NORTH-HOLLAND
MATHEMATICS STUDIES
5
Notas de Matemática (50)
Editor: Leopoldo Nachbin
Universidade Federal do Rio de Janeiro
and University of Rochester
OPERATEURS MAXIMAUX
MONOTONES
ET SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS DANS
LES ESPACES DE HILBERT
H. BRÉZIS
Université de Paris VI
1 _-
--
1973
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM · LONDON
AMERICAN ELSEVIER PUBLISHING COMPANY, INC. - NEW YORK

@ NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY-AMSTERDAM-1973
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Series: 0 7204 2700 2
Volume: 0 7204 2705 3
ISBN American Elsevier: 0 444 10430 5
PUBLISHERS :
NORTH-HOLLAND PUBLISHING COMPANY - AMSTERDAM
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52 VANDERBILT AVENUE
NEW YORK, N.Y. 10017
PRINTED IN THE NETHERLANDS

fABLE des MATIERES
Introduction
CHAP.
1.
2.
3.
CHAP.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
I - QUELQUES RESULTATS PRELIMINAIRES
Théorème du mi n-max . . . . . . . . . . . . . . . .
Points fixes d'applications contractantes ...........
Equations différentielles ordinaires sur des
ensembles convexes. ................
II - OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES
Notion d'opérateur monotone ................
Notion d'opérateur maximal monotone ...............
Exemples d'opérateurs maximaux monotones ............
Propriétés élémentaires des opérateurs max;maux
monotones ................
Surjectivité des opérateurs maximaux monotones ......
Somme d'opérateurs max;maux monotones ..............
Opérateurs cycliquement monotones ................
Exemples d'opérateurs cycliquement monotones ........
Perturbations cycliquement monotones .. ............
1
1
4
10
19
20
22
24
27
30
34
38
43
48
CHAP. III - EQUATIONS 0 1 EVOLUTION ASSOCIEES AUX OPERATEURS MONOTONES 53
1. Résolution de l'équation .gr + Au 30, u(O) = U o ..... 54
2. Résolut;on de 1 'équat;on  + Au f, u(O) = U o ;
notion de solution faible. ................ 64
3. Cas où A = d'f\ ................ 72
4. Cas où Int o(A) ,. 0 ................ 79
5. Comportement asymptotique ................ 88
6. Soluions périodiques ................ 93
7. Propr;étés de convergence ................ 98
8. oiverses général;sat;ons ................ 105

CHAP. IV - PROPRIETES DES SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS NON LINEAIRES . 113
1. Une version non linéaire du théorème de
Hille-Yosida-Phillips .....................
Propr;éés de convergence: théorème de Neveu-Trotter-
Kato pour des semi-groupes non linéaires ........
Approximation des semi-groupes non linéaires :
fornule exponentielle. formules de Chernoff et Trotter 124
SOl s-csembles invariants; fonctions de Liapounov
cOlvexes et opérateurs ôy-monotones .............
3.
4.
2.
PPPENDICE : FONCTIONS VêCTORIELLES D'UNE VARIAöLE REELLE
2.
3.
LJ
..
.1 .
For,ctio.1S intégrables ............
Fonctios à variacion bornéa et fonctions absolument
con ci nues . . . . . . . . . . . .
Lien avec les dérivées au sens des distributions
Compléments divers ............
114
120
130
137
141
149
156
REfERENCES BIBLIOGRAPHIQUES COMPLEKENTS ET PROBLEMES OUVERTS 159
81 LIOGRA?HIE_. 173

I N T ROD U C T ION
On cLLt qu' UH.e appLtc.a.t<.on A déá-trU.e -6WL une pcve
LJ(A) d'ufl. e.\pa.c.e. de HUbe/tt HI à vale.uJL6 danð H eðt monotone -6i.. eLee
v éJti.. 6i..e
(Ax 1 - AX 2 ' x 1 - x 2 )  0
VX 1 ' x 2 e O(A)
p.e.u., géné/taleme.nt on c.onð-úl.èJte. deð opéJtateuJL6 monotonu mu1..ti.voqueð I
c. ' u.t à cLv't.e pOWL tou.t x e H, Ax dé-6-<.gne une paJt-ti.e (éve.ntu.eU.eme.n.t
vide) de H) tel. que. t' on a1;t
(Y1 - Y2 ' x 1 - x 2 )  a
\iX 1 ' x 2 e H
VY 1 e Ax 1 , Y2 e AX 2
Un opéJr..a;tewr. monotone A eðt cUt max-imCtt mOJ10tone .6' d
n' ex.L6te. a.u.c.un opVtate.uJt monotone pJtotonge.a.nt -6.tJúc.teme.nt A (au -6enð de
t' -i.n.c.lu.-6-i.on deð gJtapheð).
Au c.ha.pdlLe lIon étucLte teð pJtopJti..étú géométJU.queð (c.onvex.aé) et topolo-
giqueð du opéJr..a.te.uJlÁ max-ima.u.x monotoneð. On c.evr..ac.tétú-6e leð opéJr.a:te.uJlÁ
maximaux monotonu ,óWLj ec.ti6-6 e;t 011 indique danð que1.l.eð c.onck:ttOnð la
.6omme. de de.u.x opéJta:te.UJr..,6 maxima.u.x "10110t0l1eð eðt enc.oJte. un opéJta:tewr. max.<.ma.i
"10 Ylotone. Le .60LLó cU66éJten.t-i.el. d' une. 60nc..ti.on c.onve.xe -6. c..i. eðt un
ex.empte. ÙnpoJttant d' opéJta:tewr. monotone e;t noU-6 -<YI.J.>.wton5 pCVtt-<..c.u..U.èltement
-6 WL C. e;tt e c.la.,.\ -6 e .
Au c.hap-<.:tJte III on mon.:bte q1.e -60U.6 c.eJLta...i.ne..6 hypothè..6eð t'équa:t.-ton d'évolu.-
t.-Lon  + Au = f, ou pfu.6 généJta.iement  + Au f , u (0) = U o (f e;t U o
.6ont donné.6 J adme;t une -6oltLUon ; on pJtéc.-L6e le pJtopJti..été.6 de u dan6
cLtVeM C.M pa.!l.Uc.u.UeIt..6. On étLtcLte le c.ompoJttement de u (t) toJt, que t  +00
e;t an pJtouve ta c.on;tu1LUté de. t' applic.a..t-<.on {A I U ,f}'" u. LOMque f = :J I
o
t' appUc.a:tion u H- u (t) dê-6,tgnéc. pall. S"   déteJtmiJ'le u.n ,emi-gJtou.pe de
o
c.ontJta.c..ti.Onð non Unéa.L't.eð ; c.' e6 t pa.'t :1.JÚ1Lti.on le cm-t-g'toupe. e.ngend'té
pevr.. -A.
Au c.ha.p..i..tJte. IVan c.cvr.aetéJt,(Áe teð -6emi-gJtot{pe, J'Wn Unéa.(.,'t.e e.J1gend:tê6 pa.,'t.
deð opéJta:teuJL6 max.{.maux mono to.1e ; plu.-6 p,'téc.L6émeJ1..t on ê.:tabW une c.oJ[/te -
pondanee. bijec..ti.ve enti'te l -6emi-gJtoupe, de eontJtac..ti.oJ'V e;t ee., opé'tateu't
maximaux. monotoJte. On indiqu.e eMlttte. divc/t-6eð méthodeð LtéJtat<.ve qu.i
eonvgent ve srt).

Ua &(.(.  {CLt l\!. d I app.tlL...ti..La H.6 ( C! H }JJtet-"Ul Ctt to n)  eJta e.(m.6ac/t
1 t...l h'..hJudevlL d'C4.U.(.(.t((}H I.UU: dl!/r..ivé( tJCVLt.i(!lle. non. lA..Héai./te6 (en pcVL.t<.-
Ul ('t ,un JYtVol.me's (tttX e.(.JJH...te. wélta.ux).
Lc .tee. teu/t  e'La peu.:t - et/Le 9 ê.né pM la pJt.6 e.nc.e de- 0 péJta.-
tu.'t mu..tt<.vuque... Ceux-ct jouen..t un Jt.ôle e..66ent-i.e1. puWt lu JLa...<:6an..6
,su Ü:(.lu.te :
10) une théoJU..e e.ahé/ten.te du .6eJ1Ú-gltoupe6 de e.an.tJta.ct.<.al1.6 non UJ1éa.Vtu
6a..U Jtée.e. 6cr...útemc.n..t ..Üi:te!t.veJ1Â.Jt del.> apê/ta.teuM muU...i.voque..6 (e.6 au e.ha.p.(,tlte.
IV .ta. bijec.ûon é..tabL<.e e)1.tJte le.6 ..6enu...-g/'taupe.6 de e.an...tlt.aet..i.an.6 e.t le..6
apê,'tCLteu.M m<1X..tma.u.x monotone..6) .
20) c.eJLta.Ú1.6 pJt.o blèm e..6 aux Wr..áe. no n l-i.néa.i./te..6 (en pcv't;Üe.!.LLi..eJt. le..6
iJ1.équ.at..i.a }'1.. va'r..ta.t..<.a J11e.U.e..6 aù. -i.}'tte,,'tvieJ'Uent du 6 a J1c..t.tO J1J1e.Ue..6 e.o nv ex.e.
J1.0n. ck66étte,1.Ûa.ble..6) peuve.J1t ê.bte 6olUnutê.6 .:tJt.è..6 e.ommodêment eJ te/tJt1U
d'équatloJU mvoquu.
Ce.6 note.ò ..CJ'Lt bMée..6 6Wt u.n e.ou.'L6 de 3èP'ae. cycle d' a)ULtye
JW n J1.éa,,(/te 6ai;t à. P  eJ1 1 910 et. 11. J e Jt.em eJt.c...i.e PH. B ENI LAN qui... a
-i.n.:t-'todt..U..:t e.eJLta...i.ne..6 améLt..oJta.t..i..ol'V et. ql,LelqUe..6 lté.6u.Ua..t6 noú.ve.a.u.x. Le manu.6-
e.Ju;t a étê tpé en gJta.'1de pcv-..;tÆe pM Mme VAMPERA T qu.e j e /'tln1eJt.e.-i.e.
H. BIt. êz..t.6

HAPITRE I - QUELQUES RESULTATS PRELIMINAIRES -
Plan 1. lheorème du M1n-Max
2. POlnts flxes d'apD11atlons contractantes
3. Equatlons dlfférentielles ordlna1res sur des ensembles convexes
1.1 THEOREME DU MIN-MAX
So-i.e.nt E et F de.ux e.ðpa.c.e..6 ve.c.tauW .tapalog-i.que..6 .6Wt IR e.;t
.6aie.nt A C. E, Be F deux e.n6embtu c.anve.Xe6 e;t óeJtmé.6. So-i.ent K(x,y) une.
applic.a;Uon de A x B dC01..6 IR teli.e que
pour tout y  s, x  K(x,y) est convexe S.C.l.
pour tout x G A, y 1+ K(x,y) est concave s.c.s.
THEOREME 1.1 -
On .6uppa.6e. que dlm E < + co d1m F < + co et qu.e. A et B .6ant
c.ampa.w.
Ai..alCA it ew.te x E A et y  B :tw que.
o 0
(1) K(x ,y)  K(x,y)  K(x,y) \:J x é A, V Y é 8; au.bl.e.me.nt cLi.;t
000 0
[ xo'Yo ] eó.t un poÆ.nt óetee de K.
v ' a.utJt e. pa.4t 1 .fa. pIl0 pJÚé.té ( 1 ) e.ð.t éq LÚvai. e.nte. a .e' ég aL<.-té :
(2)
Min Max K (x,y)
x t:A YE:. B
Max Min K (x,y).
:.. EB éA
.ontrons d'abord que (1) .=9(2). II est lmméd1at que l'on a toujours
Max Mln K(x,y)  Mln Max K(x,y)
YE:.8 xf:A
xt:.A ye:.B

2
Quelques résultats préliminalres
, : 1 t;'> t Vt..H 11 ll). un ù
..... . '" , \, )  (\ lJ.. n I\l"'.y )  Max hn K(x.y)
.J  a a
'E.A yc: a x(:A
et 8 ìå'TI8 Kx a'Yo )  Max K(x .y)  Mln Max K(x,y) ;
0
yc. a xC A y<:: a
d'où l'on dédult (2).
Inverseffient, soient x Eo: A et YEa tel s que
a 0
ì"'Iax K(x .y) = Mln Max K(x.y) = Ct Max Min K(x,y)
0
y'- 8 xéA YE:. B y(:-B xéA
Iors K(x ,y)  Ct  t<.(x,y ) 'd x E: A. V yEa;
0 0
Mln K(x.y).
o
ÆA
de sorta que
Ct = K(x ,y )
o 0
et
( 1 )
est alors vérlflé.
?rouvons malntenant (2); SOlt ! ! une norme euclldlenne sur E.
On Dose K(x,y) = K(x,y) + e!x!2, e > 0) et fe(y) Mln K(x,y) pour
xê.A
yB; Ie mlnlmum est attelnt en un point unlque que l'on désigne par E(y),
l.e.
f(Y) = K(E(y).y). a fonctlon
f

qUl est concave s.c.s. attelnt
son fT'aximum sur
B
*
en y.
f(y)
Max
Mln
K (x,y)

Mln
'It'
K (x,y ).

Donc
f ( )
 y
Max
'Þ= B yE. a xéA xé'A
So lent xE.A, y  B et t E ]O,1[ ; on a
w 1r' 
K(x,(1 - t)y + ty) (1 - t) K(x,y ) + t K(x.y)  (1 - t)f(y ) + t K(x.y
1(-
Preant e partlculler x = E((1 -t)y + ty), on obtlent
f(Y"')  f((1 -t)y + ty)  (1 - t) f(Y) + t K(E((1 - t)y* + ty),y)
De sorte qe
  K (E(( 1  ,y) 'd Y  B.
(3) f (y ) - t)y + r:.y
 '
Or, pour tout Y1' Y2 <Ë a, t;t = E ( ( 1 - t) Y + ty ) converge vers E(Y1)
1 2
q!..Jard .. -+- O. En'effet on a pour tout x E. A
t"
K(f,:t' ( 1 - t)y + tY2)  K (x, ( 1 - tJY1 + tY2) ,
1 
et donc,
( 1 - tJ K(f,:t'Y1) + t K(St'Y2) $. K (x,(1 - t)y + tY2) .
s 1
S1t alrs f,:t -+-  quand t n  0; come la fonction x  K(x'Y2) est bornée
n

Quelques résultats préliminaires
_I ft:.tlt:3...Il t:3nt:3Jìt, ù') a Ke::U";'Y1)  Ke:: (x'Y1) J
\j X E:: A.
Lùí1,-- :: [lYI)'
On aa.:J.....lt de (3) en passant à la lmt:e quand t -+ 0 que
flY)  r< (E l y....) , y ) \j y <:: B.
t:. e::
Par allleuf's f (y*)  ( +) \j X <=. A.
K x,y
e:: e::
II en résulte que
K (x*, y ) 
E:
Jto Jo;
K (x ,y ) 
e::
'*
K (x,y ).
e::
\j x é. A,
\jyB
avec x:(" = E ( y'" ) .
Par conséqueí1t Mln Max K(x,y)  f1ax Mn K(x,y) + E: C
xff:.A YéB Yéa xc;; A
avec C .::.ì1a x !x]2 ce qUl établ1 (2)
x A
La théorème 1.1 est encore valable dans les espac8s de dimenson
lnfnie. A tltre ndlcatlf, prouvons Ie résultat SUlvant.
PROPOSITION 1.1
On suppose qu I 11 ex is te ÿ  B et À > 1nf K (x, y) te 1 que
A
{x  A; K(x,y)  À}
Alors 1nf Sup
xE A yEa
soit non vide et compact.
Kex,y) = swp 1nf
yG B xA
K(x,y) .
Ralsonnons par l'absurde et supposons qull eXlste y t ol que
........
Sup 1nf K(x,y) < y < 1nf Sup K(x,y) .
yEa xt:::A xr::.A yEa
Or pose, pour x E:. A et y <::: B
A {x 6 A Kex,y)  y} , B {y<:B; K(x,y)  y}
y x
On a n A =' ø et n B ø ; car Slnon l eXlsteralt par exemple
y c: B Y x E" A x
t; E A tel que t; é A \j Y E. B l.e. K(,y)  Y J \j yES et alors
y,
1nf Sup K(x,y)  y, ce qu est absurde.
xE.A YE:B
11 résulte de l'hypothèse, que pour tout yelR, l'ensbl
L< E: A. ; K(x,y)  y} est .compact (ou vde).

4 Quelques résultats prélJminaires
'" I ' x 2 ' . . . . . ., 'm  A te1s que n
j =1
fT1
PcsJns A' = onv ( LJx), 6' = conv
1= 1 1
Bx n
jn
( LJy.)
j =1 J
n
tels que ('ì A ø et
1=1 Yl
n
conv( I...) y ) = ø.
1=1 1
et appllquons Ie théorème 1 .1 à
1 paul: Jùnc trùuV81 Y I' Y2' ......, Y n E. B
m
A' et B' . Il eX1Sl:e alors x E A' et Yo E:. B' tels que
0
K(x ,y)  K(x , y ) , K(x,y ) \.j x é::A', \I Y E B'.
0 o 0 0
Scit 1 tel que Xo  A et SOlt j tel que Yo  B
Yl X.
J
on a
y < K(x ,y )
o 1

K(x ,y )
o 0

K(x"y)
J 0
< y, ce qUl est absurde.
REMARQUE 1.1
La proposlt1on 1.1 admet dlverses générallsatlons, en partlcller
l'hypothèse de convex1té (resp. concavltéJ peut-être remplacée par une hypothè-
se de quasl-convexlté (resp. quasl concavltéJ l.e.
{x  A j K(x,yJ  À} est convexe V ÀIR,
est convexe \I ÀfR, V x E A}.
O'autre part, 11 n'est pas 1nd1spensable de mun1r F d'une topologle et 11
\I yE: B (resp. {YE 6
K(x,y)À}
sufflt de supposer que ys+ (x,y) est concave pour tout x E A.
1.2 POINTS FIXES D1APPLICATIONS CONTRACTANTES
SOlt E un espace de Banac et SOlt C un sous ensemble fermé de
=. On dlt qu'une apDllcaton T de C d3ns E est ue contractlon 51
! I ïX - TY II !Ix - y!1 \I x,y E C et on dlt que Test une contractlon
strlcte s'll eXlste L < tel que I jTx - Ty! I $ LI Ix - yl I V x,y G C.
II est blen connu que toute contractlon strlcte de C dans C ad-
et un olnt flxe un1que. Plus généralemnt sOlt Tune appl1catlon de C
jans C at supposons qu'll eXlste un entier k tel que T k SOlt une contrac-
tlon strlcte j alors T admet un OOlnt flxe un1que (11 suffit de remarquer
=1U e T x = x <.-=:>- T k x = x).
PROPOS ITION 1. 2
Soit C un convexe femé de E et so;t Tune contraction de C
dans c.

Quelques resultats prélJmmalres
A10rs pour tout a > 0 . l'image de c par
I + a (I - T))-l est une contraction de c
I + a(I - T) contient
dans c.
c
et
En effet. sot Y é C ; l'équaton x + a(x - Tx) = y s'écrlt auss
'< .::
y .,. aTx
1 + a
Pour
yE:. C
fxé. l'applcaton
X J
y .,. aTx
1 + a
est une com:rac-
ton strlcte de
c
dans
X +
1
aCx 1 - Tx 1 )
Y1
et s
C. et admet donc un pont fxe. D'autre part s
x 2 + a(x 2 - Tx 2 ) = Y2 alors (1 + a) ! IX1-x211
allTx 1 - Tx 2 Jj + !!Y1 - Y 2 JI $ a !lx 1 - x211 + IIY 1 - y 2 11.
Par sute l!x 1 - x 2 JI  IIY 1 - y 2 /j.
Sot mantenant C un convexe fermé borné de E et so Tune contrac-
on de C dans C.
?DBLEME
T admet-l un pont fxe?
La réponse est en général négatve comme Ie montre l'exemple sUlvant.
Sot E = c l'espace des su  tas x = (x 1' x 2 ' . . · . . · x n .. . . . ) qu tendent vers 0,
0
mun de la norme I i xl! Sup ! x I.
 
Sot C = {x G E; ! I x II $. 1} . l'applcaton T défne par
Tx = (1. x 1' x 2 .... ....x n ....) est une contracton de C dans C et n'admet
pas de ont flxe dans C.
La réponse est néanmons affrmatlve lorsque E est unlformément
convexe.
ïHEOREME 1.2
On uppoe que E t u6omément eonvexe. So C un eonvexe 6mé
!JaJtné non v-tde de E e:t od Tune. eaJU/'Laet..tan de. c danó c. Ata/u T o..dmet
un. pa tn.t S-txe; dè ptu. t' en!.> embte de-6 pa-tnU 6..{.x de T eAt eonve.xe e;t 6e.'tmé.
Montrons d'aord que l'ensemble des pOlnts flxes est convexe. SOlet
Xo at x 1 deux ponts fixes de T et soent Xt
(1 - t)x o + tx 1 . avec tEl 0, 1 [
On a I! TX t - Xo II :; II TX t - Tx o II  II Xt - Xo I j  t  I Xo - x111
...
e,: j j TX t - x111
!ITx t - Tx111 $ jlx t - x 1 !\  (1 - t) Ilxo - x111 ·

6
Quelques resultats prélJminalres
,'Ù.J 11 råsulte que !! rXt - xol! ;: 1: I !Xo - X 1 ! I at ! ITx t - ^11!
( 1 - t ) II Xo - xl II .
Or mme E est strcternent convexe. on a TXt:::: (1 - t) Xo + tX 1 ::: Xt.
et soit
Etablssons mant:en3nt l'existance dJun pont fxe. Sot ^  C fxé.
o
la solution oe lJé q uaton e(x - x ) + X - Tx ::: O. autre-
e 0 e e ·
x é C
e
1 -1
(I  ë (I - T)) xoqu est bien défn pour e
x
e
>
O. d'apres
ment dt
la proposton 1.2. Sot alors e  0 tel que
n
vel'S x. On achève la démonstration du théorème
x
e
1 .2
converge faiDlement
à l'êde de la propo-
s-;:on suvante.
PROPOSITION 1.3
Soit E un espace unitormément convexe et
E. Soit T une contraction de c dans E. Soit
que x converge faiblement vers ! et que x
n n
y ; alors ! - T! ::: y.
soit
x
n
- Tx
n
C un convexe ferrné de
une suite de c tel1e
converge fortement vers
Sans restreindre la généralté on peut supposeI' que y::: 0 et que C
est borné. Notons d'3bord que s E est un espace de Hlbert. la démonstra-
ton de la proposton 1.3 est asée.
En effat sot P
la projecton de
...
I-
sur C. On 3
ex - Tx - u + TPu. x - u)  0
n n n
v u  E
ar T? est une contracton. Passant 3 Ia 1mt8 quand n + +  . on obtent
, (- U + TPu. R. - u)  0
Orenant en artculier u  tt
\f u Eo E
R. + tv avec v  E at t  0, on a
(- R. + TP! , v)  0
t t
Fasant tendre t vel'S 0, 11 vlent
(- t + TR. , v)  0
,
soit t - TR. ::: O.
\f v Eo E,
Por établlr la oroposton 1.3 dars Ie cas général on utlisera Ie
lemme suivant
LEMME 1 1
So;t E un espace uniformément convexe et so;t C un convexe fermé

Quelques résultats préllminaires
7
borné de E. So it Tune contraction de C dans E.
A10rs, pour tout  > 0 i1 existe ô ( s ) > 0 tel q ue si Xo C C ' O f "
, xl  verl lent
IITx - X I I < o(s)
o 0
et I ITx1-x 1 ' I <ô(}, on a I iTxt - Xt A1 <  pur
- ,
tout tt:10,lj, avec Xt = {I - t)x o + tX 1 .
En effet, r:; ét3nt unformément eonvexe, on sat que pour tout Ci. > 0
I-
1 - i ! lJ I!  \ ! v 1 \
at tout ß  J 0 '2"l ' il exst a y > 0 tel Que s 1 , $. 1
et ! !u - vi! >-. a. . alors I 1 Àu + (1 - À) v!!  1 - Y J \i ÀE J ß 1 - 13 L
Posons
u = [10(1 + ;0 ) IIx 1 - xol r 1
(Tx t - xo)
v :: [( 1 - t)(1 + 3Ô ) !! x 1 - xol Ù -1 (x 1 - Tx t ).
s
Alors _-1
! ju! I  (t (1 + 36 ) ! 1)(1 - Xo! IJ ( I I TX t - Tx !! + I ! Tx - x I!)
 0 o ü
..$ [t(1 + 3ô ) - Xo I !] -1
II x 1 (t II x 1 - Xo I I + ô ) < 1
S
pourvu que tj [X 1 - xol!  s/3 j
pourvu que (1 - t) ! lX 1 - Xo! i
o I autre part I! tu + (1 - t) v!!
et de même I j v II  1
> s/3.
38 -1
(1 + -)
s
Sot M Ie damètre de C ; on Dose a. :: s/M, ß = s/3f1
et on croislt ensu: te Ô , avee 0 < ô < s 13 , assez pett pour que
+ 3Ô) -1
(1 > 1-y.

ç' s  I u - v 1 !
Dès que t >  et ( 1 - t) > 31 1 x 11 , on a  a
 3 j x 1 0
C3r snon l':négalté I \u - vi \ > a lmpllquerat que ! !Àu T (1-À)v!! 11-Y
pour tout AE:. J 13,. 1- 13[. et done en parteuler ! Itu+(1-t)v! i :: (1T 8 ) 1-y.
ce qu est absurde.
II en résulte Que s
t> s

et si
(1 - t)
>
3ll )(1
s
TI ' on a
x 2
I!TY t - Xt!! = 11(1 - tJCT)(t - xo) - tex 1 - Txt)!1
= t(1 - t)(1 + 3 ) l!x 1 - xoil ,jju - vl!..s (1
38 H1. f. < s.
s M

8
Quelques résultats préliminaires
11 nos r8ste  8nv1sclger les Las
e
t  et
x - x
1 tJ
e
1 -t  3TI x - x rr
1 0
.. t '" e
l I on a
.)IIX 1 - xoll
I!Txt-xtl I  I ITxt-Tx o ! I + I ITxo-xol I + I IXo-Xt l I  2 I IXt-xo 1 ! + ô
 2t 11 X 1 -xo! I + ô  e
II en est de même S1
e
1 - t  .
.Jllx" - xnll
1 0
DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION 1.3
SOlt e
n
I IXn - TxMI I j après extraction d'une sOUs-sulte, on peut
se ramener au cas où en < ô(e n _ 1 ) < e n _ 1 (oCe) est d éf1nl au lemme 1.1).
Alors I !Tx - xii  e n - 1 pour tout x E.. conv ( Ux.). En effet 11 résulte
jn J
dlrectement du lemme 1.1 que si une suite o'1'..."k de pOlnts de C
vérlfie
IITo-ol! < öCe) I iIT1-111 <ô 2 Ce),...., I!Tk-1-k-111 < ôkCe) et
I ITk-k!! < ökCe} Coù l'on dés1gne par oj 1a fonctlon Ö ltérée j f01S)
alors ! I T -  II < e pour tout  E conv C (;  . ) .
j=o J
Comme 1a sU1te x converge faiblement vers t, on a tE. conv C Ux.) pour
n . J
Jn
tout n. DJ où i1 résulte que IITt - tll  e n-1 pour tout n et donc Tt:;;t.
A partlr du théorème 1.2, on peut établlr l'exlstence d'un p01nt flxe cornrnun
à une faml11e de contractlons. Par a1l1eurs Ie théorème 1.2 s'étend à des
convexes non bornés.
THEOREME 1.3
Sail E UI1 e..ópac.e. de. Banac.h uni6aJtméme.nt c.onve.xe. e..t a<< C u.n c.anve.xe.
6eM1é de. E. So<-t.r W'l.e. Û,,11i1Æ.Ue. de. c.C/Yl-Vtac.úDJU de. C daM C te.-tte que pou
tou.:t T E:. F e;t tout T' E.F ,on a TT' Go.:F eX. TT' = T 'T .
011 .6Uppo.ó e. qu I.Ll e.x.t.óte. x E:.. C te.l que. l t e.n6 emb.te. t Tx j T E. F 1 ;0<< bOJtné..

Quelques résultats prélJminaires
9
..\.tu 't it ex i. te
\( t:. c tee. t.[u.e.
o
Tx :: X
o 0
pOUlt tou:t
"....J
Tr.
EH tJd.:t.t tcui. tVl..6.{, T e.6t une. eo nVtac..t{.oYl. de C
un. pa,{.t 6..Lx e. .i.. e.t .6 eLLieme.n.t .6.{, i.1. e.w te. x 6 C
dan.6 C, af.OJt,6 T admet
tel que. {Tnx} .60
n
baJtné.
En effet posons R = jjxj I + Sup {f ITx! I
TE.F }.
On désgne par C T l'ensemble convexe
C T = {x 6, c, !Ix - TT'xl!  R pour tout T'er }
On pose ê = U C ; 1 est clar que x E C pour tout TE.F , et done
T é::F T T
A
en partculer C n'est pas v J.d e .
Nous a110ns mentrer successvement que C est eorwexe et que TeC) C-C pour
tout T E: 9 . Soent x 1 ' x G C ; on a donc x 1 E: C et x 2 E: C T · Alors
2 T 1 2
x 1 é:. C TT
1
x 2 E C T T
1 2
pour tout T 'i::: F , et en partculer x 1  C T T ; de même
2 1
= C T T ·
2 1
X 1 + X
2 E . CC
2 C T T ·
1 2
Par conséquent
So it maJ.ntenant x 6 C ; alers x Eo C T et done Tx Go CT2 C C.
En consdérant 1a fermeture de C (qu est borné), on est ramené à étab1r
Ie théorème dans Ie cas où C est borné .
SOJ.t F T = t x  C ; Tx = x}; on sat que F T est un convexefermé non vde
C et désre n
on prouver que TE-fF T -;. ø.
Ra1sonnons par I' absurde et suppesons que .rF T ø.
F T est faJ.blement fermé, 11 eX1ste
ø. On aboutlt alsément à une contra-
Comme - C
est fablement compact et que
n
n F T
=1 
tels que
T 1 ,T 2 .....q Tn
dcton en raisonnant par récurrence sur n et en applcant Ie tréorème 1.2
n-1
au convexe n 'f T e supposé non v1de), quJ. est 1nvarJ.ant par T .
1=1  n

10 Quelques résuftats prélimmaires
I.3 EQUA1jONS DIFF[RENTIELLES ORDINAIRES SUQ DES ENSEMBLES CONVEXES .
\ù i t [ un 8GptJCP- (.Ie Banach at soi t C un convexe fermé de E.
:"'ù 1 t. {.Jour prUSLjue tout t  ] O. T l une dppl icat 10n J (t) de ':
<-
dns C \lifiant
IIJ(t)x-J(t)yll L Ilx-yll
où Lest lndépendant de t.
l5) pour tout x  C. l'applicatlon t  JCt)x est intégrable.
4)
v x.y E C
HEOREME 1.4
,
On. 6ad: tu hypo:thèf.>U {4} e;t {5}. AtoM pOWL :tou.:t u Ë C, i.1.
o
exte un.e 6onc:tion. uet} unique tette que
(6) u u.t a.bf.>ofument contA..nue f.>Wt (O.T) . déJtiva.bte p.p. I.:>WL jO.TL
uet) E:. C pour tout t G la, T]
(7)
du (t) + u(t) - Jet)u(t) = a
dt
p.p. sur ]O,T[
(8)
u(O) = u
o
En effet posons vet)
t
e u(t); I'équatlon (7) s'écrlt alors
 (t) = e t du (t) + e t u(t} = etJet) e-tvCt).
dt dt
O'où l'on déduit que
J t s - s
vet) = U o + 0 e JesJe v(s)ds
Par conséquent les proprlétés (6) - (8) sont équlvalentes à
u(t) = e -t u + J t es-tJ(s)u(S)ds
o 0
Avant d'appllquer un théorème de point flxe, préclsons Ie cadre fonctlonnel.
L'espace
 = C ( O,T ; EJ est munl de la norme usuelle I lul I
= Su 0 I! u ( t J ! I ;
lO.T]
on consldère Ie convexe fermé
L = {u (: t ; 'u e t) E:. C \It <= [O.T]}
Gn :éfinlt l'appllcatlon C de c: dans C par
-t (t '
curt) s-t
- e J + Joe J(s]u(sJds
0
il 8")t '"jiS8 de vpri.ier que Dour tout U E: t: la fonctlon 5  J(s)u(s) est
n:...gr dt)l;"). d "Jutr 8 pi'U t Lil (t) E.:. C pour tout t <- f 0, T 1 car

Quelques résultats prélimmaires
11
( t
", - t 1 , ,
to -Jl ulJ(!\
J \
U
.1-
I '"
3
J O  U:J
f s-t -t
<:! C. et done : e J(s)u(sJds" (1 - e ) C
j\llJntru,1s c;ue L k est une contractlon strlcte de t: dans e dès que k
est dSS8Z grand. En effet. on a
II   II fa t e s - t II II II
Ú1(t) - U2(t)  l U 1 (SJ - u 2 (s) ds  It U 1 - U 2
! I
II en résulte que
l;t 2U 1 (t) - 2u2(t)11  l
( t
 L 2 I !U 1 - u Ii sds
2 t J O
f: e s - t IIt'u 1 (sJ - GUz(s)
L 2 t 2
 ! !u 1 - u 2 11 Ë
II ds
Par récurrenee on obtlent
k k lkt k < ClT)k
II t u 1 e t ) - <ë u 2 ( t) II  10" II u 1 - u 2! I " k I II u 1 - u 211
.  c
On en dédul t que C admet un point flxe dans t: .
REMARQUE 1.2 l'existence d'une Solutlon (globale) du problème (7) - (8)
demeurant dans C peut être "motlvée>> géométrlquement de Ia manlère suivante.
En tout pOlnt du "bord" de C. Ie champ de veeteurs JetJu - u pOlnte dans Ia
directlon de C et "ramène" done dans C la trajectoire uCt) lorsque celle-ci
"tend" à en sortlr.
COROLLAIRE 1.1
On fait les hypothèses (4) et (5) . Alors pour tout u E C et
o
tout À > 0, ;1 existe une fonction u(t) unique vérifiant (6). (8) et (9)
(t) + uCt) - J(tJu(tJ
dt -À
a
p.p. sur JO.T[
De plus on a
( 10)
t
u(t) = e- I u + 1
o À
fo t s - t
eÀ J(s)u(s)ds.
En effet l suffit de falre Ie changement de fonction vet)
er à Ia forme (7).
u(Àt) pour se rame-

12 Quelques résultats prélimlnaires
REMARQUE ).3 U i.veI' pl'ul.Jlèmes (linea1.res ou non 1 inéalres) du type
....u
'.Jt
+ A = 0 ont dproximés
(approXlmatlon Yoslda.. méthode de pénalisdtiorl etc...
Odr OdS équations de la forme
dU A 1
dt + AÀu A = 0 où AA = X (I - J A ) et \ est
en général une contraction (A est destiné à tendre vers 0).
E,emple 1.3.1 SOlt C un convexe fermé de E et SOlt June appllcation
IlPSchltzienne de C dans C. Soit f(t) é L 1 CO,T;EJ tel que f(tJ G C p.p.
sur ]O,T[ .Alors, pour tout u <::. C et tout A > 0.. l'équation
o
du
- +
dt
1
u + X Cu - Ju) = f
p. p. sur
JO..T(, uCO) =u o
'\,
- JCtJu(t)) = 0
admet une solution.
avec
A
1l =
1 +A
et
'"
JCt)u
du 1
-( t) + -Cu C t)
dt 1l
Ju + AfCt)
1 + A
il est clair que
'"
JCt) vérifle les
En effet, elle s'écrit
hypothèses (4) et (5).
Exemple 1.3.2 SOlt C un cône convexe fermé de sommet 0 et soit June ap-
pllcation lipschitzienne de C dans C.
SOlt fCt) '- L 1 (O,T; E) tel que fCt) e. C p.p. sur JO,T[.
Alors C À > 0, l'équation du 1 - Ju)
pour tout u E et tout ëÆ + X(u
0
f p.p.
sur J 0, T [ , u C OJ
u admet une solution.
o
En effet.. elle s'écrit
du 1
dt CtJ + eu(t) - JetJu(t)) = 0 avec JetJu = Ju + f et
hypothèses (4) et (5) puisque C est un cône convexe.
....
JetJ
vérifle les

Quelques résultats préllminaires
13
COPARAISON DE DfUX SOLUTIONS
THEOREME 1.5
OH óa.i t .ee hypo.thèu (4) e,t (5) .
St!{(?Ht \ >0. f et f<:.L 1 (0.r;EJ ; o.Len.t u e;t Û de.6 o.l.uti..o ItUpec.-
t{V d équætion-ó.
lt) .. - JCtJuCt)) = f(t) JO. r[
dt ... I (uCt) p.p. sur
dÛ (t) + r (û(t) - JCt)û(t)) = fCt) p.p. sur Jo.r[
dt
Alors
(L-1)t I t (L-1)(t-s)
(11) 'Iu(t) - ûCt) II  e ^ l'uCO) - ûCO) II + e ^ Ilfcs) - f(s) lids
o
:n effet d'après (10). on a
-t 1 I t !:!
u(t) = e-X uCO) + X- e ^ [J(s)u(s) + (s)] ds
o
-t
û ( t)" = e À û ( 0 ) + *
r e s;:t [J(sJQ(sJ + Ú(sJ] ds.
o
Par soustraction. 1 vient pour tout tE [o.r]
-t
I/u(t) - ü(t)"  e À lIuCO) - ûCO)" + *
I t s-t
e ÀlluCs) - üCs) lids
o
+ r
CJ
s-t
e
-
IIfCs) - fCs)1I ds
Posant
Ct) = e t/^I 'uct) - üCt)1 I.
on a
(tJ  (OJ + fIt (sJds +
o
It eS!À11f(sJ - f(sJI Ids  H(t]
o
Par conséquent
t t
HI Ct) J: * Ct) + e I IIfCt) - .pCt)"  * HCt) + e X I/fCt) - fCt) II

14
Quelques résultats préliminalres
D'où l'on déduit que
.!::.t .!::.t r -L s Ilf(s) - f(s) lids
H(t)  e À <1>(0) + eÀ e AS eÀ
0
et l'estmaton (11) en résulte.
SOLUTIONS PERIOOIQUES
L'estimaton (11) permet d'établr l'existence de solutons périodqués
COROLLAIRE 1.2 On suppose que J(t) satisfait aux hypothèses (4) et
(5) avec L < 1
Alors il existe une fonction u(t) unique vérifiant (6), (9) et u(O) = uCT).
En effet, on considère 1 'application  de C quJ. à E; e. C faJ.t
correspondre  E; = UE;(T) où uE; rest la solutJ.on de l'équation
du
_E;(t)
dt
+ * (uE;(t) - J(tJuE;(t))
o
p.p.
sur Jo,+ co[ , uE;(O)
E;
L'applJ.cation  qui vérifJ.e
(L-1)T
II E; - L II  e À II E; - E; II
est une contractJ.onstriete et admet done un point fJ.xe unque E; . La fonetion
o
uE; (t) est l'unJ.que solutJ.on du problème.
o
COROLLAIRE 1.3 On suppose que E est uniformément convexe et que J(t) satis-
fait aux hypothèses (4) et (5) avec L  1.
D'autre part on définit J(t) p.p. sur Jo, + co[par J(t + T) = J(t); on sup-
pose qul;l existe E;  c tel que la solution uE;Ct) de l'équation
dUz:-
 1 \
ëit( t ) + I (u E; ( t ) - J ( t J U E; ( t )) = 0 p · p. sur J 0, + 00 [ , U E; ( 0 ) = E;
vérifie _sup _I IUE;(tJI I < + 00
t  l 0 , + ooL
Alors il existe une fonction u(tJ (non nécessairement unique) vérifiant
(6),(9) et w(O) = u(T).

Quelques résultats prélImmaires
!-,>òrt
ì.3
En 8ff clt 'C E; :: u C T) est une eontraetlon de C dans C et d I all tre
K :: u(kT) deeure borné quand k + + 00 . II résults du théorème

que L ddmat un pOlnt fixe.
Estlmatlon sur
! I du !!
dt
TliEORHiE 1.6 So-Lt J u.n.e a.ppUc.(åÚm. de C da.YL6 E VVu:.ð.{.a.
IIJx - Jy!!  L !Ix - yll \:Ix, y E:. C
SaLt À > 0 eX. !.>ci.;t f u.n.e 6onc.ûon. a.b!.>a'wmen:t c.a;U:.{.nue de lo, T J da.nó E
dé,uva.ble p.p . SaLt uCt) u.n.e !.>a.e.u.ûa;'/. { de c1M!.>e. C 1 ) de. l'équ.aX),aYl.
dU Ct) ... .!. (u(t) - JuCt)) f(t)
dt À
Ala/v> POUlt taut. t E. [0, TJ an a.
(12) II  Ct) II
 a
(L-1)t
À II du (0) I I
dt -
+ J t e
o
(L-1)(t-s) df
- I I I I
À I dt (s) Ids
(L-1)t
== e À ! If(D) - * (uCO) - Ju(O)) I!
J t (L-1)( t-s) df
+ e À Il dt (sJII ds
o
En pa/t.Ûc.u.üeJt,ó.{. f
o e.t,ói L:: 1 , ta. ßan.c.tian t 
II  ( t) II
ut
dé.c/tCJ-Ló!.>a.nt.e. ; ta/t-6qu.e L < 1,
ta. ðanc.,tian. t +
Il du (t)!1
dt
déc/tCJU expane.n-
.ue.ilV!1en:t veJt,6 0 e,t u (t) tend veJl..6 le. pa-tnt. 6-txe. de. J qu.and t + + 00
SOlt h> 0 posons pour tE. [O,T - h.l
VhuCt) = u(t+J-u(t)
'-
Appllquant Ie théorème 1.5 aux fonetlons
t Ë [0, T - hJ '
u(t) at u(t+h), on oDtlent pour
(L-1)t
\!u(t+hJ-uCtJII  e À Ilu(h)-uCOJII +
r
o
(L-1)(t-s)
e--X-- I If(s+hJ-fCsJ! 1 ds
et done
(L-1Jt J t CL-1) (t-s)
II \] h U ( t) !! . e À II u ( h  - u ( 0) I! + 0 e À
Il f(Sh)-f(S) 11 ds
Passant à la Ilmite quand h + 0 Cutlliser l'appendlee) on en déduit (12).

16
Quelques résultats préhminalres
51 f  0 t s1 L = 1 þ on a
11  (t)"  " = (O)II
pour t  0;
.
cùmma l'instant t = 0 ne joue aucun rôle prv11égéÞ 11 en résulte que
1a foncton t \-+ II  (t) II est décro1ssante.
.:ß.:1l.!
D'autre part s1 L < 1 Þ on a II  (t) II  e À 11  (o) II ;
donc u(t) converge qua nd t -+ + co þ so 1 t .t = 11m uet)
t-+ + 00
Passant à la I1mte dans l'équat10n
du 1
dt + I(u - Ju) = D on a .t = J.t.
ESTIMATION DE CHERNOFF GENERA LISEE
THEOREME 1.7 So June applieation de c d c vti6iant
Sod
/lJx - Jy/l
À > 0 et od u(t)
 L II x - y II 'dx. y <=. C avec L 3- 1.
ta .&otu.tion de .t' êquation
du 1
dt + I (u - Ju)
o
sur [ O. + co [
u (D) = u
a
AloJc.,ó 0 n a., pOUlt tout t E: [ O. + 00 ( e;t touX. en:ti.eIt n ,
(13) IluCt)-Jnu II
o
n
 L e
(L-1)t
À
"u -Ju "
a 0
f tL 2 + L J - 1/2
(n- i\) ^
ElL pct-'LÚc.u..U..eIt.&,i L = 1 et.6,i À = 1 ,on a
I n II - 2 t_ 11/2
I u(tJ-J U o  Un-tJ + I Ilu o -Juoll
et done.
lIu(nJ-Jnu "  {ñ Ilu -Ju II
a a 0
Sans restr1ndre la général1té Þ on peut supposer que À = 1.
Posons <P (tJ =llu(tJ-Jnu II Ilu -Ju 11- 1 (51 u Ju. on a
n 0 a 0 0 0
u(t) = u et Ie théorème est démontré).
a
Etablssons une relaton de récurrence entre <p et <p .
n-1 n

Quelques résultats préliminalres
17
-t I s-t
Comme u(tJ  e U o + : e Ju(sJds. On a
Ilu(tJ-JnUol I  e- t Iluo-JnUol I + I: e s - t IIJu(sJ-JnualldS
 e- t Ilu -Jnu II + L I t es-t IluCsJ-J n - 1 u II ds
o 0 0 0
Done
 (t)  e- t I lu -Jnu I I
n 0 0
Iluo-Ju o 1,-1 + L I: e s - t 'n_1(sJdSJ
or
II u -Jnu II
o 0
n
 1:
1=1
II Ji- 1 U o -Jiu o II 
n
1:
1=1
Li)
"u -Ju "
o 0
 n L n I luo-Juol I
(puisque L  1)
Par suite
n(tJ  n L n e- t + L I: e s - t n_1(sJds
D'autre part
<Þ 0 ( t ) = II u ( t J -u ( 0 J II
(utiliser (12J).
-1
I l u-Ju II t
o 0 -..:::
(L-1Jt
e
On eonelut à l'ade du lemme suvant
LEMME 1.2
Soit n(t) une suite de fonetions loealement ntégrables sur
J 0.. + 00 [ vérfant
<þ (t)
n
n -t I t s-t
 n L e + L e <Þ n _ 1 (sJds
o
 (tJ  t e(L-1Jt
o
et
Alors

18
Quelques résultats prél1minaires
t 14)
) !_ f1 e C L - 1 ) t
 It  -
n
l ( ) 2 tL ' J 1/2
L n-tL +
PrOU\ions Ie 18mm 1.2 par réeurrenee. On a d'abord
..p Lt) 
o
te(L-l)t<
....
lL-1)t
e
Lt 2 L2 + tLJ 1/2
Admettons (14) jusqu'à l'ordre n-1; on a alors d'après l'hypothèse
íþ (t) <
n
n L n e- t
+ L n
J:
s-t
e
(L-1)s
e
L - 2 ] 1/2
(n-1-sL) + sL_ ds
II reste done à montrer que

L n e CL - 1 )t
Jo t
s-t
e
- 2
LCn-tL)
(L-1)s J - ) 2 + SL_ - / 1/2 ds
e _Cn-1-sL
+ tL J 1/2 ,
n L n e- t + L n
autrement dt
n + Jo t e Ls 2 / L
[Cn-1-sL) . SLJ 1 2 ds  e t
[Cn-tL)2 + tLJ 1/2
Comme les deux membres eoineldent pour t
négallté sur les dérivées:
0, il SUTTlt de vérifler cette
Lt - 2 + tL ] 1/2 Lt - 2 + tL J 1/2
e lCn-1-tL)  L e LCn-tL) +
Lt [Cn-tL)2.+ tJ -1/2 L 1 + tLJ
e C- - n
2
Le membre de drolte est posltlf pUlsque
- 2 + tLJ -1/2 - 2 1 - n + tL]
LCn-tL) l (n-tLJ + tL + -
2
. 2 tLJ -1/2 [ Cn-1-tL)L 1 -
LCn-tL) + + n - 2)
Enfin on eonelut, à l'alde de l'inégalité sUlvante
lCn-1-tL)2 + tL 11/2 L C n-tL)2 + tLJ 1/2 + CCn-tLJ 2 + tLJ -1/2(t - n + tL)
qUl est obtenue en élevant les deux membres au earré.

