляции гладко и имеет всюду
ненулевой якобиан.
В размерности четыре любое PL-многообразие имеет единственную
гладкую структуру и наоборот, см. Кэрнс [27] и Хирш [68]. Однако
существуют топологические многообразия размерности четыре, не допускающие
гладкой структуры или допускающие несколько неэквивалентных гладких
структур. В лекции 5 эти вопросы будут обсуждаться более подробно.
Помимо этого, существует четырехмерное топологическое многообразие,
не гомеоморфное никакому симплициальному комплексу, не то что
комбинаторному. Важнейшим ингридиентом построения такого многообразия
является инвариант Кассона, который будет определен ниже в этих
лекциях.
Соотношения между топологическими, гладкими и кусочно
линейными многообразиями становятся еще сложнее, начиная с размерности пять.
В лекции 18 мы их кратко обсудим.

Глоссарий
Здесь мы приведем стандартный геометрический и топологический
материал, который используется в этой книге. Термины, выделенные
курсивом, объяснены в данном глоссарии.
Букет. Пусть X и Y — CW-комплексы с отмеченными точками х € X
и у 6 Y. Результат приклеивания А- к У по отображению /: {л:} —* {у}
называется одноточечным объединением или букетом и обозначается X V Y.
Если комплексы X и У связные, то гомотопический тип пространства X V Y
не зависит от выбора х и у.
Двойственность Пуанкаре. Пусть R — коммутативное кольцо с
единицей, X — некоторое пространство. Существует несколько естественных
спариваний между гомологиями и когомологиями пространства X, из
которых мы укажем очевидные спаривания между группами гомологии и ко-
гомологий
(,):H''(X;R)®HP(X;R)->R
и так называемые ^--произведение и высечение
—: H"(X;R) <g> H"(X;R) -> HP+"(X;R),
-: H»{X-R) ® H„(X;R) - Hn.p{X;R),
связанные соотношением (x ^—- y,y.) = (x,y <— \x) для всех х € HP(X;R),
1/€//'(*;/?) и це//„+,(*;/?).
В простейшем случае двойственность Пуанкаре для (топологических)
многообразий формулируется следующим образом. Пусть М — замкнутое
связное n-мерное многообразие, ориентированное над кольцом R. Тогда
гомоморфизм
PD: H<(M;R) -+ H„_q(M;R),
определенный формулой х >—> х ^ [Af], является изоморфизмом, где [А4] €
G Hn(M\R) — фундаментальный класс многообразия М.
Другая формулировка двойственности Пуанкаре выглядит следующим
образом. Пусть М — замкнутое связное многообразие, ориентированное
над некоторым полем R = F. Тогда билинейная форма
Q: H*(M;F) ® H-q(M;F) -» F,
заданная формулой и <g> ?"-* (« --^ у, [М]), невырожденна. Чтобы убедиться
в этом, заметим, что равенство (и ^ v, [М]) — {u,v -—¦ [М]) делает комму-

12
Глоссарий
тативной следующую диаграмму:
НЦМ) <g> Н"-"(М) >SPD > ИЦМ) ® Hq(M)
Билинейная форма {,) невырожденна ввиду изоморфизма H"(M\F) —
= Homf (Hq(M; F), F) над полем F. Так как PD — изоморфизм, билинейная
форма Q также невырожденна.
Последняя переформулировка двойственности Пуанкаре неверна над
кольцом целых чисел, так как группы Hq(M;Z) и Hom(Hq{M;Z),Z),
вообще говоря, неизоморфны. Это можно поправить следующим образом.
Пусть М — замкнутое «-мерное ориентированное над Z многообразие,
и пусть Тог обозначает подгруппу кручения. Тогда билинейная форма
(Н"(М)/ Тог) О (Я"-'(Л1)/Тог) -> Z,
заданная формулой и <g> и >—> {и --' v, [M]), невырожденна над Z и для всех q
порождает изоморфизм из Нч(М)/1ог в \\от(Нп~я(М),Щ.
Среди многочисленных обобщений двойственности Пуанкаре в
маломерной топологии особенно часто используется двойственность
Пуанкаре—Лефшеца. Пусть М — компактное связное я-мерное
ориентированное над R многообразие с краем дМ. Тогда для всех q группа
H"(M\R) изоморфна группе Hn_q(M,dM;R), а группа Hq{M,dM\R) —
группе Hn_q{M;R). Изоморфизмы могут быть выписаны явно через
чашечное произведение и относительный фундаментальный класс \М,дМ\ е
€ Hn(M,dM;R). Имеется также спаривание
Hq{M;R) ® Hn-"(M,dM;R) -+ R,
которое автоматически невырожденно, если R — поле, и становится
невырожденным над Z после факторизации по подгруппам кручения. Более
общие теоремы двойственности см. в книге Спеньера [139], гл. VI.
Теоремы двойственности обладают сильными свойствами
естественности по отношению к индуцируемым гомоморфизмам в гомологиях и кого-
мологиях. Например, коммутативна следующая диаграмма:
Н"-1(М) >- Н"-1(дМ) >- Н"(М,дМ) *- НЦМ)
9« с* а* су
Т ТУТ
//„_,+,(М,дМ) На.ч(дМ) ^ Hn_q(M) *¦ Нп.„(М,дМ)

Глоссарии
13
где по горизонтали написаны длинные точные последовательности пары
(М,дМ), а по вертикали — изоморфизмы двойственности Пуанкаре или
Пуанкаре—Лефшеца.
Изотопия. Два гомеоморфизма fo, f\-X —> X называются изотопными,
если существует такая гомотопия /,, 0 ^ / ^ 1, между /0 и /ь что при
каждом / отображение /, является гомеоморфизмом. Два (топологических)
вложения /о, fi:X —» Y называются изотопными, если существует
непрерывное семейство таких гомеоморфизмов h,: Y —> К, что/г0 = id и Д =Л, о /0
(это отношение в литературе обычно называется объемлющей (ambient)
изотопией).
Клеточные гомологии. Пусть X—некоторый CW-комплекс, R—
некоторое коммутативное кольцо с единицей. Для каждого q рассмотрим
свободный /^-модуль Cq(X,R) с базисом из всех ^-клеток. Построим
граничный оператор дя: Cq+I(X,R) —> Cq(X,R). Чтобы определить dq(cq+l), где
с<7+| —данная (q + 1)-клетка, зафиксируем сначала ориентацию в Dq+],
задавая таким образом и ориентацию g-сферы dD4+], и посмотрим, как
устроено отображение приклейки g:dDq+l —> X{q). Для каждого ек из X[q)
зафиксируем точку zk в ск = ек \ e'k. Можно показать, что g гомотопно
такому отображению, что для любого k прообраз точки zk состоит из конечного
числа точек pkJ , ркЛк, и, кроме того, g гомеоморфно отображает
некоторую окрестность каждой точки pkj на окрестность точки zk (по
соображениям компактности прообраз точки zk пуст для всех k, кроме конечного
числа). Для каждого /, 1 ^ / ^ пк, пусть zkj = ±1 в зависимости от того,
сохраняет или обращает ориентацию отображение g в точке рк-г Положим
у=1 *=i
где все гк, кроме конечного числа, равны нулю.
Числа гк можно также ввести следующим образом. Пусть ск = ек \ е'к —
некоторая ^-клетка. Рассмотрим ее образ в факторпространстве X{q)/
А'"-". Образ множества ек гомеоморфен S4. Приклейка dDq+l —> X{q)
клетки с,+| индуцирует отображение dDq+> —» Sq, где dDq+l =Sq.
Степень этого отображения и есть гк.
Таким образом, мы определили отображение dq+\ на образующих и
теперь продолжаем его линейно на весь модуль Ся+]. Можно доказать
следующие утверждения.
1. Отображение дч не зависит от выбора гомотопии отображения g.
Изменения прообразов при гомотопии состоят в появлении и исчезновении
взаимно сокращающихся пар точек.
2. Справедливо равенство dqdq+l = 0. Причина этого состоит в том, что
с алгебраической точки зрения <7-сфера dDq+] ведет себя таким образом,

14
Глоссарий
как если бы она была регулярным С W -комплексом с одной g-клеткой,
соответствующей каждой точке прообраза точки zk. Так как dD4+l является
многообразием, границы этих ^-клеток образуют семейство (q —
^-клеток, каждая из которых входит в границы двух ^-клеток, причем с
противоположными ориентациями. Поэтому алгебраическая сумма границ этих
^-клеток равна нулю. Применение dq к dq+l(cq+[) суммирует образы границ
этих ^-клеток в Cq_\(X,R), и пары противоположных слагаемых взаимно
уничтожаются, давая в сумме нуль.
Элементы из Cq(X,R) представляют собой формальные конечные
суммы Х^г*с*' где каждое ск есть (/-клетка; такие суммы называются д-цепя-
ми. Рассмотрим теперь последовательность /^-модулей и гомоморфизмов
... -> Cq+l(X,R) ^ Cq(X,R) X С,_,(Х,/?) -...-> C0(X,R) - 0. @.2)
Она называется цепным комплексом, поскольку dqdq+] = 0 для всех q. Это
означает, что для каждого q образ оператора dq+\ содержится в ядре
оператора dq. Если образ оператора dq+i совпадает с ядром оператора dq для
всех q, эта последовательность называется точной. Если же нет, степень
ее отклонения от точной измеряется группами клеточных гомологии
Hq(X;R) = ker(d4)/\m(dq+]).
Элементы ядра ker(<9,,) называются циклами, а элементы образа \m(dq+[) —
границами. Иными словами, элемент из Hq(X;R)—это некоторый
смежный класс zq + dq+i(Cq+l(X,R)), где dqzq = 0, который записывается
обычно как [zq]. Заметим, что [z„] = [z'q] тогда и только тогда, когда
zq = z'q + dq+,(xq+l) для некоторой (q + 1)-цепи xq+].
Чтобы завершить определение групп Н, как теории гомологии, нам
нужно определить Д, для всех непрерывных отображений f:X —» У.
Определим сначала отображение Cq(f):Cq(X,R) —» Cq(Y,R). Согласно теореме
о клеточной аппроксимации можно заменить отображение / на
гомотопное так, чтобы для всех q имело место включение f{X(q)) с К"". Определим
тогда С,(/)(с") по аналогии с дся и положим f,([c4]) = [Cq(f)(cq)].
Можно, хотя и не очень просто, показать, что данное таким образом
определение корректно и удовлетворяет аксиомам Стинрода—Эйлен-
берга. В частности, H,(X;R) не зависит от выбора клеточной структуры
на X, так как тождественное отображение индуцирует изоморфизм в гомо-
логиях, вычисленных по двум различным структурам CW-комплекса на X,
a f, зависит только от гомотопического класса отображения /.
Если А —некоторый подкомплекс в X, мы определяем группы
относительных гомологии Hq(X,A;R), полагая Cg(X,A,R) = Cq(X,R)/Cq{A,R) и
замечая, что дя индуцирует оператор dq: Cq(X,A,R) —> Cq-i{X,A,R). После

Глоссарии
15
этого Hq(X,A;R) определяется из цепного комплекса С,(X,A,R). Длинная
точная последовательность из второй аксиомы Стинрода—Эйленберга
является тогда чисто алгебраическим следствием существования короткой
точной последовательности
О -» Cq(A,R) - С,(*,/?) -> Cq{X,A,R) -* 0.
Заметим, что каждый элемент группы Hq(X,A;R) представляется
некоторой д-цепью, граница которой лежит в А.
Клеточные (CW-) комплексы. Топологическое пространство X
называется CU^-комплексом, если X представляется в виде объединения
x = \Jxw,
где 0-скелет Х10) — конечное или счетное множество точек, а каждый
(q + 1)-скелет Xiq+I) получается из ^-скелета Х{ч) приклеиванием (q + 1)-
клеток. Более точно, для каждого q имеется набор {в/ | / 6 Jq+\), где
1) каждое множество et является подмножеством в Х('+1>, причем если
положить e'j — es P\X{q), то множество et \ e'- не будет пересекаться с ek \ e'k
при j,k е /,+|, у Ф k;
2) для любого у G Jq+\ задано приклеивающее отображение g,:(D'7+l,
dDq+l) —> (X{q+i),Xw), которое является отображением факторизации из
Dq+{ в е, и гомеоморфно переводит Dq+X \ dDq+> в е-, \ е'-\
3) подмножество в X замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто его
пересечение с каждым из ег
Каждое подмножество e-t \ e'j называется (q + 1)-клеткой. Если все
приклеивающие отображения являются вложениями, то такой CW-kou-
плекс называется регулярным.
Когомологии пространств. Как только определены клеточные,
симплициальные или сингулярные гомологии, можно алгебраически
определить когомологии. Это основано на следующем факте. Если А
и В — некоторые /?-модули, а ср:Л —+ В — гомоморфизм /^-модулей, то
имеется гомоморфизм /?-модулей ср*: Hom(B,R) —> Hom(A,R),
заданный формулой ф*(а) = а о ф. Очевидно, что (ф о ф)* = ф* о <р*, поэтому
если определить кограничный оператор как bq=d*, то мы получим
8,+]8, = д*+1д* = (dqdq+l)" = 0* = 0. Следовательно, используя
сокращение Cq(X,R) для Hom(Cq(X),R), получаем коцепной комплекс
0 -> С°(Х, R)-*...-* Cq~[(X, R) X С"(Х, R) -^ cq+[ (X, /?)->..., @.3)
отклонение которого от точного измеряется группами когомологии
H<{X,R) = kertq+l/imbq.

16
Глоссарий
Произвольное непрерывное отображение f:X —> Y индуцирует
гомоморфизм f*:H"(Y,R) -* Hq{X,R). При этом выполнено равенство (/ о g)* —
— g* ° /* и имеют место соответствующие версии аксиом Стинрода—
Эйленберга и точной последовательности Майера—Вьеториса для
когомологий.
Важным является случай, когда R = F есть поле. Тогда можно доказать,
что пространство Hq(X; F) изоморфно Wom(Hq(X\ F), F) —двойственному к
Hq(X,F) пространству. Следовательно, Hq(X;F) и Hq(X\F)— пространства
одной размерности, хотя между ними и нет естественного изоморфизма.
Конус СХ над топологическим пространством X получается
отождествлением между собой всех точек основания X х {1} цилиндра X х [0,1].
Кусочно линейные гомеоморфизмы (PL-гомеоморфизмы). Для
двух симплициальных комплексов К\ и /B говорят, что отображение
f.\K\\ —+ |/Сг| кусочно линейно, или, для краткости, относится к классу
PL, если / задает симплициальное отображение К[ -* К'2 при
подходящих симплициальных подразделениях К{ и К^ комплексов К\ и К-2- Если
при этом отображение / является гомеоморфизмом, то говорят, что / —
/^-гомеоморфизм.
Локально тривиальные расслоения. Локально тривиальное
расслоение со слоем F — это отображение р:Е —> В, для которого
существует такое открытое покрытие V пространства В и такие
гомеоморфизмы yv: V х F —* p~l(V) для всех V € V, что р о tpv(v,x) = v для всех
(и,х) G V х F. В локально тривиальном расслоении все слои р~х(Ь) го-
меоморфны. Любое локально тривиальное расслоение р:Е —> В является
расслоением в слабом смысле, т. е. обладает свойством накрывающей
гомотопии по отношению к любому CU^-комплексу Х.
Надстройка SX над топологическим пространством X получается из
цилиндра А" х [0,1] отождествлением в точку каждого из оснований X х {0}
и X х {1} (каждое основание отождествляется в свою точку).
Ориентация. Замкнутое связное «-мерное многообразие М называется
ориентируемым, если Нп(М\Ъ) = Z. Выбор образующей [М] в Z
называется ориентацией, а сама образующая называется фундаментальным классом
многообразия М. Многообразие с выбранной ориентацией называется
ориентированным. Компактное связное «-мерное многообразие М с краем
называется ориентируемым, если Нп{М,дМ\Ъ) ~ Z. Выбор образующей
[М, дМ] в Z называется ориентацией, а [М, дМ] —фундаментальным
классом многообразия М. Гладкое многообразие М ориентируемо тогда и
только тогда, когда ограничение его касательного расслоения на любую
гладкую кривую тривиально. Край ориентируемого многообразия всегда
ориентируем. Если вместо Z взять некоторое коммутативное кольцо R с
единицей, мы получим определение многообразий, ориентируемых над R, и т.д.

Глоссарий
17
Погружения и вложения. Пусть М'" и N" — гладкие
многообразия размерностей тип соответственно и т ^ п. Гладкое отображение
f:M—*N называется погружением, если его якобиан dxf: ТХМ —» TtMN
имеет ранг m в каждой точке х € М. Многообразие М называется
подмногообразием многообразия N, если оно содержится в N и соответствующее
отображение включения i:M^>N является погружением. Каждое из
многообразий М и N снабжено своей топологией, хм и xN, и на М также
имеется топология t,v/ai, индуцированная топологией t,v при вложении
i:M^N. Будем говорить, что М — (гладко) вложенное подмногообразие,
если топологии тд( и tV/a, совпадают. Говоря о подмногообразии, мы
обычно будем иметь в виду гладко вложенное подмногообразие. Подробнее
см. Уорнер [146].
В случае многообразий без гладкой структуры мы будем говорить, что
М вложено в N, если отображение включения i.M —+ N является
гомеоморфизмом многообразия М на его образ i(M) с /V.
Приведенные гомологии. Рассмотрим цепной комплекс @.2) вместе
с окаймлением (аугментацией) е: С0(Х, R) —> R, определенным как
гомоморфизм, принимающий на каждой порождающей 0-мерной клетке ck из
С0(Х, R) значение 1 е R, так что имеет место равенство
Приведенный цепной комплекс Cq(X,R) определяется как цепной
комплекс, в котором Cq — Cq при q ф 0 и С0 = kere, а также dq — dq. Заметим,
что zd\ = 0, а значит, д\{С\) С С0. Группы гомологии приведенного цепного
комплекса C(X,R) называются приведенными группами гомологии
пространства X и обозначаются H,(X;R). В случае, когда R = Z или R —
некоторое поле, Hq(X;R) = Hq(X;R) при q ф 0 и HQ(X;R) = H0(X;R) © R.
Приведенные симплициальные и сингулярные гомологии определяются
подобным образом, начиная с соответствующего цепного комплекса.
Приклеивание. Пусть X и Y — некоторые топологические
пространства, /: Z —> Y — непрерывное отображение, в котором Z — некоторое
подпространство в X. Рассмотрим несвязное объединение X U Y и введем
отношение эквивалентности, порождаемое условием z ~ f(z) для всех z € Z.
Говорят, что пространство X U/ Y = (X U У)/~ с соответствующей фак-
тортопологией получено приклеиванием X к Y вдоль /. В большинстве
рассматриваемых нами случаев отображение / будет гомеоморфизмом из Z
на образ /(Z) с Y.
Л-Произведение пространств X и Y с отмеченными точками х € X и
у е Y определяется как X Л Y = (X х Y)/(X V Y), где букет X V Y
вкладывается в ^ х Y как пара «координатных осей» (X х {г/}) U ({х} х У).

18
Глоссарий
Пространства Эйленберга—Маклейна. Пространства Эйленберга—
Маклейна /((тс, п)—фундаментальные строительные блоки теории гомо-
топий. Они представляют собой CW-комплексы, характеризуемые
однозначно с точностью до гомотопической эквивалентности тем, что имеют
единственную нетривиальную гомотопическую группу
Г тс, если i = п,
МК(к,п)) = {
{ О, если i yt п.
Разумеется, в случае п > 2 требуется, чтобы группа тс была абелевой.
Стандартными примерами пространств Эйленберга—Маклейна
являются /((Z, 1) = S' и К(Ъ,2) = СР°°, где пространство СЯ°° определяется
как прямой предел последовательности комплексных проективных
пространств СЯ1 С СР2 С СР3 С ... по отношению к естественным
включениям. Пространства Эйленберга—Маклейна являются классифицирующими
пространствами для когомологий в том смысле, что для любого
пространства X и абелевой группы тс имеет место равенство
НП(Х;к) = [Х,К(к,п)], @.4)
где квадратные скобки обозначают множество всех гомотопических
классов отображений. Изоморфизм @.4) строится следующим образом. Из
теоремы Гуревича и формулы универсальных коэффициентов
легко видеть, что //"(/((тс, я); тс) = Нот(тс,тс). Пусть l:тс —> тс — тождественное
отображение. При соответствии @.4) каждому отображению f:X-+ /((тс, п)
сопоставляется класс когомологий /Ч G Н"(Х;к).
Разрезание. Это операция, «обратная» к приклеиванию пространств.
Пусть Y — некоторое замкнутое подпространство связного
пространства X, причем замыкание пространства X \ Y совпадает с X.
Предположим, что X \ Y состоит из конечного числа связных компонент Х1у... ,Х„.
Рассмотрим пространство
X' = [jXi х {i}cX xl,
т. е. отодвинем компоненты друг от друга. Замыкание пространства X' в
топологии прямого произведения X х М и есть результат разрезания
пространства X вдоль Y.
Ручки. Пусть W — некоторое многообразие, Н — такой «-мерный
шар, что W П Н С dW'. Предположим, что существует такой
гомеоморфизм h:D" х D"-" -> Н, что h(dD" x D"-p) = Hnf. Тогда мы будем
говорить, что Н — р-ручка на W или просто р-ручка. Например, 1-руч-
ка — это произведение D1 x D"-1, приклеенное вдоль пары (п - 1)-мерных
дисков S0 х D"~', 2-ручка — это произведение D2 х D"~2, приклеенное

Глоссарий
19
вдоль S1 х D"~2, и т.д. Дальнейшие подробности см. в книге Рурка, Сан-
дерсона [129].
Свойство накрывающей гомотопии. Отображение /?:?—>/?
обладает свойством накрывающей гомотопии по отношению к пространству X,
если для любых двух отображений f:X —> Е и G:X х / —> В, для которых
pf — Gi (где / = [0, 1] и г.Х —+ X х / обозначает отображение х >—> (х, 0)),
существует непрерывное отображение G:X х / —> Е, при котором
следующая диаграмма коммутативна:
X х I -^B
Отображение р:Е—>В называется расслоением, если оно обладает
свойством накрывающей гомотопии по отношению к любому
пространству X. Если b € В, то p~l(b) =F называется слоем. Различные слои
расслоения не обязаны быть гомеоморфными, но они всегда гомотопически
эквивалентны. Отображение /?:?—> б называется расслоением в слабом
смысле, если оно обладает свойством накрывающей гомотопии по
отношению к любому CUZ-комплексу X.
Связные суммы. Пусть М\, М2— замкнутые ориентированные
многообразия размерности л, a DJ -> Мк, k = 1,2, — пара л-мерных дисков,
вложенных в Мх и М2. Связная сумма многообразий М\ и М2
определяется как многообразие Mt # М2 = (М, \ int Dj1) U (М2 \ int D2'), полученное
приклеиванием многообразий Mk \ \x\\Dnk вдоль их общего края S" по
обращающему ориентацию гомеоморфизму r:S"~] —* S"~]. Многообразие
/И, # М2 наследует ориентацию от многообразий Mi и М2. Многообразия
Mi # М2 и тИ| # (—М2), где —М2 обозначает многообразие, полученное
из М2 обращением ориентации, не обязательно гомеоморфны. Заметим
также, что если многообразия Mi и М2 гладкие, то выбор гладко
вложенных дисков в уМ| и М2 и гладкого приклеивающего отображения дает
гладкое многообразие М\ # М2.
Если многообразия М\ и М2 обладают непустым краем, то можно
определить их граничную связную сумму М{ tj M2, отождествив (п — 1)-мерные
диски Dnk~x С dMk, k = 1,2, с помощью гомеоморфизма, обращающего
ориентацию. Край многообразия М{ \ М2 есть {дМ\) # (дМ2).
Симплициальные гомологии. Важным частным случаем клеточных
гомологии являются симплициальные гомологии, определяемые для сим-
плициального комплекса X, каждый g-симплекс которого
рассматривается как <7-клетка. Поскольку для триангулирования даже очень простых
многообразий обычно требуется много симплексов, симплициальные го-

20
Глоссарий
мологии не слишком удобны для явных вычислений. Однако поскольку
приклеивающие отображения являются вложениями, симплицчальные
гомологии намного легче использовать для доказательств. Скажем,
определение отображений д„ выглядит намного проще.
Симплициальные комплексы. Точки х0,х, ,хк пространства Ж'"
называются независимыми, если не существует (к — 1)-мерной
плоскости в К'", содержащей их все (разумеется, т должно быть не меньше k).
Выпуклая оболочка (k + 1) независимых точек х0,х ,хк называется
^-симплексом. Она состоит из всех таких точек вида х а0х0 + ¦ ¦ ¦ + akxk,
что все числа a0,fl|,. ¦ ¦ ,а„ неотрицательны и а0 + at + ... + ак = 1. Точка,
отрезок, треугольник и тетраэдр являются 0-, 1 -, 2- и 3-симплексами
соответственно. Точки x0,Xi,.. .,хк называются вершинами этого ^-симплекса.
Любое собственное подмножество вершин задает симплекс меньшей
размерности, являющийся гранью исходного /г-симплекса.
Пусть Ш.'"—фиксированное евклидово пространство. (Конечным)
геометрическим симплициальным комплексом в К'" называется такой
конечный набор К симплексов в Кш, что все грани любого симплекса из К
также лежат в К и любые два симплекса из К либо не пересекаются, либо
имеют в качестве пересечения общую грань. Подстилающее пространство
комплекса К, т. е. множество точек в R'", принадлежащих симплексам
из К, снабженное топологией, индуцированной из К'", называется
полиэдром комплекса К и обозначается \К\, а К называется триангуляцией
полиэдра \К\. Мы определяем (конечный) симплициальный комплекс как
топологическое пространство X, гомеоморфное некоторому полиэдру \К\.
Комбинаторная структура на X, индуцированная структурой множества К,
называется триангуляцией пространства X.
Граница любого (k + 1)-симплекса А состоит из всех собственных
граней симплекса А; она является симплициальным комплексом, полиэдр
которого гомеоморфен fc-мерной сфере и обычно называется ^-мерной
PL-сферой. Для каждого симплекса А симплициального комплекса К линк
симплекса А состоит из симплексов из К, не пересекающихся с Л и
являющихся гранями симплексов, пересекающих А.
Для двух симплициальных комплексов К, L отображение f:\K\ —> \Ц
называется симплициальным, если для любого набора вершин
симплекса из К их образы порождают симплекс в L. Подробности см. в книге
Хилтона, Уайли [67].
Сингулярные гомологии. Сингулярные гомологии определяются так
же, как симплициальные гомологии, с заменой симплексов на
сингулярные симплексы. Сингулярный симплекс — это отображение а: Д, —> X, где
Д,—фиксированный стандартный «/-симплекс. Сингулярные симплексы
образуют базис AJ-модуля сингулярных цепей Cq{X, R), который несчетно

Глоссарий
21
порожден для большинства пространств X. Это представляет неудобство
для вычислений, однако заметим, что сингулярные гомологии
определяются для любого пространства X; хорошая структура, такая как CW- или
симплициальный комплекс, на X не требуется.
Степень отображения. Пусть f:(M,dM) —> (N,dN) — некоторое
непрерывное оторажение ориентированных компактных многообразий
размерности п. Степень отображения / — это целое число deg/,
удовлетворяющее соотношению f,[M,dM] = deg/ • [N.dN], где [М,дМ] и [N,дЩ —
фундаментальные классы многообразий М и N, a f,:H„(M,dM) —>
—> H„(N,dN)—индуцированное отображение в гомологиях. Для гладкого
отображения f:M —> N гладких замкнутых ориентированных многообразий
выберем произвольную точку у е N, которой отображение / трансвер-
сально. Тогда степень отображения / совпадает с числом
deg/= J2 s'gny"
где sign/,—это знак якобиана JX:TXM —> ТУМ отображения / в точке
х € М; эта сумма не зависит от выбора точки у.
Теорема Гуревича. Предположим, что a:(Sn,s0) —> (X,х0) —
отображение, представляющее некоторый элемент группы к„(Х,х0). Пусть у„ —
некоторая фиксированная образующая группы H„(S"; Z) = Z. Гомоморфизм
Гуревича р:к„(Х,х0) —> H„(X;Z) определяется формулой р([а]) = а,(у„).
Можно показать, что этот гомоморфизм естественный, т. е. для любого
непрерывного отображения /:Х-> У диаграмма
к„Х >- ИпХ
I, I.
коммутативна. Теорема Гуревича лежит в основе взаимосвязи между
гомотопическими группами и группами гомологии. В простейшем случае она
формулируется так. Пусть X—линейно связное пространство. Тогда
1) гомоморфизм р:тс|(X,х0) —+ Ht(X;Z) сюръективен и является абели-
анизацией,
2) если п ^ 2 и nQ(X) = 0 для всех q < п, то р:кп(Х,х0) —> Н„(Х\Ъ) —
изоморфизм.
Теорема Уайтхеда. Пусть X и Y ¦—связные CW-комплексы. Если
непрерывное отображение f:X —> Y индуцирует изоморфизм всех
гомотопических групп, то / является гомотопической эквивалентностью. Важным
частным случаем является ситуация, в которой X — связный CW-kou-

22
Глоссарий
плекс и его гомотопические группы к„(Х) трививальны при q ^ 1. Взяв в
качестве Y одну точку, а в качестве / — постоянное отображение, из
теоремы Уайтхеда видим, что пространство X гомотопически эквивалентно У, а
значит, стягиваемо. На самом деле с помощью теоремы Гуревича можно
показать, что если X —такой СW-комплекс, что К]{Х) = 0 и Hq(X\T,) = О
для всех q ^ 1, то пространство X стягиваемо.
Теория гомологии. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей.
Иногда мы будем требовать, чтобы R было кольцом главных идеалов.
Теорией гомологии мы называем функтор из категории пар пространств
и непрерывных отображений в категорию градуированных /^-модулей и
градуированных гомоморфизмов. А именно, каждой паре (X, А), где А есть
подпространство в X, сопоставляется /^-модуль
оо
H.(X,A;R) = Q)Hq(X,A;R),
а каждому непрерывного отображению пар f:{X,A) —> (Y,B) —
гомоморфизмы f,:Hq(X,A;R) —> Hq(Y,B;R) при всех q так, что (/ о g)t = Д, о g,.
Мы используем сокращения Hq(X,A) для Hq(X,A;R) и Hq(X) для Hq(X,0).
Из контекста будет ясно, какое кольцо R имеется в виду. Должны
выполняться следующие аксиомы Стинрода—Эйленберга:
A) (гомотопическая инвариантность) если отображения /, g: (X, А) —>
—» (Y, В) гомотопны, то /» = g,;
B) (длинная точная последовательность) для любой пары (Х,А) и
любого q имеются гомоморфизмы d:Hq(X,A) —> Я?_|(Л), образующие
длинную точную последовательность
... - НЯ(А) - Н„(Х) -> Hq(X,A) Д Hq.t(A) - ... ^ Н0(Х,А) - 0;
C) (аксиома вырезания) если ?/ — открытое подпространство в X,
замыкание которого содержится во внутренности множества А, то
отображение включения /': (X \ U, A \ U) —> (X, А) индуцирует изоморфизм
j,:Hq(X \U,A\U)-* H„{X,A) для всех q;
D) (модуль коэффициентов) если Р — пространство, состоящее всего
из одной точки, то Н0(Р) = R и Hq(P) = 0 для q ^ 1.
Модуль в аксиоме 4 называется модулем коэффициентов теории
гомологии. Мы будем часто называть Hq(X,А) группами гомологии. Строго
говоря, нужно было бы говорить «модули гомологии», но в наиболее
важных случаях R = Z и R = Ъ/п эти модули являются просто абелевыми
группами.
Существует много способов определить группы гомологии. При
фиксированном кольце R в случае, когда X —симплициальный или CW-kom-

Глоссарии
23
плекс, а А —его подкомплекс, все стандартные способы приводят к
одному и тому же результату. Наиболее часто используются симплициальная,
сингулярная и клеточная теории гомологии. Чаще всего мы будем
работать с последней.
Аксиомы Стинрода—Эйленберга влекут существование точной
последовательности Майера—Вьеториса. которая очень полезна для
вычисления гомологии. Она применяется в довольно общей ситуации, но
мы сформулируем ее только для симплициальных комплексов.
Предположим, что А и В — подкомплексы симплициального комплекса X, причем
X = A U В. Тогда существуют гомоморфизмы д: Hq{X) —> Hq_t(A Л В),
образующие длинную точную последовательность
... - НЧ(А Л В) ±^ Н„(А) © Н„(В) ±^ Н„(Х) Д //,_, {А Л В) -> ...,
где /: А Л В —> А, }:А Л В —> В, 1:А ->X nJ:B^X— отображения
включения.
Приведем несколько следствий из аксиом Стинрода—Эйленберга и
точной последовательности Майера—Вьеториса. Пусть К — некоторый
симплициальный комплекс, a L—-его подкомплекс, возможно, пустой.
Тогда если К—п-мерный комплекс или, более общо, каждый симплекс в
К \ L имеет размерность не больше п, то Hq{K,L) = О для всех q > п.
Кроме того, Н0(К) = ф/?, где каждой связной компоненте комплекса К
соответствует по одному прямому слагаемому.
Теория гомотопий. За основами теории гомотопий, включающих
гомотопию, гомотопические эквивалентности, фундаментальную
группу к-,(Х,х0), теорему ван Кампена, накрывающие пространства, высшие
гомотопические группы кп{Х,х0) и т.д., мы отсылаем читателя к книге
Спеньера [139].
Трансверсальность. Пусть М и N— гладкие многообразия
размерностей тип соответственно, и пусть L — некоторое ^-мерное
подмногообразие в N. Говорят, что гладкое отображение f:M—*N трансверсально
подмногообразию L, если для любой такой точки х ? М, что f(x) ? L,
подпространства TlwL и (dxf)(TxM) порождают касательное пространство
T/ix)N. Идея этого определения в том, чтобы образ f(M) пересекался с
L как можно более общим образом. Если т + k < п, то отображение /
трансверсально подмногообразию L тогда и только тогда, когда
пересечение f(M) Л L пусто. Из теоремы о неявной функции следует, что если
отображение / трансверсально подмногообразию L, то f~l(L) — гладко
вложенное подмногообразие в М коразмерности п — k. Если
многообразие М компактно, то f~l(L)—также компактное подмногообразие в М.
Точка у ? N называется регулярным значением гладкого отображения
f:M —> N, если / трансверсально точке у. Иными словами, значение у

24
Глоссарий
регулярно, если для любой такой точки х € М, что f(x) = у, линейное
отображение dxf: ТХМ —> T^/V есть отображение на. Каждая такая точка х
называется регулярной точкой отображения /.
Сформулируем теорему о трансверсальности, доказанную Рене Томом,
см. Брёкер, Йених [23]. Пусть f:M —> N — некоторое гладкое
отображение, L — гладкое подмногообразие в N. Тогда / может быть сколь угодно
близко аппроксимировано отображениями g:M —>/V, трансверсальными
подмногообразию L. Если / — непрерывное отображение, его также
можно аппроксимировать трансверсальными отображениями, применив вместе
с теоремой о трансверсальности следующую теорему о гладкой
аппроксимации. Пусть f:M—> N — непрерывное отображение, гладкое в некоторой
открытой окрестности U замкнутого множества А. Тогда сколь угодно
близко к / найдется гладкое отображение h: M —> N, причем такое, что
h\A = f\A-
Формула Кюннета. Нам понадобится версия формулы Кюннета,
связывающая когомологии произведения X х Y двух CW-комплексов с кого-
мологиями сомножителей. Она утверждает, что для каждого п ^ 0 имеет
место следующая расщепляющаяся короткая точная последовательность:
О -» J2 Н'(Х) ® H'(Y) -» Н"(Х х Y) -* ]Г Тог(//"(Л),Я«(К)) -» 0.
Формула универсальных коэффициентов. Тот вариант формулы
универсальных коэффициентов, который нам понадобится, утверждает,
что для любого пространства X и любого коммутативного кольца R имеет
место следующая точная последовательность (при всех п ^ 0):
0 -» Ext(Hn_,(X),R) -> Hn(X;R) -> Hom(Ha(X),R) -> 0.
Каждая из этих последовательностей расщепляется, т. е. при всех п ^ 0
имеют место изоморфизмы
Ha(X;R) * Uom(Hn(X),R) Ф Ext(//„_,(X),R).
Как следствие, Hl(X;Z) = Hom(Ht(X;Z),Z). Эта теорема обсуждается
практически в любой книге по алгебраической топологии, см., например,
Спеньер [139].

Лекция 1
Разбиения Хегора
§ 1. Введение
Пусть М] и М2 — компактные трехмерные многообразия с гомео-
морфными краями, a f:dMt —> дМ2— гомеоморфизм. Приклеив М\ к М2
вдоль /, мы получим новое компактное трехмерное многообразие М = М, U
U М2 с пустым краем.
Пример. Два трехмерных шара, склеенные по произвольному
гомеоморфизму их краев, дают трехмерную сферу (см. теорему 1.4).
Вообще говоря, результат приклейки зависит от гомеоморфизма /.
Пример. Склеивание двух полноторий S1 х D2 дает многообразие
5' х S2 в случае, когда отображение / тождественно. Однако если /:S' x
х S[ ^> S] х S1 —гомеоморфизм граничного тора, переставляющий два
экземпляра окружности S1, будет получено многообразие S3. Этот факт
устанавливается с помощью формулы д{Х\ х Х2) ¦= (дХ\ х Х2) U {Х\ x дХ2).
Когда Xt = Х2 — D2— двумерный диск, мы получаем
S3 = OD* = d(D2 х D2) = (S1 х D2) U (О2 х S1),
т.е. представление трехмерной сферы в виде
объединения двух полноторий, склеенных вдоль их общего
края — тора S1 x S1.
Нам будет полезно иметь в виду следующую
наглядную картину представления 3-сферы, которое
мы только что построили.
На рис. 1.1 сфера 53 изображена как
результат вращения двумерной сферы 52 = Ш2 U {оо} вокруг
окружности ? U {оо}, где ? — некоторая прямая в R2. При таком вращении
диск D с К2 \ ? заметает полноторие 7"|. Каждая из дуг, соединяющих диски
D и D', заметает двумерный диск в S3, а множество таких дисков
параметризуется окружностью ? U оо. Следовательно, дополнение к полноторию Т{
также является некоторым полноторием Т2, и мы имеем 53 = Tt U Т2.
§2. Существование разбиений Хегора
Полным кренделем называется ориентируемое трехмерное
многообразие, полученное из трехмерного шара D3 приклеиванием g штук
1-ручек D2 х [—1,1]. Приклеивающие гомеоморфизмы отождествляют 2g

26 Лекция 1. Разбиения Хегора
дисков D2 х {±1}с 2g попарно непересекающимися дисками в dD3 = S2
так, чтобы полученное многообразие было ориентируемым, см. рис. 1.2.
Число g называется родом полного крен-
s ~\ деля. Край полного кренделя рода g гомео-
( ( ) ) морфен римановой поверхности рода g.
\\ // Оказывается, любое замкнутое трехмер-
//~\Ч \ У/ / Уу^\\ ное многообразие М можно получить склей-
( ( >^5 ^л ) ) ко^ ДВУХ полных кренделей. Иными слова-
УГ S С ~^-/ ми, М можно представить как М = Н U Н',
\ J где Н и Н' — такие полные крендели, что
^—S H n Н' = дН = ОН'. Очевидно, эти пол-
* ные крендели должны иметь один и тот же
род g. Такое разложение многообразия М
Рис. 1.2 ,-1/
называется его разбиением Хегора рода g.
Теорема 1.1. Любое замкнутое
ориентируемое трехмерное многообразие имеет разбиение Хегора.
Доказательство. Пусть Т — некоторая триангуляция
замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия М. Мы ассоциируем с Т
разбиение Хегора следующим образом. Заменим каждую вершину
триангуляции Т шаром, каждое ребро — цилиндром, каждую двумерную грань —
«плиткой», каждый тетраэдр — шаром, см. рис. 1.3.
Рис. 1.3
Объединение Н(Т) вершинных шаров и цилиндров, а также
объединение Н'(Т) плиток и шаров, соответствующих тетраэдрам, являются
полными кренделями. Следовательно, М = Н{Т) U Н'(Т) есть разбиение Хегора
многообразия М. ?

3. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора
27
§3. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора
Для данного разбиения Хегора М = HgU H' рода g легко построить
другое разбиение Хегора многообразия М рода g + 1 следующим образом.
Добавив незаузленную 1-ручку В к Hg, получим полный крендель Hg+l
рода g + 1. Мы называем здесь ручку незаузленной, если найдется такой
2-диск D в М, что D П Hg+l = dD и кривая 3D проходит вдоль В один
раз, см. рис. 1.4. Далее, мы утолщаем диск D до С = D х /. Заметим, что
Рис. 1.4
объединениие б и С гомеоморфно трехмерному шару, а значит,
м ** wg и (в и с) и я; = (//я и в) и (с и я;),
где HgU В = Hg+\. Утолщенный диск С пересекает полный крендель H'g no
двум дискам, следовательно, многообразие CuH'g = H'+l является полным
кренделем рода g + 1, а М = Hg+l UH'g+l —разбиением Хегора рода g + 1.
Описанная выше операция называется стабилизацией. Например,
разбиение 3-сферы рода один, изображенное на рис. 1.1, можно получить
стабилизацией из разбиения рода нуль.
Определение. Два разбиения Хегора многообразия М называются
эквивалентными, если существует гомеоморфизм многообразия М на себя,
переводящий одно разбиение в другое, и стабильно эквивалентными,
если они становятся эквивалентными после применения к каждому из них
нескольких стабилизации.
Следующий результат был доказан Зингером [138], см. также Райде-
майстер [124]. Наше доказательство будет близко следовать книге
Матвеева, Фоменко [47].
Теорема 1.2. Любые два разбиения Хегора замкнутого
ориентируемого трехмерного многообразия М стабильно эквивалентны.
Доказательство. Мы докажем, что A) любые два разбиения
Хегора, ассоциированные с триангуляциями, как в доказательстве теоремы 1.1,
стабильно эквивалентны и B) что любое разбиение Хегора стабильно
эквивалентно разбиению Хегора, ассоциированному с некоторой
триангуляцией.

28
Лекция 1. Разбиения Хегора
Пусть Т — некоторая триангуляция многообразия М. Триангуляция Т'
многообразия М называется подразделением триангуляции 7", если каждый
симплекс из Т' целиком содержится в некотором симплексе из Т. Простой
способ строить подразделения состоит в следующем: возьмем точку а в М,
оставим без изменения все симплексы, не содержащие а, и разобьем
каждый симплекс, содержащий а, как показано на рис. 1.5. На правой картинке
Рис. 1.5
рис. 1.5 точка а находится внутри тетраэдра, а на картинке в центре —
внутри основания тетраэдра. Такое подразделение называется звездным
подразделением триангуляции Т с вершиной а. Согласно Александеру [4],
любые две триангуляции многообразия М допускают общее подразделение,
получаемое из каждой последовательным применением звездных
подразделений.
Заметим, что если триангуляция Т получается из Т звездным
подразделением, то соответствующее разбиение Хегора М = Н(Т') U Н'(Т')
получается из М = Н{Т) U Н'(Т) последовательностью стабилизации. Из
рис. 1.6 видно, что если точка а находится внутри некоторого тетраэдра, то
Рис. 1.6
полный крендель Н(Т') получается из полного кренделя Н(Т) приклейкой
трех незаузленных ручек. Если а находится на двумерной грани, требуется
четыре стабилизации, а если а находится на ребре, то число необходимых
операций стабилизации равно числу тетраэдров, содержащих это ребро.

3. Стабильная эквивалентность разбиений Хегора
29
Вместе с тем фактом, что любые две триангуляции связаны конечной
последовательностью звездных подразделений, это наблюдение
доказывает утверждение A).
Для доказательства утверждения B) нам понадобятся два технических
результата. Пусть К — одномерный подкомплекс некоторой триангуляции
трехмерного многообразия. Обозначим через U(K) объединение тех шаров
и цилиндров, которые соответствуют вершинам и ребрам комплекса К.
Пространство U(K) является полным кренделем.
Пусть Не — некоторый полный крендель рода g, изображенный на
рис. 1.2, а Г с Нг —его осевой граф. По определению граф Г представляет
собой объединение g штук окружностей в Hq, пересекающихся ровно в
одной точке Он получается стягиванием каждой ручки полного кренделя Hg
в дугу и затем центрального шара — в точку, к которой прикреплены все
дуги. Мы утверждаем, что найдется такая триангуляция т полного
кренделя Hg, что Г является в ней подкомплексом и выполнены следующие два
условия:
(а) полный крендель (/(т(|)), где т(|)— 1-скелет триангуляции т, так что
Г с т"\ получается из U(T) добавлением незаузленных ручек;
(б) полный крендель U(t{{)) получается из с/Cт("), где <9т(|)— 1-скелет
ограничения триангуляции т на dHg, добавлением незаузленных ручек.
Такую триангуляцию построить очень легко — подойдет почти любая.
Например, можно представить Hg как двумерный диск с g дырками,
прямо умноженный на отрезок, и взять триангуляцию произведения. Нужно
отметить, что свойства (а) и (б) триангуляции сохраняются при переходе
к звездному подразделению. Поэтому из существования общего
звездного подразделения следует, что любая триангуляция имеет подразделение,
удовлетворяющее условиям (а) и (б). Однако далее мы будем использовать
этот факт не в полной общности.
Пусть М = Н U Н' — произвольное разбиение Хегора многообразия М.
Выберем триангуляцию Т в М, в которой обе части Н и Н' являются
подкомплексами. Пусть т и т' — ограничения триангуляции Т соответственно
на Н и Н'. Пусть Г — осевой граф полного кренделя Н. Измельчая
триангуляцию 7", если необходимо, мы можем добиться того, чтобы
триангуляция т удовлетворяла условию (а), а т'—условию (б). Тогда с/((т')(")
будет получаться из U((dx'Yl)) добавлением незаузленных ручек. Добавляя
те же ручки к с/(тП)), мы получим U(Tit}). В свою очередь, полный крендель
U(x^]) получается добавлением незаузленных ручек из ?/(Г). Схематически
мы имеем следующую диаграмму:
?/(Г) -» ?/(т(|)) -» U(P") = Н(Т),
где Н(Т) — полный крендель из разбиения Хегора М = Н(Т) U Н'(Т),

30
Лекция 1. Разбиения Хегора
построенный по триангуляции Т, как в доказательстве теоремы 1.1, а
стрелки соответствуют добавлению 1-ручек. Первоначальное разбиение
Хегора М = Н U Н' эквивалентно разбиению Хегора многообразия М
на U(T) и дополнительный полный крендель. Последнее стабильно
эквивалентно разбиению М = Н(Т) U Н'(Т). ?
§4. Группы классов отображений
В разбиении Хегора Н U/ Н' полные крендели Н и Н' склеиваются
вдоль их общего края F по некоторому гомеоморфизму /:f —> /•". Можно
ориентировать Н и Н' так, чтобы гомеоморфизм / либо всегда сохранял
ориентацию, либо всегда обращал ее. Мы выбираем второй способ, имея
в виду следующий пример.
Пример. Пусть S3 = Н U Н' — разбиение Хегора сферы S3 рода один,
показанное на рис. 1.1. Стандартная ориентация сферы 53 = К3 U {со},
заданная базисом в, = A,0,0), е2 = @,1,0), е3 = @,0, 1), индуцирует
ориентацию и на Я, и на Н'. Ориентируем край дН = Т'2 полнотория Н, выбрав
базис а, Ь в его касательном пространстве так, чтобы тройка а, Ь, п, где п —
вектор внутренней нормали к Т2 в Н, была положительно ориентирована.
Аналогично ориентируем дН' с помощью внутренней нормали по
отношению к Н'. Так как п — внешняя нормаль по отношению к Н', ориентации,
полученные на Т2 как крае полноторий Н и И', будут противоположны.
Следовательно, отображение приклейки обращает ориентацию.
Напомним, что два гомеоморфизма /0, /,: F —> F называются
изотопными, если между ними существует такая гомотопия /,, 0 < t ^ 1, что
каждое отображение /, является гомеоморфизмом. Заметим, что если /
сохраняет (или обращает) ориентацию, то это можно сказать и о всех
гомеоморфизмах, изотопных отображению /. Склеивание кренделей Н и Н'
по изотопным гомеоморфизмам дает гомеоморфные многообразия. Это
наблюдение оправдывает следующее определение.
Пусть Нотео(/г) — группа всех сохраняющих ориентацию
гомеоморфизмов замкнутой ориентированной поверхности F, и пусть Homeoof/O —
нормальная подгруппа, состоящая из гомеоморфизмов, изотопных
тождественному. Факторгруппа
H{F) = Homeof/^/HomeOo^
называется группой классов отображений поверхности F. Эта группа
является подгруппой большей группы, состоящей из всех
гомеоморфизмов F, рассматриваемых с точностью до изотопии. Как подгруппа, она
имеет индекс два, поскольку композиция любых двух гомеоморфизмов,
обращающих ориентацию, сохраняет ориентацию.

