В.А. Юрко
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБРАТНЫХ
СПЕКТРАЛЬНЫХ
ЗАДАЧ
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2007
®

УДК 01/.У64; ol/.yz/ £j Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.161.6 r»<tp>i* Российского фонда фундаментальных
J0 75 ** исследований по проекту 06-01-14001д
Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 384 с. - ISBN 978-5-9221-0734-8.
В книге рассматривается современное состояние теории обратных
задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Представлены основные результаты и методы решения обратных задач как
для уравнения Штурма-Лиувилля, так и для дифференциальных уравнений
высших порядков и систем дифференциальных уравнений. Материал книги
представляет собой переработанное и дополненное изложение курса лекций,
читавшегося автором в ряде классических университетов (Саратовский
государственный университет (Россия), университет Дуйсбург-Эссен (Германия),
Сивасский университет (Турция) и др.).
Для математиков, физиков, инженеров, а также для студентов старших
курсов математических, физических и технических специальностей.
Научное издание
ЮРКО Вячеслав Анатольевич
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОБРАТНЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: ММ. Артемьева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 19.06.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 24,0. Уч.-изд. л. 26,4. Тираж 300 экз. Заказ № 442.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Московская типография № 6»
115088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24
© ФИЗМАТЛИТ, 2007
ISBN 978-5-9221 -0734-8 © В. А. Юрко, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на
конечном интервале 8
§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 9
§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 28
§ 1.3. Метод оператора преобразования 38
§ 1.4. Метод спектральных отображений 60
§ 1.5. Метод эталонных моделей 89
§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи 93
§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах 116
Глава 2. Обратные задачи для сингулярных операторов Штурма-
Лиувилля 128
§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 128
§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 151
§ 2.3. Обратная задача на полуоси для локально суммируемых
потенциалов 184
§ 2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси 205
§ 2.5. Обратная задача рассеяния на оси 224
Глава 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
произвольных порядков 254
§3.1. Свойства спектральных характеристик 255
§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 266
§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов на конечном
интервале 291
§3.4. Самосопряженный случай 315

4 Оглавление
Глава 4. Обратные задачи для дифференциальных систем 326
§4.1. Свойства матрицы Вейля 326
§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля. . 335
§4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости 353
Исторический очерк 360
Список литературы 367

Предисловие
В книге представлены основные методы и результаты,
полученные в теории обратных спектральных задач для обыкновенных
дифференциальных операторов. Обратные задачи спектрального анализа
заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным
характеристикам. Подобные задачи играют фундаментальную роль
в различных разделах математики и имеют много приложений в
механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях
естествознания и техники. Интерес к этой тематике постоянно
увеличивается благодаря появлению все новых приложений, и в настоящее
время теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полные результаты в спектральной теории
дифференциальных операторов и, в частности, в теории обратных задач получены
для дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля
-у" + q(x)y = Ху.
Первые исследования в этой области были выполнены Д. Бернулли,
Даламбером, Эйлером, Лиувиллем и Штурмом в связи с решением
уравнения, описывающего колебания струны. Интенсивное развитие
спектральная теория для различных классов операторов получила в XX
веке. Глубокие идеи здесь принадлежат Бирхгофу, Вейлю, Гильберту,
Нейману, Стеклову, Стоуну и другим математикам. Что касается
обратных спектральных задач, то основные результаты и методы здесь
получены во второй половине XX века. Отметим работы Билса,
Борга, Гасымова, Крейна, Левитана, Левинсона, Лейбензона, Марченко,
Сахновича, Фаддеева, Хачатряна и др. (см. исторический обзор в
конце книги). Созданные методы позволили решить целый ряд важных
прикладных задач в различных областях естествознания и техники.
Отметим замечательный метод интегрирования нелинейных
эволюционных уравнений математической физики, связанный с использованием
обратных спектральных задач на оси (см. [1, 2, 89, 236, 304]). Много
приложений связано также с обратными задачами для
дифференциальных уравнений на полуоси и на конечном интервале, для систем
дифференциальных уравнений, для дифференциальных уравнений с
особенностями и точками поворота, для задач с последействием, для
дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от
спектрального параметра, для дифференциальных уравнений на графах и
для других классов дифференциальных уравнений.
В настоящей книге изложена теория решения обратных
спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Материал

6
Предисловие
книги условно можно разбить на две части. В первой части, состоящей
из гл. 1, 2, исследуется оператор Штурма-Лиувилля 1у := -у" 4- q{x)y.
Используя этот оператор в качестве модельного, мы даем достаточно
элементарное и полное введение в теорию обратных задач и описываем
ее основные идеи и методы. Эта часть книги доступна для
широкого круга читателей — математиков, физиков и инженеров, а также
для студентов старших курсов механико-математических, физических
и технических специальностей. От читателя требуется знание начал
математического анализа и теории линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. Существенно более трудными являются обратные
задачи для дифференциальных уравнений высших порядков и для
систем дифференциальных уравнений. В гл. 3 излагается теория решения
обратных задач для уравнений произвольного порядка п вида
п-2
у(п) + £Ых)у(*) = а»'
к=0
а гл. 4 посвящена обратным задачам для систем дифференциальных
уравнений:
QoY'(x) + Q(x)Y(x) = pY{x),
где Y = [yk)k=Tn ~ вектор-столбец, с произвольным расположением
корней характеристического уравнения.
В книге представлены основные методы решения обратных
спектральных задач: метод оператора преобразования, метод спектральных
отображений, метод эталонных моделей, метод Борга и другие.
Метод оператора преобразования сыграл важную роль в спектральной
теории операторов Штурма-Лиувилля (см. монографии [173, 164]).
Но этот метод оказался неудобным для многих важных классов
обратных задач, более сложных, чем обратные задачи для оператора
Штурма-Лиувилля. Более универсальным инструментом является
метод спектральных отображений, связанный с развитием метода
контурного интеграла. Этот метод позволяет исследовать обратные задачи для
широкого класса операторов. Изложение метода спектральных
отображений является одной из главных целей книги. В частности, основные
результаты гл. 3, 4 получены именно этим методом. Для удобства
читателей метод спектральных отображений сначала излагается в
простейшем варианте для операторов Штурма-Лиувилля (см. §§ 1.4, 2.2).
Отметим, что известный в теории обратных задач подход, связанный
с использованием задачи Римана (см., например, [30]), фактически
является частным случаем метода спектральных отображений. Еще
одним методом, применяемым в книге, является так называемый метод
эталонных моделей, в котором строится последовательность модельных
операторов, аппроксимирующая искомый неизвестный оператор. В
методе Борга, изложенном в §1.6, обратная задача Штурма-Лиувилля
сводится к решению специального нелинейного интегрального уравне-

Предисловие
7
ния, что дает возможность строить локальное решение обратной задачи
и исследовать устойчивость ее решения.
Существует обширная литература, посвященная обратным
спектральным задачам. Список литературы в конце книги не претендует
на полноту. В нем приведены лишь монографии, обзоры и наиболее
важные статьи по данной тематике. В конце книги приведен
исторический очерк и дан краткий обзор литературы по теории обратных
спектральных задач.

Глава 1
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА КОНЕЧНОМ
ИНТЕРВАЛЕ
В этой главе дается введение в спектральную теорию операторов Штурма-
Лиувилля на конечном интервале. Параграф 1.1 посвящен так называемым
прямым задачам спектрального анализа. Здесь изучаются основные
спектральные характеристики краевых задач Штурма-Лиувилля. В частности, доказана
теорема о существовании и асимптотическом поведении собственных значений
и собственных функций. Исследуются свойства собственных функций.
Доказано, что система собственных функций является полной и образует
ортогональный базис в пространстве Z/2. Приводится теорема о разложении в равномерной
норме. Строятся операторы преобразования, которые являются эффективным
инструментом в спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля.
Параграфы 1.2-1.7 посвящены теории обратных спектральных задач для
операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале. В § 1.2 даются
различные постановки обратных задач и доказываются соответствующие теоремы
единственности. В §§ 1.3-1.7 излагаются различные методы решения обратных
задач. Разнообразие идей этих методов позволяет применять их для многих
других более сложных классов операторов. Метод оператора преобразования,
в котором обратная задача сводится к решению линейного интегрального
уравнения, описан в § 1.3. В § 1.4 представлен метод спектральных отображений,
в котором используются идеи метода контурного интеграла. Центральную роль
здесь играет так называемое основное уравнение обратной задачи, являющееся
линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве. Дается
вывод основного уравнения, доказывается его однозначная разрешимость и
приводятся явные формулы для решения обратной задачи. В настоящее время
метод спектральных отображений представляется наиболее универсальным
инструментом в теории обратных задач. Для оператора Штурма-Лиувилля
метод спектральных отображений дает те же результаты, что и метод оператора
преобразования. Но метод спектральных отображений является более
эффективным для многих других классов обратных задач. В § 1.5 излагается метод
эталонных моделей, который позволяет строить эффективные алгоритмы для
широкого класса обратных задач. Метод локального решения обратной задачи,
принадлежащий Боргу, предлагается в § 1.6. В § 1.7 приводится метод решения
обратных задач спектрального анализа для дифференциальных операторов
на графах.

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 9
§ 1.1. Собственные значения и собственные функции
1.1.1. Свойства собственных значений. Рассмотрим следующую
краевую задачу L = L(q(x), h, Н):
£y:=-y" + q(x)y = \y, О < х < тг, (1.1.1)
U(у) := у'(0) - Л»(0) - 0, К(у) := у'(тг) + Яу(тг) =0. (1.1.2)
Здесь Л — спектральный параметр; q(x),h и // вещественны; д(х) £
Е 1/2(0,7г). Оператор £ называется оператором Штурма-Лиувилляу
а функцию q мы в дальнейшем будем называть потенциалом.
Нас интересуют нетривиальные решения краевой задачи (1.1.1)-
(1.1.2).
Определение 1.1.1. Те значения параметра А, для которых L
имеет нетривиальные решения, называются собственными
значениями, а соответствующие нетривиальные решения называются
собственными функциями. Множество собственных значений называется
спектром L.
В этом пункте мы получим простейшие свойства спектра краевой
задачи L и изучим асимптотическое поведение собственных значений
и собственных функций. Заметим, что аналогичные результаты имеют
место и для других видов распадающихся краевых условий, а именно:
(i)£%) = 0, р(тг)=0;
(И) 2/(0) = 0, V(y) = 0;
(iii) уф) = у(тг) = 0.
Пусть С(х, X),S(x, \),<р(х, Х),ф(х, А) являются решениями
уравнения (1.1.1) при начальных условиях
С(0,А) = 1, С"(0. Л) = 0. 5(0, А) = 0, S'(0,A)=i/
V?(0,A) = 1, </(0,A)=/i, ^(тг,А) = 1. ip'(n,\) = -H.
При каждом фиксированном х функции tp(x. А), ф(х, Х),С(х, А),
S(x, А) являются целыми аналитическими по А. Ясно, что
Щ<р):=<р'(0,Х)-1ир{0,\)=0, У(ф):=тр'{тг,\)+Нф(тт,\)=0. (1.1.3)
Обозначим
Д(А) = ^(х,А),^(х,А)), (1.1.4)
где (y(x),z(x)) := y(x)z'(x) - y'{x)z{x).
Согласно формуле Остроградского-Лиувилля вронскиан
(ф{х, \),(р(х, А)) не зависит от х. Функция А(А) называется
характеристической функцией краевой задачи L. Подставляя х = 0
и х = 7г в (1.1.4), получаем
А(А) = V{}p) = -и(ф). (1.1.5)
Функция А(А) является целой по А и имеет не более счетного
множества нулей {Ап}.

Ю Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Теорема 1.1.1. Нули {Ап} характеристической функции
совпадают с собственными значениями краевой задачи L. Функции
ф(х, Хп) и ф(х, \п) являются собственными функциями, и
существует последовательность {(Зп} такая, что
ф(хАп)=РпфАп), Ai^O. (1.1.6)
Доказательство. 1) Пусть Ао является нулем функции
Д(А). Тогда в силу (1.1.3)-(1.1.5) ф(х,\о) = /Зо<^(х,Ао)> и
функции ф(х, Ао),(^(х,Ао) удовлетворяют краевым условиям (1.1.2).
Следовательно, Ао — собственное значение, а ф(х, Ао),<£>(х, Ао) —
соответствующие собственные функции.
2) Обратно, пусть Aq является собственным значением L, и пусть
уо — соответствующая собственная функция. Тогда U(yo) = V(yo) — 0.
Ясно, что уо(0) т^ 0 (если бы уо(0) = 0, то у'0(0) = 0, и по теореме
единственности решения задачи Коши уо(х) = 0). Без ограничения
общности полагаем уо(0) = 1. Тогда у'0(0) = Л и, следовательно, уо(х) =
= <р(х,\0). Поэтому (1.1.5) дает: Д(А0) = V(tp(x, А0)) = V(y0(x)) = 0.
Мы также доказали, что каждому собственному значению
соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя) собственная
функция. □
Обозначим п
&п *•= (p2(xt\n)dx. (1-1-7)
о
Числа {ап} называются весовыми числами, а числа {Ап,ап}
называются спектральными данными краевой задачи L.
Лемма 1.1.1. Справедливо соотношение
Рпап = -А(\п), (1.1.8)
где числа рп определяются формулой (1.1.6) и Д(А) = — Д(А).
ил
Доказательство. Используя (1.1.1), вычисляем
— (ф{х, А), <р{х, Ап)) = (А - \п)ф{х, А)(^(х, А„)
и, следовательно, с учетом (1.1.5) имеем
7Г
Г |7Г
(А - An) ф(х, \)(р(х, Хп) dx = (ф(ху А), (р(х, А„)) = -Д(А).
о
При А —> Ап это дает
ф(х, An)(/?(x, An) dx = -A(An).
Используя (1.1.6) и (1.1.7), приходим к (1.1.8). □

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 11
Теорема 1.1.2. Собственные значения {Ап} и собственные
функции ip(x, Хп) и ф(х,Хп) — вещественны. Все нули функции Д(А)
являются простыми, т.е. Д(АП) ф 0. Собственные функции,
соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
в L2(0,tt).
Доказательство. Пусть Лп и Л^ (Лп ф Хк) — собственные
значения с собственными функциями уп(х) и ук(х) соответственно.
Интегрирование по частям дает
eyn(x)yk(x)dx
yn{x)tyk{x)dx,
и, следовательно,
Уп{х)ук{х) dx = Хк
yn(x)yk{x)dx.
Так как Лп Ф Хк, то имеем
Уп(х)Ук{х) dx = 0.
Далее, пусть Л° = и -f iv,v ф 0, — невещественное собственное
значение с собств_енной функцией у°(х) ^0. Так как q(x), h и Н —
вещественны, то Л° = и — iv также является_собственным значением
с собственной функцией у°(х). Так как Л° ф Л°, то получаем
iij/°ii12
у (x)y°(x)dx = 0,
что невозможно. Таким образом, все собственные значения {Лп}
краевой задачи L вещественны и, следовательно, собственные функции
ip(x, Хп) и ip(x,Xn) также вещественны. Так как ап ф 0, вп ф 0, то
в силу (1.1.8) имеем: А(ЛП) ^ 0. П
Пример 1.1.1. Пусть q(x) = 0, h = 0, Н = 0, и пусть Х = р2. Тогда
С(х, А) = <р(х, А) = cos рх, 5(х, Л)
sinpx
ip(x, Л) = cosp(ir — х),
Д(Л) =-psinp7r, Л„ = п2(п ^ 0), (р(х, Хп) = cosnx, /Зп — (— 1)п.
Лемма 1.1.2. При \р\ —» оо верны следующие асимптотические
формулы:
(р(х,Х) = cos/9X + Of |—гехр(|г|х) ] = 0(ехр(|т|х)),
<//(х, А) = -psinpx -f 0(ехр(|т|х)) = 0(|р|ехр(|т|х)),
(11.9)

12 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
гр(х, А) = cosp(7r - х) 4 Of -р-г ехр(|г|(7г — х))\ =
= 0(ехр(|т|(тг-х))), (1.1.10)
гр'(х,\) = psinp(7r — х) 4- 0(ехр(|т|(7г - ж))) =
= 0(НеХр(|г|(7г-х)))
равномерно похЕ [0,7г].
Здесь и в дальнейшем А = р2, т = Im р, а о и О — символы Ландау.
Доказательство. Функция <р(х, Л) является решением
интегрального уравнения Вольтерра:
<р(я\ Л) = cos рх + h—— 4-
sinp(x t)q(t^tX)dt (i.i.ll)
Дифференцируя (1.1.11), вычисляем
<р'(х, Л) = -psinpx 4 hcospx 4
cos р(х - t)q(t)<p(t, \)dt. (1.1.12)
Обозначим /х(Л) = max (|<р(х, А)| ехр(—|т|ж)). Так как
|sinpx| ^ ехр(|т|х), |cospx| ^ ехр(|т|х),
то из (1.1.11) вытекает, что при \р\ ^ 1, х G [0,7г] имеет место оценка
х
\ф, А)| ехр(-|ф) < 1 + i- (ft 4- /х(А) | |,(t)| л) < С, 4 g/i(A),
о
и, следовательно, ц(\) ^ Ci 4 СУр!" lfi(X)- При достаточно больших
\р\ это дает: /i(A) =0(1), т.е. <р(х, А) = 0(ехр(|т|х)). Подставляя эту
оценку в правую часть (1.1.11) и (1.1.12), приходим к (1.1.9).
Аналогично получаем (1.1.10). □
Основным результатом этого пункта является следующая теорема
о существовании и асимптотическом поведении собственных значений
и собственных функций краевой задачи L.
Теорема 1.1.3. Краевая задача L имеет счетное множество
собственных значений {Ап}п^о- При этом
Рп = \Д^ = п4 — 4^, {xn}ek, (1-1.13)
V 7ГП 71
<p(x,An)=cosnx + ^, |fn(x)KC, (1.1.14)
где
q(t) dt.
u> = h + H+X-
0

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 13
Здесь и в дальнейшем один и тот же символ {хп} обозначает
различные последовательности из /г, а символ С — различные положительные
константы, не зависящие от я, А и п.
Доказательство. 1). Подставляя асимптотику для <р(х,А)
из (1.1.9) в правые части (1.1.11) и (1.1.12), вычисляем
<р(х, Л) = cospx + q\{x)—-—h
+
q(t)
sinp(x — 2t)
2~P
Л + 0(Щ&),
<p'(x, A) = -p sin px + q\ (x) cos px +
(1.1.15)
+
q{t)cosP(x^-2t)dt + 0^xp(\r\x)y
где
9i(x) = ft + i|9(<)
0
dt.
Согласно (1.1.5), А(Л) = <р'(7г, Л) 4- Н(р(тг, А). Следовательно, в силу
(1.1.15) имеем
где
А(Л) = — р sin р7Г + u; cos р7г-I- х(р),
7Г
*•(*>) = | U(<)cosp(7r-2t)df + o(iexp(|T|7r)y
(1.1.16)
2). Обозначим Gs = {р : \р-к\ ^ 6, к = 0,±1, ±2,...}, 5 > 0, и
покажем, что
|sin/97r| ^ С,5ехр(|т|7г), р £ Gs,
|А(Л)| ^ С«|р| ехр(|г|7г), р g G*. |р| ^ р*
(1.1.17)
(1.1.18)
при достаточно большом р* = p*(<S).
Пусть р = а + ir. Достаточно доказать (1.1.17) для области
D5 = {р : а € [-1/2,1/2], т ^ О, |р| > 5}. Положим в(р) =
= |sinp7r|expf-|r|7r). Пусть р Е Д$. При т ^ 1 имеем: в{р) ^ С<$. Так
как sinp7r = — (ехр(гр7г) - ехр(—ipn) ], то при г ^ 1
*ы
1 — ехр(2гсг7г) ехр(—2г7г)
>?•
Таким образом, (1.1.17) доказано. Далее, используя (1.1.16), для ре
е Gs получаем
Д(А) = -ряпртг(1+0(-)),

14 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
и, следовательно, (1.1.18) также доказано.
3). Обозначим Гп = {Л : |А| = (п + 1/2)2}. В силу (1.1.16)
Д(А)=/(А)+5(А), /(А) = -рапртг, |р(А)| < Сехр(|г|тг).
Согласно (1.1.17), |/(А)| > |#(А)|, A £ Гп, при достаточно больших
п (п ^ п*). Тогда по теореме Руше [206, с. 246] число нулей функции
А(А) внутри Гп совпадает с числом нулей функции /(А) = -psmpn,
т.е. равно п+ 1. Таким образом, в круге |А| < (п + 1/2)2
расположено ровно п 4- 1 собственных значений краевой задачи L: Ао, ...,АП.
Применяя теперь теорему Руше к кругу *уп(6) = {р : |р - n| ^ 5},
заключаем, что при достаточно больших п в jn(S) лежит ровно один
нуль функции Д(р2), а именно рп = V%i • В силу произвольности <5 > 0
имеем
Pn=7l + £n, £п=о(1), П -> СЮ. (1.1.19)
Подставляя (1.1.19) в (1.1.16), получаем
0 = Д(р£) = -(П + £n) Sin(n + £П)7Г + CJ COs(n + ^п)^ + ^п.
и, следовательно,
—n sin £п7г + a; cos £п7г -f нп = 0. (1.1.20)
Тогда sinen7r = 0(n_I), т.е. £n = 0(n-1). Снова используя (1.1.20),
вычисляем более точно: еп = 1—-, т.е. (1.
тгп п
(1.1.13) в (1.1.15), приходим к (1.1.14), где
числяем более точно: еп = 1—-, т. е. (1.1.13) доказано. Подставляя
£п(я) = [h.+ о q(t)dt — х— — ххп\ sinnx +
q(t) sin n(x-2t)dt + 0(-Y (1.1.21)
X
0
Следовательно, |£n(s)| ^ С, и теорема 1.1.3 доказана. П
В силу (1.1.6) при х = 7г имеем: /Зп = (<р(7г, Ап))-1. Тогда, используя
(1.1.7), (1.1.8), (1.1.14) и (1.1.21), вычисляем
ап = ^ + —, Pn = (-l)n + —, A(An) = (-l)n+lJ + ^. (1.1.22)
Так как функция Д(А) имеет только простые нули, то signA(An) =
_ (_j)n+i ПрИ всех п ^ д.
Через W^ обозначим пространство функций /(х), х Е [0,7г], таких,
что функции /^(х), j = 0, JV - 1, абсолютно непрерывны и f^(x) е
еЬ2{0утг).

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 15
Замечание 1.1.1. Если q(x) € W^, N ^ 1, то можно получить
более точные асимптотические формулы. В частности,
N+1
Pn = n + > -f + -^+T, cj2p = 0, p ^ 0, a;, = -,
Г-f TV П 7Г
N + l +
(1.1.23)
a« = f + E3- + ;$*' c,++1=o,^o, an>o.
j'=i
В самом деле, пусть q[x) G W^. Тогда интегрирование по частям дает
q{t) cosp(x - 2t) dt = ^- (q(x) + q{0)) +
+ rP
qf(t)sinp(x-2t)dty
(1.1.24)
_l_
2p
q{t) sin p(x - 2t) dt = ^ (q(x) - q(0)) ■
4p
4p2
q'(t) cos p(x-2t)dt.
Из (1.1.15) и (1.1.24) вытекает
v(a;^) = co8/M;+(/l+ifg(«)dt)^+0(^№).
Подставляя эту асимптотику в правые части формул (1.1.11)-( 1.1.12)
и используя (1.1.24) и (1.1.5), получаем более точные асимптотические
формулы для ip{v)(x,\) и Д(А), чем (1.1.15)-(1.1.16):
/ w , / х sin ра: , , .cospx
if (х, А) = cospx + q\{x)—— -h <72о(^)—f—
Р р
х
Г /{tfosp(x-2t)dt + 0^Mmy
о
<//(х, А) = —р sin pa: + ^i(x)cospx + q2\(x)—— +
+
^{t)sinp{x-2t) л + 0^Щ^у

16 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Д(А) = -psinpn + ujcospn + ujo^-?1 + ^^, (1.1.25)
P P
где
91 (x) = h + ^ ?(*) d*. cj0 = ^21 (тг) + Hq\ (тг),
о
x
q2j(x) = {-{q(x) + (-iy+1g(0)) + Ь£^ J,(*)9l(t)*, j = 0, 1,
0
7Г
x0 (p) = i [</(*) sin р(тг - 2t) Л + О (ехр(|т|7г)) .
о
Из (1.1.25) вытекает: рп = п + еПу — nsin£n7r + u;cos£n7r + хп/п = О,
и, следовательно,
^=П+Г~ + НГ' {*п} € *2-
7ГП п*
Остальные формулы в (1.1.23) получаются аналогично.
Теорема 1.1.4. Задание спектра {А„}п^о однозначно
определяет характеристическую функцию Д(А) по формуле
00 лп-л
Д(А) = тг(Ло - А) П ^Л (1.1.26)
71=1
Доказательство. Из (1.1.16) вытекает, что Д(А) является
целой по А функцией порядка 1/2 и, следовательно, по теореме Адамара
[240, с. 259] Д(А) однозначно определяется своими нулями с точностью
до постоянного множителя:
Aw = cft(1-£) (1127)
п=0
(случай, когда Д(0) = 0 требует небольших изменений). Рассмотрим
функцию
Д(А) := -psinpn = -Атг f[ (l - 4)-
71= l
Тогда
Д(А) _ п\ — Ао тт п т~т Л Ап - п '
^пШ1+^ет)-
Д(А) . , ■■ ,
V ' 71=1 71=1
Учитывая (1.1.13) и (1.1.16), вычисляем
lim m = l, lim ГТ(1 + ^-) = 1.
А—ооД(А) *—°°;|-JjV п2-А/

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 17
и, следовательно,
С^тгАоТТ^-
ХА, п
71=1
Подставляя это в выражение (1.1.27), приходим к (1.1.26). □
Замечание 1.1.2. Аналогичные результаты верны и для других
видов распадающихся краевых условий. Сформулируем здесь кратко
результаты, которые будут использоваться ниже. Доказательства могут
быть рекомендованы как упражнения.
(i) Рассмотрим краевую задачу L\ = L\(q(x),h) для уравнения
(1.1.1) с краевыми условиями U(y) — О, у(п) — 0. Все собственные
значения {/хп}п^о задачи L\ являются простыми и совпадают с нулями
характеристической функции d(A) := у?(7г, А), причем
00 _ \
d{X) = T\ ^ 2- (1.1.28)
Для спектральных данных {/2П, ап\ }п^о, осп\ := Ц </?2(х, /xn) dxt
задачи L\ справедливы асимптотические формулы
^Ч=п+1ъ + ^- + ^, {хп}€12, (1.1.29)
& TV Т1 TL
«ы =f + ^i, {xnl}G/2, (1.1.30)
где cjj = h + - Jq <?(£) dt.
(ii) Рассмотрим краевую задачу L° = L°(q(x),H) для уравнения
(1.1.1) с краевыми условиями у(0) = 0, V(y) = 0. Все собственные
значения {А^}п^о задачи L0 являются простыми и совпадают с нулями
характеристической функции Д°(А) := il>(0,\) = 5'(7г, А) + Я5(7г, А).
Функция 5(х, А) удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра:
х
S{X,X) = SJ^ +
$££te-Aq(t)s(t,\)dt, (1.1.31)
причем при \р\ —> ею
5(x,A) = ^+0(|iIexp(|T|x))=0(ifexp(|r|x)),
5'(x,A) = cos/9x+(pjexp(|r|x)) = 0(ехр(|ф)), (1.1.32)
Д°(А) = cos/>7r + ( ргехр(|т|7г) J, т = \тр.

18 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Кроме того,
00 xi-x
Д0(Л) = П7Й
nX=V"+1/2)
^=" + 5 + £ + ?' ^6/2'
гдеш°=Я+^^9(0Л.
(iii) Рассмотрим краевую задачу L? = L°l(q(x)) для уравнения (1.1.1)
с краевыми условиями у(0) = у{п) = 0. Все собственные значения
{^п}п^\ задачи L® являются простыми и совпадают с нулями
характеристической функции d°(A) := 5(7Г, А), причем
00 О х /— о
77 ' 7Г/1 »I
71=1
где (J? = - /J <?(£) Л.
Лемма 1.1.3. Справедливо соотношение
Ап < Мп < Ап+ь n ^ О,
(1.1.33)
т.е. собственные значения двух краевых задач L и L\
перемежаются.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.1.1,
выводим
dx
и, следовательно,
7Г
(ip(x, А), (р(х, /л)) = (А — /i)</?(x, А)<р(ж, /i),
(1.1.34)
ip(x, \)<р(х, ц) dx = (<р(х. A), tp(x, ц.)) | = d(X)A(n) - d(n)A(\).
(X-fi)
При (j, —> X получаем
<p2(x, X)dx = d(X)A{X) - d(A)A(A).
где A(A) = Ад(А). d(A) = ±d(\).
В частности, это дает
d'(X) J
a„ = -A(A„)d(A„),
d /Д(А)
(1.1.35)
V?2(x,A)dx = -^(^g), -oo<A<oo, d(A)^0.

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 19
Таким образом, функция \' является монотонно убывающей
d(X)
на R \ {(лп\ п ^ 0}, причем
lim -jTTf = ±оо.
л-м„±о d(X)
Отсюда, в силу (1.1.13) и (1.1.29), приходим к (1.1.33). □
1.1.2. Свойства собственных функций. В этом пункте
доказывается, что система собственных функций краевой задачи Штурма-
Лиувилля L полна и образует ортогональный базис в 1/г(0,7г). Эта
теорема была доказана В. А. Стекловым в конце XIX века. Далее
приводятся достаточные условия равномерной сходимости ряда по
собственным функциям. Теоремы о полноте и о разложении играют
важную роль при решении различных задач математической физики
методом разделения переменных. Для доказательства этих теорем здесь
используется метод контурного интеграла интегрирования резольвенты
по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального
параметра.
Теорема 1.1.5. (i) Система собственных функций {<р(х, Ап)}п^о
краевой задачи L полна в 1,2 (0,7г).
(ii) Пусть /(я), х Е [0,7г], — абсолютно непрерывная функция.
Тогда
f(x) = У\ а>пр{х, лп), ап = —
f(t)<p(t,\n)dt, (1.1.36)
причем ряд сходится равномерно на [О,7г].
(iii) Для f(x) £ 1/2(0, п) ряд (1.1.36) сходится в 1/2(0,7г), причем
имеет место равенство Парсеваля:
* оо
\f(x)\2dx = Y,<*n\an\2- (1.1.37)
71=0
Существует несколько методов доказательства теоремы 1.1.5. Будем
использовать здесь метод контурного интеграла, который играет
важную роль в исследовании прямых и обратных задач спектрального
анализа для многих классов операторов.
Доказательство. 1) Обозначим
Г(т+\\- Х J У>(я.А)^(*,А), x^t,

20 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
и рассмотрим функцию
Y(x,\) =
G(x,t,\)f(t)dt =
X 7Г
(ф{х,Л) [<p(t,X)f(t)dt + (p(xtЛ) [ip(t,X)f(t)dt\.
A(A)
Функция G(x,t,X) называется функцией Грина задачи L. Она
является ядром интегрального оператора, обратного оператору Штурма-
Лиувилля, т. е. функция У(ху А) дает решение краевой задачи
£Y - XY + f(x) = 0, U{Y) = V{Y) = 0; (1.1.38)
это легко проверяется дифференцированием. Учитывая (1.1.6) и
используя теорему 1.1.2, вычисляем
х
Res Y(x,X) = -j-^—UixAn) \<p(t,\n)f(t)dt+
A—An Д(АП) \ J
f{t)v{t,\n)dt.
+ ¥>(*, A„) \i>(tAn)f(t)dt)=-J±-Mx,\n)
J ' A(An)
x 0
В силу (1.1.8) имеем
7Г
Res Y(x,X) = —<р(х,Кп) \ f{t)<fi(t,Xn)dt. (1.1.39)
A=An Otn J
0
2) Пусть функция f(x) G 1/2(0,7г) такова, что
f(t)4>(t,\n)dt = 0t n^O.
Тогда с учетом (1.1.39) получаем Res У (я, А) =0, и, следовательно,
А=АТ1
при каждом фиксированном х е [0,7г] функция Y(x, А) является целой
по А. Далее, из (1.1.9), (1.1.10) и (1.1.18) вытекает, что при
фиксированном 5 > 0 и достаточно большом р* > 0
|У(х,А)К§, peG4, |/>|^р*.
Используя принцип максимума модуля для аналитических
функций [206, с. 204] и теорему Лиувилля [206, с. 209], заключаем, что
Y{x, X) =0. Отсюда и из (1.1.38) следует, что f(x) =0 п. в. на (0,7г).
Таким образом, утверждение (i) доказано.

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 21
3) Пусть теперь f(x) е АС[0,7г] — произвольная абсолютно
непрерывная функция. Так как ip(x, А) и ip(x,\) — решения уравнения
(1.1.1), то функцию Y(x, А) можно преобразовать к виду
Y(x,\) = -
АЛ(А)
X
(ф(х, A) |(-v>"(«. А) + q(t)<p(t, A))/(t) dt
+
+ tp(x, A)
{-rl/'{t,\) + q{tWt,\))f(t)dty
Интегрирование по частям слагаемых со вторыми производными с
учетом (1.1.4) дает
у(х, А) = Д£) - I^x, A) + Z2(x, А)), (1.1.40)
где
Zi(x,\)
Д(А)
(ф(хЛ)
g(t)<p'(tt\)dt+
+ </?(ж,А)
g(tW(t,\)dt), g(t):=f'(t),
Z2(x. А) = ^ (hf(0)1>{x, А) + Hf{ir)tp(x, А)+
+
</>(*, A) f д(*)у>(*, А)/(0)Л + ¥>(х, A) f «(*№(*, А)/(«)) dt) •
Используя (1.1.9), (1.1.10) и (1.1.18), получаем при фиксированном
5 > 0 и достаточно большом /?* > 0 :
max \Z2(x,\)\^± р е Gs, \р\>р*.
0^Х^7Г |Р|
Покажем, что
lim max |Zi(x,A)|=0.
|р| —ос 0^Х^7Г
P€G6
(1.1.41)
(1.1.42)
Предположим сначала, что функция д(х) абсолютно непрерывна на
[0,7г]. В этом случае интегрирование по частям дает
Zl(Х'Л) = Д[Х) (^ АМ*М*'Л)[ + ^(Х' АМ*М*. А)[-
X 7Г
- ^(ж.А) fs'(tM*.A)dt-v»(x,A) [^(O^t-A)*).

22 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
В силу (1.1.9), (1.1.10) и (1.1.18) получаем
Q
max \Z\{x,\)\ ^ гт, peGs, \р\^р*.
О^х^тг \р\
Пусть теперь g(£) G L(0,7г). Зафиксируем £>0 и выберем абсолютно
непрерывную функцию g£(t) так, чтобы
\g(t)-g£(t)\dt< £
2С+'
о
где
X 7Г
С+= max sup Т7^т(|^(я;, А)| Г |^(*- А)| А + |^(яг, А)| Г |^(*- А)| ей).
О х
Тогда при /о е Gs, \р\ ^ /Л имеем
max |Zi(x, А)|< max |Zj(x, А;р£)| +
+ max |^(х,Л;з-5£)1<| + ^-
О^х^тг 2 |р|
Следовательно, существует р° > 0 такое, что max |Zj(x,A)| ^ £ при
|р| > р°. В силу произвольности е > 0 приходим к (1.1.42).
Рассмотрим контурный интеграл
y(x,A)dA,
In{x) = h
где Г ту = {А : |А| = (N + 1/2)2} (с обходом против часовой стрелки).
Из (1.1.40)-(1.1.42) вытекает
In(x) = f(x)+sn(x)1 lim max |£yv(z)| = 0. (1.1.43)
N-юо 0^.x^n
С другой стороны, можно вычислить In(x) с помощью теоремы о
вычетах [206, с. 239]. В силу (1.1.39) имеем
N
1 f(t)<p(t,\n)dt.
n=0
IN(x) = V" а„<р(ж, An), an = —
Сравнивая это выражение с (1.1.43), приходим к (1.1.36), причем ряд
сходится равномерно на [0,7г], т.е. утверждение (ii) доказано.
4) Система собственных функций {^(х,Ап)}п^о полна и
ортогональна в 1/2(0,7г), поэтому она образует ортогональный базис в 1/2(0,7г)
и справедливо равенство Парсеваля (1.1.37). П

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 23
1.1.3. Операторы преобразования. Важную роль в теории
обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля играют так
называемые операторы преобразования. Они связывают решения двух
различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех Л. В этом пункте мы
строим операторы преобразования и изучаем их свойства. Отметим,
что операторы преобразования впервые появились в теории операторов
обобщенного сдвига Дельсарта и Левитана (см. [163]). Операторы
преобразования для произвольных уравнений Штурма-Лиувилля были
построены Повзнером [204]. В теории решения обратных задач операторы
преобразования использовались Гельфандом, Левитаном и Марченко
(см. § 1.3 и монографии [173, 164]).
Теорема 1.1.6. Для функции С(х,А) имеет место
представление
С(х, А) = cospx +
K{x,t) cos ptdt, А = р2,
(1.1.44)
где К(х, t) — вещественная непрерывная функция, причем
*■(*,*) = 5
q{t)dt.
(1.1.45)
Доказательство. Из (1.1.11) при h = 0 вытекает, что функция
С(х, А) является решением следующего интегрального уравнения:
С(х, А) = cospx -f
sinp(s t)q(QC(tfX)dt (1.1.46)
Так как
s'mp(x — t)
cos p(s — t)ds,
то (1.1.46) принимает вид
C'(x, A) = cospx +
q(t)C(t, A) ( cosp(s - t) ds) dt,
и, следовательно,
X t
C(x, A) = cospx -f
( q{r)C{r} A) cosp(t - t) dr\ dt.
о 0

24 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Метод последовательных приближений дает
оо
С(х,А) = £С„(а:,А),
(1.1.47)
п=0
Со(х, Л) = cospx, Cn+i(a;,A) =
X t
о о
Покажем по индукции, что
Сп(х,А) =
[([q(T)Cn(T,\)cQ8p{t-T)dT\dt. (1.1.48)
Кп(х, t) cos ptdt,
(1.1.49)
где функции Kn(x,t) не зависят от Л.
Вычислим сначала С\(х, А), используя соотношение cos a cos/3 =
= - (cos(a + /3) + cos(a - /3) J:
C\ (я, Л) = м g(r) cos /or cos p(£ — r)dr) dt =
V t X t
cos pt( q{r)dr\ dt + - f q{r) cosp(t - 2r)dr J d£.
о 0
0 0 0
Замена переменных t — 2т = 5 во втором интеграле дает
X t
С,(х,Л) = 1
cospn ^(r)drj dt + - М <у( —9—) C0SPsds) dt.
о о -t
Меняя порядок интегрирования во втором интеграле, получаем
X t XX
COS
0 0 0 5
Ox х t
q(r) dr\ dt +
Ci(s,A) = I
РЧ q(T) dr) dt + - cospsf gf—~—J d£] ds +
0 0 5
x x i
+ 4 cosP5( ?(^J^) *) d5 = 2 cos^(
s 0 0
+ ij«,»([(,(^)+,(¥))*)*•

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 25
Таким образом, (1.3.6) верно при п = 1, где
С X
Kl(x,t) = ^q{T)dT + ^(q(^)+q(l±±))d8-.
X + t
2
x-t
2
«(Ode + j
g(Odf. *^*- (1-1.50)
Предположим теперь, что (1.1.49) верно при некотором п ^ 1. Тогда,
подставляя (1.1.49) в (1.1.48), вычисляем
Cn+i(x,A) =
q(r) cos p(t - г)
Kn(r,s) cosps ds dr dt =
о о
X t
q{r)
Kn(r,s)(cosp(s + t — t) + cosp(s — t -f r))dsdrdt.
о о
Замены переменных s + £ — т = £ и 5 — £ + т = £ соответственно
приводят к равенству
х t
Cn+i(z. А)
1
Q(r)
0 0 t-r
+
f Mr.
£ -f т — t) cos p£ d£ dr dt +
x t 2r-t
1
9(r)
•Кп(т» £ + * - t) cos p£ d£ dr dt
о о т-t
Меняя порядок интегрирования, получаем
х
Cn+i(x, А) = Кп+\(х, t) cos ptdt,
где
x С
Kn+l(x,t) = -
q(r)Kn(T,t + T-Z)dT +
t s-t
+ <?(r)tfn(r,£-r+Odr+
q(T)Kn(T,-t-T + QdT)dt. (1.1.51)
2
fed
2

26 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Подставляя (1.1.49) в (1.1.47), приходим к (1.1.44), где
ос
K{x,t) = Y,Kn{x,t).
(1.1.52)
71=1
Из (1.1.50) и (1.1.51) вытекает
\Kn(x,t)\^(Q(x))n
("-I)!'
Q(x) :--
ШШ
В самом деле, (1.1.50) при t ^ х дает
x + t x — t
2 2
\K{(x,t)\^^ | №)\dt + l
0 0 0
Далее, если при некотором п ^ 1 оценка для \Kn(x,t)\ верна, то в силу
(1.1.51) имеем
\q(0\d^
\q(Q\dt = Q(x).
I#n+i (*,t)|<
1
х С
(
t g±t
\Q(r)\(Q(r)r^-^dr +
+
g-t 0 0
2
I
< (Q(0)n+
n + \ 5
(n-1)!
rff<(QW)n+,S-
Таким образом, ряд (1.1.52) сходится абсолютно и равномерно при
0 ^ £ ^ х ^ 7г и функция K{x,t) является непрерывной. Более того,
из (1.1.50)—(1.1.52) следует, что гладкость функции K(xyt) совпадает
с гладкостью функции J0 q(t)dt. Так как согласно (1.1.50), (1.1.51)
К\(хух) =
q(t)dty Kn+\(xyx)=0, п^1,
то приходим к (1.1.45). □
Оператор Т, определяемый формулой Т/(х) = /(х)+Jq К(х, t) f (t) dt,
отображает функцию cospx, которая является решением уравнения
—у" = Ху с нулевым потенциалом, в функцию С(х,Л), которая
является решением уравнения (1.1.1) с некоторым потенциалом q(x) (т.е.
С(х, Л) = T(cospx)). Оператор Т называется оператором
преобразования для С(х, А). Важно, что ядро K(x,t) не зависит от Л.

§ 1.1. Собственные значения и собственные функции 27
Аналогично можно получить операторы преобразования для S(x, А)
и </?(#, А).
Теорема 1.1.7. Для функций S(x,X) и (р(х,\) имеют место
представления
X
S(X,X) =aJ2£Z+[p(Xtt)
sin pt
dt,
<p{x, A) = cos px + G(x, t) cos pt dt,
о
(1.1.53)
(1.1.54)
где P(x,t) и G(x,t) ~ вещественные непрерывные функции с той
же гладкостью, что и функция J^ q(t) dt, причем
G(x,x) = h +
q(t)dt,
(1.1.55)
P{x,x)
q(t) dt.
(1.1.56)
Доказательство. Функция S(x,А) удовлетворяет уравнению
(1.1.31), и, следовательно,
X t
S(x,\)
sinpx
+
q(r)S(r, A) cosp(t — t) dr dt.
о о
Метод последовательных приближений дает
оо
S(x,A) = £S„(*,A),
(1.1.57)
п=0
X t
S0(x, А) = 5HL^ Sn+\(x, А)
q{T)Sn(r,\) cosp(t — r)drdt.
о о
Действуя так же, как и при доказательстве теоремы 1.1.6, получаем
следующее представление:
Sn(x,X)
Pn(Xtt)™±£Ldt,

28 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
где
PiCr,<) = 5
9(0^-5
9(0 «.
х с
P„+i(s,*) = 2
g(r)Pn(r,i4-r-0^ +
+
Ш
t e-t
g(r)Pn(r,*-r-hO^-
C-t
9(т)Рп(т,-*-т + 0<*т)#,
2
причем
|P„(x,t)|^(Q(x))n^=:Ijj, <?(*):=
ШК-
Следовательно, ряд (1.1.57) сходится абсолютно и равномерно при
О ^ £ ^ х ^ 7Г, и мы приходим к (1.1.53) и (1.1.56).
Соотношение (1.1.54) может быть получено прямо из (1.1.44)
и (1.1.53):
<р(х, А) = С(х, А) + hS(x, А) =
cos рх +
АГ(х, £) cos р£ бЙ + Л cos р£ cft+
+ h
P(x, t) f cos pr dr) eft = cos px +
G(x, t) cos ptdt,
где
G(x,«) = tf (x, *) -f Л + h\ P(x, r) dr.
Полагая здесь t = x, приходим к (1.1.55).
□
§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы
единственности
Перейдем теперь к обратным задачам спектрального анализа. В этом
параграфе даются различные постановки обратных задач и доказываются
соответствующие теоремы единственности. Мы рассмотрим несколько методов
доказательства этих теорем. Эти методы имеют широкую область применения
и позволяют исследовать различные классы обратных спектральных задач.

§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 29
1.2.1. Теорема Амбарцумяна. Первый результат в теории
обратных спектральных задач принадлежит Амбарцумяну [13]. Рассмотрим
краевую задачу L(q(x),0,0), т.е.
-y" + q(x)y = \y, у'(0)=у'(тт)=0. (1.2.1)
Ясно, что если q(x) = 0 п. в. на (0,7г), то собственные значения задачи
(1.2.1) имеют вид: Лп = n2, п ^ 0. Амбарцумян доказал обратное
утверждение.
Теорема 1.2.1. Если собственные значения задачи (1.2.1) суть
Хп = п2, п > 0, то q(x) = 0 п. в. на (0,7г).
Доказательство. Из (1.1.13) вытекает, что и = 0, т.е.
Jq q(x) dx — 0. Пусть уо(х) — собственная функция для
наименьшего собственного значения Ао = 0. Тогда у$(х) — q(x)yo(x) = 0,
у'0(0) = у'0(7г) = 0. Согласно теореме Штурма об осцилляции, функция
уо(х) не имеет нулей в интервале х Е [0, п]. Учитывая соотношение
Уо{х) _ (Уо(х)\2 , {Уо(хУ
(У'о(х)у , (у'о(х)\\
\Уо(х)) \Уо(х)) '
ю*-'ШН(Ш)'*-
Уо(х) \yo(x)J \Уо(х);
получаем
о о
Таким образом, у'0(х) = 0, т. е. уо{х) = const, q(x) = 0 п. в. на (0,7г). П
Замечание 1.2.1. На самом деле мы доказали более общее, чем
теорема 1.2.1, утверждение, а именно:
Если Ао = - \Zq(x)dx, то q(x) = Ао п. в. на (0,7г).
1.2.2. Единственность восстановления дифференциального
уравнения по спектральным данным. Результат Амбарцумяна
является исключением из правил. Вообще говоря, задание спектра
не определяет оператор однозначно. В пп. 1.2.2-1.2.4 приведены
три теоремы единственности, в которых указаны спектральные
характеристики, однозначно определяющие оператор.
Рассмотрим следующую обратную задачу.
Задача 1.2.1. По заданным спектральным данным {An,an}n->o
построить потенциал q(x) и коэффициенты h и Я.
Целью этого пункта является доказательство теоремы
единственности решения задачи 1.2.1. _
Условимся, что наряду с L рассматривается краевая задача L =
= L(q(x),hyH) того же вида, но с другими коэффициентами. Если
некоторый символ обозначает объект, относящийся к задаче L, то
символ 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к L,
а 7 •— 7 — 7-

30 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Теорема 1.2.2. Если Хп =_АП, ап = ап, п ^ 0, то L = L, т.е.
q(x) = q(x) п. в. на (0,7г), h = h и Н = Н. Таким образом, задание
спектральных данных {An,an}n^o однозначно определяет
потенциал и коэффициенты краевых условий.
Мы дадим два доказательства теоремы 1.2.2. Первое принадлежит
Марченко 176 и использует оператор преобразования и равенство Пар-
севаля (1.1.37). Метод Марченко работает также и для операторов
Штурма-Лиувилля на полуоси и позволяет доказать теорему
единственности восстановления оператора по его спектральной функции.
Второй метод принадлежит Левинсону [162] и опирается на метод
контурного интеграла. Отметим, что Левинсон первым применил идеи
метода контурного интеграла к исследованию обратных спектральных
задач. В §1.4 будет дано развитие этих идей для конструктивного
решения обратной задачи.
Доказательство (Марченко). Согласно (1.1.54) имеем
(р(х,Х) — cos/xr-b
G(x, t) cos pt dt, ip(x, A) = cos px + G(x, t) cos pt dt.
о о
Другими словами, tp(x, X) = (E+G) cos px, ф(х, X) = (E+G) cos px, где
(E+G)f(x) = f(x) +
G(x,t)f(t)dt, (E+G)f(x) = f(x) +
G(x,t)f{t)dt.
Разрешая соотношение (p(x,X) = (E + G)cospx относительно cospx,
находим x
cospx = (p(x, X) +
H{x,t)fi(t,X)dt,
о
где H(x,t) — непрерывная функция, которая является ядром обратного
оператора:
X
{E + H) = (E + G)-\ Hf(x) =
H{x,t)f(t)dt.
Следовательно,
о
<р(х,Х) = (р(х,Х) +
х
t)(p{t,X)dt,
где Q{x,t) — вещественная непрерывная функция.
Пусть f(x) е £,2(0,7г). Из (1.2.2) вытекает
(1.2.2)
f(x)(f(x,X)dx ■
g{x)ip{x, X) dx, g(x) := f(x) +
Q(t,x)f(t)dt.

§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 31
Поэтому при всех п ^ О имеем
ап — оп, ап ;—
f(x)ip(x,\n)dxt bn :=
g(x)v{x,\n)dx.
Используя равенство Парсеваля (1.1.37), вычисляем
1Ы' _ -?-15.1! _
№)|°«* = £^ = Е^ = £^ =
п=0
п=0
П = 0
\g(x)\2dx,
т.е.
11/1к, = 1Ык,. (1-2.3)
Рассмотрим оператор Af(x) = f(x) + j*Q(t,x)f(t)dt. Тогда Af =
= g.B силу (1.2.3) \\Af\\L2 = ||/||l2 при всех f(x) € £2(0,тг).
Следовательно, A* = А-1, что возможно лишь при Q(x,t) =0. Таким^образом,
<р(х, А) = !р(х, А), т. е. q(x) = q(x) п. в. на (0,7г), h = h, Н = Н.
Доказательство (Левинсона). Пусть /(х), х е [0,7г], —
некоторая абсолютно непрерывная функция. Рассмотрим функцию
X 7Г
У°(х.А) = —
1
Д(А)
и контурный интеграл
(#г,А)
f(t)$(t,\)dt + <p(x,\)
/(<Ж«,А)Л)
Ъ(х) = ^
У°(х, A) dA.
г«
Используемая здесь техника взята из доказательства теоремы 1.1.5
о разложении, но здесь функция У°(х, А) строится по решениям
двух краевых задач. Повторяя рассуждения из доказательства теоремы
1.1.5, вычисляем
Y°(x, А)
f{x) Z°ix, А)
где
Z°(x, А) = ^{/(х)Ь(х. А)(^(х, А) - V'(x, А)) - ф(х, А)(£'(х, А)
- у/(х, А))] + к/(0)ф(х, А) + Hf(n)<p(x, А) + V(x, А)
(^(«.А)/'(0 +
+ $"(*)£(*. А)/(<)) А + ¥>(*.А)
$(t,\)f'(t)+qW{t,\)№)dt}.

32 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Асимптотические свойства функций ф(х, А) и ф(х, Л) те же, что
и у функций (f(x, А) и ip(x,X). Поэтому теми же рассуждениями, что
и при доказательстве теоремы 1.1.5, получаем
1%(х) = Дх) + e°N(x)9 lim max |e°N(x)| = 0.
N—►00 0^я^7г
С другой стороны, интеграл /{у(х) можно вычислить с помощью
теоремы о вычетах:
N 1
'^П-дтЫ^
п=0' Д(Л«)'
f{t)${t,\n)dt+
+ <р(х,\п)
f{tmu\n)dt).
Из леммы 1.1 Л и теоремы 1.1.4 вытекает, что при условиях
теоремы 1.2.2 /Зп = /Зп. Следовательно,
N *
1%(х) = У —ф, Лп) f{t)ip(t, К) dt.
71=0 JQ
При N -+ oo имеем
n=0 П £
Вместе с (1.1.36) это дает
f(t)(tp(t,\n)-$(tAn))dt = 0.
В силу произвольности функции f(x) заключаем, что ip(x, Хп) =
= (р(х, Хп) при^всех п ^ 0 и х € [0,7г]. Следовательно, д(х) = д(х) п. в.
на (0,тг), h = h, Н = Н. П
Симметричный случай. Пусть д(х) = д(7г — ж), Н = h. В этом
случае для определения потенциала <?(х) и коэффициента h достаточно
задать только спектр {А„}п^о-
Теорема 1.2.3. Если q(x) = q(ir — х), Н = h, q(x) = q(n — х),
Н = h и Хп = An, п ^ 0, mo g(x) = if(x) я. е. на (0, п) и h = h.
Доказательство. Если q(x) = q{n - х), Н = h и тДх) —
некоторое решение уравнения (1.1.1), то у\{х) := у(п — х) также
удовлетворяет (1.1.1). В частности, имеем: гр(х,Х) — </?(7г — х, Л). Используя
(1.1.6), вычисляем
t/;(x, Ап) = 0пф(х, Хп) = ^п^(тг - х, Ап) = /3^(тг - х, Ап) = /?^(х, Ап).

§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 33
Следовательно, /?£ = 1. С другой стороны, из (1.1.6) вытекает, что
/?п(/?(7г, Лп) = 1. Применяя теорему Штурма об осцилляции, заключаем,
что Рп = (-1)п. Тогда (1.1.8) дает: ап = (-l)n+1A(A„). При условиях
теоремы 1.2.3 получаем, что ап = 5n, п ^ О, и по теореме 1.2.2
q(x) = q(x) п. в. на (0,7г) и h = h. П
1.2.3. Единственность восстановления дифференциального
уравнения по двум спектрам. Борг [44] предложил иную постановку
обратной задачи: восстановить дифференциальный оператор по двум
спектрам краевых задач с общим дифференциальным уравнением
и одним общим краевым условием. Для определенности пусть общим
является краевое условие в точке х = 0.
Пусть {Хп}п^о и {^п}п^о — собственные значения краевых задач
L и L\ соответственно (L\ определена в замечании 1.1.2). Рассмотрим
следующую обратную задачу.
Задача 1.2.2. По заданным двум спектрам {Ап}п^о и {/in}n^o
построить потенциал q(x) и коэффициенты h и Н в краевых условиях.
Целью этого пункта является доказательство теоремы
единственности решения задачи 1.2.2.
Теорема 1.2.4. Если Хп = Лп, цп = Дп, п ^ 0, то q(x) = q(x)
п. в. на (0,7г), h = h и Н = Н. Таким образом, задание двух спектров
{An,/in}n^o однозначно определяет потенциал и коэффициенты
краевых условий.
Доказательство. В силу (1.1.26) и (1.1.28) характеристические
функции Д(А) и d(X) однозначно определяются своими нулями, т.е.
при условиях теоремы 1.2.4 имеем
Д(А) = Д(А), d(A) = d(A).
Кроме того, из (1.1.13) и (1.1.29) вытекает
# = #, h+l-
q{x)dx = 0, (1.2.4)
где h = h - h, q(x) = q(x) — q(x). Следовательно,
у>(тг, A) = £(тг, А), (//(тг, A) = £'(тг> A). (1.2.5)
Так как —<p"(x, A) + q(x)ip(x,\) = \(p(x,X), — fi"(x}\) + q(x)ip(x,\) —
— X(p(x,X), то
I 7Г
q(x)ip(x, X)ip(x, A) dx = (v?'(x> A)£>(x, A) - (/?(x, A)£>'(x, A)),
q:=q-q.

34 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Учитывая (1.2.4) и (1.2.5), вычисляем
q[x)((p(xtX)ip(xt\) -^)dx = °- О-2-6)
Покажем, что (1.2.6) влечет q = 0. Для этого воспользуемся
оператором преобразования (1.1.54). Можно также использовать и
оригинальный прием Борга, изложенный в § 1.6 и не связанный с операторами
преобразования.
Применяя (1.1.54), запишем функцию у?(ж, \)(р(х, А) — - в виде
</?(х, \)!р(х, А) — - = - cos 2рх -Ь
+
G(x, t)G(x, s) cos pt cos ps dtds = - cos 2px + -
о о
(G(x, t) + G(x, t)) cos px cos pt dt-{•
(G(x,0 +
—x
X X
1
+ G(x,*))cosp(x-<)<* + ; } }G(x,t)G(x.S)coS/,(t-S)^
— X —x
(здесь G(x, — t) = G(x,t), G(x, -£) = G(x, £)). Замены переменных г =
= (x — t)/2 и t = (s — t)/2 соответственно дают
(p(x, \)(p(x, A) —- — -(cos2p£ -f 2
(G(x, x-2r)+G(x, x - 2r)) x
x cos;
и, следовательно,
2prdr+ G(x,s)( G(x,s-2r)cos2prdr\dsY
^-i-i(-*»J™-~o. <-
где
V(z, t) = 2(G(x, x - 2т) + G(x, x - 2т)) +
x x—2r
+ [ G(x,s)G(x,s-2r)ds + | G(x, s)G(x, s + 2т) rfs. (1.2.8)
2t-x -x

§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 35
Подставляя (1.2.7) в (1.2.6) и меняя порядок интегрирования, получаем
Г 7Г
(q{r) + V(т,x)q{x)dx\ cos2ртdr = 0.
Следовательно,
я(т) +
V(г, x)q{x) dx = 0.
Это однородное интегральное уравнение Вольтерра имеет только
нулевое решение, т. e^q(x) =0 п. в. на (0,7г). Отсюда и из (1.2.4) вытекает,
что ft = ft, Я = Я. П
Замечание 1.2.2. Ясно, что результат Борга остается также
верным и в случае, когда вместо {Ап} и {fin} задаются спектры {Ап}
и {А^} краевых задач L и L° (L0 определена в замечании 1.1.2), т.е.
остается верным для следующей обратной задачи.
Задача 1.2.3. По заданным спектрам {Хп}п^о и {А^}п^о
построить потенциал q(x) и коэффициенты ft и Я в краевых условиях.
Теорема единственности для^задачи 1^.3 имеет следующий вид.
Теорема L2.5. Если\п = Ап, А^ = А^, п ^ 0, mo q(x) = q(x) п.в.
на (0,7г), ft = ft и Я = Я. Таким образом, задание двух спектров
{^niA^}n^o однозначно определяет потенциал и коэффициенты
краевых условий.
Отметим, что теорема 1.2.5 может быть сведена к теореме 1.2.4
заменой х —* п — х.
1.2.4. Функция Вейля. Пусть функция Ф(х, А) является
решением уравнения (1.1.1) при условиях £/(Ф) = 1, У(Ф) = 0. Положим
М(А) := Ф(0, А). Функции Ф(х, А) и М(А) называются соответственно
решением Вейля и. функцией Вейля для краевой задачи L.
Функция Вейля впервые была введена Г. Вейлем (для случая
оператора Штурма-Лиувилля на полуоси); более подробное изложение см.
в [165]. Ясно, что
ф(х'А) = "Ж = 5(х,А) + м(АМх,А)' - (L2"9)
Л/(А) = -^, (1.2.10)
(^(х,А),Ф(х,А)) = 1, (1.2.11)
где Д°(А) определена в замечании 1.1.2. Таким образом, функция
Вейля является мероморфной функцией с простыми полюсами в точках
А = An, п ^ 0.

36 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Теорема 1.2.6. Справедливо представление
1
п=0
"w-Esnrnc
(1.2.12)
Доказательство. Так как А°(А) = -0(0,Л), то из (1.1.10)
вытекает, что |А°(А)| ^ Сехр(|г|7г). Тогда, используя (1.2.10) и (1.1.18),
получаем при достаточно большом р* > 0:
|M(A)|<g, PeGs,\p\>P'.
Далее, опираясь на (1.2.10) и лемму 1.1.1, вычисляем
ОСп
Рассмотрим контурный интеграл
Res М(Л) = -^ShA = —Jk.
а=ап v ' Д(ЛП) Д(ЛП
(1.2.13)
(1.2.14)
Jn(\)
1
2тгг
X — fl
d/л, А € intr^.
В силу (1.2.13) имеем: lim Jw(A) = 0. С другой стороны, теорема
N—>оо
о вычетах и (1.2.14) дают
MA) = -M(A) + ^^L_
N
С
п=0
г)'
□
и теорема 1.2.6 доказана.
В этом пункте рассматривается следующая обратная задача.
Задача 1.2.4. По заданной функции Вейля М(А) построить
L(q(x),h,H).
Докажем теорему единственности решения обратной задачи 1.2.4.
Теорема 1.2.7. Если М(\) = М(А), то L = L. Таким образом,
задание функции Вейля однозначно определяет оператор.
Доказательство. Введем матрицу Р(х,А) = [Pjk{x,\)}j,k=\, 2
по формуле
Р(х, А)
у?(х, А) Ф(х, А)
у/(х,А) Ф{х,\)
<р(х. А) Ф(х, А)
ф{х,\) Ф'(ж.А)
Используя (1.2.11) и (1.2.15), вычисляем
Рц(х, А) = <pU-l){x, А)Ф'(х, А) - фО-')(х. А)£'(х, А),
Р,2(х, А) = фО"1)(х, А)£(х, А) - ^-"(х, А)Ф(х, А),
</?(х,А) = Pn(x,A)^(x,A) + Pi2(x,A)^'(x,A),
Ф(х, А) = Рц(х, А)Ф(х, А) + Р,2(х, А)Ф'(х, А).
(1.2.15)
(1.2.16)
(1.2.17)

§ 1.2. Постановка обратных задач. Теоремы единственности 37
Из (1.2.16), (1.2.9) и (1.2.11) вытекает
Pl2(x'Л) = дЩ (^(х' Л)^(х'Л) " ^(х'Л)^(х'Л))'
В силу (1.1.9), (1.1.10) и (1.1.18) это дает
|Р„(*,А)-1|^, |Р12(х,А)|^, peG5, \р\>р\ (1.2.18)
|Р22(*,А)-1|<§, \Рг\{хч\)\^Св, peG6, \р\>р\ (1.2.19)
Согласно (1.2.9) и (1.2.16) имеем
Рп(х, А) = </?(х, A)S'(x, А) - S(x, А)£'(х, А) +
+ (М(А) - М(А)<р(х, А)£'(х, А),
р12(х, А) = S(x, А)£(х, А) - </?(х, A)S(x, А) +
4- (М(А) - М(А))<р(х, А)£(х, А).
Таким образом, если М(А) = А/(А), то при каждом фиксированном
х функции Рц(х,А) и Pi2(x,A) являются целыми по А. Вместе с
(1.2.18) это дает Рц(х,А)=1, Р12(х,А) = 0. Подставляя в (1.2.17),
находим: ip(x, А) = ^(х, А), Ф(х, А) = Ф(х, А) при всех х и А, и,
следовательно, L = L. П
Отметим, что идея использования отображений пространств
решений дифференциальных уравнений для решения обратной задачи
принадлежит 3. Л. Лейбензону [159, 160].
Замечание 1.2.3. Согласно (1.2.12) задание функции Вейля
М(Х) равносильно заданию спектральных данных {An,an}n^o- С
другой стороны, в силу (1.2.10) нули и полюсы функции Вейля М(А)
совпадают со спектрами краевых задач L и LP соответственно. Поэтому
задание функции Вейля М(Х) равносильно заданию двух спектров:
{Ап} и {А^}. Таким образом, обратные задачи восстановления
уравнения Штурма-Лиувилля по спектральным данным и по двум спектрам:
являются частными случаями обратной задачи 1.2.4 восстановления
уравнения Штурма-Лиувилля по заданной функции Вейля, и мы
имеем несколько независимых методов доказательства теорем
единственности. Функция Вейля является весьма естественной и удобной
спектральной характеристикой в теории обратных задач. Используя
концепцию функции Вейля и ее обобщения, можно формулировать и изучать
обратные задачи для различных классов операторов. Например,
обратная задача восстановления дифференциальных операторов высших
порядков по функциям Вейля исследовалась в [250]. Концепция
функции Вейля будет использоваться в гл. 2 при исследовании операторов
Штурма-Лиувилля на полуоси, а также в гл. 3,4 для других классов
операторов.

38 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
§ 1.3. Метод оператора преобразования
В §§ 1.3-1.6 представлены различные методы конструктивного решения
обратных задач. В этом параграфе описывается метод Гельфанда-Левитана [(96,
164, 173)], в котором используются операторы преобразования, построенные в
§1.1. Метод позволяет получить алгоритм решения обратной задачи, а также
необходимые, достаточные условия ее разрешимости. Центральную роль в этом
методе играет линейное интегральное уравнение относительно ядра оператора
преобразования (см. теорему 1.3.1). Основные результаты параграфа
содержатся в теоремах 1.3.2, 1.3.4.
1.3.1. Вспомогательные утверждения. Для описания метода
нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 1.3.1. В банаховом пространстве В рассмотрим
уравнения
(E + A0)y0 = fo, (E + A)y = f,
где А и Ао — линейные ограниченные операторы, действующие из В
в В, и Е — единичный оператор. Предположим, что
существует линейный ограниченный оператор Ro := (Е + Aq)~{. Из этого,
в частности, следует, что уравнение (Е + Ао)уо = /о однозначно
разрешимо в В. Если \\А — Ао\\ < (2ЦД0Ц)""1, то существует
линейный ограниченный оператор R := (Е + А)~х, причем
оо
R = Rv(E + £((А0 - A)Ro)k\ \\R - До|| ^ 2||Яо||2 ||А - 4>1|.
Кроме того, у и уо удовлетворяют оценке
||у-2/о||<Со(||Л-Л0|| + ||/-/о||),
где Со зависит только от \\Rq\\ и ||/о||.
Доказательство. Имеем
Е + А = (Е + Aq) + (А- А0) = (е + (А- 4>)Яо)(Я + А>).
При условиях леммы \\(А - Aq)Ro\\ < 1/2, и, следовательно,
существует линейный ограниченный оператор
R := (E+A)'i = Ro^E + (А- A0)Ro) = fio(£+^((4)-A)flo)fc).
fc=l
В частности, это дает: ||Д|| ^ 2||Яо||. Снова используя условие на \\А —
— Aq\\, выводим
WR - Яо11 < \Ш\тёщ^Щ < 2||До||2||А - Ло||.
Далее, у - у0 = Rf - До/о = (Я - #o)/o + #(/ ~ /о), и, следовательно,
\\у - у0\\ < 2||Яо||2||/0||||А - Ао\\ + 2||Яо||||/ - /oil- □

§ 1.3. Метод оператора преобразования
39
Следующая лемма является очевидным следствием леммы 1.5.1.
Лемма 1.3.2. Рассмотрим интегральное уравнение
ь
y{t,a) +
A{t,s,a)y{s,a)ds = f{t,a), a^t^b, (1.3.1)
где A(t,s,a) и f{t,a) — непрерывные функции. Предположим, что
при некотором фиксированном а = ао однородное уравнение
z(t) +
A0(t, s)z(s) ds = 0, A0(t, s) := A(t, s, q0),
имеет только нулевое решение. Тогда в окрестности точки а = ао
уравнение (1.3.1) имеет единственное решение y(t,a), которое
непрерывно по t и а. Более того, функция y(t,a) имеет ту же
гладкость, что и A(t,s,a), f(t,a).
Лемма 1.3.3. Пусть функции <fj(x,A), j ^ 1, являются
решениями уравнений
-у" + qj(x)y = Ху, qj(x) G £2(0,тг)
при условиях (fj(0,\) = 1, <p'j(0, А) = hj, и пусть <р(х,Х) — функция,
определенная в § 1.1. Если lim Цо. — q\\i2 = 0, lim /ij = /i, то
j—*oo j—+oo
lim max max |<^>j(a;, A) — <p(x, A)| =0.
j->oo0<x^7r |A|^r
Доказательство. Нетрудно проверить дифференцированием,
что функция pj(x, А) удовлетворяет интегральному уравнению
х
(fj{x, А) = ф, А) + (hj - h)S(x, А) + \g{x, t, X)(qj(t) - q{t))<fj(t, A) dt,
о
где g(x, t, A) = C(£, X)S(x, A) - С (я, A)S(£, A) — функция Грина задачи
Коши: -у" + q{x)y - Ху = f, у(0) = у'(0) = 0. Зафиксируем г > 0.
Тогда при |А| ^ г и х £ [0,7г] имеем
\<pj{x, А) - у>(х, А)| ^ C(\hj - h\ + ||g,- - g||L2 max max \<pj(x, A)|Y
В частности, это дает: max max \фЛх, X)\ ^ С, где С не зависит от j.
Поэтому
max max|^(x,A)-^(x,A)|<C'(|/ij-/i|-h||^-^||L2) -* 0 при j->oo.
Лемма 1.3.3 доказана. □

40 Гл. /. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Лемма 1.3.4. Пусть даны числа {рп, ап}п^о вида
Рп = п+^ + ^, an = f + ^i, {xn},{xnl}el2,an ф0. (1.3.2)
Обозначим ^
, ч \-^{ COS рпХ C0STIX\ /1 о о\
где a£ = 7r/2 яры n > 0 и оРп = 7Г при п = 0. Тогда а(ж) € И^1 (0« 27г).
Доказательство. Обозначим 5п = рп — п. Так как
cospnx cosnx 1 / \ , / 1 1 \
й— = -jr COSpnX - COSUX + К) COSpnX,
<*п а°п а°п\ ) \осп а°/
cos рпх — cos пх = cos(n -f 5п)ж — COS пж =
= — sin Snx sin пж — 2 sin2 -~- cos пж =
,2 ^nX
= — <5пж sin nx — (sin 5пж — Snx) sin пж — 2 sin -^- cos пж,
то преобразуем а(ж) к виду: а(ж) = -Ai(x) -Ь А2(ж), где
оо
- / ч их v^ sin ПЖ LJX 7Г — ж А ^ ^ 0
Ai(x) = > = г—, 0 < ж < 27г,
7Г ^—' П 7Г 2
п=1
оо оо
М{х) = ^2( о") cospnx-\- -(соэрож - П -ж]Рхп-^
п=П п П=1
оо оо
\^(sin5nx — 5пж)зтпж — 2 V^sin2 -^-созпж. (1.3.4)
\пх
п=0 *"" ~п' " ' ' п=1
2 $пХ
71=1 71=1
Так как
то ряды в (1.3.4) сходятся абсолютно и равномерно на [0,2л-], причем
Л2(ж) <Е И^(0,2тг). Следовательно, а(х) G И^(0,27г). □
Аналогичным образом доказываются следующие более общие
утверждения.
Лемма 1.3.5. Пусть даны числа {рп, ап}п^о вида (1.1.23). Тогда
а(ж)е W2n+1(0,2tt).
Доказательство. Подставляя (1.1.23) в (1.3.3), получаем ряды,
которые можно N + 1 раз почленно дифференцировать, а также ела-

§ 1.3. Метод оператора преобразования
41
гаемые, представляющие собой произведения полиномов от х на ряды
вида
оо
cosnx
Esin их ^^
2fc+l ' Z-/ M2fc '
Дифференцируя эти ряды 2к и 2к — 1 раз соответственно, получаем
оо
ESin ПХ 7Г - х п ^ ^ 0
= г—, 0 < X < Z7T.
71 2
ряд
□
Лемма 1.3.6. Пусть даны числа {/эп, ап}п^о вида (1.3.2). За-
фиксируем Со > 0. £с/ш числа {рПУ ап}п^о» 5n ^ 0 удовлетворяют
условию
°° 1 /2
П := (5Z((n + О^тг)2) <С0, £п ■= \рп - рп\ + \ап - ап\,
п=0
то оо _
а(х):=^^со^х_со^£^€И/,(027г)> (135)
71=0
причем
max \а{х)\ ^ CV(n, ||2(x)||wi ^ СП,
0^х^2тг ^—' ^
п=0
где С зависит от {рп, ап}п^о и Со-
Доказательство. Очевидно, что Y^=o€n ^ СП. Запишем
(1.3.5) в виде
ос
а(х) := VV (- ] cospnx + — (cospnx — cospnx)} =
n=0
= у /£^-5п cog + j_s.n (Pn - pn)x s.n (p„ + pn)xN
Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно, а(х) — непрерывная
функция, причем \а(х)\ ^ C^T^o^n- Дифференцируя (1.3.5), вычисляем
аналогично
оо ~ ~_
2'fx) •= Y^^PnSinpnX _ pn sinрпХ\ _
п=0
ОО _ _
'£ ((fe - ё)sin ^"х+fe (sin ~рпх -sin и) =
п=0

42 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
оо _
= Y("nPn-*nPns[n ^х+^^Рп'Мх ^(/Ы + Рп)х\
^—Л anQn ап 2 2 )
п=0
оо _ _ _ _
= E(Qn'""QnP"sin^+^(fa-P")cos(Pn+/n)J +
п=0
+ g(2sin^^
А,(х) = У anpZ " Qnp" sin fai + xV^ U - pn) cosp„x, (1.3.6)
n=0 n=0
oo _ ^
A»(*> = £ ft (2 sin l£SM£ -x{Pn - ~pn))cos ^H^ +
oo _ / ~ \
+ x £ g(pn - pn) (cos (p" +/п)д - cosp„x). (1.3.7)
71=0
no
(Pn + Pn)x
^=~ \Hn ~ HnJ\ *^a
On \
n=0
Ряды в (1.3.7) сходятся абсолютно и равномерно, причем
\А2{х)\ ^C^lpn- рп\.
71=0
Ряды в (1.3.6) сходятся в L2(0,27г) и ||Ai(x)||L2(o,27r) ^ СО,. Используя
эти оценки, получаем утверждения леммы. □
1.3.2. Восстановление дифференциального оператора по
спектральным данным. Рассмотрим краевую задачу L = L(q(x),h,H).
Пусть {Лп, an}n->o — спектральные данные L, рп — \[Хп. Будем
решать обратную задачу восстановления L по заданным спектральным
данным {Лп, an}n^o- В § 1.1 было показано, что спектральные данные
обладают следующими свойствами:
Рп = п+^ + ^, Qn = | + ^i, {*„},{*«.} €^2, (1-3.8)
7Г71 П I П
an>0, An^Am(n^m). (1.3.9)
Более точно:
7Г
хп = -L \q(t) cos2ntdt + 0(-Y
о
7Г
хп1 = -^ |(7r-^)^(0sin2ni^ + O^-y

§ 1.3. Метод оператора преобразования
43
т. е. главные части зависят линейно от потенциала.
Рассмотрим функцию
р/ ,ч _ ^-^( cos рпх cos pnt cosnxcosnt^
n=0
ax cos nt \
(1.3.10)
где oPn = it/2 при n > 0 и oPn = 7г при n = 0. Так как F(x, t) = (a(x +
+ t) + a(x — t))/2, то в силу леммы 1.3.4 функция F(x,t) является
непрерывной, и —F(x,x) G ^(0,7г).
ах
Теорема 1.3.1. При каждом фиксированном х е (0,7г] ядро
G(x,t) из представления (1.1.54) удовлетворяет линейному
интегральному уравнению
X
G{x,t) + F{x,t) +
G{x}s)F{s,t)ds = 0, 0<t<x. (1.3.11)
Это уравнение называется уравнением Гельфанда-Левитана.
Таким образом, теорема 1.3.1 позволяет свести нашу обратную
задачу к решению уравнения (1.3.11). Отметим, что (1.3.11) является
интегральным уравнением Фредгольма с параметром х.
Дока за те л ьство. Разрешая соотношение (1.1.54) относительно
cospx, получаем
cospx = <р(х,\) +
H{x,t)<p(t,X)dt,
(1.3.12)
где H(x,t) — непрерывная функция. Используя (1.1.54) и (1.3.12),
вычисляем
71 = 0
N
п=0
N
^ ф.Хп)cosPnt =<£(Ф.VM«, An) + у(х,An) fH{ttS)(p{SiXn)dsy
71=0
Это дает
где
71=0
ФN{x,t) = lN\(x,t) +lN2(x,t) +Im(x,t) +lN4(x,t),
N
•j. / ,\ _ ST^(<р(х,\п)<р№,\п) cosnxcosnt\
<PN{x,t) - 2_^[ - To )'

44 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Т , ,ч v-^ / cos рпх cos pnt cosnxcosnt\
Im{x,t) = 2Д Го ).
N x
I N2 {X,t) = /_] 0~~ ^(X' 5) C0S П5 ^5'
n=0 0
N *
r / ,ч V^ \ n( \ /cos pnt COS pns COS nt COS ns\ ,
Im{x, t) = } \ G(x, 5) 5 ds,
—л J \ an an J
N
4>{x,\n)
H(t,s)(f(sy\n)ds.
*—* схп
n=Q
Пусть f(x) G AC[0,7г]. Согласно теореме 1.1.5
г
f(t№N(x,t)dt = 0.
Кроме того, равномерно по х Е [0,7г]:
lim max
N—►00 0<Х<7Г
lim
N—оо
0
7Г
7Г
f(t)INl(x,t)dt= \f(t)F(x,t)dt,
lim
f(t)lN2(x, t)dt= f(t)G{x, t) dt,
7Г 7Г X
lim I f(t)Im(x, t)dt= I /(*)(| G(x, s)F(s,0 ds) dt
lim
ЛГ-+00
f(t)Im(x,t)dt =
N г r
= _ lim V ^(:r'An) I y>(3, Aw) ( H(t, s)f(t) dt) ds
71=0
f(t)H{t,x)dt.

§ 1.3. Метод оператора преобразования
45
Доопределим G(x,t) = H{x,t) = 0 при х < t. В силу произвольности
f(x) приходим к соотношению
G(x,t) + F{x,t) +
G(x, s)F{s, t) ds - H(t, x) = 0.
При t < x это дает (1.3.11). □
Следующая теорема, которая является основным результатом § 1.3,
дает алгоритм решения обратной задачи и необходимые и достаточные
условия ее разрешимости.
Теорема 1.3.2. Для того чтобы вещественные числа
{Ап, Ckn}n^o были спектральными данными для некоторой краевой
задачи L(q(x),h,H) вида (1.1.1)-(1.1.2) с q(x) £ 1/2(0,7г), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (1.3.8), (1.3.9).
Кроме того, q(x) G W^1 тогда и только тогда, когда имеет место
(1.1.23). Краевая задача строится по следующему алгоритму.
Алгоритм 1.3.1. (О По заданным числам {\п, ап}п^о строим
функцию F(x,t) по формуле (1.3.10).
(п) Находим функцию G(x,t) из уравнения (1.3.11).
(Hi) Вычисляем q{x), h и Н по формулам
q{x) = 2-^G(x,x), h = G(0,0), (1.3.13)
7Г
H = u-h-^ \q(t)dt. (1.3.14)
о
Необходимость условий теоремы 1.3.2 доказана выше; здесь мы
докажем достаточность. Пусть заданы вещественные числа {Лп, ап}п^о
вида (1.3.8)—(1.3.9). Построим функцию F(x,t) по формуле (1.3.10)
и рассмотрим уравнение (1.3.11).
Лемма 1.3.7. При каждом фиксированном х Е (0,7г] уравнение
(1.3.11) имеет единственное решение G(x,t) в 1/2(0, х).
Доказательство. Так как (1.3.11) является уравнением Фред-
гольма второго рода, то достаточно доказать, что однородное уравнение
х
g{t)+ \F(s,t)g{s)ds = 0 (1.3.15)
о
имеет только нулевое решение g(t) = 0.
Пусть g(t) — решение уравнения (1.3.15). Тогда
g2(t)dt +
F(s, t)g(s)g(t) dsdt = 0,
о о

46 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
или
g2{t)dt + S^ — (\g(t) cospntdt) -S^ -^(\ g(t) cosntdt) =0
n=0 n n=° n
Используя равенство Парсеваля
#2(£) Л - ]Г -L М 0(j) cos ntdtY
для функции g{t), продолженной нулем при t > х, получаем
— ( I g(t) cos pntdt
n=0
Так как an > 0, то
00 Г 2
У^ — (<?(£)cosPutdt) = 0.
#(£) cos pnt dt = 0, n ^ 0.
о
Система функций {cos/?n£}n->o полна в Z/2(0,7г) (см. утверждение 1.6.6
§ 1.6), и, следовательно, #(£) = 0. Лемма 1.3.7 доказана. □
Вернемся к доказательству теоремы 1.3.2. Пусть G(x,t) — решение
уравнения (1.3.11). Замена t—*tx> s->sxb (1.3.11) дает
F{x,xt) + G(x,xt)+x
G(x,xs)F{xt,xs)ds = 0, O^t^l. (1.3.16)
Из (1.3.11), (1.3.16) и леммы 1.3.2 вытекает, что функция G(x,t)
является непрерывной и имеет ту же гладкость, что и функция F(x,t)-
В частности, —G(x,x) G £2(0,7г). Построим функцию </?(х,А) по
форах
муле (1.1.54), а также функцию q(x) и число h по формулам (1.3.13).
Лемма 1.3.8. Справедливы соотношения
-tp"(x, А) + q{x)<p(x, А) = \<р(х, А), (1.3.17)
у>(0,А) = 1. ¥>'(<), А) = Л. (1.3.18)
Доказательство. 1) Предположим сначала, что а(х) е
е W22(0,27г), где а(х) определена в (1.3.3). Дифференцируя тождество
X
J(x, t) := F(x, t) + G{x, t) + J G(x, s)F(s, t)ds = 0, (1.3.
19)

§ 1.3. Метод оператора преобразования
47
вычисляем
х
Jt(x, t) = Ft(x, t) + Gt(x, 0 + [ G(x, s)Ft(s, t) ds = 0, (1.3.20)
о
x
Jtt(x, t) = Ftt(x, t) + Glt{x, t) + f G(x, s)Ftt(s, t) ds = 0, (1.3.21)
Jxx(x, t) = Fxx{x, t) + Gxx{x, t) + dG{*xx) F(x, t) + G(x, x)Fx{x, t) +
+ ЩеА F(x,t) +
\t = X
dx
Gxx(x, s)F(s, t)ds = 0. (1.3.22)
В силу (1.3.10) Ftt(s,t) = Fss(s,t) и Ft(x,t)\t=o = 0. Отсюда
и из (1.3.20) при t = 0 выводим
dG(x, t)
dt
0.
t=0
(1.3.23)
Кроме того, интегрирование по частям в (1.3.21) дает
Мх, t) = Ftt{x, t) + G„(x, t) + G(x, x)^^-
8G(x, s)
ds
F(x,t) +
Gss(x,s)F(s,t)ds = 0. (1.3.24)
Из (1.3.19), (1.3.22), (1.3.24) и тождества
Jxxfa, t) - Jtt(x, t) - q(x)J(x, t) = 0
вытекает
X
{Gxx(x, t) - G„(x, t) - q(x)G{x, t)) + J(Gxx(x, s) -
о
- Gss(x, s) - g(x)G(x, s))F(s, t) ds = 0.
Согласно лемме 1.3.7 это однородное уравнение имеет только нулевое
решение, т. е.
Gxx(x, t) - G«(x, t) - q{x)G{x, t)=Q, 0<t<x. (1.3.25)

48 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Дифференцируя (1.1.54) дважды, вычисляем
<р'(х, А) = — р sin рх + G(x, х) cos рх +
Gx(x,t) cos ptdt, (1.3.26)
V?"(x, А) = — р2 cospx — G(x,x)p sin рх +
+
'rfGfo.ap , dG(xyt)
dx
+
<9x
J COS pX +
Gxx{x,t) cos ptdt. (1.3.27)
С другой стороны, интегрируя дважды по частям, получаем
А<р(х, А) = р cos рх + /О
G(x, £) cos pt dt =
2 , nt \ . dG(xyt)
р cospx -f G(x, х)р sin рхН ~—-
dG(xtt)
i=0
t=xcospx-^f
x
- Gtt{Xyt) cos ptdt.
0
Вместе с (1.1.54) и (1.3.27) это дает
<р"(х, A) + А<р(х, А) - <?(х)<р(х, А) = (2—^'Х) - q(x)) cos рх -
dG(x, t)
dt
+
t=o
(Gxx(x,t) — Gtt(x,t) — q{x)G(x, t)) cos ptdt.
Отсюда, учитывая (1.3.13), (1.3.23) и (1.3.25), приходим к (1.3.17).
Соотношения (1.3.18) следуют из (1.1.54) и (1.3.26) при х = 0.
2) Рассмотрим теперь общий случай, когда выполняются
соотношения (1.3.8), (1.3.9). Тогда, согласно лемме 1.3.4, а(х) € И^1 (0,27г).
Через <р(х, А) обозначим решение уравнения (1.1.1) при условиях
£>(0, А) = 1, £>'(0, А) = h. Наша цель — доказать, что <р(х, А) = (р(х, А).
Выберем числа {рп,о> an,(j)}n^o. j > 1, вида
Pn,(j) = " + — + —Г1- «n.0) = 2 + "tF + -^'
T*71 n * n n
{XnAi)}i{Xn\,(j)} ^2.

§ 1.3. Метод оператора преобразования
49
так, что при j —► оо
1/2
П1 := (И Kn + ^^.О')!2) ""> °' U(j) '•= \Pn\j) ~Рп\ + \an,(j) -<*п\.
п=0
Обозначим
ОО
/ \ S^fC0SPnlj)x cosnx\ . . -
В силу леммы 1.3.5 dj(x) е И^22(0,2п). Пусть Gj(x,t) — решение
уравнения Гельфанда-Левитана:
X
Gj{xyt) + Fj(x,t)+ \Gj(x,s)Fj(s,t)ds = Oy 0<t<x,
о
где Fj(x,t) = (clj(x + t) + aj(x - t))/2. Положим
i±
dx
ф):=2±0,(х,х), hj := Gj&O),
(fj(xiX) = cospx +
Gj(x,t)cosptdt. (1.3.28)
Так как clj(x) e W|(0,2n)t то из первой части доказательства леммы
1.3.8 вытекает
-<р"{х, A) + qj(x)(fj(xy\) = A(/?j(x,A), (fj(0, А) = 1, ^(0, А) = hj.
Далее, в силу леммы 1.3.6, имеем: lim II а,-(ж) — a(x)||™i =0. Отсюда
j—ЮО 2
с учетом леммы 1.3.1 получаем
lim max |Gj(x,t) - G(x,t)\ = 0, (1.3.29)
j—ЮО0^£^Х^7Г
lim 11qf,- - <7||l2 = 0, lim /i, = h. (1.3.30)
j—юс j—>oo
Из (1.3.11), (1.5.28) и (1.5.29) вытекает
lim max max \<Pj(x, A) — <£>(x, A)| = 0.
j-*oo0^x^7r |A|^r
С другой стороны, согласно лемме 1.3.3 и (1.3.30) имеем
lim max max \ч>Лх, А) — £>(х, А)| =0.
j->oo0^x^7r |А|^Г
Следовательно, (р(х, А) = у?(х, А), и лемма 1.3.8 доказана. П

50 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Лемма 1.3.9. Справедливо соотношение
Н(хЛ) = F(x,t) +
G(t,u)F(x,u)du, O^t^x, (1.3.31)
где функция H(xyt) определена в (1.3.12).
Доказательство. 1) Предположим сначала, что а(х) е
Е 1У22(0'2тг)- Дифференцируя (1.3.12) дважды, вычисляем
-р sin рх = ip'(x, А) + Н(ху x)tp(x, А) +
Ht{x9t)tp(t,\)dtf (1.3.32)
-р2 cos рх = <р"(х, А) + Я(х, х)ф'(х, А) +
\ «я ox \t=x/
+
Hxx(x,t)<p(ty\)dt. (1.3.33)
С другой стороны, из (1.5.12) и (1.5.17) вытекает
-р2 cos рх = ip"(x, А) — q(x)<p(x, А) 4-
H(xyt){<p"{t,\)-q(t)ip{t,\))dt.
Интегрируя дважды по частям и используя (1.3.18), выводим
fdH(xtt)
-р2 cos рх = <р"(ху \)+Н(х, х)(р'(х, Х)-( —j^-t-1 +q(x)) <р{х, A) +
+
дН(х, t)
dt
t=0
>W
hH(x, 0)1 + (Я«(х, t) - q(t)H(x, t))ip(t, A) dt.
Вместе с (1.3.33) и <«£*> = (™&& + **M)
dx V от at )
это дает
bo(z) + 6i(x)(/?(x, A) +
Ь(ж, *)p(*f A) dt = 0,
(1.3.34)
где
Ы*) =-[y^i-hH(x,0J). Ьг(х) :=2^1+Я(х),
Ь(х, i) := Яхх(х, t) - Яы(ж, t) + q(t)H{x, t).
(1.3.35)

§ 1.3. Метод оператора преобразования
51
Подставляя (1.1.54) в (1.3.34), получаем
&о(х) + b\(x)cospx +
B(x,t) cos ptdt = О,
где
В{х, t) = Ь{х, t) + b\ (x)G(xt t) +
1\ 7Г
b(x,s)G(s,t)ds.
(1.3.36)
(1.3.37)
Из (1.3.36) при p = (n + -)- вытекает
X
Ъо(х)+ \B(x,t)cos(n + ^\^dt = 0.
0
По лемме Римана-Лебега интеграл здесь стремится к нулю при п —*
—► оо; поэтому Ьо(х) = 0. Далее, полагая в (1.3.36) р = , получаем
X
i
и, следовательно, 6i(x) =0. Тогда (1.3.36) принимает вид
B(x,t) cos ptdt = 0, ре С,
откуда вытекает, что B(x,t) = 0. Поэтому (1.3.37) приводит к
соотношению х
b(x,t)+ \b(xts)G(s,t)ds = 0,
и, следовательно, b(x,t) = 0. Полагая в (1.3.32) х = 0, получаем
tf(0,0) = -ft. (1.3.38)
Так как Ьо(я) — Ь\(х) — b(x,t) = 0, то из (1.3.35) и (1.3.38) заключаем,
что функция H(x,t) является решением следующей краевой задачи:
Нхх(х, t) - Htt(x, t) + q{t)H{x, *) = 0, O^t^x,
H(x,x)-
q(t) dt,
дН[хЛ)
dt
t=o
/i#(x,0) = 0.
(1.3.39)
Верно также и обратное утверждение, а именно: если функция
H(xtt) удовлетворяет (1.3.39), то верно (1.3.12).

52 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
В самом деле, обозначим
7(ж, Л) := <р(х, А) + | Н{х, t)ip{t, A) dt.
о
Аналогично вышеизложенному вычисляем
+
(Нхх(х, t) - Я«(х, t) + q{t)H(xy t))<p{t, A) dt.
В силу (1.3.39) это дает: ^"(x,\) + Ху(х%\) =0. Ясно, что ч{0,\) = 1,
7'(0.Л) =0. Следовательно, *у(х,\) = cospx, т.е. верно (1.3.12).
Обозначим
H(x,t) :=F(x,t) +
G{t,u)F{x,u)du.
(1.3.40)
Покажем, что функция Н(хЛ) удовлетворяет (1.3.39).
(i) Дифференцируя (1.3.40) по t и полагая t = 0, получаем
ЭН(хЛ)
dt
t=o
G(0,0)F{xy0) = hF{x,0).
Так как #(ж,0) = F(x,0), то это дает
дН{хЛ)
dt
t=o
-ЛЯ(х,0) = 0.
(ii) Из (1.1.54) и (1.3.40) вытекает
о
т.е. согласно (1.3.13)
х
-G(x.x),
Н(х,х) = —h —
1
q{t)dt.

§ 1.3. Метод оператора преобразования
53
(Ш) Снова используя (1.3.40), вычисляем
#«(*. t) = Ftt{x, t) + ^i*1f(x, t) + G(t, *)F,(x, 0 +
+ a^u) F(x>0 +
9t
Gtt(t,u)F(x,u) du,
"XI\^i *v — "11^1 cj 1
G(t,u)Fxx(x,u) du ■
= Fxx{x, t) + G(t, u)Fuu(x, u) dtx = Fxx(x, t) + G(t, t)Ft(x,«) -
0
-ЭС(*'Ц>, F(*,*) + [Guu(t,u)F(x,u)du.
I 0
Следовательно,
ЩхЛ) - Htt{x,t)+q(t)H{x,t) = (q(t) - 2^pl)F(x.t) -
1
\(Gtt(t, u) - Guu(t, u) - q{t)G{t, u)) dt.
В силу (1.3.13) и (1.3.25) это дает
Нхх{х, t) - Я«(х, 0 + q{t)H(x, t) = 0.
Так как H(x,t) удовлетворяет (1.3.39), то, как было показано выше,
cospx
= ч>(х, А) + J Я(х, t)<p(t, A) dt.
о
Сравнивая это соотношение с (1.3.12), заключаем, что
(Я(х, t) - Я(х, t))<p(t, X)dt = 0 при всех Л,
т.е. Н(хЛ) = Н(хЛ).
2) Рассмотрим теперь общий случай, когда выполняются
соотношения (1.3.8), (1.3.9). Тогда а(х) G И^21(0.27г). Повторяя рассуждения из

54 Гл. /. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
доказательства леммы 1.3.8, построим числа {/V(j)» Qn,(j)}n^o. j ^ 1*
и функции cij(x) € W22(0,27г), j ^ 1, такие, что
lim ||а,0г)-а(ж)||ил1 =0.
J-^OO
Тогда
lim max |К-(я. t) - F(x,t)\ = 0,
j—КХ)0^£^Х^7Г
и верно (1.3.29). Аналогично
lim max \НЛхЛ) - H(x,t)\ = 0.
j—^ООО^^Х^7Г
Выше было доказано, что
Hj(x,t) = Fj(x,t) +
Gj(t, и) Fj(x, и) du.
При j —* оо приходим к (1.3.31), и лемма 1.3.9 доказана. П
Лемма 1.3.10. Для каждой функции д(х) £ 1^(0, я") имеет место
соотношение
7Г 7Г
Г if 2
U2(x)dx = 5^^-(L(%(*,A„)d*) . (1.3.41)
I n=0Qn j!
Доказательство. Обозначим
QW :=
g(t)<p(t,\)dt.
С учетом (1.1.54) преобразуем Q(A) к виду
<?(А)
h(t) cos ptdt,
где
h{t)=g(t)+ lG(s,t)9(s)ds.
t
Аналогично с учетом (1.5.12) имеем
(1.3.42)
g(t) = h(t) +
H{s,t)h{s)ds.
(1.3.43)

§1.3. Метод оператора преобразования
55
Используя (1.3.42), вычисляем
7Г 7Г 7Г
h{t)F{x,t)dt= \(g(t) + \ G{u,t)g(u) du\F{x}t) dt =
t
#(£)(f(x, *) + G(t,u)F(x,u) du\ dt
о
t
g{t) (F(x, t) + G{ty u)F(x, u) du\ dt
t
g(t)(f(x, t) + G(t,u)F(x,u)du\ dt.
: +
+
Отсюда, в силу (1.3.31) и (1.3.11), выводим
h{t)F(x,t)dt =
g(t)H(x,t)dt-
g{t)G(t,x)dt.
(1.3.44)
Из (1.3.10) и равенства Парсеваля вытекает
7Г 7Г 7Г
J /i2(t) dt + J J h(x)h(t)F(x, t) dxdt
о oo
7Г
Г ^^ if 9 1 Г 9
\h2(t)dt + Y^{— ( h(t) cospntdt\ - -\-(\h(t) cosntdt) \
71=0 о о
._. у QW) , WQ2(An) QWh _ ^ Q2(A„)
\ a°n +^\ «n a°n ) ^L a» '
n=0 n n=0 n n=0
Используя (1.3.44), получаем
£ £-pi = ft2(i)dt + Л(х)( 5(i)# (z,*)dt\ dx
n=0 n f\ n
7Г 7Г
л0*0(I 9(t)G(t,x) dt\ dx = h2(t) dt + $(*) ( H(xt t)h(x) dx) dt -
о о t
7Г 7Г
- [/i(z)(L(*)G(^z)d*)dx.