CHAPITRE II -
OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES
Plan
1. Notion d'opérateur monotone.
2. Not2on d'opérateur maximal monotone
3. Exemples d'opérateurs maximaux monotones.
4. Proprétés élémentaires des opérateurs maximaux monotones.
S. Surject1vité des opérateurs maximaux monotones.
6. Samme o'opérateurs maximaux monotones.
7. Opérateurs cyclquement monotones.
8. Exemples d'opérateurs cycliquement monotones.
9. Perturbations cycliquement monotones.
MotE_ons
H désgne un espace de Hilbert surlR mun du produt
scalare ( , ) et ae la norme I I.
H -est; :1 '-space H muni de la topologie faible et x  x exprme que
w n
la ste x n converge faiblement vers x.
L ' j Jésgne Ie couple, élément de H x H.
Etant donné 0 c... H, Õ désigne la fermeture de 0 dans H,
rnt 0 dé5gne IJntéreur de 0 dans H, conv 0 désigne l'enveloppe convexe
de D.
Si C est un convexe fermé ae H, Projcx désigne la projecton
de x sur C et CO désigne la projection de 0 sur C.

20
Opérateurs maxlmaux monotones
1. NOTION D'OPERATEUR MONOTONE
La théorle des équations d'évolution non llnéaires nous
amène à étendre la notion d'opérateur. Un ooérateur (multivoque) sera une
application de H dans 61H)  ensemble des parties de H. Le domalne de A
est 1 'ensemble O(A) = {x e H ; A x i ø} et I ' image de A est l'ensemble
R(A) = LJ Ax. Si pour tout x e H, I'ensemble Ax contlent au plus un élément
xeH
on dira que A est unlvoque . Nous justifierons ultérleurement l'intérêt des
opérateurs multlvoques.
Soient A et 8 des opérateurs de H, et sOlent ^ e   e R J alors
^ A   8 est l'opérateur x e H  A Ax +  8x ={AU+V;U e Ax, v e 8x}
aver: O(AA + 8) = DCA) f"\ 0(8).
NOUb identiflerons A avec son graphe dans H x H l.e. {(xyJ ; y e Ax}.
L'opérateur A- 1 est l'opérateur dont Ie graphe est symétrlque
de ceJui de  i.e. y e A- 1 x <:=> x e Ay ; on a évidemment DCA-i) = R(A).
graiJhes
L'ensemble des opérateurs est ordonné par I 'inclusion des
A C 8(_pour tout x e H , Ax c 8x.
DEFINITION 2.1.
Un opérateur A de H est dit monotone si x1,x2 e DCA),
CAx -Ax 2 , x 1 -x 2 )  0, ou plus précisément VY1 E Ax 1 , VY2 e Ax 2 ,
(Y1- Y 2' x 1 -x 2 )  O.
EXE;vJ?LE 2.1.1.
SOlt f une application croissante de  dans  J l'opérateur
f : x e R >+ [f (x-), f (x+ )J (')!R es"G monotone dans IR. Tout opérateur monotone
de' est inclus dans un opérateur de ce type.
EXEJ11ple 2.1.2.
Soit A un opérateur monotone de H; les opérateurs suivants
con3truits à partir de A sont monotones: A- 1 , AA pour A  0, J\ fermeture
de A dans H x H ,
w
Ax = conv A x.
Soit June contraction de D C H dans Hi alors l'opérateur
I-J est monotone.
Etant donné un convexe fermé C de H, l'opérateur x >+ ProjcX
est monotone.
Si A et 8 sont monotones, alors A+B est monotone.

Operateurs maxlrnaux monotones
21
Exemple 2.1.3.
So it (S,13 ,) un espace mesuré posit if J étant donné
un opérateur A de H, on peut définir Jl. sur '}e = L 2 (S ; H) par
v  vqu <* vCt)  AuCtJ 1l p.p. sur S. S1 A est monotone, i1 en est de
même de it .
Exemple 2.1.4.
Soit f une foncton convexe propre sur H, c'est à dire une
application de H dans J-, +] , telle que; + et
'f(tx + (1-t)y)  t 'P(x) + (1-t) 'P(y) 'tIx, y  H et 'it  JO,1L ·
,
L'ensemble D() = {x  H ; (x) < +} est convexe. Le sous dfférentel
df de 'P' défini par y  df(x \1ç;  H, 'f(ç)  'PCx) + (y,ç-xL est
monotone dans H. En effet, si Y1  Ø(x1) et Y2' df(x 2 ), on a en parti-
culer'f'(x2)  ÿ(x 1 )+(Y 1 ,x 2 -x 1 ) et 'f(x1)'f'(x2)+(Y2,X1-x2) ; d'où par
addtion (Y1- Y 2'x 1 -x 2 )  o.
La notion d'opérateur monotone dans un espace de hlbert
apparait comme cas particulier de celIe d'opérateur monotone d'un espace
vecorel dans son dual (dans notre cas H est identfé à son dual). Sot
X u' espace vectoriel topologique ae dual X', Une application A de X dans
JÁ') est dite monotone si Vx 1 ,x 2  DCA), <Ax 1 -Ax 2 ,x 1 -x 2 >  0, <,>
désgnant Ie produit scalaire dans la'dualté entre X et X'.
La notion d'opérateur monotone dans un espace de Hlbert
apparat auss comme un cas partculier de celIe d'opérateur accrétf dans
un espace de Banach telle qu'elle est défnie par T.Kato. X étant un espace
de Banach de norme II II, on dit qu"une application A de X dans6'tX) est
accétive s x1,x2  DCA) et \1À > 0, Ilx 1 - x 2 1 I  I I (x 1 -x 2 )+À(Ax 1 -Ax 2 ) I I.
On a en effet la
PROOOSITION 2.1 .
Soit A un opérateur de H. A est monotone si et seulement si
Yx 1 ,x 2  D(A) et "À>O , Ix 1 - x 2 1 , l(x1x2J+À(AX1-AX2)1
ou plus précisément
\1x 1 ,x 2  D(A), \fY 1  Ax 1 , Y2  Ax 2 , 'tIÀ>o, Ix 1 - x 2 1  I (x 1 -x 2 )+À(Y1- Y 2) I
En effet, on a
(x 1 -x 2 )+À(Y 1 -Y z JI2 = IX1-x21 + 2À(Y1-Y2,X1-x2)+ÀzIY1-Y21

22
Opérateurs maximaux monotones
La condition est donc nécessare. Ella est aussi suffisante, ca on a
alors 2À(Y1-Y21 x 1 -x Z ) + À 2 !y 1 -y 2 1 2 O. On dvise par À et on obtient
Ie résultat en faisant tendre À vers O.
La conditon d'accrétvité exprime que pour tout À>O, l'opérateur
(I+ÀAJ- 1 est une contracton de R(I+ÀA) dans H. Autrement dit, pour tout
Y  H, l)équaton x + ÀAx) y admet au plus une solution et s x 1 ,x 2 sont
les solutions correspondant à Y1'Y2 on a !x 1 - x 2 1  ly 1 -y 2 1. Les opérateurs
que neus allons considérer maintenant sont ceux pour lesquels l'équation
x + À Ax  Y admet exactement une solution x pour tout Y  H et tout À > O.
2 - NOTiN D10PERATEUR MAXIMAL MONOTONE
L'ensemble des opérateurs monotones de H est nductf pour
l'nclusion des graphes, ce qui justifie la défntion suivante :
DEFINITION 2.2.
Un opérateur de H est dit maxmal monotone s'il est maximal
dans I'ensemble des opérateurs monotones.
Insistons sur le fat que A est maximal dans I'ensemble des
grapì8s monotones. Un opérateur qui est seulement maximal dans l'ensemble des
opérteurs unvoques monotones n'est pas nécessarement maximal monotone au
sens de la défnton 2.2.
Expllcitons cette déflnition J A est maxmal monotone si et
seuldment si A est monotone et pour tout [x,yJ  HxH tel que
(y-Af  x-)  0 V E D(A) (ou plus précisément (y-n, x-)  Q \i[,rù A),
alor y  Ax.
La caractérsation suivante est fondamentale dans l'étude aes
opérclteurs maximaux monotones.

Operateurs maxlmaux monotones
23
PROPOSITION 2.2 
Soit A un opérateur de H. 11 y a équ;valence entre 1es
trois propriétés suivantes
i) A est maximal monotone
ii) A est monotone et R(I+A)=H
îii) Pour tout À>Ot (I+AA)-1 est une contraction définie sur H tout entier.
.L 'implièation (iii)  (ii) est une conséquence immédiate
de la proposition 2.1. Pour l'implicat1.on (ii) -=þ(i) # il sùTTit de remarquer
que S1. A c. B avec B mono'tone at si y E Bx# il existe# par hypothèse
x' c D(A) tel que x + Y E x' + Ax' J d'oö X + Y E X + Bx et x+y E x' + Bx'
et ...one x = x'# Y E Ax. Pour prouver l'implication (i) :j)(:ij) on ut1.lise 1e.l
théorème suivan't :
THE,REME 2.1.
Soie.nt c un c.onvexe. óeltmé de. H e.t A un opêJta.teuJt mOY1O.tone.
de. i '. AtOJr.,ð. pOWl. :t.ou;t Y E H, i.1. e.xiA:te. x e; C :tel. qu.e.
(n + x,  - x)  (y,  - x) V[..n]E A
Avant de démontrer ee théorème# tirons en 1a conséquence
sU1.'/ante. 501.'t J- la famJ.11e des opérateurs monotones dent Ie doma1.ne est
con" snu dans C et sOJ.t A un élément max1.mal de J= J alors R(I+A) = H.
En ffet.. soit Y e H } il eX1.ste x E C tel que pour tout [,n]e; A
(n - (y - x),  - x)  0, et done y-x e; Ax. En prenant C = H et en remar-
qua: que s1 A est max1.mal monotone.. 11 en est de même de ÀA pour tout À > 0,
on -démon'tré l'J.mpl1cation (1.) (iii) de 1a proposit1.on 2.2.
En app1iquant Ie lemma de Zorn, on a prouvé Ie
COR.'LLAIRE 2.1
So;t A un opérateur monotone. 11 existe u n prolong ement
,..;
A mximal monotone de A dont le domaine est contenu dans cony D(A).

24
Opérateurs maximaux monotones
DEMONSTRATION DU THEOREME 2.1
On peut toujours se ramener au cas OÙ y = o. Pour tout
r,l1 e; A on pose Cí,11] = {x e; C J (11 + x,  - x)  O} J Ct-,l1] est
un convexe fermé borné de H. II faut montrer que  C[,= ø.
e:C , [ ,11] e:A
Mas C[,11] étant faiblement compact, il suffit de mon{;r que pour toute
famlle fne.  e: C [ t.,11] e: A , 1 = 1,2,... n, on a n Cr.; ,Tl 1 J;l ø. Soi t
    =1 .
alors K le convexe den défini par K = {A e:IR n J A  et I A = 1} et soit
n  1=1 fi
f : K x K +JR défni par f(À')=1  (X(A)+11.,X(A)- i ) où x(A)=ï ^ j  j .
1=1   j=1
La {onction f est contnue, convexe en A, linéaire en . O'après Ie théorème
du mLn-maxCthéorème 1.1.) il exise AOe: K tel que pour tout  e: K,
f(^o,)  Max f(A,À).
Ae:K
 n 1 n
Or f,À.À) =ij=1 ÀiÀj(ni';j-;i):Zij=1ÀiÀj(ni-nj';j-;i)  O.
Done pour tout  e: K on a
n
xU.') e: ':1 C li,l1il ·
n
I (x(ÀO)+Tl1,x(ÀO)-i)  0, c'est à dire
1=1
3 - EXEIPLES D 'OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES
Exemple 2.3.1.
Les opérateurs maxmmaux monotones de,R sont les opérateurs
f considérés à l'exemple 2.1.1. Nous étud1erons cet exemple plus en détail
au S II.B.
Exemple 2.3.2.
Soit A un opérateur maxmal monotone de H J les opérateurs
;ret ÀA pour A > 0 sont maximaux monotones.
Par contre A et B peuvent être maximaux monotones sans qu'l
en sot ains de A + 8 car on peut avoir DCA) "0(8) = ø. Des critères pour
que A + B soit maximal monotone sont donnés au iII.S.

Opérateurs maxlmaux monotones
Exemple 2.3.3.
Dans l'exemple 2.1.3. s1 A est maxmal monotone et si
}l(S) < +oo alors u1est maximal monotone. En effet, étant donné v e)
il existe.>}l-p.p. sur S.luCt) e H unique tel que vCt) e uCt) + AuCt).
Coml1e CI+A) -1 est une contracton et }leS) < +00  on a u e -a-e et donc
v e u +J1u. Remarquons que si }leS) = +00 et si de plus D e AO alors 
est maximal monotone Csnon D) pet être vide). Notons enfin que
Ie prolongement à ae de (I+ÀA) -1 est CI+U)-1
Ex elT pIe '- 2 . 3 . 4 .
Sot  une fonction convexe propre sur H. Si  est
se_-continue nférieurement, (s.c.) alors ôf est maximal monotone.
En effet, soit y e H ; la fonction Xrl-'fCx) + t'x-YI2
es convexe s.c.. et tend vers +00 lorsque Ix) + +00 (noter que grâce au
thJrème de Hahn-Banach fest minoré par une foncton affne). Elle attent
donc son minmum en x e H. On conclut à IJade du lemme suvant que
o
YXO+d\PCXO)'
LEMME 2.1.
Soit 'f une fonction
foncion convexe XI+(X) + %lx- Y I2
s (y-x ) e d '(J (x )
o 0
convexe propre sur H et a  o. La
atteint son minimum en x s et seulement
o
En effet s aCy-x ) e (x ), on aCx ) < +00 et
o Vi 0 t 0
'ftè;)-fC-x o ) a(y-xo-xo)  % [lxo-y'12_1-yl \;J e H.
Inversement, en prenant
 = (1-t) x +tt1 avec t e:] 0,1 [,
'9
on a
t Lf(t1)- 'f'exoJI  tp()- \fex o )  % [f x o - Y I2-I C1-t)xo+tt1-YI
DJo en divisant par t et en faisant tendre t vers o. on a
'f Ct1 )- 'f(x o )  aCy-x o ,t1- x o ).
Nous reviendrans sur cet exemple au SII.7.

26
Opérateurs maxlmaux monotones
Exemple 2.3.5.
Soit A un opérsteur 11néa1re , un1voque (non borné),
monotone dans H. On a la caractér1saton suivante :
PROPOSIïION 2.3.
A est maximal monotone si et seulement s; D{A) est dense
dans H et A est maximal dans 1 'ensemble des opérateurs un;voques linéaires
monotones.
;La condtion est nécessare car s1 x est orthogonal à D(A)
on a pour tout  e D(A), (A-xI)  0 et donc x = AD = O. Montrons qu'elle
[ - .,
est 5uff1sante ; soit x,YJ E HxH tel que (A;-y, -x) O pour tout  e D(A).
,...;
Alors x e D(A) car sinon l'opérateur A :  + Àx A + ÀY)défin sur l'espace
angeldré par D(A) et x serait un prolongement lnéaire monotone strct de A.
.)
On a alors pour tout t > 0 et tout; e DCA), (A(x+t)-y, (x+t)-x), sot
(Ax-y,)  -t(A,) ; fasant tendre t vers 0 et utlisant Ie fait que D(A)
est dense dans H, on obtien Ax = y.
Exeml11e 2.3.6.
Avec la même métrode on obtient Ie résultat suvant
PROPOSITION 2.4.
Soit A une application monotone univoque de D(A) = H dans H.
On spose que A est hémicontinu, c'est à dire pour tout x E H et tout; E H,
A((l-t)x+t) Ax lorsque t  0; alors A est maximal monotone.
En effet sot [x,y] e HxH tel que (Ax'-y,x'-x)  0 pour tout
x' e H. Alors, pour tout  E H et t E ]0,1[, (A((1-t)x+t)-y,-x)  o.
Faisi:n tendre t vers 0, on obtient (Ax-y,-x)  0 pour tout  E H et donc
Ax=y
Exemple 2.3.7.
v C H  V' avec
Soit V un espace de Banach reflexif de dual V' tel que
injections continues et densest Soit A : V  V' un opéraeur
défin sur V, hémicontnu et coerci f i.e. lim <Au,u> = + 
II u II ++CX) II u II
où I I 11 désgne la norme de V et < I > Ie produit scalare dans la dualité
entre V et V'. Alors l'opérateur A H , restriction de  à H, défini par
D(A H ) {xeV J Ax e H} at AH=A est maximal monotone dans H.
univoque partout

Opérateurs maxlmaux monotones
27
II t:'l en Bfft lmmédldt que A H est monotone; dtautre
pclrt, j '.Jor:) un théol t':?me de G. Mlf'\TY L3 \ uu F . BROWDER t2 1 ' I' équatlon
,  Ax = y dm8t unB olution x s V pour tout y s V' ; en part1culler si
y s h, on  x + AHx = y.
PROPRIETES ELEMENTAIRES DES OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES
Dans ee paragraphe A est un opérateur maxlmal monotone.
-1
On dés1gne par JÀ=CI+ÀA) 1a résolvante de A qui, pour tout À > 0 est
une contraction de H dans H. II est immédiat que J À vérlfle
JÀx = J(t x + (1 - tJ JÀx) x s H, À, > o.
La fermeture de A dans H x H étan"C monotone (exemple 2.1.2)
w
A es"C fermé dans HxM et aUSSl (puisque A- 1 est maximal monotone) dans H xH.
w w
Plus préclsément on a 1a
PROPOSITION 2.5 .
Soit [xn,Y n ] e A tel que xn x, Yn Y et lim sUP(Yn,xn)(Y'x).
Alors [x,y] s A et (Yn,x n ) -+ (y,x).
En effet. on a (n-y .-x )  0 pour r.n J s A. En passant
n n l:
à la 11mlte supérieure. 11 vlent (n-y.-x)  0 pourJ[,nJ S A, donc [x,y] s A.
On a alors Cy-y ,x-x )  0 et done 11m inf (y ,x )  Cy,x).
n n n n
THEOREME 2.2.
D(A) eAt eonvexe, et po tout x s H on a 11m JAx
À-+O
ProJ OCA) x.
SOlt x s H et posons x À = JÀx. C = conv DCA). On a
x-x À x-x À
-r-- s Ax À . Pour tout [,nJ s A on obtlent (-r-- - n,xÀ-)  a d'où
en particulier ]x À !2  (x,xÀ-)+CxÀ,J-À(n.xÀ-). On dédult de cette
lnéga11 té que À est borné quand À -+ O. Soi t Àn -+ 0 tel que x À .....:::.. Xo avec
n
 s DCA) et donc aUSSl
x S C. 11 vient Ix !2  (x,x -)+(x ,) pour tout
o 000
pour tout  s C. On a alors (x-x ,-x )  a pour tout  s C et par conséquent
o 0
Xo Projc x. La 11mlte étant lndépendante de 1a suite extraite Àn-+ 0 telle
que x À converge dans H w . on a 11m x, = Projcx dans H .
n À ^ w

28
Opérateurs maxlmaux monotones
Q'autre part 11m sup Ix À I2  (x, x -)+(x ,) pour tout  E DCA) et donc
À 0 0
aussi pour tout  E C. Prenant en particulier  = xo' on a
11m suplx, f2  Ix 1 2
À ^ 0 
Projcx. Enfin x À E D(A), et comme pour tout x E C,
t3.:;.J. montre  x À -r
x À  x on a D(A) = C.
Nous avons vu à l'exemple 2.1.2. que 1'opérateur x  conv(Ax)
est encore monotone si A est monotone. Donc pour tout x E DCA), Ax est un
convexe fermé 10rsque A est maximal monotone. Nous poserons AOx = ProjAxO,
c'est à d1re AOx est 1.é1ément de Ax ayant une norme m1n1male . O'autre part
on désigne par A À = IJ^ l' approximation Yosica de A. II est important de
dlstlnguer l'opérateur un1voqu e A À de H et l'opérateur multivoque AJ À ; on a
seulement l'lnclusion éV1dente A À x E AJÀx pour tout x E H.S1 de plus A est
1inóaire et univoque, on a A À = AJ À sur H et JÀA = AÀsur DCA) ; en particulier
pour tout x E DCA), AÀx  Ax quand À  o. Cet argument ne s'étend pas aux
opérateurs non linéaires, mais on a toutefois 1a
PR('?OS IrION 2.6 .
(i) A À est maximal monotone et lipschitzien de rapport î
(ii) (AÀ) = AÀ+ pour tout À, > o.
(iii) Pour tout x E D(A), on a !AÀx! t IAoxl et AÀx -r AOx quand À  0 avec
!AÀx - A O X]2  IA O x!2 - IA À xj2
(iv) Pour x t D{A) , jAÀx) t +00 quand À  o.
Des inégalltés !A À X 1 - AÀx21 )x 1 - x 2 1  (A À x 1 - A À x 2 ,x; -'x 2 )
= CA À x 1 - A À x 2 ,ÀA À x 1 - ÀA À x 2 ) + ( A À x 1 - A À x 2 ,J À x 1 - J À x 2 ) ÀAÀx1J: AÀx212,
1
on 1 6 dult que A À est monotone et Ilpschitzien de rapport r . D'après 1a
prpositlon 2.4, A À est maxlmal monotone. La vérlfication de (ii) est lmmédiate
en :::'3marquant que [x,yl E A À -<;::;> Lx - Ày,y] E A.
Etant donné x E DCA), on a (AOx - AÀx, x - JÀx)  0 ; d'où
I A À x l 2  CAox,AÀx) et par suite IAÀxl  IAoxl.
Substituant A à A dans les inégalités précédentes et

utilisant (ii), on a pour tout x E H
]AÀ+xI2  (AÀx, AÀ+X) et IAÀ+X!  IAÀxl À, > 0

Opérateurs maximaux monotones
29
ùn n d8UUlt que IAÀ+X - AÀxl2  IAÀxl - IAÀ+xIL.
Done s1 IAÀxl est borné quand À  Oþ AÀx est de Cauchy et par suite
AÀx  y quand À  0 J mais x - JÀx = À AÀx et donc JÀx  x. II en résulte
que x e DCA) et (x,yJ e A J mais alors Iyl  IAoxl mplique y = AOx.
DEFINITION 2.3.
On appelle secton prncpale de A tout opérateur un1voque
A' c: A avec DCA) = DCA') et tel que pour tout [XþyJ E õTA1 x H, l'inégalité
CA'-y, -x) O   D(A) implique y e Ax.
PROPOSITION 2.7.
L'opérateur A O est une section principale de A.
Considérons M = {Lxþy]e õ{A1xH J (AO-y.-x)  0  e D(A)}
Comme A c:M, l suffit de montrer que M est monotone. Soient lX 1 'Y1] eM,
x +x -
[x 2 'Y2] e M et posons x = le D(A). On a pour tout  e D(A)
x-  ' x-x
(y 1 -A 0  ' ... 2 + x - )  0 et (y 2 -A,.... '\ 2 ... + X - ;)  0 J
d'où par addition :
1
2(Y1- Y 2 Þx 1- x 2)  (Y1+ Y 2'x-;) + 2(AOþx-;).
Prenons  = JÀx J on a 2(A o J À x,x-J À x) = 2ÀCA o J À x,A À x)  0 pusque AÀx e AJÀx.
1
Donc 2(Y1- Y 2'x 1 -x 2 )  (Y1+ Y 2,x-J À x) J passant à la limite quand À  O. on
obtient (Y 1 -Y 2 ,x 1 -x 2 )  0 pusque x e DCA),
COROLLAIRE 2.2
So;ent A et 8 deux opérateurs maximaux monotones.
Si D(A) = 0(8) et A O = B O t alors A = B. De même s; D(A) c 0(8) c D(A)
et s; A 0 C B tal ors A = B.
La notion de section prncipale est aussi utle dans I'étude
des questons de convergence.
PROPOSITION 2.8
Soient An et A des opérateurs max;maux monotones tels que
o (A) c. 0 (A n)C 0 (A ) pour tout n :: 1 t2,... On suppose qu Ii 1 ex; ste une sect; on
principale A' de A telle qu Vx e D(A) JYn e Anx vérifiant Y n  A'x.
Alors pour tout x e D(A ). (I+ÀAn)-lx  (I+ÀA)-lx uniformément pour À borné.

30
Opérateurs maxlmaux monotones
n -1
Soient x  D(A) et À > a ; posons un = (I+ÀA  x. Pour
tout   D(A). i1 existe n  An tel que n  A'. Applquant 1a monotone
n n
de An on a
x - u
n - n,u -)? a
n n
À
On en dédult que lu [ est borné ; sot u  u. A la lmite on a
n n k
, x-u
(-X- - A',u-) ? 0, et done. puisque A' est une section pFincpale de A
u = C!+ÀA)-1 x .
Prenant alors  = (!+ÀAJ- 1 x, on a 11m sup]u 1 2  (u,) =
n
0++ 00
lul 2 , et par suite
U -+ u.
n
Pour établr la convergence unforme en À, on se ramène d'aboro asémen
n n -1
au cas où x  D(A). Posant JÀx =C!+ÀA) x on a
IJn(l:!.x "(1-)Jnx) - Jnx! < ]1-.l:!.1 jJnx - x[ .$ ;À-ll ! j(An)Ox! .
II À À À ll' À À
IJnx-Jnxl
À II
CAn)Ox étant borné quand n -+ +00 , on en déduit que pour tout compac K de,
n
JÀx -+ JÀx uniformément en À  K.
SURJECTIVITE DES OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES
A étan un opérateur maximal monotone, on peut trouver
facllement des condltlons sufflsantes pour que A SOl surjectlf l.e. R(A) = H.
Par exemple s'i1 eXlste C > 0 tel que (AX 1 -AX 2 ,x 1 -x 2 ) clx1-x212, Vx 1 ,x 2
car d10rs A-c! est maxlma1 monotone. Ou encore Sl DCA) est oorné a10rs A
est .3urjectif
en effet. d'après Ie théorème 1.7.
11 eXlste x E DCA)
tel que J 1 x = x et done 0 E Ax. On voit de même que tout y E H appartlent
à R(A) en remplaçant A par A-y. En fat ces exemples sont des cas particu11ers
de 13 conditlon nécessaire et suffisante sUlvante : pour out y E H, l
o
eXl..te un vOl_lnage'u..de y tel que {x E DCA) ; Axí)'Ll1- ø} soit borné
o
(ou vlde). Utilisant 1a termlno10gie des équations aux dérlvées partle1les
on peut dlre qu'une "majoration à prlori" des solutlons éventuelles de
l'équation y E Ax pour y e 11 implique 1a surject1vi'té.
DEFINITION 2.4.
On dit qu'un opérateur B de H est borné au vOlsinage de x
o
s'i1 existe un vOlsinage 'L\ de x tel que U Bx soi t borné.
'0 XE'U.

Operateurs maxlmaux monotones
31
On d1t que 6 est localement borné si Best borné au voisinage de tous
les points de O(B).
On dit que Best borné S1 pour tout bornélAde H alors LJx est borné dans H.
XE \t\
THEOREME 2.3
Soli A W1. opéJta:teLVL ma.x...imal monotone. de. H. AlolI..ð A ut
-ðuJtj ec;t1..6 .ð.i. et .ðe.uleme.nt -ð.i. A -1 ut toc.ateme.n:t bOJt.né.
Ind1quons tout de suite quelques coro11aires de la
cond1tion suffisante.
COROLLAIRE 2.2.
Soit A maximal monotone avec D(A) borné. alors A est
surJectif.
CORJLLAIRE 2.3
Soit A maximal monotone vérifiant lim jAOxl = 
, xED(A)
Jx\-++ao
(i.e. A-I est borné) alors A est surjectif.
COROLLAIRE 2.4.
Xo E H tel que
Soit A
1 ;m
XE D (A)
\xl
un opérateur maximal monotone coercif i.e. i1 existe
() = + , alors A est surjectif.
DHl)NSTRATION DU THEOREME 2.3
A- 1 localement bornéR(A) ouvert et fermé.
R(A) est fermé, plus généralement on a le
LEI Ie 2.2.
Soit 6 un opérateur max1mal monotone tel que SO S01t
borné au vois1nage de x E O(B)þ alors x E o(S).
a a
En effeþ S01t x E 0(6) tel que x + X . O'après 1'h'1pothèse
n n a
Sox est borné e i1 existe une suite extraite telle que Sox  '1 ; par
n n k
conséquent '1 E Sx (proposition 2.5).
a
ReA) est ouvert Soient lXo'1oJ E A etf> a tels que A- 1 S01t borné sur
{'1 ; 1'1 - Yo I <f'} ; montrons que si '1 est tel que \'1 - Yo' < p alors
Y E R(A). Pour tout E > 0 11 existe x E O(A) tel que(y + E X )E Ax + E x;
E a E \;.

32
Opérateurs maxlmaux monotones
posons z = y + e(x -x ). App1iquant 1a monoton1e de A en x et x on
e a eO, \;.
obt1ent (y -z ,x -x )  O. Par suite (y -z,z -y)  a e done
o E: a E: _1 0  E:
Iz -y I  Iy-y I < f · Puisque x e A z, {x } est borné et par eonséquent
e a a e e e
z  y quand E:  o. I1 en résu1te que y e RCA) = R(A).
e
L'1mp1ieation R (A) = H  A -1 est 10ea1ement borné est un
cas partieu11er de 1a proposit10n suivante
PROPOSITION 2.9..
Soit B maximal montone tel que Int(conv D(B)); ø.
Alors Int D(B) est convexe, Int 0(8) = Int D(B} ; ø et Best borné au
voisinage de tout point intérieur a D(B).
On Jtilisera dans la démonstrat10n 1e lemme sU1vant
LE1ME 2.3.
501 t 0 une SU1 te er01ssante de part1es de H et 0 = U 0 .
n n n
On 3uppose que Int eonv 0 i ø, a10rs Int eonv 0 = U Int eonv 0 .
n n
DEM0NSTRATION DU LEMME 2.3.
Posons 0 = Int eonv O. La suite 0 étant er01ssante, on a
n
eOTìV 0 = LJ eonv 0 et done 0 C U eonv 0 C O. 0' après le théorème de Ba1re
0" n n n
(ap11qué à l'espaee de Baire 0 et à 1a sU1te de fermés 0 (ìeonv 0 ), i1
n
eX1ste n tel que Int eonv 0 i ø. Done pour tout n  n , eonv 0 = Int eonv 0
a non r.
. 0
On en dédu1 t que 0 = U Int eonv 0 . Ma1s U Int eonv 0 est ouvert et
n n n n
eonvexe ; par eonséquent 0 = U Int eonv 0 .
n n
DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION 2.9
Posons
Bn = {[x,yj e: B ; I x I  n et I y I  n }.
On a O(B) = L-Jo(B ) et done, par application du l6mme 2.8,
n n
Int eonv O(B) = L.J Int eonv 0(8 ).
n n
Montrons que 8 est borné au v01s1nage de tout point de Int eonv O(B ).
n
En effet, soient Xo et > 0 te1s que {x; Ix-xol <j'} C eonv OCB n ).
Montrons que Best borné sur {x; Ix-xol < f/2} ; soit en effet [x,y] e B
tel que Ix-xol < f/2. Pour tout [, n].e Bn' o n a (n-y,t-x)  0 et done
(y,-x)  2n 2 ; d'où pour tout  e eonv 0(8 ) (y,t-x)  2n 2 . Il en résulte
n , 4 2
que Cy,-x)  20 2 pour tout  tel que II < f/2. Done Iyf  
f

Opérateurs maximaux monotones
33
On déduit alors du -J...emme 2.2. que Int conv O(B) C O(B) et par suite
Int O(B) = Int conv 0(8) = Int 0(8) ; Best alors 10calement borné sur
Int O(B).
COROLLAIRE 2.5.
Soit B un opérateur monotone un;voque avec D(B) = H.
Les propriétés su;vantes sont ëquivalentes
(; )
(ii)
(iii)
(;v)
B est maximal monotone.
B est clem; fermé (i.e. le graphe de 8 est fermé dans H x Hw)
Best dem; continu {i.e. Best continu de H dans Hw}'
Best hemicontinu.
On sait (Propost1on 2.5) que (1) (ii). Comme í1) => (iv)
et (v) =;> (1) sont évidents, il reste à montrer que (i1) =)' (:;'1). II résulte
de la proposit1on 2.9 (appl1quée à un prolongement max1mal monotone de B)
qUE 8 est localement borné ; étant dem1 fermé et unvoque, 8 est dem1 continua
Notons enfn qu'il résulte de 1a propost:;.on 2.9. que s:;.
8 Est max1mal monotone, alors Best borné sur tout compact K c.. Int O(B) ;
en partcul1er Sl DeB) = H et Sl dim H < +oo,alors Best borné(i.e. I'image
par B de tout borné est un borné). Cette propr1été n'est pas valab1e en
dirll::ms1on inf1n1e comme 1e montre I' exemple suvant dû à Rockafellar
so H = 1 2 = {a = (a 1 ,a 2 ,...a ,...) ; l!a !2 < +oo} On pose
1 n n
(Ba) = !a I n - a. I1 est mméd:;.at que Best max1mal monotone unvoque
n n n
aV8C O(B) = H ; Best borné sur 1a boule {a ja!  1} et n'est pas borné
sur 1a boule {a !al  r } dès que r > 1.
REMARQUE 2.1.
SUppOSOGS dm H < +00 et soit 8 max1mal monotone.
A1ùrs O(B) est "oresque convexe", i.e. o(B) est convexe et DeB) cont1ent
1'lntér1eur relatif de O(B). En effet on peut toujours
et cons1dérer l'espace Ho engendré par o(B). Posant Bo
a o(B) = D(B ) et Best max1mal monotone dans H avec
o 0 0
supposer que a E BO
= B n (H x H ), on
o 0
Int conv O(B ) j ø
o
O'autre part, l est a:;.sé de montrer directement (sans
ut11ser 1a propos:;.tion 2.9) que Best borné sur tout compact contenu dans
Int D(B), d'où :;.1 résulte que Int O(B) Int O(B). En effet raisonnons par
l'absurde et supposons qu'il existe x 8 O(B) tel que x  x avec x E Iot 0(8)
n n
et Y E e x avec 1 Y I  +00 . Après extract:;.on d' une sous-su te, pn peut
n n n

34
Opérateurs maximaux monotones
Y n
supposer que  + Z avec Izi = 1. II eXlste t > 0 tel que.
_IYnl
x + tz E D(B). Pour tout n et tout À > 0, on a
/Y n BÀ(x+tz) B
\ -  ,x - J (x+tz))  O. D'où en faisant n + +,
IYnl IYnl n À
PU1S À + 0, on obtient (z, -tzJ  0 ; ce qui est absurde.
6 - SOMME D'OPERATEURS MAXIMAUX MONOTONES.
Etant donnés A et B maXlmaux monotones l'opérateur A + B
est monotone mais en général, 11 n'est pas maxlmal monotone (puisque son
domalne peut être vide). II Y a un cas simple où A + B est encore maxlmal
monotone :
LE' ,E 2.4.
Soient A un opérateur maximal monotone et B un opérateur
monotone lipschltzien de H dans H. Alors A + Best maxlmal monotone.
La proprlété "A est maxlmal monotone étant lnvarlante par
homothétla de rapport À > 0, on peut toujours supposer que la constante de
llpschl tz de Best < 1. SOl t Y E H ; I' équation x + Ax + Bx  y est
équlvalente à x = (I + ÀAJ- 1 Cy-Bx). Or l'application x  (I + ÀAJ- 1 (y-Bx)
est une contractlon strlcte et admet done un pOlnt flxa.
Dans la sUlte A et B déslgnent des opérateurs maXlmaux
monotones, de résolvantesJ et J d'approxlmations Yoslda A À et B À , On se
proose d'établir quelques condltlons suffisantes, pour que A + B SOlt maxlmal
monoone. Etant donné y E H, on cherche donc à résoudre l'équatlon
y E x + Ax + Bx. La méthode conslste à aproxlmer cette équatlon par l'équation
y E x À + AX À + BÀx À (x À eXlste d'après Ie lemme 2.4). Neus commençons par un
résJitat général.
THEOEME 2.4.
Avec. lu i'!.o.t.a..t.<.On..6 pJtéc.é.dentu, y E R (I +A+BJ .61.. et .óeu.temeYLt .6
BÀx À eAt bOi'!.é lO4.6que À + O. Van.ó ee c.a.ó x À + X .6oon de y E X + Ax+Bx
eX. BÀXÀ + T) oü. 1') ut l'élémen:t de n OJune m.i.i'Úmale du eonve.xe 6eJLmé Bxt")(y-x-Ax)
Ve p.fu.ó on a l t u.tima:tton 1 x À -x!  j À 11111 B À x À -T) I = 0 (5) ..
REMARQUE 2.2.
,
A et B ne jouent pas un rOle symétrique. Dans les applicatlons
11 est important de cholsir l'òpérateûr que l'on régularlse de manière à
obteolr une estimation sur 8 À x À le plus simplement possible. Notons aUSSl que

Opérateurs maxlmaux monotones
35
si y e x + Ax + Bx J mais par contre y-x peut s'écrre en général de
multples façons comme somme  + n avec  e Ax . 0 t Bx.
DEMONSTRATION DU THEOREME 2.4
Supposons d'abord que y t RCI+A+B). Posons y t x + Ax + Bx.
11 élément de norme mnmale du cOnvexe fermé Bx (\(y-x-Ax}, ;=y-x-O e Ax,
À = Y - x A - ÀXA.
On a IXA-xI2+(A-;#XÀ-x) + (BÀxA-n. x À - x) = O.
En écrvant xÀ-x : (XÀ-JXÀ) + (XÀ-X) et en tilisant la monotone de
A e B. on obtent (BÀxÀ-n, xÀ-JÀx A )  O. Done (BAxA-O,ÀBÀX A )  0 et par
su te I BÀX À I  10 I. Sot Àn-+ 0 tel que B A À  11 1 ,
n n
Comn.a IxA-x12  -CB À x À -11 . A BAX A )  Tl12 , on en dédut que x À -+ X et
j x A -+ X pU1sque IX À - JxAI  Àlnl. Enfin À  y - x - n 1 = 1 avec
n
Tl 1 e Bx , 1 e Ax (car A et B sont fermés dans Hx Hw). L'inégalité 1111111
et a relation 11 1 e Bx r) Cy-x-Ax) mplquent que 11 = 11 1 . L'un1c1té de la
l1mite montre que BAx A  11 quand À -+ 0 et compte tenu de l'estimaton
IBÀ^ÀI  In\ ' on conclut que BÀx À -+ 11.
Monons maintenant que la condion est suff1sante.
Posons À = y - x À - BÀx A ; on a
IXA-x12 + (A-,XA-X)+(BAXA-BX.XÀ-x) = 0
En ut1lsant 1a monotone de A et B a1nsi que la relaton
B B
xÀ-x = (A BAx À - BX) + (JAx A - Jx) , 11 vient
IXÀ-^;2  IBÀxÀ-Bx1 IA BAx À -  Bxvl.
Par 5u1te X À est une sute de Cauchy ; S01t x À -+ X quand A -+ O. SAxAe par
SU1 te, À étant bornés 11 exste An -+ 0 tel qu e SA x A  110 · À  E;o
n n n
avec  e Ax
o
et
Y = X +  + 11 . Comme JB À x -+ x,
004
on a 11 e 8x et
o
done y e R(I + A + B).
Nous en dédusons divers coro11ares.

36
Opérateurs maximaux monotones
COROLLAIRE 2.6.
So;ent A et B deux opérateurs max;maux monotones tels que
B soit dominé par A, c 'est à dire D(A) Co D(B)" et
i1 existe k < 1 et une fonction continue w : fR +IR tels que
IBoxl  klAoxf + wClxl) pour tout x  D(A).
Alors A + B est maximal monotone.
COROLLAIRE 2;7.
Soient A et B deux opérateurs maximaux monotones. Si
(Int D(A)) fì D(B) F ø ,alors A + B est maximal monotone. et
--
D(A) "D(B) = D(A) " D(B).
On utlsera dans 1a démonstraton le lemme sU1vant
LEI'ME 2.5.
Soient A et B maxmaux monotones avec OCA)(ì OCB)  ø.
A10rs pour tout y e H, {X À } solut10n de y e xÀ + XÀ + BÀx À demeure borné.
En effet sot Xo e OCA)f\OCS) et sot YÀ e Xo + Ax o + BÀx o .
Par monotone de A et SÀ on a IxÀ-xol2  CY-YÀ'xÀ-x o )' et donc
IxÀ-xol  IYÀ-yl qu est borné pusque IBÀXol  IBoXol
DEI'40NSTRATION DU COROLLAIRE 2.6 .
On a IAXÀI  lyl + IxÀI + ISÀxÀI  JyJ + IxÀI + IBoxÀI
 Iyl + IxÀI + klAoxÀ' + wC!xÀI).
Par sute Iyl + IxÀI + wC1xÀI)
!AoxÀI   C Cd'après le lemme 2.5) et
1 - k
dor,c ISÀxÀI  IsoxÀI  k!AoxÀI + wcjxÀI) est borné.
DEr18NSTRATION DU COROLLAIRE 2.7.
Par translat10ns on peut se ramener au cas où
o e CInt OCA))r) OCB) et 0 e S o. O'après la proposton 2.9, 11 exste
p> 0 et M tels que 1a boule { ; II .p} sot contenue dans DCA) et que
Inl  M pour tout [,n] e A avec II .f. Soient [u,v] e A , [:n] e A
avec II p. On a Cv-n, u-) O; d'où Cv,)  (v,u) + Mclul+f)
et par suite plvl  (v,u) + Mcful +1'). Prenant U = x À et
v = y - BÀx À - x À e AX À ' on a f'ly-sÀxÀ -X À 1  Cy-BÀx À - X À ,x À ) ... MC IX À I + f )

Opérateurs maxlmaux monotones
37
Or (BÀxÀ,x À )  0 (par monotone de SÀ en x À et 0) } et done
f I B À x À I  .f I y I + f I x À I + I y-x À I I x À I + M cf x À I + f ) ·
Par eonséquent IBÀxÀI est borné.
S01t x e D(A)  0(8) J e > 0 étant donné, l exste x' e lnt D(A) tel que
Ix'-xl  e (ef proposition 2.9). Alors JX' e D(A) () O(B) pour À assez petit.
O'autre part IJx' - xl  IJx' - Jx l + IJx-xl  IX'-xl + IJx-xl  2e
dès que À est assez pett. Done x e D(AJ f"'\ 0(8).
En parteuler A + B est maximal monotone si A est monotone
hémicontinu défini sur H et si B est maximal monotone.
Indiquons enfin un cas où A + B est maxmal monotone ben
qu l'un des deux opérateurs ne le sot pas.
PR0?OSITION 2.10
Soit A un opérateur maximal monotone. Soient D(B) un convexe
de H et B un opérateur monotone hem; continu (un;voque)de D(B) dans H. On
Su!.pose que D(A)c D(B) et i1 existe k < 1 et une fonction continue w tels
qu IBxl  klAoxl + w(lxt} pour tout x e D(A).
Alcrs A + B est maximal monoone.
Etant donné un eonvexe C, on désgne par I la fonetion
C
1noieatriee de C. i.e.
IC(x) · [
s x e C
81 X i C

Sot 8 un prolongement maxmal monotone de B. Best dom1né par B et done
.,....
(el olla1re 2.7) A + B est maximal monotone. Posons C = O(B) et montrons
--
qUtJ' pour tout x e O(B), 8x c Bx + aI (x) Cef exemple 2.1.4. pour la défln1tior
C ,-
de âI ). En effe sot x e D(B) et z e Bx ; on a (By-z, y-x) ? 0 Vy e J(S) ;
C
en parteul1er pour y = Yt = (1-t)x + tu avec t e ]0,1[ et u e D(B), on
obtent (8Yt-Z' u-x)  O. D'où, à la l1mte quand t  0, (Bx-z, u-x)  a
Vu e OCB) et done Vu e C. Par suite z-Bx e aT (x). On a alors établ1 que
C
A + B c:A + B + aIc } or A + al c =_A puisque A + arC est un prolongement
monotone de A. Par eonséquent A + B = A + B.

