Ун
$11 (015)
((ня?о гб&сі тттѵ^и-
нчпір явОка
іи№тнн&&. Путина - *
^выппсі^іня

ДМа Оноя ^кюлг'Ж'6
<57/-(б л

КРАТКОЕ руководство

КЪ

АРИѲМЕТИКЪ

СОЧИНЁННОЕ

4

бЪ пользу

вЪ СухопутномѢ ШляхеіпномЪ Кадсш-
скомЪ Корпусѣ учащихся

Онаго же Корпуса

Капитаномъ КарломЪ фонЪ ЛюдевихомЪ.

ТЪ С^ККТ^ГТЕРТ^РГѢ
• х /

При Шляхетнс«Ъ Ка.летскомЬ КорпусВ

І758*
ГОС. НАУЧНАЯ
БИБЛИОТЕКА

И 1.

Н. Д. У’ мясного

А-’Ш
КЪ ЧИТАТЕЛЮ

Отмѣнное попеченіе Е Я
ИМПЕРАТОРСКАГО
ВЕЛИЧЕСТВА Дѣйст-
вительнаго Каммергера, Дѣй-
ствительнаго Тайнаго Совѣ-
тника , Сенатора, Шляхет-
наго Кадетскаго Корпуса и
Ладокскаго Канала Главнаго
Директора и обоихъ Россійс-
кихъ Орденовъ Кавалера Его
Сіятельства Князя Бо-
риса Григорьевича Юсу-
пова о установленіи въ Шля-
хетномъ Кадетскомъ Кор-
пусѣ порядка вЪ ученіи,
учрежденіемъ вЪ семЪ Воен-
номъ
номЪ у чилище полезныхъ
Кн іГЪ кЪ скорѣйшему изуче-
нію ПаукЪ поспешесщвую-
інихЪ; тѣмЪ славнѣе и пох-
валнѣе, что тѣ книги бу-
дучи вЪ ономъ сочиняемы,
ВЪ заведенной особливымъ
Его Сіятельства стара-
ніемъ при ЩляхетномЪ Ка-
детскомъ Кори) сѣ Типогра-
фіи тисненіемъ издаются.

Началомъ сего достохваль-
наго Его Сіятелства на-
мѣренія есть сіе Краткое
Руковотдство къ Ариѳмети-
кѣ э изЪ котораго ісякой безъ
дальнаго наставленія и тру-
да
да, что до сей Науки над-
лежитъ , столько научится
можетъ, сколько учащемуся
протчимЪ до роенныхъ дѣлъ
касающимся Математичсс- '
кимЪ Наукамъ й къ вышнимъ
военнымъ чинамъ пріуготов-
ляемому дворянству необхо-
димо знать потребно.

ВпротчемЪ естьли какія
погръшности въ семъ сочи-
неніи явятся, то оныя пре-
даются на разсмотрѣніе и
испоавленіе Благосклоннаго
иитателя^

ГЛАВА I

О АРИѲМЕТИКЪ ВООбіЦЕ

й^рИѲМЕТИКА есть наука
показывающая способЪ ,
каі{Ь изЪ даНыхЪ г«ІселЪ
находить другія, коихЪ
свойство бЪ піЪхЪ данныхЬ числахЪ
содержится.

§. 2. Когда насколько вещей одного
рода вмЪстЬ сложатся, то произой-
детъ число, на примЪрЪ: ежели поло-
жишь кЪ одному ядру другое, то будетЪ
два , а сстьли положишь еще кЪ онымЪ
одно, то будетЪ три, и такЬ далое
и потому считать называется только
показать, сколько еді:нгщЪ или вещей

Д	одно: о>
одного рода бм'ѢсчіѢ находится ; ибо
всякое число состоитъ изЪ единицЪ
одного рода, а разнаго рода вещей ни
сравнить ни соединишь невозможно. На
примЪрЪ пяти рублевЪ нельзя срав-
нить , ниже сложить сЪ пятые ядрами»

§. Когда два числа между собою
сравниваются, то бываетЪ , что онБ
либо ДругЪ Другу равны или одно изЬ
нихЪ больше иди менше другаго. ВЪ
первомЪ случаѣ называются онѣ рав-
ными, во второмЪ большими, а вЪ
тпретьемЪ меншими числами.

§. 4. Число увеличивается , когда кЪ
оному другія числа присовокупляются.
Сіе присовокупленіе производится дво-
якпмЪ образомЪ; ибо иногда большія
и малыя числа вм'ѣстѣ складываются,
а иногда одно число вЪ нѣсколько разЪ
берется, отЪ чего и происходятъ два
Ариѳметическія Дѣйствія Сложеніе
и умноженіе.
_______________________________з.

5.	НапрошлвЬ того число умснг
тіеп.ся когда либо отЪ онаго одно или
многія меншія числа отнимаются, или
одно число изЪ онаго сколько возмо-
жно разЪ вычитается , отЪ чего проис-
ходятъ равномѣрно два Ариѳметичес-
кія Дѣйствія Вычитаніе и Дѣленіе.

б.	Всякое число, какЪ бы оно ве-
лико ни было , изъявляется цыфрами ,
то есть вымышленными знаками кЬ
пок гзакію сколько единицѣ вмѣстѣ на-
ходится , кЪ чему между протчими на-
испособкѣшиіе суть : о , і , 2 , 3 , 4,
5 , б, 7, 8 , 9 , кои называются о ,
ноль или ничего, і одинЪ, 2 два,
3 три , 4 четыре , 5 пять , 5
шесть, 7 семь, 8 восемь,рдевять.

7.	ВЪ семѣ изображеніи чИселЬ
вышсобьявленными десятью знаками ,
когда одинЪ знакѣ самЪ собою безЪ при-
совокупленія кѣ нему другаго постав-
лено , значитЪ Единицы, и именует-
ся собг пвсннымЪ своимЪ названіемъ,

А 2	на
на примѢрЪ 9 девятью; когда же присо-
вокупится кЪ нему другой кЪ лѣвой ру-
кѣ вЪ разсужденіи онаго , то оной пока-
зываетъ по своему знаменованію толи-
кое число деслтковЪ, какЪ ю Десять
22 Дватцать два> третей столько со-
тенЪ,какЬ 200 Двѣсти, 125 Сто дваш-
Цашь пять ; четвертой столько тысечь,
какЪ ЮОО Тысеча, 1255 Тысеча двѣ-
сти тритцать пять; пятой столько
десятковЪ тысечь, какЪ 2оосо Дватцать
тысечь , 13428 Тринатцаіпь тысечЬ че-
тыреста двапіпать восемь ; шестой
столько сотенЪ тысячъ, какѣ 400000
Четыреста тысечЬ, 567836 Пять сотЪ
шестьдесятъ семь тысячъ восемЪ сотЪ
тритцать шесть; седмой столько ми-
ліоновЪ, какѣ 3000000 Три миліона,
5764328 Пять миліоновЪ семь сотЪ
шесгпъ іесятЪ четыре іпысечи триста
дватцать восемь.

главки •
ГЛАВА И.

О НУМЕРАЦІИ или СЧИСЛЕНІИ.

8.	НуМЕрАЦІЯ показываетъ сред-
ство кЪ произношенію словами числа
цыфрами заданнаго и кЪ порядочному
и скорому написанію числа словами ска-
заннаго.

р. ИзЪ вышеписаннаго.§. 7. видно,
что знаменованіе седмаго знака подобно
знаменованію перваго , только сЪ ггіВмЪ
различіемъ , что кЪ седмому приклады-
вается слово МиліонЪ ; такимЪ же обра-
ЗомЪ знаменованіе осмаго знака подо-
бно второму, девятаго третьему, де-
сятаго четвертому, одиннатцатаго
пятому, двенатцатаго шестому сЪ при-
ложеніемъ того же слова МиліонЪ. Зна-
менованіе тринатцатаго знака подобно
паки. второму , четырнатцатаго треть-
ему и шакЪ дал'іл , какЪ о миліонахЪ объ-

А 3	явлено
б	а&ш__________

явлено, только сЪ названіемъ билдона
или Двойнаго миліона даже до девятнат-
цатаго знака , которой изьявляетЪ
Триліоны или Тройноіе миліоны. Пос-
лѣдующіе за онымЪ происходятъ вы-
теписаннымЪ же образомЪ сЪ приложе-
- нісмЪ слова ТриліонЪ , даже до дват-
цать пятаго , которой знакЪ именуете
ся КвадриліонЪ или Четверной милі-
онЪ и гпакЪ далѣе до Пятернаго, Ше-
стернаго , Сотеннаго или Тысечнаго
миліона , прилагая сіи названія всегда по
порядъ у чрезЪ пять знаковЪ , между оны-
ми стоящихъ, коихЪ знаменованіе изЪ
вышерѢченнаго познавается.

ю. Хотя при выговариваніи зна-
ковЪ считаютЪ ойыя отЪ правой руки
кЪ лѣвой , однако складывая вмѣстѣ
знаменованіе мноіпхЪ по ряду постав-
ленныхъ знаковЪ, выговариваются оныя
отЪ лѣвой руки кЪ правой, какЪ 3705286,
кои для мзрѢченія оныхЪ считаются
сЪ начала отЪ правой руки кЪ' лѣвой
такимЪ образомЪ : Е д *г нЪ> „Д с с я т ь ,

Сто


Сіло , Тысеча, Десять шысечь,
Сто ілысечь , МиліонЪ. ИзЪ чего
слѢдуетЪ по §. 7. что 6 , значишЪ шесть
единицЪ, 8, восемЪ десяткозЪ, а по свой-
ству языка госсмдесятЪ, 2 , двѣсти , ,
пять тысячъ , о , ничего десяти іпысячь ,
7 , семЪ сотЪ тысячъ , а у , три милі-
она ; по сложеніи же знаменованія всѢхЪ
чиселЪ вмѣстѣ выговаривается, Три
Миліона, СемЪ соп/Ь пять піы-
сечь, Двѣсти восемдесятЪ шесть.

§. 11. При вышеписанномЪ способѣ
какЬ выгов. рѵвать числа отЪ лѣвой
рѵки кЪ правой, для облегченія памяти
и отвращенія погрѣшностей при вы-
говариваніи всего количества, многими
знаками изображеннаго , поставляютъ
у сотенныхЪ знаковЪ внизѵ , у іпысе-
•п іыхЪ вверху точки , надЪ миліономЪ
литеру М , НадЪ биліон^мЪ 6, кадЪ
трил іономЪ Т , и такЪ далѣе; а тѢ
Цыфры 4 надЬ которыми не находится
оныхЬ признаковъ , разумѣются деся-

•	тки
іпки , кромѣ перваго цыфра ошЬ правой
руки единицы значащаго, на примѣрЪ :

т . б . м

3 7о12049 8 7604 3210843

>  • • • •

Что выговаривается-. Тригацатьсемь
триліоновЪ, Двендшцать тысечь
сорокЪ девять биліоновЪ , Во-
семь сотЪ семдесятЪ шесть
тысечь сорокЪ три Миліона ,
ДвЪсти десять тысечь восемЪ
сотЪ со р о кЪ ш р и; но вразсужденіи се-
го способа есть еще легчайшей, вЬ кото •
ромЪ , для произношенія написаннаго
числа , надлежитъ только знать какЪ
тѢ числа выговариваются, кои состо-
ятъ изЪ іпрехЪ зклковЪ, то есть со-
тенЪ, десятковЪ и единицѣ. с/е дБ-
лается пьікимЪ образомЪ •• надЛежитЪ
раздѣлить все данное число, начиная
отЪ правой руки вЪ члены, изЪ когпо-
рыхЪ бы каждой состоялЪ изЪ іирехЪ
ЭнаковЪ, и отдѣлишь чертою. Всякой

« ѵзЪ


9

изЪ оныхЬ членовЪ выговаривается
піакЪ, будто бы онЪ стоялЪ особливо,
прикладывая токмо ко второму члену
отЪ правой руки слово Тысяча , кЪ
третьему МиліонЪ , кЬ четвертому
Тысяча, кЬ пятому биліонЪ, кЪ ше-
стому Тысяча, кЪ седмому ТриліонЪ и
піакЪ далѣе, подписывая оныя слова вЪ
надлежащихъ мЪсшахЪ подЪ чертами, ка-
ждой членЪ оканчивающими; когда же
вЪ послѣднемъ числѣ случится только
одинЪ ЗнакЪ или два, то оныя выго-
вариваются , будто бы онѣ однѣ стоя-
ли сЪ приложеніемъ надлежащаго сло-
ва , какЪ :

37 | оі2 | О491 87б (0431 210 | М-

Вмѣсто словЪ также можно употре-
бить признаки : для изображенія тысячъ
внизу і , миліоновЬ вЪ верху • биліо-

НовЪ’ * шридіоновЪ • * • квадралХоневЪ -

6	и шакЪ


и такЪ далѣе. Оные признаки поста -
вляются слѣдующимъ ббразомЪ :

37 Оі2 649 876 043 2іо З43.
і	•	»	.

-7

ПоспмЪ правпЛамЪ выговаривается озна-
ченное число шакЬ какЪ выше написана

ГЛАВА ПЬ

О ДѢЙСТВІЯХЪ ВООбІЦІ

12.’

У^рИѲМЕТИЧЕСКІЯ ДѢЙСТВІЯ сут.

роды счисленія, отЪ свойства чи*»
селЪ зависящія , и средства, безЪ кото-
рыхв и вЪ самыхЬ труднѣйшихъ зада-
чахъ обойтчшься невозможно. СныхЪ счи-
тается четыре, первое Аддиціо илв.
Сложеніе, второе Субтракціо или
Вычитаніе, третіе МулпаіплиКл-
іціо или у множеніе и четвертое
Диеизіо или Дѣленіе/


41

§• 13 • УМНОЖЕНІЕ есть то же, что
и сложеніе, потому что когда умно-
жится 5 мя*4 , то выдетЪ столько же
сколько и вЪ сложеніи по взятіи 4 три
раза. равнымЪ образомЪ можно назвать
и дѣленіе вычиіпаніемЪ, заігіѣмЪ что
оное показываетъ сколько разЪ число
4 изЪ 12 вычтено быть можетЪ. ВЪ раз-
сужденіи чего нѣкоторые пргсмлютЪ
только два Ариѳметическія дѣйствія,
а именно: Сложеніе и Вычитаніе,
но отЪ сего можетЪ произойти изли-
шнѣе затрудненіе.

§. 14. ВсЪ вышеписанныя четыре
дѣйствія случаются какЪ вЪ цѢлыхЪ
и ломаньіхЪ, такЪ вЪ именованнымъ и
Неименованныхъ числахЪ, также и вЪ
децимали или десяп-ичныхЪ дробяхЪ,

§. 15. СЛОЖИТЬ называется изо-
брѣсть число разнымЪ числамЪ одного
рода равное. Данныя числа именуются
Слагаемыя, а сысканное Суммою
ИЛИ Сложнымъ ЧИСЛОМЪ,

бг	і<5
іб. Сложеніе неименованныхЬ чи“
селЬ или цыфроіЪ, бсзЪ показанія цѢнЪ>
вѢсовЬ или мЪрЪ называется обыкновенно
Сложеніемъ простымъ, а именован-
ныхъ чиселЪ или цыфровЪ сЪ приложені-
емъ названія величинѣ , оными изъявля-
емыхъ , Сложеніемъ именованныхъ
чиселЪ.

§. 17. Каждое число состоитъ изЪ
многихЪ единицЪ, и потому сложеніе
производится , когда кЪ одному данному
числу единицы другаго прилагаются.

18.	ВЫЧИТАТЬ значитЪ найщить
число, которое бы сЪ ;аннымЪ меншимЪ
числомЪ было равно данному большему
числу. ВычитаніемЪ изобрѣтенное чис-
ло называется Диференціею или раз-
ностію данныхЪ чиселЪ.

19.	Вычитаніе дѣлается такЪ какЪ
и сложеніе сЪ неименованными и имено-
ванными числами, и потому называетъ,
ся простымЪ и именованнымъ. ,

$. 20.


’З

§. 20. Вычитаніе производитпя, когда
отЪ одного даннаго числа единицы дру-
гаго отнимутся.

2і.умножить показываетЪ сыс-
кать число , вЪ которомЪ бы одно изЪ
данныхЪ чиселЬ столько разЪ содержа-
лось , сколько другое данное число вЪ
сео'Б единицЪ со держи шЪ . И тгкЬ умно-
женіе есть только то , чгпо одно дан-
ное число взять во столько разЪ, или
онсе столько разЪ сложишь сколько вЪ
другомЪ данномЪ числЪ единицЪ нахо-
дится. Сысканное умноженіемъ число
называется ПродуктомЪ или Про-
изведеніе мЪ. Одно изЪ данныхЪ чиселЬ
Множимымъ, а другое Множите-
лемЪ. 1 множеніе употребляется вЪ
простыхЪ и именованныхъ числахЪ.

§. 22. Дѣлишь называется изо-
брѣсть посредствомъ двухЪ данныхЪ чи-
селЪ третье , котораго бы едини-
цы показывали сколько разЪ одно изЪ
данныхЪ чиселЪ вЪ другомЪ содержится,
63	и потому


*4

и потому дѣленіе показываетъ токмо
скрлъко разЪ одно число изЪ другаго
вычтено Сыішь моженЯз. большее изЪ
даннызЪ чиселЪ на зывается ДЪ л и м о е ,
неншее Дслителг , а сысканное Кво-;
ціентЪ или Частное число , что
разумѣется какѣ о дѣленіи просн
томѣ, такѣ и о именованномЪ-

ГЛАВА IV,
/

О СЛОЖЕНІИ,

$. 23, Что есть сложеніе, ошомЪ

>Ъ §. 15. изЪяснено, и для того сооб-
щаются здѣсь только правила при
Сложеніи употребляемыя,

§. 24, При Сложеніи данныхЪ чиселЪ
до ажно всегда становить единицы подЪ
единицы , десятки подЪ десятки , сотни
подЪ сотни , и піагЪ далѣе ; а какія зна-
ки называются единицами , десятками ,
сотнями и протчее , о томЪ вЬ § 7, обЪ-
явлено. На примѣрЪ ; одинЪ далЪ і им-
це ріалѣ
ІІ
х- ।	—---------------------

періалЪ , другой 2 , третей іо, четвер-
той 30, а пятой юо, которыя числа
становятся слѣдующимъ порядкомЪ:
і	единицы * ........................I

	. і .........	2.

2	десятки	іо

• .................................3°

5	ссгпнл............... іоо

$. 2^. Естьли	два	или	многія числа

скла дываюіпся , то должно інаѵгь твер-
до сколько будешЪ суммы, когда ко
ъсяхому изЪ девяти просшыкЪ чиселЪ
другое изЪ оныхЪ же приложится, что
долая задачи и считая сперва по палЪ*
цамЪ легко затвердить можно.

