Введение в механику сплошных сред. Часть 2. Классические модели механики сплошных сред - Овсянников Л.В.

Author: Овсянников Л.В.

Tags: гидромеханика механика жидкостей и газа кинетическая теория газов непрерывность агрегатных состояний механика деформируемых тел упругость деформация математика механика

Year: 1977

Similar

Введение в механику сплошных сред. Часть 1. Общее введение

Теория и задачи механики сплошных сред

Применение системы ANSYS к решению задач механики сплошной среды

Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями

Text

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО н СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РСФСР
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Л. В. ОВСЯННИКОВ
ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ
СПЛОШНЫХ СРЕД
(учебное пособие для студентов НГУ)
Часть II
КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ
СПЛОШНЫХ СРЕД
НОВОСИБИРСК - 1977

7ШС 532+533.7+539.3 @75*8)
Овсянников Л.В.
Введение в механику сплошных сред.
Ч.П. Классические модели механики
сплошных сред. Учебное пособие для
студентов. НГУ* 1977, 1-70,
Предлагаемое учебное пособие по курсу "Введение в механику
сплошных сред11 написано по материалам лекций, читавшихся авто-
автором в течение ряда дет на механико-математическом факультете НГУ,
В нем в сжатой форме приводится математический аппарат, исполь-
используемый в механике, и описываются принципы построения основных
моделей сплошных сред.
В методическом плане данное пособие имеет ряд существенных
отлмчий от имеющихся учебников по данной дисциплине и поэтому
может быть полезным не только студентам соответствующих специ-
специальностей, но и лицам, уже знакомым с излагаемым материалом.
[с) Новосибирский государственный университет, 1977

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . • » # • . ..¦•••• 4
Часть IL КЛАССИЧЕСКИЕ ШДШ МЕХАШШ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 8. ЖИДКОСТИ И ГАШ .......".•'•¦' 5
§ 9. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ. ДЙССШ1АТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ • . \ • . 9
§ 10, ДЕШРШРУЕШЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА ...,,..•.». . 15
§ II. ЛИНЕЙНАЯ ТЮРИЯ УПРУГОСТИ ............ 21
§ 12. СИЛЬНЫЙ РАЗРЫВ '...¦.**...•..¦.•¦.• 25
§ 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ-. ....,...*........ 30
§ 14. ИНВАРИАНТЮСТЬ .................... 39
§ 15. УСЛОЖНЕННЫЕ МОДЕЛИ •......,.*...., 45
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
I. Отображения. Тензорный-анализ. Координаты. Различ-
Различные векторные формулы ...... 51
П. Переменные Лагранжа и Эйлера» Законы сохранения в
интегральной и дифференциальной формах ... / . . . 55
Ш. Напряжения в точке. Тензор напряжений. Круги Мора.
Специальные случаи напряженного состояния 58
1У, Деформация. Тензоры деформации и скоростей деформа-
деформаций. Условия совместности. Линейная теория упру-
упругости 61
У. Жидкости и газы. Простейшие модели,. . • 65
г-

ЛРОТСЛОВИЕ
Настоящий выпуск является второй частью учебного пособия
"Введение в механику сплошных сред** ¦ Здесь рассмотрены классик
веские модели жидкостей (и газов) и деформируемых твердых тел
(§ 8~П). Последние четыре параграфа посвященн более специаль-
специальным вопросам* Особенно важен § 14, где дается понятие об ин-
инвариантности различных объектов относительно группы преобразо-
преобразований. Это делается в такой форме, чтобы по возможности пока-
показать фундаментальный и всеобъемлющий характер этого понятия*
В конце пособия дается набор задач и упражнений, сопровоада-
ющих и дополняющих лекционный курс. В основном этот материал
предназначен для самостоятельной работы студентов. Большинство
задач составлено доцентом Меньшиковым В.М.
В тексте данной части встречаются ссылки на материал первой
части. Сохранена система ссылок, указанная в предисловии к час-
части I. Кроме того, ссылки на раздел "Математического аппарата"
отмечаются буквой М. Например,- ссылка на пункт 10 из раздела 1
обозначается символом МЛ ДО ж т.п.
1ОЛ.77 г* Л.В»Овсянников