38
Opérateurs maxlmaux monotones
7 - OPERATEURS CYCLIQUEMENT MONOTONES
DEFINITION 2.5.
On dit qu'un opérateur A de H est eyeliquement monotone 51

pour touts suite cyclque x IX 1 ,..'ÞX = x de DCA) at toute sU1te y. E Ax.
non 0 1. 1.
 = 1,2 1 ...,n on a l (x -x 1'Y.)  O.
i=1  1- J.
I1 est ela1r que tout opérateur eyeliquement monotone est
monotone mais l'inverse est évidemment faux. Sot  une fonet1on eonvexe
propre de H dans ]-00, + ,aIors Ie sous-dfférentiel de df de ",(cf example
2.3.4.) est eyelquement monotone. En effet s01ent x ,x 1 '."'x = x et
o n 0
Y 1 C ô'P (Xi)'  = 1,2 p oo n ;'fétant propre, on a'1i(x1.) < +00 et
;x 1 ) -j(x )  (y ,x 1 -x.J, 1 = 1,2 ...,n. Par addition on obtent
n 1- r   1.- 1./
\ (y,x 1 -X.) < O.
l.  1- 1
1.=1
En fat tout opérateur eycl1.quement monotone admet un
prolongement de 1a forme of :
THCEME 2.5.
Sod A un opêJta.te.uJL. monotone. AtOM A ut c.yc..U.quement
mo note ne ,61.. e;t ,6 e.ulem e.nt ,61.. -U.. e.w:te. u.ne. 60 ncüo n c.o nvexe pM rILe. ,6. c.. i. 'f
de. H daJ1-ð J-oo, +00] te1..te. que Ac d'P .
5i OCA) est v1de, 1e résultat est tr1val. Soit done
[xo'YO]  A, et pour tout x  H posons :
T lX ) = sup{ex-xn'Yn} + (X n -X n - 1 'Yn-1)+ ... +(x 1 -X O 'YO)} 1
1e Sup étant pr1.s sur l'ensemble des sutes fnes
L X 1 Y1] , [x 2 ,y 2 1, ... [x n 'Ynl  A;'f étant une enveloppe supéreure de
forC1.ons affnes eontnues est eonvexe s.e.1.. Comme A est eyelquemen
mor.otone, 'P(x o )  a (par SU1.te '('(x o ) = 0) et done 'I' est propre. S01t
[x,yl  A ; pour montrer que [x,y]   11 suffit de vér1.fier que pour toute
suite fn1.e [x 1 ,y 1 ], [x 2 ,y 2 ], '0' [Xn'Yn]  A et pour tout   H, on a
(X-n'Yn) + (x n -x n - 1 'Yn-1) + 0.. + (x 1 -X O 'Y O )  f()-(-x,y),
Or eeei est exact, par défniten même de .
Ut11sant 1e résultat de 1'exemple 2.3.40' nous avens la
earaetérsatien SU1.vante :

Opérateurs max,maux monotones
39
COROLLA IRE 2.8.
Soit A un opêrateur maximal monotone tel que A O soit
cyc1iquement monotone. Alors A est cycliquement montone.
En effet, il existe une fonetion  convexe s.e.i. propre
sur H telle que A O C d'f . On a A O C A O + aI OCA7 c. Ô \f+ ôI 0 (A)C. dCf+I DCAr ø'J!
où  est une fonction convexe s.c.i. propre, et D(a)C O(^) . On déduit alors
du corollaire 2.2. que A = a.
A = d) J
En effet
n
\ (A À X x.-x 1 )
l  J. -
1=1
Soit c.p une fonction convexe s.c.. propre sur H. Posons
alors 1a régular1sée YosJ.da A À de A est aussi cyeliquement monotone.
n
= L (AÀXi,x-JÀXJ. + JÀXi-JÀxi-1+JÀxi-1-xi-1)
J.=1
n
 Ai1 (AÀxJ.AÀXi-AÀXi_1)  0
La proposJ.ton suvante précJ.se la fonetJ.on fA telle Que ^À = ôfÀ
PROPOSITION 2.11
Soit Une fonction convexe s.c.;. propre. Posant
- -
A :: 'ð'P , on a D(A) C 0('1') C D(f) = D(A).
Soit 'fA (x) = Min { À ly-xI2 + 'f{y)} )défini pour tout xe:H et À>O.
ye:H
A ì tJ}"S fÀ (x) =  IA À x I 2 + 'f'( J À x) pour tout x e: H ;
À est une fonction convexe, différentiable-Fréchet et dfÀ = A À .
De plus 'P À (x) t 'f->(x) quand ). '" 0 pour tout x e: H.
On 5ait déJà (cf lemme 2.1) que la foneton
y ," ;À I y-x F- + ".J(y) atteJ.nt son minimum en jÀ x. Soient x  y e: H on a
'f-'(J À Y ) -f(J À x)  (A À x, Jy-JÀ x) puisque A À x e: d'PeJÀX). Done
'fÀ (y)- (x)  1 UAÀyr'-IAÀxI2 + 2(AÀX-Ai'yÞAÀX + (AÀxy-x), soit
À(Y)-Yi(X)-(AÀXÞY-X)  IA À y- A A x )2  O.
En permutant x et y on obtient
À(y)-(x)-(^ÀxÞy-x)  (AÀy-AÀXY-X)  t ly-xl 2 j done
IÀ(Y)-À(X)-(AÀxþy-x)f  I ly-xl 2 at par conséquent1À est dfférentiable-
Fréehet de différentielle A À .

40
Opérateurs maximaux monotones
d
La fonction t  dt 'PÀCtx + C1-tJy) = (ÀCtx +(-t)y,x-y) est crOlssante
en , grâce à la monoonie de A À . II en résulte que À est convexe.
Par construction 'fÀ crolt lors À décroit et \fÀ (x)  ,pC x). D'autre part
'P\(x) 'P(JÀx) J donc 51 x 8 DCA), on a f{x)  11m lnf 'fCJÀx)  11m lnffÀCx)
,. À À
 11m sup 'f\ Cx)  'P(x), pUJ.sque fest s.c.i. et JÀx x. Si x  õfAj, on a
À
ÀIAÀxl2 = IAÀxl Ix-JÀx!  +00 pUlsque IAÀx!  +00 et Ix-JÀxl  dlstCX. o(A) )
donc À(x)oo x) = +00. II en résu1te par all leurs que oC)c:o(A) et
par suite oCf) = o(A).
COFOLLAIRE 2.10
Soient fet  des fonctions convexes s.c.i. proores. Si
a'P= a alors i1 existe une constante C te11e que If =  + C
En effet, avec les notations précédentes, aÀ  ðÀ J d'où
pUlsque OÀ et À sont différentlab1es-Fréchet, À - À = CA. SOlt
x 8 OCap) = o(a) J on a CÀ=IÀCX)_À(x)  (x) - (x) = C. Alors pour tout
y 8 rl, rÀCy) = À(Y) + C À lmplique à la limJ.tefCy) = (y) + C.
PROPOSITION 2.12
Soit  une fonction convexe s.c.;. propre. Alors
In D(f) = Int D(a'P) et'f est continue en x 8 D(f) si et seulement si
x 8 Int D('f').
Supposons que x 8 Int DC?) et montrons que fest contlnue
en x. PUlsque "? est s.C.l.; 11 suffit de montrer que pour 8 > 0 flXé,
{Ç E: H J f'Cx+f;)  ..pC x) + 8} est un vOlslnage de O. Ct}!Tsldérons
C - {ç: 8 H ;'f'Cx+t,:) 'PCx) + e: et fex-t,:) $'fex) + 8}. C est un convexe
fa ,'llé, symétrlque et absorbant pUlsCjue t t-+ 'fC x+tt,:) est conV8xe, flnle et
do.-'c contlnue all vOlslnage de O. 0' après Ie théorème de BaJ.re, C est un
voislnage de 0, et à fortlorl {t,: 8 H J fCx+t,:)  fex) + 8}.
Si - est contlnue en x 8 D(f), 11 est clalr que x 8 Int OCf).
Soi t alors U un VOlslnage ouvert convexe de x contenu dans 0 ('fJ. 0' après ce
quJ. précède, f est continue sur Uet donc {Ct,:.t) 8 H xtR J t,: 8 u ,'fCE;.) < t}
est un ouvert convexe de H xJR. En séparant cet ouvert convexe du point
Cx ,'rCx)) par Ie théorème de Hahn Banach, on vOlt que x 8 DCa'!'). Done
Int DCf)C: oCa) J ce qui acbève 1a démonstratJ.on.

Opérateurs maximaux monotones
41
COROLLAIRE 2.11
So;ent 'et  des fonctions convexes s.c.;. propres sur
H. SiD ('f) " In t 0 ( ) f ø) a 1 0 rs a + ) :: dt + a 
Dans Ie cas général si DC'f) n 0('1;1) i ø l f+ est une
fonctlon convexe s. c .1. propre et 11 est alsé de vérl fler que df+ a c a 4>+) .
II Y a éga11té Sl + a est maxlma1 monotone. C'est Ie cas lci l puisque
d'après la prOposltlon 2.12 1 D(af) I) Int D(a) i ø ; on peut donc appl1quer
Ie eorol1aire 2.7.
-1
II est lntéressant de noter que () est Ie sous dlférentle1
de 1a fonetlon convexe eonjuguée de f définle sur H par
'P( x) = Sup {( X I y) - 'f (y) }
YE:H
En effet l i1 est cls1r que kest une fonctlon convexe
s.C.l. propre (car est mlnorée par üne fonction afflne continue). II
-1.. -1
suffit a10rs de montrer que (at) c: ð . SOlt x E: () (y); on a
y E: di(x) et done
(v) -(x)  (YIV-X) pour tout v E: H
fit '
Par suite fCy) = (y,x) - (x) ; d'où pour tout W E: HI
fI' *
..p ( W ) - 'f (y) ?..... (w I x) -..pC x ) - ( y , x ) + i' ( x)  (x I W - y) .
Par conséquent x E: y).
41"
On vérlfle aU5S1 alsément que  =; pour une étude détalllée de 1a
théorie des fonetlons convexes conjuguées l on pourra consulter MOREAU [2] 1
t ROCf(AFELLAR [6]
La surjectlvlté de alP est étroltement llée aux propriétés
de'p. Notone d'abord 1a caractérisation SUlvante :
PROPOSITION 2.13
Soit f une fonction convexe s.c.i. propre. Alors df
est surjectif si et seulement si
1im {f(Y) - (x,y)} :: +00 pour tout x E: H.
Iy I +roo
La eondltlon est évidemment sufflsante, car alors
lnf {iCyJ-(xly)} est atteint en un pOlnt Yo E: HI et pour tout y E: H,
ye:H
(Y) - (x,y) (y )-(x,y ) ; d'Où x E: a(y ). lnversement supposons que
ì 0 0 J 0
df SOlt surjectlf et qu'i1 existe une sUlte y E: H avec Iy I + +00 et
n n
(Yn) - (x'Yn) majoré. II eXlste alors Z E: H tel que (z,Y n ) ne sOlt pas
majoré et i1 existe  E: D() Yel que x + Z e: a(). On aural alors

42
Opérateurs maximaux monotones
'P(Y n ) () + (x+z# Y -) et done (z,y ) serat majoré, ce qui est absurde.
n n .
11 est surprenant de noter que 1a coercvité de  est
-1
une condt10n nécessaire et suffisante pour que () S01t borné.
PROPOSITION 2.14
Soit'f une f01'ction convexe s.c.i. propre et soit
A = d'f . Les propri étés sui vantes sont équi va 1 entes
(i)
(i)
(iii)
( iv)
(v)
(vi)
1im
Ixl+t-oo
xe:D()
.
=+oo
Ixi
pour tout Xo e: D()
(y t X -xol = +00
Ixl
1im
Ix 1++ 00
(x ,y] e: A
;1 existe Xo e: H
1im
Ix 1++00
xe:D(A)
(AOxtx-x o )
=+00
Ixl
tel que
1im IAoxl = +00
Ixl+i-oo
xe:D(A)
A-I est un opérateur borné
11 existe un opérateur B partout définit univoque et borné
tel que B c.. A-I.
Compte tenu de l'ialité (x)f(xo)+(Y'x-xo)' on a
(1) (11). Il est cla1r que (ii) (i11), et (1i1) eiv) puisque
(Ax,x-Xo) Ix I
 IA O xl(1+  ).
Ixl Ix I
Enf1n (1V) >(v) est immédiat, et (v) (vi) résulte du théorème 2.3.
Montrons que e V1) .:::ÿ' () J
peut se ramener au cas où
{x e: 0('1') J 'f'ex)  M I x j}
après additon à ..p d 'une fonction aff1ne, on
f a sur H. Pour tout M# l'ensemble
est borné par 2C où C = Sup Isy!. En effet,
IYI=2M
on a

Opérateurs maxlmaux monotones 4:
(x.Y)   + IByl   + C . et par conséquent Ix I   + C .
J y I 2M 2
soit }xl  2C.
REMARQUE 2.3.
-1
Lorsque dm H < +co , A surjectif  A est un opérateur
 
borné #' lm = +co OC'f) = H.
I x  +toco I x I
XE:O (f)
Cette proprété n'est plus valable en dimension infnie.
En effet. consdérons sur H = 1 2 = {a=(a 1 .8 2 ....a ...); Ela 1 2 <+co}
 1 1 n n
la fonction 'pCa) = L n+1 lanl n + . est convexe. contnue. et A = a '
n:1 1
défn par (Aa) = la ,n- a est localement borné et n'est
-1 n  n n -1
Donc 8 = A =  est surjectf mais 8 n'est pas
ne tend pas vers +co lorsque Ixl +toco
pas borné.
,-,>*( x)
borné et donc 
I x I
EXEMPLES D'OPERATEURS CYCLIQUEMENT MONOTONES
EXEMPLE 2.8.1. Graohes monotones dans R 2
Tout opérateur monotone delR
- nous drons pluot graphe monotone danslR 2 - est cycliquement monotone.
En effet. soit ß un graphe monotone dans 2 et soit xo' x 1 . ...x n = Xo
une sute cyclique de O(ß). On peut supposer que Xo < x 1 < ... < x n - 1 '
et sot y E: ß(x).  = 1.2,...,n; d'où Y n  Y 1  Y2 < ...  Yn-1
n n
et par suite  (x.-x 1 )y =  (x.-x 1 )(Y -y )  O.
L  -  L  -  n
=1 =1
Supposons maintenant que ß sot un opérateur maximal
mor.otone delR l exste donc une fonctDn j convexe s.c.. propre sur
IR telle que ß = aj. On a alors ja,bLC- O(ß) C O(j) c.. la,bJ avec
-co  a  b +co . L'applicaton x E: D (ß)  ßO(x) E:,R est cro1ssante.
et, pour tout x E: ]a.bL . ßx = [ßO(x-), ßO(x+)] ; si a E: Des) (resp b E: O(ß))
alors Sa = ]-co.SO(a+)] (resp. ßb = [SO(b-). +co[). Enfn. sot Xo E: D(S),
alors j(x) = jex o ) + IX ßO(s) ds pour tout x E:[a.b] et j(x) = +co pour
x t [a,bJ (il suffit de a vérfier que ß C aj).

44
Opérateurs maxlmaux monotones
Les Tgures ci-après représentent les graphe de 13, ß:vj ,jÀ
relatfs à dvers exemples.
.flR r = a (0 r = a
TJ. g ure 1 ß(r) j (r) =l+Q)
",ø r , a r , a
ßÀ(r)
r
= r
r 2
j À (r) = 2À
fgure 2 ß(r) kr (k) j(r) kr 2
= =-
12
ßÀ(r) kr jÀ (r) kr 2
-- =
1+À 2(1+À)
t ø Irl > 1 .{: Irl  1
fgure 3 ß(r) = j-Q),O] r = -1 j (r) Irl
o Irl < 1 > 1
[0 , +Q)[ r = + 1
t1 (r+1)2 r  -1
r  -1 2À
ßÀ(r) = a Irl < 1 jÀ (r) = a Irl < 1
r-1 r  1
-r- (r-1 ) 2
2À r  1
t 1 r < a
figlJre 4 ß(r) - L-1, +D r = a j (r) Irl
1.1 r > 0
( -1 r  -À À r  -À
-r2"
ßÀ(r) =1 f Irl < À jÀ (r) Irl < À
l +1 r  À .....
r  À

Operateurs maxlmaux monotones
fl.gure 1
45
 -
t 1
, .
t .
. .
t ,
, ,
, ,
\ ,
\ ,
, ,

,
I
I
I
I
I
I
"
I
I
I
,
,
,
/'
If'.
I
I
fl.gure 2
figure 3
 . <4:"-
1 . Ao. .
, . J
,
, \ I
, \ I
I ,
I , I
, \
, , J
, I
I ,
I \ I
, ,

,
I
I
,
f
,
I
I
,
I
,
f
,
+-,
I
,
I
4--
,
,
,

,

,
.,.
'>
figure 
I
,
,
,
/

46
Opérateurs maximaux monotones
l^EMPL 2.8.2. SOUS différentiel de la fonction indicatrice d'un convexe fermé
Soit C un convexe fermé non vide de H. On appelle fonction
ndcatrice Ie. Lie C la foncton convexe S.C.l. propre défine par
{.: S x E; c
I c (x1 =
Sl x t C
Alors aIC(x) .= {z E; H ; (z,y-x)  0 'vJy E; C}; aIC(x) est un
cône convexe fermé de sommet 0 que l'on peut préciser géométrquement
fi x t C , aIcex) = ø
s x E; Int C , aIC(x) = {oJ
s x e; Frontère C, aI (x) est Ie cône normal extéreur à c.
C
On peut noter que aIc(x) est Ie cône polaire du cône projetant
ITC(x) = U À (C-x)
À>O
En effet, i1 est lmmédiat que si Z e; IC(X)' alors
(z,u)  0 pur tout u E; TIC(x) et donc aIc(x)  Lrrc(x J nversement s
Z E; [ITcex)] , on a (z,u)  a pour tout u e; ITc(x) et en partculier
(z,y-x)  a pour tout y e; c.
-1
La résolvante (I + ÀaI C ) de dIc est la projection sur
-1
C car y = (I + ÀaI e ) x 4 x-y e; À dIC(Y)  (x-y,z-y)  0 pour tout
z E; C  Y = Pro j C x .
L' approx"mat1on Yos1da (aIC)tX 0 Ì(x-PrOjcxJ est Ie
sous-différentel de la foncton (IC)À(x) = 2À!x-projcx\2.
On not era Ie len entre la méthode de pénalsation
(cf Lions L2 1 chap. 3.5) et l'approxmatkon Yo sid a qu consste à approcher
la solutlon u de l'néquaton variatlonnelle.
u E; C , (Au, v - u)  (f, v - u )
\Iv E; C
i . e . Au + a Ie ( u) .3 f
par l'équaton AU À + ICuÀ-ProjcuÀ) = f) .e. AuÀ+CaIC)ÀuÀ = f.
EXEMPLE 2.8.3. Opérateurs linéaires cycliquement monotones.
Sot A un opérateur lnéalre non borné (unvoque) maxmal
monotone, de dOMaine DCA) dense dans H.

Operateurs maxlmaux monotones
47
PROPOSITION 2.15
A est cycliquement monotone
Dans ce cas A:: a", avec
{ 1 Y2,'
\f>(x) = '2 IA xl 2
+00
si et seul ement si A --- = A.
sJ.
y
X E DCA )
aJ.lleurs
Supposons d' abord que A  = A ; i1 est claJ.r que \þ est
 I
convexe s.e.J.. propre (on utilJ.se Ie fait que 1e graphe de A est fermé).
Montrons que A C. ø'f; 11 suffJ.t de vérifier que pour tout u e DCA) et
jJ,
tout v E DCA ), on a
 1 1;
IA vl 2 - IIA':" U 1 2  (Au,v-u)
CecJ. est J.mmédiat puisque
 I AY.l, V 1 2 +  I A /2, U 1 2 ? (A u , v) = (A J. U, A '/", v) .
Inversement SJ. A est cyclJ.quement monotone, J.l existe une foncion  convexe
s.C.J.. propre sur H telle que A = a J comme D = AD, on peut toujours
supposer que (O) = o. AÀest la dJ.fférentielle-Fréchet de À et par sUJ.te
d
õt À(tu) = (AÀCtu),u) = tCAÀu,u). Done
Àu) = ÀCu) - À(O) = I CAÀu,u)t dt = (AÀU'U)
1 *'
Par dJ.fférentJ.stJ.on, on obtJ.ent aÀ = A À = Z(AÀ+A À ).
It' ... ....
II en résulte que A À = A À } d'ou l'on déduit que A = A
EXEMPLE 2.8.3 . Prolongement à Ll(S ; H)
Soit (S,G3 I) un espace mesuré posJ.tJ.f avec (S) < +00 et sOJ.t = Ll(S Þ H)
Pr-O?OSITION 2.16
Soit  une fonction
A :: ø'. Pour u e: 'ð-e, on pose
,
r J s'f ( u ( s ) ) dj.l ( s )
(u) = 1
..+<>>
convexe s.c.i. propre sur H et soit
si
'f(U) EL l (s)
.. a i 11 eu rs
Alors test convexe s.c.i. propre et øt coincide avec 1 'opêrateur Jt.
prolongement de A à at (dêfini à l'Exemple 2.1.3.). De plus
t À (u) = I s '1'\ (u ( s )) d ( s) ·

48
Opérateurs maxlmaux monotones
Il est elar que  est eonvexe et propre CD() eont1ent
les fonetJ.ons constantes à valeur dans 0 (If) ). Montrons que  est s. c. .
sot À elR et sot u e D(Ø) une sute te11e que u  u dans et Ø(u ) A.
n n n
On peut toujours supposer que u  u -p.p. sur S. Soient x  D(a f ) et
n 0
y e af(x ) ; 1a foncton (x) = (x) - (x ) -(y ,x-x ) est s.e.i. et
l'Jo 0 ,..",.., 0 0 0
'P  0 sur H. On a done 11m inf f(u n ) 'f (u) -p.p. sur S.
IV
D'autre part, 1a foncton Cu) est mesurab1e J i1 suffJ.t
pour ee1a (ef BourbakJ. [1]ehap. IV )5 Prop. 8) de montrer que pour tout
a l'ensemb1e {x e S ; f(U(x)) > a} est mesurab1e ; or l'ensemb1e
U = {z  H ; (z) > a} est ouvert et done l'ensemb1e {x  S ; u(x) e U}
es mesurab1e (ef Bourbak li]ehap. IV )5 Prop. 7)
II résu1te a10rs du lemme de Fatou que
  
Is (u(s))d1J(s)  Islm inf 'f(unCs))d(s)  lim inf f s 'f'CU n (S))d1J(S)  A
On en dédut que Ø(u)  A.
Montrons que u caø (d'où q= aø). S1 v eJtu, on a v(s)  Au(s) -p.p.
done pour tout w  D(Ø) on a -p.p,
'f'(w(s)) -'f(uCs))  (v(s), w(s)-u(s)).
II en résul te que 'P(u) eLL (S), et par 1ntégraton on obtient
øew) - ØCu)  fsCvCs),wCsJ-uCS))d1JeS).
Done v e aø(u). Enfn
ØA(u) = 1v\uI2 + ØCI+AJtJJ) =  fsIAAuCs)!l dCs) + fs'P(JÀU(S))d(S)
= Is 'fA Cu(s) )dCs).
9 - PERTURBATIONS CYCLIQUEMENT MONOTONES
Le critère suvant est très utile dans les appleatons
PROPOSITION 2.1 7
Soit A un opérateur maximal monotone de H et soit .f une
fonction convexe s.c.i. propre. On suppose qu';l existe une constante C
tel1e que
'y{(I+AA)-l x (x) + CA pour tout x e H et tout À > O.
Alors A + ao/ est maximal monotone et on a
IAoxl 1(A+ a.p)Oxl + Æ pou r to ut x E: D(A) f') D(df)
De plus D(A+df> = D(A)íì D(df) = D(A)r1 D(f).

Opérateurs maximaux monotones
49
En effet, sot y e H et soit x À 1a soluton de l'équation
y g xÀ + dYXX À ) + AÀx À . On a a10rs
'P() -xÀ)  (y-AÀxÀ-x À ' -xÀ) , pour tout   H.
Reporant dans eette 1néquaton
-1
 = (I+ÀAJ xÀ
on a
CÀ  (y-AÀxÀ-x À ' -À AÀx À ) de sorte que
IA À x À I2  ly-xÀI IAÀxÀI + C et IAÀxÀI  !y-xÀ( + Ië.
O'autre part, fixant o e D(A)r) DCi]' on a
o)-yxxÀ) ? Cy-AÀxÀ-x À , o-xÀ) ;
II en résu1te que IXÀI, et par/sute IAÀxÀI sont bornés. On eonelut à
l'ade du théorème 2.4. que A + ðf est maximal monotone.
pOúr x  D(Øp) et Z e dfCx) on a
-1 -1
'f'( (I+ÀAJ x) - 'f(x)  Cz, CI+ÀAJ x-x) et done ÀC  (z,-ÀAÀx).
Par eonséquent s x e D(A)" D(), on a (AOx,z)  -C pour tout z  dfCx).
Sot alors f = CA+df)Ox ; f = u+v avec u E Ax et v  df\XJ.
On a (AOx,fJ = CAOx,u) + (AOx,v)  (A o xI 2 -c ; d'où l'on dédut que
I A 0 x I  I f I + lë.
Enfn l est clair qu e D( A) Iì D( df) C. DCA) () O Cf)'
Mont d'd que D(A) 1\ OC'f) C. DCA) n DC'fJ ; en effet sOJ.t
x  DCA) (\ OC'P) et sot u  DC'f) tel que u -+ X quand e -+ O.
-1  e
Alors x = CI+eA) u appartient à D(A) f\ D(J at vérife
I x -xl  Ix -CI+eA)-1 x ! + !CI+eAJ- 1 x-xl  lu -xl  I(I+A)-1x-xl ;
  e
done x -+ X quand e -+ O.
e
o'autre part, on a D(A) f\ oCf) C. o(A) It DCdf) ; en effet, SOJ.t
x  DèÃ)t\ DCf) et sot x la solution de l'équation
x + eCAx e + df(x)).3 X
(x E exste pusque A + d es maxmal monotone). On a
\j,(x)-"(x) > c x-xc - Y x-x) >. 1. I x-x 1 2 - CAox,x-x )
T , w ,.. e ' :7 e  
où y e Ax ; II en résulte qUE X -+ X quand e -+ O.
  
L'hypothèse fa1te à la proposJ.ton 2.17 est commode car
el1e est préservée par additon

50
Opérateurs maximaux monotones
PROPOSITION 2.18
So it f une fonction convexe s.c. i. pro pre et soient
Al et A 2 deux opérateurs maximaux monotones tels que Al + A soit maximal
monotone. On suppose que
'f'{Jlx)  'f(x) + CIÀ et 'f(JXx)  f{x) + C 2 À ;
alors JÀx) f(x) + (C 1 +C 2 )À pour tout x e H et tout À > 0 oQ
Jl = (I+ÀA1)-1 , JÀ = (I + ÀA)-l , J À = (I+À(A l +A 2 ))-1
En particulier Al + A2 + ay? est maximal monotone.
Sot  > 0 Þ et soit x la soluton de l'équaton
lJ
x e xlJ + À A1X + À A2lJx . On sait d'après Ie théorème 2.4., que
xlJ  JÀx quand lJ + O.
On a x e lJ x + À Alx + À(x ll -J 2 X ) c'est à dre
lJ lJ  lJ 
lJX + ÀJ 2 X
11 1.1
 xlJ
À+lJ
À
+-
À+
A1x

ou encore
x
lJ
= Jl
lJÀ
À+
1.1x + ÀJ 2 X
(  lJ
À+lJ
-0_. tout x fixé, l'applcaton z 
Jl
1.1À
À+
x + ÀJz
( À + lJ 11
transforme Ie convexe fermé
i<.. = { e H J Y ( )  'P (x) + À ( C 1 + C z) }
en lu même et est une contracton strcte. Donc son pont fxe x
11
appdrt1.ent à K. II en résul te que 1'(x1.1)  'f(x) + À (C 1 +C Z ). Passant à la
lmte quand lJ + 0, on obt1.ent f(JÀx) r(x) + À(C 1 +C Z ).
Dans Ie cas part1.culier où f= Ie est la foncton indcarce
d'un convexe fermé C, alors l'hypothèse faite à 1a proposition 2.17 s'écrit
-1
(I+ÀA) C C pour tout À > O. Nous revendrons sur cette propr1.été au  IV.4
.
en l1.aison avec l'étude du semi groupe engendré par -A.

Opérateurs maxlmaux monotones
PROPOSITION 2.19
Soit A un opérateur monotone fermé (i.e. le graphe de A
est fermé dans HxH ) vérifia nt
R(I + AA).:J conv D(A) pour tout A > 0
Alors D(A) est convexe et A + aI D(A) est 1 'u nique prolongement maximal
monotone de A ayant son domaine contenu dans D{A).
De plus pour tout x e DCA), on a
) 0 - 0
(A + aI O(A) = (conv Ax)  Ax
S ot A un prolongement maxma1 de A ayant son domaine
contenu dans C = conv DCA) (cf corollare 2.1). On,,8 A+aI C C. A+aI c = Ã.
L'nypothèse fa1te imp1que que pour tout x  C, [J x , AAX]  A.
 S01t Y  H et S01t Xx  C 1a S01ut10n de 1'équaton
x A + AXx A + alc(xA)Y. D'après 1e théorème 2.4 on sait que
,J -1
x A -+ x = (I+A) Y et AAXA -+n avec x + n + aI C (x)3y. Pusque
J x À -+ x, on a [x,n]  A et done x + Ax + alc(x) 3y. n a bien montré
que A + ôI C est max1ma1 monotone et ?ar sU1te A + aI c = A. Enfn
D(A) = D(Ã) et par conséquent O(A) est convexe.
A A
Soit x  D(A) J on a JÀx = JÀx -+ x quand À -+ 0
De plus AA X = AAx -+ AOx et comme A est fermé AOx  Ax.

CHAPITRE III - EQUATIONS D'EVOLUTION ASSOCIEES AUX OPERATEURS MONOTONE S
 du
1 . Résolutl.on de l'équatl.on -+ Au  0, u(O) = u
dt 0
2. Résolut1.on de l'équation du Au  f, u(O)
-+ = u
dt 0
notl.on de solutl.on faible.
3. Cas où A = aÿ.
4. Cas où Int D(A) # ø .
5. Comportement asymptotique .
6. Solutions périodl.ques 
7. Proprl.étés de convergence.
8. DJ.verses générall.satl.ons .

54
Equations d'évolutlon associées au x opérateurs monotones
du (
RESOLUTION DE L'EQUATION dt + Au  0, U 0) · U o
Soit H un espaee de Hilbert et soit A un opérateur maximal
monotone de H. Comme préeédemment , on désgne par J À = (I+ÀAJ- 1 la résol-
1
vante de A et par A À = rCI-JÀ) l'approx1maton Yos1da de A.
THEOREME 3.1
POWL i;cld. u o e: D (A), 1.1. e.x-i4.te. une. 60 nc.üo n u (t) de. [0, +00 (
daJ't,6 H , W'Úqu.e. Þ .te1i.e qu.e
(1)
(2)
u(t) e: DCA) po i;cut t > Q
u (t) U.t Up.6 c.fu,tzie.nne. .6WL [Q, +00 [ , i. e.
du cU6:búbu.Uo J't,6} e.t
II  II 00  I A 0 U a I
L (Q,+OOJ H)
du 00
dt e: L (0, +00; H) (a.u..ð
(3 )
 (t) + Au(t) .3 0
(i.e.  (t) e: Au(t)) p.p. .ðJO,+oo[
( 4)
u (0) = u
a
Ve plu..6 u véJÚÓie lu pJtOplÚé.tÛ .ðtúvc1ntU
(5) u a.dme.t en tout t e: L 0, +()()! une. dWvle à. dlt.olie. e.t
d+u [ .
dt (t) + A Ou (t) = 0 paWL .tout t e: 0, +00 [
(6) fA. óonc.twn t  AOu(tJ u.t c.ontÚw.e it dltolie. e.t la. 6oncUon
t t+- J A 0 u ( t) I u.t dlcJc.o-L6.ð ante.
(1) .6i u e.t û dûignent deux .l.o.t.uüOn6 de (1), (2), (3), on c1
lu(t) - û(t)1  !u(O) - ü(OJI paWL .told. t e: Lo,+oo[
REMARQUE 3.1.
Le théorème 3.1 est b1en connu lorsque A est I1néa1re
(tnéorème de Hille-Yos1da). On sait que la solution u(t) est alars de
classe C 1 sur [o,[ . I1 n'en est pas de méme dans 1e cas non linéaire
Considérons par exemple sur H =;R 1'opérateur
r
Ar = 1
+1
si
...
r > 0
[0,+1]
o
si
r = 0
r < 0
S1

Equations d'evolution assoclées aux opérateurs monotones
55
Alors la soluton correspondante u(t) du problème (1), (2), et (3) est
défnie par :
+
Cuo-tJ
u(t) =
f
\
U o
s u o
0
SJ. U < 0
0
REMARQUE 3.2.
La propriété (5) est assez surprenante et montre que la
secton A O de A joue un rôle fondamental. ParmJ. taus les choix offerts
(on a une équation multivoque   Au), 1e système "tend" à mnimser
sa vitesse ; l'équatJ.on (3) régJ.t des phénomènes paresseux !
Pour tout t > 0, l'applcation u  u(t) est une eontraeton
o
de D(A) dans D(A) ; on désigne par SCt) son prolongement (par continuté)
à DCA). On vérfJ.e aisément que SCt) défJ.nt un semJ. groupe contJ.nu de
contraetJ.ons sur OCA), clest à dire
(8)
S(t 1 +t 2 ) = S(t 1 ) S(t 2 )
t1,t2  Lo,+ø[ et S(O)
I
(9)
IJ.m !S(t)u -u !
t-+O 0 0
o pour tout
u  õëA'i
o
(10 )
!S(t)u -S(t)û I  Ju -û I Vu,û  DCA ), t  L o,+ø[
o 0 0 0 0 0
On dt que set) est 1e semJ. groupe engendré par -A .
DEONSTRATION DU THEOREME 3.1.
Gommençons par étab1ir (7))d ' où l'on dédut aussi 1'uncié
de la solution. 11 résulte de la monotonie de A que
(  (t) +  (t) , uet) -üCt))  0 p.p. sur ]o,+ø[,
c'e5t à dre
1 d I 1 2 ]
2" dt u(t) - û(t)  0 p.p. sur O,+ø[.
Done la foneton t  1u(t) - û(t)12 est décroJ.ssante.
EXISTENCE
Comme dans 1e cas lJ.néaJ.re, on consdère l'équatJ.on approehée
(11 )
dU À
+AÀuÀ=O
sur [O,+ø[,
u À (0) =
u ,
o
qui admet une solution de classe C 1 (car A À est lipsehJ.tzienJ. On a d'après
Ie théorème 1.6

56
Equations d'évolutlon assoclées aux opératéÜrs monotones
du du
IAÀuÀ(tJI = I dt X (t)1  I dt X (O)! II IAXUX(OJI :: IAÀUol  )Aouol
Montrons que u À est de Cauchy dans C ( (0  T] J HJ quand À  O.
En effet on a pour À > a
dUÀ dU 1l
- - - + A À u À - Au. 0
dt dt .  1l
et en multpliant par u À - u 1l ' il vient
1 d 2
2 dt 1u X- u ll' + (AÀu À - A1lU1luÀ-u1l) = o.
l.J I. c:;l. r t
U À -U ll = CUÀ-JÀuÀ)+(JÀuÀ-Jllu1l ) + (J1.1 u 1l- u ll) :: X AÀu X + JÀu x - J 1l u 1l - 1.1 A 1l u 1l J
appliquant la monotone de A en J À u À et JllUll on obtient
(AÀU À - A1lUlluÀ - uJ  (AXu À - A1lull ÀAÀu À - 1lAU)
 À I AX U À 1 2 + 111 All u 1l 1 2 - (À +1l J I A À u À I I A1l U 1l !
>,. -JA1lullll - *IAx U x 1 2
 - (À+1l) !AOUO!l
Par conséquent t luÀ-u1l12  t(À+1l) IAOUol2
et 1 U À (t) - U (t) I  .L l( x+llJt !Aou I.
1.1 fi 0
Quand X tend vers O u À converge uniformément vers u sur (OT] pour tout
T < + avec l'estmation
( 12)
lu À (tJ-uCtJ!  1- IÀt I Aou I
12 0
De même JÀu À converge uniformément vers U sur [OT]car
IJÀuÀ(t) - uÀCtJI  ÀIAÀUÀ(tJI  xlAouol.
On déduit de l'estmaton IAÀuÀ(tJI  IAool et de la propostion 2.5
que u(t) E D(A) pour tout t > a avec IAOu(tJI  IAoUol.
dUÀ 
Sot Àn  a tel que n converge fablement vers v dans LdCO,T;H) Cet donc
en partculer dans L 2 (O,TJH)J J on a alors (cf appendiceJ dÏ = v avec
II  " ex)  I A 0 u 0 I ·
L CO,TJHJ

Equatons d' évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
57
A plquant la propostion 2.5 à l'opérateur J1Cprolongement de A à L 2 CO,T;H);
p 1 [
cf, exemples 2.1.3 et 2.3.3.), on obtient v + Au O p.p. sur JO,T .
Soit to e[o,+oo[; la fonction t  uCt+t o ) est solution du problème (1), (2)
et (3) avec uCt o ) comme donnée ntale. On a done !AOuCt+t o )!  !AOu(t o )!
OU t > a et la fonction t I !AOu(t)[ est décroissante.
II reste à établir la contnuté à dro1te de la foncton t  AOu(t) ains1
que (5) ; on peut toujours se ramener au cas où t = O.
Soit t  a tel que AOuCt )   J on a  e Au et I]  JAOu o !. Par
n n a
conséquent  = AOu o et AOu(t)AOUo quand t  O. Comme de plus
!AOuCt)1 $ !Aouo' on a AOu(t)  AOu a quand t  O.
Soit E = {t e; JO,+oo[ J U est dérivable en t et  Ct) e Au(tJ} ; on sait
que Ie complémentare de E est néglgeable. Appliquant (2) en toCau leu
de 0) on a
lu(t +h)-uCt )1  hlAOu(t )1 pOL tout t > a et tout h > O. Oonc si t e; E,
o d a a dO a
on a I d (to)1  IAOu(t o ) 1 et par sute d (t ) + AOuCtoJ O. Intégrant cette
" l O t ' JO t [ r\ E b t . t uCt)-u( 09 1 f t A O u( s )d s = O.
ega  e sur , · 1 I on a en t - + t 0 +
d u
II en résulte que u est dérvable à droite en t = a et que  CO) + AOu o O.
REMARQUE 3.3
On fat les hypothèses du théorème 3.1., et soit t > O.
a
II est aisé de vérifier que AOuCt) est continu en t s et seulement Sl
a
!AOuCtJI est continu en to j dans ce cas u est dérvable en to' D'autre
part s A est univoque, la foncton t r+ Au (t) est contnue de [0, +00 [ dans
H fable et u est fablement dérvable sur JO, +00 [
Les sem-groupes engendrés par certanes classes d'opérateurs
maxmaux'monotones ant un effet régularisant sur la donnée initale i.e.
S{tJu e; DCA) pour tout u e; D(A) et tout t > O. Commençons par examiner Ie
a a
cas où A est Ie sous dfférentiel d'une foncton convexe.
THEO:\EME 3.2.
Soil. '-f une. 6onc.ti.on c.onve.x.e .ó. c..i. pJtoplte en H, .óoil.
A = dy et .óoil. Set) te. .óem.i. gltoupe e.ngendtté paJt -A .óWt õëA).
AtOM S(t)u E; OCA) pOWl. .tout u e DCA) e;t tout t > OJ de p..f.u.ó on a.
o a
(13) IAOS(tJu I  ]Aovl + - t 1lu -vI Vu e; D(A), "dv e; DCA), 'dt > a
a a a
Áu.bteme.nt dU, pOWt tout u E; 0 (A), .u. e;x-<..6te u.ne óonc.ti.on u.niqu.e u E; C ( (0, +oo[ ; H)
a
tette. qu.e. ufO) = u o .

58
Equations d'évolution associees au x opérateurs monotones
( 14)
uCt) E D(A)
pOUlt. toLLt t > 0
( 15) u (t) ut Up4c.hi..túenne .6U1t. [ô, +00 [ pOUlt. t;oLLt ô > 0  avec.
II  II 00  IAov) + t luo -vi \Jv E DCA) , 'r:Jô > 0
L Cô,+oo;H)
( 16) u adme:t en :touX t > 0 une dvée ã. dltolie e:t
+
tU Ct) + AOu(t) = 0
'Vt > 0
Ve plu.4
(11) la 6onc..ti.on t 1+ 'f(u (t)) -,ut c.onvex.e, déCltO-Í.6.6a.nte e:t Up.6c.hlizlenne
.óWL ;(;oLLt lnteJr.va.tte [ô, +00 [ , Ô > 0 e:t
: -pc u ( t)} = -I : u ( t Jj1 1ft > 0
Reprenons 1'approximaton Yosda
(18)  + A À u À = 0
uÀ(O) = U o
où A À = a\ (ef propositon 2.11)
défne par
"'J
Sot v E H fixé J on a 1ÀCu)-(v)  (AXv,u-v) et done 1a fonetion ix
.f X (u) = f X (u) - f"x (v) - (AX v , 1J - v)
^J
est eonvexe différentiab1e Fréehet , 'PX(u)  0
 -v
'f'x (v) = 0 et 3fx (u) = afx (u) - AX v.
'Vu E H,
L'équation (18) s'éerit alors
( 19)
duX ,.J
ëit + 'òfx (u) = -AX v
ESTIMATION DE L'ENERGIE ; on a
JÀ (v) - \f x (u X )  (a.fx (u À ), v-u X )
et done
AJ duX
fÀ(u À )  (+ AX V, v-u X )'
Par eonséquent
(20) fix(uX)dt  luo-vI2 - IUÀ(T)-vIL + f6(AXV'V-dt
Multp1ant 1'équation (19) par t (t) on obtient
du d rJ duX
tl dt X (t)1 2 + t dt 'fX(uÀ(t)) = -tCAxv, ëit Ct ))

Equations d'évolution associées aux opérateurs monotones
Sg
Par suite _
dUÀ 'V I T -J T dUÀ
I t'(t)12dt + T(uÀ(T))- O(uÀCt))dt · -fOCAÀV,(t))t dt
T dUÀ dv
:: - f OCA À v 'd't Ct ) -df)t dt
-TCAÀv, uÀ(T)-V) + f6CAÀV, uÀ-v) dt
I"V
Utlsant alors l'estimation (20) et le fat que À(uÀ(T))  0, il v1ent
du
(21) ftl dtÀ Ct)}2dt  Iuo-vl - IUÀ(T)-vI2 -TCAÀv,uÀCT)-v)
  T21AÀvl2 + Iuo-vll
" dUÀ
Comne par alleurs la foncton t  Ct) est décroissante, on a
1  CT)1  1 À Ct)1 pour taut t  T et done
du
T2I dtÀ CT)I.l  I T 2.I A À v l.l + tluo-vI2-
On en dédut que s1 v E DCA), alors
du
(22) IAÀu À (T) 1 = I dt À CT) I  lAovl + fluo -vi.
Enfn uÀ(T)  SCT)u o J en effet soit Û o g DCA) et sot Û x la soluton
correspondante de (18) avec donnée initiale û . On a
o
IUÀ(T)-SCTJuol  IUÀ(T)-ûÀCT)I + lOx(T)-SCT)ûol + ISCT)û o - SCT)uol
 21u -û I + IO A (T) - S(T)O I
o 0 0
Etant donné e > 0, on choisit 0 g DCA) tel que lu -û I < E/3
o 0 0
et pus AO > 0 assez pett pour que 10A(T)-S(T)ûol < E/3 s
(la démonstration du théorème 3.1 nous assure que ûX(T)  SCT)
À < À
o
o quand
o
À  0).
Passant à la limite dans (21) quand À  A, on voit que
on obtient (13).
11 nous reste à établr (17). Soit t  ô et so it h > 0
+
fCuCt+h)) - fCuCt))  -C : t U CtJ,uCt+h)-u(t))
at
SCT)u E DCA) et
o
on a
+
u(t)) - fCuCt+h))  -( tU (t+h),uCt)-uCt+h))

60
Equations d'evolutlon assoclées aux opérateurs monotones
Or

J dt (t+h)/ 
+
I d u
dt (t)1 
+
I s!...!! (ö) 1
dt
et
+
luCt+h)-uCt) 1  hl t u (ö) I
II en résu1te en parteuler que
+
IfCuCt+h))-fCuCt))I  hl tU (ö)l2.
et; feu) est done lipsehtzen sur [ö#+oo[ .
Par alleurs, on a
+ +
lim( (t) u(t+h) -u (t )) = I  (t) 1 2.
h dt ' h dt
+
d u
et comme la foncton t   (t) est continue à drote (théorème 3.1), on a
+ +
lm C tU Ct+h), u(t+)-UCt )) = / tU Ct)/2..
11+0
On en déduit que
1 ,... (u(t+h))- f< uCt))
m h
h+O
+
-I t u C t) 12.
Par conséquent la fonction t f(uCt)) est décroissante et convexe (puisque
+
t 'i(u) est crossante d'après Ie théorème 3.1).
RE:1ARQUE 3.4.
On fait 1es hypothèses du théorème 3.2 et on désgne par
ECAu(t)) l'espace affine fermé engendré par Au(t). Soit EOCAu(t)) la projection
de a sur E(AuCt)). On a alors
-  Ct) = AOuCt) = EO(Au(t)) p.p. sur Jo,+oo[
En effet, supposons que les fonctons t 1+ u(t) et t .... \fCuCt)) soient
d6rvables en t et sot f E AuCt ). On a a10rs
a 0
"pC v) - fC u C to))  (f, v-u C to) ) 'rJv E H.
Prenant en particulier v = uCt ! h)# h > 0, on obtent après divis10n par h
a
et passage à 1a 1imitequand   a
t 'fC u C to)) = C f ,  ( to)) = -I  (t 0) l.l
Autrement dit - dU Ct) est 1a projecton de a sur E(AuCt )).
dt 0 0
On peut précser Ie comportement de uCt) et de j(uCt))
au v01sinage de t = 0:

Equations d'évolutlon assoclees aux operateurs monotones
61
PROPOSITION 3.1 .
On fait les hypothèses du théorème 3.2.
Soit U o  D(A) . alors f(u)  Ll(O.Ò) et ;t (t)  L 2 (Q,ò;H) pour tout
Õ g ]O,+oo[ .
On a U o E D(l.f) si et seulement si  E L.t(O.ô;H) pour tout ô E JOt[
Dans ce cas u vérifie
'r(uJ-'f(u(t)) = J I%t-(s) 1 2 ds pour tout t ]O,+cø[
En parti cul ier si U o  D(f) t f(u(t)) t f(u o ) quand t 4- 0 et on a pour
tout t E] o,[
+ Iu )-p(u(t)) lu(t)-u I
l t U (t)) $ v_ et _ 0  lp(u o ) -f{u(t)).
a It It
Rappelons que 'I'ACu) = À lu-JÀuI2 +'PCJ).u). On déduit
alors de (20) à l'aide du lemme de Fatou que feu) E L 1 (0,ò). Il est immédat
r:- du 1 Õ
grâce à (21) que vt dt Ct) t L (0, )
Supposons maintenant que U o e DCf) et reprenons l'approxi-
mation (11). On a alors d
ô uÀ
'P). (u o ) - 'f). (u À (ò)) = fa lërtl2dt
Par suite d
õ u À
f(JÀuÀCõ)) + fo 1d't1.tdt 'fÀ(Uo)  f(u o )
Mais JÀuÀCö) + u(ò) quand À  0 et donc en passant à la lmite on a
du 2 Õ
dt E L (0, ;H) avec
(23)
\.O(u(õ)) + rÖ l dLJ I 1. d ()
I JO dt t  'f U o
du 2
Inversement supposons que dt  L CO,õJH). Grâce au théorème 3.2 on a
'PC u ( s)) = 'fC u (õ)) + f I  1 2 dt
pour a < s < Õ
Le second membre étant borné quand s  0, on en dédui t que U o E D (f)
et de plus
(24) 'fCu o )  'fCuCÕ)) + I 1  12dt
Comparant (23) et (24) on en déduit que

62
Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
'-r C u o ) - \f'( u C ô)) = I I  l.l dt
d'où J.l résulte que fCuCt)) t 'fCu o ) quand t i- O.
Par ailleurs on a
t d 1/2
luCt)-uel  I 1  Cs)ldS  It fa I d Cs)12dS = It IfCu o J-1'CuCt))
et
tl  Ct)12  f 1  cs)I.ldS =fcu o ) -'fCuCt)).
Les semJ. groupes engendrés par des opérateurs mâXJ.maux
monoones tels que Int DCA) # ø ant aussi un effet régularJ.sant sur la
donnée initJ.ale.
THEOREME 3.3.
Soä A un opéJt.a:te.wr. ma.x..únal monotone de H tel.. que
Int DCA) # ø e..t .6oi.:t SCt) le .6em.i gMupe enge.ncVc.é pM -A .6Wr. DCA)
AtoM S Ct) u e: D (A) pOWl. tout u e: DCA) e..t tout t > 0 ; de plu.6 pOUIL
o a
:tout. v e: Int DCA) il ex.1Ate 1'> 0 e..t M  0 tw que
1 -
IAOSCt)uol  2ft CtM + lu o - v l)2 + M VUe e: DCA) . Vt > 0
et
I t SCtJuo\e; L 1 CO.1) a.vec. II tS (t)uoldt  C
(oil c dépend .6 e.ulement de A et u o ).
-
Ac.Wteme.nt c:Li.;t, pOWl. tou.;t u e: DCA). il ewte une óonct<.on unique
o
u e; C( [0. +CX{i H) teU.e qu.e uCO) = U o ) uCt) e; DCA) pOUlt tout t > OJ
u admet en tout t > 0 une dêJL1..vée à cVc.oi.:te avec.
+
d u
 Ct) + AOuCt) = 0
+
Vt > 0 et t I t u C t) I  c
\it e: J 0 , 1J
u eAt ab.6olurJent c.on.:UJw.e.6Wr. [0, ô] e..t .up.6c.häz.ienne .6UIL [ô, +oo[ "Vô e;] 0, +00 [ .
En effet, so it v e; Int DCA) J d'après la proposJ.tion 2.9
il existe JP> 0 et M < +00 tels que Iwl  M pour tout w e; ACv+yz) avec
Izi  1. Soit [u,f] e; A J appliquant la monotonJ.e de A en u et en v +/z,
on a :
Cf-w, u-v-rz)  0
pour tout z avec Izi  1 .
D'où l'on déduJ.t :

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateUis monotones
63
(25) f lfl  (f,u-v) + M\u-v\  Mf
Reprenons l'approxmaton Yosida (18) et reportons dans (25)
dUÀ
f = - --- (t) et
dt
duX
f! AX u À C t) I =.p I dt C t) I 
u= JÀuÀCtJ J on a
rdu
À
- C dt CtJ, JÀuÀCtJ-v) + M IJÀuÀCtJ-vl + Mp
duX
 -CCt),uÀCt)-v) + M luÀCt)-vl + MÀIAÀuÀCt)I
+ Mf
Par eonséquent
CY-MÀ) IAXuXCtJI   t luÀ-vI2 + MluÀ(t)-vl + Mf
Intégrant sur JO, T[ et supposant .r-MÀ > 0, i1 vient
f - MÀ) T I A À u À (T J I ,< Cf - MÀ ) f 6 I A À U À C t) 1 dt
tluo-vl.l + M f luÀCt)-vldt + M.fT
COn a utlisé 1e fait que t  IAÀuÀCt)I est déeroissantJ.
Passant à 1a 1imte quand À  0, on obtient SCT)u  OCA) et
a
TIAOSCT)u I  - 2 11u -Vll + M fTISCt)u -vldt + MT
) 0 0 0 a
Cnoter que uÀCt)  SCt)u o uniformément sur [O,TJ).
Enfin
ISCtJuo-vl  ISCt)uó-SCt)vl + ISCtJv-vl  luo-vl + tjAOvl  luo-vl + t M
Oone
fTjAOSCT)Uol  tCluo-vl + MT)2 + MT
d+
App1quant à nOUVeau (25) avee u = SCtJu o et f= -dt SCtJu o ' t > 0,
on a
d+ 1 d+
I dt sCt)uol  - 2 dt \sCtJuo-vl z + MlsCt)uo-v\  
1 d+
 - 2dt ISCtJuo-vI Z + Mluo-vl + M 2 t + Mf
près intégration sur] s ,1L on voi t que
fl t S(t)Uoldt  C où C est borné quand s  O.
COROLLA IRE 3.1 .
Supposons que dim H < + et soit A un opêrateur maximal
monotone de H.
Alors le semi groupe S(t) egendrê par -A sur D(A) vêrifie les conclusions
du thêorème 3.3.