$. 26. При сложеніи двухЪ зілп мно»
гйхЪ чиселЪ должно всегда складывать
с, іиницы сЪ единицами , десятки еЪ де-
сятками у сотни сЪ сотнями и пгакЬі
 іалес.

§• 27. Когда неименованныя или
простыя чі сла складываются , на при
’рЬ : 4152,80400, 142, иі5зоі,то

іюсша*
поставляются они вытеписаннымЪ вЪ

24. порядкомЬ и протянувЪ, по на-
писаніи вс ЗхЪ, внизу черту считается
всилу §. 26. каждой родЪ чиселЬ осо-
’ бливо > аименно :

4152

80400

142
І«ПОІ
99995

Прежде складываются единицы іпакимЪ
образомЪ і и 2 дЬлаютЪ 3,0 значитЪ
ничего, и такЪ 3 и 2 дЪлаютЪ 5 , ко-
торыя и поставляются по предписанному
примЪру подЪ чертою противЪ рода сди-
ницЪ ; потомЪ такимЪ же порядкомЪ
складывается родЪ десятковЪ , сотенЬ *
тысячъ и прочаго, й сумма каждаго пос-
тавляется подЪ чертою противЪ своего
рода, по чему число подЪ чертою и
будетЪ желаемая всЪхЪ данныхЪ чиселЪ
•сумма.




§. 28. Ежели при сложеніи единицЪ
ВЫдутЪ десяіпки , то у вышедшаго числа
цыфрЪ по правую руку стоящей , или
единицы, поставляется водЬчертоюпро-
тивЪ рода единицЪ, а осшавшсй кЪ лЪвой
рукѣ, десятки знаменующей , прикла-
дывается кЪ роду десятковЪ, когда же
при сложеніи десятковЪ выдутЪ сотни 9
то оныя прикладываются кЪ роду со-
тенЪ , а десятки поставляются противЪ
рода десятковЪ , и такЪ далсе , что яв-
сшвуетЪ изЪ слѣдующаго примЪра.

73
45

428

. 6?4
1272

Сумма всѣхЪ оныхЪ чиселЪ произве-
дена гпакимЪ образомЪ 4 и 8 дЪлаетЪ 12.
По приложеніи 2 кЪ 12 будешЪ 14 ,
5 кЪ І4> >9, кЬ 19 ти 3 хЪ 22 , изЪ

	В	кото-

I ГОС. НАУЧНАЯ I


__________г-  г - - -*»**
которыхЬ пергой знакЬ огпЪ правой руки
2 , единицы знамснующ й , поставляется
пр„Ь единицами , а 2 десятка прилага-
ются кЪ роду десятковЪ , то есть :
оныя 2 сЪ МЯ дВлаюггіЬ 5 , сЪ кото-
рыми сложа 2 будеіпЬ 7 , сЪ 7 ю 9,16,
сЪ іб ю 4, 20 , а сЪ 20 ю 7, 27 , изЪ кошо-
рыхЪ стоящіе сЪ правой руки 7 десятки
знаменующіе , потому что оіф произо-
шли ошЪ десятковЪ, поставляются про-
гпивЪ рода десятковЪ, а 2 сотни изъяв-
ляющіе, или 20 десятковЪ прилагаются
кЪ роду сотенЪ , сЪ которыми 2 мя
сотнями вЪ родЪ сотенЪ 4 и 6 находя-
щіеся , здЬлаютЪ 12 сотенЪ, коіпорыс
12 и поставляются 2 противЪ рода Со-
тенЪ , а 1, іо сотенЪ или тысячу зна-
менующей , четвертымъ ЗнакомЪ отЪ
правой руки , которой по §. 7 значитЪ
тысячи, что и есть притчиною, что
числа складываются , вычитаются и
умножаются всегда , начиная сЪ перваго
гнака сЪ правой руки.

при


ПРИМѢЧАНІЕ.

Для повѣренія, чіпоизобрБшснная сум-
ма равна ли даннымЪ чпсламЪ надле-
житъ ошчесть изЪ оной сколько разѣ
возможно по р и сколько оныхЪ 9 вы-
пущено » считая ВсЕ цыфры единицами ,
ш.ікже іі ЗизданныхЪ- чиселЪ ошчесть
сколы о разЪ возможно по 9 , и когда
вЪ данньоЪ числахЪ будешЪ столько же
9 , а пришомЪ и осшашокЬ отЪ огчо-
чтенц^іхЪ 9 вЪ обѢихЪ равенЪ і то и
сумма равна ДаннымЪ числамЪ , потом^
что когда одинакое число отнимется
огпЪ двухЪ рабныхЪ , то и остатки ихЪ
будушЪ равны , а сколько 9 выпущено
вЪ суммѣ оное легко узнать можно,
ибо вЪ суммѣ пишется обыкновенно
только то,чемЪ преуосходяшЪ слагаемыя
числа 9 , на примѣрЪ : по сложеніи 8 и 4
произойдетъ 12 а і и 2 взявЪ за еди-
ницы дѢлаютЪ , чемЪ и превосхо-
дятЪ двенаыцаіпь девять; по приложеніи
же кЬ 12. 2, 5 и $ б^дегаЪ 22, а

В 2	2
іо_____________________________

2 с'Ъ 2 мя дѣлаютЪ 4 , то есть : чи-
сло , кошорымЪ слагаемыя числа пре-
восходятъ два раза 9 иди 18 , изЪ чего
слѢдуешЪ, что при сложеніи чиселЪ вЪ
каждомЪ ряду ОхТімещеіпся столько 9,
какой цыфрЪ кЪ другому ряду прила-
гается , какЪ 3/ѣсь ошЪ 22 отЪ ро-
да единицЪ произшедтихЪ прилагается
кЪ роду десятковЪ 2 слѣдовательно тЪ
суммЪ у почитая оныя числа единицами,
откинуто два раза 9, По сложеніи сЪ
оными 2 мя з, 2, 9, 4 и 7, з^ѢлаетЪ
27, изЬ которыхЪ прилагаются кЪ со-
іпнЯмЪ 2, почему и изЪ сей с у ммы вы-
пушено два раза 9. СЪ оными 2 сложа
4 и 6 будетъ 12, вЪ коглорыхЪ отки-
нуто еще р , и такЪ всего 5 разЪ р ,
да вЪ изобрѣтенной суммѣ 2 и 7 дѢла-
юшЪ 9, а сверхЪ івого осталось 2 и і,
что здѢлаегпЪ 5, потомЪ считая слага-
емыя числа вЪ 7 и $ содержатся
первыя 9, вЪ остаткамъ і , вЪ 4 и $
вторыя р, вЪ 9 самихЪ собою третьи
р , вЪ 2 сЪ остальнымъ отЪ 3 хЪ I
сЪ 4 и 2 четвертыя 9 , вЪ 6 и 3 пя-
тыя 9 , вЪ 8 и 4 шестыя 9 , сверхЪ
которыхЪ осталось 3 , что и поста-
вляется здЬлавЪ крсстЪ слЬдуІ°ЩИ]чЛ>
образомЪ :

вЪ суммѣ

” Остатокъ

Или поьЪряешся такЪ « отдЪля
по соизволЪнію строку изЪ данныхЪ
чиселЪ протчія сложить особливо ,
а к'Ь суммЪ оныхЪ приложить огпдБ-
ленною строку , и когда произой
В 3	детЪ


ЛешЬ іпаж^ сумма , какая и при сло-
женіи всѣхЪ данныхЪ чиселЪ, шо здЪла-
но вѣрно, потому что сложено число
сЪ суммою всѣмЪ протчимЪ числамЪ
равною, и такЪ одинакое число сЪ двумя
равными. На прим' рЪ по отдѣленіи ни--
жней строки 634.

73	73

45	45

У 2	У 2

428	428

<?34	^38

1272	634

•4272г

§. 29. Когда будушЪ заданы имено-
ванныя числа , то оныя по ихЪ { одамЪ
становятся подЪ одинакое именованіе,
какѣ сажени подЪ Сажени , футы подЪ
футы , аршины подЬ аршины , вершки
подЪ вершки, пуды подЪ пуды, лоты
подЪ лоты, рѵбли по^Ъ рубли , коі іѢйки
родЪ копѣйки и протчая, а потомЪ каж-

дое-


ое изЪ оныхЪ складываемся особливо
КакЪ на примгрЪ і

9675 ?. пудЪ 5. фун. 5.	лотп. і	золош.

65058.	.	. Ю.	. .	11.	.	.	і	.	.	-

5054°-	•	• 2О-	• •	14-	•	•	О	.	.	.

42215-	.	оо.	..	і.	.	о	.	.	.

^533^'ПУ* ?5* Фун‘3 1‘лот • золошнкл

ПРИМѢЧАНІЕ.

Естьли сумма сложенныхъ чиселЪ мен- "
ніа. о рода, напримѢрЪ фуніповЪ пре-
ЕЗойдешЬ содержаніе оныхЪ вЪ единицѣ
большаго рода , какЪ пуда , шо оныя при-
водятся дѣленіемъ вЪ оной' большой
родЬ, о чемЪ при дѣленіи вЪ §. 49. по-
казано будсшЪ.

50. Для показанія раздѣленія упо-
требляемыхъ мѢрЪ , вѢсоеЪ , денегЪ и
времени, прилагается здѣсь слѣдующая
таб. шца:

Мѣры
Д4-
м'Ьры

Д5 всрсшБ	500. саженЪ.

................1500. аршинЪ.

. . . • . . . . 3500. фугповЬ.

ВЪ саженБ ....	3	аршина.

.....................7	футовЪ.

ВЪ аршинЪ .... 4 четверти.
	16	вершковЪ.
......................28.дюймовЪ.

ВЪ футѣ . .. .. . 12 дюймовЪ.

ВЪ четверти ... 4 вершка.
в'Всы

ВЪ пудЪ .	. .	40	фунтовЪ.
•	• Л •	• '	•	. . 1280	лоіповЪ.
• • . • • *	. . 3840	золотниковЪ
ВЪ фунтБ .	. .	32	лота.
	. .	96	золошниковЪ
ВЪ лотѣ	3	золотника
	ДЕНЬГИ	
•ВЪ Импсріа	лЪ. . • 2.	полуимперіала.
• • • • •	.	. ІО.	рублевЪ.
а •	•	«	•	.	. ІОО.	гривенЪ.
• • « « •	.	1000.	копЪекЬ.

ЙЭ


ВЪ полуимперіалѣ. . 5 рублевЪ.

..............•	.. 50 гривенЪ.

,.................5	СО копѢскЪ.

ВЪ червонцѣ.	.	.	. 2. рубли.

......................20.............гривенЪ.
.......................	200 КопѢскЪ.

ВЪ рублѣ.	...	2	полтины.

....................4	четверти.
......................Ю.............гривенЪ.
........................ конѣекЪ.

ЕЙ? полтинѣ

ВЪ чстверт
ВЪ гривнѣ.
ВЪ копѣйкѣ

ВЪ деньгѣ

.	2	четверти.

-	5	гривенЪ.

•	5'0 кбпѣекЪ.

•	25 копѢскЪ.

•	і о когіѣекЪ.

2 деньги.

4 полушки.

•	2 полушки.

ВРЕМЯ

ВЪ простомъ году 365 дней.
................... ЛіѢсяЦОвЪ.
..................... недѣли и і день.

В Ь недѣлѣ ... 7 дней.

Г

ВЪ


ЁЪ дни	или	суткахЬ	24	часа.

ВЪ часЪ	бо	минупіЪ.

ВЪ минушЪ	6о	секундовЪ

ГЛАВА V.

О

ВЫЧИТАНІИ

§. 51. При ВЫЧИТАНІИ употре-
бляются почти піБ же самыя правила ,
какія и при сложеніи , только сЪ нГБмЪ
различіемъ, что вмѣсто складыванія
чиселЪ одно изЪ другаго вычитается ;
напримЁрЪ: занято у одною у рублевЪ.
ау другаго 5, что по сложеніи здѢлаетЪ
14 рублевЪ,- по возвращеніи же 5 руб-
левЪ останется долгу 9 рублевЪ.

ПРИМѢЧАНІЕ

При вычитаніи одного числа изЪ
другаго отнимаются единицы отЪ еди-
ницЪ , десятки огпЪ десятковЪ , сотни
отЪ сотенЪ и такЪ далее.

?2. И такЪ при вычитаніи на-
длежитъ твердо знать , сколь велика
раз
рлзносгпь , когда ошЪ всякаго изЪ де-
вяти простыхъ чиселЪ другое изЪ оныхЪ
же отнимется, что каж дом у учащемусЯ
весма не трудно, когда уже онЪ при
сложеніи затвердитЪ познаніе суммъ!
двухЪ изЪ оныхЪ чиселЪ.

Числа при Вычитаніи постав-
ляются тлкЪ какЪ и пои с ложевій то

X

есть : единицы подЪ единицы , десятки
подЪ десятки и такЪ далее , примѣчая
только, что большее число не можетЪ
быть вычтено изЪ меншаго,идля того
меншее поставляется внизу и вычи-
тается , начиная сЪ правой руки ; на-
примѣрЬ •. ошЪ вымышленія печатаній
книгЪ считается до нынѣшняго 175В
года р”» лЪгпЪ , вЪ которомЪ же год^
отЪ рождества Христова оное изобрѣ-
тено ? Сіе пооизводится слѣдующимъ
образомЪ:

поставь надерсдЪ большее число, 17 5 Я
а погаомЪ меншее..............3 * 8

♦ • • ......................*44<Э

и вычитай 8 изЪ 8 останется ничего’

Г г	то
то есть О , которой поставь подЪ чер-
тою противЪ перваго рода; і изЪ 5
останется 4, которой цыфрЪ поставь
противЪ втораго рода и такЪ далсе.

^4- Есть,ли нѣкоторые цыфры ,
кромѣ послѣдняго кЪ лЪвой рукѣ , бу-
дутЪ вЪ верхней строкѣ менше нахо-
дящихся вЪ нижней, то кЪ роду
единицѣ отнимается одинЪ дссятокЪ
отЪ роду десятковЪ, кЪ роду десяш-
ковЪ одна сотня огпЪ роду сотенЪ
и такЪ далес , изЪ чего слѣдуетЪ, что
вЪ таковыхЪ случаяхъ изЪ тѢхЪ ро-
довЪ убываетЪ по одному десятку или
сотнѣ и проіпчее, на примѢрЪ: при раз-
Зорені'и города Трои побито вЪ Гречес-
кой арміи 880000 , а вЪ Троянской
686000 человѣкѣ, коликимЪ же числомЪ
превосходилЪ Греческой уронЪ Троян-
ской ? Оныя числа поставляются по §. 3 3.
піакЬ.

880000

<>86000

8.Р4.0ОО

пошомЬ
посломъ производится вычитаніе ша-
кимЪ образомЪ: О изЪ о перваго рода
останется О, о изЪ о втораго рода
останется О, о изЪ О третьяго рода
останется О, а 6 изЪ о четвертаго
рода , которой значитЪ по §. 7. шы-
сечи , вычесть немол.но , потому что
6 болѣе о, и для того надлежитЪ от-
нять отЪ пятаго рода знаменующаго
десятки тысечь одинЪ и поставишь для
памяти, что одинЪ отЪ онаго взятЪ
и приложенЪ кЪ О , надЬ 8 ю точку ,
вычитая потомЪ 6 изЪ і о, отЪ чего
вЪ осгпаіпкахЪ будетЪ 4, а понеже 8
пятаго родаизЪ оставшихся 7 равномѣ-
рно вычесть невозможно, того ради при-
лагается кЪ онымЪ 7 отЪ шестаго
рода , сотни тысечь знаменующаго ,
і , сЪ которымЪ здѣлаетЪ іЪ пятомЪ
родѣ верхней строки 17 , и изЪ оныхЪ
взявЪ 8 цижней строки, останется
9 , а по вычетѣ изЪ остальныхЪ 7
вЪ верхней, строкѣ шестаго рода 6,
Находящихся вЪ нижйей строкѣ, оста-

Г з	нстсх


нется і. Сіи изобрѣтенные цыфры
подЪ чертою поставленные показыва-
ютъ искомое число.

ПРИМѢЧАНІЕ

Вычитаніе повѣряется сложеніемъ изо-
брѣтенной разности сЪ меншимЪ изЪ
данныхЪ чиселЪ то есть: чтобЪ сумма
оныэЪ была равна данному большому
числу. какЪ:

194000

686000

880000

55. При Вычитаніи именованныхъ
чиселЪ, когда числа вЪ нижней стро-
кѣ каждаго рода менше находящихся вЪ
верхней строкѣ, то надлежигпЪ посту-

поставя всѢ оныя роды по 29. каж-

даго званія другѣ подЪ другомЪ, а ко-
гда нѣкоторыя именованныя числа ,
кромѣ послѣдняго кЪ лѣвой рукѣ,
вЪ нижней строкѣ больше находящихся
вЪ верхней, то оныя поставляются

по
по вышеписанному же, но при выіиша-
ніи большаго числа нижней строки
изЪ меншаго верхней строки, должно
прикладывать отЪ стоящаго подлѣ
онаго кЪ лѣвой рукѣ числа, толикое чи-.
сло, ео сколько такихЪ частей еди-
ница онаго по таблицБ при §. 30. раз-
дѣляется , на примѣрЪ : вЪ первомЪ
случаѣ по возвращеніи изЪ заняшыхЪ
120 рублевЪ, $С коиѢскЪ и 2 полушекЪ;
50 рублевЪ , 25 копѢекЪ і полушки ,
сколько еще денегЪ на должникѣ оста-
нется?

120 рублевЪ 30 копѢекЪ 2 полушки,
5° . . 25 • . і . .

ост. 70 рублевЪ 5 копѣекЬ і полушка
КакимЪ образомЪ сіе здБлдно, оное
извѣстно изЪ §. 54. во второмЪ же
случаѣ, когда задано 6/дешЪ вычесть,
ИЗЪ 965 3 пу. 12 фун. 24 ЛОШ.И 2 3ОЛОПТ.

1891 пу. 23 фун. 30 лот.и і зологп.