Часть П. КЛАССИЧЕСКИЕ ЖЗДЕЛИ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
§ 8. ВДЩОСТЙ И ГАЗЫ
I. Дополнительные уравнения к модели И^ сплошной среда,
необходимые даш "замыкания™ системы уравнений, вводятся на ос-
основе опытного представления о характере внутренних связей на-
напряженного состояния среда с ее движением. Эти связи, в жх ма-
математическом оформлении, называются уравнениями состояния
сплошной среда. Они уже не являются универсальными, справвдяи-
выми для любых сред. Например, если твердое тело, будучи нагру-
нагружено какими-либо силами, может, вообще говоря, оставаться в по-
покое неограниченное время,, то при аналогичном нагружешга жидкос-
жидкости она придет в движение.
Жидкости и газы представляют собой легко подвижные сплош-
сплошные среда, которые не остаются в равновесии,даже если на них
действуют сколь угодно малые силы. Поэтому внутренние вйщщжь-
ния в жидкости и газах не зависят непосредственно от деформация.
Однако, как показывает опыт, эти напряжения существенно зависят
от того, насколько быстро происходит деформации, т.е* зависят.
от скорости деформации. В феноменологической теории можно при-
принять следующее определение»
Жидкость или газ - это такая сплошная среда, в которой тен-
тензор напряжений Р является функцией тензора скоростей деформации
?D. Кроме того, тензор напряжений может зависеть от некоторой
совокупности термодинамических параметров состояния и, вообще
говоря, от коорданат и времени
Итак, лдя жидкостей и газов
(I)
В этом определении Л есть набор основных, термодинамических па-
раметров,.. т• е, Л ~ (f, Uf 6, S, p).
2. Еонкретжзация вида функции Сдается в трех формулируемых
ниже аксиомах Стокеа4 которые здесь объединены в одну, первую
аксиому жидкостей и газов,
Ж-j-» Дяя жидкостей и газов справедашвы аксиома Отокса:
I0» Среда однотх)дп1а; Fylb зависит явно от о?, i %
2°. Сре^а изотропна: F является изотропной тензорной
функцией тензора скоростей деформации
3°. Покоящаяся среда "идеальна": r(bt

где fs - давление.
зотропность тензорной функции /^/^^означает^ что дщ
любого ортогонального преобразования б>е «^^справедливо ра«
ввиство
В силу теоремы.об изотропных тензорных функциях тензорного ар-
аргумента (ои.МЛЛ!)* из 2°еледует, что в рамках аксиомы Ж^ за-
зависимость (I) имеет гид
':P = *.l+fi2i+l8>A- +. B)
Здесь коэффициенты ы. f в и Y являются, вообще говоря, функция-
функциями инвариантов тензора.?>, а также термодинамических парамет-
параметров состояния Л .
3, Термодинамическое состояние жидкостей и газов достаточ-
достаточно хорошо описывается следующей аксиомой состояния.
Ж%. Жидкости и газы являются двухпараметрическими средами,
и для них справедливо основное термодинамическое тождество
C)
. Обычно независимыми параметрами состояния считаются плот-
плотность f и удельная антропия *5 . Для полного термодинамического
описания конкретных жидкости или газа требуется знание уравне-
уравнения состояния, задающего зависимость удельной внутренней энер-
энергии U от параметров р , S , т.е. уравнение вида U~U(f,S).
Через функцию U(piS) выражаются остальные два параметра состо-
состояния, давление/) и абсолютная температура 6 . Непосредственно
из C) следуют формулы
" у
D)
ds " у др
Коэффициент теплопроводности <3f, входящий в уравнение при-
притока тепла 4C), также считается известной функцией независимых
параметров состояния, например. Э?=> X($,$).
4. Для "замыкания*1 системы уравнений, описывающих движение
жидкостей или газов, требуется также знание зависимостей коэф-
коэффициентов в формуле B) от инвариантов.
параметров $ , 6 , ^.е. знание функций
Йз аксиомы Ij C°) следует, только, чтд

