БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ-
 ВЫПУСК  18
 Л.  В.  ТАРАСОВ
А.  Н.  ТАРАСОВА
 ВЕСЕЛЫ
 О  ПРЕЛОМЛЕНИИ
СВЕТА

БИБЛИОТЕЧКА-КВАНТ*
 выпуск  18
 Л.  В.  ТАРАСОВ
 A, 	Н.  ТАРАСОВА
 ВЕСЕЛЫ
 О  ПРЕЛОМЛЕНИИ
СВЕТА
 Под  редакцией
 B. 	А.  ФАБРИКАНТА
 МОСКВА  «НАУКА»
 ГЛАВНАЯ  РЕДАКЦИЯ
 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ  ЛИТЕРАТУРЫ
1982
 8  сап  АА^

22.34
 Т19
 УДК  535.3
 РЕДАКЦИОННАЯ  КОЛЛЕГИЯ:
 Академик  И.  К.  Кикоин  (председатель),  академик  А.  Н.  Кол¬
могоров  (заместитель  председателя),  доктор  физ.-мат.  наук
Л.  Г.  Асламазов  (ученый  секретарь),  член-корреспондент
АН  СССР  А.  А.  Абрикосов,  академик  Б.  К.  Вайнштейн,  за*
служенный  учитель  РСФСР  Б.  В.  Воздвиженский,  академик
|В.  М.  Глушков|,  академик  П.  Л.  Капица,  профессор  С.  П.  Капица,
академик  С.  П.  Новиков,  академик  Ю.  А.  Осипьян,  академик
АПН  СССР  В.  Г.  Разумовский,  академик  Р.  3.  Сагдеев,  кандидат
,хим.  наук  М.  Л.  Смолянский,  профессор  Я.  А.  Смородинский,
академик  С.  Л.  Соболев,  член-корреспондент  АН  СССР  Д.  К.  Фад¬
деев,  член-корреспондент  АН  СССР  И.  С.  Шкловский.
 Тарасов  Л.  В.,  Тарасова  А.  Н.
 Т  19  Беседы  о  преломлении  свега/Под  ред.  В.  А.  Фаб¬
риканта.—М.:  Наука.  Главная  редакция  фи¬
зико-математической  литературы,  1982,  176  с.,
ил.  —  (Библиотечка  «Квант».  Вып.  18)  —  25  коп.
 Книга  состоит  из  девяти  бесед,  охватывающих  широкий  круг  во¬
просов,  связанных  с  преломлением  света.  Познакомившись  с  ней,
читатель  убедится,  как  много  удивительного,  поучительного,  полез¬
ного  для  практики  может  заключаться  в,  казалось  бы,  хорошо  зна¬
комом  явлении  преломления  света.  Оно  позволило  объяснить  такие
«загадки»  природы,  как  миражи,  радуги,  гало,  ложные  солнца  и  дру¬
гие;  оно  же  помогло  человеку  «приручить»  световой  луч  с  тем,  чтобы
использовать  его  для  практических  целей  Популярно  и  увлекатель¬
но  авторы  рассказывают  о  призменных  и  линзовых  оптических  си¬
стемах,  о  кристаллооптике,  о  волоконной  оптике,  позволяющей,  об¬
разно  говоря,  произвольно  изгибать  световой  луч,  и  о  многом
другом.
 1704050000-085
Т  053(02)-82
 194-82.
 ББК  22.34
535
 1704050000-085
1 	053(02)-82
 194-82.
 ©  Издательство  «Наука»,
Главная  редакция
физико-математической
литературы,  1982

ПРЕДИСЛОВИЕ
 Почему  световой  луч  изменяет  свое  на¬
правление  при  прохождении  через  границу  двух  раз¬
ных  сред?  Почему  заходящее  Солнце  кажется  сплюс¬
нутым  по  вертикали?  Почему  возникают  миражи?
Почему  призма  разлагает  солнечный  свет  на  различ¬
ные  цвета?  Как  рассчитать  угловые  размеры  радуги?
Почему  удаленные  предметы  кажутся  близкими  при
разглядывании  их  через  трубу  Галилея?  Как  устроен
человеческий  глаз?  Почему  световой  луч,  проникая  в
кристалл,  расщепляется  на  два  луча?  Можно  ли  по¬
вернуть  плоскость  поляризации  луча?  Можно  ли  про¬
извольно  изгибать  световые  лучи?  Можно  ли  управ¬
лять  показателем  преломления?
 На  поставленные  вопросы  читатель  найдет  ответ
в  данной  книге.  При  этом  он  узнает,  как  был  открыт
закон  преломления  света,  как  едва  не  оказалась  на¬
веки  утраченной  ньютонова  теория  рефракции  света
в  атмосфере,  как  благодаря  опытам  Ньютона  были
разрушены  вековые  представления  о  происхождении
цветов,  как  была  изобретена  зрительная  труба,  как
постепенно,  в  течение  двадцати  столетий,  формирова¬
лись  представления  о  механизме  человеческого  зре¬
ния,  как  нелегко  происходило  открытие  поляризации
света.
 Чтобы  физические  и  исторические  мотивы  звучали
более  слитно,  авторы  ввели  в  текст  книги  специально
подобранные  задачи  (с  подробными  решениями),  гео¬
метрические  построения,  оптические  схемы  конкрет¬
ных  приборов  и  устройств.  Без  сомнения,  читатель
 1*
 3

станет  уже  иначе  воспринимать  выдержки  из  класси-
ческих  трудов  основателей  физической  Оптики  (на¬
пример,  из  «Лекций  по  оптике»  Ньютона  или  «Трак¬
тата  о  свете»  Гюйгенса)  после  того,  как  эти  выдерж¬
ки  «расшифрованы»  при  помощи  схем,  построений,
конкретных  задач.
 Таким  образом,  в  своем  путешествии  по  миру  пре¬
ломляющихся  световых  лучей  читатель  сможет  по¬
знакомиться  не  только  с  физической  сущностью  рас¬
сматриваемых  вопросов,  но  также  с  историей  форми¬
рования  физических  представлений  и  их  практиче¬
ским  воплощением  в  задачах,  построениях,  оптиче¬
ских  схемах.  Все  это,  как  надеются  авторы,^должно
сделать  путешествие  достаточно  увлекательным  и  по¬
лезным.
 Авторы  считают  своим  приятным  долгом  выразить
глубокую  благодарность  профессору  В.  А.  Фабри¬
канту  за  научное  редактирование  и  многочисленные
советы,  которые  способствовали  улучшению  книги.
 Авторы

БЕСЕДА  ПЕРВАЯ
 ЧТО  ПРОИСХОДИТ
СО  СВЕТОВЫМИ  ЛУЧАМИ
НА  ГРАНИЦЕ  ДВУХ  СРЕД?
 Кольцо  на  дне  сосуда  с  водой.  Возьмем
 какой-нибудь  не  слишком  глубокий  сосуд  с  непро¬
зрачными  стенками;  это  может  быть  кружка,  жестя¬
ная  банка,  кастрюля.  Положим  на  дно  сосуда  кольцо.
Будем  смотреть  под  таким  углом,  чтобы  видеть  часть
дна,  но  не  видеть  кольца.  Попросим  кого-нибудь  на¬
полнить  сосуд  водой,  не  сдвигая  его  с  места.  После
того,  как  уровень  воды  в  сосуде  поднимется  до  неко¬
торой  высоты,  мы  будем  видеть  лежащее  на  дне  коль¬
цо.  Этот  нехитрый  опыт  неизменно  производит  впе¬
чатление.  Он  хорошо  демонстрирует  явление  прелом¬
ления  световых  лучей  на  границе  вода  —  воздух
(рис.  1.1).
 Описанный  опыт  с  преломлением  света  известен
давно.  В  1557  г.  в  Париже  вышел  перевод  «Катопт¬
рики»  Евклида  (III  в.  до  н.  э.),  в  котором  мы  нахо¬
дим  следующее  утверждение:  «Если  какой-либо  пред¬
мет  поместить  на  дно  сосуда  и  удалить  сосуд  от  глаз
наблюдателя  настолько,  что  предмет  не  будет  виден,
то  он  вновь  станет  виден  на  этом  расстоянии,  если
сосуд  залить  водой».  Правда,  рассматриваемый  опыт
не  имеет  прямого  отношения  к  вопросам,  исследуе¬
мым  в  книге  Евклида.  Книга  посвящена  катоптрике,
 б

а  катоптрикой  в  те  времена  назывался  раздел  оптики,
относящийся  к  отражению  света;  преломление  же
изучалось  в  так  называемой  диоптрике.  Высказыва¬
лось  предположение,  что  опыт  с  кольцом  на  дне  со¬
суда  был,  возможно,  добавлен  в  книгу  переводчиком.
И  все  же  не  приходится  сомневаться  в  том,  что  этому
опыту  около  двадцати  веков.  Его  описание  имеется
в  других  древних  источниках  и,  в  частности,  в  книге
Клебмеда  (50  г.  н.э.)  «Циклическая  теория  метеоров»
(под  термином  «метеоры»  объединяли  тогда  все  не¬
бесные  явления).  Клеомед  писал:  «Разве  не  возмож¬
но,  чтобы  световой  луч,  проходя  сквозь  влажные  слои
воздуха,  искривлялся,  ...  ?  Это  было  бы  явлением
такого  же  рода,  как  то,  когда  круг  на  дне  сосуда,  ко¬
торый  не  виден  в  пустом  сосуде,  становится  видимым
после  заполнения  сосуда  водой».
 Используя  древний  опыт,  рассмотрим  следующую  вполне  со¬
временную  задачу.  В  цилиндрическом  сосуде  высота  стенок
равна  диаметру  дна.  На  центр  дна  положен  диск,  диаметр  ко¬
торого  вдвое  меньше  диаметра
дна  сосуда.  Наблюдатель  видит  лишь
самый  краешек  дна  (и,  естественно,
не  видит  лежащего  на  дне  диска).
Какую  часть  объема  сосуда  надо  за¬
полнить  водой,  чтобы  наблюдатель
смог  увидеть  хотя  бы  краешек  ди¬
ска?  Показатель  преломления  воды
п  =  4/з.
 Обозначим  через  О  диаметр  дна
сосуда,  а  через  Н  высоту  уровня
воды  в  сосуде,  когда  наблюдателю
становится  виден  край  диска
(рис.  1.2).  Закон  преломления  свето¬
вых  лучей  описывается  соотношением
 31П  {5
 =  п.
 (1.1)
 Перепишем  равенство  АВ  +  ВС  =  АС  в  виде  (0  —  #)1&а  +
+  Н  р  =  3/>/4  или  (с  учетом  того,  что  а  =  1  по  условию
задачи)
 ~  =  А(\  —1§  Р).
 (1.2)
 Переходя  от  р  к  зт  (5  и  используя  (1-1),  получаем
зт  8 	зт  а 	1
 V*  —  зт2р  Vпг—зт2  а  -\/2пг—1
 (1.3)
 6

Подставляя  (1.3)  в  (1.2),  находим
 Я  ^  У2л2  -  1  /
 Поскольку  п  =  4/з,  то  ЯД)  =  0,67.  Таким  образом,  наблюдатель
сможет  увидеть  край  диска,  когда  объем  воды  составит  0,67
объема  сосуда.
 Опыты  Птолемея.  В  рассмотренной  задаче  исполь-
зовался  закон  преломления  (1.1).  Открытию  этого  за¬
кона  предшествовали  длительные  исследования.  Их
начало  следует  отнести  ко  II  в.  н.  э.,  когда  Птолемей
пытался  экспериментально
между  углами,  которые  со¬
ставляют  падающий  и  пре¬
ломленный  лучи  с  перпен¬
дикуляром  к  границе  раз¬
дела  сред.
 Птолемей  применял  диск*
разделенный  по  окружности
на  360  частей.  В  центре
диска  крепились  концы  двух
линеек,  которые  можно  бы¬
ло  поворачивать  вокруг  точ¬
ки  крепления.  Диск  наполо¬
вину  погружали  в  воду
(рис.  1.3),  а  линейки  устанавливали  таким  образом,
чтобы  при  взгляде  вдоль  верхней  казалось,  что
обе  линейки  составляют  прямую  линию.  Птолемей
устанавливал  верхнюю  линейку  в  разных  положе¬
ниях  (отвечающих  разным  значениям  угла  а)  я
экспериментально  отыскивал  соответствующее  поло¬
жение  нижней  линейки  (соответствующий  угол  (3)*
Из  измерений  Птолемея  следовало,  что  отношение
зта/зтр  лежит  в  интервале  значений  от  1,25  до
1,34,  т.  е.  не  совсем  постоянно.  Таким  образом,  Пто¬
лемею  не  удалось  найти  правильный  закон  преломле¬
ния  света.
 Установление  закона  преломления  Снеллиусом.
 Прошло  более  четырех  веков,  прежде  чем  закон  пре¬
ломления  был,  наконец,  установлен.  В  1626  г.  скон¬
чался  голландский  математик  Снеллиус.  В  его  бума¬
гах  была  найдена  работа,  в  которой  был  фактически
сформулирован  закон  преломления.  Для  пояснения
выводов  работы  Снеллиуса  обратимся  к  рис.  1.4.
 1
 установить  зависимость

Пусть  РО—  граница  двух  сред;  лучи  падают  на  гра¬
ницу  в  точке  О.  На  рисунке  рассмотрены  три  луча
(7,2,3);  сс  1,  о&2,  а3—  углы  падения  этих  лучей,  р1,  рг,
рз  —  углы  преломления.  В  произвольно  выбранной
точке  Р  границы  раздела  сред  восстановим  перпенди¬
куляр  РО.  Обозначим  через  Дь  А2,  А3  точки  пересе¬
чения  с  этим  перпендику¬
ляром  преломленных  лу¬
чей  I,  2,  3,  а  через  В  и  В2,
Вз  —  продолжений  па¬
дающих  лучей  1,  2,  3  (на
рисунке  эти  продолжения
лучей  показаны  штрихо¬
выми  прямыми).  Снел-
лиус  экспериментально
установил,  что
ОА\ 	О  Ач
 ОВ1
 ОДз
 ов2  ов3
 для  всех
сред:
 лучей,
 Таким  образом,  отноше¬
ние  длины  преломленного
луча  от  точки  О  до  точ¬
ки  пересечения  с  прямой
РО  к  длине  продолжения
падающего  луча  от  точки
О  до  пересечения  с  РО
оказывается  одинаковым
падающих  на  границу  раздела
 ОА{
 ОВь
 =  сопз1
 (1.4)
 (индекс  I  фиксирует  тот  или  иной  световой  луч).
 Из  (1.4)  немедленно  следует  общепринятая  фор¬
мулировка  закона  преломления.  Поскольку
ОЛ;5шР/  =  РО  и  ОВь  51п  ш  =  РО,  то  из  (1.4)  полу¬
чаем
 81П  а.
8111
 сопзТ
 (1.5)
 Итак,  для  любого  падающего  на  границу  двух  сред
луча  отношение  синуса  угла  падения  к  синусу  угла
преломления  есть  величина  постоянная  для  рассмат¬
риваемых  сред.
 8

Объяснение  закона  преломления  Декартом;  ошиб¬
ка  Декарта,  Однако  по  неизвестным  причинам  Снел-
лиус  не  опубликовал  свою  работу.  Первая  публика¬
ция,  содержащая  формулировку  закона  преломления,
принадлежит  не  Снеллиусу,  а  известному  француз¬
скому  ученому  Рене  Декарту  (1596—1650).
 Декарт  увлекался  физикой,  математикой,  филосо¬
фией.  Он  был  своеобразной  и,  безусловно,  яркой  лич¬
ностью,  вызывавшей  немало  противоречивых  сужде¬
ний.  Некоторые  из  современников  обвиняли  Декарта
в  том,  что  он  воспользовался  неопубликованной  ра¬
ботой  Снеллиуса  по  преломлению  света.  Независимо
от  того,  видел  или  не  видел  Декарт  работу  Снеллиу¬
са,  такое  обвинение  следует  признать  несостоятель¬
ным.  Дело  в  том,  что  Декарт  пришел  к  формулировке
закона  преломления,  исходя  из  собственных  представ¬
лений  о  свойствах  световых  лучей.  Он  вывел  закон
преломления  теоретически  —  на  основе  предположе¬
ния  о  различии  скорости  света  в  разных  средах.
 Любопытно,  что  Декарт  сформулировал  закон
преломления,  используя  ошибочное  предположение  о
том,  что  скорость  света  возрастает  при  переходе  из
воздуха  в  более  плотную  среду.  Сегодня  представле¬
ния  Декарта  о  природе  света  кажутся  нам  весьма
путаными  и  наивными.  Он  рассматривал  распростра¬
нение  света  как  процесс  передачи  давления  на  окру¬
жающую  все  тела  и  проникающую  в  них  эфирную
материю.  В  его  работе,  озаглавленной  «Диоптрика»,
можно  прочитать:  «Поскольку  нет  пустоты  в  природе
и  поскольку  во  всех  телах  имеются  поры,  постольку
необходимо,  чтобы  эти  поры  были  заполнены  мате¬
рией,  весьма  разреженной  и  текучей,  которая  непре¬
рывно  распространяется  от  небесных  светил  до  нас...
Свет  есть  не  что  иное,  как  некоторое  движение  или
воздействие,  полученное  в  весьма  разреженной  мате¬
рии,  заполняющей  поры  других  тел».  Рассматривая
преломление  света,  Декарт  использовал  аналогию  с
мячом,  который  бросают  в  воду.  Он  утверждал,  что
«действие  лучей  света  следует  тем  же  законам,  что
и  движение  мяча».
 Идеи  Декарта,  относящиеся  к  преломлению  света,
иллюстрирует  рис.  1.5.  Пусть  —  скорость  передачи
светового  давления  в  первой  среде,  а  у2  —  во  второй.
Декарт  разлагал  оба  вектора  на  две  составляющие  —
 9

параллельно  границе  раздела  сред  (^-составляющие)'
и  перпендикулярно  к  этой  границе  (^-составляющие).
Он  полагал,  что  при  переходе  света  из  одной  среды
в  другую  изменяется  только  у-составляющая  вектора
V,  причем  в  более  плотной  среде  эта  составляющая
 больше,  чем  в  менее  плотной.
Иначе  говоря,
 V^X=V2X;  Ъ1у<У2  у. 	(1.6)
 Из  рисунка  видно,  что
 зша  _  у1х/У[  __  у2 	«ч
 81П  Р 	2 	'  *  '
 Основная  ошибка  Декарта  за¬
ключается  в  том,  что  он  пола¬
гал,  будто  в  более  плотной
среде  свет  распространяется
быстрее,  чем  в  менее  плотной,
тогда  как  в  действительности
все  происходит  наоборот.  «Чем  тверже  частицы  про¬
зрачного  тела,  —  приводил  Декарт  весьма  туманные
рассуждения,  —  тем  легче  они  пропускают  свет,  ибо
свет  не  должен  выталкивать  никаких  частиц  со  своих
мест,  аналогично  тому,  как  мяч  выталкивает  частицы
воды,  чтобы  пробить  себе  путь  через  них...».
 Ошибку  Декарта  исправили  Гюйгенс  и  Ферма.
 Принцип  Гюйгенса.  Знаменитый  голландский  физик
и  математик  Христиан  Гюйгенс  (1629—1695)  рас¬
сматривал  распространение  света
как  волновой  процесс.  Свет,  по¬
лагал  Гюйгенс,  представляет  со¬
бой  волны  в  эфирной  материи.
 Процесс  распространения  све¬
товых  волн  он  рассматривал  сле¬
дующим  образом.  Предположим,
что  световая  волна  является  пло¬
ской;  сечение  ее  фронта  (или,
иначе  говоря,  волновой  поверх¬
ности)  есть  прямая  линия.  Пусть
это  будет  прямая  АА  на  рис.  1.6.  Во  все  точки  прямой
АА  свет  приходит  одновременно  и,  согласно  Гюйген¬
су,  все  эти  точки  начинают  одновременно  действовать
как  точечные  источники  вторичных  сферических  волн.
Как  подчеркивал  Гюйгенс  в  своем  «Трактате  о  свете»,
 10

«...свет  распространяется  последовательными  сфериче¬
скими  волнами».  Через  некоторый  промежуток  време¬
ни  А/  фронты  этих  волн  будут  создавать  картину,  пока¬
занную  на  рис.  1.6  штриховыми  полуокружностями.
Проведем  огибающую  указанных  фронтов;  это  есть
прямая  ВВ.  Она  соответствует  новому  положению
фронта  плоской  световой  волны.  Можно  сказать,  что
за  время  фронт  световой  волны  переместился  из  по¬
ложения  ЛЛ  в  положение  ВВ.  Естественно,  что  все
точки  прямой  ВВ  также  могут  рассматриваться  как
источники  вторичных  световых  волн.  Стрелками  на
рисунке  показаны  световые  лучи.  В  каждой  точке
пространства  световой  луч  перпендикулярен  к  волно¬
вому  фронту,  проходящему  через  эту  точку.
 Такой  метод  построения  последовательных  поло¬
жений  волнового  фронта  (волновой  поверхности)  во¬
шел  в  историю  науки  как  метод  Гюйгенса.  Его  назы¬
вают  также  принципом  Гюйгенса  и  формулируют  так:;
каждая  точка,  до  которой  доходит  световое  возбуж-
дение,  становится  в  свою  очередь  центром  вторичных
волн;  поверхность,  огибающая  в  некоторый  момент
времени  эти  вторичные  вол¬
ны,  указывает  положение  к
этому  моменту  фронта  дей¬
ствительно  распространяю¬
щейся  волны.
 Принцип  Гюйгенса  и  за¬
кон  преломления.  Гюйгенс
вывел  закон  преломления
света,  используя  указанный
выше  принцип  (рис.  1.7).
 Пусть  на  поверхность  Л1Л4,
разделяющую  две  среды,  на¬
пример  воздух  и  воду,  па¬
дает  плоская  световая  волна,  характеризующаяся
углом  падения  а.  Обозначим  через  скорость  света
в  первой  среде  (в  воздухе),  а  через  Н2  —  во  второй
(в  воде).  Как  правильно  полагал  Гюйгенс,  >  V*.
На  рисунке  стрелками  показаны  .  четыре  световых
луча,  штриховой  прямой  А\В\  —  положение  волнового
фронта  в  момент,  когда  луч  1  достигает  границы  раз¬
дела  сред.  В  тот  же  момент  точка  А\  превращается,
по  Гюйгенсу,  в  источник  вторичной  сферической  вол¬
ны.  Заметим,  что  эта  волна  распространяется  как  в
 а

первой  среде,  так  и  во  второй,  порождая  соответст*
венно  отраженный  и  преломленный  световые  пучки;
ограничимся  рассмотрением  только  преломления.
Штриховой  полуокружностью  с  центром  в  А\  изобра¬
жен  на  рисунке  фронт  рассматриваемой  сферической
волны  через  промежуток  времени  Д^,  в  течение  ко¬
торого  луч  4  проходит  от  В\  до  А\.  Очевидно,  что
 =  (1.8)
 1 	71, 	71* 	' 	'
 В  момент,  когда  границы  раздела  сред  достигает
луч  2,  источником  вторичной  волны  становится  точка
А2.  Штриховая  полуокружность  с  центром  в  А2  есть
фронт  этой  волны  через  промежуток  времени  А/?,
в  течение  которого  луч  4  проходит  от  В2  до  А  и
Д^2  =  В2Аа/у  1  =  А2С2/г)2.  В  момент,  когда  границы
раздела  достигает  луч  3,  источником  вторичной  волны
становится  точка  Л3.  Штриховая  полуокружность  с
центром  в  Л3—  фронт  этой  волны  через  время  Д^з>
в  течение  которого  луч  4  проходит  от  В3  до  Л4;  Д^з  =
=  В3Л4Л>1  =  Л3С3Д>2.  Огибающая  изображенных  на
рисунке  полуокружностей  есть  прямая  С1Л4;  она  со¬
ответствует  волновому  фронту  преломленного  свето¬
вого  пучка  для  момента  времени,  когда  луч  4  дости¬
гает  границы  раздела  сред.  Из  рисунка  видно,  что
 31П  а  ^  “лиг  ’  р  =  "лиг  и’  след°вательн0>  1ЙПГ  =
 В  А
 “"л^сГ*  Используя  (1.8),  получаем  отсюда
 51П  а
 51П  Р  02
 (1.9)
 В  отличие  от  (1.7),  здесь  стоит  правильное  отношение
скоростей.
 Итак,  один  и  тот  же  экспериментальный  факт--»
установленное  Снеллиусом  постоянство  отношения
зта/зтр  —  оказался  обьясненным  на  основе  двух
противоположных  теоретических  посылок:  ошибоч¬
ного  предположения  Декарта  о  том,  что  скорость  све¬
та  в  плотной  среде  больше,  чем  в  воздухе,  и  правиль¬
ного  противоположного  предположения  Гюйгенса.  Мы
видим,  таким  образом,  что  один  и  тот  же  эксперимент
может  быть  привлечен  для  обоснования  разных  тео¬
ретических  концепций.  Разумеется,  теория  всегда  опи¬
рается  на  эксперимент  и  проверяется  им.  Однако  не
 12

следует  пытаться  выдвигать  новую  теорию,  опираясь
лишь  на  отдельные  эксперименты.  Пример  с  Декар¬
том—  не  единственный  пример  в  истории  физики,
когда  на  основе  недостаточного  экспериментального
материала  пытались  формулировать  теории,  которые
не  выдерживали  последующей  проверки  практикой.
Создание  новой  теории  требует  продуманной  системы
экспериментов,  которая  позволила  бы  испытать  раз¬
ные  стороны  теории,  проверить  ее  на  внутреннюю
прочность  и  соответствие  с  другими  известными  фак¬
тами  и  теориями.  Прекрасный  пример  в  этом  отно¬
шении—  глубоко  продуманная  система  опытов  с
призмами,  выполненных  великим  Ньютоном,  которая
позволила  ему  создать  свою  знаменитую  теорию  про¬
исхождения  цветов.  Но  об  этом  мы  будем  специально
говорить  позднее  (в  пятой  беседе),  а  теперь  вернемся
к  закону  преломления.
 Введем  показатель  преломления  п  для  данной
среды.  Согласно  современным  представлениям,
 я  = 	(МО)
 где  с  —  скорость  света  в  вакууме  (эта  фундаменталь¬
ная  физическая  постоянная  равна  2,9979.10®  м/с),  а
V  —  скорость  света  в  рассматриваемой  среде.  Исполь¬
зуя  (1.10)  и  (1.9),  перепишем  закон  преломления
света  в  виде
 81П  (X    Т12 	М  1  1  ^
 81Пр  _  ПХ  ’ 	1АЛ1;
 где  щ  и  П2  —  показатели  преломления  соответственно
первой  и  второй  сред.  Если  свет  переходит  из  воздуха
в  плотную  среду,  например,  воду  или  стекло,  то  в  за¬
коне  преломлении  можно  принять  скорость  света  в
воздухе  равной  с,  т.  е.  полагать,  что  показатель  пре¬
ломления  воздуха  равен  единице.  Тогда  закон  пре¬
ломления  принимает  вид
 81П  а
5Ш  Р
 :п,
 (1.12)
 где  п  —  показатель  преломления  плотной  среды.
Принцип  Ферма  (принцип  наименьшего  времени).
 Но  возвратимся  снова  в  XVII  в.  и  познакомимся  с  ис¬
следованиями  известного  французского  математика
Пьера  Ферма  (1601—1665).  Ферма  заинтересовался
 13

преломлением  света  немного  ранее  Гюйгенса.  Он
предложил  общий  принцип,  позволяющий  объяснить
ход  световых  лучей  в  различных  ситуациях  и,  в  част¬
ности,  при  прохождении  через  границу  двух  сред.
Этот  принцип  известен  теперь  как  принцип  Ферма,
или  принцип  наименьшего  времени.  Он  формулирует¬
ся  следующим  образом:  действительный  путь  распро¬
странения  света  (траектория.  светового  луча)  есть
путь,  для  прохождения  которого  свету  требуется  ми¬
нимальное  время  по  сравнению  с  другими  мысли-
мыми  путями  между  теми  же  точками.
 По-видимому,  идея  принципа  возникла  у  Ферма  в
результате  размышлений  над  утверждением  Герона
Александрийского  (II  в.  до  н.  э.)  о  том,  что  свет  при
 отражении  идет  из  одной  точки  в  другую  по  кратчай¬
шему  пути.  Действительно,  как  легко  убедиться,  раз-
разглядывая  рис.  1.8,  отвечающий  закону  отражения
путь  АВС  из  точки  А  в  точку  С  короче  любого  иного
пути,  например,  пути  АОС.  Ведь  длина  пути  АВС
равна  длине  отрезка  прямой  АС\,  тогда  как  длина
пути  АОС  равна  длине  ломаной  линии  АВС  1  (точка
С\  есть  зеркальное  изображение  точки  С).
 Очевидно,  что  преломление  света  не  подчиняется
принципу  кратчайшего  пути.  Размышляя  над  этим,
Ферма  предложил  заменить  принцип  кратчайшего
пути  принципом  наименьшего  времени.  Принцип  Фер¬
ма  очевидным  образом  объясняет  отражение  света.
При  этом  (в  отличие  от  принципа  кратчайшего  пути)
он  объясняет  и  преломление  света.
 В  известных  «Фейнмаиовских  лекциях  по  физике»
можно  найти  такой  отрывок:  «Чтобы  убедиться,  что
путь  по  прямой  здесь  (т.  е.  при  преломлении  на  гра¬
нице  двух  сред)  не  самый  быстрый,  представим  себе
следующую  ситуацию.  Хорошенькая  девушка  падает
 14

из  лодки  в  воду  в  точке  В  и  кричит,  просит  спасти.
Линия  X  —  это  берег  (рис.  1.9).  Вы  находитесь  на
суше  в  точке  А  и  видите,  что  произошло.  Вы  умеете
плавать  и  умеете  бегать.  Но  бегаете  вы  быстрее,  чем
плаваете.  Что  вам  делать?  Бежать  по  прямой  к  бе¬
регу?  Чуть  поразмыслив,  вы  поймете,  что  выгоднее
пробежать  несколько  дольше  по  берегу,  чтобы  умень¬
шить  ваш  путь  в  воде,  потому  что  в  воде  вы  будете
двигаться  гораздо  медленнее».
 Вывод  закона  преломления  из  принципа  Ферма.  А  теперь
попробуем  рассуждать  совершенно  строго.  Предположим,  что
плоскость  5  —  граница  раздела  сред  1  и  2  с  показателями  пре¬
ломления  П\  =  с!у\  и  п2  —  с/ц2  (рис.  1.10,  а);  как  обычно,  по¬
лагаем,  что  П\  <  п2.  Выбраны  две  точки:  над  плоскостью  5
(точка  А)  и  под  плоскостью  5  (точка  В).  Заданы  расстояния:
АА\  =  Ни  ВВ\  =  к2,  А\ВХ  =  I.  Надо  найти  такой  путь  из  А
 Рис.  1.10.
 в  В,  чтобы  время  на  его  прохождение  светом  было  наименьшим
по  сравнению  со  всеми  другими  мыслимыми  путями.  Ясно,  что
этот  путь  должен  состоять  из  двух  прямых  отрезков  —  АО  в
среде  1  и  ОВ  в  среде  2\  точку  О  на  плоскости  5  предстоит
найти.
 Из  принципа  Ферма  следует  прежде  всего,  что  точка  О
должна  находиться  на  пересечении  плоскости  5  с  плоскостью
перпендикулярной  к  5  и  проходящей  через  точки  А  и  В.  Дей¬
ствительно,  допустим,  что  указанная  точка  не  лежит  в  плоско¬
сти  Р\  пусть  это  есть  точка  на  рис.  1.10,6.  Опустим  из
перпендикуляр  0\02  на  плоскость  Р.  Поскольку  А02  <.  АО1  и
В02  <  ВОь  то  ясно,  что  на  прохождение  пути  А02В  затрачи¬
вается  меньше  времени,  чем  на  прохождение  пути  АО\В.  Таким
образом,  пользуясь  принципом  Ферма,  мы  убеждаемся,  что  вы¬
полняется  первый  закон  преломления:  падающий  и  преломлен¬
ный  лучи  лежат  в  одной  плоскости  с  перпендикуляром,  вос¬
становленным  к  поверхности  раздела  из  точки  преломления  луча.
Эта  есть  плоскость  Р  на  рис.  1.10,6;  ее  называют  плоскостью
падения.
 Далее  будем  рассматривать  световые  лучи  в  плоскости  па¬
дения  (рис.  1.10,  е).  Обозначим  А1О  через  х;  тогда  ОВ1  =  1  —  х.
 15

Время  Т,  требуемое  для  прохождения  из  Л  в  О,  а  затем  из  О
в  Ву  есть
 Т
 АО
 VI
 ОБ
 V2
 д/  А?  +  х2  д/й|  +  (/  —  х)2
Щ 	* 	Щ
 (1.13)
 Это  время  зависит  от  х.  В  соответствии  с  принципом  Ферма
величина  х  должна  быть  такой,  чтобы  время  Т  оказалось  наи¬
меньшим.  Тот,  кто  знаком  с  основами  математического  анализа,
знает,  что  при  таком  х  производная  6Цд.х  обращается  в  нуль:
 йТ  		х 	/  —  х
 йх  V^А^к2^-\-x2 	V2^^  к\-\-{I  —  х)2 	0-14)
 Поскольку  —г 	—  =  зт  а  и
 ДЛ'1  +  *2
 I  —  х
 д//г|  +  (/  —  х)2
 =  81П  Р,
 то,
 следовательно,
 5Ш  а  5Ш  Р
VI 	V2.
 (1.15)
 Из  (1.15)  немедленно  следует  второй  закон  преломления,  опи¬
сываемый  соотношением  (1.9).
 Правда,  сам  Ферма  не  мог  использовать  соотношение  (1.14),
ведь  аппарат  математического  анализа  был  развит  позднее  —
благодаря  исследованиям  Ньютона  и  Лейбница.  Для  вывода
закона  преломления  света  Ферма  применил  разработанный  им
метод  отыскания  минимумов  и  максимумов,
который,  по  сути  дела,  соответствовал  по¬
явившемуся  позднее  методу  отыскания  мини¬
мума  (максимума)  функции  посредством  ее
дифференцирования  и  приравнивания  нулю  по¬
лученной  производной.
 Применение  принципа  Ферма.
 Принцип  Ферма  можно  продемонстри¬
ровать,  рассматривая  следующий  при¬
мер.  Пусть  световой  луч  приходит  ив
А  в  В,  пересекая  границу  раздела
сред  с  показателями  преломления  п\
и  п2  (рис.  1.11).  Положим  АО  =  ОВ  —
=  /.  Направим  вдоль  границы  раз¬
дела  ось  х,  выбрав  начало  координат  в  точке  О  пере¬
сечения  луча  с  границей.  Проведем  произвольную  ло¬
маную  АСВ  (точка  С  должна  лежать  на  границе  раз¬
дела  сред).  В  соответствии  с  принципом  Ферма  вре¬
мя,  которое  потребовалось  бы  свету  для  прохождения
пути  АСВ,  будет  при  любых  значениях  х=  ОС  боль¬
ше  времени,  требуемого  для  прохождения  вдоль  реа¬
лизуемой  на  практике  траектории  АОВ  (для  которой
 16

81Па/зшр  =  пч/пх).  Убедимся  в  этом,  рассматривая
для  простоты  достаточно  малые  значения  х.
 Используя  теорему  синусов  для  треугольников
АОС  и  ВОС,  получаем
 АС  =  л/12  +  х2  +  21х  зт  а  =  IV1  +  (г]2  +  2ц  зт  а);
СВ  ==  /  д/1  +  (Л2  —  2г|  зт  Р) 	(г]  =  д;//).
 (1.15)
 Напомним  приближенное  соотношение  +  у=1  +
+  у/2,  справедливое  при  у  1.  Поскольку  мы  пола¬
гаем,  что  /  и,  следовательно,  т)  <С  1,  то  можно
воспользоваться  приведенным  выше  приближенным
соотношением  и  переписать  (1.16)  в  виде
 АС  =  1(1  +  г)  зт  а  +  г)2/2);
 СВ  =  /  (1  —  л  31п  Р  +  Л2/2). 	1Л  ^
 Время  Т,  требуемое  свету  для  прохождения  АОВ,
есть  Т  —  1(п\  +  п2)  /с.  Обозначим  через  Тх  время,  ко¬
торое  потребовалось  бы  свету  для  прохождения  пути
АСВ:  Тх  =  (АС-П1  +  СВ-п.2)/с.  Подставляя  сюда
(1.17)  и  используя  (1.11),  получаем  (с  учетом  того,
что  х\  —  х/1)
 Тх  =  ^  (л,  +  па)  +  у  7  (х)2  («1  +  «2)  =  Т  +  Ох2.
 Видно,  что  Тх  >  Т  при  любом  знаке  х.  Это  и  нужно
было  показать.
 Поработаем  с  принципом  Ферма,  решая  следующую  задачу.
На  дне  водоема  глубиной  Н  лежит  монета.  Мы  смотрим  на  мо¬
нету  по  вертикали  сверху.  Каково  кажущееся  расстояние  от  по¬
верхности  воды  до  монеты?  Показатель  преломления  п  воды
известен.
 На  рис.  1.12,  а  показан  с  большим  увеличением  хрусталик
глаза  наблюдателя.  Б  него  входят  два  световых  луча  от  мо¬
неты—  один  идет  строго  но  вертикали  (он  не  преломляется),
другой  идет  под  очень  малым  углом  (3  к  вертикали  (этот  луч
испытывает  преломление  на  границе  воды  и  воздуха).  Наблю¬
датель  будет  видеть  монету  в  той  точке,  где  сходятся  продол¬
жения  расходящихся  лучей,  приходящих  в  глаз.  Из  рисунка  вид¬
но,  что  это  есть  точка  С.  Значит,  искомое  кажущееся  расстояние
от  поверхности  воды  до  монеты  равно  ОС;  оно  обозначено
как  у.
 Чтобы  найти  у,  надо  знать  соотношение  между  углами  а
и  р.  Его  дает  закон  преломления:  зт  а/зт  |3  =  п.  Поскольку
здесь  углы  а  и  |3  очень  малы,  то  можно  спокойно  пользоваться
приближенными  соотношениями:
 зт  а  =  а  =  а,  зт  р  =  р  =  р
 (1.18)
 17

(отметим,  что  в  (1.18)  углы  должны  измеряться  не  в  градусах
или  минутах,  а  в  радианах).  Таким  образом,  в  рассматриваемом
случае  закон  преломления  выглядит  особенно  просто:
 ■  =  п.
 (1Л9)
 Из  простых  геометрических  соображений  (см.  рисунок)  следует,
что  Яр  =  х  и  уа  =  х;  следовательно,  Яр  =  уа.  Отсюда,  с
учетом  (1.19),  находим
 У
 Н_
 п
 (1.20)
 Как  видим,  задача  оказалась  довольно  простой  при  усло¬
вии,  что  нам  известен  закон  преломления.  Предположим  теперь,
 что  закон  преломления  не¬
известен.  Воспользуемся
принципом  Ферма,  который
позволит  нам  получить
(1.19)  и  тем  самым  решить
данную  задачу.
 Световой  луч  идет  из
точки  А  в  точку  В;  пусть
ОЯ  =  /г,  ИВ  =  /  (см.  рис.
1.12,6).  Обозначим  через  0\
точку,  в  которой  происходит
преломление  луча;  ОО1  =  х.
Надо  найти  такой  отре
зок  х,  чтобы  на  прохо
ждение  пути  АО\В  требова
лось  наименьшее  время
Время  Т  прохождения  ра'с
сматриваемого  пути  описы¬
вается  соотношением
 Рис.  1.12.
 п  Я
с  соз  р
 1  к
с  сова  *
(1.21)
 где  с  —  скорость  света  в  вакууме  (здесь  полагаем,  что  такова
же  скорость  света  в  воздухе).  Используя  (1.18),  представим
 созр  =  1  —  2  зш2~-=  1  —Р2; 	соза=1——а2.  (1.22)
 Учтем  также,  что  при  ^  <С  1  справедливо  приближенное  соотно¬
шение
 -^-==1  +  1. 	(1-23)
 С  учетом  (1.22)  и  (1.23)  преобразуем  (1.21)  к  виду
„  пН  Л  ,  В2\  .  к  Л  ,  а2  \

Поскольку
 а
 I  —  х
 ~й~*
 (1.24)
 то,  следовательно,
 х
 ~  Н’
 с
 (/  -  *)2  1
2к2
 Надо  найти  х,  при  котором  Т  будет  наименьшим.  Иначе  говоря,
надо  найти  х,  при  котором  принимает  наименьшее  значение
функция
 У  {х)  =  п
 х2
 Н
 (I  ~  х)2
к
 пк  -{-  Н
 нн
 Известно,  что  я-координата  вершины  параболы  у  =  ах2  +  Ьх  +  с
есть  Ь!2а.  Следовательно,  искомое  значение  х  равно
 пк  +  Н
 Подставляя  (1.25)  в  (1.24),  находима
откуда  следует,  что  а/|3  =  п.
 Полное  внутреннее  отражение  света;  предельный
угол  отражения.  До  сих  пор,  рассматривая  преломле¬
ние  света  на  границе  двух  сред,  мы  фактически  не
обращали  внимания  на  то,  что  одновременно  с  пре¬
ломлением  обычно  наблюдается  также  отражение
света  от  границы.  Строго  говоря,  оба  явления  (пре¬
ломление  и  отражение  света)  должны  рассматри¬
ваться  совместно.  Это  убедительно  показал  выдаю¬
щийся  французский  ученый  Огюст  Френель  (1788—
1827),  получивший  соотношения  для  интенсивности
преломленного  и  отраженного  световых  пучков  с  уче¬
том  интенсивности  падающего  пучка,  величины  угла
падения,  а  также  поляризации  света.  Эти  соотноше¬
ния  известны  сегодня  как  формулы  Френеля;  они
сохранили  свой  вид  и  в  современной  оптике.
 Формулы  Френеля  выходят  за  рамки  книги,  по¬
скольку  для  их  объяснения  пришлось  бы  использо¬
вать  электромагнитную  теорию  света.  К  тому  же  та¬
кая  характеристика  света,  как  его  поляризация,  тре¬
бует  специального  обсуждения.  Поэтому  ограничимся
чисто  качественными  замечаниями  о  взаимосвязи,  ин¬
тенсивности  преломленного  и  отраженного  световых
пучков,  рассматривая  случай  перехода  света  из  среды
с  более  высоким  в  среду  с  меньшим  показателем
 (1.25)
 Ы 	I
 пк  +  Н  9  Р  пк  +  Н*
 19

преломления  (иначе  говоря,  из  оптически  более  плот¬
ной  в  оптически  менее  плотную  среду).  Этот  случай
представляет  особый  интерес,  так  как  приводит  к  яв¬
лению  полного  внутреннего  отражения.
 На  рис.  1.13  представлены  четыре  случая,  отве¬
чающие  разным  значениям  угла  падения  а  светового
пучка.  Свет  падает  на  границу  сред  с  показателями
преломления  п\  и  п2,  переходя  из  среды  с  Лг  в  среду
 Рис.  1.13.
 с  Пи  причем  Лг  >  пи  По  мере  увеличения  угла  па¬
дения  интенсивность  преломленного  пучка  умень¬
шается,  тогда  как  интенсивность  отраженного  пучка
растет.  Когда  угол  падения,  увеличиваясь,  достигает
значения
 а0  =  агсзш  , 	(1.26)
 угол  преломления  р  принимает  значение,  равное  90э,
что  непосредственно  вытекает  из  закона  преломления
вта/зш  р  =  п\/п2.  Угол  ао  называют  предельным
углом.  По  мере  приближения  а  к  ао  интенсивность
преломленного  лучка  уменьшается,  обращаясь  в  нуль  Л
при  а  —  ао.  При  а  ^  ао  световой  пучок  полностью
отражается  от  границы  (рис.  1.13,г).  В  этом  случае
говорят  о  полном  внутреннем  отражении  света.
 Подчеркнем,  что  нельзя  утверждать,  будто  по  до¬
стижении  предельного  угла  преломленный  луч  скач¬
ком  «превращается»  в  отраженный.  В  действитель¬
ности  здесь  нет  никакого  скачка.  По  мере  того  как
угол  а  приближается  к  предельному  углу,  интенсив¬
ность  преломленного  луча,  непрерывно  уменьшаясь,
обращается  в  нуль,  а  интенсивность  отраженного
 20

луча,  непрерывно  возрастая,  становится  равной  ин¬
тенсивности  падающего  луча.  В  связи  с  этим  еще  раз
обратим  внимание  на  необходимость  совместного  рас¬
смотрения  явлений  преломления  и  отражения  света*
Заметим,  что  полное  внутреннее  отражение  яв¬
ляется  более  совершенным  (более  полным),  чем  от¬
ражение  от  специально  изготовляемых  металлических
зеркал,  где  всегда  происходит  некоторое  поглощение
энергии  падающего  пучка.
 С  явлением  полного  внутреннего  отражения  света  неизбежно
встречается  водолаз,  погрузившийся  под  воду.  Рассмотрим  еле*
 на  дне  водоема  на
 дующую  задачу.  Водолаз  ростом  к  стоит
глубине  Н.  Найти  минимальное
расстояние  от  точки,  где  стоит
водолаз,  до  тех  точек  дна,  кото¬
рые  он  может  увидеть  в  резуль¬
тате  внутреннего  отражения  от
поверхности 	воды.  Показатель
 преломления  воды  п  =  4/з-
 Обозначим  искомое  расстоя¬
ние  через 	Л—самая  близкая
 к  водолазу  точка  дна,  которую  он
может  увидеть  за  счет  полного
внутреннего  отражения.  Ход  све¬
тового  луча  из  точки  А  в  глаз  водолаза  показан  на  рис.
Предельный  угол  а0  определяется  соотношением
 1
 1.14.
 51П  ао  =  —.
 п
 (1.27)
 Из  рисунка  видно,  что
 I  =  К  «о  +  2  (Н  -  к)  а0. 	(1.28)
 Учитывая,  что  1&  а0  =  зт 	—  зт2  ао  и  используя  (1.27),
 преобразуем  (Р28)  к  виду  /,  =  (2Н  —  к)1л/п2--1.  Таким  обра¬
зом,  =  (з/л/7  )  (2Н  -  к).
 Графический  метод  построения  преломленных
лучей.  Существует  довольно  простой  метод  практи¬
ческого  построения  преломленных  лучей.  Этот  метод
иллюстрирует  рис.  1.15;  верхняя  часть  рисунка  отно¬
сится  к  случаю,  когда  свет  идет  из  среды  с  мень¬
шим  показателем  преломления  п\  в  среду  с  большим
показателем  П2,  а  нижняя  часть  относится  к  обрат¬
ному  случаю.-На  рисунке  выбраны  п\  =  1,4  и  П2  =  1,8.
 Начнем  с  верхней  части  рисунка.  На  ней  показаны
две  окружности  с  общим  центром  в  точке  О  на  гра¬
нице  раздела  сред;  радиусы  окружностей  относятся
 21

как  показатели  преломления  сред.  Пусть  окружность  1
есть  окружность  с  радиусом,  пропорциональным  п\,  а
окружность  2—  с  радиусом,  пропорциональным  а?..
Изобразим  падающий  световой  луч  с  углом  падения
а;  он  пересекает  окружность  1  в  точке  А.  Проводим
из  А  горизонтальную  прямую  и  находим  точку  В,
 ставлены  те  же  самые  окружности  1  к  2.  Только
теперь  точки  А  и  В  находятся  не  на  окружности  1%
а  на  окружности  2,  тогда  как  точка  С  находится  на
окружности  1,  а  не  на  окружности  2.  Предположим,
что  падающий  луч  идет  под  таким  углом  (угол  ао),
при  котором  отрезок  от  точки  пересечения  луча  с  ок¬
ружностью  2  до  вертикали  00{  (отрезок  Д1О2)  равен
радиусу  окружности  1.  В  этом  случае  преломленный
луч  должен  был  бы  пройти  через  точку  С\.  Угол  ао
есть  предельный  угол:  зт  а0  =  А1О2/А1О  =  п\/п2.
 Излучение  Вавилова  —  Черенкова  и  законы  пре¬
ломления  и  отражения  света.  В  заключение  остано¬
вимся  на  весьма  интересной  аналогии  между  зако¬
нами  преломления  и  отражения  света,  с  одной  сто»
 пг
 в  которой  она  пересе¬
кается  с  окружностью
1.  Затем  из  В  прово¬
дим  вниз  вертикаль  до
пересечения  с  окруж¬
ностью  2  (в  точке  С),
Искомый  преломлен¬
ный  луч  будет  прохо¬
дить  через  точку  С.
Чтобы  убедиться  в
этом,  достаточно  запи¬
сать  следующие  соот¬
ношения:
 $1П  а    ОС    п2
 51П  Р 	АО 	П\
 Рис.  1.15.
 Аналогичные  рас¬
суждения  проводятся  в
случае,  который  изо¬
бражен  в  нижней  ча¬
сти  рисунка.  Там  пред-
 22

роны,  и  закономерностью,  которой  подчиняется  излу¬
чение  Вавилова  —  Черенкова,  с  другой  стороны.  Как
известно,  открытый  в  1934  г.  эффект  Вавилова—Че¬
ренкова  заключается  в  том,  что  электрон,  движущий¬
ся  в  некоторой  среде  со  скоростью,  превышающей
скорость  света  в  этой  среде,  порождает  специфиче¬
ское  излучение  (излучение  Вавилова  —  Черенкова).
Фронт  этого  излучения  можно  построить,  используя
 принцип  Гюйгенса.  На  рис.  1.16  показаны  четыре  по¬
следовательных  положения  движущегося  электрона:
Л,  5,  С,  Б  (АВ  =  ВС  =  СО).  Электрон  движется  со
скоростью  и  и  проходит  расстояние  от  А  до  О  за  вре¬
мя  А/  =  АО/и.  Каждая  точка  траектории  электрона
может  рассматриваться  как  источник  сферической
световой  волны,  который  начинает  действовать  в  мо¬
мент  прохождения  электрона  через  данную  точку.
Световые  волны,  порождаемые  электроном,  распро¬
страняются  со  скоростью  у;  напомним,  что  в  данном
случае  V  <  и.  Фронты  этих  волн,  зафиксированные
в  момент,  когда  электрон  достиг  точки  /),  показаны
окружностями  на  рисунке.  Радиусы  изображенных
окружностей:  ЛЛ1  =  у»А^,  ВВх  =  2у-Д//3,  СС\  —
=  а*Д//3-;  огибающие  фронтов  сферических  волн
представляют  собой  прямые  линии  (А\0  и  Л20),  со¬
ставляющие  с  направлением  движения  электрона
угол  а.  Легко  видеть,  что  этот  угол  удовлетворяет
соотношению
 51П  а
 АА\    х)_
 Ай 	и
 (1.29)
 Таким  образом,  рассматриваемое  излучение  реали¬
зуется  в  виде  двух  плоских  волн,  распространяющих¬
ся  под  углом  0  =  90°  —  а  к  направлению  движения
электрона.
 23

Интересно,  что  условие  излучения  Вавилова—*
Черенкова  (1.29)  можно  применить  не  только  к  бы¬
стро  движущемуся  по  среде  электрону,  но  и  к  любому
иному  «сверхсветовому»  источнику.  Предположим,
что  на  границу  раздела  двух  сред  с  показателями
преломления  п\  =  с/ю\  и  П2  —  с^2  падает  плоская
световая  волна  под  углом  а  (рис.  1.17).  Точка  А  —
след  линии  пересечения  фронта  падающей  световой
 волны  с  плоскостью,  разграничивающей  среды.  Эта
точка  перемещается  вдоль  х-осп  (вдоль  границы
сред)  со  скоростью
 V
 г
 У\
 ьш  а
 (1.30)
 Скорость  V'  больше  скорости  света  как  в  среде  7,
так  и  в  среде  2  (последнее  не  выполняется  лишь  в
тех  случаях,  когда  п\  >  П2  и  при  этом  угол  падения
больше  предельного  угла).  Поэтому  как  в  среде  /,
так  и  в  среде  2  будет  порождаться  излучение  Вави¬
лова—  Черенкова.  Фронты  этого  излучения*  образуют
с  я-осыо  углы  а\  (в  среде  1)  и  аг.  (в  среде  2)\  эти
углы  различны,  поскольку  различны  скорости  света  в
рассматриваемых  средах.  В  соответствии  с  (1.29)  мо¬
жем  записать
 $т<Х1  =  -р-; 	(1.31)
 31П  а2:
 У2
 V'
 (1.32)
 Подставляя  (1.30)  в  (1.31),  получаем  зта1  —  эта,
т.  е.  приходим  к  закону  отражения  света.  Подставляя
 24

(1.30)  в  (1.32),  получаем  зт  а2  =  (^2/^1)  31  п  а,  что
соответствует  закону  преломления  света.  Таким  обра¬
зом,  выявляется  любопытная  аналогия  между  явле¬
нием  излучения  Вавилова—Черенкова  и  явлениями
отражения  и  преломления  света  на  границе  двух  сред
(на  эту  аналогию  обратил  внимание  академик
И  М.  Франк).  Отраженная  и  преломленная  световые
волны  могут  рассматриваться  как  излучение  Вави¬
лова—  Черенкова,  порождаемое  в  граничащих  друг
с  другом  средах  «сверхсветовым»  источником,  пред¬
ставляющим  собой  быстро  перемещающуюся  линию
пересечения  фронта  падающей  световой  волны  с  гра¬
ницей  раздела  сред.
 Если  п2  <  п\  и  при  этом  угол  падения  света  па
границу  сред  удовлетворяет  условию  зта>  п2/пи
то  определяемая  соотношением  (1.30)  скорость  г/
оказывается  меньше  скорости  света  в  среде  2.  В  этом
случае:  V^<V'  <.  у2.  Поэтому  излучение  Вавилова  —
Черенкова  будет  порождаться  только  в  среде  /,  что,
как  легко  сообразить,  соответствует  явлению  полного
внутреннего  отражения.