56 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
В силу (1.3.42) и (1.3.43) заключаем, что
Q2(An)
71=0
h2(t)dt +
g(t)(g(t)-h(t))dt-
о
ff2WA,
т.е. верно (1.3.41). П
Следствие 1.3.1. Для любых функций f(x),g(x) Е 1/2(0,7г) i/же-
ет место равенство
f{x)g{x) dx = J2 —
n=0
f(t)<p(t,\n)dt
g{t)ip{t, \n) dt. (1.3.45)
В самом деле, (1.3.45) следует из соотношения (1.3.41),
примененного к функции / + д.
Лемма 1.3.11. Справедливо соотношение
ip(t,\k)<p(t,bn)dt-
ГО, п
\ an, п
ФК
(1.3.46)
Доказательство. 1) Пусть f(x) G 1У22[0,7г]. Рассмотрим ряд
оо
/*(*) = £с^(х,Ап), (1.3.47)
п=0
где
сп := —
f(x)(p(x9\n)dx. (1.3.48)
Используя лемму 1.3.8 и интегрирование по частям, вычисляем
сп = —jj- /(ж) (-<р" (я, Ап) + q(x)<p(x, К)) dx =
о
= -V (ft/(0) - Г(0) + фщ А„)/' (тг) - ^(тг, А„)/(тг) +
г
</Kx,An)(-/"(x)+9(x)/(x))cfx).
+

§ 1.3. Метод оператора преобразования
57
Применяя асимптотические формулы (1.3.8) и (1.1.15), нетрудно
убедиться, что при п —> оо
сп = 0(-^), фЛп) = 0(\)
равномерно по х 6 [0,7г]. Следовательно, ряд (1.3.47) сходится
абсолютно и равномерно на [0,7г]. Согласно (1.3.45) и (1.3.48) имеем
f{x)g(x) dx = ^2cn
n=Q
g(tMt,\n)dt =
g(t)^2cn<p{t,\n)dt =
n=0
g(t)r(t)dt.
В силу произвольности g(x) заключаем, что f*{x) = /(х), т.е.
оо
Дх) = ]Гсп^(х,Ап). (1.3.49)
п=0
2) Зафиксируем к ^ 0 и положим f(x) = ip(xy\k). Тогда в силу
(1.3.49)
1 Г
<р(х, Хк) = У2 спк<р(х, Ап), спк = — <^(х, Afc)(^(x, Лп) dx.
n=0 JQ
Далее, система функций {cospnx}n^o является минимальной
в Z/2(0,7г) (см. утверждение 1.6.6), и, следовательно, в силу
(1.1.54), система функций {<^(х, \п)}п^о также является минимальной
в 1/2(0, тг)- Поэтому c„fc = 5пк (8пк — символ Кронекера), и приходим
к (1.3.46). Лемма 1.3.11 доказана. □
Лемма 1.3:12. При всех п, га > 0 имеет место равенство
^(тг, Ап) ^(7Г,Ат)*
Доказательство. Из (1.1.34) вытекает
(1.3.50)
7Г
(An-Am) у?(х, An)<^(x, Am)dx = ^(x, An)v?'(x, Ат)-^(х, An)</?(x, Am)j | .
о
Учитывая (1.3.46), получаем
</?(*"> Ап)<//(тг, Am) - (/(тг, Ап)(/?(тг, Am) = 0. (1.3.51)
Ясно, что <£>(7г, Ап) ^ 0 при всех п ^ 0. В самом деле, если бы
^(тг. Ат) = 0 при некотором га, то ipf(K,\m) ф 0 и, в силу (1.3.51),

58 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
<р(тг. Ап) = 0 при всех п, что невозможно, так как <р{тгу\п) = (-l)n -f
Так как (р(тг, Хп) ф 0 при всех п ^ 0, то (1.3.50) следует из (1.3.51).
Лемма 1.3.12 доказана. □
Обозначим Н = —(p'(TT,\n)(ip(ir}\n))~l. Отметим, что согласно
(1.3.50) Н не зависит от п. Тогда
^'(я". К) + Я<р(7г, Ап) =0, n ^ 0.
Вместе с леммой 1.3.8 и (1.3.46) это дает, что числа {An,an}n^o
являются спектральными данными для построенной краевой задачи
L(q(x),h,H). Ясно, что Н = Я, где Н определяется по формуле
(1.3.14). Тем самым теорема 1.3.2 доказана. □
Пример 1.3.1. Пусть Ап = п2 (п^ 0), ап = 7г/2 (п ^ 1), и пусть
с*о > 0 — произвольное положительное число. Обозначим а := .
Воспользуемся алгоритмом 1.3.1:
1) согласно (1.3.10) F(x,t) = а;
2) решая уравнение (1.3.11), находим: G(x,t) = —а/(\ + ах);
3) в силу (1.3.13), (1.3.14)
/ ч 2а ш_ тт a aotQ
qlx) = ~, h = -а, Н = - = .
V ' (1+ах)2 1+атг тг
Согласно (1.1.54)
/ х ч a sin рх
ф(ху\) = cospx — —.
Замечание 1.3.1. Аналогичные результаты верны также и для
других видов краевых условий, т.е. для краевых задач L\, L° и Zq
В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3.3. Для того чтобы вещественные числа
{/xn, ani}n^o были спектральными данными некоторой краевой
задачи L\(q(x), К) с q(x) е 1/2(0,7г), необходимо и достаточно, чтобы
Цп ф Цт (п Ф га), ап\ > 0, и выполнялись соотношения (1.1.29),
(1.1.30).
1.3.3. Восстановление дифференциальных операторов по двум
спектрам. Пусть {Ап}п>о и {а*п}п^о — собственные значения краевых
задач L и L\ соответственно. Тогда имеют место асимптотические
формулы (1.1.13) и (1.1.29), а также представления (1.1.26) и (1.1.28)
для характеристических функций Д(А) и d(X) соответственно.
Теорема 1.3.4. Для того чтобы вещественные числа
{An, /in}n^o были спектрами краевых задач L и L\ с q(x) £ 1/г(0,7г),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения
(1.1.13), (1.1.29) и (1.1.33). Функция q(x) и числа h и Н строятся
по следующему алгоритму:

§ 1.3. Метод оператора преобразования
59
(i) по заданным числам {An, /in}n^o находим числа ап по
формуле (1.1.35), где А(Л) и d(X) строятся согласно (1.1.26) и (1.1.28);
(п) по числам {Лп, Qn}n>o строим q(x), h и Н по алгоритму
1.3.1.
Необходимость условий теоремы 1.3.4 доказана выше; здесь мы
докажем достаточность. Пусть заданы вещественные числа {Лп, /in}n^o»
удовлетворяющие условиям теоремы 1.3.4. Построим функции Д(А)
и d(\) по формулам (1.1.26) и (1.1.28), а затем найдем числа ап по
формуле (1.1.35).
Наш план — использовать теорему 1.3.2. Для этого мы должны
получить требуемую в теореме 1.3.2 асимптотику чисел ап. Это кажется
трудной задачей, так как функции А(А) и d(X) по построению
являются бесконечными произведениями. Но, к счастью, для вычисления
асимптотики ап можно также использовать теорему 1.3.2 в качестве
вспомогательного утверждения. В самом ^еле, в силу теоремы 1.3.2
существует краевая задача L = L(q(x),h,H) с q(x) Е 1/2(0» тг)
(неединственная) такая, что числа {Ап}п^о являются ее собственными
значениями. Тогда функция Д(А) является характеристической функцией
задачи Z, и, следовательно, согласно (1.1.22) имеем
Д(Ап) = (-1Г+1| + ^, {хп}€/2.
Кроме того, sign А(АП) = (—l)n+I. Аналогично, используя теорему
1.3.3, можно получить
d(An) = (-l)n + ^, {*„}е/2.
Кроме того, учитывая (1.1.33), заключаем, что sign d(Xn) = (— l)n.
Поэтому, с учетом (1.1.35), приходим к соотношениям
ап>0, ап = ^ + —, {хп,}Е/2.
Z п
Тогда в силу теоремы 1.3.2 существует краевая задача
L = L(q(x),h,H) с q(x) Е 1/2(0,7г) такая, что числа {Ап, ап}п^о
являются спектральными данными L. Через {Дп}п^о обозначим
собственные значения краевой задачи L\(q(x),h). Осталось показать,
что р,п = Jin при всех п ^ 0.
Пусть d(\) — характеристическая функция задачи L\. Тогда в силу
(1.1.35) ап = —A(An)d(An). С другой стороны, по построению ап =
= -A(An)d(An), и мы приходим к равенству d(\n) = d(\n), п ^ 0.
Следовательно, функция
7Ш ._ d(X)-d(\)
Z[X) - Д(А)
является целой по А. С другой стороны, в силу (1.1.9) имеем
|d(A)| < Сехр(|т|тг), |d(A)| ^ Сехр(|т|тг).

60 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Учитывая (1.1.18), получаем при фиксированном 6 > 0:
\Z(X)\^C\P\-\ \eG6, \р\>р*.
Используя принцип максимума модуля для аналитических функций
[206, с. 204] и теорему Лиувилля [206, с. 209], заключаем, что
Z{\) = 0, т.е. d(X) = d(A), и, следовательно, цп = /хп при всех п ^ 0.
□
§ 1.4. Метод спектральных отображений
Метод спектральных отображений, представленный в этом параграфе,
является эффективным инструментом для исследования широкого класса
обратных задач не только для операторов Штурма-Лиувилля, но также и для
других более сложных классов операторов, таких как дифференциальные
операторы произвольных порядков, дифференциальные операторы с
особенностями и точками поворота, пучки дифференциальных операторов и др.
В методе спектральных отображений используются идеи метода контурного
интеграла. Более того, метод спектральных отображений можно рассматривать
как вариант метода контурного интеграла, адаптированный к решению
обратных задач. В этом параграфе метод спектральных отображений применяется
для операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале. Для операторов
Штурма-Лиувилля метод спектральных отображений дает те же результаты,
что и метод оператора преобразования (см. § 1.3). Однако метод спектральных
отображений имеет более широкую область применения для других классов
обратных задач (см., например, гл. 3, 4).
Отправной точкой в методе спектральных отображений является
интегральная формула Коши для аналитических функций [206, с. 166]. Мы
применяем ее в комплексной плоскости спектрального параметра Л для специально
построенных аналитических по Л функций, имеющих особенности, связанные
со спектральными характеристиками оператора (см. доказательство леммы
1.4.3). Это позволяет свести обратную задачу к так называемому основному
уравнению, которое является линейным уравнением в соответствующем
банаховом пространстве последовательностей. В п. 1.4.1 дается вывод основного
уравнения и доказывается его однозначная разрешимость. Используя
решение основного уравнения, мы получаем алгоритм решения обратной задачи.
В п. 1.4.2 даются необходимые и достаточные условия разрешимости обратной
задачи. В п. 1.4.3 исследуется обратная задача для несамосопряженного
оператора Штурма-Лиувилля.
1.4.1. Основное уравнение обратной задачи. Рассмотрим
краевую задачу L = L(q(x),h,H) вида (1.1.1)-(1.1.2) с вещественными
q(x) е 1/2(0,7г), h и Н. Пусть {An, ап}п^о — спектральные данные L,
Рп = \/Кь- Тогда верны соотношения (1.3.8), (1.3.9). В этом пункте
приведено решение обратной задачи восстановления L по
спектральным данным с использованием идей метода контурного интеграла.

§ 1.4. Метод спектральных отображений
61
Отметим, что если функции у(х, А) и z{xyji) являются решениями
уравнений £у = Ху и £z = \iz соответственно, то
— (у, z) = (Л - /i)yz, (у, г) :=yz' - y'z. (1.4.1)
Обозначим
а:
(p{t,\)<p{t,ii)dL (1.4.2)
Р(х,А>|х):=<у(ж'У^(д^)) =
Л — (Л
Последнее равенство следует из (1.4.1). _ _ _
Выберем модельную краевую задачу L = L(q(x), h, Н) с
вещественными q(x) £ L2(0,7г), hji Н так, чтобы и = и (можно взять,
например, q(x) =0, h = 0, Н = uj или h = Н =J0, g(x) = 2uj/tt). Пусть
{An, Sn}n^o — спектральные данные задачи L.
Замечание 1.4.1. Без ограничения общности можно
рассматривать случай и = 0. Этого можно добиться сдвигом спектра {Ап} —>
—> {Ап-Ь С}, поскольку если {Ап} — спектр задачи L(q(x),h,H), то
{Ап + С} — спектр задачи_Ь(^(х) -f С, /i, Я). В этом случае cD = 0, и
можно положить q(x) = О, h = Н = 0. Однако мы будем рассматривать
общий случай произвольного и.
Положим _ _
£п := |/>п - рп\ + |ап - ап|.
Так как и =й, то из (1.3.8) и аналогичных формул для рп и Йп
вытекает
00 1 /2
П;= (£(("+0&)2) <о°- £&i<oo. (1.4.3)
n=0 п
Обозначим
АпО = An, Ani = Ап, апо = ап, anj = ап,
^пг(^) = ^(Х, Am), <Pni(x) = £(х, Am),
*m\fc;(**'/ = U\%> АПг, Afcj), /пг./сД^) == UyX, Anj, Akj)%
Oikj Otkj
i,j€ {0,1}, n,fc>0. (1.4.4)
Тогда, согласно (1.4.2), имеем
X
, (х) = <^f^f» = J- f ^(4)^(0 А.
0
x

62 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Ясно, что
PUkj(x) = —Vni{x)<Pkj{x), Ki,kj(x) = —£m(s)£fcj(s). (1-4.5)
CXkj Cxkj
Ниже мы будем использовать следующий вариант леммы Шварца
([206, с.363]).
Лемма 1.4.1. Пусть f(p) является аналитической функцией
в круге \р — р°\ < а, и пусть f{p°) = 0, \f(p)\ ^ А при \р - р°\ < а.
Тогда |/(р)| ^ \р - р°\А/а при \р - р°\ < а.
Для решения обратной задачи нам потребуются вспомогательные
утверждения.
Лемма 1.4.2. При х G [0,7г], ?г,к ^ 0, г, j,v = 0, 1, имеют место
оценки
\^(х)\ < С(п+1У, \<p%j(x) -<р%{х)\ < СЫп+1У, (1.4.6)
\РшМ*)\ < |n-fc| + r ^S'WI < С(к + п+\Г,
|Pn«,fco(a:)-P„i.fci(x)| < |w5j4 + i' I^W*) - P„,.k,-(x)| ^ |nff"+r
IPnO.fcoW - P„i.fco(x) - Рпом(x) + P„i.fci(x)| ^ r%TTT-
|n_A:| + 1 (1.4.7)
Аналогичные оценки верны также для <Pm(^), -Pni.fcj(^)-
Доказательство. Из (1.1.9) и (1.3.8) вытекает: |^^-(х,АПг)| ^
^ С(п -f \)и. Кроме того, при фиксированном а > 0 имеем
\<рЫ(х,\)\^С(п+1)", |p-pni|<a.
Применяя лемму Шварца в р-плоскости к функции f(p) := ipM(x, А) -
— (р(")(х,Хп\) при фиксированных v,n,x и а, получаем
|^(x,A)-^(o:,Anl)K С(п+1Г|р-рп1|, |p-pm|<a.
Следовательно, \<р„о(х) - ^{х)\ ^ С(п + l)"|pno - Pni|, и (1.4.6)
доказано.
Покажем, что
\D(x^Akj)\^^f^, Х = р\ ±Rep^0,
r:=Imp, fc^O. (1.4.8)
Пусть для определенности а := Rep ^ 0. Зафиксируем 5q > 0. При |р -
— Pkj| ^ ^о в силу (1.4.2), (1.1.9) и (1.3.8) имеем
|D(x. А,А„)| = \М*-*)М'->*>))\ z Сехр(|г|х)14^4.
|A-Afcj| \р - pkj\

§ 1.4. Метод спектральных отображений
63
Так как
M + IPfcjl < V<T2 + T2 + \pkj\ < ./о
~i I Г ^ / ^ v ^
|p+P*il ^2+T2+p2.
(здесь используется неравенство (а + Ь)2 ^ 2(а2 + Ь2) при
вещественных а, 6), то
\р- pkj\
При |р - pjtj| ^ 5о имеем
|p~fc| + 1 < 1 , IPfcj - fcl + 1 ^ r
—. j- ^ 1 i : :— 5^ О,
\P-Pkj\ \P-Pkj\
и, следовательно,
1 * c
\p-pkj\ |p-fc| + l"
Это дает (1.4.8) при \p - pkj\ ^ S0. При \p - pkj\ ^ 60
\D(x,\,\kj)\ =
ip(t, \)(p(t, \kj) dt\ <J Cexp(|r|x),
т.е. (1.4.8) верно также и при \р — pkj\ ^ 6q. Аналогично можно
показать, что
|/Э(ж.Л,/х)| ^ ^ехР(,|^)> /х = в2, |Im0| ^ Со, ±RepRe0 ^ 0.
Используя лемму Шварца, получаем
\D(xЛЛkl)-D(xЛЛko)\^^^Щ^, ±Rep^0, к > 0. (1.4.9)
В частности, это дает
№. АПг, Аы) - D{x, Ani, Afc0)| < |w5f'+1-
Симметрично выводим
CCn
№■ Anl, Ац) - D(s, An0, Ац)| < |n _ ^+ {.
Применяя лемму Шварца к функции Qk{x,\) := D(x, A, A*i) —
- D(x, А, А^о) при фиксированных /сих, получаем
|D(x,An0,Afco) -1>(х,А„|,Аи)) - £>(x, An0, Afcl) +
+ D(x.AnI.Afcl)|<];^_.
Эти оценки вместе с (1.4.4), (1.4.5) и (1.3.8) приводят к (1.4.7). □

64 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Лемма 1.4.3. Справедливы соотношения
оо
£(х,А)=^(х,А)+]Г(
(ф,\),фко(х)) , ч (fi(x,\),ipk\{x))_
(рк0{Х) — г— (Рк\
к=0
^о(А - Afco)
«fci(A - Afci)
(*)).
(1.4.10)
(^(x,A),^(x,/i)) (£(x,A),£(x,/i))
/^
+
, yV(£(g>A),(/?fc0(s)) (y?fco(s),y?(s,/z))
f-Л afco(A-Afco)
/c=0
(Afco - /л)
afci(A- Afci) (Afci -/x)
) =0, (1.4.11)
причем ряды сходятся абсолютно и равномерно по х € [0,7г] ы А, р
на компактах.
Доказательство. 1) Обозначим А' = minAn; и возьмем фик-
ni
сированное S > 0. В А-плоскости рассмотрим замкнутый контур 7N
(с обходом против часовой стрелки) вида: 7лг = 7jv и In и У U Г^, где
7^ = {A: ±ImA = <5, ReA^A', |А| ^ (^+^)2},
У = {А: A-A' = *exp(ta), ае(|,^)},
Г^=ГлгП{А: |1тА| < Д, ReA>0}, rN = {А : |А| = Ы + ^) }.
рис. 1.4.1
(tf+i)2
to
рис. 1.4.2
Обозначим 7yv = 7дг и 7jv и V U (Гдг \ T'N) (с обходом по часовой
стрелке). Пусть Р(х,А) = [Pjk{x,\)]j,k=\,2 — матрица, определяемая
формулой (1.2.15). Из (1.2.16) и (1.2.9) вытекает, что при каждом
фиксированном х функции Pjk(x,\) являются мероморфными по А

§ 1.4. Метод спектральных отображений
65
с простыми полюсами {Лп} и {Лп}. В силу интегральной формулы
Коши [206, с. 166] имеет место равенство
Plk(x,\)-6lk = —
Pik(x,Q-6lk
d£, Л =1,2,
где А € intjff, a Sjk — символ Кронекера. Следовательно,
Pik{x,\)-6ik
2тгг
Pu(*.0 ^ 1
Pit(a,Q-fifc
А-?
dC.
где Г# проходится против часовой стрелки. Подставляя последнее
выражение в (1.2.17), приходим к соотношению
<р(х, А) = (р(х,\) +
2тгг
(р(х, А)Р, 1 (х, 0 + ц/(х, А)Р12(х, О
где
£N(x,A) = -
2тгг
^(ж,Л)(Рц(д,0-1)Ч-^(д,Л)Р12(ж,0
А-С
d£-h£;v(z,A),
df.
В силу (1.2.18) имеем
lim Sn(x> А) = О
N—»oo
(1.4.12)
равномерно по х Е [0,7г] и А на компактах. Учитывая (1.2.16),
вычисляем
</?(х, А) = ip{xy А) +
1
2тгг
($>(*, А)(^(х, 0*4*. О " *(х, ОЛ О) +
+ </(х, А)(Ф(*. 0£(*. О - й*> 0Ф(*. О)
С учетом (1.2.9) это дает
А-£
+ eN(x,\).
(p(xt А) = <р(х, А) +
1
+
2ттг
(у(х, А), ф% 0) щ0(р{х^ Q ц + 6n{x^ л)> (1413)
IN
где М(А) = М(А) — М(А), так как слагаемые с 5(х,£) пропадают
по теореме Коши. Из (1.2.14) вытекает
(£(x,A),£(x,Q) —, . _ №M^(i)) , ч
Ж А^ М«МХ'« " afc.(A-Afci) ^(Я)-
Вычисляя интеграл в (1.4.13) по теореме о вычетах [206, с. 239] и
используя (1.4.12), приходим к (1.4.10).

66 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
2) Так как
1
Лл-е M-J
1
А-/ЛА-£ »-а (Л-0«-м)
то в силу интегральной формулы Коши имеем
Pjk(xt\)-Pjk(x,fA)^ 1 Г Pffc(stQ
Л-// 2тг* I (А-О(^-М)
df, fc,j=l,2; \,neinti°N.
Действуя как и в первой части доказательства и используя (1.2.18),
(1.2.19), получаем
Pjk(x,X) - Pjk(xyfi) _ J_
А — /i 2т
с£ + £л^чь(я,А,//), (1.4.14)
7n
где lim eNjkix, A, /i) = 0, j, fc = l,n. Из (1.2.16) и (1.2.11) вытекает
N-*oo
Pii (ж, A)</?'(x, A) - P2i (ж, A)<p(x, A) = <р'(ж, A),
P22(x, А)<р(ж, A) - Pl2(x, A)<p'(x, A) = £(x, A),
(1.4.15)
P(x,A)
:(у(х),Ф(х,А)>
(£>(x, A)
¥>'(*. A)
(y(x),y?(x,A))
Ф(х,А)
Ф'(я.А)
(1.4.16)
для любой функции у(х) е С![0, 1]. Учитывая (1.4.14) и (1.4.16),
вычисляем
P(s,A)-P(s,/i)
X—fi
У(х)
У'(х)
-(»(х), ф,&)
Согласно (1.2.15)
Р(х,А)
1
' 2тгг
In
Ф(х,0
Ф'(*,0
((у(х),Ф(х,0)
di
(A-0U-M)
+ £дг(х, А,/х),
£>(х, А)
Поэтому имеет место соотношение
det(p(x,A)
:пс
det (Р(х,/х)
lim Л(х,А,/х)=0. (1.4.17)
N-*oo
(p(x, A)
£(z, A)
V>'(*.A)
</?(x,/i)
<р'{х,ц)
) = (<£>(x,A),c/?(x,/i)).
Далее, используя (1.4.15), выводим
£(z, A)
*>'(*. A)
y>(x,/z)
)-
tp(x, A) (Pii (x, ц)(р'(х, /i) - P2i (x, /i)<p(x, /x) j

§ 1.4. Метод спектральных отображений
67
- </(х, Л) \Р22{х, мМя. д) ~ Pi2(a:, /i)<p'(z, А*)) = (<р(х> А), <р(ж, р)).
Таким образом,
det((P(x,A)-P(x,/i))
<£>(х, Л)
<?'(£, А)
= (<Р(х, А), <^>(х, /i)> - Ых, А), <р(х, /г)).
Следовательно, (1.4.17) при у(х) = £>(х, А) дает
(у?(х,А),ф,^)) _ (ft(s,A),fi(st/z)) =
А — /i А — /la
1
~2ттг
Ых,А),Ф(х,а)Мх,0,у?(д:,/х)) (^(х,А),у?(х,О)(Ф(х,0,^(х,//))
(А-ОЙ-М)
(А-6К-/4
)<%
+
7n
£дг(х, A,//), Hm elN(x, A,/i) = 0.
Л/"—юс
В силу (1.2.9), (1.2.14) и теоремы о вычетах приходим к (1.4.11). □
Аналогичным образом можно получить следующее соотношение:
Ф(х,А) = Ф(х,А) +
у>/(Ф(х,А),^о(х)>
(Ф(х,А),^1(х))/
+ > ( —;;-Г--^о(х)- x^:?i^kxl)) 4i(*))- d.4.18)
/с=0
»А:0(А - Afco)
afci(A-
Из определения функций Pni,kj(x), Pni,kj(x) и из (1.4.10), (1.4.11)
вытекает
оо
<Pni{x) = Vni(x) + ]^(Рпио(я)ш(я) ~ £ii,*i(s)¥>fci(z)), (1.4.19)
fc=0
Pni,ej{x) -Pni,ej{x) +
oo
+ X^ao(z)iWz) " ^.fciWPfci^W) = 0. (1.4.20)
fc=0
Обозначим
oo
3)0*0 = Уд—^о(а:)ш(^) <Pk\{x)<Pk\(x)), e(x) = -2e'0(x).
fc=0
(1.4.21)
Лемма 1.4.4. Ряд в (1.4.21) сходится абсолютно и равномерно
на [0,7г], причем функция ео(х) абсолютно непрерывна и е(х) е
еЬ2{0,7г).

68 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Доказательство. Запишем во{х) в виде
ео(х) = Ах(х) + А2{х), (1.4.22)
где
оо
к~° (1.4.23)
^2(х)" Е ^" рой -i?H й)здй+^1 ЙЫЙ "^1 (x))j.
к=0
Из (1.3.8), (1.4.3) и (1.4.6) вытекает, что ряды в (1.4.23) сходятся
абсолютно и равномерно на [0,7г], причем
со
|Л;(*)|<С£&^Са J = 1,2. (1.4.24)
fc=0
Далее, используя асимптотические формулы (1.1.9), (1.3.8) и (1.4.3),
вычисляем
со со
4 <*> = £ (i - £) I (^о(х)^о(х)) = £ 7, (sin 2kx + £&),
fc=0 fc=0
где {7^} G /2 и max |гу^(х)| ^ С при A; ^ 0. Следовательно, A\(x) e
£ И^СО»71")- Аналогично получаем, что ^(х) Е И^1 (0,7г), и поэтому
е0(х)Е Ж*(0,7г). □
Лемма 1.4.5. Справедливы соотношения
q(x) = q{x)+e(x), (1.4.25)
/1 = h - е0(0), Н = Н + e0{ir), (1.4.26)
где функции £(х) и £о(х) определяются согласно (1.4.21).
Доказательство. Дифференцируя (1.4.10) дважды по х и
используя (1.4.1) и (1.4.21), получаем
${х% А) - £о(х)(р{х, А) = <//(х, А) +
со ^ ~ ~
'(<р(х,\),&ко(х)) j (^ _ ((р{х,\),ч>к\(х)) _f
к=0 '
со ^ __ ^_
?»(x.A).V>.A)+E(^|^fA«-^^frf,«) +
fc=0
" - ' - V
+ 2</?(х, А) V( — ^о(ж)^0(ж) - —-Фк\(x)<p'k\(x)) -
f—'\OLk0 CXkl J
к=0
со
+ У](^Г"(^Х'Л)^0(Х))/^°(Х) " -—(^(x,A)^fc,(x))VA:l(^)).
к=0

§ 1.4. Метод спектральных отображений
69
Заменим здесь вторые производные, используя уравнение (1.1.1), а
затем заменим <р(х% А), используя (1.4.10). Это дает
q(x)(p(x, А) = g(x)<J5(x, А) +
оо
-Ь Уд (<p{x,\),<Pko(x))<Pko(x) (ip(x,\),<Pk\(x))<Pki(x)) +
fc=o
oo
+ 2£(х,А)У( —-$k0(x)<p'k0(x) - —$ki(x)<p'kl{x)) +
oo
+ У^Гт—(^(x»A)^o(^))V/co(a:) - —($(хЛ)!рк1(х)У<Рк\(х))-
fc=0
После сокращения слагаемых с </?'(х,А) приходим к (1.4.25).
Обозначим Ло = -Л, К = #> U0 = С/, С/, = V. В (1.4.10) и (1.4.27)
положим х = 0 и ж = тг. Тогда
ф'{а, А) + (Ла - e0(a))ip{at А) = £/а(<р(ж, Л)) +
^>/(?(x,A),^fco(x))|x=a (£(*.A),£fci(z)),x \
+ Е( afcQ(A-Afc0) ^(^0)- аы(Л-Аы) "'М'
а = 0,тг. (1.4.28)
Пусть а = 0. Так как £/0((/?(х, А)) = 0, £(0,А) = 1, £'(0, А) = -Л0.
то ho — ho - 6q(0) = 0, т. е. /i = /i - ^о(О). Пусть а = п. Так как
^Мх,А)) = Д(А), ^(Ш)=0, ^(^i) = A(Afcl),
(£(х, А), £(х, /i)) | - £(тг, А)Д(/х) - £(тг, /i)Д(А),
то из (1.4.28) вытекает
</?ы(7г)Д(А)
?(тг, А) + {К ~ еоМЖтг, А) = Д(А) + £ -М^-Д(АЫ).
£--' ак\(л — Afci)
При А = Ani это дает
#»1 М + (Л* ~ eoW)Vni(Tr) = A(Ani)(l + -!-^„1(7г)Д1(АП1))>
V Oin\ /
где Д^А) := -^-Д(А). В силу (1.1.6) и (1.1.8) имеем
ил
fin\(K)J3n = 1, ДпЙп = -Al(Ani),
т.е. (ani)-l(pni(ir)Ai(Xn\) = -1, тогда
^nlW + {К ~ ^0(7Г))^Ш(7Г) = 0.

70 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
С другой стороны, ^^,1 (тг) + /br<?ni(7r)_= A(Ani) = 0. Таким образом,
(hn - £0(тг) - К)фП1 (тг) = 0, т. е. К - hv = £0(тг). □
Замечание 1.4.2. При каждом фиксированном х е [0,7г]
соотношения (1.4.19) можно рассматривать как систему линейных уравнений
относительно (рги(х), п ^ 0, г = 0, 1. Но ряд в (1.4.19) сходится лишь
«со скобками». Поэтому неудобно использовать (1.4.19) в качестве
основного уравнения обратной задачи. Ниже мы преобразуем (1.4.19)
к линейному уравнению в соответствующем банаховом пространстве
последовательностей (см. (1.4.33) или (1.4.34)).
Пусть V — множество индексов и = (п, г), п ^ 0, г = 0,1. При
каждом фиксированном х Е [0,7г] определим вектор
?/>(*) = bPuix)]lev = [VVio(z).?M*)]n£0 =: [^оо^оь^ю^1ь.-.]Т
по формулам
'Фпо(х)
Хп Хп
0 1
<Рп0(х)
<Рп\{х)
4>п\(?)
где Хп = £п * ПРИ £п ф 0 и Хп = 0 при £п = 0. Введем также блочную
матрицу
Н(х) = [HUiV(x)]UiV(zV
по формулам
НпО,ко(х) Нпо,к\(х)
Нп\,ко(х) Нп\М{х)
Хп Хп
0 1
Нпо,ко(х) Нп0,к\(х)
Нп\,ко(х) Hn\tk\(x)
Jn./c^O
и = (п, г), v = (к, j)
Рп0,к0(х) Рп0,к\(х)
Рп\Мх) Рп\,к\(х)
& 1
0 -1
£кХп(Рп0Мх)-Рп\,к0(х)) Xn(Pn0№(x)-Pn0M(x)-Pn\Mx) + Pn\M{x))
£кРп\м(х) Рп\,к0(х)-рп\,к\(х)
Аналогично определяются ip{x), Н(х) заменой в предыдущих
определениях (pni(x) на фги(х) и Pni,kj(x) на Pni,kj(x)- Из 0-4.6) и (1.4.7)
вытекает
/,(")
1^?(х)| ^С(п+ 1)", \Hni,kj(x)\^
с&
(|n-fc| + l)'
он-1)
Щ/(а:)1^С'(п + *+1Г&. (1.4.29)

§ 1.4. Метод спектральных отображений
71
Аналогично
|$?(*)| < С(п+ \у, \Hni.ki(x)\ < ([n_Cf| + 1).
И^К^п + НОг, (1-4.30)
а также
|#ntjfej(&)-#nijkj(zo)| ^ С|х-х0|£ь х,х0е [0,7г], (1.4.31)
где С не зависит от х,хо,п,г, j и /с.
Рассмотрим банахово пространство т ограниченных
последовательностей вида а = [au]U£v с нормой ||a||m = sup \аи\. Из (1.4.29)
и (1.4.30) вытекает, что при каждом х£ [0,7г] операторы Е + Н(х)
и Е — Н(х) (Е — единичный оператор), действующие из га в га,
являются линейными ограниченными операторами, причем
||Я(х)||, ||Я(х)1|<Сзир^ ,^| + 1 <оо. (1.4.32)
к
Теорема 1.4.1. При каждом фиксированном хе [0,7г] вектор
ip(x) е га удовлетворяет уравнению
^(х) = (Е + H{x))rl>(x) (1.4.33)
в банаховом пространстве га. Оператор Е + Н{х) имеет
ограниченный обратный, т.е. уравнение (1.4.33) однозначно разрешимо.
Доказательство. Запишем (1.4.19) в виде
<Рпо{х) - <Рп\(х) = <Рпо(х) - <Рп\(х) +
оо
+ ]М (Дл.ЬоМ ~ Pn\,ko(x))(<pko(x) ~ <Pk\(x)) + (Pn0,k0(x) ~
к=0
~ Рп\Мх) ~ Рп0,к\(х) + £ilJfel(z))Wfel(z)J,
Фп\(х) = 4>п\{х) +
оо
+ ^2(Рп\,к0{х)(<Рк0{х) ~ <Рк\{х)) + {Рп\,к0(х) ~ ^nl,fcl(^))^fcl(x)J.
fc=0
Учитывая введенные обозначения, получаем
Фш(х) = Фпг(х) + ^HniMj(x)i)kj(x), (nti),{k,j) е V, (1.4.34)

72 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
что равносильно (1.4.33). Ряд в (1.4.34) сходится абсолютно и
равномерно при х G [0,7г]. Аналогично, (1.4.20) принимает вид
Hnitkj(x)-Hni<kj(x) + ^(Hnijs(x)HiSikj{x) = 0, {n,i),(k,j),(£,s) G V,
e,s
или (E + H(x))(E — H(x)) = E. Меняя местами L и L, выводим
аналогично
</>(*) = (E - Н(х)Щх), {E - H(x)){E + Я(ж)) = E.
Следовательно, оператор (£|Я(х))-1 существует и является
линейным ограниченным оператором. □
Уравнение (1.4.33) называется основным уравнением обратной
задачи. Разрешая (1.4.33), находим вектор гр(х) и, следовательно,
функции ipni(x). Так как функции ipni{x) = <p(x,\ni) являются решениями
уравнения (1.1.1), то можно построить потенциал q(x) и коэффициенты
h и Н. Тем самым получаем следующий алгоритм решения обратной
задачи 1.2.1.
Алгоритм 1.4.1. Даны числа {Хп, а^п^
(i) Выбираем L так, чтобы и = и, и строим ip(x) и Н(х).
(и) Находим 'ф(х) из уравнения (1.4.33).
(Ш) Вычисляем q(x), h и Н по формулам (1.4.21), (1.4.25), (1.4.26).
1.4.2. Необходимые и достаточные условия. В этом пункте
приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости обратной
задачи 1.2.1.
Теорема 1.4.2. Для того чтобы вещественные числа
{Хп, ап}„^о были спектральными данными для некоторой краевой
задачи L(q(x),h,H) вида (1.1.1), (1.1.2) с q(x) G 1/2(0,7г), необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись соотношения (1.3.8), (1.3.9).
Кроме того, q(x) G Wf1 тогда и только тогда, когда верно (1.1.23).
Краевая задача L(q(x),h,H) строится по алгоритму 1.4.1.
Необходимость условий теоремы 1.4.2 доказана выше; здесь мы
докажем достаточность. Пусть заданы числа {Лп, ап}п^о вида (1.3.8)-
(1.3.9). Выберем L, построим ф(х), Н(х) и рассмотрим уравнение
(1.4.33).
Лемма 1.4.6. При каждом фиксированном х G [0,7г] оператор
Е + Н(х), действующий из т в т, имеет ограниченный
обратный, и основное уравнение (1.4.33) имеет единственное решение
гр(х) G га.
Доказательство. Достаточно доказать, что однородное
уравнение _
(Е + Н(х)Щх)=0% (1.4.35)

§ 1.4. Метод спектральных отображений
73
где /3(х) = [f3u(x)]U£v, имеет только нулевое решение. Пусть /3(х)ет —
решение уравнения, т. е.
Pm(x)^^2Hnitkj(x)pkj(x)=09 (n.t), (fc.j) е V. (1.4.36)
Обозначим 7„i(x) = /?ni(x), 7no(z) = /?no(z)£n + /?ni(z)- Тогда (1.4.36)
принимает вид
oo
7ni(x) -f ^2(Pni,ko(x)lfko(x) - Рым(хЪк\(х)) = 0, (1.4.37)
fc=0
причем
|7nt(x)| ^ C(x), Ьпо(х) -7ш(х)| ^ C(x)£„. (1.4.38)
Построим функции 7(x, Л), Г(х,А) и jB(x, Л) по формулам
7М) = -Е (№(Х' f/ 7У ^о(х) - №(Х' g' 7 (f) 7и (*)). (1.4.39)
fc=0
г«= -£(%<Hf *w-^Sf •»■<*>)•(i 440)
/c=0
Б(х,А)=7(х,А)Г(х,А). (1.4.41)
Конструкция функции B(x, А) напоминает конструкцию функции
Грина при t = х : G(x, х, А) = <р(х, А)Ф(х, А), а идея доказательства
леммы напоминает идею доказательства теоремы о разложении. В силу
(1.4.2) функция ^(х^Х) является целой по А при каждом х. Функции
Г(х, А) и В(х, А) являются мероморфными по А с простыми
полюсами Xni. Согласно (1.4.2) и (1.4.37) имеем: 7(х»^т) = 7т(я)-
Покажем, что
Res В(х,А) = — Ьпо(х)\\ Res В(х,А)=0, (1.4.42)
^=^п0 ^пО А=ЛП1
В самом деле, в силу (1.4.39), (1.4.40) и (1.2.9) имеет место
соотношение
Г(х,А) = М(А)7(ж,А)-
-f](<g^ (1-4.43)
/c=0
Так как (S(x, A),(^(x,/i)), 0 = —1, то из (1.4.1) вытекает
(g(«.A).^.M))=__L. + jg(ttA)^i/i)(ft.
0

74 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
lim 1%(х) = 0. (1.4.45)
N—+OQ
к=0
Поэтому, согласно (1.4.43),
Res Г(х,А) = —7no(s), Res Г(х,Л) = —7ш(я) 7ni(x)=0.
Л=Лп0 апо А=ЛП, ап\ otn\
Вместе с (1.4.41) это дает (1.4.42).
Далее рассмотрим интеграл
1%(х) = -J-, f £(x,A)dA, (1.4.44)
Zm J
rv
где TN = {X: |A| = (N + 1/2)2}. Покажем, что
lim I°N(x)=0.
N—+oo
В самом деле, из (1.4.2) и (1.4.39) вытекает
оо
-7(х, Л) = У] —5(ж, Л, Afco)(7fco(^) - 7fci 0*0) +
оо
+ Е(т- - ^-)°(х' х< А*°ь> (*) +
V — (5{х, A, Afc0) - 5(х, Л, Аы)Wi(х).
Пусть для определенности о := Rep ^ 0. В силу (1.3.8), (1.4.38), (1.4.8)
и (1.4.9) имеем
оо
|7(хД)| = |7(х.А)| ^ C(x)exp(\r\x)^2 J"
к=0 1Р '
сг^О, г = Imp. (1.4.46)
Аналогично, используя (1.4.40), получаем при достаточно большом
р* >0:
оо
'^ к=о '
fc=0
оо
+
к=0
Тогда
,2
ОО г
/с=0
ОС —
<£(£)

§ 1.4. Метод спектральных отображений
75
С учетом (1.4.3) это дает
оо
W'-^f gu-qW- M = N + ~r Re">° <М47)
Так как р = (N + 1/2)ехр(г<9), 0 G [-тг/2,тг/2], то
|p-fc| = (iV + ^)2-ffc2-2(iV + ^fccos0^ (jV + I-fc)2. (L4-48)
Далее,
оо N
£ Ц—^Е Ц— +
f0 (k+ \)2(N+ I - A:)2 £J (*+ 1)V+ 5 - fc)2
JV-1
1 Ж—V 1
+
+ 2)2£rfc-b' £ А**-*)2 +0Ы'
Так как
(Ar + 2)2^(fc_')2 ^fc^-fc)2
1 2 +_L + ? + 1
' .0.-0 I . .1 , - _ -v <
k2(N-k)2 kN3 k2N2 N\N-k) N2(N-k)2'
то
N-\ N-\ N-\
^ \c2(N -h\2 N* L^ k N2 l^ h2'
Поэтому
оо
Вместе с (1.4.47) и (1.4.48) это дает: |В(ж, А)| ^ С{х)\р\~г при Л G Г^.
Подставляя эту оценку в (1.4.44), приходим к (1.4.45).
С другой стороны, вычисляя интеграл в (1.4.44) по теореме о
вычетах и учитывая (1.4.42), заключаем, что
N
lim £-!-|7„о(*)|2=0.
n=0
Так как ano > 0, то 7по(я) = 0. Построим теперь функции
00 \ \
А(Л):=7г(Ло-Л)П П
п=1
Д(А):=-7гАП^ = -рап/»г, /(х.А) := ^.
П=1

76 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Из соотношения у(х,\по) = 7по(я) = 0 вытекает, что при каждом х £
е [О,7г] функция /(х, Л) является целой по Л. С другой стороны, имеем
А(А) _ ттЛ Лп-п2\
д(л) 1Д л-лпу-
Зафиксируем 5 > 0. В силу (1.1.17) и (1.3.8) имеют место следующие
оценки в секторе arg Л Е [5,2п — S] :
|Д(А)|^СИехр(|г|тг), ^Н" <^. r:=Imp.
Л-Лп
С
п
Следовательно, |Д(А)| ^ С|р|ехр(|т|7г), argA G [5,27г — 5]. Учитывая
(1.4.46), получаем
|/(х,А)|^<М argAG[5,27r-5].
Отсюда, используя теоремы Фрагмена-Линделефа [240, с. 186] и Ли-
увилля [206, с.209], заключаем, что /(х,А) = 0, т.е. 7(х^) =0
и 7ni(#) = 7(x^ni) = 0. Следовательно, (3ni(x) = 0 при п ^ 0, г = 0,1,
и лемма 1.4.6 доказана. □
Пусть 'ф(х) = [фи{х)]иеУ — решение основного уравнения (1.4.33).
Лемма 1.4.7. При п ^ 0, г = 0, 1, справедливы соотношения
Фпг{х)е С1 [0,тг], |^}(х)| ^ C(n -f 1)", 1/ = 0,1, хе[0,тг], (1.4.49)
\1>ni(x) -$ni{x)\ ^ C£lrjn, х е [0,тг], (1.4.50)
Ki(x)-^(x)|^Ca хе[0,тг], (1.4.51)
где Q определена в (1.4.3), а
rjn :
^0(к+1)2(\п-к\+1)
Г
Здесь и в дальнейшем один и тот же символ С обозначает
различные положительные константы, зависящие только от L и Со, где Со > 0
таково, что ft ^ Со-
Доказательство. 1) Обозначим R(x) — (Е + Н(х))~1.
Зафиксируем хо Е [0,7г]^и рассмотрим основное уравнение (1.4.33) при х = хо:
ф{х0) = (E + H{x0))ip(x0). В силу (1.4.31)
||Я(х)-Я(х0)ИС|х-хо|^а^С1|х-х0|, х,х0Е[0,тг], Ci>0.
к
Положим cj(xo) := (2Ci ЦЯ(хо)Ц)-1. Тогда при |х — xq| ^ cj(xo) имеем
\\H(x)-H(xo)\\^(2\\R(x0)\\Tl.

§ 1.4. Метод спектральных отображений
11
Используя лемму 1.3.1, получаем при |х-хо| ^uj(xo):
R(x) - R(x0) = J2(H(xo) ~ Н(х)) (tf(x0)) ,
\\R(x) - R(x0)\\< 2d ||Я(х0)||2|х - x0|.
Следовательно, R(x) непрерывна no x e [0, n] и ||Я(х)|| ^ С, x e [0, n].
Представим R(x) в виде R(x) = E — H(x). Тогда
||Я(х)|| ^C, xe [О.тг], (1.4.52)
и
(£ - Я(х))(£ + Я(х)) = (Е + Н{х))(Е - Я(х)) = Е. (1.4.53)
В координатах (1.4.53) принимает вид
Hni,kj{x) = Hnijkj(x) - У^ Hnifts(x)HeSfkj(x),
e,s
(n9i),{k,j)t{e9s)eV, (1.4.54)
HniMj{x) = Hm,kj(x) - У^ HniiiS(x)HeSfkj(x),
e,s
(n,i),(kJ)t(e,s)eV. (1.4.55)
Функции Hnitkj(x) непрерывны при x E [0,7г], и в силу (1.4.52), (1.4.54)
и (1.4.30) имеем
\Hnitkj{x)\^CSk, хе[0,тг]. (1А56)
Подставляя эту оценку в правые части (1.4.54) и (1.4.55) и используя
(1.4.30), получаем более точные оценки
\НыМх)\^С^^ +Пг1^ х€[0,тг], (n,i),(fc,j)€Vf (1.4.57)
|Япа,(х)|^С^^_^| + 1+»г/п), хе[0,тг], {n.i),(k,j)eV. (1.4.58)
Отметим, что поскольку
оо оо оо
= ГГ ! +
k=0n=k
оо оо оо g
+S*S.(*+o2(*-»+D8<2(S^'

78 Гл. I. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
то {r]k} £ h- Решая основное уравнение (1.4.33), находим
грПг(х) = ^ni{x) -^Hni^jix^kjix), х £ [0,тг], (n,i),(k,j) е V.
(1.4.59)
Согласно (1.4.30) и (1.4.58) ряд в (1.4.59) сходится абсолютно и
равномерно по х € [О,7г] и функции ipni(x) непрерывны при х G [0,7г]. Кроме
того, |V>ni(#)| ^ С ПРИ х ^ [О»71"]» (п»0 £ V, и верно (1.4.50).
2) Из (1.4.53) следует, что
Н'{х) = (Е- Н(х))Н'(х)(Е - Я(х)), (1.4.60)
функции Hnifkj(x) непрерывно дифференцируемы, причем
Дифференцируя (1.4.59), вычисляем
С(*) = Ф'пг(х) ~ Е H„i.fcj(x)^-(X) - J2 Ki,kjWkj{x). (1.4.62)
В силу (1.4.30), (1.4.57) и (1.4.61) ряды в (1.4.62) сходятся абсолютно
и равномерно noxG [0,7г]; грПг(х) € С][0,7г],
|^(я)|<С(п+1), *€[0,7г], (nj)GF
и верно соотношение (1.4.51). П
Замечание 1.4.3. Оценки для ip'ni{x) могут быть также получены
следующим образом. Дифференцируя (1.4.34) формально, вычисляем
ф'п,(х) - £ КюШФ) = С(х) + £ Hnifkj{xWkj(x). (1.4.63)
k,j k,j
Определим
z{x) = [2u(x)]u€v, Цх) = [г„(д;)]и€у,
Л(х) = [i4Uft,(x)]Ufi;€vf и = (п,г), t> = (fc, j),
по формулам
П + 1
Тогда (1.4.63) принимает вид ?(ж) = (U + A(x))z(x), или
Zm(s) = zni(x) + ^2Anitkj(x)zkj(x). (1.4.64)

§ 1.4. Метод спектральных отображений
79
Из (1.4.30) вытекает
ОО ОС 1 /п
gKa^)Kcg(n+^+^|+1)<^(g(|nJ| + i)2) .
Так как
оо п ОО ОО
S^rW=g(^^+^ (L4-65)
то приходим к оценке
k,j
При каждом фиксированном х G [0,7г] оператор А(х) является
линейным ограниченным оператором, действующем из т в га, причем
||А(х)|| ^ СП. Однородное уравнение
uni(x) + Y2Ani<kj{x)ukj(x) = 0, [uni(x)] G т, (1.4.66)
kj
имеет только нулевое решение. В самом деле, пусть [i*m(x)] £ т —
решение уравнения (1.4.66). Тогда функции (3ni{x) := (п + l)uni(x)
удовлетворяют (1.4.36). Кроме того, (1.4.36) дает
\Рпг(х)\ ^С(х)£|*Ц*У (*)!(* + 1) ^
Поэтому с учетом (1.4.65) заключаем, что |/?m(#)| ^ С(х), т.е.
[/?Пг(х)] Е т. По лемме 1.4.6 /?т(х) = 0, т.е. unj(x) = 0.
Используя (1.4.64) и вышеприведенные рассуждения, можно показать, что
ipni{x) € СЧО.я"] и |^пг(х)1 ^ С(п+ 1), т.е. соотношения (1.4.49)
доказаны. Тогда из (1.4.63) вытекает
Шх)-^(х)1 ^су<*+')&, <сЫу ! Ли\
fc=0 ' ' fc=0
Отсюда, учитывая (1.4.65), приходим к (1.4.51). □
Построим функции ipni(x) по формулам
<Рп\(х) = фп\{х), <Рпо(х) = Фпо(х)£п + фп\(х). (1.4.67)

80 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Тогда справедливы соотношения (1.4.19) и (1.4.6). В силу (1.4.67)
и леммы 1.4.7 имеем
\<р%(х)\^С(п+\у, i/ = 0,l, (1.4.68)
\<Рш(х) - ipni(x)\ < CQrin, Wni(x) - <p'ni[*)\ ^ CQ. (1-4.69)
Далее, построим функции </?(х, А) и Ф(ж, Л) по (1.4.10), (1.4.18), а
также краевую задачу L(q(x),htH) по (1.4.21), (1.4.25)—(1.4.26). Ясно,
что <p(x,\ni) = tpni(x).
Лемма 1.4.8. q(x) G L2(0,7r).
Доказательство. Здесь мы следуем доказательству леммы 1.4.4
с необходимыми изменениями. Согласно (1.4.22) £q(x) = А\{х) + ^(ж),
где функции АДх) определены в (1.4.23). Из (1.3.8), (1.4.3) и (1.4.6)
вытекает, что ряды в (1.4.23) сходятся абсолютно и равномерно на
[0,7г], причем имеет место оценка (1.4.24). Далее,
оо
4(*) = Е(^ - ^)тЛфко{х)1Рко{х))=
оо
= 2У1{^Г - ^-)ёко(х)Рк0(х) + А(х) =
/с=0
= ^7fc(sin2b+^)+^(x),
fc=0
где
оо
А(х) = Л(^Г0 - ^") (&о(*) (¥>«>(*) - #м>(*)) +
А:=0
+ #ьо(ж)(т(я) -£*о(я))). (1-4.70)
ОО j /о
{7*} G Ь, (У" Ы2) < Cfi, max |r,fc(x)| < С.
к=0
В силу (1.4.68), (1.4.69), (1.4.6) и (1.3.8) ряд в (1.4.70) сходится
абсолютно и равномерно на [0,7г], причем
со оо °° 1/2
\A(x)\^Cn(j2^+J2(k + l^kVk) <Cfi2(l+(j>fc|2) ) <СП2,
fc=0 fc=0 fc=0
так как {rjk} G /2- Поэтому А\(х) G W^fO, 7г]. Аналогично получаем, что
А2(х) G W^O,7г]. Следовательно, ео(х) G И^(0,7г), е(ж) G 1/2(0,7г), т.е.
9(x)gL2(0,7t). □

§ 1.4. Метод спектральных отображений
81
Лемма 1.4.9. Справедливы соотношения
t<Pni(x)=bni<Pni{x), Ар(х,А) = А<р(ж,А), £Ф(х,А) = АФ(х,А). (1.4.71)
<р(0, А) = 1, <//(0, А) = К и(Ф) = 1, У(Ф) = 0. (1.4.72)
Доказательство. 1) Используя (1.4.10), (1.4.18) и действуя так
же, как и при доказательстве леммы 1.4.5, получаем
Ua(ip(x,\)) = иа(ф,Х)) + Е({Фаы(\- {\ЦГа Ua{lfk0) ~
/с=0
{<р(х,\),ч>к\(х))
\х=а
«fci(A - Afci)
Uc
Та(Ч>к\)\ а = 0,тг, (1.4.73)
иа(Ф(х, А)) = иа{Ф{ху А)) + 2^(^ afc0(A - Afc0) Ua^™)
к=0
(Ф(х,А),^1(х))|х=а
afci(A - Afci)
U(
ra(</>fc,)), а = 0,тг, (1.4.74)
где £/o = U, Un = V. Так как (£(х, А),<^(х))|х=0 = 0, то из (1.4.10)
и (1.4.73) при х = 0 вытекает, что <р(0, А) = 1, t/o(^) — 0» и>
следовательно, <р'(0. A) = h. В (1.4.74) положим a = 0. Так как [/0(<р) = 0, то
приходим к соотношению (7о(Ф) = 1.
2) Для доказательства (1.4.71) предположим сначала, что
П, := (£((* + 1 )2^)2) '/2 < оо. (1.4.75)
к=0
В этом случае из (1.4.60) дифференцированием можно получить
Н"(х) = (Е-Н(х))Н"(х)(Е-Н(х))-
- Н'(х)Н'{х)(Е - Н(х)) -(Е- Н(х))Н'(х)Н(х). (1.4.76)
Из (1.4.30), (1.4.56) и (1.4.61) вытекает, что ряды в (1.4.76) сходятся
абсолютно и равномерно при х Е [0,7г], Нп^(х) € С2[0,7г] и
№.fej(*)| <С(п + *+1)&. (1.4.77)
Далее, используя (1.4.59), вычисляем
1фы(х) = Цпг{х) + ^Ны,ф)1фф) +
+ 2'£KiMj(x)tfkj(x) + ^Кг^ШФ)- (1-4.78)
k.j k,j

82 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Так как £{pni{x) = Ki<Pni{x), то
tyno(x) = Ko$no{x) +Хп(Ко ~ A„i)£ni(x), £фп\(х) = A„i^ni(x)
и, следовательно, £ipni(x) G С[0,7г], \£фт{х)\ < С(п+ I)2, (п,г) G V.
Отсюда и из (1.4.57), (1.4.61), (1.4.65), (1.4.77), (1.4.30) выводим, что
ряды в (1.4.78) сходятся абсолютно и равномерно при х G [0,7г], причем
$фп{(х) G С[0,тг], \1фщ(х)\ < С(?г+ I)2, (п,г) G V.
С другой стороны, из доказательства леммы 1.4.8 и из (1.4.75)
вытекает, что в нашем случае q(x) -q(x) G С[0,7г], и поэтому £4>ni(x) G
G С[0,тг], |^ni(z)| < С(п+ I)2, (п,г) G V. Вместе с (1.4.67) это
приводит к соотношениям
tifniix) G Ср.тг], \e<pni(x)\ < C(n+ I)2,
|^по(ж) - tynl(*)| ^ Cfnfa + I)2, (п, 0 G К
Используя (1.4.19), вычисляем
оо
-£nifr)+g(s)£mfc)=^nifc) + ]P
fc=0
оо
- 2<Ры(х) Х)(—<Рьо(х)<р'ко(х) ~ —£fci(s)<p'fcl(x)) -
к=0
оо
Е( {<Pni(x)<Pk0(x))'<pk0(x) (<Рш(х)(рк\(х)У(рк\(х)).
\QfcO &kl /
А:=0
С учетом (1.4.21) и (1.4.25) выводим
оо
t<Pni(x) = £yni(x) + ^2(?ni,ko{x)t<Pko(x) - Ршм(х)£<Рк\{х)) +
к=0
оо
+ Уд—{<Рш{х),<Рко(х))<Рко(х) {<Pni(x),<Pk\(x))<Pk\(x)).
/с=0
(1.4.79)
Используя (1.4.10) и (1.4.18), вычисляем аналогично:
Ър{х, А) = е<р{х. А) +
+ f(^^^o(x)) (х) _ №(*А).^(х)) Л +
f-A afco(A-Afco) Qfci(A-Afci) /
fc=0

§ 1.4. Метод спектральных отображений
83
оо
- —(ip(x,\),Vki(x))<Pki(xj), (1.4.80)
Ш{х,Х)=№(х,\) +
к=0
^oVQfc0
- —(Ф(х,Л),^1(х)>^,(х)). (1.4.81)
Из (1.4.79) вытекает
оо
Kifiniix) = l<Pni(x) + Y^ynitk0(x)t(Pko(x) ~ Рм,к\(х)£<Рк\(х)) +
fc=0
оо
+ 5д(Ат - >Чсо)Рп%,ко{х)<Рко(х) ~ (Am ~ Afcl)Pni,fcl 0*0v?fcl (x) J ,
/c=0
и, следовательно, приходим к (1.4.37), где 7m 0*0 •= ^т0*0 —
-Am<£m(z)- Тогда верно (1.4.36), где
/?ni0*0 =7m(x), /?no0*0 = ХпЫо(х)-чП1(х)), Xn := | о ' £n = o'
Кроме того, \jni(x)\ < C(n + l)2, bno(x) - 7ni(s)| ^ C£n(n + l)2,
и, следовательно,
|Щ(С(п+1)! (1.4.82)
Из (1.4.36), (1.4.30), (1.4.82) и (1.4.75) вытекает
k.j к=0 ' '
Так как ^ , j
(n+I)(|n-fc|+l) ^ ''
то имеет место оценка
оо
|A,i(x)| ^ C(n+ l)E(fc+ 0& < С(п+ 1). (1.4.83)
fc=0

84 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Используя (1.4.83) вместо (1.4.82) и повторяя рассуждения, выводим
|/М*)| < Е \НыМ*Шх)\ < cjr j£±^ ^ а
k,j к=0 ' '
Тогда, в силу леммы 1.4.6, /3ni(x) = 0 и, следовательно, 7т(я) = 0.
Таким образом, £(pni(x) = Anj</?m(#)- Далее, из (1.4.80) вытекает
А£(х, Л) = 1ф(х% A) +
00 /~
+ E(M^#Ww.o(x) - №;f"(fAtl,t,(x)) +
oo ^
fc=0
oo
fc=0
_<fl,A),ft,(«)) (A_Afc[} ( Л
afci(A-Afci) /
Отсюда, в силу (1.4.10), следует, что #р(х, А) = А<^(х, А).
Аналогично, используя (1.4.81), получаем: №(х,А) = АФ(х,А). Таким образом,
(1.4.71) доказано для случая, когда имеет место соотношение (1.4.75).
3) Рассмотрим теперь общий случай, когда выполняются
соотношения (1.4.3). Выберем числа {pn,(j)>an,(j)}n^0i 3 ^ 1» так> чтобы
1/2
П1.о-):=(Е(*+1)2&.о))2) <™<
к=0
OO j in
fio.O') := (Л((* + ^^.О))2) -" ° ПРИ 3 ~> °°'
fc=0
где
Cfc.(j) := IPfc.O) ~ ?*l + lQ*.0") ~~ <*fcl» ^fc.O) := \Pk,(j) - Рк| + 1аМЯ - ttfc|.
При каждом фиксированном j ^ 1 решаем соответствующее основное
уравнение _ _
^yj(x) = (Я + Я0)(х))^о)(х),
а затем строим функции </?^)(х,А) и краевые задачи L(q^(x),h^j),H^).
Используя лемму 1.3.1, можно показать, что
lim \\q{j) - q\\L2 = 0, lim h{j) = ft,
j—>oo j—*oo
lim max \(р(~\(х,\) — <£>(x,A)| = 0. (1.4.84)
j—><X> 0^X^7T

§ 1.4. Метод спектральных отображений
85
Через <ро(х,\) обозначим решение уравнения (1.1.1) при условиях
(ро(0, Л) = 1, <£>о(0, А) = h. В силу леммы 1.3.3
lim max |у?(7-)(ж, А) — <ро(х, А)| = 0.
Сравнивая это соотношение с (1.4.84), заключаем, что <ро(ху\) =
= ip(x,\), т.е. £tp(x,\) = A</?(xfА). Аналогично получаем: £Ф(х, А) =
= АФ(я,А).
4) Обозначим Д(А) := V(<p). Из (1.4.73) и (1.4.74) при а =^ тг
вытекает
°° '(£(z,A),<^0(:r)). л
Д(А) - Д(А) + LI a,o(A-Afc0) A(Afc°} "
, а^о(А - А^о)
fc=0
(£(х,А),£ы(я))|;
o,^) + f('I'Ia>'ff>;-"A(AM)-
f—X V o;fco(A-Afco)
fc=0
(Ф(х,А),£ы(х)),х=7Г
afci(A - Afci)
В (1.4.85) положим A = Ani :
Д(АЛ1)). (1.4.86)
oo
A(Ani) + ^(ДилоМДСАи,) - Pniifci WA(Afci)) = 0.
fc=0
Так как Pni.fciM = $nk, то получаем: Sb=o-Pni,fco(^)A(Afco) = 0. В силу
леммы 1.4.6 отсюда заключаем, что Д(А^о) = 0, k ^ 0. Подставляя это
выражение в (1,4.86) и используя соотношение (Ф(х, A),^i(x))|x=7r =
= 0, получаем: У(Ф) = 0, т.е. (1.4.72) доказано. Отметим, что
дополнительно доказано, что Д(АП) =0, т.е. числа {Хп}п^о являются
собственными значениями задачи L. □
Из (1.4.18) при х = 0 вытекает
М(А) = М(A) + V( * , , * , Л
f-Aafc0(A- А^о) afci(A-Afci)/
Согласно теореме 1.2.6 М(Х) = YlT=o—71—\—\» и' следовательно,
Ckfci (Л — Afci)
1
^ afc(A-Afc)
fc=0

86 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Таким образом, числа {An,an}n^>o являются спектральными
данными построенной краевой задачи L. Отметим, что если
выполняется (1.1.23), то можно выбрать модельную задачу L = L(q(x),h,H)
с q(x) G W^ так, чтобы {nN+l£n} G h, и получить q(x) G W^ - Это
рассуждение завершает доказательство теоремы 1.4.2. □
Пример 1.4.1. Пусть Лп = п2 (п ^ 0), ап = п/2 (п ^ 1), и пусть
ао > 0 — ^произвольное положительное число. Выберем L так, чтобы
q(x) = 0, h = Н = 0. Тогда Лп = 0 (п ^ 0), ап = - (п ^ 1) и 5о = 7г.
Обозначим а := . Ясно, что a > —. Тогда (1.4.19) и (1.4.21)
ао 7Г 7Г
дают: 1 = (1 + ax)ipoo{x), во(х) = cupw{x), и, следовательно,
\ + ах \ -\- ах
Используя (1.4.25) и (1.4.26), вычисляем
q(x)= 2q2 2, Л = -а, Я = _2_ = 22°. (1.4.87)
(1+ах)2 1+атг тг
Согласно (1.4.10) имеем
, ч ч a sin рх
<£(#, Л) = cospx — —.
^v у р 1 -f ах р
1.4.3. Несамосопряженный случай. В несамосопряженном
случае теорема 1.4.1 остается верной, т.е. по необходимости основное
уравнение (1.4.33) однозначно разрешимо. Следовательно, результаты
п. 1.4.1 остаются верными и в несамосопряженном случае. Однако
доказательство достаточности в теореме 1.4.2 должно быть
скорректировано, так как в общем случае лемма 1.4.6 не работает. В
несамосопряженном случае мы должны требовать разрешимости основного
уравнения (см. условие Р теоремы 1.4.3). Как будет показано в примере
1.4.2, условие Р является существенным и не может быть опущено.
С другой стороны, мы представляем классы операторов, для которых
однозначная разрешимость основного уравнения может быть доказана.
Рассмотрим краевую задачу L вида (1.1.1)-(1.1.2), где q(x) G
G ^2(0,7г) —комплекснозначная функция, /i, Н — комплексные числа.
Для упрощения выкладок ограничимся случаем, когда все нули
характеристической функции Д(А) являются простыми. В этом случае будем
говорить, что L G V. Если L G Vу то
an^0, \пф\к{пфк)щ (1.4.88)
и имеют место асимптотические формулы (1.3.8).
Теорема 1.4.3. Для того чтобы комплексные числа {An, an}n^o
были спектральными данными для некоторой задачи L(q(x),h,H) G
G V с q(x) G 1/2(0,7г), необходимо и достаточно, чтобы
1) имели место соотношения (1.4.88) и (1.3.8);
2) (условие Р) при каждом фиксированном х G [0,7г] линейный огра-

§ 1.4. Метод спектральных отображений
87
ничейный оператор Е + Я(х), действующий из т в га, имел
ограниченный обратный. Здесь задача L Е V выбрана так, чтобы и = uj.
Краевая задача L(q(x),h,H) строится по алгоритму 1.4.1.
Доказательство теоремы 1.4.3 в основном повторяет доказательство
теоремы 1.4.2; только лемма 1.4.6 должна быть опущена.
Пример 1.4.2. Рассмотрим пример 1.4.1, но теперь пусть qq —
произвольное комплексное число. Тогда основное уравнение обратной
задачи принимает вид
1 = (1 +аж)у>оо(ж),
а условие Р означает, что 1 + ах ф 0 при всех х Е [0,7г], т.е.
а £ (-со, — 1 /7г]. Следовательно, условие Р выполняется тогда и только
тогда, когда а$ £ (—оо,0]. Таким образом, числа {n2,an}n^oi ап —
= 7г/2 (n ^ 1) будут спектральными данными тогда и только тогда,
когда Qo ^ (-оо,0]. Краевая задача строится согласно (1.4.87). Для
самосопряженного случая имеем: ао > 0, и условие Р всегда
выполняется.
В теореме 1.4.3 одним из условий, при которых произвольные
комплексные числа {An,an}n->o будут спектральными данными для
краевой задачи L вида (1.1.1), (1.1.2), является требование, чтобы
основное уравнение было однозначно разрешимо (условие Р). Это условие
в общем случае труднопроверяемо. В связи с этим важным является
описание классов операторов, для которых однозначная разрешимость
основного уравнения может быть проверена. Здесь мы укажем три
таких класса, часто встречающиеся в приложениях.
(i) Самосопряженный случай. В этом случае условие Р
выполняется автоматически (см. теорему 1.4.2).
(ii) Конечномерные возмущения. Пусть дана модельная краевая
задача L со спектральными данными {An,an}n^o- Изменим
конечное подмножество этих чисел. Другими словами, рассмотрим числа
{An,an}n^o такие, что Ап = Ап и ап = ап при п > JV, а в остальном
произвольные. Тогда, согласно (1.4.19), основное уравнение становится
линейной алгебраической системой:
N
$ni{x) = <Pni{x) + ^(/nt,Jfc0(z)Vfc<>(s) ~ Pni,k\(x)<Pk\(x)),
fc=0
n = 0,N, i = 0, 1, xe [0,тг],
а условие P является условием отличия от нуля определителя этой
системы при всех х Е [0,7г]. Такие возмущения весьма популярны
в приложениях. Отметим, что в самосопряженном случае определитель
всегда отличен от нуля.
(Ш) Локальная разрешимость основного уравнения. При малых
возмущениях спектральных данных условие Р выполняется
автоматически. Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 1.4.4. Пусть дана задача L = L(q(x),h,H) Е V.
Существует 5 > 0 (зависящее от L) такое, что если комплексные

88 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
числа {Хп, ап}п^о удовлетворяют условию Q < 5, то существует
единственная краевая задача L(q(x),h,H) Е V с q(x) £ Ьг(0,7г),
для которой числа {Хп, ап}п^о являются спектральными данными,
причем _
119 - 9lU2(o.7r) < СП, \h-h\< СП, \Н-Н\< СП, (1.4.89)
где С зависит только от L.
Доказательство. Здесь^С будет обозначать различные
константы, зависящие только от L. Так как П < оо, то имеют место
асимптотические формулы (1.3.8). Выберем So > 0 так, чтобы в случае,
если Q < 5о> выполнялись соотношения (1.4.88). В силу (1.4.32)
к
Выберем 5 ^ 5о так, что в случае, если Q < 5, ||Я(х)|| ^ 1/2 при
х е [0,7г]. Тогда существует обратный оператор (Е + Н(х))~1, причем
\\(Е + #(х))-1|| < 2. Таким образом, выполняются все условия теоремы
1.4.3. В силу теоремы 1.4.3 существует единственная краевая задача
L(q(x),h,H) £ V, для которой числа {Лп, ап}п^о являются
спектральными данными. Кроме того, верны соотношения (1.4.68), (1.4.69).
Повторяя теперь рассуждения из доказательства леммы 1.4.8, получаем
max \е0{х)\ ^ СП, ||£(х)||ь2(о,7г) ^ СП.
Вместе с (1.4.25)-( 1.4.26) это дает (1.4.89). □
Аналогичным образом можно исследовать устойчивость решения
обратной задачи в равномерной норме; точнее, справедливо следующее
утверждение.
Теорема 1.4.5. Пусть дана задача L = L(q(x),h,H) Е V.
Существует S > О (зависящее от L) такое, что если
комплексные числа {Лп, ап}п^о удовлетворяют условию П\ < 5 (П\
определена в (1.4.75)), то существует единственная краевая задача
L(q(x),h,H) Е V, для которой числа {Хп, ап}п->о являются
спектральными данными. Кроме того, функция q(x) - q(x) непрерывна
на [0,7г] и
max \q-q\ <СП{, \h-h\ <СПи \Н - Н\ < СПХ,
где С зависит только от L.
Замечание 1.4.4. Используя метод спектральных отображений,
можно решать обратную задачу не только в 1/2(0,7г) и 1^(0,7г), но
также и для других классов потенциалов. Сформулируем, например,
следующую теорему для несамосопряженного случая.
Теорема 1.4.6. Для того чтобы комплексные числа {Лп, ап}п^о
были спектральными данными для некоторой краевой задачи

§ 1.5. Метод эталонных моделей
89
L(q(x),h,H) € V с q(x) € D С L(0,7г), необходимо и достаточно,
чтобы
1) выполнялось соотношения (1.4.88); _ _ _
2) (асимптотика) существовала краевая задача L = L(q(x),h,H) Е
е V с q(x) £ .D такая, что {n£n} G /г;
3) (условие Р) при каждом ^фиксированном х £ [О,7г] линейный
ограниченный оператор Е + Я(х), действующий из т в т, имел
ограниченный обратный;
4) £(ж) g А где функция е(х) определена в (1.4.21).
Краевая задача L(q(x),h,H) строится по алгоритму 1.4.1.
§ 1.5. Метод эталонных моделей
В методе эталонных моделей строится последовательность модельных
операторов, которые приближают в некотором смысле искомый оператор и
позволяют строить потенциал «шагами». Метод дает эффективный алгоритм
решения обратной задачи и имеет широкую область применения. Он применим
для многих важных классов обратных задач, когда другие методы оказываются
неприменимыми. Например, в [258] исследовались так называемые неполные
обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда
только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения
и имеется априорная информация об операторе или его спектре. В [276] метод
эталонных моделей применялся при решении обратной задачи для систем
дифференциальных уравнений с нелинейной зависимостью от спектрального
параметра, а в [262] — для исследования интегродифференциальных
операторов. Этот метод также использовался для решения обратной задачи теории
упругости [261].
Однако метод эталонных моделей работает при довольно жестких
условиях на оператор. Например, для оператора Штурма-Лиувилля метод
работает в классах аналитических или кусочно-аналитических на отрезке [0,7г]
потенциалов. Метод также работает для более общих классов потенциалов,
например в классе кусочно-операторно-аналитических функций (см. [82]) или в
других классах функций, которые могут быть разложены в ряды, обобщающие
ряды Тейлора. В этом параграфе идея метода эталонных моделей показана
на простейшем примере операторов Штурма-Лиувилля. Чтобы не
загромождать изложения, мы ограничимся случаем, когда потенциал q(x) краевой
задачи (1.1.1)-(1.1.2) является аналитической на [0,7г] функцией. Другие, более
сложные применения метода эталонных моделей изложены в [250, 258].
1.5.1. Вспомогательные утверждения. Пусть функция Ф(х,А)
является решением Вейля уравнения (1.1.1) при условиях £/(Ф) =
= 1, У(Ф) = 0, и пусть М(Х) := Ф(0, А) — функция Вейля для краевой
задачи L (см. п. 1.2.4). Из нескольких равносильных формулировок
обратных задач, введенных в § 1.2, рассмотрим здесь для определенности
обратную задачу 1.2.4 восстановления L по функции Вейля.
Пусть задана функция Вейля М(Х) краевой задачи L. Наша цель —
дать конструктивную процедуру построения потенциала q(x), который

90 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
является аналитической функцией на [0,7г] (для упрощения выкладок
считаем, что коэффициенты^ h и Н известны). Возьмем некоторую
модельную краевую задачу L = L(q(x),h,H) с аналитическим
потенциалом q(x). Так как
-Ф"(х, Л) + (?(х)Ф(х, Л) = АФ(х, Л), -Ф"(:г, Л) + я(х)Ф{х, А) = АФ(я, Л),
то (q(x) - 9(ж))Ф(х,А)Ф(х,А) = (Ф;(х, А)Ф(х, А) - Ф(х, А)Ф'(*. А))7,
и, следовательно,
?(х)Ф(х,А)Ф(х,А)йх = М(А),
(1.5.1)
где q{x) = q(x) - q(x), М{\) = М{\) - М{\).
Изучим асимптотику слагаемых в (1.5.1). Сначала докажем
вспомогательное утверждение. Обозначим Q — {р : argp G [6q,tt — Sq]}, <5о >
> 0. Тогда существует €q > 0 такое, что
|Imp| ^е0\р\ при ре Q.
Лемма 1.5.1. Пусть
(1.5.2)
г(х) = |г(7 + р(х)), #(x,p)=exp(2ipx)(l + i^), xg[0,o],
где р(х) € С[0, а], р(0) = 0, а функция £(х,р) непрерывна и
ограничена при х € [0, а], р € Q, \р\ ^ р*. Тогда при р —* оо, р £ Q:
г(х)Я(х,р)Л:=-^{^(7 + 0(1)).
(2гр)
Доказательство. Разобьем интеграл на три слагаемых:
а
(2tp)*+l(-l)* fr(x)H(x,p)dx = h{p) + /2(р) + /3(р),
о
а
7,(р) := l(2ip)k+x (-1 )fc | ^ ехр(2грх) dx,
о
а
/2(р) := (2v)fc+l(-l)fc|^p(x)exp(2tp2:)dxf
о
а
h{p) := (2i)fc+1(-p)fc|r(x)exp(2vxK(x,/9)dx.

§ 1.5. Метод эталонных моделей
91
Так как
— ехр(2грх) dx = ——{-гг,
peQ,
то 1\{р) - 7 —> 0 при \р\ —> оо, р е Q.
Далее, возьмем е > 0 и выберем 5 = 5(e) так, чтобы при х е [О, S]
\р{х)\ < п^о + 1' Где £® определено в (1.5.2). Тогда, используя (1.5.2),
вычисляем
\12(р)\ < |(2|p|£0)fc+1
— ехр(-2е0\р\х) dx +
+ (2|p|)fc+I
/с!
\р(х)\ехр(-2ео\р\х)dx <
а—6
<£- + (2\p\)k+lexp(-2e0\p\6)
^х \р(х + 5)\ ехр(-2е0\р\х) dx.
В силу произвольности е получаем, что ^{р)
Так как |(7 + р(х))£(х, р)\ < С, то при \р\ -
а
J и
|/з(р)| < С|р|Ч ^exp(-2e0\p\x)dx <
> 0 при |р| —> оо, р е Q.
оо, р £ Q имеем
О,
bkS
fc+i
и лемма 1.5.1 доказана. □
Предположим, что при некотором фиксированном к ^ О
коэффициенты Тейлора qj := <з^(0), j = О, fc— 1, уже вычислены. Выберем
модельную краевую задачу L так, чтобы первые к коэффициентов
Тейлора функций q и q совпадали, т. е. ц = qj, j = 0, к — 1. Тогда,
используя (1.5.1) и лемму 1.5.1, можно вычислить следующий коэффициент
Тейлора qk = q^k\0). Точнее, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.5.2. Зафиксируем к. Пусть функции q(x) и q(x) анали-
тичны при х 6 [0, а], а > 0, причем qj := qj — q3; = 0 при j = О, к — 1.
7Ъгда
*' м* i;~ ">-'^*+3М(А). (15.3)
9fc
(-1)* lim (2ip)*
4 IpI — эс
Доказательство. Из (1.1.10), (1.1.16) и (1.2.9) вытекает
lexp(vx)(l+0(^
Ф(х,А) = 1ехр(г^)(1+0(1)).

92 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Следовательно, учитывая (1.5.1), получаем
7Г
М(А) = \с[(х)Ф(х,\)Ф(х,\)<1х =
о
а
^(^)(0) + p(x))-^exP(2zpx)(l + ^) dx +
+
д(х)Ф(х, А)Ф(х, A) dx.
Используя лемму 1.5.1, получаем при \р\ —> со, р е Q :
л7(Л) = (ад^(^)(0)+о(1))'
и лемма 1.5.2 доказана. П
1.5.2. Решение обратной задачи. Опираясь на
вышеприведенные факты, приходим к следующему алгоритму решения задачи 1.2.4
в классе аналитических потенциалов.
Алгоритм 1.5.1. Пусть задана функция Вейля М(\) краевой
задачи (1.1.1, (1.1.2) с аналитическим потенциалом.
(i) Вычисляем qk = q^(0), k ^ 0. Для этого последовательно при
к = 0,1,2,... выполняем следующие операции: строим модельную
краевую задачу L с аналитическим потенциалом q(x) такую, что
qj = qj, j = 0,к — \, и вычисляем qk = qW(0) по формуле (1.5.3).
(и) Строим функцию q(x) по формуле
ОС к.
q{x) = }^qk — , 0<х<Д,
к\
к=0
где 1/К
*-(Е№)7
Если R < 7г, то при R < х < it функция q(x) строится по
аналитическому продолжению или методом шагов, описанным в
замечании 1.5.1.
Замечание 1.5.1. Метод эталонных моделей работает также
и в классе кусочно-аналитических потенциалов. В самом деле, функции
ф(гп Ф(*>Л) м m _ ф(а>Л) = S(a,A) + M(A)y?(q,A)
а[ ' ; Ф'(а, А)' аК } Ф'(а, A) S\a, А) + М(\)<р'(а, А)
являются соответственно решением Вейля и функцией Вейля
для отрезка х G [а, 7г]. Предположим, что потенциал q(x) уже
построен на отрезке [0, а]. Тогда можно вычислить Ма(Х) и перейти
к интервалу [а, 7г].

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
93
§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
В этом параграфе излагается метод локального решения обратной задачи
1.2.2, позволяющий исследовать устойчивость решения. Не ограничивая
общности, будем рассматривать случай Н = 0. В этом методе, который был
предложен Боргом [44], обратная задача сводится к нелинейному интегральному
уравнению (см. (1.6.13)), которое может быть решено локально. Важную роль
в методе Борга играют произведения собственных функций рассматриваемых
краевых задач. Для вывода и исследования нелинейного уравнения Борга
используется полнота или базисность по Риссу в Ьг(0,7г) таких
произведений. Для теорем единственности достаточно доказать полноту произведений
(см. п. 1.2.3), а для локального решения обратной задачи и исследования
устойчивости ее решения нужна базисность по Риссу. Для удобства читателей
в п. 1.6.5 дается необходимая информация о базисах Рисса в гильбертовом
пространстве. Заметим, что для операторов Штурма-Лиувилля метод Борга
слабее, чем метод Гельфанда-Левитана и метод спектральных отображений.
Однако метод Борга иногда оказывается полезным, когда другие методы не
работают (см., например, [130, 150, 75, 262] и др.).
1.6.1. Вывод уравнения Борга. Пусть Xni = p2ni, п ^ 0, i =
= 1,2, — собственные значения краевых задач Li :
ey:=-y" + q(x)y = \y, (1.6.1)
1//(0)-М0)=1/(*"1)(тг)=0, (1.6.2)
где q(x) G 1/2(0,7г) — вещественная функция и /г — вещественное
число. Тогда (см. § 1.1)
Pm = (n + -) + - + —, Рп2=п + - + —, (1.6.3)
7Г
{xni}E/2, a = ±(h + ±\q(t)dty
где
1 /2
Л := (^(lA"i ~ A"i!2 + 1Л"2 ~ АП2|2)) < 00.
Пусть Li и Li, i = 1,2, таковы, что а = а. Тогда
|Ani - Ani|* + |АП2 - АП2|* 1J
Обозначим
Ут(х)=^{хЛпг), Уш{х)=&(хЛпг), Sni(x) = S(x,\ni), Sni(x) = S{x, Ani),
n jT f\ _ J S(xt\ni)C(tt\ni) - S(tt\ni)C(x,\ni)t 0 ^ t^ x < 7Г,
Ьпг{ХЛ)-<^ Q <КХ<*<7Г,
где (/?(x,A), C(x, А) и S(x, A) — решения уравнения (1.6.1) при
условиях С(0, А) = у>(0, А) = S'(0, А) = 1, С'(0, А) = 5(0, А) = 0, <//(0, А) = h.

94 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Так как £yni{x) = \ПгУы{х), £уы{х) = КгУш(х), то
r(x)yni(x)yni(x) dx = (yni(x)yni(x) ~ УпЛх)Ут(х)) dx =
о о
= (Ути{х)Упг(х) ~ УпЖх)Упг(х)}\о, (1.6.4)
где г := q — q. Положим
7Г
р = — - r(x)dx. (1.6.5)
о
Из равенства а = а вытекает, что р = h — hy и, следовательно, (1.6.4)
принимает вид
r(x)yni(x)yni(x) dx = yniWyJwM ~
-УпМУш(*)-р,п2 0, г =1,2. (1.6.6)
Так как уПг{х) являются собственными функциями краевых задач L^,
уп1(тг)=0, у;2(тг)=0, п^О. (1.6.7)
то
Далее, дифференцированием нетрудно проверить, что функция
Упг(х) удовлетворяет интегральному уравнению
7Г
yni{x)=yni{x)+psni(x) + Gni{xyt)r(t)yni(t)
dt,
О 0, г =1,2. (1.6.8)
Решая уравнение (1.6.8) методом последовательных приближений,
находим
Ут(х) = yni(x)+pSni(x) + Vni{x), п > О, г =1,2, (1-6.9)
где
Vm(x) = ^2
i=4
Gni(x,t\)Gni(t\,t2) •■•Gni(tj-\ttj) x
о о
з
х r(^)...r{tj){yni{tj) +psm(^)) d*i ... d*,. (1.6.10)

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
95
Подставляя (1.6.9)—(1.6.10) в (1.6.6) и используя (1.6.5) и (1.6.7),
получаем
r{x)£ni(x) dx = u>ni, п^О, г =1,2, (1.6.11)
где
£m(x) =Уы(х)- ^'
7Г
- pr(x)5ni(x)yni(x)dx
r(x)?/ni(a;)<£ni(:r)d:r,
Un2 = -^MforrtM -ЬР5П2(7Г) + ^п2(тг))
7Г 7Г
- pr(x)sn2(x)yn2(x)dx - r(x)yn2(x)<pn2{x)dx.
о о
Из (1.2.7) вытекает
х
£ni{x) = ^(cos2pnix + yi(x,£)cos2pni£<ftj, (1.6.12)
о
где Vi(x,£) — непрерывная функция. Введем функции {г}п(х)}п^о
и числа {zn}n^o по формулам
7?2п(я) = £n2(z). r/2n+i(a:) = £nl(z). ^2n = 2pn2, 22n+1 = 2/9ni.
Тогда, согласно (1.6.3) и (1.6.12), имеем
zn = n+l + ^, K}G/2,
n n
x
Vnix) — ~ (cosznx -f V\(x,t) coszntdt).
0
В силу утверждений 1.6.6 и 1.6.2 множество функций {rfo(x)}n^o
образует базис Рисса в L2(0,7г). Через {Хп(#)}п^о обозначим
соответствующий биортогональный базис. Тогда из (1.6.11) выводим
оо
?{х) = ^2[^п2Х2п(х) + ипХХ2п+\{х)у
п=0

96 Гл. /. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
и, следовательно, с учетом (1.6.5) имеем
г(ж) = /(ж)+]Г ... Hj(x,t\,. • • ,*j>(*i) •... • r{tj)dt\ ...dtjt (1.6.13)
■?=1 о о
где
/(*) = ^2(-Уп2(^)Уп2(тт)Х2п(х) + Уп1 МУШ (тг)х2п+1 (ж)), ( 1 -6.14)
71=0
оо
H\(x,t\) = Y^{~yn2M[Gn2(^,t\)yn2(t\) ~ ^Sn2{7T)jX2n{x) +
n=0
+ ynl(7r)(aG"^'fl)|^yTt,(f1)-la;,(7r))X2n + l(x)), (1.6.15)
Hj{x, *1 *j) = X3(— (yn2(tl) H- yn2(*)Gn2(n, *l)) X
n=0
x Gn2(^l,*2) •••Gn2(tj-2,^-l)
-|5n2(tj-i))x2n(a?)- (yni(*i)-2/niW—g* \ ) x
x Gn\(t\,t2) •••Gn\(tj-2^j-\)\Gn\{tj-\,tj)yn\(tj) -
-^nl(*i-l))x2n+l(x))f j^2. (1.6.16)
Уравнение (1.6.13) называется уравнением Борга.
Замечание 1.6.1. Для доказательства базисности по Риссу
системы функций {г)п(х)}п^>о мы использовали выше оператор
преобразования. Однако во многих случаях, когда метод Борга может быть
применен, оператор преобразования не работает. Ниже в п. 1.6.3
представлена оригинальная идея Борга, которая позволяет доказывать
базисность по Риссу произведений собственных функций без
использования оператора преобразования.
1.6.2. Основная теорема. Используя уравнение Борга, можно
доказать следующую теорему о локальном решении обратной задачи
и об устойчивости этого решения.
Теорема 1.6.1. Для краевых задач Li вида (1.6.1), (1.6.2)
существует 8 > 0 {зависящее от Li) такое, что если вещественные чис-

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
97
ла {An;}n^o> г = 1,2, удовлетворяют условию Л < 5, то существуют
единственные q(x) G L2(0,7г), Л, для которых числа {Ani}n^o, i = 1>2,
являются собственными значениями Li. Кроме того,
\\q - q\\L2 < СЛ, \h - h\ < СК. (1.6.17)
Здесь и в дальнейшем одним и тем же символом С обозначаются
различные положительные константы, зависящие от Li.
Доказательство. Существует 5\ > О такое, что если
вещественные числа {An;}n^o> i = 1.2, удовлетворяют условию Л < 6\,
то \ni ф Xkj при (п,г) ф (k,j) и
Ы*) ^ 0, уп1(тг) ф О при всех п > 0. (1.6.18)
В самом деле, согласно теореме 1.1.1, функции <р(ж, ЛП2)
являются собственными функциями краевой задачи L2, и ^Ч71"»^^) — 0»
^(тг» Ап2) т^ 0 при всех п ^ 0. Кроме того, в силу (1.1.9) и (1.6.3), имеем
¥>(тг, Ап2) = созптг + 0(1) = (-l)n + о(±).
Таким образом, |<^(7г, Ап2)| ^ С > 0. С другой стороны, используя
(1.3.11), вычисляем
</>(7Г> ^п2) - Р(7Г, An2) = (C0spn27r - COSpn27T) +
+
G(7r,t) (cos pn2£ — cos pn2£) dt,
и, следовательно, |</?(7г, An2) - <p(7r, An2)| < C|pn2 - pn2|. Тогда при
достаточно малом Л имеем
2/п2(тг) := </?(7г, Ап2) ^ 0 при всех п ^ 0.
Аналогично выводится второе неравенство в (1.6.18).
Нетрудно убедиться, что справедливы следующие оценки при п ^ 0,
г = 0,1, (КМ^тг:
Ых)|<С |уп1(тг)|<С(п+1), \дС^)\<С, \Gni(x9t)\<^-v
lltaMI <<?|An2-An2|, |уп1(тг)| < -xt|A„i -Anj|, KiWI < °
П+V '" Uir ,nn " 71+ 1
В самом деле, оценка |2/т(я)| < С следует из (1.1.9) и (1.6.3). Так как
^(тг>Ап2) = 0, то 2/п2(тг) = (р'(тг,\п2) -Ч>'{ъ,К2)- В силу (1.1.54)
<//(х, А) = -psinpx + G(x, x)cospx +
0G(:M) , ,,
—^—- cos pt dt.

98 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Поэтому
¥>'(*". К2) ~ ^(ТГ, Лп2) = ~Рп2 Sin рп27Г + Рп2 Sin рп27Т +
ас(х, t)
+ G(7T, £) (COS Рп27Г ~ COS рп27г) +
дх
(COS pn2£ — COS pn2t) dt,
и, следовательно, ly^MI < C\\n2 - An2|. Остальные оценки
устанавливаются аналогично.
Используя (1.6.14)—(1.6.16), получаем
H/II < СЛ, ||Я,|| < СЛ, ||#,-|| < С* (j > 2), (1.6.19)
где ||.|| — норма в L2 по совокупности аргументов. В самом деле,
согласно (1.6.14) имеем
оо
/(я) = ]Г)/пХп(ж),
где hn = -Уп2(п)Уп2(п), /2n+i = Уп№Уп\{*)- Тогда, используя
предыдущие оценки для yni(x), находим |/2п| ^ С|Ап2 - Лп2|, |/2n+i| ^
^ C|Ani — Ani|. В силу (1.6.58) это дает: ||/|| < СЛ. Остальные оценки
в (1.6.19) выводятся аналогично.
Рассмотрим в L2(0,7г) нелинейное интегральное уравнение (1.6.13)
и запишем его в виде: г = / + Агу где
оо
Аг = У^ Ajr>
(Ajr)(x) = ... ЯДя,t\,... ,tj)r(t\) ■... -r{tj)dt\ ...dtj.
о о
}
С учетом (1.6.19) получаем оценки
||Л,г|| < СЛ||г||, ||Л,г - АХЩ < СЦг - г\\,
IIVII < (СИУ, HV-^rll < \\г-Щ(Стах{\\г\Ш\))'~\
j>2, H/II <СЛ. (1.6.20)
Зафиксируем С ^ 1/2 так, чтобы имели место оценки (1.6.20). Если
||г|| < (2С)-1, ||г|| < (2С)-1, то из (1.6.20) вытекает
||У1г|| <СЛ||г|| +2C2||r|j2.
\\Аг - Аг\\ < С\\г - г||(л + 2max(||r||, ||гЦ)).