<*(<>, p,<5;>--/>- F)
В остальном эти зависимости должны вытекать из эксперименталь-
экспериментальных данных или быть следствием каких-либо общих предположений.
Так или иначе, если функции E)известныг то получается следую-
следующая "замкнутая** модель Щ жидкости или газа
Р =
Действительно, после исключения тензора j° , в этой системе бу-
будет пять скалярных уравнений дяя пяти неизвестных скалярных
функций: трех компонент вектора ff и двух независииых парамет-
параметров состояния.
Конкретизахшя модели М3 требует отоль большого объема до-
нолнительной информации- о среде, что в приложениях она поч-
почти никогда не используется,
5. Наиболее употребительной и достаточно общеД являетсд
так называемая классическая модель жидкости или газа. Она ос-
основана на следущей аксиоме линейности.
Ж^. Зависимость тензора^ от тензораЮлинейна.
Принятие этой аксиомы существенно упрощает модель. Прежде
всего, из нее следует, что в B)/нёобходадо jf^O , а В же за-
зависит от инвариантов тензора Ю. в этом случае принято обозначе-
•ние 3 = ?jtf. Далее, так как среда инвариантов тензора® имеется
только один, линейно зависящий от &>, а именно, *? (Ф) •
-tz,§b| =- cfi& i? * а коэффициент <?с должен лршейно зависеть
от тензора^ через 'зависимость от", его инвариантов, то необхо-
необходимо, с учетом равенства ($), oL - -р +Л</(о- и % Итак, из аксио-
аксиомы ^з следует соотношение v
Это выражение ЖшК позволяет вычишшть вхсщйищё в модель
величиш _«

деления температуры в объеме. 4^.* Можно показать, что эти фак-
факторы действуют независимо.
Второй закон термодднамжЕж требует> чтобы величина (I)-. ¦<&«¦..
ла неотрицательна. Ввиду независимости е&агаемшс это означаем,
что каждое из них неотрицательно. Так как всегда & ^0 ;.. з?© От-
Отсюда следуют неравенства
Из них, в свои очередь» вытекают неравенства дахя коэффициентов
вязкости и теплопроводности
^o, C)
Неравенства B) могут быть шполнены со знаком равенства,
Ув=О. В этом случае среда движется как твердое
тело, температура которого во всех точках одна и та же. При
движении общего характера, когда?Э^#и v&i*Of равенства в B)
возможны, если только &=Л=р~О* Однако последнее фактически
означает, что рассматриваемая сплошная среда является либо не-
невязким нетеплопроводным газом, либо идеальной несжимаемой жид-
жидкостью.
Следовательно, в ъ<щт случае жидкостей и газов, энтропия
теплоизолированного объема возрастает. Тем самым содержащаяся
в таком объеме среда совершает необратимый термодинамический
процесс. Это и означает, что свойства вязкости и теплопровод-
ностж среды отвечаю!1 за происходящие в ней дкссипативше про-
процессы.
7. Второй пример дает анализ, изменения кинетической энер-
энергии движущегося объема дош уравнений Навье-Стокса М^. Эта мо-
модель является чисто динамической, не содержащей термодинамичес-
термодинамических параметров. Поэтому могло бы показаться, что в вязкой несжи-
несжимаемой жидкости диссипатйвных процессов нет. На самом деле, при
движении этой среды также идет диссипативный процесс, как пока-
показывает следующее вычисление.
Кинетическая энергия движущегося объема равна
Щ
?
Производная по t , вычисленная с помощью формулы 3(8) и уравне-
уравнения импульса из модели Мд, равна
13

где ?
и & - девиатор тензора Ж>9 т.е* ?>'*=?)-?(Ж*п?I. Величина Ф
называется дисоиративной функцией. Кроме того, в силу термоди
намического тождества C) и уравнения неразрывности, справед-
справедлива формула
Окончательно получается следующая классическая модель М* жид
кости или газа;
-- . J^
м4
в которой коэффициенты /? » и и ж считаются известными
ями двух независимых параметров состояния, а величины р t p ,
9 , S связаны двумя независимыми соотношениями D), Очевидно,
что система уравнений массической модели, "замкнута".
Коэффициенты/? и м носят название коэффициентов вязкости,
которое отражает свойство жидкостей сопротивляться сдвиговым
усилиям*
6. Классическая модель М^ все еще достаточно сложна для
непосредстве1ршх приложений. Это и не удивительно, так как она
охватывает совокупность сплошных.сред с большим разнообразием
конкретных свойств. Использование этой модели требует знания
четырех Зйгнкций- состояния V t ae t Л f U ? организаидя экспери-
экспериментов по отысканию которых есть очень не простое дело. Кроме
того, эта модель сложна и дата математического анализа. Поэтому
в следующем параграфе будут рассмотрены некоторые частные мо-
модели, основанные на дополнительных предположениях.
8