БЕСЕДА  ВТОРАЯ
 К  КАКИМ  ОБМАНАМ  ЗРЕНИЯ
ПРИВОДИТ  РЕФРАКЦИЯ  СВЕТА
В  ЗЕМНОЙ  АТМОСФЕРЕ?
 Рефракция  света  в  атмосфере;  угол
рефракции.  В  предыдущей  беседе  мы  предполагали,
что  скорость  света  в  воздухе  равна  скорости  света
в  вакууме,  т.  е.  считали,  что  показатель  преломления
воздуха  равен  единице.  В  действительности  такое
предположение  является  приближенным.  Оно  оправ¬
дано,  если  рассматривается  переход  светового  луча
через  границу  между  воздухом  и  водой  или  воздухом
и  стеклом.  Однако  оно  становится  неправомерным  при
рассмотрении  распространения  света  через  земную
атмосферу.  При  этом  необходимо  учитывать  не  толь¬
ко  то,  что  показатель  преломления  немного  больше
единицы,  но  и  то,  что  он  изменяется  от  точки  к  точке
соответственно  изменению  плотности  воздуха.  Атмо¬
сфера  представляет  собой  оптически  неоднородную
среду,  поэтому  траектория  светового  луча  в  атмосфе¬
ре,  строго  говоря,  всегда  в  какой-то  степени  криволи¬
нейна.  Искривление  световых  лучей  при  прохождении
через  атмосферу  называют  рефракцией  света  в  ат¬
мосфере.
 Различают  астрономическую  и  земную  рефракцию.
В  первом  случае  рассматривается  искривление  све¬
товых  лучей,  приходящих  к  земному  наблюдателю  от
небесных  тел  (Солнца,  Луны,  звезд).  Во  втором  слу¬
чае  рассматривается  искривление  лучей,  приходящих
к  наблюдателю  от  земных  объектов.  В  обоих  случаях
вследствие  искривления  световых  лучей  наблюдатель
может  видеть  объект  не  в  том  направлении,  которое
соответствует  действительности;  объект  может  ка¬
заться  искаженным.  Возможно  наблюдение  объекта
даже  тогда,  когда  тот  фактически  находится  за  ли¬
нией  горизонта.  Таким  образом,  рефракция  света  в
земной  атмосфере  может  приводить  к  своеобразным
обманам  зрения.
 26

Допустим  на  минуту,  что  атмосфера  состоит  из
набора  оптически  однородных  горизонтальных  слоев
одинаковой  толщины;  показатель  преломления  скач¬
ком  меняется  от  одного  слоя  к  другому,  постепенно
увеличиваясь  в  направлении  от  верхних  слоев  к  ниж¬
ним.  Такая  чисто  умозрительная  ситуация  показана
на  рис.  2.1,  а,  где  атмосфера  представлена  в  виде
 а)
 Рис.  2.1.
 трех  слоев  с  показателями  преломления  1  +  V,  1  +  2у,
1  +  3у,  где  V  <С  1.  Траектория  светового  луча,  прихо¬
дящего  к  земному  наблюдателю  от  некоторого  небес¬
ного  тела,  есть  в  данном  случае  ломаная  линия,  при¬
чем
 $!п  а  	.  , 	#  $ш  а|  	 1  +  2у  зш  «г  1  4~  Зу
 зш  ссх  “Г  V,  8щ  а2  1  +  V  ’  зш  аз  1  +  2у  ’
 В  действительности  плотность  атмосферы,  а  следо¬
вательно,  и  ее  показатель  преломления  изменяются
с  высотой  не  скачками,  а  непрерывно..Поэтому  траек¬
тория  светового  луча  представляет  собой  не  ломаную,
а  кривую  линию.  Такая  траектория  показана  на
рис.  2.1,6.  Предположим,  что  изображенный  на  ри¬
сунке  луч  приходит  к  наблюдателю  от  некоторого  не¬
бесного  объекта.  Если  бы  не  было  рефракции  света
в  атмосфере,  то  этот  объект  был  бы  виден  наблюда¬
телю  под  углом  а  (угол  а  рассматривается  по  отно¬
шению  к  вертикали;  его  называют  зенитным  рас¬
стоянием  объекта).  Вследствие  рефракции  наблюда¬
тель  видит  объект  не  под  углом  а,  а  под  углом  ф'.
 27

Поскольку  г])  <  а,  то  объект  кажется  находящимся
выше  над  горизонтом,  чем  это  есть  на  самом  деле.
Иначе  говоря,  наблюдаемое  зенитное  расстояние  объ¬
екта  меньше  действительного  зенитного  расстояния.
Разность  П  =  а—называют  углом  рефракции.
 Ранние  представления  о  рефракции  света  в  атмо¬
сфере.  Первые  упоминания  о  рефракции  света  в  атмо¬
сфере  относятся,  по-видимому,  к  I  в.  н.  э.  В  уже  ци¬
тировавшемся  труде  Клеомеда  «Циклическая  теория
метеоров»  читаем:  «Разве  не  возможно,  чтобы  свето¬
вой  луч,  проходя  сквозь  влажные  слои  воздуха,  ис¬
кривлялся,  почему  и  Солнце  кажется  находящимся
над  горизонтом  уже  после  того,  как  оно  в  действи¬
тельности  зашло  за  горизонт?»  Во  II  в.  ч.  э.  Птоле¬
мей  справедливо  указывал,  что  рефракция  должна
отсутствовать  для  лучей,  идущих  от  объекта,  находя¬
щегося  в  зените,  и  должна  постепенно  увеличиваться
по  мере  того,  как  объект  приближается  к  линии  го¬
ризонта  (т.  е.  по  мере  того,  как  возрастает  зенитное
расстояние).  Рефракцией  света  в  атмосфере  интере¬
совался  видный  арабский  ученый  XI  в.  Ибн  Аль-Хай-
тан,  известный  на  Западе  под  именем  Альхазена.  Он
отмечал,  что  вследствие  рефракции  света  длитель¬
ность  дневной  части  суток  немного  увеличивается.
Используя  удлинение  дня,  обусловленное  рефракцией,
Альхазен  пытался  вычислить  высоту  земной  атмо¬
сферы.
 Рефракция  света  по  Кеплеру.  Знаменитый  немец¬
кий  ученый  Иоганн  Кеплер  (1571  —1630)  в  своем
труде,  скромно  озаглавленном  «Дополнение  к  Витте-
лию»,  разработал  теорию  рефракции  света,  предпола¬
гая,  что  атмосфера  есть  однородный  слой  некоторой
толщины  Я,  имеющий  на  всех  высотах  одинаковую
плотность.  Не  надо  удивляться  такому  предположе¬
нию,  поскольку  во  времена  Кеплера  воздух  считался
невесомым;  пройдет  почти  полвека,  прежде  чем  Тор¬
ричелли  докажет,  что  давление  воздуха  убывает  с  вы¬
сотой.
 Рефракция  света  в  атмосфере  по  Кеплеру  пока¬
зана  на  рис.  2.2;  здесь  /?  —радиус  Земли,  Н  —  высота
воздушного  слоя,  образующего  атмосферу.  Угол  й  =
—  а\  —  а-2  есть  угол  рефракции.  Показанный  на  ри¬
сунке  световой  луч  преломляется  лишь  при  входе  в
слой  атмосферы  (в  точке  А).  Применяя  теорему  си-
 23

нусов  к  треугольнику  О\ОА,  получаем
 о,о 	н  +  н  /?
 =  или>  иначе>  ■^ГГ==^Г-
 0,2  =  СС1  —  й,  находим
 Я  31П  я|)
 Н  +  Н  *
 Ц\А
 31п  (180°  —  ф)
 Учитывая,  что
 81П  (а!  —  й)  =
 (2.1)
 Исходя  из  оценок  Альхазена,  Кеплер  принял
Н/Я  —  0,014  и,  применяя  формулу  (2.1),  вычислил
для  гр  =  90°  угол  а1  —  Й.  Он  ока¬
зался  равным  80°29',  т.  е.  заметно
меньше,  чем  следовало  ожидать  на
основе  известных  в  то  время  экспе¬
риментальных  данных.  Для  получе¬
ния  согласия  с  данными  наблюде¬
ний  следовало  взять  в  формуле  (2.1)
существенно  меньшее  значение
Н/Я  (равное  примерно-0,001).  Кеп¬
лер  сделал  отсюда  вывод,  что  реф¬
ракция  света  обусловлена  только
той  частью  атмосферы,  которая  не¬
посредственно  примыкает  к  земной
поверхности  и  имеет  высоту  не  бо¬
лее  5  км.  Можно  сказать,  что  в  ру¬
ках  Кеплера  был  ключ  к  открытию
убывания  плотности  воздуха  с  вы¬
сотой;  однако  он  так  и  не  сделал
решающего  шага.
 Согласно  современным  данным  максимальный
угол  рефракции  (угол  рефракции  при  ф  =  90°)  со¬
ставляет  35'.  Когда  мы,  любуясь  на
морском  берегу  закатом  Солнца,
видим,  как  нижний  край  светила
коснулся  линии  горизонта,  мы  обыч¬
но  не  сознаем,  что  в  действитель¬
ности  в  данный  момент  этот  край
светила  уже  находится  на  35'  ниже
линии  горизонта.  Интересно,  что
верхний  край  солнечного  диска  при¬
поднимается  рефракцией  слабее  —  только  на  29'
(ведь  рефракция  уменьшается  с  уменьшением  зенит¬
ного  расстояния).  Поэтому  заходящее  Солнце  кажет¬
ся  немного  сплюснутым  по  вертикали  (рис.  2.3).
 штштшш
 Рис.  2.3.
 29

Вообразим  на  минуту,  что  мы  живем  во  времена  Кеплера
и  при  этом  знаем,  что  при  Ф  =  90°  угол  рефракции  Й  =  35'.
Предположим  также,  что  нам  известен  показатель  преломлений
воздуха  вблизи  поверхности  Земли:  п  =  1  +  V,  где  V  =
=  2,92  -10-4.  Этот  результат  соответствует  температуре  15°  С
и  нормальному  атмосферному  давлению.
 Далее  воспользуемся  кеплеровской  моделью  однородной  ат¬
мосферы  и  найдем  отношение  Н/К  высоты  атмосферы  к  радиусу
 земного  шара.  Иными  словами,
решим  следующую  задачу:  пола¬
гая  атмосферу  оптически  одно¬
родной  и  имеющей  показатель  пре¬
ломления  1  +  V  =  1  +  2,92-10~4,
найти  отношение  высоты  атмо¬
сферы  к  радиусу  земного  шара,
если  известно,  что  максимальный
угол  рефракции  составляет  35'.
 Ситуация,  рассматриваемая
в  задаче,  изображена  на  рис.  2.4.
Вводя  обозначение  Н)Н  =  |  и
полагая  ф  =  90°,  перепишем
(2.1):
 8Н1  (<*1  —  й)  =  у^7|-. 	(2.2)
 Дополним  это  соотношение  законом  преломления  на
атмосферы:
 51П  а!
 зт  (а1  —  Й)
 =  1  +  V.
 границе
 (2.3)
 В  результате  приходим  к  системе  уравнений:
51П  (а1  —  й)  =  V»  \
зта!  =  (1  +  V)  у,  /
 (2.4)
 где  у  =1/(1  +2).  Используя  формулу  для  синуса  разности
углов,  преобразуем  первое  уравнение  системы  (2.4)  к  виду
 зт  а!  соз  Й  —  зт  Й  VI  8^2  а1  =  V*
 Подставляя  сюда  зт  о&1  из  второго  уравнения  системы
лучаем
 (1  +  V)  у  соз  Й  —  у  =  зт  Й  VI  —  (1  +  V)2  у2.
 (2.4),  по-
 (2.5)
 Поскольку  угол  Й  весьма  мал,  воспользуемся  'приближенными
формулами  (1.18)  и  (1.22):
 П2
 зт  О  =  Й,  соз  й  =  1 	2~, 	(2.6)
 после  чего  (2.5)  преобразуется  к  виду
 (V  -  -у-)  V  =  а  У1  ~  (1  +  2^)  V2 	(2.7)
 30

Попутно  мы  воспользовались  тем,  что  V  <  1  и  поэтому
(1  +  V)2  =  1  +  2г).  Подчеркнем,  что  в  (2.6)  угол  й  должен
измеряться  не  в  градусах  и  минутах,  а  в  радианах.  Для  перевода
35'  =  (7/12)°  в  радианы  надо  воспользоваться  пропорцией
 180  =  7/12  ’ 	^
 откуда  следует,  что  П  =  1,02-10~2  рад.
 Возведя  в  квадрат  обе  стороны  равенства  (2.7)  и  выполнив
затем  несложные  алгебраические  преобразования,  находим
 Т—-  +  (*)*+Н)*-  м
 Учитывая,  что  1/у2  =  (1  +  ^)2  =  1  +  2§,  получаем  окончательно
 ч-,+Сз-)!+(т)’- 	<2"»
 Подставляя  в  (2.10)  V  =  2,92-К)-4  и  О  =  1,02  •  10~2,  находим
|  =  5,7-10~4.  Примем  радиус  земного  шара  равным  #  =
=  6380  км.  Отсюда  следует,  что  высота  атмосферы  (в  рамках
модели  Кеплера)  должна  равняться  всего  лишь  =  3,64  км.
 Полученный  результат  не  должен  нас  обескура¬
живать:  ведь  в  действительности  плотность  воздуха,
а  вместе  с  тем  и  показатель  преломления  с  высотой
постепенно  уменьшаются.  Это  хорошо  понимал  вели¬
кий  английский  ученый  Исаак  Ньютон  (1643—1727).
 Восстановление  теории  рефракции  Ньютона  по  его
переписке  с  Флемстидом.  Ньютон  внес  исключитель¬
но  большой  вклад  в  развитие  теории  астрономической
рефракции  света.  К  сожалению,  он  не  включил  свои
исследования  в  этой  области  ни  в  «Лекции  по  оп¬
тике»,  ни  в  «Оптику».  Чрезвычайно  щепетильный  в
вопросах  научной  публикации  Ньютон  явно  недооце¬
нивал  значения  вычисленных  им  таблиц  рефракции
света.  В  одном  из  его  писем,  относящихся  к  1695  г.,
можно  встретить  такие  строки:  «Я  не  имею  намере¬
ния  писать  о  рефракции  и  не  желаю,  чтобы  таблица
рефракции  была  распространяема».  Сегодня  мы  мо¬
жем  познакомиться  с  исследованиями  Ньютона  по
рефракции  света  лишь  благодаря  счастливой  случай¬
ности.  Дело  в  том,  что  более  чем  через  сто  лет  после
смерти  великого  ученого,  в  1832  г.  на  чердаке  одного
из  домов  Лондона  были  обнаружены  27  писем  Нью¬
тона  к  Флемстиду.  Флемстид  занимался  астрономи¬
ческими  наблюдениями  на  обсерватории  в  Гринвиче;
он  имел  звание  «королевского  астронома»,  дарован-

ное  ему  английским  королем  Карлом  II.  Переписка
между  Ньютоном  и  Флемстидом  началась  в  1680  г.
по  поводу  наблюдавшейся  в  том  году  большой  ко¬
меты.  Эта  переписка  стала  особенно  частой  в  начале
90-х  годов,  когда  Ньютон  разрабатывал  более  точную
теорию  движения  Луны  и  использовал  результаты
астрономических  наблюдений.  В  середине  90-х  годов
Ньютон  изложил  в  письмах  к  Флемстиду  некоторые
теоремы,  касающиеся  теории  рефракции  света  в  ат¬
мосфере,  а  также  первоначальную  и  более  точную
таблицы  рефракции,  где  для  разных  значений  зенит¬
ного  расстояния  были  вычислены  углы  рефракции.
 Переписка  Ньютона  с  Флемстидом  была  издана
в  1835  г.  английским  Адмиралтейством.  В  продажу
книга  не  поступила;  ее  разослали  отдельным  научным
учреждениям  и  известным  астрономам.  В  30-х  годах
нашего  столетия  эту  книгу  совершенно  случайно  при¬
обрел  за  два  с  половиной  шиллинга  у  лондонского
букиниста  выдающийся  советский  ученый  в  области
кораблестроения  А.  Н.  Крылов.  Академик  А.  Н.  Кры¬
лов  хорошо  знал  творчество  Ньютона;  он  сделал
прекрасный  перевод  на  русский  язык  ньютоновых
«Математических  начал  натуральной  философии».
Используя  письма  Ньютона  к  Флемстиду  и  применяя
только  те  математические  средства,  которыми  распо¬
лагал  в  свое  время  Ньютон,  А.  Н.  Крылов  воскресил
доказательства  и  выводы  великого  английского  уче¬
ного  и  изложил  их  в  работе  «Теория  рефракции  Нью¬
тона»,  вышедшей  в  свет  в  1935  г.  В  заключительной
части  этой  работы  А.  Н.  Крылов  писал:  «Во  все  эти
подробности  я  вошел,  чтобы  показать,  насколько  пол¬
на  и  обща  та  теория  астрономической  рефракции,
которую  Ньютон  создал  в  конце  1694  и  начале  1695  г.,
но  которую  он,  к  сожалению,  не  опубликовал.  Если
развить  ньютонову  теорию  теми  элементарными  ме¬
тодами  анализа,  которыми  Ньютон  обладал,  и  срав¬
нить  ее  с  современными  теориями,  то  сразу  можно
будет  заметить,  сколь  простое  и  естественное  полу¬
чается  изложение  и  сколько  мало  к  нему,  по  су¬
ществу,  за  240  лет  прибавлено».
 Переходя  к  ньютоновой  теории  астрономической
рефракции,  начнем  с  письма  Ньютона  к  Флемстиду,
датированного  24  октября  1694  г.  В  этом  письме  Нью¬
тон,  в  частности,  писал:  «Я  того  мнения,  что  рефрак-
 32

ция...  слегка  изменяется  вместе  с  весом  воздуха,  по¬
казываемым  барометром,  ибо,  когда  воздух  тяжелее
и,  значит,  плотнее,  он  преломляет  более,  нежели
когда  он  легче  и  реже».  Вначале  Ньютон  полагал,
что  плотность  воздуха  убывает  равномерно  (линейно)
от  поверхности  Земли  до  верхней  границы  атмо¬
сферы.  Исходя  из  этого,  он  рассчитал  свою  первую
таблицу  рефракции.  Обнаружив  некоторое  расхожде¬
ние  между  результатами  расчета  и  данными  наблю¬
дений  Флемстида,  Ньютон  начал  работать  над  новой
таблицей  рефракции.  Он  отказался  от  предположения
о  линейном  убывании  плотности  воздуха  с  высотой
и  стал  полагать,  что  плотность  уменьшается  пропор¬
ционально  уменьшению  давления.  Ученый  писал  в
связи  с  этим,  что  «плотность  воздуха  в  земной  ат¬
мосфере  пропорциональна  весу  всего  накрывающего
воздуха»  (письмо  от  16  февраля  1695  г.).  Таким  об¬
разом,  Ньютон  фактически  пришел  к  выводу  об  убы¬
вании  плотности  атмосферы  с  высотой  по  экспонен¬
циальному  закону.
 Экспоненциальный  закон  убывания  плотности  ат¬
мосферы  с  высотой.  В  современной  физике  этот  закон
записывают  в  виде  так  называемой  барометрической
формулы;
 р(/0  =  р(0)ехр(— 	(2.11)
 Здесь  р(й)  —  плотность  воздуха  на  высоте  Л,  Т  —  аб¬
солютная  температура  воздуха,  предполагаемая  з
данном  случае  постоянной  на  всех  высотах,  §  —  ус¬
корение  свободного  падения  (9,81  м/с2),  к  —  постоян¬
ная  Больцмана  (1,38-10—23  Дж/К).  Под  т  здесь  пони¬
мается  масса  молекулы;  поэтому,  строго  говоря,  фор¬
мула  (2.11)  описывает  изменение  с  высотой  плот¬
ности  лишь  определенного  газа,  входящего  в  состав
воздуха,  например,  кислорода  (азота,  водорода
ит.  д.).  Чем  легче  газ,  тем  медленнее  уменьшается
с  высотой  его  плотность.  Барометрическая  формула
описывает  убывание  плотности  атмосферы  с  высотой
лишь  в  общих  чертах;  она  не  учитывает  ветра,  кон¬
векционных  потоков,  изменений  температуры.  Кроме
того,  высота  не  должна  быть  слишком  большой  (не
более  100—200  км),  чтобы  можно  было  пренебрегать
зависимостью  ускорения  §  от  высоты.
 2  Л.  В.  Тарасов,  А.  Н.  Тарасова
 83

Барометрическую  формулу  справедливо  связы¬
вают  с  именем  знаменитого  австрийского  физика
Людвига  Больцмана  (1844—1906).  Однако  следует
помнить,  что  первые  указания  на  экспоненциальный
характер  убывания  плотности  воздуха  с  высотой  со¬
держались  фактически  в  исследованиях  Ньютона  по
 рефракции  света  в  атмосфере
и  были  использованы  великим
английским  ученым  при  со¬
ставлении  уточненной  таблицы
рефракции.
 Рис.  2.5  показывает,  как  в
процессе  исследования  астро¬
номической  рефракции  уточня¬
лись  представления  об  общем
характере  изменения  показате¬
ля  преломления  атмосферы  с
высотой.  Случай  а)  соответ¬
ствует  теории  Кеплера,  б)  —
первоначальной  ньютоновской
теории  рефракции,  в)  —  уточ¬
ненной  ньютоновской  и  современной  теории  рефрак¬
ции  света  в  атмосфере.
 Своеобразие  солнечных  закатов;  появление  «слепой
полосы».  Рассматривая  рефракцию  света,  необходимо
учитывать  наряду  с  систематическим  изменением
плотности  воздуха  с  высотой  также  и  ряд  дополни¬
тельных  факторов,  многие  из  которых  имеют  доста¬
точно  случайный  характер.  Речь  идет  о  влиянии  на
показатель  преломления  воздуха  конвекционных  по¬
токов  и  ветра,  степени  влажности,  температуры  воз¬
духа  в  разных  точках  атмосферы  над  разными  уча¬
стками  земной  поверхности.  В  письмах  к  Флемстиду
Ньютон  указывал  на  важность  учета  подобных  фак¬
торов  при  сопоставлении  составленной  им  таблицы
рефракции  с  результатами  наблюдений.  «Причину
различной  величины  рефракции  при  той  же  самой
высоте  близ  горизонта,  —  писал  ученый,  —  я  усмат¬
риваю  в  различии  нагревания  воздуха  в  нижних  его
слоях,  ибо,  когда  воздух  от  теплоты  разрежен,  он
преломляет  менее;  когда  же  от  холода  он  уплотнен,
он  преломляет  сильнее.  Эта  разница  должна  быть
более  чувствительной,  когда  луч  идет  по  нижним
слоям  атмосферы,  ибо  лишь  эти  слои  то  разрежают-
 34

ся,  то  уплотняются  теплом  и  холодом,  тогда  как  сред«
ние  и  верхние  слои  всегда  холодные».
 Особенности  состояния  атмосферы  и  прежде  всего
особенности  прогревания  атмосферы  в  нижних  ее
слоях  над  различными  участками  земной  поверхности
приводят  к  своеобразию  наблюдаемых  закатов  Солн¬
ца.  Так,  иногда  Солнце  кажется  заходящим  не  за
линию  горизонта,  а  за  некоторую  невидимую  линию,
находящуюся  над  горизонтом  (рис.  2.6,  а).  Интересно,
 Ю
 Рис.  2.6.
 что  такое  явление  наблюдается  в  отсутствие  какой-
либо  облачности  на  горизонте.  Если  в  это  время  под¬
няться  на  вершину  холма  (на  верхний  этаж  здания,
на  верхнюю  палубу  большого  теплохода),  то  можно
наблюдать  еще  более  странную  картину:  теперь
Солнце  заходит  за  линию  горизонта,  но  при  этом  сол¬
нечный  диск  оказывается  как  бы  перерезанным  го¬
ризонтальной  «слепой  полосой»,  положение  которой
по  отношению  к  линии  горизонта  сохраняется  неиз¬
менным  (рис.  2.6,6).
 Такая  картина  наблюдается,  если  воздух  около
самой  Земли  оказывается  холодным,  а  выше  распола¬
гается  слой  относительно  теплого  воздуха.  В  этом
случае  показатель  преломления  воздуха  изменяется
с  высотой  примерно  так,  как  это  показано  на
рис.  2.7,  а\  переход  от  нижнего  холодного  слоя  воз¬
духа  к  лежащему  над  ним  теплому  может  приводить
к  довольно  резкому  спаду  показателя  преломления.
Для  простоты  примем,  что  этот  спад  совершается
скачком  и  что  поэтому  между  холодным  и  теплым
слоями  существует  четко  выраженная  поверхность
 2*
 35

раздела,  находящаяся  на  некоторой  высоте  Н\  над
поверхностью  Земли  (рис.  2.7,6).  На  рисунке  через
пх  обозначен  показатель  преломления  воздуха  в  хо*
лодном  слое,  а  через  пт  —  в  теплом  слое  вблизи  гра-
ниды  с  холодным.
 Модель,  показанная  на  рис,  2.7,6,  использована
на  рис.  2.8,  где  изображена  часть  поверхности  зем-
ного  шара  и  примыкающий  к  ней  слой  холодного  воз-
духа  высотой  1ц.  (Масштабы  на  рисунке  по  необходи-
 мости  искажены;  ведь  в  дей¬
ствительности  высота  Н\  при¬
мерно  в  100  000  раз  (!)  мень¬
ше  радиуса  Земли  /?.)  На¬
блюдатель  находится  в  точ¬
ке  О.  Световой  луч  СО,
приходящий  к  нему  от  не¬
бесного  объекта,  испыты¬
вает  преломление  в  точке  С
границы  раздела  холод¬
ного  и  теплого  воздуха;при
этом
 ^-^-1  +  ^  <2Л2>
 где  V  =  {пх  —  пт)/пт  (очевидно,  что  1).  Связь
между  углом  чр  (зенитным  расстоянием)  и  углом
преломления  «2  устанавливает  теорема  синусов,
примененная  к  треугольнику  О1ОС:  010/зта2  =
=  О1С/5ш(180°  —  чр)  или,  иначе,
 зтоз^Щ, 	(2.13)
 где  |  =  Н1/Я.  (Заметим,  что  результат  (2.13)'  непо¬
средственно  вытекает  из  (2.1).)  Из  (2.13)  видно,  чго
по  мере  увеличения  зенитного  расстояния  ф  от  нуля
 36

до  90°  угол  сс2  возрастает,  достигая  максимального
значения  при  ф  =  90°.
 Будем  постепенно  увеличивать  яр,  начиная  от  нуля;
при  этом  угол  а>2  также  будет  увеличиваться.  Пред¬
положим,  что  при  некотором  значении  ф'  угла  фугол
0&2  становится  равным  предельному  углу  ао,  характе¬
ризующему  полное  внутреннее  отражение  на  границе
холодного  и  теплого  слоев;  в  этом  случае  зта1  =  11-
Углу  ао  соответствует  на  рис.  2.8  луч  ВО;  он  обра¬
зует  с  горизонталью  угол  [3  —  90°  —  ф'.  Ясно,  что  к
наблюдателю  не  будут  попадать  лучи,  которые  вой¬
дут  в  холодный  слой  в  точках,  угловая  высота  кото*
рых  над  горизонтом  меньше,  чем  угловая  высота
точки  Б,  т.  е.  меньше  угла  |3.  Тем  самым  получает
объяснение  картина  заката  Солнца,  показанная  на
рис.  2.6,  а.
 Угловую  ширину  «слепой  полосы»  на  рис.  2.6,  а  (т.  е.
угол  Р  на  рис.  2.8)  нетрудно  вычислить.  Рассмотрим  в  связи
с  этим  следующую  задачу.  Найти  угловую  ширину  «слепой  по¬
лосы»,  наблюдаемой  при  закате  Солнца  (рис.  2.6,  а),  если  высота
холодного  слоя  воздуха  Н\  —  50  м,  а  отношение  разности  пока¬
зателей  преломления  холодного  и  теплого  слоев  к  показателю
преломления  теплого  слоя  равно  V  =  10~5.
 При  решении  задачи  будем  пользоваться  рис.  2.8.  Поскольку
луч  В\В  составляет  с  0\В  угол  90°,  можно  переписать  (2.12)
в  виде 	>
 1
 8Ш  ао
 1  +  V.
 (2Л4)
 Теорема  синусов  для  треугольника  0\ОВ  дает  С^О/зш  а0  =
=  О^/зт  ф'.  Учитывая,  что  |3  =  90°  —  ф'  и  /11//?  =  перепишем
последнее  равенство  следующим  образом:
 соз  р  =  (1  +  |)  зт  ао. 	(2.15)
 Из  (2.14)  и  (2.15)  получаем
 созР^Тф-^-- 	(2.16)
 1  +  V
 Далее  воспользуемся  тем,  что  угол  |3  весьма  мал,  так  что
соз  0  =  1  —  Р2/2.  Кроме  того,  воспользуемся  малостью  |  и  V,
вследствие  чего  можно  принять  (1  +^)/(1  +  V)  —  (1+^)(1—V)  =*
=  1—(V  —  |).  В  результате  соотношение  (2.16)  преобразуется
 к  виду
 Таким  образом,
 Р2  =  2(у-!).
 (2.17)
 {3  =  ±У2 	(2.18)
 Наличие  двух  знаков  означает,  что  слепая  полоса  существует
как  над  линией  горизонта  (знак  +),  так  и  под  линией  горизонта
 37

(знак  —}.  Чтобы  убедиться  в  существовании  слепой  полосы  под
линией  горизонта,  наблюдателю  достаточно  подняться  на  холм.
Мы  поговорим  об  этом  чуть  позднее,  а  пока  будем  рассматри¬
вать  лишь  ту  слепую  полосу,  которой  в  (2.18)  отвечает  знак
Для  Н\  =  50  м  и  Я  =  6380  км  получаем  I  =  0,78*  10“5.  Под¬
ставляя  это  значение  ^  в  (2.18),  находим  |3  =====  2,1  •  10“3  рад  =
=  7,2'.
 Теперь  нетрудно  объяснить  и  картину  заката
Солнца,  показанную  на  рис.  2.6,6.  Если  наблюдатель
находится  на  некотором  возвышении,  то  он  может,  в
 принципе,  наблюдать  лучи,
характеризующиеся  зенит*
ным  расстоянием  ф,  превы¬
шающим  90°+  |3  (рис.  2.9).
В  этом  случае  он  увидит
чаЪгь  солнечного  диска,  рас¬
положенную  ниже  слепой
полосы,  имеющей  угловую
ширину  2|3.  Полагая,  что
угол  |3  равен  7',  получаем,
что  слепая  полоса,  пересе¬
кающая  солнечный  диск,
имеет  ширину  14'.  Диск
Солнца  виден  под  углом  32';
отсюда  следует,  что  ширина  слепой  полосы  в  дан¬
ном  случае  немного  меньше  половины  диаметра  сол¬
нечного  диска.
 Мерцание  звезд.  Отметим  еще  одно  явление,  свя¬
занное  с  астрономической  рефракцией  света,  —  мер¬
цание  звезд.  Воздушные  потоки  в  атмосфере  приво¬
дят  к  тому,  что  угол  рефракции  для  той  или  иной
звезды,  наблюдаемой  с  поверхности  Земли,  немного
изменяется  во  времени;  это  и  приводит  к  тому,  что
звезда  кажется  земному  наблюдателю  мерцающей.
Мерцание  наиболее  заметно  у  звезд,  находящихся
вблизи  линии  горизонта;  ведь  мы  смотрим  на  них  че¬
рез  толстый  слой  атмосферы.  Космонавты,  естествен¬
но,  мерцания  звезд  не  наблюдают.
 Искривление  светового  луча  в  оптически  неодно¬
родной  среде.  До  сих  пор  мы  говорили  об  астрономи¬
ческой  рефракции  света  (искривление  световых  лу¬
чей,  идущих  к  земному  наблюдателю  от  внеземных
объектов).  Не  менее  интересна  земная  рефракция
света,  когда  происходит  искривление  лучей,  идущих
к  наблюдателю  от  объектов,  расположенных  на  Зем-
 38

ле.  При  этом  могут  происходить  весьма  впечатляю¬
щие  явления,  получившие  название  миражей.
 Разговор  о  миражах  начнем  с  рассмотрения  сле¬
дующего  простого  опыта.  Возьмем  сосуд  с  прозрач¬
ными  стенками,  имеющий  (для  удобства  наблюдения)
форму  обычного  аквариума.  Наполним  его  водой  л
растворим  в  воде  некоторое  количество  сахара.  По¬
казатель  преломления  раствора  будет  непрерывно
уменьшаться  по  направлению  от  дна  сосуда  к  его
верхней  части.  Через  боковую  стенку  будем  направ¬
лять  в  сосуд  узкий  световой  луч.
 Сначала  направим  луч  так,  чтобы  он  распростра¬
нялся  снизу  вверх  под  некоторым  углом  а  к  верти¬
кали  (рис.  2.10,  а).  По  мере  того  как  луч  будет  пере¬
ходить  в  слои  жидкости  с  более  низким  показателем
преломления,  угол  луча  с  вертикалью  будет  увеличи¬
ваться.  Световой  луч  внутри  сосуда  будет  изгибаться;
направление  луча  будет  приближаться  к  горизон¬
тальному.
 Затем  направим  луч  сверху  вниз  под  углом  а  к
вертикали  (рис.  2.10,6).  При  переходе  в  слои  жид¬
кости  с  более  высоким  показателем  преломления  угол
луча  с  вертикалью  будет  уменьшаться.  Световой  луч
будет  изгибаться  так,  что  его  направление  будет  все
более  отклоняться  от  горизонтального.
 Картина,  наблюдаемая  в  обоих  рассмотренных
случаях,  вполне  понятна;  достаточно  вспомнить  об¬
суждавшиеся  ранее  примеры  астрономической  реф¬
ракции.  А  вот  теперь  рассмотрим  более  интересный
 39

Рис  2.11.
 случай.  Пусть  световой  луч  входит  в  сосуд  через  бо¬
ковую  стенку  строго  горизонтально  (рис.  2.10,в).  Ка¬
залось  бы,  в  этом  случае  он  должен  был  бы  распро¬
страняться  внутри  сосуда  тоже  горизонтально.  Од¬
нако,  как  показывает  опыт,  световой  луч,  распростра¬
няясь  в  жидкости,  будет  все  более  изгибаться  кни¬
зу—  в  сторону  оптически  более  плотных  слоев.
 Это  нетрудно  объяснить,  если  учесть,  что  беско¬
нечно  узкий  световой  луч  есть  идеализация,  а  в  дей¬
ствительности  мы  имеем  дело  со  световыми  пучками
 конечной  ширины  (конечной
апертуры).  Предположим,
что  рассматривается  иде¬
альный  плоскопараллель¬
ный  световой  пучок,  кото¬
рый  входит  в  сосуд  строю
горизонтально;  На  рис.  2.11
представлен  такой  пучок;
штриховые  линии  изобра¬
жают  сечения  волнового
фронта  пучка  в  разных  точках  вдоль  оси  пучка,
стрелками  показаны  световые  лучи.  Напомним,  что
в  каждой  точке  волновой  фронт  и  световой  луч  взаим¬
но  перпендикулярны.  Рассмотрим  фронт  светового
пучка  АВ,  когда  пучок  только  что  вошел  в  жидкость.
Пусть  уа  —  скорость  света  в  точке  Л,  а  Ув  —  в  точке  В,
Поскольку  показатель  преломления  жидкости  в  точ¬
ке  А  меньше,  нежели  в  точке  В,  то,  следовательно,
ь'а  >  Ув.  Отсюда  немедленно  следует,  что  вертикаль¬
ный  вначале  волновой  фронт  пучка  (фронт  АВ)  бу¬
дет  по  мере  распространения  пучка  в  жидкости  все
более  наклоняться.
 Рассмотренный  опыт  позволяет  заключить:  если
свет  распространяется  в  среде,  показатель  преломле-.
ния  которой  непрерывно  уменьшается  в  направлении
снизу  вверх,  то  независимо  от  начального  направле¬
ния  луча  он  всегда  будет  искривляться,  причем  так,
что  его  траектория  будет  обращена  выпуклостью
вверх  (см.  рис.  2.10,  г).  Если  бы  показатель  прелом¬
ления  уменьшался  в  направлении  сверху  вниз,  то  в
этом  случае  выпуклая  сторона  -изогнутого  светового
луча  была  бы  обращена  книзу.  Обобщая,  можно
сформулировать  следующее  правило:  в  оптически  не¬
однородной  среде  световой  луч  изгибается  так,  что
 40

его  траектория  всегда  обращена  выпуклостью  в  сто¬
рону  уменьшения  показателя  преломления  среды.
 Миражи.  Учитывая  это  правило,  нетрудно  понять
происхождение  некоторых  видов  миражей.  На  рис.  2.12
показано,  как  возникает  так  называемый  верхний  ми¬
раж.  Для  его  возникновения  необходимо,  чтобы  по¬
казатель  преломления  приповерхностного  слоя  воз¬
духа  достаточно  быстро  уменьшался  с  высотой,  что
 возможно,  когда,  например,  внизу  располагается  слой
холодного  воздуха,  а  над  ним  находится  слой  более
теплого  воздуха.
 Над  сильно  нагретой  поверхностью  (например,  в
пустыне,  а  также  над  асфальтовой  дорогой  в  жаркий
 *——~ 	-——-"у
 Рис.  2.13.
 день)  возможно  возникновение  так  называемых  ниж¬
них  миражей.  Среди  них  следует  выделить  озерные
миражи  —  возникающие  в  пустыне  видения  озер  с  от¬
ражающейся  в  них  прибрежной  растительностью
(рис.  2.13).  Вода  в  этих  «озерах»  —  отражение  не¬
босвода.
 Виды  миражей  весьма  разнообразны,  что  связано
со  своеобразием  местности,  где  наблюдается  мираж,
 41

и  своеобразием  состояния  атмосферы  во  время  на¬
блюдения.  Это  можно  почувствовать,  обратившись
к  рис.  2.14.  На  нем  показана  траектория  одного  из
лучей  от  объекта  к  наблюдателю  в  случае,  когда
сильно  нагретый  приповерхностный  слой  воздуха
(с  относительно  низким  показателем  преломления)
накрыт  слоем  достаточно  холодного  воздуха  (с  за¬
метно  более  высоким  показателем  преломления).
Прежде  чем  прийти  к  наблюдателю,  световой  луч
описывает  в  данном  случае  довольно  сложную  траек¬
торию,  что  может  послужить  причиной  возникновения
своеобразного  миража.  Обратим  внимание  на  то,  что
 траектория  луча  на  рис.  2.14  во  всех  ее  точках  об¬
ращена  выпуклостью  в  сторону  уменьшения  показа¬
теля  воздушной  среды.  Разобьем  эту  траекторию  на
три  участка.  На  участках  АВ  и  СО  она  обращена  вы¬
пуклостью  книзу,  поскольку  в  пределах  нижнего  слоя
высотой  к  показатель  преломления  уменьшается  в  на¬
правлении  сверху  вниз.  На  участке  ВС  траектория
луча  обращена  выпуклостью  кверху,  так  как  на  высо¬
тах,  превышающих  А,  показатель  преломления  умень¬
шается  в  направлении  снизу  вверх.
 Миражи  описаны  во  многих  книгах,  как  научных,
так  и  художественных.  Некоторым  из  наиболее  впе¬
чатляющих  миражей  люди  давно  дали  имена,  укра¬
сили  их  легендами  и  поверьями.  Так,  существуют  ле¬
генды  о  «Летучем  голландце»  (призрачном  корабле,
являющемся  во  время  шторма  морякам,  обреченным
на  гибель),  «Фата-Моргане»  (призрачных  дворцах,
вырастающих  на  горизонте  и  исчезающих  по  мере
приближения  к  ним),  «Брокенских  призраках»  (воз-
 42

никающих  на  небосводе  движущихся  гигантских  фи*
гурах  людей  и  животных).
 Многие  миражи,  особенно  сверхдальние,  когда
изображение  переносится  за  тысячи  километров,  яв-
ляются  весьма  сложными  оптическими  явлениями.
Для  их  объяснения  недостаточно  рассмотрения  толь¬
ко  рефракции  света  в  атмосфере;  физический  меха¬
низм  таких  миражей  значительно  сложнее.  Возможно,,
что  при  определенных  условиях  в  атмосфере  обра¬
зуются  гигантские  воздушные  линзы,  своеобразные
светопроводы,  вторичные  миражи,  т.  е.  миражи  от  ми¬
ражей.  Возможно  также,  что  определенную  роль  в
возникновении  миражей  играет  ионосфера  (слой  ио¬
низованных  газов  на  высоте  около  100  км),  которая
может  отражать  световые  волны,

БЕСЕДА  ТРЕТЬЯ
 КАК  СВЕТОВОЙ  ЛУЧ
ПРОХОДИТ  ЧЕРЕЗ  ПРИЗМУ?
 Преломление  светового  луча  в  призме;  угол  откло¬
нения  луча.  Проходя  через  призму,  луч  солнечного
света  не  только  преломляется,  но  и  разлагается  на
различные  цвета.  Отложим  обсуждение  разложения
света  на  различные  цвета  до  следующей  беседы;
здесь  же  рассмотрим  только  преломление  луча  в  приз¬
ме.  Строго  говоря,  это  означает,  что  световой  луч
 предполагается  здесь  одно¬
цветным,  или,  как  принято  на¬
зывать  в  физике,  монохрома¬
тическим  (от  греческих  «хро-
^  мос»  —  цвет  и  «моно»  —  один).
На  рис.  3.1  показан  свето¬
вой  луч,  проходящий  через
призму  с  преломляющим  уг¬
лом  0  и  показателем  прелом¬
ления  п\  показатель  преломлс-
рис.  з.1. 	ния  окружающей  среды  (воз¬
 духа)  примем  равным  едини¬
це.  Изображенный  на  рисунке  луч  падает  на  левую
грань  призмы  под  углом  ои.  Используя  закон  прелом¬
ления  в  точках  А  и  В,  запишем
 з!п  а1  	 51П  а2
 зт  р1  9  з!п  Рг
 (3.1)
 В  результате  прохождения  через  призму  световой  луч
отклоняется  от  первоначального  направления  на  угол
С\СВ\  обозначим  его  через  б  и  будем  в  дальнейшем
называть  углом  отклонения  луча.  Учитывая,  что
АС\СВ  =  /1САВ+  АСВА,  заключаем:
 б  ==  («1  —  Р1)  +  (“г  —  Рг)> 	(3.2)
 Далее  заметим,  что  АИхОВ  =  /.ИАВ  +  ^.АВй  =>
+  р2.  Поскольку  АОхРВ=  ААОВк  то,  следова-
 44

тельно,
 (3.3)
 01  +  02  =  9-
 С  учетом  (3.3)  перепишем  (3.1)  и  (3.2):
зт  сц/зтр!  =«,  )
 зта2/зт(0  —01)  =  п,  ?• 	(3.4)
 б  =  а!  +  а2  —  9.  /
 Случай  симметричного  и  несимметричного  хода  луча  в  приз*
 ме.  Рассмотрим  задачу.  Найти  угол  отклонения  луча  6  в  призме
с  преломляющим  углом  0  и  показателем  преломления  п  в  слу¬
чае,,  когда  луч  внутри  призмы  перпендикулярен  к  биссектрисе
преломляющего  угла.  В  данном  случае  картина  прохождения
луча  через  призму  симметрична  относительно  биссектрисы  пре*
ломляющего  угла  (рис.  3.2,  а).  Следовательно,  а\  =  <*2  =  а,
 б  =  2а  —•  0,  0!  =  р2  =  Р  =  0/2.  С  учетом  этих  равенств  пере¬
пишем  закон  преломления  зт  а/зт  р  =  п  в  следующем  виде:
 31П
 6  +  0
 :  П  51П  —.
 (3.5)
 Отсюда  находим
 6  +  0
 »агсзт
 6  =  2  агсзт
 (п  зт  !).
 (Я81п4)-е.
 Окончательно:
 (3.6)
 Рассмотрим  еще  одну  задачу.  Найти  угол  отклонения  луча
6'  в  призме  с  преломляющим  углом  0  и  показателем  преломле¬
ния  п,  если  световой  луч  падает  на  входную  грань  призмы  нор*
мально.  Если  в  предыдущей  задаче  мы  имели  дело  с  симметрич¬
ным  ходом  луча  через  призму  (луч  одинаковым  образом
преломляется  на  обеих  гранях  призмы),  то  теперь  ситуация  ока¬
зывается  наиболее  несимметричной:  луч  сильно  преломляется  на
выходной  грани  и  совсем  не  преломляется  на  входной
(рис,  3.2,6).  Закон  преломления  в  точке  В  имеет  вид
зт  а'/зт  0  =  п.  Отсюда  находим
 6'  =  о/  —  0  =  агсзт  (п  зт  0)  —  0.
 (3.7)
 45