4. Группы классов отображений
31
Пусть с — некоторая простая замкнутая кривая, т.е. вложенная
окружность, в F. Возьмем кольцо U(c), одной из граничных окружностей
которого является с, см. рис. 1.7. Отождествим U(c) с кольцом {г | 1 ^ \z\ ^ 2}
f]
\\\
\ьы.
U (с)
Рис. 1.7
в комплексной плоскости и определим скручивание Дэна xc:F
вдоль с как гомеоморфизм, заданный формулой
г ¦ е"
э/(Ф+2л(л-|))
F
A.1)
внутри кольца U(c) и тождественный вне него. Менее формально
отображение хс можно представлять себе следующим образом. Разрежем F
вдоль с, перекрутим один из краев на 360° в одном из двух возможных
направлений и склеим края снова.
Другой выбор кольца U(c) или замена кривой с на изотопную дают
изотопные скручивания. Здесь стоит отметить, что любые две
нетривиальные гомотопные простые замкнутые кривые на поверхности F изотопны,
см. Баэр [11] и [12], а также Эпштейн [40]. Выбор направления
скручивания существен — скручивания в противоположных направлениях
определяют взаимно обратные элементы в H(F).
Скручивания Дэна были введены Дэном [34]. Доказательство
следующей теоремы можно найти в работе Ликориша [95].
Теорема 1.3. Пусть Fg — замкнутая ориентируемая поверхность
рода g. Тогда группа H(Fg) порождается скручиваниями Дэна вдоль
кривых а,-,Р;, у*, 1 ^ /, j^ g, 1 ^ k < g — 1, изображенных на рис. 1.8.
Рис. 1.8

32
Лекция!. Разбиения Хегора
§5. Многообразия рода Хегора не выше 1
Пусть М — замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие. Будем
говорить, что многообразие М имеет род Хегора g, если оно допускает
разбиение Хегора рода g и не допускает разбиений Хегора меньшего рода.
Случаи g = 0 и g = 1 заслуживают отдельного рассмотрения. Если
g = 0, то разделяющая поверхность является двумерной сферой.
Следующая теорема принадлежит Александеру [4].
Теорема 1.4. Единственное замкнутое трехмерное многообразие
рода Хегора нуль — сфера S3.
Доказательство. Представим D3 как единичный шар \г\ ^ 1, а
S2 как его край. Любой гомеоморфизм /:S2 —> S2 можно продолжить до
гомеоморфизма F:D3 —> D3 по формуле F(t ¦ г) = / • /(г), 0 ^ ^ < 1 (это
утверждение обычно называется леммой Александера). Пусть теперь М —
многообразие рода Хегора нуль, так что М = D, U Д>, где Dt = D2 = D3.
Существует гомеоморфизм, отображающий Dt в верхнюю полусферу в S3.
Этот гомеоморфизм можно продолжить до гомеоморфизма из М в S3 с
помощью леммы Александера. ?
Пусть Т2 = S' х S1 —двумерный тор. Выберем образующие в к,7 =
= Z® Z следующим образом. Представим Г2 как край полнотория S1 x D2,
вложенного в М3, как показано на рис. 1.9. Пусть
9 и ф — стандартные угловые координаты на Г2.
Кривые [I и 1, заданные соответственно
уравнениями ф = 0 и 8 = 0, называются меридианом и
параллелью. Они играют различные роли в пол-
нотории, а именно, ^i ограничивает диск в S1 x D'2,
а X — нет. Вместе эти кривые дают множество об-
рис. 1.9 разующих группы и, (Т2) = Z ф Z. Ориентируем тор
с помощью базиса (д/дф, 9/96) в касательном
пространстве.
Группа классов отображений тора описывается следующим образом.
Функтор Н\ превращает произвольный гомеоморфизм / тора Т2 в
автоморфизм /» группы НХ(Т2) = Z ф Z. Гомеоморфизм 7, изотопный
тождественному, индуцирует тождественное отображение в Я,G).
Автоморфизмы группы Z ф Z записываются целочисленными матрицами размера 2x2,
обратимыми в целочисленных матрицах. Матрица обратима над Z тогда и
только тогда, когда ее определитель равен ±1. Матрица отображения /»
соответствует сохраняющему ориентацию гомеоморфизму / тогда и
только тогда, когда ее определитель равен единице. Следовательно, мы имеем
корректно определенный гомоморфизм
®
II:/yG)-*SLB,Z)

5. Многообразия рода Хегора не выше 1
33
в группу SLB,Z) целочисленных матриц размера 2 х 2 с определителем
единица. Каждую матрицу из SLB, Z) можно элементарными
преобразованиями над строками и столбцами привести к единичной. Следовательно,
каждая матрица А € SLB,Z) является произведением матриц вида
(J ±!) и (±! ?)•
Эти матрицы реализуются при скручиваниях вдоль кривых [i и X. Таким
образом, гомоморфизм П сюръективен. Можно показать (см., например,
Рольфсен [128], Theorem 2.D.4), что гомоморфизм П инъективен. Отсюда
мы получаем следующий результат.
Теорема 1.5. Отображение И:Н(Т2) —> SLB, Z) является
изоморфизмом.
Изотопические классы обращающих ориентацию гомеоморфизмов
/: Т2 —» Т2 находятся во взаимно однозначном соответствии с
целочисленными матрицами 2 х 2 с определителем — 1. Такие матрицы имеют вид
х ¦ А, где А е SLB,Z), а матрица
х-("if) (.*>
реализуется гомеоморфизмом тора (ф, 9) н-> (ф, —6).
Теперь мы можем описать трехмерные многообразия рода Хегора один.
Пусть М — многообразие, полученное склеиванием двух полноторий по
обращающему ориентацию гомеоморфизму /: Т2 —> Т2 их краев. В базисе
меридиан-параллель этих торов (^i,Xi) и (Ц2Д2) гомеоморфизму f
соответствует матрица
А = {~1 г)' Яг+Р* = \. A.3)
В частности, образ меридиана [it первого тора изотопен кривой — q ¦ [12 +
+ р ¦ Х2, которая делает —q оборотов в 92-направлении и р оборотов
в ф2-направлении на втором торе.
На самом деле образ меридиана ц\ полностью определяет
многообразие М. Чтобы увидеть это, просто заметим, что полноторие D2 x S1 можно
приклеить в два шага. Сначала мы приклеим D2 х У, где У — малый отрезок
окружности S\ см. рис. 1.10.
Все полноторие представляется как
D2 х S' =(D2 xi)UD3,
а значит, чтобы получить многообразие М, нам нужно теперь
приклеить трехмерный шар вдоль края dD3 = S2. Все сохраняющие ориентацию
3* Лекции по топологии

34
Лекция 1. Разбиения Хегора
гомеоморфизмы сферы S2 изотопны тождественному, что завершает
доказательство.
Таким образом, многообразие М полностью определяется числами р
и q. Это многообразие называется линзовым пространством L(p,q) или
просто линзой. Условие qr + ps = 1 на матрицу A.3) означает, что числа р
и q взаимно просты. Легко проверить, что niL(p,q) = Z/|/?|.
Рис. 1.10
Различные пары (p,q) могут давать гомеоморфные линзовые
пространства L(p,q). Это возможно в первую очередь из-за неоднозначности
выбора базиса кривых в Т2. С одной стороны, меридианы р., и р.2 определены
однозначно (с точностью до изотопии и смены ориентации) условием, что
они ограничивают двумерные диски. Если мы сменим ориентацию
кривой р.ь мы должны будем сменить также и ориентацию кривой Хь Эта
операция заменяет А на —А. Следовательно, можно предполагать, что
Р>0.
С другой стороны, выбор параллели далеко не однозначен — любая
кривая вида п ¦ р., 4- Х| также годится в качестве параллели X,, так как
отображается в X, после п скручиваний Дэна вдоль \i\. Результат
замены Х| на /г - [о.] + Х| состоит в добавлении ко второму столбцу матрицы А
первого, умноженного на п\ аналогично замена Х2 на п ¦ р.2 + Х2 приводит
к вычитанию из первой строки матрицы А второй, умноженной на п.
Далее, если р = 0, мы можем считать, что А = х — матрица A.2).
Соответствующее лизовое пространство ЦО, 1) есть просто S2 x 51.
Предположим, что р ф- 0. Тогда мы можем сделать число q неотрицательным
и меньшим р, т. е. О < q ^ р — 1. Если р = 1, то q = 0, так что можно
предполагать, что

5. Многообразия рода Хегора не выше 1
35
и тогда L( 1,0) = S3 — многообразие рода Хегора нуль. Наконец, если р > 2,
то 1 ^ q ^ Р — 1, и мы получаем следующий результат.
Теорема 1.6. Любое трехмерное многообразие рода Хегора один
есть либо S2 x S', либо линзовое пространство L(p,q), где p,q
взаимно просты ы р > 2, 1^<7^/? — 1.
Для полноты картины заметим, что для различных р линзовые
пространства не гомеоморфны — они даже не гомотопически эквивалентны,
так как их фундаментальные группы неизоморфны. В то же время,
линзовые пространства L(p,q) и L(p,q') с различными q и q' могут быть
гомотопически эквивалентными и даже гомеоморфными.
Пример. Для любых взаимно простых р и q линзовые пространства
L(p,q) и L(p,-q) гомеоморфны (с помощью обращающего ориентацию
гомеоморфизма). Чтобы увидеть это, просто поменяем ориентацию обоих
торов в конструкции L(p,q), например, обратим ориентацию параллели Х|
и меридиана р.2. В новом базисе матрица A.3) заменится на матрицу
Пример. Если мы поменяем роли полноторий в конструкции L(p,q),
то матрица A.3) заменится на обратную матрицу
V р q)
где qr = 1 mod p. Вместе с результатом из предыдущего примера это
влечет гомеоморфность линзовых пространств L(p,q) и L(p,q'), где qq' = ±1
mod p. Например, линзовые пространства LG,2) и LG,3) гомеоморфны.
На самом деле верно также, что линзовые пространства L(p,q) и L(p,q')
гомеоморфны тогда и только тогда, когда qq' = ±1 mod p\ это впервые
было доказано Райдемайстером [123].
Пример. В заключение стоит отметить, хотя и без доказательства, что
линзовые пространства L(p,q) и L(p,q') гомотопически эквивалентны
тогда и только тогда, когда qq' — ±т2 mod p для некоторого целого т,
см. Уайтхед [147]. Например, Ц5,1) и LE,2) не гомотопически
эквивалентны, a LG,1) и LG,4) гомотопически эквивалентны, но не
гомеоморфны.
Замечание. В настоящем изложении мы пытались следовать
соглашениям об ориентации для линзовых пространств из работ Рэймонда [122]
и Хирцебруха, Нейманна, Коха [69]. Однако зачастую используются
противоположные соглашения. Некоторые авторы, например Рольфсен [128],
решают эту проблему, рассматривая многообразия, которые ориентируемы,
но не ориентированы.

36
Лекция 1. Разбиения Хегора
§6. Многообразия Зейферта
Конструкцию линзовых пространств можно обобщить следующим
образом. Пусть F — S2 \ int(Df U ... U Dl) —двумерная сфера, из которой
удалены п непересекающихся открытых дисков. Произведение F x S1
является компактным ориентируемым трехмерным многообразием, край
которого состоит из п торов (dDf) х 5', i = 1,..., п. Фундаментальную группу
многообразия F x S1 можно задать так:
(xt,...,x„ | hxi = Xjh,X\ .. .х„ = 1),
где образующие xt представляются кривыми dDf, ориентированными как
граничные кривые поверхности F. Пусть нам даны п пар взаимно
простых целых чисел (а,, ?;)> i = 1,...,п, причем а,- ^ 2. Мы приклеиваем п
полноторий так, чтобы меридиан г-го полнотория приклеивался к кривой
в (dDf) х S1, изотопной кривой а, • х, + bt ¦ h. При этой приклейке образ
кривой {0} х 5' с Df х 51 для каждого / называется /-м особым слоем.
Замкнутое многообразие, которое мы получили этой конструкцией,
называется многообразием Зейферта М((аиЬ\),..., (ап,Ьп)) рода нуль с п
особыми слоями. Термин «род нуль» относится не к роду Хегора, а к тому
факту, что род двумерной сферы, использованной при построении, равен
нулю, и конструкцию можно обобщить, заменив 52 на произвольную
замкнутую ориентированную поверхность рода g.
Мы не пытаемся зафиксировать ориентацию на многообразии
Зейферта — это будет сделано в лекции 2.
Пример. Многообразие Зейферта М(а,Ь) с одним особым слоем есть
линзовое пространство ЦЬ,а). Многообразие Зейферта M((ailbl),(a2,b2))
с двумя особыми слоями — тоже линзовое пространство.
Если многообразие Зейферта М имеет по меньшей мере три особых
слоя, оно не гомеоморфно линзовому пространству. Это можно увидеть,
например, из того, что фундаментальная группа многообразия М неабеле-
ва. Следовательно, род Хегора многообразия М не меньше двух.
На самом деле род Хегора любого многообразия Зейферта М((аиЬ\),
(а2, Ь%), (а3, Ь3)) с тремя особыми слоями равен двум. Разбиение Хегора
рода два можно построить следующим образом. Выберем первые два из трех
полноторий, которые мы вклеиваем в F x 51 в описанной выше
конструкции, и соединим их незаузленной полной трубкой внутри М, чтобы
получился полный крендель рода два. Его дополнение показано на рис. 1.11.
Оно представляет собой полноторие с двумя высверленными туннелями, а
также коротким туннелем, соединяющим один из них с «внешним миром».
Другой туннель заполняется согласно (а3,63)-правилу. Короткий туннель
можно растянуть, чтобы картина выглядела как заполненный утолщенный

б. Многообразия Зейферта
37
тор с ручкой. Заполненный тор гомеоморфен обычному полноторию. Таким
образом, мы получили разбиение Хегора многообразия М рода два. Детали
этой конструкции см. в лекции 19.
Рис. 1.11
Подобная конструкция показывает, что род разбиения Хегора
многообразия Зейферта с п ^ 2 особыми слоями не превосходит п — 1.
Замечание. В заключение отметим, что многообразия Зейферта
допускают такое действие окружности 51 без неподвижных точек, что особые
слои, определенные выше, являются единственными орбитами действия,
имеющими нетривиальную изотропную подгруппу: окружность
наворачивается а, раз в направлении ;-го особого слоя. За общей теорией
многообразий Зейферта мы отсылаем читателя к работе Нейманна, Рэймон-
да [113], см. также лекцию 19.

Лекция 2
Перестройки Дэна
§ 1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях
Конечный набор гладко вложенных непересекающихся замкнутых
кривых в замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии М называется
зацеплением. Однокомпонентное зацепление называется узлом. Мы не
будем различать эквивалентные узлы или зацепления: два зацепления ?
и ?' в М называются эквивалентными, если существует такой гладкий
сохраняющий ориентацию автоморфизм п:М —» М, что Л(?) = ?'. В случае
двух- или более компонентных зацеплений мы будем фиксировать
некоторое упорядочение компонент и требовать, чтобы оно сохранялось под
действием h. Каждое зацепление ? С М можно утолщить и получить
трубчатую окрестность N(L), которая представляет собой набор гладко
вложенных попарно непересекающихся полноторий D2 x S\ по одному
на каждую компоненту зацепления, оси которых {0} х S1 образуют
зацепление -С.
Зацепления в S3 = R3 U {ос} можно представлять как зацепления в К3.
Требование, чтобы каждая компонента зацепления была гладко
вложена, позволяет избежать появления патологических примеров, таких как на
рис. 2.1.
Рис. 2.1
Пусть L — некоторое зацепление в R3, представленное набором
попарно непересекающихся гладко вложенных кривых. Пусть Р — некоторая
плоскость и /?:R3—i-P — ортогональная проекция. Мы говорим, что эта
проекция регулярна для зацепления ?, если ее ограничение на ?
является погружением, причем каждое множество ? П р~'(х), х € Р, состоит
из не более чем двух точек; число двойных точек (т.е. точек х е /?(?), для

2. Перестройки вдоль зацеплений в S3
39
которых множество р_1(х) П ? имеет мощность два) конечно, и любые две
дуги, проходящие через двойную точку, пересекаются в ней трансверсаль-
но. Для каждого зацепления существует регулярная проекция, см. Кро-
уэлл. Фокс [33]. Поэтому зацепления в S3 = IR3 U {оо} часто описывают
с помощью регулярных проекций, рисуя их как гладкие кривые в IR2 и
отмечая проходы и переходы в каждой двойной точке.
Любой узел в S3, эквивалентный узлу (cos/,sin /,0), 0 ^ / ^ 2тс,
называется тривиальным.
§2. Перестройки вдоль зацеплений в S3
Пусть k — некоторый узел в замкнутом ориентируемом трехмерном
многообразии М, N(k)—его трубчатая окрестность. Разрезая
многообразие М вдоль двумерного тора dN(k), мы получим два многообразия, одно
из которых — внешность узла К, являющаяся замыканием дополнения
М \ N(k), а второе — полноторие N(k), которое мы будем отождествлять со
стандартным полноторием D2 x 51. Таким образом, К—это многообразие
с краем дК = Т2, и мы имеем М = К U (D2 х S'). Чтобы снова приклеить
D2 х S1 к К, можно использовать произвольный гомеоморфизм h.dD2 x
х S1 —* дК. Пространство Q = К U/, (D2 x S1), которое мы получим, по
построению является замкнутым ориентируемым многообразием. Мы
будем говорить, что пространство Q получено из М перестройкой вдоль k.
Многообразие Q зависит от выбора гомеоморфизма h. На самом деле,
многообразие Q полностью определяется образом меридиана 3D2 х {*}
полнотория D2 х S1 при отображении п, т.е. кривой с = h(dD2 x {*}) на
крае дК. Чтобы убедиться в этом, можно просто повторить рассуждение
из лекции 1, проиллюстрированное на рис. 1.10.
Если М = S3, то с точностью до изотопии кривая на крае дК
задается парой взаимно простых целых чисел (р, q). Это делается следующим
образом. Пространство К имеет такие целочисленные группы гомологии:
Hq(K) = Н\ (К) = Z и Hj(K) = 0 для / > 2. Любой меридиан полнотория N{k)
задает образующую в /У, (К); он представляет собой кривую на дК, которую
мы обозначим через т. Существует единственная с точностью до
изотопии в dN(k) параллель, гомологически тривиальная в К', это дает вторую
кривую на дК, которую мы обозначим ?. Эти две кривые задают базис
в Н^дК), единственный с точностью до изотопии и обращения ориентации
кривых т и ?. Параллель ? называют канонической параллелью, чтобы
отличать ее от параллели, определенной в лекции 1.
Ориентации фиксируются следующим образом. Выберем
стандартную ориентацию в S3 = R3 U {оо}; она индуцирует ориентацию в К.
Выберем направления кривых т и ? так, чтобы тройка {т,?,п) была

40
Лекция 2. Перестройки Дэна
положительно ориентирована. Здесь п — нормаль к дК, направленная
внутрь К, см. рис. 2.2.
Любая простая кривая с на дК теперь изотопна некоторой кривой вида
с = р ¦ т + q ¦ I. Пары (р, q) и (-р, -q) задают одинаковые кривые с,
поскольку ориентация кривой с для нас неважна. Удобно представлять себе
пару (р, q) как несократимую дробь p/q. Тогда
возникает взаимно однозначное соответствие между
классами изотопии нетривиальных замкнутых
кривых на торе дК и множеством несократимых
дробей p/q. Это множество следует дополнить дробью
1/0 = оо, которая соответствует меридиану т.
Результат 1/0-перестройки вдоль любого узла k С S3
снова есть 53.
Рис. 2.2 ,_.
Перестройки только что описанного типа
называются рациональными. Перестройка называется
целочисленной, если q — ±1. Аналогично можно определить
рациональные и целочисленные перестройки вдоль зацепления ? с 53: перестройка
вдоль каждой компоненты должна быть рациональной или,
соответственно, целочисленной. В общем случае перестройку вдоль узла k с М нельзя
описать рациональным числом, поскольку нет канонического выбора
параллели (тем не менее, такой выбор есть в случае гомологической
трехмерной сферы М, см. п. 5). Однако понятие целочисленной перестройки по-
прежнему имеет смысл: кривая dD2 х {*} в D2 x S1 должна накладываться
на кривую в дК, один раз пробегающую вдоль некоторой параллели.
Теорема 2.1 (Ликориш [95], Уоллес [145]). Любое замкнутое
ориентируемое трехмерное многообразие можно получить из S3
целочисленной перестройкой вдоль некоторого зацепления ? с S3.
Лемма 2.2. Пусть h\,h2:dH —> дН' — такие гомеоморфизмы
краев двух полных кренделей, что ht = /г2хс, где тс — скручивание вдоль
некоторой простой замкнутой кривой с с dHt. Тогда многообразие
М2 = Н Uh.2 Н' получается из многообразия /И| = Н иЛ| Н'
целочисленной перестройкой вдоль некоторого узла kcMu изотопного образу
кривой с.
Доказательство леммы 2.2. Продавим кривую с внутрь
полного кренделя Н, чтобы получить узел k с Н. Пусть N(k) — его
трубчатая окрестность, А = S1 х / — кольцо, соединяющее кривую с с dN(k),
см. рис. 2.3.
Пусть ср: Н \ N(k) -* Н \ N(k) — некоторый гомеоморфизм, который
разрезает пространство Н \ N(k) вдоль кольца А, перекручивает на 360° и
затем снова склеивает. Ограничение гомеоморфизма ср на дН будет
скручиванием тс, в то время как его ограничение на dN(k) будет скручиванием

2. Перестройки вдоль зацеплений в 53
41
вдоль параллели ? = А П N(k) узла k. Пусть М- = {Н \ N(k)) \jh. H', /=1,2.
Формула
если х е Н \ N(k),
если х € Н',
Ф(х)
Г 9W,
B.1)
задает гомеоморфизм из М2 в Л4,. Условия hx = Л2т и хс = <р|е« гарантируют,
что оба случая формулы B.1) согласуются на крае, см. рис. 2.4.
H\N(k)
Н \ N{k)
h
>
h'
>¦
Н'
idj
1 Н'
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Таким образом, если удалить полнотория, соответствующие N(k), из
многообразий А), и М2, они станут гомеоморфными. Следовательно, М2
получается из А/| перестройкой вдоль узла k. Поскольку гомеоморфизм Ф
отображает меридиан т тора dN(k) в кривую т ± I, эта перестройка
целочисленная. ?
Доказательство теоремы 2.1. Любое многообразие М можно
представить в виде М = Н U/,2 Н', где Н и Н' — полные крендели
рода g, а /г2 — обращающий ориентацию гомеоморфизм их краев.
Аналогично S3 = Н иА] Я'. Тогда h^ht —сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм, поэтому/г2 /Z| = тс Tf,
. тСп, где тс. —скручивания вдоль некоторых
кривых с,-. Согласно лемме 2.2 умножение гомеоморфизма приклейки на
скручивание Дэна имеет такой же эффект, как целочисленная перестройка
вдоль некоторого узла. Последовательность таких умножений дает
последовательность перестроек вдоль узлов, т. е. перестройку вдоль некоторого
зацепления. ?
Таким образом, любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие можно получить целочисленной перестройкой вдоль некоторого
зацепления L с S3. Следует снова отметить, что результат перестройки
зависит не только от L, но и от выбора простых замкнутых кривых на
границе dN(k) трубчатой окрестности каждой компоненты k зацепления ?.
Как мы уже видели, для целочисленной перестройки такая кривая
однозначно определяется некоторым целым числом. Выбор целого числа для
каждой компоненты зацепления L называется оснащением зацепления L.

42
Лекция 2. Перестройки Дэна
Зацепление L с фиксированным оснащением называется оснащенным
зацеплением.
§3. Описание многообразий Зейферта и линзовых
пространств перестройками
Пусть р > 2. Линзовое пространство Цр, 1) получается склеиванием
двух полноторий по гомеоморфизму
с; ?)¦
который отождествляет меридиан ^ первого тора с кривой -р.2 + р ¦ Х2 на
втором, см. рис. 2.5, где р = 3.
Рис. 2.5
Если мы вывернем второе полноторие наизнанку и будем
рассматривать его как внешность тривиального узла, меридиан \ii будет
накладываться на кривую I— р ¦ т. Таким образом, линзовое пространство Цр, 1)
описывается зацеплением, показанным на рис. 2.6.
-О,
Рис. 2.6
Подобным образом, любая линза L(p,q) получается рациональной
перестройкой вдоль незаузленной кривой с оснащением -p/q. Чтобы
получить L(p,q) целочисленной перестройкой, заменим одно из
полноторий S1 х D2 на S1 х Д2, где Д2 — круговое кольцо. Приведенная выше
конструкция, дающая L(p, 1), тогда даст многообразие с краем тор. Это
многообразие можно представить в виде перестроенного полнотория, как

3. Многообразия Зейферта и линзы
43
показано на рис. 2.7 (из него можно получить L(p, 1), вклеив полноторие
по тождественному отображению).
•..GO-
Рис. 2.7
Повторим построение, заменив р на любое число q, взаимно простое
с р. Склеим эти два перестроенные полнотория вдоль их общего края по
гомеоморфизму
п-
Мы получим сферу S3, перестроенную вдоль зацепления, изображенного
на рис. 2.7. С другой стороны,
( р \)[\ оД q \) = \pq-\ /J'
следовательно, зацепление на рис. 2.7 представляет L(pq — l,q).
-Х\ -Х2 —ЛГз ~х4 —Хп-\ -Х„
ооос зо
Рис. 2.8
Теорема 2.3. Любое линзовое пространство L(p,q) получается
перестройкой по зацеплению, показанному на рис. 2.8, где p/q =
= [лг,,..., х„] — разложение в цепную дробь:
[х1,...,хя]=х1 Ц . B.2)
Хп
Доказательство. Построение, использованное для L(pq — \,q),
можно повторить нужное число раз, и мы получим зацепление,
изображенное на рис. 2.8. Надо только проверить, что если p/q = [x\,.. .,*„], то
для некоторых л и s имеет место равенство
Г, :) = (-J,XJ)( «!)¦¦•(*!)¦ <2-3»

44
Лекция 2. Перестройки Дэна
Это верно при п = 1 и п = 2, так как
$ = 1Р] « ^ = [**]•
Предположим по индукции, что p'/q' = [х2,... ,х„]. Тогда
( х, l)(l o)( I' Sr') = {xlP'P-q' nr' + s')'
так что
х\р' -я' _Y я' _ r i _ [r r]
Р Р [Х2,...,Х„]
Так как любое рациональное число можно разложить в конечную цепную
дробь, доказательство закончено. D
Зацепление на рис. 2.8 обычно изображается как граф с весами,
показанный на рис. 2.9, на котором каждая вершина соответствует
тривиальному узлу, а две вершины соединены ребром, если соответствующие
компоненты зацеплены.
-Х\ -Х2 -Х„
Рис. 2.9
Пример. Линзовое пространство LG,3) получается перестройками по
зацеплениям, изображенным на рис. 2.10, согласно разложениям в цепные
дроби 7/3 = [3,2,2] и 7/3 = [2, -3].
-3 -2 -2 -2 3
• • • • •
Рис. 2.10
Многообразие Зейферта M((al,bl),...,(a„,bn)) получается
перестройкой по зацеплению, изображенному на рис. 2.11. Это описание задает
на М ориентацию. Начиная с этого момента мы подразумеваем под
M((a[,b]),...,(an,b„)) трехмерное многообразие именно с этой
ориентацией.
На введенном выше языке графов многообразие M((d\,b\),.. .,(a„,b„))
можно описать, как показано на рис. 2.12, где a-Jbi — [хп,.. .,х1щ].
Пример. Многообразие /М(C,2), D, — 1), E, — 2)) описывается графом
перестройки, изображенным на рис. 2.13.

4. Перестройки и четырехмерные многообразия
45
а„/Ьп
Х\2
—•—
*22
Х„2
х[т,
•
X'lmi
Хптп
Рис. 2.11 Рис. 2.12
2 2 0-2 2
• • • • •
1-4
Рис. 2.13
§4. Перестройки и четырехмерные многообразия
Ориентированное компактное гладкое четырехмерное многообразие W
называется (ориентированным) кобордизмом между двумя замкнутыми
ориентированными трехмерными многообразиями М\ и М2, если dW =
= (-/И,) U М2, где -М| обозначает многообразие Af, с обращенной
ориентацией. Если множество Mt пусто, то говорят, что многообразие М2
кобордантно нулю.
Существует тесная связь между перестройками вдоль оснащенных
зацеплений и кобордизмами. Пусть k — такой узел в М с (целочисленным)
оснащением, заданным кривой с в дК, что [с] = [k] e H,(N(k)). Пусть
а — некоторая точка на границе диска D2. Тогда существует
единственный (с точностью до изотопии) такой диффеоморфизм h:S] x D2 —> Л'(^),
что h(S] х {0}) = k и h(S[ x {a}) = с. Приклеим 2-ручку D2 x D2 к
четырехмерному многообразию М х [0,1] с помощью вложения h:Sl x
х D2 = (8D2) х D2 —> N(k) с М = М х {1}. При этом мы получим
многообразие W = (М х [0,1]) U/, (D2 х D2). Оно называется следом перестройки
вдоль k (см. рис. 2.14).
Рис. 2.14

46
Лекция 2. Перестройки Дэна
Теорема 2.4. Многообразие W является кобордизмом между М и
многообразием, полученным из М перестройкой вдоль k.
Доказательство. Край многообразия W состоит из двух
компонент. Одна из них, а именно М х {0}, гомеоморфна многообразию М.
Приклейка ручки D2 х D2 к М х [0,1] изменяет компоненту края М х {1}
следующим образом: полноторие N(k) = h(dD'2 x D2) удаляется, и вместо него
вклеивается полноторие D2 х 3D2 (которое является «свободной» частью
края d(D2 х D2)). Заметим, что меридиан dD2 x {а} отождествляется с
кривой с = h(dD2 х {а}). Это означает, что в М х {1} выполнена
целочисленная перестройка вдоль k с оснащением, заданным кривой с. Формально
многообразие W не является гладким, так как имеет «углы» после
приклеивания ручки. Однако существует канонический способ задать на W
структуру гладкого многообразия. Нужно «сгладить углы», используя
технику, описанную, например, в гл. 1 книги Коннера, Флойда [32]. ?
Следствие 2.5. Любое замкнутое ориентированное трехмерное
многообразие кобордантно нулю.
Доказательство. Любое замкнутое ориентированное
многообразие М можно получить целочисленной перестройкой вдоль некоторого
зацепления в S3. Из теоремы 2.4 следует, что многообразие М кобордантно
сфере S3, которая, в свою очередь, ограничивает четырехмерный диск.
Следовательно, многообразие М кобордантно нулю. ?
Пример. Для любого р линзовое пространство L(p, 1) получается
перестройкой вдоль зацепления, показанного на рис. 2.6. Соответствующее
четырехмерное многообразие Ер = D4 U (D2 x D2) с краем дЕр = Цр, 1)
О можно рассматривать как объединение
многообразия D4 = D2 х D2 и 2-ручки D2 х
х D2, приклеенной вдоль S1 x D2 с d{D2 x
х D2) по определенному гомеоморфизму
D2 х D2 h: 5' х D2 —+ 51 х D2. Гомеоморфизм h
приклеивает 5' х {0} к S1 х {0} и р раз прокручивает
рис 2.15 копию диска D2 против часовой стрелки при
обходе один раз вдоль S'. Схематично это
можно изобразить, как показано на рис. 2.15.
Центральные диски обеих ручек D2 x D2 склеиваются вдоль S1,
образуя экземпляр сферы S2 внутри Ер.
Пример. Для любого р многообразие Ер является локально
тривиальным расслоением над S2 со слоем D2. Многообразие Е0 является
тривиальным расслоением, т. е. прямым произведением Е0 = S2 x D2. Его край
есть дЕ0 = d(S2 x D2) = S2 x S1.
Пример. Многообразие Et можно отождествить с проколотой
комплексной проективной плоскостью Cf2\D4, так что дЕ\ =3(C/'2\D4)=S3.

4. Перестройки и четырехмерные многообразия
47
Перед тем как это доказать, напомним, что по определению
CP2 = {(z0,z,,z2)e С3 \0}/С*,
где С* — мультипликативная группа ненулевых комплексных чисел,
действующая по правилу с ¦ (z0,Z|,z2) = (cz0,czl,cz2), с ? С*. Класс
эквивалентности тройки (z0,Z\,z2) обычно обозначается через [z0 : Z\ : z2].
Комплексная проективная плоскость СР2 покрывается тремя
координатными картами ?/,¦ = {z, ф 0}, г =0,1,2, каждая из которых гомеоморфна
пространству С2 с помощью гомеоморфизмов
h0: U0 -> С2, [z0 : z, : z2] >-> (zi/z0,z2/z0),
ht: У, -> С2, [z0 : z, : z2] >-> (z0/z,,z2/zi),
/г2: (/, -> С2, [z0 : z, : z2] >-> (z0/z2,z,/z2).
Карты t/o и U\ вместе покрывают все многообразие СР2, кроме
точки [0:0:1]. Следовательно, UqUU\ есть проколотое многообразие
СР2. Оба образа h0(U0r\U\) и h\(U0C\U\) являются
подмножествами в С2, состоящими из всех таких точек (z, w), что z ф 0, поэтому
h0(U0 П U\) = /zi(t/0 П L^) = S1 x R+ x С. Приклеивающее отображение
/»,(?/„ П У,) ^Л (У0 П (У, ^ /г0(У0 П (У,)
задается формулой (z, w) *—> A/z, до/z). Точки (z,w), удовлетворяющие
неравенству |z| ^ 1, переходят при этом отображении в точки (z,w), для
которых |z| < 1. Таким образом, можно отсечь от h0{U0) часть, заданную
условием \z\ < 1, а от h[(Ut)—условием \z\ ^ 1 и рассматривать
приклеивающее отображение только на S' x D2, где S1 задается уравнением
|z| = 1, согласно формуле (z,w) <-+ (\/z,w/z). Это — то самое отображение,
которое описывает многообразие Е\.
Как комплексное многообразие, СР2 наделено канонической
ориентацией. Более тщательное рассмотрение показывает, что на самом деле
многообразие Et диффеоморфно СР2 \ D4 с сохранением ориентации, где
СР2 обозначает комплексную проективную плоскость с обращенной
ориентацией, и что ?_| = СР2 \ D4. Коротко результаты из последних двух
примеров можно представить, как на рис. 2.16.
'О "'О 'О
S2 х D2 cp2\ D4 СР2 \ D4
Рис. 2.16

Лекция 3
Исчисление Кирби
§ 1. Коэффициент зацепления
Пусть L, и L2— два непересекающихся ориентированных узла в S3
или R3. Их коэффициент зацепления определяется одним из следующих
эквивалентных способов.
1. Так как Wl(S3) = 0, кривая Lx ограничивает некоторую
поверхность F. Не теряя общности, можно предполагать, что поверхность F
гладко вложена и ориентируема, см. теорему 7.1. Зададим на F
нормальное поле п так, чтобы на крае 8F тройка (т, v,«), где т — касательный
вектор к Lb a v — внутренняя нормаль к L, в F, была положительно
ориентирована. Можно предполагать (возможно, после малого шевеления), что
кривая L2 пересекает F трансверсально в конечном числе точек. В каждой
из них L2 проходит сквозь F в одном из двух возможных направлений,
п или —п. Припишем пересечениям первого типа вес +1, а второго —
— 1. Сумму этих весов обозначим через lk(LbL2). Это число не зависит от
выбора поверхности F и шевелений; ср. с определением 3 ниже.
2. Рассмотрим регулярную проекцию объединения L, U L2. Каждой
точке, в которой L{ проходит под L2, сопоставим знак, как показано на
рис. 3.1. Положим по определению lk(LbL2) равным сумме этих чисел по
всем прохождениям L, под L2.
Lr
Ц
+ 1
ц
Lr
-1
Рис. 3.1
3. Пусть [Z.,] — гомологический класс в Hi(S3 \ L2), задаваемый
кривой L,. Группа fi](S3 \ L2) = Z порождается гомологическим классом [т]
меридиана кривой L2. При выборе ориентации на т, как показано на
рис. 2.2, мы определяем \k(L[,L2) из равенства [L,] = lk(Li,L2) • [т].
Заметим, что \k(L,,L2) = \k{L2,Lt) и lk(-L,,L2) = -lk(L,,L2), где
—L\ —это узел L[ с обращенной ориентацией.

1. Коэффициент зацепления
49
Пример. Пары ориентированных узлов, изображенные на рис. 3.2,
имеют коэффициент зацепления +2 и —2 соответственно.
Рис. 3.2
С помощью коэффициента зацепления легко описать каноническую
пару меридиан-параллель (т,?) узла k С S3. Напомним (см. лекцию 2), что
т и ?— такие простые замкнутые кривые на дК, что [т] е Н^К) = Z
является образующей, а ?— такая параллель, что 0 = [?] G Н\(К). Сравнивая
с определением 3 коэффициента зацепления, мы видим, что условие [?] = О
эквивалентно равенству Щ?, k) = 0. Добавим, что ориентации кривых mw?
в лекции 2 были выбраны так, что Щк,т) = +1, где предполагается, что
ориентации кривых k и ? согласованы.
Пример. Рассмотрим узел «трилистник», изображенный слева на
рис. 3.3. «Очевидный» выбор ? как кривой, «параллельной» узлу k, не
задает канонической параллели, так как тогда \k(k,?) = —3. Каноническая
пара меридиан-параллель показана справа на рис. 3.3.
В соответствии со сказанным выше, оснащение п узла k соответствует
такому выбору параллели, что \к(?, k) = п. Другой удобный способ
представления оснащенных узлов — в виде замкнутой ленты (гомеоморфного
4* Лекции по топологии

50
Лекция 3. Исчисление Кирби
образа пространства S1 х /). Одна компонента ее края (неважно, какая
именно) образует данный узел, а вторая — параллель, см. рис. 3.4.
На рис. 3.5 показана лента, представляющая тривиальный узел с
оснащением п, — она перекручена п раз в положительном направлении, если
п > 0, и —п в отрицательном, если п < 0. Легко видеть, что ориентация
узла не имеет значения, так что неопределенности в выборе знака здесь не
возникает.
ю
Рис. 3.5
§2. Движения Кирби
Как мы уже видели, любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие получается из S3 целочисленной перестройкой по
некоторому зацеплению. Вопрос теперь состоит в том, как определить по двум
оснащенным зацеплениям в S3, что они задают одинаковые многообразия.
Следующие две элементарные операции на оснащенном зацеплении ?, не
меняющие соответствующее трехмерное многообразие, называются
движениями Кирби.
Движение К1. Добавление или удаление незаузленной окружности с
оснащением ±1, лежащей в некотором трехмерном шаре ?>3, который не

2. Движения Кирби 51
пересекает остальные компоненты зацепления ?, см. рис. 3.6.
Рис. 3.6
Движение К2. Прибавление одной компоненты зацепления -С к другой.
А именно, пусть L\ и L2—две компоненты зацепления с оснащениями П\
и «2 соответственно, Ц — параллель, задающая оснащение п2 узла L2 (как
мы знаем, последнее означает, что \k(L2,L'2) = яг)- Заменим теперь пару
L\ U L2 на L# U L2, где L# = L\ #b L2, a b — произвольная лента,
соединяющая L\ с L'2 и не пересекающая других компонент зацепления. Остальная
часть зацепления L не изменяется, см. рис. 3.7.
Рис. 3.7
Оснащения всех компонент, кроме Lb сохраняются; оснащение новой
компоненты L# полагается равным
nl+n2 + 2\k(Ll,L2). C.1)
Чтобы определить lk(Lb^2). необходимо ориентировать обе
компоненты L, и L2, которые до сих пор не были ориентированы. Мы ориентируем
их таким образом, чтобы ориентации согласовывались на L#, см. рис. 3.8.
Как видно из рисунка, требуемый выбор ориентации зависит от способа
приклейки ленты Ь.

52
Лекция 3. Исчисление Кирби
Теорема 3.1 (Кирби [74]). Замкнутые ориентированные
трехмерные многообразия, полученные перестройками по оснащенным
зацеплениям ? и ?', гомеоморфны с сохранением ориентации тогда
и только тогда, когда зацепление ?' получается из ? некоторой
последовательностью движений типа К1 и К2.
Движения К1 и К2 были известны задолго до теоремы Кирби. Кирби
доказал трудную часть теоремы: если многообразия гомеоморфны, то
данные зацепления связаны движениями К1 и К2. Мы докажем только легкую
часть: движения К1 и К2 не меняют многообразия.
Доказательство. Добавление ни с чем не зацепленной незаузлен-
ной компоненты с оснащением ±1 к зацеплению ? соответствует взятию
связной суммы многообразий, полученных из S3 перестройками вдоль ?
и вдоль тривиального узла. Но перестройка сферы S3 по тривиальному
узлу с оснащением ±1 снова дает сферу S3, связная сумма с которой не
изменяет многообразия.
Что касается второго движения, то без ограничения общности
можно считать, что зацепление ? состоит из двух компонент, ? = L{ U L2.
Пусть зацепление L# U L2 получено из ? движением К2, и пусть М —
многообразие, полученное перестройкой по L2. Многообразие М
получается приклеиванием полнотория к внешности компоненты L2 так, чтобы
параллель компоненты L2, определяемая ее оснащением, отождествлялась
с границей диска D — D2 х {*} с D2 х S1. Так как узлы L\ и L# не
пересекаются с Li, их можно считать находящимися внутри М. Тогда узел L#
можно внутри М продеформировать в L\ протаскиванием его части вдоль
диска D. ?
Как мы видели выше, целочисленная перестройка по зацеплению
позволяет представить любое трехмерное многообразие М как край
некоторого четырехмерного многообразия W, получаемого приклеиванием 2-ручек
к D4. Первое движение Кирби заменяет W на W# СР2 или на U^#CP2;
при втором движении одна 2-ручка проскальзывает по другой, не меняя W,
см. рис. 3.9.
Рис. 3.9

2. Движения Кирби
53
Теперь стоит разобрать ряд элементарных примеров.
Предложение 3.2. С помощью движений Кирби любую незаузлен-
ную компоненту с оснащением ±1 можно отвести в сторону от
остальной части зацепления С, в результате чего все дуги,
проходящие сквозь диск, натянутый на эту компоненту, перекрутятся
на один полный левый или правый оборот, а к оснащению каждой
из дуг добавится =f1, где предполагается, что дуги принадлежат
разным компонентам зацепления ? (в общем случае оснащение
меняется согласно правилу C.1)), см. рис. 3.10.
±1
^,
—
1 \с
III I
один полный
оборот
III I
Рис. 3.10
Доказательство. Воспользуемся движением К.2, чтобы прибавить
каждую из дуг к нашей окружности; оснащение увеличивается на
единицу, если коэффициент зацепления ориентированной дуги с окружностью
противоположен оснащению окружности, и уменьшается на единицу в
противном случае. ?
Случаи п = 1 и п = 2 показаны на рис. 3.11 и 3.12. Если две дуги на
рис. 3.12 принадлежат разным компонентам зацепления ?, то оснащение
каждой изменяется на ±1; если они принадлежат одной и той же
компоненте, то ее оснащение изменяется на ±4 или остается неизменным.
Рис. 3.11
Рис. 3.12

54
Лекция 3. Исчисление Кирби
Операция, показанная на рис. 3.10, вместе с отбрасыванием незауз-
ленной и незацепленнои с другими компонентами окружности называется
охлопыванием. Обратная операция называется раздутием.
Пример. Все оснащенные зацепления на рис. 3.13 дают
представление S3 как края различных четырехмерных многообразий.
GOOD СТО ОТО
0 1 0 0 2 2 1 -1 -1 -1
Рис. 3.13
Пример. Проследив за всеми 2-ручками, в некоторых случаях
можно доказать диффеоморфность не только краев, но и самих
четырехмерных многообразий. Например, рис. 3.14 показывает, что (S2 x S2) #СР2 =
= СР2 # СР2 # СР2, ср. с упр. 13.
0 0 0 11 -10 -11
(Ю-ООО-ОСЮО
О' О О
Рис. 3.14
Пример. Оба зацепления на рис. 3.15 задают трехмерные
многообразия, гомеоморфные многообразию Зейферта М(B, —1),C,1), E,1)),
Рис. 3.15

2. Движения Кирби
55
которое называется также гомологической сферой Пуанкаре и
обозначается через ЕB,3,5). Узел, изображенный справа на рис. 3.15,
называется левым трилистником. Его зеркальный образ называется правым
трилистником.
Чтобы доказать первую часть нашего утверждения, добавим три
тривиальных узла с оснащением +1 и прибавим их к крайним окружностям
(ср. с рис. 3.11). Теперь применим движение, показанное на рис. 3.12,
к трем окружностям с оснащением — 1. Повторим эту процедуру, удаляя
незацепленные тривиальные компоненты, и придем к зацеплениям,
изображенным на рис. 3.16.
1 -2 -2 -2-2-2-1 1
O00QQD0O
Рис. 3.16
Для завершения доказательства применим предложение 3.2 к
последовательности тривиальных узлов с оснащением +1, см. рис. 3.17. Чтобы
доказать, что получившееся многообразие — это М({2, — 1), C,1), E,1)), мы
поступим, как показано на рис. 3.18.
Рис. 3.17

56
Лекция 3. Исчисление Кирби
5 1 3
5 1 3
5 0 3
Рис. 3.18
Пример. Для каждого т = 1,2,... рассмотрим многообразие Зей-
ферта ?B,3,6т + 1), заданное графом перестроек, показанным в левом
верхнем углу на рис. 3.19. Можно показать, что, как и в примере выше,
-2-1-7-2 -2-2
• • • •— . •• —• •
с—»—'
-з! ...
-3-1-7-2 -2
(т — 1) раз
ВОО..О
схлопывание
-2 -6 -2-2 -2
-1-5
-2 -2 -2
J0O...O "Ш ( g CD..O
схлолывание
-I
CjD-O - О30
схлопывание
-1 1.
-2 -2 -2 /^—n\ -2 -2
Ц' Ш-О- К -'Ш..О"-=-
m полных
оборотов
Рис. 3.19

2. Движения Кирби
57
?B,3,6m + 1) получается с помощью (-1/т)-перестройки вдоль правого
трилистника.
С другой стороны, последовательность движений Кирби, изображенная
на рис. 3.19, доказывает, что ?B,3,6т + 1) получается также посредством
1-перестройки вдоль узла k, изображенного на рис. 3.19, ср. с Акбу-
лут, Кирби [1], рис. 23. Этот узел k называется скрученным узлом типа
Bт + 2),, где 2т + 2 — это минимальное возможное число
самопересечений в его регулярной проекции. Проекция, для которой оно реализуется,
показана на рис. 3.19 внизу.
Пример. Другим примером многообразия Зейферта, получаемого
перестройкой по всего одному узлу, является М(C,1), D,1), G, —4)), см.
рис. 3.20. Этот узел имеет десять пересечений на регулярной проекции
и обозначается через 10!32 в стандартных таблицах узлов (см., например,
Рольфсен [128]).
Рис. 3.20
Предложение 3.3. Если компонента L0 оснащенного зацепления L
является тривиальным узлом с оснащением нуль, который
геометрически один раз зацепляется с некоторой другой компонентой Ц,
по движениями Кирби L0 U Lt можно отвести в сторону от осталь-
ной части зацепления L без изменения оснащения, а затем удалить.

58
Лекция 3. Исчисление Кирби
Доказательство. Если на регулярной проекции нить L,-
пересекает Lt, то компоненту L0 можно использовать для замены этого пересечения,
как показано на рис. 3.21.
Рис. 3.21
Многократное применение этого преобразования доказывает первое
утверждение. Тем же приемом, примененным к самопересечениям
проекции Z-i, компоненту Lt можно развязать. Оснащение кривой L{ при этом
изменится на четное число. Процесс закончится на зацеплении,
показанном на рис. 3.22 слева.
Рис. 3.22
Каждый раз, когда к левой окружности добавляется правая, ее
оснащение меняется на ±2, так что в результате мы получаем зацепление,
представляющее S3. ?
Для двух ориентированных узлов kx С М\ и k2 С М2 пусть Р, —
некоторая точка на />,-, a (Df,Dj) — шаровая окрестность точки Р, в (М;,?,),
/' = 1,2. Связной суммой узлов k\ и k2, обозначаемой k\ # k2, называется
ори оптированный узел в многообразии М\ # М2, полученный склеиванием
пар
(Ж, \D?,A, \intD,1) и (Af2\intD*,A2\intDi)
вдоль обращающего ориентацию гомеоморфизма (dD\,dD\) —> (dDl,dD2).
Для узлов в S3 эту конструкцию можно описать так: kt # k2 — это узел,
диаграмма которого получается соединением из не пересекающих друг
друга диаграмм узлов k\ и k2 с согласованием ориентации, как показано на
рис. 3.23.
Пример. На рис. 3.24 демонстрируется, что перестройка по связной
сумме узлов k\ # k2 эквивалентна перестройке по зацеплению, состоящему

3. Матрица зацеплений
59
из узлов kt и /г2, зацепленных один раз с тривиальным узлом с оснащением
нуль. Чтобы увидеть эту эквивалентность, мы просто применяем второе
движение Кирби к паре kt,k2, а затем используем предложение 3.3 для
сокращения пары {О-окружность} U k2.
Рис. 3.24
§3. Матрица зацеплений
Пусть ? = L[ U ... U Ln — некоторое ориентированное оснащенное
зацепление в S3, /-я компонента которого имеет оснащение е, е Z. Для
него матрица А = (а,-,-), г, /' = 1,..., п, с элементами
( eiy если i = /',
\ lk(L,, Lj), если i ф /',
называется матрицей зацеплений. Она симметрична, поскольку aj;- =
= \k(LhLj) = \k(Lj,Li) = uji. Движения Кирби влияют на А следующим
образом. При движении К1 матрица А заменяется на
Предположим, что движение типа К2 превращает пару L, U L, в пару
{Lj + L/) и Lr Тогда новая матрица зацеплений получается из А
прибавлением к i-й строке (или вычитанием из г'-й строки) /-Й и к г'-му столбцу
(из г'-ro столбца) — /'-го.

60
Лекция 3. Исчисление Кирби
Пример. Для зацеплений на рис. 3.8 имеем
/ 3 ±2\ /8 3\ /0 -1\
(±2 \) " (з \) ИЛИ (-1 lj-
§4. Обращение ориентации
Пусть М —некоторое замкнутое ориентированное многообразие,
полученное перестройкой по оснащенному зацеплению L = L\ U ... U L„ в 53,
/-я компонента которого имеет оснащение eh i= \,...,п. Зафиксируем
ориентацию зацепления ?, и пусть А — его матрица зацеплений. Пусть
—М — многообразие, полученное из М обращением ориентации. Чтобы
получить зацепление, задающее —М, обратим ориентацию внешности К
нашего зацепления, взяв его зеркальный образ относительно произвольной
плоскости в R3. Эта операция приведет к обращению ориентации
компонент границы внешности К, так что оснащения е, надо заменить на —е-,.
Таким образом, многообразие —М будет получено перестройкой по
зацеплению ?* = Ц U... U L*, являющемуся зеркальным образом зацепления L,
с оснащением —е-, компонент Ц. Кроме того, ориентация зацепления ?
индуцирует ориентацию на ?*, для которой \k(L*,L*) = — lk(L/,L;) при всех
/ -ф j. Следовательно, матрицей зацеплений для ?* будет -А.
Пример. Мы уже знаем из лекции 2, что линзовые пространства
LG,3) и /-G,4) гомеоморфнь: с обращением ориентации. Это можно
также увидеть с помощью исчисления Кирби следующим образом.
Представим рассматриваемые линзовые пространства диаграммами перестроек,
см. рис. 3.25. Многообразие — LG,3) описывается перестройками,
показанными на рис. 3.26, которые отождествляют его с Ц7,4).
,„,, 2 -3 2 4 1 -1 3-2 3
ЦТ, 3) = • • ЦТ, 4) = • • = • • • = • •
Рис. 3.25
2-3 -2 3 -2 3
со ахх)
/-G,3) -1G,3) -1G,3) = /.G,4)
Рис. 3.26

Лекция 4
Четные перестройки
Оснащенное зацепление L = L, U ... U Ln в S3 называется четным,
если оснащения всех его компонент — четные числа.
Теорема 4.1. Любое замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие можно получить из S3 перестройкой по некоторому
четному зацеплению.
Пример. Гомологическую сферу Пуанкаре ?B,3,5) можно получить
перестройкой по каждому из зацеплений, показанных на рис. 3.15. Левое
зацепление четно, а правое — нет.
Идея доказательства теоремы 4.1 состоит в превращении
произвольного оснащенного зацепления в четное с помощью движений Кирби.
Попытка непосредственно уменьшить число нечетных оснащенных компонент
зацепления обычно не приводит к успеху. Правильный подход состоит в
сокращении так называемого характеристического подзацепления.
Пусть А = (a,-;), i, j = 1,..., п, — матрица зацеплений для -С,
приведенная по модулю два. Заметим, что матрица A mod 2 корректно определена
для неориентированных зацеплений, хотя определение самой матрицы А
требует выбора ориентации на L, см.§3 лекции 3. Рассмотрим
следующую систему линейных уравнений над Z/2:
апх, + ai2x2 H \-ainxn = au, i = l,...,n. D.1)
Матрица А, стоящая в левой части этой системы, симметрична, а столбец
в правой части состоит из ее диагональных элементов. Такая система
всегда имеет решение. Пусть (х,,...,хп) — некоторое решение системы D.1),
где Xj — 0 или 1. Подзацепление
L' = {Lj cL\Xj = 1}
называется характеристическим подзацеплением. Характеристическое
подзацепление всегда существует, но оно не единственно, если det Л = О
mod 2. Зацепление четно тогда и только тогда, когда пустое
подзацепление является характеристическим. Как только зафиксировано некоторое
характеристическое подзацепление ?/, каждая компонента зацепления ?
может рассматриваться как пара (Lk,xk), где xk = 1 тогда и только тогда,
когда Lk С ?>' (не следует путать xk с оснащением компоненты Lk).