§ 9. ЧАСТНЫЕ МОДЕМ. ДОСИПАТИШЫЕ ПРОЦЕССЫ
1, Одной из наиболее простых и достаточно хорошо себя за-
рекомендовавщеЙ! на практике является модель несжимаемой жидкос-
жидкости. Несмотря на то что в принципе изменение давления всегда,
приводит к изменению плотности, для большинства жидкостей при
умеренных перепадах давления (до сотен атмосфер) это изменение
шало и во многих приложениях им можно пренебречь* Это новое
предположение о постоянстве плотности среда влечет важные по-
следствия.
Прежде всего, в термодинамическом отношении среда становит-
становится однопараметрической. В качестве независимого параметра дня
нее обычно выбирается температура 6 . Давление д исчезает из
термодинамических соотношении и уже не может рассматриваться
как термодинамический параметр состояния. Это можно объяснить,
если считать термодинамическое давление нормальным напряжени- .
ем, производящим работу по изменению объема: так как р=*со/73&,
то удельный объем V- //? не меняется и соответствующая рабо-
работа pdv равна нулю.
Кроме того, основное термодинамическое тождество принимает
вид 4Ц- 9dA* Это означает, что в обратимом термодинамическом
процессе сообщаемое среде тепло идет только на увеличение ее
внутренней энергии. Свойство среда воспринимать тепловую энер-
энергию при неизменном объеме называется теплоемкостью среды (при
постоянном объеме). Эта теплоемкость характеризуется производ-
производной Су * д UCt У)/дО и должна рассматриваться как известная
функция температуры 6 , определяемая опытным путем.
Наконец, -при.о» солэ4жъ двух коэффициентов вязкости в урав-
уравнении импульсов остается только// или if=jtf/p". Величина ^ назы-
называется коэффициентом кинематической вязкости. В общем случае
)?*= $(Q)* но для простейшей модели можно считать. $**&*&.
Все эти свойства и предположения суммируются в следующей
аксиоме несжимаемости.
Жидкость несжимаема (p = c0#s$9 коэффициент кинемати-
кинематической вязкости не зависит от темпердтуры (У- соя si:)*
2. Так как 1фи f =/??/?5^уравнение неразрывности принимает
вид с/г it V~ Ои так как. &=.сол$?. „л то в уравнении импульсов сла
гаемоеЖР(?м?)) упрощается на основании следумцих формул;
9-

вторая_из которых есть определение оператора Лапласа Л-от век-
вектора V'.
После всех упрощений, вызванных принятием аксиомы Ж<^, по-
подучается пзашснутаян модель М§ вязкой несжимаемой жидкости:
в которой содержатся только две искомые величины: вектор ско-
скорости V и давление Д.
Уравнения М§ называются уравнениями Навье-Стокса.
Замечательно, что термодинамика вообще не участвует в моде-
модели М^* Температура в определяется из уравнения притока тепла,
которое, в силу равенства c/U^ ?vd9f принимает вид
? v
? v т
где диссшативная функция Чг выражается через девиатор скорос-
скоростей деформации ©'по формуле
Су
Простота модели вязкой несжимаемой жидкости -обусловлена
тем, что при изучений ее динамики путем решения уравнений Mg
среда описывается только двумя константами: плотностью р и ко-
коэффициентом кинематической вязкости ^ . Эти константы надежно
Определяются экспериментально. Уравнения Навье-Стокса широко
используются в расчетах конкретных движений жидкости.
3. Оказывается, что эффекты, вызываемые вязкостью жидкости,
существенны не всегда. В связи с этим распространена теория
(которая исторически была первой теорией движения жидкостей),
основанная на следующей аксиоме идеальности жидкости:
%[j. Коэффициент вязкости V^О,
Соответствующая модель Mg идеальной несжимаемой жи,цкости
немедленно получается из модели М& и имеет вид
10

- о ;
Уравнения Mg называются уравнениями Эйлера.
При этом существенно упрощается и уравнение притока тепла
(I), в котором будет Ф'~ О . Получаемое при этом уравнение
называется уравнением теплопроводности. Если, как это часто
делается, дополнительно предположить, что коэффщиенты <а? и Ст
не зависят от температуры, т;е, являются константами, характе-
характеризующими жидкость 9 то уравнение теплопроводности примет клас-
классическую форму
КАв; B)
называется коэ№шиентом теьщерату-
где константа К « <
ропроводности.
4. В отличие от жидкостей, газы являются существенно сжи-
сжимаемыми средами. В то же время во многих задачах вязкость га-
газа несущественна. Кроме того, для многих оыстропротекащих
процессов в газе оказывается несущественной и его теплопровод-
теплопроводность. Тем самым возникает широко применяэмая модель Щ невяз-
невязкого нетеплопроволного газа. Она основана на следующей аксиоме
идеальности газа:
Жоо. Газ идеален;Р=*~р1 (т.е. Л^М^О) и Хг*О-%.
Очевидно, что в этом случае Ф ~ О и уравнения й^ пршпша-
ют вид d
d-t
Уравнения My называются уравнениями газовой -динамики.
5. Свойства вязкости и теплопроводности жидкостей и газов
проявляются, в частности, в том, что механйч:вокая-энергия,- оо-
общенная среден может необратимым образом Перейти в тепловую"
II