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи 99
Кроме того, если Л ^ (4С)_|, \\г\\ < (8С2)-1, ||г|| ^ (8С2)'1, то
||Лг|к1||г||, \\Аг-АЦ^1-\\г-г\\. (1.6.21)
Поэтому существует достаточно малое 5% > О такое, что если Л < $2,
то уравнение (1.6.13) может быть решено методом последовательных
приближений:
г0 = /, гк+{ = f + Агк, к ^ О,
оо
г = г0 + ]Г(г*+1-гЛ)- (1.6.22)
fc=0
В самом деле, положим ^ = (16С3)-1. Если Л < #2, то ||/|| ^ (16С2)-1,
Л ^ (4С)-1. Используя (1.6.21), получаем по индукции
||rfc|K 2||/||, ||rfc+1-rfcK ^tII/II. *>0.
Следовательно, ряд (1.6.22) сходится в 1/2(0,7г) к решению уравнения
(1.6.13). Кроме того, для этого решения верна оценка ||r|| ^ 2||/||.
Пусть 5 = min(5i, 62), и пусть г(х) — построенное выше решение
уравнения (1.6.13). Определим р по формуле (1.6.5) и q(x), h —
по формулам: q = q + г, h = h + р. Тем самым мы построили краевые
задачи L{. Ясно, что имеют место ^оценки (1.6.17).
Осталось показать, что числа {Ani}n^o являются собственными
значениями для построенных краевых задач Li. Для этой цели рассмотрим
функции yni{x), которые являются решениями уравнения (1.6.8). Тогда
верны соотношения (1.6.9), (1.6.10). Ясно, что
-Упг(х) + q(x)yni(x) = \niVni(x), Vni(0) = 1, Vni(0) = ft,
и, следовательно, имеет место (1.6.6). Далее, умножая (1.6.13)
на Г7п(х), интегрируя по х и учитывая (1.6.9), (1.6.10), получаем
7Г
г
r(x)yn\(х)уп{(х)dx = упХ(-к)у'п{(тг) -р,
о
7Г
г
r(x)yn2(x)yn2(x) dx = -Уп2(п)Уп2(п) -Р-
о
Сравнивая эти соотношения с (1.6.6) и используя (1.6.18), заключаем,
что верны равенства (1.6.7), т\е. функции yni(x) являются
собственными ^функциями, а числа {Ani}n^o — собственными значениями
для Li. Единственность следует из теоремы Борга (см.
теорему 1.2.4). □

100 Гл. /. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
1.6.3. Случай краевых условий Дирихле. Результаты,
аналогичные вышеприведенным, верны также и для краевых условий Дирихле;
в этом пункте мы докажем соответствующую теорему (см. теорему
1.6.2). Наиболее интересной частью этого пункта является прием Борга
доказательства базисности по Риссу произведений собственных
функций (см. замечание 1.6.1).
Пусть Л^ = (р^)2, п ^ 1, i = 1,2, — собственные значения краевых
задач L® вида
-у" + q(x)y = Ay, q(x) G L2(0, тг), (1.6.23)
1/(0) = у(<-"1)(тг)=0 (1.6.24)
с вещественным потенциалом q. Тогда (см. §1.1)
оо х 1 ч о о
рп1-п + - + —, pn2-^ 2; + п+п.
о
Пусть L- и !•, г = 1,2, таковы, что а0 = а0. Тогда
оо 1 in
Л°:=(Е(1АОп--^.12 + 1Л«2-^12)) <о°
г(*)Л = 0, (1.6.25)
где г = q — q. Действуя так же, как и в п. 1.6.1, и используя те же
обозначения, получаем
r(x)sni(x)sni{x) dx = sni(ir)7ni(K) - s'ni(Tr)sni{Tr),
n>l, t = 1,2, (1.6.26)
5п|(тг) = 0, ?п2(тг) = 0, n^l, (1.6.27)
Sni\%) — Sni\%) т
Gni(x,t)r(i)sni(t)dt, n^\, г=1,2. (1.6.28)
Решая уравнение (1.6.28) методом последовательных приближений,
находим
sni{x) = sni(x) + ipni(x), (1.6.29)

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
101
где
7Г 7Г
1>ш(х) = $!•■■ Gni{xjt\)Gni(ti,t2)--Gni(tj-\,tj) х
J=1 о о
3
xr(fi)... r^Sniitj) dt\... dtj. (1.6.30)
Подставляя (1.6.29)-(1.6.30) в (1.6.26) и используя (1.6.27), вычисляем
7Г
\r(x)uni(x)dx = u„iy n^l, г =1,2, (1.6.31)
о
где и°пг{х) = 2n2s2ni(x),
7Г
^nl=2n2(5nl(7r)«l(7T)+^nl(7r))- r(x)5n,(x)^nl(^)^),
7Г
Ct;n2 = 2n2(-5n2(7r)(5n2(7r)-ft/;n2(7r))- r(x)sn2(x)^n2(x) dxj .
(1.6.32)
Введем функции {u„(x)}n^i и числа {шп}п^о по формулам
и2п{х) := м^(х), w2n-i(x) := u°2(s), ^2n := w°lf
cj2n-i := ^n2 (n ^ 0. ш0 := 0.
Тогда равенство (1.6.31) принимает вид
r(x)un(x) dx = un, n ^ 1.
(1.6.33)
Обозначим г>п(х) := ufn(x)/n, wn(x) := 1 - nn(x) (n ^ 1), г^о(х) := 1.
Используя результаты § 1.1, получаем асимптотические формулы
vn(x) = smnx + 0(-), wn(x) = cosnx + Of - J, п —> оо. (1.6.34)
В силу (1.6.25) и (1.6.33) имеем
r(x)wn(x) dx = — ujn, п ^ 0.
(1.6.35)

102 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Лемма 1.6.1. Каждое множество функций {vn(x)}n^\
и {wn(x)}n^o образует базис Рисса в 1/2(0,7г).
Доказательство. Здесь, как и выше, можно применять оператор
преобразования, но мы используем иной метод, который был предложен
Боргом [44].
Пусть q(x) € И^1, и пусть у — решение уравнения (1.6.23),
удовлетворяющее условию 2/(0) = 0. Аналогично, пусть функция у такова, что
—у" + q(x)y = Ay, у(0) = 0, где q(x) G W^. Обозначим и = уу. Тогда
и' = уу' + у'у, и" = -2Хи + {q + q)u + 2у'у\
и»> + 4\и' - (q + q)u' - (q' + $> = 2(qyy' + qy'y).
Отсюда, используя соотношения
2(<Ш/' + qy'y) = {q + q)u' + (q - q){yy' - у'у),
X
{УУ* ~ у'у){х) = (q(s) - q(s))u{s) ds,
о
выводим
и'" + АХи' - 2(q(x) + q{x))u' - (q'(x) + ?{х))и =
х
= (я(х) ~ q(x)) {q{s) - q{s))u{s) ds.
0
Обозначим v = и'. Так как и(0) = и'(0) = 0, то v(0) = 0, и(х) =
= Jq v(s) ds и, следовательно,
-v" + 2{q(x)+q{x))v +
N(x,s)v{s)ds = 4\v, (1.6.36)
где
N(x, s) = q'{x) + У(х) + (g(x) - q{x))
(Ш)-я(О)^.
В частности, при q = q заключаем, что функции {vn(x)}n^\ являются
собственными функциями краевой задачи
х
-v" + p(x)v + М(х, s)v(s) ds = 4Аг>, v(0) = v(7r) = 0,

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
103
где р(х) = 4g(x), М{х, t) = 2q'(x). Тогда для последовательности
{vn{x)}n^\ существует биортогональная в 1/2(0,7г) последовательность
({vn(x)}n^\ (Vn(x) — собственные функции краевой задачи
7Г
(x)v* + [
-v*" +p(x)v* + M(s,x)v*{s)ds = 4А«*. v*{0) = v*(tt) = 0).
X
В силу (1.6.34) и утверждения 1.6.4 это означает, что система функций
{vn(x)}n^\ образует базис Рисса в £/2(0,7г).
Покажем теперь, что система функций {wn(x)}n^o полна в 1/2(0, п).
В самом деле, предположим, что
г
f{x)wn(x)dx = 0, О 0, f(x) е L2(0,7r).
В частности, это дает Jq f(x) dx = 0, и, следовательно,
г
f(x)un(x) dx = 0, п ^ 1.
Интегрируя по частям и используя соотношения vn(0) = vnM = 0,
вычисляем
I vn(z)dx[/(*)<ft = 0, n
>1.
Система функций {vn(x)}n^>\ полна в L2(0,7г). Поэтому $* f{t)dt = 0
при ж £ [0,7г], т. е. /(ж) = 0 п. в. на (0,7г). Тем самым доказано, что
система функций {wn(x)}n^o полна в 1/2(0,7г). Кроме того, в силу (1.6.34)
последовательность {wn(x)}n^o квадратично близка к базису Рисса
{cosnx}n^o. и поэтому, согласно утверждению 1.6.5, {wn(x)}n^Q —
базис Рисса в L2(0,7г). □
Замечание 1.6.2. С помощью (1.6.36) можно также доказать
полноту произведений собственных функций sni(x)sni(x) и тем самым
получить другой метод доказательства теоремы единственности Борга
(см. § 1.2), без использования оператора преобразования.
Через {Vnix)}n^\ и {w*(x)}n^o обозначим базисы, биортогональные
к {vn{x)}n^\ и {wn(x)}n^o соответственно. Тогда из (1.6.35) выводим
(теми же рассуждениями, что и в п. 1.6.1):
00 Г
r(x)=/°(x) + Jj ...#°(х>*!,...,t0)r{tx)-...-r^3)dtx...dtJ4 (1.6.37)
;=iJo

104 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
где
/0(Х) = "^^KlW^lW^nW -з'п2(Фп2НУ$п-\(х))>
п=\
оо
я?(х,<1) = -Е2п2(^|(7г)
п=1
dGn\(x,t\)
дх
Sn\(U)V2n(x)
оо
п=1
- 5п1 (*1) j Gn\ (U, t2) ... Gnl (*j-b *j)«nl {tj)v2n(x) -
... X Gn2(tj-\,tj)Sn2(tj)v2n-{(x)j, j ^ 2.
Используя нелинейное уравнение (1.6.37) и действуя так же, как и
в п. 1.6.2, приходим к следующей теореме.
Теорема 1.6.2. Для краевых задач Lj вида (1.6.23), J1.6.24)
существует S > 0 такое, что если вещественные числа {А^}п^ь
г = 1,2, удовлетворяют условию Л° < 5, то существует
единственная вещественная функция q(x) Е 1/2(0,7г), для которой числа
{A^Jn^i, i = 1,2, являются собственными значениями задач Ь\.
Кроме того, \\q - q\\i2 < СЛ°.
Замечание 1.6.3. Используя базис Рисса {vn(x)}n^\y можно
также вывести другое нелинейное уравнение. В самом деле, обозначим
z(x) := $*r(t)dt. После интегрирования по частям равенство (1.6.33)
принимает вид
1 7Г
z(x)vn(x)dx = —-, п ^ 1.
п
Так как {vn(x)}n^\ и {v^(x)}n^\ — взаимно биортогональные базисы,
то
или
*(*) = £^<(*).
п=1
и>п d + /
г(0А^^(4 Г(х) = -^^^п(х).
п=\
п=1

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
105
Отсюда, в силу (1.6.30) и (1.6.32), получаем аналогично п. 1.6.1
00 Г Г
r(x) = /i(x) + ]T ... Яя(х^ь...,^)г(^1).....г(^)Л1...^,
з=1 о о
j
где
Hn(x,ti) =-Y,2n(sniW—дх
71=1
n=l
- Sn\(ti)jGn\(ti,t2) ■'■Gn\(tj-\^j)sn\{tj)-j^V2n(x) ~
~ (5n2(7r)Gn2K*l) + 5n2(*l))Gn2(*bt2) X •■•
... X Сп2(^--1,^)«п2(^)^2п-1(ж)). 3 > 2.
1.6.4. Устойчивость решения обратной задачи в равномерной
норме. Пусть ЛПг = p2ni> п ^ 0, г = 1,2, — собственные значения
краевых задач Li вида (1.6.1), (1.6.2), где q — вещественная непрерывная
функция, h — вещественное число. Собственные значения {АПг}
совпадают с нулями характеристических функций АДА) := </?(г_1)(7г, А),
г = 1,2, где <р(х,\) — решение уравнения (1.6.1) при условиях
р(0, А) = 1, (/(0, А) = h. Без ограничения общности в дальнейшем
считаем, что в (1.6.3) а — 0. Тогда, в силу (1.6.3), имеем
оо
£(|Pni - (п + 1/2)| 4- |рп2 - п|) < оо. (1.6.38)
п=0
Пусть краевые задачи L; выбраны так, что
оо
Ai := S(|A„i - Anl| + |An2 - An2|) < оо. (1.6.39)
71=0
Величина Ai будет характеризовать близость спектров.

106 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Теорема 1.6.3. Существует 5 > 0 (зависящее от Li) такое, что
если А\ < 5, то
max \q(x)-q(x)\ <СА\, |Л — Л| < CAi-
Здесь и в дальнейшем одним и тем же символом С будем
обозначать различные положительные константы, зависящие только от Li.
Докажем предварительно несколько вспомогательных утверждений.
Пусть
ап
y2{x,\n2)dx
— весовые числа для L2.
Лемма 1.6.2. Существует 5\ > 0 такое, что если А\ <5\, то
оо
^2\ап-ап\<САх. (1.6.40)
п=0
Доказательство. Согласно (1.1.38)
an = -A2(An2)A,(An2), А2(А) := ^Д2(А). (1.6.41)
Функции ДДА) являются целыми по А порядка 1/2, и, следовательно,
по теореме Адамара [240, с. 259]
Д,(А) = ДГ1(1-А) (1.6.42)
fc=0
(случай, когда А = 0 является собственным значением Li вносит
незначительные изменения). Тогда
АДА) _ Bj_ т-т Afc^ ТТЛ . Afcj - Afci\
д4(А) - в, и л„ nv + лы - л ;•
Так как
~ оо ~
Д*(Л) _ 1 !:„, ТТ (\ jl Л^ ~~ Л^
А — ооДг(А)
к=0
'• Л^Ш' + ^Т)-'.
ТО
Далее, из (1.6.42) вытекает
A,(^)-*n(i-£)
ОО

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
107
Поэтому, учитывая (1.6.43), вычисляем
А2(АП2) _ ТТ Afc2 — АП2
Тогда в силу (1.6.41)—(1.6.43)
A2(An2) f}0 Afc2 - An2
£-П"-«>П<'-«2>- «»йй5 + ёй5-,l644>
fc=0 ^=о
k^n
Обозначим
OO CX)
^Eia + EiCi-
k=0 *=o
Тогда
1 Afci - Afci| [An2 — An2|\
л i. nJA*i-~An2| |Afci-An2|/
n=0 n=0 fc=0
_L V^ V^ ( [Afc2 — Afc2[ _|_ |An2 — An2[\ ^
n Г^Л lAfc2 ~ Л»21 lAfc2 ~ A^l ' ^
n=0 fc=0
кф1Х
OO OO OO
<E |A»2-A„2|(2^ ' + £ ' ) +
л ^ f-f|Afc2-An2| f-^ |Afci - An2|/
n=0 fc=0 fc=0
OO OO
+EiAnI-A„>iEld^i- (1-645)
n=0 fc=0
Используя асимптотику собственных значений (см. § 1.1), получаем
1 ^ с ии
|Afc2-An2| \к2-п
Так как
00 1
то
Ss^i*'- "»'•
Ей > I<а <'-6-46>
^ |Afc2 - Ап2|
кфъ

108 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Аналогично доказывается, что
оо
у( L_
fc=0
+
1
|Ani — Л
<С.
fc2|
(1.6.47)
Из (1.6.45)—(1.6.47) вытекает оценка
(1.6.48)
п=0
Выберем 8\ > 0 так, что если Ai <6\, то вп < 1/4. Так как при |£| < 1/2
к=\
к=\
то из (1.6.44) следует, что
In
^k£ilnd -«O + Eimi -e2)i<2e-
fc=0
fc=0
Используя свойства In, получаем:
< 40n, или \an -an\< C0n.
Учитывая (1.6.48), приходим к (1.6.40). □
Лемма 1.6.3. Существует $2 > 0 такое, что если Ai < 82, то
\G(x,t) - G{x,t)\ < CAU 0 ^ х ^ t^ тг, (1.6.49)
№>Ап1)£(тг,Ап1)| < |Ап1 - Ащ|, (1.6.50)
И^п2)£(тг,Ап2)| <С|Ап2-Ап2|. (1.6.51)
Доказательство. Функция G(x,t) является решением
интегрального уравнения (1.3.11). В силу леммы 1.3.6 \F(x,t)\ <СА\.
Тогда из однозначной разрешимости уравнения (1.3.11) и леммы 1.3.1
получаем оценку (1.6.49).
Далее, из (1.1.9) и (1.6.3) вытекает: |</>'(7г, Ani)| <С(п+ 1).
Используя (1.3.11), получаем
£(я\ Ani) = £(тг, АП1) - <£(тг, Ani) =
(cOSpnl7T - COSJ0ni7T) +
G(7r,f)(cospni^ — cos pn\t) dt.
Следовательно, при A\ < 62, с учетом (1.6.49), имеем: |<£>(7г, Ani)| <
< С\рп\ — рп\\, откуда приходим к (1.6.50). Аналогично доказывается
и (1.6.51). □

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
109
Лемма 1.6.4. Пусть д(х) — непрерывная на отрезке [0,7г]
функция, и пусть заданы различные числа {zn}n^o такие, что
Y^Lq \zn — n| < оо. Предположим, что
0 := У^|еп| < °°> ^n := g{x) cos znxdx.
Тогда \g{x)\ < MQ, где константа М зависит только от
множества {znWo-
Доказательство. Так как система функций {cosznx}n^o полна
в 1/2(0,7г), то коэффициенты еп однозначно определяют функцию д(х).
Из равенства
д(х) cos их dx = еп +
^(x)(cosnx — cosznx) dx
получаем
00 °° 1 Г
д(х) = j> —£- cos их + }> — cos пх (cos nt — cos znt)g(t) dt.
^0 <*n ^0 an J
Следовательно, функция p(x) является решением интегрального
уравнения п
д(х) = е{х)+ \H(x,t)g(t)dt, (1.6.52)
1
е(х) := 2_^ -jf cos nx> Н(х, t) := Y^ — cosnx(cosnt — cos znt),
n=0 Qn n=0 an
причем ряды сходятся абсолютно и равномерно при 0 ^ х, t ^ 7г и
~>, |-tf(z,tj| < С
п=0
Покажем, что однородное уравнение
1Ф)1<-е, \H(x,t)\ <cY\zn-n\.
7Г
у(ж) = [я(х,*)у(0*. Ф) G С[0,тг], (1.6.53)
о
имеет только нулевое решение. В самом деле, из (1.6.53) имеем
Ф) = У] — cos
пх
n=0Q-
(cos nt — cos znt)y(t) dt.

ПО Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Следовательно,
y(t)cosntdt =
(cos nt — cos znt)y(t) dt,
или
y(t) cos zntdt = 0.
Отсюда и из полноты системы {cos2nx}n^o вытекает, что у(х) = 0.
Таким образом, уравнение (1.6.52) однозначно разрешимо и,
следовательно, \д(х)\ < МО. □
Замечание 1.6.4. Из доказательства леммы 1.6.4 видно, что
если мы рассмотрим числа {zn} такие, что YlnLo \*п ~ zn\ < S при
достаточно малом 5, то константа М не будет зависеть от zn.
Доказательство теоремы 1.6.3. Используя соотношения
—</?"(х, А) -Ь q(x)ip(xt \)=\(р(х, А), —<р"(х, А) + q(x)ip(x, \)=Мр(х, А),
получаем
г
q(x)(p(x, \)<р(х, A) dx = у>'(7г, А)^(7г, А) - <р(7г, А)£>'(7г, А) + /г - /г.
Так как h + - Jq g(x) dx = 0, то
7Г
[g(z)(^(x,A)£M (1.6.54)
о
Подставляя (1.2.7) в (1.6.54), получаем при А = Ani и А = АП2:
7Г
L(x)cos2pnixdx = ^(тгДпО^тгДпО,
о
7Г
I
g(x)cos2pn2xdx = </>'(тг, Ап2)<£(тг, Ап2),
где
7Г
5(ж) = 2 (q(x) +\v(x,t)q{t)dt\. (1.6.55)
Учитывая (1.2.8) и (1.6.49), имеем при Л) < ^:
|V(i,*)|<C.
(1.6.56)

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
111
Воспользуемся леммой 1.6.4 при
*2п+1 =2рпЛ, Z2n = 2pn,2, £2n+l = Ч>'(ъ*^п\)Ч?(ъ* Ani)f
£2п =^(7Г,Ап2)^(7Г,Лп2).
Из (1.6.35), (1.6.36), (1.6.50) и (1.6.51) вытекает, что при Ai < 62 верна
оценка \д{х)\ < СА\. Так как q(x) — решение интегрального уравнения
Вольтерра (1.6.55), то из (1.6.56) заключаем, что \q(x)\ < СА\, и,
следовательно, |ft| < СА\. П
1.6.5. Базисы Рисса. 1) Для удобства читателей в этом пункте
представлены основные сведения о базисах Рисса в гильбертовом
пространстве. Более подробную информацию о базисах Рисса можно
найти в [102, 28]. Пусть В — гильбертово пространство со скалярным
произведением (.,.).
Определение 1.6.1. Последовательность {fj}j^\ векторов
гильбертова пространства В называется базисом этого пространства, если
каждый вектор / G В разлагается единственным образом в ряд
оо
/ = $>Л> (1.6.57)
сходящийся по норме пространства В.
Ясно, что если {fj}j^\ — базис, то {fj}j^\ полна и минимальна
в В. Напомним, что выражение «{fj}j^\ полна» означает, что
замкнутая линейная оболочка {fj}j^\ совпадает с В, г «{fj}j^\ минимальна»
означает, что ни один элемент последовательности не принадлежит
замкнутой линейной оболочке остальных.
Определение 1.6.2. Две последовательности {fj}j^\ и {Xj}j^\
из В называются биортогональными, если (fj, Хк) = &jk ($jk — символ
Кронекера).
Для всякого базиса {fj}j^\ биортогональная последовательность
{Xjb'^i существует и определяется однозначно. Более того, {xj}j^\
также является базисом в В. В разложении (1.6.57) коэффициенты Cj
имеют вид
Cj = (f,Xj)- (16.58)
Определение 1.6.3. Последовательность {fj}j^\ называется
почти нормированной, если inf ||/j|| > 0 и sup Ц/^Ц < оо.
•?' з
Если базис {fj}j^\ пространства В почти нормирован, то почти
нормирован и биортогональный базис {Xj}j^\-
Определение 1.6.4. Последовательность {ej}j^\ называется
ортогональной, если (ej,ek) — 0 при j ф к. Последовательность {ej}j^\
называется ортонормалъной, если (ej,ek) =bjk-

112 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Всякая полная ортонормальная последовательность является
базисом. Для ортонормального базиса {ej}j^\ соотношения (1.6.57),
(1.6.58) принимают вид
оо
и для каждого вектора / € В имеет место равенство Парсеваля:
оо
ll/ll2 = £l(/^-)l2.
.7 = 1
2) Пусть теперь {ej}j^\ — ортонормальный базис гильбертова
пространства Б, и пусть А: В —> В — некоторый линейный ограниченный
обратимый оператор. Тогда оператор А~х ограничен, и согласно (1.6.59)
при каждом f е В имеем
оо оо
Следовательно,
оо
/ = £</•*)£•
где
fj=Aejt Xj=A*-lej. (1.6.60)
Очевидно, что (/j,Xfc) = ^jfc O'.fc ^ 1)» те- последовательности {/j}j^i
и {xjb'^i являются биортогональными. Поэтому, если верно (1.6.57),
то Cj = (/,Xj)» те- разложение (1.6.57) единственно. Таким образом,
всякий линейный ограниченный обратимый оператор преобразует
любой ортонормальный базис в некоторый другой базис.
Определение 1.6.5. Базис {fj}j^\ гильбертова пространства В
называется базисом Рисса, если он получен из ортонормального базиса
действием линейного ограниченного обратимого оператора.
Согласно (1.6.60) базис, биортогональный базису Рисса, сам
является базисом Рисса. Используя (1.6.60), вычисляем: inf ||/j|| ^ ||^4-1||
з
и sup ||/j|| ^ ЦАЦ, т.е. всякий базис Рисса является почти нормирован-
з
ным. Для базиса Рисса {fj}j^\ (fj = ^ез) веРН0 следующее
неравенство при всех / Е В :
оо оо
С,^(/,Х;)|Ч||/||2<С2&(/.Х;)|2. (L6-61>

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
113
где {Xj}j^\ — соответствующий биортогональный базис (\j = A*~lej),
а константы С\,С2 зависят только от оператора А. В самом деле,
используя (1.6.60) и равенство Парсеваля, вычисляем
ос оо
1И-7||2 = £|(Л-'/,е;)|2 = ]Г|(/,:Ы|2.
3=1 J=l
Так как |1/|| = \\AA~lf\\ ^ \\А\\ ■ \\A~lf\\, \\А~1Д < \\А~1\\ • ||/||, то
Cx\\A-lf\\* < H/II2 ^ СгЦЛ-'/Ц2- где С, = \\А~1\\-*, С2 = \\А\\\ и, еле-
довательно, верно (1.6.61).
Следующие утверждения очевидны.
Утверждение 1.6.1. Если {fj}j^\ — базис Рисса в В
и {7jb^i "~ комплексные числа такие, что 0 < С\ ^ |7j| ^ C<i < оо,
то {7j/j}j^i также является базисом Рисса в В.
Утверждение 1.6.2. Если {fj}j^\ — базис Рисса в В и А —
линейный ограниченный обратимый оператор, то {Afj}j^\ также
является базисом Рисса в В.
3) Приведем теперь несколько утверждений, которые дают
достаточные условия того, что последовательность {fj}j^>\ является базисом
Рисса в В. Сначала дадим определения:
Определение 1.6.6. Две последовательности векторов {fj}j^\
и {gj}j^\ из В называются квадратично близкими, если Y17L\ \\9j ~
-fj\\2 <оо-
Определение 1.6.7. Последовательность векторов {gj}j^\
называется uj-линейно независимой, если равенство Y17L\ cj9j = 0
возможно ЛИШЬ При Cj = 0 (j ^ 1).
Предположение 1.6.1. Пусть fj = Aej, j ^ 1, — базис Рисса
в В, где {ej}j^\ — ортонормальный базис в В, а А — линейный
ограниченный обратимый оператор. Пусть {gj}j^\ выбрана так, что
00 1 /2
п ==(£>-ли2) <°°.
т.е. {gj}j^\ квадратично близка к {fj}j^,\.
Утверждение 1.6.3 (устойчивость б а зи с а). Пусть
выполняется предположение 1.6.1. Если О, < (ЦЛ-1!!)-1, то {gj}j^\
является базисом Рисса в В.
Доказательство. Рассмотрим оператор Т :
оо оо
Т(Е c>f>) = Е сМ) - *)• {°j} е г2- о .6.62)
Другими словами, Tej = fj — gj. Ясно, что Т — линейный
ограниченный оператор, причем ||Г|| ^ Q. Кроме того, Y17L\ ll^ejll2 < °°-

114 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Так как А-Т = (Е-ТА~Х)А и \\ТА~1\\ < 1, то А- Т - линейный
ограниченный обратимый оператор. С другой стороны, (А — T)ej = gj,
и, следовательно, {gj}j>\ — базис Рисса в В. □
Утверждение 1.6.4 (Бари [28]). Пусть выполняется
предположение 1.6.1. Если {gj}j^\ uj-линейно независима, то {gj}j^\
является базисом Рисса в В.
Доказательство. Определим оператор Т согласно (1.6.62).
Уравнение (А - T)f = О имеет только нулевое решение. В самом деле,
если (А - Г)/ = 0, то из равенств
оо оо сю
(А - Г)/ = £(/, erf/, - £(/, е,-)(Л- ~9}) = £(/. ej)9j
вытекает: Yl%\(f*ej)9j = О- Отсюда в силу и;-линейной независимости
последовательности {gj}j^\ имеем: (/,е^) = 0, j ^ 1. Следовательно,
/ = 0. Таким образом, оператор А — Т является линейным
ограниченным обратимым оператором. Так как (А - T)ej = #j, то
последовательность {gj}j^\ является базисом Рисса в В. □
Утверждение 1.6.5. Пусть выполняется предположение 1.6.1.
Если {gj}j^\ полна в В, то {gj}j^\ — базис Рисса в В.
Доказательство. Выберем натуральное N так, чтобы
и рассмотрим последовательность {V^b^i :
*> - \ gjt j > N.
В силу утверждения 1.6.3 последовательность {tpj}j^\ образует базис
Рисса в В. Пусть {ф^}^\ — биортогональный базис для {V^b^i- Обо-
значим D := det[(pj, ?/>*)],п=удГ и покажем, что D ^ 0. Предположим
противное: D = 0. Тогда линейная алгебраическая система
п=1
имеет ненулевое решение {/?п}п=:глг- Рассмотрим вектор
/ := En=i^n- Так как {V>nWi - базис Рисса, то / ф 0. С другой
стороны, вычисляем
(О при j=lN: (gJ,f) = Y,M9j,rn)=0;

§ 1.6. Устойчивость решения обратной задачи
115
N
(и) при j>N: (ft./) = (^./) = X;Ai(^^n)=a
Таким образом, (<7j,/) = 0 при всех j ^ 1. В силу полноты системы
{gj}j>\ заключаем, что / = 0. Полученное противоречие означает, что
Покажем теперь, что последовательность {gj}j^\ является
cj-линейно независимой. В самом деле, пусть {cj}j^\ — комплексные
числа такие, что
оо
J^cjgj=0. (1.6.63)
j=\
Так как gj — г/jj при j > N, то
N
j=i
Определитель этой линейной системы равен D ф 0, и, следовательно,
Cj = 0, j = 1,7V. Тогда (1.6.63) принимает вид: Y1^=n-\-\ сз^з ~ ®- ^ак
как {ipj}j^\ — базис Рисса, то Cj = 0, j > N. Тем самым доказано, что
последовательность {gj}j^\ является и>-линейно независимой. Тогда, в
силу утверждения 1.8.4, заключаем, что {gj}j^\ — базис Рисса в В. □
Утверждение 1.6.6. Пусть даны числа {рп}п^о. Рп ¥" р\ (п ¥"
Ф к), вида
рп = п+- + ^, {xn}ek, аеС. (1.6.64)
п п
Тогда последовательность {cospnx}n^o образует базис Рисса
в L2(0,tt).
Доказательство. Покажем сначала, что система {cospnx}n^o
полна в 1/2(0,тг)- Пусть f(x) G 1/2(0» я") такова, что
\ f(x) cos pnxdx = 0, n ^ 0. (1.6.65)
о
Рассмотрим функции
Д(А):=тг(А0-А)П^А Хп = Р1
п=1
7Г
F(\) = -£Tjr\f(x) cos pxdx, A = p2, \ф\п.
о

116 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Из (1.6.65) вытекает, что F(A) — целая по Л функция (после
устранения особенностей). С другой стороны, при доказательстве леммы 1.4.6
было показано, что
|Д(А)| ^С|/9|ехр(|т|тг), argAG [5,2тг-(5], S > О, r:=Imp,
и, следовательно, \F(X)\ ^ С|р|-1, argA Е [<5,27г - S]. Отсюда
с помощью теорем Фрагмена-Линделефа [240, с. 186] и Лиувилля
[206, с. 209] заключаем, что F(A) = 0, и, следовательно, / = 0.
Тем самым доказано, что система функций {cospnx}n^o полна
в 1/2(0, тг). Из (1.6.64) вытекает, что система функций {cospnx}n^o
квадратично близка к ортогональному базису {cosnx}n^o- Тогда,
в силу утверждения 1.6.5, {cospnx}n^o — базис Рисса в 1/2(0,7г). □
§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах
Параграф посвящен решению обратной спектральной задачи для
дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на компактных графах.
Дифференциальные операторы на графах (сетях, деревьях) часто встречаются в
естествознании и технике (см. [202] и литературу там). Большинство работ по
спектральной теории на графах посвящено так называемым прямым задачам
изучения свойств спектра и корневых функций. Обратные спектральные
задачи, в силу их нелинейности, являются более трудными для исследования,
и в настоящее время в теории обратных задач для дифференциальных
операторов на графах имеются лишь отдельные фрагменты, не составляющие общей
картины. Некоторые аспекты теории обратных задач на графах изучались в [37,
54, 97, 149, 200] и других работах, но в основном рассматривались только
очень частные случаи. Отметим статью [37], в которой была первая попытка
предложить глобальную постановку обратной задачи на компактных деревьях
и дать подход к ее решению. Но к сожалению постановка обратной задачи
в [37] оказалась переопределенной, и вопрос о постановке и решении обратной
задачи оставался открытым.
В этом параграфе даются постановки обратных задач для операторов
Штурма-Лиувилля на компактных графах. Эти постановки не являются
переопределенными и которые являются естественными обобщениями
классических обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля на интервале. Мы
вводим спектральные характеристики, которые однозначно определяют
потенциал на графе, изучаем их свойства, доказываем соответствующие теоремы
единственности и даем конструктивную процедуру решения. Для
исследования обратных задач на графах мы развиваем идеи метода спектральных
отображений. Этот метод позволяет решать обратные задачи для широкого
класса графов [298]. Так как различные классы графов требуют различной
техники, мы ограничиваемся уравнениями Штурма-Лиувилля на деревьях
(т.е. на графах без циклов). Отметим, что полученные результаты верны
не только в самосопряженном случае, но также и в несамосопряженном, когда
потенциал является комплекснозначной функцией на дереве.

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах 117
1.7.1. Уравнение Штурма-Лиувилля на дереве. Рассмотрим
компактное связное дерево Т в Rm с корнем vq, множеством вершин
V = {vq, ... ,vr} и множеством ребер £ = {еь ... ,ег}. Предположим,
что длина каждого ребра равна 1. Вершина называется граничной, если
она принадлежит только одному ребру. Такое ребро называется
граничным. Все остальные вершины и ребра называются внутренними. Без
ограничения общности считаем, что г;о является граничной вершиной.
Для двух точек а,Ь € Т будем писать а ^ 6, если а лежит
на единственном простом пути, соединяющем корень vq с Ь; пусть
\Ь\ обозначает длину этого пути. Будем писать а < 6, если а ^ b
и а ^ Ь. Отношение < определяет частичную упорядоченность на Т.
Если а < 6, то обозначим [а, 6] := {z G Т : а ^ z < b}. В
частности, если е = [vtw] — ребро, то мы будем называть v его
начальной точкой, w — его конечной точкой и будем говорить, что
е выходит из v и заканчивается в w. Для каждой внутренней
вершины v мы обозначим через R(v) := {е G £ : е = [v, ги], w G V}
множество ребер, выходящих из v. Для любой точки v е V число |г>|
является целым неотрицательным числом, которое называется
порядком v. Для е G £ его порядок определяется как порядок его
конечной точки. Число о := max |^| называется высотой дерева Т. Пусть
j = \,r
уМ := {v G V : Н = /х}, /х = 0,(j, — множество вершин порядка /х,
и пусть £М := {е G £ : е = [w,w], v G y(^"l),^ G У(/х)}, /x = 1,ст -
множество ребер порядка /х.
Каждое ребро е G £ рассматривается как отрезок [0, 1] и
параметризуется параметром х G [0, 1]. Для нас удобно выбрать следующую
ориентацию на каждом ребре е = [v,w] G £: если z = z(x) G е, то
г(0) = iu, 2(1) = и, т. е. ж = 0 соответствует конечной точке wy а а; = 1
соответствует начальной точке г>. Для определенности занумеруем
вершины Vj следующим образом: Г := {vq,v\, ..., vp} — граничные
вершины, Vp+\ G V^!\ a Vj, j > р-f 1, занумерованы в порядке
возрастания \vj\. Аналогично занумеруем ребра, а именно: ej = [vjfc,Vj],
j = l,r, jk < j. В частности, £ := {e\,... ,ep+A — множество
граничных ребер, e^+i = [uo,Vp+i]. Ясно, что ej G £^ тогда и только тогда,
когда i>j G V^.
Интегрируемая функция У на Т может быть представлена как
вектор У{х) = [yj{x)]jqj, х G [0, 1], где J := {j : j = 1,г}, и функция
?/j(:r) определена на ребре ej. Пусть q = [qj]j^j — интегрируемая
вещественнозначная функция на Т, которая называется потенциалом.
Рассмотрим уравнение Штурма-Лиувилля на Т:
-y'j(x) + qj(x)yj(x) = \yj(x), XG[0,1], (1.7.1)
где j G J, Л — спектральный параметр, функции у^(х), y'j{x) абсолютно
непрерывны на [0, 1] и удовлетворяют следующим условиям склейки

118 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
в каждой внутренней вершине vk, к = р+ \,г:
уj(1) = ук(0) для всех ej G R(vk) (условие непрерывности),
У^ y'j(\) = у'к(0) (условие Кирхгофа). (1.7.2)
ejeRivk)
Условия склейки (1.7.2) называются стандартными условиями. В
электрических сетях (1.7.2) выражает закон Кирхгофа; при колебаниях
упругих сетей (1.7.2) выражает баланс напряжений и т.д. Отметим,
что в (1.7.2) мы имеем 2г — р— 1 условий. Для того чтобы определить
краевую задачу для (1.7.1), нам нужно дополнительно р+ 1 условий
в граничных вершинах Vj, j = 0, р. Для этого мы введем следующие
линейные формы в граничных вершинах Vj, j G Г:
i
i/=0
где hjS — вещественные числа такие, что det[/iys]Stl/=o,i Ф 0- Обозначим
через L краевую задачу для уравнения (1.7.1) с условиями склейки
(1.7.2) и с краевыми условиями
Uj0(Y)=0, j=Op. (1.7.3)
Мы также будем рассматривать краевые задачи Lk, к = 0,р, для
уравнения (1.7.1) с условиями склейки (1.7.2) и с краевыми условиями
Ukl(Y)=0, Uj0(Y) = 0, j = Op\fc. (1.7.4)
Пусть Ф/Дх, А) = [^j(x, A)]j€j, к = 0,р, — решения уравнения (1.7.1),
удовлетворяющие (1.7.2) и краевым условиям
Uj0(*k) = 6jk, j=Op, (1.7.5)
где 5jk — символ Кронекера. Функции Ф^ называются
решениями Вейля для (1.7.1) относительно краевой вершины vk. Обозначим
М(А) = [Мк(Х)}к=^ где Mfc(A) := Uk\{Vk). Функции Мк{Х)
называются функциями Вейля, а М(Х) называется вектором Вейля для
уравнения (1.7.1).
Для определенности мы будем рассматривать случай Ujq(Y) = Y/. +
+ hjY\Vj, Uji(Y)=Y\v., т.е. кУ0 = Щх = 1, Л], = 0, Л^о = Л^- Остальные
случаи исследуются аналогично. Пусть <^-(ж, A), Sj(x,X), j Е J, х €
е [0,1], — решения уравнения (1.7.1) на ребре ej при начальных
условиях <^(0, А) = S-(0, А) = 1, <^(0, А) = ~hjt Sj(0,X) = 0. При каждом
фиксированном х функции ifj(x,X), Sj(x,X), i/ = 0, 1, являются
целыми по А порядка 1/2. Кроме того, ((pj(x,X),Sj(x,X)) = 1, где
(у, z) := yz' — у'z. Очевидно, что
фкк(х, X) = 5fc(x, А) + Мк{\)ч>к{х% А). (1.7.6)

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах 119
Обозначим: Mlkj{\) = ipkj(0, А), М^-(Л) = ^(0, Л) + Л,^(0, Л). Тогда
^(х,А) = ^(А)5,-(х,А) + М^.(А)^(х,А). (1.7.7)
Вчастности, при к=Т~р имеем: М^(А) = М*(А), Afgfc(A) = l, М^.(А)=0
для j—\,p\k. Подставляя (1.7.7) в (1.7.2) и (1.7.5), получим систему
линейных алгебраических уравнений sk относительно M^(A),ML(A).
Известным методом можно показать, что определитель этой системы
Д(А) является целой функцией порядка 1/2 и А(А) является
характеристической функцией краевой задачи L вида (1.7.1)-(1.7.3), т.е. нули
Д(А) совпадают с собственными значениями {А/}/->о задачи L. Решая
систему Sfc, получаем по формулам Крамера: М£.(А) = Д£-(А)/Д(А),
5 = 0, l,j=l,r, где определитель Д^-(А) получается из Д(А)
заменой столбца, соответствующего М£-(А), на столбец свободных членов.
В частности,
где Д*:(А) := Д^/ДА) является характеристической функцией краевой
задачи Lk. Функция Д*(А) является целой по А порядка 1/2, и ее
нули совпадают с собственными значениями {\ik}i^o краевой задачи
Lk вида (1.7.1), (1.7.2), (1.7.4). Отметим, что аналогично
классическим операторам Штурма-Лиувилля можно показать, что А* и \ik
вещественны и ограничены снизу. Таким образом, функции Вейля
Mfc(A) являются мероморфными по А с полюсами {А/}/^о- Данные
S := {Aj, &ik}i^o к=Тр> где а1к — вычеты Mfc(A) в точках А/, называются
спектральными данными для L.
Мы исследуем три обратные задачи восстановления потенциала q =
~ [Qj]jeJ и коэффициентов h = [hj]j^j по следующим спектральным
характеристикам:
1) по вектору Вейля М = [Mk]k=j^\
2) по системе р + 1 спектров Е := {А/, А/ь / ^ 0, к = 1,р};
3) по спектральным данным S.
Для каждой из этих обратных задач мы даем конструктивную
процедуру для решения и доказываем единственность решения. Отметим,
что понятие вектора Вейля М является обобщением понятия функции
Вейля (m-функции) для классического оператора Штурма-Лиувилля.
Если г = 1 (т.е. дерево Т есть интервал [0, 1]), то р = 1, и вектор
Вейля М совпадает с классической функцией Вейля. Таким
образом, обратная задача 1 является обобщением классической обратной
задачи для оператора Штурма-Лиувилля на интервале по функции
Вейля или (что равносильно) по спектральной мере. Обратная
задача 2 является обобщением классической обратной задачи Борга для
оператора Штурма-Лиувилля на интервале по двум спектрам. Если
г — 1, то р = 1 и обратная задача 2 совпадает с классической об-

120 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
ратной задачей Борга по двум спектрам. Обратная задача 3 является
обобщением классической обратной задачи Марченко для оператора
Штурма-Лиувилля на интервале.
1.7.2. Вспомогательные утверждения. Пусть Л = р2, Imp ^ 0.
Обозначим Л := {р : Imp ^ 0}. Известно (см. [188]), что при каждом
фиксированном j е J на ребре е^ существует фундаментальная система
решений уравнения (1) {eji(x,p),ej2{x,р)}, х е [0,1], р е Л, \р\ ^ р*,
со свойствами:
1) функции е^ (х,р), ^ = 0, 1, непрерывны по х е [0,1], р е Л, |р| ^ р*;
2) для каждого х е [0,1] функции е^ (х, р), ^ = 0,1, аналитичны по
ре Л, |р|^р*;
3) равномерно по х € [0,1] верны следующие асимптотические
формулы:
eftfap) = (гр)"ехр(грх)[1], е$(х,р) = (-гр)1/ехр(-грх)[1],
ре Л, |р| —» оо, (1.7.9)
где [1] = 1 +0(р~{), v = 0,1. Обозначим Л$ := {р : argp е [J, 7г — 5}},
6>0.
Лемма \.7А. Пусть yj(x}p) — решение уравнения (1.7.1) на
ребре ej, и пусть
||^| = (-ip)rj[l], rjt-l.pe As, \p\ - oo. (1.7.10)
Тогда при v — О,1, ре Л<$, \р\ —> оо, равномерно по х е [0,1] имеем
у^(х,р) = Я,(р)((-грГ ехр(-грх)[1] - (г, + I)"1 х
х(г,-1)(грГехр(грх)[1]), (1.7.11)
где jDj(p) не зависит от х.
Доказательство. Используя фундаментальную систему
решений {ej\(x,p),ej2(#,р)}, получаем
у,(х,р) = Л^(р)ея(х,р) + ^(р)е^(х,р). (1.7.12)
Из (1.7.9) и (1.7.12) следует, что
ШЫ = {ip) Мр№ ~ рЛрШ рбЛ. и.,^
у№р) тА^р)[1] + о3(Р)[1}' peAs' w °°-
Учитывая (1.7.10), вычисляем: Aj(p) = Dj(p)(rj -f l)_1(rj ~~ !)[!]•
Подставляя это соотношение в (1.7.12) и используя (1.7.9), приходим
к (1.7.11). П

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах \2\_
Лемма 1.7.2. Пусть ej £ £^\ и пусть rj — число ребер,
выходящих из Vj. Тогда при v — О, 1, ре Л$, \р\ —> оо равномерно по х € [О, 1]
имеем
V^O^A) = Bj{p)exp{ipii)({-ip)"-1 ехр(-грх)[1] -
-{ip)u-ldjexp{ipx)[\)\ (17.13)
где dj = 1 при j = 1,р и dj — (1 + rj) l(\ - rj) при j = p+ l,r.
Яри этсш (Зля p € As, \p\ —* oo:
B,-(p) = bj[l]. 6,^0,^+1 = 1. d-7.14)
В частности, при p € Л^, |/э| —► oo
Voi)(sc.A) = Hp)"-,bjexp(v(M-x))[l], J/= 0,1, x € (0,1].
_ (1.7.15)
Доказательство. 1) Пусть j = 1, p. Тогда ф'0- (О, Л) +
+ /ij?/>0j(0,A) =0 и в силу (1.7.7)
^■(х,А) = М^.(А)^(х,А). (1.7.16)
Используя (1.7.16) и асимптотику
^(Ж|А) = -Шр)иexp(ipx){\] + (-ip)"exp(-ipx)[\}\ \р\ -> oo,
(1.7.17)
приходим к (1.7.13) для j = 1,р.
2) Докажем (1.7.13) для всех остальных ребер индукцией по а =
= а, а — 1,..., 1, где а — высота дерева Т. Если р = а (т. е. ej 6 £'а)),
то 1 < j ^ р и (1.7.13) верно согласно предыдущим рассуждениям.
Зафиксируем р < а. Предположим, что (1.7.13) доказано для всех
ек е £(/i+1) U ... и£(<т). Пусть ej е £м. Ясно, что если ек G Д(г^),
то е^ Е £ (^+1). Поэтому для каждого ек £ R(vj) (13) верно по
предположению индукции. В частности, при р Е Л$, |р| —> oo, е^ G R(vj)
имеем
^fc(l.A) = £/с(р)(-гр)~1ехр(грр)[1], VofcO^) = Bfc(p)exp(zp/i)[l].
Используя условия склейки (1.7.2), вычисляем
^(ал)_ v ^t(i,A)_f . W1
^Щ)~ Л? ^^(T^j_ Л J'
Применяя лемму 1, приходим к (1.7.13) с некоторым коэффициентом
Bj(p). Таким образом, (1.7.13) доказано для всех ребер ej е £.
Далее, из (1.7.2) следует, что ipQj(0,\) = ipQk(hX) для всех ек £ R(vj),
и, следовательно, Вк(р) = 2(r7- + l)_1Bj(p)[l]. Так как V'o.p+iO'^) +

122 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
+ ^oVup+iO' А) = 1, то мы получаем (1.7.14). Поэтому (1.7.15) также
имеет место. □
Симметрично к (1.7.13)-(1.7.15) можно получить асимптотику для
всех других решений Вейля Фь к = 1,р. В частности, следующее
утверждение является следствием леммы 1.7.2.
Лемма 1.7.3. При к = 1, р, v = О, 1 ижееж
^(*,А) = M^exp^xMl], Mfc(A) = (грГ1{\],
ре As, И-+00, xe[0,1). (1.7.18)
Пусть S > 0 — достаточно малое фиксированное число. Обозначим
Gs -= {р '• \р — pi\ ^ 5, V/ > 0}, где Xi = р} — собственные значения
краевой задачи L. Используя стандартную технику (см. [188]), можно
показать, что
IV&W)! < Cl^-'exp^)!, |Mfc(A)| < С\р\~\
p€G5nA, are [0,1]. (1.7.19)
Задача Z(T,vo,a). Пусть Ф = [4>j]jej — решение уравнения
(1.7.1) на Т, удовлетворяющее (1.7.2) и краевым условиям
Ф^=а, t/i0(*)=0, i=Tp, (1.7.20)
где а — комплексное число. Обозначим raj(A) = ^-(0, А), га!-(А) =
= ^(0, А) + hjxl>j(pt A), j е J. Тогда
^■(x,A) = m5(A)5i(xlA) + m](A)^i(xlA). (1.7.21)
Подставляя (1.7.21) в (1.7.2) и (1.7.20), получаем систему линейных
алгебраических уравнений относительно т*-(А),га](А), j £ J.
Определитель этой системы есть Ао(А). Решая эту систему по формулам
Крамера, находим матрицу перехода [m^(A),mj(A)]j^j для Т
относительно г>о и а. Задача вычисления матрицы перехода [ra*-(A),m](A)]jGj
по формулам Крамера называется задачей Z(T,vq,o). Эта задача
будет использоваться ниже для описания процедуры решения обратных
задач.
1.7.3. Локальная обратная задача. Зафиксируем к — 1,р и
рассмотрим следующую вспомогательную обратную задачу на ребре
е/с, которая называется задачей 1Р(к).
IP(k). По заданной М&(А) построить qk(x), х е [0, 1] и hk.
Докажем единственность решения локальной обратной задачи
1Р(к). Для этого ^наряду с Т рассмотрим дерево Г того же вида,
но с другими q и h. Везде в дальнейшем, если символ а обозначает
объект, относящийся к Т, то а будет обозначать аналогичный объект,
относящийся к Т.

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах [23
Лем^ма 1.7.4. Если Mfc(A) = М/~(А), то qk{x) = qk(x) п.в. на [0,1]
w hk = hk- Таким образом, задание функции Вейля Мк однозначно
определяет потенциал qk на ребре е^ и коэффициент hk.
Доказательство. Определим матрицу Pk(x, \) = [P!j:s(x, \)}j,s=\2
по формуле
<Pk(x,\) ipkk{x,\) 1
¥4(*,А) *'кк{х,\)\и
Тогда
<^(х,А) = Р^х, A)^fe(x,A) + Р,*2(х, А)Й(х, А). (1.7.22)
Из (1.7.6) следует, что ((fk(x, A),i/>fcfcOc, А)) = 1, и, следовательно,
Р*(х|А) = (-1)-1х
х (w(x,A)$^ О-7-23)
Используя (1.7.17)—(1.7.19) и (1.7.23), получаем
P,fc5(x, А) - <5ls + 0(р-'), р G Л*, \р\ ^ со, х G (О, 1], (1.7.24)
\Pfs(x,\)\^C\p\{-s, pGG*nA, же [0,1]. (1.7.25)
Согласно (1.7.6) и (1.7.23),
Pfc(s.A) = (-irl((vfc(x.A)5i2-)(x,A) - 5,(x,A)^2"s)(x,A)) +
+ (Mfc(A) - Mfc(A))Vfc(x, A)^2"s)(x, A)).
Так как М*(А) = Mfc(A), то при каждом фиксированном х функции
Р^3(х, А) являются целыми по А. Вместе с (1.7.24), (1.7.25) это дает
Р^(х,Х) = 1, Р^х, А) = 0. Подставляя эти соотношения в (1.7.22),
получаем <р&(х, А) = <pfc(x, А)_при всех х и А, и, следовательно, фс(х) =
= qk{x) п. в. на [0,1] и /i*. = /i^.. П
Используя метод спектральных отображений для оператора
Штурма-Лиувилля на ребре е&, можно получить конструктивную
процедуру решения локальной обратной задачи 1Р(к). Здесь мы только
кратко объясним^суть идей ^подробности и доказательства см. в § 1.4.
Возьмем дерево Т cq = 0 и h = 0. Тогда (рк{х, А) = cospx. Зафиксируем
к = \,р. Обозначим А' = min(A/,A/) и возьмем фиксированное 5 > 0.
В А-плоскости рассмотрим контур у (с обходом против часовой
стрелки) вида 7 = 7+ U 7~ U 7;. гАе 7* — {А : ±Im А = 5; Re А ^ А'},
7; = {А : А — А' = 5exp(m), a G (7г/2,37г/2)}. При каждом фиксиро-
Рк(х,\)
(fk{x,X) ijJkk(x,\)
L^(^A) t//kk(x,\)

124 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
ванном х е [0,1] функция ipk{xy А) является единственным решением
следующего линейного интегрального уравнения:
<Рк(х,\) = <р*(ж,А) + 2^т
Dk(x, A, р)Мк{р)<рк(х, /i) d/i, (17.26)
где 5fc(x,A,/x) = Hipk(t,\)Vk{t,v)dt, Мк(р) := Л4(/1) - М*(/х).
Потенциал ^ на ребре е& может быть построен из решения интегрального
уравнения (1.7.26) по формуле
Чк(х) = ^- (^fc(^A)^/c(x,A)),Mfc(A)dA
7
или по формуле<7/е(^) = А+^/с/(:г'^)/(^А:(^» А). Кроме того, hk = — v?'fc(0, А).
Также возможно построить потенциал по дискретным спектральным
данным {Xi,aik}i^o. Для этого можно вычислить контурный интеграл
в (1.7.26) по теореме о вычетах и преобразовать интегральное
уравнение (1.7.26) к следующему линейному уравнению в пространстве
ограниченных последовательностей (при каждом фиксированном х):
<Pkns(x) = Vkns(x) + Y^Plkns(X)(PMj(X)' Un^O, S, j = 0, 1,
где
<Pkns{x) = ¥>*(*. A*), fikns(x) = Фк(хАп), Ркпз(Х) = (-[У X
x Dk{x,A*,X\)a\k, >ч=к, \\ = A/, at = <*ik, <*\k = &ik\
подробнее см. § 1.4.
1.7.4. Решения Вейля для внутренних вершин. Зафиксируем
vk G V. Обозначим Т% := {z е Т : vk < z}, Тк := Т \ Т%. Ясно, что Тк -
дерево с корнем vq. Пусть Гк — множество граничных вершин Тк, и
пусть Ек — множество граничных ребер Тк. Обозначим Jk := {j : ej £
€ Tk}. Если Y = [yj]jej — функция на Г, то {Y}k := [yj]j£jk является
функцией на Тк.
Зафиксируем vk $_ Г (т.е. к = р+1,г). Пусть Ф^(х,А) =
= [ipkj(x,X)]jeJk ~~ Решение уравнения (1.7.1) на Тк,
удовлетворяющее (1.7.2) и краевым условиям Ujo(^k) = 5kj, Vj е Тк, где
Uko{Y) = Y/ + hkY\Vk и hk — вещественное число. Вектор $к
является решением Вейля для (1.7.1) на Тк относительно вершины vk.
Обозначим через Мк(Х) := т/^/ДО, А), к =р+ 1,г, функции Вейля для
Тк относительно vk.
Лемма 1.7.5. Зафиксируем vm £ Г. Пусть ек — [vm,Vfc] G R(vm)-
Тогда ( , .

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах 125
т.е. j
tl>mj{x%\) = -—TTT^fcjCx.A), j G Jm, (1.7.27)
Mm{\) = T^-n-^kk(\,\). (1.7.28)
где __
Amk(\)= 5Z ^-(1.А) + Лт^(1.А) (1.7.29)
ej€fl(um)
и Фт, Mm we зависят от к.
Доказательство. Так как Ujo(^k) — Ujo(^m) = 0 для j G
G Jm\m, то получаем (1.7.27) при некотором Ать{\). Используя
условие £/то(Фт) = 1. вычисляем Amfc(A) = ^т(0, А) + hmxl>km{0, А).
Учитывая (1.7.2), приходим к (1.7.29). Далее,
Mm(A) = Vw(0, А) = -г—7-rrt/;fcm(0, А).
Снова используя условия склейки (1.7.2), получаем (1.7.28). □
Обозначим Mlkj{\) = il>kj(0, А), М^.(А) = г/^(0, А) + /г^(0, А) при
к = р + 1,г, j G Л. Тогда (1.7.6) и (1.7.7) верны для fc = l,r, j G Л,
где Jk = J при А: = 1,р. В частности, это дает
1>M{l^) = M°kj(\)S^
i/ = 0,i, ifc = T7rf jeJ/c, (1.7.30)
^)(l^) = 5^)(l,A) + Mfc(A)^,/)(l,A)f i/= 0,1, * = Т^. (1.7.31)
1.7.5. Решение обратной задачи 1. Пусть задан вектор Вей-
ля М(Х) = [M/c(A)]fc=y- для дерева Т. Процедура решения обратной
задачи 1 состоит в выполнении так называемых Ам-процедур
последовательно для jj, = а,а — 1,..., 1, где а — высота дерева Т. Опишем
Ам-процедуры.
Аа -процедура. 1) Для каждого ребра ек G £^ решаем
локальную обратную задачу 1Р(к) и находим 9fc(x), х G [0,1], на ребре еь а
также /ifc.
2) Для каждого ек € £^ строим ^(х, A), 5^(x, А), х G [0, 1], и
вычисляем ^fc(l.A), i/ = 0,1 по (1.7.31).
3) Возвратная процедура. Для каждого фиксированного vm G
е у^"1) \Г и для всех ej,e^ G R(vm), j ф к строим М^(А), 5 = 0, 1,
по формулам
M°kj(X) = 0, М/ДА) - фкк(1, А)/^(1, А), е,-, е* € Я^), j ф к.
4) Для каждого фиксированного vm 6 V^-1' \Г вычисляем
функцию Вейля Мт(Х) по (1.7.28), где Атк(Х) и ip'kj(\,\) строятся согласно
(1.7.29) и (1.7.30).

126 Гл. 1. Обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля
Выполним теперь Ам-процедуры для р — 1, <т — 1 по индукции.
Зафиксируем р = 1, а — 1 и предположим, что Аа-%..., AM+i-процедуры
уже выполнены. Выполним Лм-процедуру.
Ад-процедура. Для каждого Vk G V^) функции Вейля М&(А)
заданы. В самом деле, если Vk G V^ П Г, то Мь{\) заданы априори, а
если Vk G V^ \Г, то Mfc(A) были вычислены на предыдущих шагах
по Аа-,..., Ад+1-процедурам.
1) Для каждого ребра е* G £^ решаем локальную обратную задачу
1Р(к) и находим qk{x), х G [0,1], на ребре еь а также /i^. Если // = 1,
то обратная задача 1 решена и мы останавливаем наши вычисления.
Если /1 > 1, то переходим к следующему шагу.
2) Для каждого е^ G £^ строим ipk(x,\), Sfc(x, A), х G [0,1], и
вычисляем ^(l.A), у = 0,1, по (1.7.31).
3) Возвратная процедура. Для каждого фиксированного vm G
G V^"1) \Г и для любых фиксированных еье* G R(vm), г ^ /с,
рассмотрим дерево Т/ := Tf U {е*} с корнем vm. Решая задачу
Z(7^,vm,^fcfc(l, А)), вычисляем матрицу перехода [M?(A),ML(A)] при
4) Для каждого фиксированного vm G V^ ^ \Г вычисляем
функцию Вейля Мт(Х) по (1.7.28), где Ать(\) и t/?L(1,A) построены
согласно (1.7.29) и (1.7.30).
Таким образом, мы получили решение обратной задачи 1 и доказали
его единственность, т. е. верно следующее утверждение.
Теорема 1.7.1. Задание вектора Вейля М однозначно
определяет потенциал q на Т и h. Решение обратной задачи 1 может
быть получено последовательным выполнением AG-,Aa-\-,..., А\-
процедур.
1.7.6. Решение обратной задачи 2. Пусть задана система
спектров Е := {A/, Az/c; I ^ 0; к = 1,р}. Числа {А/}^0 и {Xik}i^o совпадают
с нулями характеристических функций Д(А) и Д*;(А) соответственно.
Эти функции являются целыми по А порядка 1/2. По теореме Адамара
функции Д(А) и Afc(A) однозначно определяются своими нулями с
точностью до постоянных множителей:
оо . оо
д(А)=сп(1-й' **<*>=с*по-£)
(случай, когда А(0) = 0 или/и Д/ДО) = 0 требует небольшой
модификации). Тогда, в силу (1.7.8),
ОО \ —1
М*(А) = тп*П(1~^:)(1~г) ' к = Т^Р> гпк-const (1.7.32)
(=о 1к '

§ 1.7. Обратные задачи на геометрических графах 127
Используя (1.7.18), получаем
mfc=^mjv)-'n(l-£)(l-^) , peAs, k = T~£. (1.7.33)
Таким образом, используя данные спектры Е, можно однозначно
построить вектор Вейля М(А) = [Mk{X)]k=T^ по (1.7.32) и (1.7.33).
Другими словами, решение обратной задачи 2 сводится к решению
обратной задачи 1 и верно следующее утверждение.
Теорема 1.7.2. Задание системы спектров Е однозначно
определяет потенциал q на Т и h. Для построения решения обратной
задачи 2 вычисляем вектор Вейля М по (1.7.32), (1.7.33) и затем
строим q и /i, решая обратную задачу 1.
1.7.7. Решение обратной задачи 3. Пусть заданы спектральные
данные S. Выберем положительные числа Rn —* сю так, чтобы при
достаточно малом 8 > О окружности \р\ = Лдг лежали в G$ для всех N.
Покажем, что ^_^ _
м*(А) = Ел^Т' (17-34)
i i
где ряд в (1.7.34) сходится «со скобками»: J2i := ^т ]С|АН<я2 •
В самом деле, рассмотрим контурный интеграл
^л(А) := ^ } ХГ7^- Л е int7N' (1735)
где 7аг = {м : И = R2n)- Из (1-7.18) и (1.7.19) следует, что
lim Jyv &(А) = 0. С другой стороны, вычисляя контурный интеграл
N-+oo
в (1.7.35) по теореме о вычетах, получаем
JN.*(A) = -Mfc(A)+ £ a?V
\*i\<R2N
и, следовательно, верно (1.7.34).
Таким образом, используя известные спектральные данные 5,
можно однозначно построить вектор Вейля М(Х) = [M/c(A)]fc=y- по (1.7.34).
Другими словами, решение обратной задачи 3 сводится к решению
обратной задачи 1, и верно следующее утверждение.
Теорема 1.7.3. Задание спектральных данных S однозначно
определяет потенциал q на Т и h. Для построения решения
обратной задачи 3 вычисляем вектор Вейля М по (1.7.34) и затем строим
q и h, решая обратную задачу 1.
Замечание 1.7.1. Все полученные результаты верны также
и для несамосопряженных операторов Штурма-Лиувилля на Т
с комплекснозначными потенциалами.

Глава 2
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ
ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
§ 2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси
В §§2.1-2.3 дается введение в теорию обратных спектральных задач
для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на полуоси.
Сначала рассматриваются несамосопряженные операторы с комплекснозначны-
ми интегрируемыми потенциалами. В качестве основной спектральной
характеристики вводится и изучается функция Вейля, доказывается теорема
о разложении и дается решение обратной задачи восстановления оператора
Штурма-Лиувилля по заданной функции Вейля. При этом используется
метод спектральных отображений, изложенный в гл. 1 для конечного отрезка.
Установлена связь основного уравнения обратной задачи, полученного методом
спектральных отображений, с уравнением Гельфанда-Левитана. Далее
рассматриваются наиболее важные частные случаи, которые часто встречаются
в приложениях, а именно: самосопряженные операторы, несамосопряженные
операторы с простым спектром, а также возмущения дискретного спектра
модельного оператора. Вводятся так называемые спектральные данные,
которые описывают множество особенностей функции Вейля, и дается решение
обратной задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по
спектральным данным. В §2.3 исследуются более общие локально суммируемые, ком-
плекснозначные потенциалы. В п. 2.3.1 рассматривается обратная задача для
волнового уравнения. В п. 2.3.2 вводится и изучается обобщенная функция
Вейля, доказывается теорема о разложении и дается решение обратной задачи
восстановления оператора Штурма-Лиувилля по обобщенной функции Вейля.
Установлена связь с обратной задачей для волнового уравнения.
2.1.1. Решения Йоста и Бирхгофа. Рассмотрим
дифференциальное уравнение и линейную форму L = L(q(x), К) :
(у := _у" + q(x)y = Ху9 х > О, (2.1.1)
U(y):=y'(0)-hy(0), (2.1.2)
где q(x) е 1/(0, оо) — комплекснозначная функция и h —
комплексное число. Пусть Л = р2, р = а + гт, и пусть для
определенности т := Imp ^_0. Через П обозначим Л-плоскость с
разрезом Л ^ 0, a IIi = П \ {0}. Тогда при отображении р —> р2 = А
rij соответствует множеству Q = {р : Imp ^ 0, р ф 0}. Положим
Q6 = {р : Imp ^ 0, \р\ ^ 6}. Через Wn обозначим множество функций
/(я), х ^ 0 таких, что функции /^(х), j = О, N - 1, абсолютно
непрерывны на [О, Т] при каждом фиксированном Т > О и f^{x) Е L(0, оо),

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 129
j = О, N. В этом пункте строятся специальные фундаментальные
системы решений для уравнения (2.1.1) в ft с асимптотическим поведением
на бесконечности типа ехр(±грх).
Теорема 2.1.1. Уравнение (2.1.1) имеет единственное решение,
у = е(х, р), р £ ft, х ^ 0, удовлетворяющее интегральному уравнению
оо
е(х, р) = ехр(грх) — —- (ехр(гр(х — t))-
2гр J
- ехр(гр(* - ж))) q{t)e(t, р) dt. (2.1.3)
Функция е(х,р) обладает следующими свойствами.
(\\) При х —> оо, v = О, 1 и каждом фиксированном 5 > О
е^(х,р) = (ip)"exp(tpx)(l +о(1)) (2.1.4)
равномерно в ft^. При Im р > О е(х,р) е ^(0, оо), причем е(х, р)
является единственным решением уравнения (2.1.1) (с точностью
до постоянного множителя) с этим свойством.
(i2) При |р| -► оо, р е ft, v = О, 1
e<">(:rf р) = (грГехр(грх)(1 + ^ +°(")У
оо
w(x):=-i|9(*)<ft (2.1.5)
X
равномерно по х ^ 0.
(i3) Яра фиксированных х ^ 0 w i/ = О, 1 функции е^(х, р) регулярны
при Im р > 0 и непрерывны при р Eft.
(i4) Яри вещественном рфО функции е(х, р) ы е(х, —р) образуют
фундаментальную систему решений уравнения (2.1.1), причем
(е(х,р),е(х,-р)) = -2гр, (2.1.6)
где (y,z) := yz' - y'z — вронскиан функций у и z. Функция е(х,р)
называется решением Йоста уравнения (2.1.1).
Доказательство. Заменой
е(х, р) = ехр(грх)г(х, р) (2.1.7)
приводим уравнение (2.1.3) к виду
г(х,р) = \ 2{р
ОО
1
(\-exp(2ip{t-x)))q{t)z(t,p)dt, х ^ 0, р е ft. (2.1.8)

130 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Метод последовательных приближений дает
1 — exp(2ip(t — х))) х
zo(x,p) = 1, zk+i(x,p) = -
оо
1
х q(t)zk(ttp)dt, (2.1.9)
оо
z(x,p) = ^zfc(x,p). (2.1.10)
к=0
Покажем по индукции, что имеет место оценка
1**(*.Р)1<*Т^' ^G"' х^0' <2ЛЛ1>
где Qo(x) := ^ \q(t)\dt. В самом деле, при к = 0 оценка (2.1.11)
очевидна. Предположим, что (2.1.11) выполняется при некотором
фиксированном к ^ 0. Так как |1 — exp(2ip(t — х))\ ^ 2, то из (2.1.9)
вытекает оо
l**+i(*.p)l < |J| | |<К*Ы*,р)| А. (2.1.12)
Подставляя (2.1.11) в правую часть соотношения (2.1.12), получаем
оо
|2fc+i(x,p)| ^ }.. \ \q(t)\(Q0(t))kdt = (g»f*)) ,
Из (2.1.11) следует, что ряд (2.1.10) сходится абсолютно при х ^ 0,
р Е П и функция z(x, р) является единственным решением
интегрального уравнения (2.1.8). Кроме того, в силу (2.1.10) и (2.1.11)
\z(x9p)\ < exp(Q0(s)/|p|).
|z(*,p) - 1| < (Qo(«)/|p|)exp(Q0(x)/|p|). (2.1.13)
В частности, из (2.1.13) вытекает, что при фиксированном 5 > 0
z(xfp)= 1+о(1), х->оо (2.1.14)
равномерно в £)$ и
z(x,p) = »+0(-). И-^оо, р€П (2.1.15)
равномерно при х ^ 0. Подставляя (2.1.15) в правую часть (2.1.8),
получаем
z(x,p) = l—±- I {\-exp{2ip(t-x)))q(t)dt+0(\y |р| — оо (2.1.16)
X
равномерно при х ^ 0.

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 131
Лемма 2.1.1. Пусть q(x) € L(0,оо),
Jq(x,p) :=
Тогда
q{t)exp(2ip(t-x))dt, р е П. (2.1.17)
lim s\ip\Jq(x,p)\ =0. (2.1.18)
Доказательство. 1) Предположим сначала, что q(x) £ W\.
Тогда интегрирование по частям в (2.1.17) дает
оо
X
и, следовательно, sup|Jg(x,p)| ^ Ся\р\"х.
х^О
2) Пусть теперь q(x) Е L(0, оо). Фиксируем £>0и выбираем q£(x) Е
G Wi так, чтобы
оо
J|g(0-fc(*)|A<5-
о
Тогда \Jq(xtp)\ ^ |Jgff(x,p)| + \Jq-qe(x,p)\ ^ Cgjpl-1 + е/2.
Следовательно, существует р° > 0 такое, что sup |Jg(x, р)| ^ £ при \р\ ^ р°,
р е Q. В силу произвольности £ > 0 приходим к (2.1.18). □
Вернемся к доказательству теоремы 2.1.1. Из (2.1.16) и леммы 2.1.1
вытекает, что
z(x,p) = l + ^+o(i), |р|-> оо, реП (2.1.19)
равномерно при х ^ 0. Из (2.1.7), (2.1.9)-(2.1.11), (2.1.14) и (2.1.19)
выводим (ii) - fa) для v — 0. Кроме того, (2.1.3) и (2.1.7) дают
е'(х,р) = (гр)ехр(грх) ( 1 - —
(1 + ехр(2гр(* - ж))) д(*)г(*. р) dt
(2.1.20)
Используя (2.1.20), получаем (ii) — fa) для v = 1.
Дифференцированием нетрудно убедится, что функция е(х,р) является решением
уравнения (2.1.1). При вещественном р ф 0 функции е(х, р) и е(х,-р)
удовлетворяют уравнению (2.1.1), и в силу (2.1.4) lim (е(х,р),е(х,—
ж—юо
-р)) = -2гр. Так как вронскиан (е(х,р),е(х, —р)) не зависит от х, то
приходим к (2.1.6). Теорема 2.1.1 доказана. □

132 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Замечание 2.1.1. Если q(x) Е Wpj, то существуют функции
ujsi/(x) такие, что при р —> со, р £ fl, i/ = 0, 1,2, имеет место
асимптотическая формула
7V + 1
еЫ{х,р) = (iPrexp(ipx)(l + £ W +°(-4п))'
S=\ "
ш\и(х) =w(x). (2.1.21)
В самом деле, пусть q(x) £ W\. Подставляя (2.1.19) в правую часть
(2.1.8), вычисляем
оо
X
оо
1
2(г/^ J
(1 - ехр(2гр(* - х))) ?(*М*) Л + о(-^). |р| -> <*>•
Интегрируя по частям и используя лемму 2.1.1, получаем
z{z,p) = l+^ + 2BM+oa\ \р\^оо,РеП, (2.1.22)
гР (гр) \р /
где
оо оо оо
"»(*) = -iq(x) + ± J" 9(t)(J «(*) ds) ^ = -\ч(х) + |(| <?(<)*)2.
x £ X
В силу (2.1.7) и (2.1.22) приходим к (2.1.21) для N = 1, i/ = 0. По
индукции можно получить (2.1.21) при всех N.
Если дополнительно имеем xq(x) £ L(0, оо), то решение Йоста
е(х, р) существует также при р = 0. Точнее, справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.1.2. Пусть (1 4- x)q(x) £ L(0, оо). Тогда функции
eW(x, р), ^ = 0, 1, непрерывны при \т р^ 0, х ^ 0, и
|е(х, р)ехр(—грх)| ^ exp(Qi(x)), (2.1.23)
|е(х,р)ехр(-грх)-1|^ (q,(x) - Q, (х + ^)) exp(Q,(x)), (2.1.24)
|е'(х,р)ехр(-грх) - гр| ^ Qo(^)exp(Qi(x)), (2.1.25)
где пп ™
Qi(s)
| QoW
Л.
(t — x)|g(t)|d*.
Сначала докажем вспомогательное утверждение.

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 133
Лемма 2.1.2. Предположим, что с\ ^ 0, и(х) ^ О, v(x) ^ О (а ^
^ х ^ Т ^ оо); и(х) ограничена и (х — a)v(x) £ L(a, Т). Если
и(х) ^ С\ +
(t-x)v(t)u{t)dt,
(2.1.26)
mo
и(х) ^c{exp(\(t-x)v(t)dtY (2.1.27)
Доказательство. Обозначим £(х) = с\ + $x(t - x)v(t)u(t)dt.
Тогда т
«П-с fw-)^M«)A Г = «(хМх)
X
и (2.1.26) дает 0 ^ £"(х) ^ С(ж)г;(:г). Пусть ci > 0. Тогда £(х) > 0 и
«*)
^ v(x).
Следовательно,
(Ш)'«*>-($)'<•<*>■
Интегрируя это неравенство дважды, получаем
т т
и, следовательно,
£
v(t)dt, ln|^<
(* - x)v(f) Л,
£(х) ^ ci exp(\(t - x)v(t)dt).
Согласно (2.1.26) и(х) ^ £(х), и мы приходим к (2.1.27).
Если с\ = 0, то £(х) = 0. В самом деле, предположим противное,
т.е. £(х) ф 0. Так как £(х) ^ 0, £'(х) < 0, то существует То ^ Т
такое, что £(х) > 0 при х < То и £(х) = 0 при х G [То,Г]. Повторяя
рассуждения, получаем при х < То и достаточно малом е > 0:
Т0-е Т0
In €(*) <
(* - x)v(*) <ft <
(t - x)v(*) Л,
что невозможно. Таким образом, £(х) = 0, и (2.1.27) становится
очевидным. □

134 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Доказательство теоремы 2.1.2. При Imp ^ 0 имеем
^у- ехр(гр)
^ 1.
(2.1.28)
В самом деле, (2.1.28) очевидно при вещественных р и при \р\ ^ 1,
Imp ^ 0. Тогда согласно принципу максимума модуля для
аналитических функций [206, с. 204] неравенство (2.1.28) верно также при
\р\^ 1, Imp^O.
Из (2.1.28) вытекает
1 — ехр(2грх) I
2гр
^ х при Imp^O, х ^ 0.
(2.1.29)
Используя (2.1.9) и (2.1.29), получаем оценку
|zfc+1(x,p)| ^
t\q(t)zk{t,p)\dty fc^O, Imp^O, х ^ 0,
и, следовательно, по индукции выводим
оо
1
kfc(^P)K^(Uk(0l*) . fc^°> Imp^O, х^0.
Итак, ряд (2.1.10) сходится абсолютно и равномерно при Imp ^ 0,
х ^ 0, и функция z(x,p) непрерывна при Imp ^ 0, х ^ 0. Кроме того,
оо
|z(x,p)| <expN t\q(t)\dt\ Imp^O, х ^ 0. (2.1.30)
Используя (2.1.7) и (2.1.20), заключаем, что функции е^(х,р), и =
= 0, 1, непрерывны при Imp ^ 0, х ^ 0.
Далее, из (2.1.8) и (2.1.29) следует, что
|z(x,p)| ^ 1 +
{t-x)\q(t)z(t,p)\dt, Imp^O, х ^ 0.
В силу леммы 2.1.2 имеем
\z(x,р)\ ^ exp(Qi(x)), Imp ^ 0, х ^ 0,
(2.1.31)
т.е. верно (2.1.23). Отметим, что оценка (2.1.31) является более
точной, чем (2.1.30).
Используя (2.1.8), (2.1.29) и (2.1.31), вычисляем
|z(x,p)-l|^
(t-x)|g(t)|exp(Q1(t))d^exp(Q,(x))
(t-x)\q{t)\dty

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 135
и, следовательно,
\z(x,p)- 1| ^Qi(x)exp(Qi(x)), Imp^O, х>0. (2.1.32)
Более точно,
, 1
\z(x,p)-l\^^(t-x)\q(t)\exp(Qi(t))dt+± | |9(t)|exp(Q,(*))dt
^'IpI
оо оо
exp(Q,(x))([(t-x)|9(0|d«- | («-x-|J|)l9(«)|d«) =
= (Q1(x)-Ql(x + ^))exp(Q1(x)),
т.е. верно (2.1.24). Наконец, из (2.1.20) и (2.1.31) следует, что
|е'(х, р) ехр(—грх) — ip\ ^
оо
|g(0|exp(Q,(*)) A ^ exp(Qx(x)) [ |<К*)|Л,
и мы приходим к (2.1.25). Теорема 2.1.2 доказана. □
2а2
Замечание 2.1.2. Рассмотрим функцию q(x) = =» ГДе а —
(1 +ах)
комплексное число такое, что а £ (—оо,0]. Тогда q(x) е L(0, оо), но
xq(x) ^ L(0, оо). Решение Йоста в этом случае имеет вид (см. пример
2.2.1):
е(х,р)=ехР(грх)(1--гг^у),
т. е. е(х, р) имеет особенность при р — 0; поэтому условие
интегрируемости в теореме 2.1.2 не может быть опущено.
Для решения Йоста е(х,р) существует оператор преобразования.
Точнее, справедлива следующая теорема.
Теорема 2.1.3. Пусть (1 + x)q(x) Е Z/(0,oo). Тогда решение
Йоста е(х, р) представило в виде
ос
I
е(х, р) = ехр(грх) 4- Л(х, t) exp(ipt) dt, Im р ^ 0, х > 0, (2.1.33)
X
где А(х, i) — непрерывная функция при 0^х^£<оои
оо
1
А(х,х) = 2
q(t)dt, (2.1.34)

136 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
\A(x,t)\ < \Qq{^) exp(g.(x) - Q, (£y1)). (2.1.35)
oo oo
1 + [ I Alp, t)\dt^ exp(Qi(x)), [ \A(x, t)\ dt < Q, (x) exp(Q, (x)). (2.1.36)
X X
dA
Кроме того, функция A{x\yX2) имеет первые производные ~^—, г = 1,2;
ах i
функции
o7l(xi,X2) , 1 /zi + х2>
i,z2) , 1 /xi + х2\
дхг ^ 4Ч\ 2 У
абсолютно непрерывны по х\ и хг и удовлетворяют оценкам
дА(х\,х2) , 1 (х\ + х2\ I ^ 1 п / лп (х\ + х2\
xexp^^xO-Q^i^)), i=lf2. (2.1.37)
dxi
Доказательство. Рассуждения при доказательстве этой
теоремы аналогичны тем, что были приведены в § 1.1, но с
соответствующими изменениями. Эту теорему можно также найти в [173, 164].
Согласно (2.1.7) и (2.1.10) имеем
оо
е(х,р) = ^£/с(х,р), вк{х,р) = zk(x,p)exp(ipx). (2.1.38)
fc=0
Покажем по индукции, что справедливо следующее представление:
£к(х,р)
dk{x,i) exp(ipt) dty к ^ 1,
(2.1.39)
где функции dk{xyt) не зависят от р.
Сначала вычислим е\(х,р). В силу (2.1.9) и (2.1.38) имеем
£\(xtp)= ?^Ш—±L exp(ips)q(s) ds = -
oo 2s —x
q(s)( exp(ipt)dt) ds.
Меняя порядок интегрирования, получаем, что (2.1.39) верно при к
= 1, где
ах(хЛ) = -
q(s)ds.
(*+*)/2

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 137
Предположим теперь, что (2.1.39) верно при некотором к ^ 1. Тогда
I sin о( s ос)
€k+\(x%p)= —- Lq(s)ek(s,p)ds =
оо оо
—— -q(s)( dk(s,u)exp(ipu)du) ds =
оо схэ
s+u—x
q(s)( dk(s,u)( exp(ipt)dt) du\ ds.
-s+u+x
Продолжим dk(s,u) нулем при и < s. При s ^ x это дает
оо s+u—x оо t+s—X
dk(s,u)( exp(ipt) dt) du = \ exp(ipt)( dk(s,u)du) dt.
-s+u+x
t—s+x
Поэтому
£fc+l(x,p)
oo t+s — X
t—s+x
p(ipt)( q{s)( dk(s,u)du) ds) dt
oo
= dk+\(x, t)exp(ipt)dt,
где
oo t+s—x
ajt+i(i,t) = - g(s)f dk(s,u)dujdsy t^x.
x t—s+x
Выполняя замены переменных u + s = 2auu — s = 2/3 соответственно,
получаем
oo (t-x)/2
afc+i(x,0= [ ( [ q(a-0)ak(a-pta + 0)dp>)da.
(t+x)/2 0
Полагая Hk(a, /3) = dk(a — /?,a + /?), t + x = 2u, t — x = 2v,
вычисляем для 0 ^ v ^ и:
oo oo V
Hi(u,v) = ^\q(s)ds, Hk+{(u,v) = U\q(a-0)Hk(a,0)dl3)da. (2.1.40)
и 0

138 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
По индукции можно доказать, что
\Hk+](u,v)\^l-QQ(u){Ql{u v)k{ Q]{u))\ k>0,0<v^u. (2.1.41)
В самом деле, при к = О оценка (2.1.41) очевидна. Предположим, что
(2.1.41) верно для Hk(u}v). Тогда (2.1.40) дает
|tft+,(u,w)|<i
Qo(a)(J|9(a-/J)|
о
(Q,(g-/3)-(?,(<*))*''
(fc-1)!
df3)
da.
Так как функции Qo{x) и Q\{x) монотонные, то
о
(Ql(a-v)-Ql(a))k-lx
\Hk+l(».v)\*iM"L
2 (к- 1)!
х (Q0(a - t,) - Qo(«)) ^ = ^oW)(Ql(M' ^ Ql(u)) ,
т.е. (2.1.41) доказано. Поэтому ряд H(u,v) = Yl(kL\Hk{v>,v) сходится
абсолютно и равномерно при ОО^и
tf(u,t,) = i
Положим
q(s)ds+ \(\я(а- Р)Ща,0)d/j) da, (2.1.42)
u и 0
№. «)| < ±Q0(u) exp(Q, (U - W) - Q, (u)). (2.1.43)
Л(х,0 = я(^,Ц^). (2.1.44)
Тогда A(xtt) = Х^ь=1 afc(x»^)' пРичем РЯД сходится абсолютно и
равномерно при 0 ^ х ^ t и имеют место соотношения (2.1.33)—(2.1.35).
Используя (2.1.35), вычисляем
|A(x,*)|cft^exp(Qi(x))
Qo(0«p(-Qi(OK:
= exp(Q,(x)) | ^(exp(-Qi(0)) « = exp(Qi(s))
и приходим к (2.1.36).

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 139
Далее, из (2.1.42) вытекает
dH(u,v)
ди
-q(u) -\q{u
(3)H{u,f3)d(3,
дн(
^ ' = q(a — v)H(a, v)da.
(2.1.45)
(2.1.46)
Из (2.1.45)-(2.1.46) и (2.1.43) имеем
\q(u - /?)|Q0(u)exp(Qi(ti - /J) - Qi(ti))d/?f
dH(u,v) , 1 , J . 1
du
dH{u,v)
dv
^2
|g(a - i;)|Q0(^)exp(Qi(a - v) - Q\(a)) da.
Так как
\q(u-p)\d(3
\q(s)\ds^ Q0(u-v),
Ql{a-v)-Qi(a)= I Q0(t)dt^
a—v
и
<
Qo{t)dt = Q\{u- v) - Q\(u), и < a,
то
dH(u,v) . 1
du
+ 7>ЯЫ\ ^ oQo(u)exp{Qi(u-v)-Q{{u))
\q(u-(3)\d/3^
^ ±Q0{u - v)Qo(u) exp{Ql (u-v)- Q, (u))f (2.1.47)
dH(u,v)
dv
^ 2<2o(u) exp(Qi(u - v) - Qx(u))
\q(a — v)| da ^
^ 2Qo(ti-v)Qo(ti)exp(Q!(M-t;)-Qi(u)). (2.1.48)

140 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В силу (2.1.44)
6А{х% t) _ 1 / дН(и, у) дН(и, v) \ дА(хЛ) _ 1 (дН(и,у) дН{и,у)\
дх ~2\ ди ду )% dt ~2\ ди dv )'
где t + x t-x
Следовательно,
dA(x,t) , 1 /z + *\ \{дН(и,у) , 1 , Л \дН{и,у)
1ая(и,и)
дА(хЛ) , 1 /ж + *\ \(дН(и,у) , 1 , Л
+ ■
2 9v '
Учитывая (2.1.47), (2.1.48), приходим к (2.1.37). Теорема 2.1.3
доказана. □
Пусть (1 + x)q(x) € L(0, оо). Введем потенциалы
9r(x) = |jW- Xxfrr' г 2 0, (2.1.49)
и рассмотрим соответствующие решения Йоста
оо
ег(х,р) = ехр(грх) 4- Ar(x, £)ехр(гр£) eft. (2.1.50)
X
Согласно теоремам 2.1.2, 2.1.3 имеем
|ег(х,р)ехр(-грх)| < exp(Qi(x)),
|ег(х,р)ехр(-грх) - 1| ^ <2i(x)exp(Qi(x)), (2.1.51)
\e'r(xt р) exp(-ipx) - ip\ ^ Qo(x) exp(Q\ (x)),
|i4r(x,OI<5Qo(£^)exp(Q1(x)-g1(^)). (2.1.52)
Кроме того,
er(x, p) = ехр(грх) при x > r,
Лг(х, £)=0 при x + £>2r.
(2.1.53)
Лемма 2.1.3. Пусть (1 + x)g(x) G L(0,оо). 7огда яри Imp^O,
x ^ 0, r ^ 0 справедливы оценки
оо
\(er(x,p)-e(x,p))exp(-ipx)\ < | t|g(t)|dt exp(Q,(0)), (2.1.54)
Г
|(e;(x, p) - e'(x, p)) ехр(-грх)| ^
oo
< (Qo(r)+ f t|9(OI*Qo(0))exp(Q,(0)). (2.1.55)

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 141
Доказательство. Обозначим
zr(x, р) = ег(х, р) ехр(—ipx), z(x, р) = е(х, р) ехр(—ipx),
ur(x, р) = \zr(x, р) - z{x, р)\.
Из (2.1.8) и (2.1.29) вытекает
иг{х,р) ^
{t - x)\qr(t)zr(t, р) - q(t)z(t, р)\ dt,
Imp 5*0, х^О, г^О. (2.1.56)
Пусть х ^ г. В силу (2.1.23), (2.1.49), (2.1.56) имеем
иг(х,р) ^
> ос
{t-x)\q(t)z(t,p)\dt^ \{t-x)\q(t)\exp{Qi(t))dt.
Так как функция Q\(x) монотонна, то
ur(x,p) ^ Qi(x)exp(<2,(x)) ^ Q,(r)exp(Q1(0)), х > т. (2.1.57)
При х ^ г оценка (2.1.56) дает
оо г
ur{x,p)^ \(t-x)\q{t)z(t,p)\dt + \(t-x)\q(t)\ur(t,p)dt.
Г X
Используя (2.1.23), выводим
Ur(x,p) ^exp(Qi(r))
t\q(t)\dt +
(t-x)\q(t)\ur(t,p)dt.
Согласно лемме 2.1.2 приходим к соотношению
ur{x,p) ^exp(Qi(r))
t\q(t)| dt expM (t - x) \q(i) \ dt\ x ^ r,
и, следовательно,
oo oo
ur(x,p) <exp(Qi(x)) f*|g(«)|d*<exp(gi(0)) f*|g(t)|cftf
X ^ r.
Вместе с (2.1.57) это приводит к (2.1.54). Обозначим
vr(x, р) = \{е'г(х, р) - е'(х, р)) ехр(-грх)|, Im р ^ 0, х ^ 0, г ^ 0.

142 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Из (2.1.20) вытекает
\qr(t)zr(t,p)-q(t)z(t,p)\dt, lmp>0, х > О, г ^ 0.
(2.1.58)
vr(x,p) ^
Пусть х ^ г. В силу (2.1.23), (2.1.49), (2.1.58) имеем
vr(xtp) <
|^(0|exp((5i(t))^ < Qo(x)exp(Q!(x)) <
<(9o(Oexp(Qi(0))f Imp^O, 0 ^ r ^ x. (2.1.59)
При x ^ г оценка (2.1.58) дает
vr(x,p) ^
\q(t)z(t,p)\db +
\q{t)\ur(t,p)dt.
Используя (2.1.23) и (2.1.54), выводим
vr(x,p) ^
\q(t)\exp(Q\(t))dt + exp{Q
ОС
(0))|*l9(e)l
ds
|9(<)|#,
и, следовательно,
vr(x,p)^(Q0(r) + Qo(O)\t\q(t)\dt}exp(Ql(O)), 0 < x < r, Imp^O.
Г
Вместе с (2.1.59) это дает (2.1.55). Лемма 2.1.3 доказана. □
Теорема 2.1.4. Для каждого 5 > 0 существует а = as ^ 0
такое, что яри р G П<5 уравнение (2.1.1) имеет единственное решение
у = Е(х, р) удовлетворяющее интегральному уравнению
Е(х, р) = exp(-ipx) +
J_
2гр
ехр(гр(х - t))q(t)E(t, р) dt +
оо
+ ^r- exp(ip(t - x))q(t)E(t, р) dt. (2.1.60)
Функция Е(х,р), называемая решением Бирхгофа для (2.1.1), имеет
следующие свойства:
(ii) Е^(х,р) = (-гр)1/ехр(-грх)(1 + о(1)), х —> оо, v = 0,1,
равномерно по \р\ ^S, Imp ^ а при каждом фиксированном а > 0;
(i2) ЕМ(х,р) = (-гр)"ехр(-грх)(1 + 0(р~1)), |р| -> оо, реП
равномерно по х ^ а;

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 143
(\з) при каждом фиксированном х ^ 0 функции Е^и\х,р) регулярны
при Imp > О, \р\ ^ 5 и непрерывны при р £ fi$;
(U) функции е(х,р), Е(хур) образуют фундаментальную систему
решений уравнения (2.1.1), причем (е(х, р), Е(х,р)) = —2гр;
([*>) если 6 ^ Qo{0)y то можно брать а = 0.
Доказательство. При фиксированном 8 > 0 выберем а = as ^
^ 0 так, чтобы Qo(a) ^ <$• Заменой Е(х,р) = ехр(—ipx)£(x, р) сведем
(2.1.60) к уравнению
X
&х, р) = 1 + J- | exp(2v(a; - t))q{t)S(t, р) dt +
а
оо
+ ^-\qit)i{t-P)dt. (2.1.61)
X
Метод последовательных приближений дает
X
£о{х,р) = 1, &+i(x,p) = 2^ ехр(2гр(х-0М*)ЫМ^ +
а
оо
ОО х
fc=0
причем
|&+1(х,р)|^2щ||д(*)Ы*.Р)|Л.
и, следовательно,
Таким образом, при х ^ а, |р| ^ Qo(a) имеем
К(*,р)|<2, |^(x,p)-l|^Qo(a)H-'-
Из (2.1.60) вытекает
X
Е'(х, р) = ехр(-грх) ( —гр + - ехр(2гр(х - t))q(t)£(t, р) dt —
а
оо
1 * q{t)Z{t,p)dt\. (2.1.62)

144 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Так как |£(х, р)| ^ 2 при х ^ a, peQs, то из (2.1.61)-(2.1.62) выводим
\Е^(х, p)(-ip)-uexp(ipx) - 1| <
X оо
< щ (| ехр(-2т(х - t))\q(t)\ dt + j |g(t)| л)
£
^
И
(ехр(-тх)
x/2
l?WI* +
Ш*).
x/2
и, следовательно, свойства (ii), (i2) доказаны. Остальные утверждения
теоремы 2.1.4 очевидны. □
2.1.2. Свойства спектра. Обозначим
Д(р) = е/(0.р)-Ле(0,р).
(2.1.63)
В силу теоремы 2.1.1 функция Д(р) аналитична при Imp > 0 и
непрерывна при р е Q. Из (2.1.5) следует, что при |р| —> оо, р е Q имеют
место асимптотические формулы
e(0.p) = l + g+o(I). ДЫ = (г,)(1 + ^+0(1)), (2.1.64)
где ы, =о;(0), о;ц = w(0) - ft. Используя (2.1.7), (2.1.16) и (2.1.20),
можно получить более точно:
оо
5(0, р) = 1 + ^ + ^ | g(i) exp(2ipi) dt + О (1),
A(p) = (tp)(l +
wn }_
ip 2ip
g(i)exp(2vrt)dt + o(-UY (2.1.65)
Обозначим
Л = {Л = p2 : p e П. Д(р) = 0},
Л' = {Л = p2 : Imp > 0, Д(р) = 0},
Л" = {Л = p2 : Imp = 0, р ^ 0, Д(р) = 0}.
Очевидно, что Л = Л' U А" — ограниченное множество, а Л' —
ограниченное не более чем счетное множество. Обозначим
*-»-Ш
(2.1.66)

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 145
Функция Ф(х, Л) удовлетворяет уравнению (2.1.1) и, в силу (2.1.63)
и теоремы 2.1.1, также условиям
ЩФ) = 1, (2.1.67)
Ф(х,А) = 0{exp(ipx))9 х -> оо, р € ft, (2.1.68)
где U определено в (2.1.2). Функция Ф(ж, Л) называется решением
Вейля для L. Отметим, что (2.1.1), (2.1.67) и (2.1.68) однозначно
определяют решение Вейля.
Положим М(Л) := Ф(0, Л). Функция М(Х) называется функцией
Вейля для L. Из (2.1.66) вытекает
М(А)= д^Г (2169)
Ясно, что
Ф(х, А) = S{x, Л) + М (А)у>(я, А), (2.1.70)
где функции <р(ж, А), 5(х, А) являются решениями (2.1.1) при
начальных условиях
¥>(0, А) = 1, <//(0, А) = К 5(0, А) = 0, 5'(0, А) = 1.
Заметим, что функция Вейля играет важную роль в спектральной
теории операторов Штурма-Лиувилля (см., например, [165]).
Согласно формуле Остроградского-Лиувилля вронскиан ((/?(х,А),
Ф(а;, А)) не зависит от х. Так как (</>(х, А),Ф(х, А))|х=0 = и(Ф) = 1, то
получаем
(ф,\),Ф{х,\)) = 1. (2.1.71)
Теорема 2.1.5. Функция Вейля М(Х) аналитична в П \ Л'
и непрерывна в Т[\ \ Л. Множество особенностей М(Х) (как
аналитической функции) совпадает с множеством Ло := {А : А ^ 0} U Л.
Теорема 2.1.5 следует из (2.1.63), (2.1.69) и теоремы 2.1.1. В силу
(2.1.70) множество особенностей решения Вейля Ф(х, А) совпадает с Ло
при каждом х ^ 0, так как функции </?(х, A), S(x, А) являются целыми
по А при каждом х ^ 0.
Определение 2.1.1. Множество особенностей функции Вейля
М(А) называется спектром L. Те значения А, при которых
уравнение (2.1.1) имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям
U(y) = 0, у(оо) = 0 (т.е. lim у(х) = 0), называются собственными
х—кх>
значениями L, а соответствующие решения называются собственными
функциями.
Замечание 2.1.3. Можно ввести оператор
L° : D(L°) -+ L2(0, оо), у -> -у" + q(x)y
с областью определения D(L°) = {у : у е L,2{I) П ACioc(I), у' е
€ ACl0C{I), L°y е L2(I), U{y) = 0}, где / := [0, оо). Нетрудно убедить-

146 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
ся, что спектр L° совпадает с Ло- Для операторов Штурма-Лиувилля
с равным успехом можно работать как с оператором L0, так и с
парой L. Однако для обобщений на многие другие классы обратных
задач с методической точки зрения более естественно здесь работать
с парой L (см. также гл. 3).
Теорема 2.1.6. L не имеет собственных значений при А > 0.
Доказательство. Предположим, что Aq = pi > 0 является
собственным значением, а уо(х) — соответствующая собственная
функция. Так как функции {е(х, ро),е(х, — ро)} образуют фундаментальную
систему решений уравнения (2.1.1), то уо{х) = Ае(х,ро) 4- Ве{х, -ро)-
При х —» сю имеем: уо(х) ~ 0, е(х, ±ро) ~ exp(±ipox). Но это возможно
лишь при А = В = 0. □
Теорема 2.1.7. Пусть Aq £ [0,сю). Для того чтобы Aq было
собственным значением, необходимо и достаточно, чтобы Д(ро) = 0.
Другими словами, множество ненулевых собственных значений
совпадает с А''. Каждому собственному значению Ао Е Л'
соответствует только одна (с точностью до постоянного множителя)
собственная функция, а именно
<р(х, А0) = foe(x, ро), & ф 0. (2.1.72)
Доказательство. Пусть Ао G Л'. Тогда U(e(x,ро)) = Д(ро) = 0
и, в силу (2.1.4), lim е(х,ро) = 0. Таким образом, е(х, ро) — собствен-
X—КЭО
ная функция, а Ао■ = Pq — собственное значение. Кроме того, из (2.1.66)
и (2.1.71) вытекает, что ((р(х,Х),е(х,р)) = А(р), и, следовательно,
верно (2.1.72).
Обратно, пусть Ао = />q, ^тРо > 0, — собственное значение,
а уо(х) — соответствующая собственная функция. Ясно, что уо(0) ф 0.
Без ограничения общности считаем, что уо(0) = 1. Тогда у'0(0) = h,
и, следовательно, уо{х) = <р(х,\о). Так как функции Е(х,ро),
е(х,ро) образуют фундаментальную систему решений уравнения
(2.1.1), то уо(х) = &оЕ(х,ро) -f /Зое(х,ро). При х —> сю вычисляем
ао = 0, т.е. уо(х) = /Зое(х,ро). Отсюда получаем (2.1.72). Тогда
Д(ро) = U(e(x, ро)) = 0, и (р(х, Ао), е(х,ро) являются собственными
функциями. D
Таким образом, спектр L состоит из положительной полуоси
{А : А ^ 0} и дискретного множества Л = Л' U Л". Каждый элемент
множества Л' является собственным значением L. Согласно теореме
2.1.6 точки множества Л" не являются собственными значениями L;
они называются спектральными особенностями L.
Пример 2.1.1. Пусть q(x) = 0, h = id, где в — вещественное
число. Тогда Д(р) = гр — h и Л' = 0, Л" = {#}, т.е. L не имеет
собственных значений, а точка ро = 0 является спектральной
особенностью для L.

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 147
Из (2.1.5), (2.1.64), (2.1.66) и (2.1.69) следует, что при \р\ -+ ос,
р € Q имеют место асимптотические формулы
M^=Ul^+°&)> (2Л73)
фИ(х,А) = (ip)»-1 exp(ipx) (\ + ^ +°(")) (2.1.74)
1 гх
равномерно по х ^ 0, причем т\ = h, В(х) = h + - J 0 g(s) ds. Учитывая
(2.1.65), можно получить более точно:
М(А) = 1 1 + ^1 + 1
гр I гр гр
<?(£) ехр(2гр£) ctt + О у 2
р2; / ' (2.1.75)
\р\ —> оо, р Е fi.
Кроме того, если q(x) Е И^, то в силу (2.1.21) имеем
где т\ = h, m<i — —q{0)/2 + /i2,... Обозначим
V(\) = JL (М-(A) - M+(A)), A > 0, (2.1.77)
где M=fc(A) = lim M(\±iz). Из (2.1.73), (2.1.77) вытекает
z—►(), /?ez>0
V(A) = i-(l+o(i)V p>0, p^+oo. (2.1.78)
Используя (2.1.75), вычисляем более точно:
nA) = ^^ + iJ,(*)8in2ptA + 0(4F)r (21J9)
р > 0, р —> +00.
Кроме того, если q(x) Е W^+i, то (2.1.76) дает
™-h{^H£h'{?*))
, р>0, р-»+оо, (2.1.80)
где У25 = (-l)sm2s, V2s+\ = 0.
Замечание 2.1.4. Аналогичные результаты верны также и в
случае, когда вместо U(y) = О рассматривается краевое условие Uo(y) :=
= у(0) = 0. В этом случае решение Вейля Фо(х, А) и функция Вейля

148 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Мо(А) определяются условиями Фо(0, Л) = 1, Фо(х,А) = 0(ехр(грх)),
х —► оо, Mq(X) := Фо(0, Л), причем
Фо(х,Л) = ^|=С(х,А) + М0(А)5(х,Л), М0(А) = ^^, (2.1.81)
где С(х,Л) — решение уравнения (2.1.1) при условиях С (О, А) = 1,
С"(0,А)=0.
2.1.3. Теорема о разложении. В А-плоскости рассмотрим контур
^ = у и у (с обходом против часовой стрелки), где У — ограниченный
замкнутый контур, охватывающий множество Л U {0}, а У —
двусторонний разрез вдоль луча {А : А > О, \ £ Шу'}.
рис. 2.1.1
Теорема 2.1.8. Пусть /(ж) Е И^. Тогда равномерно по х ^ О
f(x) = ^- [ фч A)F(A)М(A) dA, (2.1.82)
где
оо
F(A):= \<p(t,\)f(t)dt.
Доказательство. Будем использовать метод контурного
интеграла. Для этого рассмотрим функцию
X оо
У(х, А) = Ф(ж, А) [ <p(t, \)f(t) dt + ip(x. A) [ Ф(«, X)f(t) dt. (2.1.83)
0 x
Так как функции <p(x, А), Ф(х,А) удовлетворяют уравнению (2.1.1), то
У(х, А) можно преобразовать к виду
х
У(ж, А) = 1ф(х, A) [(-</>"(*> A) + 9(*М*. А))/(«) Л +
о
оо
+ 1ф, A) f (-Ф"(«, А) + q(t)*(t, \))f(t) dt.