62
Лекция 4. Четные перестройки
Пример. Рассмотрим зацепление ?, изображенное на рис. 4.1. Для
него система D.1) принимает вид
GiDQ-Q-
и она имеет единственное решение Х\ = 0, х2 = 1, х3 = 0.
Следовательно, характеристическое подзацепление только одно и состоит из средней
окружности зацепления ?.
-3 1 5 Схлопывая среднюю компоненту, мы получаем
четное зацепление, представляющее то же
многообразие, что и первоначальное зацепление ?.
Движения Кирби действуют на
характеристическое подзацепление ?' следующим образом.
Легко видеть, что движение первого типа
заменяет ?' на -С' U (/,„+!, 1), где L„+i — незаузленная
компонента на рис. 3.6. Пусть при движении второго типа компонента L,-
добавляется к компоненте L,. В новом зацеплении компоненты (Lk,xk),
k^i,j, остаются без изменения, а пара (L,,л:,) U (L;-,x;) заменяется на
(L, + Lj,Xi) U (Lj,Xi + Xj). Чтобы увидеть это, заметим, что результат
движения второго типа для матрицы А состоит в добавлении /-й строки к /-й
и /-го столбца к /-му. Легко проверить, что (...,*,-,.. .,*,- + *,-,...)
является решением новой системы. Например, если обе компоненты L, и L,-
характеристические и L-t добавляется к Ц, то компонента L-, перестает
быть характеристической, а Ц + L; — остается.
Доказательство теоремы 4.1. Любое замкнутое
ориентированное трехмерное многообразие получается перестройкой по некоторому
оснащенному зацеплению L. Пусть ?/ — некоторое характеристическое
подзацепление. Если ?>' состоит из более чем одной компоненты,
добавим одну из его компонент к другой, используя второе движение Кирби.
В результате получим другое зацепление с меньшим числом
характеристических компонент. Таким образом, можно предполагать, что
характеристическое подзацепление состоит всего из одной компоненты — некоторого
узла k.
Если узел k тривиален, его оснащение можно привести к ±1,
применив преобразование из лекции 3, изображенное на рис. 3.10, достаточное
число раз, после чего узел можно схлопнуть. Эта операция не создает
новых характеристических компонент, а значит, полученное зацепление имеет
пустое характеристическое подзацепление.

Четные перестройки
63
В общем случае узел k можно распутать движениями Кирби так, чтобы
он оставался единственной характеристической компонентой. Это можно
сделать следующим образом.
Шаг 1. Рассмотрим преобразование Р, которое заменяет один
фрагмент узла k на другой, как показано на рис. 4.2, не изменяя всего
остального. Мы докажем, что узел k можно превратить в тривиальный
с помощью некоторой последовательности
преобразований Р.
Шаг 2. Узел k ограничивает вложенную
компактную ориентируемую поверхность F в 53, см.
теорему 7.1. Эта поверхность, конечно же, может
пересекать другие компоненты зацепления. Из
теоремы классификации таких поверхностей следует, что
поверхность F изотопна некоторой поверхности,
состоящей из двумерного диска D и нескольких | |
приклеенных к нему лент, см. рис. 4.3. Идея
состоит в следующем. Выберем триангуляцию поверхно- Рис 4.2
сти. Малая окрестность каждой вершины образует
диск. Узкие окрестности ребер образуют ленты,
соединяющие эти диски друг с другом. Таким образом,
окрестность всех ребер гомеоморфна объединению
дисков с прикрепленными лентами. Нетрудно
проверить, что добавление двумерных граней
эквивалентно удалению некоторых из лент и что
количество дисков можно уменьшить до одного.
Шаг 3. Ленты могут быть заузлены и
зацеплены друг с другом, и каждая может быть перекручена
на целое число оборотов (так как поверхность
ориентируема). С помощью преобразования Р ленты р .„
можно расцепить и распутать.
пары (Pi, Qi) и (Pj, Q,) не пары (Я,-, <?,) и (/>,-, <?,-)
зацеплены зацеплены
Рис. 4.4
Обозначим точки, в которых /-я лента прикрепляется к диску D,
через Pi и Qi. Для любого / найдется такое /, что пары (Я,, С;) и (Pj,Qj)

64
Лекция 4. Четные перестройки
зацеплены в 3D = 5' (поскольку иначе край поверхности F состоял бы из
более чем одной компоненты).
Пусть (Pj,Qi) и (PhQj)—-пары точек, зацепленные, как показано на
рис. 4.5. Если имеются точки Pk или Qk, k ф i, /', между P-t и Qh их можно
передвинуть по г'-й ленте внутрь отрезка [Рь Я,]. Затем все точки Pk и Qk из
отрезка [Р^Р,] можно передвинуть по /-Й ленте направо от Qn а точки Pk
и Qk из [Qi, Qj] — по /-й ленте налево от Я,.
Рис. 4.5
Таким образом, мы можем произотопировать поверхность F так,
чтобы между Pi и Qj не осталось других точек прикрепления лент, кроме Pt
и Q^ Может случиться, что при этом некоторые ленты опять окажутся
зацепленными. Если необходимо, мы их снова распутаем при помощи
преобразования Р.
Шаг 4. Мы продолжаем по индукции и показываем, что узел k является
связной суммой узлов, каждый из которых является краем диска с ровно
двумя прикрепленными лентами. После этого количество полных
оборотов каждой ленты можно уменьшить до не более чем одного, поскольку
двойной перекрут можно устранить преобразованием Р, как показано на
рис. 4.6.
Рис. 4.6

Четные перестройки
65
Можно также считать, что все перекручивания являются правыми, так
что узел k на самом деле является связной суммой узлов, показанных на
рис. 4.7 (если какая-то из лент вообще не перекручена, то
соответствующий ей узел тривиален).
Рис. 4.7
Узел на рис. 4.7 является левосторонним трилистником. Его можно
развязать с помощью преобразования Р, как показано на рис. 4.8.
Рис. 4.8
Шаг 5. Осталось только доказать, что преобразование Р
реализуется движениями Кирби, оставляющими k единственной характеристической
компонентой. Это видно из рис. 4.9.
V,
\
Рис. 4.9
Заметим, что здесь существенна нечетность числа нитей, благодаря
которой при движениях Кирби не появляется новых характеристических
5* Лекции по тпппппгин

66
Лекция 4. Четные перестройки
компонент. Отметим также, что каждый раз при выполнении
преобразования Р к зацеплению ? добавляется одна новая компонента. ?
Первоначально теорема 4.1 была доказана Дж.Милнором [103] другим
методом. Схема нашего доказательства взята из книги Матвеева,
Фоменко [47], в которой, в свою очередь, модифицировано доказательство из
работы Каплана [71].

Лекция 5
Обзор теории четырехмерных
Главным объектом рассмотрения в этой лекции будут связные
замкнутые (компактные без края) ориентированные четырехмерные
многообразия. Эти многообразия будут топологическими либо гладкими. Чтобы
избежать проблем, связанных с тем, что любая конечно определенная группа
может быть фундаментальной группой (гладкого) четырехмерного
многообразия (см. [97], с. 143), мы предполагаем, что все наши многообразия
односвязны. Под группами (ко)гомологий всегда подразумеваются
целочисленные (ко)гомологии, если не оговорено противное.
§1. Определение формы пересечений
Пусть М — некоторое замкнутое ориентированное связное и одно-
связное четырехмерное многообразие. Согласно двойственности Пуанкаре
Н^{М) = Н°(М) = Ъ. Выбор образующей в Я4(А/) соответствует выбору
ориентации на М. Коль скоро многообразие М ориентировано,
соответствующая образующая в Н4(М) называется фундаментальным
классом многообразия М и обозначается [М]. Поскольку многообразие М
односвязно, Н^М) = 0, и по двойственности Пуанкаре Н3(М) = 0.
Следовательно, вся гомологическая информация об М содержится во вторых
(ко)гомологиях.
Лемма 5.1. Группы Н2(М) и Н2(М) свободны от кручения.
Доказательство. Из формулы универсальных коэффициентов
получаем равенство
Н\М) = Hom(tf2(M), Z) e Ext(tf, (M), Z),
и, так как Н\(М) = 0, отсюда следует, что группа Н2{М) свободна от
кручения. По двойственности Пуанкаре Н2(М) = Н2(М). О
Рассмотрим билинейную форму
QM:H2(M)®H2(M)->Z E.1)
на свободной абелевой группе Н2(М), заданную -—--произведением (а, Ь) i->
*-> (а *--' b, [M]). Она является целочисленной симметрической формой и
называется формой пересечений многообразия М. Из двойственности
Пуанкаре следует, что форма QM невырожденна над Z, т.е. в некотором (а

68
Лекция 5. Четырехмерные многообразия
значит, в любом) базисе в Н2(М) ее матрица обратима в классе
целочисленных матриц. Заметим, что целочисленная матрица Q обратима над Z
тогда и только тогда, когда она унимодулярна, т.е. det Q = ±1.
Другой способ определения формы пересечений состоит в следующем.
Лемма 5.2. Пусть М — некоторое замкнутое ориентированное
гладкое четырехмерное многообразие. Любой элемент а ? Н2(М)
может быть реализован гладко вложенной ориентированной
поверхностью Fa.
Доказательство. Двойственность Пуанкаре задает изоморфизм
PD:H2(M) —у Н2(М). Также имеет место изоморфизм
H2(M;Z) = [M,K(Z,2)] = [М,СР°°],
где скобки обозначают множество гомотопических классов отображений.
Любой когомологический класс о е Н2(М) соответствует некоторому
гомотопическому классу отображений fa: М —* СР°°. Поскольку dim M = 4, мы
имеем [М,СР°°] = [М,СР2]. Группа когомологий Н2(СР2) = Z свободно
порождена классом PD~'[CP'], двойственным по Пуанкаре к
комплексной проективной прямой СР1 С СР2. Соответствие между а и /„ можно
описать так:
a = /;(PD-,[CP1]). E.2)
Пусть a 6 Н2(М) — некоторый гомологический класс, двойственный по
Пуанкаре к а е Н2(М), так что a = PD(a). Естественность изоморфизма
двойственности Пуанкаре вместе с E.2) приводит к равенству
(Ш«) = (/a),PD(/;(PD-'[CP1])) = [СР1]. E.3)
Сделаем многообразие /а трансверсальным к СР1 С СР2, тогда Fa =
= f~'(CP[) будет ориентированной гладко вложенной поверхностью в М,
а соотношение E.3) гарантирует, что Ра представляет класс а. ?
Пусть многообразие М гладко. Представим a, p € Н2(М) гладко
вложенными ориентированными поверхностями Fa и Pp. Пошевелим одну из
них так, чтобы Fa пересекала Рр трансверсально в п точках РЬ...,Р„,
схематически изображенных на рис. 5.1.
Рис. 5.1

I. Определение формы пересечений
69
Каждой точке Я,- можно приписать знак е(Я,) = ±1 в зависимости от
того, имеет TPjFa © TP.Fp ту же ориентацию, что и ТР.М, или
противоположную. После этого форму пересечений на вторых гомологиях определим
по формуле
п
Н2(М) ® Н2(М) -f Z, (а,р) ь-» а • р = ]Г е (Я,). E.4)
i=i
Лемма 5.3. Форма E.4) корректно определена. Пусть а,Ь ?
е Н2(М) — некоторые когомологические классы, а а = PD(a), p =
= PDF) — двойственные к ним по Пуанкаре. Тогда a ¦ р = (а ^ Ь,
[M]) = QM(a,b).
За доказательством мы отсылаем читателя к книге Хилтона, Уайли [67],
с. 156.
Чтобы вычислить a • а для a е Н2(М), следует представить а двумя
гомологичными поверхностями Fa и F'a, пересекающимися трансверсально,
и подсчитать их пересечения, как
указано выше. Удобно представлять F'a как
поверхность, полученную «малым шевелением»
из Fa. Схематично это показано в двумерном
случае на рис. 5.2.
С этого момента мы не будем делать
различия между формами E.1) и E.4) и будем
говорить о форме пересечений, имея в виду рис 5.2
любую из них. Если дан базис в\,...,еп
в М2(М), то форма пересечений задает матрицу пересечений е{ ¦ е,. Ниже
приведены стандартные примеры (гладких) четырехмерных многообразий
с их формами пересечений.
Пример. Справедливо равенство H2(S2 x S2) = Z © Z, образующие:
а = S2 х {р} и b — {q} x S2, где q — точка в первом экземпляре сферы
S2, г р — во втором. Так как а-а — Ь-Ь = 0и при подходящем выборе
ориентации а ¦ b = 1, форма пересечений задается так называемой
гиперболической матрицей
»-(?й-
Пример. Справедливо равенство Н2(СР2) — Z, образующая: С/3'. Это
следует, например, из точной последовательности Майера—Вьеториса для
СЯ2 = ?_, и5з D4 (см.лекцию 2) и того факта, что 52 = СР1 С ?_,
—деформационный ретракт пространства ?_|. Форма пересечений на СР2 имеет
матрицу A); форма пересечений на СЯ2, т. е. СР2 с обращенной
ориентацией,— матрицу (-1).

70
Лекция 5. Четырехмерные многообразия
Пример. Справедливо равенство Н2(М # N) = Н2(М) ф H2(N) для
любых многообразий М и N, и QmN = QM Ф Qn- В частности, форма
пересечений на р • СР2 # g • СР2 имеет матрицу
С \
0
1
-1
о
V -|/
с р единицами и g минус единицами на диагонали.
Пример. Поверхность Куммера
КЗ = {[z0 : г, : z2 : г3] G СР3 | г04 + г4 + г24 + z34 = 0}
— односвязное замкнутое ориентированное четырехмерное многообразие с
формой пересечений ?8 ф ?8 ф ЗЯ, где Е& — это следующая унимодулярная
матрица 8x8:
\
1
2 10 1
1-210
0 1-20
1 0 0-2/
(на пустых местах стоят нули). Это в точности матрица зацеплений для
зацепления, изображенного на рис. 5.3, при подходящей ориентации его
компонент. Как мы знаем из лекции 3, перестройка по этому зацеплению
дает гомологическую сферу Пуанкаре ?B,3,5).
-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2
• • • • • • •
1-2
Рис. 5.3
Зацепление на рис. 5.4 демонстрирует явное описание
многообразия КЗ, см. Харер, Кае, Кирби [65]. Это зацепление имеет 22 компоненты,
две из которых, как указано, имеют оснащение нуль. Оснащение остальных
Ен =
-2 1
1 -2 1
1 -2 1
1 -2
1

2. Унимодулярные целочисленные формы
71
двадцати компонент равно —2. Это зацепление описывает четырехмерное
многообразие с краем S3. Чтобы получить замкнутое многообразие, нужно
просто приклеить к его краю четырехмерный шар.
Стоит отметить, что не каждое четырехмерное многообразие можно
получить добавлением 2-ручек к D4. Могут понадобиться и ручки
других индексов. Полную версию исчисления Кирби для размерности четыре
можно найти в работе Кирби [76].
§2. Унимодулярные целочисленные формы
Пусть L — некоторая решетка (т. е. конечно порожденная свободная
абелева группа), и пусть Q:L x L —> Z — унимодулярная симметрическая
билинейная целочисленная форма на L. Примером такой формы
является форма пересечений E.1). Имеются три основных инварианта такой

72
Лекция 5. Четырехмерные многообразия
формы Q. Первый из них — это ранг, определяемый как
rank Q = rankz L = dimK(L ® Ш).
Второй инвариант — это сигнатура, определяемая следующим образом.
Тензорное произведение с R дает вещественную симметрическую
форму Q на L ® R. В пространстве L ® R над R имеется базис, в котором
наша форма диагональна, т. е. в некотором базисе {е:,...,е„} мы имеем
Q{et, бу) = Х,8,7. Предположим, что среди чисел X,- имеется Ь+
положительных и Ь- отрицательных, так что (Ь+ + Ь_) равно рангу формы Q. Тогда
сигнатурой формы Q называется разность
signQ = b+ - 6_.
Форма Q называется определенной, если Ь+ или 6_ обращается в нуль
(в первом случае она называется положительно определенной, а во
втором—отрицательно определенной), и неопределенной в противном случае.
Ранг и сигнатура формы Q являются инвариантами соответствующей
вещественной билинейной формы. Третий инвариант, называемый типом,
не таков. Говорят, что форма четного типа (или просто четная), если
Q(x, х) = 0 mod 2 для всех х е L, и нечетного типа (соответственно
нечетная) в противном случае.
Две формы Qi: L| x L, —+ Z и Q2: L2 x L2—>Z называются
изоморфными, сокращенно: Q, = (?2, если найдется изоморфизм решеток ср: L, —> L2,
при котором следующая диаграмма коммутативна:
L, х L\ >¦ L2 x L2
Ъ
Ранг, сигнатура и тип являются инвариантами относительно изоморфизма.
Если Q — форма пересечений E.1) некоторого многообразия М, то ее ранг,
сигнатура и тип называются рангом, сигнатурой и типом многообразия М.
Приведем некоторые базовые сведения об унимодулярных билинейных
симметрических целочисленных формах Q (см. Милнор, Хьюзмоллер [107]
и Серр [134]).
Если форма Q нечетная и неопределенная, то Q = Ь+ ¦ (+1) ф Ь_ ¦ (-1),
где b+ + b_ = rank Q и b+ - b_ = sign Q.
Если форма Q четная, то sign Q = 0 mod 8.
Предположим, что форма Q четная и неопределенная. Если sign Q <0,
то Q = a-Es®b-H, где а =-(sign Q)/8 и b = (sign Q + rank Q)/2. Если
signQ^0,Tog^a.(-?8)eft-W,raea=(signQ)/8Hft = (rankQ-sign(?)/2.

3. Четырехмерные многообразия и формы пересечений 73
Пример. Форма ?8 четная и отрицательно определенная, sign?8 = —8.
форма Н четная и неопределенная, sign W = 0.
§3. Четырехмерные многообразия и формы пересечений
В первую очередь зададимся вопросом, насколько однозначно форма
пересечений определяет многообразие.
Теорема 5.4 (Уайтхед [148]). Если М и N — односвязные замкнутые
ориентированные четырехмерные многообразия, то они гомото-
пически эквивалентны с сохранением ориентации тогда и только
тогда, когда их формы пересечений изоморфны.
Пример. Формы пересечений многообразий СР2#СР2 и S2 x S2 не
изоморфны над2, так как одна нечетная, а другая четная (тем не менее, они
изоморфны надЕ). Следовательно, СР2 #СР2 и S2 x S2 не гомотопически
эквивалентны.
Теорема 5.5 (Уолл [143]). Пусть Mi и М2— замкнутые
односвязные гладкие многообразия размерности четыре. Если их формы
пересечений изоморфны, то найдется такое k^O, что M\#k- (S2 x S2)
диффеоморфно М2 # k ¦ (S2 x S2).
Сравнительно недавние исследования в маломерной топологии
показали, что существуют замкнутые односвязные гладкие четырехмерные
многообразия с изоморфными формами пересечений, которые не диффеоморфны
друг другу, так что k в теореме Уолла не всегда равно нулю. Такие примеры
можно построить с помощью многочленов Дональдсона, см. Дональд-
сон [36]. Многочлен Дональдсона
D„: tf2(M;R)-+R
степени d определяется с помощью калибровочной теории. Эти
многочлены являются инвариантами относительно диффеоморфизма. Для удобства
из них обычно составляют ряд Дональдсона
DM(x) = Y,D<W/dl
d
Пример. Пусть /И, = КЗ#СР2— связная сумма поверхности Кумме-
ра /СЗ и С/32. Форма пересечений многообразия М, есть Q = 2-Es®3-H®
© (-1), так что rank Q = 23 и sign Q — -17, b+ = 3, fr_ = 20. Эта
форма нечетная и неопределенная и, следовательно, изоморфна над Z форме
3 • A) © 20 ¦ (-1). Пусть М2 = 3 ¦ СР2 # 20 • СР2. Формы пересечений
многообразий Mi и М2 изоморфны. С другой стороны, для DMi(x) и DM2(x)
как для аналитических функций справедливы равенства
DA)l(jc) = e0(Jt"/2-cosh <?(?,*) и DM2(jc) = 0

74
Лекция 5. Четырехмерные многообразия
(см., например, Кронхаймер, Мровка [86]). Здесь Е = PD~'[CP']— класс
когомологий, двойственный по Пуанкаре к образующей [СР1] группы
#2(СР2). Следовательно, многообразия М\ и М2 не диффеоморфны.
Необходимо отметить, что ситуация резко меняется в случае замены СР2 на СР2
в определении многообразия М\. Оказывается, многообразие КЗ # СР2
диффеоморфно 4 ¦ СР2 # 19 • СР2, и это можно показать напрямую с
помощью исчисления Кирби.
Теорема Фридмана, сформулированная ниже, показывает, что в
действительности если М\ и М2 — замкнутые односвязные гладкие
четырехмерные многообразия с изоморфными формами пересечений, то они го-
меоморфны.
Далее мы задимся вопросом, какие формы могут быть реализованы как
формы пересечений четырехмерных многообразий.
Теорема 5.6 (Рохлин [126]). Если М — замкнутое односвязное
гладкое четырехмерное многообразие с четной формой
пересечений, то sign M = 0 mod 16.
Эта теорема запрещает многим формам быть формой пересечений
гладкого односвязного замкнутого многообразия — список таких форм
включает, например, ?8 и ?8 © Н. Односвязность здесь существенна:
Абедже [64] построил гладкое замкнутое многообразие М с формой
пересечений QM = ?g © Я, которое неодносвязно см. также Финтушел,
Стерн [41]. Теорема Рохлина будет доказана в лекции 10 в более общем
виде.
Теорема 5.7 (Фридман [49]). Количество негомеоморфных одно-
связных замкнутых топологических четырехмерных многообразий,
имеющих данную четную (нечетную) форму своей формой
пересечений, равно одному (соответственно двум). В нечетном случае
одно из многообразий обязательно негладко.
Из этой теоремы следует, например, существование такого
односвязного замкнутого топологического многообразия М, что QM = ?8; согласно
теореме Рохлина оно не может быть гладким. Многообразия Mt — КЗ#СР2
и М2 = 3 • СР2 # 20 • СР2 в приведенном выше примере оба являются
гладкими и имеют нечетные неопределенные формы пересечений, изоморфные
над Z. Следовательно, многообразия Mt и М2 гомеоморфны, хотя и не
диффеоморфны.
Теорема 5.8 (Дональдсон [35]). Если определенная форма
является формой пересечений односвязного замкнутого четырехмерного
многообразия, то эта форма изоморфна р ¦ (+1) или р ¦ (-1).
Стоит отметить, что целочисленные симметрические унимодулярные
четные и определенные формы Q.L x L —» Z существуют только на
таких решетках L, что rank L = 0 mod 8. Хотя число классов изоморфизма

3. Четырехмерные многообразия и формы пересечений
75
форм любого ранга конечно, оно растет очень быстро. Скажем,
количество классов изоморфизма четных положительно определенных форм
ранга 40 превышает 1051. Тем не менее, из теоремы Дональдсона следует,
что ни одна из этих форм не может быть формой пересечений гладкого
четырехмерного многообразия.
Теорема 5.9 (Фурута [54]). Если четная неопределенная форма Q
реализуется как форма пересечений гладкого односвязного
замкнутого четырехмерного многообразия, то rank Q > 5/4 • | sign Q\.
В частности, если четная форма Q = а • ?8 ф b ¦ Н является формой
пересечений некоторого гладкого односвязного замкнутого
четырехмерного многообразия, то а < Ь. Гипотетически выполняется более сильное
утверждение, а именно rank Q ^ 11/8 • | sign Q\ (так называемая
гипотеза об 11/8). Равенство rank Q = 11/8 • | sign Q\ реализуется, например, для
поверхности Куммера.

Лекция 6
Четырехмерные многообразия с краем
§1. Форма пересечений
Пусть М — компактное ориентированное связное односвязное
четырехмерное многообразие с непустым краем, дМ ф 0. Форма пересечений
QM: Н2(М) ® Н2(М) -> Z, (a,b)»a-b, F.1)
над Z по-прежнему определяется как в E.4), хотя теперь она не
обязательно унимодулярна. Например, форма пересечений многообразия
М = S2 х D2 нулевая, QM = 0.
Пусть R — некоторое коммутативное кольцо с единицей.
Ориентированное трехмерное многообразие Е называется R-гомологической
сферой, если оно имеет такие же гомологии над R, как и S3, т. е.
H,(H;R) = H,(S3;R). Если R — Ъ, мы называем Е целочисленной
гомологической сферой или просто гомологической сферой. Если R = Q, мы
говорим о рациональных гомологических сферах. Например, каждое
линзовое пространство L(p,q), р ^ 1, является рациональной гомологической
сферой.
Теорема 6.1. Форма пересечений F.1) унимодулярна тогда и
только тогда, когда дМ — целочисленная гомологическая сфера.
Доказательство. Если форма F.1) унимодулярна, то дМ —
гомологическая сфера. Это вытекает из следующего наблюдения. Пусть
/,: Н2(дМ) —»Н2(М) — гомоморфизм, индуцированный включением i: дМ —»
—» М. Если im/„ Ф 0, то форма F.1) вырожденна, так как а ¦ b = 0 для
любых а € im/, и be H2(M). Так как многообразие М односвязно, из
двойственности Пуанкаре и формулы универсальных коэффициентов
следует, что Н3(М,дМ) = Н'(М) = Hom(W|(Af),Z) = 0. Значит, мы имеем
следующую точную последовательность
0 -+ Н2(дМ) -^ Н2(М) ±> Н2(М,дМ) -* Н,(дМ) -» 0.
Отсюда множество \т{Н2(дМ) —> Я2(М)} = im /» тривиально тогда и только
тогда, когда Н2(дМ) = 0. По двойственности Пуанкаре это означает, что
дМ — целочисленная гомологическая сфера.
Если дМ — гомологическая сфера, то Н2(М) = Н'2(М,дМ) и
невырожденность формы F.1) выводится из двойственности Пуанкаре—Лефше-
ца, из которой следует, что невырожденна форма Н2(М) ® Н2(М, дМ) —> Z,

1. Форма пересечений
77
(a,b)>-+ (а^Ь,\М,дМ)), где [М,дМ] G Н4(М,дМ) = Z —
фундаментальный класс многообразия М. О
Теорема 6.2. Пусть -С — оснащенное зацепление в S3, а М —
четырехмерное многообразие с краем, полученное перестройкой по L.
Тогда форма QM изоморфна форме, задаваемой матрицей
зацеплений для -0.
Пример. Форма пересечений многообразия ?_,, полученного (+
^-перестройкой вдоль тривиального узла в S3, имеет матрицу A), см. лекцию 2.
Это согласуется с тем, что Е_{ и5з D4 = СР2 и, как мы знаем, QCPi = A).
Перед доказательством теоремы 6.2 приведем следующую
конструкцию. Пусть k С S3 = {(z, w) G С21 \z\2 + |ш|2 = 1} — некоторый узел. Он
ограничивает гладкую ориентируемую поверхность Fk внутри D4 = {(z, w) G
GC2| |z|2 + \w\2 < 1} такую, что FknS3 = k, см. рис. 6.1. Например, возьмем
в S3 какую-нибудь поверхность Зейферта для k
(см. лекцию 7) и продавим ее внутренность в D4
вдоль радиусов. Для такого вложения Fk с D4
зададим /: Fk —> R как ограничение на Fft
функции, измеряющей расстояние от точки х 6 D4 до
центра диска. Без ограничения общности можно
считать, что f(x) ф 0 для всех х G Fk.
Пусть 53 = {B, w) G С2 | И2 + М2 = '2} —
уровень / = t функции расстояния. Будем
говорить, что пересечение Fk П Sf трансверсаль- Рис. 6.1
но в точке р G Fk Л Sf, если пространство
TpFh ф TpSf порождает TPD4. Точки р ? Fk(l Sf, в которых пересечение не
трансверсально, являются критическими для / (в них градиент функции /
обращается в нуль). В локальных координатах х' на Fk это означает, что
(д[/дх')(р) = 0, и ряд Тейлора функции / в такой точке р имеет вид
fix) = f(P) + |?(^)(p) • <*' - />')(*' - рО + -
Критическая точка р называется невырожденной, если
d2f
dd»)(",'6a
Невырожденные критические точки всегда изолированы. Функция /, все
критические точки которой невырожденны, называется функцией Морса.
Любая функция Морса имеет только конечное число критических точек
(поскольку многообразие Fk компактно). Является ли / функцией Морса,
зависит от вложения /> С D4. Однако, если необходимо, после небольшого

78
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем
шевеления вложения можно считать, что / — функция Морса, см. Мил-
нор [105]. Далее, говоря о Fk, мы будем предполагать, что пересечение Fk П
П Sf трансверсально всюду, кроме конечного числа невырожденных точек.
Поверхность Fk удобно представлять в виде «мультфильма»: в каждый
«момент времени» t в 53 или в R3 можно нарисовать пересечение Fk П Sf.
Каждое пересечение является (возможно, особой) кривой в трехмерном
пространстве, а вместе эти кривые заметают двумерную поверхность в D4.
Например, поверхность Fk, схематически изображенная на рис. 6.1,
могла бы иметь представление в виде мультфильма, показанное на рис. 6.2.
В этом примере узел k, который получается на срезе t — 1, тривиален.
пусто . О О О
• О
/ = 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 6/8 7/8 1
Рис. 6.2
Срезы Sf трехмерны, поэтому кривые пересечения Fk П Sf в общем
случае могут быть заузлены. На рис. 6.3 изображен мультфильм для
поверхности, ограниченной трилистником.
¦ ОбЬ &) сё)
/ = 0 1/4 2/4 3/4 t=\
Рис. 6.3
Пусть k и ? образуют зацепление в S3, a Fk, Fe с D4 — такие
поверхности, как описано выше, причем Fk П 53 = k и Ft П 53 = I. Предположим, что
поверхности Fk и Ft ориентированы. Тогда индекс пересечения Fk ¦ Fe
можно определить следующим образом. Сначала пошевелим вложения (если
необходимо), чтобы пересечение Fk П Fe стало трансверсальным,
оставляя Fk П 53 и Ft П S3 фиксированными, а затем подсчитаем плюс/минус
единицы, соответствующие точкам пересечения, как в E.4).
9оО

1. Форма пересечений
79
Лемма 6.3. Имеется канонический способ выбрать ориентацию
на Ft, и Fe для любого данного ориентированного зацепления k U ?
в S3 так, чтобы выполнялось равенство \k{k,i) = Fk ¦ Ft.
Доказательство. Предположим, что компоненты k и ?
ориентированы, поверхности Fk и Fe пересекаются трансверсально, и рассмотрим
мультфильм для Fk и Fe. Каждый раз, когда наши поверхности
пересекаются, коэффициент зацепления изменяется на 1 mod 2, см. рис. 6.4.
GD-GD' GD-
Рис. 6.4
Мультфильм соединяет первоначальное зацепление k U ? с пустым.
Следовательно, Fk ¦ Fe равно \k(k,?) по модулю два. В оставшейся
части доказательства мы покажем, что при правильном выборе ориентации
выполнено равенство Fk ¦ Fe — \k(k,?).
Ориентируем сферу S3 = Ш.3 U {с»} стандартным базисом (е,, е2, е3) в Ш3.
Шар D4 будет ориентироваться базисом (п,еие2,е3), где п — вектор
нормали к S3, внешней по отношению к D4. Далее, каждая кривая в Fk П 53
наследует ориентацию с k. Пусть вектор tu касательный Kftn Sf, имеет по
отношению к ней положительное направление. Для точки р € Fk Г) Sf
выберем в плоскости TpFk вектор пи ортогональный /,, проекция которого на
/-направление равна единице (эта проекция ненулевая благодаря условию
трансверсальности). Пара («!,/,) будет ориентировать Fk. Поверхность Ft
можно ориентировать точно так же базисом (п2, t2).
Пусть р е Fk П Fe. В мультфильме для Fk и Ft точка р соответствует
замене пересечения, подобному тому, что показано на рис. 6.5 (здесь k'
принадлежит мультфильму для Fk, a ?' — для Ft).
В ситуации, показанной на рис. 6.5, при прохождении момента
времени / коэффициент зацепления \k(k',?') увеличивается на единицу.
Припишем + 1 или —1 точке пересечения р в зависимости от того, совпадают

80
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем
или противоположны ориентации в TpFk ф TpFe и TPD4. Таким образом, нам
нужно сравнить ориентации базисов {n\,t\,n2,h) и {п,в\,е2,е^). Первый
базис одинаково ориентирован с (п\ + n2,tut2,n, — п2).
Все векторы tut2 и п,\ - п2 касаются Sf, а П\ + п2 имеет
положительную проекцию на п. Следовательно,
достаточно показать, что базис (/,, t2,nx - n2) задает нужную
ориентацию в R3. Когда к' движется вверх по
отношению к ветви ?', вектор п, — п2 смотрит вверх, см. рис.6.6,
что завершает доказательство. Оставшийся случай,
когда коэффициент зацепления уменьшается на
единицу при прохождении момента пересечения, разбирается
аналогично. ?
Доказательство теоремы 6.2. Предположим, что
многообразие М получено ^-перестройкой по единственному узлу k, так что
М = DA U5ixD2 (D2 x D2). Согласно точной последовательности Майера—
Вьеториса группа Н2(М) = Hl(Sl x D2) = Z порождена гомологическим
классом поверхности А, полученной
склеиванием вместе таких поверхностей Fh С D4
и Gk С D2 х D2, что Fk n S3 = Gk n 53 = k,
см. рис. 6.7.
В качестве Fk мы выберем некоторую
поверхность, вложенную в D4, как и выше.
В качестве поверхности Gk можно взять
центральный диск в D2 х D2. Гомологическое
самопересечение А ¦ А можно вычислить
следующим образом. Рассмотрим параллельную
копию G'k диска Gk внутри D2 x D2. Тогда k! = G'k П 53 — параллель для
k С S3 с коэффициентом зацепления \k(k,k') = р. Пусть F'k — шевеление
поверхности Fk с сохранением гомологического класса, трансверсальное к
Fk и такое, что F'k П S3 = k!. Тогда поверхность А' = F'k \Jk> G'k гомологична
А и А ¦ А = А ¦ А' = (Fk U Gk) ¦ (^ и G'k) = Fk ¦ F'k = Щк, k1) = р. Здесь мы
воспользовались тем, что Gk П G'k = 0.
В общем случае, если М — результат перестройки по некоторому
оснащенному зацеплению, утверждение следует из предыдущего рассуждения,
повторенного для каждой компоненты, и леммы 6.3. D
Следствие 6.4. Предположим, что трехмерное многообразие X
получено перестройкой по оснащенному зацеплению -С с матрицей
зацеплений А. Тогда X — гомологическая сфера в том и только том
случае, когда del A = ±1.
Следствие 6.5. Каждая целочисленная симметрическая
билинейная форма Q является формой пересечений некоторого гладкого
Щ ~ J
Рис. 6.6
D2 xD2
Рис. 6.7

2. Гомологические сферы как результат перестройки вдоль узлов 81
односвязного четырехмерного многообразия М с краем. Если
форма Q унимодулярна, то дМ является гомологической сферой.
Доказательство. Возьмем оснащенное зацепление -С с матрицей
зацеплений Q; многообразие М будет получаться перестройкой по ?. ?
Пример. Форма ?8 реализуется гладким четырехмерным
многообразием, край которого — гомологическая сфера Пуанкаре. Форма Н
реализуется на E2 х S2) \ D4.
Следствие 6.6. Любое замкнутое ориентированное трехмерное
многообразие ограничивает некоторое гладкое ориентированное
односвязное четырехмерное многообразие с четной формой
пересечений.
Это следует из теоремы 6.2 и теоремы 4.1 из лекции 4.
§2. Гомологические сферы как результат перестройки
вдоль узлов
Линзовое пространство L(p,q) получается (—р/д)-перестройкой по
тривиальному узлу в S3. Легко видеть, что H\(L(p,q)) = K\(L(p,q)) = Z/\p\.
Следовательно, L(p,q) — гомологическая сфера тогда и только тогда,
когда р = ±1, и тогда это S3.
Любое многообразие, полученное p/q-перестройкой по некоторому
узлу, имеет такую же первую гомологическую группу, как L(p,q)\ оно*"
является гомологической сферой тогда и только тогда, когда р = ±1.
Например, для любого т результат (—1//п)-перестройки вдоль правого
трилистника является гомологической сферой; можно показать, что это —
многообразие Зейферта Af(B,1), C, — 1), Fт + 1,— т)); см. лекцию 3.
§3. Гомологические сферы Зейферта
Пусть М = M((al,bl),...,(an,b„)), где л ^ 3 и а,- > 2 (/ = 1,...,я),—
многообразие Зейферта, см. лекцию 1. Из определения многообразия М
легко видеть, что
7t,(Af) = (jc ,x„,h | [h,Xi] = l,Xi'hb< = l,Xl...x„ = 1).
Кроме того, W|(M) = coker/4, где отображение A:Zn+> —> Z"+l задается
матрицей
/a, 0 ••• 0 Ьл
О а2 ¦¦¦ 0 b2
О 0 • • • а„ b„
\l 1 ••• 1 О
6* Лскпии по топологии

82
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем
в естественном базисе Х\, ... ,x„,h пространства Ht(M), полученного абе-
лианизацией из щ(М). В частности, М — гомологическая сфера в том и
только том случае, если det Л = ±1, т. е.
bi
а,...а„-^^=±1
Выбор знака плюс или минус соответствует выбору ориентации на М.
Заметим, что если М — гомологическая сфера, то целые числа аи...,ап
обязательно попарно взаимно просты.
Теорема 6.7. Для любых попарно взаимно простых целых чисел
а.\,...,ап, где а, ^ 2 (i = 1,... ,п), существует, и притом
единственное (с точностью до сохраняющего ориентацию гомеоморфизма),
такое многообразие Зейферта М((аиЬ\),..., (а„,Ь„)), что
п
а,...а„-]Г^ = 1. F.2)
— щ
1=1
Это ориентированное многообразие является гомологической
сферой; оно обычно обозначается через Е(а1;.. .,ап).
Доказательство. Равенство F.2), приведенное по модулю а-„
имеет вид Ь,а\ ... а,-... а„ = 1 mod а, (крышка стоит над пропущенным
сомножителем). Мы видим, что оно определяет b-t однозначно по модулю а, для
каждого i. Единственный произвол в выборе Ь, состоит в замене bt на
п
b'j = bi + kiu,, так, чтобы выполнялось равенство ?]?, = 0. Это следу-
i=i
ет из соотношения F.2). Таким образом, нам нужно только показать, что
многообразия М = M((aubt),.. .,(a„,bn)) и М' = М((а\,Ь\),... ,(а„,Ь'„)) го-
меоморфны. Многообразие М' получается перестройками по оснащенным
зацеплениям, показанным на рис. 6.8.
0
/" х о -к-,
- ЩУ
Рис. 6.8
Два зацепления, изображенные на рис. 6.8, задают гомеоморфные
многообразия, так как для любого i выполнено равенство
а± _ fl/ _ q 1
bi bi + kidj bi + hen
щ
°>~k^.

4. Инвариант Рохлина
83
Теперь можно сложить центральную ручку с оснащением нуль с каждой
из ручек с оснащением —kh а затем с помощью исчисления Кирби
сократить все пары ручек с оснащениями @, —k,).
п
Так как J^ kt = 0, центральная ручка бу-
дет по-прежнему иметь оснащение нуль, так
что мы получим зацепление, изображенное
на рис. 6.9, которое задает многообразие М.
Следовательно, многообразия М и М' гомео-
морфны с сохранением ориентации. ?
Пример. Чтобы найти зацепление,
представляющее ?E,6,7), нужно сначала подобрать такие bi,b2,b3, что
42fe| + 35b2 + 30b3 = 1. Например, подойдут Ь\ =3, Ь2 — -1, Ь3 = -3. Затем
вычислим непрерывные дроби
Рис. 6.9
= [2,3],
-6].
-2,3].
Зацепление, задающее ?E,6,7), описывается графом на рис. 6.10.
Выбор Ь{ = 3, Ь2 = -1, Ь3 = 4 даст равенство 42Ь, + 35Ь2 + 30Ь3 = 1 +
+ 1 -210; соответствующая диаграмма изображена на рис. 6.11.
0
-2
1
Рис. 6.10
-6
Рис. 6.11
Замечание. Теорема 6.7 объясняет обозначение ?B,3,5) для
гомологической сферы Пуанкаре. Гомологические сферы на рис. 3.19 являются
гомологическими сферами Зейферта ?B,3,6т + 1), а на рис. 3.20 —
сферой ?C,4,7).
§4. Инвариант Рохлина
Все четырехмерные многообразия в этом параграфе предполагаются
связными, односвязными, ориентированными, гладкими и компактными,
с краем или без. Под сигнатурой каждого такого многообразия мы
подразумеваем сигнатуру его формы пересечений.
Лемма 6.8. Пусть Му и М2— такие четырехмерные многообразия
с краем дМ] и дМ2 соответственно, что Н,(дМ1) = Н,(дМ2) = //„(S3),
и y:dMi—>dM2 — обращающий ориентацию диффеоморфизм их

84
Лекция 6. Четырехмерные многообразия с краем
краев. Тогда М = М, иф М2 — гладкое многообразие с сигнатурой
signAf = sign М1 + signM2.
Замечание. Утверждение теоремы выполнено и без требования, чтобы
сШ| и дМ2 были гомологическими сферами; это было впервые замечено
С.Новиковым, см. Кирби [76].
Доказательство леммы 6.8. Пусть N обозначает
(неориентированное) подмногообразие в М, совпадающее с отождествленными дМ,
и дМ2. Пусть у — некоторый элемент в Н2(М). Пересечем у с N. Так
как Hi(N) = О, 1-цикл у П N является границей в Л', и у распадается в
сумму элементов из H2(Mt) и Н2(М2). Следовательно, QM = QM) ф QM,2, и
sign М = sign Mi + sign M2. О
Пусть Е — некоторая ориентированная гомологическая сфера, W —
четырехмерное многообразие с краем Е, имеющее четную форму
пересечений QM. Так как форма QM унимодулярна, ее сигнатура делится на восемь,
и мы можем определить инвариант Рохлина по формуле
\±{Т) = ^ sign W mod 2.
Другой выбор многообразия W даст то же значение ц(Е), поскольку
sign W - sign W = s\gn(W Us -W) = 0 mod 16 по теореме Рохлина,
см. теорему 5.6.
Инвариант \± имеет следующие свойства. Если -Е — это Е с
обращенной ориентацией, то ц(-Е) = ji(E). Кроме того, если Е| и Е2 —
гомологические сферы, то их связная сумма Е, #Е2 также является гомологической
сферой и мы имеем ц(Е, # ?2) = ц(Е,) + ц(Е2).
Пример. Гомологическая сфера Пуанкаре ЕB,3,5) ограничивает
гладкое четырехмерное многообразие с формой пересечений, изоморфной ?8.
Так как sign?8 = -8, мы получаем (i(EB,3,5)) = 1 mod 2.
Некоторые более глубокие свойства инварианта Рохлина обсуждаются
в лекции 11.

Лекция 7
Инварианты узлов и зацеплений
§ 1. Поверхности Зейферта
Поверхностью Зейферта для зацепления в 53 называется
произвольная компактная связная ориентируемая поверхность, гладко
вложенная в S3, край которой совпадает с данным зацеплением. Как обычно, мы
изображаем зацепления в S3 = R3 U {оо}, как лежащие в R3.
Пример. Левый трилистник, изображенный на рис. 7.1, ограничивает
ленту Мёбиуса М0, которая неориентируема, а также поверхность
Зейферта М,.
м0
Mi
Рис. 7.
Последняя гомеоморфна проколотому тору, что можно увидеть
следующим образом. Продавим тонкую полоску вдоль центральной перемычки,
затем деформируем полученную поверхность М2 с помощью изотопии, что
превратит ее в М3, см. рис. 7.2. Поверхности М3 и М4 гомеоморфны
(хотя мы и изменили вложение), а поверхность М4, очевидно, гомеоморфна
проколотому тору.
Мл
Рис. 7.2
Теорема 7.1. Любое зацепление в S3 ограничивает некоторую
поверхность Зейферта.

86
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
Доказательство состоит в явном построении. Зафиксируем
некоторую ориентированную диаграмму данного зацепления. Возле каждого
пересечения удалим проходы и переходы и заменим их «срезающими»
дугами, наследующими ориентацию. Результатом этой процедуры будет
набор окружностей, нарисованных поверх диаграммы, которые называются
окружностями Зейферта.
На рис. 7.3 слева имеются две окружности Зейферта, одна внутри
другой, а справа — две окружности, одна над другой.
Эти окружности можно использовать для построения ориентируемой
поверхности следующим образом. Каждая из окружностей является
границей диска в плоскости диаграммы, см. рис. 7.4, на котором эти диски
Рис. 7.4
закрашены. Если какие-то из окружностей лежат внутри других,
поднимем меньшие диски над большими, в соответствии с вложенностью
окружностей. Чтобы получить поверхность Зейферта, соединим наши
диски перекрученными лентами возле точек, соответствующих пересечениям
на первоначальной диаграмме. Эти ленты перекручиваются в соответствии
с типом пересечения исходного зацепления. Если полученная поверхность
связна, она является поверхностью Зейферта. Если нет, соединим ее
компоненты трубками. ?
Для данной связной плоской проекции зацепления из п компонент
пусть с обозначает число пересечений, as — количество окружностей
Зейферта. Поверхность Зейферта, построенная по приведенному выше

1. Поверхности Зейферта
87
алгоритму, имеет род g, где 2g = 2 - s - п + с. Наименьший возможный
род поверхности Зейферта для данного зацепления называется родом
этого зацепления. Например, род трилистника не превосходит единицы,
так как трилистник ограничивает поверхность Зейферта рода один.
Заметим, что род и количество компонент края дают полную
классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей с точностью до
гомеоморфизма.
Мы видели в лекции 4, что каждая гладко вложенная в М3 связная
поверхность с краем изотопна некоторой поверхности, построенной с
помощью приклеивания лент к диску. Поверхности М3 и М4, приведенные
выше, служат примером поверхностей, построенных посредством
приклеивания лент к диску. Они гомеоморфны, но не изотопны.
Если поверхность Зейферта представлена как диск с лентами, то эту
поверхность можно продеформировать в другой диск с лентами, передвигая
точку прикрепления одной ленты по другой без изменения изотопического
класса края. Поверхность Зейферта можно также модифицировать
добавлением пары новых лент, как показано на рис. 7.5.
Рис. 7.5
Одна из добавляемых лент не перекручена и не заузлена, а вторая
может быть перекрученной и заузленной и зацепляться с другими лентами.
Очевидно, что край новой поверхности представляет то же зацепление, что
и край первоначальной поверхности Зейферта. Операция добавления такой
пары новых лент называется стабилизацией. Поверхности Зейферта
данного зацепления называются стабильно эквивалентными, если
существуют последовательности стабилизации каждой из поверхностей, после
которых полученные поверхности можно продеформировать друг в друга.
Теорема 7.2 (Левин [91]). Любые две поверхности Зейферта
одного и того же узла стабильно эквивалентны.
Доказательство этой теоремы можно также найти в книге Кауффма-
на [72], теорема 7.7.

88
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
§2. Матрицы Зейферта
Пусть дано некоторое зацепление Ц зафиксируем для L некоторую
поверхность Зейферта F. Так как поверхность Зейферта ориентируема, имеет
смысл говорить о ее «верхней» стороне (формально это означает выбор
ненулевого нормального векторного поля к F). Для любой простой
замкнутой кривой х на F можно определить ее положительный сдвиг х+ —
кривую, расположеную параллельно х чуть выше F (т. е. полученную из х
сдвигом в направлении нормального поля). Пусть кривые Х\,...,х„ дают
базис в Hi(F;Z). Ассоциированная с ним матрица Зейферта — это
матрица 5 размера п х п с элементами S,7 = lk(x,,xf). Нетрудно видеть, что
матрица Зейферта транспонируется при смене ориентации поверхности F.
Пример. На рис. 7.6 изображена поверхность Зейферта для левого и
правого трилистников вместе с базисом в первых гомологиях.
левый трилистник правый трилистник
Рис. 7.6
Ориентируем поверхности так, чтобы нормальное векторное поле
в верхней части поверхности смотрело к нам. Соответствующими
матрицами Зейферта будут
(J ?)» г: .?)•
Пример. В общем случае, если поверхность Зейферта F представлена
как диск с приклеенными лентами, на F естественно возникает семейство
кривых, задающих базис в Hl(F;Z), см. рис. 7.7.
Рис. 7.7

3. Многочлен Александера
89
Ориентируем поверхность на рис. 7.7 с помощью нормального поля,
направленного в нижней части поверхности к нам. Тогда граничный узел
будет иметь матрицу Зейферта
В определении матрицы Зейферта, очевидно, имеется произвол. Что
касается выбора базиса, любые два базиса связаны обратимой
целочисленной матрицей U; соответствующие им матрицы Зейферта имеют вид 5
и UTSU. Любая деформация поверхности может приводить лишь к замене
базиса. При стабилизации изменение матрицы Зейферта состоит в
добавлении двух новых столбцов и строк со следующими элементами:
/
\0
]\
* О
* * 1
0 0 0
G.1)
)
Две целочисленные матрицы S, и S2 называются S-эквивалентными,
если существуют последовательности стабилизации G.1), после
применения которых к 5, и 52 полученные матрицы 5[ и S'2 связаны соотношением
S( = UrS'2U для некоторой обратимой целочисленной матрицы U. Из
теоремы 7.2 и приведенных выше рассуждений вытекает следующий результат.
Теорема 7.3. Любые две матрицы Зейферта одного и того же
узла S-эквивалентны.
§3. Многочлен Александера
Пусть S — матрица Зейферта некоторого узла k, а 5Т
—транспонированная к ней. Многочлен
Ak(t) = det(tW2S-t~]/2ST) G.2)
от t]/2 и t~]/2 называется многочленом Александера узла k. Заметим, что
Д*(/) = (-1Гк5Д*(Г').
Так как k—узел, rank 5 = 2g, где g — род соответствующей поверхности
Зейферта, так что на самом деле Д*(/) является многочленом от / и t~' и
Д*@ = Д(/_|). Многочлен Александера тривиального узла равен единице.

