Физика. Справочное руководство для поступающих в вузы - Яворский Б.М. Селезнев Ю.А.

Author: Яворский Б.М. Селезнев Ю.А.

Tags: физика

ISBN: 5-9221-0027-0

Year: 2004

Similar

Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы.

Физика для поступающих в ВУЗЫ

Физика для поступающих в вузы

Сборник задач по физике для поступающих в ВУЗ

Text

УДК 53@77.9)
ББК 22.3
Я 22
Яворский Б. М., Селезнев Ю. А. Физика. Справоч-
Справочное руководство: Для поступающих в вузы. — 5-е изд., перераб. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 592 с. - ISBN 5-9221-0027-0.
В пособии рассмотрены важнейшие вопросы классической и со-
современной физики. Для углубленного изучения включены, помимо
программного материала, вопросы, составляющие передний край
физической науки (например современная классификация элемен-
элементарных частиц, кварковая модель адронов).
Для учащихся различных типов средних учебных заведений,
которые намереваются в дальнейшем поступать в высшие учеб-
учебные заведения различного профиля и различных форм обучения
(дневные, вечерние и заочные), а также для подготовки к Единому
государственному экзамену.
«Справочное пособие» будет полезно преподавателям средних
учебных заведений, а также работникам промышленности, которые
по роду своей деятельности встречаются с физическими пробле-
проблемами.
Ил. 372.
ISBN 5-9221-0027-0 © ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2004

Оглавление
Из предисловия к первому изданию 10
Отдел I. Механика
Глава 1. Кинематика 11
1.1. Механическое движение A1). 1.2. Вектор перемещения. Путь A5).
1.3. Скорость A6). 1.4. Ускорение A9). 1.5. Равномерное прямолиней-
прямолинейное движение B1). 1.6. Равнопеременное прямолинейное движение B3).
1.7. Свободное падение тел B6). 1.8. Движение тела, брошенного верти-
вертикально вверх B7). 1.9. Равномерное движение точки по окружности C0).
1.10. Движение тела, брошенного под утлом к горизонту C3). 1.11.
Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной
оси C6).
Глава 2. Динамика движения материальной точки 39
2.1. Первый закон Ньютона C9). 2.2. Сила D1). 2.3. Масса и импульс.
Плотность D3). 2.4. Второй закон Ньютона D5). 2.5. Третий закон Нью-
Ньютона D7). 2.6. Закон сохранения импульса D8). 2.7. Механический прин-
принцип относительности Галилея—Ньютона E1). 2.8. Силы тяготения E3).
2.9. Силы упругости E7). 2.10. Силы трения E9). 2.11. Способы изме-
измерения масс и сил F1). 2.12. Неинерциальные системы отсчета F5).
Г л а в а 3. Элементы динамики вращательного движения абсолют-
абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси 68
3.1. Момент силы и момент инерции F8). 3.2. Основной закон динамики
вращательного движения G0).
Глава 4. Статика 72
4.1. Сложение и разложение сил, приложенных к материальной точке
и к абсолютно твердому телу G2). 4.2. Условия равновесия материаль-
материальной точки и абсолютно твердого тела в инерциальной системе отсче-
отсчета G5). 4.3. Виды равновесия G8).
Глава 5. Работа и механическая энергия 82
5.1. Работа силы при движении материальной точки и поступательном
движении абсолютно твердого тела (82). 5.2. Потенциальные и непотен-
непотенциальные силы. Консервативные и неконсервативные системы тел (85).

Оглавление
5.3. Механическая энергия (88). 5.4. Закон сохранения механической
энергии (91). 5.5. Мощность (95).
Глава 6. Элементы гидроаэромеханики 96
6.1. Механические свойства жидкостей и газов (96). 6.2. Гидроаэростати-
Гидроаэростатика (97). 6.3. Движение жидкостей и газов A01). 6.4. Движение твердых
тел в жидкостях и газах A05).
Отдел II. Молекулярная физика и основы термодинамики
Глава 1. Основы молекулярно-кинетической теории ...... 109
1.1. Основные понятия и определения A09). 1.2. Броуновское движе-
движение A11). 1.3. Диффузия A12). 1.4. Силы взаимодействия между мо-
молекулами A13). 1.5. Потенциальная энергия взаимодействия двух моле-
молекул A15). 1.6. Строение газообразных, твердых и жидких тел A16).
Глава 2. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов .119
2.1. Идеальный газ A19). 2.2. Скорости частиц газов A20). 2.3. Сред-
Средняя длина свободного пробега частицы A22). 2.4. Основное уравнение
кинетической теории газов A23).
Глава 3. Законы идеальных газов 126
3.1. Уравнение состояния A26). 3.2. Термодинамические процессы A30).
3.3. Законы изопроцессов в идеальных газах. Уравнение состояния иде-
идеального газа A32).
Глава 4. Основы термодинамики 137
4.1. Полная и внутренняя энергия тела (системы тел) A37). 4.2. Работа
в термодинамике A39). 4.3. Теплообмен A42). 4.4. Теплоемкость A43).
4.5. Первый закон (начало) термодинамики A44). 4.6. Обратимые и не-
необратимые процессы A49). 4.7. Круговые процессы (циклы) A50). 4.8.
Цикл Карно A51). 4.9. Второй и третий законы (начала) термодинами-
термодинамики A53). 4.10. Тепловой двигатель A54). 4.11. Холодильная установ-
установка A56).
Глава 5. Взаимные превращения жидкостей и газов 158
5.1. Испарение жидкостей A58). 5.2. Насыщающий (насыщенный)
пар A58). 5.3. Кипение A59). 5.4. Изотерма пара A61). 5.5. Кри-
Критическое состояние вещества. Сжижение газов A63). 5.6. Влажность
воздуха A64).

Оглавление
Глава 6. Свойства жидкостей 165
6.1. Энергия поверхностного слоя и поверхностное натяжение жидкос-
жидкостей A65). 6.2. Смачивание. Капиллярные явления A67).
Глава 7. Твердые тела и их превращение в жидкости 171
7.1. Типы кристаллических твердых тел A71). 7.2. Упругие свойства
твердых тел A73). 7.3. Тепловое расширение твердых тел и жид-
жидкостей A76). 7.4. Плавление, кристаллизация и сублимация твердых
тел A78).
Отдел III. Основы электродинамики
Глава 1. Электростатика 181
1.1. Основные понятия. Закон сохранения электрического заряда A81).
1.2. Закон Кулона A82). 1.3. Электрическое поле. Напряженность по-
поля A85). 1.4. Примеры некоторых электростатических полей A90). 1.5.
Проводники в электростатическом поле A95). 1.6. Диэлектрики в элек-
электростатическом поле A97). 1.7. Работа сил электростатического по-
поля B02). 1.8. Потенциал электростатического поля B05). 1.9. Связь
между напряженностью и разностью потенциалов электростатического
поля B07). 1.10. Электроемкость B10). 1.11. Конденсаторы B12). 1.12.
Энергия электрического поля B15).
Глава 2. Постоянный электрический ток 217
2.1. Основные понятия и определения B17). 2.2. Условия, необходи-
необходимые для возникновения и поддержания постоянного тока B20). 2.3.
Электродвижущая сила. Напряжение B21). 2.4. Закон Ома B22). 2.5.
Зависимость сопротивления от температуры B26). 2.6. Разветвление то-
токов. Соединения проводников B27). 2.7. Работа и мощность тока. Закон
Джоуля—Ленца B34).
Глава 3. Электрический ток в неметаллических средах . . . .235
3.1. Электрический ток в электролитах B35). 3.2. Законы электролиза.
Дискретность электрических зарядов B37). 3.3. Электрический ток в
газах B38). 3.4. Несамостоятельный газовый разряд B39). 3.5. Само-
Самостоятельный газовый разряд B40). 3.6. Понятие о плазме B42). 3.7.
Электрический ток в вакууме. Эмиссионные явления B43). 3.8. Двух-
электродная лампа — диод B45). 3.9. Трехэлектродная лампа — три-
триод B46). ЗЛО. Электронные пучки. Электронно-лучевая трубка B48).
3.11. Электропроводность чистых полупроводников B50). 3.12. Примес-
Примесная электропроводность полупроводников B52). 3.13. Электрические
свойства контакта полупроводников р- и «-типов B54).

Оглавление
Глава 4. Магнитное поле постоянного тока 257
4.1. Магнитное поле. Вектор индукции магнитного поля. Магнитный по-
поток B57). 4.2. Закон Ампера B62). 4.3. Магнитное поле электрического
тока B63). 4.4. Взаимодействие параллельных токов B68). 4.5. Дей-
Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца B68). 4.6.
Удельный заряд частиц B72).
Глава 5. Электромагнитная индукция . . . . 273
5.1. Явление и закон электромагнитной индукции B73). 5.2. Э.д.с. индук-
индукции в движущихся проводниках B75). 5.3. Индуцированное электричес-
электрическое поле B77). 5.4. Индукционные токи в сплошных проводниках B78).
5.5. Самоиндукция B79). 5.6. Взаимная индукция. Трансформатор B80).
5.7. Энергия магнитного поля B82).
Глава 6. Магнитные свойства вещества 284
6.1. Магнитные моменты электронов и атомов. Спин электрона B84).
6.2. Классификация магнетиков B86). 6.3. Диамагнетизм B87). 6.4.
Парамагнетизм B88). 6.5. Ферромагнетизм B89).
Отдел IV. Колебания и волны
Глава 1. Механические колебания 294
1.1. Основные понятия и определения колебательных процессов B94).
1.2. Скорость и ускорение гармонического колебания B96). 1.3. Гармо-
Гармонические колебания пружинного маятника B99). 1.4. Гармонические ко-
колебания математического маятника C00). 1.5. Энергия гармонического
колебательного движения C02). 1.6. Сложение гармонических одина-
одинаково направленных колебаний C04). 1.7. Затухающие колебания C05).
1.8. Вынужденные колебания C07). 1.9. Автоколебания C10).
Глава 2. Электромагнитные колебания 312
2.1. Свободные электромагнитные колебания в колебательном конту-
контуре C12). 2.2. Вынужденные электромагнитные колебания. Переменный
ток C16). 2.3. Цепь переменного тока. Активное сопротивление C17).
2.4. Индуктивное сопротивление C18). 2.5. Емкостное сопротивле-
сопротивление C19). 2.6. Закон Ома для электрической цепи переменного то-
тока C19). 2.7. Мощность переменного тока. Действующие значения силы
тока и напряжения C20). 2.8. Резонанс в цепи переменного тока C21).
2.9. Ламповый генератор C23).

Оглавление
Глава 3. Механические (упругие) волны. Звук 324
3.1. Предварительные понятия C24). 3.2. Поперечные и продольные
волны C26). 3.3. Скорость распространения волн C27). 3.4. Длина
волны C28). 3.5. Уравнение плоской волны C29). 3.6. Энергия и интен-
интенсивность волны. Уравнение сферической волны C30). 3.7. Некоторые
характеристики звуковых волн C32). 3.8. Ультразвуки C33). 3.9. Ин-
Интерференция волн C35). 3.10. Стоячие волны C37).
Глава 4. Электромагнитные волны 340
4.1. Связь между переменными электрическим и магнитным поля-
полями C40). 4.2. Скорость распространения и некоторые основные свойства
электромагнитных волн C41). 4.3. Энергия и интенсивность электро-
электромагнитных волн C43). 4.4. Излучение электромагнитных волн C44).
4.5. Понятие о радиосвязи, телевидении, радиолокации и радиоастроно-
радиоастрономии C48).
ОтделУ. Оптика
Глава 1. Геометрическая (лучевая) оптика 352
1.1. Прямолинейное распространение света C52). 1.2. Законы отраже-
отражения и преломления света. Полное отражение C53). 1.3. Плоское зер-
зеркало. Плоскопараллельная пластинка. Призма. C57). 1.4. Сферические
зеркала C59). 1.5. Линзы C61). 1.6. Понятие о фотометрии C65). 1.7.
Некоторые оптические приборы C68).
Глава 2. Волновая оптика (световые волны) 374
2.1. Скорость света C74). 2.2. Интерференция света C76). 2.3. Дифрак-
Дифракция света C80). 2.4. Дифракция света на щели. Дифракционная решет-
решетка C81). 2.5. Поляризация света C85). 2.6. Дисперсия света C86).
Глава 3. Излучение и спектры 388
3.1. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело C88). 3.2. Распределе-
Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела C90). 3.3. Люминесцен-
Люминесценция C92). 3.4. Типы спектров C94). 3.5. Инфракрасное и ультрафиоле-
ультрафиолетовое излучения C95). 3.6. Рентгеновское излучение C96). 3.7. Шкала
электромагнитных волн D00).
Глава 4. Основы специальной теории относительности . . . .401
4.1. Законы электродинамики и механический принцип относительно-
относительности D01). 4.2. Постулаты специальной теории относительности D02).

Оглавление
4.3. Понятие о длине тела D04). 4.4. Одновременность событий. Син-
Синхронизация часов D05). 4.5. Относительность одновременности собы-
событий D06). 4.6. Преобразования Лоренца D08). 4.7. Относительность
длин (расстояний) D09). 4.8. Относительность промежутков време-
времени D10). 4.9. Релятивистский закон сложения скоростей D13). 4.10.
Релятивистская динамика. Зависимость массы от скорости D14). 4.11.
Закон взаимосвязи массы и энергии D15).
Глава 5. Квантовая оптика 418
5.1. Основные положения квантовой оптики D18). 5.2. Фотоэлектри-
Фотоэлектрический эффект D21). 5.3. Законы внешнего фотоэффекта. Уравнение
Эйнштейна для фотоэффекта D23). 5.4. Некоторые применения фото-
фотоэффекта D25). 5.5. Давление света D26). 5.6. Химические действия
света. Фотографический процесс D28).
Отдел VI. Атомная и ядерная физика
Глава 1. Элементы квантовой механики 430
1.1. Идеи де Бройля о волновых свойствах частиц вещества D30). 1.2.
Волновые свойства электронов, нейтронов, атомов и молекул D31). 1.3.
Физический смысл волн де Бройля D34). 1.4. Линейный гармонический
осциллятор. Движение электрона в ограниченной области пространст-
пространства D35). 1.5. Соотношения неопределенностей D39). 1.6. Роль соотно-
соотношений неопределенностей при изучении движения микрочастиц D42).
1.7. Нулевая энергия линейного гармонического осциллятора D44). 1.8.
Понятие о вырождении газов D45).
Глава 2. Строение атома 447
2.1. Ядерная модель атома Резерфорда D47). 2.2. Трудности классиче-
классического объяснения ядерной модели атома D50). 2.3. Линейчатый спектр
атома водорода D51). 2.4. Постулаты Бора D53). 2.5. Модель атома во-
водорода по Бору D55). 2.6. Обоснование постулатов Бора и физический
смысл орбиты электрона в квантовой механике D57). 2.7. Квантование
момента импульса электрона и его проекции D58). 2.8. Спин электрона.
Принцип Паули D60). 2.9. Периодическая система элементов Менделее-
Менделеева D63). 2.10. Оптические квантовые генераторы D66).
Глава 3. Строение и спектры молекул 470
3.1. Общая характеристика химических связей D70). 3.2. Ионные моле-
молекулы D71). 3.3. Молекулы с ковалентной химической связью D73). 3.4.
Понятие о молекулярных спектрах D74).

Оглавление
Глава 4. Строение и основные свойства атомных ядер 477
4.1. Общая характеристика атомного ядра D77). 4.2. Энергия связи атом-
атомных ядер. Дефект массы D79). 4.3. Ядерные силы. Капельная модель
ядра D81). 4.4. Естественная радиоактивность D84). 4.5. Правила сме-
смещения и основной закон радиоактивного распада D86). 4.6. Некоторые
экспериментальные методы изучения частиц и ионизирующих излуче-
излучений D89). 4.7. Понятие о возникновении а-, /3- и у-излучений D92).
4.8. Ядерные реакции D95). 4.9. Взаимодействие нейтронов с веще-
веществом D97). 4.10. Искусственная радиоактивность D99). 4.11. Деле-
Деление тяжелых ядер E00). 4.12. Цепные ядерные реакции деления. Ядер-
Ядерный реактор E03). 4.13. Применения ядерной энергии и радиоактивных
изотопов E06). 4.14. Биологическое действие ионизирующих излуче-
излучений E08). 4.15. Термоядерные реакции E10). 4.16. Ускорители E13).
Глава 5. Элементарные частицы 516
5.1. Общие сведения об элементарных частицах E16). 5.2. Пере-
Перечень элементарных частиц и их характеристики E18). 5.3. Античасти-
Античастицы E20). 5.4. Фундаментальные взаимодействия и взаимопревращения
частиц E23). 5.5. Понятие о классификации элементарных частиц E28).
5.6. Истинно элементарные частицы E30).
Отдел VII. Дополнения
1. Единицы и размерности физических величин. Системы единиц фи-
физических величин E33). 2. Основные и дополнительные единицы Ме-
Международной системы E35). 3. Единицы физических величин в меха-
механике E39). 4. Единицы физических величин в молекулярной физике и
термодинамике E40). 5. Единицы величин в электродинамике E49). 6.
Единицы некоторых величин в волновых процессах и оптике E55). 7.
Некоторые единицы в атомной и ядерной физике E55). 8. Некоторые
фундаментальные физические константы E68). 9. Способы измерения
физических величин E68). 10. Погрешности при измерении физических
величин E70). 11. Обработка результатов прямых измерений E73). 12.
Обработка результатов косвенных измерений E74). 13. Приближенные
вычисления без точного учета погрешностей E78).
Предметный указатель 581

Из предисловия к первому изданию
В данном справочном руководстве приведены определения
основных физических понятий и величин, изучаемых в элемен-
элементарном курсе физики, сформулированы физические законы, кратко
разъяснена сущность описываемых ими явлений. В некоторых гла-
главах приведены примеры решения задач.
Справочное руководство рассчитано на весьма широкий круг
читателей: учащихся средних школ, профессионально-технических
училищ, средних специальных учебных заведений и слушателей под-
подготовительных отделений вузов. Оно может быть использовано аби-
абитуриентами при подготовке к вступительным экзаменам в вузы и
втузы. Имея в виду также тех, кто интересуется физикой и зани-
занимается самообразованием, составители сочли необходимым помес-
поместить в справочном руководстве некоторые сведения по классической
и современной физике, которые выходят за рамки программ сред-
средних учебных заведений. Главное внимание в справочном руковод-
руководстве уделяется истолкованию физического смысла законов и опи-
описываемых ими явлений. Математические знания, необходимые для
пользования справочным руководством, не превышают курса мате-
математики средних учебных заведений.
Единицы физических величин и системы единиц приведены в
дополнении (отдел VII).
Подробный предметный указатель и система ссылок должны об-
облегчить отыскание нужных сведений. В ссылках указываются номе-
номера отдела, главы, параграфа и пункта, где имеются сведения, отно-
относящиеся к рассматриваемому вопросу. Например, ссылка A.4.3.2°)
означает, что читатеть найдет интересующий его материал в отде-
отделе первом, главе четвертой, параграфе третьем, пункте втором. В
ссылках на материал того же параграфа указывается только пункт,
например (п. 5°). В ссылках на дополнение (отдел VII) указыва-
указывается только отдел и параграф или отдел, параграф и пункт, напри-
например: (VII.3) или (VII.2.10).
Отделы I и VII написаны Ю.А. Селезневым, отделы II—VI на-
написаны Б.М. Яворским. Примеры решения задач в отделах II-VI
подобраны Н. А. Богуславской.
Б.М. Яворский, Ю.А. Селезнев

Отдел I
МЕХАНИКА
Глава 1
Кинематика
1.1. Механическое движение
1°. В механике изучается наиболее простая форма движения —
механическое движение. Механическим движением называется из-
изменение положения данного тела (или его частей) относительно
других тел. Иногда механическое движение легко наблюдать: элек-
электровоз движется относительно платформы и полотна железной до-
дороги, теплоходы движутся, изменяя свое положение относительно
берегов рек, морей и океанов. Некоторые механические движения
непосредственно глазом наблюдать невозможно. Так, атомы и моле-
молекулы газов движутся относительно стенок сосуда и т. д. В реально-
реальности таких невидимых механических движений нас убеждают те фи-
физические явления, которые связаны с этими движениями A1.1.2.1°;
11.1.3.1°).
В ньютоновской механике рассматриваются механические дви-
движения тел, происходящие со скоростями, много меньшими скорости
света в вакууме (IV.4.2.10).
2°. Кинематикой называется раздел механики, в котором изуча-
изучаются механические движения тел во времени и не рассматриваются
какие-либо воздействия на эти тела других тел или полей.
3°. Для описания механического движения необходимо указать
тело, относительно которого рассматривается движение. Например,
пассажир, сидящий в кресле самолета, и корпус самолета движутся
относительно Земли, но неподвижны друг относительно друга. Тело,
по отношению к которому рассматривается данное механическое
движение, называется телом отсчета.
С телом отсчета связывается система координат. Простейшей
системой координат является прямоугольная декартова систе-
система xyz, изображенная на рис. 1.1.1. Совокупность тела отсчета

12 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
и системы координат называют системой отсчета. О различных
системах отсчета см. 1.2.1.3°, 6°.
4°. При решении некоторых задач механики можно не интересо-
интересоваться формой и размерами тела. Материальной точкой называ-
называется тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Так, при рассмотрении годичного движения Земли вокруг Солнца
земной шар может быть принят за материальную точку.
В иных случаях (например, при анализе суточного движения
Земли вокруг своей оси) размерами тела пренебречь нельзя. Тело,
форма и размеры которого при наличии всевозможных внешних воз-
воздействий могут считаться неизменны-
неизменными, называется абсолютно твердым
телом. Абсолютно твердое тело мож-
можно рассматривать как систему жестко
связанных материальных точек, нахо-
находящихся на неизменных расстояниях
друг от друга.
5°. Положение материальной точ-
точки М в декартовой системе координат
Рис- *•*•* определяется тремя координатами хм,
Ум, zM (рис. 1.1.1). Иначе положение точки может быть задано
радиус-вектором г, проведенным из начала отсчета координат О до
точки М (рис. 1.1.1).
6°. Механическое движение происходит во времени. Для того
чтобы определить моменты времени, которым соответствуют раз-
различные положения движущегося тела (или материальной точки),
система отсчета должна быть снабжена часами, отсчитывающими
промежутки времени от произвольно выбираемого начального мо-
момента времени. Время всегда изменяется от прошлого к будущему.
О синхронизации часов см. V.4.4.30.
7°. При движении материальной точки М (рис. 1.1.1) конец
радиус-вектора г описывает в пространстве некоторую линию. Ког-
Когда движется тело конечных размеров, различные его точки в общем
случае описывают различные линии. Линия, по которой движется
точка, называется траекторией.
Уравнение зависимости радиус-вектора движущейся точки от
времени
г = г(/)

1.1. Механическое движение 13
или эквивалентная ему система уравнений
х = АО, у = ф@. z = Ш
называется уравнениями движения точки.
8°. По форме траектории механические движения классифициру-
классифицируются на прямолинейные и криволинейные. В первом случае траек-
траекторией движения в данной системе отсчета является прямая ли-
линия, во втором — некоторая кривая. Например, тело, выпущенное
из рук на небольшой высоте над поверхностью Земли, движется
прямолинейно, а тело, брошенное горизонтально, — криволиней-
криволинейно A.1.10.1°).
Если все точки траектории лежат в одной плоскости, движение
называется плоским.
Траектории данного механического движения в различных сис-
системах отсчета могут иметь неодинаковую форму. Так, тело, выпу-
выпущенное из рук в вагоне равномерно движущегося поезда A.1.5.1°),
в системе отсчета, связанной с вагоном, движется прямолинейно
по вертикали, а в системе отсчета, связанной с железнодорожным
полотном, — по параболе.
Пример 1. Пусть материальная точка движется в плоскос-
плоскости хОу и уравнения ее движения имеют вид
х — at, у — Ы,
где а и Ъ — отличные от нуля постоянные коэффициенты.
Найти вид траектории, по которой движется точка.
Исключив из заданных уравнений время /, имеем
Ъ
V = -X,
а
т.е. траектория точки — прямая линия, проходящая через начало
координат.
Пример 2. Движение материальной точки в плоскости хОу
описывается следующими уравнениями:
х = a sin ш, у — a cos&>/,
где а и о — отличные от нуля постоянные величины.
Какова форма траектории точки?

14
Отдел I. Гл. 1. Кинематика
Из приведенных уравнений находим
— = sin cot,
а
у
—
а
Возводя в квадрат и суммируя полученные выражения, получаем
уравнение траектории, не содержащее времени V.
Материальная точка движется по окружности радиуса а. Центр
окружности совпадает с началом координат.
9°. Простейшими видами механического движения абсолютно
твердого тела (п. 4°) являются поступательное и вращательное дви-
движения.
Движение тела называется поступательным, если все его точ-
точки описывают конгруэнтные траектории. При этом любая пря-
прямая, соединяющая две произвольные точки {А и В) тела, переме-
перемещается, оставаясь параллельной самой себе (рис. 1.1.2). Поступа-
Поступаем
О
Рис. 1.1.2
Рис. 1.1.3
О
Рис. 1.1.4
тельно движется, например, поршень в цилиндре двигателя внутрен-
внутреннего сгорания или ящик письменного стола, когда его выдвигают.
Поступательное движение абсолютно твердого тела может быть
охарактеризовано движением какой-либо одной его точки, например
движением центра масс A.2.3.4°).
При вращательном движении абсолютно твердого тела его точ-
точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскос-
плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой,
перпендикулярной к плоскости окружностей и называемой осью
вращения. Ось вращения 00 может располагаться внутри тела
(рис. 1.1.3) или за его пределами (рис. 1.1.4). Ось вращения в данной
системе отсчета может быть неподвижной или подвижной. Напри-
Например, в системе отсчета, связанной с Землей, ось вращения ротора

1.2. Вектор перемещения. Путь 15
генератора на электростанции неподвижна, а оси колес движущего-
движущегося автомобиля перемещаются.
1.2. Вектор перемещения. Путь
1°. При движении точки положение ее радиус-вектора A.1.1.5°)
в пространстве изменяется. Разность
ДГ = Г2 - Г!
радиус-векторов, характеризующих конечное B) и начальное (/)
положения точки, движущейся в течение промежутка времени
At = t2 — t\, называется вектором перемещения {перемещени-
{перемещением) (рис. 1.1.5). Проекции вектора перемещения на координатные
оси Ох, Оу и Oz могут быть выражены через разности координат
его конца и начала:
Агх = Ах —Х2—х\, Агу = Ау =у2—у\, Arz — Az = Z2—z\.
Разности координат Ах, Ay, Az двух положений движущейся ма-
материальной точки часто называют перемещениями {смещениями)
точки вдоль соответствующих координатных осей.
Графики зависимостей Агх = Arx{t),
Arv = Ary{t) и Arz = Arz{t) называ-
называют графиками перемещений вдоль со-
соответствующих координатных осей.
Векторы перемещений складывают-
складываются геометрически, по правилу паралле-
параллелограмма или многоугольника {правило
сложения векторов). ис* ' '
2°. Путь {S или AS) является скалярной величиной, рав-
равной длине участка траектории, пройденного движущейся точкой за
данный промежуток времени. Пути, пройденные точкой за последо-
последовательные промежутки времени, складываются арифметически.
Модуль Аг вектора перемещения1 в общем случае не равен пу-
пути AS, пройденному точкой за данный промежуток времени.
График зависимости S = S{t) называется графиком пути.
Пример 1. Точка движется от поверхности Земли вертикально
пверх и по достижении максимальной высоты И падает на Землю.
'Модуль векторной величины А обозначают или прямыми вертикальными чер-
черточками у символа вектора: |А|, или светлой буквой: А.

16
Отдел I. Гл. 1. Кинематика
Вектор перемещения точки равен нулю, а путь, пройденный точкой,
равен удвоенной высоте подъема 2Н.
П р и м е р 2. Велосипедист движется по траектории в форме ок-
окружности радиуса R. За какой-то промежуток времени он проехал
половину длины окружности. Модуль вектора
перемещения велосипедиста при этом равен
диаметру окружности BЛ), а путь — поло-
половине длины окружности (jtR).
Пример 3. Точка последовательно пере-
перемещается из положения О в положение А, за-
затем в В, С и т.д. (рис. 1.1.6). Путь, пройден-
ныи точкой, будет равен сумме длин участков
траектории S = ОА + АВ + ВС + CD + DE.
Вектор перемещения Аг = ОЕ соединяет начальное положение О
точки с конечным ее положением Е. Модуль вектора перемещения
Аг — | ОЕ | не равен пути S, пройденному точкой.
Рис. 1.1.6
1.3. Скорость
1°. Средней скоростью (vcp) за промежуток времени At = t2—t\
называется физическая величина, равная отношению вектора пере-
перемещения А г = Г2 — i*i точки к длительности промежутка време-
времени At:
- ^L
Уср ~~ AT
Направление вектора средней скорости совпадает с направлением
вектора перемещения Дг.
Средняя скорость характеризует движение в течение всего того
промежутка времени А/, для которого она определена.
Пример. Небольшой тяжелый шарик падает вертикально вниз.
Координаты z/ шарика по оси Oz, направленной вертикально свер-
сверху вниз, в различные моменты времени /,, измеренные от начала
движения, указаны в таблице:
Г/, С
Z/, М
0.10
0.049
0.20
0.196
0.30
0.441
0.40
0.784
0.50
1.22
0.60
1.76
0.70
2.40
0.80
3.14
0.90
3.97
1.00
4.90

1.3. Скорость 17
Определить модули средних скоростей шарика i>cpi,2, «ср5,бз
^ср5,ю и fcpuo за соответствующие промежутки времени: от
t\ = 0.10с до t2 = 0.20с, от t5 = 0.50с до t6 = 0.60с, от t5 = 0.50с
до /ю = 1.00с и от <i = 0.10с до t\0 — 1.00с.
0.196-0.049 , , . ,
^'¦2= 0.20-0.10 m/c=L5m/c'
1.76-1.22
Р^-6= 0.60 - 0.50 М/С =
4.90-1.22 , _ „ ,
Мерзло = t 00_050 м/с = 7.4м/с,
4.90-0.049
/
2°. Скоростью (мгновенной скоростью, скоростью в данный
момент времени) называется физическая величина, равная преде-
пределу, к которому стремится средняя скорость (п. 1°) при бесконечном
уменьшении промежутка времени At:
г Аг
v = hm vCD = hm —-.
Скорость равна пределу отношения элементарного перемеще-
перемещения Дг к элементарному промежутку времени А/, в течение кото-
которого это перемещение происходит. Вектор скорости направлен по
касательной к траектории. Направление скорости называют направ-
направлением движения точки (рис. 1.1.7).
Рис. 1.1.7
3°. Движение материальной точки называется равномерным,
если модуль ее мгновенной скорости с течением времени не из-
изменяется (v = const). Если же модуль мгновенной скорости точки
с течением времени изменяется, движение называется неравномер-
неравномерным (или переменным).

18 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
4°. Средней скалярной {средней путевой) скоростью (vSc ) на-
называется физическая величина, определяемая отношением пути AS,
пройденного точкой за промежуток времени А/, к длительности это-
этого промежутка:
__ AS
При бесконечном уменьшении промежутка времени At мгновенное
значение скалярной скорости
Vc — lim ——
Л Д/->0 At
совпадает с модулем v мгновенной скорости точки, так как
г AS у lArl
lim —— = lim -L-—- = v.
Д/-+0 A^ At-+o At
В общем случае средняя скалярная скорость vSc не равна моду-
модулю vcp средней скорости точки. Равенство vs^ = vcp выполняется
только при прямолинейном движении материальной точки без из-
изменения направления движения.
Средняя скалярная скорость удобна для описания движения по
замкнутой траектории или по траектории, различные участки кото-
которой пересекаются.
Пример. Материальная точка за промежуток времени А^ со-
совершает один полный оборот по окружности радиуса R. Средняя
скорость точки равна нулю (vcp = 0, так как Аг = 0), а средняя
скалярная скорость за тот же промежуток времени отлична от нуля
(vs =2nR/At).
5°. Графиком скорости называют график зависимости от вре-
времени проекции вектора скорости на какую-либо координатную ось
(vx — vx(t), или vy = vv(t), или vz = vz(t)). При этом по оси
абсцисс в определенном масштабе jur откладывается время, измерен-
измеренное от условно выбранного начального момента времени (to = 0),
а по оси ординат — значения проекций вектора скорости на данную
координатную ось в масштабе2 /uv.
Графиком скорости называют также график зависимости v = v(t),
когда по оси ординат в принятом масштабе juv откладываются зна-
значения модуля скорости точки в различные моменты времени.
2В дальнейшем, как правило, не оговаривается, что при построении графиков на
осях координат значения физических величин откладываются в определенных мас-
масштабах.

1.4. Ускорение
19
Пример. Материальная точка движется равномерно по окруж-
окружности, лежащей в плоскости хОу. Модуль скорости точки равен v.
Начальное положение Л точки в момент времени to = 0 и ориен-
ориентация координатных осей показаны на рис. 1.1.8, а. Графики зависи-
зависимостей v = и(/), vx = vx(t) и vy = vv(t)
за время Т одного полного оборота
материальной точки по окружности
показаны на рис. 1.1.8, б, в и г.
а
1.4. Ускорение
1°. Средним ускорением (аср) (j.
называется физическая величина, ^
равная отношению изменения ско- О
рости Av = V2 — vi материальной г
точки к длительности промежутка (\-
времени At = t2 — t\, в течение ко- О
торого это изменение произошло: 6
Av
в масштабах /uv и /л{
"и
772
О
и Av г
t
(Vt)
Рис. 1.1.8
Направления векторов аср
совпадают.
П р и м е р. На рис. 1.1.9, а изобра-
изображен участок 1-2 траектории материальной точки. В момент вре-
времени t\ точка имеет скорость vi, а в момент /2 — скорость V2.
Вектор среднего ускорения аср направлен так же, как и вектор
Av=v2-Vj
Рис. 1Л.9
изменения скорости Av = V2 — vi (рис. 1.1.9,5). В общем случае
направление вектора аср не совпадает ни с направлением вектора vj,
ни с направлением вектора V2, ни с направлением касательной в
какой-либо точке траектории на данном ее участке.

20 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
2°. Ускорением (мгновенным ускорением) материальной точ-
точки в момент времени / называется физическая величина а, равная
пределу, к которому стремится среднее ускорение (п. 1°) за проме-
промежуток времени от / до t -f At при неограниченном уменьшении At:
у у Av
а = lim aCD = lim -——.
д/->о ' д/-»о At
Ускорение (в данной точке траектории или в данный момент вре-
времени) равно пределу отношения элементарного изменения скорос-
скорости Av к элементарному промежутку времени At.
В данной системе отсчета вектор ускорения может быть за-
задан проекциями на соответствующие координатные оси (проекция-
v ми яЛ, av и а2).
"^\ 3°. Составляющая аг векто-
а ра ускорения, направленная
" вдоль касательной к траектории
At>>0 Аи<0 „ г г
^ в данной точке, называется тан-
тангенциальным (касательным)
ускорением. Тангенциальное ус-
ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Век-
Вектор аг направлен в сторону движения точки при возрастании ее ско-
скорости (рис. 1.1.10, а) и в противоположную сторону — при убывании
скорости (рис. 1.1.10,6).
Составляющая а/7 вектора ускорения, направленная вдоль нор-
нормали к траектории в данной точке, называется нормальным уско-
ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора
скорости по направлению при криволинейном движении.
Из рис. 1.1.10 видно, что величины а, аТ и ап связаны между
собой соотношением
а = yjal +a\.
4°. При классификации механических движений материальной
точки одновременно по двум признакам — по форме траектории и
по характеру изменения скорости — различают четыре типа дви-
движений:
а) равномерное прямолинейное,
б) неравномерное прямолинейное,
в) равномерное криволинейное,
г) неравномерное криволинейное.

1.5. Равномерное прямолинейное движение
21
Таблица 1.1.1
Прямолинейное
движение
Криволинейное
движение
Равномерное
движение
ат = 0, а„ = 0,
а = 0, а = 0.
v = const,
v = const.
ат = 0, а„ ф 0,
а = а„, а ф 0.
и = const,
v / const.
Неравномерное
движение
ат ф 0, а„ = 0,
а = ат, а ф 0.
v ф const,
v т^ const.
ат ф0, апф 0,
<* = v^F+^I' a ^ °-
v ф const,
v ф const.
В таблице 1.1.1 приведены характеристики ускорений и скорос-
скоростей этих типов движения.
1.5. Равномерное прямолинейное движение
1°. При равномерном прямолинейном движении материальной
точки мгновенная скорость не зависит от времени (v = const
и v = const) и в каждой точке траектории направлена вдоль траек-
траектории. Средняя скорость за любой промежуток времени равна мгно-
мгновенной скорости точки: vcp = v. Таким образом,
v =
Аг
2°. График v = v(t) при равномерном движении представляется
прямой линией, параллельной оси времени Ot (рис. 1.1.11).
Вид графиков vx = vx(t)9 vv = vy(t) и vz = vz(t) зависит от
направления вектора v и от выбора положительного направления
той или иной координаты оси.
Пример 1. Материальная точка М движется равномерно и пря-
прямолинейно со скоростью v, положительное направление координат-
координатной оси Ох совпадает с направлением вектора v (рис. 1.1.12, а). Гра-
График vx = vx(t) для этого случая представлен на рис. 1.1.12,6.
Пример 2. Если положительное направление координатной
оси Ох противоположно направлению вектора v скорости точ-

22
Отдел I. Гл. 1. Кинематика
ки М (рис. 1.1.13, а), то график vx = vx(t) имеет вид, изображен-
изображенный на рис. 1.1.13,6. Ординаты всех точек этого графика равны и
отрицательны.
1
1
>
Рис.
Т.1
.11
t
Г)
vx
о
м
[иЛ->0
Рис. 1.1
V
а
б
.12
X
t
X
О
М
\vx<0
Рис. I.
V
а
6
1.13
О
t
3°. При равномерном и прямолинейном движении со скорос-
скоростью v вектор перемещения А г материальной точки за промежуток
времени Л/ = / — /о равен Ar — \At.
О
vx>0
а
О
Рис. 1.1.14
О vx<0
Рис. 1.1.15
4°. Вид графика перемещения A.1.2.1°) материальной точки
вдоль любой из осей прямоугольной декартовой системы коорди-
координат при равномерном прямолинейном движении зависит от знака
проекции вектора скорости точки на данную координатную ось. На-
Например, если проекция vx скорости точки на координатную ось Ох
положительна (рис. 1.1.14, а), то график перемещения Агх вдоль
оси Ох имеет вид, представленный на рис. 1.1.14,6. Если же vx < О
(рис. 1.1.15, а), то график Arv = Arx(t) имеет вид, изображенный
на рис. 1.1.15,. 6. В обоих случаях тангенс угла наклона а графика

1.6. Равнопеременное прямолинейное движение 23
перемещения к оси Ot (угол а отсчитывается от положительного
направления координатной оси против часовой стрелки) соответ-
соответствует проекции vx скорости материальной точки на координатную
ось Ох (см. рис. 1.1.14 и 1.1.15):
.=vx,
hVt
где /и,- и /ut — масштабы вдоль соответствующих осей графика пе-
перемещения A.1.3.5°).
5°. Путь S, пройденный материальной точкой при равномерном
прямолинейном движении за промежуток времени At = t — to, ра-
равен модулю Аг вектора перемещения точки за тот же промежуток
времени. Поэтому
S = vAt = v(t -t0)
или, если to = 0,
S = vt.
Пример. Материальная точка движется равномерно и прямо-
прямолинейно из положения с координатой jc i =3мв положение с коор-
координатой JC2 = —5м (рис. 1.1.16). Пе-
о | щ о *_ ремещение точки вдоль координатной
*2 О хх х оси Ох равно
Рис. 1.1.16 Агх =х2-х\ =-5м-Зм = -8м
(знак минус указывает на то, что точка движется в отрицательном
направлении оси Ох). Путь, пройденный точкой, равен
S = |*2 —xi | = |—5м — Зм| = 8 м.
1.6. Равнопеременное прямолинейное движение
1°. Равнопеременное прямолинейное движение является част-
частным случаем неравномерного движения, при котором ускорение
остается постоянным и по модулю и по направлению (а = const).
При этом среднее ускорение аср равно мгновенному ускорению а
(аср = а). Направлено ускорение а вдоль траектории точки. Нор-
Нормальное ускорение A.1.4.3°) при этом отсутствует (а,7 = 0).

24 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
Если направление ускорения а совпадает с направлением ско-
скорости v точки, движение называется равноускоренным. Модуль ско-
скорости равноускоренного движения точки с течением времени воз-
возрастает.
Если направления векторов а и v противоположны, движение
называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамед-
ленном движении с течением времени уменьшается.
2°. Изменение скорости Av = v — vo в течение промежутка вре-
времени At = t — to при равнопеременном прямолинейном движении
равно
Av = аА^,
или
v-vo = a(f-f0).
Если в момент начала отсчета времени (to = 0) скорость точки
равна vo (начальная скорость) и ускорение а известно, то ско-
скорость v в произвольный момент времени /
v = vo -h a/.
Проекция вектора скорости на ось Ох прямоугольной декарто-
декартовой системы координат связана с соответствующими проекциями
векторов начальной скорости и ускорения уравнением
vx = vox + axt.
Аналогично записываются уравнения для проекций вектора скорос-
скорости на другие координатные оси.
Приведенные выражения для v и vx справедливы не только для
равноускоренного или равнозамедленного движений, но и для рав-
равнопеременного движения с изменением направления скорости на
противоположное.
3°. Вектор перемещения Аг точки за промежуток времени
Д/ = t — to при равнопеременном прямолинейном движении с на-
начальной скоростью vo и ускорением а равен
Аг = v0A; + v ,
а его проекция на ось Ох прямоугольной декартовой системы коор-
координат (или перемещение точки вдоль соответствующей оси коорди-

1,6. Равнопеременное прямолинейное движение 25
нат) при to = О равна
Агх =
axt2
Уравнения для проекций вектора перемещения на оси Оу и Oz за-
записываются аналогично.
Приведенные выражения для Дг и ArY справедливы для лю-
любых прямолинейных равнопеременных движений, в том числе и для
движений с изменением направления перемещения на противопо-
противоположное.
4°. Путь S, пройденный точкой за промежуток времени At = t—to
в равноускоренном прямолинейном движении с начальной скорос-
скоростью vo и ускорением а, при to =0 равен
at2
S = vot + —.
При vo = О путь равен
~ ~у • о t
График зависимости S = S(t) для этого равно-
равноускоренного движения изображен на рис. 1.1.17. ^ис- *•*•*'
5°. При равнозамедленном прямолинейном движении формула
пути
2
справедлива только до момента прекращения движения (или до мо-
момента изменения направления движения) tH, который может быть
найден из условия
уи — vq — atn = 0,
откуда
а '
Путь, пройденный точкой за промежуток времени At = tH — to,
равен
5и = fa
График зависимости S = S(t) при равнозамедленном движении
представлен на рис. 1.1.18.

26
Отдел I. Гл. 1. Кинематика
6°. При равнопеременном прямолинейном движении с изменени-
изменением в момент времени tn направления движения на противоположное
путь, пройденный точкой к моменту времени /, равен
с ^0 , Я(Д'J
2й 2 '
где первое слагаемое представляет путь, пройденный точкой в рав-
нозамедленном движении от начального момента времени /о = 0 до
момента времени tH, а второе — путь точки при равноускоренном
движении за промежуток времени At = t — tH.
График зависимости S = S(t) для такого движения представлен
на рис. 1.1.19.
О
О
h '
Рис. 1.1.18
Рис. 1.1.19
Рис. 1.1.20
7°. Путь, пройденный точкой в равнопеременном прямолиней-
прямолинейном движении за произвольный промежуток времени Д/ = 1г — h,
может быть найден по заданному графику v = v(t) (рис. 1.1.20).
Пути соответствует площадь, заштрихованная на рисунке.
1.7. Свободное падение тел
1°. Свободным падением называется движение, которое совер-
совершало бы тело только под действием силы тяжести A.2.8.3°) без уче-
учета сопротивления воздуха. При свободном падении тела с неболь-
небольшой высоты h от поверхности Земли (h <^ R^ где /?з — радиус
Земли) оно движется с постоянным ускорением g, направленным
по вертикали вниз.
Ускорение g называется ускорением свободного падения. Оно
одно и то же для всех тел и зависит лишь от высоты над уровнем
моря и от географической широты.

1.8. Движение тела, брошенного вертикально вверх 27
2°. Если в момент начала отсчета времени (to = 0) тело имело
скорость vo, то по истечении произвольного промежутка времени
At = t — to скорость тела при свободном падении будет
При начальной скорости падения, равной нулю (vo = 0), ско-
скорость тела в произвольный момент времени /
v = gt.
3°. Путь /г, пройденный телом в свободном падении, к моменту
времени /
h = vot + ^-.
Если начальная скорость тела равна нулю (vo = 0), то
4°. Модуль скорости тела после прохождения в свободном паде-
падении пути h
или, при t?o = 0,
v — \flgh.
Если координатная ось Оу направлена вертикально сверху вниз,
то модуль скорости тела в произвольной точке траектории с коор-
координатой у
5°. Продолжительность At свободного падения без начальной
скорости (vo = 0) с высоты h
Д/ = w—.
V 8
1.8. Движение тела, брошенного вертикально вверх
1°. Тело движется вертикально вверх с начальной скоростью vo.
Если не учитывается сопротивление воздуха, то ускорение тела рав-
равно ускорению свободного падения g A.2.8.4°). На участке до наи-

28 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
высшей точки подъема движение тела является равнозамедленным,
а после достижения этой точки — свободным падением без началь-
начальной скорости A.1.7.1°).
2°. Скорость тела в произвольный момент времени t от начала
движения независимо от того, рассматривается лишь подъем тела
или его опускание после достижения наивысшей точки, равна
v = vo'+gf.
Задача. Тело брошено вертикально вверх с начальной скорос-
скоростью 20 м/с. Определить скорости тела vi и \2 в моменты времени
/1 = 1.5си/2 = 3.2сот начала движения. Считать, что координат-
координатная ось Оу направлена снизу вверх.
Дано: vo = 20 м/с, t\ = 1.5 c, t2 = 3.2 с.
Найти: \\9 \2.
Решение: Выражения для проекций v\y и v2y искомых скоростей:
V\y = Vo - gt\, V2y =Vo- gt2,
откуда
vXy = B0-9.8- 1.5)m/c = 5m/c,
v2y = B0 - 9.8 • 3.2) м/с = -11 м/с.
Знаки проекций v\v и v2y говорят о том, что вектор скорости vi
будет направлен вертикально вверх (тело еще не достигло наивыс-
наивысшей точки подъема), а вектор \2 — вертикально вниз (в момент
времени t2 тело движется вниз).
3°. Вектор перемещения Дг тела за произвольный промежуток
времени At = t - to при условии ^о = 0 равен
Это соотношение справедливо для любого момента времени t как
при движении тела вверх, так и при движении вниз после достиже-
достижения телом наивысшей точки подъема.
4°. В момент времени /„, соответствующий наибольшему подъ-
подъему тела над точкой бросания (когда у =^Макс или высота подъема

1,8. Движение тела, брошенного вертикально вверх
29
тела максимальна h = /гмакс = ушкс -уо),
Vh = vo — gin = О,
откуда
" ~ g'
В этот момент направление движения тела изменяется на противо-
противоположное.
Максимальная высота подъема тела над точкой бросания
, __ ^о
"макс —.У макс Уо — ~Z •
Задача. Тело бросают вертикально вверх с высоты ho = 1.5 м
над поверхностью Земли у края ямы глубиной h = 3.5 м. Начальная
скорость тела равна 2.3 м/с. Определить, в какой момент времени
tK от начала движения (to = 0) тело достигнет дна ямы, и найти
путь S, пройденный телом за это время.
Дано: ho = 1.5м, h = 3.5 м, vo = 2.3 м/с.
Найти: tK, S.
Решение: Совместим начало отсчета коорди-
координат О с точкой бросания тела, а координатную
ось Оу направим вертикально вверх (рис. 1.1.20*).
Зависимость координаты у тела от времени при
этом будет иметь вид
У =.
h
gt
y////^S^
Рис. 1.1.20*
где уо — начальная координата.
Полагая в этом уравнении / = tK, у о — 0 и у = — (ho + h), имеем
откуда
gt\ - 2votK - 2(ho + h) = 0 и tKu2 =
Корень
g
- yjvl + 2g(h0 + h)

30 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
при заданных условиях не имеет физического смысла, так как ока-
оказывается, что tK2 < 0. Таким образом,
vo
+ Jv2 + 2g(h0 + h)
2.3 + л/B.3J +2-9.8A.5 + 3.5)
= У Я Jt
Путь S, пройденный телом, равен (рис. 1.1.20*)
S = 2hMaKC + h0 + /г,
где ЛМакс — максимальная высота подъема тела над точкой бросания,
причем /гМакс = vl/2g. Следовательно,
V2
'-g g
B-3J
+ 1.5 + 3.5 )м = 5.5м.
9.8
5°. Скорость vB тела в момент его возвращения в исходную точ-
точку после движения вертикально вверх и вниз равна по модулю на-
начальной скорости тела: vB — t>o- Направления векторов vB и vo
противоположны.
Продолжительности движения тела от исходной точки до наи-
наивысшей (Д/п) и от наивысшей до исходной (А/в) равны между
собой:
g
1.9. Равномерное движение точки по окружности
1°. Движение по окружности является простейшим примером
криволинейного движения.
Скорость v движения по окружности называется линейной (ок-
(окружной) скоростью. При равномерном движении по окружности
модуль v мгновенной скорости материальной точки A.1.3.2°) с тече-

1.9. Равномерное движение точки по окружности
31
нием времени не изменяется: v = const (va = vb = vc на рис. 1.1.21).
Движущаяся точка за равные промежутки времени проходит равные
по длине дуги окружности.
Тангенциальное ускорение A.1.4.3°) при равномерном движении
точки по окружности отсутствует (ат = 0).
Изменение вектора скорости v по направлению характеризует-
характеризуется нормальным ускорением а„ A.1.4.3°), которое называется также
центростремительным ускорением. В каждой точке траектории
вектор а„ направлен по радиусу к центру ок-
окружности (рис. 1.1.21), а его модуль равен
V2
где R — радиус окружности.
2°. При описании механического движе-
движения, в частности движения по окружности,
наряду с прямоугольной декартовой систе-
системой координат A.1.1.3°) используется поляр-
полярная система координат. Положение точки М на какой-то плоскос-
плоскости (например, хОу) определяется двумя полярными координатами
(рис. 1.1.22): модулем г радиус-вектора г точки и углом ср — угло-
угловой координатой, или полярным углом. Угол q> отсчитывается от
оси Ох до радиус-вектора г против часовой стрелки. Точку О в этом
случае называют полюсом системы координат.
М
О
Рис. 1.1.22
Рис. 1.1.23
3°. Совместим полюс координатой системы с центром окруж-
окружности, по которой движется материальная точка; тогда г = R
(рис. 1.1.23), а изменение положения точки на окружности может
быть охарактеризовано изменением Аср угловой координаты точки

32 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
(в пределах изменения угла от 0 до 2л):
Угол Аф называется углом поворота радиус-вектора точки.
4°. Средней угловой скоростью движения точки по окружности
вокруг заданного центра (или оси) называется величина соср, равная
отношению угла поворота Аф радиус-вектора точки за промежуток
времени At к длительности этого промежутка:
Acp
5°. Угловой скоростью {мгновенной угловой скоростью) со
называется предел, к которому стремится средняя угловая скорость
(п. 4°) при бесконечном уменьшении промежутка времени At:
г г А(Р
со = lim coCD = lim ——.
А/->0 F Д/-+0 At
6°. При равномерном движении точки по окружности за любые
равные промежутки времени углы поворота ее радиус-вектора оди-
одинаковы. Следовательно, при таком движении мгновенная угловая
скорость равна средней угловой скорости: со = соср.
Угол поворота Аф радиус-вектора точки, равномерно движущей-
движущейся по окружности, равен
Аф = со At.
7°. Промежуток времени Т, в течение которого точка совершает
один полный оборот по окружности, называется периодом обраще-
обращения (периодом вращения), а величина v, обратная периоду:
I
— частотой обращения (частотой вращения).
За один период угол поворота радиус-вектора точки равен
2л рад, поэтому 2л = соТ, откуда Т — 2л/со, или
2л
со= — = 2jtv.

1,10. Тело, брошенное под углом к горизонту 33
8°. Путь S, пройденный точкой, равномерно движущейся по ок-
окружности, за промежуток времени А/ = t - to при to = 0 равен
S = vt.
9°. Путь, пройденный точкой за один период по окружности ра-
радиуса R, равен 2jtR, а угол поворота радиус-вектора точки за тот
же промежуток времени равен 2я рад, т.е. 2jtR = vT и 2л = соТ.
Отсюда находим связь между линейной и угловой скоростью:
V = Q)R.
1.10. Движение тела, брошенного под углом
к горизонту
1°. Если телу сообщить начальную скорость vo под углом а к
горизонту (—я/2 < а < я/2 рад), то его движение будет криволи-
криволинейным. При условии h <С Яз> где h — расстояние тела от поверх-
поверхности Земли, а /?з — радиус Земли в данной точке, и без учета
сопротивления воздуха можно считать, что траекторией является
парабола, лежащая, например, в плос- у,
кости хОу. Движение будет равнопе-
равнопеременным: ускорение тела постоянно и
в любой момент времени равно ускоре-
ускорению свободного падения g (рис. 1.1.24). ^ v—
2°. Анализ этого движения удобно *
проводить в двух инерциальных систе- Рис. 1.1.24
мах отсчета A.2.1.3°): в неподвижной хОу9 связанной с Землей, и в
подвижной х'О'у' (рис. 1.1.25). В начальный момент времени to = 0
начала отсчета координат О и О' совпадают, а далее подвижная сис-
система равномерно перемещается вдоль оси Ох неподвижной системы
отсчета со скоростью vr, причем vr = vo cos a.
Движение тела в подвижной системе отсчета является прямо-
прямолинейным равнопеременным с начальной скоростью voB, причем
t>0B = vo sin а, и ускорением g.
3°. Скорость тела v в неподвижной системе отсчета в произволь-
произвольный момент времени t от начала движения равна A.2.7.2°):
V = VB + Vr, ИЛИ V = VOb + g t + Vr.

34
Отдел I. Гл. 1. Кинематика
Если положительные направления координатных осей Ох и Оу
выбраны так, как показано на рис. 1.1.25, то
vх = vq cos a,
vv =
v = Jvl + v* = y(focosaJ + (uosina -g/J-
Угол наклона /3 вектора скорости v к горизонту (рис. 1.1.26)
vq sin а — gt
Р — arctg .
Vq COS a
4°. При тех же направлениях координатных осей Ох и Оу, что
и в п. 3°, для тела, брошенного с начальной скоростью vo горизон-
горизонтально (а — 0),
V = V0 + gt, Vx = Vq, Vy = -gt,
и p = arctg .
v = \jvl
+
5°. Смещения тела, брошенного под углом а к горизонту,
вдоль осей Ох и Оу неподвижной инерциальной системы отсче-
v0B
О vOr
О' vr=vOr
Рис. 1.1.25
Рис. 1.126
та (рис. 1.1.25) за промежуток времени At = t — tQ при /о = 0 будут
равны
АгЛ = fo/cosor и Дгу = fo^sina —.
Координаты тела х и у в неподвижной инерциальной системе
отсчета при тех же условиях
о/
х = VQt cos а, у = t>o/ sin а — -—.
2
Если xq ф 0 и yQ ф 0, то
х = хо +
=.Fo + fo'sina —.

1,10. Тело, брошенное под углом к горизонту
35
6°. Момент времени /и, соответствующий максимальному подъ-
подъему тела над точкой бросания при
О < а < — рад,
определяется из условия vv = 0, т.е. (п. 3°)
vо sin а - gtH = О,
откуда
vo sin a
g
Максимальная высота кшкс подъема тела над точкой бросания
равна
Vq
"макс ~~ .У макс Уо =~
sin a
Задача. Тело брошено под углом а = тг/6 рад к горизонту
из положения с координатой ^о = 5.0 м над поверхностью Зем-
Земли (рис. 1.1.26*). Начальная скорость тела равна 10 м/с. Опре-
Определить координату ^Макс наивысшей
точки подъема тела над поверхнос-
поверхностью Земли, координату хп точки па-
падения тела на поверхность Земли и
скорость vn в этой точке.
Дано: а = я/6 рад, у о = 5.0 м,
t;0= Юм/с.
Найти: ушкс, хП9 vn.
Решение: Координата наивысшей
точки траектории тела в системе ко- Рис-1.1.26*
ординатных осей хОу, изображенной на рис. 1.1.26*, определяется
следующей формулой:
vi sin2 a
= 5.0 +
A0J • @.50J
м = 6.3 м.
.гмакс /ui 2g у" ' 2-9.8
Для определения хп из условия уп = 0 можно найти время tn
движения тела до точки приземления:

36 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
откуда
vo sin a + \/vI sin2 a + 2gy0
g
10 • 0.50 + Л/A0J - @.50J + 2 -9.8 -5.0
= V~ ^ с = 1.6с.
Второй корень уравнения при заданных условиях не имеет фи-
физического смысла. Следовательно,
хп = VQtncosa — 10 • 1.6 • 0.87м = 14м.
Конечная скорость тела vn
(uosina -gfn)
• • 0.87J + A0 • 0.50 - 9.8 • 1.6J м/с = 14м/с,
а угол р между осью Ох и вектором vn
p = arctg ~ "
vo cos a
10 0.50-9.8- 1.6
10 0.87
(
= ГCtg
1.11. Вращательное движение абсолютно твердого тела
вокруг неподвижной оси
1°. Для кинематического описания вращательного движения
абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси исполь-
используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и
для описания движения точки по окружности: угловая координата
какой-либо точки тела (<р), угол поворота радиус-вектора г точки
тела (А<р), средняя и мгновенная угловые скорости (а>ср и со), ли-
линейные скорости различных точек тела (v). Промежуток времени Т,
в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси,
называется периодом вращения, а величина у, обратная периоду, —
частотой вращения.

1.11. Вращательное движение твердого тела
37
2°. При вращательном движении абсолютно твердого тела во-
вокруг неподвижной оси за промежуток времени At углы поворота
радиус-векторов различных точек тела одинаковы (на рис. 1.1.27
А(р\ = Aq>2). Угол поворота Д<р, средняя соср и мгновенная со
угловые скорости характеризуют вращатель-
вращательное движение всего абсолютно твердого тела
и целом.
3°. Линейная скорость какой-либо точки
абсолютно твердого тела пропорциональна
расстоянию R точки от оси вращения:
v =
= 2jtvR = -у
4°. При равномерном вращательном дви-
движении абсолютно твердого тела углы поворо-
поворота тела за любые равные промежутки времени
одинаковы (Аср = const) и мгновенная угловая скорость тела равна
средней угловой скорости (со = соср). Тангенциальные ускорения ат
A.1.4.3°) у различных точек абсолютно твердого тела отсутству-
отсутствуют (аг = 0), а нормальное (центростремительное) ускорение а„
A.1.4.3° и 1.1.9.1°) какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R
до оси вращения:
Вектор а„ направлен в каждый момент времени по радиусу траек-
траектории точки к оси вращения.
5°. При неравномерном вращательном движении абсолютно
твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки
времени неодинаковы. Угловая скорость тела со с течением времени
изменяется.
6°. Средним угловым ускорением еср в промежутке времени
At — /2 — h называется физическая величина, равная отношению
изменения угловой скорости Асо = со2 = со\ вращающегося тела за
промежуток времени At к длительности этого промежутка:
Асо
Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки
времени изменяется одинаково (Асо\ 2 ~ Асот,4 и т.д.), то гср = const
(равнопеременное вращение).

38 Отдел I. Гл. 1. Кинематика
7°. Угловым ускорением {мгновенным угловым ускорением)
вращающегося тела в момент времени / называется величина е, рав-
равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за
промежуток времени от / до t+At при бесконечном уменьшении At:
е = Inn ?CD = lim -—-.
Д/-Я) F д/->о At
Угловое ускорение равно пределу отношения элементарного из-
изменения угловой скорости Ао) к элементарному промежутку вре-
времени At.
8°. При возрастании угловой скорости тела вращательное дви-
движение называется ускоренным, а при убывании угловой скорости —
замедленным.
При равнопеременном вращательном движении (п. 6°) мгновен-
мгновенное ускорение тела остается неизменным и совпадает со средним
угловым ускорением: с = еср = const
9°. Изменение Асо угловой скорости абсолютно твердого тела
за промежуток времени At = t — to при равнопеременном враща-
вращательном движении с угловым ускорением е
Асо = eAt = e(t -to).
Если при ^о = О начальная угловая скорость тела равна соо, то в
произвольный момент времени / угловая скорость тела будет
со = соо -\- et.
При соо = 0 угловая скорость тела в произвольный момент времени
со = et.
10°. Угол поворота Аср тела вокруг оси за промежуток времени
At = t — to при равнопеременном движении
e(AtJ
При
Если
условии
со0 = 0
*о =
при
0
*о =
Аср — cooAt + -
Аср — coot +
0, то
et2
(р = т
2
et2
2 '

2.1. Первый закон Ньютона 39
Глава 2
Динамика движения материальной точки
2.1. Первый закон Ньютона
1°. В динамике рассматривается влияние взаимодействий между
телами на их механическое движение A.1.1.1°).
Основная задача динамики состоит в определении положения
тела в произвольный момент времени по известным начальному по-
положению тела, начальной скорости и силам A.2.2.1°), действующим
на тело.
2°. Свободным {изолированным) телом называется тело, на ко-
которое не действуют какие-либо другие тела или поля.
При решении некоторых задач тело может считаться свободным,
если внешние воздействия имеются, но они уравновешены A.4.1.2°).
Аналогично, материальная точка считается свободной (изолиро-
(изолированной), если отсутствуют или скомпенсированы внешние воздей-
воздействия на нее.
При изучении поступательного движения твердого тела рассма-
рассматривается движение центра инерции тела A.2.3.4°).
3°. Первый закон Ньютона: любая материальная точка сохра-
сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения
до тех пор, пока внешние воздействия не изменят этого состояния.
Первый закон Ньютона устанавливает факт существования инер-
циальных систем отсчета и описывает характер движения свобод-
свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета. Систе-
Системы отсчета, в которых свободная материальная точка покоится или
движется прямолинейно и равномерно, называются инерциальны-
ми системами отсчета. Прямолинейное и равномерное движение
свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета на-
называется инерциальным движением {движением по инерции).
При инерциальном движении вектор скорости материальной точ-
точки не изменяется с течением времени ни по направлению, ни по
модулю (v = const). Покой точки является частным случаем инер-
циального движения (v = const = 0).

40 Отдел !. Гл. 2. Динамика материальной точки
4°. Инерциальная система отсчета должна быть связана с инер-
циально движущимся телом отсчета. При выборе такого тела в
условиях конкретной задачи непременно должны оцениваться внеш-
внешние воздействия на него, если они имеются, факт компенсации этих
воздействий или возможность пренебречь ими, а также характер
движения тела в данных условиях.
5°. Для описания многих механических движений в земных
условиях инерциальную систему отсчета связывают с Землей (гео-
(геоцентрическая система отсчета).
При этом пренебрегают вращатель-
вращательным движением Земли вокруг собствен-
собственной оси и вокруг Солнца.
У^ ; |—| ; Более строго первый закон Нью-
; ! у а тона выполняется в гелиоцентриче-
гелиоцентричеО
ской системе отсчета. Начало от-
отсчета координат этой системы совме-
совмещают с центром Солнца, а координат-
координатные оси проводят в направлении на
какие-либо определенные звезды, ко-
которые могут быть приняты за непо-
неподвижные.
6 6°. Системы отсчета, в которых
Рис. 1.2.1 свободная материальная точка или сво-
свободное тело не сохраняют скорость движения неизменной (неинер-
циальное движение), называются неинерциальными системами
отсчета.
Неинерциальной является система отсчета, движущаяся с уско-
ускорением относительно инерциальной системы отсчета. В неинерци-
неинерциальной системе отсчета даже свободное тело может совершать не-
инерциальное движение, т. е. двигаться с ускорением.
Пример. На неподвижной тележке находится сосуд с водой,
в которой плавает деревянный брусок (рис. 1.2.1, а). Описать по-
поведение бруска при ускоренном прямолинейном движении тележки
вправо, пользуясь двумя системами отсчета: 1) неподвижной инер-
инерциальной системой, связанной с той поверхностью, по которой дви-
движется тележка (на рис. 1.2.1,6 показаны координатные оси Ох и Оу
этой системы), и 2) неинерциальной системой отсчета, связанной с
ускоренно движущейся тележкой (оси О'х1 и О'у* на рис. 1.2.1, в).

2,2. Сила 41
Брусок может рассматриваться как свободное тело, ибо сила
тяжести A.2.8.3°) бруска уравновешивается выталкивающей силой
A6.2.3°), а всеми иными воздействиями на брусок можно прене-
пренебречь. Из опыта известно, что при таком движении тележки брусок
будет приближаться к левой стенке сосуда.
В первом случае поведение бруска истолковывается на основа-
основании первого закона Ньютона: свободный брусок сохраняет состоя-
состояние покоя (неизменное положение в системе координат хОу), в то
время как тележка вместе с сосудом перемещается вправо (левая
сторона сосуда ускоренно приближается к бруску).
Во втором случае брусок ускоренно (неинерциально) переме-
перемещается влево без каких бы то ни было воздействий на него в
этом направлении, а тележка с сосудом покоится в системе коорди-
координат х'О'у'. При этом первый закон Ньютона для бруска не выполня-
выполняется (брусок совершает неинерциальное движение, хотя он может
считаться свободным телом).
2.2. Сила
1. Силой называется векторная физическая величина, являющая-
являющаяся мерой механического воздействия на материальную точку или
тело со стороны других тел или полей. Сила полностью определена,
если заданы ее модуль, направление и точка приложения. Прямая,
вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы.
В результате действия силы данное тело изменяет скорость
движения (приобретает ускорение) или деформируется A1.7.2.1°).
На основании этих опытных фактов производится измерение сил
A2.11.2°, 6°).
2°. Различные взаимодействия, известные современной физике,
сводятся к четырем типам:
а) гравитационное взаимодействие, возникающее между все-
всеми телами в соответствии с законом всемирного тяготения A.2.8.1°);
б) электромагнитное взаимодействие — между телами
или частицами, обладающими электрическими зарядами A11.1.3.1°,
VL5.4.10);
в) сильное взаимодействие, существующее, например, между
частицами, из которых состоят ядра атомов, а также между мезона-
мезонами и гиперонами (VI.4.3.5°), (VI.5.4.10);

42
Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
г) слабое взаимодействие\ характеризующее, например, про-
процессы превращения некоторых элементарных частиц (VI.5.4.10).
Сила как количественная характеристика позволяет оценивать
лишь гравитационные и электромагнитные взаимодействия. В тех
чрезвычайно малых областях пространства и в тех процессах, в ко-
которых проявляются сильные и слабые взаимодействия, такие поня-
понятия, как точка приложения, линия действия, а вместе с ними и само
понятие силы теряют смысл.
3°. В задачах механики учитываются гравитационные силы {си-
{силы тяготения) A.2.8.1°) и две разновидности электромагнитных
сил — силы упругости A.2.9.1°) и силы трения A.2.10.1°).
4°. Силы взаимодействия между частями некоторой рассматри-
рассматриваемой системы тел называются внутренними силами.
Силы воздействия на тела данной системы со стороны тел, не
включенных в эту систему, называются внешними силами.
5°. Система тел, на каждое из которых не действуют внешние
силы, называется замкнутой (изолированной) системой.
6°. Если на материальную точку одновременно действует не-
несколько сил (Fi, F2,..., F,7), то они могут быть заменены одной си-
силой Fs, называемой равнодействующей силой и равной их сумме:
Проекции равнодействующей силы на оси прямоугольной декар-
декартовой системы координат равны алгебраическим суммам соответ-

2.3. Масса и импульс. Плотность 43
ствующих проекций всех сил:
Пример. На материальную точку М в плоскости хОу действу-
действуют силы Fi, F2 и F3 (рис. 1.2.2, а). Их равнодействующая Fs может
быть найдена как замыкающая многоугольника, построенного на си-
силах Fi, F2 и F3 как на сторонах {правило многоугольника сложения
векторов) (рис. 1.2.2,5). Проекции ?%х и Fgv равнодействующей си-
силы на координатные оси Ох и Оу равны
Fzx — F\x +Fb+ Рзх, Fzy = F\y + F2y + F3y.
Модуль Fe равнодействующей силы равен
2.3. Масса и импульс. Плотность
1°. Свойство тела сохранять свою скорость в отсутствие взаимо-
взаимодействия с другими телами называется инертностью. Физическая
величина, являющаяся мерой инертности материальной точки или
мерой инертности тела в поступательном движении, называется
инертной массой (тИ).
2°. Масса характеризует и еще одно свойство тел — их способ-
способность взаимодействовать с другими телами в согласии с законом
всемирного тяготения A.2.8.1°). В этих случаях масса выступает
как мера гравитации, или мера тяготения, и ее называют гравита-
гравитационной массой (тГ).
В современной физике с высокой степенью точности установле-
установлена тождественность значений инертной и гравитационной масс дан-
данного тела (тн — тг). Поэтому их не различают и говорят просто о
массе тела (т).
Об измерении массы тела см. 1.2.11.2°, 3°, 7°.
3°. В механике Ньютона считается, что
а) масса тела не зависит от скорости его движения;
б) масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных
точек), из которых оно состоит;

44 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
в) для данной совокупности тел выполняется закон сохранения
массы: при любых процессах, происходящих в системе тел, ее масса
остается неизменной.
4°. Центром масс (центром инерции) системы материальных
точек называется точка, радиус-вектор гс которой определяется вы-
выражением
п
Е miri
где т, — масса /*-й материальной точки системы, г, — ее радиус-
вектор, п — число материальных точек. Центр масс является точ-
точкой, в которой может считаться сосредоточенной масса тела при его
поступательном движении.
5°. Импульсом р/ материальной точки называется векторная ве-
величина, равная произведению массы га, точки на скорость v, ее дви-
движения:
Р/ = /И/V/.
Импульс р системы, состоящей из п материальных точек, равен
сумме импульсов всех точек системы:
/=1 1=1
/7
или произведению суммарной массы точек системы т = J2 w< на
/=i
скорость vc поступательного движения ее центра масс:
п Е /W/V/
6°. Координаты х,у\ z (или радиус-вектор г) и скорость v мате-
материальной точки в данной системе отсчета определяют механическое
состояние материальной точки. При изменении хотя бы одной их
этих величин материальная точка переходит в новое механическое
состояние.

2.4. Второй закон Ньютона 45
Каждому механическому состоянию данной материальной точки
в данной системе отсчета соответствует вполне определенный им-
импульс, не зависящий ни от процессов, в результате которых точка
оказалась в данном механическом состоянии, ни от предыдущих или
последующих ее механических состояний. Поэтому импульс явля-
является функцией механического состояния материальной точки.
Инерциальное движение A.2.1.3°) материальной точки и инерци-
альное поступательное движение тела конечных размеров не сопро-
сопровождаются изменениями импульсов. При неинерциальном движении
A.2.1.6°) тела или материальной точки их импульсы изменяются.
7°. Средней плотностью тела называется величина рср, равная
отношению массы т тела к его объему:
т
РсР = -у-
Плотность р тела в данной точке равна пределу отношения
массы Am элемента тела, выбранного в окрестности данной точки,
к его объему AV при неограниченном уменьшении AV:
Am
р = hm —-.
ак-^о AV
Если тело однородно, то
т
Р = РсР = Yr
2.4. Второй закон Ньютона
1°. Второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое мате-
материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропор-
пропорционально действующей на точку силе, обратно пропорционально
массе точки и по направлению совпадает с силой:
F
а = —.
т
В такой форме закон справедлив для материальной точки, масса
которой в течение времени действия силы не изменяется. Он спра-
справедлив также для поступательного движения неизменного по массе
тела конечных размеров. В последнем случае под т следует пони-
понимать массу тела, а под а — ускорение любой точки тела, например
ускорение центра масс тела A.2.3.4°).

46 Отдел 1. Гл. 2. Динамика материальной точки
Проекция ускорения материальной точки или поступательно
движущегося тела конечных размеров на оси прямоугольной декар-
декартовой системы координат выражаются соотношениями
Fx Fv Fz
ах =¦ —, aY = —, az = —.
mm m
2°. Уравнение второго закона Ньютона в более общей форме
имеет вид
г? г ЛР г A(WV)
F = lim -~ = hm —-—-.
Дг->0 At At-+0 At
Если сила F постоянна, то
Ар __ A (mv)
At ~ At '
где At — промежуток времени, в течение которого на материаль-
материальную точку или поступательно движущееся тело действовала сила F,
а Ар = А{т\) — изменение импульса точки или тела за этот про-
промежуток времени.
Сила, действующая на материальную точку (тело), равна изме-
изменению импульса точки (тела) за единичный промежуток времени.
Сила является мерой изменения импульса точки (тела) за единич-
единичный промежуток времени.
Иначе уравнение второго закона Ньютона может быть записано
в виде
?At = Ар = A(wv).
Произведение силы F на промежуток времени At, в течение кото-
которого сила действовала на точку или тело, носит название импульса
силы.
Импульс силы, действующей на материальную точку (тело), ра-
равен изменению импульса точки (тела). Импульс силы является ме-
мерой действия силы во времени и мерой изменения импульса точки
(тела).
3°. Второй закон Ньютона в более общей форме справедлив и в
тех случаях, когда масса т материальной точки (или поступатель-
поступательно движущегося тела конечных размеров) изменяется не только с
течением времени (как, например, при полете ракеты), но и по ме-
мере изменения скорости точки или тела. Это бывает при больших
скоростях движения, приближающихся к скорости света в вакууме
(IV.4.2.10).

2.5. Третий закон Ньютона 47
На основании второго закона Ньютона можно заключить, что
изменения скоростей материальных точек или тел происходят не
мгновенно, а в течение конечных промежутков времени. Например,
из уравнения второго закона Ньютона для тела с постоянной массой
(FAt = тА\) следует, что при Av ф О не может быть At = 0.
4°. Если на материальную точку одновременно действует не-
несколько сил, то каждая из них сообщает точке такое же ускорение
(определяемое вторым законом Ньютона), что и при отсутствии дру-
других сил. В этом заключается принцип независимости действия
сил.
Результирующее ускорение а^, приобретенное точкой с мас-
массой т от воздействия на нее нескольких сил, определяется в со-
согласии со вторым законом Ньютона:
т
где Fs — равнодействующая сила A.2.2.6°).
5°. Сила или равнодействующая нескольких сил, обеспечива-
обеспечивающая движение материальной точки (или тела) по окружности, на-
называется центростремительной силой. Она направлена к центру
окружности.
6°. Если на систему материальных точек действует несколько
внешних сил, векторная сумма которых равна FsBHCIUH, то ускорение
ас центра масс системы определяется в согласии со вторым законом
Ньютона:
d — ,
т
где т — суммарная масса всех точек системы.
2.5. Третий закон Ньютона
1°. Третий закон Ньютона: силы взаимодействия двух матери-
материальных точек в инерциальной системе отсчета равны по модулю и
направлены в противоположные стороны:
F/* = -F*,-,
где Fjk — сила, действующая на /-ю точку со стороны k-i\ точки, а
Fki — сила, действующая на k-ю точку со стороны /-й. Знак минус

48 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
в этом уравнении указывает на противоположную направленность
векторов сил.
Третий закон Ньютона отражает факт равноправия взаимодей-
взаимодействующих материальных точек. Силы F,a и F*,- приложены к разным
точкам и могут взаимно уравновешиваться только в том случае, ког-
когда обе точки принадлежат одному и тому же абсолютно твердому
телу.
2°. В связи с тем, что скорость распространения гравитацион-
гравитационных и электромагнитных взаимодействий конечна и равна скорости
света в вакууме (V.4.4.40), применимость третьего закона Ньютона
к материальным точкам или телам, не находящимся в непосред-
непосредственном контакте, ограничена. Например, если бы почему-то Луна
внезапно перешла на новую орбиту, силы взаимодействия между
Луной и Землей изменились бы не мгновенно, а спустя некоторый
промежуток времени. В пределах этого промежутка третьим зако-
законом Ньютона нельзя было бы воспользоваться. При оценке «кон-
«контактных» взаимодействий материальных точек или тел подобные
ограничения отпадают.
2.6. Закон сохранения импульса
1°. Если в инерциальной системе отсчета рассматривается сис-
система, состоящая из п материальных точек или из п поступательно
движущихся абсолютно твердых тел, то на основании второго зако-
закона Ньютона
At
A(m2v2)
) __
д— *л1 "Г г«2 "Г ... "Г **//(«—1) "Г Глвнешн»
где символами вида F,* обозначены внутренние силы взаимодей-
взаимодействия тел системы, a F/BHemH — равнодействующая внешних сил,
приложенных к i-uy телу системы. Сложив левые и правые части

ГЕ внутр + Fs E
2.6. Закон сохранения импульса 49
этих уравнений, имеем
/ ^ ~Г~ — г Е внутр "т Г Е внешн •>
/ = 1
ИЛИ
Ар
А/
где Ар — изменение суммарного импульса системы за промежуток
времени A/, Fe внутр — сумма всех внутренних сил взаимодействия
частей системы, a F^ внешн — сумма всех внешних сил, действующих
на тела системы. Так как на основании третьего закона Ньютона
Fjk = — Ты, то Fsвнутр -0 и
Ар
—- — г 5] внешне
т. е. изменение суммарного импульса системы определяется суммой
одних только внешних сил.
Изменения проекций импульса системы тел на оси прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат определяются уравнениями
Арх Ару А/?т
д — **Е внешил-» д = ^Е внешн,.» д z=z ^E внешнг •
2°. Если система замкнута, то F?BHeiiiH = 0 (так как внешние
силы не действуют ни на одно тело системы) и
Ар
—— = 0, или Ар = 0, или р = const.
At r
В этом заключается закон сохранения импульса для замкнутой
системы тел: в инерциальной системе отсчета суммарный импульс
замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Взаимодействие между телами замкнутой системы может при-
приводить к изменению импульсов отдельных тел, к передаче импульса
от одного тела к другому, но это не сказывается на изменении сум-
суммарного импульса всей системы.
Поскольку импульс системы равен произведению массы т систе-
системы на скорость vc ее центра масс р = т\с A.2.3.5°), для замкнутой
системы
р = т\с = const,
откуда
vc = const,

50
Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
т.е. центр масс замкнутой системы тел в инерциальной системе от-
отсчета движется прямолинейно и равномерно.
3°. Законом сохранения импульса можно воспользоваться, опи-
описывая поведение незамкнутых систем тел в следующих частных
случаях:
а) Внешние силы, действующие на любое тело системы, уравно-
уравновешиваются (в ЭТОМ Случае F?BHeiiiH = 0).
б) Проекция суммы всех внешних сил на какую-либо координат-
координатную ось равна нулю. В этом случае говорят о законе сохранения
проекции импульса незамкнутой системы на данную коорди-
координатную ось. Например, при F?BHeuJHx = 0 имеем рх = const, хотя
проекции импульса на другие координатные оси с течением времени
могут изменяться.
Пример 1. Система двух тележек, между которыми помещена
сжатая пружина (рис. 1.2.3, а), не является замкнутой, так как на
тележки действуют внешние силы: силы тяжести Pi и Р2 A.2.8.3°) и
силы реакции Ri и R2. Но если силы Pi и Ri, а также Р2 и R2 урав-
уравновешиваются, то к системе можно применить закон сохранения
импульса. В согласии с этим законом, например, будет оставаться
неизменным положение центра масс системы тележек в инерциаль-
инерциальной системе отсчета (хОу) после того, как пружина приведет их в
движение (рис. 1.2.3, б).
У
О х
О хУ/////////////////////////////////
Рис. 1.2.3
О
Рис. 1.2.4
Пример 2. После выстрела из орудия, находящегося на плат-
платформе, платформа откатывается (рис. 1.2.4). Скорость vi отката
платформы может быть найдена из закона сохранения проекции им-
импульса на координатную ось Ох. Проекция неуравновешенной пос-
после выстрела силы тяжести снаряда Р2 (являющейся внешней силой)
на ось Ох равна нулю (Ргх = 0).

2.7. Принцип относительности Галилея—Ньютона
51
2.7. Механический принцип относительности
Галилея—Ньютона
1°. Связь положений материальной точки в двух произволь-
произвольных инерциальных системах отсчета описывается преобразованием
Галилея:
г' = г- (ro + uf),
где гиг7 — радиус-векторы материальной точки в первой и второй
системах отсчета, и — постоянная скорость равномерного и прямо-
прямолинейного движения второй системы отсчета относительно первой,
Го — радиус-вектор, проведенный из начала отсчета координат пер-
первой системы в начало отсчета координат второй системы в момент
времени to = 0. На рис. 1.2.5, а показаны координатные оси xyz
и x'y'z1 двух систем отсчета и материальная точка М в начальный
момент времени to = 0, а на рис. 1.2.5,6 — оси и точка спустя про-
промежуток времени At = t — to.
У
ez. ^~
X
'У
Рис. 1.2.5
Связь координат материальной точки в обеих системах отсчета
описывается системой уравнений
х' = х - (х0 + uxt), у1 = у - {уо + uyt), z1 = z - (z0 + uzi)
{преобразование координат Галилея).
При этом считается, что течение времени во всех инерциальных
системах отсчета происходит одинаково:
At' = At
(абсолютный характер времени в механике Ньютона).
2°. Скорости материальной точки в обеих системах отсчета свя-
связаны соотношением
V — v — и,

52 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
или в проекциях на оси координат
v'x = vx — их, vfy = vv — щ, vz — vz — uz
{закон сложения скоростей в механике Ньютона).
3°. Из-за постоянства скорости движения второй системы отно-
относительно первой (u = const) ускорения материальной точки в обеих
системах отсчета оказываются одинаковыми:
а' = а, или а'х — ах, а'у = av, al = az.
Ускорение материальной точки определяется действующими на
нее силами в согласии со вторым законом Ньютона и не зависит от
скорости движения инерциальной системы отсчета (абсолютный
характер ускорения во всех инерциалъных системах отсчета).
4°. Силы взаимодействия между материальными точками или
телами зависят лишь от их относительного расположения или от
скоростей их относительного движения и не зависят от скорости
движения инерциальной системы отсчета. Например, в любой инер-
инерциальной системе отсчета силы гравитационного взаимодействия
A.2.8.1°) двух материальных точек обратно пропорциональны квад-
квадрату расстояния между ними, а это расстояние во всех инерциаль-
ных системах отсчета, независимо от скоростей их движения, будет
одним и тем же. Аналогично, сила вязкого трения A.6.3.3°) зави-
зависит от скорости относительного движения соприкасающихся слоев
жидкостей или газов, которая не зависит от скорости инерциального
движения самой системы отсчета. Сила упругости A.2.9.1°) зависит
от того, насколько растянута или сжата пружина, но не зависит от
скорости движения инерциальной системы отсчета, в которой про-
проводится опыт с данной пружиной. Вследствие этого F = F', где
F — сила воздействия на данное тело в одной инерциальной систе-
системе отсчета, aF' — сила воздействия на то же тело в другой инер-
инерциальной системе отсчета.
Масса данного тела в механике Ньютона не зависит от того,
в какой системе отсчета оно рассматривается (т — т'), поэтому
в обеих инерциальных системах отсчета форма законов механики
сохраняется.
5°. Равномерное и прямолинейное движение системы отсчета не
влияет на ход механических явлений, протекающих в этой систе-
системе. Никакие механические явления не позволяют отличить покой

2.8. Силы тяготения 53
инерциальной системы отсчета от ее равномерного прямолинейно-
прямолинейного движения.
Для любых механических явлений все инерциальные системы
отсчета оказываются равноправными. Эти утверждения выража-
выражают механический принцип относительности {принцип относи-
относительности Галилея). Принцип относительности является одним
из наиболее общих законов природы, ибо в специальной теории от-
относительности он распространяется и на немеханические явления
(V.4.2.10).
6°. Ускорение данной материальной точки, а также силы, дей-
действующие на нее со стороны других точек или тел, не зависят от
скорости движения инерциальной системы отсчета. Радиус-вектор г
материальной точки (или декартовы координаты x,y,z) и ее ско-
скорость v являются величинами относительными. Например, даже в
начальный момент времени (/о = tf0 = 0) их значения для данной
материальной точки могут быть неодинаковыми в разных инерци-
альных системах отсчета. Поэтому и форма траектории материаль-
материальной точки относительна A.1.1.8°).
2.8. Силы тяготения
1°. Закон всемирного тяготения: между двумя материальными
точками действуют силы взаимного притяжения {силы тяготения,
гравитационные силы), прямо пропорциональные массам этих то-
точек и обратно пропорциональные квадрату расстояния между ними.
Модуль силы тяготения определяется выражением
т\т2
в котором т\ и/«2 — массы взаимодействующих точек, г — рассто-
расстояние между ними. Коэффициент пропорциональности у называется
гравитационной постоянной. Гравитационная постоянная опреде-
определяется опытным путем и равна силе взаимодействия двух матери-
материальных точек, имеющих единичные массы и находящихся на еди-
единичном расстоянии одна от другой. В СИ (VII.8) гравитационная
постоянная имеет значение
у = 6.6720- 10-пНм2/кг2.

54 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
Гравитационные силы направлены вдоль линии, соединяющей
взаимодействующие точки, и поэтому называются центральными
силами. Гравитационные силы зависят только от координат взаимо-
взаимодействующих точек. В гравитационном поле (п. 7°), не изменя-
изменяющемся с течением времени {стационарное гравитационное по-
поле), работа гравитационной силы A.5.2.2°), действующей на данную
перемещающуюся материальную точку, зависит лишь от координат
начального и конечного положений точки и не зависит от формы ее
траектории. Поэтому гравитационные силы являются потенциаль-
потенциальными силами A.5.2.1°).
2°. Закон всемирного тяготения в указанной форме справедлив
не только для двух материальных точек, но и для
а) тел произвольной формы, размеры которых во много раз мень-
меньше расстояний между центрами масс A.2.3.4°) тел;
б) тел со сферически-симметричным распределением масс.
В этих случаях г — расстояние между центрами масс взаимо-
взаимодействующих тел.
3°. На тело, находящееся в пункте В поверхности Земли, ха-
характеризующемся широтой ср (рис. 1.2.6), действуют две силы: сила
тяготения Frar и сила реакции земной по-
¦ верхности (или сила реакции опоры) N, на-
направление которой определяется не толь-
только силой тяготения, но также вращением
Земли. Равнодействующая F этих двух сил
обеспечивает движение тела по окружности
с центром О' при суточном вращательном
движении Земли вокруг оси. Сила Р, дейст-
действующая на тело вследствие его притяжения
к Земле, равная по модулю силе реации N,
Рис. 1.2.6 но направленная противоположно ей, назы-
называется силой тяжести. Силу тяжести можно измерить, например,
с помощью динамометра при условии покоя тела и динамометра
относительно Земли.
4°. В системе отсчета, связанной с Землей, любое ничем не под-
поддерживаемое тело при движении с небольшой высоты h над по-
поверхностью Земли (А <С #з> где R^ — радиус Земли) приобретает
под действием силы тяжести Р ускорение свободного падения g
A.1.7.1°). Это ускорение не зависит от массы т тела и в согласии

2.8. Силы тяготения 55
со вторым законом Ньютона A.2.4.1°) может быть выражено через
силу тяжести Р:
Р
5°. Центром тяжести тела конечных размеров называется точ-
точка, относительно которой сумма моментов сил A.3.1.4°) тяжести
всех частиц тела равна нулю. В этой точке приложена сила тяжести
тела.
Центр тяжести тела (или системы тел) обычно совпадает с цен-
центром масс тела (или системы тел) A.2.3.4°).
6°. Весом тела Р* называют силу, с которой тело вследствие
притяжения к вращающейся Земле действует на опору или подвес,
удерживающие его от свободного падения. Вес приложен не к само-
самому рассматриваемому телу, а к опоре или под-
подвесу. Если опора (подвес) неподвижны относи-
относительно Земли, то вес равен силе тяжести тела.
Равенство веса и силы тяжести существует так-
также и в случае равномерного и прямолинейно-
прямолинейного движения опоры (подвеса) в системе отсчета,
связанной с Землей.
Пример 1. В системе отсчета, связанной с
Землей, кабина лифта движется с ускорением а,
направленным вертикально вниз (рис. 1.2.7). На полу кабины нахо-
находится тело массой т. В согласии со вторым законом Ньютона тело
движется вместе с кабиной лифта с ускорением а под действием
двух сил: силы тяжести Р и силы реакции пола кабины N. Поэтому
wa = Р + N,
откуда с учетом положительного направления оси Оу и направлений
векторов а, Р и N имеем
-та = -P + N.
Модуль силы реакции пола кабины равен
N = Р-та,
или, поскольку Р = mg,
N = m(g-a).
Вес тела Р* по модулю равен силе реакции пола (Р* = N), но
по направлению ей противоположен.

56 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
Из последней формулы следует, что при движении кабины лифта
с ускорением а, направленным вертикально вниз:
а) вес тела равен силе тяжести, если а = 0, т. е. при покое кабины
или при ее равномерном и прямолинейном движении;
б) вес тела меньше силы тяжести при 0 < а < g;
в) вес тела равен нулю при а = g. В этом случае имеет место
состояние невесомости {невесомость).
П р и м е р 2. Если тело вместе с кабиной лифта движется с уско-
ускорением а, направленным вертикально вверх (рис. 1.2.8), то на осно-
основании второго закона Ньютона имеем
TV = m{g + a),
откуда следует, что при любом значении ускорения (а ф 0) вес тела
будет больше силы тяжести тела (Р* > Р) — состояние перегруз-
перегрузки {перегрузка).
7°. Гравитационное взаимодействие между телами осуществля-
осуществляется при посредстве гравитационного поля {поля тяготения).
Это поле, наряду с другими полями и веществом, является одной
из форм материи. С каждым телом неразрыв-
неразрывно связано гравитационное поле, проявляющее-
проявляющееся в том, что на помещенную в поле материаль-
материальную точку действует гравитационная сила, про-
пропорциональная массе этой точки. Тело, гравита-
гравитационное поле которого исследуется, называется
источником этого поля.
Силовой характеристикой гравитационного
Рис. 1.2.8 поля является напряженность G, равная отно-
отношению силы тяготения FTHr, действующей на помещенную в него
материальную точку, к массе т этой точки:
G.
т
Напряженность G гравитационного поля в данной точке пространст-
пространства равна ускорению свободного падения g материальной точки, на-
находящейся в этом месте пространства:

2.9. Силы упругости 57
Модуль напряженности гравитационного поля материальной
точки с массой М на расстоянии г от нее равен
Эта формула справедлива и в тех случаях, когда источником грави-
гравитационного поля является однородное по плотности тело сфериче-
сферической формы. При этом расстояние г отсчитывается от центра масс
тела, а радиус поверхности тела должен быть меньше расстояния г.
8°. Первой космической скоростью называется скорость vb
которую нужно сообщить телу, чтобы оно превратилось в спутник
Земли (или другой планеты, а также Луны или какого-нибудь мас-
массивного небесного тела) и двигалось по окружности, плоскость ко-
которой проходит через центр Земли (Луны и т.д.) и центр которой
совпадает с центром Земли (Луны и т.д.) (о второй космической
скорости см. 1.5.4.4°). Для Земли
V\ =
7.9 • 103 м/с.
2.9. Силы упругости
1°. Силы, возникающие при упругой деформации тел A1.7.2.3°),
называются силами упругости. Эти силы действуют между сопри-
соприкасающимися слоями деформируемого тела, а также в месте контак-
контакта деформируемого тела с телом, вызыва-
вызывающим деформацию. Например, со стороны
упруго деформированной доски D на бру-
брусок С, лежащий на ней (рис. 1.2.9), действу- i
ет сила упругости Fynp.
О природе сил упругости см. 111.1.3.1°. Рис-
2°. В большинстве задач элементарного курса физики рассматри-
рассматриваются одномерные (линейные) деформации растяжения или сжа-
сжатия. В этих случаях силы упругости направлены вдоль линии дей-
действия внешней (деформирующей) силы, т.е. вдоль осей продольно
деформируемых нитей, витых пружин, стержней и т. п., или перпен-
перпендикулярно к поверхностям соприкасающихся тел (рис. 1.2.9).

58
Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
3°. Сила упругости, действующая на рассматриваемое в дан-
данной задаче тело со стороны опоры или подвеса, называется си-
силой реакции опоры (подвеса) или силой натяжения подвеса.
Рис. 1.2.10
На рис. 1.2.10 приведены примеры приложения к телам сил реак-
реакции опоры (силы Nj, N2, N3, N4 и N5) и сил натяжения подвесов
(силы Ть Т2, Т3 и Т4).
4°. Закон Гука для одномерно-
одномерного растяжения (или сжатия), харак-
х теризующегося вектором удлинения
(сжатия) А1: сила упругости про-
пропорциональна вектору удлинения (сжа-
(сжатия) и противоположна ему по направ-
направлению (рис. 1.2.11):
Рис. 1.2.11 Fy"P =
где к — коэффициент квазиупругой силы — величина, опреде-
определяемая силой упругости, возникающей при единичной деформации
данного тела (или внешней силой, вызывающей единичную дефор-
деформацию тела):
Д/'
5°. Вектор удлинения (сжатия) упругого тела связан с внешней
силой FBHeilJH выражением
д | * внешн
~~ к '

2.10. Силы трения 59
6°. Сила упругости зависит только от изменения расстояний
между взаимодействующими частями (частицами, слоями или эле-
элементами) данного упругого тела. Работа силы упругости A.5.2.3°)
не зависит от формы траектории и при перемещении по замкнутой
траектории равна нулю. Поэтому силы упругости являются потен-
потенциальными силами A.5.2.1°).
2.10. Силы трения
1°. Внешним трением называется взаимодействие между раз-
различными соприкасающимися телами, препятствующее их относи-
относительному перемещению. Например, внешнее трение существует
между бруском и наклонной плоскостью, на которой брусок лежит
или с которой он соскальзывает. Если трение проявляется между ча-
частями одного и того же тела, то оно называется внутренними тре-
трением A.6.3.3°).
2°. Трение между поверхностями двух соприкасающихся твер-
твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной про-
прослойки называется сухим трением. Трение между поверхностью
твердого тела и окружающей его жидкой или газообразной средой,
в которой тело движется, называется жидким или вязким трением
(см. также 1.6.3.3°).
Во всех видах трения возникает сила трения Frp, направленная
вдоль поверхностей соприкасающихся тел противоположно скорос-
скорости их относительного перемещения.
Сухое трение подразделяется на:
а) трение покоя — трение при отсутствии относительного пе-
перемещения соприкасающихся тел;
б) трение скольжения — трение при относительном движении
соприкасающихся тел.
3°. Сила трения F^, препятствующая возникновению движе-
движения одного тела по поверхности другого, называется силой трения
покоя.
Если к телу, находящемуся в соприкосновении с другим телом,
прикладывать возрастающую внешнюю силу FBHemH, параллельную
плоскости соприкосновения, то при изменении FBHeiuH от нуля до
некоторого значения движения тела не возникает. Это свидетель-

60 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
ствует о неоднозначности силы трения покоя: при попытке вывести
тело из состояния покоя сила трения покоя изменяется от нуля до
предельного значения F^aKC.
Относительное движение тела возникает при условии
^внешн > ^факс- Силу F^aKC называют предельной силой трения
покоя.
Обычно, говоря о силе трения покоя, имеют в виду предельную
силу трения покоя.
4°. Сила трения покоя вызывается зацеплением неровностей по-
поверхностей тел, упругими деформациями этих неровностей и сцеп-
сцеплением (слипанием) тел в тех местах, где расстояния между их
частицами оказываются малыми и достаточными для возникнове-
возникновения межмолекулярного притяжения A1.1.4.1°). В связи с этим силу
трения покоя можно рассматривать как разновидность проявления
сил упругости A.2.9.1°).
В приближенных расчетах полагают, что
гамаке к \г ,1ГГ?, гамаке
^тр0 — ^O^V, ИЛИ /^
Силу N (рис. 1.2.12), действующую на данное тело со стороны опо-
опоры перпендикулярно к его поверхности, называют силой нормаль-
нормальной реакции, а силу Р„, действующую со
стороны тела на опору, — силой нормаль-
нормального давления. Безразмерный коэффициент
пропорциональности ко называется коэффи-
коэффициентом трения покоя. Он завист от ма-
материала соприкасающихся тел, от качества
обработки соприкасающихся поверхностей,
наличия между ними инородных веществ и
многих других факторов. Значения коэффициентов трения покоя по-
получают экспериментальным путем.
5°. Сила трения скольжения F^ между поверхностями соприка-
соприкасающихся тел при их относительном движении зависит от силы нор-
нормальной реакции N, или от силы нормального давления Р/7, причем
/Vpc = kN, или FTPc = kPn,
где k — коэффициент трения скольжения, зависящий от тех же
факторов, что и коэффициент трения покоя ко, а также от скорости
относительного движения соприкасающихся тел.

2.11. Способы измерения масс и сил
61
Коэффициент трения скольжения определяется опытным путем
и в большинстве случаев при малых скоростях относительного
движения соприкасающихся тел оказывается меньше коэффициента
трения покоя (к < ко).
6°. Силы трения, в отличие от гравитационных сил A.2.8.1°) и
сил упругости A.2.9.1°), не зависят от координат относительного
расположения тел. Силы трения могут зависеть от скоростей от-
относительного движения соприкасающихся тел. Работа сил трения
скольжения A.5.2.5°) зависит от формы траектории относительно-
относительного перемещения соприкасающихся тел и при замкнутой траектории
не равна нулю. Силы трения являются непотенциальными силами
A.5.2.4°).
D
Рис. 1.2.13
2.11. Способы измерения масс и сил
1°. Второй закон Ньютона содержит две независимые величи-
величины — массу т тела и силу F — и может быть использован для изме-
измерения только одной из них. Другая величина, наряду с ускорением а
тела, должна быть измерена независимо от этого закона. Для из-
измерения масс и сил в дополнение
ко второму закону Ньютона необ-
необходимо привлекать какие-то иные
физические законы.
Имеются различные способы
сравнения сил и масс тел, но, как
только какой-то из них кладет-
ся в основу измерения сил или
масс, приходится произвольно вы-
выбирать массу некоторого тела в качестве единицы массы {эталон
массы) (VII.1.10) или некоторую силу в качестве единицы силы
(«эталонная сила»).
2°. Один из способов сравнения масс тел основан на одновре-
одновременном использовании второго и третьего законов Ньютона. Если
между двумя телами, подвешенными на длинных, тонких, нерастя-
нерастяжимых и невесомых нитях (рис. 1.2.13, а), обеспечить упругое соуда-
соударение A.5.4.1°) (на рис. 1.2.13,6, в показаны последовательные эта-
этапы проведения такого опыта), то на основании второго и третьего

62 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
законов Ньютона
т аэ
та — тэаэ, откуда — = —.
тэ а
По измеренным на опыте величинам аэ\\ а находят отношение масс
взаимодействующих сил.
Если масса одного из тел (например, тэ) принята в качестве
эталонной, то в результате проведения подобного опыта можно из-
измерить массу т любого тела:
аэ
т = тэ —.
а
После этого сила F, действующая на тело известной массы т9
определяется на основании второго закона Ньютона по измеренно-
измеренному на опыте ускорению а, приобретаемому телом под действием
силы F:
F = та.
Разновидностью этого способа является сравнение и измерение
масс тел или частиц на основании закона сохранения суммарного
импульса замкнутой системы взаимодействующих тел
или частиц A.2.6.2°). По измеренным на опыте измене-
изменениям скоростей взаимодействующих тел определяется
отношение их масс, а если масса одного из тел извест-
известна, то определяется и масса другого тела.
3°. Более удобным способом сравнения и измере-
измерения масс является одновременное использование зако-
закона всемирного тяготения, закона Гука и второго закона
Ньютона.
Например, на вертикально расположенной неподвижной витой
пружине подвешено тело массы т (рис. 1.2.14). Условие равновесия
тела A.4.2.2°):
P + Fynp = 0,
где Р — сила тяжести тела, Fynp — сила упругости, действующая
на тело со стороны пружины.
Если пренебречь вращением Земли, то на основании закона все-
всемирного тяготения A.2.8.1°)

2.11. Способы измерения масс и сил 63
По закону Гука A.2.9.4°)
ур
где к — коэффициент квазиупругой силы, Д/ — линейное растяже-
растяжение пружины.
Таким образом,
откуда т = Д/( —- ) = Д/ • 5,
/(
з \
где 5 = kR\jyM^ — постоянная величина (при использовании дан-
данной пружины в данном пункте на Земле), не зависящая от того,
какое тело подвешено на пружине.
При учете вращения Земли, высоты места проведения опыта над
поверхностью Земли и при использовании пружины с иным коэффи-
коэффициентом квазиупругой силы значение В изменится, но будет оста-
оставаться одним и тем же при подвешивании к пружине различных
тел.
Массы т и тэ двух тел, подвешиваемых поочередно к данной
пружине, сравниваются по измеренным на опыте удлинениям пру-
пружины Д/ и Д/э:
т = Д/ • В, тэ = Д/э • В, откуда — = —-.
тэ Д/э
Коэффициент квазиупругой силы к при этом можно не измерять.
Если масса одного из тел, например тэ, выбрана в качестве эта-
эталонной, то масса т любого тела
Д/
т = т3—.
Если пружина снабжена указателем и шкалой, то на последнюю
могут быть нанесены деления, соответствующие удлинениям пру-
пружины при подвешивании к ней тел, массы которых кратны или сос-
составляют различные доли от тэ (градуировка пружины).
4°. Пружина может использоваться для измерения масс тел толь-
только в том пункте на Земле, где была проведена ее градуировка. Удли-
Удлинения данной пружины под действием одного и того же тела с мас-
массой тэ в разных пунктах будут неодинаковыми:
тэ = А1Э1 -В\9 тэ = Д/э, В2
и Д/э, Ф Д/Э2, так как В\ ф В г-

64 Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
5°. При данном способе измерения масс сила измеряется на
основании второго закона Ньютона
F = та.
В частности, так может быть определена сила тяжести Р тела
известной массы т
Р - mg
в том пункте на Земле, где была произведена градуировка пружины.
6°. Упругая пружина применяется для сравнения и измерения
сил. Сравнение сил производится на основе использования закона
всемирного тяготения, закона Гука и второго закона Ньютона. Для
измерения сил выбирается некоторое тело, сила тяжести которого
принимается за «эталонную силу» (за единицу силы).
При равновесии тела на неподвижной пружине (рис. 1.2.14)
где AI — вектор удлинения пружины.
Если к концу данной пружины поочередно прикреплять тела,
силы тяжести которых Р и Рэ, то
Р А/
Р = к А1 и Рэ = * А1Э, откуда — = —.
*э А/э
Две силы можно сравнить по измеренным на опыте удлинениям А/
и А/э данной пружины.
Если сила Рэ принята в качестве эталонной, то сила тяжести Р
любого тела, подвешенного к данной пружине, равна
р-р Л/
Проградуированная пружина, предназначенная для измерения
сил, называется пружинным динамометром. С помощью пружин-
пружинного динамометра можно измерять не только силы тяжести тел или
какие-либо вертикально направленные силы, но и произвольно на-
направленные силы. Без дополнительных пересчетов эти результаты
будут верны только для того пункта на Земле, в котором произво-
производилась градуировка динамометра.
При измерении сил с помощью пружинного динамометра масса
измеряется на основании второго закона Ньютона по известной си-

2,12. Неинерциальные системы отсчета 65
ле F и измеренному на опыте ускорению а, приобретаемому данным
телом под действием этой силы:
F
т = —.
а
7°. Способ измерения массы тела при помощи рычажных весов
основан на использовании закона всемирного тяготения, второго и
третьего законов Ньютона, условия равнове-
равновесия тела, имеющего ось вращения A.4.2.3°),
и на выборе эталона для измерения массы.
/V7
Равновесие равноплечих рычажных весов * ч
(рис. 1.2.15) достигается при условии:
р* — р* Рис. 1.2.15
где Р* и Р* — веса тел, лежащих на чашках. Силы тяжести тел Р
и Рэ, равные весам тел, также равны: Р = Рэ, откуда
mg — m3g и т = тэ,
ибо ускорения свободного падения в местах нахождения обоих тел
одинаковы.
Выбрав тело с массой тэ в качестве эталона массы (для этих це-
целей используются гири), мы получаем возможность измерять мас-
массу т любого тела.
На гирях обозначаются их массы, и с помощью рычажных ве-
весов измеряется масса т тела независимо от того, в каком пункте
на Земле производится взвешивание. Чтобы с помощью рычажных
весов и гирь определить силу тяжести (или вес) тела, нужно знать
ускорение свободного падения в месте проведения взвешивания.
2.12. Неинерциальные системы отсчета
1°. В элементарном курсе физики рассматриваются простейшие
примеры неинерциальных систем отсчета, движущихся поступа-
поступательно. В неинерциальных системах отсчета A.2.1.6°) законы Нью-
Ньютона не выполняются. Покой или движение материальных точек и
тел в неинерциальных системах осчета описывают уравнениями, по
форме аналогичными уравнению второго закона Ньютона A.2.4.1°),
но в уравнения вводятся силы инерции.

66
Отдел I. Гл. 2. Динамика материальной точки
ТУ
Силы инерции не вызываются воздействиями на данную матери-
материальную точку или тело каких-либо других тел или полей. Появле-
Появление сил инерции отражает неинерциаль-
ность движения самой системы отсчета.
В остальном силы инерции характеризу-
характеризуются теми же признаками, что и обыч-
обычные силы в механике (модулем, направ-
направлением, точкой приложения). В частно-
частности, они всегда пропорциональны мас-
- сам тел.
Силы инерции, прикладываемые к
какой-то системе материальных точек
или тел, всегда являются внешними. Это
нарушает замкнутость данной системы и
1
О
У
О'
ТУ
ТУ
Рис. 1.2.16
приводит к тому, что для нее не выполняются закон сохранения им-
импульса A.2.6.2°) и закон сохранения механической энергии A.5.4.1°).
2°. При описании поступательного движения тела в неинерци-
альной системе отсчета, движущейся поступательно, вводится сила
инерции FH, равная
где т — масса тела, аНСо — ускорение данной неинерциальной сис-
системы отсчета относительно какой-то инерциальной.
Пример 1. На гладком горизонтальном полу вагонетки нахо-
находится шар массы т, прикрепленный к передней стенке вагонетки
пружиной (рис. 1.2.16, а). На рис. 1.2.16,6 система хОу — неподвиж-
неподвижная инерциальная система отсчета, а система х'О'у' — неинерциаль-
ная система отсчета, связанная с вагонеткой. При движении вагонет-
вагонетки с ускорением ансо относительно инерциальной системы отсчета
пружина растянется на Д/, положение шара изменится, но относи-
относительно вагонетки он будет неподвижен. При отсутствии силы трения
покой шара относительно вагонетки описывается уравнением
в котором Р — сила тяжести шара, N — сила реакции пола, Fynp —
сила упругости, действующая на шар со стороны растянутой пру-

2.12. Неинерциальные системы отсчета 67
жины, FH — сила инерции, причем
д/ с1 Т7 (±\
— iV, JTft — Г упр* V /
Поскольку Fynp = kAI, сила инерции может быть измерена по рас-
растяжению пружины.
Движение шара вместе с вагонеткой относительно инерциальной
системы отсчета подчиняется второму закону Ньютона
Р + N + Fynp = maHCo,
откуда
FynP = maHC0. (**)
Из выражений (*) и (**) получаем
FH = ma „со,
а с учетом направлений векторов FH и ансо —
FH = -maHCo-
Пример 2. Если в опыте, аналогичном описанному в приме-
примере 1, пружина будет отсутствовать (рис. 1.2.17, а), то при движении
вагонетки с ускорением а„со шар будет двигаться с ускорением а' от-
относительно вагонетки (рис. 1.2.17,6). Для описания этого движения
шара в неинерциальной системе отсче-
отсчета, связанной с вагонеткой, вводят силу
инерции FH, чтобы в отсутствие трения
выполнялось условие
Р + N + FH = ma'.
Поскольку Р = — N, имеем
FH = ma'.
Относительно инерциальной систе-
мы отсчета (хОу) шар при ускоренном движении вагонетки остает-
остается неподвижным, так как уравновешивающиеся силы Р и N не сооб-
сообщают ему ускорения. Согласовать поведение шара в инерциальной
и неинерциальной системах отсчета удается при условии
а' + ансо = 0, или а' = -ансо,
откуда следует, что

68
Отдел I. Гл. 3. Динамика вращательного движения
ГлаваЗ
Элементы динамики вращательного движения
абсолютно твердого тела относительно
неподвижной оси
3.1. Момент силы и момент инерции
1°. Основной задачей динамики вращательного движения явля-
является определение угловых координат точек вращающегося тела в
любой момент времени по известным начальным угловым коорди-
координатам, угловым скоростям и по заданным моментам внешних сил,
действующих на тело.
2°. Абсолютно твердое тело, имеющее
закрепленную ось вращения, без воздей-
воздействия моментов внешних сил не изменя-
изменяет угловой скорости вращательного движе-
движения. При этом в инерциальной системе от-
отсчета тело либо покоится (со = 0), либо
вращается с постоянной угловой скоростью'
(со = const и е = 0).
Изменение вращательного движения аб-
абсолютно твердого тела в инерциальной системе отсчета происхо-
происходит при воздействии на него моментов внешних сил (п. 4°). Если,
например, к телу с осью вращения О'О' в точке О, находящейся
на расстоянии R от оси вращения, приложена внешняя сила ?внешн
(рис. 1.3.1), то ее составляющая Fj_, лежащая в плоскости, перпен-
перпендикулярной к оси вращения, и перпендикулярная к радиусу R точки
приложения внешней силы, приводит к изменению вращательного
движения тела.
Составляющие Fj| и Fo при отсутствии сил трения не влияют на
вращательное движение абсолютно твердого тела. Первая из них,
Fj|, параллельная оси вращения, может вызвать лишь ускоренное
поступательное движение тела вдоль оси Oz. Вторая, Fq, линия
действия которой пересекает ось вращения, может вызвать ускорен-
ускоренное поступательное движение тела вместе с осью вращения вдоль
координатной оси Ох.
Рис. 1.3.1

3.1. Момент силы и момент инерции 69
3°. Плечом силы относительно оси называется кратчайшее рас-
расстояние d от оси вращения до линии действия силы. На рис. 1.3.2
показаны плечи d\9 di и d-$ сил Fi, ?2 и F3, приложенных к телу в
точках 1,2,3.
4°. Моментом силы называется величина М, равная
где F — модуль приложенной к телу силы, a.rf — плечо этой силы
относительно данной оси.
Суммарный момент нескольких сил, действующих на тело, равен
алгебраической сумме моментов всех сил относительно данной оси:
При этом моменты сил, вращающие тело вокруг данной оси по часо-
часовой стрелке и против часовой стрелки, берутся с разными знаками.
Например, моменты сил Fi и F3 (рис. 1.3.2) считаются положитель-
положительными, а момент силы F2 — отрицательным.
5°. Моментом инерции материальной
точки относительно данной оси называет-
называется скалярная величина /,-, равная произведе-
произведению массы w/ точки на квадрат ее расстоя-
расстояния Rj от оси:
2 ^
// = rmRj. Рис 13.2
Моментом инерции тела относительно оси называется вели-
величина /, равная сумме моментов инерции всех п точек тела:
Для тел произвольной формы расчет такой суммы весьма сложен,
и их моменты инерции определяются опытным путем.
Момент инерции является мерой инертности тела при враща-
вращательном движении. Он играет такую же роль, что и масса при опи-
описании поступательного движения тела. Но если масса данного те-
тела в задачах ньютоновской механики считается величиной посто-
постоянной, то момент инерции данного тела зависит от положения оси
вращения.

70 Отдел I. Гл. 3. Динамика вращательного движения
6°. Моменты инерции некоторых однородных тел простейшей
формы (т — масса тела):
1) Сплошной шар радиуса R, ось вращения проходит через центр
масс шара:
2) Сплошной цилиндр (диск) радиуса R, ось вращения совпадает
с продольной осью цилиндра и проходит через его центр масс:
3) Полый тонкостенный цилиндр (обруч) радиуса R, ось враще-
вращения совпадает с продольной осью цилиндра и проходит через центр
масс:
I = mR2.
4) Прямолинейный тонкий стержень длиной /, ось вращения пер-
перпендикулярна к продольной оси стержня и проходит через его центр
масс:
5) Прямолинейный тонкий стержень длиной /, ось вращения пер-
перпендикулярна к продольной оси стержня и проходит через конец
стержня:
3.2. Основной закон динамики
вращательного движения
1°. Основной закон динамики вращательного движения:
в инерциальной системе отсчета угловое ускорение г, приобрета-
приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропор-
пропорционально суммарному моменту Мвнешн всех внешних сил, действу-
действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции / тела
относительно данной оси:
^*внешн

3.2. Основной закон динамики вращательного движения 71
2°. Моментом импульса точки (моментом количества дви-
движения точки) относительно некоторой неподвижной оси называ-
называется величина L/, равная произведению момента инерции /, точки
на угловую скорость со ее движения вокруг этой оси:
Для материальной точки // = m/Rj и со = i>///?,-, поэтому
Lj = miRi — — piRj,
где pi = mjV, — модуль импульса (количества движения) матери-
материальной точки A.2.3.5°), а /?,- — ее расстояние от оси.
Моментом импульса тела (моментом количества движе-
движения тела) относительно некоторой неподвижной оси называется
величина L, равная сумме моментов импульсов всех п точек тела
относительно этой оси:
п
^2 ^ или ^=^'
где / — момент инерции тела относительно данной неподвижной
оси.
3°. При использовании момента импульса уравнение основного
закона динамики вращательного движения принимает вид
AL к, АAа)) *,
= М ИЛИ = М
= Мцнешн, ИЛИ =
где AL = АAсо) — изменение момента импульса тела за промежу-
промежуток времени А/, а Мтеиш — суммарный момент всех внешних сил,
действующих на тело в данной йнерциальной системе отсчета.
В такой форме основной закон динамики вращательного дви-
движения может быть применен к телу, момент инерции которого в
процессе движения изменяется, или к системе тел, совершающих
вращательное движение вокруг данной неподвижной оси.
Из основного закона динамики вращательного движения следу-
следует, что изменение моментов импульса (или угловой скорости при
постоянном моменте инерции) не может происходить мгновенно.
4°. Суммарный момент Мвнутр всех внутренних сил взаимодей-
взаимодействия частей тела относительно оси вращения всегда равен нулю.
Моменты сил взаимодействия частей тела попарно компенсируют-
компенсируются и не приводят к изменению момента импульса тела.

72 Отдел I. Гл. 4. Статика
Глава 4
Статика
4.1. Сложение и разложение сил, приложенных
к материальной точке и к абсолютно твердому телу
1°. Статика изучает равновесие материальных точек, тел или
систем тел.
2°. Система нескольких сил, одновременно действующих на ма-
материальную точку, может быть заменена равнодействующей силой
Fs, которую можно найти по правилу многоугольника A.2.2.6°).
Рис. 1.4.1 Рис. 1.4.2
При нахождении равнодействующей двух сил используется также
правило параллелограмма: равнодействующая сила Fs равна диа-
диагонали параллелограмма, сторонами которого являются две скла-
складываемые силы Fj и F2 (рис. 1.4.1).
Система сил называется уравновешенной, если равнодейству-
равнодействующая этой системы равна нулю (Fe = 0).
Если равнодействующая системы сил, действующих на матери-
материальную точку, не равна нулю, то эту систему можно уравновесить,
приложив к точке уравновешивающую силу Fy, равную
Fy = -FE.
3°. Точка приложения силы к абсолютно твердому телу может
быть перенесена вдоль линии действия этой силы (перенос точки
приложения силы в абсолютно твердом теле). Например, си-
сила, действующая на абсолютно твердое тело в точке А (рис. 1.4.2),
может быть приложена в точке В или в точке С и т.д. Такой пере-
перенос возможен из-за того, что при рассмотрении абсолютно твердого
тела пренебрегают деформациями тела.

4.1. Сложение и разложение сил
73
При учете упругих деформаций тела, например растяжения
упругой пружины, точку приложения силы переносить нельзя, так
как одна и та же сила, приложенная в разных точках, может вызвать
неодинаковые деформации данного тела.
4°. Тела, ограничивающие движение данного рассматриваемого
тела, называются связями, а силы, действующие со стороны связей
на данное тело, — силами реакции связей. Связями являются,
например, различные опоры или подвесы A.2.9.3°).
Рис. 1.4.3
Рис. 1.4.4
5°. Равнодействующая Fe приложенных к абсолютно твердому
телу нескольких сил F/, линии действия которых пересекаются в
разных точках (точки О\, О г и #з на рис. 1.4.3), находится либо
попарным суммированием сил (например, сначала находится рав-
равнодействующая сил Fi и F2, затем она складывается с силой F3 и
т.д.), либо суммированием проекций всех п сил на4 координатные
оси выбранной системы отсчета:
откуда
/=1
6°. Равнодействующая Fs двух параллельных сил Fi и F2
(рис. 1.4.4) равна их сумме, а линия ее действия делит расстояние
между точками / и 2 приложения сил в отношении, обратном от-
отношению модулей сил:
= Fj + F2,
±
h

74
Отдел I. Гл. 4. Статика
Равнодействующая F^ двух антипараллельных сил Fj и F2
(рис. 1.4.5) равна векторной сумме сил Fi и F2:
FE = Fi + F2,
направлена в сторону большей из них, а линия ее действия пересе-
пересекает продолжение прямой, соединяющей точки / и 2 приложения
сил, в точке (9, для которой выполняется равенство
7°. Система двух равных по модулю антипараллельных сил Fi
и F2 (рис. 1.4.6) называется парой сил. Равнодействующая пары сил
равна нулю. Пара сил характеризуется моментом пары А/, причем
где d — кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары,
называемое плечом пары.
Пара сил сообщает угловое ускорение A.1.11.7°), но не может
изменить поступательное движение тела.
8°. Составляющими {слагаемыми) вектора силы F называются
векторы F/, сумма которых равна данному вектору F:
где п — число составляющих.
Задача о разложении вектора F на две составляющие, лежащие
в одной плоскости, имеет однозначные решения в двух случаях:
а) Известна одна из составляющих. На рис. 1.4.7 изображены в
определенном масштабе вектор F и одна из его составляющих Fi.
Совместив начала векторов в точке О (рис 1.4.8) и проведя через их
концы прямую NN, находят вторую составляющую F2 как отрезок

4.2. Условия равновесия в инерциальной системе
75
прямой NN, заключенный между концами А и В данных векторов и
направленный от конца составляющей Fj к концу вектора F.
N
/
Рис. 1.4.7
N М
Рис. 1.4.9
б) Известны направления обеих составляющих вектора F (линии
NN и ММ на рис. 1.4.9, а). Проведя через начало и конец вектора F
прямые N'N' и М'М', параллельные прямым NN и ММ, в принятом
масштабе находят составляющие ?\ и F2 как стороны А В и ВС
треугольника А В С (рис. 1.4.9,6).
4.2. Условия равновесия материальной точки
и абсолютно твердого тела в инерциальной
системе отсчета
1°. Условием равновесия материальной точки является равен-
равенство нулю суммы всех сил F/? действующих на точку:
/=1
или в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы коор-
координат:
п п п
/=i /=1 /=1
где n — число сил, действующих на данную точку.

76 Отдел I. Гл. 4. Статика
2°. Если связи допускают только поступательное движение аб-
абсолютно твердого тела, то оно будет находиться в равновесии при
условии
?F<=°>
или
где п — число сил, действующих на тело.
В этом случае все силы F/ считаются приложенными в центре
масс тела, независимо от действительного расположения точек при-
приложения этих сил.
3°. Абсолютно твердое тело с закрепленной (неподвижной) осью
вращения находится в равновесии при условии равенства нулю сум-
суммы всех п моментов М/ внешних сил относительно этой оси {пра-
{правило моментов):
4°. Если абсолютно твердое тело может перемещаться поступа-
поступательно, а также совершать вращательное движение вокруг некото-
некоторой оси, равновесие тела достигается при одновременном соблюде-
соблюдении двух условий:
.F^
где F/ — внешняя сила, действующая на тело,
Mi — момент этой силы, а п — число внешних
Рис. 1.4.10
Пример 1. Брусок В может находиться в равновесии на нак-
наклонной плоскости D (рис. 1.4.10) под действием сил тяжести Р, си-
силы трения покоя F-ф и силы реакции N, если будет выполняться
условие
и если, кроме того, линия действия силы ракции N будет проходить
через точку К пересечения линий действия сил Р и F-ф . Только

4.2. Условия равновесия в инерциапьной системе 77
при выполнении этого последнего условия сумма моментов сил Р,
N и FppQ относительно любой оси (например, относительно горизон-
горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости рисунка и проходящей
через центр масс С или через точку К) будет равна нулю. Если бы
линия действия силы реакции N проходила через центр масс С брус-
бруска, то момент силы F^ относительно оси, проходящей, например,
через центр масс С, не был бы равен нулю, вследствие чего брусок
должен был бы опрокидываться вокруг ребра А по часовой стрелке.
Общие условия равновесия тела могут использоваться не только
для того, чтобы найти линии действия сил, но и для определения
неизвестных сил.
Пример 2. Один конец балки в точке В опирается на непо-
неподвижный цилиндрический каток, другой конец балки заделан в сте-
стену (рис. 1.4.11). По вертикали вниз на балку, кроме силы тяжес-
тяжести Р, действует в точке Е внеш-
внешняя сила Q. Требуется определить
силу Nfi реакции катка и силу No
реакции стены.
Линия действия силы N# мо-
может быть только вертикальной, так
как в противном случае сила, дейст-
действующая на каток со стороны бал-
балки, имела бы горизонтальную сое- ^ис- **4-1 *
тавляющую, которая приводила бы каток в движение вправо или
влево. Это противоречило бы неподвижности катка и левого конца
балки.
Если силы Р, Q и Ng вертикальны, то не может иметь гори-
горизонтальную составляющую и сила реакции ND, т.е. эта сила тоже
должна быть направлена по вертикали.
Из условия равенства нулю суммы четырех сил, действующих
на балку,
P + Q + Ntf-f ND = 0,
или
или
-Р - Q + NB+ND= О
невозможно найти две неизвестне величины NB и

78
Отдел I. Гл. 4. Статика
Второе уравнение можно получить из условия равенства нулю
суммы моментов сил, действующих на балку, относительно любой
неподвижной оси вращения. Если эту ось выбрать проходящей че-
через точку приложения одной из неизвестных сил, то можно полу-
получить уравнение с одной неизвестной величиной. Так, если составить
уравнение моментов сил относительно горизонтальной оси, прохо-
проходящей через точку В и направленной за плоскость рисунка, то мож-
можно получить
-PI{ - Q{h + h) + ND(lx + l2 + h) = 0,
где /i, /2 и /з — расстояния между линиями действия сил, указанные
на рис. 1.4.11. Из этого уравнения легко найти ND, после чего из
предыдущего уравнения определяется Afe.
4.3. Виды равновесия
1°. Равновесие тела в некотором положении называется устой-
устойчивым, если при любых малых отклонениях тела от этого положе-
положения, допускаемых связями A.4.1.4°), возникают силы или моменты
сил, стремящиеся возвратить тело в исходное состояние.
Примеры. На рис. 1.4.12—1.4.14 показаны положения устойчи-
устойчивого равновесия некоторых тел (а) и малые отклонения тел от этих
положений (б), (в).
Рис. 1.4.12
Рис. 1.4.13
1. Шарик А, подвешенный на нити (рис. 1.4.12, а), находится в
устойчивом равновесии под действием силы тяжести Р и силы на-
натяжения нити Т, так как при малом отклонении шарика, например
вправо (рис. 1.4.12, о), возникает неуравновешенная сила F, возвра-
возвращающая шарик в начальное положение.

4.3. Виды равновесия
79
2. Муфта В (рис. 1.4.13, а), которая может скользить без трения
по гладкому горизонтальному стержню и которая прикреплена к
недеформированной пружине, находится в устойчивом равновесии
под действием силы тяжести Р и силы реакции N стержня. При ма-
малом смещении муфты вдоль стержня (рис. 1.4.13,6) возникает сила
упругости Fynp, направленная к начальному положению равновесия
муфты.
3. Неоднородный шар D (рис. 1.4.14, а) плавает в жидкости под
действием силы тяжести Р, приложенной в центре масс С шара,
и выталкивающей силы FB A.6.2.3°),
приложенной в точке О\, расположен-
расположенной несколько ниже геометрического
центра шара О. Если шар погрузить
в жидкость глубже (рис. 1.4.14,6), то
возрастет выталкивающая сила и рав-
равнодействующая сил Р и FBi заставит
шар возвратиться в начальное поло-
положение. Если повернуть шар вокруг
центра О (рис. 1.4.14, в), возникает момент пары сил Р и FB, воз-
возвращающий шар в начальное положение устойчивого равновесия.
2°. Равновесие тела в некотором положении называется не-
неустойчивым, если хотя бы при некоторых малых отклонениях тела
от этого положения, допускаемых связями A.4.1.4°), возникают си-
силы или моменты сил, стремящиеся еще больше отклонить тело от
начального положения.
Ni
с-1-4.14
Рис. 1.4.15
Рис. 1.4.16
Примеры. На рис. 1.4.15-1.4.17 показаны положения неустой-
неустойчивого равновесия некоторых тел (а) и малые отклонения тел от
этих положений (б).