7761 пу. 28 фун. 26 лош. і золот-

то
шб надлежитъ поступать піакЪ •. і
золопіникЪ изо 2 останется і , 30 ло- '
товЪ больше 24, и потому ихЪ вычесть
неможно , чего ради должно взять
одинЪ фунтЪ отЪ заданныхъ 12 , и
поставить Д-оі памяти точку надЪ
фунтами, а потомЪ приложить кЬ 24
лотамЪ 52, заіпЪмЪ что вЪ фунтЪ
толикое число лошовЪ содержится, и
іпакЪ по 27. будетЪ 4)6 лотовЪ, изЪ
котсрыхЪ вычтя 50 останется 26,
далее фуніповЪ также нельзя вы-
честь изЪ осіпавшихЪ по отнячііи і
фунта 11, кЪ к.оторымЪ для той при-
гпчины должно приложить 40 фунтовЪ
или одинЪ пудЪ, отнятой отЪ данныхЪ
пудовЪ и поставить надЪ пудами для
памяти точку, что здолаегаЪ по сло-
женіи 5 і фунтЪ , изЪ которыхЪ вычтя

фунта, останется 28, а потомЪ
вычитаются пуды по '^4. помня
только, что отЪ перваго цыфра сЪ
привой руки 5 отнятЪ і пудЪ.

ГЛА-
гсеФТ	зз

ГЛАВА VI.

О

УМНОЖЕНІИ

6. ВЪ §. 2і. изЪяснено , что
при умноженіи числа , оное во столь-
ко разЬ берется, сколько друі ос вЬ
сей> едкницЪ содержитъ , то есн ь :
что оно столько разЬ складывается ,
и потому умноженіе даннаго числа
Можно здВлагпь и сложеніемъна при-
мБрЪ умножить 4 жды 6, что здѣ-
лаетЪ, когда 6 сложатся четыре ра-
за а именно: 6 сЪ 6 ю 12 , сЪ 12
ю 6 і8, а сЪ 18 ю 6, 24 ; однако
умноженіемъ отвращается Затрудне-
ніе не только вЪ большихЪ заданіяхЪ
отЪ сложенія даннаго числа вЪ на-
сколько тысечь разЪ происходящее ,
но и вЪ малыхЪ числахЪ , такЪ что.
вмЪсто того , чіпобЪ складывать выше-
упомянутое число 6'четыре раза, го-
ворится только 4 жды б, 24*
5.7. При умноженіи необходимо
должно знагпь произведеніе , происхо-
дящее отЪ умноженія девеши прос-
тыхъ цыфровЪ другЪ другомЪ , чего
ради и приобщаешся здБсь о іпомЪ та-
блица.

1	ЖДЫ	I.	будетЪ	I
і	• •	2	• • « •	2
1	• •	3	• • • •	3
I	• 	4	\	4
I	• •	5		5
I	• •	6	• • • •	6
1	 •	7	• • • •	7
1	• •	8	• • • •	8
I	• •	9	• • • •	9
2	жды	2.	будетЪ	4
2	• *|	3	• • • •	6
2	• •	4	• •  •	8
	 •	5	• • • •	ІО
2	• •	6	• • • •	12
2	• *	7	• • '• •	!4
2	• •	8		іб
2	• •	9	 « • «	18

$ жды 3 будетЪ 9
3	.	.	4	.	.	.	іг

3	•	,	5	•	.	•	Ц

3	.	.	6	.	.	,	18

3	•	•	7	•	•	•	21

3	.	•	8	.	.	.	24

3	•	•	9	•	•	•	Д-7

4 жды 4 будеіпЪ іб
4 . - $	20

4	.	.	6	-.	.	.	24

4	•	•	7	•	•	-	28

4	.	.	8	.	.	.	52

4	'•	•	9	•	•	•	З6

5	ю $ будстЪ 2$
;о

5 . . 7 • • • 34


6 • -9 • •

54

9 ю 9 буде.пф 81

ПркМЪч АНІЕ

КакимЪ бы цыфромЪ изЪ 9 про-
стыхъ о умноженЪ ни бьглЬ, будетЪ
о, затЪмЪ что ничего во сколько разЪ
ни еозми всегда будетЪ ничего.

?8. Когда умножается строка
ДанныхЪ цыфррвЪ однимЪ изЪ 9 про-
стыхъ , то единицы , десятки , сотни
и гпакЪ далее умножаются одинакимЪ
образомЪ , на примЪрЪ 7 ю 9 будетЪ
63 , 7 ю 9 десятковЪ 63 десятка или
6<о, 7 ю 9 сотенЪ 62 сотни или
6500.
1
ЖФ8

§• Ы. Есіпли умножается строка
цыфровЪ десятками и единицами , то
до>илно умножать данное число пре-
я де единицами , начиная сЪ пе^ Ваго цы-
4 ра сЪ правой р\ ки , а потомЪ десят-
ками и постановить происшедшія чи-
сла одно подЪ друі ое слѣдуісдцимЪ об-
р зомЬ : на примЪ рЪ должно умножишь
12, ІО 212.

вЪ верху болшее число............212

потомЪ меншее проюивЪ <воихЬ родовЪ ... 12

4 2 4-
2120
произведеніе 2544Г"

Сіе дБлается пост вя данныя чи*
сла по §. 24. о^но по/Ъ другое такЪ:
2, жды 2 бѵдетЪ 4, кошорсе число
отЪ единицЪ пр< изшедшее поста в-
Л ется противЪ единицЪ, 2 жды і , 2
опЪ десяткоьЪ прсизшедп я прсігивЪ
десяіг» овЪ 2 жды 2,4 отЪ сотенЪ
ироиз шедшія про ивЪ соплнЪ , а при
умнря ен;и десяп к ми п о ссщь : і жды
2/2 поставлян тся во второй сп.ро-
кЪ і рстивЪ рода десятковЪ , зашѢмЪ
что
чшо изЪ того произойдутъ десятки, I
жды і , і противЪ сотенЪ, а і жды
2 , 2 протиыэ рода тыссчь , для той
приідчины что 2 сотни знаменую-
тся умножены дес ятками или взяты
посему примЪру вЪ ю разЪ, что здБ-
лаетЪ юоо. Сіи осЪ строги шдле-
житЪ сложить и произшедшее отЪ того
число есть желаемой про^укпЪ или
произведеніе. Сіе изЪясняется особ-

ливо , когда взято дважды 212 , то
произведеніе будетЪ 4° 4 , а по взятіи
онаго же числа вЪ . ю разЪ будетЪ
2і2О. По сложеніи оныхЪ чиселЪ по
§• 24. произойдетъ сумма 2544.

ПРИМѢЧАНІЕ

РавнымЪ образомЪ должно посту-

пать, когда умножается число тремя,
четырмя , пятью и болЪс цыфрами,

наблюдая только, что когда умножи-
тся третьимЪ знаксмЪ отЪ правой
Руки , то произойдетъ третья строка,
четвертымъ четвертая и шакЪ далее,
коихЬ


коихЬ начальной знакЪ сЪ правой руки
поставляется всегда протиьо того ро-
да , какимЪ умножается, или противЪ
своего множителя.

40. Когда строка цыфровЪ ум-
ножается числомЪ, при которомЪ кЪ
правой рукЪ находятся со , то высто-
навливагстся они кЪ правой рукЪ для
той притчины, что отЪ оныхЪ вЪумно-
женіи происходятъ токмо СО ; на при-
мЪрЪ 3421 умножить 200, еЪ такомЪ
случай поставляются числа слЪдую-
щимЪ образомЪ :

3421 или 3421

2 ОО	200

6842ОО	* 6842ОО

При семЪ умноженіи умножается вер-
хняя строка только ЦыфромЪ величину
знаменующимЪ, а кЪ произведенію при-
бавляется столько нолей , сколько
оныхЪ вЪ множителЪ.

§• 41. равнымЪ образомЪ умножа
юшся и данныя числа вЪ ойВихЪ стро-
кахъ


з»

КахЪ на концѣ сѣ правой руки оо имѣю-
щія ; на примѣрЪ 57 ро умножишь 9200,
57300 «ли 573°°

92 ОО	 9200

Iі460000	1146ОСОО

5157_____~	>700

527160000	527160000

42. Когда будушЪ заданы оо вЪ
срединѣ множителя , то оными ничего
не производится и вмѣсто строки , ко-
торой бы оіпЪ оо быть надлежало, пос-
тавляется строка происходящая отЪ
послѣдующаго за омытіи цыфра вели-
чгну изъявляющаго, кЪ которой, сколько
бы оо ни было, прибавляются или ихЪ
И совсѢмЪ оставить можно, на примѢрЪ:
320401 умножить 52009.

32040!	320401

32009	32009

2883609	2883609

64080200	640802

961203	961203

,О2557І5*'^9	40255715609

при-
ЛркМѢЧАНіЕ 1

умноженіе будучи по §. 56. іпо же ,что
И сложеніе повѣряется подобно оному ,
а именно : множимое число надле;. итЪ
столько разЪ слои ишь , сколько рЪ мно-
жителѣ единицЪ содержится , и для то-
го содержащееся число 9 вЪ множимомЪ
числѣ, считая каждой цыфрЪ единицею
и сстагпочЪ сверхЪ тѢхЪ 9 доля,но ум-
но/ ишь множптелемЪ, какЪ здѣсь вЪ
5 20401 Содержится одна 9 , а вЪ оста-
ткахъ і , И потому вЬ 32.СО9 сшрокахЪ
содержится тритцать деѢ етысечи де-
вять 9, да вЪ остаткахъ оггіЬ всякой
строки по і , три іпысечи пягпдссяіпЪ
апеешь 9 вЪ остаткахъ 5 , что изо-
брѣтается такимЪ образомЪ •• вЪ самихЪ
собою 52009 выпущено по примѣчанію
При §. 28. три тысечи/вести 9,/далѣе
особливо вЪ 5200 триста дватцать 9 ,
вЪ 520 тритцать два 9 , а вЪ 52 три 9
да вЪ произведеніи , почитая каждой
цыфрЪ единицею, содержится одна 9 вЪ
^'’остапи
остаткахъ 5. ИтакЪ вЪ 32009 стро-
кахъ , изЪ которыхЪ каждая сосіпои Ь
вЪ 5 204с і , содержипся і гриппа и. ь
пять тысечь пять сопЪ шссдссяі.Ъ
пять р , вЪ осіпашкахЪ 5 , а дабы уз-
нать спюльхоли же вЪ произведеніи
содержится и выпущено 9 , п-о долж но
каждой цыфрЪ множимаго числа взять
во столько разЪ, сколько содержится
единицЪ вЪ множите лЪ , то есть каж-
дой цыфрЪ множимаго числа умножить
особливо множиінелемЪ, и счесть сколь-
ко содержится и выпущено 9 вЪ про-
изведеніи каждаго, .изЪ чего и произой^
деіпЪ по вышеписанному правилу по
умноженіи множителемЪ і , три гпы-
сечи пять соіпЪ пятдесятгіЬ шесть 9 ,
вЪ остаткахъ 5по умноженіи 4, че-
тырнатцать тыссчь двести дватцать
тесть 9 , вЪ остаткахъ 2 ; по умно-
женіи 2, семь тысечь сто тринадцать 9,
вЪ осгпашклхЪ і ; да по умноженіи
дсссіпь тыссчь шесть соіпЪ шесдесятЪ

Е	де-
девять 9 , вЪ осіпаткахЪ б ; по сложеніи
всѢхЪ 9 , сумма будсіпЪ шриіпцать
пять тыссчЪ пять сотЪ шесдесягпЪ че-
тыре 9 , а сЪ остатками , вЪ когпорыхЪ
содержится одна 9 , вЪ остаткамъ 5 ,
тритцать пять тысечь пять согпЪ іпес-
десятЪ пять 9 , вЪ остаткахъ 5 , кото-
рыя числа и поставляются здЪлавЪ
кресгпЪ такимЪ же образомЪ какЪ и вЪ
повЪркп сложенія; на примЪрЪ повЪ-
риіпь вышепредложенную Задачу.

Содержащіяся вЪ множимомъ

числѣ 9 ..... . і осшатпокЪ і

32ОРр	32СОр

32ООР	32009

Содержаніе р вЪ 32009 изЪостатка произшедтихЪ.
ВЪ самихЪ собою 3200.9 содержится 3200 . . 9
особливо вЪ . , 3200 ....	320

.	. .	.вЪ.	. .320 ,	.	. . .32

•	• •	вЪ	. .	32 .	.	. . 	3	.

_	3555

во 32009 считая единицами . . . і оста, ч

355(5оста. 5
сложить	32009

п	________ 355(5 остатокъ <

* ия“'“-	ОШШОКЪ-------Г •

X


I	4	2
32009	32009	32009
32009	128036	64018
320	І2&О	640
	128	64
3	12	6
3555	I	7ііі
і оста. 5	14.224.	2 оста, і
3556 оста. 5	2 оста. 2	7113 оста, і	
	14226 оста. 2	
3		
32009	есБ суммы р. сложить вмѣстѣ.	
і>бО27		3556 остатокЪ $
рбо		14226 ----- 2
рб		7”3	і
9		1066.9 - - - - - 6

6

10667

2 остатокЪ

юббр остатокъ 6

35^64.

і остатокЪ $

35565 остатокъ $

ВЪ множимомъ числЬ

$ остатокЪ.

Е 2

при-
44___________5_____________

ПРИМѢЧАНІЕ II.

Вышеписанной способѣ повѣрять
умноженіе подверженЪ немалымЪ шру-
дносшямЬ и сооощенЪ только для пюі о,
что по большой части иовѢряюіпЪ умно-
женіе считая по р, которая повѣрка , не-
вѣрна. Оную дѢлаюпіЬ шакЪ: огпчешши вЪ
множителѣ сколько возможно разЬ по р,
ОсшатокЪ сверхЪ тѢхЪ р поставляютъ
вЪ верху креста, потомЪ огпчетши равно-
мѣрно и вЪ произведеніи сколько возможно
разЬ по р сіпановятЪ остагпокЪ сверхЪ
піѣхЪ р, на правой сторонѣ креста, по-
гпомЪ умножаются множителемЪ или
остаткомЪ онаго сверхЪ содержащихся
вЪ нсмЪ р, осшатокЪ множимаго числа, и
когда вЪ ономЪ произведеніи считая числа
единицами произойдетъ равное, число ос-
татку произведенія, то поллгаюгпЪ, что
ЗдѢлано вѣрно: но нѢверностпь сего пра-
вила весма явна ,• и бо не только что вЪ
произведеніи числа одно вмѣсто дру-
гаго поставить, но сколько пожелаешь
р изЪ онаго убавить или кЪ оному
прибавить можно, какЪ то изЪ при-
ложеннаго примѣра видно.




5^51 9

2

10.97038
$

—					
ЗдѢлано	ю  неправильно, а на повѣрку вѣрно.	
	54.8$чР	О
2		
	_	 1—	3059858
7015803	1007002	
5	5	
	1	I—1—1
I——I	1 і 1	
2	2	
_ ІО	ІО	ІО

ВпротчемЪ повѣряется умноженіе го-
раздо легче по выученіи дѣленія , раз-
дѣла произведеніе на множитель , и ко-
гда частное число будетЪ равно мно-
жимому , то здѣлано вѣрно, потому
что вЪ умноженіи берется данное число
во столько разѣ, сколько содержится
единицЪ ѢЪ множителѣ , а дѣленіемъ
изобрѣтается сколько разЪ оной со-
держится вЪ произведеніи, а невыуча дѣ-

Е з * лснія


ленія можно повѣрять такимЪ обра-
зомЪ, взявЪ множимое число умножишь
каждымЪ числомЪ множителя особливо ,
наблюдая токмо вЪ множителѣ десят-
ки, сотни , и такЪ далее , кЪ которымЪ
при умноженіи прибавлять по и>Ъ зна-
менованію ноли какЪ: кЪ десяткамЪ
одинЪ, кЪ сотнямЪ два , кЪ тысячамЪ
три и такЪ далее  а на послѣ докЪ всѢ
произведенія сложить вмѣстѣ, и есть-
ли сумма будетЪ равна произведенію
умноженіемъ изобретенному , то здѢ-
лано вѣрно. На примѣрѣ :

84326»

4О23
252Р78
168652
__337.3 04°
3352434Р8
ПовЬрка

8 4326	84326	«4326

3	20	4000

“г>с->о-78	1686520	337304000

1686520

252578

ЗЗР2434-98

ИзЪ


47

14з'Ь сего видно что кЪ множителю г
прибавленЪ О для того, что второй
цыфрЪ отЪ правой руки кЪ лЪвой зна-
читЪ по §. 7. десятки, акЪ 4, ооо затЪмЬ
что четвертой цыфрЪ по оному же
покаЗываетЪ тысечи,

ГЛАВА VII.

О
ДѢЛЕНІИ.

,	43. ДѢЛЕНІЕ МІЭ изобрѣтает-

ся по §. 22. число , изЪявляющее ско-
лько разЪ одно изЪ данныхЪ чиселЪ
содержится вЪ другомЪ, или сколько
одно отнимается отЪ другаго , на
примѣрЪ сколько 'разЪ содержится чи-
сло 4 вЪ 16 ? при которомЪ случаѣ
вычитая 4 изЪ 16 до тѣхЪ порЪ по-
ка ничего не останется за вычетомЪ,
произойдетъ 4 раза ,. а именно •. Пер-
вой разЪ 4 изЪ 16 , останется 12,
второй разЪ 4 изЪ 12 останется 8,
вЪ третей разЪ 4 изЪ 8 останется 4,
четвертой разЪ 4 изЪ 4, останется

о,
О, а по ско льку разЪ каждой изо де-
вегпи простыхЪ цыфровЪ вЬ данныхЪ
единицахЬ и десяіпкахЪ содержится ,
оное можно легко узнать изЪ табли-
цы при умноженіи §. 37. на примѣрѣ:
когда извѣстно , что 7 ю 8 будетЪ
^б, то явно, что 7 содержится вЪ
^6 восемь разѣ, а 8 семь разЪ.

§. 44. Когда извѣстно какЪ дѣлят-
ся единицы и десятки дсветыо п юсты-
ми цыфрами , то не трудно узнать
и дѣленія на тѣ же цыфры сотенЪ,
іііысечЪ и такЪ далее , потому что
оныя дѣлятся гпакЪ какЪ единицы и
десятки , на примЪрЪ : 3 содержатся вЪ
99 ’ 3 33 Ра3а’что изобрѣтается слѣ-
дующимъ образомЪ •.

іе .. 3)900(300
2с... з)ро( 30
г	3 е .... з)9( 3

3 3 3'

Сіе дѣлается такЪ: первое 3 соде-
ржатся вЪ 9, по §. 7. сотни знаме-
нующихЪ , слѣдовательно вЪ 90с, 300.