90
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
Следствие 7.4. Многочлен Александера Ak(t) является корректно
определенным инвариантом узла k.
Доказательство. Достаточно проверить, что Д*(/) не зависит от
выбора 5. Согласно теореме 7.3 нужно только убедиться, что det(/l/2S —
— t~]/2ST) не меняется при стабилизации G.1), примененной к S. Это —
вопрос элементарной алгебры. ?
Пример. И левый, и правый трилистники имеют многочлен
Александера t — 1 +/. Это доказывает, в частности, что оба трилистника —
нетривиальные узлы; следовательно, их род равен единице.
Пример. Многочлен Александера узла, изображенного на рис. 7.7,
равен At~2 - 12Г1 + 17- 12/ +4/2.
Пример. Рассмотрим многочлен f(z,w) = zp + wq от двух
комплексных переменных z,w еС. Он имеет особую точку (df/dz = df/dw = 0)
в начале координат. Предположим, что целые числа р, q взаимно
просты и оба не меньше двух. Тогда пересечение /гм (особой) комплексной
кривой V = /"'@) с трехмерной сферой St радиуса е > 0 с центром в
начале координат является правым торическим узлом типа (р, q) в Sc = S3.
Левый торический узел типа (p,q) является зеркальным образом узла kM.
Легко проверить, что kp<q лежит на
торе, состоящем из всех точек (z, w), для
которых \z\ = а и \w\ = Ь, где а и Ь —
некоторые положительные константы
(если е = \/2, то а = b = 1). Фактически kM
состоит из всех пар (aeiqb,b е'рЬ+ы/я), где
параметр 0 пробегает от 0 до 2л. Таким
образом, kp,q проходит по тору q раз вдоль
одной координаты и р раз —¦ вдоль другой.
Правый трилистник совпадает с
узлом ?2,з- На рис. 7.8 изображен узел k3j.
Он поднят над тором для более ясной
картины (рисунок сделан с помощью программы Maple). Можно показать
(см. лекцию 8), что
А /А — /-(р-Ш«-1)/2 . A - t)(l - f) n n\
A*MW-' A _//>)(!_/?)¦ У-*'
Теорема 7.5. Пусть k — некоторый узел в S3, k* — его зеркальный
образ. Тогда Ak.(t) = Ak(t).
Доказательство. Пусть т:53 —» S3— обращающий ориентацию
гомеоморфизм сферы S3 = К3 U {оо}, индуцированный отражением
относительно некоторой плоскости в К3. Тогда к* — х(к). Пусть F — поверхность
Зейферта рода g для к, тогда т(/г) — поверхность Зейферта для к'. Если

3. Многочлен Александера
91
за ориентацию на x(F) выбрать ту, которая индуцируется ориентацией
поверхности F при отображении х, то для любой замкнутой кривой х на F
получим
1к(х(х),т(х)+) = \Цх(х),х(х+)) = -Щх,х+),
и матрицы Зейферта S и 5* узлов k и k* соответственно будут связаны
соотношением S* = -S. Так как обе матрицы 5 и 5* имеют размер 2g x 2g,
получаем Ak.(t) = Ak{t). D
Пример. Правый и левый трилистники являются зеркальными
образами друг друга, поэтому их многочлены Александера совпадают.
Пусть ?— ориентированное зацепление, a F — поверхность Зейферта
для ?, ориентированная таким образом, что ориентация края 8F
совпадает с ориентацией зацепления ? (так что пара (вектор внешней нормали,
касательный вектор к ?) дает ориентацию поверхности F). Теорема 7.1 на
самом деле доказывает существование такой поверхности F. Пусть S —
матрица Зейферта, ассоциированная с F. Многочлен
A?@ = det(/l/2S-rl/2ST)
называется многочленом Александера зацепления ?. Если ? = k — узел,
то Ak{t) не зависит от выбора ориентации на k и совпадает с многочленом
Александера G.2). В общем случае Ac(t) зависит от ориентации на ?.
Пример. На рис. 7.9 изображены две поверхности Зейферта для
зацеплений Хопфа с различной ориентацией компонент. Каждая из них является
лентой, перекрученной один раз вправо или влево. Базис в первых гомо-
логиях в обоих случаях представляется средней линией этих лент. Для
них матрицы Зейферта равны (—1) и A) соответственно. Следовательно,
многочлен Александера Д? зацепления ? равен либо -t'/2 + t~]/2, либо
/i/2 _ ?-i/2 B зависимости от выбора ориентации.
О О
Рис. 7.9
Теорема 7.6 (соотношение Конвея). Пусть ?+, ?о и ?_ —три
ориентированных зацепления, которые совпадают всюду, кроме
некоторого шара В, и пересекают этот шар по двум незаузленным дугам,
как показано на рис. 7.10. Тогда
Дс+М - AzJt) + (tl/2 - r^)ACo(t)=Q.

92
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений:
Доказательство. Пусть F0 — поверхность Зейферта для
зацепления ?-о, пересекающая В по двум непересекающимся дискам, каждый из;
которых ограничен дугой на границе дВ и одной из компонент пересечения
Л0Г\ В. Обозначим через F+ и F_ поверхности Зейферта зацеплений ?+
и ?_ соответственно. Они совпадают с F0 вне В и пересекают В по ленте,
как показано на рис. 7.10.
Рис. 7.10
Поверхности F+ и F_ гомеоморфны. Пусть а,,..., а„— кривые на F0,
образующие базис в H^F^Z), и пусть а0—такая кривая на F±, что кривые
а0,а,,... ,ап вместе образуют базис в Hl(F±;Z). Для матриц Зейферта,
соответствующих этим базисам, получим
/*
5_
и, следовательно,
t>/2S_ _ Г1/25Т =
So
= S+ +
/1 0
0
)
/t^-r^o ...о\
V'2S,
->/2sl +
\
о
J
* *
*
V*
t^So - rl*Sj
J
Разлагая det(/l/2S+ - t-^SD и det(^2S_ - t-l?2SZ) по первому столбцу,
получаем требуемый результат. ?
Пример. Вычислим многочлен Александера скрученного узла km типа
Bт + 2),, изображенного на рис. 7.11 (где т = 1), ср. с рис.3.19.
Узел km ограничивает поверхность Зейферта, заштрихованную на
рис. 7.12 (мы перекрутили проекцию на пол-оборота, чтобы выбранная
очевидным образом поверхность Зейферта (перекрученная лента) была
ориентируема). Далее применим соотношение Конвея для km = L+ к пе-

4. Инварианты из поверхностей Зейферта
93
ресечению, помеченному стрелкой на рис. 7.12. Полученные зацепления
изображены на рис. 7.13.
т полных
оборотов
О
Рис. 7.11
Рис. 7.12
Рис. 7.13
Узел &_ тривиален, Ас_ = 1, зацепление ?0 имеет матрицу
Зейферта (т), поэтому Ac0{t) = m(ti/2 - /-|/2), следовательно,
AkJt) = 1 - m(t]/2 - Г|/2J = A + 2т) - m(t + Г1).
Узел k\ называется восьмеркой. Его многочлен Александера равен 3 —
- t — t~x. Легко видеть, что узел 6, имеет род один. Если разрешить
отрицательные значения т, то выбор т = -1 даст трилистник, многочлен
Александера которого мы уже знаем: -1 + / + t~].
§4. Другие инварианты, связанные с поверхностями
Зейферта
В первых гомологиях ориентируемой поверхности М имеется еще
одна билинейная форма. Классы х,у € Ht(M;Z) можно представить в виде
трансверсально пересекающихся 1-циклов. При подходящих соглашениях
о выборе весов ±1, приписываемых пересечениям в зависимости от типа
пересечения, их сумма будет индексом пересечения х ¦ у. Соглашения о
знаках пересечений будут такие (нормальный вектор направлен к нам):
для
для
Рис. 7.14
Эта форма билинейна и антисимметрична. Если поверхность М
замкнута, то эта форма совпадает, с точностью до знака, зависящего от
ориентации поверхности М, с формой пересечений, заданной и-произве-

94
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений;
дением в первых когомологиях поверхности М, т.е. с формой
/: Н'{М;Ъ)®Н\М;Ъ)^Ъ, (a,b) *-+ (а ^ b,[M]). G.4)
Изоморфизм H](M\Z) = H'(M;Z) задается двойственностью Пуанкаре.
Эта форма унимодулярна, т. е. имеет определитель ±1. Приведем теперь:
результат из элементарной линейной алгебры.
Лемма 7.7. Найдется такая матрица U, что I = UTJU, где J —
блочно-диагональная матрица
J = (-1 о) е---ф (_i о)-
Доказательство. Так как форма / невырожденна, найдутся
такие векторы х,у eH*(F,R), что 1(х,у)ф0. Эти векторы автоматически-
линейно независимы. Положим е{ = х и е2 = у/1{х,у). Тогда 1(е\,е2) = Г
(а также I(e2,et) = — 1, /(ei,e,) = 1{е2,е2) — 0). Пусть Р — линейное
подпространство в //'(/% К), порожденное векторами е, и е2. Обозначим:
через Q линейное подпространство, состоящее из всех таких векторов
и е H[(F,R), что 1(и,ех) = 1{и,е2) = 0. Тогда Hl(F,R) = P®Q. Это можно,
проверить так. Во-первых, любой вектор v G Нх (F, К) представляется в
виде v = ав\ + Ье2 + и, где uEQ. Мы просто берем а = /(у, е2) и b = —I(v, ех);
тогда вектор u — v — I(v, е2)ех + l(v, в\)е2 лежит в Q. Во-вторых,
пересечение Р П Q нулевое, поскольку для любого и = ав\ + Ье2 коэффициенты а
и b можно найти по формулам а = 1(и,е2) и b = —I(u,et). Таким образом,
Hl(F, К) = Р ф Q, и матрица формы / разлагается в прямую сумму
'-(-?>'¦¦
Очевидная индукция завершает доказательство. ?;
Следствие 7.8. Определитель формы пересечений 1 замкнутой
ориентируемой поверхности М равен единице.
Если М — поверхность Зейферта некоторого узла, то форма пересе-:
чений по-прежнему унимодулярна с определителем единица; если М —¦'
поверхность Зейферта зацепления с двумя или более компонентами, то]
форма вырожденна, так что любая матрица формы пересечений имеет ну-,
левой определитель. J
Из определений легко получить, что при любом выборе базиса в
H](M;Z) форма Зейферта S и форма пересечений / связаны соотношением!
I = S-ST. \
Следствие 7.9. Если k — узел, то А*A) = 1; если L — зацепление С
двумя или более компонентами, то ДлA) = 0. >

5. Узлы в гомологических сферах
95
С зацеплением ассоциируется и другая билинейная форма. Для любого
зацепления L форма Q = S + ST симметрична. Так как Q = I mod 2,
форма Q четная. Если ? = k является узлом, то определитель det Q нечетен
и, в частности, форма Q невырожденна над R.
Пусть k — некоторый узел в трехмерной сфере, S — его матрица Зей-
ферта и Q = S + ST. По теореме 7.3 любой инвариант формы Q, который
не меняется при стабилизации, будет инвариантом узла. Например, при
стабилизации матрицы S определитель формы Q изменяется только на
множитель ±1, следовательно, | det Q\ является инвариантом узла. Он
называется определителем узла.
Более интересный инвариант узла можно получить, рассмотрев
сигнатуру формы Q. Так как форма Q симметрична, она диагонализуется
над IR. Разность между количеством положительных и количеством
отрицательных чисел на диагонали является сигнатурой формы Q,
обозначаемой sign Q.
Теорема 7.10. Значение sign Q не зависит от выбора матрицы
Зейферта, и, следовательно, является корректно определенным
инвариантом узла k. Он называется сигнатурой узла и обозначается
sign jfe.
Доказательство. Нужно только проверить, что стабилизация
матрицы 5 не изменяет сигнатуры матрицы Q = S + ST:
Q' =
( *°)
Q : :
* 0
*...** 1
\0 ... 0 1 0/
'N-*
( 00\
Q ¦ ¦
0 0
0 ... 0 0 1
\0 ... 0 1 0/
где -^ обозначает некоторую последовательность одновременных
элементарных преобразований над строками и столбцами. Следовательно,
sign Q' = sign Q + sign (j Qj = sign Q.
?
Пример. Левый и правый трилистники неэквивалентны. Их можно
различить с помощью сигнатуры: для одного из них она равна 2, а для
другого -2.
§5. Узлы в гомологических сферах
Пусть k cY, — некоторый узел в ориентированной гомологической
сфере, /У,(Е) = Я»E3). Пусть N{k) — его регулярная окрестность, а
A^ = E\intjV(&) — внешность, ср. с лекцией 2. Тогда Н,(К) = Я»E');

96
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
в частности, Н\{К) = 2,, и эта группа порождается некоторой кривой
т с ЭК, которую мы называем меридианом узла k. Канонический выбор
параллели (. с дК задается условием 0 = [?] € Н\(К). Ориентации на пг
и I выбираются в соответствии с ориентацией гомологической сферы ?,
см. рис. 2.2. Такой выбор т и (. отождествляет дК с5' х 3D2 = 5' х S1.
Пусть ро'.дК —> 9D2 — проекция дК = S1 х сЮ2 на второй сомножитель.
Лемма 7.11. Проекция ро'.дК —* 3D2 продолжается до
отображения р. К —> dD2.
Доказательство. Проекция р0 определяет гомотопический класс
[р0] 6 [dK,dD2] = [dK,Sl] = [dK,K(Z, \)\=Н\дК). Включение i:3K->K
индуцирует гомоморфизм /*: [К, S1] —> [дК,S'], и р0 продолжается до
p:K—>Sl тогда и только тогда, когда [р0] € im/*. Отображение /*
включается в когомологическую длинную точную последовательность,
содержащуюся в приведенной ниже диаграмме, в которой вертикальные стрелки
представляют изоморфизмы двойственности Пуанкаре—Лефшеца:
Н2(К, дК) ^ Я, (ЗК) —— Я, (К)
Я' (К) —^-»- Я' (ЭР) —ъ-* Н2(К, дК)
Элементом в Н{(дК), двойственным по Пуанкаре к [р0] е Н](дК),
является [?]. Следовательно, 8[р0] = PD i„[?] = 0, и [р0] € kerS = im/*. D
Подобная конструкция работает для зацеплений в Е, имеющих более
одной компоненты. Следует повторить приведенное выше рассуждение,
используя проекцию
п
p0:[jSj x3D2^3D2.
i=\
Пусть ? с Е — некоторое зацепление в гомологической сфере Е. Его
поверхность Зейферта — это связная компактная ориентируемая
поверхность, гладко вложенная в Е, краем которой является зацепление ?.
Теорема 7.12. Любое зацепление ? с Е ограничивает некоторую
поверхность Зейферта в Е.
Доказательство. Рассмотрим внешность К данного
зацепления вместе с проекцией р0: дК —> dD2 и продолжим ее до отображения
р:К —* dD2. Можно считать (если необходимо, после небольшого
шевеления в рамках изотопического класса отображения р), что р трансверсаль-
но некоторой точке * € dD2. Тогда р~'(*) = F' — некоторая собственная
вложенная поверхность в К с краем ?' с дК- Соединим ? и ?' кольцами

6. Почти разводимые зацепления
97
внутри нормальных окрестностей компонент нашего зацепления, чтобы
получить поверхность Зейферта F. ?
Используя такую поверхность Зейферта, в этой более общей
ситуации можно определить все обычные инварианты из классической теории
узлов — матрицу Зейферта, многочлен Александера, квадратичную форму,
форму пересечений и сигнатуру узла. Заметим, что коэффициент
зацепления в ? можно задать посредством определений 1 или 3 из лекции 3, но
не с помощью 2 (определение 2 использует плоские проекции).
§6. Почти разводимые зацепления и многочлен
Александера
Вычисление многочлена Александера для узлов в общих
гомологических сферах сложнее, чем для узлов в 53. Мы опишем здесь один из
способов его нахождения.
Лемма 7.13. Пусть ku?— некоторое зацепление в
гомологической сфере S, причем \k(k,?) = 0. Тогда существует такая
поверхность Зейферта Fe для ?, что Fe Г) k = 0.
Пример. Следующее зацепление называется зацеплением Уайтхеда.
Поверхность Зейферта Fe компоненты ?, показанная на рис. 7.15, не
пересекается с я. Она получена приклеиванием трубки к заштрихованному
диску с двумя дыркамии.
Рис. 7.15
Доказательство леммы 7.13. Наше доказательство будет
получено видоизменением доказательства леммы 7.11. Другое
доказательство можно получить, выбрав сначала произвольную поверхность
Зейферта для ( и затем устранив пересечения с k путем добавления трубок, как
в случае зацепления Уайтхеда, рассмотренном выше. Условие \k(k,?) = 0
гарантирует, что это сделать возможно.
Пусть К = ? \ (N(k) U N(?)). Это — трехмерное многообразие с
двумя компонентами края, каждая из которых является двумерным тором.
Его первые гомологии Н,(К) порождаются каноническими меридиана-
7* Лекции по топологии

98
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
ми на dN(k) и dN{?). Пусть ?' — каноническая параллель на dN(?).
Выбор ?' отождествляет dN(?) с S1 х 3D2. Рассмотрим отображение
р0: дК —> 5', совпадающее с проекцией 51 х dD2 —> dD2 на dN(?) и
постоянное на dN(k) со значением х0 € dD2. Отображение р0 задает некоторый
класс [ро] € [dK,Sl] = Н>(дК), который продолжается до отображения
p-.K^S1.
Чтобы увидеть это, рассмотрим гомоморфизм, индуцированный
вложением, i*:H\(K) —> Н](дК), и включим его в следующую коммутативную
диаграмму с точными строками:
Н2(К, дК) >¦ Я, (дК) —^^ //, (К)
Н\К)-^-^Н\дК)^-^Н2(К,дК)
Столбцы этой диаграммы представляют изоморфизмы двойственности
Пуанкаре—Лефшеца. Элемент в Н{(дК), соответствующий классу [р0] е
€ Н[(дК) = Z2 0 Z2 при изоморфизме PD, равен ([.?'],0). Заметим, что ?'
является канонической параллелью, которая гомологична нулю во
внешности узла k, так как \k(k,?) = \k(k,?') = 0. Отсюда следует, что i,[?] = 0. Из
коммутативности диаграммы получаем 8[ро] = 0 и [р0] е imi*. Последнее
означает, что р0 продолжается на К.
Пусть Х| € S' —точка, отличная от х0 и такая, что р трансверсально Х\.
Тогда Ft = p~[(x\) является нужной поверхностью Зейферта. ?
Зацепление k U ? в гомологической сфере S называется почти
разводимым зацеплением, если k и ? ограничивают некоторые
непересекающиеся поверхности Зейферта. В частности, тогда k и I имеют нулевой
коэффициент зацепления. Требование равенства нулю коэффициента
зацепления недостаточно, чтобы зацепление было почти разводимым:
например, зацепление Уайтхеда на рис. 7.15 не является почти разводимым
(доказательство см. после леммы 7.14), хотя \k(k,?) = 0.
Лемма 7.14. Пусть k U ? — некоторое почти разводимое
зацепление в гомологической сфере Е и Е' = Е + е • * получено из Е
перестройкой вдоль k с оснащением е = ±1. Тогда Д*СЕ(/) = Aec^>(t), где
? с ?' — образ кривой ? после перестройки.
Доказательство. Пусть Fk и Fe — непересекающиеся поверхности
Зейферта для k и ?. Выберем пару циклов х, у С Fe и вычислим величину
\к(х,у+), которая равна индексу пересечения кривой у+ с произвольной
поверхностью Зейферта Fx для х. Поскольку х не пересекает Fk, мы имеем
\к(х, к) = 0, а значит, согласно лемме 7.13 поверхность Fx можно выбрать
так, чтобы она не пересекала к. Ни у+, ни Fx не пересекают узел k, поэтому

6. Почти разводимые зацепления
99
пересечение у+ П Fx не затрагивается перестройкой вдоль к. Это верно
для любых кривых х,у, представляющих базисные элементы в Hi(Fe), a
значит, матрицы Зейферта и многочлены Александера узлов ? с Е и ? с Е'
совпадают. ?
Пример. Зацепление Уайтхеда, показанное на рис. 7.15, не почти
разводимое. Предположим противное и сделаем (-1)-перестройку S3 вдоль ?.
В результате этой перестройки вновь получим S3, однако образ k'
тривиального узла k в перестроенном многообразии будет узлом «восьмерка».
Узлы k и k' имеют различные многочлены Александера, что противоречит
лемме 7.14.
Пример. Вычислим многочлен Александера узла ? в
гомологической сфере Е, полученной перестройкой по трилистнику, как показано
на рис. 7.16. Отметим, что (-Н)-перестройка по узлу k, показанному на
рис. 7.17, развязывает трилистник и превращает Е в S3.
Рис. 7.16
Рис. 7.17
Так как узлы ? и k ограничивают непересекающиеся поверхности
Зейферта (см. рис. 7.18), многочлены Александера для узла ? С Е и его образа
в S3 одинаковы. Образ узла ? в S3 изотопен «восьмерке», показанной на
рис. 7.19, многочлен Александера которой равен 3 - t — t~].
Следовательно, Aecs(t) = 3-t - Г1.
Рис. 7.18
Рис. 7.19

100
Лекция 7. Инварианты узлов и зацеплений
Следующая лемма демонстрирует, что метод, использованный нами в
предыдущем примере для вычисления многочлена Александера одного
узла, имеет общую природу.
Лемма 7.15. Пусть к — некоторый узел в гомологической
трехмерной сфере Е. Тогда существует такой узел (. в S3, что AkcS{t) =
Доказательство. Трехмерную сферу S3 можно получить, сделав
(±1)-перестройку вдоль компонент некоторого зацепления в ?, ср. с
леммой 12.2,
S3 = Е + ?) • С) + ... + е,„ • ст.
Доказательство леммы проводится индукцией по т. Утверждение очевидно
для т — 0.
Всегда можно выбрать ст в своем изотопическом классе так, чтобы
зацепление k U ст было почти разводимым. Это можно увидеть следующим
образом. Выберем поверхности Зейферта Fk и Fc для k и с,п. Из
соображений общего положения поверхности Fk и Fc можно продеформировать с
помощью независимых изотопии в диски с (узкими) лентами, которые не
пересекают друг друга. Следовательно, можно предполагать, что Fk и Fc
не пересекаются. Разумеется, это может изменить зацепление k U с,„, но
оба узла k и ст сохраняются.
Поскольку зацепление k U ст почти разводимое, мы имеем Akcs(t) —
= A*cs+tm-cm@. где ^ С ? + em ¦ ст — это узел k, рассматриваемый как узел
в перестроенном многообразии Е + гт ¦ с,„. Если обозначить многообразие
Е + гт ¦ ст через Е', мы получим
S3 = Е' + е, ¦ d\ + ... + em_i • dm_i,
где d, U ... U dm_t —это объединение ctU ... Ucm_i, рассматриваемое как
зацепление в ?'. По индукции получаем, что найдется такой узел I в S3,
что Д*се@ = Atcs3(t). О

Лекция 8
Расслоенные узлы
§ 1. Определение расслоенного узла
Узел k в гомологической трехмерной сфере ? называется
расслоенным рода g, если его дополнение E\k является тотальным пространством
некоторого локально тривиального расслоения р:Т, \ k —> S1, слой
которого F' — поверхность рода g. Мы требуем также, чтобы узел k имел
окрестность со структурой S1 x D2, k = S1 х {0}, для которой ограничение
проекции р на S1 x (D2 \ {0}) имеет вид (х, у) >-> у/\у\. Отсюда следует, что
замыкание каждого слоя F' — компактная поверхность рода g с краем k;
фактически — поверхность Зейферта для k.
Локально тривиальное расслоение S \ k —> S' можно представлять
себе следующим образом. Будем рассматривать S1 как отрезок [0,2л] с
отождествленными концами. Поскольку отрезок [0,2л] стягиваем,
каждое расслоение над ним со слоем F' изоморфно прямому произведению
[0,2л] х F'. Первоначальное расслоение Е \ k —> S' над окружностью
получается склеиванием поверхностей F' х {0} и F' х {2л} по некоторому
гомеоморфизму h:F' —> F'.
В нашем доказательстве леммы 7.11 мы рассматривали отображение
/?:? \ k —> S'. Это отображение было бы расслоением, если бы мы
сделали его трансверсальным каждой точке х € 51. Это не всегда возможно,
поскольку некоторые узлы расслоенные, а
некоторые— нет, см. примеры ниже в этой лекции.
Стоит отметить, что для данного
расслоенного узла результат перестройки по нему с нулевым
оснащением дает локально тривиальное
расслоение над S1 со слоем F = F' U D2 — замкнутой
римановой поверхностью.
Пример. Пусть k — тривиальный узел в S3.
На рис.8.1 сфера S3 представлена двумерной
сферой R2 U {со}, вращающейся вокруг
окружности ? U {оо} (ср. с рис. 1.1). Рис. 8.1
При этом вращении точка Р заметает узел k.
Каждая из открытых дуг, соединяющих Р и Р', заметает открытый
двумерный диск F' в S3. Эти диски исчерпывают дополнение узла k, они попарно
не пересекаются и параметризуются точками пересечения с окружностью

102
Лекция 8. Расслоенные узлы
? U {оо}. Следовательно, S3 \k = S' х /•"', а проекция на первый
сомножитель является тривиальным ^'-расслоением над S1. Таким образом, узел
к расслоенный рода нуль. Замыкание каждого диска F' в S3 является
замкнутым диском в S3 с краем к.
Пример. Любой торический узел типа (р, q) в S3 расслоенный рода
(р — l)(q — 1)/2; в частности, трилистник — расслоенный узел рода один.
Ниже в этой лекции кратко изложено доказательство этого факта,
основанное на теории особенностей. В работе Зимана [149] дана явная
конструкция расслоения рода один в дополнении к трилистнику. См. также
Рольфсен [128], с. 327.
Пример. Пусть ?(аь... ,а„) — гомологическая сфера Зейферта, к—
один из особых слоев (см. лекцию 1). Тогда узел к расслоенный (см.,
например, Эйзенбад, Нейманн [39]).
Пример. Узел восьмерка — расслоенный рода один (см., например,
Бурде, Цишанг [26], с. 71).
§2. Монодромия
Каждое локально тривиальное расслоение р:Е -* В обладает
свойством накрывающей гомотопии по отношению к любому CU^-комплексу Х,
т.е. для любых двух отображений f:X —> Е и G.X х / —» В со свойством
pf = Gi (где /: X —> X х / — это отображение х i-> (х, 0)) существует
непрерывное отображение G.X х / —> Е, включаемое в коммутативную
диаграмму
Нас в основном интересуют локально тривиальные расслоения р:Е —>
—> S' над окружностью с тотальным пространством Е = ? \ к,
возникающие для расслоенных узлов. Свойство накрывающей гомотопии для таких
расслоений можно легко увидеть из их описания через разрезание и
склейку, данное в § 1.
Пусть p:E—*S[—локально тривиальное расслоение, и пусть у:
[0,2ц] —> S1 —некоторый путь в S'. По свойству накрывающей
гомотопии расслоения р, примененному к пространству X = р~'(у@)) -— /*^@),
существует отображение
О:?;0)х[0,2к]^?,

2. Монодромия
103
которое делает коммутативной приведенную выше диаграмму. Мы
выбираем отображение G так, чтобы отображения
И • F' —> F'
"'• Гт@) ^ гт<0
(где F^(t) обозначает р~'(у@))> задаваемые формулой h,(x) = G(x,t),
О < t ^ 2тх, являлись гомеоморфизмами. Можно проверить, что если
выбрать другой путь, гомотопный пути у с закрепленными концами, или
другое отображение G, замыкающее приведенную выше коммутативную
диаграмму, то каждое из отображений ht изменяется только внутри своего
гомотопического класса (см., например, Спеньер [139], теорема 2.8.10).
Таким образом, мы имеем семейство корректно определенных
изоморфизмов
Будем представлять себе S1 как единичную окружность на комплексной
плоскости, и определим путь у формулой у@ = е" ,0 ^ t < 2к. Тогда
расслоение Е со слоем F' можно описать так:
F = F' х [0,2п]
~ (jc,0)«(/!(jc),2n)'
где h = /г2ц. Автоморфизм
h. = {hiK).:Hl(F,)-+Hi(F')
называется преобразованием монодромии.
Как указывается в следующей лемме, преобразование монодромии и
матрица Зейферта расслоенного узла k тесно связаны.
Лемма 8.1. Пусть k — некоторый расслоенный узел со слоем F'.
Зафиксируем базис в HtF', и пусть S: Я,/7' <8> H\F' —> Z —
матрица Зейферта узла k, a M — матрица монодромии преобразования
h,:H\F' —* H{F' no отношению к этому базису. Тогда MTS = ST.
Доказательство. Пусть х,у 6 H\F' — базисные векторы в H\F'.
Если изображать их как столбцы, мы получим S(x, у) = xTSy, ST(x,y) =
= xTSTy=yrSx и hm(y) = My, так что нужно только доказать, что
xTMrSy = yTSx. Так как S(x, у) = \к(х, (hn),y) и My — (h2n)*y,
достаточно показать, что
1к((Ай«).*, (hn),y) = Щу, (К),х).
Последнее очевидно:
\Щкъ).х, (hj.y) = \k{(hj.x, у) = Щу, (A,),jc). D
Следствие 8.2. Многочлен Александера расслоенного узла k равен
симметризованному характеристическому многочлену его
преобразования монодромии /г..

104
Лекция 8. Расслоенные узлы
Пример. Пусть k — правосторонний трилистник. Тогда в подходящем
базисе выполняются равенства
«-(-!.?) - «-(SV5 = (.?!).
так что характеристический многочлен матрицы М равен t2 - t + 1. Он
становится симметричным после умножения на /"', что дает —1 + t + t~\
а это выражение, как мы знаем, совпадает с многочленом Александера
узла k.
Доказательство следствия 8.2. Многочлен Александера
узла k определяется как Д*(/) = det(/'/2S - t~s/2ST). Мы имеем
Д*(/) = det(/l/2S - t~l/2MTS) = det(/? - Мт) • det(r1/2S)
по лемме 8.1, что совпадает с характеристическим многочленом
преобразования Л» с точностью до множителя ±ts (уничтожаемого при
симметризации). ?
Следствие 8.3. Если k с Е — расслоенный узел с поверхностью
Зейферта F' в слое, то его род равен роду поверхности F', т.е.
замыкание F' является поверхностью Зейферта минимального рода.
Доказательство. Так как F' — поверхность Зейферта, род узла k
не превышает рода поверхности F'. С другой стороны, степень многочлена
Александера узла k равна наибольшей степени переменной / в симмет-
ризованном характеристическом многочлене преобразования /г., которая
в свою очередь равна роду поверхности F'. Так как род узла k не
может быть меньше степени его же многочлена Александера, доказательство
окончено. D
Следствие 8.4. Если узел k расслоенный, то его многочлен
Александера монический, т.е. его старший коэффициент равен ±1.
Доказательство. Старший коэффициент многочлена Д*(/) равен
±detS, ср. с доказательством следствия 8.2. Так как Д*A) = 1, мы
имеем 1 = det(? — MT) ¦ detS. Обе матрицы в правой части этого равенства
целочисленные, следовательно, det(? — Мт) = detS = ±1. ?
Пример. Узел, показанный на рис. 7.7, не расслоенный, поскольку
старший коэффициент его многочлена Александера 4/~2 — 12/~' + 17 —
— 12/ + 4/2 равен четырем, т.е. этот многочлен не монический.
Для данного расслоенного узла в ? можно получить разбиение Хегора
Е = Afi Up М2 следующим образом. Будем представлять 51 как отрезок
[0,2л] с отождествленными концами. Пусть М, —замыкание прообраза
р~'([0,к]) = F' х [0, л] верхней полуокружности при проекции р.
Аналогично, пусть М2—замыкание прообраза р~'([п,2тс]) = F' х [к,2тс]. Обе
части Mi и М2 являются полными кренделями рода, равного удвоенному

3. Еще о торических узлах
105
роду поверхности /•"', а разделяющей поверхностью является F = дМ\ =
= дМ2 = F' U F' — объединение двух экземпляров замыкания F'
поверхности /-"', склеенных вдоль узла k. Отображение приклейки дМх —> дМ2
получается продолжением отображения, заданного формулой
(х,к) 1—у (л:, к), х € F',
(8.1)
(лг.О) ^ (Л(л:),2тс), х € F',
где h = /z2„: Р —> Z7' — гомеоморфизм монодромии.
§3. ?«{е о торических узлах
Мы приведем здесь набросок доказательства Милнора [106] того
факта, что дополнение к торическому узлу типа (p,q) допускает расслоение
над S1 на поверхности рода (р — \)(q — I)/2.
Пусть отображение /:С2 —» С задано формулой f{z,w) = zp + w", где
р и q — взаимно простые целые числа. Пересечение особой комплексной
кривой V = {(z,w) | f(z,w) =0} со сферой S3 = {(z,w) \ \z\2 + \w\2 = 1}
является торическим узлом типа {p,q), см. лекцию 7. Формула
задает отображение tp: S3 \ & —> S1 на окружность S1 единичных
комплексных чисел. Милнор в разд. 4 своей книги показал, что отображение ср
трансверсально любой точке из S1 и, следовательно, представляет
собой проекцию такого локально тривиального расслоения, что каждый слой
F' т =ф~'(е'е) является гладкой римановой поверхностью. Все слои Fe
гомеоморфны между самой с помощью естественных гомеоморфизмов,
которые можно описать явно: отображение h,:Sz \ k —> S3 \ k, заданное
формулой
ht{z,w) = (eit/pz,eulqw),
гомеоморфно переносит слой <р~'(</) на слой ф~'(г''г/) для всех у и /
между 0 и 2гс. Монодромия h = h2n задается формулой
h^(z,w) = (e2«i/pz,e2*i/qw).
Замыкание каждого слоя F^ m в S3 имеет узел k своим краем. Чтобы
увидеть это, возьмем точку (z0,w0) € k и выберем локальные координаты
в S3 в некоторой окрестности U точки (z0, w0) так, что / = и + iv, где
и и v — вещественная и мнимая части функции /. Точка из U лежит в
слое F[ = ср~'A) тогда и только тогда, когда и + iv = \и + iv\, т.е. и > 0,

106
Лекция 8. Расслоенные узлы
и = 0. Значит, замыкание слоя F[ пересекает U по множеству и ^ 0, v = 0.
Очевидно, что dF\ П U = k П U.
Аналогично точка из U лежит в слое F^ Aв) тогда и только тогда,
когда и + iv = е'е|и + ш|, т. е. и9 > 0, и9 = 0, где ив = и cosG + и sinQ,
у9 = — и sin 9 + у cos6, и снова дР'ехрт П U = k Г) U. Таким образом, все
слои располагаются вокруг их общего края k способом, показанным на
рис. 8.2.
Рис. 8.2
Далее Милнор показал, что любой слой /^хр(/в) диффеоморфен
поверхности Ге, заданной в С2 уравнением zp + w" — е'в. Это описание позволяет
легко посчитать род поверхностей F^ {1в) и Ге. Достаточно вычислить его
для Г0. Рассмотрим проекцию р:Г0 —>С, (z, w) н»г. Если zp = 1, то p~'(z)
состоит всего из одной точки (z, 0); в противном случае p~l(z) содержит q
различных точек. Следовательно,
XW) = q ¦ х(С) -p.(q-\)=\-(p-\)(q-\),
и род поверхности Г0 равен (р - l)(q - l)/2.
Для вычисления монодромии торического узла нам нужно сделать
отступление в алгебраическую топологию.
§4. Джойны
Пусть X и Y — некоторые СW-комплексы, не обязательно связные.
Построим новый комплекс X * У, соединив каждую точку из А" с каждой
точкой из У отрезком. Полученное новое пространство называется джой-
ном пространств А" и У. Точнее, пространство X * У определяется как
факторпространство X * У = (X х У х /)/ ~, где ~ обозначает отношение
эквивалентности
(t = t'=0wx=x' или
(x,yyt) ~ (х ,у ,t ), если и только если <
[ t = /' = 1 и у = у'.

4. Джойны
107
По-другому пространство X * Y можно представлять себе состоящим из
четверок (t,x,s,y), где х ? X, у ? Y, a s, t —-такие вещественные числа, что
0<s, t^lns + t = l. Кроме того, делаются следующие отождествления:
для каждого х ? X стягиваются в одну все точки вида @, х, 1, у), у ? Y, а
для каждого у ? Y — все точки вида A,лг, 0,у), х ? X.
Обозначим через СХ конус над X, в который пространство X вложено
естественным образом как основание, и сделаем то же для Y. Легко видеть,
что тогда существует следующий гомеоморфизм:
X * Y = ((СХ) х У) иХхУ (X х (CY)). (8.3)
Пример. Пусть X = Y = S0 — нульмерная сфера (пара точек). Легко
видеть, что X * У = S1.
Пример. В общем случае S0 * X = SX является надстройкой над X.
В частности, 5° * S" = SS" = S"+l. Так как джойн ассоциативен, по
индукции отсюда следует, что S" * Sm = Sn+m+l.
Гомотопический тип пространства X * У можно описать так. Склейка
X * У = ((СХ) х У) U (X х (CY)) вдоль X х У легко преобразуется в
объединение
X * У = [((СХ) х У) U CY] U [(X х (CY)) U СХ] =Я,и Я2, (8.4)
где пространства Р, = ((СХ) х У) и СУ и Р2 = (А" х (СУ)) U CY стягиваемы,
а их пересечение Р = Р\ П Р2 — (X х У) U CY U СУ гомотопически
эквивалентно Л-произведению X Л У. Таким образом, джойн А" * У гомотопически
эквивалентен надстройке S(X Л У), и из точной последовательности Май-
ера—Вьеториса следует, что И'п(Х * Y) = Нп_,(Х Л У).
Мы можем применить длинную точную последовательность пары
(А" х УД V У) для вычисления гомологии X V Y (для простоты над С):
... -» Нп(Х V У) -^ //„(Л" х У) -» //„(* Л У) -+ /?„_,(* V У) - ..., (8.5)
где Нп(Х V У) = Нп(Х) © Hn(Y) для всех л > 0 (напомним, что Я„ = Н'„,
если л > 1, и //0 = Я0 Ф С). Согласно формуле Кюннета
//„(* хГ)=^ H-,X®H,Y.
i+j=n
Предположим, что л > 1. Гомоморфизм /» в (8.5) отождествляет Н„X = ЯД
с образом множества ЯД в ЯД <g> Я0У', определенным выбором
точки г/0. Аналогично, он отождествляет Н„Y = HnY с образом группы HnY
в Н0Х ® HnY, определенным выбором точки х0. Следовательно, ('» —
мономорфизм. При более аккуратном рассмотрении можно показать,

108
Лекция 8. Расслоенные узлы
что it:H0X © H0Y —+ Н0(Х х Y)—также мономорфизм, поэтому
длинная точная последовательность (8.5) расщепляется на короткие точные
последовательности, п > 0,
0 -> Н„Х ф HJ -н. Я„(Х х У) -> //„(X Л У) — 0,
и мы получаем окончательный результат
//,,+ ,(* * У) = ]Г Н-,Х ® H;Y, п^О. (8.6)
i+j=n
Общую формулу для Н,(Х * Y) над произвольной областью главных
идеалов можно найти в работе Милнора [102].
Ниже мы применим формулу (8.6) для вычисления Ht(X * Y), где X
и К — конечные множества с дискретной топологией. Результат
Ht(X *Y) = H0(X)®H0(Y) (8.7)
можно легко проверить без ссылки на общий факт (8.6) следующим
образом. Пусть \Х\ и \Y\—мощности множеств X и У соответственно.
Пространство X AY состоит из (|Л"| — 1)(|У| — 1) + 1 точек. Так как
пространство X * Y гомотопически эквивалентно S(X А У), его можно представлять
себе как одноточечное объединение {\Х\ — 1)(|У| — 1) окружностей.
Следовательно, мы получим естественный изоморфизм (8.7), где Н0Х и H0Y —
комплексные векторные пространства размерностей \Х\ — 1 и \Y\ — 1
соответственно.
§5. Монодромия торических узлов
Поверхность V = {(z,w) | zp + wq = 0} С С2 допускает Содействие по
формуле t ¦ (z,w) = (tqz,tpw). Это дает возможность продолжить
отображение cf>:S3 \ k —» S1 (см. (8.2)) до локально тривиального расслоения
ф:С2 \ V —> S' по формуле
Заметим, что М+-часть нашего С*-действия отождествляет каждый слой
ф_| (у) с у~](у) х К+. Таким образом, слои для ср и для ф имеют одинаковый
гомотопический тип.
Пусть Ъ/ р и Ъ/q — конечные циклические группы, состоящие из
корней из единицы соответственно р-й и q-н степеней, а У = Z/'р * Ъ/q— их
джойн. Джойн У можно вложить в С2, рассматривая его как множество
всех векторов вида (sc,, tt]) € С2, где s, t ^ 0, s + t = 1 и с, 6 Ъ/р, rj e "L/q.
Заметим, что У с ф~'0)-

5. Монодромия торических узлов
109
Теорема 8.5 (Фам [119]). Джойн J является деформационным ре-
трактом слоя ф"'A)-
Доказательство. Для любой данной точки (z,w) S ф~'A)
сначала деформируем координату z вдоль пути в С, выбранному таким образом,
чтобы точка zp двигалась по прямой к ближайшей точке Re(zp)
вещественной оси. Проделаем то же самое с координатой w. Вектор (z,w) перейдет
в такой вектор (г', w'), что г'", w € К. Значение zp + wq > 0 не меняется
в ходе этой деформации, поэтому мы остаемся в слое ф~'A). Далее, если
(г'У < 0, сдвинем z' по прямой к нулю, и оставим z' неизменным, если
(z')p ^ 0, и то же сделаем для (w')q. Так вектор (z',w') сдвинется вдоль
некоторой прямой в вектор (г", w") G ф~'A). который удовлетворяет
неравенствам (z")p, (w")q > 0. Следовательно, z = sc, и w = tr\ для некоторых
s, / > 0 и некоторых ^ е Z/'р, г) G Z/q. Наконец, сдвинем вектор (z",w")
вдоль прямой к точке
{г", w")/(s + /)б/.
Так как точки из J остаются на месте при этой деформации, доказательство
окончено. ?
Вспомним теперь, что гомеоморфизм монодромии h — /г2„:ф~'A) —*
—> ф"'A) задается формулой
h(z,w) = (e2lu/pz,eM/qw).
Он переводит джойн J в себя, а ограничение h\j можно описать как джойн
h = rp * rq: J —> У,
где отображение rp:Z/p —> Z/ р задается формулой гр(с,) = еы1р\, и
аналогично для rq. Рассмотрим индуцированный гомоморфизм
(rp),:H0(Z/p-X)^H0(Z/p;C)
приведенных групп гомологии. Для каждого целого числа v между 1 и р - 1
определим класс гомологии «л», который произвольному с, G Z/p
сопоставляет коэффициент ?v € С.
Заметим, что cov — редуцированный нульмерный класс гомологии,
поскольку сумма его коэффициентов, <;\ где с, пробегает все корни р-й
степени из единицы, равна нулю. Легко видеть, что
(г „).(<*,) = e-2raV'cov,
так что uv является собственным вектором оператора (rp), с собственным
значением е~ы"/р. Следовательно, собственные значения преобразования
(гр), * (rQ), — это всевозможные произведения c,r\ G С, где \ пробегает все

но
Лекция 8. Расслоенные узлы
корни р-ц степени из единицы, отличные от единицы, а т) — все корни
q-\\ степени, отличные от единицы. Таким образом, характеристический
многочлен отображения /г» равен
(tpq - \W - 1)
(f - l)(t" - 1)'
П С-5 ч)
а симметризованныи многочлен равен
(„_ж,_|)/2 (С* - W - 1)
(f-W-iy
Это — многочлен Александера торического узла типа (p,q).

Лекция 9
Инвариант Арфа
Теории квадратичных и симметрических билинейных форм совпадают
над любым полем, в котором 0 ф 2. В этой лекции мы будем в основном
интересоваться квадратичными формами над Z/2, когда эти теории
различаются. Следующий параграф об инварианте Арфа квадратичной формы
над полем Z/2 близко следует изложению гл.З из книги Браудера [24].
§1. Инвариант Арфа квадратичной формы
Пусть V — некоторое конечномерное векторное пространство над
Z/2. Функция q:V—> Z/2 называется квадратичной формой, если
1(х, у) = q(x + у) - q{x) — q(y) является билинейной формой над Z/2.
Заметим, что функция / симметрична в том смысле, что 1(х, у) = 1(у,х).
Очевидно, что I(x, x) = qBx) - 2q(x) = 0. Квадратичная форма q
называется невырожденной, если невырожденна соответствующая ей билинейная
форма /, т.е. если определитель матрицы формы / не равен нулю в Z/2.
Пример. Пусть в U = (Z/2J задан базис а, Ь. Имеется ровно
одна невырожденная симметрическая билинейная форма / на U, и она
задается условиями /(а, а) = l(b,b) = 0 и 1(а,Ь)= 1. Зададим
квадратичные формы q0,qt: U —> Z/2 формулами qo(a) = q0(b) = 0, q0(a + b) = 1,
<7i(a) = qi(b) = q\(a + b) = 1. Обе билинейные формы, ассоциированные
с q0 и <7ь равны /. Однако квадратичные формы q0 и qt не
эквивалентны, так как форма q0 переводит большинство векторов из U в нуль, а
<?i —в единицу. Оказывается, любая другая невырожденная квадратичная
форма на U эквивалентна либо q0, либо q{.
Чтобы это доказать, достаточно рассмотреть любую форму q, для
которой q(a) = 0, q(b) = 1. Заменим базис на а' = а, Ь' = а + b и получим
q(a') = 0 и q(b') = q(a + b) = /(a, b) + q{a) + q(b) = 0. Таким образом,
форма q эквивалентна q0.
Лемма 9.1. Для любой невырожденной квадратичной формы
q: V —> Z/2 в пространстве V существуетснмплекттескнн базис a-,, bh
i = \,... ,п, т.е. такой базис, что l(ai,aj) = I{bi,bj) = 0 и /(a,,bt) = 8,7 —
символ Кронекера. В частности, размерность dim V всегда четна.
Доказательство. Выберем какой-нибудь базис в V, тогда
форма /(, ) будет задана матрицей /, det/ = 1, и мы получим 1(х,у) = х ¦ /у,
где «•» обозначает евклидово скалярное произведение. Для любого х ф 0

112
Лекция 9. Инвариант Арфа
существует такое и, что х ¦ и = 1, значит, 1(х,у) = 1 для у = /"'и.
Векторы х, у линейно независимы, так как 1(х,у) = 1; в частности, dim V > 2.
Выберем в V новый базис, первые два вектора которого — х и у. Матрица
формы / в новом базисе будет иметь вид
air ¦» »=(?;)•
Элементарными преобразованиями ее можно привести к виду
Очевидная индукция завершает доказательство. D
Пусть q:V—>!,/2— невырожденная квадратичная форма и a,-,bh
/ = 1,...,«,— симплектический базис в V. инвариант Арфа формы
q определяется по формуле
п
Нужно доказать, что Аг%) не зависит от выбора симплектического
базиса. Это следует из проведенного ниже исследования квадратичных форм
над Z/2.
Пример. Формы q0, qx:U —> Z/2 имеют инварианты Арфа Arf(q0) = 0 и
Arf(<7i) = 1. Таким образом, инвариант Арфа дает полную классификацию
невырожденных квадратичных форм на U. Доказанная ниже теорема 9.6
утверждает, что это имеет место и в общем случае.
Лемма 9.2. Формы q0 + q0 и qx + qx на пространстве U © U
эквивалентны.
Доказательство. Очевидно, что формы q0 + q0 и qx + qx имеют
одну и ту же ассоциированную билинейную форму / на U ф U. Пусть a,,bh
i = 1,2, — такой базис в U © U, что пара векторов а,-, Ь: является
симплектический базисом в /-м экземпляре пространства U. Для ф0 = Qo + Qo,
ф, = qx +<7i имеем ф0(а,) = ф0F,) = 0 и ф|(а,) = ф|(&,-) = 1, / = 1,2. Выберем
новый базис в U © U:
а\ = ах + а2, Ь[ = Ь\ + а2,
а'2 = а2 + Ь2 + ах + Ьи Ы2 = Ь2 + ах+Ьх.
Легко проверить, что он является симплектический и что ф|(а') = фо(я<)>
4*1 (i>/) = фо(Ь,-), следовательно, форма ф! эквивалентна ф0. ?
Лемма 9.3. Пусть q: V —» Z/2 — некоторая невырожденная квад-*
ратичная форма, причем dim V = 2т. Тогда форма q эквивалентна

1. Инвариант Арфа квадратичной формы
113
q, + (т — l)q0, если в некотором базисе Ari(q) = I, и эквивалентна
mq0, если Arf(g) = 0.
Доказательство. Пусть а,, /?,,/' = 1,... ,т,— симплектический
базис в V и Vj — подпространство, порожденное векторами а,-, 6,. Обозначим
через ф,- ограничение формы q на V,-. Очевидно, что q = 52 Фм гДе каждая
форма ф, эквивалентна q0 или qt. По предыдущей лемме 2q0 = 2qu поэтому
форма q эквивалентна mq0 или д, + (т - l)q0. Но Arf(<7i + (т - l)q0) = 1
и Arf(m<7o) = 0, откуда следует наш результат. ?
Завершая изучение невырожденных квадратичных форм над Z/2, мы
еще покажем, что формы ф| = <7i + (m ~ ')<7о и ф0 = wg0 He эквивалентны.
Мы докажем это с помощью следующей леммы.
Лемма 9.4. Квадратичная форма <р{ равна 1 е Z/2 на большинстве
векторов пространства V, в то время как значение формы ср0 на
большинстве векторов равно 0 е Z/2.
Следствие 9.5. Для невырожденной квадратичной формы q
равенство Arf(q) = 1 выполнено тогда и только тогда, когда на
большинстве элементов из V значение формы q равно 1 е Z/2. В
частности, инвариант Арфа корректно определен.
Доказательство леммы 9.4. Будем действовать по индукции.
Случай т = 1 тривиален. Пусть ср — невырожденная квадратичная форма
и р(ср) — количество векторов х ? V, для которых у(х) = 1, а л(ф)— число
векторов х ? V, для которых <р(х) = 0. Тогда /?(ср) + я(ср) = 22'", что равно
числу всех векторов в V, включая нулевой.
Функции р и п удовлетворяют соотношениям р(<р + q0) = 3/?(ф) + /г(<р)
и л(ср + <7о) = Зл(ф) + р(ф). Это можно проверить следующим образом.
Любой вектор в V © с/ имеет вид (jc, и), где л: ? V и и е U, и мы
имеем (ф + q0)(x,u) = (f(x) + qa(u). Для трех из четырех векторов
пространства U мы имеем q0 = 0, и только для одного вектора q0 = 1, поэтому для
каждого такого вектора л: е V, что ф(х) = 1, имеется три вектора (х, и),
для которых q0(u) = 0, а значит, (ф + q0)(x,u) = 1. Аналогично для
любого такого вектора у ? V, что ф((/) = 0, существует всего один вектор
(у, и), для которого q0(v) = 1, а значит, (ф + q0)(y,u) = 1. Следовательно,
/?(ф + <7о) — Зр(ф) + л(ф), и оставшееся соотношение выводится
аналогично.
Положим /-(ф) = /?(ф) - л(ф). Тогда /-(ф + qQ) = 2г(ф), так что если
/"(ф) > 0, то л(ф 4- qo) > 0, а если г(<р) < 0, то г(ср + д0) < 0. Так как r(q^ = 2
и л(<7о) = -2, отсюда следует, что л(д, + (т — 1)д0) > 0 и r(mq0) < 0, что
завершает доказательство леммы. ?
Так как величина г, очевидно, является инвариантом, это влечет, что
форма q\ + (т — l)q0 не эквивалентна mq0. Таким образом, мы доказали
следующий результат.
8* Лекции по топологии

114
Лекция 9. Инвариант Арфа
Теорема 9.6 (К-Арф [5]). Две невырожденные квадратичные
формы на конечномерном векторном пространстве V над Z/2
эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый
инвариант Арфа.
§2. Инвариант Арфа узла
В теории узлов возникают важные примеры квадратичных форм. Пусть
k С Е— узел в ориентированной целочисленной гомологической сфере Е.
Пусть F — его поверхность Зейферта рода g, a 5 — ее матрица Зейферта
в некотором фиксированном базисе группы H\(F;Z). Кососимметрическая
форма / = S — ST является формой пересечений поверхности F; она уни-
модулярна, см. лекцию 7. Форма Q = 5 + 5Т симметрична; она четная и
имеет нечетный определитель, так как Q = I mod 2. Зададим квадратичную
форму q:H[(F;Z/2) —» Z/2 формулой
q{x)=l-Q(x,x) mod 2. (9.1)
Легко видеть, что q(x) = S{x,x) mod 2. Ассоциированная билинейная
форма равна I = Q mod 2, поскольку
q(x + у) - q(x) - q{y) = S(x + у,х + у) - S(x,x) - S(y,y) =
- S(x,y) + S(y,x) = (S + Sr)(x,y) = Q(x,y).
Квадратичную форму q можно представлять следующим образом.
Построим поверхность Зейферта F путем приклеивания лент к диску. На F
естественным образом возникает семейство кривых, пробегающих вдоль
приклеенных лент, которые задают базис в //|(F,Z/2). Пусть х — одна
из этих кривых; тогда q(x) равно по модулю
два количеству полных перекручиваний ленты
при обходе вдоль х. Например, квадратичная
форма поверхности, показанной на рис. 9.1,
совпадает с qx.
Лемма 9.7. инвариант Арфа Arf(g)
квадратичной формы (9.1) зависит только от
узла k с Е и не зависит от произвола в
определении формы q.
Таким образом, Аг%) является инвариантом узла, который обычно
обозначается через Arf(ft) и называется инвариантом Арфа узла k.
Доказательство леммы 9.7. Достаточно проверить, что Arf(^)
не изменяется при операции стабилизации матрицы Зейферта. Эта опера-

2. Инвариант Арфа узла
115
ция заменяет матрицу Зейферта 5 на
( "' °\
S : :
S' = a2g 0 ,
Ь\ ... b2g с 1
\0 ... О 0 0/
ср. с G.1). С помощью синхронных преобразований строк и столбцов
можно добиться выполнения равенств с = 0 и а,¦ + Ь,- = 0 для всех i = 1,..., 2g.
Тогда матрица Q' = S' + S'T будет иметь вид
/ 0 04
S + ST : :
о о ,
О ... 0 0 1
\0 ... 0 10/
так что симплектический базис для Q = S + ST mod 2 можно будет
дополнить до симплектического базиса для Q' = S' + S'T mod 2, причем
Ar%') = Arf(<?) + Аг%о) = Arf(<7) mod 2. П
Теорема 9.8. Для любого узла k с S в гомологической сфере Е мы
имеем
Arf(A) = iAi'(l),
г(?е Д?@ — вторая производная многочлена Александера узла k,
определенного по формуле G.2).
Доказательство. Пусть S — некоторая матрица Зейферта для k
размера 2g x 2g и Q = S + ST. Тогда найдутся такое нечетное
число а и такая целочисленная матрица Р с нечетным определителем, что
а2 ¦ Q = PTDP, где
а С|,... ,cg —нечетные целые числа. Для доказательства этого
утверждения предположим временно, что все нечетные числа можно обращать. Так
как форма Q = ||а,,Ц четная, аи = 0 mod 2. В то же время определитель
det Q нечетен, откуда следует, что аи = 1 mod 2 для некоторого i. Мы не
ограничим общности, положив а]2 = 1 mod 2. Матрица
А = fa" fl|2)
\al2 an)

116
Лекция 9. Инвариант Арфа
имеет определитель аиа22 — а22 = 1 mod 2 и, значит, обратима. Матрица Q
имеет вид
где /Г = А и Вт = В. Если
«-(ГГ)
— обратимая матрица (? обозначает единичную матрицу), то
G = *T(o -M-'°z7 + fl)* где det* = L
По индукции получаем
Q = /?т?>/?, (9.2)
где матрица R, вообще говоря, не целочисленная, поскольку ее элементам
разрешено иметь нечетные знаменатели. Пусть а — их общий знаменатель;
тогда а = 1 mod 2. Для завершения доказательства нашего утверждения
умножим обе части равенства (9.2) на а2 и обозначим через Р
целочисленную матрицу а ¦ R. Заметим, что определитель detP нечетен.
Таким образом, у нас имеется базис {anbj} в Ht(F,Z), для которого
а2 ¦ Q(ahaj) = 2piblj,
a2-Q(bi,bi) = 2qibij,
а2 ¦ Q{ahbj) = Cibij.
Образ базиса {ah6,} при гомоморфизме Ht(F;Z) —> H\(F;Z/2) является
симплектическим базисом для q mod 2, который мы по-прежнему
обозначаем через {aj,bj}. Мы имеем
4(o.,) = ^Q(aha,) = pl mod 2,
q(bj) = \Q(bhbj)=qi mod 2,
следовательно,
g
Ari(k) = У^ Pjqj mod 2.
/=i
Вычислим Д*(— 1) = det(/Q). Из доказанного выше утверждения
следует, что
g
(a2Jg det(» (?) = (det PJ det(i D) = (det Pf Ц(с- - Ap,q,).