Полезно  убедиться,  что  6'  >  6.  Согласно  (3.6)  и  (3.7),
б'  —  6  =  агсзш  (п  8Ш  0)  —  2  агсзш  (п  зш  (0/2))  ^  ф  —  гр.  Поэтому
достаточно  показать,  что  зшф  -  зш  -ф  >  0.  Поскольку
81П  (агсзш  у)  =  у,  соз  (агсзш  *у)=  V1  —V2»  т0  8*п  Ф—§1п  /ф=/г  зш  0—
 — 	2п  зш  (0/2)  д/1  —  п2  зш2  (0/2)  =  2п  зш  (0/2)  [  V1  —  зш2  (0/2)  —
 — 	дЛ  —  п2  зш2  (0/2)].  Первый  корень  в  выражении  в  квад¬
ратных  скобках  больше  второго  корня  и,  следовательно,  требуе¬
мое  неравенство  доказано.  На  данном  примере  мы  видим,  что
при  переходе  от  симметричной  картины  преломления  светового
луча  в  призме  к  несимметричной  угол  отклонения  луча  увеличи*
вается.
 В  «Лекциях  по  оптике»  Исаак  Ньютон  с  помощью
геометрических  рассуждений  доказывает,  что  «при
преломлении  однородных  лучей  в  призме  угол,  со¬
ставляемый  падающим  и  выходящим  лучами,  полу¬
чается  наибольшим  тогда,  когда  тут  и  там  прелом¬
ление  одинаково».  Под  однородными  лучами  Ньютон
понимал  монохроматические  лучи,  а  под  углом,  «со¬
ставляемым  падающими  выходящим  лучами»,  —  угол
АСВ  (см.  рис.  3.1),  т.  е.  угол,  равный  180°  —  б.  Итак,
угол  отклонения  светового  луча  при  прохождении  че¬
рез  призму  оказывается  наименьшим  при  симметрич¬
ном  ходе  луча.
 Докажем  это  утверждение,  применяя  метод  диф¬
ференцирования  функции.  Будем  рассматривать  угол
6  как  функцию  угла  Рь  однозначно  связанного  с  уг¬
лом  падения  луча  на  входную  грань  призмы  аь  Со¬
гласно  третьему  уравнению  системы  (3.4),  б  (Р1)  =
=  0^1  (Р0  +  аг(Р0  —  6.  Чтобы  найти  значение  угла  рь
при  котором  угол  б  минимален,  надо  продифференци¬
ровать  б  по  Р1  и  приравнять  производную  нулю:
 йЬ  	 йа\  ,  йа2  	^
 #1  " 	+  <*Р  1  —
 (3.8)
 Из  первого  уравнения  системы  (3.4)  следует,  что
«1  (Рх)  =  агсз1П  (/г  51П  Р(),  а  из  второго  следует,  что
«гФО  =  агсзш  (п  зт(0  —  Р0).  Напомним,  что
 -шагсз1п!  =I1  -  /2  (*)Г1/2^.
 Таким  образом,
 С?(Х1 	п  СОЗ  р!
 <у/\  •—  п2  зт2
 йа2  	 —  п  соз  (0  —  Р0
 йр2  —  VI  -  П2  зт2  (0  - 	*
 46

Подставляя  эти  производные  в  (3.8),  находим
С05  д/1  —  лг2  5Ш2  (0  —  Р[)  =  СОЗ  (0  —  Р[)  дЛ  —  Д2  ЗШ2  Р],
 или,  иначе,
 [(1  —  $т2  РО  (1  —  п2  зт2  (0  —  Р,))]1/2  =
 =  [(1  —  з1п-2(0  —  РО)  (1  —  п2  31п2р1)]1/2.
 Отсюда  получаем  Р1  =  0/2,  что  как  раз  и  соответ¬
ствует  симметричному  ходу  светового  луча  через
призму.
 Рефрактометры.  Преломление  лучей  в  призме  ис-
пользуется  на  практике  в  некоторых  видах  рефракто¬
метров.  Так  называются  оптические  приборы  для  из¬
мерения  показателя  преломления  света.  При  этом
исследуемое  вещество  должно  иметь  форму  призмы
с  точными  полированными  преломляющими  поверх¬
ностями.  Жидкость  наливают  в  полую  призматиче¬
скую  кювету  с  плоскопараллельными  стенками.  Приз*
ма  помещается  на  поворачивающемся  столике  гонио*
метра,  снабженном  зрительной  трубкой  и  коллима*
тором  —  устройством  для  получения  узкого  направ¬
ленного  светового  пучка.  Поворачивая  столик,  оты-
скивают  такое  положение,  при  котором  падающий  на
призму  узкий  пучок  света  испытывает  при  прохож¬
дении  через  призму  наименьшее  отклонение.  Мы  уже
знаем,  что  такое  положение  соответствует  симметрич¬
ному  ходу  луча  через  призму.  Измеряя  в  данном  по¬
ложении  угол  отклонения  б,  вычисляют  показатель
преломления  п  вещества  призмы  по  формуле  (3.5)«
Несмотря  на  кажущуюся  простоту,  данный  метод  из¬
мерения  показателя  преломления  является  весьма
точным.  При  точности  измерения  углов  б  и  0,  равной
нескольким  угловым  секундам,  показатель  преломле¬
ния  определяется  с  точностью  до  10~б.
 Допустим,  что  необходимо  измерить  разность  п\
 —  П2  показателей  преломления  двух  жидкостей  в  слу¬
чае,  когда  эта  разность  очень  мала.  В  этом  случае
можно  использовать  последовательное  преломление
светового  луча  в  двух  призматических  сосудах  с  пло¬
скопараллельными  стенками,  в  один  из  которых  на¬
лита  одна  жидкость,  а  во  второй  —  другая  жидкость.
Эта  система  призм  и  ход  луча  в  ней  показаны  на
рис.  3.3.  Луч  испытывает  преломление  в  точках  А  я
 47

В;  при  этом  зт  а/зт  0  =  П\/п2,  51П  б/зт  Р  =  п2.  Из
этих  выражений  следует,  что  п\  —  п2  зт  а/зт  0  =
=  зт  б  зш  а/зт  (3  зт  0  и,  таким  образом,
 зт  6 	/  81п  а 	л  \ 	/о
 V- 	(3-9)
 Далее  учтем,  что  а  =  р  +  0 	и,  следовательно, 	зт 	а  —
 —  зт  |3  соз  0  +  зт  0  соз  р.  Поскольку  угол  р  весьма
мал  (напомним,  что  показатели  преломления  п\  и  П2
 близки  друг  к  другу),по¬
ложим  в  последнем  ра¬
венстве 	созр=1, 	после
 чего  (3.9)  принимает  вид
 п  I  —  п2  —  ■  '^-0-  •  (3.10)
 На  практике  зт  6  нахо¬
дят,  измеряя  I  и  к  (см.
рисунок).  Используя  малость  б,  примем  зт  б  = 	6  =
 =  к/1.  Таким  образом,
 Точность  измерения  разности  показателей  преломле¬
ния  в  данном  методе  достигает  10~7.
 Объяснение  появления  в  оконном  стекле  двойных
изображений  отдаленных  предметов.  Преломление
световых  лучей  в  призме  с  малым  преломляющим  уг¬
лом  позволяет  объяснить  явление,  которое  мы  часто
наблюдаем  (хотя  и  далеко  не  всегда  задумываемся
над  ним).  Если  посмотреть  на  отражение  в  оконном
стекле,  например,  отдаленного  уличного  фонаря  или
Луны,  то  можно  заметить,  что  довольно  часто  это
отражение  оказывается  двойным.  При  движении  на¬
блюдателя  два  изображения  в  стекле  перемещаются
неодинаково  по  отношению  друг  к  другу.  Такое  двое¬
ние  изображений  объясняется  незначительной  клино-
видностью  стеклянной  пластины;  одно  Изображение
возникает  при  отражении  света  от  передней  плоско¬
сти  стекла,  а  другое  —  от  задней  плоскости.  Сказан¬
ное  поясняет  рис.  3.4.  Луч  ЗА  от  далекого  источника
света  частично  отражается  в  точке  А  и,  попадая  к
наблюдателю,  участвует  в  формировании  первого  изо¬
бражения.  Тот  же  луч,  частично  преломляясь  в  точ-
 43

ке  А,  испытывает  затем  частичное  отражение  в  В  и
преломление  в  С.  В  итоге  наблюдатель  увидит  еще
одно  изображение.  Угол  между  лучами  АА\  и  СС1
может  быть  назван  углом  двоения.  Чем  он  больше,
тем  сильнее  разнесены  в  про¬
странстве  наблюдаемые  изо¬
бражения.
 Рассмотрим  задачу.  Найти  угол
двоения  изображения  в  клиновидной
стеклянной  пластине  с  преломляющим
углом  0  и  показателем  преломления
п,  если  луч  от  объекта  падает  на  д
переднюю  плоскость  пластины  под  уг¬
лом  ос  |  =  30°.
 Обозначим  искомый  угол  через  <р.
 Из  рис.  3.4  следует,  что  <р  =  а2—
где  а2  —  угол,  под  которым  выходит
из  пластины  луч  СС\.  Преломление
луча  в  точках  Л  и  С  описывается
формулами  (3.1).  Углы  р!  и  р2  свя¬
заны  друг  с  другом  очевидным
 Рис.  3.4.
 соотношением  (см’.’  рисунок):  р1  +  0  =  у=р2  —  0,
 Рг  =  Р1  +  20.
 Используя  (3.12),  перепишем  (3.1)  в  виде
 31П  <Х1 	51П  (Х2
 31П  р!
 ЗШ  (р!  +  20)
 =  П.
 так  что
 (3.12)
 (3.13)
 Учитывая  малость  угла  0,  представим  зт(р!  +  20)  =
=  зтр1  +  20  соз  рь  Используя  первое  уравнение  (3.13),  согласно
которому  зш  Р1  =  зш  а\/я,  находим  отсюда
 31П  (р!  +  20)  =
 31П  а!
 п
 +  20
 V1
 51П*  (XI
П2
 (3.14)
 Подставляя  (3.14)  во  второе  уравнение  (3.13),  получаем
 зкг  «2  =  зш  а!  +  20  л/п2  —  зт2<Х1. 	(3.15)
 Искомый  угол  ф  заведомо  очень  мал;  поэтому  можно  при¬
нять  ф  =  31П  ф  =  зт(а2  —  аО  и,  следовательно,
 Ф  =  зш  а2  соз  а1  —  зш  а1  соз  а2.
 Для  0С1  =30°  результат  (3.15)  принимает  вид
 1  +  20  л/4  п2  -  1
ЗШ  (Х2  		о 	*
 (3.16)
 (ЗЛО
 49

С  учетом  малости  угла  0  отсюда  находим  последовательно:
 81ГГ  •
 1  +  40  У  4  п2  —  1
 , 	, 	.  ,  ЗЛ 	40  У4пг  -  1
 соз2  0,2—  1  —  зт-!а2=  -^-11 	^ 	),
 д/З  Л 	20  У4га2  -  1  \
 С08а2  =  _^ 			у
 (3.18)
 Подставляя  (3.17)  и  (3.18)  в  (3.16),  получаем  окончательно
 Ф  =
 —%г  0  л/4п2  —  1.
 л/з
 (3.19)
 Отражательные  призмы.  Особую  группу  призм
составляют  так  называемые  отражательные  призмы.
В  этих  призмах  используется  явление  полного  внут¬
реннего  отражения.  Световой  луч,  войдя  в  призму,  ис¬
пытывает  одно  или  несколько  внутренних  отражений
и  затем  выходит  из  призмы.  Угол,  образуемый  выход¬
ным  лучом  с  выходной  гранью  призмы,  равен  углу,
образуемому  входным  лучом  с  входной  гранью;  часто
входной  и  выходной  лучи  перпендикулярны  к  соот¬
ветствующим  граням  призмы.  Все  это  приводит  к
тому,  что  в  отражательных  призмах  не  наблюдается
разложение  белого  света  на  различные  цвета  (подоб¬
но  тому,  как  оно  фактически  не  наблюдается  при  про¬
хождении  белого  света  через  плоскопараллельную
пластину).  Поэтому  выдвинутое  в  начале  беседы  ус¬
ловие  монохроматичности  (одноцветности)  исходного
светового  пучка  теряет  остроту  при  рассмотрении  от¬
ражательных  призм.
 На  рис.  3.5  показаны  некоторые  типы  отражатель*
ных  призм.  Видно,  что  отражательные  призмы  могут
использоваться  для  изменения  направления  светового
пучка,  параллельного  смещения  пучка,  переворачи¬
вания  изображения.  В  случаях  а),  б),  в)  на  рисунке
изображена  одна  и  та  же  призма.  Эта  призма  имеет
в  сечении  форму  равнобедренного  прямоугольного
треугольника.  В  первых  двух  случаях  призма  изме¬
няет  направление  светового  пучка  (соответственно  на
90  и  на  180°);  в  третьем  случае  она  не  изменяет  на¬
правления  пучка,  но  переворачивает  изображение.
 Заметим,  что  в  случаях  а),  б),  г)  и  б),  показан¬
ных  на  рисунке,  световые  лучи  вообще  не  испыты*
 60

вают  преломления;  они  претерпевают  лишь  полное
внутреннее  отражение.  Поэтому-  в  указанных  случаях
разложение  белого  света  на  цвета  вообще  не  проис¬
ходит.  В  случае  же  в)  световые  лучи,  наряду  с  пол¬
ным  внутренним  отражением,  испытывают  прелом¬
ление.  Если  в  данном  случае  на  призму  падал  белый
световой  пучок,  то  из  призмы  выйдет  набор  лучей
разного  цвета.  Существенно,  однако,  что  все  эти  лучи
 выйдут  из  призмы  параллельно  друг  другу;  поэтому
разложение  белого  света  на  цвета  фактически  наблю¬
даться  не  будет  (вследствие  того,  что  световой  пучок
имеет  некоторую  ширину,  будет  происходить  взаим¬
ное  перекрывание  цветных  лучей).  Мы  вернемся  к
этому  вопросу  в  следующей  беседе.
 Предположим,  что  призма  имеет  показатель  пре¬
ломления  п  и  находится  в  воздушной  среде.  На
рис.  3.5,  а  и  б  угол  падения  лучей  на  отражающую
грань  равен  а  =  45°.  Чтобы  происходило  полное  внут¬
реннее  отражение,  необходимо  выполнение_условия
зта>1  /п,  т.  е.  необходимо,  чтобы  п>д/2.  Инте¬
ресно,  что  в  случае  в)  полное  внутреннее  отражение
от  грани  АВ  происходит  при  любом  п>  1.  Докажем
это,  обратившись  к  рис.  3.6.
 Воспользуемся  равенством  /.  РСй  +  /.  СИР  —
=  ^  СРА.  Перепишем  его  в  виде  р  +  (90°  —  а)  =  45°
 51

или,  иначе,  а  =  45°  +  Р-  Условие  полного  внутреннего
отражения  зта>1//г  принимает  в  данном  случае
вид  21п(45°  +  Р)>  1  /п  или
 зт  Р  +  созЗ  > 	(3.20)
 Закон  преломления  в  точ¬
ке  С  есть  зш  45°/зш  р  =  п
или
 зт  Р  =  —Ц=-.  (3.21)
 п  У2
 Используя  (3.21),  преобразуем  (3.20)  к  виду
 Таким  образом,  л^2п2  —  1  >  1,  откуда  немедленно
следует  п>  1,  что  и  требовалось  доказать.
 Отражательные  призмы  находят  широкое  практи¬
ческое  применение  как  оптические  элементы,  позво¬
ляющие  поворачивать  на  некоторый  угол,  отражать
назад,  параллельно  смещать  световой  пучок.  Отра-
жательные  призмы  используются  в  перископах,  би¬
ноклях,  фотометрах,  фотоаппаратах,  оптических  си¬
стемах  связи  и  локации,  лазерных  резонаторах  и  т.  д.
 Фотометр  Люммера  —  Бродхуна.  Отметим  в  ка¬
честве  примера  фотометр  Люммера  —  Бродхуна,  Ос¬
новным  элементом  этого  фотомет¬
ра  является  система  из  двух  пря¬
моугольных  стеклянных  призм.
Призмы  сложены  вместе  и  обра¬
зуют  стеклянный  кубик  (рис.  3.7),
Грань  одной  из  призм  сошлифо-
вана  по  краям,  поэтому  оптиче¬
ский  контакт  с  другой  призмой
осуществляется  только  в  цен¬
тральной  части  грани  (на  рисун¬
ке  участок  аЬ).  Свет  проходит
через  область  контакта,  не  пре¬
терпевая  ни  отражения,  ни  пре¬
ломления.  Вне  области  контакта  световые  лучи  в  обеих
призмах  претерпевают  полное  внутреннее  отражение*
Цифрами  1  и  2  на  рисунке  отмечены  световые  пуч¬
ки,  интенсивность  которых  надо  сравнить  друг  о
 62

другом.  Предполагается,  что  интенсивность  каждого
пучка  постоянна  по  поперечному  сечению  пучка.  На¬
блюдатель  рассматривает  грань  ей.  На  центральном
участке  аф\  этой  грани  наблюдатель  видит  свет  из
пучка  1,  а  на  кольцевом  участке  (между  с  и  аи  а
также  Ь\  и  й)  —  свет  из  пучка  2.  При  неодинаковой
интенсивности  пучков  освещенность  центрального
поля  будет  отличаться  от  освещенности  кольцевой
области,  что  и  зафиксирует  наблюдатель.
 Отражательная  призма  вместо  отражающего  зер¬
кала  лазерного  резонатора.  В  качестве  другого  при¬
мера  отметим  лазер,  в  котором  одно  из  зеркал  резо¬
натора  заменено  отражательной  призмой.  Схемати¬
чески  такой  лазер  показан
на  рис.  3.8.  Здесь  1  —  ак¬
тивный  элемент,  2  —  систем
ма  возбуждения  лазера,
предназначенная  для  воз¬
буждения  тех  центров  в  ак¬
тивном  элементе,  которые
порождают  лазерное  излу¬
чение  (на  переходах  из  возбужденного  состояния  в
невозбужденное),  3  —  выходное  зеркало  резонатора,
4  —  отражательная  призма,  заменяющая  второе  зер¬
кало  резонатора,  5  —  лазерное  излучение.  Отража¬
тельную  призму  применяют  в  лазерных  резонаторах
в  тех  случаях,  когда  требуется  получить  излучение
в  виде  отдельных  интенсивных  коротких  световых  им¬
пульсов.  При  этом  призму  быстро  вращают  вокруг
оси,  перпендикулярной  к  оси  резонатора.  Во  всех  по¬
ложениях  призмы  кроме  того,  какое  показано  на  ри¬
сунке,  призма  не  возвращает  излучение  назад  в  ак¬
тивный  элемент;  в  эти  промежутки  времени  призма
как  бы  вносит  большие  потери,  вследствие  чего  гене¬
рация  лазерного  излучения  отсутствует.  В  отсутствие
генерации  число  активных  центров,  перешедших  в
возбужденное  состояние,  нарастает  по  мере  подвода
к  активному  элементу  энергии  возбуждения.  Как
только  вращающаяся  призма  окажется  в  положении,
показанном  на  рисунке,  генерация  быстро  и  бурно
разовьется,  возбужденные  активные  центры  дружно
высветятся,  родится  мощный  короткий  световой  им¬
пульс.  Пока  призма,  продолжая  вращаться,  будет  со¬
вершать  очередной  оборот,  в  активном  элементе  бу*
 63

дет  накапливаться  энергия  для  нового  светового  им¬
пульса,  который  высветится,  как  только  призма  снова
окажется  в  положении,  показанном  на  рисунке.  При
скорости  вращения  призмы  порядка  1000  об/с  рож¬
даются  короткие  световые  импульсы  длительностью
10“7  с.  Пиковая  мощность  отдельного  такого  импуль¬
са  достигает  107  Вт.
 Бипризма.  В  завершение  беседы  рассмотрим  задачу  с
бипризмой.  Бипризма  представляет  собой  две  прямоугольные
призмы  с  малыми  преломляющими  углами,  сложенные  вместе;
обычно  бипризму  изготовляют  из  одного  куска  стекла.  Задача
формулируется  следующим  образом.  Световой  пучок  падает  нор¬
мально  на  бипризму  с  преломляющим  углом  0  и  показателем
преломления  п\  апертура  пучка  О.  Найти  расстояние  ^  от  би¬
призмы  до  экрана,  при  котором  в  центре  экрана  возникает  по¬
лоса  тени  шириной  й  (рис.  3.9).
 Обозначим  ф  +  */)/2  =  а  и  введем  угол  отклонения  пуч¬
ка  б.  Из  рисунка  видно,  что  б  =  аД,.  Учитывая,  что  при
очень  малом  угле  0  угол  6  также  очень  мал,  воспользуемся
приближенным  соотношением  {&6  =  б.  Таким  образом,
 1  = 	(3.22)
 Закон  преломления  имеет  вид  зт  а/зт  0  =  п  или,  иначе,
зт(6  +  0)/зт  0  =  п.  С  учетом  малости  углов  б  и  0  перепишем
последнее  равенство  в  виде  (6  +  0)/0  =  Аг.  Таким  образом,
 6  =  0  (/г  —  1). 	(3.23)
 Подставляя  (3.23)  в  (3.22),  получаем  Ь  =  а/0(я—1).  Оконча¬
тельно:  I  =  ф  +  й)/20(я—  1).  При  0  =  0,02  (что  соответствует
1°  10'),  п  =  1,5,  й  =  1  см,  й  =  0,5  см  получаем  Ь  =  75  см.
 Имея  в  своем  распоряжении  бипризму,  нетрудно  проверить
на  опыте  результат,  полученный  в  рассмотренной  задаче.  Если
направить  на  бипризму  слабо  расходящийся  пучок  солнечных
лучей,  то  можно  наблюдать  окрашивание  краев  теневой  полосы
на  экране  в  цвета  радуги.  Появление  радужной  полоски  на
границе  темного  и  освещенного  полей  на  экране  есть,  как  не¬
трудно  догадаться,  результат  разложения  солнечного  света  на
различные  цвета.  Это  явление  представляет  особый  интерес  и
требует  специального  обсуждения.

БЕСЕДА  ЧЕТВЕРТАЯ
 ПОЧЕМУ  ПРИЗМА
РАЗЛАГАЕТ  СОЛНЕЧНЫЙ  СВЕТ
НА  РАЗЛИЧНЫЕ  ЦВЕТА?
 Дисперсия  света.  В  яркий  солнечный
день  закроем  окно  в  комнате  плотной  шторой,  в  ко¬
торой  сделаем  маленькое  отверстие.  Через  это  отверг
стие  будет  проникать  в  комнату  узкий  солнечный  луч,
образующий  на  противоположной  стене  светлое  пят¬
но.  Если  на  пути  луча  поставить  стеклянную  призму,
 то  пятно  на  стене  превратится  в  разноцветную  по¬
лоску,  в  которой  будут  представлены  все  цвета  ра¬
дуги—  от  фиолетового  до  красного  (рис.  4.1:  Ф—■
фиолетовый,  С  —  синий,  Г  —  голубой,  3  —  зеленый,
Ж  —  желтый,  О  —  оранжевый,  К  —  красный).  Явле¬
ние  разложения  солнечного  света  на  различные  цве¬
та  называют  дисперсией  света.  Разноцветная  полоска
на  рис.  4.1  есть  солнечный  спектр.
 Первые  опыты  с  призмами;  представления  о  при¬
чинах  возникновения  цветов  до  Ньютона.  Описанный
опыт  является,  по  сути  дела,  древним.  Уже  в  I  в.
н.  э.  было  известно,  что  большие  монокристаллы
(шестиугольные  призмы,  изготовленные  самой  приро¬
дой)  обладают  свойством  разлагать  свет  на  цвета.
Первые  исследования  дисперсии  света  в  опытах  со
 55

стеклянной  треугольной  призмой  выполнил  англича¬
нин  Хариот  (1560—1621).  Независимо  от  него  анало¬
гичные  опыты  проделал  известный  чешский  естество¬
испытатель  Марци  (1595—1667),  который  установил,
что  каждому  цвету  соответствует  свой  угол  прелом¬
ления.  Однако  до  Ньютона  подобные  наблюдения  не
подвергались  достаточно  серьезному  анализу,  а  де¬
лавшиеся  на  их  основе  выводы  не  перепроверялись
дополнительными  экспериментами.  В  результате  в
науке  тех  времен  долго  господствовали  представления,
неправильно  объяснявшие  возникновение  цветов.
 Говоря  об  этих  представлениях,  следует  начать
с  теории  цветов  Аристотеля  (IV  в.  до  и.  э.).  Аристо¬
тель  утверждал,  что  различие  в  цвете  определяется
различием  в  количестве  темноты,  «примешиваемой»
к  солнечному  (белому)  свету.  Фиолетовый  цвет,  по
Аристотелю,  возникает  при  наибольшем  добавлении
темноты  к  свету,  а  красный  —  при  наименьшем.  Та¬
ким  образом,  цвета  радуги  —  это  сложные  цвета,  а
основным  является  белый  сзет.  Интересно,  что  появ¬
ление  стеклянных  призм  и  первые  опыты  по  наблю¬
дению  разложения  света  призмами  не  породили  со¬
мнений  в  правильности  аристотелевой  теории  возник¬
новения  цветов.  И  Хариот,  и  Марци  оставались  по¬
следователями  этой  теории.  Этому  не  следует  удив¬
ляться,  так  как  на  первый  взгляд  разложение  света
призмой  на  различные  цвета,  казалось  бы,  подтверж¬
дало  представления  о  возникновении  цвета  в  резуль¬
тате  смешения  света  и  темноты.  Напомним  читателю,
что  в  опыте  с  бипризмой,  описанном  в  конце  преды¬
дущей  беседы,  радужная  полоска  возникает  как  раз
на  переходе  от  теневой  полосы  к  освещенной,  т.  е.  на
границе  темноты  и  белого  света.  Из  того  факта,  что
фиолетовый  луч  проходит  внутри  призмы  наибольший
путь  по  сравнению  с  другими  цветными  лучами,  не¬
мудрено  сделать  вывод,  что  фиолетовый  цвет  возни¬
кает  при  наибольшей  утрате  белым  светом  своей
«белизны»  при  прохождении  через  призму.  Иначе  го¬
воря,  на  наибольшем  пути  происходит  и  наибольшее
примешивание  темноты  к  белому  свету.
 Ложность  подобных  выводов  нетрудно  было  дока¬
зать,  поставив  соответствующие  опыты  с  теми  же
призмами.  Однако  до  Ньютона  никто  этого  не  сде¬
лал.
 56

Опыты  Ньютона  с  призмами;  ньютоновская  теория
возникновения  цветов.  Великий  английский  ученый
Исаак  Ньютон  выполнил  целый  комплекс  оптических
экспериментов  с  призмами,  подробно  описав  их  в
«Оптике»,  «Новой  теории  света  и  цветов»,  а  также  в
«Лекциях  по  оптике»,  впервые  опубликованных  уже
после  смерти  ученого.  Ньютон  убедительно  доказал
ложность  представлений  о  возникновении  цветов  из
смешения  темноты  и  белого  света.  На  основании  про¬
деланных  опытов  он  смог  заявить:  «Никакого  цвета
не  возникает  из  белизны  и  черноты,  смешанных  вме¬
сте,  кроме  промежуточных  темных;  количество  света
не  меняет  вида  цвета».  Ньютон  показал,  что  белый
свет  не  является  основным,  его  надо  рассматривать
как  составной  (по  Ньютону,  «неоднородный»;  по  со¬
временной  терминологии,  «немонохроматический»);
основными  же  являются  различные  цвета  («однород¬
ные»  лучи  или,  иначе,  «монохроматические»  лучи).
Возникновение  цветов  в  опытах  с  призмами  есть  ре¬
зультат  разложения  составного  (белого)  света  на
основные  составляющие  (на  различные  цвета).  Это
разложение  происходит  по  той  причине,  что  каждому
цвету  соответствует  своя  степень  преломляемости.
Таковы  основные  выводы,  сделанные  Ньютоном;  они
прекрасно  согласуются  с  современными  научными
представлениями.
 Выполненные  Ньютоном  оптические  исследования
представляют  большой  интерес  не  только  с  точки  зре¬
ния  полученных  результатов,  но  также  и  с  методиче¬
ской  точки  зрения.  Разработанная  Ньютоном  мето¬
дика  исследований  с  призмами  (в  частности,  метод
скрещенных  призм)  пережила  века  и  вошла  в  арсе¬
нал  современной  физики.
 Приступая  к  оптическим  исследованиям,  Ньютон
ставил  перед  собой  задачу  «не  объяснять  свойства
света  гипотезами,  но  изложить  и  доказать  их  рассуж¬
дениями  и  опытами».  Проверяя  то  или  иное  положе¬
ние,  ученый  обычно  придумывал  и  ставил  несколько
различных  опытов.  Он  подчеркивал,  что  необходимо
использовать  разные  способы  «проверить  то  же  са¬
мое,  ибо  испытующему  обилие  не  мешает».
 Рассмотрим  некоторые  наиболее  интересные  опы¬
ты  Ньютона  с  призмами  и  те  выводы,  к  которым  при¬
шел  ученый  на  основании  полученных  результатов.
 57

Большая  группа  опытов  была  посвящена  проверке
соответствия  между  цветом  лучей  и  степенью  их  пре¬
ломляемости  (иначе  говоря,  между  цветом  и  величи¬
ной  показателя  преломления).  Выделим  три  таких
опыта.
 Опыт  1.  Разглядывание  разноцветной  полоски
сквозь  призму.  Берется  бумажная  полоска,  половина
которой  покрашена  в  интенсивный
красный,  а  половина  —  в  интенсив¬
ный  синий  цвет  (рис.  4.2,  а:  К  —
красный,  С  —  синий).  Эта  полоска
разглядывается  сквозь  стеклянную
призму,  преломляющие  грани  кото¬
рой  ориентированы  параллельно  по¬
лоске.  «Я  нашел,  —  пишет  Нью¬
тон,—  что  в  том  случае,  когда  пре¬
ломляющий  угол  призмы  повернут
кверху,  так  что  бумага  кажется
вследствие  преломления  приподня¬
той,  то  синяя  сторона  подымается
преломлением  выше,  чем  красная.
Если  же  преломляющий  угол  приз¬
мы  повернут  вниз  и  бумага  кажет¬
ся  опустившейся  вследствие  пре¬
ломления,  то  синяя  часть  окажется
несколько  ниже,  чем  красная».  Обе
отмеченные  Ньютоном  ситуации  ид*
4.2:  в  случае  б)  призма  ориентиро¬
вана  преломляющим  углом  вверх,  а  в  случае  в)  —>
вниз.  Ньютон  делает  вывод:  «В  обоих  случаях  свет,
приходящий  от  синей  половины  бумаги  через  призму
к  глазу,  испытывает  при  одинаковых  обстоятельствах
большее  преломление,  чем  свет,  исходящий  от  крас¬
ной  половины,  и,  следовательно,  преломляется
больше».
 Опыт  2.  Прохождение  света  через  скрещенные
призмы.  Перед  отверстием  Л,  пропускающим  в  затем¬
ненную  комнату  узкий  пучок  солнечных  лучей,  поме¬
щают  призму  с  горизонтально  ориентированным  пре¬
ломляющим  ребром  (рис.  4.3,а).  На  экране  возни¬
кает  вытянутая  по  вертикали  цветная  полоска  КФ,
крайняя  нижняя  часть  которой  окрашена  в  красный
цвет,  а  крайняя  верхняя  —  в  фиолетовый.  Обведем
карандашом  контуры  полоски  на  экране.  Затем  по»
 с  и
 6)
 Рис.  4.2.
 люстрирует  рис.
 58

местим  между  рассматриваемой  призмой  и  экраном
еще  одну  такую  же  призму,  но  при  этом  преломляю¬
щее  ребро  второй  призмы  должно  быть  ориентиро¬
вано  вертикально,  т.  е.  перпендикулярно  к  прелом¬
ляющему  ребру  первой  призмы.  Световой  пучок,  вы¬
ходящий  из  отверстия  А,  проходит  последовательно
через  две  скрещенные  призмы,  На  экране  возникает
 полоска  спектра  К'Ф\  смещенная  относительно  кон¬
тура  КФ  по  оси  х.  При  этом  фиолетовый  конец  поло¬
ски  оказывается  смещенным  в  большей  мере,  нежели
красный,  так  что  полоска  спектра  выглядит  наклонен¬
ной  к  вертикали.  Ньютон  приходит  к  выводу:  если
опыт  с  одиночной  призмой  позволяет  утверждать,  что
лучам  с  разной  степенью  преломляемости  соответ¬
ствуют  разные  цвета,  то  опыт  со  скрещенными  призма¬
ми  доказывает  также  и  обратное  положение  —  лучи
разного  цвета  обладают  разной  степенью  преломляе¬
мости.  Действительно,  луч,  наиболее  преломляющийся
в  первой  призме,  есть  фиолетовый  луч;  проходя  затем
через  вторую  призму,  этот  фиолетовый  луч  испыты¬
вает  наибольшее  преломление.  Обсуждая  результаты
опыта  со  скрещенными  призмами,  Ньютон  отмечал:
«Из  этого  опыта  следует  также,  что  преломления  от¬
дельных  лучей  протекают  по  тем  же  законам,  находят¬
ся  ли  они  в  смеси  с  лучами  других  родов,  как  в  белом
свете,  или  преломляются  порознь  или  предваритель¬
ном  обращении  света  в  цвета».
 59

На  рис.  4.4  представлен  еще  один  вариант  опыта
со  скрещенными  призмами:  через  призмы  проходят
два  одинаковых  световых  пучка.  Оба  пучка  форма*
руют  на  экране  одинаковые  полоски  спектра,  несмот¬
ря  на  то,  что  в  первой  призме  лучи  одного  и  того  же
цвета  (но  из  разных  пучков)  проходят  пути  разной
 длины.  Тем  самым  опровергалось  отмеченное  выше
предположение,  что  цвет  зависит  от  длины  пути  луча
внутри  призмы.
 Опыт  3.  Прохождение  света  через  систему,  со¬
стоящую  из  двух  призм  и  отражающего  зеркала
 (рис.  4.5).  Пучок  солнечных  лучей,  выходя  из  отвер¬
стия  А,  проходит  через  призму  1  и  затем  попадает  на
зеркало  2.  Ориентируем  зеркало  таким  образом,
чтобы  послать  на  призму  3  только  ту  часть  лучей,
которые  преломляются  в  наибольшей  степени.  Пре¬
ломившись  в  призме  3,  эти  лучи  попадают  на  экран
в  районе  точки  В.  Затем  передвинем  зеркало  2,  по¬
местив  его  теперь  так,  чтобы  оно  посылало  на  приз¬
му  3  те  лучи,  которые  преломляются  в  наименьшей
 ео

степени  (см.  штриховое  изображение)'.  Испытав  пре*
ломление  в  призме  3,  эти  лучи  попадут  на  экран
в  районе  точки  С.  Ясно  видно,  что  те  лучи,  которые
преломляются  в  наибольшей  степени  в  первой  приз¬
ме,  будут  наиболее  сильно  преломляться  и  во  второй
призме.
 Все  эти  опыты  позволили  Ньютону  сделать  ува*
ренное  заключение:  «Опытами  доказывается,  что  лу¬
чи,  различно  преломляемые,  имеют  различные  цвета;
доказывается  и  обратное,  что  лучи,  разно  окрашен¬
ные,  есть  лучи,  разно  преломляемые».
 Далее  Ньютон  ставит  вопрос:  «Возможно  ли  из¬
менить  цвет  лучей  какого-либо  рода  в  отдельности
преломлением?»  Выполнив  серию  тщательно  проду¬
манных  опытов,  ученый  приходит  к  отрицательному
ответу  на  поставленный  вопрос.  Рассмотрим  один  из
таких  опытов.
 Опыт  4.  Прохооюдение  света  через  призмы  и  эк¬
раны  со  щелями  (рис.  4.6).  Пучок  солнечных  лучей
 разлагается  на  цвета  призмой  /.  Через  отверстие  В
в  экране,  поставленном  за  призмой,  проходит  часть
лучей  некоторого  определенного  цвета.  Эти  лучи  за¬
тем  проходят  через  отверстие  С  во  втором  экране,
после  чего  попадают  на  призму  2.  Поворачивая  приз¬
му  1,  можно  при  помощи  экранов  с  отверстиями  вы¬
делять  из  спектра  лучи  того  или  иного  цвета  и  иссле¬
довать  их  преломление  в  призме  2.  Опыт  показал,
что  преломление  в  призме  2  не  приводит  к  измене¬
нию  цвета  лучей.
 Окончательный  вывод  Ньютон  сформулировал  сле¬
дующим  образом:  «Вид  цвета  и  степень  преломляе¬
мости,  свойственные  каждому  отдельному  сорту  лу¬
чей,  не  изменяются  ни  преломлением,  ни  отражением,
 61

ни  какой-либо  иной  причиной,  которую  я  мог  наблю¬
дать.  Если  какой-нибудь  сорт  лучей  был  хорошо  от¬
делен  от  лучей  другого  рода,  то  после  этого  он  упор¬
но  удерживал  свою  окраску,  несмотря  на  мои  край¬
ние  старания  изменить  ее».
 Заметим,  что  такой  вывод  фактически  следует
также  из  рассмотренного  выше  опыта  со  скрещен¬
ными  призмами.  При  не  очень  малом  расстоянии
между  призмами  можно  считать,  что  на  вторую  приз¬
му  падают  монохроматические  лучи,  цвет  которых
плавно  изменяется  по  направлению  вдоль  преломляю¬
щего  ребра.  Наблюдаемый  на  экране  спектр  показы¬
вает,  что  эта  призма  только  отклоняет  каждый  из
монохроматических  лучей,  не  изменяя  его  цвета.
 Следует  подчеркнуть,  что,  исследуя  преломление
монохроматического  света,  Ньютон  разработал  и  осу¬
ществил  первый  монохроматор  света  (монохроматор
света  —  прибор  для  выделения  оптического  излучения
с  длинами  волн  в  определенном  диапазоне  значений).
Для  коллимирования  светового  пучка,  падающего  на
призму,  Ньютон  предложил  использовать  собираю¬
щую  линзу,  помещая  ее  между  призмой  и  отвер¬
стием,  посылающим  пучок  солнечных  лучей,  так,
чтобы  фокус  линзы  приходился  на  отверстие.  В  этом
случае  на  призму  попадал  слабо  расходящийся  (кол¬
лимированный)  пучок  света  (рис.  4.7).  Современный
 исследователь  спектрального  состава  излучения  по
сути  дела  повторяет  те  же  манипуляции,  которые
впервые  были  проделаны  Ньютоном.  Он  так  же  уста-*
навливает  призму  на  угол  наименьшего  отклонения,
так  же  регулирует  и  фокусирует  щель  коллиматора,
как  это  делал  когда-то  Ньютон,  варьируя  положение
вспомогательной  линзы.
 62

Весьма  интересна  также  группа  опытов  Ньютона
по  смешению  цветов.  Отметим  два  таких  опыта.
 Опыт  5.  Наблюдение  смешения  цветов  при  по¬
мощи  собирающей  линзы  (рис.  4.8).  Пучок  солнеч¬
ных  лучей  из  отверстия  А  проходит  через  призму,  а
 затем  через  собирающую  линзу.  Наблюдатель  поме¬
щает  на  пути  лучей,  прошедших  линзу,  лист  белой
бумаги.  Передвигая  лист  последовательно  в  положе¬
ния,  обозначенные  на  рисунке  цифрами  1,  2,  3,  4,  на¬
блюдатель  может  видеть,  «как  постепенно  сходятся
цвета  и  исчезают  в  белизну.  Пересекшись  в  том  ме¬
сте,  где  составляется  белизна,  они  снова  рассеивают¬
ся  и  разделяются,  сохраняя  в  обращенном  порядке
те  цвета,  которые  они  имели  до  смешения».  Ньютон
отмечает  также,  что  «если  какие-либо  из  цветов  у
линзы  задержаны,  то  белизна  изменяется  в  другие
цвета».
 Опыт  6.  Наблюдение  смешения  цветов  при  ис¬
пользовании  обращенных  призм.  Поставим  на  пути
 светового  пучка  последовательно  две  призмы,  пре¬
ломляющие  ребра  которых  ориентированы  в  проти¬
воположные  стороны.  На  рис.  4.9  призма  1  ориенти¬
рована  ребром  вниз,  а  призма  2  —  вверх;  преломляю¬
щий  угол  призмы  2  должен  быть  больше,  чем  приз-
мы  /,  чтобы  световой  пучок  после  призмы  2  был  схо¬
дящимся.  Опыт  показывает,  что  призма  2  смешивает
 63

цвета,  полученные  при  разложении  солнечного  света
призмой  7,  в  результате  чего  снова  возникает  белый
свет.
 Итак,  можно  не  только  разложить  солнечный  свет
на  цвета,  но  и  выполнить  обратную  операцию  —  сме¬
шав  цвета,  получить  солнечный  свет.  Все  это  дало
Ньютону  основание  сделать  вывод:  «Солнечный  свет
состоит  из  лучей  различной  преломляемости».
 Здесь  уместно  вернуться  к  вопросу  о  возникнове¬
нии  радужной  полоски  в  опыте  с  бипризмой  именно
на  границе  тени  и  света  (см.  предыдущую  беседу).
Исчезновение  радужной  окраски  при  удалении  вглубь
освещенной  области  экрана  происходит  вследствие
смешения  цветов,  приводящего  в  итоге  к  белому
свету.  Аналогично  объясняет  современная  оптика  и
появление  радужной  каемки  по  контуру  объекта,  раз¬
глядываемого  сквозь  призму  в  немонохроматическом
свете.
 Подытоживая  результаты  оптических  исследова¬
ний  Ньютона  с  призмами,  приведем  отрывок  из  нью¬
тоновых  «Лекций  по  оптике»:  «Свет  состоит  из  лучей
всех  цветов  не  только  по  выходе  из  призмы,  но  даже
тогда,  когда  он  еще  не  дошел  до  призмы,  до  всякого
преломления.  Поэтому  не  удивительно,  что  свет  разъ¬
единяется  на  цвета  из-за  свойства  призмы  не  одина¬
ково  преломлять  лучи,  и  вновь  смешивается  из  цве¬
тов  при  помощи  линзы  или  каким-либо  иным  спосо¬
бом,  составляя  вновь  белизну».
 Трудно  переоценить  значение  исследований  Нью¬
тона.  Один  из  наиболее  выдающихся  советских  физи¬
ков  академик  Л.  И.  Мандельштам  (1879—1944),  внес¬
ший  большой  вклад  в  развитие  оптики,  в  своем  до¬
кладе  «Оптические  работы  Ньютона»  отмечал:  «Нью¬
тон  впервые  дал  действенное  учение  о  цветах,  на  ос¬
новании  которого  он  сам  нашел  огромное  число  но¬
вых  фактов,  количественно  связанных  друг  с  другом,
и  открыл  путь  к  нахождению  новых...  Из  рамок
доньютоновской  геометрической  оптики  все  вопросы
о  цветах  выпадали.  Ньютон  показал  справедливость
закона  преломления  для  каждого  цвета  в  отдель¬
ности.  Таким  образом,  настоящую  законченную  ко¬
личественную  форму  геометрическая  оптика  получила
лишь  благодаря  открытию  Ньютона.  Целый  класс  яв¬
лений  стал  теперь  доступен  количественному  рас-
 64

смотрению».  Как  подчеркивал  Л.  И.  Мандельштам,
«работы  Ньютона*  помимо  их  огромного  фактического
значения,  знаменуют  собой  принципиальный  поворот
направления  физической  науки  вообще».  Вряд  ли  бу¬
дет  преувеличением  сказать,  что  до  Ньютона  все  ис¬
следователи,  в  том  числе  и  Галилей,  приступая  к  ис¬
следованию  физической  проблемы,  исходили  из  ап¬
риорных*)  представлений.  Опыт  служил  для  их  про¬
верки  или,  в  лучшем  случае,  для  внесения  поправок.
Ньютон  порвал  с  этой  традицией.  Он  считал,  что
методами  познания  являются  наблюдение,  опыт  и
обобщение  полученных  результатов,  что  «наилучший
и  самый  надежный  метод  философствования,  по-види¬
мому,  заключается  в  том,  чтобы  сначала  усердно  изу«
чать  свойства  вещей  и  установить  эти  свойства  при
помощи  опыта,  а  затем  осторожно  переходить  к  ги¬
потезам  для  их  объяснения».  Другой  выдающийся  со¬
ветский  физик-оптик  академик  С.  И.  Вавилов  (1891—
1951),  подаривший  нам  великолепный  перевод  на  рус¬
ский  язык  ньютоновских  «Лекций  по  оптике»  и  «Оп¬
тики»,  писал:  «В  отличие  от  всех  своих  предшествен-.
ников  (и  даже  таких,  как  Леонардо,  Галилей,  Джиль-
берт),  Ньютон  постигает  искусство  рационального
опыта,  отвечающего  на  определенные  вопросы  и,  на¬
оборот,  выдвигающего  новые  вопросы.  В  его  руках
комбинация  опытов  становится  таким  же  могучим  и
гибким  средством  научного  мышления,  как  логика  и
математика».
 Работы  Эйлера;  сопоставление  цветам  разных
длин  волн.  Последующее  развитие  теории  дисперсии
света  опиралось  как  на  фундамент  на  оптические  ис¬
следования  Ньютона.  Был  четко  осознан  тот  факт,
что  с  каждым  «цветом»  в  спектре  надо  сопоставлять
световую  волну  определенной  длины.  Отметим  в  этой
связи  труды  знаменитого  русского  математика  Лео¬
нарда  Эйлера  (1707—1783).  По  словам  С.  И.  Вави¬
лова,  «разбирая  движение  светового  луча,  Эйлер  пи¬
шет,  вероятно,  впервые  в  истории  учения  о  свете,  при¬
вычное  нам  теперь  уравнение  плоской  гармонической
волны,  т.  е.  создает  аппарат  элементарной  волновой
оптики».
 *)  Априорный  —  принятый  заранее,  рассматриваемый  пред-
положительно  в  качестве  исходного  положения.
 3  Л.  В.  Тарасов,  А,  Н.  Тарасова
 65

Т  а  б  л  и  и  а
 Цвет
 Длина  световой
 ВОЛНЫ,  МКГ.1
 Фиолетовый
 Синий
 0,4  -0,45
 0,45-0,5
 0,5  -0,53
 0,53-0,57
 0,57-0,59
 0,59-0,62
 0,62-0,75
 Голубой
 Зеленый
 Желтый
 Оранжевый
 Красный
 В  таблице  дано  сопоставление  разным  цветам  со¬
ответствующих  длин  волн  света  в  воздухе  (1  мкм—
=  10~6  м).  Рассматривая  эту  таблицу,  можно  обра¬
тить  внимание  на  два  весьма  важных  обстоятель¬
ства.  Первое  состоит  в  том,  что  переход  от  одного
цвета  к  другому  совершается  непрерывно,  постепенно;
каждому  цвету  сопоставляется  не  какая-то  одна  дли¬
на  волны  света,  а  длины  волн,  попадающие  в  неко¬
торый  интервал  значений.  Так,  для  фиолетового  цве¬
та  в  таблице  указан  интервал  примерно  от  0,4  до
0,45  мкм.  Мы  говорим  «примерно»  по  той  причине,
что  и  сами  границы  цветовых  интервалов  не  являют¬
ся  точными.  Художники  хорошо  знают,  как  много
различных  оттенков  может  иметь  тот  или  иной  цвет;
все  они  различаются  длиной  волны  света  (или  соче¬
танием  длин  света).  Строго  говоря,  выделение  имен¬
но  семи  цветов  (фиолетовый,  синий,  голубой,  зеле¬
ный,  желтый,  оранжевый,  красный)  достаточно  ус¬
ловно  и  не  имеет  четкого  физического  обоснования.
Поэтому,  говоря  о  монохроматическом  свете,  следует
обращаться  не  к  цвету  (как  это  делал  Ньютон),  а  к
длине  волны  света  (как  это  и  принято  в  современной
оптике).  Впрочем,  и  само  понятие  монохроматиче¬
ского  света  требует  уточнения.  Световых  лучей  со
строго  определенной  длиной  волны  не  существует;  в
любом  луче  представлен  некоторый  набор  длин  волн
в  интервале  значений,  скажем,  от  %  до  Я  +  А%.  На
практике  монохроматическими  считают  лучи,  для  ко¬
торых  АХД  <С  1.  Чем  меньше  АХ/К  тем  выше  степень
монохроматичности  света.  Наиболее  высока  степень
 66

монохроматичности  для  излучения  лазера;  в  этом
случае  ДА,Д  может  быть  порядка  10~6  и  даже  еще
меньше.
 Второе  важное  обстоятельство,  усматриваемое  из
таблицы,  связано  с  тем,  что  по  мере  перехода  от  фио-
летовой  части  спектра  к  красной  длина  волны  света
постепенно  увеличивается.  Опыты  Ньютона  и  других
исследователей  показывали,  что  по  мере  указанного
перехода  показатель  преломления  уменьшается.  От¬
сюда  следовал  вывод:  зависимость  показателя  пре¬
ломления  от  длины  волны  света  описывается  убываю¬
щей  функцией.  Иначе  говоря,  с  увеличением  длины
волны  света  показатель  преломления  уменьшается.
 Открытие  аномальной  дисперсии  света;  опыты
Кундта.  До  второй  пловины  XIX  века  считали,  что
этот  вывод  справедлив  всегда.  Но  вот  в  1860  г.  фран¬
цузский  физик  Леру,  проводя  измерения  показателя
преломления  для  ряда  веществ,  неожиданно  обна¬
ружил,  что  пары  йода  преломляют  синие  лучи  в  мень¬
шей  степени,  нежели  красные.  Леру  назвал  обнару¬
женное  им  явление  аномальной  дисперсией  света.
Если  при  обычной  (нормальной)  дисперсии  показа¬
тель  преломления  с  ростом  длины  волны  умень¬
шается,  то  при  аномальной  (необычной)  дисперсии
показатель  преломления,  наоборот,  увеличивается,
Явление  аномальной  дисперсии  было  детально  иссле«
довано  немецким  физиком  Кундтом  в  1871—1872  гг.
При  этом  Кундт  воспользовался  методом  скрещенных
призм,  который  был  предложен  в  свое  время  Ньюто-
ном.
 На  рис.  4.10,  а  воспроизведена  уже  знакомая  чи¬
тателю  картина:  при  прохождении  через  две  скре*
щенные  стеклянные  призмы  свет  дает  на  экране  на¬
клоненную  полоску  спектра.  Теперь  предположим,  что
одна  из  стеклянных  призм  заменена  полой  призмати¬
ческой  кюветой,  заполненной  раствором  органичен
ского  соединения,  называемого  цианином;  именно  та¬
кую  призму  использовал  Кундт  в  одном  из  своих
опытов.  Схема  опыта  Кундта  представлена  на
рис.  4.10,6,  где  1  —  стеклянная  призма,  а  2  —  призма,
заполненная  раствором  цианина.  Стеклянная  призма
дает  нормальную  дисперсию.  Так  как  ее  преломляю¬
щее  ребро  ориентировано  вниз,  то  ось  длин  волн  для
пучка  лучей,  выходящих  из  данной  призмы,  также
 3*
 67

направлена  вниз  (ось  А  на  экране).  Вдоль  перпенди-
кулярного  направления  на  экране  (вдоль  оси  п)  от»
кладываются  значения  показателя  преломления  ве¬
щества.  заполняющего  вторую  призму.  На  экране  на»
блюдается  весьма  специфическая  картина  спектра,  ка¬
чественно  отличающаяся  от  той,  какую  наблюдал  в
своих  опытах  Ньютон.  Видно,  что  «(А^  <  л  (Яг),  хотя
Я1  <  Я2.  Заслуга  Кундта  заключается  не  только  в
том,  что  он  убедительно  продемонстрировал  явление
 аномальной  дисперсии,  но  и  в  том,  что  он  указал  на
связь  этого  явления  с  поглощением  света  в  веществе.
Указанная  на  рисунке  длина  волны  Яо  есть  длина
волны,  вблизи  которой  наблюдается  сильное  погло¬
щение  света  в  растворе  цианина.
 Последующие  исследования  аномальной  диспер¬
сии  света  показали,  что  наиболее  интересные  экспе¬
риментальные-  результаты  получаются,  когда  вместо
двух  скрещенных  призм  используется,  например,
призма  и  интерферометр.  Такая  эксперименталь¬
ная  методика  была  применена  известным  русским
физиком  Д.  С.  Рождественским  в  начале  XX  в.
Рис.  4.11,  воспроизведенный  с  фотографии,  полученной
Д.  С.  Рождественским,  демонстрирует  явление  ано¬
мальной  дисперсии  в  парах  натрия.  Внеся  в  исполь¬
зуемую  методику  существенные  усовершенствования,
 69

ученый  разработал  так  называемый  «метод  крюков»,
широко  применяемый  в  современной  эксперименталь*
ной  оптике.
 Согласно  современным  представлениям  и  нор¬
мальная,  и  аномальная  дисперсии  рассматриваются
как  явления  единой  природы,  описываемые  в  рамкаЯ
 Рис.  4.11.
 единой  теории.  Эта  теория  основывается  на  электро-
магнитной  теории  света,  с  одной  стороны,  и  на  элект¬
ронной  теории  вещества,  —  с  другой.  Строго  говоря,
термин  «аномальная  дисперсия»  сохраняет  сегодня
лишь  исторический  смысл.  С  сегодняшних  позиций,
нормальная  дисперсия  —  это
дисперсия  вдали  от  длин
волн,  при  которых  происхо¬
дит  поглощение  света  в  дан¬
ном  веществе,  тогда  как
аномальная  дисперсия  —
это  дисперсия  в  области  по¬
лос  поглощения  вещества.
 На  рис.  4.12  показана  ха¬
рактерная  зависимость  по¬
казателя  преломления  от  длины  волны  света  для  не¬
которого  вещества,  сильно  поглощающего  вблизи
В  незаштрихованной  области  наблюдается  нормаль¬
ная  дисперсия,  а  в  заштрихованной  —  аномальная..
 Замечания  по  поводу  отражательной  призмы.  Пе¬
реходя  к  вопросам  практического  использования  дис-
церсии  света  в  призмах  и  призменных  устройствах,
напомним  сначала  замечания,  сделанные  в  предыду¬
щей  беседе  по  поводу  отражательной  призмы  на
рис.  3.5,  в.  Эту  призму  называют  призмой  Дозе.  Мы
говорили,  что  в  данной  призме  разложение  света  на
цвета  не  наблюдается  на  практике  вследствие  того,
что  все  лучи  выходят  из  призмы  параллельно  друг
другу  и  исходный  пучок  имеет  некоторую  ширину.
 п-7
 &  у 	/Ъ
 Рис.  4.12.