80 Отдел I. Гл. 4. Статика
1. Маленький шарик А находится в равновесии в верхней точ-
точке сферической опорной поверхности (рис. 1.4.15,B). При малом
отклонении шарика (рис. 1.4.15,6) возникает неуравновешенная си-
сила F, удаляющая шарик от первоначального положения.
2. Неоднородный шар D плавает в жидкости (рис. 1.4.16, а).
Плотность A.2.3.7°) заштрихованной части шара больше плотности
остальной части шара. Сила тяжести шара Р приложена в центре
масс С, а выталкивающая сила FB A.6.2.3°) — в точке О\9 распо-
расположенной ниже геометрического центра шара О. Равновесие шара
неустойчивое, так как при малом повороте шара вокруг центра О
будет возникать момент пары сил Р и FB, приводящий к дальнейше-
дальнейшему отклонению шара от начального положения (рис. 1.4.16,6).
N2
Рис. 1.4.17
3. Шарик В лежит на горизонтальной поверхности и растяну-
растянутой пружиной прижат к уступу D с высотой, равной радиусу ша-
шарика (рис. 1.4.17,а). Силы Fynp и N2, P и Ni попарно уравнове-
уравновешиваются. Если сместить шарик по горизонтали вправо, то сила
упругости пружины возвратит его в начальное положение. Но это
еще не говорит об устойчивости равновесия шарика, так как тело
должно возвращаться в положение устойчивого равновесия после
любых малых отклонений от этого положения. Если шарик В сме-
сместить немного вверх (рис. 1.4.17,6), то момент силы Fynp относи-
относительно точки касания шарика может превзойти момент силы тяжес-
тяжести Р, в результате чего шарик окажется в положении, изображенном
на рис. 1.4.17, в.
3°. Равновесие тела в некотором положении называется безраз-
безразличным, если при любых малых отклонениях тела от этого положе-
положения, допускаемых связями A.4.1.4°), не возникает сил или моментов
сил, стремящихся возвратить тело в начальное положение или еще
более удалить тело от начального положения.
Примеры. На рис. 1.4.18 показаны положения безразличного
равновесия некоторых тел.

4.3. Виды равновесия
81
1. Шар А9 лежащий на горизонтальной поверхности (рис. 1.4.18, а)
находится в безразличном равновесии. Смещения шара вдоль по-
поверхности не приводят к появлению каких-нибудь иных сил, кроме
уравновешенных сил Р и N.
2. Равновесие бруска В в положении, изображенном на
рис. 1.4.18,5, будет безразличным, если при малых смещениях брус-
бруска вправо или влево от этого положения сила упругости пружины не
будет достигать значения предельной силы трения покоя A.2.10.3°)
3. Шар D из вещества с такой же плотностью, что и у жидкос-
жидкости, в которой он плавает (рис. 1.4.18, в), находится в безразличном
равновесии под действием двух уравновешивающихся сил Р и FB,
приложенных в центре масс С шара. Любые смещения или поворо-
повороты шара не вызывают его возвращения в начальное положение или
дальнейшего смещения от начального положения.
4°. Пусть равновесие материальной точки, тела или системы
тел обусловлено действием только потенциальных сил A.5.2.1°) —
сил тяготения, упругости или электростатических сил A11.1.2.2°).
Тогда положению устойчивого равновесия соответствует мини-
минимальное значение потенциальной энергии A.5.3.5°) по сравне-
сравнению с ее значениями в ближайших соседних положениях, до-
допускаемых связями (принцип минимума потенциальной энер-
энергии). При любых малых отклонениях точки, тела или системы
тел от положения устойчивого равновесия потенциальная энергия
возрастает.
Например, при отклонении шарика Л (рис. 1.4.12) из положения
устойчивого равновесия возрастает его потенциальная энергия в по-
поле тяготения Земли. Положению устойчивого равновесия бруска В
(рис. 1.4.13) соответствует минимальное значение потенциальной

82 Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
энергии упругих взаимодействий в данной системе. При повороте
шара D (рис. 1.4.14, в) возрастает его потенциальная энергия в поле
тяготения Земли, а при погружении этого шара на большую глубину
(рис. 1.4.14,6) несколько уменьшается его потенциальная энергия в
поле тяготения Земли, но возрастает потенциальная энергия упру-
упругого взаимодействия с жидкостью.
Глава 5
Работа и механическая энергия
5.1. Работа силы при движении материальной точки
и поступательном движении абсолютно твердого тела
1°. Элементарной работой АА силы F на элементарном пере-
перемещении Аг материальной точки называется скалярная физическая
величина, равная
АА = FAr • cos a,
где а — угол между векторами F и А г.
В прямоугольной декартовой системе координат элементарная
работа
АА = FxAx + FyAy + Fz Az,
где Fx, Fy и Fz — проекции силы F, a Ax, Ay и Az — проек-
проекции элементарного вектора перемещения Аг материальной точки
на координатные оси.
Значение элементарной работы силы зависит от выбора систе-
системы отсчета. Кроме того, в зависимости от взаимной ориентации
векторов F и Аг элементарная работа может быть величиной поло-
положительной, отрицательной или равной нулю.
2°. Если на материальную точку действует система п сил, то
элементарная работа АА% всех этих сил при перемещении точки
на Аг равна
п
* . \.—> _ ж
• cos a/,

5.1. Работа силы
83
где а,- — угол между силой F, и перемещением А г точки, или
АА% = F^Ar cos а,
где Fs — модуль равнодействующей Fs всех сил, действующих на
материальную точку, а а — угол между векторами F^ и Аг.
3°. При поступательном движении абсолютно твердого тела эле-
элементарная работа силы (или равнодействующей системы сил) равна
АА = FArcosa,
где а — угол между силой F (или равнодействующей системы не-
нескольких сил) и элементарным перемещением Аг точки приложе-
приложения силы, в качестве которой в этом случае берется центр масс
A.2.3.4°) тела.
4°. Работа А силы (или равнодействующей системы сил) F на
конечном перемещении Аг точки приложения силы равна
А =
, • cos a/,
где п — число элементарных перемещений Ar,, на которые разде-
разделено суммарное перемещение А г, а щ — угол между силой F и
элементарным перемещением Аг,.
/ F
1«Г II ' ^^^Та;
Рис. 1.5.1
Рис. 1.5.2
В общем случае расчет такой суммы весьма сложен. В элемен-
элементарном курсе физики ограничиваются расчетом работы на конечных
перемещениях материальной точки или абсолютно твердого тела
для некоторых частных случаев:
а) Сила F постоянна, а траектория материальной точки (или
тела) прямолинейна (F = const и а, = а = const) (рис. 1.5.1).

84
Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
В этом случае
А = Fcosa
или А = Fcosa •
= Fcosa •
где Ar\2 — модуль вектора перемещения Агп материальной точки
(или тела) от начального положения / до конечного положения 2,
равный в этом случае пути 5п-
б) Сила F постоянна, траектория материальной точки (или тела)
криволинейна (F = const, а, ф const) (рис. 1.5.2). Работа силы F
при перемещении материальной точки (или тела) из положения /
в положение 2 равна
где FAr — проекция вектора силы F на направление суммарного
перемещения Агп, причем F&r = Fcosa, где а — угол между
векторами F и
Рис. 1.5.3
Рис. 1.5.4
Если материальная точка (или тело) перемещается по замкнутой
траектории (рис. 1.5.3), то суммарная работа А силы F равна нулю,
так как Агп = 0.
в) Сила постоянна по модулю и составляет одинаковые углы а
с элементарными векторами перемещения Дг/ в любом месте
траектории (F — const и а,^ — а — const). На рис. 1.5.4
Ft — Fk = Fm = F = const. В этом случае работа силы равна
/7
А — F cos a 2_] Ai'i = F cos a
i=\
где S\2 — путь материальной точки или тела от начального поло-
положения / до конечного положения 2.

5.2. Потенциальные и непотенциальные силы
85
Если в подобных случаях траектория материальной точки пред-
представляет произвольную замкнутую кривую (рис. 1.5.5), то работа
силы отлична от нуля, несмотря на то, что суммарный вектор пере-
перемещения точки приложения силы равен нулю: Ari2 = 0, но А ф О,
так как Si2 ф 0.
Некоторые примеры расчета работы переменной силы будут
приведены далее A.5.2.2°, 3°).
1,2
Рис. 1.5.5
Рис. 1.5.6
5°. Если известен график зависимости F&r = f(Ar) (рис. 1.5.6),
то элементарной работе АА силы соответствует площадь криво-
криволинейной трапеции с основанием Arj. На рис. 1.5.6 эта площадь
заштрихована. Суммарной работе А при перемещении материаль-
материальной точки или абсолютно твердого тела из положения / в поло-
положение 2 соответствует площадь криволинейной трапеции с основа-
основанием
5.2. Потенциальные и непотенциальные силы.
Консервативные и неконсервативные системы тел
1°. Потенциальными называются силы, работа которых зависит
только от начального и конечного положения движущейся матери-
материальной точки или тела и не зависит от формы траектории. При замк-
замкнутой траектории работа потенциальной силы всегда равна нулю.
К потенциальным силам относятся силы тяготения, силы упругос-
упругости, электростатические силы и некоторые другие.
2°. Работа АТЯГ силы тяготения A.2.8.1°) при перемещении ма-
материальной точки с массой m относительно другой материальной

86 Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
точки, имеющей массу М и помещенной в начале отсчета коорди-
координат, равна
Ляг = утМ (
где г\ и г2 — модули радиус-векторов, характеризующих начальное
и конечное положения перемещающейся точки (рис. 1.5.7).
При увеличении расстояния между взаимодействующими ма-
материальными точками работа силы тяготе-
тяготения отрицательна (АТЯГ < О при г г > п)-
При сближении точек работа положительна
(АТЯГ > О при г2 < г\). При перемещении
одной из взаимодействующих материальных
точек по замкнутой траектории работа силы
тяготения равна нулю (Атяг = О при г 2 = п).
Рис. 1.5.7 Если пренебречь вращением Земли, то ра-
работа ^тяЖ силы тяжести A.2.8.3°) при подъеме тела массой m на
высоту h над поверхностью Земли равна
утМф
где Мз — масса Земли, /?з — радиус Земли.
При условии Л «]?з работа силы тяжести при подъеме тела
массой т приближенно равна
Ляж ~ -mgh,
где g — модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности
Земли A.2.8.4°).
3°. Работа ЛуГ1р силы упругости A.2.9.4°) при одномерном растя-
растяжении (или сжатии), характеризующемся вектором удлинения (сжа-
(сжатия) А1,
А --F Д/-
Если одна из координатных осей (например, Ох) выбранной систе-
системы отсчета совпадает по направлению с вектором Д1, то
2
где jc 1 и Х2 — координаты начала и конца вектора AI.

5.2. Потенциальные и непотенциальные силы 87
При перемещении точки упруго деформируемого тела по замк-
замкнутой траектории работа силы упругости равна нулю (Аупр = 0 при
А1 = О, ИЛИ ПрИ Х2 = JC 1).
4°. Силы, работа которых зависит от формы траектории, назы-
называются непотенциалъными. При перемещении материальной точки
или тела по замкнутой траектории работа непотенциальной силы не
равна нулю.
К непотенциальным силам относятся силы трения и некоторые
другие (см., например, 111.4.2.1°).
5°. В большинстве случаев, когда угол между силой трения F^ и
элементарным перемещением А г тела составляет ж радиан, работа
силы трения отрицательна и равна
где Si 2 — путь тела между точками 1 и 2.
Иногда угол между силой трения Fyp и элементарным переме-
перемещением Дг равен нулю и работа силы трения положительна:
Пусть, например, внешняя сила F действует на брусок /?, который
может скользить по тележке D (рис. 1.5.8). Если тележка перемеща-
перемещается вправо, то работа силы трения скольжения FTp2, действующей
на тележку со стороны бруска, положительна.
6°. Система тел называется консервативной, если внутренние
и внешние силы A.2.2.4°), действующие на тела системы, являются
потенциальными (п. 1°).
В замкнутой консервативной системе между телами действу-
действуют только внутренние потенциальные силы.
Если хотя бы одно из условий консервативности системы тел
нарушено, то система называется неконсер-
неконсервативной. FTp| | в I ftp2 *F
Между телами замкнутой неконсерва- \ ~* $ ^ ~~|
тивной системы наряду с внутренними ( ) С Т~
потенциальными силами действуют внут-
внутренние непотенциальные силы. Рис-15-8
Иногда в качестве консервативной или неконсервативной систе-
системы рассматривается не система тел, а одно тело.

88 Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
5.3. Механическая энергия
1°. Энергией называется скалярная физическая величина, явля-
являющаяся единой мерой различных форм движения материи и ме-
мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Для ха-
характеристики различных форм движения материи вводятся соответ-
соответствующие виды энергии, например: механическая (п. 2°), внутрен-
внутренняя A.5.4.2°, 11.4.1.2°), энергия электростатических A11.1.7.5°), вну-
внутриядерных (VI.4.2.20) взаимодействий и др.
Энергия подчиняется закону сохранения, который является од-
одним из важнейших законов природы.
2°. Механическая энергия Е характеризует движение и взаимо-
взаимодействие тел и является функцией скоростей и взаимного располо-
расположения тел. Она равна сумме кинетической К и потенциальной 77
энергий.
3°. Кинетическая энергия материальной точки или тела явля-
является мерой их механического движения, зависящей от скоростей их
движения в данной инерциальной системе отсчета.
Кинетическая энергия Kf материальной точки с массой /и/, дви-
движущейся в данной инерциальной системе отсчета со скоростью i>/,
или имеющей импульс р, = mjV,, равна
__ пцу2 __ р]
Ki~~2~~2rn~'
Кинетическая энергия К системы складывается из кинетических
энергий К, всех п материальных точек, из которых состоит система:
При поступательном движении тела его кинетическая энергия
равна половине произведения массы т тела на квадрат скорости v
любой из его точек (например, центра масс), или квадрату импуль-
импульса р тела, деленному на удвоенную массу тела:
_ ту2 __ р2
2 ~ 2т'
Значения кинетической энергии материальной точки или тела
зависят от выбора системы отсчета, но не могут быть отрицатель-
отрицательными (К ^ 0).

5.3. Механическая энергия 89
4°. Теорема о кинетической энергии: изменение АК кинети-
кинетической энергии тела при его переходе из одного положения в другое
равно работе А всех сил, действующих на тело:
А = АК = К2-Ки
где Кг — кинетическая энергия тела в конечном положении,
К\ — кинетическая энергия в начальном положении.
Работа любых сил является мерой изменения кинетической энер-
энергии тела или материальной точки. Действие сил, работа которых на
данном участке траектории положительна, приводит к увеличению
кинетической энергии тела (АК > 0, или К2 > К\). Действие сил,
работа которых отрицательна, приводит к уменьшению кинетиче-
кинетической энергии тела (АК < О, или К2 < К\).
5°. Потенциальной энергией //называется часть механической
энергии, зависящая от конфигурации системы, т. е. от взаимного рас-
расположения ее частей и их положения во внешнем силовом поле.
Потенциальная энергия зависит от относительного расположения
взаимодействующих материальных точек, тел (или их частей) и от-
относится ко всей совокупности (системе) взаимодействующих объек-
объектов. Поэтому ее называют взаимной потенциальной энергией
или энергией тех или иных потенциальных взаимодействий (напри-
(например, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия дан-
данных тел, потенциальная энергия упругого взаимодействия и т.д.).
Когда говорят о потенциальной энергии одной материальной точ-
точки или одного тела, всегда имеют в виду другие точки или тела, с
которыми рассматриваемые находятся во взаимодействии.
Поскольку во всех практических задачах интерес представляет
разность значений потенциальной энергии, нуль отсчета потенци-
потенциальной энергии выбирают произвольно, руководствуясь соображе-
соображениями упрощения решения задачи. В связи с этим потенциальная
энергия может быть положительной, отрицательной или равной ну-
нулю (П ^ 0).
6°. Мерой изменения потенциальной энергии системы при ее
переходе из одного состояния в другое является работа потенци-
потенциальных сил, осуществляющих взаимодействие между элементами
системы. При этом работа А1ЮТ потенциальных сил равна изменению
Д/7 потенциальной энергии системы при ее переходе из начального

90 Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
состояния в конечное, взятому с обратным знаком:
Атт = -АП=-(П2-П{),
где /72 — потенциальная энергия системы в конечном состоянии,
П\ — потенциальная энергия системы в начальном состоянии.
Учитывая формулы для расчета работы некоторых потенциаль-
потенциальных сил, приведенные в 1.5.2.2°, 3°, можно получить выражения для
потенциальной энергии взаимодействия простейших механических
систем.
Пример 1. Потенциальная энергия гравитационного взаимо-
взаимодействия системы двух материальных точек с массами m и М, на-
находящихся на расстоянии г одна от другой, равна
n __ утМ
г
где у — гравитационная постоянная A.2.8.1°), а нуль отсчета потен-
потенциальной энергии (/7=0) принят при г = ею.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тела
массой т с Землей
_
где h — высота тела над поверхностью Земли, Л/з — масса Земли,
/?з — радиус Земли, а нуль отсчета потенциальной энергии выбран
при h — 0.
При том же условии выбора нуля отсчета потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия тела массой т с Землей для малых
высот h (h <С Лз) равна
/7 = mgh,
где g — модуль ускорения свободного падения вблизи поверхности
Земли A.2.8.4°).
Пример 2. Потенциальная энергия упругих взаимодействий
равна
где к — коэффициент квазиупругой силы A.2.9.4°), А/ — модуль
вектора удлинения или сжатия A.2.9.4°).

5.4. Закон сохранения механической энергии
91
Если координатная ось Ох совпадает с линией действия силы
упругости, то
2
причем Л = О при А/ = 0, или при х — 0. Нуль отсчета потенци-
потенциальной энергии соответствует такому состоянию системы, при ко-
котором силы упругого взаимодействия между телами (или частями)
системы равны нулю (см. также 11.4.1.4°).
5.4. Закон сохранения механической энергии
1°. Закон сохранения механической энергии', механическая
энергия консервативной системы сохраняется постоянной в процес-
процессе движения системы:
Е = К + П = const.
Этот закон справедлив как для замкнутых, так и для незамкнутых
консервативных систем A.5.2.6°).
Пример 1. Центральный абсолютно упругий удар {упру-
{упругое столкновение) двух шаров. Ударом называется явление изме-
изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столк-
столкновения. Удар называется абсолютно
упругим, если силы взаимодействия
соударяющихся тел потенциальны и
в результате взаимодействия механи-
механическая энергия системы не изменя-
изменяется. Удар называется центральным,
если скорости тел до удара направле-
направлены вдоль линии, соединяющей цен-
центры масс тел.
Два шара с массами т\ ш mi движутся поступательно вдоль го-
горизонтальной прямой со скоростями vi и V2 (рис. 1.5.9, а). Требуется
определить скорости шаров ui и U2 после абсолютно упругого удара
(рис. 1.5.9,6).
Хотя система шаров не является замкнутой (на каждый шар дей-
действует сила тяжести и еще какая-то сила, уравновешивающая силу
тяжести), к системе можно применить закон сохранения проекции
Рис. 1.5.9

92 Отдел I. Гл. 5. Работа и механическая энергия
импульса на координатную ось Ох A.2.6.3°):
m\v\x +m2V2x = m\u\x -\-m2ulx.
Система шаров консервативна, и поэтому к ней применим закон
сохранения механической энергии в виде
m\v\ m2v\ m\u\ \
так как потенциальная энергия шаров в поле тяготения Земли при
движении по горизонтали не изменяется.
Заданные скорости vi и \2 направлены вдоль координатной оси
Ох, а искомые скорости ui и U2 в данном случае могут быть только
горизонтальными. Поэтому v\x = v\9 vzx = v2, u\ = u\x, u\ = u\x.
На основании всех записанных равенств имеем
(mi - m2)v\ + 2m2v2 (m2 - m\)v2 -f 2m\v\
U\x = " ~ И Ulx = ~ .
m\ + m2 m\ + m2
Если, в частности, соударяющиеся шары имеют одинаковые мас-
массы (т\ = т2), то
и\х =v2 и иъс = v\.
В этом случае шары в результате удара «обмениваются» ско-
скоростями.
Если второй шар до удара покоился (\2 = 0), то
Ш\ — ГП2
u Vи
т\ + т2 т\ + т2
При т\ > т2 первый шар после удара будет продолжать двигаться
вправо, но с меньшей скоростью. При т\ < т2 первый шар после
удара будет двигаться влево. Второй шар в обоих случаях после
удара будет двигаться вправо.
Если при V2 = 0 будет выполняться условие т\ <С ш2, то
U\x ~ —V\ И «2х ~ 0.
Направление скорости легкого шара после центрального абсо-
абсолютно упругого удара о массивный неподвижный шар будет изме-
изменяться на противоположное.
Пример 2. Абсолютно твердое тело массы т под действием
силы тяжести Р перемещается из точки / в точку 2 вблизи по-
поверхности Земли (рис. 1.5.10). Точка / находится на высоте h\ от

5.4. Закон сохранения механической энергии 93
поверхности Земли, а точка 2 — на высоте h2. Определить скорость
\2 тела, если его начальная скорость равна нулю (vj = 0).
В данном случае можно считать систему, состоящей всего из
одного тела массой w, поскольку при его движении состояние Зем-
Земли практически не изменяется. Система незамкнута, ибо имеется
неуравновешенная внешняя сила Р, но консервативна, так как си-
сила тяжести Р является потенциальной силой. Применим закон со-
сохранения механической энергии. Работа Атяж силы тяжести равна
изменению кинетической энергии тела: jn
ТЯЖ 2Ь
Кроме того, эта работа равна изменению потенци-
потенциальной энергии тела, взятому с обратным знаком:
= -АП=-(П2-Л1).
Поэтому
J
К2-К\=-(П2-Л1), или К2 + П2=К\+ПХ. Рис. 1.5.10
В инерциальнй системе отсчета, связанной с Землей, и при вы-
выборе нуля отсчета потенциальной энергии на поверхности Земли
имеем
-~ + mgh2 = — + mghu или -j- + gh2 = -j+gh\.
Поскольку v\ = 0, то
v2 = V2s(h\ - h2)
(второй корень квадратного уравнения в данном случае физиче-
физического смысла не имеет). Вектор \2 направлен по вертикали вниз
(ср. 1.1.7.4°).
2°. Если система взаимодействующих тел замкнута, но некон-
неконсервативна, то ее механическая энергия не Сохраняется. Изменение
механической энергии такой системы равно работе внутренних не-
потенциальных сил:
АЕ =
Примером такой системы может служить система, в которой на-
наряду с потенциальными силами действуют силы трения. Силы тре-
трения при движении системы уменьшают ее кинетическую энергию.

94 Отдел i. Гл. 5. Работа и механическая энергия
В результате этого механическая энергия замкнутой неконсерватив-
неконсервативной системы всегда уменьшается, переходя в энергию немеханиче-
немеханических форм движения. Убыль механической энергии такой системы
приводит к увеличению внутренней энергии U системы A1.4.1.2°).
Работа силы трения при этом служит также мерой изменения внут-
внутренней энергии системы.
Для замкнутой неконсервативной системы выполняется закон
сохранения полной энергии ? A1.4.1.1°), равной сумме механиче-
механической Е и внутренней U энергий системы:
8 = Е + V = const.
3°. Закон сохранения механической энергии не выполняется в
незамкнутой неконсервативной системе. Изменение АЕ механиче-
механической энергии такой системы равно суммарной работе внутренних и
внешних непотенциальных сил:
АЕ = Л*нутр + Л™
и сопровождается изменением внутренней энергии системы. Рабо-
Работа сил при этом является мерой изменения внутренней энергии
A1.4.3.3°).
Пример. Центральный абсолютно неупругий удар (неупру-
(неупругое столкновение) двух шаров. При абсолютно неупругом ударе
между телами действуют непотенциальные силы, и после такого
удара тела движутся как одно целое с общей скоростью.
тх Пусть скорости поступательного го-
а /^\ vi f~\*2 ризонтального движения шаров с масса-
у I ) * \^/ ми т\ и гп2 до удара были соответственно
U- равны vi и V2 (рис. 1.5.11, а), а после аб-
/^\/s. и солютно неупругого удара их общая ско-
\ У ) * рость равна и (рис. 1.5.11,6).
L_^ V^x/ Система шаров неконсервативна и не-
замкнута, ибо на каждый шар действуют
Рис. 1.5.11 внешние силы — сила тяжести и какая-то
сила, уравновешивающая силу тяжести. Воспользовавшись законом
сохранения проекции импульса A.2.6.3°) на горизонтальную коор-
координатную ось Ох, получим
m\v\x

5.5. Мощность 95
или, с учетом направления векторов скоростей и оси Ох,
m\V\ 4" W2^2 — (#*1 + W2)w,
откуда
ni\V\ + 1712V2
U = .
m\ +m2
Изменение АЕ механической энергии системы двух шаров опре-
определяется в данном случае изменением кинетической энергии шаров
в результате неупругого соударения:
АЕ =К2-Ки
где
(т\-\-т2)и2 m\v\ tri2v\
2 ' 2 2'
Воспользовавшись полученным выражением для м, имеем
т\ 4-/122 Iуп\\)\ -\-m.2V2\ m\v\ m2v\
mm -(„-,2J<o.
2(m\ -\-rn2)
Уменьшение механической энергии системы двух шаров сопровож-
сопровождается возрастанием внутренней энергии этой системы.
4°. Второй космической скоростью \ц называется наимень-
наименьшая скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно, преодолев
гравитационное притяжение Земли (или Луны, или какого-то дру-
другого массивного небесного тела), удалилось от нее на бесконечно
большое расстояние:
vu = J7^- = л/2^~ 11.2км/с.
5.5. Мощность
1°. Средней мощностью Рср называется физическая величина,
определяемая отношением работы АА силы или системы сил в те-
течение конечного промежутка времени At к этому промежутку вре-
времени:
р -^
Fcp ~ At ¦

96 Отдел i. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
2°. Мощностью (мгновенной мощностью) Р называется фи-
физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя
мощность при бесконечном уменьшении промежутка времени At:
АА
Р = lim FCD = lim
до р до
At
Если материальная точка или тело перемещаются со ско-
скоростью v, то
Р = Fv cos a,
где а — угол между векторами F и v.
Глава 6
Элементы гидроаэромеханики
6.1. Механические свойства жидкостей и газов
1°. Гидроаэромеханикой называется раздел физики, в котором
изучаются законы равновесия и движения жидкостей и газов, а так-
также взаимодействие жидкостей и газов с твердыми телами.
В гидроаэростатике рассматриваются условия и закономернос-
закономерности равновесия жидкостей и газов под воздействием приложенных к
ним сил и, кроме того, условия равновесия твердых тел, находящих-
находящихся в жидкостях или в газах.
Гидроаэродинамика изучает законы движения жидкостей и га-
газов, а также взаимодействия жидкостей и газов с твердыми телами
при их относительном движении.
2°. Конкретное строение жидкости или газа в гидроаэромеханике
не учитывается, и они рассматриваются как сплошные среды, не-
непрерывно распределенные в пространстве. К сильно разреженным
газам A1.1.2.2°) модель сплошной среды неприменима.
3°. Отличительной особенностью жидкостей и газов является
их текучесть, которая связана с малыми силами трения при от-
относительном движении соприкасающихся слоев. При бесконечном
уменьшении скорости относительного движения слоев силы трения
между ними стремятся к нулю. Этим объясняется отсутствие сил
трения покоя A.2.10.2°) в жидкостях и газах.

6.2. Гидроаэростатика 97
В отличие от твердых тел, жидкости и газы не сохраняют своей
формы, а принимают форму того сосуда, в который они заключе-
заключены. Жидкости от газов отличаются наличием поверхностного слоя
(свободной поверхности) A1.6.1.2°), большей плотностью при од-
одних и тех же условиях (за исключением критического состояния,
11.5.5.1°) и характером зависимости плотности от давления (прак-
(практическая несжимаемость жидкостей и заметная сжимаемость газов).
Изменению объема сплошной среды препятствуют силы упру-
упругости. Поскольку взаимодействия между слоями жидкости или газа,
и также взаимодействия жидкостей и газов с твердыми телами осу-
осуществляются не в отдельных точках, а по площади, причем силы
упругости всегда перпендикулярны к рассматриваемым площадкам,
эти взаимодействия в гидроаэромеханике характеризуются давле-
давлением A1.3.1.5°).
4°. Из-за того, что многие соотношения и законы в гидро-
гидроаэромеханике справедливы как для жидкостей, так и для газов, часто
пользуются единым термином «жидкость». При необходимости под-
подчеркнуть различие между жидкостью (характеризующейся поверх-
поверхностным слоем) и газом (который не имеет поверхностного слоя)
первую называют капельной жидкостью.
Несжимаемой жидкостью называется капельная жидкость или
газ, зависимостью плотностей которых от давления в данной задаче
можно пренебречь.
Если зависимостью плотности газа от давления пренебречь нель-
нельзя, то такой газ называют сжимаемой жидкостью.
6.2. Гидроаэростатика
1°. В отсутствие или при компенсации внешних воздействий на
жидкость в инерциальной системе отсчета частица сплошной сре-
среды находится в равновесии, если равна нулю равнодействующая
A.2.2.6°) всех сил, действующих на нее со стороны соседних час-
частиц A.4.2.1°). Такое же условие должно выполняться при равнове-
равновесии любого по форме малого элемента объема, выделенного внутри
жидкости. Это приводит к закону Паскаля: в данной точке жидкости
давление одинаково по всем направлениям.
П р и м е р. Внутри жидкости выделен малый элемент объема в
форме прямой трехгранной призмы (на рис. 1.6.1, а условно пока-

98
Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
заны силы упругости, действующие на грани призмы со стороны
окружающей жидкости).
Условие равновесия выделенного объема
можно записать в виде двух равенств:
F4 + F5 = 0
(условие равновесия сил, действующих на основания призмы) и
F! + F2 + F3 = 0
(условие равновесия сил, действующих на грани призмы).
Рис. 1.6.1
Последнему условию соответствует замкнутый треугольник сил,
подобный треугольному основанию призмы (рис. 1.6.1,6). Поэтому
можно написать:
Ах Ау А/'
или, домножая знаменатели на высоту AL призмы,
F\ = Fi Ъ
AxAL AyAL А/ • AL'
Так как знаменатели равны площадям соответствующих граней
призмы, заключаем, что
т. е. давления на все боковые грани призмы одинаковы.
К аналогичному выводу приводит рассмотрение равновесия сил,
действующих на основания призмы.
Последнее равенство выражает закон Паскаля.

6.2. Гидроаэростатика
99
2°. Если жидкость находится в поле силы тяжести, то при выяс-
выяснении условий равновесия какой-то частицы жидкости необходимо
учитывать не только силы ее упругого взаимодействия с соседни-
соседними частицами, но и силу тяжести данной части-
частицы. При этом оказывается, что давления внутри
жидкости на разных уровнях не будут одинако-
одинаковыми. Независимо от формы рассматриваемого
элемента объема жидкости (рис. 1.6.2), он будет
находиться в равновесии при условии
Р2- Р\ =
- pgh,
Рис. 1.6.2
где р\ и р2 — давления в жидкости на глубинах h\ и кг от ее
поверхности, р — плотность жидкости, g — ускорение свободного
падения.
Если на уровне поверхности жидкости (h\ = 0) давление /?о
известно (например, оно равно давлению окружающего воздуха, да-
давлению на жидкость со стороны прилегающего к ее поверхности
поршня и т.д.), то давление р на произвольной глубине h будет
равно
Р = Ро + pgh
и в данной точке будет одним и тем же по всем наравлениям в
соответствии с законом Паскаля.
Давление, вызванное силой тяжести жидкости и зависящее от
глубины под поверхностью жидкости, называется гидростатиче-
гидростатическим давлением.
Гидростатическое давление учитыва-
учитывается при определении сил воздействия
жидкости на дно и стенки сосуда, на
твердые тела, находящиеся внутри жид-
жидкости, при выводе условия равновесия
столбов жидкости в сообщающихся со-
сосудах и т. д.
Пример. Две разнородные жидкости, плотности которых р\ и
Pi, налиты в сообщающиеся сосуды (рис. 1.6.3). Чтобы жидкости
не смешивались, они разделены свободно перемещающимся порш-
поршнем В.
1
Рог
В
Р02
Рис. 1.6.3

100 Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
Равновесию столбов жидкостей и поршня соответствует условие
Р0\ + Plghl = P02 + Plgfa-
Если сосуды открыты, то ро\ — ро2 (давления у поверхностных сло-
слоев обеих жидкостей одинаковы и равны атмосферному давлению)
и
P\gh\ = Pigh, или p\h\ = p2h2.
Закон сообщающихся сосудов: высоты столбов разнородных
жидкостей в сообщающихся сосудах обратно пропорциональны
плотностям этих жидкостей:
h\_ __ Р2
h2 p\
Если в сообщающихся сосудах находится однородная жидкость
(р! = р2), то ее свободная поверхность во всех сосудах располага-
располагается на одном и том же уровне (h\ = h2).
3°. Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость, действует
выталкивающая {архимедова) сила Fa, равная по модулю силе
тяжести жидкости, вытесненной телом.
Выталкивающая сила возникает из-за того, что значения гидро-
гидростатического давления на разных глубинах неодинаковы.
Если тело погружено в жидкость целиком, то
где рж — плотность жидкости, VT — объем тела.
Если тело погружено в жидкость не целиком и какая-то часть
объема тела остается над свободной поверхностью жидкости, то
где Vn — объем части тела, погруженной под свободную поверх-
поверхность жидкости.
Точка приложения выталкивающей силы называется центром
давления (центром масс погруженной части тела). Центр давле-
давления D совпадает с центром масс С A.2.3.4°) тела только для од-
однородного тела, целиком погруженного в однородную жидкость
(рис. 1.6.4,а). Для однородного тела, погруженного в жидкость не
целиком (рис. 1.6.4,6), и для неоднородных тел (на рис. 1.6.4, в плот-

6.3. Движение жидкостей и газов
101
ность заштрихованной части больше плотности остальной части те-
тела) центр давления с центром масс тела не совпадает.
1
щ
щ
Р
а 6 в
Рис. 1.6.4
4°. Тело, погруженное в жидкость, находится в равновесии, если
сила тяжести тела Р уравновешивается выталкивающей силой Fa:
Если при заданном погружении на тело не действуют никакие
другие силы и Fa > Р, то тело всплывает до тех пор, пока не будет
выполнено условие
P^gVn = Р.
При Р > Fa тело тонет.
6.3. Движение жидкостей и газов
1°. Движение (течение) жидкости называется стационарным
(установившимся), если в заданных точках пространства скорость
жидкости не зависит от времени. При этом в разных точках про-
пространства скорости жидкости могут быть неодинаковыми.
Если в фиксированных точках пространства скорость жидкости
с течением времени изменяется, движение называется нестацио-
нестационарным (неустановившимся).
Течение жидкости, при котором ее соприкасающиеся слои дви-
движутся без перемешивания, называется ламинарным. При переме-
перемешивании слоев жидкости течение называется турбулентным. Ла-
Ламинарное течение может быть как стационарным, так и нестацио-
нестационарным. Турбулентное течение всегда нестационарно.
2°. Линия, касательная к которой в данной точке совпадает по
направлению со скоростью жидкости в этой точке в данный момент

102 Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
времени, называется линией тока. При стационарном течении жид-
жидкости линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости.
Трубкой тока называется поверхность, образованная линиями
тока, проведенными через все точки малого замкнутого контура, вы-
выделенного внутри жидкости. Жидкость, протекающую по всей сово-
совокупности трубок тока, называют потоком.
При стационарном течении жидкости трубки тока со временем
не изменяются по форме, и частицы жидкости при движении не
выходят за пределы определенных трубок тока. Если скорость жид-
жидкости мало изменяется при переходе от одной точки поперечного
сечения потоку к соседней, то трубу или русло, по которым течет
жидкость, принимают за одну трубку тока больших размеров. Ско-
Скоростью жидкости в произвольном сечении такой трубки тока при
этом считают среднюю по этому сечению скорость.
3°. Внутренним трением {вязкостью) называется явление воз-
возникновения сил, препятствующих относительному перемещению
слоев жидкости или газа. Силы внутреннего трения направлены
вдоль соприкасающихся слоев (а не перпендикулярно к их по-
поверхностям, как силы упругости) и зависят от их относительных
скоростей.
Причиной внутреннего трения в газах является перенос частица-
частицами газа импульсов между соприкасающимися слоями. На рис. 1.6.5
условно изображены соприкасающиеся слои газа / и 2, движу-
движущиеся с неодинаковыми скоростями \\ и \2 — один слой сколь-
скользит по другому, причем v\ > V2. Переход какой-то частицы А
из нижнего слоя в верхний приведет к торможению последнего.
v Переход частицы В из верхнего слоя
-•••'•—^™ *- в нижний связан с передачей нижне-
v2 му слою импульса, имеющего состав-
-—'iniTT7^—•* J" ляющую, совпадающую со скоростью
V2, т.е. переход частицы В будет со-
Рис. 1.6.5 провождаться увеличением скорости
нижнего слоя. Поэтому на верхний слой газа будет действовать си-
сила трения, направленная влево, а на нижний слой — сила трения,
совпадающая по направлению со скоростью \2.
Аналогично объясняется возникновение сил внутреннего тре-
трения в жидкостях при высоких температурах, близких к критическим
A1.5.5.1°). При температуре, близкой к температуре затвердевания

6.3. Движение жидкостей и газов 103
A1.7.4.6°), механизм возникновения сил внутреннего трения в жид-
жидкости имеет более сложный характер.
4°. Идеальной {невязкой) жидкостью называется сплошная
среда, в которой вязкость отсутствует или ею можно пренебречь.
В противном случае жидкость называется вязкой.
Для поддержания течения вязкой жидкости давления в различ-
различных сечениях трубки тока должны быть неодинаковыми — работа
сил давления должна компенсировать или превышать работу сил
внутреннего трения.
5°. При стационарном течении масса жидкости, проходящей че-
через любое поперечное сечение трубки тока за единичный проме-
промежуток времени, остается неизменной. Жидкость не скапливается в
отдельных частях трубки тока, не образует пустот и не переходит
в соседние трубки тока. Это позволяет написать уравнение нераз-
неразрывности для стационарного течения жидкости:
pvS = const,
где р — плотность жидкости, v — модуль скорости жидкости в
произвольном поперечном сечении трубки тока площадью S.
Если жидкость несжимаема, то плотность р во всех сечениях
трубки тока одна и та же (р = const) и уравнение неразрывнос-
неразрывности принимает вид
VS = const.
6°. Для стационарного течения несжимаемой невязкой жидкости
по трубке тока справедливо уравнение Бернулли:
р + pgh + -у- = const,
где р — плотность жидкости, v — модуль скорости течения жид-
жидкости в сечении трубки тока, находящемся на высоте h от условно
выбранного уровня, р — давление в том же сечении трубки тока,
вызванное силами упругости жидкости.
Для горизонтальной трубки тока (h = const) уравнение Бернул-
Бернулли упрощается:
pv2
р _|— — const.
Величина р в этом уравнении называется статическим давле-
давлением, pv2/2 — скоростным (динамическим) напором, а сумма
р -\- pv1 /2 — полным давлением (ро)-

104 Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
Из этого уравнения следует, что в тех сечениях трубки тока, где
скорость жидкости больше, статическое давление меньше, а в тех
сечениях, где скорость жидкости уменьшается, статическое давле-
1 ние возрастает.
Уравнение Бернулли применимо к дви-
движущимся без вихрей реальным газам, если
2 v их скорости невелики (примерно до 100 м/с),
**г так как только при этих условиях без боль-
большой ошибки можно пренебречь сжимаемо-
сжимаемостью газов.
Рис. 1.6.6 Пример 1. Пользуясь уравнением Бер-
Бернулли, найти скорость истечения невязкой несжимаемой жидкости
из малого отверстия в открытом сосуде (рис. 1.6.6).
Уравнение Бернулли для сечений / (на поверхности жидкости в
сосуде) и 2 (поперечное сечение выходного отверстия):
2 2
pin pvi
Р\ Л- pgn\ + -у- = pi + pghi + —-.
Если пренебречь изменением атмосферного давления в пределах
высоты столба жидкости в сосуде, то р\ = рг и, следовательно,
Так как площадь поперечного сечения отверстия много меньше
площади свободной поверхности жидкости, то на основании урав-
уравнения неразрывности v\ <C v2, v\/2 <C v\/2, и вторым слагаемым в
левой части уравнения можно пренебречь. Поэтому
gh\ = gh2 + у,
откуда
v2 = \2g(h\ —hi) {формула Торричелли).
Пример 2. Статическое давление в потоке жидкости можно
измерить с помощью тонкой трубки, расположенной вдоль потока
и имеющей отверстие на боковой стенке (рис. 1.6.7, а). Если такая
трубка сообщается с атмосферой, то статическое давление равно
где /?ат — атмосферное давление, р — плотность жидкости, h —
высота поднятия жидкости в вертикальной части трубки.

6.4. Движение твердых тел в жидкостях и газах
105
Полное давление /?о в потоке жидкости измеряется трубкой с от-
отверстием, расположенным на ее конце, обращенном навстречу по-
потоку, — трубкой Пито (рис. 1.6.7,6):
Р0 = Par + pgH.
Скоростной напор измеряется с помощью трубки Пито-
Прандтля (рис. 1.6.7, в) по разности АН уровней жидкости в труб-
трубках полного и статического давлений:
Такой способ применяется для измерения скорости потока жид-
жидкости или газа, а также для измерения скорости движения различ-
различных тел в жидкостях и газах. При работе в потоке газа трубки пол-
Н
АН
Рис. 1.6.7
ного и статического давлений соединяют с манометром, который
регистрирует разность давлений Ар в этих трубках. По разности
давлений измеряется скорость потока газа (или скорость тела):
v =
6.4. Движение твердых тел в жидкостях и газах
1°. Вместо того чтобы рассматривать движение твердого тела в
неподвижной сплошной среде, на основании механического принци-
принципа относительности A.2.7.5°) можно исследовать процессы, проис-
происходящие при обтекании неподвижного твердого тела потоком жид-

106
Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
кости или газа. Эффекты взаимодействия тела с потоком при этом
оказываются одинаковыми (силы взаимодействия, распределение да-
давлений по поверхности тела и т.д.), но второй путь практически про-
проще. Так, например, прежде чем послать летательный аппарат новой
конструкции в полет, его модель (натуральных или уменьшенных
размеров) «продувают» в аэродинамической трубе.
2°. При обтекании твердого тела вязкой жидкостью поток де-
деформируется. Слои жидкости, непосредственно соприкасающиеся с
телом, прилипают к его поверхности. На поверхности тела обра-
образуется пограничный слой — область, в пределах которой скорость
жидкости изменяется от нуля до скорости vHn невозмущенного пото-
потока. На рис. 1.6.8, а схематически изображено распределение скорос-
скоростей в потоке жидкости, обтекающем плоскую пластину, а жирной
штриховой линией показан пограничный слой.
г
Рис. 1.6.8
В какой-то точке поверхности тела (точка О на рис. 1.6.8) может
произойти отрыв пограничного слоя. При этом жидкость из погра-
пограничного слоя выбрасывается в основной поток, и за точкой отрыва
образуется вихревое течение (на рис. 1.6.8, б показан примерный ход
линий тока жидкости до точки отрыва и за ней).
От характеристик пограничного слоя — его толщины, от того,
ламинарный он или турбулентный A.6.3.1°), и т.д. — и от образую-
образующихся после отрыва пограничного слоя вихрей в основном зависит
сопротивление движению тела в жидкости.

6.4, Движение твердых тел в жидкостях и газах 107
3°. Считается, что сопротивление при движении тела в вязкой
жидкости складывается из двух компонент: сопротивления трения и
сопротивления давления.
Сопротивление трения обусловлено силами внутреннего тре-
трения A.6.3.3°), возникающими при значительных перепадах скорос-
скоростей в пограничном слое. Эти силы зависят от формы и размеров
тела, от вязких свойств жидкости и пропорциональны скорости от-
относительного движения тела и жидкости.
Сопротивление давления определяется разностью давлений на
передней и задней сторонах обтекаемого тела. Сила сопротивления
давления зависит от формы и размеров тела, пропорциональна плот-
плотности жидкости и квадрату скорости относительного движения тела
и жидкости. Иными словами, сопротивление давления пропорцио-
пропорционально скоростному напору A.6.3.6°).
Из-за того, что сопротивление трения и сопротивление давления
по-разному зависят от скорости тела, при очень малых скоростях
преобладающим оказывается сопротивление трения, а при очень
больших — сопротивление давления. В широком диапазоне проме-
промежуточных значений скоростей расчет общего сопротивления дви-
движению тела представляет чрезвычайно сложную задачу. Это сопро-
сопротивление в конечном счете определяют экспериментально для раз-
различных тел при различных условиях их движения в жидкости или
газе.
4°. Разность статических давлений в различных точках поверх-
поверхности твердого тела, движущегося в жидкости или газе, может вызы-
вызывать не только силу сопротивления, но и так называемую подъемную
силу.
Причиной возникновения подъемной силы является вихревое
движение жидкости или газа вокруг тела, обтекаемого потоком.
Такое движение называется циркуляцией {циркуляция скорости).
При вихревом движении линии тока жидкости или газа имеют замк-
замкнутую форму, и всегда можно найти такой мысленный замкнутый
контур, за пределы которого линии тока не выходят.
Пример 1. Подъемная сила при обтекании потоком вязкой жид-
жидкости вращающегося кругового цилиндра (эффект Магнуса).
Если на цилиндр, вращающийся вокруг горизонтальной оси по
часовой стрелке (рис. 1.6.9), слева набегает поток вязкой жидкос-
жидкости со скоростью v, то возникает подъемная сила Fn, направленная

108
Отдел I. Гл. 6. Элементы гидроаэромеханики
вверх. Цилиндр увлекает прилегающие к его поверхности слои вяз-
вязкой жидкости во вращательное движение по часовой стрелке — воз-
возникает циркуляция. Если линии тока а и Ъ являются границами не-
невозмущенного потока, то в сечении ас трубки тока результирующая
скорость жидкости будет больше, чем в сечении db. Статическое
давление у нижних точек цилиндра будет больше, чем у верхних.
Это и приведет к возникновению подъемной силы Fn.
П р и м е р 2. Подъемная сила крыла самолета.
Профили крыла самолета, предназначенного для полетов со ско-
скоростью, меньшей скорости звука {профили Жуковского), имеют
вид, условно изображенный на рис. I. 6.10.
При обтекании такого крыла отрыв пограничного слоя проис-
происходит только на его задней кромке. Если поток воздуха набегает
слева, то вихревое движение у задней кромки крыла будет происхо-
происходить против часовой стрелки. В системе «крыло—набегающий по-
поток» при этом должно возникать вихревое движение воздуха вок-
вокруг профиля крыла по часовой стрелке. Это приводит к тому, что
Рис. 1.6.10
результирующая скорость потока воздуха над крылом будет больше,
чем под крылом. Статическое давление у нижней поверхности крыла
будет больше, чем у верхней. Перепад давлений и обеспечит силу F,
действующую на крыло. Ее вертикальная составляющая Fr, являет-
является подъемной силой, а горизонтальная составляющая Fc — силой
сопротивления. Последняя уравновешивается или преодолевается
силой тяги двигателя самолета.

Отдел II
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Глава 1
Основы молекулярно-кинетической теории
1.1. Основные понятия и определения
1°. Молекулярно-кинетической теорией называется учение,
которое объясняет строение и свойства вещества движением и
взаимодействием частиц, из которых состоит вещество. В основе
молекулярно-кинетической теории лежат три важнейших положе-
положения, которые полностью подтверждены экспериментально и теоре-
теоретически:
а) все вещества состоят из частиц — молекул, атомов, ионов и
электронов A1.7.1.2°). В состав атомов входят более мелкие эле-
элементарные частицы (VI.5.1.10);
б) частицы вещества находятся в непрерывном хаотическом дви-
движении;
в) между частицами любого вещества существуют силы взаимо-
взаимодействия — притяжения и отталкивания A1.1.4.3°,4°).
Эти исходные положения подтверждаются явлениями диффузии
A1.1.3.1°), броуновского движения, особенностями строения и свой-
свойствами жидкостей и твердых тел, а также исследованиями в области
физики элементарных частиц.
2°. Атомом называется наименьшая частица данного химическо-
химического элемента. Каждому химическому элементу соответствуют впол-
вполне определенные атомы, сохраняющие химические свойства данного
элемента.
Атом состоит из положительно заряженного ядра и отрицатель-
отрицательно заряженных электронов, движущихся в электрическом поле ядра.
Электрический заряд ядра (VI.2.1.10) равен модулю суммарного за-
заряда всех электронов атома, поэтому атом является электрически
нейтральным (подробнее о строении атома см. VI.2.1.10—5°).

110 Отдел II. Гл. 1. Молекулярно-кинетическая теория
3°. Молекулой называется наименьшая устойчивая частица дан-
данного вещества, обладающая его основными химическими свойства-
свойствами. Молекула состоит из одного или нескольких атомов одинаковых
или различных химических элементов.
Атомы соединяются в молекулу за счет химических связей, осно-
основанных на различных взаимодействиях внешних(валентных) элек-
электронов (VI.2.9.20). Число атомов в молекулах изменяется в широких
пределах — от двух (СО, О2, NO, H2), трех (СО2, SO2), четырех
(NH3) до сотен и даже тысяч. Как и атом, молекула электрически
нейтральна, т. е. содержит равное количество электрически заряжен-
заряженных частиц противоположного знака.
4°. Количеством вещества называется физическая величина,
определяемая числом специфических структурных элементов — мо-
молекул, атомов или ионов A11.3.1.1°), — из которых состоит вещество
(см. также VI1.4.30). Так как массы отдельных структурных элемен-
элементов (например, молекул) отличаются друг от друга, то одинаковые
количества разных веществ имеют разную массу. Например, 1025
молекул водорода и 1025 молекул кислорода считаются одинако-
одинаковыми количествами вещества, хотя они имеют различные массы,
равные соответственно 33.45 • 10~3кг и 531.45 • 10~3кг. Масса не
является мерой количества вещества. Единицей количества вещест-
вещества является моль (VII, табл. VII.2), а также кратные и дольные от
него единицы.
5°. Число атомов (молекул или других структурных элемен-
элементов), содержащихся в одном моле вещества, называется постоянной
Авогадро N&.
NA =6.022- 1023 моль.
6°. Объем одного моля называется молярным объемом V^:
где v = 1/р есть удельный объем A1.3.1.6°), р — плотность
вещества A.2.3.7°), /и — масса одного моля (молярная масса).
При нормальных условиях (t = 0°С, р = 101 325 Па = 1 атм=
— 760 мм рт. ст.) молярные объемы всех идеальных газов A1.2.1.1°)
одинаковы: Vft = 22.4 • 10~3 м3/моль. (См. также закон Авогадро
A1.3.3.6°).)

1.2. Броуновское движение
111
7°. Молярная масса /и — шМа, где т — масса одного структур-
структурного элемента (атома, молекулы, ионаI.
Число п молей вещества с массой М
М
п =
8°. Размеры атома определяются теми расстояниями от цен-
центра ядра, на которых находятся внешние валентные электроны или
внешние заполненные электронные слои атома (VI.2.8.60).
1.2. Броуновское движение
1°. Броуновским движением называют непрерывное хаотиче-
хаотическое движение частиц, помещенных в жидкость или газ в такие
условия, что сила тяжести не влияет на их движение (взвешенные
частицы).
2°. Причиной броуновского дви-
движения являются различные импуль-
импульсы, с которыми молекулы жидкос-
жидкости (газа) со всех сторон действу-
действуют на броуновские частицы. В силу
хаотичности движения молекул сре-
среды броуновская частица в любой мо-
момент времени испытывает неуравно-
неуравновешенное воздействие, которое не-
непрерывно изменяется. В результате
этого частица находится в беспоря-
беспорядочном движении и перемещается по
отрезкам сложной ломаной линии
(рис. IL1.1).
Броуновское движение служит
прямым экспериментальным доказательством существования мо-
молекул жидкости (газа) и хаотического характера их теплового
движения.
3°. Характеристикой броуновского движения является сред-
среднее значение квадрата смещения частицы в произвольном направ-
о,
\
о.
V
i
L
1
\
\
Т
/а
/
у
V 1
И
N
^_
%
J
¦¦о
«/
—¦
>
г
и»
У
ь
у
\
\
Рис. И. 1.1
'О сведениях, приведенных в пп. 4° —7°, см. также VII.4.30, 4°.

112 Отдел II. Гл. 1. Молекулярно-кинетическая теория
лении х2. Из-за хаотичности броуновского движения среднее сме-
смещение частицы х = 0, ибо частица с равной вероятностью может
двигаться в противоположных направлениях. При этом х2 ф 0.
4°. Закономерности броуновского движения:
а) оно продолжается неограниченно долго без каких-либо види-
видимых изменений;
б) х2 не зависит от вещества частиц, а зависит только от линей-
линейных размеров частиц и их геометрической формы;
в) х2 возрастает с ростом температуры и уменьшением вязкости
жидкости (газа).
1.3. Диффузия
1°. Диффузией в простейшем случае называется процесс вы-
выравнивания плотностей (или концентраций) двух веществ при их
смешении друг с другом. Взаимное проникновение веществ явля-
является результатом беспорядочного движения их частиц и изменения
плотности вдоль какого-либо направления. В этом направлении и
происходит диффузия. Диффузия наблюдается в газах, жидкостях и
твердых телах.
Примеры диффузии:
а) Если в сосуд с раствором медного купороса осторожно налить
воду, то резко обозначенная граница раздела между раствором и
водой с течением времени изчезнет. Вода постепенно синеет, и через
длительное время получается однородная по цвету жидкость.
б) Стратосфера является однородной смесью кислорода, азота,
углекислого газа, паров воды и инертных газов. Если бы не было
диффузии, то вследствие различной силы тяжести молекул этих га-
газов A.2.8.3°) все составною части стратосферы были бы расслоены.
в) Притертые и прижатые одна к другой пластинки золота и
свинца за пять лет «срастаются» за счет взаимного проникновения
частиц на глубину примерно в один миллиметр.
2°. Мерой диффузии является масса ДА/ вещества, продиф-
фундировавшего за единичный промежуток времени через единич-
единичную площадь поверхности соприкосновения веществ. Величина ДМ
тем больше, чем больше изменяется плотность (или концентра-

1.4. Силы взаимодействия между молекулами 113
ция) на единичной длине вдоль направления, в котором происходит
диффузия.
3°. Диффузия ускоряется с повышением температуры. Напри-
Например, в горячей воде сахар и соль растворяются быстрее, чем в хо-
холодной, в основном благодаря диффузии. Убыстрение диффузии свя-
связано с тем, что при повышении температуры возрастают скорости
молекул A1.2.2.4°).
1.4. Силы взаимодействия между молекулами
1°. Между частицами любого вещества одновременно действу-
действуют силы взаимного притяжения и отталкивания (межмолекуляр-
(межмолекулярное взаимодействие). Существование устойчивых жидких и твер-
твердых тел связано с силами межмолекулярного взаимодействия. Опыт
с двумя кусками свинца, которые, будучи притерты друг к другу
свежими срезами, выдерживают значительное растягивающее уси-
усилие, доказывает существование сил притяжения. Относительно ма-
малая сжимаемость жидкостей и способность твердых тел сопротив-
сопротивляться деформации сжатия A1.7.2.1°) подтверждают наличие сил от-
отталкивания между частицами.
2°. Ядра и электроны атомов, входящих в молекулы, испытыва-
испытывают электрические силы взаимодействия, хотя молекула в целом
электрически нейтральна. Молекулу по ее электрическим свойст-
свойствам можно приближенно рассматривать как электрический ди-
диполь A11.1.4.6°). Между соседними электрическими диполями про-
происходит электрическое взаимодействие A11.1.4.7°). Поэтому силы
межмолекулярного взаимодейсвия имеют электрическое происхож-
происхождение2.
3°. Пусть одна молекула находится в начале отсчета расстоя-
расстояний, а вторая — на некотором расстоянии г от первой. На рас-
расстояниях между центрами молекул порядка 10~~9м действуют си-
силы притяжения, которые увеличиваются по мере сближения мо-
молекул. Межмолекулярные силы притяжения /пр являются коротко-
короткодействующими — они быстро убывают с увеличением расстояния г
Существуют еще силы квантовой природы, которые не рассматриваются в эле-
элементарном курсе физики.

114 Отдел II. Гл. 1. Молекулярно-кинетическая теория
между молекулами:
./ Пр,Г — 7 '
где /пр,г — проекция на ось г силы притяжения, действующей на
вторую молекулу. Коэффициент а зависит от строения взаимодей-
взаимодействующих молекул и вида сил притяжения.
4°. На расстояниях г между центрами молекул, сравнимых с ли-
линейными размерами малых неорганических молекул A0~10м), про-
проявляют себя силы отталкивания, главным образом за счет взаим-
взаимного отталкивания положительно заряженных ядер атомов в моле-
молекуле. Силы отталкивания /от убывают с увеличением г еще быстрее,
чем силы притяжения:
f ~-
Коэффициент Ъ зависит от тех же причин, что и коэффициент а
(п. 3°).
5°. Одновременное существование сил притяжения и отталки-
отталкивания означает, что на молекулу действует равнодействующая сила
межмолекулярного взаимодействия/,, (рис. И.1.2):
При г ^ го притяжение (отталкивание) молекул превышает их от-
отталкивание (притяжение). При г = г0 силы притяжения уравнове-
уравновешивают силы отталкивания и /,. = 0. Этому соответствует наи-
наиболее устойчивое расположение взаимодей-
взаимодействующих молекул.
6°. Кривая /,- позволяет качественно
объяснить молекулярный механизм появле-
появления сил упругости в твердых телах. При дей-
~7~ ствии на твердое тело растягивающей внеш-
внешней силы частицы удаляются друг от друга
на расстояния, превышающие г о. Действие
Рис. II. 1.2 сил притяжения между частицами препят-
препятствует растяжению твердого тела и способствует возвращению час-
частиц в первоначальные положения. При сильном сжатии твердого
тела частицы сближаются на расстояния, меньшие го, силы отталки-
отталкивания между частицами препятствуют дальнейшему сжатию и также
способствуют возвращению частиц в первоначальные положения.

1.5. Энергия взаимодействия двух молекул 115
1.5. Потенциальная энергия взаимодействия
двух молекул
1°. Две молекулы, свободные от любых воздействий, кроме си-
силы межмолекулярного взаимодействия, должны сближаться или уда-
удаляться друг от друга в зависимости от того, какая сила преоблада-
преобладает — сила притяжения или сила отталкивания. Лишь при расстоянии
г = го молекулы находятся в равновесии.
Потенциальной энергией П(г) взаимодействия двух молекул
называется часть энергии системы двух молекул, зависящая от рас-
расстояния г между их центрами. Величина П(г) измеряется работой
силы межмолекулярного взаимодействия при изменении расстояния
между молекулами от г до бесконечности, где П(г) считается рав-
равной нулю (П(г) = О при г -» оо). Такой выбор нулевого значения
потенциальной энергии A.5.3.5°) обусловлен тем, что две молеку-
молекулы, находящиеся на очень большом расстоянии г друг от друга, не
взаимодействуют.
2°. Если две молекулы сближаются на малое расстояние под дей-
действием сил притяжения, то при этом увеличивается кинетиче-
кинетическая энергия молекул, а их потенциальная энергия уменьшается.
Но при бесконечном удалении молекул (г -> оо) они не взаимо-
взаимодействуют, Я(ос) —> О (п. 1°). Поэтому при сближении двух моле-
молекул в области действия сил притяжения потенциальная энергия их
взаимодействия является величиной отрицательной.
3°. Если две молекулы сближаются в области, где действуют си-
силы отталкивания, то при этом уменьшается кинетическая энергия
молекул и возрастает потенциальная энергия их взаимодействия.
Из выбора начала отсчета потенциальной энергии следует, что в
области, где действуют силы отталкивания, П(г) должна быть ве-
величиной положительной. Наибольшее сближение молекул достига-
достигается при расстоянии г == d, при котором вся кинетическая энер-
энергия молекул полностью переходит в потенциальную энергию от-
отталкивающихся молекул. При этом потенциальная энергия П(г)
равна полной энергии Е системы двух молекул и имеет наиболь-
наибольшее значение I7MaKC(d) = Е. Величина Е определяет расстояние
d, которое равно абсциссе точки пересечения кривой П(г) с го-
горизонтальной прямой IJ(d) = Е (рис. И.1.3). Несимметричность
кривой /7(г) вблизи минимума Щ объясняется совместным дей-

116 Отдел II. Гл. 1. Молекулярно-кинетическая теория
ствием сил притяжения и отталкивания между молекулами, кото-
которые по-разному зависят от расстояния г. Расстояние d тем мень-
меньше, чем больше кинетическая энергия молекул (т. е. чем выше тем-
пература), и зависит от строения моле-
молекул. Быстрый рост потенциальной энер-
энергии в области расстояний, близких к d
IJ(d)=E (рИС Н. 1.3), указывает, что силы оттал-
отталкивания между молекулами очень быстро
увеличиваются при уменьшении рассто-
расстояния между ними. Расстояние d пред-
представляет собой диаметр {эффективный
диаметр) молекулы, определяющий ли-
II. 13 нейные размеры той области, в которую
другая молекула проникнуть не может. Таким образом, силы оттал-
отталкивания между молекулами определяют размеры молекулы.
4°. При г = го система двух молекул находится в состоянии
устойчивого равновесия. Этому соответствует наименьшее значе-
значение потенциальной энергии — в этой точке кривая П(г) имеет ми-
минимум /7о (рис. II. 1.3). Если I есть средняя кинетическая энергия
молекулы3 A1.2.4.3°), то сравнение с с Щ позволяет различить три
агрегатных состояния вещества: газообразное, твердое и жидкое:
ё > |Д)| — газ, е < \По\ — твердое тело,
I « |77о| — жидкость. (*)
1.6. Строение газообразных, твердых и жидких тел
1°. Тепловым движением называется хаотическое движение
частиц в газах, твердых телах и жидкостях. Скорости теплового
движения частиц вещества возрастают с повышением температуры
A1.2.4.4°). Характер теплового движения частиц зависит от агрегат-
агрегатного состояния вещества и определяется силами межмолекулярного
взаимодействия.
3В молекулярно-ки нети ческой теории чаще принято обозначать кинетическую
энергию не К, а другими буквами.

1.6. Строение газообразных, твердых и жидких тел
117
2°. В газах силы притяжения между частицами не могут удер-
удержать их друг возле друга, и они разлетаются во все стороны, за-
занимая весь объем сосуда, в котором находится газ. Газы не имеют
определенного объема и формы и легко сжимаются под действием
внешнего давления.
3°. Твердыми называются тела, которые отличаются постоян-
постоянством формы и объема. Это объясняется тем, что силы взаимного
притяжения частиц твердого тела весьма велики по сравнению с
этими силами в газах. Частица твердого тела не может удалиться
от своих соседей на значительное расстояние. Тепловое движение
частиц в твердых телах представляет собой хаотические колебания
частиц относительно их положений равновесия — узлов кристалли-
кристаллической решетки (п. 5°). Колебания частиц твердого тела не явля-
являются строго гармоническими (IV. 1.1.4°). Это связано с той же при-
причиной, что и несимметричность кривой П(г) (рис. 11.1.3) вблизи
минимума, — с различной зависимостью от г сил притяжения и
отталкивания.
4°. Твердые тела, имеющие упорядоченное, периодически повто-
повторяющееся в пространстве расположение своих чатиц, называются
кристаллами. Кристаллы ограничены плоскими гранями, которые
упорядоченно расположены друг относительно друга. Грани сходят-
сходятся в ребрах и вершинах. На рис. II. 1.4 представлены решетки крис-
кристаллов поваренной соли (а) и графита (б).
о'.
а
Рис. II. 1.4
Одиночные кристаллы, имеющие форму правильных многогран-
многогранников, называются монокристаллами. Большинство твердых тел
имеет мелкокристаллическую структуру (поликристаллы). Такие
тела состоят из большого числа сросшихся мелких, хаотически

118 Отдел II. Гл. 1. Молекулярно-кинетическая теория
расположенных кристаллов (кристаллических зерен, кристаллитов).
Примеры поликристаллических твердых тел: металлы, камни, песок
и др. Типы кристаллов — см. 11.7.1.2°.
5°. Частицы, из которых состоит кристалл, образуют в про-
пространстве правильную кристаллическую решетку (простран-
(пространственная решетка). Основу кристаллической решетки составля-
составляет элементарная ячейка определенной геометрической формы, в
вершинах которой — узлах кристаллической решетки — распо-
расположены частицы (атомы, молекулы или ионы). Элементарная ячей-
ячейка, повторенная на расстояниях, кратных длинам ее ребер, образует
весь кристалл. Длина ребра элементарной ячейки называется пери-
периодом кристаллической решетки4.
6°. В кристаллических твердых телах имеется дальний порядок
в расположении частиц, из которых построена ячейка кристалла:
упорядоченное расположение частиц повторятся в пределах сотен,
тысяч и десятков тысяч ячеек. В этом смысле весь кристалл можно
рассматривать как одну, однотипно устроенную гигантскую частицу.
7°. Жидкостями называются тела, которые имеют определен-
определенный объем, но не имеют своей формы, принимая форму сосуда, в
котором находятся. Если газы характеризуются полной беспорядоч-
беспорядочностью в расположении частиц, а твердые тела — наличием дальне-
дальнего порядка, то жидкости по своему строению и характеру теплового
движения занимают промежуточное положение. Это связано с тем,
что условие (*) A1.1.5.4°) для жидкостей наиболее сложное: потен-
потенциальная энергия взаимодействия частиц жидкости соизмерима с
кинетической энергией частиц. Сильное межмолекулярное взаимо-
взаимодействие приводит к тому, что частицы в жидкостях расположены
весьма близко друг к другу. Однако это расположение не является
строго упорядоченным по всему объему, как в твердых телах. В жид-
жидкостях наблюдается ближний порядок — упорядоченное относи-
относительное расположение (или взаимная ориентация) соседних частиц
жидкости.
8°. Частицы жидкости совершают хаотические колебания око-
около определенных положений равновесия. Эти колебания происходят
внутри «свободного объема», предоставленного частице ее соседя-
соседями. По истечении некоторого среднего времени г", «среднего вре-
Псриоды могут быть различными по разным направлениям в кристалле.

2.1. Идеальный газ 119
мени оседлой жизни» {среднее время релаксации), положения
равновесия частиц перемещаются на расстоянии 5, по порядку ве-
величины равные среднему расстоянию между соседними частицами
A0~10м). Эти перемещения совершаются в виде скачков и связаны
с затратой энергии на преодоление связей частицы с ее соседями.
Время г~ быстро убывает с повышением температуры.
9°. Жидкости не обладают анизотропией, характерной для твер-
твердых кристаллических тел A1.7.1.1°), — физические свойства жидкос-
жидкостей одинаковы во всех направлениях внутри жидкости {изотропия
жидкостей).
10°. Важнейшей особенностью жидкостей является их те-
текучесть — жидкости не сопротивляются изменению их формы
(п. 7°). Одновременно с этим они отличаются малой сжимаемо-
сжимаемостью A1.1.4.1°).
Глава 2
Молекулярно-кинетическая теория
идеальных газов
2.1. Идеальный газ
1°. В молекулярно-кинетической теории рассматривается идеа-
идеализированная модель реальных газов — идеальный газ.
Идеальным газом называется газ, между частицами которого от-
отсутствуют силы взаимного притяжения A1.1.4.3°). Принимается, что
при соударениях между собой и со стенками сосуда частицы такого
газа ведут себя как абсолютно упругие шарики конечных, но весьма
малых размеров {модель упругих шариков). Эти соударения про-
происходят по законам, справедливым для абсолютно упругого удара
A.5.4.1°). Существование конечных, хотя и малых размеров частиц
связано с действием сил отталкивания между частицами A1.1.5.3°).
Резкое возрастание сил отталкивания при сближении частиц на ма-
малые расстояния не позволяет частицам проникнуть друг в друга и
определяет конечные размеры частиц.

120
Отдел II. Гл. 2. Идеальные газы
2°. Существующие в действительности газы при не слишком низ-
низких температурах и достаточно малых давлениях — разреженные
газы — по своим свойствам близки к идеальному газу. Например,
гелий при комнатной температуре и атмосферном давлении с хоро-
хорошим приближением подчиняется законам идеальных газов.
2.2. Скорости частиц газов
1°. Хаотичность теплового движения частиц газа означает, что
ни одно из направлений возможного их движения не является пре-
преимущественным — все направления движения равноправны и встре-
встречаются одинаково часто. Из общего, достаточно большого, числа N
частиц газа, содержащихся в кубическом сосуде, вдоль каждой из
осей Ох, Оу и 0z, совпадающих с тремя ребрами куба (рис. II.2.1),
У,
О а
А
Рис. И.2.1
Рис. И.2.2
будет в среднем двигаться N/3 частиц. Число частиц, движущихся
по каждому из этих направлений в одну сторону, составляет N/6 и
равно числу частиц, движущихся в противоположную сторону.
2°. Соударения между частицами газа приводят к тому, что ско-
скорости его частиц непрерывно изменяются по модулю и направ-
направлению.
Пусть, например, частица А имеет скорость v, направленную по
оси Ох. Пусть в результате столкновения с другой частицей она по-
получила такой импульс A.2.3.5°) по оси Oz, что ей передана скорость,
равная по модулю скорости v. Тогда скорость частицы А изменится
и станет по модулю равной y/lv (рис. 1122).
3°. Движение каждой частицы газа может быть описано закона-
законами механики Ньютона. Но число частиц в любом газе чрезвычайно
велико, а силы, действующие между частицами, таковы, что описа-

2.2. Скорости частиц газов 121
ние свойств громадной совокупности всех частиц законами меха-
механики оказывается невозможным. В таких случаях для исследования
применяется статистический метод. С помощью особого мате-
математического аппарата — теории вероятностей — этим методом вы-
вычисляются средние значения физических величин, характеризующие
движение всех частиц (средние скорости частиц, среднее значение
энергии частиц и т.д.). Статистическим методом изучаются не толь-
только газы, но и жидкости, и твердые тела.
4°. Для совокупности всех частиц удобно ввести некоторые сред-
средние скорости, характеризующие газ при данной температуре Т.
а) Средняя арифметическая скорость частиц v по модулю
равна
_ vx + v2 H \-vN
V = N '
где N — общее число частиц газа.
Значение средней арифметической скорости частиц
v =
где R — универсальная молярная газовая постоянная A1.3.3.7°),
/л — молярная масса A1.1.1.7°).
б) Средняя квадратичная скорость и частиц:
/== V
и = vV = \ ~
2
i ' ^2 * ' vn ,, — . I -~v* r- 1 73
Здесь f2 — средний квадрат скорости частиц. Его не следует
смешивать с квадратом средней скорости и2 ф (и J.
Задача. Определить среднюю арифметическую и среднюю ква-
квадратичную скорости частиц воздуха при 17° С. Среднюю молярную
массу воздуха считать равной 29 • 10~3 кг/моль.
Дано: Т = 273 + 17 = 290 К, jj = 29 • 10~3 кг/моль.
Найти: F, и.
Решение: Средняя арифметическая скорость частиц
v — y/SRT/jr/Li. Средняя квадратичная скорость и = y/3RT/jj,

122 Отдел II. Гл. 2. Идеальные газы
где R — универсальная (молярная) газовая постоянная, равная
8.31 Дж/мольК.
8-8.31-290
м/с = 50- 10м/с.
2.3. Средняя длина свободного пробега частицы
1°. Средней длиной свободного пробега 1 называется среднее
расстояние, которое частица проходит без соударения, иными сло-
словами — между двумя последовательными соударениями. На длине
свободного пробега частица движется равномерно и прямолинейно.
2°. Средняя длина свободного пробега частицы прямо пропор-
пропорциональна средней арифметической скорости частицы v и обратно
пропорциональна среднему числу столкновений частицы I за
единичный промежуток времени:
7=-
z'
3°. Средним временем Т свободного пробега частицы называ-
называется время, в течение которого частица движется без столкновений,
т.е. это — среднее время между двумя последовательными соуда-
соударениями:
7
т = —.
V
4°. Средняя длина свободного пробега:
где п — число частиц в единичном объеме, d — эффективный диа-
диаметр частицы A1.1.5.3°).
5°. Для данного газа при неизменной температуре (Г = const)
средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давле-
давлению газа р (или его плотности):
P\h = P2h.
Индексы 1 и 2 относятся соответственно к двум состояниям газа.

2.4. Основное уравнение кинетической теории 123
Задача 1. На сколько изменится средняя длина свободного про-
пробега частицы в сосуде при неизменной температуре, если давление
уменьшится на 10%?
Дано: Т — const, Ар = pi— р\ = — 0.\р\.
Найти: Д7.
Решение: Согласно соотношению между давлением газа и сред-
средней длиной свободного пробега его частиц ~1\р\ = 1гРъ или
h =_ P\h/P29 отсюда Д/_= h -]\ = P\~h/{p\ -0.1/?i) - ~l\ =
= /i A/0.9-1) « 0.1/,, Л///1 = 0.1, или в процентах
A///i • 100 = 10%.
Задача 2. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода
при 27°С равна 4.17-10~3 см. Определить среднее время свободного
пробега молекул при этих условиях.
Дано: 7 = 4.17 • 10~5м, Т = 273 + 27 = 300 К, /и = 32 х
х 10~3 кг/моль.
Найти: Т.
Решение: Среднее время свободного пробега молекулы Т — 1/v,
где v — средняя арифметическая скорость. Следовательно,
7 7Л
- 4.17-10-V3.14-32-Ю-3 по 1А_8
т = = с = 9.3 • 10 8 с.
л/8 - 8,31 -300
2.4. Основное уравнение кинетической теории газов
1°. Основное уравнение кинетической теории газов уста-
устанавливает зависимость между давлением газа р, его объемом V и
кинетической энергией поступательного движения его частиц ?к:
N
Здесь ?к = Yl mv}/2 — суммарная кинетическая энергия поступа-
тельного движения N одинаковых частиц газа, находящихся в объ-
объеме V, т — масса частицы, и, — ее скорость.

124 Отдел II. Гл. 2. Идеальные газы
2°. Если ввести среднюю квадратичную скорость A1.2.2.4°), то
?к = X-Nmu2 = 1-Ми2,
где М = Nm — масса газа. Тогда
pV — -Ми2 = -Nmu2. (*)
Уравнение (*) позволяет выразить давление газа:
р — zzpu2 — -nmu2,
3 3
где р = пт — плотность газа, п — число частиц газа в единичном
объеме (п = N/V). Давление газа пропорционально произведению
его плотности на средний квадрат скорости частиц газа.
3°. Для одного моля газа, занимающего объем У^ A1.1.1.6°), урав-
уравнение (*) дает
1/-» 9 /-»
ХТ 2 ! АГ ти~ 2 , .
рУц = -zNAmu = -NA—— = -NAe, (**)
3 3 2 3
где Na — постоянная Авогадро A1.1.1.5°), ё = mu2/2. Величина ё
характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического теп-
теплового движения частиц газа.
4°. Сравнение уравнения (**) с уравнением Клапейрона—Менде-
Клапейрона—Менделеева для одного моля газа A1.3.3.7°) рУИ = RT приводит к
молекулярно-кинетическому истолкованию термодинамической1
температуры A1.3.1.7°):
- 3Rt 3/т
€ = 2м;/ = 2кТ-
В этой формуле величина к = R/NA представляет собой молярную
(универсальную) газовую постоянную A1.3.3.7°), отнесенную к од-
одной частице газа, и называется постоянной Болъцмана:
к= — = 1.38- 1(Г23Дж/К.
Формула для I позволяет вскрыть физический смысл термодина-
термодинамической температуры. Термодинамическая температура является
Эту температуру раньше называли абсолютной температурой.

2.4. Основное уравнение кинетической теории
125
мерой средней кинетической энергии теплового хаотического дви-
движения частиц идеального газа. Средняя кинетическая энергия части-
частицы газа пропорциональна термодинамической температуре. В облас-
области весьма низких температур, близких к температуре вырождения
(VI. 1.8.1°), предыдущие утверждения не справедливы.
Задача 1. Под каким давлением находится в баллоне водород,
если емкость баллона 10 литров, а кинетическая энергия поступа-
поступательного движения молекул водорода равна 7.5 • 103 Дж?
Дано: ?к = 7.5 • 103 Дж, V = 10л = 10 • 10 м3.
Найти: р.
Решение: Основное уравнение кинетической теории газа
pV = B/3)?к.
Отсюда
7.5- 103
10-10-3
Дж/м3 = 5.0 • 105 Па = 0.50МПа.
Задача 2. Под каким давлением находится газ, если сред-
средняя квадратичная скорость его молекул 580 м/с и плотность равна
9.0-10~4 г/см3?
Дано: и = 580 м/с, р = 9.0 • 10~4 г/см3 = 0.90 кг/м3.
Найти: р.
Решение: Из основного уравнения молекулярно-кинетической
теории р = A/3-)/9м2, откуда
Р=\- 0.90 • 5802 Н/м2 = 1.1 • 106 Н/м2 = 1.1 МПа.
Задача 3. В одноатомном газе находятся в термодинамическом
равновесии A1.3.1.3°) с газом пылинки во взвешенном состоянии.
Температура газа 300 К. Определить среднюю кинетическую энер-
энергию поступательного движения одного атома и одной пылинки.
Дано: Т = 300 К.
Найти: ей9 еп.
Решение: Из условия термодинамического равновесия пылинок
и атомов газа следует, что их средние кинетические энергии оди-
одинаковы. Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории

126 Отдел И. Гл. 3. Законы идеальных газов
газов г = C/2)кТ. Отсюда
еа = Ъ-кТ = Ъ- • 1.38 • 1(Т23 • 300 Дж = 6.20 • 10~21 Дж.
Задача 4. Чему равна средняя кинетическая энергия поступа-
поступательного движения атомов, содержащихся в одном моле ив 1 кг
гелия при температуре 1000 К?
Дано: Т = 1000 К, /и = 4 • 10~3 кг/моль, И = 1 кг.
Найти: ?\, Ег-
Решение: Среднюю кинетическую энергию поступательного дви-
движения одного атома определим по формуле г = C/2)кТ. Так как
число атомов в моле равно NA = 6.02 • 1023 моль, то средняя
кинетическая энергия всех атомов, содержащихся в 1 моле, будет
где R — универсальная газовая постоянная. Следовательно,
?х =z^-RT= | • 8.31 • 1000Дж= 1.25- 104Дж.
Средняя кинетическая энергия атомов гелия, содержащихся
в 1 кг, равна
?2 = 7; —RT, где число молей,
2 /и /и
Ю~3 • 8.31 • 1000 Дж = 3 • 106 Дж.
Глава 3
Законы идеальных газов
3.1. Уравнение состояния
1°. Физические явления в газообразных и других телах изу-
изучаются, кроме статистического метода A1.2.2.3°), термодинамиче-
термодинамическим методом. Термодинамикой называется раздел физики, в ко-

3.1. Уравнение состояния 127
тором изучаются условия превращения энергии из одного вида в
другой и количественные соотношения при таких превращениях
A1.4.3.4°). В основе термодинамики лежат экспериментально уста-
установленные законы (начала) термодинамики (II.4.5.1° и 11.4.9.2°).
С помощью этих законов можно, не принимая во внимание моле-
молекулярного строения веществ, получить много сведений о свойствах
тел и закономерностях процессов, происходящих с телами в раз-
различных условиях. Поэтому термодинамика широко используется во
всех областях физики.
2°. Совокупность значений некоторого числа физических ве-
величин, характеризующих физические свойства тела (системы тел),
определяет состояние тела (системы тел) — термодинамическое
состояние. Физические величины, однозначно определяющие сос-
состояние тела (системы тел), называются термодинамическими па-
параметрами1. К термодинамическим параметрам тел относятся:
температура, плотность, теплоемкость, удельное электрическое со-
сопротивление и многие другие физические величины.
Например, термодинамическое состояние жидкости, налитой в
открытый сосуд, определяется ее плотностью, атмосферным давле-
давлением и температурой. Электрическое сопротивление металлическо-
металлического проводника характеризует электрические свойства проводника.
Электрическое сопротивление будет определено, если заданы удель-
удельное электрическое сопротивление проводника A11.2.4.1°) и его раз-
размеры (длина и площадь поперечного сечения).
Два состояния тела (системы тел) считаются различными, если
для них неодинаковы значения хотя бы одного из термодинамиче-
термодинамических параметров.
3°. Состояние системы тел называется стационарным, если оно
не изменяется во времени. Это означает, что ни один из термоди-
термодинамических параметров, определяющих состояние, не изменяется
с течением времени. Стационарное состояние системы называет-
называется равновесным, если оно не обусловлено какими-либо явлениями,
происходящими с телами, внешними по отношению к данной систе-
системе. Если, например, один конец металлического стержня поместить
в тающий лед, а другой — в кипящую воду, то температуры обоих
концов стержня не будут изменяться с течением времени. Однако
От греческого «parametron» — отмеривающий.

128 Отдел II. Гл. 3. Законы идеальных газов
такое стационарное состояние не будет равновесным, ибо посто-
постоянные температуры поддерживаются подводом к стержню энергии
от кипящей воды и отводом энергии от стержня к тающему льду.
В этих условиях происходит теплообмен A1.4.3.1°). Стационарное
состояние камня, лежащего на дне ямы, будет равновесным, если
считать, что в системе «Земля — камень» не происходит явлений,
нарушающих состояние камня.
4°. Равновесное состояние системы определяется не всеми тер-
термодинамическими параметрами, а лишь некоторыми из них, называ-
называемыми параметрами состояния {основные параметры состоя-
состояния). Остальные термодинамические параметры системы в состоя-
состоянии равновесия зависят от параметров состояния.
Основными параметрами состояния химически однородной сис-
системы являются: удельный объем v, давление р и температура Т.
5°. Давлением р называется физическая величина, равная моду-
модулю силы, действующей на единичную площадку поверхности тела
перпендикулярно к ней:
_ AFn
Р~ AS'
Если на поверхности S давление везде постоянно, то
F,,
Р = Т
6°. Удельным объемом v называется объем вещества, масса ко-
которого равна единице массы:
1
v = —,
Р
где р — плотность A.2.3.7°). Для однородного тела удельный объем
равен отношению его объема к массе:
V
7°. В термодинамике температура Т является величиной, ха-
характеризующей направление теплообмена между телами A1.4.3.1°,
см. также 11.2.4.4°). В состоянии равновесия системы температура
всех тел, входящих в систему, одна и та же. Для измерения тем-
температуры используется тот факт, что при изменении температуры

3.1. Уравнение состояния 129
тела изменяются почти все его физические свойства: длина и объем,
плотность, упругие свойства, электропроводность и др. Основой для
измерения температуры может являться изменение любого из этих
свойств какого-либо одного тела (термометрическое тело), если
для него известна зависимость данного свойства от температуры.
Температурная шкала, устанавливаемая с помощью термометриче-
термометрического тела, называется эмпирической. По решению IX Генеральной
конференции по мерам и весам в 1948 г. для практического употре-
употребления принята международная стоградусная температурная
шкала. Для построения этой шкалы, установления начала отсчета
температуры и ее единицы — градуса Цельсия — принимается, что
при нормальном атмосферном давлении в 1.01325 • 105 Н/м2 темпе-
температуры плавления льда и кипения воды равны соответственно 0°С
и 100° С. IX Генеральная конференция по мерам и весам установи-
установила абсолютную термодинамическую шкалу температуры, в кото-
которой температура измеряется в Кельвинах (К) (градусах Кельвина) и
обозначается Т. Связь между термодинамической температурой Т
и температурой t по стоградусной шкале:
Т = 273.15 + / (см. также VII.4.20).
Температура Т = 0К (по шкале Цельсия — 273.15°С) называется
абсолютным нулем температуры (см. также 11.4.9.4°).
8°. В равновесном состоянии тела:
а) параметры его состояния равны соответствующим парамет-
параметрам состояния внешней среды A1.3.2.2°);
б) параметры состояния p,vnT одинаковы во всех частях тела.
Например, для газа, находящегося в равновесном состоянии, его
давление и температура одинаковы во всех частях объема газа на
одинаковых высотах.
9°. Между тремя основными параметрами состояния тела су-
существует связь, называемая уравнением состояния. Оно записы-
записывается в форме функциональной зависимости между /?, v и Г:
/(/?, v, T) = 0. Это уравнение описывает только равновесные сос-
состояния тела.
Задача. Давление в газогенераторе (установке для получения
газа) изменилось на 1.70 • 10~2атм. Как изменилась разность уров-
уровней воды в (У-образном манометре, присоединенном к генератору?
Дано: Ар = 1.70 • 10~2 атм = 1.72 • 103 Па, р = 1.0 • 103 кг/м3.

130
Отдел II. Гл. 3. Законы идеальных газов
Найти: Ah.
Решение: Давление вычисляется по формуле р = Fn/S, где Fn —
сила, направленная нормально к поверхности S. В данном случае
сила Fn — сила тяжести столба воды, S — площадь сечения столба
воды. Следовательно,
_ Fn _ mg
Р~ S ~~ S'
Масса воды т = Vp, где V — объем воды в столбе высотою /г,
р — плотность воды, V = h • S. Тогда
„ phSg
= pgh, Ар = р2 - р\ = pg(h2 -
откуда
3.2. Термодинамические процессы
1°. Всякое изменение состояния тела (системы тел) называ-
называется термодинамическим процессом. В любом термодинамиче-
термодинамическом процессе изменяются параметры, определяющие состояние те-
тела (системы тел). Например: при увеличении давления, оказывае-
оказываемого на газ, происходит уменьшение его объема; при повышении
температуры металлического стержня он удлиняется и т.д.
2°. Равновесным (квазистатическим) про-
процессом называется термодинамический процесс,
при котором тело (система тел) проходит непре-
непрерывный ряд равновесных состояний A1.3.1.3°).
При равновесном процессе состояние тела долж-
должно изменяться бесконечно медленно. Это означа-
означает, что тело проходит через ряд бесконечно близ-
близких состояний равновесия с внешней средой.
Пример. Идеальный газ находится в цилин-
цилиндре с подвижным поршнем (рис. П.3.1). Будем
считать, что силой тяжести поршня и силой его трения о стенки
цилиндра можно пренебречь. Пока поршень неподвижен, газ нахо-
находится в состоянии равновесия с внешней средой. Если под действи-
Ajc
-1-
Р
-¦
-
•-
W///////////A
S
Рис. 11.3.1

3.2. Термодинамические процессы 131
ем внешней силы поршень медленно (со скоростью, много меньшей
скорости звука в газе (IV.3.3.30)) будет перемещаться вниз, то будет
происходить процесс сжатия газа, который можно считать равно-
равновесным. При этом давление, температура и плотность газа во всех
частях объема цилиндра будут одинаковыми.
При движении поршня с конечной скоростью под ним образу-
образуется область повышенного давления. Изменение давления в газе
будет распространяться по всему объему газа со скоростью звука.
Равенство давлений во всех частях объема газа нарушится, и при
этом тем сильнее, чем больше скорость перемещения поршня. Сос-
Состояния газа не будут равновесными, ибо будет нарушено условие
равновесности состояний A1.3.1.8°).
3°. Все реальные термодинамические процессы протекают с ко-
конечной скоростью и поэтому являются неравновесными. Лишь в
отдельных случаях неравновесностью реальных процессов можно
пренебречь.
4°. Для изучения и сравнения различных термодинамических
процессов их изображают графически {графическое изображе-
изображение процессов, термодинамические диаграммы). Для графическо-
графического описания процесса выбирается прямо- р
угольная декартова двумерная система ко-
координат, по осям которой откладываются
два изменяющихся параметра состояния,
например давление р и удельный объем v Pi'
{термодинамическая диаграмма p—v).
Зависимость р от v (рис. И.3.2) изображает
данный термодинамический процесс. Точ-
Точки A\{p\,v\) и А2{р2, V2) характеризуют Рис. П.3.2
начальное и конечное состояния тела. Третий параметр состояния,
Г, в каждой точке термодинамического процесса определяется по
уравнению состояния. Решение уравнения состояния тела A1.3.1.9°)
относительно Т позволяет найти зависимость Т — ср{р, v).
5°. Графически можно изображать только равновесные состоя-
состояния и равновесные процессы. В случае неравновесных процессов
нельзя говорить о параметрах состояния р, v и Т всего тела, ибо
нарушается условие б) равновесности состояния A1.3.1.8°) и теряет
смысл уравнение состояния тела.

132
Отдел II. Гл. 3. Законы идеальных газов
3.3. Законы изопроцессов в идеальных газах.
Уравнение состояния идеального газа
1°. Изопроцессами называются термодинамические процессы,
протекающие в системе с неизменной массой при постоянном зна-
значении одного из параметров состояния системы.
Изохорическим (изохорным) процессом называется термодина-
термодинамический процесс, протекающий при постоянном объеме системы
(V = const).
Изобарическим (изобарным) называется процесс, при котором
давление сохраняется постоянным (р = const).
Изотермическим (изотермным) называется термодинамиче-
термодинамический процесс, протекающий при неизменной температуре (T=const).
2°. Изотермический процесс в идеальном газе подчиняется за-
закону Бойля-Мариотта: для данной массы газа при неизменной
температуре произведение значений давления и объема есть вели-
величина постоянная:
рУ — const.
В термодинамической диаграмме p—V изотермический процесс
изображается кривой, называемой изотермой (рис. И.3.3).
V
О
О
Рис. И.3.3
Рис. IL3.4
3°. Для изобарного процесса в идеальном газе справедлив закон
Гей-Люссака: при постоянном давлении объем данной массы газа
прямо пропорционален его термодинамической температуре:
V=yo(l+avt), " "~ " Т
ИЛИ V — I
г9
То
где Ко — объем идеального газа при температуре Го = 273.15 К,
av — I/Tq = 1/273.15град — термический коэффициент

3.3. Уравнение состояния идеального газа 133
объемного расширения, который считается одинаковым для всех
идеальных газов.
Из формулы а у = У/УоТ следует, что а у характеризует отно-
относительное увеличение объема газа при изменении его температуры
на один градус. В диаграмме V—T изобарный процесс изображается
отрезком прямой АВ (рис. Н.3.4). Прямая не может быть проведена
в области низких абсолютных температур, близких к температуре
вырождения газа (VI. 1.8.1°).
4°. Изохорный процесс в идеальном газе описывается законом
Шарля: при постоянном объеме давление данной массы газа прямо
пропорционально его термодинамической температуре:
Т
p = po(l+apt), или р = арр0Т = ро~,
где /?о — давление газа при температуре 7о = 273.15 К,
ар = p/pqT — термический коэффициент давления, который
характеризует относительное увеличение давления газа при нагре-
нагревании его на один градус. р <
В диаграмме р—Т изохорный процесс
изображается отрезком прямой ВС
(рис. П.3.5), которую нельзя продолжить
в область низких температур, близких к
температуре вырождения (VI.1.8.10), где |
законы идеальных газов неприменимы. J
Задача 1. Стеклянная колба объемом
10.0 см3 с узкой шейкой была нагрета до Рис- И-3-5
114° С, затем шейку колбы опустили в ртуть. При охлаждении воз-
воздуха в колбу вошло 36.0 г ртути. До какой температуры охладился
воздух? Плотность ртути считать равной 13.6 • 103 кг/м3.
Дано: Ух = 10.0см3 = 10.0 • 10~6m3, Тх = 273 + 114 = 391 К,
р = 13.6 • 103 кг/м3, m = 36.0 • Ю-3 кг.
Найти: Тг.
Решение: Процесс охлаждения воздуха изобарный, так как воз-
воздух и ртуть находятся под атмосферным давлением. По закону
Гей-Люссака V\/T\ — У2/Т2, откуда Гг = Т\У2/У\.
Объем холодного воздуха Vi определится как разность объемов
колбы и ртути, вошедшей в колбу, т.е. У2 = У\ - Vp. Объем рту-

134 Отдел II. Гл. 3. Законы идеальных газов
ти VP = т/р. Тогда
13.6 ¦
Vy 10.0 • Ю-6
Задача 2. Давление воздуха в баллоне постоянного объема при
7.00°С было 0.1515 МПа. При нагревании до 100°С давление по-
повысилось до 0.2020 МПа. Определить термический коэффициент
давления.
Дано: tx = 7.00°С, рх = 0.1515 МПа, t2 = 100°G,
Р2 = 0.2020 МПа.
Найти: ар.
Решение: Процесс нагревания изохорный, V = const. По закону
Шарля р\ = /?оA + <*Pt\)9 pi = /?оA + apt2)9 где р0 — давление
воздуха при 0°С. Совместное решение двух уравнений дает
„ _ Р2-РХ
0.2020-0.1515 ,
К = 3'6? ' 10
ар = 0.1515- 100-0.2020-7.00 К =
Задача 3. Температура на улице — 13°С, в помещении 22°С. На
сколько изменится давление в газовом баллоне, если баллон внести
в помещение. В помещении манометр на баллоне показал 1.50 МПа.
Дано: 71 = 273 - 13 = 260 К, Т2 = 273 + 22 = 295 К,
р2= 1.50 МПа.
Найти: Ар.
Решение: Процесс нагревания газа в закрытом баллоне изохор-
изохорный, V — const. По закону Шарля р/Т = const. Изменение давле-
давления при нагревании газа Ар — рг — р\, или р\ —pi — Ар.
Уравнение закона Шарля для двух состояний:
El ~ Р2 ~ Ар
откуда
МПа = 0.18 МПа.

3.3. Уравнение состояния идеального газа
135
5°. Адиабатическим (адиабатным) процессом называется тер-
термодинамический процесс, который осуществляется в системе без
теплообмена ее с внешними телами A1.4.3.1°).
Примером адиабатного процесса может служить весьма быстрое
расширение в атмосферу газа, помещенного в теплоизолированный
сосуд, при быстром открывании крана. Адиабатный процесс должен
происходить настолько быстро, чтобы при открывании крана А не
успел произойти теплообмен газа с атмосферой (рис. И.3.6). Адиа-
Адиабатический процесс расширения газа может происходить только за
счет убыли внутренней энергии газа A1.4.5.4°). При этом резко па-
падает давление газа и происходит понижение его температуры.
О
Рис. 11.3.6
Рис. II.3.7
На диаграмме p—V адиабатический процесс изображается кри-
кривой, называемой адиабатой (рис. Н.3.7).
6°. Закон Авогадро: при одинаковых давлениях и одинаковых
температурах в равных объемах различных газов содержится оди-
одинаковое число частиц. Иными словами: при одинаковых давлениях и
одинаковых температурах моли различных идеальных газов занима-
занимают одинаковые объемы (см. также 11.1.1.6°). Число частиц, находя-
находящихся в 1 см3 идеального газа при нормальных условиях (/ = 0°С,
р = 1.01325-105 Н/м2), называется постояннойЛошмидта и равно
2.687- 1019см~3.
7°. Уравнение состояния идеального газа для одного моля
имеет вид
где р, VM и Т — давление, молярный объем и термодинамическая
температура газа, a R — молярная (универсальная) газовая пос-
постоянная, равная работе сил давления одного моля идеального газа

136 Отдел II. Гл. 3. Законы идеальных газов
при изобарном повышении температуры на один градус:
где Vifj и У\м — конечный и начальный объемы моля газа,
R=S.3l- 103 Дж/кмоль • К = 8.31 Дж/моль • К
= 0.0821 л • атм/моль • К = 1.99 кал/моль • К.
Для произвольной массы М газа с молярной массой ju объем
V = (М/1и)Уи. Уравнение Клапейрона—Менделеева для произ-
произвольной массы газа имеет вид
Поскольку V/M = v есть удельный объем газа, то
pv= -T = BT,
И
где В = R//U — удельная газовая постоянная, зависящая от мо-
молярной массы газа.
8°. Другой вид уравнения состояния идеального газа:
р = пкТ9
где п = Na/Vjj — концентрация частиц газа, т.е. число частиц
в единичном объеме газа, NA — постоянная Авогадро A1.1.1.5°),
к — постоянная Больцмана A1.2.4.4°).
Задача 1. Сколько частиц воздуха находится в комнате пло-
площадью 20 м2 и высотою Зм при температуре 17° С и давлении
752ммрт. ст.?
Дано: 5 = 20м2, А = 3м, Т = 17 + 273 = 290К,
р — 752 мм рт. ст. « 105 Па.
Найти: N.
Решение: Концентрация частиц определяется по формуле
п = р/кТ, где р — давление, Т — термодинамическая темпера-
температура и к — постоянная Больцмана. Общее число частиц N = nV,
где V — объем комнаты, V = Sh. Следовательно, число частиц
равно

4.1. Полная и внутренняя энергия тела 137
Задача 2. На сколько понизилось давление кислорода в баллоне
емкостью 100 л, если из него откачали 3.0 кг газа? Температура газа
17° С оставалась постоянной.
Дано: V = 100л = 0.100м3, AM = М2 - Мх = -3.0кг,
Т = 290 К.
Найти: Ар = р2 - р\.
Решение: По уравнению Клапейрона—Менделеева для двух со-
состояний газа имеем p\V\ = (M\//u)RT\, p2V2 = (M2//u)RT2.
По условию Т\ = Т2 = Т и V\ — V2 = V. Вычитая почленно, по-
получаем V(p2 - р\) = [(М2 - M\)/n)RT9 откуда Ар = ДМ • RT/V/u,
где ^ — молярная масса кислорода, ц — 32 • 10 кг/моль,
—"¦ •—
Задача 3. В баллоне емкостью 100 литров при нормальных усло-
условиях содержится 8.9 • 10~3 кг газа. Определить молярную массу это-
этого газа.
Дано: V = 100л = 0.100м3, р = 760ммрт.ст. = 1.01 • 105Па,
Т = 273 К, М =8.9 -Ю-3 кг.
Найти: \х.
Решение: По уравнению Клапейрона-Менделеева
8.9-10~3-8.31-273 ^Л Л_3
1.01-ку-o.ioo КГ/МШ1Ь = 20'10" КГ/МШ1Ь-
Глава 4
Основы термодинамики
4.1. Полная и внутренняя энергия тела (системы тел)
1°. Полная энергия ? системы состоит из
а) кинетической энергии ее макроскопического движения как
целого К;

138 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
б) потенциальной энергии Явнешн, обусловленной наличием
внешних силовых полей, например электрического или гравитаци-
гравитационного поля;
в) внутренней энергии U.
Полная энергия 8 равна
2°. Внутренней энергией тела {системы тел) U называет-
называется энергия, зависящая только от термодинамического состояния
A1.3.1.2°) тела или системы тел.
Внутренняя энергия системы зависит от характера движения и
взаимодействия частиц в системе. Она состоит из следующих частей:
а) кинетической энергии теплового хаотического движения час-
частиц, образующих систему (молекул, атомов, ионов и др.);
б) потенциальной энергии частиц, обусловленной силами их
межмолекулярного взаимодействия;
в) энергии электронов в электронных слоях (VI.2.8.60) атомов и
ионов;
г) внутриядерной энергии (VI.4.2.10).
3°. Все части внутренней энергии зависят от того, в каком состо-
состоянии находится система. Внутренняя энергия определяется термоди-
термодинамическим состоянием системы и не зависит от того, каким обра-
образом система оказалась в данном состоянии. Следовательно, внутрен-
внутренняя энергия не связана с процессом изменения состояния системы.
В двух или нескольких одинаковых состояниях системы A1.3.1.2°)
ее внутренняя энергия одна и та же.
Началом отсчета внутренней энергии считается такое состояние
системы, в котором U равна нулю. Обычно полагают, что внутрен-
внутренняя энергия системы равна нулю при абсолютном нуле температу-
температуры (Т = 0). Однако практический интерес представляет не сама
внутренняя энергия, а ее изменение AU при переходе системы из
одного состояния в другое. Поэтому выбор начала отсчета внутрен-
внутренней энергии не имеет значения (см. произвольность выбора начала
отсчета потенциальной энергии в механике A.5.3.5°)).
4°. В тех случаях, когда изменением составных частей в) и г)
внутренней энергии можно пренебречь (п. 2°), внутренняя энергия
системы складывается из кинетической энергии теплового движения
частиц вещества и их потенциальной энергии.

4.2. Работа в термодинамике 139
Пример 1. Внутренняя энергия одного моля одноатомного
идеального газа зависит только от его термодинамической темпе-
температуры Г:
где R — универсальная газовая постоянная A1.3.3.7°).
Изменение внутренней энергии моля такого газа AU при пере-
переходе его из одного состояния в другое пропорционально изменению
температуры AT:
AU = U2 - Ux = ^RT2 - 1rtx = \r • AT,
где AT = Г2- 7i.
Пример 2. Внутренняя энергия деформированной пружины
является ее потенциальной энергией A.5.3.6°):
где к — коэффицент квазиупругой силы A.2.9.4°), х — линейная
деформация (растяжение или сжатие) A1.7.2.4°).
Изменение внутренней энергии пружины при растяжении (сжа-
(сжатии) ее от х\ до х2
4.2. Работа в термодинамике
1°. Представления о работе и энергии, рассмотренные в меха-
механике A.5.1.1°, 1.5.3.2°), получают развитие в термодинамике.
В механике работа одной или нескольких сил используется для
оценки изменения состояния тела или системы, к которым эти силы
приложены. В термодинамике эта работа может, кроме того, оцени-
оценивать изменение состояния окружающих тел.
Различают работу А внутренних сил системы и работу А' внеш-
внешних сил. Эти работы отличаются знаком (А = —А1) и оценивают
изменение состояния самой системы и внешних по отношению к
ней тел или систем. Часто первую из этих работ условно называют

140 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
«работой системы или тела» против внешних сил, а вторую — «ра-
«работой внешних тел или систем» над данной системой. Например,
говорят о работе процесса расширения газа или о работе тепло-
теплового расширения твердого тела против сил внешнего давления, о
работе рабочего тела тепловой машины, о работе руки, сжимающей
упругую пружину и т. п.
2°. Если идеальный газ, находясь в цилиндре под поршнем пло-
площадью S, расширяется и перемещает поршень на А/г, то элементар-
элементарная работа силы давления газа при этом равна
АА = p-S- Ah = p- AV,
где р — давление газа в цилиндре, AV — увеличение объема газа.
Аналогичная же формула выражает работу сил внешнего давле-
давления при сжатии не только газа, но и каких-то других тел:
Л' = -p-AV,
при этом будет AV < 0.
3°. Работа расширения при изменении объема газа (или любого
тела) от V\ до Уг равна сумме элементарных работ
Например, в случае изобарического процесса A1.3.3.1°), при кото-
котором р = const, работа расширения
A=p(V2-Vi),
где V\ и Vj — начальный и конечный объемы тела.
Работе при изобарическом изменении объема газа или тела на
диаграмме р— V соответствует площадь прямоугольника, заштрихо-
заштрихованного на рис. Н.4.1.
При произвольных процессах изменения объема работе на диа-
диаграмме p—V соответствует площадь, ограниченная кривой процес-
процесса, осью абсцисс и вертикальными прямыми V — V\ и V = Vi
(на рис. 11.4.2 заштрихованы площади для двух произвольных про-
процессов).
4°. Работа тела или системы тел при изменении их объема за-
зависит от характера процесса изменения их состояния. Это видно на
рис. Н.4.2, где площади под кривыми процессов 112 и 1112 различны.
На этом основано действие тепловых машин A1.4.10.1°).

4.2. Работа в термодинамике
141
5°. Работа системы в том или ином процессе является мерой
изменения ее энергии в этом процессе (см. также 11.4.9.3°). При
этом энергия упорядоченного движения одного тела переходит в
энергию упорядоченного движения другого тела (или его частей).
Рис. 11.4.2
Например, газ, расширяющийся в цилиндре двигателя внутреннего
сгорания, перемещает поршень и передает ему энергию. Электро-
Электродвигатели, приводящие в движение разнообразные станки и маши-
машины, также осуществляют передачу энергии.
Задача 1. Определить работу расширения 20 л газа при изобари-
изобарическом повышении температуры от 300 К до 393 К. Давление газа
равно 80кПа.
Дано: Vx = 20л = 20 • 10~3м3, Тх = 300 К, Т2 = 393 К,
/? = 80кПа = 80- 103Па.
Найти: А.
Решение: Работа расширения газа при изобарическом повыше-
повышении температуры А = p(Vi — V\).
Так как при изобарическом процессе V\/T\ = V2/T2, то
V2 = VxT2/Ti. Тогда
А = 80 • 103 • 20 • 10
~3 ( ^ -
\300
1 ) Дж = 50 • 10 Дж.
Задача 2. Азот массой 280 г был нагрет при постоянном давле-
давлении на 100° С. Определить работу расширения.
Дано: М = 2$0г = 0.280кг, р = 28 • 10 кг/моль, AT = 100°С.
Найти: А.

142 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
Решение: Работа А = р(У2 — V\). Объемы V\ и V2 находятся
из уравнения Клапейрона-Менделеева pV\ = (M//u)RT\, откуда
\\ = (M/jli)(RT{/p) и V2 - (M/ju)(RT2/p). Тогда
(MRT2 MRTX\ Л/ Мр
А — р\ = — R(T2 - 7н, Л = —R
\И Р И Р J M V
А =
4.3. Теплообмен
1°. Теплообменом называется процесс передачи энергии, при
котором осуществляется непосредственный обмен энергией между
хаотически движущимися частицами взаимодействующих тел. При
этом за счет переданной телу энергии усиливается неупорядоченное
движение его частиц, т.е. увеличивается внутренняя энергия тела.
Например, при соприкосновении двух тел с различными температу-
температурами частицы более нагретого тела передают часть своей энергии
частицам менее нагретого тела. Внутренняя энергия первого тела
уменьшается, а второго — увеличивается, и их температуры вы-
выравниваются. Мерой энергии, переданной в процессе теплообмена,
служит величина, называемая количеством теплоты.
2°. Телу необходимо сообщать разные количества теплоты для
перевода его из одного состояния в другое в зависимости от то-
того, через какие промежуточные состояния оно при этом проходит.
Например, для нагревания данной массы газа на At°C в изохорном
процессе A1.3.3.4°) требуется меньшее количество теплоты, чем для
такого же нагревания в изобарном процессе A1.3.3.3°). Количество
теплоты не является функцией состояния системы, оно зависит от
процесса изменения этого состояния.
3°. Количество теплоты и работа силы обладают тем общим
свойством, что они существуют лишь в процессе передачи энер-
энергии, но они являются качественно неравноценными мерами переда-
передачи энергии. Работа силы оценивает изменение энергии упорядочен-
упорядоченного движения тела при изменении его механического состояния
и переход ее в любые виды энергии данного тела или других тел.
Например, под действием внешней силы и при наличии силы тре-
трения брусок равномерно перемещается по горизонтальной доске. При

4.4. Теплоемкость 143
этом ни кинетическая, ни потенциальная энергии бруска не изменя-
изменяются, а работа внешней силы (или силы трения) оценивает переход
механической энергии бруска во внутреннюю энергию бруска и дос-
доски. Если тот же брусок после прекращения действия внешней силы
остановится, то работа силы трения будет оценивать и уменьше-
уменьшение его кинетической энергии, и возрастание внутренней энергии
бруска и доски.
Если телу передается энергия в процессе теплообмена, то это
увеличивает энергию хаотического теплового движения его частиц
и непосредственно приводит только к увеличению внутренней энер-
энергии тела. Так, например, при нагревании газа, заключенного в сосуде
постоянного объема, возрастают скорости движения молекул газа и
увеличивается его внутренняя энергия.
Для того чтобы при подведении к телу некоторого количества
теплоты в процессе теплообмена произошло увеличение иных видов
энергии, кроме внутренней, необходимо хотя бы частичное преобра-
преобразование хаотического движения частиц тела в упорядоченное. Это
происходит в тепловых двигателях A1.4.10.1°, см. также 11.4.9.3°).
4°. В Международной системе единиц (СИ) количество теплоты,
как и работа, измеряется в джоулях (Дж). Для измерения количества
теплоты применяется и внесистемная единица — калория. Одна ка-
калория (VIL4.10) эквивалентна 4.19 Дж. Механический эквивалент
теплоты
/ = 4.19Дж/кал = 4.19- 107 эрг/кал.
Величина, обратная /, 1/1 = 0.239 кал/Дж, называется тепловым
эквивалентом работы.
4.4. Теплоемкость
1°. Теплоемкостью называется физическая величина, равная ко-
количеству теплоты AQ, которое необходимо сообщить телу для на-
нагревания его на один градус:
с
AT'
Теплоемкость тела зависит от его массы, химического состава,
термодинамического состояния тела A1.3.1.2°) и вида того процес-

144 Отдел И. Гл. 4. Основы термодинамики
са, в котором телу передается энергия при теплообмене. Для нагре-
нагревания данной массы газа на одни градус требуется различное коли-
количество теплоты, если нагревание происходит в различных условиях,
например при постоянном объеме или при постоянном давлении. Во
втором случае требуется большее количество теплоты A1.4.3.1°).
Из определения теплоемкости следует, что при адиабатном про-
процессе, когда AQ = 0, теплоемкость равна нулю.
При изотермическом процессе (AT = 0) понятие теплоемкос-
теплоемкости не имеет смысла (С = оо). Так, в условиях кипения жидкости
A1.5.3.1°) и плавления твердых тел A1.7.4.1°) изменения темпера-
температуры не происходит (AT = 0) и понятие теплоемкости также не
имеет смысла применять.
2°. Удельной теплоемкостью с называется теплоемкость еди-
единичной массы однородного вещества: с = С/М, где М — масса
вещества.
Удельная теплоемкость тела не является постоянной величиной,
и в таблицах теплоемкостей указываются условия, для которых дан-
данные таблицы справедливы.
Молярной теплоемкостью СИ называется теплоемкость одно-
одного моля вещества: СИ = су, где \л — молярная масса вещества
A1.1.1.7°).
3°. Количество теплоты AQ, которое необходимо для того, что-
чтобы нагреть тело от температуры Т до температуры Т'+ AT, равно
Для тела массой М получим AQ = М• с • AT = (М//и)С^ • AT, где
M//J — число молей A1.1.1.7°).
4.5. Первый закон (начало) термодинамики
1°. Изменение внутренней энергии A U тела (системы) при пе-
переходе из одного состояния в другое равно сумме работы внешних
сил А1 и полученного им количества теплоты AQ:
AU =A' + AQ.
В этой формулировке первого закона термодинамики учитывается,
что существуют две формы передачи энергии A1.4.3.3°).

4.5. Первый закон (начало) термодинамики 145
2°. Другая формулировка первого закона (начала) термодинами-
термодинамики: количество теплоты AQ, полученное телом (системой) расхо-
расходуется на изменение внутренней энергии AU и на работу А против
внешних сил:
AQ = AU+A.
Например, если к газу, заключенному в сосуде под поршнем,
подводится некоторое количество теплоты, то оно может быть из-
израсходовано на повышение температуры газа, т. е. на увеличение его
внутренней энергии и на работу против силы внешнего давления
при перемещении поршня.
3°. Первый закон термодинамики применительно к изотерми-
изотермическому процессу A1.3.3.1°) в идеальном газе имеет вид AQ = А.
Внутренняя энергия идеального газа при этом изменяться не будет,
ибо AT = Т2 - Т\ = О и AU = О A1.4.1.4°). Все подведенное коли-
количество теплоты расходуется на работу против внешнего давления.
При изохорном процессе A1.3.3.4°) количество теплоты AQ идет
только на увеличение внутренней энергии газа AU9 AQ = AV.
Следовательно, температура газа повышается на AT. Работа рас-
расширения газа отсутствует (А = 0).
При изобарическом процессе A1.3.3.3°) количество теплоты,
подводимое к газу, расходуется и на увеличение внутренней энергии
и на работу расширения, которую совершает газ против внешнего
давления: AQ = AU + А.
4°. При адиабатическом процессе A1.3.3.5°) AQ = 0 и первый
закон термодинамики принимает вид А = — AU. В условиях от-
отсутствия теплообмена с внешней средой работа против внешних
сил равна убыли его внутренней энергии. Например, если идеаль-
идеальный газ адиабатически расширяется, преодолевая внешнее давление,
то работа расширения газа сопровождается убылью его внутренней
энергии и охлаждением.
Если в адиабатических условиях газ сжимается внешними сила-
силами, его внутренняя энергия увеличивается и происходит нагревание
газа.
5°. Теплоемкость газа при изобарическом процессе превыша-
превышает его теплоемкость при изохорическом процессе. Это превышение
равно работе силы давления газа против внешнего давления. Для
одного моля идеального газа разность этих теплоемкостей равна
молярной (универсальной) газовой постоянной R A1.3.3.7°).

146 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
6°. Первый закон термодинамики утверждает, что невозмож-
невозможно построить такой периодически действующий двигатель, который
позволял бы получить работу большую, чем энергия, которая под-
подводится к двигателю извне: вечный двигатель первого рода невоз-
невозможен.
Действительно, если в периодически действующем двигателе
газ, пар или другое рабочее тело1 совершает круговой процесс
A1.4.7.1°), то изменения его внутренней энергии не происходит
A1.4.1.3°), AU = 0 и А = AQ (п. 2°).
Задача 1. Киломоль одноатомного газа нагревается на 100 К при
постоянном объеме. Найти количество теплоты, сообщенной газу.
Дано: AT = 100 К, V = const.
Найти: AQ.
Решение: При нагревании газа в условиях постоянного объема
все подводимое к газу количество теплоты расходуется на увеличе-
увеличение внутренней энергии, т.е. AQ = AU.
U = C/2)/cTNa, где Na — постоянная Авогадро, или
U=C/2)RT.
Если газ нагревается на AT = T2 — Т\, то AU = Ui — U\ =
= C/2)/? • AT. Следовательно,
AQ = C/2) • 8.31 • 103 • 100 Дж = 1.25 • 106 Дж = 1.25 МДж.
Задача 2. Воздух в комнате объемом 90 м3 должен нагреться на
10 К. Какой объем горячей воды должен пройти для этого через
радиатор водяного отопления? Вода в радиаторе охлаждается на
20 К, а коэффициент полезного действия радиатора равен 50%.
Дано: Vx = 90м3, АТХ = 10К, АТ2 = 20К, г? = 50%.
Найти: V2.
Решение: Количество теплоты, получаемое воздухом, Q\ = с\р\ х
y.V\AT\. Количество теплоты, отдаваемое водой, Q2 — C2P2V2AT2,
где с\ — удельная теплоемкость воздуха, с\ ~ 103Дж/кг • К,
р\ — плотность воздуха, р\ = 1.29 кг/м3, р2 — плотность
Рабочи.м телом в термодинамике называется газ или иное термодинамическое
тело, которое совершает круговой процесс и обменивается энергией с другими те-
телами.

4.5. Первый закон (начало) термодинамики 147
воды, р2 = 1 • Ю3 кг/м3, с 2 — удельная теплоемкость воды,
с2 = 4.18- 103Дж/кгК.
Учитывая потери энергии, запишем Qx = T1Q2, или с\р\ V\ AT\ =
= ЦС2Р2У2АТ2.
Отсюда
t]c2p2AT2 '
__ IP3-1.29-90-10 3 10-2мз
Задача З. Воздух в объеме 0.50 м3 находится под давлением
0.10 МПа. Определить количество теплоты, необходимое для изо-
хорического нагревания воздуха от 30 до 130° С. Удельная тепло-
теплоемкость воздуха с = 0.71 • 103 Дж/кг • К. Среднюю молярную массу
воздуха принять равной 29 • 10~3 кг/моль.
Дано: V = 0.50м3, р = 0.10МПа = 10 • 104Па, Т{ = 273 +
+30 = 303 К, Т2 = 273 + 130 = 403 К, /и = 29 • 1(Г3 кг/моль,
с = 0.11 • 103Дж/кгК.
Найти: AQ.
Решение: Воздух нагревается при постоянном объеме. Количест-
Количество теплоты, необходимое для нагревания воздуха, A Q = сМ х
х(Гг - Т\), где М — масса воздуха, М определяется из уравнения
pV = (М/^)ДГ;тогда
Л^ 0.71- 103- 29- 10-310 104 0.50 1ЛЛТТ лл 1л4_
AQ = 8 31-303 ДЖ = ДЖ*
Задача 4. Какое количество теплоты необходимо для нагревания
64 г кислорода на 50 К при постоянном давлении? Какое количество
теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии и на работу
расширения? (Удельные теплоемкости кислорода берем из таблиц.)
Дано: И = 64 • 10~3кг, /и = 32 • 10~3 кг/моль, AT = 50К,
с = 9.2 • 102 Дж/кг -К,с' = 6.53 • 102 Дж/кг . К.
Найти: Qx, Q2, Л.
Решение: Количество теплоты, поглощаемое газом при изобари-
изобарическом нагревании, Qx ~ сМ • А Г, где с — удельная теплоемкость
кислорода при постоянном давлении,
Qx = 9.20 • 102 • 64 • 10~3 • 50 Дж = 2.9 • 103 Дж.

148 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
Количество теплоты, которое расходуется на увеличение внут-
внутренней энергии, Q2 = с'М • AT, где с' — удельная теплоемкость
кислорода при постоянном объеме,
Q2 = 6.53 • 102 • 64 • 1(Г3 • 50 Дж = 2.1 • 103 Дж.
Количество теплоты, расходуемое на работу расширения,
А = Qx - Q2 = B.9 • 103 - 2.1 • 103) Дж = 0.8 • 103 Дж.
Задача 5. Азот нагревается при постоянном давлении в 100 кПа.
Объем азота изменяется на 1.50 м3. Определить: 1) работу расши-
расширения, 2) количество теплоты, сообщенное газу, 3) изменение внут-
внутренней энергии газа.
Дано: р = 100кПа = 100 • 103Па, AV = 1.50м3. Из таб-
таблиц находим: молярная теплоемкость азота при постоянном объеме
С = 20.8 Дж/моль • К. Молярная теплоемкость азота при постоян-
постоянном давлении С" = 29.1 Дж/моль • К.
Найти: A, Q, AU.
Решение: 1) Работа расширения газа при р = const
A=p(V2~V])=p-AV,A = 100 • 103 • 1.50Дж = 1.50 • 105 Дж.
2) Q = сМАТ, где с — удельная теплоемкость при постоянном
давлении, с = С /у, где ц — молярная масса газа. Следовательно,
Q=(C/jj)M-AT.
Воспользуемся уравнением Клапейрона—Менделеева для двух
состояний газа pV\ = (M/ju)RT\ и pVj = (М/ц)ЯТ2. Вычитая из
второго уравнения первое, имеем
М
-{T2
AV М к Мх А
ДГ или -АТ=-.
R
ДГ, или АТ
R /и /и R
Тогда
0 = С'?, Q = 29.11-5°.1°Дж = 5.25 • 105Дж.
К о.Л
3) Изменение внутренней энергии равно количеству теплоты,
необходимому для нагревания газа на AT при постоянном объеме,
AU = Qu a Q\ = C(M/ju)AT, или Q\ = C(A/R); следовательно,
AU = 20.8 ^f'10 Дж = 3.75 • 105 Дж.
о.31

4.6. Обратимые и необратимые процессы 149
4.6. Обратимые и необратимые процессы
1°. Термодинамический процесс A1.3.2.1°) называется обрати-
обратимым (обратимый процесс), если он допускает возвращение тела
(системы) в первоначальное состояние без того, чтобы в окружа-
окружающей среде остались какие-либо изменения. Процесс является обра-
обратимым, если при совершении его сначала в прямом, а затем в обрат-
обратном направлении A1.4.7.3°) в исходные состояния возвращаются как
само тело (или система), так и все внешние тела, с которыми те-
тело (или система) взаимодействовало. Необходимым и достаточным
условием обратимости термодинамического процесса является его
равновесность A1.3.2.2°).
Пример 1. Абсолютно упругий шар падает в вакууме на аб-
абсолютно упругую плиту. После падения, как это следует из зако-
законов абсолютно упругого удара A.5.4.1°), шар вернется в исходное
положение, пройдя в обратном направлении все те промежуточные
состояния, которые он проходил при падении. После окончания про-
процесса шар и плита возвращаются в исходные состояния.
Пример 2. Незатухающие колебания (IV. 1.1.5°), которые со-
совершает в вакууме тело, подвешенное на абсолютно упругой пру-
пружине. В системе отсутствует трение, и колебания происходят под
действием силы тяжести тела и реакции упруго деформирован-
деформированной пружины. По истечении времени Т, равного периоду коле-
колебания (IV.1.1.30), полностью повторяются взаимное расположе-
расположение и скорость тела, пружины и Земли. За время Т замкну-
замкнутая система A.2.2.5°) «тело — Земля» возвращается в исход-
исходное состояние. Колебательный процесс в изолированной системе
не изменяет состояния других тел. Таким образом, он является
обратимым.
2°. Всякий термодинамический процесс, не удовлетворяющий
условиям обратимости (п. 1°), называется необратимым тер-
термодинамическим процессом. Все реальные процессы протекают
не бесконечно медленно, а с конечной скоростью. Все они сопро-
сопровождаются трением A.2.10.1°), диффузией A1.1.3.1°) и теплообме-
теплообменом A1.4.3.1°) при конечной разности температур тела (системы)
и внешней среды. Поэтому все реальные процессы являются не-
неравновесными A1.3.2.3°). Следовательно, все реальные процессы
являются необратимыми.

150 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
4.7. Круговые процессы (циклы)
1°. Круговым процессом или циклом называется термодина-
термодинамический процесс, в результате совершения которого рабочее те-
тело возвращается в исходное состояние. В диаграммах состояния
p—V, р—Т и др. A1.3.2.4°) круговые процессы изображаются в ви-
виде замкнутных кривых, ибо в любой диаграмме два тождествен-
тождественных состояния изображаются одной и той же точкой на плос-
плоскости. Круговые процессы являются основой тепловых двигате-
двигателей A1.4.10.1°).
2°. Работе сил давления рабочего тела в произвольном круговом
процессе соответствует площадь, ограниченная кривой с\асгЬс\
этого процесса (рис. II.4.3). При расширении по кривой с\ас2 рабо-
работа сил давления А\ положительна, ей соответствует площадь фигуры
При сжатии по кривой сгЬс\
* работа внешних сил А'2 положительна, ей
соответствует площадь фигуры V\c\b с 2V2.
Из рис. 11.4.3 видно, что А\ > А2. В целом
за цикл работа сил давления рабочего те-
тела положительна А — А\ + А2 = А\ — А2,
^ на рис. II.4.3 ей соответствует заштрихо-
О У\ Уг У ванная площадь.
3°. Прямым циклом называется круго-
ис' ' ' вой процесс, в котором за счет сообщения
рабочему телу некоторого количества теплоты его работа против
сил внешнего давления положительна. На диаграмме p—V прямой
цикл изображается замкнутой кривой, которая обходится по часовой
стрелке (рис. Н.4.3).
Обратным циклом называется круговой процесс, в котором ра-
работа рабочего тела отрицательна за счет отвода от него эквива-
эквивалентного ей количества теплоты. На диаграмме p—V обратный цикл
изображается замкнутой кривой, которая обходится против часовой
стрелки.
В тепловом двигателе A1.4.10.1°) рабочее тело A1.4.5.6°) совер-
совершает прямой цикл, а в холодильной установке A1.4.11.1°) — обрат-
обратный цикл.

4.8. Цикл Карно
151
о
Рис. Н.4.4
4.8. Цикл Карно
1°. Циклом Карно называется прямой обратимый круговой про-
процесс (рис. Н.4.4), состоящий из двух изотерм /-/' и 2-2' и двух
адиабат 1-2 и V-21. при изотермическом расширении /-/' рабочее
тело получает от нагревателя (теплоот- р
датчика) — источника энергии с посто-
постоянной температурой Тх — количество теп-
теплоты Qx. При изотермическом сжатии 2'-2
рабочее тело отдает холодильнику (тепло-
приемнику), имеющему постоянную тем-
температуру 72 Gг < Тх), количество тепло-
теплоты Q2. При адиабатном расширении и сжа-
сжатии энергии извне к рабочему телу не по-
поступает и эти процессы происходят за счет изменения его внутрен-
внутренней энергии A1.4.5.4°).
2°. Термическим (термодинамическим) коэффициентом по-
полезного действия (к.п.д.) произвольного цикла называется отноше-
отношение работы А сил давления рабочего тела в прямом цикле к коли-
количеству теплоты Qx, сообщенному рабочему телу нагревателем:
= Л = Qx - Q2
Ц Q\ Qx
3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от
природы рабочего тела и определяется только температурами на-
нагревателя Тх и холодильника Т2:
_ Тх - Т2 _ 72
wK rri * rrt 9
ix J х
щ < 1, ибо практически невозможно осуществить условие Т\ —> сю
и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого
Т2 = 0 A1.4.9.4°).
4°. Термический к.п.д. ^обр произвольного обратимого цикла не
может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осу-
осуществленного между теми же температурами Тх и 72 нагревателя и
холодильника:
„ 7} — 72

152 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
5°. Термический к.п.д. ?/необр произвольного необратимого цикла
всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, прове-
проведенного между температурами Т\ и Т2:
*7необр < j,
Пункты 3°—5° составляют содержание теоремы Карно (см. так-
также 11.4.9.2°).
6°. В обратимом цикле Карно отношение температур нагревате-
нагревателя и холодильника равно отношению количеств теплоты, соответ-
соответственно отданной и полученной ими в цикле:
J± = Ql
Ti Qi
Это соотношение может быть положено в основу сравнения тем-
температур двух тел. Если эти тела выбраны в качестве нагревателя
и холодильника в обратимом цикле Карно, то, измерив Q\ и Q2,
можно определить отношение 71/72. Так устанавливается теорети-
теоретически термодинамическая шкала температур. В соответствии с
теоремой Карно (пп. 3°—5°) эта шкала не связана со свойствами
термометрического тела (см. также 11.3.1.7°).
Задача 1. Двигатель внутреннего сгорания имеет к.п.д. 28% при
температуре горения топлива 927°С и температуре отходящих газов
447°С. На сколько процентов к.п.д. идеальной машины больше к.п.д.
двигателя?
Дано: Тх = 927 + 273 = 1200 К, Т2 = 447 + 273 = 720 К,
ц = 28%.
Найти: щ, ц.
Решение: К.п.д. идеальной машины, работающей по циклу Карно,
находится по формуле
щ-п= 40% - 28% = 12%.
Задача 2. Нагреватель тепловой машины, работающей по идеаль-
идеальному циклу Карно, получает количество теплоты, равное 8.0 кДж, и
80% от него передает холодильнику. Найти к.п.д. и работу цикла.
Дано: Qx = 8.0кДж, Q2 = 0.8?ь
Найти: rj, A.