разЪ і
разѣ , второе вЪ 9 десятки знаменую-
щихъ 5 о разѣ и шрепне вЪ 9 еди-
ницы знаменующихъ 3 раза. Всѣ оныя
частныя числа поставляются за чер-
тою протянутою сЪ правой сию| оны
данныхЪ чиселЪ по 24. одно подЪ
другое поихЪзнаменовгніямЪ, посложе-
ніи кои юрыхЪ произойдетъ общее час-
тное число

ЙрЙмѢчАНІЁ

•Дѣленіе начинается сЪ лѣвой руки
то есть: сЪ самаго большаго изЪ дан-

, ныхЪ чиселЪ для того , что когда вЪ
большемЪ числѣ содержится дѣлитель
нѣсколько ра Ъ сЬ из лишсствомЪ , то
«остатокЪ на дѣлителя нераздѣленной,
можно перемѣнить вЪ число слѣдую-
щаго меншаго знака и сЪ нимЪ сложа
вмѣстѣ раздѣлить;

4$. Вышеписанной примѣрѣ дѣ-
ленія показанЪ только для изЪясненія і
а ради избѣжанія пространства вЪ ономЪ *
здѣлавЪ^удѣлимаго числа сЬ обЬнхЪ сіпо^

Ж • ронЬ
онЬ черты , поставляется у лѣвой
дѣлитель, а у правой частное число і
какЪ •

3) 999 (333
9
----- *

9
_9__

9
9

$ вЪ 9 содержатся 3 раза и такЪ
оныя 3 поставляются за чертою кЪ
правой сторонѣ , и говорится 3 жды
3, 9, которыя поставляются подЪ 9
сотни знаменующія , по вычете же 9
изЪ 9 останется о, и для того сне-
ся подЪ черту подЪ 9 ю здѢланную ,
9 десятки знаменующія, посылается
3 жды 3,9, которыя 3 становятся
подлѣ первыхЪ 3 кЪ правой рукѣ, а
9 подЪ снесенныя 9 И такЪ далѣе
дѣлится и послѣдней цыфрЪ, ошЪ че-
го и произойдетъ частное число по
§• 7. триста тритцать три знамену-
ющее.


4^- При /оленій чиселЪ на оАинЪ
иаѣ р просіпыхЪ цыфровЪ случаются
разныя обстоятелства , какЪ такія чис-
ла , которыя п и дѣленіи не подходяшЪ
на цѣло, то есть : что Дэлиіпель со-
держится вЪ оныхЪ нѣсколько разЪ сЪ
излишествомъ ; на примѢрЪ при дѣленіи
66 на 8, вЪ гпакомЪ случаѣ берется
самое ближайшее меншее число вЪ раз-
сужденіи онаго , которое будетЪ 8 ю
8 , 64, потому что слѣдующее 8 го
р , 72 прсвосходптЪ данное дѣлимое
число, также такія , которыя подои-
дутЪ на цѣло , прп которомЪ случаѣ ,
когда послѣдующее за оными число ме-
нѣе вЪ себѣ единицѣ содсржитЪ , нежели
дѣлитель, то задается о, что изЪ
слѣдующаго примѣра явственнѣе ви-
дѣть можно , а именно : раздѣлить
2552013 на 3, что производится слѢ
ДующкмЪ порядкомЪ:

Ж 2	з)
$2

№0$

^2552013(850671.

24

20

і8
” гГ”
\

21
3

Ъ хЪ на з раздѣлить неможно и для
того должно кЬ нему приложить кЪ
правой рукѣ подлѣ ‘ онаго стоящей
ЦыфрЪ 5 , и посылать 3 вЪ 25 содер-
жатся нѣсколько болѣе 8 разЪ, а ме~
нЪе 9 , почему и надлежитЪ поставить
за чертою 8 , и умножа оныя 3 мя по-
ставить 24 подЪ 25 , а по вычетЪ
изЪ 25 приставить кЪ осталному і му
близЪ стоящей вЪ дЪлимомЪ числѣ
ЦыфрЪ 5 и дЪлить 15 на 3, кои умно-
жа 5 ю дЪлаютЪ 15 , что поставя подЪ
15 > по вычсш'Б равнаго изЪ равнаго
выдещЬ


выдетЪ ничего. ПотомЬ надлежитъ по-
свойству дѣленія снести внизЪ подЪ
черту 2 и дѣлить на 3 , но затѣмЪ
что 2 менше 3 хЪ должно задать о,
а потомЬ снести еице изЪ дѣлимаго
числа о подлѣ 2 стоящей , отЪ чего
произойдетъ подЪ чертою 20 , кото-
рыя дѣля на 3 задается 6 ю , и вы-
шедшее число по умноженіи оныхЪ і8с
вычтя изЪ 20 останется 2; по при-
совокупленіи же кЪ ннмЪ і изЪ ф-
лимаго числа , будетЪ 2 г , вЪ коню-
рыхЪ 3 содержатся 7 разЪ, по вы-
четѣ 21 изЪ 2і не останется ни -
чего, И такЪ напослѢдокЪ снеся 3
НадлежитЪ задать і , затѢмЪ что
3 вЪ з содержатся одинЪ оазЪ«

47- Когда данное число надобно
раздѣлить на десятки, сотни, тысе-
чи и такЪ далее , а у оныхЪ кЪ пра
' Вой рукѣ всѢ до пос лѣдняго цыфра бу-
дуЪ оото отнимается отЪ дѣли-
маго числа сЪ правой руки столько цы-
Ж 3	Ф^ові^
54 !<ЗЮэ

фровЪ , сколько вЪ дѣлителѣ будепЯ
оо , кои отнятыя цыфры будучи мс нше •
дѣлителя останутся нераздѣлимыми ,
и потому будутЪ вЪ остаткахъа пре-
тите цыфры дѣлятся по примѣру

46. только ЦыфромЪ величину изЪ
являющимъ, кромѣ оо, какЪ •

7 (соо) 7$93о(2Оо( 11280

7

8

7___

'і9 "

і4____

5б	I

>6
о

о

200 остапіокЪ.

48. Когда дѣлитель состоитЪ
изЪ нѢсколькихЪ цыфровЪ, при кото-
рыхЪ вЪ срединѣ хотя и ОС будушЪ,
то при дѣленіи сЪ лѣвой руки отсчи-
тывается столько цыфровЪ вЪ дѢли-
момЪ числѣ, изЪ коликихЬ состоитЪ д- -

литель




литель, примѣчая пригпомЪ что оное
оточтенное число больше или менше
вЪ разсужденіи дѣлителя единицЪ вЬ
ссб'Б содержишь , для ічоі о что когда
оное менше дѣлителя , то должно при-
ложить кЪ нему еще цыфрЪ псдлѢ
онаго кЪ правой рукѣ стоящей, и по-
томЪ задавать гпакимЪ ч^сломЪ , сколь-
ко разЪ дѣлитель вѣ ономЪ содер-
жится какЪ отомЪ вЪ 46. показано •
на примѣрѣ :

вЪ перьвомЪ случаѣ во вогпоромЪ случаѣ
25») 5+3 7657.03 ( 3760038	2301) 15203 $6(83.0

~7<Л	18408

1507	755 5

І7$7	броз

І$с6	ІО$2б

I $Об	5204

57°	1322	осш

753

2і?3

2008

16 $ ОстатокЪ.

_ ПРИМѢЧАНІЕ

Для познанія вѣрно ли рѣшено дѣленье,
надлежитъ частное число умножить дѢ-
лителемЪ, и ежели у дѣленія есть оста-
токъ
гпокЪ, оной приложишь кЪ произведенію*
при к.опк эомЪ случаѣ , когда сѵмма бу-
детЪ равна дѣлимому числу, то зДэ-
лано вѣрно, потому что частное число
показываетъ сколько раэЪ содержится
дѣлитель вЪ дѣлимомЪ числѣ, а у множа
дѢлителемЪ частное число или част-

нымЪ числомЪ дѣлитель, п роизведеніс
покаЗываетЪ во сколько разЪ взяіпо ча-
стное число или дѣлитель , а остатокЪ
для того при аагается кЪ произведенію,
что оной остался бсзЪ раздѣленія^,- на
примѣрѣ повѣрить обанослѢднія дѣленія*
Повѣрка пер ваго	Повѣрка втораго

3760038	2301

 251	834.

3760038	Р2О4.

18800150	6503

__	18408

5>4-37бР5з8	1РІР034.

іб5 о'.пта.приложи. 1322 оста.прило*
Л>437бР7°3	ір’0356

49* При Дѣленіи именованныхъ
чйселЪ надлежитъ числа большаго меж-
ду данными званіями привесть вЪ оди-
накой родѣ сЪ ментими, посредствомъ
^множенія , то есть і с ыскать сколько
жѣ онолгѣ единипЪ меншаго рода содер-
жится


жигпся и приложишь кЪ онымЪ данныя
того рода числа, а потомЪ оныя л1,-
лить даннымЪ. ^лителемЪ; напримѣрЪ
14281 рудЪ«4$ золоіпниі овЪраздѣлить

на $ равныя части.

14281 пудЪдолж.умн. для приведенъ, вЪ
фунты. 40 ЗапіЬм%ттовЪпудЬ столь.фун.
040 фунты оныя надлежитъ,
умножить 96, Для приведенія вЪзолотники.

3427440

5141166_____

5483 9040. столь.золо. вЪ дан.пу, кЪкото,
должно данныя 4.5 золотниковЪ приложить.

54839085 всЁхЬэол. кои надле. разд. на 3.

3)5483^085(18279695- по стольку

3	будетЪ золотниковЪ вЪ

24	каждой изЪ требу ?мыхЪ

24	частей.

23

2і


’ А дабы узнать сколько вЪ оныхЪ
18279695 золотникахЪпудЪ, фунтовЪ
лотовЪ и зологаниковЪ, оное дѣлается
такЪ : должно раздѣлить сіе число на
3, отЪ чего произойдутъ лоты, по-
тому что вЪ лога 5 содержится 3 зо-
лотника , лоты на 3 2 , изЪ чего вы-
дугаЪ фунты , а фунты на 40 , для
изобрѣтенія пудовЪ какЪ:

3)18279695(6093231 стольколотовЪ.

28

27

27

9

9

6

6

9

____9

5

____3

2 столько Воротниковъ
осталосЪ.


59

32) 6093231( 190413. столько фунтовЪ.

7 32__

~2б9~~

, 288

132
. І28

43

32

III
рб
столько лотовЪ осталось.

4.(0)19041(3(4760. столькопудовЪ.

іб

30

28

24.

24

і з столько фунтовЪ осталосЪ.

И п:а;;Ъ третья часть даннаго чис-
ла 14281 пуда и 45 золотниковЪ есть
47^0 пудЪ 15 фунтовЪ 15 лотовЪ и 2
золотника.

Сіе производится еще легчайшимъ
образомЪ а именно : данные пуды дол-
жно ра здВлишь на $ и что по дЪленіи
будетЪ вЪ остаткЪ пудовЪ, оные умно-
яіишь , для приведенія вЪ фунты , 40 ю>

3 2	потомЪ
60

потомЪ раздѣлить произведеніе паки
на $ •, остатокЪ оіпЪ фунтовЪ умно-
жить , для сысканія лотовЪ, $2 мя,
кЪ кошорымЪ приложить 15 лотовЪ,
ЗаігіВмЪ чпіо вЪ данныхЪ 45 золош-
никс'хЬ будетЪ, когда раздѣлить 45
на 3 , для приведенія вЪ лоты , 15 ло-
товЪ и сто сумму раздѣлить такЪ же на
$, отЪ чего произойдутъ лоты; по ум-
ноженіи же остальныхЪ лотовЪ рія,
дабы узнать ско.ѵько вЪ оныхЪ золот-
никовЪ и по раздВ. леніи на $ выдупЪ}
золотники , какЪ :

3 ) 14.281 ( 4.760. столько пудовЪ.
12

22

21

~7Г"

18

і пудЪ вЪ остаткахъ
__4^ .

3 ) 40 ( 13 столько фунтовЪ.

3 .
ю
О
і фунпіЬ вЪ остаткахъ.
___________бі

і фунтЪ вЪ остаткахъ.

3?

З2	з)+5 (і 5 лотовЬ,

і у данныялот. приложи, з

3) 4-7( 15 столько лотовЪ. І5'

3	15

І7»$--------

15

2 столько золотниковЪ.

50. фсіпьли надлежитЪ узнать
сколько разЪ содержатся, или какая
часть будетЪ 58 фунтовЪ 22 лота
и 2 золотника , отЪ 2 пудовЪ ^6 фун-
товЪ и 4 хЪ лотовЪ , то должно по
вышеписанному §. 49. привесть оба
данныя числа вЪ золотники и дѣли-
мое число раздѣлишь на дѣлителя,
какЪ дѣлиіпель 58 фунтовЪ 22 лота
и 2 золотника содержатъ вЪ сеѣѣ
3716 золотниковЪ, а дѣлимое 2 пу-
да 3 6 фунтовЪ и 4 лота 1114$ Зо-
лотниковЪ, кои раздѣля по §. 48. вы-
ДетЪ частное число 3 то есть: что
дѣлитель содержится вЪ дѣлимомЪ
' числѣ 3 раза , или что дѣлитель есть
третья чаешь отЪ дѣлимаго числа»
какѣ гпо изЪ дѣла явственнѣе видно-

38 фун. 2 2 ЛО. 2 ЗОЛОШ. 2 Ііу. 36 фун. 4 ЛЭШ.

42	40

76	Ьо

1г4	___3<*_

1216	1іС	'/

2 2_

1238	232

3	-	34-8

3714	3712	/|

_ 22_	4

3716 золотники	3 7 1 2 3 * * * *6

3
—------- •

11 >4» золотники.

37і<0 11 >48(з

і 1148

ГЛАВА VII.

О

СОДЕРЖАНІЯХЪ И ИХЪ СХОДСТВЪ

§. 51. Сходственныя или Пропор-
цгоналныя числа называются іп'ѣ , коі
гпорыхЪ содержанія между собою ра-
вны.

§. $2. Содержаніе есть величина,
показывающая сколько разѣ одно число

вЪ
______________________________бз
ьЬ другомЪ заключается , и ли ско-
лько разЪ превосходигпЪ одно другое.

ИзЪ сего видно, что вЪ
одномЪ содержаніи находится два чи-
сла а именно : предстоящее и послѣ-
дующее , изЪ ко,шорыхЪ состоитЪ со-
держаніе.’

§. 54. Когда сравниваются два чи-
сла 4 и 12 по пхЬ разности 8, вычи-
'.ганісмЪ изобрѣтенной , то назы-
вается имѣющееся между оными Со-
держанье Арис-метйческимЪ, а
ежели сравниваются оныя числа , вЪ
рсзсужденій третьяго, дВленісмЬ изо-
брѣтеннаго , то именуется такое
Содержаніе ГеометрйческимЪ ;
частное же число изъявляющее сколь-
ко разЪ заключается меншее число еЬ
большомЪ ЕкспонентомЪ или Зна-
менателемъ Геомегп-ичесКаГО
Содержанія ЕкспоненпЪ изобрѣ-
тается дѣленіемъ большаго даннл го чи-
ела на меншее ; содержанія меншее

число
число дЪленіемЪ большаго числа на
ЕкспонентЪ ; большее умноженіемъ
меньшаго; а Знаменатель Ариѳме-
тической Пропорціи или Номина-
торЪ вычишаніемЪ меньшаго даннаго
числа изЪ большаго. Меншее содер-
жанія число вычишаніемЪ Номина-
тора изЪ большаго; большее же сло-
женіемъ Номинатора сЪ меньшимЪ
числомЪ.

«^5- Числа Ариѳметической про-
порціи пишутся такЪ. з - 5 = 6 - 8 ,
а Геометрической $ : 12=5: 20. ВЪ
обЪихЪ сихЪ Пропорціяхъ содержится
первое число ко второму , такЪ какЪ
третье кЪ четвертому , то есть :
вЪ первомЪ случаю сколько первое чи-
сло больше или менше втораго ,
столько третье больше или менше
четвертаго , а во вшоромЪ сколько
разЪ содержится вЪ первомЪ числѣ
второе или первое во впюромЪ , столь
ко разЪ содержится вЪ шретьемЪ че-
твертое или третье вЪ четвертомъ.

56.


с;

56. Геометрическаго сходства
происходимое число по умноженіи пе-
рваго члена четвертымъ равно прои-
схо>амому числу по умноженіи вто-
раго члена третьимЪ і на примЪрЪ $
содержатся кЪ 6, такЪ какЪ 4 кЪ 8,
а когда умножатся первыя $ , 8 ю,
а вторыя б, 4 мя, то произойдетъ
вЪ обѣихЬ случаяхЪ 24. Оныя числа
поставляются слЪдуіощимЪ образомЪ-
б ~ 4, 8

.4 	*

24	24

§. • 57- Четыре Пропорціональныя
*'исла , или величины содержатся такЪ
же взаимно одно кЪ другому то есть:
<акЪ первое кЪ третьему, такЪ вто-
рое кЬ четвертому , потому что
«торой членЪ происходитъ отЪ умно-
женія перваго члена ЕкспонгнтомЪ ,
а четвертой умноженіемъ третьяго
члена тЬмЪ же ЕкспоиентомЪ , поче-
му и додержится второй члснЪ кЬ

И	чекъ
- ,    г Г|Г п , -     ' >_
четвертому , такЪ какЪ первой. кЪ
третьему ; на примѣръ естьли умно-
жить д, яко ЕкспоненгпЪ, двумя дру-
гими числами 5 мя и 6 ю, то прои-
зойдетъ і2 и 24, изЪ КоторыхЪ пе-
рвое содержится во віію| омЪ столько
разЪ сколько число 5 вЪ 6< того ра-
ди что когда 6 вЪ двое больше $ ,
то по умноженіи 4, 6 То , произойдетъ
вЬ двое протичЪ того , когда оныя
4 умножить ? мя, ж>Ъ чего видно, что
перьвое происходимое число 12, содер-
жится ко второму 24, такЪ какЪ пер-*
еос множимое число $ кЪ 6*

58. Ежели потребно сыскайн кЪ
тремЪ даннымЪ числамЪ четвертое
бЪ геометрической пропорціи , или і;Ъ
двумЪ третье , то умножается вЪ
первомЪ слѵчаЪ второе третьимЪ *
а во віпоромЪ второе само собою и
раздѣляется произходимое На первой
число, отЪ чего и произойдетъ жела-
емое какЪ;


3 ---б — 12

б

з ) 72(24. четвертое пропорціонал*-
б ное число.

8— 24 — 24
______
05

8 )$ 7 б(у 2 третье пропорціональное

56 число.

іб

іб

6 — 3 = 24

3

б) 72(12 четвертое перемЬнет ое
б пропорціональное число.

I 2

12

24 — 12 ~ <7
б

24 )72( з четвертое меншее пропор»
72 цік нальное число.