64
EquatIons d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
l'espace engendré par DCA) et soit A = A(\(H xH ). A
000 0
dans H et l'intérieur de conv DCA) relativement à H n'est pas vide. I1
000
en résulte , d'après la proposition 2.9 , que Int H oCAo) I ø. Enfin Set)
concide avec 1e semi groupe engendré par -A su.
o 0
En effet , on peut toujours supposer que a g DCA). Sait H
o
est maxmal monotone
REMARQUE 3.5.
Lorsque A est un opérateur linéaire maxmal monotonela
propriété SCt) DCA) COCA) \it > 0 permet de conclure que 1a fonction
t I S C t) u o . est de classe COO sur] 0 I +ooL pour tout U o g õë'A'). S on a de
plus une estmation de 1a forme
!ASCt)u j   t ju j \fu g o(A) I \it > 0
000
1a fonction t  SCt)u peut être prolongée à un secteur du plan complexe
o
en une foncton analytique ; on dt alors que SCt) est un semi groupe
ana1ytique . II n'en est pas de même dans Ie cas non 11néaire. A l'aide du
théorème 3.2. Cou 3.3.) on peut construre asément des exemp1es de sem
groupes vérfiant SCt) o(A)<:OCA)
pas de classe C 1 sur JO, +oo[
Vt > 0 et tels que t  SCt)u ne sOlt
o
du
RESOLUTION DE L'EQUATION dt + Au 3 f. u(O) = U o ; NOTION DE SOLUTION FAIBLE
DEFINITION 3.1 .
oient A un opérateur de H et f g L1CO,T;H). On appelle
s'11ution forte de l' équation  + Au .) f toute fonction u e: C ( Lo I TJ; H) I
õbsolument continu8sur tout compact de JO,T[ (et donc d'après 1e corollaire
A.2 de l'appendce, u est dérvable p.p. sur JOI T[) I vérifant uCt) <=: o(A) et
 (t) + AuCt)  fCt) p.p. sur JO, T[ ·
On dt que u g CC[O,T]; H) est soluton faible de l'équation  + Au 3f
s'l existe des suites f g L1CO,T;H) et u g cc[o,D ;H) telles que
n du n
u sot une solution forte de l'é q uation _ n + f  f
Au :3 fIn
n dt n n
dans LICO,T;H) et un  u uniformément sur [O,TJ.
Dégageons d'abord quelques estimations élémentaires
LEMME 3.1.
Soient A un opérateur monotone. f et 9 g Ll(O.T;H), u et v
des solutions faibles des équations  + Au f et  + AV3 g. On a
(26) juCt)-vCtJ!  !uCs)-v(s)! + Jt jfCcr)-gCg)!dcr
s
\f0  s  t  T
(27) (u(t)-uCs),uCs)-x)  !u(t)-xI2 - ;Iu(s)-xl  JCf(cr)-y, u(cr)-x)dcr
\f0  s  t  T V [x, y] eA.

Equations d'évolutlon asS'oclées aux opérateurs monotones
66
Ces estimatons étant stables par passage à la limite dans
CCLO,T]JH) x L 1 CO,TJH), on peut supposer que u et v sont .des solutions
fortes. On a alors, grâce à 1a monotonie de A, p.p. sur ]O,T[
 t luCt)-vCtl 1 2 = C  Ct)-  Ct),U(t)-VCt))  CfCt)-gCt),uCt)-v(t)).
puisque juCt)-vCt) 1 2 est absolument continu sur tout compact de JO, T[
et continu sur[O,TJ, on a, en intégrant surJs,t[
(28) t I u C t ) -v C t) r 2 - ';'1 u C s ) -v C s) 1 2  J C f ((j) -g C cr) , u C cr 1 -v C cr) ) dcr
O.où l'on dédut (26) grâce au 1emme A. 5 de l'appendice. La seconde
inégalté de (27) est obtenue en prenant dans (28) g  y et v : x. La
vérfcation de la première inégalité de (27) est immédiate.
THEOREME 3.4 .
Soli A un opéJta.:te.uJt maximal monotone. de. H. POWl. tout
f E: L 1 CO, T J H) e:t tout u e: 0 CA) , il e.xL6te. une. .óoon 6a..<.ble. uyúque.
o
u de. l' é-qua.t.ion  + Au ...) f tell..e. que. u CO) = u 0 .
L'unicité résulte drectement de (26). Oémontrons l'existence.
Supposons d'abord que u e: DCA) et que fest une fonction en escaler
o
déf1ne sur la subdvision
o = a < a < < a = T par f = Y sur
o 1 n J.
(a l - 1 , a[ · Désignons par SCt) Ie semi groupe engendré par I'opérateur
max1mal monotone -CA-y ). Définissons uCt) par u(O) = u et
 0
r O J
uCt) = S.Ct-a. 1 ) u(a. 1 ) pour t e: L a 1 ,a. . II est clar, d'après Ie
 J.- - - J.
théorème 3.1 que u est solution forte de l'équatJ.on  + Au ) f.
Considérons maintenant Ie cas où u e: DCA) et f E: LICO,T;Hl.
a
[ . 1
II exste une suite f de fonctons en escalier sur O,T;telle que f + f
n n
dans L 1 CO,TJH) et une sute u e: O(A) tel Ie q ue u + u dans H. Soit
on - on a
U I 1 t f t d I ' ' t . du t 11 CO)
n a so u J.on or e e equa J.on ---12. + Au  fee que u
dt n n n
u
on
Grâce à (26), on a
lu- n Ct)-u Ct) I  lu -u 1 + ftlf Ca)-f (cr) Idtr
m on om 0 n m
Vte:[O,T]
Done, u converge uniformément vers une fonction continue u telle que
n
u(O) t . t 1 t f . bl d 1 ,,,. t . du A f
:& U o e qu es so u on aJ. e e equa on dt + u 
(par définition 1).

66
Equations d' évolutlon associées aux opérateurs monotones
qui à f
du + A
dt U
d'après
REMARQUE 3.6 .
So it A maximal monotone et so it u g DCA) fixê J l'opérateur
o -
g L2COT;H) fait correspondre 1a solution faible de l'équation
f u(O) = u , est maximal monotone dans L2(0,T;H). En effet
o
(28) il est monotone ; de plus il est partout dêfn et continu
(26 J .
grâce à
La propriété suivante est fondamentale dans l'étude des
solutons faibles.
THEOREME 3.5 .
So-ient A un opéJta;tewr. ma.x-únal mo noto ne. þ f g L 1 CO, T J H ) e:t
u g C ( [0, T] ; HJ une. -bol.u.t1.on 6a1.ble. de. l' équ.a.ti.on  + Au f.
Soli. t g [0, T [ W1 po-int de Le.bugue. a dJc.o1..te. de f (ILU p. t g J 0  T [
o thO
 point de. Le.bugue. de. f) ; on P04e. f(t +0) = lim1It + f(s)ds
o h+O ... 0
AtOM lu pILopJtlê:tÛ -b(.Úvantu -bont êqu.ival.entu
() u(t) g D(A)
o
(i)
lm inf 1 lu(t +h)-uCt )1 < + (resp. lim inf lluCt +h)-u(t ) I < +)
h+O h 0 0 h-+O h 0 0
h#O
(ii) u ut dw'va.ble. à. dJr.oli.e en t
o
+
d u
v ee. e  (to) = (fCto+OJ-AuCto)J o = f(to+O)-ProjAuCt )fCto+OJ
o
On utilsera dans la démonstraton Ie 1emme suivant
LEMME 3.2.
Soient A un opérateur maximal monotone. f g L'(O.T;H) et
u g C([O,T];H) une solution faible de l'équation *+ Au 7f.
Soi t n une suite de [O,TJ telle que t n  to' t n  tot
u(tn)-u(t o ) 1 t 1
 at f n f(s)ds  ß et
t -t t -t to
non 0
t -t
n 0
t
Jtnlf(S) Ids
o
so it borné.
Alors u(t o ) g D(A) et ß - a & Au(t o > .

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
67
DEMONSTRATION DU LEMME 3.2.
S01t [xyJ g A J d'après le lemme 3.1. u vérif1e l'inéquat10n
(u(t)-uCs) U(s)-x)1 (f(o)-yu(o)-x)dû O  s , t  T
1 t
Or ---=t'" It J:I (f (0) -y  u (0) -x) d 'T
t n a a
u (t ) -u (t )
C n a
t -t
n 0
converge vers (B-yu(t )-x)
a
et si
t < t
n n
u (t ).:u ( t )
( 0 n
t -t
a n
 u ( t ) -x )
n
1 t
u(to)-x)   ftn(f(O)-yu(O)-X)d
o n a
1 t
 t -t ItOCf(o)-y,U(o)-xJdO
ann
D'autre part si t > t
n a
Dans taus les cas, on a, à la lim1te
(a,u(t )-x)  (ß-y, u(t )-x)  [x, y] g A
a a
Donc u(t ) g DCA) et ß - a g Au(t ).
a a
DEMONSTRATION DU THE ORE ME 3.5.
L'imp11caion (iii) (ii) est 1mméd1ate et l'1mp11cat10n
(11) 7 (1) résulte du lemme 3.2.. Suppa sons ma1ntenant que u(t ) g D(A)
a
app11quant (26) avec get) : fCt +D)-(f(t +O)-Au(t ))0 et vet) = u(t ),
a a a a
on a
l u(t +h)-u(t )1
o a
t +h
 I t O If(o)-fCt +O)+(f(t +O)-Au(t ))OldO
o a a
a
et donc
11m sup *Iu(t +h)-u(t ) I  I(f(t +O)-AuCt ))01
h+D a a a a
Pour toute sU1te h +0 tel Ie que 1- h (u(t +h )-u(t ))a on a, d'après
non a
1e lemme 3.2. f(t +D)-a g Au(t ) ;nd,où a = ((t +O)-Au(t ))0. Par
a a a a
conséquent u est dér1vable à dr01te en t et
, a
+
d u (t ) =
dt a
(f(t +0) - Au(t ))0.
o a
On étab11t 81sément la proposit10n su1vante
PROPOSITION 3.2.
So;ent A un opérateur maximal monotone, f g Ll(OT;H) et
u g C ([0, T] ;H) .
Alors les propriétés suivantes sont équivalentes.
(i) u est solution forte de l'équation â + Au 3 f
(ii) u est absolument continue sur tout compact deJOTtet u est solution
faible de lléquation  + Au 3 f
(ii;) u est absolument continue sur tout compact de JO,T[et u vêrifie

68
Equations d' évolutlon assoclées aux operateurs monotones
(u(t)-u(s),u(s)-x)  f(f(o)-y, U()-x)da
v 0'y] e: A , VO ,< s,  t  T
Lorsque f est plus régu11ère on a 1a
PROPOSITION 3.3 .
(1)
Soit A un opérateur maximal monotone, f e: VB !O,T;H)
et u e: C([O,T] ;H) une solution faible de l'équation  + Au f.
Les propr;étés suivantes sont équivalentes
(i) u(O) e:. D(A)
(ii) u est lipschitzienne surlO,T]
Dans ce cas u(t) e D(A) pour tou t e:[O,, u est dérivable
à droite en tout t e:LO,T[ et u (t) = (f(t+O)-Au(t))O
(1) d"u
Si on suppose de plus que f e: WI,l(O,T;H), alors d. est continue à droite
e;"l..tout t e:[o,r[ ; u est continue en to e: J O,T (Si et seulement s;
I I est continue en to et alors u est dérivable en to.
Lorsque A est univoque et f est continue, alors u est faiblement dérivable
sur Jo,r[ et  est faiblement continue surJO,T[.
Supposons d' abord u lipschi tzienne J comme f admet en tout
t e:LO,TLune l1mte à droite, les hypothèses du théorème 3.5. sont satis-
faites. On en déduit en partculer que, pour tout t e:[O,T[, wet) e: OCAj,
u st dérvable en t et u (t) = (f(t+O)-Au(t))o. Enfin u(T) e: DCA) car
l tU (tJI est borné quand t  T.
Inversement s1 U (0) e: 0 (A), on sa t grâce au théorème 3.5 que
u est dérvadle à dr01te en O. O'après (26), appl1qué avec get) = f(t+h)
et vet) = u(t+h), on a
juCt+h)-u(tJ I  lu(h)-u(O) I + btlfCO+h)-f(O) Ida pour tout t e: JO,T-h 
Done pour h assez pett, on a !u(t+h)-u(tJI  Ch
Si f e: W1,1(O,T;H), on a d'après (26)
+ +
(29) I t u (t) I S I t u (s) I + I; I  Co) Ida
'0'0  s  t < T
(utilser aussi la proposton A .2 de 1'appendice).
dt- u du. d+u
Par sute 11m sup 1(t)1  I--- d t (t )1. S01t t  to tel que dt (t n ]  0 J
tt 0 n
o
dt- u
on a f(t n ) -  (t n ) e: Au(t n ) et par conséquent (proposit10n 2.5)
'to
f(t )-0 e: Au(t). Comme par a111eurs 10Isl d dt U (t) 1= ICf(t )-Au(t ))01,
o d 0  d 0 a
on a 0 = dt U (to). On en déduit que tu (t)  du (to) lorsque t + to.
1) V8(O,T;H) dés1gne l'espace des fonctions à variation bornée sur :O,TJ (Cf Append1ce)
2) W 1 ,l(O,T;H) dés1gne l'espace des fonctions absolument continues sur (O,TJ (Cf Appendice).

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
69
Un raisonnement analogue montre que 1a fonction t  (fCtJ - AuCtJJ o
est continue en t s et seu1ement S1 t  l(f(tJ-AuCtJ)OI est continue
o
en t . Dans ce cas u est dérvable en t puisque
0+ 0
u(t)-u(t o ) 1 t  (5) ds
::- f dt
t-t o t-t to
o
Enf1n si A est un1VOQue la fonction t Au(tJ est continue de [O,TJ
dans H (car IAu(tJI est bornéJ. 5i f est continue, la fonction
d+ w
t "(t) = f(t)-Au(t) est continue de rO,T J dans H et par conséquent
dt [w
u est fablement dér1vable sur JO,T[.
PROPOSITION 3.4
Soit A un opérateur monotone ; on suppose que D(A) est fermé
et que A O est borné sur les compacts de D(A). Soient f g LP(O,T;H) avec
1  P   et U o g D(A) (=D(A>>. Alors ;1 existe une fonction
u E Wl,P(O.T;H)unique telle que  ()+AU(t}f(t) p.p. surJO,T[. u(O}=u o
De plus u est dér;vable à droite en tout point de Lebesgue ã droite de
f et ;u (to) = (f(to+O)-Au(to))o.
En effet, soi tUg C ( [0, T] ;H) la so lution faibl e de I' équaton
du 1
dt + Au  f avec u (0) :: u o . A 0 est borné sur Ie compact u C [0, T..) contenu
dans D(A) :: D(A). Appliquant (26) avec get) = AOu(sJ et vCt) : u(sJ, on
obt1ent pour 0  s  t  T,
luCt)-uCs) I  ft IfCO')-AOu(s) IdO'  f tlfCO') IdO' + M(t-s)
s 5
Done u g w 1 ,p (0, T;H)
RE1ARQ1JE 3 & 7
L'hypothèse de la propostion 3.4 est éV1demment vérifiée
si A = ar c où C est la fonct1on 1ndicatrice d 'un convexe fermé C ans
ue dans Ie cas oð DCA) = H Cproposit10n 2.9.).
PROPOSITION 3.5.
Soit A un opérateur maximal monotone avec D(A) fermé. Soient
f g C([O,T]; H) et U o g D(A){= D{A) ). Alors i1 existe une fonction
u g C([O,r];H) unique telle que en tout t g[O,T[,u est dérivaole à droite
tU (t)+AU(t)3f(t) et u(O) = u o . De plus u coincide avec la solution
faible de 1 'êquation  + Au 3 f, u(O) = U o .
1) W 1 ,P(o,T}H) dés1gne l'espace des fonctions absolument continues sur [O,T] telles que
du p
dt  L (0, T J H) (Cf Append-ice).

70
Equations d' évolutlon associées aux opérateurs monotones
50it u la soluton faible de l'équation  + Au J f. U(Q)=u o '
II résulte du théorème 3.5. que u est dérvable à drote en tout t g [o.r[
avec d d+ t U (t) + Au(t) 3 f(t). Pour l'unicité. il suffit de remarquer que
1 d.
si u et v sont deux solutions. on a 2 dt !uCt)-v(tJI2  0 en tout
t g [D. T[ et par suite u = v (lemme A.2.)
Le résultat suvant caractérise les solutions faibles à
l'ade d'une inéquation intégrale
PROPOSITION 3.6.
Soient A un opérateur maximal monotonu e C(LOtT];H) et
f g Ll(O,T;H).
Alors u est solution faible de l'équation  + Au 3f si et seulement si
u vérifie
(30) Iu(t)-xll lu(s)-xI2 + f (f()-y.u(cr)-x)dcr
'd Lx I y] g A. 'dO  s  t  T .
La condtion est évdemment nécessaire d'après (27). Montrons
qu'elle est suffisante .
D'abord u = u(O) g DCA). En effet pour tout À > 0
o
lu(t)-JÀuoI2  luo-JÀuoI2 + f(f(cr)-AÀUo.U(cr)-JÀuo)dcr
sot JCUo-JÀuo.U()-JÀUo)dcr  À{IUo-JÀuoI2 + J(f(cr).U(cr)-JÀuo)âcr}
et à la limte lorsque À  A.
t(uo-proj O(A )UO.u()-projõGA)Uo)dcr  0
Dvsant par t > a et fasant tendre t vers 0, on obtent
luo-PrOj OCA )UoIL = 0
Soent mantenant v g D(A) et g g W 1 . 1 CQ,T;H) ; soit vet)
o dv
1a soluton (forte) de l'équation dt + Av g. v(O) = vo' avec
+
dv CD d v
at g L (O.T;H). Prenant x = v(s) et y = gCsJ - (s) dans (3D). on a
+
t lu(tJ-v(s)12  tl u (s)-v(sJI2 + f(f()-g(S) +=tv (S).u(cr)-v(s))dcr
..
et par suite

Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
71
lu(t)-v(tJ 12_ tlu(s)-vCsJI2  (v(s)-v(t),u(t)-v(t))
+ J t d+v
s (fCo)-g(s)+at (s) ,u(a)-v(s) )da  C 1 Ct-s)+C 2 f; IfCcr) Ida
avec
c = ( 211 dV " 00 + II g II co ) (1\ u II 00 + II v 1 too)
1 dt L (O,T;HJ L (O,TJH) L (O,T;H) L (O,T;H)
On déduit alors du lemme A.2 que la fonctJ.on t -+ 1 LÍt)-v(t) 1 2
est dér1vable p.p. sur JO,T[ ,  t 'U(t)-v(t)12 g Ll(O,T) et
lu(t)-v(t)12  lu(s)-v(s12 + J;  %t 1u (tJ-vCtJI 2 dt ,
\fO , s , t  T .
Par ailleurs, on a p.p. sur ]O,T[
+ +
; t lu(sJ-v(sJ 1 2  -( tv (s),u(s)-V(S)) + (f(S)-g(sJ+ tV (s),u(s)-v(sJ)
(f(sJ-g(s),u(s)-v(s)).
11 en résulte que
 luCt)-v(tJ 1 2  lu(o)-v(O) 1 2 + f;(f(s)-g(s),U(s)-V(S ))ds
ConsJ.dérons maintenant une suite g g W 1 ,1 CO ,T;H) tel Ie que g  f
n n
dans LICO,TJH) et une suite V g D(A) telle que v  ufO) dans H.
on dv on
So it v la solution (forte) de l'équatJ.on n A CO )
n  + V n 3 gn ' v n = v on ·
On a donc
ljuct)-v (tJ12  lluc01-v 1 2 + ' o tCfCSJ-g (s),u(s)-v (s))ds
2 R  2 on}f n n
On sa it que v (t) converge uniformément vers la solution faible û de
n ^
l'équat10n  + AÛ3f, Û(O) = ufO).
A la limJ.te on obtient lu(t)-û(t)12  O.
Ind1quons enfJ.n Ie résultat suivant

72
Equations d'evolution assoclées aux opérateurs monotones
PROPOSITION 3.7.
Soit A un opérateur maximal monotone et soit X un espace
de Banach réflexif de norme I I I I tel que D{A)c: X. On suppose qu ' ;l
existe a > 0, tel que
(YI-Y2'x 1 -x 2 )  allx 1 - x 2 1 1 2 V[x1,Y1l , LX 2 'Y2] 8 A
SOient f 8 VB(o,T;H) et U o 8 D(A) alors la solution u de l l équation
â + Au 3f, u(O) = U o appartient à W I ,2(O,T;X}
En effet on a directement
t ';-luCt+h)-uCtJ 1 2 + aj luCt+h)-uCtJ 11 2  CfCt+h)-fCt) ,u(t+h)-uCt))
81: done
a f-h IluCt+hJ-uCt) 11 2 dt  !U(h)-U(O) \2 + f-h !flt+h)-f(t) I luCt+h)-L(t) Ic.-.:
 Ch 2
pUlsque u est Ilpschltzlenne et f 8 VBCO,T;H).
On conclut à l'alde de la propositlon A.7.
"
- CAS au A = a. ()
I
Dans Ie cas particuller où A est le sous différentiel d'une
fonctlon convexe, les solutions faible no l'équation  + Au f sont en
falt des solutlons fortes dès que f 6 L2(O,TiH). On supposera dans ce
paragraphe que 'f est une fonction convexe s.c.i. telle que Minf = 0 ;
on pose A = af et K = {v 8 H ; 'fCv) = O}.
THEOREME 3.6.
Soli f 8 L 2 CO, T ; H) ; a1.oM tou:te. J.> o.e.utJ.,on. 6a.i.bte. de.
t'é.qua.tion du + Au 3f U.t un.e. J.>ooJ1 6ofLte. e;t It dU Ct) 8 LlCO,T;H)
dt dt
ÛI1 a. tu u.t<.mw.on.6
(31) [s6 !  (t) !2t d 1/2.:s [I I"' CtJl2t dt] 1/2 +  f6! f(t) Idt +
+  distCu(O),K)
(32) U !  (t)12d1/2 $ [f6 !f(tJj2dtJ1/2 + I;ô J !f(t)!dt
+ Iô distCu(O),K)
\Jô e: J O. T [

Equations d'évolutlon associées aux opérateurs monotones
73
La. 6 a nc..ti.o n. t !"+ 'f ( u ( t )) appalLt<.ent it L 1 CO, T) e;t eUt2. u.t a.b.4 alume.J1.t c.o ntútue
4Wt .tou.t inteJtvall.e [Ô,TJ 'rIô e:JO,T[ ave.c. I  I + t fCu) = Cf,  )
P . p. sur ] 0 , T [
En6.in. -61, ufO) e: Off) daM  E L 2 CO,TJH) ave.c.
[fI  Ct) 12d1/2  [J Iw) 1 2 dtJ1/2 + 1>CuCO)),
e:t .fa. 6onc.t.<.on. t * 'fCuCt)) u.t a.b.40hunen:t c.on.tbtu.e .4Wt [0, TJ
On utilisera dans 1a démonstraton Ie lemme suivant
LE\1ME 3.3.
Soit u E W 1 ,2(0,T;H) tel que u(t) e: D(A) p.p. sur JO,T[.
On suppose qu'il existe 9 e: L(O,T;H) tel que g(t) E Au(t) p.p. surJO,T.
Alors la fonction t H- 'f(u(t) est absolument continue sur [O,T] .
Désignons par ll'ensemble des points t E J 0, T l tels que
u(t) E D(A), u et f(u) soient dér;vables en t. Alors, on a pour tout
?
t EL
h y (u ( t)) = (h,  (t) ) V h e: Au ( t) ·
ûEMONSTRATION DU LEMME 3.3 .
Soit gÀCt) = AÀu(tJ. On a IgÀCtJ I  IAOuCtJ I $ Ig(t)1
et gÀCt) + AOuCt) p.p. sur JO,T[; par sU1te gÀCt) + AOu(t) dans L 2 CO,TiH).
D'autre part t 'f À Cu ) = CAÀu,  ) p.p. sur JO,T[ ( est déf1ni à la
proposit1on 2.11) et done t
 - 2 du ]
ÀCuCt2)) - fÀ CuCt 1)) = It CAÀu, dt )dt 'rIt 1 ,t 2 E LO,T
1
Passant à 1a 1m1te quand À + 0, on obtient
t 2 du
ÿ(uCt 2 )) -u(t1)) = It (AOu, dt) dt
1
Par conséquent la fonct1on t Cu(t)) est absolument eontnue.
Enfin, S01t tEL et S01t h E Au(t ). On a
o a
(v) - fCuCto))  Ch,v-uCt o ))
Vv e: H
Prenant v = uCt t e:), E > 0, on obt1ent après div1s10n par E et
a
passage à 1a I1m1te quand E + 0
d du
dt 'P C u C to)) = C h , d t ( to) ) ·

74
Equations d'évolutlon associées aux opérateurs monotones
DEMONSTRATION DU THEOREME 3.6.
Supposons d'abord que ueD) = u  D() j on peut alors
o
appliquer la preposition 2.17 pour établir l'existence d'une solution
forte.
En effet, soit 'J.e= L 2 (O,T;H) et soit Bu  t avec
o{ß) = { u e W 1 ,2(0,T;H) ; u(O) = u }.
o
II est immédiat que ßpst maxlmal monotone et que
t s-t
u ACt) = (I;J1) -1u = e- I U o + * J6 e ^ uCsJds
SOlt d'autre part)sur Jf
r f'f(U(t))dt
Cu) = i
l +00
Sl r(u) e L1CQ,T)
alileurs
On salt CCf proposltlon 2.16) que est convexe S.C.l. Comme y est
convexe s.e.i. on a
t
-X
'". (u A (t))  e f(u o )
1
+ -
À
s-t
t -r
10 e \fCu(s))ds
Intégrant cette :tnéga1 i té sur] 0, T [ , :t1 Vlent
T s-t
f T - X 1 J T rt À
(uÀ) = 0 'f(uÀ(tndt $. A(1-e )fCuoJ+ I a dt )0 e 'f(u(s))ds
T s-T
-X T-X-
= À(1-e )'fCu o )+ I o (1-e )"CuCs))ds  (u)+À'f(uo)
II résu1te a10rs de 1a propositlon 2.17 queß+d est un opérateur
maxlmal monotone de if J de plus si u f:: 0(8), f f:: <Je et  + d'f'{U):3 f
p.p. surJO,T[, alors
JI  12dtJ 1/2  [JlflldtJ 1/2 + (uo) .
 -1 '!I
On en dédult que (+d) est un opérateur borné de, et, grâce au
eorolla:tre 2.3, á3+d est surjectif sur . Considérons malntenant Ie
cas général où u(O) U o f:: oCi). SOlt un 1a solutlon (forte) de l'équat:ton
du
 + Au .3 f
dt n
p.p. surJO,T[, unCO)
= u
on
Quand n  +00 , un converge unlformément sur [O,T] vers la solution faible
de l'équatlon du + Au 3 f, uCo) = u . D'après ce qUl précède on a
dt 0
u e W 1 ,2 CO ,T;H) et il résulte du lemme 3.3. que:
n

Equations d' évolutton assoclées aux opérateurs monotones
7
(33)
du
l --!l \ 2 +  /)Cu )
dt dt T n
du
n
(f #)
p.p. sur JO,T[
Mult1pl1ant (33) par t et intégrant sur JO#T[ # on a
du T T du
S b ! d t n 1 2 t d t + T'f C U n ( T )) - fa fC Un C t )) d t  f 0 I f ( t) I ! d t n ( t) I t d t
D'où l'on dédu1t que
r du 1 1/2 [ " J 1/2 [S T J 1/2
(34) ,f I dtn Ct) \2:t d":J $. fblfCt) 1 2 t dt + OfCunCtJJdt
L
D'autre part on a
du
..; C v) - \t( U ( t ))  (f ( t ) - -!2 (t L v - u ( t ))
I I n dt n
p · p. sur J 0 # T l
Done Sl v e K# on obt1ent
\.((Unctn +; t IUn(tJ-vI2  !fCtJ! !un(tJ-v! #
et par eonséquent
(lun(t)-vI2 + 2Jf(Un(sJ)dSJ <: !uon-vl' + fjf(s)j jun(sJ-vjdS
 luon-vj2 + Jjf(s)1 [IU n (SJ-V I2 + 2f'f'(un(S)Jd1/2 ds
II en résu1te (ef 1emme A.5') que
l}u n CtJ-v]2 + 2S;'f CU n (S))dS] 1/2  !uon-v! + flf(S)!dS ,
at en part1eul1er
r J T :11/2 1 I I I T ! I
(35) L o'f{unCs))ds j  72 ( u on -v + 0 f(s) ds).
Comb1nant les est1mat1ons (34) et (35), 11 v1ent
l J ! :n ( t) jit dtr/2 <: [Ib j f(tJ!2t d 1/2 + jz f ! f (s) Ids + l2 I u on -v I
Le passage à 1a 11mite quand n  +00 est 1mméd1at et eondu1t à (31)
On établit aisément que Cu)  L1CO,T) à partir de (35).
Enfin d'après 1e théorème de 1a moyenne appl1qué à (35) 11 existe
t e ]O,ô[ tel que
n 1 ê fI ô 1
"f.lCu n Ct n 1) = "8 Jo'fCUnCS))dS  2 Uon-v! + fo !f(s) IdS J 2
Intégrant (33) sur Jt n # TL # on a

76
Equations d'évolutlon assoclées aux operateurs monotones
T dUn T dUn
It fót l2 dt $ fCunCt n )) + It If I IdT l dt
n n
Done
ri T , dU n l2 dt1 1/2 .$ [ f t T , dUn /2 dt 11/2  [ iT t Ifl2 d t J 1/2 + I'f'Cu (t ))
L ô dt  n dt J n n n
 f 6 f-FI.l dt + 2Ô (I u on -v I + f If (s) I ds).
Passant à la l1mite quand n + +, on obtient (32).
REtARQUE 3.8
Supposons que f e; L 1 (0, T J H) n L (0, T; H) alors toute
d oc
solut10n faible de l'équat1on d + df(u)3f , est une solution forte
et  e; Loc (0, T;H). En effet soit [a,bJ c.]o, Tr ; u est une Solut1on
faible de l'équat10n  + df(u),3 f sur[a,bJ et d'après Ie théorème 3.6.,
- du
u est une solution forte sur [a,b] avec It-a dt Ct) e; L 2 (a,b;H).
REMARQUE 3.9
S01t f e; L 2 (0,T;H) et soit u une solution de l'équat1on
 + d1(u) 3 f. Avec les notat10ns de la remarque 3.4., on a p.p. sur ]O,T[
dU Ct) + EO(d 'f (UCt)) - f(t)) = 0
dt
1.e.  Ct) + projE((U(t))f(t) = fCt)
On obtient des propriétés supplémenta1res lorsque fest
régul1ère.
THEOREME 3.7.
Soli. f e; W 1 ,1 (0, T; H). AtOM zoute 6o.f..u.:t<.on de t' êqu.a..aon
au ;Co. :1'
at + Au .) f v""<<A.u-<.e
u C t) e; 0 (A) pOUlt zout t e; J 0, T]
u uz dWvabte à. dJc.oli.e en :tout t e; J 0, T[ , t  (t) e; L coCO, T;H)
eX. 0 n a, pOWl. :tout t e; J 0, T [ t' u..ti.ma:Uo n
(36)
I d + U I I f 1 . i t I df I s 2
 (t)  fCt) + t d1St(U(0),K) + 0 dt (s) tT ds
12 [I t I df I J 112 r f t I I ,11/2
+  0 dt (s) S d LdistCuCO),K) + 0 f(s) d

Equations d'évolution associées aux opérateurs monotones
77
On sa1t déjà Cthéorème 3.6.) que u est une solution forte.
On dédu1t alors de la propos1t1on 3.3. que uCt)  (A) pour tout t JO,T] I
U est dérivable à dro1te en tout t ]O,T[ avec tu (t) + (Au(t)-fCt))O = 0
et u est lipschitz1enne sur [Ô,TJ ô ]O,T[. Il reste done à établir
l'estimat1on (36).
Supposons d'abord que uCO)  OC'I')'
On a (lemme 3.3.) p . p. sur J 0, T [
I dU I  + d _ du
dt dt 'fCu) - Cf' dt ) .
Multip11ant cette équat10n par t et 1ntégrant sur JO,T[Cee qU1 est
jst1f1é puisque   L 2 CO,T;H)) on obt1ent
(37) f /  (t)12t dt + Ty(uCT)) = Jf(U(t))dt + f6({t),  (t)-  )t dt
= J6f(u(t))dt + T(f(T),uCTJ-v) - J(u(t)-V,fCt)+ t (t))dt .
Par ð111eurs
'/(v) -'fCu Ct))
du
 CfCt) -dt Ct), v-uCt))
p. p. sur J 0 , T [
et done si v  K, on a
(38) J6fCuCtJ)dt  J(f(t)'U(t)-V)dt - IU(T)-vI2 + lu(o)-vI2 .
Par add1t1on de (37) et (38), 11 vient
f I  (t) It dt   T 2 IfCTJ/ 2 + lu(O)-v/2 - f(u(t)-V ,  (t))t dt .
Or, d I après (26)
!uCt)-v!  lu(O)-vl + f6 \f(s)ldS .
Par conséquent
(39) f6 1  Ct)12t dt   T 2 If(T) 1 2 +  luCOJ-v/ 2 +
+ Clu(O)-vl + 16 If(sJlds) 16 1  (t)1 t dt .
Rappelons que CCf. (29))
+ +
l tu (T) I  l tU (t)1 + J I  (s) I ds
Vt  [a,r]

78
Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
et d'autre part
fI  (tJ It dt  h [f6 I = (tJ 1 2 t dt] 1/
11 en résu1te que
2 1 : U (T) I  ;2  I = (1:) 1 2 t d 1/2 + f6t dt f I : (5) Ids ,
c'est à dire
I U (T) I  2 [f6 1 = (tJ I' t d 1/2 + fI =: (t) I  dt.
On conc1ut à l'a1de de (39).
Enfin dans 1e cas généra1 où u(O)  D(), on considère une suite u on  O4)
tel1e que u + u dans H. d
on 0 u
La solut1on un de l' équat10n dt n + AU n 3 f I un (0) = u on I converge un1formé-
mnt vers u. On a
I ø d + U 1 I t I df s 2
(Au n ( t ) -f ( t)) I = I dt'" ( t) I  I f ( t) I + t d is t ( u n (0) I K ) + 0 d t ( s) IF d s
12 [f - t I df I ' 1/2 [ 4 J t I 1 ,11/2
+ t 0 dt (s) s dsJ d1StCU n (OLK) ,+ 0 f(s) dS J .
La passage à la lim1te est 1mmédiat.

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
4 - CAS OU Int D(A) , ø
Dans tout Ce paragraphe A désigne un opérateur maximal
monotone tel que Int O(A) i ø. On a déjà établ au SIII.1 que le sem-groupe
engendré par -A a un effet régu1arisant sur 1a donnée initiale. On se
propose de montrer ic que 1es solutions fab1es des équations avec second
membre sont "en généra1 tl des sð1utions fortes.
THEOREME 3.8.
Soli f  L 1 (0, T) H) eX -601..t u une. .6o.fu.:tlon 6albte. de.
l t ê,qua.t.<.on  + Au 3 f.
A1..oM
1 Ø) U e,6 t. à. va.JLi.o..:ti..o n bolU1. é e.
2D) u(t)  O(A) pOuJr. t.ou:t t JO,T] t.el qu.e. 1im jnf t f_hlf(s) Ids < +00
h_O
hO
On utiliseradans 1a démonstration 1e 1emme géométrique
suvant :
LEMME 3.4.
Soit C un convexe ouvert de H et soit x  C. Alors ,1
existe   C tel que
Iz-;12 - Ix-12  lz-xl 2
Vz  C
Démonstration du Lemme 3.4.
On considère 1 'ensemble convexe frmé (non vde)
K = {wH (w-x z-x)) 0 Vz  C}.
51 K ('\ C I ø þ tout   K ('\ C répond au problème.
5upposons que K (\ C = ø on peut a10rs séparer K et C par un hyperp1an
fermé. Done i1 exste n i 0 et k te1s que
(n,u)  k  (n1v)
'Vu  C , 'Vv  K
Comme x  K  C. on a (n,x) = k at par sU1te n + X  K. O'où l résu1te
que (n, n+x)  (n,x) et n = 0 J on about1t à une contradiction.
Démonstration du théorème 3.8.
50it v  Int DCA) j d'après 1a proposition 2.9., i1
o
eXste JP> 0 et M < +00 te1s que 51 IV-Vol JP ' on a vD(A) et IAovlM.

80
Equations d'évolutlon assoclées au x opérateurs monotones
Pour tout [x,y]  A on a (y-AOv, x-v)  0, so1t
(y.v-v )  (y,x-v ) + Mlx-v r + M
000
pour tout v tel que r v-v 0 I 'f
11 en résu1te que
(40) flyf  (y.x-v o ) + MIx-vol + Mf
'V[x.y]  A
du
Soent alors f n  L 1 (0,T;H) et un une solution forte de dt n + AU n 3 f n
tels que f n + f dans L 1 (0.T;H) et un + u uniformåment sur [O.TJ .
Applquant l'estimation (40) on a p.p. sur JO,T[
du du
r1fn - dtn l  (f n - dt n , un-va) + Mlun-vol + Mf
et donc
du 1 d
f' I dt n /  pC! f n I + M J + I un -vol C If n I +M) - 2' d t I un -v 0 /2
11 en résu1te. après ntégration et passage à 1a lim1te
t t 1
(41) f luCtJ-u(s)! o I c!f("t') I+MJd-r + I !uC-cJ-v I (ffC'tJ I+MJOï: ... - 2 'u(s)-v I"
J s S 0 0
- .1. f u (t) -v 1 2
2 0
pour tout 0  s  t  T .
Cette estimat10n montre que u est à variation bornée avec
[ ] T 1 T 1
Var(u; O,T )  In C!fCt) f+MJdt + - f a !uCtJ-v Icff(tJI+MJdt + __ 2 fuCOJ-v 1 2
.... P 0 j> 0
Commc par a111eurs lu(t)-v 1  luCOJ-v ! + f o tclfCsJ I+MJds
o 0
on obtient fna1ement
(42) VarCul[O. TJ)  16 (If(t) I+MJdt + f [lU(OJ-vol + f( If(sJl+MJd2
Etab11ssons ma1ntenant la seconde part1e du théorème 3.8.
D'après 1e lemme 3.4. app11qué avec
C = Int DCA) = Int DCA) et X = ultJ. il eX1ste   Int DCA) tel que
Iz-Il - lu(t)-12, Iz-uCtJ12 Vz  ë:

Equations d'évolutlon associées aux opérateurs monotones
81
En particul1.er
lu(t-h)-12 - luCt) - 12  !u(t-hJ - u(t) 1 2
pour tout 0 < h < t.
App11.quant l'estimation (41) avec v o =  et s = t-h I on a
f1u(t)-u(t-h) 1 ..P f-h( If() 1+ M)dr+ f_hluc-t')-I (lfC"G) I+M)di: + IU(t-h)-U(tJ 1 2
La fonctl.on u étant contl.nue en t, i1 existe ö > 0 tel que pour Ihl < ö
on a \u(tJ-u(t-hJI <f. Done pour tout h [a,ô[ on a
(43) lu(tJ-u(t-h) 1  2 f-h( If("t') 1 +M)d1: + ; J_hlu(1:J -I (\f('t') I+MJG'C
Par hypothèse, 1.1 existe hna tel que  f-h If() Idt S01.t borné ;
n n
i1 en est de même pour
1- lu(t)-u(t-h ) I et grâce au lemme 3.2, u(t)  D(AJ.
h n
n
COROLLAIRE 3.2.
Soit f  W1t1(O,T;H) et soit U o  D(A) .
Alors il existe une solution forte de 1 'équation  + Au  f,
telle que u(t)  D(A) pour tout t JO,TJ ,   L!(O,T;H),
u(O) = U o
du
t at  LCA:o(O,T;H)
En effet l on sa1.t grâce au théorème 3.8. que u(t)  D(A)
pOur tout t ] a, TJ ' et d' après 1a proposition 3.3 J u est 11.pschi tzienne
sur [ö,r] pour tout ö > O. Comme u est à var1.ation bornée sur [a,r] I on
du 1
a dt  L (O,T;H). Enfl.n on a (cf (29)) pour a < s  t < T,
+ +
I t u (t) 1  1 t u (s) \ + f; I  (0") I dO" ,
et par suite
+ ...
(44) tl tu (t)1  f \ tU (sJ Ids + f ds f; I  (0") IdO"
Var(u;[a,T]) +J I  (sJI sds

82
Equations d' évolutlon associées au x operateurs monotones
COROLLA IRE 3.3.
So it f  L1(0.T;H) et soit u une solution faible de
' 1 ... t . du A f
equa 10n crt + u  ·
On suppose que 1 'ensemble des t  ]O,T[ tels que
lim sup * Ji-h If(s)lds = + soit au plus dénombrable.
h-+-O
h>O
Alors u est absolument continue sur [0,1] (et donc u est une solution forte)
En effet, d'après (43), on a 11m sup IU(t)-U(t-h) I < +
h-+o
h>a
sauf sur un ensemble au plus dénombrable. Comme on sait déjà que u est à
var1at10n bornée, on conclut à l'aide du corollaire A.S que u est absolu-
ment continue sur [a,r] .
REMARQUE 3.10
Le corollaire 3.3. montre en particu11er que pour toute
 du
fonction f  L (a,T;H) et tout U o  D(A), l'équation dt + Au 3 f, u(O) = U o
admet une solut1on fort. II serait 1ntéressant de déterminer si ce résultat
s'étond aux fonct10ns f  L1(0,T;H).
Lorsque d1m H < + la réponse est affirmative comme Ie montre Ie
résultat sU1vant
PROPOSITION 3.8.
Soit H un espace de Hilbert de dimension finie et soit A
un epérateur maximal monotone dans H. Soit f  L 1 (0,T;H) ; a10rs toute
solution faible de 1 'équation  + Au 3 fest absolument continue sur
[O,T) (done en particulier. toute solution faible est une solution forte).
On utilisera dans la démonstrat10n Ie lemme sU1vant qui
préc1se Ie lemme 3.4.
LEME 3.5.
Soit H un espace de Hilbert de dimension finie, C un
convexe ouvert non vide de H et K un compact centenu dans C.
A10rs i1 existe k > 0, tel que pour tout x  K, i1 existe
  C vérifiant :
Iz-I - Ix-12  Iz-xl 2
-
Vz E C
et
d;st(.ac)  klx-tl
(où dC = ë 'C)

Equations d' évolution assoclées aux operateurs monotones
DEMONSTRATION DU LEMME 3.5.
Etant donné x  c on dés1gne par r 1e cône eonvexe de
x
sammet x  r = {eH J (z-x  x-)  0 'rJz  ë}
x
On va montrer que
Sup
t;C
dist(,ac ) =
Ix-I
Sup
ç:8Cnr
x
dist(,ac )
(x-ç;1
11 en résu1tera, puisque 1a fonction
x  Sup
ç;C
dist(,dC)
Ix-1
es t s. c. i. J que
InT Sup
xK Cnr
x
d1st(ac) > 0
Ix-'
ce qU1 étab11ra 1e lemme.
Soit done x e C fixé J pour simp1if1er on peut toujours
se ramener au cas où x = O. S01t C 1 Ie eône eonvexe de sommet x = a
d1st(tac)
engendré par C. Pour tout   C, on a t + d1st(,aC1)
quand t '" a
t JO,1[
En effet, i1 est imméd1at que si   C
dist(,aC)  distr,ac) pour t  ]0,1]
et done
ta+
d1st(t,ac)
t
erott quand
t -I- O.
o I autre part SJ.  e: C et t  ]0,1] on a
d1St (t, act
t
dit(,a I C)  d1st(,aC1) .
Enf1n, soit f< d1st(,aC1)' at S01t B(,..f) = {uH J lu-I  f}"
On a
À  1
o
B('f)C:C1 = U À C J grâee à la compacité de 8('f)' 11 eX1ste
À1
tel que B('f)C Ào C et done d1st(r-,ac) t ·
o 0
En partieu11er
11m
t-l-O
dist(t,dC)
t ) f'
, et done
1im
t-l-O
dist(t,dC)
t
distCE;,ac 1 )
On en déduit que
Sup
C
dist(,ac) = Sup 1im
It I C t-tO
dist(t,ac)
tltl
=

84
Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
= Sup distr.ac 11 .
E:C II
Sup
E:C1
dist(.ac 11
II
De même
Sup dst(,aC )
E:c('\r I ç; I
a
= Sup
E:C1"r a
dist (, aC 11
II
On est a1nS1 ramené au cas où C est un cône convexe ouVert de sammet O.
S01t E:C et soit o = Projr  ; on a done (Ç; -,v)  0
o 0
'dv E: r
o
Montrons que
 - E: C et  E: C + C c C .
o 0
d1st( ,ac) dist(,ac)
o
Par suite

Iol
I ç; I
En effet, soit
(+ l z,v)  0
p < dist C, aC) on a done B(Ç;,j>JC C
Vv E: r ,Vz E: H ; I z I  1 .
o
. Par suite
II en résulte que
(o+fz,v) = (Ç;o-Ç;,v) + (+jZ,v)  0
Vv E: r ,Vz E: H ; Izi , 1.
o
Done BCo'.f)c. C
et dst(o,aC)  f
d1st( ,ac)  distC,ac)
o
dst(,ac)
et à fortior1
Par conséquent
dst( ,aC)
o

car
Iol  II ·
lÇ;ol
II
DEMONSTRATION DE LA PROPOSITION 3.8.
On peut toujours se ramener au cas où Int D(A) Int D(A)  ø
lef coro11are 3.1). D'après Ie lemme 3.4 app1qué avec C = Int D(A)
et K = u([O,r]), i1 exste k > a tel que pour tout t E (o,r] , il
existe t E: C vérif1ant
IZ-tI2 - lù(J-ç;tI2  Iz-uCt)12
dstCtt,aCJ  kluCtJ-ç;t l .
"T:Jz E: C . et
Soit ft > 0 tel que luCt)-ç;tl  it < dist(ç;t,ac)
On a done B(t'ft)<= Int DCA). et d'après la propos1ton 2.9, A O est
borné sur B(Ç;t,f t ) par Mt.