2. Инвариант Арфа узла
117
Так как х1 = 1 mod 8 для любого нечетного целого х, мы имеем следующее
равенство по модулю 8:
g g
Д*(-1) = det(/ Q) = ДA - 4Piq,) = 1 + 4^ Plq, = 1 + 4 Arf(ft). (9.3)
Теперь мы докажем, что
Д*(-1) = 1 + 2Д;'A) mod 8. (9.4)
Так как Д*A) = 1 и Д*(/) = Ak(t~l) (см. лекцию 7), многочлен Александера
Ak(t) можно переписать в виде
Ak(t) = a0 + Y/ak(tk + t-k), где а0=1-2^а*.
Элементарное вычисление приводит к соотношению А'к(\) = 21У2кк2ак.
Следовательно, правая часть равенства (9.4) равна
1+4?>V
*
С другой стороны,
Д»(-1) = а0 + 2?(-1)Ч=1+2?М(-1)*-1)=1-4 ? flt.
k к к нечетное
Теперь легко проверить, что выполняется равенство (9.4).
Сопоставление (9.3) и (9.4) завершает доказательство. ?
Пример. Пусть k — торический узел типа (p,q) в 53. Его многочлен
Александера равен
дА(л _ t-{p-\){q-n/2 О - ')A ~ /Р'')
A-/')(!-'«)'
Следовательно, инвариант Арфа узла k равен
|Ц'A) = (Р' " У ~ ° Md 2). (9.5)
Пример. Многочлен Александера скрученного узла k типа Bт + 2)|
равен A + 2т) - m(t + t~l), следовательно, его инвариант Арфа равен т
mod 2.

Лекция 10
Теорема Рохлина
§ 1. Характеристические поверхности
Пусть М — односвязное ориентированное замкнутое четырехмерное
многообразие и
QM: H2{M;Z) ® H2{M\Z) -> Z, a^b^a-b,
— его форма пересечений. Замкнутая ориентированная поверхность F,
гладко вложенная в М, называется характеристической, если
F ¦ х = х ¦ х mod 2 для всех х е H2(M;Z). A0.1)
Для упрощения записи мы используем тот же символ F для
обозначения соответствующего гомологического класса в Н2{М) = H2(M\Z).
Пусть в\,...,е„ — некоторый базис в Н2{М). В нем QM задается матрицей
а;/ = е,- • ег Легко проверить, что поверхность F = ^?<е<
характеристическая тогда и только тогда, когда
п
У^ cijjZj = au mod 2 для всех i = 1,..., п. A0.2)
;=|
Пример. Пусть М — некоторое односвязное ориентированное
замкнутое гладкое четырехмерное многообразие. Его можно представить в виде
М = (М \ int D4) U D4. Предположим, что М \ int DA есть результат
четырехмерной перестройки вдоль некоторого зацепления ? = L\ U ... U L„
в S3. Таким образом, М \ intZL получается из D4 приклеиванием 2-ручек.
Тогда базис в Н2(М) образуют поверхности /•", = F[ U D2, где F[ —
некоторые поверхности Зейферта для узлов L, (внутренность которых продавили
в D4 вдоль радиусов), a D2 — центральный диск соответствующей 2-ручки.
В этом базисе матрица пересечений изоморфна матрице зацеплений для ?
(см. теорему 6.2 из лекции 6). Равенства A0.1) и A0.2), определяющие
характеристическую поверхность, превращаются в соотношение для
характеристического подзацепления ?' зацепления ? (см. равенство D.1) из
лекции 4). Подзацепление ?' определено однозначно, так как det QM = ±П
С данным характеристическим подзацеплением ?' ассоциируется характе-1
ристическая поверхность F, полученная из некоторой поверхности
Зейферта для ?' приклеиванием п экземпляров диска D2, по одному для
каждой компоненты зацепления ?'. J

2. Определение формы q
119
С каждой характеристической поверхностью F С М можно
ассоциировать квадратичную форму q : Ht(F;Z/2) —* Z/2 (см. ниже) и инвариант
Арфа Ari(M,F) = Arf(q). Следующее утверждение обобщает теорему
Рохлина 5.6 из лекции 5.
Теорема 10.1 (Рохлин [127]). Пусть М—замкнутое односвязное
гладкое четырехмерное многообразие, F — некоторая замкнутая
ориентированная поверхность, гладко вложенная в М. Если
поверхность F характеристическая, то
s\gnM-F-F =M(MtF) mod2. (Ю.З)
о
Следствие 10.2 (Кервер, Милнор [73]). Если в условиях
теоремы 10.1 поверхность F является сферой, то sign М — F ¦ F = 0 mod 16.
Это следует из теоремы 10.1, поскольку если F — сфера, то Hi(F;Z)
вырождается и мы имеем Arf(Af, F) = 0. Следующее утверждение
получается из теоремы 10.1 в случае F = 0.
Следствие 10.3 (Рохлин [126]). Если в теореме 10.1 форма
пересечений многообразия М четна, то sign M = 0 mod 16.
§2. Определение формы q
Пусть F — некоторая замкнутая ориентированная характеристическая
поверхность, гладко вложенная в М. Предположим, что гомологический
класс и € Я, (F; Z/2) реализован в F гладко вложенной окружностью у. Так
как Я, (М; Z) = 0, окружность у ограничивает некоторую замкнутую
ориентируемую поверхность D, погруженную в М и такую, что int(D) трансвер-
сально F. Малое шевеление поверхности D дает другую поверхность D',
для которой у' = dD' есть кривая в F, получаемая из 3D сдвигом по F,
так что dD n dD' = 0. Можно предполагать, что D и D' пересекаются
трансверсально. Положим
q(y) = D ¦ D' + D ¦ F mod 2, A0.4)
где под D ¦ D' и D ¦ F мы понимаем индексы пересечения внутренности
поверхности D со внутренностью поверхности D' и с F соответственно.
Лемма 10.4. Формула A0.4) корректно задает некоторую
квадратичную форму
q: Я, (F; Z/2) -> Z/2,
для которой ассоциированная билинейная форма является формой
пересечений поверхности F.
Перед тем как приступить к доказательству леммы, рассмотрим
следующий важный пример.

120
Лекция 10. Теорема Рохлина
Пример. Предположим, что в М вложена сфера S3, которая
разделяет поверхность F на две части, F = F' U D2, где F' С S3— поверхность
Зейферта некоторого узла k с S3. Это имеет место, например, когда
многообразие М получено из D4 приклеиванием 2-ручки вдоль узла k С S3. Мы
получаем тогда две квадратичные формы q:H,(F';Z/2) —> Z/2 (эта форма
определена в лекции 9 формулой (9.1)) и q:H\(F\X/2) —> Z/2 (эта форма
определена формулой A0.4)).
Мы утверждаем, что изоморфизм ^:Hi(F'\Z/2) —> H{(F;Z/2),
индуцированный включением, делает коммутативной следующую диаграмму:
Я, (/="'; Z/2)—?-*-Z/2
9 id
/У, (F; Z/2) —?-»- Z/2
Пусть у с F' — вложенная в Р окружность. Выберем в М такую
ориентируемую вложенную поверхность D с краем 3D = у, что D Г) D2 = 0, —
просто возьмем в качестве D некоторую поверхность Зейферта узла у,
лежащую внутри 53, и устраним ее пересечение с D2 малым
шевелением. Мы получим D ¦ F = D ¦ F' = lk(y, k) mod 2. Пусть N(y) — регулярная
окрестность кривой у в S3. Так как F' — поверхность Зейферта узла k,
пересечение cW(y) П F' гомологично k в S3 \ N(y) с помощью
поверхности F' \ (N(x) Л /-"'), см. рис. 10.1. Это означает, что [k] = [cW(y) П F'] G
? Я, (S3 \ /V(y); Z) = Z. Следовательно, ?> • F = lk(y, k) = lk(y, 5/V(y) П Z7') =
= 0 mod 2.
Рис. 10.1
Таким образом, <?(у) = D ¦ D' = 1к(у,у') = 1к(у,у+) = q(y) mod 2, где
у+ — кривая, полученная из у (положительным) сдвигом.
Доказательство леммы 10.4. Сначала проверим, что число
<?(у) mod 2 не зависит от выбора D. Пусть Dt и D2—два возможных
выбора поверхности D. Перекрутив, если необходимо, поверхность D^,

2. Определение формы q
121
как показано на рис. 10.2, можно добиться, чтобы поверхность Dt UY D2
была гладко погруженной (мы хотим, чтобы «внешние» нормали к D\ и D2
имели противоположные направления в точках их общего края).
D'
TJCT
TJCT
U>
Рис. 10.2
На рис. 10.2 показано движение поверхности D2 при вращении
вокруг у. Мы отождествляем малый отрезок кривой у с отрезком временной
оси, так что при каждом фиксированном времени кривая у представляется
центральной точкой. Горизонтальная линия — это сечение поверхности F,
нормальное к у. Вертикальные линии представляют окрестности края
поверхностей D2 и D'2. Заметим, что это вращение изменяет и D2 ¦ D2, и D2 ¦ F
на ±1, так что сумма D2 ¦ D2 + D2 ¦ F остается неизменной по модулю два.
Пусть S' = D\ U D'2. Тогда S • S = S • S' = D, • D\ + D2 ¦ D'2 mod 2. Так
как поверхность F характеристическая, S • S = S • F mod 2, так что мы
получаем D, • D\ + D2 ¦ D'2 = Di ¦ F + D2 ¦ F mod 2 и D, • D[ + D, • F = D2 ¦ D'2 +
+ D2 ¦ F mod 2. Таким образом, q(y) не зависит от выбора D.
Так как любые две гомотопные простые замкнутые кривые на F
изотопны (см. лекцию 1), <7(у) зависит только от гомотопического класса
кривой у, а значит, задает отображение q~\Tt\(F) —> Z/2.
Пусть у = у, * у2 — произведение петель у, и у2. Тогда
q(t\ * Тг) = <7(Yi) + ЯЫ + Yi ¦ Y2 mod 2,
A0.5)
где у, • у2 — пересечение (по модулю два) гомологических классов
кривых yi и у2. Так как у, • у2 = у2 - Yi mod 2, равенство A0.5) влечет
соотношение <7(yi * у2) = ^(у2 * yi), и отображение q-.n^F) —> Z/2 корректно
определено на факторпространствах H\(F;Z) и Hi(F;Z/2).

122
Лекция 10. Теорема Рохлина
Таким образом, для завершения доказательства осталось только
проверить равенство A0.5). Для простоты пусть кривые yi и у2 пересекаются
трансверсально в одной точке, и пусть D, и D2— ограничиваемые ими
поверхности, участвующие в определении отображения ц. Пусть у — связная
сумма петель, представляющая Yi * Y2. см- Рис- Ю.З
Рис. 10.3
Поверхность Z), ограничиваемую кривой у, мы получаем из D, U D2 U
U T, U 7, где Tt и Т2 — криволинейные треугольники, закрашенные на
рис. 10.4; заметим, что 9D = у. Сдвинем у в направлении нормального
к у векторного поля, продолженного с нормальных полей к yi и у2.
Тогда у и сдвинутая кривая будут зацеплены, как показано на рис. 10.5,
откуда видно, что D ¦ D' = D, • D[ + D2 ¦ D2 + 1 mod 2. ?
Рис. 10.4 Рис. 10.5
Лемма 10.5. Инвариант Арфа Arf(M,F) зависит лишь от
гомологического класса [F] ? H2(M;Z/2).
Доказательство. Это утверждение — аналог теоремы Левина 7.2
для замкнутых поверхностей. Полное доказательство см. в работе Мацу-
мото [98]. ?
Доказательство теоремы 10.1. Рассмотрим многообразие
М # СР2 # СР2. Его форма пересечений нечетная и неопределенная. По
теореме Уолла (см. теорему 5.5) найдется такое k ^ 0, что многообразие
(М # СР2 # СР2) # k ¦ (S2 х S2) диффеоморфно (р ¦ СР2 # q ¦ СР2) #kx
х (S2 х 52), где р = Ь+{М) + 1 и q = b^{M) + 1. Так как
(S2 х S2) # СР2 = СР2 # 2 • СР2 и E2 х 52) # СР2 = СР2 # 2 • СР2,

2. Определение формы q
123
для некоторых ?, и ?2 мы имеем
М # U ¦ СР2 # ?2 ¦ СР2 = а ¦ СР2 # Ь ¦ СР2,
где а = Л + Ь+(М) и Ь = ?2 + Ь_{М). Пусть г, е Н2(СР2) = Z и fj€ Я2(СЯ2) =
= Z — образующие, представленные вложенными двумерными сферами
СР[ С СР2. Тогда г)-7)=1ит)-т)=—1. Если класс поверхности F в Н2(М)
характеристический, то класс поверхности Fc = F + ?, • т) + ^ • т)
характеристический в М # ?i ¦ СР2 # t2 ¦ СР2. Свойство быть
характеристическим сохраняется при диффеоморфизмах, поэтому образ поверхности Fc
в а ¦ СР'2 # Ь ¦ СР2 является характеристическим.
Обе части формулы A0.3) аддитивны по отношению к взятию связной
суммы многообразий и характеристических поверхностей. Следовательно,
если равенство A0.3) выполнено для любых двух из трех пар (M^F^),
(M-2,F2) и (Af| #/И2,/Г| иЯ), оно также выполнено для оставшейся
пары. Очевидно, sign СЯ2 - г) • т) = 0 = Arf(CP2, tj) и signCP2 - rj • f) = 0 =
= Arf(CP2,Tj). Кроме того, обе части равенства A0.3) меняют знак при
смене ориентации. Следовательно, достаточно доказать A0.3) для
характеристических поверхностей в СЯ2.
Для образующей т) € Н2(СР2) = Z, представленной вложенной сферой
S2 = СЯ1, класс 5 ¦ Г) 6 Н2{СР2) является характеристическим тогда и
только тогда, когда s нечетно. Алгебраическая кривая
С = {[х0 : х, : х2] | х0х\-' + х\ = 0} С СЯ2
гомеоморфна S2 и представляет класс s • т), см. лемму 10.6 ниже. Она
гладко вложена в СЯ2 всюду, кроме, быть может, точки [1 : 0 : 0]. Пусть
В — четырехмерный шар радиуса z с центром в [1:0:0]. В аффинной
плоскости хй = 1 пересечение дВ П С задается уравнениями х\~] + х\ = 0,
|х,|2 + |х>|2 = е2. Следовательно, дВ П С сдВ = S3 — торический узел &s,s_i
типа (s,s - 1). Пусть S — поверхность Зейферта в дВ с граничной кривой
дВ П С. Тогда поверхность F = (С \ (С П intB)) U 5 представляет класс
s • г;. Простое вычисление, использующее отождествление квадратичных
форм q и q в приведенном выше примере, показывает, что
M{CP2,s ¦ г]) = Arf(*„_,) = (s2 - l)((s - lJ - l)/24 mod 2 =
= A - s2)/8 mod 2 = (э1дпСЯ2 - stj ¦ srj)/8 mod 2
(второе равенство следует из соотношения (9.5)). ?

124
Лекция 10. Теорема Рохлина
Лемма 10.6. Поверхность С в СР2, заданная уравнением хйх\ ' +
+ х% = 0, гомеоморфна S2 и представляет гомологический класс
s ¦ [С/31] еН2(СР2).
Доказательство. Формула [х0 : х, : х2] >—> [*о : х,] задает
отображение ср: С —> СР1. Легко видеть, что оно эпиморфно и что для всех точек
[х0: Х|], отличных от [0: 1] и [1 :0], прообраз q>-l([x0: xt]) состоит из
s точек, в то время как <р-'([0 : 1]) = [0 : 1 : 0] и ср-'([1 : 0]) = [1 : 0 : 0].
Этой информации достаточно, чтобы вычислить эйлерову характеристику
поверхности С, а именно х(С) = s • х(^2) — 2E — 1) = 2. Следовательно, С
является двумерной сферой. Отображение <р имеет степень s и, таким
образом, индуцирует отображение ф»: Н2(С) —> Н2(СР]) = Z, представляющее
собой умножение на s.
Заметим, что [0 : 0 : 1] ф С. Это означает, что отображение включения
/: С —> СР2 пропускается через СР2 \ {[0:0: 1]} = ?_ь см. лекцию 2. Пусть
л:?_1 —> С/" —проекция [jc0 : X\ '• х2] >-> [*о : X|] (со слоем D2); мы имеем
тогда следующую коммутативную диаграмму:
СЯ'=СР'
Здесь /о и /, — естественные включения, композиция которых является
включением /: С —> СЯ2. Во вторых гомологиях (/])» и тс» —тождественные
изоморфизмы, и из коммутативности диаграммы следует, что
отображение /» = (i|),Gi)~'(p,:Z —> Z является умножением на s, поскольку таково
отображение ср.. П
§3. Представление гомологических классов
поверхностями
Пусть М — гладкое односвязное замкнутое четырехмерное
многообразие. Как мы знаем из леммы 5.2, любой гомологический класс и е Н2(М)
можно представить гладко вложенной поверхностью F. Одним из наиболее
интригующих вопросов четырехмерной топологии является следующий: для
заданного класса и е Н2(М) каков наименьший возможный род
поверхности F с М, представляющей ы? Класс и называется сферическим, если
его можно представить вложенной двумерной сферой.
Пример. Пусть г] G Н2(СР2) = Z — образующая, представленная
комплексной прямой СР1 С СР2, так что т) — сферический класс. Тогда все
остальные классы в Н2(СР2) имеют вид st), s € Z. Достаточно рассмотреть

3. Представление гомологических классов поверхностями 125
случай s > 0. Теорема Рохлина запрещает некоторым классам stj быть
сферическими. Например, если бы класс Зт) был сферическим, мы бы получили
противоречие:
signC^-Sri-Sn = 1-9 = Arf(cp2K ) = о mod 2.
о о
То же рассуждение работает для классов sr\, где s = ±3 mod 8, тем
самым доказывая, что они не сферические. С другой стороны, класс 2т)
сферический — конструкция из доказательства теоремы Рохлина, которая
задействовала поверхность С = {х0х\~х + х\ = 0}, дает в случае s =2
поверхность {x0xt + х\ = 0}. Ее пересечение с малой трехмерной сферой дВ
с центром в точке [1 : 0 : 0] дает торический узел k2,i, который
эквивалентен тривиальному. В частности, он ограничивает поверхность Зейферта S
рода нуль, и поверхность (С \ (С П intfi)) U S является гладко вложенной
двумерной сферой, представляющей 2т).
В общем случае эта конструкция с торическими узлами дает верхнюю
оценку (s — l)(s — 2)/2 для рода вложенной поверхности,
представляющей S7). Знаменитая гипотеза Тома утверждает, что эта оценка точна. Эта
гипотеза была доказана Кронхаймером и Мровкой [85] с помощью
калибровочной теории Зайберга—Виттена.

Лекция 11
Инвариант Рохлина
§ 1. Определение инварианта Рохлина
Пусть Е — ориентированная целочисленная гомологическая
трехмерная сфера. Согласно теоремам 6.2 и 4.1 существует такое гладкое одно-
связное ориентированное четырехмерное многообразие W с четной формой
пересечений, что dW = ?. Сигнатура такого многообразия W делится на
восемь, и
ц(Е) = ^ sign W mod 2 A1.1)
не зависит от выбора W (см. п. 4 лекции 6). Мы называем ц(?)
инвариантом Рохлина гомологической сферы Е.
Предположим, что Af — гладкое односвязное ориентированное
четырехмерное многообразие с краем дМ = S; мы не предполагаем четности
формы пересечений. Предположим, что М имеет сферическую
характеристическую поверхность, т. е. гладко вложенную характеристическую
поверхность F с М рода нуль. Тогда
п(Т.) = Uslgn М - F ¦ F) mod 2. A1.2)
о
Чтобы проверить равенство A1.2), возьмем гладкое замкнутое
многообразие X = W Us (-M). Тогда F — сферическая характеристическая
поверхность в А" и
ц(Е) + ^(signAf -F-F) = ^sign Г + i(signM - F ¦ F) =
= ^(signX -F-/:) = 0 mod 2
о
(первое равенство вытекает из соотношения A1.1), а третье — из следствия
10.2).
В более общем случае, когда F с М — характеристическая поверхность
рода больше нуля, инвариант Рохлина вычисляется по формуле
ii(E) = hsignM-F-F) + Ad(M,F) mod 2, A1.3)
о
где Ad(M,F) определено, как в теореме 10.1. Равенство A1.3) легко
проверить с помощью теоремы 10.1.

2. Инвариант Рохлина для сфер Зейферта
127
§2. Инвариант Рохлина для сфер Зейферта
В этом параграфе мы приведем алгоритм вычисления инварианта
Рохлина произвольной гомологической сферы Зейферта Е(аь ... ,а„). Ниже
приводится также замкнутая форма для [х(Т,(а,,... ,а„)), см. лекцию 19.
Любая гомологическая сфера Зейферта ?(«,,... ,а„) является краем
многообразия М, полученного перестройкой согласно некоторому дереву Г,
имеющему вид звезды, см. рис. 2.12. Каждая вершина Г имеет
приписанный к ней целочисленный вес, скажем е,-, / = l,...,s. Для вычисления
инварианта Рохлина сферы Т,{а.\,...,ап) нам сначала нужно вычислить
sign QM, где QM — форма пересечений многообразия М, и затем описать
некоторый сферический характеристический класс F с М, если такой
существует.
Каждая вершина графа Г соответствует некоторой образующей во
второй группе гомологии Н2(М), представленной вложенной двумерной
сферой. При подходящем выборе ориентации форма зацеплений QM
изоморфна матрице пересечений Л(Г) = (а,Д/=, s с элементами
{ е,-, если i = j,
ач
1, если г'-я и у'-я вершины соединены ребром,
О в противном случае.
Имеется простой алгоритм диагонализации матриц вида А(Т), см. Дю-
шон [38] и Эйзенбад—Нейманн [39]. Будем рассматривать деревья с
произвольными рациональными весами на вершинах. Для такого дерева
выберем одну из вершин и направим все ребра к ней. Далее можно упрощать
дерево с помощью операций двух типов, показанных на рис. 11.1 и 11.2
(при необходимости мы изменяем нумерацию вершин).
В конце мы получим конечное семейство изолированных точек с
рациональными весами d,,...,ds. Тогда D = d\ag(di,... ,ds) —диагонали-
ej/
' Ч
/Vе2
^.
\,
e'i
1
e'i
1
• е*
Рис. 11.1

128
Лекция 11. Инвариант Рохлина
зация матрицы Л (Г), т.е. Л (Г) = UT DU, причем detU = ±1. В частности;
detA(F) = detD и sign Л (Г) = signD.
>^А
/0
/se2
v ->**' -'
Рис. 11.2
•1
• Й2
'l
•<?*
Пример. Для дерева Г, показанного на рис. 11.3, мы имеем detA(T) =
det D = 2 • 3 • A/6) ¦ (-2) • (-1/2) = 1 и sign Л (Г) = sign D = 3 - 2 = 1.
1/6.
-1/2 " 3
^ * *
-2
Рис. 11.3
Этот алгоритм работает для любого дерева с весами (не обязательно
имеющего вид звезды). Как показывает следующий пример, диагональные
элементы в D обобщают понятие непрерывной дроби.
Пример. Диагонализация D матрицы Л (Г), соответствующей дереву на
рис. 11.4, имеет на диагонали элементы
[Хп], [Х„-[,Хп], ..., [Х2, . . ¦ ,Х„_\,Х„], [Х[, . . . , ЛГЯ _ |, JC„ J,
где [, ] обозначает непрерывную дробь, см. B.2). Определитель матрицы
Л(Г) равен (с точностью до знака) числителю несократимой дроби, равной
[*!,... ,Хп-\,Хп\.
Х\ Х2 Х„
Рис. 11.4
Используя указанный выше алгоритм, можно легко вычислить
сигнатуру формы QM. Теперь мы приступаем к нахождению характеристической
поверхности F С М. Поверхность F соответствует характеристическому
подзацеплению, поэтому ее можно описать как набор вершин в дереве Г.
Лемма 11.1. Если две вершины дерева принадлежат некоторому
характеристическому подзацеплению, то они не соединены ребром.

3. Формула перестройки
129
Доказательство. Предположим, что две вершины и и v € Hi(M)
с весами а и Ь соответственно принадлежат характеристическому подза-
цеплению и соединены ребром, см. рис. 11.5.
Зафиксируем ориентацию на нашем зацеплении так,
чтобы выполнялось равенство и ¦ и = 1. Тогда F = и +
+ u + ...HF-F = u-u + v-u + 2u-v + ... = a + b +
+ 2 + ... Заметим, что signM — F ¦ F делится на
восемь. Перекрутим часть дерева Г, находящуюся слева от
// (включая и), на 180°. Эта операция сохраняет харак- • •
теристическое подзацепление, но меняет и ¦ v с 1 на — 1.
Таким образом, F-F = a + b-2 + ..., что на 4 меньше, р"с- '' -5
чем значение F ¦ F, вычисленное выше. Это противоречит
делимости на восемь. ?
Следствие 11.2. Характеристический класс многообразия М
является сферическим.
Доказательство. Поверхность F состоит из нескольких попарно
непересекающихся двумерных сфер. Соединив их трубками, получим
связную поверхность рода нуль. ?
Пример. Гомологическая сфера Зейферта ЕB,3, 7) описывается
зацеплением, показанным на рис. 11.6. По алгоритму, изложенному выше,
получаем sign М = —2. Чтобы найти
характеристическое подзацепление, рассмотрим матрицу
зацеплений
'0 1 1
Рис. 11.6
7 А- '2 ° °
1 1 0 -3 0
0 0 -7,
и систему Az = 6\agA mod 2, которая задает характеристическое
подзацепление. Эта система имеет вид
?| -I- ?2 + ?з = 0. ?о = 0, Ео + ?2 = 1, ?о + ?3 = 1,
и ее единственное решение е = @,0, 1, 1). Следовательно, F ¦ F = — 3 — 7 =
= -10иц(ЕB,3,7)) = 1 mod 2.
§3. Формула перестройки для инварианта Рохлина
Пусть k — некоторый узел в гомологической сфере X. Обозначим через
Е + — ¦ k, теЪ,
т
гомологическую сферу, полученную из Е перестройкой вдоль k с
оснащением \/т.

130
Лекция 11. Инвариант Рохлина
Теорема 11.3. Пусть k — некоторый узел в гомологической сфере
Е, е = ±1 и Akcs(t) — многочлен Александера узла k. Тогда
ц(Е + е?) = ц(Е) + 1-Д;'СЕA) mod 2.
Доказательство. Пусть V и V — ориентированные односвязные
гладкие четырехмерные многообразия с четной формой пересечений, края
которых суть 3V = Е и 0V = Е' = Е + е • k. Тогда
ц(Е) = - sign V mod 2
ц(Е') = - sign V mod 2.
Пусть IF' —объединение многообразия Е х [0,1] и 2-ручки, приклеенной
к Е х {1} вдоль k, с оснащением е, см. рис. 11.7.
Край многообразия W есть -Е U Е'. Объединение поверхности Зей-
ферта узла k в Е х {0} с цилиндром k х [0,1] С Е х [0,1] и осью D2 х {0}
нашей 2-ручки является замкнутой
ориентируемой поверхностью F, гладко
вложенной в W с индексом самопересечения
е = ±1. Гомологический класс этой
поверхности порождает группу H2(W';Z) =
= Z. Объединение
W
F ',
Ех{0}
Ех{!}
W = VUSx!o, W'\Jv(-V)
Рис. 11.7
является замкнутым ориентированным
односвязным четырехмерным многообразием с формой пересечений
Qw = Qv Ф Qw> Ф Q-v и характеристической поверхностью F С W.
Следовательно,
i • (sign W - F ¦ F) = Arf(M, F) mod 2 =
= Arf(yfe) mod 2 = ^ ¦ Д;'СЕA) mod 2
(здесь первое равенство следует из теоремы 10.1, второе — из результатов
лекции 10, третье — из теоремы 9.8). С другой стороны, sign W = sign V +
+ е — sign V и F ¦ F = е, а значит,
ц(Е') - ц(Е) = i • (sign V - sign К') = I • д;'СЕA) mod 2,
откуда следует наше утверждение. D
Следствие 11.4. Если k — некоторый узел в S3, то [i(S3 ± k) =
= 5-A*(l)mod2.

3. Формула перестройки
131
Напомним (см. лекцию 7), что зацепление к U ? в гомологической
сфере Е называется почти разводимым, если узлы к и ? ограничивают
непересекающиеся поверхности Зейферта в Е.
Пример. Если к— некоторый узел в гомологической сфере Е и ? — его
каноническая параллель, то зацепление k U ? почти разводимое.
Выполним (-И)-перестройку вдоль к, получив гомологическую сферу Е'. Образ
кривой ? С Е в Е' корректно определен, и мы по-прежнему обозначаем его
через ?. Согласно лемме 7.14 мы имеем
^СЕ
(О
VC?+ft
(t).
A1.4)
Далее можно выполнить (+1)-перестройку вдоль ^сЕ'и получить еще
одну гомологическую сферу Е" (это гомологическая сфера, так как \k(k,?) = О
в Е). Мы утверждаем, что
(Е + к) + ? = Е + i • k.
Чтобы это увидеть, добавим к к ?, представив Е как результат перестройки
вдоль некоторого зацепления в S3 (на рисунке р = 2).
Р
полных
оборотов
р — 1 полных
оборотов
k + l
Рис. 11.
Так как зацепление к U ? почти разводимое, полученное зацепление
k U (? + к) будет выглядеть, как показано на рис. 11.9.
W
1/2
Рис. 11.9

132
Лекция 11. Инвариант Рохлина
Разумеется, этот результат можно обобщить для любого числа
параллельных копий узла k С Е. Применяя формулу перестройки для инварианта
Рохлина достаточное число раз и используя формулу A1.4), получаем
следующий результат.
Следствие 11.5. Пусть k — некоторый, узел в гомологической
сфере Е и Akcs(t) — его многочлен Александера. Тогда
ц(? + 1.*)=ц(?) + |-Д;'сЕA) mod 2, т е Z.
§4. Группа гомологических кобордизмов
Пусть Е0 и Е| — ориентированные целочисленные гомологические
трехмерные сферы. Они называются гомологически кобордантными
или Н-кобордантными, если найдется такое гладкое компактное
ориентированное четырехмерное многообразие W с краем dW = —Е0 U Е|, что
индуцированные включениями гомоморфизмы Я,(Е,) —* H,(W) являются
изоморфизмами. Например, сфера Е0 всегда Я-кобордантна себе с
помощью прямого произведения W = Е0 х [0,1]. Как показывают приведенные
ниже примеры, не все Я-кобордизмы являются прямыми произведениями.
Говорят, что гомологическая сфера Н-кобордантна нулю, если она
Я-кобордантна сфере S3. Другое определение: гомологическая сфера
Я-кобордантна нулю, если она ограничивает такое гладкое
ориентированное компактное четырехмерное многообразие W, что H,(W) — H„(D4).
Заметим, что требуется только равенство H\{W) = 0, но не щ(Щ = 0.
Пример. Следующая конструкция нетривиального Я-кобордизма
принадлежит Мазуру [100].
Рассмотрим многообразие S] xD'c краем S1 x S2. Можно
представлять себе S' х ?>3 как результат приклеивания 1-ручки D1 x D3 к D4.
Возьмем узел в S1 x D2 с S1 x S2, как показано на
рис. 11.10.
Используем этот узел для приклеивания 2-ручки
к 5' х D3 с оснащением три. Получим
четырехмерное многообразие W, гомологии которого легко
вычислить с помощью последовательности Майера—
Вьеториса для W = (S1 x D3) UsixD2 (D2 x D2). Клю-
Рис. 11.10 чевым ингридиентом этого вычисления является тот
факт, что индуцированное включением отображение
H\(S] х D2) —> H[(Sl x D3) является изоморфизмом из-за того, что наш
узел гомологичен окружности S1 х {0} с S' x D2. Окончательный
результат— H,(W) = Я,@4), следовательно, многообразие W является Я-ко-
бордизмом. Кроме того, можно показать, что к, (W) = 0, так что по теореме

4. Группа гомологических кобордизмов
133
Уайтхеда многообразие W на самом деле стягиваемо. В подобной
ситуации мы говорим, что 1- и 2-ручка сокращают друг друга в гомологиях
многообразия W.
Край Е многообразия W можно описать так. Многообразие S1 х 52
можно представлять как край многообразия D2 x S2. Тогда Е будет краем
многообразия W = (D2 x S2) Usix02 (D2 x D2). Четырехмерные
многообразия W и W различны, но dW = dW. Многообразие D2 х 52 можно
получить из шара D4 приклеиванием 2-ручки вдоль тривиального узла
в 53 = dDA с оснащением нуль (это многообразие было обозначено через
Е0 в лекции 2). Таким образом, W описывается зацеплением, показанным
на рис. 11.11.
На рис. 11.12 дано описание многообразия W с помощью
зацепления. Точка на рисунке символизирует тот факт, что приклеивается 1-ручка
вместо 2-ручки.
Рис. 11.11
Рис. 11.12
С помощью исчисления Кирби можно показать, что гомологическая
сфера Е, изображенная на рис. 11.11, гомеоморфна ЕB,5,7), см. рис. 11.13.
Рис. 11.13

134
Лекция ) 1. Инвариант Рохлина
В частности, группа л,(?) нетривиальна, а значит, сфера ? гомологически
кобордантна S3 с помощью гомологического кобордизма, не являющегося
прямым произведением.
Можно изменить эту конструкцию, чтобы получить другие примеры
гомологических сфер, гомологически кобордантных нулю. Оснащение три
можно заменить на любое целое число р — среди гомологических сфер,
получаемых при различных р, содержатся ?C,4,5) и ?B,3,13), см. Ак-
булут и Кирби [1]. Узел, с которого мы начали, можно также заменить на
любой узел, проходящий через нашу 1-ручку алгебраически один раз. Если
он проходит только один раз геометрически, мы получим S3, см.
предложение 3.3. Наконец, можно построить гомологические кобордизмы из более
чем одной пары сокращающихся 1- и 2-ручек.
Множество всех классов гомологически кобордантных
ориентированных целочисленных гомологических трехмерных сфер образует абелеву
группу ©z, операция в которой задается связной суммой. Нулевым
элементом в ней является класс гомологического кобордизма сферы S3, а
противоположный элемент получается обращением ориентации. Мы
называем Oz целочисленной группой гомологических кобордизмов.
Лемма 11.6. Инвариант Рохлина и. задает эпиморфизм ^i:Oz —>
->Z/2.
Доказательство. Предположим, что гомологическая сфера ?
гомологически кобордантна нулю с помощью гладкого стягиваемого
четырехмерного многообразия W. Так как форма пересечений Qw = 0 четна,
можно вычислить инвариант Рохлина:
li(E) = | sign W = 0 mod 2.
В случае K\(W) фО требуется обобщение теоремы Рохлина для неодно-
связных многообразий, которые все же удовлетворяют условию H](W) = 0.
Такая теорема в самом деле верна; наше доказательство из лекции 10
проходит с незначительными изменениями. Таким образом, \i является
инвариантом по отношению к гомологическому кобордизму. Очевидно, что он
задает гомоморфизм и что он эпиморфен, так как ц(?B,3,5)) = 1 mod 2. ?
На протяжении нескольких десятилетий существование эпиморфизма [i
было единственным известным фактом о группе 0|. В 1970-х гг. была даже
выдвинута гипотеза, что отображение (i: 0| —> Z/2 является изоморфизмом.
Для доказательства того, что группа 0| бесконечна, в 1980-х гг. была
привлечена техника калибровочной теории.
Пример. Гомологическая сфера Пуанкаре ? = ?B,3,5) имеет
бесконечный порядок в 0Z. Чтобы это доказать, напомним (см. лекцию 3), что
?B,3,5) ограничивает гладкое компактное ориентированное многообра-

4. Группа гомологических кобордизмов
135
зие М с формой пересечений QM = ?8. Рассмотрим m-кратную сумму Е
с собой — гомологическую сферу тЕ = Е # ... # Е (т раз). Она
ограничивает многообразие X, получаемое граничной связной суммой т
экземпляров многообразия М, с формой пересечений Qx = mEs. Теперь
предположим, что найдется такое целое число т ^ 1, что многообразие тЕ
гомологически кобордантно нулю с помощью гомологического кобордизма
W, и составим многообразие X U,„E (-W). Это — замкнутое
ориентированное многообразие с формой пересечений т?8, которая определена и
недиагонализуема над Z (так как она четна). Это противоречие с теоремой
Дональдсона (теорема 5.8) завершает доказательство.
Многие гомологические сферы Зейферта имеют бесконечный порядок
в 02, см. Финтушел—Стерн [44]. На самом деле группа Э|
бесконечно порождена и содержит свободную абелеву группу бесконечного ранга.
Фурута [53] доказал, что для любой пары взаимно простых целых чисел р
и q гомологические сферы H(p,q,pqk - 1), k ^ 1, линейно независимы
над Z в 0|.
Группа 0| играет исключительно важную роль в изучении
многообразий. Ее структура тесно связана, например, со следующими двумя
задачами.
1. Пусть Е — некоторая гомотопическая сфера, т.е. такое замкнутое
ориентированное трехмерное многообразие, что л,(Е) = 0. Гипотеза
Пуанкаре утверждает, что любая гомотопическая сфера на самом деле го-
меоморфна S3. Поскольку эта гипотеза пока не доказана, имеет смысл
следующий вопрос: верно ли, что ^i(E) = 0 для всех гомотопических сфер?
(Если бы нам удалось найти гомотопическую сферу, для которой ^i(E) = 1,
это давало бы контрпример к гипотезе Пуанкаре.) Положительный ответ
на этот вопрос был дан Эндрю Кассоном с помощью Х-инварианта.
Вместе с работой М. Фридмана по четырехмерным многообразиям это привело
к конструкции топологического четырехмерного многообразия, которое не
гомеоморфно никакому симплициальному комплексу (такие многообразия
называются также симплициально нетриангулируемыми). Эта конструкция
и Х-инвариант подробно обсуждаются ниже.
2. Следующая задача до сих пор не решена: существует ли в
группе 02 элемент второго порядка с нетривиальным инвариантом Рохлина?
Это — задача 4.4 из сборника Кирби [75]. Если ответ на этот вопрос
положительный, то из теоремы Галевского и Стерна [56] и Матумото [99]
следует, что все замкнутые топологические л-мерные многообразия, п ^ 5,
симплициально триангулируемы, см. лекцию 18.

Лекция 12
Инвариант Кассона
Пусть S — класс всех ориентированных целочисленных
гомологических трехмерных сфер. Инвариантом Кассона называется отображение
S —> Z, удовлетворяющее следующим свойствам @)—B):
@) X(S3) = 0, и X(S) не содержится ни в какой собственной подгруппе
группы Z;
A) для любой гомологической сферы Е и узла k С ? разность
х(е + —¦!— •*) -х(е + - ¦*), A2.1)
где т = 0, ± 1,..., не зависит от т.
Как следствие, разность A2.1) является инвариантом узла k с Е; она
обозначается через \'{k С Е) или просто Х'(&). Пусть ku?—некоторое
зацепление в гомологической сфере Е, причем \k(k,?) = 0. Тогда для любых
целых чисел т, п многообразие
Л + --к + --?
т п
является гомологической сферой. Величина
Х(Е + —\-r -k+ -4т ¦?) -X(S+ - -k + -4т -l) -
\ т+\ л+1/ V т п+\ J
\ т+\ п ) V т п J \ л+1 /
-\'(kc'z + --?)=\'(icT: + -^-k)-\'(eci; + --k)
\ п ) \ т+\ J \ т I
не зависит ни от т, ни от п и обозначается через \"(k,? с Е) или \"(k,?);
B) X"(k,? с Е) = 0 для любого почти разводимого зацепления k U I
в гомологической сфере Е.
В следующей теореме утверждается существование и единственность
инварианта Кассона.
Теорема 12.1 (Кассой). Инвариант Кассона X существует и
единствен с точностью до знака. Кроме того, он обладает следующими
свойствами:
C) X'(трилистник) = ±1;
C') \'(k с Е) = -Д?СЕA) • X'(трилистник) для любого узла k с Е;

Инвариант Кассона
137
D) Х(-Е) = —Х(Е), где -Е обозначает Е с обращенной
ориентацией;
E)Х(Е, #Е2)=Х(Е,) + Х(Е2);
F) Х(Е) = р.(Е) mod 2, где р. — инвариант Рохлина.
Под трилистником мы подразумеваем либо левосторонний, либо
правосторонний трилистник; согласно свойству C') их Х'-инварианты совпадают.
Схема доказательства состоит в следующем. Сначала докажем, что из
свойств @), A), C) и C') следует единственность. Следующий шаг —
доказать, что из свойств @), A), C) и C') следуют свойства D), E) и F) и,
наконец, что из свойств @), A) и B) следуют свойства C) и C'). После
этого нам будет нужно лишь доказать существование инварианта Кассона,
удовлетворяющего свойствам @), A) и B).
@), A), C), C') —> единственность
Лемма 12.2. Пусть Е — гомологическая сфера. Тогда в S3
существует такое зацепление kt U ... U k„, что
(a) Е = S3 + е, • &, + ... + е„ • К,
(b) е,- = ± 1 для всех i = 1,..., п,
(c) \k(kj,kj) = 0 для всех i ф у.
Доказательство. Гомологическая сфера Е получается из S3
перестройкой по некоторому оснащенному зацеплению L. Матрица
зацеплений А для L унимодулярна, и без ограничения общности можно полагать
(используя, если нужно, первое движение Кирби), что она также нечетная
и неопределенная. Тогда матрица А диагонализуется над Z
синхронными элементарными преобразованиями над строками и столбцами. Так как
такие преобразования можно реализовать с помощью второго движения
Кирби, доказательство завершено. ?
Теперь мы докажем единственность. Пусть Е — гомологическая сфера,
kx U ... U k„ — некоторое зацепление в S3, такое, как в лемме 12.2. Пусть
Е,= 53 + е • kx + ... + е,- • kit i = 0,1,..., л, так что Е0 = S3 и Ея = Е. Тогда
Х(Е) = Х(Е„) = (Х(Е„) - Х(Е„_,)) + (Х(Е„_.) - Х(Е„_2)) + ...
... + (Х(Е,)-Х(Ео)) + Х(Е0),
где Х(Е0) = X(S3) = 0. Для любого i — 1,..., я имеем
Х(Е;)-Х(Е,_1) = ?,-Х'(^СЕ,_1).
Следовательно,
Х(Е) = ?е; • \'(Ь С Е,_.) = (Е | ¦ Д;;^.,!') • X'(трилистник),
A2.2)

138
Лекция 12. Инвариант Кассона
поэтому X единственно с точностью до выбора X'(трилистник) = ±1.
@),A),C)ЛЗ')^йчГ
Если Е = S3 + t) ¦ k\ + ¦-. + ?„• кл, то -Е = S3 - г, ¦ k\ - ... - е„ • k*n,
где зацепление k\ U ... U k* зеркально симметрично k, U ... U kn, см. §4
лекции 3. Заметим, что -Е, = S3 - е: • k\ — ... - е,¦ ¦ k*, поэтому наш
результат будет следовать из A2.2), если мы докажем, что
Д^с-ц.ДО = ?*,«,_,(')¦ A2.3)
Для простоты мы будем использовать обозначение k{ как для узла k, с S3,
так и для его образа в Е,_,, и аналогично для k*.
Равенство A2.3) можно проверить следующим образом. По теореме 7.5
оно верно для / = 1. Пусть т.— некоторый обращающий ориентацию
гомеоморфизм S3, для которого k* = i{kj). Отображение х переводит
дополнение К\ узла k\ в дополнение К* узла k\. Следовательно, оно
продолжается до гомеоморфизма t,:Ei —> -Еь удовлетворяющего равенству Т|(?2) =
= т(/г2) = k\. Рассуждение из доказательства теоремы 7.5 после небольшой
модификации показывает, что
д*2СЕ1(/) = д,.с_Е,@-
Так как Е2 = S3 + t\ ¦ kK + е2 • k2, мы получаем
х(е2) = х(е,) + |-д;;с1;|A)
и
Х(-Е2) = Х(-Е,) - | • A';.c_s,(l) = -Х(Е,) - | ¦ Д?СЕ,A) = -Х(Е2).
Очевидная индукция по / завершает доказательство.
@),A),C),C')-+E)
Пусть Е| —результат перестройки по оснащенному зацеплению ?| CS3,
а Е2 — по ?2 С S3. Пусть -С = ?, U ?2— несвязное объединение
зацеплений ?| и ?2, разделенных сферой S2. Перестройка по L дает Е, # Е2, и
снова можно применить соотношение A2.2) для доказательства равенства
Х(Е| # Е2) = Х(Е|) -I- Х(Е2). Ключевую роль здесь играет то, что многочлен
Александера узла k с Е) не зависит от того, рассматриваем мы k как узел
в Е| или в Е: # Е2.
Это следует из A2.2) и из формулы перестройки для инварианта
Рохлина, см. теорему 11.3.
@),A),C),C')->F)

Инвариант Кассона 139
@),A),B)->C),C')
Лемма 12.3. Пусть k — некоторый узел в гомологической
трехмерной сфере Е. Тогда существует такой узел ? в S3, что \'(k cS) =
= A'(^CS3)H AbCz(t) = Alcs4t).
Доказательство. Утверждение, касающееся многочлена Алексан-
дера, содержится в лемме 7.15, доказанной в лекции 7. То же
доказательство проходит при замене A"(t) на X' после применения аксиомы
Кассона B) для почти разводимых зацеплений. ?
Таким образом, осталось доказать, что Y(k с 53) = -Д?'A) для узлов
k в S3. Пусть k — некоторый узел в S3. Заменой пересечений на
диаграмме узла k можно превратить его в тривиальный. Так как и X', и ^Д?A)
равны нулю для тривиального узла, нам нужно лишь проверить, что оба
инварианта изменяются одинаково при замене пересечения.
Под «заменой пересечения» мы подразумеваем операцию на узле,
показанную на рис. 12.1, где предполагается, что оставшаяся часть узла
остается без изменений.
Эту операцию можно реализовать перестройкой следующим образом.
Ориентируем узел k и рассмотрим диск D с краем 3D = с, показанным на
рис. 12.2. Диск D пересекает узел k ровно в двух точках.
Рис. 12.1 Рис. 12.2
Перестройка сферы S3 по с с оснащением (±1) снова дает 53,
превращая узел k в kc, см. рис. 12.3.
/\ уу^ /Ч
Рис. 12.3
Мы называем эту операцию скручиванием по D. Без ограничения
общности мы рассматриваем только первый случай на рис. 12.2, так что
замена пересечения получена (-И)-перестройкой вдоль с. Мы имеем
\'(ke) - \'(k) = X'(k С S3 + с) - \'(k С S3) = \"(k, с С S3).