59' Когда при исканіи третьяго
Или четвертаго пропорціональнаго
Числа при дѣленіи произведенія втораго
третьяго числа на первое 9 шакЬ

VI а	же


же и во всякомЪ просіпомЪ дѣленіи не
подойдсшЪ на цѣло, то частное чис-
ло остатка г.Ъ разсужденіи дѣлителя,
будетЪ меньше единицы, слѢдоваиіель-
но только нѣкоторая часть цѣлаго,
а именно : сколько вЪ ономЪ остат-
кѣ единицЪ находится, толикое число
будетЪ таковыхЪ частей опіЪ цѣлаго,
сколько вЪ дѣлителѣ единицЪ содер-
жится , на примЪрЪ : ежели дѣлитель
будетЪ 5 то пяшыхЪ, ея ели 7 пю
седмыхЪ частей и протчее , потому
что когда дѣлитель будсіпЪ 5, а оста-
гпэкЪ $ , то разсуждая что оныя $
должны быть такая часть отЪ цѣ 
лаю , какЪ 5 содержатся кЪ і , а по-
неже і отЪ 5 есть пятая часть, того
ради $ по §. 5$. суть ігри пятыя
части цѣлаго, чего ради подЪ оста-
токъ отЪ дѣленія подносится , про-
тянувЬ подЪ онымЪ черту дѣлитель,
что и называется дробью , и оная
присовокупляется потомЪ кѣ частно-




му числу , какЪ то вЪ приложенномъ

примѣрѣ

показано.

7

5) 6ЗС 11 I

?

5
ГЛАВА IX.

О

ДробяУЬ или ЛОМАНЫМЪ ЧИСЛАХЪ

§. бе. Дробь есть часть цѣлаго,
а именно : когда раздѣлится единица
на Нѣсколько равныхЪ частей и возме-
іпся изЪ оныхЪ одна часть или бо-
лѣе , то произойдетъ Ломаное число
или Дробь ; на примѣрЪ когда по раз-
делѢніи аршина на 4 равныя части
возмешея такихѣ три части, то оныя
аначатЪ три такія доли , изЪ кото-

до $	рыхЬ
рыхЬ каждая содер литѣ вЪ себѣ чешвс
ртую часть аршина , что пишется
іпакимЬ образомЪ

бі. И такЪ всякая доля пише-
впся двумя цыфрами, изЪ которыхЪ
одинЪ знаменуешЪ во сколько частей
раз/Ѣлено цѣлое, и называется для
того Знаменатель, а другой счи-
сляетЪ сколько такихЪ частей взято
и потому именуется Числитель;
НапримѢ^Ь Нижней цыфрЪ 4 есть
Знаменатель , а верхней 3 Числитель.

§.6г. Когда числитель менше зна-
менателя , то значитЪ, что такая
доля менше цѣлаго, а есіпьли числи-
тель превосходиіпЪ знаменателя, то
такая доля больше цѣлаго; ежели
же числитель разенЪ знаменателю ,
то такая доля равна цѣлому : на
«РимѢрЪ « меньше цѣлаго, потому
что аршинЪ по 6о. раздѣленЪ вЪ
4 части, изЪ которыхЪ взято толь-
ко три; и потому еще не досіпаетЪ
одной такой части, для наполненія

аршина*
аршина. НапрошивЬ того । будетЪ
больше а| «шина, затѢмЪ что такикЬ
частей вЬ аршинѣ только четыре ,
а пятая часть есть уже излишняя.
* равны цѣлому , потому что вЪ та-
кой дроби содержатся всѣ четыре ча-
сти , вЬ которыя аршинЪ раЗ/ѣленЪ ,
что лушче узнать можно изЪ дѣле-
нія числителя на знаменатель , ибо
когда числитель Можно раздѣлить
на знаменатель , то окажется что
числитель болѣе знаменателя , при-
чемЪ частное число покажетЪ сколь-
ко цѢлыхЪ вЪтѢхЪ доляхЪ содержится,
а остатокЪ сколько сіпс сверхЬ тѢхЪ
цѢлыхЪ і паковыхЪ частей вЪ оной За-
ключается ; на прммѢрЪ, когда дано
|, то раздѣля по §. 46. на 4, будетЪ
Мастное число і и вЪ остаіпкахЪ і ,
Что зНачитЪ, что вЪ | содержится
I цѣлой и 1, когда при дѣленій чи-
слителя , на знаменатель подойдетЪ
на цѣло, піо частное число покажетЪ

его-


сколько цѢлыхЪ вЪ той дроби заклю-
чается ; на примѢрЪ * з. ежели раЗд'Б-*
ляшея о на 4, то частное число будетЪ
2 , а вЪ осшаткахЪ ничего , и потому
• содержатъ вЪ сЪоѣ ровно 2 цѢлыхЪ;
естли же числитель менше знамена-
теля и не можетЪ быть раздѣленЪ на
оной 3 то ноказываетЪ , что толикое
число такихЪ частей отЪ цѣлаго
какЪ I три четверти • пять восмыхЪ
долы

бу. СЪ ломаными числами
случаются часто и цѣлыя, чего ради
надлежитъ знать какЬ цѣлыя числа
перетчѣняются вЬ доли. Сіе дѣлает-
ся умноженіемъ цѢлыхЪ чиселЪ зна-
менателемъ сЪ приложеніемъ числи-
теля ломанаго числа , у котораго чи-
сла подѣ чертою поставляется пюіпЬ
же знаменатель , для того что зна-
менатель показываешЪ по §. 61. что
каждое цѣлое раздѢлено во сто лы о
частей; и потому когда умножатся
онымЪ


онымѣ цѣлыя , то приведутся они пЪ
такія же дроби; на примѣрѣ: должно
привесть 6 * вЪ дроби , п о 6 ^мнол.а
4 мя , произойдетъ 24 четверти , ко-
торыя обще сЪ 3 данными чеіпве-
ртьми дѣлаютЪ -3?, Которая дробь со-
держитъ вЪ себЪ то же число что
и 6 ».

ГЛАВА. X.

О

уМЕНШЕНІИ ЛробЕЙ

§. 64. Дробь уМЕНШИТЬ назы-
вается найшить другую дробь, кото-
рая изЪявляется меньшими числами ,
и им'ѣетЪ то же содержаніе кЪ едини-
цѣ или цѣлому ; на примѣрѣ. и ~
суть между собою равны, потому что
какЪ лр содержатся вЪ цѣломЪ пять
разЪ, такЪи ’5 пяіпьжеразЪ. Тѣ дро-
би могутЪ только ументится , кото-
рыхЪ числитель и знаменатель раздѣ-
лится на одинакое число , какЪ вЪ семЪ

І	слу-
случаѣ 25 и 125 можно раздѣлить на
отЪ чего произойдетъ I» , которыя
раЗдЪля еще на 5 будетЪ | равная доля

у что дѣлается такЪ :

5)25(5	2515 Іі 5)125(25

ѵ 25	125І25І5 ю

25

25

ПРИМѢЧАНІЕ

Дробь посредствомъ дѣленія пре-
вращается вЪ Другую равную меньши-
ми цыфрами изображенную. Напротивъ
того умноженіемъ числителя и зна-
менателя одинакимЪ числомЪ произво-
дится равная же дробь больше цыфровЪ
вЪ себЪ соржащая, на примЪрЪ: умножа
числитель 5 и знаменатель 25 , 5 ю
произойдетъ числитель 25 и знамена-
тель 125 то есть :	, которыя

равны а$.
___________

65. При уменшеніи Дробей мно-
гими цыфрами изображенныхъ, для
избѣжанія мьогихЪ ЛЪлсн и , изобрѣ-
тается большей Общей Дѣли-
тель, то есть : самое большее изЪ
тѣхЪ чиселЪ , на которое числитель
и знсіМ нашелъ раздѣлятся, слѣдую*
щимѣ обраэомЪ - раздѣли большее дан-
ное число на меншее , пошомЪ мсн-
число или дѣлитель на оста-
токЪ оіпЬ большаго или дѣлимаго
числа то есть послѣ перваго дѣле-
нія дѣлай второе, и такимЪ образомЪ
продолжай дѣленіе , принимая всегда
прежней остатокЪза дѣлителя, а преж-
ней дѣлитель за дѣлимое число вЪ
слѢдѵющемЪ дѣленіи , пока не подой-
детЪ на цѣло , при которомЪ случаѣ
дѣлитель послѣдняго дѣленія будетЪ
большой обш-’й дѣлитель двухЪ дан-
ныхЪ чиселЪ , того ради что когда
два неравныя числа имѢюшЪ общаго
дѣлителя , то оной дѣлитель содер-
жится вЪ одномЪ нѣсколько разЪ
больше, нежели вЪ другомЪ, и потому,

І 2	ьоі да
когда больше^ число раздѢлия ся на
меншее , шо осгпашокЪ оігіЬ дѣленія
произшедшей есть гпакое число, ко-
торое на общей дѣлитель такЪ же
раздѣлено быть можешѣ , ибо оной
содержится столько разЪ вЪ ономЪ >
во сколько разѣ больше взято большее
число прошивЪ мншаго. ИгпакЪ общей
дѣлитель двухЪ данныхЪ чиселЪ есть
общей дѣлитель дѣлителя и остатка
какЪ вЪ семЪ первомЪ, такЪ и во всѣхЪ
слѣдующихъ дѣленіяхѣ , а какЪ уже
дойдетЪ до того , что послѣ дѣле-
нія ничего не останется , то какЪ дѣ-
лимое число такЪ и дѣлитель сего
послѣдняго дѣленія будушЪ имѣть
общаго дѣлителя, слѣдовательно оной
есть и большой общей дѣлитель двухЪ
данныхЪ чиселЪ, на примѣрЪ : надле-
житъ сыскать общей дѣлитель кЪ
что производится слѣдующимъ обра-
зомЪ :

первое раздѣли большое число 2504 на меншее 15*78
1578) 2.904 (і

і 578

І32й

нгпорое
второе дѣлитель і 57 8 на остатокЪ 1326
1326) 1578 (і

і 326

третіе дѣлитель 1326 на остатокЪ 252
252) 1326Г (?

І2бо
бб ~
четвертое дѣлитель 252 на остатокЪ бб

іх?8

54

пятое дѣлитель бб на остатокЪ 54

?4

12

шестое дѣлитель $4 на остатокЪ 12
12) 54 (4

48

6

седмое дѣлитель 12 на остатокЪ 6.

I 2

б

і$-»8

23304 484

И такЪ 6 есть большой общей дБ-
литель оСгБихЪ данныхЪ чиселЪ 1578
и 2904. Напротивъ того, когда вЪ по-
слѣднемъ






слѢднемЪ дѣленіи будетЪ вЪ остат-
кѣ і , то такія данныя числа булутЪ
нераздѣлимыя.

ГЛАВА XI.

О

рАЗДробЛЕНІИ ДрОбЕЙ

§. 66. рАЗДрОбЛЕНІЕ ДрОбЕЙ
еостоитЪ вЬ сысканіи содержанія ка-
ждой дроби , для познанія сколько вЬ~
оной заключается мѢлкихЪ именован-
ныхъ частей, на примѢрЪ: вЬ | руб-
ляхЪ , сколько будетЪ копѣекЪ ?

ПРИМѢЧАНІЕ

Всякую дробь можно легко превра-
тить вЪ мѣлкія части , на примѢрЪ :
извѣстно ко таблицѣ при §.	, что

вЪ рублѣ содержится юо копѣекЪ,
которыя раздѢля на 4 выдетЪ 25
то есть : четвертая часть оныхЪ ,
а когда взять такихЪ частей 3 или
у множа 25 , 3 мя, то вЪ оныхЪ будетЪ
75 копѣекЪ , или произойдетъ шакЪ
же
70

же 75 когіѣскЬ , когда умножится юо ,
$ мя , что здѢлаешЪ 300 и раз-
дѣлится на 4*

§. 67. Дроби раздробляются , ила
превращаются вЪ мѢлкія части шакимЬ
образомЪ : надлежитъ числителсмЪ
умножить цЪлой или единицу оныхЪ ,
приведши ея вЪ требуемыя мѢлкія
ча-~чи , сколько оныхЪ по таблицѣ
при §• 30. вЪ оной содержится , а
произведеніе раздѣлить на знамена-
тель ; на примѣрѣ » рубля сколько со-
держатъ вЪ себѢ копѢекЪ ? что пос-
тавляется слѣдующимъ порядкомЪ.

ю	юо произведутъ боо

8 ю і	Ь

должно привесть вЪ цѣлыя по $ 62 то есіяі 9
раздѣлить боо На 8

8) боо (7$ копѢекЪ э Которыя равны ? рублд-

5б

40

§• 68. Когда при раздробленіи слул
Чаніся иіакія дроби я что при дѣленій
। про


произведенія на знаменатель , не
подойдетЪ на цѣло , то оной оста-
токъ раздробляется еще вЪ мѢлкія
части • естьлиже по свойству раздѣ-
ленія денегЪ , вѢсовЪ , и мѢрЪ вЪ мѢ-
лкія части превратить больше нево-
зможно , то оставляется дробью мен-
шой части на прим рЪ рубля ско-
лько будетЪ копѢекЪ ? Сіе производит-
ся сЪ начала такЪ какЪ и вЪ прило-
женномъ прим г рѢ при §. 67 а пліе, о :

<5 ісо   $со
- рубля — -------- —

7)5 00(71 столько копѢекЪ.

49

іо

7
$ еЪ остаткѣ.

А погпомЪ вЪ разсужденіи того, чтѳ
•стались безЪ раздѣленія $ копѣйки,
должно оныя превратить вЪ дробь,
что з^ѢлаепЪ по §. 59. | копѣйки и
вривесшь по предписанному вЪ денежки.

з
7


А какЪ 6 на 7 раздѣлишь нево-
зможно , то надлежиггіЪ привесть * дс-
нсжекЪ вЪ полушки.

6	„ 2 — 12	„

----денежеко--- — полушскЪ

7	і— 7 У

7) 12 (і® полушки,
7

Остатка 5 не можно по свойству
раздѣленія денегЪ болѣе ни вЪ какія
мѢлкія части превратить , того ради
дѣлается изЪ нихЪ дробь, почему | ру-
бля и содержатЪ вЪ себѣ 71 копѣйку и
1 > полушки , такимЪ же образомЪ до-
лжно поступать и сЪ прошчими име-
нованными числами,

К	ГЛА-
я*

ГЛАВА XII.

О

рЕДуКЦ,ІИ или ПРЕМѢНЕНІИ
ДрОбЕІІ

§. 69. ПРЕМѢНЕНІЕ ДрОбЕЙ , по-
казываетъ способЪ какЪ превращать
меншія части вЪ дроби или ломаныя
числа единицЪ большаго рода: на при-
мЪрЪ , копЪйки , денежки , полушки вЪ
дробь рубля гривны и протчее.

70.	Всякое число одного рода
безЪ мЪлкихЪ частей моя но легко
превратить вЪ дробь большаго рода ;
на примЪрЪ 75 копЪекЪ какая часть
отЪ рубля? Оное производится такЪ:
вЪ рублЪ содеря ится юо когіЕекЪ, по-
чему 75 копЪекЪ дЪлаюшЪ рубля ,
кои и уменшай по 64.

-<] '	1 почему 75 копѢекЪ солержаніЪ вЬ

~іоо| о|~4 себѣ 2 рубля.

7і.	Когда зададутся именован-
ныя числа сЪ другими мЪлкими час-
тьми , то приводятся онЬ по §. 40,

вЪ
81

вЬ находящіяся при оныхіэ м'Ьлкія ча-
сти, а проілчее производится по §. 70»
на примѣрѣ 71 копѣйка и 11 полушь-
ки дЪлаюшЪ вообще 2855 полушьки, ко-
торыя приведши по §. 6^. вь дроои
ЗдЬлаетЪ , какая часть будетЪ
рубля ? а рубль содеряѵИіпЪ вЪ ссбБ 400
подушекЪ, кои по приведеніи вЪ одинЪ
родЪ сЪ данными , то есіпь : вЪ се-
дмины умножа 400, 7 ю здѣлаешЪ
2800 седмыхЪ частей полушьки, кото-
рм'і оба числа уменшаюшся по выше- .
писанному.

71 копѣйка і у полушьки»

= 84-
і5

_ полушекЪ	і

1^55

_____7

2000 приведено еЪ дроби»

7
.33	2000)2800(1

2000 <Г г г.	2000

 28оо "т~іЭу ЛЯ 800)2000(2

1(700

большой общей дѣлитель 400)800(2
8оо

почему 71 копѣйка и* ? полушьки равны | рубля-

К 2	ГЛА»
ГЛАВА XIII
О

СЛОЖЕНІИ ДробЕЙ

72.	Когда СКЛАДЫВАЮТСЯ
Дроби сЪ цѣлыми или цѣлыя безЪ
дробей сЪ цѣлыми же при когпорыхЪ
есть дроби, іго надлежитЪ рЪ перромЪ
случаѣ только приставить кЪ цѢлымЪ
дробь, а во второмЪ сложа по §• 25.
цЪлыя, приставить кЪ нимЪ дробь;
на примЪрЪ должно сложить + рубля
сЬ 7 ю рублями, то поставляются
сіи числа такЪ 7 * , а еешьли надобно
сложить 12 рублевЪ сЪ 2?1 рубля,
іпо производится сіе такимЪ обра
ЗОМЪ:

12-

351 столько будетЪ рублевЪ.