Допустим  на  минуту,  что  световой  пучок  бесконечно
узок  и  содержит  (для  простоты)  всего  две  длины
волны  —  соответственно  в  фиолетовой  и  красной  об¬
ластях  спектра.  Как  видно  из  рис.  4.13,  а,  фиолето¬
вый  и  красный  лучи,  выходя  из  призмы  параллельно
друг  другу,  оказываются  смещенными  относительно
друг  друга  на  некоторое  расстояние  А/.  Это  смещение
 зависит  от  длины  ребра  призмы  а  и  от  показателей
преломления  для  красного  и  фиолетового  лучей.  Ясно,
что  реальный  световой  пучок  всегда  имеет  некоторую
ширину;  обозначим  ее  через  й.  Очевидно,  что  наблю¬
датель  сможет  различить  (обычно  говорят:  разре¬
шить)  красный  и  фиолетовый  лучи  на  выходе  призмы
лишь  в  том  случае,  если  А1  >  й.  В  противном  случае
указанные  лучи  (точнее,  пучки)  будут  взаимно  пере¬
крываться  и  смешиваться.
 Рассмотрим  следующую  задачу.  Найти  максимально  допу¬
стимую  ширину  светового  пучка  й,  позволяющую  разрешить  на
выходе  призмы  Дове  световые  лучи  с  показателями  преломле¬
ния  п=  1,33  (красный  луч)  и  п  +  Ап  =  1,34  (фиолетовый  луч).
'Длина  ребра  призмы  а  =  4  см.
 Задача  решается  особенно  просто,  если  заменить  призму
Дове  стеклянным  кубиком  (см.  рис.  4,13,6).  Нетрудно  видеть,
что  такая  замена,  упрощая  рассмотрение,  в  то  же  время  не  ме¬
няет  сути  дела.  Искомую  ширину  пучка  &  найдем  из  условия
а  =  д/  =  Д/./У2.  Из  рисунка  видно,  что
 ДД  =  а  Р  -  а  ^  (Р  -  ДР). 	(4.1)
 Из  закона  преломления  получаем  соответственно  для  красного
и  фиолетового  лучей:
 8Ш  Р  =
 1
 йУ2  ’
 5Ш  (Р  —  ДР)
 1
 (п  +  Дл)  V-
 (4*2)
 70

Используя  (4.2),  преобразуем  (4.1)  к  виду
 ДА
 а
 У2«2  —  1
 а
 У2  (п  +  Ап)2  -  1  ~~
 	а  |~  1 	^  ! 	2п2  —  1
 У2/г2—1  Ь  А/  2  (д  +  А^)2 	1-1
 Далее  воспользуемся  тем,  что  Ап  <^.  п  и  выполним  следующие
преобразования:
 V
 2га2  —  1 	_ 	/  2га2  —  1
 1  Д/  2га2  —  1  +  4га  Дга
 2  (га  +  Дга)2
 V
 1
 1  -р  А  п
 Ап
 ;-л/
 1  —  Д/г
 Ап
 2п2  —  1
 2/г2  -  1
 =  1  —  Д/г-
 2п
 2  п2  —  1  #
 Таким  образом,
 Д/  =  -=^-  =  л/2  ага  Дга  (2га2  -  1)“3/2. 	(4.3)
 Л/2
 Подставляя  в  (4.3)  численные  значения  из  условия  задачи,  по¬
лучаем  А/  =  0,02  см.  Итак,  световой  пучок  должен  иметь  ши¬
рину  менее  одной  пятой  миллиметра,  чтобы  наблюдатель  сумел
разрешить  красный  и  фиолетовый  лучи  на  выходе  призмы.
 Дисперсионные  призмы;  угловая  дисперсия.  Рас*
смотренная  задача  наглядно  показывает,  почему  в  от-»
ражательных  призмах  (и  в  плоскопараллельных  пла¬
стинках)  мы  не  наблюдаем  на  практике  дисперсии
света,  обусловленной  преломлением.  Призмы,  в  ко¬
торых  дисперсия  света  проявляется  достаточно  четко,
называют  обычно  дисперсионными.  Лучи  разного  цве¬
та  выходят  из  дисперсионной  призмы  под  разными
углами,  что  и  позволяет  их  разрешить.  Предположим,
что  длина  волны  двух  лучей  различается  на  величину
ДЯ,  а  угол  отклонения  этих  лучей  в  призме  —  на  ве¬
личину  Дб.  Отношение  Дб/ДЯ  называют  угловой  дис-
Персией  призмы.  Чем  больше  это  отношение,  тем
выше  способность  призмы  к  разрешению  разных  длин
волн.  Можно  сказать,  что  у  отражательных  призм
угловая  дисперсия  равна  нулю.
 Рассмотрим  задачу.  Найти  выраокение  для  угловой  дисперсии
призмы  с  преломляющим  углом  0  в  случае  симметричного  хода
лучей.  Известно,  что  при  переходе  от  длины  волны  %  к  длине
волны  X  —  ДА,  показатель  преломления  изменяется  от  п  к  п  +  Ад.
 71

Используя  формулу  (3.5),  запишем  соответствующее  выраже¬
ние  для  показателя  преломления  луча  с  длиной  волны  Л  —  АЛ?
 .  6  +  Аб  +  0 	!  ,  А  \  ,  0
 81П  			 =  (п  +  Ая)  з!п
 Учитывая  малость  угла  Аб,  преобразуем  (4.4)  к  виду
 , 	6  +  0  .  Аб  б  0 	,  0  .  а  .  0
 81П  			Ь  —  С08  			=  П  81П  ^  +  АЛ  81П  у.
 (4.4)
 Отсюда  находим  (с  учетом  (3.5))
 д
 2  зш  —
 А6  =  —б+ё7д^
 2  А  П  51П  -
 2  Ап  з!п  —
 V
 1  —  зш2
 6  +  0
 V*  ~пг  8'"2  4
 ьТаким  образом,
 Аб
 АЛ
 2  зш
 Ду/  1  —  П2  ЗШ2  *—
 А  п
 (4.5)
 Относительно  часто  используется  0  =  60°.  В  этом  случае  утло*'
вая  дисперсия  призмы  описывается  выражением
 Аб   	2  Ап
 АЛ 	д/4  ~  п2  АЛ
 (4.6)
 Пусть,  как  и  в  предыдущей  задаче,  п  =  1,33,  Ап  =  0,01,
Полагая,  что  преломляющий  угол  призмы  равен  60°,  и  используя
в  связи  с  этим  соотношение  Аб  —  2  кп/'у/А  —  я2,  находим  Аб  =*
=  0,013  (иначе  говоря,  4‘5').  Это  означает,  что  на  экране,  уда¬
ленном  от  призмы,  скажем,  на  1  м,  относительное  смещение
центров  красного  и  фиолетового  лучей  составит  А/  =*:
=  Аб  •  100  см  =  1,3  см.  Совсем  нетрудно  в  данном  случае  раз¬
решить  эти  лучи;  надо  лишь,  чтобы  ширина  светового  пучка  не
превышала  1  см.
 Спектральные  приборы  —  монохроматоры  и  спек**
трометры;  схема  Фукса  —  Уодсворта.  Дисперсионные
призмы  широко  применяются  в  различных  видах
спектральных  приборов.  Такие  приборы  предназна*»
чены  для  выделения  из  спектра  излучения  некоторой
его  части  (монохроматоры)  или  для  исследования
спектра  излучения 	(спектроскопы,  спектрографы,
 спектрометры).  Заметим,  что  исследование  спектров
(спектральный  анализ)  имеет  исключительно  боль*
шое  научное  и  практическое  значение,  поскольку
спектры  газов  состоят  из  набора  отдельных  линий  и
каждому  химическому  элементу,  входящему  в  состав
 72

данного  газа,  соответствуют  свои  определенные  спект»
ральные  линии.  По  линиям,  представленным  в  иссле-
дуемом  спектре,  можно,  таким  образом,  судить  о  хи¬
мическом  составе  данного  вещества.
 Призменные  спектральные  приборы  различаются,
прежде  всего,  по  типу  используемых  в  них  оптических
схем.  В  качестве  примера  рассмотрим  схему  Фукса—*
Уодсворта.  На  рис.  4.14  показан  один  из  вариантов
 этой  схемы.  Дисперсионная  призма  с  преломляющим
углом  0  =  60°  жестко  скреплена  с  плоским  зеркалом,
отражающая  плоскость  которого  в  данном  варианте
схемы  совпадает  с  основанием  призмы.  Призму  вме¬
сте  с  зеркалом  можно  поворачивать  вокруг  точки  Оь
изменяя  тем  самым  угол  ф,  образуемый  входной
гранью  призмы  и  исходным  немонохроматическим
световым  пучком,  распространяющимся  вдоль  фикси¬
рованного  направления  МС\.  Световой  пучок  сначала
проходит  через  призму,  а  затем  отражается  от  зер¬
кала,  Испытывая  преломление  в  призме,  исходный
 73

немонохроматический  пучок  расщепляется  на  моно¬
хроматические  лучи,  выходящие  из  призмы  в  разных
направлениях.  Через  выходной  коллиматор  N  выйдет
из  прибора  только  тот  монохроматический  луч,  кото¬
рый  после  отражения  от  зеркала  будет  распростра¬
няться  параллельно  исходному  немонохроматиче¬
скому  пучку.  Убедимся,  что  это  есть  световой  луч,
который  проходит  через  призму  симметричным  обра¬
зом;  иначе  говоря,  докажем,  что  при  симметричном
ходе  луча  через  призму  отраженный  луч  СЫ  парал¬
лелен  МС\.  Рассматриваемый  луч  показан  на
рис.  4.14,  а.  Поскольку  он  проходит  через  призму
симметричным  образом,  то  /МСО\  =  /0\С0.  Так
как  О1ОЦОЯ,  то  /0\С0  =  /.СОН.  Кроме  того,
/.СОН  =  /НОЫ  (угол  падения  равен  углу  отраже¬
ния).  Таким  образом,  /МСО\  =  /0\С0  =  /  СОН  =
—  /НОЫ.  Отсюда  следует,  что  /МСО  =  /СОЫ,  а
это  и  означает,  что  ОЫ\\МС\.
 Итак,  световой  луч,  у  которого  длина  волны  та¬
кова,  что  он  распространяется  внутри  призмы  парал¬
лельно  ее  основанию,  попадает  после  отражения  от
зеркала  в  коллимирующую  щель  N  и  покидает  при¬
бор.  Остальные  же  лучи  (соответствующие  другим
длинам  волн)  не  пройдут  через  коллиматор  N.  Длина
волны  X  светового  луча,  выходящего  из  N,  опреде¬
ляется  значением  п(Х)  показателя  преломления,
удовлетворяющим  условию  (напомним  (3.5))
 пМ  =  1ЫШ  =  2со5(Р- 	{и)
 Если  изменить  угол  ср,  немного  повернув  призму
вместе  с  зеркалом  вокруг  0\  (при  этом  щели  М  и  N
остаются  фиксированными),  то  условие  (4.7)  будет
удовлетворяться  уже  для  другой  длины  волны.  Те¬
перь  симметричный  ход  через  призму  будет  иметь
световой  луч  с  этой  другой  длиной  волны;  он  и  прой¬
дет  через  коллиматор  N.
 На  рис.  4.14,6  показаны  соответственно  сплош¬
ными  и  штриховыми  линиями  два  положения  приз¬
мы  с  зеркалом  и  для  каждого  положения  —  световой
луч,  выходящий  из  N.  Первое  положение  (сплошные
линии)  отвечает  углу  ср  —  ср1?  а  второе  (штриховые
линии)  г—углу  ср  =  ф2.  Поскольку  ср2  <  Фьто  согласно
(4.7)  п(Х\)<п(%2)  и,  следовательно,  Х\  >  %2-  Пово-
 74

рачивая  призму  с  зеркалом  вокруг  Оь  можно  полу¬
чить  на  выходе  N  монохроматический  пучок  с  той
или  иной  длиной  волны  (из  диапазона  длин  волн,
характеризующего  исходный  пучок).
 Подчеркнем,  что  в  рассмотренной  схеме  (как,
впрочем,  и  в  других  применяемых  на  практике  схе¬
мах)  исходный  пучок  должен  быть  хорошо  коллими¬
рован;  кроме  того,  необходимо,  чтобы  только  опреде¬
ленным  образом  отраженный  от  зеркала  направлен¬
ный  пучок  получал  возможность  покинуть  прибор.
Для  этого  можно  использовать  вогнутые  сферические
 зеркала,  как  показано  на  рис.  4.15.  Здесь  I  —  вход¬
ное  отверстие,  2  —  вогнутое  сферическое  зеркало,  фо¬
кус  которого  совпадает  в  входным  отверстием  (это
зеркало  формирует  определенным  образом  направ¬
ленный  коллимированный  пучок,  который  падает  на
призму),  3  —  призма,  4  —  плоское  зеркало,  5  —  вог¬
нутое  сферическое  зеркало,  отражающее  определен¬
ным  образом  направленный  пучок  6  в  выходное  от¬
верстие  7  (фокус  зеркала  совпадает  с  выходным  от¬
верстием).
 Разумеется,  рассмотренная  схема  —  лишь  одна  из
многих,  применяемых  в  призменных  спектральных
приборах.  В  частности,  используются  многопризмен¬
ные  схемы,  схемы  с  комбинацией  призм  и  линз  и
другие.
 Гёте  против  Ньютона.  Завершая  беседу,  вернемся
еще  раз  к  Ньютону  и  расскажем  о  поучительном  про¬
тивостоянии—  Гёте  против  Ньютона.  Крупнейший  не¬
мецкий  поэт  Иоганн  Вольфганг  Гёте  (1749—1832),
 75

проявлявший  большой  интерес  к  теории  возникнове¬
ния  цветов  и  даже  написавший  на  эту  тему  книгу,  не
разделял  научных  взглядов  Ньютона  и  не  был  согла¬
сен  с  его  выводами,  касающимися  разложения  сол¬
нечного  света  на  цвета.  Не  давая  себе  труда  вник¬
нуть  в  суть  опытов  Ньютона,  не  пытаясь  повторить
их,  Гёте  сходу  отвергал  ньютоновскую  теорию  цве¬
тов.  Он  писал:  «Утверждения  Ньютона  —  чудовищное
предположение.  Да  и  как  это  может  быть,  чтобы  са¬
мый  прозрачный,  самый  чистый  цвет  —  белый  —  ока¬
зался  смесью  цветных  лучей?»  Гёте  указывал,  что
еще  никому  из  художников  не  удавалось,  смешивая
краски  разных  цветов,  получить  белую  краску;  они
неизбежно  получали  лишь  серые  грязные  тона.  Гёте
упрекал  Ньютона  в  том,  что  его  теория  неспособна
объяснить  голубизну  неба.  До  Ньютона,  заявлял  Гёте,
все  было  ясно:  черное  ночное  небо  при  появлении
Солнца  окрашивается  в  голубой  цвет  вследствие  сме¬
шения  белого  солнечного  света  с  чернотой  неба.  Если
же-встать  на  точку  зрения  Ньютона,  говорил  он,  и
предположить,  что  голубой  цвет  самостоятелен,  то  в
этом  случае  пришлось  бы  объяснять  голубой  цвет
неба  голубым  цветом  самого  воздуха.  Но  тогда  непо¬
нятно,  почему  дальние  горные  вершины  кажутся  не
голубыми,  а  розоватыми,  и  почему  заходящее  Солнце
представляется  нам  красным.
 Конечно,  Гёте  и  Ньютон  были  очень  разными
людьми  по  складу  мышления,  по  характеру  отноше¬
ния  к  природе  и  процессу  познания  ее  законов.  Нью¬
тон—  человек  с  необычайно  развитым  аналитическим
умом,  стремящийся  каждый  шаг  вперед  перепрове¬
рить  и  подкрепить  опытом  и  вычислениями.  Это  до¬
тошный  исследователь,  требовавший  от  себя  и  от  дру¬
гих  «не  смешивать  домыслы  с  достоверностями».
С  другой  стороны,  Гёте  —  в  значительно  большей  сте¬
пени  вдохновенный  мечтатель  и  философ,  нежели  фи¬
зик.  Он  воспринимал  мир  как  нечто  целое,  не  разде¬
лимое  на  части;  эксперименту  и  точным  расчетам  он
предпочитал  вымысел,  фантазию,  озарение.
 Неудивительно,  что  Гёте  не  понял  Ньютона  и  не
согласился  с  ним.  И  конечно  же,  Гёте  неправ,  горячо
критикуя  результаты,  полученные  Ньютоном.  В  этом
противостоянии  двух  выдающихся  личностей  мы,  ес¬
тественно,  на  стороне  Ньютона.  Тем  не  менее  се¬
 т

годня  (именно  сегодня)  мы  не  можем  отмахнуться  ог
замечаний  Гёте,  потому  что  независимо  от  намерений
Гёте  мы  видим  в  них  рациональное  зерно.
 Основное  в  этих  замечаниях  можно  свести  к  ут¬
верждению,  что  свойства  света,  выявленные  в  опытах
Ньютоном,  не  ‘являются  свойствами  истинного  света,
с  каким  имеет  дело  природа,  а  являются  свойствами
света,  «замученного  разного  рода  орудиями  пытки—■
щелями,  призмами,  линзами».  На  это  любил  обра¬
щать  внимание  академик  Л.  И.  Мандельштам,  кото¬
рый,  по  словам  профессора  МГУ  Г.  С.  Горелика,  «ви¬
дел  здесь  какое-то,  —  пусть  наивное  и  однобокое,-^
предвосхищение  современной  точки  зрения  на  роль
измерительной  аппаратуры».  Физика  XX  в.,  а  точнее,
одна  из  ее  наиболее  интересных  ветвей,  исследующая
законы  поведения  микрообъектов  (ее  называют  кван¬
товой  механикой),  показала,  что,  производя  то  или
иное  измерение  в  микромире,  мы  неизбежно  и  притом
непредсказуемо  искажаем  то,  что  измеряем.  Оказы¬
вается,  таким  образом,  что,  исследуя  природу  на
уровне  микроявлений,  человек  неизбежно  вносит  не¬
обратимые  искажения  в  нее.  Так,  измеряя  импульс
электрона,  мы  вносим  искажения,  исключающие  од¬
новременное  измерение  его  координаты.  И  наоборот,
измеряя  координату  электрона,  мы  вносим  искаже¬
ния,  делающие  невозможным  одновременное  измере¬
ние  импульса.
 Гениальное  предвосхищение  грядущих  проблем
физики  и  есть  то  рациональное  зерно  в  замечаниях
Гёте,  мимо  которого  мы  не  можем  сегодня  пройти.
Конечно,  критика  Гёте  сама  по  себе  была  направлена
не  по  адресу;  совершенно  ясно,  что  она  ни  в  малей¬
шей  мере  не  умаляет  той  огромной  роли,  какую  сы¬
грал  Ньютон  в  развитии  физики.  Однако  поставлен¬
ные  в  этой  критике  философские  вопросы,  безуслов¬
но,  интересны  и,  к  тому  же,  сегодня  весьма  актуаль¬
ны,  И  пожалуй,  наиболее  хорошо  эти  вопросы  Гёте
поставил  не  в  «Учении  о  цветах»,  а  в  своем  бессмерт¬
ном  «Фаусте»:
 «Во  всем  подслушать  жизнь  стремясь,
 Спешат  явленья  обездушить,
 Забыв,  что  если  в  них  нарушить
Одушевляющую  связь,
 То  больше  нечего  и  слушать»*
 1?

Что  же  касается  конкретного  упрека  Гёте  Нью¬
тону  в  том,  что  тот  не  смог  объяснить  голубого  цве¬
та  неба  и  красного  цвета  заходящего  Солнца,  то
здесь,  конечно,  возразить  нечего.  Преломление  и  дис¬
персия  света  действительно  не  объясняют  отмеченных
явлений.  Объяснение  этих  явлений  было  найдено  зна¬
чительно  позднее  —  в  результате  изучения  рассеяния
света  молекулами  воздуха,  на  основе  так  называемой
молекулярной  оптики,  в  развитие  которой  внес  ре¬
шающий  вклад  академик  Л.  И.  Мандельштам.  Но  все
это  уже  выходит  за  рамки  нашей  беседы.

БЕСЕДА  ПЯТАЯ
 КАК  ВОЗНИКАЕТ  РАДУГА?
 Наверное,  нет  человека,  который  не  лю¬
бовался  бы  радугой.  Это  великолепное  красочное  яв¬
ление  на  небосводе  издавна  привлекало  всеобщее
внимание.  Ее  считали  доброй  предвестницей,  припи¬
сывали  ей  магические  свойства.  Само  название  «ра¬
дуга»  происходит  от  словосочетания  «райская  дуга».
Существует  старинное  английское  поверье,  согласно
которому  у  подножия  радуги  можно  найти  горшок  с
золотом.
 В  наши  дни  все  знают,  что  волшебными  свой¬
ствами  радуга  может  обладать  лишь  в  сказках,  а  в
действительности  радуга  —  это  оптическое  явление,
связанное  с  преломлением  световых  лучей  на  много¬
численных  капельках  дождя.  Однако  далеко  не  все
знают,  как  именно  преломление  света  на  капельках
дождя  приводит  к  возникновению  на  небосводе  ги¬
гантской  многоцветной  дуги.  Поэтому  полезно  подроб¬
нее  остановиться  на  физическом  объяснении  этого  эф¬
фектного  оптического  явления.
 Радуга  глазами  внимательного  наблюдателя.
Прежде  всего  заметим,  что  радуга  может  наблюдать?
ся  только  в  стороне,  противоположной  Солнцу.  Если
встать  лицом  к  радуге,  то  Солнце  окажется  сзади.
Радуга  возникает,  когда  Солнце  освещает  завесу  дож¬
дя.  По  мере  того  как  дождь  стихает,  а  затем  прекра¬
щается,  радуга  блекнет  и  постепенно  исчезает.  На¬
блюдаемые  в  радуге  цвета  чередуются  в  такой  же  по¬
следовательности,  как  и  в  спектре,  получаемом  при
пропускании  пучка  солнечных  лучей  через  призму.
При  этом  внутренняя  (обращенная  к  поверхности
Земли)  крайняя  область  радуги  окрашена  в  фиолето¬
вый  цвет,  а  внешняя  крайняя  область  —  в  красный.
Нередко  над  основной  радугой  возникает  еще  одна
(вторичная)  радуга  —  более  широкая  и  размытая.
Цвета  во  вторичной  радуге  чередуются  в  обратном
 79

порядке:  от  красного  (крайняя  внутренняя  область
дуги)  до  фиолетового  (крайняя  внешняя  область).
 Для  наблюдателя,  находящегося  на  относительно
ровной  земной  поверхности,  радуга  появляется  при
условии,  что  угловая  высота  Солнца  над  горизонтом
не  превышает  примерно  42°.  Чем  ниже  Солнце,  тем
больше  угловая  высота  вершины  радуги  и  тем,  сле¬
довательно,  больше  наблюдаемый  участок  радуги.
Вторичная  радуга  может  наблюдаться,  если  высота
Солнца  над  горизонтом  не  превышает  примерно  52°.
 Радуга  может  рассматриваться  как  гигантское
«колесо»,  которое  как  на  ось  «надето»  на  воображае¬
мую  прямую  линию,  проходящую  через  Солнце  и  на¬
блюдателя.  На  рис.  5.1  эта  прямая  обозначена  как
прямая  ООх\  О  —  наблюдатель,  ОСИ  —  плоскость
земной  поверхности,  ^АОО\=ф—угловая  высота
Солнца  над  горизонтом.  Чтобы  найти  достаточно
разделить  рост  наблюдателя  на  длину  отбрасываемой
им  тени.  Точка  0\  называется  противосолнечной  точ¬
кой;  она  находится  ниже  линии  горизонта  Сй.  Из
рисунка  видно,  что  радуга  представляет  собой  ок¬
ружность  основания  конуса,  ось  которого  есть  001;
у  —  угол,  составляемый  осью  конуса  с  любой  из  его
образующих  (угол  раствора  конуса).  Разумеется,  на¬
блюдатель  видит  не  всю  указанную  окружность,  а
только  ту  часть  ее  (на  рисунке  участок  ОБО),  кото-
 Рис.  5.1
 80

рая  находится  над  линией  горизонта.  Заметим,  что
/АОВ  =  Ф  есть  угол,  под  которым  наблюдатель  ви¬
дит  вершину  радуги,  а  /АОй  =  а—  угол,  под  кото¬
рым  наблюдатель  видит  каждое  из  оснований  радуги
(где,  по  английскому  поверью,  закопан  горшок  с  зо¬
лотом).  Очевидно,  что
 ф  +  Ф  =  у- 	(5-0
 Таким  образом,  положение  радуги  по  отношению
к  окружающему  ландшафту  зависит  от  положения
наблюдателя  по  отношению  к  Солнцу,  а  угловые  раз¬
меры  радуги  определяются  высотой  Солнца  над  гори¬
зонтом.  Наблюдатель  есть  вершина  конуса,  ось  кото¬
рого  направлена  по  линии,  соединяющей  наблюда¬
теля  с  Солнцем;  радуга  есть  находящаяся  над  линией
горизонта  часть  окружности  основания  этого  конуса.
При  передвижениях  наблюдателя  указанный  конус,
а  значит,  и  радуга,  соответствующим  образом  пере¬
мещаются;  поэтому  бесполезно  охотиться  за  обещан¬
ным  горшком  золота.
 Здесь  необходимо  сделать  два  пояснения.  Во-пер¬
вых,  когда  мы  говорим  о  прямой  линии,  соединяющей
наблюдателя  с  Солнцем,  то  имеем  в  виду  не  истин¬
ное,  а  наблюдаемое  направление  на  Солнце.  Оно  от¬
личается  от  истинного  на  угол  рефракции.  Во-вторых,
когда  мы  говорим  о  радуге  над  линией  горизонта,  то
имеем  в  виду  относительно  далекую  радугу  —  когда
завеса  дождя  удалена  от  нас  на  несколько  километ¬
ров.  Можно  наблюдать  также  и  близкую  радугу,  на¬
пример,  радугу,  возникающую  на  фоне  большого  фон¬
тана.  В  этом  случае  концы  радуги  как  бы  уходят  в
землю.  Степень  удаленности  радуги  от  наблюдателя
не  влияет,  очевидно,  на  ее  угловые  размеры.
 Из  (5.1)  следует,  что  Ф  =  у  —  ф.  Для  основной
радуги  угол  у  равен  примерно  42°  (для  желтого  уча¬
стка  радуги),  а  для  вторичной  этот  угол  составляет
52°.  Отсюда  ясно,  почему  земной  наблюдатель  не  мо¬
жет  любоваться  основной  радугой,  если  высота  Солн¬
ца  над  горизонтом  превышает  42°,  и  не  увидит  вто¬
ричную  радугу  при  высоте  Солнца,  превышающей
52°.  Если  наблюдатель  находится  в  самолете,  то  за¬
мечания  относительно  высоты  Солнца  требуют  пере¬
смотра;  кстати  говоря,  наблюдатель  в  самолете  мо¬
жет  увидеть  радугу  в  виде  полной  окружности.
 81

Однако  где  бы  ни  находился  наблюдатель  (на  поверх¬
ности  Земли  или  над  нею),  он  всегда  есть  центр
ориентированного  на  Солнце  конуса  с  углом  раствора
42°  (для  основной  радуги)  и  52°  (для  вторичной).
Почему  именно  42°  и  52°?  На  этот  вопрос  мы  ответим
позднее.
 Рассмотрим  задачу.  Найти  углы,  под  которыми  видны  вер¬
шина  и  основание  радуги,  если  высота  Солнца  над  горизонтом
ф  =  20°.  Угловое  расстояние  вершины  радуги  определяется  не¬
посредственно  из  (5.1):  ф  =  у  —  ф  =  42°  —  20°  =  22°.  Чтобы
найти  угловое  расстояние  основания  радуги  а,  обратимся  к
рис.  5.1.  Из  треугольника  ВОО\\  00\/0В  =  соз  у.  Из  треуголь¬
ника  АОО\\  ОО1/ОЛ  =созф.  Р1з  треугольника  АОй:  ОА/ОВ  =
.=  соз  а.  Так  как
 00] 	00]  ОЛ  ОО1  ол
 ОВ  “  О  А  *  ОВ  ~~  О  А  '  Ой9
 то,  следовательно,  соз  у  =  соз  ф  соз  а.  Таким  образом,
 соз  а
 соз  у
соз  ф
 соз  42°
соз  20°
 0,79.
 Отсюда  следует,  что  а  =  38°.
 Развитие  представлений  о  физике  возникновения
радуги  —  от  Флетчера,  Доминико  и  Декарта  к  Нью¬
тону.  Многократно  наблюдая  радугу,  люди,  естествен¬
но,  издавна  пытались  понять  физический  механизм
 ее  возникновения.  В  1571  г.  Флетчер  из  Бреслау  опуб-
ликовал  работу,  в  которой  утверждал,  что  наблюда¬
тель  видит  радугу  в  результате  попадания  в  его  глаз
световых  лучей,  каждый  из  которых  испытал  дву¬
кратное  преломление  в  одной  капле  дождя  и  после*
дующее  отражение  от  другой  капли  дождя  (рис.  5.2,  а).
Итальянец  Антонио  Доминико  (1566—1624)  предло*
жил  иной  (и,  заметим,  правильный)  вариант  прохож¬
дения  светового  луча  к  наблюдателю.  Он  утверждал,
 82

что  световой  луч,  участвующий  в  формировании  изо¬
бражения  радуги,  испытывает  двукратное  преломле¬
ние  и  одно  отражение  в  одной  и  той  же  дождевой
капле  (рис.  5.2,6).  Исходный  солнечный  луч  А\А,
входя  в  каплю,  преломляется  в  точке  Л,  затем  испы¬
тывает  отражение  в  точке  В  и,  наконец,  выходит  из
капли,  преломляясь  в  точке  С.  В  глаз  наблюдателя
попадает  луч  ССь  Он  образует  угол  у  с  исходным
лучом  Л1Л;  в  результате  наблюдатель  видит  радугу
под  углом  у  к  направлению  падающих  солнечных
лучей.
 Рене  Декарт,  развивая  представления  Доминико,
объяснил  возникновение  вторичной  радуги.  Он  исхо¬
дил  из  того,  что  в  каждой  из  точек  Л,  В  и  С  (см.
рис.  5.2,  б)  световой  луч  испытывает  как  преломле¬
ние,  так  и  отражение.  Правда,  лучи,  отраженные  в
точке  Л,  а  также  преломленный  в  В,  не  участвуют  в
формировании  изображения  радуги  и  в  данном  слу¬
чае  интереса  не  представляют.  Что  же  касается  луча,
отраженного  в  точке  С,  то  он  может,  преломившись
в  точке  В,  выйти  из  капли  и  участвовать  в  формиро¬
вании  еще  одного  изображения  радуги  (рис.  5.2,в).
Если  первое  изображение  радуги  наблюдатель  видит
под  углом  у\  =  42°,  то  второе  он  увидит  под  углом
у2  =  52°.  Естественно,  что  вторичная  радуга  оказы¬
вается  более  бледной;  чем  основная:  часть  энергии
луча  СО  теряется  при  отражении  в  точке  О.
 Однако  ни  Доминико,  ни  Декарт  не  сумели  объ¬
яснить,  почему  наблюдатель  видит  радугу  именно
под  углом  42°  (или  52°).  Главное  же,  они  оказались
не  в  состоянии  объяснить  возникновение  цветов  ра¬
дуги.  Так,  Доминико  полагал,  что  световые  лучи,  ко¬
торые  проходят  внутри  капли  наименьший  путь  и  по¬
этому  в  наименьшей  степени  смешиваются  с  темно¬
той,  дают  красный  цвет,  тогда  как  лучи,  проходящие
наибольший  путь  внутри  капли,  в  наибольшей  сте¬
пени  смешиваются  с  темнотой  и  в  результате  обра¬
зуют  фиолетовый  цвет.  Из  предыдущей  беседы  чита¬
тель  уже  знаком  с  этими  наивными  доньютонов-
скими  представлениями  о  возникновении  цвета  при
преломлении.
 Объяснение  возникновения  радуги  в  ньютоновских
«Лекциях  по  оптике».  Ньютонова  теория  цветов  поз¬
волила  полностью  объяснить  физический  механизм
 83

образования  радуги.  В  «Лекциях  по  оптике»  Ньютона
можно  найти  следующие  строки,  в  которых  факти¬
чески  дано  исчерпывающее  объяснение  возникнове¬
ния  радуги:  «Из  лучей,  входящих  в  шар,  некоторые
выходят  после  одного  отражения,  другие  после  двух
отражений;  есть  лучи,  выходящие  после  трех  и  даже
большего  числа  отражений.  Поскольку  дождевые
капли  очень  малы  относительно  -расстояния  до  глаза
наблюдателя,  так  что  физически  могут  считаться  за
точки,  то  не  стоит  совсем  рассматривать  их  величины,
а  только  углы,  образуемые  падающими  лучами  с  вы¬
ходящими.  Там,  где  эти  углы  наибольшие  или  наи¬
меньшие,  выходящие  лучи  обычно  более  сгущены.  Так
как  различные  роды  лучей  составляют  различные
наибольшие  или  наименьшие  углы,  то  лучи,  наиболее
плотно  собирающиеся  у  различных  мест,  имеют  стрем¬
ление  к  проявлению  собственных  цветов»  (курсив
наш.  —  Лет.).
 Основная  информация  в  крайне  лаконичной  форме
заключена  в  строках,  выделенных  нами  курсивам.
Эти  строки  нуждаются  в  разъяснении.  Вся  дальней-
шая  часть  нашей  беседы  будет,  по  сути  дела,  посвя¬
щена  разъяснению  выделенных  здесь  строк  из  ньюто¬
новских  «Лекций  по  оптике».
 Ход  светового  луча  в  капле  дождя.  Предположим
сначала,  что  все  лучи,  падающие  на  дождевую  кап¬
лю,  имеют  одну  и  ту  же  длину  волны.  Это  означает,
 что  сначала  рассматривается
только  преломление  (и  отра¬
жение)  лучей  в  капле  без  уче¬
та  дисперсии  света.  Пусть  на
каплю  радиуса  Я  падает  па¬
раллельный  пучок  монохрома¬
тических  световых  лучей.  Бу¬
дем  называть  прицельным  па¬
раметром  луча  отношение  §  —
=  р/Я,  где  р  —  расстояние  от
данного  луча  до  параллельной  ему  прямой,  проходя¬
щей  через  центр  капли.  Вследствие  симметрии  капли
все  лучи,  имеющие  одинаковый  прицельный  пара¬
метр  (эти  лучи  показаны  на  рис.  5.3),  описывают
внутри  капли  аналогичные  траектории  и  выходят  из
капли  под  одним  и  тем  же  углом  к  первоначальному
направлению.  Сферическая  симметрия  капли  приво-
 84

дит  также  к  тому,  что  траектория  каждого  луча  ле¬
жит  в  плоскости;  эта  плоскость  проходит  через  дан*
ный  луч  и  параллельную  ему  прямую,  проведенную
через  центр  капли.  Поэтому  будем  рассматривать
двумерную  задачу,  изображая  ход  световых  лучей
в  упомянутой  плоскости  (это  и  будет  плоскость  ри¬
сунка),
 На  рис.  5.4  показан  ход  светового  луча,  имеющего
прицельный  параметр  р/Р,  Обозначим  через  а  угол
падения  луча  на  каплю;  легко  видеть,  что  зт  а  =
=  р/Р  =  |.  Поскольку  треугольники  АОВ  и  ВОС
равнобедренные,  то  АОАВ=  ААВО  и  АОВС=*
=  АВСО.  Угол  падения  равен  углу  отражения,  по*
этому  ААВО  =  АОВС.  Обозначим  все  эти  углы  че¬
рез  р  (см.  рисунок).  Угол,  образуемый  падающим  лу¬
чом  с  выходящим,  обозначим  через  у.  Так  как  кар¬
тина  хода  луча  симметрична  относительно  прямой
ООи  то  АОО^С  =  у/2.  Через  точку  С  проведем  пря¬
мую  МЫ\\ООр,  ясно,  что  АМСС\  —  АОхСЫ  =
=  АОО\С  =  у/2.  Далее  учтем,  что  АС\СР  =  а  и
АС}СР  =  р.  Из  того,  что  МЫ\\001,  следует,  что
АМСС}  =  АОВС  =  р.  В  итоге  получаем  АМСС\  =
с=  АМСС1  —  (АС\СР—  АС}СР)=  р  —  (а  —  Р).  Таким
образом,  у/2  =  р  —  (а  —  р)  или,  иначе,
 р==_1+2а( 	(5.2)
 85

Выразим  угол  у  через  прицельный  параметр  луча
Закон  преломления  в  точке  Л  имеет  еид  зт  а/зш  (5  =
 (5.3)
 (5.4)
 (5.5)
 Вспоминая  замечание  Ньютона  о  том,  что  раз'
меры  капли  несущественны  и  она  может  «-считаться
за  точку»,  отметим:  соотношения  (5.3)  и  (5.4),  яв¬
ляющиеся  основными  для  дальнейшего  рассмотрения,
содержат  только  углы  (у  и  а)  и,  разумеется,  показа¬
тель  преломления  воды  п.
 Рассмотрим  задачу.  При  каких  значениях  прицельного  па-
раметра  световой  луч  выйдет  из  капли  строго  назад?  Итак,
требуется  найти  значения  5,  ПРИ  которых  у  =  0.  Полагая  в
(5.5)  у  —  0,  получаем  2  агсзт  (%/п)  =  агсзт  §  или,  иначе,
зт  [2  агсзт(^/л)]  =  Учитывая,  что  зт  2у  =  2  зт  V  л/Х  —  зт2  V
находим  отсюда
 Уравнение  (5.6)  имеет  два  корня.  Первый  корень  очевиден:
=  0.  Второй  корень  имеет  вид
 |2=-[гУ4=7Г2. 	(5.7)
 Подставляя  в  (5.7)  п  =  4/з,  получаем  |  =  0,994.  Заметим  по¬
путно,  что  обычно  используемое  для  воды  значение  показателя
преломления  п  =  4/з  соответствует  лучам,  попадающим  в  желтую
часть  спектра.
 Наибольший  угол  между  направлениями  пада¬
ющих  на  каплю  и  выходящих  из  нее  лучей.  Итак,  по
мере  увеличения  прицельного  параметра  лучей  от
нуля  до  единицы  угол  у  растет  от  нуля  до  некоторого
максимального  значения,  а  затем  спадает,  достигая
 =  п.  Используя  (5.2),  получаем  отсюда
у  +  2а  	 зт  а
 или,  иначе,
Итак,
 зш
 у  4*  2а
 :  агсзт
 (3111  а  \
—)■
 , 	. 	(  зт  а  \  о
 V  =  4  агсзт  I  ——1  —  2а
 или,  с  учетом  того,  что  зш  а  =  р/Я  =
 V  =  4  агсзт  Г-|Л  —  2  агсзт
 86

нуля  при  5  =  0,994  (для  желтых  лучей).  Весьма  важ¬
но  найти  максимальное  значение  угла  у,  поскольку,
как  отмечал  Ньютон,  «там,  где  эти  углы  наибольшие
или  наименьшие,  выходящие  лучи  обычно  более  сгу¬
щены».
 Рассмотрим  в  связи  с  этим  задачу.  Найти  максимальное  зна¬
чение  угла  между  падающим  на  каплю  и  выходящим  из  нее
лучами.  При  каком  прицельном  параметре  реализуется  этот  угол?
Показатель  преломления  принять  равным  4/з  (желтые  лучи).
Используя  (5.5),  продифференцируем  функцию  у  (5)  и  прирав¬
няем  производную  нулю:
 й\  п^\-Щп)* 	VI-!2
 Отсюда  находим
 <5-8»
 При  п  =  4/з  получаем  5  =  0,861.  Подставляя  (5.8)  в  (5.5),  на¬
ходим  выражение  для  максимального  угла  между  падающим  на
каплю  и  выходящим  из  нее  лучами:
 /  1 	/4  ——  п‘^  "Ч 	/4  п^
 Ушах  =  4  агсзт  I  —  л/  —-—  1  —  2  агсзт  д  /  —- 	. 	(5.9)
 При  п  =  4/3  получаем  утах  =  42°  02'.
 На  рис.  5.5  представлена  полученная  для  желтых
лучей  зависимость  угла  у  от  прицельного  параметра
|.  На  каждую  дождевую  кап-
лю  падают  лучи  со  всевозмож-  *
ными  (от  0  до  1)  прицельны-
ми  параметрами.  Они  выходят
из  капли  под  разными  углами
у.  Естественно,  что  наблюда¬
тель  увидит  более  яркими  те
лучи,  которые  будут  иметь  у
меньшую  расходимость.  Та¬
кими  являются  лучи,  попадаю* 	Рис.  5.5.
 щие  в  район  максимума  кри¬
вой,  показанной  на  рис.  5.5,  т.  е.  лучи,  для  которых
у  =  42°.  По  выражению  Ньютона,  именно  эти  лучи
«более  сгущены»!
 «Сгущение»  выходящих  из  капли  лучей  вблизи
угла  у  =  42°  хорошо  демонстрирует  рис.  5.6,  на  ко¬
тором  показаны  аккуратно  вычисленные  траекто*
рии  Цветовых  лучей,  характеризующихся  различными
 87

прицельными  параметрами  (траектории  получены  для
п  =  4/з).
 Теперь  легко  понять,  почему  радуга  имеет  вид
дуги,  наблюдаемой  под  углом  42°  к  прямой  линии,
проходящей  через  наблюдателя  и  Солнце.  Для  про-
стоты  будем  полагать,  что  Солнце  находится  у  самой
 линии  горизонта  и  что  завеса  дождя  имеет  вид  отвес¬
ной  стены,  плоскость  которой  перпендикулярна  к  на¬
правлению  падающих  лучей.  На  рис.  5.7  дан  разрез
 88