«порх-лш9 ^каииоитъил й доитлчсяжии Тед ЛОВОМ ДВИЖвЩЩ
Такое рассеяние механической энергии называется ее диссипацией.
Поэтому процессы в сплошных средах, сопровождаеше диссипацией
механической энергии, называются диссидатившми процессами.
С точки зрения термодинамики диесипатившй процесс являет-
является необратншм и должен сопровождаться возрастанием энтропии.
Обратно, возрастание энтропии какой-либо части сплошной ереды,
происходящее без "подкачки" тепловой энергии извне, является
признаком того, что в этой части среды идет диссипатившй про-
процесс.
Тот факт, что ддя жидкостей и газов ответственными за дис-
сипативше процессы являются свойства вязкости и теплопровод-
теплопроводности убудет проиллюстрировано на двух примерах.
6. Первый прювер относится к величине энтропии движущегося
объема
Производная по времени от этой величины (при вычислении исполь-
используется формула 3C))* в силу уравнения притока тепла в модели
М4, равна
?
CvL сил
В силу толодеетва *
последний интеграл будет равен сумме двух интегралов, первый из
которых может^ быть преобразован в поверхностный (теорема Iaycca
Остроградского) и» в силу закона фурье-(см. 4.5) и формулы
3(8), оказывается равным
где Яп " ийютнос'иь потока тепла через поверхность
Поэтому, еодибй. теплоизолирован, то этот интеграл равен нулю.
В этом случае вычисляемая производная равна
h 6
Правая часть равенства (IX есть сумма двух величин, выраба^-
тываемых за счет различных факторов. Первое слагаемое возникает
за сч:ет движения среды, а второе *- за счет неравномерного распре-
12

]]}v:cf?&Pd&+
щщьбразование первого интеграла с помощью тождества
р
и творшш 1^уоса-0строградского, о учетом равенства
дает
-- D)
Отсвща следует, что -если второй и третий интегралы равны
если поверхностные напряжения fn и внешние массовые
над объемом о% в целом никакой работы не совершают, то
скорость изменения кинетической энергии какого движущегося объ-
объема вязкой-несжимаемой жидкости равна
?
J!fa.<O E)
Здесь, в силу формулы 8(8),
'¦$=&/*& 1-Ш-. F)
Равенство E) показывает, что, несмотря на отсутствие рабо-
работы, совершаемой над объемом Ф±/%. его кинетическая энергия всег-
всегда не возрастает. Сохранение^^^равносильно равенству ф= О
в сд^ , которое возможно либо когда Ю=*0,« либо когда М-.О . В
первом случае объем cfy движется как твердое тело, а во втором -
жидкость идеальна (аксиома Sqjj). Следовательно, за исключением
этих возможностей, кинетическая' энергия движущегося объема убы-
убывает. Это и есть проявление диссипативного процесса в вязкой не-
несжимаемой жидкости, за который отвечает коз^фициент вязкости и »
Величина интеграла в формуле E) дает скорость диссипацш
кинетической энергии. Доэтому можно сказать, что диссипативная
функция Ф равна плотности скорости5--до>9ШИЩии--;-юшвига.еской -энер-
-энергии» Этим, в частности, оправдано название "диссипативная функ-
функция" для величины Ф .
14