EquatIons d'evo(utlon assoclees aux opérateurs monotones
85
Reprenant la démonstration de l'estìmation (43), on voit qu'l existe
Ot> 0 tel que pour n e [a,ot[ on a luCtJ-uCt-h)!  ft et
!u(tJ-u(t-hJ) $ 2 I_h(lf(SJI + MtJds + ;t f_hlu(s.J-!;I()f(sJI + Mt )ds
 (4+ Î) J_hClf(s)I+Mt)ds = {4+ ) J_hlfCS) Ids+(4+ ÎJM t h
On déduit du corollaire A.S que u est absolument contnue sur [o,r] (on
sat aéjà Que u est à varation bornée d'après Ie théorème 3.8).
On peut combiner les techniques précédentes avec celles
au 5111.4 j indquons à titre d'exemple Ie résultat suivant :
PROPOSITION 3.9
Soit A un opérateur maximal monotone et soit f une fonction
convexe s.c.;. propre tels que D(f)tì Int D(A) F ø. Soit B un opérateur
maximal monotone dominé par A + d'P ; .e. D(A) n D{df) c. D(B) et il existe
k < 1/2 et w e CQR ; JR) tels que
IBoxl  k I (A+df) 0 xl + w(!x!) V x e D(A) (\ D()
Alors pour tout f e VB(O,T;H) et tout U o 6 D(A) n D(f ) , i1 existe
une solution forte unique de 1 léquation  + Au + Bu + df{u)f. u(O)=u o
vérifiant iE  <-::LL(O,T;H) et t 6' Loo(O,T;H)
On sat d'a près leol1aire 2.7 que A+ est maxmal
monotone avec DCA)(\DCdf) = DCA) f") OCr), et grâce au corollaire 2.6.,
CA+d?)+B est maxmal monotoe. Sans restrendre 1a généralité, on peut
supposer que 0 E: 1nt DCA) ('\ D(d}) avec 0 E: AO fì dfCO) Iì 80 et Mn'f=O
Supposons d'acord que W o E: DCA) (""\ Dedf)' et sot uÀ la
soluton de l'équation
dU À
 + AU À + dfCu À ) + BU À 3 f , uÀCO) = U o
On a donc, IUÀ't)!  lu I + Ilfll ' at d'après la propost:ion 3.3.
o L 1
on sait que uÀ est lipschltzian avec
dU À
I ëit ( t) I  I f ( O)! + I 8 0 u o! + I A 0 u 0 I + I (ôt) 0 u 0 I + Va r ( f J lO , r] )

86
Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
En appliquant la définition de  at 1a monoton1e de A en 0 et u À ' on a
p.p. sur Jo, rf
1 d , 1 2
(UÀ)  Cf,u À ) - 2 dt u À ·
Dans 1a suite, nous désignerons par C i d1verses constantes dépendant
seu1ement de II f II ' Var C f; L 0, T] J et I u I.
L l 0
En part1cu1ier ffCuÀ)dt  C 1
II existe 1'> 0 et M < +00 ta1s que S1 Iç;' p, on a ç;  Ii)CA) et IAOÇ;'  M.
En ut111sant (40) et 1a monoton1e de B+,i1 v1ent
dU À
plaCtJI  CfCt)- CtJ, uÀCt)) + M'uCt)1 + 
où
du
dÀ Ct) + aCt) + bCtJ + BÀuÀCtJ = fCtJ avec aCt)  AuÀ(t) ,
bCtJ  ôiCux Ct)) p.p. sur J 0, T[ ·
11 résu1te du lemme 3.3. que
dU À 2 d dU À [
'ëft I + dt f Cu À ) = Cf-BÀuÀ-a, dt) p.p. sur J 0, T
D'autre part
I B À U À C t) I  I B O u À C t) I  k I C A + Ôj' J 0 U À C t) I + w C I U À C t) , )
dU À
 klfCtJ - BÀuÀCt) dt CtJI + wcluÀCtJI)
et donc
1 [ dÚÀ 1 k dU À
!BÀu.1CtJI  1-k klfCtJI + klëftCt)1 +wcluÀCt)IJJ= C2+1-=k1 dt CtJI
Par conséquent
I dUÀ I L d I I ' duA l ! I ! dUÀ I I dUÀ I k I dUÀ I 2
dt + dt jCuÀJ  f dt ... a dt + C 2 dt + 1=k ëit
et
C 1-2 k ) ' dUJ\. I d _ 1- d I [2 ' duA l
1-k dt L + CiJÀ) .s CC 3 2f dt uÀr) dt

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
87
posons
e = Sup ess
Lo T]
et intégraion sur jO.Tl
dUÀ
Ck) I T 1---1 t
1-k 0 dt
dUÄ
tl'dt Ct) I
on obtlent après multiplcation par t
Par suite (4S)
dt  6(C 3 T + p l u o l 2 ) + J6U)dt
T dU À
fo 112 tdt  C 4 e + C s
Enfin on a
+ +
d u À d u À
I(t) 11(s) I + VarCf J [0.. T])
pour 0  s  t < T
Après mul tiplication par s et ntégration sur J O. t l on a
+-
2 dU À t dU À t 2
t-1d't (t) I  f 0 Iij.tCs) Is ds + '2 Var Cf J [0.. TJ )
t r f t I dUÀ I 2 ,11/2 t 2 -
 72l 0  s dS J + '2VarCfJ[O..TJ)
Done 6  12 [f61 : 12 t dtJ 1/2 + C 6 J ce qU1 conduit. par comparaison
du
avec C4S) à e  C 7 et f6l dtÀ It dt  C a
Enfin on sait grãce au théorème 3.1J1)que u À -+ U dans CC[o.. T] ;H)
pusque
CI+aCA++ B À ))-1 -+ CI+aCA+df+B))-1 pour tout a > 0 d'après Ie théorème 2.4
On a alors
i It = II <XI  C 7
L
et
II It  II L 2  C e
teIIe que u on -+ U o
lit *,II L ""  C 7n
seulament de I I
on
est alors mmédiat.
où U o e: DCA) (, O). on considère une suite u on E: OCA) (ì O(ar)
les solutons correspondantes u vérfent
n
du
et I lit II  C a · Rappelons que C 7n et Can dépenaent
dt L 2 Ii
et demeurent bornés quand n -+ +<XI J Ie passage à la lime
Dans Ie général
Bien que ce théorème soit prouvé ultéreurement. il n'y a pas de cercle vicieux

88
Equations d'évolution assoclees aux opérateurs monotones
5 - COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE
Soient A un opérateur maximal monotone, f E: LocC [o,+oo[ ;H)
et u E: CC[O,+oo[ ;H) une solut10n faible de l'équation  + Au f. On se
propose d'étudier Ie comportement de uCt) lorsque t  +00 .
Notons d'abord que S1 lim fCt) = foo et
t-++ 00
existent, alors [Uoo,fooJ E: A. En effet, on a d'après (27)
f t+1 [  ]
CuCt+1)-u(t),u(t)-x)  t CfCs)-y,uCs)-x)ds  x,y
et à la limjte quand t  +00
si 1J.m uCt)
t+oo
U oo
E: A ,
(foo-y, uoo-x)  0
'tI[x,y] E: A.
En général u(t) n'admet pas de l1m1te quand t -++00 même s1 f  0 J il suffit
par exemple de considérer Ie cas où A est une rotat10n de /2 dans rl = iR2.
ToutefoJ.s on peut établJ.r l'exJ.stence d'une lJ.m1te sous certa1nes hypothèses
part1culJ.ères. Nous considérerons successivement les 3 cas SU1vants :
- A est fortement monotone
- A est Ie sous d1fférent1el d'une fonct10n convexe
- L'1ntér1eur de 1 'ensemble A- 1 f oo n'est pas vide.
CAS OU A EST FORTEMENT MONOTONE
On suppose qu'il existe a > 0 tel que
CY1-Y2' x 1 -x 2 )  a\x 1 - x 2 1 2 'd[x 1 'Y1] E: A , "-'[X 2 'Y2] E: A
Soi t f E: L: ( f O , +oo [ ; H) tel que
J. oc L:
11m fCt) = foo existe.
t+oo
On dés1gne par U oo l'un1que solution de l'équat10n Au oo 3 foo
ïHEO;\EI,1E 3.9.
On a 11m u Ct) = U oo ' e:t plu4 pIléwêment
t-++ 00
(46) lu(tJ-uool  e-atlu(o)-uooi + f eaCs-t)lfCs)-fooldS
df 1 "./- )
LOM que ëit E: L Co, + 00 J H) t:A. U ( 0 E: 0 C A), 0 n a
e:t p.lu.6 pIléw êment
+
lim \ tU Ct) \
t+oo
o
(47)
I d+U Ct) I  e-at I CAuCOJ-fCO))OI + Jt e aCs - t ) I df Cs)ldS
dt 0 d t
avec.
(48) _foo I : u (tJ Idt   I (AuCO)-f(O)}O I +  'Joo I  Ct) Idt

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
89
L'estimation (46) a'obtient comme dans 1a démonstration du
lemme 3.1. en natant que U co est solution de I' équat10n ..... + Au co .3 f 00' ,
uoo(O) = u oo
Pour tout  > 0, 11 eX1ste N tel que
I f ( s) -f 001

2
p . p. sur J N, +00 [
On chois1t ensuite t  N assez grand pour que
o '"'
e-ato [IU(OJ-u1 + J eaSlf(SJ-fldSJ  E/2 . On a alors pour t  to
I I -at I l -at f N as I t +  J t a( s-t) d <
u(t)-u oo  e u(0)-u 001 + e 0 e f(s)-f oo ds 2 N e s" e:
L'est1mat1on (47) s'obtient de 1a même man1ère que (29). Pour tout  > 0,
11 eX1ste N tel que Ioo I  (s)!ds  e:/2 J on choisit ensu1te to  N de
sorte que
e-ato [1(AU(OJ-fCOJJ O ' + J easl  (sJldSJ  E/2
On a a10rs pour tout t  t
a
+ t df
I t u Ct) I  /2 + IN I dt Cs) Ids  e:
CAS OU A = 'ð'f
S01t 1 une fonct1on convexe s.c.i. propre
THEOREME 3.10
So1.t f une. óonc..t.ion ab.6o.lume.nt c.on.tinu.e. .6Wt. tou;t c.ompac;t
de. ]0, +00 [ teli.e. que.  e: L 1 CO, +00; H) de. .6olL:te. qu.e. 11m f C t) = f 00 e.wte..
t-++ oo
On .6u.ppO.6e. que. f 00  R (Øf). Soli; u une. .6olu.tÆ.on de. l' ê-qua.tÆ..on
+
d u ' [ "
dt + d'fCU) - f sur] 0, +00
AtOM
+
1im l tU (t) I = 0
t-++ oo
Si de. plt.l4
t df (t) e: L1CO,+ooJ+H)
dt
aLOItÅ
+
I(t) I = OCt -1)
dt
q u.a.nd t -++ 00
+
d.. U
-+
dt
,...,
M1n'P = 0,
'áfCuJ3f - fco

En effet soit fCu) = 'f CuJ - (foo,uJ-M1n{'fCuJ-(foo,uJ},
H
K = {vH J f (v) =o} = {ve:H J dy>(v) "3 f co} et
de sorte que

90
Equations d'évolutlon associees aux opérateurs monotones
Applquant (36) on a
I d + U I ! 1 I t I df I s 2
dt CtJI  fCt)-f oo + tdstCuCO),K) + D1 dt CsJ tT ds +
12 [ þ t df l1/2 C
+  fOl dt CsJ!s dSJ Ldst(U(O),K)
\
[ t l df I s2 [ t j df I s
o dt Cs ) F ds  0 dt CsJ t ds -+ 0 quand t-+ +00
t J 1 /2
+ f 0 If (s) -f 001 dSJ
Or
f t oo I df , I J +oo I df I J t I df I
Enfn 0 ds J s dt l) a = t t t () a + 0 dt Cs ) s s
Done  [!fCsJ-foolds' Joo I  () la + fl i Cs)1 t ds -+ D quand t -+ +00
df 1
D'autre part, s t  (t)  L (O,+OOjHJ, alors on a
IfCtJ-fool  1;00 I  ("C) la  I f;U3 I  (J l'r   % '
I t a s2 I trdf s C
ol dt Cs ) IF ds  ol dt Cs ) It ds  t
ansi que flfCS)-foo ds , f ds f: oo I  () Idt =
= t 1;00 1  ()ld + fI  Cs)ls ds' 2C
L'existence d'une lmte uCt) lorsque t -+ +00 est plus
jélicõte à établir. Nous aurons à supposer que
\:49) pour tout C'ER l'ensemble {xe:H J\fCx) + Ixl 2  C} est compact (fortement).
THEORE'E 3.11
On óa..Lt l' hypothèh e. (49). SaLt f 00 e: R ('àf) ú hoLt f (t )
une 6onc.t.<.on teU.e que f - f 00  L 1 (0, +00 J H). Soli:. u une .6olu..tLon ó(Úb.le de
l'ê.qua.tion  + (u)3 f. AtOIL6 lm u(t) = u oo e.x..-Ute e:t foo e: Cuoo)'
t-++ oo

Equations d'évolution assoclees aux operateurs monotones
91
fCtJ
_ f 00' So1 t
Nous commençons par prouver Ie théorème 3.11 dans Ie cas où
dv
done v une solution C forte) de l' équation at + d'tCV) 3 f 00 et
soit  E: K.
On a IvC)-1  IvCO)-I.
+
I d V Ct) I = OCt -i )
D'autre part dt
+
d v
f ( ç:) - fC v )  C f 00 - ëft I  -v)
quand t  +00 d'après Ie théorème 3.10. Or
et par sute
+
'f(v(t)) , 'P(E;) + If 00 - tV (t) I I -vet) I
Ains fCvCt)) + IvCt)12 demeure borné quand t  +00 et l'ensemble {vCt)}tO
+
 ( t ) + dífVl t )) 3 f
dt n -ll n 00
résulte que IvCt)-vool 
es relativement compact. Sot alors t  +00 tel que vCt) + V oo ; comme
n n
+
d v
et que  (to) + 0, on a foo E: (vooJ. II en
IvCt')-vool pour tt' ; ce qU prauve que lm vet)
t++cx.
vfJþ
Revenons au cas général et montrons que uCt) est de Cauchy
quand t + tOO
f +oo I I
Fxons 8>0 et sot N tel que N fCt)-f oo dt  e:.
SOl.t vCt) la solution de l'équation  + dfev) 3 f 00' vCO) uCN)
On a pour t  N
luCt) - v(t-) I  luCN) - vCOJI + JlfCs) - foolds  8
Done si tN et t'N, on a
luc) - uCt')1 $ IvCt-N) - vCt'-N)1 + 28
Comme 'lim vet) existe, on peut trouver M tel que
t++ oo
IvCt 1 ) - vCt 2 ) I  e: pour
t  M
1
et
t 2  M.
II en résulte que s t  M+N et t'  M+N, on a luCt) - uCt')1  3e:.
Enfl.n, on a U oo 8 K pusque lu oo -lm vCtJ)  E: et par suite distCuoo,K)e:
t++ oo
pour tout 8 > O.

92 Equations d'évolution assoclåes aux opérateurs monotones
CAS OU Int A-1f= , ø
THEORE1E 3.12
Soli f une ðonc.tion a.b.6olument c.ont.úw.e. .6WL tout c.ompa.c;t
de ]0, +=[ te.Ue que It  (t) e: L1(0,+=; H) de .6olL:te que 1J.m f(t) = foo
t-++=
e.x"Ut:.e. On .6uppo.6e que Int A -1 f = .; ø. Soli u une .6o.f.ut,Lon de l' équ.a.t.i.on
+
 + Au 3 f
dt
AtO/fÅ 1J.m
t-++=
.6Wt. J 0, += [
+
I t U (t) I = 0
SÆ. de ptu..6
df
t dt Ct) e: L!CO,+=;H), alo
+
1 (t)1
dt
OCt- 1 )
du 1
quctnd t -+ = et dt e: L (0, +=; H)
+
,.., d u
En effet, sOJ. t Au = Au - f = ; de sorte que  + Au  f-f co'
Reprenons 1a démonstratJ.on du théorème 3.8. avec va e: Int A- 1 f co ' on a a10rs
Oe:Av pour Iv-vol JP' La sUJ.te de 1a démonstratJ.on est donc va1ab1e avec
M = O. En partJ.culier, on a d'après (42)
fI  I dt = Var(u, [0. r])  f If (tH ooldt + }- u(O) -v 0 I +, f IfltH oold l
f'
et d'après (44)
+ .
I d u I < f t l dU I f t I df I
t '(it (t) ... 0 dt (s) ds + 0 dt (s) s ds
Or I If ('t') -f col d"t'  t f;= I  ('(;) I dt' + f I  (s) Is ds
On vérJ.fJ.e aJ.sément que SJ. If  (t) e: L1(0,+co;HJ a10rs  Jlfcs)-f=lds -+ 0
quand t -+ +co .
Enfin SJ. t  (t) e: L1(0,+co;H), alors flf(s)-f=lds demeure borné quand
-e -+ +00
THEOREME 3.13
Sod f co e: H td uc. Int A -1 f co -F ø et oli f une Óonc.;Ûon
tel.le que f-f co e: L.: 1 (0, +=; H). Soli. u u.ne olu:Uon óa.i.ble de l' êqWLti.on
d u 1-; [
dt + Au 3f. AlOllA Var(uJL O ,+= )< +00, eJ:. en '{XI./t.:ti-c.u.1i.eJt 1im u(t) = u=
t++ co
ewte a.vec.
-1
u co e: A f co

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
93
Reprenant la démonstration du théorème précédant on a
1 - T ]
Var(uJ (O,ï] J  Jlf(1:)-fcorct + 2'lfU(OJ-VoJ + J O JfCtJ-f co 1'dt 2
at 1e second memore demeure borné quand T -+ co . Par eonséquent
varCu;[O,+co[J < +co et lm u(t) = u co eX1ste. Enf1n on a d'après (27)
t-++ co
t t+1
(u(t+1)-u(t), u(t)-x)  t (f(crJ-y,u(cr)-x)dcr
'V [x, yJ e: A
Passant à la l1mite quand t -+ +co , 11 v1ent
(f co- y , u co -x)  a
't/[x,y] e: A
et done f co e: Au co
SOLUTIONS PERIODIQUES
Etant donnés A max1mal monotone et f e: llCO,T;H) on eherche
à résoudre Ie prob1ème
du
- + Au '3 f
dt
u(O) = u(T)
THEORH1E 3.14
Soient A mdx...i.mat monotone, w > 0 e;t f e: VB (0, T J H)
AlofV d ex-iAte LLne l.>olu.Uon 6oJt.te u.niqu.e du. pJtCblème.
au
dt + Au + wu 3 f , ufO) = u(T).
Ve p..e.u.1.> U eAt Upl.> c.ru.tz-i.en a.vee
r I du II -wT -1 - j
dt co  (1-e ) (VarCfJ[O,T) + 11m If(T-e:J-fCe:JI).
l e:-..o
e:>0
En effet, sOitA le prolongement de A à = l2(O,T;HJ
(cf Exemple 2.3.3.) et soit l'opérateur 11néaire de domaine
O(L) = {u e: W 1 >>2(O>>T;H) J u(OJ = ueT)} défini par.lu =  .
dt

94
EquatIons d'évolutlOn assoclées au x opérateurs monotones
On vér1 f1e a1sément: que lest max1mal monotone dans J.P.
du
!'.otone que si u est une solution forte du problème ërt + Au + Wu '3 f, u (0) =u (T) ,
alors d'après la proposit10n 3.3. u est 11psehitzien et u(t)  DCA) pour
tout t [O,T] ; done us OC.1.)n ocJt) etJu +.Ru + wu 3f.
Inversement si u  0 C!) Iì 0 ( et J:.u + u1U + wu 3f, alors u est une so lut10n
forte du problème  + Au + wu  f, u(O) = u(i).
Soit uÀ la So1ut1on ae l'équat1on LU À .AÀu À + wU À = f J
on salt grâee au théorème 2.4. que f  ReJ+A+wI) Sl et seulement Sl vuÀ est
:Jorné dans j-t lorsque À -+ O. II suffi t de montrer que iUÀ est borné car u À
est borné puisque Di J n O(",i.) F ø Cef lemme 2.5). On prolonge uÀet f sur IR
par des fonetions À et f de période T. II est 81Sé de vérifier que pour tout
ae:R an a
Var(f J [a,a+TJ)  Var(f ; [0, T]) + 11m If(T-) -f() I

e:>0
D'autre part, on a pour tout h > 0 p.p. surlR
1 d I ..., ..., I J. j -V ,." I IW (Y  """
2 dt uÀ(t+h)-uÀCt) $ -w uÀ(t+h) - uÀ(t)  + (f(t+h) - f{t), uÀet+h) - uÀ(t))
D'où pour tout s  t
!À(t+h)-ÀCt) I  e- wCt - s ) IÀ(S+h)-^CS)! + f e-w(-s)lfC+h)-fC) Id
Oiv1sant par h et passant à la 11m1te quand h -+ 0, on a
"",." +-
! t u À(t)!  e -wCt-s) I t uÀ (s) [ + VarCf; [s,t+h]) pour tout h > 0 .
En part1eul1er Sl s = t-T+h on obt1ent après passage à la I1mlte
+,.,
-wT I d u I I ] I I
C1-e J À(t)  VarCf;LO,T ) + lim If(T-)-f(e:)
e:
e:>0
Comme uÀ -+ u dans d{, quand À -+ 0, Ie passage à la 11mite est 1mméd1at.
PROPOSITION 3.10
Soit A maximal monotone ; on pose
-F = {(u,f]  C([OT];H) x L 1 (0,T;H) ; u(O) = u(T) et u est solution f.aible
de 1 Jéquation  + Au 3 f }
Les propriétés suivantes sont équivalentes
i)
(u , f]
---
J-

Equations d'évolutlon assoclées aux operateurs monotones
ii) f6(f(t)-9(t) ,U(t)-V(t))dt  0 V[v,gJ f;J'
iii) i1 existe f n f; Wi) l(O,T;H) et une solution forte un de "équation
dUn
 + Aufn ' un(O) = un(T) tels que un  U dans C([o,r]; H) et
f  f dans L 1 (0,T;H)
n
On a pour tout [u.fJ f;:F et tout [v.g] f;]="
J(f-f ,u-v)dt IU(T)-V(T)I - Iu(o)-v(o)l = 0 J d'où 11 résulte que
(i)  (1i) .
Comme l'implieaton (i1i) (1) est immédiate. 11 reste à prouver que
(11) -=? (1i1) ·
S01t h = f+u
et soit h f; wi,t (O.T;H) une sU1te telle que h  h dans
n n
L1COþT;H). Grâee au théorème 3.14 11 existe une solut1on forte u du problème
n
du
 + Au + u 3 h
dt n n n
u (0) = u (T)
n n
II est ela1r que l'on a p.p. sur]O.T[
Iu -u I + lu -u I  Ih -h I. O'où l'on dédu1t que
dt n m n m n m
/u (t)-u (tJI , t1-e- T flJ T o lh (t)-h (tJjdt . par eonséquen U n  cans
n m n m
C( l -O,T J  ;H). Reportant dans (1i) v = u et g = h -u on obt1ent
n n n
fT o (f-h +U . u-u )dt  0, et done après passage à la I1m1te
n n n
f T - ...
Ol-u+u. u-u)dt  O.
II en résulte que u = u. et done (11i) est vér1fié avec f h -u ·
n n n
THEOREME 3.15
Soli A LAir. opéJta-teuJL maumal mono.tone c.oe/tú6 .i. e. d
eMA.te. x f; H .tel. qu.e
a
(y.x-x )
11m 0
jxJ++O) Ix I
[x.yJ f;A
+0)
AtOM paWL :tout f e: L 1 (0. T; H) il e.x.ið.te. u.ne. .ðolu.t1.on 6a..ible du. pILOblème
 + Au 3f . ufO) = u(T).

96
Equations d'évolutlon associées au x opérateurs monotones
On utlsera dans 1a démonstraton 1e lemme suivant
LEMME 3.6
Soit A un opêrateur maximal monotone coercif. du
Soit f n E L1(0.T;H) et soit un une solution faible de l'êquation + AU n 3 f n .
On suppose que I6 lf n(t)ldt  C 1 et lun(O)I-lun(T)1  C 2 . alors la suite
un est bornêe uniformêment sur [O.TJ .
DEMONSTRATION DU LEMME 3.6.
On se ramène dtabord aisément au cas où les u sont des
n
f t d I t' t . du A 3 f
solutons or es e equa on dt" + un n
Sot L > y(C 1 + C 2 + 2lxol) ; ome A est coercf 1 exste R tel que
s LX1Y] e: A et Ixl  R.. a10r (y..x-x o )  Llx-x o I
Fixons n.. et montrons qutl existe t E [ 0.T 1 tel que lu (t )I R J
a J n a
en effet supposons que lunCt)1 > R Vt E [O..T]
On aurat a10rs (f - d U t .. u -x )  L(u x I p.p. sur Jo..r[ ; d'où l'on
n n 0 I n 0
dédut que
Ju CT)-x J-Iu (o)-x I + LT  f a T If Idt
non a n
Par conséquent
au chox de L.
Done 1 exste to E [O..T] tel que lunCtoJI  R .
Sot ..n) e: A ; pour t E [t o ..rl on a
lu (t)-I  lu (t )-I + J If (s)-nlds.
n n a a n
En partcu1er IunCT) I  R + 211 + C 1 + InlT .. et
JunCO)1  lunCTJI + C 1  R + 211 + 2C 1 + In IT.
Enfn pour t e: [O..T] on a
LT  C 1 + lu(o) 1-lunCT)1 + 21xol
ce qu est contrare
l u (tJ-1  10 (O)-I + It a If (s)-nl ds .
n n n
DEMONSTRATION DU THEOREME 3.15
On consdère 1tapp1cation S de O(A) dans lu-même définJe
comme suit : sot x e: D(A) at sot u 1a soluton faib1e du prob1ème  + Au 3f,
u(O) = x } on pose Sx = uCT). O'autre part.. pour x E DCA) fixé. on désgne
par un 1a solution faib1e du problème  d dn + Au 3 f .. u (0) = Sn(x).
n+1  n
On a u (T) = S (x) et comme S est una contraction l vient
n

Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
97
l u (0)\ - lu (T) I = ISn(xJ I - IS n + 1 CxJI  ISn(x) - Sn+1(x) I  Ix-S(x)1
n n
On dédut du lemme 3.6 que Sn(x) demeure borné quand n -+ +co .
Le théorème 1.3 montre que S admet au moins un pont fxe dans O(A).
COROLLAIRE 3.4.
Soit une fonction convexe s.c.;. propre sur H ; on
suppose que A = a est coercif. Alors pour tout f E L2(0,T;H) il existe
une solution forte du problème  + Au 3 f. u(O) = u(T) avec   L2(O,T;H)
Cela résu1te drectement du théorème précédent combiné
au théorème 3.6.
REMftRQUE 3.11
On trouvera une démonstraton drecte du coro11are 3.4.
oans BREZIS [9](proposton II.11). O'autre part lorsque A =  l'hypothèse
de coercvté est équvalente à la proprté : "A est surjectf et A- 1 est
borné" (cf propositon 2.14). Dans le cas gnéral (A  'ðf) cette proprété
n'est pas suffisante pour établr l'existence de solutons pérodques pour
tout f E L1(0,TJH) (prendre par exemple pour A 1a rotaton de /2 dans
H = IR 2 et T = 21T).
COROLLAIRE 3.5.
Soit A un opérateur maximal monotone coercif tel que
Int D(A)  ø.
co
A10rs pour tout f E L (O,T;H) i1 existe une solution forte du problème
du ( du !
at + Au 3 f, u 0) = u(T) avec dt  L (O,T;H).
I1 sufft d'app1quer 1e thorème 3.8. et 1e corol1are 3.3.

98
Equations d'évolution assoclées aux operateurs monotones
POPRIETES DE CONVERGENCE
On établlt que l'appllcatlon qUl à {Afu } falt correspondre
o
la solutlon U de l'équatlon  + Au )f , ufO) = U o est contlnue en un sens
à preClser.
PROPOSITION 3.11
Soient A un opérateur maximal monotone, f  L 1 (0,T;H)
et uo,À  H tel que uo,À  U o quand À  O.
Soient u À et u les solutions respectives des équations
dUÀ
 + AÀu À = f uÀ(O) = uo,À
du + Au 3 f
(ff
u(O) = Proj D(A ) U o
A 1 ors u À converge un; formément vers U sur tout compact de ] 0, TJ . Si
U o  D(A), a10rs u À converge unifonmément vers u sur [O,T] . Enfin si
. du du P
uo,À = U o  D(A) et 51 f  VB(O,T;H), alors (ffÀ  at dans L (O,T;H)
pour tout 1 < P < +00 et
(50) !luÀ-ull 00  IÀT ()AOuol+21Ifll 00 + Var(f;[OTJ ))
L (O,T;H) L (O,T;H)
Supposons d'abord que U ,u  DCA) et que f  VBCO.T;H).
o,^ 0
+
Posons aCt) = f(t+O) - tU (t)  Au(t). On a
+
1 d r 1 2
2 dt uÀCtJ-uCt) -(ÀuÀ(t)-a(t), uÀCt)-uCt))  -À(AÀuÀ(tJ-aCt),AÀùÀ(t))
=  À(!aCtJj2-IAÀUÀ(tJ!2-IAÀuÀ(t)-aCtJI2)   laCtJIL
Done
II u À -U 11 2 00  À C II a 11 2 2 - IIA À u À 11 2 - II A À u A -a 11 2 )
L (O,T;H) L (O,T;H) L 2 (O,T;HJ LZ(O,T;H)

EquatIons d'evolutlon assoclees aux opérateurs monotones
99
APplquant cette estmaton en substituant A à A et en utilisant l'égalté
(A ), = A, {CT proposition 2.6) on obtient
1J ^ ^+lJ
IIA u - A u I! 2 
À+lJ À+lJ U lJ L2(O,T;H)
IIA"UlJI12 - ! !A À + 1l U À + 1.1 1 ]2 2,
 L 2 CO,T;H) L (O,TJH)
On en dédui t que
!!A U I] croit lorsque À décrot et comme
À À L 2 CO,T;H)
IIA u II $ Ilall
À À L 2 CO,T;H) L2CO,T;H)
2. C . du d p
converge dans L O,T;H). Enfln dtÀ  dt dans l (O,T;H) pour tout 1<p<+
qU À
on conclut que AÀuÀCet don )
car À demeure borné dans
résulte de 1a majorat1on
00
L CO,T;H) quand A  O. L'estmatlor (50)
laCt) i  IfCt+O) I + !fCO+O)! + fAouol t Var(fj [O.T])
-
Supposons malntenant que f 8 L!CO,T;H) et u s DCA).
 0
Soient f s VB(O,T;H) et U o e DCA) et soient VA et vIes Solutlons respect1ves
des équatlons
OV À _ -'
-+ AAvÀ = f v À C01 = U o
dt
dv Av ;) f v(O)
- + = U
dt 0
On a
Ii U À - v À ! I   ! u À -  I + 11 f -f! I
L (O,T;H) 0, 0 L1(O,T;H)
]]u-vl] 00  ju -] + I]f-fl!
L (O,T;H) 0 0 L 1 CO,T;H)
l;v-vÀII  /ÀT cjAou o ! +2!(fl! +var(f;[o,T1))
L (O,TiH) L (O,T;H)
On en dédult que
- ,...,
11m Supl ]UÀ-U!!   2!u o -u o l + 2! jf-f!! 1
ÀO L (O,T;H) L (O,T;HJ
cette dernière express10n pouvant rendue arDltralrement pette.
Nous aurons besoin dans 1a suite de 1a démonstratlon des
lemmes SUlvants :

100
Equations d'évolution associées aux opérateurs monotones
L EMM E 3.7
Soit U o E H et soit U À la solution de l'ëquation
dUÀ
dt + AÀu À = 0 t uÀ(O) = u o . Alors on a
(51)
IIA À u À 1 f   Iu o -;f + If IAo;1
L 2 (0 t T ; H) Y t:.^
v e: D(A)
dv
En effet, sot v 1a solution de l'équaton dt + Av  0,
v (0) = ;. On a
+
 t luÀ(t)-v(t)12 = -(AÀuÀ(t) - AOv(t), uÀ(t)-v(t)
 À(AOv(t) - AÀuÀ(t), AÀuÀ Ct )
O'où par ntégraton
À J O T I A À u À (t) 1 2 dt  _ 2 1 I U o -; 12 + ÀIT I A oç; I "A U "
À À L2(0,T;H)
LEMME 3.8.
Soit U o e: H et soient uÀet u les solutions respectives des
équations
dUÀ
dt + AÀU À = 0
UÀ(O) = U o
du
ëf[ + Au 3 0
U(O) = Proj D(A )u o
Alors JÀu À converge uniformément vers U sur [O,T] et u À  U dans
L 2 (0,T;H) pour tout T < +00
Soit ; e: DCA) et soit v 1a soluton de l'équaton
dv
dt + Av 3 0, v(O) = ç;. On a P.R.
t IJÀuÀ(t)-v(t)12. C-AuÀ(t)- À t AÀuÀ(t) + AOv(t), JÀuÀ(tJ - vCt))
d
 - À ( dt A À u À (t), J À u À (t) - v (t)
O' où en intégrant par parties sur] 0, t [
IJÀuÀ(t)-V(tJ 1 2  IJÀuo-;12 - À(AÀuÀ(t), JÀuÀ!tJ-vCt)) + ÀCAÀu o ' JÀuo-)
+ J À(AÀuÀ(s), t JÀuÀ's) + AOv(s))ds

Equations d'évolutlon assoclées aux opérateurs monotones
101
Or
CAÀUÀ Ct ), JÀuÀC) - vCt))  CAOvCt),JÀuÀ(t)-uCt)) par monotonie de A
et
d dU À d ,
(AÀuÀ(tL dt JÀuÀ(t)) -(ë;t (t), dt JÀuÀ(tJ)  0 par monotonie de J À .
Done pour t e: [0, TJ
IJÀuÀ(t)-v(t)ll  \JÀUO-;12 + ÀIAo;1 \JÀuÀ(t)-v(tJI + luo-JÀu o \ IJÀuo-1
+ À II A À u À II IT \ A o 1 .
L 2 (O,TJH)
Par conséquent
IIJ,uÀ-vll co .$ IJÀu -I + 2ÀIA o ;} + /21u -J À u I IJ À u -I
^ L (O,T;H) a a a a
+ (2À T) 1 / 4 II U -; I I A 0  I + {2À T I A 0; \ .
a
O'autre part
Ilv-ull co  1-proj O(A )uol .
L (O,T;HJ
I1 en résu1te que
11m sup IIJÀuÀ-ull co  21-Proj O(A) Uol + 12 \Uo-proJ O(AJ I 1-Proj O(A )uol.
À L CO,T;H)
Le second membre de cette 1néga11té pouvant être rendu arb1tra1rement pet1t
(e prenant  V01Sln de ProJ OCAJ uo) on obtient
11m IIJÀuÀ-ull co = 0 .
À L CO,TJH)
Enf1n comme
l\uÀ-JÀuÀII
L 2 (O,TJH)
= À II A Ã u  II  15:'1 U - I + À/r I A 0; I '
L 2 (O,TJH) a

102
EquatIons d' évolutlon assoclees aux operateurs monotones
On a
lm II uÀ -u II
À L 2 (0,T;HJ
o
FIN DE LA DEMONSTRATION DE L POPOSITION 3. 10
Sot ô > 0 fixé et supposons que u À ne converge pas
unformément vers u sur [ô,T] . Alors 1 existe  > a et A + 0
n
tels que II u À - u II 00  .
n L (ô,T;H)
:onsdérons a < a < Ô el que flf(TJldt < /4 et posons
T 1 (t) = ( a
f(t)
sur ]o,e[
sur Je,T[
Soent VA et v les solutons respectives des équations
oVA
 + AÀv À = f 1 VA (OJ = U o
dv
- + Av .3 f 1
at
v (OJ =
Proj O(AJ uo
On a, pour t [O,T]
juÀCtJ-uctJI  luÀ(tJ-vÀ(tJI + IvÀ(tJ-v(tJ! + Iv(t)-uCt)1
 2 Jlf(S)-f1(S)ldS  IvÀ(tJ-vCt) I  /2 + IVÀCtJ-vCt) I
O'après Ie lemme 3.7, VA  v dans L 2 (0,e;HJ ; 1 exste donc to e
et une sute  extraite de À tels que v (t)  vet ). Comme
n n  a 0
vet )  DCAJ , on dédut (de la parte déjànétable de la proposton 3.10)
a
que V u (tJ  vCt) unformément sur [t ,T1 ' ce qu lmplique
n a
lm sup Ilu -ul I 00  /2. On arrve ans à une contradcton
n+oo n L (t ,T;H)
a
THEOREME 3.16
Soient An et A du 0 péltateJ..LItA maximaux mo not:o ne:ð ,
f et f  L 1 (0, T;H), u  D(A n ) et u  õ('Aj. Soient u et u lu
n on a n
.óoOnð 6a..i.btu Jt.upec..tivu du équ.a.t.ton6
du
n
(it
n
+Au .3f
n n
u (0) = u
n on
du + Au :3 f
dt
u (0) = u
o
.

Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
103
On 4Uppoe u  u , f + f danð L 1 CO,T;HJ, et p.p. sur ]o,r[ on 4
on a n
(52) CI+ÀCA n -f(t))-1 z + (I+ÀCA-fCt))-1 z
Alolt4 u c.onveJtge VeJt.6 u l.LVÚ.6oJtmeme.nt.6u1t [0, T]
À > 0 , z E O(A)
Nous commençons par consdérer 1e cas où f = f ; O.
-1 - n_ 1
Sot À > 0 fxé ; posons y = (I + IÀA) u , Y = (I+/À An) u.
a n a
Soent v, V À ' v et v À les solutons respectives des équations
n n,
+ Av .3 0
dt
cV À AÀV À = 0
-+
at
dv Anv
n 30
-+
dt n
dv À
 + A n 0
dt À v n, À
On a
v CO) = y
vÀCOJ y
v (OJ Yn
n
v n,À (0) = Y n
.
!un(tJ-uCt)! , lun(tJ-vnCt) I + !vnCt)-Vn,À CtJ! + !Vn,À (tJ-v À (tJ I
 IvÀ(tJ-vCtJ! + Iv(t)-u(tJ!
Or
l u (tJ-v (tJ I  ! u - y r et
n n .... on n
O'après (50) on a
jvCtJ-u(tJI  Ju -Y!
a
Iv (t)-v À CtJ!  JÀT ICAn)Oy I  Irlu -(I+ A n )-1 u I
n n.. n 0 a
et de même
jV À Ct)-vCtJ I  IÀT IAOyj  .,iT lu o -yJ
I1 nous reste enfn à estmer
jVn,À(t)-VÀ(t)!  !Yn-yl + f: IA vn,ÀCsJ-AÀVÀ(sJjds ·
et
n
pusque A À
IVn,ÀCtJ-vÀ(tJI
1
est lpschtzen de rapport r
 Iyn-yl + fIAVÀ(S!-AÀVÀ(sJldS + I flvn'À(s)-vÀ(s!ldS

104
Equations d'évolution associees aux opérateurs monotones
On dédut du lemme de Gronwall-Bellman (lemme A.4) que
r/À
I ,À (tJ-v À (t) I  clYn-yl + I IAvÀ- AÀvÀl1 ) e
L 1 (O,T;H)
On notera que vÀCt)  DCA) pour tout t  [O,T] grâce au théorème 1.4.
II résulte alors de l'hypothèse (52) que pour À fxé AVÀ + AÀv À
unformément sur [O,T] . II vent enfn
lm sup
n-++ oo
I tu -u II 00  21 u -y 1 + 2h I u -Y I
n L (O,T;H) a a
2C1+/TJ l u -(I+IXAJ-1L I
j a a
Cette dernère quantité pouvant être rendLe arbitrairement pette quand
À + 0, on en dédut Ie résultat.
Oans Ie cas général, soit
S = {H J (I+À(An_))-1z + (I+À(A-))-1z , VÀ > 0
Vz  DCA)}
Sat g une foncton en escaler sur [O,T] à valeurs dans S. Considérons
les solutons respectves w et w des équations
n
dw
 + Anw .3 g w (0) = u
d n n on
dw
- + Aw  g
dt
w(O)
u
a
Le résultat précédent applqué successvement sur chaque ntervalle de
[O,T] où g est constant mantre que w n + W unformément sur [O,T]
Enfn on a
II u -u II  I i g -f II + II g -f II + I I w -w I I
noon 1 1 n 00
L CO,TiHJ L (O,T;H) L (O,TJH) L (O,T,H)
et do nc
11m sup
n ..CIO
II Un -u II 00  2l1g-f II 1
LlO,T;H) L (O,T;H)
Cette dern1ère quantté peut être rendue arbitrairement pet1te d'après
Ie lemme A.O pusque fCt)  5 p.p. sur Jo,r[ (on vérfe aisément que
S est fermé).
REMARQUE 3.12
L'hypothèse (52) est évdemment satisfaite lorsque
(I+ÀA n )-1 z + (I+ÀA)-1 z pour tout À > 0 et tout z  H.

Equations d'évolutlon associées aux opérateurs monotones
105
DIvERSES GENERALISATIONS
Une grande partie des résultats qui préeèdent s'étendent
à des opérateurs qui ne sont pas néeessairement maximaux monotones. Nous
envsagerons brèvement deux examples :
10) cas d'un opérateur maximal monotone perturbé par un opérateur lpschten
20) eas d'un opérateur monotone (non maximal) tel que R(I+ÀA) sot néanmolns
"assez" grand.
10) P ERTURBATIONS LIPSCHITZIENNE S
THEOREME 3.17
Soient A un op mal monoone, 00 > a , f  L1CO,T;H)
.--
e;t U o  D (A) .
AtOIL6 il. ex.1Ae une -6olu..ti.on 6a.ible uniqu.e de l' équ.at.lon
(53)
du
- + Au - wu  f,
dt
u (0) =
u .
o
..
LolL6qu.e f  VB (0, T J H), a1..01L6 u u lip6c.hUzie.n -6i e;t
-6 eulement -61.. u  0 (A) .
o
Va.nð de c.a.6, 0 n a.
II du II co  e oot [ I (f(O+O) + wu o -Au o ) o! + Var(f; [0, TJ 
dt l (0, T ; H) JJ
s u et v sont deux solutions de (53), on a d'après (26)
luCtJ-v(t)!  lu(sJ-v(s)1 + W It IU(TJ-V(TJldT pour tout 0  s  t  T.
s
Done !u(t)-v(t)  ewtlu(OJ-v(OJI = 0, ee qu établlt l'uncité.
Consldérons la sUlte tératve déTinie par : U (tJ _ U
a a
et u 1 est la solution fable de l'équatlon
n+
du 1
n+
 + AU n + 1 3 f + wU n ' u n + 1 (0) = U o
Grâce à (26) on a
lu +1 (tJ-u (tJI  f o t wlu (s)-u 1 (s)lds
n n n n-
pour 0  t  T
n  1 .
Done
n
lu 1 (tJ-u (t)1  (W n t 1 J lIu 1 -u 1100
n+ n 0 l
.