рассматриваемой  ситуации  плоскостью  земной  по¬
верхности.  Здесь  ММ—  линия  дождя,  О  —  положение
наблюдателя,  0\  —  противосолиечная  точка.  Заштри¬
хована  область,  в  пределах  которой  к  наблюдателю
попадают  лучи,  каждый  из  которых  испытал  в  капле
дождя  отражение  и  двукратное  преломление;  вне
этой  области  такие  лучи  к  данному  наблюдателю  не
попадают.  Лучи,  приходящие  к  наблюдателю  от  дож¬
девых  капель,  находящихся  справа  от  С  и  слева  от/),
заметно  ослаблены  вследствие  относительно  большой
расходимости;  наиболее  яркими  будут  лучи,  прихо¬
дящие  к  наблюдателю  от  границы  заштрихованной
области,  т.  е,  от  капель  вблизи  точек  С  и  Д  посколь¬
ку  расходимость  этих  лучей  минимальна.  Итак,  если
бы  в  спектре  Солнца  была  представлена  лишь  одна
длина  волны,  то  наблюдатель  увидел  бы  радугу  в
образе  узкой  светящейся  дуги.
 Объяснение  чередования  цветов  в  основной  и  вто¬
ричной  радугах.  В  действительности  же  в  солнечном
спектре  представлены  различ¬
ные  длины  волн;  поэтому  ре¬
ально  наблюдаемое  зрелище
оказывается  красочным.  Сде¬
лаем  следующий  шаг  —  учтем
немонохроматичность  солнеч¬
ного  света.
 Предположим  для  просто¬
ты,  что  рассматриваются  толь¬
ко  две  длины  волны;  пусть  они
характеризуются  показателя¬
ми  преломления  пк=  1,331
(красный  луч)  и  /Тф  =  1,344
(фиолетовый  луч).  Подставляя  пк  и  Пф  в  (5.8)  и
 (5.9),  получаем
 для  красного  луча:  1к  =  0,862,  ук  =  42°22';
 для  фиолетового  луча: 	—  0,855,  уф  =  40°36'.
 'На  рис.  5.8  показаны  траектории  красного  и  фиолето¬
вого  лучей  для  случая,  когда  каждый  из  них  по  вы¬
ходе  из  капли  образует  наибольший  угол  с  первона¬
чальным  направлением.
 Итак,  значения  наибольшего  угла  между  направо
леыиями  выходящего  из  капли  и  падающего  на  неа
 89

лучей  оказываются  разными  для  лучей  с  разными
длинами  волны.  Вспомним  Ньютона:  «Так  как  раз*
личные  роды  лучей  составляют  различные  наиболь¬
шие  углы,  то  лучи,  наиболее  плотно  собирающиеся
у  различных  мест,  имеют  стремление  к  проявлению
собственных  цветов».  Наблюдатель  будет  видеть
красную  дугу  под  углом  42°2(У  и  фиолетовую  дугу
под  углом  40°4(У  (напоминаем,  что  эти  углы  рассмат¬
риваются  между  направлениями  от  наблюдателя  к
радуге  и  к  противосолнечной  точке).  Отсюда  ясно,
почему  внешний  край  радуги  окрашен  в  красный  цвет,
а  внутренний  —  в  фиолетовый.
 Говоря  о  цветах  радуги,  отметим  еще  одно  обстоя¬
тельство.  Ограничиваясь  по-прежнему  двумя  цвета¬
ми,  воспроизведем  на  рис.  5.9  ситуацию,  аналогичную
 Рис.  5.9.
 той,  какая  была  показана  на  рис.  5.7.  По  направ¬
лениям  СО  и  ВО  к  наблюдателю  приходят  отно¬
сительно  интенсивные  красные  лучи;  фиолетовые  лу¬
чи  по  этим  направлениям  не  распространяются.  По
направлениям  С1О  и  В\О  к  наблюдателю  приходят
относительно  интенсивные  фиолетовые  лучи  и  ослаб¬
ленные  вследствие  расходимости  красные  лучи.  В  этих
направлениях  наблюдатель  увидит  фиолетовый  цвет,
к  которому  в  небольшой  степени  будет  примешан
красный.  В  направлениях  от  точек,  лежащих  между
С1  и 	к  наблюдателю  будут  приходить  ослаблен¬
 ные  (расходящиеся)  красные  и  фиолетовые  лучи;  они
будут  смешиваться  друг  с  другом  и  давать  в  итоге
(с  учетом  других  цветов)  белый  свет.
 Таким  образом,  возникновение  на  небосводе  цвет¬
ной  дуги  объясняется  не  только  тем,  что  для  каж¬
дого  цвета  существует  свой  наибольший  угол  у,  но  я
 90

тем,  что  вблизи  этого  угла  перекрытие  (смешивание)
цветов  происходит  в  наименьшей  степени.  Из  сказан¬
ного  можно  сделать  еще  один  вывод:  красная  часть
радуги  выглядит  более  сочной,  насыщенной,  тогда
как  к  ее  фиолетовой  части  примешаны  красные  тона.
Заметим,  что  призмы  позволяют  получать  более  чи¬
стые  цветовые  тона  по  срав¬
нению  с  радугой.  Можно
сказать,  что  спектр  радуги
похож  на  спектр  призмы,
если  последний  разгляды¬
вать  через  прозрачное  слег¬
ка  красноватое  стекло.
 До  сих  пор  мы  говорили
об  основной  радуге.  Ана¬
логичные  рассуждения  при¬
менимы,  очевидно,  и  ко  вто¬
ричной  радуге.  При  этом
надо  учесть  лишь,  что  вто¬
ричная  радуга  возникает  в
результате  двукратного  пре¬
ломления  и  двукратного
отражения  световых  лучей
в  дождевой  капле  (напом¬
ним  рис.  5.2,  в).  Можно
показать,  что  наибольший
угол  между  направлениями
выходящего  из  капли  и  па¬
дающего  на  нее  лучей  ра¬
вен  в  данном  случае  при¬
мерно  52°.  Мы  не  будем  выполнять  соответствую¬
щих  расчетов.  Приведем  лишь  рис.  5.10,  из  которого
видно,  почему  чередование  цветов  во  вторичной  ра¬
дуге  оказывается  противоположным  порядку  чередо¬
вания  цветов  в  основной  радуге.
 Радуга  на  других  планетах.  Читатель,  вниматель¬
но  проследивший  за  всеми  нашими  рассуждениями,
должен  убедиться  в  том,  какое  большое  расстояние
лежит  от  обычно  бытующего  представления,  что  «ра¬
дуга—  это  очень  просто,  это  солнечные  лучи,  пре¬
ломляющиеся  в  каплях  дождя»,  до  действительного
понимания  физического  механизма  возникновения  ра¬
дуги.  Разобравшись  в  этом  механизме,  мы  можем  по¬
зволить  себе  немного  пофантазировать.  Поставим  во-
 01

прос:  как  выглядела  бы  радуга,  если  бы  показатель
преломления  вдруг  увеличился  для  всех  длин  воли,
скажем,  в  1,25  раза?  (Вообразим,  что  мы  очутились
на  некоторой  планете,  где  роль  воды  выполняет  ка¬
кая-то  иная  жидкость.)  Это  означает,  что  теперь  для.
красного  луча  пк  =  1,66,  а  для  фиолетового  Пф  =
=  1,68.  Используя  (5.9),  получаем  в  этом  случае
ук=11°  и  уф  =  10°.  Таким  образом,  угловые  раз¬
меры  радуги  уменьшились  в  четыре  раза.  Для  наблю¬
дения  радуги  необходимо  теперь,  чтобы  высота  Солн¬
ца  над  горизонтом  не  превышала  10°.  Если  показа¬
тель  преломления  будет  приближаться  к  п  =  2,  то
радуга  будет  стягиваться  в  яркое  пятно,  находящееся
в  направлении  противосолнечной  точки.
 Причины  возникновения  гало;  гало  и  радуга.
В  завершение  беседы  поговорим  немного  еще  об  од¬
ном  оптическом  явлении  —  гало.  В  отличие  от  радуги
это  явление  наблюдается  значительно  реже;  навер¬
ное,  многие  читатели  о-нем  даже  не  слышали.  При¬
ведем  небольшой  отрывок  из  книги  М.  Миннарта
«Свет  и  цвет  в  природе»:  «После  нескольких  дней
прекрасной  погоды  барометр  падает  и  начинает  дуть
южный  ветер.  На  западе  появляются  высокие  облака,
прозрачные  и  быстрые,  небо  постепенно  становится
молочно-белым.  Кажется,  что  Солнце  светит  сквозь
матовое  стекло,  его  очертания  становятся  расплывча¬
тыми.  Пейзаж  освещен  особенным,  неопределенным
светом.  Я  «чувствую»,  что  вокруг  Солнца  должно  по¬
явиться  гало!  И  почти  всегда  я  прав.  Вокруг  Солнца
мы  видим  яркое  кольцо  с  радиусом  около  22°.  Лучше
всего  при  этом  стать  в  тень  дома  или  держать  руку
против  Солнца,  чтобы  не  быть  ослепленным.  Это  ве¬
ликолепное  зрелище!  Каждому,  кто  видит  его  впер¬
вые,  кольцо  кажется  грандиозным  —  а  ведь  это  толь¬
ко  «малое  гало»;  другие  явления  гало  имеют  гораздо
больший  масштаб...  Вы  можете  видеть  подобный  круг
и  около  Луны».
 Итак,  гало  имеет  вид  светящегося  кольца  вокруг
Солнца  или  Луны;  угловой  радиус  кольца  около  22°.
Это  есть  так  называемое  малое  гало.  Наблюдается
также  большое  гало  —  кольцо  с  угловым  радиусом
около  46°.
 Явление  гало  по  своей  природе  родственно  радуге.
Радуга  возникает  в  результате  преломлений  и  отра-
 92

жений  света  в  каплях  дождя,  а  гало  появляется  в  ре*
зультате  преломлений  света  в  ледяных  кристалликах,
из  которых  состоят  верхние  облака.  Эти  кристаллики
часто  имеют  форму  правильных  шестигранных  призм
(рис.  5.11,  а)  ,  Преломление  светового  луча  в  такой
призме  можно  рассматривать  как  преломление  з
обычной  треугольной  призме,  имеющей  преломляю*
щий  угол  60°  (рис.  5.11,6)  либо  90°  (рис.  5.11,б).
 Все  эти  призмы  различно  ориентированы  по  отно¬
шению  к  падающим  солнечным  лучам.  Поэтому,  про¬
ходя  через  призмы,  лучи  будут  отклоняться  на  раз¬
ные  углы.  Существенно,  что  из  всех  лучей,  которые
в  результате  преломления  попадают  в  глаз  наблюда*
теля,  наиболее  яркими  будут  те,  которые  проходят
через  призму  симметричным  образом.  Напомним,  что
этот  случай  соответствует  минимальному  углу  откло¬
нения  лучей  в  призме,  а  как  указывал  еще  Ньютон,
«там,  где  эти  углы  (углы  между  падающими  и  выхо¬
дящими  лучами.  —  Лет.)  наибольшие  или  наимень¬
шие,  выходящие  лучи  более  сгущены».  Любопытно,
что  радугу  наблюдатель  видит  под  наибольшим  уг¬
лом  отклонения  луча  (и,  к  тому  же,  в  стороне,  про¬
тивоположной  Солнцу),  тогда  как  гало  он  видит  под
наименьшим  углом  отклонения  луча  (и  притом  по¬
вернувшись  к  Солнцу  лицом).  Рис.  5.12  поясняет  воз¬
никновение  как  малого,  так  и  большого  гало.  Угол
61  =  22°  есть  угол  наименьшего  отклонения  луча  в
случае,  изображенном  на  рис.  5.11,6,  а  угол  62  =
.=  46°  —  угол  наименьшего  отклонения  в  случае  на
рис.  5.11,б.  Эти  углы  могут  быть  найдены  из  соот¬
ношения  (3.6).  Полагая  п  =*  1,31  и  0  =  60°,  получаем
б  =  22°;  при  0  =  90°  находим  б  =  46°.
 93

Вследствие  дисперсии  света  кольца  гало  всегда
окрашены  в  радужные  тона  (внутренняя  область  ко¬
лец  красная).  Поскольку  призма  с  преломляющим
углом  90°  характеризуется  большей  угловой  диспер¬
сией,  чем  призма  с  преломляющим  углом  60°,  то
большое  гало  имеет  более  насыщенные  цвета,  не¬
жели  малое.
 Если  оси  шестигранных  ледяных  призм,  вызываю*
щих  явление  гало,  ориентированы  беспорядочно,  то
интенсивность  свечения  кольцй  гало  будет  одинакова
 Г'  V  V  .
 Рис.  5.13.
 по  всей  его  окружности.  При  наличии  преимуществен'
ной  ориентации  осей  шестигранников  отдельные  уча-
стки  кольца  будут  представляться  наблюдателю  осо¬
бенно  яркими  по  сравнению  с  другими  участками.
В  таких  случаях  явление  гало  может  приобретать
весьма  специфическую  форму,  например,  может  на¬
поминать  крест.  «И  бысть  знамение,  стояще  солнце
в  круге,  а  посреди  круга  крест»,  —  читаем  мы  в  одной
 94

из  древнерусских  летописей  (XII  в.).  Такое  видение
на  небе  приводило  в  трепет  религиозных  людей,  пред¬
ставлялось  им  грозным  «божьим  знамением»,  предве¬
щавшим  многочисленные  беды  и  смерти.
 Предположим,  что  оси  ледяных  шестигранников
ориентированы  строго  вертикально.  В  этом  случае
гало  будет  иметь  вид  не  кольца,  а  двух  ярких  изо¬
бражений,  напоминающих  Солнце,  расположенных  на
одной  горизонтальной  прямой  с  настоящим  Солнцем
(рис.  5.13).  Это  явление  имеет  специальное  назва¬
ние—  ложные  солнца  (паргелии).  Наблюдатель  ви¬
дит  как  бы  три  Солнца;  угловое  расстояние  между
каждой  парой  таких  солнц  составляет  22°.  Подобную
картину  можно  иногда  наблюдать  в  тихую  погоду
при  низком  положении  Солнца.

БЕСЕДА  ШЕСТАЯ
 КАК  ПОЛУЧАЮТ
ОПТИЧЕСКИЕ  ИЗОБРАЖЕНИЯ?
 Предположим,  что  надо  получить  на  эк¬
ране  (или  на  фотопластинке)  изображение  некото¬
рого  объекта.  Всякий  понимает,  что  для  этого  недо¬
статочно  просто  поместить  освещенный  объект  перед
 экраном.  Ведь  в  этом  слу¬
чае  световые  лучи,  отражен¬
ные  от  той  или  иной  точки
поверхности  объекта,  будут
«засвечивать»  всю  поверх¬
ность  экрана  (рис.  6.1,а).
Для  получения  на  экране
изображения  объекта  необ¬
ходимо  принять  меры  к  то¬
му,  чтобы  «упорядочить»  си¬
стему  лучей,  попадающих
от  объекта  на  экран.  Надо,
чтобы  лучи  от  каждой
точки  поверхности  объекта
попадали  в  соответствую¬
щую  точку  экрана.
 Получение  изображения
в  камере-обскуре.  Проще
всего  поставить  между  объ¬
ектом  и  экраном  непрони¬
цаемую  перегородку  с  не¬
большим  отверстием  (рис.  6.1,6).  На  экран  попадут
только  те  лучи  от  объекта,  которые  смогут  пройти
через  отверстие;  остальные  лучи  будут  задержаны
перегородкой.  В  результате  на  экране  возникнет  пе¬
ревернутое  изображение  объекта.  Такой  способ  полу¬
чения  изображений  лежит  в  основе  так  называемой
камеры-обскуры.  Поскольку  в  формировании  изобра¬
жения  участвует  в  данном  случае  лишь  очень  неболь¬
шое  число  отраженнных  объектом  лучей,  то  для  на-
 Рис.  6.1.
 96

блюдения  изображения  приходится  помещать  экран
внутри  затемненного  объема.
 Получение  изображения  в  линзовой  системе.  В  ка¬
мере-обскуре  изображение  формируется  в  результате
того,  что  все  «неподходящие»  лучи  попросту  отсе¬
каются.  Более  интересен  вариант,  когда  эти  лучи  не
отсекаются,  а  соответствующим  образом  искривляют¬
ся  (например,  за  счет  преломления)  и  в  результате
также  участвуют  в  создании  изображения.  В  прин¬
ципе  это  можно  сделать,  используя  систему  специаль¬
но  подобранных  и  расположенных  призм  (рис.  6.1,  в).
На  практике  это  достигается,  если  вместо  системы
призм  воспользоваться  линзой  —  прозрачным  телом,
ограниченным  двумя  сферическими  поверхностями
(см.  штриховое  изображение  на  рис.  6.1,в).  Хорошо
известно,  что  именно  линзовые  системы  находят  са¬
мое  широкое  применение  в  современной  технике  по¬
лучения  оптических  изображений.
 Итак,  используя  линзу,  можно  пучок  лучей,  выхо¬
дящих  из  точки  А,  снова  собрать  в  одну  точку  —  точ¬
ку  А\  (рис.  6.2,а).  Не  противоречит  ли  это  принципу
 Ферма  (принципу  наименьшего  времени),  с  которым
мы  познакомились  в  первой  беседе?  Ведь  в  случае,
показанном  на  рис.  6.2,  а,  свет  проходит  из  А  в  А\
по  различным  траекториям,  тогда  как,  казалось  бы,
он  должен  был  «выбрать»  ту  траекторию,  для  про¬
хождения  которой  требуется  наименьшее  время.
 4  Л.  В.  Тарасов,  А,  Н.  Тарасова
 97

Разумеется,  рассматриваемый  случай  нисколько
не  противоречит  принципу  Ферма.  Дело  в  том,  что,
во-первых,  все  показанные  на  рис.  6.2,  а  траектории
требуют  одинаковое  время  для  прохождения  и,  во-
вторых,  это  время  действительно  меньше  времени
прохождения  по  любой  иной  траектории,  не  попадаю¬
щей  в  данное  семейство  траекторий,  например,  по  лю¬
бой  траектории,  показанной  штриховыми  линиями  на
рис.  4*6.2,  б.
 Вывод  формулы  тонкой  линзы  на  основе  принципа
Ферма.  Принцип  Ферма  не  только  не  вступает  в  про¬
тиворечие  с  собирающим  действием  линзы,  но  позво¬
ляет  без  использования  закона  преломления  получить
формулу  тонкой  линзы.  Под  этой  формулой  пони¬
мается  соотношение,  связывающее  радиусы  кривизны
Я\  и  2  поверхностей  линзы,  имеющей  показатель
преломления  пу  с  расстояниями  й  и  /  от  линзы  до
объекта  и  его  изображения  соответственно.  Под  тон¬
кой  линзой  понимается  линза,  толщина  которой  много
меньше,  чем  Ях  и  Я2.  Заметим,  что  для  установления
формулы  тонкой  линзы  достаточно  воспользоваться
условием  равенства  времени  прохождения  по  любым
двум  траекториям  из  тех,  которые  показаны  на
рис.  6.2,  а.
 В  качестве  одной  из  таких  траекторий  выберем
прямую,  соединяющую  точки  Л  и  Ль  а  в  качестве
другой  —траекторию,  проходящую  через  самый  край
линзы  (лучи  ЛОЛ1  и  АСАх  на  рис.  6.3).  Время  про¬
хождения  света  по  траектории  ЛОЛ1  есть  Тх  =  [(1-{\
^п(Д1  +  Д2)  +/]/с,  а  по  АСАх  есть
 т2  =  ЫЩ  +  а,)2  +  /г2  +  л/(!  +  д2)2  +  /г2]/с.
 98

Приравнивая  Тх  к  Т2,  получаем
 Л  +  л  (А!  +  Д2)  +  /  =  л/(^  +  Д1)2  +  Л2  +  У(/  +  дг)2  +
 (6.1)
 Будем  полагать,  что  справедливо  так  называемое  па-
раксиальное  приближение;  это  означает,  что  углы
между  световыми  лучами  и  оптической  осью  линзы
АА\  могут  считаться  очень  малыми.  Таким  образом,
Н  <<  (й  +  Д1),  Н  <  (/  +  Д2)  и  следовательно,
 У(^  +  Д1)2  +  Н2  —  {й  + 	д/1  +  (у^д1)  =
 =  (сН-Д1)[1  +т(йТд7)2]==й  +  Л'  +  2(Дд,Г
 Соответственно  находим,  что
 У(/  +  Л2)2+  л2  =  /  +  д2  +  2~(/  +  Д2)  •
 Подставляя  полученные  результаты  в  (6.1),  находим
 («-'«^^^“^(тТдГ  +  ТТдг)-  <6-2»
 Учитывая,  что  в  тонкой  линзе  Д1  й  и  Дг  <С  /,  пере¬
пишем  (6.2)  в  виде
 (п  -  1)  (Д,  +  Д2)  =4  (т  +1)  • 	(6-3)
 Далее  учтем,  что
 Л,=-  Уярт?=Л,  -  Я,  д/1  -  (^-)!  -
 и,  соответственно,  Дг  =  Н2/2К2,  после  чего  формула
(6.3)  превращается  в  формулу  тонкой  линзы:
 ('п~  1)(^Г+Ж')=У  +  Т’ 	(6,4)
 Величину
 ^_1)(ж+ж)^т 	(6-5)
 называют  оптической  силой  линзы;  Р  есть  фокусное
расстояние  линзы.  Точки  на  оптической  оси  по  обе
 4*
 99

стороны  от  линзы,  находящиеся  на  расстоянии  Р  от
нее,  называются  фокусами.
 Подставляя  (6.5)  в  (6.4),  получаем  формулу,  ко¬
торая,  безусловно,  известна  читателю;-
 Т^Т  +  Т
 Если  тачечный  источник  световых  лучей  находится
 согласно  (6.6)  1//  =  0;
в  данном  случае  линза
формирует  пучок  па¬
раллельных  лучей,  как
бы  переносящих  изо¬
бражение  светящейся
точки  в  бесконечность
(рис.  6.4,а).  Исходя  из
обратимости  хода  све¬
товых  лучей,  можно
заключить,  что  парал¬
лельный  световой  пу¬
чок,  распространяю¬
щийся  вдоль  оптиче¬
ской  оси,  будет  сфоку¬
сирован  линзой  в  точ¬
ку,  находящуюся  в  фо¬
кусе  (действительно,  согласно  (6.6)  из  й  —  оо  сле¬
дует,  что  I  =  Р,  рис.  6.4,  б).
 Обратим  внимание  на  то,  что  в  формулу  (6.4)  не
входит  величина  Н,  т.  е.  не  входит  расстояние  между
рассматриваемыми  лучами  в  плоскости  линзы.  Имен¬
но  поэтому  можно  утверждать,  что  любой  другой  луч,
вышедший  из  Л  и  прошедший  через  линзу,  обяза¬
тельно  придет  в  точку  А\.  Нетрудно  сообразить,  что
отсутствие  величины  Н  в  формуле  тонкой  линзы  есть
следствие  применения  параксиального  приближения
и  того  факта,  что  линза  тонкая,  так  как  именно  р
этом  случае
 У(<*  +  А;)2  +  Ь2~а  +  А;  +  Т{/1  до  ,
 У(/  +  а2)2+л2=/  +  а2  +  -^Дд1Г  •
 Л  _  А2 	А  _
 Л*  “  2Кх  ’  Ла  ~  2#а  *
 в  фокусе  линзы  (й  =  Р),  то
 -  -
 г  г
 г
 а)
 РИС.  6.4.
 100

Естественно,  что  параксиальное  приближение  ест$
всего  лишь  приближение;  чем  шире  световой  пучок,
тем  хуже  оно  работает.  Очевидно  также,  что  всякая
линза  имеет  некоторую  толщину.  Все  это  приводит
к  тому,  что  изображенная  на  рис.  6.4  картина  оказы¬
вается  идеализированной.
 Сферическая  и  хроматическая  аберрации.  В  дей¬
ствительности  же  линза  не  может,  строго  говоря,  сфо¬
кусировать  световой  пучок  в  точку.  Это  невозможно,
даже  если  допустить,  что  падающий  на  линзу  пучок
является  строго  параллельным  (а  таких  пучков  в
действительности  не  бывает,  как  не  бывает  и  точен*
ных  источников  света).
 Можно  показать,  что  чем
дальше  световой  луч  от¬
стоит  от  оптической  оси
линзы,  тем  меньше  для
него  фокусное  расстояние
(рис.  6.5).  Иными  слова¬
ми,  края  линзы  откло¬
няют  лучи  сильнее,  чем  это  требуется  для  их  прохож¬
дения  через  изображение,  формируемое  лучами,  про¬
ходящими  через  центральную  область  линзы.  В  ре¬
зультате  четкость  получаемого  изображения  ухуд¬
шается.  Рассматриваемое  явление  называют  сфериче¬
ской  аберрацией.
 В  общем  случае  термин  «аберрации»  применяется
ко  всякого  рода  ухудшениям  и  искажениям  изобра¬
жений,  формируемых  в  оптических  системах  и,  в  ча¬
стности,  в  линзах.  Сферическая  аберрация  —  это  лишь
один  из  примеров  аберраций.  В  качестве  другого  ука¬
жем  хроматическую  аберрацию.  Этот  вид  аберрации
связан  с  дисперсией  света.  Немонохроматический  све¬
товой  луч,‘  проходя  через  линзу,  расщепляется  на
лучи  разных  цветов;  при  этом  фиолетовый  луч  откло¬
няется  в  большей  мере,  чем  красный.  Таким  образом,
фокусное  расстояние  линзы  зависит,  строго  говоря,
от  длины  волны  света;  оно  возрастает  по  мере  пере¬
хода  от  фиолетовой  области  спектра  к  красной.  Хро-»
матическая  аберрация  ухудшает  качество  изображе¬
ния,  приводя  к  появлению  радужной  каемки.
 В  рамках  данной  книги  мы  не  можем  более  под¬
робно  останавливаться  на  аберрациях  линз.  Отметим
лишь,  что  разработаны  достаточно  эффективные  спо-
 101

собы  борьбы  с  ними;  некоторые  примеры  будут  при¬
ведены  позднее.  Пока  же  отвлечемся  от  аберраций  и
будем  полагать,  что  рассматриваемые  нами  линзы  и
линзовые  системы  являются  безаберрационными,  или,
как  говорят  в  таких  случаях,  идеальными.  Для  того
чтобы  такое  предположение  имело  основания,  будем
рассматривать  монохроматические  и  притом  доста¬
точно  узкие  приосевые  световые  пучки.
 Итак,  вернемся  к  формулам  (6.4)  —  (6.6).
 Действительные  и  мнимые  изображения.  На
рис.  6.6,  а  выполнено  построение  изображения  #1
 точки  В  при  помощи  двух  лучей.  Луч  ВС,  проходя¬
щий  параллельно  оптической  оси  АА\  после  прелом¬
ления  в  линзе,  проходит  через  фокус  Ь,  Луч  ВО,  про¬
ходящий  через  центр  линзы,  вообще  не  преломляется.
Пересечение  лучей  Сй  и  ВО  дает  искомое  изображе¬
ние  В1.  Используя  рассмотренное  построение,  не¬
трудно  вывести  формулу  (6.6).  Из  подобия  треуголь¬
ников  АВО  и  ОА\В1  следует,  что  АО/ОАх  —  АВ/А\Ви
Из  подобия  треугольников  ОСИ  и 	получаем,
 что  Ой/ОА\  в  ОС/АхВх.  Так  как  АВ  —  ОС,  то  пра¬
вые  части  написанных  пропорций  равны;  отсюда  сле¬
дует,  что  АО)ОА\  —  О0/ОА\  или,  иначе,  й/\  —
—  Р/(!  —  Р)‘  Нетрудно  убедиться,  что  последнее  ра¬
венство  можно  переписать  в  виде  формулы  (6.6).
 102

Предположим  теперь,  что  объект  АВ  находится
между  линзой  и  ее  фокусом,  как  это  показано  на
рис.  6.6,  б.  Выполняя,  как  и  прежде,  построение  изо¬
бражения  точки  В  по  двум  лучам,  мы  обнаруживаем
два  новых  момента.  Во-первых,  изображение  форми¬
руется  теперь  в  результате  пересечения  не  самих  лу¬
чей,  прошедших  через  линзу,  а  их  продолжений
(штриховые  линии  на  рис.  6.6,6).  Во-вторых,  поло¬
жение  этого  изображения  на  оптической  оси  линзы
определяется  уже  не  формулой  (6.6),  а,  как  нетрудно
для  читателя  проверить  самостоятельно,  формулой
 Легко  видеть,  что  полученное  теперь  изображе¬
ние  качественно  отлично  от  изображения,  полученного
в  предыдущем  случае.  В  случае,  показанном  на
рис.  6.6,  а,  можно  было,  при  желании,  получить  фото¬
графию  объекта,  поместив  фотопластинку  там,  где
сформировано  изображение,  т.  е.  в  точку  А\.  В  слу¬
чае  же,  показанном  на  рис.  6.6,  б,  бесполезно  поме¬
щать  фотопластинку  в  ту  область,  где  формируется
изображение  (в  точку  Л2);  фотографии  объекта  мы
при  этом  не  получим.  Можно  вообразить  довольно*
курьезную  ситуацию.  Предположим,  что  между  точ¬
ками  Л2  и  Л  (т.  е.  между  изображением  и  объектом)
находится  непроницаемая  стенка.  В  этом  случае  изо¬
бражение  окажется  сформированным  за  стенкой,  так
что  помещать  туда  фотопластинку  заведомо  беспо¬
лезно.
 Может  возникнуть  вопрос,  допустимо  ли  называть
изображением  то,  что  формально  получается  при  пе¬
ресечении  не  самих  световых  лучей,  а  их  продолже¬
ний?  Реально  ли  такое  изображение?  Несмотря  на
возникающие  сомнения,  ответ  на  этот  вопрос  поло¬
жителен.  Дело  в  том,  что  это  изображение  можно
видеть  (даже  если  существует  упомянутая  выше  стен¬
ка).  Чтобы  видеть  изображение,  наблюдатель  дол-»
жен  в  данном  случае  занять  соответствующую  пози¬
цию  по  отношению  к  объекту  и  линзе.  Это  означает,
что  в  рассматриваемом  случае  необходимо  включить
в  оптическую  схему  также  и  глаз  наблюдателя.
 Мы  вернемся  к  этому  вопросу  в  следующей  бе¬
седе,  специально  посвященной  глазу  как  оптической
 103

системе.  Здесь  же  заметим  лишь,  что  изображение,
формируемое  в  результате  пересечения  самих  лучей,
называют  действительным,  тогда  как  изображение,
получаемое  пересечением  продолжений  лучей,  назы¬
вают  мнимым.  Если  действительное  изображение  мо¬
жет  быть  зафиксировано  на  фотопластинке  (экране),
а  затем  и  на  сетчатке  глаза  наблюдателя,  то  мнимое
изображение  «фиксируется»  только  на  сетчатке  гла¬
за.  Между  прочим,  с  мнимыми  изображениями  мы
имеем  дело  довольно  часто;  это  происходит  всякий
раз,  когда  мы  смотрим  в  обычное  зеркало.
 Что  же  касается  формул  (6.7)  и  (6.6),  то  их  мож¬
но  рассматривать  как  два  варианта  одной  и  той  же
формулы  1  /Т7  =  1Д?+  1//,  где  й  и  Р  положительные,
а  /  положительно  для  действительных  изображений
и  отрицательно  для  мнимых.  Обозначение  /  в  (6.7)  и
на  рис.  6.6,  б  есть,  следовательно,  модуль  отрицатель¬
ной  величины;  поэтому  формулу  (6.7)  следует  пере¬
писать  в  виде
 1  _1_
 <1 	1/Г
 (6.8)
 Собирающие  и  рассеивающие  линзы.  Полученные
результаты  справедливы  не  только  для  двояковыпук¬
лой  линзы,  показанной  на  рис.  6.3,  но  и  вообще  для
 всех  линз,  относящихся  к  группе  собирающих.  Все
ЭТИ  линзы  утолщаются  в  направлении  от  края  линзы
к  центру.  Падающий  на  такую  линзу  плоский  свето¬
вой  пучок  собирается  в  фокусе  (если,  разумеется,  не
учитывать  аберраций),  Существуют  три  вида  сфери-
,1рск;их  собирающих  линз;  они  показаны  на  рис.  6.7:
4)  двояковыпуклые,  б)  плосковыпуклые,  в)  выпукло-
вогнутые.  Все  они  могут  описываться  формулой  (6.5),
 104

если  условиться,  что  радиус  выпуклой  поверхности
линзы  положителен,  а  вогнутой  отрицателен.
 Наряду  с  собирающими  используются  также  рас¬
сеивающие  линзы.  Плоский  световой  пучок,  падая  на
такую  линзу,  рассеивает^
ся;  при  этом  продолже¬
ния  преломленных  лучей
сходятся  (в  отсутствие
аберраций)  в  фокусе  лин-
зы  (рис.  6.8).  Виды  рас*
сеивающих  линз  показа¬
ны  на  рис.  6.9:  а)  двоя¬
ковогнутые’,  б)  плосковог¬
нутые,  в)  вогнуто-выпук¬
лые.  Все  рассеивающие
 линзы  утолщаются  в  направлении  от  центра  линзы
к  ее  краю.  Применяя  к  рассеивающим  линзам
 N
 Рис.  6.8.
 I  Щ<о
 ил  яг<о
 Ю
 \  Яг°°
и  Ро
 Рг<0
 Ю
 Рис.  6.9.
 формулу  (6.5),  надо,  как  мы  уже  условились  ранее,
радиус  вогнутой  поверхности  брать  отрицательным,  а
выпуклой  положитель¬
ным.  Нетрудно  убедиться,
что  фокусное  расстояние
(а  следовательно,  и  опти¬
ческая  сила)  рассеиваю¬
щих  линз  всегда  отрица¬
тельно.  Формируемое  рас¬
сеивающей  линзой  изо¬
бражение  всегда  мнимое
(рис.  6.10),Формулу  (6.6)
можно  применять  к  рас¬
сеивающим  линзам,  если
 учесть,  что  теперь  Р  <  0  и  /  <С  0.  В  применении  «
рассеивающим  линзам  формула  (6,6)  может  быть

 2  \
 Г
 0  >
 Л

 Аг
 3
 и  ь
 \  и  ,
 —►
 Рио.  6.10.
 103

переписана  в  виде
 (6.9)
 1  _  1 	1
 т  л  |/г
 Используя  рис.  6.10,  читатель  без  особого  труда  мо¬
жет  получить  формулу  (6.9).  Для  этого  ему  доста¬
точно  воспользоваться  подобием  треугольников  АВО
и  А2В20,  а  также  треугольников  ОСО  и  ОВ2А2%
 Линза  в  оптически  плотной  среде.  В  порядке  дополнитель¬
ного  замечания  отметим,  что  все  сказанное  выше  о  видах  соби¬
рающих  и  рассеивающих  линз  относится  к  случаю,  когда  веще¬
ство  линзы  имеет  больший  показатель  преломления,  чем  та  среда,
в  которую  эта  линза  помещена.  Формулы  (6.1)  —  (6.5)  получены
в  предположении,  что  линза  с  показателем  преломления  п  на¬
ходится  в  воздушной  среде,  показатель  преломления  которой,
как  всегда  в  подобных  случаях,  принимается  равным  единице.
Допустим  теперь,  что  линза  с  показателем  преломления  п\  на¬
ходится  в  среде  с  показателем  преломления  п2.  Возвращаясь
к  ситуации,  изображенной  на  рис.  6.3,  заметим,  что  те-
перь  Т1  =  Ш  +  щ  (А,  +  Д2)  +  пг{]/с,  Тг  =  [д/(й  +  А,)2  +  Н2  +
+  А/(/  +  Д2)2  +  А2]  п*/с,  так  что  вместо  (6.1)  будем  иметь  равен-
 а  +  ^  (д,  +  д2)  +  /  =  У(«*  +  до2  +  а2  +  V(/  +  Д2)2  +  л2.
 Оно  отличается  от  (6.1)  тем,  что  п  заменено  здесь  на  отноше¬
ние  П\!п2.  Учитывая  эту  замену,  перепишем  (6.4)  и  (6.5)  в  виде
 Если  п\  >  п2  (например,  стеклянная  линза  с  п\  —  1,5  находится
в  воде),  то  (п\1п2—  1)>0  и  поэтому  все  сделанные  ранее  за¬
мечания  о  видах  собирающих  и  рассеивающих  линз  остаются
в  силе.  Если  же  линза  помещается  в  среду,  оптически  более
плотную,  чем  сама  линза  (яг  <  п2),  то  (п\/п2—1)<0,  знак
фокусного  расстояния  меняется  на  противоположный  и  в  резуль¬
тате  линза,  бывшая  в  обычных  условиях  собирающей,  становится
рассеивающей  (и  наоборот).  Это  означает,  в  частности,  что  дво¬
яковыпуклая  линза  становится  теперь  рассеивающей,  а  двояко¬
вогнутая,  наоборот,  собирающей.  Итак,  одна  и  та  же  линза  мо¬
жет  быть  и  собирающей  и  рассеивающей  —  в  зависимости  от
соотношения  между  показателями  преломления  линзы  и  той
среды,  в  которой  находится  эта  линза.
 Из  ранней  истории  развития  линзовых  систем.
Когда  появились  первые  линзы?  На  этот  вопрос  труд¬
но  дать  определенный  ответ.  Можно  утверждать,  что
уже  Альхазену  (XI  век)  была  известна  способность
 ство
 (6.10)
 (6.11)
 106

плосковыпуклой  линзы  увеличивать  изображение.
Задачу  о  преломлении  света  на  сферической  поверх¬
ности  впервые  пытался  рассмотреть  известный  анг¬
лийский  естествоиспытатель  Роджер  Бэкон  (1214—
1292).  Выпускник  Оксфордского  университета,  ши¬
роко  образованный  для  своего  времени  человек,  боль¬
шой  знаток  античных  и  арабских  рукописей,  Бэкон
активно  пропагандировал  экспериментальный  метод
исследований.  Он  внес  большой  вклад  в  развитие  экс¬
периментальной  оптики,  выполнив  ряд  исследований
со  сферическими  зеркалами,  камерой-обскурой,  а
также  с  плосковыпуклыми  линзами  (в  те  времена  их
называли  чечевицами).  В  его  трудах  можно  найти  со¬
веты  людям  с  плохим  зрением  накладывать  на  рас¬
сматриваемое  изображение  плосковыпуклую  чечевицу.
«Если  человек,  —  писал  Бэкон,  —  будет  рассматривать
буквы  или  другие  мелкие  предметы  с  помощью  стек¬
ла  или  другого  прозрачного  тела,  расположенного  над
буквами,  и  если  это  тело  будет  шаровым  сегментом,
выпуклость  которого  обращена  к  глазу,  то  буквы
видны  лучше  и  кажутся  больше...  И  потому  это  при¬
способление  полезно  людям  со  слабым  зрением».
 В  самом  конце  XIII  в.  появились  очки  и  стало
быстро  развиваться  производство  линз  (сначала  вы¬
пуклых,  а  затем  и  вогнутых).  Мы  не  знаем  имени  изо¬
бретателя  очков.  Возможно,  что  это  открытие  было
сделано  ремесленниками,  занимавшимися  шлифовкой
стекол.  Недаром  же  слово  «линза»  (1еп1е)  происходит
от  простонародного  «чечевица»  (1еп1лссЫа).  К  сере¬
дине  XIV  в.  очки  получили  широкое  распространение.
Из  двояковыпуклых  линз  изготовлялись  «очки  для
старых»  (они  исправляли  дальнозоркость),  а  из  дво¬
яковогнутых  линз  —  «очки  для  молодых»  (они  ис¬
правляли  близорукость).
 Изобретение  зрительной  трубы.  Изобретение  зри¬
тельной  трубы  связывают  с  именами  голландских
шлифовальщиков  стекол  Янсена,  Мециуса  и  Липпер-
сгсйма.  В  процессе  своей  деятельности  они,  по-види¬
мому,  случайно  подметили  эффект  увеличения  дале¬
ких  изображений  в  системе,  состоящей  из  двух  линз.
Впрочем,  изготовленные  голландскими  мастерами
зрительные  трубы  были  весьма  несовершенными.
 Первая  усовершенствованная  зрительная  труба
была  изобретена  и  создана  в  1609  г.  знаменитым
 107

итальянским  ученым  Галилео  Галилеем  (1564—1642),
Фактически  это  был  первый  в  мире  телескоп.  В  своих
трудах  Галилей  подробно  писал  о  том,  как  он  пришел
к  созданию  телескопа.  «Мы  достоверно  знаем,  —  пи¬
сал  он  в  труде,  озаглавленном  «Пробирные  весы»,  —-
что  голландец,  первый  изобретатель  зрительной  тру¬
бы,  был  простым  мастером,  изготовлявшим  обыкно¬
венные  очки.  Случайно,  перебирая  стекла  разных
сортов,  он  взглянул  сразу  через  два  стекла,  одно  вы¬
пуклое,  другое  вогнутое,  находящиеся  на  разных  рас¬
стояниях  от  глаза,  и  при  этом  увидел  возникший  эф¬
фект  и  таким  образом  открыл  инструмент.  Я  же,  дви¬
жимый  вышеупомянутым  известием,  нашел  инстру¬
мент  путем  рассуждения...»  Описывая  в  «Звездном
вестнике»  свою  зрительную  трубу,  Галилей  отмечал:
«Я  изготовил  свинцовую  трубу,  на  концах  которой
поместил  два  оптических  стекла,  оба  плоских  с  одной
стороны,  а  с  другой  стороны  одно  стекло  выпукло¬
сферическое,  другое  вогнутое.  Поместив  глаз  у  вог¬
нутого  стекла,  я  видел  предметы  достаточно  боль¬
шими  и  близкими,  казавшимися  в.  десять  раз  больше,
чем  при  взгляде  простым  глазом».
 Ход  лучей  в  трубе  Галилея;  угловое  увеличение.
Изобретенная  Галилеем  зрительная  труба  известна
теперь  как  труба  Галилея.  Остановимся  подробнее  на
ее  устройстве  и  рассмотрим  ход  световых  лучей  в  ней.
Труба  Галилея  имеет  две  линзы  —  собирающую  и  рас¬
сеивающую.  Собирающая  линза  находится  на  том
конце  трубы,  который  направлен  на  наблюдаемый
объект;  ее  называют  объективом.  Рассеивающая  лин¬
за  находится  на  противоположном  конце  трубы,  глаз
наблюдателя  оказывается  в  непосредственной  бли¬
зости  от  этой  линзы;  ее  называют  окуляром.  Обозна¬
чим  через  Р\  фокусное  расстояние  объектива,  а  че¬
рез  \Р2\  —  фокусное  расстояние  окуляра;  существен¬
но,  что  Р\  >|Г2|.  Линзы  размещаются  в  трубе  на  та¬
ком  расстоянии  друг  от  друга,  чтобы  совпадали  их
задние  фокусы;  в  этом  случае  длина  трубы  I  —  Р\  —-
—  |Г2|.  Разбирая  ход  световых  лучей  в  трубе  Гали¬
лея,  мы  отдельно  рассмотрим  две  ситуации.  Пред¬
положим,  что  сначала  наблюдатель  смотрит  через
трубу  на  сравнительно  близкий  объект  небольших
размеров;  эту  ситуацию  поясняет  рис.  6.11.  Затем
обратимся  к  ситуации,  поясняемой  рис.  6.12,  когда
 108

наблюдатель  смотрит  через  трубу  на  очень  удален*
ный  объект,  например,  на  Луну.
 Начнем  с  разглядывания  сравнительно  близкого,
объекта.  На  рис.  6.11,  а  показан  ход  двух  лучей,  иду*
щих  от  точки  А  объекта  к  объективу,  Луч  АО  прохо*
 109

дит  через  центр  объектива  О  и  попадает  на  окуляр  в
точке  N.  Чтобы  найти  дальнейший  ход  этого  луча,
проведем  через  центр  окуляра  0\  луч  ЬО\\\ОЫ.  Луч
ЬОх  пересечет  фокальную  плоскость  ЕЕ  окуляра  в
некоторой  точке  Р.  Можно  утверждать,  что  световой
луч  NN  1  будет  направлен  по  выходе  из  окуляра  та¬
ким  образом,  чтобы  его  продолжение  проходило
именно  через  точку  Р.  Это  утверждение  вытекает  из
известного  правила:  пучок  параллельных  лучей  пре¬
ломляется  в  идеальной  линзе  так,  что  либо  сами
лучи,  ибо  их  продолжения  пересекаются  в  точке,  на¬
ходящейся  в  фокальной  плоскости  линзы.  В  данном
случае  параллельными  лучами  являются  и  ОЫ;
ясно,  что  первый  из  них  проходит  через  окуляр,  не
изменяя  направления.  Теперь  обратимся  ко  второму
световому  лучу,  выходящему  из  точки  А  объекта  и
попадающему  в  объектив  трубы.  Это  есть  луч  АО  на
рис.  6.11,  а.  Он  проходит  через  фокус  О  объектива;
поэтому  за  объективом  этот  луч  распространяется  па¬
раллельно  оптической  оси  линзы  и  преломляется  в
окуляре  таким  образом,  что  его  продолжение  прохо¬
дит  через  фокус  <2  окуляра.  Пересечение  продолже¬
ний  лучей  NN1  и  ММ\  фиксирует  точку  Ль  которая  и
является  изображением  точки  А  в  трубе  Галилея.
Симметрично  этой  точке  находится  точка  В  и  являю¬
щаяся  изображением  точки  В.
 Мы  видим,  таким  образом,  что  труба  Галилея
формирует  неперевернутое  (прямое)  мнимое  изобра¬
жение  объекта.  Сравнивая  размеры  изображения
А\В\  и  объекта  ЛВ,  читатель  может  прийти  к  выводу,
что  труба  Галилея  не  увеличивает,  а,  напротив,  умень¬
шает.  Такой  вывод,  однако,  неверен.  Хотя  отрезок
Л1В1  короче  отрезка  ЛВ,  все  же  он  существенно
ближе  к  глазу  наблюдателя.  Как  показано  на
рис.  6.11,6,  наблюдатель  (он  находится  в  точке  О')
видит  изображение  Л1В1  под  углом  с&2,  который  за¬
метно  больше  угла  оы,  под  которым  наблюдатель  ви¬
дел  бы  объект  в  отсутствие  зрительной  трубы.  Под¬
черкнем,  что  труба  увеличивает  угол,  под  которым
наблюдатель  видит  объект;  иными  словами,  труба
увеличивает  угловые  размеры  объекта.  Отношение
 (6.12)
 110

называют  угловым  увеличением.  В  следующей  беседе
мы  убедимся,  что  при  разглядывании  объекта  суще¬
ственно  именно  угловое  (а  не  линейное)  увеличение.
 Далее  предположим,  что  разглядываемый  в  трубу
Галилея  объект  находится  настолько  далеко  от  на¬
блюдателя,  что  попадающие  в  объектив  лучи  от  той
или  иной  точки  объекта  могут  рассматриваться  как
параллельные  лучи.  Направим  трубу  Галилея  на
Луну.  Невооруженным  глазом  диск  Луны  виден  под
углом  он  =  0,5°  (строго  говоря,  из-за  рефракции  све¬
та  в  атмосфере  угол  о(1  зависит  от  высоты  Луны  над
горизонтом,  что  в  данном  случае  для  нас  несуще¬
ственно).  Допустим,  что  изображенные  на  рис.  6.12,  а
параллельные  лучи  АО  и  А'й  идут  в  объектив  трубы
от  верхнего  края  лунного  диска;  они  составляют  угол
а\/2  с  оптической  осью  трубы,  нацеленной  на  центр
лунного  диска.  Читатель  может  легко  убедиться  са¬
мостоятельно,  что  после  преломления  в  окуляре  рас¬
сматриваемые  лучи  снова  будут  взаимно  параллель¬
ны  (/УЛ^НАШх).  Однако  угол  этих  лучей  с  оптической
осью  трубы  будет  уже  иным;  обозначим  его  через
аг/2.  Легко  видеть,  что  аг  >  0С1  (см.  рис.  6.12,6).
 Отношение  аг/ах  нетрудно  найти.  Из  треуголь¬
ника  БОС  на  рис.  6.12,а  видно,  что  1§(ах/2)  =
=  ОС/БО,  а  из  треугольника  00\М  находим,  что
1§(сх2/2)=  О\М/0О\.  Так  как  ОС  =  0\М,  то
 (аг/2)   ДО  Р\
 («х/2) 	<&! 	'  |  Рг  |
 (6.13)
 Воспользовавшись  малостью  углов  ах  и  аг  (на  ри¬
сунке  они  наглядности  ради  показаны  чрезмерно
большими),  заменим  отношение  тангенсов  на  отноше¬
ние  углов  и  с  учетом  (6.12)  перепишем  (6.13)  в  виде
 Ой_  Р1
 «.  _  IР»  I  ’
 (6.14)
 Итак,  при  разглядывании  удаленных  объектов
труба  Галилея  обеспечивает  угловое  увеличение  в
Р\/1Р2|  раз.  Если,  например,  Ёх/].р2|=10,  то  лунный
диск  будет  виден  наблюдателю  уже  не  под  углом
ах  =  0,5°,  а  под  углом  аг  =  с:.гх/|5°.  Заметим,
что  под  таким  углом  видна  страница  данной  книги
с  расстояния  в  1,5  м.
 111