§2.1. Операторы Штурма-Лиувилля на полуоси 149
Интегрируя дважды по частям слагаемые, содержащие вторые
производные, получаем с учетом (2.1.71):
у(х, Л) = I (/(х) + Z(x, А)), (2.1.84)
где
Z(x, Л) = (/'(0) - Л/(0))Ф(х, Л) + Ф(х, Л) \ <p(t, X)tf(t) dt +
о
oo
+ ф. A) f Ф(г, \)Cf(t) dt. (2.1.85)
X
Аналогично
oo
F(A) = -}(/'(0) - Л/(0)) + \ \ <p(t,\)tf(t)dt, A >0. (2.1.86)
о
Функция <р(я, А) удовлетворяет интегральному уравнению (1.1.11).
Обозначим
/iT(A) =om^(|(^(x,A)|exp(-|r|x)), г := Imp.
Тогда (1.1.11) дает при \р\ ^ 1, хе [0,Г]:
т
|^Д)|ехрНг|х)<С + ^||9(«)|Л,
о
и, следовательно,
Т оо
№(А) ^ С + ^р } l«WI * ^ С + ^р } 1«(*)1 А-
о о
Отсюда заключаем, что |/хг(А)| ^ С при |р| ^ р*. Вместе с (1.1.12) это
дает при и = О,1, |р| ^ р*:
\<рМ(х,\)\<С\р\"ехр(\т\х) (2.1.87)
равномерно по х ^ 0. Кроме того, из (2.1.74) следует, что при v = 0, 1,
\р\>р*-
|фМ(х,А)| <СИ"-'ехр(-|т|х) (2.1.88)
равномерно по я ^ 0. В силу (2.1.85), (2.1.87), (2.1.88) имеем: Z(x, А) =

150 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
= 0(р 1) при |Л| —> оо равномерно по х ^ 0. Поэтому соотношение
(2.1.84) дает
lim sup
№-i- \ Y(x,\)
dX
\X\ = R
= 0,
(2.1.89)
где контур в интеграле проходится против часовой стрелки.
Рассмотрим контур 7я = (7 П {Л : |А| ^ R}) U {Л : |А| = R} (с обходом по
часовой стрелке).
рис. 2.1.2
По теореме Коши [206, с. 149] ■=—. f 0 Y(x, X)dX = 0. Учитывая
(2.1.89), получаем
lim sup
f(x)-^-^Y(x,X)d\
1R
= 0,
где 7я = 7 П {А : |А| ^ R} (с обходом против часовой стрелки). Отсюда,
используя (2.1.83) и (2.1.70), приходим к (2.1.82), так как слагаемые
с S(x\ А) пропадают в силу теоремы Коши. Отметим, что согласно
(2.1.79), (2.1.86), (2.1.87) справедливы оценки
F(A) = 0(A"1), M(X) = 0{p-{), ip(x,\) = 0(l)t х^О, А > О, А ^ оо,
и, следовательно, интеграл в (2.1.82) сходится абсолютно и равномерно
при х ^ 0. □
Замечание 2.1.5. Если q(x) и h вещественны и (1 + x)q(x) €
е L(0, со), то (см. §2.3) Л" = 0, Л' С (—оо,0) — конечное множество
простых собственных значений, V(X) > 0 при А > О (V{X) определено
в (2.1.77)), а М(Х) = 0(р~1) при р —► 0. Тогда (2.1.82) принимает вид
/(*) =
<p{x,\)F(\)V(\)d\+ ^2 v(x>xj)F(xj)Qh Qj '•= R:es М(Л)>
\j€A' ~Xj

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 151
или
/(*)
<p(xt\)F(\)da(\),
где сг(Л) — спектральная функция L (см. [165]). При Л < 0 сг(А) —
ступенчатая функция; при Л > О сг(Л) — абсолютно непрерывная
функция, причем <т'(А) = V(A).
Замечание 2.1.6. Из доказательства следует, что теорема 2.1.8
остается верной и при f(x) € W\.
§ 2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых
потенциалов
2.2.1. Восстановление оператора по функции Вейля.
В этом пункте исследуется обратная задача восстановления пары
L = L(q(x),h) вида (2.1.1), (2.1.2) по заданной функции Вейля М(А).
Для этих целей используется метод спектральных отображений,
описанный в §1.4 для операторов Штурма-Лиувилля на конечном
интервале. Так как для случая полуоси рассуждения во многом
аналогичны, то доказательства теорем в этом пункте не столь
подробны, как в § 1.4.
Сначала докажем теорему единственности решения обратной
задачи. Как и в гл. 1, условимся, что_ наряду с L здесь и в дальнейшем
рассматривается пара L = L(q(x), h) того же вида, но с другими
коэффициентами. Если некоторый символ 7 обозначает объект,
относящийся к L, то 7 будет обозначать аналогичный объект, относящийся к L,
а 7 := 7 ~~ 7-
Теорема 2.2.1. Если М{\) = М(А), то L — L. Таким образом.,
задание функции Вейля однозначно определяет q(x) и h.
Доказательство.Определим матрицу Р(х,А) = [Pjk{x*X)]j,k=\,2
по формуле
Р(х,\)
ц>(х,\) Ф(я, А)
ф'(х,\) Ф'(х,\) J
<р{х,\) Ф(х, А)
tp'(xt\) Ф'(х,\)
В силу (2.1.71) это дает
Ря(х, А) = ipU-l)(x, А)Ф'(х, А) - фО-0(Х1 А)£'(х, А)
Pj2{x, А) = Ф^-1}(х, А)£(х, А) - ^~х\ху А)Ф(х, А)
ц>(х, X) = Р\\(х, А)£(х, А) + Р\2{х, \)(р'(х, А)
Ф(х, А) = Рц(х, А)Ф(х, А) + Р12(х, А)Ф'(х, А)
(2.2.1)
(2.2.2)

152 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Используя (2.2.1), (2.1.87), (2.1.88), получаем при |А| -> оо, А = р
,2 .
Pjk{x, А) - 6jk = 0{р-% J ^ к\ P2i{x9 А) = 0(1).
(2.2.3)
Если М(Л) = М(Л), то в силу (2.2.1) и (2.1.70) функции Pjk{xyX)
являются целыми по Л при каждом фиксированном х. Вместе с (2.2.3)
это дает Р\\(х,Х) = 1, Р\2(^А) =0. Подставляя в (2.2.2), получаем
(£>(х, Л) = !р{х,\), Ф(х, Л) = Ф(х, Л) при всех х и Л, и, следовательно,
l = l. а
Перейдем теперь к построению решения обратной задачи. Будем
говорить, что LgVjv, если q(x) е Wn. Обратную задачу будем решать
в классах Удг. _ _
Пусть пара L = L(q(x), h) выбрана так, что
p4\V{\)\2 dp < ос, V :=V-V
(2.2.4)
рш
при достаточно большом р* > 0. Условие (2.2.4) носит технический
характер и_введено для упрощения выкладок. В принципе,
модельную пару L можно брать любой (например, q(x) = h = 0), но при
произвольном выборе L доказательства, вообще говоря, становятся
более громоздкими. С другой стороны, (2.2.4) не является жестким
ограничением, так как в силу (2.1.79)
p2V(X)
q(t)sm2ptdt + o(-Y
В частности, если q(x) € L<i, то (2.2.4) выполняется автоматически для
любой функции q(x) Е 1/2- При iV ^ 1 условие (2.2.4) также
выполняется для любой модельной пары L eV^.
Из (2.2.4) вытекает
\V(\)\d\ = 2
p\V(\)\ dp < оо, А* = (Л , А = р1. (2.2.5)
р*
Обозначим
А — fJ>
</?(£, А)</?(£, р) dt,
D(x,\,p)
(у?(х,А),(/?(х,//))
Л — /i
<p(t,\)(p(t,p) dt,
(2.2.6)
r(x, A, /i) = D(x, A, /i)M(/i), r(x, A, /i) = D(x, A, p)M(p).

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 153
Лемма 2.2.1. Имеют место оценки
А = р2, /1 = в2 ^ О, ±0Re р^О. (2.2.7)
Доказательство. Пусть р = а + гт, и пусть для
определенности в ^ О, <т ^ 0. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Зафиксируем 5q > 0. При \р — в\ ^ <5о в силу (2.2.6) и (2.1.87) имеем
\D(x,\.n)\ = \МХ'УМ*Ф))\ ^ Сехр(Мж)М±М (2.2.8)
Л — р
|р2-021
Так как
(используется оценка (а + Ь)2 ^ 2(а2 + Ь2) при вещественных а, 6), то
(2.2.8) дает
№,A,M)KC^y. (2.2.9)
При \р — в\~^ 6о имеем
IP-0I + 1 <п1
|р-0| ^ +<V
и, следовательно,
1 Со
|р-0| " |р-0| + Г
где Со = -—:—. Подставляя эту оценку в правую часть (2.2.9), полу-
чаем
|D(x.At/,)|<^Jf.
и (2.2.7) доказано при \р — в\^ 5q.
При \р- в\ ^ 60 в силу (2.2.6) и (2.1.87) имеем
|1>(х,А,/к)|<
|<р(£, А)<р(£,/z)|d£ ^ Схехр(|т|л;),
т.е. (2.2.7) верно также и при \р — 0| ^ Sq. П

154 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Лемма 2.2.2. Справедливы соотношения
d9
0(|Я-0| + 1)
dO
1
e\\R-e\ + \y \R
Я-+00,
Й-+00.
(2.2.10)
(2.2.11)
Доказательство. Так как
! = -i-fl + ' )
0(Я-0+1) R+\\0 R-0+IJ*
0(6-R+\) R-\\e-R+\ в)'
то при R > 1 вычисляем
оо R оо
0(|Я-
dB_ = Г dJB г
-0| + 1) "J 0(fl-0+l) + J
dO
R
0(Я-0 + 1) J 0(0-Я+1)
l R
n oo
—\ J (o + я-0+l) d^ + ТТЛ J U-tf+l ~ 0)
de
2 In Я In Я
Я + 1 Я-Г
т.е. верно (2.2.10). Аналогично при R > 1 имеем
R оо
Г dg
J 02(|Я-0| +
d<9
l
02(Я-0+1)2
+
d<9
02(0-Я+1)2
£
^
(Я+1)
Ш-язЬ)^
+
#
(0-Я+1)
(Д
2 г
+ l)2Vj
02 j
1
d<9
e{R-e
+ 1)/ Я2 J в2 \R2J
т.е. верно (2.2.11). □
В А-плоскости рассмотрим контур 7 = l' U 7" (с обходом против
часовой стрелки), где У — ограниченный замкнутый контур, охватыва-

§ 2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 155
ющий множество Л U Л U {0}, а 7" — двусторонний разрез вдоль луча
{Л : Л > 0, Л 0 inty} (см. рис. 2.1.1).
Теорема 2.2.2. Справедливы соотношения
<р(х, А) = ip{x, А) +
2тгг
r(x,A,/z)-r(z,A,/i) + —
г(х, А, /х)<р(х, /i) djx, (2.2.12)
г(х, А, 0^(х, С, АО d£ = 0. (2.2.13)
Уравнение (2.2.12) называется основным уравнением обратной
задачи.
Доказательство. Из (2.1.73), (2.1.87), (2.2.6) и (2.2.7)
вытекает, что при A,/i е 7, ±Re/9±Re# ^ 0 имеют место оценки
Сх
|r(x,A,/x)|. |г(х,А,а01 ^
H(|p=F0| + ir
|у>(х,А)| ^С. (2.2.14)
Из (2.2.14) с учетом (2.2.10) следует, что интегралы в (2.2.12)
и (2.2.13) сходятся абсолютно и равномерно на 7 при каждом х ^ 0.
Обозначим J1 = {А : А ^ 7 U int7;}- Рассмотрим контур 7я — 7 П
П {А : |А| ^ Д} с обходом против часовой стрелки, а также рассмотрим
контур 7я ~ 7/г U {А : |А| = R} с обходом по часовой стрелке (см.
рис. 2.1.2). Согласно интегральной формуле Коши [206, с. 166] имеем
Pifc(x,A) -5\к =
2тгг
Plfc(x,/i) - 6\k
X — р,
rR
Pjk{x,X)-Pjk(x9fj) =J_
A — fi 2ni
Используя (2.2.3), получаем
Pjk(*'t)
(A-OK-A*)
d/x, A £ int7^,
d£, A,/i G int7^.
7U*
lim
Я^оо
P,t(s,,*)-*.t Ит
A - /X Я-*оо
и, следовательно,
Pjk(x,\)-Pjk{x,n) = J_
А — \х 27гг
1€1=я
Р\к{х,ц)
А — /х
(A-0«-/i)
d/x, A€J7, (2.2.15)
d£, A,/u€J7. (2.2.16)
Здесь (и везде в дальнейшем, где это необходимо) интеграл понимается
в смысле главного значения: Г = lim Г

156 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В силу (2.2.2) и (2.2.15)
^(х, А) = </?(х, А) +—
jp(x,\)P\\(x,ii) + у/(х, A)Pi2(s,m)
■м
d/i, Л е J7.
Учитывая (2.2.1), получаем
1
у?(я, А) = <^(х, А) +
2тгг
М*.
А)(<р(ж, /х)Ф'(х, /i) - Ф(х, р)<р'(х, р)) +
-f у>'(ж, А)(Ф(х, /i)y?(x, /i) - (/?(х, /х)Ф(х, д))
dp
X — р
Отсюда и из (2.1.70) вытекает (2.2.12), так как слагаемые с S(x,p)
пропадают в силу теоремы Коши.
Используя (2.2.16) и действуя так же, как и при доказательстве
леммы 1.6.3, приходим к соотношению
Z?(z,A,/z)-£>(z,A,/z)
1
2тгг
(ip(x, А), <p(g, 0)(Ф(х, Q, <р(х, р))
(А-0«"М)
)«•
В силу (2.1.70) и (2.2.6) это дает (2.2.13).
Аналогичным образом выводится соотношение
□
Ф(х,А) = Ф(х,А) +
2тгг
(Ф(х,А),£(а:,/х))
M(p)ip(x, р) dp, A G J7.
(2.2.17)
Рассмотрим банахово пространство C(j) непрерывных ограниченных
функций г(А), A G 7 с нормой ||г|| = supjz(A)|.
Теорема 2.2.3. При каждом фиксированном х ^ 0 основное
уравнение (2.2.12) имеет единственное решение ip(x,\) G С(у).
Доказательство. При фиксированном х ^ 0 рассмотрим
следующие линейные ограниченные операторы в С(ч) '•
Az{\) = z(X) + — r(x, A, p)z(p) dp,
i
Az{\) = z(\) - — r(x,\,p)z{p)dpi.

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 157
Тогда
if if
r(x, A, p)z{p)dp
AAz(X) = z{\) + 2b j г (я, A, p)z(p) d/x - gb
7
_1
2тгг
7
i J F(X' Л' 0 (^i J Г(X' *' /i)z(/i) ^) ^
= г^ ~ ьн I (r^x'Л' ^ ~ Г^х'Л' ^ +
+ fcri Г^' A' ^Г^' ^ ^ ^) Z^ d/i*
В силу (2.2ЛЗ) это дает: AAz(X) = 2(A), z(X) e С(ч). Меняя
местами L Yi L, получаем аналогично: AAz(X) = z(X). Таким образом,
AA =_AA = E, где E — единичный оператор. Следовательно,
оператор А имеет ограниченный обратный, и основное уравнение (2.2.12)
однозначно разрешимо при каждом х ^ 0. Теорема 2.2.3 доказана. □
Обозначим
£о(я) = ^ $(х, ti)<p(x, р)М{р) dp, е{х) = -2е'0(х). (2.2.
18)
Теорема 2.2.4. Справедливы соотношения
q{x) = q(x)+e{x), (2.2.19)
h = h-e0(0). (2.2.20)
Доказательство. Дифференцируя (2.2.12) дважды по х и
используя (2.2.6) и (2.2.18), получаем
\ с
$>'(х,Х) - во(х)ф(х,Х) = ip'(x,X) + ■£—. r(x, A, p)ip'{x, p)dp, (2.2.21)
2тгг J
7
7
4- ^-т 2<£(х, \)lp(x, р)М{р)(р'(х, р) cfyx +
^- f(£(s, А)£(х, р))'М{р)ф, р) dpi. (2.2.22)
7
+

158 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Заменяем в (2.2.22) вторые производные из уравнения (2.1.1), а затем
заменяем ip(x,\), используя (2.2.12). Это дает
q(x)(p(x, А) = q(x)<p(x, А) + —
+ 2тгг
(<р(х, А), ip(x, ii))M(ll)<p(x, р) dp +
2</?(х, А)£>(х, р)М(р)^р\х, li) dp +
+ 2~ (£(*. *)£(*. v))'M{fiMx, р) dp.
После сокращения членов с (р'(х,\) приходим к (2.2.19). Положив х =
= 0 в (2.2.21), получаем (2.2.20). D
Таким образом, получен следующий алгоритм решения обратной
задачи.
Алгоритм 2.2.1. Пусть задана функция М(Л).
1) Выбираем L е V/v так, что верно (2.2.4).
2) Находим ip(x,\) из основного уравнения (2.2.12).
3) Строим q{x) и h по формулам (2.2.18)-(2.2.20).
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия
разрешимости обратной задачи. Через W обозначим множество функций
М(Л) таких, что
(i) М(А) аналитична в П, за исключением не более чем счетного
ограниченного множества полюсов Л', и непрерывна в Пь за исключением
ограниченного множества Л (Л и Л' свои для каждой функции М(Л));
(ii) при |А| —> со имеет место (2.1.73).
Теорема 2.2.5. Для того чтобы функция М(Х) G W была
функцией Вейля для некоторой пары L £ V/v, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие условия:
1) (асимптотика) существует L е Vm такое, что выполняется
(2.2.4);
2) (условие Р) при каждом фиксированном х ^ 0 уравнение (2.2.12)
имеет единственное решение <р(х, А) е С(т);
3) е(х) е Wjsj, где функция е(х) определяется формулой (2.2.18).
При этих условиях q(x) и h строятся по формулам (2.2.19), (2.2.20).
Как показано в примере 2.2.1, условия (2) и (3) являются
существенными и не могут быть опущены. С другой стороны, в п. 2.2.2
приведены классы операторов, для которых однозначная разрешимость
основного уравнения может быть доказана.
Необходимость теоремы 2.2.5 доказана выше. Докажем теперь
достаточность. Пусть дана функция М(A) G W, удовлетворяющая
условиям теоремы 2.2.5, и пусть <р(х, А) — решение основного уравнения
(2.2.12). Тогда (2.2.12) дает аналитическое продолжение для (р(х, А)

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 159
во всю Л-плоскость, причем при каждом ж ^ 0 функция <р(ж, А)
является целой по А порядка 1/2. Используя лемму 1.3.1, можно показать, что
функции ip^\x, A), v = 0,1, абсолютно непрерывны по х на компактах,
причем
^(х, А)| ^ С|рГехр(|т|ж). (2.2.23)
Построим функцию Ф(ж,А) из соотношения (2.2.17), а также L =
= L{q{x),h) по формулам (2.2.19)-(2.2.20). Ясно, что L е VN.
Лемма 2.2.3. Справедливы соотношения
1(р(х, А) = \ф, А), £Ф(ж, А) = АФ(ж, А).
Доказательство. Пусть для простоты J^ р|1^(А)| d\ < оо
(общий случай требует небольших изменений). Тогда (2.2.23) верно при
1/ = 0,1.2. Дифференцируя (2.2.12) дважды по ж, получаем (2.2.21)
и (2.2.22). Из (2.2.22) и (2.2.12) вытекает
У (*. А) + 9(*М*.л) = М*.Л) + зЬ
+ 2тгг
г (ж, А, /л)£(р(х, р) dp, +
(£>(ж, А), £>(ж, p))M(p)ip{x, р) dp, —
(£>(ж, А)^(ж, р))'М{р)ц){х, р) dpi.
-2^,Л)^
Учитывая (2.2.19), вычисляем
^(ж, А) = £<р(х, А) + —-г г (ж, А, р,)£(р(ху р) dp, +
2ттг J
7
Используя (2.2.17), выводим аналогично
Ф'(я, А) - £<>(*)*(*. А) = Ф'(ж, А) +
+ 2тгг
(Ф(х>А),^(х,/х))Х?м^(х^)^ (2225)
Л — pi

160 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Щх, А) = £Ф(х, А) + ^ [ <$(а?,^(ж,м))М(м)^(д;, м) Ф* +
7
+ 2^ [<*(*. Л)> £(*• M)>M(/i)(^(x, /i) d/x. (2.2.26)
7
Из (2.2.24) следует, что
\(р(х, А) = £<р(х, А) + —: г(х, Л, p,)£tp(x, /i) d/i +
7
+ 2тгг
(Л — p)r{x, A, /jl)<p{x, /i) d/x.
Учитывая (2.2.12), находим, что при фиксированном х ^ 0
1
2ттг
7j(s, А) + ^ | г(х, А, дг)?7(х, /i) d/x = 0, AG 7» (2.2.27)
7
где 7^(х, А) := #р(х, А) — А<р(х, А). Согласно (2.2.23) имеем
|гК*,А)|^СхН2, Ае7- (2.2.28)
В силу (2.2.27), (2.2.6) и (2.2.7)
|»,(х,А)| < Cx(l + J |<g^y|1|i?(x,/x)|dM),
Л*
AG 7, 0>O, Rep^O. (2.2.29)
Подставляя (2.2.28) в правую часть (2.2.29), получаем
оо ^
|t?(x,A)|<Cx(l + | i^fd/i), AG7^>0, Rep^O.
л*
Так как
< 1 при б, р ^ 1,
р(|р-0| + 1)
то это дает
|Tj(x,A)|<Ce|p|, AG 7. (2.2.30)
Используя (2.2.30) вместо (2.2.28) и повторяя предыдущие аргументы,
приходим к оценке \rj(x, А)| ^ Сх для A G 7- В силу условия Р теоремы

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 161
2.2.5 однородное уравнение (2.2.27) имеет только нулевое решение
т/(х, Л) = 0. Следовательно,
1(р(х,\) = \ф,\). (2.2.31)
Далее, из (2.2.26) и (2.2.31) вытекает
АФ(х, А) = №(х, А) + J-т f <Ф(д?,У^(гс,/А))М(/х)/ху(ж, д) d/x +
27тг J X — р
7
+ _!_ |(А _ м)(Ф(х.лш,,м))^^(Х| м) ^
7
Вместе с (2.2.17) это дает £Ф(х,Х) = АФ(х, А). □
Лемма 2.2.4. Справедливы соотношения
<р(0.А) = 1, <p'(0,\) = h. (2.2.32)
С/(Ф) = 1, Ф(0, А) = М(А), (2.2.33)
Ф(ж> А) = 0(ехр(грх)), х -> оо. (2.2.34)
Доказательство. Полагая х = 0 в (2.2.12), (2.2.21) и используя
(2.2.20), получаем
р(0, А) = £(0, А) = 1,
<//(0, А) - £'(0, А) - е0(0)£(0, А) = Л + Л-Л = Л,
т.е. верно (2.2.32). Используя (2.2.17) и (2.2.25), вычисляем
Ф(0,А) = Ф(0,А) + ^
MMd/x, (2.2.35)
Л — fJL
Ф'(0. Л) = Ф'(0, Л) - Ф(0, А)ео(О) + ^ } £г£ Ф-
7
Следовательно,
(7(ф) = ф'(о, А) - ЛФ(0, А) = $'(0, А) - (е0(0) + Л)Ф(0, А) =
= Ф'(0, А) - ЛФ(0, А) = и(Ф) = 1.
Далее, так как (у, г) = yzf — y'z, то (2.2.17) принимает вид
Ф(х,А) = Ф(х,А) + ^-
Ф'(х, A)fi(s, р) - Ф(х, А)£'(х, р) х
А — р
х М(р,)<р{ху р) dp,, (2.2.36)

162 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
где Л е J1. Функция (р(х,\) является решением задачи Коши (2.2.31),
(2.2.32). Поэтому, согласно (2.1.87),
|^И(х,/х)| ^С\0\"9 V = 02€l, z^O, v = 0,1. (2.2.37)
Кроме того, оценки (2.1.87)—(2.1.88) имеют место для функций ip(x,\)
и Ф(х, А), т. е.
\ф^(х^)\^С\в\\ д = й2Е7, х>0, i/ = 0,l, (2.2.38)
|Ф(1/)(я> А)| ^ СИ""1 exp(-|Imp|x), х > 0, р G П. (2.2.39)
В силу (2.1.73)
М(Х) = 0(Х'1)9 И-+00, pefi. (2.2.40)
Зафиксируем А Е J7. Из (2.2.36) с учетом (2.2.37)-(2.2.40) выводим
оо
|Ф(х, A)exp(-vx)| ^ C(l + | щ^) < d,
р*
т.е. верно (2.2.34). Далее, из (2.2.35) вытекает
Ф(0,А) = М(А) + ^
А — а*
Согласно интегральной формуле Коши имеем
7°„
Так как
то
lim -L [ Шф = 0.
Я->оо 2пг J А - р,
7
Следовательно, Ф(0,А) = М(А) + М(А) = М(А), т.е. верно (2.2.33). □
Таким образом, Ф(х, А) является решением Вейля, а М(А) —
функцией Вейля для построенной пары L(q(x),h), и теорема 2.2.5 доказана.
□
Метод Гельфанда-Левитана. Для операторов Штурма-Лиувилля
на конечном интервале метод Гельфанда-Левитана
рассматривался в §1.3. Для случая полуоси имеют место аналогичные
результаты. Поэтому здесь мы ограничимся только выводом уравнения
Гельфанда-Левитана и установлением связи с основным уравнением,

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 163
полученным методом спектральных отображений. Более подробно
метод Гельфанда-Левитана для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси
изложен в [173, 164 и 166].
Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейную форму L =
= L{q(x),h) вида (2.2.1)-(2.2.2). Пусть q(x) = О, h = 0. Обозначим
F(x, t) = -^ J cos px cos ptM(X) dA, (2.2.41)
i
где 7 — контур, введенный в §2.1 (см. рис. 2.1.1). Отметим, что в силу
(2.1.77) и (2.2.5)
оо
cos px cos ptM{X)dX = cos px cos ptV{X) dX < оо.
1
2тгг
7" Л
Пусть G{x,t) и H(xyt) — ядра операторов преобразования (1.1.54)
и (1.3.12) соответственно.
Теорема 2.2.6. При каждом фиксированном х функция G(x,t)
удовлетворяет следующему линейному интегральному уравнению:
G(x,t) + F(x,t) +
G(xts)F(s,t)ds = Q, 0<t<x. (2.2.42)
Уравнение (2.2.42) называется уравнением Гельфанда-Левитана.
Доказательство. Используя (1.1.54) и (1.3.12), вычисляем
2ттг I ^Х'Л) C0S^M(A) dX = 2ri
7Я 7Я
cos px cos ptM(X) dX +
+ — I G(xys) cos psds I cos ptM(X)dX,
iR \o /
2^т [<^(x,A)cos^M(A)dA = ^- I <p(x,XMt,X)M(X)dX +
УR 4R
H{t,s)<p(s,X)ds I (p{x,\)M(\)d\,
+ 2ттг
7/? \0
где 7я = 7 П {A : |A| < Я}. Это дает

164 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
где
**<*•*> = £
<р(х, \)<p(t, Л)М(Л) dX - —- cos рх cos ptM(X)dX}
/«(«.*)-^
G(x,s)
1
2тгг
7ЯЗ(^0 = 2^ J C0S^(J
cos px cos ptM(X)dX,
cos pt cos psM(X)dX I ds,
G(x, s) cos psds 1 M(A)dA,
7Л
'x
7rt
Im(xyt) = -
2ттг
^(^.
A)
H{t,s)<p{s,X)ds M{X)dX.
1R
Пусть £(£), t ^ 0, — дважды непрерывно дифференцируемая финитная
функция. По теореме 2.1.8
lim | £(*)Фд(ж,*)<Й = 0, lim | £{t)Im(x,t)dt = I
R—кх) J Я-*оо J J
£{t)F(x,t)dt,
lim
Я—oo
oo
£(*)ЫМ)А = [ £(*)
о
oo
lim [£(*)ЫМ)Л =
Д-оо J
0 I
oo
lim I £(t)IR4(x,t)dt = -
G(x,s)F(s,t)ds ) ctt,
£(*)G(x,£)<ft,
£(t)H(t,x)dt.
Положим G(x, t) = H(x, t) = 0 при x < £. В силу произвольности £(£)
приходим к соотношению
х
G(x, t) + F(x, *) + [ G(x, s)F(s, t)ds - #(*, x) = 0.
о
При t < x это дает (2.2.42). □
Таким образом, для того чтобы решить обратную задачу
восстановления L по функции Вейля М(Л), надо вычислить F(x,t)
по формуле (2.2.41), найти G(x,t) из уравнения
Гельфанда-Левитана (2.2.42) и построить q(x) и h по формулам (1.3.13).

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 165
Замечание 2.2.1. Установим связь между уравнением
Гельфанда-Левитана и основным уравнением (2.2.12). Для _этого
воспользуемся косинус-преобразованием Фурье. Пусть q(x) = h — 0.
Тогда fi(x, А) = cos ч/Ах. Умножая (2.2.42) на cosy/Xt и интегрируя по
t, получаем
G(x,t) cos \/\tdt + cos\/A£ I — cos у/Ц x cos у/Ц tM(/j,) dfi I dt +
+
cos
\fxt
G{x, s) I —: cos у/Цt cos у/Ц sM(fi) dji I ds = 0.
Используя (1.1.54), приходим к (2.2.12).
Замечание 2.2.2. Если q(x) и h вещественны и (1 -f x)g(x) £
G L(0, oo), то (2.2.41) принимает вид F(x,t) = J^°occospxcos/9^d?(A),
где a = a — а, а сг и a — спектральные функции L и L соответственно.
2.2.2. Восстановление оператора по спектральным данным.
В теореме 2.2.5 одним из условий, при которых произвольная функция
М(Х) будет функцией Вейля для некоторой пары L = L{q(x),h) вида
(2.1.1), (2.1.2), является разрешимость основного уравнения. В общем
случае это условие труднопроверяемо. В связи с этим важной задачей
является описание классов операторов, для которых разрешимость
основного уравнения может быть доказана. Одним из таких классов
является класс самосопряженных операторов. В этом параграфе для
самосопряженных операторов Штурма-Лиувилля вводятся так
называемые спектральные данные, которые описывают множество
особенностей функции Вейля М(А), т.е. дискретную и непрерывную части
спектра. Исследуется обратная задача восстановления L по
спектральным данным. Доказано, что задание спектральных данных однозначно
определяет функцию Вейля. Таким образом, обратная задача
восстановления L по функции Вейля равносильна обратной задаче
восстановления L по спектральным данным. Основное уравнение, полученное
в п. 2.2.1, может быть построено непосредственно по спектральным
данным на множестве{А : А ^ 0} U Л. Доказывается однозначная
разрешимость основного уравнения в соответствующем банаховом
пространстве. В заключение обратная задача по спектральным данным
рассматривается также и в несамосопряженном случае.
Самосопряженный случай. Рассмотрим дифференциальное
уравнение и линейную форму L = L(q(x),h) вида (2.1.1)-(2.1.2)
и предположим, что q(x) и h вещественны. Это означает, что
оператор L°, введенный в замечании 2.1.3, является самосопряженным.
В самосопряженном случае можно получить дополнительные свойства
спектра к тем, что были установлены в §2.1.

166 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Теорема 2.2.7. Пусть q(x) и h вещественны. Тогда Л" = 0, т.е.
спектральные особенности отсутствуют.
Доказательство. Так как q(x) и h вещественны, то из теоремы
2.1.1 и (2.1.63) следует, что при вещественном р
е(х, р) = е(х, -р), Д(р) = Д(-р). (2.2.43)
Предположим, что Л" ф 0, т. е. при некотором вещественном р° ф О,
Д(р°) = 0. Тогда, согласно (2.2.43), Д(-р°) = Д(р°) = 0. Вместе
с (2.1.6) это дает
-2ip° = (е(х, р°), е(х, -р%х=0 = е(0, р°)А(-р°) - е(0. -р°)Д(р°) = 0,
что невозможно. □
Теорема 2.2.8. Пусть q(x) и h вещественны. Тогда ненулевые
собственные значения Хк являются вещественными
отрицательными и
A(pk)=0 ( где Хк = р\ € Л'). (2.2.44)
Собственные функции е(х,рк) и (р(х,Хк) вещественны, причем
е(х, рк) = е(0, р*)<р(х, Afc). е(0, р*) ф 0. (2.2.45)
Собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны в 1/2 (0> °°)-
Доказательство. Из (2.1.66) и (2.1.71) вытекает
(<р(а:,А),е(х,р)) = Д(р). (2.2.46)
В силу теоремы 2.1.7 верно (2.2.44); поэтому (2.2.46) дает
е{х, рк) = Ck<p{x, Afc), Cfc ^ 0.
Полагая здесь х = 0, получаем: Cfc = е(0, pfc), т.е. верно (2.2.45).
Пусть Ап и Afc (Ап ф Afc) — собственные значения с собственными
функциями уп(х) = е(х,рп) и ук(х) = е(х,рк) соответственно.
Интегрирование по частям приводит к соотношению
оо оо
?yn{x)yk(x)dx = yn(x)eyk(x)dx,
о
и, следовательно, An J£° yn{x)yk(x) dx = Хк J£° yn{x)yk{x) dx, т. е.
yn{x)yk(x)dx = 0.
Предположим теперь, что А0 = и + iv, v ф 0, — невещественное
собственное значение с собственной функцией у°(х) ф 0. Так как q(x)
и h вещественны, то число А0 = и — iv также является собственным

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 167
значением с собственной функцией у°(х). Так как А0 ф А0, то получаем,
как и выше: ж
о
что невозможно. Таким образом, все собственные значения А^ для
L являются вещественными, и, следовательно, собственные функции
<р(х, Afc) и е(х,рк) также вещественны. Вместе с теоремой 2.1.6 это
дает Л'С (-оо,0). □
Теорема 2.2.9. Пусть q(x) и h вещественны, Л' = {А^}, Хк =
= р\ < 0. Обозначим А\(р) := -^-Д(р) (А = р2). Тогда
ил
Ai(Pfc)^0. (2.2.47)
Доказательство. Так как е(х,р) удовлетворяет уравнению
(2.1.1), то
— (е(х, р), е(х, pfc)) = (р2 - р\)е{ху р)е(х, pfc).
Используя (2.1.4), (2.1.63) и (2.2.44), вычисляем
оо
Г loo
(Р " Pfc) Ф> Р)Ф> Pk)dx= (е(ж, р), е(х, pfc)) |q =
о
= е(0,рА:)Д(р), Imp>0.
При р -* рн это дает
оо
|e2(x,p,)dx = ^e(0,pfc)(^A(p)) = = е(0,рк)А{(рк). (2.2.48)
о
Так как J^° e2{xypk)dx > 0, то приходим к (2.2.47). □
Пусть Л' = {Хк}у Хк=р\< 0. Из (2.1.69), (2.2.44) и (2.2.45)
следует, что функция Вейля М(Х) имеет простые полюсы в точках А = Хк,
причем
ак := Res М(А) = е:°',Рк}. (2.2.49)
A=Afc v } Ai(pfc)
Учитывая (2.2.45) и (2.2.46), выводим
оо
Q* = ( V2(xAk)dx) > 0.
Далее, функция V(X), определенная в (2.1.77), является непрерывной
при А = р2 > 0, и в силу (2.1.69)

168 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Используя (2.2.43) и (2.1.6), вычисляем
VW = "ТТТТ^ > °- ^ = Р2>0- (2-2.50)
7г|Л(р)|
Через W'N обозначим множество функций q(x) G Wn таких, что
оо
(1 +x)\q(x)\dx < оо, (2.2.51)
Будем говорить, что L £V'N, если q(x) и h вещественны и q(x) Е W'N.
Теорема 2.2.10. Пусть L Е V'N. Тогда Л' — конечное
множество.
Доказательство. При х ^ 0, т ^ О функция е(х,гт) является
вещественной и в силу (2.1.24)
|е(х, гт) ехр(тх) - 11 ^ Q,(х) exp(Qi (х)), ж ^ 0, т ^ О, (2.2.52)
где
Qi(x)= f(*-x)fo(0|A.
В частности, из (2.2.52) следует, что существует а > 0 такое, что
е(х, гт) ехр(тх) ^ - при х ^ а, т ^ 0. (2.2.53)
Предположим, что Л' = {A/J — бесконечное множество. Так как Л'
ограничено и Л^ = р\ < 0, то pk = irk —> 0, т^ > 0. Используя (2.2.53),
вычисляем
оо сю
е(х, /9А:)е(х, pn) dx ^ - ехр(-(т^ + тп)х) dx =
а а
_ exp(-(Tfe + Tn)g) ехр(-2аГ) (е) 9 . .
" 4(т* + тп) ^ 8Т ' (2'2М)
где Т = плахту. Так как собственные функции е(х,р^) и е(х,рп) орто-
тональны в 1/2(0, оо), то
оо
0 =
оо
e(x,pfc)e(x,pn)dx = е{х,рк)е(х,рп) dx +
а
а а
+ е2(х, pfc) dx -f е(х, pk)(e(x, рп) - е(х, pfc)) dx. (2.2.55)
о о

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 169
С учетом (2.2.54) получаем
оо
е(х, Pk)e(x, Рп) dx^ Со> О,
e2(x,pk)dx^0. (2.2.56)
Покажем, что
e(x}pk)(e(x,pn) — e(x,pk))dx-+0 при к,п—> оо. (2.2.57)
В самом деле, согласно (2.1.23) |е(х,р^)| ^ exp(Qi(0)) при х ^ 0. Тогда,
используя (2.1.33), вычисляем
а
J е(х, рк){е(х, рп) - е(х, pfc)) dx
£
^ ех
p(Qi(0))(
| ехр(—тпх) — ехр(—rfcx)| dx +
+
( \A{x,t)(exp{-rnx) - exp(-rkx))\dt\ dxY (2.2.58)
0 x
В силу (2.1.35)
\А(хЛ)\ ^ ^(Ц1) exp(Qi(x)) < lQo(|) exp^O)), 0 ^ x ^ t,
и, следовательно, (2.2.58) дает
e(x, pk){e{x, pn) - e(x, pfc)) dx
£
^C
f | exp(-rnx) - ехр(-т^х)| dx +
о
oo
+ [ Qo(f)|exp(-rn*) -exp(-rfct)| *). (2.2.59)
Ясно, что
a
|exp(—rnx) — exp(—Tkx)\dx —► 0 при fc,n—> oo. (2.2.60)

170 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Зафиксируем е > 0. Тогда существует а£ > 0 такое, что
оо
С другой стороны, для достаточно больших кип имеем
ае
Qo(2) I ехр(-тп£) - exp(-rkt)\ dt ^
о
ехр(-тп£) - exp(-rkt)\dt < |.
^ Qo(0)
Таким образом, для достаточно больших кип
оо
Qo^j\exp(-rnt) - exp{-rkt)\dt < е.
о
В силу произвольности 6 выводим
оо
\ Qo(-)\exp(—rnt) — exp(-rkt)\dt ^ 0 при fc,n—> 00.
о
Отсюда и из (2.2.59)-(2.2.60) получаем (2.2.57). Соотношения (2.2.55)-
(2.2.57) приводят к противоречию. Это означает, что Л' — конечное
множество. □
Теорема 2.2.11. Пусть L G V^. Тогда
р{А{р))~1 =0(1), /9-* 0, Imp^O. (2.2.61)
Доказательство. Обозначим д(р) = 2гр(А(р))-1. В силу (2.1.6)
и (2.1.63)
Д(р)е(0,-/9)-е(0,р)Д(-р) = 21р.
Поэтому при вещественных р ф О,
»(р) = е(0>-р)-е(р)е(0,р), (2.2.62)
где £(р) := А(-р)(А{р))~1. Из (2.2.43) вытекает
|£(р)| = 1 при вещественных рфО. (2.2.63)
Пусть Л' = {Afc}fc=T^, \к = рЬ Рк = гтк, 0 < т{ < . . < rm.
Обозначим
D = {p: lmp>0, |р| < т*}, (2.2.64)

§ 2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 171
где г* = ti/2. Функция д(р) является аналитической в D и
непрерывной в D\ {0}. В силу (2.2.62), (2.2.63) и (2.1.23)
\д{р)\ ^ С при вещественных р ф 0. (2.2.65)
Предположим сначала, что Д(р) аналитична в начале координат. Тогда,
используя (2.2.65), получаем, что функция д(р) имеет устранимую
особенность в начале координат, и, следовательно (после продолжения
д{р) по непрерывности в начало координат), д(р) непрерывна в D, т.е.
(2.2.61) доказано.
В общем случае мы не можем использовать эти рассуждения.
Поэтому введем потенциалы qr{x) по формуле (2.1.49) и соответствующие
решения Йоста по формуле (2.1.50). Обозначим Аг(р) = е'г(0, р) —
-/ier(0, р), г ^ 0. В силу (2.1.53) функции Дг(р) являются целыми
по р и согласно лемме 2.1.3
lim Аг(р) = Д(р) (2.2.66)
г—♦ со
равномерно по Imp ^ 0. Пусть 6Г — нижняя грань расстояний между
нулями Дг(р) в верхней полуплоскости Imp ^ 0. Покажем, что
6* := inf <5Г > 0. (2.2.67)
г>0
В самом деле, предположим противное, т.е. что существует
последовательность rk —> оо такая, что 6Гк —► 0. Пусть p^i = гт/ы, рь2 = гт^
(тк\,тк2 ^ 0) — нули функции ДГк(р) такие, что pfci - Pfc2 -* 0 при
А; —> оо. Из (2.1.51) следует, что существует а > О такое, что
еГ(х, гт)ехр(тх) ^ - при х ^ а, т ^ О, г ^ 0. (2.2.68)
Аналогично (2.2.55) выводим
ОО СО
0= erJx,pfci)erjt(x,pfc2)cfo = erfc(x,pfci)erfc(z, р*2)сЬ +
О а
а а
+ е^(х,р/с1)бЬ+ erfc(x,pA;i)(erfc(x,pfe2)-erfc(x,pfci))dx.
о о
Как и выше, с учетом (2.2.68) получаем
со
е
rk(x,pkl)erk(x,Pk2)dx > eM-(ni+T)a)
4(Tfci + Tk2)

172 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В силу (2.2.66) имеем: |7ы|, \т^\ ^ С\ и, следовательно,
еГк(хуpk\)erk(x,рм)dx > Со > 0.
Кроме того, Jq е^(х, pk\)dx ^ 0. С другой стороны, используя (2.1.50)
и (2.1.52), нетрудно проверить (аналогично доказательству (2.2.57)),
что
а
еГк{х,рк\){еГк(х,рк2) -erk(x,pk\))dx -► 0 при к -> со,
и мы приходим к противоречию. Это означает, что верно (2.2.67).
Определим D согласно (2.2.64) с т* = min(^-, у). Тогда функция
Дг(р) имеет в D самое большее один нуль р = гг^, 0 ^ т® ^ т*.
Рассмотрим функцию 7г(р) := <7г(р)<7г(р). где
^MPJ р + гтг
(если Аг(р) не имеет нулей в Д то положим д®(р) := 1). Ясно, что
|^(р)|<1 при peS. (2.2.69)
Аналогично (2.2.62), (2.2.63), имеем при вещественных р ф 0:
дг(р) = ег(0,-р)-ШеЛ0,р), |fr(p)| = l. (2-2.70)
Из (2.2.66), (2.2.70) и (2.1.51) вытекает, что \дг(р)\ ^ С при р е 3D,
г ^ 0, где 9D = D\D — граница В, а С не зависит от г. Вместе
с (2.2.69) это дает
\ъ(р)\^С при pedD, г^0.
Так как функции 7г(р) аналитичны в Д то согласно принципу
максимума для аналитических функций [206, с. 204]
|7г(р)| ^ С при р е Д г ^ 0, (2.2.71)
где С не зависит от г.
Зафиксируем S £ (0, г*) и обозначим D$ := {р : Imp > 0, 5 < |р| <
< г*}. В силу (2.2.66) lim дг(р) = д(р) равномерно в Д5. Кроме того,
г—кх>
из (2.2.66) вытекает, что lim т^ = 0, и, следовательно, lim 7г(р) =
1—►оо г—>оо
= д(р) равномерно в D&. Отсюда и из (2.2.71) имеем: \д(р)\ < С при
р €_/)$. В силу произвольности 6 заключаем, что \д{р)\ < С при р €
G 7) \{0}, т.е. (2.2.61) доказано. □

§ 2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 173
Теорема 2.2.12. Пусть L G V^. Тогда А = 0 не является
собственным значением L.
Доказательство. Функция е(х) := е(х,0) является решением
уравнения (2.1.1) при А = 0, и согласно теореме 2.1.2
lim е(х)= 1. (2.2.72)
х—+оо
Выберем а > 0 так, чтобы
е(х) ^ 1/2 при х^а, (2.2.73)
и рассмотрим функцию
z(x) := е(х)
dt
e2(t)'
(2.2.74)
Нетрудно проверить, что z"(x) = q(x)z(x) и e(x)zf(x) — ef(x)z(x) = 1.
Из (2.2.72)-(2.2.74) вытекает
lim z(x) = +оо. (2.2.75)
х—>оо
Предположим, что Л = 0 является собственным значением, и пусть
уо(#) — соответствующая собственная функция. Так как функции
{e(x),z(x)} образуют фундаментальную систему решений уравнения
(2.1.1) при Л = 0, то у0(х) = С°е(х) + C$z{x). В силу (2.2.72) и (2.2.75)
это возможно лишь при С® — С\ — 0. □
Замечание 2.2.3. Пусть q(x) = 2а2(1 + ах)~2, h = —а, где
а — комплексное число такое, что а £ (—оо,0]. Тогда q(x) Е L(0, оо),
но xq(x) £ L(0, оо). В этом случае А = 0 является собственным
значением с собственной функцией у(х) = (1 +аж)-1.
В силу теоремы 2.1.2 е(0,р) = 0(1) при р —> О, Imp > 0. Поэтому
теорема 2.2.11 с учетом (2.1.69) дает
М(А) = 0(р"1), |р|->0. (2.2.76)
Ниже, в примере 2.2.1, показано, что если условие (2.2.51) не
выполняется, то (2.2.76), вообще говоря, неверно.
Объединяя полученные выше результаты, приходим к следующей
теореме.
Теорема 2.2.13. Пусть L € V^, и пусть М(Х) — функция Вейля
для L. Тогда М(Х) аналитична в П за исключением конечного
множества простых полюсов Л' = {Xk}k=Ym> Afc = р\ < 0, и непрерывна
в П\ \ Л'. Кроме того,
ак := Res М(Х) > О, к = 1,т,
A=Ait
и имеет место соотношение (2.2.76). Функция pV(X) непрерывна и
ограничена при А = р2 > О, причем V(X) > О при А = р2 > 0.

174 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Определение 2.2.1. Множество S := ({^(А)}д>о,
{^k>&k}k=Tm) называется спектральными данными для L.
Лемма 2.2.5. Функция Вейля однозначно определяется по
спектральным данным S по формуле
оо т
М{\) = \ -JM dfi + У -^-, А е П \ А'. (2.2.77)
J л~/х t^\ k
Доказательство. Рассмотрим функцию
2т J А — /i
Из (2.1.73) вытекает
lim IR(X) = О (2.2.78)
Я—>оо
равномерно на компактных подмножествах множества П\Л'. С другой
стороны, двигая контур \р\ = R к вещественной оси и используя
теорему о вычетах, получаем
/Я(А) = -М(А) +
р f-f А - Хк
к=\
Вместе с (2.2.78) это дает (2.2.77). □
Из теоремы 2.2.1 и л^лсжы 2.2.5 следует, что задание
спектральных данных однозначно определяет потенциал q(x) и
коэффициент h. _
Пусть L е V'N, и пусть пара L €VfN выбрана так, что выполняется
(2.2.4). Обозначим
AnO = An, Ani = An, ocnQ = ап, осп\ = ап,
<Pni(x) = ф(х, Am), lpni{x) = (р(х, Am),
p = m + rh, 9(x) = [Ok(x)]l=jj,
0*0*0 = ¥>ko{x), fc= l,m, вк+т{х) = ipk\(x), к = l,m.
Аналогично определим 0(x). Из (2.2.12), (2.2.17) и (2.2.18) вытекает
ф(х, А) = <р(х, А) 4- D(x,\,p)V(p)ip(x,p)dp +
о
m тп
+ ^5(х, A, Afco)a*0<£fco(z) ~ 5Z^х' Л' х^\)о^к\^к\(х), (2.2.79)
fc=l к=\

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 175
<Pni{x) = 4>п%(-
оо
х) + D(x,\ni,
li)V(ti)ip(x% ц) dp +
+ ^ D(x, Anif А*о)а*ошО*0 - X] ^(x'Л™' Afci)afci^fci W' (2.2.80)
fc=i
k=\
Ф(х,А) = Ф(х,А) +
(Ф(х,А),£(я,/х))
K(/i)</?(x,/i)d/i-f
+
A — /x
E(^A-'fr(x)>Qfc0^o(x)"
-E{4\x-fu{x))"M"M- <2-2-81>
fc=i
£o(s)
V?(x, ti)(p(x, fi)V(fi) dfi +
+ ^2(Pko{x)(pk0{x)ak0 - ^2Vk\(x)Vk\(x)<*k\,
k=\ k=\
e(x) = -24(x). (2.2.82)
При каждом фиксированном x ^ 0 соотношения (2.2.79), (2.2.80)
можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно
ip(x, А), А > 0, и 0fc(x), к = 1,р. Запишем (2.2.79), (2.2.80) как линейное
уравнение в соответствующем банаховом пространстве.
Пусть С = С(0, оо) — банахово пространство непрерывных
ограниченных функций / : [0, оо) —> С, А н-* /(А) на полуоси А ^ 0 с нормой
\\f\\c = sup |/(Л)|. Очевидно, что при каждом фиксированном х ^ О,
<£>(х,-),£>(х, •) е С Рассмотрим банахово пространство В векторов
/
/ее. /° = [/°£=_eRp,
с нормой ||F||B = max(||/||c, ||/0||Rp). Обозначим
V>(x) =
0(х)
, <ф(х) =
в(х)

176 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Тогда ip(x),x/;(x) Е В при каждом фиксированном х ^ 0. Обозначим
НХф(х) = 5(х,\,»)9(1л),
H\,k(x) = D(x, Л, Afco)afco, fc=l,m,
Ял,л+т(ж) =--D(x,A,Afci)Qfci, fc=l,m,
#n,/x(X) = i5(x,Ano,/x)V(/x), 71=1,771,
Яп+т,м(х) = £>(£,Ani,//)K(/i), n= l,m,
Hn,k(x) = D(x> ^nO» Afco)afco, n, fc = 1, m,
Hnik+m(x) = -Z?(x,Ano,Aibi)Qfcb n= l,m, *:= l,m,
Hn+m,k(x) — ^(^.AnbAfco)^/cO» ft = l,ra, fc = l,m,
Яп+т^+т(х) = -<D(x,Ani,Ajki)afci, n,fc = l,ra.
Через H : В —> В обозначим оператор, определяемый соотношениями
HF, F =
f
ев, F =
/
ев,
/(А) =
о
оо
Jn
Ял,м/Ы^ + £ял^л°,
fc=l
ЯП)/х/(/х)ф + ^ЯпЛД°.
/с=1
Тогда при каждом фиксированном х ^ 0 оператор £ + Н(х) (Е —
единичный оператор), действующий из В в Я, является линейным
и ограниченным. Принимая во внимание введенные обозначения,
запишем (2.2.79)-(2.2.80) в виде
ф{х) = (Е + Н(х)Щх). (2.2.83)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 2.2.14. При каждом фиксированном х ^ 0 вектор
ip(x) е В является решением уравнения (2.2.83).
Приведем теперь необходимые и достаточные условия
разрешимости рассматриваемой обратной задачи. Через W обозначим множество
векторов S = ({V(A)}A>o, {Аьа^ьЛ^г) (га свое для каждого S)
таких, что
1) а& > 0, Afc < 0 при всех fc; А^ Ф As при fc ф s\
2) функция pV{\) непрерывна и ограничена при А > 0, V{\) > 0
и М(А) = 0(р~х), р —> 0, где М(А) определяется по формуле
(2.2.77);
3) существует пара L такая, что выполняется (2.2.4).

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 177
Ясно, что если S — спектральные данные для некоторого L е V^,
то 5 е W.
Теорема 2.2.15. Пусть S Е W. Тогда при каждом
фиксированном х ^ О уравнение (2.2.83) имеет единственное решение в В, т. е.
оператор Е + Н(х) обратим.
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1.4.6,
достаточно доказать, что при каждом х ^ 0 однородное уравнение
{Е + Н(х))р(х) = 0, Р(х) е Б, (2.2.84)
имеет только нулевое решение. Пусть
/?(*) =
0°(*)
ев, 0°(х) = [01(х)}Т
к=\,р
— решение уравнения (2.2.84), т.е.
Р т
0(х,\)+ D(x^,pi)V(fi)P(x^)dfi + Y^x^^X^)^koPko{x)
fc=l
Y, D(x9 A, Afcl)afcl/?fcl(x) = 0, (2.2.85)
k=\
/?ni(x) + 5(x, Ani, /i)V(/i)/?(x, /x) d// + ^ 5(x, Ani, А^аю/Ы^) -
о k=l
fh
- YD{xt Xnu\к\)<*к\Рк\(х) = 0, (2.2.86)
fc=i
где /Зк0(х) = (ЗЦх), к = l,m, /?ы(х) = /J°+m(x), fc = 1,т. Тогда
(2.2.85) дает аналитическое продолжение для функции /?(х, А) на всю
А-плоскость и при каждом х ^ 0 функция /3(х, А) является целой по А.
Кроме того, согласно (2.2.85), (2.2.86) имеем
f3{x,\ni)=Pni(x). (2.2.87)
Покажем, что при каждом фиксированном х ^ 0
\р(х, А)| ^ j± ехр(|г|х), А = р\ г := Imр. (2.2.88)
В самом деле, используя (2.2.6) и (2.1.87), получаем
|5(х,А,Аь)|<^ехр(|т|х). (2.2.89)

178 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Пусть для определенности а := Rep ^ 0. Из (2.2.85), (2.2.7) и (2.2.89)
вытекает
|/3(а:,А)КСхехр(|ф)(|^№^т^+]1), „ = в2. (2.2.90)
В силу (2.2.4)
(W
e2(\p-e\ + \f,
оо
^
<с
9г(\р-в\ + 1)
(2.2.91)
Так как
то
\р - в\ = а2 + т2 + в2 - 2<тв,
||р|-0| = а2 + т2+в2-2\р\9,
\p-o\2\M-e\.
В силу (2.2.91), (2.2.92) и (2.2.11)
(2.2.92)
_l£00JL//fl< с
(2.2.93)
Используя (2.2.90) и (2.2.93), приходим к (2.2.88).
Далее, построим функцию Г(х, А) по формуле
Г(
ОО
х.ч-1
(Ф(х,А),у?(д,/х))
Л — /2
v(/i)/3(i,/i)<4i-
-Е
(Ф(ж1Л)|^о(д;))
А:=1
А — Afco
а*0#ко(я) +
(Ф(х,Л)>^1(х))
А - Аы
akl0kl(x). (2.2.94)
Из (2.1.70), (2.2.6), (2.2.85) и (2.2.94) следует, что
Г(х,А) = М(А)/?(х,А)- I {S{Xt *>' ^(а:'м)) У(/х)/?(х, /i) dft -
Л — Д£

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 179
к=\
(S(xt\),<Pkx>{x))
А-А
fcO
<*коРко(х) +
+£
к=\
(S(x,\),(pk\(x))
А — Аы
auAiW- (2.2.95)
Так как (S(x% \),ф(х} /х))|х=о = —1, то из (1.6.1) выводим
(5(х,А),^(х,/х)> _ 1
А — /х А — /х
Поэтому (2.2.95) принимает вид
оо
+
S(t,\)$(t,n)dt.
Г(х, А) = М(А)/?(х, А) +
А — р,
d/i +
где
ri(x,A) =
+ у anfa(x) _ у o^ft.J(£) + Г| (д> л)> (2296)
f—' А - Afco f—' А - Afci
a:
(J 5(t, X)ip{t, ц) dt\9{цЩх, ц) dfi -
о
m *
~ S( 5^' A)&°W dtjakoPkoix) +
~ X
771 p
+ Y,( \S(t,\)$k\(t)dt}akipkl(x).
U— 1 J
k=i J0
Функция Ti(x, Л) является целой по Л при каждом х ^ 0. Используя
(2.2.77), получаем из (2.2.96):
где
Г(х, А) = М(А)/3(х, А) + Г0(х, Л),
Г0(х, Л) = Г,(х, Л) + Г2(х, А) + Г3(х, А),
(2.2.97)
Г2(х,А) = -
У(,лЖх,\)-0(х,»))
А — /л
d\i,
Г3(хЛ) = -^^-(Р(х,Х)-Мх))+'£^-(0(х,Х)-Ых)).
к=\
к=\

180 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В силу (2.2.87) функция Го(х,Л) является целой по Л при каждом
фиксированном х ^ 0. Пользуясь (2.2.97), (2.2.94), (2.2.88) и (2.1.88),
получаем следующие свойства функции Г(х,А).
1) При каждом фиксированном х ^ 0 функция Г(х,А) аналитична
в П\Л' по А (с простыми полюсами Л^о» к = \,т) и непрерывна
в П[ \ Л'. Кроме того,
Res Г(я, Л) = ак0рко{х), к= 1, т. (2.2.98)
A=Afc0
2) Обозначим Г±(Л) = Нт Г(А ± гг), Л > 0. Тогда
z-0,Rez>0
-^ (Г"(А) - Г+(А)) = V{\)p(x% А), А > 0. (2.2.99)
27гг v '
3) При |А| -> оо
|Г(х, А)| < Сх\р\~2ехр{-\т\х). (2.2.100)
Построим теперь функцию В(х, А) по формуле
В{х, А) = Р(х, \)Г(х, А). (2.2.101)
По теореме Коши
' £(:r,A)dA = 0,
1
2тгг
где контур 7я определен в §2.1 (см. рис. 2.1.2). В силу (2.2.88),
(2.2.100) и (2.2.101) имеем
Нт —-
Л-юо 27гг
В(х, A) d\ = О,
|Л|=Д
и, следовательно,
' B(*,A)dA = 0, (2.2.102)
1
2ттг
где контур 7 определен в §2.1 (см. рис. 2.1.1). Двигая контур 7
в (2.2.102) к вещественной оси и используя теорему о вычетах
и (2.2.98), получаем при достаточно малом е > 0:
|>по|/Ы*)|2+2^ [ Б(х'Л)с*Л+2Ь fB(*.A)dA = °. (2.2.103)
П=1 |Л|=е 7?
где 7" — двусторонний разрез вдоль луча {А : А ^ е}. Так как М(А) =
= 0(/9-1) при |А| —* 0, то в силу (2.2.97) и (2.2.101) находим, что при
каждом фиксированном х ^ О
В(х,\) = 0(р~1) при |А|->0,

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 181
и, следовательно,
B(x,\)d\ = 0.
lim —
е-»оо 2тгг
|Л|=е
Вместе с (2.2.103), (2.2.99) и (2.2.101) это дает
771 /.
5>W|/M*)|2+ |/?(х,Л)|2К(Л)ЙЛ = 0.
Так как afc0 > 0, V(A) > 0, то /?(ж,А) = 0, /?п0(ж) = 0, /?ni(x) =
= 0(х,\п\) = 0. Таким образом, /3(х) = 0 и теорема 2.2.15 доказана. П
Теорема 2.2.16. Для того чтобы вектор S = ({^(А)}л>о,
{Afc,afc}fc=-j-^) G W представлял собой спектральные данные для
некоторой пары L € Vf^, необходимо и достаточно, чтобы е(х) Е
£ И^дг, где е(х) определяется по формуле (2.2.82), а ф{х) является
решением уравнения (2.2.83). Функция q(x) и число h строятся
по формулам (2.2.19)-(2.2.20).
Через W" обозначим множество функций М(Х) таких, что:
1) М(Х) аналитична в П за исключением конечного числа простых
полюсов Л' = {\k}k=\,m, Afc = р\ < 0 (гп свое для каждой функции
М(А)), причем
ак := Res М(А) > 0;
Х=Хк
2) М(А) непрерывна в Hi \ Л', М(А) = 0(р~{) при р -> 0,
1/(А):=^-(М"(А)-М+(аЛ >0 при А > 0;
3) существует L такая, что выполняется (2.2.4).
Теорема 2.2.17. Для того чтобы функция М(А) G W" была
функцией Вейля для некоторой пары L Е V^, необходимо и
достаточно, чтобы е(х) £ И^, где е(х) определяется по формуле (2.2.82).
Мы опускаем доказательства теорем 2.2.16, 2.2.17, так как они
аналогичны соответствующим утверждениям для операторов Штурма-
Лиувилля на конечном интервале из § 1.4 (см. также доказательство
теоремы 2.2.5).
Несамосопряженный случай. Обратную задачу
восстановления L по спектральным данным можно рассматривать и в
несамосопряженном случае, когда q(x) G L(0, оо) — комплекснозначная
функция, и /г — комплексное число. Для краткости ограничимся
случаем простого спектра (см. определение 2.2.2). Для
несамосопряженных дифференциальных операторов с простым спектром вводятся
спектральные данные и исследуется обратная задача восстановления
L по спектральным данным. Рассматривается также важный
частный случай возмущения дискретного спектра модельного оператора.

182 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В этом случае основное уравнение обратной задачи превращается в
систему линейных алгебраических уравнений, а условие разрешимости
основного уравнения — в условие отличия от нуля определителя этой
системы.
Определение 2.2.2. Будем говорить, что L имеет простой
спектр, если функция А(р) имеет конечное число простых нулей в £2,
и М(Л) = 0(р~1) при р —> 0. Запись L е V^ означает, что L имеет
простой спектр идЕ №#.
Ясно, что Vh С Vft} так как самосопряженные операторы,
рассмотренные выше, имеют простой спектр.
Пусть L G Vj(f. Тогда Л = {Л/е}А.=у^, А^ = р\, — конечное
множество, а функция Вейля М(А) аналитична в П \ Л' и
непрерывна в IIi \ Л; Л' = {Afc}fc=-f7 — собственные значения, а Л" =
= {Afc}fc=r+1 т — спектральные особенности L. Теми же
рассуждениями, что и в лемме 2.2.5, доказывается следующее утверждение.
Лемма 2.2.6. Имеет место соотношение
00 m
0 fc~'
где
V(\) := ^ (М-(А) - М+(А)), М±(А) := ^ Jim^ М(А ± iz),
( e(0,Pk)(^(Pk))-\ k = T~f, d
ak := { l-e(0,Pk)(AM)-\ k = V+T^, Д><>> := TXA^
Определение 2.2.3. Множество S = ({V(A)}a>o,
{^ь<2*}*=Тт) называется спектральными данными для L.
Пользуясь теоремой 2.2.1 и леммой 2.2.6, приходим к следующей
теореме единственности.
Теорема 2.2.18. Пусть S и S являются спектральными
данными для L и L соответственно. Если S = 5, то L — L. Таким
образом, задание спектральных данных однозначно определяет L.
Для L е Vfi основное уравнение (2.2.83) остается верным и теорема
2.2.14 также имеет место. При этом потенциал q и коэффициент h
строятся по формулам (2.2.82), (2.2.19)-(2.2.20).
Возмущения дискретного спектра. Пусть дана пара L е
€ Vyv, и пусть М(Х) — функция Вейля для L. Рассмотрим функцию
М(А) - М{\) + У -^-, (2.2.104)
AoGJ

§2.2. Обратная задача на полуоси для суммируемых потенциалов 183
где J — конечное множество в Л-плоскости; а\0, Ао £ J — комплексные
числа. Тогда V^(A) = 0, и основное уравнение (2.2.12) превращается
в линейную алгебраическую систему
ф(х, zq) = <р(х, z0) + ^2 D(x> 2о> А0)аЛо^(х, А0), z0 е J, (2.2.105)
Ao€J
с определителем det(E + G(x))t где G(x) = [D(x, z0, A0)aA0]2o,A0ej.
Условие разрешимости основного уравнения (условие Р в теореме 2.2.5)
принимает здесь вид
det(£ + G(x))^0 при всех х > 0. (2.2.106)
Потенциал q и коэффициент h строятся по формулам
q{x) = q(x)+e(x), h = h- ^ аХо, (2.2.107)
е{х) = -2 £ "*£($(*> *оМх, Ао)). (2.2.108)
A0€J
Опираясь на теорему 2.2.5, получаем следующее утверждение.
Теорема 2.2.19. Пусть L Е У/у. Для того чтобы функция М(Х)
вида (2.2.104) была функцией Вейля для некоторой пары L е V}v,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось (2.2.106) и е(х) €
е Wn, где s(x) определяется по формуле (2.2.108), а {<р(х, Ао}л0е J ~
решение уравнения (2.2.105). При этих условиях потенциал q и
коэффициент h строятся по формулам (2.2.107).
Пример 2.2.1. Пусть q{x) = 0 и h — 0. Тогда М(А) = —.
Рассмотрим функцию
М(А)=М(А) + Г^-,
где а и Ао — комплексные числа. Тогда основное уравнение (2.2.105)
принимает вид _
<р(х,\о) = F(x)<p(x,\o),
где
<р(х, Ао) = cos pox, F(x) = 1 + а
cos2 pot dt, Aq = Pq.
Условие разрешимости (2.2.106) в данном случае имеет вид
F{x)^0 при всех х ^ 0, (2.2.109)
а функция е(х) находится по формуле
, v _ 2аро sin 2рох 2а cos pox
£(Х) F{x) + F\x) ■

184 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Случай 1. Пусть Ао = 0. Тогда F(x) = 1 + ах, a (2.2.109)
равносильно условию
a g (-оо.О). (2.2.110)
Если (2.2.110) выполняется, то М(Л) является функцией Вейля для
пары L вида (2.2.1)—(2.2.2), причем
я(х) = * .2' h = ~a>
(1 + ах)
<р(х,\) = cospx-^ . *^, е(*,р) = exp(v>x)(l - ^^у),
Д(р) = гр, К(А) = —, у>(х,0) = *
7гр ' 1 4- ах
Если а < 0, то условие разрешимости не выполняется, и функция М(А)
не является функцией Вейля.
Случай 2. Пусть Aq ^ 0 — вещественное число, и пусть а > 0.
Тогда F(x) ^ 1, и условие (2.2.109) выполняется. Но в этом случае
е(х) £ L(0, оо), т. е. е(х) £ W^ при любом N ^ 0.
§ 2.3. Обратная задача на полуоси для локально
суммируемых потенциалов
2.3.1. Обратная задача для волнового уравнения. Рассмотрим
следующую краевую задачу B(q(x),h) :
Щг = ихх - q(x)u, O^x^t, (2.3.1)
и(х, х) = 1, (их — /ш)|х=о, (2.3.2)
где q(x) — комплекснозначная локально интегрируемая функция (т.е.
интегрируемая на каждом конечном интервале), к — комплексное
число. Обозначим r(t) :=u(Q,t). Функция г называется следом решения.
В этом параграфе исследуется следующая обратная задача.
Задача 2.3.1. По заданному следу г(£), t^ 0, решения B(q(x),h)
построить q(x), х ^ 0, и h.
Мы докажем теорему единственности решения обратной задачи
2.3.1 (теорема 2.3.3), получим алгоритм ее решения (алгоритм 2.3.1)
и дадим необходимые и достаточные условия ее разрешимости (теорема
2.3.4). Более подробно об обратных задачах для уравнений с частными
производными см. [20, 21, 22, 38, 40, 42, 50, 57, 73, 122, 123, 124, 125,
137, 153-155, 190, 192, 205, 208, 211-213].
Замечание 2.3.1. Краевая задача B(q(x),h) эквивалентна задаче
Коши с точечным источником возмущения. В самом деле, пусть для
простоты здесь h = О.Положим u(xyt) = 0 при 0 < t < х и u(x,t) =

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 185
= u(—x,t), q(x) = q(-x) при х < 0. Тогда и(х, t) является решением
задачи Гурса
utt = ихх - q(x)u, 0 ^ |х| ^ t,
и(х, \х\) = 1.
В свою очередь эта задача Гурса равносильна задаче Коши
Щг = Uxx — q{x)u, —оо < х < оо, t > О,
U|t=o = °. ut\t=o = 2<J(x),
где <5(x) — дельта-функция Дирака. При ft ф О краевая задача
(2.3.1)-(2.3.2) также соответствует некоторой задаче Коши с точечным
источником возмущения.
Вернемся к краевой задаче (2.3.1)—(2.3.2). Обозначим
Q(x) =
х
\q{t)\dty Q+(x)= \Q(t)dt, d = max(0, -ft).
Теорема 2.3.1. Краевая задача (2.3.1), (2.3.2) имеет
единственное решение u(x,t), причем
\и(хЛ)\ < exp(d(t - x))exp(2Q1,(^i£)y O^x^t. (2.3.3)
Доказательство. Заменой
преобразуем (2.3.1)-(2.3.2) к виду
vat>v) = -p(i^Il)v(tv), <КтК£. (2.3.4)
«(£.0) = 1, (««(£, v)-«,(£. i?) - Мб ч))|«=, = 0. (2.3.5)
Так как г^(£,0) = 0, то интегрирование (2.3.4) по ц дает
л
v&.v) = -^q(^)vtf,a)da. (2.3.6)
В частности,
V&, 1,)|€=ч = -I |д(^)«(Ч, a) da. (2.3.7)

186 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Из (2.3.6) вытекает
v(€,r)) = v{rj,rj)
j^q(^)v(l3,a)da)dl3. (2.3.8)
г) О
Вычислим теперь v(r]yr]). Так как
— (v(r/, ту) exp(hr])) = (ve(f, ту) + vv{t, ту) + /w(f, 77))^ exp(/iry),
то в силу (2.3.5) и (2.3.7) получаем
— (v(r)} ту) exp(hrj)) = 2^(£, 77)1^=^ exp(hrj)
--exp(hrj) 9(^-^(77, a) da.
Это дает (поскольку v(0,0) = 1):
г>(ту, ту) exp(/iry) — 1 = — -
exp(/i/?)(J9(£^)i>(/?,a)da) d/?,
и, следовательно,
г;(ч,т/)=ехр(-Лч)--
ехр(-/г(ту - (3)) x
/5
(Jg(^)u(Mda)d/?. (2.3.9)
Подставляя (2.3.9) в (2.3.8), заключаем, что функция v(^rj)
удовлетворяет интегральному уравнению
v{^rj) = exp(-hrj)- -
ехр(-Мч-)8)) (9(^)^.0) da) di8
С ry
(L(^)i;(/J.a)da)d/J. (2.3.10)
v о
Обратно, если г>(£, 77) является решением уравнения (2.3.10), то
нетрудно убедиться, что v{^rj) удовлетворяет (2.3.4)-(2.3.5).

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 187
Будем решать интегральное уравнение (2.3.10) методом
последовательных приближений. Вычисления немного различны для h ^ 0
и h< 0.
Случай /. Пусть h ^ 0. Обозначим
M^l) =exp(-hr/), ^+i(C^) =
1
ехр(-Л(т; - /?)) х
С г,
(\q(^-^)vk{^a)da)dp
(2.3.11)
ry 0
Покажем по индукции, что
k(e^)l^^(2Q*(|))\ fc^O, O^ry^C- (2.3.12)
В самом деле, оценка (2.3.12) очевидна при к = 0. Предположим,
что оценка (2.3.12) верна при некотором к ^ 0. Тогда из (2.3.11)
вытекает
h>fc+i(£.*7)l ^ 5
|(| К^Ь(/?' a)HQ) df3' (23ЛЗ)
о о
Подставляя (2.3.12) в правую часть (2.3.13), получаем
о
/с!
(«•(DJ'dK^)!*»)**
о о
С /3/2 {
[(2Q.(f))fe( [ |Q(5)MS)d/3 = l[(2g,(f))fcQ(f)C(/3
О
С/2
fc!
(2Q*(5))n2Q^^)),^ = 7¥^(2Q*(|))/C"fl,
и, следовательно, оценка (2.3.12) доказана.
В силу (2.3.12) ряд
v(tv) = J2vk{tv)
fc=0

188 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
сходится абсолютно и равномерно на компактах 0 ^ г/ ^ £ ^ Т, причем
|v(£.4)Kexp(2Q.(f)).
Функция г>(£, 77) является единственным решением уравнения (2.3.10).
Следовательно, функция u(x, t) = v(t -f х, t — х) является
единственным решением краевой задачи (2.3.1)—(2.3.2), причем имеет место
(2.3.3).
Случай 2. Пусть h < 0. Заменой w(£, rj) = v(£t rj) exp(hrj) сведем
(2.3.10) к интегральному уравнению
ЦС^) = 1-^|(|(?(^)ехр(/1(/?-а)И/3,а)йа)^-
о о
-\^q(^)exp(h(r}-a))w(p,a)da)dp. (2.3.14)
V о
Методом последовательных приближений, аналогично случаю 1,
получаем, что интегральное уравнение (2.3.14) имеет единственное
решение, причем
K£.4)l<exp(2Q.(f)),
т.е. теорема 2.3.1 доказана также и для случая h < 0. □
Замечание 2.3.2. Из доказательства теоремы 2.3.1 следует, что
решение u(x,t) задачи (2.3.1), (2.3.2) в области От '•= {(#.£) : 0 ^ х ^
^ £, 0 ^ х + £ ^ 2Г} однозначно определяется заданием h и q(x) при
0 < х ^ Т, т. е. если q(x) = q(x)y х G [0, Т] и h = /г, то u(x, £) = й(х, £)
при (х,£) G Эт- Поэтому можно также рассматривать краевую задачу
(2.3.1)-(2.3.2) в области вт и изучать обратную задачу
восстановления q(x), О^х^Ти/ino заданному следу r(t), t G [0,2Т].
Через £>дг (iV ^ 0) обозначим множество функций /(х), х ^ О,
таких, что при каждом фиксированном Т > 0 функции /^(х),
j = О, JV — 1 абсолютно непрерывны на [О,Г], т.е. f^(x) G L(0,T),
j = О, ЛГ. Из доказательства теоремы 2.3.1 вытекает, что r(t) G £>2,
г(0) = 1, г'(0) = —Л. Кроме того, функция г" имеет ту же гладкость,
что и потенциал д. Например, если q G £>лг, то г G £>yv+2-
Для решения обратной задачи 2.3.1 будем использовать формулу
Римана решения задачи Коши
utt -p(t)u = ихх - q{x)u + p\(x,t), -оо < х < со, t > О,
U|t=0 = r(x), и£|4=о = Ф0-

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 189
Известно (см., например, [174, с.9], что решение задачи (2.3.15) имеет
вид
u(x, t) = \ (г{х + t) + г(х - t)) +
x+t
+ 5 } (s(OR(tO,x,t)-r(OR2(tO,x,t))dti +
t
ij
x-t
£ x+t—r
+ *\dT
R(Z,T,x,t)pi&T)dZ,
0 x+r-t
яр
где Я(£,т,а:, £) — функция Римана, a i?2 = -5— • Отметим, что если
ит
q(x) = const, то Д(£,т,х, £) = i?(£ — х,т,£). В частности, решение
задачи Коши
^« = ^хх - q{x)uy -00 < t < 00, х > О,
^|х=0 = Ф)> ^х|х=0 = МО
(2.3.16)
имеет вид
гл(х, t) = \ (r(t + х) + г(* - х)) -
t+x
-5 } KO№(£-tO,x)-/i#(£-*,0,x))^.
Замена переменных г = £ — £ приводит к соотношению
X
rft-TOGfr.Tjdr, (2.3.17)
u(x,t) = \(r(t + x) + r(t-x)^-rl-
где G(x, г) = -й2(-т, 0, х) + ЛД(-т, 0, ж).
Замечание 2.3.3. В (2.3.16) возьмем r(t) = cospt. Очевидно, что
функция и(х, £) = <р(х, X) cos pt, где </?(х, Л) была определена в §1.1,
является решением задачи (2.3.16). Поэтому (2.3.17) дает при t = 0:
Так как G(x, —т) = G(x,r), то
<£>(х, А) = cospx +
G(x, т) cos prdr,

190 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
т.е. получили другой вывод представления (1.1.54). Таким образом,
функция G(x,t) является ядром оператора преобразования. В
частности, в § 1.1 было показано, что
G(*,*) = ft + i
q(t)dt. (2.3.18)
Перейдем теперь к решению обратной задачи 2.3.1. Пусть u(xyt) —
решение краевой задачи (2.3.1), (2.3.2). Доопределим u(x,t) =0 при
0^<хи u(x,t) = —u(x,—t), r(t) = —r(—t) при t < 0. Тогда u{x,t)
является решением задачи Коши (2.3.16), и поэтому имеет место
(2.3.17). Но u(x,t) = 0 при х > \t\ (это есть проявление связи между
q(x) и r(t)), и, следовательно,
х
I
2
^г(* + х)+г(*-х))+1
r(t-r)G(x,r)dr = 0, \t\<x. (2.3.19)
Обозначим a(t) = r'(t). Дифференцируя (2.3.19) по t и используя
соотношения
г(0+) = 1, г(0-) = -1, (2.3.20)
получаем
G(x,£) + F(x,£) +
G(x, r)F(*. т) rfr = 0, 0 < t < х, (2.3.21)
где
F(x, *) = i (a(t + x) + a(* - x)), a(*) = r'(*). (2.3.22)
Уравнение (2.3.21) называется уравнением Гельфанда-Левитана.
Теорема 2.3.2. При каждом фиксированном х > 0 уравнение
(2.3.21) имеет единственное решение.
Доказательство. Зафиксируем xq > 0. Достаточно доказать,
что однородное уравнение
$(*) + J 9{r)F(t, т) dr = 0, 0 ^ t^ х0, (2.3.23)
о
имеет только нулевое решение g(t) = 0.
Пусть g(t), 0 ^ t ^ хо, — решение уравнения (2.3.23). Так как
a(t) = r'(£) G Di, то из (2.3.22), (2.3.23) следует, что g(t) абсолютно
непрерывна на [0, xq]. Доопределим g(—t) = g(t) при t е [0, хо] и далее
g(t) =0 при \t\ >х0.

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 191
Покажем, что
х0
r(t - r)9(r) dr = Qy te [-x0, xq].
(2.3.24)
-Xq
В самом деле, в силу (2.3.20) и (2.3.23) имеем
dt
r(t — T)g(r)dr Н-
— Xq
Xq
(Jr(t-T),(r)dr) = !(
— Xq
(t - t)9(t) dr) = r(+0)fl(t) - r(-0)g(t)
= 2(д(0+ U(r)F(t,r)dr)=0.
a(t-r)g(r)dT =
-Xq
Xq
Следовательно,
zo
r{t-r)g(T)dT = C0.
-Xq
Полагая здесь t = О и пользуясь нечетностью функции г(—т)д(т),
находим Со = 0, т.е. верно (2.3.24).
Обозначим До = {(х, t) : х — хо ^ £ ^ xq — х, 0 ^ х ^ хо} и
рассмотрим функцию
w(x,t) :=
u(x, £ - r)^(r) dr, (x, t) G До,
(2.3.25)
где u(x,t) — решение краевой задачи (2.3.1)-(2.3.2). Покажем, что
w{x, t) = О, (х, t) е Д0. (2.3.26)
Так как u{x,t) = 0 при х > \t\% то (2.3.25) принимает вид
t—x оо
w(x,t)= \ и(х,Ь-т)д(т)(1т+ u(x,t - т)д(т)(1т. (2.3.27)
-оо t+x
Дифференцируя (2.3.27) и используя соотношения
и(х% х) = 1, и(х% —х) = — 1,
(2.3.28)

192 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
вычисляем
t — x
wx{x, t) = g(t 4- x) - g(t - x) + ux(x, t - r)g(r) dr +
— oo
oo
I ux{x,t-T)g(r)dT, (2.3.29)
+
t+x
t-x
щ(х, t) = g(t + x) + p(t - ж) +
ut(:M - т)#(т)</т +
+
ut(x,t-T)g{T)dr. (2.3.30)
t+x
Так как в силу (2.3.28) (ux(x,t) ±ut(x,t))\t=±x = -r-u(x,±x) = 0, то
из (2.3.29), (2.3.30) вытекает
оо
wxx(x,t)-bbi{x,t)-q(x)w(x1t)= [uxx-utt-q{x)u}{x,t-T)g{T)dr,
и, следовательно,
wtt(x, t) = wxx(x, t) - q(x)w{x, t), (x, t) e До-
Далее, соотношения (2.3.25) и (2.3.29) дают
Xq Xq
(2.3.31)
w(0,t) =
r(t-r)g{r)dr, wx(0,t) = h
r(t — T)g(r)dr = 0,
-Xq
-*o
t e [—Xo,Xq].
Поэтому, согласно (2.3.24), имеем
w(0,t) = wx(0,t) =0, te [-xq.xo].
(2.3.32)
Так как задача Коши (2.3.31)-(2.3.32) имеет только нулевое решение,
то приходим к (2.3.26).
Обозначим u\(x,t) :=ut(x,t). Из (2.3.30) находим
wt(xt0) =2д{х) +
u\(xyT)g(r)dr +
u\(x,T)g(r)dr =

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 193
ОО Хо
= 2[g(x) + ui{x,r)g{r)dTJ = 2^(х) + щ{х,т)д(т)(1ту
X X
Учитывая (2.3.26), получаем
д(х) + щ (х, т)д(т) dr = 0, 0 < х ^ хо-
X
Это интегральное уравнение имеет только нулевое решение д(х) = О,
и, следовательно, теорема 2.3.2 доказана. □
Пусть гиг являются следами решений для краевых задач
B(q(x),h) и B(q(x)yh) соответственно.
Теорема 2.3.3. Если r(t) = r(t)t t ^ О, mo q(x) = q{x), x ^ 0,
и h = h. Таким образом, задание следа г однозначно определяет
потенциал q и коэффициент h.
Доказательство. Так как r(t) = r(t), t ^ 0, то согласно (2.3.22)
имеем: F(x,t) = F(xyt). Поэтому теорема 2.3.2 дает
G(x, t) = G(x, t), O^t^x. (2.3.33)
В силу (2.3.18)
q(x) = 2-f-G(x, x), h = G(0,0) = -r'(0). (2.3.34)
ax
Отсюда и из (2.3.33) заключаем, что q(x) = q(x), х ^ 0 и h = h. П
Уравнение Гельфанда-Левитана (2.3.21) и теорема 2.3.2 приводят
к следующему алгоритму решения обратной задачи 2.3.1.
Алгоритм 2.3.1. Пусть задан след r(t), t^O.
1) Строим F(x,£), используя (2.3.22).
2) Находим G(x,t) из уравнения (2.3.21).
3) Вычисляем q(x) и h по формулам (2.3.34).
Замечание 2.3.4. Укажем кратко на связь обратной задачи
2.3.1 с обратной спектральной задачей, рассмотренной в §2.2. Пусть
q(x) е L(0, оо), и пусть и(х, t) — решение задачи (2.3.1), (2.3.2). Тогда
согласно (2.3.3) |м(х,£)| ^ Ciexp(C2^). Обозначим
сю
Ф(х, А) = — и(х,t)exp(ipt)dt, х > 0, Imp ^ 0,
X
сю
М(А) = - r(t) exp{ipt)dt, Im р ^ 0.

194 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Нетрудно убедиться, что Ф(х, А) и М(Л) являются решением Вейля
и функцией Вейля для пары L = L(q(x),h) вида (2.1.1), (2.1.2).
Формула обращения для преобразования Лапласа дает
*> = h
М{\) exp(-ipt) dp = Jl. J !!LE(2p)M(A) dp =
J^M(A)dA,
71 7l
J_
2тгг
7
где 7 — контур, введенный в §2.1 (см.^ис. 2.1.1), a 7i — образ 7 при
отображении р —> А = р2. Пусть q(x) — h = 0. Так как
1
2тгг
7
7
(«)-i+^jjS"iffw«.
ТО
г(
2ттг
7
Если выполняется соотношение (2.2.5), то
а(£) = — cos/9^M(A)cfA,
7
и, следовательно,
F(x,t) = n-^ cospxcosp£M(A)dA,
7
т.е. уравнение (2.3.21) совпадает с уравнением (2.2.42).
Приведем теперь необходимые и достаточные условия
разрешимости обратной задачи 2.3.1.
Теорема 2.3.4. Для того чтобы функция r(£), t^ 0 была следом
для некоторой краевой задачи B(q(x),h) вида (2.3.1), (2.3.2) с q Е
G Dpj, необходимо и достаточно, чтобы r(t) £ JD7V+2» г(0) = 1 ы яры
каждом фиксированном х > 0 интегральное уравнение (2.3.21) было
однозначно разрешимо.
Доказательство. Необходимость условий теоремы 2.3.4
доказана выше; здесь мы докажем достаточность. Пусть для
простоты N ^ 1 (случай N = 0 требует небольших изменений). Пусть
дана функция r(t), t ^ 0, удовлетворяющая условиям теоремы 2.3.4,

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 195
и пусть G(x, £), 0 ^ £ ^ х, — решение уравнения (2.3.21). Доопределим
G(x,t) = G(x, —t), r(t) = —r(—t) при t < О и рассмотрим функцию
х
u(x, t) := i (r(* + x) + r(* -*))+£ [ r(* - t)G(x, t) dr,
—x
- oo < t < oo, x ^ 0. (2.3.35)
Далее, построим g и /i по формулам (2.3.34) и рассмотрим краевую
задачу (2.3.1)—(2.3.2) с этими q и h. Пусть u(x,t) — решение задачи
(2.3.1)-(2.3.2), и пусть r(t) :=й(0,0- Осталось доказать, что и — и,
г — г.
Дифференцируя (2.3.35) и учитывая (2.3.20), получаем
Мх, 0 = £ (a(t + х) + a(t - х)\ + G(x, t) +
X
+ 5 [ a(t-T)G(x,T)dr, (2.3.36)
— X
ux{x, t) = - (a(t + x) - a(t - x) J +
i (r(t - x)G(x, x) + r(t + x)G(x, -x)) +
+ •
+i
rft-TOGsfor)*-. (2.3.37)
Так как a(0+) = a(O-), то из (2.3.36) выводим
u«(s, 0 = 5 (a'(* + *) + a'(* - x)) + Gt(^, 0 +
+ i [ a'(t - t)G{x, t) dr. (2.3.38)
— X
Интегрирование по частям дает
u«(s, 0 = 5 (<*'(* + x) + a'(* ~ *)) + Gt(*> 0 -
(a(t-T)G(x, т{ + a{t-r)G(x, rf) +i f o(« - r)Gt(x, r) dr =

196 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
= i (a'(t + х) + a'(t - s)) + Gt(x, t) + i (a(t + x)G{x, -x) -
X
- a(t - x)G(x, xj\ + ^ [ r'(* - r)Gt(x, r) dr.
— x
Снова интегрируя по частям и используя (2.3.20), находим
utt(xt t) = ^ (a'(t + х) + а'(* - ж)) + Gt(x, t) +
+ - (а(£ + x)G(x, —x) — a(t — x)G(x,x) ] —
- \ (r(t - r)Gt{xt r)|^ + r(t - r)Gt{x, r)Q +
+ i [ r(t - t)G„(x, t)<It=X- (a'(t + x) + a'{t - x)) +
— X
+ ^ (a(* + x)G(x, -x) - a(t - x)G(x, x)) +
-f i (r(t + x)Gt(x, -x) - r(t - x)G*(x, x)\ +
+ ^ f r(t-T)G«t(x,T)dT. (2.3.39)
Дифференцируя (2.3.37), получаем
uxx(x, t) = -z (a'(t + x) + a'(£ - x) J +
+ i (a(t + x)G(x, -x) - a(* - x)G(x, x)) +
+ \ (r{t + x)TxG{x' ~X) + r{t ~ X)^G(X'X)) +
-f i f r(* + x)Gx(x, -x) + r(* - x)Gx(x, x)) +
x
+ g r(t-r)Gxx{xyT)dr.

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 197
Вместе с (2.3.35), (2.3.39) и (2.3.34) это дает
uxx(x,t) -q(x)u(x,i) -utt(x,t) = ^ r(t - т)д(х,т)с1т
— х
2 ^
— X
оо < t < оо, х ^ 0, (2.3.40)
где
#(:г, £) = Gxx(x, t) - Gtt{x, t) - q{x)G{x, i).
Покажем, что
u(xtt) = Ot x>\t\. (2.3.41)
В самом деле, из (2.3.36) и (2.3.21) вытекает, что ut(x,t) =0 при
х > \t\, и, следовательно, u(x,t) = Со(х) при х > \t\. Полагая t = О
в (2.3.35), вычисляем
X
х) = i (г(х) + г(-х)\ + ^ [ r(—r)G(x, т) dr = О,
С0(
т.е. приходим к (2.3.41).
Из (2.3.40) и (2.3.41) следует, что
\ \ r{t-T)g(x,T)dr = 0, x>\t\. (2.3.42)
-X
Дифференцируя (2.3.42) по t и учитывая (2.3.20), находим
\(r(0+)g(x,t)-r(0-)g(x,t)) + ±
a(t — т)д(х, т) dr = О,
или
g(x,t) +
F{t,T)g(x,T)dT = 0.
Согласно теореме 2.3.2 это однородное уравнение имеет только нулевое
решение д(х, t) = 0, т. е.
Gtt = Gxx - q(x)G, 0<\t\< x. (2.3.43)
Далее, из (2.3.38) при t = 0 и (2.3.41) вытекает
X
О = I (о'(х) + а'(-х)) + Gt(x, 0) + i [ a'(-r)G(x, т) dr.

198 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Так как а'{х) = -а'(-х), G(x,t) = G(x, —t), то
!Щ*£{ =0. (2.3.44)
ot t=o
В силу (2.3.34) функция G(x,i) удовлетворяет также (2.3.18).
Из (2.3.40) и (2.3.43) вытекает
utt(x,t) = uxx(x,t) — q(x)u(x,t), —oo<t<oo, x ^ 0.
Кроме того, (2.3.35) и (2.3.37) дают (с учетом равенства h = G(0,0))
Щх=о = r(t), их\х=0 = hr(t).
Покажем, что
и(х,х) = \, х^О. (2.3.45)
Так как функция G(x,t) удовлетворяет (2.3.43), (2.3.44) и (2.3.18), то
согласно (2.3.17) имеем
X
и(х, t) = \ (r(t + х) + r(t - xj\ + i I r(t - t)G{x, t) dr. (2.3.46)
— x
Сравнивая (2.3.35) с (2.3.46), получаем
X
u(x, t) = i (f(< + x) + r(t - ж)) + | I r(( - t)G(i, t) dr.
— X
где и = и — uy г = г — г. Так как функция г(£) непрерывна при
-оо < £ < оо, то функция и(х, t) также непрерывна при — оо < t < оо,
х > 0. С другой стороны, в силу (2.3.41) имеем: и(хЛ) = 0 при
х > \t\, и, следовательно, и(х,х) = 0. Согласно (2.3.2) й(х,х) = 1,
и мы приходим к (2.3.45). Таким образом, функция и(х, t) является
решением краевой задачи (2.3.1)—(2.3.2). В силу теоремы 2.3.1
получаем и(х, i) — й(хЛ), и, следовательно, r(t) = r(t). Теорема 2.3.4
доказана. □
2.3.2. Обобщенная функция Вейля. Рассмотрим
дифференциальное уравнение и линейную форму L — L(q(x)yh):
?У := -у" + q(x)y = Ay, х > О,
U(y)~y'(0)-hy(0).
В этом пункте исследуется обратная спектральная задача для L в
случае, когда q(x) — локально суммируемая комплекснозначная функция,
и h — комплексное число. Для этого случая в качестве основной
спектральной характеристики вводится так называемая обобщенная
функция Вейля. Отметим, что В.А. Марченко [174] применял
обобщенную спектральную функцию при решении обратной задачи для несамо-

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 199
сопряженного оператора Штурма-Лиувилля с локально суммируемым
потенциалом.
Введем пространство обобщенных функций. Пусть D —
множество всех суммируемых ограниченных на вещественной оси целых
функций экспоненциального типа с обычными операциями сложения
и умножения на комплексные числа и со следующей сходимостью:
последовательность zk{p) сходится к z(p), если типы ак функций Zk(p)
ограничены (supak < оо) и \\zk(p) - 2(p)||l(-oo,co) -> 0 при к -> оо.
Линейное многообразие D с таким определением сходимости примем
за пространство основных функций.
Определение 2.3.1. Линейные непрерывные функционалы
R: D-+C,z(p)~R(z(p)) = (z(p),R),
определенные на основном пространстве Д называются обобщенными
функциями (ОФ). Множество всех ОФ обозначается через D'.
Последовательность ОФ Rk G D' сходится к R е D't если lim(z(p),Rk) =
= (г(р),Я), к —> оо, для любой z(p) G D. ОФ R е D' называется
регулярной, если она определяется функцией R(p) е Loo по формуле
(*(р).Д) =
z(p)R(p)dp.
Определение 2.3.2. Пусть функция f(t) локально суммируема
при t > О (т.е. суммируема на каждом конечном отрезке [О,Т]). ОФ
Lf(p) Е Df, определяемая равенством
(z(p),Lf(p)):=
i ОО
/(*)( [ z(p)exp(ipt)dp\dt, z(p) G А (2.3.47)
называется обобщенным преобразованием Фурье-Лапласа для
функции /(*).
Так как z(p) € А то
оо оо
\z{p)\2dp^ sup \z(p)\- |*(р)| dp,
J -oo<p<co J
— oo —oo
т.е. z(p) e I/2(—oo, oo). Поэтому в силу теоремы Пэли-Винера [311]
функция
В(^ := 2^ Z^ ехР(^) dP

200 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
является непрерывной и финитной, т. е. существует d > 0 такое, что
B(t) = 0 при |*| > d и
d
z(p) = I B{t)exp(-ipt)dt. (2.3.48)
-d
Следовательно, интеграл в (2.3.47) существует. Отметим, что если
f(t) eL(0,oo), то
оо оо
(z(p),Lf(p)):= | 2(p)(|/(t)exp(t/rt)«tt)dp.
-оо 0
т.е. L/(p) является регулярной ОФ (порожденной J^°f(t)exp(ipt)dt)
и совпадает с обычным преобразованием Фурье-Лапласа для функции
f(t). Так как
оо
1 f 1 — cos рх (. ,v , \ X — t,
- Н1- exp(ipt)dp =i Q
оо
£ < X,
* > X,
-оо
то имеет место следующая формула обращения:
X
|(х - t)f(t)dt = (± ■ l-JP\ Lf{p)j . (2.3.49)
о
Пусть функция и{х, t) является решением задачи (2.3.1), (2.3.2)
с локально суммируемым комплекснозначным потенциалом q(x).
Доопределим и(х, t) = 0 при 0 < t < х и обозначим Ф(х, А) := -Lu(p)
(А = р2), т.е.
оо оо
(г(р),Ф{х,\)) = - [и(ж,*)( | z(p)exp(ipt)dp\dt. (2.3.50)
X —оо
При z(p) е D, p2z(p) Е L(—оо, оо), ^ = 1,2 положим
(г(р). (гр)"Ф(х, А)) := ({грГг{р), Ф(х. А)),
Ш,фМ(х,\)):=-^Ш,Ф(х,\)).
Теорема 2.3.5. Справедливы соотношения
*Ф(х,А) = АФ(х,А). £/(Ф) = 1.

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 201
Доказательство. Вычисляем
(z(p), £Ф{х, Л)) = (z(p), -Ф"(х, Л) + д(х)Ф(я, Л))
оо оо
= — (ip)z(p)exp(ipx)dp — ux(xtx) z(p) exp(ipx)dp +
— OO —CXI
с» с»
f txXx(x, i) — q(x)u(x, t)) f z(p)exp(i/9^)dp) dt,
(г(р),Щх,Х)) = -
(ip)z(p) exp(ipx)dp -
ut(X,X) I 2(р)ехр(^)ф +
— OO
OO OO
и«(ж,*)( z(p)exp(ipt)dp\dt.
+
Используя тождество щ(х,х) +ux(x,x) = —u(x,x) = 0, получаем
(z(p), £Ф(х, A) - АФ(х, Л)) = 0. Далее, так как
(г(р),Ф'(х,Х))
z(p) ехр(грх) dp —
то
э оо
и* (я. £) ( z(p) exp(ipt) dp) dty
X —оо
оо
Ш, ЩФ)) = (z(/>), Ф'(0, А) - ЛФ(0, Л)) = | ф) dp.
и теорема 2.3.5 доказана. П
Определение 2.3.3. ОФ Ф(х,А) называется обобщенным
решением Вейля, а ОФ М(А) := Ф(0, А) называется обобщенной функцией
Вейля (ОФВ) для L(q(x),h).
Отметим, что если q(x) G L(0, оо), то |u(x,£)| ^ Ci ехр(Сг£)»
и Ф(х,А), М(А) совпадают с обычными решением и функцией Вейля
соответственно (см. замечание 2.3.4).