140
Лекция 12. Инвариант Кассона
Два скручивания узла k, одно по D, другое по D', называются
разделенными, если пересечение D Г) D' пусто и пары точек D П /( и D' П /( не
зацеплены в &, см. рис. 12.4.
1 ^—^ 2
пары A, 1) и B,2) не
зацеплены
2^- ^1
пары A,1) и B,2)
зацеплены
Рис. 12.4
Предположим, что скручивание узла k no D' разделено со скручиванием
по D, и пусть с' = 3D'. Мы получаем два новых узла kc, и kcc> = kc>c, для
которых разность \'{kcc>) - \'(kc>) равна Х"(/г, с С S3 + с'). Мы утверждаем,
что
\"(k,c С S3) = Х"(Л,с С S3 + с'). A2.4)
Формула A2.4) проверяется следующим образом:
\"(k,c С S3 + с') ~\"(k,c с S3) =
= (Х'(с cS3 + k + c')- Х'(с С S3 + с')) - (Х'(с С S3 + /г) - Х'(с С S3)) =
= (Х'(с cS3 + Hc')- Х'(с С S3 + *)) - (Х'(с С 53 + с') - Х'(с С S3)) =
= Х"(с, с' С S3 + А) - Х"(с, с' с 53).
Так как скручивания по D и D' разделены, зацепление (с, с')
является почти разводимым и в 53, и в S3 + к, см. рис. 12.5. Следовательно,
\"{с,с' с S3 + к) - У (с, с' с S3) = 0, что влечет
равенство A2.4).
Для второй производной многочлена Алексан-
дера выполняется утверждение, подобное A2.4).
А именно, если узлы k,kc,kc> и kcci такие же, как
и выше, то
1д?0) - 1д;'A) = 1д^,A) - 1д;;,A). A2.5)
Рис- 12-5 Это можно проверить с помощью формулы Кон-
вея, см. теорему 7.6:
Akc(t) - Ak(t) = ±(t^2 - t-^)Ak0(t),
AKcl(t) - Akc,(t) = ±(/i/2 - r>/2)Ak0c,(t),
Ak0(t) - Akoc/(t) = ±(^2 - /-|/2)Д*00(/),

Инвариант Кассона
141
где &оо — зацепление из трех компонент (благодаря тому что
скручивания по D и D' разделены). Следовательно, Д*00A) = 0, см. следствие 7.9.
разность левой и правой частей формулы A2.5) равна половине второй
производной в точке / = 1 функции
f(t) = ±(t^-r^YAkJt).
Функция f{t) является произведением трех функций, каждая из которых
равна нулю при t = 1, а значит, /"A) = 0.
Таким образом, изменение Х'(/г) при скручивании по D одинаково для
всех узлов, получаемых из k скручиваниями, разделенными со
скручиванием по D.
Зафиксируем k,c и D. С помощью скручиваний, разделенных со
скручиванием по D, можно превратить зацепление (k, с) в зацепление (k',c),
показанное на рис. 12.6 (где п = 2).
Заметим, что k' — тривиальный узел и k'c = kn, где kn — это узел,
показанный на рис. 12.7. Из A2.4) имеем
\"(k,c С S3) = \'(k'c) - Х'(Л') = Х'(/г„) - Х'(А') = \'(ka).
Теперь, благодаря равенству A2.5), нам остается сравнить Х'(/г„) с -Д?Д1).
п полных оборотов
Рис. 12.6 Рис. 12.7 Рис. 12.8
Пусть с' — незаузленная окружность, как на рис. 12.8. Выполним
скручивание по D', где 3D' = с'. Тогда (?„)<•' = kn+\, откуда
X'F„+,)-X'(?„) = X"(?„,c'cS3).
Из A2.4) следует, что число \"(kn,c' с S3) не зависит от п. Таким образом,
Для любого п мы имеем
X'(*„+i) - Х'(*„) = Х"(*о,С С S3) = Х'(*,) - X'(fto) = Х'(Л,), A2.6)

142
Лекция 12. Инвариант Кассона}
где к] —трилистник. Следовательно, Х'(&) пропорционально ХЧтрилист-j
ник) для любого узла k. По свойству @) значение X'(трилистник) должна,
быть равно +1 или —1. j
С другой стороны, равенство A2.6) выполнено при замене X' на -Д"A).!
Так как Д?' A) =2 для трилистника k,, мы получаем
Х'(&) = ^Д^'A) • Х'(трилистник) для любого узла k. "'
Это завершает доказательство теоремы 12.1, кроме утверждения о
существовании. Существование будет доказано в нескольких следующих лек-'
циях. >'

Лекция 13
Группа SUB)
Группа Ли SUB) состоит из всех таких комплексных матриц Л размера
B х 2), что ААт = Е и det А = 1. Как многообразие ее можно отождествить
с трехмерной сферой S3 следующим образом. Любая матрица А 6 SUB)
обратима, и, следовательно, условие ААТ = Е можно переписать в виде
Лт = Л~'. Если
А = (а Ь), то Лт = (? П) и /!-' = ( v "*),
откуда условие Лт = Л-1 равносильно равенствам v — а и и = —Ь. Таким
образом, любая матрица Л е SUB) имеет вид
А={-ЬЬа)' ГДе а'6еС' deM = lfll2 + l*l2= I-
Это приводит к отождествлению
SUB) = {(a,b) € С2 | \а\2 + \Ь\2 = 1} = 53.
С другой стороны, группу SUB) можно отождествить с группой Ли
Sp(l) единичных кватернионов. Напомним, что норма \q\ кватерниона
q = х + yi + zj + wk € H определяется по формуле |^|2 =х2 + у2 + z2 + w2,
или \q\2 = qq, где q = х — yi — zj — wk. Легко проверить, что \pq\ = \p\\q\.
Группа Sp(l) состоит из всех кватернионов q, для которых \q\ = 1. Так
как \х + yi + zj + wk\2 = х2 + у2 + z2 + w2, группа Sp(l) топологически
является трехмерной сферой. Отождествление Sp(l) и SUB) как групп
задается формулой
*+*/¦-(-? 5)- (,3J)
Единичные кватернионы 1,/, /', k отождествляются при отображении A3.1)
со следующими матрицами:
'-*-Q- '-.(i-Э- '-(-?i)- »-(?i)-
Пусть U(l) = 5' —группа единичных комплексных чисел. Тогда
отождествление A3.1) задает такое каноническое включение U(l) —> SUB), что
6 \0 е-1*)-

144
Лекция 13. Группа SUB)
Теорема 13.1. Группа U(l) С SUB) является максимальной
коммутативной подгруппой в SUB). Любая другая максимальная
коммутативная подгруппа в SUB) имеет вид С-' • U(l) • С, где С е SUB).
Это — простое упражнение с кватернионами. Мы будем называть
элементы из U(l) с SUB) комплексными числами.
Матричный след задает функцию tr: SUB) —> [-2,2], А н-> trA.
Заметим, что ±Е—единственные матрицы в SUB) со следом ±2, остальные
удовлетворяют неравенствам -2 < trA < 2.
Теорема 13.2. Две матрицы А и А' в SUB) сопряжены тогда и
только тогда, когда trA = trA'.
Доказательство. Часть «только тогда» очевидна. Рассмотрим
матрицу А ? SUB) как линейный оператор на С2. Так как поле С
алгебраически замкнуто, матрица А имеет собственное подпространство с
некоторым собственным значением X е С. Выберем единичный вектор
ф = (х, у) в этом собственном подпространстве и положим
С=(; -j)€SUB). так что С© = Q.
Тогда
с-'лсС) = (о)' ™ с~,ас={1;)
для некоторых а,[3 G С. Так как C~lAC е SUB), мы имеем
C'iAC=Q)^), причем detC~]AC = \k\2 = 1.
Таким образом, любая матрица А е SUB) сопряжена в SUB) некоторой
матрице вида
ft' А> (,3-2)
след которой равен 2 cos ср. След однозначно определяет угол <р с точностью
до знака. Так как
/е~"* 0 \ _ /О -1\Л?''Ф 0 \ / 0 1\
V 0 e'V ~ \\ оДо e-'VV-l oj'
доказательство закончено. ?
На языке кватернионов эта теорема утверждает, что любой единичный
кватернион сопряжен некоторому комплексному числу е'9, О < ср < л. Таким
образом, классы сопряженности в SUB) совпадают с множествами tr-l(c),
где —2 ^ с < 2. Уравнение
1г(_|Й-< A3.з,

Группа SUB)
145
равносильно уравнению 2 Re a = с. Последнее задает bR4 = H
гиперплоскость, пересечение которой с SUB) = S3 с Ж4 совпадает с tr~'(c). Таким
образом, tr~'(c) = S2, если -2 < с < 2, и
tr'(-2) = {-?}, tr-1B) = {?}. Схематично
классы сопряженности в SUB) можно изобразить
вертикальными отрезками, как на рис. 13.1.
Каждый отрезок символизирует экземпляр сферы S2,
пересекающий окружность U(l) единичных
комплексных чисел ровно по двум точкам вида е'ф,
если е^ ф±\.
Как линейное пространство алгебру Ли suB)
группы SUB) можно отождествить с
касательным пространством в единице, т. е. suB) =
= ТЕ SUB). Чтобы описать suB) в матричных
терминах, рассмотрим экспоненциальное отображение ТЕ SUB) —> SUB),
заданное формулой а >-* ех. Тогда а 6 suB) в том и только том случае, если
exp(ot) G SUB), откуда следует, что
_det<?" = elr,x= I ->tra = 0,
(<?«)т = (елГ1 -+a + aT = 0.
Таким образом, suB)—трехмерное векторное пространство косоэрмито-
вых матриц с нулевым следом. Все такие матрицы имеют вид
Рис. 13.1
«= ( Ч Ь), аеК, ЬвС.
\-b —iaj
Если b = и + iv, где и, v € К, то
(_„ + /„ U-iaV)=a(o -?)+"(-? о) +WG о)
соответствует кватерниону ai + uj + vk. Следовательно, suB) можно
представлять как множество чисто мнимых кватернионов. Структура алгебры
Ли на suB) задается скобкой Ли
[a,p]=ap-pa.
A3.4)
Теорема 13.3. Экспоненциальное отображение задает
диффеоморфизм
ехр: В,@) - SUB) \ {-?},
где Вк@) с suB)— открытый шар радиуса к с центром в начале
координат.
10* Лекции по топологии

146
Лекция 13. Группа SUB)
—ftp /ср
e'W \e~"l>
Рис. 13.2
Доказательство. Так как es*8 = ge*g~\ достаточно показать,
что отображение (—/к, /тс) —* S1 \ {-1}, /<р >-+ е'4', является
диффеоморфизмом. Последнее очевидно, см. рис. 13.2. ?
Замечание. Приведем полезную формулу для вычисления
экспоненциального отображения. Пусть q — чисто мнимый кватернион единичной
длины, Req = 0, |<7|2 = 1- Тогда для любого вещественного G имеет место
равенство
ечЬ = cos 6 + q • sinG.
Это можно увидеть следующим образом. Так как Re q = 0, найдется такой
единичный кватернион «, что q = uiu~l. Тогда
еяъ = е«/«-'е = е««в)«-' = иели-\ = u(cos9 + /Sjn9)w-i = cos6 + q ¦ sine.
Касательное пространство Tg SUB) в точке g 6 SUB) можно
отождествить с образом пространства suB) при левом сдвиге на g:
(L8UTE SUB)) = Tg SUB),
где Lg(u) = g • и.
Пример. Пространство 7", SUB) состоит из матриц вида
''Ui -ш/ ~ lo -i)\-b -ia)~\ib -a)'
Группа SUB) действует на себе сопряжениями:
А у* Adл: SUB) -> SUB), Ad„(B) = ЛВ/Г1.
Для любой матрицы Л производная dE K&A отображения Ad^ в единице
дает действие группы SUB) на своей алгебре Ли, снова обозначаемое
через к&А:
А н-> Ad,,: suB) -» suB), Ad,, (a) = A <xA ~'.

Группа SUB)
147
Заметим, что Ad^ —гомоморфизм алгебр Ли по отношению к скобке A3.4).
Таким образом, мы имеем гомоморфизм
Ad: SUB) -> Aut(suB)), А н-> Ad^ . A3.5)
Его производную в точке Е € SUB) можно вычислить следующим образом.
Выберем а € suB), тогда с точностью до е2 получим
Adf+Ea(P) = {Е+ гаЩЕ - га) = р + е(схр - ра).
Обозначим через ada:suB) —> suB) оператор ada(C) = [a, р]. Тогда
Ad?+eoi(P) = {Е + г ad„)(P) с точностью до г2. Таким образом, (dE Ad)(a) =
= ada.
Теорема 13.4. Отображение A3.5) задает гомоморфизм групп
Ли SUB) —> SOC). Это — универсальное (двулистное) накрытие над
SOC), и, следовательно, TC|(S0C)) = Z/2.
Доказательство. Отображение A3.5) является гомоморфизмом,
Ad(i4fl) = Ad(/4)Ad(B), так как kdAB(x) = ABx(AB)~l = А(ВхВ-')А~х =
= кйА Ads(x). Поскольку suB) = Ж3 как линейное пространство, можно
рассматривать Aut(suB)) как подгруппу в GL3(R). Тогда
отображение A3.5) будет корректно определенным гомоморфизмом Ad: SUB) —>
-» GUP*)-
Евклидово скалярное произведение в Ж3 = suB) задается формулой
и ¦ v = — - tr(uv) или и ¦ v = — Re(«u),
в зависимости от реализации алгебры Ли suB) матрицами или
кватернионами соответственно. Легко проверить, что Ad^ сохраняет скалярное
произведение:
(Ad,, и) ¦ (Ad,, v) = -X- к(АиА~'AvA~]) = -~ tr(uv) = и ¦ v.
Следовательно, Ad(SUB)) — подгруппа в ортогональной группе 0C)
пространства Ж3. Так как группа SUB) связна, ее образ должен принадлежать
связной компоненте единицы в 0C), т.е. S0C).
Отображение SUB) —> S0C) сюръективно. Действительно, каждая
матрица из S0C), представляемая как преобразование пространства Ж3,
является произведением вращений вокруг координатных осей. Таким
образом, достаточно показать, что матрица
/10 0 \
Rx = 0 соэф — sin ф 1
\0 sin ф соБф /

148
Лекция 13. Группа SUB)
вращения вокруг оси Ох на угол ф принадлежит образу отображения Ad.
Вращения вокруг других осей рассматриваются аналогично. Положим
Ф = ф/2 и
Тогда
AdA(i) = ei4e~',f = /,
Ad„(/) = e'vje-'* = e2ivj = cos ф • / + s'n ф - k,
A6A(k) = e^ke-1" = e2hfk = соэф • k - sin ф • j.
Следовательно, к<\А = Rx.
Предположим, что Ad^ = Ads. Тогда АСА''' = BCfi-1 для всех С 6
? SUB). Другими словами, матрица В~'А лежит в центре группы SUB).
Так как центр группы SUB) состоит из ±?, получаем В = ±А.
Следовательно, Ad— двулистное накрытие. ?
Алгебраически гомоморфизм SUB) —» SOC) описывается как
факторизация группы SUB) по центру Z/2 = {±?}. Топологически это —
стандартное двулистное накрытие 53 —»RP3 при отождествлении SOC) = RP3.

Лекция 14
Пространства представлений
§ 1. Топология пространств представлений
Пусть М — компактное ориентируемое многообразие размерности не
выше трех. Так как многообразие М гомеоморфно конечному симплици-
альному комплексу, его фундаментальная группа имеет конечное задание
щМ = {1и...,Цги...,гт). A4.1)
Пространство 5иB)-представлений группы ъ\М определяется как
пространство R(M) = Hom(;t|M, SUB)) с компактно-открытой топологией, где
Е|М наделяется дискретной топологией, a SUB) = S3 — топологией,
индуцированной из R4. Напомним, что база компактно-открытой топологии на
R(M) состоит из множеств UKy = {f'-щМ —> SUB) | f(K) С V) для всех
компактов К С щМ и открытых множеств V С SUB). Заметим, что в
дискретной топологии множество компактно тогда и только тогда, когда
оно конечно. Следовательно, топологию на R(M) удобно задать предба-
зой, состоящей из всех подмножеств Ugy = {f\K\M —> SUB) | f(g) ? V}
пространства R(M), по одному для каждого g e KiM и каждого открытого
подмножества V с SUB).
Другой способ описать топологию на R(M) состоит в следующем.
Рассмотрим пространство Map(Ti,M,SUB)) = SUB)'l|M всех отображений
К[М —¦ SUB) (не обязательно гомоморфизмов). Сравнивая предбазы
топологий, можно показать, что компактно-открытая топология на SUB)"|M
совпадает с топологией прямого произведения. Следовательно, топологию
на R(M) можно представлять как топологию, индуцированную включением
R(M) в произведение SUB)It|A1.
Пространство R(M) можно превратить в вещественное алгебраическое
множество следующим образом. Рассмотрим конечное задание A4.1)
группы Л|Л1 Каждое представление щМ —> SUB) однозначно определяется
образами элементов tk, представляемых векторами в Ш4:
t fX„ +iyk Ub + iv„\ ^ } 4
Таким образом, мы получаем включение R(M) —> 1R4". Элементы ^_| также
представляются векторами в R4. Произведениям образующих и обратных
к ним соответствуют матрицы, элементы которых являются многочленами

150
Лекция 14. Пространства представлений
от xk,yk,uk и vk. Следовательно, каждому соотношению ге в задании A4.1)
группы it|/W соответствует некоторое семейство многочленов в К4". Кроме
того, для каждого k имеется уравнение х\ + у\ + и\ + v\ = 1. Таким
образом, можно представлять пространство R{M) как подмножество в R4",
заданное системой вещественных полиномиальных уравнений, т. е.
вещественное алгебраическое множество. На самом деле R(M) является
замкнутым подмножеством в SUB)"; в частности, пространство R(M)
компактно.
§2. Неприводимые представления
Представление а.:щМ —> SUB) называется приводимым, если
найдется такое собственное ненулевое комплексное подпространство U С С2, что
a(g)(U) С U для всех g € Tt|Af (если такое подпространство U
существует, оно должно быть одномерным). В противном случае представление а
называется неприводимым.
Пусть а — некоторое приводимое представление. Тогда в подходящем
базисе выполняется равенство
«<*) = (о' ?)• ?е*'м-
Так как oc(g) ? SUB), мы имеем bg = 0, cg = ag и \ag\2 = 1. Следовательно,
a(g) имеет вид
fe'fs о \
<ё)={ 0 е-'Ч' ё^^М.
Это означает, что представление а приводимо тогда и только тогда, когда
оно пропускается через образ группы U(l) в SUB).
Приводимые представления группы щМ в SUB) образуют замкнутое
подмножество R{M) П U(l)" С R(M). Следовательно, пространство RirT(M)
неприводимых представлений образует открытое подмножество в R(M).
Неформально это означает, что при малом возмущении неприводимое
представление остается неприводимым.
Группа SUB) действует на R(M) по правилу aw gag-1.
Стабилизаторы для этого действия описываются следующим образом.
Среди приводимых представлений будем различать следующие три
класса: тривиальное представление б, заданное формулой 9(g) = 1,
центральные представления, которые пропускаются через центр Z/2 = {±1}
группы SUB), но не совпадают с 9, и все прочие приводимые
представления, которые пропускаются через U(l), но не являются центральными.
Если представление а принадлежит одному из первых двух классов,

3. Представления групп поверхностей
151
его стабилизатором является вся группа SUB), в противном случае
Stab(a) = U(l).
Лемма 14.1. Пусть Е— некоторая гомологическая сфера. Тогда
любое приводимое представление щТ, —> SUB) тривиально.
Доказательство. Любое приводимое представление a:it|? —> SUB)
пропускается через подгруппу U(l) С SUB). Так как группа U(l) абе-
лева, весь коммутатор [л,Е,Л|Е] группы щТ, отображается при а в 1 €
е SUB). Так кактс:Е/[к|Е,ТС|Е] = /У|Е, мы получаем композицию a: rciS —>
—>#i(?) —> U(l) —> SUB). Поскольку группа Я,(?) тривиальна, a = 9. ?
Предположим, что представление а неприводимо. Тогда Stab(a) =
= Z/2 — центр группы SUB). Как видим, действие группы SUB) на R(M)
не свободное. Тем не менее, действие группы SOC) = SUB)/{±1} на
пространстве Rm(M) свободно, и мы определяем пространство
представлений как Л(М) = R"r(M)/ SOC). Пространство ЩМ) наделяется
фактортопологией.
§3. Представления свободных групп
Пусть М — полный крендель рода g, описанный в лекции 1. Так как
к\М — свободная группа на g образующих, R(M) = SUB)g как
топологическое пространство и R(M) наследует гладкую структуру из SUB)g.
Подпространство RirT(M) с R(M) открыто, следовательно, оно является
гладким открытым (некомпактным, без края) многообразием
размерности 3g (при g = 1 это многообразие пусто). Пространство представлений
ЩМ) является поэтому гладким открытым многообразием размерности
3g-3.
§4. Представления групп поверхностей
Пусть F — замкнутая ориентированная риманова поверхность. Пусть
F0 = F\ D2, где D2 — некоторый открытый диск в F. Пусть dF0 = у —
ориентированный край поверхности F0. Тогда имеется корректно определенное
отображение
h: R(F0) - SUB), h{a) = a(y),
для которого R(F) = h~l{\). Группа KtF0 свободная ранга 2g. Стандартный
базис a\,b\,...,ag,bg в тс,/"о, удовлетворяющий соотношению
s e
У = Ц[а„,Ь„] = '[[аяЬ11а-,Ь-1,
п=\ п=\
задает отождествление
R(F0) = SUBJg, ан*(Л,,В1,...,Лв,Вв),

152
Лекция 14. Пространства представлений
где А„ = а(а„) и В„ = а(Ьп). Отображение h: SUBJ« -> SUB) задается
теперь формулой
(Al,Bl,...,Ae,Be)^Y[lAn,
В„
Теорема 14.2 (Игуза [70], Шода [136]). Отображение h
сюръективно. Оно регулярно на неприводимых представлениях и только
на них; другими словами, dji —• отображение на тогда и только
тогда, когда представление а неприводимо.
Следствие 14.3. ЩГ) — гладкое открытое многообразие
размерности 6g — 6.
Доказательство теоремы 14.2. Пусть Rv = e">. Тогда h(Rv,у, 1,...
... , 1) = е'>/е-/*/-1 =/?2<р. Если Л е SUB), то А = CR^C'1 для некоторых
9 и С 6 SUB). Значит, А = h(CR9/2C-\CjC-\ 1 1), и отображение Л
сюръективно.
Для любого представления а = (АиВи- ¦ ¦ ,Ag,Bg) имеется следующее
естественное отождествление касательных пространств:
T*R(FU) = ТА[ SUB) Ф ГВ| SUB) ®...®TAg SUB) ф TBg SUB).
Применяя подходящие левый и правый сдвиги к каждому слагаемому
пространств T^RiFo) и Tm SUB), можно построить следующую
коммутативную диаграмму:
TAlSUB) ф TBlSU{2) ф ... © TAgSUB) ф TBgSUB) -^ Th{a)SUB)
л
i,e—®Lee s! лЛ(«)
r,St/B) ф TlSUB) ф ... ф 7"iS(yB) © r,Sc/B) 5— 7",St/B)
Остается доказать, что отображение D сюръективно тогда и только тогда,
когда а неприводимо.
Пусть ип принадлежит экземпляру пространства 7\ SUB),
соответствующему ТАп SUB). Тогда LAn(l + еип) = А„(\ + еи„) и
h(Au...,A„{\ + eua),Ba,...,Bt) =
= И,,В,]... [Ап_х,Вп^}\Ап{\ + еи„), Д„]Ия+1,5я+1]... [АВ,В„] =
= С„_,[Л„A + еия), B„]C„-'Cg, A4.2)
где С* = П [/4„,ВЯ], 0 < k ^ g, в частности С0 = 1 и Cg = Л(а). Далее,
л=1
[Ап(\ + еия),Ая1 = А„{1 + еия)В„{1 - zu^B;' =
= [A„,B„] + г(АпипВпА;>В;[ - АяВяиЛА?В?) A4.3)

4. Представления групп поверхностей
153
с точностью до е2. Чтобы вернуться от ThM SUB) к Тх SUB), умножим обе
части равенства A4.2) справа на /г(а)~' и, учитывая сооношение A4.3),
получим
D@,...,0,un,0,...,0) = Cn.iA„unA;tC;ll-Cn^AnBnunB;]A;lC;ll =
= х„ — L„-\A„tS,lAn Ln_lX„Lrl-\AtlBn Ап ь„_|,
где х„ = Cn_]A„unA~'C~^t. Пусть v„ принадлежит экземпляру
пространства Т\ SUB), соответствующему ТВп SUB). Тогда LBn(\ +еип) = В„{\ +гип) и
ЛИ, An,Bn(i+sun),...,Bg) = C„.l[Al,,Bn(\+tv,l)}C;]Cg, A4.4)
где
[An,Ba(l+evn)]=A„Ba(\+eva)A-l(l - tvn)B;' =
= [Ай,Ва] + z(AnBnvnA;]B;1 - AnB„A;lvnB;])
с точностью до г1. Как и раньше, получаем
D@,...,0,y„,0,...,0) =
= Cn_iAnBnunB-{A;tC;\ - Cn„\AnBnA-'vnAnB^A-{C;l, =
= Уп ~ Ln-\A„BnAn Bn An Cn_iynL„-[Ar,BnAnBn An L„_t,
где yn = Cn^lA„B„vnB~{A~]C~_],. Следовательно, образ отображения D
состоит из всех векторов вида
е в
?A - Ао»„ + 5^A - AdGJyn, xn,yn e Г, SUB),
где F„ = С-АДА-'С,-.!, и G„ = С-ИАА'^'^'СЛ- Легко
пробрить, что элементы
{cn^anbna~x c~^cn_xanbna-xb-^ а~х c-]_\}n=x g,
где ck = J^[ [a„,/?„], образуют базис в свободной группе KtF0, а значит,
представление (Л|,ВЬ ... ,Лг,Вг) приводимо тогда и только тогда,
когда приводимо представление (Ft,Gi,...,Fg,Gg). Таким образом, второе
утверждение нашей теоремы эквивалентно следующему: представление
(FuG\,...,Fg,Gg) свободной группы неприводимо тогда и только тогда,
когда отображение
ё ё
^(l-AaVJ + ?(l-AdcJ
я=1 п=1
сюръективно.

154 Лекция 14. Пространства представлен
Вычислим образ отображения 1 — AdF при F € SUB). Предположи»?
что F Ф ±1. Тогда AaV e SOC) — нетривиальное вращение на некоторый
угол ср вокруг некоторой оси RF. Обозначим через CF плоскость, проходя-
щую через начало координат и перпендикулярную RF, так что CF ф Rf =.
= R3. Ось Rf неподвижна под действием отображения Adf, следовательно,
im(l - Adf) = CF. В случае F = ±1 оператор AdF тождественный, поэтому
im(l - Adf) = 0.
Напомним (см. доказательство теоремы 13.4), что если F = е'*, то
/10 0 \
Adf = 0 совBф) -з!пBф) .
\0 Б1пBф) СОБBф)/
Следовательно, два оператора AdF и Adc коммутируют тогда и только
тогда, когда коммутируют F и G. Нетривиальные операторы Adf и AdG
коммутируют тогда и только тогда, когда их оси вращения совпадают, т.е.
Разобравшись с этим, предположим, что представление а приводимо.
Тогда оно пропускается через U(l), что означает, что все операторы F„ и
G„ коммутируют. Отсюда операторы Adfn и Adc, имеют общую ось
вращения RF, и im D = Cf ф К3. Если представление а неприводимо, то среди
k&Fn и AdCn найдутся по меньшей мере два оператора с различными осями
вращения Же и Rc. Тогда \mD содержит и CF, и Сс, а вместе эти плоскости
порождают R3. ?
§5. Представления гомологических сфер Зейферта
В этом пункте мы опишем пространства представлений для
гомологических сфер Зейферта, следуя Финтушелу и Стерну [43]. Фундаментальная
группа многообразия ? = ?(аь ..., ап) имеет следующее задание:
7ii? = (xi,.. .,x„,h | \h,xh) = 1, xak"=h~bk, k = \,...,n, x{...xn = \),
где
'•¦¦¦' -tbi'<-
Лемма 14.4. Если ot — неприводимое представление группы
7ti(?(a,,...,a„)) в SUB), шоа(Л) = ±1.
Доказательство. Если образ <х(п) не равен ± 1, то он принадлежит
одной из иA)-подгрупп в SUB). Так как элемент h центральный, <х(/г)
коммутирует с a(g) для всех g € к\И. Следовательно, все образы a(g)
лежат в одной и той же ПA)-подгруппе, и представление а приводимо. D

5. Гомологические сферы Зейферта
155
Лемма 14.5. Если а — неприводимое представление группы
it,(?(ai> • • -,й„)) в SUB), то не более чем п — 3 элемента a{xk)
равны^-
Доказательство. Предположим, что а(хк) = ±1 для k = 3,... ,п.
Тогда a(X|)a(x2) = ±1 и а(Х|) коммутирует с а(х2). Так как представление a
неприводимо, получаем противоречие. ?
Для начала мы опишем пространство представлений Л(Е(р,а,г)) для
гомологической сферы Зейферта с тремя особыми слоями. Согласно
лемме 14.5, если а:тс,1](р,д,г) —> SUB) — неприводимое представление, то
ни один из образов а.(хк) не равен ±1. После сопряжения можно
предполагать, что а(х\) 6 С, и из условия а(Х\)р = a.(h)~bl = ±1 вытекает, что
a(X|) — корень р-й степени из 1 или -1, в зависимости от<х(/г) и Ь\. Точнее,
o(xi) = eM<i/p, где 0 < 1\ < р, причем ?t четно, если а(/г)*' = 1, и нечетно,
если а(/г)й| = -1. Предполагать, что <х(х2) и <х(х3)— комплексные числа,
нельзя, но можно найти их классы сопряженности: <х(х2) € 52 — класс
сопряженности элемента e'uti/q, где 0 < 12 < Я (h четно тогда и только тогда,
когда a.(h)b* = 1), и а{х3) € S3— класс сопряженности элемента ем?з/л, где
О < ?3 < г (?3 четно тогда и только тогда, когда а(п)Ьз = 1).
Следовательно, как только мы зафиксируем а(/г) = ±1, каждому
неприводимому представлению а можно будет сопоставить тройку (?\,?2,?3),
где ?\,?чЛ3 выбраны, как выше. Не все такие тройки соответствуют
какому-либо представлению, поскольку для некоторых из них последнее
соотношение a(xi)a(x2)a(x3) = 1 может быть невыполнимо. Произведение
a(X|)a(jc2) лежит в а(х,) • 52 — образе класса S2 при движении сферы 53,
переводящем 1 в <*(*,). Соотношение xtx2x3 = 1 можно записать в виде
ххх2 = *з~\ причем число a(x3)~' сопряжено а(х3). Следовательно,
тройка (?[,?2,?з) задает некоторое представление тогда и только тогда, когда
пересечение (а(х,) • S2) П S3 непусто.
Рассмотрим проекцию из SUB) на половину комплексной окружности
U(l) с SUB), заданную формулой А ь-> e'*"x°s<R<iW)m geCb класс
сопряженности 53 переходит в точку р = eKit:s/r, в то время как образ множества
а(х,) • S2 — это отрезок /, см. рис. 14.1.
Рис. 14.]

156
Лекция 14. Пространства представлений
Пересечение (а(Х|) ¦ S2) П S3 непусто тогда и только тогда, когда ре/.
Концы отрезка / являются проекциями точек пересечения а(Х]) • S2 с
комплексной окружностью, т.е. образами элементов e'"{ei/p±e2/q) на верхней
полуокружности. Таким образом, получаем следующее условие на (^i, €2,?з):
к .
р
_ к
ч
^ h ^ i
< — < 1 -
г
В случае, когда пересечение (a(*i) • So) П53 непусто, это — окружность.
Следовательно, вместе с каждым представлением имеется целая
окружность представлений. На самом деле все представления на этой
окружности сопряжены друг другу. Один из способов это доказать — заметить, что
в нашей конструкции можно сопрячь всё единичным комплексным числом,
оставив a(X|) комплексным, но изменив а.(х2) и а(х3) внутри
соответствующих классов сопряженности. Единичная комплексная окружность при
этом порождает окружность (а(Х|) • S2) П S3. Другой метод доказательства
того, что все представления на окружности (a(x,) • S2) П S3 сопряжены,
состоит в проверке следующего технического результата прямым
вычислением.
Лемма 14.6. Пусть а и р— такие неприводимые представления
группы v.\Yi(p,q,r) в SUB), что
A) <х(А) = р(А) и офс,) = р(х,) € С,
B) tr(a(*2)) - Щ(х2)), и
C) tr(a(jr2)a(*3)) = Щ(х2Щх3)).
Тогда существует такое комплексное число с, что р = сас~'.
Следствие 14.7. Множество $(?(/?, q, r)) конечно.
Пример. Фундаментальная группа многообразия ?B,3,5) имеет
задание
(xt,x2,X3,h | \h,xk\ = 1, x\ = h, x\ = h~x, x3 = h~\ xxx2x3 = 1).
Если a(h) = 1, то a(xJ = 1, а это означает, что а(х) = ±1 и
представление а приводимо. Пусть а(/г) = -1. Тогда имеются следующие
возможности: 1Х = 1, ?2 = 1 и 13 = 1,3. Так как 1/5,3/5 € [1/6,5/6], обе тройки
A,1,1) и A,1,3) реализуются для некоторых представлений.
Пространство ЩЕB,3,5)) состоит из двух точек.
Пример. Фундаментальная группа сферы ?C,4,7) имеет задание
{хих2,х3,/г | [h,xk] = 1, xf = /г2, x2=h~\ x\ = /г, ххх2х3 = 1).
Если а(/г) = 1, то возможности для (?\,?2,?3) следующие: B,2,2), B,2,4) и
B,2,6). Отрезок [1/6,5/6] содержит 2/7 и 4/7, но не 6/7. Если а(/г) = -1,
то ?\ = 2, ?2 = 1 или 3, ?ъ = 1,3 или 5. Отрезок [5/12,11/12] не содержит

5. Гомологические сферы Зейферта
157
1/7, а отрезок [1/12,7/12] не содержит 5/7. Следовательно, тройки,
отвечающие представлениям,— B,2,2), B,2,4), B,1,3), B,1,5), B,3,1) и
B,3,3).
Рассмотрим гомологическую сферу E(p,q,r,s) с четырьмя особыми
слоями. Группа KiT,(p,q,r,s) имеет два типа 5иB)-представлений:
представления первого типа, для которых одна из образующих переходит в ±1,
и представления второго типа, для которых ни одна образующая не
отображается в ±1. Представления первого типа рассматриваются так же, как
раньше, поэтому мы сосредоточимся на представлениях второго типа.
Выберем четверку {(.\,ti,^,U) согласно обычным правилам и
зафиксируем a(Xi) = ек,е,/р. Пусть S*, k = 2,3,4, — классы сопряженности
элементов ent-^, ек'(з/г и emt*ls соответственно. Мы хотим подобрать а(хк) ? S*
так, чтобы выполнялось равенство а(х1)а{х2)а(х3)а(х^) = '• Это
означает, что мы должны найти в SUB) = S3 радиусы г2, г3 и г4 двумерных сфер
a(Xi) • S2, a(x, )a(jc2) • 53 и a(x, )<x(x2)a(x3) • S4 соответственно, которые будут
образовывать ломаную от а(х\) к 1, если их последовательно соединить.
Если такую цепочку можно составить, то можно найти представление,
соответствующее четверке A\ЛгЛъЛ*)- Связная компонента этого
представления— это конфигурационное'пространство расположений данной
цепочки с точностью до вращений, оставляющих на месте комплексную
окружность.
Чтобы сделать цепочку наглядной, отождествим S3 с R3 U {со} с
помощью стереографической проекции 53 —+ R3. Можно предполагать, что
комплексная окружность отображается в ось z. Наши двумерные
сферы в S3 соответствуют сферам в!3и {оо}, но понятие ломаной цепочки
несколько изменилось, поскольку сферы одного и того же радиуса в S3
могут проецироваться в сферы различных радиусов в R3 U {со}.
Рассматриваемая цепочка имеет три радиуса г2,г3 и г4, которые изменяются при
стереографической проекции, поэтому мы обозначим их через г2, г'ъ и г\,
см. рис. 14.2.
Предположим, что r\ ^ r'2 > r'3 ^ г\ (остальные случаи рассматриваются
аналогично). Тогда в конфигурационном пространстве найдутся ровно две
жесткие конфигурации, показанные на рис. 14.3.
Если зафиксировать радиус г2 общего положения, все
конфигурации (профакторизованные по вращениям, сохраняющим ось z) образуют
окружность, см. рис. 14.4. При различных выборах г'2 эти окружности
вместе с двумя точками, происходящими из жестких конфигураций, образуют
двумерную сферу.
Таким образом, мы доказали, что пространство представлений
R(p,q,r,s) состоит из конечного числа изолированных точек и
конечного числа двумерных сфер.

158
Лекция 14. Пространства представлений
Рис. 14.2
Рис. 14.3
Рис. 14.4
Пример. Фундаментальная группа гомологической сферы ?B,3,5,7)
имеет задание
{xi,x2,x3,x4,h\[h,xk] = \, x] = hr
h2
х\ = h\
h~
Х\Х2Х3Х\ — 1/.
Предположим, что а(/г) = 1. Тогда <х(Х|) = ±1. В случае <х(х,) = 1 имеем
?\ = 0 и а(лг2)а(х3)а(х4) = 1, и соответствует ли четверка @,?2,?3,?4)
некоторому представлению, устанавливается проверкой условия
<
< 1 -
(!+f)
A4.5)
Отсюда мы получаем четыре представления @,2,2,2), @,2,2,4), @,2,2,6)
и @,2,4,2). Если а(*:) = — 1, то ?, = 2 и а(х2)а(х3)а(х4) = -1, и вместо
A4.5) нужно проверять условие
< 1
< 1
(!+?)
A4.6)
Здесь мы получаем еще четыре представления B,2,2,2), B,2,2,4), B,2,4,4)
и B,2,4,6). Подобные вычисления в случае, когда а(/г) = — 1 и по
крайней мере одно из значений a(xk) равно ±1, дают представления A,0,2,2),
A,0,2,4), A,0,2,6), A,0,4,4), A,2,0,2), A,2,0,4), A,2,2,0) и A,2,4,0).
Предположим, что ни одно из a{xk) не равно ±1. Имеются следующие
возможности: ?, = 1, ?2 = 2, ?3 = 2 или 4, и ?4 = 2,4 или 6. Чтобы определить,
какие из них задают представление, нужно проверить, в каких случаях
непусто пересечение (а(Х|) • 52) П (S4 • S3). А это, в свою очередь сводится
к проверке, пересекаются ли в верхней комплексной полуокружности
отрезки, соответствующие a(xt) ¦ S2 и а(дт4) • S3. Оказывается, в нашем случае
все сочетания ?k реализуются, так что мы получаем шесть двумерных сфер
в R(E,(p,q, r,s)) (вдобавок к 16 изолированным точкам, которые мы уже
нашли).

5. Гомологические сферы Зейферта
159
В общем случае компоненты пространства 3?(?(а,, ... ,а„)) являются
гладкими замкнутыми многообразиями четной размерности, не
превышающей 2(« — 3), см. Финтушел, Стерн [43]. Подробное описание пространств
представлений при п ^ 5 см. в работах Кирка, Классена [79] и Бауэра,
Оконека [14].

Лекция 15
Локальные свойства пространств
представлений
Пусть к — конечно определенная дискретная группа. Мы хотим
проанализировать локальную структуру пространств Нот(п, SUB)) и
Нот(тс,SUB))/SOC) вблизи некоторого представления а:к—> SUB).
Для этого обычно находят касательное пространство в а. Так как
пространство Ногп(т1, SUB)), вообще говоря, не является многообразием, нам
нужно использовать общее понятие касательного пространства по
Зарискому, см., например, гл.2 в книге Шафаревича [135].
Пусть многообразие X с № задано системой полиномиальных
уравнений F\ = ... — Fm = О на неизвестные Х\,...,хп. Чтобы найти касательное
пространство по Зарискому к А" в точке х° = (х°,... ,х°) ? X, нужно
написать равенство х = х° + z ¦ а, где а ? К" и е ? К, и подставить его в каждый
из многочленов /•",•. Получим
F;(x0 + е • а) = Fi(x°) + е • L,(a) + G^za) = z • L,-(a) + G^za),
где Gj(za) делится на е2. Касательное пространство по Зарискому к А" в
точке х° состоит из векторов a ? R", которые удовлетворяют уравнениям
Lda) = ... = Lm(a) = 0.
Пример. Рассмотрим конус X с К3, заданный уравнением
F(x,y,z)=x2 + y2 -22 = 0,
и найдем касательное пространство к А' в точке (x0,y0,z0). Мы имеем
F(x0 + za,y0 + zb,z0 + zc) = (x0 + zaf + (y0 + zbf - (z0 + zcf =
= zBx0a + 2y0b - 2z0c) + z2 ¦ (a2 + b2 - c2),
откуда следует, что касательное пространство в точке (х0,Уо.20) состоит из
всех таких векторов (а, Ь, с), что х0а + у0Ь — z0c = 0. В каждой точке
многообразия X, отличной от начала координат, касательное пространство по
Зарискому совпадает с обычным касательным пространством к X в точке
гладкости. В начале координат касательное пространство по Зарискому —
все пространство М3.
Начнем с того, что найдем касательное пространство по Зарискому к
Нот(тс, SUB)) в точке а. Рассмотрим малое возмущение х >-* а(х) + ет)(х)

Локальные свойства пространств представлений
161
представления а, где т)(х) е Ta{x) SUB). Применяя правый сдвиг, можно
написать т)(х) = Цх)а(х), где Цх) е Т\ SUB). Можно представлять
себе с, как функцию ^:k^suB). Чтобы с, задавало касательный вектор к
Нот (тс, S U B)) в точке а, отображение шA + zc,(x))a.(x) должно быть
представлением с точностью до г2,
A + zl(xy))a(xy) = A + zl{x))a(x) • A + гЦу)Ыу)-
После вычитания а(ху) и членов второго порядка малости это равенство
превращается в соотношение
1(ху)а{ху) = с,(х)а(х)а(у) + <х(х)Ъ{у)а(у).
Если умножить это равенство справа на а.(ху)~], получим так называемое
условие коцикла
l(xy)=l(x) + kdaWK(y). A5.1)
Отображение ^'-тс —> suB), удовлетворяющее условию A5.1), называется
{-коциклом. Все 1-коциклы образуют вещественное векторное
пространство Z^(tc,suB)). Таким образом, мы показали, что
raHomGi,SUB)) = ZI(k,5uB)).
Далее мы рассмотрим действие группы SOC) на Hom(rc, SUB)) с
помощью сопряжений. Для вычисления касательного пространства орбиты
представления а нужно узнать, когда два 1-коцикла c,t и \-2 эквивалентны
в том смысле, что найдется такое и е suB), что
A + e^,(jc))a(x) = A + ги)(\ + ?;2W)a(x)(l + еы)-1
с точностью до е2. Получаем следующее условие:
I, (х) - <2 (x) = u- AdaW и. A5.2)
Одномерный коцикл с,: л —>suB) называется кограницей, если существует
такое и ? suB), что <;(х) — и — AdaW и для всех х € тс. Одномерные
кограницы образуют линейное пространство Bl(n,suB)).
Пространство //c|(tc,suB)) = Z(|[Gc,suB))/S(Ji(tc,suB)) называется
первой группой когомологий группы к с коэффициентами в д-модуле suB),
где структура модуля задается композицией Adoa:rc->SUB) —>Aut(suB)).
Результат наших вычислений можно теперь сформулировать так:
7; Нот (тс, SUB))/SOC) = //J(tc,suB)).
Пример. Рассмотрим случай a = 9, где G — тривиальное представление,
9(g) = 1. Пусть М—топологическое пространство с конечно определен-
(I * Лекции по топологии

162
Лекция 15. Локальные свойства
ной фундаментальной группой. Тогда Яе'(к|М,зиB)) = Н'(М,suB)). Это
можно увидеть следующим образом. Одномерные коциклы с,:к)М —> suB)
удовлетворяют условию Цху) = с,(х) + Adew с,(у) = с,(х) + <;(</). В
частности, Цху) = с,(ух), поэтому 1-коциклы являются попросту К-линейными
отображениями Н,М —+ suB). Все кограницы тривиальны, следовательно,
//e'GtiAf,suB)) = Z'Gi,M,suB)) = Hom(H,M,suB)) = Hl(M,auB)).
Пример. Пусть М — ориентированный полный крендель рода g и,
значит, щМ — свободная группа на g образующих. Как мы знаем из
лекции 14, ЩМ) = /?irr(Af)/SOC) — гладкое открытое многообразие
размерности 3g - 3. Касательное пространство по Зарискому к R(M)/ SOC) в
любой точке a 6 ЩМ) является «честным» касательным пространством
к гладкому многообразию, так что H^(kiM,suB)) = R3s~3. С другой
стороны, #e'GiiM,suB)) = //'(Af,suB)) = R3*. «Неправильная» размерность
отражает тот факт, что 9 — особая точка факторпространства R(M)/ SOC).
По-прежнему #e'(rciM,suB)) = Z^(-KtM,suB)) — касательное пространство
к R(M) в точке 6.
Пример. Пусть F — некоторая замкнутая ориентированная риманова
поверхность рода g. Тогда Hl(n\F,suB)) = К6«~6 для любого
неприводимого а и Н1(щМ,виB)) = H](F,suB))=Rf>*.
Пример. Этот пример принадлежит Финтушелу и Стерну [43]. Пусть
Е = Е(а,,... ,а„) —некоторая гомологическая сфера Зейферта, a a:rciE —>
—> SUB) —неприводимое представление. Предположим, что а(хк) ф ±1
для k = l,...,m и а(хк) = ±1 для k = т + \,...,п. Тогда согласно
лемме 14.5 имеем т > 3. Покажем, что НЦп^а,,... ,a„),suB)) = М2-6.
Сначала опишем 1-коциклы ?:т1|Е —> suB). Так как h — центральный
элемент в 7t|E, мы имеем Z,(gh) = ^(hg) для всех g е TiiE. Отсюда вытекают
равенства c,{g) + Ada(g) ?(Л) = c,(h) + c,(g) (мы не забываем, что а(А) = ±1)
и Ada(g) ?(/z) = 1(h) для всех g G Л|Е. Так как представление а неприводимо,
отсюда следует, что а(/г) = 0. Аналогично можно показать, что ?(**) = 0
для k = т + 1,..., п. Если k = 1,..., m, мы получаем
A+Л, + Л2 + ... + Л^-')?(х,) = 0, A5.3)
Ъ(х,) + А^) + Л,Л2?(х3) + ... + Л, ... Лт_,5(хга) = 0, A5.4)
где Ак обозначает Ad^,. Каждое отображение Ak, k = \,...,m,
рассматриваемое как оператор на suB) = R3, имеет ось вращения R*
перпендикулярную плоскости
С* = im(l - Ak) = ker(l + Ак + А\ + ... + Аак^).
Чтобы выполнялось равенство A5.3), нам нужно выбрать ~^(xk) € С* для
k — \,...,т. Это дает 2т степеней свободы в выборе коцикла ?, но он,
кроме того, должен подчиняться соотношению A5.4).

Локальные свойства пространств представлений
163
Рассмотрим линейное отображение L:C{ © ... ф С,„ —> М3, заданное
формулой
L(z,,.. .,z,„) = z, + A,z2 + A,A2z3 + ... + Л, .. .Am.,zm.
Так как представление а неприводимо, по меньшей мере две оси, скажем IR,
и Е2, различны. Ось К, сохраняется при А,, поэтому Ri и Л | (М2) различны.
Следовательно, перпендикулярные к ним плоскости С, и Л|(С2) порождают
М3. Таким образом, отображение L сюръективно, и соотношение A5.4)
сокращает три степени свободы в выборе <;. Пространство коциклов имеет
размерность 2т — 3.
Пространство кограниц порождается элементами im(l — Ada(g)), g ?
? Tt|E. Так как представление а неприводимо, они порождают все
пространство R3. Пространство кограниц трехмерно, значит,
WjGt,E(a1,...,a„),suB)) = K2m-6.

Лекция 16
Инвариант Кассона
для разбиений Хегора
§1. Пересечения пространств представлений
Пусть Е — гомологическая сфера, Mt UF М2— ее разбиение Хегора и
F0 = F \ D2. Имеется следующая коммутативная диаграмма включений:
Af,
'1 ¦* \ л
/2 •"- ' /2
М2
Применяя функтор пь получаем следующую коммутативную диаграмму из
групп, в которой все гомоморфизмы сюръективны:
jii^o —*¦ ii] F Ki 2
Ъ\М2
После применения функтора представлений R получаем коммутативную
диаграмму из пространств
.. ЯМ) ..
R(F0) -с- /?(F) /?(?)
/?(Л*2)
Легко проверить, что все отображения в этой диаграмме инъективны.
Лемма 16.1. Пересечение подмногообразий R(MI),R(M2) С R(F0)
трансверсально в тривиальном представлении 0.
Доказательство. Трансверсальность пересечения /?(Л4,) П R(M2)
в точке 9 равносильна утверждению о том, что i*TuR(Mi) ф l2TeR(M2) =

1. Пересечения пространств представлений
165
= Tf,R(F0). При отождествлениях T9R(Mk) = H'(Mk,suB)) для k — 1,2 и
TbR(,Fu) = Hl(F0,suB)) = Hl(F,suB)) пространство i;TeR(Mt) ф i;TeR(M2)
является образом отображения
«7 0 «J: Н1(М{,виB)) © Н\М2,5иB)) -> Hl(F,suB)), A6.1)
которое включается в последовательность Майера—Вьеториса
... - tf'(E,suB)) - //'(Mi,suB)) в tf'(M2,suB)) - //'(F,suB)) -
^//2(E,suB))-+...
Так как Е— гомологическая сфера, отображение A6.1) является
изоморфизмом. ?
Ограничившись неприводимыми представлениями, получим
коммутативную диаграмму включений
.. ^(Л1,) .,
Rin(Fo) ¦*- /?irr(/=) Я|ГГ(Е)
Я,ГГ(М2)
Лемма 16.2. Пересечение гладких открытых многообразий
R'm(Mt) и R'm(M2) в Rm{F) компактно.
Доказательство. Из приведенной выше диаграммы видно, что
Д|ГГ(УИ,) П R'm{M2) = /?irr(E) = /?(Е) \ {9}, так как Е — гомологическая
сфера, см. лемму 14.1. Пространство /?(Е) компактно, и по лемме 16.1 точка
9 е /?(Е) изолирована. Следовательно, многообразие Rm(E) компактно. ?
Факторизуя по SOC) представления в последней коммутативной
диаграмме, получаем следующую коммутативную диаграмму включений:
ад0) ¦<- ад ад)
ад2)
Следствие 16.3. Пересечение гладких открытых многообразий
#(М,) П Я(М2) = Э?(Е) в R(F) компактно.
Рассмотрим призвольную изотопию пространства 31(F), которая
переводит ЩМ2) в ЩМ2), оставляя неподвижным дополнение в ЩМ2) к неко-

166 Лекция 16. Инвариант Кассона разбиений Хегора
торому компактному множеству К С ЩМ2). Говорят, что такая изотопия
имеет компактный носитель; ее можно выбрать так, чтобы пересечение
Э?(уМ|) П ЩМ2) было трансверсальным. Так как dim^Af,) = dim3J(/W2) =
= 3g - 3 и dim3?(/7) = 6g - 6, пересечение К(Л4,) п ЩМ2) состоит из
конечного числа точек. При заданной ориентации в Oi(Mi) и ЩМ2) (см. ниже)
получаем индуцированную ориентацию в ЩМ2), так что можно определить
алгебраический индекс пересечения пространств ЩМ{) и Я(М->) как сумму
адм,)п?(м2))= ]Г Е/» A6-2)
р€эг(Л)|)пк(Л/2)
где число гр равно ±1, в зависимости от того, совпадают или различаются
ориентации пространств ТрЩМ^)® ТРЩМ2) и TpJi(F). По стандартным
гомологическим причинам число A6.2) определено корректно.
Определение. Инвариантом Кассона данного разбиения Хегора
Е = Mt UF М2 рода g гомологической сферы Е называется число
X(?,Af,,iW2) = -Ц^ # (Я(М|) П ЩМ2)). A6.3)
Непосредственно из этого определения не следует, что Х(Е) всегда
целое. Это будет доказано в лекции 17, см. следствие 17.6.
Теорема 16.4. Пусть Y, — Mt UF М2 — разбиение Хегора
гомологической сферы Е. Тогда пересечение ЩМ{) П ЩМ2) в !R(F) в
точке а € 3?(Е) трансверсально в том и только том случае, если
//>Е,5иB)) = 0.
Доказательство. Группа //J(tc|E,suB)) включается в точную
когомологическую последовательность Майера—Вьеториса, см. Браун [25],
О-//>,?, suB))-
-> //JGi,Af,,suB)) © //J(ki/M2,suB)) ^L //J(k,/\suB)) -+ ...
Для упрощения обозначений мы используем здесь тот же символ а для
обозначения индуцированных представлений групп щМи К\М2 и K\F.
Обсуждаемое пересечение трансверсально в а тогда и только тогда, когда
отображение /* © /2 сюръективно. Так как представление а неприводи-
мо, ^(u,MbsuB))=M3«-3, k= 1,2, и WcIGilF,suB))=lR6«-6.
Следовательно, отображение /* © /2 сюръективно тогда и только тогда, когда
//J(rti?,suB)) = 0. П
Пример. Если Е = Е(р, q,r),To Яе[(п|Е,зиB)) = 0 для любого
неприводимого представления а, см. лекцию 15, откуда следует трансверсальность.