§ 10. ДВЗБОРМИРУЕШЕ ТВЕРДЫЕ ТЖА.
1. Сплошная среда, называемая в механике деформируемым
твердая телом, по своим свойствам резко отличается от жидкос-
жидкостей и газов. Опыт показывает, что твердое тело, будучи нагруже-
нагружено какими-либо силами, перейдет в некоторое деформированное по-
положение, а затем может оставаться в покое, вообще говоря, неог-
неограниченное время. При этом твердое тело будет находиться в неко-
некотором напряженном состоянии. Воли нагрузку снять, то твердое те-
тело перейдет в новое деформированное положение, не обязательно
совпадающее с первоначальным. Если совпадения нет, то процесс
первого перехода был необратим. Вместе с тем, при умеренных на-
нагрузках (мера, зависит от конкретного тела) процесс дёфоршрова-
ния твердого тела может оыть и бывает обратимым.
Модели деформируемого твердого тела для таких обратимых
процессов дефоршрования основаны на представлении о том, что
возникающие в среде напряжения определяются д^Ьормадией щ во-
вообще говоря, температурой. Твердые тала';- удовлетворяющие этом^
условию, называются упругими. Точное определение понятия упру-
упругого твердого тела может быть сформулировано так:
деформируемое твердое тело, рассматриваемое как сплошная
среда, описываемая моделью Mgt называется упругим: телом,
если процесс изменения характеристик любого материального объе-
объема этой среда является обратимым термодинамическим процессом,
независимыми параметрами которого являются тензор деформаций
t и температура О .
2. В соответствии с данным определением для упругого тела
наиболее удобным является лагранжево описание, которое и будет
использоваться в дальнейшем. Фиксируется некоторое положение
Qo среда в момент времени -?о и рассматривается ее переход в
положение Q$ в момент времени -? >±о.
^отъ^—^С6){ х=/,?,$ )*• инварианты тензора деформа-
деформаций 6 , соответствувдего перехолу ?2О—-?>^. Оказывается, что
плотность среда у в положении Q^ может быть выражена только
через ее плотность ро в положении" ??о и инварианты ^. Этот
факт утверждается следующей леммой о, плотности среда.
-.ШЩ. Справедшва формула
-?? (I)
15

рнвноети
следует^±--(qJ) =п Штегрирование
равенства при переэсрде Йо-^даетр*/=ро Jo. Но в силу
начального услЬвия^^^^о^дат^-J^^^/* Поэтому преда
дрщй интеграл переписывается в виде
Далее, из равенства f% T~I+?& joyra детерминантов
Но, в силу определения инвариантов J^ как коэффициентов ха-
характеристического полинома тензора 6 » справедливо равенство
Следовательно,
и форьцгла (I) следует из равенства (.2). Демш доказана.
3. Дяся дальнейшего удобно ввести обозначение^ для вспомо-
вспомогательного тензора» связанного с тензором напряжений р фори^ула-
г* /- г*7. j»o т*~х:
Изучение термодинамики твердого тела начинается с анализа
уравнения притока тепла 4C)* используя формулу 6F) и вытека-
идее из нее, в силу C), равенство
можно переписать уравнение притока тепла в виде
pi — 4dt&(&4e).' D)
№ *.-¦.¦¦¦
Тепловая энергия, сообщаемая в процессе движения некоторое
му движущемуся объему^ .состоит из двух частей» Иервая - що
количество теп4а, возникащего в со& за счет механической рабо-
работы действующих сил. Так как процесс, согласно определению, об-
обратим» то эта часть тепла роста энтропии вызывать не. должна.
16

ибо в противном случае ее нельзя было оы снова преобразовать
в механическую работу» Поэтому за рост энтропии отвечает толь-
только оставшаяся часть тепла.<[¦&**'& d& . Следовательно, количест-
количество тепла этого вида, выделяемое в единице объема за единицу
времени, равно f # J~- • С другой стороны, это тепло вносится
в объема^ за счет тешгопроводаости среда, причем в единицу *
объема за единицу времени притекает количество тепла, равное
dz& (<эе 7В). Равенство этих двух количеств и есть первая акси-
аксиома тершдрдаашки упругого тела. ,
Тр Снраведашо равенство рв-дт **ditr(&wQ).
Аксиома Tj позволяет исключить величввх^^:^ У&) из ура»»
нения притока тепла D). Воли ввести еще свободную энергию
V.17- OS , то D) преобразуется в уравнение
г /;
U
4. Следующая аксиома1 состояния завершает формулировку пред-
предположений о термодинамике упругого тела.
Т2. Независимыми термодинамическими параметрами упругого
тела являются тензор деформаций ? и температура В , Свободная
энергия &F76)и коэффип^ент теплопроводности &С?, О)суть из<ь
тропние функции тензора с .
Б силу этой аксиомы
Щ [ &? + дв д?
Подстановка этого выражения в E) и учет независимости парамет-
параметров о и О приводит к формулам
дё эв
л Легко проверяется, что если,?*- изотропная функция тензора
t f то dJF/дб есть тензорная изотропная функция тензора 6 .
Поэтому из аксиомы Т2,формулы (I) и первой формулы F) следует,
что цензор Р также является изо^тропной тензорной йгнкцией тензо-
тензора 6 : Отекцда, согласно теореме о тензорных изотропных функ
тензорного аргумента (см, МЛЛ1) гполучается представление
M ^ G)
циях
¦ ¦ ¦ ' ¦ - А
где «с , й * $ ~ Функции только инвариантов тензора 6 и теьщера-
туры. Йти ©пакции должйбг определяться жз экспериментов, а в мо-
17