7 у Ежели складываются дроби
одинакаго знаменателя им'ѣющі’я, то'
вЪ іпакомЪ случаѣ складываются толь-
ко числители и кЪ произведенію ста-
новится подЪ чертою знаменатель ,

на
на примѣръ : СЛОЖИШЬ Д сЪ Л И 5® , то
произойдетъ по сложеніи всѢхЪ чи-
слителей 2 хЪ 4 хЪ и 6, 12 ; а поста-

Ея внизу знаменатель 2^ , здѢлаепіЪ »».
Сіе производится двоякимЪ образомЪ,

а именно : і е поставляются дроби
одна подлѣ другой сЪ знакомЪ + то
есть: СЪ , и складываются числители

какЪ слЪдустЪ:

г? Равны I’

аимснно •. й сЪ дѣлаютЪ ®ѵ3 а при-
бавя кЪ онымЪ произойдетъ жела-
емая сумма

2 е поставляются дроби одна подЪ дру-
гую и дѣлается сЪ правой руки черта ,
За когпорую выстонавливаются числи-
тели протпвЪ дробей, для сложенія
ихЪ вмѣстѣ , а подЪ сумму оныхЪ по-
дносится подЪ черту знаменатель какЪ:



ТакимЪ
86____ ІСІЖ_______________

ТакимЪ же образомЪ надлежитЪ по-
ступать , когда при шакихЪ дробяхЪ
находятся цѣлыя , складывая цѣлыя и
дроби порознь и поставляя произходи-
Мос подЪ оными, а ежели будетЪ у дро-
би числитель больше знаменателя, то
должно привесть сную по §. 62. вЪ цѣ-
лыя, сложить произшедшія изЪ оной
цѣлыя сЪ суммою цѢлыхЪ и поста-
вить оставшую дробь подлЪ суммы,
на примѣрѣ : надобно сложить 12 Л сЪ
9'Ли /г, то поставляются, сіи числа
піакЪ:

9

Рй  _7 та	ІО  7	/ І2)2б (28 24
2 I	26	—ѵ
		_	-	II •
	12	12 О
	Сумма	цѢлыхЪ и дробей*

§• 74. Когда дроби разныхЪ зна-
менателей имѣющія складываются ,
гпо вЬ такомЪ случаѣ НадлежитЪ сы-
скать Общей знаменатель, кото-
рой
рой бы при дѣленіи на каждой изЪ дан-
ныхЪ зніменагаелей подошелѣ нацѣло.

§. 75. Общей знаменатель есть та-
кое число , сЪ которымЪ бы по пре-
мѣненіи числителей вЪ другія числа
были равны даннымЪ дробямЪ и изо-
брѣтается умноженіемъ знаменателей
ДругЪ другомЪ, чего ради онЪ на каж-
дой знаменатель раздѣлится на цѣло,

76 Для изобрѣтенія кЪ общему
знаменателю числителей, которые бы
сѣ онымѣ были равны даннымЪ дро-
б-иЪ надлежигпЪ каждой данной чи-
слитель унножить всѣми знаменате-
лями, кромѣ принадлежащаго до онаго
числителя, на примѣрѣ: *, | и I, при ко-
торомЪ случаѣ $ умножа 4 мя, а по-
томѣ у мя произойдетъ <^о общей
Знаменатель ; по умноженіи же чи-
слетеля 2 хЪ 4 мя, а потомЪ 3 мя
будетЪ 24, з хЪ $ ю и \ мя 4^ ,а 2 хЪ
4 мя и Ую а о, кои произтедпйя числа
сЪ общ імЪ знаменателемЪ будушЪ ра-

вны
вны даннымЪ дроб/мЪ , п.о есть •. ос
равны ?, га— I, а вб — I , ибо когда
числитель и знаменатель умножатся
одинакимЪ числомЪ , то по §. 64. дробь
ошЪ того произшедшая будетЪ равна
данной , по чему и умноженные здѣсь
одинакими числами числители и знаме-
натели каждой дроби будутЪ равны
даннымЪ дробямЪ, или оные числители
изобрѣтаются такЪ , по раздѣленіи
общаго знаменателя на каждой данной
знаменатель , умножается частное
число каждымЪ числителемЪ данныхЪ
ломаныхЪ чиселЪ порознь , отЪ чего
Произойдутъ тѢ же числители 24 ,
45 и 40. По приведеніи данныхЪ дро-
бей подЪ одинакой знаменатель дол-
жно поступать вЪ сложеніи оныхЪ
по §. 73. что изЪ приложеннаго при-
мѣра явственнѣе видѣть можно :

2*1*2
х + Г"
5

_+___

20

____3^

6 о Общей Зиамеймяелі

Изо-
Изобрѣтеніе кЪ общему знаменателю
числителей

По первому	способу
2 Числи, пер. дроби 3 Чис. еніо. дро. 2 Чис. тре.дро’  4	У	4  8	1$	8  3	3?	
24 изобръ Числи. 4_5 изобрЬ.числ. 4° изоб. числ.	
Со Общей Знаме. бо Общей знам. 6 о об. знаме. По второму	
5)60(12	4)Со(і	5	3)60(20
$	2	4		3	б 2
іо 24	20 45	о 40	
ІО бо	_20  24	о	о бо  бо  1 ^л	2
бо  45	‘4	- 24  3
бо  9	40	45 или — 45  4 2
Л2.  приведеніи вЪ цѣлыя буд бо)	40	— 40  	 3		  юр	Іюр  бо	бо,апр  Е.тЪ і  1 09 (і Ій  бо  49  бо

ПРИМѢЧАНІЕ

Когда будутЪ даны такія дроби,
изЪ кошорыхЬ большой знаменатель

Л	на
на всѣ прошчія знаменатели раздѣлится
на цѣло, то оной большой знаменатель
есть общей на примѣрѣ у дробей ’,
5, ?2 большой знаменатель 12 дѢлит*
ся на цѣло на 6 и на $ , того ради
оной есть общей знаменатель , есть-
ли же у данньпѣ дробей большой зна-
менатель только на нѣкоторые изЪ
протчихѣ знаменателей на цѣло дѣ-

лится , то изключа оныя должно по-

ступать по 75. на примѣрѣ : і , з и |,
между которыми есть большей зна-
менатель р и можетѣ только р здѢ-

лится на 3 , чего ради умножаются
р, гмя, что здѢлаетѣ і8 , которое

число и есть общей знаменатель а чи-
слители кѣ онымѣ изобрѣтаются по

вышесообщенному второму способу.

ГЛАВА XIV

° I

ВЫЧИТАНІИ ДробЕЙ.

77	- При ВЫЧИТАНІИ наблю-
даются тѣ же правила, какія и при

сло-
сложеніи, вЪ разсужденіи дробей оди-
накихЪ и различныхъ знаменателей
имЪющихЪ , только что вмЪсто скла-
дыванія данныхЪ чиселЪ меншее изЪ
большаго вычитается.

78	. И іпакЪ когда у данныхЪ дро-
бей будушЪ знаменатели одинакіе, то
вычитаются только числители одинЪ
изЪ другаго, поставляя подЪ оное
данной знаменатель ; на примЪрЪ : вы-
честь і изЪ | рубля, которыя обЪ
дроби поставляются двоякимЪ обра-
зомЪ, а именно:

Второе

вЪ осггшпкѢ.

79
79	Ежели у данныхЬ дробей боль“
іпой знаменатель раз/Блишся нацѣло
на другой данной знаменатель, то
вЪ такомЪ случаЪ будетЪ большой
знаменатель общимЪ , на примЪрЪ:
изЪ? вычесть | , а число 9 раздѣлит-
ся на пЪло на 3 , почему и будеілЪ
общей знаменатель 9 , которой и по-
ставляется по верхЪ черты, а потомЪ
сыскавЪ по §- у6. кЪ оному надлежа-
щей числитель данному равной , вы- I
читается по вышеписанному же.

о

-^7

?) 9 (3

> I 6	- 9 2

6 I

—_ вЪ остаткѣ»

9

8о. Естьли будутъ даны такія

Дроби , ѵ кошорыхЪ
тель не раздѣлится
шей , то должно

большой знамена-
на цѣло на мень-
сыскать по §• 7$°
общей
общей знаменатель и по 76. кЪ оному
надлежащіе числители , а впротчемЪ
поступать іпакЪ какЪ вЪ 79. на
примЪрЪ : изЪ 4 вычесть ? , что про-
изводится слЪдующимЪ обраЗомЪ :

12

4

3	=1 8

--- ѵ	3 -- 4.

12 общей знаменатель — вЬ остаткБ.

3 числитель первой дроби. 2 числи, второй дроби.
_3  __________________4__

3	8

81. Когда зададутся просто дро-
би , для вычету одной изЪ другой,
не обьявя, которая изЪ нихЪ больше
какЪ 1“ и 4? , то для познанія, ко-
торое число изЪ котораго вычесть
можно, поставляются дроби іпакЪі

4-32	493

И умножается однимЪ знамена-
телемъ числитель другой дроби ,
примЪчая, есгпьли произшедшес число
отЪ числителя больше, то и лома-

Л 5	нос
ное число будетЪ больше, затѣмЪ
что оныя изобрѣтенныя числа бу-
душЪ ’ ислипісли кЪ общему знаме-
нателю данныхЪ ломаныхЪ чиселЪ,
какЪ Здѣсь число прсизшедшее отгіЪ
числителя 29 по умноженіи онаго зна-
менателемъ 17 ю 493 есть больше
числа произшедшчго 492 хЪ ошЪ чис-
лителя 12 знамснлтелемЪ 41 умножс-
ннаго , почему и +т больше ѵ.

ГЛАВА XV

О

УМНОЖЕНІИ ДрОбЕЙ

§. 82. ВЪ УМНОЖЕНІИ ДрОбЕЙ
сушь четыре различныя свойства : пер-
вое при дробяхЪ другЪ дрѵгомЪ умно-
жающихся , случаются одинакіе и разли
чные знаменатели , второе ломаное
число умножается цѣлыми или цѣлыя
ломанымЪ, третіе цѣлыя и ломаныя
числа цѣлыми , а четвертое цѣ^іыя
и ломаныя числа цѣлыми же и ло-
маными.

5- 8?
умножая дроби дробями
одинакихЪ или различныхъ знамена-
телей множатся числитель числите-
лемЪ , а знаменатель знамсн.ітелемЪ >
на примерЪ: + умножить V или &,7, что
поставляется такЪ

3	і „ 3	$	7_ «

4	4—16	6	9—54

ПРИМѢЧАНІЕ

При умноженіи дробей другЪ другомЪ
бываетЪ произведеніе всегда меншемно-
жимаго числа, о чемЪ явствуюгпЪ про-
изведенія вышеписанныхЪ щ имѣровЬ,
потому что»с менше | умножснныхЪ
I, а И менше I умножснныхЪ | , чему
притчиною шо , что множимое число
во столько разЪ берется, сколько мно-
житель вЪ себЪ единицЪ содержитЪ ,
а вЪ сихЪ случаяхЪ множитель есть
только часть единицы , и потому
когда ? возмутся вЪ ?, шо доля.но про-
изойтить четверти отЪ |, которая
есть іі, что еще яснѣе видѣть можно,
когда
__________жэз

когда взять | аршина вЪ коихЪ соде^
ржится 12 вершковЪ вЪ четверть раза,
отЪ чего произойдетъ 3 вершка или
аршина.

84.	Когда должно помножить
ломаное число цѣлымЪ , или цѣлое
ломанымЪ, тогда умножается цѣлое
число числителемЪ , а потомЪ раздѣ-
ляется на знаменатель, напримѢрЪ:
помножить з мя 5, вЪ кошоромЪ слу-
чаЪ 5 умноженныя ? мя, дѢлаютЪ Ц
а раздѢля оныя на 4, будетЪ част-
ное число 5 I.

*	4)^(31

1	12	♦

4	4

ПРИМѢЧАНІЕ

ВЪ семЪ случаѣ каждая единица изЪ
5, будучи взята вЪІ раза, лишается
I , а всѢ |  по вычеше же I ; или і + изЪ
5 останется 5 I.

85.	При умноженіи цѢлыхЪ и
ломаныхЪ чиселЪ цѣлыми надлежишЬ
цѣлыя привесть по 63. в<ѣ др061’’
а впротнем^
а впрошчемЬ поступать по §. 85. илй
умножить Ъѣлыя и дробь порознь дан-
нымЪ числомЪ и ежели вЪ дробяхЪ
произведеніе будетЪ больше единицы ,
то приведши по §. 6г. вЪ цѣлыя при-
ложишь оныя кЪ произведенію цѣлыхЪ,
на примѣрЪ : умножить 5 ю 6 ? , что
п роизводится слЪдующимЪ образомЪ :

22—1. -----------із?

+ — і-----------4. а поприведеніи ьЪпѢльи

4-Ъ 3 5(.3 3 I есть желаемое произведеніе.

I 2

15

12

3

4

Или

б	Д~*Л—15!

5	4 — і---- 4	12

30	3

_ЗІ	4

331 есть желаемое произведеніе.

86. Естьли должно множили
цЪлыя и ломаныя числа цѣлыми же
й ломаными, то приводятся цѣлыя

М	ію
Г»____________ _____________________

по §.65. вЪ дроби, а потомЪ произво-
дится умноженіе по §.83. на при-
мѣрѣ: 8| умножить 65.

34

8.1	. б |	26

2б -- 3+	--- 884.	204.

~3 ’— ~~5 ' - 15	68 _

884.
15)884(58 желаемое произведеніе.

75

134

Т 20

*4
15

ГЛАВА XVI.

О

ДѢЛЕНІИ ДробЕЙ

§. 87. При ДѢЛЕНІИ ДробЕЙ оди-
накихЪ знаменателей имѢющихЪ ,
раздѣляется числитель дѣлимаго чи-
сла на числитель дѣлителя >• на при-
мѣрѣ в раздѣлить на I, которыя обѣ
дроби посіпавя гпакимѣ порядкомѣ
» - - » надлежитЪ раздѣлить 7 на 3, вѣ
котооомЪ случаѣ произтедшее част-
ное число 2 з показываешь , что § 9

столько


Л9

столько разЪ содержатся вЪ в потому
что 2 жды и будетЪ і?, а осгпалная »
отЪ дѣлимаго числа есть I • отЪ и;

88. Дроби различныхъ знамена-
телей имѣющія дѣлятся гпакЪ : пос-
тавя данныя числа умножаются оныя
на крестѣ одной дроби знаменатель
числигпелемЪ другой у для изобрѣтенія
новыхЪ числителей по §. 76 • кото-
рые бы были равны ДаннымЪ и имѣли
одинакаго или общаго знаменателя
на примѣрѣ Iх! , $ жды 4, 12, ко-
торое число есть дѣлитель, потому
что о'іое произошло отЪ числителя
дѣлителя , умноженнаго знаменате-
лемъ дѣлимаго числа , а по умноженіи
числителя дѣлимаго числа і , зна-
менаніе лемЪ дѣдишеля 5 ю произве-
деніе 5 есть дѣлимое число , слѣдо-
вательно частное число будетЪ ті, или
вмѣсто того, чшобЪумножать накре-
стЪ поставляется числитель дѣли-
теля какЪ здѣсь $ внизЪ вмѣсто
Знаменателя , а знаменатель 5 вверхЪ
вмѣсто числителя, которое премѣ-
ненное число I умножа \ по $. $
произойдетъ тоже и.

§. $9. Когда дѣлятся цѣлыя числа
На ломаныя или ломаныя на цѣлыя ;
на прим'ѣрЪ: з на | или | на то пос-
тавляется только подЪ цѣлыми едини-
ца , а впротчемЪ дѣлается по 88.
а именно;

Первое
|х* :или з— г“’з2 5) ” (*
з) 12 <4 частное число.

12

Второе
или	’3|і

” Т5
^3^

Т’|? частно^. число

90.	При дѣленіи цЪлыхЪ и лома-*
ныхѣ чиселѣ на цѣлыя же и ломаныя
приводятся оныя по §. 63. вЪ дроби,
а потомЪ производится дѣло по 88.
напрчмѣрЪ: раздѣлить 61 на 5І.


5’	<?:

_2^-Ѵ^-илиМЙ — ІО+),3<1^
$ /\ 4-	26—4.—ІС4.	1О/к

кэ^ )і35 (і іб+ частное число.

104

Зі

104

ГЛАВА XVII

О

Тройномъ ПРАВИЛЪ во общи

91,	ТрОИНОЕ ПрАВИЛОучитЪ кЪ
даннымЪ тремЪ числамЪ четвертое
или кЪ двумЪ третье вЪ геометриче-
ской пропорціи находить.

92.	Сіе правило раздѣляется на
двЪ части, а именно  первое на Обы-
кновенное Тройное Правило , посред-
ствомъ котораго сыскивается число,
содержащееся ко втор ому , такЪ какЪ
третье кЬ первому , на примЪрЪ •. за
4 пуда дано 3 рубли , что должно
дать за у г пуда? а 4 пуда содержатся
кЪ 32 пѵдамЬ такЪ какЪ і кЪ 8, по-
чему должно содержатся 3 вЪ сыс-

М 3	канной
канной цѢнѢ 8 разЪ то есть : 4, 32^13,
24; второе на Обрашишельное ' рой-
ное Правило, потому что вЪ ономЪ
обыкновенное положеніе осшатся не
можетЪ вЪ томЪ поряд \Ѣ, вЪ какомЪ
оно задано , но перемѣняется либо
положеніе или производится рѣшеніе
посредствомъ умноженія обратитель-
нымЪ образомЪ на примЪ] Ь : 6 чело-
вѣкѣ построили домЪ вЪ 12 недѣль,
сколько человѣкѣ здѢлаютЪ шоігіЪ же
домЬ вЪ 8 недѣль ? когда поставятся
члены по заданію , то произойдетъ
число меньше людей знаменующее , а
извѣстно что чемЪ менше людей ,.
іпѢмЪ долѣе имЪ проработать должно,
чего ради и перемѣняется положеніе
іпакимЪ образомЪ: какЪ 8 недѣль содер-
жатся кЪ 12 недѢлямЪ , такЪ будутЪ
содержатся 6 работниковъ кЪ сыскан-
ному числу р , зашѢмѣ что 8, І2~6, р,
и потому такЪ называемое обраши-
гпельное правило сѣ обыкновеннымъ
ліройнымЪ правиломЪ одинако.

ГЛАВА
____________3%________________

ГЛАВА ХѴПЕ

О

ОбЫКНОВЕННОМЬ тройномъ
ПРАВИЛЪ.

§. 9$. Для лутчаго показанія
Тройнаго Правила сообщаются здѣсь
нѣкоторыя примѣры сЪ ихЪ рѣшеніемъ
какЪ : кубическая сажень кирпича куп-
лена за 2 рубли, сколько дано за 99 ку-
бическихЪ саженЪ? изЪчего по §. 92. видно,
что какЪ і кубическая сажень содержит-
ся кЪ 99 саженямЪ, такЪ содержатся 2
рубли кЪ желаемому числу. При произве-
деніи сего поставляются числа такЪ:

Кубичес.саже.содер.кЬ такЪ какЪ руб.кЪ

I ------------- л 2—— 198

2

1)198(198

I

~~9

9
П

8

примЪ*
ПРИМѢЧАНІЕ I

ИзЪ § 5$• извѣстно Что пер-
вой членѣ сЪ правой руки 2 надле-
житъ умножить среднимЪ рір , а про
изведеніе оныхЪ раздѣлить на послѣ-
дней і , изЪ чего произойдетъ желае-
мое число рублевЪ, гпакимЪ же
образомЪ должно поступать и сЪ про-
тчими заданіями на примѣрѣ : 14 бо -
чекЪ извѣсти куплены за 5240 копѢекЪ ,
что должно заплатить за і$2бочьки?