2. Ориентации
167
§2. Ориентации
Пусть F—замкнутая ориентированная поверхность рода g.
Рассмотрим форму пересечений
/: H[(F,R) ®Н1(Р,Щ-> Ж, J(a,b) = {а — b, [F]),
ср. с G.4). Эта форма унимодулярна, т.е. det/ = ±1, по двойственности
Пуанкаре для F. На самом деле из леммы 7.7 вытекает, что det/ = 1 и
det / не зависит от выбора ориентации на F.
Базис, который мы построили в лемме 7.7, называется
симплектическим базисом пространства Hl{F,M). Любые два симплектических базиса
связаны такой матрицей перехода С, что
CTJC=J. A6.4)
Так как det J = 1, из равенства A6.4) следует, что (det СJ = 1, и det С = ± 1.
Лемма 16.5. Пусть С — матрица, удовлетворяющая условию
CTJC =J. Тогда det С = 1.
Доказательство. Пусть А = (а,7) — некоторая кососимметричная
матрица размера 2g x 2g. Пфаффиан Pf(v4) определяется по формуле
Р^) = Це(о)а/|/1...а^,
о
где сумма берется по всевозможным разбиениям множества {1,2,...
... ,2g - \,2g) на пары {/<,,/„}, в которых /а < /'„, a—\,...,g, и где
е(о) — это знак перестановки
а= /1 2 ... 2g-l 2g\
vi /i •¦• ig /g/
Пфаффиан обладает свойствами (Р?(Л)J = det Л и Pf(CT/lC) = det С • Рг(Л)
для любой матрицы С размера 2g x 2g. Применяя последнюю формулу
к равенству A6.4), получаем Pf(Z) = det С • Рн7). Так как Pf(/) = 1,
доказательство закончено. ?
Следствие 16.6. Векторное пространство H'(F,Ж) = R2g, где g —
род поверхности F, имеет каноническую ориентацию, задаваемую
любым симплектическим базисом. Эта ориентация умножается на
(—l)g при смене ориентации поверхности F.
Пусть Е = Af i Uf M2 — некоторое разбиение Хегора рода g.
Включения F —> Mk, k = 1,2, индуцируют гомоморфизмы i*k:H](Mk,R) -* H](F,R).
При Н' (Е, R) = #2(Е, R) = 0 из точной последовательности Майера—Вье-
ториса
...-*//'(?,R) -+ Hl(Mi,R) © Н1(М2,Щ ^L H\F,R) -> tf2(E,R) -» ...
вытекает, что i;Hl(MuR)®i2,H{(M2,R)=Hl(F,R). Следовательно, Н1(МиШ)

168
Лекция 16. Инвариант Кассона разбиений Хегора
и //'(/W2,K) можно представлять себе как прямые слагаемые
размерности g в пространстве H'(F,R) = R2g. Так как пространство Hl(F,R) имеет
каноническую ориентацию, ориентация в /У'(Л/,,К) задает ориентацию в
Н1(М2,Ж) требованием, чтобы отображение t* ф i2 сохраняло ориентацию.
Пример. Рассмотрим стандартное разбиение Хегора рода два
трехмерной сферы S3 = М\ Uf М2, см. рис. 16.1.
Описанная выше ориентация группы когомологий H[(F;R) задается
базисом (aub\,a2,b2). Если ориентировать Н[(М{) с помощью базиса,
двойственного к (а.\,а2), то пространство
Ь\ Ъ2 Н](М2) будет ориентировано с помощью
базиса, двойственного к {b2,bt), ср. с рис. 7.14.
Пусть F0 = F \ D2. Ориентация
поверхности F задает ориентацию граничной
окружности у. Выберем ориентацию в SUB).
Выбор базиса в //'(/•", К) (согласованный
с ориентацией) отождествляет пространство
HomGi,(/ro),SUB)) с SUBJg. Отображение
h: SUBJg —> SUB), заданное формулой ан
ь-> ot(y), вместе с ориентацией на SUB) ориентируют неособую часть
прообраза /г~'A), а также 71(F) С ft~'(l)/SOC) по правилу, что
отождествление suB) ф Т01(F) = TR(F0) сохраняет ориентацию. Эта ориентация
пространства 51(F) не зависит от изначального выбора ориентации в SUB),
но зависит от выбора ориентации на F через знак формы / и ориентацию
кривой у. Смена ориентации в F влечет умножение ориентации в 5i(F)
на (-l)g+l.
Выбор базиса в Н'(/И,,Ж) (согласованный с ориентацией) задает
отождествление пространства Hom(jt|(M|),SUB)) с SUB)g.
Ориентация в SUB) ориентирует это пространство, и, таким образом, ЩМ\) С
С SUB)g/SOC). Если g четно, то выбор ориентации в SUB) влияет
на ориентацию в CR(M,). Очевидно, что ориентация в //'(Af|,R) влияет
на ориентацию пространства Э?(уИ|). Ориентации в H'(Mi,R) и SUB)
ориентируют также и ЩМ2).
Обе ориентации, в Л(М{) и в ЩМ2), изменяются при смене
ориентации в //'(Ai|,R), а в случае четного g — и при смене ориентации в SUB).
В обоих случаях ориентация пространства Tp5i(Mi) © ТРЛ(М2) в точке
пересечения, р нечувствительна к выбору этих ориентации. Однако смена
ориентации в F умножает ориентацию пространства ТР31(М\) © ТРЩМ2)
на (— l)g. Следовательно, изменение ориентации в F изменяет знак
величины Х(Е).
Полный крендель М\ играл выше особую роль. Смена ролей М\ и М2
в определении ориентации на Н'(МиШ) и Н'(М2,Щ умножает ориента-

3. Независимость от разбиения Хегора
169
цию в Т„ЩМ,)® ТРЩМ2) на (— I)8. Кроме того, ориентация
пространства ТРЩМ2) ® ТРЩМ,) отличается от ориентации в Гр3?(/И,) © ТРЩМ2)
умножением на (—l)s+1, так как &\п\ЩМ\) — &\тЩМ2) = 3g — 3.
Следовательно, смена ролей М\ <-> М2 изменяет знак Х(Е).
Таким образом, знак величины гр в формуле A6.2) корректно
определен, если фиксирована ориентация в F и сделан выбор, какой из полных
кренделей принять за М\. Одновременное изменение выбора оставляет
Х(Е) без изменения, поэтому, чтобы избежать неоднозначности,
достаточно зафиксировать ориентацию в Е (решение, какой из полных кренделей
будет назван Мь задает нормальное векторное поле к F, которое вместе с
ориентацией многообразия Е ориентирует и F).
§3. Независимость от разбиения Хегора
Таким образом, мы определили инвариант X(E,M|,Af2) для разбиения
Хегора Е = М\ L)F М2 гомологической сферы Е. Далее мы покажем, что
Х(Е,М\,М2) зависит только от Е и не зависит от выбора разбиения
Хегора. Мы обозначаем это число через Х(Е) и называем его инвариантом
Кйссона гомологической сферы Е.
Очевидно, что Х(Е, уИьМ2) одинаково для эквивалентных разбиений
Хегора. Согласно теореме 1.2 из лекции 1 любые два разбиения Хегора
многообразия Е стабильно эквивалентны, а значит, достаточно показать,
что значение Х(Е,/И|,/И2) инвариантно при стабилизации.
Пусть Е = М\ U/r/ М'2 — некоторое разбиение Хегора, полученное из
Е = М\ UF /И2 добавлением незаузленной ручки, см. рис. 16.2. Тогда
имеются следующие отождествления: К|А4, = Z * т^М, \\щМ'2 = Ъ* к{М2, где
сомножители Z порождаются петлями а0 и Ь0 соответственно, см. рис. 16.2.
Пусть Fq = F'\D2 —• поверхность F' с удаленным открытым диском D2.
Тогда K]Fq = Z * Z * щР0, где группа Z * Z свободно порождается
образующими а0 и Ь0. Таким образом, получаем следующие отождествления

170
Лекция 16. Инвариант Кассона разбиений Хегора
пространств представлении:
R(M'„) = SUB) x R(Mk), ft = 1,2, R(F^) = SUB) xSUB) xR(F0).
Индуцированные включения имеют вид
SUB) x R{M,) -> SUB) x SUB) x R(F0), (а,а) .-> (a, l,a),
SUB) x R(M2) -* SUB) x SUB) x R(F0), (b,a) ~ A,6, a),
и эти отображения пропускаются через R(F'). Внутри R(F^) и /?(Р)
имеются следующие отождествления:
R{M\) П /?(М2) = (SUB) х 1 х /?(Af,)) П A х SUB) x /?(М2)) =
= 1 х 1 х (/?(Afi) П /?(iW2)) = 1 х 1 х /?(Е),
см. рис. 16.3, где параллелепипед символизирует произведение R(Fg) =
= SUB) x SUB) x R(F0).
SUB)
^^SVB)
^''
^^R<№\\
R(M2)
R(Fo)
Рис. 16.3
Так как /?(?) = /?irr(S) U {0}, мы видим, что
R,rr{M\) П Rm(M'2) = 1 x 1 x (tfirr(/W,) П /?irr(;W2)),
и то же самое выполняется после факторизации по SOC),
ЩМ\) П ЩМ'2) = 1 х 1 х (ЩМ,) П Я(М2)).
Многообразия Л(М2) и 3?(уИ2), возможно, нужно продеформировать
в ЩМ2) и ЩМ2) соответственно, чтобы пересечения ЩМ\) П К(уИ2) и
Э?(Л/|) П Э?(М2) стали трансверсальными. Мы утверждаем без
доказательства, что деформации можно выбрать так, что будет выполняться
равенство _ _
ЩМ\) П К(М'2) = 1 х 1 х ЩМ,) П ЩМ2)), A6.5)

3. Независимость от разбиения Хегора
171
см. Акбулут, Маккарти [2], с. 70—78. После этого инварианты
\(Е,М1,М2) и Х(Е,М\,М',2) будут задаваться формулами
Р 2
где обе суммы берутся по одному и тому же конечному множеству
точек A6.5). Таким образом, мы завершаем доказательство проверкой, что
ъ'р = -ЕР.
Пространство H[(F') — R ф М ф H[(F) ориентируется выбором сим-
плектического базиса (a0,b0,ai,bt, ag,bg), где (aub\,... ,ag,bg) —
некоторый симплектический базис в //'(/-), а (двойственные) циклы а0
и Ь0 изображены на рис. 16.2. Такой выбор базиса ориентирует R(Fg) так,
что отождествление Т R{Fq) = suB) ф suB) ф Т R{F0), заданное нашим
выбором а0 и Ь0, сохраняет ориентацию. Чтобы ориентировать пространство
R(F'), рассмотрим отображение
g
h': R(F^) -+ SUB), (A0,B0,Al,...,Be)^Yl[All,Bkl
и ориентируем R(F') по правилу, что отождествление \m(dh') ф ker(dh') =
= TR(Fq) сохраняет ориентацию в любом неприводимом представлении,
где kev(dh') = TR(F') и im(dh') = suB). В любом неприводимом
представлении из R(F') вида A,1, а) мы имеем dh' — 0 ф 0 ф dh. Здесь
h:R(FQ) —> SUB) — отображение, которое задает ориентацию
многообразия R(F) в неприводимых представлениях требованием, чтобы
отождествление suB) ф TR(F) = TR(F0) сохраняло ориентацию. Так как kerd/г' =
= suB) © suB) ф kerd/z, получаем, что ориентация в TR(F') совпадает
с прямой суммой ориентации слагаемых в suB) ф suB) ф TR(F). To же
самое верно после факторизации по SOC), т. е. пространство T"R(F')
ориентировано как прямая сумма suB) ф suB) ф T3i(F).
Выберем ориентацию в //'(ЛЬ) и ориентируем //'(ЛЬ) так, чтобы
отождествление //'(ЛЬ) ф Hl(M2) = H[(F) сохраняло ориентацию.
Выберем в //'(ЛЬ) = Ш ф //'(ЛЬ) ориентацию прямой суммы и ориентируем
Н1(М'2) так, чтобы ориентация в Hl(F') = Н[(М[) ф Н](М2) была
канонической. Эта ориентация в Н'(М2) отличается от ориентации прямой
суммы Н1(М'2) = R ф //'(ЛЬ) множителем (-1)г, поскольку пространство
R®//'(ЛЬ) ©Кф//'(ЛЬ) с ориентацией прямой суммы дает каноническую
ориентацию на H'(F') = R ф R ф Hl(F) = R ф К ф //'(ЛЬ) ф Я'(ЛЬ)
только после того, как мы перекинем второй К-сомножитель через Я1 (Л/,), и
в то же время dim//'(ЛЬ) = g.

172 Лекция 16. Инвариант Кассона разбиений Хегора
Имея в виду множитель (— \)s, ориентируем Н1(М'2) как прямую сумму
R® Н1(М2) и сравним ориентацию пространства ТРЩМ\) ф ТРЩМ'2) =
= suB) ф ТрЩМ,)ф5иB)ф ТРЛ(М2), которая есть умноженная на (-1)«~'
ориентация пространства suB) ф suB) ф ТрЩМ^) Ф ТРЩМ2), с
ориентацией пространства Tp5l(F') = suB) ф suB) ф Tp3l(F). Ориентации
пространств ТРЩМ\) ф ТРЛ(М2) и Tp'R(F) отличаются на zp, следовательно,
z'p = (~l)H-l)g-,tp = ~Ep.

Лекция 17
Инвариант Кассона для узлов
§ 1. Предпочтительные разбиения Хегора
Пусть k — некоторый узел в гомологической сфере Е. В следующих
двух леммах мы строим разбиения Хегора многообразия Е, согласованные
с перестройкой вдоль узла k.
Лемма 17.1. Найдется такое разбиение Хегора Е = М\ \JF M2, что
k — разбивающая кривая на F.
Доказательство. Выберем поверхность Зейферта F' для k.
Утолщим /•"', чтобы получился полный крендель F' х [0,1 ] С Е. Пусть К —
замыкание дополнения к F' х [О, 1] в Е. Это — компактное
трехмерное многообразие, но не обязательно полный крендель. Его край дК =
= d(F' х [О,1]) = F х {0} U (dF' х [0, 1]) U F' х {1} является замкнутой
поверхностью вдвое большего рода, чем F'. Узел k вложен в
поверхность дК как dF' x {1/2} С dF' x [0,1] и разбивает ее. Рассмотрим
какую-нибудь триангуляцию многообразия К и высверлим туннели вдоль
одномерного скелета, добавляя соответствующие 1-ручки к F' х [0,1].
Можно считать, что туннели начинаются и заканчиваются вне k.
Рассуждение, подобное использованному в теореме 1.1 из лекции 1, показывает,
что эта процедура дает некоторое разбиение Хегора. Однако может
случиться, что узел k больше не разбивает нашу поверхность, потому что мы
приклеили ручки, начинающиеся по одну
сторону от k, а заканчивающиеся по другую. Это
легко исправить, сдвинув основания всех таких
ручек вдоль поверхности, чтобы они оказались
\
/ /
1 1
1 1
1 1
'^\
\ \
1 1
1 1
1 1
к
вРх{о}. ? \ и и ;у'х{0}
Лемма 17.2. Найдется такое разбие- \ !., l.!~_l\ f'x{\)
ние Хегора Е = М\ UF М2, что М{ = F' х I и
k = dF' — разбивающая кривая на F. Рис 17.1
Доказательство. Повторим
доказательство леммы 17.1 и построим разбиение Хегора, в котором все
дополнительные ручки приклеены к F' х {0}. Далее, высверлим туннели, идущие от
F' х {1} к F' х {0} и затем через сердцевины этих 1 -ручек, см. рис. 17.1. ?
В следующей лемме строится предпочтительное разбиение Хегора для
почти разводимого зацепления. Оно будет использовано ниже в этой
лекции для доказательства свойства B) инварианта Кассона (см. лекцию 12).

174
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов
Лемма 17.3. Пусть kU ?— некоторое почти разводимое
зацепление в гомологической сфере Е. Тогда существует такое разбиение
Хегора Е = М, UF М2, что М, = F' х /, ? = dF' x {1/2} и k —
разбивающая кривая на F'.
Доказательство. Пусть F'k и F'e — непересекающиеся поверхности
Зейферта для k и I. Утолщим F'k до F'k х / так, чтобы многообразие F[ x / не
пересекалось с F[. Пусть Fk — край многообразия F'k x /. Возьмем связную
сумму Fk и F'e, соединив их трубкой. Выбрав эту трубку вдали от k и ?,
мы получим поверхность F" со следующими свойствами: I = dF" и k —
разбивающая кривая на F". Завершение доказательства проводится по
аналогии с доказательствами лемм 17.1 и 17.2. ?
§2. Инвариант Кассона для узлов
Пусть Е = Ж| U/r М2 —такое разбиение Хегора для Е рода g, что k С F
разбивает F на F — F' U* F". Обозначим через т скручивание Дэна
поверхности F вдоль k. Для любого п разбиение Хегора многообразия
Е+ - -k
п
можно получить из разбиения Е = A-f, \Jr М2 композицией отображения
склейки с т". Введем обозначения 3?, =ЩМ,) и 3?2 = ЩМ2). По функ-
ториальности отображение т индуцирует диффеоморфизм х*: 31(F) —» R(F),
который отображает Л2 в т*3?2, причем
Х(Е + \ ¦ kj = ^ # (% П (х")*3?2) = ^ # (зг, П {*•)"%).
Следовательно,
= ^ • [#C?, п (т*г+%) - ад п (х*)а%)] =
= Ц^ • [#(% П (t*)"+%) - #(т*#, П (тТ+|Я2)] =
= -^-#[(т*зг, - эг,) п (хт+|зг2].
Мы хотим исследовать разность т*Я| - % и показать, что величина
#((т*Я, - 3?,) П (т*)л+%), а значит, и
не зависит от п.

2. Инвариант Кассона для узлов
175
Прежде всего опишем действие диффеоморфизма т* на R(F) = R'"(F)/
SOC). Пространство R(F) = Hom(-n.\F, SUB)) можно отождествить с
R(F) = {(а', а") | a'(k) = a"(k)} с R(F') x R{F").
Предположим, что базисная точка поверхности F лежит в F'. Тогда
действие т» на Tii(F) тривиально на петлях из %\F' и задается формулой \,х =
= k~'xk на петлях х 6 л,/7", см. рис. 17.2.
Рис. 17.2
Диффеоморфизм x*:R(F) —> R(F) задается формулой
(<х',а")^(а',а'(?Г' • <*" ¦ «'(*)),
что определяет искомое действие х* на R(F).
Положим R-(F) = {a.:nlF -> SUB)|<x(&) = -\}cR(F). Все
представления в R-(F) неприводимы: если представление o^Xi/7 —> SUB) приводимо,
то оно пропускается через Я,/7, а так как k — разбивающая кривая на F,
мы имеем 0= [k] e HtF, поэтому a.(k) = 1. Можно представлять себе R-(F)
как произведение
/?_(/=) = {(a'.a") |о'(Л) = -1, a"(k) = -1} = (А'Г'(-1) х (А")-'(-1).
где h':R(F'} -> SUB) и h":R(F") -» SUB) —отображения /z'(a') = а'(?)
и h"(a") = a"(k). Так как —1 ? SUB) — регулярное значение и для Л',
и для /г" (см. теорему 14.2), множество 31-{F) = /?_(/7)/SOC)
наделяется естественной структурой гладкого замкнутого многообразия
размерности 6g - 9. Вложение /?_(/*) С R'n(F) эквивариантно относительно
действия группы SOC), следовательно, мы получаем индуцированное
вложение #_(/=) С %(F).
Для ограничения отображения x*:$.{F) —> IR(f) на ^-(Z7) получаем
х*(а', а") = (а', а'(А:)-' ¦ а" • a'(k)) = (а', а"). Следовательно, id = х*: ft_(F) ->
Лемма 17.4. Существует такая каноническая изотопия
H,:X(F)\3l-(F)->0l(F)\3l-(F), /€[0,1],
что Н0 = id, Н\ — х\ Другими словами, Н, изотопирует % в i*% в
дополнении к %-(F).

176
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов
Доказательство. Мы показали (см. теорему 13.3), что
экспоненциальное отображение exp:suB) —> SUB), Л н-> еА, является
диффеоморфизмом на шаре радиуса п с центром в нуле,
exp: fl„@)-^SUB)\{-l}.
В частности, естественное стягивание Вк@) х [0,1] —> Вл@), (X, t) i—> t • X,
экспоненциируется в стягивание пространства SUB) \ {—1},
G: (SUB)\{-1}) х [0,1] ->SUB)\{-1}, (AJ)^A'.
Эти стягивания эквивариантны по отношению к действию группы SOC).
Определим изотопию H,:R{F) \ R_(F) ~* R{F) \ R-(F) по формуле
Я/(о',о") = (а',(о'(Л)')-1 -а"-а'(й)'). A7.1)
Эта формула имеет смысл, поскольку a'(k) ф — 1 для (а',а") eR{F)\R_(F).
Можно проверить, что изотопия A7.1) индуцирует корректно
определенную изотопию H,:%(F) \ ft_(F) — %(F) \ R-(F). П
Ha рис. 17.3, по существу заимствованном из книги Акбулута, Мак-
карти [2], схематически изображено пространство ЩГ). Заштрихованная
область — это след изотопии И,. Заметим, что изотопия Н, не
продолжается на "R-(F) и оставляет на месте приводимые представления.
Пересечение R(Mt) П (т*)"+|/?(/И2) трансверсально в тривиальном
представлении б С R(F), поскольку ? -| ¦ k — гомологическая сфера,
см. лемму 16.1. Вычислив дифференциал отображения Н,, можно показать,

3. Разностный цикл
177
что многообразие Ht(R(Mi)), 0 ^ t ^ 1, касается R(M{) в точке 8, см. Ак-
булут, Маккарти [2], с.92. Значит, из R(MX) можно вырезать открытую
50C)-эквивариантную окрестность U„ точки 9 без изменения пересечения
И(% х /) П (т*)"+|3?2 в 31(F). Единственным приводимым представлением
в пересечении R(M\) и (т*)"+|/?(уМ2) является 9. Следовательно, в R(Mt)
можно найти 50C)-эквивариантную открытую окрестность V„
приводимых нетривиальных представлений, не пересекающуюся с (т*)"+|/?(М2).
Пусть W„ = U„ U V„. Можно считать, что Rm(M]) \W„ — это гладкое
компактное многообразие с краем. Обозначим его факторпространство по
SOC) через 31\ С 31. Цикл
8' = z*% - Н(д% х1)-Л\
компактен, и мы имеем
#((х*% - %) Г) (т*)"+%) = #(&' П (т*)п+1Я2).
Можно считать, что Wn не пересекается с R-(F). Пусть К —
некоторое компактное многообразие, образующее окрестность пересечения
% П 3l-(F) в Э?| и полностью содержащееся в 3?р Пусть 31" = 3^ \ int(N).
Мы выбираем N так, чтобы 3?,' было гладким многообразием. Положим
р = т*з?;' - /-да; х /) - я;\
Так как [3 — компактная граница в З^/П, мы имеем #(C П (т*)"+|3?2) = 0.
Наконец, определим разностный цикл 8 = 8' — р. Очевидно, что 8 не
зависит от выбора "N и от п. Получаем, что
#((т*Я, - %) П (тТ+%) = #(§ П (тТ+%) = #((т*)-(я+"8 П %).
Цикл 8 лежит в регулярной окрестности многообразия 3l_(F) и
стягивается на некоторый цикл в 3l_(F), см. §3 ниже. Действие
диффеоморфизма т* на !R-(F) тривиально, следовательно, (т*)~(,1+||8 = 8, и число
#((i*% - %) П (т*)"+'3?2) не зависит от п. Таким образом, инвариант
\'(k) узла корректно определен, и мы доказали свойство A) инварианта X,
см. лекцию 12.
§3. Разностный цикл
Пусть ? = М, Uf M2 — разбиение Хегора из леммы 17.2, причем
M,=F' х / и F = <9(F х /) = F' U* F'. Пусть tr: SUB) -> [-2,2] —
функция следа на группе Ли SUB). Зададим также функцию аргумента
arg:SUB) —> [0,л] по формуле arg(/l) = arccos(tr(/l)/2). Тогда многооб-
12* Лекции по топологии

178
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов
разия 3?i, %—(F) и замкнутую регулярную е-окрестность 3vfe многообразия
3l_(f) для достаточно малого г > О можно описать следующим образом:
Я, ={(a',a')|a'6/?i"(/;")}/SOC),
3J_(/=) = {(а', а") | а', а" 6 /?(/="). arga'F) = arga"(A>) = тс}/ SOC)
и
К = {(а',а")|а',а" 6 R(F'),a'(k) = a"(k),n - г ^ arga'(k)}/SOC).
Цикл 8, построенный с помощью X = CRj nNe, гомологичен циклу
5. = Utf,Ct,naN,) =
= (J{(a',a'(A)-' • а' • а'(Л)') | arga'(?) = it - e}/SOC) =
= ((«', g_l ¦ «' • g I g € SUB)«, arg<x'(*) = * - e}/ SOC),
где SUB)E состоит из всех элементов g e SUB), для которых 0 ^ argg <
< к — г (схематически это множество изображено на рис. 17.4
заштрихованной частью сферы).
Так как предел множеств SUB)E при е —> 0 — это вся группа SUB),
мы видим, что предел при е —> 0 цикла 8t равен 80, где
80 = {(«', g-l-*'-g)\ge SUB), a'(k) = -1}/S0C).
Цикл 80 имеет следующую интерпретацию. Действие произведения
SOC) х SOC) на R_(F') x R.(F'), где /?_(/=¦') = (A')-'(-i), задает
проекцию p:R_(F') х R-(F') —»9?_(/7') x 3?_(P) на факторпространство со
слоем SOC) х SOC). Отображение р
корректно определено на Я_ (F) = /?_ (Р) x
х /?_(F)/SOC) (где действие SOC)
диагонально) и задает проекцию /?:#_(/-) —>
-»3?_(У7') х Я.^') со слоем SOC). Пусть
Д С Я_ (/=¦') х Ж_(Р) — диагональ. Тогда
/D-'(A) = {(a',a")|a" = Adffa'
Рис. 17.4 Для некоторого g e SUB)
H<x'(*) = a"(A) = -l}/SOC).
Так как SUB)—двулистная накрывающая группы SOC) (см.
теорему 13.4), мы видим, что 80 = 2 • р~'(Д). Таким образом, нами доказана
следующая теорема.

4. Почти разводимые зацепления
179
Теорема 17.5. Пусть k — узел в гомологической сфере Е. Тогда
^) = (-1)е#(Р"'(А)пЖ2).
Следствие 17.6. Для любой гомологической сферы Е мы имеем
Х(Е) е Z.
§4. Инвариант Кассона для почти разводимых
зацеплений
Пусть k U ? — почти разводимое зацепление в гомологической сфере Е.
Выберем предпочтительное разбиение Хегора Е = Mt UF M2, как в
лемме 17.3, так, что М{ = F' х /, где F'— поверхность Зейферта для ?, a k —
разбивающая кривая на F'. Пусть xk и хе — скручивания Дэна вдоль k и ?,
a hk и he — обратные к ним. Заметим, что скручивания Дэна вдоль k и ?
коммутируют. Тогда
l"{k,?) = [Х(Е + k + ?) - Х(Е + k) - Х(Е + ?) + Х(Е)] =
= {-=y~ ' [#№ п <х№) - #№ n №) - #№ n т^2) + #(эг, п %2)\ =
= ^у^ • 1#(КК%* П Л2) - #{К% Л %) - #(h*% Л %) + #(% Л %)] =
= {-=y^ ¦ [#(h'k(h't% - %) n %) - #((h*% - %) п ЗД
Мы имеем 8? = т^Э?, - 3?, и т*еЬе = Ъе. Следовательно, h*ebe = Ье, поэтому
8^ = h}be = % - h*t%. Таким образом,
\"(k,t) = -^ ¦ #((А;5< - 8,) П %).
Мы хотим доказать, что h*kbt - Ь( = 0, так что выполняется свойство B)
инварианта Кассона, которое утверждает, что \"(k,?) = 0 для всех почти
разводимых зацеплений k U ?.
Слегка злоупотребляя обозначениями, мы используем Ье для
обозначения и цикла §?, и его гомологического класса в HtEl-(F)). Как мы уже
знаем, Ье = 2 • р~'(А). На уровне гомологии имеется следующая
коммутативная диаграмма (где PD обозначает двойственность Пуанкаре):
я.(я_(/=)) *- я*(эг_(/=))
Р* р*

180
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов
из которой следует, что р,(Ье) = 2Д и PD(8<) = 2 • р* PD(A). Отображение
/ij;: !R_(P) —+ 3?_(Р) индуцирует гомоморфизмы и в гомологиях, и в кого-
мологиях пространства 3?_(Р); обозначим их снова через h*k. Следующая
диаграмма коммутативна:
//•(зг_(/=)) *- я*(зг_(Я))
А А
//•(Я-(Р) х 3i_(/'))—"-^ H'{%-(F') х Я_(Р))
Здесь отображение Л? индуцировано отображением h*k:H*(JL_(F'))-+
—> //*C?_(Р)) по формуле Кюннета.
Теорема 17.7 (Ньюстед [115] и [116]). Пусть Р— риманова
поверхность со связным краем ЭР, a h: F' —> Р — такой
диффеоморфизм, что id = Л»: Я»(Р) —* Ht(F'). Тогда h индуцирует
тождественное отображение в когомологиях многообразия 3J_(P).
Так как 6— разбивающая кривая в F, гомоморфизм (hk),:H,(F') —>
—> H,(F') тождественный. Из теоремы 17.7 теперь следует, что h*k = id,
а значит, h*k: Н * {$._(F)) —> H*CR-(F))—тождественное отображение на
образе проекции р*. В частности, Л J B • р* PD(A)) = 2 • р* PD(A),
следовательно, /z*(PD(8?)) = PD(8?) и PD(h;(h)) = PD(S<). Так как PD—
изоморфизм, получаем h*kbe = 8^.
§5. Инвариант Кассона для трилистника
Пусть k—левосторонний трилистнике S3. Мы покажем, что А'(?) = ±1-
Так как S3 - k = ЕB,3,5) — гомологическая сфера Пуанкаре, это будет
означать, что Х(?B,3,5)) = ±1, и мы таким образом докажем свойство @)
инварианта X. Напомним, что значение X определено только с точностью
до знака. Как только мы получили Х(?B,3,5)) = ±1, зафиксируем знак X
требованием Х(ЕB,3,5)) = — 1.
Мы доказали в лекции 8, что трилистник является расслоенным узлом
рода один. Пусть его дополнение в S3 расслоено поверхностями Р рода
один. Построим разбиение Хегора S3 = ЬА\ Uf М2 рода два, как в (8.1). Оно
будет предпочтительным разбиением Хегора в смысле леммы 17.2, причем
F = Р U Р. Соответствующие пространства представлений описываются
следующим образом:
Я(М,) = {(а', а') | а' е /?irr(P)}/SOC),
ЩМ2) = {(ct'.AV) |а' € /?irr(P)}/SOC).

5. Инвариант Кассона для трилистника
181
Лемма 17.8. Гомологический класс p"'(ANW3(S.(F)) равен
(с точностью до знака) фундаментальному классу замкнутого
многообразия $—(F).
Доказательство. Класс р~'(Д) является прообразом диагонали
Д С ?_(/") х %-(Н, где р — это проекция R-(F) -> R_{F') x R_(F').
Мы покажем, что &_(/•"')— это точка, откуда будет следовать утверждение
леммы.
Так как F' — проколотый тор, его фундаментальная группа
свободно порождена двумя образующими. Следовательно, Jl_(F') = {(А,В) е
G SUB) х SUB) | [А, В] = — 1}/S0C). После сопряжения можно считать,
что
А = Г °Л
где 0 ^ (р ^ л. Положим
Тогда условие АВ = —ВА означает, что ае'* — 0 и be'9 = —be~i:f.
Следовательно, а = 0 и ср = к/2. После сопряжения представления (А, В) некоторой
матрицей, коммутирующей с Л, т.е. диагональной, можно добиться, чтобы
число b было вещественным положительным. Так как detS = 1, мы
получаем b = 1. Следовательно, множество 3i_ (/•"') состоит всего из одной
точки — класса 50C)-сопряженности представления
Mi-!)-" = (-!J)-
Напомним (см. теорему 17.5), что ±\'(k) = #(р"[(А) Г) ЩМ2)). Мы
знаем, что /?~'(Д) = $—(F), поэтому нужно только найти пересечение
R-(F) П ЩМ2) в #(/•)• Используя данное выше описание многообразия
ЩМ2), видим, что
Jl.(F) л И(М2) = {(a', AV) | а' ? /?_(/=•')}/SOC) ^ 3?_(/=") = {точка}.
Доказательство того, что Х'(/г) = ±1, будет закончено после проверки
условия трансверсальности.
Лемма 17.9. Многообразия R-(F) и ЩМ2) пересекаются в 31(F)
трансверсально.
Доказательство. Сначала подсчитаем размерности. Так как
наше разбиение Хегора имеет род два, получаем dim ЩМ2) = 3g — 3 = 3,
dim3?_(/7) = 6g —9 = 3 и d\mR(F)=bg — 6 = 6. Далее, сравним касательные

182
Лекция 17. Инвариант Кассона для узлов
пространства:
ТЩМ2) = {(Z,dh*(Q) | I е TR^(F')}/SOC),
r^_(F) = {(§,ti) | 1,ц 6 r/?_(r)}/SOC).
Их пересечение состоит из таких пар E,d/z* (<;)), что <; е TR^(F') по
модулю свободного действия группы SOC). Следовательно, д\т(ТЩМ2) П
П T$.-(F)) = 0, что вместе с подсчетом размерностей влечет
трансверсальность. D

Лекция 18
Применение инварианта Кассона
§ 1. Триангулирование четырехмерных многообразий
Как было отмечено во введении, понятия топологического, гладкого и
PL-многообразия совпадают в размерности три. Согласно работам Кэрн-
са [27] и Хирша [68] любое четырехмерное PL-многообразие обладает
единственной гладкой структурой и наоборот. Топологические
многообразия в размерности четыре в корне отличаются от PL- и гладких
многообразий. С одной стороны, существуют топологические четырехмерные
многообразия, допускающие различные гладкие структуры, и с другой
стороны, существуют топологические многообразия, вообще не наделяемые
гладкой структурой, см. лекцию 5. Напомним, что последнее следует из
теорем Рохлина и Фридмана.
Теорема 18.1 (Рохлин). Если X — гладкое замкнутое односвязное
четырехмерное многообразие, форма пересечений которого четна,
то его сигнатура делится на 16.
Теорема 18.2 (Фридман). Для данной унимодулярной четной
целочисленной формы найдется, с точностью до гомеоморфизма, ровно
одно односвязное замкнутое топологическое четырехмерное
многообразие, представляющее данную форму.
Схема доказательства су ще с т во в а ни я. Фридман [49]
доказал, что любая гомологическая сфера размерности три ограничивает
некоторый гомологический шар V — компактное топологическое
четырехмерное многообразие, у которого H,(V) = H,(DA). Это утверждение
перестает быть верным в гладкой категории, поскольку гомологические сферы
с нетривиальным инвариантом Рохлина не могут ограничивать гладкие
гомологические шары.
Далее, для данной четной унимодулярной целочисленной формы Q
можно найти гладкое односвязное четырехмерное многообразие X с
формой пересечений Q и краем — некоторой гомологической сферой Е,
см. следствие 6.5. Пусть V — гомологический шар, ограничиваемый
сферой Е. Тогда W = X Uz (— V)—замкнутое топологическое односвязное
четырехмерное многообразие с формой пересечений Q. П
Заметим, что согласно Куинну [120] все некомпактные четырехмерные
топологические многообразия сглаживаемы, а следовательно,
многообразие W в приведенном выше доказательстве имеет гладкую структуру в
дополнении к любой точке.

184
¦Лекция 18. Применение инварианта Кассона
Пример. Пусть ? = ?B,3,5)— гомологическая сфера Пуанкаре.
Она ограничивает каноническое гладкое многообразие X с отрицательно
определенной формой пересечений ?8. Форма пересечений многообразия
Ws = X U (— V), где V — некоторый гомологический шар,
ограничиваемый сферой Е, имеет сигнатуру —8. Следовательно, многообразие 1У8 не
гладко.
Теорема 18.3. Многообразие W& не гомеоморфно никакому сим-
плициальному комплексу.
Напомним, что PL-многообразие размерности п — это симплициаль-
ный комплекс, допускающий комбинаторную триангуляцию (триангуляция
комбинаторна, если линк каждой вершины PL-гомеоморфен сфере 5""').
Мы уже знаем, что многообразие Ws не гладко, следовательно, не кусочно
линейно. Теорема 18.3 утверждает больше: она говорит, что
многообразие W$ не триангулируемо в самом слабом смысле: оно не гомеоморфно
никакому симплициальному комплексу, не обязательно комбинаторному.
Доказательство. Предположим, что многообразие Ws
триангулируемо. После перехода к звездному подразделению можно считать,
что триангуляция многообразия №8 комбинаторна в дополнении к
открытой звезде некоторой вершины v. Это задает на линке вершины v
структуру PL-многообразия Е, так что звезда вершины v гомеоморфна
конусу СЕ над Е. Так как Wa—топологическое многообразие,
надстройка SE = СЕ U СЕ также является топологическим многообразием. Так
как многообразие СЕ стягиваемо, форма пересечений многообразия 5Е
нулевая, и по теореме Фридмана многообразие SE гомеоморфно S4.
Удалим вершины конусов из SE и соответствующие точки из S4. Получим
гомеоморфизм ? х / = S3 х /, из которого следует, что П|Е = 0, т. е.
Е — гомотопическая сфера. Ее инвариант Рохлина равен нулю, поскольку
(i(E) = Х(Е) = 0 mod 2, см. теорему 12.1. С другой стороны, многообразие Е
ограничивает гладкое односвязное четырехмерное многообразие Wg \ СЕ,
где С обозначает открытый конус, с формой пересечений ?8.
Следовательно, [i(?) = 1 mod 2. Это противоречие завершает доказательство. ?
Похожая конструкция с другими четными унимодулярными формами
сигнатуры 8 mod 16 дает другие примеры замкнутых топологических
четырехмерных многообразий, которые невозможно триангулировать.
§2. Многомерные многообразия
Взаимосвязи между топологическими, гладкими и PL-многообразиями
в размерности пять и выше становятся еще сложнее, чем в размерности
четыре,— например, понятия гладкого и PL-многообразия больше не
совпадают. Кирби и Зибенманн [78] показали, что во всех размерностях, начиная

2. Многомерные многообразия
185
с пяти, существуют топологические многообразия, которые не допускают
/-^-структуры. До сих пор неизвестно, все ли топологические
многообразия этих размерностей симплициально триангулируемы (т.е. гомеоморфны
некоторому симплициальному комплексу). Достаточно неожиданно
оказалось, что эта проблема триангулируемости сводится к некоторой задаче
трехмерной топологии, см. Галевский—Стерн [56] и Матумото [99].
Теорема 18.4. Любое замкнутое топологическое многообразие
размерности не меньше пяти симплициально триангулируемо, если
и только если существует такая гомологическая трехмерная
сфера ?, что [i(E) = 1 и многообразие ? # ? гомологически кобордантно
нулю.
Недано доказаны теоремы (см. Фукумото, Фурута [52] и Савельев
[132]), которые показывают, что гомологические сферы Зейферта ? =
= ?(аь... ,а„) имеют следующее свойство: если [i(?) = 1, то никакая
кратная сумма т? многообразия ? с собой при т Ф 0 не гомологически
кобордантна нулю.
13* Лекции по топологи»

Лекция 19
Инвариант Кассона
для многообразий Зейферта
В этой лекции мы дадим явную формулу для значения
инварианта Кассона на гомологических сферах Зейферта Е(аь... ,а„). Сначала
мы будем рассматривать многообразия T,(p,q,r) и опишем пространство
представлений $(?(/?, q, г)). Оказывается, все точки этого
пространства представлений дают отрицательный вклад в инвариант Кассона.
Как мы доказали в лекции 15, пространство Jl(T,(p,q, r))
невырожденно, т.е. Hl(H{p,q,r),suB)) = 0 для всех а е %{Y,{p,q,r)). Следовательно,
\(T,(p,q,r)) равняется минус половине мощности множества 5i(H(p,q, г)).
Последнее имеет много интерпретаций в терминах числа точек
целочисленной решетки в некотором тетраэдре, сумм Дедекинда и сигнатур слоев
Милнора. Общая формула для \(И(а{,...,ая)) следует из формулы для
\(Y,(p, q, r)) после привлечения соображения аддитивности; за этими
подробностями мы отсылаем читателя к статье Нейманна, Уолла [114].
§ 1. Пространство $(?(р, q, r))
Напомним (см. лекцию 14), что пространство ЩИ(р,ц, г)) конечно.
Кроме того, класс сопряженности представления а в 5i(E(p,q, r))
однозначно задается тройкой A\ЛчЛъ) целых чисел, четность которых
диктуется выбором инвариантов Зейферта и таким выбором <x(h) = ±1, что
О < I, < р, О < ?2 < q, 0 < h < г и
?i_ к
р q
<4<i-
Г
1 "
р
Последнее неравенство переписывается в виде
max
l p q p q J r ip q p q J
или в виде системы следующих четырех неравенств:
-^ + ^ + ^>о, к-к + к>0,
Р q r p q r
к + к„к>0, к + к + к<2. }
р q r p q r

1. Пространство R(E(p,q, r))
187
Если позволить числам ?\,?2Лз иметь произвольную четность, то
неравенства A9.1) будут задавать точки целочисленной решетки, лежащие
внутри тетраэдра ДсК3 с вершинами @,0,0), @,q, г), (р, 0, г) и (p,q, 0).
Обозначим мощность множества T(p,q,r) = Д П 23 с М3 через x(p,q,r).
Лемма 19.1. Мощность множества "R{H{p,q,r)) равна jx(p,q,r).
Доказательство. Группа Z/2 © Z/2 с образующими s,t
свободно действует на T(p,q,r) по правилу s(X|,x2,x3) = (x{,q — х->, г — х3),
/(хьх2,х3) = (р — xuq — х2,х3). Для любой данной тройки целых чисел
(Х|,х2,х3) G T(p,q,r) ее орбита состоит из четырех точек
(х>, х2, х3), (х,, q — х2, г — х-Л,
(р - xuq - х2,х3), (р - х,,х,,г - х3).
Условие, что тройка (xi,x2,x3) задает некоторое представление из
9t(E(p,q, r)), фиксирует четности чисел хь х2 и х3; ровно одна из четырех
троек A9.2) имеет правильную четность. ?
Замечание. Мощность множества ЩТ,(р, q, r)) также равна одной
четвертой от числа точек целочисленной решетки внутри тетраэдра в К3 с
вершинами (р,0,0), @, <?,0), @,0, г) и (p,q,r). Эти точки отождествляются
с точками из T(p,q,r) с помощью отображения
(Х!,х2,х3) ь-» (р — x\,q - х2,г — х3).
Имеется ряд любопытных формул, выражающих х(р, q, r) в терминах р,
q и г. Приведем некоторые из них.
Лемма 19.2. Пусть хк— число таких точек целочисленной
решетки (Х|,х2,х3), что 0 < X, < р, 0 < х2 < q, 0 < х3 < г и
Р Я г
Тогда x{p,q,r) = -х] + т2 - х3.
Доказательство. Пусть Л = (р — \)(q — 1)(г — 1) — мощность
множества Р = (@, р) х @,q) х @, л)) П Z3 С М3. Введем обозначение
Tk = {(x,,x2,x3) ?P\k-l<^ + ^ + ^<ky
чтобы число г*, равнялось мощности множества 7*. Так как всегда
выполнено двойное неравенство
0<^ + ^ + ?3<з,
Р Я г
множество Р распадается в несвязное объединение Р = Т\ U Г2 U Г3,
см. рис. 19.1. Здесь нужно заметить, что равенства
х\ , х2 , хз , 0
1 1 = 1 или 2
Р Я г

188
Лекция 19. многообразия Зейферта
невозможны, так как они влекли бы соотношение
К\цг + x2pr + x3pq = 0 mod pqr,
и тогда мы бы получили Х\ = 0 mod р, х2 = 0 mod q, x3 = 0 mod r, что
запрещено неравенствами 0 < х, < р, О < х2 < q и 0 < х3 < г.
Р h Т2 т3
Рис. 19.1
Таким образом, П = т, + т2 + тз, и, кроме того, мощность множества
Р \ Т(р, q, г) равна П - х(р, q, г). Множество Р \ Т(р, q, r) можно разделить,
как показано на рис. 19.2, и тогда из очевидных симметрии будет следовать
равенство
т,=х3 = |(П-т),
откуда мы получаем -Т) + т2 - т3 = П - 4т, = \(p,q, r). ?
Рис. 19.2

1. Пространство Л(Е(р, q,r))
189
Другая формула для \{р, q, r) использует так называемые суммы Деде-
кинда. Для вещественного х положим
{х — \х] — - если х 4. Ъ,
2
О, если х eZ,
где [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х. Для пары
взаимно простых чисел a, b (а ф 0) суммой Дедекинда называется
|<7|-1
*¦>-Ш)-О-
Следующий результат вытекает из того, что
T(p,q,r) = (p-l)(q-l)(r~l)-4Tl
(см. доказательство леммы 19.2), и вычисления значения xi, сделанного в
работе Морделла [109], см. также Радемахера, Гроссвальда [121],
теорема 5 разд. З.Е:
= 4[s(pq,r) + s{pr,q) + s(qr, p)] + ^(l - ± - ± - 1) - J- + 1.
В книге Радемахера, Гроссвальда [121], разд. 2.С, формула B5), доказано,
что
ih \ - JL v" 1+?m i + гЬт
S\°>a) ~ 4a 2^ 1 _ lm ' i _ r-l«'
где 5 — любой примитивный корень из единицы степени а. Отсюда
получается следующая формула для x(p,q,r), которую можно найти также в
работе Нейманна, Уолла [114], лемма 1.5 и замечание 1.7:
z(p,q,r) = 1 - J-(l - pW? + PV + q2r2 + p2r2)-
opqr
- d(p, qr) - d(q, pr) - d(r, pq).
Здесь для взаимно простых чисел а, Ь, где а > 0, мы использовали
обозначение
если положить ? = ехр ( 1. A9.3)

190
Лекция 19. многообразия Зейферта
§2. Вычисление инварианта Кассона
Следующим шагом в вычислении \(Y,(p,q,r)) будет доказательство
того, что все представления в 3?(?(/?,д, г)) считаются с одним и тем же
(отрицательным) знаком, поэтому Х(Е(р,</, г)) равно минус половине
мощности множества 3i(T,(p,q,r)). В лекции 1 мы построили разбиение Хегора
(минимально возможного) рода два для H(p,q,r). С помощью
исчисления Кирби оно описывается следующим образом. Многообразие T,(p,q,r)
можно представлять себе как результат перестройки по любому из
зацеплений, показанных на рис. 19.3, где b{qr + b2pr + b3pq = 1, ср. с рис. 2.11.
Доказательство того, что перестройки по зацеплениям, изображенным на
рис. 19.3, дают гомеоморфные многообразия,—легкое упражнение по
исчислению Кирби.
Рис. 19.3
Пусть N(k,) — регулярная окрестность узла k, в 53. Выполняя (р/Ь,)-
перестройку вдоль k\, мы высверливаем туннель вдоль узла ku
являющегося сердцевиной полнотория N(k\), и заполняем его полноторием S' x D2
согласно (р/b ^-правилу. Будем обозначать
^---~ ~--!^ полученное многообразие через Tt; оно
снова гомеоморфно полноторию. Полнотория Г2
и Г3 определяются аналогично с помощью
перестроек вдоль k2 и ^з- Соединив Т{ и Т2
полной трубкой, как показано на рис. 19.4,
получим полный крендель М, рода два внутри
Е(р,?,г).
Дополнение к Mi в Y,(p,q,r) можно
представлять себе как полноторие 7 с
полной трубкой, приклеенной, как показано на
рис. 19.5; результат гомеоморфен полному кренделю М2 рода два.
Таким образом, мы получили разбиение Хегора рода два T.{p,q,r) =
= MlUFM2. Многообразия ЩМ t) и ЩМ2) трехмерны, пересечение Л(М,)П
Г\Л(М2) трансверсально в 31(F), см. лекцию 15, и для каждого представ-
Рис. 19.4

2. Вычисление инварианта Кассона
191
ления из 51(F) индекс пересечения ЩМ\) и Л(М2) можно подсчитать явно
из описания разбиения Хегора, данного выше. Элементарное, но
технически сложное вычисление в локальных картах дает следующий результат,
см. Лескоп [90].
Рис. 19.5
Теорема 19.3. Пусть М\ \JF М2— разбиение Хегора
гомологической сферы Зейферта T,(p,q,r), описанное выше. Тогда для любого
а е ЩМ]) П Л(М2) индекс пересечения многообразий ЩМ]) и ЩМ2) в
ЩГ) равен -1.
Другое доказательство этого факта, использующее калибровочную
теорию, можно найти в статье Финтушела, Стерна [43]. Таким образом, мы
приходим к следующей формуле:
\(?(p,q,r)) = -±#X(E(p,q,r)),
где #Я(Е(р, q, г)) обозначает мощность конечного множества "Л{И(р, q, r)).
Вместе с леммой 19.1 и последующим вычислением \(p,q, r) это дает
следующую явную формулу для инварианта Кассона многообразия H(p,q,r).
Ее обобщение для E(ai,...,an) можно найти в работе Нейманна, Уол-
ла [114]. По модулю два эта формула дает замкнутое выражение для
инварианта Рохлина многообразия Е(аь... ,а„), как было обещано в §2
лекции 11.
Теорема 19.4. Справедливо равенство
4Z(p,q,r)) = -~8[\- ~-г(\ ~ PVr2 + рУ + q2r2 + pV) -
- d(p, qr) - d(q, pr) - d(r, pq) ,
где функция d(a,b) задается формулой A9.3) для взаимно простых
чисел а, Ь, при а > 0.
Замечание. Для вычисления инварианта Кассона некоторых
гомологических сфер Зейферта можно использовать формулу перестройки. С
помощью данного в упражнении 17 описания правостороннего торического

192
Лекция 19. многообразия Зейферта
узла kpq типа (p,q) перестройкой легко вывести, что гомологическая
сфера ?(р,<?, pq + 1) получается (—1)-перестройкой по узлу kpq. Из формулы
перестройки для инварианта Кассона следует, что
4Z(p,q,pq + 1)) = -|Д1'МA) = -(Р2 - \)(q' ~ D/24,
см. лекцию 9. Для любого натурального числа т гомологическая сфера
Х(р, <7, pqm ± 1) получается (—1/т)-перестройкой вдоль правостороннего
и левостороннего торического узла типа (р, q) соответственно. Из формулы
перестройки опять следует, что
Ц?(р,<?, pqm ± 1)) = -т{р2 - \)(q2 - l)/24.
Пусть р, q, г > 2 — некоторые целые числа, f(x, у, z) = хр + у4 + zr —
многочлен от трех комплексных переменных. Рассмотрим
гиперповерхность V(p,q,r) в С3, заданную уравнением f(x,у, z) = 0. Это —
некомпактное многообразие вещественной размерности четыре, гладкое всюду,
кроме особой точки @,0,0). Пусть S5 С С3—малая пятимерная сфера
с центром в @,0,0). Тогда пересечение V(p,q,r) Г) S5 является гладким
трехмерным многообразием, называемым линком особенности
гиперповерхности V(p,q,r) в точке @,0,0). Если числа р, q и г взаимно
просты, то V(p, q, г) П S5 отождествляется с гомологической сферой Зейферта
Е(р, <7, г), см. работу Нейманна, Рэймонда [113]. Заметим, что похожая
конструкция для многочлена хр + у4 от двух комплексных переменных
давала торический узел в лекции 7. Действие окружности на Е(р, q, r),
упомянутое в конце лекции 1, задается формулой / • (x,y,z) = (tqrx, fry, tpqz),
/ eS1, причем особые слои заданы уравнениями х = 0, у = 0 и z = 0
соответственно.
Формула
f(x,y,z)
(f(x,y,z) =
\f(x,y,z)\
задает отображение cp:S5 \ E(p,q, r) —> S1 на единичную комплексную
окружность, являющееся проекцией на базу для некоторого
локально тривиального расслоения, слой F которого — гладкое односвязное
четырехмерное многообразие, см. Милнор [106]. Естественная компак-
тификация слоя F является гладким многообразием M(p,q,r) с краем
T,(p,q,r), называемым слоем Милнора, ср. с лекцией 8.
Теорема 19.5 (формула Финтушела—Стерна, см. [43]). Справедливо
равенство
Х(Е(р, q, г)) = ? sign M(p, q, r).