106
Equations d'évolutlon associées aux opérateurs monotones
II en résulte que la suite un converge unformemeDt sur [o,r] Vers une
fonction u qu est solution faible de (53).
Inversement supposons que u
a
D'après la propositon 3.3.,
taut t  [o,r[ et
+ +
d u 1 d u 1
I dt n+ CtJI  I dt n+ (0)1 + Var(f : wun.[O,t])
t d u
+ Var(f; [O,TJ) + W fol dt n (s) Ids
Supposons que f  VB (O,r;H)
, ; i du A 
u est soluton fa1ble de 1 equat an dt + u,g avec
g = f + wu  VBCO,T;h) et d'après la propostion 3.3., u  DCA).
o
 DCA) et reprenons la sute térative u .
n
un est lpschitzen)dérvable à dro1te en
s u est lipschtzen, alors
 ICf(O+O)+wu -Au )01
a a
+
d u
I dt n Ct)1  { ICf(O+OJ+wuo-AUo)OI + VarCfi[O,T])}e wt
ce qu dêmontre Ie théorème par passage à la limte.
RErvARQUE 3.13.
Lorsque f  w 1 lCO,T;H), an obt1ent a1sément l'estmat1on
1  Ct)1  ewtICfCO+OJ+WUo-AUo)OI + f eW(t-s)I  (s)ldS
RH1ARQUE 3.14.
Soent A un opérateur maxmal monotone et 8 un opérateur
I1pschtzen défn sur DCA). Le théorème 3.17 permet de résoudre IJéquaton
du
dt + Au + Bu 3 f, ufO) = U o  DCA). 11 suffit de remarquer que A+8 = A 1 -WI
où west la constante de lpschitz de 8 et A 1 = A+8+wI est un opérateLr
ma^1mal monotone d'après la proposton 2.10.
PROPOSITION 3.12
So; ent 'f une foncti on convexe s. c. ;. pro pre sur H et 8
une application de [OtT] x D(1) dans Ht vérifiant
(54) ;1 existe w  a tel que IB(t,x1)-(B(ttX2)1  wlx 1 - x 2 1
Vt  [0, T] t VX 1 ,x 2  D(f)
-
(55) pour tout x  D(f). 1 'application t B(t.x) appart;ent à L 2 (O,T;H)

Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
107
Alors pour tout U o  D{f), il existe une solution unique u de l l équation
(t) + Øf{u(t)) + B(t,u(t)) 30 u(O) = U o
telle que It %t(t)  L2(O,T;H)
0'1 vér,fi.e .r:í-- ":ment que pour tout u  CC[O,T] ;H) on a
BCt,uCt))  L 2 (O,T:H). Considérons la suite itératve u déflne par u (t) _ u
n 0 0
et L 1 est'la Solutlon de l'équation
n+
du
 (t) + v(u 1 (t))3 - B(t,u (t)), u 1 (0) = u dont l'exlstence est
dt I n+ n n+ 0
assurée par Ie théorème 3.6. On a
lu n + 1 (tJ-u n ct)1  fIB(S,Un(S)J-B(S,Un_1Cs)ldS  w flun(sJ-un_1Cs)lds
I u + 1 C t ) - u C t) I  C wt ) n II u 1 - u II co
n n n! 0 L
et par suite
II en résLlte que un converge unformément sur [O,T] vers u qu est une
solutlon fable de Itéquaton
 + dy(U) 3f , u(O) = U o avec fCtJ = BCtJuCt)).
On conclut à l'aide du théorème 3.6. que u est une soluon forte et que
; - du 2
t dt CtJ  L CO,T;H).
REMARQUE 3.15 .
On falt les hypothèses de la propostion 3.12 avec de plus
Mlnf = 0 et 'f(v 0) = O. En suvant la méthode utlsée dans la démonstratlon
-2wt
du théorème 3.6. at en lntrodulsant 1e pods e on montre que
- J 1/2 l - ] 1 /2
I  (tJ12 t e -2lútd:J .( fIB(t'VoJ12 t e -2lút dt
+ 72C1+wT)Cluo-vol + J IB(t,voJ!e-wtdtJ
POPOSITION 3.13
Soit A un opérateur maximal monotone tel que
Int(D(A) ; ø et soit B une application de [O,T] x D(A) dans H vérifiant
(56) ;1 existe w  0 tel que
IB(t 1 x 1 )-B(t 1 x 2 )! , wlx 1 - x 2 1
Vt [O,T] , Vx 1 ,x 2  D(A)
(57) pour tout x e: D(A), 1 'application tt+ B(t,.x) appartient à Lco(O,T;H)

108
Equations d'évolution assoclées aux opérateurs monotones
Alors pour tout U o g D(A), ;1 existe une solution unique u g Wll(O,T;H)
de 1 'équation
(t) + Au(t) + B(t,u(t)).3 0
, u(O) = u .
o
La démonstration es semblable à celIe de la propositon
3.12 mas on conclut cette fos à,l'aide du corollare 3.3.
Indiquons enfn le résultat suivant de convergence
dont la démonstrat10n est une variane de celIe du théorème 3.16.
PROPOSITION 3.14
Soient An et A des opérateurs maximaux monotones,
f n et f g L1(0,T;H), u on g D{A n ) et U o g D(A) , w  o.
So;ent un et u les solutions
dUn n
dt + A un - wU n 3 f n
èu + Au - wu .3 f
dt
respectives des équations
un(O) = u on
u(O) = U o ·
On suppose que u on -+ U o ' f n -+ f - dans
(I+ÀAn)-lz -+ (I+ÀA)-lz VÀ > 0
L1(0,T;H)
et
et Vz g H
Alors un converge vers u uniformément sur [O,T]
20) CAS D'UN OPERATEUR MONOTONE NON MAXIMAL
THEOREME 3.18
Soli. A un opéJt.a:teuJf. monotone (non néc.e&.6a.Vteme.nt max-imal.)
e;t 6eJLmé fi. e. le gJta.phe de A ut 6eJtmé daYI.J.I H x HJ.
Soient c un c.onvexe 6e1tmé de H eX f e: L.lCO,T;H) teh que p.p. .6WL]O.T[
on CU-t :
(58) (I+À(A-fCt)))(C r\o(A)).:> C
'tJÀ > 0
AiolrÁ poUlt t;ou:t u g õ'"'fA) (\ c it æ.6te une .6of.u,t.ion 6a..l.ble u.n..l.que de
a
l'équa.úon
 + Au 3 f
, u (0) = u
a
De p!LL& u (t) g C paWL tou:t t g [0, T]
Soa to g [0, T[ un po-i.n.t de Lebe-6gue à dltoile de f ;
alolU> u(t )gDCA)
a

Equations d' évolution assoctées aux opérateurs monotones
10'
i... e;t e.u1.emen:t i. u eót délti.vabte à. dltolie en t e.t da.Y/..ð c.e c.a.6 þ
o
on. a.
+
d U
at
(t )
o
(fCt +OJ-ëõñV AuCt ))0 e f(t +0) - AuCt )
000 0
EA paJt:tJ...c.uii..eJt u ut olu..ttoYl. áoltte de t' éqt..t.et.Uon  + Au ;) f J.>-t e;t
 eul.emen.t i. u eAt .6ol.u.,t[OYl. ócú.bte de t' équa-Uon  + Au 3 f e.t u eAt
abJ.>o.eu.me.n.t c.onUnue Wt. totLt c.ompa.ct de. Jo, T [
LOMqu.e f E: VB(O,T;HL a1..oM u E: DCA) J.>i. e.t eu1.emen.t i. u eót üp.6c.hU-
o
zi.e.nne e.t da.nó c.e C.M u (t) E: 0 CA) n C paWL totLt t E: [0, TJ .
So 1 t S = { Y E: H ; ( I + A C A - y)) (C ('\ 0 C A) ) .:J C
'VA > O}
On vérlfle alsément que S est fermé, et par hypothèse f(t) E: S p.p. sur ]O,T[
""-I
L'opérateur A = A + dI ÕCA)nC est l' unlque p rolongement maxlmal monotone de
A \ ' ayant son doaine contenu dans OCA)f\C.
L- 
De plus (Ax-y)O = CëõñV Ax-y)O E: Ax-y 'Vx E: D(A)nC , 'Vy E: S.
En effet pour y E: S, l'opérateur B = Ale - y est monotone fermé et vérifle
R(I+ÄB) .:) C ..:) ëõñV O(A) fì C = ëõñV OrB) "
On dédult de 1a proposltlon 2.19 que DCA)C est convexe et que
B = B+dI oCAJ(.C = Alc-y+aI oCA)C = A+d IoCA)OC - y est l'unlq ue prolongemen
maximal monotone de B ayant son domaine contenu dans o(A)C. De plus pour
x E: o(8) = oCA)f\ C.
on a CB)Ox = CAx-y)O = C6õñv Ax-y)O E: Ax-y. Enfln on montre alsément que
OlA)nc = D(A ) 1\ C.
SOlt u 1a SOlut10n fa1ble de l'équation
dlJ
dt + Au .3 f u (0) = U o
---;:-;- -
On a u(t) E: DCA) = o(A)() C pour tout t E: [0, TJ. Lorsque to E:[O,T[ est un
pOlnt de Lebesgue à droite de f, on a d'une part fCt +0) E: Scar S est
a
fermé et d'autre part uCt ) E: DCA) = D(A)nC Sl et seu1ement Sl u est
o
dér1vab1e à dro1te en t ; dans ce cas on a
o
+
d U l ' t ) _ _ (fCt +03 "" A r )) 0 -
- u,t = (fCt +0) - conv
dt 0 a 0 0
Lorsque f E: VB(O,T;H), on salt que u E: DCA) =
a
u est 11PSch1tz1enne. Done sous ces hypothèses
aamet une SOlutlon forte.
Dans 1e cas général où f E: L1CO,T;H) et fCt) E: S p.p. sur Jo,r[ , on
COnsidère une suite Tn ße Tonctions en escalier sur [O,T] à valeurs dans
S tel1es que f n  f dans LlCO,T;H) (cf 1emme A.O).
50i t U on E: 0 (A) f\ C tel que u on  U o et soi t un 1a so lution (forte)de
l'équat10n
AuCt Jr E: fet +0) - AuCt 
000
DCA) 1\ C Sl et seulement s:
l'équat1on  + Au  f, uCOJ=u o
du
 + Au 3 f
d"t n n
u CO) = u
n on
Alors un converge uniformément sur [O,T] vers u qui est (par défin1tlon)
Solut1on(fa1ble) de l'équation  + Au 3f , ufO) = u o .

110
Equations d'évolution assoclées aux operateurs monotones
RErltARQUE 3.16
On fait les hypotnèses du théorème 3.18. Soi u une soluon faiDle
de l' équaton  + Au :;) f avec f e: L 1 (0 6 r; H). Supposons que to e:] 0 6 rJ
soit un pont de Lebesgue à gauohe de f et que u sOlt dérivable à gauche
d- u
en o. Alors uCt o )  DCA) et (to)
Notons que u est une solution fable oe
e: f(t -O)-Au(t ).
o 0 -.;
l'équation  + Au 3f
e: 0 (:A) = 0 (A)I) C et
grâce au
lemme 3.2 nouS obtenons seulement u(t )
d- 0
f(t -0) -  t u (t ) e: AuCt )6 ce qUl est insuffisant. Pour conclure la
o u- 0 0
démonstratlon noue utlserons Is métnode suvante
Posons 6 pour À > 0, 'fO,) = *(u(to-À)-u(o)) + u (to)' de sorte que
) m If Od! = o.
À-t{)
Comme f(to-O) e: S. 11 eXlste d'après l'hypothèse (58) [XÀ.ye: A
avec Xx e: C tel que uCto-À) Xx + À(YÀ-fCto- O )). Pusque [xÀ6YÀ]e: A,
on a grâce à (27)
u(t -u(t -h)
o 0
h
t
6 uCto-hJ-x x )  * J t O _ h (f(SJ-YÀ6 u(s)-xÀ)ds
o
'dh>O , tlÀ>O.
Par conséquent
-
( tU (t o )6UCt O )-x À )  (fCto-OJ-YÀ 6 (to)-XÀ) 6
d'où
.2. juCt )-x 1 2
X 0 À
u(t )-uCt -X)
 ( (t)+ 0 0
dt 0 À
· u{toJ-x À )
Done
I(to) - xÀI  À!1(À)!
et Iy, - f(t -0)+ d-u Ct ) I  21\J>(À) I
^ 0 dt 0 j
Efin comme A est fermé on a
-
d u
(t ) e: f (t -0) - Au (t ).
dt 0 0 0
REì:ARQUE 3.17
La concluson du théorème 3.19 demeure lncnangée si O
remp1ace l'hypothèse "A monotone" par "i1 existe  > a tel que A+wI SOlt
monotone". (Cf Brezis [6] théorème s 3 et 4 ).
REMARQUE 3.18
Les considérations précédentes sont auss valables pour
Ie problème pérodque. Indquons à titre d'exemple 1e résultat sUlvant :

Equations d'évolutlon assoclées aux operateurs monotones
111
sot A un opérateur fermé tel que (Y1- Y 2'x 1 -x 2 )  w!x 1 - x 2 1 2 [x1'Y1J  A,
v:!2'Y z l  A avec W > O.
Soient C un convexe fermé et f  V8(O,T,H) tels que p.p. sur ]O,T[ ,
(I+À(A-f(t)))(CnOCA))..:>C 'rJÀ > O.
Alors l'équaton  + Au 3f , u(O) = u(T) admet une solution forte
lipsch1tzienne et u(t)  C pour taut t  [O,T].

CHAPITRE IV
PROPRIETES DES SEMI-GROUPES DE CONTRACTIONS NON LINEAIRES
Plan
1. Une verSlon non I1néalre du théorème de Hllle-Yosida-Phillips
2. Propriétés de convergence : théorème de Neveu-Trotter-Kato pour
des sem1-groupes non I1néaires.
3. Aporoxlmatlon des semi-groupes non linéa1res
formules de Chernoff et Trotter
formule exponentlelle Þ
4. Sous-ensembles invarlants , fonctions de Liapounov convxes et opéra-
teurs -monotones.

114
Séml groupes de contractions non IInéalres
1 - UNE VERSION NON LINEA IRE DU THEOREME DE HILLE - YOSIDA - PHILLIPS
S01t C une part1e d'un espace de Hilbert H et S01t
{S(t)}tO une fanille d'acplications de C dans C dépendant d'un paramètre
t  O.
On d1t que SCt) est un sem1 groupe cont1nû de contractions
non linéa1res sur C (par comrnod1té on d1ra simplement sem1-groupe ) s'il
vérifie les propriétés suivantes :
C 1 )
S(O)
Id
et
SCt 1 )oSCt 2 ) = SCt 1 +t 2 )
\it 1 ,t 2 >, 0
(2)
l1m!SCt)x-x/
t+O
a
Vx g C
(3 )
/SCt)x-S(t)y/  Ix-yl .
'fX 1 Y g C
\it  0 .
Rappelons d'autre part (cf théorème 3.1) qu'étant donné
un opérateur maximal monotone dans H, l'application SCt) qui à x  DCA)
fa1t correspondre la valeur à l'instant t  0 de la solution de l'équation
 + Au 3 a , uCO) = x, définit un semi-groupe sur DCA) ; ce sem1 groupe est
prolongé par continuité à O(A). On obtient ainsi Ie semi groupe engendré
par -A sur DCA)
On va montrer qu'inversement, à tout sem1-groupe Set)
aéflni sur un convexe fermé C, on peut aSSOC1er un opérateur max1mal
monotone A unique tel que DCA) = C et que Set) c01nc1de avec Ie sem1-groupe
engendré par -A. Cette correspondance b1jective entre sem1-groupes et
opérateurs maximaux monotones généFal1se (dans Ie cadre hilbert1en) un
rásultat linéaire b1en connu de HILLE-YOSIOA-PHILLIPS.
THEOREME 4.1
Soli set) tOt .óem..i.-gJtoupe..óUlt un c.onve.xe. neJtmé C.
AtoM il e.x,(J,i:.e. un OpeuIL maximal monoi:.one. A u.YÚ.que. i:.el.. que. õ1Aj = c
et. que. S (t) c.o,(,ncúde. ave.c. Ie. .ð emi.-gJtoupe. e.ng e.ndJr.é pall. -A.
Au.tJteme.nt cLU:., il. ex.i.Ãi:.e. un opêJr.a..te.uJt ma.x-únal. monoto.te. A wúque. tel.. que.
o (A) C e.t que.
(4 
lim
t+O
x-S(t)x
t
AOx
pOUlt i:.out x g DCA)

Sémi-groupes de contractions non hnéalres
115
nicité
Soient A at e deux opératsurs maximaux monotones tals
que õfAj = 0 (8) = C et que
1:L1T'
t+O
x-SCt)x = AOx
t
'dx  DCA),
1:Lm
t+O
x-SCtJx
.t
= Sox
'rIx  O(B)
Comme SCt) est une contraction on a
(x-S(t)x - (y-SCt)y1 x-yJ  0
'ix,y e C
Donc
(AOx - BOy. x-y)  0
'dx e DCA) , 'dy e 0(8)
11 en résulte, puisque A O et B O sont des sect:LOPS
Dr:Lnc:Lpales Ccf propos:Ltion 2.7), que DCA) = O(8). Par conséquent O(A)=O(B)
et A O = 8 0 ; on conclut à 1'a:Lde du cor011a:Lre 2.2 que A = 8.
Avant d'aborder 'Ie problème de l'ex:Lstence de A notons
la propos:Lt:Lon suivante
PROPOSITION 4.1.
Soit A un opérateur maximal monotone et soit S(t) le
-
semi groupe engendré par -A sur O(A).
Alors on a
lìm (I + i (I-S(t)prOj O ( A ) ))-l X = (I + ÀÄ)-l x
t+O
En particulier
lìm (I + %(I-S(t)))-l x = (I + AA)-l x
t+O
pour tout x  H et tout ^ > 0
pour tout xO(A) et tout À>O.
Démonstration de la proposition 4.1 .
À .-1
Posons Yt = (I+rCI-S(t)ProJ OCA ) )) x , de sort a que
Y t + %(yt-S(t)proj OCAJ Yt) = x
Soit  e O(A) ; an a
(Y t - SCt)Proj OCA )Y t - (-S(tJ), Yt-)  0
Done
( 5)
X- Y t -S(t)E;
(-r- - t ' Y t - )  0
Comme
1:Lm
t+O
-S(t) = AO
t
Ccf théorème 3.1.), on deduit de (5)

116
Séml groupes de contractions non hnealres
que Y t demeure borné quand t + o. Soit t n + 0 tel que Y t u on a
n
( XÀ u - AO, u-E;)  0
De plus u  D(A) car S()Proj D(A) Y t  D(A) et lyt-sCtJProjõ(A)Ytl + 0
quand t + O.
[ X-u ]
II résulte de la propostion 2.7 que u;-r-  A .e. u JÀx
Par sute YtJÀx quand t + O.
Enfln, on a grâce à (5)
CI+ÀA) -1x.
11m sup JYtl2  (x,JÀx-) + (JÀx,) - À(AO, JÀx - E;).
t to
Prenant en particuller E; JÀx, il Vlent
lm sup 1Ytl2  IJÀxlL et donc Y t + JÀx quand t + o.
t+O
Inersement, étant donné un semi-groupe Set) sur C,
il est naturel de commencer par établir que (I+i(I-S(t))- converge
quand t '" O.
LEMME 4.1.
Soit S(t) un semi groupe sur un convexe fermé C.
Soit x  C et posons YÀt  (I + i(I-S(t)))x 1 .
Alors YÀt converge vers YÀ lorsque t + 0 avec t  Q (À étant fixé )
li}e plus YÀ + X quand À + a et
IYÀ-sct)YÀI
t
IVit- xl
 À
pour tout t > o.
Soit ô() Ie module de continuité de la fonction
t  S(t)x en t = 0, i.e.
Ix-S(t)xl < 
pOur 0 < t < ô().
La démonstratlon du lemme 4.1. est bñsée sur les lemmes suivants.
LEMME 4.2.
Soient cr,T tels que cr = nT ( n entier  1) et
o < cr < ô()
Alors IYÀcr - YÀtTI2  2 !YÀ,T- xj
Démonstration du Lemme 4.2.
Pour simpllfler les notations on peut toujours se
,
ramener au cas où x = 0 et poser Y = YÀ,t de sorte que
Y t + (Yt-S(t) Y t ) = o.

Semi groupes de contractIons non Iméaires
117 _
L'Ud l 
I. ,....n un i:J
jY1 ;(l'-t)Yú ! } Ytl
I'J(t)y - (kT)Yr(1  Iy - (k-1)1:)Y I,
r 'J 1: 0
lJ 'utJ
Iy - (l)Yr(ll + 2(y -(kr)y . ! Y T )  !YT - S((k-1)T)y cr ,2
T v T 0 À
In summònt ces inugòltés, on obtent
21' n
iy -S(O)Yr(!2 + -- \ (y - S(k1') Y , y )  !y - y I
 v ^ k1 TOT T 0 l
Or
[YT- sco )Y o I2_!YT-YQ- Ì YolIY1'-Yol - O (YT-YO'YO) et
n n
 r (YT-ST)YO'Y)   Iyll -  L (S(kT)Yr('Y T )
^ k1 ,^, ^ k=1 v 
Par conséquent
1 n
lyTIL - (Y1"Y cr ) + jYol2  ñ L (SCkT1y o 'Y T )  lyTI (!Yol + s)
k:::1
O'où com p te tenu de l'né g alité !Y ! ly I < - Iy ! + - !Y I
TO'; T 2 ; 0 2 ,
il vent IYT-YoI2  slyT-xl
LEMME 4.3.
jYÀ,T- X !
On a
2
 2s{1 + 6TëT )
Dour tout À > 0
et tout T s }O,ó(s)[
Démonstration du lemme 4.3
Si (S )  T < o(s) , on a
I Y À.1'[  À:T lSCT)Y À ,1'1  AT (IYA,T! + s)
et donc
!y, . T ! < AS < 2À
^. ... T ö(s)
51
r <
õ(t:)
l
il exite un entier n  1
tel Que
ó (E:) < n1' < Ô (E:) .
2 ....
D'après Ie lmme 4.2 on a
jy\,1' - Y\.nll  l!YÀ.rl

118
Séml groupes de contractions non IInéaires
Grâce à ce qU1 précède
I I <( 2Àe:
YÀ,n1' '
öCe:)
et par conséquent
IYÀ,-r 12  2 IYÀ,-c' IYÀ,n1" + 2e:IYÀ,-r1  21YÀ,1' 1 (  ) + e:)
Dé)r.stratìon du lemme 4.1.
D'après Ie lemme 4.3 on sa1t que IYÀ,t l demere borné
quand t -+ 0, sOJ.t IYÀ,t- xj  M pour t e:Jo,ô(e:) Montrons que YÀ,t est
de Cauchy quand t -+ 0, t e: .
S01t e: > 0 et soient t e: ] Q,öce:)[nQ
t 'e: ] O,ôCe:)[I1Q
Soient n et n I des ent1ers  1 tels que
t t'
-=-=1'
n n'
Le lemme 4.2 monre que
!YÀ,t - YÀ,T/ 2  2e:I Y À,T - xl
!YÀ,t'- YÀ,-r!2  2e:/YÀ,1' - xl
Par sUJ.te
! Y À , t - Y À , t ,I  2 1 2e:M
Posons
YÀ = 1im YÀ,t; on déduit du lemme 4.3 que
t+O
te:Q
IYÀ-xi  2e:C1+).
ö(e:)
En part1culier si 0 < À < ö(e:)
on a IYÀ -xl  Be:
t
et T = ñ ' on a
Enf1n étant donnés t e: ij ., t > a
!YÃ.T - SCtJYÀ,T 1
t
/YÀ,T - SCT)nYÀ,T
t
Or
/YÀ,T - S(T)n YÀ,T 1
/ \ :i:-1 i I I I
= L SeT) YÀ,T - SeT) YÀ,T  n YÀ,T - SCT)YÀ,T
J.=1
et donc
T
IX-YÀ,T 1
À
IYÀ,T - SCt)YÀ,T 1
t
J YÀ,T- S(T)YÀ,T 1


Séml-groupes de contractions non IInéaires
119
passant à la lmite quand n  + Ct et À fixés), il vient
IYÀ-sct)yÀI
t
Ix-yÀi

À
pour tOut t e: (I
t > 0 .
Par contnuité6 on obtent 1a même estimat10n pOur tout t > O.
Démonstrat;on du théorème 4.1.
Ex; s tence
Introdu1sons
0 {xe:c Sup J x-S(t)xl < +}
0 t>O t
DCA ) {xe:C 1 x-S(t)x existe}
1m
0 t+O t
et A x = lim
o t+O
x-S(t)x
t
) déf1n1 pour x e: DCA )
o
Comme Ao est monotone, 11 existe un prolongement maximal monotone A de
....
A tel que D(A)C: ëõñV o(A ) c: C Ccf corollaire 2.1). So it SCt) Ie semi
o 0
groupe engendré par -A sur D(A) .
Eant donné x e: 0 , 1a fonct10n t  u(t) = S(t)x est 11psch1tz1enne en
o
effet
ISCt+h)x - S(t)x! = ISCt) S(h)x - SCt)xl , !S(h)A-xl , Mh
où M = Sup J S(t)x-x L
t>O t
Scit to e: ]0, +(un p01nt où uCt) est dérivable. On a
du (t )
dt 0
1im
h+O
set +h)x - set )x
o 0
h
1 i Il't
h+O
S(h)u(t )-u(t )
o 0
h
Par sU1te u(t ) e: o(A) et dU Ct) = -A u(t ).
o 0 dt 0 0 0
La fonction u(t) étant 1ipsch1tzienne est dér1vab1e p.p. (ef eoro11aire A.2)
et on a
du C t) + Au C t) 3 0
dt
II en résu1te que x e: õTA1
p.p. sur JO, +[
^
et SCt)x = SCt)x pour tout t ? O.

120
Séml groupes de contractions non IInéalres
Par conséquent 0 c... õ1'A)
o
^
et SCt)x = S(t)x pour tout t  0 et tout xED
. 0 ·
EnT1n Do=C d'après Ie lemme 4.1 Cpuisque YÀ E Do et YÀ x quand À + 0) ;
---' A
Donc D(A) = C et SCt)x = S(t)x pour tout t  0 et tout x E C.
COROLLAIRE 4.1.
Supposons que dim H < + et soit S(t) un semi groupe
défini sur un convexe fermé C. Pour tout x E C t lâ fonction t  S{t)x est
dérivable p.p. sur JOt +[ est dérivable à droite en tout t E j Ot+ [þ
II sufT1t d'appliquer Ie théorème 4.1 et Ie corollaire
3.1. II est en fait 1nûtile de supposer que C est convexe et fermé car tout
semi-groupe déf1ni sur C peut être prolongé en un semi-groupe défin1 sur
èïJñv C. (cf Komura (2J et aUSS1 Bréz1s-Pazy [1J).
PROPRIETES DE CONVERGENCE THEOREME DE NEVEU-TROTTER-KATO POUR DES SEMI
GROUPES NON LINEAIRES
II est b1en connu oans Ie cas I1néaire, quétant donnée
une suite d'opérateurs An et de semi-groupes S Ct) engendrés par _An, alors
n n -1
la convergence des S Ct) équ1vaut a la convergence des résolvantes(I+ÀA )
n
On se propose d'étab11r un résultat semblable pour des opérateurs non
I1néaires.
THEOREME 4.2.
Soient (A n ) 1 e;t A du 0 péJta.te.uJt.4 ma.x..ima.ux mo noto nu
teL que 0 (A) C. 1 DCA n -). n
Suie.nt S (t) e;t set) tu -6e>>ú-gJtOupu e.nge.ncVté-6 Jtupec-üvement pM
n
_An e;t -A.
Ae..olLó tu pltopMÆtêJ> -6u.Lva.ntU .6ont êqtú.va.teYLte.6 :
i) pOM.tout x E: D(A) , S Ct)x + S(t)x tOJL6que n  + wú6olWlême.nt
_n
.6UlL MUlL c.ompact de Lo, + [
il) POM tout x E DCA) e;t tout À > 0, (I+ÀA n ) - + CI+ÀA)x 1 tolL6que n  +00

Séml-groupes de contractions non hnéalres
121
L'impl1cation ii) 1) résulte directement du théorème
3.16.
Oémontrons que 1) 7' 3.1)
n (I + (1-S (t))f1 x
Y t t n
posons pour x g O(A)
À -1
Y = ( I + -( I - S ( t ))'1 X
t t 'J
n
z
(I + ÀA n )-1 x
et
-1
z = (I + ÀA) x.
La convergence de S Ct)x étant un1forme sur tout compact
n
de [O +oo[  il existe un module de contfunuité Ö(E) en t = 0 commun à tous
les S i.e.
n
Is (t) - xl < E pour tout t g [O,ÖCE)[ et tout n  1
n
IsCt)x - xl < g pour tout t E [O,ÖCE:)[
On a d'après Ie lemme 4.3.
I n I 2À
Y t - x  2 ( 1 +-rrn ) et
I Y t -x I  2 (1 +  1 )) Jour t e. [0  ô (1 ) [
II résulte du lemme 4.2. que
I n n l 2À
Y t - Y s  4E(1 + ð(1))
et
IYt-Ysl  4E(1 + 1 ))
pour t E jo,ö[ avec ö=Min{ö(E) ,ö(1)} et
t.
s = - , m ent1er  1 .
m
Passant à la 11mite qûand m  +00, on obt1ent grâce à
la propos1t1on 4.1
I n " j 2À
Y t - z  4g (1 + 6(1))
et
!Y t - zl  4E(1+ 1 )) pour t E ]O,ô[
Ainsi
Izn-zl  8EC1 + 1 )) + Iy - Ytl
pour tEl0,Ö [
Or
n
Y t - Y t =
À n
(SnCt)Y t - SCt)y t )
À+t
et donc
Iy - tl   ISnCtJY t - SCt)ytl

122
Séml groupes de contractions non hnealres
Par conséquent
lm sup Izn-zl  88 (1+ ô) )
n+OO
et
lim zn
n++ 00
= z
REMARQUE 4.1.
Dans Ie cas d'opérateurs linéaires l'implcaton
) ii) résulte drectement de la formule
-1 1 J +OO -t/À
(I + ÀA) x = X DeS ( t ) x dt .
On construit aisément des exemples montrant que eette représentat10n n'est
pas valable pour des opérateurs non linéaires.
PROPOSITION 4.2.
Soit (An)nl une suite d.opérateurs maximaux monotones
et soit Sn(t) 1e semi groupe engendré par _An. Soit C un convexe fermé tel
que pour tout x 8 C et tout À > Ot (I+ÃAn)-lx converge quand n + +00 .
On pose JÀX = 1im (I+ÀAn)-lx et on suppose que JÀCc.C pour tout À > O.
n-++ oo
Alors Co = i>ó J À C est convexe et 11 existe un semi
groupe S(t) sur Cot un ique, vérifiant :
pour toute suite x n 8 D(A n ) telle que x n + X avec x  Co on a
S(\(t)x n  S(t)x uniformément sur tout compact de [0,+00[.
De plus s; -A désigne le génêrateur de S(t) alors
JÀx = (1 + AA)-lx pour tout x 8 C et tout À > O.
Posans In = (I + ÀA n )-1 et cons1.détans
À
A(À) = { lJ À x , x-JAx J x 8 C} .
^ '
Soent x, y 8 C ; on a
x-Jx y-JY n n
(--x-- -  ' JÀx - JÀy)  a pour tout n  1 et À > o.
Passant à la limite quand n + + I 11 vient
x-JÀx y-JÀy
(--x-- - --x-- JÀx - JÀY)  a
A(À) est monotone.
'dx,y 8 C
'r/À > 0 et done
D'autre part pour x 8 C at À   > @, on a
n n  À- n
J À x = JpCX x + À J À x) pour tout n  1 .
Posant  = .H. x
À
À-lJ
+ --r- JÀx 8 C,
on obtient

Sémi-groupes de contractions non linéaires
123
IJÀX - Jpzl , IJÀx - Jxl + IJ( * x + ÀP Jx) - Jzl + IJz - Jzl
 (1 + À ) IJÀx - Jx\ + IJz - JpZ\ .
Par conséquent J À x = JpZ ; cec mOl"'tre que A (À) C A (\.1) pour À  p > a .
\ \ -1
L'opérateur A = VA(À) est monotone fermé et vérf1e J À x (I+ÀA) x
o  0
pour tout x E C et tout À > O.
Par application de 1a proposition 2.19, oCAo) est convexe et A = Ao + ðI OCA )
o
est maxmal monotone.
Or rdo J À C c.O(A )c LJ
o À>O
Grâce à la propos1ton 3.16
-A répond au problème.
J À C et par suite Co
o (A ).
o
on voit que Ie semi-groupe Set) el"'gendré par
POur démontrer l'unicité, i1 suffit de remarquer que pour tout x E C,
11 existe x E D(A n ) tel que x  x.
n n
COROLLAIRE 4.2.
Soit (An)  1 une suite d'opérateurs max;maux monotones
n
et soit Sn(t) le semi groupe engendré par _An. On suppose qulil ex;ste
Ào> 0 tel que pour tout x E H (1 + ÀoAn )-lx converge quand n + +
et on pose
J À = lim (I + Ào An)-lx
o n-++
Alors Co = R(J À ) est convexe et ;1 ex iste un semi-gro;=
S(t) sur Co' unique, vérifian :opour toute suite x n E D(A n ) tel1e que
x n  x avec x E C . on a S n (t)x  S(t)x uniformément sur tout compact
_ 0 n
de LO.+[. De plus si -A dés;gne le qénérateur de S(t), alors
(I+ÀAo)-lx + (I+ÀA)-l x quand n  +, pour tout x E H et tout À > O.
O'après 1a propositon 4.3 11 suff1t de prouver que
n -1
CI+ÀA) x converge quand n + + pour tout À > 0 et tout x E H, et
11m (I+AA n )-1 x = JÀx E R(J À ).
n+ 0
À
On commence par Ie montrer Dour À >  at Ie cas général
2
s'en déduit par réitération.
Ào
S01ent donc À > 2: et x E H. 11 existe  E H unique tel que
À ÀO-À . \0 Ào
x =  + -xo- J Ào ; et l'app1catJ.on À; t+ r x + (1 T) J Ào ;
contracton de H dans H (puisque \1 -  I < 1).
est una

124
Sérm groupes de contractions non hnéalres
n n -1
Posant J À = C1 + ÀA) . on a
I n I I n Ào À - Ào n n n
JÀx - JÀo  J Ào Cx- x + T J À x) - J Ào I + IJÀo - JÀo1
I Ào-À I I n I I n I
 À JÀx - JÀo + JÀo - JÀo .
Done
IJx - J À o I  À IJ n  - J 
À-IÀ-Àol Ào Ào
n
et par eonséquent J À + JÀo quand n + + _
3 - APPROXIMATION DES SEMI GROUPES NON LINEAIRES . FORMULE EXPONENTIELLE .
FORMULES DE CHERNOFF ET TROTTER
THEOREME 4 3
So..c...t A un opélta.tewr. max-imal monotone e;t .ðoLt SCt)
le .ðøM. gJtOupe engendlLë paIL -A.
SoLt C un c.onvexe 6e1tmé de H e;t .ðoLt {FCp)t>O une 6amd.te de c.on:tltac.t.<.Onð
de C c.la.n.ð c.
On .ðuppo.ð e qu.e
À -1
(6) limC1 + -(1 - F))) x
y P
AloJrJ:J, pOUlt;tou;(; x  DCA) n C . FC!)n + SCt)x qu.a.nd n + + , u.n.i.6oJt.-
n
mémen.t .ðUlt ;touJ:. c.ompa,á de [D. + [
C1 + ÀA)-\
'tIx  0 CA) () C , 'tIÀ > 0 .
1
Pour tout ý>O. 1 'opérateur AJ = jCI-F)) + alC
est max1mal monotone . soit Sf(t) 1e semi-groupe engendré par -A sur C.
Pur x  C, 1a fonet10n u(t) = SpCt)x vérif1e
du 1
ot + P (u-FCP)u) = 0 , u(O) .. x J on déduit alors du théorème 1.7 que
, j t t ] 1 /2
(7) Is/t)x - FCf)nxl $ n - p )2 + j Ix-- FCf)xl.
Posons JiX = (1 + ÀA fÞ )-1 x et JÀx" (1 + ÀA)-1 x .
,
L'hypothèse (6) expr1me que JÀx + JÀx pour tout x  OCA)nC . done en
partieulier JÀCOCA)("\ C) C:C et OCA )nC" O(A)f)C .

Séml groupes de contractions non hnéalres
L'opérateur  Alc
RO: ... ÀS):::) OCA)lîC
A ::. A I + aI = A +
C C
X E: DCA) .n C . anfin
et tout À > O.
est monotone. fermé et vérifie
= ëõñV OCB). O'après la propostlon 2.19
aI est maximal monotone at C?r)Ox 2 AOx pour tout x
l.. ... -1 -1
CI + ÀA) x = C1 + ÀA) x pour tout x E: DCA)  C
Il résulta du théorème .j.IS Cou bien 4.2) qua pour tout x E: OCÃ) OCA) f)C.
SjlCt)x -+ SCt)x QlIMd j.... a ,unHormémant sur tout compact de 19. +co[ où
set) est le semi groupe engandré par -Ã. Or i1 est aisé de vérifer que
SCt)x .. SCt)x pour tout x E: õTA') () C.
Sm t x E: õëÃ1 rì C J on a
IFC*)n X - SCthl  IFC%)n x - FC*)n J/'\I + !FC*)n J/- St/n Ct ) J/n XI
+ lSt/nCt) J/nx - SCt) Ji/nxl + ISCt) J/nX - SCt)x!
 21x - J/nxl + lSt/n Ct ) J/nx - SCt) J/nxl + J/nX - FC*) J/nxl
(on a apphqué (7) avec f= tIn)
À > a . 10rsqua n -+ +co I J t/n .... JÀx
I s Ct) J t/n x - SCt) J/nxJ .... a
tIn À ^ I
FJ.xons T> 0 et
t E: ]0. TJ et donc
t E:jO.
uniformément pour
uniformément pour
Enfln
!J/nx - FC*)J/nxl .. *ICA t/n J/n x)OI  * !A/nxl et
/ñ"'J t/n - FC!)Jt/n X j .... 0
nl À x n À
uniformément sur]o.T]puisque A/n x -+ AÀx
qùand n .... +co I uniformément sur JO.TJ
1im sup I!F(!)n x -S(t)xll co  2!x-J À x! I
n-++CO n L (O,T.H)
pour tout À > O. ce qui démontre le théorème.
Par conséquent
REMARQUE 4.2.
Le théorème 4.3 admet une réciproque. plus précisément les
propriétés suivantes sont équiva1entes
( i)
À -1 -1
hm CI + -(I-FCr))} X. CI+ÀAJ x
f-+O .f
\Ix E: 0 CA) n C I \lÀ > 0
125

126
Sémi-groupes de contractions non hnéalres
(li)
pour tOut x e: D(A) n C F(!)n x -+ S(t)x
n
UnJ. formén,nt sur tout compact de [0, +00 [, PrOjõfAj
c
c::: c
et {x e: D(A)(\ C
Ix - FCfJxl = 0 (.p)} est dense dans DC.A,) 1'1 C.
COROLLAIRE 4.3.
Soit A un opérateur maximal monotone et soit S(t) le
ei-groupe engendré par -A.
Soit {F(?)}ý>O une famil1e de contractions de O(A) dans D(A) tel1e que
lim x - FÚ')x = Alx pour tout x e: D(A)
p-+O f
où AI est une section principale de A.
Alors, pour tout x e: D(A) . F(i)n x -+ S(t)x quand n -+  . uniformément sur
tout compact de [O. [
1
SOlt A = -CI-FCf)) + dIõ(A) ; pour tout x e: DCA)
1 11> f
pCx-F C.p) x) e: Af x et p(x-F ( ) x) -+ A I X quand f -+ o. Grâce à 1a proposi tlon
-1 -1
2.8, CI+ÀA) x -+ CI+ÀA) x pour tout x e: DCA) et tout À > 0 ; autrement dt
À -1 -1 ----
cr+ fCI-FCr))) x -+ CI4ÀA) x "VX e: DCA) , "VÀ > O.
On est alnSl ramené au théorème 4.3.
COROLLA1RE 4.4.
Soit A un opérateur monotone et soit S(t) le semi-groupe
engendré par -A. Alors. pour tout x e: D(A) , (I.A)-nx -+ S(t)x quand
n
n -+ +00 uniformément sur tout compact de [0,+00 [
:1 pr5cisément on a 1(1 +! A)-n x - S(t)xl  2t IAoxl pour tout
n Iñ
x e: D(A) , t  0 , n  1.
Enfin pour tout x e: H . (I + i A)-n x -+ S(t)proj O(A) x quand n -+ +>>
un; formément sur tout compact de ] 0 ,[
-1
ApliquQnt 1e coro11aire 4.3 avec FCf) = (I+fA)
- t-n
on voit que pour tout x e: DCA), CI + - A) x -+ S(t)x. Consldérons
n
l'équatlon
dU À
d't" + A À u À = 0
avec x e: D(A) 1e théorème
IU À (t) - (I + ÀA) -n x I  [cn
UÀ(O) = x
1.7 mantre que
- ìJ 2 + ì f/2
Ix - (I+ÀA)-1 x l

Séml groupes de contractions non hnéalres
127
O'autre part on sat (cf estimat10n (11) du chapitre III) que
IWÀlt) - S(t)xl  72  IAoxl
Par conséquen't
I (1+ÀA) -n x - SCt)x I  {nÀ-t) 2 + tÀ] 1/2 + 72 ÝÂt } IAox I
en particu1er si À = ! , on obtent 1e résu1tat désré.
n _
On verrait de même que pour tout y E O(A)
( - + _ t A) -Cn-1) Y  S(t)y d f ' t t t t
1  quan n -+ + , un ormemen sur ou compac
...n _
as IE, +L
Or (I + ! A)-n x = (I +! A)-Cn-1J(1 + ! A)-1 x , et pour x E H,
n n n
t -1
(1 + ñ A) x -+ Proj OCA) x quand n -+ + , un1formément sur tout compact
de JO,+[ (cf théorème 2.2.)
PROPOSITION 4.3.
Soient A et B deux opérateurs maximaux monotones tels
que A + B soit maximal monotone.
Soit S(t) le semi-groupe engendré par -+.
Alors pou r tout n
x e: D(A) n D(B) . [(1 + * A)-l(I + * B)-I] x ... S(t)x
quand n -+  , uniformément sur tout compact de [o,+oo[
App1quons 1e théorème 4.3 avec C = H et
-1 -1
fCf) = (I +fA) (I +fB) . II sufft de montrer que pour tou't
x e: O(AJ(10(BJ . Y f = (I + j (1-F(f))-\ converge vers (I + À A+B J-\
qUclnd .f+ O.
-1 Y 9 - Zp
Posons Z.f = (I + pB) y et 6J? = e: Bzp , de sorte que
p
 P -1
(1+ '--'y - -x · (I+,rA) z" et
^:y À "
-(ß p + r y, - t x ) e: A (1+ f)y - x)
Soient v E O(A)nO(B) , E; E Av et n E 8v
appl1quant la monotone de A et 8, 11 vent
(E; + ß t + IY! -IX, v-(1 +1-)'l +tx)?O et (n - ß p ' v - Z.f) o.
O'où

128
Séml-groupes de contractions non linéalres
r(1 + f) (" 1 2  ( +  - X X, V - (1 + 1-)Y,p + f x) · r(yp , V +  x)
et .P Iß,p (2  (n - ß t ' V - Y.f) + .f(11,6,,).
Par addton on obtent
(8) 1.(1 +.E.)IY p I 2 +91 ß f 1 2  (ç: + 11 -  x, V - Y,p) + .e.(ç: + ß f -1 x, x - Y )
À À À À P
+ 1. ( Y , V + .f. x) + f (11, 6 J:  )
À f' À
II en résu1te que lyl' I et p 16,t12 sont bornés quand P -+ O. So t Pn -+ a
tel que YP n Y J on a
lyl2  (ç: + 11 - 1. x, v-y) + * (y,v) elest à dire
À
1 1
(ç: + n - X X + X y, v-Y)  O.
On en déduit que XCX-y)   (y) pu1sque A + B est maximal monotone.
Done y = (I + À Ä:s)-1 x et Y r -'Y quand y-+ O.
EnT1n reprenant 1 1 estimat10n (8) on a
11m sup llY f 1 2  Cç: + n. - I x, v-Y) + lCy,v) pour tout v  o(A)" o(B) ,
j-+O À À
  Av et n  Bv.
Par sU1te 1im supll,,)12 (-XX, v-y) + I(y,Vl pour tout
l' -+0 À
r., - 1 1
,l  A+B, et done lm sup À 1Yrl2  xIYI2
/-+0
PROPOSITION 4.4.
Soient A et B deux opérateurs maximaux monotones univoQues
tels que A + S soit maximal monotone. On désigne par SA(t), SB(t), SA+S(t)
les semi groupes engendrés respectivement par -A, -B, -(A+B).
- - -1
Soit C un convexe fermé contenu dans O(A)" O( B) tel que ( I+ÀA) C c.C
et (1 + ÀB)-1 C C. Alors, pour tout x e C  D(A) n D(S),
[SA() SB()J "x converge vers SA+B(t)x quand n + -1<0, uniforménv>nt sur tout
compact de @,+co[

Semi groupes de contractions non IInéalres
129
On va appliquer Ie théorème 4.3 avec F) = SA (f) Ss(f).
Noons Que c.après 1e théorème 3.18, F(!) est une contracton de C dans C.
x-F( ç, )x
Montrons d' abord que 1im :: Ax + Sx pour tout x E C AD (A) () 0 ( '3) .
.f'-+D f
En effet on a
x - F (P ) x = x - SA (P) x
.f p
+
SACp)x - SA(f) SS(p)x
P
1e premier terme tend vers
SACf)X - SAC)') Sa(f)x
.F
I x - S8 (p) x I
Or I Y f I  ? 
Ax et i1 SUT Çi t done d' étab1ir que
Y =
j
tend vers Bx.
lax I applquant la monoton1.e de I - SA (j>)
en  E OrA)
-SACf)
C +
o
J
et Sa (p ) x
x-Ss(p)x
P
on a
x-SA(f)X
P - Y f '  - SB(f)x)  a
Soit Pn -+ a
tel que
Yfn  Y ; on obtJ..ent à 1a limite
(A + Bx - Ax - y,  - x)  0
pour tout  E O(A).
Done Y + Ax - Bx :: Ax , c'est à dJ..re Y = Bx.
On en dédut que Yr-J. Bx quand.f4 a et comme Iyy I  lax I on a
À -1
Yl -+ Bx qûandf-+ O. EnfJ..n montrens que Zy = (I + j(I-FCf)) x
(I + À(A+S))-1 x pour tout x  C
tend vers
Applquant la monotonJ..e de I - FCp) en ZJ'I et   C () O(A) I) DeS)
(  À -Zf _ -F (p )  ) .... A
.P z.f - 1:0 "/ ·
on a
Par eonséquent z demeure borné quand f-+ a soit JPn -+ a tel que
Z  z.
./n
On a Z E C et à la 11.mite
( - AE - B , z-)  a
À
\;/  C "DCA) r. DeB).
Mais d'après la proposition 2.18 z'
(I + ÀCA+B))-1 x appartent à
C ;ìOCA) Iì O(B). Prenant en partcu1ier  = z', on vot que Z = z',
at done Z.r(I + ÀCA+Ij))- quand f-+ O.
De plus
lm sup rlzfl2  (Aç: + s; - * x, ç: - z) + .!.(z,) pour tout ç: E cnO(A)t)O(B)
p-+-O À
Remp1açant ç: par Z on a 1J..m suplzpl2  IzI2 et par conséquent
.P
Z P -+ Z quand Y -+ O.