4.9. Второй и третий законы (начала) термодинамики 153
Решение: К.п.д. цикла равен
Qx Qx Qx
n = {\ -0.8)-100% = 20%.
Работа A = Q\ - Q2 = Q\rj9 A = $.O- 0.20кДж = 1.6кДж.
4.9. Второй и третий законы (начала) термодинамики
1°. Первый закон термодинамики A1.4.5.2°) не позволяет опреде-
определить, в каком направлении может происходить термодинамический
процесс. Например, основываясь на законе сохранения и превраще-
превращения энергии, нельзя предвидеть, в каком направлении будет проис-
происходить теплообмен меджу двумя телами, нагретыми до различных
температур: с точки зрения первого закона термодинамики одинако-
одинаково возможен как переход энергии в процессе теплообмена от более
нагретого тела к менее нагретому, так и обратный переход. Пер-
Первый закон термодинамики допускает создание вечного двигателя
второго рода. Так называется двигатель, в котором рабочее тело,
совершая круговой процесс, получало бы энергию в процессе те-
теплообмена от одного внешнего тела и целиком передавало бы ее
в процессе теплообмена другому внешнему телу. Примером тако-
такого двигателя могло бы служить периодически действующее устрой-
устройство, «выкачивающее» внутреннюю энергию океанов и передающее
ее в процессе теплообмена другим телам.
2°. Невозможность создания вечного двигателя второго рода
является утверждением, вытекающим из обобщения многочислен-
многочисленных опытов. Оно называется вторым законом {началом) термо-
термодинамики и имеет несколько эквивалентных друг другу формули-
формулировок:
а) невозможен процесс, единственным результатом ко-
которого является передача энергии в процессе теплообмена от менее
нагретого тела к более нагретому телу {формулировка Клаузиуса);
б) невозможен периодический процесс, единственным результа-
результатом которого являлось бы получение работы рабочего тела, равной
количеству теплоты, полученному от нагревателя {формулировка
Кельвина).

154 Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
Второй закон термодинамики может быть сформулирован в виде
теоремы Карно A1.4.83° -5°).
3°. Второй закон термодинамики указывает на необратимость
процесса перехода одной формы движения в другую. Например, при
относительном движении двух тел с трением происходит необра-
необратимый переход энергии упорядоченного движения тела как целого
(обратимого перехода быть не может) в энергию беспорядочного
теплового движения частиц этих двух тел (см. также 11.4.3.3°).
В формулировках второго закона термодинамики особое значе-
значение имеют слова «единственным результатом». Запреты, которые
накладываются вторым законом термодинамики, снимаются, если
процессы, о которых идет речь, не являются единственными. Пере-
Передача энергии в процессе теплообмена от менее нагретого тела к бо-
более нагретому возможна, если при этом происходит еще один ком-
компенсирующий процесс, осуществляемый, например, в холодильной
установке A1.4.11.1°). При изотермическом расширении идеально-
идеального газа в цилиндре с поршнем работа сил давления газа в точности
равна подведенному к нему количеству теплоты, например, от пла-
пламени горелки A1.4.5.3°), но это не является нарушением второго
закона термодинамики. При расширении газа возрастает его удель-
удельный объем A1.3.1.6°), и состояние газа изменяется. Поэтому переход
неупорядоченного теплового движения частиц пламени в упорядо-
упорядоченное движение поршня не является единственным результатом
рассматриваемого процесса.
4°. Третий закон термодинамики рассматривает поведение
термодинамической системы2 при Т —> 0. Третий закон термодина-
термодинамики приводит к недостижимости абсолютного нуля температуры.
Для всех тел при абсолютном нуле обращаются в нуль теплоемкос-
теплоемкости и коэффициенты расширения A1.4.4.1°, 11.7.3.2°, 3°).
4.10. Тепловой двигатель
1°. Тепловым двигателем называется устройство, которое пре-
превращает внутреннюю энергию обычного или ядерного (V1.4.12.70)
топлива в механическую энергию. Энергия, которая выделяется при
"Строгая формулировка третьего закона термодинамики не может быть дана в
справочном руководстве по элементарной физике.

4.10. Тепловой двигатель
155
сгорании топлива или при ядерных реакциях (VI.4.8.10), переда-
передается путем теплообмена A1.4.3.1°) какому-либо рабочему телу, за
счет расширения которого приводится в движение какой-нибудь
механизм.
2°. Газ в тепловом двигателе не может беспредельно расширять-
расширяться, ибо устройство имеет конечные размеры. Поэтому устройство
должно быть таким, чтобы после расширения газ был бы снова сжат
до первоначального объема. Тепловой двигатель должен работать
циклически: в течение цикла A1.4.7.1°) после расширения следует
сжатие газа. Реальные тепловые двигатели работают по разомкнуто-
разомкнутому циклу: после расширения газ выбрасывается, и сжимается новая
порция. Термодинамические процессы A1.3.2.1°), происходящие в
тепловом двигателе, могут быть рассмотрены в замкнутом ци-
цикле, когда расширяется и сжимается одна и та же порция газа.
3°. В течение цикла работа сил давления газа при расширении
должна быть больше работы при сжатии. Это необходимо для того,
чтобы в целом за цикл работа сил давления была положительной.
Температура газа при его сжатии должна быть ниже, чем при расши-
расширении. Тогда давление газа во всех промежуточных состояниях при
сжатии будет меньше, чем при рас-
расширении, и будет выполнено условие,
необходимое для получения положи-
положительной работы, которую часто назы-
называют полезной работой двигателя.
4°. Любой тепловой двигатель, не-
независимо от его конструктивных осо-
особенностей, состоит из трех основных
частей: рабочего тела, нагревателя и
холодильника (рис. П.4.5). Получая
от нагревателя некоторое количест-
количество теплоты Q\9 рабочее тело — газ
или пар A1.5.1.1°) — расшираяется, Рис. И.4.5
обеспечивая положительную работу сил его давления. Температу-
Температура Т\ нагревателя остается при этом постоянной за счет сгорания
топлива. При сжатии рабочее тело передает некоторое количество
теплоты Qi холодильнику — телу с постоянной температурой 72,
меньшей, чем Т\. Давление газа при сжатии ниже, чем при рас-
расширении, и это обеспечивает полезную работу двигателя (п. 3°).

156
Отдел II. Гл. 4. Основы термодинамики
Холодильником может служить и окружающая среда (двигатели
внутреннего сгорания, реактивные двигатели). Коэффициент
полезного действия теплового двигателя вычисляется по формуле,
приведенной в 11.4.8.2°.
Нагретое тело
(атмосфера)
\ т, > т2
Я\
4.11. Холодильная установка
1°. Холодильной установкой называется циклически действу-
действующее устройство, которое поддерживает в холодильной камере тем-
температуру более низкую, чем в окружающей среде. Это осуществля-
осуществляется путем перехода некоторого количества теплоты от холодно-
холодного тела к телу с более высокой температурой. Такой переход не
противоречит второму началу термодинамики A1.4.9.2°), ибо этот
переход не является единственным процессом. Происходит компен-
компенсирующий процесс A1.4.9.3°) превращения механической энергии
окружающих тел во внутреннюю энергию нагревателя.
2°. Схема преобразования энергии
в холодильной установке показана на
рис. И.4.6. При изотермическом рас-
расширении, происходящем при темпе-
температуре холодильной камеры 72, ра-
^шн бочее тело поглощает от холодиль-
холодильной камеры количество теплоты Qi.
При этом работа сил давления рабо-
рабочего тела положительна. При изотер-
изотермическом сжатии рабочего тела, ко-
которое происходит при более высокой
температуре Т\ нагревателя (атмосфе-
Рис. П.4.6 ры)? последнему передается количест-
количество теплоты Q\. Это происходит за счет работы внешних сил, кото-
которая превосходит работу при расширении рабочего тела. Перевод
рабочего тела из состояния с температурой Т\ в состояние с темпе-
температурой Тг и обратно осуществляется процессами адиабатического
расширения (при этом температура падает от Т\ до 72) и адиабати-
адиабатического сжатия (при этом температура растет от Ti до Т\).
3°. Рабочим телом в холодильной установке служат обычно пары
легкокипящих жидкостей — аммиака, фреона и т. д. Энергия подво-
Рабочее
'///ЛР/////////Л
/Ог
Холодильная
камера j

4.11. Холодильная установка 157
дится к установке от электрической сети. За счет этой энергии про-
происходит «перекачка» количества теплоты от холодильной камеры к
более нагретому телу — к окружающей среде.
4°. В холодильной установке сжатие рабочего тела происходит
при более высокой температуре, чем расширение, и работа внешних
сил при сжатии у4сж больше, чем работа расширения рабочего тела
- За цикл работа внешних сил положительна:
Холодильным коэффициентом установки называется отноше-
отношение количеста теплоты, отнятого за цикл от холодильной камеры, к
работе внешних сил:
Из второго закона термодинамики следует, что
к< т2
Знак равенства относится к обратимому циклическому процессу в
холодильной установке, знак неравенства — к необратимому: чем
меньше разность Т\ — 72, тем меньше необходимо затратить меха-
механической или электрической энергии для «перекачки» количества
теплоты от холодного тела к горячему. Холодильный коэффициент
может быть больше 100%, в то время как к.п.д. теплового двигателя
всегда значительно меньше 100%.
5°. Холодильная установка может быть использована как теп-
тепловой насос для отопления. При этом электроэнергия использу-
используется для того, чтобы привести в действие холодильную установку,
в которой нагреваемым телом является отапливаемое помещение,
а холодильной камерой — наружная атмосфера. При этом отапли-
отапливаемое помещение получает большее количество теплоты, чем его
выделяется при непосредственном преобразовании электрической
энергии во внутреннюю энергию нагревателей типа электропечей,
электроплиток и т. п.

158 Отдел II. Гл. 5. Превращения жидкостей и газов
Глава5
Взаимные превращения жидкостей и газов
5.1. Испарение жидкостей
1°. Парообразованием называется процесс перехода вещества
из жидкого состояния в газообразное. Парообразование, происхо-
происходящее при любой температуре со свободной поверхности жидкос-
жидкости, называется испарением. Совокупность молекул, вылетевших из
жидкости при парообразовании, называется паром данной жидкос-
жидкости. Образование пара происходит не только у жидкостей, но и у
твердых тел A1.7.4.8°).
Из поверхностного слоя жидкости вылетают молекулы, которые
обладают наибольшей скоростью и кинетической энергией тепло-
теплового, хаотического движения, поэтому в результате испарения жид-
жидкость охлаждается.
Мерой процесса парообразования является скорость парообра-
парообразования — количество молекул жидкости, переходящих в пар за
единичный промежуток времени с единичной площади поверхности
жидкости.
2°. Охлаждение при испарении жидкостей имеет большое прак-
практическое значение. Например, при перевозке скоропортящихся про-
продуктов для охлаждения вагонов в специальных устройствах испаря-
испаряют жидкий аммиак или жидкую двуокись углерода. Испарение жид-
жидкого аммиака в змеевиках холодильных установок используется для
получения льда. Змеевики проходят через раствор соли и охлажда-
охлаждают его ниже 0°С. В растворе соли помещаются формы из листовой
стали, наполненные водой. Куски льда образуются в этих формах,
омываемых охлажденным раствором.
5.2. Насыщающий (насыщенный) пар
1°. Если процесс парообразования A1.5.1.1°) происходит в за-
закрытом сосуде, то по истечении некоторого времени количество
жидкости перестает убывать, хотя молекулы жидкости, способные
покинуть ее поверхность, продолжают переходить в пар. В этом

5.3. Кипение 159
случае, наряду с процессом парообразования, происходит компен-
компенсирующий его обратный процесс конденсации — превращения пара
в жидкость. Скорость конденсации определяется числом молекул,
переходящих из пара в жидкость через единичную площадь поверх-
поверхности жидкости за единичный промежуток времени.
2°. Через некоторое время в закрытом сосуде с находящейся в
нем жидкостью наступает динамическое {подвижное) равновесие
между процессами парообразования и кон- р>
денсации: скорость парообразования стано-
становится равной скорости конденсации. С это-
этого момента перестают меняться количества
жидкости и находящегося над ней пара.
3°. Пар, находящийся в состоянии дина-
динамического равновесия со своей жидкостью,
называется насыщающим (насыщенным) па-
паром. Давление насыщающего (насыщенного) Рис. 11.5.1
пара рн зависит только от его химического состава и температу-
температуры и не зависит от объема над свободной поверхностью жидкости,
предоставленного пару.
Независимость рн от объема объясняется тем, что при умень-
уменьшении объема насыщенного пара все большая часть пара переходит
в жидкость. Но это не нарушает динамического равновесия между
паром и жидкостью вплоть до момента окончания конденсации пара.
4°. Давление насыщающего (насыщенного) пара быстро возрас-
возрастает с увеличением его температуры. На рис. 11.5.1 приведены гра-
графики зависимости р(Т) для насыщенного пара и для идеального
газа при постоянном объеме.
5.3. Кипение
1°. Кипением называется процесс интенсивного парообразова-
парообразования не только со свободной поверхности, но и по всему объему жид-
жидкости внутрь образующихся при этом пузырьков пара. Давление р
внутри пузырька определяется формулой
Р = Po + Pgh+ -p
где ро — внешнее давление, pgh — гидростатическое давление
A.6.2.2°) вышележащих слоев жидкости, 2а/R — дополнительное

160 Отдел ti. Гл. 5. Превращения жидкостей и газов
давление, связанное с кривизной поверхности пузырька A1.6.2.4°),
R — радиус пузырька жидкости, h — расстояние от его центра до
поверхности жидкости, р и ст — плотность и коэффициент поверх-
поверхностного натяжения жидкости A1.6.1.3°).
2°. Кипение жидкости начинаетя при условии, что
к
где рн — давление насыщенного пара A1.5.2.3°) внутри пузырька.
При малых R давление рп достаточно велико, и кипение происходит
при сравнительно высоких температурах. Если в жидкости имеются
центры парообразования (пылинки, пузырьки растворенных газов
и т.п.), то обычно 2o/R <С /?o, и кипение начинается при меньших
температурах. Если pgh <C ро, то условие кипения принимает вид
Ри ~ Ро.
3°. Температурой (точкой) кипения называетя температура
жидкости, при которой давление ее насыщенного пара равно или
превышает внешнее давление. Температура кипения повышается с
ростом внешнего давления и понижается при его уменьшении. Это
вытекает из условия кипения. При увеличении /?о возрастает /?н, не-
необходимое для возникновения кипения, а это возможно лишь при
более высокой температуре A1.5.2.3°). Различие точек кипения раз-
разных жидкостей связано с тем, что у разных жидкостей неодинаково
рп при одной и той же температуре. Чем выше давление насыщен-
насыщенного пара, тем выше точка кипения.
Пузырьки газа, имеющиеся внутри жидкости, заполнены ее на-
насыщенным паром. При повышении температуры жидкости давление
пара в пузырьке возрастает и его объем увеличивается. Выталкива-
Выталкивающая архимедова сила A.6.2.3°), действующая на пузырек, возрас-
возрастает с ростом его объема. Под действием этой силы пузырек всплы-
всплывает и, при выполнении условия кипения (п. 2°), лопается, выбра-
выбрасывая пар. Очевидно, что при возрастании рн весь этот процесс
облегчается pi соответствующая жидкость кипит при более низкой
температуре.
4°. Если в жидкости нет пузырьков, необходимых для процесса
кипения, то можно перегреть жидкость до температуры более вы-
высокой, чем точка кипения при данном давлении. Возникающее при
этом неустойчивое (метастабильное) состояние характерно для пе-
перегретой жидкости. Перегретую жидкость можно получить, если

5.4. Изотерма пара 161
уменьшить внешнее давление на жидкость настолько, чтобы оно
стало меньше давления насыщенного пара при данной температуре
и было бы нарушено условие кипения (п. 2°). Нарушение мета-
стабильного состояния перегретой жидкости вызывает ее бурное
кипение.
5°. В процессе кипения температура жидкости остается посто-
постоянной, если не изменяется внешнее давление ро (п. 1°). Количество
теплоты, которое извне подводится к жидкости, расходуется на па-
парообразование A1.5.1.1°) и работу против внешних сил. Количество
теплоты гк, необходимое для превращения в пар единичной массы
жидкости, нагретой до температуры кипения, называется удельной
теплотой парообразования. Из закона сохранения энергии следу-
следует, что при обратном процессе — конденсации пара в жидкость —
выделяется количество теплоты, равное гк.
6°. Если кипение данной жидкости происходит при более вы-
высокой (или низкой) температуре, то величина гк уменьшается (или
увеличивается). Это связано с зависимостью давления насыщенного
пара от температуры (рис. И.5.1) и условием кипения (п. 2°). Повы-
Повышение или понижение температуры кипения за счет увеличения или
уменьшения внешнего давления приводит к уменьшению или уве-
увеличению того количества теплоты, которое необходимо сообщить
единичной массе жидкости для превращения ее в пар в условиях
кипения.
5.4. Изотерма пара
1°. Пар называется ненасыщающим (ненасыщенным), если его
давление меньше давления рн насыщенного пара при данной тем-
температуре. Давление ненасыщенного пара зависит от его объема:
при уменьшении объема давление увеличивается, а при увеличении
объема — уменьшается.
2°. Изотермой пара называется кривая зависимости давления р
пара от его удельного объема v при постоянной температуре. Общий
вид изотермы пара изображен на рис. Н.5.2. Участок 0 —> / соответ-
соответствует ненасыщенному пару, участок 1 -ь 2 — насыщенному пару и
участок 2-^3 — жидкости. Уменьшая объем ненасыщенного пара,
можно привести его в состояние насыщения (точка /). При дальней-

162
Отдел II. Гл. 5. Превращения жидкостей и газов
шем уменьшении объема (участок 1 —> 2) давление насыщенного
пара не изменяется; часть его переходит в жидкость, и в точке 2
весь пар полностью конденсируется. Уменьшение объема жидкос-
жидкости на участке 2 -> 3 требует значительного увеличения давления в
связи с малой сжимаемостью жидкостей.
3°. Переход ненасыщенного пара в состояние насыщения мо-
может быть осуществлен не только его изотермическим сжатием, но
и снижением температуры. Ненасыщенный пар, переходя при этом
в состояние насыщенного, частично обращается в жидкость. Этим
объясняется запотевание холодных предметов, внесенных в теплую
комнату, образование тумана, росы и т. д.
'кр
Т=const
о
О v2
Рис. И.5.2
Рис. Н.5.3
Изотерма 3-^2-^1-^0 может рассматриваться как кривая не-
непрерывного перехода жидкости в состояние ненасыщенного пара.
Перевод пара из насыщенного в ненасыщенное состояние может
осуществляться не только изотермическим расширением, но и по-
повышением температуры. Ненасыщенный пар, получаемый путем пе-
перегрева насыщенного пара, называется перегретым паром.
При медленном изотермическом сжатии в отсутствие пылинок,
ионов и других центров конденсации можно получить пересыщен-
пересыщенный пар, давление которого превышает давление насыщенного пара
при данной температуре.
4°. Изотермы, построенные при различных, все более высоких
температурах 7], 72, 7з Gз > Ti > Т\)% (рис. П.5.3), показыва-
показывают, что состояние насыщенного пара получается при все более
малых удельных объмах пара: v'3 < v'2 < v[. Это объясняется

5.5. Критическое состояние вещества. Сжижение газов 163
тем, что с ростом температуры быстро возрастает давление на-
насыщенного пара и для того, чтобы давление ненасыщенного пара
сравнялось с ним, нужно объем пара уменьшить. Полная конденса-
конденсация пара с ростом температуры происходит при больших объемах:
t>3 > v% > v". Причиной этого является тепловое расширение жид-
жидкостей A1.7.3.3°), которые при более высокой температуре занимают
больший объем.
5.5. Критическое состояние вещества. Сжижение газов
1°. Из рис. II.5.3 видно, что при повышении температуры участок
насыщенного пара (горизонтальный участок изотермы) уменьшает-
уменьшается; при некоторой температуре Ткр насыщенного пара не образует-
образуется. Температура Ткр, при которой разность удельных объемов насы-
насыщенного пара и жидкости становится равной нулю, называется кри-
критической температурой. Горизонтальный участок изотермы при
этом обращается в точку перегиба К (критическая точка). Это
происходит при определенном давлении ркр и удельном объеме vKp,
называемых вместе с Ткр критическими параметрами. Состояние
вещества, характеризуемое критическими параметрами ркр, vKp, Ткр,
называется критическим состоянием.
2°. С ростом температуры плотность насыщенного пара и его
давление быстро возрастают A1.5.2.4°). Плотность жидкости, на-
находящейся в динамическом равновесии со своим паром, убывает
при повышении температуры за счет теплового расширения жидкос-
жидкости A1.7.3.3°). Графики зависимости от тем-
температуры плотностей насыщенного пара и
жидкости пересекаются в критической точ-
точке с температурой Гкр (рис. Н.5.4). В кри-
критической точке плотность жидкости равна
плотности насыщенного пара, находящего-
находящегося в равновесии с жидкостью.
3°. При Т -> Ткр стирается различие
между жидким и газообразным состояния-
ис" " " ми вещества. При Т = Ткр обращается в
нуль удельная теплота парообразования A1.5.3.5°) и коэффициент
поверхностного натяжения жидкости A1.6.1.3°).

164 Отдел II. Гл. 5. Превращения жидкостей и газов
4°. При температурах Т > Ткр даже при очень больших давлени-
давлениях невозможно превращение газа в жидкость. При сверхкритических
температурах возможно только парообразное состояние вещества.
5°. Сжижение газов — превращение их в жидкое состоя-
состояние — возможно лишь при температурах ниже критической. Для
газов с критической температурой порядка комнатной и выше: NH3
(/кр = 132°С), СО2 (/кр = 31. ГС), С12 ('кР - 144°С) и др. — сниже-
снижение температуры ниже Гкр и последующее изотермическое сжатие
не представляют особых трудностей.
6°. Для сжижения газов с низкой критической температурой: О2
(/кр - -П8°С), N2 (/кр = -147.1°С), Н2 (/кр = -239.9°С) и осо-
особенно Не (/кр = -267.9°С) — необходимо глубокое охлаждение.
В основе одного из методов, осуществляемых в холодильных маши-
машинах — детандерах, лежит охлаждение газов при их адиабатическом
расширении.
5.6. Влажность воздуха
1°. Абсолютной влажностью воздуха f называется масса
водяных паров, содержащихся в 1 м3 воздуха при данных услови-
условиях. Значение / оценивается по плотности водяного пара в воздухе.
Обычно ее выражают не в единицах СИ, а в г/м3:
/ = р„ар(г/м3).
В метеорологии абсолютная влажность оценивается по давле-
давлению водяного пара, выраженному в миллиметрах ртутного стол-
столба: / = /?(ммрт.ст.). При комнатных температурах (Т « 300 К)
р (ммрт. ст.) « р(г/м3).
2°. Относительной влажностью воздуха г называется отно-
отношение абсолютной влжности к тому количеству водяного пара, кото-
которое необходимо для насыщения 1 м3 воздуха при данной температу-
температуре. Из предыдущего (п. 1°) следует, что относительную влажность
можно определять как отношение давления водяного пара, содер-
содержащегося в воздухе, к давлению насыщенного водяного пара при
данной температуре:
Обычно г < 1 и ее выражают в процентах.

6.1. Поверхностное натяжение жидкостей 165
3°. Точкой росы называется температура, при которой водяные
пары, не насыщавшие ранее воздух, становятся насыщающими. Зная
температуру воздуха и определив точку росы, рассчитывают влаж-
влажность воздуха. При этом используется таблица давления насыщен-
насыщенного водяного пара при различных температурах.
Задача. Температура воздуха в комнате 20° С, относительная
влажность воздуха 60%. При какой температуре воздуха за окном
начнут запотевать оконные стекла?
Дано: tx = 20°С, г = 60%.
Найти: /2-
Решение: Относительная влажность г = р/рН9 где р — давле-
давление водяных паров, находящихся в воздухе, рн — давление водяных
паров, насыщающих пространство при данной температуре.
При 20°С давление насыщающего пара рн = 17.5 мм рт. ст.
(по таблице). Давление р = рнг, или р = 17.5 • 0.6 = 10.5 мм рт. ст.
Конденсация паров начнется при той температуре воздуха,
для которой давление р будет соответствовать давлению пара,
насыщающего пространство. Из таблицы находим, что давлению
р — 10.5 мм рт. ст. соответствует ti = 12°С.
Глава 6
Свойства жидкостей'
6.1. Энергия поверхностного слоя
и поверхностное натяжение жидкостей
1°. На поверхности жидкости, вблизи границы, разделяющей
жидкость и ее пар, молекулы испытывают межмолекулярное взаимо-
взаимодействие не такое, как молекулы, находящиеся внутри объема жид-
жидкости.
Молекула /, окруженная со всех сторон другими молекулами
той же жидкости, испытывает в среднем одинаковые силы при-
притяжения A1.14.3°) ко всем своим соседям. Эти силы в среднем
введения о строении и тепловом движении в жидкостях см. 11.1.6.7°, 8°, о теп-
тепловом расширении жидкостей — 11.7.3.3°.

166 Отдел II. Гл. 6. Свойства жидкостей
взаимно компенсируют друг друга, и их равнодействующая рав-
равна нулю (рис. Н.6.1). Молекула 2 испытывает меньшее притяже-
притяжение вверх со стороны молекул пара и большее притяжение вниз
со стороны молекул жидкости. На рис. Н.6.1 силы притяжения
молекулы 2 к молекулам пара
показаны штрихами. В результа-
результате на молекулы, расположенные
в поверхностном слое, действует
направленная вниз равнодейству-
равнодействующая R сил, которую принято от-
относить к единичной площади по-
поверхностного слоя.
2°. Для перенесения молекул
из глубины объема жидкости в ее
гис. н.6.1 поверхностный слой необходима
работа против силы R (п. 1°). Эта работа оценивает увеличение
поверхностной энергии. Так называется избыточная потенциаль-
потенциальная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое по
сравнению с их потенциальной энергией внутри остального объема
жидкости.
Для того чтобы изотермически увеличить поверхностный слой
жидкости за счет молекул, находящихся в ее объеме, необходима
работа А, равная
А = (Л3-Пу)М,
где TJs — потенциальная энергия одной молекулы в поверхностном
слое, Пу — потенциальная энергия молекулы в объеме жидкости,
N — число молекул в поверхностном слое жидкости.
3°. Коэффицентом поверхностного натяжения (пли поверх-
поверхностным натяжением) жидкости называется величина, опреде-
определяемая работой, необходимой для изотермического увеличения пло-
площади поверхности жидкости на одну единицу:
где п — число молекул на единичной площади поверхности
жидкости.
Если поверхность жидкости ограничена периметром смачивания
A1.6.2.1°), то коэффициент поверхностного натяжения определяется
силой, действующей на единичную длину периметра смачивания и

6.2. Смачивание. Капиллярные явления 167
направленной перпендикулярно к этому периметру:
F
а = т
где / — длина периметра смачивания, F — сила поверхностного
натяжения, действующая на длине / периметра смачивания. Сила
поверхностного натяжения лежит в плоскости, касательной к по-
поверхности жидкости.
4°. Сокращение площади поверхности уменьшает ее поверхност-
поверхностную энергию. Условием устойчивого равновесия жидкости, как и лю-
любого тела, является минимум потенциальной поверхностной энер-
энергии A.4.3.4°). Это значит, что в отсутствие внешних сил жидкость
должна иметь при заданном объеме наименьшую площадь поверх-
поверхности и принимает форму шара.
5°. С повышением температуры жидкости и приближением ее к
критической, при Т -> Ткр A1.5.5.3°), коэффициент поверхностного
натяжения о -> 0. Вдали от Гкр коэффициент о линейно убыва-
убывает при возрастании температуры. Для уменьшения поверхностного
натяжения жидкости к ней добавляются специальные примеси, ко-
которые располагаются на поверхности и уменьшают поверхностную
энергию {поверхностно-активные вещества, ПАВ): мыло, жир-
жирные кислоты и т. п.
6.2. Смачивание. Капиллярные явления2
1°. На границе соприкосновения твердых тел с жидкостями на-
наблюдаются явления смачивания, состоящие в искривлении свобод-
свободной поверхности жидкости около твердой стенки сосуда. Поверх-
Поверхность жидкости, искривленная на границе с твердым телом, называ-
называется мениском. Линия, по которой мениск пересекается с твердым
телом, называется периметром смачивания.
2°. Явление смачивания характеризуется краевым углом $ меж-
между поверхностью твердого тела и мениском в точках их пересечения,
т.е. в точках периметра смачивания. Жидкость называется смачи-
смачивающей твердое тело, если краевой угол острый 0 ^ п < jt/2
(рис. Н.6.2,а). Например, вода смачивает чистое стекло, ртуть сма-
2Явления рассматриваются для простейшего случая, когда можно пренебречь
силами взаимодействия между молекулами жидкости и газа, находящегося над
жидкостью.

168
Отдел II. Гл. 6. Свойства жидкостей
чивает цинк. Для жидкостей, не смачивающих твердое тело, кра-
краевой угол тупой: ж/2 < $ < ж (рис. И.6.2,6). Например, вода не
смачивает парафин, ртуть не смачивает чугун. Если # = О, сма-
смачивание считается идеальным; $ = ж соответствует идеальному
несмачиванию. При # = 0 и # = ж наблюдается сферическая фор-
форма мениска, вогнутая или выпуклая. При # = ж/2 жидкость имеет
плоскую свободную поверхность. Этот случай называется отсут-
отсутствием смачивания и несмачивания.
Рис. И.6.2
3°. Различие краевых углов в явлениях смачивания и несмачива-
несмачивания объясняется соотношением сил притяжения между молекулами
твердых тел и жидкостей и сил межмолекулярного притяжения в
жидкостях A1.1.4.1°, 11.6.1.1°). Если силы притяжения между мо-
молекулами твердого тела и жидкости больше, чем силы притяжения
молекул жидкости друг к другу, то жидкость будет смачивающей.
Если молекулярное притяжение в жидкости превышает силы при-
притяжения молекул жидкости к молекулам твердого тела, то жидкость
не смачивает твердое тело.
4°. Искривление поверхности жидкости создает дополнитель-
дополнительное {избыточное) давление на жидкость по сравнению с давлением
под плоской поверхностью. Для сферической поверхности жидкос-
жидкости, при краевом угле #, равном 0 или тг, дополнительное давле-
давление ри равно
2а
где о — коэффициент поверхностного натяжения, R — радиус сфе-
сферической поверхности; рм > 0, если мениск выпуклый; /?м < О,
если мениск вогнутый (рис. Н.6.3). При выпуклом мениске рм

6.2. Смачивание. Капиллярные явления
169
- Рм-
Ри
увеличивает то давление, которое существует под плоской по-
поверхностью жидкости (например, атмосферное давление на сво-
свободную поверхность жидкости). При вогнутом мениске давление
под плоской поверхностью уменьшается
на величину /?м- Дополнительное давление
внутри сферического пузыря радиуса R вы-
вызывается избыточным давлением на обеих по-
поверхностях пузыря и равно рм = 4а/R.
5°. Узкие цилиндрические трубки с диа-
диаметром около миллиметра и менее называ-
называются капиллярами. Уровень идеально смачи-
смачивающей (несмачивающей) жидкости в капилляре радиуса г выше
(ниже), чем в сообщающемся с ним широком сосуде, на высоту /г,
равную (рис. Н.6.4)
Рис. II.6.3
где р — плотность жидкости, g — ускорение свободного па-
падения. Изменения высоты уровня в капиллярах называются ка-
капиллярными явлениями. Они связаны с тем, что для равнове-
равновесия смачивающей жидкости в капилляре избыточное давление ри
должно быть равно гидростатическому pgh A.6.2.2°). Сниже-
Снижение уровня несмачивающей жидкости в капилляре объясняется
тем, что дополнительное давле-
давление ри вытесняет жидкость из
капилляра до тех пор, пока не
установится равновесие такое же,
как для смачивающей жидкости, i
pgh = loir. ~_
6°. Капиллярными явлениями -
объясняется свойство ряда тел ---- — __
(вата, ткани, почвы, бетон) впиты- Рис. Н.6.4
вать влагу (гигроскопичность тел). Для сохранения подпочвенной
влаги в почве капилляры в ней разрушают при вспашке и бороно-
бороновании. Иначе влага в почве поднимается по капиллярам на поверх-
поверхность и испаряется. Для того чтобы влага не проникала в жилое
помещение по капиллярам, между фундаментом здания и стенами
прокладывают слои толя, смолы и других веществ, препятствующих
явлению капиллярности.
"-"¦-
:_г_
о
л
~-
.__ _;
-г
о
V

170 Отдел II. Гл. 6. Свойства жидкостей
Задача 1. Под каким давлением находится воздух внутри мыль-
мыльного пузырька диаметром 4.0 мм и чему равно добавочное давление?
Атмосферное давление равно 752.0 мм рт. ст., коэффициент поверх-
поверхностного натяжения мыльного раствора равен 40 мН/м.
Дано: р0 = 752.0 ммрт. ст. = 100258 Па, d = 4.0 мм = 4.0 х
х 10~3 м, о = 40мН/м = 40 • К) Н/м.
Найти: р, рм.
Решение: Воздух в пузырьке находится под давлением
р = ро + рм, где рм — давление, которое оказывают на воздух две
сферические поверхности пленки пузырька. Пленка имеет очень ма-
малую толщину. Поэтому диаметры обеих поверхностей практически
одинаковы. Добавочное давление равно A1.6.2.4°)
_ 4а __ 8G
Рм " Т " Т'
где о — коэффициент поверхностного натяжения, R — радиус кри-
кривизны поверхности, R = d/2. Следовательно,
Давление воздуха в пузырьке
р = A00258 + 80) Па = 100338 Па = 752.6ммрт. ст.
Задача 2. Мыльная вода вытекает из капилляра по каплям. В мо-
момент отрыва капли диаметр ее шейки равен 1.00 мм. Масса капли
0.0129 г. Определить коэффициент поверхностного натяжения мыль-
мыльной воды.
Дано: т = 0.0129 г = 1.29 • 10~5 кг, d = 1.00 мм = 1.00 -10~3 м.
Найти: о.
Решение: Капля отрывается от капилляра при условии Р > F,
где Р — сила тяжести, Р = mg, F — сила поверхностного
натяжения.
Условие равновесия: F = Р9 о\ — mg, где / — периметр шейки
капли, / = ли. Отсюда

7.1. Типы кристаллических твердых тел 171
Задача 3. Найти разность уровней жидкости в двух капиллярных
трубках, опущенных в жидкость. Плотность жидкости 0.80г/см3.
Внутренние диаметры капилляров 0.040 см и 0.10 см. Коэффициент
поверхностного натяжения жидкости 22 • 10~3 Н/м.
Дано: dx = 0.040см = 0.40 • 10~3м, d2 = 0.10см = 1.0- 10~3м,
р = 0.80г/см3 = 8.0 • 102кг/м3, о = 22 • 10 Н/м.
Найти: Ah.
Решение: Высота поднятия уровня жидкости в капилляре
pgr'
где г — радиус капилляра, р — плотность жидкости, г = d/2. Тогда
h=2-^. и ДА = А1-А2 = ^A-1),
Pg \di d2)
Глава 7
Твердые тела и их превращение в жидкости1
7.1. Типы кристаллических твердых тел
1°. Кристаллические твердые тела обладают анизотропией —
зависимостью физических свойств от направления внутри кристал-
кристалла. Так, тепловое расширение кристаллов A1.7.3.1°), механическая
прочность A1.7.2.9°), оптические свойства (скорость распростране-
распространения света, показатель преломления (V. 1.2.1°)) зависят от направле-
направления внутри кристалла.
2°. Различаются следующие четыре типа кристаллических
решеток:
а) Ионные кристаллы — большинство неорганических со-
соединений, например соли (NaCl и др.), окиси металлов и т.д.
Сведения о строении кристаллических твердых тел и тепловом движении в крис-
кристаллах см. 11.1.6.3°— 6°.

172 Отдел II. Гл. 7. Твердые тела и их превращения
В узлах кристаллических решеток ионных кристаллов размещают-
размещаются правильно чередующиеся положительные и отрицательные ио-
ионы (см. рис. II. 1.4, а), между которыми действуют главным образом
силы электростатического взаимодействия, осуществляющие ион-
ионную (гетерополярную) связь (VI3.2.10). В процессе кристаллиза-
кристаллизации A1.7.4.6°) одни атомы (например, Na) теряют электроны, кото-
которые присоединяются к другим атомам (например, С1), и возникают
два противоположно заряженных иона.
б) Атомные (валентные) кристаллы — кристаллические ре-
решетки полупроводников (Те, Ge и др.) A11.3.11.1°) многих органи-
органических твердых тел. Типичными примерами таких кристаллов явля-
являются разновидности углерода — алмаз и графит (см. рис. II. 1.4,6).
В узлах кристаллических решеток атомных кристаллов находятся
электрически нейтральные атомы, чаще всего одинаковые, меж-
между которыми осуществляется особая ковалентная (гомеополярная)
связь (VI.3.3.10), имеющая квантовомеханическое происхождение.
в) Молекулярные кристаллы — Вг2, Ь, СН4, нафталин, пара-
парафин, многие твердые органические соединения. В узлах кристалли-
кристаллических решеток таких кристаллов находятся молекулы, сохранив-
сохранившие свою индивидуальность. Между этими молекулами действу-
действуют силы притяжения, характерные для взаимодействия молекул
A1.1.4.3°). Относительно малая устойчивость молекулярных крис-
кристаллов, низкие температуры плавления объясняются тем, что силы
притяжения между их молекулами меньше, чем у кристаллов других
типов.
г) Металлические кристаллы (металлы). При кристаллиза-
кристаллизации A1.7.4.6°) металлов происходит отщепление от атомов внеш-
внешних (валентных) электронов (VI.2.9.20) и образуются положитель-
положительные ионы. Положительные ионы располагаются в узлах кристалли-
кристаллической решетки. Внешние (валентные) электроны становятся кол-
коллективизированными (обобществленными) — они принадлежат
всему кристаллу в целом, образуя электронный газ в металлах.
Металлическая связь в кристаллической решетке металлов
обеспечивается притяжением между положительно заряженными
ионами, находящимися в узлах кристаллической решетки, и от-
отрицательно заряженным электронным газом. Коллективизирован-
Коллективизированные электроны металлов как бы «стягивают» положительные ионы,
уравновешивая отталкивание между ними. При расстояниях между

7.2. Упругие свойства твердых тел 173
ионами, равных периоду кристаллической решетки A1.1.6.5°), воз-
возникает устойчивая конфигурация ионов, соответствующая условию
равенства сил, стягивающих ионы, и сил их взаимного отталкивания.
Наличием электронного газа объясняется хорошая электропровод-
электропроводность и теплопроводность металлов.
7.2. Упругие свойства твердых тел
1°'. Деформацией твердого тела называется изменение его раз-
размеров и объема, которое сопровождается обычно изменением фор-
формы тела2. Деформации происходят при нагревании (охлаждении)
твердых тел или под действием внешних сил. При деформациях час-
частицы, расположенные в узлах кристаллической решетки, смещаются
из своих равновесных положений. Этому смещению препятствуют
силы взаимодействия между частицами твердого тела. В деформи-
деформированном твердом теле возникают внутренние силы упругости.
3° Упругостью называется свойство тел восстанавливать свои
размеры, форму и объем после прекращения действия внешних сил,
вызывающих деформацию.
Силой упругости Fynp {упругой силой) называется сила, воз-
возникающая при деформации тела и направленная в сторону, проти-
противоположную направлению смещения частиц тела при деформации
(о силе упругости см. также 1.2.9.1°).
3°. Деформации, которые исчезают после того, как действие
внешних сил прекращается, называются упругими. При этом части-
частицы твердого тела, сместившиеся в процессе деформации (п. 1°), воз-
возвращаются в свои исходные положения равновесия и восстанавли-
восстанавливаются первоначальные размеры и объем тела. Так, упруго дефор-
деформированная пружина после снятия нагрузки восстанавливает свою
первоначальную длину, объем и форму. Упругая деформация пре-
прекращается при условии Fyr,p = F, где F и Fynp — модули внешней
силы, вызывающей деформацию, и силы упругости.
Неупругие деформации твердого тела не исчезают после пре-
прекращения действия вызвавших их сил и приводят к необратимым
изменениям в кристаллической решетке твердого тела. Такие де-
деформации называются пластическими. Пластические деформации
Исключение составляет всестороннее растяжение (сжатие), при котором форма
тела сохраняется неизменной.

174 Отдел II. Гл. 7. Твердые тела и их превращения
характеризуются возникновением остаточных деформаций, кото-
которые сохраняются в теле после прекращения действия сил.
4°. Мерой деформации считается относительная деформация
Ах/х, равная отношению абсолютной деформации Ах к перво-
первоначальному значению величины х, характеризующей размеры или
форму тела. Так, относительное удлинение тела есть отношение
удлинения тела Д/ к его первоначальной длине /, т.е. Д/// (п. 7°).
5°. Механическим напряжением а называется физическая ве-
величина, определяемая упругой силой, приходящейся на единичную
площадь сечения тела:
где Fynp — сила упругости, S — площадь сечения тела. Если напря-
напряжение постоянно по всей площади сечения, то
_/упр
° ~ S '
Напряжение называется нормальным, если сила AFynp перпен-
перпендикулярна к площади сечения AS, и касательным, если AFynp на-
направлена по касательной к площади AS.
6°. Закон Гука (см. также 1.2.9.4°): относительная деформация
прямо пропорциональна напряжению:
Ах о
где К — модуль упругости. При Ах = х, т.е. при относительной
деформации, равной единице, модуль упругости равен напряжению:
К — о. Закон Гука справедлив для упругих деформаций (п. 3°)
вплоть до определенных значений этих деформаций. Напряжение,
при котором нарушается закон Гука, называется пределом пропор-
пропорциональности.
7°. Простейшим типом деформации является одностороннее
растяжение (сжатие). При одностороннем растяжении {сжа-
{сжатии) под действием растягивающей (сжимающей) силы возрастает
(убывает) длина тела. Мерой деформации является относительное
удлинение (сжатие) AI/L Модуль упругости К называется при этом
модулем Юнга К — Е. Модуль Юнга равен напряжению, при ко-
котором происходит увеличение (уменьшение) длины тела в два раза:
Е — о при Д/ = /.

в
7.2. Упругие свойства твердых тел 175
8°. График зависимости о = /(А///) при одностороннем растя-
растяжении называется диаграммой растяжения (рис. П.7.1). В об-
области ОА справедлив закон Гука. Точка А соответствует преде-
пределу пропорциональности (п. 6°). Пределом упругости называется
наибольшее напряжение, при котором еще не возникают остаточ-
остаточные деформации (п. 3°). Пределу упругости соответствует точ-
точка А* на рис. И.7.1. Области А1 В диаграммы растяжения соот-
соответствуют остаточные деформации. Горизон- а.
тальный участок ВС диаграммы определяет
текучесть — такое состояние деформиро-
деформированного тела, при котором удлинение возрас-
возрастает без увеличения напряжения. Точке В со-
соответствует предел текучести.
9°. Прочностью материала называется (j ^щ
его свойство выдерживать действия внешних
сил без разрушения. Пределом прочности с* "•'•*
называется механическое напряжение, которому соответствует наи-
наибольшая выдерживаемая телом нагрузка перед разрушением его
кристаллической структуры.
Запасом прочности {коэффициентом безопасности) называ-
называется число, показывающее, во сколько раз предел прочности больше
допускаемого напряжения. Пределы прочности зависят от свойств
материалов. Запас прочности зависит от характера нагрузки, усло-
условий использования материала и многих других факторов.
Задача. Проволока длиною 3.0 м и диаметром 0.80 мм висит вер-
вертикально. К свободному концу проволоки подвесили груз массой
2.0 кг. Длина проволоки увеличилась на 0.60 мм. Определить напря-
напряжение, относительное удлинение и модуль упругости.
Дано: I = 3.0м, d = 0.80мм, т = 2.0кг, А/ = 0.60мм.
Найти: <т, А///, К.
Решение: Напряжение о — F/S. Упругая сила по модулю равна
силе тяжести F = mg\ площадь S сечения проволоки S = jrd2/4.
Следовательно,
_ 4mg_ 4-2.0-9.8
° " 3.14@.80-Ю-3J
= 39- 106Па = 39МПа.

176 Отдел II. Гл. 7. Твердые тела и их превращения
Относительное удлинение
А/ 0.60 • Ю-3
/ 3.0
По закону Гука модуль упругости
= 2.0 • 10~4.
"' '; Па = 195 • 109 Па = 195 ГПа.
0.60 • 10 •*
7.3. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
1°. Тепловым расширением называется увеличение линейных
размеров и объемов тел, происходящее при повышении их темпе-
температуры. Линейное тепловое расширение характерно для твердых
тел. Объемное тепловое расширение происходит как в твердых
телах, так и в жидкостях при их нагревании.
2°. Линейное тепловое расширение характеризуется коэффици-
коэффициентом линейного расширения {средним коэффициентом линей-
линейного расширения) а в данном интервале температур. Если /о —
начальная длина тела при температуре /о? а Д/ = / — /о — уве-
увеличение длины тела при нагревании его на At = t — to градусов,
то а характеризует относительное удлинение А///о тела, которое
происходит при его нагревании на один градус:
1 Д/
a=At~k'
Длина / тела при температуре t определяется формулой
Для большинства твердых тел а « A0~5 -f-10~6) град"{ и можно
считать, что а практически не зависит от температуры.
3°. Объемное расширение твердых тел и жидкостей характери-
характеризуется коэффициентом объемного расширения (средним коэф-
коэффициентом объемного расширения) ($ в данном интервале темпе-
температур. Так называется относительное увеличение объема

7.3. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
177
происходящее при нагревании тела на один градус:
Р
где Vq — первоначальный объем тела при температуре to,
AF = F - Fo — увеличение объема тела при его нагревании на
At = t - to градусов. Объем тела V при температуре t определяется
формулой V = Vo(\ + р - At). Связь коэффициентов линейного и
объемного расширения
Р^Ъа
справедлива при условиях, когда можно пренебречь членами За2 • А/
и За - At2 в выражении A + а • AtK.
4°. Линейное тепловое расширение объясняется несимметрич-
несимметричной формой кривой зависимости потенциальной энергии П(г)
взаимодействия двух молекул от расстояния г между ними. Как
известно A1.1.5.3°), такой характер кривой /7(г) связан с различ-
различной зависимостью от расстояния г сил притяжения и отталкивания
между молекулами. Если при некоторой невысокой температуре Т\
молекула имеет полную энергию Е\, то она колеблется около поло-
положения равновесия г о между точками
а и Ь, причем аго « br0 (рис. И.7.2).
С повышением температуры возрас-
возрастает полная энергия молекулы Ei, ?3
и т.д. и она колеблется между точ-
точками а1 и Ь\ а" и Ь" и т.д., причем
а9 г о < rob', а" го < rob" и т.д. Нера-
Неравенство усиливается при повышении
температуры. Это связано с тем, что
при нагревании точка а' (а" и т.д.)
на кривой /7(г) смещается влево от-
относительно точки а меньше, чем точка У {Ь" и т.д.) вправо относи-
относительно точки Ь. Это приводит к тому, что с нагреванием возрастает
среднее расстояние между положениями равновесия частиц твердо-
твердого тела, т. е. происходит тепловое расширение.
Задача. Какое количество теплоты израсходовано на нагрева-
нагревание медного шара от 0°С, если объем его увеличился при этом
на 10 см3?
Рис. II.7.2
Дано: tx = 0°С, AV = 10см3 = 10 • К
Г6

178 Отдел II. Гл. 7. Твердые тела и их превращения
Найти: Q.
Решение: Количество теплоты, необходимое для нагревания ша-
шара A1.4.4.3°), Q — mc(t2 — t\), где %г — температура, до которой
нагрет шар.
Из формулы объемного расширения A1.7.3.3.°) V = Vo x
хA + P(h — *i))> где р — коэффициент объемного расширения,
Vo — объем шара при 0°С, следует, что
V-Vo
Учитывая, что V — Vo = AV и Vo = т/ро, находим
/2 = — и Q = т • с
тр
-po \
р )
\ тр
Поскольку р — За и t\ = 0°С, окончательно имеем
Взяв из таблиц удельную теплоемкость меди с = 3.8 х
х102Дж/кг-К, коэффициент линейного расширения а = 1.7 х
хЮ~5К~1 и плотность меди при 0°С ро = 8.9 • 103кг/м3, под-
подсчитываем искомое количество теплоты
. 3.8- 102. 10 10-68.9 103 ^^ 1Л5_
Q = 3-17- ю-5 Дж = " Дж'
7.4. Плавление, кристаллизация
и сублимация твердых тел
1°. Плавлением твердых тел называется их переход из твердого
состояния в жидкое. За счет энергии, которая подводится к твердому
телу при плавлении, амплитуды смещений частиц, колеблющихся в
узлах кристаллической решетки, возрастают, становятся сравнимы-
сравнимыми с периодом кристаллической решетки A1.1.6.5°). В процессе
плавления происходит разрушение кристаллической решетки твер-
твердого тела.
2°. Плавление происходит при определенной температуре, на-
называемой температурой {точкой) плавления Гпл. У большинства

7.4. Плавление, кристаллизация и сублимация твердых тел 179
твердых тел Тпл возрастает с увеличением внешнего давления. Дав-
Давление препятствует необходимому для начала плавления тела уве-
увеличению равновесных расстояний между частицами в кристалличе-
кристаллической решетке и затрудняет процесс ее разрушения.
3°. Как правило, плавление твердых тел сопровождается увели-
увеличением удельного объема (уменьшением плотности) тел. Исключе-
Исключение составляют лед и висмут, у которых плавление сопровождается
уменьшением удельного объема (увеличением плотности). У этих
тел возрастание внешнего давления приводит к уменьшению темпе-
температуры плавления.
4°. В процессе плавления твердого тела оно существует одно-
одновременно и в твердом, и в жидком состояниях. Температура тела не
изменяется при плавлении и остается все время равной Гпл. Все ко-
количество теплоты, которое подводится к твердому телу, расходуется
на разрушение кристаллической решетки и на работу против внеш-
внешних сил. В результате плавления увеличивается внутренняя энергия
тела A1.4.1.2°) и возрастает потенциальная энергия межмолекуляр-
межмолекулярного взаимодействия A1.1.5.1°).
5° Количество теплоты, необходимое для перехода единичной
массы твердого тела в жидкое состояние при температуре плавле-
плавления, называется удельной теплотой плавления А.
6°. Переход вещества из жидкого в твердое кристаллическое сос-
состояние называется кристаллизацией {затвердеванием). Во время
кристаллизации увеличивается среднее время оседлой жизни мо-
молекул жидкости A1.1.6.8°), упорядочивается их движение, которое
постепенно превращается в тепловые колебания около некоторых
средних положений — узлов кристаллической решетки. Для лю-
любой химически чистой жидкости этот процесс идет при постоянной
температуре кристаллизации Гкрист, которая совпадает с темпе-
температурой плавления Тпл (п. 2°). Кристаллизация единичной массы
жидкости сопровождается выделением некоторого количества теп-
теплоты — удельной теплоты кристаллизации, — равной удельной
теплоте плавления.
7°. Кристаллизация жидкости начинается вблизи центров крис-
кристаллизации — примесей, пылинок, местных нарушений однород-
однородности жидкости. В этих местах происходит упорядочение в распо-
расположении частиц и образование кристаллической решетки. При от-
отсутствии центров кристаллизации жидкость может быть охлаждена

180 Отдел II. Гл. 7. Твердые тела и их превращения
до температуры более низкой, чем Гкрист (переохлажденная жид-
жидкость). Состоянием переохлаждения является неустойчивым и лег-
легко нарушается. Например, при встряхивании переохлажденной жид-
жидкости начинается ее кристаллизация.
8°. В твердых телах может происходить процесс испарения (суб-
(сублимации) — непосредственный отрыв частиц от поверхности твер-
твердого тела и переход их в газообразное состояние. Для того чтобы
частицы твердого тела могли покинуть его поверхность, необходи-
необходима затрата энергии на преодоление межмолекулярного притяжения
частиц и на отрыв их с поверхности твердого тела. Удельной теп-
теплотой испарения твердого тела называется количество теплоты,
которое необходимо для испарения единичной массы тела. Из за-
закона сохранения энергии следует, что разность между удельными
теплотами испарения твердых тел и жидкостей при температуре
плавления равна удельной теплоте плавления.
Задача. Сколько аммиака надо испарить и затем нагреть до 0°С в
холодильной машине, чтобы за счет поглощенного количества теп-
теплоты получить 40 кг льда из воды, взятой при 10°С?
Точка кипения аммиака — 33.4° С, удельная теплота парообра-
парообразования при точке кипения гк — 1.37 • 106Дж/кг, удельная тепло-
теплоемкость аммиака в газообразном состоянии с2 = 2.1 • 103 Дж/кг • К.
Удельная теплота плавления льда при 0°С Я = 3.35 • 105 Дж/кг,
удельная теплоемкость воды с\ = 4.19 • 103 Дж/кг • К.
Дана. Вода: Мх = 40кг, с\ = 4.19 • 103 Дж/кг • К, tx = 10°С,
t\ = 0°С, Я = 3.35-105Дж/кг.
Аммиак: с2 = 2.1 - 103 Дж/кг • К, /2 = -33.4°С, t'2 = 0°С,
гк = 1.37- 106 Дж/кг.
Найти: Л/2.
Решение: Количество теплоты, отданное водой, Q\ = М\ х
x[(/i — t\)c\ + Я]. Количество теплоты, полученное аммиаком,
Очевидно, что Q\ — Qi, откуда
М2 =
(t'2 ~ h)c2 + rK
40[A0 -0) -4Л9 - 103 + 3.35 105] _

Отдел III
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
Глава 1
Электростатика
1.1. Основные понятия. Закон сохранения
электрического заряда
1°. Электростатикой называется раздел электродинамики
A11.1.3.1°), в котором рассматриваются свойства и взаимодействия
неподвижных в инерциальной системе отсчета A.2.1.3°) электри-
электрически заряженных тел или частиц, обладающих электрическим
зарядом.
2°. Физическая величина, характеризующая свойство тел или
частиц вступать в электромагнитные взаимодействия A11.1.3.1°) и
определяющая значения сил и энергий при таких взаимодействиях,
называется электрическим зарядом. Электрические заряды делят-
делятся на положительные и отрицательные. Положительный заряд воз-
возникает, например, на стекле, натертом кожей, отрицательный — на
янтаре, натертом шерстью.
3°. Стабильными носителями электрических зарядов являются
элементарные частицы (VI.5.1.10) и их античастицы (VI.5.3.10). Но-
Носителями положительного заряда являются протон и позитрон, от-
отрицательного — электрон и антипротон.
Наименьшими устойчивыми частицами, которые обладают от-
отрицательным (положительным) электрическим зарядом и вхо-
входят в состав любого вещества, являются электроны (прото-
(протоны). Электрический заряд протона и электрона по модулю равен
1.602 • 10-19Кл= 4.80 • 10" 1Оед.СГСЭ (VII.8). Массы протона и
электрона равны соответственно 1.67-10~27 кг и 9.1 • 10~~31 кг. Элект-
Электрический заряд протона и электрона называется элементарным за-
зарядом.

182 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
.4°. Электрический заряд любого заряженного тела равен це-
целому числу элементарных зарядов. В электрически нейтральной
(незаряженной) системе содержится равное число элементарных за-
зарядов противоположного знака. Электрически нейтральными явля-
являются атомы, молекулы и их коллективы — макроскопические тела.
5°. Если электрическая нейтральность тела нарушена, то оно на-
называется наэлектризованным. Для электризации тела необходимо,
чтобы на нем был создан избыток (недостаток) электрических заря-
зарядов того или другого знака. Электризация тел осуществляется раз-
различными способами, простейшим из которых является электризация
соприкосновением. При соприкосновении некоторых тел происхо-
происходит контакт между разнородными веществами. При этом валентные
электроны атомов (VI.2.9.20) одного из веществ переходят в другое
вещество.
6°. При всех явлениях, связаных с перераспределением элек-
электрических зарядов в изолированной системе взаимодействующих
тел, алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняется по-
постоянной (закон сохранения электрического заряда). Закон со-
сохранения электрического заряда является таким же основным зако-
законом физики, как и другие законы сохранения: энергии A.5.4.1°) и
импульса A.2.6.2°).
1.2. Закон Кулона
1°. Электрические заряды называются точечными, если они
распределяются на телах, линейные размеры которых значительно
меньше, чем любые другие расстояния, встречающиеся в данной за-
задаче. Например, заряды на двух взаимодействующих металлических
заряженных шарах с радиусами в 1 мм каждый, расположенных друг
от друга на расстоянии 1 м, могут считаться точечными, если вычис-
вычисляется сила взаимодействия между шарами. Если же вычисляется
напряженность поля A11.1.3.3°) одного из этих шаров на расстоянии
15 мм от его центра, то заряд шара уже нельзя считать точечным.
2°. Силы электростатического взаимодействия зависят от фор-
формы, размеров наэлектризованных тел и характера распределения за-
зарядов на этих телах. В случае неподвижных точечных зарядов q\ и
#2, а также заряженных тел шарообразной формы, если их заря-
заряды q\ и qi равномерно распределены по всему объему или по всей
поверхности этих тел, справедлив закон Кулона: модуль F силы

1.2. Закон Кулона
183
электростатического взаимодействия между зарядами q\ и q2, на-
находящимися в вакууме, прямо пропорционален произведению мо-
модулей зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния г
между ними:
где к — коэффициент пропорциональности, зависящий от системы
единиц, используемой при расчетах. Для взаимодействующих рав-
равномерно заряженных шаров их радиусы R\ и R2 могут быть соиз-
соизмеримы с расстоянием г между их центрами. Сила F называется
кулоновской силой.
3°. Кулоновские силы, как и гравитационные силы, подчиняются
третьему закону Ньютона A.2.5.1°): силы взаимодействия между за-
зарядами равны по модулю и направлены противоположно друг другу
по прямой, соединяющей точечные заряды или центры шаров. Ку-
лоновская сила является центральной силой A.2.8.1°).
Опыт показывает, что разноименные электрические заряды при-
притягиваются друг к другу, а одноименные — отталкиваются. Этим
кулоновские силы принципиально отличаются от гравитационных
сил, всегда являющихся силами притяжения A.2.8.1°).
притяж
Рис. III. 1.1
4°. Сила отталкивания, действующая на заряд q2 со стороны од-
одноименного заряда q\, направлена в ту же сторону, что и радиус-
вектор г, проведенный к этому заряду (рис. ШЛ.1,а).
Сила притяжения, действующая на заряд q2, имеющий другой
знак, чем q\, имеет противоположное направление (рис. Ш.1.1,6).
5°. Закон Кулона для взаимодействия точечных зарядов или за-
заряженных шаров (п. 2°) в вакууме записывается в форме
F= qxqi
где го — электрическая постоянная в СИ (VII.5.10).

184 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
В абсолютной электростатической системе единиц (СГСЭ)
6°. Сила электростатического взаимодействия точечных зарядов
или равномерно заряженных шаров, находящихся в однородном и
безграничном, газообразном или жидком диэлектрике A11.1.6.1°),
(в СИ),
(в системе СГСЭ),
где е — относительная диэлектрическая проницаемость среды.
Величина е всегда больше единицы и показывает, во сколько раз
сила взаимодействия между зарядами q\ и q2 в данной среде меньше,
чем в вакууме. При взаимодействии зарядов в твердом диэлектрике
такое определение с неприменимо (см. также Ш.1.6.5°—8°).
Задача 1. Точечные заряды 1.0 • 10~7Кл и 10 • 10~7Кл взаимо-
взаимодействовали в вакууме с силой 0.36 Н. Затем заряды поместили в
керосин. Для вакуума с\ = 1, для керосина €2 = 2.0. На сколько
надо изменить расстояние между ними, чтобы сила взаимодействия
не изменилась?
Дано: qx = 1.0 • 10Кл, q2 = 10 • 10-7Кл, F = 0.36 Н, ех = 1,
е2 = 2.0.
Найти: r\, r2.
Решение: По закону Кулона F = q\q2/4jr?oer2, где ?о — элек-
электрическая постоянная, ео = 8.85 • 102Ф/м, е — относительная
диэлектрическая проницаемость среды.
Расстояние между зарядами в вакууме r\ = Vq\a2/4jTeoF, в
керосине r2 = y/qxqil^neQEiF; тогда
П-г2-,/т^^ ( 1--т=-
1.0 -Ю-7- 10 Ю-7 / 1 \ л_2
AJ1510"
Задача 2. С какой силой взаимодействуют два одинаковых ма-
маленьких шарика в вакууме, если один несет заряд 6.0 • 10~9Кл, а
второй -3.0 • 10~9 Кл. Расстояние между шариками 5.0 см. С какой
силой будут взаимодействовать эти шарики, если их привести в со-
соприкосновение и затем удалить на прежнее расстояние?

1.3. Электрическое поле. Напряженность поля 185
Дано: q\ = 6.0 • 1(Г9Кл, q2 = -3.0 • 10"9Кл, г = 5.0 см =
= 5.0 10~2м.
Найти: F\, F2.
Решение:
Шарики будут притягиваться с силой F\ = 6.5 • 10 5 Н.
При соприкосновении шариков часть зарядов компенсиру-
компенсируется. На обоих шариках останется суммарный заряд, равный
qx - q2 = 6.0 • 10~9 - 3.0 • 10~9 = 3.0 • 10~9 Кл. Этот заряд рас-
распределится между шариками поровну. Заряд каждого шарика будет
Таким образом,
дъ .g3 1.5210-18
2 4тт?0-г2 4-3.14-8.85- Ю2 • 25 • 10~4
= 0.81 • 10~5Н.
Шарики после приведения их в соприкосновение будут отталки-
отталкиваться с силой F2 = 0.81 • 10~5 Н.
1.3. Электрическое поле. Напряженность поля
1°. Электромагнитным взаимодействием называется взаимо-
взаимодействие между электрически заряженными частицами или макро-
макроскопическими заряженными телами.
Раздел физики, в котором изучаются электромагнитные взаимо-
взаимодействия, называется электродинамикой.
Электромагнитным полем называется форма материи, посред-
посредством которой осуществляются электромагнитные взаимодействия
заряженных частиц или тел, в общем случае движущихся в данной
системе отсчета.
Электрическим полем называется одна из частей электромаг-
электромагнитного поля, особенностью которой является то, что это поле со-
создается электрическими зарядами или заряженными телами, а так-
также воздействует на эти объекты независимо от того, движутся они

186 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
или неподвижны. Электрическое поле описывается определенными
силовыми и энергетическими характеристиками A11.1.8.1°). Если
электрически» заряженные частицы или тела неподвижны в данной
системе отсчета, то их взаимодействие осуществляется посредством
электростатического поля. Электростатическое поле является не
изменяющимся во времени {стационарным) электрическим полем.
В общем случае электрическое и электромагнитное поля могут из-
изменяться с течением времени {переменное, нестационарное элек-
электрическое и электромагнитное поля).
2°. Современная физика основывается на теории близкодей-
ствия. Согласно этой теории переменные электромагнитные поля
распространяются в пространстве с конечной скоростью, равной
скорости света, и воздействуют на заряженные частицы или тела,
находящиеся в пространстве. Конечность скорости распространения
электромагнитных взаимодействий лежит в основе специальной те-
теории относительности (V.4.2.10).
В теории дальнодействия, предшествовавшей теории близко-
действия, считалось, что все взаимодействия (например, электро-
электромагнитные и гравитационные) распространяются с бесконечно боль-
большой скоростью, т.е. осуществляются мгновенно, непосредственно
между частицами и телами, удаленными друг от друга. В настоя-
настоящее время теория дальнодействия представляет лишь исторический
интерес.
3°. Силовой характеристикой электрического поля является век-
вектор Е напряженности поля:
Ч
где F — сила, действующая на положительный точечный заряд q,
помещенный в данную точку поля. Напряженность электриче-
электрического поля в некоторой его точке равна и совпадает по направлению
с силой, действующей на неподвижный единичный положительный
точечный заряд {«пробный» заряд). При этом считается, что проб-
пробный заряд не искажает того поля, которое с его помощью изучается,
и пренебрегают его собственным электрическим полем.
4°. Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в лю-
любое электрическое поле с напряженностью Е,
F = qE.

1.3. Электрическое поле. Напряженность поля 187
Электрическое поле называется однородным, если вектор его
напряженности Е одинаков во всех точках поля. Примерами таких
полей являются электростатические поля равномерно заряженной
бесконечной плоскости A11.1.4.4°) и плоского конденсатора вдали
от краев его обкладок A11.1.11.2°).
5°. Для графического изображения электростатического поля
пользуются методом силовых линий. Силовыми линиями {линиями
напряженности) называются воображаемые линии, касательные
к которым в каждой точке совпадают с ^ Е3
направлением вектора напряженности в
этой точке поля (рис. III.1.2). Линии на-
напряженности разомкнуты — они начи-
начинаются на положительных и заканчива-
заканчиваются на отрицательных зарядах. Сило- Рис- Ш-1-2
вые линии нигде не пересекаются, так как в каждой точке поля его
напряженность имеет одно-единственное значение и определенное
направление. (Примеры силовых линий некоторых электростатиче-
электростатических полей см. 111.1.4.1°-5°.)
6°. Если положительный электрический заряд движется в одно-
однородном электрическом поле и его начальная скорость направлена
вдоль силовой линии, то траектория движения заряда будет совпа-
совпадать с силовой линией.
7°. Каждый электрический заряд создает в пространстве элек-
электрическое поле независимо от наличия других электрических заря-
зарядов. Принцип наложения {суперпозиции) электрических полей:
напряженность электрического поля системы N зарядов равна век-
векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из них
в отдельности:
/V
Е = Ei + Е2 + ... + EN =
где N — произвольное положительное целое число.
8°. Если электрические заряды создают поле в среде, которая
представляет собой изотропный однородный диэлектрик A11.1.6.1°),
то при заданном расположении электрических зарядов в пространст-
пространстве напряженность электростатического поля в такой среде в е раз
меньше, чем в вакууме: Е = Ео/е, где Ео — напряженность поля
данной системы зарядов в вакууме, е — относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость среды A11.1.2.6°).

188 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
Задача 1. Капелька воды диаметром 0.1 мм находится во взве-
взвешенном состоянии в масле при напряженности электрического по-
поля 104Н/Кл. Напряженность однородного поля направлена верти-
вертикально вверх. Сколько элементарных зарядов находится на капле?
Плотность масла 8 • 102 кг/м3.
Дано: d = 0.1мм = 10~4м, Е = 104Н/Кл, рх = 1.0 • 103 кг/м3,
р2 = %- 102кг/м3, в = 1.6- 10~19Кл.
Найти\ N.
Решение: На каплю действуют три силы:
1) сила тяжести, направленная вертикально вниз, Р — mg =
3
2) выталкивающая архимедова сила A.6.2.3°) F\ = (jrd3/6)p2g,
направленная вертикально вверх;
3) электрическая сила, направленная вертикально вверх,
F2 = qE = NeE.
Капля находится в равновесии при условии Р = F\ + 7*2, т. с.
jtc/3 nd3 ndl g(p\ - pi)
P8 == ^2g + NeE; отсюда N =
ZP\8 == Z^2g + NeE; отсюда N =
6 6 6 eE
3.14- 10~12 9.8- 103A.0~0.8)
N =
1.610-19104
w 6 • 105 элементарных зарядов.
При известном заряде капли эта задача позволяет определить
элементарный заряд A11.1.1.3°) (схема опыта Милликена по из-
измерению заряда электрона).
Задача 2. На шелковой нити висит бузиновый шарик, масса ко-
которого равна 0.5 г, имеющийся заряд -9.8 • 10~9Кл. На какой угол
отклонится нить, если шарик внести в однородное электрическое
поле с напряженностью 5 • 104 Н/Кл, направленной горизонтально
(рис. Ш.1.2*)?
Дана, q = -9.8 • 10~9 Кл, т = 0.5 г = 5 • 10~4 кг, Е = 5 • 104 Н/Кл.
Найти: а.
Решение: Равновесный угол отклонения а определится из усло-
условия tg« = F/P, где F = \q\E — электрическая сила, Р = mg —
сила тяжести; тогда
9.8 • 10~9 - 5 • 104 Л1
0Л
^ 5. Ю-4-9.8
откуда а — 6°.

1.3. Электрическое поле. Напряженность поля
189
Задача 3. Электрическое поле образовано двумя одинаковыми
разноименными точечными зарядами по 5.0 нКл. Расстояние между
зарядами 10 см. Определить напряженность поля: 1) в точке, лежа-
Е|_ Е^ В Е'+
XL ' /A
Рис. Ш.1.2*
щей посередине между зарядами; 2) в точке, лежащей на продол-
продолжении линии, соединяющей центры зарядов, на расстоянии 10 см от
отрицательного заряда; 3) в точке, находящейся на расстоянии 10 см
от положительного и отрицательного зарядов (рис. Ш.1.2**).
Дано: q+ = 5.0 нКл = 5.0 • 10~9Кл, ?_ = -5.0нКл = -5.0 х
х 10~9 Кл, а = 10 см = 10 • 10~2 м.
Найти: Еха, Ехв, Ехс.
Решение: В соответствии с принципом суперпозиции полей на-
напряженность поля, созданного двумя зарядами, определяется сум-
суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами:
Е = Е_ + Е+, где Е_ и Е+ — векторы напряженностей по-
полей, создаваемых соответственно отрицательным и положительным
зарядами.
В точке Л напряженности полей Е_ и Е f направлены одинаково.
Поэтому проекция на ось х суммарной напряженности в точке А
будет равна
17 __Z7 .Г _->?7_ 2</+
В/м = 3.6- 104В/м.
2 • 5.0 • 10~9
4-3.14-8.85 - 10-12A0- 10-2/2J

190 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
Для точки В:
ЕхВ=Е'х++Е'х_=Е'+-Е'_
<7+ (\
4леоBаJ 4леоа2 Але^а2 \4
5.0 10~9 /1
-- - 1 В/м
4-3.14-8.85- 10~12A0 Ю-2J \4
= -3.4- 103В/м.
Из условия задачи следует, что угол а равен 60°, cos a = 0.50 и
Е+ = Е'!_. Поэтому для точки С получим:
ЕхС = Е"+ + Е"__ = Е" cos a + E'L cos a
= 2Е" cosa = 2 л q+ 0 cosa
4
2-5.0-Ю-9-0.50 _ А г ^3]
В/м = 4.5- 103В/м.
4-3.14-8.85- 10-12A0- 10J
Направления векторов Ев и Ес указаны на рисунке.
1.4. Примеры некоторых электростатических полей
1°. Напряженность электростатического поля точечного заряда q
в диэлектрике A11.1.2.6°)
(в системе СГСЭ),
где г — радиус-вектор, проведенный из
точечного заряда в исследуемую точ-
Рис. Ш.1.3 Ку поля? е — относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость среды, е0 — электрическая постоянная. На
рис. Ш.1.3, а и б изображены электростатические поля уединенных
точечных зарядов: положительного (а) и отрицательного (б) — и
указаны направления векторов напряженностей полей. Модуль век-

1.4. Примеры некоторых электростатических полей 191
тора напряженности поля точечного заряда
Дг (в СИ),
ег1
Е = -2- (в системе СГСЭ).
ег1
2°. Напряженность электростатического поля системы N то-
точечных зарядов q\, qi, ... , qN согласно принципу суперпозиции
A11.1.3.7°)
1 N
Е=- У-^V- (в СИ),
Е = ^2 -^т ~ (в системе СГСЭ).
На рис. III. 1.4 изображены электростатические поля двух разно-
разноименных (а) и одноименных (б) зарядов и указаны направления
силовых линий этих полей.
Рис. III. 1.4
3°. Напряженность электростатического поля шара радиуса R с
зарядом q, равномерно распределенным по его поверхности,
Е=-^ — - (приг^Д) (в СИ),
г2 г
0 ег2 г
Е = Дг - (при г ^ R) (в системе СГСЭ),
где г — радиус-вектор, проведенный из центра шара в исследуе-
исследуемую точку поля (остальные обозначения см. п. 1°). Модуль вектора

192
Отдел III. Гл. 1. Электростатика
напряженности поля шара
Е =
—z (при г ^ Я) (в СИ),
Е = —j (при г ^ R) (в системе СГСЭ).
Электростатическое поле вне заряженного шара совпадает с по-
полем точечного заряда (равного заряду шара), помещенного в центр
Рис. III. 1.5
Рис. Ш.1.6
шара (рис. III. 1.5). Напряженность электростатического поля вну-
внутри шара, заряженного по поверхности, равна нулю A11.1.5.3°).
4°. Равномерно заряженная бесконечная плоскость создает одно-
однородное электростатическое поле, модуль напряженности которого
равен
Е = ^— (в СИ),
Е =
(в системе СГСЭ),
где а — поверхностная плотность заряда, определяемая элек-
электрическим зарядом, который размещен на единичной площади по-
поверхности:
Линии напряженности перпендикулярны плоскости. На рис. Ш.1.6
изображены электростатические поля уединенных равномерно и
разноименно заряженных бесконечных плоскостей.
5°. Две равномерно, с одинаковой плотностью о, и разноименно
заряженные бесконечные параллельные плоскости создают однород-

1.4. Примеры некоторых электростатических полей
193
ное электростатическое поле с напряженностью, модуль которой в
пространстве между плоскостями равен
о
Е =
= — (в СИ),
(в системе СГСЭ),
в остальном пространстве Е = О (рис. III. 1.7).
6°. Электрическим диполем называется совокупность двух рав-
равных по модулю и противоположных по знаку точечных зарядов +q
и -q, расположенных на расстоянии / друг от друга (рис. III. 1.8).
Е=0
?=0
Рис. III. 1.7
Рис. III. 1.8
Вследствие того, что заряды диполя находятся в разных точках про-
пространства, они не компенсируют друг друга по напряженности и
каждый из них создает свое электрическое поле. По принципу су-
суперпозиции A11.1.3.7°) напряженность электростатического поля ди-
диполя равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из
зарядов диполя. Модуль вектора напряженности в точке О, доста-
достаточно удаленной от диполя (г ^> /) (рис. III. 1.8),
(в СИ),
+ 1 (в системе СГСЭ).
Здесь ре — модуль вектора ре электрического момента диполя:
Ре = ql
Вектор I направлен по оси диполя от отрицательного заряда к по-
положительному.
7°. Два электрических диполя с моментами ре\ и ре2, распо-
расположенных вдоль одной оси, взаимодействуют (притягиваются или

194 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
отталкиваются) между собой с силой
~ 4же0г4 '
где г — расстояние между центрами диполей, причем г ^> /, / —
длина диполя. Если диполи обращены друг к другу разноименными
зарядами, то они притягиваются. В противоположном случае про-
происходит отталкивание диполей.
Задача 1. Поверхностная плотность заряда на равномерно заря-
заряженном шаре, находящемся в воздухе, о = 6.4 • 10~8 Кл/м2. Опре-
Определить напряженность электрического поля в точке, отстоящей от
центра шара на 6 радиусов.
Дано: а = 6.4 • 1(Г8 Кл/м2, г = 6R.
Найти: Е.
Решение: Электростатическое поле заряженного по поверхности
шара вне шара аналогично полю точечного заряда, расположенного
в его центре:
Е= ч
Заряд на шаре q = oS = o4nR2, где R — радиус шара, е = 1;
тогда
а
Е =
Задача 2. Какая сила действует на заряд в 0.10 нКл, помещенный
в поле равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотно-
плотностью заряда, равной 1.0 • 10~5 Кл/м2? Относительная диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость среды е = 5.0.
Дано: q = ОЛОнКл = 1.0 • 10-10Кл, о = 1.0 • 10-5Кл/м2,
е = 5.0.
Найти: F.
Решение: Сила, действующая на заряд, F = qE, где Е — на-
напряженность поля равномерно заряженной плоскости, Е = а/2ео?.
Поэтому

1.5. Проводники в электростатическом поле 195
Задача 3. Пылинка массой в 2.0 • 10~12г взвешена в воздухе
между двумя горизонтальными разноименно и равномерно заряжен-
заряженными пластинами. Напряженность поля пластин направлена верти-
вертикально вверх. Заряд пылинки равен пяти элементарным зарядам.
Определить заряд на пластинах. Площадь каждой пластины 100 см2.
Дано: т = 2.0 • 10~12г = 2.0 • 105кг, е = 1.0, q = 5 х
х1.6- 10-19Кл = 8.010-19Кл, S= 100см2 = 1.00 10~2м2.
Найти: Q.
Решение: Пылинка находится во взвешенном состоянии при
условии Р — F, где Р = mg и F = qE. Напряженность поля двух
равномерно заряженных пластин Е = о/е^е, где о = Q/S.
Отсюда
Q = ^ee0S,
Ч
Q = 2-°8о°^;99-8 • 1.0 ¦ 8.85 . Ю-12 .1.00- Ю-2 Кл
= 2.2-10"9Кл.
1.5. Проводники в электростатическом поле
1°. Проводниками называются вещества, в которых может про-
происходить упорядоченное перемещение электрических зарядов, т.е.
осуществляться электрический ток A11.2.1.1°). Проводниками явля-
являются металлы, водные растворы солей, кислот и др., ионизованные
газы. При образовании металла валентные электроны взаимодей-
взаимодействующих друг с другом атомов отщепляются и становятся свобод-
свободными (обобществленными, коллективизировавши) электронами
(электроны проводимости металлов).
2°. Если металлический проводник поместить в электрическое
иоле, то под действием этого поля на тепловое, хаотическое дви-
движение электронов проводимости наложится их упорядоченное дви-
движение, и они будут перемещаться в направлении, противополож-
противоположном напряженности поля. Например, в проводнике, помещенном
во внешнее однородное электрическое поле с напряженностью Ео,
электроны будут перемещаться справа налево (рис. Ш.1.9). На по-
поверхности АВ проводника появится избыточный отрицательный за-

196
Отдел 111. Гл. 1. Электростатика
с
ряд, на поверхности CD — избыточный положительный заряд. Заря-
Заряды, появляющиеся на поверхностях проводника, создают внутри не-
него внутреннее электрическое поле, вектор напряженности которого
Е/ направлен противоположно вектору Еех напряженности внешнего
электрического поля. Результирующее элек-
электрическое поле в проводнике будет иметь на-
I пряженность Е = Еех -f E/, уменьшенную по
модулю по сравнению с Есх\
При условии Еех = Ej сила, действующая на
электроны проводимости, станет равной ну-
нулю, и упорядоченное перемещение зарядов в
проводнике прекратится.
3°. Под действием внешнего электроста-
электростатического поля электроны проводимости в
металлическом проводнике перераспределя-
Рис. Ш.1.9
ются так, что напряженность результирующего поля в любой точке
внутри проводника равна нулю; перераспределенные заряды распо-
располагаются только на его поверхности.
4°. Явление перераспределения зарядов в проводнике во внеш-
внешнем электростатическом поле называется электростатической
индукцией. Оно состоит в разделении положительных и отрицатель-
отрицательных зарядов, которые содержатся в проводнике в одинаковых ко-
количествах. Заряды, разделенные электростатическим полем {наве-
{наведенные, индуцированные заряды), взаимно компенсируют друг дру-
друга, если проводник удаляют из поля. При этом восстанавливается
обычное состояние металлического твердого тела.
5°. Если внутри проводника имеется полость, то в этой полости
напряженность электростатического поля равна нулю независимо
от того, какое поле имеется вне проводника и как заряжен провод-
проводник. Внутренняя полость в проводнике экранирована (защищена) от
внешних электростатических полей. На этом основана электроста-
электростатическая защитам если прибор окружен замкнутой металлической
оболочкой, то никакие внешние электрические поля на этот прибор
действовать не будут. Обычно для этого используется заземленная
медная сетка, играющая роль экрана. Потенциал экрана сохраняется
равным потенциалу Земли A11.1.8.4°).

1.6. Диэлектрики в электростатическом поле 197
6°. Во всех точках поверхности заряженного проводника на-
напряженность электростатического поля перпендикулярна к поверх-
поверхности. Если бы этого не было и существовала бы некоторая
касательная составляющая на-
напряженности Ег, направленная
вдоль поверхности А В заряжен-
заряженного проводника, то она вызва-
вызвала бы перемещение электриче-
электрических зарядов вдоль поверхнос-
поверхности (рис. III. 1.10). Но это про- а
тиворечит необходимому равно-
равновесному распределению зарядов Рис- Ш.1.10
на поверхности заряженного проводника. Следовательно, Ег =0и
Е = Е„ ф 0, где Е„ — нормальная (перпендикулярная к поверхнос-
поверхности) составляющая напряженности электростатического поля.
7°. Во всех точках внутри заряженного проводника его потен-
потенциал ср одинаков A11.1.8.1°). Поверхность заряженного проводника
является эквипотенциальной поверхностью A11.1.9.2°).
1.6. Диэлектрики в электростатическом поле
\°. Диэлектриками называются вещества, которые не проводят
электрический ток A11.2.1.1°). В диэлектриках практически отсут-
отсутствуют свободные электроны A11.1.5.1°) и упорядоченное движение
электрических зарядов в обычных условиях невозможно. Диэлек-
Диэлектрик становится проводящим в тех случаях, когда к нему приложе-
приложено весьма высокое пробивное напряжение A11.2.3.4°). Это явление
называется пробоем диэлектрика1.
К диэлектрикам относятся некоторые твердые вещества (стекло,
фарфор и др.), жидкости (химически чистая вода, CH3CI и др.) и
газы (Н2, N2, ССЦ, NH4 и др.).
Диэлектрик называется однородным и изотропным, если все
его свойства одинаковы в любой точке объема диэлектрика и по
всем направлениям внутри диэлектрика. Валентные электроны в
атомах диэлектриков прочно связаны со своими ядрами и в обычных
условиях не могут отщепляться от них.
1 Проводимость диэлектрика может быть вызвана и нагреванием его до высокой
температуры.

198 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
2°. Молекулы диэлектрика электрически нейтральны — суммар-
суммарные положительные заряды их ядер и отрицательные заряды всех
электронов равны друг другу. Из этого, однако, не следует, что мо-
молекулы диэлектрика не обладают электрическими свойствами. Мо-
Молекулы диэлектрика создают электрическое поле, эквивалентное по-
полю электрического диполя с электрическим моментом р^, равным q\
{диполъный момент молекулы) A11.1.4.6°), где q — положитель-
положительный (или равный ему отрицательный) заряд молекулы, / — расстоя-
расстояние между центрами масс A.2.3.4°) положительных и отрицательных
зарядов.
3°. В зависимости от строения молекул различаются полярные
и неполярные диэлектрики. Если в отсутствие внешнего элек-
электрического поля центры масс A.2.3.4°) положительных и отрица-
отрицательных зарядов в молекуле диэлектрика совпадают, то он назы-
называется неполярным. В отсутствие внешнего электрического поля
дипольный момент молекулы неполярного диэлектрика равен ну-
нулю. Например, в атоме водорода электрон движется по орбите с
такой большой скоростью, что в среднем его положение совпа-
совпадает с ядром — протоном. Поэтому 1 = 0 (п. 2°) и ре = О
(рис. III. 1.11, а). Если же атом водорода поместить во внешнее
электрическое поле, то оно будет действовать на ядро и элек-
/^ ^\ трон с силами, модуль кото-
которых F = еЕ. Направления
векторов сил, действующих
ё © ё
V I V е е / на ядро и электрон, будут
^ч^-—-^//^ ^ ~*\ противоположны. В резуль-
?=0 Е^О тате произойдет деформация
? электронной орбиты, и цен-
центры масс электрона и ядра
Рис111ЛИ совпадать не будут (I ф 0)
(рис. Ш.1.11,6). Возникнет наведенный (индуцированный) диполь-
дипольный электрический момент, модуль которого ре = el, где е —
модуль заряда электрона. Подобно атому водорода ведут себя во
внешнем электрическом поле молекулы всех неполярных диэлек-
диэлектриков. При внесении таких диэлектриков во внешнее электриче-
электрическое поле в молекулах (атомах) происходит деформация и возника-
возникает индуцированный дипольный электрический момент молекул. Мо-
Молекулы неполярных диэлектриков в электрическом поле по своим

1.6. Диэлектрики в электростатическом поле 199
электрическим свойствам подобны индуцированным, квазиупругим
диполям.
4°. В молекулах полярных диэлектриков ядра и электроны
расположены таким образом, что центры масс положительных и
отрицательных зарядов не совпадают. Такие молекулы, независи-
независимо от внешних электрических по-
полей, ведут себя как жесткие дипо-
ли, обладающие электрическим мо-
моментом, МОДУЛЬ КОТОРОГО ре ПОСТОЯ-
нен (/ = const). Например, в молеку-
молекуле Н2О, схематически изображенной
на рис. III. 1.12, центры масс положи- Рис- 1И.1.12
тельных зарядов ядер трех атомов и всех их электронов раздвинуты.
Молекула воды по своим электрическим свойствам подобна весьма
вытянутому жесткому диполю.
Если полярный диэлектрик не помещен во внешнее электриче-
электрическое поле, то тепловое хаотическое движение молекул и их непре-
непрерывные соударения друг с другом приводят к тому, что в располо-
расположении жестких диполей отсутствует какая-либо упорядоченность.
Всегда найдутся диполи, электрические поля которых будут иметь
напряженности, направленные в противоположные стороны. Поэто-
Поэтому, хотя каждый диполь и создает свое поле A11.1.4.6°), суммарная
напряженность поля всех диполей диэлектрика будет по принципу
наложения полей A11.1.3.7°) равна нулю.
5°. При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле
происходит его поляризация. Поляризацией диэлектрика называ-
называется переход его в такое состояние, когда внутри малого объема ве-
вещества геометрическая сумма векторов дипольных электрических
моментов молекул оказывается отличной от нуля. Диэлектрик, в ко-
котором произошла поляризация, называется поляризованным. Меха-
Механизм явления поляризации различен для неполярных и полярных
диэлектриков.
6°. Если однородный неполярный диэлектрик внесен в однород-
однородное электрическое поле, вектор напряженности Е которого направ-
направлен, как показано на рис. III. 1.13, то в молекулах диэлектрика про-
произойдет смещение положительных и отрицательных зарядов. На по-
поверхностях АВ и CD, ограничивающих диэлектрик, появятся элек-
электрические поверхностные связанные заряды. Возникновением по-
поверхностных связанных зарядов на поверхностях диэлектрика, вне-

+
+
+
с
с«
to
с
to
о
J€<
с
©
^©
¦Д)
^с
200 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
сенного во внешнее электрическое поле, характеризуется явление
поляризации.
Связанными поверхностные заряды называются потому, что они
появляются в результате деформации молекул диэлектрика и не
могут быть от них оторваны (ср. свободные заряды на поверхнос-
Е, ти проводника A11.1.5.2°)). Свя-
Связанные заряды не проявляют се-
себя внутри любого объема ди-
диэлектрика: суммарный электри-
электрический заряд молекул в этом
~2 объеме равен нулю. На поверх-
поверхностях А В к CD диэлектрика
Рис. III. 1.13 связанные заряды оказываются
некомпенсированными и создают собственное электрическое поле
самого диэлектрика. Вектор Е, напряженности этого поля направлен
внутри объема диэлектрика в сторону, противоположную направ-
направлению напряженности внешнего электрического поля, вызвавшего
явление поляризации. Поэтому результирующее электрическое по-
поле в однородном изотропном диэлектрике имеет напряженность в е
раз меньшую, чем в вакууме A11.1.3.8°).
Поляризация диэлектрика с неполярными молекулами, состоя-
состоящая в возникновении у молекул индуцированного электрического
дипольного момента (п. 3°), называется электронной или дефор-
деформационной поляризацией. Поляризация этого типа не зависит от
температуры диэлектрика. Интенсивность теплового движения мо-
молекул не влияет на возникновение индуцированных дипольных элек-
электрических моментов молекул.
7°. На каждый из зарядов жесткого диполя (п. 4°), внесенного в
однородное электрическое поле с напряженностью Е, будут действо-
действовать равные по модулю силы Fi и F2, направленные в противополож-
противоположные стороны (рис. Ш.1.14,я). Они создадут момент силы A.3.1.4°),
стремящийся повернуть жесткий диполь так, чтобы вектор его ди-
дипольного электрического момента ре был направлен параллельно
вектору напряженности поля (рис. Ш.1.14,6). При внесении одно-
однородного полярного диэлектрика во внешнее однородное электриче-
электрическое поле каждая молекула — жесткий диполь — будет испытывать
ориентирующее влияние поля и будет стремиться повернуться, как
указано на рис. Ш.1.14,6. Тепловое, хаотическое движение моле-

1.6. Диэлектрики в электростатическом поле
201
кул полярного диэлектрика препятствует повороту диполей вдоль
напряженности поля Е. При весьма сильном внешнем электриче-
электрическом поле2 ориентированность жестких диполей будет наибольшей.
0-
Е
Рис. Ш.1.14
(Влияние теплового движения при весьма сильных полях сведет-
сведется лишь к тому, что диполи, ориентированные вдоль направления
напряженности поля, будут «дрожать».)
На граничных поверхностях АВ и CD поляризованного диэлек-
диэлектрика возникнут некомпенсированные, связанные электрические
заряды противоположных знаков (рис. III. 1.15, я). При обычных, не
слишком сильных внешних электрических полях будет происходить
преимущественная ориентация диполей вдоль напряженности поля
Рис. III. 1.15
и на поверхностях А В и CD возникнут связанные электрические за-
заряды в меньшем количестве (рис. III. 1.15, б), чем в случае сильного
поля. Связанные заряды в полярном диэлектрике, как и в случае
неполярного диэлектрика, создают собственное электрическое поле
(п. 6°). Поляризация описанного типа называется ориентационной
поляризацией. Ориентационная поляризация уменьшается с повы-
повышением температуры.
"Количественная оценка сильного и слабого электрического поля не может быть
дана в справочном руководстве по элементарной физике.

202 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
8°. В твердых кристаллических диэлектриках типа NaCl, име-
имеющих ионную кристаллическую решетку A1.7.1.2°), возможна ион-
ионная поляризация. Она заключается в том, что при внесении таких
диэлектриков во внешнее однородное электрическое поле положи-
положительные ионы решетки смещаются в направлении вектора напря-
напряженности поля, а отрицательные ионы — в противоположную сто-
сторону.
9°. Особую группу кристаллических диэлектриков составляют
сегнетоэяектрики, названные так по первому обнаруженному ве-
веществу этого типа — сегнетовой соли (ИаКС^ЩОб • 4Н2О). Сегне-
тоэлектрики обладают огромными значениями относительной ди-
диэлектрической проницаемости г, зависящей от напряженности Е
электрического поля, в котором находится вещество3.
1.7. Работа сил электростатического поля
1°. Сила F, действующая на заряд q\ находящийся в электроста-
электростатическом поле с напряженностью Е, равна F = q'E. Элементарная
работа АА A.5.1.1°) силы F при перемещении заряда q' на AI
АА = F • А/ • cos a = q' • Е • А/ • cos a,
где А/ — модуль вектора элементарного перемещения А1 A.1.2.1°),
а — угол между направлениями векторов Е и AI (рис. III. 1.16).
В
Рис. III. 1.17
2°. Работа при перемещении заряда q' между двумя точками
В и С электростатического поля равна сумме элементарных работ
(рис. Ш.1.17):
А = ААХ + АА2 + ...
3Для сегнетоэлектриков неприменимо понятие об е, введенное в 111.1.2.6°. Инфор-
Информация о практически важных свойствах сегнетоэлектриков выходит за рамки данного
справочного руководства.

1.7. Работа сил электростатического поля
203
Пример 1. Работав при перемещении положительного заряда
q в однородном поле с напряженностью Е между точками 7 и 2
равна
А = -qE(x2-xi),
где xi и Х2 — координаты точек 7 и 2 по оси Ох. Знак минус
показывает, что направления силы F = </Е и перемещения вдоль
оси Ох противоположны друг другу (рис. Ш.1.18).
П р и м е р 2. Работа А при перемещении точечного заряда qf меж-
между точками В и С в электростатическом поле точечного заряда q,
дд'
1
А =
(в СИ),
(в системе СГСЭ),
и С от заряда q (рис. Ш.1.17),
относительная диэлектриче-
диэлектричегде г\ и Г2 — расстояния точек
?о — электрическая постоянная, е
ская проницаемость A11.1.2.6°).
3°. Работа по перемещению электрического заряда из одной точ-
точки электростатического поля в другую не зависит от формы пу-
пути, а зависит лишь от начального и конечного положений заряда
(свойство потенциальности электростатических сил). Так, в
примере 1 работа при перемещении заряда у
по пути 1-2 равна работе по пути 1-3-2.
В примере 2 равны работы по перемеще-
перемещению заряда q1 по траекториям В С, В 1С и
ВИС. Работа электростатических сил при
перемещении заряда по замкнутой траекто-
траектории в электростатическом поле, равна нулю.
При xi = Х2 в примере 1 и при г\ = г2 в
примере 2 работа равна нулю.
4°. Работа электростатических сил от-
отталкивания одноименных зарядов положи-
положительна, если заряды удаляются друг от дру-
JJL
.3
о
X] Х2 X
Рис. Ш.1.18
га9 и отрицательна, если происходит сближение зарядов. Работа
электростатических сил притяжения разноименных зарядов поло-
положительна, если заряды сближаются, и отрицательна, если они уда-
удаляются друг от друга.

204 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
5°. Работа электростатических сил при перемещении электри-
электрического заряда q в электрическом поле равна убыли потенциальной
энергии П этого заряда:
А = -ДЯ = -(Я2 - ЯО = Я1 - Я2,
где /7i и /Тг — потенциальная энергия A.5.3.5°) заряда соответствен-
соответственно в начальной и конечной точках его траектории.
Пример 1. Потенциальная энергия заряда q в однородном поле
с напряженностью Е (рис. III. 1.18)
/7 = -qEx,
где х — координата заряда, если считать, что /7 = 0 при х = 0.
Пример 2. Потенциальная энергия заряда д; в данной точке
электростатического поля точечного заряда q, удаленной на рас-
расстояние г от заряда q (потенциальная энергия взаимодейству-
взаимодействующих зарядов),
^ (в СИ),
П = ^~ (в системе СГСЭ).
ег
Считается, что П -» 0 при г -> оо (обозначения см. п. 2°, пример 2).
6°. Потенциальная энергия отталкивания одноименных заря-
зарядов положительна и увеличивается, если заряды приближаются
щ друг к другу. Потенциальная энергия
притяжения разноименных зарядов от-
^Одноименные заряды рицательна и возрастает до нуля, если
один из зарядов удаляется от другого на
весьма большое расстояние (г -» сю)
г (рис. Ш.1.19).
Задача. Две параллельные пластины
'Разноименные заряды площадью по 2 10~2 м2 каждая, находя-
находящиеся в воздухе, равномерно заряжены
Рис. Ш.1.19 разноименными зарядами по 10~~7Кл.
Определить работу внешних сил при увеличении расстояния между
пластинами на 0.1 мм. Диэлектрик — воздух.
Дано: 5 = 2- 10~2м2, q = 10~7Кл, Ах = 0.1мм = 10~4м,
?0 = 8.85- 10-]2Ф/м, е= 1.
Найти: АА.

1.8. Потенциал электростатического поля 205
Решение: Работа АА = F • Ах. Сила, действующая на пластину
с равномерно распределенным зарядом </, находящуюся в
однородном поле с напряженностью Е, определяется по той же
формуле, что и для точечного заряда в поле с напряженностью Е
A11.1.3.4°). В данном случае
Е = Т~ = ^ F=ZC1E = T-^ и ДЛ = -Ц.Д*,
2е0 2e0S 2e0S 2e0S
1Q-14 # 1П-4
АА =
1.8. Потенциал электростатического поля
1°. Энергетической характеристикой электростатического поля
является его потенциал. Потенциалом поля в данной точке называ-
называется скалярная величина, определяемая потенциальной энергией Л
единичного положительного заряда, помещенного в эту точку:
П
9 = Т
Электростатическое поле, каждая точка которого характеризуется
некоторым потенциалом, является примером потенциального поля.
2°. Работа по перемещению заряда q из точки / в точку 2
A11.1.7.5°)
А = П\ - П2 = q(q>\ - <рг)>
Разность потенциалов в начальной G) и конечной B) точках пути
определяется работой сил электростатического поля при перемеще-
перемещении единичного положительного заряда между этими точками:
А
Ч>\ ~Я>2 = -•
Если точка 2 находится в бесконечности, то /72 = 0 и соответ-
соответственно ф2 = 0. Работа А1 по перемещению заряда q из точки / в
бесконечность А' = П\ — qcp\, откуда ср\ — A'/q.
Таким образом потенциал электростатического поля в данной
точке может быть определен работой сил электростатического по-
поля при перемещении единичного положительного заряда из данной
точки поля в бесконечность.

206 Отдел III. Гл, 1. Электростатика
3°. Потенциал также может быть определен работой внешних
сил при перемещении единичного положительного заряда из бес-
бесконечности в данную точку. Например, потенциал численно равен
работе, которая будет совершена, если, преодолевая отталкивание
от положительного заряда q, другой единичный положительный за-
заряд переносится из бесконечности в данную точку поля.
4°. В большинстве задач практический смысл имеет разность
потенциалов между двумя точками электростатического поля, а не
значения потенциалов в этих точках. Поэтому выбор точки с ну-
нулевым потенциалом определяется соображениями простоты и удоб-
удобства решения задач. Иногда удобнее выбирать равным нулю потен-
потенциал Земли, а не бесконечно удаленной точки.
5°. Если электрически заряженная частица с зарядом q и мас-
массой т движется в ускоряющем ее электрическом поле с разностью
потенциалов <р\ -срг, то частица приобретает кинетическую энергию
„2
mV
и скорость
т
6°. Разность потенциалов между двумя точками 1 и 2 электроста-
электростатического поля, удаленными на расстояния х\ и Х2 от равномерно
заряженной бесконечной плоскости,
<Рг-<Р2= ~—(*2 -*i) (в СИ),
zeoe
щ - ф2 — (х2 —х\) (в системе СГСЭ),
где о — поверхностная плотность зарядов, г0 — электрическая пос-
постоянная, е — относительная диэлектрическая проницаемость.
7°. Разность потенциалов между равномерно и разноименно за-
заряженными бесконечными параллельными плоскостями
(р\ ~(Р2 = — (в СИ),
ео€
ф\ — Ц>2 = ™—— (в системе СГСЭM
где d — расстояние между плоскостями. Остальные обозначения
см. в п. 6°.

1.9. Напряженность и разность потенциалов 207
8°. Потенциал электростатического поля точечного заряда q в
точке, удаленной на расстояние г от заряда (при условии, что ср —> 0
при г —» оо),
Ч (в СИ),
4же0ег
ф — — (в системе СГСЭ).
ег
9°. Потенциал электростатического поля шара с радиусом R и
зарядом q, равномерно распределенным по его поверхности, совпа-
совпадает вне шара с потенциалом поля точечного заряда q, помещенного
в центре шара (при условии, что ф —> 0 при г —> оо). Внутри шара
имеется постоянный потенциал поля, равный
<р = q
4jre0eR
(в СИ),
v }
ф = -~ (в системе СГСЭ),
хотя напряженность поля внутри шара равна нулю A11.1.4.3°).
1.9. Связь между напряженностью и разностью
потенциалов электростатического поля
1°. Две характеристики электростатического поля — силовая (Е)
и энергетическая (ф) связаны между собой.
Вблизи любой точки электростатического поля потенциал изме-
изменяется наиболее быстро в направлении силовой линии A11.1.3.5°).
Напряженность в произвольной точке электро- Е}
статического поля равна убыли потенциала, при-
приходящейся на единичную длину силовой линии:
Е,-
1 А/'
где А1 — вектор с модулем А/; Е\ = Е • cos a —
проекция вектора Е на направление Д1
(рис. III. 1.20). Знак минус показывает, что вектор напряженности
поля всегда направлен в сторону убывания потенциала.

208
Отдел III. Гл. 1. Электростатика
2°. Геометрическое место точек электростатического поля с оди-
одинаковыми потенциалами называется эквипотенциальной поверх-
поверхностью. Свойства эквипотенциальных поверхностей:
а) в каждой точке эквипотенциальной поверхности вектор на-
напряженности поля перпендикулярен к ней и направлен в сторону
убывания потенциала;
б) работа по перемещению электрического заряда по одной и
той же эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Примером эквипотенциальной поверхности является поверх-
поверхность заряженного проводника. Во всех точках внутри объема тако-
такого проводника напряженность электростатического поля равна ну-
нулю A11.1.5.3°), и все точки объема проводника имеют одинаковые
потенциалы.
3°. Электростатическое поле графически изображают не только
при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных
Рис. Ш.1.21
поверхностей. Вокруг любых источников электростатического по-
поля можно провести бесконечное множество эквипотенциальных по-

1.9. Напряженность и разность потенциалов 209
верхностей. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов
между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностя-
поверхностями были одинаковы.
По известному расположению линий напряженности A11.1.3.5°)
электростатического поля можно построить эквипотенциальные по-
поверхности, и, наоборот, по известному расположению эквипотенци-
эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить мо-
модуль и направление вектора напряженности поля.
На рис. III. 1.21 изображены плоские сечения электростатических
полей положительного точечного заряда (а), диполя F), двух од-
одноименных зарядов (в) и заряженного металлического проводника
сложной конфигурации (г). Пунктиром изображены силовые линии,
сплошными линиями — сечения эквипотенциальных поверхностей.
Задача 1. Равномерно заряженный шар радиусом 2 см в вакууме
имеет поверхностную плотность заряда 5 • 10~7Кл/м2. Определить
потенциал поля в точке, отстоящей на 0.5 м от центра шара, а также
потенциал и напряженность поля внутри шара.
Дано: R = 2см = 2 • 10~2м, о = 5 • 1(Г7Кл/м2, г = 0.5м,
?0 = 8.85- 10~12Ф/м, е = 1.
Найти: д>\, д>2, Е.
Решение: Потенциал электрического поля вне шара совпадает
с потенциалом поля точечного заряда, сосредоточенного в центре
шара, ср\ = q/Ллеоег.
Так как q = oS = o4jtR2, to
aR2 5 - 10-7 - 4 - Ю-4
*l~eoer' *" 8.85-10-»2.1.0.5
Потенциал поля внутри заряженного шара
a aR 5 • 10~7 ¦ 2 ¦ Ю
_ . lft_
B-410B-
Ф2 =
8.85 • 10~
Связь напряженности поля с потенциалом шара имеет вид
Е — -Аф/Ar. Потенциал поля внутри шара во всех точках одина-
одинаков. Его изменение на единичное расстояние в любом направлении
равно нулю, поэтому Е = 0.
Задача 2. Какова разность потенциалов между точками электро-
электростатического поля, находящимися в вакууме на расстояниях 0.4 м и
1 м от точечного заряда 2-10~9 Кл? Чему равна работа сил поля при

210 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
перемещении положительного заряда 4 • 10~10Кл из первой точки
во вторую?
Дано: q = 2 • 1(Г9Кл, г{ = 0.4м, г2 = 1 м, qx = 4 • 10-10Кл,
е = 1.
Найти: щ — д>2, А.
Решение: Разность потенциалов двух точек электростатического
поля точечного заряда
q q q ( \ \
я п п \г\ г2
Работа А = in(q>x - <р2), А = 4 • 10~10 • 3 • 10 Дж = 1 • 10~8 Дж.
Задача 3. Разность потенциалов точек, отстоящих от заряженной
плоскости на расстояниях в 5 и 10 см, равна 5 В. Чему равен заряд
плоскости в вакууме, если ее площадь равна 400 см2?
Дано: х\ = 5см = 5 • 10~2м, х2 = 10см = 10 • 10~2м,
S = 400 см2 = 400 • 10~4м2, <рх - ср2 = 5 В, с = 1.
Найти: q.
Решение: Разность потенциалов точек поля заряженной плоскос-
плоскости
(рх(р2 = (х2-х\), где а = -.
Заряд плоскости q = aS, или
(<Р\ - (Pi) ' 2еое
Х2 ~~Х\
1.10. Электроемкость
1°. Когда на проводнике увеличивается заряд q, то прямо пропор-
пропорционально заряду возрастает потенциал проводника ср. Это справед-
справедливо для проводников любой геометрической формы. Отношение за-
заряда проводника к его потенциалу не зависит от значения заряда, на-
находящегося на проводнике, и определяется свойствами самого про-
проводника, а также среды, в которой он находится. Характеристикой

1.10. Электроемкость 211
электрических свойств проводника, определяющей возможность на-
накопления зарядов на данном проводнике, является электроемкость.
Физическая величина, измеряемая отношением заряда q уеди-
уединенного4 проводника к его потенциалу <р, называется электроем-
электроемкостью {емкостью) уединенного проводника:
Иными словами, электроемкостью (емкостью) уединенного про-
проводника называется физическая величина, равная заряду, который
изменяет потенциал проводника на одну единицу потенциала.
Емкость проводника зависит от его линейных размеров и гео-
геометрической формы, но не зависит от материала проводника и его
агрегатного состояния. Геометрически подобные проводники имеют
электроемкости, прямо пропорциональные их линейным размерам.
Емкость проводника прямо пропорциональна относительной диэлек-
диэлектрической проницаемости среды A11.1.2.6°), в которой находится
проводник.
2°. Емкость уединенного шара
С = 4jT€0eR (в СИ),
С = eR (в системе СГСЭ),
где R — радиус шара, ?о — электрическая постоянная, е — относи-
относительная диэлектрическая проницаемость среды, в которой находит-
находится шар.
3°. Взаимной электроемкостью (взаимной емкостью) двух
проводников называется физическая величина, равная заряду q, ко-
который нужно перенести с одного проводника на другой для того,
чтобы изменить на единицу разность потенциалов ((р\ - ср2) между
ними:
S-* Ч
СР\ ~ <Р2
Взаимная емкость зависит от геометрической формы, линейных
размеров и взаимного расположения проводников и не зависит от
материала проводников и их агрегатных состояний. Взаимная ем-
емкость прямо пропорциональна относительной диэлектрической про-
проницаемости среды, в которой находятся проводники.
Уединенным называется проводник, находящийся вдали от заряженных тел и
других проводников.

212
Отдел ill. Гл. 1. Электростатика
Задача. Сколько электронов находится на поверхности уединен-
уединенного металлического шара диаметром 4 см, заряженного в вакууме
до потенциала 100 В?
Дано: d = 4см = 4- 10~2м, д> = 100В, е = 1.
Найти: N.
Решение: Заряд металлического шара q = Сер, где С — электро-
электроемкость уединенного шара, С = Ane^eR, R — радиус шара. Тогда
q = 4jT€oe(d/2)(p.
Число электронов N = q/e, где е — модуль заряда электрона,
100
2е
4-3.14-8.85- 10~12 -4- Ю •
1.11. Конденсаторы
1°. Конденсатор состоит из двух проводников, заряженных раз-
разноименно равными по абсолютному значению зарядами. Провод-
Проводники должны иметь такую геометрическую форму и должны быть
расположены друг относительно друга так, чтобы их электрическое
поле было сосредоточено в пространстве между ними. Проводни-
Проводники, образующие конденсатор, называются его обкладками (обклад-
(обкладки конденсатора). Емкость конденсатора является взаимной емко-
емкостью его обкладок A11.1.10.3°). Конденсаторы служат накопителями
электрической энергии A11.1.12.2°).
Рис. III. 1.22
2°. Плоский конденсатор представляет собой две параллель-
параллельные плоские пластины, заряженные одинаковыми по абсолютному
значению, но разноименными зарядами. Пластины (обкладки) кон-

1.11. Конденсаторы
213
денсатора находятся на расстоянии d друг от друга (рис. III. 1.22).
При зарядке конденсатора можно сообщить одной из обкладок не-
некоторый заряд, а другую обкладку заземлить. Тогда на заземленной
обкладке останется заряд, противоположный по знаку и равный по
значению заряду, сообщенному первой об-
обкладке. В Землю уйдет заряд того знака, ко-
которым заряжена первая обкладка.
3°. Емкость плоского конденсатора
eoeS
S~1
С =
d
eS
(в СИ),
(в системе СГСЭ),
Рис. III. 123
где S — площадь каждой обкладки или
меньшей из них, d — расстояние между об-
обкладками, со — электрическая постоянная,
е — относительная диэлектрическая проницаемость вещества, на-
находящегося между обкладками.
Если плоский конденсатор состоит из системы п пластин {мно-
{многопластинчатый конденсатор), то в формулу емкости вместо S
входит произведение S(n - 1), где п — число пластин.
4°. Конденсатор переменной емкости в простейшем случае
состоит из двух наборов металлических пластин. При вращении ру-
рукоятки (рис. III. 1.23) пластины одного набора входят в промежутки
между пластинами другого набора. При этом емкость конденсатора
меняется пропорционально изменению площади перекрывающейся
части пластин.
¦С,
I «С,
Рис. Ш.1.24
Рис. III. 1.25
5°. Увеличение емкости достигается параллельным соединени-
соединением конденсаторов в батарею. При этом конденсаторы соединяются

214 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
одноименно заряженными обкладками (рис. Ш.1.24). Общая ем-
емкость батареи
С = С\ + Cj + • • • Сп.
6°. При последовательном соединении конденсаторов соеди-
соединяются их разноименные обкладки (рис. Ш.1.25). При этом скла-
складываются величины, обратные емкостям:
1 _ J_ JL _L
С~~~С~1+С~2^'"С~п'
и общая емкость батареи всегда меньше, чем наименьшая емкость
конденсатора, входящего в батарею.
Задача 1. Найти разность потенциалов в воздушном конденсато-
конденсаторе, если между его обкладками поместить плотно прилегающую к
ним фарфоровую пластинку. Первоначально конденсатор был заря-
заряжен до 200 В, а затем источник отключили.
Дано: ф\ -<Р2 = Дф1 = 200 В, е\ = 1.0, е2 = 5.0.
Найти: Aq>2.
Решение: Емкость воздушного конденсатора С\ = qj Ащ. Ем-
Емкость конденсатора с диэлектриком С г — qj Ащ.
Так как заряд конденсатора не изменяется, то Аф2/Аф\ = С\1Сг\
емкость плоского конденсатора С = eoeS/d, тогда С1/С2 = ?i/?2 и
Аср2 = Aq>\(ei/e2)9 Аср2 = 200 • A/5.0) В = 40В.
Задача 2. Найти емкость и поверхностную плотность заряда
на пластинах плоского воздушного конденсатора, заряженного до
разности потенциалов в 200 В. Площадь каждой пластины равна
0.25 м2, расстояние между пластинами равно 1.0 мм.
Дано: <р\ - q>2 = 200 В, S = 0.25 м2, d = 1.0мм = 1.0 • 10м,
е= 1.0.
Найти: С, а.
Решение: Емкость плоского конденсатора
С? С\;^Ф 2.210Ф.
а 1.0 • 10~3
Разность потенциалов между двумя заряженными пластинами
<Р\ - Я>2 = оd/еое, откуда
(<Р\ ~
200 -8.85 -102 1.0 хг , 2 Л о 1Л бгг , 2
о = Кл/м2 = 1.8 • 10~6 Кл/м2.

1.12. Энергия электрического поля 215
1.12. Энергия электрического поля
1°. Для того чтобы увеличить заряд проводника, необходимо пе-
перенести на него некоторый дополнительный заряд. Для этого необ-
необходимо преодолеть силы отталкивания между вновь переносимым
зарядом и уже ранее имевшимися на проводнике зарядами. Увели-
Увеличение заряда на проводнике и его потенциала связано с работой
внешних сил. Работа внешних сил, необходимая для того, чтобы со-
сообщить проводнику заряд q и потенциал (/>, может служить мерой
энергии заряженного проводника.
2°. Собственной энергией заряженного проводника называет-
называется потенциальная энергия взаимодействия зарядов, находящихся на
проводнике. Если проводник не находится во внешнем электроста-
электростатическом поле, то его энергия является собственной и вычисляется
по формуле
_ qq> _ q2 _ Сер2
"соб- 2 -2С--у->
где С — емкость проводника, q и ср — его заряд и потенциал.
3°. Если имеется система п заряженных проводников, то пол-
полная электрическая энергия системы состоит из суммы собственных
энергий проводников и энергии их взаимодействия:
где qi — заряд /-го проводника, щ — потенциал z-го проводника,
равный сумме потенциала поля самого проводника и потенциалов
полей всех других проводников в месте нахождения /-го проводника.
4°. Энергия заряженного конденсатора является полной энерги-
энергией системы двух провоников и вычисляется по формуле
П __ Ч(<Р\ ~ <Pi) C(q>\ - q>2J
2 2
где q — заряд конденсатора, С — его электроемкость, (q>\ — ерг) —
разность потенциалов между обкладками конденсатора.
5°. Согласно теории близкодействия A11.1.3.2°) энергия любых
заряженных тел сосредоточена в электрическом поле этих тел. По-
Поэтому говорят об энергии электрического поля, причем считается,

216 Отдел III. Гл. 1. Электростатика
что энергия источников поля — заряженных тел — распределена
по всему пространству, где имеется электрическое поле. Например,
в плоском конденсаторе A11.1.11.2°) энергия сосредоточена в про-
пространстве между его обкладками.
6°. Энергия однородного электрического поля, сосредоточенного
в объеме V изотропной среды,
f (в СИ),
fF2
n = — V (в системе СГСЭ),
где Е — напряженность поля, ео — электрическая постоянная, е —
относительная диэлектрическая проницаемость среды.
7°. Объемной плотностью энергии we электрического поля на-
называется энергия поля, сосредоточенная в единичном объеме поля:
АП
вычисляется по формуле
^ (в СИ),
еЕ2
we = —— (в системе СГСЭ).
Выражения п. 7° справедливы не только для однородного по-
поля, но и для произвольных, в том числе и изменяющихся во вре-
времени, электрических полей в однородном изотропном диэлектрике
A11.1.6.1°).
8°. Определение электрического поля как особой формы мате-
материи A11.1.3.1°) получает свое обоснование в том, что у электриче-
электрического поля имеется энергия. Энергия, как и масса, является необхо-
необходимым свойством вещества и полей — двух форм материи, изучае-
изучаемых физикой.
Задача. Конденсаторы емкостью в 2.0 мкФ и 8.0 мкФ соединены
последовательно и подключены к источнику с разностью потенци-
потенциалов Аср = 200 В. Определить разность потенциалов на каждом
конденсаторе и энергию каждого конденсатора.

2.1. Основные понятия и определения 217
Дано: С\ = 2.0 мкФ, С2 = 8.0 мкФ, Аф = 200 В.
Найти: Аф\, Аф2, П\, П2.
Решение: При последовательном соединении заряды на конден-
конденсаторах будут одинаковыми. Разность потенциалов на конденсато-
конденсаторах: Аф\ — Q/C\ и Аф2 = Q/C2, где Q — заряд; Q = САф, где
С — емкость соединенных последовательно конденсаторов.
При последовательном соединении
1 11 ' СХС2
т; = тг + 77"» или С =
С С\ С2 С\
Тогда Q = (CiC2/(Ci + С2))А<р и
C2
Ci +С2
Энергии конденсаторов:
Глава 2
Постоянный электрический ток
2.1. Основные понятия и определения
1°. По свойству электрической проводимости (электропро-
(электропроводности) , т.е. способности проводить электрический ток, все ве-
вещества делятся на проводники (металлы, электролиты и иони-
ионизованные газы), диэлектрики (изоляторы) A11.1.6.1°) и полупро-
полупроводники A113.11.1°).

218 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
Электрическим током называется упорядоченное движение
электрических зарядов. Упорядоченное движение свободных элек-
электрических зарядов, происходящее в проводнике, называется током
проводимости. Токами проводимости являются: электрический ток
в металлах, созданный упорядоченным движением свободных элек-
электронов, ток в электролитах, осуществляемый упорядоченным дви-
движением ионов A11.3.1.1°), ток в газах A11.3.3.1°), где упорядоченно
движутся ионы и электроны. Упорядоченное перемещение электри-
электрических зарядов, происходящее при движении в пространстве заря-
заряженного тела, называется конвекционным током. Например, Земля
имеет избыточный отрицательный заряд и при ее движении возника-
возникает конвекционный ток. Кроме токов проводимости и конвекционных
токов существуют токи смещения (IV.4.1.30).
2°. Направлением электрического тока считается то направ-
направление, в котором упорядоченно движутся положительные заряды.
В металлах свободные электроны движутся в направлении, проти-
противоположном этому принятому. В жидкостях и газах упорядоченное
движение электрических зарядов может происходить как в направ-
направлении тока, так и в противоположном направлении (упорядоченное
движение электронов и отрицательных ионов).
3°. Силой тока называется скалярная величина /, равная элек-
электрическому заряду Aq, который за единичный промежуток времени
переносится сквозь некоторую площадь сечения проводника:
l~ At'
В частности, сила тока в проводнике определяется электрическим
зарядом Aq, который переносится за единичный промежуток вре-
времени сквозь поперечное сечение проводника.
4°. Постоянным называется электрический ток, сила и направ-
направление которого сохраняются с течением времени неизменными. Для
постоянного тока
t'
где q — заряд, который переносится сквозь поперечное сечение
проводника за время t.

2.1. Основные понятия и определения 219
5°. Сила постоянного тока в металлическом проводнике с пло-
площадью поперечного сечения S
I — envS,
где е — модуль заряда электрона, п — число носителей зарядов
(электронов проводимости) в единичном объеме, v — средняя ско-
скорость упорядоченного движения электронов.
6°. Вектором средней плотности тока j называется физи-
физическая величина1, модуль которой равен отношению силы тока /
к площади поперечного сечения проводника S, перпендикулярной
к вектору v (п. 7°):
. _ /
J ~~S9
Плотность тока определяет ток, приходящийся на единичную
площадь поперечного сечения проводника, и характеризует распре-
распределение электрического тока по сечению проводника. Вектор j на-
направлен вдоль тока (п. 2°).
7°. Плотность тока проводимости в металлах
j = nev,
где п — число электронов проводимости в единичном объеме
(концентрация носителей тока), е — модуль заряда электрона,
v -— вектор средней скорости упорядоченного движения электронов.
Важной особенностью металлов является практически постоянная
для данного металла концентрация п свободных электронов. Она не
зависит от температуры. Этим металлы существенно отличаются от
электролитов A11.3.1.4°) и полупроводников A11.3.12.5°).
8°. Модуль вектора v имеет значения порядка 10~4 м/с при наи-
наибольших допустимых плотностях токов. Например, в медном про-
проводнике (п « 8.5 • 1028м) v « 8 • 10~4м/с при самых больших
плотностях тока _/ = 1.1-107 А/см2, которые допускаются без опас-
опасного перегрева проводника.
9°. Электрический ток устанавливается во всем проводнике прак-
практически одновременно с замыканием цепи. Время установления
тока в цепи t — L/c, где L — длина цепи, с — скорость света в
1В дальнейшем под плотностью тока понимается средняя плотность тока.

220 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
вакууме, совпадает с временем установления вдоль всей цепи ста-
стационарного электрического поля (III. 1.3.1°). Это время совпадает с
временем распространения света вдоль электрической цепи. За это
время на всем протяжении проводника устанавливается упорядо-
упорядоченное движение электронов, начинающееся практически одновре-
одновременно с замыканием цепи.
Существование электрического тока обнаруживается по его теп-
тепловым, химическим и магнитным действиям.
2.2. Условия, необходимые для возникновения
и поддержания постоянного тока
1°. Для возникновения и поддержания в проводниках тока про-
проводимости A11.2.1.1°) на заряженные частицы должны действовать
силы, обеспечивающие их упорядоченное перемещение в течение
конечного промежутка времени.
Кулоновские силы электростатического взаимодействия элек-
электрических зарядов приводят к такому их распределению в проводни-
проводнике, при котором напряженность электрического поля внутри провод-
проводника равна нулю, а потенциалы всех точек проводника одинаковы.
Поэтому электростатическое поле кулоновских сил (кулоновское
электрическое поле) не может обеспечить постоянного электри-
электрического тока в проводнике A11.2.1.4°).
2°. Для того чтобы в проводнике мог существовать постоянный
ток проводимости, необходимо выполнение следующих условий:
а) напряженность электрического поля в проводнике должна
быть отлична от нуля и не должна изменяться с течением времени;
б) цепь постоянного тока проводимости должна быть замкнутой;
в) на свободные электрические заряды, помимо кулоновских сил,
должны действовать неэлектростатические силы, называемые сто-
сторонними силами. Сторонние силы могут быть обеспечены источ-
источниками тока (гальваническими элементами, аккумуляторами, элек-
электрическими генераторами и др.).
3°. За счет сторонних сил электрические заряды движутся вну-
внутри источника тока в направлении, противоположном действию сил
электростатического поля. Благодаря этому на концах внешней це-

2.3. Электродвижущая сила. Напряжение 221
пи поддерживается разность потенциалов и в цепи идет постоян-
постоянный электрический ток. Таким образом, упорядоченное движение
электрических зарядов в проводнике при прохождении по нему пос-
постоянного электрического тока обеспечивается энергией источника
тока.
4°. Сторонним электрическим полем называется неэлектро-
неэлектростатическое электрическое поле, в котором движутся свободные
электрические заряды в проводнике в условиях, когда действуют
сторонние силы.
Напряженностью стороннего электрического поля Ест на-
называется физическая величина, определяемая сторонней силой, дей-
действующей в стороннем электрическом поле на единичный положи-
положительный заряд, находящийся в данной точке внутри проводника
ч '
где FCT — сторонняя сила, которая действует на положительный
заряд q. По направлению Ест совпадает с FCT.
2.3. Электродвижущая сила. Напряжение
1°. Внутри проводника, по которому протекает постоянный элек-
электрический ток, напряженность Е электрического поля по принципу
суперпозиции полей A11.1.3.7°) равна
Е = Екул + Ест,
где Екул и Ест — соответственно напряженности кулоновского поля
и поля сторонних сил.
2°. Суммарная работа по перемещению заряда по проводнику в
процессе протекания по нему электрического тока равна
А=Акуя+Ас\
где Акуя — работа кулоновских сил A11.1.7.1°), АСТ — работа сто-
сторонних сил.

222 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
Суммарная работа при перемещении единичного положительно-
положительного заряда на участке 1-2 электрической цепи, по которой протекает
постоянный ток,
1
1^
q q q
Рис. Ш.2.1 где ^ — положительный заряд, который
переносится на участке 1-2 (рис. Ш.2.1). Согласно A11.1.8.2°),
A^-il-Q = Ф\ ~ Ч>2 есть разность потенциалов в точках / и 2.
3°. Электродвижущей силой ?г-\ (э.д.с), действующей на
участке 1-2 цепи, называется физическая величина, определяемая
работой сторонних сил при перемещении на участке 1-2 единично-
единичного положительного заряда:
q
4°. Напряжением {падением напряжения) U на участке це-
цепи 1—2 называется физическая величина, определяемая суммар-
суммарной работой кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль
участка цепи единичного положительного заряда из точки 1 в точ-
точку 2 (рис. Ш.2.1):
ЛХ^2
U = = ш\ — <р2) + ?г-\ •
q
Напряжение на концах участках цепи 1-2 равно разности потен-
потенциалов в точках 1 и 2 только в том случае, если на этом
участке не приложены э.д.с: U = ср\ — срг при ?2-1 = 0.
2.4. Закон Ома
1°. Электрическим сопротивлением {сопротивлением) участ-
участка цепи 12 принято считать одну из характеристик электрических
свойств данного участка цепи, определяющую упорядоченное пере-
перемещение носителей тока на этом участке.
Сопротивление металлического проводника на участке нераз-
ветвленной цепи A112.6.1°) зависит от материала проводника,
его геометрической формы и размеров, а также от температуры

2.4. Закон Ома 223
A11.2.5.1°). Для однородного цилиндрического проводника дли-
длиной / и площадью поперечного сечения S сопротивление R равно
(рис. Ш.2.2J
где р — удельное сопротивление проводника. Так называется
сопротивление однородного цилиндрического проводника, изготов-
1 2 R
Рис. Ш.2.2 Рис. III.2.3
ленного из данного материала и имеющего единичную длину и еди-
единичную площадь поперечного сечения.
Величина, обратная удельному сопротивлению, называется
удельной электропроводностью {проводимостью) проводника:
Я - 1/р.
2°. Закон Ома для произвольного участка цепи: напряжение
(падение напряжения) на участке цепи равно произведению сопро-
сопротивления этого участка на силу тока:
Иначе: падение напряжения на участке цепи равно сумме разности
потенциалов на концах участках и приложенных к нему э.д.с:
RI=(q>\ -02)+?2-1.
3°. Закон Ома для участка цепи, не содержащего э.д.с.
(рис. Ш.2.3). В этом случае ?2-\ = О, U = щ - ср2 A11.2.3.4°) и
Сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов на кон-
концах участка цепи и обратно пропорциональна сопротивлению этого
участка.
Проводник с сопротивлением R иногда называется резистором (от английского
«resistance»).

224
Отдел ill. Гл. 2. Постоянный электрический ток
4°. Закон Ома для полной электрической цепи, состоящей из
источника тока с э.д.с. ? и внутренним сопротивлением г и резисто-
резистора сопротивлением Rm (рис. Ш.2.4).
Для полной цепи ф\ = q>2, R = RBH + г есть полное сопротивле-
сопротивление цепи и ?*2—1 = ?• Поэтому
R+'
Сила тока в цепи прямо пропорциональна э.д.с, действующей в
цепи, и обратно пропорциональна сумме внешнего и внутреннего
сопротивлений.
Напряжение (падение напряжения) U на внешней цепи
U = IRm = ™ = ?-//%
где /г — падение напряжения внутри источника тока.
5°. Если полная электрическая цепь содержит несколько источ-
источников тока, э.д.с. которых равны, например, ?\, ?2, ?ъ (рис. Ш.2.5),
Рис. Ш.2.4
то э.д.с. ?, действующая в цепи, равна алгебраической сумме э.д.с.
отдельных источников тока:
N
Значение э.д.с. считается положительным (отрицательным), если
произвольно выбранное направление обхода цепи (на рис. Ш.2.5
против часовой стрелки) совпадает с переходом внутри источника
от отрицательного (положительного) полюса источника к положи-
положительному (отрицательному). Для цепи, изображенной на рис Ш.2.5,

2.4. Закон Ома 225
6°. Для разомкнутой электрической цепи / = 0 и, согласно п. 2°,
?2_{ — (р2 — щ. Э.д.с. источника тока измеряется разностью потен-
потенциалов на его клеммах при разомкнутой внешней цепи.
7°. Закон Ома для плотности постоянного тока в металлах
(закон Ома в электронной теории):
j = ЯЕ = -Е.
Р
Плотность постоянного тока A11.2.1.6°) равна произведению удель-
удельной электропроводности (п. 1°) на напряженность электрического
поля в данной точке внутри металлического проводника с током.
Средняя скорость v упорядоченного движения электронов в метал-
металле A11.2.1.7°) пропорциональна напряженности электрического поля
в данной точке проводника:
где е — модуль заряда электрона, т — его масса, г" — среднее
время свободного пробега электрона A1.2.3.3°).
В классической электронной теории электропроводности метал-
металлов предполагается, что свободные электроны в металлическом про-
проводнике A1.7.1.2°) под действием электрического поля ускоренно
движутся без столкновений от одного узла кристаллической решет-
решетки металла A1.1.6.5°) до другого. Плотность тока A11.2.1.7°) выра-
выражается формулой
j = ens — ——Е = ЯЕ.
2т
Удельная электропроводность металла в классической электронной
теории
1 _ пе2Т
р 2т
Задача. Батарея с э.д.с. в 16 В замкнута на прибор. Сила тока в
приборе 2 А. Коэффициент полезного действия батареи 0.75. Опре-
Определить внутреннее сопротивление батареи.
Дано: S = 16 В, / = 2 А, ц = 0,75.
Найти: г.