деда- считаться известными, эт© относится также и к
енту тещювроводности зе*
Вторая из формул F) используется дня преобразования урав-
уравнения Тр Если ввести коэффициент теплоемкости при постоянной
дефоршщий: С$••¦-- & Э ^/д&л то уравнение Tj- можно преобразовать
в следующее уравнение щя температуры?
Коэффицишт теплоемкости С^ также считается известной функци-
eft инвариантов тензора б и температуры О ,
5, Осноияыми искомыми функциями в теорий упругого тела
считаются вектор перемещения Ш и температура В . В лагранжевом
ощсанюг они рассматриваются как функции переменных Г^,^1- В
уравнение импульсов ^вводится с помощью соотношений
p
Уравнение импульсов принимает вид '
(9)
Легко проверить, что уравнения (8) и (9) вместе с равенст-
равенствами (I), C), G) и выражениями
^-¦о —^ A0)
при заданных <*-» ^, ^ , сзе , ?е - функциях инвариантов тензора
6 и температуры 0 , образуют "замкнутую11 систему уравнении.
Эта система и есть математическая модель Mg упругого тела.
Для полноты записи уравнений модели Ыо требуется еще преоб-
преобразовать входящие в G) и (8) операции w di*" к лагранжевым ко-
координатам. Если писать div^ душ этой операции в эйдерошх коор-
координатах и dtzfy.¦— в лагранжевых (аналогичный смысл имеют У^ и
V> )» то нужное преобразование дается формулами
Ь:^ ^ Cf-Го Т<^ 6>;- <еТ
Уравнения модели Mq , в частности, уравнения (8) и (9), на
зываются уравнениями термоупругости.
^Система уравнений 1^ нелинеййой термоуяругости весьма слож
на как ддя решения конкретных задач, так ж для общего математи
'¦..¦¦ ¦ ' . (-
18

ческого анализа. В приложениях обычна используется ее линейный
вариант. _
6. Отправным пунктом линейной теории является понятие "ео-
тественногов состояния термоупругого тела. "Естественным* назы-
называется такое состояние, в котором отсутствуют напряжения (Р~0)
и деформации (8 ~О ), а температура постоянна F'**0О)* Хотя
в общем случае. такого состояния у среда может и не быть, пред-
предположение о его существовании на практике обычно бывает оправ-
оправдано,
.. \ Следущее предаолркение называется "геометрической линей-
линейностью" . Оно означает малость деформаций в том смысле, в каком
это свойствоуже обсуждалось в^V3r
Наконец, используется предположение о "физической линей-
линейности". ПоД: ;этш понимаетон следящее: тензор напряжений Р ли-
линейно и однородно зависит от тензора jt0#op«aapz$ 6 и разности
температур 6~6'B0<t причем величина Q/B^ ж ее щюнзводвне №&-
ш порядка машсти норш тензора ? ¦ Кроме тог^, в понятие "фи-
"физической линейности" удобно вклшить также предположение о по-
постоянстве коэффициентов зе и С$
Следует заметить, что для малых деформаций тензоры 6 и 6
отличаются на малые величины высшего порядка малости. В рамках
"физической линейности11 это, очевидно» верно ж ддя тензоров Р
т&'Ж: ¦ Поэтовву в дальнейшем, в линейных теориях, эти тензоры бу-
будут обозначаться просто символами ^ и i1.
Из предположений "геометрической11 и "физической линейности"
следует, что уравнение состояния G) термоунругого тела в .шщей-
ной теории имеет вид
Хё+л3(д))и?& A2)
где 3{С6) **Ж&Ф', а коэффициенты г , Л ,/и - константы.
ство A2) называется законом Драмеля-Не&дана.
Совокупность всех перечисленных предположений составляет со-
содержание следующей аксиомы линейной термоудругости.
Т3. Существует "естественное11 состояние упр(угого тела, по
отношению к которому движение среды удовлетворяет условиям "гео-
"геометрической" и "фазической линейности11.
7. В результате отбрасывания матах .величин высшего порядка
малости по сравнению с основной маяой величиной - нормой тензо-
тензора ди?/д? f уравнения модели Mg существенно упрощаются. Преобра-
19