2. Вычисление инварианта Кассона
193
Доказательство. Как мы уже знаем, значение Х(Е(р,q,r)) с
точностью до знака равно половине мощности множества Ji(T,(p,q,r)),
которая в свою очередь равна одной четверти от —Т| + т2 — т3, см.
лемму 19.2. Последняя величина равна сигнатуре слоя Милнора, см. Брис-
корн [22]. ?
Результат, аналогичный теоремам 19.4 и 19.5, верен также для
гомологических сфер Зейферта ?(аь ... ,а„) для произвольного п, см. Нейманн—
Уол [114].

194
Заключение
С момента изобретения в 1980-х гг. ивнариант Кассона был обобщен
многими различными способами. Оказалось, что он связан со многими
недавними достижениями, в частности с новым направлением в топологии,
применяющим идеи физики калибровочных теорий к изучению
многообразий в размерностях три и четыре. В нижеследующих заметках дается обзор
этих достижений без попытки дать исчерпывающее описание.
Калибровочная теория. На протяжении всего текста мы кратко
обсуждали различные приложения калибровочной теории. Мы не продвигались
в этом направлении очень далеко, поскольку не хотели требовать от
читателя глубокого знания римановой геометрии и эллиптической теории.
По римановой геометрии имеется множество учебников, например Уор-
нер [146]. Наиболее подходящей книгой по применениям к калибровочной
теории является, по-видимому, монография Николаеску [117]. Под
эллиптической теорией мы подразумеваем теорию (псевдо-) дифференциальных
эллиптических операторов, см., например, первые две главы в книге
Шубина [137], и теорему об индексе, см. Атья, Ботт, Патоди [6] для случая
замкнутых многообразий и Атья, Патоди, Зингер [8], [9] и [10] для
многообразий с краем. Это — оригинальные работы, которые содержат
прекрасное изложение предмета. Среди других источников отметим Пале [118] и
Гилки [57].
Саму по себе калибровочную теорию можно изучать по книгам Фрида,
Уленбек [48], Дональдсона, Кронхаймера [37], а более недавнюю
калибровочную теорию Зайберга, Виттена по книге Моргана [ПО].
Гомологии Флоера. Калибровочно-теоретический смысл инварианта
Кассона был открыт Таубсом [141] и Флоером [45], которые
интерпретировали X как эйлерову характеристику некоторой теории гомологии,
известной сегодня под именем (инстантонных) гомологии Флоера. Каждой
ориентированной трехмерной гомологической сфере Е Флоер сопоставил восемь
абелевых групп /„(Е), п = 0,... ,7, так, чтобы выполнялось равенство
7
Х(?)=Л]Г(-1)"гапк/„(Е). (*)
Группы /,(Е) функториальны в том смысле, что любой
ориентированный четырехмерный кобордизм W между гомологическими сферами ?0
и Е| индуцирует гомоморфизм U^,:/,(E0) —* /.(E)), не обязательно
нулевой степени. Определение /»(Е) и W, существенным образом использует
калибровочную теорию для Е и W. Если говорить кратко, это —
бесконечномерный аналог теории Морса, см. Милнор [105]. Элементарное
введение в гомологии Флоера см. в работе Браама [30].

Заключение
195
В статье Флоера [46] определение гомологии Флоера было обобщено
для некоторых трехмерных многообразий, не являющихся
гомологическими сферами, и кобордизмов между ними; в частности для всех трехмерных
многообразий, имеющих те же целочисленные гомологии, что и S1 x S2.
Формула перестройки для инварианта Кассона была при этом развита до
точного треугольника Флоера.
Пусть k С Е — некоторый узел в гомологической сфере Е. Введем два
других многообразия: гомологическую сферу Е', полученную из Е (—1)-
перестройкой по k, и многообразие К — гомологическое S' x S2,
полученное О-перестройкой по k. Естественные кобордизмы X, Y и Z,
возникающие как след наших перестроек, индуцируют гомоморфизмы в гомологиях
Флоера. Эти гомоморфизмы можно включить в следующий точный
треугольник (длинную точную последовательность) суммарной степени — 1:
ЦК)
Здесь гомоморфизмы Z, и X, имеют степень нуль, в то время как
соединяющий гомоморфизм Y, имеет степень — 1. Кроме того, эйлерова
характеристика гомологии /»(/() выражается в терминах многочлена Александера
следующим образом
7
Д*с?A) = 1>1Ггапк/Д/(),
л=0
поэтому формула перестройки Кассона следует из точности этого
треугольника.
Гомологии Флоера трудно вычислить в общем случае. Алгоритм
вычисления гомологии Флоера /»(E(fl|,... ,а„)) гомологических сфер Зейферта
описан в работе Финтушела, Стерна [43]. Имеется также замкнутая
формула для /,(Е(аь... ,а„)), см. Савельев [130]. Некоторые другие
вычисления гомологии Флоера см. в работах Кирка, Классен, Рубермана [80],
Классена [81], Ли [93], Савельева [131], Стипшица, Сабо [140] и др.
Другое применение гомологии Флоера связано с многочленами
Дональдсона. Напомним (см. лекцию 5), что многочлен Дональдсона гладкого
замкнутого четырехмерного многообразия — это многочлен
DM :Н2{М,Щ-+Я
определенный на вторых когомологиях многообразия М. Для
многообразия W с краем dW = Е — гомологической сферой многочлен Дональдсона

196
Заключение
принимает значения в /,(Е),
D,r://2(W,R)-+/„(?).
Если замкнутое многообразие М разбивается некоторой гомологической
сферой Е, М = W\ Us W-2, то DA, получается «склейкой» D^, и D^2 при
помощи некоторого естественного спаривания на /„(E), см., например, Фин-
тушел, Стерн [42].
Наконец, нужно упомянуть, что инвариант Кассона для Е можно еще
интерпретировать как эйлерову характеристику (симплектических)
гомологии Флоера пространств представлений, ассоциированных с некоторым
разбиением Хегора многообразия Е. Подробности относительно этой
теории и ее связей с инстантонными гомологиями Флоера см. в книге Ли,
Ли [88].
Инвариант Кассона—Лина. Аналог конструкции Х-инварианта
Кассона для узлов был разработан Лином [94]. Пусть k — некоторый узел в
S3 и 53 \ k — его дополнение. Лин подсчитал такие неприводимые SUB)-
представления группы 7t|(S3 \ к), что все меридианы узла k С S3
представлены бесследовыми матрицами в SUB). Полученное целое число h(k)
является инвариантом узла к; его обычно называют инвариантом
Кассона—Лина. Лин показал, что на самом деле h(k) не является новым
инвариантом: с точностью до константы он равен сигнатуре узла. Таким
образом, сигнатура получила новую интерпретацию в терминах пространств
представлений. Нужно заметить, что инвариант Кассона—Лина узла
отличается от инварианта Кассона узла, описанного в лекции 17.
Инвариант Кассона—Лина был обобщен Гералдом [66] с помощью
подсчета представлений дополнения к узлу с фиксированным (но не
обязательно нулевым) следом для меридианов. И инвариант Кассона—Лина,
и инвариант Гералда равны эйлеровой характеристике как инстантонной,
так и симплектической теорий гомологии Флоера для узлов, см. В. Ли [92]
и Коллен, Стир [31].
Инвариант Кассона—Лина и его обобщения тесно связаны с экви-
вариантной теорией Кассона на многообразиях с действиями
циклических групп. Чтобы получить эквивариантную версию инварианта Кассона,
нужно сосчитать только представления, сохраняемые при индуцированном
действии группы в пространстве 5иB)-представлений. Хотя в общем
случае построение эквивариантной теории все еще продолжается, в
нескольких специальных случаях она разработана, см. Коллен, Савельев [30] и
Савельев [130].
Инварианты типа Кассона для групп Ли, отличных от SUB),
рассматривалась в [17] и [28].

Заключение
197
Инвариант Кассона для общих трехмерных многообразий. В конце
1980-х гг. инвариант Кассона со всеми своими свойствами был
продолжен на гомологические линзовые пространства (трехмерные
многообразия с целочисленными гомологиями линзового пространства), см. Бой-
ер, Лине [19], и на все рациональные трехмерные гомологические сферы,
см. Уокер [144]. Несколько лет назад инвариант Кассона был
продолжен на все замкнутые ориентированные трехмерные многообразия см. Ле-
скоп [89]. Новый инвариант становится проще при росте первого числа
Бетти b\ = dim H,(M;Q) многообразия М, обращаясь в нуль при bt > 3.
Инварианты конечного типа. Инвариант Кассона принадлежит
обширному семейству так называемых инвариантов конечного типа,
первоначально определенных В.Васильевым для узлов. Работы Бирман [16],
Бар-Натана [13] и Концевича [82] могут служить хорошим введением в
эту теорию; см. также [87], [112] и [142].
В заключение перечислим некоторые открытые проблемы, связанные с
материалом этой книги. Этот список помогли подготовить Оливье Коллен
и Славомир Квасик.
Задача (С. Квасик). Говорят, что два замкнутых ориентированных
трехмерных многообразия М0 и М\ являются h-кобордантными, если
найдется такое гладкое компактное ориентированное четырехмерное
многообразие W, что dW = — Mq U М\ и включения /И,- —» W, i = 1,2, являются
гомотопическими эквивалентностями (в частности, щМ0 = тС]М: = тс: W).
Это требование намного сильнее, чем Я-кобордантность, определенная
в лекции 11.
Предположим, что М0 и М\ —ориентированные трехмерные
целочисленные гомологические сферы. Верно ли, что ЦМ0) = X(Af,) для
/г-кобордантных многообразий М0 и М,? Ответ на этот вопрос положительный,
если к{М0 = %\М{ = 0, так как Х-инвариант обращается в нуль из-за
отсутствия неприводимых представлений. Тот же вопрос можно задать для
/г-кобордантных многообразий М0 и Mt с конечными фундаментальными
группами и подходящего обобщения инварианта Кассона.
Пусть М0 и М, —замкнутые ориентированные /г-кобордантные
трехмерные многообразия, и пусть многообразие М0 гиперболично. Из
результатов, полученных в работе Габая [55], следует, что если многообразие М0
удовлетворяет так называемому insulator condition, то многообразие /W,
также гиперболично, а значит, гомеоморфно М0 по жесткости Мостова.
Предположительно все замкнутые гиперболические трехмерные
многообразия удовлетворяют insulator condition. Хорошо было бы иметь
независимое рассуждение, показывающее, что по крайней мере \(М0) =\(М,).
Здесь возникает другой связанный с этим вопрос. Пусть Мо — фактор-
многообразие сферы S3 по произвольному свободному действию бинарной

198
Заключение
икосаэдральной группы / = тс, ?B,3,5), а М\ = ?B,3,5)— фактормного-
образие сферы S3 по линейному действию группы /, см., например, Кирби,
Шарлеманн [77]. Верно ли, что \{М0) = Х(М,)?
Задача. Любое ли трехмерное многообразие с нетривиальной
фундаментальной группой допускает нетривиальное представление в SUB)?
Разрабатывающаяся программа Кронхаймера и Мровки [84]
доказательства свойства Р повлекла бы положительный ответ для трехмерных
гомологических сфер, полученных (±1)-перестройкой вдоль произвольного
нетривиального узла в S3.
Задача. Обозначим через V„(k) циклическую накрывающую сферы 53
с ветвлением вдоль некоторого узла к. При п = 2 Маллинз [111] привел
формулу для инварианта Кассона в терминах сигнатуры узла к и
многочлена Джонса. Найти общую формулу для \(V„(k)) при п ^ 3. (Такая формула
была недавно предложена Гаруфалидисом и Крикером.)
Задача. Формула (*) выражает инвариант Кассона гомологической
сферы ? через гомологии Флоера. Исследовать другие линейные
комбинации, скажем
7 7
]Г\апк/„(?) или ^(-l)"'"-^2 rank/„(?).
л=0 п=0
Первая может быть полезна из-за связи со свойством Р узлов, а вторая
помогает при изучении группы Э| гомологических кобордизмов, см. Фуку-
мото, Фурута [52] и Савельев [131].
Задача. Для гомологической сферы Зейферта T,(p,q,r) все
неприводимые 5иB)-представления фундаментальной группы вносят в Х{Е{р,q, r))
вклад одного знака, см. теорему 19.3. Много других гомологических сфер
обладают этим свойством, см., например, Савельев [131]. Найти
критерий или достаточное условие, при котором данная гомологическая сфера
обладает этим свойством.
Задача. Построить инвариант типа Кассона для трехмерных
многообразий, исходя из представлений фундаментальной группы в SLB, С).
Хотя теория получится сложнее, чем для SUB), она должна иметь
преимущество из-за большей близости к топологии трехмерных многообразий,
поскольку 5Ц2,С)-представления — важный инструмент трехмерной
топологии.
Задача. Найти нетривиальные примеры трехмерных гомологических
сфер и гомологических S1 x S2 с тривиальными гомологиями Флоера.
Задача. Инвариант Кассона Х(?) был определен в A6.3) как
половина «количества» 5иB)-представлений группы ТС|(?), поэтому a priori
Х(Е) — не целое число. Кронхаймер, Ларсен и Шерк [84] дали алгебраи-

Упражнения
199
ческое доказательство того, что для гомологических сфер с конечным
числом неприводимых 5иB)-представлений количество этих представлений
четно. Дать более геометрическое или топологическое объяснение этого
факта. Изучить, что происходит в случае рациональных гомологических
сфер.
Упражнения
1. Найдите классы гомеоморфности компактных трехмерных многоб-
разий, получаемых из D3 отождествлением конечного числа пар дисков на
крае.
2. Пусть F— ориентируемая компактная поверхность рода g, причем
8F =5'. Покажите, что F х / — полный крендель. Каков его род?
3. Пусть М — компактное трехмерное многообразие с краем дМ —
= S1 х 51. Докажите, что М не может быть односвязным.
4. Пусть М—трехмерная целочисленная гомологическая сфера, k —
некоторый узел в М. Докажите, что Я,(/М \ k) = W.(S').
5. Докажите, что если замкнутое ориентируемое трехмерное
многообразие М имеет род Хегора g, то его фундаментальную группу можно задать g
образующими и g соотношениями.
6. Покажите, что род Хегора многообразия S1 x S1 x S1 равен трем.
7. Используя теорему ван Кампена, вычислите K\L(p,q).
8. Чему равен род Хегора связной суммы двух линзовых пространств?
9. Вещественное проективное пространство — это трехмерное
многообразие RP3, полученное из трехмерного шара отождествлением
противоположных точек края. Сделайте рисунок, показывающий, что RP3 гомео-
морфно линзовому пространству LB,1).
10. Докажите, что многообразие Зейферта M((ai,bt), (a2,b2)) рода
нуль с двумя особыми слоями является линзовым пространством, и,
используя теорему ван Кампена, вычислите его фундаментальную группу.
11. Пусть М = Af((abfr|),..., (an,bn)) —
многообразие Зейферта рода нуль с п ^ 3 особыми слоями.
Вычислите К\М и Н\М.
12. Покажите, что любая матрица из SLB, Z)
разлагается в произведение матриц вида
(о 1) и (±! ?)•
13. Покажите, что четырехмерное многообразие, получаемое при
перестройке вдоль зацепления, изображенного на рис. А, есть (S2 x S2) \ D4.
14. Докажите, что каждое из оснащенных зацеплений на рис. В дает
гомологическую сферу Зейферта ?B,3,5).
СО

200
Упражнения
15. Покажите, что перестройки вдоль узлов, показанных на рис. С,
дают гомологическую сферу Зейферта ЕB,3,7).
Рис. В
Рис. С
16. Покажите, что трехмерный тор S1 x S1 x S1 можно описать как
результат перестройки вдоль зацепления, изображенного на рис. D.
17. Пусть р, q, p',q' — такие целые числа, что р, q > 1, pq' + p'q = 1.
Докажите, что зацепление на рис. Е дает описание правостороннего тори-
ческого узла kPiq типа (p,q) с помощью перестройки, т.е. перестройка по
окружностям, помеченным 0, р/р' и q/q', превращает узел k в kp,q С S3.
18. Представим D2 как {(х,у) | х2 + у2 < 1}. Пусть y.D2
щение вокруг начала координат на угол 2к/п. Пусть Е
в A/2,0), настолько малый, что множества Е, ф(?),..., ср'
D2 — вра-
— диск с центром
"""'(f) попарно не
пересекаются. Пусть Dn —диск с п дырками D \ (J cp'(int(?)), и пусть
;=о
Хп = D„ х //(х,0) ~ (<?(х), 1). Опишите X как дополнение к некоторому
зацеплению. Вычислите П]Х и найдите задание этой группы двумя
образующими.
19. Используя двойственность Пуанкаре, докажите следующие
свойства эйлеровой характеристики х'.
(a) х(М) = 0 Для любого замкнутого ориентируемого трехмерного
многообразия;
(b) 2 • х(М) = х(ЭМ) для любого компактного ориентируемого
трехмерного многообразия с краем дМ.

Упражнения
201
20. Уничтожьте характеристическое подзацепление зацепления на
рис. F.
Р/Р'
Рис. D
Рис. Е
Рис. F
21. Для данной плоской связной диаграммы «-компонентного
зацепления обозначим через с число пересечений, а через s —число окружностей
Зейферта. Докажите, что поверхность Зейферта, построенная в
доказательстве теоремы 7.1, имеет род I — (s + п — с)/2.
22. Докажите, что род торического узла kpq не превосходит (р — 1) х
х [q - l)/2.
23. Используя формулу G.3) для многочлена Александера торического
узла, докажите, что род узла &м равен (р — \)(q — l)/2.
24. Вычислите многочлен Александера узла «восьмерка». Докажите,
что этот узел имеет род один.
25. Пусть kx # k2 — связная сумма двух узлов ?, и k2. Докажите, что
Д*1#*2@ = Д*,@-Д*8@-
26. Дубль Уайтхеда узла k строится путем замены k на кривую,
показанную на рис. G слева. Справа на рис. G показан дубль Уайтхеда
Рис. G
14* Лекции по топологии

202
Упражнения
трилистника. Число перекручиваний между двумя параллельными
нитями произвольно. Покажите, что род дубля любого узла не превосходит
единицы.
27. Пусть k\ и k2 — некоторые узлы в гомологической сфере ?.
Докажите, что lk(fet,fe2) = Щк2,к>)-
28. Вычислите ц(?B,4? - 1,8* - 3)).
29. Докажите, что любую гомологическую сферу Зейферта Ща.\,...,а„)
с четным а\ можно получить перестройкой согласно некоторому звездному
графу с четными весами.
30. а. Докажите, что ц(?B,7, 13)) = 0.
b. Используя теорему 5.9, докажите, что гомологическая сфера
?B,7,13) гомологически не кобордантна нулю.
c. Докажите, что гомологическая сфера ?B,7,13) имеет бесконечный
порядок в группе гомологических кобордизмов.
31. Докажите, что многообразие ? # (-?) гомологически кобордантно
нулю для любой гомологической сферы ?.
32. Докажите, что если ориентированное трехмерное многообразие М
ограничивает гладкий гомологический шар, то М — гомологическая сфера.
33. Напомним, что узел & в S3 обладает свойством Р, если группа
к,E3 + A/я) ¦ k) тривиальна тогда и только тогда, когда п = 0. Докажите,
что, если Д'/@ ф 0, то узел k обладает свойством Р.
34. Докажите, что Х(?) = 0 для любой трехмерной гомологической
сферы ?, допускающей обращающий ориентацию гомеоморфизм.
35. Докажите, что если трехмерная гомологическая сфера ?
вкладывается в R4, то р.(?) = 0. В частности, гомологическая сфера Пуанкаре не
вкладывается в R4.
36. Докажите, что инвариант Кассона гомологической сферы не
определяется однозначно ее фундаментальной группой (указание: рассмотрите
гомологическую сферу ?, удовлетворяющую условию Х(?) ф 0, и два дубля
?#? и ?#(-?)).

Предметный указатель
аксиомы Стинрода—Эйленберга, 22
базис симплектический, 111, 167
билинейная форма неопределенная,
72
нечетная, 72
определенная, 72
четная, 72
вложение изотопное, 13
внешность узла, 39
гипотеза Пуанкаре, 135
гомеоморфизм изотопный, 13
гомологии, 22
— клеточные, 19
— приведенные, 17
— сингулярные, 20
— Флоера, 194
граница, 14
группа гомологических кобордизмов,
134
— классов отображений, 30
— когомологий, 161
движения Кирби, 50
двойственность Пуанкаре, 11
— Пуанкаре—Лефшеца, 12
действие окружности на
многообразии Зейферта, 37, 192
джойн, 106
дубль Уайтхеда, 201
зацепление, 38
— оснащенное, 42
— почти разводимое, 98
— Уайтхеда, 97
— Хопфа, 91
— четное, 61
значение регулярное, 23
изоморфизмы изотопные, 30
инвариант Арфа квадратичной
формы, 112
узла, 114
скрученного, 117
торического, 117
— Кассона, 136, 166, 169
узла, 174
— Кассона—Лина, 196
— Рохлина, 84, 126
каноническая параллель, 39
квадратичная форма, 111
невырожденная, 111
кобордизм, 45
— гомологический, 132
когомологий, 15
комплекс симплициальный, 20
конус, 16
коэффициент зацепления, 48
линза, 34
линзовое пространство, 34
линк особенности, 192
— симплекса, 20
матрица зацеплений, 59
— Зейферта, 88
— унимодулярная, 68
матрицы Зейферта 5-эквивалент-
ные, 89
меридиан, 32, 39
многообразие, 9
— гладкое, 9
— замкнутое, 9
— Зейферта, 36
— кобордантное нулю, 45
— кусочно линейное, 9
— открытое, 151
— с краем, 9

204
Предметный указатель
многочлен Александера, 89, 91
скрученного узла, 92
торического узла, 90
— Дональдсона, 73, 195
определитель узла, 95
ориентация, 16
оснащение, 41
особый слой Зейферта, 36
параллель, 32
перестройка, 39
— рациональная, 40
— целочисленная, 40
поверхности Зейферта стабильно
эквивалентные, 87
поверхность Зейферта, 85
— Куммера, 70
— характеристическая, 118
подзацепление характеристическое,
61
полный крендель, 25
последовательность Майера—Вье-
ториса, 23
— точная, 14
представление неприводимое, 150
— приводимое, 150
преобразование монодромии, 103
приклеивание, 17
простая замкнутая кривая, 31
пространство касательное по Зарис-
кому, 160
— представлений, 151
пфаффиан, 167
разбиение Хегора, 26
многообразия Зейферта, 37
разбиение Хегора многообразия
Зейферта, 190
разбиения Хегора стабильно
эквивалентные, 27
эквивалентные, 27
раздутие, 54
разрезание, 18
ранг билинейной формы, 72
расслоение локально тривиальное,
16
регулярная проекция, 38
род зацепления, 87
— полного кренделя, 26
— Хегора, 32
ручка, 18
свойство Р, 198
— накрываюшл..": гомотопии, 19
связная сумма, 19
граничная, 19
узлов, 58
сигнатура билинейной формы, 72
— узла, 95
скелет, 15
скручивание Дэна, 31
след перестройки, 45
слой Милнора, 192
стабилизация разбиения Хегора, 27
степень отображения, 21
сумма Дедекинда, 189
сфера гомологическая, 76
W-кобордантная нулю, 132
Мазура, 132
Пуанкаре, 55
— гомотопическая, 135
сферы гомологические Л-кобордаь
ные, 197
//-кобордантные, 132
схлопывание, 54
теорема Гуревича, 21
— Уайтхеда, 21, 73
тип билинейной формы, 72
трансверсальность, 23
треугольник точный Флоера, 195
триангуляция, 20
— комбинаторная, 9
трилистник, 55
трубчатая окрестность, 38
узел, 38
— восьмерка, 93
— расслоенный, 101

Предметный указатель
узел скрученный, 57
— торический, 90
— тривиальный, 39
форма пересечений, 67
формула Кюннета, 24
— универсальных коэффициентов,
24
фундаментальный класс, 16, 67
205
цепной комплекс, 14
цикл, 14
— разностный, 177
Л-произведение, 107
С1У-комплекс, 15
— регулярный, 15
PL-гомеоморфизм, 16
PL-сфера, 20

Список литературы
[1] S. Akbulut, R. К irb у. Mazur manifolds//Michigan Math. J. 1979. V. 26.
P. 259—284.
[2] S. Akbulut, J. McCarthy. Cassons Invariant for oriented homology
3-sphere: an exposition. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1990.
[3] J. M. A 1 e x a n d e r. On the subdivision of 3-space by a polyhedron // Proc.
Nat. Acad. Sci. USA. 1924. V. 10. P. 6—8.
[4] J. M. Alexander. The combinatorial theory of complexes// Ann. Math. B).
1930. V.31. P. 292—320.
[5] C. Arf. Untersuchungen uber quadratische Formen in Korpern der
Charakteristik 2 // J. Reine Angew. Math. 1941. V. 183. P. 148—167.
[6] M.Atiyah, R. Bott, V. Patodi. On the heat equation and the index
theorem // Invent. Math. 1973. V. 19. P. 279—330.
[7] M. Atiyah, M. Hitchin, I. Singer. Self-duality in four-dimensional
Riemannian geometry// Proc. Roy. Soc. London Sen A 1978. V.362, № 1711.
P. 425—461.
[8] M. Atyah, V. Patodi, I. S i n ger. Spectral assymetry and Riemannian
geometry I // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V.77. P. 43—69.
[9] M. Atyah, V. Patodi, I. S i n ge r. Spectral assymetry and Riemannian
geometry. II // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. V.78. P. 405—432.
[10] M. Atyah, V. Patodi, I. S i n ge r. Spectral assymetry and Riemannian
geometry. Ill // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1976. V. 79. P. 71—99.
[11] R. Baer. Kurtventypen auf Flachen // J. Reine Angew. Math. 1927. V. 156.
P. 231—246.
[12] R. Baer. Isotopie von Kurven auf orientierbaren, geschlossenen Flachen // J.
Reine Angew. Math. 1928. V. 159. P. 101 — 111.
[13] D. Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants // Topology. 1995. V.34,
№ 2. P. 423—472.
[14] S. Bauer, C. Okonek. The algebraic geometry of representation spaces
associated to Seifert fibered homology 3-spheres // Math. Ann. 1990. V. 286.
№1-3. P. 45—76.
[15] R. H. В i n g. An alternative proof that 3-manifolds can be triangulated // Ann.
of Math. B). 1959. V.69. P.37—65.
[16] J. S. В i rm a n. New points of view in knot theory // Bull. Amer. Math. Soc.
(N.S.). 1993. V.28, №2. P. 253—287.

Список литературы
207
[17] Н. U. Oden, С. М. Herald. The SUC) Casson invariant for integral
homology 3-spheres // J. Differential Geom. 1998. V.50, № 1. P. 147—206.
[18] R. Bott. Morse theory indomitable Ц Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.
1989. V.68. P. 99—114.
[19] S. В oyer, D. Lines. Surgery formulae for Casson's invariant and
extensions to homology lens spaces // J. Reine Angew. Math. 1990. V. 405.
P. 181—220.
[20] P. В ra a m. Floer homology groups for homology three-spheres // Adv. Math.
1991. V.88, №2. P. 131—144.
[21] P. Bra am, S. Donaldson. Floer's work on instanton homology, knots
and surgery // The Floer memorial volume. Basel, Birkhauser, 1995. P. 195—
256. (Progr. Math. V. 133.)
[22] E. Brieskorn. Beispiele zur Differentialtopologie von Singularitaten //
Invent. Math. 1966. V.2. P. 1 — 14.
[23] Т. В rocker, K. Janich. Introduction to differential topology. Cambridge
University Press, Cambridge, New York, 1982.
[24] W. Browder. Surgery on simply-connected manifolds. Springer-Verlag,
Berlin etc., 1972. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, B.65.)
[Русский перевод: У. Б pa уде р. Перестройки односвязных многообразий.
М.: Наука, 1984.]
[25] К. Brown, S. Ken n et h. Cohomology of groups. Springer- Verlag, Berlin
etc., 1982. (Graduate Texts in Mathematics, V. 87.) [Русский перевод:
К. Браун. Когомологии групп. М.: Наука, 1987.]
[26] G. Burde, H. Zieschang. Knots. Walter de Gruyter & Co. 1985. (De
Gruyter Studies in Mathematics, V. 5.)
[27] S. С a i rn s. The manifold smoothing problem // Bull. Amer. Math. Soc. 1961.
V.67. P. 237—238
[28] S. Cappell, R. Lee, E. Miller. A symplectic geometry approach to
generalized Casson's invariants of 3-manifolds // Bull. Amer. Math. Soc.
(N.S.). 1990. V.22, №2. P. 269—275.
[29] A. Casson. Three lectures, Spring, 1985. [Русский перевод: А. Дж.
Кассой. Три лекции о новых бесконечных конструкциях в четырехмерных
многообразиях // В поисках утраченной топологии. М.: Мир, 1989.]
[30] О. Collin, N. Saveliev. A geometric proof of the Fintushe!—Stern
formula // Adv. Math. 1999. V. 147, №2. P. 304—314.
[31] O. Collin, B. Steer. Instanton Floer homology for knots via 3-orbifolds
// J. Differential Geom. 1999. V.51, № 1. R 149—202.
[32] P. Conner, E. Floyd. Differentiable periodic maps. Academic Press Inc.,
New York, 1964. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, N. F,
B. 33.) [Русский перевод: П. Коннер, Э.Флой д. Гладкие периодические
отображения. М.: Мир, 1969.]

208
Список литературы
[33] R. Crowell, R. Fox. Introduction to knot theory. Springer-Verlag, Berlin
etc., 1977. (Graduate Texts in Mathematics, No. 57.) [Русский перевод:
P. Кроу элл, Р. Ф о кс. Введение в теорию узлов. М.: Мир, 1967.]
[34] М. Dehn Die Gruppe der Abbilgunden // Acta Math. 1938. V. 69. P. 135—206.
[35] S. D о n a I d s о n. An application of gauge theory to four-dimensional topology
// J. Differential Geom. 1983. V. 18, No2, P.279—315.
[36] S. Donaldson. Polynomial invariants for smooth four-manifolds //
Topology. 1990 V.29, №3. P. 257-315.
[37] S. Donaldson, P. Kron heimer. The geometry of four-manifolds. The
Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1990. (Oxford Science
Publications.)
[38] N. Duchon. Involutions of plumbed manifolds. Ph.D. Thesis, University of
Maryland, College Park, 1982.
[39] D. Eisenbud, W. Neumann Three-dimensional link theory and
invariants of plane curve singularities. Princeton, NJ: Princeton University
Press, 1985. (Annals of Mathematics Studies, V. 110.)
[40] D. В. А. Е pstei n. Curveson 2-manifolds and isotopies// Acta Math. 1966.
V. 115. P. 83—107.
[41] R. Fintushel, R. J. S t e rn. A u.-invariant one homology 3-sphere that
bounds an orientable rational ball // Four-manifold theory (Durham, N.H.,
1982). Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1984. P.265—268. (Contemp. Math.,
V. 35.)
[42] R. Fintushel, R. J. Stern. Homotopy КЗ surfaces containing EB,3,7)
// J. Differential Geom. 1991. V.34, № 1. P. 255—265.
[43] R. Fintushel, R. J. Stern. Instanton homology of Seifert fibred
homology three spheres // Proc. London Math. Soc. C). 1990. V. 61, № 1.
P. 109—137.
[44] R. Fintushel, R. J. Stern. Pseudofree orbifolds//Ann. of Math. B).
1985. V. 122, №2. P. 335—364.
[45] A. Floer. An instanton-invariant for3-manifolds//Comm. Math. Phys. 1988.
V. 118, №2, P. 215—240.
[46] A. Floer. Instanton homology and Dehn surgery // The Floer memorial
volume. Birkhauser, Basel, 1995. P. 77—97. (Progr. Math. V. 133.)
[47] А. Т. Фоменко, С. В. Матвеев. Алгоритмические и компьютерные
методы в трехмерной топологии. М.: МГУ, 1991.
[48] D. S. Freed, К. К. Uhlenbeck. Instantons and four-manifolds.
Springer-Verlag, Berlin etc., 1984. (Mathematical Sciences Research Institute
Publications. V. 1.) [Русский перевод: Д. Ф р и д, К. Ул е н б е к. Инстантоны
и четырехмерные многообразия. М.: Мир, 1988.]

Список литературы
209
[49] М. Н. Freed man. The topology of four-dimensional manifolds Ц J.
Differential Geom. 1982. V. 17, №3. P. 357—453.
[50] M. Freedman, R. Kirby. A geometric proof of Rochlin's theorem //
Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ.,
Stanford, Calif., 1976), Part 2. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc, 1978. P.85-
97. (Proc. Sympos. Pure Math., V. XXXII.)
[51] K. Fukaya. Floer homology of connected sum of homology 3-spheres //
Topology. 1996. V.35, № 1. P. 89—136.
[52] Y. Fukumoto, M. Furuta. Homology 3-spheres bounding acyclic
4-manifolds // Math. Res. Lett. 2000. V. 7. P. 757—766.
[53] M. Furuta. Homology cobordism group of homology 3-spheres // Invent.
Math. 1990. V. 100, №2. P. 339—355.
[54] M. Furuta Monopole equation and the 11/8 // Math. Res. Lett. 2001. V.8.
P. 279—291.
[55] D. G a b a i. On the geometric and topological rigidity of hyperbolic 3-manifolds
// J. Amer. Math. Soc. 1997. V. 10, № 1. P.37—74.
[56] D. E. G a lew ski, R. J. S tern. Classification of simplicial triangulations
of topological manifolds // Ann. of Math. B). 1980. V. 111, № 1. P. 1—34.
[57] P. G i I k ey. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index
theorem. Publish or Perish Inc., Wilmington, DE, 1984. (Mathematics Lecture
Series, V. 11.)
[58] W. Goldman. The symplectic nature of fundamental groups of surfaces //
Adv. in Math. 1984. V.54, №2. P. 200—225.
[59] С Gordon. Dehn surgery and satellite knots // Trans. Amer. Math. Soc.
1983. V.275, №2. P. 687—708.
[60] C. Gordon. Knots, homology spheres, and contractible 4-manifolds //
Topology. 1975. V. 14. P. 151 —172.
[61] V. К. А. М. Gugenheim. Piecewise linear isotopy and embedding of
elements and spheres. I, II // Proc. London Math. Soc. C). 1953. V.3. P. 29—
53, 129—152.
[62] L. G u i 11 о u, A. M a r i n. A la recherche de la topologie perdue. Birkhauser
Boston Inc., Boston, MA, 1986. (Progress in Mathematics, V. 62.) [Русский
перевод: В поисках утраченной топологии / Под редакцией Л. Гийу и А
Марена. М.: Мир, 1989.]
[63] L. Guillou, A. Marin Notes sur I'invariant de Casson des spheres
d'homologie de dimension trois // Enseign. Math. B). 1992. V. 38, №3-4.
P. 233—290.
[64] N. Habegger. Une variete de dimension 4 avec forme d'intersection paire et
signature -8 // Comment. Math. Helv. 1982. V.57, № 1. P. 22—24.

210
Список литературы
[65] J. На re r, А. К as, R. Kirby Handlebody decompositions of complex
surfaces // Mem. Amer. Math. Soc. 1986. V. 62, №350.
[66] C. Herald Flat connections, the Alexander invariant, and Casson's invariant
// Comm. Anal. Geom. 1997. V.5, № 1. P. 93—120.
[67] P. Hilton, S. Wylie. Homology theory: An introduction to algebraic
topology. Cambridge University Press, New York, 1960. [Русский перевод:
П. Хилтон, С. У а й л и. Введение в алгебраическую топологию. М: Мир,
1965.]
[68] М. W. Hirsch Obstruction theories for smoothing manifolds and maps //
Bull. Amer. Math. Soc. 1963. V.69. P. 352—356.
[69] F. Hirzebruch, W. D. Neumann, S. S. Koh. Differentiable
manifolds and quadratic forms. Marcel Dekker, Inc., New York, 1971. (Lecture
Notes in Pure and Applied Mathematics, V. 4.)
[70] J. Igusa. On a property of commutators in the unitary group // Mem. Coll.
Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1950. V.26. P. 45—59.
[71] S. J. Kaplan. Constructing framed 4-manifolds with given almost framed
boundaries // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V.254. P. 237—263.
[72] L. H. Kauffman. On knots. Princeton University Press, Princeton, NJ,
1987. (Annals of Mathematics Studies, V. 115.)
[73] M. Kervaire, J. Mil nor. On 2-spheres in 4-manifolds// Proc. Nat. Acad.
Sci. USA. 1961. V.47. P. 1651-1657
[74] R. К i r b y. A calculus for framed links in S3 // Invent. Math. 1978. V. 45, № 1.
P. 35-56.
[75] R. Kirby. Problems in low dimensional manifold theory // Algebraic and
geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford,
Calif., 1976, Part 2). Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1978. P. 273—312.
(Proc. Sympos. Pure Math., XXXII.)
[76] R. Kirby. The topology of 4-manifolds. Springer-Verlag, Berlin etc., 1989.
(Lecture Notes in Mathematics, V. 1374.)
[77] R. Kirby, M. S с h a rl ema nn. Eight faces of the Poincare homology 3-
sphere // Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga.,
1977). Academic Press, New York—London, 1979. P 113—146.
[78] R. Kirby, L. Siebenmann. Foundational essays on topological
manifolds, smoothings, and triangulations. Princeton University Press,
Princeton, NJ, 1977.
[79] P. Kirk, E. Klassen. Representation spaces of Seifert fibered homology
spheres // Topology. 1991. V.30, № 1. P. 77—95.
[80] P. Kirk, E. Klassen, D. R u berm a n. Splitting the spectral flow and
the Alexander matrix // Comment. Math. Helv. 1994. V.69, №3. P375—416.

Список литературы
211
[81] Е. Klassen. Representations in SUB) of the fundamental groups of the
Whitehead link and of doubled knots // Forum Math. 1993. V.5, №2, P. 93—
109.
[82] M. Kontsevich. Vassiliev's knot invariants // I. M. Gel'fand Seminar.
Providence, RI: Amer. Math. Soc, 1993. P. 137—150. (Adv. Soviet Math. V. 16.)
[83] P. Kronheimer. Embedded surfaces and gauge theory in three and four
dimensions // Surveys in differential geometry. Vol. Ill (Cambridge, MA, 1996).
Boston, MA: Int. Press, 1998. P. 243—298.
[84] P. Kronheimer, M. Larsen, J. Scherk Casson's invariant and
quadratic reciprocity// Topology. 1991. V.30, №3. P. 335—338.
[85] P. Kronheimer, T. Mrowka. The genus of embedded surfaces in the
projective plane // Math. Res. Lett. 1994. V. 1, №6. P. 797—808.
[86] P. Kronheimer, Т. М row k a. Recurrence relations and asymptotics for
four-manifold invariants // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1994. V30, №2.
P. 215—221
[87] T. Le, H. Murakami, J. Murakami, T. Oh tsu ki. A three-manifold
invariant derived from the universal Vassiliev-Kontsevich invariant // Proc.
Japan Acad. Sen A Math. Sci. 1995. V.71, №6. P. 125—127.
[88] R. Lee, W. Li Floer homology for Lagrangian intersections and instantons.
preprint. Oklahoma State University, 1995.
[89] C. Lescop. Global surgery formula for the Casson-Walker invariant.
Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. (Annals of Mathematics
Studies, V. 140.)
[90] C. Lescop. Un calcul elementaire de I'invariant de Casson des spheres
d'homologie entiere fibrees de Seifert a trois fibres, exceptionnelles // Ensign.
Math. B). 1992. V. 1992. P. 276—289.
[91] J. Levine. Knot cobordism groups in codimension two // Comment. Math.
Helv. 1969. V.44. P. 229—244.
[92] W Li. Casson—Lin's invariant and Floer homology // J. Knot Theory
Ramifications. 1997. V.6, №6. P. 851—877.
[93] W. Li. Floer homology for connected sums of homology 3-spheres // J.
Differential Geom. 1994. V.40, № 1. P. 129-154.
[94] X. - S. L i n. A knot invariant via representation spaces // J. Differential Geom.
1992. V.35, №2. P. 337—357.
[95] W. B. R. Lickorish. A representation of orientable combinatorial
3-manifolds //Ann. of Math. B). 1962. V. 76. P.531—540.
[96] C. Livingston. Knot theory. Mathematical Association of America,
Washington, DC, 1993. (Cams Mathematical Monographs, V. 24.)

212
Список литературы
[97] W. Massey. Algebraic topology: An introduction. New York: Harcourt,
Brace & World, Inc., 1967. [Русский перевод см. в книге: У.Масси,
Дж. Столингс. Алгебраическая топология: Введение. М.: Мир, 1977.]
[98] Y. Matsumoto. An elementary proof of Rochlin's signature theorem and
its extension by Guillou and Marin. A la recherche de la topologie perdue.
Birkhauser Boston, Boston, MA, 1986. P. 119—139. (Progr. Math., V. 62.)
[Русский перевод: Ю. Мацу м ото. Элементарное доказательство
теоремы Рохлина о сигнатуре и ее обобщения, принадлежащего Гийу и Марену //
В поисках утраченной топологии. М.: Мир, 1989.]
[99] Т. М a t u m о t о. Triangulation of manifolds // Algebraic and geometric
topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976,
Part 2). Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1978. P. 3—6. (Proc. Sympos. Pure
Math., XXXII.)
[100] B. Mazur. A note on some contractible 4-manifolds // Ann. of Math. B).
1961. V. 73. P. 221—228.
[101] D. McCul lough. Three-manifolds // Notes from the graduate class at the
University of Oklahoma. Winter, 1994.
[102] J. Mi I nor. Construction of universal bundles. II // Ann. of Math. B). 1956.
V. 63. P. 430—436.
[103] J. M i 1 n о r. Differential manifolds which are homotopy spheres (mimeographed
notes). Princeton, 1959.
[104] J. M i 1 n о г. Lectures on the /z-cobordisrn theorem. Princeton University Press,
Princeton, NJ, 1965. (Notes by L. Siebenmann and J. Sondow.) [Русский
перевод: Дж. Милнор. Теорема об А-кобордизме. М.: Мир, 1969.]
[105] J. Milnor. Morse theory. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1963.
(Based on lecture notes by M. Spivak and R. Wells. Annals of Mathematics
Studies, №51.) [Русский перевод: Дж.Милнор. Теория Морса. М.: Мир,
1965.]
[106] J. Milnor. Singular points of complex hypersurfaces. Princeton University
Press, Princeton, NJ, 1968. (Annals of Mathematics Studies, №61.) [Русский
перевод: Дж. Милнор. Особые точки комплексных гиперповерхностей.
М.: Мир, 1971.]
[107] J. Milnor, D. H usem ol 1 е г. Symmetric bilinear forms. Springer- Verlag,
Berlin etc., 1973. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, B. 73.)
[Русский перевод: Дж.Милнор, Д.Хьюзмоллер. Симметрические
билинейные формы. М.: Наука, 1986.]
[108] Е. Moi se. Affine structures in 3-manifolds. V. The triangulation theorem and
Hauptvermutung // Ann. of Math. B). 1952. V.56. P. 96— 114.
[109] L. J. Mordell. Lattice points in a tetrahedron and generalized Dedekind
sums //J. Indian Math. Soc. (N.S.). 1951. V. 15. P.41—46.

Список литературы
213
[110] J. Morgan. The Seiberg-Witten equations and applications to the topology
of smooth four-manifolds. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996.
(Mathematical Notes, V. 44.)
[Ill] D. Mull ins. The Casson invariant for two-fold branched covers of links //
Quantum topology. World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 1993. P.221— 229.
(Ser. Knots Everything, V. 3.)
[112] H. Murakami. Quantum SOC)-invariants dominate the SUB)-invariant of
Casson and Walker // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1995. V. 117, №2.
P. 237—249.
[113] W. Neumann, F. Raymond. Seifert manifolds, plumbing, ^.-invariant
and orientation reversing maps // Algebraic and geometric topology (Proc.
Syrnpos., Univ. California, Santa Barbara, Calif., 1977). Springer, Berlin etc.,
1978. P. 163—196. (Lecture Notes in Math., V.664.)
414] W. Neumann, J. Wahl. Casson invariant of links of singularities //
Comment. Math. Helv. 1990. V. 65, № 1. P. 58—78.
415] P. Newstead. Topological properties of some spaces of stable bundles //
Topology. 1967. V. 6. P. 241 —262.
[116] P. Newstead. Characteristic classes of stable bundles of rank 2 over an
algebraic curve // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. V. 169. P. 337—345.
[117] L. Nicola esc u. Lectures on the geometry of manifolds. World Scientific
Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1996.
118] R. Palais. Seminar on the Atiyah—Singer index theorem. Princeton
University Press, Princeton, NJ, 1965. (Annals of Mathematics Studies, №57.)
[Русский перевод: Р. П а л е. Семинар по теореме Атьи—Зингера об индексе.
М.: Мир, 1970.]
119] F. Pham. Formules de Picard—Lefschetz generalisees et ramification des
integrates // Bull. Soc. Math. France. 1965. V.93. P. 333—367.
120] F. Quinn. Ends of maps. III. Dimensions 4 and 5 // J. Differential Geom.
1982. V. 17, №3. P. 503—521.
121] H. Rademacher, E. Grosswald. Dedekind sums. Washington, DC:
The Mathematical Association of America, 1972. (The Cams Mathematical
Monographs, № 16.)
122] F Raymond. Classification of the actions of the circle on 3-manifolds //
Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 131. P.51—78.
123] K. R e i d e m e i s t e r. Homotopieringe und Linsenraume // Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg. 1935. V. 11. P. 102—109.
124] K. Reidemeister. Zur dreidimensionalen Topologie // Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg. 1933. V.9. P. 189—194.
125] R. Robertello. An invariant of knot cobordism // Comm. Pure Appl. Math.
1965. V. 18. P. 543—555.

214
Список литературы
126] В. А. Рохлин. Новые результаты в теории четырехмерных многообразий
//ДАН СССР. 1952. Т.84, №2. С.221—224.
127] В. А. Р ох л и н. Доказательство гипотезы Гудкова Ц Функц. анализ и его
прил. 1972. Т. 6, № 2. С. 62—64.
128] D. Rolfsen. Knots and links. Publish or Perish, Inc., Berkeley, Calif., 1976.
(Mathematics Lecture Series, № 7.)
129] C. Rourke, B. Sanderson. Introduction to piecewise-linear topology.
Springer-Verlag, Berlin etc., 1972. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete, B. 69.) [Русский перевод: К. П. Рур к, Б.Дж. Са н дерсон.
Введение в кусочно-линейную топологию. М: Мир, 1974.]
130] N. Saveliev. Floer homology of Briekskorn homotopy spheres. Preprint.
University of Michigan, 1997.
131] N. Saveliev. Floer homology and invariants of homology cobordism //
Internat. J. Math. 1998. V.9, №7. P. 885—919.
132] N. Saveliev. Fukumoto—Furuta invariants of plumbed homology 3-spheres
// Pacific J. Math. 2002. V.205. P. 465—490.
133] M. Schwarz. Morse homology. Birkhauser-Verlag, Basel, 1993. (Progress
in Mathematics, V. 111.)
134] J. - P. Serre. A course in arithmetic. Springer-Verlag, Berlin etc., 1973.
(Graduate Texts in Mathematics, № 7. 1973.) [Русский перевод: Ж.-П.
С ер р. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.]
135] И. Р. Ша фа ревич. Основы алгебраической геометрии. Т. 1,2. М.: Наука,
1988.
136] К. Shod a. Einege Satze fiber Matrizen // Japan J. Math. 1936—37. V. 13.
P. 361—365.
137] M. А. Ш у б и н. Псевдодифференциальные операторы и спектральная
теория. М.: Наука, 1979.
138] J. Singer. Three-dimensional manifolds and their Heegaard diagrams //
Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V.35. P.88—111.
139] E. Spanier. Algebraic topology. McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.
[Русский перевод: Э. С пенье р. Алгебраическая топология. М.: Мир,
1971.]
140] A. Stipsicz, Z. Szabo. Floer homology groups of certain algebraic
links И Low-dimensional topology (Knoxville, TN, 1992). Internat. Press,
Cambridge, MA, 1994. P. 173—185. (Conf. Proc. Lecture Notes Geom.
Topology, III.)
141] C. Taubes. Casson's invariant and gauge theory // J. Differential Geom.
1990. V.31,№2. P. 547—599.
142] V. G. Turaev. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Walter de
Gruyter & Co., Berlin, 1994. (de Gruyter Studies in Mathematics, V. 18.)

писок литературы
215
43] С. Т. С. Wall. On simply-connected 4-manifolds // J. London Math. Soc.
1964. V.39. P. 141 —149.
44] K. Walker. An extension of Casson's invariant. Princeton, NJ: Princeton
University Press, 1992. (Annals of Mathematics Studies, V. 126.)
45] A. Wallace. Modifications and cobounding manifolds // Canad. J. Math.
1960. V. 12. P. 503—528.
46] F. Warner. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Scott,
Foresman and Co., Glenview, 1971. [Русский перевод: Ф. Уорнер. Основы
теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.]
47] J. H. С. Whitehead On incidence matrices, nuclei and homotopy types //
Ann. of Math. B). 1941. V.42. P. 1197—1239.
48] J. H. С Whitehead. On simply connected, 4-dimensional polyhedra //
Topologie algebrique. Paris: Centre de la Recherche Scientifique, 1949. P. 103—
106. (Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique.
№ 12.)
49] E. С Z ее m a n. Twisting spun knots //Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 115.
P. 471—495.

Николай Николаевич Савельев
Лекции по топологии трехмерных многообразий.
Введение в инвариант Кассона
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 05.04.2004 г.
Формат 60 х 90 '/i6- Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ.л. 13,5
Тираж 1500 экз. Заказ № 194т .,
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП «Полиграфические ресурсы».
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241—72—85. E-mail: biblio@mccme.ru