130
Sémr groupes de contractions non hnearres
GUS ENSEMBLES INVARIANTS, fGNCTIGNS DE LIAPOLINOV CONVEXES [1 fWERATEURS -MONOTONES
.
Soit A un opérateur ma^mal monotone et sot Set) Ie
s8mi-grupü engendré par -A sur D(A). On d1t qu'un sous 8semble C convexe
et ferm est nvarlant par Set) s1 S(t)(D(A) n C)C= C pour tout t > 0
On dt qu'une fonct1on 'fconvexe s.c.. propre est une
foncton de Llapounov pour Set) s1 l'on a (S(t)x) f(x) pour tout
x e: DCA) et tout t ? O.
On notera en partlculler que C est lnvar1ant par S() s et seulement s
f= Ie est une fonct1on de Liaoounov pour Set).
On S8 propose d'établlr d1verses propr1étés des fonct1ons de L1apounov
et des ensembles convexes nvariants.
THEOREME 4.4.
(1)
SoU fane. none.ûaY1. c.aY1.ve.xe .ó. c..-i.. pJtopJte. :teile. qu.e.
f ( Pro j 0 (A) x) .( f ( x ) paWl. tau.;(: x e: H.
SoLt S (t) te I.> e.m-i. gJtoupe. eng e.ndJté pM -A.
tu pJtop1t-i.été,, -6LU.vantu -6ont équ,-r..vale.ntU.
-1
'f ( ( I + XA ) x)  '1'( x) pOUJL tau.;t If( e: H e;t taut X > 0
CA À x. Y )  0 pOUJL tau.;t Lx, y] e: df e.:t tout À > 0
AtoM
(1)
(111) (AÀx'\l(x))  0 pOUJL tou.:t x't; H e:t to u.;t À > o.  > 0
(1v) (AOx, do/j.lCX))  0 paUJL tau.;t x e: D(A) e:t :to u.;t  > 0
(v) f (S(t)x)  f  (x) pOUJL taut x E: DCA) e:t :to ut ì..l > 0
11
Cv ) 'fCS(t)x)  rex) pOUJL tou.;t x E: D(A) d tout t  0
L'1mplication (i) (i) résulte de l'négalité
-1 -1
o  'f ( ( Iof À'A) x J - l' ( x)  (y. ( I + ÀA ) x - x) = - À (y , AX x) .
l'jmplication (il) (i11) est basée sur Ie leMme sUlvant

Séml groupes de contractions non Iméalres
131
LEM;-.1E 4.4
Soit A un opérateùr monotone et soit B ún opérateur maximal
monotone tels que (I + pB)-l D(A)C=D(A) pour tout  > O.
On supnose que (y,z)  0 Vx S D(A)fì O(B), Vy sAx,
Vz s Bx. Alors (y, 5X)  0 V[x,y] t: A et V > O.
DFMONSTRATION DU LEMME 4.4.
SOlent !!,Y] s A et  > 0 ; appllquant 1a monotonie de
-1 -1 -1
A en x e (I + B) x, on a (y-u, x-CI+B) x)  0 Vu s A(I+B) x.
Done (y-ù, 8X)  0 et par conséquent (y, BX)  (ù, x)  O.
DEMONSTRATION DU THEOREME 4.4.
Le lemme 4.4 appliqué à A À et df prouve que (li)(111).
L 'lmpl1cation C ili) =r (iv) est lmmédlate.
Montrons que CV) (v)  11 suffit d'établlr (v) pour x S D(A). Or Sl X
x s D(A) la fonction -:t-+'fCS(t)X) est lipschitzienne sur les intervalles
bornés et l'on a p. p. sur J 0 I +oo[
d d
õt YJ.,1(SCt)x) = (d'filCSCt)x) , dt S(t1x) = -(ll(SCt)x), AOSCt)x)  o.
Donc 1a fonetlon t 1 (SCt)x) est déeroissante.

L ' lmpllcatlon (v) .(vi) étant évidente. il reste à prouver que (vi) Ci)
On a 'PCSCt) Proj OCA) x)  yCx) 'itx s H j d'OÙ l'on déduit que
\,Ç ((I ... CI - SCt) Proj- n- 1 x) fCx) 'Jx s H
/ t 0 (A)
(11 suff1t d'appllquer la proposltlon 1.2 au eOnNexe e {uSH ;fCu)r(x)}
qUl est lalssé invarlant par T = Set) Proj OCA) ).
Passant à la lim1te quand t  a grâee à 1a proposition 4.1 on obt1ent Cl).
PréClsons ce résultat dans Ie eas où f = Ie
PROPCS!T!ON 4.5
Soit C un ensemble convexe et fermé tel que Proj O(A) C cC.
Alors les propr;étés suivantes sont équivalentes
(i) (I +ÀA) -1 C c C pour tout À > 0
(ii) (AOx x-Projcx)  0 pour tout x s D(A)
(iii) dist(S(t)x C)  dist(x,C) pour tout x s D(A) et tout t  0
 (iv) S(t)(D(A)'ì C) c C pour tout t  0

132
Sémi-groupes de contractIons non [rnéalres
(v) A + aI C est maximf\l monotone avec D(A)nC = D(A)I1C et
(A + aIC)Ox = AOx pour tout x E: D(A)n C.
Les équvalences (l),(ll)Clll)Civ) résultent
du théorème 4.4 appllqué avec = IC. On salt grâce à la proposltlon 2.17
que l'hy pothèse (1) lmpllque que A + aI C est maximal monotone Þ
DCA),ì C == DCA) n c et ]Aoxl  I CA + ôIcJoxl pour tout x E: D(A)nc. On
en dédult que AOx = (A + alC)Ox pù8qoG-Aox E: (A + aIC)Cx).
Inversement (v)(iv) en effet salt SCt) Ie sem1 groupe engendré par
-:' i dIC) sur o(A ) n C. II est immédlat que S(t)x = SCt)x pour x e D(A)C
et donc SCt) COCA) f\C)c:oCA)fì C pour tout t  o.
COROLLAIRE 4.5.
Soient A un opérateur monotone et C un convexe fermé tels
que C c D(A) et Projc D(A) C D(A)
On su ppose que
(9) -Aox E: U À(z-x) pour tout x E: D(A)n C
À>O
ZcSC
alors
(I + ÀA) -1 C c. C
pour tout À > a
La démonstration est basée sur l ' lmpllcatlon (11) (l)
de la propos1t1on 4.5.
On vérlfie a1sément que l'hypohèse (9) équivaut à
(Aox. z)  0 x E: DCA) et z E: dICx)
 -1
D'ôutre part. Sl l'on pose B == dICÞ 11 vlent CI + B) DCA) ProJCD(A)c:DCA)
pour tout ì..1 > o.
On dédult alors du lemme 4.4. que
( A 0 x. I? x )  0
c'est à dire
 x E: 0 C A ) et
\fì..1 > 0
(Aox. x-ProJCx)  0
x E: DCA).
Dans Ie cas particuller où oCA )C: Int oCf)Þ On obtlent
des proprlétés supplémentaires.

Séml groupes de contractIons non Itnéarres
133
PROPOSITION 4.6
Soient f une fonction convexe s.c.;. et A un opérateur
maximal monotone tels que f(Proj D(A )x)  f(x) "Ix t: H et
O(A) C Int 0('1').
Les propriétés suivantes sont équ;valentes :
(i) 'f{(I + ÀA)-l x )  f(x) pour tout x t: H et tout À > 0
(ii) pour tout x t: D(A)
et tout Z t: ôf(x) on a (AOx,z)  0
(iii) pour tout x t: O(A)t il existe Z t: ap(x) tel que (AOxtz)  0
(iv) pour tout x t: D(A) et tout y t: AX t i1 existe Z t: (x) tel que
(Ytz) O.
Les 1mp11catlons Cll)  (111) et (lV) (lll) sont
1mmédiates. L'lmp11catlon (1) (11) résulte du théorème 4.4.
Montrons que (1) '.:::> (lV) ; en effet SOl t Y t: Ax et SOl t
-1
u = x + Ày de sorte que x = CI + ÀA) u. Appliquant (1) à u, on obt1ent
fCx)  'fCx + Ày) : donc 'P(x+Ày) À -y-(x)  o.
Or comme x t: o(A)c: Int oCf), on a, d'après un résultat
de Moreau [31 Cpropos1t10n 10f),
11m fCx+ÀYI -rCx) = Max (y ,v)  o.
ÀO vt:ôÿ(x)
II reste seu1ement à prouver que (111) (1).
On va étab11r que sous l'hypothèse (111), alors
;CSCt)x)  rex) x t: DCA), t  0 où SCt) est Ie semi groupe engendré
par -A sur DCA) ; ce qU1 condu1ra à (1) grâce au théorème 4.4.
La fonct10n f étant cont1nue sur o(A), 11 suff1t de montrer que
t 1-+ tCSCt)x) est décro1ssant pour x t: o(A).
La fonct10n wet) =fCSCt)x) est 11pSch1tz1enne sur tout 1nterval1e Co,T] .
En Bffet sOlt K =  SCt)x; comme K est un compact 1nclus dans
tt: LO , T]
Int oCf)' IÔflest borné sur K Cpropos1t10n 2.9) par M.
SOlent t 1 t: CO,T] , t 2 t: ,T] et z1 t: ôfCSCt1)x), z2 t: CS(t2)x)
avec I z1 I  M et I z2 1  M .
On a wCt 1 ) - wCt 2 )  Cz 2 , SCt 1 )x - S(t 2 )x)
wCt 2 ) - w(t 1 )  (z1' S(t 2 )x - SCt 1 )x).

134 Séml-groupes de contractions non Iméaires
Done IwCt 1 ) - WCt 2 )!  Mlt 1 -t 2 ' IAoxl
Enfn soit t eJo,r[ un pont où les fonetions wet) et SCt)x sont
o
dérvab1es ; on a pour tout v E H et tout z E (SCto)x)
fCv) -fCSCto)x)  Cz, v-SCto)x)
+
Prenant v = SCta - E)X, on obtient après dvison par E > 0 et passage
à 1a lmite quand E + O.
iCto) = (i, t SCto)x)
-Cz, AOSCt )x)
o
Par eonséquent :  D
p.p. sur 1 DlrL et west déeroissant.
OPERATEURS -M^NOTONES
Soient A un opérateur maxmal monotone et fune foneton
eonvexe s.e.i. propre ; on dt que A est dr-monotone s
,
-1 -1
't'" ( (I + ÀA) x - (I + ÀA) y)  'f (x -y)
x)y E H I À > 0
La résultat suvant earaetérse les opérateurs df-monotones.
PROPOSITION 4.7
So;t fune fonction convexe s.c.i. propre telle que
y(proj D(A )X - Proj D(A )Y)  fCx-y) xy E H
Soit S(t) le semi groupe engendré par -A sur D(A). Les propriétés su;vantes
sont équivalentes
(i) f(V + ÀA)-lx - (I + ÀAly) $ x-y)
Vx Y E H , VÀ > 0
.Þ
(ii) (AÀx - AÀy,z)  0 Vz E df(x-y) , VÀ > 0
(iii) (AÀx - AÀy , drll (x-y))  0 Vx,y E H , VÀt > 0
( iv) (AOx - AOy , d'f ll (x-y))  0 Vx,y E O(A) , V > 0
(v) f(S(t)x - S(t)y) f(x-y) Vt  0, Vx,y E D(A) , 'Ill > 0
-
( vi) 'f'( S ( t) x - S ( t ) y)  'P ( x - y) Vt  0 , Vx,y E D(A)
Lorsque D(A) - D(A) C. Int D(t) on a auss;
(vii) (AOx - AOy,z)  0 "Ix. Y E D(A) _, Vz E d'f(X-Y)

Séml-groupes de contractions non Iméalres
135
(Viii) pour tout x E D(A) et tout y e D(A), i1 existe z e (x-y)
tel que (AOx - AOy,z)  0
(ix) pour tout [x,uJ E A et tout [y,v] E A, ;1 existe Z E (x-y)
tel que (u-v,z)  0
On consdère = Hx H muni de sa structure hlbertienne.
Sot "q l'opérateur maxma1 monotone dans :ædéfnJ. par v[x,yj = (Ax)x(Ay)
avec O() = DCA) x D(A). II est clar que Jf&,y] = [Aox, AOy] ,
n - - -
vLlÀ[x,y] = LAÀX, AÀy], pro j O (J1 )[x,y] = \!rojõ(A)x , projõëA)
Le sem groupe 1(t) engendré par -Jt sur DCAJ vérfe
/ (t) G I Y J = [s e t) x IS (t) yJ .
Sot  1a foncton convexe s.c.. propre défne sur 'Jf par 4I(x,yJ = 'fex-y)
On a a10rs
a x I y] = {[z, -zJ J
dÀ(x'Y] = [a'f2À (x-y)
À G,yJ = 'f 2À (x-y)
Z E df(x- y )}
I -e;p2À (x-yg
Er effet posons T[x,yJ = {Lzl-z] J Z E 'ðfex-yJ} avec
OCT) = {[xIY] J x-y E: 0 Cap)}
II est mmédiat que Tca J d'autre part RCI+ÀT) ='Jt'et l'on a drectement
- -1 -1 J -
(I+H) -1 Lf ,g] = If+ g + (I+2X;t) (f-g) . f+g-(I+2X) (f-g]
Par conséquent T = a et aÀ[f,gJ = (af2À(f-g), -ap2À(f-gil
I1 en résulte que
À [fIg) = % laÀI!,gJI + ((I+Àa)-1 (f,g]) =
= Àl a f2À(f-g)1 2 +'f((I+2ÀdfJ- 1 (f-g)) =Y'2À(f-g)
Applquant 1e théorème 4.4. et la propost10n 4.6 à vq et  on obtent
la proposton 4.7.

136
Seml-groupes de contractions non hnéalres
COROLLAIRE 4.6
Soit'f une fonction convexe s.c. i. positivement homogène
i.e. (kx) = kf(x) Vx E H , Vk > O. Soit A un opêrateur maximal monotone
et a?-monotone. Alors pour tout U o E D(A) on a
+ +
f ( S( t)u o )  '1'( -AOu o ) et f{ t S{t)u o )  f(AOu o ) Vt  0
On vérfe d'abord à l'ade de 1a définition de f que
\.f 1J CkxJ = k/k(X) "iIx e: H I "iI > 0 I \1k > O.
D'après 1a proposton 4.7 on a
'P (SCt+h)u - SCt)u )  'R,CSCh)u - U o ) '0'\.1 > a . \fh > a
 0 0  0
SCt+h)u - S(t)u
lli 0 0
í lJ/h (
Done après dvson par h > a on obtent
S(h)u - u
 'P l/h ( 0 h 0 ) J
h
autrement dt
S(t+h) u - S(t)u
'f À ( 0 0 ) 
h
SCh)u - u
\0 .. ( 0 0 ) A 'dÀ < a
r A h
'dh > 0
Passant à 1a lmte quand h  0
(À étant Txé) . 1 vent
+
n d to 0
'f À ( dt S(t)u o )  TÀ (-A .J o )
'f;JÀ > 0
On passe ensute à 1a lmte quand À  0 at on eonelut en applquant à
nouveau ee résu1tat à 1a foneton (x) =(-x).

APPENDICE
Fonctions vectorielles d'une variable réelle.
Plan. 1) Fonctions intégrables.
-
2) Fonctions à variation bornée et tonctions absolument
continues.
3) Lien avec les derivees au sens des distributions.
4) Complements divers.
1. Fonctions interables.
Soit (S,,) un espace mesuré ; soit X un espace de Banach
de norme ".ß et de dual X' . On appelle fonction taee une
application t de S dans X ne prenant qu'un nombre fini de
valcurs ; cette fonction est dite mesurable si t-l({x})g.) pO'J.r
tout X X et intégrable si de plus \l(f-l({x})) < +00 . On definit
alors Jr dp = ) : p(r-1((x}))x . cette somme étant rinie par
xeX
hypo thè se .
On dit qu'une fODction f de S dans X est mesurable s'il
exite une suite t de fonations etagees mesurables telles que
n
f (s) --+- res)  - p.p. S E S . D'apres le théoreme de Pettis
n
(cf. pnr exemple Yosida [1] p.131) une fonation f de S dans X
est mesurable si et seulement si elle véritie les deux proprietés
sui v <.Ln t e s :
a ) f est 1.1 - p. p. à val e u r s 3 é p ar a b 1 e s i. e. i 1 ex i s t e
une partie negligeable N de Stelle que f(SN) sclt separable
b) fest faiblement mesurable. i.e. pour tout we: X' la
fonct1.on s J-+ <w t f (s) > est me surable.
On dit qu'une fonction f de S dans X est interable
s'il existe une suite de fonctions étagées intégrables t telle
n
11 t (s)-;f' ( s ) 1\ so i tin t e gr a b 1 e
n
que pour tout n la tonation s 
et que lim J Utn(sr(s) d(s) = 0 .
n++-

138
Appel"dlce' Fonctlons vectonelles d'une variable réelle
Alors ft n dlJ
du choix de la suite
limite I t d ·
Rappelons divers résultats importants :
converge dans X et sa limite est indépendante
t veritiant ces conditions . on note cette
n
Theorème de Bochner (ct. par exemple Yosida [1] p.133) : une fonction
t de S dans X est integrable si et seulement si rest mesu-
rable et IIf(s)1I est intégrable.
Théorðme de Lebesue (convergence dominée) : soit f une suite
n
de fonctions intégrables te1le que f (s)  f(s) ll- p.p. s to S
n
on suppose qu'il existe une fonction intégrable  de S dans æ
"tellc que IIfn(s)II$(s) pour tout n. lJ-p.p, s..S.
Âlors fest intégrable et jlifn-flldl/ ....,.. 0 (done en
,.
parti cul ie r J f n d)J
,.
-+ Jr dtJ) ·
que
f (s) -+ res)
n
tune suite de fonctions integrables telle
n
taiblement )J -p.p. se.S on suppose qu'i1
Le""'n( de Fatou : soit
existe une constante C telle que J Itfn IldlJ  C pour tout n .
Alors fest intégrable et JUflidl/$1im inf jl1fnlldll .
Etant donné lp+CX}. on désigne par LP(S.X) l'epace des
( cla sc s de) ronctions me surable s r telle s que II f (s ) 11 app artienne
a LP(S;) . L'espace LP(S;X) muni de 1a norme
IIdLl' = [Jllf(S)II P dP(s)]l/P . IIf ll Lm = Sup ess !If(s)1I . est un
espace de Banach.
Lorsque X est rérlexit, )J a-tinie et
,
LP(S;X) peut être identitié à LP (SiX')
Phillips [1]).
si X est un espace de Hilbert, l'espace L 2 (S;X) est un
espace de Hilbert pour le produit sca1aire J(fCS).g(s)) d)J(s) .
Dans toute 1a suite S sera l'intervalle ]O.T[ t T<+ muni
l<p<+ . le dual de
1 1 (
avec - +  = 1 cf.
P P
de la mesure de Lebesgue.
Notons d'abord le
Lemme A.O. Soit Fc X ferme et soit f  Ll(O,T.X) tel que fet) e: F

Appendlce Fonctlons vectonelles d'une variable réelle
139
p.p. t10.T[. Alors pour tout t)O, il existe g en escalier à
valeurs dans F tel que II g- f 11 , < .
L 4 (O,T.X)
Dénonstration du lemma A.O. La fonction
-------------------------
séparables, on peut toujours supposer
admet un S y stème dénombrable {y }
k kl
f étant p.p. à valeurs
X séparable ; donc F
patout dense. On peut
touj ours suppo ser par tran slat ion 0  F et f (t) So F pour tout
t c ] 0 t T [ · Soi t Sk = {t  JOt T I ;  f (t )- Y k II , E e t U f (t )- y r  '> E
pour r=l... .,k-l} ; c'est une partition mesurable de JO,T[;
considérant la fonction h = Y k sur Sk on a II f-h It 00  E .
L (0, T;X )
puisque fest intéßrable, il en est de même de h et i1 existe
..,It } .
o
+00 ,.
tel que C I /lYk'l dt   . Posons
k=k +1 wS k
o
}if = sup { 11 y k \1; k = 1 . . .
donc k
o
La mesure de Lebesue étant régulire pour tout
k=l,...,k . il
o
exi3tfd un ouvert
Ok
et un compact
K
k
te1s que
Ok:> Sk :> Kk
et
J Ok \ Sk

dtMk
o
Considérons alors
0' réunion finie d'inter-
1
k
Ol' A :j
r=2 r
fine d'intervalles ouverts telle que
valles ouverts te11e que
Oi :> Oi :::ï:<:l ' pui s O 2 réunioll
k
O 2 ' { O i tJ ( ) K r )} :) Q 2  0   K: 2
r=3
jusqu'-J. Ok
o
\k n -1 J
Ok '  O ..J Qk. ::J Ok ::> Kk . Définissons aors
o r=l 0 0 0
n,: .. e t g= 0 sur JOt T ["  0 t . La f 0 net J. on
... r -= 1 r
réuion finie d'interva11es ouverts telle que
g
par
g = Y k
sur
g
est en escalier
tIt 0 I
et g=h sur \--) K . On a done
r==l r
k
o
II S- h II 1 == L J II g ( t )- Y If d t +
L (0. T.X) r=l Sr \ Kr r
L is þg(t)-yrlldt
r>k r
o
k
\"" J 2Mdt

r= 1 S' K
r r
+cf /lYrlldt
r>k S
o r
k
o If
+ k J o , s
r r
Mdt
 4& ,

140
Appendlce. Fonctlons vectonelles d'une vanable réelle
E"tant donne
1
fcL (O,T.X) . la fonction
"t
F(t) = Jof{S} ds
est derivable p.p. sur
JO,T[
et lion a
d:?
dt = r
p. p. sur
JO,T[
Plus précisément, on dit qu'un point tIi:JO,T[ (resp. te [O,T[) est
point de Lebesue (resp. point de Lebesgue à droite) de f, s'il
existe x e. X tel Q.ue
lm 1 r t + h IIf ( s ) -x lids 0
h =
ho Jt
h;&o 1 Jt+h
(re sp . lim  Ur(S)-XUds = 0)
ho t
h>o
L'élemcnt x ainsi dé f in i est a1 0 r s uniQ.ue, et on a
I r t + h I t+h
lm h Jt res) ds = x (resp. lim h f í'(s) ds = x) .
n -)00 ho t
.10 h>o
L'enSCl"ole des points de Lebesgue d'une tonction intégrable est de
compléuentaire négligeable (cr. par exemple Duntord-Schwartz [1]
p .213) e t on a
1 J t+h
lim h t t(s) ds = f(t)
ho
h=/:o
p.p. t e:] O.T[ .
DéfiniLion A.l . On dit qu'une fonction t de [O.T] dans X appar-
tie n t a {II, P ( 0 , T þ X ) s '  1 ex i s t e un e f 0 n c t ion  e L P ( 0 . T ; X ) t e lIe
t
ue f(t) = í'(O) + I/(s) ds pour tout t "" [O,T] .
Lorsque X = m , il est bien connu que'l'on peut caractériser
les fOilctons de Wl,P(O.T) de deux manières :
a) r
cst abso1ument continue et
dt P
ëit e.L CO.T)
b) f est continue et sa dérivee au sens des distributions appar-
tient  LP(O,T) .
ilous pr6sentons maintenant 1a généralisation de ce résultat aux
fonctions à valeurs vectorielles.

Appendlce Fonctions vectorlelles d'une variable réeJle
141
2. Foctions à variation bornée et foneions absolument continues.
Dérini tion A. 2 . Etan t donnée une f'onction i' de [0, T] dan s X,
on appelle variation totale de i' sur [O.T] l'expression
n
Yarer; [O,T]) = sup{L:=llf(ak)-f(a k _ l ) II pour toutes les subdivisions
k=l
0 = a o < a l . . . <a = T} SJ. Var ( f ; [0, TJ) <. +co on dit que f est ....
t a
n
variation bornée on désigne par V:3(O,T.X) l'espace des fonetions
a varia.tion bornée de [ 0, TJ dans X .
Pour simplifier les notations. on pose Vr(t) = Var(i'; [o,t]) ·
co
LCl1me r.l . Sait re. VB(O,'l';X) , alors :E L (O,T;X) ct f adMt e"'l
tout no:nt une limite  droite et une li,ite i auce ( l'cserble deG
p01nts de discontinuité étant au plus dénombrable ). De plus on a
I'T-!1
( I ) I Ilf ( t + h ) - r ( t ) II d t  h Va r ( r ; [0, T] ) po ur to u thE ] 0 , T [ ·
J 0
:;n effet, on a I1f{t)-f(s)'1  Vf(t)-Vf(s) pour O3tT.
La foaction t  Vt(t) est croissante ; elle admet done en tout
point une limite à droite et une limite à gauche et l'ensemùle des
oints de discontinuité est au plus dénombrable. II en est de même
pour f . II en résulte en partieulier que fest p.p. à valeurs
sérard.ble s. D' autre prt, pour tout we. X t la tonetion
t '"' <v,t(t)> est  variation bornée (done mesurable). On dédui
alors du théorème de Pettis que test mesurable. Comme
/If(t)1! .nr(o)1I + Vt(T) pour tE: [O,TJ , on, a rt:; Lco(O,T;X) ·
?our t é: [O,T-h] on a IIr(t+h-f(t>l1  Vf(t+h) - Vr(t) et done
f T-n r'I- h rT
, II; ( t + n )- t ( t ) II d t  J V l' ( t + h ) - V r ( t) d t  J V t ( t) d t  h V t ( T ) ·
.. 0 0 T-h
Il est bien eonnu Q.ue toute fonetion fE. V:S(O.T;ffi) est déri-
vable p.p. sur JO,T[; on a un résultat analogue lorsque X est
rétlcÁif.
Pronoition A.I . On supnose que X est réflexif et soit te. V:a(O,T;X)
Alors r est faiblement dérivable p.p. sur ]O.T [ . '* E. Ll(O.T;X) 

142
Appendlce Fonctlons vectorlelles d'une varrable rée!le
..T df
J 0 11"(it ( t ) II d t  Var ( f. [0. TJ) ·
De "Olus
II  ( t ) II  h V f ( t )
p.p.
sur ]0, T r
'-
En effet. il est clair que 1 . 'I f ( t + h )- f ( t) II d
m sUPI h  dt Vf(t)
h .I.
]O.T[ . h ;0
p.p. sur En particulier l'ensemble
N = {tE;JO,T[; lim supJl f(t+h-f(t )JI = +co} est négligeable.
o h-+o
h;'o
D'autre part fest à valeurs separables ; soit X l'espace
o
fermé engendré par f( [O.T]) et soit {w} 1 une suite dense de
n n
X' (qu est separable puisque X est réflexf et separable).
o 0
Pour n fixe, l'application t  <w ,:oCt)> est à variation
n
bornée et donc derivable en tout point n'appartenant pas à un ensemble
negliGeable N . Posons N = U N N est negligeable. En tout
n n>'o n
1 [ f ( t + h )- f ( t )
t O,T"' . d'une part h est borne lorsque h  0 .
d'autre part pour tout n <w f(t+h)-f(t). > converge lorsque
· n' h
h ->- 0 . On en dêduit que pour tout tc]O.T['N. f(t+h-f(t)
converge faiblement vers une limite que l'on designe par (t) .
Il résulte enfin de
df 1
dt to L (0, T- h;X) pour tout
(1) et du lemme de Fatou que
h>O et que rr.l1-hll : (t)ijdt  Var(f;[O.T]) .
Jo
Remar  De A.l . La conclusion de la proposition A.l n'est pas val able
lorsque X n'est pas reflex if. Considérons par exemple dans X = C
o
(espace des suites de æ qui tendent vers 0) la fonction f(t)
int
définic par f (t) =  ; f(t) est lipschitzienne et nulle part
n n
dérvale. On pourrait aussi considerer dans X = Ll(O,l;ffi) la
fonction f(t) definie par f(t) (x) = {
s i O x t
si xl.
Même lorsque X = m une fonction à variation bornee n'est pas
en genéral une primitive de sa dérivee . il faut et il suffit qu'elle
soit absoluDcnt continue.
Définition A.3 . On dit qu'une fonction f de [O.
d an s Xes t
absolunent continue si pour tout t> 0 . il eXJ.ste 1')> 0 tel que pour
toute suite d'intervalle I = J a .8 [ deux à deux disjoints
n n n

Appendlce FonctJons vectonelles d'une van able réelle
143
verifiant
Iß -a I 11 . on ait
 n n
n
 II f (ß )- f (a ) II  E .
L..J n n
n
On verifie racilement, comme dans Ie cas scalaire, que toute
fonction f absolument continue est à vaiation bornée ; de lus
la fonction t ......... Vr(t) est absolument continue et donc
J t d
Vr(t) = 0 dt Vf(s) ds · Par suite on a
J t d
IIf(t)-f(s)11  s ëit Vf(T) dT pour tout Os"tT.
s'il existe 1
Inversement 4> e: L (0 . T ;m ) tel que
/It
II f ( t ) - f ( s) 1\  I t ( t" ) d"t. pour OstT , alo rs f est evidemment
" s d
absolunent con tin ue et dt Vf(t) (t) p.p. sur JO.T[ .
Détin:tion A.4 . On designe par
ao....olur.lcnt continues de [O,T]
tienne à LP(O.T;æ) .
W1,P(O,T;X) l'espace des fonct10ns
d
dans X telles que dt V f appar-
II est clair que
4> e L p ( 0 , T ;fR ) tel que
""'1 1'\
f e: i · r ( 0 , T ; X )
si et seulement s'il existe
I.t
Ilt(t)-f(s)l1 I </I(T) dT pour tout OstT .
J s
Pa.r suite on a til,P(O,T;X)cwl,p(O.T;X) et l'inclusion est
stricte en general (cf. remarque A.I),
Notons que W1,l(O.T;X) coincide avec l'espace des fonctions
absolument continues de [OfT] dans X . S.i rEo W1,P(O,T;X) avec
l<p<+oo . alors il existe une constante C telle que
II f ( t )- : ( s ) II  C I t- s 1 1 - 1 / p pour tout t. s IS [0. T 1 .
Enfin Û1,oo(O.T;X) coincide avec l'espace des fonctions lips-
chi t z i en n e s de [ 0 . T] d an s X.
Proposition A.2 .  r E W-l,P(O.T;X)  lp<+c:o. Alors on a
(2 )
lim Jl f(t+h-f(t) II =
h..o
d
"(it Vr(t)
p . p. sur
JO.T[

144
Appendlce Fonctlons vectonelles d'une van able réelle
(3 )
1 i In J "  h , .11: ( -t + h - f ( -t ) [ - -h V f ( -t ) I p d -t = 0 .
h+o 0
h>o
Pour toute fonction t e VB(O,T;X) on a
Posons
1 . II f (t+h)- f (t) II ".L
1m sup h dt
h+o
1þ(t) = lim inf llr(t+h-r(t) 1I .
h+o
xe: X fixe, 1a ronction wet)
Vr{t)
p. p, sur
]O,T[ .
on a
1
tþ c.L (O,T) .
et
I  t W ( t ) I  1þ ( t )
= II f(t)-xlt est absolument continue
t
p . p. sur ] 0 t T [ . Do n c Cd ( t)  w ( s) + r tþ ( T) d T
., S
en particulier x = t(s) t on obtient
..t
. Par suite Vr(t) - Vr(s) J S ",(T) dT e't
. ce qui étab1it (2).
Pour
pour O s t T ; prenan t
rt
IIf (t )- f ( s )"  J 111 ( T) dT
d s
ëit V f  1þ p · p. sur ] 0 , T [
Pour prouver (3), raisonnons par l'absurde et supposons qu'il
9xiste a>O et une suite h k  0 ,hk>O te1s que
J  hk IIr (t+h k )-t( t) II d
I dt V f ( t ) I Pdt  a ·
h --
o k
l P P
Comme f;::. W ' (O.T.X) i1 existe 4> e; L (O.+co;lR) tel que
t
IIf(-t)-f(s)1I  L.(d dT pour OstT.
II f (t+h k )-f( t) II 1 f4t+h k
Do n c   - I ' ( T) d T ; 0 r d' a p rè s Bo urb ak i [ ]
h k h k .t
(chap. IV, .3. Théorème 3, p.13l) il existe une suite extraite
de la suite h k et il existe g  LP(O,+oo;lR) tels que
1 ,.t+n1.
h i 4>(T) dT get) pour tout 1. et tout t (on utilise ici
1. .1 t
he
le fait bien connu que
1 t+h
ii J -t . (y) dT
-+ 4>(t)
dans
L P ( 0 ,+co j1R )) .
On conclut à l'aide du theorème de Lebesgue que
f T-h I. n r ( t+ h 1, ) - f ( t ) II d P
lim I h - dt: V f (t) I dt = 0 ;
h +0 0 t
I.
on aboutit ainsi à une contradiction.

Appendlce Fonctions vectonelles d'une variable réelle
145
Proposition A.3 . Soit f une fonction de [O,T]  X et soit
:p+ . Les proriétés suivantes sont équiva1entes
i ) t Eo ill , P ( 0 . T ; X )
ii) ft -W1,P(O,T;X) et f est dérivable p.u. sur JO,T[;
iii) f est faiblement abso1ument continue ( i.e. our tout v X' .
t 1-+ <v,f{t)> est absolu1"lent continue ), f est faib1e1"lent déri -
] [ dt P )
vable p.p. SUi" O,T et dtL (O,T;X 
Comme 1e s implications i)  ii) et i i) > iii)
immédiates, i1 sutfit d'etablir que iii)  i) . Posons
J t df
g(t) = f(O) + 0 '"dt(s) ds . Pour tout 'WEi X' , 1a fonction
t .......>-- <v,f(t)> est p.p. dérivable et
sont
p.p. sir
d df
d!<v,f(t)> = <v, d!(t)>
J t df
lO,T[ . Done <w,f(t)> = <w,f(O)> + 0 <w, dt(s)> ds et
<w,t(t)> = <v,g(t)> pour tout ve X' et tout t  lO,T
par sui te
Il en résulte que f=g et par conséquent fctW 1 ,P(O.T;X) .
Coroll<1.ire A.l . Soit fê.W1,l(O.T;X) . Alors lI  (t)1I
r.-o. 3\tr JO,T[ et J: 11 ; (t)lIdt = Var(f,[O,T]) ·
d
= ëit Vf(t)
En effet il résulte de (2) que
II  ( t ) II = d Vf{t)
ëit p.p. sur
JO.T[ on en deduit que
1a fonetion Vr(t) est absolu-
lO,Ti  Intégrant cette egalite sur
,.T ð
I Ild(t)Udt = Var{t.[O.TJ) puisque
JO
ment continue.
Corol'<'jre l.2. On SUT),Doe Que X est :-éflexJ.f. Alors
U1,p(O)T;X) = í'i1'Þ(O.T;X} pour tout lp+ . Autrement dit toutc
fonction abso1ument continue est dérivable p.p. et
J t df
f(t) = reo) + 0 dt(s) ds ·
Le corollaire A.2. resulte direetement de la proposition A.l
et de l'implication iii) > i) de 1a proposition A.3.
Coro11aire A.3 . On su"Opose que X est réflexif et soit fE.VB(O.T;X)
T
Hers fe Il1,l(O,T,X) si et seulement si Ie 1I  (t)lIdt  Var(t";[O,T])

146
Appendice Fonctlons vectorielles d'une variable réelle
On sa.it déjl d'après 1e cor011aire A.l que 5i fe ,\11.1(O,T;X) ,
alors J: 1I ; (t)lldt = V..r(fi [O.T]) . Inversement on sa it d'aprÈ!s 1..
Jo t
proposition A.l que
II ; ( s )II ds .s V f (t) pour tout t e [0. T] .
Supposons qu'il existe to tel que f: o n*(S)/Ids < Vf(t o ) . On
t
..urait alors J: /I  (s)lIdS = 10 0 1I ; (s)hs + f: /I  (s)lldS
o
<Var(f;[O,t J) + Var(f;[t ,T]) = Var(f.[O,T])
o 0
J t o
et on aboutirait à. une contradiction. Done on a 1i : (s)lldS = v:-(t)
et par suite la tonction V f est abso1ument continue. II en résulte
que f e. l ,1 ( 0 , T ; X) = ll. 1 ( 0 . T . X ) .
Corollaire A.b . Soient X, Y et Z des esnaces de Banach et soit
.3 un' an'Dlication bilinéaire et continue de X x Y  z.
So i e n t f aF.. U 1 t 1 ( 0 , T. X ) e t ß ê -ll. 1 ( 0 , T ; Y ) . Al 0 r 5 B ( f , g) e .0[ 1 t 1 ( 0 , J:'; Z)
P:,oPoGition A.4 .  f une fonction continue de [O,T]  X
vérifiant les deux conditions
i) t cst faible1'lent dérivable à droite 'D.P. sur JOt T [ !:.!
+
:t f E:. LP(O, T;X) avec lp'+OG ;
i i) 1 i m s up 11 f ( t + h ) - f ( t ) U < +OG
h+o h
h>o
pour tout
t c=: [O,T[
sauf au nlts
un en=mble dénombrable.
1\.10 r s
Þ - T.J 1 t P ( 0 T . X )
'" t.-:. -- ., .
La démonstration de la proposition A.4 est base sur le lemme
sui van t .
Lemme A .2 . Soi t f une ronction de [0, TJ  
on pose
(t) = 1im sup f(t+h)-f(t)
h+o h
h>o
Alors on a les implications suivantes

Appendice. Fonctlons vectonelles d'une van able reelle
147
a) il xiste
1
y C" L (0, T .IF )
tel flue
t
f ( t)- f ( s) " L y (d d T
pour t0ut OstT
J t df
 b) fest à variation bornée et r(t)-r(s)  ërt(t) dt
s
pour tout OstT.
1
 c) óL (O,T;JR)
-- 1
Ô  L (0, T .m )
d) J.l existe
tel q, ue
ô ( t)  6( t ) p. p. 5 ur J 0 , T [ .
=>
8i de plus f est continue et si ô(t) < +(0 pour tout t c [tT [
sauf au plus un ensemble dénombrable t alors d) ;> a) .
,.t
Montrons que a)  b) ; 1a ronction get) = f{t) - Jo Y(s) ds
est décroissante et donc g est à variation bornée Il en résulte
q,ue r(t) = get) + fty(s) ds est aussi à variation bornée. )Jotons
.0
que
r t d
g é t an t dé c ro is s an tt, 0 n a .. s  ( t)
t t
L [  (T )-y (T ) ] dT '1 f (t )- f ( s ) - J s Y (T )
dt g(t)-g(s)
pour
O s t 'l'
i.e.
dT .
sur
L'implication b) => c)
]O,T[ et l'implication c)
est bien connue puisque
;> d) est imme diate.
ó = .!!!.
dt
p.p.
Montrons que d) ) a) si f est continue et si ô (t) < +(0
pour tout t.;; [O,T[ saur au plus un ensembe dénombrable. On peut
toujours supposer (après modification de ð')1 que õ (t)  (t) pour
tout t Iê [O.T[ et que (t)  0 pour tout t e. [O,T] . On sait qu'il
eXJ.ste une fonction Y s.c.i. de [O,T] dans IR telle que
Y Ll(O,T;IR) et ô(t) yet) pour tout tF [O,TJ (cr. par exemple
Bourbaki [ 1] chap. IV, .4, n 0 4, Théor3me 3, p.147). Considérons la
t
fonction g(t) = r(t) - JoY(S) ds on a
t+h
1im sup g{t+h-5(t)  ô (t) 1im inf 1. J yes) ds = ô (t)-y(t)  0
ho ho h t
h>o h>o
pour tout tc[O,T[ tel que ô{t)<+oo ; c'est-à-dire pour tout
t (" [O,T[ sauf au plus un ensemble dénombrable. On en déd'.1it (cr.
par exemple Lelong [11. Proposition 5, p.22) que g est décroissant
rt
J. . e . f ( t ) - f ( s) <; I Y ( T) d"" po ur 0$ s  t T .
. s

148
Appendlce Fonctlons vectonelles d'une van able réel/e
Déc..>nstrdtion de Id. pr..>pvsition A.J. Sot wX' ; Ia fonction
-------------------------------
k(t) = <w.f(t)> vérife Ia condition c) du Iemme A.2 (plus précisé-
ment k est dériva.ble à droite p.p. sur JO.T[ et
d+k d+f p
Set) =  = <w.> appartient à L (O.Ttm) . On en déduit 1e
I t dk r t d + f
k ( t ) - k ( s) = <w. f ( t ) - f ( s h  S dt ( T) d T = <w . dt ( T ) > d T .
eo S
J t d+ f
Par consêquent f(t)-f(s) = s dt(T) dT ·
Corollare A.5 . On supnose Que X est rêfIexif. Sot f une fonction
continue de [O.T] dans X . Alors les pro'Drités suivantes sont
équvalentes
i ) f S' wI. I ( 0 . T ; X )
ii) fe VB(O.T;X) et il existe Ye-L 1 (0.T;IR)y  0 tel que, pour tout
) )
t cJO.T[ sauf au plus un ens9l!lblc dpl"omorable . il. existe ôt>O et
Mt<+ vérifiant
t+h
II f (t+h )- f (t ) II  J t Y ( d
t
d t + 1t h (re s p . IIf ( t ) - f ( t- h ) "  J Y ( T) d T + Ht h )
t-h
pour hE: lO.ô t [ .
En effet. il est immédiat que i)  ii) avec Ht = 0 et
Y = II  " ·
La fonction
il suffit d'après la proposition A.3 de ontrer que
absolument continue. Soit donc WE-:X' avec IIwltl .
t
,(t) = <w,f(t)> - JoY(T) dT est continue et
f
Inverserlent.
est fa i b 1 e me n t
. <1>(t+h)-ø(t) J [
Ô ( t) = 1  m sup < I < +  po u r to u t t eO. T s a. u fun
h to h "t
1
Ô  L (0. T;rR) puisque cb est à varIation bornêe.
ens.
dénomo.
(d a) existe 1
On déduit du lemme A.2  q u' il Y l  L (O.T;æ)
t
tel que (t)-(s) I Y 1 (1') dT pour O stT i . e .
. t + Y 1 (t)}dT
<w.f(t)> - <wr.f(s)>.f I{Y(T) pour Os.$tT .
. s
Appliquant ce résultat avec -w . on voit qu'il existe
Y 2 \ L 1 ( f) . T; IF ) tel q, ue
t
I<w',f(t)>-<w,f(s)>! <> J sY 2 (d dT pour O"s"tT.