бочекЪх бочки какЪ копѢекЪ

14---- 132------- 3240

132

6480
5)720
324-°
г 4) 427680(30^48 * коіМ-
42

7«

70

68

56

120

112 , *

I 4

Примѣ


. ПРИМѢЧАНІЕ 2.

Для познанія вѣрно ли рѣшена за-
дача по тройному правилу надлежитЪ
, сыскать по §. 54. експон. нтЪ дѣле-
ніемъ втораго члена на первой , или
перваго на второй и изобрѣтеннымъ
експонентрмЪ , когда доли.но искать
большее содержаніе, умножить тре-
тей. членЪ , а естьли меньшее , то раз-
дѣлить его на оной, и ежели произ-
веденіе или частное число будетЪ ра-
вно изобрѣтенному по тройному пра-
вилу, то здѣлано вѣрно , потому что
експонентЪ показываетъ содержаніе'
перваго члена во второмЪ, или вто-
раго вЪ первомЪ , а третьему надле-
житъ столько же содержатся гЪ че-
твертомъ , или четвертому вЪ тре-
тье мЪ , сколько первой во второмЪ
иди второй вЪ перьомЪ.

Повѣрка


ПовЪрка вышез/Вланной задачи.

14.) 132 (р | екслоленшЬ

1

б 3

тѵ ,

21

324.0 бв — 213 84,0

*	7---- 7

З240

бб

1Р440

ІР44°	•

7) 21384° (305Г48-*

21

~Т8”

35

34

28

бо

$б

4

7

§. 94. Когда вЪ одномЪ вЪ двухЪ или
во всЪхЪ членахЪ будѵіпЪ заданы вЪсйі
или деньги сЪ ихЪ мЪлкими частпьми,
то должно напередЪ привесть но §. 49-
всЪ болыюк званія ммселі) вЪ менынТя
изЪ данныхЪ , а потомЪ поступать

по вы-
іо?

но вышеписанному на примѣръ г за 2
рубли 15 когіѣекЬ куплено чаю і фун-
шЪ $о логповЪ , сколько можно купишь
онаго же чаю за 6 рублевЪ 49 конЪекЪ ?

2 руб. і$ когіЕекЪ бруб.4ркоп. іфу.золопг
юо	юо	32

200	бОО	32

1 5 ~	4Р	30

215 когіЬекЪ кЪ 644, ко. какЪ 62 лота кЪ

62

I 2 <?8

ЗЙР4

5)40238(і 87 лотпамЪ,
215

1873

1720

>53Ь

1505

33

215

32--- І87ЙІ

2і5	32 42Цв 

32	I А 215__________

,430 '688^)40238(5столькоФунтовЪ.

645	21*° °

•6880	5838

___32___

11676

17514

>8б8іб

Н 2	8і
іо8_____________	_

6880)186616(27 ІІ5 логи»

13760

4.92 іб
48 бо з«
іс'уб з
688с 215
примѣчаніе

Иногда задаются вЪ общемЪ трои-
НомЪ правилѣ ломаныя числа или цѣ-
лыя сЪ дробями, только было бы
излишнее, естьли бы сообщить отомЪ
правило, загпѣмЪ что когда извѣстны
четыре Арифмегпическія дѣйствія вЪ
дробяхЪ , такЪ же и тройное правило
вЪ цѢлыхЪ , то уже нѣіпЪ нималаго
зашруднѢнія и вЪ тройномЪ правилѣ» сЪ
дробями, чего-ради и прилагается здѣ-
сь Задача , только для показанія , какЪ
оное производится.

сажени кЪ сажени какЪ

I ------- I і ------- ’ рубля кЪ

” |	| умножь 5 4?

раздали	| х т?

4.5)бс(Гі рубля

І5_ І_
4$ и

или




или

з	б

5	$

15-	до

3	 2

V	>с( І5

ГЛАВА XIX

О

ОбрАТИТЕЛЬНОМЪ ТРОЙНОМЪ
ПрАВИлЪ

§. 9$. Понеже по §. 92. ОбрАТИ-
ТЕЛЬНОЕ ТРОЙНОЕ ПРАВИЛО сЪ
общимЪ одинако и оное посредствомъ
пропоці'и изъяснено , того ради со
общаются вЪ сей главѣ только нѣко-
торыя случающіяся при ономЪ обстоя-
тельства.
•

96. Обратитсльное тройное пра-
вило бываетЪ иногда одинакое и по-
тому называется просшымЪ; на при-

Н $	мЬрЬ


мѣрѣ: вЪ нѣкоторомЬ мѣстѣ было
Заготовлено провіанта на бо дней,
или на 2 мѣсяца для 15 ОС человѣкѣ,
а прибыло туда еще Зоо человѣкѣ,
на сколько же времени сгоэнетЪ всего
онаго провіанта на всѢхЬ оныхЪ лю-
дей ? Всякой легко разсудитъ, сто
2300 человѣкѣ сЪѢдятЪ сей прові-
антѣ скоряс, нежели 1500, для ко-
торыхѣ онЪ оылЪ заготовлснЪ, и для
того надлежитЪ сказать , чемѣ «пре-
восходитЪ ЧИСЛО 2^ СО ЧИСЛО 1500 ,
гпѢмѣ должно превосходить данное
время бо дней , или 2 мѣсяца иско-
мое время, то есть : 39 I? дня или
і й мѣсяца.

человѣкѣ человѣкъ	повѣрка

2300 ---- 1500-----родней 15(00)23(00)1

_ б о	і <;

23оо)роооо(з5?І,ДН-і	8

брсо	і5

21 ооо	1 т? раздѣли

2 О 7 С О	23 \ / бо

300	к А т

2}ОО~	23>со (зри

6 9
210

2ОТ

ІЗ

23СО
челоаБкЪ че.ловѢкЪ мѣсяца

2300--------1500—------- 2

2

23 со) Зоео (Л й члто ЗдѢлаепіЬ по зр, і
230^	мѣсяцъ р дуя, считая

7 оо	пЬка:і;докЪ ліЬсяііѢ по з о,-

23оо	днеі, или вышеизобр'Б-

піЬнн.>те зр дня.

А иногда при случающимся разныхЪ
обстоятельства \Ъ называется оног *
деойнымЪ , напримЪрЪ : нЪкто взял-
ея перевесть 20 пудЬ аммуницш изЪ
одного мѣста вЪдругое, разстояніемъ
вЪ 12 версіпахЪ за 16 рублевЪ, а по
с гучаю прибавлено ему еще 40 пудЪ,
что з флаетЪ сЪ прежними бо пудЪ,
о. Ъіуая ему за перевозку всего запла-
тить І44 рубли, сЪ платеж.емЪ по
веретно нотой же ,іуѢнѣ за пудЪ ,
чего ради должно сыскать, сколько
ему всрсіпЪ вести надлежитЪ ? вЪ семЪ
случаѣ извѣстно, что чемЪ больше
поклажи , для перевезенія чрезЪ 12 вер-
сп/Ъ, тТмЪ больше должно 'за оное
Заплатить по пропорціи противЪ до-
говора , а когда заплатится меньше д -

ІПО
то должно вести не такЪ далеко.
НапротивЪ того сстьли вЪ разсужде-
ніи договора на 12 верстЪ дастся
больше денегЪ ь то надлежйтЪ вести
далее.

§. 97. И такЪ должно употре-
блять и во всѢхЪ протчихЪ случаяхЪ
сему подобныхъ обратитсльное пра-
вило , а далее хотя бы была одна или
двЪ посылки по общему тройному пра-
вилу, какЪ вЪ вышеписанномЪ примЪрЪ.
Первое надлежишЪ дѣлать тіо обра-
піишельному правилу то есть ; какЪ бо
Кудѣ содержатся кЪго пудамЪ, такЪ со-
держатся 12 верстЪ кЪ 4 верстамЪ.

пудЪ пудЪ

6с---20----- 12 верстЪ

20

бо) 240 (4 версты.

240

ПотомЪ по общему правилу какЪ со-
держатся 16 рѵблевЬ , ко 144 мЪ
рѵблямЪ , такЪ будутЪ содержатся
4 версты кЪ $6 верстамЪ.
КЗО! «И

іб рублей 144 рубли 4 версіпы

_____4_

16^570^6 версігііп

48

96

X

§. 93. КЪ произведенію сего есть
еще легчайшей способѣ, а именно: над-
лея.иіпѣ данныя числа поставип ь по-
рядочно, поставя ЯлС оныя умной ишь
на кресшЪ оба главныя положенія ,
то есть • вЪ семЪ случаѣ дены и, обѣ-
ими присовокупленными, какЪ зД'сь
пудами , а потомЬ постпавя общее по-
ложеніе , или версты вЪ срединѣ, по-
ступать по §. 9 н что изЪ приложен-
наго примѣра явствуетѣ.

2опудЬ, Іб рубл. 12 вер. бо пу.14.4 рубли
26	бо

рбо -----12------2* *8°

•	12

5 бо

'	28ѵО

.960)34.56о(з<у сере,

2880

5760

5760

о	" ГЛА-




ГЛАВА XX.
О

ДЕЦИМАЛИ

ИЛИ »
десетичнъіаЪ дробяхъ

§. 99. ДЕЦИМАЛбіО называется
легкой способЪ , вЬ которомЪ какЪ цѣ-
лыя, такЪ и части оныхЬ різдѣл юи-
ся, для иЗ-Ѣжанія зтпруднѣнія, огпЪ
различныхъ частныхЪ рдзДѣлен.и про-
изходящаі о, всегда вЪ ю чостей за
оными слѣдуюіуихЪ. Сей способЪ .на-
длежитъ больше до Геометріи.

§. ЮО. Главное дѣло при Децимоли
состоитЪ вЪ знаніи раздѣленья раз-
личныхъ мЪрЪ и ихЪ содержанія дрѵгЪ
кЪ дрегу > такЪ же знаковЪ при де-
сетичномЪ р зЪлсн и вЪ лттнейной,
плоскотной и корпусной мЪрЪ ѵпо-
требляемыхЪ , чсо ради слТ^ѵсгіЪ
здѣсь раздѣленіе нужнѣйшихъ изЪ ли-
ньйныхЪ


иныхЪ мѣрѣ, а 1-о.помІЭ и содержаніе
оныхЪ другѣ кЪ другу.

і)	Десетичная или Геометри-
ческая рута раз/ѣляется вЪ іо
футовЪ , вмѣсто которой руты
можно взять всякую изЪ нижеслѣ-
х дующихЪ и протчихЪ мѣрѣ , раз-
' дѣля ея , вмѣсто употребляемаго
раздѣленія , вЪ іо частей.

2)	реинляндская рута содержитЪ
вЪ себѢ і2 футовЪ.

5) французской тоазЪбфутовЪ,

4	) россійская сажень 7 Аглин-
скихЪ или россійскихъ футовЪ.

5	) фугпЪ раздѣляетсявЪдесстичной
мѣрѣ на Ю, авЪпротчихЪ мѢрахЪ
на 12 цолей или дюймовЪ.

4$) Цоль или Дюймѣ раздѣляется
вЪ ю граней , или ячменныхЪ
эеренЪ.

0 2	7)
7) Грань вЪ іо первыхЪ шкрупе-
лей и такЪ далее, раздѣляя каждой
шкрупель вЪ ю частей послѣду^
ющ іго за онымЪ шкрупеля. '

Юі. Вышеписанныя мѣры соде-
ржатся друіЪ кЪ другу такЪ : когда
реинляндской футЪ раздѣлить на
1192 части , то такихЪ частей бу-
деігіЪ •-

еЪ французскомъ футѣ

1440..

вЪ АглинскомЪ ИЛИ россійскомъ I ’^о.

ИзЪ чего слѢдусглЪ, чпю

1440

Рсинл .ндскихЪ футовЪ равны і 392 мЬ
французскимъ , а 1350 рсинляндскихЪ
равны 1392 АулинскимЪ или рес-<
сійски иЪ фушамЪ, потому что феин-
ляндской фушЪ ргЗдѢлснЪ *>вЪ 1392,
части, которыя умножа 1440 ю прои-
зойдетъ 2004480 частей, содеряА-
іцихся вЪ 1440 р>.ин іяндскихЪ фу-
шахЪ, а когда сіе произведеніе 2004480
раздѣлится на 1440 частей , для
Ирго что оныхЪ содержится столько
вЪ
вЪ французскомъ футѣ, шо произой-
дешь і 392 французскихъ футовЪ. На-
противъ того когда 14*4° частей ,
во которыя раздЪлсн'Ь французекой
фуіпЪ умножатся 1392, то произой-
детъ , что вЬ 1592 французскихъ
фушахЪ будетЪ іпакихЬ частей
2004480, которыя раздѣлана 1592 час-
ти содержащіяся вЬрсинляндскомЪ фу-
тЪ, частное число будетЪ 1440 рсин-
ляндскихЪ футовЪ, такимЪ же обра-
ЗомЪ произойдетъ, что 1350 реин-
ляндскихЪ футовЪ равны 1392 мЪ, а
1 3 $о французскихъ футовЪ 1440 Агли-
нскимЪ или россійскимъ футамЪ ,
шЬмЪ же порядкомЪ можно легко каж-
дую мѣру превратить вЪ другую а имен-
но : должно сыскать по §, 49. сколько
будетЪ вЪ данной мЪрЪ футовЪ и
сколько вЪ тЪхЪ фушахЪ обЪявлен-
ныхЪ мЪлкихЪ частей, а потомЪ
оныя раздѣлить на тѢжем'ѣлкія части,
сколько оныхЪ содержится вЪ томЪ
футѣ , вЪ какую мѣру оныя превра-


Іі8

———     —  —   ----------——I  

гпигпь наДлежитЪ , на примБрЪ : вЪ 360
реинляндскихЪ руітгахЪ сколько будетЪ
французскихъ июазовЪ ?

Збо реинляндскихЪ рутЪ.

_22_

720

212—

432остолькореинляндскихЪфутовЪ

1392

864.0

38880

I 2і>бО

4-330

боі 3440 столькомѢлкикЪчастей, кото-
рыя должно раздѣлить на содержащіяся вЪ Фран-
цузскомъ футѣ мѢлкія части :

' 1440) 6013440 (4176 столько Французскихъ
5-60	ФутовЪ , которые над-

2Г34	лежиіпЪ раздѣлить наб,

144.0	затѢмЪ что вЪФранцуз-

,	. скомЪ тоазѢ б ФутовЪ.

і оі>44	>

і оодо

*	8640

8640

б) 4176 (брб столько іпоазовЬ.

Зб_

57

54

Зб

Зб

Или
Или можно сіе здЬлашь по тройному
правилу.

рзіін: Фуга. реин. Ф. Фраи. ФушовЬ.

І44О-----432°------1392

47-0	.

2-’Ъ4-О

4176

*

1440)60і 344-о(Ті76- Фр^уЗскихЪ
57<5о	ФутовЪ, что

по гриведеніи
1440	вЬтэаэыздВ-

лаепіЬ тоже
1С, 8о	696 гаоазовЪ.

&640
8640

$. Ю2. Й) Дсцимали употребляю-
тся три различныя мѣры , а именно :
Линейная , Плоскостная и Корпусная.

§. іо?. ЛИНЕЙНАЯ МЪрА есть
разстояніе отЪ одного мѣста до дру-
гаго , которое измѣряется четверо-
угольнымЪ брѵскомЪ , содержащимъ вЬ
длину рѵшу , тоазЪ или сажень , и ра-
ЗдЪленннымЪ вЪ футы , цоли, гра-
ни , и такЪ далее, на кошоромЪ ру-
та, іпоазЪ или сажень означивается о.
120

футЪ римск 4мЪ пыфромѣ
1]олъ

Грань

П< рвой ІПкрупелЬ

Второй Шкрупель

Третей І1ІК|угель
Четвертой Ы<кр.упелі
И такЪ далее.

I
п
ш
IV

V
VI
VII

104. При измѣреніи плоскости,
КакЪ полей) луговЪ и протчаго изобрТм
таегпся сколько вЪ оныхЪ содс ряинн
ся равносігоронныхЪ и равноуголь-
ныхъ чешверруі олниКовЪ называемыхъ
ква^ратовЪ и ихЪ частей. Токоваго
квадрата длина и ширина равны рутЪ ,
тоазу или сажени, а называется оной
Квадратною рутою и означивается ,
О- Десятая часть квадратной рутЬі ,
гпоаза или сажени , называется рименЪ
рута, рименЪ іжоазЪ или ргмснЪ са-
жень , которая означивается римскимЪ
ныфромЪ і квадратной фуігіЬ есть
десятая часть рпменЪ руты , и озна-
чивается і і; такимЪ же порядкомЪ

раздѣляются
раздѣла ошся квадратной футЪ , ноль >
грань, и протчія и означиваются какЪ
Ниже слѢдуетЪ :

рименЪ футЪ	III

Квадратной Цоль	IV

рименЪ Цоль	V

Квадратной Грань	VI

рименЪ Грань	VII

Квадратной Первой Шкрупель ѴІЦ
римень Первой Шкрупель IX

Квадратной Второй Шкрупель X
рименЪ Второй Шкрупель XI
и такЪ далее.

§. 105. Измѣряя корпусы или тѣ-
ла , какЪ каменныя стѣны, земля-*
ные валы и прошчее , сыскивается
сколько содержится вЪ оныхЪ шссти-
сторонныхЪ корпусовъ , сЪ наружи
шестью равными квадратами окружен-
НыхЪ , и называемыхъ ' кубусовЪ и,
ихЪ частей. Таковаго кубуса длина ,
широта и высота равны рушѢ, то-
азу , или сажени , почему онЪ и назы-
вается кубическою рутою и означи-
вается о. Кубическая рута раздѣ-
ляется вЪ ю частей , изЪ которыхЪ

П	каждая
на

каждая шахшѣ рута , шахтѣ іпоазЪ
или шахтѣ сажень называется и
означивается римскимЪ цыфромѣ і >
которая раздѣляется вЪ ю же ча-
стей балкенЪ рута называемыхъ и 11
означиваемыхъ, когда же раздѣлится
балкенЪ рѵта вЪ іс частей , іпо про-
изойдетъ кубической футЪ, кото-
рой раздѣляется такЪ , какЪ и куби-
ческая рута , вЪ шахгпЪ футгЪ , балкенЪ
футЪ и вЪ кубическую цоль , кото-
рая такЪ же фкрупель и протчее раз-
дѣляются подобно рѵтамЪ и футамЪ
вЪ шахтѣ , и балкенЪ поли и шкру-
цели, а означиваются они слѣдую-

іцимЪ образомЪ •

Кубической ФутЪ	III

ШахтЪ ФутЪ	IV

БалкенЪ ФутЪ	V

Кубической цоль	VI

ШахтЪ Цоль	VII

БалкенЪ Цоль	VIII

Кубической Грань	IX

ШахтЪ грань	X

БалкенЪ Грань	XI

Кубиче-
Кубической Первой Шкрупель	ХИ

II) х.кЪ ,іервои Шкрупель	ХіП

ОдлкенЬ Первой Шкрупель	XIV

и іплко Далее»

ПРИМѢЧАНІЕ

• Для познанія ЗаданныхЪ гыфровЪ ,
какой гни мѣрыу линѢйной, к омѣ
выпенисанныхЪ ЗнаковЪ , другихъ не
употребляется. НдпротивЪ того у
ч кз і ратной прилагается □ , а у ку« и-
ческой какЪ г о изо нижеслѢдую^
щихЬ задачъ видно.