202 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Обратная задача формулируется следующим образом.
Задача 2.3.2. По заданной ОФВ М(Л) построить потенциал q(x)
и число h.
Обозначим r(t) := u(0,t). Из (2.3.50) вытекает
оо оо
(z(p), М(А)) = - | r(t) ( | z(p) exp(ipt) dp) dt,
0 -сю
т.е. М(Л) = —Lr(p). Используя (2.3.49), получаем
дифференцированием 2 / \
r(t) = ~(±- ±^££, M(A)j , (2.3.51)
и обратная задача 2.3.2 сводится к обратной задаче 2.3.1 по следу г,
рассмотренной в 2.3.1. Таким образом, доказаны следующие теоремы.
JeopeMa 2.3.6. Пусть М{\) и М(Х) - ОФВ для L = L(q{x),h)
и L — L(q(x),h) соответственно. Если М(А) = М(Л), то L = L.
Таким образом, задание ОФВ однозначно определяет потенциал q
и коэффициент h.
Теорема 2.3.7. Пусть tp(x,\) — решение уравнения £<р = А</?
при начальных условиях <р(0,\) = 1, </(0, Л) = h. Тогда справедливо
представление
(р(х,\) ■= cospx +
G(x,t) cos ptdt,
причем функция G(x, t) удовлетворяет интегральному уравнению
X
G(x,t) + F(x,t) + I G(x,r)F(t,r)dr = 0y 0<t<x,
(2.3.52)
о
где F(x, t) — (r'(t + x) + r'{t - x))/2. Функция г определяется no
формуле (2.3.51), причем r e D<i- Если q G D^, mo r e DN+2- Кроме
того, при каждом фиксированном х > 0 интегральное уравнение
(2.3.52) однозначно разрешимо.
Теорема 2.3.8. Для того чтобы ОФ М е D' была ОФВ для
некоторой пары L(q(x),h) с q Е D^, необходимо и достаточно,
чтобы
1) г € -Dyv+2, г(0) = 1, где г определяется по формуле (2.3.51);
2) при каждом х > 0 интегральное уравнение (2.3.52) было
однозначно разрешимо.
Потенциал q и коэффициент h строятся по следующему алгоритму.
Алгоритм 2.3.2. Дана ОФВ М(Х).
1) Строим r(t) по формуле (2.3.51).
2) Находим G(x,t) из интегрального уравнения (2.3.52).
dG(x х}
3) Вычисляем q(x) и h по формулам q(x) = 2—у ' , h = G(0,0).

§2.3. Обратная задача для локально суммируемых потенциалов 203
В заключение докажем теорему о разложении для случая локально
суммируемых комплекснозначных потенциалов q.
Теорема 2.3.9. Пусть f(x) G W%. Тогда равномерно на
компактах , / ч
f(x) = 1^(1, A)F(A)(ip), M(A)J, (2.3.53)
где
F{\)= \f(t)<p(t,\)dt. (2.3.54)
о
Доказательство. Предположим сначала, что q(x) 6 £(0, оо).
Пусть /(х) G Q, где Q = {/ G W2 : £/(/) = 0, if е L2(0,oo)} (общий
случай, когда / G И^, требует небольших изменений).
Пусть D+ = {z(p) G £> : pz(p) G L2(-oo, оо)}. Ясно, что z(p) G D4"
тогда и только тогда, когда В(£) G W2l[—d.d] в (2.3.48). Для z(p) G D+
интегрирование по частям в (2.3.48) дает
Ф) =
B(t) exp(-ipt) dt = -
гр
B'{t)exp(-ipt)dt.
Используя (2.3.54), вычисляем
F(A) =
1
f(t)(-<f/'{t,X)+q(t)<p(t,\j)dt =
<p{t,\)l№dt,
и, следовательно, F(\)(ip) £ D+. В силу теоремы 2.1.8 имеем
><*> = 2^
(p(x,\)F(\)M(\)d\:
<p(x9\)F(\)(ip)M(\)dp,
(2.3.55)
где контур 71 в р-плоскости является образом 7 при отображении р —>
—» А = р2. Согласно замечанию 2.3.4
М(Х)
r{t)exp{ipt)dt, \r(t)\ < С\ exp(C2t).
(2.3.56)
о
Возьмем b > С2. Тогда по теореме Коши из (2.3.55)-(2.3.56) выводим
оо+гб
— оо+гб
f(x) = I Г <р(х,A)F(A)(zp)(- f r(t)exp(ipt)df) dp =
о
оо+гб
*(t) ( I (p(x, X)F(X)(ip) exp(ipt) dp) dt.

204 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Снова используя теорему Коши, получаем
оо оо
f(x) = -- | r(t)( I (p(x,\)F(\){ip)exp(ipt)dp\ dt =
0 —оо
= I(^(x,A)F(A)(v),M(A)),
т.е. верно (2.3.53).
Пусть теперь q(x) является локально суммируемой комплекснознач-
ной функцией. Обозначим
№(x)={f>-°;^*-
Пусть rpt(t) — след, построенный для потенциала qR. Согласно
замечанию 2.3.2
rR(t) = r(t) при t ^ 2R. (2.3.57)
Так как qr(x) G L(0, оо), то в силу (2.3.53) имеем
оо оо
fix) = ~\ rR(t) ( } Ф- A)F(A)(tp) exp(ipt) dp) dt.
0 -оо
Пусть х е [0, Т] при некотором Г > 0. Тогда существует d > 0 такое,
что
а оо
/(х) = -- \rR(t)( J (p(x,\)F(\)(ip)exp(ipt)dp\ dt, О^х^Т.
0 —оо
При достаточно большом R(R> d/2) в силу (2.3.57) имеем
d оо
f(x) = --\r(t)( I (p(x,\)F(\){ip)exp(ipt)dp\dt =
0 -оо
оо оо
-IJn0(J»(..4W(W«p(W*)*-
0 -оо
= ± (*>(*, A)F(A)(tp),Af (А)),
т.е. верно соотношение (2.3.53), и теорема 2.3.9 доказана. □
Замечание 2.3.5. Задание ОФВ М равносильно заданию
обобщенной спектральной функции (ОСФ) Я, введенной В.А. Марченко
(см. [174]). Более того, можно показать, что R(p) = 7г_1(гр)М(А).
В самосопряженном случае (когда потенциал q(x) является веществен-

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
205
ной локально суммируемой функцией, a h — вещественное число)
имеем: (f(\),R) = j°^oof(X)da(X), где <т(А) — спектральная функция
оператора. Таким образом, обратная задача для самосопряженного
оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции является частным
случаем обратной задачи 2.3.2 по ОФВ.
§ 2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
В §§ 2.4, 2.5 рассматриваются сингулярные дифференциальные
операторы Штурма-Лиувилля на оси и дается решение обратной задачи рассеяния.
В § 2.4 вводятся данные рассеяния и изучаются их свойства. В § 2.5, используя
метод оператора преобразования, мы даем вывод так называемого основного
уравнения и доказываем его однозначную разрешимость. Используя
основное уравнение, мы получаем алгоритм решения обратной задачи рассеяния и
необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Далее рассматривается
важный частный случай — класс безотражательных потенциалов; приводятся
явные формулы для построения таких потенциалов. В заключение методом
обратной задачи рассеяния дается решение задачи Коши для нелинейного
уравнения Кортевега-де Фриза. Отметим, что обратная задача рассеяния на
оси для оператора Штурма-Лиувилля рассматривалась многими авторами (см.,
например, [173, 164, 80, 70]).
2.4.1. Решения Йоста. Рассмотрим дифференциальное уравнение
fy := —у" + я{х)у — Ау, —°о < х < оо. (2.4.1)
Везде в этом пункте будем предполагать, что функция q(x)
вещественна и
J (l + |x|)|g(x)|dx<oo. (2.4.2)
— оо
Пусть А = р2, р = о + гт, и пусть для определенности г := Imp ^ 0.
Обозначим 0+ = {р : Im р > 0},
оо
\{t-x)\q(t)\dt,
X
X
(t-x)\q{t)\dt.
— оо
Ясно, что lim Qf(x) = 0. Следующая теорема вводит решения Йоста
х—*±оо J
е(х, р) и д(х, р) с заданным поведением на ±оо.
Теорема 2.4.1. Уравнение (2.4.1) имеет единственные решения
у = е(х,р) и у = д(х,р), удовлетворяющие интегральным уравнени-
оо оо
Qo (*) = f \Q(t) \dt, Q+ (x) = | Qt (t) dt =
X X
X X
Qo(x)= I \q(t)\dt, QT(x)= | Qo(t)dt =

206 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
ям
оо
е(х, р) = ехр(грх) + —— -q(t)e(t, p)dt
X
X
д{х, р) = ехр(-грх) + S1"P(J ~ ^ <?(%(*, р)
dt.
Функции е(х, р) и д(х, р) обладают следующими свойствами.
1) При каждом фиксированном х функции е^(х, р) и g^v\x%p)
{у = 0,1) аналитичны в £)+ и непрерывны в fi+.
2) При v — 0,1 ыл*геж
(2.4.3)
e(l/)(x,p) = (гр)"ехр(грх)(1 +о(1)), х-* +оо,
g(v\xyp) = (—гр)"ехр(—грх)(1 -t-o(l)), х —► -оо,
равномерно в £)+. Кроме того, при р £ П+:
|е(х,р)ехр(-грх)| <exp(Q+(x)),
|е(х,р)ехр(-грх) - 1| ^ Q+ (x)exp(Q+(x)), (2.4.4)
|е'(х, р) ехр(-грх) - гр\ ^ Q$(x) exp(Qf (х)),
|#(х,р)ехр(грх)| ^ exp(Qf (х)),
\g(x% р) ехр(грх) - 1| ^ Qj~ (x)exp(Qj~(x)), (2.4.5)
|#'(х,р)ехр(грх) +ip\ ^ Q^(x)exp(Q~(x)).
3) Яр^ каждом р £ П+ w при каждом вещественном а: е(х, р) Е
€ 1/г(^1 оо). #(х, р) Е Ьг(—оо, а). Кроме того, е(х, р) w g(x, р)
являются единственными решениями (2.4.1) (с точностью до постоянного
множителя) с этим свойством.
4) При \р\ —> оо, р Е £)+, г/ = О, 1 илсеел*
еИ(х,р) = (грГ ехр(грх)(1 + ^^ + 0(~))'
оо
5<"W) = (-грГехр(-грх)(1 + !^М +0(±)),
X
ь>~(х) = -- qf(0 Л
— оо
равномерно пох^аих^а соответственно.
(2.4.6)

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
207
5) При вещественных р ф 0 функции {е(х, р),е(х, —р)}
и {д(х, р), #(х, —р)} образуют фундаментальные системы решений
для (2.4.1) и
(е(х, р), е(х, -р)) = -(д{х, р), д{х, -р)) = -2гр, (2.4.7)
где (у, г) := yz' - y'z.
6) Функции е(х, р) и д(ху р) имеют представления
е(х, р) = ехр(грх) +
А+ (х,£) exp(ipt) dt,
X
X
(2.4.8)
g(x, p) = ехр(-грх) +
A (x, t) exp(-ipt) dt,
где A±(x,t) — вещественные непрерывные функции, причем
ОО X
A+(x,x) = ^\q{t)dt, А~(х,х) = ^ [ q(t)dt, (2.4.9)
X — ОО
I^MI ^ |Q0±(^)exp(Qf(x)-Qf (^)). (2.4.10)
Функции A±(x,t) имеют первые производные Af := -^—, А^ :=
= -^-; функции
At(x,t)±\q(^±l)
абсолютно непрерывны по х и t, и
U±(x,*)±Ig(^)k^ »=1,2.
(2.4.11)
Для функции е(х,р) теорема 2.4.1 доказана в §2.1 (см. теоремы
2.1.1-2.1.3). Для р(х,р) рассуждения аналогичны. Кроме того, все
утверждения теоремы 2.4.1 для д(х,р) могут быть получены из
соответствующих утверждений для е(х, р) заменой х —► —х.
В следующей лемме мы описываем свойства решений Йоста ej(x, р)
и ^(х, р), построенным для потенциалов qj, которые
аппроксимируют q.
Лемма 2.4.1. Если (1 + |х|)|^(х)| € L(a,оо), а > —ос, и
ОО
lira f(l + |x|)|o,-(z)-g(x)|d!T = 0, (2.4.12)
j—ОО J

208 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
то
lim sup sup \(ej (x,p) — e^\x,p))exp(—ipx)\ = 0, г/ = 0,1.
(2.4.13)
Если (1 -I- |х|)|<?(х)| e L(—oo,a), a < oo, w lim f* (1 -f |x|)|^,(x) -
j—KX) °°
- g(x)|dx = 0, mo
lim sup sup \(gj(xyp) — ^^^(х,р))ехр(г/ох)| = 0, i/ = 0,1- (2.4.14)
Здесь ej(x,p) и gj(xtp) — решения Йоста для qj.
Доказательство. Обозначим
Zj(x,p) = е^(х,р)ехр(—грх), z(x,p) = e(x, р)ехр(-грх),
Uj(x,p) = |z?(x,p) - z(x,p)|.
Из (2.1.8) вытекает
oo
z,-(s, p) - z{x, p) = — I (1 - exp(2ip(t - x))) x
X
Отсюда, учитывая (2.1.29), выводим
Uj(x,p) ^
) сю
(t - x)\(q(t) - qj(t))z(t, p)\ dt + J (t - x)\qj(t)\Uj(t, p) dt.
Согласно (2.4.4)
|z(x, p)\ ^ exp(Qf(x)) < exp{Q~[(a)), x ^ a,
и, следовательно,
oo
f
Uj(x, p) ^ exp(Q^(a)) (t - a)\q(t) - Qj{t)\ dt +
(2.4.15)
+
oo
|(*-*)|дД0ММ<и.

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
209
В силу леммы 2.1.2 имеем
оо оо
ii,-(z,pKexp(Qf(a)) Ut - a)\q{t) - %-(*)|<Йехр( Ut - x)\qj(t)\dt) <
a х
оо оо
exp(Qf (a)) |(t - a)|e(t) - 9i(*)l Лехр(|(* - a)|^(0l *)•
^ ey
Поэтому
оо
Uj{x,p)^Ca \(t-a)\q(t)-qj(t)\dt. (2.4.16)
a
В частности, (2.4.16) и (2.4.12) дают lim sup supuj(x,p) = 0, и мы
приходим к (2.4.13) для v — 0. Обозначим Vj(x,p) = |(е^(х,р) —
- e'(x, р))ехр(-грх)|. Из (2.1.20) вытекает
оо
VjfapX I \Q(t)z(t, р) - qji^Zjit, p)\dt.
X
и, следовательно,
оо
Vj(x,p) ^ | \(q(t) -qj(t))z(t,p)\dt + | |9,-(*)М*,р)(й. (2.4.17)
a a
В силу (2.4.15)—(2.4.17) получаем
оо оо оо
Vj(x,p) ^ Ca(| \q(t) - qj(t)\ dt + |(t - a)|9(t) - <?,(*) | Л • | |9j(t)|d«).
a a a
Вместе с (2.4.12) это дает: lim sup supvj(x,p) = 0, и мы приходим к
(2.4.13) для v = 1. Соотношения (2.4.14) доказываются аналогично. □
2.4.2. Данные рассеяния. При вещественных р ф 0 функции
{е(х,р),е(х, —р)} и {д{х,р),д(х, — р)} образуют фундаментальные
системы решений уравнения (2.4.1). Поэтому
е(х, р) = а{р)д(х, -р) 4- Ъ(р)д(х, р),
g(x,p) = c(p)e(x,p)+d(p)e(x,-p). (2.4.18)
Изучим свойства коэффициентов а(р), 6(р), с(р) и d(p).

210 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Лемма 2.4.2. При вещественных р ^ 0 имеют место следующие
соотношения:
с{р) = -Ь(-р), d(p) = а(р).
а(р) = а(-р), Нр) = Н-р),
\а(р)\2=1 + \Ъ(р)\\
р).9&,р)), Ъ(р) = —(е(х,р),д(х.
-Р)).
(2.4.19)
(2.4.20)
(2.4.21)
(2.4.22)
«р) = -%}(<
Доказательство. Так как е(х,р) = е(х, — р), д(хур) = д(ху -р),
то (2.4.20) следует из (2.4.18). Используя (2.4.18), вычисляем
(е(х, р), #(х, р)) = (а{р)д(х, -р) + Ь(р)д{х, р), д{х, р)) = -2гра(р),
(е(х, р),д(х, -р)) = (а(р)д(х, -р) + Ь(р)д(х, р), #(х, -р)) = 2грЬ(р),
(е(х, р), р(х, р)) = (е(х, р), с(р)е(х, р) + d(p)e(x, -р)) = 2ipd(p),
(е(х, -р), #(х, р)) = (е(х, -р), с(р)е(х, р) + d(p)e(x, -р)) = 2грс(р),
т.е. верны (2.4.19) и (2.4.22). Далее,
-2гр = (е(х, р), е(х, -р)) = (а(р)д(х, -р) + Ь(р)д{х, р),
а(-рМх, р) + Ь(-р)д(х, -р)) = а(р)а(-р)(д(ху -р),
<?(х,р)) + Ь(рЖ-р)(^(х,р),^(х,-р)) = -2гр(|а(р)|2 - |6(р)|2),
и мы приходим к (2.4.21). □
Отметим, что (2.4.22) дает аналитическое продолжение для а(р)
в fi+. Поэтому функция а(р) аналитична в Г£+ и ра(р) непрерывна
в Q+. Функция pb(p) непрерывна при вещественных р. Кроме того,
из (2.4.22) и (2.4.6) вытекает
^)=l"i
q{t)dt + o(^y Ь(р)=о(~), IpHoo (2.4.23)
(в областях_определения), и, следовательно, функция р(а(р) — 1)
ограничена в Q+. Используя (2.4.22) и (2.4.8), можно получить более
точные формулы
1 Г /,ч - , 1
а^ = 1"Й }«W*+2tj
А(£) ехр(гр£) dt,
-оо
(2.4.24)
— ОО
где А(£) G L(0, оо) и Б(£) G L(—оо, оо) — вещественные функции.

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
211
В самом деле,
2ipa{p)=g{0,p)ef(0,p)-e(0,p)g'{0,p)=(\ + | A~(0,t)exp(-ipt) dt) х
— ос
оо
х Up - А+ (О,0) 4- J А\(0, t) exp(ipt) dt) +
о
оо
+ (1 + I А + (0, t) exp{ipt) dt) Up - A~(0,0) -
о
0
- I A~[(0,t)exp(-ipt)dt\.
Интегрирование по частям дает
о
ip I A-(0,t)exp(-ipt)dt = -A"(0,0) + | A^{Q,t)^xp{-ipt)dt,
— оо
оо
ip I A+(0, t) exp(ipt) dt = -A+(0,0) - | A+(0, t) exp(ipt) dt.
Далее,
о
J A-{0,t)exp(-ipt)dt
Af(0, s) exp(ips) ds
[ A- (0, t) ( [ A + (0, ^ + *) ехр(грО df ) Л =
P о
( J Л"(0,0^(0, С + 0 dt) ехр(грО d£.
оо 0
о -e
Аналогично
о
A, (0, £)exp(-ip£)cft
oo
|^(0.
5) exp(zps) ds
00 0
( [ AJ{0,t)A+{Ot£ + t) dt) exp{ip£) d£.
0 -€

212 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Так как
2(Л+(0,0) + Л-(0,0)) =
q(t) dt,
то мы приходим к (2.4.24) для а(р), где
A(t) = A+(0^)-AY(0,-t)+A-(Oy-t)-A+(0^)-A+(0,0)A-(Oy-t)-
-A"(0,0)A+((U) +
А-(09$А+(0,£ + г)<1£-
A;(0,OA+(0,S + t)dt.
Из (2.4.10)—(2.4.11) вытекает, что A(t) € L(0, оо). Для функции 6(р)
рассуждения аналогичны.
Обозначим
/ ч е(х, р) , ч д(х>р)
*+(р)
Ь(-Р)
а(р) '
(2.4.25)
(2.4.26)
(2.4.27)
Функции s+(p) и s~(p) называются коэффициентами отражения
(правым и левым соответственно). Из (2.4.18), (2.4.25) и (2.4.26)
вытекает
eo(x,p)=g(x,-p) + s (р)#(ж,р),
до(х, р) = е(ж, -р) + з+(р)е(ж, р).
Используя (2.4.25), (2.4.27) и (2.4.3), получаем
ео(ж, р) ~ ехр(грж) + s~~(p) ехр(—грж) (ж —> -оо),
ео(х, р) ~ £(р) ехр(грж) (ж —> оо),
0о(я. Р) ~ *(р) ехр(грж) (ж -> -оо),
до(х, р) ~ ехр(-грж) + s+(p) ехр(грж) (ж —> оо),
где t(p) = (а(р))""1 называется коэффициентом прохождения.
Отметим основные свойства функций s±(p). В силу (2.4.20)-
(2.4.22) и (2.4.26) функции s±(p) непрерывны при вещественных
р ф 0, и s±(p) = 5±(—р). Кроме того, (2.4.21) влечет ^(р)!2 =
= 1 — |а(р)|~2, и, следовательно, |5±(р)| < 1 при вещественных р ф 0.
Далее, согласно (2.4.23) и (2.4.26), s±(p) = о(р~1) при \р\ —* оо.
Обозначим через Д^ж) преобразование Фурье для 5^(р) :
Д±(ж) :=
2тг
s1^ (р) ехр(±грж) dp.
(2.4.28)

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
213
Тогда ^(х) е 1/2(—оо,оо) вещественны и
s±(p) =
R* (х) ехр(тгрх) dx. (2.4.29)
Из (2.4.25) и (2.4.27) вытекает
ре(х, р) = ^а(р) ((s_ (р) + 1 )д{х, р) + #(х, -р) - #(х, р) j,
р#(х, р) = ра(р) ((s+(p) -f 1 )е(х, р) + е(х, -р) - е(х, р)),
и, следовательно, lim pa(p)(s±(p) + 1) = 0.
Изучим теперь свойства дискретного спектра.
Определение 2.4.1.Те значения параметра Л, для которых
уравнение (2.4.1) имеет ненулевые решения у(х) Е 1/2(—°о,оо), называются
собственными значениями, а соответствующие решения называются
собственными функциями.
Свойства собственных значений аналогичны свойствам дискретного
спектра для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси.
Теорема 2.4.2. Числа А ^ 0 не являются собственными
значениями.
Доказательство. Повторить рассуждения из теорем 2.1.6 и
2.2.12. □
Пусть Л+ := {Л, Л = р2, ре П+ : а(р) = 0} — множество нулей
функции а(р) в верхней полуплоскости £)+. Так как а(р) аналитична
в П_|_ и» в СИЛУ (2.4.23),
а(р) = 1+0(р-1), |р|->оо, Imp^O,
то Л+ является не более чем счетным ограниченным множеством.
Теорема 2.4.3. Множество собственных значений совпадает
с Л+. Собственные значения {Хк} отрицательны (т.е.Л+с(—оо,0)).
Для каждого собственного значения Xk = р\ существует только
одна (с точностью до постоянного множителя) собственная
функция, а именно:
д(х, рк) = dke(x, pk), dk ф 0. (2.4.30)
Собственные функции e(x,pk) и д(х,рк) вещественны. Собственные
функции, соответствующие различным собственным значениям,
ортогональны в £г(—оо, оо).
Доказательство. Пусть Хк= р\е Л+. В силу (2.4.22),
(е(х,рк),д(х,рк))=0, (2.4.31)
т.е. верно (2.4.30). Согласно теореме 2.4.1 е(х,рк) Е Ьг(а, оо),
д(х,рк) € L,2{—oo,a) при каждом вещественном а. Поэтому (2.4.30)

214 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
влечет е(х, рь), д(х,рк) G Z/2(-oo,oo). Таким образом, е(х,рк)
и g(x,pk) являются собственными функциями, а Л^ = р\ —
собственными значениями.
Обратно, пусть Л^ = р\, pk £ fi+, — собственное значение, и пусть
ук{х) — соответствующая собственная функция. Так как ук{х) G
€ Ь2{—00,00), то
ук(х) = ск\е(х,рк), ук(х) = ск2д{х,рк), скх,ск2 ф О,
и, следовательно, (2.4.31) верно. Используя (2.4.22), получаем а(рк) =
= 0, т.е. Хк G Л+.
Пусть Лп и Хк (Хп ф Хк) — собственные значения с собственными
функциями Уп(х) = е(х,рп) и ук(х) = е(хурк) соответственно. Тогда
интегрирование по частям дает
£уп(х) ук{х) dx
yn{x)£yk(x)dx,
и, следовательно,
An
уп{х)ук(х) dx = Хк
yn(x)yk{x)dx,
или
оо
Уп{х)ук{х) dx = 0.
Далее, пусть Л° = и -f iv, v Ф 0, — невещественное собственное
значение с собственной функцией у°(х) Ф 0. Так как q(x) вещественна,
то А0 = и — iv также является собственным значением с собственной
функцией у°(х). Так как функция Л° ф А0, то в силу ортогональности
имеем _
\\У°\\Ъ =
y"(x)y°(x)dx = 0,
что невозможно. Таким образом, все собственные значения {А^}
являются вещественными, и, следовательно, собственные функции е(хурк)
и д(х,рк) также являются вещественными. Вместе с теоремой 2.4.2 это
дает: Л+ С (—оо,0). □
При Хк = р\ Е Л+ положим
ее оо
ак = ( e2(x,pk)dxj , о£ = М g2(x,pk)dx) .

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
215
Теорема 2.4.4. Множество Л+ является конечным, т.е. в fi+
функция а(р) имеет не более конечного числа нулей. Все нули а(р)
в Q+ простые, т.е. aApk) ф О, где аЛр) := —а(р). Кроме того,
ар
<Ч = -
<*ь =
1
к га\(рк)У к idka\{pk)'
где числа dk определены в (2.4.30).
Доказательство. 1) Покажем, что
(2.4.32)
-2р
e(t,p)g(t,p)dt=(e(t,p),g(t,p))
-А
2р
e(t,p)g{t,p)dt=(e(t,p)tg{t9p))
где e(t}p) := —e(t,p), g(t,p) := -r-g{t,p). В самом деле,
(2.4.33)
dx
(е(ж, p),g(x, р)) = е(х, р)д"{х, р) - е"{х, р)д(х, р).
Так как
-е"(х, р) + q(x)e(x, р) = р2е(х, р),
- £"(*. р) + q{x)g(x, р) = Р2д{х> Р) + 2рд(х, р),
то
dx
(е(х,р),д(х,р)) = -2ре(х,р)д(х,р).
Аналогично:
d_,,
dx
(ё(х%р),д(х,р)) = 2ре(х,р)д(х}р),
и мы приходим к (2.4.33).
Из (2.4.33) вытекает
2р
е(*. p)g{t, р) dt = -(ё(х, р), д(х, р)) - (е(х, р), д(х, р)) +
+ {ё(х,Р)'9(х.р))\ + (Ф,р).9(х,р))
\х=А
С другой стороны, дифференцируя (2.4.22) по р, получаем
2ipa] (р) + 2ia(p) = -(ё(х, р),д(х, р)) - (е(х, р), д{х, р)).
Х——А

216 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
При р = рк это дает
гах(рк) = e{t,pk)g(t,pk)dt + 5k(A),
-А
(2.4.34)
где
5к{А) = --к- ((ё{х, pfc), д{х, рк)). + (е(ж, р/с), д(х, рк)). ).
2pfc V х=Л \х=-А/
Так как р^ = irk> тк > 0, то в силу (2.4.4) имеем
е(х, р^), е'(х, р/с) = 0(exp(-rfcx)), ж —► +оо.
Согласно (2.4.8),
со
ё(х.рк)=«ехр(-^) + |йЛ+(х.«)ехр(-^)
dt
ё'(х, рк) = гехр(—г^х) — гхтк ехр(—ткх) — гхА¥{х, х)ехр(—ткх) +
+
itAl(x, t) ехр(—rkt) dt.
Поэтому ё(х, рк),ё'(х, рк) = 0(1) при х —> +оо. Отсюда, используя
(2.4.30), вычисляем
(ё(х,рк),д{х,рк)) = dk(e(x,pk),e{x,pk)) =о(1), х -> +оо,
(е(х,рк),д(х,рк)) = -£-(д(х,рк),д(х,рк)) =о(1), х -> -оо.
Следовательно, lim 5fc(A) = 0. Тогда (2.4.34) влечет
Л—► +оо
оо
га\(рк)= e(tt pk)g(t, рк) dt.
— оо
Снова используя (2.4.30), получаем
iai(pk)
e2(t,pk)dt =
= dk J .v.,w--dfc
— оо
Поэтому a\(pk) ф 0, и (2.4.32) верно
g2(t,pk)dt.

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
217
2) Предположим, что Л+ = {Л^} — бесконечное множество. Так как
Л+ ограничено и Л^ = р\ < О, то pk = гтк —> 0, тк > 0. В силу (2.4.4),
(2.4.5) существует А > О такая, что
е(х, гт) ^ - ехр(—тх) при х ^ А, т ^ О,
<?(х, гт) ^ - ехр(тх) при х < —А, т ^ О,
и, следовательно,
оо
е
л
-л
1(*,,0в(*.*^ > ^з!^,
,(х,^(^п)^ > «e^Q,
(2.4.35)
(2.4.36)
где Г = maxTfc. Так как собственные функции е(х,рк) и е(х,рп) орто-
к
тональны в L,2(—00,00), то
0 =
e(x,pk)e{x,pn)dx= е(х,рк)е(х,рп) dx +
+
сМп
g{x,pk)g(x,pn)dx +
e2(x,pk)dx +
-A
+
e(x, рк)(е{х, pn) - e(x, рк)) dx. (2.4.37)
Возьмем xq ^ —Л так, чтобы e(xo,0) Ф 0. Согласно (2.4.30)
1 _ e(xo,pfc)e(xo,pn)
dfcdn g(xo, pk)g(xo, pn)
Так как функции e(x,p) и g(x,p) непрерывны при Imp ^ 0, то с
помощью (2.4.35) вычисляем
lim g(x0t рк)д(хъ, Рп) = д2{%0,0) > 0,
к,п—>оо
lim е(х0, Pk)e(x0t рп) = е2(х0,0) > 0.
fc.n—»оо

218 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Поэтому lim (dkdn) l > 0. Вместе с (2.4.36) это дает
к,п—+оо
-А
е(х, рк)е(х, рп) dx +
dkdn
g(x,pk)g(x,pn)dx +
-оо
А
+ [ e2(x,pk)dx^C>0 (2.4.38)
-А
при достаточно больших к и п. С другой стороны, действуя таким же
образом, как и при доказательстве теоремы 2.2.10, нетрудно проверить,
что
А
е(х,рк)(е(х, рп) — е(х, pk))dx —> 0 при fc,n—>оо. (2.4.39)
-А
Соотношения (2.4.37)-(2.4.39) приводят к противоречию. Это означает,
что Л+ является конечным множеством. □
Таким образом, множество собственных значений имеет вид
Л+ = {Afc}fc=-pv' л* = рЬ Рк = гтк, 0 < Ti < ... < тт.
Определение 2.4.2. Множество J+ = {s+(p)y\k,ap, р е R, к =
= l,iV} называется правыми данными рассеяния, а множество J~ =
= {5~(p),Afc,a^; pGR, к = 1, TV} называется левыми данными
рассеяния.
Пример 2.4.1. Пусть q(x) = 0. Тогда
е(х,р) = exp(ipx), д{х,р) = exp(-ipx), а(р) = 1, Ь(р) = 0,
5±(р)=0, ЛГ = 0,
т. е. множество собственных значений пусто.
2.4.3. Вспомогательные утверждения. В этом пункте изучаются
связи между данными рассеяния J+ и J". Рассмотрим функцию
7(р) = JL П ^^- (2-4.40)
/с=1
_Лемма 2.4.3. (ij) Функция j(p) аналитична в П+ и непрерывна
вЩ\{0}. _
(i2) Функция *у(р) не имеет нулей в П+ \ {0}.
(i3) При \р\ -> оо, р е Q.+ :
7(р)=1+0(р"1). (2.4.41)
(U) Ыр)\ < 1 при реЩ.

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
219
Доказательство. Свойства (ii)—(13) являются очевидными
следствиями предыдущих утверждений, и только (i,*) нуждается
в доказательстве. В силу (2.4.21), \а(р)\ ^ 1 при вещественных р ф О,
и, следовательно,
\у{р)\ ^ 1 при вещественных р ^ 0. (2.4.42)
Предположим, что функция ра(р) аналитична в начале координат.
Тогда, используя (2.4.40) и (2.4.42), выводим, что у(р) имеет
устранимую особенность в начале координат, и ^{р) (после продолжения
по непрерывности) является непрерывной в Q+. Используя (2.4.41),
(2.4.42) и принцип максимума, приходим к (и).
В общем случае мы не можем пользоваться этими рассуждениями
для у(р). Поэтому мы введем потенциалы
, v Г q(x), \х\ ^ г, п
*№ = \ 0, |х| > г, Г > °'
и рассмотрим соответствующие решения Йоста ег(х,р) и дг{х,р). Ясно,
что er(x,p) = exp(ipx) при х ^ г и gr(xyp) = exp(-ipx) при х ^ —г.
При каждом фиксированном х функции &? (х, р) и gr (х,р) (v = 0,1)
являются целыми по р. Положим
ar(ti = -977,(er(x>P)'9r(x,p)), 7г(р) = —ттт ТТ 7Z7?1'
Zip ar(p) А1 p-f 2Tfcr
к=1
где р^г = iTfcr, к = l,iVr, — нули аг(р) в верхней полуплоскости £)+.
Функция раг(р) является целой по р, и (см. лемму 2.4.2) |аг(р)| ^ 1
при вещественных р. Функция 7г(р) аналитична в £2+, и
Ыр)Ю при реПТ- (2-4.43)
В силу леммы 2.4.1
lim sup sup \(е^\х,р) — е^(х,р))ехр(-гр:г)| =0,
lim sup sup I (t^"' (ж, p) — g(u' (x, p)) ехр(грх) | = 0,
при v = 0,1 и при каждом вещественном а. Поэтому lim sup |р(аг(р) —
-а(р))| = 0, т.е.
lim раг(р) = ра(р) равномерно в £2+. (2.4.44)
г—>оо
В частности, (2.4.44) дает 0 < г^г ^ С при всех /сиг.

220 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Пусть 5Г — нижняя грань расстояний между нулями {ркг} функции
аг(р) в верхней полуплоскости Imp > 0. Покажем, что
5* := inf 5Г > 0.
г>0
(2.4.45)
В самом деле, предположим от противного, что существует
последовательность 7> —> оо такая, что 6Гк —► 0. Пусть р\ ' = щ \ р[ — Щ '
(г/ь »rfc ^ 0) "" НУЛИ ark(p) такие, что р[ — рк—* 0 при fc —* оо.
Из (2.4.4)-(2.4.5) вытекает, что существует А > 0 такое, что
ег(х, гт) ^ - ехр(—тх) при х ^ Д т ^ 0, г ^ 0,
<7Г(х, гт) ^ - ехр(тх) при х ^ —Л, т ^ 0, г ^ 0.
(2.4.46)
л о
Так как функции erk(x}pjc)) и еГк(х,рКк)) ортогональны в Z,2(—оо,оо),
(2Ь
то
оо оо
0 = еГк (х, р{^)еГк (х, p{k])dx = ert (х, p^0)erfc (ж, р^) dx
+
-А
+
W
„0)
Srik^.Pfc )Sr*(*.Pfc )<^ +
(2)>
e^x.pj^dH-
+
„Oh
.(2)
erfc(x,^")(ert(x,^) -ePt(x.pi"))dx. (2.4.47)
ОЛ
где числа dj^ определяются из
9rk^P<i)) = d<i)erk{x,p(i)), 4'VO.
Возьмем хо ^ -А Тогда, в силу (2.4.46),
SrJzo.PfcWteo.pJil4) ^ С > 0,
Используя лемму 2.4.1, получаем
„Oh
„РЬ
lim erfc(x0,Pfc )erfc(x0iPfc ) ^ 0,
fc—*оо
следовательно,
lim
1
7(0^(2)
^44'
>о.

§2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси 221
Тогда
оо —А
I erfc^.p^JcrJx.p^Jdx + ^jjj- J grk(x,Pk))9rk(x,p(£))dx +
+
-А
С другой стороны,
л
erfc^Pfc^^rJx.p^J-er^x.p^^dx-^O при А; — оо.
Отсюда и из (2.4.47) получаем противоречие, т.е. (2.4.45) доказано.
Пусть Ds,r := {р е £)+ : 5 < |р| < Я}, где 0 < S < min(£*,ri), R >
> tn. Используя (2.4.44), можно показать, что
lim 7r(p) = l(p) равномерно в Dsr. (2.4.48)
Из (2.4.43) и (2.4.48)Ъ вытекает, что |т(р)| ^ 1 ПРИ Р € А*,я- В силу
произвольности S и R получаем: \j(p)\ ^ 1 при р £ ft+, т.е. (i4)
доказано. П
Из леммы 2.4.3 вытекает
{а{р))~1 = 0(1) при \р\ -> 0, р е Щ. (2.4.49)
Отметим также, что поскольку функция аа(а) непрерывна в
начале координат, то при достаточно малых вещественных а имеем:
1<\а(<т)\ = Ма)\-^С\а\->.
Свойства функции 7(р)> полученные в лемме 2.4.3, позволяют
восстановить функцию j(p) в П+ по ее модулю |^у(сг)| на вещественной
оси а.
Лемма 2.4.4. Справедливо следующее соотношение:
оо
7(р) = ехр(1 | ^Ш«). /5 € fi+. (2.4.50)
Доказательство. 1) Функция _1п7(р) аналитична в fi+
и 1п7(р) = 0(р~1) при |р| —► оо, р £ ft+. Рассмотрим замкнутый
контур Cr (с обходом против часовой стрелки), который является

222 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
границей области Dr = {р е Q+ : \р\ < R} (см. рис. 2.4.1). Согласно
интегральной формуле Коши имеем
Так как
то
Ь7(Р) = 2-
cR
In 7(0
di, p e Dr.
Hm rr--
R-+oo 2m
In 7(0
d£ = 0,
ln7(p) =
2тгг
f In 7(0
i-p
d£, pett+.
(2.4.51)
2) Возьмем вещественное а и замкнутый контур Cr6 (с
обходом против часовой стрелки), состоящий из полуокружностей Сд =
= {£ : £ = Яехр(г<^), V? € [0,тг]}, Г? = {£ : £ - а = 5ехр(г^), р <Е
G [0,7г]}, 5 > 0 и интервалов [-Я, R] \ [а — 5, о~ + 5] (см. рис. 2.4.1).
По теореме Коши
1
2тгг
In 7(0
d£ = 0.
Так как
Urn » f^Qde = 0. lim-L [E2H)d^-iln7(a),
то при вещественных а получаем
In 7(a) =
7гг
In 7(0
de.
(2.4.52)
В (2.4.52) (и везде в дальнейшем, где необходимо) интеграл
понимается в смысле главного значения.

§ 2.4. Операторы Штурма-Лиувилля на оси
223
3) Пусть ^(а) = |7(<т)|ехр(—г/3(<т)). Разделяя в (2.4.52)
вещественную и мнимую части, получаем
ос ОС
— оо —оо
Тогда, используя (2.4.51), вычисляем при р Е fi+:
1П7(Р) = 2"
Ш
d£
1
2л-г
€ - 9 2тт2
оо ОО
Так как
1
±-(-J L-\
то при р G П+ и при вещественных 5
ОО
г ^
К-р)(*-0 *-р'
Следовательно,
1п7(р) =
7гг
In [7(01
*-р
d£, pGfi+,
и мы приходим к (2.4.50). □
Из (2.4.21) и (2.4.26) вытекает, что |а(р)|"2 = 1 - Is^p)!2 при
вещественных р ф 0. В силу (2.4.40) при вещественных р ф 0 имеем
|7(Р)| = ^1-|5±Ы|2.
Используя (2.4.40) и (2.4.50), получаем
■W-n^-p(-5iJ
^— 1 ЛЛ
1-р
dA, реП+. (2.4.53)
Отметим, что так как функция ра(р) непрерывна в J7+, то
1 - 1^(р)|
±/Л\|2
0(1) при |рН0.

224 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Соотношение (2.4.53) позволяет установить связи между данными
рассеяния J+ и J~. Точнее, по данным J+ можно однозначно
восстановить J~ (и наоборот) по следующему алгоритму.
Алгоритм 2.4.1. Пусть заданы J+. Тогда
1) строим функцию а(р) по (2.4.53);
2) вычисляем dk и ajJT, к = 1, Ny по (2.4.32);
3) находим Ь(р) и s~(p) по (2.4.26).
§ 2.5. Обратная задача рассеяния на оси
2.5.1. Основное уравнение. Обратная задача рассеяния ставится
следующим образом: по данным рассеяния J+ (или J~) построить
потенциал q.
Центральную роль при построении решения обратной задачи
рассеяния играет так называемое основное уравнение, которое является
линейным интегральным уравнением с параметром. В этом пункте
мы даем вывод основного уравнения и доказываем его однозначную
разрешимость. Далее мы получаем решение обратной задачи рассеяния
и необходимые и достаточные условия ее разрешимости.
Теорема 2.5.1. При каждом фиксированном х функции А±(х,£),
определенные в (2.4.8), удовлетворяют интегральным уравнениям
оо
F+(x + у) + А+(х,у)+ | A+{x,t)F+(t + y)dt = 0, у > х, (2.5.1)
X
X
F~(x + y) + A-(x,y)+ I A-(x,t)F-{t + y)dt = 0, у < х, (2.5.2)
—оо
гдв N
F±{x) = R^x) + Y,a* еМтткх), (2.5.3)
к=\
а функции R^fa) определены в (2.4.28). Уравнения (2.5.1) и (2.5.2)
называются основными уравнениями или уравнениями Гельфанда-
Левитана-Марченко.
Доказательство. В силу (2.4.18) и (2.4.19) имеем
- 1 ) д(х, р) = 5+(р)е(х, р) + е(х, -р) - д(х, р). (2.5.4)
,а(р)
Положим А+(х, t) = 0 при t < х и A~(x,t) = 0 при t > х.Тогда, исполь-

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
225
зуя (2.4.8) и (2.4.29), получаем
s+{p)e{x, р) + е(х, -р) - д{х, р) =
= I R+(y)exp(ipy)dy I I ехр(грх) 4- А+(х, t) exp(ipt) dt \ +
оо оо
+ (Л+(:г,£) - Л~(х, £))exp(-i/rt)d£ = H(x,y)exp(-ipy)dyy
где
Я(х,у) = Л+(х,у)-Л-(х,2/)+Д+(хЧ- у) +
Л+(х,*)Д+(* + </)сЙ. (2.5.5)
Таким образом, при каждом фиксированном х правая часть в (2.5.4)
является преобразованием Фурье функции Н(х,у). Поэтому
оо
Н(х, у) = — I ( ^ - 1J д{х, р) exp(ipy) dp. (2.5.6)
— ОО
Фиксируем х и у (у > х) и рассмотрим функцию
f(p) ■= (-щ - Л <?(*, р) exp(w). (2.5.7)
Согласно (2.4.6) и (2.4.23),
/(р) = ^ехр(г/>(у-х))(1+о(1)), И-оо. р€П+ (2.5.8)
Пусть Cs,r — замкнутый контур (с обходом против часовой стрелки),
который является границей области Ds,r = {р Е fi+ : S < \р\ < Д}, где
5 < т\ < ... < TN < Д. Таким образом, все нули pk = irk, к = l,iV,
функции а(р) лежат в Ds,r- По теореме о вычетах
h \ Mdp-t**M.
Cs,n fe=1
С другой стороны, из (2.5.7), (2.5.8), (2.4.5) и (2.4.49) вытекает
f(p) dp = 0, lim^L | f(p)dp = 0.
Hm т—
Я-юо 27гг
IpI
ре"
|р|=<5
реТТ^Г

226 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Поэтому
1
2тгг
<*? N
f(p)dp = ^Resf(p).
Отсюда и из (2.5.6)-(2.5.7) выводим
N
Н(х,у)=г^2
д(х,гтк)ехр(-тку)
к=\
a\{irk)
Используя (2.4.30), (2.4.8) и (2.4.32), получаем
fc=l
N
ai(frfc)
"5Za^" exp(-rfc(x4-y)) +
k=\
A+(x,t)exp(-Tk{t + y))dt) .
(2.5.9)
Так как A~(x, у) = 0 при у > х, то (2.5.5) и (2.5.9) дают (2.5.1).
Соотношение (2.5.2) доказывается аналогично. D
Лемма 2.5.1. Пусть даны неотрицательные функции
v(x),u(x) (а ^ х ^ Т ^ оо) такие, что v(x) € L(a,T), u(x)v(x) £
G L(a, T), w пусть c\ ^ 0. £ош
u(x) ^ ci H- i>(£)w(£) <ft,
j„(
mo
u(:r) ^ ci expf v(t)dt).
X
Доказательство. Положим
(2.5.10)
(2.5.11)
C(s) := ci
v{t)u{t)dt.
Тогда £(Г) = сь -£'(*) = v{x)u(x) и (2.5.10) дает 0 ^ -?(x) ^
^ v(x)€(x)' Пусть ci > 0. Тогда £(x) > 0 и

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
227
Интегрируя это неравенство, получаем
т
v(t)dt,
Inl^U
ат)
и, следовательно,
£(х) ^ с\ expf v(t)dt j.
Согласно (2.5.10) и(х) ^ £(х), и мы приходим к (2.5.11).
Если с\ — 0, то £(х) = 0. В самом деле, предположим от противного,
что £(х) т^ 0. Тогда существует То ^ Т такое, что £(х) > 0 при х < То,
и £(х) = 0 при х € [То,Т]. Повторяя рассуждения, получаем для х < То
и достаточно малого е > 0,
In
ах)
Т0-е
ап-е)
v(t) dt ^ v(t) dt,
что невозможно. Таким образом, £(х) = 0, и (2.5.11) становится
очевидным. □
Лемма 2.5.2. Функции F±(x) являются абсолютно
непрерывными и при каждом фиксированном а > —со,
о оо
[№),.*< ос. jo+Mlr^Uxco. (2.5.
12)
Доказательство. 1) Согласно (2.5.3) и (2.4.28), F+(x) Е
Е L2(a,oo) при каждом фиксированном а > —оо. По непрерывности
(2.5.1) верно также при у = х :
A+(x,t)F+{t + x)dt = 0.
(2.5.13)
F+(2x) + А+(х,х) +
Перепишем (2.5.13) в виде
оо
F+(2a;) + ^+(x)x)4-2 [ А+{х,2£ - x)F+(2£)d£ = 0. (2.5.14)
X
Из (2.5.14) и (2.4.10) вытекает, что функция F+(x) непрерывна и при
х ^ а верна оценка
оо
|F+(2x)| ^ l-Q+(x) +exp(Q+(a)) | Qj(0|F+(20|de. (2.5.15)

228 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Фиксируем г ^ а. Тогда при х ^ г (2.5.15) дает
оо
|F+(2x)| ^ l2Q$(r) + exp(Qt(a))^Q+(0\F+(20\dt.
X
Применяя лемму 2.5.1, получаем
|F+(2z)| ^ ±Q+(r)exp(Q+(a)exp(Q+(a))), х>г>а,
и, следовательно,
|F+(2*)| ^ CaQ+(x), х > а. (2.5.16)
Из (2.5.16) вытекает, что при каждом а > —оо
оо
(x)\dx < оо.
Jn»<>
2) В силу (2.5.14) функция F+(x) абсолютно непрерывна и
2F+'{2x) + ^A+{x,x)-2A+{x,x)F+(2x) +
ОО
+ 2
(а+(х, 2£-х) + А+(х,2£ - x)\f+(2£) d£, = О,
где
АПхЛ) = ^Ш, A+{x,t) = °££U.
Учитывая (2.4.9), получаем
F+'{2x)=l-q(x) + P(x), (2.5.17)
где
Р(х) = - [ (а+(х,2£, -х) + А+{х,2£ - x))f+(2£)<^ -
X
ОО
-l-F+(2x)^q(t)dt.
X
Из (2.5.16) и (2.4.11) вытекает
\P(x)\^Ca(Q+(x))2, х>а. (2.5.18)

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
229
Так как ^
*Qo(x) ^ \t\q(t)\dt,
X
то из (2.5.17) и (2.5.18) следует, что при каждом а > — со,
(l+|:r|)|F+'(x)|cte<co,
и (2.5.12) доказано для F+(x). Для F~(x) рассуждения
аналогичны. □
Перейдем теперь к изучению разрешимости основных уравнений
(2.5.1) и (2.5.2). Пусть заданы множества J± — {s±(p),Xk,a^\ р Е
Е R, к = l,iV}, удовлетворяющие следующему условию.
Условие А. При вещественных р^О функции s±(p)
непрерывны, |5±(/9)| < 1, S±(p) = S±(-p) U S±(p) = 0(р~1) При \р\ —► СЮ.
Вещественные функции Д±(х), определенные в (2.4.28), являются
абсолютно непрерывными, ^(х) Е 1/2(-оо,со), и при каждом
фиксированном а > — со
оо оо
l\R±(±x)\dx<oo, l(\ + \x\)\R±'(±x)\dx<oo. (2.5.19)
а а
Кроме того, Хк = —т£ < 0, а^ > 0, к = 1, N.
Теорема 2.5.2. Пусть даны J+ (J~), удовлетворяющие
условию А. Тогда при каждом фиксированном х интегральное
уравнение (2.5.1) ((2.5.2) соответственно) имеет единственное решение
А+(х,у) Е L(x,oo) (А~(х,у) Е L(—со,я) соответственно).
Доказательство. Для определенности рассмотрим уравнение
(2.5.1). Для (2.5.2) рассуждения аналогичны. Нетрудно проверить, что
при каждом х оператор
оо
(Л/)(у) = |^+(* + у)/(ОЛ. у
> X,
является компактным в L(x, оо). Поэтому достаточно доказать, что
однородное уравнение
оо
f(y)+\F+(t + y)f(t)dt = 0 (2.5.20)
X
имеет только нулевое решение. Пусть /(у) Е L(x, со) — вещественная
функция, удовлетворяющая (2.5.20). Из (2.5.20) и условия А вытекает,

230 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
что функции F+(y) и f(y) ограничены на полуоси у > х, и,
следовательно, f(y) € L2(xyoo). Используя (2.5.3) и (2.4.28), вычисляем
оо
f4v)dy +
F+(t + y)f(t)f(y)dtdy =
Г 2
f2(y) dy + ]Г Qjf M /(y) ехр(-т*г/) dy)
+
2тг
+
*W(p)dp,
где Ф(р) = J^° f(y)exp(ipy)dy. В силу равенства Парсеваля имеем
f4v)dy =
2тг
СЮ
J 1ФЫ12
dp,
и, следовательно,
N °°
IZ а* ( «^ exp(-rfcy) dy) +
|Ф(р)|2(1 - |^(р)|ехр(г(2б(р) + ф)))) dp = 0,
+ 2^
где 0(р) = а^Ф(р), г](р) = arg(—s+(p)). Возьмем в этом равенстве
вещественную часть:
N °? 2
Ylак ( f(y) еМ~ТкУ) dy) +
оо
+ ^ f |ФЫ|2(1-|5+(/0)|соз((2й(р) + г,(/9))))ф = 0.
Так как |s+(p)| < 1, то это возможно только если Ф(р) = 0. Тогда
f(y) = 0, и теорема 2.5.2 доказана. D

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
231
Замечание 2.5.1. Основные уравнения (2.5.1 )-(2.5.2) могут быть
записаны в следующем виде:
F+(2x + </) + В+{х,у)+
сю
+ | B+{x,t)F+(2x + y + t)dt = Oy у>0,
F-{2x + y) + B-{x,y)+ (2-5-20
о
+
В~{х,t)F~{2x + y + t)dt = Ot у < О,
где В±(х,у) = А±(х,х + у).
2.5.2. Решение обратной задачи рассеяния. В этом пункте,
используя основные уравнения (2.5.1)—(2.5.2), мы даем решение обратной
задачи рассеяния восстановления потенциала q по данным рассеяния
J+ (или J"). Сначала докажем теорему единственности.
Теорема 2.5.3. Задание данных рассеяния J+ (или J~)
однозначно определяет потенциал q.
Доказательство. Пусть J+ и J+ — правые данные рассеяния
для потенциалов q и q соответственно, и_ пусть J+ = J+. Тогда из
(2.5.3) и (2.4.28) вытекает, что F+(x) = F+(x). В силу теорем 2.5.1
и 2.5.2, А+(хуу) = А+(хуу). Поэтому, учитывая (2.4.9), получаем q = q.
Для J~ рассуждения аналогичны. □
Решение обратной задачи рассеяния может быть построено по
следующему алгоритму.
Алгоритм 2.5.1. Пусть заданы J+ (или J~).
1) Вычисляем функцию F+(x) (или F~(x)) по (2.5.3) и (2.4.28).
2) Находим Л+(х,у) (или А~(хуу)), решая основное уравнение (2.5.1)
(или (2.5.2) соответственно).
3) Строим q(x) = -2—А+(х, х) (или q(x) = 2—А~(х,х)).
ах ах
Перейдем теперь к описанию необходимых и достаточных условий
разрешимости обратной задачи рассеяния. Сначала докажем
следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 2.5.3. Пусть даны множества J± = {s±(p),\k,a^\ ре
€ R, к = 1,7V}, удовлетворяющие условию А, и пусть А±(х,у) —
решения интегральных уравнений (2.5.1), (2.5.2). Построим функции
е(х,р) и д(хур) по (2.4.8) и функции q±(x) по формулам
q+{x) = -2-£-Л+(х,ж), q-(x) = 2-^А~{хух). (2.5.22)
ах ах

232 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Тогда для каждого фиксированного а > — оо
о
(l+\x\)\q±(±x)\dx< 00,
(2.5.23)
-е"(х, р) + q+(x)e(x, р) = р2е(х, р),
- 9"{х< р) + Ч~ (*)$(*, р) = Р29(х> Р). (2.5.24)
Доказательство. 1) Из (2.5.19) и (2.5.3) вытекает
) оо
|F±(±x)|dx<oo, \(l + \x\)\F±'(±x)\dx<oo. (2.5.25)
а
Перепишем (2.5.1) в виде
F+(y + 2х) + Л+(х, х + у) +
+
А+(х, х + *)^+(* + у + 2х) ей = О, у > 0, (2.5.26)
и для каждого фиксированного х рассмотрим оператор
оо
(Fxf)(v)= \F+(t + y + 2x)f(t)dt9 у>0,
о
в L(0, оо). Из теоремы 2.5.2 вытекает, что существует (-Е + ^х)"1.
где Е — единичный оператор, и \\(Е + Тх)~1\\ < оо. Используя лемму
1.3.1 (или аналог леммы 1.3.2 для бесконечного интервала) нетрудно
убедиться, что А+ (х, у), у^хи \\(Е + Fx)"1]] являются непрерывными
функциями. Так как
\\Гх
оо оо оо
:sup[|F+(* + y + 2x)H = sup [ |F+(0|d^ [|F+(0|^,
У J У J J
О y+2x 2x
то lim H^xll = 0. Поэтому Cj := sup \\(E + Jrx)~l\\ < оо. Обозначим
oo
Mx)
\F+'(t)\dt, n(x)
r0(t) dt =
Тогда
|F+(x)| < r0(x).
(i-x)|F+,(*)|<tt.
(2.5.27)

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
233
Из (2.5.26) вытекает Л+(х,х + у) = -(Е + Jrx)"lF^(y + 2х), и,
следовательно,
со оо
\A+(x1x + y)\dy^C0a\\F+(y + 2x)\dy<C°aTl(2x), х>а. (2.5.28)
о о
Используя (2.5.26), (2.5.27) и (2.5.28), вычисляем
оо
|А+(х,х + у)| ^т0(у + 2х) + \A+{x,x + t)\r0{t + y + 2x)dt^
о
<(1+С2т1(2х))л,(у + 2х). (2.5.29)
Применяя лемму 1.3.1, можно показать, что функция А+(х, у) имеет
первые производные
, + , ч дА+(х,у) , + , \ дА+(х,у)
Ах(*'У)'-= эх ' ^+(s,y):= 4 '
и поэтому, дифференцируя (2.5.1), получаем
F+'(x + у) + Af (х, у) - А+(х, x)F+(x + у)+
+
A+(x,*)^+(* + y)dt = 0,
(2.5.30)
со
F+'(x + у) + А+(х,у) + [ Л+(х, *)^+'(* + У) dt = 0.
Обозначим Aq"(x,x + у) := — А+(х, х-f у). Дифференцируя (2.5.26)
по х, вычисляем х
2F+'(y + 2x) + A+(x,x + y) +
Aj"(x, х + t)F+ (t + у + 2x) <ft +
CO
+ 2 [,4+(x,x + *)F+'(i + y + 2x)cft = 0, (2.5.31)
и, следовательно,
со
[\A+(x,x + y)\dy^2C%(\\F+'(y + 2x)\dy +
о
со
+ f \А+(х,х + 0|( [ |F+'(t + у + 2х)| d») dt).

234 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
В силу (2.5.29) это дает
оо оо
| \A+(x,x + y)\dy < 2С°(т0(2х) + (I + (%тх(2х)) | r*(t + 2x)dt) ^
о о
^ 2C2r0(2x)(l + (1+C2n(2x))ri(2a:)). (2.5.32)
Из (2.5.31) вытекает
оо
\А+(х,х + у) + 2F+'(y + 2х)\^ | \А${х,х + t)F+{t + у + 2х)\ dt +
+ 2
\А+(х, х + t)F+\t + у + 2x)\dt.
Используя (2.5.27), (2.5.32) и (2.5.29), получаем
\А+(х, х + у) + 2F+'(y + 2х)\ ^ 2С°ат0(у + 2х)т0(2х)п(2х) х
х (1 +С°ап(2х)) + 2т0(2х)т0(у + 2х)(\ +С°г,(2х)).
При у = О имеем
\2^A+(x,x) + 4F+'(2x)\ < 2Сат02(2х), х > а,
где Са = 4(1 +С^п(2о))2. Учитывая (2.5.22), заключаем
ОО ОО О»
f(l + |x|)|<7+(x)|dx^4 f(l + |x|)|F+'(2x)|dx + Ca |
(1 + |x|)r02(2x)dx.
Так как
хто(2х) ^
2х
t\F+'(t)\dt^ t\F+'(t)\dt,
о
то приходим к (2.5.23) для q+. Для q~ рассуждения аналогичны.
2) Докажем теперь (2.5.24). Для определенности докажем (2.5.24)
для е(х,р). Сначала дополнительно предположим, что функция F+ (х)
абсолютно непрерывна и F+ "(z)eL(a.oo) при каждом а > -оо.
Дифференцируя равенство
J(x, у) := F+(x + у) + А+(х, у) +
+
Л+(х, £)^+(* + У) dt = О, у > х, (2.5.33)

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
235
вычисляем
Jyy(x,y) = F+"(x + y)+A+Jx,y)+\A+(x,t)F+"(t + y)dt=0, (2.5.34)
Jxx(x,y) = F+"(x + y) + А$х(х,у) - ±A+(x,x)F+(x + у) -
- A+(x,x)F+'{x + у) - A+(x,t){t=xF+{x + у) +
ОС
+ \A+x(x,t)F+(t + y)dt = 0. (2.5.35)
X
Интегрирование по частям в (2.5.34) дает
Jyy(x, у) = F+'\x + у) + А+у(х, у) +
+ (а+(х, t)F+'(t + у)- Л+(х, t)F+(t + у)) |~ +
+ | Att(xyt)F+(t + y)dt = 0.
Из (2.5.29) и (2.5.30) вытекает, что подстановка в бесконечности равна
нулю, и, следовательно,
Jyy(x, у) = F+"(x + у) + 4+ (х, у) - А+ (х, x)F+\x + у) +
+ A+(x,x)F+(:r + 2/) + ЛЙ(х,0^+(* + у)Л = 0. (2.5.36)
Используя (2.5.35), (2.5.36), (2.5.33), (2.5.22) и равенство
Jxx{x, у) - Jyy{x, у) - q+(x)J(x, у) = 0,
которое следует из соотношения J(x, у) = 0, получаем
оо
/(*. у) + [/(*, t)F+ {t + y)dt = 0, у> x, (2.5.37)

236 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
где f(x,y) := А+Х(хуу) - А+у(х,у) - q+ (х)А+(х,у). Нетрудно
проверить, что f{x,y) £ L(x,oo) при каждом х ^ а. По теореме 2.5.2
однородное уравнение (2.5.37) имеет только нулевое решение, т.е.
А+Х(х, у) - 4+(я, у) - q+(x)A+(x, у) = 0, у > х. (2.5.38)
Дифференцируя (2.4.8) дважды, получаем
е"(х,р) = [гр)2 exp(ipx) — (ip)A~*~(x, ж)ехр(грх) —
" (d^4"^*'^ + ^^W) ехр(грх) +
оо
+ [ A+X{xtt)exp(ipt)dt. (2.5.39)
С другой стороны, интегрируя дважды по частям, вычисляем
оо
р2е(х,р) = — (ip)2exp(ipx) — (гр)2 A+(x,t)exp(ipt)dt =
X
= —(ip)2exp(ipx) Н- (ip)A+(x, х)ехр(грх) —
X
Вместе с (2.4.8) и (2.5.39) это дает
е"(х, р) + р2е(х, р) - q+{x)e(x, р) =
оо
= (-2±А+{х,х) - q+(x)) ехр(грх) + \(А+х(хЛ) - Л+(*.*) -
- g+(x)A+(x, £)) ехр(гр£) dt.
Учитывая (2.5.22) и (2.5.38), приходим к (2.5.24) для е(х, р).
Рассмотрим теперь общий случай, когда верно (2.5.25). Обозначим
через е(х, р) решение Йоста для потенциала q+. Наша цель — доказать,
что е(х, р) = е(хур). Для этого выберем функции F^(x) так, чтобы
Fj'(x), F+ (х) были абсолютно непрерывны, F* (х) £ L(a, оо) для

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
237
каждого а > -оо и
lim
jf—ЮО
lim l\F+(x)-F+(x)\dx = 0,
а
(\+\x\)\F+'(x)-F+'(x)\dx = 0.
(2.5.40)
Обозначим
щ(х) =
\Ff(t)-F+'(t)\dt,
t\j(x) = T0j(t)dt
(t-x)\F+'(t)-F+'(t)\dt.
Используя (2.5.40) и лемму 1.3.1, можно показать, что при достаточно
больших j интегральное уравнение
оо
F+(x + y) + A+){x,y) + \A+)(x,t)F+(t + y)dt = 0, у > х,
X
имеет единственное решение Af.Jx.y), причем
оо
[ |А+}(х,у) - A+(x,y)\dy ^ CaTXj(2x), х^а. (2.5.41)
Следовательно,
lim max
j —>оо х^а
\AlJx,y)-A+(x,y)\dy = 0. (2.5.42)
ЧЛ
Обозначим
ej(x, р) = exp(ipx) +
Af.Jx, t) exp(ipt) dt,
(2.5.43)
Ранее было доказано, что —e"(x,p)+q'j{x)ej{xyp) = p2ej{x,p), т.е.
ej(x,p) — решение Йоста для потенциала qf. Используя (2.5.40),

238 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
(2.5.41) и действуя так же, как и в первой части доказательства леммы
2.5.3, получаем
оо
lim Ul + \x\)\q+(x)-q+(x)\dx = 0.
j—оо J J
a
В силу леммы 2.4.1 это дает
lim тахтах|(е,(х,р) — е(х,р))ехр(—грх)| =0.
j->oop£ft+ х^а
С другой стороны, используя (2.4.8), (2.5.42) и (2.5.43), выводим
lim max max \{ej(x, p) — e(x, p)) exp(—ipx)\ = 0.
j-+oop£Sl+ x^a
Следовательно, e(x,p) = e(x,p), и (2.5.24) доказано для функции
е(х,р). Для д(х,р) рассуждения аналогичны. Поэтому лемма 2.5.3
доказана. D
Сформулируем теперь необходимые и достаточные условия
разрешимости обратной задачи рассеяния
Теорема 2.5.4. Для того чтобы множество J+ = {s+(p), Аь
а£; р £ R, к = 1, N} было правыми данными рассеяния для
некоторого вещественного потенциала q, удовлетворяющего (2.4.2),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
1) \к = -т\, 0<т, < ... <rN\ а£ >0, k = T7N\
2) при вещественных р ф 0 функция s+(p) непрерывна, s+(p) =
= 8+(-р), |в+(р)|<1,И
s+(p) = o(p-1) при |р|->оо, (2.5.44)
1, 5 = 0(1) при |р|-»0; (2.5.45)
1 - |s+(p)|2 W ' '
3) функция р(а(р) — 1), где а(р) определено формулами
«(р)==п^«р(ад>-
k^p+lTk
B^--=-h
ОО
М1^!Ш!!)^р€П+, (2.5.46)
непрерывна и ограничена в Q.+, и
(а(р))~1 = 0(1) при \р\ -> 0, р е Щ, (2.5.47)
lim pa(p)(s+(p) -f 1) = 0 при вещественных р\ (2.5.48)

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
239
4) функции ^(х), определенные формулами
оо
R±{x) = h f s±(p)exp(±ipx)dp, s-(p) := -s+(-p)?t£, (2.5.49)
— ОО
вещественны и абсолютно непрерывны, i?±(x) G Ьг(—00,00), и при
каждом а > -оо верно (2.5.19).
Доказательство. Необходимость теоремы 2.5.4 доказана выше.
Докажем достаточность. Пусть дано множество J+, удовлетворяющее
условиям теоремы 2.5.4. Согласно (2.5.46) имеем
в^ = h
^-d£. peQ+, 0(0:= In-—^ J- (2-5.50)
-ОО
Z-P T i-l«+(OI
При вещественных f ф О функция #(£) непрерывна и
0(О = 0(-О^О. (2-5.51)
0(£) = о(£"2) при £->оо и 0(f) = О (in |) при f — 0.
Функция В(р) аналитична в ft+, непрерывна в ft+ \ {0} и при
вещественных р ф О,
оо
ад-^+гИг^*- <2-5-52>
— оо
причем интеграл в (2.5.52) понимается в смысле главного значения:
р-е оо
\-=н\+1\
-оо р+е
Используя (2.5.46), (2.5.51), (2.5.52) и условие (3) теоремы, получаем
а(р) = а(-р) при вещественных /э ^ 0. (2.5.53)
Кроме того, при вещественных р ф О (2.5.46) и (2.5.52) дают
\а(р)\2 = \ехр(В(р))\2 = exp(2Re Я(р)) = exp(0(p)).
и, следовательно,
1 - |s+(/9)|2 = |а(р)|~2 при вещественных рфО. (2.5.54)

240 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Далее, функция s~(p), определенная в (2.5.49), непрерывна при
вещественных р ф 0, и в силу (2.5.53) s~(p) = s~(—р), |s~~(p)| = |s+(p)|-
Поэтому, учитывая (2.5.44), (2.5.45) и (2.5.48), получаем
2
s-(p) = o(p-{) при И-юо, -—f—-5=0(1) при |р|->0,
1 - I* (р)|
lim pa(p)(s~(p) Н- 1) = 0 при вещественных р.
Покажем, что
af(p*)<0, k=l,N, (2.5.55)
где а\(р) = — a(p), pk = irfc. В самом деле, из (2.5.46) вытекает
а«Ч(ПШ|^ехр(ВЫ)-
Используя (2.5.51), вычисляем
оо
— оо
оо
1
2тгг
-оо
Так как
J «2 + rI 2тт J 42 + rfc2 2тг J
*«> «.
<2 .J2
l(nta) = * ПTfc ~Tj 1
dp \11 p + гг, / |p=Pfc 2irfc 11 rfc +Tj)y
7 = 1 J —1
то числа a\{pk) являются чисто мнимыми, и (2.5.55) доказано.
Обозначим 1
Ofc =- 2/ \ ,, fc=l,7V. (2.5.56)
ai(pfc)«fc
Согласно (2.5.55)-(2.5.56) ajJT > 0, к = \,N. Таким образом, мы имеем
множества J± = {5±(р), А^, a^; р Е R, /с = l,iV}, которые
удовлетворяют условию А. Поэтому верны теорема 2.5.2 и лемма 2.5.3. Пусть
А±(х, у) — решения уравнений (2.5.1)—(2.5.2). Построим функции
е(х,р) и д(х,р) по (2.4.8) и функции q±{x) — по (2.5.22). Тогда верны
(2.5.23)-(2.5.25).
Лемма 2.5.4. Справедливы соотношения
s+(p)e{x,p) + e(x,-p) = &£,
еа(хр) (2.5.57)
s-(p)g(x,p) + g{x, -р) = ^р

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
241
Доказательство. 1) Обозначим
оо
Ф+(х, у) = Я+(я + у) + \ А+{х, t)R+(t + у) dt,
X
X
Q-(x,y) = R-(x + y)+ [ A-(x,t)R~(t + y)dt.
-ОО
При каждом фиксированном х имеем: Ф±(х,у) Е 1/2(—оо, оо), и
Ф+(х, у) exp(-ipy) dy = s+(p)e(x, р),
-оо
оо
(2.5.58)
Ф (x,y)exp(ipy)dy = s {p)g(x,p).
В самом деле, используя (2.4.8) и (2.5.49), вычисляем
оо
5+(р)е(х,р) = (ехр(грх) + А+(х,t) exp(ipt) dtj х
оо
J Д+(Оехр(-гр£К
Д+ (х + t/) exp(-ipy) dy +
оо оо
+ fi4+(x.«)( [ R+(t + y)exp{-ipy)dy)dt =
X —ОО
оо оо
= [ (я+(х + у)+ f A+(x,t)fl+(i + y)dt)exp(-vy)dy =
— ОО X
ОО
= $+(x,y)exp(-ipy)dy.
— оо
Второе соотношение в (2.5.58) доказывается аналогично.
Из (2.5.1)-(2.5.2) вытекает
N
Ф+(х,у) = -А+{х,у) -J^afc exp(-Tky)e{x,irk), у > х,
к=\
N
Ф"(х,у) = -А~(х,у) ~^2^ ехр(тку)д(х,1тк), у < х.
к=\
Тогда

242 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Ф+(х,у)ехр(-1ру)<1у =
Ф+(х,у)ехр(-1ру)с1у-
i
N
£
fc=i
а£ ехр(-тку)е(х, irk)^j exp(-ipy) dy.
Согласно (2.4.8) имеем
A+(x, у) exp(-ipy) dy = e(x, —p) — exp(-ipx),
и, следовательно,
oo
$+{x,y)zxp{-ipy)dy
Ф+(х, у) exp(-ipy) dy +
N
k=\
+ exp(—грх) — e(x, —/o) — } *Ч- exp(—грх) exp(—г^х)е(х, гт^).
Аналогично
Ф (ж, у) ехр(гру) dy
Ф+(х, у) exp(ipy) dy +
ЛГ
+ ехр(грх) - д(х, -р) - ^ ^ . ехр(грх) exp(rkx)g(x, irk)
к=\
Тк + гр
Сравнивая с (2.5.58), выводим
s+(p)e(x,p) + e(ar, -р)
s-(p)g{x,p)+g(x,-p)
h (х,р)
а(р)
h+(x,p)
а(р)
(2.5.59)
где
Н-(Х,Р):=еМ-гРф(р)(1+ J Ф+(*.у)ехрМх-у))4,-
— ОО
N +
/i+(x, р) := ехр(грх)а(р) (1 +
к=\
ОО
(2.5.60)
Ф (x,y)exp{ip(y-x))dy-
N
5Z ГТТ^ exp(rfcx)p(a;, it*)).
f—, 'к-гьр /
/с=1

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
243
2) Изучим свойства функций h±(x,p). В силу (2.5.59) имеем
h~ (х, р) = а(р) (V(р)е(х, р) + е(ж, -р)),
h+ (х,р) = а(р)[s (р)д{х,р) + д{х, -p)J.
В частности, получаем, что функции h±(x,p) непрерывны при
вещественных р ф О, и, в силу (2.5.53), h±(xtp) = h±(x,—p). Так как
lim pa(p)(s±(p) + 1) =0, то из (2.5.61) вытекает
limp/i±(x,p)=0. (2.5.62)
Поэтому функции ph±(x,p) непрерывны при вещественных р. В
силу (2.5.60) функции ph^{x,p) аналитичны в ft+, непрерывны в fi+
и (2.5.62) верно при р € П+. Учитывая (2.5.61) и (2.4.7), получаем
(е{х,р)Л~(х,р)) = {h+(xyp),g(x,p)) = -2ipa(p). (2.5.63)
Так как |5±(р)| < 1, то из (2.5.59) вытекает, что
sup|(a(p))-1ft±(xfp)| < оо. (2.5.64)
при вещественных р ^ 0. Используя (2.5.60), вычисляем
/i+(x, irk)=ia\ (irk)a^g(xy и>), h~(x, irk)=ia\ {irk)a^e(x, irk), (2.5.65)
lim h±(x, p)exp(^fipx) — 1, (2.5.66)
|p| — oo
!m p^O
гдеа1(р) = ^a(p).
3) Из (2.5.59) вытекает
s+(p)e(x, p) + e(s, -p) = j£\™,
e(x, p) + s+(-p)e(x, -p) = q(^ ~) ■
Решая эту линейную алгебраическую систему, получаем
Ф.,)(>- *ЧФЧ-?)) = ^ -+<-»>^-
В силу (2.5.53)-(2.5.54) имеем
1-5+0Ф+(-р) = 1-|5+(р)|2 =
2_ 1
la^)!2 а(р)а(-р)'
Поэтому
^^ = 8-{р)1Г{х,р) + А-(х, -р). (2.5.67)

244 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Используя (2.5.67) и второе соотношения из (2.5.59), вычисляем
h-{x,p)g{x, -р) - Л-(х, -р)д{х,р) = G(p), (2.5.68)
где
П(п\ •= -
*(Р)
Согласно (2.5.65) и (2.5.56) имеем
G(p) := щ (/i+(x, р)Л-(х, р) - е(х, р)д(х, р)). (2.5.69)
h+(x,irk)h (x,iTk) — е(х,1ть)д(ху1тк) = 0, fc=l,7V,
и, следовательно, функция G(p) аналитична в fi+ и непрерывна
вП7\{0}. В силу (2.5.66)
lim /i+(x, p)h~{x, р) = 1.
|р| — оо
im р^О
Так как а(р) = 1 + 0(р~1) при \р\ —> оо, р Е fi+, то из (2.5.69) вытекает
lim G(p) = 0.
|р| —ос
Im р^О
В силу (2.5.68), G(—p) = —G(p) при вещественных р ф 0. Продолжим
G(p) в нижнюю полуплоскость по формуле
G(p) = -G(-p), Im р < 0. (2.5.70)
Тогда функция G(p) аналитична в С \ {0} и
lim G(p)=0. (2.5.71)
И-юо
Далее, из (2.5.69), (2.5.47), (2.5.62) и (2.5.64) вытекает: lim p2G{p) = 0,
т. е. функция pG(p) является целой по р. С другой стороны, используя
(2.5.69), (2.5.62) и (2.5.64), получаем: lim pG(p) = 0 при
вещественно
ных р, и, следовательно, функция G(p) является целой по р. Вместе
с (2.5.71) и теоремой Лиувилля это дает G(p) = 0, т.е.
/i+(x, p)h-(x, р) = е(х, р)д(х, р), р е П^ (2.5.72)
h~ (х, р)д(х, —р) = h~ (х, —р)д(х, р) при вещественных р ф 0.
(2.5.73)
4) Рассмотрим теперь функцию р(х,р) := /i+(x, р)(е(х,р))-1.
Обозначим £ = {х : е(х,0)e(x,iri) ...е(х,ггуу) = 0}. Так_как функция
е(х, р) является решением уравнения (2.5.24) и для р G ft+,
оо
|е(х, р)ехр(—грх) — 1| ^ |^4+(х, £)| <Й —> 0 при х —> оо, (2.5.74)
X
то £j^_ конечное множество. Возьмем фиксированное х £ £. Пусть
р* Е 0+ является нулем функции е(х,р), т.е. е(х,р*) = 0. Так как

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
245
х £ £, то р* ф О, р* ф irky к = 1,ЛГ; поэтому р*а(р*) ф 0. В силу
(2.5.63) это дает h~(x,p*) ф 0. Согласно (2.5.72) имеем: /i+(x,p*) = 0.
Так как все нули функции е(х,р) являются простыми (этот факт
доказывается аналогично теореме 2.2.9), то заключаем, что функция
р{х,р) аналитична в £7+ и непрерывна в fi+ \ {0}. Из (2.5.66) и (2.5.74)
вытекает, что р(х,р) —> 1 при |р| —* оо, р £ Г£+. В силу (2.5.72), (2.5.73)
имеем: р{х,р) = р(ху -р) при вещественных р ф 0. Продолжим р(хур)
в нижнюю полуплоскость по формуле р(х, р) = р(х, —р), Im р < 0. Тогда
функция р{х,р) аналитична в С \ {0} и
lim р{хчр) = 1. (2.5.75)
И-юо
Так как е(х,0) ^ 0, то из (2.5.62) вытекает lim рр(х, р) = 0, и, следо-
р—о
вательно, функция р(х,р) является целой по /9. Вместе с (2.5.75) это
дает р(х,р) = 1, т.е.
Л+(я,р) = е(я,р). (2.5.76)
Тогда с учетом (2.5.72) заключаем, что
h-{x,p) = g{x,p). (2.5.77)
Отсюда, используя (2.5.59), приходим к (2.5.57). Лемма 2.5.4 доказана.
Вернемся к доказательству теоремы 2.5.4. Из (2.5.57) и
(2.5.24) вытекает
q-(x) = q+(x):=q(x). (2.5.78)
Тогда (2.5.23) влечет (2.4.2), и функции е(х,р) и д(х,р) являются
решениями Йоста для потенциала q, определенного в (2.5.78).
Обозначим через J* = {s+(p), Xkl 5£; р Е R, к = l,N} данные
рассеяния для данного потенциала q и положим
*(р)--=-^Гр(Ф'Р)'9(х,Р))- (2.5.79)
Используя (2.5.63) и (2.5.76), (2.5.77), вычисляем (е(х,р),д(х,р)) =
= —2ipa[p). Вместе с (2.5.79) это дает а(р) = а(р), и, следовательно,
Лг = N, Хк = Afc, к = 1, AT. Далее, из (2.4.21) вытекает
s+(p)e(x,p) + e(x,-p) = 9-^,
5~ {р)д(х, р) + д(х} -р) = ^р
Сравнивая с (2.5.47), получаем ^(р) = s±(p), р £ R. В силу (2.4.26)
имеем » ,
К = -^Н> *к = -, / ч- (2-5.80)
lai(pk) К idka\(pk)
С другой стороны, из (2.5.76), (2.5.77) и (2.5.65) вытекает
e(x,irk) = ia\(iTk)alg{x,iTk), д(х,1тк) = ia\(irk)a^e(xtirk)t

246 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
т.е. dk = ia\(iTk)a^ = (ia\(irk)ak ) 1. Сравнивая с (2.5.80), заключаем,
что 5*
а*, и теорема 2.5.4 доказана.
□
Замечание 2.5.2. Существует связь между обратной задачей
рассеяния и задачей Римана для аналитических функций. В самом
деле, перепишем (2.4.27) в виде
Q-(x,p) = Q+(x,p)Q(p),
(2.5.81)
где
Q-(s,p) =
д(х, -р) е(х, -р)
д'{х,-р) е'(х,-р)
Q(p) =
1
Q+(*,p)
а(р) а(р)
_М J_
а(р) а(р)
е(х,р) д{х,р)
е'{х,р) д'{х,р)
Для каждого х матрица-функция Q±(x,p) аналитична и
ограничена при ±1тр>0. В силу (2.4.26) и (2.4.53) матрица-функция Q(p)
может быть однозначно восстановлена по данным рассеяния J+ (или
J~). Таким образом, обратная задача рассеяния сводится к
задаче Римана (2.5.81). Отметим, что теорию решения задачи
Римана можно найти, например, в [88]. Применяя преобразование
Фурье к (2.5.81), как это показано выше, приходим к уравнениям
Гельфанда-Левитана-Марченко (2.5.1), (2.5.2) или (2.5.21). Отметим,
что использование задачи Римана в теории решения обратных задач
представляет только методический интерес и не является независимым
методом, так как может рассматриваться как частный случай метода
спектральных отображений.
2.5.3. Безотражательные потенциалы. Возмущения
дискретного спектра. Потенциал q, удовлетворяющий (2.4.2), называется
безотражательным, если Ь(р) = 0. В силу (2.4.26) и (2.4.53) мы имеем
в этом случае
N
*Чр) = о.
а(р) = П
гтк
к=\
р + гтк
(2.5.82)
Теорема 2.5.4 позволяет доказать существование
безотражательных потенциалов и описать их все. Точнее, справедлива следующая
теорема.
Теорема 2.5.5. Пусть заданы произвольные числа Х^ = —т\ < 0,
ак > 0, к = 1,7V. Положим s+(p) = 0, р е R, и рассмотрим
данные J+ = {s+(p), Аь ак\ р G R, к = l,iV}. Тогда существует
единственный безотражательный потенциал q, удовлетворяющий
(2.4.2), для которого J+ являются правыми данными рассеяния.

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
247
Теорема 2.5.5 является очевидным следствием теоремы 2.5.4, так
как для этого множества J+ все условия теоремы 2.5.4 выполнены
и верно (2.5.82).
Для безотражательных потенциалов уравнение (2.5.1) принимает
вид
N
£
fc=l
А+(х,y) + Yl(*k exp(-rfc(x + у)) +
1
N °?
+ ]Га+ехр(-т/с</) A+{x,t)exp(-Tkt)dt = 0. (2.5.83)
к=\
Ищем решение уравнения (2.5.83) в виде
N
А+(х,у) = ^Рк(х)ехр(-тку).
к=\
Подставляя это выражение в (2.5.83), получаем следующую линейную
алгебраическую систему относительно Pk{x) :
Рк(х) + f^a;exp(r[T^Tj)x)P?(x) = -a+exp(-rfcx), к = UN.
(2.5.84)
i=i
Решая (2.5.84), вычисляем Рк(х) = Ак(х)/А(х), где
А(х) = det <*ы + а*
+ exp(-(rfc + ri)x)
г к + п
k,l=\,N
(2.5.85)
и Д/с(х) — определитель, получающийся из А(х) заменой /с-го столбца
на столбец свободных членов. Тогда
N
q(x) = -2±А+(х,х) = -2J2^exp(-rkx),
и, следовательно,
'dx К ' ' ^ А(х)
к=\
q(x) = -2^\uA(x).
ах"
(2.5.86)
Таким образом, (2.5.85) и (2.5.86) позволяют вычислять
безотражательные потенциалы по заданным числам {\к, &k}k=YN-
Пример 2.5.1. Пусть N = 1, т = т\, а = af, А(х) = 1 +
+ а(2т)-1ехр(-2тх). Тогда (2.5.86) дает
q{x) =
Ата
( о- X
(ехр(тх) + — ехр(—тх)\

248 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Обозначим (3 = —(2т) 1п(2т/а). Тогда
( \ 2т*
а(х) = = •
ch2(r(x-P))
Если q = О, то s±(p) = О, N = О, а(р) = 1. Поэтому теорема 2.5.5
показывает, что все безотражательные потенциалы могут быть построены
из нулевого потенциала и заданных чисел {Аь ар}, к = 1,7V. Ниже
мы кратко рассмотрим более общий случай возмущения дискретного
спектра для произвольного потенциала q. Точнее, справедлива
следующая теорема.
Теорема 2.5.6. Пусть J+ = {s+(p), Аь ар, р Е R, к = TjV} —
правые данные рассеяния для некоторого вещественного
потенциала q, удовлетворяющего (2.4.2). Возьмем произвольные
числа Afc = — т^ < 0, ар > О, k = 1,7V, и рассмотрим множество
J+ = {s+(p), Аь а£; р е R, fc = 1,7V} с той же функцией s+(p),
что и в J+. 7Ъгда существует вещественный потенциал q,
удовлетворяющий (2.4.2), для которого J+ являются правыми данными
рассеяния.
Доказательство. Проверим условия теоремы теоремы 2.5.4
для J+. Согласно (2.5.46) и (2.5.49) построим функции а(р) и s~(p) по
формулам
N °°
5
■W=—+(-rt^?-
Вместе с (2.4.53) это дает
(2.5.87)
а{р) = а{р)Ц^Цр-±^. (2.5.88)
"-'11 р + гтл: 11 р-гтк
к=\ к=\
В силу (2.4.26) имеем
8-(р) = -8+(-p)?tri. (2.5.89)
Используя (2.5.87)-(2.5.89), получаем
7Г(р) = 8-{р). (2.5.90)
Так как данные рассеяния J+ удовлетворяют^всем условиям теоремы
2.5.4, то из (2.5.88) и (2.5.90) вытекает, что J+ также удовлетворяют
всем условиям теоремы 2.5.4. Тогда в силу теоремы 2.5.4 существует
вещественный потенциал q, удовлетворяющий (2.4.2), для которого J+

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
249
являются правыми данными рассеяния. □
2.5.4. Решение задачи Коши для уравнения КдФ. Обратные
спектральные задачи играют существенную роль при интегрировании
некоторых важных эволюционных уравнений математической физики.
В 1967 г. Гарднер, Грин, Краскл и Миура [89] обнаружили
глубокую связь хорошо известного с конца XIX в. нелинейного уравнения
Кортевега-де Фриза (КдФ)
4t = 6<7<Zx - Qxxx
со спектральной теорией операторов Штурма-Лиувилля. Они сумели
найти глобальное решение задачи Коши для уравнения КдФ сведением
ее к обратной спектральной задаче. Эти исследование породили новое
направление в математической физике (более подробно см. работы [1,
2, 157, 236, 304] и литературу в них). В этом пункте мы даем решение
задачи Коши для уравнения КдФ и для этого используем идеи из [89,
157] и результаты этого параграфа по обратной задаче рассеяния.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения КдФ:
qt = bqqx - qxxx, -со < х < со, t > 0, (2.5.91)
q\t=o = Qo(x), (2.5.92)
где qo(x) — вещественная функция, удовлетворяющая (2.4.2).
Обозначим через Qo множество вещественных функций q(x,t), —со < х <
< со, t ^ 0, таких, что
max
0<t<T
(1 + \x\)\q(x,t)\dt < со
для каждого фиксированного Т > 0. Пусть Q\ — множество функций
q(x,t) таких, что q,q,q'\qh\q,n G Qo- Здесь и далее «точка» обозначает
дифференцирование по t, а «штрих» — дифференцирование по х. Будем
искать решение задачи Коши (2.5.91), (2.5.92) в классе Q\. Докажем
сначала теорему единственности.
Теорема 2.5.7. Задача Коши (2.5.91)-(2.5.92) имеет не более
одного решения.
Доказательство. Пусть q,q G Q\ — решения задачи
Коши (2.5.91)-(2.5.92). Положим w := q — q. Тогда w G Q\, w\t=o = 0
и wt = 6(qwx + wqx) - wxxx. Умножая это равенство на w и интегрируя
по х, получаем
wwt dx = 6
w(qwx + wqx) dx - wwxxx dx
-I

250 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
Интегрирование по частям дает
оо оо
wwххх dx = — wxwXx dx
оо
I
wxwxx dx,
и, следовательно, J*^ wwxxx dx = 0. Так как
то
Обозначим
qwwxdx= ^(о^2) ^х = ~2
) — оо —оо
оо оо
wwtdx= (qx - nQx)™2 dx.
qxw2 dx,
E(t)
w dx, m(t) = 12 max
хек
Qx ~ о Q*
Тогда E(t) ^ m(i)E(t), и, следовательно,
0 ^ E(t) ^ jE?(0)exp(f m(OdC)-
Так как E(0) = 0, то заключаем, что E(t) = 0, т. е. w = 0. П
Наша следующая цель — построить решение задачи Коши
(2.5.91)-(2.5.92) сведением к обратной задаче рассеяния на оси.
Пусть q(x,t) — решение задачи Коши (2.5.91)-(2.5.92). Рассмотрим
уравнение Штурма-Лиувилля
Ly := -у" + q{x,t)y = \y
(2.5.93)
с параметром t. Тогда решения Йоста для (2.5.93) и данные рассеяния
также зависят от t. Покажем, что уравнение (2.5.91) равносильно
уравнению
L = [A,L], (2.5.94)
где Ay = —4у'" + 6qyf + 3q'y, a [A, L] := AL — LA. В самом деле, так
как Ly = —у" -f qy, то
Ly = qy, ALy = -4(-y" + qy)"' + 6q{-y" + qy)' + 3g'(-y" + qy),
LAy = -(-V" + 6qy' + 3</y)" -f <z(-4y'" + 6<?y' 4- 3</y),
и, следовательно, (AL — LA)y = (6qqf — qm)y. Уравнение (2.5.94)
называется уравнением Лакса или представлением Лакса.

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
251
Лемма 2.5.5. Пусть q(x,t) — решение (2.5.91), и пусть у =
= у(х, t, Л) — решение (2.5.93). Тогда (L — Х)(у — Ау) = О, т. е.
функция у — Ау также является решением (2.5.93).
В самом деле, дифференцируя (2.5.93) по ty получаем Ly + (L —
- Х)у = О, или, в силу (2.5.94), (L - Х)у = LAy - ALy = (L - Х)Ау. П
Пусть e(x,t,p) и g(x,t,p) — решения Йоста (2.5.93), введенные
в § 2.4. Положим е± = е(х, £, ±р)у д± = д(х, t, ±р).
Лемма 2.5.6. Справедливо следующее соотношение
ё+ = Ае+ - Мръе+. (2.5.95)
Доказательство. По лемме 2.5.5 функция ё+ - Ае+ является
решением уравнения (2.5.93). Так как функции {е+,е_} образуют
фундаментальную систему решений для (2.5.93), то
ё+ - Ае+ = /3\е+ + р2в-,
где Pk = Pk{t> р), к = 1,2, не зависят от х. При х —► +оо имеем
е± ~ ехр(±грх), ё+ ~ 0, Ае+ ~ 4гр3ехр(грх),
следовательно, (5\ = -4гр3, /% = 0, и (2.5.95) доказано. □
Лемма 2.5.7. Справедливы следующие соотношения:
а = 0, b = -8ip3b, s+ = 8гр35+, (2.5.96)
А,-=0, Q+ = 8x?at. (2.5.97)
Доказательство. Согласно (2.4.18) имеем
е+ =а#+ + Ь#-. (2.5.98)
Дифференцируя (2.5.98) по t, получаем: e+ = (ag++bg-) + (ag++bg-).
Используя (2.5.95) и (2.5.98), вычисляем
а(Ад+ - Aipzg+) + Ь{Ад- - 4гр3#_) = (ад+ + £>#_) + {ад+ + &?_).
Так как #± ~ ехр(±грх), д± ~ 0, Ад± ~ ±4гр3 ехр(±грх) при х —* — со,
то
-Ыр ехр(-грх) ~ аехр(грх) -f 6ехр(—ipx),
т. е. a = 0, 6 = —8г/?3Ь. Следовательно, s+ = 8гр35+, и верно (2.5.96).
Собственные значения Xj = р? = — х^, х^ > 0, j = 1, AT, являются
нулями функции a = a(p, £). Так как а = 0, то Aj = 0. Обозначим ej =
= e(x,t,ixj), gj = g(x,t,ixj), j = 1,N. По теореме 2.4.3 имеем: <?j =
= djej, где dj = dj(t) не зависят от х. Дифференцируя соотношение
gj = djej по t и используя (2.5.95), вычисляем
или . _
Sj = ^ (dj) ф + -Aft - bxj9i■

252 Гл. 2. Сингулярные операторы Штурма-Лиувилля
При х —> — оо имеем: Qj ~ exp(xjx), gj ~ 0, Agj ~ —4х? exp(xjx),
и, следовательно, dj = 8x?dj. Учитывая (2.4.32), получаем: d+=8x?a|.
П
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2.5.8. Пусть q(x,t) — решение задачи Коши (2.5.91)-
(2.5.92), и пусть J+(t) = {s+(typ), Xj(t), a+{t), j =J7N} - данные
рассеяния для q(x,t)- Тогда
s+(t,p) = s+(0yp)exp{8iph),
Xjit) = A,(0), a+(t) = a+(0)exp(8x?*)f
j=~lN (\j = -x2j). (2.5.99)
Формулы (2.5.99) дают эволюцию данных рассеяния по t, и мы
получаем следующий алгоритм решения задачи Коши (2.5.91)-(2.5.92).
Алгоритм 2.5.2. Пусть задана функция q(x,0) = qo(x).
1) Строим данные рассеяния {s+(0, р), Aj(0), aj~(0), j = l,iV}.
2) Вычисляем {s+(t,p), \j(t), а^(£), j = 1,TV} no формулам
(2.5.99).
3) Находим функцию q(x,t), решая обратную задачу рассеяния.
Отметим еще раз ключевые моменты при решении задачи Коши
(2.5.91), (2.5.92) методом обратной задачи.
1) Наличие представления Лакса (2.5.94).
2) Эволюция данных рассеяния по t.
3) Решение обратной задачи.
Среди решений уравнения КдФ (2.5.91) есть весьма важные
частные решения вида q(x,t) = f(x — ct). Такие решения называются
солитонами. Подставляя q(x,t) = f(x — ct) в (2.5.91), получаем:
/'" + 6//' + с/' = 0, или (/" + З/2 + с/)' = 0. Ясно, что функция
удовлетворяет этому уравнению. Поэтому функция
^х' *) = гг<—^т (2-5-100)
является солитоном. Интересно отметить, что солитоны
соответствуют безотражательным потенциалам. Рассмотрим задачу Коши
(2.5.91)-(2.5.92) в случае, когда qo{x) является безотражательным
потенциалом, т. е. s+ (0, р) = 0. Тогда в силу (2.5.99) имеем: s+ (£, р) = 0
при всех t, т.е. решение q(x,t) задачи Коши (2.5.91), (2.5.92) явля-

§2.5. Обратная задача рассеяния на оси
253
ется безотражательным потенциалом при всех t. Используя (2.5.86)
и (2.5.100), получаем: q(xyt) = —2—jA(x, £), где
dx
Д(х,t) = det \8ы + а£(0)ехр(8х£*)
3^exp(-(xfc+xt)g)
**+"*
k,l=\,N
В частности, если iV = 1, то а* (0) = 2xi и
?0М)
2xf
chz(K\(x-4xit))
Положив с = 4xp приходим к (2.5.100).