226 Отдел 111. Гл. 2. Постоянный электрический ток
Решение: Закон Ома для замкнутой цепи: / = ?/(R + г), или
? — U + Ir, где U = IR — падение напряжения на внешнем сопро-
сопротивлении, 1г — падение напряжения на внутреннем сопротивлении.
Коэффициент полезного действия батареи ц = U/?9 следова-
следовательно, U = г)? и ? = ц? + /г, откуда
5A-1?) 16A-0.75)
2.5. Зависимость сопротивления от температуры
1°. Удельное сопротивление р проводников зависит от темпера-
температуры:
р =роA Л-at),
где ро — удельное сопротивление при 0°С, t — температура по
шкале Цельсия, а = (р — po)/pot — температурный коэффици-
коэффициент сопротивления — относительное изменение сопротивления
проводника при нагревании его на один градус.
2°. Для металлов и сплавов в интервале 0^ 100°С значение тем-
температурного коэффициента сопротивления а изменяется в пределах
C.3—6.2) • 10~~3 град. Обычно для чистых металлов принимается,
что а — A/273) град. Для электролитов а < 0.
3°. Зависимость удельного сопротивления чистых металлов от
температуры не может быть удовлетворительно объяснена в рамках
классической электронной теории электропроводности. В современ-
современной квантовой теории электропроводности металлов доказывается,
что при всех температурах, кроме абсолютного нуля, свободные
электроны испытывают такие взаимодействия с узлами кристалли-
кристаллической решетки металла, что среднее время Т свободного пробега
электронов в области средних температур обратно пропорциональ-
пропорционально термодинамической температуре Т металла (Т ~ \/Т) и р прямо
пропорционально термодинамической температуре (р ~ Т).
4°. Явление сверхпроводимости, которое обнаруживается у не-
некоторых металлов и сплавов, заключается в том, что ниже некото-
некоторой температуры {температура Ткр перехода проводника в сверх-
сверхпроводящее состояние) удельное сопротивление этих веществ ста-
становится исчезающе малым. Температуры Гкр для чистых металлов

2.6. Разветвление токов. Соединения проводников 227
изменяются от 0.14 К (иридий) до 9.22 К (ниобий); для сплавов —
от 0.155К (Bi2Pt) до 23.2К (Nb3Ge).
Достигнуты значительные успехи в получении высокотемпера-
высокотемпературной сверхпроводимости. На базе металлокерамики получены
вещества, для которых температура Гкр перехода в сверхпроводящее
состояние превышает термодинамическую температуру 77 К (тем-
(температуру сжижения азота).
Явление сверхпроводимости используется для получения весьма
сильных магнитных полей. Если обмотку электромагнита A11.4.3.7°)
изготовить из сверхпроводящей проволоки, то в такой обмотке соз-
создается огромная плотность токов и, соответственно, электромагнит
имеет сильное магнитное поле.
На явлении сверхпроводимости основаны некоторые элемен-
элементы памяти счетнорешающих устройств. Принцип действия таких
элементов, изготавливаемых из сверхпроводящих пленок, состоит
в том, что ток, созданный в сверхпроводящем кольце, не затуха-
затухает очень долго. На принципе разрушения сверхпроводящего сос-
состояния магнитным полем основано иногда устройство переключа-
переключающих элементов современных электронных вычислительных ма-
машин. Достижение высокотемпературной сверхпроводимости суще-
существенно приближает время широкого технического использования
этого явления.
Теория явления сверхпроводимости разработана в современной
квантовой механике. Ознакомление с ней выходит за рамки курса
элементарной физики.
2.6. Разветвление токов. Соединения проводников
1°. Электрическая цепь представляет собой совокупность про-
проводников и источников тока. В общем случае электрическая цепь
является разветвленной (сложной) и содержит узлы. Узлом А в
разветвленной цепи называется точка, в которой сходится не менее
трех проводников (рис. III.2.6). Расчет разветвленной цепи состоит
в том, чтобы по заданным сопротивлениям участков цепи и при-
. юженным к ним >. i.e. найти апы токов в каждом участке цепи,
Дп paev/!O»< разпетт \ччьг> пенен применяются правила узлов и

228 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
2°. Правило узлов (первое правило Кирхгофа): алгебраическая
сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю:
к=\
где п — число проводников, сходящихся в узле. Силы токов, втека-
втекающих в узел, считаются положительными, а силы токов, отходящих
от узла, — отрицательными.
3°. Правило контуров (второе правило Кирхгофа): в лю-
любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной
электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил то-
ч/, у ков /к на сопротивления RK соответствую-
/4 щих участков этого контура равна алгебра-
алгебраической сумме имеющихся в контуре э.д.с:
к=\ /=1
Положительными считаются силы то-
токов, совпадающих с выбранным направле-
направлением обхода контура. ?,- считаются положи-
положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода
контура.
4°. Расчет разветвленной цепи постоянного тока проводится в
такой последовательности:
а) произвольно выбираются направления токов во всех участках
цепи;
б) записываются п — 1 независимых уравнений правила узлов,
где п — число узлов в цепи;
в) произвольные замкнутые контуры выделяются так, чтобы каж-
каждый новый контур содержал по крайней мере один участок цепи, не
входящий в ранее рассмотренные контуры. В разветвленной цепи,
содержащей п узлов и т участков цепи между соседними узлами,
число независимых уравнений правила контуров равно т — п + 1.
5°. При составлении электрической цепи проводники могут со-
соединяться последовательно или параллельно.
При последовательном соединении проводников (рис. Ш.2.7):
а) сила тока во всех частях цепи одинакова:
/ = const;

2.6. Разветвление токов. Соединения проводников
229
б) падение напряжения в цепи равно сумме падений напряжений
на отдельных участках:
?/ = ?/,+ и2;
в) падение напряжения на проводниках прямо пропорционально
их сопротивлениям:
U2 Ri
г) общее сопротивление цепи, состоящей из п последователь-
последовательно соединенных проводников, равно сумме сопротивлений отдель-
Рис. Ш.2.7
ных проводников:
Рис. III.2.8
R =RX +R2 + ,..+Rnm
6°. При параллельном соединении проводников (рис. III.2.8):
а) сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил то-
токов, текущих в разветвленных участках цепи:
/ = /i+/2;
б) падения напряжения в параллельно соединенных участках це-
цепи одинаковы:
U = const;
в) силы токов в участках разветвленной цепи обратно пропор-
пропорциональны их сопротивлениям:
1°. Величина Л, обратная сопротивлению участка цепи, называ-
называется электропроводностью {проводимостью), Л = \/R. Электро-

230 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
проводность цепи, состоящей из п параллельно соединенных про-
проводников, равна сумме электропроводностей всех проводников:
A = Ai + А2 + ... +ЛЛ,
или
Задача 1. Гальванометр с сопротивлением в 50 Ом может изме-
измерять силу электрического тока до 0.1 А. Как включить его в цепь,
чтобы он стал амперметром, измеряющим силы токов до 10 А, или
вольтметром для измерения разностей потенциалов до 100 В?
Дано: г = 50 Ом, / = 0.1 А, / = 10.0 А, А<р = 100 В.
Найти: R\, R2.
Решение: Для измерения токов больших, чем те, на которые рас-
рассчитан прибор, надо к последнему подключить параллельно рези-
резистор с сопротивлением R\, называемый шунтом (рис. Ш.2.9). Сила
h R\
Рис. Ш.2.9 Рис. Ш.2.10
тока в цепи / = / +1\9 где 1\ — сила тока, идущего через шунт. Со-
Сопротивление шунта R\ = Aq>/I\9 где Аф — разность потенциалов,
в данном случае одна и та же на клеммах амперметра и на концах
шунта: Аф = ir.
Тогда
Для измерения гальванометром разности потенциалов к нему
последовательно надо подключить резистор с сопротивлением /Ь
(рис. Ш.2.10). Общая разность потенциалов Лф будет при этом

2.6. Разветвление токов. Соединения проводников
231
складываться из разности потенциалов на клеммах гальваноме-
гальванометра A(pi и разности потенциалов на концах резистора Аф2'.
Аф =
По условиям задачи должно быть Аф\ = ir и Аф2 = iR2- Следова-
Следовательно Аф = ir + iR2, откуда
Аф-ir п 100-0.1-50
0Л
Ом = 1 • 103 Ом.
R
Задача 2. К источнику тока подключены последовательно ам-
амперметр и резистор. Вольтметр подключен параллельно резистору
(рис. Ш.2.11). Показания вольтметра — 200 В, амперметра —
0.5 А. Сопротивлением амперметра можно пре-
пренебречь.
Определить сопротивление резистора в двух
случаях:
1) Сопротивление вольтметра бесконечно
велико.
2) Сопротивление вольтметра равно 2000 Ом.
Дано: Аф = 200В, / = 0.5А, г = оо,
г = 2000 Ом.
Найти: R\, R2.
Рис. Ш.2.11
Решение: 1) При г = оо сила тока, идущего через вольтметр,
равна нулю. Сопротивление резистора
2) При г = 20000м сила тока в цепи равна сумме сил токов,
текущих через вольтметр и резистор / = / + /1, где / — сила тока,
текущего через вольтметр, / = Аф/r; сила тока, текущего через
резистор i\ — I — i = / - (Аф/r). Тогда
Аф
2 /
200
= 5102Ом.
L 0.5-B00/2000)
Различие в результатах измерений будет составлять
AR = 5 - 102 - 4 • 102 = 1 • 102 Ом.

232
Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
Задача 3. Потенциометр с сопротивлением 3.0 кОм подключен
к источнику тока, э.д.с. которого равна НОВ. Определить разность
потенциалов на клеммах прибора, который соединен с клеммой по-
потенциометра D и подвижным контактом С, находящимся посредине
потенциометра (рис. Ш.2.12). Сопротивление прибора ЮкОм.
i« L
Рис. Ш.2.12
Потенциометром называется устройство, назначение которо-
которого состоит в том, чтобы изменять разность потенциалов на кон-
концах какого-либо участка цепи. Для этой цели в электрическую цепь
включают с помощью трех клемм проволочный реостат с подвиж-
подвижным контактом.
Дано: Rx = ЮкОм = 1.0 • 104Ом, R2 = З.ОкОм = 3.0 • 103Ом,
?= НОВ.
Найти: Ад>.
Решение: Пусть силы токов на участках ВА, CD и DEC соот-
соответственно равны /i, /2 и /. Направления этих токов показаны на
рисунке.
По закону Ома для участка В А искомая разность потенциалов
bp = hRi. A)
По первому правилу Кирхгофа A11.2.6.2°) для узла С
B)
По второму правилу Кирхгофа (Ш.2.6.30) для контуров DEFD
и DC BAD при их обходе против часовой стрелки имеем
М ,rR2
-/2 у
=0.
C)
D)

2.6. Разветвление токов. Соединения проводников 233
Полученная система четырех уравнений A)-D) позволяет найти
любую из четырех неизвестных величин. Для искомой разности по-
потенциалов А<р на клеммах прибора получаем
2?R{ Л 2 - 110 1.0 - 104 п С1Г>
А(Р B = 51R
7? 4- 1.0. 10^ + 3.0. 103 B = 51R
Задача 4. К реостату, сопротивление которого R = 5 Ом, под-
подключена батарея из двух элементов с электродвижущими силами
?1 = 8 В, ?2 = 4 В и внутренними сопротивлениями г \ = 1 Ом
и г2 = 0.5 Ом. Определить силу тока в реостате в случае, когда
элементы подсоединены к реостату одноименными полюсами.
Дано: Е\ = 8В, гх = Юм, ?2 = 4В, г2 = 0.5Ом, /? = 5Ом.
Найти: I.
Решение: Выбираем направление обхода контуров по часовой
стрелке. Силы токов, текущих в направлении обхода, считаются по-
положительными (рис. Ш.2.13).
По правилу Кирхгофа для узла А
/2 + / = /i; A)
по правилу Кирхгофа для контуров:
для контура ?{BRA?\
IR = ?u B)
для контура
IR = ?2. C)
Из B) получаем 1Х = (?х -IR)/rx. Из C) имеем /2 = (-?г+1КIгг.
Подставляя значения 1\ и h в A), получим
-?2 + IR r ?\-IR
f- / = , ИЛИ
Г2 Г\
отсюда
?\гг+?2г\ _ 80.5 + 4-1 Л==1Л
' ' Лг1+Г1Г2+Лг2 ¦ 5-1+ 1 0.5 + 50.5

234 Отдел III. Гл. 2. Постоянный электрический ток
2.7. Работа и мощность тока. Закон Джоуля—Ленца
1°. Если электрический ток постоянен, а образующие цепь про-
проводники неподвижны, то энергия W, которая необратимо преобра-
преобразуется за время t в объеме проводника, равна работе кулоновских
и сторонних электрических сил при перемещении зарядов вдоль
электрической цепи A11.2.3.4°), которую часто называют работой
тока:
W =A= IUt,
где / — сила тока, U — падение напряжения в проводнике.
2°. Необратимые преобразования энергии в проводнике с током
обусловливаются взаимодействием электронов проводимости с уз-
узлами кристаллической решетки металла A1.1.6.5°). В результате
столкновений электронов с положительными ионами, находящими-
находящимися в узлах решетки, электроны передают ионам энергию. Эта энер-
энергия идет на нагревание проводника.
3°. Мощность электрического тока определяется работой то-
тока за единичный промежуток времени:
Р=-=Ш,
t
где / — сила тока, U — падение напряжения на данном участке
цепи.
4°. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за время /,
Q = W = IUt.
При измерении Q в калориях (VII.4.10), а остальных величин в СИ
(VII.5.20)
Q = 0.24Я//.
Две последние формулы выражают закон Джоуля—Ленца: ко-
количество теплоты, которое выделяется током в проводнике, прямо
пропорционально силе тока, времени его прохождения по провод-
проводнику и падению напряжения на нем.

3.1. Электрический ток в электролитах 235
ГлаваЗ
Электрический ток
в неметаллических средах
3.1. Электрический ток в электролитах
1°. Электролитами называются вещества, в которых электри-
электрический ток осуществляется ионной проводимостью. Ионной про-
проводимостью называется упорядоченное движение ионов под дей-
действием внешнего электрического поля. Электролитами являются
растворы кислот, щелочей и солей, а также расплавленные соли.
Ионами называются атомы или молекулы, потерявшие или присо-
присоединившие к себе один или несколько электронов. Положитель-
Положительные ионы называются иначе катионами, отрицательные ионы —
анионами. Электрическое поле, вызывающее упорядоченное дви-
движение ионов, создается в жидкости электродами — проводника-
проводниками, соединенными с источником тока. Положительно заряженный
электрод называется анодом, отрицательно заряженный — като-
катодом. Положительные ионы (катионы) — ионы металлов и водо-
водородные ионы — движутся к катоду, отрицательные ионы (анио-
(анионы) — кислотные остатки и гидроксильные группы ОН — движутся
к аноду.
2°. Прохождение электрического тока через жидкости сопровож-
сопровождается электролизом — выделением на электродах веществ, входя-
входящих в состав электролита. Электролиты иначе называются провод-
проводниками II рода. В них ток связан с переносом вещества, в отличие
от металлических проводников — проводников I рода, в которых
носителями тока являются обобществленные, коллективизирован-
коллективизированные электроны металлов-A1.7.1.2°).
3°. Возникновение ионов в электролитах объясняется явлением
электролитической диссоциации — распадом молекул растворен
ного вещества на положительные и отрицательные ионы в резуль-
результате взаимодействия с растворителем. Молекулы растворяемых ве-
веществ состоят из взаимосвязанных ионов противоположного знака
(например, Na"fC1~, \P'"Qr\ К'1"!'". Cu^'SO7"" и т.д.). Силы притя-

236 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
жения между этими ионами обеспечивают целостность таких моле-
молекул. Взаимодействие этих молекул с полярными молекулами раство-
растворителя, например воды A11.1.6.4°), приводит к ослаблению взаимно-
взаимного притяжения противоположно заряженных ионов. При тепловом,
хаотическом движении молекул растворенных веществ и раствори-
растворителей происходят их столкновения, которые приводят к распаду мо-
молекул на ионы.
4°. Степенью диссоциации а называется отношение числа мо-
молекул п'о, диссоциировавших на ионы, к общему числу по молекул
вещества: а = п'^/щ.
При тепловом, хаотическом движении ионов в растворе может
происходить процесс воссоединения ионов противоположных зна-
знаков в нейтральные молекулы. Этот процесс называется рекомбина-
рекомбинацией (мояизацией) ионов.
Между процессами электролитической диссоциации и реком-
рекомбинации ионов при неизменных условиях устанавливается дина-
динамическое равновесие, при котором число молекул, распадающих-
распадающихся на ионы за единичный промежуток времени, равно числу
пар ионов, которые за это время воссоединяются в нейтральные
молекулы.
В состоянии динамического равновесия раствор электролита
характеризуется определенной степенью диссоциации а, опреде-
определяющей число носителей тока в жидкости — ионов противо-
противоположного знака. Степень диссоциации а зависит от темпера-
температуры, концентрации раствора и относительной диэлектрической
проницаемости е растворителя A11.1.2.6°). Ионы в электроли-
электролитах движутся хаотически до тех пор, пока в жидкость не опус-
опускаются электроды (п. 1°). Тогда на хаотическое движение ио-
ионов накладывается их упорядоченное движение к соответству-
соответствующим электродам и в жидкости возникает электрический ток
(п. 1°).
Плотность электрического тока в электролитах подчиняется за-
закону Ома для плотности тока A11.2.4.7°) j = ЛЕ. Однако выражение
для удельной электропроводности X A11.2.4.7°) имеет более слож-
сложный вид, чем для металлов, и не рассматривается в элементарной
физике.

3.2. Законы электролиза. Дискретность электрических зарядов 237
3.2. Законы электролиза. Дискретность
электрических зарядов
1°. Первый закон электролиза {первый закон Фарадея): мас-
масса вещества, выделяющегося на электроде, прямо пропорциональна
электрическому заряду д, прошедшему через электролит:
т = kq, или т = kit
(поскольку q = It, где / — сила постоянного тока, протекающего
через раствор за время /).
Коэффициент пропорциональности k называется электрохими-
электрохимическим эквивалентом вещества. Он определяется массой вещест-
вещества, выделившегося при прохождении через электролит единичного
электрического заряда.
2°. Второй закон электролиза {второй закон Фарадея): элек-
электрохимические эквиваленты веществ прямо пропорциональны отно-
отношениям их атомных (молярных) масс А к валентности п:
А 1 А
/с — с —
п F п
Величина F = \/с называется числом {постоянной) Фарадея.
3°. Из объединенного закона электролиза Фарадея:
\ А \ А
т = У/, или т = а,
F n F п
следует, что постоянная Фарадея определяется электрическим заря-
зарядом, который нужно пропустить через электролит для выделения на
электроде любого вещества с массой, равной в килограммах отно-
отношению А/п. Значение числа Фарадея в СИ:
F = 9.648- 104Кл/моль.
4°. Из объединенного закона электролиза определяется электри-
электрический заряд q любого иона: q — ±{nF)/NA, где п — валентность ио-
иона, F — постоянная Фарадея, NA — постоянная Авогадро A1.1.1.5°).
Заряд одновалентного иона {п = 1) равен элементарному заряду:
q = е = 1.602 • 1(Г19 Кл = 4.803 • 10-10ед. СГСЭ (VII.5.20).
Любой электрический заряд является кратным элементарному
заряду е A11.1.1.3°).

238 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
3.3. Электрический ток в газах
1°. Газы, в отличие от металлов и электролитов, состоят из элек-
электрически нейтральных атомов и молекул и в нормальных условиях
не содержат свободных носителей тока (электронов и ионов). Газы
в нормальных условиях являются диэлектриками. Носители элек-
электрического тока в газах могут возникнуть только при ионизации
газов — отрыве от их атомов или молекул электронов. При этом
атомы (молекулы) газов превращаются в положительные ионы. От-
Отрицательные ионы в газах могут возникнуть, если атомы (молекулы)
присоединят к себе электроны.
Электрический ток в газах называется газовым разрядом. Для
осуществления газового разряда к трубке, где имеется ионизован-
ионизованный газ (газоразрядная трубка), должно быть приложено элек-
электрическое или магнитное поле.
2°. Ионизация газов может происходить под влиянием внешних
воздействий (внешних ионизаторов): сильного нагревания, ультра-
ультрафиолетовых и рентгеновских излучений (V.3.6.10), радиоактивных
излучений (VI.4.4.10), при бомбардировке атомов (молекул) газов
быстрыми электронами или ионами.
Мерой процесса ионизации является интенсивность иониза-
ионизации, измеряемая числом пар противоположно заряженных частиц,
возникающих в единичном объеме газа за единичный промежуток
времени.
3°. Для ионизации атома (молекулы) необходима работа иони-
ионизации АИ против сил взаимодействия между вырываемым электро-
электроном и остальной частью атома (молекулы). Величина АИ зависит от
химической природы газа и энергетического состояния электрона,
который вырывается из атома или молекулы. Работа ионизации АИ
имеет наименьшее значение для валентных электронов (VI.2.9.20)
и возрастает с увеличением числа электронов, вырванных из ато-
атома (молекулы). Это связано с тем, что после удаления из атома
(молекулы) одного электрона возрастает прочность связи с атомом
(молекулой) остальных электронов. Например, работа ионизации
атома азота (N) равна 14.5 эВ, его одновалентного иона (N+) —
29.5 эВ, двухвалентного иона (N++) — 47.4 эВ.
4°. Ударной ионизацией (ионизацией электронным или ион-
ионным ударом) называется отрыв от атома (молекулы) газа одно-

3.4. Несамостоятельный газовый разряд 239
го или нескольких электронов, вызванный соударением с атомами
(или молекулами) газа электронов или ионов, разогнанных элек-
электрическим полем в разряде. Ударная ионизация одноатомного газа
электронами или ионами возможна при выполнении условия
где т — масса ионизующей частицы, mv2/2 — ее кинетическая
энергия, Аи — работа ионизации, М — масса атома. Для того что-
чтобы одновалентный ион произвел ударную ионизацию, он должен
пройти в ускоряющем электрическом поле большую разность по-
потенциалов Аф, чем электрон. Это видно из того, что mv2/2 = eAg>
5°. Противоположным процессу ионизации газов является про-
процесс рекомбинации — воссоединения противоположно заряженных
частиц (положительных ионов и электронов) в нейтральные атомы
(молекулы). При неизменном во времени действии внешнего иони-
ионизатора между процессами ионизации и рекомбинации устанавлива-
устанавливается динамическое равновесие, при котором число вновь образу-
образующихся пар противоположно заряженных частиц равно числу пар,
воссоединившихся в нейтральные атомы (молекулы).
3.4. Несамостоятельный газовый разряд
1°. Несамостоятельным газовым разрядам называется
электропроводность газов, вызванная внешними ионизаторами
A11.3.3.2°). Такой газовый разряд характери-
характеризуется кривой ОСА зависимости силы тока /
от напряжения U между электродами, изо-
изображенной на рис. Ш.3.1 {волътамперная
характеристика газового разряда). По ме-
ре увеличения U растет число заряженных О" Щ JT ц
частиц, достигающих электрода, и возрастает
ц, дщ рд, р
сила тока / вплоть до такого значения / = /н, Рис#
при котором все заряженные частицы, образующиеся в объеме га-
газа за единичный промежуток времени, достигают электродов. При
этом U = UH.

240 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
2°. Максимальная сила тока /н, возможная при данной интен-
интенсивности ионизации A11.3.3.2°), называется током насыщения:
/н == eNo, где е — элементарный заряд A11.1.1.3°), Nq — макси-
максимальное число пар одновалентных ионов, образовавшихся в объеме
газа за 1 секунду. Крутое возрастание тока на участке ЛВ кривой на
рис. Ш.3.1 связано с возникновением ударной ионизации A11.3.3.4°).
3.5. Самостоятельный газовый разряд
1°. Газовый разряд A11.3.3.1°), который продолжается после то-
того, как прекращается действие внешнего ионизатора A11.3.3.2°), на-
называется самостоятельным газовым разрядом. Он поддержива-
поддерживается и развивается за счет ионов и электронов, возникших, главным
образом, в результате ударной ионизации A11.3.3.4°).
Несамостоятельный газовый разряд переходит в самостоятель-
самостоятельный при напряжении (Уз (рис. Ш.3.1) между электродами, называ-
называемом напряжением зажигания. Процесс такого перехода называ-
называется электрическим пробоем газа.
Помимо ионизации атомов (молекул) ударами электронов в
объеме газа (объемная ионизация), электроны выбиваются из ка-
катода при бомбардировке его положительными ионами (поверх-
(поверхностная ионизация). (О других процессах вырывания электронов
/ // /// IV из катода см. термоэлектронная эмис-
эмиссия A11.3.7.3°), фотоэлектронная эмис-
эмиссия A11.3.7.2°).)
2°. В зависимости от давления га-
газа и приложенного к электродам на-
напряжения различаются несколько ти-
типов самостоятельного разряда в газах.
IIIIII IV При низких давлениях, обычно от со-
сотых долей до нескольких мм рт. ст.
ис> " ' (VII.3.20), наблюдается тлеющий раз-
разряд. В нем выделяются четыре области: / — катодное темное
пространство, II — отрицательное (тлеющее) свечение, III —
фарадеево темное пространство, IV — положительный столб
разряда (рис. Ш.3.2). Области /-///составляют катодную часть
разряда. Возле катода, на границе областей /-//, имеется большая

3.5. Самостоятельный газовый разряд 241
концентрация положительных ионов и, вследствие этого, резко пада-
падает потенциал в разряде. В области // ускоренные электроны являют-
являются источниками ударной ионизации. Тлеющее свечение в этой облас-
области вызывается рекомбинацией A11.3.3.5°) электронов и положитель-
положительных ионов в нейтральные атомы (молекулы). В области IV имеется
постоянная и большая концентрация положительных ионов и элек-
электронов, обусловленная ударной ионизацией атомов (молекул) газа
электронами. Положительный столб является газоразрядной плаз-
плазмой A11.3.6.1°). Свечение положительного столба определяется из-
излучением возбужденных атомов (молекул) газа (V.3.3.20) и поэтому
имеет характерные цвета. Этим определяется использование тле-
тлеющего разряда в газосветных трубках, газовых лазерах (VI.2.10.1°).
3°. При нормальном давлении в газе, находящемся в сильно не-
неоднородном электрическом поле (около остриев, проводов линий
высокого напряжения и т.п.), наблюдается коронный самостоя-
самостоятельный газовый разряд. Ионизация газа электронным ударом
и его свечение, напоминающее корону, происходят только в не-
небольшой области, прилегающей к электроду (коронирующий элек-
электрод). Светящийся слой называется коронирующим слоем. Если
коронирует катод, то электроны, которые вызывают ионизацию в
объеме коронирующего слоя, выбиваются из катода положительны-
положительными ионами. Если коронирует анод, то электроны возникают вблизи
анода благодаря ионизации газа под действием излучения корони-
коронирующего слоя. При повышенном напряжении коронный разряд на
острие имеет вид светящейся кисти — системы тонких светящихся
линий, которые выходят из острия, имеют изгибы и изломы, изме-
изменяющиеся с течением времени {кистевой разряд).
4°. Искровой разряд, наблюдающийся при нормальном давле-
давлении и большой напряженности поля между электродами, имеет
вид прерывистых ярких зигзагообразных нитей — каналов иони-
ионизованного газа. Нити пронизывают пространство между электрода-
электродами и исчезают, сменяясь новыми. При этом наблюдается яркое све-
свечение газа и выделяется большое количество теплоты. В искровых
каналах, где создаются высокое давление и весьма высокие темпе-
температуры, возникают электронные и ионные лавины, которыми опре-
определяются все свойства искрового разряда. Его примером является
молния. Главный канал молнии имеет диаметр от 10 до 25 см. Мол-
Молния имеет длину до нескольких километров, и в ней развивается
сила тока в импульсе до сотен тысяч ампер.

242 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
5°. Дуговой разряд является формой разряда при большой плот-
плотности тока и сравнительно небольшом напряжении между элек-
электродами, порядка нескольких десятков вольт. Основной причиной
дугового разряда является интенсивная термоэлектронная эмис-
эмиссия A11.3.7.3°) раскаленного катода. Электроны ускоряются элек-
электрическим полем и производят ударную ионизацию молекул газа,
уменьшается электрическое сопротивление газового промежутка, и
его проводимость сильно возрастает. Между электродами возникает
столб ярко светящегося газа {электрическая дуга). При атмосфер-
атмосферном давлении температура катода достигает 3000° С. Бомбардировка
анода электронами создает в нем углубление — кратер дуги с тем-
температурой около 4000° С при атмосферном давлении. Температура
газа в канале электрической дуги 5000-6000°С. Дуговой разряд как
мощный источник света используется в прожекторах, проекционной
и киноаппаратуре.
3.6. Понятие о плазме
1°. Плазмой называется особое агрегатное состояние вещества,
характеризующееся высокой степенью ионизации его частиц. Сте-
Степенью ионизации а вещества называется отношение концентрации
заряженных частиц к общей концентрации частиц. В зависимости от
степени ионизации плазма подразделяется на слабо ионизованную
(а — доли процента), частично ионизованную (а — несколько
процентов) и полностью ионизованную (а близка к 100%). Сла-
Слабо ионизованной плазмой в природных условиях являются верхние
слои атмосферы — ионосфера. Солнце, горячие звезды и некоторые
межзвездные облака являются примерами полностью ионизованной
плазмы, которая образуется при очень высокой температуре (вы-
(высокотемпературная плазма) (см. также термоядерные реакции
(VI.4.15.10)).
Искусственно созданной плазмой различной степени ионизации
является плазма в газовых разрядах, газоразрядных лампах.
2°. Высокая электропроводность плазмы приближает ее свой-
свойства к свойствам проводников. Металлические проводники являют-
являются примером полностью ионизованной плазмы — в металлах нет
нейтральных атомов и молекул. Электропроводность и теплопро-

3.7. Электрический ток в вакууме. Эмиссионные явления 243
водность полностью ионизованной плазмы зависят от температуры
по законам, соответственно, ~ Г3/2 и ~ Г5/2.
Управление движением плазмы в электрических и магнитных
полях является основой использования плазмы как рабочего тела
A1.4.5.6°) в различных двигателях для прямого превращения внут-
внутренней энергии A1.4.1.2°) в электрическую {плазменные источни-
источники электрической энергии, магнитогидродинамические (МГД)
генераторы).
3°. Особенностями плазмы, позволяющими считать ее осо-
особым агрегатным состоянием вещества, являются: сильное взаимо-
взаимодействие с внешними электрическими и магнитными полями, об-
обусловленное высокой электропроводностью плазмы, особое коллек-
коллективное взаимодействие частиц плазмы1, наличие упругих свойств,
приводящих к возможности возбуждения и распространения в плаз-
плазме различных колебаний.
3.7. Электрический ток в вакууме.
Эмиссионные явления
1°. Вакуумом называется такая степень разрежения газа, при
которой можно пренебрегать соударениями между его молекула-
молекулами и считать, что средняя длина свободного пробега / A1.2.3.1°)
превышает линейные размеры d сосуда, в котором газ находится
(/ ^> d). Проводимость межэлектродного промежутка в состоянии
вакуума называется электрическим током в вакууме. Молекул га-
газа при этом столь мало, что процессы их ионизации не могут обес-
обеспечить такого числа электронов и положительных ионов, которое
необходимо для электропроводности. Проводимость межэлектрод-
межэлектродного промежутка в вакууме может быть обеспечена лишь с помо-
помощью заряженных частиц, возникших за счет эмиссионных явлений
на электродах.
2°. Явление фотоэлектронной эмиссии2 состоит в вырывании
под действием света электронов с поверхности тел (например, ме-
металлов), помещенных в вакууме или газе. Это явление наблюдается
4 Это взаимодействие имеет сложную природу, рассмотрение которой выходит за
рамки элементарной физики.
2От латинского «imissio» — испускание, излучение.

244 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
и используется в специально изготовленных фотокатодах, облада-
обладающих высокой чувствительностью. Чувствительность фотокато-
фотокатода определяется отношением числа электронов, вылетевших из фо-
фотокатода, к числу поглощенных им квантов света (фотонов) (см. так-
также фотоэффект (V.5.2.10) и фотон (V.5.1.20)).
3°. Термоэлектронной эмиссией называется испускание элек-
электронов твердыми или жидкими телами при их нагревании. Для элек-
электрического тока в вакуумированной газоразрядной трубке имеет
значение термоэлектронная эмиссия из нагретого катода. Электро-
Электроны, испускаемые нагретым телом, называются термоэлектронами,
а само тело — эмиттером.
В результате термоэлектронной эмиссии может возникнуть тер-
термоэлектронный ток A11.3.8.1°). Для вылета электрона из метал-
металла необходимо, чтобы кинетическая энергия электрона была доста-
достаточной для преодоления его связи с металлом — для совершения
работы выхода А из металла. При комнатной температуре лишь
немногие электроны обладают необходимой кинетической энергией
и термоэлектронная эмиссия невелика. Явление термоэлектронной
эмиссии интенсивно происходит при нагревании эмиттера до высо-
высокой температуры, соответствующей видимому свечению раскален-
раскаленного металла.
4°. При бомбардировке поверхности металла в вакууме элек-
электронами, которые ускоряются электрическим полем, наблюдается
встречный поток электронов от поверхности. Это явление называ-
называется вторичной электронной эмиссией. Вторичный электронный
поток состоит из электронов, отраженных поверхностью, а также из
электронов, вырванных из металла. Наибольшая эмиссия вторичных
электронов происходит при энерги-
энергиях первичных электронов в несколь-
несколько сотен эВ. Для некоторых чистых
металлических поверхностей (ртуть,
платина) число г\2 вторичных элек-
Рис. Ш.3.3 тронов в 1.75-1.78 раза превышает
число п\ первичных электронов. Отношение пг/пх = 8 называется
коэффициентом вторичной эмиссии. Величина 8 у диэлектриков и
полупроводников больше, чем у металлов. Явление вторичной элек-
электронной эмиссии применяется в электронных умножителях, кото-
которые служат для многократного усиления слабых токов (рис. Ш.3.3).

3.8. Двухэлектродная лампа — диод
245
Электроны, которые вырываются из катода К под действием све-
света, последовательно поступают на эмиттеры KS\, KS2,. • • , KSn. На
каждом из них происходит явление вторичной электронной эмис-
эмиссии. Если умножитель имеет п эмиттеров или п каскадов, то на по-
последнем электроде — аноде А (коллекторе) получается достаточно
сильный поток электронов.
3.8. Двухэлектродная лампа — диод
1°. Электронными лампами называются устройства, основан-
основанные на применении явления термоэлектронной эмиссии A11.3.7.3°).
Простейшим типом электронных ламп является двухэлектродная
лампа — диод прямого накала, который изображается схемати-
схематически, как показано на рис. Ш.3.4. Если анод лампы присоединить
к положительному полюсу источника постоянного тока, а катод —
к отрицательному, то в цепи лампы устанавливается постоянный
термоэлектронный ток 1А.
При постоянной температуре катода сила термоэлектронного
тока в диоде прямого накала зависит от анодного напряжения
диода — напряжения UA, приложенного между анодом и катодом
О
и„
Рис. Ш.3.4 Рис. Ш.3.5
(волътамперная характеристика), размеров и взаимного распо-
расположения электродов, работы выхода электронов из катода A11.3.7.3°)
и его температуры. Вольтамперная характеристика такого диода при
постоянной температуре катода изображена на рис. Ш.3.5. Нели-
Нелинейный вид характеристики указывает, что в диоде не выполняется
закон Ома A11.2.4.2°).
2°. При небольших анодных напряжениях при увеличении UA си-
сила тока 1а растет медленно. Это связано с тем, что при малых значе-
значениях Uа не все электроны, испускаемые катодом, достигают анода.

246 Отдел HI. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
Часть электронов образует между катодом и анодом электронное
облако — пространственный отрицательный заряд, который препят-
препятствует движению к аноду электронов, вновь вылетающих из като-
катода. С увеличением напряжения UA электронное облако постепенно
рассасывается, и сила тока 1А растет. При UA — UH сила 1А тер-
термоэлектронного тока достигает максимально возможного значения
при данной температуре катода. Это значение 1А — /н называется
током насыщения. Если /V — общее число электро-
электронов, испускаемых катодом при данной температуре за
единичный промежуток времени, то /н = Ne, где е —
модуль заряда электрона (ср. 111.3.4.2°).
Диод прямого накала имеет существенный недоста-
недостаток: если катод нагревается переменным током, то его К\
температура периодически изменяется, и это вызывает
колебания тока в цепи лампы. В диоде с подогревным Рис- И 1.3.6
катодом, схематически изображенном на рис. III.3.6, этот недоста-
недостаток устраняется тем, что внутри катода помещается изолированный
от него источник нагревания катода (например, вольфрамовая нить
накала).
3°. Диоды обладают односторонней {униполярной) проводи-
проводимостью: ток в лампе возможен только в том случае, если потен-
потенциал анода выше потенциала катода, т. е. напряжение UA > 0. Если
подать на анод отрицательный относительно катода потенциал, т. е.
создать электрическое поле, которое будет отталкивать электроны
от анода, то лампа будет заперта — анодного тока, т.е. тока в
цепи лампы, не будет. Это свойство диодов позволяет применять
их для выпрямления переменного тока (IV.2.2.30). Вакуумная двух-
электродная электронная лампа, которая служит для выпрямления
переменного тока, называется кенотроном.
3.9. Трехэлектродная лампа — триод
1°. Для управления термоэлектронным током в лампе применя-
применяются многоэлектродные (трех- и более) лампы — триоды, тет-
тетроды, пентоды. В триоде между анодом и катодом помещен тре-
третий электрод — управляющая сетка С, сквозь которую проходят
электроны, летящие от катода к аноду. Схематические обозначения

3.9. Трехэлектродная лампа — триод
247
триода прямого накала (а) и триода с подогревным катодом (б)
A11.3.8.2°) указаны на рис. Ш.3.7. Управляющая сетка располагает-
располагается вблизи катода, так что, даже при малом напряжении Uc между
^,>^>^>^4
и
Рис. Ш.3.8
Uc
сеткой и катодом (сеточное напряжение), вблизи катода созда-
создается сильное электрическое поле, которое существенно влияет на
движение электронов в триоде.
2°. Зависимость анодного тока 1а от напряжения Uc при одном и
том же накале лампы и постоянном напряжении UA между анодом и
катодом (анодное напряжение) называется статической сеточной
характеристикой лампы (рис. Ш.3.8). Вид сеточных характери-
характеристик объясняется тем, что в триоде происходит наложение несколь-
нескольких электрических полей. Если потенциал сетки выше потенциа-
потенциала катода, т.е. сеточное напряжение Uc положительно (Uc > 0),
то электрическое поле, создаваемое сеткой вблизи катода, совпа-
совпадает по направлению с электрическим полем, существующим меж-
между анодом и катодом. Электроны, вылетающие из раскаленного ка-
катода, при этом движутся к аноду со скоростями большими, чем
при Uc = 0. Число электронов, попадающих на анод за единич-
единичный промежуток времени, а следовательно, и анодный ток в три-
триоде возрастают при увеличении Uc. Если же, наоборот, Uc < 0,
то электрическое поле сетки ослабляет электрическое поле между
анодом и катодом и скорость движения электронов и анодный ток
уменьшаются.
3°. Отрицательное сеточное напряжение, при котором анодный
ток полностью прекращается, называется напряжением запира-
запирания. Оно возрастает по абсолютному значению с ростом анодно-
анодного напряжения. Таким образом, изменяя сеточное напряжение Uc,

248 Отдел 1Н. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
можно управлять током в лампе. Поэтому сетка С называется управ-
управляющей (п. 1°). Триод используется в радиотехнических устройст-
устройствах для усиления слабых переменных токов в ламповом генераторе
(IV.2.9.10).
3.10. Электронные пучки. Электронно-лучевая трубка
1°. Электронные пучки (электронные, катодные лучи) пред-
представляют собой поток быстро летящих электронов. Электронные
пучки образуются в электронной лампе A11.3.8.1°) и различных га-
газоразрядных устройствах.
2°. Свойства электронных пучков:
1) Они вызывают свечение некоторых твердых и жидких тел (см.
люминесценция (V.3.3.10)).
2) Торможение быстрых электронных пучков в веществе приво-
приводит к возникновению рентгеновского излучения (V.3.6.10).
3) Электронные пучки отклоняются в электрических полях. На-
Например, пролетая между обкладками заряженного плоского конден-
конденсатора A11.1.11.2°), электронные пучки отклоняются к положитель-
положительно заряженной обкладке.
4) Электронные пучки отклоняются в магнитом поле под дей-
действием силы Лоренца A11.4.5.1°).
5) Электронные пучки, падающие на вещества, нагревают их и
оказывают на них механическое воздействие.
3°. Электронно-лучевой трубкой называется устройство, осно-
основанное на явлении термоэлектронной эмиссии A11.3.7.3°) с подо-
подогревного катода A11.3.8.2°). Управление электронным пучком в
электронно-лучевой трубке осуществляется с помощью электриче-
электрических и магнитных полей. Схема устройства электронно-лучевой
трубки приведена на рис. III.3.9. Электроны, испускамые подо-
подогревным катодом, проходят сквозь управляющую сетку (первый
управляющий электрод) и два ускоряющих анода. Вся эта система,
называемая электронной пушкой, служит для того, чтобы на экране
трубки, покрытом люминесцирующим веществом (V.3.3.20), полу-
получить пучок электронов с возможно меньшим поперечным сечением
(фокусировка электронного пучка). Для фокусировки электронно-
электронного пучка на управляющий электрод подается отрицательный потен-

3.10. Электронные пучки. Электронно-лучевая трубка
249
циал (от -20 до —70 В). Поле этого электрода сжимает электрон-
электронный пучок, выходящий из катода. На ускоряющие аноды подаются
положительные потенциалы, соответственно от +250 до +500 В на
первый и от +1000 до +2000 В на второй. В телевизионных трубках
Катод
Вертикально
отклоняющие
пластины
Сетка r i ^
Аноды ' Горизонтально^*
отклоняющие
пластины
Рис. Ш.3.9
(IV.4.5.50) потенциалы еще выше. Изменением потенциалов управ-
управляющей сетки и анодов достигается изменение фокусировки и яр-
яркости свечения электронного пучка на экране.
4°. После электронной пушки сфокусированный электронный
пучок проходит систему вертикально и горизонтально отклоняющих
электродов (управляющие пластины), на которые подается пере-
переменное напряжение. Колебания потенциала на пластинах вызывают
вертикальные и горизонтальные колебания электронного пучка на
экране трубки. Одновременное использование вертикальных и го-
горизонтальных управляющих пластин позволяет перемещать элек-
электронный пучок на экране в произвольном направлении. Малая мас-
масса электронов в электронном пучке обеспечивает малую инерцион-
инерционность электронно-лучевой трубки: электронный пучок практически
мгновенно реагирует на изменения напряжений на отклоняющих
пластинах. На этом основано применение электронно-лучевой труб-
трубки в электронном осциллографе — приборе, который применяется
для изучения периодически изменяющихся напряжений.
5°. Электронно-лучевые трубки делятся на два типа:
а) трубки с электростатическим управлением. В трубках
этого типа отклонение электронного пучка достигается изменением
электрического поля между отклоняющими пластинами;
б) трубки с электромагнитным управлением. В трубках этого
типа отклонение электронного пучка достигается изменением век-

250
Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
тора В магнитной индукции A11.4.1.3°) магнитного поля, в котором
движется электронный пучок. Соответственно с изменением век-
вектора В меняется сила Лоренца, отклоняющая электронный пучок
A11.4.5.1°).
3.11. Электропроводность чистых полупроводников
5в©
6с@
14 @
Si
32 ©
Ge
50 @
Sn
15 QS)
Р
зз (ij)
As
51 ©
Sb
Рис. Ш.З.
16 BS)
s
34 ($
Se
52 @
Те
10
53 @
I
1°. Полупроводниками называются вещества, удельное элек-
электрическое сопротивление р которых может изменяться в широ-
широких пределах и очень быстро убывает с повышением температу-
температуры. Химические элементы, обла-
обладающие свойствами полупровод-
полупроводников, образуют в периодической
системе элементов Менделеева
(VI.2.9.10) группу, изображенную
на рис. Ш.З. 10. Типичными широ-
широко применяемыми полупроводни-
полупроводниками являются германий Ge, крем-
кремний Si и теллур Те. Эти химиче-
химические элементы принадлежат к IV и VI группам периодической сис-
системы, и на внешней электронной оболочке атомов этих элементов
находятся четыре валентных электрона (VI.2.9.20).
2°. Кристаллы германия и других полупроводников имеют атом-
атомную кристаллическую решетку A1.7.1.2°). Плоская схема структуры
кристалла германия изображена на рис. Ш.З. 11. Четыре валент-
валентных электрона каждого атома Ge связаны с такими же электронами
соседних атомов химическими парноэлектронными связями (кова-
лентная связь) (VI.3.3.10). В чистом кристалле германия и в крис-
кристаллах других полупроводниковых элементов при низких темпера-
температурах свободных электронов нет, а такие кристаллы в этих условиях
являются хорошими диэлектриками.
3°. Электропроводность химически чистого полупроводника ока-
оказывается возможной в тех случаях, когда ковалентные связи в крис-
кристаллах разрываются. Например, нагревание до сравнительно невы-
невысоких температур приводит к разрыву ковалентных связей, появле-
появлению свободных электронов и возникновению собственной элек-

3.11. Электропроводность чистых полупроводников
251
тронной проводимости (проводимости /г-типа3) чистого полупро-
полупроводника. Энергия, которая должна быть затрачена для создания в
кристаллах чистых полупроводников электропроводности, называ-
называется энергией активации собственной проводимости. Ее значе-
значения в электрон-вольтах для различных полупроводников указаны на
рис. Ш.3.10 в кружках.
4°. С повышением температуры возрастает число разрывов ко-
валентных связей и увеличивается количество свободных элек-
электронов в кристаллах чистых полупроводников. Это означает, что
О
Рис. Ш.3.11
Рис. Ш.3.12
удельная электропроводность чистых полупроводников увеличива-
увеличивается с повышением температуры. Соответственно удельное сопро-
сопротивление чистых полупроводников уменьшается при нагревании
(рис. Ш.3.12). Этим полупроводники существенно отличаются от
металлов, у которых удельное сопротивление увеличивается при
нагревании A11.2.5.2°).
Кроме нагревания, разрыв ковалентной связи и возникновение
собственной проводимости полупроводников могут быть вызваны
освещением (фотопроводимость полупроводников), а также дей-
действием сильных электрических полей.
5°. Когда кристаллический чистый полупроводник получает
энергию, необходимую для разрыва ковалентных связей, и электрон
уходит со своего места, электрическая нейтральность кристалла в
этом месте нарушается. В том месте, откуда ушел электрон, воз-
возникнет избыточный положительный заряд — образуется положи-
положительная дырка. Она ведет себя как заряд, равный по модулю заряду
От латинского «negativus» — отрицательный.

252 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
электрона, но положительный по знаку. На освободившееся от элек-
электрона место — дырку — может переместиться соседний электрон,
а это равносильно тому, что переместилась положительная дырка:
она появится в новом месте, откуда ушел электрон.
Характер движения дырки в кристалле можно уяснить из сле-
следующей аналогии. Пусть из шеренги солдат вышел один солдат и
образовалась «вакансия». Если все стоящие справа солдаты будут
последовательно перемещаться на освободившееся место, то все бу-
будет происходить так, как будто свободное место передвигается в
сторону, противоположную перемещению солдат.
6°. Во внешнем электрическом поле электроны перемещаются
в сторону, противоположную направлению напряженности электри-
электрического поля. Положительные дырки перемещаются в направлении
напряженности электрического поля, т.е. в ту сторону, куда дви-
двигался бы положительный заряд под действием электрического поля.
Процесс перемещения электронов и дырок во внешнем поле про-
происходит по всему кристаллу полупроводника. Электропроводность
чистого полупроводника, обусловленная упорядоченным перемеще-
перемещением дырок, называется собственной дырочной проводимостью
{проводимостью р-типа4).
Температурная зависимость удельного сопротивления при ды-
дырочной проводимости аналогична той, которая характерна для элек-
электронной проводимости (п. 4°). Общая удельная электропровод-
электропроводность полупроводника A11.2.4.1°) складывается из проводимостей
П- И /7-ТИПОВ.
3.12. Примесная электропроводность полупроводников
1°. Примесной проводимостью полупроводников называется
их электропроводность, обусловленная внесением в их кристал-
кристаллические решетки примесей {примесных центров). Примесными
центрами являются: а) атомы или ионы посторонних химических
элементов, внедренные в решетку полупроводника; б) избыточные
атомы или ионы элементов полупроводников, внедренные в междо-
междоузлия решетки; в) различного рода другие дефекты и искажения в
От латинского «positivus» — положительный.

3.12. Примесная электропроводность полупроводников
253
«Лишний»
электрон
примесного
атома
кристаллической решетке: пустые узлы, трещины, сдвиги, возника-
возникающие при деформациях кристаллов, и т.д.
2°. Примеси вносят изменения в электропроводность полупро-
полупроводников. При изменении концентрации примесей изменяется чи-
число носителей электрического тока — электронов и дырок. Возмож-
Возможность управления числом носителей тока (нагреванием или действи-
действием других факторов, например освещением) лежит в основе широ-
широкого применения полупроводников в науке и технике. В металлах
такая возможность отсутствует A11.2.1.7°).
3°. Примеси могут служить дополнительными поставщиками
электронов в кристаллы полупроводников. Пусть, например, в
решетке полупроводника один атом германия, имеющий четыре
валентных электрона, заменен атомом
примеси, который имеет пять валент-
валентных электронов (фосфор, мышьяк, сурь-
сурьма). Четыре электрона примесного ато-
ма участвуют в образовании ковал ент-
НЫХ СВЯЗеИ (VI.3.3.1 ) С ЭЛеКТрОНаМИ СО-
седних атомов германия, а пятый элек-
электрон не может участвовать в образо-
образовании ковалентной связи. Он является
«лишним», слабее связан со своим ато-
мом и легко может его покинуть и стать
свободным электроном (рис. Ш.3.13). Под действием электриче-
электрического поля такие электроны приходят в упорядоченное движение в
кристалле полупроводника, и в нем возникает электронная при-
примесная проводимость. Полупроводники с такой проводимостью
называются электронными или полупроводниками п-типа. Ато-
Атомы примесей, поставляющие электроны, называются донорами5.
4°. При замещении в кристалле полупроводника одного атома с
четырьмя валентными электронами атомом примеси, который имеет
три валентных электрона (индий, бор, алюминий), возникает недос-
недостаток одного электрона для образования всех ковалентных связей в
решетке (рис. Ш.3.14). Однако примесный атом может создать все
связи, если он заимствует электрон у ближайшего основного атома
в решетке. Тогда на месте электрона, ушедшего из основного атома,
Рис- Ш.3.13
От латинского «donarc» — дарить, жертвовать.

254 Отдел III. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
образуется положительная дырка A11.3.11.5°), которая в свою оче-
очередь может быть заполнена электроном из следующего, соседнего
атома решетки, и т.д. Последовательное заполнение положитель-
положительных дырок электронами равносильно
движению дырки в полупроводнике и
появлению в нем носителей тока. Под
действием электрического поля дырка
перемещается в направлении вектора
напряженности поля, и в полупровод-
полупроводнике возникает дырочная примесная
проводимость. Полупроводники с та-
такой проводимостью называются при-
примесными дырочными или полупро-
Рис. Ш.3.14 водниками р-типа. Атомы примесей,
которые приводят к примесной дырочной проводимости, называют-
называются акцепторами6.
5°. Если в полупроводник одновременно вводятся и донорные и
акцепторные примеси, то характер проводимости (ее п- или р-тш\)
определяется примесью с более высокой концентрацией носителей
тока — электронов или дырок. При любом типе электропроводности
полупроводника концентрация носителей тока в нем значительно
меньше, чем в металлах. Но сама эта концентрация, как и энергия
носителей тока в полупроводниках, в отличие от металлов, зависит
весьма сильно от температуры. При нагревании число носителей
тока резко возрастает.
3.13. Электрические свойства контакта
полупроводников р- и //-типов
1°. Область монокристаллического полупроводника A1.1.6.4°), в
котором происходит смена проводимости с электронной на дыроч-
дырочную (или наоборот), называется электронно-дырочным переходом
(^-«-переходом). Обычно /?-я-переход образуется в кристалле по-
полупроводника, где введением соответствующих примесей создаются
области с различной (р- и п-) проводимостью.
От латинского «acceptor» — приемщик.

3.13. Электрические свойства контакта полупроводников р- и «-типов 255
000
00©
000
©0©
©©©
©©©
2°. При контактировании двух полупроводников с различны-
различными типами проводимости будет происходить взаимная диффузия
A1.1.3.1°) носителей тока через границу соприкосновения {кон-
{контакт) полупроводников. Электроны из «-полупроводника будут
диффундировать в дырочный /?-полупроводник. В результате из
объема «-полупроводника, граничащего с кон-
тактом, уйдут электроны, этот объем будет
обеднен электронами, и вблизи границы в
нем образуется избыточный положительный
заряд. Диффузия дырок из /^-полупроводника
по аналогичным причинам приведет к воз- Рис- П1.3.15
никновению вблизи границы в /^-полупроводнике избыточного отри-
отрицательного заряда. В результате на границе электронно-дырочного
перехода образуется запирающий электрический слой толщины /
(рис. Ш.3.15). Электрическое поле запирающего слоя препятствует
дальнейшему переходу электронов и дырок через границу раздела
двух полупроводников. Запирающий слой имеет повышенное сопро-
сопротивление по сравнению с остальными объемами полупроводников.
3°. Внешнее электрическое поле влияет на сопротивление за-
запирающего электрического поля. Если «-полупроводник подключен
к отрицательному полюсу источника, а плюс источника соединен с
/^-полупроводником, то под действием электрического поля электро-
-:-©
-:-©
п
Q >
©—»~
-—©
"¦—©
—©
п
р
—i 0—
—; ©—
—: 0—
Рис. Ш.3.16
Рис. Ш.3.17
ны в «-полупроводнике и дырки в /^-полупроводнике будут двигать-
двигаться навстречу друг другу к границе раздела полупроводников. Элек-
Электроны, переходя границу, «заполняют» дырки. При таком прямом
(пропускном) направлении внешнего электрического поля толщина
запирающего слоя и его сопротивление непрерывно уменьшаются
(рис. Ш.3.16). В этом направлении электрический ток проходит че-
через границу двух полупроводников.

256 Отдел 111. Гл. 3. Ток в неметаллических средах
4°. Если ^-полупроводник соединен с положительным полюсом
источника, а /7-полупроводник — с отрицательным, то электроны в
я-полупроводнике и дырки в /^-полупроводнике под действием элек-
электрического поля будут перемещаться от границы раздела в противо-
противоположные стороны (рис. Ш.3.17). Это приводит к утолщению запи-
запирающего слоя и увеличению его сопротивления. Направление внеш-
внешнего электрического поля, расширяющее запирающий слой, называ-
называется запирающим (обратным). При таком направлении внешнего
поля электрический ток через контакт двух п- и /7-полупроводников
практически не проходит.
5°. Электронно-дырочный переход обладает односторонней
(униполярной) проводимостью, аналогично выпрямляющему дей-
действию двухэлектродной лампы — диода A11.3.8.3°). Поэтому полу-
полупроводник с одним /?-я-переходом называется полупроводниковым
диодом. Полупроводниковые диоды обладают целым рядом преиму-
преимуществ перед электронными двухэлектродными лампами (экономия
энергии для получения носителей тока, миниатюрность, высокая на-
надежность и большой срок службы). Недостатком полупроводнико-
полупроводниковых диодов является ограниченный интервал температур, в котором
они работают (приблизительно от -70 до +125°С).
6°. Транзистор (полупроводниковый триод) содержит не ме-
менее трех разнородных областей, представляющих комбинацию пе-
переходов П-р—П ИЛИ /7-И-/7-ТИПОВ.
На рис. Ш.3.18 приведена схема транзистора я—/?—я-типа, рабо-
работающего в режиме усилителя переменного напряжения U3. Тонкая
пленка Б полупроводника /?-типа называется базой (или основа-
Э Б К нием триода). Полупроводник Э,
имеющий с базой открытый пере-
переход, называется эмиттером. Он
является поставщиком носителей
тока в базу. Полупроводник /С, у
которого переход с базой заперт,
называется коллектором. Откры-
Открытость или закрытость переходов
обеспечивается источниками И\ и //2, э.д.с. которых равны ?\ и Ег.
Для того чтобы эмиттерный переход не запирался при перемене
знака U3, должно быть Е\ > \U3\. Резистор //имеет сопротивление
R (так называемое выходное, или нагрузочное сопротивление).

4.1. Магнитное поле. Магнитный поток 257
При изменении входного напряжения на Д(/э сила тока в це-
цепи эмиттера с сопротивлением г изменится на А/9 = Аиэ/г. При
этом произойдет изменение концентрации носителей тока в базе,
что изменит сопротивление р—«-перехода и силу тока Д/к в цепи
коллектора. Следствием этого явится изменение напряжения AUK
на резисторе //, причем AUK = R • Д/к. Усиление напряжения
равно:
AUK _ Д/к R
~ А13г'
Поскольку отношение А1К/А1Э зависит от конструкции транзистора
и мало отличается от единицы, необходимое усиление напряжения
получают подбором комбинации сопротивлений R и г.
Транзисторы используются для усиления, генерирования и пре-
преобразования электрических колебаний, т.е. в тех же целях, что и
ламповые триоды (II 1.3.9).
Транзисторы имеют те же преимущества и недостатки, что и
полупроводниковые диоды (п. 4°).
Глава 4
Магнитное поле постоянного тока '
4.1. Магнитное поле. Вектор индукции
магнитного поля. Магнитный поток
1°. Магнитным полем называется одна из частей электромаг-
электромагнитного поля A11.1.3.1°). Особенностью магнитного поля являет-
является то, что это поле создается проводниками с токами, движущими-
движущимися электрически заряженными частицами и телами, а также намаг-
намагниченными телами A11.6.2.1°) и переменным электрическим полем
(IV.4.1.30).
Магнитное поле, характеристики которого A11.4.1.3°, 111.4.1.8°)
не изменяются с течением времени, называется стационарным.
!Все формулы в этой главе приведены только в СИ (VII.5.3°).

258 Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
В противном случае магнитное поле является переменным {не-
{нестационарным) полем. Возникновение стационарного магнитно-
магнитного поля вблизи проводника с током иллюстрируется основопола-
основополагающим опытом Эрстеда. Если магнитную стрелку, которая мо-
/ у^ жет свободно вращаться вокруг верти-
>— кальной оси, поместить под прямоли-
прямолинейным проводником с постоянным то-
током, то она поворачивается, как пока-
показано на рис. Ш.4.1, стремясь располо-
Рис. Ш.4.1 житься перпендикулярно к проводнику
с током. Стрелка тем точнее совпадает с этим направлением, чем
больше сила тока, чем ближе стрелка к проводнику и чем слабее
влияние магнитного поля Земли.
2°. Магнитное поле действует только на движущиеся частицы и
тела, обладающие электрическим зарядом. На намагниченные тела
A11.6.2.1°) магнитное поле действует независимо от того, движутся
они или неподвижны.
3°. Силовой характеристикой магнитного поля является вектор
индукции магнитного поля В (вектор магнитной индукции,
или магнитная индукция). Понятие о векторе индукции магнит-
магнитного поля вводится на основании одного из трех опытных фак-
фактов: а) ориентирующее действие магнитного поля на рамку с током
(замкнутый плоский контур с током) (п. 6°), б) отклонение
проводника с током в магнитном поле A11.4.2.4°), в) отклонение
пучка электрически заряженных частиц, движущихся в магнитном
поле A11.4.5.1°).
4°. Магнитным моментом замкнутого плоского контура,
по которому протекает ток силой / (например, рамки с током), на-
называется вектор pw, равный
р,и = /5по,
где S — площадь поверхности, охватываемой контуром, по — век-
вектор с модулем, равным единице, направленный перпендикулярно к
плоскости контура (единичный вектор нормали). Векторы по и р,„
перпендикулярны к плоскости контура и ориентированы так, чтобы
из концов векторов по и р,„ ток казался протекающим против часо-
часовой стрелки (рис. Ш.4.2).

4.1. Магнитное поле. Магнитный поток
259
Направление единичного вектора нормали По и вектора магнит-
магнитного момента pw определяется также провалом правого винта
{правило буравчика): если рукоятку буравчика с правой резьбой
1Рш
i П0
Ток
Рис. Ш.4.2
Рис. Ш.4.3
вращать по направлению тока в контуре (в рамке с током), то на-
направление векторов по и pw совпадает с направлением движения
острия буравчика (рис. Ш.4.3).
5°. На плоскую рамку с током, подвешенную на неупругой нити
в однородном магнитном поле, действует момент сил A.3.1.4°), ко-
который поворачивает ее. Ориентиру-
Ориентирующее действие поля на рамку с то-
током используется для выбора направ-
направления вектора магнитной индукции
поля В, в которое помещена рамка.
За направление вектора В в данной
точке магнитного поля выбирается
направление векторов нормали по и магнитного момента р„? малой
рамки2 с током в окрестности данной точки (рис. II 1.4.4).
Направление вектора В совпадает с направлением прямой, про-
проведенной через центр магнитной стрелки от ее южного S к северно-
северному N полюсу, если эта стрелка малых3 размеров помещена в окрест-
окрестности данной точки магнитного поля (рис. Ш.4.5).
Магнитное поле называется однородным, если векторы В во
всех его точках одинаковы. В противном случае поле называется
неоднородным.
Рис. Ш.4.4
Рамка с током должна быть столь малых размеров, чтобы не искажать того
магнитного поля, которое с ее помощью изучается. Кроме того, принимается, что
собственным магнитным полем, которое создает рамка с током, можно пренебречь.
3 Магнитная стрелка считается малой, если она не искажает магнитное поле в тех
точках, где она находится, и можно пренебречь ее собственным магнитным полем.

260
Отдел
Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
6°. На плоский замкнутый контур с током (например, прямо-
прямоугольную рамку), помещенный в однородное поле, действует мо-
момент сил М, модуль которого равен
М = ртВ sin а,
где рт — модуль вектора магнитного момента контура (п. 4°),
В — модуль вектора индукции магнитного поля, а — угол между
векторами pw и В (рис. Ш.4.6). Из предыдущей формулы вытекает
В
Рис. II1.4.5
Рис. Ш.4.6
следующее определение магнитной индукции: модуль вектора маг-
магнитной индукции в данной точке однородного магнитного поля ра-
равен наибольшему значению момента сил Ммакс, действующего на
малую рамку с током, имеющую единичный по модулю магнитный
момент рт помещенную в окрестности данной точки:
„ ^макс ^*макс
Значение М = Мшкс соответствует такой ориентации рамки, при
которой а = ж/2 радиан, т.е. линии магнитной индукции (п. 7°) ле-
лежат в плоскости рамки, а ее магнитный момент направлен перпенди-
перпендикулярно к линиям индукции. В этом положении рамка с током будет
находиться в неустойчивом равновесии A.4.3.2°). Устойчивым (рав-
(равновесным) положение рамки с током или любого замкнутого кон-
контура с током будет тогда, когда плоскость рамки перпендикулярна
к линии индукции, а вектор магнитного момента рамки (контура с
током) параллелен линиям индукции (рис. Ш.4.4).
7°. Графически магнитное поле можно изобразить, если ввести
представление о линиях магнитной индукции. Линиями магнитной
индукции называются воображаемые линии, касательные к которым

4.1. Магнитное поле. Магнитный поток 261
в каждой точке совпадают с направлением вектора В в этих точках
поля. Линии магнитной индукции замкнуты. Замкнутость линий маг-
магнитной индукции означает, что в природе отсутствуют свободные
магнитные заряды (магнитные массы) (ср. линии напряженности
электростатического поля A11.1.3.5°)).
Линии магнитной индукции проводятся с произвольной плотно-
плотностью. Обычно считается, что модуль вектора индукции магнитного
поля пропорционален числу линий магнитной индукции, проведен-
проведенных через единичную площадку поверхности,
перпендикулярной к этим линиям. В отличие
от электростатического поля, магнитное поле
является непотенциальным A11.1.8.1°). Непо-
Непотенциальное поле называется вихревым по-
лем (см. также 111.5.3.2°). Примеры некото-
некоторых магнитных полей см. 111.4.3.4°-6°. Рис. Ш.4.7
8°. Потоком магнитной индукции {магнитным потоком)
АФ сквозь участок поверхности с малой площадью AS называется
скалярная величина, равная
АФ = В • AS • cosa = В„ • AS,
где Вп = В • cos а есть проекция вектора В магнитной индукции на
нормаль к площадке (рис. Ш.4.7). Положительный (отрицательный)
знак магнитного потока соответствует острому (тупому) углу а, или
условию Вп > 0 (Вп < 0). Магнитный поток Ф сквозь поверхность
с площадью S находится алгебраическим суммированием потоков
АФ сквозь участки поверхности. Если магнитное поле однородно,
то магнитный поток через плоскую поверхность с площадью S равен
Ф = ВS cos a.
Задача 1. Проволочный виток с диаметром в 20 см помещен в
однородное магнитное поле, индукция которого равна 5 • 10~3 Тл.
При пропускании по витку тока в 2 А виток повернулся на 90°.
Какой момент сил действовал на виток?
Дано: d = 20см = 2.0 • 10 м, В = 5 • 10~3 Тл, / = 2 А, а = 90°.
Найти: М.
Решение: Модуль момента сил, действующего на виток с током
в магнитном поле, М = р,„В sin а, где рт = IS — магнитный момент
витка, S — площадь витка, а — угол между векторами рт и В.

262 Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
Так как а = 90°, то
М= —г-В,
4
А, 5 10нм = 3 10НМ.
Задача 2. В магнитном поле с индукцией в 0.1 Тл расположен
стержень длиной 1 м, который вращается в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к направлению линий магнитной индукции. Ось вращения
проходит через один из концов стержня. Определить поток магнит-
магнитной индукции сквозь поверхность, которую описывает стержень при
каждом обороте.
Дана. В = 0.1 Тл, / = 1 м, а = 0.
Найти: Ф.
Решение: Поток магнитной индукции, пронизывающий площад-
площадку S, Ф = BS cos а, где а — угол между вектором индукции и
нормалью к площадке S, образуемой вращающимся стержнем.
Следовательно,
2 Ф = 0.1 • 3.14- 12Вб = 0.3 Вб.
4.2. Закон Ампера
1°. На проводник с током, помещенный в магнитное поле,
действует сила Ампера. Закон Ампера: на малый отрезок провод-
проводника стоком силы / и длиной А/, помещенного в однородное маг-
магнитное поле с индукцией В, действует сила AF, модуль которой
равен
AF = / • А/ • В • sin а = / • Д/ • В ±,
где а — угол между вектором В и проводником с током (рис. Ш.4.8).
Модуль силы AF зависит от составляющей вектора В, перпендику-
перпендикулярной проводнику: В± = В sin a.
2°. Вектор AF перпендикулярен к проводнику с током и век-
вектору В. Направление силы AF определяется по правилу левой
руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы перпендику-
перпендикулярная к проводнику составляющая B_l вектора индукции входила

4.3. Магнитное поле электрического тока
263
в ладонь, а четыре вытянутых пальца указывали бы направление то-
тока, то отогнутый на 90° большой палец укажет направление силы,
действующей со стороны поля на проводник с током (рис. II 1.4.9).
3°. В отличие от кулоновских сил, которые являются централь-
центральными A11.1.2.3°), сила Ампера не является центральной. Она напра-
направлена перпендикулярно к линиям магнитной индукции.
Рис. Ш.4.8
Рис. Ш.4.9
4°. Закон Ампера может быть использован для определения мо-
модуля вектора магнитной индукции. Модуль вектора индукции в дан-
данной точке однородного магнитного поля определяется наибольшей
силой, которая действует на помещенный в окрестности данной точ-
точки проводник единичной длины, по которому протекает ток единич-
единичной силы тока (см. также Ш.4.1.6°):
„ "* макс
Значение AF == AFMaKC достигается при условии, что проводник
расположен перпендикулярно к линиям индукции A11.4.1.7°).
4.3. Магнитное поле электрического тока
1°. Электрический ток, протекающий по проводнику, создает в
пространстве, окружающем проводник, магнитное поле. Модуль и
направление вектора магнитной индукции в любой точке магнитно-
магнитного поля зависят: от силы тока в проводнике, геометрической формы
проводника, расположения данной точки относительно проводника,
а также от магнитных свойств среды, в которой находятся провод-
проводник и точка. Существенно, что магнитное поле в данной точке соз-
создается одновременно всеми участками проводника, по которому те-
течет ток. Согласно принципу суперпозиции полей A11.1.3.7°) вектор

264
Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
магнитной индукции поля в произвольной его точке равен геоме-
геометрической сумме векторов магнитных индукций полей, создаваемых
всеми участками проводника.
2°. Если некоторый проводник с током силы / создает в вакууме
магнитное поле, вектор магнитной индукции которого в данной точ-
точке равен Во, то в однородной изотропной среде, заполняющей все
пространство, где имеется магнитное поле, в этой же точке будет
создаваться магнитное поле с индукцией В:
В = /иВ0,
где /i — относительная магнитная проницаемость среды. В лю-
любой среде ju ^ 1 и показывает, во сколько раз при заданных токах,
создающих магнитное поле, магнитная индукция в рассматриваемой
точке однородной изотропной среды, заполняющей все поле, больше
(или меньше), чем в вакууме A11.6.2.1°).
3°. Направление вектора магнитной индукции поля, созданного
проводником с током, определяется правилом буравчика {прави-
{правило правого винта) (ср. 111.4.1.4°): если движение острия буравчика
Рис. Ш.4.10
Рис. Ш.4.11
с правой резьбой совпадает с направлением тока в проводнике, то
направление вектора магнитной индукции совпадает с направлени-
направлением движения конца рукоятки буравчика в данной точке пространства
(рис. ШАЛО).
4°. Весьма длинный прямолинейный проводник (бесконечно
длинный проводник4) с током силой / создает в данной среде на
Практически прямолинейный проводник считается бесконечно длинным, если
можно считать, что расстояние от его концов до точки, где отыскивается индукция
магнитного поля, много больше, чем R.

4.3. Магнитное поле электрического тока
265
расстоянии R от проводника магнитное поле с индукцией В, по мо-
модулю равной
1
В =
где / — сила тока в проводнике, /но — магнитная постоян-
постоянная (VII.5.30), /и — относительная магнитная проницаемость сре-
среды (п. 2°).
На рис. Ш.4.11 изображены линии магнитной индукции такого
поля и направления векторов Bi и В2 в различных точках поля.
Линии магнитной индукции представляют собой концентрические
окружности в плоскостях, перпендикулярных к проводнику с током.
5°. Проводник в форме кругового витка с радиусом R, по ко-
которому протекает ток силы /, создает магнитное поле, магнитная
индукция которого в центре витка по модулю равна
где juq — магнитная постоянная, {л — относительная магнитная про-
проницаемость среды (п. 2°). На рис. Ш.4.12 показано расположение
линий магнитной индукции и направление векторов Bi и В2 в раз-
различных точках поля в сечении, перпендикулярном витку. Любой
:<<Ш^/ ^%??V
В
Рис. Ш.4.12
Рис. IIL4.13
замкнутый проводник с током (контур с током) создает магнитное
поле, магнитная индукция В которого прямо пропорциональна маг-
магнитному моменту pw контура с током A11.4.1.4°) и относительной
магнитной проницаемости среды.

266 Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
Зависимость В от геометрической формы контура и расстояния
от него до точки, где отыскивается индукция магнитного поля, в
общем случае имеет сложный характер и в элементарной физике
не рассматривается.
6°. Простейшим однослойным соленоидом5 называется цилин-
цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков прово-
проволоки, которые образуют винтовую линию (рис. Ш.4.13). Если
длина соленоида / ^> R, где R — радиус витка, то солено-
соленоид имеет магнитное поле, изображенное на рис. Ш.4.13. Вну-
Внутри соленоида вдали от его концов поле является однородным
A11.4.1.5°). Магнитное поле вне соленоида подобно магнитному
полю полосового постоянного магнита A11.6.5.6°) (рис. Ш.4.14).
Рис. Ш.4.14 Рис. Ш.4.15
Конец катушки, из которого выходят линии индукции, аналогичен
северному полюсу N магнита. Другой конец катушки, в который ли-
линии индукции входят, аналогичен южному магнитному полюсу. Рас-
Расположение полюсов в катушке соленоида определяется по известно-
известному направлению тока в витках с помощью правила буравчика. Если
вращать рукоятку буравчика с правой резьбой по току, то движение
его острия укажет направление линий индукции магнитного поля
(ср. п. 3°). Северным полюсом соленоида будет тот конец катушки,
на который должен смотреть наблюдатель, чтобы ток в витках про-
протекал против часовой стрелки. Противоположный конец соленоида
соответствует южному полюсу (рис. Ш.4.15).
5От греческого слова «соленоидес» — трубообразный.

4.3. Магнитное поле электрического тока 267
7°. Для достаточно длинного соленоида (п. 6°) с числом вит-
витков N и длиной / индукция магнитного поля в точках его оси, до-
достаточно удаленных от концов соленоида,
В = /ло/лп19
где / — сила тока, протекающего по витку, п = N/I — число вит-
витков отрезка соленоида единичной длины. Остальные обозначения
указаны в пп. 4° и 5°.
Соленоид, внутрь которого помещен ферромагнитный стержень
A11.6.5.1°), называется электромагнитом.
Задача 1. Чему равна индукция магнитного поля в центре круго-
кругового витка радиусом 0.1 м, если магнитный момент витка 0.2 А • м2?
Дано: R = 0.1 м, рт = 0.2 А • м2.
Найти: В.
Решение: Индукция магнитного поля в центре кругового тока
В = ju/uo(I/2R), где /jq — магнитная постоянная, /io = 1.26 х
х 10~6 Гн/м.
Магнитный момент витка с током рт = ¦ IS = IjtR2, отсюда
/ = pm/jiR2.
Тогда
Рт
В =
2л-/?3'
Задача 2. При силе тока в 0.5 А индукция магнитного поля на
оси достаточно длинного соленоида равна 3.15-10~3 Тл. Определить
диаметр провода, из которого изготовлена однослойная обмотка со-
соленоида. Витки обмотки плотно прилегают друг к другу. Соленоид
без сердечника.
Дано: В = 3.15 • 10Тл, / = 0.5А, ц = 1, /л0 = 1.26 • 10~6 Гн/м.
Найти: d.
Решение: Индукция магнитного поля на оси длинного соленоида
В = щлоп1, где п — число витков на единичной длине.
Если витки плотно прилегают друг к другу, то d = 1/л, или
, т/ , 1-1.26-Ю-6-0.5 п--1П_з
d=—, d= ЗЛ5-1О_3 м = 0.2.103м.

268
Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
4.4. Взаимодействие параллельных токов
1°. Между двумя параллельно расположенными бесконечно
длинными проводниками A11.4.3.4°), по которым протекают посто-
постоянные токи, возникают силы взаимодействия. Проводники с оди-
одинаково направленными токами притягиваются, с противоположно
направленными токами — отталкиваются. Такое взаимодействие
проводников с параллельными токами объясняется правилом ле-
левой руки A11.4.2.2°). Если проводник с
I током силы h находится в магнитном
поле с индукцией Bi, созданном другим
проводником с током силы 1\, то сила
Ампера F направлена так, как показано
на рис. Ш.4.16.
2°. Между двумя участками единич-
единичной длины параллельных бесконечных
проводников, расположенных на рассто-
расстоянии R друг от друга, по которым те-
Рис. Ш.4.16
кут токи силами 1\ и /2, возникает притяжение (отталкивание) при
одинаковых (противоположных) направлениях токов.6 Модуль силы
взаимодействия F равен
hh
где /Jo — магнитная постоянная, ц — относительная магнитная
проницаемость среды, в которой находятся проводники с токами
A11.4.3.2°).
4.5. Действие магнитного поля
на движущийся заряд. Сила Лоренца
1°. На электрический заряд q, движущийся в магнитном поле,
действует сила Лоренца, модуль которой равен
Fji = qvB sin a,
где v — скорость заряда, В — модуль индукции магнитного поля,
а— угол между векторами В и v (рис. III.4.17). Направление си-
Следует помнить, что за направление тока принимается направление, в котором
движутся положительные заряды A11.2.1.2°).

4.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд
269
лы Лоренца, действующей на положительный заряд, определяется
по правилу левой руки A11.4.2.2°). На отрицательный заряд, дви-
движущийся с такой же скоростью и в таком же магнитном поле, сила
Лоренца действует в противоположном направлении.
Рис. Ш.4.17
Рис. Ш.4.18
Сила Лоренца позволяет ввести понятие вектора магнитной ин-
индукции (см. также 111.4.1.6° и 111.4.2.4°): модуль вектора магнитной
индукции в данной точке магнитного поля равен наибольшей лорен-
цевой силе /^лмакс, действующей на единичный положительный заряд,
который движется с единичной скоростью:
В = ——,
qv
Fj\ = /Хакс ПРИ условии, что а = ж/ 2 радиан.
2°. В однородном магнитном поле, вектор индукции которого
перпендикулярен к направлению скорости заряженной частицы, си-
сила Лоренца искривляет траекторию движения. Частица движется по
дуге окружности постоянного радиуса R в плоскости, перпендику-
перпендикулярной к вектору В:
т v
где т — масса частицы, q — ее заряд, v — скорость частицы,
В — индукция магнитного поля. Знак заряда частицы определяет
направление ее отклонения в магнитном поле, линии индукции кото-
которого перпендикулярны к плоскости чертежа (рис. Ш.4.18). Сила Ло-
Лоренца является в этом случае центростремительной силой A.2.4.5°)
и ее работа при движении частицы по окружности равна нулю.
3°. Время Т движения заряженной частицы по всей окружности
(период обращения) в однородном магнитном поле
т — 2л" m
~ В q

270 Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
(Все обозначения указаны в п. 2°.) Время Т не зависит от радиуса
окружности и не зависит от скорости частицы (при скорости части-
частицы v <С с, где с — скорость света в вакууме, когда не сказывается
зависимость массы от скорости (V.4.10.30)). Это положено в основу
работы циклического ускорителя заряженных частиц — циклотрона
(VI.4.16.50).
4°. На заряд, движущийся одновременно в электрическом и маг-
магнитном полях, действует сила, которая называется также силой Ло-
Лоренца (обобщенная сила Лоренца). Ее модуль равен
Fj\ = qE + qvB sin a,
где Е — модуль вектора напряженности электрического поля
A11.1.3.3°). Направление обобщенной силы Лоренца, по правилу
сложения сил A.2.2.6°), зависит от того, в каком направлении дей-
действуют обе силы, входящие в обобщенную силу Лоренца.
Задача 1. a-частица, имеющая скорость 106м/с, влетела в одно-
однородное магнитное поле, индукция которого 0.3 Тл. Скорость частицы
перпендикулярна к направлению линий индукции магнитного поля.
Найти радиус окружности, по которой будет двигаться частица, и
период обращения.
Дано: v = 106 м/с, В = 0.3 Тл, а = 90°, q = 2е = 3.2 • 10~19 Кл,
w = 6.64- 107кг.
Найти: г, Т.
Решение: В магнитном поле на движущийся заряд действует си-
сила Лоренца. Так как v JL В, то это сила будет центростремительной:
fjj = Fu, qvB = mv2/r, отсюда радиус окружности
mv 6.64-Ю-27 106 _2
r^-qr Г= 3.2.10-» ojM = 7.1O-M.
Период обращения
_ 2пг 2-3.14-7-Ю-2 . 1А_7
Т= , Т= —т с = 4 10 'с.
v 105
Задача 2. Параллельно длинному прямолинейному проводнику
с током на расстоянии в 2 мм от него движется электрон со ско-
скоростью, равной 107 м/с. С какой силой будет действовать магнитное
поле тока на электрон, если по проводнику течет ток силой в 10 А?

4.5. Действие магнитного поля на движущийся заряд 271
Дано: v = 107м/с, / = 10 А, е = 1.6 • 1(Г19Кл, d = 2- 10м,
и = 1, ^0 = 1.26 • 10~6 Гн/м, а = 90°.
Найти: Fj\.
Решение: Модуль силы Лоренца, действующей на электрон, дви-
движущийся в магнитное поле, Fj\ = evB sin a.
Индукция магнитного поля прямого тока В = jupo(I/2jrd).
Тогда
FR = 1.6 • 10~19 . 107 • 1.26 • 10~6 Ю-з Н = 2 ' 10~15 Н-
Задача 3. Найти кинетическую энергию электрона, движущегося
по дуге окружности радиусом в 8 см в однородном магнитном поле,
индукция которого равна 0.2 Тл. Направление индукции магнитного
поля перпендикулярно к плоскости окружности.
Дано: г = 8см = 8 • 10~2м, В = 0.2Тл, т = 9.1 • 10~31 кг,
е = 1.6- 10-19Кл.
Найти: ?.
Решение: Кинетическая энергия электрона ? = mv2/2. В маг-
магнитном поле на электрон действует сила Лоренца. Модуль ее
Fj\ = evB, так как v_lB; Fn является центростремительной силой:
evB — mv2/r. Отсюда скорость v = (e/m)Br. Тогда
_ е2В2г2
2т '
A.6-lQ-19J10-2-22-82lQ-4
2-9.Ы0-31 ДЖ Г
Задача 4. Пучок однозарядных ионов неона, пройдя в электри-
электрическом поле ускоряющую разность потенциалов в 1000 В, влетает в
однородное магнитное поле перпендикулярно к линиям магнитной
индукции. В магнитном поле ионы движутся по двум дугам окруж-
окружностей, радиусы которых 14.5 см и 15.3 см. Найти массовые числа
изотопов неона (VI.4.1.2°).
Дано: Аф = 1000 В, В = 0.14Тл, г\ = 14.6 см, г2 = 15.3 см,
1а.е.м.= 1.66- 10~27кг, q= 1.6- 10-19Кл.
Найти: М\, М2.

272 Отдел III. Гл. 4. Магнитное поле постоянного тока
Решение: Кинетическая энергия, приобретенная ионом в уско-
ускоряющем электрическом поле с разностью потенциалов Аср, равна
mv2/2 = qAcp, откуда
2qAcp , N
По условию задачи Fj\ = Fn, т.е. qvB = mv2/r; отсюда
v2 = q2B2r2/m2. Подставляя в A), получаем т = r2B2q/2Acp.
Массовые числа изотопов, выраженные в атомных единицах мас-
массы (а.е.м.) (VII.7.10), будут
0.1462.0.142.1.6.10--"
1 2-1000-1.66-Ю-27 '
0Л532.0.142.1.6.10-^
2 2-1000-1.66-Ю-27
4.6. Удельный заряд частиц
1°. Удельным зарядом частицы называется отношение ее заря-
заряда q к массе т, т.е. q/m. Нахождение удельного заряда основано на
отклонении заряженных частиц в магнитном и электрическом полях.
Для измерения q/m необходимо знать скорость частицы и и радиус
ее траектории R в магнитном поле A11.4.5.2°). Скорость v обеспе-
обеспечивается электрическим полем с известной разностью потенциалов
и определяется по формуле, приведенной в 111.1.8.5°. Радиус R опре-
определяется экспериментально. Удельные заряды электрона и протона
см. в (VII.8).
2°. Для определения удельных зарядов и масс положительных
ионов используется совместное действие на частицы электрическо-
электрического и магнитного полей. Приборы, с помощью которых производятся
точные измерения относительных атомных масс (VII.4.30) изотопов
химических элементов (VI.4.1.20), называются масс-спектрогра-
масс-спектрографами или масс-спектрометрами. В этих приборах частицы раз-
разделяются по массам в соответствии со спектром масс — совокуп-
совокупностью значений масс данных частиц. Принцип действия всех этих
устройств состоит в том, чтобы все частицы с определенным значе-
значением удельного заряда q/m\, независимо от их скоростей, были бы
сфокусированы и отделены от частиц с другими значениями q/m2,
q/тз и т.д. Это достигается отклонениями в надлежащим образом
подобранных электрических и магнитных полях.

5.1. Явление и закон электромагнитной индукции 273
Глава 5
Электромагнитная индукция
5.1. Явление и закон электромагнитной индукции
1°. Если проводящий контур находится в переменном магнит-
магнитном поле A11.4.1.1°), то в контуре наводится индуцированное
электрическое поле A11.5.3.1°), характеристикой которого являет-
является электродвижущая сила индукции. В проводящем замкнутом кон-
контуре возникает в этих условиях электрический ток, называемый
индукционным током, а явление называется электромагнитной
индукцией.
Явление электромагнитной индукции было обнаружено Фара-
деем опытным путем. В основе опытов Фарадея лежала идея
о тесной взаимосвязи электрических и магнитных явлений. Если
вокруг проводников с токами возникает магнитное поле, то долж-
должно существовать и обратное явление — возникновение электри-
электрического тока в замкнутом проводнике под действием магнитно-
магнитного поля. Серией опытов Фарадей показал, что в замкнутых про-
проводящих контурах, находящихся в переменном магнитном по-
поле, возникает электрический индукционный ток независимо от
того, как достигается изменение во времени магнитного пото-
потока A11.4.1.8°) сквозь площадь поверхности, ограниченной конту-
контуром. Магнитный поток, пронизывающий площадь поверхности кон-
контура, может изменяться с течением времени благодаря дефор-
деформации или перемещению контура во внешнем магнитном по-
поле, а также потому, что индукция магнитного поля может быть
переменной.
2°. Закон электромагнитной индукции Фарадея: э.д.с. элек-
электромагнитной индукции ?j в контуре равна и противоположна по
знаку скорости изменения магнитного потока сквозь площадь по-
поверхности, ограниченной этим контуром:
АФ

274
Отдел III. Гл. 5, Электромагнитная индукция
Сила индукционного тока /, в замкнутом проводящем контуре с
сопротивлением R (Ш.2.4.1°)
Z/ = J'
S/ считается положительной, если магнитный момент рш A11.4.1.4°)
соответствующего ей индукционного тока // в контуре образует
острый угол с линиями магнитной индукции того поля, которое на-
наводит этот ток. На рис. Ш.5.1 изображены случаи положительной (а)
и отрицательной (б) Si.
Если замкнутый контур состоит из N последовательно соединен-
соединенных витков (например, в соленоиде A11.4.3.6°)), то Si определяется
Рис. Ш.5.1
Рис. Ш.5.2
изменением за единичный промежуток времени магнитного потока
сквозь поверхности, ограниченные всеми витками.
Суммарный заряд $, который протекает в контуре с сопротивле-
сопротивлением R при явлении электромагнитной индукции,
ДФ
3°. Знак минус в законе Фарадея выражает правило Ленца:
индукционный ток в замкнутом контуре имеет всегда такое на-
направление, чтобы поток магнитного поля этого тока сквозь по-
поверхность, ограниченнную контуром, уменьшал бы те изменения
внешнего поля, которые вызвали появление индукционного то-
тока. На рис. Ш.5.2 указаны по правилу Ленца направления индук-
индукционных токов в катушке, вызванных перемещением полосового
магнита.

5.2. Э.д.с. индукции в движущихся проводниках
275
5.2. Э.д.с. индукции в движущихся проводниках
1°. При движении отрезка проводника длиной / со скоростью v
в стационарном A11.4.1.1°) однородном A11.4.1.5°) магнитном поле
э.д.с. электромагнитной индукции в проводнике равна
Si — Blvsina = Blv±,
где В — модуль вектора магнитной индукции, а — угол между
векторами v и В. Из формулы видно, что Si пропорциональна
составляющей вектора скорости, перпендикулярной к вектору В:
v± = v sin a.
При движении проводника в магнитном поле на его положи-
положительные и отрицательные заряды действует сила Лоренца. Под дей-
действием силы Лоренца в проводнике происходит разделение зарядов:
положительные и отрицательные заряды накапливаются на проти-
противоположных концах проводника (рис. Ш.5.3). Эти заряды создают
внутри отрезка проводника кулоновское поле
A11.1.3.1°). Перемещение зарядов под дей-
действием силы Лоренца будет происходить до
тех пор, пока сила, действующая на заряд в
кулоновском поле, не уравновесит силу Ло- „
ренца Fji = qBv± A11.4.5.1°).
Э.д.с. индукции в отрезке проводника опре-
определяется работой по перемещению единично-
единичного положительного заряда вдоль проводника.
2°. Действие лоренцевых сил на заряды
проводника аналогично действию некоторого
электрического поля, направленного противо-
Рис. Ш.5.3
положно кулоновскому полю. Это поле создается не кулоновски-
ми силами, а силами магнитного происхождения — силами Лорен-
Лоренца. Поэтому электрическое поле, характеристикой которого явля-
является э.д.с. индукции, является сторонним электрическим полем
A11.2.2.4°). По определению модуль напряженности этого сторон-
стороннего электрического поля A11.2.2.4°)
где Fji =qBv± — модуль силы Лоренца.

276
Отдел III. Гл. 5. Электромагнитная индукция
Рис. Ш.5.4
3°. Направление напряженности стороннего электрического по-
поля электромагнитной индукции в прямолинейном проводнике, дви-
движущемся в магнитном поле, определяется правилом правой руки:
если ладонь правой руки расположить так, чтобы вектор магнитной
индукции В входил в ладонь, а отставленный на 90° большой палец
совпадал с направлением перпендику-
перпендикулярной к проводнику составляющей его
скорости, то вытянутые четыре паль-
пальца укажут направление напряженности
стороннего электрического поля элек-
электромагнитной индукции, возникащего в
проводнике (рис. Ш.5.4).
4°. В плоской прямоугольной рамке,
которая вращается в однородном маг-
магнитном поле с угловой скоростью со
A.1.9.4°) так, что ось вращения лежит
в плоскости рамки и перпендикулярна к вектору В магнитной ин-
индукции внешнего поля, э.д.с. электромагнитной индукции равна
Si — ВSco sin cot,
где S — площадь рамки.
Задача 1. Самолет с размахом крыльев в 15 м летит горизонталь-
горизонтально со скоростью, равной 830 км/ч. Определить разность потенциа-
потенциалов между концами крыльев. Вертикальная составляющая индукции
магнитного поля Земли составляет 50мкТл.
Дано: I = 15 м, v = 830км/ч = 230м/с, В = 50мкТл = 5.0 х
х10~5Тл.
Найти: Аср.
Решение: При движении проводника перпендикулярно к линиям
индукции магнитного поля разность потенциалов на концах провод-
проводника равна
Аср = Blv,
Аср - 5.0 • 10~5 • 15 • 230В = 0.17В.
Задача 2. Рамка площадью в 400 см2, имеющая 100 витков, вра-
вращается в однородном магнитном поле с индукцией, равной 0.01 Тл.
Период обращения рамки равен 0.1 с. Определить максимальное зна-
значение э.д.с. индукции в рамке. Ось вращения перпендикулярна к ли-
линиям индукции магнитного поля.

5.3. Индуцированное электрическое поле 277
Дано: S = 400см2 = 4.00 • 10м2, N = 100, В = 0.01 Тл,
Т = 0.1 с.
Найти: ?/макс.
Решение: При вращении замкнутого контура в магнитном поле
э.д.с. индукции равна ?t — coBS sin cot • N.
Очевидно,
?/макс = 2 3|14 • 0.01 • 4.00 • 10~2 • 100 В - 2 В.
5.3. Индуцированное электрическое поле
1°. Если к неподвижному замкнутому проводящему контуру при-
приближается со скоростью v полосовой магнит, то в контуре возникает
индукционный ток // (рис. Ш.5.5). Причиной, вызывающей упорядо-
упорядоченное перемещение зарядов, является индуцированное электри-
электрическое поле, в котором на поло- /л
жительные и отрицательные за- * &
ряды проводящего контура дей-
действуют силы A11.5.2.1°).
2°. Свойства индуцированно-
индуцированного электрического поля: * Ток
а) Индуцированное электри-
электрическое поле не является куло- Рис-
новским полем. Оно создается не зарядами, распределенными в про-
пространстве, а переменным магнитным полем.
б) Индуцированное электрическое поле, подобно магнитному
полю, является вихревым полем A11.4.1.7°). Его силовые линии
замкнуты сами на себя, они не начинаются и не заканчиваются на
зарядах, как в случае кулоновского поля.
в) Индуцированное электрическое поле является непотенциаль-
непотенциальным полем. Работа сил этого поля при перемещении единичного
положительного заряда по замкнутой цепи, не равна нулю и пред-
представляет собой э.д.с. индукции в замкнутом проводящем контуре,
находящемся в переменном магнитном поле.

278 Отдел III. Гл. 5. Электромагнитная индукция
3°. Переменное магнитное поле вызывает появление индуциро-
индуцированного вихревого электрического поля. Это фундаментальное по-
положение электродинамики установлено Максвеллом как обобщение
закона электромагнитной индукции Фарадея A11.5.1.2°). Вихревое
электрическое поле обнаруживается по его действию на свободные
заряды электрического проводящего контура, помещенного в это
поле. Направление вектора напряженности вихревого электриче-
электрического поля устанавливается в соответствии с законом электромаг-
электромагнитной индукции Фарадея A11.5.1.2°) и правилом Ленца A11.5.1.3°)
(см. также IV.4.1.20).
Вихревое электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями
используется для ускорения электронов в бетатроне (VI.4.16.30).
5.4. Индукционные токи в сплошных проводниках
1°. Индукционные токи в сплошных проводниках называются
вихревыми токами или токами Фуко. В толщах сплошных про-
проводников возникает много замкнутых линий таких токов. Токи Фуко
приводят к выделению большого количества теплоты за единичный
промежуток времени, прямо пропорционального квадрату частоты
изменения магнитного поля. В индукционных печах для нагревания
применяются переменные токи высокой частоты.
2°. Во многих электротехнических устройствах (электрические
машины, трансформаторы и др.) тепловыделение за счет токов Фу-
Фуко приводит к потерям энергии. Для их уменьшения сердечники
трансформаторов A11.5.6.3°), магнитные цепи электрических машин
и другие устройства изготовляют не сплошными, а из отдельных
изолированных пластин, поверхности которых располагаются па-
параллельно линиям магнитной индукции. Токи Фуко образуются в
плоскостях, перпендикулярных к линиям магнитной индукции. По-
Поэтому такое расположение пластин уменьшает потери энергии от
токов Фуко.
3°. Вихревые токи, которые возникают в сплошных проводниках,
движущихся в магнитном поле, взаимодействуют с магнитным по-
полем по правилу Ленца A11.5.1.3°), что приводит к торможению дви-
движущихся проводников. Это явление используется для торможения
подвижных систем электрооизмерительных приборов {тормозящее
действие токов Фуко).

5.5. Самоиндукция 279
5.5. Самоиндукция
1°. Явлением самоиндукции называется возникновение индуци-
индуцированного поля в цепи в результате изменения тока в этой цепи.
Изменение тока вызывает изменение его собственного магнитного
поля. В проводнике с током, который находится в изменяющемся
собственном магнитном поле, возникает явление электромагнитной
индукции, характеристикой которого служит э.д.с. самоиндукции.
2°. Собственное магнитное поле тока в контуре создает магнит-
магнитный поток ФЛ сквозь площадь поверхности, ограниченную самим
контуром A11.4.1.8°). Магнитный поток ФЛ называется потоком
самоиндукции контура. Если контур находится не в ферромагнит-
ферромагнитной среде A11.6.5.1°), то Ф5 пропорционален силе тока / в контуре:
Ф, = Ы.
Величина L называется индуктивностью контура и является его
электрической характеристикой, подобно сопротивлению R контура
и другим характеристикам.
Индуктивность контура определяется магнитным потоком са-
самоиндукции контура при силе тока, равной единице. Значение L
зависит от размеров контура, его геометрической формы и отно-
относительной магнитной проницаемости A11.4.3.2°) среды, в которой
находится контур. Например, для достаточно длинного соленоида
A11.4.3.6°, 7°) длиной / и площадью витка S с общим числом вит-
витков N индуктивность равна
L =
где /uq — магнитная постоянная, /и — относительная магнитная про-
проницаемость среды, п = N/I — число витков на единичном по длине
отрезке соленоида, V = SI — объем соленоида.
3°. По закону электромагнитной индукции Фарадея A11.5.1.2°)
э.д.с. самоиндукции ?is равна
Если контур с током не деформируется и относительная маг-
магнитная проницаемость среды постоянна, то индуктивность контура

280
Отдел III. ' Гл. 5. Электромагнитная индукция
постоянна. Тогда ?iS пропорциональна только скорости изменения
силы тока:
е - Iм
Ь„ - -L-.
Индуктивность контура может быть определена модулем э.д.с. са-
самоиндукции при скорости изменения силы тока в контуре, рав-
равной 1 А/с.
4°. Под действием ?\s в контуре появляется индукционный ток
IS9 который, по правилу Ленца A11.5.1.3°), противодействует изме-
изменению тока в цепи, вызвавшего явление самоиндукции. Ток IS9 на-
кладываясь на основной ток, замедляет его возрастание или пре-
препятствует его убыванию. По формуле п. 3° ?iS9 а следовательно, и
IS9 при прочих равных условиях, прямо пропорциональны индуктив-
индуктивности контура.
Индуктивность контура является мерой его «инертности» по
отношению к изменению тока в контуре. В этом смысле индук-
индуктивность L контура в элетродинамике аналогична массе т тела в
механике A.2.3.1°).
/1
R
Рис. Ш.5.6
5°. Нарастание (убывание) тока с течением времени при замы-
замыкании (размыкании) цепи имеет вид, изображенный на рис. Ш.5.6.
Характер кривых объясняется ролью явления самоиндукции при за-
замыкании и размыкании (п. 4°).
5.6. Взаимная индукция. Трансформатор
1°. Явление взаимной индукции состоит в возникновении ин-
индуцированного поля A11.5.3.1°) в проводниках, находящихся побли-
поблизости от других проводников с токами, изменяющимися с течени-
течением времени. Так, если сила тока 1\ в контуре 1 изменяется, то в
контуре 2, не содержащем источника тока, возникает индуцирован-

5.6. Взаимная индукция. Трансформатор
281
ное поле, характеризуемое э.д.с. взаимной индукции ?ц\. Созда-
Создается индукционный ток, который обнаруживается гальванометром
(рис. Ш.5.7).
2°. По закону электромагнитной
индукции Фарадея A11.5.1.2°) e~Y 7Н № СО
ДФ21
?/21 = — -
At
где Ф21 — поток магнитной индук- рИс Ш.5.7
ции, который создается магнитным полем тока 1\ и пронизывает
площадь поверхности, охватываемой контуром 2. Магнитный по-
поток Ф21 пропорционален силе тока 1\ в контуре /:
Ф21 — М.2\1\,
где Mi\ —коэффициент, который называется взаимной индуктив-
индуктивностью второго и первого контуров. Mix зависит от размеров, гео-
геометрической формы и взаимного расположения контуров / и 2
и, кроме того, от относительной маг-
о нитной проницаемости среды, в кото-
которой находятся контуры.
3°. На явлении взаимной индук-
о ции основано действие трансфор-
трансформатора^ который применяется для
повышения или понижения напряже-
напряжения переменного тока. На сердечни-
сердечнике, состоящем из отдельных пластин, собранных в замкнутую раму
A11.6.5.6°), находятся две обмотки (рис. Ш.5.8) — первичная Sx и
вторичная 5г с числами витков соответственно N\ и А^. Перемен-
Переменный ток 1х создает в первичной обмотке переменное магнитное поле,
которое и является причиной э.д.с. взаимной индукции во вторичной
обмотке.
При холостом ходе трансформатора, когда ток во вторичной об-
обмотке отсутствует (h = 0), отношение модулей напряжений Ui и
Ux на концах вторичной и первичной обмоток называется коэффи-
коэффициентом трансформации:
Рис. Ш.5.8
= — =?.
повышающего (понижающего) трансформатора Ni
'(N2<Nx).
Для
> N\

282 Отдел III. Гл. 5. Электромагнитная индукция
5.7. Энергия магнитного поля
1°. Для получения в контуре с индуктивностью L тока силой /
необходима работа внешних сил по преодолению э.д.с. самоиндук-
самоиндукции. Собственной энергией Wm тока силой / называется величина,
равная этой работе. Если среда, в которой находится контур, нефер-
ромагнитна A11.6.5.1°), то
w -L-t
2°. В соответствии с теорией близкодействия A11.1.3.2°) соб-
собственная энергия тока сосредоточена в магнитном поле проводника
с током. Поэтому говорят об энергии магнитного поля, причем
считается, что собственная энергия тока распределена по всему про-
пространству, где имеется магнитное поле. Энергия магнитного поля
равна собственной энергии тока. В длинном соленоиде A11.4.3.6°)
энергия магнитного поля сосредоточена главным образом в объеме
V соленоида и равна
где п — число витков на единичной длине соленоида, /uq — маг-
магнитная постоянная, /л — относительная магнитная проницаемость
среды.
3°. Энергия однородного магнитного поля, сосредоточенного в
объеме V изотропной и неферромагнитной среды,
где В — индукция магнитного поля A11.4.1.6°). Остальные обозна-
обозначения указаны в п. 2°.
4°. Объемной плотностью энергии wm магнитного поля назы-
называется энергия, заключенная в единичном объеме поля:
AW
Wm = "AY'
Для магнитного поля в изотропной и неферромагнитной среде

5.7. Энергия магнитного поля 283
Это выражение справедливо не только для однородного поля, но и
для произвольных, в том числе и переменных во времени, магнит-
магнитных полей.
5°. Если одновременно существуют электрическое и магнит-
магнитное поля, то объемная плотность энергии электромагнитно-
электромагнитного поля w в изотропной среде, не обладающей ферромагнитными
A11.6.5.1°) и сегнетоэлектрическими A11.1.6.9°) свойствами, равна
сумме объемных плотностей энергий электрического A11.1.12.7°) и
магнитного полей:
е0еЕ2 1 В2
w — we + wm = — h •
Задача. Определить индуктивность катушки с неферромагнит-
неферромагнитным сердечником, имеющей 800 витков. Длина катушки равна
0.25 м, диаметр витков — 4 см. По катушке идет ток силой в 1 А.
Чему равен магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки?
Какова энергия магнитного поля катушки?
Дано: I = 0.25м, d = 4см = 0.04м, N = 800, / = 1 А, /и = 1,
цо = 1.26- 10Гн/м.
Найти: Ф, W.
Решение: Индуктивность катушки с неферромагнитным сердеч-
сердечником
г 1 ^ 1П-6 80°2 3.14-0.042
L = 1.26 • 10 • —— • Гн = 4мГн.
0.25 4
Магнитный поток
Энергия магнитного поля
Wm = —,
4 -10~3- I2 л
Wm = Дж = 2 • Ю-3 Дж.

284 Отдел III. Гл. 6. Магнитные свойства вещества
Главаб
Магнитные свойства вещества
6.1. Магнитные моменты электронов и атомов.
Спин электрона
1°. Каждый электрон, движущийся в атоме вокруг ядра по замк-
замкнутой орбите1 (VI.2.2.10), представляет собой электронный ток,
текущий в направлении, противоположном движению электрона. На
рис. Ш.6.1 указано направление вектора скорости v электрона и
направление тока, текущего по орбите. Сила / электронного тока
A11.21.3°)
где е — модуль заряда электрона, Т — период обращения электрона
по орбите.
2°. Магнитный момент pw электрического тока, вызванного дви-
движением электрона по орбите, согласно определению A11.4.1.4°)
pw =
где S — площадь орбиты электрона, По — единичный вектор нор-
нормали, задающий направление вектора pw A11.4.1.4°) (рис. Ш.6.1).
Магнитный момент pw электронного тока назы-
называется орбитальным магнитным моментом
электрона.
3°. Вектором орбитального магнитно-
магнитного момента атома Pw называется вектор-
векторная сумма орбитальных магнитных моментов
всех Z его электронов:
о _пA) _пB) . . „(Z)
Рис. Ш.6.1 '" ~Рт ~~ Ри -1- • • • -I- Рт '
где Z — порядковый номер атома в периодической системе эле-
элементов Менделеева (VI.2.9.10), равный общему числу электронов
в атоме. Если вещество состоит из молекул, то магнитный момент
молекулы является векторной суммой орбитальных магнитных мо-
моментов ее атомов.
'Уточнение понятия об орбите электрона в атоме см. VI. 1.6.2° и VI.2.6.3°.

6.1. Магнитные моменты электронов и атомов. Спин электрона 285
4°. Каждый атом или молекула, обладающие магнитным момен-
моментом, могут быть уподоблены замкнутому электрическому току, те-
текущему по контуру, ограничивающему некоторую площадь поверх-
поверхности S (атомный или молекулярный ток). Молекулярный ток,
как и всякий замкнутый контур с током, имеет магнитный момент
и создает магнитное поле A11.4.3.5°). Со-
Согласно гипотезе Ампера магнитные свой-
ства вещества определяются молекулярны-
молекулярными токами. Q
5°. Электрон, независимо от его пребы- Т
вания в какой-либо системе частиц (атом, 1
молекула, кристалл), обладает собствен- LSB=-h/2
ным механическим моментом количест-
количества движения р5 (собственный момент
импульса) A.3.2.2°), называемым спином1. Элементарное модель-
модельное преставление о спине связывается с вращением электрона во-
вокруг собственной оси. Однако это представление противоречит спе-
специальной теории относительности (VI.2.8.30). В современной фи-
физике доказано, что электрону присущ спин в такой же мере, как
ему присущи электрический заряд е и масса покоя то, (V.4.10.40)
(см. также (VI.2.8.10)).
6°. Важнейшая особенность спина электрона состоит в том, что
в магнитном поле3 спин может быть ориентирован так, чтобы его
проекция на направление вектора индукции магнитного поля В при-
принимала только два значения (рис. Ш.6.2):
г=±ъ = ±±_
SB 2 4ж '
где h — постоянная Планка (V.3.2.30) и h = п/2ж.
Если в какой-либо системе электронов (атом, кристалл) име-
имеется четное число электронов, то спины каждой пары электронов,
направленные в противоположные стороны, дают суммарный спин,
равный нулю. Такая система называется скомпенсированной по
спину. При нечетном числе элекронов система имеет нескомпен-
сированный спин, отличный от нуля.
2От латинского «spin» — вращаться, кручение, веретено.
3Это поле может быть создано как проводниками с токами («внешнее поле»), так
и электронными, а также атомными и молекулярными токами («внутреннее поле»).

286 Отдел III. Гл. 6. Магнитные свойства вещества
Наличием у электрона и некоторых других элементарных час-
частиц (VI.5.2.9°) спина объясняются многие важные закономерности
в современной физике. Например, спином электрона объясняются
магнитные свойства ферромагнетиков A11.6.5.8°). Спин электрона
определяет распределение электронов по энергетическим состояни-
состояниям и, в связи с этим, по слоям в атомах (VI.2.8.60).
6.2. Классификация магнетиков
1°. Магнетиками называются все вещества, способные намаг-
намагничиваться во внешнем магнитном поле, т.е. создавать собствен-
собственное {внутреннее) магнитное поле самого вещества. Магнетики
подразделяются по своим магнитным свойствам на слабомагнит-
слабомагнитные и сильномагнитные вещества. К слабомагнитным веществам
относятся парамагнетики и диамагнетики. Основную группу силь-
сильномагнитных веществ составляют ферромагнетики. Слабо- и силь-
сильномагнитные вещества отличаются значениями относительной маг-
магнитной проницаемости ju A11.4.3.2°). Для слабомагнитных веществ
(л незначительно отличается от единицы: для парамагнетиков /и ^ 1,
для диамагнетиков /и < 1. Кроме того, /и для слабомагнитных ве-
веществ не зависит от индукции Во, того магнитного поля, в котором
намагничиваются вещества. Для сильномагнитных веществ // > 1 и
зависит от Во A11.6.5.3° L.
2°. К парамагнетикам относятся кислород, окись азота, алюми-
алюминий, платина, редкоземельные элементы, щелочные и щелочнозе-
щелочноземельные металлы и другие вещества.
Для парамагнитных веществ /и зависит от температуры и убы-
убывает с повышением ее по закону /и — 1 -{-С/Т, где Т — термоди-
термодинамическая температура, С — постоянная Кюри, характерная для
данного вещества.
3°. Диамагнетиками являются инертные газы (гелий, аргон и
др.), многие металлы (золото, цинк, медь, ртуть, серебро), во-
вода, стекло, мрамор, многие органические соединения. Для этих
веществ относительная магнитная проницаемость не зависит от
температуры.
Для ферромагнетиков относительная магнитная проницаемость определяется
иначе, чем в 111.4.3.2°. Определение /j для ферромагнетиков выходит за рамки эле-
элементарного курса физики.

6.3. Диамагнетизм
287
4°. К ферромагнетикам относится сравнительно небольшая груп-
группа твердых кристаллических тел — так называемых переходных ме-
металлов (железо, никель, кобальт), а также ряд сплавов. О магнитных
свойствах ферромагнетиков см. III.6.5.1°-7°.
6.3. Диамагнетизм
1°. Диамагнетиками называются вещества, у которых атомы
или молекулы в отсутствие внешнего магнитного поля не имеют
магнитных моментов A11.6.1.3°). Атомы таких веществ называются
диамагнитными атомами. При-
Примером является атом гелия. Ядро
этого атома имеет заряд q = +2e
(VI.2.1.10), где е — модуль заря- v,
да электрона. Предположим, что
оба электрона атома гелия обра-
обращаются вокруг ядра с одинаковой
скоростью по одинаковым орби-
орбитам (VI.2.2.10), но в противопо- Рис. Ш.6.3
ложных направлениях (рис. Ш.6.3). Тогда их орбитальные маг-
магнитные моменты A11.6.1.2°) будут равны по модулю, но противо-
противоположны по направлению и суммарный магнитный момент атома
Pin = Pw} + pi?} будет равен нулю.
2°. При внесении диамагнитного вещества в магнитное по-
поле в каждом его атоме (или молекуле) индуцируется некоторый
дополнительный атомный (или молекулярный) индукционный ток
/, A11.6.1.4°) с магнитным моментом ДРШ/. Вектор ДР,Ш на-
направлен противоположно вектору Во маг-
магнитной индукции внешнего магнитного поля
"в" (рис. Ш.6.4). Вектор ДР|Ш- и индукционный
ток // по правилу Ленца A11.5.1.3°) должны
иметь такое направление, чтобы магнитное
поле, созданное наведенными токами, было
противоположно намагничивающему внешнему полю. Суммарное
магнитное поле, созданное наведенными во всех атомах (молеку-
(молекулах) индукционными токами, является собственным (внутренним)
магнитным полем. Вектор магнитной индукции внутреннего поля
Рис. Ш.6.4

288 Отдел III. Гл. 6. Магнитные свойства вещества
направлен противоположно вектору индукции внешнего, намагни-
намагничивающего поля. В этом и заключается намагничивание диамагнит-
диамагнитного вещества.
Если воздействие намагничивающего поля прекращается, то ис-
исчезают индукционные токи в атомах (молекулах) и диамагнитные
свойства исчезают {размагничивание диамагнетика). На возник-
возникновение индукционных токов в атомах (молекулах) не влияет теп-
тепловое, хаотическое движение атомов (молекул). Поэтому диамаг-
диамагнитные свойства вещества не зависят от температуры.
3°. Диамагнетизм является универсальным свойством всех ве-
веществ, так как в атомах (молекулах) любых веществ, помещенных
в магнитное поле, наводятся индукционные токи. Однако диамаг-
диамагнетизм является очень слабым эффектом. Поэтому диамагнитные
свойства наблюдаются только у тех веществ, у которых эти свойства
являются единственными и не маскируются другими, более сильны-
сильными магнитными свойствами.
6.4. Парамагнетизм
1°. Атомы (или молекулы), обладающие некоторым магнитным
моментом Pw A11.6.1.3°), называются парамагнитными, а состоя-
состоящие из них вещества — парамагнетиками. Магнитные моменты
атомов (молекул) парамагнетика зависят от строения атомов (мо-
(молекул), постоянны для данного вещества и не зависят от внешнего
магнитного поля.
2°. В отсутствие магнитного поля тепловое движение атомов
(молекул) парамагнетика и их соударения препятствуют возникно-
возникновению упорядоченного расположения векторов Р/и магнитных мо-
моментов отдельных атомов (молекул). Поэтому в парамагнитном ве-
веществе в отсутствие внешнего магнитного поля атомные (молеку-
(молекулярные) токи не создают результирующего магнитного поля. Ве-
Вещество не намагничивается — в нем не возникает собственного
(внутреннего) магнитного поля.
3°. При внесении парамагнетика во внешнее однородное маг-
магнитное поле каждый атомный (молекулярный) ток стремится рас-
расположиться так, чтобы вектор его магнитного момента был ори-
ориентирован параллельно вектору Во индукции внешнего поля. Это-
Этому препятствует тепловое движение атомов (молекул). Совместное

6.5. Ферромагнетизм 289
действие магнитного поля и теплового движения приводит к тому,
что возникает преимущественная ориентация магнитных моментов
атомов (молекул) по направлению индукции внешнего магнитного
поля (рис. Ш.6.5). В парамагнитном веществе создается резуль-
результирующее магнитное поле всех атомных (молекулярных) токов, и
Атомный ток вещество намагничивается — в нем возника-
ет собственное (внутреннее) магнитное поле.
Вектор индукции этого поля направлен одина-
ково с вектором индукции внешнего намагни-
0 чивающего поля.
4°. При повышении температуры парамаг-
Рис. Ш.6.5 нетика в нем усиливается хаотическое, тепло-
тепловое движение атомов (молекул). Оно препятствует ориентации маг-
магнитных моментов атомов (молекул) и уменьшает намагничивание
вещества. Поэтому относительная магнитная проницаемость пара-
парамагнетиков уменьшается при нагревании A11.6.2.2°).
6.5. Ферромагнетизм
1°. Ферромагнетиками называется группа веществ в твердом
кристаллическом состоянии, обладающая совокупностью магнит-
магнитных свойств, обусловленных особым взаимодействием атомных но-
носителей магнетизма. У ферромагнитных веществ собственное (внут-
(внутреннее) магнитное поле A11.6.2.1°) имеет индукцию в сотни и тыся-
тысячи раз большую, чем индукция внешнего магнитного поля, вызвав-
вызвавшего явление намагничивания, т. е. образование внутреннего поля.
2°. Для характеристики явления намагничивания вещества вво-
вводится величина /, называемая намагниченностью вещества. На-
Намагниченность в СИ определяется формулой
/ _ В ~^° _ А*#о ~ #о _ ^о / _ ,х
где ju — относительная магнитная проницаемость вещества,
Z?o — индукция магнитного поля в вакууме, В — индукция магнит-
магнитного поля в веществе: В = /иВо A11.4.3.2°).
Для пара- и диамагнетиков намагниченность / прямо пропорци-
пропорциональна индукции #о магнитного поля в вакууме (рис. II 1.6.6).

290
Отдел
Гл. 6. Магнитные свойства вещества
Для ферромагнитных тел намагниченность / является сложной
нелинейной функцией Во. Зависимость / от величины Bo/juo называ-
называется технической кривой намагниченности (рис. Ш.6.7). Кривая
указывает на явление магнитного насыщения: начиная с некоторого
значения Bo/juo = Bqh/juo, намагниченность практически остается
постоянной, равной /„ (намагниченность насыщения).
1\
Парамагнетик
Диамагнетик
Рис. Ш.6.6
Рис. Ш.6.7
3°. Относительная магнитная проницаемость /л ферромагнети-
ферромагнетиков, в отличие от пара- и диамагнетиков, имеет весьма большие
значения и зависит от индукции Во магнитного поля, в котором на-
находится вещество (рис. Ш.6.8). Например, для железа /имакс — 5000,
для пермаллоя G8% Ni и 22% Fe) /лмакс = 100 000.
4°. Магнитным гистерезисом^ ферромагнетика называется от-
отставание изменения величины намагниченности ферромагнитного
вещества от изменения внешнего магнитного поля, в котором нахо-
находится вещество. Важнейшей причиной магнитного гистерезиса явля-
является характерная для ферромагнетика зависимость его магнитных
характеристик (/и, I) не только от состояния вещества в данный мо-
момент, но и от значений величин /и и / в предыдущие моменты вре-
времени. Таким образом, существует зависимость магнитных свойств
от предшествующей намагниченности вещества.
5°. Петлей гистерезиса называется кривая зависимости из-
изменения намагниченности ферромагнитного тела, помещенного во
внешнее магнитное поле, от изменения индукции этого поля от
+#0н/Ио ДО — Boh/jjo и обратно. Значение +Вон/но соответствует
намагниченности насыщения /„ (п. 2°) (рис. Ш.6.9). Если про-
процесс намагничивания ферромагнетика до насыщения (точка а на
"От греческого «hysteresis» — отставание следствия от его причины.

6.5. Ферромагнетизм
291
рис. Ш.6.9) происходит по кривой Оа, то при дальнейшем уменьше-
уменьшении Bo/jiio намагниченность изменяется по кривой я/#. При Во = 0
у ферромагнетика остается некоторая остаточная намагничен-
намагниченность //?. Это означает, что у ферромагнитного тела существует
собственное (внутреннее) магнитное поле при отсутствии внешне-
внешнего поля.
Рис. Ш.6.8
Рис. Ш.6.9
Для того чтобы полностью размагнитить ферромагнитное тело,
необходимо изменить направление индукции внешнего поля. При
некотором значении проекции магнитной индукции на первоначаль-
первоначальное направление —Bqk, которой соответствует величина —Bok//jo,
называемая коэрцитивной (задерживающей) силой, намагничен-
намагниченность / тела станет равной нулю. При дальнейшем увеличении ин-
индукции внешнего магнитного поля в направлении, противополож-
противоположном первоначальному, намагниченность снова достигнет насыще-
насыщения (точка Ь). Уменьшение внешнего магнитного поля до нуля и
дальнейшее его увеличение до значения величины Bq//ио = Вон/но
приводят к замкнутой, симметричной относительно точки О кри-
кривой — петле гистерезиса.
6°. Коэрцитивная сила и форма петли гистерезиса характери-
характеризуют свойство ферромагнетика сохранять остаточное намагничива-
намагничивание и определяют использование ферромагнетиков для различных
целей. Ферромагнетики с широкой петлей гистерезиса называют-
называются жесткими магнитными материалами (углеродистые, вольф-
вольфрамовые, хромовые, алюминиево-никелевые и другие стали). Они
обладают большой коэрцитивной силой и используются для созда-
создания постоянных магнитов различной формы (полосовых, подко-

292 Отдел 111. Гл. 6. Магнитные свойства вещества
вообразных, магнитных стрелок). К мягким магнитным материа-
материалам, обладающим малой коэрцитивной силой и узкой петлей гисте-
гистерезиса, относятся железо, сплавы железа с никелем. Эти материалы
используются для изготовления сердечников трансформаторов, ге-
генераторов и других устройств, по условиям работы которых проис-
происходит перемагничивание в переменных магнитных полях. Перемаг-
ничивание ферромагнетика связано с поворотом областей самопро-
самопроизвольного намагничивания (п. 8°) за счет энергии внешнего маг-
магнитного поля A11.5.7.2°). Количество теплоты, выделяющейся при
перемагничивании, пропорционально площади петли гистерезиса.
7°. Особые свойства ферромагнетика обнаруживаются только
при температурах, меньших некоторой, называемой температурой
{точкой) Кюри ©к. При Т ^ ©к ферромагнитные свойства ис-
исчезают и вещество становится парамагнетиком A11.6.4.1°). Точка
Кюри ©к для железа равна 770°С, для никеля 360°С, а для пермал-
пермаллоя 70°С.
8°. При температурах Т < ©к любое ферромагнитное тело
состоит из доменов — малых областей с линейными размера-
размерами порядка 10~2— 10~~3см, внутри которых существует наиболь-
наибольшая намагниченность, равная /н — намагниченности насыщения
(п. 2°). Домены называются иначе областями самопроизвольной
намагниченности.
Образование доменов объясняется следующим образом. У ато-
атомов переходных металлов имеются незаполненные электронные
оболочки (VI.2.8.60), в которых спины электронов не полностью
скомпенсированы A11.6.1.6°). Если в кристаллической решетке из
таких атомов выполняется условие d/a ^ 1.5, где d — диаметр
атома, а — диаметр незаполненного слоя, между нескомпенсиро-
ванными спинами возникает особое взаимодействие6. В результате
этого взаимодействия спины электронов ориентируются параллель-
параллельно друг другу внутри небольших областей — доменов. Внутри до-
домена возникает весьма сильное магнитное поле, так что домен ока-
оказывается намагниченным до насыщения. Каждый домен, кроме того,
характеризуется определенным значением и направлением вектора
магнитного момента Ршд всего домена7 (рис. Ш.6.10).
6Квантовомсханическая природа этого взаимодействия не рассматривается в эле-
элементарном курсе физики.
7Не следует путать магнитный момент домена с магнитным моментом отдельного
атома или молекулы A11.6.1.3°).

6.5. Ферромагнетизм 293
9° о В отсутствие внешнего магнитного поля векторы магнитных
моментов отдельных доменов ориентированы внутри ферромагне-
ферромагнетика совершенно беспорядочно, так что суммарный магнитный мо-
момент всего тела равен нулю (рис. Ш.6.11). Под влиянием внешне-
внешнего магнитного поля в ферромагнетиках происходит поворот вдоль
Во
Рис. IIL6.10 Рис. Ш.6.11
ноля магнитных моментов не отдельных атомов или молекул, как в
парамагнетиках A11.6.4.3°), а целых областей самопроизвольной на-
намагниченности — доменов. Поворот вдоль поля векторов Р,т про-
происходит прежде всего в тех доменах, у которых направление Ршд
наиболее близко к направлению вектора индукции Во внешнего по-
поля. Поэтому намагниченность / растет с увеличением Во постепен-
постепенно (рис. Ш.6.7). При увеличении индукции внешнего поля разме-
размеры доменов, намагниченных вдоль индукции внешнего поля, растут
за счет уменьшения размеров доменов с другими ориентациями
векторов Р„щ. При достаточно сильном внешнем магнитном поле
все ферромагнитное тело оказывается намагниченным. Намагничен-
Намагниченность достигает максимального значения /н — наступает магнитное
насыщение (п. 2°).
10°. При уменьшении индукции Во внешнего поля в намагни-
намагниченном ферромагнетике происходит постепенная дезориентация об-
областей самопроизвольной намагниченности. Однако и в отсутствие
внешнего поля часть магнитных моментов доменов остается ориен-
ориентированной, и этим объясняется сущестование остаточной намагни-
намагниченности (п. 5°) и возможность создания постоянных магнитов.
11°. Тепловое движение атомов ферромагнитных веществ спо-
способствует уменьшению остаточной намагниченности. Поэтому с по-
повышением температуры остаточная намагниченность уменьшается.
При достижении температуры, равной точке Кюри (п. 7°), остаточ-
остаточная намагниченность /# (рис. Ш.6.9) полностью исчезает — области
самопроизвольной намагниченности распадаются, и вещество теря-
теряет ферромагнитные свойства.

Отдел IV
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Глава 1
Механические колебания
1.1. Основные понятия
и определения колебательных процессов
1°. Колебаниями или колебательными движениями явля-
являются движения или изменения состояния, обладающие той или
иной степенью повторяемости во времени. Колебания весьма раз-
разнообразны по своей физической природе: механические колеба-
колебания тела, подвешенного на пружине (IV. 1.3.1°) (пружинный ма-
маятник) (рис. IV.1.1), качания маятников (IV.1.4.10) (рис. IV.1.2),
-О'
Рис. IV.1.1
~~ ^ - г - - "
Рис. IV. 1.2
колебания струн, вибрации фундаментов зданий, электромагнитные
колебания в колебательном контуре (IV.2.1.10) и др. Разнообразные
по природе, колебания могут иметь общие закономерности и опи-
описываться однотипными математическими методами.
2°. Колебания называются периодическими, если значения физи-
физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются

1.1. Основные понятия колебательных процессов 295
через равные промежутки времени. Например, повторяются: поло-
положения маятника в часах, значение силы тока в сети переменного
тока (IV.2.230) и др.
3°. Периодом колебания Т называется тот наименьший проме-
промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех
величин, характеризующих колебательное движение. За это время
совершается одно полное колебание.
Частотой периодических колебаний v называется число пол-
полных колебаний, которые совершаются за единичный промежуток
времени:
1
Циклической (круговой) частотой периодических колебаний со
называется число полных колебаний, которые совершаются за про-
промежуток, равный 2л единицам времени:
2л- 2л-
со — 2jtv = —, откуда Т = —.
Т со
4°. Частным случаем периодических колебаний являются гар-
гармонические колебания, в которых колеблющаяся физическая вели-
величина х изменяется с течением времени по закону
х = A sin(cot -f сро), (*)
где А, со и сро — постоянные величины, причем А > О, со > 0.
Величина А, равная модулю наибольшего значения колеблющейся
физической величины х, называется амплитудой колебания. Вы-
Выражение cot + сро = Ф определяет значение
х в данный момент времени и называется
фазой колебания. В момент начала отсче-
та времени (/ = 0) фаза равна начальной
фазе ср0.
Иногда вместо зависимости (*) исполь-
используется выражение х = Acos(cot -f </>i), от-
отличающееся от (*) начальной фазой
<Р\=<Ро- л/2. Рис IV1 з
Простейшим примером гармонического
колебания является колебание смещения Ах по оси Ох проекции
конца радиус-вектора точки, движущейся по окружности радиуса А

296 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
(рис. IV.1.3.). При t = О радиус-вектор О В составляет с осью Оу
угол щ, а за время / описывается угол cot, так что в произвольный
момент времени
Ах = Asin(cot Л-сро). (**)
5°. Свободными колебаниями называются колебания, которые
возникают в системе, не подверженной действию переменных внеш-
внешних сил, в результате какого-либо однократного начального откло-
отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия. Напри-
Например, свободными являются колебания тела, подвешенного на пру-
пружине и выведенного однократно из положения равновесия 00'
(рис. IV. 1.1, б), колебания маятника, однажды отклоненного на
угол а (рис. IV. 1.2). При свободных колебаниях в системе всегда
действуют силы, стремящиеся возвратить систему в положение рав-
равновесия. Если система консервативна A.5.2.6°), то при колебаниях
не происходит рассеяния энергии. В этом случае свободные коле-
колебания называются незатухающими. Незатухающие свободные ко-
колебания в системе возможны лишь при отсутствии трения и любых
других сил сопротивления. Очевидно, что незатухающие колебания
представляют идеализированный случай колебаний. Реальные сво-
свободные колебания в механике являются затухающими (IV. 1.7.1°).
Амплитуда незатухающих колебаний не зависит от времени и оста-
остается постоянной.
1.2. Скорость и ускорение гармонического колебания
1°. Проекция на ось Ох скорости точки, смещение которой опи-
описывается уравнением (**) (IV. 1.1.4°), в соответствии с определени-
определением скорости A.1.3.2°), будет равна
vx = lim ——
At
или
vx = со A cos(&)/ + сро) — vo cos(cot
ж
cot+-+c
где vo = coA есть амплитуда скорости, пропорциональная цикли-
циклической частоте и амплитуде смещения А (IV 1.1.4°). Проекция ско-

1.2. Скорость и ускорение гармонического колебания
297
рости vx изменяется по синусоидальному закону с таким же перио-
периодом Г, что и смещение Ах. Фаза скорости опережает фазу смеще-
смещения (IV. 1.1.4°) на ж/ 2. Например, скорость пружинного маятника
максимальна и равна амплитуде скорости в момент прохождения
маятником положения равновесия (Ах = 0) (рис. IV.l.l,a). При
максимальных смещениях пружинного маятника (Ах = ±А) ско-
скорость равна нулю (рис. IV. 1.1, б).
2°. Проекция на ось Ох ускорения рассматриваемой точки в со-
согласии с определением ускорения A.1.4.2°) будет
ах = lim
lim ,
At->0 At
ах = —оJА sm(cot + Фо) = —aosm(cot + щ) = —аJАх,
или
ах = я о sin(^ + ж + фо),
где ао — со2А есть амплитуда ускорения, пропорциональная квад-
квадрату циклической частоты и амплитуде смещения А (IV. 1.1.4°).
Ax;vx;ax
Рис. IV. 1.4
Ускорение ах изменяется по синусоидальному закону с таким же
периодом Т, что и смещение Ах. Фаза ускорения опережает фазу
смещения Ах на л (рис. IV 1.4). Например, ускорение пружинно-
пружинного маятника (рис. IV. 1.1) равно нулю при прохождении маятником
положения равновесия и достигает максимальных значений, равных
амплитуде ускорения, при наибольших смещениях пружинного ма-
маятника (Дх = ±А).