1	§. іоб. Что касается до четырехЪ

дѣйствіи вЪ децимали со знаками , і о
оныя весма не т эудны , ибо вЪ сложе-
ніи и вычитаніи характеры или знаки
становятся каждаго рода другѣ подЪ
дрѵгомЪ , а когда характеровъ по по-
рядку недостанетЪ , гго вЪ такомЪ
с аѵчаѣ вмѣсто цыфровЪ становятся
оо сЪ принадлежаіцими кЪ тому хара-
ктерами , а потомЪ складываются и

П 2	вы іи-
І?4-			

вычитаются такЪ какЪ вЪ простомЪ
Сложеніи и вычитаніи , поставляя надЪ
изобрѣтеннымъ числомЪ тѣ же знаки
на примѣрѣ :

сложить	вычесть
О	I	11  Т Т У  О	Г	ІТ  X 3  о	I	II	о	I	11  V	9^	V  х2> 4	3	7  е	і	іі
7 9 3	3 5 6 о і 11	ч ІГ

Когда должно сложишь $ < 4 сЪ 3
или вычесть изЪ шВхЪ же чиселЪ
меньшее изЪ большаго, шо произво-
дится сіе шакЬ:

сложишь	вычесть  Іг
О	I	ТТ  7^4  в 7	1Г>	-)О -)  °) ѵ"' °)
5	°	3  о	I	II  Г У		3 5 4  I	II  I 7 9  при-
ПРИМѢЧАНІЕ

Когда случится складывать, или
вычитать другія мѣры имѣющія не де-
сеігіичное раздѣленіе, то оныя дол-
жно привесть вЪ десетичную мѣру,
а понеже изЪ §. ісо. извѣстно, что
обыкновенная реинляндская рута ,
французской іпоазЪ и россійская сажень
равны реинляндской , французской и
Россійской десетичной или геомет-
рической рутѣ ,а по раздѣленію оныхЪ
мѢрЪ явно , что і О десетичныхЪ фу-
товЪ равны вЪ реинляндской мѣрѣ 12,
ѢЬ французской б, а вЪ россійской 7
^футамЪ, того ради каждую изЪ обЪ-
явленныхЪ мѢрЪ не трудно перемѣ-
нить вЪ десетичную или геометри-
ческую мѣру. На примѣрѣ : вЪ 25 рос-
сійскихъ саженяхЪ 3 футахЪ и 6
дюймахЪ, сколько будетЪ россійскихъ
ДесетичныхЪ рутЪ, футовЪ и цолей ?
діри когпоромЪ случаѣ сажени останутся
ГпѢ же, затѣмЪ что оныя равны де-
П 9 сетичнымЪ


сетичнымЪ руптамЪ , а фушы и дкймы
превратятся вЪ десетичную мѣру
слѣдующимъ образомЪ :

прос. фун1 прос.ф. хЮі іес^т фупіовЬ

7---- 3 , б-------1 о

<п	12	т

&+ люй' з<5	ісо^юймовЬ.

б

42 дюйма.

ЮО

84)42-00(50 десетпичныхЪ полей, или
4,-1 о раздЬляна і о) 5 0(5 десети-

--~	$ о ч н ы х Ъ
о	фушоЛ.

§. 107. ВЪ умноженіи десеніичныхЬ
дробей характеры складываюігся, а вЪ»
дѣленіи вычитаются , хотя бы знаки
были и равные. На иримѢрЪ помноа ишь
Руту фуігою, то оба знаки руты и
футы шо есть : о и і вЪ произведе-
ніи по сложеніи оныхЪ бѵдсшЪ і , ко-
торой вЪ плоскостной мі рѣ по §. і С<.
ЗнамснуешЪ рименЪ рушу, и такЪ симЪ
умноженіемъ произойдетъ плоскость
длиною вЪ рушу, а широтою вЪ футу ;

вЪ
вЪ дѣленіи же , когда раЗлЪдишСя ри-
менЪ рѵша на «руту , то по вычетѣ
і изЪ і остшеіпся о на примѢрЪ :
умножить	раздѣли^

Сг, г/

3 5	і'/2)4?2С)(2б

о і	X" *

4 ? 2 □

С С С/ С, »> ѵ . , „
5 4) ' 2 5 I 8 8(5 б'Ѵ >
10 2

2 з і'
5682204

278

'  -----1—4_ 272

1	4 7 г 8 б~Г

: - 1 ° 4	6 8

1,1	Іѵ V

,7 2 5^1 У

При-


ПРИМѢЧАНІЕ і

Повѣрка четырехъ дѣйствій вЪ деци-»
мали производится такЪ какЪ вЪ че-
тырехъ дѣйствіяхъ простыхЪ чиселЪ,
ПРИМѢЧАНІЕ 2.

Когда линѢя умно/.іится лиі-Фею , та
произойдетъ плоскость , а по умно-
женіи плоскости лиьѢею корпусѣ. На-
противъ того когда раздѣлите і ко-
рпусѣ на плоскость, то частное чи-
сло будетЪ линЪя, а когда раздѣли-
тся корпусѣ на линѣю , то выдепЪ
галоскосшь  по раздѣленіи же" пло-
скости на линѢю частное число бу-
дегпѣ лпнѢя , что изѣяскястся гео-»
метріею.

ГЛАВА ХХТ.	/

О

ИЗВЛЕЧЕНІИ РАДИКСА КВАДРАТ-
НАГО И КубИЧЕСКАГО.

ю8. Когда умножится число
или строка цыфровЪ само собою еди-

ножды >


49

Нож^ы , шо произойдешь ква^ратЬ
и потому произведеніе называется
квадрашнымЪ числомЪ , а множимое
число радиксомЪ. на примТрЪ ; ссшьли
умножится 6 ю 6, то произведеніе ^6
есть квадратное число , а 6 ралИг<сЪ
квадрата.

§. 109. Ежели умножится квадра-
тное число ради ѵСомЪ, или радиксЬ
дважды самЪ соэою, шо произведеніе
будетЪ кубическое число, а два раза
само собою умноженное число назы-
вается радиксомЪ кубическимЪ, на при-
М' рЬ: когда умножится число 36,
произшедшее отЪ радикса 6 гои 6 ю,
то выдешЪ 216 кубическое число , а 6
будепіЬ радиксЪ кубической.

§. по. Извлечь радиксЪ квадра-
тной значишЪ сыскать такое число,
которое бы по умноженіи оною са-
мимЬ собою произвело данное число.

Р	і-
у. ііі При извлеченіи ра, и«чСа ъу-
бическА’ о нчдлез итЪ изобрѣсп ь та-
кое число , которое бы по умноже-
ніи с* оего квадратнаго числа > или
самаго с бя два раза произвело дан---
ное число.

§. 112. Для извлеченія радикса ква-
дратнаго и кубическаго должно знать
кг’дріпіЬ и кѵбикЪ девепіи простыя?
пыфровЪ , что приложенная при семЪ
таблица показыв іетЬ.

іі?. При извлеченіи радикса кв^-
дрчтна о изЪ даннаго числа , на при-
мѢрЪ : изЪ числа 17956 раздѣляется

оное


оное сЬ правой руки вЪ члены, со-
держащіе по два цыфра, и производится
по.помЬ нил.еписаннымЬ порядкомЪ:

73>|$бО (и*

1

19
23
3
69
ІС$б
264.

4-
ю;б

Аимснно : должно сыскать вЪ таблицѣ
КвадратЪ, которой кЬ числу перваі о
члена всЪхЪ ближе, какъ кЪ і му,
котораго квадраіпЪ и радиксЪ і , оной
радиксЪ поставя За чертою подносится
квадратѣ онаго подѣ первой членѣ,
и вычтя изЪ онаго , когда будетЪ
остатокЪ, поставляется оной подЪ
чертою и причисляется ко второму
члену ; есть ли же подойдетЪ націло,
’ то сносится подЪ черту только
второй членЪ, какЪ здѣсь 79. ПослЪ
.	р 2	чею
чего взявѣ изобрѣтенной радиксѣ пер-
ваго члена вЬ двое, что ЗдѣласшЪ
2 , поставляется водѣ второй знакѣ
сЬ правой руки снес< ннаго члена , какѣ
Здѣсь по ІЪ 7 и раздѢля на оныя 2, 7.
Выде.пЪ 3 знаменующія радиксѣ сне-

сеннаго втораго члена , и оныя 3 по-
ставляются подлѣ радикса і и подѣ
п рвой цыфрѣ сѣ правой рѵки вто-
раго члена, пошомѣ умножа ногосыс-
канной радиксѣ у сімЪ собою, іг кѣ
же и дѣлителемѣ 2 мя произойдетъ
6р. Оныя вычтя изѣ 79 останется
ІО , кѣ которымѣ присорокѵпляюшся
снесеніемѣ цыфры третьяго члена
56, далее взявЪ дві изобрѣтенные
ра щкса вѣ двое за дѣлитель то есты
2*> и посшавя по. вышеписанному 6
подѣ второй , а 2 подѣ третей пыфрѣ
сѣ правой рѵки , должно раздѣлить
на оныя <СК , о пѣ чего произойдетъ
для рпдиксі 4 , которой ѵмнота самѣ
со~ою такѣ ис и дѣлителемѣ бѵдетѣ
1056, по вычетѣ коіпорыхѣ изѣ іо$6
не
не останется ничеі о и потому 6/дешЬ
I $ 4 желаемой раАиксЪ , или сіе про-
изводится слѣдующимъ образомЪ :

2)і|79і5<5О	(134.	поіфгка

1	134.

23) 7>	134.

----		53 <5
264,) ю5б-------------4-02

____I34

1795^0

ВЪ семЪ случаѣ дѣлается все тоже ,
что и вЪ вышеписанномЪ только, чп о
изобрѣтаемой цѣлитель, для кая даго
члена , поставляется не подЪ чис хами
чл^новЪ,но за чертою кЪ лѣвой рукѣ,
а при первомЬ дѣленіи всегда за чертою
। кЪ лѣвой рѵкѣ 2, знаменующія , что
изобрѣтенной радиксЪ , для сысканія
дѣлителя кЬ протчимЪ членамЪ дол-
жно брать всегда вЪ два раза.

§• г 14- Естпьли извлекается радиксЪ
Квадратной изЪ даннаго числа, кото-
рое не подойдетЪ на цѣло , га примѣрѣ:

□, то производится оно слѣдую-
щимъ ОбразомЪ:

!	Р?	70



и#

При семѣ Д йствіи ищегдся такЪ какЪ
и вышенанисано ргдиксЪ ближайшаго
квадратна о числа кЬ данному , оста-
шоко приводится вЪ десеіяичныя дро-
би , к.ікв зДЬсь осталось 6, кЪ кошо-
рымѣ приставляются два о , что Здѣ-
лаетЪ ооо квадратныхЪ футовЪ, за-
птѣмЪ что даны квадратныя руты, изЪ
жоторыхЪ каждая содеріитЬ вЪ сеѵ’п
Юо квадратныхЪ футовЪ, и погрому
вЪ остаіпочныхЪ 6 рутахЪ , будетЪ
бос футовЪ, а потомЬ продолжается
извлеченіе радикса по вышеписанному,
пока р зносгпь сысканнаго радикса сЪ
дѣйствительнымъ р гдиксомЪ не дости-
гнетъ до самой безконечной малости*

115. Когда изЪ даннаго числа
извлекается радиксЪ кубической, то
первое поставя оныя числа , дол.і но
раздѣлишь отЪ правой р,гки вЪ члены,
чтобЪ вЪ каждомЪ членѣ содержалось
но три цыфра , второе взять такое
Кубическое число , которое кЬ числу

пер-


---——

перваго члена сЪл'Бвой руки подсйдегпЪ
блиг.е про.н-іихЬ , какЪ вЪ нчжсьрило-
женномЪ примЪрЪ 8 , котораго числа
радиксЪ кубической есть 2 и оныя
Поставляются За чертою , третье
Вычесть кубикЪ 8 изо числа 12 пер-
ваго члена , причемЪ явится разность
4 , которую причислишь гЪ ЦыфрамЪ
втораго члена 977, четвертое* раз-
дЪлиыь на утроенной квадратЪ сыс-
каннаго радикса 2 , что здолаетЪ на
12 первые цыфры сЪ лЪвой руки вп о-
р.го члена 49 1 изЪ чего проиЗой^ ег./Ь
5 , которое число есть желаемой ра—
диксЪ втораго члена, пятое поста-
вить подЪ 4р произведеніе $6 , по-
умноженіи тройнаго квадрата перваго
члена з мя , то есть : сыскг.ннымЪ
радиксомЪ втораго члена , подЪ 97
произведеніе $4 по умноженіи утро-
еннаго радикса перваго члена 6 ква-
дрчтомЪ радикса сысканнаго втора-
го члена о ю, а иоіЪ 77, 27, то
есть; кубикЪ сысканнаго радикса $

1	втораго
втораго члена; шестое всѢ сіи про-
изведенія сложа вычесть сумму оньв.Ь
4157 изЬ числа вшораю члена 4977;
седмое, ежели по вычетѣ что останет-
ся , клкЪ здѣсь $Ю, то причислить
о чое кЬ третьему члену , а именно
кЬ 8 75 , а когда бы ничеі о не осталось,
іпо бы надлежало снести только чи-
сло третья о члена; впрошчемѣ же
поступать по вышеписанному на при*
мѢрЪ :
Первое правило	І''|9”7{8750 (23/

Второе	------

Третье	4 9 77

пвеотое 	Л 2 ,

Пятое	39

54
27

Шестое	_4і52

Седмое	81087^

Ч ‘ШЕершое	т гС~,

Пятое	"7^5$

І72<
12"

Шестое

с

чнсл*
т 5?

♦  1^. И I  		-- '	II ! .1  -  _

Ѵисла идлілго и шесіпл. о правила изобрЬгьаюш-
СЯ шакЪ:

Первой радиксЪ, куадратЪ онгго.

г	' 4

3	___3

С утрое.рад. 12 утрое, квад. идѣлити.

2,4 куби. р квад. он. го з чи желаема, радик.

< 4	3<? пер. чис. по пят. прав,

54 второе

$7 третье

440 7 сум. пошесш. пра.

/ва первые радикса , квадратЪ оныхЪ

33	32Р

3____ ________

утро, рад, і)- у~7 утрр. квад, идЪд.

52$ куб, квяд. онаго. у чис. желае. ради.

34$	7РЗ $ пе.чи*’. попят.пра,

і з	172$ второе

і" у третье

81087 5сум.пощес пра».

П< Ърка

Р351

23$

117$

4~О

9 -2 □

2 а У

2?61 •$

5буб7$

»ІОцо

|2Р77Ь7іЯ

при*
I Ірк іМЪЧлНіЕ

И такЪ вЪ дѣленіи перваго, Втора і о
•и п рсігьяго числа по пятому правилу
ізсбрѣтенна' о , мо^>но и неставиіпь і
а становится только сумма всѣхЪ
оныхЪ чиселЪ подЪ снесенной членѣ,
такЪ же не излишно поставишь здѣ-
лавЪ у дЬлимаі о числа сЪ лѣвой сто-
роны черту За оною цыфрЪ $ , вЬ
показаніе того, что прежде изобрѣтен-
ной радиксЪ такЪ же и квадратѣ она-
го умножается вегда 5 мя.

$. і іб. Естьли случится извлекать
радчксЪ кубика изЪ таковаго числа , ко-
п орос не ПодойдетЪ на цѣло , то про-
• изводится оное слѣдующимъ поряд-
комъ : надлежитЪ сначала поступать
“.ышепйсаннымЪ образомЪ. а потомЬ
остатокЪ вЪ послѣднемъ членѣ при-
весть прибавленіемъ трехЪ О вЪ де-
сетичньія дроби , поступая впротчемЪ
по вышесообщеннымЪ правила мЪ. На-
ирим*рЪ I извлечь радиксЪ кубика изЪ

0.	С 1

Первое
Второе* *	з

Треть» Т'о о о 64. іб 4.



48п

256000	4$

_2 4 п Я 4

1	4 ° * б	$744~*

14. і<?$

3___і

42 5 ? а

64, іб	і,

252 ^,2

4?__ 6-7 2

Й72	Й4__

.	*4І$*Ц

ЛовТрка

• і II

14 4
• 1 »*

I 4 4.

5 7 6

3 7 «

’ 44_______

* * гг >і» ц

’ ° 7 б'&
I 4 4

8 2 5 4 4

8 2 р 4 4

_ 2 о 7 3 _____«

Го I 11 III ,ѵ V VI

2. 9 8 $ і, 8 4

кѣчЗѵІЗ ' Ѵ'

і 4 с і б сложила

° * 11 11 I < V V 1

3 Р о О О о 0(3

ПРИМѢЧАНІЕ

ѴТрн извлеченіи радикса квадрата ра*
ЗдЬляются данные дИсеіпечные знаки

На 2 и произшедшее по раздѣлен.И
число поставляется надЪ первымЬ цы-
фромЬ сЪ правой руки изобрѣтеннаго
радикса , когда же данныхЪ ычаковЪ на-
цѣло раздѣлить нсмокно, то приба-
вляется у радикса еще одинЪ знакЬ

а при извлеченіи радикса кубика раз-
дѣляются данные десетичные знаки
На $ , какЪ. то изЪ квадратнаго дѣ-
ленія при §. 114. и изЪ кубическаго при

С 5	семЪ
»4«

Г-----—---------------—-~

семЪ §• і іб. видно , изЬ кошорыхЬ при
квадраптНомЪ пораЗдЬлен.и знака IV на
2, произошло 2, а при кубическомЪ по
раздѣленіи VI на , іі ;для чего же
ВышеписаннымЪ образомЬ извлекается
радиксЪ квадратной икубичсской пюо
€сзЪ геометріи изЪяснишь невозможно*

КОНЕЦЪ

с Ъ