Глава 3
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОРЯДКОВ
Глава посвящена построению теории решения обратных задач для
дифференциальных операторов
п-2
^:=2/(n) + £pfc(*)2/(fc) (3.0)
/с=0
на полуоси и на конечном интервале. В качестве основной спектральной
характеристики вводится и изучается так называемая матрица Вейля [265],
наиболее полно выражающая спектральные свойства дифференциального
оператора. Данная терминология связана с тем, что введенная матрица является
обобщением классической функции Вейля для самосопряженного оператора
Штурма-Лиувилля [165]. Использование концепции матрицы Вейля и
метода спектральных отображений позволяет построить общую теорию решения
обратной задачи для несамосопряженных дифференциальных операторов (3.0)
при произвольном поведении спектра.
В §3.1 дается постановка обратной задачи и доказывается теорема
единственности восстановления дифференциального оператора по заданной
матрице Вейля. В § 3.2 исследуется решение обратной задачи на полуоси и в
основном излагаются результаты из [265]. В частности, приводится вывод основного
уравнения обратной задачи, которое является особым линейным интегральным
уравнением (см. (3.2.10)) в соответствующем банаховом пространстве, и
доказывается его однозначная разрешимость. С использованием решения
основного уравнения получена процедура решения обратной задачи и необходимые
и достаточные условия ее разрешимости. В § 3.3 дается решение обратной
задачи на конечном интервале. Здесь возникают специфические трудности,
связанные с наличием нетривиальных структурных свойств матрицы Вейля
в окрестностях точек спектра. Основное уравнение обратной задачи в данном
случае будет линейным уравнением в пространстве последовательностей.
Доказывается его однозначная разрешимость, получены необходимые и
достаточные условия, алгоритм решения обратной задачи, исследуется устойчивость.
Приводится контрпример, показывающий, что при выбрасывании из матрицы
Вейля одного элемента единственность решения обратной задачи нарушается.
В § 3.4 дается решение обратной задачи для самосопряженного случая. Другие,
более специальные обратные задачи, когда для определения коэффициентов
дифференциального оператора (3.0) задается не вся матрица Вейля, а лишь
некоторая ее часть, изучались в [250]. При этом на дифференциальный
оператор накладываются дополнительные условия. Такие «неполные» обратные
задачи имеют свою специфику исследования.
Будем использовать следующие обозначения.
1. Если рассматривается некоторый дифференциальный^оператор £, то
наряду с ним рассматривается дифференциальный оператор £ того же вида, но

§3.1. Свойства спектральных характеристик
255
с другими коэффициентами. Если некоторый символ <р обозначает объект,
относящийся к £, то (р обозначает аналогичный объект, относящийся к £,
а (р = if — ф.
2. Матрицу А с элементами а^, г— l,r, j = l,s, будем записывать
одним из следующих способов: А = [aij]i=jy j=j^ = [an,..., ais]i=T^ = [a\j,...
• • • yarj]T=Ylj где * "~ номеР строки, j — номер столбца, T — знак
транспонирования.
3. Через Е будем обозначать единичную матрицу соответствующей
размерности или единичный оператор в соответствующем пространстве.
4. Если при Л —► Ло
F(X)= J2 afc(A-Ao)fc + o((A-A0n,
k = -q
™[F(\)]\kxlx=F{k)(\0):=ak.
§3.1. Свойства спектральных характеристик
3.1.1. Матрица Вейля. Рассмотрим дифференциальное
уравнение и линейные формы L = L(£, U) вида
п-2
*У := УН + Х>Л*)УИ = Ху = рПу> 0 < * < Г < оо, (3-1.1)
i/=0
*««-!
^a(l/)=yW(a)+ ^ ^a^)(a), £=l,n, (3.1.2)
i/=0
на полуоси (Т = оо) или на конечном отрезке (Т < сю). Здесь ру(х) £
Е L(0,T) — комлекснозначные суммируемые функции; а = О при Т =
= сю и a = О, Т при Г < сю; 0 ^ <jfa < п — 1, <j£a ^ а^ (£ ф rj).
Известно [188, с. 53], что р-плоскость можно разбить на секторы 5
7Г / ^ (VK (V+ 1)тг\ ТГо Л
раствора — ( arg р £ ( —, — 1, i/ = 0, In — 1J, в каждом из
которых корни i?i, i?2> ••• i Rn уравнения Rn — 1 = 0 можно занумеровать
так, чтобы
Re{pR\) < Re(pR2) < .. < Re(p#n), р е S. (3.1.3)
Пусть функции Ф(х,А) = [Фт(ху А)]т_— являются решениями
уравнения (3.1.1) при условиях Е/$р(Фт) = <5^т, £ = 1,т, а также
для Т < сю U^ri^m) = О, 77 = l,n — m, а для Т = сю Фт(х, А) =
= 0(exp(pi?mx)), а: —* сю, р £ 5 в каждом секторе 5 со свойством
(3.1.3). Здесь и в дальнейшем S^m — символ Кронекера. Обозначим
Mnfc(A) = £/fco($m). А; = m+ 1,п. Функции Фш(х, А) называются
решениями Вейля, а функции Мтк(Х) — функциями Вейля. Матрица
М(Х) = [Afmjb(A)] fc=y^, где Mmk(X) = 5mk, k = l,m, называется мат-

256 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
рицей Вейля или спектром L. Рассмотрим фундаментальную систему
решений уравнения (3.1.1): С(х, Л) = [Ст{х, А)]^=— при условиях
Що(Ст) = <^т. £ = Тп. Тогда
Ф(х,А) = М(А)С(х,А). (3.1.4)
Постановка обратной задачи. По заданной матрице Вейля М(А)
построить дифференциальное уравнение и линейные формы L = (£, U).
В этом параграфе исследуется структура особенностей функций
Вейля (теорема 3.1.1) и доказывается теорема единственности
восстановления дифференциального уравнения и линейных форм (3.1.1),
(3.1.2) на полуоси и на конечном отрезке при произвольном поведении
спектра по заданной матрице Вейля М(А) (теорема 3.1.2). Ниже, в
§ 3.3, приведен контрпример, показывающий, что выбрасывание из
матрицы Вейля одного элемента приводит к нарушению единственности
решения обратной задачи.
Пусть a G (О, Т), ра := 2nmax||pI/||ь{а,т)- Известно [188, с. 58], что
в каждом секторе S со свойством (3.1.3) существует фундаментальная
система решений уравнения (3.1.1) Ва = {ук(х, р)}к=у^ вида
УкЧх>Р) = {pRkY*MpRkx){\+0(p-1)), \р\ -.оо, х > а, (3.1.5)
причем функции ук{х,р) удовлетворяют при х ^ а, Гк = к уравнениям
Ук(х,р) =exp(pRkx) -
гrfc
- \^2 Rj exp(pRj(x - t))Mt(yk) dt +
т
f n
+ ^2 Rj exp{pRj{x - t))Mt(yk) dt,
n-2
Mt(yk) := ^-"^Wv^ftp). (3.1.6)
1
P' "
/i=0
»
Функции yk (x, p), v = 0, n — 1, при каждом x ^ 0 регулярны по p G
G 5a := {p : p £ 5, \p\ > pa}, непрерывны при x ^ 0, p € Sa и имеют
оценку
|yiI/)(a:'p)(P^fc)~I/exp(-/9i?fcx) - 1| ^pQ|p|_1, x ^a, pG5^.
При |p| —> 00, /9 G 5

§3.1. Свойства спектральных характеристик
257
Кроме того, нам потребуется фундаментальная система решений
уравнения (3.1.1)
Ват = {У?(Я, р), • • • , У°т{х, р), Ут+\(Х, Р), . • ■ , Уп(х, р)},
где ук(х% р) G J5Q, /с = m 4- 1, п, а функции ук{х, р), к = 1, т, являются
решениями уравнения (3.1.6) при х ^ а, гк = т. При этом функции
ук(хур), v = О, п - 1, непрерывны при х G [О, Г], р G 5а, регулярны
по р G Sa при каждом х G [О, Г] и
Ук"\х*р) = 0(ри ехр(рЯтх)), х ^ а, \р\ -> оо, р G 5.
Для случая Т = оо введем также фундаментальную систему
решений В^ — {yko{x,p)}kz=j^, где функции Уко{х,р) являются решениями
уравнения (3.1.6) при х ^ а, гк = А: — 1. При этом функции т/^ (х,р),
v = О, п - 1, непрерывны при х ^ О, ре Sa, регулярны по р G SQ при
каждом х^Ои
Уко(х'Р) = (pRk)"exp(pRkx)(l + 0(р~1)). х ^ а, |р| -> оо,
Jkno2/[.o)(x,/?)(/9i?fc)"l/exp(-p^fc^) = 1,
det[yS-1,(x>p)]fcfI/e^ ее P^^^^det^-1]^^
Обозначим
wt(R) = Яст<°, n(ji,... ,jp) = det[wiv(^fc)]v.fc=uF.
fi/iO'i- • • -3p) = det[w^(^fc)]„=i^;fc=T^+T\M.
ц*тк = (П(Т^)-'П(1,т-1Д),
<&fc - (-lr+^na^j-'OfcOn^T),
а также Г = {A : ImA = 0}, Y±x = {A : ±A > 0}; П,П±, -
А-плоскость с разрезами Г,Г±1 соответственно.
Теорема 3.1.1. 1) Пусть Т < оо. Тогда функция Вейля Mmt(A)
является мероморфной по А, причем
Mmfc(A) = (Дтт(А))-,Дтк(А),
Д^(А) := (-l)m+fcdet[^r(a)]?=-n^;i/=^Vfc. ( • •
2) Пусть Т = оо. 7Ъгда функция Вейля Mmk(\) является
регулярной в П(_1 )п-т за исключением не более чем счетного
ограниченного множества полюсов А.'тк. При (—l)n~mA ^ 0 за
исключением ограниченных множеств А^к существуют конечные пределы
M^ = 2^ofe>oMmfc(A±i2)-

258 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Доказательство. Пусть Г = оо, {ук(х,р)}к=т^ ~~
Фундаментальная система решений Во дифференциального уравнения (3.1.1).
Обозначим
Тогда имеем п
Фт{х,\) = ^атк{р)ук{х, р).
Из условий на решения Вейля Фт(х, А) получаем
а<тк(р)=0, к>т,
т
^2атк(рЩ0(Ук) = <^т, £ = ТТгП-
к=\
Отсюда находим
Фт(хЛ) = ^Гатк(р)ук{х,р),
к=\
атк(р) = (-l)m+k(£&m(p))-1 det[£^(y,)].
(3.1.8)
j£=l,m-l;i/=l,mVfc*
Так как Мтк(\) = ико(Фт(х, А)), то из (3.1.8) вытекает, что
Мтк(Х) = (А0тт(р)Г'А°тк(р). (3.1.9)
Отсюда, используя асимптотические свойства (3.1.5) функций
Уь'(х,р), имеем при \р\ —► оо, р Е S:
атк(р) = р-а^(а°тк + 0(р-1)),
Фт(х, А) = р"'- f;exp(^fcx)(a0mfc + О^1)), (ЗЛ Л0)
к=\
MTOfe(A) = p^-^V°mfe(l + 0(р-')).
Повторяя предыдущие рассуждения для фундаментальной системы
решений Bam, получаем
Мтк(Х) = (А1тт(р)Г'А1к(р),
AUp) = d*lUM)l=^=T^,k. ("
Обозначим G = {р : arg/> € (((-l)n~m - 1)£. ((-l)n"m + 3)£)}.
Область G состоит из двух секторов S с одним и тем же набором
{^}f=T~^- Следовательно, функции A^fc(p) являются регулярными
при р £ G, |р| > ра, и непрерывными при р G G, |р| ^ ра.
Отсюда, с учетом (3.1.9), (3.1.11), (3.1.12) и произвольности а, получаем

§3.1. Свойства спектральных характеристик
259
утверждение теоремы при Т = оо. Положим Amk = Л^ U A+fc U Amfc,
Л= (J Amk-
m,k
Пусть теперь Т < оо. Из условий на решения Вейля Фш(х, Л)
получаем
xdettC^^A),^^^),...,^^^^)]^,^. (3.1.13)
Отсюда следует утверждение теоремы при Т < оо. □
При Т < со обозначим Лт = {A/m}/^i — множество нулей (с учетом
71-1
кратностей) целой функции Amm(A); Л = |J Лт. Числа А/т
Совпадать
ют с собственными значениями краевых задач Sm для
дифференциального уравнения (3.1.1) с краевыми условиями U^o(y) = U^riy) = О,
£ = 1, in, r\ — 1, п — га. В самом деле, пусть Ао — собственное значение,
а ф(х) — соответствующая собственная функция краевой задачи Sm.
Тогда п
*Р(Х) = ^амСм(я,Ао)>
/х=1
причем
£ амС/40(См(х, А0)) = 0, £ = Т~^,
п
У^ a^U^riC^ix, А0)) =0, г/ = 1, п - га.
/х=1
Так как 'ф(х) ф 0, то эта линейная однородная алгебраическая система
имеет ненулевые решения, и, следовательно, определитель системы
равен нулю, т.е. Дтт(Ао) = 0. Повторяя все рассуждения в обратном
порядке, получаем, что если Дтт(Ао) = 0, то Ао — собственное
значение краевой задачи Sm.
Известно, что при I —» оо имеют место асимптотические формулы
A(m = (-l)n-m(^(sin^)"' (* + Xm0 +О ({)))"• (3.1-14)
При этом, начиная с некоторого, все собственные значения простые.
Обозначим через Gsm А-плоскость с выброшенными кругами |А — Ао| <
п-1
< 5, Ао Е Am; Gs = f] Gs,m- Положим
m=l
771—1 71 — 771
i v^ . v^ n(n — i)
Smk = O~k0 + 2^ a& + 2_^ a,nT 2 '
C=l 77=1

260 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
AlTnk(p) = det{Ul0(yv),..-
• • •, Um-1,0(2/1/). Ukv{yv), U{T{yu),..., Un-mT{yv)]v=T^, (3.1.15)
где {уи{х,р)}у=т^ — фундаментальная система решений Во в
секторе S со свойством (3.1.3). Тогда
п
Фт(ж,Л) = ]Г {р)ук(х,р),
к=\
(_Пт+* (3.1.16)
агпк{р) = \! , ч det[[/io(2/v),...,C/m-i,o(3/i/).
Атт(Р)
U\T(yv), . ■ • , l/n-m.r(2/i/)]l/=T^\fc-
Представим функции С^(х, Л) в виде
71
С„(ж. Л) = ^Г а^{р)у^(х, р).
/1=1
Тогда det[[/^0(a)]cfl/=1^ = det[J7€o(^)j^=T^ det[QI/M]l//1=T^> и,
аналогично,
Amfc(A) = Aln^detla^l^j^.
Следовательно,
Amfc(A) = Д^к(р) (det[C/Co(2/,)]tt/=T^)_1.
Отсюда, используя (3.1.15), (3.1.16) и асимптотические свойства (3.1.5)
функций Уь (х,р), получим при |А| —» оо, arg((-l)n-mA) = /? ф 0, р €
£5:
<w(p) = р-'-0 (o°,fc + 0(р~1)), к = Т~^,
атк(р) = 0(р~а^ехр(р(Ят-Як)Г)). fc = m+l,n.
Amfe(A) = ^OlL^i*) detlWTl=_j=T__ x
П
xexp(Tp ]£ fy) (l+O (/»-')), (3.1.18)
j=m+l
Мтк(А) = ^-"-^(1+(р-1)),
m (3 1 19}
Фт(а;,А) = /Э-^°^ехр(рДкх)(а^ + 0(/9-1)), хе[0,Г), l" '

§3.1. Свойства спектральных характеристик
261
а также
п
1 V ,ir+i Л (3-1.20)
|Ф^(х, А)| < СН"-""*|ехр(рДтх)|, А € G«,m,
П
Дток(А) = 0(рв"*ехр(Гр 51 ^)), |А| — оо. (3.1.21)
j=m+l
3.1.2. Вспомогательные утверждения. Обозначим через Wv
множество функций /(х), 0 < х < Г, таких, что /(х),//(х),...
...,/^~1Нх) абсолютно непрерывны и f^k\x) G L(0, Г), /с = 0, i/.
Пусть ЛГ ^ 0 — фиксированное целое число. Будем говорить, что
L € Vjv» если ру(х) G Wu+u, v = О, п — 2. В дальнейшем считаем, что
L G VN. Доопределим рп(х) = 1, рп-\{х) = 0, u^a = <^a, ^ ^ ^а.
Обозначим
71-1
(»(*),*(*)> = <y(s). *(*))< := £ ^(il^'W^W. (3122)
£^(x) = ng"(-irCip^,(x), v + j^n-l,
S=j ' '
£>vj(x) =0, V + j > n — 1,
где Q := s!(j!(s - j)!)-1- Рассмотрим дифференциальное уравнение
и линейные формы L* = (£*,U*):
п-2
Гг = (-\)nz^ + ^(-^И^ОФ)^ = Az, (3.1.24)
is=0
(3.1.25)
где линейные формы U* = [(-l)n_1~afca^n-fc+i,a]fc=r^ 0ПРеДеляются
из соотношения
(У,г)]х=а = Ua(y)U*(z) = £(-l)n-'-^I4a(t/)£/,U+u(2).
Ясно, что L* G V/v. Таким образом, для любых достаточно гладких
функций г/(х),г(х) имеем
^г-уГг = ^(г/,2). (3.1.26)

262 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
В частности, если функции у(х, Л), z{x,p) являются решениями
дифференциальных уравнений £у = Ay, £*z = цг, то
±{y,z) = {X-li)yz. (3.1.27)
Для определенности здесь и в §§3.2-3.4 считаем, что
0£О = п — £• Пусть функции Ф^(х,А), га=1,п, являются
решениями уравнения (3.1.24) при условиях C/|0(^m) = <^т. £=1,га,
а также для Т < оо [/*Т(Ф^) = 0, 77 = 1,п - т, а для Т = оо
Ф^(ж,А) = 0(ехр(рЯ^х)), х -> оо, р € 5, Я* = -Яп_т+1.
Обозначим Af^fc(A) = %(*т). Ф*(^.А) = K-lr-^U+i^AJlfeu.
М*(А) = C/q (Ф*(х, А)). Введем решения дифференциального
уравнения (3.1.24) С*(х,А) = [(-l)fc"1C,;_fc+1(x,A)]fc=T^ при условиях
Що(Ст) = hrri'Z = "^ Т0ГДЗ
Ф*(х,А) = С*(х,А)М*(А). (3.1.28)
Свойства функций Вейля M^fc(A) совершенно аналогичны свойствам
функций Вейля Мт/С(А). При Г < оо
М^(А) = (Д^т(А))-«Д^(А).
При Т = оо функции M^fc(A) являются регулярными в П(_1)т за
исключением не более чем счетного множества полюсов A^fc, и при
(— l)mA ^ 0, за исключением ограниченных множеств Л^.
существуют конечные пределы М^(\) = lim M^fc(A ± iz), Re г > 0.
Лемма 3.1.1. Справедливо соотношение
М*(А) = (М(А))"1.
В самом деле, воспользуемся соотношением (3.1.27). При А = /i
имеем ,
А(ф,(х,А),ф*(х,А)НО,
ИЛИ д
(Ф^(х,А),Ф*(х,А))| =0, А>0.
J 10
Так как при к + j ^п
Ътт(Фк(х, А), Ф*(х, \))\Х=А = О,
п
(Фк(х,А),Ф*(х,А))|1=0 = ^(-lr'^o^O^-.+ i.o^;) =
= ^(-1Г-'м^(А)м;,п_1/+1(А),

§3.1. Свойства спектральных характеристик
263
то получаем
53(-,)"-IA/fe,(A)M;in_I/+I(A) = 0, (3.1.29)
т.е. М(А)М*(А) = Е. Лемма 3.1.1 доказана. □
Пусть у(х) — некоторая достаточно гладкая функция. Обозначим
у(х) = [уМ(а;)]Т-=__.
Лемма 3.1.2. Пусть функции Ук{х), к = 1,п—1,
являются решениями дифференциального уравнения (3.1.1), а
ф) = det[yiu\x)}k=T^J=u^rl\n_j_v Тогда
Ф) = Y,(-\)s(Pn-s(x)z0(x))^-s\ J = 0~^П", (3.1.30)
5=0
tz0(x) = \z0(x), det(y\{x),... ,yn-\(x),y(x)) = (y(x),zo(x)). (3.1.31)
Доказательство. Соотношения (3.1.30) докажем по индукции. Для
j = 0 (3.1.30) очевидно. Предположим, что (3.1.30) верно для j =
= 0,/i - 1. Так как 2^(ж) = zM+i(a;) + (—l)Mpn_/x_i(x)zo(x), то
используя (3.1.30) при j = Jjl— 1, получим
/1-1
5=0
+ (-1)^п-м(х)г0(х) = ^(-l)S(Pn_5(x)20(x))^-S).
5=0
Далее, очевидно, что z'n_{(x) = (\ — po(x))(—\)nzo(x). С другой
стороны, из (3.1.30) получаем
4-l(x)-£(-l)S(Pn-S(x)20W)(n-S).
5=0
Следовательно, £*zq(x) = Xzq(x). Разлагая det[y\(x),... ,уп-\(х),у(х)\
по последнему столбцу и учитывая (3.1.30), получим
п-1
det[y,(z),...,&_,(!), у(х)] = £(-l)Vn_l~j)(*)*j(s) =
3=0
^(-^У^-^Чх^-^ЧРп^хЫх))^ = (У(х),го(х)).
j=0 5=0
Лемма 3.1.2 доказана. □

264 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Лемма 3.1.3. Имеет место равенство
Ф^(х,А) = ёй[Ф«(ж,А)....
...,ф!152т+2(х,Л),Ф^т(х,Л),...,Ф«(а;,Л)ио^5. (3.1.32)
Доказательство. Через у^(х, Л) обозначим правую часть
равенства (3.1.32). Пусть у(х) — некоторая достаточно гладкая функция.
Из (3.1.31) следует, что £*у^(х, А) = Ау^(х, А) и
det[ln(x, Л),..., Фп_т+2(х, А), Фп-т(я, Л),..., Ф{ (х, А), у{х)]\х=а =
п
= {у(х),у*т{х,Х))\х=а = S(-1)fc"l^a(y)^-fc+U(»m). (3-1-33)
При а = 0 в (3.1.33) последовательно берем у(х) = Фп(х, А),..., у(х) =
= Фп_т+1(х,Л) и получаем: U^0(y^) = 5$т, £ = 1, т. При Т < со, a =
= Т, взяв в соотношении (3.1.33) последовательно у(х) = Ф\(х,А),...
..., у(х) = Фп_т(х, А), имеем: U*T(y^) = О, г/ = 1,п - т. При Т = со
из определения функций у^(х, А) и асимптотических свойств решений
Вейля Ф^}(х,А) получаем: у^п(х,Х) = 0(exp{pR^nx)), х —> со, р Е 5.
Следовательно, у^(х, А) = Ф^(х,А). Лемма 3.1.3 доказана. □
3.1.3. Теорема единственности. Получим теперь теорему
единственности решения обратной задачи. Обозначим
С°(х, А) = [бт(х, А)]т=иг, Ф°(х, А) = [Фт(х, А)]т=Т^.
Тогда равенство (3.1.4) принимает вид
Ф°(х,А) = С°(х,А)Мт(А). (3.1.34)
Так как detM(A) = 1, то, используя (3.1.34) и теорему
Остроградского-Лиувилля, находим
detФ0(x,A) = detC0(x,A) = (-l)n(n-1)/2. (3.1.35)
Пусть L,L е V}v. Определим матрицу Р(х,А) = [Pjk(xA)]jtk=T^
по формуле V(x, А) = Ф°(х, А)(Ф°(х, А))-1 или в координатах:
Vjk(x, А) = det[$[T'>(х, А),..., Ф^(х, А), Ф<Г°(*. А),
Ф^-2)(х,А),...,Ф,(х,А)и^ =
п
= J^(-l),/+'£-n-^[,j-1)(a;.A)det[iW(x>A),...
....^,(x.A). $£,(*•*) $|s)(x,A)Uo^rT\fc_,. (3.1.36)

§3.1. Свойства спектральных характеристик
265
_, , т— (3.1.37)
Отметим, что идея использования отображений пространств
решений дифференциальных уравнений для исследования обратной задачи
принадлежит З.Л. Лейбензону [159, 160]. Из (3.1.36) и
асимптотических свойств решений Вейля Фт(х,А), Фт(х, А) при |А| —> оо получаем
оценки . .
\Vjk{x,\)\<C\Py-\ j.fc=l,n,
\V\k{xt\)-&\k\<C\p\-\ fc = T^
(для T < оо A G Gs). Обозначим
n-l
v,j=Q
где функции £i/j(a:) определяются по формуле (3.1.23).
Лемма 3.1.4. Пусть у(х) — некоторая достаточно гладкая
функция. Тогда
п
P(x,AMx) = ^(-l)fc-1(y(x),$;_fc+1(x,A))^fc(x,A), (3.1.38)
((7>(х, А) - P(xt /х))Й(*, А), Ф*(х, /*))* =
= (Ф^х,А),Ф*(х,М))£-(Ф^х,А),Ф*(х,М))^ (3.1.39)
Доказательство. Воспользуемся соотношениями (3.1.36).
Имеем
п _
P(x,AMx) = 5Z(-l)/c-l^(x,A)det[$n(x,A),...
..., Ф*+|(s, A), $fc_i(х, А) Ф,(х, А), у(х)].
Отсюда, используя леммы 3.1.2 и 3.1.3, получаем формулу (3.1.38).
Далее, так как
P(x,A)lfc(x,A) = 4(x,A),
то
(Р(х, А)Ф*(х, А), Ф*(х, р))1 = (Фк(х, А), Ф*(х, /х))£. (3.1.40)
В силу (3.1.38)
-♦ п
(Р(х,м)Фк(х,А),ф;(х,м)>< = Х;(-1)'-,<Фк(*Д).^-.+1(^м)>гх
5=1
х (Ф5(х,/х),Ф*(х,//)>£.

266 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Согласно (3.1.27) (Ф5(х, /х), Ф!-(ж, p))t не зависит от х.
Используя условия на решения Вейля при х = О и х = Т, находим:
(Ф5(х,}л)}Ф*(х,1л))е = (—l)s~l6Stn-j+\. Таким образом,
(V(x, M)lfc(x, А), Ф*(х, р))е = (Фк(х, А), Ф*(х, /%,
что вместе с (3.1.40) дает (3.1.39). Лемма 3.1.4 доказана. □
Теорема 3.1.2. Если М(Х) = М(А), mo L = L. Другими словами,
задание матрицы Вейля М(Х) однозначно определяет
дифференциальное уравнение и линейные формы (3.1.1)-(3.1.2).
Доказательство. Преобразуем матрицу V(x, А). Для этого
воспользуемся формулой (3.1.34):
Р(х,А) = Ф°(х,А)(Ф°(х,А))-1 =
= С°(х, А)Мт(А)(Мт(А))-1(С°(х, А))"1 = С°(х, Х)(С°{х, А))"1.
Отсюда и из (3.1.35) заключаем, что при каждом фиксированном х
матрица-функция Р(х, А) является целой аналитической по А.
Пользуясь оценками (3.1.37) и теоремой Лиувилля [206, с. 209], получаем:
V\\{xtX) = 1, V\k(x,\) = 0, к = 2~п. ^io тогда Фт(х,А) = Фт(х,А)
при всех х, А,т и, следовательно, L = L. Теорема 3.1.2 доказана. □
§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов
на полуоси
Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы L 6 Vn вида
(3.1.1), (3.1.2) на полуоси (Т = со). В этом параграфе дается решение обратной
задачи восстановления L по матрице Вейля М(А) при произвольном
поведении спектра. Получено основное уравнение обратной задачи. Указываются
необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет матрица Вейля
М(А). Приводится процедура построения коэффициентов дифференциального
уравнения и линейных форм по матрице Вейля М{\). Основные результаты
параграфа содержатся в теоремах 3.2.1, 3.2.3.
3.2.1. Основное уравнение обратной задачи. Предварительно
докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 3.2.1. Функции
Mmfc(A)-Mm,m+i(A)Mm+lifc(A), M*„mtfc(X)-M*_mfm+I(X)M;_m+liib(\)f
Фт(х,А)-Мт,т+1(А)Фт+1(х,А), Ф;_т(х,А)-Мт,т+1(А)Ф;_т+1(х,А)
регулярны при А Е Г(_1)п-т \ Л.

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 267
Доказательство. 1) Так как Mm>^(A) = М^к(Х) = 5mk, к ^ га,
то из (3.1.29) при к + j = ?г, к 4- j = п — 1 имеем
М;_т1П_т+1(А) = Мт.т+,(А) , (3.2.1)
~~ Mji—т— 1,п—m-fl
(А) = Мт,т+2(А) - Мт,т+1(А)Мт+1)т+2(А),
-Mn_m_i,n_m+i(A) - М^т+2(А) - ACim+1(A)M^+lim+2(A).
Отсюда вытекает регулярность при A G Г(_1)п-т \Л функций
Мтк(Х) - Mm,m+i(A)Mm+i,fc(A),
при fc = т + 2. При fc < га -f 2 меняем местами линейные формы С/^о
и t/m+2,o и повторяем предыдущие рассуждения.
2) Докажем по индукции, что функции Фп_т(х, А) -
~ Мт,т+\(Х)Фп-т+\(хЛ) регулярны При А б Ги)т \ А. В СИЛу
(3.1.4) и леммы 3.1.1 имеем: С(х, А) = М*(А)Ф(х, А), или
т-1
Сп_т(х,А) = Фп_т(х,А)-^(-1)Ш^.т+1(А)х
i=o
хФп-m+i+ifA), т=1,п-1. (3.2.2)
Отсюда при m = 1 следует, что функция Фп_1(х, А) — М*2(А)Фп(х, А)
является целой аналитической по А. Предположим, что для j =
= 1, m — 1 регулярность функций
ФпЧ(х, А) - M*j+1 (А)Ф„_^+1 (ж, А)
при А е Г(_1р \А доказана. Тогда, используя соотношение (3.2.2),
получим, что функция
Фп_т(х,А)-М^т4.1(А)Фп_т+1(х,А)- ^2 (Мт -2j,m+\
j=\
-2j + l,m+l
(А))Фп_т+2:Ж(х,А)
регулярна при A G Г(_1)т \ Л. Следовательно, функция
Фп_т(х, А) - ЛС>т+1 (А)Фп_т+1 (х, А)
регулярна при А е Г(_1)т \ Л. Таким образом, с учетом (3.2.1)
доказана регулярность функций Фт(х, А) — Мт>т+1(А)Фт+1(х, А) при
А £ Г(_!)п-т \Л. Аналогично устанавливается и регулярность функций
Ф*_т(х,А) - Мт>т+1(А)Ф*_т+1(х,А). Лемма 3.2.1 доказана. □

268 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Отметим, что поскольку L € Vjv» то асимптотическую формулу
(3.1.11) для Мтк(Х) можно уточнить, а именно:
n+N-1
мп
fc(A) = p—fc^(l+ £ ^+^"^Ы)' 1РН°°. PeS-
г=1 ^ ^
Пусть L, LeVyv- Рассмотрим в Л-плоскости замкнутый контур
7 = 7-1 U 7о U 7i (с обходом против часовой стрелки), где 7о ~
ограниченный замкнутый контур, охватывающий множество Л U Л U {0}
(Л U Л U {0} С int7o). a 7±i — двусторонний разрез вдоль луча {Л : ±
±А > 0, Л ^ int7o} (см. рис. 3.2.1). Обозначим J7 = {Л : А ^ 7Uint7o}-
А
Y-, /С Л ^ Т.
' N
К '
рис. 3.2.1
Лемма 3.2.2. Справедливы соотношения
Ф(:г,А)=Ф(х,А)--^ [(Ф(х,Л);фФ(а:,//))гФ(х,//)ф, AgJ7, (3.2.3)
Z7TI J Л — fi
(Ф(х.А),Ф*(*,/«))| (Ф(х,Л),Ф'(х,М))г
А — /i Л — /х
1
2ттг
[<ф(«,Л),Ф'(»,0>г<Ф(».О.Ф*(»,м))^> AtAieJ (з.2.4)
В (3.2.3) (и везде в дальнейшем, где это необходимо) интеграл
понимается в смысле главного значения [88, с. 27].
Доказательство. Обозначим 7я = (7 П(^ : \М ^ ^}) LK^ : W =
= R}. Так как
_L_(_! !_} = !
,-/х\А-£ H-U (А-О(С-М)'
(3.2.5)

§ 3.2: Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 269
то согласно интегральной формуле Коши [206, с. 166] имеем
**(*.*) = £
7М*.0
С
Л — /х 2ni
А-£
' ?V(*,0
7л
(A - 0« - M)
A,/x6J7n{e: К|<Л}.
Используя оценки (3.1.37), получаем
с
lim ;—
Я->оо 27гг
К1=Д
Pifc(x,Q -<5ifc ^ = 0
lim —-
Я-юо 27гг J
(a-OK-m)
d£ = 0,
и, следовательно,
2ттг
Р,^,А)=^ + £:(^^ AGJ7,
7
В силу (3.1.38), (3.2.6) имеем
J2vlk(xAtfk-]\x) = y(x) + JL [^Pifc(x,0^-1}W д^Т =
(3.2.6)
fc=i
fc=i
.и+..|щ^ад,.
Полагая здесь у (я) = Ф^(х, А) и учитывая равенство
п
fc=l
получаем соотношение (3.2.3). Аналогично из (3.1.38), (3.2.6) имеем
V(xt£)y(x)
Г^ »<*) = <Ы
1
2тгг
£(-ds
s=\
(А-Ш-м)
Ф.(*.0#-

270 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Отсюда, с учетом (3.1.39), выводим
(Фк(ху\),Ф*(х,р,))е _ (Фа:(х,Л),Ф*(х,/х))? =
Л — /х Л — (Л
^(x,A)-P(x,,)|fc(xA)J;(x^
2«J
t
А-С £~м
Лемма 3.2.2 доказана. П
Обозначим
У = [^.fc-i]j=U^T,k=u- MdW = diag[Mm,m+,(A)]m=T^rT,
Л0(А) = М(А)М-'(А), Л0(А) = М(А)М~'(А).
При вещественных А определим матрицы
/(*. А) = [/*(*. АС** №Л) = [(-l)fc-7n-fe+.(z.A)]fc=urr
по формулам
/fe(x,A) = x((-l)n-fc+1A)§fe(^A), Я(х,А) = Х((-1)'г-1А)Ф^(х,А),
где xW — функция Хевисайда. При Л G 7 положим
а(А) = х+1(А)х-.(А)УЛ0(А)Ут, JV(A) = В + ±а(А),
5(A) = х+1(А)х-.(А)У1о(А)Ут, ЛГ(А) = Е- ±а(А),
гдех±1(А) = 1 при A€7oU7±i и x±i(A) =0 при А €7^1- При А,/! €7
определим матрицы
<р{х, А) = [pk{x, А)]^=2^, g*{x, А) = [g*k(x, A)]fc=5^,
G*(x,A) = [G£(a:,A)]fc=T^, r(*,A,/i) = hy(*,A,Ai)]fcj.=5^
по формулам
Wx'X>-\f(x,\) А €71 U7-1.
„V. ^-/ -^(х,А)Лр(А)Ут Ае7о,
5 № а; | _Г(:г,л)м9(А) А е 71 U 7-1.
г(хд,м) = М£^ШЬЁ)к, G'(z,A) = 9*(s,A)K
Л — fji

§3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 271
Аналогично определим матрицы <р(х,Х\, д*(х, A), G*(x,A), г(х, Л,/х)
с Ф(х,А), Дх,А), Ф*(х,А), /*(х,Л), А0(Л) вместо Ф(х,А), Дх,А),
Ф*(х,А), /*(х, А), Ао(А). Наконец, матрицы
Г (Л, /i) = [Г 0-(А, /x)]J>=T^, А(д) = [AM}jt„=^ МИ,
определим по формулам
f(A,/x) = -($(x,A),G*(x,/i))?|x=0,
A^(/i) = *j,i/-iX(-i)«-j(m)A^.j+i(m). М G 7i U 7-1.
A(fi) = Ao{fi), /х G 7о-
Так как G*(x,/i) = —Ф*(х,^)А(/х), то
Г (А, м) = (Ф(х, Л), Ф*(х. ^)>?|I=0 Л(М) = М(Л)М-' (/х)Л(м),
и, следовательно,
r>(A,/x) = (5:,+i,1/X(-i)«-j(M)Mj,j+i(/i), v<j+l,
~ _~^ ~ (о.2.7)
Ij„(A, ц) = x+iMX-i(m)M,-„M + rjt/(A,/z), i/ > j+ 1,
где функции TjU(X, /х) построены по М^, Mfes при s- к <u — j. Далее,
Л0(А)Л0(А) = М{Х)М-1(Х)М(Х)М-1(Х) =
= М(А)М-'(А) - М(А)М-'(А) = Л0(А) - Л0(А),
4>(А) - Ло(А) = А0(Х)А0(Х), (3.2.8)
и, следовательно, о(А) - 5(A) = й(А)а(А). Отсюда получаем
N{X)N(X) - 15(А)а(А) = Е, N(X)a{X) - а(А)ЛГ(А) = 0. (3.2.9)
Теорема 3.2.1. Справедливы соотношения
1
£(*,A) = JV(AMx,A) + 27r.
N(X)r{x, А, ц) -7{х, A, n)N(n) + ^
2т
г(х, А, ц)(р(х, fi)dfjL, A G 7» (3.2.10)
r(x,A,Or(x,^/i)^ = 0. (3.2.11)
Уравнение (3.2.10) является искомым основным уравнением обратной
задачи.

272 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Доказательство. В силу (3.1.4), (3.1.28) и леммы 3.1.1 имеем
Ф*м(х,ц)Ф{>\х,[л) = C*M(x.n)M-l(n)M(ji)Cli)(x,n) =
= С*м(х, ц)М-1(11)М{ц)С^(х, ц) + С*м{х, /x)CW)(x, /х) =
= Ф*^Цх,р)М{р)М-\/1)фМ{х,11) + С*м(х,1л)Си)(х,11) =
= Ф*^(х,ц)Ао(р)Ф^Цх,ц) + C*M(xtfi)CU)(x,n) =
= -д*М{х,ц)<рМ{х,ц) + C*^(x,n)C{j)(x,n), ц е 7о-
Следовательно, при \х 6 7о функция
Ф*м(х, /*)Ф0)(х, м) + <ГИ(я. м)^ш(х. м)
является целой по ц. Далее из леммы 3.2.1 вытекает, что функция
Ф*<">(х,/1)фи>(х,/х) - Г^(^^)Л?а(м)/0)(х,/х)
регулярна при /х € Г \ Л. Отсюда следует, что функция
Ф*М(х, /х)Ф0)(х, /*) + <Г(1/)(*. /i)y0)(a;. А»)
регулярна при д € Г \ Л. Таким образом, из соотношений (3.2.3), (3.2,4)
с использованием теоремы Коши получим
Ф(х,А) = Ф(х,А) + ^ f ^(x,A4),g'(:E'M))V(*.M)d/i, AGJ7, (3.2.12)
/7гг J А — \i
1
{Ф(х,\),Ф*(х,у))е (Ф(х,А),Ф*(х,/х))г ,
А — /л А — [i
1 Г(Ф(х,А),Г(*,0)?Мх,0,Ф*(х,М))г^_л
7
A,m€J7. (3.2.13)
В силу непрерывности из (3.2.12) при А € 7i U7-1 имеем
/(x,A) = /(x,A) + J-
(/(х,А),Г(х,м))^(хм)ф (3214)
А — ДА

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 273
Учитывая (3.1.27) получаем при /х £ 7о
(УФ(*,А),П*,/%
Л — р.
(УФ(х,Л),Ф,(х,/х))г|1=0ЛоЫУ7
Л — р
+
УФ(*,А)ЗГ(*,/*)Л:
/х — Л
+
Y$(t,\)g*(t^)dt.
Следовательно, из (3.2.12), используя формулы Сохоцкого [88, с.38],
вычисляем
УФ(х, А) = Ф(х, А) - I а(А)<р(х, Л) +
+
2тгг
(УФ(х,Л),Г(д,/х))г
Л — /i
(^(x,/i)d/x, Л G 70,
что вместе с (3.2.14) дает (3.2.10).
Далее, из (3.2.13), повторяя предыдущие рассуждения, получаем
^(д) (¥>(а;,А),Ф*(д./х))< _ (?(д, А), $*(*,/% +
А — /х
+
2ттг
А — /х
Г(Х,А,0<У(Ж,0,,Ф*(Х'М))<« = 0,
А — д
AG 7, М е J7, (3.2.15)
+
ip(t,Q$*(t,p)dt,
Так как при £ £ 7о
Мх,0,Ф*(х,/х)), _УМ(рМ-1(/х)
0
то из (3.2.15), используя формулы Сохоцкого, имеем
^(А)(,(и),Ф'(х,,))( _ <«К»,А),Ф-(«,,|))г_ lF(xA ^)у +
Л — /X Л — /1 Z
+
2ттг
r(x,A,O<y(a!'^!,(a;'At)><dg = 0, Ае7, /х€7о.

274 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Умножая обе части этого равенства на -Ao(fi)YT справа и используя
(3.2.8), получаем
iV(A)r(x, А, /х) - г(х, Л, ц)(Е + а(ц)) 4- ^ г(х, Л, /х)а(д) +
+ i[r(x,A,Or(x,C>/x)dC = a AG 7, дето- (3.2.16)
2тгг
В силу непрерывности из (3.2.15) имеем
jy,x,(ip{x,\),f*(x,ii))e _ (£(s,A),/*(x,/% +
А — /х А — /х
+ 2ттг
Отсюда, и из (3.2.16) выводим (3.2.11). Теорема 3.2.1 доказана. □
В дальнейшем для простоты считаем, что L, L Е Vn выбраны так,
что
Mm.m+1(A) = 0(p-n-2), |А| -> оо. (3.2.17)
Покажем, что имеют место оценки
|£м(*,М)|<С|<Г-'-п|ехрМЗД|.
|flf*M(x,M)¥>W(x,/i)|<CH,'+-2n, /х = вп. /i€7iU7-i.
В самом деле, при /х G 71 U7-1
£(,/)(х,м) = (-ir1X(-l)n-J+,(/x)$;(:]+2(x.M)Mj_1,J(/z),
i$;(:j+2Mi < ciei"+2-^'i ехР(-вд,-_,х)|.
При j = п - 2v, v = О, [п/2]
£М(х,/х) = 0 (М€7|), 11е(0(Я,--Я,-_,))=О (M€7-i).
а при j = п — 2и — 1, I/ = 0, [п/2]
5;И(х)М)=0 (/х€7-.), Re(<?(^-^-_,))=0 (/x€7i)-
Отсюда, с учетом (3.2.17), получаем первую оценку (3.2.18). Так как
|^в)(х./х)|<СИ>+-»|ехр((?Д^)|.
ТО
J'=2

§3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 275
Обозначим
g*{l/)(x,p)^s){x,/j,)d^ v + s^n- 1, (3.2.19)
tju(x) = 6j„t j ^ v\ j, v = 0, n,
n—v—\ n—s
s=0 j=f+l
(3.2.20)
j — U—\
E
r=0
+m-i)j'-" E <?;-*-$
~0'-i/-l-r)
(ж)хг0(ж)),
i/ = 0,n-2, (3.2.21)
n-2
e»(x) = &/(*) - 5Z ^(x)*>W' " = 0, n - 2. (3.2.22)
Следующая лемма устанавливает связи между коэффициентами
дифференциальных уравнений и линейных форм L и L.
Лемма 3.2.3. Справедливы соотношения
п-\
ри(х) = р„{х) + £„(ж), Й£„о = ]Р U£jotjV(0). (3.2.23)
j=0
Доказательство. Дифференцируя соотношение (3.2.12) по я и
учитывая (3.1.27), (3.2.19), (3.2.20), получаем
п
^^ФИ(х,Л) = Ф^(х,Л) +
i/=0
-f
2тгг
(Ф(х,Л),Г(х^))£>0)(х>/х)ф> _ (3224)
А — ц
Далее,
№(х. А) - 1Ф(х, Л)
1 Г (Ф(з:. А), Г(*./*)
2т J А — //
7
АФ(х,А)-АФ(ж.А)-^|
£<р(х, р) dp, =
(Ф(х,Х),д*(х,р))1
X — р
рар(х, /i) d/i.

276 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Отсюда и из (3.2.12) вытекает, что
й(х. л) = »(«, л) + JL | <*('•№ (*-ri)i еф> м) dfi +
1
+ ^[($(xf/i),flf*(x,/i)>?^(xfM)d/i, AeJ7. (3.2.25)
7
Из (3.2.25), с учетом (3.2.24), (3.1.22), имеем
п п п—\
£$(x,A) = ^Pj(x)^^v(x)$^(^A)+ Y. ^iW*W(^A)xi0(x),
j=0 i/=0 i/j'=0
и, следовательно,
n n— 1
p„(x) = pv(x) ~ ]P PjWtjvW ~ ^TCvj(x)xj0(x),
j=i/+l j=0
или
n n n—1
Используя (3.1.23), (3.2.20), (3.2.21), вычисляем
71 7i— 1
и, следовательно,
n
Pi/(s) = &/(ж) - ^ Pi(^)*ji/(a:).
Таким образом, p„(x) = ^(x), и первое соотношение (3.2.23) доказано.
Так какд*М(х,ц)<рМ(х9ц) = G?*,'(xf/i^)(x,/i), то из (3.2.24) при
х = 0 имеем
Е(Еи^ло))$(1/)(°'Л)= мф(*.л)) +
i/=0 j=0

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 277
или
_1_
2тгг
ир(Ф(х,\)) = Щ0(Ф(х,\)) +
^Лщ0(Ф(х^))с1^
где п_{ п[
и&(у) = £(£^о^(0))»м(0).
i,=0 j=0
Согласно (3.2.7) Г^(Л,/х) = 0, j ^ *л и, следовательно,
#£о(Фт(з, А)) = <^ш, £ ^ га.
Отсюда и из условий на решения Вейля Фт(х,А)) получаем
i/=0
где
п—1
Следовательно, г^о = 0. т.е. верно второе соотношение (3.2.23). □
Отметим, что попутно мы получили формулу
и&(Фгп{хЛ)) = Щ0{Фт(х,\)) +
+ 2^f £ ^f^M^^M))^- (3.2.26)
Обозначим 7" = {А : A G 7i U 7-ь d(A,7o) ^ #0 > 0}, 7' = 7 \ 7"»
где d(A, 70) := inf |А — /i|, // G 7о- Таким образом j = 7' U 7"-
Лемма 3.2.4. Имеют место оценки
|гь(х,Л)М)| < gx|exp((pfifc-^)x)| (3 2 27)
яри Л G 7. А* £ 7" или А £ 7"> М £ 7>
ifg+I>(x.A.M)i < c-'^y^)g)' (И +1*1)" <3-2-28>
при Л, /i G 7» " = 0, п — 1.
Доказательство. Пусть A G 7> М £ 7" ИлИ A G 7"» А* £ 7- Пусть
|/9 - 0| < £о, где £о > 0 —достаточно малое фиксированное число. Тогда
либо A,/i G 71» либо A,/i G 7-1 и» следовательно,
<?*(x,/i) = (-l)i"IX(-i)»-i+»(M)*n-i+2(^^)^-i.i(M)-

278 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
При к = j — 1 либо <fk{x,А) = 0, либо #*(х,ц) = 0, т.е. г^(х,Л,р) = 0.
При к ф j — 1 в силу (3.1.27) и равенств
riy(0,A,/x)=0 (fc^j), lim rfci(s,A,/z)=0 {k^j-2)
J Х—ЮО
имеем
г^(х,А,/х)
fik{t,\)g*(t,p)dty
где a = 0 при к ^ j и a = oo при к ^ j -2. Отсюда, используя оценки
(3.2.18) и
|^(х, Л)| < CHfc+*-"| ехр(рДк1)|, (3.2.29)
получаем оценку (3.2.27). Пусть теперь \р- в\^ £о- Используя (3.1.22),
(3.2.18), (3.2.29), имеем
\rkj(x,\,n)\ ^
(^(х,А),<г*(х,/х))г
А — /х
п-1
£
С1|ехр((рДк-б>й,)х)|
wn_fc|0|n+,|A_^ ^
ЕИ""'"'!^-
Покажем, что при А Е 7> М £ 7" или A £ 7"> А* £ 7
г=0
В самом деле, если A G 7о» I1 € 7" или А € 7"> М £ 7о> то эта оценка
очевидна. Если А, р, G 7i или А,// £ 7-ь то |А - р\ = ||А| - |/i||, |р- 0| =
= \\р\ — \в\\ и, следовательно,
г=0
Если же A G 7ь М £ 7-1 или А 6 7-ь М £ 7ь то 1^ ~ Ml = \М + И
и, следовательно,
п-1
г=0
Таким образом, оценка (3.2.27) доказана.
Далее, в силу (3.1.27) имеем
^+1)(х,А,м) = ^7(^(х,А)^(х,м)), А,^е7.
Отсюда, с учетом (3.2.18), (3.2.29), получаем (3.2.28). Лемма 3.2.4
доказана. □

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 279
Отметим, что так как при А,/х G 7о
<£(*.А),ЗГ(*,М))г|1=0 = -YM(\)M-l{n)M{n)YT,
то, в силу (3.1.27), имеем при А,/х G 7о-
XX — Л
/,Л>1 '"^ ' ip(t,\)g*(t,n)dt. (3.2.30)
Пусть для определенности arg р G (0, —). Обозначим
П(х, Л) = diag [pk~n exp(pi?fcx)]fc=2^,
<р+(х, A) = ft"1 (x, A)<p(x, А), r+(x, A, /x) = ft-1 (x, A)r(x, A, /x)ft(x, /x),
a+(x,A) = ft"1 (x,A)a(A)ft(x,A), 7V+(x,A) = £Г*(х,A)iV(A)ft(x,A).
Аналогично определим матрицы £>+(x, A), r+(x,A,/x), a+(x,A),
xV+(x,A). Из (3.2.29), (3.2.30) и леммы 3.2.4 вытекает, что
\$Hv){x4 А)| < С|рГ, A G 7,^ = 0,п-1,
lF+fcj(x,A,/x)l<^2n(|^^| + i); AG 7, ^7^Ае7", Д€7,
|^+l)(x.AlM)|<Cx|e|-2n(|pl + Hr. А,/х€7. |/ = ОТГ=Т,
(3.2.31)
причем функции r+fcj(x, А,/х) непрерывны при A,/i G 7ь A,/i G 7-ь
а при А, /х G 7о
r+(x,A,/i) = 5+(3\A) + Я+(х,А,/х),
хх — л
где #+(х, А,/х) — непрерывная функция. Аналогичные свойства имеют
функции r+(x, A,/i), ср+(х,А). Из теоремы 3.2.1 и равенств (3.2.9)
вытекает следующая теорема.
Теорема 3.2.2. Справедливы соотношения
£+(x,A) = 7V+(x,A)<p+(x,A) +
+ 2тгг
г+(х,А,/л)<р+(х,/х)<х7х, AG 7, (3.2.32)
;V+(x, A)r+(x, А, /х) - r+(x, A, /х)ЛГ+(х, /х) +
+ ^ [г+(х, А,Ог+(х, С, р) d£ = 0, А, /х G 7, (3.2.33)

280 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
N+ (х, А)ЛГ+(х, Л) - ^5+(х, А)а+ (х, Л) = £,
7V+(x, А)а+(х, Л) - 2Е+(х, A)JV+(x, Л) = 0.
(3.2.34)
Введем теперь банахово пространство В = Щ 1(7/) Ф L1^ 1(7//)
вектор-функций z(X) = [zj(A)] -=1 п_р Л £ 7» с нормой
п-\
\zb = ^2{\Ы\ь2ь') + INIwy))-
При фиксированном х ^ 0 рассмотрим линейные операторы в В:
1 Г~+
Аг(Л) = ЛГ+(х, A)z(A) + ^ |V+(x, Л, p)z{p)dfi, A G 7,
Az(\) = N+(x,\)z{\)
2т]
(xy\,ti)z(n)dfi, Л G 7-
(3.2.35)
Лемма 3.2.5. При фиксированном х ^ 0 операторы А, А
являются^ линейными ограниченными операторами в В, причем А А =
= АА = Е.
Доказательство. Ограниченность операторов А,А очевидна.
Используя формулу смены порядка интегрирования в особом интеграле
[88, с. 60], получаем
1
2тгг
|r~+(*,A,0^j
= ja+{x,\)a+(x,\) +
г+(х, £, n)z(fi) dfi =
r+ (х. А, £)г+(х,£ф)<]А г(ц) dfi.
1
2я-г
f-L
\2ттг
Тогда из (3.2.33), (3.2.34), (3.2.35) вытекает, что
AAz(X) = (iV+(x, A)7V+(x, А) - ^5+(х, А)а+(х, А))*(А)
1
2тгг
(лГ+(ж, А)г+(х, А, р) - F+(x, А, /x)7V+(x, А) +
+ 2~ | г+(х, А, Ог+(х, ^/х) с/фЫ d/x = г(А),
т.е. АЛ = Е. Аналогично доказывается, что АА = Е. Лемма 3.2.5
доказана. □

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 281
Следствие 3.2.1. При х ^ 0 основное уравнение обратной
задачи (3.2.10) имеет единственное решение в классе 0,~х(х,Х)(р(х,Х) Е
Е В, причем sup \\0,~1(х,Х)(р(х,Х)\\в < со.
X
3.2.2. Необходимые и достаточные условия. Обозначим
через W множество матриц М(Х) = [Mmk(X)]m k=Yn Таких> что:
1) Мтк(Х) = 6тк, т > к; Мтк(Х) = 0(рт~к), \Х\ ->'оо, т < к; 2)
функции Мтк(Х) регулярны в П(_1)п-т за исключением не более
чем счетного ограниченного множества полюсов А'тк и непрерывны в
П(_1)п-тп за исключением ограниченных множеств Атк; 3) функции
Мтк(Х) - Mm,TO+i(A)Mm+ifik(A) регулярны при А е Г(_,)п-т \ Л,
Л = (J Атк (множество Л свое для каждой матрицы М(А)).
т,к
Теорема 3.2.3. Для того чтобы матрица М(Х) £ W была
матрицей Вейля для L € VOv, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия:
1) (асимптотика) существует L G V}v такая, что Mmm+i(A) =
= 0(р~п~2), |А|->оо;
2) (условие Р) при х ^ 0 уравнение (3.2.10) имеет
единственное решение в классе Q,~l(x, А)<^(х, А) £ Б, причем
sup||fi~l(x, A)v?(x, А)||в < оо;
х
3) ev(x) е Wu+n, v = 0, п — 2, где функции еу(х) определяются
по формулам (3.2.19)-(3.2.22).
/7pw выполнении этих условий дифференциальное уравнение
и линейные формы L — (£, U) строятся по формулам (3.2.23).
Пример 2.2.1 показывает существенность условий 2,3 теоремы 3.2.3.
Необходимость условий теоремы 3.2.3 доказана выше в п. 3.2.1.
Докажем их достаточность. Пусть (р(х, А) — решение уравнения (3.2.10).
Лемма 3.2.6. Функции ip^\x,X), и — О,п— 1, абсолютно
непрерывны по х на каждом конечном интервале, и при фиксированном
х>0 П~1(х,Х)р~1/<рМ(х,Х) е В, i/ = 0,n.
Доказательство. Построим сначала обратный оператор при
х = 0. Обозначим В(Х) = diag[x((-l)n~/c+lA)]A:=2^ при А е 71 U7-1
и В(Х)=Е при А е 70- Тогда ф(х,Х) = В(Х)УФ(х,Х). В силу (3.1.27)
г(х, X, р) = г°(Х, р>) + г1 (х, X, р), где
х
J fi— X
о
x(A, ц) = B(X)YM(X)M*(n)A(n)YT, x(A, A) = 5(A).

282 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Положим
Г0(А, ^ = ^li Х(Л, д) = B(\)YM (А)М*(//)Л(/х)Ут,
М*(Л) = М-!(Л), х(А, Л) = а(Л).
Используя (3.2.5), равенства М*(Л) = М-1 (А), М*(Л) = М-1 (Л) и
аналитические свойства функций М(Л), М(Л), получаем
М(А)ЛГ(/х) _ М(А)М*(/л) = J_
Л - /х Л — /i 27гг
м(Л)м-(ОМ(рм-м
Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 3.2.1,
находим
адг0(А,м)-г°(А,М№) + ^
г°(А,Ог°(£,/хК = 0
и, аналогично,
iV(A)^(A,M)-r°(A>MMM)+2^
Рассмотрим операторы
г0(А,О^./*)« = 0.
Аоу(А) = ЛГ(А)у(А) - ^ | г°(А,/х)у(/1)ф,
А,у(А) = ЛГ(Л)у(Л) + 2^-
^о
r"{X,fj.)y(n)dfi.
Как и при доказательстве леммы 3.2.5, убеждаемся, что Ло, Ло_яв-
ляются линейными и ограниченными операторами в В, причем ЛоЛо =
= А0Ао = Е.
Проведем регуляризацию уравнения (3.2.10). Обозначим 7~ =
= {А : A€7iU7-i. |А| > Д}, 7+= 7 \7~. гДе й — достаточно большое
вещественное число. Рассмотрим оператор
( У(А), А € 7"
QvW = { ,
( ЛГ(А)у(А) - ^ J, r°(A, /i)y(/i) d/i, Ае7+.
Ясно, что Q — линейный ограниченный оператор в В. Выберем R так,
чтобы существовал ограниченный Q~{. Это возможно, так как при
больших R оператор Q «мало отличается» от Aq. Применяя оператор
Q к обеим частям равенства (3.2.10), получаем

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 283
ip(x,\) = ip(x,\) +
2тгг
r(x, A,/i)(^(A,/i)d/z,
где
~(a.f А) = J #(А)£(*. А) - JL /7+ г°(А, цЩх% II) d/x, A G 7+,
1 </?(х, A), A G 7~>
Г r(x, А,/х), A G 7"
г(х, А,//)=<
yv(A)F(x,A,/i)-^J7+r°(A,0r(x,6/i)C Ае7+, /ie7-
iV(A)r" (x, А, /г) - -L J7+ r0(A, OF1 (x, £, M) d£+
1
+ оЬД-ЛА,0^.?.м)«. A,MG7+.
2ттг J,Y"
Выполним замену:
x+
ip (x,A) = n~l(xfA)^(xfA)f (^+(x,A) = fi-I(x,A)(p(x,A),
~+,
r (x, A,//)=fi (x, A)r(x, A,/i)fl(x,/i).
Тогда
V? (x,A) = <^+(x,A) + —
~+
r (x, A,/x)(£+(x,/i)d/z, (3.2.36)
причем
p-^+M(ifA)€B, i/ = 0,n,
|Ff(xfAf/i)|<C,|er2n(|p-e| + l)-1f
.x+^+i),
%• /(я:.А^)1<С',И-/п(И + 1«1Г. * = 0,n-l.
Оператор
Ay(\) = y(\) +
2m
~+
r (x, A,/i)y(/i) d/i, В —> В,
при каждом x ^ 0 является линейным ограниченным оператором Фред-
гольма. Покажем, что А существует и ограничен. Для этого
достаточно доказать, что однородное уравнение
у+{х) + Ън\г+{х'Х'м)г/+(м) dfl = °' У+{Х) 6 В>
7
имеет только нулевое решение. Обозначим у(Х) = fi(x, А)у+(А). Тогда
y^ + ^i
r(x, A, n)y(ii) dpi = 0.

284 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Положим _
z(X) = N(X)y(X) + ^-
г(х, Л, р)у{р) dpi.
Применяя оператор Q, получим
г(х, A, р)у(р) dp, = 0.
Так как оператор Q обратим, то г(Л) = 0. Тогда
ЛГ(А)у(А) + ^- [ г (х, A, р)у(р) dpi = О, Q-1 (х, А)у(А) G Б.
7
Отсюда и из условия Р теоремы 3.2.3 вытекает, что у(А) = 0 и, следо-
~-1
вательно, у+(А) = 0. Таким образом, оператор А существует и
ограничен. Далее, используя уравнение Фредгольма (3.2.36), нетрудно
получить, что функции (р+^(х,\), v = 0,п- 1, абсолютно непрерывны
по х на каждом конечном интервале и при фиксированном х ^ 0
р~и1р+(и\х, А) е В, v = 0, п. Лемма 3.2.6 доказана. □
Построим функции Ф(я,А) = [Фт(х, А)]^=— по формуле
Ф(х, А) = Ф(х, А) - -L f (Ф(^А),Г(х,м))г^(^ А € (3 2 37)
/7гг J X — р
7
а также дифференциальное уравнение и линейные формы L = (£, С/)
по формулам (3.2.23), где функции eu(x),tjv(x) определяются по
формулам (3.2.19)-(3.2.22). Ясно, что L е VN-
Лемма 3.2.7. Имеют место равенства
£(р(х% А) = \ip(x, A), A G т; Щх, А) = АФ(х, А), А е J7.
Доказательство. Дифференцируя соотношения (3.2.10),
(3.2.37) по х и учитывая (3.1.27), (3.2.19), (3.2.20), вычисляем
^2 tj„(x)(pM(xt А) = ЛГ(А)^)(Х| Л) +
iy=0
r(x, A, p)<pU)(x, р) dp, А е 7, (3.2.38)
+ 2тгг
^Ь^{х)фЫ(х,\) = фМ(х,\) +
i/=0

§3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 285
+
2тгг
Г(Ф(хД),Г(х^))^0)(х^^ _ (3239)
X — р
Покажем, что имеют место равенства
1
1<р(х, А) = N(\)i<p(x, А) +
2тгг
г(х, Л, р,)£(р(х, р) d/i +
+
2ттг
(£(ж, Л), g*(x, р))~Мх, р) rf/i, Л G 7, (3.2.40)
»(x,A) = »(x,A) + 1lj|
1 f (Ф(х,\),д*{х,ц))с
X — p
■fy>(#, )^) d/x +
■|<ф(а
+ 2^ |(Ф(х,Л),д*(а;,д))г^(х,/х)ф, Л G J7. (3.2.41)
В самом деле, в силу (3.2.23), (3.2.19)—(3.2.22) имеем
п тг—1
Pi/(Я) = РЛ*) + ^ Pj(x)tjv{x) + ^ £^(x)xj0(x).
Отсюда и из (3.2.38), (3.1.22) вытекает, что
1
JV(A)fy(x, А)+
2ттг
г(я, A, р)£(р(х, р) dpi -f
+
2ттг
(£(x, A),g*(x, ii))j(p(x, p) dji = 5^Pj(x) ^ ^v(x)(^(l/)(x, A) +
j=0 t/=0
n-1
v,j=0
i/=0
Аналогично доказывается и (3.2.41).
Из (3.2.40) следует, что
А£(х, А) = N(\)e<p(x9 А) +
1
2тгг
г(х, А, р)£<р(х, р) dp -Ь
+ 2~ (A- jx)r(x, А, /х)<р(ж, р) dp,,

286 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
или
JV(A)(^(x,A)-A</?(x,A)) +
Обозначим у(х, А) := £ip(x, А) — А^(х, А), у(х, А) = [ук(х, A)]fc=r>-^.
Тогда
tf(A)y(x.A) + JL
r(x, A,/z)y(x,/i)d/L/= О, А е 7- (*)
В силу леммы 3.2.6 -Q, !(х, А)у(х, A) € В. Из (*) при А Е 7" имеем
л
Ук(х,\) = -
2тгг
^ rkj (х, A, /х)?/, (я, /х) d/i.
J=2
Отсюда, с учетом леммы 3.2.4, получаем оценку
Ых,Х)\ ^ CxHfc-n|exp(pflfcx)|, А е 7".
Следовательно, П-1(х, А)т/(х, А) € J5. Тогда, согласно условию Р
теоремы 3.2.3, однородное уравнение (*) имеет только нулевое решение, т. е.
£(р{х,\) = Ау?(х,А), A G7-
Далее, из (3.2.41) вытекает, что
АФ(х,А) = №(х,А) + ^-
Л — /х
+
2тгг
(Ф(х, A), <Г(х, n)h<p(xt /i) d/i,
или
№(x. A) = a($(x, A) - ±. J <*<'■ ^"»' ф.„) fr),
7
и, следовательно, с учетом (3.2.37), £Ф(х, А) = АФ(х, А). Лемма 3.2.7
доказана. □
Лемма 3.2.8. Функции Ф(х, А) = [Фт(х, А)]т _— являются
решениями Вейля для L.
Доказательство. Из (3.2.37) следует, что при фиксированном
х ^ 0 функции Ф^)(х, A), v = О, гг, регулярны при A G J7. Кроме того,

§ 3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 287
из (3.2.10), (3.2.37), как и при доказательстве теоремы 3.2.1, вытекает,
что
lim Ф$(х,г) = <pi$(x,\), A Е 7о U 7(_nn-m+i, m = 2, п.
Так как g<v\x,p)^\x,ii) = G<v\x, р)Ф^\х, р)у то из (3.2.39)
получаем
п—1 п
£ u?j0 J] М0)Ф»(0. Л) = [/?0(Ф(х, Л)) +
j=0 и=0
+ 2тгг
Г Ф(ж, Л ,<Г (ж,/х)>г ГГ /Л, u ,
Л ~ М |х=0
или
£^(Ф(х, Л)) = С^,(Ф(х. Л)) + JL | ЕМ [/?0(ф(а;, м)) dfi.
7
Отсюда, с учетом (3.2.7), имеем
U&>(*m(x,\)) = U&(pm(x,\)) +
£ £^т^^о(ФЛ^.м))^- (3-2.42)
+ 2тгг
1 - "
/х — Л
Последовательно положив в (3.2.42) £ = n, п — 1,..., 1 и учитывая, что
^о(Фт(ж,А)) = ^m, f = l,m, находим: C/$o(*m(z. A)) = ^m, f = l,m.
Далее, используя оценки ||<£+(х, Х)\\в < С и (3.2.18), получаем
\g*{v\x,p)y(x,p)\ №\ < Сехр(ах), а > 0, i/ = 0,n- 1. (3.2.43)
В А-плоскости рассмотрим область
G°£ = {А : d(A, то) £ е, arg(±A) £ (-6, г)}, г > 0.
Из (3.2.37) с учетом (3.1.22), (3.2.43) следует, что
|Фт(х,А)| < С\р\т-пехр{ах)\ехрpRmxl х ^ 0, А Е G°.
Обозначим через Ф°(х,А) = [Ф^(х, А)]Т=— решения Вейля для L,
Фт(я, А) = Фт(х, А) — Ф$^(х, А). Тогда функции Фт(х, А) регулярны
при А Е J7 и
\Фт(х, А)| < С|/9Г-пехр(ах)|ехр(рДтх)|, х > 0, А € G°£.
Кроме того, £Фт(х, А) = АФт(х, А), Е/$о(Фт(я.А)) = 0, £=1,га.

288 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Покажем, что Фт(х, А) = 0. В самом деле, так как функции
[Ф^(х, Л)]т=у-^ образуют фундаментальную систему решений
дифференциального уравнения £у = Лу, то
п
Фт(х,Л) = ^а,т(Л)Ф,°(х,Л).
j=\
Применяя последовательно линейные формы U\o,..., Umo, находим
Qjm(A) = 0, j = l,m. Таким образом,
п
Фт(х.А)= Y, <WA)$°(x,A),
ji=m-f 1
причем функции а^т(А) регулярны при A G J7. Предположим, что
при некотором s (га + 1 ^ s ^ п) а5т(А) ^ 0, а;т(А) = 0, j = 5 + 1,п.
Выберем A* G Ge так, чтобы asm(A*) ^ 0, Re(/9*(i?s — R3-\)) > а. Тогда
S-1
Ф°8(х,Х*) = —^т-ЛФт(х,У)- £ <Ът(А*)Ф°(х,А*)),
j=m+l
и, следовательно, \Ф®(х, А*)| < C*exp(ax)|expp*i?5_ix|, х > 0. С
другой стороны, из (3.1.10) вытекает, что
|Ф°(х,А*)| >СГ|ехрр*Д,х|, х>0.
Полученное противоречие доказывает, что ajm(A) =0, j = га + l,n,
т.е. Фт(х, A) = 0. Следовательно, Фт(х, А) = Ф^(х,А). Лемма 3.2.8
доказана. □
Лемма 3.2.9. Матрица М(Х) является матрицей Вейля для L.
Доказательство. Обозначим через М^(А) = Що{Фт) функции
Вейля для L, Mmt(\) = Mm^(A) - М^(А). Согласно (3.2.26)
+ 2тгг
j=m+\
£ ^^МФ>(*.м))^. (З-2-44)
где r°(A,/i) имеет тот же вид, что и Г(А,//), но с M^L вместо Мт£.
Сравнивая (3.2.42) и (3.2.44), получаем
(fmC(A,M)-f^(A,/i))-^ + ^[ Ё (WA.M)-
-Г^(А,/х))м])?Ы^=0) £>т, A€J7. (3.2.45)

§3.2. Восстановление дифференциальных операторов на полуоси 289
Покажем по индукции, что Мт^(Х) = О, £ > га. При f = m + 1
из (3.2.45) с учетом (3.2.7), имеем
1
2тгг
X(-i)n-m(/i)Mm>m+i(/i) —^т- =0, AG J7,
р — Л
или
1
2ттг
70U7(_, )n-m
Mm,m+1(M)d о
/х — Л
и, следовательно, Mm>m+i(A) = 0.
Предположим, что Mmj(A) = 0, j = га + l,f — 1. Тогда, в силу
(3.2.7)
rmj(A,/i) = Г°т,(А,/х), j = m+ U - 1; ГшС(А,/х) = Г°тС(А,/х).
Таким образом, из (3.2.45) получаем
Mm^((x)d/i = 0, AgJ7. (3.2.46)
70
Функция Мт^(Х) регулярна при A G J7 и AG 7(-i)n-™+1- Далее,
функции
Мт?(А) - Мт,т+|(А)Мт+и(А), М^(А) - М£,т+1(А)М£+U(A)
регулярны при A G 7(-i)n-m- Так как Mmj(X) = 0, j = га+ 1,£— 1,
то функция Mmf(A) регулярна при A G 7(-i)n-m- Таким образом,
функция Mmf(A) регулярна при А ^ int^o и Мт^(А) = 0(р~1), |А| —► оо.
Тогда из (3.2.46) вытекает, что Мт^(Х) = 0. Лемма 3.2.9 доказана. □
Таким образом, теорема 3.2.3 полностью доказана.
Замечание 3.2.1. Метод, изложенный в §3.2, позволяет
решать обратную задачу и для дифференциальных операторов с несум-
мируемыми коэффициентами. В самом деле, пусть матрица М(А) G W
удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы 3.2.3. Тогда, согласно
вышеуказанной процедуре, по М(Х) можно построить дифференциальное
уравнение и линейные формы вида (3.1.1), (3.1.2). При этом
коэффициенты Рк(х) уравнения (3.1.1) будут, вообще говоря, несуммируемыми
функциями (см. пример 2.2.1).
Замечание 3.2.2. Мы упоминали выше, что существует другое
обобщение функции Вейля оператора Штурма-Лиувилля. Сравним
понятие введенной выше матрицы Вейля с понятием m-матрицы из
[188] (где использовались несколько другие обозначения). Для
простоты пусть и = 4 и U^(y) = у^~^(0). Пусть функции Фк(х, А), к =
= 1,4, являются решениями уравнения (3.1.1) для п = 4 при уело-

290 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
■Ли-\)
виях Ф\ (0,А) = 8vk, v = l.fc, Фк(х,А) = 0(exp(pRkx)), х —» оо,
р Е 5М, в каждом секторе со свойством (3.1.3). Положим Мь,(А) =
(0, А), I/ > к. Таким образом,
= *Г°
Ф,(0, А) = 1, Ф^х.А) = 0(exp(pi?ix)), х -» оо,
Ф2(0, Л) = 0, Ф2(0, А) = 1, Ф2(х, Л) = 0(ехр(,оЯ2х)), х -^ оо,
Ф3(0,А) = Ф3(0,А)=0, Ф^'(О.А) = 1,
Ф3(х,А) = 0(ехр(,9Д3х)),
00,
ф4(о, л) = ф4(о, а) = ф;'(о, а) = о, ф4"(о, а) = i,
М12(А) = Ф',(0,А), Л/,3(А) = Ф','(0,А), М,4(А) = Ф',"(0, А),
М23(А) = Ф2'(0, А), М24(А) = Ф2"(0, А),
М34(А) = Ф3"(0,А),
и матрица Вейля М(А) имеет вид
М(А) =
1
0
0
0
М12(А) М|3(А)
1 М23(А)
0 1
0 0
М14(А)
М24(А)
М34(А)
1
Ясно, что
Ф.(аг.А)
Ф2(х,А)
Фз(ж.А)
Ф4(х,А) J
1 М12(А) М13(А) М14(А)
О 1 М23(А) М24(А)
О О 1 М34(А)
0 0 0 1
С,(х,А)
С2(х,А)
С3(х, А)
С4(х,А)
где Cfc(x.A), к — 1,4, — решения (3.1.1) для п = 4 при начальных
условиях Ск"~ (0,А) = 8„k, v,k = 1,4. Для функций Ф*(х,А) мы
имеем шкалу роста: наименьшая экспонента при Фь наибольшая —
при Ф4. При этом Ф) и Ф2 убывают на бесконечности, а Ф3 и Ф4 растут.
Пусть теперь ipk(x,\), к = 1,2, являются решениями уравнения
(3.1.1) для п — 4 при условиях
фх (О, А) = 0, хр\ (О, А) = -1, ф{ (х, А) е L2(0, оо),
У>2(0,А) = 1, V2(0,A) =0, faix.X) G L2(0,oo),
и пусть
Матрицу
m„(A) = <(0,A),
m21(A) = V2'(0,A),
m,2(A) = Vi"(O.A).
m22(A) = V2"(0,A).
т(А)
т\\(Х) mi2(A)
т2)(А) т22(А)

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 291
будем называть m-матрицей. Ясно, что,
ф\(х,Х)
-С2(х,Л)
Ci(x,A)
+ m(A)
Сз(х.А)
С4(х,А)
фх (х, А) - -Ф2(х, А), <ф2(х, А) = Ф, (х, А) - М12(А)Ф2(х, А),
тп(А) = -М23(А), т12(А) = -М24(А),
т21(А) = М13(А) - М12(А)М23(А), т22(А) = М14(А) - М12(А)М24(А).
В самосопряженном случае задание т-матрицы т(А) равносильно
заданию спектральной матрицы сг(А), причем
т(Х) =
da(fi)
р, — X
Спектральная матрица сг(А) и га-матрица га(А) используются при
исследовании прямых задач спектрального анализа для уравнения (3.1.1)
в самосопряженном случае (подробнее см. [188]), но они неудобны при
исследовании обратных задач. Матрица Вейля М(Х) является более
удачным и естественным объектом в теории обратных задач.
Отметим, что в самосопряженном случае имеют место следующие
связи между М^(А):
М12(А) = М34(А), М24(А) = -М,3(А) + М12(А)М23(А).
§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов
на конечном интервале
Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы L Е V}v вида
(3.1.1), (3.1.2) на конечном интервале (Т < оо). В этом параграфе дается
решение обратной задачи восстановления L по матрице Вейля М{\). Используются
обозначения и результаты из §3.1. При решении обратной задачи на конечном
отрезке возникают специфические трудности, связанные с наличием свойств
Si, S-2 матрицы Вейля М(Х) (см. леммы 3.3.1, 3.3.2). Получены необходимые
и достаточные условия на матрицу Вейля и процедура построения
коэффициентов дифференциального уравнения и линейных форм по матрице Вейля М(А),
исследована устойчивость решения обратной задачи. Основные результаты
параграфа содержатся в теоремах 3.3.1-3.3.4. В п. 3.3.5 приводится контрпример,
показывающий, что выбрасывание из матрицы Вейля одного элемента приводит
к нарушению единственности решения обратной задачи.
3.3.1. Свойства матрицы Вейля. Будем говорить, что L G V^,
если L е Vn и функции Дтт(А), т — 1,п— 1, имеют лишь простые
нули. Если L е Vff, то матрицы М(А), М*(Х) имеют лишь простые
полюсы. Для простоты везде в дальнейшем считаем, что L £ V^.

292 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Так как L £ Vjv, то асимптотическую формулу (3.1.14) можно
уточнить:
_, п+ЛГ-1
Аы = (-1)-™(J(sin^)" •(/+ £ ^ + ^)) , (3.3.1)
где х;т = о(1) при I —> оо. Обозначим #т*. = ResMmfc(A). В силу
(3.1.7) имеем
А™* = ТИН
и при / —> 00
п+ЛГ-1
/О in+m—к— 1 / \ Л Хтки . Щтк \ Лу / г»
i/=0
Mf w
i/=0
n-f/V-l 0
(3.3.2)
где x,mfc = o(l), *?mfc = o(l). Из (3.1.7), (3.1.20), (3.1.21) вытекает, что
|Mmfc(A)| < С\рГ~\ \eG6 (3.3.3)
(Gs — Л-плоскость с выброшенными кругами |А — Ао| < Sy Aq € Л)
и, следовательно,
M**w = tj£t- <3-3-4>
Таким образом, функция Вейля Мтк(\) однозначно определяется
заданием своих полюсов и вычетов {Afm, Plmk}l>\-
Для А0 е А определим матрицу N(\q) = {^Jjk(Xo)}jik=j^ по формуле
ЛГ(Ао) = М(_1)(Ао)(М(0)(Ао))-1.
Так как Мть(\) = 6mk, т ^ /с, то Afjk(Xo) = 0 при j ^ fc. Покажем,
что
^(Ао)ЛГ(Ао) = О,
Ф(-1)(х,А0) =-Л/'(А0)Ф(о>(ж,Ао), Ф/_1}(х,А0) = -ФТ0)(х,А0)ЛГ(А0).
(3.3.5)
В самом деле, так как М*(А)М(А) = Е, то
М(*_1)(Л0)М(_1)(Ао) = 0,
М(*_1>(Ло)М(0>(Ло) + М(*0)(Ло)М(_1>(Л0) = 0.
Отсюда находим, 4to./V(Ao) = -(MT0JXo))~lMT{JXo), и,
следовательно,
^(Ао)ЛА(Ао) = -(Mf0)(Ao))-1M(*_1)(Ao)M<_1)(Ao)(M(0)(Ao))-1 - 0.

§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов 293
Далее, в силу (3.1.4), (3.1.28) и леммы 3.1.1, имеем: С(х,\) =
= М*(А)Ф(я. Л) и С{х, А) = Ф*(х, А)М(А). Тогда
М(*0)(А0)Ф<_1>(х, Ао) + М<*_1)(Ао)Ф^0)(х, А0) = О,
Ф^_1)(а;,Ао)М(о>(Ао) + Ф(о>(а;,Ао)М(_1>(Ао) = 0.
Отсюда получаем (3.3.5).
Из равенств (3.1.13) и £Фт(х, А) = АФт(х,А) имеем
У„_т+1.г(Фт(х. А)) = (-1)п-т(Атт(А))-'Дт_,,т_,(А), (3.3.6)
€Фт,(_,)(х,Ао) =А0Фт.(_1)(х,А0),
<о)(я, Ао) = Л0Фт,(о>(х, Ао) 4- Фт,(_1)(х, Ао).
Установим два важных свойства матрицы Вейля. Доопределим Ло =
= Лп = 0.
Лемма 3.3.1 (свойство S\). Если \q $ Ат, то Njtm+\(\o) =
= ... = Afjn(Xo) = О, j = 1,га. £ош, кроме того, Ао € A„+iP|...
...р|Лт_ь А0 £ Л^, 1 ^ I/+ 1 < m ^ п, mo A/i,+i,m(Ao) ^ 0.
Доказательство. Первое утверждение леммы докажем по
индукции. Так как Aq Е Лт, то из (3.1.13) вытекает, что Фт,(-1)(ж, Ао) =
= 0. С другой стороны, в силу (3.3.5)
Фт,(-1) (Я, А0) = Мп.т+1 (Ао)Фт+1,<о> (я, А0) + . . . + Mnn(Ao)*n.(0) (я, А0).
Применяя к этому равенству линейные формы £/т+1,о> • ••. Uno,
последовательно находим: ЛГт,т+\(\о) = ... =Л/'тп(А0) = 0.
Предположим, что A/j,m+i(Ao) = ... = Л/}п(Ао) = 0, j =
= га — s + 1, га, 5^1. Согласно (3.3.5) имеем
Фт-я,(-1)(я. Ао) =Mn-e,m-e-fl(Ao)$m-s+l,(0)(^.Ao) + ...
• • • + Л/'т_5,п(Ао)Фп,<о) (я, А0),
или
S
Фт_5>(_1)(х, Ао) - 2^Л/'т_5,т_5+г(Ао)Фт-5+г,(0>(^» Ао) =
г=1
п—т4-5
= 5Z ■Л/т-3,ш-5+г(Ао)Фт-5+г,(0)(^.Ао) = ^(ж). (3.3.8)
i=s + l
Так как Фт(_1)(х, Ао) = 0, то, в силу (3.3.7), функции Фт_5>(_1)(х, Ао),
Фт(о)(х,Aq) являются решениями уравнения £у = Хоу. Далее,
используя (3.3.5) и предположение индукции, получаем

294 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
S-1
2^Л/"т_5)т_5+г(Ао)Фт-5+г,(-1)(:Г' Ао) =
г=1
5—1 т
= 2_^Л/"т-5,т-5+г(Ао) ^2 Mn-54-i,i/(Ao)^i/,(0)(^^o) =
г=1 1/=т—s+i+\
ТП U — 771 + S — 1
= 22 Ф1Л(0)(Х'^0) 22 ^m-5.m-e+t(Ao)Mn-s+i,i/(Ao) = О,
i/=m—5+2 г=1
и, следовательно, функция ]£?", Лгт_5,т_5+г(Л0)Фт_5+г,{о)(^До)
является решением уравнения £у — Хоу. Отсюда и из (3.3.8) вытекает,
что £гр(х) = \Qip(x). Вновь используя (3.3.8), получаем
и^о(ф) = и^т(Ф) = О, £ = 1, га, г] = 1, п - га.
Так как Ао не является собственным значением краевой задачи 5т,
то tp(x) = 0. Применяя теперь к равенству (3.3.8) линейные фор-
мы i7m+ito,..., t/no, последовательно находим: A/'m_5,fc(Ao) = 0, /с =
= га + 1,п.
Доказательство второго утверждения леммы мы проведем от
противного. Так как
Ai/i/(Ao) ф 0, Ass(Ao) =0, s = i/ + 1,га — 1, то из (3.3.6) следует, что
[/п_5+1,т(Ф5)(о)(х, Ао)) ^ О, 5 = i/ + 2,m- 1, Ф^+ц-^х, А0) ^ 0.
Предположим, что Л/1,+ 1,т(Ао) = 0. Тогда
Ф„+1,<_1)(а;, А0) = Л/1+1^+2(Ао)Ф|/+2,(0>(^. А0) + ...
••• +«A/'i/+l,m-l(Ao)*m-l,(0>(^»Ao).
Применяя последовательно линейные формы [/п_т+2,т>..., Un-u-\tT,
получаем
M,+ i,m-i(A0) = ... =Л/'1/+1^+2(Ао) =0, т.е. Ф„+1.<-1)(я,Ао) =0. П
Обозначим Л5(А0) = [^jA^o)}j=T^rSil/=^zr^, s= l,n- 1.
Лемма 3.3.2 (свойство S^)- Справедливо соотношение
rank А5(Ао) ^ 1, 5 = 1,п - 1.
Доказательство проведем по индукции. Покажем, что rank j4i(Ao) ^
< 1. В самом деле, если An_2,n-2(Ao) = An-i,n-i(Ao) =0, то из (3.3.6)
имеем: £/2,т(фп-1,(-1)(я> Ао)) = 0, £/2,т(фп-1,(0)(я, Ао)) ф 0. Применяя

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 295
линейные формы U^j к равенству Ф(_1)(х,Ао) = Л/'(Ло)Ф(о)(^, Ао),
получаем
Nj,n-\{><o)U2,T{$n-\,(0)(x, Ьо)) +
+ -Л0.п(Ао)£/2.т(Фп.<о)(а:.Ао)) =0, j = 1,п-1,
и, следовательно, rankj4i(Ao) ^ 1. Если же Ап_2,п-2(Ао) ф 0 или
Дп_1)П_1(Ао) т^ 0, то по лемме 3.3.1 Л/}п(Ао) = 0, j = 1,п — 1, т. е.
ranki4i(A0) ^ 1.
Предположим, что соотношения гапк^Ц(Ао) ^ 1 при к = 1,5—1
уже доказаны. Если An_s_i)n_s_i(A0) = Дп-5,п-5(А0) = 0, то из (3.3.6)
имеем
£/в+1,г(Фп-з.<-1)(я. Ао)) = 0, [/5+1,т(Фп_5)(0)(х, А0)) ф О
и, следовательно,
п
J2 J^MxoW,+\.T{9k.{0)(x,Xo)) = 0, j= l,n-s. (3.3.9)
k=n—s
Возьмем фиксированную ненулевую строку матрицы As(Xo):
[Л^,п_5(А0),...,Л^п(А0)]^[0,...,0].
Так как rankAs_i(Ao) ^ 1, то Afjk(Xo) = a?A/U(Ao), к = n-s+l,n.
Тогда из (3.3.9) вытекает, что
(Л/},„-5(А0) - а^.п-в(Ао))1/в+1.т(Фп-в.(о>(^. ло)) = О,
или Л/})П_5(Ао) = QjA/^n-s(Ао). Следовательно, гапкАДАо) < 1. Если
An_5_i)Tl_s_i(Ao) ф О или ДП_5)П_5(А0) ф О, то по лемме 3.3.1,
A/},n-s+i(Ao) = ... = Л/}П(А0) =0, j = l,n-s,
т.е. гапкЛ5(Ао) ^ 1. Лемма 3.3.2 доказана. □
Через W обозначим множество мероморфных матриц М(А) =
= [Mmfc(A)]mifc=T^, Мтк(Х) = 5тк [т ^ к), имеющих только простые
полюсы Л (множество Л свое для каждой матрицы М(А)) и таких, что
верно (3.3.3) и при каждом Ао Е Л матрица М(Х) обладает свойствами
Si, 5г, где множества Лт = {А/т}/^>ь А*т ^ А;0,т (I ф /0) определены
следующим образом: если Aq Е Л, Afkji^o) ф 0, то Ао Е Л^ Q... р| Aj_i.
Очевидно, что если М(А) Е W, то при Aq Е Л Л/'(Ао)Л/'(Ао) = 0.
Если L Е Удг и М(А) — матрица Вейля для L, то М(А) Е W.
Лемма 3.3.3. Дана матрица М(Х) = [Мтк{Х)]т к=у^,
Мтк(Х) = Smk (га ^ к), регулярная в проколотой окрестности
точки Ао и имеющая в этой точке простой полюс. Для того чтобы
матрица М*(Х) := (М(А))-1 имела в точке Ао простой полюс,
необходимо и достаточно, чтобы Af(Xo)J\f(Xo) = 0.

296 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Пусть Af(\o)Af(\o) = 0. Обозначим через Хр множество матриц
А = [Avj\v j=Tn> У К0Т0РЫХ Avj = О ПРИ j — v <п — р. Ясно, что если
А е Хр, Be Xqy то АВ е Хр+я-п. Так как М(Л)М*(Л) = £, то
оо
М*(А)= £ (A-Ao)feM(-fc)(Ao),
к=\-п
п-к-\
Y, M(Vfc)(A0)M0)(Ao), к = Т^1.
Отсюда, с учетом условия Л/'(Ло)Л/г(Ло) = 0, имеем
Mf_fc)(A0) = -M(*1_t)(AoVV(Ao)-
n-fc-1
П — К— 1
( Е M(*_j_fc>(A0)M0)(Ao))(M<0>(Ao))-l)
п—к
М*{[_к)(\0)ЛГ(\о) = -(ЕМ(%-^1)(Ло)мО)(ло)) х
i=i
х (M^CAoJJ-^Ao), fc = 2,n-l.
Так как Af(Xo) е Хп-\, М^_к^(Х0) е Хп-к, то отсюда находим
М{{_к)(\о)ЛГ(\0), M(*_fc)(A0) £ X„-fc-2. fc = 2,п - 1.
Повторяя этот прием конечное число раз, получим: MT_kJXo) = 0, к =
= 2,п- 1. □
Следствие 3.3.1. Если М(Л) £ W, то матрица М*(Л) :=
= (М(Х))~2 имеет только простые полюсы.
Пусть LeV^, М(Х) е W. Обозначим
1<0)
■ ( ни т \\ чг it ii\\~
£>(х,А,А0) =
(Ф(х,А),Ф'(х,м))г
А — /л
|/х=Л0
%>(х,*оДо) = [5(х,А,Ао)](£Ц, * = 0,-1.
Лемма 3.3.4. Имеют место равенства
5(x,A,A0)Af(A0)
ЛГ(2о)-5(о>(х,го,Ао) =
(Ф(х>А),Ф^_1)(х,Ао))г
А - Ао
(Ф(_1)(д:,го),ФФ(х,/х))г
2о- р
1<0)
J |м=Л0
(3.3.10)

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 297
Z?(_i)(х, г0, Л0) = tf(zo)D(o)(x, г0, Л0) - 6(z0, А0)£, (3.3.11)
А/7 \Г\ ( \ \КП\ \ (Ф(-1>(я,2о),Ф(_1)(х,Ао))г / i \ \
N 20 Л(о)(х,г0,Ло)Л/ Л0) = ——- *—* -, г0 ф А0),
W 20 - До
^(2о)5(о)(х,го,Ло)^(Ло)=Л^(Ло)-(Ф(_1)(х,2о),Ф/0>(х,Ло)>г (г0 = Л0),
(3.3.12)
где S(zQy Л0) = 0 (го ф А0), S(z0y Л0) = 1 (г0 = Л0).
Доказательство. В силу (3.1.27) и леммы 3.1.1
(Ф(х, Л), Ф*(х, А)>г = М(А)М*(А) = £,
и, следовательно,
s
J2 <Ф(*)(ж. Ао), Ф(,-*>(*. Ао))г = £5о£, 5 = 0,1.
Так как
(Ф(х, А), Ф?0> (*, Ао)>г (Ф(гг, А), Ф?_0(х, Ао))г
£>(х,А,А0) = — Л_Ло
то, с учетом (3.3.13), получим
(А-Ао)2
(3.3.13)
(3.3.14)
£>(_!) (х, г0,Ао) = -
_ (Ф(-1)(х,го),Ф?0)(х,Ао))?
го - Ао
(Ф(-1)(х,г0),Ф^_1)(х,Ао))г
(го - Ао)2
D(0)(x,zo,\o) = -
(Ф(о)(х,го),Ф^0)(х,Ао))г
го - Ао
+
(Ф<-1)(х>го),Ф(0)(х>Ао))г (Ф(0)(х,г0),Ф(_1)(х,Ао))г |
(го - Ао)2 ^ (го - А0)2
, 0(Ф(-1)(х,го),Ф^1)(х,А0))£~
+ z ; ттз > zo т Ло>
(го - Ао)
5(_!)(х, А0, А0) = -Е + (Ф(_1)(х, А0), Ф<1}(х, А0))?,
5(0)(х,А0,Ао) = (Ф(о)(х,А0),Ф*1)(х,Ао))^+
+ (Ф(-1)(х,Ао),Ф/2)(х,Ао)>г,
(3.3.15)
и, следовательно,
D<fl)(x,ZQ, Ао) =
(Ф(0)(х,2о),Ф*(х,/х))г
го -м
+
(Ф<_1)(х>2о)>Ф*(х,д))г
(^О-М)2
(0)
. (3.3.16)
|/Х = Л0

298 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Согласно (3.3.5) имеем: Ф1_1\(х, Xo)Af(Xo) = М(Хо)Ф(-\){х, Xq) = 0-
Отсюда и из (3.3.14)—(3.3.16) вытекает утверждение леммы 3.3.4. □
Из леммы 3.3.4, с учетом равенств
(Ф(х, А), Ф*(х, /i))|ro = М(А)М*М,
<Ф(х, Л), Ф*(х, М)>|Я=Г = £/т(Ф(х, Х))Щ(Ф*{х, /х)),
получаем следствие.
Следствие 3.3.2. Справедливы соотношения
Дь„(0,А,Ао) = Fkv(Mjj+s, s = l,u-k,j = l,n- I), к < и;
Dku(T, A, A0) = (5(T, A, Ao)7V"(Ao))fc„ = (Af(z0)D{0) (Г, z0, A0))fc„=0, к < и]
(Af(zo)D{0)(T, z0, \o)Af(\0))kv = Фо.XoWkv(zo), к < и,
где Tkv — некоторая функция.
Обозначим
У = lOj,fc-ljj=l,n_l, к=йп'
Л^о(Ао) = ЛГ(Ао), ЛЛ(Ао) =Щ\о),
Ре(х, А, А0) = D(x, А, Ао)Л4(А0)Уг,
Ge(x, 20, А0) - Г5(0)(х, 20, А0)Л/ИА0)ГТ,
£(х, А0) = -Ф?0>(*. Ао)Л4(А0)Уг, е = 0,1,
Р(х, А, А0) = 3(i. A, X0)M(\0)YT,
G(x, 20, А0) = YD{0)(x, 20, А0)ЛГ(А0)УТ,
5*(х,Ао) = -Ф^)(х,Ао)^(А0)Ут,
ф(х, А0) = УФ(0) (х, А0), Л(Ао) = А0£ + УЙ(\0)УТ,
A(\0) = \0E + YM(\0)YT.
Лемма 3.3.5. Имеют место равенства
?£(х,А0) = Л(А0)<?(х, Ао), (3.3.17)
Р£'(х,А,Ао) = Ф(х,А)£(х,А0),
G'e(x,zo,\o) = $(x,zo)g*e{x,\o). £ = 0,1, (3.3.18)
Р(х, А, А0) (\Е - Л(Ао)) = (Ф(х, А), д*(х, А0))?, (3.3.19)

§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов 299
A(z0)G(x, г0, Ао) - G(x, z0, Л0)Л(А0) -
- (5(2о, А0)УЛ^(Ао)УГ = ($(х, zo), g*{x, А0))?. (3.3.20)
Если ЩХо)ЛГ(Хо) = 0, то
Р£(*,А,А0)(А£-Л(А0)) = (Ф(х,А), £(х,А0))?, £-0,1, (3.3.21)
A(z0)G£(x, 20, А0) - бе(х, го, Ао)Л(Ао) - <5(20, X0)YAf£(X0)YT =
= (£(х,20),£(х,А0))г, е = 0,1. (3.3.22)
Доказательство. В силу (3.3.5), (3.3.7)
Й(0)(х,Ао) = (Х0Е + М(Х0))Ф{о)(х,Хо),
откуда следует (3.3.17). Учитывая (3.1.27), вычисляем
б'(х, А, А0) = -Ф(х, А)Ф{0)(х, А0),
и, следовательно, верно (3.3.18). Далее, из (3.3.10), (3.3.14) имеем
(А - А0)5(х, А, А0) + D(x, А, А0)Л/"(А0) = -(Ф(х, А), Ф{0)(х, X0))j.
Умножая это равенство на Л/"е(Ао)Ут, получаем
Ре(х, А, А0) (ХЕ - Л(А0)) + Р,(х, А, А0)УЛ4(А0)ГТ =
= (Ф(х,А),^(х,Ао)>г, £ = 0,1, (3.3.23)
откуда следует (3.3.19), (3.3.21). Из (3.3.11) вытекает, что
Y[Pe(x, А, Ао)](;4 = YM{z0)[Pe{x, А, Ао)],^^ - Фо, А0)УЛ4(А0)УТ.
Используя (3.3.23), находим
Ge(x, 20, Ао) (z0E - Л(Ао)) + Y[Pe(x, А, Ао)][Д, +
+ б,(х,2о,Ао)УЛА(А0)Гт = ($(x,zo),g;(x,\o))-e.
Отсюда, с учетом равенства
YSf(zo)[PE(x, А, A0)]<°L2o = YM(z0)YTGe(x, г0, А0),
имеем
A(z0)G(x, го, Ао) - Ge(x, 20, Ао)Л(Ао) + G, (х, 20, X0)YAf{X0)YT -
-<5(20,Ао)УЛ4(Ао)Ут = (0(x,zo),£(x,Ao))?.
Из этого равенства вытекают соотношения(3.3.20), (3.3.22). Лемма
3.3.5 доказана. □

300 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
3.3.2. Основное уравнение обратной задачи. Рассмотрим
L, L G Vpj. Обозначим
п-\
&=£(|A,m-AZm|+ Y. Wrnk{\l^)-Mrnk{Mrn)\l)lX-n
771=1
к=т+\
и везде в дальнейшем считаем, что числа А/т и Ajm занумерованы
ТЭК, ЧТО Ajm ф А;ото, Xim ф Xl0m0, Xim ф Xi0mQ При / ф /0> \ш - ГП()\ = 1.
Очевидно, такая нумерация возможна, и она означает, что «склеенные»
полюсы имеют одинаковые номера /.
Лемма 3.3.6. Справедливы соотношения
Ф(х, А) = Ф(х, А) + ^ ^(х>л« лоМ*> А0), (3.3.24)
£(х, г0) = </?(х, z0) + ^ G(x, г0, А0)<р(х, z0), *о е /, (3.3.25)
Л0€/
G(x, z0, х0) - G(x, 20, х0) = ^ G(x, 20, A0)G(x, А0, х0),
Л0€/
г0, х0 € /, (3.3.26)
где / = ЛU Л, (р(х,Хо) = УФ(о)(х, Ао), G(x, го, Ао) = YD@)(x, го, Ао) х
х Af(Xo)YT, причем ряды сходятся «со скобками»:
Y>lim У], /fc = /n{A:|A|<flfc},
*—' fc—ЮО ^—'
окружности \Х\ = /?& отстоят на положительное расстояние
от множества I.
Res
М=Л0
Доказательство. Используя (3.3.5), (3.3.10), вычисляем
(Ф(х,А),Ф*(х,/х))?
Л — р
Ф<-1)(
А-Ло
-Ф(х,/х)
= Л(х,А,Ао)Ф(_1)(х,А0) -
- <Ф(ж,А)^(ж,^))гФ(0)(х,Ао) = 5(х,А,А0)Л?-(Ао)Ф(о)(х,Ао) =
= 5(х,А,А0)Л?*(Ао)УМ^Ао),
Res
£=Ао
= 5(х,А,Ао)ЛГ(Ао)
(Ф(*,А),Ф*(х,0)г (Ф(х,0,Ф*(*,м))г
А-£ Z-p
(Ф(0)(х,А0),Ф*(х,/х))г _ (Ф(-1)(х,Л0),Ф*(х,/х))£
Ао - Р (Л0 - //)2
- D(x X X ) {ф<-1)(х* Л°^х' Л°^ Ф^х>^£
Х0-р

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 301
Следовательно, учитывая (3.3.10), (3.3.16), имеем
Res
д=Л0
,(Ф(х,А),Ф>,м)>?ф(;су)
= Р(х,Л,Ао)^(х,Л0), (3.3.27)
Reg /(Ф(*,А),Ф*(*,0)г . (Ф(х,0,Ф-(х,/х))Л1(0> =
- 5(х,Л,Л0)Л/'(Ло)^(о)(х,Ло,хо). (3.3.28)
Рассмотрим в А-плоскости контур 7 = 7+ ^7~» Т111 — {^ : ±Im А =
= Со, -оо < =FReA < оо}, выбранный так, чтобы / С {А : |Im А| < Со}.
Положим J1 = С \int7- Тогда верны соотношения (3.2.3), (3.2.4)
(доказательство точно такое же, как и для случая полуоси). Используя
(3.3.27), (3.3.28) и теорему о вычетах [206, с. 239], получаем
соотношения (3.3.24), (3.3.26). Равенство (3.3.25) непосредственно вытекает
из (3.3.24). Лемма 3.3.6 доказана. □
Замечание 3.3.1. При каждом фиксированном х€ [О,Т]
соотношение (3.3.25) можно рассматривать как систему линейных
уравнений относительно ip(x,zo), zq € /. Но ряд в (3.3.25) сходится только
«со скобками». Поэтому (3.3.25) неудобно использовать в качестве
основного уравнения обратной задачи. Ниже мы преобразуем (3.3.25)
к линейному уравнению в соответствующем банаховом пространстве
(см.(3.3.41)).
Обозначим
Yic = diag[Jl/fc]l/=7^zT« ^Юк = ^ь ^пк = А/ь
п—\ п—\
Me = ^2 Yk4hek), <Ple(x) = ^ Yk$(x> XUk),
к=\ . к=\
п—\ п—\
9и(*) = ££(*>«П, Р£(*. А) = 5^Ре*(х, A, Atefc)yfc,
к=\ к=\
п-1 _
G(l0e0UU)(x) = Y^ УкоСЛх>КеоМ'Х1ек)Ук, е,60 = 0, 1.
fc,fc0=l
Аналогично определяются Л/£, <ри(х), С(/о£о)>(/£)(х). Рассмотрим V —
упорядоченное множество индексов v = (/,£),/ ^ 1, е = 0, 1 (е
меняется быстрее); V — упорядоченное множество индексов j = (v,k) =
= (/,£, /с), v Е V, к = 1,п — 1 (А: меняется быстрее). Введем матрицы
<й(х) = [$v(x))vevt = [<Pj(x)]J£Vt g*{x) = \<ft(x)]u£v = \9j(x)]jev,
G(x) = [GVo>v(x)]VOtV(zv' = [Gj0tj(x)]j0ijev,
vo = (io.eo). jo = (^O.fco) = (*о.е<ь*о).