298 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
Ускорение пружинного маятника всегда направлено к поло-
положению его равновесия: удаляясь от положения равновесия, ма-
маятник движется замедленно, приближаясь к нему — ускорен-
ускоренно. На рис. IV.1.4 приведены графики зависимости от времени /
смещения Ах, vx и ах в предположении, что начальная фаза
№ = 0.
3°. Если смещение Ах изменяется с течением времени по зако-
закону гармонического колебания (IV. 1.1.4°), то формула ах = —со2Ах
справедлива для любых гармонических колебаний и может служить
определением таких колебаний.
Задача 1. Точка совершает гармонические колебания вдоль
оси Ох с периодом, равным 2.0 с. Амплитуда смещения точки равна
10 см. Найти смещение Ах и проекции vx, ax точки спустя 0.20 с
после ее прохождения через положение равновесия. Начало колеба-
колебания совпадало с положением равновесия.
Дано: Т = 2.0с, Л = 10см = 0.10м, t = 0.20с, <р = 0.
Найти: Ах, vx, ах.
Решение: Смещение Ах колеблющейся точки при щ = 0 будет
А . Bл
Ах — л sin cot —A sin I — t
Ax = 0.10 sin ( 2 23Q14 • 0.20 J м = 0.059 м.
Проекция скорости точки при щ = 0
2л л Bл
vx = coA cos cot = —A cos I — /
Vx = ^Уо^'010cos (^Уо^' °-20) M/c = °-25m/c-
Проекция ускорения
2л . 4л2 А . Bл
ах = —со A sin cot = — A sin I — t
M/C = -

1.3. Гармонические колебания пружинного маятника
299
Задача 2. Середина колеблющейся струны имеет максимальное
ускорение 2.02 • 103м/с2. Определить частоту колебаний, если ам-
амплитуда колебаний 2.00 мм.
Дано: а = 2.02 • 103 м/с2, А = 2.00 мм = 2.00 • 10~3 м.
Найти: у.
Решение: Максимальное ускорение соответствует максимально-
максимальному смещению точки от положения равновесия: ашкс = со2 А —
= 4jt2v2A, откуда
V =
2.02 • 103
4-3.142-2.00- Ю-3
с = 160с~
1.3. Гармонические колебания пружинного маятника
1°. В состоянии равновесия пружинного маятника (IV.1.1.10)
сила тяжести Р, действующая на него, уравновешивается силой
упругости F A1.7.2.2°) растянутой
пружины. Если вывести тело из по-
положения равновесия, сместив его
вниз вдоль оси Ох на Ах, то ма-
маятник начнет совершать свободные
колебания (IV. 1.1.5°) под действи-
действием силы упругости пружины F, ко-
которая направлена в сторону, проти-
противоположную смещению Лх маятни-
маятника (рис. IV. 1.5, я, 6). По закону Гука Рис. IV. 1.5
A.2.9.4°) сила F прямо пропорциональна смещению Ах маятника и
всегда направлена к положению равновесия. Такие силы в колеба-
колебательных движениях называются возвращающими силами.
2°. Если начало координат совпадает с положением равновесия
пружинного маятника, а ось Ох направлена вниз (рис. IV. 1.5), то по
закону Гука
F = -АДх,
где к — коэффициент квазиупругой силы A.2.9.4°).

300 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
3°. По второму закону Ньютона A.2.4.1°)
F = /иа,
где т — масса тела пружинного маятника, а — его ускорение, или
F * л 2 л 2 к
а = — = Ах = -о)лДх, где щ = —.
mm m
Согласно IV. 1.2.2° пружинный маятник совершает свободные
гармонические колебания с циклической частотой а>о (собственная
циклическая частота свободных колебаний):
Период колебаний
Задача. Спиральная пружина под действием подвешенного к ней
груза растянулась на 6.5 см. Если груз оттянуть вниз, а затем отпус-
отпустить, то он начнет колебаться вдоль вертикальной линии. Опреде-
Определить период колебания груза.
Дано: Ах = 6.5 см = 6.5 • 10~2 м.
Найти: Т.
Решение: Считаем, что груз совершает гармонические колебания
с периодом Т: Т — 2тгу/т/к, где т — масса груза, к — коэффициент
квазиупругой силы. Модуль силы тяжести в положении равновесия
груза будет равен модулю силы упругости: mg = к Ах, откуда
—, Г = 2-3.14л/6-5;!0 2 с = 0.51 с.
1.4. Гармонические колебания математического
маятника
1°. Математическим маятником называется материальная
точка Л/, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совер-
совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы

1.4. Гармонические колебания математического маятника
301
тяжести Р. В положении равновесия две силы, действующие на
материальную точку: сила тяжести Р = mg A.2.8.3°) и сила натя-
натяжения нити FH, уравновешивают друг друга (рис. IV.1.6.). Если от-
отклонить маятник из положения равновесия на малый угол а, то си-
сила тяжести Р и сила натяжения
Гн будут направлены под углом
друг к другу, и они не уравнове-
уравновешиваются.
2°. Возвращающей силой
у///////////
У///////////.
F = mg sin a.
(W
p
Рис. IVI.6
(IV.I.3.1°) для математическо-
математического маятника является составля-
составляющая F его силы тяжести mg,
равная (рис. IV. 1.7)
""* mg
Рис. IV. 1.7
При малых углах отклонения sin а « а = Ах/1. Учитывая, что
направление силы F при малых углах отклонения маятника мало
отличается от горизонтального и она противоположна смещению
Ах, получим
F= -mg—,
где Ах — вектор смещения конца маятника из положения равнове-
равновесия (на рис. IV. 1.7 этот вектор направлен справа налево от точки О
к точке Л/).
3°. Из последней формулы п. 2° видно, что ускорение маятника
где aft = g/l.
Сопоставление с IV. 1.2.2° показывает, что малые колебания ма-
математического маятника являются свободными гармоническими ко-
колебаниями с собственной циклической частотой coq = y/g/1.
Период малых колебаний математического маятника
Т = 2л/coq = ijTy/Tfg не зависит от массы маятника и амплитуды
его колебаний. Наблюдения над колебаниями маятников использу-
используются для определения ускорения свободного падения A.2.8.4°).

302 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
Задача. Длина математического маятника с периодом колебаний
в 2.000 с на широте Архангельска равна 0.9973 м, а на широте Лон-
Лондона — 0.9952 м. Определить ускорения свободного падения, соот-
соответствующие этим широтам.
Дано: Т = 2.000с, h = 0.9973 м, /2 = 0.9952 м.
Найти: gu g2.
Решение: Математический маятник имеет период колебания
Т — 2jry/l/g; отсюда
4я2/ 4-3.1422 0.9973 - о QAg. . 2
м/с^ 9.846 м/с2,
82 =
=Ш6
4-3.1422 0.9952
4000
/2 л о„ /2
"/О = 9.825 «/с*.
1.5. Энергия гармонического колебательного движения
1°. При гармонических колебаниях пружинного маятника
(рис. IV. 1.1) происходят превращения потенциальной энергии упру-
упруго деформированного тела П — кАх2/2 A.5.3.6°) в его кинетиче-
кинетическую энергию К = mv2/2 A.5.3.3°), где к — коэффициент квазиупру-
квазиупругой силы A.2.9.4°), Ах — модуль смещения маятника из положения
равновесия, m — масса маятника, v — его скорость. В соответствии
cIV.1.1.4° hIV.1.2.1°
п к Ах2 кЛ2 . 2,
Я = —— = — sin {cot + </>о),
mv2 mco2A2 9/
К = — = —-— со$г{ш + фо),
где А — амплитудное значение смещения маятника из положения
равновесия, а соА — амплитудное значение скорости.
2°. Полная энергия Е пружинного маятника
mv
2 кАх2 кА2

1.5. Энергия гармонического колебательного движения 303
Превращения энергии при колебаниях пружинного маятника
происходят в соответствии с законом сохранения механической
энергии в консервативной системе A.5.4.1°).
При движении маятника вниз или вверх от
положения равновесия его потенциальная
энергия увеличивается, а кинетическая —
уменьшается. Когда маятник проходит поло-
положение равновесия (Ах = 0), его потенци-
потенциальная энергия равна нулю и кинетическая ~ZJ о"
энергия маятника имеет наибольшее значе-
ние, равное его полной энергии. гис- 1У1°
3°. Полная энергия гармонических колебаний пружинного маят-
маятника пропорциональна квадрату амплитуды смещения или квадрату
амплитуды скорости:
кА2 тсо2А2
На рис. IV. 1.8 приведен график потенциальной энергии упругих
колебаний пружинного маятника и отложено значение Е его пол-
полной энергии. Амплитуда смещения маятника с заданной массой и
коэффициентом квазиупругой силы определяется запасом его пол-
полной энергии:
flE 1 [2Е
Л —
к со V m
4°. Сведения об энергии колебаний пружинного маятника име-
имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических
незатухающих колебаний в любой колебательной системе, где со-
совершаются колебания указанного типа.
Задача. Пружинный маятник совершает гармонические колеба-
колебания с амплитудой смещения, равной 0.040 м. При деформации пру-
пружины на 0.030 м сила упругости равна 9.0 • 10~5Н. Определить
потенциальную и кинетическую энергии, соответствующие данно-
данному смещению, и полную энергию маятника.
Дано: Ах = 0.030 м, А = 0.040 м, F = 9.0 • 10 Н.
Найти: /7, К, Е.
Решение: Полная энергия маятника равна Е = К + /7, где К —
кинетическая энергия, П— потенциальная энергия, но Е — кА2/2,

304 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
где к — коэффициент квазиупругой силы, определяемый по силе
упругости F: к — F/Ax.
Тогда
Потенциальная энергия
_ к(АхJ FAx 9.0 • 10 • 0.030 _ \л 1А_6гт
П= 2 = -у- = Дж=1.4 10 ъДж.
Кинетическая энергия
К = Е -П = 2.4 Ю'6 - 1.4- 10~6 = 1.0- 10~6Дж.
1.6. Сложение гармонических
одинаково направленных колебаний
1°. Если материальная точка участвует одновременно в двух
гармонических колебаниях с одинаковыми циклическими частотами
(IV. 1.1.3°), то происходит сложение гармонических колебаний.
2°. В простейшем случае при сложении двух одинаково направ-
направленных гармонических колебаний с одной и той же циклической час-
частотой со, различающихся своими амплитудами смещений (А\ и Аг)
и начальными фазами {ср\ к (рг) (IV. 1.1.4°):
Ах\ = А\ sm(o)t + q>\)> Ах2 = A2sin(cot + срг),
результирующее гармоническое колебание имеет смещение
Ах = Ах\ + Ах 2, происходит в том же направлении и является
гармоническим колебанием той же частоты:
Ах =Asm(cot + <p),
где А — амплитуда смещения результирующего колебания, ср — его
начальная фаза. А и ср вычисляются по формулам
2А\Агcos((p2 - <р\)9
А\ sin q>\ + Ai sin (pi
ср = arctg
А\ cos (р\ + Ai cos cp2

1.7. Затухающие колебания
305
3°. cos((/>2 — ср\) не может быть больше +1 и меньше — 1, поэтому
возможные значения амплитуды Л заключены в пределах
При этом учитывается, что, по определению амплитуды (IV. 1.1.4°),
она не может быть отрицательной.
Рис. IV. 1.9
Рис. IV.1.10
Частные случаи сложения колебаний:
1) Ф2 — Я>\ — 2пл, где п = 0, 1, 2,... . Тогда cos(<p2 - Ф\) = 1
и А = А\ + Аг> На рис. IV. 1.9 показано сложение двух таких гармо-
гармонических колебаний.
2) ср2 — (р\ = Bп-f 1)л", и = 0, 1, 2, ... . Тогда cos(</>2 — ф\) = —1
h^ = |^2->4i| = Mi -A2\.
Графики зависимости от времени смещений складываемых ко-
колебаний с противоположными начальными фазами и смещения ре-
результирующего колебания показаны на рис. IV. 1.10.
1.7. Затухающие колебания
1°. Затухающими называются колебания, энергия которых
уменьшается с течением времени. Затухание свободных гармони-
гармонических колебаний (IV. 1.1.5°) связано с убылью механической энер-

306 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
гии колеблющейся системы за счет действия сил трения и других
сил сопротивления.
2°. Амплитуда затухающих колебаний убывает с течением вре-
времени по закону A(i) — Aoe~~8t, где Aq — начальная амплитуда ко-
колебаний в момент времени t = 0, определяемая начальным запа-
запасом полной энергии колеблющегося тела (IV. 1.5.3°), е — основа-
основание натуральных логарифмов, 8 — коэффициент затухания, ха-
характеризующий быстроту убывания амплитуды, зависящий от сил
трения и массы колеблющегося тела. Если сила трения пропор-
пропорциональна скорости колебаний v, т.е. FTp = —rv, где г — ко-
коэффициент трения, то 8 — г /2т, т — масса тела. Убывание
амплитуды затухающих колебаний по закону А = A§e~~St наблю-
наблюдается лишь при малых затуханиях. Значения амплитуд для мо-
моментов времени /, t + At, t -f 2At и т.д. в этом случае образу-
образуют убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой
равен е~лЛ/.
3°. Затухающие колебания представляют собой непериодические
колебания (IV. 1.1.2°), так как в них никогда не повторяются значе-
значения физических величин, характеризующих такие колебания (на-
(например, смещения, скорости и ускорения). Поэтому к затухающим
колебаниям неприменимы понятия периода и частоты, введенные
для периодических колебаний (IV 1.1.3°).
Условным периодом (периодом) Т затухающих колебаний на-
называется промежуток времени между двумя последовательными со-
состояниями колеблющейся системы, в которых физические величи-
величины, характеризующие колебания, принимают аналогичные значения,
изменяясь в одном и том же направлении, убывая или возрастая. Пе-
Период затухающих колебаний вычисляется по формуле
где о)о — собственная частота свободных незатухающих колебаний
(IV1.3.30), 8 — коэффициент затухания.
Величина oj3aT = x/coq — 82 называется циклической частотой
затухающих колебаний. Она показывает, сколько раз за л секунд
колеблющееся тело проходит через положение равновесия.

1.8. Вынужденные колебания
307
4°. При условии 8 < coq затухающие колебания описываются
уравнением
где сро — начальная фаза колебаний, определяемая начальными
условиями возникновения колебаний. На рис. IV1.11 изображена за-
зависимость Ах от t.
5°. При большом трении (8 > (joq) не происходит затуха-
затухающих колебаний. Система, выведенная из положения равновесия
какими-либо внешними силами,
после прекращения действия этих
сил возвращается в положение
А
Ах\
0
Рис. IV.1.11 Рис. IV.1.12
равновесия апериодически (не периодически) (рис. IV. 1.12). При
этом запас механической энергии тела к моменту его возвращения
в положение равновесия расходуется на преодоление трения.
1.8. Вынужденные колебания
1°. Вынужденными колебаниями называются незатухающие ко-
колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних
сил F(t)9 периодически изменяющихся с течением времени. Вы-
Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного
тока (IV2.2.30), колебания гребных винтов, лопаток и валов тур-
турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Сила
F(t), вызывающая вынужденные колебания, называется возмуща-
возмущающей (вынуждающей) силой.
2°. Если возмущающая сила F(t) изменяется гармонически
(IV 1.1.4°) по закону
F{t) = F0cosa)t,
где Fo — амплитуда возмущающей силы, а со — ее циклическая
частота (IV 1.1.3°), то в системе, на которую действует такая си-

308
Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
ла, могут установиться вынужденные колебания, которые являются
также гармоническими, происходят с циклической частотой, равной
частоте со возмущающей силы, и описываются уравнением
Ах = Acos(a)t + q>\).
Здесь А — амплитуда вынужденных колебаний смещения, ср\ —
разность фаз между вынужденными колебаниями Ах и силой F(t).
Например, пружинный маятник (IV.1.3.10), который подталкивается
Ах
Рис. IV.1.13
вверх периодически, через определенное время начнет колебаться с
определенной амплитудой (рис. IV. 1.13). Вначале, в процессе уста-
установления вынужденных колебаний, как видно из рис. IV. 1.13, коле-
колебания носят сложный характер. Происходит наложение свободных
затухающих колебаний (IV. 1.7.1°) и вынужденных колебаний. После
того как свободные колебания прекратятся, останутся только выну-
вынужденные колебания.
3°. Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний опре-
определяется по формуле
А =
где Fo — амплитуда вынуждающей силы (п. 2°), т — масса ко-
колеблющейся системы, щ — циклическая частота свободных неза-
незатухающих колебаний системы (IV. 1.3.3°), со — циклическая частота
внешней силы, 8 — коэффициент затухания (IV. 1.7.2°). При пос-
постоянных Fo, m и 8 амплитуда вынужденных колебаний зависит от
соотношения частот вынуждающей силы (со) и свободных незатуха-
незатухающих колебаний

1.8. Вынужденные колебания
309
4°. Графики зависимости амплитуды А от oj при различных ко-
коэффициентах затухания, приведенные на рис. IV. 1.14, построены по
формуле для А (п. 3°).
Следствия из формулы п. 3°:
а) Если циклическая частота вынуждающей силы равна нулю
(со = 0), то
При этом колебания не совершаются и отклонение системы из по-
положения равновесия называется статическим отклонением.
А
щ
Рис. IV.1.14
со
б) При отсутствии затухания (8 = г/2т = 0) амплитуда выну-
вынужденных колебаний растет с увеличением со, и при со = щ, когда
знаменатель в формуле для А становится равным нулю, амплиту-
амплитуда колебаний становится равной бесконечности. При дальнейшем
росте частоты А уменьшается, причем
lim A = 0.
(О—»ОО
в) Если затухание существует (8 Ф 0), то амплитуда вынужден-
вынужденных колебаний достигает наибольшего значения при частоте а>рез
вынуждающей силы, не совпадающей с частотой свободных незату-
незатухающих колебаний o)q:
= у 0I ~ 282 =

310 Отдел IV. Гл. 1. Механические колебания
5°. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний
при приближении циклической частоты вынуждающей силы к зна-
значению а)рсз называется резонансом. Соответственно величина ырсз
называется резонансной циклической частотой, а кривые зависи-
зависимости А от а) (рис. IV. 1.14) —резонансными кривыми. При нали-
наличии трения (8 ф 0) резонансная циклическая частота а)рез несколько
меньше собственной циклической частоты свободных затухающих
колебаний (o)ydT = Jcoq - 82) (IV. 1.7.3°) и меньше щ — собствен-
собственной частоты свободных незатухающих колебаний (IV. 1.3.3°).
6°. Форма резонансных кривых на рис. IV. 1.14 зависит от значе-
значения коэффициента затухания 8. С увеличением 8 резонансные кри-
кривые становятся более пологими, уменьшается «острота» кривых и
значение амплитуды Ашкс при о) = сорез.
7°. Явление резонанса используется в акустике — для анализа
звуков, их усиления и т.д.
Под действием периодически изменяющихся нагрузок в маши-
машинах и различных сооружениях могут возникнуть явления резонанса,
которые иногда бывают опасны для эксплуатации машин.
1.9. Автоколебания
1°. Колебательная система, совершающая незатухающие коле-
колебания за счет действия источника энергии, не обладающего коле-
колебательными свойствами, называется автоколебательной систе-
системой. Примером такой системы являются часы с анкерным хо-
ходом (п. 5°).
2°. Любая автоколебательная сис-
система состоит из четырех частей
(рис. IV.1.15).
Рис. IV. 1.15 а) Колебательная система.
б) Источник энергии, компенсирующий потери энергии на зату-
затухание колебаний за счет трения или других сил сопротивления.
в) Клапан — устройство, которое регулирует поступление энер-
энергии в колебательную систему определенными порциями.
г) Обратная связь — устройство для обратного воздействия ав-
автоколебательной системы на клапан, управления работой клапана
за счет процессов в самой колебательной системе.
Источник
энергии
Обратная связь
\
Клапан
1
Колебательная
система

1.9. Автоколебания
311
Ось маятника
Пилетты
Ликер
3°. Обратная связь называется положительной {отрицатель-
{отрицательной), если в течение времени воздействия источника энергии на
колебательную систему источник энергии передает ей (отнимает
от нее) некоторый запас энергии. Положительная обратная связь
используется для возбуждения автоколебаний. В случае отрица-
отрицательной обратной связи усиливается затухание и автоколебания
подавляются.
4°. Автоколебательными системами являются, например, часы
(п. 5°), паровые машины и двигатели внутреннего сгорания, от-
отбойные молотки, электрические звонки. Автоколебания совершают
струны под действием смычка в скрипке, воздушные столбы в трубах
духовых инструментов, язычки в баянах и аккордеонах, голосовые
связки при разговоре или пении. Электри-
Электрической автоколебательной системой явля-
является ламповый генератор незатухающих
электрических колебаний (IV.2.9.10). В
ряде случаев механизм обратной связи в
автоколебательной системе замаскирован
и разбиение системы на основные части
(п. 2°) затруднительно.
5°. Автоколебательной системой явля-
являются часы с анкерным ходом (рис. IV. 1.16).
Ходовое колесо с косыми зубьями жестко
скреплено с зубчатым барабаном, через ко-
который перекинута цепочка с гирей. На од-
одном конце маятника закреплен анкер (яко-
(якорек) с двумя палеттами — пластинками из
твердого материала, изогнутыми в виде ду-
дуги окружности с центром на оси маятника.
В ручных часах гиря заменяется пружиной,
а маятник — балансиром — маховичком, скрепленным со спираль-
спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные колебания вокруг
своей оси. В часах колебательной системой является маятник или
балансир, источником энергии — поднятая вверх гиря или сжатая
пружина. Клапаном является анкер, который позволяет ходовому ко-
колесу за один полупериод повернуться на один зубец. Обратная связь
осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. Когда
маятник проходит положение равновесия и имеет наибольшую ско-
Рис. IV. 1.16

312
Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
рость, зуб ходового колеса кратковременно соприкасается с концом
палетты и подталкивает маятник. В часах потенциальная энергия
гири или пружины постепенно, отдельными порциями, передается
маятнику и компенсирует потери энергии на трение.
Глава 2
Электромагнитные колебания
2.1. Свободные электромагнитные колебания
в колебательном контуре
1°. Колебательным контуром называется электрическая цепь,
состоящая из последовательно соединенных конденсатора с емко-
емкостью С A11.1.10.1°), катушки с индуктивностью L A11.5.5.2°) и ре-
резистора с электрическим сопротивлением R A11.2.4.1°) (рис. IV.2.1).
R
Рис. IV.2.1
Рис. IV.2.2
Рис. IV.2.3
В простейшем идеализированном случае, когда можно пренебречь
электрическим сопротивлением (R —> 0), колебательный контур
состоит из последовательно соединенных конденсатора с емкостью
С и катушки с индуктивностью L (рис. IV.2.2).
2°. В колебательном контуре могут происходить периодические
изменения заряда q, разности потенциалов Аср на обкладках кон-
конденсатора и силы электрического тока / в цепи (рис. IV.2.3). Если
эти изменения вызваны тем, что обкладки конденсатора однократ-
однократно заряжаются, то в колебательном контуре возникают свобод-
свободные электромагнитные колебания д, I и Аср. Рис. IV.2.3 по-
поясняет возникновение и протекание электромагнитных колебаний

2.1. Свободные электромагнитные колебания
313
в колебательном контуре при R -> 0. Если в начальный момент
t — 0 переключатель Р находится в положении а, то конденсатор
заряжается, получая заряд qo. Конденсатору сообщается энергия
/7 = ql/2C A11.1.12.2°), и разность потенциалов Aq> между обклад-
обкладками становится равной максимальному значению Д<ро- В колеба-
колебательном контуре при этом ток отсутствует (рис. IV.2.4,a). При пово-
повороте переключателя в положение Ъ начинается разряд конденсатора.
Рис. IV.2.4
Благодаря явлению самоиндукции A11.5.5.1°) ток в колебательном
контуре постепенно увеличивается и его сила достигает максималь-
максимального значения / = /о в момент / = Г/4, когда q и Аср равны нулю
(рис. IV.2.4, б). Далее, ток в цепи, сохраняя свое направление, по-
постепенно уменьшается, обращаясь в нуль при t = Т/2. При этом
заряд конденсатора и разность потенциалов между его обкладками
вновь достигают максимальных значений, но знаки зарядов плас-
пластин и направление напряженности электрического поля между ни-
ними противоположны тем, какие были в момент t — 0 (рис. IV.2.4, в).
В итоге, вследствие явления самоиндукции, происходит перезаряд-
перезарядка конденсатора. Затем в промежутки времени от Т/2 до C/4) Г
и от C/4) Г до Т процессы происходят в обратном направлении
(рис. 1У.2.4,г,д).
3°. Исследование электромагнитных колебаний удобно произ-
производить, пользуясь тем, что колебания различной природы — ме-
механические и электромагнитные — подчиняются сходным законо-
закономерностям. Процессам в колебательном контуре, которые изоб-
изображены на рис. W2A,a-d, соответствуют для математического
маятника (IV. 1.4.1°) преобразования энергии, изображенные на

314
Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
Таблица IV.2.1
Механическая система
Масса т
Коэффициент квазиупругой
силы к
Коэффициент трения г
Сила F
Смещение Ах
Ах
Скорость v —
At
Ускорение а = —
At
Электрическая цепь
Индуктивность L
Величина, обратная
электроемкости, 1/С
Сопротивление R
Э.д.с. 8
Заряд q
Aq
Сила тока / = —
А/
А/
Скорость изменения силы тока —
At
рис. \\2Л,а'-д'. Это позволяет переносить результаты исследо-
исследований, которые получены для механических колебаний, на колеба-
колебательные процессы в контуре (рис. IV.2.1). При этом пользуются
аналогиями, которые существуют между физическими величинами,
характеризующими механические системы и электрические конту-
контуры (цепи) (таблица IV.2.1).
4°. Рассмотренный в п. 2° процесс характеризуется периодиче-
периодическим переходом энергии электрического поля конденсатора в энер-
энергию магнитного поля электрического тока A11.5.7.1°). В моменты
времени t = О, Т/2, Г и т.д. энергия электрического поля макси-
максимальна и равна #q/2C, а энергия магнитного поля равна нулю, так
как тока в цепи нет. В моменты времени / = Г/4, C/4)Г и т.д.
энергия магнитного поля максимальна и равна ZJq/2, а энергия
электрического поля равна нулю, так как конденсатор полностью
разряжен.
Аналогично этому, при свободных незатухающих колебаниях ма-
математического маятника происходит периодический переход потен-
потенциальной энергии в кинетическую и обратно. На рис. W2A,ar-df
указаны превращения энергии потенциальной (Я) и кинетиче-
кинетической (К) при незатухающих колебаниях математического маят-
маятника, соответствующие процессам в колебательном контуре. Пе-

r\
2.1. Свободные электромагнитные колебания 315
ременное электромагнитное поле A11.1.3.1°), которое возникает
в колебательном контуре рис. IV.2.1, сосредоточено (локализова-
(локализовано) в той области пространства, где находится контур. Поэто-
Поэтому подобный контур называется закры- q,
тым и не может быть использован
для излучения электромагнитных волн
(IV4.4.60). О
5°. В реальном колебательном кон-
контуре (R ф 0) свободные электромаг- Рис. IV.2.5
нитные колебания являются затухающими. Например, изменение
заряда q на обкладках конденсатора описывается формулой, анало-
аналогичной уравнению затухающих механических колебаний (IV. 1.7.4°):
q — qoe~~fjt sin(u>jaT/ + <ро),
где </о — амплитудное значение заряда в момент времени t = 0;
/3 = R/2L называется коэффициентом затухания (R — электри-
электрическое сопротивление, L — индуктивность контура); щ — началь-
начальная фаза колебаний заряда. На рис. IV.2.5 изображена зависимость q
от t в таком колебательном контуре.
6°. Величина а)зат называется циклической частотой свобод-
свободных электромагнитных колебаний в контуре:
1 R2
Этой формуле соответствует для механических колебаний формула
частоты затухающих колебаний (IV. 1.7.3°).
Для свободных незатухающих колебаний (R — 0) циклическая
частота
Период Т свободных незатухающих колебаний выражается фор-
формулой Томсона:
т 2л- г—
Т = — = 2nyLC.
ОH
Для получения незатухающих электромагнитных колебаний служит,
например, ламповый генератор (IV.2.9.10).

316 Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
2.2. Вынужденные электромагнитные колебания.
Переменный ток
1°. Вынужденными электромагнитными колебаниями назы-
называются незатухающие колебания заряда q, разности потенциалов
Аф на обкладках конденсатора, силы тока / и других физических
величин в колебательном контуре, вызванные периодически изме-
изменяющейся синусоидальной э.д.с:
? — ?0 sin cot,
где ?q — амплитудное значение э.д.с, со — циклическая частота пе-
переменной э.д.с. При этом к контуру подводится энергия, которая не-
необходима для восстановления потерь энергии в контуре A11.2.7.4°)
из-за наличия электрического сопро-
сопротивления R.
2°. Синусоидальная э.д.с. возни-
возникает в рамке, которая вращается с
угловой скоростью со в стационар-
стационарном однородном магнитном поле с
Рис. IV.2.6 индукцией В (рис. IV.2.6).
Магнитный поток Ф A11.4.1.8°), пронизывающий рамку с пло-
площадью S,
Ф = BS cos a = BS cos cot,
где а = cot — угол между нормалью п к рамке и вектором магнит-
магнитной индукции В, прямо пропорциональный времени /. По закону
электромагнитной индукци Фарадея A11.5.1.2°) э.д.с. индукции
АФ
b
где АФ/At— скорость изменения потока магнитной индукции.
Гармонически изменяющийся магнитный поток приводит к си-
синусоидальной э.д.с. индукции
АФ / я\
?; = ——— = —BSco cos la)t+ — \ = ?о sin cot,
где ?q = BSco — амплитудное значение э.д.с. индукции.
3°. Переменным электрическим током называется ток, сила
которого изменяется по гармоническому закону.

2.3. Цепь переменного тока. Активное сопротивление 317
Переменный ток представляет собой вынужденные колебания
силы тока в электрической цепи, происходящие с частотой со, сов-
совпадающей с частотой вынуждающей э.д.с. (ср. IV.1.8.20):
/ = Iosin(cot + ф),
где /о — амплитудное значение силы тока, ср — сдвиг фазы между
колебаниями тока и э.д.с.
2.3. Цепь переменного тока. Активное сопротивление
1°. Цепь переменного тока в общем случае представляет со-
собой колебательный контур, к которому приложена внешняя синусо-
синусоидальная э.д.с. (рис. IV.2.7). Для ее осуществления необходимо при-
присоединить колебательный контур к зажимам генератора переменно-
переменного тока. В данной цепи помимо внешней синусоидальной э.д.с. ?
существует э.д.с. самоиндукции ?is = —L(AI/At) A11.5.5.3°), и на
обкладках конденсатора имеется разность потенциалов ср2 — (р\.
2°. По закону Ома для цепи, содержащей э.д.с. A11.2.4.2°),
IR = ? + ?is + q>2 — <р\,
или
? = IR + (q>i- ф2) - ?is =UR + UC + UL,
где Ur = IR — напряжение на активном электрическом сопротивле-
сопротивлении R, Uc = (р\ ~~ Я>2 = я/С — напряжение на емкостном сопротив-
сопротивлении л:с, Ul = —?is = L{AI/At) — напряжение на индуктивном
сопротивлении xi.
Внешняя э.д.с. ? равна сумме напряжений на трех сопротивле-
сопротивлениях: активном R и двух реактивных — емкостном хс и индук-
индуктивном Xl.
3°. Цепью переменного тока с активным сопротивлением на-
называется цепь, изображенная на рис. IV.2.7, в которой Ur ^> Uc и
Ur > Ul (п. 2°). В этом случае
или, на основании IV.2.2.10,
[R

318
Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
Колебания силы электрического тока происходят по закону
?0
I = — sin cot = /о sin art,
где /о = ?o/^ — амплитудное значение силы тока. В цепи с актив-
активным сопротивлением гармонические колебания силы тока происхо-
18
R
С
Рис. IV.2.7
Рис. IV.2.8
дят с частотой и фазой колебаний внешней синусоидальной э.д.с.
(рис. IV.2.8).
2.4. Индуктивное сопротивление
1°. Цепью переменного тока с индуктивным сопротивлением
xl, называется цепь, изображенная на рис. IV.2.7, в которой закоро-
закорочен конденсатор (Uc =0) hUl^> Ur. В такой цепи колебания силы
тока отстают по фазе на яг/2 от колебаний э.д.с. (рис. IV.2.9):
1,8 ? = ?о sin cot, I = /о sin(cot — ж/2).
2°. Соотношение между амплитудными
значениями силы тока /о и э.д.с. ?q:
0
Leo
Рис. IV.2.9
где xi — cx)L — индуктивное сопротивле-
сопротивление (L —индуктивность цепи). По правилу
Ленца A11.5.1.3°) э.д.с. самоиндукции в цепи препятствует изменени-
изменениям тока в ней. Это приводит к существованию индуктивного сопро-
сопротивления xl, задерживающего изменения тока в цепи по сравнению
с изменениями э.д.с.

2.5. Емкостное сопротивление 319
2.5. Емкостное сопротивление
1°. Если в электрической цепи, изображенной на рис. IV.2.7, от-
отсутствует индуктивность {Ul = 0) и Uc > Ur, to такая цепь пере-
переменного тока называется цепью с емкостным сопротивлением хс.
В такой цепи колебания силы тока опережают колебания внешней
э.д.с. по фазе на я/2 (рис. IV.2.10):
? = So sin cot, I = /о sin(cot + я/2).
2°. Соотношение между амплитудными значениями силы тока /о
и э.д.с. ?q: 18
i — ^° _ ^о
°~~ 1/соС ~^4
хс = \/п)С — емкостное сопротивление
(С — емкость конденсатора).
Для постоянного тока конденсатор в " / \ \/ t
цепи представляет собой бесконечно боль- "* \^/
шое сопротивление — постоянный ток че-
F и Рис. IV.2.10
рез конденсатор не проходит. Для пере-
переменного тока конденсатор обладает конечным сопротивлением,
обратно пропорциональным его емкости С. Напряжение Uc на об-
обкладках конденсатора постепенно нарастает по мере того, как кон-
конденсатор заряжается и колебания силы тока в цепи с емкостью опе-
опережают колебания э.д.с.
2.6. Закон Ома для электрической цепи
переменного тока
1°. В цепи переменного тока, изображенной на рис. IV.2.7, коле-
колебания силы электрического тока и э.д.с. происходят по синусоидаль-
синусоидальному закону с одной и той же частотой а) и сдвигом по фазе ср\
/ = /о sin cot, ? — ?о sin(a)t -f q>).
2°. Соотношение амплитудных значений силы тока /о и э.д.с. ?$
в цепи переменного тока:
?о
Г u
°~ ]/R2+{L@__Lf

320 Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
где
называется полным сопротивлением цепи переменного тока.
Закон Ома для цепи переменного тока: амплитуда силы пе-
переменного тока прямо пропорциональна амплитуде э.д.с. и обратно
пропорциональна полному сопротивлению цепи.
Закон Ома в такой форме справедлив также и для действующих
(эффективных) значений силы тока и э.д.с. (IV.2.7.30):
Z *
3°. Сдвиг фаз между колебаниями силы тока и э.д.с. определяется
соотношением
kR R
coscp = —- = -,
to Z
где R — активное сопротивление, Z — полное сопротивление цепи
переменного тока (см. также (п. 2°)).
2.7. Мощность переменного тока. Действующие
значения силы тока и напряжения
1°. В цепи с активным сопротивлением происходит необрати-
необратимое преобразование энергии электрического тока во внутреннюю
энергию проводника A11.2.7.4°).
Мгновенная мощность переменного тока, т.е. мощность его
в некоторый момент времени г, определяется произведением мгно-
мгновенных значений силы тока / и э.д.с. S (при условии, что сдвиг фаз
между ними отсутствует):
P = IS = I$R sin2 cot = Pq sin2 cot,
где Po = IqR есть амплитудное значение мощности.
2°. Средней мощностью Р переменного тока называется от-
отнесенная к единичному промежутку времени работа А переменного
тока за время Г, где Т — период переменного тока:

2.8. Резонанс в цепи переменного тока 321
3°. Действующими (эффективными) значениями силы тока
(/эфф), электродвижущей силы (?Эфф) и напряжения переменного
тока (?/Эфф) называются значения этих величин для такого посто-
постоянного тока, который на том же активном сопротивлении выделяет
мощность, одинаковую со средней мощностью Р переменного тока:
где /о, ?о и Uq — амплитудные значения силы тока, э.д.с. и напря-
напряжения.
4°. Активной мощностью переменного тока Ра называется
средняя мощность необратимых преобразований энергии в цепи пе-
переменного тока:
Ра = /эфф ?эфф COS </>,
где /Эфф и ?эфф — действующие значения силы тока и э.д.с. перемен-
переменного тока, cos<p = R/Z — коэффициент мощности, который опре-
определяется сдвигом фаз между колебаниями тока и э.д.с. (IV.2.6.30).
При малом коэффициенте мощности нагрузка потребляет от ге-
генератора малую активную мощность, т. е. лишь малую часть мощно-
мощности, которую вырабатывает генератор. Остальная часть мощности,
вырабатываемой генератором, периодически перекачивается от ге-
генератора к потребителю и обратно и рассеивается в линиях элек-
электропередач.
2.8. Резонанс в цепи переменного тока
1°. Амплитуда силы тока /о в цепи переменного тока достига-
достигает наибольшего значения /омакс при наименьшем значении полного
сопротивления Z цепи (IV.2.6.20), т.е. при условии
Leo - J- - 0.
Ссо
Циклическая частота со колебаний силы тока и э.д.с. при этом равна
и совпадает с циклической частотой свободных незатухающих элек-
электромагнитных колебаний в электрическом контуре (IV.2.1.60).

322 Отдел IV. Гл. 2. Электромагнитные колебания
2°. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных коле-
колебаний силы тока в колебательном контуре при приближении цикли-
циклической частоты со внешней переменной э.д.с. к частоте coq свободных
незатухающих колебаний в контуре называется резонансом в элек-
электрической цепи переменного тока. Частота со — coq называется ре-
резонансной циклической частотой. Резонансная циклическая час-
частота не зависит от активного сопротивления R (ср. IV.8.50). График
зависимости /0 от со называется резонансной кривой (рис. IV.2.11).
Резонансные кривые имеют тем более острый максимум, чем мень-
меньше активное сопротивление R.
и со0 оз
Рис. IV.2.11 Рис. IV.2.12
3°. При резонансе в электрическом контуре, изображенном на
рис. IV.2.7, сдвиг фаз между колебаниями внешней э.д.с. и силой тока
становится равным нулю. Активная мощность (IV.2.7.40) совпадает
с полной мощностью вырабатываемой генератором, т.е. обеспечи-
обеспечиваются наиболее благоприятные условия для поступления энергии
от источника переменной э.д.с. к потребителю. Амплитуды напря-
напряжения на индуктивности Ui и на емкости Uc (IV.2.3.20) при этом
одинаковы:
-А
" Сео'
а фазы противоположны: Ui опережает Uc по фазе на jt, так что
Ui + Uc = 0. Полное падение напряжения в контуре (рис. IV.2.7)
равно падению напряжения на активном сопротивлении Ur. Это
явление называется резонансом напряжений.
4°. В электрической цепи, состоящей из параллельно соединен-
соединенных конденсатора с емкостью С и катушки с индуктивностью L
(рис. IV.2.12), при малых активных сопротивлениях параллельных
ветвей (R\ и R2 —>• 0) амплитуда тока /о во внешней (нераз-

2.9. Ламповый генератор
323
ветвленной) цепи
h — \h\ - hi\ =
o)C- —
Leo
где /oi и /о2 — амплитудные значения сил токов в параллельных
ветвях, ?q — амплитудное значение внешней э.д.с.
При О) = ОH = l/y/LC
h\ = hi и /о = 0.
Резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи,
питающей параллельно соединенные участки цепи с емкостным
хс и индуктивным xl сопротивлениями (IV.2.3.20), при условии
а) —> coq = l/y/TJC называется резонансом токов.
5°. Явление резонанса в электрической цепи обеспечивает воз-
возможность радиосвязи и используется при настройке радиоприемни-
радиоприемников на частоту той или иной радиостанции.
Вредное влияние резонанса в электрических цепях проявляется
в тех случаях, когда в цепи, не рассчитанной на работу в услови-
условиях резонанса, возникают чрезмерно большие токи или напряжения
(расплавление проводов, пробой изоляции и пр.).
2.9. Ламповый генератор
1°. Ламповым генератором называется устройство, предназ-
предназначенное для получения незатухающих электрических колебаний
высокой частоты. Он представляет собой электрическую автоко-
автоколебательную систему (IV. 1.9.1°). Если присоединить электриче-
электрическую цепь лампового генератора, изобра-
изображенную на рис. IV.2.13, к входу элек-
электронного осциллографа (ЭО), то при за-
замыкании ключа на экране осциллографа
видны незатухающие электромагнитные
колебания.
2°. Частями автоколебательной сис-
Рис. IV.2.13 темы в ламповом генераторе являются
(IV. 1.9.2°): источник энергии — анодная батарея Б а, колебательная
ерютема — контур в анодной цепи. Роль клапана выполняет сет-
сетка триода A11.3.9.1°), которая управляет анодным током. Катушка

324 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
обратной связи, присоединенная своими концами к катоду и сет-
сетке триода, индуктивно связана с катушкой контура и осуществляет
обратное управление колебательной системы на клапан.
3°. Для того чтобы энергия от источника поступала в контур
и компенсировала потери на затухание, колебания тока в анодной
цепи триода должны происходить когерентно со свободными элек-
электромагнитными колебаниями в контуре (IV.3.9.30). Периодическое
изменение силы анодного тока достигается периодическим изме-
изменением потенциала сетки триода. Этим обеспечивается роль сетки
триода как клапана, периодически открывающего и закрывающего
доступ энергии в контур.
Глава 3
Механические (упругие) волны. Звук
3.1. Предварительные понятия
1°. Среда называется упругой, если между ее частицами сущест-
существуют силы взаимодействия, препятствующие какой-либо деформа-
деформации этой среды A1.7.2.1°). Например, давление газов на стенки со-
сосуда обеспечивает способность газов сопротивляться изменению их
объема (объемная упругость газов). Газы беспрепятственно изме-
изменяют свою форму, т. е. не обладают упругостью формы. Такими же
свойствами обладают и жидкости. Силы взаимодействия между ча-
частицами твердых тел столь велики, что твердые тела обладают как
объемной упругостью, так и упругостью формы.
2°. Если какое-либо тело совершает колебания в упругой сре-
среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и
заставляют их совершать вынужденные колебания (IV.1.8.10). Сре-
Среда вблизи колеблющегося тела деформируется, и в ней возникают
упругие силы A.2.9.1°). Эти силы действуют на все более удаленные
от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Посте-
Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.

3.1. Предварительные понятия
325
Наличие упругой среды не является необходимым условием рас-
распространения любых колебаний. Например, электромагнитные коле-
колебания могут распространяться в вакууме (IV.4.1.10).
3°. Волнами называются всякие возмущения состояния вещества
или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени.
Например, звуковые волны (IV.3.7.10) в газах или жидкостях пред-
представляют собой колебания давления, распространяющиеся в этих
средах.
Электромагнитные волны — распространяющиеся в пространст-
пространстве колебания напряженности Е и индукции В электромагнитного
поля A11.1.3.1°).
4°. Упругими волнами называются механические возмущения
(деформации), которые распространяются в упругой среде. Тела,
вызывающие эти возмущения в среде, называются источниками
Луч
Рис. IV.3.1
волн (колеблющиеся камертоны, струны музыкальных инструмен-
инструментов и т.д.). Упругие волны называются звуковыми или акустиче-
акустическими^ если в упругой среде распространяются слабые возмущения,
т.е. соответствующие им механические деформации среды имеют
малые амплитуды (см. также IV.3.7.10—5°).
5°. Волновой поверхностью (иначе — фронтом волны) назы-
называется геометрическое место точек среды, колеблющихся в одина-
одинаковых фазах (IV. 1.1.4°). На волновой поверхности фазы колебаний
различных точек в рассматриваемый момент времени имеют одно
и то же значение.
Лучом называется линия, касательная к которой в каждой точ-
точке совпадает с направлением распространения волны. В однород-
однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной к
фронту волны, и совпадает с направлением переноса энергии вол-
волны (IV.3.6.20).
п
Ьронт
волт

326 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
В плоской волне волновыми поверхностями являются плоскос-
плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны. Лу-
Лучами являются параллельные прямые, совпадающие с направлением
скорости волны (IV.3.3.10). Такие волны могут быть получены на по-
поверхности воды с помощью колебаний плоского
стержня (рис. IV.3.1,a). На рис. IV.3.1,6 показа-
показаны фронты плоской волны и лучи.
В сферической волне волновые поверхнос-
поверхности являются сферами. Такие волны возникают,
если источник волн является точечным. Лучи в
сферической волне направлены вдоль радиусов
сфер от центра, где расположен источник вол-
Рис. IV.3.2 ны (рис Ivl2j (см также IV3.63°).
6°. Отличие упругих волн в среде от любого другого упорядочен-
упорядоченного движения ее частиц состоит в том, что распространение волн
не связано с переносом вещества среды из одного места в другое
на большие расстояния.
3.2. Поперечные и продольные волны
1°. Волна называется поперечной, если частицы среды колеб-
колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распрост-
распространения волны. Например, поперечная волна распространяется
вдоль натянутого резинового шнура, один конец которого закреп-
закреплен, а другой приведен в колебательное движение (рис. IV.3.3,a).
Каждый участок шнура колеблется относительно своего неизменно-
неизменного положения равновесия в направлении, перпендикулярном к на-
направлению распространения волны (рис. IV.3.3,6).
Направление колебании
Рис. IV.3.3
2°. Волна называется продольной, если колебания частиц сре-
среды происходят в направлении распространения волны. Гармони-
Гармонические колебания поршня в трубке, заполненной газом или жид-
жидкостью, под действием сил упругости передаются частицами ве-
веществами вдоль трубы распространяется продольная упругая волна

3.3. Скорость распространения волн 327
(рис. IV.3.4). Она представляет собой систему областей сжатия и
разрежения среды, периодически меняющих свои состояния: если в
некоторый момент времени в каком-либо месте среды имеется раз-
разрежение, а в соседнем — сжатие, то через время Т/ 2, где Т —
период колебаний поршня, в первой области возникнет сжатие, а
во второй — разрежение и т.д. Колебания частиц среды происхо-
происходят в том же направлении, в котором происходит передача колеба-
колебаний от слоя к слою, т.е. вдоль направления распространения вол-
волны. Продольная волна возникает в длинной спиральной пружине,
Рис. IV.3.4
Рис. IV.3.5
если один конец подвергается периодически внешнему воздействию
(рис. IV.3.5). Упругая волна представляет собой распространяющи-
распространяющиеся вдоль пружины последовательные сжатия и растяжения ее, пе-
периодически, через время Т/2, сменяющие друг друга (Т — период
внешнего воздействия на пружину).
3°. В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью
формы (IV.3.1.10), распространение поперечных волн невозмож-
невозможно. В твердых телах возможно распространение как продольных,
так и поперечных волн, связанных с наличием упругости формы
(например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных
инструментов).
3.3. Скорость распространения волн
1°. Скоростью распространения волны (фазовой скоростью)
называется физическая величина, определяемая расстоянием, кото-
которое за единичный промежуток времени проходит любая точка вол-

328 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
новой поверхности (IV.3.1.50). Вектор скорости v направлен по нор-
нормали к волновой поверхности в сторону распространения волны
и в однородной изотропной среде совпадает с направлением луча
(IV.3.1.50).
2°. Скорость распространения энергии волн любой физической
природы конечна и не может превысить скорость с света в ваку-
вакууме. Это вытекает из основных утверждений специальной теории
относительности (V.4.4.40) и находится в соответствии с принципом
близкодействия A11.1.3.2°). На фазовую скорость эти ограничения
не распространяются.
3°. Скорость распространения упругих звуковых волн в газах
зависит от термодинамической температуры газа. Для идеальных
газов A1.2.1.1°) скорость звука
где R — универсальная газовая постоянная A1.3.3.7°), Т — тер-
термодинамическая температура, /и — молярная масса A1.1.1.7°),
у — постоянная для данного газа величина, зависящая от строения
молекулы газа. Например, для воздуха у = 1.4 и v = 20л/Т. При
Т = 273 К имеем v = 330 м/с, при Т = 293 К имеем v == 343 м/с.
Скорость упругих волн в жидкостях и продольных волн в твер-
твердых телах превышает скорость звука в газах и зависит от сжимае-
сжимаемости (упругости) и плотности среды:
где К — модуль объемной упругости A1.7.2.6°), р — плотность
среды. Например, для воды v = 1430 м/с, для меди v = 3910 м/с,
для алюминия v = 4880 м/с.
3.4. Длина волны
1°. Фронт волны (IV.3.1.50) распространяется от источника волн
за время At на некоторое расстояние. Для волны в изотропной среде
оно равно
Ах = v • Д*,
где v — скорость распространения волны. Это означает, что коле-
колебания частиц среды, отстоящих на Ах от источника, происходят

3.5. Уравнение плоской волны 329
с запаздыванием по времени на А/, а по фазе на Аср (IV.1.1.40),
причем
Аср _ 2л
~At ~ У'
поскольку за период Т колебания в источнике фаза изменяется
на 2л.
2°. Запаздывание по времени At и по фазе Аср колебаний точек
среды, удаленных на расстояние Ах от источника,
Ах А 2л - Ах 2л • Ах
v ' " иГ Я '
где величина Я = vT называется длиной волны. Если Ах = Я, то
Аср = 2л\ Длиной волны Я называется расстояние между двумя
ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. со
сдвигом фаз Аср = 2л. Иначе, длиной волны называется расстоя-
расстояние, на которое распространяется фронт волны за время Т, равное
периоду колебаний в источнике волны.
3°. Связь длины волны с частотой колебаний источника волн:
Я — Т — - — 2jrt>
У СО
где v — скорость распространения волн, у = \/Т — частота коле-
колебаний в источнике, со — циклическая частота (IV.1.1.30). Частота
колебаний зависит только от свойств источника волн (см., например,
IV.1.3.30). От свойств среды зависит скорость распространения волн
и, вследствие этого, длина волны.
3.5. Уравнение плоской волны
1°. Если в источнике волн, находящемся в начале отсчета коор-
координат х, изменение колеблющейся величины происходит по закону
s = A cos(cot-\-cp) с амплитудой А, циклической частотой со и началь-
начальной фазой </>, то колебания частиц фронта плоской волны в точке
пространства с координатой х запаздывают по времени на At:
sx = A cosш(t - At) +<p\-
При этом предполагается, что в процессе распространения волны
не происходит ее затухания.

330 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
2°. Уравнение плоской (IV.3.1.50) синусоидальной волны, рас-
распространяющейся вдоль оси Ох:
sx = Acos \со (t ) -f ср .
L V v/ J
Величина
со 2jt 2jt
v vT A
называется волновым числом. Оно показывает, сколько длин волн
укладывается на расстоянии, равном 2л единиц длины (ср. IV.1.1.30).
Другая форма уравнения плоской волны имеет вид
sx = A cos(cot — kx + q>).
Из этого уравнения следует, что:
а) Амплитуда плоской незатухающей волны в данной точке сре-
среды остается постоянной.
б) Любая точка среды (х = xq = const) совершает гармониче-
гармонические колебания sx = A cos(cot + а), фаза которых зависит от удале-
удаления хо данной точки от источника колеба-
колебаний:
в) В некоторый момент времени
(/ = to = const) положения колеблющих-
колеблющихся точек среды описываются выражением
Рис.1У.3.6 sx=Acos(kx+p),
где р = —(coto Н- ср).
На рис. IV.3.6 приведен график этой функции при to — 0 и ср = О,
представляющий собой как бы «моментальную фотографию» волны.
3.6. Энергия и интенсивность волны.
Уравнение сферической волны
1°. Колеблющийся источник волн обладает энергией
(IV. 1.5.3°,4°). В процессе распространения волны каждая частица
среды, до которой доходит волна, также колеблется и имеет энер-
энергию. В некотором объеме V упругой среды, в которой распростра-
распространяется волна с амплитудой А и циклической частотой со, имеется

3.6. Уравнение сферической волны 331
средняя энергия W, равная
W= ^moJA2,
где т — масса выделенного объема среды (ср. IV. 1.5.3°).
Средняя плотность {средняя объемная плотность) энергии
волны w есть энергия волны, сосредоточенная в единичном объеме
среды:
_ TF 1 2^2
w = у = -ро)гА\
где р — плотность среды.
2°. Интенсивностью волны J называется величина, равная энер-
энергии, которую в среднем переносит волна за единичный промежуток
времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной
к направлению распространения волны:
J = wv = - pvaJA2,
где v — скорость распространения волны.
Энергия и интенсивность волны прямо пропорциональны квад-
квадрату ее амплитуды.
Мощностью Р (средней мощностью) волны называется сред-
средняя полная энергия, которая переносится волной за единичный про-
промежуток времени через поверхность с площадью S. Связь мощности
Р с интенсивностью J волны:
P = JS.
3°. В сферической волне (IV.3.1.50) площадь поверхности фрон-
фронта волны возрастает прямо пропорционально г2, где г — расстояние
до источника, а поэтому интенсивность сферической волны убыва-
убывает обратно пропорционально г2, т.е. J ~ 1/г2. Поскольку J ~ А2,
амплитуда сферической волны не остается постоянной, а убывает
обратно пропорционально радиусу г фронта волны, т.е. А ~ 1/г.
Уравнение сферической волны записывается в форме
sr = — cos(a)/ — kr Н- <р),
где Aq — величина, равная амплитуде волны в точках среды, которые
находятся на единичном расстоянии от источника волны. Другие
обозначения см. IV.3.5.1°,2°.

332 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
3.7. Некоторые характеристики звуковых волн
1°. Раздел физики, в котором рассматриваются свойства звуко-
звуковых волн (IV.3.1.40), закономерности их возбуждения, распростране-
распространения и действия на встречные препятствия, называются акустикой.
Звуковые волны с частотами от 16 до 2 • 104 Гц воздействуют на
органы слуха человека, вызывают слуховые ощущения и называют-
называются слышимыми звуками. Звуковые волны с частотами менее 16 Гц
называются инфразвуками, а с частотами более 2-104 Гц — ультра-
ультразвуками.
2°. Восприятие звука органами слуха зависит от того, какие час-
готы входят в состав звуковой волны. Шумами называют звуки,
образующие набор частот, непрерывно заполняющих некоторый ин-
интервал (сплошной спектр частот).
Музыкальные (тональные) звуки обладают линейчатым спект-
спектром частот; частоты V/, входящие в состав музыкальных звуков,
образуют ряд дискретных (прерывных) значений. Музыкальным зву-
звукам соответствуют периодические или почти периодические коле-
колебания.
3°. Каждая синосуидальная звуковая волна называется тоном
(простым тоном).
Высота тона зависит от частоты: чем больше частота, тем вы-
выше тон.
4°. Основным тоном сложного музыкального звука называется
тон, соответствующий наименьшей частоте, которая имеется в на-
наборе частот данного звука. Тоны, соответствующие остальным час-
частотам в составе звука, называются обертонами. Если частоты обер-
обертонов кратны частоте vq основного тона, то обертоны называются
гармоническими, причем основной тон с частотой vq называется
первой гармоникой, обертон со следующей частотой 2vq — вто-
второй гармоникой и т. д.
Музыкальные звуки с одним и тем же основным тоном разли-
различаются тембром, который определяется наличием обертонов — их
частотами и амплитудами, характером нарастания амплитуд в нача-
начале звучания и их спадом в конце звучания.
5°. Громкость звука зависит от интенсивности звука, т.е. опре-
определяется амплитудой колебаний в звуковой волне (IV.3.6.20). Наи-

3.8. Ультразвуки 333
большей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с час-
частотами от 700 до 6000 Гц. В этом диапазоне ухо способно воспри-
воспринимать звуки с интенсивностью около 10~12 —10~п Вт/м2.
Порогом слышимости называется наименьшая интенсивность
звуковой волны, которая может быть воспринята органами слу-
слуха. Стандартный порог слышимости принимается равным
Jo = Ю~12 Вт/м2 при частоте vo = 1 кГц.
Порогом осязания {порогом болевого ощущения) называется
наибольшая интенсивность звуковой волны, при которой восприятие
звука не вызывает болевого ощущения. Порог осязания зависит от
частоты звука, изменяясь от 0.1 Вт/м2 при 6000 Гц до 10 Вт/м2 при
низких и высоких частотах.
6°. Мерой чувствительности органов слуха к восприятию зву-
звуковых волн данной интенсивности J является уровень интен-
интенсивности L:
где Jo — стандартный порог слышимости (п. 5°).
3.8. Ультразвуки
1°. Ультразвуками называются звуковые волны с частотами от
2 • 104 до 1013 Гц. Ультразвуки с частотами 109 Гц и выше называют-
называются также гиперзвуками. Ультразвуки генерируются механическими
и электромеханическими излучателями. Механическим излучателем
низкочастотных ультразвуковых волн (у порядка 20—200 кГц) боль-
большой интенсивности является сирена. Она звучит благодаря пери-
периодическому прерыванию мощной струи сжатого воздуха или пара,
проходящего через отверстия в двух соосных дисках, один из кото-
которых неподвижен, а другой — вращается.
2°. Чаще всего применяются магнитострикционные и пьезоэлек-
пьезоэлектрические электромеханические излучатели.
Магнитострикционные излучатели применяются для генери-
генерирования ультразвуков с частотами до 200 кГц. В основе устройства
этих излучателей лежит явление магнитострикции — изменение
формы и объема ферромагнетиков A11.6.5.1°), помещенных в пе-
переменное магнитное поле. Если ферромагнетик намагничивается в

334 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
периодически изменяющемся магнитном поле, то в нем возника-
возникают вынужденные механические колебания, являющиеся источни-
источником ультразвука. Простейшим ультразвуковым магнитострикцион-
ным вибратором служит ферромагнитный стержень, являющийся
сердечником высокочастотного трансформатора.
3°. Пьезоэлектрические излучатели генерируют ультразвуки
с частотами до 50 МГц. В основе действия этих излучателей ле-
лежит явление, заключающееся в том, что некоторые кристаллы, на-
например кварц, изменяют свои линейные размеры под действием
электрического поля. Пластинка из такого пьезоэлектрика1 в пере-
переменном электрическом поле совершает вынужденные механические
колебания, генерирующие ультразвуки.
4°. Ультразвуки применяются в технике для контрольно-
измерительных целей, а также для осуществления и ускорения не-
некоторых технологических процессов. В медицине используются ди-
диагностические ультразвуковые установки.
Гидролокация (см. радиолокация (IV.4.5.60)) состоит в опреде-
определении расстояния до тела, находящегося в толще воды, по изме-
измерению промежутка времени между посылкой ультразвукового сиг-
сигнала и приемом эхо-сигнала, возникающего в результате отраже-
отражения ультразвука от тела. В гидролокации используется поглощение
ультразвука жидкостями. В воздухе это поглощение в 1000 раз боль-
больше, чем в воде.
Ультразвуковой дефектоскопией называется обнаружение
внутренних дефектов (трещин, раковин, различных неоднородно-
стей структуры) в твердых телах при помощи ультразвука. Такая
дефектоскопия основана на различии отражения ультразвука от по-
поврежденных и неповрежденных частей тела.
5°. Ультразвуковые волны достаточной интенсивности оказыва-
оказывают на тела дробящее и измельчающее действие. Это используется в
различных технологических процессах: получение эмульсий, снятие
пленок окислов и обезжиривание поверхностей деталей, размель-
Слово «пьсзо» происходит от греческого «piczo» — давлю. Пьезоэлектриками
называются кристаллы, в которых возможны пьезоэлектрические эффекты — пря-
прямой и обратный. Прямой состоит в появлении электрических зарядов на границах
некоторых кристаллов при их сжатии или растяжении. Обратный эффект состоит
в возникновении деформаций при внесении подобных кристаллов в электрическое
поле.

3.9. Интерференция волн 335
чение зерен фотоэмульсий и т.д. Ультразвуки ускоряют протекание
процессов диффузии, некоторых химических реакций.
3.9. Интерференция волн
1°. Если в некоторой однородной и изотропной среде два то-
точечных источника возбуждают сферические волны (IV.3.6.30), то в
произвольной точке пространства М может происходить наложение
волн в соответствии с принципом суперпозиции {наложения): каж-
каждая точка среды, куда приходят две или несколько волн, принима-
принимает участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности;
Рис. IV.3.7 Рис. IV.3.8
волны не взаимодействуют друг с другом и распространяются не-
независимо друг от друга. Например, волны, распространяющиеся в
воде от двух точечных источников, изображенных на рис. IV.3.7, до-
доходят до точки М и каждая, независимо друг от друга, вызывает ее
колебания.
2°. Две одновременно распространяющиеся синусоидальные
сферические волны s\ и^2, испущенные точечными источниками
В\ и В2 (рис. IV.3.8), вызовут в точке М колебание, которое, по
принципу суперпозиции, описывается формулой s = s\ + S2. Со-
Согласно IV.3.6.30
s\ = — sm(oo\t — к\Г\ + a\) — —
r\ n
S2 = — Sin(&>2^ — Л2Г2 + &2) = — Sin 4>2,
Г2 Г2
где Ф] = o)\t - k\r\ + a\ и Ф2 — oJt — кггг 4- «2 — фазы распро-
распространяющихся волн. Остальные обозначения см. IV.3.5.20.

336 Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
В результирующей волне s = s\ + S2 — (^/г)япФ амплитуда
А/г и фаза Ф определяются формулами
А
г
— + — +2-—со8(Ф2-Ф,),
ф = arctg
{AilГi) COS #2 *
3°. Волны и возбуждающие их источники называются когерент-
когерентными, если разность фаз волн Ф2 — Ф] не зависит от времени. Волны
и возбуждающие их источники называются некогерентными, если
разность фаз волн Ф2-Ф1 изменяется с течением времени. Формула
для разности фаз:
ф2 — Ф1 = (аJ — o)\)t — (k2r2 — k\ — r\) -j- (a2 — а\),
где к[ = (t)\/v, к2 = aJ/v, v — скорость распространения вол-
волны (IV.3.5.20), одинаковая для обеих волн в данной среде. В приве-
приведенном выше выражении от времени зависит только первый член.
Две синусоидальные волны когерентны, если их частоты одинаковы
(о)\ = со2), и некогерентны, если их частоты различны.
4°. Для когерентных волн (со\ = со2 = а)) при условии п2—а\ = О
Ф2 - Ф1 = (г2 -г\) = ~к(г2 - г\)у
i —
А
г
Амплитуда результирующих колебаний в любой точке среды не за-
зависит от времени. Косинус равен единице, и амплитуда колебаний в
результирующей волне максимальна (А/г = А\/г\ -\- А2/г2) во всех
точках М среды, для которых к(г2 - г\) = 2тж, где m = 0, ±1,
±2, ..., или, так как к = 2я/Я (IV.3.5.20),
г 2 — r\ — ml.
Величина г2 - г\ = А называется геометрической разностью
хода волн от их источников Z?i и В2 до рассматриваемой точки
среды (рис. IV.3.8).

3.10. Стоячие волны 337
Амплитуда колебаний в результирующей волне минимальна
(А/г = \Л\/г\ — Ai/ril) во всех точках среды, для которых
к(г2 - г\) = Bт - 1)я-, где т = 1, 2,... ,
или Я
A = r2-r{ = Bm-l)-.
При наложении когерентных волн квадрат амплитуды и энергия
результирующей волны отличны от суммы квадратов амплитуд и
суммы энергий накладывающихся волн.
5°. Интерференцией волн называется явление наложения волн,
при котором происходит их взаимное усиление в одних точках про-
пространства и ослабление — в других. Результат интерференции за-
зависит от разности фаз накладывающихся волн.
Интерферировать могут только когерентные волны (п. 3°), в
которых колебания совершаются вдоль одного и того же направ-
направления. Например, две сферические волны на поверхности воды,
распространяющиеся от двух когерентных точечных источников
(рис. IV.3.7), при интерференции дадут результирующую волну.
Фронтом результирующей волны (IV.3.1.50) будет сфера2.
При интерференции волн не происходит сложения их энергий.
Интерференция волн приводит к перераспределению энергии коле-
колебаний между различными близко расположенными частицами сре-
среды. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в
среднем, для большой области пространства, энергия результиру-
результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.
6°. При наложении некогерентных волн средняя величина ква-
квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов
амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих коле-
колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, об-
обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.
3.10. Стоячие волны
1°. Частным случаем интерференции волн являются стоячие вол-
волны. Стоячая волна в простейшем случае образуется в результате
наложения двух волн, распространяющихся во взаимно противопо-
На рис. IV.3.7 даны плоские сечения полусферических волновых поверхностей.

338
Отдел IV. Гл. 3. Механические (упругие) волны. Звук
ложных направлениях, если интерферирующие волны удовлетворя-
удовлетворяют следующим условиям: их частоты, амплитуды и направления
колебаний должны быть одинаковыми. Интерферирующие волны,
а
Рис. IV.3.9
в отличие от стоячей, называются бегущими волнами. Стоячая вол-
волна образуется в шнуре, закрепленном одним концом, когда другому
^ МО КОН1ДУ сообщаются периодические коле-
колебания (рис. IV.3.9). Стоячая волна обра-
образуется также в столбе газа, находящемся
в трубе определенной длины.
Рис. IV.3.10 2°. Колебания произвольной точки М
(рис. IV.3.10), отстоящей на расстоянии х от незакрепленного конца
шнура длиной /, описываются уравнением плоской стоячей волны:
1
X
s = 1А cos
?] sin
у ) .
При этом уравнения падающей s \ и отраженной s2 волн имеют вид
(IV.3.5.20)
s\ = Asin(a)t - кх),
s2=A sin [cot + k(x - 21) - <p].
В О1раженной волне смещение ^2 точки М отстает по фазе от s \ на
величину а — 2к{1 — х) + (р, где ср — дополнительное отставание
по фазе, которое может возникать при отражении (п. 3°).
3°. Амплитуда Аст стоячей волны не зависит от времени и являет-
является периодической функцией расстояния х точек шнура от источника
волн:
Act = 2А COS
Точки, в которых амплитуда Аст равна нулю (точки D, D\, D2
и т.д. на рис. IV.3.9), называются узлами стоячей волны. В этих
точках
= 0, ±1, ±2,

3.10. Стоячие волны 339
Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна и равна 2А,
называются пучностями стоячей волны (точки С, С\, С2 и т.д. на
рис. IV.3.9). В этих точках
*(/-*) + ! = 2#и| О = 0, ±1, ±2, ...).
При отражении волны от границы с более плотной средой
(рис. IV.3.9) фаза изменяется на л и происходит «потеря полувол-
полуволны». Сдвиг по фазе на л соответствует изменению фазы колебаний
за промежуток времени Т/2, в течение которого бегущая волна рас-
распространяется на расстояние, равное Я/2.
4°. Длиной стоячей волны Яст называется расстояние между
двумя соседними узлами или пучностями:
равное половине длины бегущей волны. Расстояние между со-
соседними узлом и пучностью стоячей волны равно Яст/2 = Я/4
(рис. IV.3.9).
5°. Колебания всех точек стоячей волны, лежащих между дву-
двумя соседними узлами, происходят с различными амплитудами, но в
одной фазе, в то время как в бегущей волне, наоборот, колебания
всех точек происходят с одинаковыми амплитудами, но в различных
фазах.
6°. В отличие от бегущей волны, в стоячей волне отсутствует
перенос энергии — энергия колебаний каждого элемента объема
среды, ограниченного соседними узлом и пучностью, не зависит от
времени. Она периодически переходит из кинетической энергии в
потенциальную энергию упруго деформированной среды и обратно.
Отсутствие переноса энергии в стоячей волне объясняется тем, что
в образующих ее падающей и отраженной волнах энергия перено-
переносится в равных количествах в противоположных направлениях.
7°. Стоячие волны в шнуре, стержне или в других средах ограни-
ограниченной длины образуются лишь при определенных частотах, называ-
называемых собственными частотами колебаний соответствующих тел.
В зависимости от характера закреплений концов тел на их концах
образуются узлы или пучности стоячей волны. Поэтому выполняет-
выполняется одно из двух условий:
/ = Bт - 1)%, / = шЯст (т = 1, 2, 3, ...).

340
Отдел IV, Гл. 4. Электромагнитные волны
Так как Яст = Я/2 (п. 4°), или Яст = v/2v9 где v — скорость рас-
распространения упругих волн с частотой у, то собственные частоты
стоячих волн находятся из условий
у = Bт- 1)
4/'
= 2т-
Для того чтобы изменить собственные частоты колебаний струн
или столбов газа, необходимо изменять их длину /. Этим пользу-
пользуются при игре на струнных и духовых инструментах.
Глава 4
Электромагнитные волны
4.1. Связь между переменными электрическим
и магнитным полями
1°. Электромагнитной волной называется распространяюще-
распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле A11.1.3.1°).
Электромагнитная волна характеризуется векторами напряженнос-
напряженности Е A11.1.3.3°) электрического и индукции В магнитного A11.4.1.6°)
полей, составляющих единое элек-
электромагнитное поле. Электромаг-
Электромагнитные волны подразделяются на
радиоволны (IV.4.5.10) и свето-
световые волны (VI. 1.1°).
2°. Возможность существова-
существования электромагнитных волн об-
обусловлена тем, что существует
связь между переменными элек-
электрическим и магнитным полями.
Переменное магнитное поле со-
создает вихревое электрическое поле A11.5.3.3°). Существует и обрат-
обратное явление: переменное во времени электрическое поле в ва-
вакууме или диэлектрике порождает вихревое магнитное поле. На
рис. IV.4.1, а, б показано возникновение электрического Е и магнит-
Рис. IV.4.1

4.2. Основные свойства электромагнитных волн 341
ного В вихревых полей соответственно при изменении магнитного
и электрического полей.
3°. Переменное электрическое поле в вакууме или диэлектрике
характеризуется вектором плотности тока смещения jCM. В од-
однородной изотропной среде
. _ еое • АЕ
JcM" ~~дГ-'
где со — электрическая постоянная, е — относительная диэлектри-
диэлектрическая проницаемость среды A11.1.2.6°). В названии «ток смеще-
смещения»1 подчеркивается, что, подобно току проводимости A11.2.1.1°),
ток смещения вызывает появление вихревого магнитного поля.
4.2. Скорость распространения и некоторые основные
свойства электромагнитных волн
1°. Скорость (фазовая скорость) v (IV.3.3.10) электромагнитной
волны в среде определяется из формулы Максвелла
v =
где с и ц — относительные диэлектрическая A11.1.2.6°) и магнит-
магнитная A11.4.3.2°) проницаемости среды, с — скорость света в вакууме.
Скорость распространения электромагнитных волн в данной среде
совпадает со скоростью света в этой среде. Это совпадение не слу-
случайно и является одним из обоснований электромагнитной природы
света (V.2.2.10).
2°. Относительные магнитные проницаемости всех неферромаг-
неферромагнитных сред, т. е. диа- и парамагнетиков (III.6.2.1 °), мало отличаются
от единицы (/и « 1); поэтому в таких средах
и является функцией от /?, так как е = п2 (УЛ.2.1°).
1 Слово «смещение» в названии «ток смещения» связано с тем, что плотность
тока j иначе вводится так: jCM = AD/Л/, где векторная величина D, равная D = cqeE,
называется вектором электрического смещения. В элементарном курсе физики
вектор D не вводится.

342 Отдел IV. Гл. 4. Электромагнитные волны
3°. Относительная диэлектрическая проницаемость любого ве-
вещества, находящегося в переменном электрическом поле, зависит
от частоты v колебаний этого поля: е = f(v). Во всех веществах
существует явление дисперсии электромагнитных волн — зависи-
зависимости скорости распространения v этих волн от частоты колебаний
переменного электромагнитного поля: v = <p(v). Дисперсия отсут-
отсутствует только в вакууме, для которого е = 1 и не зависит от частоты
(см. также V.2.6.10).
4°. Электромагнитные волны являются поперечными волнами
(IV.3.2.10). В электромагнитной волне колебания векторов напря-
напряженности Е переменного электрического поля и индукции В пе-
переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в
Е1
Рис. IV.4.2
плоскости, перпендикулярной к вектору v скорости распростране-
распространения волны. Векторы v, E и В образуют правовинтовую систему: из
конца вектора v поворот от Е к В на наименьший угол виден про-
происходящим против часовой стрелки (рис. IV.4.2).
5°. Электромагнитная волна называется монохроматической2,
если ее векторы Е и В совершают гармонические колебания од-
одной и той же постоянной частоты, называемой частотой волны.
Уравнения плоской (IV.3.5.20) монохроматической волны, распро-
распространяющейся вдоль оси Ох (колебания векторов Е и В происходят
соответственно вдоль направления осей Oz и Оу):
Ех = О, Еу = О, Ez = ?o cosFl>/ - kx + q>),
Вх = 0, Вz = 0, Ву = Во cos(&>/ - кх + <р),
где Ео и Во — амплитуды напряженности электрического и индук-
индукции магнитного полей в электромагнитной волне, со — циклическая
2От греческих слов «monos» — один, единственный и «chromatos» — цвет.
О принципиальной немонохроматичности световых волн см. VI. 1.5.2°.

4.3. Энергия и интенсивность электромагнитных волн
343
частота волны, к = co/v — волновое число, ср — начальная фаза
колебаний Е и В в точках координатной плоскости zOy (x = 0)
(рис. IV.4.3).
6°. Модули векторов Е и В в плоской электромагнитной волне
(IV.3.1.50) связаны соотношением
— Е/с, где с = I/^o/io,
— электрическая и магнитная
В вакууме г — /и — 1 и В —
с — скорость света в вакууме, го и
постоянные.
Рис. IV.4.3
Взаимно перпендикулярные векторы Е и В в электромагнитной
волне, распространяющейся в свободном пространстве, колеблются
в одной фазе — они одновременно обращаются в нуль и одновре-
одновременно достигают максимальных значений.
4.3. Энергия и интенсивность электромагнитных волн
1°. Распространение электромагнитных волн связано с перено-
переносом энергии электромагнитного поля волны, подобно тому как рас-
распространение упругих волн в веществе связано с переносом энергии
(IV.3.6.20). Энергия переносится в направлении распространения
волны, т.е. в направлении вектора v. Объемная плотность энергии
электромагнитного поля волны A11.5.7.5°)
w = we
¦IVm =
соеЕ2
В2

344 Отдел IV. Гл. 4. Электромагнитные волны
Но, согласно IV.4.2.6°, we = wm и
ЕВ
w =
V- JUQH
где t> = с/у/сЦ — скорость распространения электромагнитной вол-
волны (IV.4.2.10), с = l/y/eofio; ?о и juo — электрическая и магнитная
постоянные.
2°. Интенсивность электромагнитной волны определяется
аналогично интенсивности упругой волны (IV.3.6.20) и выражается
формулой
г - Ш
Интенсивность электромагнитной волны пропорциональна средне-
среднему значению произведения модулей векторов Е и В электромагнит-
электромагнитного поля, т. е. пропорциональна квадрату напряженности Е: J ~ E2.
4.4. Излучение электромагнитных волн
1°. Источниками электромагнитных волн являются изменяющи-
изменяющиеся во времени электрические токи, а также отдельные ускоренно
движущиеся электрически заряженные частицы3.
Процессы испускания электромагнитных волн источником назы-
называется излучением электромагнитных волн, а источник излуче-
излучения — излучающей системой. Электромагнитное поле волны на-
называется полем излучения.
2°. Излучение источником электромагнитных волн сопровожда-
сопровождается тем, что источник испускает в пространство энергию.
Средней мощностью излучения {потоком излучения) Р назы-
называется средняя энергия, которая за единичный промежуток времени
испускается источником электромагнитных волн по всем направле-
направлениям. Связь средней мощности Р с интенсивностью электромагнит-
электромагнитных волн: Р = JS (ср. IV.3.6.20).
3В веществе электромагнитные волны могут создаваться заряженными частица-
частицами, движущимися равномерно со скоростью г, превышающей скорость света с/п
в данном веществе, где п — показатель преломления вещества(\;. 1.2.1е). Рассмот-
Рассмотрение этого излучения (излучение Вавилова-—Черепкова) выходит за рамки курса
элементарной физики.

4.4, Излучение электромагнитных волн
345
Волновой зоной называется область пространства, которая от-
отстоит от источника излучения на расстояниях, значительно превос-
превосходящих линейные размеры источника и длину Я излучаемых им
волн.
3°. Электрический заряд д, находившийся в начале координат
при / = 0 и движущийся в вакууме вдоль оси Oz с ускорени-
ускорением а, является источником электромагнитной волны. Модули векто-
векторов напряженности Е и индукции В полей этой волны в некоторой
точке М (рис. IV.4.4) волновой зоны
определяются формулами
sin#
4лт
где с = 1 /
Мода sin $
= ,
с 4л с г
Направления век-
векРис. IV.4.4
торов Еволн и Вволн, угол # и расстоя-
расстояние г указаны на рис. IV.4.4.
Средняя мощность Р излучения ускоренно движущегося заряда
Р =
Иод2 а2
бжс
Средняя мощность излучения прямо пропорциональна квадрату
ускорения заряда (рис. IV.4.4).
4°. Электрический заряд д, совершающий относительно начала
координат (рис. IV.4.4) гармонические колебания (IV. 1.1.4°) вдоль
оси Oz по закону z = A cos cot, где А — амплитуда смещений заря-
заряда, а) — их циклическая частота, является источником сферической
электромагнитной волны (IV.3.6.30). Модули векторов Е и В полей
в волновой зоне описываются уравнениями
/лодАсо2 sin &
Е =
о
4ят
cos(w/ — кг + я)
sin #
4тггс
cos(o)t - кг + я).
Средняя мощность излучения колеблющегося заряда
\2jtc '

346 Отдел IV. Гл. 4. Электромагнитные волны
Средняя мощность излучения прямо пропорциональна четверной
степени частоты колебаний заряда, поэтому с увеличением частоты
колебаний мощность излучения очень быстро нарастает.
5°. Излучающей системой (п. 1°) является, например, электри-
электрический диполь, электрический момент которого ре = ql A11.1.4.6°)
совершает гармонические колебания по закону ре = pocoscot, где
/?о — амплитуда колебаний дипольного момента, со — циклическая
частота колебаний диполя. Поля электромагнитной волны, излуча-
излучаемой диполем, и средняя мощность излучения описываются форму-
формулами п. 4°, в которых следует заменить qA на ро.
6°. Примером излучающей системы является вибратор Герца.
Вибратор Герца представляет собой металлический стержень с дву-
J? мя одинаковыми шарами Л и В на концах
и небольшим искровым промежутком С
посредине (рис. IV.4.5). Электроемкость
вибратора определяется емкостями ша-
шаров, а индуктивность — индуктивностью
мк - обеих половин стержня. Источником воз-
возбуждения электромагнитных колебаний
Рис. IV.4.5 B вибраторе является индукционная ка-
катушка ИК4. Провода от вторичной обмотки ИК подключаются
к искровому промежутку. Когда переменное напряжение во вто-
вторичной обмотке катушки достигает значения пробивного напряже-
напряжения A11.1.6.1°), в искровом промежутке проскакивает искра, в виб-
вибраторе возникают электромагнитные колебания высокой частоты
(IV.2.1.50), сопровождающиеся излучением электромагнитных волн.
В отличие от обычного колебательного контура (IV.2.1.10), в кото-
котором переменное электромагнитное поле сосредоточено в малой об-
области пространства (IV.2.1.40), переменное электромагнитное поле
от вибратора Герца распространяется по всему пространству, окру-
окружающему вибратор. Поэтому вибратор Герца является открытым
колебательным контуром.
Для регистрации (приема) электромагнитных волн использу-
используется аналогичный вибратор — резонатор, в котором под дей-
действием электромагнитного поля волны возникают вынужденные
электромагнитные колебания (IV.2.2.10). Если частоты колеба-
Индукционная катушка представляет собой высокочастотный трансформатор
A11.5.6.3°).

4.4. Излучение электромагнитных волн
347
ний в вибраторе и резонаторе одинаковые, то наступает элек-
электрический резонанс (IV.2.8.20), при котором вынужденные ко-
колебания в резонаторе обнаруживаются либо по проскакиванию
искры в его искровом промежутке, либо по свечению неболь-
небольшой газоразрядной трубки, подключенной к искровому проме-
промежутку (рис. IV.4.6). С помощью подобной системы Герц про-
провел серию опытов, в которых обнаружил существование электро-
электромагнитных волн, их поперечность (IV.4.2.40) и наблюдал явление
Рис. IV.4.6
Рис. IV.4.7
интерференции электромагнитных волн. Герц получил стоячие элек-
электромагнитные волны (IV.3.10.1 °) и с их помощью определил ско-
скорость распространения электромагнитных волн (IV.4.2.10).
7°. Вибратор Герца, линейные размеры / которого малы по срав-
сравнению с длиной волны, которую он излучает (/ ^ А), называется ди-
диполем Герца. Излучение диполя Герца подобно излучению диполя,
рассмотренного в п. 5°, с той разницей, что переменный электриче-
электрический момент ре диполя создается колебаниями заряда q разноимен-
разноименно заряженных шаров А и В (рис. IV.4.5), а не периодическими изме-
изменениями расстояния между ними. К диполю Герца подводится ток
силой / = /о sin cot, который считается одинаковым в данный мо-
момент по всей цепи (квазистационарный ток). Средняя мощность
излучения диполя Герца
line
Излучение диполя не одинаково в различных направлениях. На
рис. IV.4.7 изображена диаграмма интенсивности электромагнитных
волн, излучаемых диполем под разными углами п к оси диполя.
Радиус-вектор J(#) на диаграмме характеризует интенсивность из-
излучения под углом #. Из диаграммы видно, что диполь излучает
наибольшую энергию под углами # = я/2 и C/2)jt, т.е. в плос-

348
Отдел IV. Гл. 4. Электромагнитные волны
кости, проходящей через середину диполя, перпендикулярную к его
оси. Вдоль своей оси (# = 0, я) диполь не излучает электромаг-
электромагнитных волн.
4.5. Понятие о радиосвязи, телевидении,
радиолокации и радиоастрономии
1°. Радиосвязью называется передача информации с помощью
радиоволн — электромагнитных волн, частоты которых охватывают
широкий диапазон: от 3 • 104 до 3 • 10й Гц. Радиоволны делятся на
группы, приведенные в таблице IV.4.1.
Таблица IV.4.1
Классификация радиоволн
Наименование радиоволн
Сверхдлинные
Длинные
Средние
Короткие
г метровые
Ультра- J дециметровые
короткие | сантиметровые
^ миллиметровые
Диапазон
частот в Гц
< 3 • 104
3 • 104 -3 • 105
3 • 105 -3 • 106
3 • 106 -3 • 107
3 • 107 -3 • 108
3 • 108 -3 • 109
3 ¦ 109 -3 . 10ю
3 • 10ю—3 • 1011
Диапазон длин
волн (в вакууме)
в м
> 10000
10000-1000
1000-100
100-10
10-1
1-0.1
0.1-0.01
0.01-0.001
С помощью радиовещания осуществляется передача речи и му-
музыки, с помощью телевидения — передача изображений.
2°. Монохроматические волны (IV.4.2.50) непригодны для пере-
передачи по радио определенных сигналов. Радиосвязь осуществляется
с помощью модулированных радиоволн. Модуляцией электромаг-
электромагнитной волны называется изменение ее параметров (амплитуды,
частоты, начальной фазы) с частотами, значительно меньшими час-
частоты самой электромагнитной волны. Частота исходной (немодули-
рованной) волны называется несущей частотой, а частота изменения
параметров волны при модуляции — частотой модуляции.

4.5. Радиосвязь. Телевидение. Радиолокация
349
3°. Схема современного радиопередатчика изображена на
рис. IV.4.8,a. Генератор незатухающих колебаний (задающий ге-
генератор) (IV.2.9.10) вырабатывает высокочастотные колебания
Антенны Т
Падающий
генератор
Моду-
жтор
Усили-
Усилитель
J jr\ Усили-
Т" 1 тель
Детек-
Детектор
Усили-
Усилитель
п
¦\РК
\J
Рис. IV.4.8
несущей частоты, изображенные на рис. IV.4.9,#. Звуковые коле-
колебания (рис. IV.4.9, б) поступают в микрофон и преобразовываются
в электрические колебания. В модулято-
ре незатухающие синусоидальные коле-
колебания преобразуются в модулированные
колебания (рис. IV.4.9,e). После усиле-
усиления модулированные колебания поступа-
поступают в передающую антенну, которая излу-
излучает электромагнитные волны.
4°. Приемное устройство {радио-
{радиоприемник) схематически изображено на
рис. IV.4.8, б. Электромагнитные вол-
волны поступают в антенну приемника и
вызывают электромагнитные колебания
в резонирующем контуре РК. Сла-
Слабые колебания высокой частоты по-
поступают в усилитель, а затем в де-
детектор — проводник с односторонней
проводимостью (например, двухэлек-
тродная электронная лампа A11.3.8.1°)).
В детекторе происходит процесс демо-
демодуляции — выделения низкочастотной
составляющей колебаний из колебаний
с несущей частотой. Из детектирован-
детектированных колебаний (рис. IV.4.9, г) выделяет-
выделяется низкочастотная (звуковая) составля- Рис. IV.4.9
ющая (рис. IV.4.9, <)), которая вновь усиливается и подается на вос-
воспроизводящее устройство (динамик, телефон и т.д.).

350 Отдел IV. Гл. 4. Электромагнитные волны
Резонирующий контур приемника состоит из катушки и конден-
конденсатора переменной емкости A11.1.11.4°). Это позволяет добиться
совпадения частот колебаний контура с частотой волны, излучаемой
той или иной радиостанцией. Для высококачественного воспроизве-
воспроизведения в приемнике сигналов, передаваемых радиостанцией, необхо-
необходимо, чтобы частота модуляции была в 5—10 раз меньше несущей
частоты. Для передачи речи и музыки модуляция осуществляется со
звуковыми частотами, обычно не превосходящими A0-=-13) -103 Гц.
Для радиовещания можно использовать все диапазоны радиоволн,
начиная с длинных. Практически широковещательные радиостан-
радиостанции используют диапазоны длинных, средних и коротких радиоволн
(таблица IV.4.1).
5°. Схема телевидения в основном совпадает со схемой радио-
радиовещания (рис. IV.4.8,a и б). В передатчике колебания несущей час-
частоты модулируются не только звуковым сигналом, но и предвари-
предварительно усиленными сигналами изображения, поступающими от пе-
передающих трубок (иконоскопов или суперортиконов). В объем мо-
модуляции входят также сигналы для синхронизации развертки элек-
электронного пучка в электронно-лучевой трубке A11.3.10.3°) — иконо-
иконоскопе, на экране которого возникает изображение. В телевизионном
приемнике высокочастотный сигнал разделяется на три: сигнал изо-
изображения, звуковое сопровождение и сигнал управления.
После усиления эти сигналы поступают в свои тракты и ис-
используются по назначению. Сигналы управления синхронизируют
работу генераторов, осуществляющих развертку электронного лу-
луча по горизонтали A11.3.10.4°) — вдоль строк — и перебрасывание
его с одной строки на другую. Всего за 1/25 секунды электрон-
электронный пучок записывает 625 строк, составляющих один кадр. Если
при этом отсутствует видеосигнал, то экран освещен равномерно.
Усиленный сигнал изображения подается на управляющий электрод
электронной пушки A11.3.10.3°). При этом меняется интенсивность
электронного пучка и, в связи с этим, яркость данной точки экрана,
где возникает изображение. Телевизионный сигнал несет большой
объем информации и занимает полосу частот порядка 4-5 МГц (в
радиовещательном приемнике — около 10 кГц). В качестве несущих
частот электромагнитных волн используются высокие частоты — от
50 МГц до 900 МГц (что соответствует длинам волн от 6 м до 30 см)
(ср. с таблицей IV.4.1).

4.5. Радиосвязь. Телевидение. Радиолокация 351
6°. Радиолокацией называется обнаружение и определение ме-
местонахождения различных объектов с помощью радиоволн (п. 1°).
Радиолокация основана на явлении отражения и рассеяния радио-
радиоволн телами.
Радиолокатор (радар) представляет собой комбинацию ультра-
ультракоротковолнового (таблица IV.4.1) радиопередатчика и радио-
радиоприемника, имеющих общую приемно-передающую антенну, кото-
которая создает остронаправленное излучение {радиолуч). Излучение
осуществляется короткими импульсами с продолжительностью при-
приблизительно 10~6 с. В промежутки времени между двумя последова-
последовательными импульсами излучения антенна автоматически переклю-
переключается на прием сигнала, отраженного от цели. Расстояние до це-
цели, ее местонахождение, определяется по промежутку времени At
между отправлением сигнала и приемом отраженного сигнала. Ра-
Радиолокация наиболее эффективна в случае d ^ Я, где d — линей-
линейные размеры лоцируемых тел. Поэтому в радиолокации применя-
применяются ультракороткие радиоволны дециметрового, сантиметрового и
миллиметрового диапазонов (таблица IV.4.1). В радиолокацион-
радиолокационный астрономии методы радиолокации используются для уточне-
уточнения движения планет Солнечной системы и их спутников, искус-
искусственных спутников Земли, космических кораблей и т.д.
7°. Радиоастрономией называется раздел физики и астроно-
астрономии, в котором космические объекты изучаются по их собствен-
собственному ультракоротковолновому радиоизлучению (главным образом
в области сантиметровых и дециметровых волн (таблица IV.4.1), ко-
которые слабо поглощаются на пути от объектов до Земли).
Для приема и изучения радиоизлучения космических объектов
применяются специальные радиотелескопы, чувствительность ко-
которых, благодаря большим эффективным площадям антенн, значи-
значительно превосходит чувствительность самых крупных современных
оптических телескопов (V. 1.7.11 °). Радиоастрономические методы
позволяют исследовать физические свойства поверхностных слоев
планет Солнечной системы и их температуры. Исследование радио-
радиоизлучения Солнца позволяет предсказывать изменения солнечной
активности и других важных его оптических свойств. Радиоастро-
Радиоастрономические методы являются единственно возможным средством
изучения ядра Галактики, а также радиогалактик — весьма уда-
удаленных от Земли частей Метагалактики, недоступных наблюдению
в оптические телескопы.

Отдел V
ОПТИКА
Глава 1
Геометрическая (лучевая) оптика
1.1. Прямолинейное распространение света
1°. Оптикой называется раздел физики, в котором изучаются
явления и закономерности, связанные с возникновением, распрост-
распространением и взаимодействием с веществом световых электромаг-
электромагнитных волн (IV.4.1.1°). Световые волны охватывают на шкале
электромагнитных волн (V.3.7.1°) огромный диапазон, лежащий за
ультракороткими миллиметровыми радиоволнами и простирающий-
простирающийся до наиболее короткого известного в настоящее время гамма-
излучения — электромагнитных волн с длиной волны Я меньшей,
чем 1 ангстрем (А) [1 А=10~10м].
2°. В геометрической (лучевой) оптике рассматриваются зако-
законы распространения света в прозрачных средах на основе предста-
представлений о свете как о совокупности световых лучей (IV.3.1.5°) —
линий, вдоль которых распространяется энергия световых электро-
электромагнитных волн. В геометрической опти-
оптике не учитываются волновые свойства
света и связанные с ними дифракционные
явления (V.2.3.10). Например, при про-
прохождении света через линзу (V. 1.5.1°) с
диаметром оправы d ^ Я, где Я — длина
световой волны, можно пренебречь явле-
явлением дифракции на краях линзы. Общий
критерий применимости геометрической оптики: D > у/Тх, где
D — линейный размер препятствия, на котором происходит дифрак-
дифракция, / — расстояние о г препятствия до экрана.
Рис. V.1.1

1.2. Законы отражения и преломления света. Полное отражение 353
3°. Среда называется оптически однородной, если показатель
преломления ее (VI.2.2°) во всех точках один и тот же. В оптически
однородной среде лучи прямолинейны: в такой среде свет распро-
распространяется прямолинейно. Это подтверждается явлением образова-
образования тени. Если S — малый по линейным размерам источник света,
г К — тело, преграждающее свету путь от источника, то за телом
К образуется конус тени (рис. V.1.1). Ни одна точка внутри этого
конуса не получает свет от источника. На экране, помещенном под
прямым углом к оси конуса, получается хорошо очерченная тень
тела К.
Пучки световых лучей, пересекаясь, не интерферируют (V.2.2.1°)
и распространяются после пересечения независимых друг от друга
(закон независимости световых пучков).
1.2. Законы отражения и преломления света.
Полное отражение
1°. Отношение скорости света в вакууме к скорости света v в
данной среде
п = -
v
называется абсолютным показателем преломления этой среды.
Здесь е и ju — относительные диэлектрическая и магнитная прони-
проницаемости среды (IIIЛ.2.6°; 111.4.3.2°), /л « 1 для неферромагнитных
сред A11.6.2.1°). Для любой среды, кроме вакуума, п > 1; величина
п зависит от частоты света (V.2.6.1°) и состояния среды (ее плот-
плотности и температуры). Для газов при нормальных условиях п « 1.
В анизотропных средах A1.7.1.1°) п зависит от направления рас-
распространения света и его поляризации (V.2.5.10).
2°. Относительным показателем преломления пц второй сре-
среды относительно первой называется отношение скоростей света v\
и V2 соответственно, в первой и второй средах:
= ш = ш
V2 /II '
где п\ и П2 — абсолютные показатели преломления первой и второй
сред.
Если «21 > 1, то вторая среда называется оптически более
плотной, чем первая среда.

354
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
3°. При падении световых лучей на идеально плоскую границу
раздела двух сред, размеры которой значительно превышают длину
волны, происходят явления отражения и преломления света. На-
Направление распространения света изменяется при переходе его во
вторую среду, за исключением случая перпендикулярного падения
лучей на границу раздела. Углом падения i называется угол между
С
D
Рис. VI.2
падающим лучом и перпендикуляром к границе раздела, восставлен-
восставленным в точке падения. Углом отражения ir называется угол между
отраженным лучом и тем же перпендикуляром (рис. V.1.2). Углом
преломления г называется угол между преломленным лучом и тем
же перпендикуляром.
4°. Законы отражения света:
а) Падающий луч, отраженный луч и перпендикуляр к границе
раздела двух сред, восставленный в точке падения луча, лежат в
одной плоскости.
б) Угол отражения равен углу падения / = /' (рис. VI.2, а).
Законы отражения справедливы при обратном направлении хода
световых лучей. Луч, распространяющийся по пути отраженного,
отражается по пути падающего луча {обратимость хода световых
лучей) (рис. VI.2,б).
5°. Отражение света, удовлетворяющее этим законам, называет-
называется зеркальным. Если условие зеркальности отражения не выполня-
выполняется, то законы отражения несправедливы и отражение света назы-
называется диффузным.
6°. Законы преломления света:
а) Лучи падающий, преломленный и перпендикуляр к границе
раздела двух сред, восставленный в точке падения луча, лежат в
одной плоскости.

1.2. Закон отражения и преломления света
355
б) Отношение синусов углов падения и преломления есть вели-
величина постоянная, равная относительному показателю преломления
данных двух сред (п. 2°):
sim
sin г
п2
Падающий и преломленный лучи взаимно обратимы: если па-
падающий луч будет пущен по направлению преломленного луча, то
луч преломленный пойдет по направлению падающего.
7°. Законы отражения и преломления света справедливы для од-
однородных изотропных сред в отсутствие поглощения света.
8°. Если световые лучи из оптически более плотной среды 1
падают на границу раздела с оптически менее плотной средой 2,
например из стекла в воду (рис. V.1.3), то при углах падения
Рис. V.1.3
i ^ *'пр, где sin/np = W21, преломления света не происходит. При
условии / = /„р угол преломления г = ж/2, и при / > /пр свет не
переходит во вторую среду. Это явление называется полным отра-
отражением. Угол /пр называется предельным углом полного отраже-
отражения. Если свет переходит из вещества с абсолютным показателем
преломления п\ = п в воздух, где пг ~ 1, то условие полного отра-
отражения примет вид
1
/

356
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
Задача. Глаз наблюдателя расположен так, что стенка плоскодон-
плоскодонной чашки полностью закрывает дно. Если в чашку налить жидкость
до краев, то наблюдателю будет виден рисунок в центре дна чашки.
Высота чашки 8.1 см, диаметр 14 см (рис. V.1.3*).
Определить относительный показатель преломления жидкости и
кажущуюся глубину h чашки.
Дано: С А == 8.1 см, СВ = 14 см.
Найти: /?2ь А.
Решение: В пустой чашке световой луч идет по направлению
В А и глаз не видит дна и рисунка. В жидкости луч от рисунка
идет по направлению О А, затем преломляется и попадает в глаз
Рис. V.1.3*
наблюдателя. Относительный показатель преломления жидкости
П2\ = sin //sin г. Углы / и г определяются из треугольников АС В
иАСО:
tg/- —= —-1.7, угол /-60°,
СО
СА
14
-086'
2-8.1
Тогда п2\ = sin60°/ sin40° = 0.87/0.66 = 1.3.
Из рисунка видно, что «кажущаяся глубина» чашки
= -^~* Л = ( — ) см = 4.0см.

1.3. Плоское зеркало. Плоскопараллельная пластинка. Призма.
357
1.3. Плоское зеркало. Плоскопараллельная
пластинка. Призма.
1°. Каждая точка S источника света1 в геометрической оптике
считается центром расходящегося пучка лучей, который называется
гомоцентрическим. Если после отражений и преломлений в раз-
различных средах пучок остается гомоцентрическим, то его центр S'
называется изображением точки S в оптическом устройстве.
Изображение S' называется действительным, если в точке S'
пересекаются сами лучи пучка, и мнимым, если в ней пересекают-
пересекаются продолжения этих лучей. В точке, где возникает действительное
изображение, происходит концентрация энергии световых лучей, и
это может быть обнаружено, например, фотоэлементом (V.5.4.10)
или светочувствительной бумагой. При мнимом изображении этого
не происходит — световые лучи как бы выходят из точки, в кото-
которой обнаружить энергию нельзя. Однако существенно, что и при
мнимом изображении точки на сетчатке глаза всегда возникает ее
действительное изображение (V.1.7.30).
* А-'\ '//////S//////////S///////*
У////////////////
Рис. VI .4
Рис. V.1.5
2°. Гомоцентрический световой пучок, выходящий из точки S ис-
источника, после отражения в плоском зеркале АС (рис. VI.4) оста-
остается гомоцентрическим. Точка S\ является мнимым изображением
точки S. Ее положение определяется пересечением продолжения
любых двух лучей, попадающих в глаз, например ЛВ и CD. Линия
SS[ перпендикулярна к плоскости зеркала, причем SO — OS\. Для
того чтобы найти изображение точки в плоском зеркале, достаточ-
достаточно на перпендикуляре, опущенном из точки на зеркало, отложить за
В главе 1 отдела V мы рассматриваем только монохроматический свет
(IVA2.50).

358
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
зеркалом такое же расстояние. Геометрические размеры протяжен-
протяженного источника света и его мнимого изображения в плоском зеркале
одинаковы (рис. V.1.5).
3°. После прохождения плоскопараллель-
плоскопараллельной пластинки (рис. V.1.6) лучи выходят под
тем же углом /, под которым на нее падают.
Пластинка смещает луч света параллельно
самому себе на расстояние
Д = d sin /1 1 -
1
sin21
sin2 /
Рис. V.1.6
где d — толщина пластинки, / — угол па-
падения лучей, п — показатель преломления
материала пластинки по отношению к окру-
окружающей среде. Светящаяся точка S источника или освещенного
предмета кажется приближенной к поверхности пластинки на рас-
расстояние
= </ 1-
1 - sin21
п2 — sin2 /
При нормальном падении лучей (/ =0) А = 0 и А' = d((n — I)/п).
4°. В призме, сечение которой плоскостью, перпендикулярной ее
ребрам, изображено на рис. V.1.7, луч света, падающий в плоскос-
плоскости сечения, после преломления на гранях
АС и СВ отклоняется к основанию. Угол
отклонения луча <р = i\ +гг — а, где i\ —
угол падения луча на грань АС, г г — угол
преломления на грани ВС, а — угол меж-
между гранями АС и СВ, называемый прело-
преломляющим углом призмы.
При условии г 2 = i\ угол отклонения
лучей ср — наименьший (q> = (рш
мы относительно источника света (установка под углом наимень-
наименьшего отклонения)
. фмт + а . а
где п — показатель преломления материала призмы по отношению
к окружающей среде.
Рис. V.1.7
т)- При таком расположении приз-

приз1.4. Сферические зеркала
359
1.4. Сферические зеркала
1°. Если две среды имеют сферическую границу раздела, то
гомоцентрический пучок, исходящий из точечного источника S
(V.1.3.10), остается таким же после преломления лишь при усло-
условиях SA « SO, AS' w S'O\, т.е. когда точки О и О\ практически
совпадают (рис. V.1.8).
Рис. V.1.8
Рис. VI.9
Оптической осью сферической поверхности называется пря-
прямая, проходящая через точечный источник света S и центр кривиз-
кривизны С сферической поверхности. Предыдущие условия справедливы
лишь для узкого конуса световых лучей с осью, перпендикулярной к
сферической границе раздела. Только такие пучки световых лучей,
называемые параксиальными (приосевыми) пучками, после пре-
преломления остаются гомоцентрическими и дают изображение светя-
светящейся точки S в виде точки S' (рис. V.1.8). На этом рисунке а\
и а 2 — расстояния от источника S до сферической поверхности и
от этой поверхности до изображения S'. Расстояния отсчитывают-
ся от точки О пересечения сферической поверхности с оптической
осью и считаются положительными в направлении распространения
света и отрицательными в противоположном направлении: а 2 > О
и а 1 < 0.
2°. Сферическое зеркало представляет собой тщательно от-
отполированную поверхность тела, имеющую форму сферического
сегмента (рис. V.1.9). Такое зеркало зеркально отражает свет
(V.1.2.50). Центр С сферической поверхности, из которой выре-
вырезан сегмент, называется оптическим центром зеркала; вершина О
сферического сегмента — полюсом зеркала. Любая прямая, прохо-
проходящая через оптический центр зеркала С, называется оптической
осью зеркала. Оптическая ось СО, проходящая через оптический
центр зеркала и его полюс, называется главной оптической осью.
3°. Лучи параксиального пучка (п. 1°), параллельные главной
оптической оси, после отражения от зеркала пересекаются в одной

360
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
точке F, называемой фокусом (главным фокусом) зеркала. Рассто-
Расстояние OF — / от полюса до фокуса зеркала называется фокусным
расстоянием, f = R/2, где R — радиус кривизны зеркала. Плос-
Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно главной оптиче-
оптической оси, называется фокальной плоскостью.
4°. Формула сферического зеркала для параксиальных свето-
световых пучков (п. 1°):
_L J_ _ _2 _ J_
а\ а2 R /'
где R — радиус кривизны зеркала, а \ — расстояние от зеркала до
светящейся точки, расположенной на главной оптической оси, а г —
расстояние от зеркала до изображения. Правило знаков для R, а \
и а2 указано в п. 1°.
Изображение в сферическом зеркале действительное, если
а2 < 0, т.е. и источник, и его изображение находятся по одну сторо-
сторону от зеркала (рис. V.1.10). Когда светящаяся точка и ее изображе-
изображение находятся по разные стороны от зеркала (а2 > 0, рис. VI.И),
изображение в зеркале мнимое.
Рис. V.1.10
Рис. VI. 11
Зеркало является выпуклым, если, с учетом правила знаков,
R > 0. В таком зеркале изображение всегда мнимое. Условие
действительности или мнимости изображения в вогнутом зеркале
(R < 0):
a i Г > 1 — действительное,
< 1
мнимое.
5°. Изображение светящегося предмета с линейным разме-
размером /*пр, расположенного перпендикулярно к главной оптической
оси, имеет линейный размер /гИЗОбр и расположено перпендикулярно
к той же оси. При этом изображение должно получаться с помо-
помощью параксиальных лучей (п. 1°) и необходимо, чтобы /гпр <С \а\\.

1.5. Линзы 36Г[
На рис. V1.10 и V.1.11 масштабы не выдержаны. При использовании
формулы сферического зеркала для построения изображений пред-
предметов под а 1 и а 2 следует понимать расстояния до зеркала предмета
и его изображения (с соблюдением правила знаков п. 1°). Отноше-
Отношение линейных размеров изображения /гИЗОбр и предмета /гпр, распо-
расположенных перпендикулярно к главной оптической оси, называется
линейным (поперечным) увеличением:
у ."ИЗОбр
Знак плюс (У > 0) соответствует прямому изображению
(рис. V 1.11), а знак минус (У < 0) — обратному (перевернутому)
изображению (рис. VI. 10).
1.5. Линзы
1°. Прозрачное тело, ограниченное с двух сторон криволиней-
криволинейными поверхностями, называется линзой. В частном случае одна
из поверхностей может быть плоской. В большинстве практически
важных случаев обе поверхности, ограничивающие линзу, являют-
являются сферическими. Линза считается тонкой (тонкая линза), если
ее толщина много меньше, чем радиусы кривизны R\ n R2 обеих
поверхностей2.
2°. Прямая, проведенная через центры С\ и С2 кривизны обе-
обеих поверхностей, называется главной оптической осью линзы
(рис. VI. 12). В тонкой линзе точки О\ и О2 пересечения главной
Главная оптическая ось
Побочная оптическая ось
Рис. VI.12
оптической оси с обеими поверхностями можно считать сливающи-
сливающимися в одну точку О, которая называется оптическим центром
2В элементарном курсе физики не рассматриваются толстые линзы, для которых
это условие не выполняется.

362
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
линзы. Побочными оптическими осями называются прямые, про-
проходящие через оптический центр линзы и не совпадающие с главной
оптической осью. Луч света, который распространяется по какой-
либо из оптических осей, проходит сквозь линзу без преломления.
3°. Лучи параксиального (приосевого) светового пучка, распро-
распространяющиеся параллельно главной оптической оси, пересекаются
в точке, лежащей на этой оси и называемой фокусом линзы (глав-
(главным фокусом). У всякой линзы имеются два фокуса по обе стороны
от нее (рис. V.1.13).
Плоскость M/V, проведенная через фокус линзы перпендикуляр-
перпендикулярно к главной оптической оси, называется фокальной плоскостью
(рис. V.1.14). Лучи, падающие на линзу параллельно какой-либо по-
побочной оптической оси, после пре-
преломления в линзе пересекаются
М
Фокус
Оптический центр
Рис. V.1.13
Рис. V.1.14
в точке, лежащей на фокальной плоскости. У линзы имеются две
фокальные плоскости, расположенные по обе стороны от нее. Точ-
Точки пересечения побочных оптических осей с фокальными плоскос-
плоскостями линзы называют побочными фокусами линзы (точка F' на
рис. VI. 14).
4°. Расстояние OF = f от оптического центра линзы до ее фо-
фокусов называется фокусным расстоянием линзы:
Формула тонкой линзы, справедливая для параксиальных лучей
(см. также п. 6°):
1 1 1
а2 а\
Г

1.5. Линзы363
В этих формулах П2\ = яг/иь П2 и щ — абсолютные показатели
преломления (VI.2.1°) для материала линзы и окружающей сре-
среды, R\ и #2 — радиусы кривизны передней и задней (относительно
предмета) поверхностей линзы, а\ и а 2 — расстояния до предме-
предмета и до его изображения, которые отсчитываются от оптического
центра линзы вдоль ее главной оптической оси. Правило знаков для
а\9 а2, R\ и /?2 см. в V.1.4.10. Если источник света находится в
переднем главном фокусе F\ (рис. V.1.13), то его изображение нахо-
находится в бесконечности (а2 = оо): после преломления в линзе лучи
уходят параллельно друг другу. Если источник света находится в
бесконечности (а\ = — оо), т.е. если на линзу падает пучок света,
параллельный главной оптической оси, то его изображение будет
находиться в точке Fj (рис. V.1.13).
5°. Линза называется положительной (собирающей), если
ее фокусное расстояние положительно (/ > 0), и отрицатель-
отрицательной (рассеивающей), если ее фокусное расстояние / < 0.
Для стеклянных линз в воздухе (пг > п\)
собирающими являются: двояковыпук-
двояковыпуклые (рис. V. 1.15, а), плоско-выпуклые
(рис. V. 1Л 5, б) и вогнуто-выпуклые
(рис. VIЛ 5, в). Рассеивающими стеклян-
стеклянными линзами являются: двояковогну-
двояковогнутые (рис. VI, 15, г), плоско-вогнутые (рис. V.1.15,*)) и выпукло-
вогнутые (рис. VI. 15,в). Фокусы собирающих линз действитель-
действительные, а рассеивающих — мнимые.
6°. Другой вид формулы тонкой линзы для параксиальных лучей
(см. также п. 4°):
1.1 . 1 1 1 1
d~ Ш +
где s = \а 11, d = d?2, / — фокусное расстояние линзы; знак плюс —
для собирающей, знак минус — для рассеивающей линзы. Величина
В = 1 // называется оптической силой линзы. Для собирающей
линзы D > 0, для рассеивающей D < 0. Оптическая сила D равна
одной диоптрии при / = 1 м.
7°. Изображение любой точки предмета в линзе находится в
точке пересечения двух лучей (или их продолжений), вышедших
из этой точки и прошедших через линзу. Обычно для построения

364 Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
изображения используются два из трех лучей: луч, проходящий без
преломления через оптический центр линзы; луч, падающий парал-
параллельно главной оптической оси; после преломления в линзе этот
луч (или его продолжение) проходит через задний (относительно
предмета) главный фокус; луч (или его продолжение), который про-
проходит через передний главный фокус и после преломления в линзе
идет параллельно главной оптической оси.
8°. Линейным увеличением тонкой линзы У называется отно-
отношение У = аг1а\ с учетом правила знаков для а2 н а\ (V.1.4.10).
Для действительных изображений У < 0, т.е. они обратные; для
мнимых изображений У > 0 — они прямые.
Задача. Как изменятся фокусные расстояния и оптические си-
силы двояковыпуклой и двояковогнутой стеклянных линз с радиусами
кривизны R\ и /?2, если линзы погрузить в среду (например, орехо-
ореховое или коричное масло) с показателем преломления п\ большим,
чем показатель преломления стекла п-р.
Дано: п2 = 1.50, щ = 1.0, п\ = 1.58.
Найти: /j, /2, D\, D'2.
Решение: Если световой луч из линзы выходит в воздух, то фо-
фокусное расстояние линзы определяется по формуле линзы
fl = 71 Г"
где относительный показатель преломления стекла п2\ = п2/п\; R\
ylR2 — радиусы кривизны. При погружении линзы в масло фокусное
расстояние определится по той же формуле
л-— '
Отношение фокусных расстояний
А = /721 - 1 А = 1.50-1
/, и'„-Г /, 1.50
"L58 '
ИЛИ

1.6. Понятие о фотометрии 365
Собирающая линза при погружении ее в оптически более плот-
плотную среду становится рассеивающей (f\ имеет знак минус) и ее
оптическая сила уменьшается в 10 раз:
Для двояковогнутой линзы получим
JJL. — _11 ? ll — ю и /2 =
Соответственно
/J2 ~ To"
Рассеивающая линза при погружении ее в оптически более плот-
плотную среду становится собирающей, и ее оптическая сила уменьша-
уменьшается в 10 раз.
1.6. Понятие о фотометрии
1°. Фотометрией называется раздел оптики, в котором рассмат-
рассматриваются измерения энергии, которую переносят электромагнитные
световые волны (V. 1.1.1°). Обычно в фотометрии рассматривают-
рассматриваются действия на глаз и другие оптические приборы (V. 1.7.1°) элек-
электромагнитных волн видимого оптического диапазона. Для характе-
характеристики этого действия вводятся следующие основные физические
величины, характеризующие свет с точки зрения переносимой им
энергии: световой поток, сила света, освещенность.
2°. Световым потоком Ф называется мощность видимого излу-
излучения (IV.4.4.10), которая оценивается по действию этого излучения
на нормальный глаз. Иными словами, Ф есть энергия световых элек-
электромагнитных волн, переносимая за единичный промежуток време-
времени через некоторую площадь поверхности и оцениваемая по зри-
зрительному ощущению. Для монохроматического света (IV.4.2.50), со-
соответствующего максимуму спектральной чувствительности глаза
(Я = 5500 А), световой поток равен 683 люменам (VII.6.20), если
мощность излучения равна одному ватту.
3°. Точечным источником света называется источник, линей-
линейные размеры которого значительно меньше, чем расстояние от него

366 Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
до точки наблюдения. Такой источник излучает сферические элек-
электромагнитные волны (IV.3.1.50).
Силой света {силой излучения) I точечного источника называ-
называется величина, определяемая световым потоком от этого источника
в единичном телесном угле3 (рис. V.1.16).
Если точечный источник равномерно излучает свет по всем на-
направлениям, то
где Фполн есть полный световой поток источника света, т. е. мощ-
г ность излучения источника по всем на-
^ м правлениям — энергия света, которая
)aS за еДиничныи промежуток времени пе-
переносится сквозь произвольную замк-
замкнутую поверхность, охватывающую ис-
Рис. V. 1.16 точник света.
4°. Если источник света не точечный, а протяженный, то сила
света / малого участка AS его поверхности в данном направлении
ДФ
Ml9
где ДФ — световой поток от участка AS поверхности источника в
данном направлении внутри телесного угла AQ.
Для произвольного источника света средней сферической си-
силой света называется величина
j _ Фполн
An '
где Фполн — полный световой поток источника света. В случае, когда
протяженный источник света излучает равномерно по всем напра-
направлениям, / = /.
5°. Освещенностью Е некоторой поверхности называется отно-
отношение светового потока ДФ к площади поверхности Д5, на кото-
которую он падает:
ДФ
Ь
3Телесный угол ДО определяется как отношение площади AS поверхности ша-
шарового сегмента к квадрату радиуса сферы: AQ = AS/г2 (табл. VI 1.2).

1.6. Понятие о фотометрии
367
Освещенность Е в каждой точке экрана, на который падает свет,
пропорциональна интенсивности электромагнитной световой волны
в этой точке (IV.4.3.20).
Освещенность от точечного источника с силой света / на по-
поверхности, удаленной на расстояние г от источника,
/cos/
где / — угол падения (V. 1.2.3°) (закон освещенности от точеч-
точечного источника).
Задача. Над круглым столом диаметром 1.6 м на высоте 0.60 м
висит лампа, которая считается точечным источником света, рав-
равномерно излучающим по всем направле-
направлениям. Световой поток, падающий на стол,
равен 201 лм. Определить силу света лам-
лампы, полный световой поток от лампы,
освещенность в центре стола и на его
краю (рис. V.1.16*).
Дано: ДФ = 201 лм, d = 1.6 м,
h = 0.60 м.
Найти: /, Фпол„, Е, Е'. Рис- VU6*
Решение: Сила света источника / = ДФ/ДГ2, где АФ — свето-
световой поток, испускаемый в телесном угле АО.
Телесный угол, под которым из источника видна поверхность
стола, равен
АП = 2жA -cos/),
где / — угол падения луча.
Из рис. V.1.16* следует:
h
cos/ = -,
r
= \h2+[-) = V0.36
V 12,
Тогда
/ =
АФ
2л
7
201
2-3.14A -0.60)
0.64м = 1.0м.
кд = 80 кд.
Полный световой поток, испускаемый точечным источником,
фполн = 4яг/, Фполн = 4 • 3.14 • 80 лм = 10 • 102 лм.

368 Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
Освещенность центра стола
E = h> Е = шж=22
Освещенность края стола
1.03
1.7. Некоторые оптические приборы
1°. Оптическими приборами называются устройства, предназ-
предназначенные для получения на экранах, светочувствительных пластин-
пластинках, фотопленках и в глазу изображений различных объектов. Обыч-
Обычно оптические приборы дают плоское (двумерное) изображение
трехмерных, пространственных объектов. Оптическими приборами,
например, являются: фотоаппарат и проекционный аппарат, глаз, оч-
очки, лупа и микроскоп, зрительные трубы (включая телескопы).
2°. Фотоаппарат служит для получения действительного умень-
уменьшенного (иногда увеличенного) изображения предмета, находя-
находящегося в большинстве случаев за двойным фокусным расстоя-
расстоянием от объектива (системы линз или, в простейшем случае,
одной собирающей линзы). Объектив вставляется в переднюю
стенку камеры. У задней стенки камеры помещается фотоплас-
фотопластинка или фотопленка, покрытые тонким слоем чувствительной
к свету фотоэмульсии (све-
точувствительный слой). На
них и возникает изображение
А1В1 предмета АВ (рис. V. 1.17)
(V.5.6.20). Световые потоки
(V. 1.6.2°), падающие от раз-
I ис. V.1.17 личных точек предмета на фо-
фотоэмульсию, вызывают неодинаковое разложение бромистого се-
серебра в разных местах. Полученный снимок далее обрабатывает-
обрабатывается (проявляется, фиксируется и промывается водой) специальными
реактивами для получения видимого изображения с различным по-
почернением (V.5.6.20). Световой поток, падающий на светочувстви-
светочувствительный слой, регулируется фотографическим затвором, который
открывает свету доступ на время, называемое временем экспози-

1.7. Некоторые оптические приборы
369
ции т. Оптимальное г зависит от освещенности фотопластинки
(фотопленки) (V. 1.6.5°) и ее чувствительности. Освещенность за-
зависит от светового потока, поступающего через объектив (Об) с
диаметром d. При достаточной удаленности предмета от объектива
фотопластинка находится вблизи фокальной плоскости объектива
(V.1.5.30) и удалена от него на расстояние / (V.1.5.40). Освещен-
Освещенность фотопластинки пропорциональна величине d2//2, называемой
светосилой объектива. Качество объектива оценивается по вели-
величине относительного отверстия d/f. На оправах объективов обо-
обозначаются их фокусные расстояния / и относительные отверстия в
виде 1 :f/d. N.
Рис. V.I. 18
Проекционные аппараты предназначены для получения на
экране действительных увеличенных изображений объектов. Про-
Проецирование прозрачных объектов (диафильмов, диапозитивов) на-
называется диапроекцией, непрозрачных объектов (рисунков, фото-
фотографий) — эпипроекцией. На рис. V.1.18 показана схема устройства
проекционного аппарата для диапроекций. Объектив Об — система
линз, действующая как одна собирающая линза, — дает на экране
MN увеличенное изображение диапозитива Z), располагающегося
вблизи фокальной плоскости объектива. Короткофокусная система
линз — конденсор К служит для того, чтобы направлять в объек-
объектив весь свет, поступивший от источника к диапозитиву. Конденсор
устанавливается так, чтобы он давал изображение источника света S
на объективе. Для эпипроекций проецируемый предмет сильно осве-
освещается сбоку при помощи ламп и зеркал и проекцируется объекти-
объективом на экран. Проекционные аппараты, в которых скомбинировано
устройство для диа- и эпипроекций, называются эпидиаскопами.
3°. Глаз является органом зрения. На рис. V.1.19 представлена
схема устройства глаза человека. Склера 1 образует наружную обо-
оболочку глазного яблока и защищает внутренность глаза, сохраняя его

370 Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
жесткость. На передней поверхности склера переходит в прозрач-
прозрачную роговицу 2, сквозь которую свет проникает в глаз. За роговицей
расположена радужная оболочка 3 с отверстием — зрачком 4. Ра-
Радужная оболочка является мышечным кольцом, которое сжимается
и растягивается, изменяя размеры зрачка и световой поток, попа-
попадающий в глаз. Хрусталик 5 пред-
представляет собой эластичное, линзо-
подобное тело. Особая циллиарная
мышца б, натягиваясь или расслаб-
расслабляясь, изменяет радиусы кривизны
поверхностей хрусталика, его опти-
оптическую силу (V. 1.5.6°) и фокусное
расстояние. Полость между рогови-
роговицей и хрусталиком заполнена вла-
гой. За хрусталиком находится сте-
стекловидное тело 7. Оптическую
Рис V1 19
u У11У систему глаза, аналогичную линзе с
оптической силой D ~ 58 диоптрий (V. 1.5.6°), составляют рогови-
роговица, влага, хрусталик и стекловидное тело. Оптический центр этой
системы (V.1.5.10) с главной оптической осью (V. 1.5.2°) АВ располо-
расположен на расстоянии около 5 мм от роговицы. Всегда действительное
обратное изображение предмета, на который аккомодирован глаз
(п. 5°), образуется на сетчатке 9 — полусфере, состоящей из
особых светочувствительных клеток, имеющих форму колбочек и
палочек. Клетки расположены на задней поверхности сетчатки, ко-
которая лежит на сосудистой оболочке 8. Нервные клетки сетчатки,
объединяясь, образуют зрительный нерв 10, выходящий из глаза
в месте, где нет светочувствительных клеток (слепое пятно 11).
В центре сетчатки, на оптической оси, находится область наиболь-
наибольшей остроты зрения — центральная ямка 12, в которой сосредото-
сосредоточены колбочки, обеспечивающие глазу восприятие цвета. На других
участках сетчатки расположены в основном палочки.
4°. Под действием света в высокочувствительных клетках4 про-
происходят сложные физико-химические процессы, в результате кото-
которых в клетке генерируется нервный импульс, который через зритель-
зрительный нерв передается в мозг. Совместное действие палочек и колбо-
4Каждая палочка может реагировать на один фотон (V.5.1.20

1.7. Некоторые оптические приборы
371
чек осуществляет процесс зрения. Зрение, осуществляемое палоч-
палочками, обнаруживает размеры и форму предмета. Цветовое зрение
осуществляется колбочками, если изображение предмета попадает
в центральную ямку.
5°. Для создания на сетчатке четкого изображения предметов,
удаленных от глаз на различные расстояния, фокусное расстояние
оптической системы в глазу должно изменяться. Это дистигается
изменением радиусов кривизны поверхностей хрусталика. Свойство
глаза приспособляться к расстоянию, на котором находятся рас-
рассматриваемые предметы, называется аккомодацией. Аккомодация
происходит непроизвольно с помощью сокращения или растяжения
цилиарной мышцы (п. 3°). Дальней точкой называется точка, кото-
которую видит глаз при расслабленной циллиарной мышце. Точка, резко
видимая глазом при наибольшем напряжении мышцы, называется
ближней точкой. Для нормального глаза дальняя точка находится
в бесконечности, а ближняя — на расстоянии 15-20 см.
6°. Близорукостью называется дефект зрения, при котором даль-
дальняя точка лежит на конечном расстоянии и в ненапряженном со-
состоянии глаза изображение удаленного предмета получается не на
сетчатке, а перед ней (рис. V. 1.20, а). Коррекция близорукости про-
производится с помощью очков с вогнутыми линзами (рис. VI.20, б).
Рис. УЛ.20
Рис. VI.21
Дальнозоркость — дефект зрения, приводящий к удалению
ближней точки от глаза5. Изображение предмета в ненапряженном
состоянии глаза получается за сетчаткой (рис. VI.20, в). Очки с вы-
выпуклыми линзами исправляют этот дефект и возвращают изображе-
изображение на сетчатку (рис. V 1.20, г).
7°. Размер изображения SfS\ предмета SS\ на сетчатке опреде-
определяется углом зрения q> = h/f (рис. V.1.21), вершина которого на-
5В настоящее время дефектом считается дальнозоркость, превышающая 1.0 диоп-
диоптрию (V.1.5.60).