Астрономические  наблюдения  Галилея.  Величай-*
шая  заслуга  Галилея  перед  наукой  не  только  в  том,
что  он  создал  зрительную  трубу,  айв  том,  что  он
первый  направил  эту  трубу  на  небо.  «Оставив  дела
земные,  я  обратился  к  небесным»,  —  писал  ученый  в
«Звездном  вестнике».  При  помощи  своей  трубы  он  на¬
блюдал  ландшафт  Луны,  открыл  фазы  Венеры,  пятна
на  Солнце.  Галилей  воочию  увидел  на  небе  воплоще¬
ние  системы  Коперника  —  четырех  спутников  Юпите¬
ра,  а  позднее  открыл  существование  спутников  также
и  у  Сатурна.  Ученый  прекрасно  понимал,  какой  удар
наносило  открытие  спутников  планет  по  противникам
системы  Коперника  и  прежде  всего  по  догматам  цер-
кви.  Ведь  согласно  священному  писанию  Земля  при¬
знавалась  центром  Вселенной.  Выполнив  тщательные
и  длительные  наблюдения,  Галилей  с  уверенностью
записал:  «Я  без  малейшего  колебания  решил,  что  су¬
ществуют  четыре  светила,  вращающиеся  около  Юпи¬
тера,  подобно  тому  как  Венера  или  Меркурий  враща¬
ются  вокруг  Солнца.  Ныне  имеем  очевидный  аргумент,
чтобы  рассеять  сомнения  тех,  кои,  склоняясь  допу¬
стить,  что  планеты  обращаются  вокруг  Солнца,  сму¬
щаются,  однако,  каким  образом  Луна  несется  вокруг
Земли  и  в  то  же  время  вместе  с  нею  совершает  го¬
дичный  круг  около  Солнца...  Мы  знаем  теперь,  что
есть  планеты,  обращающиеся  одна  около  другой  и  в
то  же  время  вместе  несущиеся  вокруг  Солнца.  Мы
знаем,  что  и  около  Юпитера  движутся  и  не  од¬
на,  но  четыре  луны,  следующие  за  ним  во  всё  про¬
должение  его  двенадцатилетнего  обращения  около
Солнца».
 Следует  ли  удивляться  тому,  что  после  этих  сенса¬
ционных  открытий  началось  озлобленное  преследова¬
ние  ученого  со  стороны  церковников?
 В  наши  дни  труба  Галилея  вытеснена  более  со¬
вершенными  телескопическими  системами,  позволяю¬
щими  получать  существенно  большее  угловое  увели¬
чение  и  в  то  же  время  обеспечивающими  высокое
качество  изображения.  Однако  этот  скромный  пред¬
шественник  современных  телескопов  служит  людям  и
поныне.  Вспоминайте  о  нем  всякий  раз,  когда  берете
в  руки  обыкновенный  театральный  бинокль.  Ведь  оч
представляет  собой  не  что  иное,  как  комбинацию  из
двух  небольших  труб  Галилея.
 112

«Диоптрика»  Кеплера  и  последующие  работы.  Во
 времена  Галилея  жил  и  работал  знаменитый  немец-
кий  ученый  Иоганн  Кеплер.  Он  изобрел  свой  вариант
телескопа,  в  котором  не  только  для  объектива,  но  и
для  окуляра  использовались  собирающие  линзы,
В  1611  г.  Кеплер  опубликовал  свой  основной  труд  пэ
оптике,  озаглавленный  «Диоптрика».  В  этой  книге
дано  описание  свойств  различных  линз,  а  также  их
комбинаций,  определение  фокусов,  закономерности,
связывающие  положение  объекта  и  изображения.
Впервые  здесь  разъяснено,  как  следует  строить  изо¬
бражение,  используя  ход  двух  световых  лучей  и  оты¬
скивая  пересечение  этих  лучей  или  их  продолжений.
Есть  в  книге  Кеплера  и  качественное  описание  сфери¬
ческой  аберрации  линз.  Правда,  в  книге  нет  ни  од¬
ной  точной  формулы.  Действуя  в  духе  того  времеци,
автор  вместо  численных  соотношений  дает  лишь  ка¬
чественное  описание  подмеченных  закономерностей.
Впрочем,  вряд  ли  следует  подвергать  критике  этот
фундаментальный  труд;  мы  не  должны  забывать,  что
ко  времени  написания  кеплеровской  «Диоптрики»  за¬
кон  преломления  света  еще  не  был  сформулирован.
 Одновременно  с  первыми  телескопами  в  конце
XVI  —  начале  XVII  веков  появились  и  стали  быстро
совершенствоваться  и  первые  микроскопы.  В  сере¬
дине  XVII  в.  известный,  голландский  естествоиспыта¬
тель  Левенгук  добивается  исключительного  для  того
времени  совершенства  в  изготовлении  микроскопов.
При  помощи  микроскопа  он  открывает  мир  микробов.
 После  открытия  закона  преломления  света  стали
предприниматься  попытки  расчета  линзовых  систем.
В  1646  г.  итальянец  Кавальери  устанавливает  для
 ДВОЯКОВЫПУКЛОЙ  ЛИНЗЫ  формулу: 	(/?1+^2)/^1  =
 =  2Нетрудно  убедиться,  что  формула  Кавалье¬
ри  вытекает  из  формулы  (6.5),  если  принять  я  =  3/2.
Формулу  тонкой  линзы  устаналивает  в  общем  виде
в  1693  г.  английский'  исследователь  Галлей.  Исаак
Ньютон  в  «Лекциях  по  оптике»  анализирует  прелом¬
ление  света  на  сферической  поверхности.  Он  прово¬
дит  четкое  разграничение  параксиальной  оптики  и  оп¬
тики  лучей  с  достаточно  выраженным  наклоном.  Нью¬
тон  рассчитывает  также  сферическую  и  хроматиче¬
скую  аберрации  сферической  поверхности.  При  этом
он  ошибочно  полагает,  что  хроматическая  аберрация
 113

в  преломляющих  системах  принципиально  неустра»
нима.
 Ахроматическая  линза  Доллонда.  В  1746  г.  вышла
 в  свет  работа  нашего  знаменитого  соотечественника
Леонарда  Эйлера  «Новая  теория  света  и  цветов»,  в
которой  различие  цветов  сопоставлено  с  различием
длин  световых  волн.  В  этой  работе  Эйлер  показал
возможность  исключения  хроматической  аберрации
линз.  Позднее,  в  1758  г.  английский  оптик  Джон  Дол-
лонд,  используя  идеи  Эйлера,  сумел  изготовить  линзу
без  хроматической  аберрации.  Такие  лин¬
зы  стали  называть  ахроматическими.  По¬
явление  ахроматических  линз  в  значи¬
тельной  степени  способствовало  даль¬
нейшему  совершенствованию  телескопов,
микроскопов  и  других  оптических  при¬
боров.
 Ахроматическая  линза  Доллонда
представляет  собой  соединение  двух
линз,  одна  из  которых  изготовлена  из
одного  сорта  стекла  (из  крона),  а  другая  —  из  дру¬
гого  (из  флинта).  Эта  линза  показана  на
рис.  6.13;  здесь  1  —  линза  из  крона,  2  —  из  флинта.
Оптическая  сила  двух  соединенных  вместе  тонких
линз  равна  сумме  оптических  сил  отдельных  линз.
С  учетом  (6.5)  и  того  факта,  что  фокусно.е  расстоя¬
ние  плосковогнутой  линзы  отрицательно,  представим
оптическую  силу  ахроматической  линзы  в  виде
 Т  =  77  +  7Г  =  (/г‘-1)т-^-1)^. 	(6.15)
 Здесь  индексы  1  и  2  относятся  к  линзам  из  крона  и
флинта  соответственно;  К  —  радиус  кривизны  сфери¬
ческой  поверхности  линзы.  Можно  подобрать  сорта
стекол  таким  образом,  чтобы  1  /Р  практически  не
зависело  от  длины  волны  света,  несмотря  на  то,  что
1  /Р\  и  \/Р2  по  отдельности  зависят  от  длины  волны.
 Решим  в  связи  с  этим  следующую  задачу.  Убедиться,  что
при  соответствующем  подборе  стекол  •  оптическая  сила  ахрома¬
тической  лицзы,  показанной  на  рис.  6.13,  одинакова  для  длин
волн  Хс  =  0,49  мкм  (синий  цвет)  и  Хк  =  0,66  мкм  (красный
цвет).
 Перепишем  (6.15)  в  виде
 -Г  =  -Г  (2т  —пг—  1). 	(6.16)
 Рис.  6.13.
 114

Показатели  преломления  для  Хс  будем  обозначать  индексом  «с»,
а  для  Як  —индексом  «к».  Из  (6.16)  видно,  что  надо  подобрать
такие  стекла,  чтобы  выполнялось  равенство
 2  п\  —  11%  =  2 	—  л”
 или,  иначе,
 2  (я®  —  я*)  =  п1  —  «2- 	(6.17)
 Обратимся  к  справочнику  «Таблицы  физических  величин»  под
редакцией  академика  И.  К.  Кикоина  (Москва,  Атомиздат,
1976  г.).  Из  справочника  получаем,  что  для  флинта  марки  Ф2
«2  — 	=  16,8  •  КГ3,  а  для  крона  марки  К19 	—  п*=  8,4  •  10~3.
 Таким  образом,  для  стекол  указанных  марок  равенство  (6.17)
выполняется.  Оно  выполняется  также  для  флинта  марки  Ф6
(п%  — 	15,9  •  10"“3)  и  крона  марки  К5  (п\  — 	=  7,95  •  10~3)в
 В  настоящее  время  линзовая  оптика  находит  не¬
обычайно  широкое  применение.  Телескопические  си¬
стемы,  микроскопы,  фотоаппаратура,  киноаппаратура,
спектрометры,  линии  оптической  связи,  лазерная  тех¬
ника—  трудно  даже  перечислить  все  те  приборы  и
устройства,  в  которых  используются  линзы.  Совре¬
менные  линзы  часто  представляют  собой  довольно
сложные  оптические  элементы;  они  позволяют  полу¬
чать  качественные  изображения,  в  которых  аберра-
ции  сведены  к  минимуму.
 Зонная  пластинка  Френеля.  Наряду  с  дальнейшим
усовершенствованием  линз  из  стекла  и  других  мате¬
риалов  (например,  прозрачных  полимеров)  в  наши
дни  развивается  качественно  новое  направление  по¬
лучения  оптических  изображений.  Истоки  этого  на¬
правления  просматриваются  в  начале  XIX  в.  в  рабо¬
тах  по  волновой  оптике  знаменитого  французского
ученого  Огюста  Френеля.  Как  следует  из  этих  работ,
совсем  не  обязательно  изготовлять  линзу  из  стекла;
ее  можно  «нарисовать»  на  прозрачном  листе.
 Разговор  о  такой  необычной  линзе  начнем  с  разъ¬
яснения  широко  применяемого  в  волновой  оптике  по¬
нятия  «зоны  Френеля».  Пусть  вдоль  направления  О'О
распространяется  параллельный  монохроматический
световой  пучок;  плоскость  5  —  волновой  фронт  пучка
(рис.  6.14).  Выберем  на  О'О  некоторую  точку  й\  рас¬
стояние  от  этой  точки  до  плоскости  5  обозначим  че¬
рез  Р  [Ой  =  Р).  Мысленно  изобразим  на  плоскости  5
геометрическое  место  точек,  расстояние  от  которых
до  точки  7)  есть  Р\  =  Р  -\-%/2у  где  X  —  длина  свето-
 115

вой  волны;  это  есть  окружность  радиуса  Г\  =  00\,
Ясно,  что  гх  —  л^Р\  —  Р2.  Затем  изобразим  окруж»
ности,  представляющие  собой  геометрические  места
точек,  удаленных  от  соответственно  на  Р2  =  Р  +
+  X,  Рз  =  Р  ЪХ/2,  «.  *,  Рт  =  Р  тХ/2,  В  резуль»
тате  на  плоскости  5  возникает  система  окружностей
 (слагаемым  (тХ/2)2  можно  пренебрегать,  так  как
(тХ/2)2  •<  тХР  при  не  слишком  больших  т).  С  уче¬
том  (6.18)  аккуратно  воспроизведем  эту  систему  ок¬
ружностей  (штриховые  окружности  на  рис.  6.15).  Бу¬
дем  рассматривать  эти  окружности  как  центральные
линии  чередующихся  кольцевых  зон,  каждой  из  ко¬
торых  отвечает  свое  значение  числа  т.  Центральная
зона  (т  =  0)  есть  круг.  Радиус  окружности,  разгра¬
ничивающей  (т—  1)-ю  и  т-ю  зоны,  определяется  из
формулы  Рт  =  Уф/п  —  р2>  где  фт  =  Рт  —  Х/4.  Та-
ким  образом,
 с-  = 	+  т  т=  л/(т  -  т)1Р■
 Показанные  на  рис.  6.15  зоны  (они  через  одну  за»
штрихованы)  называют  зонами  Френеля.
 Рис.  6.14.
 Н
 с  общим  центром  О  и  с  радиусами  гт  =  ^р2т  —  Р2  •
Нетрудно  видеть,  что
 (6.19)
 116

Возьмем  лист  из  прозрачного  материала,  воспро*
изведем  на  нем  рисунок,  изображающий  зоны  Фре¬
неля,  и  зачерним  (сделаем  непрозрачными)  все  зоны
с  нечетными  т,  т,  е.  все  те  зоны,  которые  на  рис.  6.15
заштрихованы.  Получится  так  называемая  зонная
пластинка  Френеля.  При  Р  =  1м  и  %  =  0,64  мкм
получаем  л/ХР  =  0,8  мм.
 Изготовить  такую  зонную
пластинку  в  принципе  не¬
сложно.
 Поместим  зонную  пла¬
стинку  Френеля  на  пути
параллельного  светового
пучка.  Чтобы  понять,  как
подействует  эта  пластин¬
ка  на  дальнейшее  распро¬
странение  света,  вспом¬
ним  принцип  Гюйгенса,
обсуждавшийся  в  пер¬
вой  беседе.  Когда  пло¬
ский  волновой  фронт  све¬
тового  пучка  достигает
плоскости  пластинки,  все
точки  в  центральном  кру¬
ге  и  в  области  прозрач^
ных  (четных)  колец  од¬
новременно  становятся
источниками  вторичных  сферических  волн.  Точки  же
пластинки  в  области  непрозрачных  (нечетных)  ко¬
лец,  очевидно,  не  порождают  вторичных  волн.  По¬
скольку  зонная  пластинка  изготовлена  таким  обра¬
зом,  что  расстояния  от  середин  различных  прозрач¬
ных  колец  до  точки  О  на  оси  пучка  отличаются  друг
от  друга  на  целое  число  длин  волн,  то  поэтому  все
вторичные  световые  волны  придут  в  точку  И  в  одной
и  той  же  фазе;  в  результате  интенсивность  света  в
точке  О  существенно  увеличится,  как  если  бы  исход¬
ный  световой  пучок  оказался  сфокусированным  в  эту
точку.
 Итак,  зонная  пластинка'  Френеля  действует  по¬
добно  собирающей  линзе  и  может  рассматриваться
как  двумерный  (рисованый)  аналог  линзы.  Пластин¬
ка,  структура  колец  которой  соответствует  формулам
(6.18)  и  (6.19),  собирает  падающий  параллельный
 117
 ЯР

световой  пучок  с  длиной  волны  %  в  точку,  располо¬
женную  на  оси  пучка  на  расстоянии  Р  от  пластинки.
 Линза  в  виде  зонной  пластинки  Френеля  не  пре¬
ломляет  света.  Мы  имеем  здесь  дело  с  иным  опти¬
ческим  явлением  —  дифракцией  света.  Зонная  пла¬
стинка  есть  пример  дифракционной  решетки.  Обсуж¬
дение  дифракции  выходит  за  рамки  данной  книги.
Поэтому  ограничимся  замечанием,  что  в  наши  дни,
а  точнее,  после  появления  лазеров,  «картинки»,  по¬
добные  зонной  пластинке  Френеля,  начинают  широко
применяться  для  управления  световыми  полями  и,  в
частности,  для  получения  оптических  изображений.
Эти  «картинки»  называют  голограммами-,  в  общем
случае  они  представляют  собой  дифракционные  ре¬
шетки  с  весьма  сложной  картиной  полос,  нисколько
не  напоминающей  относительно  простую  картину  ко¬
лец  на  зонной  пластинке  Френеля.  Возникло  и  ус¬
пешно  развивается  новое  направление  современной
оптики,  называемое  оптической  голографией.

БЕСЕДА  СЕДЬМАЯ
 КАК  УСТРОЕН  ГЛАЗ?
 Две  группы  оптических  приборов.  Опти*
ческие  приборы,  формирующие  изображение,  можно
разбить  на  две  группы.  Приборы  первой  группы
(проекционные  приборы)  формируют  действительное
изображение  объекта,  проектируемое  на  экран  или
фотопластинку.  Такое  изображение  могут  одновре¬
менно  рассматривать  много  наблюдателей.  Характер*
ный  пример  —  коллективный  просмотр  кинофильма:
все  зрители  в  зале  одновременно  воспринимают  дей¬
ствительное  изображение,  проектируемое  на  экран.
 Приборы  второй  группы  формируют  мнимое  изо¬
бражение  объекта.  Это  изображение  воспринимает,
как  правило,  один  наблюдатель,  хотя  и  возможна  си¬
туация,  когда  мнимое  изображение,  например,  в  лупе
разглядывают  одновременно  несколько  человек.  Су¬
щественно,  что  мнимое  изображение  само  .по  себе
есть,  по  сути  дела,  фикция,  условность  (ведь  о  пере¬
сечении  не  самих  лучей,  а  их  продолжений  можно
говорить  лишь  чисто  формально);  однако  эта  фикция
превращается  в  реальность,  как  только  в  оптическую
схему  включается  глаз  наблюдателя.  Формируемое
прибором  мнимое  изображение  преобразуется  глазом
в  действительное  изображение,  проектируемое  на  сет¬
чатке  (задней  стенке)  глаза.  Недаром  оптические
приборы,  формирующие  мнимое  изображение,  при¬
нято  называть  приборами,  вооружающими  глаз.
К  ним  относятся,  в  частности,  лупа,  очки,  микроско-
пы,  зрительные  трубы  (телескопы).  Во  всех  этих  слу¬
чаях  при  рассмотрении  хода  световых  лучей  надо,
строго  говоря,  включать  в  оптическую  схему  также  и
глаз  наблюдателя.  Такая  необходимость  уже  отмеча¬
лась  в  предыдущей  беседе  —  при  обсуждении  угло¬
вого  увеличения,  получаемого  при  применении  трубы
Галилея.
 119

Какую  роль  играет  глаз  наблюдателя  в  том  или
ином  оптическом  эксперименте?  Есть  ли  грань,  раз¬
деляющая  науку  о  зрении  и  науку  о  свете,  и  что  еле-,
дует  при  этом  понимать  под  оптикой?
 Подобные  вопросы  давно  волновали  ученых.  На
заре  развития  оптических  исследований  роль  глаза
явно  преувеличивалась,  оптика  фактически  являлась
наукой  о  зрении.  Нельзя  забывать,  что  когда-то  счи¬
тали,  будто  из  глаза  выходят  лучи  и  всерьез  говорили
о  «свете  очей».  Лишь  со  временем  поняли,  что  глаз
играет  роль  приемника  световых  лучей,  идущих  от
объекта;  еще  позднее  произошло  разграничение  науки
о  зрении  и  оптики,  которая  стала  рассматриваться
как  наука  о  свете.  Сегодня  мы  в  состоянии  правильно
оценить  роль  глаза  наблюдателя  в  эксперименталь¬
ной  оптике.  Примечательно,  однако,  что  словно  в  про¬
тивовес  когда-то  бытовавшему  преувеличению  роли
глаза,  мы  склонны  сегодня  подчас  недооценивать  эту
роль.  Во  всяком  случае,  в  ряде  современных  книг  п
учебных  пособий  по  оптике  не  подчеркивается  прин¬
ципиальная  роль  глаза  наблюдателя  при  восприятии
мнимых  изображений.
 Весьма  полезно,  хотя  бы  вкратце,  проследить,  как
постепенно  изменялись  представления  о  механизме
зрения  и  о  роли  глаза.  Естественно,  что  это  происхо¬
дило  по  мере  того  как  уточнялось  строение  самого
 рез  глаза  схематически  показан  на  рис.  7.1.  Глаз
имеет  достаточно  прочную  внешнюю  оболочку,  назы¬
ваемую  склерой  (1)\  передняя  часть  склеры  более
выпукла  и  прозрачна,  ее  называют  роговицей  (2).
С  внутренней  стороны  склера  выстлана  сосудистой
оболочкой  (3),  состоящей  из  питающих  глаз  крове*
 глаза.  Поэтому  целесооб¬
разно,  прежде  чем  обра¬
щаться  к  далекой  исто¬
рии,  сообщить  современ¬
ные  данные  об  устройстве
человеческого  глаза.
 Рис.  7.1.
 Строение  и  оптическая
схема  человеческого  гла¬
за.  Глаз  человека  имеет
в  целом  почти  правиль¬
ную  шарообразную  фор¬
му  (глазное  яблоко).  Раз-
 180

носных  сосудов.  Зрительный  нерв  (4),  подходя  к  гла*
зу,  разветвляется,  образуя  на  задней  стенке  сосуды*
стой  оболочки  светочувствительный  слой  —  сетчатую
оболочку  или,  проще,  сетчатку  (5).  Сетчатка  состоит
из  нескольких  слоев  клеток-рецепторов  разного  типа}
она  играет  роль  приемника  светового  излучения.  В  пе¬
редней  части  глаза  непосредственно  за  роговицей  нахо»
дится  прозрачная  водянистая  масса  (6),  а  за  ней  ра-
дужная  оболочка  (7).  У  разных  людей  радужная  обо*
лочка  окрашена  по-разному,  в  связи  с  чем  и  разли¬
чают  цвет  глаз.  В  радужной  оболочке  имеется  круглое
отверстие  (зрачок),  диаметр  И  которого  может  изме¬
няться.  Радужная  оболочка  со  зрачком  играет  роль
диафрагмы,  регулирующей  доступ  света  внутрь  глаза.
Сразу  за  радужной  оболочкой  находится  хрусталик
(§)  —  изготовленная  природой  двояковыпуклая  линза.
Хрусталик  охватывается  кольцевой  мышцей  (9),  под
действием  которой  кривизна  поверхностей  хрусталика
(а  следовательно,  его  оптическая  сила)  может  изме¬
няться.  Объем  глаза  между  хрусталиком  и  сетчаткой
заполнен  прозрачным  студенистообразным  веществом,
которое  называют  стекловидным  телом  (10).
 Попадающие  от  объекта  в  глаз  световые  лучи  ис¬
пытывают  преломление,  проходя  через  водянистую
массу,  хрусталик  и  стекловидное  тело.  Показатели
преломления  водянистой  массы  и  стекловидного  тела
примерно  такие  же,  как  у  воды;  у  хрусталика  пока¬
затель  преломления  равен  примерно  1,4.  На  сетчатке
формируется  действительное  изображение  наблюдае¬
мого  объекта.  Оно  оказывается  перевернутым.  Мозг,
получая  сигнал  по  зрительному  нерву,  вносит  соот¬
ветствующие  «поправки»,  в  результате  чего  мы  вос¬
принимаем  предметы  не  перевернутыми,  а  в  естествен¬
ных  положениях.
 Система,  состоящая  из  лупы  и  глаза.  На  рис.  7.2
в  качестве  примера  показан  ход  световых  лучей  в  оп¬
тической  системе,  состоящей  из  лупы  и  глаза.  Глаз
находится  в  непосредственной  близости  от  собираю¬
щей  линзы.  Объект  АВ  помещен  за  линзой  на  рас¬
стоянии,  меньшем  фокусного  расстояния  линзы  Р9
Рассмотрим  один  из  лучей,  выходящих  из  В,  а  имен¬
но  тот  луч,  который  проходит  вблизи  края  е  зрачка.
Этот  луч  после  преломления  в  глазу  попадает  на  сет¬
чатку  в  точке  В2.  Соответствующий  луч,  выходящий
 121

й§гЛ,  попадает  на  сетчатку  в  точке  Л2.  Поскольку  луч
из  В,  прежде  чем  попасть  в  глаз,  испытывает  пре¬
ломление  в  точке  Ъ  линзы,  а  луч  из  Л  преломляется
в  точке  а  линзы,  то  глаз  будет  воспринимать  не  сам
объект  ЛВ,  а  его  мнимое  изображение  Л1В1;  ведь  Ъе
лежит  на  одной  прямой  с  В\е9  а  ас  —  на  одной  пря¬
мой  с  А\с  (мы  не  учитываем  здесь  преломления  в  во¬
дянистой  массе  глаза,  находящейся  перед  хрустали¬
ком).  Заметим,  что  показанные  на  рисунке  лучи  ВО\
 и  ВО  —  СВ,  а  также  ЛО1  и  АН  —  ЯВ  имеют  в  дан¬
ном  случае  вспомогательный  характер:  они  помогают
построить  изображение  Л1В1  объекта  ЛВ  в  линзе.
Итак,  глаз  воспринимает  мнимое  изображение  Л1В1
и  преобразует  его  в  перевернутое  действительное  изо¬
бражение  Л2В2  на  сетчатке.  Точка  О  есть  оптический
центр  глаза  (заметим,  что  в  действительности  он  рас¬
положен  заметно  левее,  чем  это  показано  на  рисунке;
он  находится  у  задней  поверхности  хрусталика).
Угол  а  есть  угол,  под  которым  наблюдатель  видит
изображение;  его  называют  углом  зрения.  Чем  боль¬
ше  угол  зрения,  тем  больше  видимый  размер  объекта.
 Площадь  сетчатки  заполнена  множеством  свето¬
чувствительных  клеток,  среди  которых  различают  так
называемые  палочки  и  колбочки.  Для  разрешения
глазом  двух  наблюдаемых  точек  необходимо,  очевид-
 122

но,  чтобы  расстояние  между  изображениями  этих  то*
чек  на  сетчатке  было  больше  размеров  светочувстви¬
тельных  клеток.  Оказывается,  что  для  этого  угол  зре¬
ния  должен  быть  не  меньше  угловой  минуты.
 Развитие  учения  о  зрении  от  Демокрита  и  Галена
к  Альхазену  и  Леонардо  да  Винчи.  Теперь,  когда  мы
познакомились  в  общих  чертах  с  устройством  глаза  и
ходом  световых  лучей  внутри  него,  обратимся  к  от¬
даленным  временам.
 В  VI  в.  до  н.  э.  последователи  Пифагора  считали,
что  из  глаза  человека  выходит  невидимое  истечение,
которое  как  бы  «ощупывает»  наблюдаемый  объект.
В  V  в.  до  н.  э.  Эмпедокл  полагал,  что  наряду  с  исте¬
чением  из  глаза  существует  также  истечение  из  све¬
тящегося  объекта.  Величайший  из  материалистов
древности  Демокрит  (460—370  г.  до  н.  э.)  отрицал
существование  каких  бы  то  ни  было  истечений  из
глаза,  объясняя  зрительное  ощущение  воздействием
попадающих  в  глаз  атомов,  которые  испускает  светя¬
щееся  тело.  Тем  не  менее  в  оптических  трудах  Евкли¬
да,  созданных  около  300  г.  до  н.  э.  можно  найти  ут¬
верждение:  «Испускаемые  глазами  лучи  распростра¬
няются  по  прямому  пути».
 Прошло  четыре  с  половиной  века,  и  вот  в  работах
Галена  (130—200)  появляется,  по-видимому,  первое
описание  строения  человеческого  глаза.  Это  описание
еще  очень  несовершенно,  но  в  нем  уже  упоминаются
зрительный  нерв,  сетчатка,  хрусталик.  Правда,  тут  же
содержится  утверждение,  что  вырабатываемый  моз¬
гом  «свет  очей»  идет  по  зрительному  нерву,  рассеи¬
вается  в  стекловидном  теле  и  затем  собирается  на
хрусталике,  который,  как  полагал  Гален,  есть  орган
восприятия.
 Примерно  через  девять  столетий  труды  Галена
привлекают  внимание  знаменитого  арабского  ученого
Альхазена  (XI  в.).  Альхазен  принял  анатомическое
описание  глаза,  данное  Галеном,  но  решительно  от¬
бросил  «свет  очей».  «Зрительный  образ,  —  писал  Аль¬
хазен,—  получается  с  помощью  лучей,  испускаемых
видимыми  телами  и  попадающих  в  глаз».  Особенно
важно  то,  что  он  впервые  попытался  осмыслить  ме¬
ханизм  формирования  зрительного  образа.  До  Аль¬
хазена  этого  не  делали,  а  попросту  считали,  что  зри*
тельный  образ  возникает  как-то  сразу,  целиком,  как
 123

некий  единый,  не  расчленяемый  на  части  процесс.
Альхазен  высказал  гениальную  догадку:  каждой  точ¬
ке  на  видимой  поверхности  объекта  должна  соответ*
ствовать  своя  точка  внутри  глаза  и,  следовательно,
процесс  формирования  изображения  объекта  в  глазу
складывается  из  множества  элементарных  процессов
формирования  изображения  отдельных  точек  объек¬
та.  Правда,  Альхазен  считал,  что  точки  восприятия
 находятся  не  на  сетчатке,
а  на  передней  поверхно¬
сти  хрусталика.  Он  писал:
«Зрительный  образ  полу¬
чается  с  помощью  пира¬
миды,  вершина  которой
находится  в  глазу,  а  ос¬
нование  на  видимом  те¬
ле».  Идею  Альхазина  ил¬
люстрирует  рис.  7.3.  Све-
С  объекта  концентрируют¬
ся,  по  Альхазену,  в  центре  глаза.  Указанным  точкам
соответствуют  точки  восприятия  Ль  В\,  С\  на  перед¬
ней  поверхности  хрусталика.
 Сопоставление  глаза  с  камерой-обскурой  в  трудах
Леонардо  да  Винчи.  Великий  итальянский  художник
и  естествоиспытатель  Леонардо  да  Винчи  (1452—
1519)  исправил  ошибку  Альхазена  и  перенес  точки
восприятия  с  поверхности  хрусталика  на  сетчатку.
Более  того,  подробно  описывая  камеру-обскуру,  он
прямо  указал:  «То  же  происходит  и  внутри  глаза».
Тем  самым  впервые  было  указано  устройство,  кото¬
рое  следует  рассматривать  как  оптический  аналог
человеческого  глаза.  Академик  С.  И.  Вавилов  обра¬
щает  особое  внимание  на  этот  факт:  «До  камеры-
обскуры  изображение  знали  только  в  глазу  и  на  кар¬
тинах,  создаваемых  рукой  человека.  Камера  реши¬
тельно  отделила  свет  от  зрения,  в  этом  ее  историче¬
ская  теоретико-познавательная  роль.  Со  времени  изо¬
бретения  камеры  вопрос  о  структуре  глаза,  занимав¬
ший  до  этих  пор  главное  место  в  оптике,  превра¬
тился  в  вопрос  специальный,  в  основном  физиологи¬
ческий  и  медицинский.  В  XVI  в.,  строго  говоря,  оп¬
тика  (в  точном  значении  слова  —  наука  о  зрении)  пе¬
рестала  быть  таковой  и  превратилась  в  учение  о
свете».
 товые  лучи  от  точек  А,  Б,
 124

Следует,  однако,  заметить,  что  проводя  аналогию
между  человеческим  глазом  и  камерой-обскурой,  Лео¬
нардо  да  Винчи  ошибался  в  некоторых  довольно  су¬
щественных  деталях.  Он  полагал,  что  хрусталик  имеет
форму  шара  и  находится  в  середине  глазного  яблока,
Ход  лучей  в  таком  «глазе»  показан  на  рис.  7.4.  Лео¬
нардо  да  Винчи  видел,  что
в  камере-обскуре  получает¬
ся  перевернутое  изображе¬
ние.  На  сетчатке  же  глаза,
считал  он,  изображение
должно  быть  не  переверну¬
тым.  Ученый  полагал,  что
шаровидный  хрусталик
внутри  глаза  как  раз  и
предназначен  для  того,  что¬
бы  еще  раз  переворачивать  изображение  с  тем,
чтобы  в  конечном  итоге  получалось  неперевернутое
изображение  (см.  рисунок).  Ошибка  Леонардо  да
Винчи  объясняется  не  только  желанием  иметь  на  сет¬
чатке  неперевернутое  изображение,  но  и  несовершен¬
ством  экспериментальной  методики  анатомического
исследования  глаза,  которую  применял  ученый.  «При
анатомировании  глаза,  —  писал  Леонардо  да  Вин¬
чи,—  для  того,  чтобы  хорошо  разглядеть  внутри,  не
проливая  его  влаги,  надобно  положить  глаз  в  яичный
белок  и  прокипятить».  Ученый  не  знал,  что  при  кипя¬
чении  хрусталик  принимает  сферическую  форму  и  его
истинное  положение  внутри  глаза  искажается.
 Итак,  человеческий  глаз  действительно  подобен
камере-обскуре.  Однако  внутри  его  стекловидного
тела  нет  еще  одного  сферического  тела,  которое  бы
за  счет  преломления  дополнительно  переворачивало
изображение.  Хрусталик  имеет  форму  не  шара,  а
двояко-выпуклой  линзы  и  находится  вплотную  у  от¬
верстия  «камеры-обскуры».  В  результате  изображе¬
ние  на  -  сетчатке  глаза,  как  и  в  обычной  камере-об¬
скуре,  оказывается  перевернутым.
 Любопытно,  что  фактическую  модель  глаза  —  ка¬
меру-обскуру  с  собирающей  линзой  у  отверстия  —  сам
того  не  сознавая,  демонстрировал  в  конце  XVI  в,
итальянец  Порта.  На  задней  стенке  своей  усовершен¬
ствованной  камеры  он  наблюдал  перевернутое  изо¬
бражение.  Порта  использовал  свою  конструкцию  ка-
 125

меры  скорее  для  развлечения;  он  так  и  не  догадался,
что  хрусталик  в  глазу  может  быть  уподоблен  линзе,
вставленной  в  отверстие  камеры-обскуры.
 Кеплер  о  роли  хрусталика  в  глазе;  объяснение
Юнгом  механизма  аккомодации.  Мысль  о  том,  что
формируемое  на  сетчатке  глаза  изображение  яв*
ляется  перевернутым,  была  впервые  высказана
Иоганном  Кеплером  в  начале  XVII  в.  Кеплер  понял
также,  что  хрусталик  необходим  для  аккомодации
глаза,  т.  е.  для  его  самонастройки  на  ближние  или
удаленные  предметы  с  целью  получения  на  сетчатке
четкого  изображения.  Однако  он  неправильно  пред¬
ставлял  себе  механизм  аккомодации,  полагая,  что
самонастройка  глаза  на  резкость  осуществляется  за
счет  изменения  васстояния  между  хрусталиком  и  сет¬
чаткой.
 (1773—1829),  замечательный  физик,  известный  врач,
металлург,  египтолог,  океанограф,  ботаник,  доказал,
что  механизм  аккомодации  состоит  не  в  перемещении
хрусталика,  а  в  изменении  кривизны  его  поверхно¬
стей,  иначе  говоря,  в  изменении  оптической  силы  хру¬
сталика.
 Ранее  мы  уже  отмечали,  что  хрусталик  охваты¬
вается  кольцевой  мышцей.  Когда  мышца  расслаб¬
лена,  оптическая  сила  хрусталика  оказывается  наи*
меньшей.  В  этом  случае  на  сетчатке  нормального
глаза  формируется  отчетливое  изображение  далеких
предметов;  как  говорят,  глаз  аккомодирован  на  бес¬
конечность.  По  мере  того,  как  человек  начинает  раз¬
глядывать  все  более  и  более  близкие  предметы,  ав¬
томатически  происходит  аккомодация  глаза:  кольце¬
вая  мышца  все  более  напрягается,  хрусталик  все
сильнее  сдавливается  по  краям,  становится  выпуклее,
его  оптическая  сила  возрастает.  Тем  самым  совер¬
шается  самонастройка  глаза  на  резкость,  в  ре¬
зультате  человек  может  отчетливо  видеть  пред¬
меты,  находящиеся  на  различных  расстояниях  от
него.
 Посмотрите  на  глубоко  задумавшегося  человека.
У  него,  как  принято  говорить,  отрешенный  взгляд.
Он  смотрит  на  вас,  но  явно  вас  не  замечает;  он  смот¬
рит  куда-то  вдаль,  как  бы  сквозь  вас.  Его  глаза  ак¬
комодированы  на  бесконечность,  и  вы  хорошо  зто
 Лишь  в
 англичанин  Томас  Юнг
 126

ощущаете.  Совсем  иначе  выглядит  человок,  сосредо¬
точенно  читающий  книгу.  Во  всем  его  облике  нет  рас¬
слабленности.  Взгляд  его  представляется  напряжен¬
ным  (даже  если  он  и  не  смотрит  вам  в  лицо).  Его
глаза  аккомодированы  на  очень  близкий  предмет  —
книгу,  и  кольцевые  мышцы  глаза  максимально  на¬
пряжены.  Естественно,  что  после  длительного  чтения
человек  чувствует,  что  глаза  устали.
 Дальнозоркость  и  близорукость.  Способность  гла¬
за  к  аккомодации  не  безгранична.  В  связи  с  этим
говорят  о  дальней  и  ближней  точках,  фиксируемых
глазом.  У  нормального  глаза  дальней  точки  нет,  а
ближняя  находится  на  расстоянии  около  20  см.  Наи¬
меньшее  расстояние  Ь,  на  котором  глаз  может  отчет¬
ливо  видеть  предметы,  не  слишком  утомляясь,  назы¬
вают  расстоянием  наилучшего  зрения;  для  нормаль¬
ного  глаза  Ь  =  25  см.  Нередко  встречаются  глаза  с
ненормальными  пределами  аккомодации.  Различают
близорукие  и  дальнозоркие  глаза.  У  близорукого
глаза  Ь  <  25  см,  ближняя  точка  может  находить¬
ся  всего  лишь  в  нескольких  сантиметрах  от  глаза;
при  этом  дальняя  точка  оказывается  не  в  беско¬
нечности  (как  у  нормального  глаза),  а  на  относи¬
тельно  близком  расстоянии,  которое  может  состав¬
лять  всего  несколько  метров.  Более  или  менее  уда¬
ленные  объекты  такие  люди  видят  нерезко,  рас¬
плывчато.  У  дальнозоркого  глаза  Ь  >  25  см,  ближняя
точка  может  отстоять  от  глаза  на  расстоянии  до  мет¬
ра  и  даже  дальше.  Такие  люди  плохо  видят  «у  себя
под  носом»,  зато  хорошо  видят  удаленные  объекты.
С  годами  кольцевая  мышца  неизбежно  расслабляет¬
ся,  поэтому  расстояние  до  ближней  точки  возрастает
к  старости  даже  у  людей  с  нормальным  зрением
(старческая  дальнозоркость).
 Глаз  как  совершенное  оптическое  устройство.  Не¬
смотря  на  некоторые  возможные  отклонения  от  нор¬
мы,  глаз  человека  должен  быть  признан  великолеп¬
ным  оптическим  устройством.  Выше  отмечалась  спо¬
собность  глаза  к  самонастройке  на  резкость  за  счет
изменения  оптической  силы  хрусталика.  Добавим  к
этому  способность  глаза  изменять  диаметр  зрачка,
что  позволяет  (как  и  при  изменении  апертурной  ди¬
афрагмы  в  фотообъективе)  регулировать  доступ  света
внутрь  глаза  и  менять  глубину  фокусировки.  Этим,
 127

однако,  достоинства  глаза  как  оптического  прибора
далеко  не  исчерпываются.
 Аберрация  глаза  не  мешает  воспринимать  изобра¬
жение  предмета.  Это  связано,  в  частности,  с  особым
*устройством  сетчатой  оболочки.  Дело  в  том,  что  спо¬
собность  сетчатки  к  хорошему  распознаванию  дета¬
лей  наблюдаемого  объекта  и  к  различению  цвета
максимальна  лишь  в  пределах  относительно  неболь¬
шой  области  и  быстро  убывает  по  мере  удаления  от
 нее.  Эту  область  назы¬
вают  желтым  пятном.
В  центре  пятна  наблю¬
дается  характерная  ям¬
ка  —  место  с  наиболее
густо  расположенными
рецепторными  клетками
(преимущественно  кол¬
бочками).  На  рис.  7.5  об-
Рис.  7.5. 	ласть  желтого  пятна  за¬
 штрихована;  хорошо  вид¬
на  упомянутая  ямка.  Прямая  АА,  проходящая  через
центр  желтого  пятна  (ямку)  и  оптический  центр  гла¬
за,  называется  зрительной  осью  глаза.  Она  состав¬
ляет  с  оптической  осью  глаза  00  угол  ф  5°.  Угло¬
вые  размеры  желтого  пятна  немногим  более  5°,  а
ямки  —  всего  лишь  1  —1,5°.  Описанная  особенность
структуры  сетчатки  приводит  к  тому,  что  глаз  вос¬
принимает  главным  образом  узкий  параксиальный
световой  пучок,  распространяющийся  вдоль  зритель¬
ной  оси.  Тем  самым  резко  снижается  возможность
проявления  аберраций.  Правда,  с  увеличением  осве¬
щенности  объекта  эта  возможность  начинает  возрас¬
тать;  однако  в  этом  случае  положение  выправляется
за  счет  уменьшения  диаметра  зрачка.
 Малый  угловой  размер  желтого  пятна,  казалось
быу  должен  уменьшать  поле  зрения;  ведь  угол  зрения
не  должен  заметно  превышать  угловой  размер  пятна.
Это  было  бы  так,  если  бы  глаз  был  неподвижен.  Од¬
нако  природа  «предусмотрела»  хорошую  подвижность
глаза,  которая  прекрасно  компенсирует  малые  угло¬
вые  размеры  наиболее  эффективной  области  сетчатки.
При  разглядывании  того  или  иного  объекта  мы,  сами
того  не  замечая,  быстрыми  скачками  меняем  направ¬
ление  зрительной  оси  глаза,  переводя  тем  самым
 128

взгляд  с  одной  точки  объекта  на  другую.  В  резуль-
тате  на  площадь  желтого  пятна  и,  в  частности,  на
площадь  ямки  будут  попадать  в  разные  моменты  вре-
мени  разные  участки  поверхности  объекта,  разные  его
детали.  На  отдельных  точках  объекта  глаз  как  бы
задерживается,  мимо  других  он  скользит,  не  останав¬
ливаясь.  Зрительный  образ  объекта  в  целом  создает¬
ся  как  результат  таких  последовательных  просматри¬
ваний.  В  итоге  мы  можем  концентрировать  внимание
на  тех  или  иных  деталях  и  вместе  с  тем  не  замечаем
ограниченности  поля  четкого  зрения.  Вследствие  под¬
вижности  глаза  поле  зрения  представляется  нам  очень
большим  —  до  120°  по  вертикали  и  150°  по  горизон¬
тали.
 Здесь  важно  отметить  способность  глаза  видеть
ту  или  иную  деталь  в  течение  некоторого  времени
после  того,  как  эта  деталь  ушла  из  поля  зрения.  Это
время  составляет  примерно  0,1.  с  и  является  опти¬
мальным.  Вообразим,  что  указанное  время  вдруг
стало  бы  в  100  раз  меньше  или,  наоборот,  в  100  раз
больше.  В  первом  случае  зрительный  образ  объекта
«распался»  бы  на  отдельные,  несвязанные  детали.  Во
втором  случае  детали  налезали  бы  друг  на  друга  и
не  создавали  бы  единого  зрительного  образа.  Заме¬
тим,  что  в  обоих  случаях  мы  уже  не  смогли  бы  смот¬
реть  кинофильм  или  телепередачу.
 Мы  отметили  здесь  лишь  пять  «усовершенствова¬
ний»,  которыми  природа  наградила  наш  орган  зре¬
ния:  способность  к  самонастройке  на  резкость,  регу¬
лирование  диаметра  зрачка,  высокую  чувствитель¬
ность  сетчатки  лишь  вблизи  зрительной  оси  глаза,
хорошую  подвижность  глаза,  оптимальную  длитель¬
ность  зрительного  ощущения.  Этого  достаточно,  что¬
бы  вполне  оценить  высокую  степень  совершенства  на¬
шего  природного  оптического  устройства.  Если  бы  мы
задумали  искусственно  воспроизвести  человеческий
глаз,  то  нам  пришлось  бы  придумать  быстро  повора¬
чивающуюся  камеру-обскуру  с  изменяющимся  диа¬
метром  входного  отверстия,  с  линзой  у  отверстия,  спо¬
собной  изменять  свою  оптическую  силу,  и  со  слож¬
ной  системой  прйемников  света  на  задней  стенке
камеры.  Ко  всему  прочему  мы  столкнулись  бы  с  про¬
блемой  взаимного  согласования  движений  камеры,
изменений  диаметра  отверстия  и  изменений  оптиче-
 5  Л.  В.  Тарасов,  А.  Н.  Тарасова
 129

ской  силы  линзы,  а  также  согласования  всего  этого
с  освещенностью  наблюдаемых  объектов,  их  удален¬
ностью  от  глаза  и  конкретной  формой.  И  все  равно
это  нельзя  было  бы  рассматривать  как  модель  чело¬
веческого  зрения,  потому  что  наша  сверхсовершенная
камера  не  в  состоянии  концентрировать  внимание  на
тех  или  иных  деталях.  Ибо  в  конечном  счете  про¬
цесс  зрения  теснейшим  образом  связан  с  процессом
мышления.
 Академик  С.  И.  Вавилов  в  книге  «Глаз  и  Солн-  .
це»  (мы  настоятельно  рекомендуем  читателю  прочи¬
тать  эту  книгу)  подробно  анализирует  свойства  и
особенности  человеческого  глаза.  Сопоставляя  свой¬
ства  глаза  со  свойствами  солнечного  света,  он  пока¬
зывает,  что  «глаз  есть  результат  чрезвычайно  дли¬
тельного  процесса  естественного  отбора,  итог  измене¬
ний  организма  под  действием  внешней  среды  и  борь¬
бы  за  существование,  за  лучшую  приспособленность
к  внешнему  миру».  Говоря  о  замечательных  свой¬
ствах  человеческого  глаза,  С.  И.  Вавилов  подчерки¬
вает:  «Все  это  —  результат  приспособления  глаза  к
солнечному  свету  на  Земле.  Глаз  нельзя  понять,  не
зная  Солнца.  Наоборот,  по  свойствам  Солнца  можно
в  общих  чертах  теоретически  наметить  особенности
глаза,  какими  они  должны  быть,  не  зная  их  наперед».
 Вполне  очевидно,  что  не  только  сейчас,  но  и  в
обозримом  будущем  человек  не  в.  состоянии  создать
искусственный  глаз.  Однако  уже  сравнительно  давно
он  умеет  исправлять  некоторые  дефекты  живого  гла¬
за,  а  также  расширять  его  возможности.
 Очки.  Так,  сравнительно  давно  применяются  очки
для  исправления  близорукости  и  дальнозоркости  (см.
предыдущую  беседу).  На  рис.  7.6  изображен  ход  лу¬
чей,  попадающих  от  очень  удаленных  объектов  в  глаз
наблюдателя.  Рассмотрены  три  случая:  а)  нормаль¬
ное  зрение,  б)  близорукость,,  в)  дальнозоркость.  Лучи
внутри  глаза,  показанные  непрерывными  стрелками,  .
реализуются  при  полностью  расслабленной  кольце¬
вой  мышце  глаза,  'а  лучи  в  виде  штриховых  стре¬
лок—  при  напряженной  мышце.  Видно,  что  при  нор¬
мальном  зрении  аккомодация  глаза  на  бесконечность
происходит  при  расслабленной  мышце;  при  близору¬
кости  аккомодация  на  бесконечность  вообще  невоз¬
можна,  а  при  дальнозоркости  возможна';  но  при  усло-
 130

вии,  что  кольцевая  мышца  напряжена.  Рис.  7.7  пока¬
зывает,  как  очки  могут  помочь  устранить  дефекты
близорукости  и  дальнозоркости.  При  близорукости
применяют  очки  с  рассеивающей  линзой  (рис.  7.7,  а),
а  при  дальнозоркости  —  с  собирающей  (рис.  7.7,6).
Как  видно  из  рисунка,  очки  позволяют  получить  ход
 лучей  внутри  глаза  такой  же,  какой  наблюдается
в  нормальном  глазе,  (сравните  с  рис.  7.6,  а).  Теперь
и  для  близорукого,  и  для  дальнозоркого  глаза  акко¬
модация  на  бесконечность  реализуется  при  расслаб¬
ленной  кольцевой  мышце.
 Использование  линзовых  систем  для  увеличения
угла  зрения.  В  начале  беседы  мы  обращали  внимание
на  то,  что  оптические  приборы,  формирующие  мни¬
мое  изображение,  называют  приборами,  вооружаю¬
щими  глаз.  Суть  такого  названия  в  том,  что  все  эти
приборы  увеличивают  угол  зрения.  Предположим,  что
мы  разглядываем  невооруженным  глазом  некий  не¬
большой  объект,  например,  букву  в  тексте,  имею¬
щую  высоту  /;  при  этом  страница  книги  находится
на  расстоянии  наилучшего  зрения  Ь  от  глаз.  Угол
зрения  с&1  определяется  очевидной  формулой
(рис.  7.8,  а):
 сч  =  -г- 	(7*1)
 Б*
 131

При  1  =  2  мм  и  Ь  =  25  см  получаем  а1  =  0,008,  что
составляет  27'.  Теперь  предположим,  что  непосред-
ственно  перед  глазом  находится  собирающая  линза
с  фокусным  расстоянием  Р\  мы  разглядываем  увели¬
ченное  мнимое  изображение  страницы  книги  (линза
 используется  в  качестве  лупы).  Книга  должна  при
этом  находиться  на  таком  расстоянии  й  от  линзы
(или  в  данном  случае  от  глаза),  чтобы  расстояние
|/|  от  изображения  до  линзы  (до  глаза)  равнялось
расстоянию  наилучшего  зрения  Ь.  Полагая  |/|  =Ь  и
используя  формулу  (6.8),  находим
 <*-■Игг- 	м
 132