302 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Л = diag[Au]u€v". J = didLg[(-\)€E}v(zv', J\ = [8io,i0vo,v}vo,v£V'i
0VV = E, 0(/,o),(/,i) = -Et 0(u),(i,o) = 0» E = [^fc]/i,/c=i^zr-
Аналогично определяются матрицы </?, G, Л. Обозначим
wik(x) = /fc"n+1 exp(-x/ctg -^), ^ofc(x) = &u4(s).
гуп)к(ж) = «4 (ж), гу(х) = diag[^(x)];€l/.
Покажем, что имеет место оценка
\$<f\x)\ < СГ«&(*). j € V.
В самом деле, по построению ifj{x) = фик(х) = Фк+\,{о){%Лик)-
Из асимптотической формулы (3.1.14) следует, что при
достаточно больших / (I > /+) Afc+i(A/efc) ^ 0 и, следовательно, lfj{x) =
= Фк+\(х,\1£к). В силу (3.1.20) справедлива оценка
\¥k^l(xA)\<C\prn+k+l\exp(pRk+ix)l peS, XeGsw
Тогда, используя (3.1.14), находим: \Ф^{(х,\1ек)\ < Clvw*k(x), I > 1+.
Отсюда и вытекает искомая оценка для |<£г. (ж)|. Используя лемму
Шварца [206, с. 363], получаем
Аналогично
ЩМ(х)\ < СГШх))-1, \д^\х) - д№(х)\ < ^"«(х))"1.
\GMm(x) - Gj0,m)(x)\ < j-щ^ ■ -jj-^j-.
|G(j0.o.fco)j-(a;) - G(Je.lffcd)j(x)| < |/_<q| + 1 • -j^j-
Те же оценки верны и для </?(я), G(x).
С учетом введенных обозначений соотношения (3.3.24)-(3.3.26)
принимают вид
оо
Ф(х, Л) = Ф(х, Л) + Y,(Pio(x, A)Wo(*) - Рп(х, А^пО*)). (3.3.29)
i=i
оо

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 303
оо
= H(^('o.eo),(«.0)(a;)G!(t,0).(J1,£i)(:E) ~ G(f0.£o),(U)(z)G(U)i((b£l)(x)J,
или
£(*) = (Я + G(x)7)v»(x), (3.3.30)
(E + G{x)J)(E-G(x)J) = E, (3.3.31)
причем, как и ранее, ряды в (3.3.30), (3.3.31) сходятся «со скобками».
Далее, согласно лемме 3.3.5, имеем
1<р(х) = А$(х), (3.3.32)
Р'ф, А) = Ф{х, \)Гк(х), &(х) = (р(х)?{х), (3.3.33)
1
£(-1)£(р,£(х,А)(А£-Л,£) - (Ф(х,Х),д*и(х))ё)Ых) = 0, (3.3.34)
£=0
(a(£ + G(x)J) - (Е + G(x)J)A\>p(x) = (9(i),j'(i))jM4 (3.3.35)
Пусть
£#"-' <оо.
ОО
1-1
/=1
Обозначим
оо
i/4-s^n-l. (3.3.36)
Функции tjU(x), ^(х), ^(х) определим по формулам (3.2.20)-(3.2.22).
Лемма 3.3.7. Справедливы соотношения
п-\
ри(х) = Pv(x) + еи(х), щиа = ^ u^atjv{o), а = 0, Г. (3.3.37)
j=o
Доказательство. Дифференцируя соотношения (3.3.29) по х
и учитывая (3.3.33), (3.3.36), (3.2.20), вычисляем
^^(х)Ф^(х,Л) = Ф^)(х, А) +
i/=0
оо
+ £(£„,(*■ А)^*) - Рп(*, А)^*))- (3.3.38)

304 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Далее, с учетом (3.3.29), (3.3.32), (3.3.34), имеем
*Ф(х, Л) = 1Ф{х, А) + £(рю(х, А)^о(х) - Рп{х, A)fyn(aO) +
+ (Ф(х, А),5Г(а:)>г Jv?(x). (3.3.39)
Из (3.3.39), с учетом (3.3.38), (3.1.22), как и при доказательстве леммы
3.2.3, получаем: pv{x) = Pv(x) + ev{x), v = 0, n — 2.
Обозначим
i/=0 j=0
Из (3.3.38) следует, что
и^а(Ф(хЛ)) = Ща(Ф(хЛ)) +
оо
+ J2(flo(a, A)tf€e(Wo(*)) - fl, (а, А)[/?а(у?п(*))).
или, в координатах:
оо п и—\
+EE((E^(a'A'A^-i^(A^-1))-
^a($i/,<0>(z,A/,i,-l))-
При а = 0, используя следствие 3.3.2, получаем: и$о(Фк) =^fb С ^ &,
и, следовательно, f/^o = Що- Аналогично доказывается, что U^t = Щт-
Лемма 3.3.7 доказана. □
Обозначим
ф(х) = w~l(x)Jiif{x)y Н{х) = w-\x)JlG(x)JJ^[w(x),
ф{х) = w-\x)J\4>{x)% Н{х) = w-\x)JxG{x)JJ\Xw(x).

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 305
(3.3.40)
Очевидно, что имеют место оценки
|$">(*)|<СГ |ЯА»|< 17-^L_,
\H^(x)\<C(l + l0)4i, JJoeV.
Аналогичные оценки верны для tjj(x)t Н(х).
Тогда соотношения (3.3.30), (3.3.31) принимают вид
ф(х) = (Е + Н{х)Щх), (3.3.41)
(Е + Н(х))(Е - Н(х)) = Е, (3.3.42)
причем ряды в (3.3.41), (3.3.42) сходятся абсолютно и равномерно
по х Е [0, Т]. Уравнение (3.3.41) называется основным уравнением
обратной задачи. Меняя местами L и L, получаем аналогично
ф{х) = {Е- Н{х)Щх), {Е - Н{х)(Е + Н(х)) = Д. (3.3.43)
Рассмотрим банахово пространство m ограниченных
последовательностей а = [aj]j£v с нормой ||a||m = sup \olj\. Из (3.3.40), (3.3.42),
з
(3.3.43) следует, что при каждом фиксированном х Е [0, Т] оператор
Е + Н(х), действующий из га в га, является линейным ограниченным
оператором,
ЦЯ(х)||
m—*m — Slip £|tfjoj(*)|<C£> (3.3.44)
30 j ,
причем оператор E + H(x) имеет ограниченный обратный.
3.3.3. Необходимые и достаточные условия. В этом пункте
устанавливаются необходимые и достаточные условия разрешимости
рассматриваемой обратной задачи.
Теорема 3.3А.Для того чтобы матрица М(Л) Е W была
матрицей Вейля для LGVjjf, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия: _
1) (асимптотика) существует пара L Е V'N такая, что
оо
J^Z"-1 <оо;
1=\
2) (условие Р) при каждом фиксированном х Е [0, Г] линейный
ограниченный оператор Е + Н(х), действующий из га в га, имеет
ограниченный обратный;
3) £v(x) Е Wu+n, v = 0, п — 2, где функции еи(х)
определяются по формулам (3.3.36), (3.2.20)-(3.2.22), ^(х) = J^xw(x)(E +
+ tf(x))-lV(x).
Яри выполнении этих условий дифференциальное уравнение и
линейные формы L = (£,U) строятся по формулам (3.3.37).

306 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Необходимость условий теоремы 3.3.1 доказана выше в
п. 3.3.1-3.3.3. Докажем их достаточность. Пусть гр(х) = [^j(x)]JeV —
решение уравнения (3.3.41). Нетрудно убедиться, что функции
ipj(x), у = 0,n—l, абсолютно непрерывны при х е [0,Т] и
щУ\х)\ < С1и'. Определим функции (р(х) = [ipj(x)]J£V = [<pv{x)]l£Vi
по формуле ip(x) = J^lw(x)ip(x).TorAa
ф(х) = (Е + G(x)J)(p(x), (3.3.45)
причем \^\х)\ < Cl"wtk(x), \ip%l(x) - ^]к(х)\ < C^wfk(x). Постро-
им функции Ф(я, А) = [Фк(х, A)]jT — по формуле
оо
Ф(х, А) = Ф(х, А) - Y,(flo(*. A)W0(x) - Pii(x, \)<pn(xj)• (3-3.46)
Из (3.3.45), (3.3.46) следует, что при фиксированном х е [0, Т]
функции ф(^(ж, А), ^ = 0, п, являются мероморфными по А и <Pj(x) =
— Фк+\,(0)(х>)ч£к)- Отметим также, что в силу леммы 3.3.5 имеют
место формулы (3.3.32)-(3.3.35). Построим дифференциальное
уравнение и линейные формы L = (£,U) по формулам (3.3.37), где функции
£„(ж), tjV{x) определены по формулам (3.3.36), (3.2.20)-(3.2.22). Ясно,
что L G Удг.
Лемма 3.3.8. Имеют место равенства
£<р{х) = А<р(х), £Ф{ху А) = АФ(х, А).
Доказательство. Дифференцируя соотношения (3.3.45),
(3.3.46) по х и учитывая (3.3.33), (3.3.36), (3.2.20), получаем
п
^2Ых)^\х) = (E + G(x)J)<f(j\x), (3.3.47)
i/=0
п
Y^ ^(х)Фм(х, А) = Ф<%, А) +
i/=0
оо
+ £(Р(0(х, А^х) - РпСх.А)^^)). (3.3.48)
Из (3.3.47), с учетом (3.1.22), (3.3.36), (3.3.37), (3.2.20)-(3.2.22), имеем
П
(Е + G{x)J)l<p{x) + (ф(х),?(х))~еМх) = £(?„(*) +
п п—1
+ Y, рЛ^Лх) + ^£^х,0(х))^(х) = ^(х). (3.3.49)
j=i/+l j=0

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 307
Аналогично доказывается справедливость соотношения
оо
Й(х, Л) = £Ф(х, Л) + ]Г (fio(x, A)£ipi0(x) - Рп (х, A)tyn (х)) +
+ (Ф(х,А),0*(х))г,7у>(х). (3.3.50)
Из (3.3.49), с учетом (3.3.32), (3.3.35), следует, что
Щх) = {Е + G{x)J)£ip{x) + (а(Е + G{x)J) - {Е + G(x)J)aWx),
или
(Е + G(x)J)(itp(x) - Аф)) = 0.
Согласно условию Р теоремы 3.3.1 заключаем, что £<р(х) = А<р(х).
Далее, из (3.3.50), с учетом (3.3.34), вытекает
оо
Щх, А) = 1Ф(х, А) + 53(рю(ж. А)Лю^о(х) - Ы*> А)Лп^п(ж)) +
+ 53((Ф(х,А),5ю(х)>гу>,0(а;) - (Ф(*.А).Ям(а:)>г¥>п(аО) =
ОО
= №(x,A) + A5^(flo(x,A)Wo(x)-fli(x,A)Wl(x))f
z=i
г=1
и, следовательно, №(х, А) = АФ(х, А). Лемма 3.3.8 доказана. □
Центральное место в доказательстве достаточности теоремы 3.3.1
занимает следующая лемма.
Лемма 3.3.9. Справедливы соотношения
и&(Фк(х,\)) = б£к, £=l,fc; t/er(<M*,A))=0, £=l,n-fc,
т.е. Ф(х, А) — решение Вейля для L.
Доказательство. Используя равенства (3.3.48) и (3.3.37),
получаем
и^а(Ф(х,Х)) = Ща(Ф(х,Х)) +
ОО
+ £(Рго(а, \Ща(ч>ф)) ~ -Рп(а, A)I/C„(W,(ж))),

308 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
или, в координатах:
ОО 71 I/ — 1
/=1 и=2 j=\
-^Dfc>,A,A^_,)^^ (3.3.51)
j=l
Пусть a = 0. Последовательно положив в (3.3.51) £ = п,п — 1,..., 1
и учитывая следствие 3.3.2, вычисляем : C/^o(^fc(^» А)) = <$££. £ = 1.&-
Пусть а = Т. В дальнейших преобразованиях используются
свойства Si, S2 и следствие 3.3.2. Запишем (3.3.51) в виде
br€T(*fc(x,A)) = t^r(*fc(x,A)) +
00 fc n
-^(^btT^J^-O^T^MOl^Vi))). (3.3.52)
v-2
Отсюда при Л = A/0tfc_i, A = \\^м-\ имеем
Щт($к,(0)(х> Кк-\)) = UzT(*k,{0){x> Кк-\)) +
ОО fc п
+£(£ДуЛ0)(г.Ч*-ьЧЛ S ^(A^-i)^T(^,<o)(^Au-i))-
к _
-]^(О(0>^)^(ГД^-1Д^-1)^г(Ф^(0>(жД^-1))),
i/=2
* = 2~п, (3.3.53)
^т(Ф*,<0)(я, Ajo.fc-l)) = ^Т(ФМ0)(х, 4,fc-l)) +
00 fc n
+£(£ А«.<о)(Г, Aie.fc-1. Ay) JZ -Viv(Aj.v-i)^r(«v.(o>(a;.Ai.„-i)) -
(=1 j=i f=j+i
-^Р<о>^)к1/(Т,А1вЛ_,,А,^-|)-^Сг(Ф|,.<о)(х,А,.1,_,))),
i/=2
к = 2~п. (3.3.54)

§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов 309
Соотношения (3.3.53) оставляем без изменения, а соотношения (3.3.54)
заменяем их линейными комбинациями^ Для этого при фиксированном
// = 1,п — 1 умножаем (3.3.54) наЛ/^А^-О и суммируем по к от /х +
+ 1 до п. Получаем
оо М
^(^(ЛГ^(0))^(Т,Л/о,м,Ли)х
i=i j=i
п
-^(^D(0)^)^(^4,/x^^-i) х
i/=2
х^т(Ф,,(о>(^Аи-1)))=0, (3.3.55)
£ = 1,п — /X, /X = 1,П - 1,
При фиксированном 5(1 < 5 ^ п — 1) рассмотрим систему, состоящую
из уравнений (3.3.55) при /i = 1,5 и уравнений (3.3.53) при к = 2,5.
Используя условие Р теоремы 3.3.1 и свойство 5г, находим
l^T($^(0)(z>Au-i)) = Щт(Ф»,(0)(хЛ1,у-\)) =0, i/= 1,5- 1,
п
X] ^(A^-i)^r($^(0)(z>AjfI/_i)) =0, j = Т75, С = 1,П-5.
Подставляя эти соотношения в (3.3.52), приходим к равенствам
и$т(Фк{х,\)) = 0, £ = 1,п - /с. Лемма 3.3.9 доказана. □
Лемма 3.3.10. Матрица М(\) является матрицей Вейля для L.
Доказательство.Обозначим через Mj^(A) = £/fo($fc)> М°(А) =
= [M&(A)]fc,5=u матРИ1*У Вейля Аля L* М°'*(А) := (М°(А))-1.
Покажем но индукции, что М*,*+7(А) = Af£fc+ (А) при 7^1-
Так как Af(A0) = М(_1)(Ао)(М(о)(А0))~\ то
Л^ДАо) = AfiI/f<-i>(Ao) + J>(Mr,r+et 5 = l.iz-j-l, г > 1). (3.3.56)
Из (3.3.51) при а = 0, используя лемму 3.3.9, следствие 3.3.2 и (3.3.56),
получаем
ОО -х
й»+,(л)=мг,+,(л,+х;(^-^) +
+ ^7(Mr,r+j,Mr,r+j, j = 1,7-1. г>1). (3.3.57)

310 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
В частности, при 7 = 1 имеем
со
Mfe°fc+1(A) = X;f^ = Mfc,fc+1(A).
Далее, равенство (3.3.46) можно записать в виде
Ф(ж, Л) = Ф(х, А) - JZ ^(х' Л> лоМ*> Ао),
где ф(х, Ао) = УФ(о>(ж, Ао), J = Л U Л. Тогда
Ф(_1)(х,20) = Ф(_1)(х,г0)- ^ Р(_1)(х,го,Ао)^(х,Ао).
л0€/
В силу (3.3.11) имеем
P(-i)(s, ^0, А0) = Af{z0)P{0)(x, г0, А0) - фо, A0)#(Ao)yT.
и, следовательно,
Ф(_1)(Х,20) =Л/'(2:о)Ф(0)(х,2о)-
- ^2 ^(го)^(о)(ж, г0, Ао)^(х, А0) -f Af{zo)YT(p(x, z0) =
А0€/
= Л/,(20)Ф(0) (s, г0) + Л/,(г0)Ф(0)(ж, г0) = Л^(г0)Ф<0) (х, г0).
Отсюда вытекает, что ЛГ(А0) = М(0_1)(Ао)(М(00)(А0))-1 = ЛЛ>(А0). В
силу свойства 5г имеем: Л/1)(Ао)Л/1)(Ао) = Л/г(Ао)Л/'(Ао) = 0. Тогда,
согласно лемме 3.3.3, матрица М0,*(А) имеет лишь простые полюсы. Кроме
того, получаем, что А/т = А^т, где {А^т}^1 — собственные значения
краевых задач Sm для L.
Из результатов, полученных в п. 3.3.3, вытекает, что
Mfc,fc+7(A) = M°fc+7(A) + E(frg - frg) +
+ ^(Mr.r+j, Mr°r+j) j = "Гт^Т, r > 1), (3.3.58)
где #L = ResAfL(A). Если Mr,r+j(A) = Af°r+j(A). j = 1.7-». r >
^ 1, то, сравнивая (3.3.57) и (3.3.58), получаем: Mr,r+7(A) = M£r+7(A).
Лемма 3.3.10 доказана. □
Попутно доказано, что матрицы М(А), М*(А) имеют только
простые полюсы, т.е. L € V'N. Таким образом, теорема 3.3.1 полностью
доказана.

§3.3. Восстановление дифференциальных операторов 311
3.3.4. Устойчивость решения обратной задачи.
Вышеприведенный метод позволяет исследовать и устойчивость решения обратной
задачи по матрице Вейля. Пусть L е V'N, и пусть L eV^ выбрана так,
ЧТО оо
А* :=£&"-* <оо.
i=\
Величина Л° будет характеризовать «близость» матриц Вейля М(Л)
и М*(А).
Теорема 3.3.2. Существует S > 0 (зависящее от L) такое, что
если Л° < 5, то
max \$\х)-$\х)\ < СЛ°, 0^j^i/^n-2; \щуа-щиа\ < СЛ°.
Здесь и далее в п. 3.3.4 одним и тем же символом С будем
обозначатьразличные положительные константы в оценках, зависящие
только от L.
Предварительно докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 3.3.11. Существует S > 0 (зависящее от L) такое, что
если on
А':=5;йГ-2<5,
/=1
то
\ф^\х)\ < С1\ \ф{У\х) - ф{?\х)\ < С1У~ХК\
jeVy i/ = 0,n-l. (3.3.59)
Доказательство проведем по индукции. При этом будем
использовать оценки (3.3.40). Уравнение (3.3.41) запишем в координатах:
Ы*) = Ых) + Т,ИкА*Ш*)> Joe к (3.3.60)
jev
При фиксированном х £ [0, Т] это уравнение в банаховом
пространстве т. Согласно (3.3.44) можно выбрать 5 > 0 так, чтобы при Л1 < 5 :
||Я(я)||т_>ш = sup V \Hj0tj(x)\ < -.
io£VjeV z
Тогда из (3.3.60) имеем: \ipj(x)\ < С, j G V. Отсюда и из (3.3.60)
получаем
jev
r>n ОО
Z-,|/-/0| + l /о f-' *о

312 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Таким образом, оценки (3.3.59) при v = 0 доказаны.
Предположим, что оценки (3.3.59) доказаны при v = 0, s - 1.
Дифференцируя (3.3.60), вычисляем
*£\х) = *£(х) + ]Г 2^ЯЙ(х)^м)(х). jo е V, (3.3.61)
ИЛИ
где
Ы*) = &>(*) + £ fciojW&W' Л ^ V. (3.3.62)
fyojfr) = НкЛХ) Js> Zj(X) = Ja*l>j\x)i
m=i j<=v
Используя оценки (3.3.59) при v = О,5 — 1 и (3.3.40), получаем
Ых)\ < С, sup £ |Л^-(х)| < С^ & L < СА1.
Выберем 6 > 0 так, чтобы при Л1 < 5 :
||Л(я)11т-т = SUp Y" \hj0tj(x)\ < -.
Тогда из (3.3.62) находим: \£j(x)\ < С, j € V, или |^5)(х)| < C/s, j е
е V. Отсюда и из (3.3.61), (3.3.40) имеем
Й>(*) - 1#>(х)| < СЕ Е |ЯЙ(х)^-^(х)| < с/г'л1.
Лемма 3.3.11 доказана. D
Доказательство теоремы 3.3.2. Выберем 5 > 0, как в лемме
3.3.11. Пусть Л° < 5. Тогда, в силу леммы 3.3.11, имеют место оценки
(3.3.59). Так как J\ip(x) = w(x)ip(x), т.е.
<Рюк{х) - <pi\k(x) = &wffc(x)^0fc(x), фщс{х) = w*lk(x)iplxk{x),
то из (3.3.59) получаем оценки
\yf\x)\<Cl»wUx),
»^_,»
№*)-ч>Ж*)\ <сьгь,;к(х), v = o,n-i.
(3.3.63)

§ 3.3. Восстановление дифференциальных операторов 313
Используя (3.3.36), (3.3.63) и полученные в п. 3.3.3 оценки для функ-
ции g^ J{x), ^0у(а:) -ftifc (х)« находим
оо
/ = 1
Следовательно, с учетом (3.2.20), (3.2.21), имеем
оо оо
\t%\x)\ < С$>/'"-|'-|+'\ \&Нх)\ < С^^Г-^1+^. (3.3.64)
Из (3.3.37), (3.2.22) вытекает, что
п-2
рЛ^) = &/(я) ~ ^Z Pj(x)tjv(x)> ^ = 0, п — 2.
Отсюда, используя (3.3.64), последовательно при и = п — 2,п-3, ...,0
вычисляем JSy (х)\ < СЛ°, 0 < j ^ 1л Аналогично получаем оценку
\Щиа\ < СЛ . Теорема 3.3.2 доказана. П
Иногда удобнее работать в пространстве 1/2(0, Т). Будем говорить,
что L е V'N2, если LeVI, и p<?+N)(x) е 12(0,Т). Отметим, что для
L € V'N2 имеют место асимптотические формулы (3.3.1), (3.3.2), где
{Щт}> {Щтк}* {x?mfc} ^ h- Аналогично теореме 3.3.1 доказывается
следующая теорема.
Теорема 3.3.3. Для того чтобы матрица М(Х) Е W была
матрицей Вейля для L е V^2, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия: _
1) (асимптотика) существует пара L € V'N2 такая, что
E^.(^"+7V-')2<c»;
2) выполняется условие Р.
Отметим, что при «малых» возмущениях условие Р автоматически
выполняется, т.е. справедлива следующая теорема.
Теорема 3.3.4. Пусть задана пара L G V^2. Тогда существует
S > 0 (зависящее от L) такое, что если матрица М(\) Е W
удовлетворяет условию
оо 1
Л+:=(Х>Р+"-')2)2<<5,
то существует единственная пара L е У^2, для которого матрица
М(Л) является матрицей Вейля. При этом
\\рУЧх) - р1%)11ыо.г) < СА+, O^j^u + N,
\Щиа-и^\<СА+, (3.3.65)

314 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
где константа С зависит только от L.
В самом деле, в силу (3.3.44) можно выбрать 6 > О так, что при
Л+ < 6 ||#(x)||m_>m < 1, х е [О,Г], и, следовательно, условие Р
выполняется. Доказательство оценок (3.3.65) аналогично доказательству
теоремы 3.3.2.
3.3.5. Контрпример. Пусть для определенности п = 3. Покажем,
что если из матрицы Вейля М(Х) выбросить функцию Вейля М\з(\)у
то единственность решения обратной задачи нарушится. Другими
словами, функции Вейля Mj2(A), М2з(А) не определяют однозначно
дифференциальное уравнение и линейные формы L.
Рассмотрим L = (£, U) вида
_ 1у = у"', Ula{y) = y"(a)+5ay'(a),
U2a(y) = у'{а)% U3a(y) = у(а). а = О, Т.
Пусть функции Xk(x,X) являются решениями уравнения у'" = Ху =
= р3у при условиях Xfr~~ (О, А) = <$„*., и, к = 1,3. Тогда
з
Xk(z,\) = ^(^)l-fcexp(p^x). (3.3.66)
j=\
_ хк-\
В частности, Хь(х,0) = jr—-тт. Очевидно, что при А = О
Ац(0) = Д22(0) = Ai2(0) = 0 (3.3.67)
при любых йо, olt- Выберем коэффициенты 5о, ост так, чтобы
функции Дц(А), Д22(А) имели только простые нули. Покажем, что такой
выбор возможен. В силу^симметрии достаточно рассмотреть функцию
Д22(А) =Х1,,(Г,А)+атХ[(Т,А). Используя (3.3.66), вычисляем
А22(А) = АХ2(Т, А) + йгАХз(Т, А),
~ ~ ~ ~ ~ уо.б.Ьо)
ЗД22(А) = (2Х2(Т, Х)+ТХ{(Т, А)) +5Т(Х3(Т, Х)+ТХ2{Т, А)).
Обозначим через В множество нулей функции
Д(А) := ХХ2(Т, А) (Х3{Т, А) + ТХ2(Т, А)) -
- ХХ3(Т, А) (2Х2{Т, А) + ТХх (Т, А)),
и пусть В{дст) = {Ао : Аг2(Ао) = Дг2(Ао) = 0} — множество кратных
нулей функции А22(Х). Ясно, что В(5т) — конечное множество. Если

§3.4. Самосопряженный случай
315
Л0 е В(5Т), то, в силу (3.3.68), А(Л0) = 0, т. е. В(ат) С В. Далее, если
q^ ф ат и Ло £ В(ат) П В(а^), то из (3.3.68) вытекает, что
А0Х2(7\ Л0) = Л0Х3(Т, Л0) = 2Х2(Т, А0) +
+ ГХ, (Т, Л0) - Х3(Г, Л0) + ГХ2(Г, Л0) = 0.
Так как 2Х2(Г,0) + TXi(T.O) = ЗТ ^ 0, то Л0 ф О и, следовательно,
Xi(T, Ло) = X2(r, Ло) = Хз(Т, Ло) = 0, что невозможно. Таким
образом, если а^ ф 5т. то В(ат) П S(5^) = 0. Отсюда, из соотношения
В(&т) С В и непрерывности В(ат) вытекает, что существует 5т, для
которого В(ат) = &•
Определим теперь матрицу М(Л) = [Mmk{X)}mk=^ Mmk(X) =
= <5mfc, m ^ /с, по формулам
М12(А) = М12(Л), М23(Л) = М23(Л), М13(Л) = М13(А) 4- £, (3.3.69)
где 0 — комплексное число. Из (3.3.67), (3.3.69) следует, что при
достаточно малом в М(Х) Е W и удовлетворяет условиям теореме
3.3.4. Тогда, согласно теореме 3.3.4, существует L Е V^2. Для которого
М(Л) является матрицей Вейля.
§ 3.4. Самосопряженный случай
Рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные формы L = (£, U)
вида (3.1.1)-(3.1.2) на полуоси (Т = оо). В §3.1, 3.2 приведено решение
обратной задачи в общем несамосопряженном случае. Центральную роль при
этом играло основное уравнение обратной задачи. Одним из условий, при
которых произвольная матрица М(Х) будет матрицей Вейля для некоторого
несамосопряженного дифференциального оператора, является разрешимость
основного уравнения. В общем случае это условие труднопроверяемо. В связи
с этим важной задачей является описание классов операторов, для которых
разрешимость основного уравнения может быть доказана. Одним из таких
классов является класс самосопряженных операторов. В этом параграфе
исследуется обратная задача в самосопряженном случае. Доказывается однозначная
разрешимость основного уравнения, получены необходимые и достаточные
условия разрешимости обратной задачи и алгоритм ее решения по матрице
Вейля. Некоторые различия в обозначениях указаны ниже.
3.4.1. Свойства матрицы Вейля. Пусть для определенности п =
= 2т, о~£ = п — £. Обозначим
(y(x),z(x))e= £ "£ (-l)aCip{;-Jlt(x)y^HxJWx). (3.4.1)
v+j^n-\ s=j

316 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
где С{ = s\(j\(s — j)!)~l. Предположим, что L = L*, где сопряженная
пара L* = (£*,£/*) определяется соотношениями
п-2
Гг = г<пЧ£(-1Г(МФГ.
п
(У(х),г(х))е1х=0 = S(-l)^,^(y)^+i.0W. (3.4.2)
При любых достаточно гладких функциях у(х), г(х) имеем: Eyz -
— y£z = -r-(y,z)e. В частности, если функции у(х, A), z{x%p) являются
решениями уравнений £у = Ay, £z = /ху, то
— (y(z,A)fz(x,p))flx=0 = (A-/i)y(x,A)z(x,/l). (3.4.3)
В § 3.1 доказано, что функции Вейля Мк^(Х) регулярны в П(_1)* за
исключением не более чем счетного ограниченного множества полюсов
Л^ и непрерывны в П(_1)* \ {0} за исключением ограниченных
множеств Afc£. При |А| —> сю Мк^(Х)р^~к = 0(1). Обозначим Л = (JA/c^,
Mj^ = lim Мц(Х ±iz), z —> 0, Re z > 0, -oo < A < oo;
Qkt(\) = (2m)-l(M^(\) - M+ (A)), Qk(X) = Qfc|fc+i(A).
Наряду j: L рассмотрим дифференциальное уравнение и линейные
формы L того же вида, но с нулевыми коэффициентами. Для
упрощения выкладок ограничимся случаем отсутствия дискретного
спектра. Будем говорить, что L G VjJ, если ри(х) G W^+n. Л = 0,
Л^(А)/*-* = 0(1), А -> 0; Qfc(A) = 0(р—2), |А| - оо, и L G V^
если L G V$, L = L*. Решение обратной задачи будем искать в классах
Удг. Отметим, что L G V^ при любом N > 0. Условие <3fc(A) = 0(р~п"2)
не является ограничением и введено для упрощения выкладок.
Теорема 3.4.1. Пусть L G V^. Тогда матрица Вейля М(А)
обладает следующими свойствами:
1)М^(А) = 4С, к>Ь
2) функции Мц(Х) регулярны в U(-\)k и непрерывны в П(_1)* \ {0};
3) функции Мц(Х)р^~к ограничены;
4) функции Мк^(Х) — Mfc,fc+i(A)Mfc+i^(A) регулярны при A G Г(_1)*;
5) Qk(X) = Q(p-"-2),lAl^oo;
6) Mfcffc+i(A) = Mn_fc,n_fc+i(A);
7)(-l)mQm>0, А€Г(.,)т.
Отметим, что Qk(X) = О при А G Г(_!)*-1, и функции pQk{X)
непрерывны и ограничены при A G Г(_1)ь.
Свойства 1-5 частью очевидны, частью доказаны в §§3.1, 3.2. Они
не связаны с самосопряженностью оператора. Докажем свойства 6 и 7.

§3.4. Самосопряженный случай
317
В силу (3.4.3) имеем: — (Ф&(х, Л), Фп_^(х, А))^ = 0. Так как Rn-k =
-Rk+\ и
\Ф{ки)(хЛ)\ < C\p\»+k-n\exp(pRkx)l
(3.4.4)
то
lim (Ф*(х, Л), Фп-/с(х, А))* = 0.
я—»оо
Следовательно, (Ф/с(х, А), Фп_^(х, А))£|х=о = 0. Используя (3.4.2),
получаем
п
^(-\)^1Що(Фк(хЛ))ип^10(Фп-к(хЛ)) = 0,
C=i
т.е. Mk,k+\W — Mn_fc>n_fc+i(A). Отсюда, в частности, вытекает, что
функция Qm{\) вещественна. Пусть /(х) £ W4 финитна и /(0) = 0.
Рассмотрим функцию
оо
У(х,А) = [ G(x,t,A)/(*)dtf
где
G(x,U) = V(4)H *H+'(£iM^- х<<*
^ [Ф;(х,А)Фп^|(и), х>*.
j=i
Преобразуем У (х, А) к виду
тп
у(хЛ) = {^-{У~1{
j=l
Ф,(х, \)№n-j+\ (*, X)f(t) dt +
+
Фп_,+1(х,АКФ,(^,А)/(0^).
Интегрируя дважды по частям слагаемые со старшими производными
и используя оценки (3.4.4) и соотношение
^(_1)^1фИ(х,Л)фп_^1(х>Л) = ^,п_ь
вычисляем: У (ж, А) = А"!(-/(х) + Z(x, А)), где Z(x, А) =0(р~!), |р|
—> оо равномерно по х ^ 0. Следовательно,
lim
Я—оо
2тгг
т ф У(х,А)с(А + Дх)
= 0.
(3.4.5)
|Л|=Я

318 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Так как п
и функции Mfcf(A)p£~fc ограничены, то G(x,t,£) = 0(р1~п) равномерно
на компактах и, следовательно,
1
lim .
£—►0 2пг
|А|=в
Y(x,\)d\ = 0. (3.4.6)
Функции Ф/Дх, А) — Mk,k+\W$k+\(x> А) регулярны при A G Г(_1)*.
Тогда из (3.4.5)-(3.4.6), применяя метод контурного интеграла, получим
разложение
/(*) =
Г(-1)
F(A)<£m+1(x,A)(-l)mQm(A)dA, (3.4.7)
ОО
F(A):= [/(х)Фт+1(х,А)<Ь;
о
равномерно на компактах. Следовательно,
ОО
||/(x)|2dx= [ \F(X)\2(-l)mQm(X)dX. (3.4
8)
Известными методами спектральной теории дифференциальных
операторов можно доказать, что соотношения (3.4.7), (3.4.8) справедливы
для всех функций f(x) € 1/2(0, со) и (-l)mQm(A) > 0, А Е Г(_1)т.
Отметим, что соотношение (— l)mQmW > 0 может быть выведено и
непосредственно из свойств матрицы Вейля. Теорема 3.4.1 доказана. □
Теорема 3.4.2. Пусть L £ V^. Тогда матрица Вейля М(Х)
однозначно определяется заданием функций Qi(A),... , Qm(A) по
формулам
Qn-kW = Qk(\), *=1,т-1, (3.4.9)
Мц{Х)= \ QfcM^+uM ^ fc<€f А€П(.|)к. (3.4.10)
J Х- р
[(-l)k
В самом деле, функции Мц{\) регулярны в П(_1)*, непрерывны
в П(_1)к \ {0} и Мц(Х)р^~к ограничены. Следовательно,
Affc£(A)= J Tiy^- (3-4.П)
r<-i)fc

§ 3.4. Самосопряженный случай
319
Так как функции Мц(Х) — Mk,k+\(X)Mk+\,t{\) регулярны при Л €
Е Г(_1)*, то Qk$W = Qfc(A)Mfc+it£(A), и (3.4.10) доказано.
Соотношение (3.4.9) является следствием свойства 6 теоремы 3.4.1. □
Замечание 3.4.1. Формула (3.4.10) верна и для случая L € V$,
а также для любой матрицы М(Л), обладающей свойствами 1-4
теоремы 3.4.1.
Введем обозначения: у?(х, Л) = [х((—1)'с""1А)Ф^(х, A)]f_— — вектор-
столбец,
—вектор-строка, \(А) функция Хевисайда,
г(»Ар)=№(а,?,<К*,',)>г, (3.4.12)
оо оо
Ч„(х) = [ |дМ(х,А)(/>(х, Л) | dA, 7м (*) = [ дМ^,%й (х, A) dA, (3.4.13)
— оо —оо
tiv(x) = - ££=„+, CjCjs-iyp-v-ij-ffi1)' 3>v, )
> (3.4.14)
<j„(z) = (5jv, j < i/, J
n—i/—1
&,(*) = (-1Г7п-,-1.о(*) + £ C^-,-i7n-,-s-i.,(*), (3.4.15)
n-2
Ы*) =&/(*)- X] ФЛх)ЪЛх)> ^ = 0,n-2. (3.4.16)
Теорема 3.4.3. Я/я/ фиксированном x ^ 0 вектор-функция
(p(x, А) является решением линейного интегрального уравнения
оо
£>(я, А) = <р(а;, А) + r(x, A,/i)(^(x, д) d/x. (3.4.17)
— оо
Уравнение (3.4.17) называется основным уравнением обратной задачи.
Теорема 3.4.4. Справедливы соотношения
п-\
ри(х) = фи(х), щи0+ ^2 Hjotjv(0)=0. (3.4.18)
j=i/+i
Теоремы 3.4.3, 3.4.4 являются очевидными следствиями теоремы
3.2.1 и леммы 3.2.3. Отметим, что (3.4.17) является интегральным

320 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
уравнением Фредгольма, причем
оо
sup |(ft(x, A)r(x, A,/i)$l_1(x,/x))jfc|d/i < oo,
— oo<A<oo J
—oo
где Q(x, A) = di&g[pn~k exp(—pRkx)]k=Y^- Следовательно, оператор
oo
AfW = /(A) +
Q(x, A)r(x, X,p)Q (x, p,) f (p) dp
-oo
является линейным ограниченным оператором, действующим из В в Б,
где В — Ц£х{—оо,оо) — банахово пространство вектор-функций
z(X) = [^j(A)]J=f^rT» А е (-oo, oo), Zj(A) G Loo(-oo,oo) с нормой
NIb = YJjZx IkjIUooC-oo.oo)-
3.4.2. Решение обратной задачи. В этом пункте приведена
теорема о разрешимости основного уравнения в самосопряженном случае
и дано решение обратной задачи. Обозначим: W — множество матриц
М(А) = [Мц(Х)]к с=у^> обладающих свойствами 1-7 теоремы 3.4.1.
Теорема 3.4.5. Пусть М(Х) е W. Тогда при каждом
фиксированном х ^ 0 уравнение (3.4.17) имеет и притом единственное
решение в классе fi(x, А)</?(х, A) Е В.
Доказательство. Достаточно доказать, что однородное
уравнение оо
Л(ж,А)+ | r(x,A,/x)h(x,/x)d/i = 0, (3.4.19)
— оо
где ft(x, A)/i(x, A) Е В, /i(x, А) = [/ifc(x, А)]:Г —, имеет только нулевое
решение.
Рассмотрим функцию
В(х,\) = ^(-1у-1Я,(х,А)Яп_,+1(х,А), (3.4.20)
j=\
где вектор-функция #(х, А) = [Я?(х, А)]т=-р- определяется
соотношением оо
я(хА) = _ 7 (!(^МкМ1|М)ф. (3.4.21)
J А — р
Запишем (3.4.19), (3.4.21) в координатах:
J=2 г
(^(х,А),Фп-;>2(х,м))^ х
А — р
х Qj_l(p,)hj{x,p)dp = 0, (3.4.22)

§3.4. Самосопряженный случай
321
Я*(*,А) + ]Г(-1)'--
3=2
(<£fc(s,A),<£n-j+2OE,/i))?
Л — /i
к (-i)j-1
х Qj_i(/i)/ij(x,/i)d/i = 0. (3.4.23)
Ясно, что при фиксированном х^О функции Нк(х,Х) регулярны
в П(_!)ь и Нк(х,Х) = hk(x,Л) при Л ё Г(_!)к-1, к = 2,п. Из (3.4.23)
также следует, что
Я*(х, A) -Affciib+i(A)Hfc+i(a;f А) = -Mkik+i(\)Hk+i(xt\) +
, А) - Mfc.fc+i (А)Фь-н (ж, A), ^W-J>2(g, Ар)?
I Х-и
j=2r#
+ у* Г (Ф*(ж,<
(-i)J-
х Qj-\(fjL)hj(x,iJ,)diJL.
Так как функции Ф/Дх, А) — Mkik+\(\)&k+\(x,\) регулярны при AG
6 Г(_1)*-1 и так как в силу (3.4.3) при |А — /i| ^ 6о
(§fc(x,A),$n_j+2(x,/x))j _
А — fi
А — /i
Ф*(*,А)ФП_Я.2(*,/1)Л (3.4.24)
(о = 0 при j</c+l,Ha = oo при j > к + 1), то все слагаемые в сумме
при j ф к + 1 являются регулярными при Л 6 Г^)*. Поэтому
Нк(х,Х) - Mktk+i{\)Hk+i(x,X) = -МЦ+|(А)ЯН1(1,А) +
(-1)
fc+1
Г (Ф*(ж,А) -Mfcjb+i(A^fc+i(g^)^w-fc+2(s,;i))^
А — /х
L(-Dfc
х
Qk(fi)Hk+l(x, fi) dfi + ПИ{х, X) = (-Mfc>fc+i(A)4-
+ [ |^d|i)fffc+1(x,A)+nfc2(^A),
(-i)fe
где функции Qfc5(x, А) регулярны при A £ Г^^ь. Следовательно,
функции #fc(x,A) - Мк>к+\(Х)Нк+ i(x, А) регулярны при A G Г(_!)*.

322 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Из вышеприведенных свойств функций #&(х, А) вытекает, что при
фиксированном х ^ О функция В(х, А) регулярна в П(_1)т и
непрерывна в П(_1)т \ {0}, а функция
Я(х, А) + (-1 )тМт,т+1 (А)Ят+1 (х, А)Ят+1 (х, А)
регулярна при А Е Г(_1)т. Кроме того, так как П(х, А)/г(х, А) Е В, то
из (3.4.20), (3.4.22) и (3.4.23) следует, что
lim тг^
Я-юо 2т
В(х, A) dA = 0, lim J-т
|А|=Я |А|=£
Я(х,А)с*А = 0.
Отсюда получаем
(-l)mQm(A)|/im+1(x,A)|2dA = 0.
Г(_,)т
Так как (-l)mQm(A) > 0, то /*m+i(x, А) ее 0.
Покажем теперь по индукции, что /ij(x, А) = 0 при j < m+ 1.
Предположим, что при некотором к < m соотношения /im+i(x, А) = ...
... = /ifc+i(x,A) = 0 уже доказаны. Из (3.4.23) и предположения
индукции следует, что функция рп~кНк{х,\) является целой по р
и \[mpn~kHk(x, А) = 0 при \р\ —у оо. Отсюда получаем, что Я^(х, А) =0
и, следовательно, /i^(x, А) =0.
Далее, покажем по индукции, что /i;(x, А) = 0 при j > га-Ь 1.
Предположим, что при некотором к^ т+ 1 соотношения /гг(х, А) = ...
... = /ifc(x, А) = 0 уже доказаны. Но тогда Hj(xt А) = О при j = 2,..., к.
Учитывая, что функция Я^(х, А) — Mfcffc+i(A)fffc+i(a:, А) регулярна при
А Е Г(_п*, получаем: Qfc(A)i//c+i(x, А) =0, А Е Г(_1)*. Так как Qfc(A) =
= Q\p~ + 0(р~2), Q^ т^ 0 при \р\ —> оо, то в силу аналитичности
имеем: Нк+\{х,А) = 0 и, следовательно, /ifc+i(#,А) = 0. Теорема 3.4.5
доказана. □
Теорема 3.4.6. Для того чтобы матрица М(Х) Е W была
матрицей Вейля для L Е V^, необходимо и достаточно, чтобы
sup7I/(x) < оо, ip„(x) eW„+N, */= 0,n-2, (3.4.25)
где функции 7^(x) и т/^(х) строятся по формулам (3.4.13)—(3.4.16),
а вектор-функция (р(х,Х) является решением уравнения (3.4.17).
При этом дифференциальное уравнение и линейные формы L = (£, U)
строятся по формулам (3.4.18).
Доказательство. Необходимость теоремы очевидна.
Докажем достаточность. Пусть <^(х,А) — решение уравнения (3.4.17),

§3.4. Самосопряженный случай
323
П(х, А)у?(х, Л) е В. Построим функции Ф(х, Л) = [Ф/Дх, А)]?1 у— по
формуле
Ф(х,А) = Ф(х,А)-
f (Ф(х,А),д(х,/1))?
А — /х
</?(х, /i) d/i
(3.4.26)
и построим дифференциальное уравнение и линейные формы L = (£, U)
по формулам (3.4.18). Покажем, что Ф(х, А) — решение Вейля,
а М(Х) — матрица Вейля для L.
Функции Фь(х, А) регулярны в II(_i)fc, и Ф^(х,А) = <рд.(х,А),
A Е Г(_1)л-1. Нетрудно получить, что функции ip^v\x, А), z/ = 0, п— 1,
абсолютно непрерывны по х и при фиксированном х ^ 0
р_1/П(х, А)(/?(х, А) е В. Дифференцируя соотношения (3.4.17) и (3.4.26)
по х и учитывая (3.4.3), получаем
^tjv{x)ftv\x4\) = <p(J\x,\) +
^=о
r(x, A, /i)</?^(x, /х) d/x,
n w ~
2^(х)фМ(х.А) = Ф0)(х,А)+ (Ф^-^м))гуО)(а;,м)ф,
i/=0
А — /х
Следовательно, с учетом (3.4.12)—(3.4.17), имеем
ир(Фк(х,\)) = и&{Фк{х,\)) +
+
(Ф,с(х,А),<г(х,/х))£~
А — /х
я=0
Uzo(<Pk(x,v))dn, (3.4.27)
^х, А) = £(р(х, А) +
r(x, A, /х)£(/?(х, /х) d/x +
+ | (<£(x, A),g(x,/x))^(x,/x)d/x, (3.4.28)
£(Ф(х,А)) = г(Ф(х,А)) +
(Ф(х,А),(?(х,/х))г
A — /x
#p(x, /i) d/x +
+
(Ф(х, A), q(x, fi))j<p(x, /x) d/x. (3.4.29)

324 Гл. 3. Обратные задачи для дифференциальных операторов
Обозначим: Л(х, А) = £tp(xt Л) - А<р(х, А). Из (3.4.28), (3.4.17) и (3.4.12)
вытекает, что
h(x,\) +
r(x, A, p)h(xy р) dp = О,
причем Q(x, X)h(x, A) £ J5. В силу теоремы 3.4.5 имеем: h(x, А) = О,
т.е. £<р(х,Х) = \(р(х,А). Отсюда и из (3.4.29), (3.4.26) вытекает, что
^Ф*(ж,А) = АФ/с(х,А), к= 1,п.
Перепишем соотношение (3.4.27) в виде
£/{o(*fc(a;,A)) = t^o(§fc(x,A)) +
(3.4.30)
J=2 1
(Ф<с(х,Л),Фп-^+2(а:.м))?
А — д
х=0
(-1)3-
х д_,_,(м)С/?0(ФП^м))^- (3.4.31)
Используя (3.4.24) при j < /с + 1 и (3.4.31), вычисляем
£/£о(Ф*) = ^*. £0, (3.4.32)
l/*+i.o(*fc) = A/fc.jfe+i(A) +
Qkjfj.)
А — ji
dn = Mk,k+x(\). (3.4.33)
L(-Dfc
С учетом (3.4.1) запишем соотношение (3.4.26) в виде
Ф*(*.А)=Фк(х,А)- ^ Се (-^^pfc+.w)
хФ^(х.А)
q(i)(x,p)ip(x,p)
X — р
dp. (3.4.34)
Обозначим: Ge = {А : |А| ^ е, arg(±A) ^ (-£, е)}, £ > 0. В
области G£ имеем: |А - р\ ^ Се|А|. Отделим в (3.4.34) слагаемое с j = п - 1
и получим
где
Фк(х, А) = Ф^ж, А)(1 4- А(х, А)) + Вк{х, А)
Л(ж,А) =
(3.4.35)
gf(n~1)(a;i^)(^(x,/i)
А — р
dp,

§3.4. Самосопряженный случай
325
а для функций Вк(х,Х) в силу (3.4.25) справедлива оценка
\Вк(х,\)\ < C\p\n-k+l\exp{pRkx)l А е Ge. (3.4.36)
В силу (3.4.30), (3.4.32) функция Фп(х,А) является решением Вейля
для L. Поэтому Фп(х,А) = a„exp(pRnx)(\ +0(p~lJ), а„^0 при \р\ —>
—> оо. Такая же асимптотика имеет место и для Фп(х,А). Из (3.4.35)
при к = п вычисляем: А(х,\) = (Фп(х, А))-1(Фп(х, А) — В„(х, А)) - 1
и, следовательно, А(х, А) = 0(р~'), |р| —> оо. Отсюда и из (3.4.35)-
(3.4.36) заключаем, что
\Фк(х, А)| < С\р\к~п\ exp(pRkx)l х ^ х0 > О, XeG£.
Таким образом, функции Ф^(х, А), к = 1,п, являются решениями
Вейля для L.
Обозначим через М°(А) матрицу Вейля для L. Из (3.4.33)
имеем: Mfc,fc+i(A) = Af£fc+1(A) и, следовательно, Qk{\) = Q°k(\). Как
и при доказательстве теоремы 3.4.5, можно получить, что функции
Фк(х, А) - Мк,к+\(х> Х)Фк+\(х, А) регулярны при A G Г(_1)/с. Функции
Ф/с(х, А), М^ непрерывны в П^)* \ {0}, и М^(Х)р^~к = 0(1). Таким
образом, L Е V$. В силу замечания к теореме 3.4.2 имеем
<(А)= | Q*M^.e(A) d/i> (з.4.37)
r(-ofc
Так как М(А) € W, то имеет место формула (3.4.10). Сравнивая
(3.4.10) с (3.4.37), получаем: М°(А) = М(А), т.е. М(А) является
матрицей Вейля для L.
Осталось показать, что L = L*. Очевидно, что L* £ У$. Пусть
N(X) — матрица Вейля для L*. Тогда Nkik+\(\) = Mn_jt,n-fc+i(A),
что аналогично свойству 6 теоремы 3.4.1, но для несамосопряженного
случая. С другой стороны, по условию Mkik+\(\) = Мп-куП-к+\(\).
Следовательно, Mkfk+\(X) = Nktk+\(\), к = 1,п- 1, и в силу (3.4.10)
М(Х) — N(X). Отсюда по теореме единственности решения обратной
задачи по матрице Вейля имеем: L = L*, т.е. L Е V^. Теорема 3.4.6
доказана. □

Глава 4
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
Исследуется обратная задача спектрального анализа для
несамосопряженных систем дифференциальных уравнений на полуоси. Дана постановка
обратной задачи, доказана теорема единственности, получена конструктивная
процедура решения обратной задачи и необходимые и достаточные условия
ее разрешимости.
§4.1. Свойства матрицы Вейля
4.1.1. Основные понятия. Рассмотрим следующую систему
дифференциальных уравнений на полуоси:
£Y(x) := Q0Y'(x) + Q{x)Y(x) = pY(x), х > 0. (4.1.1)
Здесь Y = [ук]^=— — вектор-столбец (Т — знак транспонирования),
р — спектральный параметр, Q0 = di&g[qk]k=T^, Q{x) = [qkj{x)}ktj=j^,
где qk ф 0, к = 1,п, — различные комплексные числа (т.е. qk ф qj
при к ф j), и qkk(x) = 0. Матрица Q{x) называется потенциалом. Через
Wn обозначим множество функций /(х), х > 0, таких, что f^(x), v =
= 0,N — 1, абсолютно непрерывны и f^v\x) 6 1/(0, оо), v = 0, N. Будем
говорить, что £ е Vjsfy если qkj(x) € W#. k,j = 1,п. Будем
рассматривать оператор £ в классах Vn, N ^ I. Обозначим Во = Q^1» т.е.
В0 = diag[/?fc]fc=T^, где /?fc = 1/фс-
Обратным задачам для систем дифференциальных уравнений
посвящено много работ (см. исторический очерк). Некоторые системы
исследуются аналогично оператору Штурма-Лиувилля. К ним
относятся системы Дирака, AKNS и их обобщения. Для таких систем
может быть использован метод оператора преобразования, и
полученные результаты в основном аналогичны результатам для оператора
Штурма-Лиувилля. Однако в общем случае решение обратных задач
для систем вида (4.1.1) сталкивается с существенно более серьезными
трудностями, характерными и для случая операторов высших
порядков вида (3.1.1) с интегрируемыми коэффициентами. В данной
главе исследуется обратная задача для несамосопряженных систем вида
(4.1.1) на полуоси в общем случае, т.е. с произвольным расположением
корней характеристического многочлена и с произвольным
поведением спектра. В качестве основной спектральной характеристики для
(4.1.1) вводится и изучается матрица Вейля, которая является аналогом

§4.1. Свойства матрицы Вейля
327
матрицы Вейля, введенной в гл. 3 для оператора (3.1.1). Обратная
задача для систем (4.1.1) оказывается существенно более трудной, чем
для операторов (3.1.1), что связано с появлением новых качественных
аспектов в поведении матрицы Вейля и в исследовании основного
уравнения. Развивая идеи метода спектральных отображений, мы даем
конструктивную процедуру решения обратной задачи восстановления
системы (4.1.1) по заданной матрице Вейля, доказываем теорему
единственности и получаем необходимые и достаточные условия
разрешимости этой нелинейной обратной задачи.
Приведем постановку обратной задачи. Известно (см. [237, 209]),
что р-плоскость можно разбить на секторы Sj = {р : argp G (0j, fy+i)}»
j = 0,2r - 1, 0 ^ #o < 01 < ••• < #2r-i < 27г, в каждом из которых
существует перестановка ik = ik{Sj) чисел 1,...,тг, такая, что числа
Rk = Rk(Sj) вида Rk = Afc обладают свойством
Re(pRx)<...<Re(pRn), peSj. (4.1.2)
Доопределим 0j+2fcr := 0j» Sj+2kr '= Sj, к G Z, и обозначим Tj =
= {p : argp = 9j}. Ясно, что Г^/сг := Г/, /с £ Z. Отметим, что число 2г
секторов Sj зависит от расположения чисел {Pk}k=Tn на комплексной
плоскости, причем 1 ^ г ^ п(п — 1)/2. Например, если все /?*. лежат
на одной прямой, проходящей через начало координат, то г = 1. Этот
случай называется вырожденным.
Пусть задана матрица h = [h^y\cv=Yn, det/i ^ 0, где /i£„ —
комплексные числа. Рассмотрим линейные формы U(Y) = [Щ{У)]Тт^
вида U(Y) = АУ(0), т.е. £/с(У) = [Ась.... А€п]У(0). Обозна"
ЧИМ fimA:0b---.im) = ЩЧ^=1^Г\,к, v=T^i> ^(ji, . . . , jm) • =
= ^m(J!,...,jm), fig :=1. Пусть
^(г,,...,гт)^0, m=U^T, j = 0,2r-l, (4.1.3)
где г/с = ik{Sj) — вышеупомянутая перестановка для сектора Sj.
Условие (4.1.3) будем называть условием информативности для
пары L = (£,[/). Системы, которые не удовлетворяют условию
информативности, обладают качественно другими закономерностями при
постановке и исследовании обратных задач и в данной работе не
рассматриваются. Без ограничения общности можно считать, что
выполняются следующие условия нормировки: deth= 1 и для некоторого
фиксированного сектора (для определенности для сектора So) имеем:
^ттп(^ь ••• >*т) = 1, m = 1,п — 1. Везде в дальнейшем будем считать,
что условия информативности и нормировки выполнены.
Отметим, что при любой матрице Qo условие информативности
(4.1.3) выполняется для широкого класса матриц h. В самом
деле, обозначим через Г2 множество матриц h, у которых все
миноры Qm(j\,... ,3т) отличны от нуля при любых га = 1,п и j\,...,jm
(1 ^ 3\ < h < • • • < jm ^ га). Ясно, что если h Е ft, то условие информа-

328 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
тивности (4.1.3) выполняется для любой матрицы Qq (т.е. для любой
системы вида (4.1.1)).
Матрица Вейля. Пусть вектор-функции Фт(£,р) = [Ф^т(£,р)]:Г —,
т= 1,п, являются решениями системы (4.1.1) при условиях и^(Фт) =
= <^т. € = Um, а также Фт(х, р) = 0(ехр(рЯтх)), х —> со, р £ Sj,
в каждом секторе Sj со свойством (4.1.2). Здесь и в
дальнейшем <^т — символ Кронекера. Ниже будет показано, что эти
условия однозначно определяют решения Фт(х,р). Положим Мт^{р) =
= С^(Фш), £ > т, М(р) - [AfmC(p)]miC=ur> Afm^(p) = <^m при £ < m,
Ф(х, р) = [Ф1 (X, р), . . . , Ф„(х, р)] = [Ф*т(х, p)]ktmssJji. ФУНКЦИИ Фт(х, р)
и Мт^(р) называются решениями Вейля и функциями Вейля
соответственно. Матрица М(р) называется матрицей Вейля (MB) или
спектром L — (£, U). Отметим, что MB является треугольной матрицей
и det А/(р) = 1.
Постановка обратной задачи. Зафиксируем матрицу Qq, т.е.
числа /3/с = 1/<?ь к = 1,п, считаем известными и фиксированными.
Обратная задача ставится следующим образом: по заданной MB М(р)
построить пару L = (£, U).
4.1.2. Свойства матрицы Вейля. По построению имеем
ЩФ) = кФ(0)=Щр), где N{p) = MT{p). (4.1.4)
Пусть С(х,р) = [С,ьп(х,р)]/ст=т-^ — матричное решение системы
(4.1.1) при начальных условиях U(C) = /iC(0, р) = Е (здесь и далее
через Е обозначаем единичную матрицу соответствующей размерности
или единичный оператор в соответствующем банаховом пространстве).
Другими словами, вектор-столбцы Ст(х, р) = [С^т(х,р)]^=у^, т =
= 1,п, являются решениями (4.1.1) при начальных условиях Щ(Ст) =
= <^т, £> тп = 1, п. Функции Cfcm(x, р) являются целыми по р при
каждом фиксированном х. Ясно, что
Ф(х, р) = С(х, р^р) или Фш(х, р) = Ст(х, р) +
п
+ ^ Мтк(р)Ск(х,р), (4.1.5)
det С(х, р) = det Ф(х, р) = exp(p(/?i + ... + /?п)х). (4.1.6)
В р-плоскости проведем разрезы вдоль лучей Г, и обозначим через
rf = {р : argp = 0j ± 0} берега разрезов. Положим Sj = 5j U Гt и
/2r-l ч 2r-l
иГ"+, и обозначим Е = С\ ( |J ГЛ = U ^' "~ р-плоскость без
J Vj=o ' j=o
_ 2r-l_
разрезов вдоль лучей Гу, а Е = |J Sj — замыкание Е (различаем
берега разрезов).

§4.1. Свойства матрицы Вейля
329
Зафиксируем j = О,2г - 1. При р G Tj строгие неравенства в (4.1.2)
в некоторых местах превращаются в равенства. Пусть mi = rrii(j), р^ =
— Pi(j)i i— 1> 5* таковы, что при p G Tj
Re(p/?mr_i) < Re{pRmi) = .. •
... = Re(p#m,.+pJ < Re(p#m.+Pt+i), г = TTs,
где Д/с = RkjSj). Обозначим Nj := {m : m = mi, mi + pi — 1,...
...,ms,m5 +ps - 1}, Jm := {j : m G TV,}, <ym = [j Tj. Пусть Em =
= С \7m — р-плоскость без разрезов вдоль лучей из 7m> а Ет —
замыкание Ет (различаем берега разрезов). Ясно, что область Em = |J5mi/
и
состоит из секторов Smi/, каждый из которых является объединением
нескольких секторов Sj с одним и тем же набором {«Rf Ь=т-^-
Пример 4.1.1.Пусть п = 4, /?i = 1, ft = 2, /?3 = 3, /?4 = -г. Пусть
р = сг + гг. Тогда г = 4, Го = {р : г = сг, <т > 0}, Ti = {р : г = 2сг, а >
> 0}, Г2 = {р : г = За, а > 0}, Г3 = {р : а = 0, г > 0}, Г4 - {р : т =
= а, а < 0}, Г5 = {р : г = 2а, а < 0}, Г6 = {р : г = За, а < 0}, Г7 =
= {р : а = О, г < 0}, N0 = 7V6 = {1}, Nx = N5 = {2}, N2 = N4 = {3},
JV3 = {1,2}, JV7 = {2,3}, ^={0,3,6}, J2 = {1,3,5}, J3 = {2,4,7}, 71 =
= Г0иГ3и Г6, 72 = Ti U Г3 U Г5, 73 = Г2 U Г4 U Г7.
Теорема 4.1.1. (i) Функции Вейля Mmk{p), k > m являются
аналитическими в Ет за исключением не более чем счетного
ограниченного множества h.'m полюсов и непрерывны в Ет (т.е. они
непрерывны в каждом секторе Smi/) за исключением ограниченного
множества Ат. Точнее, при j G Jm, р G Tj \ Лт существуют
конечные пределы M^k(p) = limMmfc(z), z —> р, z G Em, ±(argz — fy) > 0.
Ha 7m функции Mmk{p) имеют разрезы.
(ii) Если I € Vn, N ^ 1, mo npu |p| —» oo, p € S,- имеем
N " /IN
Mmfe(p) = £^ + 0(-L), (4-1.7)
i/=0 ^
где 0
,,0 ^mfc(Zl , . . . , ZmJ . . / £f \ (A 1 Q\
^mfc = 7^7: ~T' Zfc = z*wj)> (4.1.8)
SZm(Zi,... ,lmJ
w коэффициенты pvmk = p^^Sj) зависят от j,h и Q^(0), г =
= 0,i/- 1.
Доказательство. Пусть (, G Vn, N ^ 1. Зафиксируем
а ^ 0. Известно (см. [243, 217]), что при х ^ 0, р G Е, р ^ ра
(ра = 0(max ||^ь(х)||//(аоо))) существует фундаментальная система
решений (ФСР) Va — {Ук(х,р)}к=т^ системы (4.1.1) со следующими
свойствами:

330 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
1) Yk(x,p) непрерывны при х ^ 0, р е Sj, \р\ ^ ра при каждом
j=0,2r-1;
2) Yk{x,p) аналитичны при р е Sj, \р\ ^ ра при каждых
j = О,2г - 1, х ^ 0; _
3) для \р\ —> оо, р 6 Е, равномерно пох^а
П(*,/>) = exp(p/9fcx)(£; &*м+0Ш),
Ы*) = в*£=й- (4.1.9)
Зафиксируем j = 0,2г — 1. Пусть р £ Sj, а = 0. Обозначим
А°тк(р) = det[t/c(yiJ]$=i:^rT>fc;1/=T^. (4.1.10)
С помощью ФСР Т>а имеем представление
п
®m(x,p) = ^2,dmk{p)Yk{x,p), m= 1,п.
fc=i
Используя краевые условия на Фт(х,р), получаем
$m{x,p) = ^dm,tfc(/9)yifc(a;lp)f (4.1.11)
771
/с = 1
Поэтому
В частности, из (4.1.9), (4.1.11) и (4.1.12) вытекает, что при \р\ —*
—► ос, р G 5j, равномерно по х ^ О
m
Фт(х.р) = J2^P(pRkx)([Sm,ik<fmAk)Tk=ul + 0^), (4.1.13)
/с=1
где
/_ 1 \т + к
<$пЛы = ЖТ- ~Т det^^]c=Trr^T; и=Т^\к • ** = *fc(5i)-
S2m(zi,...,zm)
В частности, это дает
&.i~ = ^f----,im:l)*<>- (4-114)
^m(l\,...,lm)

§4.1. Свойства матрицы Вейля
331
Так как Мтк{р) = £4(Фт), то из (4.1.11) и (4.1.12) имеем
A?nfc(p)
Мтк{р) =
vO
г(р)
Отсюда, с учетом (4.1.9) и (4.1.10), приходим к (4.1.7).
Фиксируем а ^ 0, т = 1,п — 1. Известным методом (см., например,
[250]) можно доказать, что существует ФСР Т>ат = {Уьт(х,р)}к=у^,
х > 0, р е Е, |р| ^ ра системы (4.1.1) со свойствами:
0 УьпОе.р) = yifc0E.p). fc = m+ l.n, ifc =ik(Sj)\
2) при fc = l,m функции yfc°m(x,p) аналитичны при р G Em, \р\ ^ ра и
непрерывны при я ^ 0, р Е Ет, |р| ^ ра; _
3) У^°т(д:,р) = 0(ехр(рЯтх)), \р\ —> оо, р е Ет, равномерно по х ^ а.
Таким образом, решения yfc0m(x, р), А: = 1,т, аналитичны в
секторах Smv более широких, чем 5^. Повторяя предыдущие рассуждения
для ФСР Т>ат, получаем
Мтк(р) = §^- ь^^щщМ^)] т (4.1.15)
Функции А1тк(р) аналитичны при р Е Em, |р| ^ ра и непрерывны при
р Е Ет, |р| ^ ра. Отсюда, используя (4.1.15), (4.1.7) и
произвольность а, получаем утверждение (i) теоремы 4.1.1. □
Отметим, что из (4.1.7) и (4.1.13) вытекают следующие оценки:
\Мтк(р)\ ^ С, \Фкт{х,р)\ < С|ехр(рЯшх)|,
pG5,, |р|^ро, i?m = i?m(5,). (4.1.16)
Обозначим Л' = (JA^, Л = (J^m- Рассмотрим дифференциальную си-
т т
стему и линейные формы L* = (£*,U*) вида
tZ{x) := -Z'{x)Q0 + Z(x)Q(x) = pZ(x), (4.1.17)
C/*(Z) = Z(0)/i*,
где Z = [zfc]fc=-j-^ — вектор-строка, /i* = [^]fc?=T-^ := <2o/i_1- Тогда
имеем: U*{Z) = [E/'(Z),....I/f(Z)], где £/*_?+1(Z) = Z(0)[h^)Tk=-.
Ясно, что
Z(a:)^y(x)-rZ(a;)y(a:) = ^(z(a:)QoVr(a;)), (4.1.18)
П
Z(0)Qo^(0) = tf*(Z)tf(r) = 5>n-€+.Wc(n (4.1.19)

332 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Кроме того, из (4.1.18) вытекает, что если £Y(x, р) = pY(x,p),
£*Z(x,fi) = pZ(x,p), то
(р - p,)Z{x, p)Y(x, р) = ± (z{x, fi)Q0Y(x, р)). (4.1.20)
Обозначим i?m := —i?n_m+i. Пусть вектор-функции Фт(х,р) =
= [&*km(x'P)]k=Tn' т = 1>п' являются решениями системы (4.1.17)
при условиях £^*(ФШ) = S^m, £ = 1, га, а также Фт(х, р) =
= 0(exp(pi?mx)), х —* со, р £ Sj, в каждом секторе Sj со свойством
(4.1.2). Эти условия однозначно определяют решения Фт(х, р).
Положим Ф*(х,р) = [Ф;_т+1(х,р)]т=— = [Ф;_т+1^(а:,р)]тЛ=Т^,
а также Af^fc(p) = Щ(Ф*т), М*(р) = №;_€+|.п_*+1(р)]м=т^
Af*(p) = (M*)T(p)-
Тогда
ф*(0,р)/г* = С/*(Ф*)=Л/'*(р). (4.1.21)
Обозначим: 7т = 7п-т, £т = Еп_т, Лт = Лп_т, Л^ = A^_m.
Свойства матрицы М*(р) аналогичны свойствам матрицы М(р). В
частности, функции Mmfc(p), к > т аналитичны в Ет за исключением
множества Лш полюсов и непрерывны в Еш за исключением
множества Лт. На 7т функции Mmfc(p) имеют разрезы. При |р| —> со, р Е 5j,
N *•" /14
ЛС*(р) = £^+*(4г). (4.1.22)
где коэффициенты pm^ = рт^(^) зависят от j, /г и Q^(0), г = 0, v — 1.
Кроме того,
|ЛСь(р)|<С, |Ф^(х,р)|^С|ехр(рДтх)|, pG5,-, \р\ > р0. (4.1.23)
ПОЛОЖИМ С*(х,р) = [Cn-m+l^.P)]^!^' ГДе ВеКТ°РЫ Ст(Х'Р) =
= [Cmfc(x, p)]fc=T-^ являются решениями системы (4.1.17)
при начальных условиях t^(Cm) = <^m» f,m = l,n (т.е.
U*(С*) — C*(0, p)/i* = £). Функции Cmfc(x, p) являются целыми по р
при каждом фиксированном х. Ясно, что
ф*(*.р) = лг*(р)с-(х,р) или Ф;_т(х,р) = с;_т(х,Р) +
п
+ £ Мп-т.*(р)С*(*./»). (4.1.24)
fc=n—m-f 1
detC*(x,p) =о^Ф*(х,р) = (detQ0)_1exp(-p(/?, + ...+ /?n)x).

§4.1. Свойства матрицы Вейля
333
Лемма 4.1.1. Справедливы соотношения
Ф*(х,р) = (<ЭоФ(х,р))-\ (4.1.25)
М*{р) = М~\р), Я*{р)=Я-\р), (4.1.26)
С{х, р) = Ф{х, р)М*{р) <* С{х, р) = Ф„(х, р)+
П
-fc+l,n-i/+l
(р)Фк(х,р),
с*(х,Р)=Щр)Ф*(х,р) ф> с;_„(*,р) = ф;_„(*.р)+ (4127)
п
к=п—1/+\
Доказательство. Обозначим Z = (Qo$)-1- Так как ZQoФ = Е,
то Z'<20$ + Щъ® = 0, или Q0$' = -^-1^'(5оФ- Так как Ф
удовлетворяет (1.1), то рФ - Q<& = -Z~xZ'Q^y или -Z~lZ'Q0 + Q = рЕ.
Таким образом,
e*Z(xtp)=pZ(x9p). (4.1.28)
Пусть Z(xyp) = [Zk(x, р)]Т=—, где Zk(xyp), к = 1,п, — строки
матрицы Z(x,p). Используя (4.1.19), вычисляем
п
Е = Z(0,p)Q0«(0,p) = ;>>*_с+1(ад(Ф),
e=i
или п
^[/^+1(^)[/((Фт)^тЬ U=U. (4.1.29)
Последовательно подставляя в (4.1.29) значения га = n,п — 1,..., 1
и учитывая соотношения £/$(Фт) = <^т, £ = 1,га, получаем
££-е+1(2*) = *е*. £ = fc^. (4.1.30)
Кроме того, в силу (4.1.16) имеем
\Zk(x,p)\ ^C\exp(pR*n_k+lx)\. (4.1.31)
Из (4.1.28), (4.1.30) и (4.1.31) вытекает, что Zk(x,p) = Ф*п_к^(х,р)у
т.е. Z(x,p) = Ф*(х,р), и (4.1.25) доказано. Далее, используя (4.1.25),
(4.1.19), (4.1.4) и (4.1.21), выводим
Е = Ф*(0,р)<30Ф(0,р) = и*{Ф*)ЩФ)=ЛГ*{р)ЛГ{р),
т.е. верно (4.1.26). Теперь, в силу (4.1.5) и (4.1.24), соотношения
(4.1.27) становятся очевидными. □

334 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Лемма 4.1.2. Справедливы соотношения
Ф*(0,ц)С}0Ф{09р) = jV*(fi)jV(p), (4.1.32)
Ф*(х,м)СоФ(*,р) _ М*{ц)Щр)
+ [ф*(*,/1)Ф(*,р)Л. (4.1.33)
о
Доказательство. В силу (4.1.4) и (4.1.21) имеем
М*{ц)Щр) = Ф*(0, ц)Л*ЛФ(0, р) = Ф*(0,д)д0Ф(0,р),
т.е. (4.1.32) доказано. Соотношение (4.1.33) является следствием
(4.1.20) и (4.1.32). □
Установим теперь так называемые структурные свойства MB,
которые играют весьма важную роль при решении обратной задачи.
При £ = 0, п — 2 построим функции В^^р), га = 1,п — £ - 1, к =
= га + £ + 1, п по следующим рекуррентным формулам:
В°тк(р) = Мтк(р),
BL(P) = B^Jip) - B^X+,(p)B0m+i,k(p). (4.1.34)
Используя (4.1.34), можно записать явные формулы для В^к(р):
ВЦР) = Мтк(р) +
+ Ю""1^ Yl Mm.m+h (p)Mm+jltm+j2(p) • • • Mm+jutk{p).
Лемма 4.1.3. Функции B^k(p) аналитичны в £т+£ \ Л^+^
непрерывны в £т+£ \ Лт+£ и имеют разрезы на 7т+£-
Доказательство. В силу (4.1.26) при к = га + £ + 1 имеем
Bi,mH+l(p) = -M*_m_c,n_m+1(p). (4.1.35)
Это дает утверждение леммы при к = га + £ + 1. Для /с > т + £ + 1
меняем местами линейные формы Uk и C/m+£+i и повторяем
предыдущие рассуждения. □
Теорема 4.1.2.
Функции В™)ГУ(р) аналитичны на Tj \ А'т
при j £ Jm, l^i/^ra^n—1, ra-fl^fc^n.
В самом деле, так как j £ Jm, то Tj С Em, и, следовательно, (4.1.36)
следует из леммы 4.1.3. П
Пример 4.1.2. Пусть п = 4, ft = 1, ft = 2, ft = 3, ft = -г
(см. пример 4.1.1). Тогда (4.1.36) принимает вид: функции

§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 335
Мхк{р) - М]2(р)М2к(р), к = 3,4 аналитичны на Го,Г2,Г4,Гб,Г7
без М2% а функции М24{р) - М23{р)М34(р), М14(р) - МХ2(р)М2А(р) -
- Mi3(p)M34(p) + М12(р)М2з(р)Мз4(р),
аналитичны на Го, Г], Гз, Г5, Гб
без Л3. Отметим, что согласно теореме 4.1.1 функции М\к(р) имеют
разрезы на Го,Гз,Гб, функции М2к(р) имеют разрезы на ГьГз,Г5,
а функция Мз4(р) имеет разрез на Г2,Г4,Гу.
§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля
4.2.1. Теорема единственности. Наряду с L = (£,U) рассмотрим
пару L = (£, U) того же вида, но с другими матрицами Q, h (напомним,
что матрица Qq известна априори и фиксированна). Везде в
дальнейшем считаем, что если некоторый символ а обозначает объект,
относящийся к L, то 5 обозначает аналогичный объект,
относящийся к L, и а := а — а. Пусть £у £ £ Удг, N ^ 1. Определим матрицу
Р(х,р) = [Pzk(x,p)]stkssjz по формуле
V{xyp) = Ф(х,р)ф-[(х,р). (4.2.1)
Другими словами,
V(;k{x> р) = (det Ф(х, р))~1 det[$i^(x, р),..., Ф/с-и(я, р),
Ф^(х, р), Ф^дДх, р),..., Фщ/(я, р)]1/=т^ • (4.2.2)
Перепишем (4.2.1) в виде
V(x, р)Ф{х, р) = Ф(х, р). (4.2.3)
Лемма 4.2.1. (i) При \р\ ^ ро равномерно по х ^ О
|*Ы*.р)|<С\ С*=ГН. (4.2.4)
(ii) Яры \р\ —> оо', р € 5;, argp = const, равномерно по х ^ О,
7>?fc(a;,p) = о(±), ^ fc, Pfcfc(x,p) = pg + o(i),
P/1
£,k = Tn, (4.2.5)
где
^=="Ьг м°-Л h\- ik=ik(S,). (4.2.6)
Если h = h, to (4.2.5) веряо при p € Sj, w V3k = 1, fc = l,n, j = 0,2r - 1.
Утверждения леммы вытекают из (4.2.2) в виду (4.1.13), (4.1.14)
и (4.1.16). Докажем теперь теорему единственности решения обратной
задачи восстановления L по MB.

336 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Теорема 4.2.1. Если М(р) = М(р), то L = L. Таким образом,
задание MB М(р) однозначно определяет потенциал Q{x) и
матрицу h.
Доказательство. Преобразуем матрицу V(x,p), используя
(4.2.1) и (4.1.5). При условиях теоремы имеем
Р(х,р) = Ф(х,р)ф-\х,р) = C(x,p)N(p)Kf-\p)C-\x,p) =
= С{х,р)С-\х,р).
Поэтому из (4.1.6) вытекает, что при каждом фиксированном х^О
матрица-функция V(x,p) является целой по р. Используя (4.2.4) и
теорему Лиувилля [206, е.209], выводим, что 7^(х,р) = V^k(x), т.е.
функции V$k не зависят от р. Вместе с (4.2.5) это дает: Р^(х, р) = 0
при £ф к и Ркк(х,р) = Vk- С другой стороны, Vk = V{, где V{
определены в (4.2.6). Так как h и h удовлетворяют условиям нормировки,
то для сектора So получаем, что П%(гь ... ,ik) = Щ(г\,... , г&), к = 0,п,
и, следовательно, Vk = 1, к = 1,п. Таким образом, V(x,p) = £, где
£ — единичная матрица. Вместе с (4.2.3) это дает: Ф(х,р) = Ф(х, р),
и, следовательно, Q(x) = Q(x). В силу (4.1.4) имеем: 1гФ(0,р) = J\f(p),
поэтому h = h. D
Следствие 4.2.1. Задание чисел рРтк = fJ^k(Sj) вида (4.1.8)
при всех т, к, j однозначно определяет матрицу линейных форм
h = Ы^=-ы-
В самом деле, если Q(x) = 0, то Мтк(р) = /i^fc(5j), р 6 5j, при
всех га,/с, j, и наше утверждение следует из теоремы 4.2.1. □
Замечание 4.2.1. Матрицу h можно конструктивно построить
по заданным числам {у>тк(&з)}- В самом деле, так как следствие
4.2.1 верно, в частности, и в вырожденном случае, а числа {^5L.(Sj)}
не зависят от {/?&}, то для построения h достаточно взять {/-^(Sj)}
только для двух секторов So и 5r: {p!^k(So)} и {p!^k(Sr)}. Вместе
с условиями нормировки это дает п2 соотношений для построения п2
чисел h^, £,i^ = 1,п. Нетрудно увидеть, что эти нелинейные
уравнения могут быть сведены к линейной алгебраической системе
относительно /г^, £, и= l,n, определитель которой в силу следствия 4.2.1
отличен от нуля.
4.2.2. Основное уравнение обратной задачи. Центральным
местом при решении обратной задачи является получение и
исследование так называемого основного уравнения, которое является особым
линейным интегральным уравнением (см. (4.2.28)). В этом пункте
дается вывод основного уравнения и доказывается его однозначная
разрешимость в сответствующем банаховом пространстве. Опираясь
на решение основного уравнения, мы получаем явные формулы для
построения L по заданной MB.

§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 337
Рассмотрим пары L = (£,U) и L = (£,U), где £, £ Е Vjy при
некотором N ^ I, причем
М(р) = 0(р-[), |р|-оо, (4.2.7)
т.е. Pmk(Sj) = $Lk(Sj) ПРИ всех m'k'j- Согласно_(4.1.7) и
следствию 4.2.1, условие (4.2.7) равносильно условию h = h. В р-плоскости
рассмотрим контур и = ur U cj+ U u;~ (с обходом против часовой
стрелки), где lj° — ограниченный замкнутый контур, охватывающий
2г-1
множество ЛиЛи{0} (т.е. Л U Л U {0} С into;0), и wf = М wf,
i=o
uf =Vf \ into;0. Обозначим Jw = {p : p ^ u; U into;0)}.
Теорема 4.2.2. Справедливы соотношения
Ф(х,р) = Ф(х,р) + — Ф(х,р)Ф*(х,/х)фо$(я,р)
Фф(х,0)<ЗоФ(х,р) _ ФЧ^брфоФрср) =
р-0 р-0
dp
р- р
р е Jw, (4.2.8)
1
2тгг
Ф*(х, ^)д0Ф(х, р)Ф*(х, p)Qo$(*, Р) ^
(р-в)(р-р)'
p90eJu. (4.2.9)
В (4.2.8) (и везде в дальнейшем, где это необходимо) интеграл
понимается в смысле главного значения ([88, с.27]).
Доказательство. Обозначим ur = (и П {р : |р| ^
< R}) 1){Р '• \р\ < д}- По теореме Коши ([206, с. 166]) имеем
*ы*>>-*-^|а*ьа=&*.
^Л
р£^П{£: £<Я}, £,fc=l,n. (4.2.10)
Так как h — h, то согласно лемме 4.2.1 получаем: Р^(х, р) — б^ь —
= 0(р~1) при \р\ —► оо, £,fc= 1,п, и, следовательно,
Я-юо 27гг J Р - М

338 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Поэтому при R —> оо (4.2.10) дает
V^k(x,p)-S^k = —
2тгг
Pgfc(g.M)
р- р
dp,, р G Juj , f, fc = l,n,
или, что то же самое,
V{x,p) = E +
Аналогично вычисляем
У{х,р)-У(х,в) = Jl_
р - в 2тгг
2ттг
р-р
Р(хф)
(р-0)(р-р)
dfi, р е Зш •
d/i, р,в е Ju
(4.2.11)
(4.2.12)
Используя (4.2.11) и (4.2.3), выводим
Ф(х,р) = Ф(£,/9) +
1 Г Р(х,р)Ф(х,р)
2ттг
р-р
dpi.
Учитывая (4.2.1), получаем
Ф(х,р) = Ф(х,р) +
1
2ттг
Ф(х,р)Ф '(х, р)Ф(х, р)
d/i.
Вместе с (4.1.25) это дает (4.2.8). Покажем, что
Ф*(я, e)Q0(V(xy р) - Р{х, 0))Ф(х, р) =
= Ф*(х, в)ОъФ(х, р) - Ф*(х, 0)Qo$(z, р). (4.2.13)
В самом деле, согласно (4.2.1) имеем: (Ф(х,в))~1/Р(х} в) = (Ф(х, б))"1,
или (Qo*(^^))-lQ0^(^^) = (Qo$(^^))_1Qo. Используя (4.1.25),
получаем: Ф*(х,6)С}оР{х,в) = $*(x,0)Qo. Вместе с (4.2.3) это дает
(4.2.13).
Из (4.2.12) и (4.2.13) вытекает, что
Ф*Ог,0)(ЭоФ(х,р) _ Ф*(х,0)(ЭоФ(г,р) =
р-в р-е
1
2тгг
f Ф*(х,0)доР(х,р)Ф(х,р)
(р-0)(р-р)
dp, р,в е Ju>
Ввиду (4.2.1) и (4.1.25) это дает (4.2.9).
□
Замечание 4.2.2. Подынтегральные выражения в (4.2.8) и (4.2.9)
на каждом разрезе ujf устроены очень удачно: они, как легко видеть,
состоят из слагаемых двух типов. Слагаемые первой группы имеют
разрезы на Г,, но они убывают на бесконечности и после соответствую-

§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 339
щих преобразований дадут абсолютно сходящиеся интегралы.
Слагаемые второй группы аналитичны на Г^ и одновременно они содержат
растущие на бесконечности экспоненты. Слагаемые второй группы,
в силу их аналитичности, могут быть уничтожены за счет склейки
берегов ujj' и и~ (и они должны быть уничтожены, чтобы убрать
растущие экспоненты). Именно этим мы сейчас и займемся. Для этого
докажем несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 4.2.2. При i/ = 1, п — 1, £ = О, п — v имеют место
соотношения
Ф„(*.р)- £ Вк»-1(р)Фк(х,р) = С1,{х,р) +
п
+ Yl Blk(p)Ck(x,p). (4.2.14)
Доказательство проводится индукцией по £. При £ = О равенство
(4.2.14) совпадает с (4.1.5). Предположим, что при некотором 5
соотношение (4.2.14) верно для £ = 0,5 - 1. Умножая (4.2.14) при £ = О
на B^m+vip) и вычитая полученное соотношение из (4.2.14) для
£ = s — 1, приходим к (4.2.14) при £ = s. □
Следствие 4.2.2. При v=\,n— 1, £ = О,п — и справедливы
соотношения
ФЛ*.Р)- Y, Mn-k+\,n-v+\(p)®k{x,p)=C„{x,p) +
к=и+\
п
+ J2 Blk(p)Ck(x,p). (4.2.15)
fc=i/+£+l
Соотношение (4.2.15) является следствием (4.2.14) и (4.1.35).
Лемма 4.2.3. Фиксируем j = 0,2г — 1. Пусть га,т + р— 1 £
Е Nj, т- \,т + р £ Nj. Обозначим
т+р
(р)Фк(х,р),
k=v+\
v = т,т + р— 1,
п—т-И
С£'*„(а:, р) = Ф;_„(*. р) + J2 Mn-k+\,v+\ (а>)Ф*(ж. /э),
к=п—v+\
и = т,т + р— 1.
Тогда вектор-функции С®(х,р) и С^'*^(х, р), v = тут + р— 1,
являются аналитическими на Tj \ Л'.

340 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Доказательство. В силу (4.2.15)
С°Лх, р) = С„(х, р)+ J2 B?+*-v{p)Ck{x, р).
k=m+p+ 1
Так как т + р $. Nj, то согласно теореме 4.1.2 функции B™£v~l\р) яв~
ляются аналитическими на Г^- \ Л', и, следовательно, вектор-функции
С^(х, р) аналитичны на Г^ \ Л'. Вектор-функции C%lt,(x, р) изучаются
аналогично. □
Определим матрицы А{р) = [ат/с(р)]т)А;=т^ и А(р) = [ат/с(р)]Ш)/с=т^
по формулам
А(р)=Я*(р)Щр) = -Я*(р)Щр),
А(р)=ЛГ*(р)Я(р) = -Я*(р)Щр).
Очевидно, что атк(р) = 0, amk{p) = 0 при га ^ /с, а при т > к имеем
т
атк(р)= ]Г М*_т+|§п_€+1(р)М^(р) =
m—1
= - Е ^n-m+Ln-e+i^MfceCp), (4.2.16)
т
атк(р)= JZ Мп-т+1,п-С+1(Р)М^Ы =
7П—1
= - Е Mn-m+l.n-C+l(P)M^(P)- И'217)
Лемма 4.2.4. Матрицы-функции Ф(х, р)Ф*(х, р) - Ф(х, р) х
х Л(р)Ф*(х,р) w Ф(х,р)Ф*(х, р) - Ф(х, р)А(р)Ф*(х,р) являются
целыми по р.
Доказательство. Используя (4.1.27) и (4.1.26), вычисляем
Ф(х,р)Ф*(х,р) = С(х,р)ЛГ(р)Ф*(х,р) = С(х,р)Я(р)Ф*(х,р) +
+ С(х,р)ЛГ(р)Ф*(х,р) = Ф{х,р)ЛГ{р)Я{р)Ф*(х,р) +
+ С(х, р)С*(х, р) = Ф(х, р)А(р)Ф*(х, р) + С(х, p)C*(s, р).
Так как С(х, р)С^(х, р) является целой jo р при каждом х, то матрица-
функция Ф(х, р)Ф*(х,р) — Ф(х,р)А(р)Ф*(х,р) также является целой
по р. Аналогично доказывается и второе утверждение леммы. □

§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 341
Фиксируем j = 0,2г — 1. Пусть Nj =_{т\,т\ +р\ - 1,...
• •• ,mSJms +ps — 1}, mi — 1,Шг + Pi £ Nj, i = 1, s. Введем матрицы
АЩр) = [а%(р))к^ АЩр) = [а^(р)]к^^ р € Г±. где
(j) i Qkz(p) при шг ^ £ < fc ^ rrii+pi, г =1,5,
10 — в остальных случаях,
~(3) ( \ _ \ ^к&) ПРИ Ш* ^ £ < к ^ тг+Рг, г =1,5,
10 — в остальных случаях.
JleMMj 4.2.5. Матрицы-фу*нкции^Ф(х,р]Ф*(х,р) — Ф(х,р) х
хА^(р)Ф*(х,р) ы Ф(х,р)Ф*(х, р) - Ф(х,р)А^)(р)Ф*(х, р) являются
аналитичными на Tj \ Л'.
Доказательство леммы аналогично доказательству леммы 4.2.4,
но вместо (4.1.27) используется лемма 4.2.3, и вычисления проводятся
по блокам, соответствующим га^га* +pi — 1 е Nj, г = 1,5. □
Для р е lj введем матрицы Л0(р), A)(p),F(x,p) = [Fvk{xyp)\vk=T^
по формулам
Г ло>(р), реы±, Г I«(p), pewf,
\ Л(р), pew0, \ А(р), реufl,
F(x,p) = Ф(х,р)А0(р)Ф*(х,р). (4.2.18)
Из (4.1.16), (4.1.23) и (4.2.16) вытекает, что
|F„fc(a;,p)|<C<5(p), а; ^ 0, р £ оА i/,fc=T~n, (4.2.19)
<5(р) = max \Mmk(p)\. (4.2.20)
771,К
Используя леммы 4.2.4 и 4.2.5, перепишем соотношения (4.2.8), (4.2.9)
в виде
Ф(х, р) = Ф(х, р) + ^\ F(x, /x)Q0$(x, р)-^-, р е J„ , (4.2.21)
Z7TZ I Р ~ Р
Ф*(х,в)д0Ф(х,р) Ф*(х,6>)(?оФ(х,р)
0-р 0-р
+ ' [ *4x,0)QoF(xp)Qo4x,p) = 0eJ (4222)
2т] (в-р){р-р)
Из (4.2.7), (4.2.19) и (4.2.20) вытекает, что интегралы в (4.2.21)
и (4.2.22) сходятся абсолютно. Таким образом, мы убрали растущие
экспоненты.