372
Отдел V. Гл. 1. Геометрическая (лучевая) оптика
ходится в оптическом центре глаза, а лучи направлены на крайние
точки предмета.
Расстоянием наилучшего зрения D называется такое расстоя-
расстояние от предмета до глаза, при котором ср оказывается максимальным
при условии, что напряжение аккомодации невелико и глаз не уста-
устает. Для нормального глаза D « 25 см. Нормальным считается глаз с
хорошо сохранившейся способностью к аккомодации. С возрастом
способность глаза к аккомодации постепенно уменьшается.
8°. Две точки изображения предмета считаются разрешенными,
если они попадают на две разные светочувствительные клетки на
сетчатке и воспринимаются глазом раздельно. Разрешающая спо-
способность глаза оценивается по минимальному углу зрения срыш,
под которым при хорошем освещении две точки предмета видны
раздельно.
9°. Лупой называется оптический прибор, позволяющий прос-
простейшим образом увеличить угол зрения. Лупа представляет собой
короткофокусную линзу, которую помещают для рассматривания
предмета АВ размером h так, чтобы предмет был ближе главного
фокуса F линзы. На рис. V.1.22 показан ход лучей в лупе.
Рис. V.1.22
Рис. VI.23
Невооруженный нормальный глаз видит предмет АВ под углом
зрения фо таким, что tg<po = h/D (D — расстояние наилучшего
зрения). Глаз, вооруженный лупой, видит предмет под углом <р, тан-
тангенс которого равен tgq> = h/f, где / — фокусное расстояние линзы.
Изображение аЪ предмета на сетчатке оказывается таким, как если
бы рассматривался предмет А\В\, являющийся мнимым изображе-
изображением в лупе предмета АВ.

1.7. Некоторые оптические приборы 373
Угловым увеличением у оптического прибора называется
величина tg<p D
10°. Микроскопом называется прибор, позволяющий получать
значительные угловые увеличения близко расположенных мелких
предметов. Он представляет собой комбинацию двух короткофокус-
короткофокусных линз — объектива и окуляра. Фокусы обеих линз и ход лучей в
микроскопе изображены на рис. V.1.23. Предмет АВ располагается
за фокусом F\ объектива. Действительное увеличенное изображение
Н получается за объективом, перед окуляром ближе его фокуса 7^.
Это изображение рассматривается глазом через окуляр, как через
лупу, при этом образуется сильно увеличенное мнимое изображе-
изображение А\В\ предмета.
Угловое увеличение микроскопа
- DA
/об/ок
Все расстояния указаны на рис. VI.23. D — расстояние наилучшего
зрения.
11°. Телескоп применяется при рассмотрении деталей весьма
удаленных предметов. Простейшим телескопом является зритель-
зрительная труба Кеплера. Если рассматриваются две точки А и В уда-
удаленного предмета, одна из которых (В) лежит на оптической оси
системы, а другая (А) — выше оси, изображение А\В\ предмета
получается в фокальной плос- t /oq ^/ок_,
кости объектива (рис. VI.24).
Окуляр, работающий, как лупа,
располагается так, чтобы его яз точки в ф0 ^J 'щГ^^^^^
передний фокус совпал с зад-
задним фокусом объектива. В глаз рис v.1.24
попадает пучок параллельных лучей под углом зрения ср > щ, где
<Ро — угол зрения, под которым предмет виден невооруженным гла-
глазом. Окончательное изображение образуется так, как показано на
рис. VI.24. Угловое увеличение телескопа
tg<Po /ок *
Для значительных угловых увеличений используются длиннофокус-
длиннофокусные объективы и короткофокусные окуляры.

374 Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
Глава 2
Волновая оптика (световые волны)
2.1. Скорость света
1°. Волновой оптикой называется раздел учения о свете, в ко-
котором световые волны (V. 1.1.1°) рассматриваются как электромаг-
электромагнитные волны (IV.4.1.10), занимающие определенный интервал на
шкале электромагнитных волн (V.3.7.10). В волновой оптике рас-
рассматриваются классические законы излучения (IV.4.4.10), распрост-
распространения и взаимодействия световых волн с ве-
Ю 1—?}—_ ществом.
2°. Скорость света определяется аналогич-
аналогично скорости распространения волны любой
природы (IV.3.3.10). Методы измерения ско-
скорости разделяются на астрономические и ла-
лабораторные. Один из астрономических мето-
методов, метод Рёмера, основан на наблюдении
промежутков времени Т между двумя после-
последовательными затмениями спутника Юпитера
Рис. V.2.1 Ио (рис. V.2.1). Запаздывание AT затмения в
момент наибольшего удаления Земли от Юпитера (точки КУ и 3'
на рис. V.2.1) по сравнению с моментом наибольшего сближения
двух планет (точки Ю и 3) связано с тем, что свет, распростра-
распространяясь с конечной скоростью с, проходит за время AT расстояние,
равное диаметру D орбиты Земли (D = 2.99 • 10й м), AT = D/c.
Современные данные для AT = 16.5 мин приводят к значению с,
близкому к с = 3 • 108 м/с.
3°. Схема лабораторного метода измерения скорости света (ме-
(метод Физо) приведена на рис. V.2.2. С помощью полупрозрачного
зеркала А свет от источника S направлялся на зубчатое колесо К,
которое вращалось с числом оборотов z вокруг оси О. Пройдя через
прорезь между зубцами, свет достигал плоского зеркала 3. После
отражения от зеркала 3 свет снова попадал на зубчатое колесо и
мог либо пройти через него и попасть в глаз, либо задерживался.
В последнем случае за время А/, затраченное светом на прохо-

2.1. Скорость света
375
ждение расстояния 2/, колесо поворачивалось на половину ширины
зубца и на пути света оказывался непрозрачный зубец. Скорость
света с по методу Физо определялась формулой
с =
л
где соо — наименьшая угловая скорость A.1.9.5°) вращения колеса,
при которой свет не попадает к наблюдателю.
Рис. V.2.2
4°. В методе Майкельсона (рис. V.2.3) зубчатое колесо заме-
заменялось восьмигранной призмой. Ее вращение происходило с такой
скоростью, чтобы в зрительную трубу С непрерывно было видно
изображение щели D. Условием этого было требование, чтобы за
время поворота призмы на 1/8 часть ее полного оборота свет про-
проходил расстояние 2/.
S
Рис. V.2.3
5°. Изменение скорости света v в различных веществах (напри-
(например, в воде и стекле) подтвердили, что она уменьшается по сравне-
сравнению со скоростью с в вакууме в соответствии с формулой v = с/п
(V. 1.2.1°), где п = у/еЦ — абсолютный показатель преломления
вещества.

376 Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
2.2. Интерференция света
1°. Интерференция (IV.3.9.50) электромагнитных волн оптиче-
оптического диапазона (V. 1.1.1°), в которых колебания происходят в оди-
одинаковых плоскостях, называется интерференцией света. Результат
наложения когерентных (IV.3.9.30) световых волн, наблюдаемый на
экране, фотопластинке и т. д., называется интерференционной кар-
картиной. При наложении некогерентных световых волн (IV.3.9.50)
происходит только усиление света и интерференция не наблюдается.
2°. Длина световой волны А в веществе с показателем прелом-
преломления п уменьшается по сравнению с длиной волны Ао в вакууме:
Я = Яо/я. Это связано с тем, что в веществе уменьшается в п
раз скорость v распространения электромагнитной волны: v = с/п
(V.1.2.10). Поэтому Я = vT = (с/п)Т = Ао/и, где Т — период коле-
колебаний. На расстоянии d, которое проходит
в веществе электромагнитная волна, укла-
укладывается в п раз большее число длин волн,
чем в вакууме. В оптике вводится понятие
оптического пути nd волны, где d — гео-
геометрический путь волны, п — показатель
преломления. Оптический путь характери-
характеризует число длин волн, которые укладывают-
Рис. V.2.4 ся в данной среде на протяжении геометри-
геометрического пути волны. Условия усиления и ослабления при интерфе-
интерференции двух когерентных световых волн, распространяющихся от
источников S\ и S2 до точки М (рис. V.2.4), записываются иначе,
чем в IV 3.9.4°. Световые волны, испущенные когерентными источ-
источниками S\ и 5г могут распространяться в различных веществах с
показателями преломления п\ и п2. Разность 8 оптических путей
двух лучей называется оптической разностью хода:
8 -п\г\.
Условие усиления волн:
S = тг2 — п\г\ — тХ {т = 0, ±1, ±2, ...).
Условие ослабления волн:
8 = п2г2 - п\гх = Bт - 1)- (т = 0, ±1, ±2,...).

2.2. Интерференция света
377
Интерференцию света можно наблюдать, если из двух лучей от
одного источника S, помещенного в фокусе линзы, один пройдет
путь d, например в стекле, а другой распространяется в воздухе
d
М
Рис. V.2.5
(п « 1) (рис. V.2.5). В точке М лучи имеют оптическую разность
хода 8 — nd — d = d(n — 1), значение которой определяет интерфе-
интерференционную картину в точке М.
При наблюдении интерфе-
интерференции в монохроматическом
свете с определенной длиной
волны интерференционная кар-
тина на экране представляет
собой чередование светлых и
темных мест. Интерференци-
Интерференционная картина в белом свете
(V.2.6.20) является окрашен-
окрашенной, ибо каждая составляющая
белого света с длиной волны Я
дает усиления и ослабления в
своих местах на экране.
3°. Для интерференции све-
света необходимо, чтобы свето-
световые волны были когерентны
(IV.3.9.30). Методом осущест-
осуществления интерференции света
является расщепление волны,
испускаемой одним источни-
источником света, на две или несколь-
jS2 fSx
1С,
^ис-
ко волн. После прохождения различных оптических путей (п. 2°)
эти волны накладываются в точках наблюдения и, имея некоторую
оптическую разность хода, дают интерференционную картину.

378
Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
Рис. V.2.7
4°. В методе зеркал Френеля (рис. V.2.6) пучок света от точеч-
точечного источника S разделяется на два пучка при помощи двух зеркал
/ и //, поставленных друг к другу под углом, близким к 180°. Пря-
Прямые лучи на экран АА не попадают. Их задерживает перегородка
КК. На экране АА наблюдается интер-
интерференция двух систем когерентных волн
SBxOC\Cx и SOB2C2C2, как бы исходя-
исходящих из двух источников S\ и iS'2, кото-
которые являются мнимыми изображениями
источника S в зеркалах / и //.
5°. Интерференция в тонких плен-
пленках наблюдается в простейшем случае,
когда на плоскопараллельный слой тол-
толщины d падает пучок лучей (рис. V.2.7). В точке С отраженный
луч 2' и луч 7", преломившийся в стекле, имеют оптическую раз-
разность хода 8 = (AD + DC)n - ВС.
Интерференционная картина подобного типа наблюдается при
отражении света от тонкой мыльной пленки, от нефтяных пленок
на поверхности воды, которые дают очень причудливо окрашенную
интерференционную картину за счет переменной толщины.
6°. Кольцами Ньютона называется интерференционная карти-
картина, которая образуется в простейшем случае на плосковыпуклой
линзе, соприкасающейся в точке О с плоскопараллельной пласти-
пластиной (рис. V.2.8). Луч 7, дважды прошедший воздушный зазор,
dnx
dn2
Рис. V.2.8
Рис. V.2.8*
в точке С интерферирует с лучом 2. Интерференционная картина
имеет вид светлых и темных колец, ибо все точки кольца с ради-
радиусом г имеют одинаковую оптическую разность хода и дадут либо
усиление, либо ослабление света.

2.2. Интерференция света 379
Задача 1. При переходе желтого света из вакуума в жидкость
длина его волны Ао уменьшается на 0.147 мкм. Определить абсолют-
абсолютный показатель преломления жидкости и скорость распространения
света в ней.
Дано: Ао = 0.589мкм, АА = 0.147 мкм.
Найти: я, v.
Решение: Длина световой волны в данной среде уменьшается по
сравнению с длиной волны в вакууме А = Ао/я, где п — абсолютный
показатель преломления среды. Отсюда
Ао Ар 0.589
П~ А ~А0-ДА' "~~ 0.589-0.147
Скорость света в вакууме с = Aov, скорость света в жидкос-
жидкости v = Av. Частота v от свойств среды не зависит. Поэтому
c/Xq = и/А. Отсюда
сХ с 2.998 • 108
v =
м/с = 2.25- 108м/с.
Ао /i' 1.33
Задача 2. В интерферометре Рэлея (рис. V.2.8*) лучи от двух ко-
когерентных источников проходят через закрытые стеклянные трубки
длиною 10.0 см и, собранные линзой, дают на экране интерферен-
интерференционный спектр. Если одну из трубок заполнить газом, показатель
преломления которого отличен от показателя преломления воздуха,
находящегося в другой трубке, то спектр смещается на несколько
порядков. Определить показатель преломления хлора, если желтая
полоса спектра сместилась на 82 порядка.
Дано: т = 82, щ = 1.000292, А = 5890 А= 5.890- 10~7м,
d = 10.0 см = 0.100 м.
Найти: пг.
Решение: Оптическая разность хода лучей 8 = d-ri2 — d-n\. Сме-
Смещению спектра на т порядков соответствует оптическая разность
хода лучей 8 = ml. Тогда тХ — d • {пг — п\)9 отсюда
тХ
а
ОЛ С OQ 1Л—7
П2 = п inn +1000292 = 0.000483 + 1.000292 = 1.000775.

380 Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
2.3. Дифракция света
1°'. Дифракцией света называется огибание световыми волнами
встреченных препятствий.
В более широком смысле дифракцией света называется сово-
совокупность явлений, обусловленных волновыми свойствами света и
наблюдаемых при его распространении в среде с резко выраженны-
выраженными неоднородностями (отверстия в непрозрачных экранах, границы
непрозрачных тел и т.д.). Явление дифракции указывает на наруше-
нарушение законов геометрической оптики.
Явление дифракции наблюдается на расстояниях / от препят-
препятствия / рз D2/4A, где D — линейные размеры препятствия,
Я — длина волны (условие наблюдения дифракции).
Для решения дифракционных задач — отыскания распределе-
распределения на экране интенсивности световой волны, распространяющейся
в среде с препятствиями, — применяются приближенные методы,
основанные на принципах Гюйгенса и Гюйгенса—Френеля.
2°. Принцип Гюйгенса: каждая точка S\, 5г, •.. , Sn фронта
волны АВ (IV.3.1.50) является источником новых, вторичных волн.
Новое положение фронта волны А\В\ через промежуток времени
At представляет собой огибающую поверхность вторичных волн
(рис. V.2.9).
Рис. V.2.9
Принцип Гюйгенса является чисто геометрическим. Он позволя-
позволяет, например, объяснить равенство углов падения / и отражения /'
на поверхности MN среды при отражении света. Разность хода СВ
лучей А\А и В\В создает такой фронт DB отраженной волны, что
из прямоугольных треугольников ADB и АС В (AD = С В) следует
равенство: / = /' (рис. V.2.10).

2.4. Дифракция света на щели. Дифракционная решетка
381
3°. Принцип Гюйгенса—Френеля: все вторичные источники Si,
S2 и т.д., расположенные на поверхности фронта волны, когерентны
(IV3.9.30) между собой. Амплитуда (IV. 1.1.4°) и фаза (IV. 1.1.4°) вол-
волны в любой точке М пространства — это результат интерференции
волн, излучаемых вторичными источниками (рис. V.2.11).
у У////////////.Д v////////////////.
Рис. V.2.10
Рис. V.2.11
4°. Прямолинейное распространение луча SM, испущенно-
испущенного источником S в однородной среде, объясняется принципом
Гюйгенса—Френеля. Все вторичные волны, излучаемые вторичны-
вторичными источниками, находящимися на поверхности фронта волны АВ,
гасятся в результате интерференции, кроме волн от источников, рас-
расположенных на малом участке сферического сегмента ab, перпенди-
перпендикулярного к SM (рис. V.2.11). Свет распространяется вдоль узкого
конуса с очень малым основанием, т. е. практически прямолинейно.
2.4. Дифракция света на щели. Дифракционная
решетка
1°. Пусть на непрозрачный экран Е, в котором прорезана узкая
щель ВС, имеющая постоянную ширину Ъ = ВС и длину Z, >- Ь, па-
падает перпендикулярно к экрану пучок параллельных лучей монохро-
монохроматического света (рис. V.2.12). На экране Э, удаленном от щели на
расстояние /, будет наблюдаться явление дифракции. Если бы этого
явления не было, то на экране Э, установленном в фокальной плос-
плоскости собирающей линзы МЛ (V.1.5.30), в точке Fo главного фокуса
линзы (VI.5.3°) получилось бы изображение источника света. При
дифракции на узкой щели на экране наблюдается интерференцион-
интерференционная картина: последовательность размытых изображений источника

382
Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
света, разделенных темными промежутками. В точке F9 на экране
собираются все параллельные лучи, падающие на линзу под углом ср
(угол дифракции) к оптической оси OFq линзы (V. 1.5.2°).
Ъ 2°. Усиление света {дифракционные
I I IH 1 максимумы) при дифракции на узкой
.ljlj ? щели наблюдается под углами р удов-
удов? щели наблюдается под углами
летворяющими условию
= B/w
= 0, 1,2,3, ...)
*
Условие ослабления света {дифрак-
{дифракционные минимумы)'.
bsin<p = 2т- (т = 1, 2,...).
Число т называется порядком дифрак-
дифракционного максимума или минимума. Величина 8 — CD = 6 sin (jp
представляет собой оптическую разность хода между крайними лу-
лучами CN и ВМ, идущими от щели под углом ср (рис. V.2.12). В на-
направлении ср = О наблюдается самый интенсивный центральный
максимум нулевого порядка. В точке Fo всегда наблюдается уси-
усиление света, независимо от значения длины волны Я.
3°. При наблюдении дифракции на щели в белом свете (V.2.6.20)
интерференционная картина на экране оказывается окрашенной.
В дифракционном максимуме каждого порядка (т — const) ближе к
центральному, неокрашенному максимуму оказываются дифракци-
дифракционные максимумы с меньшими длинами волн.
4°. Дифракционной решеткой в оптике называется совокуп-
совокупность большого числа препятствий и отверстий, сосредоточенных
в ограниченном пространстве, на которых происходит дифракция
света.
Простейшей дифракционной решеткой является система из N
одинаковых параллельных щелей в плоском непрозрачном экране
шириной Ъ каждая, расположенных на равных непрозрачных проме-
промежутках а друг от друга (рис. V.2.13). Величина d = b+a называется
постоянной {периодом) дифракционной решетки.
По принципу Гюйгенса—Френеля (V.2.3.30) каждая щель явля-
является источником когерентных вторичных волн, способных интерфе-

2.4. Дифракционная решетка
383
рировать друг с другом. Если на дифракционную решетку перпен-
перпендикулярно к ней падает пучок параллельных лучей света, то под
углом дифракции ср (п. 2°) на экране Э, расположенном в фокаль-
фокальной плоскости линзы, будет наблюдаться система дифракционных
максимумов и минимумов, полученная в результате интерференции
света от различных щелей.
5°. Главные максимумы при дифракции на решетке наблюдают-
наблюдаются под углами ф, удовлетворяющими условию
d sin<p = я А,
где п = 0, 1, 2, 3 называется порядком главного максимума. Ве-
Величина 8 = DK = d sin cp является оптической разностью хода меж-
между сходственными лучами ВЫ и DN, идущими от соседних щелей
(рис. V.2.13).
Главные минимумы на дифракционной решетке наблюдаются
под такими углами ср дифракции, для которых свет от разных частей
каждой щели полностью гасится в результате интерференции. Усло-
Условие главных минимумов совпадает с
условием ослабления на одной щели
(п. 2°)
Ьшкр = тХ (т — 1, 2, 3, ...).
6°. При наблюдении дифракции на
щели в не монохроматическом свете
все главные максимумы, кроме цен-
центрального нулевого максимума, окра-
окрашены. С увеличением длины волны
главные максимумы внутри данного
порядка располагаются под большими
\ \В\ \ \С\ W \ \ \
Рис. V.2.13
углами от центрального. Радужная полоска, содержащая семь цве-
цветов — от фиолетового до красного (считается от центрального мак-
максимума), называется дифракционным спектром (ср. V.2.6.20). Ди-
Дифракционная решетка является одним из простейших достаточно
точных устройств для измерения длин волн.
Задача 1. На плоскую щель шириною 0.01000 мм перпендику-
перпендикулярно к щели падает пучок лучей монохроматического света, длина
волны которого 5890 А. Найти углы, под которыми будут на экране
располагаться три первых дифракционных минимума.

384 Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
Дано: Ъ = 0.01000мм = 1.000 • 10м, Я = 5890А =
- 5.890-10~7м.
Найти: ср\, д>2, </>з-
Решение: Условие минимума освещенности при дифракции на
плоской щели: Ъ sin <р = 2т(Х/2) = тА, где т — порядок минимума.
Для первого порядка т = 1, отсюда
Я 5 890 10~~7
sincpi = -, sincjo, = 1000()_5 = 0.0589, щ = 3°23'.
Для второго порядка
Для третьего порядка
Задача 2. На дифракционную решетку, имеющую 600 штрихов
на 1 мм, нормально падает свет от газоразрядной трубки. Дифрак-
Дифракционный спектр рассматривается через зрительную трубу, устано-
установленную на лимбе. Красная линия в спектре первого порядка видна
под углом 23°, зеленая — под углом 19°8'. Определить длины волн
этих линий.
Дано: N = 600 мм, щ = 23°, q>2 = 19°8'.
Найти: Х\9 Хг-
Решение: Условие максимума освещенности при дифракции на
решетке: (а + Ь) жкр — 2я(А/2) = пХ, где а + Ъ = X/N — период
решетки, п — порядок дифракционного спектра. Тогда
Х\ = $тср\ • —, Х\ = (sin23°) • —— мм = 6.5 • 10~4мм,
iV Ov/v/
Ai = 6.5 • 103А,
Я2 = (sin 19°8;) • J- мм = 5.46 • 10~4 мм, Я2 = 5.46 • 103 А.
600

2.5. Поляризация света
385
2.5. Поляризация света
1°. Поляризацией света называется совокупность явлений
волновой оптики (V.2.1.10), в которых проявляется поперечность
электромагнитных световых волн (IV.4.2.40). Электромагнитная
световая волна называется плоскополя-
ризованной {линейно поляризованной),
если направления колебаний векторов Е
и В в этой волне строго фиксированы
и лежат в определенных плоскостях. На
рис. V.2.14 показаны плоскости А и С, в
которых происходят колебания векторов
Е и В в плоскополяризованной волне,
распространяющейся со скоростью v в
Рис. V.2.14
однородной изотропной среде. Плоскополяризованная (линейно по-
поляризованная) световая волна называется плоскополяризованным
{линейно поляризованным) светом.
2°. Электромагнитная световая волна называется естественной
{неполяризованной), если направления колебаний векторов Е и В
в этой волне могут лежать в любых плоскостях, перпендикулярных
к вектору скорости распространения волны. Рис. V.2.15 иллюстри-
иллюстрирует возможные направления колебаний вектора Е в естественном
Е
Е/
АЕ
Рис. V.2.15 Рис. V.2.16
неполяризованном свете. Колебания могут происходить по любому
из направлений, показанных на рис. V.2.15. Направления колебаний
вектора В всегда перпендикулярны к направлению колебаний век-
вектора Е и на рис. V.2.15 не показаны. Иными словами, естественным,
неполяризованным светом называются световые волны, у которых
направления колебаний векторов Е и В хаотически меняются так,
что равновероятны все направления колебаний в плоскостях, пер-
перпендикулярных к лучу.

386
Отдел V. Гл. 2. Волновая оптика (световые волны)
3°. Устройства, которые служат для преобразования естествен-
естественного света в поляризованный свет, называются поляризаторами.
Простейшим поляризатором является кристалл турмалина, обла-
обладающий способностью пропускать световые волны с колебаниями
вектора Е (и соответственно В), лежащими в одной определенной
плоскости. На рис. V.2.16 показано, что если
естественный свет падает на пластинку крис-
v талла турмалина, вырезанную так, чтобы од-
на из ее сторон совпала с осью кристалла, то
турмалин пропускает лишь световую волну,
у которой вектор Е колеблется в определен-
определенной плоскости Р.
4°. Убедиться в том, что свет, прошедший
через кристалл турмалина, оказывается пло-
скополяризованным, можно с помощью вто-
второго кристалла турмалина, играющего роль
анализатора — устройства, с помощью ко-
которого можно обнаружить положение плос-
плоскости, в которой происходят колебания век-
вектора Е в линейно поляризованном свете.
На рис. V2.ll показано, что при пропус-
пропускании света через два последовательно расположенных кристалла
турмалина свет полностью проходит через оба кристалла при парал-
параллельно расположенных осях кристаллов и постепенно гасится, если
угол между осями приближается к 90°. Если оба кристалла распола-
располагаются так, что оси их перпендикулярны одна другой (рис. V.2.17, в),
то свет полностью гасится в анализаторе.
Рис. V.2.17
2.6. Дисперсия света
1°. Дисперсией света называется явление зависимости абсо-
абсолютного показателя преломления вещества п (V.1.2.10) от частоты
v падающего на вещество света (или от длины волны в вакууме
Яо = c/v, где с — скорость света в вакууме):

2.6. Дисперсия света
387
Из определения п = c/v следует, что дисперсия света может
определяться как явление зависимости скорости распространения
световой волны в веществе от ее частоты:
п=\
Дисперсия света называется нормальной в случае, если по-
показатель преломления монотонно возрастает с увеличением час-
частоты (убывает С увеличением ДЛИ- П | Нормальная
ны волны); в противном случае дис-
дисперсия называется аномальной. На
рис. V.2.18 показана функция п = f(v)
для нормальной и аномальной дис-
дисперсии.
2°. Зависимость абсолютного по-
показателя преломления от частоты
света экспериментально обнаруже-
Рис. V.2.18
на в серии опытов Ньютона. Он показал, что при прохожде-
прохождении через призму немонохроматического белого света на экра-
экране, установленном позади призмы, наблюдается видимая радуж-
радужная полоска M/V, состоящая из семи цветов, которая называет-
называется призматическим или дисперсионным спектром (рис. V.2.19).
'Л Луч белого света
' i
красный
Рис. V.2.19
Таким образом, дисперсия света приводит к разложению белого,
немонохроматического света на монохроматические составляющие,
каждая из которых имеет определенную частоту (или длину волны)
(спектральное разложение белого света).
Дисперсионный спектр видимого света занимает на шкале элек-
электромагнитных волн участок от Я = 7.5 • 10~5см {красное излуче-
излучение) до 3.9 • 10~5 см {фиолетовое излучение).

388 Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
3°. Явления дисперсии света, так же как и явления интерферен-
интерференции и дифракции в немонохроматическом свете, доказывают, что
монохроматическая электромагнитная волна с определенной часто-
частотой (или длиной волны в вакууме), принадлежащая к диапазону ви-
видимых световых волн (IV. 4.1.1°), создает в глазу с помощью колбо-
колбочек (V. 1.7.3°) восприятие определенного света. Строго монохрома-
монохроматический свет принципиально существовать не может. Это связано
с процессами испускания света.
Глава 3
Излучение и спектры
3.1. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело
1°. Все тела излучают электромагнитные волны AУ.4.4.1°)за
счет преобразования энергии хаотического, теплового движения
частиц тела в энергию излучения. Тепловым {температурным)
равновесным излучением называются электромагнитные волны,
которые излучаются телом — источником теплового излуче-
излучения, — находящимся в состоянии термодинамического равнове-
равновесия A1.3.1.3°). Тепловое равновесное излучение создается ис-
источником при постоянной его температу-
температуре. Равновесное тепловое излучение осу-
осуществляется, если источник этого излуче-
излучения S находится внутри замкнутой поло-
полости а с непрозрачными стенками, темпера-
температура которых равна температуре источника
(рис. V.3.1). Интенсивность электромагнит-
электромагнитных волн (IV.4.3.20), испускаемых источни-
Рис. V.3.1 ком? будет равна энергии, которая поглоща-
поглощается стенками полости за единичный промежуток времени (п. 3°).
Между полем излучения (IV.4.4.10) и стенками будет существовать
термодинамическое равновесие. Источником равновесного теплово-
теплового излучения является Солнце, у которого постоянная температу-
температура поддерживается выделением энергии при термоядерных реак-
реакциях (VL4.15.1°).

3.1. Тепловое излучение. Абсолютно черное тело
389
Тепловое неравновесное излучение происходит, когда источ-
источник излучения нагревают. Например, в лампах накаливания в энер-
энергию электромагнитных волн преобразуется малая часть количест-
количества теплоты, выделяющегося при пропускании электрического тока
A11.2.7.4°).
2°. Лучеиспускательной способностью {спектральной плот-
плотностью энергетической светимости) тела Evj называется физи-
физическая величина, определяемая энергией теплового излучения дан-
данной частоты у, которая испускается при температуре Т единичной
площадью поверхности тела за единичный промежуток времени. Лу-
Лучеиспускательная способность тела Evj показывает, какую долю со-
составляет тепловое излучение данной частоты у в общем тепловом
излучении источника. Помимо частоты у и температуры Т, величи-
величина Evj зависит от материала тела и состояния его поверхности.
3°. Поглощательной способностью {спектральной поглоща-
тельной способностью) тела Avj называется физическая величи-
величина, которая показывает, какая часть энергии электромагнитной вол-
волны данной частоты у, падающей за единичный промежуток времени
на единичную площадь поверхности тела, поглощается этим телом.
Кроме частоты у и термодинамической температуры, Avj зависит
от материала тела и состояния его поверхности.
4°. Абсолютно черным {черным) называется такое тело, кото-
которое при любой температуре, независимо от материала тела и состоя-
состояния его поверхности, полностью поглощает электромагнитные вол-
волны любых частот у, т.е. все лучи, падающие на
тело: Al ?чсрн — 1. К абсолютно черному телу
по своим свойствам близки: сажа, черный бар-
бархат, платиновая чернь. По своим оптическим
свойствам Солнце близко к абсолютно черно-
черному телу.
Моделью абсолютно черного тела является
небольшое отверстие О в непрозрачной стен-
стенке ящика В (рис. V.3.2). Луч, попавший через
отверстие внутрь ящика, после многократных
отражений от внутренних стенок практически полностью поглоща-
поглощается, независимо от материала стенок, — отверстие в стенке кажет-
кажется черным.
5°. Закон Кирхгофа для теплового излучения: для произволь-
произвольных частоты у и температуры Т отношение лучеиспускательной
В

390 Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
способности Evj любого непрозрачного тела к его поглощатель-
ной способности Avj одно и то же. Оно равно лучеиспускательной
способности evj абсолютно черного тела:
Значение evj зависит только от частоты и температуры абсолютно
черного тела. Из закона Кирхгофа вытекает прямая пропорциональ-
пропорциональность между Evj и Avj для любого непрозрачного тела. Если при
данной температуре Т тело не поглощает некоторой частоты v, то
оно не может и испускать равновесного излучения этой же частоты
(при Avj = 0 и Evj = 0).
Значение закона Кирхгофа состоит в том, что он позволяет по
известной для данного тела величине Avj выразить лучеиспуска-
лучеиспускательную способность Evj любого непрозрачного тела через луче-
лучеиспускательную способность evj абсолютно черного тела.
3.2. Распределение энергии
в спектре абсолютно черного тела
1°. Абсолютно черное тело состоит из громадного количест-
количества атомов; каждый из них по своей способности излучать элек-
электромагнитные волны подобен миниатюрному вибратору — дипо-
диполю (IV.4.4.5°-7°). Каждый атом-вибратор колеблется со многими
частотами и излучает энергию соответствующих частот. Поэтому
абсолютно черное тело излучает элекромагнитные волны всевоз-
всевозможных частот. Зависимость лучеиспускательной способности evj
абсолютно черного тела от частоты v излучения при постоянной
температуре Т называется кривой распределения энергии в спек-
спектре абсолютно черного тела. Эта зависимость ехкт = f(v) имеет
характер непрерывной кривой. Кривая, полученная опытным путем,
изображены на рис. V.3.3 сплошной линией. На рис. V.3.4 изобра-
изображены кривые зависимости evj от v при различных температурах.
Из этих кривых видно, что с повышением температуры наибольшая
мощность, излучаемая единичной площадью поверхности абсолют-
абсолютно черного тела, приходится на все большие частоты
VmA > Vm > Vmi > Vf)ll .

3.2. Спектр абсолютно черного тела
391
2°. Теоретическое изучение вида кривой evj = f{y) при
Т = const сыграло выдающуюся роль в развитии физики. Вид
этой кривой, полученной в физике к концу XIX века, изображен
на рис. V.3.3 штриховой линией. Видно, что теоретическая кривая
существенно отличается от экспериментальной. На долю больших
частот в опытной кривой приходится весьма малая величина evj
(точка N на кривой рис. V.3.3).
' Теоретически
i М
I /\ Из опыта
Рис. V.3.3
Рис. V.3.4
Теоретическая кривая evj = /(у) при Т = const не имеет макси-
максимума (точка М на опытной кривой) и зависит от частоты по закону
EvJ = CV2,
где С — некоторая функция. Неограниченное возрастание evj с уве-
увеличением частоты v противоречит не только экспериментальной
кривой, но и закону сохранения энергии. Абсолютно черное тело,
обладающее при некоторой постоянной температуре определенным,
конечным запасом внутренней энергии, должно было бы испускать с
единичной площади неограниченно большую мощность излучения:
evj —> оо при у —> оо. Этот вывод получил название «ультрафио-
«ультрафиолетовой катастрофы». Смысл названия в том, что «катастрофа» —
кажущееся нарушение закона сохранения энергии — соответствует
весьма большим, «ультрафиолетовым» частотам1.
3°. Причина трудностей, возникающих в теории теплового из-
излучения абсолютно черного тела, была связана с одним из основ-
1 Условность этого названия очевидна. В действительности частоты (и длины
волн) ультрафиолетового излучения конечны и занимают определенный интервал на
шкале электромагнитных волн (V.3.7.10). В названии «катастрофы» подчеркивается,
что она соответствует весьма большим частотам v, неограниченно возрастающим.

392 Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
ных положений физики, выработанных в результате длительного
ее развития. Это положение состоит в том, что энергия любо-
любого тела (или системы) может изменять-
изменяться непрерывно, т.е. может принимать лю-
° бые, как угодно близкие друг другу значе-
—2/zv0 ния. Энергия Е системы представляет со-
собой совокупность непрерывных возмож-
. ° ных значений.
® 0 Согласно гипотезе Планка, энергия
атома-вибратора (п. 1°) абсолютно черно-
Рис V3 5
го тела может изменяться лишь опреде-
определенными порциями (квантами), кратными некоторой энергии е, т.е.
может принимать значения ?, 2е, Зе, ..., пе. Величина элементар-
элементарной порции энергии е называется квантом энергии:
е = hv,
где у — частота колебаний атома-вибратора, h —универсальная по-
постоянная Планка {квант действия), h = 6.625 • 10~34Джс. На-
Название h связано с размерностью этой величины. Физическая вели-
величина, имеющая размерность произведения энергии на время, назы-
называется действием2.
4°. Из гипотезы Планка следует, что колеблющийся с частотой vq
атом-вибратор абсолютно черного тела может иметь лишь те зна-
значения энергии, которые указаны на рис. V.3.5.
По гипотезе Планка, энергия электромагнитных волн может из-
излучаться и поглощаться отдельными квантами, целыми кратными
величине hv. Последовательное развитие гипотезы Планка привело
к созданию представлений о квантовых свойствах света (V.5.1.L0).
3.3. Люминесценция
1°. Помимо теплового излучения (V.3.1.10) у тел при той же тем-
температуре может существовать другой вид излучения, избыточного
над тепловым, — люминесценция*, которая не связана с переходом
Значение постоянной Планка получено из законов излучения абсолютно черного
тела, которые не рассматриваются в элементарной физике (см. также V.5.3.40).
3От латинского слова «luminis» — свет.

3.3. Люминесценция 393
энергии теплового движения молекул в энергию электромагнитных
волн. Явление люминесценции состоит в излучении света источни-
источниками за счет поступления к ним энергии в результате различных
процессов.
2°. Катодолюминесценцией называется свечение тел, вызван-
вызванное бомбардировкой вещества электронами или другими заряжен-
заряженными частицами (например, ионами).
Электролюминесценция вызывается пропусканием через ве-
вещество электрического тока или действием электрического по-
поля. В этих видах люминесценции кинетическая энергия заряжен-
заряженных частиц или энергия электрического поля частично передает-
передается атомам (молекулам) вещества, которые излучают электромаг-
электромагнитные волны.
Свечение газового разряда A11.3.5.2°) в трубках для рекламных
надписей является примером этих видов люминесценции. Потоки
заряженных частиц от Солнца вызывают видимое с Земли свечение
атомов газов, находящихся в верхних слоях атмосферы.
Некоторые химические реакции в веществе, которые сопровож-
сопровождаются выделением энергии, являются причиной свечения, назы-
называемого хемилюминесценцией. Свечение многих живых организ-
организмов: бактерий, насекомых, рыб — происходит за счет химических
реакций.
Фотолюминесценцией называется свечение тел под действием
облучения их видимым, ультрафиолетовым светом, рентгеновским
(V.3.6.10) или гамма-излучением (VI.4.4.20). В этом случае энер-
энергия падающего на вещество излучения частично превращается в
собственное излучение самого вещества. В люминесцентных источ-
источниках света — лампах дневного света внутренние поверхности
разрядной трубки покрываются люминофорами — веществами, ко-
которые под действием ультрафиолетового или другого коротковолно-
коротковолнового излучения с большой частотой начинают испускать видимый
свет меньшей частоты.
3°. Причина всех люминесцентных явлений состоит в том, что
центры люминесценции — атомы, молекулы или ионы вещества,
являющегося источником люминесцентного свечения, — переводят-
переводятся в возбужденные состояния (VI.2.5.30) за счет энергии, доставля-
доставляемой посторонним источником, вызывающим явление люминесцен-
люминесценции. Переход возбужденных центров люминесценции в нормальные

394 Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
или менее возбужденные состояния (VI.2.4.30) сопровождается ис-
испусканием света, который является люминесцентным свечением са-
самого вещества.
3.4. Типы спектров
1°. Совокупность частот (или длин волн), которые содержатся
в излучении какого-либо вещества, называется спектром испуска-
испускания {эмиссионным спектром) этого вещества. Совокупность час-
частот (или длин волн), поглощаемых данным веществом, называется
его спектром поглощения {абсорбционным* спектром).
2°. Светящиеся газы (разреженные) в атомарном состоянии соз-
создают линейчатые спектры испускания, состоящие из отдельных
узких спектральных линий. Спектральные линии имеют опреде-
определенную интенсивность (IV.4.3.20) и отделены одна от другой тем-
темными промежутками. Изолированные атомы данного химического
элемента излучают вполне определенную, присущую только этому
химическому элементу, совокупность спектральных линий. Напри-
Например, светящиеся пары атома натрия в вакууме имеют в своем спек-
спектре среди других линий две яркие желтые линии с длинами волн
5896 А и5890А(УИ.3.2°).
3°. Излучающие молекулы создают полосатые спектры испус-
испускания, в которых множество тесно расположенных спектральных
линий образует группы — полосы, разделенные темными промежут-
промежутками. Происхождение полосатых спектров молекул см. VI.3.4.40.
4°. Раскаленные твердые тела и светящиеся жидкости создают
непрерывные (сплошные) спектры испускания, представляющие
собой непрерывную последовательность частот (или длин волн),
плавно переходящих друг в друга. Примером непрерывного спектра
является спектр испускания абсолютно черного тела (V.3.2.10) с не-
непрерывным распределением энергии в нем (рис. V.3.3). Непрерыв-
Непрерывный спектр создает светящаяся поверхность Солнца — фотосфера.
5°. Обращение спектральных линий испускания и поглощения:
атомы данного химического элемента поглощают те спектральные
линии (точнее, частоты), которые они сами испускают. Газовая обо-
оболочка, окружающая Солнце, — хромосфера и земная атмосфера
От латинского слова «absorptio» — поглощение.

3.5. Инфракрасное и ультрафиолетовое излучения 395
поглощают ряд линий в непрерывном спектре излучения Солнца, и
в сплошном спектре Солнца наблюдаются многочисленные темные
фраунгоферовы линии5.
6°. Спектральным анализом называется изучение химическо-
химического состава и концентрации атомов (и молекул), входящих в состав
вещества, по его спектру. Для определения концентраций в коли-
количественном спектральном анализе рассматриваются не только
положения спектральных линий и полос (их частоты или длины
волн), но и их интенсивности (IV.4.3.20).
Методами количественного спектрального анализа удается опре-
определять весьма малые количества данного элемента в составе слож-
сложного вещества (порядка 103 кг). Так исследуется химический сос-
состав Солнца и звезд.
3.5. Инфракрасное и ультрафиолетовое излучения
1°. Излучение, которое обнаруживается непосредственно за
красной частью призматического спектра (V.2.6.20), называется
инфракрасным излучением. Инфракрасное излучение с длинами
волн Я > 7.5 • 10~5см заполняет на шкале электромагнитных
волн (V.3.7.10) промежуток между ультракороткими радиоволнами
(IV.4.5.10) с длинами волн Я = 1 -т-2 мм и видимым светом (V.2.6.20).
Источниками инфракрасного излучения являются все нагретые тела.
2°. Любое поглощаемое излучение в той или иной степени нагре-
нагревает тела. Однако инфракрасное излучение обнаруживается только
по его тепловому действию — нагреванию тел, которые его погло-
поглощают. Все отопительные устройства являются источниками инфра-
инфракрасных волн и нагревают тела, поглощающие эти волны.
Инфракрасное излучение оказывает действие на специальные
чувствительные к нему фотопластинки. На этом основано фотогра-
фотографирование (V.5.6.20) в инфракрасном излучении, возможное в лю-
любое время суток.
3°. Излучение, которое обнаруживается непосредственно за фио-
фиолетовой частью призматического спектра (V.2.6.20), называется уль-
ультрафиолетовым излучением. Ультрафиолетовое излучение с дли-
5По фамилии Фраунгофера, обнаружившего эти линии.

396 Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
нами волн Я < 3.9-10~5 см занимает место на шкале электромагнит-
электромагнитных волн (V.3.7.10) между фиолетовым излучением с длинами волн
Я = 3.9 • 10~5см и рентгеновским излучением (V.3.6.10) с длинами
волн Я « 8 • 10~6см.
4°. Невидимое глазом ультрафиолетовое излучение обнаружи-
обнаруживается по его активному химическому и биологическому действию.
От разрушительного действия ультрафиолетового излучения на сет-
сетчатку глаза (V. 1.7.3°) предохраняют специальные защитные очки,
поглощающие или отражающие ультрафиолетовое излучение. Раз-
Различные дозы (VIA 14.1°) ультрафиолета, действуя на ткани кожи,
приводят к образованию защитного пигмента — загара, витамина
D2, оказывают бактерицидное действие — убивают болезнетворные
бактерии.
Все особенности действия ультрафиолетового излучения объяс-
объясняются тем, что энергии его квантов hv (V.3.2.40) больше энергии
квантов видимого света.
3.6. Рентгеновское излучение
1°. Рентгеновским излучением называется электромагнитные
волны с длиной волны более короткой, чем у ультрафиолетового
излучения (V.3.5.30). Рентгеновское излучение занимает на шкале
электромагнитных волн (V.3.7.10) обширный участок длин волн: от
8-10~6 см до 10~10см. Рентгеновское излучение возникает в резуль-
результате преобразования кинетической энергии быстрых электронов в
энергию электромагнитных волн.
2°. Различается два вида рентгеновского излучения: белое рент-
рентгеновское (тормозное) и характеристическое.
Белое рентгеновское (тормозное) излучение возникает при
торможении быстрых электронов при их движении в веществе, в
частности в металлах. Согласно IV.4.4.30, при торможении элек-
электрического заряда он излучает электромагнитные волны. Тормоз-
Тормозное излучение электронов имеет сплошной непрерывный спектр
(V.3.4.40) {рентгеновский сплошной спектр). Этот спектр име-
имеет существенные отличия от непрерывных спектров излучения, со-
создаваемых твердыми телами или жидкостями. Во-первых, он рас-
расположен в далекой коротковолновой области; во-вторых, рентге-

3.6. Рентгеновское излучение
397
50кВ
новский сплошной спектр ограничен со стороны малых длин волн
некоторой границей Ямин, которая называется границей сплош-
сплошного рентгеновского спектра. На рис. V.3.6 приведены типич-
типичные кривые распределения интенсив-
интенсивности рентгеновских лучей по длинам
волн при различных разностях потен-
потенциалов между электродами рентгенов-
рентгеновской трубки (п. 4°). Существование
Амин можно объяснить на основе кван-
квантовых представлений о природе света
(V.5.1.20). Максимальная энергия hvMaKC
кванта рентгеновского излучения, воз-
возникшего за счет энергии электрона ?,
не может превышать этой энергии, т. е.
? =
= hvM
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Длина волны 10 см
Рис. V.3.6
где Афо — разность потенциалов, за
счет которой электрону сообщена энергия ? A11.1.8.5°), е — модуль
заряда электрона. Если от частоты умакс перейти к длине волны, то
_ с _ с • h _ ch
умакс е • Ащ ?
Экспериментальной проверкой справедливости этой формулы явля-
является вычисление из ее постоянной Планка h (V.3.2.30). Значение h,
полученное этим методом, является одним из наиболее точных и
достоверных.
3°. Характеристическое рентгеновское излучение имеет ли-
линейчатый спектр (V.3.4.20). Такое название оно получило потому,
что частоты линий спектра в этом излучении являются характерны-
характерными для каждого вещества, в котором тормозятся быстрые электро-
электроны. Характеристическое излучение возникает в результате того, что
внешний быстрый электрон, тормозящийся в веществе, вырывает из
атома вещества электрон, расположенный на одном из внутренних
электронных слоев (VI.2.8.60). На освободившееся место перехо-
переходит другой электрон атома из более удаленного от ядра слоя. Это
приводит к возникновению рентгеновского фотона (V.5.1.20) с опре-
определенной частотой у, характерной для данного атома с зарядом ядра

398
Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
Ze (VI.2.1.10). На рис. V.3.7 показано образование рентгеновского
фотона при выбивании электрона из А^-слоя атома и переходе на
освободившееся место электрона из L-слоя.
4°. Рентгеновской трубкой называется устройство для полу-
получения рентгеновского излучения. На рис. V.3.8 изображена схема
устройства электронной рентгеновской трубки. Раскаленная вольф-
вольфрамовая спираль К, накаливаемая особой батареей или особым
трансформатором накала, является источником электронов. Поток
электронов ускоряется в сильном электрическом поле, обеспечен-
обеспеченном источником высокого напряжения между анодом и катодом.
Ускоренный поток электронов тормозится в веществе анода Л и
вызывает появление рентгеновского излучения6.
Электрон
Рис. V.3.7
Рентгеновские фотоны
Рис. V.3.8
5°. Малая длина волны рентгеновского излучения, его большая
жесткость является причиной, обусловливающей основные свой-
свойства рентгеновского излучения: высокую проникающую способ-
способность, действие на фотопластинки, способность вызывать иониза-
ионизацию в веществах, сквозь которые эти лучи проходят.
Поглощение рентгеновского излучения, сопровождающееся пе-
переходом его энергии во внутреннюю энергию A1.4.1.2°) вещест-
вещества, сильно зависит от атомного номера вещества (пропорцио-
(пропорционально Z4). Различное поглощение рентгеновского излучения при
прохождении сквозь неоднородные вещества находит применение в
медицине, науке и технике. При просвечивании человеческого тела
поглощение в костях, состоящих главным образом из фосфорно-
фосфорнокислого кальция, приблизительно в 150 раз больше, чем поглоще-
поглощение в мягких тканях тела, где поглощает в основном вода. При про-
6В мощных рентгеновских трубках анод (антикатод) охлаждается для предохра-
предохранения от перегрева при торможении электронов.

3.6. Рентгеновское излучение 399
свечивании резко выделяется тень от костей. На принципе различ-
различного поглощения рентгеновского излучения веществами с различ-
различными плотностями основана в медицине рентгенодиагностика —
распознавание различных новообразований в организме. В основе
рентгенотерапии лежит возможность разрушения рентгеновски-
рентгеновскими фотонами тех или иных новообразований. Рентгеновская де-
дефектоскопия основана на зависимости поглощения рентгеновского
излучения от атомного номера Z в оптически непрозрачных твердых
телах. Различные дефектные включения в теле (например, примеси
и т.д.) при просвечивании тела обнаруживаются на экране. Если
Z\ > Z2, где Z\ — атомные номера дефектов, Z2 — атомный номер
вещества тела, то область, занятая дефектами, на экране будет бо-
более светлой, чем остальное поле зрения. В противоположном случае
{7.2 < Z\) дефектная область будет более затемненной.
Рис. V.3.9 Рис. V.3.10
6°. Условие наблюдения дифракции (V.2.3.10) выполняется для
рентгеновского излучения при дифракции на кристаллических
решетках твердых тел, ибо периоды кристаллических решеток
A1.1.6.5°) соизмеримы с длинами волн рентгеновских лучей (ди-
(дифракция на кристаллических структурах). При дифракции рент-
рентгеновского излучения на монокристаллах A1.1.6.4°) дифракционная
картина имеет вид отдельных пятен, правильно расположенных во-
вокруг центрального пятна (рис. V.3.9). При дифракции на поликри-
поликристаллах A1.1.6.4°) дифракционная картина имеет вид симметрично
расположенных концентрических колец (рис. V.3.10). С помощью
изучения расположения дифракционных пятен и колец осуществля-
осуществляется рентгеноструктурный анализ кристаллов — изучение стро-
строения кристаллических решеток твердых тел.

400
Отдел V. Гл. 3. Излучение и спектры
3.7. Шкала электромагнитных волн
1°. На рис. V.3.11 в логарифмическом масштабе изображена шка-
шкала электромагнитных волн — непрерывная последовательность
частот и длин волн электромагнитных излучений, представляющих
собой распространяющееся в пространстве переменное электромаг-
электромагнитное поле (IV.4.1.10).
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Радиоволны
I I Т Г
I
4 3 2 10-1-2-3 -4 -5 -6 -7 -8 -9-10-11-12
\%k(k В М)
Рис. V.3.11
2. На шкале электромагнитных волн границы по частотам v
(или длинам волн в вакууме Ао = c/v) между различными
видами электромагнитного излучения весьма условны — после-
последовательные участки шкалы непрерывно переходят друг в дру-
друга. Электромагнитные излучения, частоты которых отличаются
на много порядков (например, радиоволны и рентгеновское из-
излучение), имеют качественно различные свойства. Эти различия
определяются общей закономерностью шкалы электромагнитных
волн: по мере перехода от более длинных волн (малых частот)
к более коротким (большим частотам) волновые свойства све-
света (интерференция, дифракция, поляризация) проявляются сла-
слабее, а квантовые свойства света (V.5.1.10), в которых решающую
роль играет значение кванта энергии hv (V.3.2.30), проявляются
сильнее.
3°. Электромагнитная природа световых волн на шкале
рис. V.3.11 находит свое выражение в том, что видимый свет за-
занимает вполне определенный, хотя и узкий участок этой шкалы.

4.1. Электродинамика и механическая относительность
401
Глава 4
Основы специальной теории относительности
4.1. Законы электродинамики и механический
принцип относительности
1°. Скорость с света в вакууме в соответствии с классическим
законом сложения скоростей A.2.7.2°) должна быть различной в
разных инерциальных системах отсчета A.2.1.3°), изображенных
Световая волна
С
Прибор
ic'=c-v?\
X ,.'
+'У' б
х'
Рис. V.4.1
на рис. V.4.I. Если в системе xyz, связанной с источником света, она
равна с (рис. V.4.1, а), то в системе x'y'z1, движущейся относительно
xvz, как указано на рис. V.4.1,6, скорость света в вакууме должна

402 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
быть с1 = с — v. Соответственно в системах x"y"z" и x"fy'"z"',
движущихся относительно xyz так, как показано на рис. V.4.1,<? и
У.4.1,г, скорость света в вакууме должна была бы быть равной
2°. Вывод о возможности различных значений скорости света в
вакууме в разных интерциальных системах отсчета означает, что в
электродинамике должно нарушаться важнейшее положение меха-
механики Ньютона — механический принцип относительности Галилея-
Ньютона A.2.7.5°). Другое предположение о том, что механический
принцип относительности имеет универсальную применимость, но
неверной является вся система законов электродинамики и опти-
оптики1, находится в резком противоречии с огромным числом опытов,
получивших свое объяснение на основе этих законов.
3°. Большое число опытов, поставленных с очень высокой точно-
точностью, имевших целью обнаружить зависимость скорости света с от
движения системы отсчета по отношению к источнику, дали отри-
отрицательный результат. Во всех инерциальных системах отсчета, неза-
независимо от скорости их движения, скорость света с оказалась одной
и той же и равной этой скорости в системе отсчета, связанной с
источником (п. 1°):
с' = с" = с"' = с.
4.2. Постулаты специальной теории относительности
1°. Специальная (частная2) теория относительности (СТО),
иначе называемая релятивистской теорией^, основывается на
двух постулатах.
Первый постулат — принцип относительности: в любых инер-
инерциальных системах отсчета все физические явления (механические,
электромагнитные и др.) при одних и тех же условиях протекают
Сведения об этих законах приведены в отделах IV и V данного справочного
руководства.
2Помимо специальной (частной) теории относительности Эйнштейном создана
общая теория относительности, сведения о которой далеко выходят за рамки эле-
элементарного курса физики и данного справочного руководства.
3От латинского слова «relativus» — относительный.

4.2. Постулаты специальной теории относительности 403
одинаково. С помощью любых опытов, проведенных в замкнутой
системе тел, нельзя обнаружить, покоится эта система или движет-
движется равномерно и прямолинейно.
Принцип относительности является обобщением механического
принципа относительности на все явления физики, в частности на
электромагнитные.
Второй постулат — принцип постоянства скорости света: во
всех инерциальных системах отсчета скорость света в вакууме одна
и та же и не зависит от скорости движения источника света.
По первому постулату СТО законы электродинамики и оптики
справедливы во всех инерциальных системах отсчета. Поэтому все
опыты, ставившиеся с целью обнаружить влияние движения Земли
по орбите на закономерности электромагнитных явлений, постоян-
постоянно приводили к отрицательному результату.
2°. Постулаты СТО находятся в очевидном противоречии с те-
теми представлениями о пространстве и времени, которые сложи-
сложились в механике Ньютона. Это видно из примера, приведенного на
рис. V.4.2. Инерциальная система отсчета К'{х\ yf, zf) с центром О',
совпадающим при t = 0 с центром О системы К (x,y,z), движет-
движется относительно неподвижной системы
К, как показано на рисунке. При / = 0
в центре О в точечном источнике све-
света (V. 1.6.3°) произошла вспышка света.
К моменту t > 0 сферический фронт
волны (IV.3.1.50) достигнет в системе К \ \/^\?\]„ } х,х'
сферы А с радиусом г = ct. Но с тем
же правом можно считать, что вспышка
произошла в источнике в точке О1 систе-
системы К', когда точки О и О1 совпадали. По Рис. V.4.2
второму постулату световая волна должна распространяться отно-
относительно системы К1 точно так же, как относительно системы К, ибо
скорость света с не зависит от скорости v движения источника —
точки О'. По первому постулату системы К и К1 совершенно равно-
равноправны и в движущейся системе К' свет должен распространяться
так же, как и в неподвижной системе. Следовательно, ко времени /
фронт волны, испущенной из точки О1, должен быть сферой того
же радиуса ct с центром в точке О'. Но центр О' этой сферы за вре-
время / удалится от центра О системы К на расстояние vt. Возникает

404 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
ситуация, противоречащая здравому смыслу: за время / сфериче-
сферическая волна достигает сферы определенного радиуса г = с/, центр
которой одновременно находится в двух различных точках О и О'.
4.3. Понятие о длине тела
1°. Смысл противоречия, отмеченного в V.4.2.20, Эйнштейн
усмотрел в ограниченности представлений о свойствах пространст-
пространства и времени в механике Ньютона, которые считались «само собой
разумеющимися». В СТО эти представления подвергнуты серьезно-
серьезному пересмотру.
При использовании в физике двух основных понятий — дли-
длины и времени — указываются способы однозначного измерения
длины и промежутков времени. Измерение длины /о стержня про-
производится сравнением ее с длиной эталонного тела, которая, по
определению, считается равной единице длины. Этот способ
измерения длины легко осуществляется, если стержень и масштаб-
масштабная линейка неподвижны в системе К, где проводится измере-
измерение. Если измерение длины производится в системе отсчета К\
движущейся вместе с масштабной линейкой, явля-
являющейся эталоном длины в этой системе, то длина стержня lf0 будет
совпадать с /о: /q = /о- Если бы это было не так, если бы, например,
оказалось, что 1'0 > /о, то в силу равноправности систем К и К',
можно было бы считать, что система К' неподвижна, а система К
движется относительно К' со скоростью v. Тогда, в силу сделанного
выше предположения, оказалось бы, что /о > l'Q. Два неравенства
/q > /о и /о > 1'0 противоречивы, и, следовательно, 1'0 = /о.
к
х{ х2
Рис. V.4.3
2°. Длину стержня, движущегося вместе с системой отсчета К'
и расположенного вдоль оси ОУ (рис. V.4.3), можно измерить мас-
масштабной линейкой, находящейся в неподвижной системе К. Для

4.4. Одновременность событий. Синхронизация часов 405
этого координаты х\ и хг начала М и конца N движущегося стерж-
стержня надо измерить в произвольный, но один и тот же момент
времени (V.4.4.20). Длина стержня будет / = хг — х\ (рис. V.4.3).
В движущейся системе К' координаты концов стержня будут соот-
соответственно jc 1 и л:2 и длина стержня, неподвижного в системе К',
будет /0 =х'2 -х\.
В механике Ньютона из преобразований Галилея A.2.7.1°) сле-
следует, что х'2 — х\ = Х2 — х\ и поэтому / = /о. В СТО этот вопрос
решается иначе (V.4.7.20).
4.4. Одновременность событий. Синхронизация часов
1°. Измерение времени производится эталоном, в качестве кото-
которого используется периодический процесс (качание маятника, дви-
движение стрелки часов по циферблату и т.п.). Измерение времени
связано с понятием одновременности двух событий.
Событием называется любое явление, происходящее в данном
месте с координатами х, у, z в некоторый момент времени t. Два
или несколько событий называются одновременными, если они про-
происходят в один и тот же момент времени /. Для двух событий, про-
происходящих в одном и том же месте, одновременность устанавлива-
устанавливается по показанию часов, установленных в том месте, где события
происходят.
В механике Ньютона время рассматривалось абсолютным, счи-
считалось, что оно, как писал Ньютон, «течет одинаково, безотноси-
безотносительно к чему-либо внешнему». «Длительность, или возраст су-
существования вещей остается одним и тем же, независимо от того,
быстры движения или медленны или их нет вообще». Одновремен-
Одновременность двух событий, происходящих и в одной и в разных точках
пространства, считалась в механике Ньютона понятием очевидным,
не нуждающимся в указании того, как должна быть обнаружена од-
одновременность.
2°. Для обнаружения одновременности двух событий, происхо-
происходящих в разных точках А и В пространства, в этих точках должны
быть установлены часы, которые идут синхронно друг с другом.
Часы, установленные в А и В, будут синхронными, если в момент,
когда часы в точке А показывают время t\9 часы в точке В показыва-
показывают время /2 = h + г /с и идут одинаково быстро с часами в точке А.

406 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
Одинаковость хода часов можно проверить на опыте, если посылать
сигнал из точки А через определенные равные промежутки време-
времени и отмечать по вторым часам, установленным в В, промежутки
времени между моментами прихода сигналов в точку В.
3°. Проверить одинаковость показаний часов в А и В было бы
очень просто с помощью сигнала, распространяющегося из А в В
мгновенно. Отсутствие в природе таких сигналов означает, что воп-
вопрос об одинаковости показаний двух часов, расположенных в разных
точках, может быть решен с помощью синхронизации часов. Пусть
по часам в точке А световой сигнал отправляется в момент времени
t\ и после отражения в точке В вновь возвращается в точку А в мо-
момент времени ti. Часы в точке В считаются синхронными с часами
в точке А, если они идут одинаково быстро, и в момент прихода
сигнала в точку В часы в точке В показывают время
4°. Выбор светового сигнала в вакууме в качестве физическо-
физического процесса для синхронизации часов определяется тем, что ско-
скорость любого сигнала в природе не может превосходить скорости
света с в вакууме. Предельный характер скорости света с не
является постулатом СТО, однако он играет такую же роль, как по-
постулаты СТО, и подтверждается многочисленными экспериментами.
Синхронизация часов, находящихся в различных точках пространст-
пространства, позволяет осуществить хронометризацию системы отсчета:
каждому событию соответствует вполне определенный момент вре-
времени /, независимо от места расположения точки, в которой событие
происходит.
4.5. Относительность одновременности событий
1°. Из преобразований Галилея A.2.7.1°) следует, что если два
события происходят в системе К в моменты времени t\ и ti, а в
системе К' (рис. V.4.2) соответственно в моменты времени t\ и t'2,
то поскольку t = t', промежутки времени между двумя событиями
одинаковы в обеих системах отсчета:
А/ = /2 - t\ = t'2 - t\ = Д/'.

4.5. Относительность одновременности событий 407
Одновременность двух событий в механике Ньютона абсолютна и
не зависит от системы отсчета A.1.1.3°): если At = 0, то и At' = 0.
2°. В СТО одновременность двух событий, происходящих в раз-
разных точках пространства, относительна: события, одновременные в
одной инерциальной системе отсчета, не одновременны в других
инерциальных системах, движущихся относительно первой.
На рис. V.4.4 рассмотрена схема эксперимента, который это ил-
иллюстрирует. Система отсчета К связана с Землей, система К' — с
вагоном, движущимся относительно Земли прямолинейно и равно-
равномерно со скоростью v. На Земле и в вагоне отмечены точки А, М и
В и соответственно А'\ М1 и В'9 причем AM = MB и А'М' = М'В'.
В момент, когда точки, отмеченные на Земле и в вагоне, совпадают,
А/
/
Рис. V.4.4
в точках А и В происходят события — ударяют две молнии. В сис-
системе К сигналы от обеих вспышек придут в точку М одновременно,
ибо AM = MB и скорость света одна и та же во всех направлениях.
Следовательно, события в точках А и В произошли одновременно.
В системе К', связанной с вагоном, сигнал из точки В1 придет в
точку М' раньше, чем из точки А'9 ибо скорость света одна и та же
во всех направлениях, но М' движется навстречу сигналу, испущен-
испущенному из точки В', и удаляется от сигнала, испущенного из точки А'.
Следовательно, события в точках А' и В' не одновременны: событие
в точке В' произошло раньше, чем в точке А'. Если бы вагон двигал-
двигался в противоположную сторону, получился бы обратный результат:
событие в точке В' произошло бы позже, чем в точке А'.
3°. Понятие одновременности пространственно разделенных со-
событий относительно. Из постулатов теории относительности и су-
существования конечной скорости распространения сигналов следу-
следует, что в разных инерциальных системах отсчета время протекает
по-разному. Это разрешает противоречие с расположением фронтов
сферических волн, отмеченное в V.4.2.20. Свет одновременно дости-
достигает точек сферической поверхности с центром в точке О с точки

408 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
зрения наблюдателя, неподвижного в системе К. С точки зрения
наблюдателя, связанного с системой К', свет достигает точек сфе-
сферической поверхности в различные моменты времени и парадокса с
центрами сфер нет.
4.6. Преобразования Лоренца
1°. В соответствии с двумя постулатами специальной теории от-
относительности (V.4.2.10) между координатами и временем в двух
инерциальных системах К и К' существуют соотношения, которые
называются преобразованиями Лоренца.
2°. В простейшем случае, когда система К' движется относи-
относительно системы К со скоростью v так, как показано на рис. V.4.3,
преобразования Лоренца для координат и времени имеют следу-
следующий вид:
, х - vt , , , t - (v/c2)x
х = , = , у = у, z — z, Г = . = , ¦
у/\ - V2/C2 y/l~V2/c2
х= *' + »' ,9 z=z,9 t=t' + {v/c2)x>
у/1 - V2/C2' ' ' ' у/\ - V2/C2 '
3°. Из преобразований Лоренца вытекает тесная связь между
пространственными и временными координатами в СТО; не только
пространственные координаты зависят от времени (как в преобра-
преобразовании Галилея A.2.7.1°)), но и время в обеих системах отсчета
зависит от пространственных координат, а также от скорости v дви-
движения системы отсчета К'.
4°. Преобразования Лоренца переходят в преобразования Гали-
Галилея при условии v/c < 1. В этом случае
х' = х — vt, у'—у, z1 —z, t' — t,
x=x' + vt, у = yf, z — z', t = tf.
Переход формул СТО в формулы кинематики при условии v/c<l
является проверкой справедливости формул СТО.
5°. Принцип относительности (V.4.2.10) может быть сформули-
сформулирован с учетом преобразований Лоренца следующим образом. Все
законы физики, описывающие любые физические явления, должны

4.7. Относительность длин (расстояний) 409
во всех инерциальных системах отсчета иметь одинаковый вид. Это
означает, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета
К к другой системе К' с помощью преобразований Лоренца зако-
законы физики должны сохранять свою форму. Этот вывод называется
релятивистской инвариантностью* (лоренц-инвариантностью)
законов физики.
4.7. Относительность длин (расстояний)
1°. Из преобразований Лоренца для координат* и х' и времени
/ и t' следует, что v/с ^ 1. В противном случае эти координаты и
времена окажутся мнимыми. Скорость v относительного движения
двух инерциальных систем отсчета не может превосходить скорости
света в вакууме.
2°. Пусть стержень MN движется вместе с системой отсчета К'
относительно системы К так, как показано на рис. V.4.3. Длина
стержня в системе К' равна (V.4.3.20)
/о =х'2 -х\.
Длина тела в системе отсчета, где оно покоится (/о), называ-
называется собственной длиной. Для определения длины / движущегося
стержня в системе К необходимо найти координаты i2 hii точек
N и М конца и начала стержня в один и тот же момент времени /
по часам в системе К:
I=x2(t)-xi(t).
Из преобразований Лоренца следует, что
x2(t)-xi(t) = (x'2-x')yjl - v2/c2, или l =
Длина тела зависит от скорости его движения. Собствен-
Собственная длина тела является его наибольшей длиной. Линейный раз-
размер тела, движущегося относительно инерциальной системы от-
отсчета, уменьшается в направлении движения в yj\ — v2/c2 раз
4От французского слова «invariant» — неизменяющийся.

410 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
(лоренцево сокращение длины). Из преобразований Лоренца сле-
следует также, что
У2-У\ =У2~ VI И Zj-V, =Z2-Zi,
т. е. поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения
и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
3°. Лоренцево сокращение длины не является кажущимся. Оно
подчеркивает, что длина тела является относительной и зависит от
скорости движения тела в данной системе отсчета К. Однако эта за-
зависимость может сказаться лишь при таких скоростях, при которых
v2/c2 заметно влияет на величину у/\ — и2/с2,т.е. при скоростях и,
близких к скосроти света. Такие скорости для макроскопических тел
реально недостижимы, и лоренцово сокращение не обнаруживается
экспериментально.
4°. Лоренцево сокращение длины является кинематическим эф-
эффектом специальной теории относительности и не связано с дей-
действием каких-либо сил, «сдавливающих» стержень вдоль его дли-
длины. Из лоренцева сокращения следует, что никакое тело не может
двигаться в пространстве со скоростью v ^ с. В противном случае
это означало бы, что длина тела является мнимой величиной или
обращается в нуль.
4.8. Относительность промежутков времени
1°. Длительностью (промежутком времени) между двумя со-
событиями называется время, прошедшее между этими событиями, из-
измеренное часами, расположенными в данной системе отсчета. Пусть
в точке А, неподвижной относительно системы К', в моменты време-
времени t\ и t2 произошли два события. Например, качающийся маятник
дважды прошел через положение равновесия. Промежуток времени
го между этими событиями будет то = t2 — t\.
2°. Время, измеряемое в системе отсчета, где точка А неподвиж-
неподвижна, называется собственным временем. Собственное время отсчи-
тывается по часам, движущимся вместе с системой отсчета. В сис-
системе AT, относительно которой система К' движется (рис. V.4.3),
промежуток времени г между событиями, происшедшими в точ-
точке А, будет т = t2 ~ t\, где время отсчитано по часам в системе К.

4.8. Относительность промежутков времени 411
Из преобразования Лоренца для времени (V.4.6.20)
t, = h - (v/c2)x2 и ,/ = t\-(v/c2)xi
t =
2
и ,
у/1 - v2/c2 Х
следует, что
= , _ t, = (h-h)--(v/c2)(x2-xl)
0 2 ' /1 2/2
Но Х2 — х 1 есть смещение точки А вдоль оси Ох системы К за время
т между событиями. Поэтому
X2—X\=VT И То = Т у/1 — V2/C2,
т.е.
г0 < г, или т — =.
VI - и2/^2
3°. Длительность явления, происходящего в некоторой точке
пространства, будет наименьшей в той инерциальной системе от-
отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Это означает,
что часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсче-
отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший про-
промежуток времени между событиями (релятивистское замедление
времени). Кинематический эффект замедления хода часов становит-
становится заметным лишь при скоростях v движения, близких к скорости
света с в вакууме, когда член v2/c2 в формулах п. 2° оказывает
заметное влияние.
4°. Релятивистское замедление времени экспериментально под-
подтверждено в экспериментах с распадом мюонов (VI.5.2.10) — не-
нестабильных, самопроизвольно распадающихся элементарных час-
частиц. Среднее собственное время жизни го мюона, т.е. время его
жизни, отсчитанное по часам, движущимся вместе с ним, равно
го = 2.2 • 10~6 секунд. Если бы не было замедления времени, то
мюон, возникший в верхних слоях атмосферы и движущийся к Зем-
Земле со скоростью и, близкой к с, проходил бы в атмосфере неболь-
небольшое расстояние s, равное приблизительно s « сто = 660 м. Мюон
не достигал бы поверхности Земли. Однако приборы регистрируют
такие частицы. Формулы п. 2° объясняют это противоречие. Время
жизни т мюона для наблюдателя, связанного с Землей (в неподвиж-
неподвижной системе отсчета К), будет значительно больше, чем го, именно
г = то/у/1 — v2/c2. Оценки показывают, что г « Юго и мюон про-

412 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
ходит в атмосфере расстояние, позволяющее ему достигнуть Земли
и быть зарегистрированным прибором.
5°. Релятивистское замедление времени позволяет в принципе
осуществить «путешествие в будущее». Пусть космический ко-
корабль, движущийся со скоростью v относительно Земли, совершает
перелет от Земли до звезды и обратно. Если свет проходит путь
от звезды до Земли за время /о, то /о = с/о- Продолжительность
перелета корабля для земного наблюдателя будет равна
2/0 2/0 а v
т = — = —, где р = -.
v /3 с
Настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения кос-
космонавтов. По часам, установленным на космическом корабле, полет
займет меньше времени: то = Bto/P)y/l — /З2. По принципу отно-
относительности (V.4.2.10) все процессы на космическом корабле, вклю-
включая старение космонавтов, происходят так же, как и на Земле, но
не по земным часам, а по часам, установленным на корабле. Следо-
Следовательно, к моменту возвращения на Землю космонавты постареют
только на время то- Если, например, /о = 500 лет и C = 0.9999, то
формулы для г и то дают т = 1000.1 года и то = 14.1 года. Кос-
Космонавты возвратятся на Землю по земным часам спустя 10 веков
после вылета и постареют всего лишь на 14.1 года.
6°. Этот результат является основой для «парадокса часов» в
специальной теории относительности. Землю можно рассматривать
движущейся относительно космического корабля со скоростью v.
Тогда часы на Земле должны отставать от часов на корабле и про-
продолжительность полета должна быть для космонавтов большей, чем
для людей, оставшихся на Земле. Выходит, что после приземления
корабля корабельные часы должны одновременно отставать от ча-
часов на космодроме и опережать их, что совершенно бессмысленно.
Результат сравнения хода времени по двум правильно идущим вза-
взаимно неподвижным часам, находящимся в одной и той же точке
пространства, должен быть однозначным.
7°. Парадокса часов в действительности не существует. Он воз-
возникает из-за неверного применения в п. 6° принципа относитель-
относительности. Принцип относительности (V.4.2.10) утверждает физическую
равноправность не любых, а лишь инерциальных систем отсчета.
Часы на космодроме остаются все время в покое относительно од-

4.9. Релятивистский закон сложения скоростей 413
ной и той же инерциальной системы отсчета. Корабельные же часы
неподвижны относительно корабля, который не все время явля-
является инерциальной системой отсчета. При запуске, облете звезды и
приземлении скорость корабля изменяется, а ускоренно движущая-
движущаяся система отсчета является неинерциальной A.2.12.1°). Земная и
корабельная системы отсчета неравноценны в рамках СТО. Расчет
продолжительностей полета т и то, приведенный в п. 5° с исполь-
использованием инерциальной (земной) системы отсчета, не должен срав-
сравниваться с рассуждениями в п. 6°. Здесь уже нужно пользоваться
общей теорией относительности5, где доказывается, что и с точки
зрения космонавтов т > то.
4.9. Релятивистский закон сложения скоростей
1°. Закон сложения скоростей в механике Ньютона A.2.7.2°) про-
противоречит постулатам СТО (V.4.2.10) и заменяется в СТО новым,
релятивистским законом сложения скоростей. Релятивистским на-
называется закон сложения скоростей^ вытекающий из преобразова-
преобразований Лоренца (V.4.6.20). Этот закон удовлетворяет постулатам СТО
и предельному характеру скорости света в вакууме (V.4.4.40).
2°. Если материальная точка или тело М движется вдоль осей
Ох и О'х' в инерциальных системах К и К' и имеет в этих системах
скорости, равные соответствен-
соответственНО V И t/, ТО
V =
v'V/c2'
к
z'l
О'
где V — скорость движения
системы К' относительно систе-
системы К (рис. V.4.5) {закон сяоже-
ния скоростей в специальной
теории относительности). Рис- V.4.5
3°. При V/с « 1 и v11с «С 1 и произвольной скорости v реля-
релятивистский закон сложения скоростей переходит в закон сложения
скоростей механики Ньютона:
v = у1 + V.
5См. сноску 3 на стр. 402.

414 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
4°. Из релятивистского закона сложения скоростей следует, что
сумма двух скоростей, меньших или равных с, есть скорость, не
большая с. В частности, если v' — с, то v = с при любой
скорости V. При v1 — V — с получается, что и v равно с
(см. также V.4.7.40).
4.10. Релятивистская динамика. Зависимость
массы от скорости
1°. Динамика, основанная на постулатах специальной теории от-
относительности (V.4.2.10), инвариантная относительно преобразова-
преобразований Лоренца (V.4.6.20), называется релятивистской динамикой6.
2°. Основной закон динамики — второй закон Ньютона
A.2.4.2°) — для материальной точки или тела в релятивистской ди-
динамике имеет вид
Вектор результирующей силы F, приложенной к материальной точ-
точке (телу), равен изменению вектора импульса р тела (или матери-
материальной точки) за единичный промежуток времени.
3°. Вектор р механического импульса (количества движения) в
СТО (релятивистский импульс), как и в механике Ньютона, про-
пропорционален вектору скорости v:
mov m0
р = — = = ту, где т = —
/\ 2/2 /
= ту, где т =
у/\ - v2/c2 у/\ - v2/c2
называется релятивистской массой тела (материальной точки).
4°. Из выражения для релятивистской массы видно, что масса те-
тела зависит от скорости его движения. Масса тела то, неподвижного
в данной системе отсчета, называется массой покоя (собствен-
(собственной массой). На рис. V.4.6 приведен график зависимости отношения
т/то от отношения v/c. Из графика и формул п. 3° видно, что если
то Ф 0, то т: -» ос и р -> оо при v —> с. Отсюда следует, что ни
одна частица (или тело) с отличной от нуля массой покоя не может
двигаться со скоростью, равной скорости света в вакууме. Частицы с
Такое же определение может быть дано и релятивистской кинематике, сведе-
сведения о которой приведены в предыдущих параграфах этой главы.

4.11. Закон взаимосвязи массы и энергии
415
массой покоя, не равной нулю (то ф 0), движущиеся с такими боль-
большими скоростями v9 что членом v2/c2 в формулах п. 3° нельзя пре-
пренебрегать, называются релятивистскими т/т()
частицами. Скорость и, большая с, при-
приводит для обычных частиц к мнимой массе 5
и мнимому импульсу, что физически бес- 4
смысленно. Зависимость массы от скорости
начинает сказываться лишь при скоростях,
весьма близких к с (рис. V.4.6). Формулы
п. 3° неприменимы к фотону (V.5.1.20), у
которого отсутствует масса покоя (т0 = 0). ° 02 q.4 0.6 0.8 1.0 v/c
Фотон всегда движется со скоростью, рав-
равной скорости света в вакууме, и является ?т- V.4.6
ультрарелятивистской частицей. Однако отсюда не следут пос-
постоянство скорости света во всех веществах (V.2.1.50).
5°. При v/c <C 1 выражение для импульса переходит в то, кото-
которое используется в механике Ньютона A.2.3.5°):
где под т понимается масса покоя (т = то), ибо при v/c <C 1
различие т и то несущественно.
4.11. Закон взаимосвязи массы и энергии
1°. Полная энергия Е тела (или частицы) пропорциональна реля-
релятивистской массе т (V.4.10.30) (закон взаимосвязи массы и энер-
энергии):
Е = тс2,
где с — скорость света в вакууме. Релятивистская масса зависит
от скорости v, с которой тело (частица) движется в данной систе-
системе отсчета. Поэтому полная энергия различна в разных системах
отсчета7.
2°. Наименьшей энергией Eq тело (частица) обладает в системе
отсчета, относительно которой оно покоится (v = 0). Энергия Eq
7Тело (или частица) не находится в силовом поле.

416 Отдел V. Гл. 4. Специальная теория относительности
называется собственной энергией или энергией покоя тела (час-
(частицы):
Энергия покоя тела является его внутренней энергией A1.4.1.2°).
Она состоит из суммы энергий покоя всех частиц тела ^ то1с2, ки-
/
нетической энергии всех частиц относительно общего центра масс
A.2.3.4°) и потенциальной энергии их взаимодействия. Поэтому
о/с2 и то ф У^/wq/,
/
где /wo/ — масса покоя /-й частицы.
В релятивистской механике несправедлив закон сохранения мас-
массы покоя. Например, масса покоя то атомного ядра меньше, чем
сумма собственных масс частиц, входящих в ядро (см. также
VI.4.2.30). Наоборот, масса то покоя частицы, способной к само-
самопроизвольному распаду, больше суммы собственных масс продук-
продуктов распада moi и то2'-
то > то\ -Ь то2
(см. распад нейтрона (VI.4.7.70)).
3°. Несохранение массы покоя не означает нарушения закона
сохранения массы вообще. В теории относительности справедлив
закон сохранения релятивистской массы (V.4.10.30). Он вытекает
из формулы закона взаимосвязи массы и энергии Е — тс2 (п. 1°).
В изолированной системе тел A.2.2.5°) сохраняется полная энергия
A.5.4.1°). Следовательно, сохраняется и релятивистская масса. В те-
теории относительности законы сохранения энергии и релятивистской
массы взаимосвязаны и представляют собой единый закон сохране-
сохранения массы и энергии. Однако из этого закона отнюдь не следует
возможность преобразования массы в энергию и обратно. Масса и
энергия представляют собой два качественно различных свойства
материи, отнюдь не «эквивалентных» друг другу. Ни один из из-
известных опытных фактов не дает оснований для вывода о «переходе
массы в энергию». Превращение энергии системы из одной формы
в другую сопровождается превращением массы. Например, в явле-
явлении рождения и уничтожения пары электрон - позитрон (VI.5.3.20),

4.11. Закон взаимосвязи массы и энергии 417
в полном соответствии с законом сохранения релятивистской мас-
массы и энергии, масса не переходит в энергию. Масса покоя частиц
(электрона и позитрона) преобразуется в массу фотонов (V.5.1.20),
т. е. в массу электромагнитного поля.
4°. Кинетическая энергия ? свободного тела (частицы) A.5.3.3°)
представляет собой разность между полной энергией тела ? и энер-
энергией покоя Eq:
t? 17 / \ 2 2 Л mO\
= h — ho — (w — ttio)c = шс ( l }
V АИ /
или, иначе:
mv2 _ р2
1 + VI - /c2 ro(l + x/i - ^2/c2)
где p = mv — релятивистский импульс (V.4.10.30). При условии
u2/c2 <C 1 получается формула для вычисления кинетической энер-
энергии в ньютоновской механике A.5.3.3°):
с_ T^L - EL.
2 ~ 2т'
При скоростях, много меньших скорости света в вакууме, кине-
кинетическая энергия ? тела значительно меньше, чем энергия покоя Eq:
— = — « 1
Например, при скорости v = 3 • 105 м/с, которая в 10 раз превышает
скорость Земли на орбите,
^7=5- 10~7 = 5 • 10~5%.
У релятивистских частиц (V.4.10.40) кинетическая энергия зна-
значительно превышает энергию покоя. Например, в современных син-
синхрофазотронах (VI.4.16.70) протоны разгоняются до скоростей, от-
отличающихся от с на 0.05%, т.е. v = 0.9995с. В этих условиях
? (т- то)с2 _ 1

418 Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
Для релятивистких частиц энергией покоя можно пренебречь по
сравнению с кинетической энергий ? (Ео <С ?):
Е = Ео + ? ~ ?, т. е. ? « Е = тс2.
5°. Между полной энергией Е тела (частицы), энергией покоя
Ео и импульсом р существует релятивистская связь энергии и
импульса:
Е2=Е2+р2с2.
Для релятивистских частиц, таких, у которых Е « ?, т. е. ?о <^ ?,
справедливо соотношение:
Задача. При какой скорости кинетическая энергия частицы равна
ее энергии покоя?
Дано: ? = Ео.
Найти: v.
Решение: В релятивистской механике кинетическая энергия час-
частицы ? = Е — Ео, где Е — полная энергия, Eq — энергия покоя.
^ак как Ер — Е — Ео, то Е = 2Eq9 или тс2 = 2тос2, где
w = mo/\/l — v2/c2.
Тогда (woc2)/\/l - t>2/c2 = 2тос2, или -^/1 — и2/с2 = 1/2, откуда
и = с • ^/3/4, v = 0.866с,
где с — скорость света в вакууме: с = 3 • 108 м/с, и = 2.6 • 108 м/с.
Главаб
Квантовая оптика
5.1. Основные положения квантовой оптики
1°. Квантовой оптикой называется раздел учения о свете, в ко-
котором излучается дискретный характер излучения, распространения
и взаимодействия света с веществом.

5.1. Основные положения квантовой оптики 419
2°. В квантовой оптике свет рассматривается как поток осо-
особых частиц — фотонов, не обладающих массой покоя (то = 0)
(V.4.10.30) и движущихся со скоростью с, равной скорости света в
вакууме. Основными характеристиками фотона являются его энер-
энергия ? и импульс р:
he hv h
? = hv = —, p= — = —;
И-0 С Ло
здесь у — частота световой электромагнитной волны (IV.3.4.30;
VI. 1.1°), Ао — длина волны в вакууме (V.2.2.2°), h — постоянная
Планка (V.3.2.30).
Вектор импульса фотона р имеет направление, совпадающее с
направлением волнового вектора к:
Вектор к имеет модуль, равный волновому числу k (IV.3.5.20),
к = 2jt/A, и направление, совпадающее с направлением скорости
волны.
Фотон имеет массу т = ?/с2 = hv/c2, которая является массой
электромагнитного поля и не связана с массой покоя, ибо покоящих-
покоящихся фотонов не существует. В любой инерциальной системе отсчета
скорость света в вакууме равна с (V.4.2.10). В монохроматическом
свете с частотой v все фотоны имеют одинаковую энергию, импульс
и массу.
3°. В любом веществе с абсолютным показателем преломления
п (V. 1.2.1°) фотоны всегда движутся со скоростью света в вакууме,
хотя скорость v световой волны в веществе в п раз меньше: v — с/п.
Нельзя смешивать скорость v распространения фронта электромаг-
электромагнитной волны в веществе (IV.3.3.10) со скоростью фотонов в ве-
веществе. Фотоны в веществе движутся от одной частицы вещества
(атома, молекулы) до другой как бы в вакууме, а «попадая» в час-
частицу, поглощаются в ней и вновь возникают1.
4°. Фотоны возникают (излучаются) при переходах атомов,
молекул, ионов и атомных ядер из возбужденных энергетиче-
энергетических состояний (VI.2.4.30) в состояния с меньшей энергией. Фо-
Фотоны излучаются также при ускорении и торможении заряжен-
заряженных частиц(У1.4.4.3°; V.3.6.20), при распадах некоторых частиц
1 Анализ сложных явлений, происходящих при движении фотонов в веществе,
далеко выходит за рамки элементарной физики.

420 Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
(VI.5.4.40) и уничтожении пары электрон - позитрон (VI.5.3.20).
Процесс поглощения света веществом сводится к тому, что фото-
фотоны целиком передают свою энергию частицам вещества. Процесс
поглощения света в квантовой оптике рассматривается как прерыв-
прерывный и в пространстве, и во времени.
5°. В формулах п. 2° свойства фотона — энергия, импульс и
масса — выражены через характеристики электромагнитной волны:
частоту или длину волны в вакууме. В этом проявляется корпуску-
лярно2-волновая двойственность свойств света. С одной стороны,
свет обладает волновыми свойствами, которые обнаруживаются в
явлениях интерференции, дифракции и поляризации; с другой сто-
стороны, свет представляет собой поток фотонов. При малых частотах
у преобладающую роль играют волновые свойства света, при боль-
больших v — квантовые свойства света.
6°. Между корпускулярными и волновыми свойствами света су-
существует взаимосвязь, которая обнаруживается при распростране-
распространении света в неоднородной среде. Когда, например, свет проходит
через щель и на экране наблюдаются дифракционные максимумы
и минимумы(У.2.4.3°), происходит взаимодействие фотонов с ве-
веществом (щелью), результатом которого является перераспределе-
перераспределение фотонов в пространстве. В тех местах экрана, где наблюдает-
наблюдается большая освещенность, должна быть больше суммарная энергия
фотонов, попадающих в эти точки. Но освещенность в данной точ-
точке экрана пропорциональна интенсивности J света3 в этой точке:
Е ~ j (V. 1.6.5°). В свою очередь интенсивность электромагнитной
световой волны пропорциональна квадрату ее амплитуды: J ~ А2
(IV.4.3.20). Таким образом, квадрат амплитуды световой волны в
какой-либо точке пространства является мерой числа фотонов, по-
попадающих в эту точку.
7°. Квантовые и волновые свойства света взаимно дополня-
дополняют друг друга и отражают взаимосвязанные закономерности рас-
распространения света и его взаимодействия с веществом. Квантовые
свойства света обусловлены тем, что энергия, импульс и масса
электромагнитного излучения сосредоточены в особых частицах —
фотонах.
2 От латинского слова «corpusculum» — частица, тельце.
Интенсивность света не следует смешивать с силой света источника (V.1.6.30).

5.2. Фотоэлектрический эффект 421
Волновые свойства света описывают закономерности распреде-
распределения фотонов в пространстве. Волновыми свойствами света опре-
определяется число фотонов, которые находятся в той или иной точке
пространства.
8°. Энергия фотона видимого света hv значительно превышает
энергию молекул вещества. Сравним, например, эту энергию при
частоте у ~ 1015 Гц со средней кинетической энергией теплового
движения, которую имеет молекула идеального газа при темпера-
температуре Т A1.2.4.4°). Из уравнения
hv = Ъ-кТ
следует, что
«•¦<•
Только при такой, практически невозможной для газа температуре
его молекула имела бы кинетическую энергию, сравнимую с энер-
энергией фотона видимого света.
5.2. Фотоэлектрический эффект
1°. Фотоэлектрическим эффектом {фотоэффектом)* назы-
называется явление взаимодействия света с веществом, в результате
которого энергия фотонов передается электронам вещества. Для
твердых и жидких тел различается внешний и внутренний фото-
фотоэффект (V.5.4.30). При внешнем фотоэффекте поглощение фотонов
сопровождается вылетом электронов за пределы тела. При внутрен-
внутреннем фотоэффекте электроны, вырванные из атомов, молекул или
ионов, остаются внутри вещества, но изменяются энергии электро-
электронов. В газах фотоэффект состоит в явлении фотоионизации — вы-
вырывании электронов из атомов и молекул газа под действием света
A11.33.2°).
2°. Внешний фотоэффект обнаруживается опытами по выры-
вырыванию электронов с поверхности металлов, облученных коротко-
коротковолновым светом. На рис. V.5.1 изображена схема опыта Сто-
От греческого слова «photos» — свет.

422
Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
летова. Анод А — тонкая металлическая сетка — освещал-
освещался светом от электрической дуги. Пучок света попадал на ка-
катод К — сплошную цинковую пластинку. При этом гальвано-
гальванометр, включенный в цепь, обнаруживал ток. Из освещенной от-
отрицательно заряженной цинковой пластинки вырывались электро-
электроны, и электрическая цепь оказывалась замкнутой. Если же сет-
сетка А являлась катодом, а цинковая пластинка — анодом, то ток
отсутствовал.
3°. Электроны, вылетающие с поверхности тела при внеш-
внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами. Фотоэлектро-
Фотоэлектроны, ускоренные электрическим полем меж-
между катодом и анодом (рис. V.5.1), создают
фотоэлектрический ток (фототок) си-
силой /. На рис. V.5.2 изображены графики
зависимости силы фототока / от напряже-
напряжения U между катодом и атодом, которое мо-
может изменяться с помощью потенциометра
A11.2.6.7°, задача 3) по абсолютному значе-
значению и по знаку (на рис. V.5.3 потенциометр
не показан). Кривые на рис. V.5.2 соответ-
соответствуют двум различным освещенностям Е
катода (V. 1.6.5°). Из этих зависимостей следует, что при некото-
некоторых значениях U — UH сила фототока при заданной освещенности
катода достигает наибольшего значения / = /н, которое называет-
называется фототоком насыщения. При U = UH все электроны, выби-
выбиваемые из катода при его освещении, достигают анода: /н = еп,
где п — общее число фотоэлектронов, вылетающих из катода за
единичный промежуток времени, е — модуль заряда электрона (ср.
ток насыщения в диоде A11.3.8.2°)).
4°. Существование фототока при
отрицательных напряжениях от 0
до —U3 (рис. V.5.2) объясняется тем,
что фотоэлектроны, выбитые светом
из катода, имеют начальную кинети-
кинетическую энергию, наибольшее значе-
значение которой равно mvlaKC/2 A.5.3.3°).
За счет этой энергии электроны могут двигаться против сил за-
задерживающего электрического поля между катодом и анодом и
Рис. V.5.1
Тормозящее О
напряжение
Ускоряющее Ц
напряжение
Рис- V5-2

5.3. Законы внешнего фотоэффекта 423
достигнуть анода. По закону сохранения энергии
где U3 — модуль задерживающего напряжения U = U3, при котором
фототок прекращается, е и т — модуль заряда электрона и его
масса. При U <C U3 фототок отсутствует G = 0).
5.3. Законы внешнего фотоэффекта. Уравнение
Эйнштейна для фотоэффекта
1°. Законы внешнего фотоэффекта:
I. Максимальная начальная скорость vMSiKC фотоэлектронов зави-
зависит от частоты света и свойств поверхности металла. Она не зависит
от освещенности катода.
II. Общее число фотоэлектронов и, которые вырываются светом
из катода за единичный промежуток времени и сила /н фототока
насыщения прямо пропорциональны освещенности катода.
III. Для каждого вещества существует красная граница фото-
фотоэффекта (порог фотоэффекта) — такая наименьшая частота умин
(или наибольшая, «красная» длина волны Ямакс), при которой еще
возможен внешний фотоэффект. При v < vMHH (Я ^ ЯмаКс) фотоэф-
фотоэффекта быть не может.
Установлена практическая безынерционность фотоэффекта: он
немедленно возникает при освещении поверхности тела, если час-
частота v > умин.
2°. Внешний фотоэффект в металлах объясняется в квантовой
оптике (V.5.1.10). Для выхода из металла электрон должен совер-
совершить работу выхода^ A11.3.7.3°). В результате поглощения фотона
металлом энергия фотона h v может быть целиком передана элек-
электрону5. Если hv ^ Л, то электрон сможет совершить работу выхода
и покинуть металл. Наибольшая кинетическая энергия mvliaKC/2 вы-
5Поглощение фотона положительным ионом в кристаллической решетке метал-
металла A1.1.6.5°) приведет не к фотоэффекту, а к другим явлениям, которые здесь не
рассматриваются.

424
Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
летевшего фотоэлектрона по закону сохранения энергии находится
из уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:
mvt
= hv —А,
или
hv = тКшс
А.
3°. Уравнение Эйнштейна объясняет все законы внешнего фо-
фотоэффекта (п. 1). Так, fMaKC зависит только от частоты света у и
работы выхода.
Внешний фотоэффект возможен лишь при условии Аумакс ^ А.
Красная граница фотоэффекта умин = A/h или Ямакс = ch/A зави-
зависит только от значения работы выхода электрона, т.е. от химиче-
химической природы металла и состояния его поверхности. Общее число п
фотоэлектронов, вылетающих из катода за единичный промежуток
времени, прямо пропорционально числу фотонов п', падающих за
это время на поверхность катода. В свою очередь для катода, равно-
равномерно освещаемого монохроматическим светом, п1 прямо пропор-
пропорционально освещенности Е.
4°. На основании V.5.2.40 и закона
красной границы уравнение Эйнштейна
принимает вид
1.4 1.8
у-1(Г15,Гц
mvt
= eU3 = A(v - уМ
Рис. V.5.3
Экспериментальной проверкой правиль-
правильности уравнения Эйнштейна и кванто-
квантового объяснения фотоэффекта явилось определение постоянной
Планка А из последнего уравнения. Из него следует линейная за-
зависимость между величиной eU3 и частотой у света. На рис. V.5.3
приведены экспериментальные прямые, выражающие зависимость
eU3 от частоты у для фотоэффекта на нескольких металлах. По углу
между прямыми и осью абсцисс определяется значение А, именно
A = tg a • к, где к — соотношение размерных величин, принятых за
единицы масштаба по осям eU3 и у A.1.3.5°).
Значение А, полученное из экспериментов по фотоэффекту, сов-
совпадает с тем значением, которое получено для этой величины из
законов теплового излучения (V.3.2.3°): h = 6.625 • 10~34 Дж • с.

5.4. Некоторые применения фотоэффекта
425
Рис. V.5.4
5.4. Некоторые применения фотоэффекта
1°. Фотоэлементами называются приборы, основанные на ис-
использовании явления фотоэффекта. Схемя фотоэлемента приведе-
приведена на рис. V.5.4. Светочувствительный слой наносится на боль-
большую часть внутренней поверхности стеклянного баллона, вакуум-
вакуумного или наполненного инертным газом, и служит катодом К. Че-
Через окошко В свет поступает в баллон. Ано-
Анодом А служит проволочное кольцо или диск.
Кольцо соединено с положительным полюсом
батареи Б, а светочувствительный слой через
гальванометр G — с отрицательным ее полю-
полюсом. При освещении катода таким источником
света, в спектральном составе излучения кото-
которого присутствуют частоты, удовлетворяющие
условию красной границы (V.5.3.30), в цепи по-
появится ток.
2°. Фотореле называется прибор автомати-
автоматического управления различными установками,
использующий способность фотоэлемента практически мгновенно
реагировать на световое воздействие или его изменение. Фоторе-
Фотореле работает либо при попадании света на фотоэлемент, либо при
прекращении освещения фотоэлемента.
3°. Внутренний фотоэффект в полупроводниках приводит к по-
появлению в нем электронов или дырок A11.3.11.5°) и называет-
называется фотопроводимостью. На явлении фотопроводимости основано
устройство приборов, называемых фотосопротивлениями, и фото-
фотоэлементов с внутренним фотоэффектом.
4°. Простейшее фотосопротивление представляет собой плас-
пластинку изолятора, на которую нанесен тонкий слой полупроводника.
При освещении пластинки возникает фотопроводимость и в цепи
фотосопротивления идет ток. Фотосопротивления применяются в
звуковом кино, для сигнализации, в телевидении, автоматике и те-
телемеханике.
Фотосопротивления позволяют на расстоянии автоматически об-
обнаружить нарушения нормального хода различных производствен-
производственных процессов и останавливать в этих случаях процессы. При на-
нарушениях нормального хода процесса может измениться световой

426 Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
поток (V. 1.6.2°), попадающий на фотоэлемент, и при этом меняется
сила фототока и изменяется ход всего процесса.
Фотосопротивления применяются для сортировки массовых из-
изделий по их размерам и окраске. Пучок света падает на фотоэле-
фотоэлемент, отразившись от сортируемых изделий, которые непрерывно
подаются на конвейер. Окраска изделия или его размер определя-
определяют световой поток, попадающий на фотоэлемент, и силу фототока.
В зависимости от силы фототока автоматически производится сор-
сортировка изделий.
5°. На рис. V.5.5 изображена схема устройства фотоэлемен-
фотоэлемента с запирающим слоем {вентильный фотоэлемент). Две со-
соприкасающиеся друг с другом пластинки, изготовленные из ме-
металла и его окиси (полупроводник), покрыты сверху тонким про-
Свет зрачным слоем металла. Погранич-
Прозрачныи ный слой между металлом и его оки-
\ 1и!°и сью имеет одностороннюю электро-
и Окись металла г г
' (полупроводник) ПрОВОДНОСТЬ — ЭЛеКТрОНЫ МОГуТ ПрО-
ходить лишь в направлении от окиси
металла к металлу. Поток электро-
Рис. V.5.5 нов? идущий в этом направлении, соз-
создается под действием света без всякого внешнего напряжения. Вен-
Вентильный фотоэлемент непосредственно превращает энергию свето-
световой волны в энергию электрического тока, т. е. является источником
тока. На этом принципе основано действие солнечных батарей, ко-
которые устанавливаются на космических кораблях.
5.5. Давление света
1°. Давлением света называется давление, которое произво-
производят электромагнитные световые волны, падающие на поверхность
какого-либо тела. Существование светового давления предсказано в
электромагнитной теории света. Если, например, электромагнитная
волна падает на металл М, то под действием электрического поля
волны с напряженностью Е электроны металла будут двигаться в на-
направлении, противоположном вектору Е со скоростью v (рис. V.5.6).
Магнитное поле волны с индукцией В действует на движущиеся
электроны с силой Лоренца Fn A11.4.5.1°) в направлении, перпен-

5.5. Давление света
427
дикулярном поверхности металла. Таким образом, световая волна
оказывает давление на поверхность металла.
2°. В квантовой оптике световое давление является следствием
того, что у фотона имеется импульс р (V.5.1.20). При столкнове-
столкновении фотона с поверхностью тела этот импульс передается атомам
или молекулам вещества. Аналогично этому, давление газа есть ре-
результат передачи импульса молекулами га-
газа частицам на поверхности стенки сосуда.
Давление света определяется форму-
формулой Максвелла:
р — A +r)w,
где г — коэффициент отражения све-
света поверхностью тела, ш — объемная
плотность энергии электромагнитного по- Рис у 5 6
ля волны A11.5.7.5°).
Давление света на идеально отражающую (зеркальную) поверх-
поверхность (г = 1) р = 2w вдвое превышает давление света р = w
для абсолютно черного тела, у которого г = 0. Различие давле-
давления света в этих двух случаях объясняется тем, что импульс фотона
hv/c (п. 2°) в случае поглощающей поверхности передается атомам
или молекулам тела. При отражении от зеркальной поверхности им-
импульс фотона hv/c изменяется на противоположный — hv/c, так что
импульс, передаваемый частицам вещества, составляет 2hv/c.
3°. Существование светового давления и справедливость фор-
формулы Максвелла были экспериментально доказаны опытами
П. Н. Лебедева. Прибор Лебедева представлял собой легкий каркас с
укрепленными на нем тонкими «крылышками» — светлыми и тем-
темными дисками толщиной от 0.01 до 0.1 мм. Диски располагались
симметрично относительно оси подвеса, вокруг которой каркас мог
поворачиваться (рис. V.5.7). Свет, падая на «крылышки», оказывал
на светлые и затемненные диски различное давление. В результате
каркас, подвешенный на тонкой стеклянной нити, испытывал вра-
вращающий момент A.3.1.4°), который закручивал нить. Давление све-
света определялось по углу закручивания нити. Объемная плотность
энергии электромагнитного поля измерялась П. Н. Лебедевым с по-
помощью специально сконструированного магнитного калориметра.

428
Отдел V. Гл. 5. Квантовая оптика
На него направлялся на определенное время пучок света, и ре-
регистрировалось повышение температуры. Величина ш определялась
по поглощенному количеству теплоты. Остроумно преодолев ряд
трудностей, возникших при измерении
светового давления, П.Н.Лебедев дока-
доказал справедливость формулы Максвелла
(п. 2°), вытекающей из электромагнит-
электромагнитной теории света.
В
Рис. V.5.7
Рис. V.5.8
На рис. V.5.8 изображена схема установки П. Н. Лебедева для из-
измерения давления света на газы. Свет, проходящий сквозь стеклян-
стеклянную стенку А, действует на газ, заключенный в цилиндрическом
канале В. Под влиянием давления света газ из канала В перетека-
перетекает в сообщающийся с ним канал С. В канале С находится легкий
подвижный поршень Z), подвешенный на тонкой упругой нити ?,
перпендикулярной к плоскости чертежа. Световое давление изме-
измерялось по углу закручивания нити.
5.6. Химические действия света. Фотографический
процесс
1°. Химическими называются действия света, в результате кото-
которых в веществах, поглощающих свет, происходят химические пре-
превращения — фотохимические реакции. Например, при освещении
паров брома молекула Вг2 диссоциирует на два атома брома; моле-
молекула бромистого серебра AgBr под действием света разлагается на
атомы брома и серебра6.
2°. Фотохимические реакции, происходящие в фоточувствитель-
фоточувствительных слоях фотопластинок и пленок, являются основой фотогра-
5Процесс превращения ионов Ag+ и Вг в атомы не рассматривается.

5.6. Химические действия света. Фотографический процесс 429
фии. Фоточувствительный слой состоит из кристалликов бромисто-
бромистого серебра, внедренных в желатин. Под действием света происхо-
происходит фотохимическая реакция разложения AgBr (п. 1°). Выделяет-
Выделяется незначительное количество металлического серебра, различное
в разных частях фотопластинки, и образуется скрытое изображение
объекта.
Для проявления фотопластинки ее погружают в раствор про-
проявляющих веществ. При этом из кристаллов бромистого серебра,
подвергшихся действию света, выпадает все большее число атомов
серебра. Они группируются вблизи тех атомов серебра, которые воз-
возникли до проявления. В результате выделения серебра засвеченные
места фотопластинки чернеют тем больше, чем ярче было освещено
соответствующее место фотопластинки. Неосвещенные места пла-
пластинки остаются неизменными — там сосредоточивается светлое
бромистое серебро. Чтобы полученное негативное изображение
не изменялось под действием света, его закрепляют, опуская плас-
пластинку в раствор тиосульфата натрия (гипосульфит) (фиксаж:). При
этом не восстановленное проявителем бромистое серебро раство-
растворяется. После промывания и просушки негатив может храниться
и использоваться для различных целей. Например, рентгеновские
снимки органов человека сохраняют негативными (V.3.6.50). Для
получения с негатива позитивного изображения негатив проеци-
проецируется на фотобумагу со светочувствительным слоем. После про-
проявления получают обращенное изображение негатива — позитив,
в котором светлые места фотографируемого объекта получаются
светлыми, а темные — темными.
Объекты, от которых в фотоаппарат поступает весьма слабый
свет, дают изображения при большем времени экспозиции, т. е. при
большем времени, в течение которого освещается фотопластинка.
Фотохимический процесс в специальных пластинках позволяет про-
производить фотографирование в инфракрасных лучах в темноте.

Отдел VI
АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
Глава 1
Элементы квантовой механики
1.1. Идеи де Бройля о волновых свойствах
частиц вещества
1°. Квантовая механика является одним из основных направле-
направлений развития современной физики. В квантовой механике изучаются
закономерности явлений, происходящих в микромире — в пределах
расстояний порядка 10~15—10~~10м. Объектами изучения квантовой
механики являются атомы, молекулы, кристаллы, а также атомные
ядра и элементарные частицы.
2°. Физическими основами квантовой механики являются:
а) представления Планка о квантах энергии (V.3.2.30);
б) представления Эйнштейна о фотонах (V.5.1.20);
в) идеи де Бройля о волновых свойствах частиц вещества.
Согласно де Бройлю, корпускулярно-волновая двойственность
свойств света (V.5.1.50) характерна не только для световых час-
частиц — фотонов, но и для частиц вещества, имеющих массу покоя
(V.4.10.40), — электронов, протонов, нейтронов и их коллективов —
атомов, молекул и атомных ядер. Гипотеза де Бройля означает, что
корпускулярно-волновая двойственность свойств, характерная для
электромагнитного поля, имеет универсальный характер.
3°. Со всякой частицей, имющей массу т, которая движется со
скоростью v, связано распространение волны де Бройля. Длина
дебройлевской волны Я вычисляется по формуле де Бройля:
mv p
где h — постоянная Планка (V.3.2.3°), p = mv — модуль импуль-
импульса движущейся частицы. При скорости частицы и, сравнимой со

1.2. Волновые свойства электронов, нейтронов, атомов и молекул 431
скоростью света с в вакууме, импульс р рассматривается как реля-
релятивистский (V.4.10.30). При и«с импульс р частицы вычисляется,
как обычно в классической механике Ньютона A.2.3.5°). Другой вид
формулы де Бройля:
Р=Ак = йк)
где к = Bл"/Я)п — волновой вектор (V.5.1.2°), n — единичный
вектор в направлении распространения волны,
ft= ^- = 1.05 1(Г34Джс.
2л
Волны де Бройля не являются электромагнитными волнами и
не имеют аналогии среди всех видов волн, изучаемых в классиче-
классической физике (VI.3.1.30). Формула де Бройля — одно из основных,
фундаментальных соотношений квантовой механики. Длина волны
де Бройля для электрона после прохождения им ускоряющей раз-
разности потенциалов Аср
А = . —— = . • Ш м.
у/2те • Аср у Аср
Здесь т — масса электрона, е — модуль заряда электрона, Аср —
разность потенциалов в вольтах, h — постоянная Планка (V.3.2.30).
1.2. Волновые свойства электронов,
нейтронов, атомов и молекул
1°. Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверж-
подтверждение в целом ряде опытов, обнаруживших дифракционные явления
(V.2.3.10) при взаимодействии пучков частиц (электронов, нейтро-
нейтронов, атомов и молекул) с веществом.
2°. В опытах Девиссона и Джермера изучалось рассеяние элек-
электронов на монокристалле никеля A1.1.6.4°). Схема опытов предста-
представлена на рис. VI. 1.1. В источнике электронов А (электронной пуш-
пушке) создавался пучок электронов, энергия и скорость которых регу-
регулировались ускоряющим электрическим полем, созданным внутри
пушки. Узкий пучок электронов, имеющих определенную скорость,
направлялся на заземленный монокристалл никеля В и отражался

432
Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
от него. Мишень В могла вращаться вокруг оси, перпендикулярной
к плоскости рисунка. Подвижный приемник электронов С вращал-
вращался вокруг той же оси и регистрировал электроны, отраженные мо-
монокристаллом никеля в разных направлениях в плоскости рисунка.
Рис. VI. 1.1
Рис. VI. 1.2
В опытах ожидалось зеркальное отражение электронов, при кото-
котором угол падения равен углу отражения (VI.2.4°). Опыты показа-
показали, что при отражении нарушаются законы геометрической оптики.
При заданном угле падения электроны отражаются от поверхности
кристалла под различными углами. При этом в одних направлениях
наблюдаются максимумы числа отраженных электронов, в других —
минимумы. На рис. VI. 1.2 изображена диаграмма распределения по
направлениям числа электронов, рассеянных мишенью В, при задан-
заданном угле падения первичного пучка электронов N. Длина радиуса г,
проведенного из центра мишени, пропорциональна числу электро-
электронов, отраженных под данным углом. Используя методы наблюде-
наблюдения дифракции рентгеновских лучей на монокристаллах (V3.6.60),
Девиссон и Джермер экспериментально определили длину волны
де Бройля для рассеянных электронов и подтвердили справедли-
справедливость формулы де Бройля.
3°. Дифракционные явления обнаруживаются при пропускании
пучка электронов через тонкие слои металлов (толщиной порядка
10~7 м), имеющих поликристаллическую структуру A1.1.6.4°). Опы-
Опыты подтвердили, что наблюдается дифракция электронов на поли-
поликристаллах, аналогичная дифракции рентгеновских лучей на поли-
поликристаллических порошках (V3.6.60). На рис. VI. 1.3 приведены фо-
фотографии дифракционных картин, которые наблюдаются при про-
прохождении сквозь тонкие пленки одного и того же поликристал-
поликристалла рентгеновского излучения (рис. VI. 1.3 а) и пучка электронов
(рис. VI. 1.3 б). По радиусам дифракционных колец определялась
длина волны де Бройля и проверялась справедливость формулы

1.2. Волновые свойства электронов, нейтронов, атомов и молекул
433
де Бройля. Волновые свойства электронов наблюдаются лишь при
условии, что длина дебройлевской волны сравнима с межатомны-
межатомными расстояниями в кристаллах, на которых происходит дифракция.
Метод изучения структуры вещества с помощью наблюдения ди-
дифракции электронов называется электронографией. По существу
он сходен с рентгеноструктурным анализом (V.3.6.60).
Рис. VI. 1.3
4°. Опыты обнаруживают явление дифракции нейтронов — час-
частиц, входящих в состав атомных ядер (VIA 1.1°). Схема опытов изо-
изображена на рис. VI. 1.4. Нейтроны образуются в ядерном реакторе
(VIA 12.6°) и замедляются в слое графита — графитовой тепловой
колонне. Тепловые нейтроны (VI.4.9.20) проходят через узкую щель,
и пучок их (N) падает на кристалл Я, где происходит дифракция.
Приемник С регистрирует нейтроны, отраженные от мишени В под
разными углами дифракции (V.2.4.10). Дифракция нейтронов лежит
в основе нейтронографии — изучения структуры твердых тел с
помощью наблюдения дифракции нейтронов.
5°. Пучки нейтральных атомов и молекул при комнатных темпе-
температурах (Т « 300К) движутся с такими скоростями v9 что длины
дебройлевских волн, соответствующих этим частицам, имеют значе-
значения порядка 10~10 м (VI. 1.1.3°). Это позволяет наблюдать волновые
свойства атомов и молекул при отражении пучков частиц от поверх-
поверхности кристаллов. Кроме зеркального отражения (VI.2.5°), в неко-

434
Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
торых направлениях наблюдаются дополнительные дифракционные
максимумы числа отраженных атомов (молекул). На рис. VI. 1.5, по-
помимо основного максимума числа зеркально отраженных частиц,
показаны первые дифракционные хмаксимумы.
¦ Графитовая"..
тепловая ',-
колонна .','
Рис. VI. 1.4 Рис. VI. 1.5
6°. Дебройлевские волны связаны с любой движущейся частицей
вне зависимости от того, является ли она электрически заряжен-
заряженной или нейтральной. Волны этого типа существенно отличаются
от всех известных в классической физике волн тем, что они не ис-
испускаются какими-либо источниками волн.
1.3. Физический смысл волн де Бройля
1°. Волновые свойства частиц проявляются в тех случаях, ког-
когда можно опытным путем обнаружить дифракционные явления на
частицах. Для этого необходимо, чтобы выполнялось условие на-
наблюдения дифракции (V.2.3.10).
2°. У макроскопических тел при обычных скоростях их движений
длина волны де Бройля оказывается столь малой, что ни в каком
эксперименте обнаружить ее нельзя. Например, при движении тела
массой т = 1 г со скоростью v = 1 см/с имеем Я = 6.62 • 10~27 см.
Такую длину волны обнаружить нельзя, ибо периодических структур
с периодом решетки A1.1.6.5°) порядка 10~27см не существует.
Волновые свойства обнаруживаются только у движущихся ми-
микроскопических частиц вещества, обладающих массой, сравнимой,
в пределах нескольких порядков, с массой элементарных частиц
(VI.5.1.10).
3°. Физический смысл волн де Бройля выявляется из анализа
связи, которая существует между корпускулярными и волновыми

1.4. Линейный гармонический осциллятор 435
свойствами света (V.5.1.60). Подобная же связь существует между
корпускулярными и волновыми свойствами частиц вещества. Квад-
Квадрат амплитуды дебройлевской волны в данной точке пространства
определяет вероятность того, что некоторое чило частиц попадает
в эту точку.
Дифракционные максимумы (VI.2.2.10—5°), где амплитуды волн
имеют наибольшие значения, соответствуют тем точкам пространст-
пространства, куда попадает наибольшее число частиц. Дифракционные мини-
минимумы соответствуют тем точкам пространства, куда попадает наи-
наименьшее число частиц.
4°. Волновые свойства характерны не только для пучка движу-
движущихся частиц, но и для отдельной движущейся частицы. Опытным
путем Фабрикант, Биберман и Сушкин обнаружили явление ди-
дифракции одиночных, поочередно летящих на кристалл электронов.
В этом опыте на тонкую металлическую пленку поликристалла од-
одновременно попадал один электрон. После многократного «обстре-
«обстрела» пленки одиночными электронами наблюдалась такая же дифрак-
дифракционная картина, как при прохождении одновременно пучка элек-
электронов через кристалл (рис. VI. 1.3, б). Это означает, что для одной
частицы квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке про-
пространства является мерой вероятности обнаружить частицу в этой
точке.
Дебройлевские волны, связанные с движущимися частицами, не
имеют отношения к распространению какого-либо поля, например
электромагнитного или какого-либо другого.
1.4. Линейный гармонический осциллятор. Движение
электрона в ограниченной области пространства
1°. Движение тела (частицы) под действием сил может про-
происходить таким образом, что частица удерживается в определен-
определенной области пространства. Например, при гармонических колеба-
колебаниях тела с массой т, подвешенного на пружине (IV. 1.3.1°), под
действием сил упругости тело не может удалиться от положения
равновесия более чем на расстояние, равное амплитуде смеще-
смещения А. Значение амплитуды смещения определяется полной энер-

436
Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
гией Е (рис. VI.1.6). Потенциальная энергия тела П(х) = кх2/2 =
— ти^х1 /2, где Wq — к/т — собственная циклическая частота ко-
колебаний (IV. 1.3.3°), к — коэффициент квазиупругой силы.
Частица, колеблющаяся по оси Ох под действием квазиупругих
сил и обладающая потенциальной энергией П(х) — mw\x2/2, назы-
называется л шейным гармоническим осциллятором1.
П(х)
ЛХА
О
L х
Рис. VI. 1.6 Рис. VI. 1.7
2°. В классической механике Ньютона линейный гармониче-
гармонический осциллятор может иметь любое значение потенциальной энер-
энергии /7(х), не превышающее значения П(А) = mtv^A2/2, в точках В
и С (В1 и С'), где потенциальная энергия равна полной энергии.
Скорость гармонических колебаний (IV.1.2.1°) осциллятора также
может принимать любые значения, ограниченные запасом полной
энергии Е осциллятора. Никаких ограничений на характер возмож-
возможных изменений полной энергии Е в классической механике не на-
накладывается. В квантовой механике изменение полной энергии ос-
осциллятора происходит иначе (п. 6°).
3°. Одномерное движение частицы вдоль оси Ох (рис. VI. 1.7)
может быть ограничено следующим образом. В области О ^ х ^ L
частица движется свободно. За пределы области OL она выйти не
может. На границах области OL, в точках х = 0 и х = I, по-
потенциальная энергия П частицы становится равной бесконечности.
Такое движение частицы называется движением в прямоугольной
одномерной потенциальной («ловушке») яме. Иллюстрацией та-
такого движения является следующая модель: частица движется по
дну плоского ящика с идеально отражающими бесконечно высоки-
высокими стенками (см. также потенциальный барьер, VI.4.7.20).
От латинского слова «oscillare» — колебаться.

1.4. Линейный гармонический осциллятор 437
4°. Движение электрона внутри потенциальной ямы сопровож-
сопровождается распространением дебройлевской волны (VI. 1.1.3°). На стен-
стенках потенциальной ямы происходит отражение волны, и в резуль-
результате наложения падающей и отраженной волн образуются стоячие
волны де Бройля (VI.3.10.10). Условие образования стоячих волн
на длине L потенциальной ямы аналогично условию образования
стоячих волн в струне, закрепленной обоими концами (VI.3.10.70).
На длине L должно укладываться целое число полуволн:
"у =? (л=1, 2, 3, ...),
где п — целое число,
п
Длины дебройлевских волн электрона, движущегося в потенци-
потенциальной яме, могут принимать лишь определенные значения, обрат-
обратно пропорциональные ряду целых чисел п (дискретные1 значения
длин волн). Скорость vn электрона в потенциальной яме по фор-
формуле де Бройля (VI. 1.1.3°) vn = h/mXn = nh/2mL. Скорость vn
принимает дискретные значения, прямо пропорциональные целым
числам п.
5°. Импульс рп — mvn электрона в потенциальной яме имеет
дискретные значения:
__nh
Pn-mvn--.
Энергия Еп электрона, «запертого» внутри потенциальной ямы
прямоугольной формы и бесконечной глубины,
mv2 n2h2
п== ~2~ = SmL2'
Энергия Еп может иметь только дискретные значения, прямо
пропорциональные квадратам целых чисел п. Физические величины
(например, энергия, импульс и др.), которые могут принимать лишь
дискретные (квантованные) значения, называются квантованными
физическими величинами (квантование физических величин).
6°. Для линейного гармонического осциллятора потенциальной
ямой является область оси Ох, ограниченная кривой потенциальной
2От латинского «discrctus» — прерывистый, состоящий из отдельных значений.

438 Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
энергии П(х) = кх112, и запасом полной энергии Е осциллятора.
Для двух значений Е\ и Ei полной энергии осциллятор может коле-
колебаться с амплитудами смещения, соответственно равными А\ и Аг,
т.е. он «заперт» на участках ВС и В'С' прямых, параллельных оси
Ох (рис. VI. 1.6).
Волновые свойства линейного гармонического осциллятора при-
приводят к тому, что возможные квантованные значения его полной
энергии {энергетические уровни осциллятора) имеют вид
En = (n + l/2)hv0 = (л + l/2)hw0,
где и = 0, 1, 2, 3, ... — целые числа, h — постоянная План-
Планка, vq — собственная частота колебаний осциллятора (VI. 1.3.3°),
w;o = 2jtvo — циклическая собственная частота, h = h/2n. На
рис. VIЛ .8 представлены энергетические уровни линейного гар-
гармонического осциллятора, прямо пропорциональные ряду полуце-
П(х) лых чисел. Энергетические уров-
уровни расположены на одинаковых
E2=yhv0 «энергетических расстояниях»
Друг от друга. Наименьшее зна-
Е-I
\ чение Eq энергии линейного гар-
У Zlj)~ T vo монического осциллятора (при
х п = 0) ?0 = Avo/2 = hwo/2
Рис. VIЛ .8 называется нулевой энергией. Ее
нельзя уменьшить никакими внешними воздействиями. В нуль Eq
не обращается ни при каких сверхнизких температурах, в том чи-
числе и при абсолютном нуле температуры (Т = 0 К = —273.15°С)
A1.4.9.4°). Существование нулевой энергии у частицы является чи-
чисто квантовым эффектом. (О природе нулевой энергии см. VIЛ.7.3°.)
7°. Квантование физических величин в определенных условиях
является принципиально новым, важнейшим результатом квантовой
механики. В классической механике и во всей классической физике
физические величины, характеризующие любые физические явле-
явления, изменяются, как правило3, непрерывно. Идея Планка о том,
что энергия атома-излучателя может принимать лишь определен-
определенные значения (V.3.2.30), получила в квантовой механике последова-
последовательное развитие.
3 Исключение составляют, например, собственные частоты колебаний закреплен-
закрепленных струн и пластин (IV.3.10.70).

1.5. Соотношения неопределенностей 439
8°. Результаты, приведенные в пп. 4°, 5°, имеют общее значение.
В атомах, молекулах и их коллективах энергии электронов име-
имеют квантованные значения, которые называются уровнями энергии
{электронные энергетические уровни). Число и, которое опреде-
определяет квантованное значение энергии электрона, называется кван-
квантовым числом. Для электронов в атомах или молекулах число п
называется главным квантовым числом (VI.2.5.30). Это назва-
название связано с тем, что кроме квантового числа п имеются другие
квантовые числа, от которых зависят физические величины, харак-
характеризующие электроны в атомах и молекулах (VI.2.8.40).
Стационарным квантовым состоянием электрона (или лю-
любой другой частицы) называется его состояние с определенным,
квантованным значением энергии Еп4. Стационарное квантовое сос-
состояние частицы не изменяется с течением времени в отсутствие
внешних воздействий на частицу.
1.5. Соотношения неопределенностей
1°. Возбужденный атом (VI.2.5.30) имеет избыток энергии по
сравнению с атомом, находящимся в нормальном энергетическом
состоянии. Переход из возбужденного состояния в нормальное
длится конечное время г « 10~8 с
и сопровождается излучением света
(VI.2.4.30). С точки зрения волно-
волновой оптики это означает, что излуче-
излучение атомом электромагнитной волны
продолжается конечное время г. За ис. . .
это время атом излучает «оборванную синусоиду», которая назы-
называется волновым цугом5. Длина (протяженность в пространстве)
волнового цуга в вакууме Ах = ст — Зм (рис. VI.1.9). Длина
световой волны составляет Я « 10~6м. На длине волнового цуга,
испущенного атомом за один акт излучения, укладывается несколь-
несколько миллионов длин волн.
4О полной характеристике квантового состояния электрона в атоме и в других
коллективах частиц см. VI.2.8.40.
От немецкого «Wellenzug» — последовательность волн.

440 Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
2°. Волновой цуг не может быть строго монохроматическим, т. е.
не может иметь определенную частоту v или длину волны Я в ва-
вакууме (IV.4.2.50). Волновой цуг неизбежно содержит некоторый
диапазон Av частот6. Ширина интервала циклических частот
Aw = 2л ¦ Av,
содержащихся в волновом цуге, обратно пропорциональна длитель-
длительности г цуга:
Aw « —, или Аи; • т « 1.
т
Длительность испускания света возбужденным атомом составля-
составляет обычно г « 10~8с, поэтому Лш « 1/г « 108с~1. Эта величина
называется естественной шириной спектральной линии. В назва-
названии подчеркивается, что спектральные линии в линейчатом спектре
атомов (V.3.4.20) не могут быть более узкими,чем Лш.
3°. Диапазону частот, который неизбежно содержится в волно-
волновом цуге, соответствует некоторый интервал длин волн АЯ, или
определенный диапазон Ak волновых чисел. Протяженность в про-
пространстве волнового цуга Ах (п. 1°) обратно пропорциональна ин-
интервалу Ak волновых чисел, содержащихся в цуге7:
Ах • Ак& 1, Ах « -—.
Ak
Соотношения пп. 2° и 3° справедливы для волн любой физиче-
физической природы: электромагнитных, акустических и волн де Бройля,
связанных с движущимися частицами.
4°. Для волны любой природы представление о том, что она
имеет некоторые координаты, находится в определенном месте про-
пространства, лишено физического смысла. Например, если волна, рас-
распространяющаяся по поверхности воды, достигла лодки, то не имеет
смысла утверждать, что волна находится только в том месте, где она
встретилась с лодкой. Из физического смысла волн де Бройля сле-
следует, что протяженность Ах волнового цуга дебройлевской волны
связана с положением частицы в пространстве (VI.1.3.30). Для ми-
микрочастиц, обладающих волновыми свойствами, понятие о коорди-
6Обоснование этого важного вывода выходит за рамки данного справочного ру-
руководства.
Рассматривается случай распространения волнового цуга вдоль оси Ох.

1.5. Соотношения неопределенностей 441
нате частицы должно применяться в ином смысле, чем в классиче-
классической механике. Когда шар движется по горизонтальному желобу при
игре в кегли, положение (координата) шара совершенно точно опре-
определяется расстоянием центра масс A.2.3.4°) шара от начала жело-
желоба. В любой задаче классической ме- д^
ханики материальная точка (или те- |* | ^
ло) в каждый момент времени имеет О Л/ х
определенные координаты, характе-
характеризующие положение точки в про- с* ^1.1.10
странстве. Когда частица М, обладающая волновыми свойствами,
движется вдоль оси Ох (рис. VI. 1.10), ее координата на этой оси
может быть определена лишь с точностью до величины Ах, на-
называемой неопределенностью координаты частицы. Неопреде-
Неопределенность Ах координаты оценивается линейными размерами той
области пространства, в которой находится цуг волн, связанный с
движущейся частицей.
5°. Неопределенность Ах положения частицы на оси Ох опре-
определяет интервал Ak волновых чисел де Бройля, связанных с движу-
движущейся частицей (п. 3°): Ak ~ 1/А.г. Неопределенностью импуль-
импульса частицы называется величина Ар, определяемая соотношением,
вытекающим из формулы де Бройля (VI. 1.1.3°): Ар = h ¦ Ak.
Для частиц, обладающих волновыми свойствами, понятие им-
импульса частицы должно применяться иначе, чем в классической ме-
механике. В классической механике каждому определенному значению
координаты частицы соответствует определенное значение ее ско-
скорости v, или импульса р = mv, где т — масса частицы. В кван-
квантовой механике в связи с тем, что частицы обладают волновыми
свойствами, координата х частицы8 определяется с точностью до
величины Ах и импульс р частицы также не имеет точного значе-
значения. Импульс р определяется лишь с точностью до величины Ар
неопределенности импульса, причем
Ар = h ¦ Ак « —, или Ах • Ар « ft.
Произведение неопределенностей координаты частицы и ее импуль-
импульса имеет значение порядка постоянной Планка (соотношение не-
неопределенностей Гейзенберга).
8Рассматривается движение частицы только в одном направлении, вдоль оси Ох.