На  рис.  7.8,  б  построено  мнимое  изображение  объекта
(буквы)  в  собирающей  линзе.  Из  рисунка  видно,  что
линейный  размер  V  изображения  буквы  связан  с  ее
истинным  размером  I  соотношением
 Приблизив  глаз  вплотную  к  линзе  и  разглядывая  это
изображение,  мы  увидим  букву  под  углом  зрения  а*,
определяемым  формулой
(см.  рис.  7.8,  в)
 составляет  1,5°.  Т  аким  об¬
разом,  применение  лупы  позволяет  в  данном  случае
в  3,5  раза  увеличить  угол  зрения,  под  которым  на
сетчатке  глаза  формируется  изображение  буквы  тек¬
ста.  При  этом  согласно  (7.2)  надо  держать  книгу  на
расстоянии  й  =  7  см  от  глаз.
 Об  увеличении  угловых  размеров  изображения
(а  следовательно,  угла  зрения)  при  использовании
телескопа  мы  уже  говорили  в  предыдущей  беседе,  об¬
суждая  ход  лучей  в  трубе  Галилея.
 Фасеточные  глаза  насекомых.  В  завершение  бесе¬
ды  поговорим  немного  об  особенностях  устройства
глаза  насекомых.  Он  представляет  собой  сложное  об¬
разование,  будучи  составлен  из  множества  очень  мел¬
ких  шестигранников  —  фасеток.  Число  фасеток  в  гла¬
зе  весьма  велико;  так,  у  муравья  оно  равно  100,  а  у
стрекозы  более  20  000.  Линейный  размер  одной  фа-
секи  на  поверхности  глаза  составляет  примерно
 Г-1Ц±
 (7.3)
 Подставляя  (7.3)  в  (7.4),
 находим
 Пусть  Р=  10  см.  В  этом
случае  из  (7.5)  получаем
а2  =  3,5  оц  =  0,028,  что
 или,  с  учетом  (7.1),
 Р  +  Ь  /г,еч
«2  =  «1  — 	• 	(7.5)
 %01мН
 Рис.  7.9.
 133

0,01  мм.  Каждая  фасетка  выполняет*  роль  линзы  (хру¬
сталика)  для  отдельного  светочувствительного  эле¬
мента—  омматидия.  На  рис.  7.9  схематически  пока¬
зано  строение  фасеточного  глаза.  Выделена  отдель¬
ная  фасетка;  показан  конус,  в  пределах  которого  све¬
товые  лучи  могут  попасть  к  омматидию  данной  фа¬
сетки.  В  целом  глаз  насекомого  характеризуется
очень  большим  углом  обзора.  Однако  разные  объекты
изображаются  при  этом  в  разных  омматидиях.  В  ре¬
зультате  формируется  довольно  грубое  мозаичное
изображение.  И  все  же  такое  строение  глаза  имеет
свои  достоинства:  оно  позволяет  особо  остро  чувство¬
вать  перемещающиеся  объекты.  Ведь  перемещающий¬
ся  мимо  глаза  насекомого  объект  будет  последова¬
тельно  восприниматься  разными  омматидиями.  При
этом  в  принципе  возможна  бессознательная  оценка
насекомым  скорости  перемещения  объекта,

БЕСЕДА  ВОСЬМАЯ
 ПОЧЕМУ  В  КРИСТАЛЛАХ
НАБЛЮДАЕТСЯ  ДВОЙНОЕ
ПРЕЛОМЛЕНИЕ  СВЕТА?
 Открытие  Бартолином  двойного  пре¬
ломления  света  в  кристалле  исландского  шпата.  «Из
Исландии,  острова  Северного  моря,  расположенного
на  широте  66°  *  привозят  особого  рода  кристалл,  или
прозрачный  камень,  который  весьма  замечателен  по
своей  форме  и  другим  свойствам,  но  главным  обра¬
зом  своими  странными  преломлениями  света».  Эти
слова  взяты  из  книги  Христиана  Гюйгенса  «Трактат
о  свете»,  изданной  в  Лейдене  в  1690  г.  А  за  двад¬
цать  лет  до  этой  книги,  в  1669  г.,  появилась  работа
датского  ученого  Эразма  Бартолина  под  названием
«Опыты  с  кристаллами  исландского  известкового
шпата,  которые  обнаруживают  удивительное  и  стран¬
ное  преломление».  В  работе  Бартолина  сообщалось
об  открытии  нового  физического  явления  —  двойного
преломления  света  (используется  также  термин  двой¬
ное  лучепреломление).
 Рассматривая  преломление  света  в  кристалле  ис¬
ландского  шпата  (кальцит:  СаС03),  Бартолин  к
большому  удивлению  обнаружил,  что  луч  внутри‘кри¬
сталла  расщепляется  на  два  луча.  Один  из  этих  лу¬
чей  подчинялся  закону  преломления,  тогда  как  дру¬
гой  не  подчинялся.  Первый  луч  стали  называть  обык¬
новенным,  а  второй  —  необыкновенным  (Бартолин
называл  его  «подвижным»).  На  рис.  8.1,  а  показано
явление  двойного  преломления  при  угле  падения  све¬
та  на  кристалл,  равном  а*  Углы  преломления  для
обыкновенного  и  необыкновенного  лучей  обозначены
соответственно  через  (30  и  (Зе  (индекс  «о»  происходит
от  слова  огсИпагу  —  обыкновенный,  а  индекс  «е»  от
слова  ех^гаогсИпагу  —  необыкновенный).  Отношение
51п  а/зт  (Зо  есть  величина  постоянная,  равная  б/з  для
исландского  шпата.  Что  же  касается  отношения
8Ш  а/зт  (Зе,  то  оно,  как  показывает  опыт,  обнаружи¬
ла

вает  удивительное  непостоянство.  Во-первых,  оно  за*
висит  от  угла  падения.  Во-вторых,  при  неизменном
угле  падения  оно  зависит  от  выбора  преломляющей
грани  кристалла.  Недаром  Бартолин  называл  не¬
обыкновенный  луч  «подвижным».
 Бартолин  обнаружил,  что  двойное  преломление
наблюдается  даже  тогда,  когда  падающий  световой
луч  перпендикулярен  к  поверхности  кристалла
 (рис.  8.1,6).  При  этом  обыкновенный  луч  не  прелом¬
ляется,  а  необыкновенный  образует  с  ним  некоторый
угол  у.  Любопытно,  что  по  выходе  из  кристалла  лучи
оказываются  взаимно  параллельными.  Бартолин  об¬
наружил  также,  что  в  кристалле  шпата  есть  направ¬
ление,  вдоль  которого  световой  луч  не  раздваивается.
 Явление  двойного  преломления  казалось  совре¬
менникам  Бартолина  крайне  загадочным  и  непонят¬
ным.  Представлялось  необъяснимым  удивительное
поведение  необыкновенного  луча,  как  бы  бросавшего
вызов  закону  преломления.  И  тем  не  менее  объясне¬
ние  этого  загадочного  явления  было  вскоре  найдено.
Его  нашел  современник  Бартолина  знаменитый  гол¬
ландский  физик  и  математик  Христиан  Гюйгенс.  Он
заинтересовался  открытием  Бартолина  и  провел  са¬
мостоятельные  исследования  двойного  преломления  в
исландском  шпате,  а  также  в  кварце.  Объяснение
этого  явления,  предложенное  Гюйгенсом,  входит  в  со¬
временные  учебники  по  оптике.
 Кристалл  как  оптически  анизотропная  среда.  Пред¬
варительно  напомним  читателю  хорошо  известную
истину:  кристалл  есть  анизотропная  среда.  Слово
«анизотропный»  означает,  что  свойства  кристалла  за**
 136

Рис.  8.2.
 висят  от  выбранного  направления  в  нем.  До  сих  пор
мы  молчаливо  полагали  все  среды  изотропными;  это
было  справедливо,  так  как  рассматривались  стекла,
вода,  воздух  и  не  рассматривались  прозрачные  кри¬
сталлы.  У  разных  кристаллов  анизотропия  свойств
выражена  в  разной  степени.  Существует  большая
группа  кристаллов  (исландский  шпат  —  один  из  мно¬
гочисленных  представителей  этой  группы),  у  которых
есть  одно  интересное  направление,  при  повороте  вок¬
руг  которого  анизотропия  свойств  кристалла  не  про¬
является.  Это  направле¬
ние  называют  оптической
осью  кристалла,  а  рас¬
сматриваемую  группу
кристаллов  —  одноосны¬
ми  кристаллами.  Оптиче¬
ские  свойства  одноосного
кристалла  одинаковы
вдоль  всех  направлений,
образующих  один  и  тот
же  угол  с  оптической
осью.  Эти  направления
 показаны  стрелками  на  рис.  8.2,  а,  где  001  —  оптиче¬
ская  ось,  а  через  0  обозначен  упомянутый  угол.  Оп¬
тические  свойства  кристалла  изменяются  при  измене¬
нии  0;  они  различны  в  направлениях,  показанных  на
рис.  8.2,6.  Понятие  (и  сам  термин)  оптической  оси
ввел  Гюйгенс.  Он  же  ввел  широко  используемый  в  со¬
временной  оптике  термин  «главное  сечение».  Это  есть
плоскость,  проходящая  через  оптическую  ось.  Обычно
рассматривают  главное  сечение,  проведенное  через
оптическую  ось  и  световой  луч.
 Объяснение  двойного  лучепреломления  в  «Тракта¬
те  о  свете»  Гюйгенса;  обыкновенная  и  необыкновенная
световые  волны.  Объяснение  двойного  преломления
света  содержится,  по  сути  дела,  в  следующих  словах,
взятых  из  «Трактата  о  свете»  Христиана  Гюйгенса:
«Так  как  здесь  имелись  два  различных  преломле¬
ния,  я  подумал,  что  существуют  также  и  две  раз¬
личные  категории  распространяющихся  волн  света...
Волны  с  правильным  преломлением  имеют  обык¬
новенную  сферическую  форму.  Что  же  касается  дру¬
гой  категории,  которая  должна  произвести  неправиль¬
ное  преломление,  то  я  хотел  испробовать,  что  будут
 187

давать  эллиптические,  или,  лучше  сказать,  сферои¬
дальные  волны...  Мне  казалось,  что  правильное  рас¬
положение  частиц  в  кристалле  могло  способствовать
образованию  сфероидальных  волн,  для  чего  требова¬
лось  только,  чтобы  движение  света  распространялось
немного  быстрее  в  адном  направлении,  чем  в  дру¬
 гом...»
 Итак,  пусть  в  некоторой  точке  О  кристалла  нахо¬
дится  точечный  источник  света.  По  Гюйгенсу  (и  по
современным  представлениям),  он  будет  порождать
две  различные  световые  волны.  Эти  волны  разли¬
чаются  формой  волновых  поверхностей.  Напомним,
что  волновая  поверхность  —  это  геометрическое  место
точек,  до  которых  дойдет  свет  из
данного  точечного  источника  за
некоторый-  промежуток  времени*
У  одной  волны  эта  поверхность
является  сферой  (обыкновенная
волна),  у  другой  —  эллипсоидом
вращения  вокруг  оптической  оси
кристалла,  проведенной  через
точку  О  (необыкновенная  вол¬
на)  *).  В  главном  сечении  эти
волновые  поверхности  будут  вы¬
глядеть  соответственно  как  ок¬
ружность  и  эллипс  (рис.  8.3).  Для  обыкновенной  вол¬
ны  кристалл  может  рассматриваться  как  изотропная
среда;  эта  волна  распространяется  во  всех  направле¬
ниях  с  одной  и  той  же  скоростью.  Будем  обозначать
скорость  обыкновенной  волны  через  во',  она  опреде¬
ляется  радиусом  окружности  на  рис.  8.3.  Из  рисунка
следует,  что  при  распространении  света  вдоль  опти¬
ческой  оси  00\  необыкновенная  волна  имеет  такую
же  скорость  во,  что  и  обыкновенная  волна,  тогда  как
при  распространении  света  в  направлении,  перпенди¬
кулярном  к  оптической  оси,  скорость  необыкновенной
волны  иная.  Она  измеряется  длиной  отрезка  ОА\  обо¬
значим  ее  через  ве.
 Заметим,  что  в  данном  случае  ве>в0.  Такие  од¬
ноосные  кристаллы  называют  отрицательными  (ис-
 *)  В  качестве  пояснения:  оптическую  ось  нельзя  понимать
как  прямую,  проходящую  через  определенные  точки  в  кристал¬
ле.  Это  есть  лишь  определенное  направление;  поэтому  оптиче¬
ская  ось  может  быть  мысленно  проведена  через  любую  точку.
 138

ландский  шпат  относится  к  отрицательным  одноос¬
ным  кристаллам).  Существуют  также  одноосные  кри¬
сталлы,  для  которых  <  V0;  их  называют  положи¬
тельными.
 Предостережем  читателя  от,  казалось  бы,  естест¬
венного  заключения,  что  отрезок  ОВ  (см.  рис.  8.3)
есть  скорость  необыкновенной  волны  при  распростра¬
нении  света  под  углом  0  к  оптической  оси.  Дело  в
том,  что  за  исключением  случаев,  когда  0  =  0  (180°)
или  ТЭ  =  90°,  понятие  «направление  распространения
света»  теряет  однозначность  и  нуждается  в  дополни¬
тельных  уточнениях.  Кстати  говоря,  это  непосред¬
ственным  образом  связано  с  явлением  двойного  пре-
ломления.  Необходимые  разъяснения  будут  даны  не¬
много  позднее;  тогда  же  будет  показано,  что  при
0  =  0  (180°)  и  90°  двойное  преломление  отсутствует.
 Построения  Гюйгенса;  скорость  световой  волны  и
лучевая  скорость.  Но  вернемся  к  Гюйгенсу.  «Допус¬
тив,  таким  образом,  кроме  сферических  волн  сфе¬
роидальные  волны,  —  пишет  он,  —  я  приступил  к  ис¬
следованию,  могли  ли  бы  они  служить  для  объясне¬
ния  явления  неправильного-  преломления,  в  чем  я  и
достиг,  наконец  желанного  успеха».  Речь  идет  об  ис¬
пользовании  принципа  Гюйгенса  (см.  первую  беседу)
с  учетом  двух  типов  световых  волн.  Предположим,
что  параллельный  световой  пучок  ширины  й  падает
нормально  на  поверхность  кристалла  МЫ  (рис.  8.4).
Полагаем  при  этом,  что  оптическая  ось  кристалла  ОО\
составляет  угол  0  с  направлением  падающего  пучка.
Как  только  плоский  фронт  падающего  пучка  дости¬
гает  поверхности  кристалла,  все  точки  отрезка  АВ
становятся  одновременно  источниками  двух  типов
вторичных  световых  волн  —  сферических  и  эллипти¬
ческих;  волновые  поверхности  эллиптических  волн
соответствующим  образом  ориентированы  относи¬
тельно  преломляющей  грани  кристалла  МЫ.  Пря¬
мая  1  на  рисунке  есть  сечение  огибающей  поверх¬
ностей  сферических  волн  через  некоторый  промежу¬
ток  времени  А/;  эта  огибающая  представляет  собой
плоский  фронт  обыкновенной  волны,  распространяю¬
щейся  от  границы  МЫ  в  глубь  кристалла.  Прямая  4  —
огибающая  поверхностей  эллиптических  волн  через
тот  же  самый  промежуток  времени  после  того  как
Фронт  падающего  пучка  достиг  границы  МЫ;  эта  огн-
 139

бающая  представляет  собой  плоский  фронт  необык*
новенной  волны.  Все  точки  отрезка  А\В\  прямой  1
могут  рассматриваться  в  свою  очередь  как  источники
вторичных  волн,  причем  только  сферических.  Соот*
ветственно  все  точки  отрезка  С\Ь\  прямой  4  яв*
ляются  источниками  вторичных  эллиптических  волй.
Последовательные  положения  фронта  обыкновенной
 волны  показаны  на  рисунке  отрезками  А\В\,  А2В2,
АгВ3  прямых  1,  2,  3,  а  фронта  необыкновенной  вол*
ны  —  отрезками  С\0\,  С21>2,  С303  прямых  4,  5,  6.
 Рассматривая  рисунок,  можно  прийти  к  несколь¬
ким  важным  заключениям.  Во-первых,  мы  видим,  что
световой  пучок  в  кристалле  действительно  расщеп¬
ляется  на  два  пучка  —  обыкновенный  и  необыкновен¬
ный.  Обыкновенный  пучок  распространяется  нормаль¬
но  к  границе  МЫ,  а  необыкновенный  —  под  некото¬
рым  углом.  Направления  этих  пучков  показаны  на
рисунке  векторами  50  и  5е;  векторы  образуют  друг
с  другом  угол  у.  Нетрудно  понять,  что  величина  угла
 НО

у  зависит  от  степени  вытянутости  эллипса  волновой
поверхности  вторичных  волн,  порождающих  необык¬
новенный  ПуЧОК  (иначе  ГОВОРЯ,  ОТ  СООТНОШеНИЯ  Сь/Со)9
а  также  от  ориентации  этого  эллипса  относительно
преломляющей  поверхности  кристалла.
 Мы  видим,  во-вторых,  что  как  у  обыкновенной,
так  и  у  необыкновенной  волн  фронт  все  время  остает¬
ся  параллельным  границе  МЫ  (отрезки  А\В\У  Л2В2,
Л3Вз,  а  также  С\йь  С2Д2,  С3Лз).  Отсюда  следует,  в
частности,  что,  достигнув  выходной  грани  кристалла
(которую  полагаем  параллельной  входной  грани),
каждый  пучок  возбудит  вторичные  волны  одновре¬
менно  по  всей  своей  ширине.  Если  учесть  при  этом,
что  вторичные  волны  возбуждаются  в  воздухе  и  по¬
этому  для  обоих  пучков  являются  сферическими,  го
легко  понять,  почему  по  выходе  из  кристалла  оба
пучка  распространяются  перпендикулярно  к  его  по¬
верхности.
 В-третьих,  мы  убеждаемся,  что  понятие  «направ¬
ление  распространения  света  в  кристалле»  действи¬
тельно  нуждается  в  уточнении.  Когда  говорят  о  ско¬
рости  распространения  света  в  среде,  то  обычно  подра¬
зумевают  скорость  распространения  световой  волны.
Это  есть  скорость  перемещения  волнового  фронта;
вектор  этой  скорости  в  каждой  точке  перпендику¬
лярен  к  поверхности  фронта.  В  случае,  показанном
на  рис.  8.4,  скорости  распространения  обыкновенной
и  необыкновенной  волн  направлены  одинаково  —  пер¬
пендикулярно  к  поверхности  кристалла  МЫ;  вели¬
чины  же  скоростей  различны:  если  первая  измеряется
отрезком  АА\  (это  есть  Vо),  то  вторая  измеряется  от¬
резком  ВР.  Наряду  со  скоростями  обыкновенной  и
необыкновенной  волн  следует  рассматривать  в  дан¬
ном  случае  так  называемые  лучевые  скорости,  харак¬
теризующие  распространение  световой  энергии.  На¬
правления  этих  скоростей  совпадают  с  направле¬
ниями  соответствующих  световых  пучков  (векторы  50
и  5е  на  рисунке).  Лучевая  скорость  необыкновенного
светового  пучка  измеряется  отрезком  ВО\.  Что  же
касается  лучевой  скорости  обыкновенного  пучка,  то
она  совпадает  со  скоростью  V0  обыкновенной  волны.
 Итак,  говоря  о  распространении  света  в  среде,
необходимо  в  общем  случае  различать  скорость  вол-
ны  и  лучевую  скорость.  Первая  связана  с  распростра*
 141

нением  по  кристаллу  волнового  фронта,  т.  е.  поверх¬
ности  постоянной  фазы  (поэтому  ее  называют  также
фазовой  скоростью),  а  вторая  связана  с  распростра¬
нением  по  кристаллу  энергии  светового  поля.  В  оп-
тически  изотропной  среде  эти  скорости  совпадают*).
В  одноосном  кристалле  эти  скорости  совпадают  для
обыкновенного  пучка.  Что  же  касается  необыкновен¬
ного  пучка,  то  они  совпадают  лишь  при  распростра¬
нении  света  вдоль  оптической  оси  либо  перпендику¬
лярно  к  ней.  Теперь  читателю  должны  быть  понятны
предостережения,  сделанные  ранее  в  связи  с  рис.  '8.3.
Отрезок  ОВ  на  этом  рисунке  есть  лучевая  скорость
необыкновенного  светового  пучка,  а  не  скорость  не¬
обыкновенной  волны.
Только  при  0  =  0  (180°)
и  90°  лучевая  скорость
необыкновенного  пучка
совпадает  со  скоростью
необыкновенной  волны.
 Используя  рис.  8.4,  мы
рассмотрели  случай,  ког¬
да  ось  00\  наклонена  к
преломляющей  грани,  а
световой  пучок  падает  на
эту  грань  нормально.
Предположим  теперь,  что
пучок  падает  под  углом
а,  а  ориентация  оптиче¬
ской  оси  относительно  преломляющей  грани  остает¬
ся  прежней.  На  рис.  8.5  показано,  как  в  данном
случае  построить  обыкновенный  и  необыкновен¬
ный  луч^.  Построение,  выполняемое  на  рисунке,
аналогично  построению,  выполнявшемуся  ранее
(в  первой  беседе)  на  рис.  1.7.  Отличие  состоит  лишь
в  том,  что  теперь  в  точке  О  возбуждается,  кроме
сферической,  также  эллиптическая  вторичная  волна.
Волновая  поверхность  эллиптической  волны  соответ¬
ствующим  образом  ориентирована  относительно  пре¬
ломляющей  поверхности  ММ.  На  рисунке  показаны
два  параллельных  луча  (ЕО  и  Р1\1)у  падающих  на
границу  кристалла  МЫ\  ОР  —  плоский  фронт  падаю-
 Рис.  8.5.
 *)  Строго  говоря,  они  всегда  совпадают  по  направлению;  по
величине  же  они  могут  не  совпадать.
 142

щего  светового  пучка.  Положение  центра  N  выби¬
рается  так,  чтобы  выполнялось  соотношение  РАУ  ОН  —
=  с/уо,  где  с  —  скорость  света  в  воздухе.  Из  N  про¬
водим  касательную  N0  к  сферической  волновой  по¬
верхности  и  касательную  N0  к  эллиптической  поверх¬
ности.  Прямая  N0  есть  фронт  обыкновенной  волны,
а  N0  —  необыкновенной.  Луч,  проведенный  из  О  че¬
рез  точку  касания  С,  есть  обыкновенный  луч,  а  луч,
проведенный  из  О  через  точку  касания  Д—  необык¬
новенный.
 Сравнивая  рис.  8.4  и  8.5  с  рис.  8.1,  убеждаемся,
что  идея  Гюйгенса  о  существовании  в  кристалле  двух
типов  волн  (сферических  и  эллиптических)  в  сочета¬
нии  с  разработанным  им  принципом  построения  вол¬
новых  фронтов  как  огибающих  волновых  поверхно¬
стей  вторичных  волн  действительно  объясняет  откры¬
тое  Бартолином  явление  двойного  преломления.
 На  рис.  8.6  рассматриваются  два  важных  частных
случая.  В  обоих  случаях  свет  падает  на  преломляю¬
щую  поверхность  кристалла  нормально.  Оптическая
ось  кристалла  в  одном  случае  перпендикулярна  к  по¬
верхности  кристалла  МЫ  (рис.  8.6,а),  а  в  другом
 Рис.  8.6.
 случае  параллельна  ей  (рис.  8.6,  б).  Когда  оптическая
ось  перпендикулярна  к  поверхности  МЫ,  свет  распро¬
страняется  вдоль  оси;  обе  волны,  обыкновенная  и
необыкновенная,  имеют  одну  и  ту  же  скорость  ц0.
Когда  оптическая  ось  параллельна  поверхности  МЫ,
свет  распространяется  перпендикулярно  к  оси.  Легко
 143

видеть,  что  и  в  этом  случае  световой  пучок  в  кри¬
сталле  не  раздваивается,  однако  скорости  обыкно¬
венной  и  необыкновенной  волн  оказываются  разными
(Уо  и  уе  соответственно).
 При  наклонном  падении  светового  пучка  на  пре-,
ломляющую  грань  кристалла  двойное  преломление
наблюдается  даже  в  случаях,  когда  оптическая  ось
перпендикулярна  к  этой  грани  либо  параллельна  ей
(рис.  8.7).
 Рис.  8.7.
 Обратим  внимание  на  то,  что  на  всех  трех  рисун-
ках  (рис.  8.5,  8.7,  а,  8.7,6)  угол  преломления  обык¬
новенного  луча  р0  один  и  тот  же,  если  во  всех  трех
случаях  одинаков  угол  падения  а.  Это  совершенно
естественно,  поскольку  ориентация  оптической  оси  не
влияет  на  обыкновенный  луч  (ведь  для  обыкновенной
волны  кристалл  является  оптически  изотропной  сре¬
дой).  Иными  словами,  в  отличие  от  необыкновенного
луча,  обыкновенный  луч  подчиняется  закону  прелом¬
ления:  для  него  отношение  синуса  угла  падения  к  си¬
нусу  угла  преломления  постоянно.
 Опыты  Гюйгенса  с  двумя  кристаллами  (на  пороге
открытия  поляризации  света).  Несмотря  на  очевид¬
ный  успех  в  объяснении  явления  двойного  преломле¬
ния,  Гюйгенс  счел  необходимым  выполнить  дополни¬
тельные  эксперименты.  В  результате  он  оказался  у
порога  еще  одного  открытия.  «Я  скажу  еще  об  одном
удивительном  явлении,  которое  обнаружил  после  того,
как  написал  все,  что  стоит  выше,  —  пишет  Гюйгенс
в  «Трактате  о  свете».  —  Хотя  я  еще  до  сих  пор  не  на¬
шел  его  причины,  все  же  я  хочу  указать  на  него,
 144

чтобы  предоставить  возможность  другим  отыскать  эту
причину.  По-видимому,  нужно  принять  еще  другие
предположения  сверх  сделанных  мною.»
 Дело  в  том,  что  у  Гюйгенса  возник  очень  интерес¬
ный  вопрос.  Что  будет,  если  два  световых  пучка,  по¬
лучившихся  в  результате  двойного  преломления  з
кристалле  исландского  шпата,  пропустить  через  вто¬
рой  такой  же  кристалл?  Сначала  Гюйгенс  рассуждал
примерно  так.  При  падении  светового  пучка  на  кри¬
сталл  в  последнем  возбуждаются  вторичные  сфери¬
ческие  и  эллиптические  волны,  обусловливающие  со¬
ответственно  правильное  и  неправильное  преломле¬
ния.  В  результате  из  кристалла  выйдут,  вместо  од¬
ного,  два  световых  пучка.  Падая  на  второй  кристалл,
каждый  из  этих  пучков  также  должен  возбуждать
вторичные  сферические  и  эллиптические  волны.  По¬
этому  из  второго  кристалла  должны  выходить  уже
 четыре  световых  пучка.  Это  означает,  что  должна
наблюдаться  картина,  показанная  на  рис.  8.8,  а  (для
простоты  рассматриваем  нормальное  падение  све!а
на  кристалл;  при  этом  сразу  видно,  какой  из  лучей
в  кристалле  обыкновенный,  а  какой  необыкновенный).
Поставленный  Гюйгенсом  эксперимент  с  двумя  кри¬
сталлами  исландского  шпата  показал,  что  картина,
изображенная  на  рис.  8.8,  а,  действительно  наблю¬
дается.  Но  не  всегда!
 6  Л.  В.  Тарасов,  А.  Н.  Тарасова
 145

Гюйгенс  обнаружил,  что  если  главные  сечения
обоих  кристаллов  параллельны  друг  другу,  то  наблю¬
дается  картина,  показанная  на  рис.  8.8,  о.  Это  было
удивительно.  «Очень  странно,  —  писал  Гюйгенс,—
что  лучи  СЕ  и  йО,  падая  из  воздуха  на  нижний  кри¬
сталл,  не  разделяются  подобно  первому  лучу  АВ.
Можно  было  бы  сказать,  что  луч  ОС,  пройдя  через
верхний  кристалл,  потерял  свойство,  необходимое,
чтобы  привести  в  движение  материю,  которая  служит
для  неправильного  преломления,  а  луч  СЕ  потерял
свойство,  необходимое,  чтобы  привести  в  движение
материю,  которая  служит  для  правильного  прелом¬
ления.  Но  существует  еще  одно  обстоятельство,  кото¬
рое  опровергает  это  рассуждение.»
 Новое  обстоятельство  было  связано  с  результа¬
тами  эксперимента,  когда  главные  сечения  кристал¬
лов  взаимно  перпендикулярны.  Наблюдаемая  при
этом  картина  преломления  показана  на  рис.  8.8,  в.
«Если  расположить  оба  кристалла  так,  чтобы  пло¬
скости,  образующие  главные  сечения,  пересекались
под  прямым  углом,  —  писал  Гюйгенс,  —  то  луч,  полу¬
ченный  от  правильного  преломления,  подвергнется
уже  только  одному  неправильному  преломлению  в
нижнем  кристалле  и,  наоборот,  луч,  полученный  от
неправильного  преломления,  подвергнется  уже  толь¬
ко  одному  правильному  преломлению».  Поворачивая
нижний  кристалл  относительно  верхнего,  Гюйгенс
обнаружил,  что  и  в  тех  случаях,  когда  оба  вышедших
из  первого  кристалла  луча  раздваиваются  во  втором,
далеко  не  все  ясно.  Оказалось,  что  в  зависимости  от
угла  поворота  нижнего  кристалла  изменяется  отно¬
шение  интенсивностей  обыкновенного  и  необыкновен¬
ного  лучей,  возникающих  в  этом  кристалле.
 Обдумывая  результаты  эксперимента,  Гюйгенс
приходит  к  очень  важному  выводу.  Если  картина  пре¬
ломления  зависит  от  взаимной  ориентации  кристал¬
лов,  то  «по-видимому,  необходимо  заключить,  что
световые  волны  оттого,  что  они  прошли  первый  кри¬
сталл,  приобрели  известную  форму  или  расположе¬
ние,  благодаря  которому,  встречая  ткань  второго  кри¬
сталла  при  одном  положении,  они  могут  привести
в  движение  обе  различные  материи,  которые  служат
обоим  видам  преломления;  встречая  же  этот  второй
кристалл  при  другом  его  положении,  они  могут  при-
 146

рести  в  движение  только  одну  из  этих  материй».  Се¬
годня  мы  отбрасываем,  как  не  имеющие  научной
Значимости,  рассуждения  Гюйгенса  о  неких  «приво¬
димых  в  движение  различных  материях»,  но  выде¬
ляем  пророческие  слова  о  том,  что  в  результате  про¬
хождения  через  кристалл  световые  волны  «приобрели
известную  форму  или  расположение».  В  этих  словах
предвосхищение  поляризации  света.
 Итак,  Христиан  Гюйгенс  стоял  у  порога  открытия
поляризации  света.  Правда,  порога  этого  он  так  и  не
переступил.  Это  объясняется  тем,  что  Гюйгенс  был
приверженцем  волновой  теории  света  и  по  аналогии
Со  звуковыми  волнами  полагал,  что  световые  волны
также  являются  продольными.  Состояния  же  поля¬
ризации  присущи,  как  известно,  поперечным  волнам.
Поэтому-то  Гюйгенс,  отличавшийся  исключительной
научной  добросовестностью,  и  вынужден  был  закон¬
чить  цитированную  выше  фразу  словами:  «Но  для
того,  чтобы  объяснить,  каким  образом  это  происхо¬
дит,  я  до  сих  пор  не  нашел  ничего  меня  удовлетво*
ряющего».
 Объяснение  Ньютоном  результатов  опытов  Гюй¬
генса.  Упомянутый  выше  порог  фактически  переступил
Йсаак  Ньютон.  Рассматривая  опыты  Гюйгенса  по
двойному  преломлению  в  двух  кристаллах,  Ньютон
Пришел  к  решающему  выводу:  если  обычный  свето¬
вой  луч  обладает  осевой  симметрией,  то  лучи,  про¬
шедшие  через  кристалл,  этой  симметрией  уже  не
обладают,  В  ньютоновой  «Оптике»  говорится,  что
«луч  можно  рассматривать  как  имеющий  четыре  сто¬
роны,  или  четверти»  и  что  при  повороте  луча  вокруг
собственной  оси  эти  стороны  меняют  свое  положение
относительно  кристалла.  Ньютон  прямо  указал:  «Один
и  тот  же  луч  преломляется  иногда  обыкновенно,
иногда  необыкновенно  —  сообразно  положению  его
сторон  относительно  кристалла».  Как  понимать  от¬
сутствие  у  светового  луча  осевой  симметрии?  На  этот
вопрос  Ньютон  отвечал,  исходя  не  из  волновой,  а  из
корпускулярной  концепции.  Он  полагал,  что  «раз¬
личными  сторонами»  могут  обладать  именно  свето¬
вые  корпускулы.
 Исследования  Малюса  и  Брюстера.  Выдвинутая
Ньютоном  идея  поляризации  света  оставалась  без
внимания  .около  ста  лет.  В  1808  г.  Парижская  Акаде-
 6*
 147

мия  наук  объявила  конкурс  на  лучшую  математичё-
скую  теорию  двойного  преломления.  Премию  полу¬
чила  работа  французского  инженера  Этьена  Малюса
(1775—1812)  под  названием  «Теория  двойного  лу¬
чепреломления  света  в  кристаллических  веще¬
ствах».
 Малюс  заинтересовался  двойным  преломлением
света  после  того  как,  рассматривая  однажды  через
кристалл  исландского  шпата  отражение  Солнца  в  ок¬
нах  Люксембургского  дворца,  он  заметил,  что  вме¬
сто  двух  изображений  Солнца  видно  только  одно.
Это  напоминало  результаты  известных  опытов  Гюй¬
генса  с  двумя  кристаллами  шпата.  Малюс  поставил
специальный  эксперимент  и  обнаружил,  что  солнеч¬
ный  свет,  отраженный  от  поверхности  воды  под  уг¬
лом  53°,  обладает  таким  же  свойством,  что  и  свег,
прошедший  сквозь  кристалл  исландского  шпата;  при
этом  поверхность  воды  оказывалась  аналогичной  пло¬
скости  главного  сечения  кристалла.  Для  объяснения
своего  открытия  и  явления  двойного  преломления  в
кристалле  Малюс  воспользовался  корпускулярной
концепцией  Ньютона.  Он  полагал,  что  в  солнечном
свете  световые  корпускулы  ориентированы  беспоря¬
дочно,  тогда  как  при  прохождении  через  кристалл
или  при  соответствующем  отражении  они  определен¬
ным  образом  ориентируются.  Световой  луч,  корпу¬
скулы  которого  обладают  определенной  ориентацией,
Малюс  назвал  поляризованным.  С  этого  времени  тер¬
мин  «поляризация  света»  прочно  вошел  в  оптику.
 Исследования  Малюса  продолжил  английский  уче¬
ный  Дэвид  Брюстер  (1781—1868).  Он  установил  закон,
который  называется  теперь  законом  Брюстера:  если
угол  падения  луча  таков,  что  отраженный  и  прелом¬
ленный  лучи  оказываются  взаимно  перпендикуляр¬
ными,  то  в  этом  случае  отраженный  луч  полностью
поляризован,  а  преломленный  луч  имеет  максималь¬
ную  поляризацию,  причем  поляризации  указанных
лучей  противоположны.  Такой  угол  падения  луча
принято  называть  углом  Брюстера.
 Поляризация  света.  Сегодня  поляризация  света
находит  объяснение  как  в  корпускулярной  (кванто¬
вой)  теории,  так  и  в  волновой  теории.  Известно,  что
электромагнитые  волны  и,  в  частности,  световые
волны  являются  волнами  поперечными.  Поэтому
 148

представление  о  поляризации  этих  волн  оказывается
совершенно  естественным.
 Напомним,  что  световые  волны—это  электромаг¬
нитные  волны,  длины  которых  попадают  в  оптиче¬
ский  диапазон  значений.  В  электромагнитной  волне
совершают  колебания  вектор  электрической  напря¬
женности  Е  (электрический  вектор)  и  вектор  магнит¬
ной  индукции  В  (магнитный  вектор).  Они  взаимно
перпендикулярны  и  оба  перпендикулярны  к  направ¬
лению  лучевой  скорости.  В  современной  оптике  поля¬
ризацию  света  связывают  с  направлением  электри¬
ческого  вектора  Е.  Если  колебания  этого  вектора  со¬
вершаются  в  определенной  плоскости,  то  говорят  о
плоскополяризованном  свете;  указанную  плоскость
 называют  плоскостью  поляризации.  На  рис.  8.9  пред¬
ставлены  два  случая,  соответствующие  такой  поля¬
ризации;  показаны  плоскости  поляризации  для  рас¬
сматриваемых  случаев.  Эти  плоскости  взаимно  пер¬
пендикулярны.  Кроме  поляризации  в  плоскости  су¬
ществуют  также  более  сложные  виды  поляризации
света.  Здесь  нет  необходимости  останавливаться  на
них;  отметим  лишь,  что  поляризация  всегда  предпо¬
лагает  какую-то  упорядоченность  направлений  век¬
тора  Е  (и,  соответственно,  вектора  В).  Если  упоря¬
доченность  отсутствует,  то  говорят  о  неполяризован-
ном  свете.
 С  учетом  поляризации  света  картина  двойного
преломления  в  кристалле  приобретает  законченность.
Неполяризованный  световой  пучок,  попадая  в  кри¬
сталл,  превращается  в  два  плоскополяризованных
пучка—обыкновенный  и  необыкновенный.  Обыкно¬
венный  пучок  поляризован  перпендикулярно  к  пло¬
скости  главного  сечения  кристалла,  тогда  как  необык¬
новенный  пучок  поляризован  в  плоскости  главного
 14Э

сечения.  Такими  эти  лучи  и  покидают  кристалл.  Та¬
ким  образом,  из  кристалла  выходят  два  плоскополя-
ризованных  световых  пучка,  плоскости  поляризации
которых  взаимно  перпендикулярны.  Используя  выра¬
жение  Гюйгенса,  можно  сказать,  что,  пройдя  через
кристалл,  эти  пучки  действительно  «приобрели  из¬
вестную  форму  или  расположение».  Применяя  фра¬
зеологию  Ньютона,  мы  ска¬
жем,  что  эти  пучки  характери¬
зуются  разным  «положением
сторон»  относительно  главного
сечения  кристалла.  Сказанное
поясняет  рис.  8.10,  где  00\  —
оптическая  ось  кристалла,  5  —
плоскость  главного  сечения,
АВ  —  падающий  световой  пу¬
чок,  ВО  —  обыкновенный  пу¬
чок,  ВС  —  необыкновенный  пу¬
чок,  О  О  и  СЕ  —  плоскополя-
ризованные  пучки,  выходящие
из  кристалла.  Направление  по¬
ляризации  пучков  показано
при  помощи  соответствующим
образом  ориентированных  ко¬
ротких  стрелок.
 Теперь  очень  легко  объяснить  результаты  опытов
Гюйгенса  с  двумя  кристаллами.  В  случае,  показан¬
ном  на  рис.  8.8,6,  главное  сечение  второго  кристалла
параллельно  главному  сечению  первого.  Поэтому  луч,
претерпевший  обыкновенное  преломление  в  первом
кристалле,  попадая  во  второй  кристалл,  оказывается
по-прежнему  поляризованным  перпендикулярно  к
плоскости  главного  сечения.  Ясно,  что  этот  луч  будет
во  втором  кристалле  обыкновенным  лучом.  То  же
можно  сказать  и  о  необыкновенном  луче.  Он  поляри¬
зован  в  плоскости  главного  сечения  первого  кристал¬
ла  и  таким  же  является  по  отношению  к  плоскости
главного  сечения  второго  кристалла.
 В  случае,  показанном  на  рис.  8.8,  в,  главное  сече¬
ние  второго  кристалла  перпендикулярно  к  главному
сечению  первого.  Поэтому  луч,  поляризованный  пер¬
пендикулярно  к  плоскости  главного  сечения  первого
кристалла,  оказывается  во  втором  кристалле  поляри¬
зованным  в  плоскости  главного  сечения,  и  наоборот.
 160

Это  означает,  что  луч,  являющийся  обыкновенным
в  первом  кристалле,  оказывается  необыкновенным,
попадая  во  второй  кристалл,  тогда  как  необыкновен~
ный  луч  из  первого  кристалла  становится  во  втором
обыкновенным  лучом.
 Рассмотрим  общий  случай,  когда  плоскости  главных  сечений
кристаллов  составляют  друг  с  другом  некоторый  угол  ср.  Будем
смотреть  вдоль  падающего  светового  пучка;  при  этом  плоскости
главных  сечений  будут  представляться  нам  в  виде  прямых.  На
 рис.  8.11  главное  сечение  первого  кристалла  изображается  пря-
мой  АВ,  а  второго  кристалла  —  прямой  СИ.  Электрические  век¬
торы  Е0\  и  Ее  1  относятся  соответственно  к  обыкновенному  и  не¬
обыкновенному  лучам,  выходящим  из  первого  кристалла.  Обра¬
тим  внимание,  что  вектор  Е0{  перпендикулярен  к  прямой  АЗ,
тогда  как  вектор  Еь\  параллелен  ей.  Попадая  во  второй  кри¬
сталл,  каждый  из  этих  лучей,  вообще  говоря,  снова  расщеп¬
ляется  на  обыкновенный  и  необыкновенный  лучи.  Чтобы  найти
электрические  векторы  новых  лучей,  надо  разложить  векторы  Е0[
и  Ее  1  на  направление  прямой  Сй  и  перпендикулярное  к  ней  на¬
правление  (см.  рисунок).  Обозначим  через  Е02  и  Ее2  электриче¬
ские  векторы  обыкновенного  и  необыкновенного  лучей,  на  ко¬
торые  расщепляется  во  втором  кристалле  луч  с  ^оь  а  *через
Ео2  и  Ее2  —  такие  же  векторы,  но  для  луча  с  Ееи  Как  видно  из
рисунка,
 Ео2  =  Е01  соз  ф, 	Ее2  =  Е01  зш  ф;  ^
 ^о2=-Е'е18‘п<Р>  Ее2  = 	с03  Ф-  ) 	^
 В  зависимости  от  величины  угла  ф  будет  изменяться  соотноше¬
ние  между  электрическими  векторами  лучей,  выходящих  из  вто¬
рого  кристалла;  следовательно,  будет  изменяться  и  соотношение
между  интенсивностями  этих  лучей.  Тем  самым  получает  объ¬
яснение  наблюдавшееся  Гюйгенсом  изменение  интенсивности  лу¬
ней  при  поворотах  одного  кристалла  относительно  другого.  Из
(8.1)  видно,  что  при  ф->-0  и  при  ф->90°  электрические  векторы
(а  следовательно,  и  интенсивности)  изменяются  так,  что  вместо
четырех  лучей  на  выходе  второго  кристалла  остаются  только  два.
 151

При  ср  =  0  соотношения  (8.1)  принимают  вид
 Е02  —  ^01,  Е&2  —  О’»  Е02  =  0,  Ее  2  =  Ее  1, 	(8.2)
 а  при  ф  =  90°  преобразуются  к  виду
 Яо2  =  0,  Ее2=Ео{;  Е'о2  =  Е^  Е[  2-0. 	(8.3)
 Эти  два  случая  подробно  разбирались  выше.
 Дихроичные  пластинки  и  поляризационные  призмы.
 Двойное  преломление  света  в  кристаллах  широко  ис¬
пользуется  на  практике  для  получения  поляризован¬
ных  световых  пучков.  Поляризаторы  света  разби¬
ваются  на  несколько  типов.  Остановимся  только  на
двух  —  дихроичных  пластинках  (поляроидах)  и  поля¬
ризационных  призмах.
 Дихроичная  пластинка  изготовляется  из  двояко-
преломляющего  кристаллического  образца,  в  котором
один  из  лучей,  например  обыкновенный,  поглощает¬
ся  значительно  сильнее,  чем  другой.  Зависимость  по¬
глощения  света  от  его  поляризации  называют  дихро¬
измом;  отсюда  название  такой  пластинки.  Примером
дихроичной  пластинки  может  служить  пластинка  из
турмалина.  При  толщине  пластинки,  равной  1  мм,
обыкновенный  луч  полностью  поглощается.  Посылая
на  пластинку  неполяризованный  пучок  света,  мы  по¬
лучаем  на  выходе  пластинки  плоскополяризованный
пучок;  его  плоскость  поляризации  совпадает  с  глав¬
ным  сечением'  пластинки.
 Обыкновенный  луч
Ркс.  8.12.
 Необыкновенный
луч
 В  качестве  примера  поляризационной  призмы  рас¬
смотрим  призму  Николя.  Эту  призму  предложил  в
1820  г.  английский  физик  Уильям  Николь.  Она  выре¬
зается  из  кристалла  исландского  шпата  так,  как  по¬
казано  на  рис.  8.12  (001  —  оптическая  ось  кристал¬
ла).  По  линии  АА\  кристалл  разрезается  и  затем
два  получившихся  куска  склеиваются  по  месту  раз¬
реза  канадским  бальзамом.  Геометрия  призмы  и
склеивающее  вещество  подобраны  здесь  так,  чтобы
 162

необыкновенный  луч  проходил  сквозь  призму,  а  обык¬
новенный  претерпевал  полное  внутреннее  отражение
на  границе  кристалла  и  канадского  бальзама.
 Существует  довольно  много  различных  типов  по¬
ляризационных  призм.  В  качестве  еще  одного  при¬
мера  приведем  призму  Глана  —  Фуко  (рис.  8.13).Она
представляет  собой  две  призмы  из  исландского  шпа¬
та,  отделенные  друг  от  друга  воздушным  зазором.
 Оптические,  оси  обеих  призм  перпендикулярны  к  па¬
дающему  лучу  и  к  плоскости  рисунка;  <р  =  38°30'.
Необыкновенный  луч  проходит  через  призму,  тогда
как  обыкновенный  претерпевает  отражение  на  гра¬
нице  между  кристаллом  и  воздушным  промежутком.
 Поворот  плоскости  поляризации  света  в  полувол¬
новой  пластинке.  Используя  двойное  преломление,
можно  не  только  получать  плоскополяризованный
свет,  но  и  управлять  поляризацией  света.  Рассмотрим
наиболее  простой  пример  управления  поляризацией  —
поворот  плоскости  поляризации  плоскополяризован-
ного  светового  пучка  на  некоторый  угол  а.
 Пусть  исходный  световой  пучок  падает  нормально
на  кристаллическую  пластинку,  оптическая  ось  кото¬
рой  перпендикулярна  к  пучку.  На  рис.  8.14  показан
разрез  такой  пластинки  плоскостью  главного  сече¬
ния;  001  —  оптическая  ось,  АВ  —  падающий  свето¬
вой  пучок.  Пластинка  должна  быть  ориентирована
так,  чтобы  оптическая  ось  00\  составляла  с  электри¬
ческим  вектором  Е\  падающего  пучка  угол  а/2.  Раз¬
ложим  вектор  Е1  на  составляющие  Е0\  и  Ееь  соответ¬
ствующие  обыкновенному  и  необыкновенному  лучам.
В  рассматриваемом  случае  эти  лучи  совпадают,  но
скорости  обыкновенной  и  необыкновенной  волн  раз¬
личны:  Со  —  для  обыкновенной,  се  —  для  необык¬
новенной  (в  связи  с  этим  напомним  читателю
 153

рис.  8.6,  б).  Соответственно  будут  различными  и  дли¬
ны  волн  для  обыкновенного  и  необыкновенного  лучей.
Длина  волны  X  есть  расстояние,  на  которое  смещает-
ся  фронт  волны  за  время,  равное  ее  периоду  Т  =
*=  1  /V  (у  —  частота  излучения).  Таким  образом,  для
 обыкновенной  и  необыкновенной  волн  внутри  пла¬
стинки  можем  записать
 Далее  предположим,  что  толщина  Ь  пластинки  по¬
добрана  такой,  чтобы  укладывающееся  на  ней  число
обыкновенных  длин  волн  Ь/Х0  было  больше  уклады¬
вающегося  на  ней  числа  необыкновенных  длин  волн
Ь/Хе  на  1/2-
 Как  видно  из  рис.  8.14,  вэтом  случае  взаимная  ориен¬
тация  векторов  Еог  и  Ее2  на  выходе  пластинки  будет
такой,  что  вектор  Е2  =  Е02  +  Е&  окажется  повёрну¬
тым  относительно  оптической  оси  на  тот  же  угол
ос/2,  но  в  другую  сторону,  нежели  вектор  Еь  В  итоге
вектор  Е2  оказывается  повернутым  относительно  век¬
тора  Е1  на  требуемый  угол  а.
 Рассматриваемая  пластинка  называется  полувол¬
новой,  поскольку  в  ней  происходит  смещение  обык-
 0
 Рис.  8.14.
 (8.4)
 134