Appendlce Fonctlons vectonelles d'une van able réelle
149
3. Lien avec les derivées au sens des distributions .
On designe par (]O,T[;X) l'espace des fonctions indefiniment
dérivables de ]O,T[ dans X à support compact ontenu dans JOtT[.
Une suite regularisante est ne suite n de fonctions de
.;1J(iR;lR) telles que PnO. JIR Pn (t) dt = 1 . sUPP Pn c J- .+ [ · Pn
décroî"t sur [0.+00 [ et p (- s) = p (s) pour tout s.O.
n n
Etant donné f LP(O,T;X) (lp+oo) on pose
T
f (t) = r  (t-s) f(s) ds ; il est bien connu (cf. par exemple Dunford-
n Jon
Schwartz [lJ p.220) q,ue f (t) --+- f(t) p_p. sur JO,T[ et si
n
lp<+oo on a f  f dans LP(O,T,X) ; de plus
n
IIf II  IIf" ·
n Lr(O,T;X) LP(O.T;X)
pronosition A.5 . Soient fc L1(O,T;X)  C une constante. Les
proprie tés suivantes sont éuivalentes
ii)
II existe f l ë V3(0.T;X) tel que Var(f l ; [O,T] )  e
fl(t) þ.P. sur JOtT[
T-h
50 IIf(t+h)-f(t)ßdt Ch pour tout h c]O.T[
T
I J < f ( t ), :: ( t) > d t I  ell 4> II 00 pour tout
o L (0. T;X' )

i)
f(t) =
ii)
.l)(JO,T[;Xt) .
On utilsera dans la demonstration le lemme suivant
Lemme '\... 3 .  f /Ë. L P (0, T;X) t lp+oo
! = 1 . Alors
p P'
II f If =
LP(O,T;X)
, .. T
Sup J <f(t),(t)> dt
cr..:1>(O,T;X') 0
11<1> IfLP' (0, T;X' )1
=
Sup
,
 cL P ( 0 , T ; X' )
II Il L P' (O,T;Xt Jl
T
Jo<f(t).+(t)> dt
Nous aurons à distnguer trois cas

150
Appendlce Fonctlons vectonelles d'une vanable réelle
fI
p = + .
Co mme l' ens e mb 1 e {  Eo :J) ( ] 0 , T [ ; X') ; "II 1  1}
L (O,T;X')
est dense dans {<f>e: L 1 (O,T;X') ; II  II 1  1} i1 sufrit d'établir
L (O.T;X')
que II f II  = Sup J T < f ( t ) . . ( t ) > d t .
L (O,T;X) L1(O,T;X') 0
1IlIl .$1
L (O,T.X')
Commençons par supposer
II f ( to) Ii = II f II 00 ;
L (0, T ,X)
r continu et sait to E: [0, TJ tel Clue
pour tout &>0 i1 existe un voisinage ouvert
U de tot e 1 que po ur t e U , II f ( t )- r ( to) It < E: . Il ex i s tea 10 r s
d'après Hahn-Banach vX' tel que <v,r(t o )> = IIf(to)U et
" w II X ' = 1 ·
1
1 e s U w
si
t&U
. On a
IIcþlf =1
L1(O,T;Xt)
et
Po sons (t) =
si
t 4 U
J:<f(t).+(t)> dt = J:<f(t)-f(to)..(t)> dt
T
+ J o <r(to),(t)> dt? IIf(t o )ll- E = lirll -  .
LCP(O.T;X)
Dans 1e cas généra1, soit r 1a suite régularisante de f; comme
n
f n -, r p · p. sur ] 0 . T [ ,on a II r n II co --+ I r n 00
L (O,T;X) L (O,T;X)
So i t E > a , e t so i t n tel que II f n II 00  II r II 00 - E .
L (O,T;X) L (O,T;X)
D'après ce qui précède, i1 existe cþE: L1(0,T;X') tel que
"T
J 0 < r n ( .. ) , cþ ( t ) > d t  II r n U 00 - E: ·
L (O,T.X)
Or, grâce à Fubini, on a
T
r <f(t), (t)> dt =
\ 0 n
,T
J <:f (t),(t)>
o n
dt .
Par conséquent. on a trouvé <f> 6 L1(O,T;X) tel que
n
II cþ n II 1  tl <b II 1  1  e t
L (O,T;X) L (O,T.X)
T
J <r(t)'n(t)> dtlIfll 00 - 2& ·
o L (O,T.X)

Appendlce Fonctlons vectonelles d'une vanable réelle
151
1 < p< +00 .
Il suffit de prouver que
II t ilL P CO, T ; X) =
Sup
,
cþ eL P (0 t T ;X' )
II <fill , l
L P CO,T;X')
JO T <
f(t),cþ(t)> dt .
Commençons par supposer que t est étaée et soit (B.). I une
J. J. Go
partition tinie me sur able de JO,T[ tel Ie que f(t) = v; pour tcB..
.. 
Soit w. t; X' tel que <VI. tV. > = flv.IIP et IIw J. .ll x ' = IIv.lIP-l
 J. J. J. J.
(w. existe d'après Uahn-Banach). Posons cþ(t) = 1 w
3. II f II p-l · i
f LP(O,T;X)
pour t  B. ; on véritie aisement que II cþ I, ,  1 et
 L P CO,T;X')
l 'T
<t ( t ) , cþ ( t ) > d t = "f II .
.0 LP(OtT;X)
/'V
Dans Ie cas géñéral, soit &>0 et soit tune fonction éta8ée
""
telle que IIf-f If < g . D' aprè s ce qui pre cè de. il exi ste
LP(O.T;X)
t
LP (O,T;X') tel que U;U , l et
M L P CO,T.X')
rJ. ...... '"
( <t ( t ) , cþ( t) > d t = II t II . On a alo r s
Jo LP(O,T;X)
J T JOT...., J T ,..,
o<f(t).;(t)> dt = Jo<f(t)-f(t),;Ct)> dt + 0 <f(t),;(t)> dt
 IIfll - 2& .
LP(O.T;X)
.
p = 1
Commençons par sup poser que test étagée ;
CD
P r é c é de n ton v 0 i t q u ' i 1 ex i s t e cþ  L (0, T ; X t ) tel que
T
e t s o < f ( t ) . <b ( t ) > d t = II t If 1
L (O,T.X)
comme au cas
11,11 l
Loo(O.T;X') -
Enfin si an désigne une suite telle que
a G: j) ( J 0 , T [ ;fR ) 0  6  1
n n
9n --\.. 1 p.p. sur JO,T[. on a grâce au theorème de Lebesgue
T T
1 im J <f (t) . 9 (t) 4> (t) > d t = J <f (t) . 4> (t) > d t = II f II 1 .
n + CD 0 n n L ( 0 T X )
o . ;

152
Appendlce Fonctlons vectonelles d'une variable reelle
")!
Dans le cas général, soit !>o fixe et soit rune fonction êtagée
telle que IIf-fll 1 < e . D' après ce qui précède, il existe
'" L (O,T.X) _
<þ  9) (J 0, T [ ;X') te 1 que If +11  1 e t
L(O.T;X' )
r T "" 
r <f(t).+(t)>
J 0
dtlIfff 1 -  . On a alors
L (O.T;X)
J T -
< f ( t ) . * ( t ) > d t  II fill - 3 E. .
o L (0 t T;X)
PÆ22!!!22__!!_!22!!i2_2' L'implication i) -- ii)
résulte du lemme A.l.
Dåmontrons que ii)
Soient + e: 2 (JO,T[;X')
). i ii) :
et h f::]OtT[
; on a
1 r T J T-h
h <f(t),tþ(t)-+(t-h)> dt = i f(t)-f{t+h).+(t)> dt
.. 0 0
I'T 1 f h
+  j ':'_ h < f ( t ) . H t>> d t - ii 0 <f ( t ) . <H t- h>> d t ·
Pa.r suite pour h asez petit, on a grâce à ii)
T
Ii 50 <t(t) .q(t)-,(t-h)> dt I
 C ,. JI
L c.o)( 0 . T ; x' )
Passant à la limite (à l'aide du théorème de Lebesgue) on obtient iii)
Pro u vo n s que i i i ) ;> i) .
Soit t e j)(lO,Tr;x') ; on a
T dr T T d
J 0 < d t ( t ) · H t ) > d t = - 10 < f n ( t ). :  ( t ) > d t = - J 0 < f ( t ). d t n ( t b d t ·
1 1 ,.
Si de plus supp <p c ];-.T-;-I . on a sUPP +n c:.JO,T[ et done
4> n E'  ( J 0 . T (; X') .
II résulte alors de iii) que
J T df
I 0 < dtn (t) .+(t)> dtl  c 11+ 11  c 11911
n L(O,T;X') LW(O,TjX')
On déduit du lemme A.3 (appliqué sur l'intervalle
] .1 T-1. [ au 1 i e u
n' n

Appendlce Fonctlons vectorielles d'une vanable réelle
153
de
JOt T [)
T--.!
L n
df
II d t n ( t ) "
dt  C . L'ensemble
A = {tgJO,T[ ;
que
n
f (t)  f(t)} est
n
subdivision O<ao<a 1
pourvu que
1
n>- et
a
o
de eomp1érnentaire négligeable. Etant donnée une
k
· · · < a k < T de A on a L II f n (a i )- f n ( &i-l ) n  c
i=l
1
n>- . Done à la limite quand n -+- +00 ,
i'- a,
.it
k
on obtient L:llf(a.i)-f(ai_1)JI  C pour toute subdivision de A.
=l
Posons pour O<tT:
k
vet) = SUP{Lllf(ai)-f(a i _ l )" pour toutes les subdivisions de
i=l
An[o,t]}
La fonetion Vest eroissante de JO,T] dans [o,e] et pour
s , teA a ve e s  ton a
II f ( t )- f ( s ) "  V ( t )- V ( s )
Done pour tout tE=;]O,TJ . lim f(s) = f1(t) existe et
st
s <t
seA
11m f(s) = fl(O) existe.
s ..0
ssA
On a ainsi déf1.ni une fonetion f 1 de [O.T] dans X qui
vérifie les propriétés
\I f ( t )- f 1 ( t ) 11  V( t) - V( t- 0) pour t  A
H f 1 ( t )- f 1 ( s ) \I  V ( t- 0) - V( s- 0) pour O<s,tT
II f 1 ( t )- f 1 (0 ) "  V ( t- 0) - V(O+O) pour O<tT
I1 en résulte que, pour toute subdivision de [O,T] on a
k
L Ilf 1 (a i )- f 1 (a i _ 1 ) II  V( 'l'- 0) - V( 0+0)  C
i=1
et par eonséquent Var(f lt [O,T])  C .
D'autre ::fart f(t) = f 1 (t) tout teA .... Vet) est eontinu
en ou
par suite f(t) = fl(t) p.p. sur JO.T[ .

154
Appendlce Fonctlons vectorielles d'une variable réelle
Proposition A,6 ,  fe LP(O.T;X)  lp+= , Les prouriétés
suivates sont éauivalentes :
i) il existe f 1 s w 1 , p ( 0 , T . X ) tel q ue f(t) = f1Ct) p ,p, sÙ.r
] 0, T [ ;
ii) il existe gLPCO,T;X) tel q ue
1im J T-hll f(t+)-f(t) - g(t)1I dt = a
h-'o 0
(resp, lim Jo T-hll f(t+h-f(t) - g(t)1I P dt = a si p<+..)
h-'o
i i i) i 1 ex i s t e ke L P CO. T ; X ) tel q ue
.1 T
J/(t)  (t) dt = - Lk(t) ..(t) dt pour tout ....51J(]o..r[òlR)
Dans C cas on a
df 1 = g = k
dt
p.p.  JO,T[.
l:on t ron s
df 1
ue i)  ii) avec g =  . en effet on a
1 J t+h
= h t g(s) ds et il est bien connu que si l'on pro-
g = l ( O g sur JO.T[ alors la fonction  J t t +h'gCS) ds
ai11eurs
f ( t + h )- f ( t )
h
longe
g
par
tend vcrs g dans LPCtR,X) quand h --+- 0 si p<+=,
Prouvons que ii)  iii) avec k = g ; en effet on a
I'T
 I f ( t ) [a ( t )- a ( t- h ) 1 d t
.)0
1 rT
+ h J f(t) aCt)
'I'--h
J '1'-h
=  0 [f(t)..f(t+h)] ..(t) dt
1 J h
dt - h 0 f(t) aCt-h) dt
Done::;i at:..](]O.T[.JR), on a pour h assez petit
T
 50 f ( t ) [a ( t )- a ( 1;- h ) 1 d t =
f '1'- h
 0 [f(t)-f(t-h)] a(t) dt
...
a
Le pasaage à la limite quand
iii),
h --+ 0
est immédiat et conduit
Enfin iJ.i)  i) ear pour a&..2)(]O,T[;iR) on a
j T df J T d J T da
O dt n (t) aCt) dt = - t (t) (t) = - t(t) --!let) dt
n dt dt
o 0

Appendlce Fonctions vectorielles d'une variable réelle
J l 1 [ ] [
si de plus supp a c -;.'1'-ñ t aors supp an C O.T et done
T df J T T
10 dt n Ct ) aC.) dt a okCt) anCt) dt = JoknCt) aCt) dt ·
On en deduit que
dr
--!t = k
dt n
p . p. sur ] 1. ]; [ .
n n
So itA = {t   0 >> T [ . f (t)} -+- f ( t )} ; 0 n a alo r s
t n
f ( t )- r ( s) = J s k (T) d T po u r to U t s . t (:. A .
Il en résulte que lim res) = rl(o) existe et on a
s
s<:.A
t
rC.) = r l CO) + Jo ked dT pour tout t e. A ·
155
!!.o"l")osition A.7 .  f ßLP(O.T;X)  l<p+c>> et soit c 
costante
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i )
f E 'W 1 . p ( 0 T. X )
1 · ·
tel que
f = r 1 1) . "0. sur ] 0 . '!' [
il existe

II-h V t 1/  C
1 L P
J T- h .!.
(0 /I r ( t + h )- f' ( t ) UP d t ) P  Ch po u r to u t
T
I 10 < r ( t ) t"* ( t ) ) d t I  C /I </> If ,
L P (O.T,X')
1 + 1
P p'
i i)
h.sJO.T[
ii i )

 </>e(JO.T[;X') .
= 1
pou.:'
on a alors p.p. sur
JO.T[
Pour simplifier la démonstration de l'implieation i) -- ) ii)
d
po sons y = dt V r
1
J t+h
Iif(t+h)-f(t)1I  t y(,.) dT et par Hölder
1 J t+h
II r ( t+ h )- r ( t ) uP  h 1>- t Y P ( T) d T
si
p<+c>> (le
cas
p=+oo
immé diat) .
h J h
Done fa Jlrt+h)-r(t) If dt  hP-l 0 WCt+h) - WCt) dt
t
où l'on pose wCt) = fo yPCT) dT et par suite
é tan t

156
Appendlce Fonctlons vectorielles d'une variable réelle
,,'l'-h 1 J T d
Jo IIf(t+h)-f(t)!lP dt  hP- i1-h W (t) dtof hPW(T) = hPII'dt: V f1 " P .
L P
L'implication
à l'implication ii)
ii) -) iii) se démontre de maniere
9 i ii ) de 1 a propo si tion A.5.
identique
Enfin pour prouver que iii) --> i) on considère la suite
des réGularisés de f. Grâce au lemme A.3. on a comme dans la
1 1
dmonstrat ion de 1 a propo si hon A. 5 [J:-ñn :: n (t)1I Pdt] P .$ C .
df 1 In
Po sons y (t) = ) II dtn (t) 1\ si ñ<t<'I\-ñ . On a alors
n l
f
n
o
t
/I f (t )-f (s) /I  J Y (T) dT
n n n
s
ailleurs
pour
1 1
-s$tT-- .
n n
Comme
Y n
est borné
ë;..J.n s
'0 . 1 .
L- . 1 eXlste
n k
 +0)
tel que
Y n
k
II Y II  c .
L P (0. T.IR )
 Y
faiblemen t
,
pour a(LP(O.T;IR).L P (O.T.IR))
et
AIo1. S po ur s . tEA. s < ton a
t
:1 f ( t )- f ( s ) II  L y ( d d T .
On achève la demonstration en considérant
f 1 (t) =
lim f(s) .
se.A
s-.t
4.  léments divers .
Lemme A.4 . (Gronwall-Bellman). 
1
m  L ( 0 . T ;tR )
tel que
mO
p.p.
sur JO.T[ et soit a une con stante O.
<1C'it
<1> una fonction continue de [O.T]
t
fa m(s) 4>(s) ds pour tout t E. [O,T]
Jm(s)ds
e pour tout t e [0. T] .
d an s IR
-
vérifiant
<p{t). a +
. Alo r s
4'(t)  a
t
En effet soit (t) = a + fom(s) 4>(s) ds ; 1a fonction  est
absolument continue et on a *Ct) = met) (t)  met) 1þCt) p.p. sur
d -Jtm(S)dS
] 0 . T [ . Don c dt { 'Þ ( t) eO)" 0 p . p. sur ] 0 . T [ . e t co mme 1 a

Appendlce Fonctions vectorielles d'une variable réelle
157
Jm(s)ùs
fonction t  I(t) e est absolument continue, elle est
-Jtm(s)ds
aécrolssantt:1. Par suite ,pet) e 0  1þ(0) = a il en résulte
Jm(s)ds
.1e $ ( t)  'IJ ( t)  a e
:"e !1I'le A. 5 . 
1
m c. L (0, T ;fR )
tel que
mO
p.'D. sur ]O,T[ et
 a une constante O.
flant
.2.ill $ une fonction continue de [O,T]  IR
1 2 1 2 r t
2' cþ (t) '2 a + m(s) cþ(s) ds pour tout t b [O,T] .
J 0
t
1<Þ(t)1  a + Jom(s) ds pour tout të: rO,T] .
t
En effet soit Iþt(t) = %(a+t)2 + Jom(s) $(s) ds t E>O ;
véri-
Alors
dlþ
done dtE (t) = met) $(t)
p . p. sur J 0 , T [ e t
1 2
_ 2 $ (t).$ 'P (t) $ '" (t)
o E
d",
pour t e. [O,T] . II en résulte que dt& (t)" m(t)12 { IþE ( t) . Or
1 2
IþE(t)2 t pour tout te[O,T] ; de sorte que Ia fonction
t t--+ Iþ (t) est a b sol ume n t con tin ue e t
&
p.p. sur JO,T[ . Par suite
/) / ", (0) + 1- J tm(s)
E E /2 0
On en dé dui t que
d
dt
dtþ
.L liliTt ( t ) = 1 ( t )
dt  dt E
E 2/tþ (t)
1 &
/  -=.m ( t ) P . p. sur J 0 , T [ e t
& /2
ds .
t
Icþ(t)1  /2 /tþE(t)  /2 "'t(O) + Jom(s) ds =
t
a + & + fom(s) ds
pour tout t c lO,Tl et tout &>0.
emme A.6 . Soi,t u une fonction de [to,T]
3anach X. On suppose que les fonctions t
t .....-.. !lu(t)11 sont dérivables do droite en
dan s un e space de
......... u ( t ) e t
t
o
Alors
d+ d+u
dt II u ( to) II + C1 1\ U ( to) II .; II dt ( to) + au ( to) " po u r to ut a , IR ·
En effet, sit h>O
on a

Appendice FonctJons vectorielles d'une vanable réelle
+ au (t )  ). - h 1Uu (t +h) U - I a-- h 11Ilu (t ) II
00 0
( a ) lIu ( to) II =  ( Itu ( to + h ) 11- lIu ( to) II) + a lIu ( to) If
a I . 1 e p a. s sag e à 1 a 1 i mi t e q u an d h -+- 0 est

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES,
COMPLEMENTSETPROBLEMESOUVERTS
caAP. I
.I.1 . Le théorðme du min-max sous sa forme la plus élémentaire
est dû ã Von eumann (1937). La démonstration du t6orme 1.1 repose
sur une idée de Shiffman (cf. KARLI1 [lJ). On trouvera dans la
littérature de nombreuses $énéralisations du théorme du min-Max
citons entre autres celles de BROiDER [141. GHOUILA-HOURI [lJ.
KY FA:f [1] [2] [3], ,fOREAU [lJ (qui établit la relation avec la
théorie des fonctions convexes conjuguées) et SIiJ::i [1].
ROCKAFELLAR [5] met en évidence le lien qui existe entre la
recherche des points selle et celle des zéros d'un opérateur
monotone ; notons simplement que si K(x,y) est une fonction
convexe-concave différentiable sur E)( F et si K (x,y) (resp.
x
K par rapport à
Ky(X. Y )) désignent les differentielles de
x (resp. y) ,alors [x ,y J est un point selle de K si
o 0
seulement si K (x ,y ) = K (x ,y ) = 0 i.e. (x.y) = 0
x 0 0 Y 0 0 0 0
M(x,y) = (K (x.y). - K (x.y)) est un operateur monotone de
x y
d an s E 'x F'
et
où
E x F
5.I.2 . Le théorme 1.2 a été prouvé indépendamMent par BRODER [6].
KIRK [1] et 3crHDE [1]. La démonstration 1ue nous présentons n'est
pas la plus siMple, mais on en retiendra surtout la propriéte
remar1 uab le de fermeture indiquée à la proposition 1.3. Cel;:.te proposition
est due à . BROWDERJ7] . De nombreux travaux ont été consacrés à l'étude des
points fixes d'une contraction (resp.communs à une famille de contractions ainsi qu'à
convergence de diverses méthodes itératives (cr. 3ELLUCE - KIRK [1].
3HO lDER - PETYSnY!l [lJ, KANIEL [2] ain si que le s monographie s de d
FIGUEIREDO [1] et OPIAL [lJ Le problme suivant semble être encore
ouvert :
P1> . 1 . Soit E un e space de 13 an ach réflei.f. et soi t C un con vexe
f" e rmé born é tie E . Soit T une contraction de C dans C ; est-
ce 'lue T admet un po in t fixe ?
... ..
.I.3 . Le t'1éorlJ'Ie 1 . J a éte rel"#\rqu6 in d :pen daml'ln t par CRA1\JD4.LL

160
Références blbllographiques, Compléments et problèmes ouverts
[1] et Brezis - Pazy. Les estimations des theormes 1.5 et 1.6
sont standard. L'application d'un théorème de point fixe pour
contractions à la rêsolution de problèmes périodiques suit les
idées de BROTÑDER [5J, [91. Le théorème 1.7 est dû à CHEROFF [lj
dans le cas où J est un operateur lineaire et à !IYADERA - OHARU
[1] dans le cas genéral. La demonstration que nOus indiquons est
ce lle de BRE ZIS - PAZY 12].
Pb.2. Comment etendre le theorème 1.7 au cas où J depend de t?
C!IAP.. ïI
Sans vou1oir prendre partie dans la contoverse concernant la
paternté des opérateurs monotones signalons que ce concept a eté
décaé entre autres par GOLOMB [1], KACUROVSKI [1] (à partir des
considerations de VAINBERG) et ZARANTONELLO [1]. Certains de ces
travDUX avaient pour point de départ la resolution d'équations
intéGales non linéaires. Les developpements récents de la théorie
des orérateurs monotones ont d'ailleurs conduit à de nouveaux
resultats concernant les equations de Hammerstein . cf. en parti-
culie r DRO-lDER [18J, DOLPH - MI:lTY [1] (ce s deux arti cle s
cont ie.1nen t de vaste s b iblio graph ie s) e t KOLODNER [lJ.
5II-l  2 e 1 . La notlon d'opérateur maximal monotone multivoque
a eté introduite par HINTY [2] qui etablit la proposition 2.2. Il
géner.:::.lise un résu1tat que PHILLIPS [2]. [3] avait demontré dans
le cas lineaire (cf. proposition 2.3). Le ait que d soit
maxiu.l monotone a eté mis en evidence par ITY 14] et OREAU.
Le t1 Sorème 2.1 cst dû 3. DEBRUNifER - FLOR [lJ (c f. aus si 1-fINTY [7:),
ous avons volontairement ecarte de ce cours :
1) Les resultats concernant les operateurs monotones definis sur
un espace reflexif V et  valeurs dans V' aiasi que les pertur-
bations compactes de ces operateurs. Les techniques utili sees sont
des variantes de la méthode de Galerkin et de la methode d'energie.
Les travaux de base, motives en general par la resolution
d'équations elliptiques non linéaires (cr. BROWDER [lJ, [2J, [7].

Références bibllographlques, Compléments et problèmes ouverts
161
I.,ERAY - LIJS [1], 1I'lTY [3]. VISIK [21. cf. aussi le livre de LI')rS
.,
[21 et les monographies de BR,.jDEH [11, STRAUSS [1] et I.:ACUR')VS.:<:I
L3]) ont donné nai ssance .1 une foul de développements ; cf. e:1tr
autres 13REZIS [lJ, ['2], [3J. [41, 1ROIDER [111, [171,3ROV'DER-
HESS [11, de FIGUEIREDO [lJ, :<:ANIEL [1.1 PETRYSHY.l [1], [2J. La
litterature contient une faune déconcertante d'opérateurs aux noms
peu évocateurs : quasi- conpact, A- propre, pseudo- A- propre, P- compact.
pseudomonotone. de type h, de type S, de type S+, !,seudoITlonotone
généralisé, pseudomonotone généralisé résulier etc ... 1ui englobent
les opérateurs monotones.
2) Les opérateurs accrétifs d'un espace de Banach X dans lui-même
définis par la propriété
( Ax - Ay, J (x - y ))  0
où Jest l'application de dualité de X dans X'
que -A est dissipatIf).
(on dit aussi
Cette notion mise en évidence par LUMER - PHILLIPS [1] dans le
ca.s linéaire est intimement liée à la théorie des seIr.i-groupes de
contractIons dans les espaces de Ba.nach.
Dans le cas non linéa.ire, les opérateurs accrétifs ont été intro-
duits par BRO\{DER [19] cf aussi BROWDER - DE FIGUEIREDO [1],
J - mo no 1; 0 n e s) e t é t u d 1 é spa r B R J T{ DE R [ 12] , [1\3] t
CALVERT - GUSTAFSON [lJ, CRA:lDALL - LIGGETT rll t
PAZY [21, DA PRATO [11 [2J. KATO [3] [4], T>HARTI:I
a. u s s i l' e x p 0 s é deB E  I L A: [ 1 ] .
sous le nom d'opérateurs
L16j, L17],
[2J, CRANDALL -
[1] , [21 t c f .
Dans un espace de Bnach (contrairement i ce qui se passe
dans un espace de Hilber1;), les opérateurs maximaux accrétifs ne vérifent
pas nécessairement F(I+ÀA) = X pour À>O
(cf. CRA1DALL - LIGGETT
[2J) ; lorsqu tun opérateur accrétif satisfait  cette condition,
on dit qu'il est m-accrétif (définition de Kato) ou bien hyper-
maximal accrétif (définition de Browder).
5.11.4.5 et 6 . Les propriétés de convexité de D() et de Int D(A)
sont dûes en dimension finie à ff!'I"'Y [1-; et dans le cal') '!;énéral 1.

162
Reférences bibllograph Iques , Compléments et probièmes ouverts
RJCA.F'':';LLAR [2]. [3J ; on notera q,ue :9(A} n'est pas ?écessairement
convexe. La proposition 2.7 a été établie par CRA:IDALL - PAZY [2.1 et
sa d.ár.lonstration a éte simplifiée par :3REZIS - PAZY [1]. 3RO..l!)ER [161
et RJCKAFELLAR [3J ont prouvé indépendamment Ie téorème 2.3 ; 11
préClse un rêsultat. antér19ur de .t<ATO [lJ, Pour la proposition 2.9
nous indiquons une déonstration de Bi1an.
Le 1emme 2.4 est dû à LESCARRE [lJ et Ie théorème 2.4 à
3EZIS - CRAIDAL1 - PAZY [lJ. 1e corollaire 2.6 a été démon-rré par
CRA..iDALL - PAZY [lJ (extensio:.l d'un résultat linéaire de Kate) et
Ie corollaire 2.7 par ROCKAFELLAR [4J (précédemment BROiDER [llJ
avait considéré Ie cas où D(A) = H) .
. Peut-on caractériser de manière sip1e 1es sections princi-
pales d'un opérateur maximal monotone? 0n notera que si DCA) = H
1a démonstration de la proposition 2.7 montre en fait que toute
section de A est prlncipale car A est localement borné en tout
po in t de H.
Pb.4. Soit A un opérateur maxlmal monotone tel 1ue D(A) soit
fermé et soit :t( un compact de D(A). Est-ce q\le A O est borné
sur K? (Un exemple simple dû à Crandall Montre que cette ssertion
tome en défaut lersque D{A) n'est pas fermé).
.I:.7.3. at 9 . La notion d'opérateur cycliquement monotone a été
introduite par ROCKAF31LAR [lJ qui a démontré Ie théorème 2.5.
a convexité et la diffrentiabilité de ^ dans 1a proposition
2.11 ont été établies par MOREAU 12J qui a étudié les propriétés
de l' inf-convolution de deux fonctions convexes (cf. lfOREAU [31).
En ce 1ui concere 1a théorie des fonctions convexes conjuguées,
neus renvoyons à !10REAU [3J et ROCKAFEL1AF [6]. Les propositions
2.14, 2.17 et '2.13 sont extraites de BREZIS [101 (d.ans le cas
particu1ier o ? = Ie . cf. aussi BREZIS - PAZY [11 et BRZIS
STA'1PACCHIA fll). La proposition 2.1<) est dûe à BREZIS - P.\ZY [lJ.
P.5 . Etat donné un opérateur A maximal monoton. peut-o carac -
tériser les fonctions convexes  (resp. les conve,,<:es C) te1s
que A.+alþ (resp. A+aI C ) "soit maximal monotone?

Références bibllographlques, Compléments et problèmes ouverts
163
ell AP. I I I
Les premiers travaux sur 1a réso1ution d'équations d'évolution
non linêaires du + Au = f , u(O) = u se divisent en trois
dt 0
catésories :
(a) A = L + B où L est un opérateur linéaire (non borné)
gênêrateur d'un semi-groupe de contractions sur H et B est un
opérateur lipschitzien (cf. SEGAL (11) ou plus gênéralement B
est monotone continu (partout dérini) sur H ; cr. BRO.-lDER [3J. KATO
[2] .
(b) A est un opérateur partout dérini sur un espace de Banach
V . à valeurs dans V' , monotone hémicontinu et tel que
1iJll (Atl) = +co . IIAu   C Ilu IP . cr. LIONS [lJ t I?-J. VISIK [1J.
I I jU ,-
I u ;++ co
(c) Cas (a) + (b) . cf. BROWDER [4J. [7]. BARDOS - BREZIS [l.
STRAUSS [lJ.
Cn travaillant aVec des opérateurs maximaux monotones (non
partout définis), on englobe ces trois classes. D'autre part, les
solutions obtenues dans le cas (b) vérifient u G: LP(O,T;V) et
 ,
i' E L P (O.T;V') .. Par contr les techniques développées au chapitre
III permettent (moyennant des hypothèses plus fortes sur les données)
d'obtenir des propriétés suþplémentaires de régularité (en x et t)
puisque
du co
dt  L (0. T.H)
et que
u ( t) 6: D (A H )
pour tout
t  .
.IIJ.).
Les équations d'évolution de 1a forme
du
- + Au  0 .
dt
u(O)  u où A est maxial monotone multivoaue ont été abordées
o
initialement pa KOMUTIA [l. Son travail a été repris et précisé
par CRAJDALL - PAZY [1 J. DORROH [2J et KATO [3J. [4J pour en
arriver au thêorème 3.1. LeG deux derniers auteurs énoncent
d'ailleurs leurs résultats pour des opérateurs A accrétirs dans
un espace X uniform6ment convexe ainsi que son dual X' (cr.
aussi BROWDER [12J. [17J). La généralisation aux espaces .!!..2.!l
ré flex if s po se de sérieuse s dirfi cul t s ; 1e problème a été abo rdé
sous ] e s hypothè se s générale s par CRANDALL - LIGGETT (1 J, CRANDALL
[2] (cf. aussi BENILAi.. [4J) et dans des caB particuliers par
BROWDER [17J. DA PRATO [lJ. [2J. MARTIN [21 t l4IYADERA [4J. WEBB [2J,
(5) .

164
Références bibllographlques, Compléments et problèmes ouverts
Les theorèmes 3.2 et 3.3 sont dûs à. BREZIS [8J, ll.O] ; 1a
demonstration du theorème 3.2 que nous indiquons ici utilise une
suggestion de P. Lax. vATAlrABE l2J considère aussi des equations
de 1a forme  + a4> (u)  0 , u(O) = u mais sous une hypothèse
dt 0
très restrictive (Int D{)  Ø) . EARBU [2] aborde avec des
d 2 u
méthodes semblables le problème "2Au. u{O) ::I x , u(T) = y .
dt
Il ne taut pas contondre ce problème. de nature "elliptique"
avec le problème suivant de nature "hyperbolique" qui est consi-
dérablement plus délicat.
?b.6. Soit  une fonction convexe s.c.i. propre. L'equation
d 2 ;- ( ) ( )  (O ) - -
- +cþ u; 0 , u 0 = u , v admet-elle une solution
d t 2 0 dt 0
unique? On notera qu'en général il nly a pas de solutions "tortes"
(deux rois ditférentiables) et il importe de detinir convenablement
ce qu'on entend par solution "faible". Dans le cas particu1ier
ou 9 = Ie ' la solution represente, en gros, la trajectoire d'un
rayon lumineux "pris" dans le convexe e et se reflechissant au
bord de e.
Pò.7. A quels operateurs accrétifs dans les espaces de Banach
peut-on étendre le théorème 3.2 (resp. 3.3) ? I1 serait particu-
lièrement intéressant (du point de vue des applications) de trouver
une classe d'opérateurs accrétifs dans les Banach, qui englobe les
a , et tels que leurs semi-groupes aient un effet régu1arisant
compa....'J.ble à celui des semi-groupes engendrés par -acþ
. IIT  . ilous suiv.....ons la présentation de BE'JILAIT - BEZIS [lJ;
la proDosition 3.6 est dûe à Denilan et sa généralisation aux
espaces de .Janach est étudiée da.ns BENILAN 13J [4J. L'inequation
(27) et ses conséquences ant été mises en evidence par BREZIS [7J
dans Ie cas ou f=O. La propos1tion 3.3 est dûc à KATO [4J.
Les équations de J.:S\ forme : (t) + A(t)u(t) 30 , \(O) =
ont éte abordées par de nombreux auteurs, cf. entre autres
ARONSZAJN - SZEPTYCKI [lJ, BARBU [lJ, BROílDER [12J [17J, DA PRATO [lJ
f2], FUJITA [lJ, KATO [3J [4J. LOVELADY - MARTI:i [1], MARTIN {lJ [6J,
u
o

Reférences blbllographlques, Compléments et problèmes ouverts
165
WEB r31. cf. aussi Ie travail rêcent et très génêral de CRADALL -
PAZY 13J.
Dans tous ces articles l'hypothèse D(A(t)) _ D(A(O)) (êve-
tuellement D(A(t)) cro!t avec t) joue un rôle essentiel. Le cas
où D(A(t)) dépend (même ttrégulièrement") de t présente de
sérieuses dirticultés et n'a pas é'te abordé. Afin de s'en convaincre
on pourra résoudre directement Ie problème  (t) + A(t)U(t)3 0 .
u(O) = u où A(t)x = A(x-f(t)) (A maximal monotone ) à
o
l'aide du changement d'inconnu vet) = u(t)-f(t) . On notera que
,. . . d 2 :- _1 (0 T H)
cette equatJ.on admet une solutJ.on forte lorsque  eL .; et
df 1 d t
une so:ution faible lorsque dtL (O,T;ll) ; d'autre :?art
+
( u
C1't
+ A(t)o u(t) # 0 . mais
on a
+
 + P . ( df ) =
dt rOJA(t)u(t) -]I
o .
?b. 8.. On suppose que pour tout t E. [OtT] . A(t) est un operateur
maxir,dol monotone vé ri fiant
I (I+)\A(t))-lx - (I+ÀA(s))-lxl  It(t)-f(s)lw(lx!> .
V À> 0 . 'tf S t t e. Io, T] , V x e. H ,
avec fe:. VB(O,T;H) et  continue.
du).
On considère l'approximation Yosida (t) + AÀ(t)u).(t) = 0 .
(0) 2 ( ) .,. ,
uÀ = U o Est-ce que uÀ converge dans L O,T;H ? propretes
de 1a limite u? On notera qu'en énéral u peut être discontinu,
mais on essayera de montrer que u(t+O) = proj D(A(t+O)) u(t-O) ·
n
I.:st-cc. que u(t) = lim IT (IA())-lu ? HOREAU [4J a envisaGé
n+ø k=l n n 0
Ie cas particulier où A(t) = dIC(t) , c(t) étant un convexe fermé
variant ave ct.
soit maximal soit 1 et soi t
Pb. o. A monotone fe L (O,TjH)
u e.C( [O,T] ;H) verifiant
t
(u(t)-u(s). u(s)-x)  J s (f (T )-y · U(T)-X) d1' .
V OstT . V [x,yJeA .

166
Références blbllographiques, Compléments et problèmes ouverts
1:: s t- c e -l ue
u
est solution faible de l'équation
du
dt + Au.3 f ?
,III.3 et 4 . Les théormes 3.6 et 3.7 sont extraits de BREZIS []
[10]. Le thorme 3.3 et la proposition 3.3 sont dûs à BE:1ILA:r -
JREZIS lll. La proposition 3.9 a été démontrêe par groder dans le
cas où f=ù (à l'aide d'une méthode assez ditfêrente et non
rub11e). La proposition 3. est utilisêe par ATTOUCH - DAMLAMIA [lJ
du
pour résoudre des équations de la forme dt + Au + Bu # f . u(O} = U o
où A est maximal monotone et B e5t continu (plus génêralement
ß est mul ti voq ue s. c. s.) .. La démonstration du lennne 3.4 a été simplifiée
par A. Pazy.
Pb.1J. , Soit A un opérateur maximal monotone tel que Int D(A) # ø
1
et soit fë. L (O,T;H) . Toute solution faible de l'équation
du
dt + Au a f e st- elle une solut1on forte ?
Pb.ll . La conclusion de la proposition 3.9 est-elle valable si
l'on suppose seulement que k<l?
Pb.12 . Soit A un opérateur maximal monotone et soit  une
fonction convexe s.c.i. tels que Int D(A)(ÎD(cþ) ::f ø . Etant donnê
fë: C( [O,T] ;H) . est-ce que toute solution faible de l'équation
 + Au + acþ(u}:ilf est solution forte?
.III.5 et 6 . Les théorèmes 3.10  3.13 sont dûs  BREZIS [lOJ.
On notera le résultat suivant de Crandall (non publié) :
Soient f e.H et f(t) tels que t(t)-f Ll(O.+QO;H) soit
co co
du
u un e sol uti 0 n fa i b 1 e de 1 f é '1 u a t ion dt + A u  f . al 0 r s
lim
t+co
u (t) = (R (A )- f ) 0 .
t co
Indiquons encore l'article de HARTIN [3] qui étudie le compor-
tement asymptoti1ue de u sous d'autres hypothèses.
Les rpsultats concernant les solutions périodiques sont
extrai t 5 de 3 RE ZI S [6] et BEiJILAli - BREZI S [1) (cf. aus s i BEILAi'J [5J)
Les deux probl!mes suivants nous paraissent importants %

Références bibliographiques, Compléments et problèmes ouverts
167
Fb .13 . S0i t If> une fonction con vexe s.c.i. telle que 'tin 4> = ')
et so it K = {vG-i1 ; fb (v) = ')} . So it u une solution faible de
l'éud.tion du + d$(U).30 u(') ) e st- ce lim u(t)
= u . que
dt 0 t.. +00
existe ?
Est-ce que
L +00 1 : ldt < + '" 1
Fb. 14. Dans le cas où lm u(t) = u existe. comment peut-on
00
t.. +00
Itreconnaitre" u parmi tous les éléments de l'ensemb1e K = A-1{O}
co
Par exemple. a-t-on u = lM (I+^A)-n u ? On notera que, en
00 0
n"+oo
gé:l iral
U oo ; Proj K
u
o
Pb.15. Soi t A un opé rateur Max ima1 monotone coe rcif ( au sens du
théo rème 3.15) et soit f c VB ( 0 . T . H ) . Existe-t-il une sOlution
fo rte de 1 'é quation du + Au :9 f u(O) u(T) ?
dt . =
.III.7 et 8 . La proposition 3.11 est dûe à BREZIS [6] et le
théorème 3.16 à BREZIS - PAZY [1J dans le cas où f=().:..e théorème
3.16 a été étendu aux espaces de Banach par BREZIS - PAZY (3J; des
résultats de même nature ont été établis indépendamment par
MIYADERA [2J. [3J et MIYADERA - QHARU [1].
Le théorème 3.18 a été démontré par BREZIS - PAZY [1) dans
le cas particulier où f=O. DA PRATO [11 [2J aborde des problèmes
similaires par des méthodes différentes.
Pb.16 . So it An une suite d'operateurs maximaux monotones et
so it A un opérateur Maximal monotone te1s que
(I+ÀA n )-lx  (I+^A )-lx V x E H
V À >0 .
So it r  L 1 (0.., T; H)
n
1
L (O,T;R), u
e t so i t
u E D (An)
o)n
H . Soit
tels
Que
f
n
--+- f
dans
1 · é quation
 U
O\ß du 0
dt n + An u 3 f . u (()) = u
n n n 0" n
du
(faible) de l'équation dt + Au;:,f . u(i)) = Proj D(A )u o ·
dans
u
n
la solution (faible) de
e t so i t
u
la solution
};st-ce
'l ue un
10 . +00 [
con ve re
vers
u
uniformément sur tout
compact de
?

168
Références bibllographlques, Compléments et problemes ouverts
tiÞP. :\'.
n Cè 1ui cuncere les semi-groupes linéaires . nous renvoyons
l l'aJonaante litt6rature existante. c. HILLE - PJILLIPS [lJ.
YJSID\ [11. BUTZEH - .3ERE:IS [lJ et la nonographie de r:OLDSTSI'i [lJ.
Le concept de semi-groupe non linéaire tel qu'il est défini au
cnapitre IV 3. êté ntroduit :par !rE3ERGER [lJ; il démontre. ainsi
ue HARU [lJ)de !ormules de représentation exponentielle SQUS des
hypothses très restrictives.
.IV.l. Le théorme 4.1 tel que nous l'avons formulé est dû à
CRADAL - PAZY [1] (2). Le fait que DCA) soit dense dans C
o
(c'est le point le plus difficile à établir) a été prouvé par
KO:-tURA [2J; nous suivons la démonstration simplifiée de KATO [5J.
Le théorème 4.1 Cainsi que la plupart des résultats du chap. IV)
s'étendent à des semi-groupes de type w i.e. vérifiant
IS(t)x-s(t)yl  ewtlx_yl
y x. y  C. Y t >0
au lieu de (3) (cf. PAZY [lJ).
Indiquons brièvement d'autres résultats que nous n'avons pas
mentionnés dans le cours :
1) Etnt donné un semi-groupe Set) sur un ensemble arbitraire
"V
C . il existe un semi-groupe Set) sur ëõñlv C qui prolonge Set)
Ce théorème profond est dû à ICOHURA [2J. [3J; on trouvera dans
BRE ZIS - PAZY [lJ une démonstration plus simple. basée sur un
théorème de sélection pour des semi-groupes multivoques (i.e. pour
tout t. Set) représente un ensemble de contractions).
2) So i t
C
une rartie de H et soit Set) une famille
C dans C vérifiant (1) et (3). Soit x E=:.C ;
o
est mesurable sur JO.+t>>[. alors t  S(t)x o
(résultat de Phillips rarporté dans
d'applications de
si t  S(t));
o
est continu sur l.+oo[
CRAUDALL - PAZY [lJ). 5i pour tout x:; C . 5(t)x convere fa.blement
ve r s x 1 u an d t  f) . al 0 r s po ur to u t x e C . S ( t ) xc:> n ve r ge
fortement vers x quand t  () ; cf. CRADALL - PAZY [lJ pour
le cas où C est convexeet 3rezis (non pUblié) dans le as général.
)

Références blbhographlques, Compléments et problèmes ouverts
169
3) Les grouþes de contractions sur H se met tent so us la forme
S(t)x = T(t)x + yet) où T(t) est un groupe d'isoétries liéa:es
et y (t) est une fonction continue (cf. CRAifDALL - PAZY [1]).
Dans le cas des espaces de Banach, alors que l'on sait associer
de manière uni1ue, à tout opérateur m-accretif un semi-groupe de
contrctions, le problème inverse est beaucoup plus complexe.
Etant donné Set) il peut exister. en genéral. lusieurs operateurs
accré""ifs dJ.stincts engendrant Set) (cf. CRAilDALL - LIGGETT [2J).
ais si X' est uniformément convexe, il existe au plus un géné-
rateur (cf. 3REZIS [7]). On ne sait pas (même lorsque X et X'
sont uniformément convexes) si tout semi-groupe admet au moins un
générateur.
?b.17. Soit A un operateur maximal monotone tel que D(A) = H
e t so itS ( t )
caractériser
le semi-groupe engendre par -A sur H. Peut-on
A de sorte que pour tout x e DCA) t l' application
1
soit de classe C ? Est-ce que A est necessairement
t r-+ S(t)x
univoque ?
Pb.13 . Soit A un operateur maximal monotone et sit Set) le
semi-broupe engendre par -A sur D(A) . Peut-on caractériser A
\.I d+
de sorte que, pour tout Xß D(A) . S(t)x e.D(A) y t>O et t dt S(t)x
àemeure borne quand t ->- 0 .
On notera que cette classe englobe les genératers de semi-
groupcs Ilnéaires analytiques, les opérateurs cycliquement monotones
les oérateurs dont le domaine a un intérieur non vide, tous les
opérturs maximaux monotones en dimension rinie.
Pb.19. Etudier les semi-groupes non lineaires qui se prolongent de
manière analytique à un secteur du plan complexe (KOMURA [21 a
obtenu certains résultats dans cette direction).
P'h.20. Soit -A Ie generateur d'un semi-groupe linéaire de classe
Co sur H (i.e. Set) est linéaire et verifie seulement les
relations (1) et (2) du chapitre I. So it B un opérateur monotone
du
continu de H dans H . Est-ce que l'euation dt + Au + Bu = 0 .
u(O) = u admet une solution?
o

170
Références blbllographlques, Compléments et problèmes o.Jverts
Pb. 21 . Soit Set) un semi-groupe continu de cont ractions sur Ie
convexe C. Que peut-on dire de l'ensemble S(t)C por t?O? Est-
il convexe ?
Pb.22 . Soit A un opérateur maximal monotone. Etudier, à Itaide
du sem-groupe Set) engendré -A, les classes d'interpolation
comprises entre D(A) et D(A) .
On pourra notamment considêrer les ensembles
{xc D(A) >> J l o lx-S(t)X 1q dt <+e>>} , {xE' D(A) ; Sup ! x-S(t)xL <+e>>}
tq+l o<tl t a
et
{x(!.D(A)
1 im J x- S (t ) xL = o} où 1 q < +e>> e t o a 1 .
to t a
Lorsue A = 3 (ou bien Int D(A) # Ø) on peut aussi envisager
- f 1 0 dt - I-a , 0 I
{xe.D(A); IA s(t)xl +0(. +1 < +e>>} , {XE. D(A) ; Sup t A S(t)x, < +e>>}
Jot q q 0 < t 1
et {x Co D(A)
lin t 1 -aIAoS(t)xl = o} .
to
On notera (cf. proposition 3.1) que
l'intcrpo1ê à "mi-chewin" entre D(3) et
BERE!iS [1] pour Ie cas liné aire.
D() apparaît comme
D ( 3 cþ) >> c f. BUT ZE R -
.IV.2 et 3 . Le théorème 4.2 est dû à BENILA [3]; les autres
résultats sont extraits de DREZIS - PAZY [11. Pour la généra1isation
aux e spa.ce s de Janach, cf. BRE ZIS - PAZY [3], 1ER!.1IN [1], HIYADERA -
OllARU [11. Certains auteurs considrent aussi l'approximation de
Set) ar des "produits d'intésration" ; par exemple, on a pour
n
x e. D ( A ) . S ( t ) x = 1 i m II ( I + ( t . - t. 1) A ) -1 x 0 Ù 0 = t 0 < t 1 ... <t = t
 =l 1. J.- n
désigne une sUbdivision de [O,t] et 7 est Ie filtre des subdi-
visions de [o,tJ 5 Cf NEUBERGER (2J, WEBB (2J[3J
Pb.23 . Soient An et A des opérateurs maximaux monotones;
soient S (t) et Set) les semi-groupes correspondants. LIes
n

Références bibhographiques, Compléments et problèmes ouverts
171
propriéés suivanes sont-elles équivalentes 1
i) (I+ÀAn)-lx  (I+ÀA)-lx t V xeH , 'r/ À>O
ii )
pour toute suite x e: D(A n ) telle que x
n n
 Set) Proj D(A) X uniformement sur tout
--+or x .
s (t)x
n n
compact de
]O,+ao[.
Pb.24 . Soit A un operateur maximal monotone et soit Set) 1e
semi-groupe engendré par -A . Soit F(p) une famille de contrac-
tions de d dans H telle que
À -1 ) -1 V
lim (I+p(I-F(('))) x = (I+ÃA x I xH,
p""o
V À)O .
E st-ce que
t n
lim F(-) x = Set) Pro j ])'"1'T ) x I V x e H I V t e. JO,+cø[ ?
n-++c:o n .I\A
b.25 . Peut-on étendre le resultat de la proposition 4.4  des
opéracurs multivoques ?
On notcra que la conjecture suivante a éé résolue négativént
par P. CHEROFF (Jon associative addition of unbounded operators
and a problem of ßrezis and Pazy, à paraître) :
Soient A et B des operateurs maximaux monotones tels que
A+B soit maximal monotone. Soit C un convexe ferme et soient
{F(p)} . {G(p)} des contractions de C dans C telles que
lim ( À -1 (I+ÀA)-lx V À>O Yxcc
I+-(I-F(p))) x =
p-+o p
lim ( À -1 (I+ÀB)-lx V )O \j
I+-(I-G(p))) x = . x eC
,:>-+0 p
E.:;t-c que
11m
(I+l(I-F(p )G(p)) )-lx =
p
(l+À(A+B))-lx , V À>O , Y XE.C I)
p-+o
.IV4 .. La proposition 4.5 est démontree en partie dans BREZIS-
PAZY [lJ; le corolla.ire.st dû à WATAABE [lJ. Les autres résultats,
tels qu'ils sont presentés ici, semblent nouveaux, mais certaines
démonstrations utilisent des techniques bien connues (cf. par exemple
BRO"iDER [9J). in ce qui concerne les sous-ensembles invariants
non convexes , indiquons les articles de BREZIS [5] et MARTI [4J

172
Références blbllographiques, Compléments et problèmes ouverts
qu'il serait intéressant d'étendre à des opérateurs maximaux
monotones généraux. On trouvera des résu1tats sur les ronctions de
Liapounov non conYexes dans HAR':'1A:r [1] t I1ARTIr [5J et J'URAKA)1! [lJ.
La notion d'opérateur d<p-monotone est liée à celle d'opérateur
'1'-monotone introduite dans BREZIS-STAM:PACCHIA [1J et developpée
par CA:ï:, VERT [1] t [2J (cf. aus si PICARD [1)).
Pò.26 . Soit A un oérateur maxial monotone et soit Q une
fonction convexe s.c.i. tela que <Þ(ProjDmx) <þ(x) t V xeH et
D(A)- 'Y- D(acþ) = D(A) () D(<þ ) . On suppose que. pour tout k>Q, A + kø<>
es maximal monotone et que
I 0 I
A xI 
I (A+k<>cþ)ox/
V xe.D(A)nD(3<þ) .
Est-ce que cþ( (I+ÀA)-l x )  cþ(x) t V x  H t V À>O ?
APPr::JDJCE.
La plupart des résultats présentés existent, dispersés dans
la lltérature ou bien sont des adaptations direces de résultats
bien connus. L'effort nécessaire de clariication et de mise au
point a été fait par Bénilan.

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