442 Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
При движении частицы в произвольном направлении справедли-
справедливы соотношения неопределенностей
Ах • Арх « ft, Ду • Ару «ft, Az • Apz « ft,
где Ах, Av и Az — неопределенности координат частицы по осям
Ox, Оу, Oz; Apx, Apy, Apz — неопределенности проекций импуль-
импульса частицы по тем же осям.
6°. Соотношение неопределенностей показывает, что координа-
координата х частицы М и ее импульс р не могут одновременно иметь
значения, в точности равные х и р. Неопределенность Ах коор-
координаты и Ар импульса не могут одновременно обращаться в нуль,
ибо, если одновременно Ах = 0 и Ар = О, соотношение неопреде-
неопределенностей теряет смысл. Соотношение неопределенностей допуска-
допускает обращение в нуль неопределенности одной из величин, например
Ар = 0. Это означает, что частица имеет строго определенное зна-
значение импульса р (или скорости и), но тогда Ах « h/Ар = сю.
Следовательно, положение частицы на оси Ох (ее координата) ста-
становится совершенно неопределенным: частицу можно обнаружить в
любом месте на оси Ох (рис. VI. 1.10) в пределах от 0 до ос.
7°. В связи с тем, что у макроскопических тел волновые свойства
не обнаруживаются (VI. 1.3.2°), соотношение неопределенностей не
накладывает для таких тел никаких ограничений на возможность
определения их координат и импульсов. Макроскопическое тело,
движущееся по оси Ох (рис. VI. 1.10), может одновременно иметь
точные значения координаты и импульса.
1.6. Роль соотношений неопределенностей
при изучении движения микрочастиц
1°. Если частица, обладающая волновыми свойствами, движет-
движется в области, линейные размеры которой много больше размеров
атома (VI.2.1.10), то соотношение неопределенностей практически
не ограничивает возможности частице иметь одновременно точное
значение координаты и имупульса. Это можно пояснить следующей
задачей.
Пусть электрон движется в бетатроне (VIA 16.3°) по окружнос-
окружности радиусом в 2.5 м со скоростью v = 2.97 • 108 м/с. Найти неопре-
неопределенность скорости Аи, если радиус траектории определен с не-
неопределенностью Аг, составляющей 0.002% от радиуса траектории.

1.6. Соотношения неопределенностей и микрочастиц 443
Неопределенность Аг радиуса траектории составляет Аг = г х
х0.002% = 0.05мм, т.е. траектория определена весьма точно. Не-
Неопределенность скорости будет, в согласии с формулами, приведен-
приведенными в (VI. 1.5.5°):
Av « '— ^0.3 м/с.
т - Аг
При этом масса электрона должна быть взята с учетом зависимости
массы от скорости (V.4.10.30): т — шо/лЛ ~ v2/c2 — 7.1wq. Масса
покоя электрона то = 9.1 • 10~31 кг.
При скорости электрона, почти равной скорости света, неопре-
неопределенностью скорости Av = 30 см/с можно пренебречь и считать,
что скорость электрона определена совершенно точно. Электрон
движется по окружности определенного радиуса и имеет точное зна-
значение скорости.
При движении электрона в электроннолучевой трубке
A11.3.10.3°) мы имеем дело с ситуацией, аналогичной предыдущей
задаче. Электрон движется по вполне определенной траектории.
В каждый момент времени он имеет точное значение координаты и
точное значение скорости.
2°. При движении электрона в атоме соотношение неопределен-
неопределенностей вносит серьезные изменения в классические представления
о траектории электрона — его орбите (VI.2.2.10).
Радиус атома приблизительно равен г « 5 • 10~п м. Скорость
электрона на орбите v « 106 м/с. Если предположить, что неопреде-
неопределенность радиуса орбиты составляет один процент от радиуса, т. е.
Аг = 0.01 • г = 5 • 103 м, то неопределенность скорости Аг;
k 10~~34
Av = — « л ^ -, с ЛГк п м/с = 2.2 • 108 м/с,
т-Аг 9- Ю-31 -5- 10-13
т. е. превышает в 220 раз значение самой скорости; Аи почти равна
скорости света. Скорость электрона, движущегося по орбите опре-
определенного радиуса, становится совершенно неопределенной, и не
имеет смысла говорить о движении электрона в атоме по опреде-
определенной траектории — орбите9. Если, наоборот, задаться разумным
значением неопределенности скорости Av электрона, например по-
полагая, что Аи = 0.01 • v — 104м/с, то неопределенность радиуса
9О квантовомеханическом смысле понятия орбиты электрона в атоме см. VI.2.6.30

444 Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
Аг равна Аг = h/m • Аи = 10~34/104 • 9 • 101 м = 1.1 • 10~8 м и
в 220 раз превышает радиус орбиты. Таким образом, радиус орбиты
становится совершенно неопределенным, и, следовательно, считать,
что электрон движется по орбите, понимаемой в смысле классичес-
классической траектории в механике A.1.1.7°), нельзя.
1.7. Нулевая энергия линейного
гармонического осциллятора
1°. Нулевая энергия Eq линейного гармонического осциллятора
(VI. 1.4.6°) связана с квантовыми свойствами осциллятора и соотно-
соотношением неопределенностей. Если частица с массой т колеблется с
амплитудой/1 вдоль оси Ох (осциллятор) (рис. VI. 1.6), то ее полная
энергия ?о в момент достижения точек поворота В и С
2°. Если частица с массой т обладает волновыми свойствами
{квантовый линейный гармонический осциллятор), то деброй-
левская волна, связанная с частицей (VI. 1.1.3°), «заперта» в области
с линейными размерами А, где А — амплитуда смещения осцилля-
осциллятора. Неопределенность Ах координаты частицы (VI. 1.5.4°) будет
Ах & А. Согласно соотношению неопределенностей (VI. 1.5.5°) не-
неопределенность импульса частицы Ар
h h
F ~ Ах ~ А'
Импульс р частицы не может быть меньше, чем неопределен-
неопределенность импульса А/710: р ^ Ар. Импульс /?, равный по модулю
неопределенности импульса Ар, называется импульсом локализо-
локализованной11 частицы: р = Ар.
У частицы, обладающей волновыми свойствами, всегда суще-
существует некоторая нулевая энергия (VI. 1.4.6°), которая представля-
представляет собой энергию локализованной частицы Eq. Это — наимень-
!0Обоснованис этого вывода выходит за рамки данного руководства.
11 От латинского «localis» — ограничение чего-либо известными пространственны-
пространственными пределами. В нашем случае — ограничение положения частицы.

1.8. Понятие о вырождении газов 445
шая энергия, определяемая импульсом локализованной частицы
р ~ h/ Ax:
_ Р2 h2
и 2т 2т(АхJ'
3°. Для квантового линейного гармонического осциллятора
Ах ~ А и Eq « Н2/2тА2. С другой стороны, согласно п. 1°,
Eq = тсо^А2/2. Перемножая два выражения для Eq и извлекая ква-
квадратный корень, получим Eq = hcoo/2 (VI. 1.4.6°).
Нулевой энергии квантового гармонического осциллятора соот-
соответствуют некоторые «нулевые колебания» частицы, которые про-
происходят при температурах, как угодно близких к абсолютному нулю
(Т = О К) A1.4.9.4°). Существование нулевой энергии подтвержде-
подтверждено экспериментально в явлении рассеяния света кристаллами твер-
твердых тел при сверхнизких температурах. Рассеяние света происходит
на колеблющихся атомах, молекулах или ионах, расположенных в
узлах кристаллической решетки A1.1.6.5°). С классической точки
зрения при Т —> О К должны прекращаться колебания узлов ре-
решетки и должно прекратиться рассеяние света. Опыты показали,
что при уменьшении температуры тела интенсивность рассеянного
света не убывает ниже некоторого предела и сохраняется при даль-
дальнейшем охлаждении. Происходит это потому, что при сверхнизких
температурах, близких к абсолютному нулю, сохраняются «нулевые
колебания» узлов решетки и происходит рассеяние света.
1.8. Понятие о вырождении газов
1°. Вырождением газов называется отклонение их свойств от
свойств идеальных газов A1.2.1.1°), вызванное квантовыми свойства-
свойствами как самих частиц газов, так и их коллективов. Вырождение газов
становится существенным при весьма низких температурах и боль-
больших плотностях.
Температурой вырождения Гвыр называется такая температу-
температура, ниже которой данный газ ведет себя как вырожденный. При
Т > ^ь,р газ не вырожден и его свойства описываются уравнением
Клапейрона—Менделеева для идеальных газов A1.3.3.7°). Условие
вырождения газов: Т < Гвыр.

446 Отдел VI. Гл. 1. Элементы квантовой механики
На рис. VI. 1.11 показана зависимость средней кинетической
энергии частицы газа I от температуры Т. При Т > Тъщ прямая
А В выражает характерную для идеальных газов прямую пропорци-
пропорциональности между е и Т. При Т < Гвыр, в области вырождения В С,
имеется нелинейная зависимость I от Т. (Из-за малого размера ри-
^ сунка легкий наклон участка В С не заме-
заметен.) В этой области определение термоди-
термодинамической температуры Т как величины,
прямо пропорциональной средней кинети-
С\ ^ ческой энергии молекулы газа A1.2.4.4°),
непригодно. Отрезок ОС на оси ординат
характеризует нулевую энергию частицы.
Рис. VI. 1.11 2°. Энергия локализованной частицы с
массой m (VI. 1.7.2°), Eq = H2/2mL2, где L — линейные размеры об-
области, в которой локализована частица12. Энергию Eq можно связать
с температурой вырождения. Если п — число частиц в 1 см3 газа,
то L = n~~^fc 13. Средняя кинетическая энергия частицы при тем-
температуре вырождения Гвыр равна I = C/2)кТшр A1.2.4.4°), где к —
постоянная Больцмана A1.2.4.4°). Из равенства двух выражений для
энергии Eq = e получим
О Твыр
3°. Если можно пренебречь конечным значением постоянной
Планка, т.е. считать, что h -> 0, то можно считать, что Тъщ -* 0.
В этом случае вырождением газов можно пренебречь. В реальном
случае, например для водорода (т « 2 • 10~27 кг), при нормальных
условиях (Т = 300 К ил^З-1025 м~3) Гвыр « 1 К. Для газов более
тяжёлых, чем водород, Гвыр еще меньше. Атомарные и молекулярные
газы при нормальных давлениях и температурах никогда не бывают
вырождены. Точка В на рис. VI. 1.11 находится вблизи абсолютного
нуля температуры. Вырождение, вызванное квантовыми свойствами
газов, сказывается значительно меньше, чем отклонение газов от
идеальности, связанные с силами взаимодействия между молекула-
молекулами реальных газов A1.1.4.1°).
12См. сноску 11 на стр. 444.
13 Это следует из условия 1?п = 1.

2.1. Ядерная модель атома Резерфорда 447
4°. Для электронного газа в металлах A1.7.1.2°) п « 1029м~3,
ш = 910~31кги Гвыр = 1.84• 104К. Вследствие малой массы элек-
электронов и большой плотности частиц электронный газ практически
всегда вырожден. Только при очень высоких температурах, выше
нескольких десятков тысяч градусов, электронный газ подчинялся
бы законам идеального газа. Но существование металла в конден-
конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. Из-за
вырождения электронного газа выводы о его свойствах, полученные
с помощью молекулярно-кинетической теории идеальных газов, —
закон Ома для плотности тока j A11.2.4.7°) — находятся в резком
противоречии с опытом. Для правильного описания электропровод-
электропроводности металлов применяются методы квантовой механики14.
5°. С увеличением концентрации п частиц в вырожденном газе
потенциальная энергия взаимодействия его частиц П « е2п1/3 рас-
растет медленнее,15 чем кинетическая энергия частиц ?о = /г/?2/3/2ш
(?о ~ я2/3, аЯ~ я1/3, поэтому с увеличением концентрации Eq рас-
растет быстрее, чем Л). С ростом концентрации частиц свойства вы-
вырожденного газа становятся более близкими к свойствам идеально-
идеального газа. Для обычных, невырожденных газов справедливо обратное:
с уменьшением концентрации молекул (атомов) газа его свойства
становятся более близкими к свойствам идеального газа.
Глава 2
Строение атома
2.1. Ядерная модель атома Резерфорда
1°. Ядерной (планетарной) моделью атома называется такая
модель структуры атома, в которой весь положительный заряд атома
считается сосредоточенным в ядре (VI.4.1.1°) — области, занима-
занимающей весьма малый объем по сравнению со всем объемом атома.
Линейные размеры ядра приблизительно 10~15-10~14 м. Остальную
часть атома, линейные размеры которого приблизительно 10~10м,
занимает облако отрицательно заряженных электронов. АбсоЛЮТ-
^ведения о таком описании выходят за рамки данного руководства.
15П « е2/г, но г ~ я~1//3, ибо rJn ~ 1 (см. сноску 13 на стр. 446).

448
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
ное значение суммарного отрицательного заряда электронов равно
положительному заряду ядра. Число протонов в ядре равно числу
электронов в отрицательно заряженном облаке и совпадает с по-
порядковым номером (атомным номером) Z атома данного хими-
химического элемента в периодической системе Менделеева (VI.2.9.10).
Вся масса атома практически сосредоточена в его ядре. Масса элек-
электронов, движущихся вблизи ядра, значительно меньше, чем масса
нуклонов (VI.4.1.10), содержащихся в ядре.
У
\
¦ \
2
\
Li
Рис.
VI.2.1
3
2°. Ядерная модель явилась результатом опытов Резерфор-
да, изучавшего прохождение а-частиц (VI.4.4.10) через тонкие ме-
металлические пластинки золота и платины. Альфа-частицы, испуска-
испускаемые ядром урана (VI.4.7.20), имеют энергию в 4.05 МэВ. С по-
помощью таких частиц Резерфорд и его сотрудники «прострелива-
«простреливали» тонкие пластинки металлов и изучали рассеяние а-частиц в
веществе. Упрощенная схема опытов изображена на рис. VI.2.1.
а-частицы испускались источником 7, помещенным внутри свин-
свинцовой полости с каналом 2. Все а-частицы, кроме движущих-
движущихся вдоль канала, поглощались свинцом. Узкий пучок а-частиц по-
попадал на фольгу из золота 3 перпендикулярно к ее поверхности;
а-частицы, прошедшие сквозь фольгу и рассеянные ею, вызывали
вспышки (так называемые сцинтилляции1) на экране 4, покры-
покрытом веществом, способным светиться при ударе об него частиц
(флуоресцирующее2 вещество). В пространстве между фольгой и
экраном обеспечивается достаточный вакуум A11.3.7.1°), чтобы не
происходило дополнительного рассеяния а-частиц в воздухе. Кон-
Конструкция прибора позволила наблюдать а-частицы, рассеянные под
углом до 150°.
От латинского «scintillatio» — сверкание, кратковременная вспышка света.
2Флуоресцснция является одним из видов люминесценции (V.3.3.10).

2.1. Ядерная модель атома Резерфорда 449
3°. Опыты Резерфорда показали, что почти все а-частицы, про-
прошедшие сквозь фольгу, сохраняли после прохождения прежнее на-
направление своего движения или отклонялись на очень малые углы.
Лишь некоторые а-частицы отклонялись на большие углы, поряд-
порядка 135-150°.
Результаты опытов Резерфорда получили простое объяснение
с точки зрения ядерной модели атома (п. 1°). При прохождении
а-частицы сквозь электронную оболочку атома а-частица не долж-
должна испытывать заметного отклонения от первоначального направле-
направления. Масса электрона значительно меньше массы а-частицы, а от-
отрицательный заряд всех электронов распределен по всему объему
электронной оболочки, а-частицы, которые встречают электроны на
своем пути в веществе, практически на них не рассеиваются. Только
те немногочисленные а-частицы, которые проходят вблизи от ядра,
испытывают резкие отклонения. На малых расстояниях г от ядра по-
положительно заряженная а-частица, имеющая заряд -\-2е (VI.4.4.20),
испытывает значительную силу отталкивания F от ядра3:
1 2еРе
4jt?o r1
Здесь Р — число протонов в ядре, ео — электрическая постоянная,
е = 1.6-10~19Кл — модуль элементарного электрического заряда.
4°. На рис. VI.2.2 представлена траектория а-частицы вблизи
атомного ядра. Резерфорду удалось вывести формулу, которая свя-
связывала число а-частиц, рассеянных на определенный угол #, с энер-
энергией а-частиц и числом Р протонов в ядре. Опытная проверка
В А 7
ол-Ze
Налетающая
а-частица
Рис. VI.2.2
формулы Резерфорда подтвердила ее справедливость и показала, что
Р = Z, где Z — атомный номер химического элемента (VI.2.9.10).
Это совпадение является важным доказательством того, что ядерная
модель атома соответствует действительному строению атома.
3Все формулы в главе 2 приводятся в СИ.

450 Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
5°. Если а-частица с массой т налетает на ядро с зарядом Ze
по прямой В Л (центральный удар) (рис. VI.2.2), то наименьшее рас-
расстояние d между а-частицей и ядром определяется из условия
mf_ _ I Be)(Ze)
На расстоянии d вся кинетическая энергия а-частицы переходит в
потенциальную энергию электростатического отталкивания ядра и
а-частицы. Из этой формулы определяется линейный размер облас-
области, занятой ядром атома: d « 10~15-т-10~14м.
2.2. Трудности классического объяснения
ядерной модели атома
1°. Электроны атома, в соответствии с ядерной моделью, долж-
должны двигаться относительно ядра4. В противном случае в результате
кулоновских сил притяжения к ядру электроны сразу же упали бы
на ядро. Характерная для атома динамическая устойчивость объ-
объясняется большими скоростями движения электронов (и « 106 м/с).
Рассмотрим простейший атом — атом водорода, состоящий из
ядра — протона и одного электрона. Орбитой электрона в клас-
классическом смысле называется замкнутая траектория его движения5
относительно ядра. Скорость v электрона, движущегося по окруж-
окружности радиуса г, определяется из условия, что центростремительной
силой A.2.4.5°), удерживающей электрон на орбите, является куло-
новская сила его притяжения к ядру A11.1.2.5°):
mv2 e2
где т — масса электрона, е — его заряд, ео — электрическая пос-
постоянная. На орбите радиуса г « 10~10м электрон имеет скорость
v « 106м/с. При этом центростремительное ускорение электрона
а = v2/r A.1.9.1°) составляет а « 1022м/с2.
Везде в главе 2 ядро рассматривается неподвижным.
5Уточнения понятия об орбите электрона рассмотрены в VI. 1.6.2° и VI.2.6.30.

2.3. Линейчатый спектр атома водорода 451
2°. Ускоренное движение электрического заряда в атоме долж-
должно сопровождаться излучением электромагнитных волн с частотой,
равной частоте обращения электрона вокруг ядра (IV.4.4.30). Энер-
Энергия электрона в атоме должна при этом непрерывно уменьшаться
за счет излучения, и атом не может быть устойчивым. Электрон
не сможет удержаться на орбите. Он должен по спирали, с непре-
непрерывно изменяющейся частотой, приближаться к ядру и упасть на
него. Спектр атома водорода должен содержать всевозможные час-
частоты, т. е. атом водорода должен давать излучение с непрерывным
спектром частот (V.3.4.4a).
3°. Все результаты, приведенные в пп. 1°, 2°, получены с помо-
помощью классической механики и электродинамики. Они находятся в
резком противоречии с опытом и свидетельствуют о том, что приме-
применять к электронам в атомах законы классической физики нельзя. Со-
Современная теория атома основана на квантовой механике (VI. 1.1.1°).
2.3. Линейчатый спектр атома водорода
1°. Спектр излучения атома водорода является линейчатым
(V.3.4.20). Частоты vmn линий этого спектра описываются формулой
Балъмера—Ридберга:
где R = 3.293 • 1015с 1 называется постоянной Ридберга6. Це-
Целые числа пит называются главными квантовыми числами
(VL2.5.30), причем т = п + 1, п + 2 и т.д.
2°. Группа спектральных линий с одинаковым значением п назы-
называется серией спектральных линий. Наибольшая частота для ка-
каждой серии с главным квантовым числом п соответствует значению
ш = оои называется границей серии или спектральным термом
т R
1
6Постоянной Ридберга называется также величина R/c, где с — скорость света в
вакууме; R/c измеряется в м~* (VI 1.8).

452
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
Е,эВ
Серия Бальмера
Щ оо го г
'^ « оо «л
t§ «о w-i rsi
s « N г-
2 <N О ON
1
Рис. VI.2.3
Частота vmn линии равна разности термов:
При п — 1 получается серия линий, расположенная в далекой
ультрафиолетовой части спектра {серия Лаймана):
1
где т = 2, 3, ... .

2.4. Постулаты Бора 453
При п = 2 наблюдается серия Бальмера, расположенная в ви-
видимой части спектра:
(
\22 т2
где m = 3, 4, 5, ....
В инфракрасной части спектра расположены другие серии спек-
спектральных линий. На рис. VI.2.3 изображены серии спектральных ли-
линий атома водорода. Слева на шкале показаны значения энергий в
эВ (VI.2.5.30) для спектра атома водорода.
3°. Линейчатый спектр атома водорода находится в проти-
противоречии с классическим истолкнованием ядерной модели атома
(VI.2.2.20).
2.4. Постулаты Бора
1°. В основе квантовой теории строения атома, развитой Бором
(воровская теория строения атома), лежит идея объединения в
единое целое:
а) закономерностей линейчатого спектра атома водорода, выра-
выраженных в формуле Бальмера—Ридберга;
б) ядерной модели атома Резерфорда, не допускающей класси-
классического объяснения;
в) квантового характера излучения и поглощения света
(V.5.1.40).
2°. Для осуществления этой идеи Бор, сохраняя классический
подход к описанию поведения электрона в атоме, выдвинул правило
частот и два постулата, которые называются постулатами Бора7.
Первый постулат Бора (постулат стационарных состоя-
состояний): в атоме существуют стационарные квантовые состояния, не из-
изменяющиеся с течением времени без внешних воздействий на атом.
В этих состояниях атом не излучает электромагнитных волн.
Каждому стационарному состоянию соответствует определенная
7Теория Бора иногда называется полуклассической теорией строения ато-
атома. Это название связано с тем, что Бор внес в описание поведения электрона с
помощью законов механики и электродинамики постулаты, которые противоречили
классической физике.

454 Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
энергия атома Еп. Стационарным состоянием атома соответствуют
стационарные орбиты, по которым движутся электроны. При движе-
движении по стационарным орбитам электроны, несмотря на то что они
движутся ускоренно, не излучают электромагнитных волн. В пер-
первом постулате Бора содержится отказ от выводов электродинамики
о том, что ускоренно движущийся электрический заряд всегда из-
излучает электромагнитные волны (IV.4.4.30).
3°. Правило частот Бора: при переходе атома из одного ста-
стационарного состояния в другое испускается или поглощается один
фотон (V.5.1.20). Атом излучает (поглощает) один квант электро-
электромагнитной энергии, когда электрон переходит с орбиты с большим
(меньшим) на орбиту с меньшим (большим) главным квантовым
числом. Энергия фотона равна разности энергий атома в двух его
стационарных состояниях:
nVmn — tLm tLn.
Если Ет > Еп, то происходит излучение фотона; если Ет < Еп —
поглощение фотона.
Частота vmn, которая испускается (поглощается) атомом,
F F
Vmn — ~7~ 7~ •
h h
С другой стороны, на основании VI.2.3.20
Vmn ~- In *nii
где Т„ и Тт — спектральные термы, соответствующие главным кван-
квантовым числам num.
Из правила частот Бора следует обращение спектральных ли-
линий: атомы поглощают только те спектральные линии (частоты),
которые они сами могут испускать (V.3.4.50).
Правило частот Бора явилось дальнейшим развитием идеи
о квантовом характере излучения и поглощения света.
Второй постулат Бора (правило квантования орбит): в ста-
стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой
орбите, должен иметь дискретные, квантованные значения мо-
момента импульса (момента количества движения) A.3.2.2°):
Ln = mvnrn = nh, n = I, 2, 3, ... .

2.5. Модель атома водорода по Бору 455
Здесь т — масса электрона, гп — радиус п-й орбиты, vn — ско-
скорость электрона на этой орбите, h = к/2я (о квантовании момента
импульса см. также VI.2.7.10).
Второй постулат Бора получает простое истолкование, если
учесть волновые свойства электрона (VI. 1.1.3°). По аналогии с тем,
как ведет себя дебройлевская волна электрона, движущегося в по-
тенцальной яме прямоугольной формы (VI. 1.4.4°), на длине 2ягп
круговой орбиты электрона в атоме должно уложиться целое число
Хп — длин волн де Бройля: 2яг„ = пХп. Но Хп — h/mvn, и поэтому
2яг„ = n(h/mvn)9 или mvnrn = п(к/2я) = nh.
2.5. Модель атома водорода по Бору
1°. Атом водорода состоит из ядра— протона и одного электро-
электрона. В предположении, что электрон движется по круговой орбите,
постулаты Бора позволяют найти радиусы гп дозволенных, стацио-
стационарных орбит электрона8:
2Н2Dяео) 2 ^2?о
те1 яте1
Здесь е — заряд электрона, ео — электрическая постоянная. Осталь-
Остальные обозначения даны в VI.2.4.40. Радиусы орбит электрона в атоме
водорода прямо пропорциональны квадратам главного квантового
числа п.
Радиус первой орбиты в атоме водорода при п — 1 называется
первым воровским радиусом:
Г]=ао=
= 0.528 • КГ10 м = 0.528 А.
Первый боровский радиус служит единицей длины в атомной
физике.
2°. Полная энергия Е электрона в атоме водорода складывается
из кинетической энергии Е электрона и потенциальной энергии П
притяжения электрона к ядру:
Везде, где это представляется целесообразным, в формулах выделяется множи-
множитель 4лто, характерный для единиц СИ в электродинамике.

456
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
Потенциальная энергия П отрицательна (рис. VI.2.4):
^ е1
Dлто)г'
Ядро находится в начале координат О.
3°. Энергетические уровни (VI. 1.4.8°) Еп электрона в атоме во-
водорода
те
" = ~
е4 1
те4 1
Из связи между энергетическим уровнем Еп и спектральным тер-
термом Т„ (VI.2.4.30 и VI.2.3.20)
следует, что
ДА
А " w" at2
Я2яй
П(г)
О
Энергия Еп электрона в атоме водорода зависит только от од-
одного главного квантового числа п. Главным квантовым числом
называется целое число, которое определя-
определяет энергетические уровни электрона в ато-
атоме водорода. Энергетический уровень при
*г п — 1 называется основным энергетиче-
энергетическим состоянием {нормальное состояние
атома). Энергетические уровни при п > 1
называются возбужденными энергетиче-
энергетическими состояниями {возбужденные сос-
состояния атома).
Рис. VI.2.4
4°. Постоянная Ридберга R (VI.2.3.10), вычисленная из постула-
постулатов Бора, равна
те4
те4
К =
Вычисленное по этой формуле значение R с большой точностью
совпадает с экспериментальным значением этой постоянной, полу-
полученным из наблюдений частот линейчатого спектра атома водорода.

2.6. Обоснование постулатов Бора... 457
Совпадение экспериментального и теоретического значений посто-
постоянной Ридберга является подтверждением правильности теории Бо-
Бора для атома водорода.
Кроме атома водорода, теория Бора применима для водородо-
подобных ионов. Так называются ионизированные атомы с зарядом
ядра Ze и одним электроном (например, Li++, Be+++, В++++ и т.д.).
5°. Для атомов с двумя и более электронами (гелий, литий и др.)
теория, основанная на постулатах Бора, не позволяет рассчитать
энергетические уровни электронов и частоты линейчатых спектров.
Для сложных атомов с этой целью применяются методы квантовой
механики.
2.6. Обоснование постулатов Бора и физический
смысл орбиты электрона в квантовой механике
1°. В квантовой механике первый постулат и правило частот
Бора получили теоретическое обоснование. Обоснование второ-
второго постулата см. в VI.2.4.40. Постулат стационарных состояний
(VI.2.4.20) является следствием того, что в стационарном состоя-
состоянии электрона с энергий Еп квадрат амплитуды волны де Бройля
(VI. 1.3.3°) не зависит от времени. Энергия электрона в стационар-
стационарном состоянии остается постоянной. Это означает (VI. 1.3.4°), что
вероятность пребывания электрона в состоянии с энергией Еп не
изменяется с течением времени. Но если не изменяется, энергия Еп
электрона, то не будет происходить и излучения.
2°. Правило частот Бора обосновывается в квантовой механи-
механике следующим образом. Пусть стационарное состояние атома из-
изменяется под влиянием внешних воздействий и атом переходит из
состояния т в состояние п. Если происходит квантовый переход
между двумя состояниями, то электрон в атоме как бы часть време-
времени находится в одном состоянии, а часть — в другом. В квантовой
механике доказывается, что электрон в атоме ведет себя при этом
как осциллирующий, колеблющийся заряд (IV.4.4.40), который излу-
излучает свет. Частота колебаний заряда совпадает с частотой фотона,
излучаемого при переходе электрона (и всего атома) из состояния
т в состояние п\

458
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
3°. При движении электрона в атоме соотношения неопределен-
неопределенностей вносят изменения в классические представления об орбите
электрона (VI.2.2.10). Электрон, обладающий волновыми свойства-
свойствами (VI.1.1.30), можно обнаружить в разных местах в атоме.
Электронным облаком называется определенное распределе-
распределение в атоме дебройлевской волны электрона. Электронное облако
имеет разную плотность р в разных точках в атоме (VI.2.7.30).
иг(г)\ Орбитой электрона в атоме называет-
называется геометрическое место точек, в которых
с наибольшей вероятностью можно обна-
обнаружить электрон. Другими словами, это —
геометрическое место точек, где плотность
электронного облака наибольшая. В атоме
г водорода вероятность w(r) найти электрон
в основном энергетическом состоянии на
Рис. VI.2.5 расстоянии г от ядра имеет вид, изображен-
изображенный на рис. VI.2.5. Вероятность w(r) имеет наибольшее значение
на таком расстоянии от ядра, которое совпадает с радиусом первой
боровской орбиты ао в атоме водорода (VI.2.5.10).
2.7. Квантование момента импульса
электрона и его проекции
1°. Квантовая механика внесла существенные уточнения во вто-
второй постулат Бора о квантовании момента импульса (момента ко-
количества движения) L/ A.3.2.2°) электрона в атоме (VI.2.4.40).
Орбитальным квантовым числом I электрона в атоме называ-
называется целое число, определяющее возможные значения L/ электрона:
l, = y/i(i+i)h,
где h = А/2л*. Орбитальное квантовое число / не совпадает с глав-
главным квантовым числом п (VI.2.5.30). При заданном п орбитальное
квантовое число может принимать следующие значения:
/ = 0, 1, ... , (л- 1).
Возможные значения L/ в квантовой механике отличаются от
квантованных значений Ln по постулату Бора тем, что вместо глав-
ного квантового числа п (VI.2.4.40) в выражение для L\ входит
у/ЩТТ).

2.7. Квантование момента импульса электрона и его проекции 459
2°. Формула для U при / > 1 и/+1 « / дает L/ = lh и на-
напоминает постулат Бора Ln = nh. Однако возможные значения
орбитального квантового числа / отличаются от значений, кото-
которые принимает главное квантовое число п. Особенно важно то,
что / может быть равно нулю. Существуют такие состояния элек-
электрона в атоме, в которых электрон не имеет момента количества
движения (L/ =0). В боровской теории таким состояниям соот-
соответствует «орбита» электрона, проходящая через ядро атома. Как
показывают эксперименты, такие сое- , ,
тояния существуют, и это является еще
одним доказательством ограниченности
теории Бора (VI.2.5.50).
3°. Различные значения орбитально-
орбитального квантового числа / электрона явля- —"" ~~*~*~
ются в атомной физике и современной
химии основой для систематики элек-
электронных состояний в атомах и молеку-
молекулах. Приняты следующие обозначения:
если / = 0, то состояние электрона на- р vi ? 6
зывается s-состоянием; если / = 1, то
состояние электрона называется р-состоянием; состояние с / = 2,3
и т.д. называются соответственно d-, f- и т.д. состояниями в по-
порядке следования букв латинского алфавита.
В боровской теории атома различным значениям орбитального
квантового числа /9 (кроме / = 0) соответствуют различные «фор-
«формы» орбиты электрона в атоме. В квантовой механике различным
значениям / соответствуют различные распределения плотности р
электронного облака вокруг ядра (VI.2.6.30). Для л-состояния элек-
электрона в любом атоме распределение электронного облака вокруг
ядра имеет вид сферы. Плотность электронного облака наибольшая
на расстоянии от ядра, равном в атоме водорода а о (рис. VI.2.6).
4°. Энергией электрона и его моментом импульса не исчерпы-
исчерпывается перечень характеристик электрона в атоме, которые могут
принимать лишь дискретные, квантованные значения. Вектор L/ мо-
момента импульса электрона не может иметь произвольной ориента-
ориентации в пространстве. Ориентация вектора L/ во внешнем магнитном
^Введение квантового числа, играющего роль орбитального в боровской теории,
в данном руководстве не рассматривается.

460
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
поле с индукцией В характеризуется проекцией Lib вектора L/ на
направление вектора В (рис. VI.2.7):
Lib ~ L\ cos a.
Пространственным квантованием называется отсутствие
произвольных значений проекции Lib. Вектор L/ может иметь лишь
такие ориентации в пространстве, при которых проекция Lib при-
принимала бы целочисленные значения, кратные h — h/2jv.
Lib — wft.
Целое число w, определяющее возможные значения Lib, называ-
называется магнитным квантовым числом. Оно может принимать сле-
следующие значения:
т = 0, ±1, ±2, ... , ±/,
где / — орбитальное квантовое число (VI.2.7.10). Магнитное кван-
квантовое число может принимать B/-Ь 1) возможных значений. Вектор
L/ может иметь в пространстве B/ -4-1) ориентации, в соответствии
2Л
h
чв
Рис. VI.2.7
-П
-2П
d-состояпие
Рис. VI.2.8
с числом его возможных проекций на направление внешнего маг-
магнитного поля. На рис. VI.2.8 показаны возможные ориентации век-
векторов L/ для электрона в р- и flf-состояниях, т. е. при / = 1 и / = 2
(VI.2.7.30).
2.8. Спин электрона. Принцип Паули
1°. Спином электрона или другой элементарной частицы
(VI.5.1.1°) называется собственный (внутренний) момент импульса
(количества движения) частицы, обусловленный ее квантовой при-

2.8. Спин электрона. Принцип Паули 461
родой. Спин имеется у целого ряда элементарных частиц (VI.5.2.6°):
у протона, нейтрона, антинейтрино, а также у атомных ядер
(VIА 1.4°). Спин является свойством элементарных частиц, в та-
такой же мере присущим этим частицам, как масса покоя (V.4.10.30)
или электрический заряд A11.1.1.2°) (см. также 111.6.1.5°).
2°. Особенностью спина электрона (а также спина протона, ней-
нейтрона, антинейтрино и других частиц) является его квантование
(VI. 1.4.5°). Спин электрона (и других частиц) может иметь только
две ориентации во внешнем магнитном поле. Проекции спина на на-
направление индукции В внешнего магнитного поля могут принимать
только два значения A11.6.1.5°, рис. Ш.6.2):
Lsb — =b-ft.
Если ввести магнитное спиновое число ms = ±1/2, то
Lsb — msh.
3°. Наглядное представление о спине связывается с вращением
электрона вокруг его оси. Такое представление якобы «углубляет»
аналогию между строением атома и строением Солнечной системы,
где планеты обращаются вокруг Солнца и вращаются вокруг своих
осей. «Наглядное» представление о спине противоречит специаль-
специальной теории относительности (V.4.4.40). Скорости и, с которыми
должны «вращаться» вокруг своей оси точки на «диаметре» элек-
электрона — шарика, превышают скорость света с в вакууме.
4°. Стационарное квантовое состояние электрона в атоме
или молекуле характеризуется полным набором четырех кванто-
квантовых чисел: главного п, орбитального /, магнитного т и магнитно-
магнитного спинового ms. Каждое из них характеризует квантование: энер-
энергии (и), момента импульса(/), его проекции на направление внеш-
внешнего магнитного поля (т) и проекции спина (ms).
Электроны, протоны, нейтроны и другие элементарные частицы,
имеющие спин, равный Я/2, подчиняются принципу Паули (прин-
(принцип исключения): в любой системе частиц со спином ft/2 не может
быть более одной частицы, находящейся в стационарном состоянии,
определяемом данным полным набором четырех квантовых чисел.
Если Z\(я, /, ш, шЛ) есть число электронов в атоме, находящихся
в состоянии, которое задастся данным набором четырех квантовых
чисел, то
Z\(n, /, /«, ms) = 0 или 1.

462
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
5°. Наибольшее число Z2(n,l,m) электронов в атоме, находя-
находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел
п, I и т,
Z2{n,l,m) = 2.
Такие электроны отличаются лишь ориентацией спинов.
Наибольшее число Z-${n, Г) электронов в атоме, находящихся в
состояниях, определяемых двумя квантовыми числами: главным п и
орбитальным /,
Z3(n,/)=2B/ + l).
Эти электроны отличаются возможными значениями магнитного
квантового числа т (VI.2.7.40) и ориентацией спинов. В табли-
таблице VI.2.1 приведены значения Z^(n, l) для разных /.
Значение орбитального квантового
числа /
Обозначение состояния электронов
Наибольшее число Zi(n, l) электронов
0
s
2
1
Р
6
Таблица
2
d
10
3
/
14
VL2.1
4
g
18
Наибольшее число Zn электронов в атоме, которые находятся в
состояниях, определяемых значением главного квантового числа п,
Z[n) = In1.
В это число входят электроны, различающиеся возможными значе-
значениями / от 0 до (« — I) (VI.2.7.10), возможными значениями магнит-
магнитного квантового числа т (VL2.7.40) и ориентациями спинов.
6°. Электроны в атоме, занимающие совокупность состояний с
одинаковыми значениями главного квантового числа и, образуют
электронный слой. Различаются следующие электронные слои:
/2 = 2,
К-слой при п — 1, L-слой при
М-слой при п = 3, А;-слой при п = 4,
О-слой при п = 5 и т. д.

2.9. Периодическая система элементов Менделеева
463
Таблица VI.2.2
п
1
2
3
4
5
Электрон-
Электронный слой
К
L
М
N
О
Количество электронов
S
(/ = 0)
2
2
2
2
2
р
(/-1)
—
6
6
6
6
</
(/ = 2)
—
—
10
10
10
в состояниях
,/¦
(/-3)
—
—
—
14
14
g
A = 4)
—
—
—
—
18
Максималь-
Максимальное число
электронов
2
8
18
32
50
В каждом электронном слое атома электроны распределяются
по оболочкам. Оболочка соответствует определенному значению
орбитального квантового числа / (VI.2.7.10). В таблице VI.2.2 при-
приведены максимальные числа электронов в разных электронных сло-
слоях и оболочках. Таблица VI.2.2, вытекающая из принципа Паули,
объясняет последовательность заполнения электронных состояний
в атомах химических элементов.
2.9. Периодическая система элементов Менделеева
1°. Периодической системой элементов Менделеева на-
называется закон периодического изменения химических и физиче-
физических свойств элементов в зависимости от их атомного номера Z
(VI.2.1.40). Через промежутки, называемые периодами в системе
Менделеева, элементы, расположенные в одном вертикальном ряду
(группе элементов), обнаруживают повторяемость физических и
химических свойств.
2°. Химические и физические свойства атомов химических эле-
элементов объясняются главным образом поведением электронов, рас-
расположенных во внешнем слое и внешней оболочке атомов. Такие
электроны называются валентными или оптическими электро-
электронами. Периодичность свойств химических элементов связана с пе-
периодичностью в расположении валентных электронов атомов раз-
различных элементов данной группы.

464 Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
3°. Теория периодической системы элементов Менделеева осно-
основывается на четырех положениях:
а) общее число электронов в атоме данного химического эле-
элемента равно порядковому номеру Z этого элемента;
б) состояние электрона в атоме определяется полным набором
четырех квантовых чисел: я, /, т и ms (VI.2.8.40);
в) распределение электронов в атоме по энергетическим состо-
состояниям должно удовлетворять принципу минимума энергии: с возра-
возрастанием числа электронов каждый следующий электрон должен за-
занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией;
г) заполнение электронами энергетических состояний в атоме
должно происходить в соответствии с принципом Паули (VI.2.8.40).
4°. Заполнение электронами состояний в различных слоях
(VI.2.8.60), а в пределах одного слоя — в подгруппах (оболочках)
происходит в соответствии с требованием пункта в) из п. 3°: сначала
заполняются состояния с наименьшей возможной энергией, а затем
состояния со все большей энергией. Для многих атомов этот поря-
порядок соответствует тому, что сначала заполняются слои с меньшим
п, а затем слои с большим значением главного квантового числа.
В пределах одного слоя сначала заполняются состояния с / = О,
а затем состояния с большими /, вплоть до / = п — 1. Заполне-
Заполнение слоев и оболочек по этому принципу должно соответствовать
таблице VI.2.2.
5°. В реальной периодической системе элементов Менделеева
иное распределение электронов в атомах по состояниям, отлича-
отличающееся от того, которое соответствует таблице VI.2.2. В результа-
результате взаимодействия между электронами при квантовых числах п — 3
(М-слой), п — 4 (//-слой) и т.д. состояния с большим п и малым /
имеют меньшую энергию и являются более выгодными энергетиче-
энергетически, чем состояния с меньшим п, но с большим /. Реальное заполне-
заполнение электронами энергетических состояний в атомах с Z от 1 до 36
показано в таблице VI.2.3. Из этой таблицы видно, например, что
нарушения идеального заполнения состояний начинаются с калия
(Z = 19). Девятнадцатый электрон калия должен был бы занять
состояние в М-слое при я = 3 и / = 2. Но химические и оптические
свойства калия аналогичны свойствам лития и натрия, у которых ва-
валентный электрон занимает состояния соответственно п — 2, / = О
и п — 3, / = 0. Поэтому и у калия его валентный девятнадцатый

2.9. Периодическая система элементов Менделеева
465
Таблица VI.2.3
Распределение электронов в атомах
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Эле-
Элемент
Н
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
К
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
Co
Ni
Cu
Zn
Ga
Ge
As
Se
Br
Kr
К
\s
1
1
to to
to to to to to to
to to
to to to to to to
to to
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
to to to to to to
L
2s 2p
1
2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
A/
3.9 3p 3</
1
2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
2 6
2 6
2 6 1
2 6 2
2 6 3
2 6 5
2 6 5
2 6 6
2 6 7
2 6 8
2 6 10
2 6 10
2 6 10
2 6 10
2 6 10
2 6 10
2 6 10
2 6 10
N
AsApAdAf
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2 1
2 2
2 3
2 4
2 5
2 6
О
5s 5/; 5d 5/
P
6s6P6d6f
Q
Is

466 Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
электрон должен находиться в s-состоянии (/ = 0). Он занимает
это состояние в следующем JV-слое (п = 4). От калия (Z — 19) до
скандия (Z = 21) при незаполненной ^-оболочке (/ = 2) в М-слое
начинается «застройка» iV-слоя. Начиная со скандия, возобновляет-
возобновляется заполнение оболочки d в слое /V/, которое заканчивается у меди
(Z = 29). Далее до криптона (Z = 36) происходит нормальное
заполнение TV-слоя10.
В настоящее время периодическая система элементов Менделее-
Менделеева содержит химические элементы с атомными номерами от Z = 1
до Z = 107.
2.10. Оптические квантовые генераторы
1°. Оптическими квантовыми генераторами (ОКГ) {генера-
{генераторами когерентного света (ГКС)) называются источники света,
работающие на принципе вынужденного (стимулированного, инду-
индуцированного) излучения либо в диапазоне ультракоротких радио-
радиоволн (мазеры), либо в оптическом диапазоне (лазерыI1.
2°. Вынужденным (индуцированным, стимулированным) из-
излучением называется излучение возбужденных атомов (молекул,
ионов) вещества, вызванное действием на вещество падающего на
него света. Атом, находящийся в возбужденном энергетическом со-
состоянии (VI.2.5.30), может перейти в низшее (обычно нормальное,
основное) энергетическое состояние под действием электромагнит-
электромагнитного поля. Электромагнитное поле как бы «сваливает» атом с воз-
возбужденного энергетического уровня вниз, на основной или менее
возбужденный уровень.
3°. Вынужденное излучение по своим свойствам совершенно
одинаково с тем излучением, которое вызывает его появление. Но-
Новый фотон, появившийся в результате того, что атом (молекула,
ион) вещества переходит с верхнего уровня Ег на нижний уро-
10Подробное обсуждение всех нарушений в идеальном заполнении электронами в
периодической системе элементов Д. И. Менделеева выходит за рамки данного руко-
руководства.
11 Термин лазер (laser) составлен из первых букв одного из вариантов английского
названия устройства: light amplification by stimulated emission of radiation — усиление
света с помощью стимулированного излучения. Термин «мазер» имеет аналогичное
происхождение.

2.10. Оптические квантовые генераторы 467
вень Е\ под действием света с частотой у = {Ег — E\)/h, ни-
ничем не отличается от фотона, вызвавшего его появление. С точ-
точки зрения волновой оптики явление вынужденного излучения сво-
сводится к увеличению интенсивности электромагнитной волны, про-
проходящей через вещество. При этом До взаимодействия После
частота волны, направление ее рас- взаимодействия
пространения, фаза и поляризация 2 '"¦
волны остаются неизменными. Вы-
Вынужденное излучение строго коге- а) Поглощение
рентно с вызвавшим его проходя-
проходящим светом (IV.3.9.30). E*
4°. Новый фотон, появившийся
в результате индуцированного из- б) Вынужденное излучение
лучения, усиливает свет, проходя-
проходящий через среду. Одновременно с ^ис- VI.2.9
индуцированным излучением происходит поглощение света. Фотон
может быть поглощен атомом, находящимся на нижнем уровне Е\.
При этом фотон исчезает и атом переходит на возбужденный уро-
уровень Ег. Поглощение фотонов уменьшает интенсивность света, про-
проходящего через среду. На рис. VI.2.9 схематически представлены два
конкурирующих друг с другом процесса: поглощения и вынужден-
вынужденного излучения. Первый процесс уменьшает число фотонов, про-
проходящих через среду. Второй процесс увеличивает число фотонов,
проходящих через среду.
5°. Среда называется усиливающей {активная среда), если про-
процессы вынужденного излучения преобладают над процессами погло-
поглощения света. В противном случае среда является не усиливающей, а
ослабляющей свет, который через нее проходит. Усиливающая сре-
среда называется также средой с отрицательным поглощением све-
света. В такой среде происходит быстрое возрастание интенсивности
J проходящего света с увеличением толщины усиливающей среды
(рис. IV.2.10) за счет лавинообразного нарастания числа фотонов.
Два фотона, образовавшиеся в одном акте вынужденного излуче-
излучения (рис. VI.2.11), при встрече с двумя атомами, находящимися на
возбужденном уровне, свалят их на нижний уровень, и после этого
будут лететь четыре одинаковых фотона и т.д. (рис. VI.2.11).
6°. Для получения среды с отрицательным поглощением света
необходимо создать в среде необычное, неравновесное состояние

468
Отдел VI. Гл. 2. Строение атома
(инверсное состояние12): число атомов (молекул, ионов) на возбу-
возбужденном уровне должно быть больше, чехм на нижнем уровне. Такое
распределение атомов по уровням является «обращенным», «пере-
«перевернутым» по сравнению с обычным. Обычно на верхних уровнях
атомов меньше, чем на нижних.
J/Jo
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
hv
He
Лазерное
излучение
Рис. VI.2.10 Рис. VI.2.11
7°. Процесс перевода среды в инверсное состояние называется
накачкой усиливающей среды.
Практически накачка осуществляется по трехуровневой схеме
ОКЕ В одном из газовых ОКГ усиливающей средой служит плаз-
плазма A11.3.6.1°) высокочастотного газового разряда A11.3.3.1°), полу-
полученная в смеси гелия с неоном. На
рис. VI.2.12 изображена упрощен-
упрощенная трехуровневая энергетическая
диаграмма такого лазера. Атомы
гелия возбуждаются ударами элек-
электронов и переходят в возбужден-
возбужденное состояние ?з- При столкнове-
столкновениях возбужденных атомов гелия
с атомами неона последние также
возбуждаются и переходят на один из верхних уровней неона. Пе-
Переход атомов неона с этого уровня на один из нижних уровней Ej
сопровождается лазерным излучением.
8°. Эффект усиления света в лазерах увеличивается за счет
многократного прохождения усиливаемого света через один и тот
же слой активной среды. Это может быть достигнуто, если по-
поместить слой среды с отрицательным поглощением (кювета с га-
Рис. VI.2.12
От латинского «inversio» — переворачивание.

2.10. Оптические квантовые генераторы
469
зом или кристалл) между двумя зеркалами, установленными па-
параллельно друг другу (рис. VI.2.13). Принципиальная схема дей-
действия ОКГ изображена на рис. VI.2.14. Фотон А, который движется
параллельно оси кюветы или кристалла, рождает лавину фотонов,
Зеркало Активная среда Полу^°^НОе ЛвТЯЩИХ В ТОМ Же Направлении
К1^^^ 3еРЩ° (Рис" VI.2.14,<z). Часть этой ла-
ЩЩЩЩШШ^ 1 вины проходит через полупро-
^""^^ ш зрачное зеркало 3 наружу, а
Рис. VI.2.13 часть отражается и нарастает в
активной среде / (рис. VI.2.14, б). Когда лавина фотонов дойдет до
зеркала 2, она частично поглотится, и после отражения от зерка-
зеркала 2 усиленный поток фотонов будет двигаться так же, как и перво-
первоначальный, «затравочный» фотон (рис. VI.2.14, в). Поток фотонов,
многократно усиленный и вышедший из генератора сквозь полупро-
полупрозрачное зеркало, создает пучок лучей света огромной интенсивно-
интенсивности с малым расхождением по углам, т. е.
остронаправленный. Фотоны В и С, ле-
летящие «вбок», под углом к оси кюветы,
или кристалла, создают лавины, которые
после небольшого числа отражений вы-
выходят из активной среды (рис. VI.2.14,<z)
и в усилении света не участвуют.
9°. Высокая когерентность и острая
направленность лучей ОКГ позволяют
с успехом использовать ОКГ для связи,
локации (IV.4.5.60). При ширине поло-
полосы излучения в 1 А на длине волны в
1 мкм теоретически можно осуществить
передачу 10000 радиопрограмм. С по-
помощью ОКГ осуществляется связь на
громадные расстояния астрономическо-
<В
^
1
в
Рис. VI.2.14
го порядка. Лучи лазеров пробивают мельчайшие отверстия в твер-
твердых веществах, таких, как алмаз, используются при сварке микро-
микродеталей. Лучи лазеров применяются в хирургии при лечении от-
отслоения сетчатки глаза. Луч лазера «приваривает» отслоившуюся
сетчатку к глазному дну (V.1.7.30). Лазерное излучение с каждым
годом получает все большее применение.

470 Отдел VI. Гл. 3. Строение и спектры молекул
Глава 3
Строение и спектры молекул
3.1. Общая характеристика химических связей
1°. Молекулы A1.1.1.3°) состоят из атомов или ионов, соединен-
соединенных в одно целое химическими связями A1.1.1.3°). Устойчивость
молекул указывает на то, что химические связи обусловлены силами
взаимодействия A1.1.4.2°), связывающими атомы в молекулах.
2°. Для разъединения молекулы на составляющие ее атомы или
ионы необходимо подвести энергию (VI.3.1.50). Образование мо-
молекулы сопровождается выделением энергии. Два атома водорода
(Н) в свободном состоянии имеют большую энергию, чем те же
атомы, образовавшие молекулу (РЬ). Энергия, которая выделяется
при образовании молекулы равна работе сил взаимодействия, кото-
которые соединяют атомы (ионы) в молекулу.
3°. Все типы химических связей обусловлены взаимодействием
между валентными электронами атомов (VI.2.9.20). Это подтвер-
подтверждается резким изменением оптических спектров атомов при обра-
образовании молекул. Линейчатые спектры атомов определяются состо-
состоянием внешних валентных электронов (VI.2.3.10). Изменения в этих
спектрах при образовании молекул означают, что меняются сос-
состояния валентных электронов. В то же время характеристические
рентгеновские спектры (V.3.6.30), зависящие от электронов, распо-
расположенных на внутренних слоях атомов (VI.2.9.40), не изменяются
при вступлении атомов в химические соединения. В образовании
химических связей участвуют электроны, состояния которых лег-
легко изменить при затрате небольшой энергии. Такими электронами
являются внешние валентные электроны.
4°. Общая характеристика сил межатомного взаимодействия ана-
аналогична такой же характеристике сил межмолекулярного взаимо-
взаимодействия A1.1.4.1°—5°). Одновременное действие противоположно
направленных сил— притяжения и отталкивания — приводит к то-
тому, что на некотором расстоянии г о между атомами обе силы урав-
уравновешивают друг друга. При г = г о геометрическая сумма сил при-
притяжения и отталкивания равна нулю. Этому расстоянию соответ-
соответствует наименьшая потенциальная энергия /7(го) взаимодействия
атомов в молекуле.

3.2. Ионные молекулы
471
Пусть один атом двухатомной молекулы находится в начале от-
отсчета координат, а второй — на некотором расстоянии г от первого.
Характер изменения проекций на направление оси г силы отталки-
отталкивания FOT,r, силы притяжения Fnp,;, а также суммарной силы />,
действующих на второй атом при изменении расстояния г показан
на рис. VI.3.1. На рис. VI.3.2 приведена кривая зависимости от г по-
потенциальной энергии П(г) взаимодействия атомов в двухатомной
молекуле (ср. с рис. II. 1.3 для потенциальной энергии межмолеку-
межмолекулярного взаимодействия).
Л(г)
Рис. VI.3.2
5°. Длиной связи называется равновесное междуатомное рас-
расстояние го в молекуле (п. 4°). Энергией диссоциации (энергией
связи) D (рис. VI.3.2) молекулы называется энергия, которую нужно
сообщить молекуле, чтобы разорвать химические связи в молекуле.
Эта энергия необходима, чтобы разъединить молекулу на составля-
составляющие ее атомы (или ионы) и удалить атомы (ионы) за пределы
дейставия межатомных сил. Энергия диссоциации равна энергии,
выделяющейся при образовании молекулы, но противоположна ей
по знаку: энергия диссоциации отрицательна, а энергия, выделяю-
выделяющаяся при образовании молекулы, положительна.
3.2. Ионные молекулы
1°. Ионными (гетерополярными1) называются молекулы, со-
состоящие из противоположно заряженных ионов A11.3.1.1°) химиче-
химических элементов, входящих в молекулу (молекулы с гетерополяр-
1От греческого «heteros» — другой, иной, разный.

472 Отдел VI. Гл, 3. Строение и спектры молекул
ной связью). Общая сумма положительных и отрицательных заря-
зарядов ионов в молекуле равна нулю, и поэтому ионные молекулы элек-
электрически нейтральны. Химическая связь (VI.3.1.10) в ионных моле-
молекулах осуществляется главным образом электростатическим при-
притяжением разноименно заряженных ионов. Типичными примерами
ионных молекул являются щелочно-галоидные соли: NaCl, RbBr, Csl
и др. Эти молекулы образуются при соединении атомов химических
элементов первой и седьмой групп системы Менделеева (VI.2.9.10).
2°. Образование ионных молекулы определяется повышенной
устойчивостью внешней восьмиэлектронной оболочки в атомах
(VI.2.8.60, таблица VI.2.2).
Рассмотрим в качестве примера образование молекулы NaCl.
Атом Na, как и другие атомы металлов первой группы (VI.2.9.10),
имеет одиннадцатый валентный электрон, слабее связанный с
ядром, чем внутренние 10 электронов. Для отщепления этого элек-
электрона необходима затрата энергии ионизации 5.1 эВ. Атом С1 и дру-
другие атомы этой группы имеют семь внешних валентных электронов.
Электронным сродством Еср называется величина, равная
энергии выделяющейся при присоединении к атому электрона. Для
хлора Еср — 3.8 эВ. Переход электрона от атома Na к атому С1
приводит к образованию ионов Na+ и С1~. Каждый из них обладает
устойчивой внешней оболочкой (VI.2.8.60, таблица VI.2.2).
3°. Электростатическое притяжение ионов Na+ и С1~ приводит
к их сближению. На весьма малых расстояниях между ионами си-
силы притяжения сменяются силами отталкивания, которые препят-
препятствуют дальнейшему сближению ионов. Эти силы вызваны глав-
главным образом отталкиванием между ядрами натрия и хлора на ма-
малых расстояниях между ними. Ионы Na+ и С1~ располагаются на
равновесном расстоянии г о Друг от друга (VI.3.1.50), соответствую-
соответствующем уравновешиванию сил притяжения и отталкивания. Образуется
устойчивая молекула NaCl с ионной связью.
4°. Превышение энергии ионизации Na над электронным срод-
сродством хлора на E.1-3.8) эВ= 1.3 эВ означает, что переход электро-
электрона от атома Na к атому С1 требует затраты энергии. С другой
стороны, при образовании молекулы выделяется энергия. При
сближении ионов Na+ и С\~ выделяется энергия их электроста-
электростатического притяжения. Образование ионов и их сближение проис-
происходят одновременно. Молекула NaCl образуется лишь после того,

3.3. Молекулы с ковалентной химической связью 473
как атомы сблизятся настолько, чтобы вместе с образованием ионов
выделившейся энергии хватило для создания устойчивой молекулы.
3.3. Молекулы с ковалентной химической связью
1°. Молекулы, образовавшиеся при соединении нейтральных, ча-
часто одинаковых атомов, называются атомными молекулами
(молекулы с ковалентной2 или гомеополярной3 связью). Приме-
Примерами таких молекул являются двухатомные молекулы типа Н2, Ог,
N2, а также HF, NO, NH3, СН4 и др. Ковалентная связь облада-
обладает свойством насыщения, которое выражается в определенной ва-
валентности атомов. Атом водорода может связаться только с одним
другим атомом водорода. Атом углерода может связать только че-
четыре атома водорода и т. д.
2°. Гомеополярная связь имеет квантовомеханическую природу.
В основу ее объяснения положены:
а) волновые свойства электрона (VI. 1.1.3°) и распределение ве-
вероятности обнаружить электрон в атоме (VI.2.6.30), в частности
сферически-симметричное электронное облако
в .s-состояниях атомов (VI.2.7.30);
б) принципиальная неразличимость тожде-
тождественных частиц, в частности электронов. Два
электрона в молекуле водорода, движущиеся
каждый вокруг своего ядра — протона, ничем
не отличаются друг от друга. У них одинаковые
заряды, массы покоя, и у обоих спины равны
ft/2 (VI.2.8.20).
3°. Пусть в молекуле водорода электроны Рис. VI.3.3
обмениваются местами: электрон /, ранее принадлежащий ядру а,
перейдет на место электрона 2, принадлежащего ядру б, а элек-
электрон 2 совершит обратный переход. В состоянии молекулы Н2 при
этом ничего не изменится, ибо электроны 7 и 2 неотличимы друг
от друга (рис. VI.3.3).
4°. Обмен электронами в молекуле Ft может происходить при
достаточном сближении ядер атомов водорода. При этом «элек-
От латинского «valentia» — валентностью.
3От греческого «homoios» — подобный, одинаковый.

474 Отдел VI. Гл. 3. Строение и спектры молекул
тронные облака» перекрываются (рис. VI.3.3), а между электрона-
электронами возникает особое квантовомеханическое обменное взаимодей-
взаимодействие. Физический смысл его состоит в том, что каждый из электро-
Я(г), эВ нов в молекуле водорода может принадле-
жать попеременно то одному, то другому
ядру — электроны непрерывно обменива-
\ .. ются местами. Иллюстрацией этого может
\ « служить непрерывный обмен мячами двух
\Х людей, находящихся поблизости друг от
друга. Если люди специально не трениро-
|/ ваны, то успешный обмен мячами возмо-
\ ; /эксп. жен лишь на близком расстоянии между
4 > партнерами.
3 4 5 5°. Квантовомеханические расчеты по-
го=1,6 г, в единицах «о называют, что если спины обоих электро-
Рис VI3 4 нов в М0ЛСКУле водорода антипараллельны
(VI.2.8.20), то обменное взаимодействие
приводит к притяжению двух атомов Н и образованию устойчивой
молекулы Н2. Потенциальная энергия П(г) взаимодействия двух
атомов имеет минимум на расстоянии го между атомами, равном
го = 1.6а о — 0.83 А, где а о — радиус первой боровской орбиты
атома водорода (VI.2.5.10) (рис. VI.3.4, кривая 7). При параллель-
параллельных спинах электронов атомы Н отталкиваются и молекула Нг не
образуется (рис. VI.3.4, кривая 2). Равновесное расстояние г о и
энергия диссоциации D (VI.3.1.50) в молекуле Н2, рассчитанные в
квантовой механике, находятся в хорошем согласии с эксперимен-
экспериментально полученными значениями этих величин.
3.4. Понятие о молекулярных спектрах
1°. Спектры испускания и поглощения отдельных молекул
(V.3.4.10) представляют собой совокупность полос, образованных
тесно расположенными спектральными линиями. Молекулярные
спектры называются полосатыми спектрами (п. 6°). Полосы в
молекулярных спектрах наблюдаются в инфракрасном, видимом и
ультрафиолетовом диапазоне электромагнитных волн (V.3.7.10).
2°. Спектральная линия в молекулярном спектре, как и в спек-
спектрах атомов, возникает при изменении энергии молекулы.

3.4. Понятие о молекулярных спектрах 475
Полная энергия Е молекулы состоит из пяти частей, в первом
приближении независимых друг от друга: ?пост — энергии поступа-
поступательного движения центра масс A.2.3.4°) молекулы; Евр — энергии
вращательного движения молекулы как целого вокруг некоторых
осей; Екол — энергии колебательного движения ядер атомов, вхо-
входящих в молекулу; Еэя — энергии движения электронов в атомах
молекул; Ет — энергии ядер атомов в молекуле:
& —~ ^пост ~т~ ^вр ~г ^кол т ^эл ~г ^яд-
3°. Энергия Е' молекулы, определяющая ее спектр, состоит из
трех частей:
Е> ~~ -^вр "г ^кол ~г ^эл*
Изменения ядерной энергии Ет не влияют на спектры молекул.
Энергия ?пост изменяется непрерывно, и ее изменения не связаны с
оптическими свойствами молекул.
Каждое из трех слагаемых в Е' изменяется дискретно4. Измене-
Изменения соответствующих частей энергии молекулы АЕвр, АЕКОЛ и Д?Эл
имеют также дискретные значения, и их сумма равна АЕ'\
АЕ' = АЕвр + ДЯкол +
По правилу частот Бора (VI.2.4.30) частота v кванта, который ис-
испускает молекула при изменении ее энергетического состояния,
Д?" АЕвр АЕК0Л АЕЭЛ
v~~T~~~T + ~ir+ h ¦
Как показывают опыты и теоретические расчеты,
АЕвр < АЕК0Л < АЕЭЯ.
4°. Образование полос в спектрах испускания и поглощения мо-
молекул можно понять, пользуясь неравенствами, приведенными в кон-
конце п. 3°. Если на вещество падает электромагнитная волна, проис-
происходит ее поглощение. При длине волны падающего света, соста-
составляющей 0.1-1 мм (далекая инфракрасная область спектра), кванты
энергии hv соответствуют изменению вращательной энергии моле-
молекулы Д?вр- Поглощение фотона молекулой переводит ее с одного
Обоснование этого результата, полученного в квантовой механике, выходит за
рамки данного справочного руководства.

476
Отдел VI. Гл. 3. Строение и спектры молекул
вращательного энергетического уровня на другой, более высокий,
и приводит к возникновению спектральной линии вращательного
спектра молекулы5. Совокупность всех линий представляет собой
весь вращательный спектр молекулы.
5°. Поглощение веществом электромагнитных волн в инфра-
инфракрасной области с длинами волн 1-10 микрон (мкм) вызывает из-
изменения Д?Кол- Переходы между колебательными энергетически-
энергетическими уровнями приводят к возникновению колебательного спектра
молекулы. Однако при изменении колебательных энергетических
уровней молекулы одновременно изменяются и ее вращательные
энергетические состояния. Переходы между двумя колебательны-
колебательными энергетическими уровнями сопровождаются изменением вра-
вращательных энергетических состояний, и возникает колебательно-
вращательный спектр молекулы. На рис. VI.3.5 каждый переход
молекулы между двумя колебательными уровнями, дающий линию
'кол-вращ
Колебательные
уровни
Вращательные
уровни
Рис. VL3.5
Электронные Колебательные
уровни уровни
Рис. VI.3.6
с частотой укол, сопровождается переходами между вращательными
уровнями. В результате образуется спектр с частотами vKOJl.Bpaui. Он
состоит из групп очень близких линий, образованных вращательны-
вращательными переходами, соответствующими одному колебательному перехо-
переходу. Все эти линии сливаются в одну колебательно-вращательную
полосу.
6°. Поглощение электромагнитных волн видимого и ультрафио-
ультрафиолетового диапазона (V.3.7.10) приводит к изменениям АЕЭЛ и пере-
переходам молекулы между различными электронными энергетически-
энергетическими уровнями, т.е. к возникновению электронного спектра мо-
Переход молекулы с верхнего вращательного энергетического уровня на нижний
приводит к возникновению линии вращательного спектра испускания.

4.1. Общая характеристика атомного ядра
477
лекулы. Каждому электронному энергетическому уровню молекулы
соответствуют различные возможные колебания ядер атомов в мо
лекуле, т. е. множество колебательных энергетических уровней. Пе-
Переход молекулы между двумя электронными уровнями сопровож-
сопровождается многими сопутствующими переходами между колебательны-
колебательными уровнями. Возникает электронно-колебательный спектр мо-
молекулы с частотами уЭлкол- Он состоит из групп близких линий,
¦ и и
Рис. VI.3.7
образующих электронно-колебательную полосу (рис. VI.3.6). Кро-
Кроме того, следует учесть, что каждому колебательному энергетиче-
энергетическому состоянию соответствует множество вращательных уровней
(рис. VI.3.5).
Весь электронно-колебательный спектр в видимой и близкой к
ней области представляет собой систему из нескольких групп полос,
перекрывающих друг друга и образующих широкую полосу (поло-
(полосатый спектр молекулы). На рис. VI.3.7 приведена фотография части
спектра молекулы йода.
Глава4
Строение и основные свойства атомных ядер
4.1. Общая характеристика атомного ядра
1°. Атомное ядро атома любого химического элемента состоит
из положительно заряженных протонов и не имеющих электриче-
электрического заряда нейтронов. Заряд протона равен модулю заряда элек-
электрона. Протон и нейтрон являются двумя зарядовыми состояниями
ядерной частицы, которая называется нуклоном. Количество прото-
протонов в ядре Z (заряд ядра Ze) совпадает с атомным номером соот-

478 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
ветствующего химического элемента в периодической системе Мен-
Менделеева (VI.2.9.10). Количество нейтронов в ядре обозначается N.
Для легких ядер, находящихся в первой половине периодической
системы Менделеева, N/Z ж 1; ядра атомов химических элементов,
находящихся в конце периодической системы, перегружены нейтро-
нейтронами — для них N/Z « 1.6.
2°. Массовым числом ядра А называется общее число нукло-
нуклонов в ядре: А = Z + N. Символ для обозначения ядра: %Х, где X —
обозначение атома данного химического элемента в периодической
системе Менделеева. Ядра с одним и тем же зарядом Ze, но с разны-
разными А, называются изотопами. Изотопы ядер данного химического
элемента имеют разное число нейтронов в ядре. Примеры: изото-
изотопы водорода: }Н, ^Н (или fD — дейтерий), ^Н (или jT — тритий);
изотопы гелия: ^Не, ^Не; изотопы урана: ^fU, 2|fU.
Существует около трехсот устойчивых и около двух тысяч не-
неустойчивых (радиоактивных) изотопов всех известных химических
элементов.
3°. Масса атомного ядра практически совпадает с массой всего
атома, ибо масса электронов в атоме мала. Масса электрона1 те
составляет 1/1836 от массы протона тр.
Массы нейтрона тп и протона тр в углеродной шкале атомных
масс (а.е.м.) (VII.7.10):
тп = 1.008665012 а.е.м., тр = 1.007276470 а.е.м.
Массовые числа нейтрона и протона одинаковы и равны единице.
Массы атомов измеряются в специальных атомных единицах
массы (VII.7.10).
У каждого химического элемента существует, в большинстве
случаев, постоянное процентное содержание различных изотопов.
Химически чистые элементы представляют собой смесь изотопов,
отличающихся друг от друга относительными атомными массами
(VII.4.30). Поэтому каждый химический элемент имеет относитель-
относительную массу, представляющую собой среднее значение относительных
атомных масс всех его изотопов. Относительные атомные массы хи-
химических элементов в ряде случаев заметно отличаются от целых
чисел.
Все сведения о массах, приведенные в главе 4, относятся к массам по-
покоя (V.4.10.30), если нет специальных оговорок.

4.2. Энергия связи атомных ядер. Дефект массы 479
4°. Ядро имеет спин — собственный (внутренний) момент ко-
количества движения (момент импульса) (ср. 111.6.1.5°). Он склады-
складывается из спинов отдельных нуклонов. Спин каждого нуклона равен
h/ 2. Спин ядра, состоящего из четного числа нуклонов, является
целым числом (в единицах К) или нулем. Спин ядра, состоящего из
нечетного числа нуклонов, является полуцелым (в единицах Н).
5°. Атомное ядро не имеет резко выраженных границ. Это связа-
связано с тем, что нуклоны обладают волновыми свойствами (VI. 1.1.3°).
Поэтому размер ядра имеет условный смысл2. Объем ядра пропор-
пропорционален числу нуклонов А в ядре. Если считать ядро сферой ради-
радиуса R, то R вычисляется по эмпирической формуле
R = RqAx^, где Rq = A.3-И.7) • 10~15 м.
Наиболее тяжелые ядра, например ядро урана, имеют радиусы, при-
приближающиеся по порядку величины к 10~14м.
6°. Средняя плотность р ядерного вещества определяется
формулой
Р D/ЗМ3
Здесь Мя — масса ядра. Если тн — масса нуклона3, то Мя — тиА.
Средняя плотность ядерного вещества постоянна и не зависит от чи-
числа А нуклонов в ядре; р = 1.3-1017кг/м3. Колоссальная средняя
плотность р не идет ни в какое сравнение с обычными плотностями
веществ, состоящих из атомов химических элементов и их соедине-
соединений.
4.2. Энергия связи атомных ядер. Дефект массы
1°. Энергией связи нуклона в ядре называется физическая ве-
величина, равная работе, необходимой для удаления данного нуклона
из ядра без сообщения ему кинетической энергии.
Энергия связи атомного ядра АЕСй (отрицательная по знаку)
по модулю равна работе, необходимой для расщепления ядра на со-
составляющие его нуклоны без сообщения им кинетической энергии.
2Это относится также и к размерам атома, ибо электроны, движущиеся в атоме
относительно ядра, тоже обладают волновыми свойствами.
"О различии масс нейтрона и протона см. VI.4.1.3°.

480
Отдел V!. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
Энергия связи атомного ядра является разностью между энергией
протонов и нейтронов в ядре и их энергией в свободном состоянии.
Из закона сохранения энергии следует, что при образовании ядра
из составляющих его нуклонов должна выделяться энергия, равная
АЕСВ — энергия связи в ядре.
Ъ 4
«Не
г
Не
н
(Го о
|
\ н
" г
in
196р
76^
t
238,
92 ^

J
—-о-
Л СО
Г
80 160 240
Массовое число
Рис. VI.4.1
2°. Удельной энергией связи ядра Агсв называется величина
АЕСВ/А, равная средней энергии связи, приходящейся на один ну-
нуклон. На рис. VI.4.1 приведена кривая зависимости модуля удель-
удельной энергии связи от массового числа А. Наибольшее значение
имеет Д?св для ядер атомов, расположенных в средней части пе-
периодической системы Менделеева (VI.2.9.10) от ^Si до ^fBa, т.е.
при 28 < А < 138. В этих ядрах Аесв составляет приблизительно
8.7 МэВ / нуклон. С ростом массового числа энергия связи убывает.
Для ядер, расположенных в конце периодической системы (напри-
(например, для урана), Аесв составляет примерно 7.6 МэВ/нуклон. В об-
области небольших массовых чисел удельная энергия связи обнару-
обнаруживает характерные максимумы и минимумы (рис. VI.4.1). Макси-
Максимумы Аесв наблюдаются в этой области у ядер с четными числами
протонов и нейтронов: ^Не, !|С, ^О. Минимумы Д?Св соответству-
соответствуют ядрам с нечетными числами протонов и нейтронов: |Н, (JLi, ^B.
Зависимость Аесв(А) объясняет механизм выделения ядерной энер-
энергии (VI.4.11.20).

4.3. Ядерные силы. Капельная модель ядра 481
3°. Мерой энергии связи атомного ядра является дефект массы.
Дефектом массы Am называется разность между суммарной мас-
массой всех нуклонов ядра в свободном состоянии и массой ядра Мя:
Am — Zmp + (А — Z)mn — Мя.
Здесь Z — число протонов в ядре, шр — масса протона, (А — Z) —
число нейтронов в ядре, тп — масса нейтрона.
Если АЕСВ — энергия связи ядра, выделяющаяся при его обра-
образовании (п. 1°), то соответствующая ей масса (V.4.11.1°)
Am =
характеризует уменьшение суммарной массы всех нуклонов при
образовании ядра. Следовательно,
АЕСВ = [Zmp + (A- Z)mn - Мя]с2.
Энергия связи ядра, выраженная через массу атома Мат,
АЕСВ = [ZMH + (А - Z)mn - MaT]c\
где Мн — масса атома водорода.
4°. Атомные ядра, как и атомы, имеют дискретные, квантован-
квантованные значения энергии Е. Если ядро имеет наименьшую возможную
энергию, равную энергии связи АЕСВ, to оно находится в основном
энергетическом состоянии.
Если ядро имеет энергию Е > Ешт — АЕСВ, то оно находится
в возбужденном энергетическом состоянии. Случай Е — 0 соот-
соответствует расщеплению ядра на составляющие его нуклоны. В от-
отличие от энергетических уровней атома, раздвинутых на единицы
электронвольт (см. рис. VI.2.3, левая шкала), энергетические уров-
уровни ядра отстоят друг от друга на мегаэлектронвольты (МэВ). Этим
объясняется происхождение и свойства ^-излучения (VI.4.7.80).
4.3. Ядерные силы. Капельная модель ядра
1°. Силы, действующие между нуклонами в ядре и обеспе-
обеспечивающие существование устойчивых ядер, называются ядерны-
ядерными силами. Ядерные силы являются особыми силами, отличными

482 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
от гравитационных сил A.2.8.1°) и сил электромагнитного взаимо-
взаимодействия A11.1.3.1°). Взаимодействие между нуклонами является
примером сильных взаимодействий между элементарными частица-
частицами (VL5.4.10).
2°. Ядерные силы обладают рядом особых свойств:
а) Эти силы не сводятся ни к одному из типов сил, известных в
классической физике.
б) Ядерные силы — силы короткодействующие. Они проявля-
проявляются лишь на весьма малых расстояниях между нуклонами, срав-
сравнимых с линейными размерами самих нуклонов. Расстояние г, на
котором действуют ядерные силы, называется радиусом действия
ядерных сил (г « 2 • 10~15м).
в) Они обладают свойством зарядовой независимости: ядер-
ядерные силы, действующие между двумя протонами, между двумя ней-
нейтронами или между протоном и нейтроном, одинаковы. Отсюда сле-
следует, что ядерные силы не могут иметь электромагнитной природы.
Равенство сил, действующих между двумя протонами, двумя ней-
нейтронами, а также протоном и нейтроном, подтверждается сравнени-
сравнением энергетических уровней пар зеркальных ядер: с точностью до
постоянного сдвига системы этих уровней идентичны. Ядро В назы-
называется зеркальным по отношению к ядру А, если число протонов в
В равно числу нейтронов в А, а число нейтронов в В равно числу
протонов в А. Простейшие зеркальные ядра трития ]Ни гелия \Не
имеют энергии связи, равные соответственно 8.49 МэВ и 7.72 МэВ.
В обоих ядрах имеется по три нуклона, в ядре трития они связа-
связаны сильнее, чем в ядре гелия. В ядре гелия взаимное отталкива-
отталкивание двух протонов уменьшает энергию связи на (8.49-7.72) МэВ.
Принимая потенциальную энергию П{г) отталкивания протонов
П(г) = е2/Dтгео)г = 0.77 МэВ, можно оценить расстояние меж-
между протонами в ядре ^Не. Оно оказывается равным 1.9 • 10~15 м и
соответствует радиусу действия ядерных сил.
г) У них имеется свойство насыщения: каждый нуклон взаимо-
взаимодействует только с ограниченным числом ближайших к нему нукло-
нуклонов, а не со всеми нуклонами ядра. Это свойство вытекает из прак-
практически линейной зависимости энергии связи Д?св в ядре от массо-
массового числа А. Если бы насыщения не было и каждый из А нуклонов
взаимодействовал бы со всеми (А - 1) нуклонами, то энергия связи
была бы пропорциональна числу пар нуклонов в ядре, т. е. числу со-

4.3. Ядерные силы. Капельная модель ядра 483
четаний из А частиц по две: А (А — 1)/2 = (А2 —А)/2. Зависимость
АЕСВ от А была бы не линейной, а квадратичной. Подобно тому,
как насыщение ковалентной химической связи (VI.3.3.10) приводит
к образованию устойчивых групп атомов — молекул, так и насы-
насыщение ядерных сил обусловливает устойчивость определения групп
нуклонов. Практически полное насыщение ядерных сил достигает-
достигается у а-частицы, представляющей собой устойчивое образование из
двух протонов и двух нейтронов (VI.4.4.20).
д) Ядерные силы не являются центральными силами {нецен-
{нецентральность ядерных сил), в отличие от кулоновских и гравитаци-
гравитационных сил, которые зависят от расстояния между частицами (цен-
(центральные силы — 1.2.8.1°).
Это проявляется в том, что ядерные силы зависят от ориентации
спинов нуклонов, от того, параллельны они или антипараллельны
(VI.2.8.20). Опытным путем доказано, что поток нейтронов рассе-
рассеивается по-разному на молекулах орто- и параводорода. Параводо-
родом называется молекула Н2, у которой спины обоих протонов
в ядрах антипараллельны. В молекуле ортоводорода спины
обоих протонов параллельны. Если бы взаимодействие нукло-
нуклонов не зависело от ориентации их спинов, то рассеяние нейтронов
на орто- и параводороде происходило бы одинаково.
е) Ядерные силы имеют обменный характер. Это проявляется
в том, что силы, действующие между двумя ядерными частицами,
рассматриваются как результат обмена между ними некоторой про-
промежуточной частицей.
3°. Ядерные силы детально не изучены до настоящего времени.
Законченной теории ядерных сил пока не существует. Плодотвор-
Плодотворным методом изучения различных свойств атомного ядра являет-
является метод моделей ядра, основанный на внешней аналогии свойств
атомных ядер со свойствами других систем, хорошо изученных в
физике.
4°. Простейшая, капельная модель ядра использует внешнюю
аналогию следующих шести свойств атомного ядра и заряженной
положительно капли жидкости:
а) Малый радиус действия ядерных сил и сил взаимодействия
между молекулами в капле жидкости.
б) Свойство насыщения сил, действующих между молекулами
жидкости, и насыщение ядерных сил.

484 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
в) Постоянная плотность вещества в капле жидкости, не завися-
зависящая от числа молекул, входящих в каплю. Средняя плотность ядер-
ядерного вещества также постоянна и не зависит от числа нуклонов
в ядре.
г) В капле жидкости и атомном ядре существует определенная
подвижность частиц — молекул в капле и нуклонов в ядре.
д) Энергии притяжения нуклонов в ядре, обусловленной ядерны-
ядерными силами, соответствует энергия межмолекулярного притяжения
в капле жидкости. Энергия связи в ядре должна уменьшаться за
счет кулоновского отталкивания одноименно заряженных протонов.
С увеличением числа протонов в ядрах этот эффект должен возра-
возрастать. Этому соответствует в капле жидкости снижение ее устой-
устойчивости с увеличением массы, т.е. с возрастанием числа молекул
в капле.
е) Молекулы жидкости, находящиеся на ее поверхности, испыты-
испытывают одностороннее притяжение внутрь жидкости, характеризуемое
коэффициентом поверхностного натяжения жидкости A1.6.1.3°).
Нуклоны, находящиеся на «поверхности» ядра, испытывают одно-
одностороннее притяжение внутрь ядра, обусловленное ядерными сила-
силами. Это притяжение можно также характеризовать некоторым коэф-
коэффициентом поверхностного натяжения ядра-капли. Ядро может ха-
характеризоваться значением поверхностной энергии, подобной энер-
энергии поверхностного слоя жидкости A1.6.1.2°).
5°. Атомное ядро называется устойчивым (стабильность
атомного ядра), если его состав не изменяется с течением време-
времени. Соотношение между числом протонов ZycT и массовым числом Л
в устойчивом ядре согласно капельной модели:
7усг= 1.98 + О.ОШ2/3'
ZycT принимается равным целому числу, ближайшему к тому, кото-
которое получается из этой формулы. Для легких ядер Zycr ~ A/2: в ста-
стабильных легких ядрах числа нейтронов и протонов равны (VIA 1.1°).
4.4. Естественная радиоактивность
1°. Естественной радиоактивностью называется самопроиз-
самопроизвольное превращение ядер неустойчивых изотопов одного хими-
химического элемента в ядра изотопов других химических элементов.

4.4. Естественная радиоактивность 485
Естественная радиоактивность сопровождается испусканием опре-
определенных частиц: а-, /3-излучений, антинейтрино (VI.4.7.60), а также
электромагнитного излучения (у-излучение). Естественная радио-
радиоактивность, как правило, наблюдается у тяжелых ядер элементов,
располагающихся в периодической системе Менделеева (VI.2.9.10)
за свинцом. Существуют и легкие естественно-радиоактивные ядра:
изотопа калия $JK, изотопа углерода ^С, рубидия ^Rb и др.
2°. Состав радиоактивных а-, /3- и у-излучений (радиоактив-
(радиоактивные излучения) установлен по их отклонению в магнитном по-
поле, направленном перпендикулярно плоскости рис. VI.4.2. На этом
рисунке 1 — толстостенный сосуд из свинца,
2 — радиоактивный источник.
Известно, что а-излучение несет положи-
положительный заряд, равный по модулю удвоенному а
заряду электрона, и представляет собой поток i
ядер гелия.
/3-частицы являются потоком быстрых элек-
электронов с энергией, достигающей ЮМэВ, и Щ^
скоростью, близкой к скорости света в вакууме. / ч
у-излучение представляет собой жесткое 2-
электромагнитное излучение, оно обладает
наибольшей из всех радиоактивных излучений ис*
проникающей способностью. Частоты у -излучения превышают час-
частоты самых жестких рентгеновских лучей (V.3.6.10). Квантовые
свойства у-излучения (V.5.1.50) проявляются еще в большей сте-
степени, чем у рентгеновских лучей.
3°. Свойства радиоактивных излучений, установленные по их
взаимодействию с веществом:
а) Все радиоактивные излучения в той или иной степени обла-
обладают химическими действиями, в частности, вызывают почернение
фотопластинок (V.5.6.20).
б) Радиоактивные излучения вызывают ионизацию газов, а ино-
иногда и твердых, и жидких тел, сквозь которые они проходят.
в) Радиоактивные излучения возбуждают люминесценцию ряда
твердых и жидких тел (V.3.3.10).
Перечисленные свойства лежат в основе экспериментальных
методов обнаружения и исследования радиоактивных излучений

486 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
Естественно-радиоактивные превращения не зависят от внешних
условий, а также не зависят от того, происходят ли эти превращения
в веществе, находящемся в виде химически чистого элемента или
химического соединения.
Отсюда следует, что радиоактивные превращения являются свой-
свойством атомных ядер.
4.5. Правила смещения и основной закон
радиоактивного распада
1°. Превращения атомных ядер, которые сопровождаются ис-
испусканием а- и /3-излучений, называются соответственно а- и
Р-распадом. Термина «у-распад» не существует. Распадающее-
Распадающееся ядро называется материнским, ядро продукта распада —
дочерним.
2°. Правила смещения ядер при радиоактивных распадах:
при а-распаде ^Х —> AZZ424 + 2^e,
при /?_ -распаде4 |Х —» z+f Y -f _^e.
Здесь X — символ химического элемента, соответствующего мате-
материнскому ядру; Y — то же для дочернего ядра; 4Не — ядро изотопа
гелия; _®е — обозначение электрона: его заряд равен — 1 (в едини-
единицах элементарного заряда е), а массовое число (VIA 1.2°) принято
равным нулю, поскольку масса электрона составляет 1/1860 от мас-
массы протона.
Альфа-распад уменьшает массовое число ядра на 4, а заряд ядра
на 2 элементарных положительных заряда, т. е. смещает химический
элемент на две клетки влево в периодической системе Менделеева
(VI.2.9.10).
При бета-распаде массовое число не изменяется, а заряд ядра
увеличивается. Химический элемент перемещается на одну клетку
вправо в периодической системе Менделеева. Правила смещения
являются следствиями законов сохранения электрического заряда
A11.1.1.6°) и числа нуклонов в ядерных превращениях.
4Обозначение /j_ для электронного /^-распада введено б связи с тем, что суще-
существует /?4--гюзитронный /?-распад (VI.4.10.30).

4.5. Правила смещения и радиоактивный распад 487
3°. Дочерние ядра (п. 1°), как правило, сами являются радиоак-
радиоактивными. Радиоактивным рядом {радиоактивным семейством)
называется последовательность радиоактивных превращений от не-
некоторого материнского ядра. Членами радиоактивных рядов явля-
являются радиоактивные изотопы химических элементов, стоящих в со-
соответствующих клетках периодической системы Менделеева.
Существует три естественно-радиоактивных семейства, которые
по материнскому ядру называются: семейством урана (ЦрЗ), семей-
семейством тория B9qT1i) и семейством актиния (^Ас). Кроме того, су-
существует радиоактивное семейство, полученное искусственным пу-
путем, начинающееся от трансуранового элемента нептуния (^Np)
(VI.4.9.40). В каждом из радиоактивных семейств происходит цепоч-
цепочка а- и ^-распадов. В каждом естественно-радиоактивном ряде ра-
радиоактивные превращения заканчиваются на устойчивых ядрах изо-
изотопов свинца: семейство урана — на ядре ^fPb, тория — на ядре
2g|Pb, актиния — на ^РЬ. Семейство нептуния заканчивается на
ядре висмута 2ЦВ1
4°. Основной закон радиоактивного распада: число распада-
распадающихся ядер тем больше, чем больше их имеется в наличии и чем
длительнее время, в течение которого происходит распад. Число
AN материнских ядер, распадающихся за промежуток времени от t
до t + At, пропорционально числу N ядер, существующих к моменту
времени /, и интервалу времени At:
AN = -XN ¦ At.
Знак минус указывает на убыль числа ядер в результате радиоактив-
радиоактивного распада. Положительный коэффициент пропорциональности Я
называется постоянной распада {радиоактивной постоянной)
для данного вида ядер. Постоянная распада представляет собой от-
относительную убыль числа ядер, подвергающихся распаду за единич-
единичный промежуток времени:
_ -AN/N
л-~~аГ~'
Постоянная Я имеет размерность с и характеризует долю ядер,
распадающихся за единичный промежуток времени, т. е. определяет
скорость радиоактивного распада. Величина т = 1/Я называется
средней продолжительностью жизни радиоактивного изотопа
{среднее время жизни). Значения 1 иг не зависят от внешних
условий и определяются лишь свойствами атомного ядра.

о
488 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
5°. Закон радиоактивного распада указывает на то, что радиоак-
радиоактивные превращения атомных ядер являются статистическими про-
процессами (статистический характер радио-
радиоактивных превращений). Невозможно предска-
предсказать, какое именно ядро радиоактивного изото-
изотопа распадается в данное мгновение. Распад лю-
любого из ядер является событием, имеющим рав-
равную вероятность. Поэтому в законе п. 4° речь
идет лишь о числе одинаковых ядер AN, кото-
рые распадаются за промежуток времени At. На
рис. VI.4.3 показана зависимость относительной убыли AN/N числа
радиоактивных ядер от промежутка времени At.
6°. Из основного закона радиоактивного распада (п. 4°) следует
закон убывания во времени числа радиоактивных ядер5:
N = Noe~Xt.
Здесь No — первоначальное число радиоактивных ядер, которое су-
существовало в момент, принятый за начало отсчета времени, т. е. при
/ = О, N — число радиоактивных ядер в момент времени /.
7°. Для характеристики устойчивости ядер относительно радио-
радиоактивного распада, кроме Я, вводится период полураспада Т. Пери-
Периодом полураспада называется время, за которое распадается поло-
половина первоначального количества ядер, или время, по прошествии
которого остается нераспавшейся половина первоначального числа
ядер: t = Т, если N = No/2. Связь Г, Я и т выражается формулой
-0.693т, или т = т«__г«1.44Г.
а Я 0.693
Периоды полураспадов различных радиоактивных изотопов из-
изменяются в очень широких пределах: у урана 4.5 млрд. лет, у ра-
радия 1590 лет, у радона 3.825 суток, у одного из изотопов поло-
полония 1.5 • 10~4с. У некоторых искусственно-радиоактивных элемен-
элементов (VI.4.10.1°) Т составляет стомиллионные доли секунды. Посто-
Постоянство Т (или Я) для данного вида радиоактивных ядер подтвержда-
подтверждает статистический характер радиоактивных превращений (п. 5°).
5е = 2.718 ..., — основание натуральных логарифмов.

4.6. Некоторые методы изучения частиц 489
Задача 1. Сколько процентов от начального количества радиоак-
радиоактивного химического элемента распадается за время, равное сред-
средней продолжительности жизни этого элемента?
Дано: t = т.
Найти: (No - N/No) • 100.
Решение: По закону радиоактивного распада N = Ще~х', где
N — число нераспавшихся атомов к моменту t9 X — постоянная
распада. Среднее время жизни г = 1/Я.
Тогда N = Noe~Xt/x = Noe~\ или N/No = l/e = 1/2.7 = 0.37;
отсюда
N = 0.37М, и *??L ¦ 100% = ^0-37^ . ,00% = 63%.
Nq No
Задача 2. Активность изотопа углерода ]?С в древних дере-
деревянных предметах составляет 4/5 активности этого изотопа в
свежесрубленных деревьях. Период полураспада изотопа ^С равен
5570 годам. Определить возраст древних предметов.
Дано: а = D/5)я0, Т = 5570 лет.
Найти: t.
Решение: Активностью радиоактивного вещества называ-
называется число ядер, распавшихся за единичный промежуток времени:
а = | AN\/ At = Ш. По закону радиоактивного распада N = Noe"Xt9
тогда а = XNoe~Xt. В начальный момент времени активность
а0 = Шо. Следовательно, а = aoe"Xt, где Я = In 2/Т — посто-
постоянная распада и Г — период полураспада. Тогда а/ао = e~Xt или
1п(а/ао) = -Я/ = (-In2 • t)/T. Отсюда
-Т-\п(а/а0)
' = Ш2 '
-5570 ¦ lnD/5) -5570 • (-0.2231)
^3гада.
4.6. Некоторые экспериментальные методы
изучения частиц и ионизирующих излучений
1°. В основе всех методов обнаружения и исследования свойств
радиоактивных излучений лежат ионизирующие и фотохимические
действия частиц и жестких световых квантов, а также отклонение
заряженных частиц в магнитных полях A11.4.5.2°).

490 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
2°. Сцинтилляционные счетчики основаны на способности час-
частиц, попадающих на флуоресцирующий экран, вызывать сцинтилля-
сцинтилляции (VI.2.1.20). Каждая вспышка действует на фотокатод A11.3.7.2°)
электронного умножителя A11.3.7.4°) и выбивает из него электро-
электроны. Последние, проходя п каскадов умножителя, дают на выходе
импульс тока, который затем подается на усилитель и приводит в
действие электромеханический счетчик импульсов. На электронно-
электроннолучевой трубке A11.3.10.2°) получается кривая, показывающая ин-
интенсивность отдельных импульсов, пропорциональную энергии от-
отдельной сосчитанной частицы. Сцинтилляционный счетчик фикси-
фиксирует число частиц и их распределение по энергиям.
3°. Устройства, работающие в области самостоятельного
газового разряда A11.3.5.1°), вызванного ударной ионизацией
A11.3.3.4°), называются счетчиками, работающими в режиме газо-
газового усиления.
Счетчик Гейгера обычно представляет собой герметически за-
запаянную стеклянную трубку, к внутренним стенкам которой при-
прилегает катод К — тонкий металли-
металлический цилиндр (рис. VI.4.4); ано-
анодом А служит тонкая проволока,
натянутая по оси счетчика. Счет-
Счетчик включается в пересчетную схе-
схему. На катод К подается отрица-
Рис. VI.4.4 тельный потенциал, на нить А —
положительный. С резистора R через конденсатор С сигнал о попа-
попадании частицы в счетчик подается на выход пересчетной схемы.
Частица, попавшая в счетчик, создает в нем, вследствие иони-
ионизации, электроны и положительные ионы. Электроны, двигаясь к
аноду — нити, попадают в поле с возрастающей напряженностью.
Скорость электронов возрастает, и они создают лавину ионов. Элек-
Электроны, попавшие на нить, снижают ее потенциал, и через резистор R
течет ток. На резисторе возникает импульс напряжения — сигнал,
который попадает на вход пересчетной схемы и фиксирует попа-
попадание в счетчик частицы. Одновременно с регистрацией частицы в
счетчике гасится режим газового усиления и лавинное нарастание
ионов. Высокий потенциал, который раньше был на аноде, пере-
переключается на резистор, уменьшается напряженность поля внутри
счетчика, и электроны, потерявшие скорость, перестают создавать
ионы.

4.6. Некоторые методы изучения частиц
491
4°. Действие камеры Вильсона основано на том, что ионы,
созданные пролетающей заряженной частицей, становятся центра-
центрами конденсации A1.5.2.1°) паров. Камера (рис. VI.4.5) представляет
собой стеклянный цилиндрический сосуд /, закрытый сверху сте-
стеклом 2. Снизу сосуд закрыт слоем черного влажного бархата или
сукна (на сетке 3). В объеме камеры образуется насыщенный пар.
Быстрое опускание поршня 4 приводит к адиабатическому расши-
расширению пара A1.3.3.5°) и его резкому охлаждению. При этом пар ста-
становится переохлажденным (пересыщенным). Заряженнная частица,
пролетая в таком паре, создает на своем пути цепочки ионов. На
этих ионах, как на центрах конденсации, образуются капельки жид-
жидкости, и частица оставляет за собой видимый след {трек частицы),
который может быть сфотографирован.
Если поместить камеру Вильсона в сильное однородное магнит-
магнитное поле {метод Вильсона —Скобельцына), то заряженные частицы
испытывают действие силы Лоренца A11.4.5.1°) и их траектории ис-
искривляются. По радиусу кривизны траектории и известной скорости
частицы определяется ее удельный заряд A11.4.6.1°). При извест-
известном удельном заряде частицы по радиусу кривизны определяется
скорость и энергия частицы.
5°. В пузырьковой камере трек пролетающей частицы стано-
становится видимым в перегретой жидкости A1.5,3,4е), которая начинает
кипеть при резком уменьшении ее давления. Центрами парообразо-
парообразования, приводящего к появлению пузырьков пара, являются ионы.

492 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
образующиеся вдоль траектории заряженной частицы. Жидкость в
пузырьковой камере имеет примерно в тысячу раз большую плот-
плотность, чем в камере Вильсона. Это позволяет регистрировать час-
частицы больших энергий, которые тормозятся в пузырьковой камере
на отрезках в тысячу раз меньших, чем в камере Вильсона. В ка-
камере Вильсона быстрая частица фотографируется на малом участке
ее траектории. В пузырьковой камере след частицы соответствует в
тысячу раз большему отрезку траектории в камере Вильсона.
6°. Метод толстослойных фотоэмульсий (метод ядерных
фотоэмульсий) основан на почернении фотографического слоя под
действием быстрых заряженных частиц, проходящих через фото-
фотоэмульсию (V.5.6.20). Ядерные эмульсии применяются в виде сло-
слоев толщиной от 0.5 до 1 мм. В обычных фотопластинках толщина
фотослоя составляет от 10 до 20мкм. Частицы с энергией порядка
ЮМэВ образуют неисчезающий след длиной порядка 0.1 мм, кото-
который можно тщательно и длительно изучать. Для изучения треков
частиц очень высоких энергий, дающих длинные следы, большое
число пластинок складывается в стопу пластинок. Стопа распола-
располагается наклонно к следу частицы, чтобы удлинить возможный трек
частицы.
4.7. Понятие о возникновении с*-, /3- и 7~излучений
1°. В процессе а-распада различаются две стадии: образование
частицы из двух протонов и двух нейтронов в ядре и испускание
а-частицы ядром. Обособлению четырех нуклонов в отдельную час-
частицу способствует насыщение ядерных сил (VI.4.3.20, г). Сформи-
Сформировавшая а-частица подвержена меньшему действию ядерных сил.
2°. Испускание ядром а-частицы представляет собой особый
квантовомеханический туннельный эффект. Он состоит в проса-
просачивании, проникновении а-частицы, обладающей волновыми свой-
свойствами (VI. 1.1.3°), сквозь потенциальный барьер. Представление
об этом барьере можно получить из следующих весьма огрубленных
рассуждений. Альфа-частицу и другие нуклоны в ядре можно рас-
рассматривать находящимися внутри потенциальной ямы (VI. 1.4.3°) в
области ОА. Потенциальная яма имеет глубину Щ (рис. VI.4.6).
Это означает, что для выхода любой частицы из ядра, она, ка-
казалось бы, должна обладать энергией не меньшей, чем /7<з, что-

4.7. Понятие о возникновении а-, [1- и ^-излучений
493
О
»»
А

L
—>-
В
X
бы преодолеть притяжение ядерных сил. Это сокращенно приня-
принято формулировать так: «на границе ядра существует потенциаль-
потенциальный барьер некоторой высоты и ширины». На рис. VI.4.6 этот
барьер изображен упрощенно в виде прямо- ц А
угольного барьера АВ высоты Щ с «шири- п0
ной» L Альфа-частица в ядре имеет энергию Е
Е меньшую, чем высота потенциального ба-
барьера (рис. VI. 1.6). Однако а-частица, обла-
обладающая волновыми свойствами, может про-
просочиться сквозь потенциальный барьер, как
это указано стрелкой на рис. VI.4.6. В ре- Рис. VI.4.6
зультате а-частица окажется вне ядра, в области, где ядерные силы
притяжения уже не действуют. Туннельный эффект при испускании
ядром а-частиц объясняет все закономерности а-распада в полном
соответствии с опытными данными6.
3°. Бета-распад естественно-радиоактивных ядер не может объ-
объясняться простым вылетом электронов из ядра, ибо стабильных
электронов в ядре нет. Для создания современных представлений о
возникновении /3-частиц основную
роль сыграли данные об энерги-
энергиях электронов, испускаемых /?-ра-
$-стктра диоактивными источниками. Опы-
Е МэВ ты показали, что ^-частицы имеют
всевозможные энергии, вплоть до
некоторого наибольшего значения
Рис. VI.4.7 Ер Макс {непрерывность энергети-
энергетического спектра электронов при /3-распаде). На рис. VI.4.7 при-
приведена кривая распределения числа N покинувших ядро электронов
по их энергиям. Непрерывная кривая обрывается на границе Ер шкс.
4°. Атомные ядра находятся в определенных энергетических сос-
состояниях (VI.4.2.40). Потеря ядром энергии, связанная с испускани-
испусканием /3-частицы, означает переход ядра из энергетического состояния
с большей энергией в другое состояние с меньшей энергией. Это
невозможно согласовать с тем, что электрон, покинувший атомное
ядро может иметь любое значение энергии от нуля до Ер маКс-
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
6Свсдсния об этих закономерностях выходят за рамки данного справочного руко-
руководства.

494 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
5°. Трудность с объяснением энергии /3-частиц усугубляется
трудностью со значениями спинов ядер. При /3 -распаде массовое
число ядра не изменяется. Следовательно, не должен изменяться
и суммарный спин всех нуклонов в ядре (VIA 1.4°). Но электрон,
обладающий спином dhft/2, «уносит» свой спин при /3-распаде. Спин
ядра, казалось бы, должен измениться — вместо целочисленного
(в единицах К) он должен оказаться полуцелым (в единицах Я) или
наоборот. Этого не происходит.
6°. Бета-распад объясняется превращением в радиоактивном
ядре нейтрона Qii в протон J р с одновременным образованием элек-
электрона __^е и еще одной частицы антинейтрино1 qv:
В стабильных, не /3-радиоактивных, ядрах такого превращения не
происходит вследствие взаимодействия нейтрона с другими нукло-
нуклонами ядра. Вылет из ядра ^-частицы — электрона — сопровож-
сопровождается одновременным вылетом антинейтрино. При этом энергия
вылетающей пары частиц различным образом распределяется меж-
между ними, но так, чтобы сумма энергий обеих частиц не превышала
верхней границы Ер макс (п. 3°). Этим объясняется возможность раз-
различных значений энергии /3-частиц. Антинейтрино имеет спин, рав-
равный ±Я/2. Поэтому при одновременном вылете из ядра электрона и
антинейтрино их спины могут быть ориентированы взаимно проти-
противоположно и общий спин ядра при /3-распаде не изменяется. В про-
процессах /3-распада мы встречаемся с примерами взаимопревращения
частиц с одновременным образованием новых частиц. Подробнее об
этом см. VI.5.4.5°~8°.
7°. Нейтрон может превратиться в протон не только в ядре, но
и тогда, когда он в свободном состоянии {радиоактивность сво-
свободного нейтрона). Масса покоя нейтрона превышает сумму масс
покоя протона и электрона на Aw = 0.837 • 10~3а.е.м. (VI1.7.10).
Этой массе по закону взаимосвязи массы и энергии (V.4.11.1°) со-
соответствует энергия А? = Am • с2 = 782 кэВ. Опыты показали, что
свободный нейтрон является /3-радиоактивным. Период полураспа-
полураспада свободных нейтронов равен (9.25 ± 0.11) • 102с. Электроны, ко-
которые испускаются свободными нейтронами, имеют всевозможные
'Н обо};ы\;,н!>;х л.- ;iponr и прогони подчеркивается, что массовые числа у них
{'.:uiibs L\-4hiiu«.\ ¦> }.»!»>! , -.; puBiibi coo mere i веяно 0 и +1 (в единицах элементарного
заряда I.} АчгммС»:фил': нс hn:cct \:aecf I пемсия (V.4.10.4^) и электрического заряда.

4.8. Ядерные реакции 495
энергии, причем наибольшая энергия Ершкс (п. 3°) равна 782 кэВ в
соответствии с предыдущим расчетом.
8°. Как правило, ^-излучение не является самостоятель-
самостоятельным типом радиоактивности. Гамма-излучение сопровождает а-
и /3-распады. Дочернее ядро (VL4.5.10), возникшее при а- или
/3-распаде, обычно является возбужденным (VI.4.2.40). При перехо-
переходе в нормальное или менее возбужденное энергетическое состояние
ядро испускает у -фотон, подобно тому как атом, переходя из воз-
возбужденного состояния в нормальное, испускает фотон оптического
диапазона (VI.2.4.30) или рентгеновского излучения (V.3.6.10).
Большая жесткость у -квантов объясняется большими значени-
значениями энергий у -фотонов. Разность энергий АЕ между энергетиче-
энергетическими уровнями атомных ядер составляет примерно 0.1 МэВ, в то
время как в атомах АЕ имеет значения, не превышающие десятков
электрон-вольт.
4.8. Ядерные реакции
1°. Ядерными реакциями называются искусственные превра-
превращения атомных ядер, вызванные их взаимодействиями с различ-
различными частицами или друг с другом. В большинстве случаев в
ядерных реакциях участвуют два ядра и две частицы; одна пара
«ядро - частица» называется исходной парой, а другая — конеч-
конечной парой.
2°. Символическая запись ядерной реакции:
А+а -> В+Ь или А(а, Ь)В,
где А и В — исходное и конечное ядра, а и b — исходная и конеч-
конечная частицы в реакции. В ряде случаев ядерная реакция может про-
происходить неоднозначно: наряду со схемой А+а —> В+Ь она может
происходить по схеме А+а -> С+с и по другим схемам. Возможные
пути протекания ядерной реакции называются ее каналами (каналы
ядерной реакции).
3°. Ядерная реакция характеризуется энергией ядерной реак-
реакции Q, равной разности кинетических энергий конечной и исходной
пар в реакции. При Q < 0 реакции идут с поглощением энергии и
называются эндотермическими^ при Q > 0 реакции идут с выде-
выделением энергии и называются экзотермическими. Последний тип
ядерных реакций имеет большое практическое значение (VI.4.11.2°).

496 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
4°. При всех ядерных реакциях соблюдаются законы сохранения
суммарного электрического заряда и числа нуклонов. Кроме того,
выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента им-
импульса (момента количества движения8).
5°. Ядерные реакции классифицируются:
а) по энергиям частиц, вызывающих реакции;
б) по роду частиц, участвующих в реакциях;
в) по массовым числам ядер, участвующих в реакциях
(VL4.1.20).
6°. Различаются ядерные реакции при малых, средних и высо-
высоких энергиях частиц. Реакции при малых энергиях (порядка эВ)
происходят в основном с участием нейтронов. Реакции при средних
значениях (до нескольких МэВ) происходят также под действием
заряженных частиц, ^-квантов и космического излучения. Реакции
при высоких энергиях приводят к разложению ядер на составля-
составляющие их нуклоны и к рождению элементарных частиц (мезонов,
гиперонов и др.).
7°. Ядерные реакции, помимо нейтронов, вызываются заряжен-
заряженными частицами: протонами (ядрами обычного водорода), дейто-
нами (дейтронами) (ядрами тяжелого водорода fD), сг-частицами
(ядрами гелия \Не), многозарядными ионами тяжелых химиче-
химических элементов. Источниками заряженных частиц могут быть
естественно-радиоактивные химические элементы (VI.4.4.10), уско-
ускорители (VI.4.16.1°), космическое излучение. Ядерные реакции могут
также происходить под действием ^-квантов — фотоядерные реак-
реакции {ядерный фотоэффект).
8°. В зависимости от массовых чисел (VIA 1.2°) ядер различа-
различаются: реакции на легких ядрах (А < 50), реакции на средних ядрах
E0 < А < 100) и реакции на тяжелых ядрах (А > 100). По харак-
характеру происходящих ядерных превращений ядерные реакции весьма
разнообразны. (Некоторые важные примеры приводятся в дальней-
дальнейшем.)
9°. Ядерные реакции могут происходить либо в один этап, либо
в два этапа. В последнем случае на первом этапе реакции нале-
налетающая частица застревает в ядре-мишени. Энергия частицы пере-
8 В ядерных реакциях соблюдаются еще некоторые законы сохранения, специфи-
специфические для ядерной физики. Их рассмотрение выходит за рамки данного справочного
руководства.

4.9. Взаимодействие нейтронов с веществом 497
дается не одному, а многим нуклонам ядра. Захват ядром попав-
попавшей в него частицы приводит к образованию промежуточного ядра
(составное ядро). Промежуточное ядро находится в возбужден-
возбужденном состоянии. Через некоторое время, большое по сравнению с
характерным ядерным временем, энергия в ядре вновь концентри-
концентрируется на одной частице и следует ее вылет из ядра — второй этап
ядерной реакции.
10°. Ядерные реации под действием а-частиц были первыми
ядерными реакциями, подтвердившими возможность превращения
одних химических элементов в другие. Реакции этого типа с обра-
образованием протонов происходят по схеме
где X и Y — химические символы исходного ядра и ядра-продукта
реакции. Исторически первой ядерной реакцией была реакция пре-
превращения азота *yN в кислород:
4.9. Взаимодействие нейтронов с веществом
1°. В ядерных реакциях на легких ядрах под действием а-частиц
был обнаружен нейтрон — важнейшая элементарная частица, вхо-
входящая в состав всех атомных ядер, кроме ядра обычного водорода
(VIA 1.1°). Впервые нейтрон был получен в реакции превращения
бериллия (^Ве) в углерод (*|С):
2°. Отсутствие у нейтрона электрического заряда способствует
более легкому, чем у заряженных частиц, проникновению нейтро-
нейтронов в атомные ядра. Характер взаимодействия нейтронов с ядрами
различен для быстрых и медленных нейтронов. Нейтроны называ-
называются быстрыми (быстрые нейтроны), если их скорость v так ве-
велика, что соответствующая длина дебройлевской волны нейтронов
Я = h/mv (VI. 1.1.3°) много меньше радиуса R ядра, т.е. h/mv <C R,
или v ^> h/rnR. Энергии быстрых нейтронов заключены в пределах
от 0.1 МэВ до 50 МэВ. Если X ^ /?, то нейтроны называются медлен-
медленными (медленные нейтроны). Энергии медленных нейтронов не

498 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
превышают 100 кэВ. Медленные нейтроны с энергиями от 0.025 эВ
до 0.5 эВ называются тепловыми нейтронами. При энергиях, мень-
меньших 0.025 эВ, различают холодные и ультрахолодные нейтроны.
3°. Взаимодействие нейтронов с ядрами состоит, главным обра-
образом, либо в упругом рассеянии нейтронов на ядрах, либо в захвате
нейтронов ядрами. В веществах, называемых замедлителями (гра-
(графит, тяжелая вода D2O, HDO, соединения бериллия), быстрые ней-
нейтроны рассеиваются на ядрах, и их энергия переходит в энергию теп-
теплового движения атомов вещества-замедлителя. В результате ней-
нейтроны становятся тепловыми. Их энергии при комнатных темпера-
температурах составляют примерно 0.025 эВ.
Если энергии тепловых нейтронов совпадают с энергией со-
составного ядра (VI.4.8.90), происходит резонансное поглощение ней-
нейтронов ядрами (резонансный захват нейтронов). Захват ней-
нейтронов приводит к искусственной радиоактивности ядер вещества
(VI.4.10.10) и делению ядер (VI.4.11.1°).
4°. Реакции ядер урана с нейтронами привели к созданию хи-
химических элементов с зарядовыми числами Z, превышающими 92.
Такие химические элементы называются заурановыми {трансура-
{трансурановые элементы). При резонансном захвате нейтрона наиболее
распространенным изотопом урана 2^и образуется радиоактивный
изотоп урана Ц^- Он испытывает /3_ -распад с периодом полурас-
полураспада 23 минуты и превращается в изотоп трансуранового элемента
нептуния 2
Ядро изотопа нептуния ^fNp является /3_-радиоактивным с перио-
периодом полураспада 2.3 дня и превращается в плутоний 2^
5°. Плутоний 2ЦРи благодаря эффективному делению под
действием тепловых нейтронов (VI.4.11.4°) играет важнейшую
роль в получении ядерной энергии. Плутоний ^Ри является
а-радиоактивным с периодом полураспада 24 000 лет и превраща-
превращается в устойчивый изотоп урана ^U:
2^49PU -^ ^U.
4 2.4-104 лет

4.10. Искусственная радиоактивность 499
6°. Ядерная реакция урана 2||U с нейтроном может происходить
по другому каналу (VI.4.8.20) и приводит к созданию изотопа непту-
нептуния ^Np, являющегося родоначальником одного из радиоактивных
семейств (VI.4.5.30):
4tV + in -> Щи + 2jn, 4lV ?> *7Np.
6.8 дня
Изотоп нептуния 2^Np является «-радиоактивным с большим пери-
периодом полураспада: 2.21 • 106лет.
4.10. Искусственная радиоактивность
1°. Искусственной радиоактивностью называется радиоактив-
радиоактивность изотопов (VI.4.1.20), полученных в результате ядерных ре-
реакций (VI.4.8.10). Искусственная радиоактивность связана с на-
нарушением условия устойчивости (стабильности) атомного ядра
(VI.4.3.50).
2°. Легкие ядра (А < 50), в которых искусственно создано избы-
избыточное число нейтронов по сравнению с числом протонов, т. е. нару-
нарушено условие VI.4.3.50, являются /3_-радиоактивными. Обозначение
Р- указывает на то, что речь идет об испускании такими ядрами
электронов. Типичным примером является превращение стабильно-
стабильного изотопа натрия 2^Na под действием нейтронов в радиоактивный
изотоп 2JNa. Этот изотоп является /3_-радиоактивным и превраща-
превращается в стабильный изотоп магния f^Mg:
Процесс происходит с выбросом электрона (_?е), антинейтри-
антинейтрино (qVq) (VL4.7.60) и у-кванта.
3°. Устойчивость стабильного ядра нарушается при введении в
него избыточных протонов. При этом возрастает энергия ядра, на-
нарушается условие устойчивости ядра VI.4.3.50 и появляется искус-
искусственная /3^-радиоактивность. Так называется искусственная ра-
радиоактивность, связанная с выбросом из ядра позитрона (+?е). По-
Позитрон имеет одинаковую с электроном массу покоя, спин, равный
h/2 и положительный элементарный заряд A11.1.1.3°).
/3+ -радиоактивный распад происходит в ядре при превращении
избыточного протона в нейтрон по схеме

500 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
Реакция этого типа сопровождается выбрасыванием нейтрино
qVc — незаряженной частицы с массой покоя, равной нулю. Необхо-
Необходимость существования такой частицы диктуется теми же сообра-
соображениями, которые определяют основы теории /3_ -естественного ра-
радиоактивного распада (VI.4.7.30—6°). /3+ -радиоактивность энерге-
энергетически оказывается возможной, хотя тр < тп. Необходимую для
реакции энергию протон }р получает при взаимодействии с другими
нуклонами ядра.
Примеры искусственной /3+ -радиоактивности: превращение алю-
алюминия ]73М в радиоактивный фосфор (радиофосфор) ]®Р:
fr\l + «Не -> \°5? + Я зор ^ 30Si + +oe + oVe.
образование радиоазота !7N из устойчивого изотопа бора ^В:
10о I 4тт_ . 13хт . 1„ 13хт . 12а» i 0^ I 0.,
Б + Не—>> N+n N > С + е + у
4.11. Деление тяжелых ядер
1°. Тяжелые ядра, перегруженные нейтронами, являются не-
неустойчивыми (неустойчивость тяжелых ядер). Это подтвержда-
подтверждается меньшей удельной энергией связи тяжелых ядер по сравнению
с удельной энергией средних ядер (VI.4.2.20).
Делением ядра называется ядерная реакция разделения тяже-
тяжелого ядра (например, урана), возбужденного захватом нейтрона на
две приблизительно равные части, называемые продуктами деле-
деления (осколками). Нуклоны исходного составного ядра (VI.4.8.90)
распределяются между осколками деления в соответствии с зако-
законами сохранения электрических зарядов и массовых чисел. При
этом возможно высвобождение некоторого небольшого числа ней-
нейтронов (п. 5°).
2°. Деление тяжелого ядра на два осколка сопровождается выде-
выделением огромной энергии. На один нуклон в акте деления «рыхло-
«рыхлого», неустойчивого ядра выделяется энергия, равная разности удель-
удельных энергий связи в ядрах — продуктах деления и исходного ядра,
т.е. 8.7МэВ - 7.6МэВ = 1.1 МэВ (VI.4.2.20). Всего в ядре урана
29gU, содержащего 238 нуклонов, при делении выделяется энергия
порядка 220 МэВ. При делении ядер, содержащихся в 1 г урана ^
выделяется энергия 8 • 1010 Дж, или 22000 кВт • ч.

4.11. Деление тяжелых ядер 501
3°. Основная часть энергии деления выделяется в форме кинети-
кинетической энергии осколков деления. При расстоянии г между оскол-
осколками, превышающем радиус действия ядерных сил (VI.4.3.2°,6),
потенциальная энергия П отталкивания заряженных ядер-осколков
равна П = (Z\Z2 • е2)/{4тт?ог), где Z\e и Z2e — заряды этих ядер.
В момент завершения деления г = R\ -\- R2 ~ 2R, где R\ и R2 —
радиусы ядер-осколков, равные R = 1.4- Ю5^1/3 (VI.4.1.50). Счи-
Считая Zi = Z2 = 92/2 = 46 и А\ = Л2 = 238/2 = 119, име-
имеем П « 220 МэВ. Потенциальная энергия П осколков перехо-
переходит в их кинетическую энергию, и они разлетаются с огромными
скоростями.
4°. Некоторые ядра могут делиться под действием как быстрых,
так и медленных нейтронов. Медленные нейтроны производят деле-
деление более эффективно, так как они гораздо легче захвытываются ис-
исходными ядрами. Тепловые нейтроны (VI.4.9.20) вызывают деление
ядер плутония ^Ри и изотопа урана 2^U. Энергии, необходимые
для деления ядер изотопа урана 2^U, а также ядер изотопов то-
тория и протактиния, существующих в природе, значительно больше
и составляют приблизительно 1 МэВ.
5°. Тяжелые делящиеся ядра перегружены нейтронами: для них
N/Z « 1.6 (VL4.1.10). Это означает, что в момент образования
осколков деления они также перегружены нейтронами. Но в устой-
устойчивых ядрах-осколках N/Z ближе к 1. Следовательно, при делении
ядер имеются избыточные нейтроны, число которых равно раз-
разности между числом нейтронов в исходном ядре и их числом в
ядрах-осколках {нейтроны деления). Среднее число ft нейтронов
деления, приходящихся на один акт деления, характеризует процесс
размножения нейтронов при делении ядер. Например, при деле-
делении ядер плутония ЩРи и урана 2g2U под действием тепловых ней-
нейтронов среднее число п равно соответственно 3.0 и 2.5.
6°. Для осуществления реакции деления ядра необходима затра-
затрата некоторого количества энергии, которая называется энергией ак-
активации деления ядра {порог деления). Ядро-капля (VI.4.3.40)
наиболее устойчиво, если сумма поверхностной энергии, стягива-
стягивающей каплю (VI.4.3.40), и электростатической энергии отталкива-
отталкивания протонов сферического ядра-капли будет наименьшей. При за-
захвате нейтрона ядро-капля (рис. VI.4.8, а) деформируется и прини-
принимает форму эллипсоида (рис. VI.4.8,6). В связи с огромной плот-

502 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
ностью ядерного вещества (VIA 1.6°) объем ядра-капли не изме-
изменяется, но поверхность ее возрастает и возрастает поверхностная
энергия ядра. Одновременно происходит уменьшение электроста-
электростатической энергии, ибо при сферической форме ядра протоны мак-
максимально сближены и энергия их отталкивания наибольшая. Ядро-
заряженная капля при захвате нейтрона приходит в колебания: по-
попеременно то вытягивается, то сжимается. При малых деформаци-
деформациях капли (рис. VIA8,#) силы поверхностного натяжения (VIA3.40)
Рис. VI.4.8
не позволяют капле достигнуть критического значения деформации
(рис. VIA8,2), при котором наступает деление (рис. VIA8,d). Про-
Промежуточные состояния связаны с образованием и удлинением «пе-
«перетяжки» в капле (рис. VIA8,<?^). При энергиях возбуждения ядра,
меньших, чем энергия активации деления, деформация ядра-капли
не доходит до критической, ядро не делится и возвращается в основ-
основное энергетическое состояние, испустив у-фотон.
7°. Как показывают расчеты на основе капельной модели, усло-
условием энергетической выгодности деления является неравенство
Z2/A > 18, где Z — порядковый номер химического элемента, А —
массовое число. Величина Z2 /А называется параметром деления.
Неравенство Z2/A > 18 выполняется для всех ядер, начиная с се-
серебра ^Ag. Однако из-за наличия энергии активации (п. 6°) тяже-
тяжелые ядра начинают делиться при гораздо больших значениях Z2/A.
При критическом значении параметра деления Z2/A > 49 суще-
существование ядра вообще невозможно — оно претерпевает спонтан-
спонтанное (самопроизвольное) деление. При несколько меньших значе-
значениях параметра Z2 /А ядро может разделиться спонтанно за счет
туннельного эффекта, аналогично существующему при а-распаде
(VIA7.20). Это явление было обнаружено для ядер урана 2<jfU и
ядер трансурановых элементов (VI.4.9.40). Наиболее важным про-
процессом является деление тяжелых ядер нейтронами, которые вносят
необходимую энергию активации.

4.12. Цепные ядерные реакции. Ядерный реактор 503
4.12. Цепные ядерные реакции деления.
Ядерный реактор
1°. Если каждый из нейтронов деления (VIA 11.5°) взаимодей-
взаимодействует с соседними ядрами делящегося вещества и в свою очередь
вызывает в них реакцию деления, то происходит лавинообразное
нарастание числа актов деления. Такая реакция деления называется
цепной реакцией, названной так по аналогии с цепными химически-
химическими реакциями, продукты которых могут вновь вступать в реакции с
исходными веществами.
2°. Условием возникновения цепной реакции является наличие
размножения нейтронов (VIA 11.5°) при делении ядра. Коэффици-
Коэффициентом к размножения нейтронов называется отношение числа
нейтронов, возникших в некотором звене реакции, к числу таких
нейтронов в предыдущем звене. Необходимым условием развития
цепной реакции является требование к ^ I.
3°. Не каждый из нейтронов деления вызывает развитие цепной
реакции. Часть из них попадает в ядра атомов неделящихся веществ,
присутствующих в активной зоне — области пространства, где
происходит цепная реакция. Такими веществами являются замед-
замедлители нейтронов (VI.4.9.30), теплоносители, уносящие энергию из
активной зоны в результате теплообмена, и др. Часть нейтронов
просто выходит за пределы активной зоны и не может вызывать
развития цепной реакции.
4°. Помимо причин, указанных в п. 3°, развитие цепной реакции
зависит от среднего числа п нейтронов, возникших при одном акте
деления (VIА 11.5°), от размеров активной зоны и от процессов
взаимодействия нейтронов с ядрами делящихся веществ и ядрами
веществ-примесей.
5°. Уменьшение размеров активной зоны увеличивает долю ней-
нейтронов, уходящих из зоны, и уменьшает возможность развития цеп-
цепной реакции. Потери нейтронов пропорциональны площади поверх-
поверхности 5, а размножение нейтронов пропорционально массе деля-
делящегося вещества, а следовательно, его объему V. Для делящего-
делящегося вещества сферической формы S ~ R2, V ~ R3, S/V ~ 1/R.
С уменьшением R, т.е. с уменьшением объема и массы делящего-
делящегося вещества, растет доля потерь нейтронов, уходящих из активной
зоны. Минимальные размеры активной зоны, при которых k ^ 1

504 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
(п. 2°), называются критическими размерами. Минимальная мас-
масса делящихся веществ, находящихся в активной зоне критических
размеров, называется критической массой.
Для уменьшения критических размеров и критической массы
делящиеся вещества окружаются отражателями нейтронов —
слоями неделящегося вещества, которое не захватывает нейтроны,
а возвращает в активную зону большую часть вылетающих из нее
нейтронов. В качестве отражателей применяются те же вещества,
которые служат замедлителями нейтронов (VI.4.9.30).
Управление цепной реакцией состоит в том, чтобы регулировать
скорость v цепной реакции, т.е. число актов деления ядер в ве-
веществе за единичный промежуток времени. Помимо коэффициента
размножения нейтронов скорость цепной реакции зависит от сред-
среднего времени т между двумя последовательными актами деления
(среднее время жизни одного «поколения» нейтронов).
6°. Ядерными реакторами (атомными котлами) называются
устройства, в которых осуществляются управляемые цепные ядер-
ядерные реакции. Основные элементы ядерного реактора: ядерное го-
горючее, замедлитель и отражатель нейтронов, теплоноситель для те-
плоотвода от реактора, регуляторы скорости развития цепной ре-
реакции деления. Различаются реакторы на медленных и на быстрых
нейтронах (VI.4.9.20). Для работы первых обязательно наличие за-
замедлителя, позволяющего нейтронам скачками преодолевать опас-
опасную область энергий, в которой происходит резонансный захват ней-
нейтронов (VI.4.9.30), приводящий к убыли их числа в активной зоне
реактора.
7°. Ядерным горючим (сырьевые и делящиеся вещества в ре-
реакторах) являются изотопы урана Щ\) и 2|f U, плутоний 2ЦРп, то-
торий 29oTh. В природной смеси изотопов урана изотопа 2||и содер-
содержится в 140 раз больше, чем изотопа 2^U.
Замедлители и отражатели нейтронов (п. 5°) способствуют уве-
увеличению числа медленных нейтронов (VI.4.9.20), которые наиболее
эффективны для развития цепной реакции деления.
Быстрое развитие цепной реакции сопровождается выделением
большого количества теплоты и перегревом реактора. Для поддер-
поддержания стационарного режима реактора, при котором коэффициент
размножения нейтронов k = 1 (VIA 12.2°) (критический режим

4,12. Цепные ядерные реакции. Ядерный реактор
505
реактора), в активную зону реактора вводятся управляющие {ре-
{регулирующие) стержни из материалов, сильно поглощающих те-
тепловые нейтроны, например из бора или кадмия.
Теплоносителем в реакторе служит вода, жидкий натрий и
другие вещества. Для защиты персонала, обслуживающего реак-
реактор, от действия на организм нейтронных потоков и у -излучения,
возникающих в реакторе (VIA, 14.1°), применяются специальные ме-
меры — защитные устройства и автоматизация процессов управле-
управления реактором. Схема устройства ядерного реактора изображена на
рис. VI.4.9.
Регулирующие
стержни
Ядерное горючее и замедлитель
Теплоноситель
\ —— Турбина
Генератор
Защита от радиации
Отражатель
Рис. VI.4.9
8°. В ядерных реакторах, работающих на быстрых нейтронах,
осуществляется процесс воспроизводства ядерного горючего. За-
Захват нейтронов ядрами урана 2g|U приводит к созданию плуто-
плутония 294^u (VL4.9.40), который можно химически отделить от 2^|U.
При делении одного ядра 2|fU образуется в среднем 2.5 ней-
нейтрона (VIA 11.5°), из которых лишь один необходим для под-
поддержания цепной реакции. Остальные 1.5 нейтрона могут быть
захвачены ядрами 2||U и создать 1.5 ядра ^Ри. В специаль-
специальных бридерных (воспроизводящих) реакторах коэффициент вос-
воспроизводства ядерного горючего превышает единицу. В активную
зону бридерного реактора помещается сплав урана, обогащенно-
обогащенного изотопом 292^ с тяжелым металлом (висмут, свинец), ма-
мало поглощающим нейтроны. Замедлитель в таких реакторах от-
отсутствует. Управление реактором производится автоматизирован-
автоматизированным перемещением отражателя или изменением массы делящихся
веществ.