новенной  и  необыкновенной  волн  относительно  друг
друга  на  половину  длины  волны;  указанные  волны
смещаются  относительно  друг  друга  по  фазе  на  вели¬
чину,  равную  я.  Подставляя  (8.4)  в  (8.5),  получаем
следующую  формулу  для  толщины  Ь  полуволновой
пластинки:
 Пусть  V—  4,5-  10й  Гц  (красный  луч),  Для  ис¬
ландского  шпата  при  такой  частоте  имеем  у0  =  1,81»'
»108  м/с,  пе  =  2,02-108  м/с.  Подставляя  эти  числа
в  (8.6),  находим  Ь  =  2  мкм.
 Полученный  результат  соответствует  минимальной
толщине  полуволновой  пластинки  из  исландского
шпата.  Толщина  реальной  полуволновой  пластинки
может  быть  в  2N-^^  \  раз  больше  Ь,  где  N  —  целое
число.
 Рассмотрим  полуволновую  пластинку  из  кварца,
В  отличие  от  исландского  шпата,  кварц  относится  не
к  отрицательным,  а  к  положительным  одноосным  кри*
сталлам.  У  него  уе  <  Уо,  поэтому  формулу  (8.6)  надо
заменить  формулой
 Для  кварца  при  у  =  4,5*1014  Гц  имеем  у0  =  1,945«
•  108  м/с,  уе  =  1,934-108  м/с.  Подставляя  эти  числа
в  (8.7),  находим  Ь  =  37  мкм.
 (8.6)

БЕСЕДА  ДЕВЯТАЯ
 ЧТО  ТАКОЕ  ВОЛОКОННАЯ  ОПТИКА?
 Данная  беседа  посвящена  одному  из  но¬
вых  направлений  оптики,  сформировавшемуся  во  вто¬
рой  половине  50-х  годов  нашего  столетия.  Это  на¬
правление  получило  название  «волоконная  оптика».
Его  интенсивное  развитие  в  наши  дни  в  значитель¬
ной  мере  связано  с  развитием  оптических  линий  свя¬
зи,  оптико-электронных  систем  обработки  информа¬
ции,  медицинской  аппаратуры  и  т.  д.
 Мы  привыкли  к  тому,  что  свет  распространяется
прямолинейно.  Правда,  мы  знаем,  что  в  среде  с  плав¬
но  изменяющимся  показателем  преломления,  напри¬
мер,  в  земной  атмосфере,  световой  луч  искривляется
(см.  вторую  беседу);  тем  не  менее  образ  светового
луча  для  нас  —  это  прямая  линия  или,  в  более  общем
случае,  ломаная  линия,  состоящая  из  отрезков  пря¬
мых.  А  можно  ли  намотать  световой  луч  на  руку,  как
наматывают,  скажем,  шнур  или  бечевку?  Такой  во¬
прос  может  показаться
странным.  А  между  тем  это
действительно  можно  сде¬
лать,  если  «запереть»  свето¬
вое  излучение  в  прозрачном
гибком  оптическом  во¬
локне.
 Светящаяся  водяная
струя.  Представление  о  рас¬
пространении  света  по  изо¬
гнутому  волокну  можно  по¬
лучить,  если  проделать  следующий  опыт.  Схема  этого
опыта  показана  на  рис.  9.1.  В  нижней  части  боковой
стенки  сосуда,  наполненного  водой,  есть  отверстие;
через  которое  непрерывной  струей  вытекает  вода.
Против  отверстия  помещен  источник  света;  световые
лучи  фокусируются  как  раз  на  отверстие.  Свет  попа<
 156

дает  внутрь  водяной  струй  и  как  бы  бежит  по  ней.
Создается  впечатление,  будто  вода  увлекает  за  собой
свет;  водяная  струя  светится  изнутри.
 Все  мы  много  раз  любовались  в  вечернее  время
ярким  зрелищем  подсвечиваемых  снизу  фонтанов.  При
соответствующим  образом  устроенной  подсветке  во¬
дяные  струи  такого  фонтана  светятся  изнутри  —  как  и
в  опыте,  описанном  выше.
 Светящаяся  струя  воды  —  это  прообраз  оптиче¬
ского  волокна.  В  обоих  случаях  мы  имеем  дело  с  яв¬
лением  полного  внутреннего  отражения  света.  Имен¬
но  это  явление  и  «заставляет»  свет  бежать  по  во¬
локну,  покорно  следуя  всем  его  изгибам.
 Световые  лучи  в  прямом  и  изогнутом  цилиндриче¬
ских  волокнах.  Рассмотрим  несколько  несложных
задач,  которые  дадут  представление  о  том,  как  рас¬
пространяется  свет  по  оптическому  волокну.  При  этом
для  простоты  будем  рассматривать  лишь  те  лучи,  ко¬
торые  лежат  в  плоскости,  проходящей  через  ось  во¬
локна;  такие  лучи  называют  меридиональными.  Ход
светового  луча  в  волокне  зависит  от  величины  угла
падения  луча  на  торец  волокна.  Лучи,  падающие  на
торец  под.  слишком  большим  углом,  не  удержатся
внутри  волокна;  они  выйдут  через  боковую  поверх¬
ность.
 Решим  следующую  задачу.  Найти  максимально  допустимый
угол  а  падения  луча  на  торец  прямого  волокна,  имеющего  по¬
казатель  преломления  п.
 Рис.  9.2.
 На  рис.  9.2  показан  вид  волокна  с  торца,  а  также  ход  луча
внутри  волокна.  Чтобы  свет  удерживался  в  волокне,  угол  0  не
должен  превышать  предельного  угла  полного  внутреннего  отра¬
жения.  Так  как  в  задаче  рассматривается  предельная  ситуация,;
то  приравняем  угол  0  упомянутому  углу,  т.  е.  положим  (см*
первую  беседу)
 8Ш  0  =
 _1_
 п
 (9.1)
 157

:  Я.
 Закон  преломления  в  точке  А  запишем  в  виде  з1п  а/з1п  р  =  я,
или  (поскольку  р  =  90°  —  0)
 (9.2)
 соз  0
 Используя  (9.1),  перепишем  (9.2)  так!
 зш  а
 У1  —  (1/п)2
 Отсюда  следует,  что
 а  =*  агсз!п  л/п2  ~~Т. 	(9.3)
 Если,  например,  я  *  1,3,  то  а  =  56°.
 Прямое  волокно  особого  интереса,  очевидно,  не  представ¬
ляет.  Более  интересно  волокно  изогнутое.  Естественно,  возникает
вопрос,  в  какой  мере  световод  критичен  к  изгибам.  Решим  в
связи  с  этим  следующую  задачу.  Даны  диаметр  й  и  показатель
 преломления  п  волокна,  изогнутого
в  виде  части  окружности.  Световой
луч  входит  в  торец  волокна  под  уг¬
лом  а.  Найти  минимально  допусти¬
мый  (с  точки  зрения  условия  полного
внутреннего  отражения)  радиус  изги¬
ба  волокна  %.
 Применим  теорему  синусов  к  тре¬
угольнику  ОАВ  (рис.  9.3).  Получим
следующую  пропорцию:
 -  0В 	 (94)
 5Ш  е  $1п  (90°  +  Р)  •  к  ’
 Учитывая,  что  АО  =  ОВ  == 	+
 +  Я/2,  перепишем'  (9.4)  в  виде
 	Я  +  Р/2 	/95ч
 б!п  0  -  соз  р  • 	уУ-0)
 Далее  учтем,  что  соз  р  =  дЛ  —  з1п2  Р  = 	—  зт2  а/я2  и  что
 угол  0  н^До  приравнять  предельному  углу  полного  внутреннего
отражения!  з1п  0  =  1/я.  В  результате  соотношение  (9.6)  прини¬
мает  вид
 п,  -  Х  +  РУ  _
 V1  —  зЙ12  а  /я2
 Таким  образом,
 2  (д/я2  —  з1п2а  —  1)
 (9.6)
 Предположим,  что  а  ==;  0  (световой  луч  входит  в  волокно
строго  по  его  оси).  В  этом  случае  (9.6)  преобразуется  к  виду
 ° 	(9.7)
 При  я
153
 2  (п  —  1)
 1,5  получаем  отсюда  В.  =

Итак,  в  рассматриваемом  случае  допустимый  ми¬
нимальный  радиус  изгиба  волокна  может  равняться
диаметру  самого  волокна!  Конечно,  такие  сильные  из¬
гибы  на  практике  не  реализуются;  ведь  ко  всему  про¬
чему  следует  принимать  во  внимание  упругость  и
прочность  реального  волокна.  Однако  ясно,  что  опти¬
ческое  волокно  как  световод  некритично  к  изгибам,
а  это,  конечно,  очень  важно.
 Лучи  в  коническом  волокне.  До  сих  пор  мы  рас¬
сматривали  волокно,  диаметр  которого  постоянен  по
 всей  длине.  А  что  будет,  если  взять  волокно  не  ци¬
линдрической,  а  конической  формы  —  с  постепенно
уменьшающимся  диаметром?  Нельзя  ли  применить
такое  волокно  для  увеличения  плотности  световой
энергии,  т.  е.  для  концентрации  света?
 Такие  волокна  существуют.  Они  действительно  мо¬
гут  использоваться  для  собирания  света;  однако  сколь
 159

угодно  большой  концентрации  световой  энергии  полу¬
чить  при  этом  принципиально  нельзя.  Дело  в  том,  что
по  мере  распространения  света  по  такому  волокну
угол  0,  под  которым  луч  падает  на  боковую  поверх¬
ность  волокна,  увеличивается  от  отражения  к  отра¬
жению—  до  тех  пор,  пока  не  нарушится  условие  пол¬
ного  внутреннего  отражения,  после  чего  луч  покинет
волокно  (рис.  9.4,а).
 Решим  следующую  задачу.  Свет  падает  под  углом  а  на  то¬
рец  конического  сужающегося  волокна  с  углом  раствора  кону¬
са  ф;  показатель  преломления  волокна  п,  диаметр  входного
торца  й.  Найти  длину  С,  на  которой  луч  удерживается  внутри
волокна.
 На  первый  взгляд  задача  представляется  сложной,  поскольку
угол  падения  луча  на  боковую  поверхность  волокна  меняется
от  отражения  к  отражению.  Однако  существует  остроумный
прием,  который  очень  упрощает  рассмотрение.  Этот  прием  осно-
ван  на  равенстве  углов  падения  и  отражения;  его  легко  понять,
если  взглянуть  на  рис.  9.4,  б.  Мы  видим,  что  реальную  траек¬
торию  луча,  имеющую  вид  ломаной  линии,  можно  «развернуть»
в  прямую  линию  (прямая  АВ  на  рисунке),  пересекающую  рас¬
положенные  веером  конические  волокна.  Искомое  расстояние
Ь  ■=  РВ  определяется  из  условия,  что  перпендикуляр  к  РС}  вос¬
становленный  из  В,  должен  образовывать  с  прямой  АВ  угол  0,
равный  углу  полного  внутреннего  отражения  (зт0  =  1/л).
Вследствие  малости  угла  ф  можно,  очевидно,  принять  АС  =
=  РС  =  /)/ф.  Запишем  теорему  синусов  для  треугольника  АВСъ
 АС 	ВС
 или,  иначе,
 зт  (90°  +  0)
 Р/ф  _  Д/Ф-
 51П  Р
 соз  0
 81П  а/п
 (9-8)
 С  учетом  того,  что  зт  0  =  1  /я,  перепишем  (9.8)  в  виде
 /)/ф 		 /)/ф  —
 д/п2  —  1  зт  а
откуда  и  находим  искомую  длину:
 -  И  л/п2  —  1  —  з1п  а
 Ф
 д/я2
 1
 (9.9)
 Мы  убеждаемся,  что  запереть  излучение  в  су¬
жающемся  коническом  волокне  не  удается.  Этого
нельзя  сделать,  даже  если  нанести  на  боковую  по¬
верхность  волокна  зеркально  отражающее  покрытие.
Ход  луча  в  таком  волокне  показан  на  рис.  9.4,  в.  Луч
проникает  в  волокно  на  глубину  /,0,  а  затем  возвра¬
щается  назад.  Расстояние  Ьо  легко  найти,  обратив-
 160

шись  к  рис.  9.4,6.  Так  как  треугольник  АВ\С  иря-
моугольный,  то  ВуС  =  (/)/ф)51п  р  и,  таким  образом,
 Заметим,  что  (9.10)  получается  из  (9.9),  если  при¬
нять  п  >  1.
 Пусть  а\  —  угол  падения  луча  на  входной  торец
конического  световода,  а  о&2  —  угол,  под  которым  луч
покидает  световод  на  его  выходном  торце.  Нетрудно
сообразить,  что  в  сужающемся  световоде  аъ  >  ссь  а
в  расширяющемся,  наоборот,  ссг  <  оы.
 Влияние  изгиба  волокна.  В  рассмотренных  задачах
предполагалось,  что  траектория  светового  луча  внутри
волокна  состоит  из  отрезков  прямых.  Такое  предпо¬
ложение  надо  рассматривать  лишь  как  первое  при¬
ближение.  На  практике  оно  часто  оказывается  непри¬
годным.
 Прежде  всего  надо  учитывать,  что  при  изгибе  во¬
локна  его  область  с  внутренней  стороны  изгиба  под¬
вергается  сжатию,  а  область  с  внешней  стороны  из¬
гиба  растяжению.  В  резуль¬
тате  показатель  преломле¬
ния  волокна  с  внутренней
стороны  изгиба  оказывает¬
ся  больше,  чем  с  внешней.
 Это  приводит  к  искривле¬
нию  светового  луча  в  во¬
локне.  Искривление  проис¬
ходит  таким  образом,  что¬
бы  выпуклость  траектории
была  обращена  в  сторону  меньшего  значения  пока-»
зателя  преломления;  иначе  говоря,  направление
изгиба  луча  будет  соответствовать  направлению  из¬
гиба  волокна.  Таким  образом,  траектория  светового
луча  в  изогнутом  волокне  состоит  не  из  прямых,  а  из
кривых  участков,  как  это  показано  на  рис.  9.5.
 Градиентные  оптические  волокна.  С  целью  более
эффективного  удержания  света  внутри  волокна,  по¬
следнее  часто  изготовляют  так,  чтобы  показатель
преломления  был  максимален  по  оси  волокна  и  плав¬
но  уменьшался  к  краям.  На  рис.  9.6  показано  изме¬
нение  показателя  преломления  по  поперечному  сече¬
нию  волокна,  а  рядом  изображена  траектория  свето-
 161

вето  луча  в  таком  волокне.  На  рисунке  приведены
характерные  для  подобного  волокна  размеры.  При
диаметре  волокна  200  мкм  его  центральная  (свето-
несущая)  область  имеет  диаметр  около  50  мкм;  от¬
носительное  уменьшение  показателя  преломления  при
переходе  от  оси  волокна  к  его  краю  составляет  в
 Рис.  9.6.
 рассматриваемом  случае  немногим  более  1%.  В  на¬
стоящее  время  разработана  достаточно  совершенная
технология  изготовления  оптических  волокон  с  пере¬
менным  по  сечению  показателем  преломления;  эти
волокна  называют  градиентными.
 Тонкие  волокна.  Все  сказанное  выше  относилось
к  волокнам,  диаметр  которых  много  больше  длины
волны  света,  т.  е.  к  так  называемым  толстым  волок¬
нам.  Используются  также  тонкие  волокна;  их  диаметр
соизмерим  с  длиной  вол1}ы  света  и  даже  меньше  ее.
Диаметр  тонкого  волокна  может  достигать  0,1—1  мкм.
Очевидно,  что  при  рассмотрении  распространения  све¬
та  по  такому  волокну  принципиально  нельзя  гово¬
рить  о  какой  бы  то  ни  было  траектории  светового
луча.  Здесь  могут  использоваться  только  волновые
представления.  Распространяющееся  вдоль  тонкого
волокна  поле  световой  волны  заполняет  весь  объем
волокна  и,  более  того,  занимает  также  часть  про¬
странства  вблизи  волокна.
 Сделанные  замечания  позволяют  в  какой-то  мере
почувствовать  степень  сложности  вопросов,  которые
приходится  решать  при'  разработке,  изготовлении  и
применении  волоконных  световодов.  Эти  световоды
используются  сегодня  для  передачи  сигналов  на  рас¬
стояния  от  нескольких  метров  до  нескольких  кило¬
метров.  Ясно,  что  длинные  волокна  должны  характе¬
ризоваться  очень  малым  поглощением  света,  а  также
 162

очень  малым  рассеянием  света  через  боковую  поверх¬
ность.  Согласно  современным  требованиям,  предъяв¬
ляемым  к  длинным  световодам,  потери  световой  энер¬
гии  не  должны  превышать  нескольких  децибел  на
километр  длины  световода.  Требования,  предъявляе¬
мые  к  световодам,  применяемым  для  передачи  сигна¬
лов  на  малые  расстояния,  измеряемые  метрами  и  де¬
сятками  метров,  являются,  естественно,  менее  жест¬
кими.
 Передача  оптических  изображений  по  волоконному
 жгуту.  Оптические  волокна  широко  используются  для
передачи  по  ним  не  только  световых  сигналов,  но  и
оптических  изображений  (двумерных  картинок).  Для
этого  волокна  компонуют  в  жгут.
 На  рис.  9.7  показан  поперечный
разрез  такого  жгута  с  относитель¬
но  малым  числом  волокон.  В  при¬
меняемых  на  практике  жгутах  чис¬
ло  волокон  может  доходить  до  мил¬
лиона.  Каждое  волокно,  входящее
в  жгут,  имеет  оболочку,  препят¬
ствующую  просачиванию  световой
энергии  из  данного  волокна  в  со¬
седние.
 Принцип  передачи  изображения  по  волоконному
жгуту  достаточно  прост.  Можно  сказать,  что  свето¬
вые  лучи,  отраженные  (или  испущенные)  тем  или
иным  элементом  передаваемого  изображения,  улав¬
ливаются  соответствующим  волокном  в  жгуте,  прохо¬
дят  по  всей  длине  жгута  и  на  выходе  воспроизводят
данный  элемент  изображения.  Образно  говоря,  мы
как  бы  «овладеваем»  в  отдельности  каждым  идущим
от  объекта  или  исходного  изображения  лучом  и  при
помощи  волокна  направляем  этот  луч  туда,  куда  по¬
требуется.  Сохраняя  на  выходе  жгута  такое  же
взаимное  расположение  волокон,  что  и  на  входе,  мы
можем  воспроизвести  на  выходе  то  изображение,  ко¬
торое  подавалось  на  вход,  т.  е.  тем  самым  можем
осуществить  передачу  изображения  на  расстояние.
 В  частности,  мы  можем  принимать  изображения
объектов,  находящихся  в  труднодоступных  полостях,
в  тех  местах,  куда  мы  сами  (вместе  с  нашей  обычной
оптикой)  заглянуть  не  можем.  Это  важно  при  иссле¬
довании  внутренних  органов  человека;  волоконная
 163

оптика  открывает  большие  возможности  просматри¬
вания  человеческого  организма,  так  сказать,  изнутри.
 Волоконный  выравниватель  светового  поля.  Одна¬
ко  волоконная  оптика  позволяет  не  только  переда¬
вать  изображения,  но  и  делать  нечто  большее.  Ведь
каждый  идущий  от  объекта  луч  как  бы  находится
в  наших  руках.  При  желании  мы  можем  усилить  яр¬
кость  луча  (усилится  яркость  передаваемого  изобра¬
жения),  можем  корректировать  направление  отдель¬
ных  лучей  (уменьшатся  аберрации  получаемого  изо¬
бражения).  На  рис.  9.8
показан  так  называе¬
мый  волоконный  вы¬
равниватель  светового
поля,  позволяющий
устранить  аберрации,
создаваемые  линзовой
системой.  На  рисунке:
 1 	—  линзовая  система,
 2 	—  волоконнооптиче¬
ское  корректирующее
 устройство,  3  —  фотопластинка.  В  отсутствие  воло¬
коннооптического  устройства  световые  лучи  прихо¬
дили  бы  на  фотопластинку  так,  как  это  показано
штриховыми  стрелками;  теперь  же  они  приходят  так,
как  показано  непрерывными  стрелками.  Корректиров¬
ка  хода  лучей  продумана  так,  чтобы  устранить  абер¬
рации  линзовой  системы.
 Волоконный  диссектор  изображения  в  высокоско¬
ростной  фотографии.  В  качестве  еще  одного  конкрет¬
ного  примера  рассмотрим  применение  волоконной  оп¬
тики  в  высокоскоростной  фотографии.  Предположим,
что  требуется  сфотографировать  некий  быстропроте-
кающий  процесс;  для  этого  необходимо  быстро  пере¬
мещать  фотопленку  в  киноаппарате.  Естественно,  воз¬
никают  ограничения,  связанные  с  определенными  тех¬
ническими  возможностями  осуществления  быстрого
перемещения  пленки,  а  также  с  необходимостью  вы¬
держивать  некоторый  промежуток  времени,  требуе¬
мый  для  экспозиции.  В  этом  случае  можно  восполь¬
зоваться  волоконнооптическим  устройством,  называе¬
мым  диссектором  изображения.  Оно  поэлементно  пре¬
образует  двумерную  картинку  в  строку  (рис.  9.9)-
Двумерная  картинка  как  бы  разрезается  на  совокуп-
 164

ность  строк  и  все  эти  строки  выкладываются  в  еди¬
ную  строку.  Фотопленка  перемещается  относительно
изображения  в  направлении,  показанном  на  рисунке
стрелкой.  Ясно,  что  на  одной  и  той  же  длине  пленки
можно  уместить  гораздо  больше  кадров,  если  они
будут  иметь  вид  строк,  а  не
двумерных  картинок.  Впо¬
следствии  заснятое  в  виде
таких  строк  изображение
может  быть  преобразовано
с  помощью  того  же  самого
волоконного  диссектора  в
обычное  двумерное  изобра¬
жение  и  переснято  на  но¬
вую  пленку.  При  этом  пер¬
вая  пленка  должна  переме¬
щаться  более  медленно;  при  обычной  скорости  пере¬
мещения  второй  пленки  мы  будем  видеть  заснятый
процесс  в  замедленном  варианте.
 Сетчатка  глаза  как  волоконнооптическое  устрой¬
ство.  В  завершение  беседы  приведем  пример  природной
волоконнооптической  систе¬
мы,  какой,  по  сути  дела,  яв¬
ляется  сетчатка  человече¬
ского  глаза.  На  рис.  9.10
выделена  и  схематически
показана  область  сетчатки
в  районе  желтого  пятна.  По¬
падая  на  сетчатку,  свет  сна¬
чала  проходит  через  слой  1,
состоящий  из  нервных  кле¬
ток  и  волокон,  а  затем  вос¬
принимается  находящимися
в  слое  2  светочувствитель¬
ными  элементами.  Этот  по¬
следний  слой  подобен  воло¬
коннооптическому  устрой¬
ству.  Он  содержит  волокна  двух  типов  (они  выде¬
лены  на  рисунке):  более  тонкие  волокна  3  и  утол¬
щенные  волокна  4.  Первые  принято  называть  палоч¬
ками,  вторые  —  колбочками.  В  последние  годы  растет
убеждение  в  том,  что  в  природе  волоконнооптические
устройства  и  элементы  встречаются  значительно
чаще,  чем  это  принято  считать.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
 Итак,  мы  убедились,  что  преломление
света  охватывает  очень  широкий  круг  вопросов.  И  тем
не  менее  мы  рассказали  о  преломлении  света  далеко
не  все.  Многие  интересные  вопросы  попросту  не  по¬
местились  в  данной  книге.  Отметим  хотя  бы  вкратце
некоторые  из  них.
 Управление  преломляющими  свойствами  вещества.
 Можно  ли  управлять  преломляющими  свойствами  ве¬
щества?.  Иначе  говоря,  можно  ли  управлять  показа¬
телем  преломления  света?  Современная  наука  и  тех¬
ника  дают  положительный  ответ  на  этот  вопрос.  Су¬
ществуют  разнообразные  способы  управления  пре¬
ломлением  света;  они  основаны  на  изменении  показа¬
теля  преломления  в  зависимости  от  различных  внеш¬
них  факторов.
 Так,  показатель  преломления  полупроводника  за¬
висит,  в  частности,  от  числа  электронов  проводимости
в  единице  объема.  Теория  показывает,  что  с  увеличе¬
нием  числа  электронов  проводимости  показатель  пре¬
ломления  уменьшается.  Число  же  электронов  прово¬
димости  зависит  от  ряда  факторов;  в  частности,  оно
возрастает  при  облучении  полупроводника  светом  с
определенной  (для  данного  полупроводника)  часто¬
той.  Представим  себе  тонкую  полупроводниковую
пластинку.  Облучая  те  или  иные  участки  пластинки
светом  и  тем  самым  уменьшая  показатель  -преломле¬
ния  этих  участков,  можно  получить  своеобразные
«плоские»  варианты  линз  и  призм  для  светового  пуч¬
ка,  распространяющегося  вдоль  пластинки  (пла¬
стинка  должна  быть  достаточно  прозрачной).  Сказан¬
ное  поясняет  рис.  А.1,  где  штриховкой  выделены  об¬
лученные  участки  пластинки,  а  стрелками  показано
направление  световых  лучей,  распространяющихся
вдоль  пластинки.  На  рисунке  приведены  четыре  слу¬
чая:  а)  отклонение  светового  пучка,  б)  параллельное
 166

смещение  пучка,  в)  фокусировка  пучка,  г)  расфоку¬
сировка  пучка.
 Можно  управлять  преломлением  света,  помещая
преломляющее  вещество  во  внешнее  электрическое
поле  и  изменяя  напряженность  поля.  Если,  например,
поместить  в  электрическое  поле  жидкость,  то  она
приобретет  свойства  одноосного  (положительного
либо  отрицательного)  кристалла,  в  котором  направ¬
ление  внешнего  поля  будет  являться  оптической  осью.
 В  такой  анизотропной  жидкости,  как  и  в  одноосном
кристалле,  распространяются  две  плоскополяризо-
ванные  световые  волны  —  обыкновенная  и  необык¬
новенная.  Разность  о0  —  уе  оказывается  при  этом
пропорциональной  квадрату  напряженности  поля:
\о0—  ое\  ~  Е2.  Это  есть  так  называемый  электроопти-
ческий  эффект  Керра.
 Выше  уже  отмечалось  (см.  девятую  беседу)-,  что
в  изогнутом  волокне  показатель  преломления  изме¬
няется  от  точки  к  точке  под  влиянием  возникающих
в  таком  волокне  неоднородных  механических  напря¬
жений.  Это  относится  к  любому  веществу,  в  котором
возникают  или  специально  создаются  механические
напряжения.  Последние  можно  создавать,  в  частно¬
сти,  посылая  через  вещество  ультразвуковую  волну.
Тем  самым  возможно  управление  показателем  пре¬
ломления  вещества  при  помощи  ультразвуковых  волн.
На  этой  основе  возникло  и  развивается  специальное
направление  в  современной  оптике,  называемое  аку¬
стооптикой.
 167

Показатель  преломления  зависит  также  от  тем¬
пературы  вещества.  Для  одних  веществ  он  увеличи¬
вается  с  ростом  температуры,  у  других,  напротив,
уменьшается.  Если  в  веществе  возникает  или  спе¬
циально  создается  изменение  температуры  при  пере¬
ходе  от  одних  областей  к  другим,  то  может  образо¬
ваться  так  называемая  тепловая  линза.  Оптическая
сила  такой  «линзы»  зависит  от  теплового  режима,  т.  е.
от  степени  нагрева  и  характера  отвода  тепла.  Тепло¬
вая  линза  возникает,  в  частности,  в  активном  эле¬
менте  лазера,  возбуждаемого  при  помощи  интенсив¬
ного  оптического  излучения,  которое  и  нагревает  ак¬
тивный  элемент.
 Если  по  веществу  распространяется  световой  пу¬
чок  большой  интенсивности,  например  пучок  из  мощ¬
ного  лазера,  то  может  наблюдаться  своеобразное  яв¬
ление,  которое  следует  рассматривать  как  самовоз-
действие  светового  пучка:  пучок  изменяет  показатель
преломления,  что  соответствующим  образом  отра¬
жается  на  характере  распространения  пучка  по  ве¬
ществу.  Показатель  преломления  обычно  оказывается
более  высоким  вдоль  оси  пучка  (там,  где  выше  ин¬
тенсивность  светового  поля)  и  спадает  вблизи  гра¬
ницы  пучка.  Читателю,  знакомому  с  явлением  ис¬
кривления  световых  лучей  в  оптически  неоднородной
среде  (см.  вторую  беседу),  нетрудно  понять,  почему
такой  световой  пучок  должен  как  бы  самофокусиро¬
ваться.  Входя  в  вещество,  такой  пучок  будет  не  рас¬
сеиваться,  а  напротив,  собираться  в  тонкую  свето¬
вую  нить.  Явление  самофокусировки  мощного  лазер¬
ного  излучения  в  различных  средах  интенсивно  ис¬
следуется  в  настоящее  время.
 Электрооптический  дефлектор.  Мы  видим,  таким
образом,  что  существуют  различные  способы  целе¬
направленного  воздействия  на  преломляющие  свой¬
ства  вещества.  Управление  преломлением  света  ши¬
роко  используется  в  современных  оптических  устрой¬
ствах.  В  качестве  примера  рассмотрим  принцип  дей¬
ствия  электрооптического  устройства,  позволяющего
очень  быстро  (менее,  чем  за  одну  стотысячную  долю
секунды!)  менять  в  пространстве  положение  свето¬
вого  луча  при  сохранении  его  направления.  Это  уст¬
ройство  называют  электрооптическим  дефлектором.
Принципиальная  схема  простого  варианта  такого  дс-
 168

флектора  показана  на  рис.  А.2.  Здесь  К\  и  К2—  оди¬
наково  ориентированные  двулучепреломляющие  кри-
сталлы,  1  и  2  —  ячейки  Керра,  т.  е.  кюветы  с  жид¬
костью,  помещенные  в  электрическое  поле;  направле¬
ние  поля  перпендикулярно  к  направлению  исходного
светового  пучка.  Световые  пучки  показаны  на  рисун¬
ке  стрелками.  Будем  полагать,  что  исходный  свето¬
вой  пучок  плоскополяризован.  Кроме  того,  будем
 Г
 в
 Б
 А
 Рис.  А.2.
 полагать,  что  при  подаче  напряжения  на  ячейку  Кер¬
ра  она  действует  как  полуволновая  пластинка  (см.
восьмую  беседу),  поворачивающая  плоскость  поляри¬
зации  пучка  на  90°.  Чтобы  обеспечить  такой  угол  по¬
ворота  плоскости  поляризации,  надо  ориентировать
направления  поля  в  обеих  ячейках  под  углом  45°  к
направлению  поляризации  исходного  светового  пучка
(заметим,  что  направления  поля  в  обеих  ячейках  оди¬
наковы).  Пусть  ориентация  кристаллов  К\  и  К2  та¬
кова,  что  исходный  пучок  является  для  них  обыкно¬
венным  пучком  (он  поляризован  перпендикулярно  к
плоскости  главного  сечения  кристаллов).
 Предположим,  что  на  обе  ячейки  напряжение  не
подано  (ячейки  выключены).  В  этом  случае  световой
луч,  проходя  через  кристаллы  К\  и  К2,  не  испыты¬
вает  отклонения,  т.  е.  выступает  как  обыкновенный
луч;  в  результате  луч  выйдет  из  дефлектора  в  поло¬
жении  А  (см.  рисунок).  Пусть  обе  ячейки  включены.
Теперь  при  прохождении  ячейки  1  плоскость  поляри¬
зации  луча  поворачивается  на  90°,  он  становится  для
кристалла  К\  необыкновенным  лучом  и,  как  след¬
ствие,  отклоняется  в  нем.  После  поворота  плоскости
поляризации  на  90°  в  ячейке  2  луч  приходит  к  кри¬
сталлу  К2  уже  как  обыкновенный  луч  и  поэтому  не
отклоняется  в  данном  кристалле.  В  результате  све¬
товой  луч  выйдет  из  дефлектора  в  положении  Б.  Не¬
трудно  сообразить,  что  при  выключенной  ячейке  1
 169

и  включенной  ячейке  2  световой  луч  выйдет  из  деф¬
лектора  в  положении  В,  а  при  включенной  ячейке  /
и  выключенной  ячейке  2  —  в  положении  Г.
 Здесь  для  простоты  рассмотрена  двухкаскадная
схема;  она  имеет  только  четыре  положения  на  вы¬
ходе.  При  наличии  п  каскадов  число  положений  на
выходе  равно  2п.  В  современных  дефлекторах  уве¬
ренно  реализуются  1024  положений,  что  соответ¬
ствует  десяти  каскадам.
 Космические  линзы.  В  заключение  коснемся  еще
одного  вопроса,  связанного  с  преломлением  света.
 Речь  пойдет  о  так  называемых  космических  линзах.
Говоря  об  этих  «линзах»,  имеют  в  виду  два  оптиче¬
ских  явления.  Первое  читателю  уже  знакомо;  оно
связано  с  рефракцией  света  в  атмосфере  (см.  вторую
беседу).  Это  явление  определяет  своеобразный  лин¬
зовый  эффект  атмосферы  Земли  или  иной  планеты.
Так,  излучение,  идущее  к  Земле  от  далеких  космиче¬
ских  источников,  может  фокусироваться  земной  ат¬
мосферой,  которая  действует  как  своеобразная  лин¬
за,  имеющая  форму  сферы  диаметром  свыше  10  000  км.
Второе  явление  связано  с  искривлением  солнечных
лучей  в  гравитационном  поле.  Остановимся  на  нем
немного  подробнее.
 Из  общей  теории  относительности  великого  физи¬
ка  XX  в.  Альберта  Эйнштейна  (1879—1955)  следует,
что  световые  лучи,  проходящие  вблизи  массивного
тела,  например,  вблизи  Солнца,  искривляются.  В  ре¬
зультате  такого  искривления  можно  наблюдать  при
полном  солнечном  затмении  некоторые  звезды,  кото-
 170

рые  согласно  точным  вычислениям  находятся  в  это
время  за  краем  солнечного  диска  (рис.  А.З).  Мы
имеем  здесь  дело  со  своеобразной  космической  лин¬
зой,  которая  может  быть  названа  гравитационной.
 Эффектный  пример  гравитационной  линзы  был  об¬
наружен  недавно,  в  середине  1979  г.,  когда  были  от¬
крыты  два  близко  расположенных  и  очень  похожих
друг  на  друга  квазара.  Первые  квазары,  открыты
около  двадцати  лет  назад;  так  были  названы  крайне
далекие  космические  объекты,  от  которых  распростра¬
няется  довольно  сильное  излучение.  Предполагают,
что  квазары  представляют  собой  ядра  далеких  галак¬
тик,  в  которых  происходят  бурные  процессы,  повы¬
шающие  светимость  таких  галактик  в  тысячи  раз  по
сравнению  со  светимостью  обычных  (спокойных)  га¬
лактик.  Открытая  в  1979  г.  пара  квазаров  различа¬
лась  по  угловому  расстоянию  на  6  угл.  секунд,  что
 соответствует  трем  тысячным  видимого  диаметра
полной  Луны.  Уже  это  было  удивительно,  так  как
все  известные  квазары  распределены  по  небосводу
достаточно  равномерно  со  средним  угловым  расстоя¬
нием  между  соседями  порядка  нескольких  градусов.
Еще  более  удивительным  было  полное  совпадение
спектров  обоих  квазаров.  Такого  совпадения  до  этого
никогда  не  наблюдали.  В  настоящее  время  установ¬
лено,  что  указанная  пара  квазаров  —  это  два  изобра¬
жения  одного  и  того  же  квазара,  полученные  благо¬
даря  существованию  в  космическом  пространстве
мощной  гравитационной  линзы  (рис.  А.4).  Как  пока¬
зали  исследования,  эта  гравитационная  линза  сб'з-
дается  галактикой,  расположенной  между  Землей  и
загадочным  квазаром.
 (71

*  *  *
 На  этом  мы  и  закончим  наше  путешествие  в  мир
преломляющихся  световых  лучей  или,  иначе  говоря,
в  мир  геометрической  оптики.  Представление  оптиче¬
ского  излучения  в  виде  световых  лучей  позволило
рассмотреть  многие  интересные  явления.  Нужно,  од¬
нако,  помнить,  что  такое  представление  есть  всего
лишь  предельный  случай  более  общего  подхода  к  при¬
роде  света,  основанного  на  использовании  понятия
световой  волны.  Это  понятие  встречалось  и  на  стра¬
ницах  данной  книги,  правда,  в  качестве  редкого  гостя.
Мы  сознательно  ограничивались  кругом  тех  явлений,
которые  позволяли  избежать  последовательного  ис¬
пользования  понятия  световой  волны.  Иначе  наше
путешествие  затянулось  бы  —  нам  пришлось  бы  пе¬
рейти  из  мира  геометрической  оптики  в  более  широ¬
кий  мир  волновой  оптики.
 Совет  читателю,  добравшемуся  до  последней  стра¬
ницы  книги.  Дорогой  читатель!  По-видимому,  ты  убе¬
дился,  что  книга  читается  местами  довольно  легко,  а
местами  несколько  трудновато.  Легко  —  когда  речь
идет  о  вопросах  истории,  экспериментах,  физике  яв¬
лений.  Трудновато  —  когда  рассматриваются  конкрет¬
ные  задачи  (они  выделены  мелким  шрифтом),  а  также
ход  световых  лучей  в  тех  или  иных  конкретных  ситуа¬
циях,  в  тех  или  иных  устройствах.  Возможно,  что
трудные  места  ты  при  чтении  книги  пропускал  или,  во
всяком  случае,  читал  бегло.  В  этом  нет  ничего  страш¬
ного.  Однако  теперь  мы  советуем  тебе  вооружиться
карандашом  и  чистой  тетрадью  и,  начиная  с  первых
страниц  книги,  не  торопясь,  разобраться  во  всех  встре¬
чающихся  задачах  и  оптических  схемах.

СОДЕРЖАНИЕ
 Предисловие 	3
 Беседа  первая.  ЧТО  ПРОИСХОДИТ  СО  СВЕТОВЫМИ
 ЛУЧАМИ  НА  ГРАНИЦЕ  ДВУХ  СРЕД?  5
 Кольцо  на  дне  сосуда  с  водой  (5).  Опыты  Птолемея
(7).  Установление  закона  преломления  Снеллиусом
(7).  Объяснение  закона  преломления  Декартом;  ошиб¬
ка  Декарта  (9).  Принцип  Гюйгенса  (10).  Принцип
Гюйгенса  и  закон  преломления  (11).  Принцип  Ферма
(принцип  наименьшего  времени)  (13).  Вывод  закона
преломления  из  принципа  Ферма  (15).  Применение
принципа  Ферма  (16).  Полное  внутреннее  отражение
света;  предельный  угол  отражения  (19).  Графический
метод  построения  преломленных  лучей  (21).  Излучение
Вавилова  —  Черенкова  и  законы  преломления  и  отраже¬
ния  света  (22).
 Беседа  вторая.  К  КАКИМ  ОБМАНАМ  ЗРЕНИЯ  ПРИ¬
ВОДИТ  РЕФРАКЦИЯ  СВЕТА  В  ЗЕМ¬
НОЙ  АТМОСФЕРЕ? 	26
 Рефракция  света  в  атмосфере;  угол  рефракции  (26)  .
Ранние  представления  о  рефракции  света  в  атмосфере
(28).  Рефракция  света  по  Кеплеру  (28).  Восстановле¬
ние  теории  рефракции  Ньютона  по  его  переписке  с
Флемстидом  (31).  Экспоненциальный  закон  убывания
плотности  атмосферы  с  высотой  (33).  Своеобразие  сол¬
нечных  закатов;  появление  «слепой  полосы»  (34).  Мер¬
цание  звезд  (38).  Искривление  светового  луча  в  опти¬
чески  неоднородной  среде  (38).  Миражи  (41).
 Беседатретья.  КАК  СВЕТОВОЙ  ЛУЧ  ПРОХОДИТ
 ЧЕРЕЗ  ПРИЗМУ? 	44
 Преломление  светового  луча  в  призме;  угол  отклонения
луча  (44).  Случаи  симметричного  и  несимметричного
хода  луча  в  призме  (45).  Рефрактометры  (47).  Объ¬
яснение  появления  в  оконном  стекле  двойных  изобра¬
жений  отдаленных  предметов  (48).  Отражательные
призмы  (50).  Фотометр  Люммера  —  Бродхуна  (52).
Отражательная  призма  вместо  отражающего  зеркала
лазерного  резонатора  (53).  Бипризма  (54).
 173

Беседа  четвертая.  ПОЧЕМУ  ПРИЗМА  РАЗЛАГАЕТ
СОЛНЕЧНЫЙ  СВЕТ  НА  РАЗЛИЧ¬
НЫЕ  ЦВЕТА? 	55
 Дисперсия  света  (55).  Первые  опыты  с  призмами;  пред¬
ставления  о  причинах  возникновения  цветов  до  Ньютона
(55).  Опыты  Ньютона  с  призмами;  ньютоновская  тео¬
рия  возникновения  цветов  (57).  Работы  Эйлера;  сопо¬
ставление  цветам  разных  длин  волн  (65).  Открытие
аномальной  дисперсии  света;  опыты  Кундта  (67).  За¬
мечания  по  поводу  отражательной  призмы  (69).  Дис¬
персионные  призмы;  угловая  дисперсия  (71).  Спек¬
тральные  приборы  —  монохроматоры  и  спектрометры;
схема  Фукса  —  Уодсворта  (72).  Гёте  против  Ньютона
(75).
 Беседа  п  я  т  а  я.  КАК  ВОЗНИКАЕТ  РАДУГА?  .  ,  ,  ,  79
Радуга  глазами  внимательного  наблюдателя  (79).  Раз¬
витие  представлений  о  физике  возникновения  радуги—■
от  Флетчера,  Доминико  и  Декарта  к  Ньютону  (82).
Объяснение  возникновения  радуги  в  ньютоновских  «Лек¬
циях  по  оптике»  (83).  Ход  светового  луча  в  капле
дождя  (84).  Наибольший  угол  между  направлениями
падающих  на  каплю  и  выходящих  из  нее  лучей  (86).
Объяснение  чередования  цветов  в  основной  и  вторичной
радугах  (89).  Радуга  на  других  планетах  (91).  При¬
чины  возникновения  гало;  гало  и  радуга  (92).
 Беседашестая.  КАК  ПОЛУЧАЮТ  ОПТИЧЕСКИЕ
 ИЗОБРАЖЕНИЯ?  	96
 Получение  изображения  в  камере-обскуре  (96).  Полу¬
чение  изображения  в  линзовой  системе  (97).  Вывод
формулы  тонкой  линзы  на  основе  принципа  Ферма  (98).
Сферическая  и  хроматическая  аберрации  (101).  Действи¬
тельные  и  мнимые  изображения  (102).  Собирающие  и
рассеивающие  линзы  (104).  Линза  в  оптически  плотной
среде  (106).  Из  ранней  истории  развития  линзовых  си¬
стем  (106).  Изобретение  зрительной  трубы  (107).  Ход
лучей  в  трубе  Галилея;  угловое  увеличение  (108).  Астро¬
номические  наблюдения  Галилея  (112).  «Диоптрика»
Кеплера  и  последующие  работы  (113).  Ахроматическая
линза  Доллонда  (114).  Зонная  пластинка  Френеля  (115).
 Беседа  седьмая.  КАК  УСТРОЕН  ГЛАЗ? 	119
 Две  группы  оптических  приборов  (119).  Строение  и
оптическая  схема  человеческого  глаза  (120).  Система,
состоящая  из  лупы  и  глаза  (121).  Развитие  учения  о
зрении  от  Демокрита  и  Галена  к  Альхазену  и  Леонар¬
до  да  Винчи  (123).  Сопоставление  глаза  с  камерой-об¬
скурой  в  трудах  Леонардо  да  Винчи*  (124).  Кеплер  о
роли  хрусталика  в  глазе;  объяснение  Юнгом  механизма
аккомодации  (126).  Дальнозоркость  и  близорукость
(127).  Глаз  как  совершенное  оптическое  устройство  (127).
Очки  (130).  Использование  линзовых  систем  для  увели¬
чения  угла  зрения  (131).  Фасеточные  глаза  насеко¬
мых  (133),
 174

Беседа  восьмая.  ПОЧЕМУ  В  КРИСТАЛЛАХ  НА¬
БЛЮДАЕТСЯ  ДВОЙНОЕ  ПРЕЛОМ¬
ЛЕНИЕ  СВЕТА? 		 .  135
 Открытие  Бартолином  двойного  преломления  света  в
кристалле  исландского  шпата  (135).  Кристалл  как  опти¬
чески  анизотропная  среда  (136).  Объяснение  двойного
лучепреломления  в  «Трактате  о  свете»  Гюйгенса;  обык¬
новенная  и  необыкновенная  световые  волны  (137).  По¬
строения  Гюйгенса;  скорость  световой  волны  и  лучевая
скорость  (139).  Опыты  Гюйгенса  с  двумя  кристаллами
(на  пороге  открытия  поляризации  света)  (144).  Объяс¬
нение  Ньютоном  результатов  опытов  Гюйгенса  (147),
Исследования  Малюса  и  Брюстера  (147).  Поляризация
света  (148).  Дихроичные  пластинки  и  поляризационные
призмы  (152).  Поворот  плоскости  поляризации  света  в
полуволновой  пластинке  (153).
 Беседа  девятая.  ЧТО  ТАКОЕ  ВОЛОКОННАЯ  ОПТИ¬
КА?  	156
 Светящаяся  водяная  струя  (156).  Световые  лучи  в  пря¬
мом  и  изогнутом  цилиндрических  волокнах  (157).  Лучи
в  коническом  волокне  (159).  Влияние  изгиба  волокна
(161).  Градиентные  оптические  волокна  (161).  Тонкие
волокна  (162).  Передача  оптических  изображений  по  во¬
локонному  жгуту  (163).  Волоконный  выравниватель
светового  поля  (164).  Волоконный  диссектор  изображе¬
ния  в  высокоскоростной  фотографии  (164).  Сетчатка
глаза  как  волоконнооптическое  устройство  (165).
 ЗАКЛЮЧЕНИЕ  	166
 Управление  преломляющими  свойствами  вещества  (166),
Электрооптический  дефлектор  (168),  Космические  лин¬
зы  (170)*

Лев  Васильевич  Тарасов
Альбина  Николаевна  Тарасова
 БЕСЕДЫ  О  ПРЕЛОМЛЕНИИ  СВЕТА
 (Серия:  Библиотечка  «Квант»)
 Редактор  Л.  Я.  Русакова
Технический  редактор  Е.  В.  Морозова
Корректор  Н.  Б.  Румянцева
 ИБ  №  12105
 Сдано  в  набор  08.10.81.  Подписано  к  печати  02  06  82.  Т-11116.  Формат  84Х108!/з2.
Бумага  тип.  №  2.  Литературная  гарнитура.  Высокая  печать.  Условн.  печ.
л.  9,24.  Уч.-изд.  л.  9,05.  Тираж  150  000  экз.  Заказ  №  1314.  Цена  25  коп.
 Издательство  «Наука»
 Главная  редакция  физико-математической  литературы
117071,  Москва,  В-71,  Ленинский  проспект,  15
 Ленинградская  типография  №  2  головное  предприятие  ордена  Трудо¬
вого  Красного  Знамени  Ленинградского  объединения  «Техническая  книга»
им.  Евгении  Соколовой  Союзполиграфпрома  при  Государственном  комитете
СССР  по  делам  издательств,  полиграфии  и  книжной  торговли.  198052.
г.  Ленинград,  Л-52,  Измайловский  проспект,  29.

25  к.
 БИБЛИОТЕЧКА  «КВАНТ»
 ВЫШЛИ  ИЗ  ПЕЧАТИ:
 Вып.  1.  М.  П.  Бронштейн.  Атомы  и  электроны.
 Вып.  2.  М.  Фарадей.  История  свечи.
 Вып.  3.  О.  Оре.  Приглашение  в  теорию  чисел.
 Вып.  4.  Опыты  в  домашней  лаборатории.
 Вып.  5.  И.  Ш.  Слободецкий,  Л.  Г.  Асламазов.
 Задачи  по  физике.
 Вып.  6.  Л.  П.  Мочалов.  Головоломки.
 Вып.  7.  П.  С.  Александров.  Введение  в  теорию
групп.
 Вып.  8.  Г.  Штейнгауз.  Математический  калейдоскоп.
 Вып.  9.  Замечательные  ученые.
 Вып.  10.  В.  М.  Глушков,  В.  Я.  Валах.  Что  такое  ОГАС!
 Вып.  11.  Г.  И.  Копылов.  Всего  лишь  кинематика.
 Вып.  12.  Я.  А.  Смородинский.  Температура.
 Вып.  13.  А.  Е.  Карпов,  Е.  Я.  Гик.  Шахматный  калейдоскоп.
 Вып.  14.  С.  Г.  Гиндикин.  Рассказы  о  физиках  и  математиках.
Вып.  15.  А.  А.  Боровой.  Как  регистрируют  частицы.
 Вып.  16.  М.  И.  Каганов,  В.  М.  Цукерник.  Природа  магнетизма.
Вып.  17.  И.  Ф.  Шарыгин.  Задачи  по  геометрии  (планиметрия).
Вып.  18.  Л.  В.  Тарасов,  А.  Н.  Тарасова.  Беседы  о  преломлении
света.