342 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Определим матрицу fi(/i,p) = [wkm(p» р)]к,т='Щ по формуле
n(litp) = M»W4»W(p). (4-2.23)
Очевидно, что икт(р,р) = О при к ^ т. Из (4.1.32), (4.2.18) и (4.2.21)
при х = 0 вытекает, что
Ф((М = Ф(о)Р) + ^
Ф(0,,*)П(/х,р) dM
р-/*
Умножая это равенство слева на вектор-строку [h^i,...,h^n] и
учитывая соотношение h = h, вычисляем
Щ(Фт(х, р)) = Щ(Фт(х, р)) +
П
( Е ^(*fc(^PK(/i,p))^;. (4-2.24)
+ 2тгг
fc=m+l
Лемма 4.2.6. Справедливо соотношение
Мр)Мр) = Ло(р)Мр) = Мр) ~ MP), PC"- (4-2.25)
Доказательство. При реи0 имеем
= М'{р)Я{р) -М*{р)Я{Р) = мр) - Мр),
А0{р)Мр)=Я*{р)Й{р)Я-{р)Н{р) =
= АГ'(р)Я(р) -М*{р)Щр) = Мр) - Мр),
и (4.2.25) доказано. При р е uf вычисления аналогичны и делаются
по блокам, соответствующим структуре множеств Nj. П
Перейдем теперь непосредственно к выводу основного уравнения
обратной задачи. При этом будем опираться на (4.2.21) (соотношение
(4.2.22) будет использоваться для доказательства разрешимости
основного уравнения). В контуре и удобнее склеить берега разрезов. Для
2г-1
этого в /9-плоскости рассмотрим контур и* := и0 \Ju\ где и1 = (J <jj,
Uj '■= {p : pG Tj \u0}, причем cjj ориентирован в сторону возрастания
модуля р. Из (4.1.33) вытекает, что
Ф**(х,р№оФ±(х,р)=ЛГ**(р)ЛГ±(р), Ф*±(х,р)ЯъФ±{х,р) = Е,
реи1. (4.2.26)
При реи* определим матрицы <^(х,/о), ф(х,р), G(x,p), G(x,p),

§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 343
S(p) и S(p) по формулам
<р{х,р) = I
ф(х, р) = \
G(x,p)--
G(x,p) =
[Ф+(х,р),Ф~(х,р)}, рем1
Ф{х,р), р € ш°
[Ф+(х,р),Ф~(х,р)], ре и)1
Ф(х,р),
"-(Ло(р)Ф*(х,р))+д0
(А0(р)Ф*(х,р))-(2о J'
-(Л0(р)Ф*(х,р))+до
(Л0(/>)Ф*(я,р)ГЗо
pew0,
pew1,
С(х,р) = Л0(р)Ф*(х,р)д0, С(х,р) = А)(р)Ф*(:г,р)<?о, р £ w°,
5(р) = £ + 1л0(р), S(p) = £-±A0(p), pew0,
5(р):
S(p) =
V7
Е+^А+(р)
-i^o(p)^(p))V(p)
(1о(р)ЛА*(р))>+(р) Е+Х-А^{р)
Е-1-А+(р) \{А0{р)М*{р))+М-{р)
{-{А0{р)М'{р))~Я+{р) Е-1-А-(р)
Здесь и далее f± := /|w±. Обозначим
реи ,
реи;1.
г{х,^р)=С{х^Ых'Р\ r(j,M,p) = C(g,M)g(g,p),
Из (4.2.26) следует, что матрицы-функции
Р(р) := G(x, р)у>(х, р), ОД := G(x, р)<р(х, р)
не зависят от х.
Теорема 4.2.3. Справедливы соотношения
1
p.fieuj*.
(4.2.27)
Ф>р) = <p{xtp)S(p) +
2тгг
<р(х,/i)r(x,/л, р) d/i, реи*, (4.2.28)
r(x,6>,p)5(p)-5((9)F(x,6>,/9)-f
+ 2ттг
r(x, 0, /х)г(ж, /x, p) d/z = 0, p, 0 E w*. (4.2.29)
Доказательство. Используя (4.1.33), (4.2.18), (4.2.26) и
формулы Сохоцкого [88], получаем из (4.2.21):

344 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Ф(х,р) = Ф(х,р)(Е-1-А0(р)) +
+
2ni
F(x,n)Q<&(x,p)—. pew0,
p.- р
Ф±{х,р) = Ф±(х,р)±
, 1
1((Ф(х,р)Ло(р)^(р))- - (Ф(х,р)А0(р)М'(р))+)я±(р)
+
+
2т
F(x,/i)Qo$±(^p)
dp,
р- р
реи.
Переходя к контуру и*, перепишем эти соотношения в виде
Ф(х,Р) = Ф(х,р)(Е-±Мр)) +
+ ± J Ф{х^)А0{р)Ф*{х^)Я0Ф{х,р)^-р +
+ J- |((Ф(х./х)Ло(м)Ф*(х,/х))--
- (Ф(х, м)А>(м)Ф*(*. M))+)Qo5(x, р)-^-, Р е а;0,
/ Р Р
Ф±(х,р) = Ф±(х,р)(Е-±А±0(р))+^
((Ф(х,|х)ЛоЫФ*(х,м))"-
(Ф(х^)А0(/х)Ф*(х,м))4-)доФ±(х,/?)-^
м-р
реи1,
т.е. приходим к (4.2.28). Аналогично, используя (4.1.33), (4.2.18),
(4.2.26) и формулы Сохоцкого, получаем из (4.2.22):
Ф\х,е)Я0Ф{х,р)(Г, 1 , Л $*(gtfl)QoS(gtp)
— ^ - - Л0(р)J j—
+
+
2тгг J * ■■ ' ■• - fl/i_U'
'(s,fl)QoS(s,/i) Ар{р)Ф*(х,р)С1оФ{х,р)
в — р р — р
реи0, OeJu,

§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 345
Фт(х,в)д0Ф±(х1р) Ф*{х,0)С}оФ±(х,р)
е-р е-р
ФЦх1в)Яо{{Ф{х1р)Мр)^(р)Г - (Ф(х,р)А0(р)М*(р))+)Я±(р)
±1-
]-р
+
+
2тгг
Г Ф*(х,е)д0Ф(х,р) А0(р)Ф\х^)д0Ф±(х,р) = а
'-/2
р- р
реи\ ее Ju.
Применяя теперь формулы Сохоцкого по 0, вычисляем
— (£ - - А0(р)) j—p +
fo*(x,e)Q0(@(x,p)Ao№*(x,p)y
i (0-p)(p.-p)
2 0-р
|o£IM , J_ Г/
2тгг J \
(Ф(х, р) А0(р)Ф* (х, м))+) Qo$(z, р)>
dji +
(9-р)(р-р)
1 f Ф*(ж)0)доФ(х,/х)Ло(/х)Ф*(х,/х)ОоФ(х>р) ^ _п ЛдС/,0
Ф'Ог.^ОоФ^г.р) $'(a;,g)Qo$:fc(x.p) , 1 А0(в)Ф'(х,в)д0Ф±(х,р) ^
+
е-р 0-р ' 2 6> — р
! Ф*(д,Д)(го((Ф(х,р)Л)(р)^'(р))- - (Ф(а:,р)Л(р)Я,Ы)+)^±(р)
>-р
+
+ 2тгг
'ф'(х,в)<г0((Ф(х.м)>4оЫФ,(х./*))"
(0-м)(м-р)
(Ф(х, м)Л,МФ'(1,А))+) С?оФ±(х, р) '
(e-fi)(ji-p)
dfi +
+
2т
Ф*(х,0)ОоФ(х,^)Ло(а|)Ф*(х,/f)Q0$*(x, р) , _ п
pew1, 9еи°,

346 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Ф^(у,^5.1,о(р))
Ф,:Ь(х,6>)(ЭоФ(х,р)
в-р
Т ^ V)- — +
+
2т
в~р
'Фт±{х,в)Яо({Ф{х,р)Ао(ц)Ф*{х,ц)У
(e-fi)(fi-p)
(Ф(х,,х)Ао(м)Ф*(*,м))+)ЗоФ(х,рГ
(в - (Х)((1 - р)
йц +
+
2тгг
Ф'±(х<в)д0Ф(х,1л)А0(1л)Ф*(х,р)д0Ф(х,р) , _.
(0-p)(p-p) М~ '
p€w°, 0GW1,
Ф'±(х,б)<ЭоФ:|:(д,р) Ф,±(х,6>)д0Ф±(х,р)
0-р в-р
t Ф>±(х,^)д0((Ф(х,/?)ЛоЫ7У-,(р))" - (Ф(д,р)>4о(р)Л^Ы)+).^±Ы
±2 6^7 ^
=F i^M* ^ ^ +
+
2т
,Ф*±(х,е)д0((Ф(х,ц)Ао(ц)Ф,(х,^)-
(в - ц)(1м - Р)
(Ф(х, р) А0(р)Ф* (х, р))+) ЗоФ* {х, р) '
(0-р)(р-р)
d/i +
+
2тгг
Ф,±(х^)д0Ф(х,р)Ао(р)ф-(х,р)доФ±(х,р)^„ п -
(*-р)(/-р) ^ = 0, Р'вЕ1
Умножая эти соотношения слева на А^(в) при 9 е ы1 и на j4o(0) при
в € и0 соответственно и используя лемму 4.2.6, приходим к (4.2.29). □

§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 347
Меняя местами L = (£tU) и L = (£,U), получаем симметрично
к (4.2.28):
ф,р) = $(x,p)S(p)-1r-
/771
<р(х, р)г{х, р, р) dpi, р е uj*. (4.2.30)
Соотношение (4.2.28) называется основным уравнением обратной
задачи. В обратной задаче надо построить пару L = (£, U)j\o заданной MB
М(р). Для этого сначала выберем «модельную» пару L = (£, U)
(например, с потенциалом Q(x) = 0) так, чтобы выполнялось (4.2.7). Тогда
для каждого фиксированного х ^ 0 соотношение (4.2.28) является
линейным интегральным уравнением относительно <р(х,р). Перейдем
теперь к исследованию разрешимости основного уравнения (4.2.28). Для
этого введем банаховы пространства BPtCt := {f(p) : f(p)p~a е Lp(uj*)},
p > 1, a ^ 0, с нормой ||/||вр.а := \\/{р)р~а\\ьр(и*)- Положим Bp := ВрЛ.
Рассмотрим оператор
н'м ••= ±
j\w \\н>) ару d реи*, а ^ 0,
м (м-р)
где Н\ и Hi — ограниченные функции.
Лемма 4.2.7. Оператор Н является линейным ограниченным
оператором из BPiQ в Вр<р при р > 1, /3 ^ 0.
Доказательство. Пусть f(p) е #р>а. Тогда f(p)H\(p)p~a е
е Lp(lj*), и, следовательно, F(p) := Hf(p) е Lp(lj*) и ||F||l„ ^
< C|l/llflp.a- Так как ^ ^ Ьр, то F G SP)/3, 0 > 0, и ||F||Bpi/3 ^ C||Ff|Lp.
Таким образом, для любой функции f € Вра имеем: Hf е Врр
иНЯ/Нв^^СН/Нв,,,. ' Ь
Определим матрицу D(x,p), р е u/, х ^ 0 следующим образом:
при р е и0: D(x, р) = diag [Дь(х, p)]k=j^t Dk(x, p) = exp(-pRkx), Rk =
= Rk{Sj);
при реи]: D(x,p) = dlag[Dk(x,p)]k=T^, Dk(xyp) = exp(-pRkx) при
к ^ n, и Dk(x,p) = exp(-pRk-nx) при к > n; Rk = Rk(Sj). Обозначим
#r,p) = <p(x,p)£>(x,p), S°(x,p) = D-\x,p)S{p)D(x,p),
G°(x, p) = D"1 (x, p)G(x, p), #r, p) = <p(x, p)D(x, p),
S°(x>P) = D-l(x,p)S{p)D{x,p), G°(x,p) = D~1(x,p)G(x,p),
r°(x, p, p) = D-1 (x, p)r(x, p, p)D(x, p),
r°(x, p, p) = jD~ l (x, p)r(x, p, p)£>(x, p).
Очевидно, что

348 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Из (4.1.16)^ (4.1.23), (4.2.16) и (4.2.17) вытекает, что для координат
матриц i/>,i/>,G°, G0 имеют место оценки
\фку{х%р)1 \фк„(х,р)\^С, х^О, реш\ fcfi/ = T7nf (4.2.31)
|G^(x,p)|, \&к„{х,р)\^С5(р), х^О, реи\ к,и = Т^, (4.2.32)
где 6(р) определена в (4.2.20).
При фиксированном х ^ 0 рассмотрим операторы:
BPf(p) = f(p)SP(x.p)-Bif(p)l
*''<>> = 1г
/(/i)r°(x,p,p)d/x, реи*,
B0f(p) = f(p)S0(xlP) + Blf(p),
/(/i)r°(x,/i,p)d/i, р е и>*
5'^) = 2Й
гле
Г [/+(р)./-(р)1. решК
и /°(р), f±(p) — п х п матрицы-функции.
Лемма 4.2.8. Пусть при некотором а ^ 1,
МЫ = 0(р-а), И -оо. (4.2.33)
Тогда при каждом фиксированном х ^ 0 операторы В1, В1
являются линейными ограниченными операторами из BP)Q в BPip
при р > 1, /3 ^ 0, a В0, В0 являются линейными ограниченными
операторами из Вр,а в BPtQ при р > 1. Кроме того, В0В0 = В0В0 = Е,
где Е — единичный оператор.
Доказательство. Ограниченность В1 В1 следует из (4.2.31)-
(4.2.33), (4.2.20) и леммы 4.2.7. Кроме того, в силу (4.2.33)
5°(х, р)-Е = 5°(х, р) - £7 = 0(р"а), \р\ -> со, (4.2.34)
и, следовательно, В0, В0 являются линейными ограниченными
операторами из Бра в Вра при р > 1. Зафиксируем х ^ 0. Пусть /(р) € Бра,
z(p) = f(p)D-l(x,p),
Bz{p) := z(p)S(p) + 2^т z(/i)r(x, /i, p) d/x. P € <*>*.
B(p):= z(p)S{p) - 2~ 2Мг(я> A*, p) dp, peu*.

§4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 349
Покажем, что
BBz(p) = BBz(p) = z{p).
В самом деле, используя лемму 4.1.2 и формулу смены порядка
интегрирования в особом интеграле [88, с. 60], вычисляем
BBz(p) = z(p)S(p)S(p) - ^ | z{6) (r(x, 9, p)S(p) - S(0)r(x, в, p)) dd -
U)*
= z№(p) ~ 2J- } <e) [r^ в< P)S(P) ~ S(0)r{x, в, p) +
где £(p) = S(p)S(p) — V(p)V(p)/4, а матрицы T>(p) и V(p) определены
в (4.2.27). В силу (4.2.29) интеграл равен нулю и, следовательно,
BBz(p) = гШр), реш\
(4.2.35)
Покажем, что £(р) = Е — единичная матрица. При р € ш°, используя
леммы 4.1.2 и 4.2.6, получаем
Ир) =(Е + \ MP)) (Е - \ А0(р)) - i А0(р) А0(р) =
= Е + \ (Ао(р) - Мр) - Мр)Ао(р)) = Е, ре w°.
При реи;1 имеем
Е + \ Atip) -\(А0{р)Я*{р))+М-{р)
[ -I (А0(р)М*(р)Ум+(р) Е+1- Л0-(р)
Г Е-±А+(р) ±(Ао(р)ЛГ*(р))+Я-(р)
[ \(ао(р)ЯЧр))~#+{р) Е- | Л0"(р)
ар) =
-AUp)
■[A0(p)Af*(p))+Af-(p)
(ао№(р))~М+(р) Л"(р)

350 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
-А+(р) -(л0(/>)^(р))+ЛГ-(р)
[ (Л0(р)^*(р))"^+(Р) А-{р)
и, следовательно,
где
ар)
_ [ Ыр) Ыр)
Ы(р) Ы(р)
Ыр) = Ы(р) = е,
2Ы(р) = (MpW{p))+M~(p) - (аоШ*(р)Уя-(р) +
+ (а0(р)М*(р))+М-Шо(р),
2Ыр) = (А0Ш*(Р)УЯ+(Р) - (А~оШ*(р))~ЛГ+(р) +
+ (мР)м*(р)уя+шХ(р)-
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что £i2(p) = £21 (р) =
= 0. Этот же факт можно получить^ и опираясь на (4.2.28) и (4.2.30).
В самом деле, так как <р(х,р) = Б<р(х, р), <р{х,р) = В(р(х,р), то из
(4.2.35) вытекает, что ф{х,р) = В<р(х,р) = ВВф(х,р) = (р(х,р)£(р),
и, следовательно,
[Ф+(:г,р), Ф (х%р)\
Ыр)-е Ы(р)
Ыр) Ы{р)-е
= 0, реи1.
Так как £ц(р) = Ы(р) = #. то Ф+(х,р)^2{р) = 0, ф-(х%р)&\{р) = °>
поэтому £12(р) = &i(p) = 0, р е сЛ
Таким образом, мы доказали, что £(р) = Е, р €и*. Вместе с (4.2.35)
это дает: BBz(p) = z(p). Соотношение BBz(p) = z(p) доказывается
аналогично. Так как
B°B°f(p) = ВВг(р) D{x, р) = z(p)D(x, р) = /(р),
B°B°f(p) = BBz(p)D(x,p) = z(p)D(x,p) = /(р),
то имеем: °° = °° = Е, и лемма 4.2.8 доказана. □
Следующая теорема является очевидным следствием леммы 4.2.8.
Теорема_4.2.4. Пусть М(р) — MB для пары L = (£,U)- Пусть
пара L = (£,U) выбрана так, что выполняется (4.2.7). Тогда для
каждого фиксированного х ^ 0 основное уравнение (4.2.28) имеет
единственное решение ip(x,p) в классе (p(x,p)Z)(x,p) Е Вр при
каждом р > 1, причем sup \\ip(x, p)D(x% р)\\вр < оо.
х>0

§ 4.2. Решение обратной задачи по матрице Вейля 351
4.2.3. Алгоритм решения обратной задачи. Получим теперь
явные формулы для построения потенциала Q(x) и процедуру
решения обратной задачи. Для простоты предположим, что (4.2.33) верно
при а = 2, т. е. ^
М(р) = 0(р~2), \р\ -> оо. (4.2.36)
Обозначим
6{Х)
1
2тгг
(ф(х, р)А0(р)Ф*(х, p)Q0 - Qo$(x, р)А0(р)Ф*(х, р)) dp,.
(4.2.37)
В силу (4.2.36) интеграл в (4.2.37) сходится абсолютно.
Лемма 4.2.9. Справедливы соотношения
Q{x) = Q(x) + e{x), h = h.
(4.2.38)
Доказательство. Дифференцируя (4.2.21) по х и учитывая
(4.2.18) и (4.1.20), вычисляем
Ф'(х,р) = Ф'(х,р) + ^ f Ф^)А>МИ*./ОЗоФ(х,р)^ -
ZmJ Р ~ Р
1
2тгг
Ф(х, /х)А0(м)Ф*(х, /х)Ф(х, р) d/x. (4.2.39)
Так как Ф(х, р) является решением системы (4.1.1), то Ф'(х, р) =
= (рВо-В(х))Ф{х,р), где B0 = Qq\ B(x) = B0Q(x). Поэтому (4.2.39)
можно записать в виде
(рВ0 - В(х))Ф(х,р) = (рВ0 - В{х))Ф{хчр) +
1
+
2тгг
(/хВо " ВД)Ф(х, /х)Л0ЫФ*(х, /i)Q0*(s. р)
dp
р- р
1
2ттг
Ф(х, /х)Ао(//)Ф*(х, р)Ф{х, р) dp.
Заменяя здесь функцию Ф(х, р) на ее выражение из (4.2.21), вычисляем
1
В(х)Ф(х,р)
2ттг
В0Ф(х, р)А0{р)Ф*(х, р)С}ъФ(х, р) dp -
~ 2^. Ф(x,p,)Ao(p)Ф*(x,^l)Ф{x,p)dpL.

352 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Умножая это соотношение слева на Qo и используя (4.2.37), получаем:
<3(х)Ф(х, р) = е(х)Ф(х,р), и, следовательно, Q(x) = Q(x) + е(х).
Далее, положим х = 0 в (4.2.21). Используя (4.1.4) и (4.1.32),
получаем
В силу (4.1.26) это дает
hh~l -Е=Щр)Я*{р) ' 1
2тгг
и, следовательно, h = h. □
Отметим, что лемма 4.2.9 остается верной и в более общем случае,
когда вместо (4.2.36) мы имеем (4.2.7), но тогда интеграл в (4.2.37),
вообще говоря, не будет абсолютно сходящимся. Отметим также, что
в силу следствия 4.2.1 равенство h = h вытекает и непосредственно
из (4.2.7).
Приведем теперь процедуру решения обратной задачи. Пусть задана
MB М{р) пары L = (i,U).
1) Выберем «модельную» пару L = (£,U) так, чтобы выполнялось
(4.2.36).
2) Построим матрицы-функции £>(х,р), 5(р), r(x,/i, р), х ^ 0, \i,p е
еш*.
3) Решая основное уравнение (4.2.28), находим <р{х,р) при х ^ 0, р е
Go;*, т.е. находим Ф(х,р) при х ^ 0, реи.
4) Вычисляем матрицу-функцию г(х) по формуле (4.2.37).
5) Строим пару L = (l,,U) по формулам (4.2.38). _
Замечание 4.2.3. При N ^ 2 выбор «модельной» пары L
является тривиальной задачей и сводится к подбору^ коэффициентов
асимптотики: рУшк = рУшк, v = 0, 1. При ЛГ = 1 выбор L является более
трудным и представляет собой самостоятельную задачу. С другой
стороны, как было показано выше, при выборе L вместо (4.2.36)
достаточно ограничиться более слабым условием (4.2.7), которое
равносильно условию h = h. В этом случае пункты (1)-(3) процедуры
остаются без изменения, интеграл в (4.2.37) не сходится абсолютно,
но функция е(х) существует. Кроме того, вместо пунктов (4), (5)
процедуры для построения L можно использовать решения Ф(х, р)
системы (4.1.1), а именно Q(x) — р- Q§Q'{x,p)$~x{x,p).

§ 4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости 353
§ 4.3. Необходимые и достаточные условия
разрешимости
4.3.1. Формулировка основной теоремы. В этом пункте
приводятся необходимые и достаточные условия разрешимости нелинейной
обратной задачи восстановления пары L = (£,U) по MB М(р). Пусть
задана матрица Qo» т-е числа fa = \/Чк известны априори и
фиксированы. Обозначим через М множество функций М(р) = [Мтк{р)]т k=Tn
со свойствами:
1) Мтк{р) = 5тк при т > к;
2) функции Мтк{р), к> га, аналитичны в Ет за исключением не более
чем^ счетного ограниченного множества Л^ полюсов и непрерывны
в Ет за исключением ограниченного множества Лт (множества Л^
и Лт, вообще говоря, свои для каждой матрицы М{р) из М)\
3) функции В^и(р), определенные по (4.1.34), являются
аналитическими на Tj \ Л^ при j ф Jm, 1 ^ ^ ^ га ^ п - 1, га + 1 ^fc^n, т. е.
верно (4.1.36).
Отметим, что из теорем 4.1.1 и 4.1.2 вытекает, что если М(р) —
MB для пары L = (£, [/), то М(р) е М.
Теорема 4.3.1. Для того чтобы матрица М(р) Е М была MB
для некоторой пары L = (£,U), £ G V}v, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие условия: _
1) (асимптотика) существует пара L = (£,U) такая, что верно
(4.2.36);
2) (условие Р) при каждом фиксированном х ^ 0 основное
уравнение (4.2.28) имеет единственное решение <р(х,р) в классе
<p(xtp)D(x,p) е Вр, р> 1, причем
sup \\(p(xtp)D(xtp)\\Bp < оо;
3) е(х) G Wn, где е(х) определена в (4.2.37).
При этих условиях пара L = (£, U) строится по формулам
(4.2.38).
4.3.2. Доказательство основной теоремы. Необходимость
условий теоремы 4.3.1 доказана выше. Докажем их достаточность. В силу
(4.2.36), при каждом фиксированном х ^ 0 оператор В0 является
линейным ограниченным оператором в BPiQ при р > 1, 0 ^ а ^ 2. Кроме
того, В0 обратим в J?P>Q при р > 1, 0 ^ а ^ 2, я ^ 0. В самом деле,
пусть/(р) е Вр,2 иЯ°/(р)=0, т.е.
& г * • 1
f(p)s^p) + 2m
f(fi)r°(x,fi,p)dp = 0.
Отсюда легко видеть, что f(p) G Вр и, в силу условия Р теоремы 4.3.1,

354 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
Пусть ф{х,р) — решение основного уравнения (4.2.28). Известным
методом (см., например, [250]) можно доказать, что <р(х,р) абсолютно
непрерывна по х. Покажем, что
p~lip'(x, p)D(x, р) е Вр, х^ 0.
(4.3.1)
В самом деле, дифференцируя (4.2.28) по я, получаем
^Х'р)~2^ у(хур)7\хур,,р)(1ц =
1
= ip'(x,p)S{p) +
2тгг
<р'{х, /х)г(х, /х, р) dp,, (4.3.2)
и, следовательно, В°у(х,р) = Р(х, р), где у{х,р) = <р'(х, р)£>(х, р),
P{x,p) = tp'(xtp)D(xtp)-
2тгг
ф(х, p)D (я, /х)г/(х, р, p)D(x, р) dp.
Очевидно, что Р(х,р) е #р,2, и, следовательно, у(х,р) е BPi2, т.е.
(4.3.1) доказано.
Построим матрицу Ф(х, р) по формуле
Ф(х,р) = Ф(х, р)
1
2ттг
Ф(х, р)А0(р)Ф*(х1 /z)Q0*(s. Р)
dp
р- р
peJ». (4.3.3)
Матрица-функция Ф(х,р) является аналитической при /?€ Jw. Кроме
того, как и при доказательстве теоремы 4.2.3, получаем, что
Г [Ф+0г,р),ф-(х,р)], реи;1,
( Ф(х,р), pG и;0,
Построим пару L = (^, U) по формулам (4.2.38), где е(х) определена
в (4.2.37). Ясно, что £ е VN.
Лемма 4.3.1. Справедливы соотношения
£<р{х,р) = р<р(х,р), р е о;*, £Ф(х,р) = рФ(х, р), р € Ju,-
Доказательство. Из (4.2.28) и (4.3.2) вытекает, что
1
£<p(xtp) = £<p{x,p)S(p) +
2т
£if(x, p)r(x, р, р) dp -f
+ 2~ Qo^p{x^)r,(x,p,p)dp.

§ 4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости 355
Так как £ip(x,p) = £ф(х,р) + Q(x)ip(x,p) = ptp{x,p) + Q(x)(p(x, р),
то последнее равенство принимает вид
р£(х, р) = £<р(х, p)S(p) + ^
£<р(х, p)r(x, р, р) dp, +
+
2тгг
Qo<p(x, р)г*(х, р, р) dp - Q(x)<p(x, р).
В левой части этого равенства заменим функцию </?(х,р) на ее
выражение из (4.2.28). Ввиду (4.2.38) получаем
(^(xfp)-W(xf/9))5(p) +
(£(р(х,р,) — рир(х, p)\r(x, p,, p) dp, + J(x,p), (4.3.4)
где
J(x,p): =
+
2m
<p(x, p){p - p)r(x, p, p) dp, +
+
2тгг
Qo<f(x, p)rf(x, /i, p) d/i - e(x)ip(x, p).
Учитывая (4.1.20), нетрудно проверить, что J(x,p) = 0. Обозначим
у(х,р) := &р(х,р) — pip(x,p). Тогда соотношение (4.3.4) принимает вид
y(x,p)S(p) +
2тгг
?/(х, p,)r(x, /i, р) d/i = 0,
или
f(x,p)S°(x,p) + ^-.
/(х, /х)Р(х, р,, р) dp, = 0,
(4.3.5)
• (4.3.6)
где /(х,р) = у(х, р)£>(х,р). В силу (4.3.1) и условия Р теоремы 4.3.1,
имеем: р-1/(х,р) е Вр при каждом р > 1, т. е.^/(х, р) Е БР)2- Так как
при каждом фиксированном х ^ 0 оператор Б° является линейным
ограниченным оператором в Вр>а при р > 1, 0 ^ а ^ 2, то из (4.3.6)
вытекает, что /(х, р) = 0, т. е. у (я, р) = 0 и &р(х, р) = р<р(х, р), р Е ш*.
Далее, дифференцируя (4.3.3) по х и учитывая (4.1.20), вычисляем
Ф'(*,р) = Ф'(х,р) + ^
Ф'(х, р)А0{р)Ф*(х, 1л)<20Ф(х, р)
dp
1
2тгг
М-Р
Ф(х, р)Д)(/л)Ф*(х, /х)Ф(х, р) d/x,

356 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
и, следовательно,
1Ф(х, р) = 1Ф(х,р) + ^-. [*Ф(*.р)А0Ш'(х,p)Q0*(x,р)-^-
Z7TI J /2 — р
1
2тгг
<20Ф(я> /х)Л0(/х)Ф*(х, р)Ф(х, р) dp,.
Так как £Ф(х,р) = £Ф(х,р) + (3(х)Ф(х,р) = рФ(х, р) + £(я)Ф(ж,р),
то получаем
рФ(х,р) = £Ф(х,р) +
1
2ттг
№(х, р) Л0(р)Ф*(х, р)д0Ф(*, р)
dp
р- р
1
2ттг
<20Ф(я, аОА)(//)Ф*(х, р)Ф(х, р) dp - е(х)Ф(ж, р).
В левой части этого равенства заменим функцию Ф(х, р) на ее
выражение из (4.3.3). Тогда получаем
£Ф(х,р) - рФ(х,р) +
1
+
2тгг
(£Ф{х9 р) - рФ(х, р)) A0(p)$*(x, /i)Q05(x, р)-^- .
\ / р р
Так как £ср(х, р) = р<р(х, р) при реи*, то имеем: £Ф(х, р) - рФ(х, р) =
= 0 при р е и, и, следовательно, £Ф(х, р) = рФ(х, р). П
Лемма 4.3.2. Матрица Ф(х,р) является решением Вейля для
L = (£,U).
Доказательство. Из (4.1.32) и (4.3.3) при х = О вытекает, что
dp
Ф(0,р) = Ф(0,р) + ^
Ф(0, p)ft(p,p)
р- р
где £}(р, р) определена согласно (4.2.23). Умножая это равенство слева
на вектор-строку [ft^i,..., ft$n] и учитывая соотношение h = h}
вычисляем
Е7е(Фт(х,р)) = ^(Фт(х,р)) +
+
27гг
( Е 1/{(Фк(1,/1))^(/1,р))^;. (4.37)
/c=m4-1

§ 4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости 357
Последовательно положив га = п, п— 1,..., 1 в (4.3.7) и учитывая, что
Щ(Фт) = <^т, £ = 1,га, находим, что
Щ(Фт) = ^т. е = Т~^. (4.3.8)
Перепишем (4.3.3) в виде
Фш(х, р) = Фт(х, р) - ^- | F(x, aOQo^ Фт(*. р). Р G Jw, (4.3.9)
U)
где F(x,/x) определена в (4.2.18). Используя (4.1.23), (4.2.16), (4.2.36)
и условие Р теоремы 4.3.1, получаем
|F„fc(z,/z)| ^ С\/л\-2 ехр(ах), а > 0, цеш, i/,fc=l,n. (4.3.10)
Фиксируем £ > 0. В р-плоскости рассмотрим область Ge := {р G
G Jo, : dist (р, u;) ^ £}. Из (4.3.9) ввиду (4.3.10) и (4.1.16) вытекает, что
|Ф*т(я. р)| ^ Сехр(ах)| ехр(рЯтх)|, х ^ 0, р G GE.
Обозначим через Ф°(х, р) = [Ф°кт(х>Р)]кт=Тп Решение Вейля для
пары L = (ltU) и определим матрицу Ф(х,р) = [Ф*т(я.р)]/ь,т=т^ =
= №km(x,p)]T=— по формуле Ф(х,р) = Ф(х,р) - Ф°(х,р). Тогда
матрица-функция Ф(х, р) является аналитической в J^, причем
|Ф*т(я.р)| < Сехр(ах)|ехр(рЯтх)|, х ^ 0, р е G£. (4.3.11)
Покажем, что Ф(х, р) = 0. В самом деле, так как вектор-функции
Фт(х'Р) — [Ф2т(х'/9)]Г-Т— образуют ФСР для системы (4.1.1), то
имеем ~ 'П п
Фт(х,р) = ]Tcw(p^°(x,p).
Применяя последовательно линейные формы C/i,...,E/m и учитывая
(4.3.8), находим, что аи7П{р) = 0 при v — l,m. Таким образом,
п
Фт(х1р)= ^ а1/т(р)Ф^(х,р),
i/=ra+l
и функции Q|/m(p) аналитичны при р G Jw. Предположим, что при неко-
тором s (га -f 1_< 5 < п) имеем: а5Ш(р) ^ 0, а^^р) =0, i/ = s + 1, п.
Выберем р* G Ge так, что а5т(р*) ф 0 и Re(p*(i?s — i?s_i)) > а. Тогда
s-l
Ф'(Х'Р+) = ^7)(Фт(Х,/0*)~ S ^т(р*)Ф°^Р*)).
i/=m+l
Поэтому, ввиду (4.3.11), получаем: \Ф°кз(х,р*)\ ^ С*ехр(ах) х
х|ехр(р*й5_1х)|. С другой стороны, из (4.1.13) имеем: тах|Ф£5(х,р*)|>
к
> Cj*|exp(p*fi5x)|. Это противоречие доказывает, что аит(р) = 0

358 Гл. 4. Обратные задачи для дифференциальных систем
при v = га-f 1,п, т.е. Фт(х, р) =0, га = 1,п. Следовательно,
Ф(х,р) = Ф°(х,р), т.е. Ф(х,р) является решением Вейля для пары
L = {tU). □
Лемма 4.3.3. Матрица М(р) является MB для L = (£, U).
Доказательство. Обозначим через М°(р) = [M^lAp)}Tn t=Y^
MB для L. Согласно (4.3.7) имеем
M0m^(p) = Mmi(p) +
+ 2тгг
( £ <(^ь(/1,р))^, P€JW. (4.3.12)
Введем матрицу fi°(p>P) = [u°krn{p„p)}kjn=T^ по формуле fi°(p>p) =
= ^Q(/i)jV*(/x)A/r(p), где Aq(p) имеет тот же вид, что и А>(р),
но с М°(р) вместо М(р). По необходимости, ввиду (4.2.24), имеем
М^{р) = Мт^р)Л-
+ i[(E ^(^2m(M.p))-^-. Р^< (4-3.13)
2тгг
Используя (4.3.12) и (4.3.13), покажем индукцией по £, что
М^(р)=Мт^р), £>т.
1) Пусть £ = га + 1. Из (4.3.12) и (4.3.13) вытекает, что
1 f u;m+i.m(/i,p) -u>m+i,m(p,p)
2ттг
и, следовательно,
1
2ттг
р-р
о
dp = 0,
Mm,m-n(p)-Mm,m+1(p)
р-р
dp = 0, peJw, (4.3.14)
7^Uu;°
где 7^ :=7m\intu;°. Используя аналитические свойства MmiTn+i(p)
и Mm,m+i(p) и очевидную оценку |Afm,m+l(p) - M^m+1(p)| ^ CIpI"1,
получаем из (4.3.14), что Mm,m+i(p) = M^m+1(p), и, следовательно,
am+i.m(p) =^+lm(p) и u;m+i,m(p,p) =cj^+lm(p,p).
2) Предположим, что
М^(р) = Mmj(p), j = m+U-l. (4.3.15)

§4.3. Необходимые и достаточные условия разрешимости 359
Тогда ujjm{fJ<,p) = u)jm(n,p), j — т+ 1,£- 1. Отсюда и из (4.3.12)-
(4.3.13) имеем
и, следовательно,
1
2тг?;
1
2тгг
Щт(Р»р) -У*т(У»Р)
d/i = 0,
MmcM-A^Md/1 = 0f pGj^
(4.3.16)
7m{Uw°
где 7т;- определяются по рекуррентным формулам 7m j = 7m,j-i П
fl7m+i,j, 7m,m+i •= 7m• Используя (4.3.15) и структурные
свойства (4.1.36), получаем, что функции Мт^(р) — М^Лр) аналитичны
на 7т \lmi- Поэтому контур в (4.3.16) может быть заменен на 7m Ucu0:
2тгг
мт^)-миы^ = 0< p(EJu)
р- р
(4.3.17)
7?rlUu;0
Используя аналитические свойства Мт^(р) и М^Ар) и очевидную
оценку
i-i
\Mmi(p)-M°mi(p)\^C\p\-
выводим из (4.3.17), что Мт^(р) = М^(р), и лемма 4.3.3 доказана. □
Таким образом, теорема 4.3.1 полностью доказана.

Исторический очерк
Ниже дается краткий обзор результатов по теории обратных задач
спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Мы описываем только основные направления этой теории,
упоминаем наиболее важные монографии и статьи и отсылаем читателя
к ним для более детального знакомства с предметом.
Наиболее полные результаты в теории обратных задач известны для
дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
ey:=-y" + q(x)y. (1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну
[13]. Он показал, что если собственные значения краевой задачи
-У" + q(x)y = \у, у'(0) = у'(тт) = О
суть Afc = /с2, к ^ 0, то q = 0. Однако результат Амбарцумяна
является исключением, и одного спектра, вообще говоря,
недостаточно для однозначного определения оператора (1). Впоследствии
Г. Борг [44] доказал, что два спектра дифференциальных операторов
Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием однозначно
определяют функцию q. Н.Левинсон [162] предложил иной метод
доказательства результата Г. Борга.
Важную роль в спектральной теории операторов Штурма-
Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратных
задач оператор преобразования первым применил В.А. Марченко
[175-176] в 1950 г. Он доказал, что дифференциальный оператор
Штурма-Лиувилля, заданный на полуоси или конечном интервале,
однозначно определяется заданием спектральной функции. Для
конечного интервала это соответствует заданию спектральных
данных (см. п. 1.2.2). Метод оператора преобразования использовался
и в фундаментальной работе И.М. Гельфанда, Б.М.Левитана [96],
в которой были получены необходимые и достаточные условия и метод
восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля
по его спектральной функции. В [90] аналогичные результаты
получены для обратной задачи восстановления дифференциального
уравнения Штурма-Лиувилля на конечном интервале по двум
спектрам. Другой подход к исследованию обратных задач развит
М.Г. Крейном [144, 145]. Большинство приложений обратных задач,
относящихся к случаям полуоси и конечного интервала, связано
с восстановлением потенциала по функции Вейля или ее аналогам.

Исторический очерк
361
В работе А.Н.Тихонова [238] получена теорема единственности
решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной
функции Вейля. Задание функции Вейля равносильно заданию
спектральной функции, однако обратная задача по функции Вейля
и ее аналогам является более естественной как для оператора
Штурма-Лиувилля, так и для других более сложных классов
операторов и пучков операторов. Обратная задача теории рассеяния
на полуоси и оси, тесно связанная с вышеуказанными обратными
задачами, решалась в [4, 57, 69, 70, 80, 81, 127] и других работах.
В работе М.Ш. Блоха [43] исследовалась обратная задача на всей
оси по спектральной матрице-функции. Созданные методы решения
обратных задач позволили также исследовать устойчивость решения
обратных задач (см. [10, 44, 74, 116, 117, 177, 185, 210, 253])
и создавать вычислительные алгоритмы для их численного решения
(см. [5, 29, 47, 58, 79, 134, 139, 169, 186, 189, 193, 214, 215, 218,
289, 306]). Интересный подход для операторов Штурма-Лиувилля
описан в [203, 67, 120, 121, 181, 60]. Однако этот подход представляет
только методический интерес и не имеет самостоятельного значения,
так как метод оператора преобразования и созданный позднее метод
спектральных отображений дают более сильные результаты и для
более широких классов операторов.
В последние годы появилось много новых сфер приложений
обратных задач для операторов Штурма-Лиувилля; упомянем кратко
некоторые из них. Краевые задачи с условиями разрыва внутри
интервала связаны с разрывными свойствами среды. Например,
разрывные обратные задачи встречаются в радиоэлектронике при синтезе
параметров неоднородных линий передач с заданными техническими
характеристиками ([168, 184]). Спектральная информация может быть
использована для восстановления коэффициентов, характеризующих
свойства одномерных разрывных сред ([146, 232]). Краевые задачи
с условиями разрыва во внутренней точке появляются также в
геофизических моделях земного шара ([17, 152]). Разрывные обратные
задачи в различных постановках рассматривались в [87, 112, 140, 146,
207, 232, 279, 283]. Много приложений связано с дифференциальным
уравнением вида
-(р(х)у'У + Ч(Р)У = *г(х)у (2)
с точками поворота, когда функция г(х) имеет нули и (или) меняет
знак. Точки поворота возникают в теории упругости, оптике, геофизике
и других областях естествознания. Кроме того, широкий класс
дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями типа
Бесселя и их возмущений может быть сведен к дифференциальным
уравнениям с точками поворота. Обратные задачи для уравнений с
особенностями и с точками поворота используются также при
исследовании разрывных решений некоторых нелинейных интегрируемых
эволюционных уравнений математической физики (см. [65]). Обратные

362
Исторический очерк
задачи для уравнения (1) с особенностями и для уравнения (2) с
точками поворота и особенностями изучались в [36, 39, 45, 53, 77, 83,
85, 91, 95, 195, 234, 277, 278, 282, 291]. Некоторые аспекты теории
точек поворота и их приложений представлены в [104, 180, 244]. В
работах [7, 15, 16, 64, 68, 107, 247] изучалась обратная задача для
уравнения (2) при недостатке гладкости у функций г и р. Случай
сингулярного потенциала исследовался в [119, 226]. В работах [48,
ИЗ, 114, 156, 183, 230, 249] рассматривалась так называемая узловая
обратная задача, когда потенциал восстанавливается по нулям (узлам)
собственных функций. Много работ посвящено неполным обратным
задачам, когда только часть спектральной информации доступна для
измерения и (или) имеется априорная информация об операторе или
его спектре (см. [6, 9, 84, 98, 106, 118, 138, 182, 216, 219, 220, 239, 242,
307] и литературу в них). Иногда в неполных обратных задачах мы
сталкиваемся с недостатком информации, что ведет к
неединственности решения обратной задачи (см., например, [84] и [239]). Упомянем
также обратные задачи для краевых задач с нераспадающимися
краевыми условиями ([111, 141, 178, 201, 220, 233, 241, 252, 269, 285]) и
с нелокальными краевыми условиями вида
y(x)daj(x) = 0
(см. [142, 143]). Частным случаем обратных задач, исследованных
в [142, 143], являются многоточечные обратные задачи, рассмотренные
в [99] и [199]. Обратные задачи для интегродифференциальных и
интегральных операторов исследовались в [51, 52, 78, 150, 151, 171, 256,
262, 288]. В частности, в [51, 52, 256] изучалась обратная
спектральная задача для одномерного возмущения интегрального вольтеррова
оператора вида
(Af)(x) :=
M(x,t)f(t)dt + g{x)
v(t)f(t)dt, 0<z <тг,
и показаны связи этого класса обратных задач с обратными задачами
для дифференциальных операторов.
Упомянем также обратные спектральные задачи для дискретных
операторов (см. [25, 41, 101, 108, 109, 135, 191, 227, 272, 273,
275, 284]), для дифференциальных операторов с запаздыванием ([197,
198]), для нелинейных дифференциальных уравнений ([274]), для
матричных операторов Штурма-Лиувилля ([18, 55, 59, 100, 194, 231,
302]), для дифференциальных операторов на графах ([37, 54, 97, 149,
200, 298]) и др.

Исторический очерк
363
Много приложений теории решения обратных задач связано с
дифференциальными операторами высших порядков вида
п-2
1у:=уМ+ X>(*)y(fc), п>2. (3)
fc=0
По сравнению с оператором Штурма-Лиувилля обратные задачи для
оператора (3) оказались значительно более трудными для
исследования. В частности, метод оператора преобразования, сыгравший
решающую роль для оператора Штурма-Лиувилля, не дает
удовлетворительных результатов при п > 2, так как операторы преобразования при
п > 2 имеют гораздо более сложную структуру, чем при п = 2 (см. [82,
161]). Исключение составляет случай аналитических коэффициентов
Pk(x), когда операторы преобразования имеют такой же «треугольный»
вид, как и для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля (см.
[131, 179, 221]). В работах Л.А.Сахновича [221-223] и И.Г.Хачатряна
[132-133] с помощью треугольного оператора преобразования
исследовалась обратная задача восстановления самосопряженных
дифференциальных операторов на полуоси с аналитическими коэффициентами
по спектральной матрице-функции, а также обратная задача
рассеяния. В частности, И.Г. Хачатрян доказал, что в аналитическом случае
задание спектральной матрицы-функции однозначно определяет
коэффициенты оператора.
Так как метод оператора преобразования оказался
неэффективным при п > 2, то постепенно трудами трех поколений математиков
был создан более эффективный и универсальный «метод
спектральных отображений», связанный с идеями метода контурного интеграла.
Н.Левинсон [162] в 1949 г. первым применил идеи метода
контурного интеграла к исследованию обратных задач для случая оператора
Штурма-Лиувилля (1). Развивая идеи Н.Левинсона, следующий
важный шаг в середине 60-х годов XX в. сделал З.Л. Лейбензон [159-160],
предложивший вместо операторов преобразования использовать
специальные отображения пространств решений дифференциальных
уравнений. Однако прошло еще более 20 лет, прежде чем метод спектральных
отображений приобрел современный вид, что позволило построить
теорию решения обратных задач для дифференциальных операторов
произвольных порядков в общем случае, причем как для сингулярных,
так и для регулярных операторов (см. [250, 251, 259, 260, 265, 268,
270]). Метод спектральных отображений позволяет также исследовать
обратные задачи и для других более сложных классов операторов
и пучков операторов.
Другой трудностью при исследовании дифференциальных
операторов (3) при п > 2 являлась постановка обратной задачи, особенно
в сингулярном случае. В частности, спектральная матрица-функция
оказывается здесь неподходящим объектом. Были предприняты
неудачные попытки ([303, 19]) доказать теорему единственности для само-

364
Исторический очерк
сопряженных операторов по спектральной матрице-функции в случае
суммируемых коэффициентов. Есть основания считать, что в этом
случае спектральная матрица-функция не определяет однозначно
коэффициенты оператора. Более того, для несамосопряженных операторов
вида (3) само понятие спектральной меры теряет смысл. В работах [250,
251, 259, 260, 265, 268, 270] в качестве основной спектральной
характеристики для дифференциального оператора (3) вводится и изучается
так называемая матрица Вейля, которая наиболее полно выражает
спектральные свойства оператора. Данная терминология связана с тем,
что введенная матрица является обобщением классической функции
Вейля для самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля.
Использование концепции матрицы Вейля и метода спектральных отображений
позволяет построить общую теорию решения обратной задачи для
несамосопряженного дифференциального оператора (3) как на полуоси,
так и на конечном интервале (см. гл. 3). Обратная задача рассеяния
на оси для дифференциального оператора (3) в различных постановках
рассматривалась в [30, 31, 56, 71, 72, 126, 128, 129, 235] и других
работах. Заметим, что использование задачи Римана в обратной задаче
рассеяния (см., например, [30]) можно рассматривать как частный
случай метода спектральных отображений.
Некоторые частные случаи обратной задачи для операторов (3) при
различных дополнительных ограничениях на коэффициенты оператора
или на его спектр исследовались в [27, 159, 160, 171, 254, 257, 259]
и других работах. Так, например, в [27, 159, 160, 254, 259] изучалась
обратная задача для операторов (3) на конечном интервале по
различным дискретным спектральным характеристикам при дополнительном
весьма жестком условии «разделенности спектра». При этом
постановка обратной задачи жестко связана с априорным условием на спектр,
и отказ от условия разделенности спектра существенно усложняет
задачу и приводит к нарушению единственности ее решения. В [171,
257] вместо условия разделенности спектра использовалось другое
априорное ограничение — аналитичность коэффициентов оператора.
Обратная задача для несамосопряженного дифференциального
оператора (3) с локально суммируемыми коэффициентами
исследовалась в [263], где восстановление оператора ведется по обобщенным
функциям Вейля. Обратная задача для дифференциальных операторов
высших порядков с особенностью изучалась в [147, 148, 266, 267,
271, 290, 292-294]. Неполные обратные задачи для операторов высших
порядков и их приложения рассматривались в [130, 35, 76, 171, 196,
257-259, 275]. В частности, в [258] исследовалась обратная задача
восстановления части коэффициентов дифференциального оператора (3)
по части матрицы Вейля (остальные коэффициенты оператора известны
априори). Для решения таких задач в [258] разработан так называемый
метод эталонных моделей, позволяющий строить конструктивное
решение для широкого класса обратных задач (см., например, [250, 257,
259, 274, 275, 284]). Данный метод применялся также для решения

Исторический очерк
365
обратной задачи теории упругости восстановления параметров балки
по частотам ее собственных колебаний (см. [261]). Эта задача может
быть сведена к обратной задаче восстановления дифференциального
оператора четвертого порядка:
(№{х)у")" = АЛ(ж)у, //=1,2,3,
по функции Вейля.
Отметим, что кроме введенной в [259, 260] матрицы Вейля
существует также другое обобщение понятия функции Вейля оператора
Штурма-Лиувилля (см., например, [188] и замечание 3.2.2 в данной
книге), которое назовем m-матрицей и которое удобно для
изучения прямых задач спектрального анализа в самосопряженном случае,
а именно для изучения свойств корневых функций и для
доказательства теорем о полноте и о разложении. Однако при исследовании
обратных задач m-матрица оказалась неудачным объектом. Матрица
Вейля, введенная в [259, 260], является более естественным и удобным
объектом в теории решения обратных задач.
Много работ посвящено обратным задачам для систем
дифференциальных уравнений (см. [3, 11, 12, 14. 23, 24, 32, 33, 46, 55,
59, 61, 66, 92, 93, 103, 115, 158, 167, 172, 194, 224, 225, 228, 229,
245, 246, 248, 276, 295, 296, 297, 299, 300, 301, 305, 308, 309, 310]
и литературу в них). Некоторые системы исследуются аналогично
оператору Штурма-Лиувилля. К ним относятся системы Дирака, AKNS
и их обобщения. Для таких систем может быть использован метод
оператора преобразования, и полученные результаты в основном
аналогичны результатам для оператора Штурма-Лиувилля. Метод оператора
преобразования может быть также применен для систем с
аналитическим потенциалом аналогично случаю оператора (3) (см., например,
[172]). Однако в общем случае решение обратных задач для систем
сталкивается с существенно более серьезными трудностями,
аналогичными случаю операторов высших порядков вида (3) с интегрируемыми
коэффициентами. Существует только несколько работ, посвященных
обратным задачам для таких систем, причем в основном для случаев
полуоси ([295, 296, 297, 299] и гл. 4 данной книги) и оси ([32, 33, 158,
308, 309, 310]). Случай конечного отрезка исследовался в [300, 301].
Для полуоси и конечного отрезка в качестве основной спектральной
характеристики вводится и изучается матрица Вейля, которая является
аналогом матрицы Вейля, введенной в гл. 3 для оператора (3).
Методом спектральных отображений получено решение обратной задачи
восстановления системы
Q0Y'(x) + Q(x)Y(x) = pY(x). Y = Ы*=7^ (4)
по заданной матрице Вейля в общем случае, т. е. при произвольном
расположении корней характеристического уравнения и при произвольном
поведении спектра (см. гл. 4). Для случая оси с использованием задачи
Римана изучалась обратная задача рассеяния для систем вида (4).

366
Исторический очерк
Важным классом обратных задач являются обратные задачи для
пучков дифференциальных операторов, когда дифференциальное
уравнение и (или) краевые условия зависят от спектрального параметра
нелинейно. Такие задачи для уравнений второго порядка изучались
в [8, 34, 49, 62, 94, ПО, 136, 187, 255, 280, 281, 286, 287], а для
уравнений высших порядков и систем в [170, 276, 309].
Обширная литература посвящена еще одной области
применения обратных спектральных задач. В 1967 г. Г.Гарднер, Ж.Грин,
М. Краскал и Р. Миура [89] разработали замечательный метод решения
некоторых важных нелинейных уравнений математической физики,
таких как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шре-
дингера, уравнение Буссинеска и другие, связанный с использованием
обратных задач. Этот метод представлен в [1, 2, 157, 236, 304] и других
работах.
Много работ посвящено обратным задачам для уравнений с
частными производными. Это направление отражено достаточно подробно в
[20, 21, 22, 38, 40, 42, 50, 57, 73, 122, 123, 124, 125, 137, 153-155, 190,
192, 205, 208, 211-213]. В §2.5 данной книги исследуется обратная
задача для волнового уравнения как модельная обратная задача для
уравнений с частными производными, показана связь с обратными
спектральными задачами для обыкновенных дифференциальных
уравнений.

Список литературы
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир,
1987.
2. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations and
Inverse Scattering // London Math. Soc. Lecture Note Series. —
Cambridge: Cambridge University Press, 1991. V. 149.
3. Ablowitz M., Каир D., Newell A., Segur H. The inverse scattering
transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Appl. Math.
1974. V. 53, №4. P. 249-315.
4. Агранович 3.C., Марченко В.А. Обратная задача теории рассеяния. —
Харьков, 1960.
5. Ahmad F., Razzaghi М. A numerical solution to the Gelfand-Levitan-Mar-
chenko equation, Differential equations and computational simulations, II
(Mississippi State, MS, 1995) // Appl. Math. Comput. 1998. V. 89, №1-3.
P. 31-39.
6. Aktosun T. Inverse Schrodinger scattering on the line with partial
knowledge of the potential // SIAM J. Appl. Math. 1996. V. 56, №1. P. 219-231.
7. Aktosun Т., Klaus M., van der Мее C. Recovery of discontinuities
in a non-homogeneous medium // Inverse Problems. 1996. V. 12. P. 1-25.
8. Aktosun Т., Klaus M.t van der Мее С Inverse scattering in
one-dimensional nonconservative media // Integral Equations Operator
Theory. 1998. V. 30, №3. P. 279-316.
9. Aktosun T. Construction of the half-line potential from the Jost function //
IPs. 2004. V. 20. P. 859-876.
10. Алексеев А.А. Устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля для
конечного интервала // ДАН СССР. 1986. Т. 287, №1. С. 11-13.
11. Alpay D., Gohberg I. Inverse spectral problem for differential operators with
rational scattering matrix functions // J. Diff. Equations. 1995. V. 118, №1.
P. 1-19.
12. Alpay D., Gohberg /. Inverse problems associated to a canonical
differential system // Operator Theory: Advances and Applications. — Basel:
Birkhauser, 2001. V. 127. P. 1-27.
13. Ambarzumian V.A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs. f. Phys.
1929. V. 53. P. 690-695.
14. Amour L, Inverse spectral theory for the AKNS system with separated
boundary conditions // Inverse Problems. 1993. V. 9, №5. P. 507-523.
15. Andersson L.-E. Inverse eigenvalue problems with discontinuous
coefficients // Inverse Problems. 1988. V. 4, №2. P. 353-397.

368
Список литературы
16. Andersson L.E. Inverse eigenvalue problems for a Sturm-Liouville equation
in impedance form // Inverse Problems. 1988. V. 4. P. 929-971.
17. Anderssen R.S. The effect of discontinuities in density and shear velocity
on the asymptotic overtone structure of tortional eigenfrequencies of the
Earth // Geophys. J.R. Astr. Soc. 1997. V. 50. P. 303-309.
18. Andersson E. On the M-function and Borg-Marchenko theorems for
vector-valued Sturm-Liouville equations // J. Math. Phys. 2003. V. 44,
№12. P. 6077-6100.
19. Andersson E. A uniquenees theorem in the inverse spectral theory of a
certain higher-order ordinary differential equation using Paley-Wiener
methods // J. London Math. Soc. 2005. V. 72(2), №1. P. 169-184.
20. Anger G. Inverse Problems in Differential Equations. — New York: Plenum
Press, 1990.
21. Anikonov Y.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differ.
Equations. Utrecht: VSP, 1995.
22. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных
задач для дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1978.
23. Arov D., Dym Н. The bitangential inverse spectral problem for canonical
systems // J. Funct. Anal. 2004. V. 214, №2. P. 312-385.
24. Арутюнян Т.Н. Изоспектральные операторы Дирака // Известия АН
Армении: сер. матем. 1994. Т. 29, №2. С. 3-14.
25. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. — М.: Мир,
1968.
26. Баев А.В. О решении обратных задач диссипативной теории рассеяния //
ДАН СССР. 1990. Т. 315, №5. С. 1103-1104.
27. Баранова Е.А. О восстановлении дифферециальных операторов высших
порядков по их спектрам // ДАН СССР. 1972. Т. 205, №6. С. 1271-1273.
28. Бари Н.К. Биортогональные системы и базисы в гильбертовом
пространстве // Уч. зап. МГУ, сер. матем. 1951. Т. 148, №4. С. 69-107.
29. Barnes D.C. The inverse eigenvalue problem with finite data // SIAM
J. Math. Anal. 1991. V. 22, №3. P. 732-753.
30. Beats R.t Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line,
Math. Surveys and Monographs. V. 28, Amer. Math. Soc, Providence: RI,
1988.
31. Beats R. The inverse problem for ordinary differential operators on the
line // Amer. J. Math. 1985. V. 107. P. 281-366.
32. Beats /?., Coifman R.R. Scattering and inverse scattering for first order
systems // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 39-90.
33. Beats R., Coifman R.R. Scattering and inverse scattering for first-order
systems II // Inverse Problems. 1987. V. 3, №4. P. 577-593.
34. Beats R., Henkin G.M., Novikova N.N The inverse boundary problem for
the Rayleigh system // J. Math. Phys. 1995. V. 36, №12. P. 6688-6708.
35. Бехири С.Э., Казарян A.P., Хачатрян И.Г. О воостановлении
регулярного двучленного дифференциального оператора произвольного четного

Список литературы
369
порядка по спектру // Уч. зап. Ереванского ун-та: Естеств. науки. 1994.
Т. 181, №2. С. 8-22.
36. Белишев М.И. Обратная спектральная индефинитная задача для
уравнения у" + zp(x)y = 0 на промежутке // Функц. анализ и его прилож.
1987. Т. 21, №2. С. 68-69.
37. Belishev M.I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees)
by the ВС method // Inverse Problems. 2004. V. 20. P. 647-672.
38. Belov Yu.Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations // Inverse
and Ill-posed Problems Series. - Utrecht: VSP, 2002.
39. Bennewitz С A Paley-Wiener theorem with applications to inverse spectral
theory. Advances in DEs and math, physics (Birmingham, AL, 2002),
21-31, Contemp. Math., 327, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 2003.
40. Березанский Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче
спектрального анализа для уравнения Шредингера // Труды Моск. матем.
о-ва. 1958. Т. 7. С. 3-51.
41. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям
самосопряженных операторов. — Киев: Наукова думка, 1965.
42. Blagoveshchenskii A.S. Inverse Problems of Wave Processes // Inverse and
Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2001.
43. Блох М.Ш. Об определении дифференциального уравнения по его
спектральной матрице-функции // ДАН СССР. 1953. Т. 92, №2. С. 209-212.
44. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe //
Acta Math. 1946. V. 78. P. 1-96.
45. Boumenir A. The inverse spectral problem for the generalized second-order
operator // Inverse Problems. 1994. V. 10, №5. P. 1079-1097.
46. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for
anisotropic media // J. Math. Phys. 1995. V. 36, №7. P. 3443-3453.
M.Brown B.M., Samko V.S., Knowles I.W., Marietta M. Inverse spectral
problem for the Sturm-Liouville equation // Inverse Problems. 2003. V. 19.
P. 235-252.
48. Browne P.J., Sleeman B.D. Inverse nodal problems for Sturm-Liouville
equations with eigenparameter dependent boundary conditions // Inverse
Problems. 1996. V. 12, №4. P. 377-381.
49. Browne P.J., Sleeman B.D. A uniqueness theorem for inverse
eigenparameter dependent Sturm-Liouville problems // Inverse Problems. 1997. V. 13,
№6. P. 1453-1462.
50. Бухгейм A.JI. Введение в теорию обратных задач. — Новосибирск:
Наука, 1988.
51. Бутерин С.А. Обратная задача спектрального анализа для интегральных
операторов: Автореф. Дис.канд. мат. наук. — Саратов, 2003.
52. Бутерин С.А. Необходимые и достаточные условия разрешимости
обратной задачи для одномерного возмущения оператора свертки //
Математика. Механика. — Саратов: Издательство СГУ. — 2003. Вып. 5.
С. 8-10.

370
Список литературы
53. Carlson R. A Borg-Levinson theorem for Bessel operators // Pacific J.
Math. 1996. V. 177, №1. P. 1-26.
54. Carlson R. Inverse eigenvalue problems on directed graphs. // Trans. Amer.
Math. Soc. 1999. V. 351, №10. P. 4069-4088.
55. Carlson R. An inverse problem for the matrix Schrodinger equation //
J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 267. P. 564-575.
56. Caudrey P. The inverse problem for the third-order equation // Phys. Lett.
1980. V. 79A. P. 264-268.
57. Chadan K.y Sabatier P.С Inverse Problems in Quantum Scattering
Theory: Texts and Monographs in Physics. — 2nd ed. — New York-Berlin:
Springer-Verlag, 1989.
58. Chadan K., Colton £>., Paiuarinta L., Rundell W. An Introduction to
Inverse Scattering and Inverse Spectral Problems // SIAM Monographs
on Mathematical Modeling and Computation. Society for Industrial and
Applied Mathematics. — Philadelphia: PA, 1997.
59. Chakravarty N.K. A necessary and sufficient condition for the existence of
the spectral matrix of a differential system // Indian J. Pure Appl. Math.
1994. V. 25, №4. P. 365-380.
60. Chelkak D., Kargaev P., Korotyaev E. Inverse problem for harmonic
oscillator perturbed by potential, characterization. //Comm. Math. Phys.
2004. V. 249, №1. P. 133-196.
61. Chern //., Shen C.-L. On the n-dimensional Ambarzumyan's theorem //
Inverse Problems. 1997. V. 13, №1. P. 15-18.
62. Чугунова M.B. Обратная краевая задача на конечном интервале
// Функц. анализ. — Ульяновск: изд-во педаг. ун-та, 1994. Т. 35.
С. 113-122.
63. Clancy К., Gohberg I. Factorization of Matrix Functions and Singular
Integral Operators. — Basel: Birkhauser, 1981.
64. Coleman C.F., McLaughlin J.R. Solution of the inverse spectral problem for
an impedance with integrable derivative I, II // Comm. Pure Appl. Math.
1993. V. 46, №2. С 145-184, 185-212.
65. Constantin A. On the inverse spectral problem for the Camassa-Holm
equation // J. Funct. Anal. 1998. V. 155, №2. P. 352-363.
66. Cox S., Knobel R. An inverse spectral problem for a nonnormal first order
differential operator // Integral Equations Operator Theory. 1996. V. 25,
№2. P. 147-162.
67. Dahlberg £., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem HI //
Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 255-267.
68. Darwish A.A. The inverse scattering problem for a singular boundary value
problem // New Zeland J. Math. 1993. V. 22. P. 37-56.
69. Degasperis A., Shabat A. Construction of reflectionless potentials with
infinite discrete spectrum // Teoret. i Matem. Fizika. 1994. V. 100, №2.
P. 230-247; English transl.: Theoretical and Mathem. Physics. 1994. V. 100,
№2. P. 970-984.

Список литературы
371
70. Deift P., Trubowitz E. Inverse scattering on the line // Comm. Pure Appl.
Math. 1979. V. 32. P. 121-251.
71. Deift P., Tomei C, Trubowitz E. Inverse scattering and the Boussinesq
equation // Comm. Pure Appl. Math. 1982. V. 35. P. 567-628.
72. Deift P., Zhou X. Direct and inverse scattering on the line with arbitrary
singularities // Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44, №5. P. 485-533.
73. Denisov A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems // Inverse and
Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 1999. P. 272.
74. Dorren H.J.S., Muyzert £./., Snieder R.K. The stability of one-dimensional
inverse scattering // Inverse Problems. 1994. V. 10, №4. P. 865-880.
1Ъ. Дубровский B.B., Садовничий B.A. О некоторых свойствах операторов
с дискретным спектром // Дифферен. уравнения. 1979. Т. 15, №7.
С. 1206-1211.
76. Elcrat Л., Papanicolaou V.G. On the inverse problem of a forth-order
selfadjoint binomial operator // SIAM J. Math. Anal. 1997. V. 28, №4.
P. 886-896.
77. El-Reheem Z.F.A. On the scattering problem for the Sturm-Liouville
equation on the half-line with sign valued weight coefficient // Applicable
Analysis. 1995. V. 57. P. 333-339.
78. Еремин M.C. Обратная задача для интегро-дифференциальных
уравнений второго порядка с особенностью // Дифферен. уравнения. 1988.
Т. 24. С. 350-351.
79. Fabiano R.H., Knobel R., Lowe B.D. A finite-difference algorithm for an
inverse Sturm-Liouville problem // IMA J. Numer. Anal. 1995. V. 15, №1.
P. 75-88.
80. Фаддеев Л.Д. О связи S-матрицы и потенциала для одномерного
оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. V. 121, №1. Р. 63-66.
81. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения
Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314-336.
82. Фаге М.К. Интегральные представления операторно-аналитических
функций одной независимой переменной // Труды Моск. матем. о-ва.
1959. Т. 8. С. 3-48.
83. Freiling G.} Yurko V.A. Inverse problems for differential equations with
turning points // Inverse Problems. 1997. V. 13. P. 1247-1263.
84. Freiling G., Yurko V.A. On constructing differential equations with
singularities from incomplete spectral information // Inverse Problems. 1998.
V. 14. P. 1131-1150.
85. Freiling C, Yurko V.A. Inverse spectral problems for differential equations
on the half-line with turning points // J. Diff. Equations. 1999. V. 153.
P. 419-453.
86. Freiling G., Yurko V.A. Inverse Sturm-Liouville Problems and their
Applications. — New York: NOVA Science Publishers, 2001.
87. Freiling G., Yurko V.A. Inverse spectral problems for singular
non-selfadjoint differential operators with discontinuties in an interior
point // Inverse Problems. 2002. V. 18. P. 757-773.

372
Список литературы
88. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М.: Наука, 1977.
89. Gardner С, Green /., Kruskal М., Miura R. A method for solving
the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Letters. 1967. V. 19.
P. 1095-1098.
90. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Определение дифференциального
оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, №2. С. 3-63.
91. Гасымов М.Г. Определение уравнения Штурма-Лиувилля с
особенностью по двум спектрам // ДАН СССР. 1965. Т. 161. С. 274-276.
92. Гасымов М.Г, Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака //
ДАН СССР, 1966. Т. 167. С. 967-970.
93. Гасымов М.Г. Обратная задача рассеяния для системы уравнений
Дирака порядка 2п // Труды моек, матем. о-ва. 1968. Т. 19. С. 41-119.
94. Гасымов М.Г, Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по
спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т. 37, №2. С. 19-23.
95. Гасымов М.Г, Амиров Р.Х. Прямые и обратные спектральные задачи
для дифференциальных операторов второго порядка с кулоновской
особенностью // ДАН Азерб. ССР. 1985. Т. 41, №8. С. 3-7.
96. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального
уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер.
матем. 1951. Т. 15. С. 309-360.
97. Герасименко Н.И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе //
Теорет. матем. физ. 1988. Т. 74, №2. С. 187-200.
98. Gesztesy F.y Simon В. Inverse spectral analysis with partial information on
the potential // The case of an a.с component in the spectrum, Helv. Phys.
Acta. 1997. V. 70, №1, 2. P. 66-71.
99. Gesztesy F.y Simon B. On the determination of a potential from three
spectra. Diff. operators and spectral theory, 85-92, Amer. Math. Soc.
Transl. Ser.2, 189, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1999.
100. Gesztesy F., Clark S. Weyl-Titchmarsh M-function asymptotics for
matrix-valued Schrodinger operators // Proc. London Math. Soc. 2001.
V. 82(3), №3. P. 701-724.
101. Gladwell G.M.L. Inverse Problems in Scattering // An introduction, Solid
Mechanics and its Applications. V. 23. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1993.
102. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965.
103. Gohberg 1С, Kaashoek М.А., Sakhnovich A.L. Pseudo-canonical systems
with rational Weyl functions: explicit formulas and applications // J. Diff.
Equations. 1998. V. 146, №2. P. 375-398.
104. Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные колебания
тонких упругих оболочек. — М.: Наука, 1979.
105. Гончар А.А., Новикова И.И., Хенкин Г.М. Многоточечные
аппроксимации Паде в обратной задаче Штурма-Лиувилля // Математ. сб. 1991.
Т. 182, №8. С. 1118-1128.

Список литературы
373
106. Grebert £., Weder R. Reconstruction of a potential on the line that is a
priori known on the half-line // SIAM J. Appl. Math. 1995. T. 55, №1.
С 242-254.
107. Гринберг Н.И. Одномерная обратная задача рассеяния для волнового
уравнения // Математ. сб. 1990. Т. 181, №8. С. 1114-1129.
108. Гусейнов Г.Ш., Набиев ИМ. Определение бесконечной
несамосопряженной матрицы Якоби по ее обобщенной спектральной функции //
Математ. заметки. 1978. Т. 23, №2. С. 237-248.
109. Guseinov G.S., Типсау Н. On the inverse scattering problem for a discrete
one-dimensional Schrodinger equation // Comm. Fac. Sci. Univ. Ankara,
Ser. Al Math. Statist. 1995. V. 44, №1-2. С 95-102.
ПО. Гусейнов Г.Ш. О спектральном анализе квадратичного пучка операторов
Штурма-Лиувилля, ДАН СССР. 1985. Т. 285, №6. С. 1292-1296.
111. Гусейнов ИМ. Решение одного класса обратных краевых задач
Штурма-Лиувилля // Математ. сб. 1995. Т. 186, №5. С. 35-48.
112. Hald О.Н. Discontinuous inverse eigenvalue problems // Comm. Pure Appl.
Math. 1984. T. 37. С 539-577.
113. Hald OH., McLaughlin J.R. Solutions of inverse nodal problems // Inverse
Problems. 1989. V. 5. P. 307-347.
114. Hald O.H., McLaughlin J.R. Inverse problems: recovery of BV coefficients
from nodes // Inverse Problems. 1998. V. 14, №2. P. 245-273.
115. Hinton D.B., Jordan A.K., Klaus M., Shaw J.K. Inverse scattering on the
line for a Dirac system // J. Math. Phys. 1991. V. 32, №11. P. 3015-3030.
116. Hochstadt H. The inverse Sturm-Liouville problem // Comm. Pure Appl.
Math. 1973. V. 26. P. 715-729.
117. Hochstadt H. On the well-posedness of the inverse Sturm-Liouville
problems // J. Diff. Equations. 1977. V. 23, №3. P. 402-413.
118. Horvath M. On the inverse spectral theory of Schrodinger and Dirac
operators // Trans. AMS. 2001. V. 353, №10. P. 4155-4171.
119. Hryniv R.O., Mykytyuk Ya.V. Inverse spectral problems for St-L operators
with singular potentials // Inverse Problems. 2003. V. 19. P. 665-684.
120. Isaacson E.L., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville problem I //
Comm. Pure Appl. Math. 1983. V. 36. P. 767-783.
121. Isaacson E.L., McKean H.P., Trubowitz E. The inverse Sturm-Liouville
problem II // Comm. Pure Appl. Math. 1984. V. 37. P. 1-11.
122. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. — New-York:
Springer-Verlag, 1998.
123. Kabanikhin S./., Lorenzi A. Identification problems of wave phenomena.
Theory and numerics. Inverse and Ill-posed Problems Series. — VSP, 1999.
124. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения
коэффициентов гиперболических уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988.
125. Kachalov Л., Kurylev Y., Lassas М. Inverse boundary spectral problems.
Chapman and Hall/CRC Monographs and Surveys in Pure and Applied
Math., 123. Chapman and Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2001.

374
Список литературы
126. Каир D. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems //
Stud. Appl. Math. 1980. V. 62. P. 189-216.
127. Kay /., Moses H. The determination of the scattering potential from
the spectral measure function I, II, III // Nuovo Cimento. 1955. V. 2.
P. 917-961; 1956. V. 3. P. 56-84, 276-304.
128. Казарян A.P., Хачатрян И.Г. Об обратной задаче рассеяния для
дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на
всей оси коэффициентами I // Известия АН Армении, сер. матем. 1994.
Т. 29, №5. С. 50-75.
129. Казарян А.Р., Хачатрян И.Г. Об обратной задаче рассеяния для
дифференциального оператора произвольного порядка с суммируемыми на всей
оси коэффициентами II // Известия АН Армении. Сер. матем. 1995. Т.
30, №1. С. 39-65.
130. Хачатрян И.Г. О восстановлении дифференциального уравнения по
спектру // Функц. анализ и его прилож. 1976. Т. 10, №1. С. 93-94.
131. Хачатрян И.Г. Об операторах преобразования для дифференциальных
уравнений высших порядков // Известия АН Арм. ССР. Сер. матем.
1978. Т. 13, №3. С. 215-237.
132. Хачатрян И.Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных
операторов высших порядков на полуоси // Функц. анализ и его прилож.
1983. Т. 17. №1. С. 40-52.
133. Хачатрян И.Г. Необходимые и достаточные условия разрешимости
обратной задачи рассеяния для дифференциальных операторов высших
порядков на полуоси // ДАН Арм. ССР. 1983. Т. 77, №2. С. 55-58.
134. Khanh B.D. A numerical resolution of the Gelfand-Levitan equation //
J. Comput. Appl. Math. 1996. V. 72, №2. P. 235-244.
135. Хасанов А.Б. Обратная задача теории рассеяния на полуоси для системы
разностных уравнений // Краевые задачи для неклассических уравнений
математической физики. — Ташкент, 1986. С. 266-295.
136. Khruslov E.Y., Shepelsky D.G. Inverse scattering method in
electromagnetic sounding theory // Inverse Problems. 1994. V. 10, №1. C. 1-37.
137. Kirsch A. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse
Problems // Applied Mathematical Sciences. V. 120. — Berlin: Springer-Verlag,
1996.
138. Klibanov M.V., Sacks P.E. Use of partial knowledge of the potential in
the phase problem of inverse scattering // J. Comput. Phys. 1994. V. 112.
P. 273-281.
139. Knobel R.t Lowe B.D. An inverse Sturm-Liouville problem for an
impedance // Z. Angew. Math. Phys. 1993. V. 44, №3. P. 433-450.
140. Kobayashi M. A uniqueness proof for discontinuous inverse
Sturm-Liouville problems with symmetric potentials // Inverse Problems.
1989. V. 5, №5. P. 767-781.
141. Korotyaev E. Estimates of periodic potentials in terms of gap lengths //
Commun. Math. Phys. 1998. V. 197. P. 521-526.

Список литературы
375
142. Кравченко К.В. О дифференциальных операторах с нелокальными
краевыми условиями // Дифферен. уравнения. 2000. Т. 36, №4. С. 464-469.
143. Кравченко К.В. Обратная задача для дифференциальных операторов
с нелокальными краевыми условиями: Автореф. Дис.канд. мат. наук. —
Саратов, 1997.
144. Крейн М.Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР.
1951. Т. 76, №1. С. 21-24.
145. Крейн M.F. Об одном методе эффективного решения обратной задачи //
ДАН СССР. 1954. Т. 94, №6. С. 987-990.
146. Krueger R.J. Inverse problems for nonabsorbing media with discontinuous
material properties // J. Math. Phys. 1982. V. 23, №3. P. 396-404.
147. Kudishin P.M. Recovery of differential operators with a singular point //
Proc. Inter. Conf. dedicated to 90th Anniversary of L.S. Pontryagin. —
Moscow, MSU, 1998. P. 66.
148. Кудишин П.М. Обратная задача для дифференциальных операторов
высших порядков с особенностью: Автореф. Дис.канд. мат. наук. —
Саратов, 1998.
149. Kurasov P., Stenberg F. On the inverse scattering problem on branching
graphs // J. Phys. A: Math. Gen. 2002. V. 35. P. 101-121.
150. Kypbtuioea Ю.В. Об одной обратной задаче для интегро-дифференциаль-
ных операторов // Деп. в ВИНИТИ. 08.08.2001, №1835-В2001.
151. Курышова Ю.В. Обратная задача для интегродифференциальных
операторов: Автореф. Дис.канд. мат. наук. — Саратов, 2002.
152. Lapwood F.R., Usami Т. Free Oscillations of the Earth. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1981.
153. Lavrentiev M.M., Romanov V.G., Vasiliev V.G. Multidimensional Inverse
Problems for Differential Equations // Lecture Notes in Mathematics.
V. 167. - Berlin: Springer-Verlag, 1970.
154. Лаврентьев M.M., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные
задачи математической физики. — Новосибирск: Наука, 1982.
155. Lavrentiev М.М., Avdeev A.V., Lavrentiev M.M.Jr., Priimenko V.I. Inverse
Problems of Mathematical Physics // Inverse and Ill-Posed Problems
Series. - Utrecht: VSP, 2003.
156. Law C.K., Yang C.-F. Reconstructing the potential function and its
derivatives using nodal data // Inverse Problems. 1998. V. 14, №2. P. 299-312.
157. Лаке П. Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенные
волны // Математика. 1969. Т. 13, №5. С. 128-150.
158. Lee J.-H. On the dissipative evolution equations associated with the
Zakharov-Shabat system with a quadratic spectral parameter // Trans.
Amer. Math. Soc. 1989. V. 316, №1. P. 327-336.
159. Лейбензон З.Л. Обратная задача спектрального анализа для
дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, матем. о-ва. 1966.
Т. 15. С. 70-144.

376
Список литературы
160. Лейбензон З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых
задач // Труды моек, матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15-58.
161. Леонтьев А.Ф. Оценка роста решения одного дифференциального
уравнения при больших значениях параметра // СМЖ. 1960. Т. 1, №3.
С. 456-487.
162. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949.
V. 13. P. 25-30.
163. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига. — М.: Наука,
1973.
164. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. — М.: Наука, 1984.
165. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. —
М.: Наука, 1970.
166. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лйувилля и
Дирака. - М.: Наука, 1986.
167. Li S. Y. The eigenvalue problem and its inverse spectrum problem for a class
of differential operators // Acta Math. Sci. (Chinese). 1996. V. 16, №4.
P. 391-403.
168. Литвиненко O.H., Сошников В.И. Теория неоднородных линий и их
применение в радиотехнике. — М.: Сов. Радио, 1964.
169. Lowe B.D., Pilant М., Rundell W. The recovery of potentials from finite
spectral data // SIAM J. Math. Anal. 1992. V. 23, №2. P. 482-504.
170. Лукомский Д.С. Обратная задача для пучков дифференциальных
операторов высших порядков: Автореф. Дис.канд. мат. наук. — Саратов,
2002.
171. Маламуд М.М. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы
теории дифференциальных уравнений дробных порядков // Труды моек.
матем. о-ва. 1994. Т. 55. С. 73-148.
172. Маламуд М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем
дифференциальных уравнений на конечном интервале // Труды моек,
матем. о-ва. 1999. Т. 60. С. 199-258.
173. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. —
Киев: Наукова думка, 1977.
174. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. —
Киев: Наукова думка, 1972.
175. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального
оператора второго порядка // ДАН СССР. 1950. Т. 72, №3. С. 457-460.
176. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных
операторов второго порядка // Труды моек, матем. о-ва. 1952. Т. 1.
С. 327-420.
177. Марченко В.А., Маслов К.В. Устойчивость задачи восстановления
оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Математ. сб.
1970. Т. 81(123). С. 525-551.
178. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора
Хилла // Математ. сб. 1975. Т. 97. С. 540-606.

Список литературы
377
179. Мацаев В.И. О существовании оператора преобразования для
дифференциальных операторов высших порядков // ДАН СССР. 1960. Т. 130,
№3. С. 499-502.
180. McHugh У. An historical survey of ordinary linear differential equations
with a large parameter and turning points // Arch. Hist. Exact. Sci. 1970.
V. 7. P. 277-324.
181. McLaughlin J.R. Analytical methods for recovering coefficients in
differential equations from spectral data // SIAM Rev. 1986. V. 28. P. 53-72.
182. McLaughlin J.R. On uniqueness theorems for second order inverse
eigenvalue problems // J. Math. Anal. Appl. 1986. V. 118, №1. P. 38-41.
183. McLaughlin J.R. Inverse spectral theory using nodal points as data —
a uniqueness result // J. Diff. Equations. 1988. V. 73. P. 354-362.
184. Мещанов В.П., Фельдштейн A.JI. Автоматизированное проектирование
направленных ответвителей СВЧ. — М.: Связь, 1980.
185. Mizutani A. On the inverse Sturm-Liouville problem // J. Fac. Sci Univ.
Tokio, Sect.IA, Math. 1984. V. 31. P. 319-350.
186. Mueller J.L., Shores T.S. Uniqueness and numerical recovery of a potential
on the real line // Inverse Problems. 1997. V. 13, №3. P. 781-800.
187. Nabiev I.M. Inverse spectral problem for the diffusion operator on an
interval // Mat. Fiz. Anal. Geom. 2004. V. 11, №3. P. 302-313.
188. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука,
1969.
189. Neher М. Enclosing solutions of an inverse Sturm-Liouville problem with
finite data // Computing. 1994. V. 53, №3-4. P. 379-395.
190. Newton R.G. Inverse Schrodinger Scattering in Three Dimensions, Texts
and Monographs in Physics, Springer-Verlag, 1989.
191. Никишин EM. Дискретный оператор Штурма-Лиувилля и некоторые
задачи теории функций // Труды семинара им. И.Г.Петровского. —
М., 1984. Вып. 10. С. 3-77.
192. Нижник Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических
уравнений. — Киев: Наукова думка, 1991.
193. Paine J. A numerical method for the inverse Sturm-Liouville problem //
SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1984. V. 5, №1. P. 149-156.
194. Paladhi B.R. The inverse problem associated with a pair of second-order
differential equations // Proc. London Math. Soc. (3) 1981. V. 43, №1.
P. 169-192.
195. Панахов Э.С. Об обратной задаче по двум спектрам для
дифференциального оператора с особенностью в нуле // ДАН АН Азерб. ССР. 1980.
Т. 36, №10. С. 6-10.
196. Papanicolaou V.G., Kravvaritis D. An inverse spectral problem for the
Euler-Bernoulli equation for the vibrating beam // Inverse Problems. 1997.
V. 13. №4. P. 1083-1092.

378
Список литературы
197. Pikula М. Determination of a Sturm-Liouville type differential operator
with retarded argument from two spectra // Mat. Vestnik. 1991. V. 43,
№3-4. P. 159-171.
198. Pikula M. On the determination of a differential equation with variable
delay // Math. Montisnigri. 1996. V. 6. P. 71-91.
199. Пивоварчик B.H. Восстановление потенциала уравнения Штурма-Лиу-
вилля по трем спектрам краевых задач // Функц. анализ и его прилож.
1999. Т. 33, №3. С. 87-90.
200. Pivovarchik V.N. Inverse problem for the Sturm-Liouville equation
on a simple graph // SIAM J. Math. Anal. 2000. V. 32, №4. P. 801-819.
201. Плаксина О.А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов
Штурма-Лиувилля с'нераспадающимися краевыми условиями // Мате-
мат. сб. 1986. Т. 131. С. 3-26.
202. Покорный Ю.В., Пенкин ОМ., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев
К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических
графах. — М.: Физматлит, 2004.
203. Poschel /., Trubowitz Е. Inverse Spectral Theory. — New York: Academic
Press, 1987.
204. Повзнер А.Я. О дифференциальных операторах типа Штурма-Лиувилля
на полуоси // Математ. сб. 1948. Т. 23(65). С. 3-52.
205. Prilepko Л./., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse
Problems in Mathematical Physics. — New York: Marcel Dekker, 2000.
206. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного
переменного. — М.: Наука, 1967.
207. Провоторов В.В. О решении обратной задачи для оператора
Штурма-Лиувилля с краевыми условиями внутри интервала //
Функц.-дифферен. уравнения. — Пермь: изд-во политех, ин-та, 1989.
С. 132-137.
208. Ramm A.G. Multidimensional Inverse Scattering Problems, Pitman
Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 51. Longman
Scientific and Technical, Harlow; co-published in the United States with John
Wiley and Sons, Inc., New York, 1992.
209. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла. — М.: Наука, 1964.
210. Рябушко Т.Н. Устойчивость восстановления оператора
Штурма-Лиувилля по двум спектрам // Теория функций, функц. анализ и их
прилож. - Харьков, 1972. Вып. 16. С. 186-198.
211. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. — М.: Наука,
1984.
212. Romanov V.G., Kabanikhln S.I.. Inverse Problems for Maxwell's
Equations // Inverse and Ill-posed Problems Series. — Utrecht: VSP, 1994.
213. Romanov V.G. Investigation Methods for Inverse Problems // Inverse and
Ill-posed Problems Series. - Utrecht: VSP, 2002.
214. Rundell W., Sacks P.E. Reconstruction techniques for classical inverse
Sturm-Liouville problems // Math. Сотр. 1992. V. 58, №197. P. 161-183.

Список литературы
379
215. Rundell W., Sacks P.E. The reconstruction of Sturm-Liouville operators //
Inverse Problems. 1992. V. 8, №3. P. 457-482.
216. Rundell W., Sacks P.E. On the determination of potentials without bound
state data // J. Comput. Appl. Math. 1994. V. 55, №3. P. 325-347.
217. Rykhlov V.S. Asymptotical formulas for solutions of linear differential
systems of the first order // Results Math. 1999. V. 36, №3, 4. P. 342-53.
218. Sacks P.E. An iterative method for the inverse Dirichlet problem // Inverse
Problems. 1988. V. 4, №4. P. 1055-1069.
219. Sacks P.E. Recovery of singularities from amplitude information // J. Math.
Phys. 1997. V. 38, №7. P. 3497-3507.
220. Садовничий В.А. О некоторых постановках обратных задач
спектрального анализа // УМН. 1983. V. 38, №5. С. 132.
221. Сахнович Л. А. Обратная задача для дифференциальных операторов
порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Математ. сб. 1958.
V. 46(88), №1. р. 61-76.
222. Сахнович Л.А. Метод оператора преобразования для уравнений высших
порядков // Математ. сб. 1961. V. 55(97), №3. Р. 347-360.
223. Сахнович Л.А. Об обратной задаче для уравнений четвертого порядка //
Математ. сб. 1962. V. 56(98), №2. Р. 137-146.
224. Sakhnovich L.A. Spectral Theory of Canonical Differential Systems. Method
of Operator Identities // Translated from the Russian. Operator Theory:
Advances and Appl. V. 107. — Basel: Birkhauser Verlag, 1999.
225. Sakhnovich A.L. Dirac type and canonical systems: spectral and
Weyl-Titchmarsh matrix functions, direct and inverse problems // Inverse
Problems. 2002. V. 18, №2. P. 331-348.
226. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с
распределенными потенциалами // Труды Моск. матем. о-ва. 2003. Т. 64.
С. 159-212.
227. Серебряков В.П. О свойствах данных рассеяния дискретного уравнения
Штурма-Лиувилля // Труды моек, матем. о-ва. 1986. V. 49. Р. 130-140.
228. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния для системы
дифференциальных уравнений // Функц. анализ и его прилож. 1975. Т. 9. С. 75-78.
229. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния // Дифферен. уравнения. 1979.
Т. 15. №10. С. 1824-1834.
230. Shen C.L., Tsai Т.М. On a uniform approximation of the density function
of a string equation using eigenvalues and nodal points and some related
inverse nodal problems // Inverse Problems. 1995. V. 11, №5. P. 1113-1123.
231. Shen C.L., Shieh C.T. Two inverse eigenvalue problems for
vectorial Sturm-Liouville equations // Invers problems. 1998. V. 14, №5.
P. 1331-1343.
232. Shepelsky D.G. The inverse problem of reconstruction of the medium's
conductivity in a class of discontinuous and increasing functions, Spectral
operator theory and related topics, 209-232, Advances in Soviet Math. 19,
Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1994.

380
Список литературы
233. Станкевич И. В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для
уравнения Хилла // Доклады АН СССР. 1970. V. 192, №1. С. 34-37.
234. Сташевская В.В. Об обратной задаче спектрального анализа для
некоторого класса дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. 93.
С. 409-412.
235. Суханов ВВ. Обратная задача для самосопряженного
дифференциального оператора на оси // Математ. сб. 1988. Т. 137(179), №2. С. 242-259.
236. Тахтаджян Л.А.У Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солито-
нов. — М.: Наука, 1986.
237. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных
линейных дифференциальных уравнений. — Петроград, 1917.
238. Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки //
ДАН СССР. 1949. V. 69, №6. С. 797-800.
239. Тихонравов А.В. О принципиально достижимой точности решения
задачи синтеза // ЖВМ и МФ. 1982. Т. 22, №6. С. 1421-1433.
240. Титчмарш Е. Теория функций. — М.: Наука, 1980.
241. Tkachenko V.A., Sansuc J.-J. Characterization of the periodic and
anti-periodic spectra of nonselfadjoint Hill's operators // Operator Theory,
Advances and Appl. V. 98. - Basel: Birkhaeuser, 1997. P. 216-224.
242. Trooshin /., Mochizuki K. Inverse problem for interior spectral data of the
Sturm-Liouville operator // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, №4.
P. 425-433.
243. Вагабов А.И. Об уточнении одной асимптотической теоремы Тамарки-
на // Дифферен. уравнения. 1993. Т. 29, №1. С. 41-49.
244. Wasow W. Linear Turning Point Theory. — Berlin: Springer, 1985.
245. Watson B.A. Inverse spectral problems for weighted Dirac systems //
Inverse Problems. 1999. V. 15, №3. P. 793-805.
246. Winkler H. The inverse spectral problem for canonical systems // Integral
Equations Operator Theory. 1995. V. 22, №3. P. 360-374.
247. Якубов В.Я. Восстановление уравнения Штурма-Лиувилля с
суммируемым весом // УМН. 1996. V. 51, №4. Р. 175-176.
248. Yamamoto М. Inverse spectral problem for systems of ordinary differential
equations of first order I // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA Math. 1988.
V. 35, №3. P. 519-546.
249. Yang X.-F. A solution of the inverse nodal problem // Inverse Problems.
1997. V. 13. P. 203-213.
250. Yurko V.A. Inverse Spectral Problems for Linear Differential Operators and
their Applications. — New York: Gordon and Breach, 2000.
251. Yurko V.A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory //
Inverse and Ill-posed Problems Series. — Utrecht: VSP, 2002.
252. Юрко B.A. Обратная задача для дифференциальных операторов второго
порядка с регулярными краевыми условиями // Математ. заметки. 1975.
Т. 18. Вып. 4. С. 569-576.

Список литературы
381
253. Юрко В. А. Об устойчивости восстановления операторов Штурма-Лиу-
вилля // Дифф. уравнения и теория функций. — Саратов: изд-во СГУ,
1980. Вып. 3. С. 113-124.
254. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов четвертого
порядка // Дифферен. уравнения. 1983. Т. 19, №11. С. 2016-2017.
255. Юрко В.А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях
Известия АН Арм. ССР. Сер. матем. 1984. Т. 19, №5. С. 398-409.
256. Юрко В.А. Обратная задача для интегральных операторов // Математ.
заметки. 1985. Т. 37. Вып. 5. С. 690-701.
257. Юрко В.А. Единственность восстановления двучленных
дифференциальных операторов по двум спектрам // Математ. заметки. 1998. Т. 43.
Вып. 3. С. 356-364.
258. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших
порядков // Дифферен. уравнения. 1989. Т. 25, №9. С. 1540-1550.
259. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов —
Саратов: изд-во СГУ, 1989.
260. Юрко В.А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице
Вейля // ДАН СССР. 1990. Т. 313, №6. С. 1368-1372.
261. Юрко В.А. Об одной задаче теории упругости // Прикл. Мат. Мех. 1990.
Т. 54, №6. С. 998-1002.
262. Юрко В.А. Обратная задача для интегро-дифференциальных
операторов // Математ. заметки. 1991. Т. 50. Вып. 5. С. 134-146.
263. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов на
полуоси // Известия ВУЗов: Математика. 1991, №12. С. 67-76.
264. Yurko V.A. Solution of the Boussinesq equation on the half-line by the
inverse problem method // Inverse Problems. 1991. V. 7. P. 727-738.
265. Юрко В.А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных
операторов на полуоси по матрице Вейля // Математ. сб. 1991. Т. 182, №3.
С. 431-456.
266. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных уравнений с
особенностью // Дифферен. уравнения. 1992. Т. 28, №8. Р. 1355-1362.
267. Yurko V.A. On higher-order differential operators with a singular point //
Inverse Problems. 1993. V. 9. P. 495-502.
268. Юрко В.А. Обратная задача для самосопряженных дифференциальных
операторов на полуоси // Доклады РАН. 1993. Т. 333, №4. С. 449-451.
269. Юрко В.А. О дифференциальных операторах с нераспадающимися
краевыми условиями // Функц. анализ и его прилож. 1994. Т. 28, №4.
С. 90-92.
270. Юрко В.А. Об определении самосопряженных дифференциальных
операторов на полуоси // Математ. заметки. 1995. Т. 57. Вып. 3. С. 451-462.
271. Юрко В.А. О дифференциальных операторах высших порядков с
регулярной особенностью // Математ. сборник. 1995. Т. 186, №6.
С. 133-160.

382
Список литературы
272. Юрко В.А. Об интегрировании нелинейных динамических систем
методом обратной спектральной задачи // Математ. заметки. 1995. Т. 57.
Вып. 6. С. 945-949.
273. Yurko V.A. On higher-order difference operators // Journal of Difference
Equations and Applications. 1995. V. 1. P. 347-352.
274. Юрко В.А. Об обратной задаче для нелинейного дифференциального
уравнения // Дифферен. уравнения. 1995. Т. 31, №10. С. 1768-1769.
275. Yurko V.A. An inverse problems for operators of a triangular structure //
Results in Mathematics. 1996. V. 30, №3/4. P. 346-373.
276. Юрко В.А. Обратная задача для систем дифференциальных уравнений
с нелинейной зависимостью от спектрального параметра // Дифферен.
уравнения. 1997. Т. 33. №3. С. 390-395.
277. Yurko V.A. Integral transforms connected with differential operators having
singularities inside the interval // Integral Transforms and Special
Functions. 1997. V. 5 , №3-4. P. 309-322.
278. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов
Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Математ.
заметки. 1998. Т. 64, №1. С. 143-156.
279. Юрко В.А. О краевых задачах с условиями разрыва внутри интервала //
Дифферен. уравнения. 2000. Т. 36, №8. С. 1139-1140.
280. Yurko V.A. An inverse problem for differential equations of the
Orr-Sommerfeld type // Mathematische Nachrichten. 2000. V. 211.
P. 177-183.
281. Юрко В.А. О восстановлении пучков дифференциальных операторов на
полуоси // Математ. заметки. 2000. Т. 67. Вып. 2. С. 316-319.
282. Yurko V.A. Inverse problems for differential equations with singularities
lying inside the interval // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2000.
V. 8, №1. P. 89-103.
283. Yurko V.A. Integral transforms connected with discontinuous boundary
value problems // Integral Transforms and Special Functions. 2000. V. 10,
№2. С 141-164.
284. Yurko V.A. Inverse spectral problems for differential operators and their
applications // J. Math. Sciences (New York). 2000. V. 98, №3. P. 319-426.
285. Yurko V.A. The inverse spectral problem for differential operators with
nonseparated boundary conditions // J. Math. Anal. ApDl. 2000. V. 250.
P. 266-289.
286. Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных
операторов // Математический сборник. 2000. Т. 191, №10. С. 137-160.
287. Yurko V.A. Recovery of differential equations with nonlinear dependence on
the spectral parameter // Appl. Anal. 2001. V. 78, №1, 2. P. 63-77.
288. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения. —Саратов,
изд-во Саратовского пединститута, 2001 — 499 с.
289. Юрко В.А., Игнатьев М.Ю. Численные методы решения обратных
спектральных задач // Известия СГУ, новая серия. 2001. Т. 1. Вып. 2.
С. 55-64.

Список литературы
383
290. Юрко В.А. О дифференциальных операторах высших порядков с
особенностью внутри интервала // Математические заметки 2002. Т. 71. Вып.
1. С. 152-156.
291. Юрко В.А. О восстановлении сингулярных несамосопряженных
дифференциальных операторов с особенностью внутри интервала //
Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, №5. С. 645-659.
292. Yurko V.A. Integral transforms connected with higher-order differential
operators with a singularity // Integral Transforms and Special Functions.
2002. V. 13. №6. P. 497-511.
293. Yurko V.A. Inverse spectral problems for higher-order differential operators
with a singularity // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2002. V. 10.
№4. P. 413-425.
294. Yurko V.A. Higher-order differential equations having a singularity in an
interior point // Results in Mathematics. 2002. V. 42. P. 177-191.
295. Юрко В.А. О восстановлении несамосопряженных дифференциальных
систем на полуоси по матрице Вейля // Математические заметки. 2004.
Т. 76. Вып. 2. С. 316-320.
296. Юрко В.А. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной
задачи для систем дифференциальных уравнений на полуоси// Доклады
РАН. 2004. Т. 396, №6. С. 755-758.
297. Юрко В.А. Обратная спектральная задача для сингулярных
несамосопряженных дифференциальных систем // Матем. сборник. 2004. Т. 195,
№12. С. 123-156.
298. Yurko V.A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on
graphs // Inverse Problems. 2005. V. 21. P. 1075-1086.
299. Yurko V.A. An inverse problem for differential systems with multiplied
roots of the characteristic polynomial // Journal of Inverse and Ill-Posed
Problems. 2005. V. 13, №5. P. 503-512.
300. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных систем на конечном
интервале в случае кратных корней характеристического уравнения //
Дифферен. уравнения. 2005. Т. 41, №6. С. 781-786.
301. Yurko V.A. Inverse spectral problems for differential systems on a finite
interval // Results in Math. 2006. V. 48, №3-4. P. 371-386.
302. Yurko V.A. Inverse problems for matrix Sturm-Liouville operators //
Russian J. Math. Phys. 2006. V. 13, №1. P. 111-118.
303. Zachary W. W. An inverse spectral theory of Gelfand-Levitan type for
higher order differential operators // Lett. Math. Phys. 1984. V. 8, №5. P.
403-411.
304. Захаров B.E., Манаков СВ., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория
солитонов. Метод обратной задачи. — М., Наука, 1980.
305. Замонов М.З., Хасанов А.Б. Разрешимость обратной задачи для системы
Дирака на оси //Вестник МГУ. Сер. матем. и мех. 1985, №6. С. 3-7.
306. Жидков Е.П., Айрапетян Р.Г. Численный метод решения обратной
задачи квантовой теории рассеяния // Вестник МГУ. Сер. матем. и мех.
1996 №6. С. 38-40.

384
Список литературы
307. Zhornitskaya L.A., Serov V.S. Inverse eigenvalue problems for a singular
Sturm-Liouville operator on (0,1) // Inverse Problems. 1994. V. 10, №4.
P. 975-987.
308. Zhou X. Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral
singularities // Comm. Pure Appl. Math. 1989. V. 42, №7. P. 895-938.
309. Zhou X. Inverse scattering transform for systems with rational spectral
dependence // J. Diff. Equations. 1995. V. 115, №2. P. 277-303.
310. Zhou X. Z/2-Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering
transforms // Comm. Pure Appl. Math. 1998. V. 51, №7. P. 697-731.
311. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. — М.:Мир, 1965.

В.А. Юрко
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБРАТНЫХ
СПЕКТРАЛЬНЫХ
ЗАДАЧ