506 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
4.13. Применения ядерной энергии
и радиоактивных изотопов
1°. Ядерной энергией называется энергия, выделяющаяся при
цепных ядерных реакциях деления тяжелых ядер9. В мирных целях
ядерная энергия используется в атомных электростанциях. Мощ-
Мощность атомных электростанций определяется мощностью ядерных
реакторов. Реакторы достаточной мощности служат источниками
энергии в двигателях на судах и подводных лодках. Энергия атомных
электростанций может быть использована, например, для опресне-
опреснения морской воды. Расчеты показывают, что стоимость опресненной
воды при этом будет столь низкой, что ее можно будет использовать
для орошения засушливых земель.
2°. Развитие реакторостроения и увеличивающиеся мощности
ядерных реакторов позволяют расширить производство радиоактив-
радиоактивных изотопов различных химических элементов (VI.4.10.20, 3°). Ра-
Радиоактивные изотопы по своим химическим свойствам не отлича-
отличаются от стабильных изотопов тех же химических элементов. Это
определяет возможность практического использования радиоактив-
радиоактивных изотопов.
Основой практического применения радиоактивных изотопов в
науке и технике являются следующие их свойства:
а) большая энергия /?_-, р+- и у-излучений, позволяющая обна-
обнаружить весьма малые количества радиоактивных веществ;
б) независимость излучения данного радиоактивного изотопа от
условий, в которых находятся его атомы (внешние условия, харак-
характер химического соединения, агрегатное состояние и др.);
в) различная проникающая способность /3±- и у -излучений и спе-
специфический характер их взаимодействия с веществом.
3°. Радиоактивные изотопы применяются в качестве источни-
источников частиц и радиоактивных индикаторов. В качестве источни-
источников частиц высоких энергий радиоактивные изотопы применяются
для дозированного облучения различных веществ с целью вызвать
заранее планируемые изменения в их структуре, а также в состоя-
9Часто применяемый термин «атомная энергия» является неправильным. Атом-
Атомная энергия связана с процессами, происходящими в электронных оболочках атомов,
молекул и их коллективов.

4.13. Применения ядерной энергии 507
ниях их атомов и молекул. На этом основаны методы радиационной
химии и радиационной биологии. В радиационной химии:
а) создаются вещества с наибольшей сопротивляемостью разру-
разрушению, вызываемому ионизирующими излучениями (радиобиологи-
(радиобиологическая защита, защита стенок реактора, теплоносителей и смазоч-
смазочных материалов, работающих под действием излучения, и т.д.);
б) создаются новые материалы с ценными, заранее планируемы-
планируемыми свойствами (например, новые полимерные материалы).
Радиационная биология изучает изменения в живых организмах,
вызванные действием ионизирующих излучений (наследственные
качества животных и растений, изменение наследственности и т.д.).
Частицы высоких энергий, испускаемые радиоактивными изотопа-
изотопами, используются в медицине для диагностики и лечения некоторых
злокачественных опухолей и других болезней.
4°. Применение радиоактивных изотопов в качестве радиоактив-
радиоактивных индикаторов основано на использовании атомов радиоактивных
изотопов, «отмеченных» их излучением {метод меченых атомов).
Исследование вещества с примесью радиоактивного индикатора по-
позволяет решать весьма разнообразные задачи: контроль за ходом
технологических процессов, определение содержания весьма малых
количеств вещества, определение возраста геологических объектов
и археологических находок и другие.
5°. Атомная бомба является особым реактором на быстрых ней-
нейтронах, в которых происходит быстрая неуправляемая цепная реак-
реакция с большим коэффициентом размножения нейтронов (VI.4.12.20).
Ядерным взрывчатым веществом в атомной бомбе служат чистые
делящиеся изотопы 2||U, ЩРи и 2^U. Быстрая цепная реакция
взрывного типа происходит на быстрых нейтронах без замедлите-
замедлителей при определенных, относительно небольших, размерах и массе
устройства. Критическая масса (VIA 12.5°) составляет 10^20 кг и
при плотности вещества р = 18.7 г/см3 занимает объем шара ради-
радиусом 4ч-6 см. Вначале взрывчатое вещество находится в состоянии,
исключающем быстрое развитие цепной реакции. Перевод вещества
в условия, при которых происходит неуправляемая цепная реакция,
производится максимально быстро. С этой целью, например, внача-
вначале ядерный заряд бомбы делится на две части, в каждой из которых
цепная реакция невозможна. Для осуществления взрыва одна из по-
половин заряда выстреливается в другую, а при их соединении почти
мгновенно происходит взрывная цепная реакция.

508 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
6°. Взрывная ядерная реакция приводит к выделению огромной
энергии. При этом достигается температура ~ Ю8 градусов. Проис-
Происходит колоссальный рост давления, и образуется мощная взрывная
волна. Огромное количество осколков деления, содержащих радио-
радиоактивные изотопы, в том числе долгоживущие, представляет боль-
большую опасность для живых организмов.
4.14. Биологическое действие ионизирующих
излучений10
1°. Ионизирующие излучения оказывают сильное действие на
вещество, особенно на живые ткани. Вредное действие ионизиру-
ионизирующих излучений на организм связано с образованием свободных
химических радикалов и с мутациями в клетках. Последние могут
оказывать влияние на потомство, а также приводить к лучевой бо-
болезни и образованию злокачественных опухолей.
Биологическое действие ионизирующих излучений оценивается
особыми величинами.
Дозой излучения D (или поглощенной дозой излучения) назы-
называется отношение энергии излучения к массе облучаемого вещест-
вещества. Единицей дозы является грей (Гр, Gy, размерность L2T"~2). Грей
равен поглощенной дозе излучения, соответствующей энергии 1 Дж
ионизирующего излучения любого вида, переданной облученному
веществу массой в 1 кг. Внесистемной единицей дозы служит рад:
1 рад = Ю-2 Гр.
2°. Мощностью дозы излучения (мощностью поглощенной
дозы излучения) называется доза, отнесенная к единичному проме-
промежутку времени:
N=T
Единицей мощности дозы излучения служит грей в секунду (Гр/с,
Gy/s, размерность L2T~3). Грей в секунду равен мощности по-
поглощенной дозы излучения, при которой за время 1 с облученным
веществом поглощается доза излучения 1 Гр.
10 В этом параграфе, в связи с его особым характером, приведены единицы величин,
характеризующих действие излучений.

4.14. Биологическое действие излучений 509
3°. Экспозиционная доза рентгеновского и гамма-излу-
гамма-излучений D3 представляет собой энергетическую характеристику из-
излучения, оцениваемую по эффекту ионизации сухого атмосферного
воздуха. Единицей экспозиционной дозы служит кулон на кило-
килограмм (Кл/кг, С/kg, размерность M^TI) — экспозиционная доза
рентгеновского или гамма-излучения, при которой сумма электри-
электрических зарядов ионов каждого знака, созданных электронами, осво-
освободившимися в облученном воздухе массой в 1 кг при полном ис-
использовании ионизующей способности, равна 1 Кл.
4°. Внесистемной единицей экспозиционной дозы служит
рентген (Р):
IP = 2.58- 1(Г4 Кл/кг.
Рентген соответствует экспозиционной дозе, при которой в 1 см3
сухого воздуха при нормальном атмосферном давлении возникает
суммарный заряд ионов каждого знака, равный одной абсолютной
электростатической единице заряда.
5°. Мощность экспозиционной дозы рентгеновского и гамма-
излучений N3 = D3/t измеряется в амперах на килограмм (А/кг,
A/kg, размерность M~JI). Ампер на килограмм равен мощности
экспозиционной дозы излучений, при которой за время в 1 с сухому
атмосферному воздуху передается экспозиционная доза 1 Кл / кг.
Внесистемные единицы мощности экспозиционной дозы:
1 Р/с = 2.58- 1(Г4А/кг,
1 Р/мин = 4.30 • 10~6 А/кг, 1 Р/ч = 7.17 • 10~8 А/кг.
6°. Эквивалентная доза излучения оценивается по биологи-
биологическому воздействию излучения. Единицей эквивалентной дозы из-
излучения является джоуль на килограмм (Дж/кг, J/kg, размер-
размерность L2T~2).
Внесистемной единицей эквивалентной дозы излучения служит
биологический эквивалент рентгена (бэр). Так называется по-
поглощенная энергия излучения, биологически эквивалентная одному
рентгену:
1бэр= 10~2 Дж/кг.
Биологическое действие зависит, помимо эквивалентной дозы, от
энергии отдельных частиц. Так, одинаковые дозы у-излучения, рент-
рентгеновского излучения и нейтронов неодинаково опасны.

510 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
7°. Для человеческого организма безопасной считается экспози-
экспозиционная доза, примерно в 250 раз превышающая дозу, создаваемую
космическим фоном и радиоактивными излучениями из недр Земли.
Опасной для человека считается однократно полученная экспозици-
экспозиционная доза, превышающая 500 рентген. При пассивном лечении (без
пересадки костного мозга и др.) такая экспозиционная доза дает пя-
пятидесятипроцентную смертность.
4.15. Термоядерные реакции
1°. Термоядерными реакциями называются экзотермические
ядерные реакции (VI.4.8.30) синтеза тяжелых ядер из более легких.
Термоядерные реакции эффективно происходят при сверхвысоких
температурах порядка 107—109К. При термоядерных реакциях вы-
выделяется весьма большая энергия, превышающая энергию, которая
выделяется при делении тяжелых ядер (VI.4.11.2°). Например, при
реакции слияния ядер дейтерия fD и трития ^Т (VIA 1.2°) в ядро
гелия 2 Не:
выделяется энергия, приблизительно равная 3.5 МэВ на один ну-
нуклон. В реакциях деления энергия на один нуклон составляет около
1МэВ.
При синтезе ядра гелия из четырех протонов:
где +^е — символ позитрона (VI.4.10.30), выделяется еще большая
энергия, равная 6.7 МэВ на одну частицу. Энергетическая выгод-
выгодность термоядерных реакций объясняется тем, что удельная энер-
энергия связи в ядре гелия значительно превышает удельную энергию
связи ядер изотопов водорода (VL4.2.20, рис. VI.4.1).
2°. Для слияния легких ядер необходимо преодолеть потенци-
потенциальный барьер (VI.4.7.20), обусловленный кулоновским отталкива-
отталкиванием протонов в одноименно положительно заряженных ядрах. Для
слияния ядер дейтерия jD их надо сблизить на расстояние г, рав-
равное приблизительно г « 3 • 10~15м. Для этого нужно преодолеть
электростатическое отталкивание, характеризующееся потенциаль-
потенциальной энергией П = (е2/4жсог) « 0.1 МэВ. Ядра дейтерия смогут

4.15. Термоядерные реакции 511
преодолеть такой барьер, если при соударении их средняя кинетиче-
кинетическая энергия C/2)кТ A1.2.4.4°) будет равна 0.1 МэВ. Это возможно
при Т = 2-109 К. Практически по ряду причин11 температура, необ-
необходимая для протекания термоядерных реакций, снижается на два
порядка и составляет 107 К.
3°. Температура порядка 107К характерна для центральной ча-
части Солнца. Спектральный анализ излучения Солнца показал, что
в веществе Солнца, как и многих других звезд, имеется до 80% во-
водорода и около 20% гелия. Углерод, азот и кислород составляют не
более 1% массы звезд. При огромной массе Солнца (« 2 • 1027кг)
количество этих газов достаточно велико.
4°. Термоядерные реакции происходят на Солнце и звездах и
являются источником энергии, обеспечивающим их излучение. Еже-
Ежесекундно Солнце излучает энергию 3.8 • 1026 Дж, что соответствует
уменьшению его массы на 4.3 млн.тонн (V.4.11.10). Удельное вы-
выделение энергии Солнца, т. е. выделение энергии, приходящееся на
единичную массу Солнца за одну секунду, равно 1.9-10~4 Дж/с • кг.
Оно весьма мало и составляет около 10~3 % от удельного выделения
энергии в живом организме в процессе обмена веществ. Мощность
излучения Солнца практически не изменилась за несколько милли-
миллиардов лет существования Солнечной системы.
5°. Один из путей протекания термоядерных реакций на Солн-
Солнце — углеродно-азотный цикл, в котором соединение ядер водо-
водорода в ядро гелия облегчается в присутствии ядер углерода 12,С,
играющих роль катализаторов12. В начале цикла быстрый протон
проникает в ядро углерода 12,С и образует неустойчивое радиоак-
радиоактивное ядро изотопа азота 13N (VIA 10.3°) с излучением у-кванта:
С периодом полураспада 14 минут в ядре ^N происходит превра-
превращение (VI.4.10.30) Jp —» Qn + ^e + QVc и образуется ядро изотопа *j?C:
Приблизительно через каждые 2.7 млн. лет ядро ]|С, захватив про-
протон, образует ядро устойчивого изотопа азота ^N:
11 Анализ этих причин выходит за рамки данного справочного руководства.
12Катализаторами (от греческого «katalisis») называются вещества, ускоряющие
химические реакции.

512 Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
Спустя, в среднем, 32 млн. лет ядро **N захватывает протон и пре-
превращается в ядро кислорода ^О:
Неустойчивое ядро !|О с периодом полураспада 3 минуты испускает
позитрон и нейтрино и превращается в ядро ^N:
ЦиКЛ завершается реакцией поглощения ядром ^N протона с рас-
распадом его на ядро углерода *|С и а-частицу. Это происходит при-
приблизительно через 100 тысяч лет:
Новый цикл начинается вновь с поглощением углеродом *|С
протона, происходящего в среднем через 13 млн. лет. Отдельные
реакции цикла отдалены во времени промежутками, которые явля-
являются по земным масштабам времени непомерно большими. Однако
цикл является замкнутым и происходит непрерывно. Поэтому
различные реакции цикла происходят на Солнце одновременно,
начавшись в разные моменты времени.
6°. В результате одного цикла четыре протона сливаются в ядро
гелия с появлением двух позитронов и у-излучения. К этому нужно
добавить излучение, возникающее при слиянии позитронов с элек-
электронами плазмы (VI.5.3.20). При образовании одного грамматома
гелия выделяется 700 тысяч кВт • ч энергии. Это количество энер-
энергии компенсирует потери энергии Солнца на излучение. Расчеты
показывают, что количества водорода, имеющегося на Солнце, хва-
хватит для поддержания термоядерных реакций и излучения Солнца на
миллиарды лет.
7°. Осуществление термоядерных реакций в земных условиях
создаст огромные возможности для получения энергии. Например,
при использовании дейтерия, содержащегося в литре обычной воды,
в реакции термоядерного синтеза выделится столько же энергии,
сколько выделяется при сгорании около 350 л бензина.
Условия, близкие к тем, которые реализуются в недрах Солнца,
были осуществлены в водородной бомбе. Там происходит само-
самоподдерживающаяся термоядерная реакция взрывчатого характера.

4.16. Ускорители 513
Взрывчатым веществом является смесь дейтерия \Т> и трития ]Т.
Высокая температура, необходимая для протекания реакции, полу-
получается за счет взрыва обычной атомной бомбы, помещенной внутри
термоядерной.
8°. Изучение реакций, происходящих в высокотемпературной
дейтериевой плазме A11.3.6.1°), является теоретической основой
получения искусственных управляемых термоядерных реакций.
Основной трудностью является поддержание условий, необходимых
для осуществления самоподдерживающейся термоядерной
реакции. Для такой реакции необходимо, чтобы скорость выделе-
выделения энергии в системе, где происходит реакция, была не меньше,
чем скорость отвода энергии от системы. При температурах по-
порядка 108 К термоядерные реакции в дейтериевой плазме обладают
заметной интенсивностью и сопровождаются выделением большой
энергии. В единичном объеме плазмы при соединении ядер дейтерия
выделяется мощность ЗкВт/м3. При температурах порядка 106К
мощность составляет всего лишь 10~17Вт/м3.
9°. Потери энергии в высокотемпературной плазме связаны глав-
главным образом с тепловыми потерями через стенки устройства. Плаз-
Плазму необходимо термоизолировать от стенок. С этой целью применя-
применяются сильные магнитные поля (магнитная термоизоляция плаз-
плазмы). Если через столб плазмы в направлении его оси пропустить
большой электрический ток, то в магнитном поле этого тока возни-
возникают силы, которые сжимают плазму в плазменный шнур, оторван-
оторванный от стенок. Удержание плазменного шнура в отрыве от стенок
и борьба с различными неустойчивостями плазмы являются слож-
сложнейшими задачами, решение которых должно привести к практиче-
практическому осуществлению управляемых термоядерных реакций.
4.16. Ускорители
1°. Устройства для получения заряженных частиц с весьма боль-
большой кинетической энергией называются ускорителями. Различают-
Различаются следующие методы ускорения частиц: прямой, индукционный и
резонансный. По форме траекторий движения частиц ускорители
делятся на линейные и циклические. В линейных ускорителях тра-
траектории движения частиц близки к прямым линиям. В циклических
ускорителях траектории являются окружностями или спиралями.

514
Отдел VI. Гл. 4. Строение и основные свойства атомных ядер
2°. В прямых линейных ускорителях частица однократно про-
проходит в электрическом поле большую разность потенциалов Аср и
приобретает при этом большую кинетическую энергию mv2/2, рав-
рав2
где q — заряд частицы.
О'
ную A11.1.8.5°) mv2/2 =
3°. Индукционным ускорителем электронов является бетатрон.
В основу его устройства положено явление возникновения в про-
пространстве вихревого электрического поля под влиянием перемен-
переменного магнитного поля A11.5.3.3°). На рис. VI.4.10 изображена схема
бетатрона. Между полюсными наконечниками А и С сильного элек-
электромагнита помещается вакуумированная кольцевая ускорительная
камера D, имеющая форму замкнутого кольца. Ось камеры совпада-
совпадает с осью симметрии ОО' полюсных наконечников электромагнита.
Изменение силы тока в обмотке электромагнита вызывает в про-
пространстве между полюсами электромагнита изменение магнитного
поля и возникновение вихревого электрического поля. Магнитное
поле симметрично относительно оси ОО'.
Линии напряженности вихревого электри-
электрического поля A11.1.3.5°) в плоскости MN,
,у перпендикулярной к оси ОО' и проходя-
проходящей через середину зазора между полюса-
полюсами, имеют вид окружностей, центры кото-
которых находятся в точке К. Напряженность Е
электрического поля по модулю одинакова
во всех точках каждой окружности.
4°. Если в камеру D вводится электрон
так, что его скорость v направлена по каса-
касательной к окружности — к линии напряжен-
напряженности электрического поля, — то на элек-
электрон действует сила (—еЕ), направленная
по касательной к линии напряженности про-
Рис. VIA 10 тивоположно направлению вектора Е. За п
оборотов по окружности радиуса г электрон приобретает кинети-
кинетическую энергию, равную inreEn. Обычно в бетатроне электрон до
выпуска из камеры D проходит путь в тысячи километров. В бета-
бетатроне принимаются особые меры для того, чтобы электрон нахо-
находился все время на одной орбите, лежащей в плоскости, указанной
в п. 3°13.
13 Условия стабильности орбиты электрона и устойчивости электрона на орбите не
рассматриваются в данном справочном руководстве.

4.16. Ускорители 515
Пример. Равномерное изменение магнитного поля таково, что
при однократном обходе окружности е радиусом г = 0.4 м электрон
приобретает энергию 20 эВ. Тогда за время 8.45 • 10~3с электрон
пройдет путь в 2520 км, сделает 106 оборотов и приобретет энергию,
равную 20 МэВ.
5°. Резонансные циклические ускорители применяются для уско-
ускорения протонов, дейтронов и многозарядных ионов атомов различ-
различных химических элементов. Ускоряемая частица многократно про-
проходит через переменное электрическое поле по замкнутой траекто-
траектории, каждый раз увеличивая свою
энергию. Для управления движени-
движением частиц и периодического воз-
возвращения их в область ускоряюще-
ускоряющего электрического поля применя-
применяется сильное поперечное магнит-
магнитное поле. Простейшим резонанс-
резонансным ускорителем является цикло-
циклотрон, схема устройства которого
показана на рис. VI.4.11. Цикло-
Циклотрон состоит из двух металличе-
металлических дуантов М и N, которые пред- с-
ставляют собой две половины невысокой тонкостенной цилиндри-
цилиндрической коробки, разделенные узкой щелью D. Дуанты заключены
в замкнутую вакуумированную камеру А, помещенную между по-
полюсами сильного электромагнита. Индукция магнитного поля на-
направлена перпендикулярно к плоскости чертежа. Электроды т и п
соединяют дуанты с электрическим генератором, который создает в
щели D переменное электрическое поле.
6°. Заряженная частица, введенная в щель Z), ускоряется элек-
электрическим полем. Пусть, например, в точку С введен положитель-
положительный ион в тот момент, когда напряженность электрического поля
максимальна и направлена снизу вверх. Ион под действием электри-
электрического поля будет двигаться в щели снизу вверх равноускоренно.
В металлических дуантах М и N электрическое поле отсутствует.
Внутри дуанта М ион под действием магнитного поля описывает
полуокружность определенного радиуса A11.4.5.2°). В момент, ког-
когда частица подойдет в точке ? к щели, направление напряженности
электрического поля изменится на противоположное, и частица в за-

516 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
зоре будет ускоряться, двигаясь сверху вниз, в дуант N. В дуанте N
ион опишет полуокружность уже большего радиуса, соответству-
соответствующего возросшей скорости частицы. К моменту выхода частицы из
дуанта N в точке G напряженность электрического поля снова из-
изменит свое направление и будет ускорять ион снизу вверх. В ре-
результате многократного ускорения иона он будет двигаться по рас-
раскручивающей спирали, и электрическое поле сообщит ему большую
кинетическую энергию.
7°. Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необ-
необходимо синхронизировать движение частицы в магнитном поле
и изменение электрического поля в щели. Условия синхронизма
в циклотроне:
7о = 7\
где То — период колебаний электрического поля, Т — период обра-
обращения частицы в магнитном поле, не зависящий от скорости части-
частицы и радиуса окружности A11.4.5.3°): Т = Bjr/B)(m/q), где В — ин-
индукция магнитного поля, q/m — удельный заряд частицы A11.4.6.1°).
В современных ускорителях резонансного типа с помощью спе-
специально подобранных законов изменения магнитного и электриче-
электрического полей {синхрофазотроны) удается достигнуть весьма боль-
большой энергии ускоряемых заряженных частиц. Например, прото-
протонам в Серпуховском ускорителе сообщается энергия, превыша-
превышающая 76ГэВ.
Глава5
Элементарные частицы
5.1. Общие сведения об элементарных частицах
1°. В настоящее время элементарными частицами имену-
именуют большую группу мельчайших материальных объектов, не явля-
являющихся атомами или атомными ядрами (за исключением протона —
ядра атома водорода). Элементарные частицы не обязаны быть бес-
бесструктурными образованиями. Требуется лишь, чтобы при соуда-

5.1. Общие сведения об элементарных частицах 517
рениях они не могли дробиться на другие частицы, энергия связи
каждой из которых гораздо меньше ее собственной энергии. Элемен-
Элементарные частицы иногда называют субъядерными частицами, физики
обычно предпочитают говорить просто о «частицах».
Современная физика элементарных частиц устанавливает их
характеристики, проводит классификацию частиц, изучает свойства
фундаментальных взаимодействий и анализирует превращения час-
частиц, вызываемые этими взаимодействиями. В последнее время ин-
интенсивно исследуется внутренняя структура элементарных частиц.
Многие интересные особенности их поведения, в том числе и струк-
структура, проявляются только при достаточно больших энергиях. По-
Поэтому современная физика элементарных частиц называется также
физикой высоких энергий.
2°. Некоторые элементарные частицы существуют в природе в
свободном или слабо связанном состоянии (?св « ж2), и из них
строится вся обычная материя. К таким частицам, которые мож-
можно назвать основными, относятся: протоны р и нейтроны п, вхо-
входящие в состав атомного ядра (VI.4.1.10); электроны е~, обра-
образующие электронную оболочку атома (VL2.1.10 и VI.2.8.50), фо-
фотоны у, являющиеся квантами энергии электромагнитного поля
(V.5.1.10). Чуть позже к ним были причислены нейтрино (элек-
(электронные (VI.5.2.10)) уе и антинейтрино ve, рождающиеся в процес-
процессах бета-превращений ядер (VI.4.4.60 и VI.4.10.30), а также пионы
(пи-мезоны) л+, л°, л~, выступающие в роли переносчиков ядер-
ядерного взаимодействия (VI.4.3.30). Кроме того, были предсказаны те-
теоретически и открыты экспериментально соответствующие антича-
античастицы, из которых в принципе может конструироваться антиматерия
(VI.5.3).
3°. С течением времени таблица элементарных частиц быстро
расширялась, и сейчас общее их число (вместе с античастицами)
превышает 350. Подавляющее большинство частиц не встречается
в природе, а их получают в лаборатории, так как они неустойчи-
неустойчивы. Основной способ их генерации — столкновение быстрых ста-
стабильных частиц (IV.5.4.60), в процессе которого часть кинетической
энергии налетающей частицы превращается в собственную энер-
энергию образующихся частиц. Едва родившись, нестабильные частицы
практически мгновенно распадаются (таблица VI.5.2), и в конечном
итоге вновь образуются стабильные частицы.

518 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
5.2. Перечень элементарных частиц
и их характеристики
1°. В 1937 г. в космических лучах (VI.5.4.80) был зарегистриро-
зарегистрирован мюон /d~ — тяжелый аналог электрона е~~. Эти частицы сходны
по многим своим свойствам, но масса мюона примерно в 200 раз
больше массы электрона. Открыт еще более тяжелый аналог элек-
электрона — таон т ~ с массой, примерно в 3 500 раз превышающей
массу электрона. Каждая из этих трех частиц имеет свое нейтрино,
так что существуют электронное нейтрино ve, мюонное нейтрино
уя. и таонное нейтрино vT. В разнообразных взаимопревращени-
взаимопревращениях данное нейтрино сопровождает свою собственную заряженную
частицу. В частности, в процессах бета-распада образуется именно
электронное нейтрино ve (или vc), так как оно сопровождает рожде-
рождение электрона е~ (или е+).
2°. В 50-е гг. сначала в космическом излучении, а затем и в
лаборатории, была зарегистрирована целая группа новых частиц:
каоны (ка-мезоны) К+, К0, лямбда-гиперон Л°, сигма-гипероны
?+, ?°, ?~ и кси-гипероны S°, S~. Эти частицы обладали весь-
весьма необычными свойствами1, причем их открытие явилось полной
неожиданностью для физиков; они получили общее название стран-
странные частицы. В 1964 г. семейство этих частиц пополнилось омега-
минус-гипероном О,~.
3°. 60-е гг. ознаменовались открытием более сотни частиц с чрез-
чрезвычайно малыми (по сравнению с ранее известными) временами
жизни порядка 10~24— 10~~23с. Длина их пробега с момента рожде-
рождения до момента распада составляет около 10~15м, и в детекторах
эти частицы не оставляют никаких треков. Они проявляются в виде
пиков в графиках зависимости так называемых «сечений рассеяния»
от энергии, из-за чего и называются резонансами. Именно резо-
нансы занимают основное место в полных таблицах элементарных
частиц.
4°. В 1974 г. были обнаружены массивные (втрое тяжелее про-
протона), но относительно устойчивые (время жизни порядка 10~19с)
мезоны J/ip. Они явились родоначальниками целой группы новых
частиц, которые были открыты в последующие годы и регистрация
1 Например, они рождаются всегда парами, а распадаются поодиночке.

5.2. Элементарные частицы и их характеристики 519
которых продолжается поныне. Существование этих частиц под-
подтвердило очень глубокие теоретические построения физиков; они
назвали их очарованными частицами.
5°. В 1977'г. открыты чрезвычайно тяжелые ипсилон-мезоны Т,
массы которых более чем в 10 раз превышают массу протона. Счита-
Считается, что они служат родоначальниками еще одной группы частиц —
«красивых».
6°. В ноябре 1982 г. появились первые сообщения об откры-
открытии промежуточных бозонов W+, W~, Z° — переносчиков слабого
взаимодействия (V1.5.6.60). Их масса почти в 100 раз больше массы
протона.
7°. Отдельные элементарные частицы различаются значениями
физических величин из определенного их набора. К этим величинам
относятся, в частности: масса2 w, среднее время жизни т (п. 9°),
спин J и электрический заряд q. Существует большое количество
и других зарядов. Например, странные частицы обладают странно-
странностью S, принимающей целочисленные значения, очарованные части-
частицы несут очарование (чарм) С и т.д. Рассмотрение такого рода ха-
характеристик частиц выходит за рамки элементарного курса физики.
8°. Масса т измеряется в энергетических единицах (МэВ) в
соответствии с соотношением Эйнштейна Е$ = тс2 (V.4.11.20).
Спектр масс известных элементарных частиц простирается от 0
(фотон и нейтрино) до 10 570 МэВ (один из ипсилон-мезонов). Для
сравнения укажем, что масса электрона равна примерно 0.5 МэВ.
9°. Среднее время жизни (VI.4.5.70) служит мерой стабильно-
стабильности частицы. Значения времени жизни варьируются в чрезвычайно
широком диапазоне. Фотон, электрон, три нейтрино и протон (а так-
также их античастицы) абсолютно стабильны3 (т = ос), резонансы
предельно нестабильны (г = 10~24-10~23с).
10°. Спин J измеряется в единицах h и может иметь целые и
полуцелые значения. У частиц, составляющих вещество (протон,
нейтрон, электрон), J = 1/2, у фотона спин равен I4. Для известных
"Когда говорят о массе частицы, имеют в виду ее массу покоя (V.4.10.40).
3В последнее время абсолютная стабильность протона подвергается серьезным
сомнениям (VI.5.6.7°).
4Однако проекция его спина на какое-либо направление (VI.2.8.4°) может прини-
принимать лишь значения +1 и —1 (но не 0). Это связано с тем, что масса фотона равна
нулю, и соответствует в классической физике свойству поперечности электромагнит-
электромагнитных волн (IV.4.2.40).

520 Отдел VS. Гл. 5. Элементарные частицы
в настоящее время элементарных частиц значения спина лежат в
интервале от 0 (например, пионы) до 9/2 (некоторые резонансы).
Все частицы с полуцелыми спинами подчиняются принципу Паули
(VI.2.8.40). Что же касается одинаковых частиц с целым спином,
то в одном квантовом состоянии их может находиться сколь угодно
много.
11°. Электрический заряд q любой частицы, которую можно
реально детектировать, кратен элементарному заряду е A11.1.1.3°);
в единицах е он и измеряется (например, у электрона q = -1).
Имеются нейтральные частицы (q = 0), частицы с зарядом +1 и
частицы с зарядом —1. Открыто несколько частиц (из группы ре-
зонансов), заряды которых равны +2 и -2. Особого обсуждения
требуют кварки — частицы с дробными электрическими зарядами
+2/3 и -1/3 (VI.5.6.40).
5.3. Античастицы
1°. Из теории электрона, построенной в конце 20-х гг. англий-
английским физиком П.Дираком, вытекало существование «антиэлектро-
«антиэлектрона» — частицы с массой электрона, но с положительным зарядом. Ее
назвали позитроном е+ A11.1.1.3°, VI.4.10.30, VI.4.15.50). Позитрон,
предсказанный теоретически, в 1932 г. был зарегистрирован экспе-
экспериментально в космическом излучении с помощью камеры Виль-
Вильсона, помещенной в сильное магнитное поле (VL4.6.40). Знак его
заряда был установлен по направлению искривления траектории, а
значение массы — по радиусу кривизны и толщине трека.
2°. Позитрон, как и электрон, сам по себе абсолютно стабилен.
Но, встречаясь друг с другом, медленные электрон и позитрон ан-
аннигилируют («уничтожаются»), порождая два фотона:
е+ + е" -> 2у.
Разумеется, никакого уничтожения материи здесь не происходит:
один вид материи — заряженные массивные частицы — переходит
в другой вид материи — в нейтральные безмассовые частицы. Со-
Соответственно, энергия покоя электрона и позитрона превращается в
энергию движущихся со скоростью света фотонов. Если аннигиля-
аннигиляция происходит из состояния покоя, то фотоны разлетаются в про-
противоположные стороны с одинаковыми импульсами и одинаковыми
энергиями hv = mec2 = 0.511 МэВ.

5.3. Аншчасшцы 521_
3°. Часто (но не всегда) позитрон образуется совместно с элек-
электроном. Рождение пары (е+е~) происходит при столкновении
жесткого гамма-кванта с заряженной частицей5, в качестве которой
обычно выступает атомное ядро X:
Этот процесс возможен только при достаточно большой энергии
фотона: hv > 2тес2 = 1.022 МэВ.
4°. Не следует думать, что электрон и позитрон, встречаясь друг
с другом, всегда аннигилируют в два фотона (VI.5.3.20). Так про-
происходит лишь в том случае, когда в системе отсчета, связанной с
их центром масс A.2.3.4°), кинетическая энергия не слишком вели-
велика. Если же электрон и позитрон движутся навстречу друг другу,
обладая очень большими энергиями, то при их столкновении мо-
могут порождаться самые разнообразные частицы (вплоть до наибо-
наиболее тяжелой — ипсилон-мезона). Использование встречных пучков
электронов и позитронов — один из самых эффективных методов
генерации новых частиц, и он широко применяется в современной
физике высоких энергий (VI.5.4.80).
5°. Вскоре после предсказания, открытия и изучения свойств по-
позитрона было высказано предположение о существовании в природе
зарядовой симметрии: а) у каждой частицы должна быть своя ан-
античастица (иногда совпадающая с ней); б) законы природы не изме-
изменяются при замене всех частиц соответствующими античастицами и
наоборот6. Массы частицы и античастицы строго одинаковы, равны
и их средние времена жизни. Если частица несет электрический за-
заряд, то античастица имеет электрический заряд противоположного
знака. Если частица электрически нейтральна, то античастица может
отличаться от нее знаками других зарядов (VI.5.2.60). Существует
несколько частиц, называемых истинно нейтральными, которые
совпадают со своими античастицами.
5 Вторая частица необходима для того, чтобы удовлетворить законам сохранения
энергии и импульса.
6 В 1956 г. установлено, что это утверждение несправедливо для процессов, об-
обусловленных слабым взаимодействием. Рассмотрение этой интересной проблемы вы-
выходит за рамки элементарного курса физики.

522 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
6°. Античастица обозначается тем же символом, что и частица,
но он снабжается тильдой (имеются исключения из этого правила:
например, всегда пишут е+, а не ё~).
7°. Рассмотрим основные частицы (VI.5.1.20). Наряду с прото-
протоном р и нейтроном п существуют антипротон р и антинейтрон й,
открытые в середине 50-х гг. Одним из основных различий между п
и п является следующее: несмотря на то, что электрический заряд
нейтрона равен нулю, он ведет себя подобно маленькому магнити-
магнитику, т.е. обладает собственным магнитным моментом. У нейтрона
вектор магнитного момента pw и вектор спина J антипараллельны,
и в этом смысле говорят, что магнитный момент нейтрона отри-
отрицателен. Антинейтрон также обладает магнитным моментом, но он
положителен (векторы р,„ и J параллельны).
Античастицей по отношению к электрону е" является по-
позитрон е+ (VI.5.3.10). Фотон — истинно нейтральная частица
(VI.5.3.50), т.е. у совпадает с у.
У нейтрино уе имеется антинейтрино ve, как раз и рожда-
рождающееся в процессе обычного /3-распада (VI.4.7.60). Сами нейтри-
нейтрино уе, участвуют в /3+-распадах (VI.4.10.30), в термоядерных реак-
реакциях (VIA 15.1°) и в других процессах. У нейтрино спин направлен
против импульса, у антинейтрино — вдоль импульса.
Античастицей по отношению к положительному пиону ж+
служит отрицательный пион п~ (и наоборот). Незаряженный
пион ж0 — истинно нейтральная частица.
8°. В принципе может существовать антивещество, состоящее
из атомов, в ядра которых входят антипротоны и антинейтроны, а их
оболочку образуют позитроны. Антивещество и обычное вещество
должны аннигилировать с выделением колоссальной энергии. Сгуст-
Сгустки антивещества космологических размеров составляли бы анти-
антимиры, но они не обнаружены в природе. Антивещество синтезирова-
синтезировано лишь в лабораторных масштабах. Так, в 1969 г. в СССР впервые
получены ядра антигелия.
9°. Разделение всех микрообъектов на частицы и античастицы
носит условный характер — эти понятия являются относительны-
относительными, а не абсолютными. Например, р мы называем протоном, ар —
антипротоном только потому, что объектов первого типа в нашей
Вселенной неизмеримо больше, чем объектов второго типа.

5.4. Фундаментальные взаимодействия 523
5.4. Фундаментальные взаимодействия
и взаимопревращения частиц
1°. Всего в настоящее время известно свыше 350 (!) элементар-
элементарных частиц (VL5.1.30). Все частицы способны взаимодействовать
друг с другом. В настоящее время различают четыре типа фунда-
фундаментальных взаимодействий', сильное, электромагнитное, слабое
и гравитационное A.2.2.2°).
Сильное взаимодействие свойственно тяжелым частицам, на-
начинающимся с пиона. Наиболее известное его проявление — ядер-
ядерные силы, обеспечивающие существование атомных ядер (VI.4.3.10).
В электромагнитном взаимодействии непосредственно уча-
участвуют только электрически заряженные частицы и фотоны. Наи-
Наиболее известное его проявление — кулоновские силы A11.1.2.2°),
обусловливающие существование атомов. Именно электромагнит-
электромагнитное взаимодействие ответственно за подавляющее большинство ма-
макроскопических свойств вещества. Оно же вызывает аннигиляцию
электрон-позитной пары (VI.5.3.20) и многие другие микроскопиче-
микроскопические процессы.
Слабое взаимодействие характерно для всех частиц, кроме фо-
фотона. Наиболее известное его проявление — бета-распад нейтрона
и целого ряда атомных ядер (VI.4.7.60).
Гравитационное взаимодействие присуще всем телам Вселен-
Вселенной, проявляясь в виде сил всемирного тяготения A.2.8.1°). Эти си-
силы обеспечивают существование звезд, существование планетных
систем и т.п. Гравитационное взаимодействие является предельно
слабым (табл. VI.5.1) и, по-видимому, не играет никакой роли в ми-
мире элементарных частиц при обычных энергиях7.
2°. Каждый реальный процесс, вызванный тем или иным фун-
фундаментальным взаимодействием, можно разбить на отдельные эле-
элементарные акты, которые определяют механизм этого взаимодей-
взаимодействия (VI.5.6.50). Кроме того, всякое фундаментальное взаимодей-
взаимодействие характеризуется относительной интенсивностью и радиусом
действия (табл. VI.5.1).
7 В мире элементарных частиц гравитация становится существенной при колос-
колоссальных энергиях порядка 1022 МэВ, которые соответствуют сверхмалым расстояни-
расстояниям порядка 1О~35 м.

524
Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
Таблица VI.5.1
Взаимодействие
Сильное
Электромагнитное
Слабое
Гравитационное
* См. VI.5.6.50.
Механизм *
Обмен глюонами
Обмен фотонами
Обмен промежуточными
бозонами
Обмен гравитонами
Интен-
Интенсивность
~ 1
1/137
~ ю-10
~ ю-38
Радиус,
метры
~ ю-15
оо
1Л-18
~ 10
оо
Интенсивность взаимодействий сравнивается с интенсивностью
электромагнитного взаимодействия, которая характеризуется без-
безразмерным параметром а = е2/4леоНс. Он включает элементарный
заряд е и фундаментальные постоянные и численно равен примерно
1/137. Из таблицы VI.5.1 видно, что сильное взаимодействие дей-
действительно является «сильным», а слабое — «слабым», откуда и
соответствующие названия. Гравитационное взаимодействие обла-
обладает предельно малой интенсивностью (VI.5.4.10); в окружающем
нас мире оно играет важную роль лишь благодаря тому, что массы
астрономических тел колоссальны.
Электромагнитные и гравитационные силы относятся к силам
далекого действия, так как с ростом расстояния они убывают мед-
медленно — всего лишь по степенному закону 1/г2 A11.1.2.2°, 1.2.8.1°).
Поэтому их радиус формально и считается бесконечно большим.
Сильное взаимодействие проявляется лишь на малых расстояниях
порядка 10~15м (VI.4.3.20); слабое взаимодействие является еще
более короткодействующим.
3°. Основной экспериментальный и теоретический метод иссле-
исследования в современной физике элементарных частиц (и в ядер-
ядерной физике) — метод рассеяния. В опытах по рассеянию сначала
приготавливают два пучка частиц, вместо одного из которых ча-
часто используется неподвижная мишень. В последнее время широко
используются встречные пучки — протон-протонные, электрон-
электронные и электрон-позитронные (VI.5.3.40). В некоторой про-
пространственной области пучки пересекаются, и частицы из разных

5.4. Фундаментальные взаимодействия 525
пучков вступают во взаимодействие. В результате они рассеивают-
рассеиваются: изменяется состояние их движения и (или) рождаются новые
частицы. Затем регистрируются все рассеянные частицы и измеря-
измеряются их характеристики. По полученным экспериментальным дан-
данным судят о характере взаимодействия между частицами и об их
внутренней структуре.
4°. Взаимодействия между частицами обусловливают необозри-
необозримое количество самых разнообразных процессов и взаимопревра-
взаимопревращений. Они делятся на три большие группы: упругое рассеяние,
неупругие процессы и распады.
При упругом рассеянии частицы не претерпевают превращений,
а просто изменяют состояние своего движения. Примером может
служить рассеяние а-частиц атомными ядрами в опытах Резерфор-
да (VI.2.1). С середины 50-х гг. проводятся эксперименты по из-
изучению упругого рассеяния быстрых электронов (с энергиями до
22000МэВ) на нуклонах — протонах и нейтронах. Они позволи-
позволили установить, что нуклоны имеют размеры R — 0.8 • 10~15 м, и
выявили внутреннюю структуру этих частиц. Так, плотность элек-
электрического заряда имеет максимум в центре протона и спадает к
его периферии по экспоненциальному закону.
В неупругих процессах (реакциях) происходит столкновение
двух частиц, сопровождающееся превращением их в частицы дру-
другого сорта. Соответствующий пример дает аннигиляция электрон-
позитронной пары в два фотона (VI.5.3.20). Изучение неупругого
рассеяния быстрых электронов на нуклонах, начатое в конце 60-х гг.,
позволило установить, что протон и нейтрон состоят из огромного
количества точечных объектов — партонов (от английского part —
«часть»).
Частицы, рождающиеся в процессах рассеяния, за редкими ис-
исключениями являются нестабильными и претерпевают распады.
Они живут после рождения очень малые промежутки времени
(VI.5.2.80), превращаясь затем в другие частицы. Самая устойчивая
из нестабильных частиц — нейтрон, обладающий средним временем
жизни т = 898 ± 16с (VI.4.7.70).
5°. Взаимопревращаемость элементарных частиц — одно из
наиболее фундаментальных их свойств. При этом образующиеся
частицы не входят в состав исходных частиц, а рождаются непо-
непосредственно в процессах их соударений или распадов. Для поясне-
пояснения заметим, что фотон также не входит в состав атома, а рождается

526 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
непосредственно в процессе перехода электрона с одного энергети-
энергетического уровня на другой (VI.2.4.30).
6°. Именно в процессах взаимопревращений и открывают ра-
ранее неизвестные частицы. Для этого сталкивают друг с другом из-
известные частицы с как можно большими энергиями, а затем исследу-
исследуют продукты соответствующей реакции и те фрагменты, на которые
распались образовавшиеся частицы. В качестве примеров приведем
две реакции, в которых были открыты странные частицы (VI.5.2.20):
ж~ -fp ->К+ + 2",
7°. Необходимыми элементами всякой экспериментальной уста-
установки, на которой изучается рассеяние, являются источники частиц,
формирующие их пучки, и детекторы, с помощью которых регистри-
регистрируются рассеянные частицы и измеряются их характеристики. Не-
Некоторые типы детекторов описаны в VI.4.6. От хороших источников
требуется, чтобы они формировали достаточно интенсивные пучки
исследуемых частиц с достаточно высокими энергиями. Повышать
интенсивность нужно для того, чтобы увеличить число интересу-
интересующих нас событий и облегчить, тем самым, их регистрацию. Высо-
Высокие энергии необходимы по двум причинам. Во-первых, чем больше
энергия зондирующих частиц, тем меньше длина их дебройлевс-
кой волны (VI. 1.1.3°) и тем более мелкие детали структуры ис-
исследуемых частиц удается выявить. Во-вторых, чем выше энергия
сталкивающихся частиц, тем больше массы и общее количество но-
новых частиц, которые они могут породить.
8°. Перечень принципиально различных источников частиц кра-
краток: радиоактивные препараты, космическое излучение, ядерные ре-
реакторы, ускорители. Исторически первыми источниками частиц бы-
были естественные радиоактивные препараты (VI.4.4). Энергии со-
соответствующих частиц по современным масштабам малы, и в на-
настоящее время радиоактивные источники применяются только для
исследования и в прикладных целях.
До начала 50-х гг. основным источником частиц с высокими
энергиями служило космическое излучение. Первичное космиче-
космическое излучение представляет собой стабильные ядра (в основном

5.4. Фундаментальные взаимодействия 527
протоны), обладающие высокими энергиями и заполняющие косми-
космическое пространство. На поверхность Земли падает вторичное кос-
космическое излучение, возникающее в результате превращений пер-
первичных космических частиц, которые они претерпевают в атмосфе-
атмосфере. Средняя энергия космических частиц равна примерно 1010эВ.
Зарегистрировано несколько космических частиц с энергиями око-
около 1020эВ. При попадании космического протона в верхние слои
атмосферы иногда порождается в общей сложности до миллиарда
различного рода частиц, образующих космический ливень. Досто-
Достоинство космического излучения как источника частиц — чрезвы-
чрезвычайная широта энергетического диапазона; существенные недостат-
недостатки — неконтролируемость опытов, редкость событий со сверхвысо-
сверхвысокими энергиями, огромные экспериментальные трудности (преци-
(прецизионную аппаратуру приходится поднимать на большую высоту).
Ядерные реакторы (VI.4.12.60—7°) — мощнейшие источники
нейтронов и электронных антинейтрино (впервые антинейтрино бы-
было зарегистрировано именно в реакторных пучках). Кроме того,
в реакторах получаются искусственные радиоактивные препараты,
также служащие источниками частиц (VIA 13.2°—3°).
Ускорители — основные источники частиц, применяемые в на-
настоящее время (VIA 16.1°). Они формируют интенсивные пучки за-
заряженных частиц (электронов, протонов и тяжелых ионов) с высо-
высокими энергиями. Максимальная энергия электронов, достигнутая в
лаборатории, составляет 35 ГэВ, максимальная энергия протонов —
1000 ГэВ. При взаимодействии первичного пучка с мишенью полу-
получаются вторичные, третичные и т.д. пучки, содержащие элементар-
элементарные частицы и атомные ядра, не существующие в природе.
С точки зрения генерации новых частиц особенно эффективны
ускорители со встречными пучками (VI.5A3°, VI.5.3.40), в кото-
которых сталкиваются частицы с нулевым суммарным импульсом. Благо-
Благодаря этому вся их кинетическая энергия может быть преобразована
в энергию покоя рождающихся частиц, суммарный импульс кото-
которых также равен нулю. Встречные электронные пучки впервые были
реализованы в СССР в 1967 г. В крупнейшей современной установ-
установке сталкиваются электроны и позитроны с энергией 32 ГэВ. Для
получения равнозначного эффекта на обычном ускорителе (с непо-
неподвижной мишенью) нужно было бы разогнать электроны до энергии
4 • 106 ГэВ.

528 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
5.5. Понятие о классификации элементарных частиц
1°. Классификация элементарных частиц проводится по несколь-
нескольким признакам, разбивающим их на группы объектов различной при-
природы. В ее основе лежит отношение частиц к разным типам фунда-
фундаментальных взаимодействий.
2°. В особый класс выделяются фотоны — кванты энергии элек-
электромагнитного поля (V.5.1, VI.5.1.20). Сюда же можно отнести ги-
гипотетические гравитоны — кванты энергии гравитационного поля.
Фотоны и гравитоны играют еще одну чрезвычайно важную роль,
являясь переносчиками электромагнитного и гравитационного вза-
взаимодействий соответственно (VI.5.6). В этот класс мы включили
также промежуточные бозоны — переносчики слабого взаимодей-
взаимодействия.
3°. Следующий класс составляют лептоны* — частицы, не
участвующие в сильном взаимодействии и имеющие спин A/2)/г
(VI.5.2.90). В этот класс входят три семейства — электронное,
мюонное и таонное. Каждое семейство содержит одну заряженную
частицу е~~, /и~, т~~ и соответствующее ей нейтрино ve, i^, vT
(VI.5.2.1°).
4°. Наиболее многочислен класс адронов — частиц, которые
могут участвовать и реально участвуют в сильном взаимодействии.
Адроны подразделяют на «стабильные» частицы со средними вре-
временами жизни г » 10~~23 с и на резонансы, времена жизни которых
совпадают по порядку величины с характерным временем сильного
взаимодействия: т ~ 10~23с. Резонансы распадаются за счет силь-
сильного взаимодействия, «стабильные» частицы — за счет электромаг-
электромагнитного и слабого взаимодействий.
Адроны с целыми спинами называются мезонами, с полу-
полуцелыми спинами — барионами9. Каждая из этих групп содержит
«обычные», странные, очарованные и т.п. частицы (VI.5.2.30—5°).
Кроме того, они разбиваются на небольшие семейства, члены кото-
8От греческого слова «лептос» (легкий). Сейчас этот термин потерял свой пер-
первоначальный смысл, так как таон почти вдвое тяжелее протона.
«Мезон» и «барион» переводятся с греческого как «средний» и «тяжелый»,
соответственно. В настоящее время эти термины потеряли свой первоначальный
смысл (сравни с предыдущей сноской). В частности, мюон, относящийся к классу
лептонов, нельзя называть мю-мезоном, как это делалось раньше.

5.5. Классификация элементарных частиц
529
Таблица VI.5.2
Группы частиц
Пер
взаи
дейс
Леп
Адроны
еносчики
мо-
ггвий
тоны
Мезоны
Барионы
«Обыч-
«Обычные»
Стран-
Странные
Очаро-
Очарованные
«Обыч-
«Обычные»
Стран-
Странные
Очаро-
Очарованные
Фотон
Гравитон
Промежуточ-
Промежуточные бозоны
Электрон-
Электронный дублет
Мюонный
дублет
Таонный
дублет
Пионы
Эта-мезон
Каоны
D-мезоны
F-мезон
Нуклоны
Лямбда-
гиперон
Сигма-
гипероны
Кси-
гипероны
Омега-
гиперон
Лямбда-
цегиперон
Час-
Частицы
У
G
W±
z°
е~
т~
я±
ri°
К+
К0
D+
D0
F+
Р
п
Л°
Е°
S-
—0
п-
Спин,
h
1
2
1
1
to to
1/2
1/2
to to
0
0
0
0
0
0
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
3/2
1/2
Масса,
МэВ
0
0
« 80000
«90000
0.511
< 46 эВ
105.66
< 0.25
1784
< 70
139.57
134.96
548.8
493.67
497.7
1869
1865
1970
938.28
939.57
1115.6
1189.4
1192.5
1197.3
1315
1321.3
1672.5
2282
Среднее время
жизни, с
оо
оо
« 10~25
оо
оо
2.2 • 10
оо
3 • 103
2.6 • 10"8
0.8 • 10 16
0.7 • 10~18
1.24- 10~8
0.89-Ш0
ко.
5.18- 10"8
9 • 10~13
4 • 10~13
2 • 10~13
> 6.5 • 1032
лет
898 ± 16
2.63 • Ю-10
0.80 • 100
5 • 10~20
1.48- 100
2.9 • Ю-10
1.64- 100
0.8 • Ю-10
2 • Ю-13

530 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
рых близки по массе, но различаются значениями электрического
заряда.
Частицы из одного и того же семейства идентичны по отноше-
отношению к сильному взаимодействию. Примером может служить семей-
семейство нуклона, состоящее из двух частиц — протона р и нейтрона п,
которые различаются по массе на 0.1%. Ядерные силы (VI.5.4.10)
обладают свойством зарядовой независимости — они одинаковые
в системах протон - протон, нейтрон - нейтрон и протон - нейтрон
(VI.43.20 в).
5°. Каждой частице отвечает своя античастица, иногда совпа-
совпадающая с ней (VL5.3).
6°. Описанная систематика частиц отражена в таблице VI.5.2.
В ней представлены только стабильные частицы (в смысле
VI.5.5.40). Античастицы не указаны (исключение составляет пара
(я+ж~)) — их массы, времена жизни и спины такие же, как у час-
частиц, а заряды имеют противоположные знаки. Нейтральные каоны
участвуют в слабом взаимодействии в двух разновидностях — в ви-
виде короткоживущего каона К° и долгоживущего каона К°, средние
времена жизни которых приведены в таблице.
Смысл термина переносчики взаимодействий разъясняется в
VI.5.6. В этот класс мы включили промежуточные бозоны — пере-
переносчики слабого взаимодействия. Первое сообщение об их открытии
появилось в ноябре 1982 г.
5.6. Истинно элементарные частицы
1°. Некоторое время тому назад господствовала точка зрения,
согласно которой цепочка составных элементов материи обрывает-
обрывается, завершаясь дискретными бесструктурными образованиями, кото-
которые и получили название элементарные частицы. Но теперь ясно,
что подобная трактовка концепции элементарности слишком при-
примитивна: «элементарных» частиц очень много (VI.5.1.30, VI.5.2),
и у многих из них обнаружена внутренняя структура (VI.5.4.40).
Термин «элементарные частицы» сохранился просто по традиции10
и ныне употребляется для обозначения большой группы субъядер-
субъядерных частиц (VI.5.1.10).
10 Повторив историю слова «атом», которое, как известно, в переводе с древнегре-
древнегреческого означает «неделимый».

5.6. Истинно элементарные частицы 531
2°. Но кардинальный вопрос о существовании истинно элемен-
элементарных частиц остался. Он очень сложен и пока не разрешен. Не
исключено, что структурных уровней материи бесконечно много.
С другой стороны, может оказаться так, что сами слова «состо-
«состоит из...» на какой-то стадии изучения матрии потеряют всякий
смысл. Пока считается, что истинно элементарные частицы, имену-
именуемые также «фундаментальными частицами», или «субчастицами»,
все же имеются.
3°. Прежде всего, истинно элементарными частицами считаются
6 лептонов и 6 антилептонов (VI.5.5.30). Это подтверждается, в
частности, тем, что до сих пор не удалось установить их размеры:
согласно экспериментальным данным у электрона R < 2 • 108 м.
4°. Согласно современным воззрениям, адроны — составные
частицы, построенные из кварков. Кварки, считаемые истинно эле-
элементарными частицами, обладают дробными электрическими заря-
зарядами, равными +2/3 и —1/3 (в едицицах е). Кроме того, им припи-
приписывается дополнительная характеристика — «цвет». Имеются так-
также антикварки с зарядами —2/3 и +1/3 (и «антицветами»). Один
кварк и один антикварк образуют мезон (VI.5.5.40), три кварка —
барион (VI.5.5.40), три антикварка — антибарион.
Для построения «обычных» адронов достаточно двух сортов
кварков (и антикварков), в состав странных частиц входит странный
кварк (третий тип), в состав очарованных частиц — очарованный
кварк (четвертый тип), в состав «красивых» частиц — «красивый»
кварк (пятый тип). Теория обретает особую стройность и завершен-
завершенность, если предположить, что общее число разных сортов кварков
совпадает с общим числом лептонов, т. е. равно 6.
Кварки интенсивно искали, но безуспешно. Сейчас общеприня-
общепринятой является точка зрения, согласно которой кварки в принципе не
могут находиться в свободном состоянии — они заключены внутри
адронов и никогда не могут их покинуть, вылетев наружу.
5°. Третий класс (наряду с лептонами и кварками) истинно
элементарных частиц составляют переносчики взаимодействий
(табл. VI.5.2). В течение последнего десятилетия надежно устано-
установлено, что механизмы всех фундаментальных взаимодействий сход-
сходны. Их элементарными актами (VI.5.4.20) являются процессы ис-
испускания и поглощения данной частицей некоторой другой частицы,
как раз и определяющей тип взаимодействия. Силы, действующие

532 Отдел VI. Гл. 5. Элементарные частицы
между двумя частицами, трактуются как результат их обмена проме-
промежуточной частицей (сравни с VI.4.3.20), которая и называется пере-
переносчиком взаимодействия. Таким образом, механизм всех фундамен-
фундаментальных взаимодействий — обменный. Конкретные их переносчики
указаны в таблицах VI.5.1 и VI.5.2.
6°. Электромагнитное взаимодействие осуществляется за счет
обмена заряженных частиц фотонами. В нем участвуют как лепто-
ны, так и кварки (а значит, адроны).
Слабое взаимодействие, также свойственное и лептонам, и квар-
кваркам (но не фотону), переносится тремя промежуточными бо-
бозонами W+, W~, Z°, обладающими очень большими массами
(табл. VI.5.2). Эти частицы надежно зарегистрированы в 1983 г.
Сильное взаимодействие переносится глюонамщ каковых имеется
8 сортов. Ими обмениваются кварки, но не лептоны, благодаря чему
в сильном взаимодействии и участвуют только адроны. Как и квар-
кварки, глюоны не могут существовать в свободном состоянии — они
«заперты» внутри адронов.
Гравитационное взаимодействие обусловлено обменом грави-
гравитонами. Из-за его предельной слабости (VI.5.4.1) эксперимен-
экспериментальная регистрация гравитонов откладывается на неопределенный
срок11.
7°. Совсем недавно считалось, что все фундаментальные взаимо-
взаимодействия существенно различны. Но в начале 70-х гг. было устано-
установлено, что электромагнитное и слабое взаимодействия суть проявле-
проявления некоего единого взаимодействия, называемого электрослабым.
Весьма серьезные успехи достигнуты на пути «великого объе-
объединения» электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий.
Все подобные схемы предсказывают нестабильность протона, хо-
хотя и чрезвычайно слабую:
тр = 1031±1лет.
Обнаружение распадов протона, которые ищут экспериментато-
экспериментаторы во многих странах мира, послужило бы веским аргументом в
пользу великого объединения.
11 Пока не поддаются детектированию даже гравитационные волны.

Отдел VII
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Единицы и размерности физических величин.
Системы единиц физических величин
1°. Единицей [А] физической величины А называется услов-
условно выбранная физическая величина, имеющая тот же физический
смысл, что и величина А.
Единицы, которые удается воспроизвести в виде определенных
тел, образцов или устройств, называются мерами. Например, кило-
килограммовая гиря является мерой массы, метровая линейка — мерой
длины и т.д.
Меры, выполненные с наивысшей достижимой на современном
уровне развития измерительной техники точностью, называются
эталонами. Например, в качестве эталона массы принимается
определенный цилиндр, изготовленный из платиноиридиевого спла-
сплава; эталоном электрического сопротивления является определенная
электрическая цепь, состоящая из нескольких проводящих катушек
и измерительного устройства, показания которого снимаются при
строго определенной температуре, и т. д.
2°. Системой единиц называется совокупность определенным
образом установленных единиц физических величин.
До 1963 г. использовалось несколько систем единиц для различ-
различных областей физики (например, абсолютная физическая система
единиц СГС в механике, абсолютная электростатическая система
единиц СГСЭ в электростатике, системы МКС, МКГСС и др.). В по-
последнее время принята Международная система единиц (Sisteme
International; сокращенное обозначение — СИ или SI) — единая
система для всех разделов физики.
Основными единицами называются независимо установлен-
установленные единицы для нескольких произвольно выбранных независимых
физических величин. Основные единицы Международной системы
см. в VII.2.
Производными единицами называются единицы, устанавлива-
устанавливаемые через основные единицы данной системы на основании физи-
физических законов или определений, выражающих взаимосвязь между

534 Отдел VII. Дополнения
рассматриваемыми физическими величинами и величинами, едини-
единицы которых приняты в качестве основных.
3°. Размерностью физической величины называется выраже-
выражение, показывающее связь данной величины с физическими вели-
величинами, положенными в основу при построении системы единиц
(базисными или основными величинами). Размерность величины В
обозначается dim/? (от латинского dimensio — размер) и может
быть представлена в виде
dim? = (dimAx)"x (dimА2)Пг... (dimAk)"k,
где k — число базисных величин данной системы; dim Ль...,
dim Л* — размерности базисных величин; щ, пг, ..., л* — раци-
рациональные числа, называемые показателями размерности.
При построении Международной системы единиц (СИ) в каче-
качестве базисных величин выбраны длина, масса, время, термодинами-
термодинамическая температура, количество вещества, сила электрического тока
и сила света. Их размерности сокращенно обозначаются буквами L,
М, Т, G, N, I и J соответственно. Таким образом, в СИ размерность
некоторой величины В выражается формулой
dimB =L
В общем случае физическая величина В может быть представле-
представлена в виде произведения числового значения этой величины {В} на
единицу этой величины [В], т.е.
При этом dimв = dim({B}[B]) = dim[Bl
поскольку {В} — число отвлеченное и размерности не имеет.
Следовательно, можно утверждать, что размерность единицы фи-
физической величины dim [В] совпадает с размерностью самой величи-
величины dim В.
4°. Однородными физическими величинами называются ве-
величины, имеющие одинаковые размерности и один и тот же физи-
физический смысл, т. е. отличающиеся только по численному значению
(например, координаты точек тела и его линейные размеры; цена
деления амперметра, подключенного к данному участку электриче-
электрической цепи, и сила тока на этом участке и т.д.).

2. Единицы Международной системы
535
Одноименными физическими величинами называются величи-
величины, имеющие одинаковые размерности, но отличающиеся по физи-
физическому смыслу (например, работа силы и момент силы; радиус
сферического проводника и его электрическая емкость в системе
СГСЭ и т.д.).
Безразмерными называются величины, численные значения ко-
которых не зависят от выбора системы единиц (например, отношение
длины окружности к ее диаметру, коэффициент трения скольжения,
относительная диэлектрическая проницаемость вещества и т.д.).
5°. Приставки для обозначения кратных и дольных единиц при-
приведены в таблице VII. 1.
Таблица VII.1
Наименование
приставки
Атто
Фемто
Пико
Нано
Микро
Милли
Санти
Деци
Дека
Гекто
Кило
Мега
Гига
Тера
Пета
Экса
Отношение
к главной
единице
10~18
ю-15
ю-12
1(П9
10
ю-3
ю-2
10"'
10
102
103
106
109
1012
ю15
1018
Сокращенное обозначение
приставки
русское
старое
_
_
п
н
мк
м
с
д
да
г
к
М
Г
Т
—
-
новое
а
ф
п
н
мк
м
с
д
да
г
к
М
Г
Т
П
Э
между-
международное
а
f
Р
п
m
с
d
da
h
К
М
G
Т
Р
Е
2. Основные и дополнительные единицы
Международной системы
Основные и дополнительные единицы СИ, их размерности, опре-
определения и обозначения приведены в таблице VII.2.

536
Отдел VII. Дополнения
>
S
Ю
a
H
I
.??
I
CQ
ф

2. Единицы Международной системы
537
>
ю
Н
§ G л
и 1 I

538
Отдел VII. Дополнения
>
К
Ю
H
я
о
¦е-?

3. Единицы физических величин в механике
539
3. Единицы физических величин в механике
1°. В таблице VII.3 приведены некоторые встречающиеся в физи-
физической и технической литературе внесистемные единицы и их связь
с единицами СИ.
2°. Производные единицы для механических величин в СИ уста-
устанавливаются через единицы длины, массы, времени и плоского угла.
Основными единицами системы СГС, используемой иногда в на-
научной литературе, являются:
единица длины — сантиметр — одна сотая часть метра;
единица массы — грамм — одна тысячная часть килограмма;
единица времени — секунда.
Дополнительной единицей для плоских углов служит радиан.
В таблицах VII.4 (а, б) приведены единицы некоторых механиче-
механических величин системы СГС и СИ, а также связь единиц СГС и СИ.
Таблица VII.3
Величина
Длина
Масса
Время
Плоский
угол
Наименование
микрон
ангстрем
техническая
единица массы
тонна
центнер
минута
час
полный угол
прямой угол
градус
минута
секунда
Единица
Обозначение
мк
А
т. е. м.
т
ц
мин
ч
—
—
о
/
п
Связь с единицей СИ
1мк= 1(Г6м
1А= КГ1Ом
1 т. е. м. « 9.81 кг
1т = 103кг
1 ц = 102 кг
1 мин = 60 с
1ч = 3600с
2л рад « 6.283 рад
(я/2) рад « 1.570 рад
Г = (jt/180) рад «
« 1.745 • 10~2рад
1' = (я/180) • 10~2рад и
«2.908- 10рад
1" = (я/648) • 10рад и
«4.848 • 10~6рад

540
Отдел VII. Дополнения
Таблица VII.3 (продолжение)
Величина
Площадь
Объем
Скорость
Угол
поворота
Угловая
скорость
Сила
Работа
Мощность
Давление
Наименование
ар
гектар
литр
километр в час
оборот
обороты в минуту
обороты в секунду
килограмм-сила
тонна-сила
ватт-час
лошадиная сила
бар
миллиметр ртут-
ртутного столба
миллиметр водя-
водяного столба
техническая атмо-
атмосфера
физическая атмо-
атмосфера
Единица
Обозначение
а
га
л
км/ч
об
об/мин
об/сек
кГ
тс
ВТ • Ч
л. с.
бар
мм рт. ст.
(мм Hg)
мм вод. ст.
ат
атм
Связь с единицей СИ
1а = 102м2
1 га = 104 м2
1 л = 10 м3
1км/ч « 2.777- 10м/с
1 об = 2л рад
1 об/мин = (л/ 30) рад/с
1 об/сек = 2л рад/с
1кГ^9.81Н
1 тс «9.81 • 103Н
1втч = 3.6- 103Дж
1л. с. « 735.499 Вт
1 бар = 105 Па
1ммрт.ст. « 133.322 Па
1 мм вод. ст. « 9.81 Па
1ат^ 9.81 • 104Па
1атм « 101 325 Па
4. Единицы физических величин
в молекулярной физике и термодинамике
1°. Производные единицы величин в молекулярной физике и тер-
термодинамике устанавливаются в СИ через единицы длины, массы,
времени, температуры и количества вещества.
До введения Международной системы единиц в этой области фи-
физики использовались производные единицы, связанные с основными

4. Единицы в молекулярной физике и термодинамике
541
s
ю
a
H
И°-~
о
18
8.

542
Отдел VII. Дополнения
э ^
ii q
CO 1—4
-If-
I
6
I
ro <D О Л
Он ft Ь К
6 &
я" 5
8-в
о R
ii
11
8-8
С О
2- 8
Я" о а
а л о
r<L) О <L)
О.1
8 S
I SI
Ill
If!
8
I У
ю в

4. Единицы в молекулярной физике и термодинамике
543
ю
III»
и 2
* р «
е I s
Я о
&.

544
Отдел VII. Дополнения
en
fr
S
ю
H
g
s I
о
О "—I
e-ag-
5 о
о
s s
О
i

4. Единицы в молекулярной физике и термодинамике
545
еЗ
>
S
ю
H
о
Ч II о
in tq ^.

546
Отдел VII. Дополнения
ю
я
ю
Н
о
О
3
со
О
7 J
о?
t 2
III!
-й ^
о
е ^ - ма "в 1 1
N
S н
8.
О
:й&й

4. Единицы в молекулярной физике и термодинамике
547
ю
>
cd
ю
cd
Н
I
I
О
I
О
II
о
7
©7 2
. О О
i
о
7 ©
© ^
о
5
О
!
о S
z E
" Ё
z I?
fcSL:
0?
I
Я
I
о
g E
uslll
II
К I
Q
й -
0)

548 Отдел VII. Дополнения
единицами системы СГС и градусом, а также внесистемные едини-
единицы, основанные на единице количества теплоты — калории. Для
перевода единиц, основанных на калории, в единицы СИ следует
учитывать соотношение
1 кал = 4.1868 Дж.
2°. В молекулярной физике и термодинамике используются две
основные температурные шкалы: термодинамическая шкала тем-
температур (прежнее наименование единицы температуры по этой
шкале — градус Кельвина — °К, новое — кельвин — К) и между-
международная практическая температурная шкала (единица темпе-
температуры — градус Цельсия — °С).
Основной точкой для градуировки первой шкалы является тем-
температура тройной точки воды, принятая равной 273.16 К. Основны-
Основными точками для градуировки второй шкалы являются: температура
плавления льда @°С) и температура кипения воды A00°С) при
нормальном атмосферном давлении A01 325 Па).
Поскольку тройной точке воды по практической шкале соответ-
соответствует температура +0.01°С, то нулю практической шкалы соот-
соответствует термодинамическая температура в 273.15 К, и пересчет
температур может производиться по формулам
Г(К) = 273.15 + *(°С),
/(°С) = Г(К)-273.15,
где Т — значение температуры по термодинамической шкале,
t — значение температуры по практической шкале.
3°. В связи с решением XIV Генеральной конференции по ме-
мерам и весам (октябрь 1971 г.) о введении моля в качестве седьмой
основной единицы СИ потребовалось упорядочить наименования и
определения некоторых величин.
Количество вещества (п) — количество вещества системы, со-
содержащей столько же структурных элементов, сколько атомов со-
содержится в нуклиде углерода 12С.
Нуклидом называется совокупность атомов с ядрами определен-
определенного состава (с определенным числом протонов и нейтронов).
Относительной атомной массой элемента (Аг) называет-
называется безразмерная величина, равная отношению средней массы атома
природной смеси изотопов элемента к 1/12 массы атома нуклида

5. Единицы величин в электродинамике 549
углерода 12С. Прежде эту величину называли атомным весом (или
атомной массой). Иногда ее считали величиной безразмерной, а ино-
иногда измеряли в атомных единицах массы (VII.7.10).
Относительной молекулярной массой вещества (М,) назы-
называется безразмерная величина, равная отношению средней массы
молекулы природной смеси изотопов вещества к 1/12 массы атома
нуклида углерода 12С. Раньше эту величину называли молекулярным
весом (или молекулярной массой) и иногда измеряли в атомных
единицах массы (VII.7.10).
Молярной массой (М) называется размерная физическая вели-
величина, равная отношению массы вещества (т) к количеству вещест-
вещества (я):
П
Единицей молярной массы в СИ служит килограмм на моль
(кг/моль).
Числовые значения молярной массы и относительной мо-
молекулярной массы данного вещества связаны соотношениями
4°. Единицы некоторых молекулярно-кинетических и термоди-
термодинамических величин приведены в таблицах VII.5 (а, б). Там же даны
обозначения для некоторых величин.
5. Единицы величин в электродинамике
1°. Шестой основной единицей СИ (кроме метра, килограмма,
секунды, кельвина и моля) для электростатики и электродинами-
электродинамики является единица силы электрического тока — ампер (VII.2).
Коэффициент пропорциональности в уравнении закона Кулона для
вакуума A11.1.2.5°) при этом принимается равным \/4лео, где со —
электрическая постоянная, равная ео — 8.85418782 • 10~~12Ф/м.
2°. В научной литературе иногда применяется абсолютная
электростатическая система единиц СГСЭ, в которой основны-
основными единицами являются сантиметр, грамм, секунда, а относительная
диэлектрическая проницаемость вакуума принимается равной еди-
единице (?вак = 1).

550
Отдел VII. Дополнения
ю
cd
Н
> к
i S
S о
а
о
О О
gl
it*
§ s i
2 I I
cd S л
«а*
В S
pa о
8 I
I
cj cd
1
"8

5. Единицы величин в электродинамике
551
з
I ^ °
I
2 1

552
Отдел VII. Дополнения
I
^ о
<3 Zt
UI
5
и 2
3. I—I
>
cd
н
ей
из
S S S
II 1

5. Единицы величин в электродинамике
553
ю
IT)
>
03
К
ю
03
Н
S.
го
г-
I
О
*§
ъ
II
II
о
"Б
СП
го
|
О
II
и
ГО
S
о
о 2
<§ ?
о: m
ГО
Ф
О
I
о
Z
fU I "^
I
8.S
S §
I
1
•я
i

554
Отдел VII. Дополнения
ю
cd
к
ю
cd
Н
2
О
I
I
О
I
g
H
§ в
3 x
00
oo
I
О
Is
I
Ф
7
оо
NO
00
I
О
X
о
ip
I
us
I
Ф
<N
I
. о
I?
II

6. Единицы величин в волновых процессах 555
Единицы остальных величин в этой системе называются абсо-
абсолютными электростатическими единицами и имеют сокращен-
сокращенные обозначения «ед. СГСЭ», иногда с соответствующими индекса-
индексами (например, 1 ед. СГСЭ^ — абсолютная электростатическая еди-
единица заряда, 1 ед. СГСЭс — абсолютная электростатическая единица
емкости и т.д.).
В таблицах VII.6 (а, б) приведены единицы некоторых величин,
используемых в электростатике и в электродинамике постоянных
токов, а также соотношения между этими единицами в системах
СГСЭ и СИ.
3°. В международной системе единиц многие уравнения, описы-
описывающие электромагнитные явления, содержат магнитную посто-
постоянную /но, равную
Но = 4л- • 1(Г7 Гн/м.
В таблице VII.7 приведены единицы некоторых величин, исполь-
используемых при описании электромагнитных явлений. Эти единицы даны
только в СИ.
4°. Внесистемная единица энергии:
электрон-вольт (эВ), 1 эВ = 1.6021892 • 10~19 Дж.
Электрон-вольтом называется энергия, которую приобретает
электрон при прохождении им разности потенциалов в один вольт.
6. Единицы некоторых величин
в волновых процессах и оптике
1°. Единицы некоторых величин, используемых при описании
волновых процессов, приведены в таблице VII.8.
2°. В таблице VII.9 приведены единицы некоторых фотометри-
фотометрических величин.
7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
1°. Атомная единица массы (а.е.м.) — 1/12 массы атома изо-
изотопа углерода ^С: 1 а.е.м. = 1.6605655 • 10~27кг.
2°. Атомная единица энергии (а.е.э.) — энергия, соответ-
соответствующая одной атомной единице массы (V.4.11.10):
1а.е.э. = 931.5016МэВ.

556
Отдел VII. Дополнения
се
ЧО
cd
a
s
Ю
a
H
Т х
го
I
о"
Ь Й
8S»I
if
I
I

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
557
I
* ел
X
о
X
К
Ю
H
CQ
I 35
о
9.M
< 5
о
<U
MS
S ' 2
CQ S H
111
а л Е
О со S
F О 4
S.&
I
5 о.
i
5
5 «
^ S S
L_, S О
о Я" о,
о ас н
д р «
со Н 0>
оз О е;

558
Отдел VII. Дополнения

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
559
Ю
-о
s
о
I
<
X
о
X
Е
G
f
i
о
х
sen
сг> о
« о а
о е л
§ * 1
о § §
|1
^ 8
^
S
s 1
g
о
a
g-1 О О Ч
lill

560
Отдел VII. Дополнения
о I 1
О
5
се
ю
Н
о
I
7* х
I
О
I о. -:
и 3
I
'i
iiiii
!
(Г) 2

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
561
ю
>
03
s
о
s
СУ
2
о
о
I
О
-* I со
II
о
и
5
ю
Ь
и
о
b
5
Z
о s
I ^ го
2
ь й
СП
и
3
г?
и
5
х S
СП
L
О
U
а

562
Отдел VII. Дополнения
ю
К
ю
о
ф I—
i о
CQ
ё
I
О
I
о
и
I
о
ед.
О
и
8
о
9- о'
I со
8- Д
2
о
О"
СП
(Г)
5
О
I
U

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
563
О
О
5
1
О
ION
8
0
э
s
и
OS
О
*-< ION
U
0
и
ед.
й
г?
и
of
ш
О
a 8-.
2 ф
В I ^ -I
II
Ф
It
ё
5
(Г)
и
1
i
о
1
II
о.
о
8-а
g E
2 й
§ g
g g
W <U Л
s s 1
I I I
III

564
Отдел VI!. Дополнения
>
cd
S
Ю
H
о
I
e
^
e i со
s s s
<
<
в 3

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
565
>
ю
н
oil
л 3 <в
о i J
к
3
if1
g i s 1.
«ill
н 2
о
<N
«О
о
8 §
g Од
Си oj О
С X С
I
t'i
li
g I
as Ь
2 3
8-
§
s s

566
Отдел VII. Дополнения
х
ю
Н
5
5 О
О х
PQ
l
2 «\
¦ill'
&
13
as
о
я с
PQ
? 5 *
я s о
II

7. Некоторые единицы в атомной и ядерной физике
567
>
ю
3 Z
1
I
ю
о
ф «
I
6 § Щ
1? § j?
8 | g g
д g ffl g
cd p О о
В S I ft
8 §-
6*6
i §g
<D jS <U
3 Э S
§ 15 щ
о CL
О
g g-
So
Ф S
i
и

568 Отдел VII. Дополнения
3°. Единица активности радиоактивного вещества — беккерелъ
(Бк, Bq, размерность Т). Беккерель равен активности нуклида в
радиоактивном источнике, в котором за время 1 с происходит один
акт распада. Внесистемная единица активности — кюри (Ки, Ci) —
активность нуклида радиоактивного препарата, в котором за одну
секунду происходит 3.7 • 1010 распадов: 1Ки = 3.7 • 1010 Бк.
8. Некоторые фундаментальные физические константы
Газовая универсальная постоянная
R = 8.31441 ДжДмоль • К).
Гравитационная постоянная у = 6.6720 • 10"п Н • м2/кг2.
Заряд электрона и протона е = 1.6021892 • 10~19Кл.
Заряд протона удельный е/тр — 9.578756 • 107 Кл/кг.
Заряд электрона удельный е/те = 1.7588047 • 10й Кл/кг.
Масса покоя нейтрона тп = 1.6749543 • 10~27кг.
Масса покоя протона тр = 1.6726485 • 10~27 кг.
Масса покоя электрона те = 9.109534 • 10~31 кг.
Молярный объем идеального газа при нормальных
условиях Vmo = 22,41383 • 10~3 м3/моль.
Постоянная Авогадро Na = 6.022045 • 1023 моль.
Постоянная Больцмана к = 1.380662 • 10~23 Дж/К.
Постоянная Планка h = 6,626176 • 10~34 Дж • с.
Постоянная Ридберга для водорода
Дн = 1.097373177- 107м.
Постоянная Фарадея F = 9.648456 • 104 Кл/моль.
Радиус первой боровской орбиты ао = 5.2917706 • 10~и м.
Скорость света в вакууме с = 2.99792458 • 108м/с.
9. Способы измерения физических величин
1°. Измерение величины заключается в сравнении ее с другой
однородной величиной, принятой за единицу.
Числовое значение {А} физической величины А равно отноше-
отношению этой величины к ее единице [А]:

9. Способы измерения физических величин 569
Если единица данной физической величины изменяется в п раз
(\А\ = п[А])9 то числовое значение {А}1 этой величины изменяется
вЛ/п раз:
[А]1 п[А\~ п '
Иными словами, отношение числовых значений одной и той же
величины, измеренной в разных, но однородных единицах, равно
обратному отношению этих единиц:
{А} [А]' п
Например, длина стержня, измеренная в метрах, равна 1.53 м
({А} = 1.53). Длина того же стержня в сантиметрах (п = 10~2)
равна 153см {{А}' = 153), и
{А} 1.53 10-2
Если, измеряя физическую величину А, мы воспользуемся раз-
разными единицами [А] и [А]', причем [А]' = п[А], то
где дробь [А\/п выражает единицу [А] через единицу [А]г. Этим со-
соотношением пользуются не только для выражения величин в доль-
дольных или кратных единицах в данной системе единиц, но и при
переходе от одной системы единиц к другой или к внесистемным
единицам.
Пример 1. Выражая скорость 36км/ч в метрах на секунду,
имеем
36км/ч = 36 36oof = 1Ом/с'
где в числителе дроби содержится выражение километра в метрах,
а в знаменателе — выражение часа в секундах.
П р и м е р 2. Выразить давление 1 кГ/см2 в паскалях:
1 кГ/см2 « 9.814Н = 9.81 • 104 Па.
ш м
2°. При прямом (непосредственном) измерении величина срав-
сравнивается с мерой непосредственно. Указатель или шкала измери-

570 Отдел VII. Дополнения
тельного устройства позволяют судить о значении измеряемой вели-
величины. Измерение длины линейкой, времени — секундомером, мас-
массы — при помощи рычажных весов и гирь — примеры прямых
измерений.
При косвенном измерении значение величины вычисляется по
результатам непосредственных измерений других величин, с кото-
которыми измеряемая связана определенной функциональной зависимо-
зависимостью. Например, средняя плотность какого-то тела может быть опре-
определена по результатам прямых измерений массы и объема этого
тела, работа силы — по непосредственно измеренным силе, пере-
перемещению и углу между силой и перемещением.
В зависимости от используемого метода некоторые величины
могут быть измерены как непосредственно, так и косвенно. Напри-
Например, объем болта может быть определен непосредственно, если болт
погрузить в жидкость, налитую в измерительный цилиндр (мензур-
(мензурку). Объем того же болта может быть измерен косвенно по резуль-
результатам непосредственных измерений его длины, диаметра и т. д.
10. Погрешности при измерении физических величин
1°. При измерении любой физической величины принципиально
невозможно определить истинное значение этой величины.
Погрешности измерений могут быть связаны с техническими
трудностями (несовершенство измерительных приборов, ограничен-
ограниченные возможности зрительного аппарата человека, с помощью кото-
которого во многих случаях регистрируются показания приборов, и т.д.)
и с целым рядом факторов, которые трудно или невозможно учесть
(колебания температуры воздуха, движение потоков воздуха вблизи
измерительного прибора, вибрации измерительного прибора вместе
с лабораторным столом и т.д.).
Разность между измеренным и истинным значениями физиче-
физической величины называется погрешностью (ошибкой) измерения.
2°. Методические погрешности вызываются недостатками при-
применяемого метода измерения, несовершенством теории физическо-
физического явления, к которому относится измеряемая величина, неточно-
неточностью расчетной формулы. Например, при взвешивании тела на ана-
аналитических весах методическая ошибка может быть связана с тем,

10. Погрешности при измерении физических величин 571
что не учитываются неодинаковые выталкивающие силы, действу-
действующие со стороны окружающего воздуха на тело и разновесы.
Методические погрешности могут быть уменьшены при измене-
изменении и усовершенствовании метода измерения, при введении уточне-
уточнений или поправок в расчетную формулу.
3°. Приборные погрешности вызываются несовершенством
конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов.
Например, ход секундомера может изменяться при резких колеба-
колебаниях температуры, центр шкалы секундомера может не точно со-
совпадать с осью вращения его стрелки и т.д.
Уменьшение приборной погрешности достигается применением
более точных (но вместе с тем и более дорогостоящих) приборов.
Полностью устранить приборную погрешность невозможно.
4°. Случайные погрешности вызываются многими факторами,
не поддающимися учету. Например, на показания чувствительных
рычажных весов могут повлиять: вибрации здания от проезжающих
по улице автомобилей; пылинки, оседающие на чашки весов во вре-
время взвешивания; удлинение одной половины коромысла весов, вбли-
вблизи которой находится рука экспериментатора, и т.д.
Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно,
но их можно уменьшить за счет многократного повторения измере-
измерений. При этом влияние факторов, приводящих к завышению и к
занижению результатов измерений, может частично скомпенсиро-
ваться.
Расчет случайных погрешностей производится на основе теории
вероятностей и выходит за рамки элементарных курсов физики и
математики.
5°. В качестве результата измерения какой-то физической вели-
величины принимают среднее арифметическое Аср из п измерений:
/=1
Модуль отклонения результата /-го измерения Aj от среднего
арифметического Аср
AAi = \Acv-Ai\
называется абсолютной погрешностью данного измерения.

572 Отдел VII. Дополнения
Средней абсолютной погрешностью ААср серии из п изме-
измерений называется величина, равная
/=1
Для сравнения точности измерения физических величин подсчи-
подсчитывают относительную погрешность Е:
Е= ААср
^ср
которую обычно выражают в процентах.
Окончательно результат измерения физической величины А
представляют в виде
А =Аср±АА,
причем в качестве абсолютной погрешности АА принимают наи-
наибольшую из средней абсолютной и приборной погрешностей (в бо-
более строгих расчетах погрешность АА выбирают из сопоставления
случайной и приборной погрешностей). Такая запись говорит о том,
что истинное значение измеряемой величины заключено в интерва-
интервале от Аср - АА до Аср + АА.
6°. На шкалах многих измерительных приборов указывается так
называемый класс точности. Условным обозначением класса точ-
точности является цифра, обведенная кружком. Класс точности опре-
определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наи-
наибольшего значения величины, которое может быть измерено дан-
данным прибором. Например, амперметр имеет шкалу от 0 до 5 ампер
и его класс точности равен 1.0. Абсолютная погрешность измере-
измерения силы тока таким амперметром составляет 1.0% от бампер, т.е.
Если класс точности на шкале прибора не указан, то абсолют-
абсолютную погрешность прибора обычно принимают равной половине це-
цены наименьшего деления шкалы прибора. Например, абсолютная
погрешность измерения длины миллиметровой линейкой часто при-
принимается равной ±0.5 мм.
При определении абсолютной погрешности прибора по цене де-
деления нужно обращать внимание на то, как производится измерение
данным прибором, чем и как регистрируются результаты измерения,
каково расстояние между соседними штрихами на шкале прибора

11. Обработка результатов прямых измерений 573
и т.д. Если, например, измеряется расстояние от пола до подве-
подвешенного на нити груза при помощи миллиметровой линейки без
каких-либо указателей, визиров и т. п., то абсолютная погрешность
измерения не может быть принята меньшей, чем один миллиметр.
Приборная погрешность принимается равной цене деления и в тех
случаях, когда деления на шкале прибора нанесены очень часто,
когда указателем прибора является не плавно перемещающаяся, а
«скачущая» стрелка (как, например, у ручного секундомера) и т.д.
11. Обработка результатов прямых измерений
При прямом измерении некоторой физической величины А вы-
выполняются следующие действия:
а) Производят измерение физической величины п раз (А\,
А2,..., А„).
б) Находят среднее значение измеряемой величины Аср:
/=1
в) Находят абсолютные погрешности АА( каждого измерения и
среднюю абсолютную погрешность всей серии измерений:
г) Записывая результат измерения в виде
А=Аср±ААу
в качестве абсолютной погрешности результата АА берут либо
среднюю абсолютную погрешность, либо приборную погрешность
(в зависимости от того, какая из этих погрешностей больше).
д) Абсолютная погрешность результата округляется до двух зна-
значащих цифр, если первая из них 1 или 2, и до одной значащей цифры
во всех остальных случаях. Среднее значение измеряемой величины
округляется или уточняется до разряда, оставшегося в абсолютной
погрешности после округления.
е) Подсчитывается относительная погрешность результата:

574 Отдел VII. Дополнения
Пример. Измерение диаметра d шарика производилось пять
раз с помощью микрометра, абсолютная погрешность которого
равна А^/приб = ±0.01 мм. Результаты измерения диаметра шари-
шарика: d\ = 5.27мм, d2 = 5.30мм, d2 — 5.28мм, d* = 5.32мм,
d$ = 5.28 мм.
Среднее значение диаметра шарика:
5.27 + 5.30 + 5.28 + 5.32 + 5.28
d — мм = 5.29 мм.
5
Абсолютные погрешности измерений равны: Ad\ = 0.02 мм,
Ad2 = 0.01мм, Ad2 = 0.01мм, Ad4 = 0.03 мм, Ad5 = 0.01мм,
а средняя абсолютная погрешность
Л . 0.02 + 0.01 + 0.01 + 0.03 + 0.01
Adcp = мм = 0.02 мм.
Поскольку средняя абсолютная погрешность больше приборной,
результат измерения равен
d= E.29 ±0.02) мм.
Относительная погрешность измерения диаметра шарика состав-
составляет
Е = ^ = 0.004 = 0.4%.
12. Обработка результатов косвенных измерений
Пусть физическая величина Л связана с несколькими другими ве-
величинами А\, Ai, ..., Ak некоторой функциональной зависимостью:
Среди величин А\, А2, ..., Ak могут содержаться непосредствен-
непосредственно измеряемые величины Ani, табличные величины ATi (значения
которых в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц) и
так называемые данные установки Ayi (некоторые известные зара-
заранее характеристики экспериментальной установки, не измеряемые
в данном опыте).
В результате обработки всех непосредственно измеряемых вели-
величин Ani (VII.11) для каждой из них оказываются найденными: сред-
среднее значение (Ani)cp, абсолютная погрешность AAni и относительная
погрешность Eni.

12. Обработка результатов косвенных измерений
575
Результат для косвенно измеряемой величины А в простейших
случаях получают по следующей схеме:
а) Среднее значение Аср подсчитывают по средним значениям
величин, от которых зависит измеряемая величина А:
б) По виду функциональной зависимости величины А от непо-
непосредственно измеряемых и табличных величин, а также от данных
установки рассчитывается относительная погрешность Е. В случае
простейших функциональных зависимостей формула для расчета от-
относительной погрешности Е обычно имеет вид
Е = с\Е\ + с2Е2 + .. - + скЕк,
где с\, с 2, ..., с к — целочисленные или дробные безразмерные
коэффициенты, а Е\9 Е2, ..., Ек — относительные погрешности из-
измерения величин А\, А2у ..., Ак.
В таблице VII. 10 приведены формулы для расчета относитель-
относительных Е и абсолютных АА погрешностей косвенно измеряемой вели-
Таблица VII.10
Зависимость величины А
от других величин
А Ах+А2
А-Ах-А2
А = АХА2
А М
Аг
А = А'[
А = sin^i
А = cos А\
A \gA}
Относительная
погрешность Е
/SAX + A^2
Ах +А2
ААх + АА2
Ах -А2
ААх АА2
~Ai~ + ~М
ААх ( АА2
Ах ' А2
ААх
п
Ах
AAxdgAx
AAxtgAx
1 ААх
230\\gAx\ Ax
Абсолютная
погрешность АА
ААх + АА2
ААх + АА2
AYAA2 + А2ААх
ААх АхАА2
А2 1 А\
пА!\~хААх
ААХ cos/^i
ААХ sin^!
1 ААх
2.30 Ах

576 Отдел VII. Дополнения
чины А9 когда последняя связана с другими величинами наиболее
простыми и часто встречающимися в задачах элементарного курса
физики функциональными зависимостями.
Табличные величины берутся с такой точностью, чтобы их от-
относительные погрешности были меньше остальных относительных
погрешностей, содержащихся в предыдущей формуле.
Если значения данных установки не записаны в общепринятой
форме (VII. 11, г), то обычно считается, что они измерены с точно-
точностью, равной половине единицы последнего указанного разряда.
в) По среднему значению измеряемой величины Аср и относи-
относительной погрешности Е подсчитывают абсолютную погрешность ре-
результата А А:
ДА = ЕАСру
причем ее округляют до одной или двух значащих цифр (VII. 11] д).
г) Окончательный результат измерения представляют в виде\
А=Аср±АА,
при этом среднее значение Аср округляют или уточняют до разря-
разряда, оставшегося в значении абсолютной погрешности АА после его
округления.
Пример 1. Определить плотность р некоторого однород-
однородного тела по результатам непосредственно произведенных изме-
измерений его массы т и объема V: т = B5.4 ± 0.5) • 10~3кг,
V = B.94 ± 0.05) • 10~6м3.
Среднее значение плотности тела равно
Шлёкг/м3 = 864 •103кг/м3-
Относительная погрешность измерения плотности Ер равна сум-
сумме относительных погрешностей измерения массы Ет и объема Еу
(таблица VII. 10):
. _ _ „ . „ 0.5 • Ю-3 0.05 • Ю-6
254 _ ю_з г 2 94. 10_б
= 0.02 + 0.02 = 0.04 = 4%.
Абсолютная погрешность измерения плотности Ар равна
Ар = РсрЕр = 8.64 • 103 • 0.04кг/м3 = 0.3 • 103 кг/м3.

12. Обработка результатов косвенных измерений 577
Округляя значение рср, окончательный результат запишем в виде
р = (8.6±0.3I03кг/м3.
П р и м е р 2. Определить объем V цилиндра по результатам пря-
прямых измерений его диаметра d и высоты A: d .= C.46±0.04I0~2м,
А = D.87±0.05I0-2м.
Прежде чем рассчитать среднее значение объема цилиндра по
формуле
V
оценим, с какой точностью должна быть взята из таблицы
величина ж (например, мы располагаем табличным значением
л-«3.141593).
Относительная погрешность результата Ev в данном случае рав-
равна (см. таблицу VII.10).
ще
0.04. Ю-2 Л Л1 ' ¦ ¦ 0.05 • Ю-2 л м
т.е.
Ev = Е„ + 0.03.
Чтобы неточность значения числа ж заметно не ухудшила ре-
результата измерения, должно быть Ел < 0.01. Если, например, взять
число же точностью до десятых, то Е„ = 0.04/3.1 = 0.01 и от-
относительная погрешность результата составит Ev = 0.04. Если же
взять числю ж с точностью до сотых, то Ея = 0.002/3.14 = 0.0006
и?к=0.03.
Следовательно, в данном случае без ущерба для точности ре-
результата можно принять ж = 3.14. Тогда
Fcp = 13.14 • C.46 • 10~2J • 4.87 • 10м3 = 45.8 • 10м3,
ДV = VC?EV = 45.8 • 10~6 0.03 м3 = 1 • 10~6 м3.
П р и м е р 3. Определить период колебаний математического
маятника, длина которого непосредственно не измеряется и счи-
считается равной/= 2.5м.

578 Отдел VII. Дополнения
При таком условии полагают, что абсолютная погрешность из-
измерения длины маятника составляет Д/ = ±0.05 м, а относительная
погрешность Е\ = 0.05/2.5 = 0.02.
Период колебаний математического маятника равен Т = 2jry/TJg,
а относительная погрешность его измерения
ЕТ=ЕЯ + -(Е,+Е8).
Число л в данном случае может быть принято равным л = 3.14,
так как при этом Ел = 0.0006 (см. пример 2) и Е„ < A/2)?/ =0.01.
Остается решить вопрос о том, с какой точностью должно
быть взято значение ускорения свободного падения g (табличное
значение g = 9.80665 м/с2). Если принять g = 9.8 м/с2, то
Eg = 0.01/9.8 = 0.001 и Eg < Ej9 т.е. такая точность в данном
случае вполне приемлема, и относительная погрешность результа-
результата может считаться равной Ет = 0.01.
Период колебаний маятника равен
Г = 2-З.мУЦ?с = 3.2с,
абсолютная погрешность равна
AT = ТЕТ = 3.2 • 0.01 с = 0.03 с.
Для записи окончательного результата значение периода колебаний
маятника нужно уточнить до сотых долей секунды:
Г = C.20 ±0.03) с.
13. Приближенные вычисления
без точного учета погрешностей
1°. Производя обработку многочисленных измерений, часто не
подсчитывают погрешности отдельных результатов и судят о по-
погрешности приближенного значения величины (числа), указывая ко-
количество верных значащих цифр в этом числе.
Нули, стоящие в числе слева, значащими цифрами не считают-
считаются. Нули в середине или в конце числа (справа), обозначающие от-
отсутствие в числе единиц соответствующих разрядов, — значащие

13. Приближенные вычисления 579
цифры. Например, в числе 0.08040 первые два нуля — незначащие,
а третий и четвертый — значащие.
Нули, поставленные в конце целого числа взамен неизвестных
цифр и служащие лишь для определения разрядов остальных цифр,
значащими не считаются. В подобных случаях нули в конце числа
лучше не писать и заменять их соответствующей степенью числа 10.
Например, если число 4200 измерено с абсолютной погрешностью
± 100, то это число должно быть записано в виде 42-102 или 4.2-103.
Такая запись подчеркивает, что в данном числе содержатся лишь две
значащие цифры.
2°. Если приближенное значение величины содержит лишние
или недостоверные цифры, то его округляют, сохраняя только вер-
верные значащие цифры и отбрасывая лишние. При этом руководству-
руководствуются следующими правилами округления:
а) Если первая отбрасываемая цифра больше 4, то последняя
сохраняемая цифра увеличивается на единицу. Например, округляя
число 27.3763 до сотых, следует записать 27.38.
б) Если первая отбрасываемая цифра меньше 4 или равна 4, то
последняя сохраняемая цифра не изменяется. Например, округляя
число 13 847 до сотен, записывают 138 • 102.
в) Если отбрасываемая часть числа состоит из одной цифры 5,
то число округляют так, чтобы последняя сохраняемая цифра была
четной. Например, при округлении до десятых 23.65 « 23.6, но
17.75 « 17.8.
3°. Производя различные математические действия с приближен-
приближенными числами, руководствуются следующими правилами подсче-
подсчета цифр:
а) При сложении и вычитании в результате сохраняют столько
десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наимень-
наименьшим количеством десятичных знаков.
б) При умножении и делении в результате сохраняют столько
значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наи-
наименьшим количеством значащих цифр.
Исключения из этого правила допускаются в тех случаях, когда
один из сомножителей произведения начинается с единицы, а сомно-
сомножитель, содержащий наименьшее количество значащих цифр, — с
какой-нибудь другой цифры. В этих случаях в результате сохраня-
сохраняют на одну цифру больше, чем в числе с наименьшим количеством
значащих цифр.

580 Отдел VII. Дополнения
в) Результат расчета значений функций х", у/х и lgjc некоторого
приближенного числа х должен содержать столько значащих цифр,
сколько их имеется в числе х.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на од-
одну цифру больше, чем рекомендуют правила а)-в) (так называемая
запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра от-
отбрасывается.
Если некоторые приближенные числа содержат больше десятич-
десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр
(при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня и
т.д.), чем другие, то их предварительно округляют, сохраняя только
одну лишнюю цифру.
Пример 1. Перед сложением приближенных чисел 0.374; 13.1
и 2.065 первое и третье из них нужно округлить до сотых, а в окон-
окончательном результате сотые отбросить:
13.1 + 2.06 + 0.37- 15.5.
Пример 2. Результат расчета выражения F8.04 • 7.2)/20.1
должен содержать только две значащие цифры (по количеству зна-
значащих цифр в числе 7.2):
68.04 • 7.2 _ 68.0 ¦ 7.2
20.1 ~ 20.1 ~ *
ПримерЗ. Результат перемножения чисел 13.27 и 0.84 можно
записать с тремя значащими цифрами (см. исключение из прави-
ла б));
13.27 0.84^ 13.3 0.84= 11.2 (а не 11).
Пример 4. При возведении в куб приближенного числа 216
результат должен быть записан только с тремя значащими цифрами:
2163 = 101 • 105.

Предметный указатель
Адроны 528
Активность радиоактивного вещества 489
Акустика 332
Альфа-распад 486, 492
Ампер, единица силы тока 537
Амплитуда колебания 295
— скорости 296
— ускорения 297
Анализ рентгеноструктурный 399
— спектральный 395
Анализатор 386
Аннигиляция пары электрон-позитрон
520
Антивещество 522
Античастицы 520
Аппарат проекционный 369
Атом 109
База транзистора 256
Барионы 528, 529
Бета-распад 486, 493, 495
Бетатрон 514
Бозоны промежуточные 529, 530, 532
Бомба атомная 507
— водородная 512
Вакуум 243
Ватт, единица мощности 545, 566
Вебер, единица магнитного потока 565
Вектор волновой 419
— перемещения 15
— сжатия 58
— удлинения 58
Величина физическая безразмерная 535
Величины физические квантованные 437
одноименные 535
однородные 534
табличные 574
Вес тела 55
Вещества поверхностно-активные 167
— сильномагнитные 286
— слабомагнитные 286
Взаимодействие гравитационное 41, 523,
532
— межмолекулярное 113
— обменное 474
— сильное 41, 523, 532
— слабое 42, 523, 532
— электромагнитное 41, 185, 523, 532
— электрослабос 532
Вибратор Герца 346
Влажность воздуха 164
Волна 325
— акустическая 325
— бегущая 338
— де Бройля 430
— звуковая 325
— неполяризованная 385
— плоская 326
— плоскополяризованная 385
— поперечная 326
— продольная 326
— стоячая 337
— сферическая 326
— упругая 325
— электромагнитная 340
— — монохроматическая 342
Волны когерентные 336
—¦ некогерентные 336
— световые 340
Вольт, единица потенциала 557
Вращение равнопеременное 37
Время жизни изотопа среднее 487
— релаксации среднее 119
— свободного пробега среднее 122
— собственное 410
— установления тока 219
Вырождение газа 445
Высота тона 332
Вязкость 102
Газ идеальный 119
— электронный в металлах 172
Газы 117
— разреженные 120
Гамма-излучение 485, 495
Гармоники 332
Генератор ламповый 323
— магнитогидродинамический 243
— оптический квантовый 466
Генри, единица индуктивности 565
Герц, единица частоты 542
Гигроскопичность тел 169
Гидроаэромеханика 96
Гидролокация 334
Гиперзвуки 333
Гипотеза Ампера 285
— Планка 392
Гистерезис магнитный 290
Глаз 369
Глюоны 532
Гравитон 528, 529, 532
Градус Кельвина 548
— Цельсия 548

582
Предметный указатель
Граница фотоэффекта красная 423
Громкость звука 332
Давление 97, 128
— гидростатическое 99
— дополнительное под мениском 168
— полное 103
— света 426
— статическое 103
Двигатель вечный второго рода 153
первого рода 146
— тепловой 154
Движение броуновское 111
— вращательное 14
неравномерное 37
равномерное 37
— инерциальное 39
— колебательное 294
— криволинейное 13
— механическое 11
— неинерциальное 40
— неравномерное 17
— плоское 13
— поступательное 14
— прямолинейное 13
— равномерное 17
прямолинейное 21
— равнопеременное прямолинейное 23
— тепловое 116
Действие света химическое 428
Действие, физическая величина 392
Деление ядра 500, 502
Демодуляция 349
Детектор 349
Дефект массы 481
Дефектоскопия рентгеновская 399
— ультразвуковая 334
Деформация 173
Децибел, единица интенсивности звука
566
Джоуль, единица работы и энергии 545,
551
Диаграммы термодинамические 131
Диамагнетики 287
Диаметр молекулы эффективный 116
Дина 543, 547
Динамика 39
— релятивистская 414
Динамометр пружинный 64
Диод полупроводниковый 256
— прямого накала 245
— с подогревным катодом 246
Диоптрия 363
Диполи 199
Диполь Герца 347
— электрический 113, 193, 346
Дисперсия волны электромагнитной 342
— света 386
Диссоциация электролитическая 235
Дифракция рентгеновского излучения 399
— света 380
Диффузия 112
Диэлектрик однородный изотропный 197
— поляризованный 199
Диэлектрики 197, 217
Длина волны 329
стоячей 339
— свободного пробега средняя 122
— связи в молекуле 471
— тела собственная 409
Длительность между событиями 410
Доза излучения 508
Домены 292
Дуга электрическая 242
Единица массы атомная 555
— физической величины 533
— энергии атомная 555
Единицы физических величин абсолютные
электростатические 555
основные 533
производные 533
Емкость взаимная 211
— проводника 211
Жидкости 118
Жидкость вязкая 103
— идеальная 103
— капельная 97
— невязкая 103
— несжимаемая 97
— несмачивающая 168
— пере1ретая 160
— переохлажденная 180
— сжимаемая 97
— смачивающая 167
Закон Авогадро 135
— Ампера 262
- Архимеда 100
— Бойля-Мариотта 132
— взаимосвязи массы и энергии 415
— всемирного тяготения 53, 54
— Гей-Люссака 132
— Гука58, 174
— Джоуля-Ленца 234
— динамики вращательного движения
основной 70
— Кирхгофа для теплового излучения 389
— Кулона 182
~ Ньютона второй 45
первый 39

Предметный указатель
583
Закон Ньютона третий 47
— Ома 223, 224
для плотности тока в металлах 225
цепи переменного тока 320
— освещенности от точечного источника
367
— Паскаля 97
— радиоактивного распада основной 487
— сложения скоростей в механике
Ньютона 52
релятивистский 413
— сообщающихся сосудов 100
— сохранения заряда электрического 182
импульса 49
массы 44
проекции импульса 50
энергии механической 91
полной 94
— термодинамики второй 153, 154
первый 144-146
третий 154
— Фарадея для электролиза второй 237
объединенный 237
первый 237
электромагнитной индукции 273
— Шарля 133
Законы отражения света 354
— преломления света 354
— фотоэффекта внешнего 423
Замедление времени релятивистское 411
Замедлитель нейтронов 498
Запас прочности 175
Заряд протона 568
— частицы удельный 272
— электрический 181
«пробный» 186
частицы элементарной 520
элементарный 181, 237
— электрона 568
— ядра атома 477
Заряды индуцированные 196
— связанные поверхностные 199
Затвердевание 179
Защита электростатическая 196
Звуки музыкальные 332
— слышимые 332
Зеркало сферическое 359
Значение действующее напряжения 321
— — силы тока 321
электродвижущей 321
Зона волновая 345
Зрение цветовое 371
Излучение волн электромагнитных 344
— вынужденное 466
— инфракрасное 395
— космическое 526, 527
— радиоактивное 485
— рентгеновское 396, 397
— тепловое неравновесное 389
равновесное 388
— ультрафиолетовое 395
Измерение величины 568
Изображение негативное 429
— обратное 361
— прямое 361
— точки 357
Изотерма пара 161
Изотопы 478
Изотропия жидкостей 119
Импульс 44
— релятивистский 414
— силы 46
— фотона 419
— частицы локализованной 444
Инвариантность релятивистская 409
Индикатор радиоактивный 506
Индуктивность 279
Индукция поля магнитного 258
— электростатическая 196
Инертность 43
Интенсивность взаимодействия 524
— волны 331
электромагнитной 344
— ионизации 238
Интерференция волн 337
— света 376
в тонких пленках 378
Инфразвуки 332
Ион водородоподобный 457
Ионизация газов 238, 240
Ионы 235
Испарение 158
Источник волн 325
— излучения теплового 388
— света точечный 365
Источники волн когерентные 336
некогерентные 336
Калория 548
Камера Вильсона 491
— пузырьковая 491
Кандела, единица силы света 538
Каоны 518,529
Капилляры 169
Картина интерференционная 376
Катодолюминесценция 393
Квант действия 392
— энергии 392
Квантование пространственное 460
— физических величин 437
Кварки 520, 531

584
Предметный указатель
Кельвин, единица температуры 536
Кенотрон 246
Килограмм, единица массы 536
Кинематика 11
— релятивистская 413
Кипение 159
Колебание 294
— вынужденное 307
— гармоническое 295
— затухающее 305
— полное 295
Колебания периодические 294
— свободные 296
незатухающие 296
— электромагнитные вынужденные 316
свободные 312
Количество вещества ПО
— теплоты 142
Коллектор транзистора 256
Конденсатор 212, 213
Конденсация 159
Контур колебательный 312
закрытый 315
открытый 346
Концентрация носителей тока 219
Координата угловая 31
Коэффициент безопасности 175
— вторичной эмиссии 244
— давления термический 133
— затухания 306, 315
— квазиупругой силы 58
— мощности 321
— натяжения поверхностного жидкости
166
— полезного действия цикла термический
151
— размножения нейтронов 503
— расширения линейного 176, 177
объемного 132, 176, 177
— сопротивления температурный 226
— трансформации 281
— трения 60, 61
Кривая намагниченности техническая 290
Кристаллизация 179
Кристаллы 117
— атомные 172
— ионные 171
— металлические 172
— молекулярные 172
Кулон, единица электрического заряда 556
Кюри, единица активности 568
Лазер 466
Лампа дневного света 393
— электронная 245
Лептоны528, 529, 531
Линза 361
— рассеивающая 363
— собирающая 363
Линии магнитной индукции 260
— напряженности электростатического
поля 187
— фраунгоферовы 395
Линия действия силы 41
— спектральная 394
— тока жидкости 102
Лупа 372
Луч 325
— световой 352
Люкс 567
Люмен 567
Люминесценция 392
Магнетики 286
Мазер 466
Максимумы дифракционные 382
Масса атомная относительная 548
— гравитационная 43
— инертная 43
— критическая 504
— молекулярная относительная 549
— молярная ПО, 549
— покоя нейтрона 568
протона 568
тела 414
электрона 568
— тела 43
релятивистская 414
собственная 414
Масс-спектрограф 272
Масс-спектрометр 272
Материалы магнитные 291
Маятник математический 300
— пружинный 294
Мезоны 528, 529
Мениск 167
Металлы 172
Метод Вильсона-Скобельцына 491
— встречных пучков 521, 524
— зеркал Френеля 378
— Майкельсона 375
— меченых атомов 507
— рассеяния частиц 524
— Рёмера 374
— статистический 121
— толстослойных фотоэмульсий 492
— Физо 374
Метр, единица длины 536
Механика 11
— квантовая 430
— ньютоновская 11
Микроскоп 373

Предметный указатель
585
Модель атома ядерная 447
— ядра капельная 483
Модуль упругости 174
— Юнга 174
Модуляция волны электромагнитной 348
Молекула 110
— атомная 473
— ионная 471
Молизация 236
Моль 537
Момент атома магнитный орбитальный
284
— диполя электрический 193
индуцированный 198
— импульса тела 71
точки 71
электрона собственный 285
— инерции тела 69
точки 69
— магнитный контура с током 258
электрона орбитальный 284
— пары сил 74
— силы 69
Монокристаллы 117
Мощность 96
— волны средняя 331
— дозы излучения 508
— излучения средняя 344
— средняя 95, 96
— тока 234
переменного 320
Мюон 518, 529
Накачка усиливающей среды 468
Намагниченность вещества 289
— ферромагнетика насыщения 290
остаточная 291
Напор динамический 103
— скоростной 103
Напряжение 222
— анодное диода 245
— запирания триода 247
— механическое 174
— сеточное триода 247
Напряженность поля тяготения 56
электрического 186
стороннего 221
Насос тепловой 157
Натяжение поверхностное жидкости 166
Начало термодинамики второе 153
первое 144
Невесомость 56
Нейтрино мюонное 518
— таонное 518, 529
— электронное 500, 518, 528
Нейтрон 477, 497, 529
Нейтронография 433
Нейтроны быстрые 497
— деления 501
— избыточные 501
— медленные 497
Неопределенность импульса частицы 441
— координаты частицы 441
Несмачивание идеальное 168
Неустойчивость тяжелых ядер 500
Номер атомный 448
Нуклид 548
Нуклоны 477, 529
Нуль температуры абсолютный 129
Ньютон, единица силы 543
Обертон 332
Оболочка электронная атома 463
Обратимость спектральных линий 394
— хода световых лучей 354
Объем молярный ПО
идеального газа при нормальных
условиях 568
— удельный ПО, 128
Одновременность событий 405
Ом, единица сопротивления 559
Оптика 352
— волновая 374
— геометрическая 352
— квантовая 418
Опыт Милликена 188
— Столетова 421
— Эрстеда 258
Опыты Резерфорда 448
Орбита электрона 450, 458
Ортоводород 483
Освещенность 366
Осциллятор гармонический линейный 436
квантовый 444
Ось вращения 14
— оптическая зеркала 359
линзы 361
поверхности сферической 359
Отверстие объектива относительное 369
Отражение диффузное 354
— зеркальное 354
— полное 355
Падение напряжения 222
— свободное 26
Пар 158
— насыщающий (насыщенный) 159
— ненасыщающий (ненасыщенный) 161
— перегретый 162
— пересыщенный 162
Пара сил 74
Параводород 483

586
Предметный указатель
«Парадокс часов» 412
Парамагнетики 288
Параметр деления ядра 502
Параметры критические 163
— состояния основные 128
— термодинамические 127
Парообразование 158
Партоны 525
Паскаль, единица давления и модуля
упругости 545
Перегрузка 56
Перемещение 15
Перенос точки приложения силы 72
Переход электронно-дырочный 254
Периметр смачивания 167
Период вращения 32, 36
— дифракционной решетки 382
— колебания 295
затухающего условный 306
— обращения 32
— полураспада 488
— решетки кристаллической 118
Пионы 517, 529
Плавление 178
Плазма 242
Плечо пары сил 74
— силы 69
Плоскость фокальная зеркала 360
линзы 362
Плотность зарядов поверхностная 192
— тела 45
средняя 45
— тока смещения 341
средняя 219
— энергии объемная волны средняя 331
поля магнитного 282
электрического 216
Поверхность волновая 325
— жидкости свободная 97
— эквипотенциальная 208
Поглощение нейтронов резонансное 498
— рентгеновских излучений 398
Погрешности измерения 570-572
Позитрон 499, 520, 529
Показатель преломления 353
— размерности 534
Поле гравитационное 56
стационарное 54
— излучения 344
— магнитное 257
неоднородное 259
нестационарное 258
однородное 259
стационарное 257
— электрическое 185
индуцированное 277
кулоновское 220
нестационарное 186
однородное 187
— потенциальное 205
стационарное 186
стороннее 221
— электромагнитное 185
— электростатическое 186
Поликристаллы 117
Полупроводники 217, 250
— л-типа 253
— /кгапа 254
Полюс зеркала 359
— системы координат 31
Поляризатор 386
Поляризация диэлектрика 199, 200
— света 385
Порог осязания 333
— слышимости 333
— фотоэффекта 423
Порядок ближний 118
— дальний 118
— дифракционного максимума 382
минимума 382
Постоянная Авогадро 110, 568
— Больцмана 124, 568
— газовая удельная 136
универсальная 135, 568
— гравитационная 53, 568
— Кюри 286
— Лошмидта 135
— магнитная 555
— Планка 392, 568
— радиоактивного распада 487
— Ридберга для водорода 451, 568
— Фарадея 237, 568
— электрическая 549
Постулат Бора второй 454
первый 453
Потенциал поля электростатического 205
Потенциометр 232
Поток жидкости 102
— индукции магнитной 261
— самоиндукции 279
— световой 365
Правило буравчика 259, 264
— Кирхгофа второе 228
первое 228
— левой руки 262
— Ленца 274
— многоугольника 15, 43, 72
— моментов 76
— параллелограмма 15, 72
— правой руки 276
— частот Бора 454
Предел пропорциональности 174

Предметный указатель
587
Предел прочности 175
— текучести 175
— упругости 175
Преобразование Галилея 51
— координат Галилея 51
Преобразования Лоренца 408
Прибор оптический 368
Принцип Гюйгенса 380
— Гюйгенса-Френеля 381
— минимума потенциальной энергии 81
— независимости действия сил 47
— относительности в специальной теории
относительности 402
механический 53
— Паули 461
— постоянства скорости света 403
— суперпозиции волн 335
электрических полей 187
Пробой газа электрический 240
— диэлектрика 197
Проводимость, величина 229
— ионная 235
— односторонняя диода 246
— полупроводника примесная 252
дырочная 254
электронная 253
собственная- дырочная 252
электронная 250, 251
— электрическая удельная 223
, явление 217
Проводники 195, 217
— второго рода 235
— первого рода 235
Проницаемость диэлектрическая
относительная 184
— магнитная относительная 264
Протон 181,477,517,529,530
Профиль Жуковского крыла самолета 108
Процесс адиабатический 135
— изобарический 132
— изотермический 132
— изохорический 132
— квазистатический 130
— компенсирующий 154
— круговой 150
— обратимый 149
— равновесный 130
— термодинамический 130, 149
— необратимый 149
обратимый 149
Прочность 175
Путь 15
— волны геометрический 376
оптический 376
Пучность стоячей волны 339
Пучок лучей гомоцентрический 357
параксиальный 359
— электронный 248
Работа выхода электрона 244
— ионизации 238
— силы 83
трения 87
тяготения 85
тяжести 86
упругости 86
элементарная 82
Равновесие 72, 78
Радиан, единица плоского угла 538
Радиоактивность естественная 484
— искусственная 499
— нейтрона свободного 494
Радиоволна 340, 348
Радиолокация 351
Радиопередатчик 349
Радиоприемник 349
Радиус боровской орбиты первой 455, 568
— действия ядерных сил 482
Размагничивание диамагнетика 288
Размерность физической величины 534
Размеры атома 111
Размножение нейтронов 501
Разность потенциалов 205
— хода волн геометрическая 336
оптическая 376
Разряд газовый 238-242
Расстояние наилучшего зрения 372
— фокусное зеркала 360
линзы 362
Растяжение одностороннее 174
Расширение тепловое 176
Реактор ядерный 504, 527
Реакция деления ядер цепная 503
— термоядерная 510
— фотохимическая 428
— ядерная 495
Режим реактора критический 504, 505
Резонанс 310
— в цепи переменного тока 321-323
— напряжений 322
— токов 323
Резонансы 518
Резонатор 346
Рекомбинация (молизация) 236, 239
Рентген, единица дозы излучения
экспозиционной 509
Решетка дифракционная 382
— кристаллическая 118
Ряд радиоактивный 487
Свет плоскополяризованныи 385
Светосила объектива 369

588
Предметный указатель
Связь ковалентная 250,473
— металлическая 172
— обратная 310, 311
— химическая 470
— энергии и импульса релятивистская
418
Сегнетоэлектрики 202
Секунда, единица времени 536
Серия спектральных линий 451
Сетка триода управляющая 246
Сжатие одностороннее 174
Сжижение газов 164
Сила 41
— Ампера 262
— архимедова 100
— возвращающая 299
— вынуждающая 307
— излучения 366
— коэрцитивная 291
— кулоновская 183
— Лоренца 268
обобщенная 270
— оптическая линзы 363
— подъемная 107
— равнодействующая 42, 72
— реакции нормальной 60
— света 366
сферическая средняя 366
— тока 218
— трения 42, 59
покоя 59
предельная 60
— тяготения 42, 53
— тяжести 54
— упругости 42, 57, 173
— уравновешивающая 72
— центростремительная 47
— электродвижущая 222
взаимной индукции 281
самоиндукции 279
Силы внешние 42
— внутренние 42
— инерции 65
— непотенциальные 61, 87
— потенциальные 54, 59, 85
— реакции связей 73
— сторонние 220
— - центральные 54
— ядерные 481
Сименс, единица электропроводности 559
Синхронизация часов 406
Синхрофазотрон 516
Система автоколебательная 310
— единиц 533
— абсолютная электростатическая 549
— замкнутая 42
— излучающая 344
— координат полярная 31
прямоугольная декартова 11
— отсчета 12
гелиоцентрическая 40
— геоцентрическая 40
инерциальная 39
неинерциальная 40
— сил уравновешенная 72
— тел консервативная 87
неконсервативная 87
— элементов периодическая Менделеева
463
Скорость 17
— конденсации 159
— космическая вторая 95
первая 57
— линейная 30
— мгновенная 17
— окружная 30
— парообразования 158
— распространения волн 327
— реакции цепной 504
— света в вакууме 406, 568
— средняя 16
арифметическая 121
квадратичная 121
скалярная 18
— угловая мгновенная 32
— фазовая 327, 341
Сложение колебаний гармонических 304
Слой жидкости поверхностный 97
пограничный 106
— электрический запирающий 255
— электронный в атоме 462
Смачивание 167
Событие 405
Соединение конденсаторов 213, 214
— проводников 228, 229
Сокращение длины лоренцево 410
Соленоид 266
Соотношение неопределенностей
Гейзенберга441
Сопротивление цепи переменного тока
емкостное 319
индуктивное 318
— полное 320
— электрическое 222
удельное 223
Состояние атома водорода энергетическое
возбужденное 456
_ основное 456
— квантовое стационарное 439, 461
— критическое 163
— механическое 44
— равновесное 127

Предметный указатель
589
Состояние среды инверсное 468
— стационарное 127
— термодинамическое 127
— ядра энергетическое возбужденное 481
основное 481
Спектр дисперсионный 387
— дифракционный 383
— испускания 394
атома водорода 451
— масс 272
— молекулы 474
— поглощения 394
— рентгеновский сплошной 396
Спин электрона 285
Способность глаза разрешающая 372
— тела лучеиспускательная 389
поглощательная 389
Среда активная 467
— оптически однородная 353
— сплошная 96
— упругая 324
Сродство электронное 472
Стабильность ядра атома 484
Статика 72
Степень диссоциации 236
— ионизации 242
Стерадиан, единица телесного угла 538
Столкновение неупругое 94
— упругое 91
Сублимация 180
Счетчик Гейгера 490
— сцинтилляционный 490
Таон 518, 529
Текучесть жидкостей 96, 119
Тела твердые 117
Телевидение 348, 350
Телескоп 373
Тело абсолютно твердое 12
черное 389
— отсчета 11, 40
— рабочее 146
— свободное 39
— термометрическое 129
— черное 389
Тембр 332
Температура вырождения газа 445
— кипения 160
— кристаллизации 179
— критическая 163
— Кюри 292
— плавления 178
— термодинамическая 129
Теорема Карно 152
— о кинетической энергии 89
Теория близкодействия 186
— дальнодействия 186
— молекулярно-кинетическая 109
— относительности специальная 402
— строения атома боровская 453
Теплоемкость 143
— молярная 144
— удельная 144
Теплообмен 142
Теплота испарения удельная 180
— кристаллизации удельная 179
— парообразования удельная 161
— плавления удельная 179
Термодинамика 126
Терм спектральный 451
Тесла, единица индукции магнитного поля
564
Течение жидкости ламинарное 101
_ турбулентное 101
Ток анодный диода 246
— индукционный 273
— квазистационарный 347
— конвекционный 218
— молекулярный 285
— переменный 316
— постоянный 218
— проводимости 218
— термоэлектронный 244
— электрический в вакууме 243
— электронный в атоме 284
Токи Фуко 278
Тон 332
Точка кипения 160
— критическая 163
— Кюри 292
— материальная 12
— плавления 178
— росы 165
Точки изображения разрешенные 372
Траектория 12
Транзистор 256
Трансформатор 281
Трение внешнее 59
— внутреннее 59, 102
Труба зрительная Кеплера 373
Трубка Пито 105
— Пито-Прандтля 105
— рентгеновская 398
— тока жидкости 102
— электронно-лучевая 248
Увеличение линейное зеркала 361
линзы 364
— объема относительное 176
— угловое 373
Угол дифракции 382
— зрения 371

590
Предметный указатель
Угол краевой 167
— отражения 354
полного предельный 355
— падения 354
— поворота 32
— преломления 354
Удар 91
— абсолютно неупругий 94
упругий 91
— центральный 91
Удлинение относительное 176
Узел волны стоячей 338
— цепи электрической 227
Узлы решетки кристаллической 118
Ультразвуки 333
Упругость 173
— газов объемная 324
— формы 324
Уравнение Бернулли 103
— волны плоской 330
стоячей 338
сферической 331
— кинетической теории газов основное
123
— Клапейрона-Менделеева 136
— неразрывности 103
— состояния 129
идеального газа 135
— Эйнштейна для внешнего фотоэффекта
424
Уравнения движения точки 13
Уровень интенсивности звука 333
Уровни энергетические осциллятора 438
— энергии электронные 439
Ускорение 20
— касательное 20
— нормальное 20
— свободного падения 26, 54
— среднее 19
— тангенциальное 20
— угловое 38
среднее 37
— - центростремительное 31
Ускорители частиц 513, 527
Установка холодильная 156
Фаза колебания 295
Фарад, единица емкости 558
Ферромагнетики 289
Фокус зеркала главный 360
— линзы главный 362
побочный 362
Формула Бальмера -Ридберга 451
— де Бройля 430
— зеркала сферического 360
— линзы тонкой 362
— Томсона 315
— Торричелли 104
Фотоаппарат 368
Фотография 428, 429
Фотоионизация 421
Фотолюминесценция 393
Фотометрия 365
Фотон 419, 517, 529, 532
Фотопроводимость 425
— полупроводника 251
Фототок 422
Фотоэлемент 425
Фотоэффект 421
— ядерный 496
Фронт волны 325
Характеристика вольтамперная газового
разряда 239
диода 245
— сеточная триода статическая 247
Хемилюминесценция 393
Хронометризация система отсчета 406
Центр давления 100
— зеркала оптический 359
— инерции 44
— линзы оптический 361
— масс 44
— тяжести 55
Цепь тока переменного 317
— электрическая 227
Цикл 150
— Карно 151
— обратный 150
— прямой 150
— углеродно-азотный 511
Циклотрон 515
Циркуляция скорости 107
Цуг волновой 439
Частица релятивистская 415
— ультрарелятивистская 415
Частицы истинно элементарные 531
— субъядерные 530
— элементарные 109, 516, 530
истинно нейтральные 521
основные 517
сгранные 518
Частота волны 342
— вращения 32, 36
— колебаний тела собственная 339
— круговая колебаний периодических 295
— обращения 32
— циклическая колебаний затухающих
306
периодических 295

Предметный указатель
591
Частота циклическая колебаний
свободных 300
— электромагнитных 315
резонансная 310, 322
Часы, автоколебательная система 311
Число волновое 330
— квантовое главное 439, 451, 456
магнитное 460
орбитальное 458
— массовое ядра 478
— спиновое магнитное 461
— столкновений среднее 122
Чувствительность фотокатода 244
Ширина спектральной линии
естественная 440
Шкала температур международная
практическая 129, 548
термодинамическая 129, 152, 548
эмпирическая 129
— электромагнитных волн 400
Шнур плазменный 513
Шумы 332
Эквивалент вещества электрохимический
237
— работы тепловой 143
— рентгена биологический 509
— теплоты механический 143
Электродинамика 185
Электроемкость взаимная 211
— проводника 211
Электролиз 235
Электролиты 235
Электролюминесценция 393
Электромагнит 267
Электрон 181, 517, 529
— валентный 110, 463
— оптический 463
Электрон-вольт 555
Электронография 433
Электроны коллективизированные 172,
195
Электропроводность, величина 229
— удельная 223
— , явление 217
Электростатика 181
Эмиссия термоэлектронная 244
— фотоэлектронная 243
— электронная вторичная 244
Эмиттер 244, 256
Энергия 88
— активации деления ядра 501
собственной проводимости
полупроводника 251
— внутренняя 94, 138
— диссоциации молекулы 471
— кинетическая 88
частицы средняя 124
— механическая 88
— осциллятора нулевая 438, 444
— поверхностная жидкости 166
— покоя тела 416
— поля магнитного 282
электрического 215
— потенциальная 89
взаимодействия зарядов 204
молекул 115
— реакции ядерной 495
— связи молекулы 471
нуклона 479
ядра 479
— собственная заряженного проводника
215
— тела собственная 416
— тока 282
— фотона 419
— частицы локализованной 444
— ядерная 506
Эпидиаскоп 369
Эрг 545, 547
Эталон 533
— массы 61, 533
Эффект Магнуса 107
— пьезоэлектрический 334
— туннельный 492
Явление взаимной индукции 280
— магнитострикции 333
— самоиндукции 279
— сверхпроводимости 226, 227
— электромагнитной индукции 273
Явления капиллярные 169
Ядра зеркальные 482
Ядро атомное 477
— составное 497

Учебное издание
ЯВОРСКИЙ Борис Михайлович
СЕЛЕЗНЕВ Юрий Александрович
ФИЗИКА
СПРАВОЧНОЕ РУКОВОДСТВО
Для поступающих в вузы
Редактор Д.А. Миртова
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 29.06.00.
Формат 84x108/32. Бумага типографская.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 31,08. Уч.-изд. л. 34,2.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0027-0
9 785922 100274