зования* аналогичные тек, которые были проделаны при выводе
уравнений М4 ж М§, приводят к следующей системе уравнений моде-
Ш;-'Mq лзрейной тешоупругости; .--..-
где Х- сЕ% С- коэффициент температуропроводности и введен ко-
коэффициент &**](&0 !$>&? • ЗД60* операции </tV-, V ш й выполня-
выполняются по латранвевым переменным ^" (индекс*|г для краткости опу-
опущен)* '
Через основные величины Ш и в тензор деформаций <5 вычисля-
вычисляется по формуле (см. 6G))
О ^ я i ¦ "¦ •#•¦..¦ .11...-.- I СХЗ)
тензор напряжений - по формуле A2), а плотность среда -'по ли-
линейному приближению формулы (I), 1шеющему вид
¦ (и)
Уравнения Мд шесте с формулами A2), A3) и A4) называют-
называются уравнениями линейной термоупругости,.

§ II. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРЩ УПРУГОСТИ
I. Существенную трудность при решении задач линейной термо-
термоупругости вызывает то обстоятельство» что уравнения М^ требует-
требуется рассматривать совместно: напряжения (и перемещения) зависят
от температуры и обратно. Как показывает опыт, в тех случаях9
когда нагружение упругого тела происходит достаточно медленно»
влияние температуры на напряжения оказывается малым, так как
за время перехода Й^fi, температура успевает выравняться и
придти в равновесие с окружающей средой. Предположение о неза-
независимости напряжений от температуры широко используется на
практике и приводит к модели классической теории упругости.
Итак» в основу линейной теории упругости кладется модель Мд ж
дополнительная аксиома Т4 независимости от температуры.
Т^. Тензор напряжений Р не зависит от температуры О .
Принятие этой аксиомы' означает, что в форм^яе 10A2) сле-
следует положить f~ о #- в результате чего она принимеФ вид
'(Г)
Эта форма линейной связи напряжений с деформациями,упругого те-
тела называется законом* 1)ука.
2. Внести с У обращается в нуль также ш & . Но если ^~Я-о%
то уравнения Щ становятся независимыми: друг от друга, т.е. ме-
механические и тепловые процессы оказывайся разделенными. При
этом да Q получается уже известное уравнение теплопроводности
9B). Единственное оставшееся уравнение и образует, вместе с ра-
равенствами (I) и 10A3), модель Mjq классическрй жнейной теории
упругости
b±V+f)*6'**-&)+f4&+fjy м10
Уравнение Mjq называется уравнением Ламе. Входящие сюда величи-
величины Я и ft называются постоянными Лже.
3. Физический смысл постоянных Ламе выясняется путем их вы-
выражения через легко измеряемые величины. Для одноосного напря-
напряженного состояния, при котором матрицы тензоров Т и <5 в. главных
осях имеют вид
2.1

Oh*
ift
о
о
о
о
0\
о
\
о
о
о
&¦
о
¦О \
о
6
равенство (I) равносильно системе из трех скалярных равенств,
которые могут быть преобразованы в следующие:
Величина Е-
называется мо^яем Юнга. В силу перво-
первого равенства справедливо соотношение (закон 1Ука при одноосном
нагружении)
1 ^ B)
А ¦
Величина в^ —•—называется коэффициентом Дуассона. В силу
второго равенства: сцраведшва формула поперечного сжатия
C)
Приближенно одноосное.напряженное состояние достигается,
если дзшнный круглый цилиндрический стержень длины/, с площадью
поперечного .сечения>S растягивать (или сжимать) силами величины
Ft прижоженными на его концах. Тогда напряжение в сечении»
перпендикулярном оси стержня, равно F/S . Если измеренное из-
изменение длины стержня равно aL t то относительное удлинение
будет равным aL/L * Тогда из закона Т^ка B) можно найти молуль
Юнга по формуле E^F-L/S-aL» Кроме того, если радиус R сечения
изменился ни,А& % то относительное поперечное сжатие будет рав-
,но А?/Я,и коэффициент Дуассона вычисляется по формуле
При растяжении стержня в продольном направлении он испытыва-
испытывает сжатие в поперечном направлении и наоборот. Поэтому коэффици-
коэффициент Пуассона всегда положителен. Точнее, он лежит в интервале
;
4. Сводка формул, связывающих коэффициенты Ламе А , и с мо^
дул ем Kteraj? и коэффициентом Цуассона 6 9 таковая
Л-t-ju
Закон iyka с величинами Л , <^ принимает вид
?~
.D)

E)
Отсюда получается следующее выражение тензора деформаций ? че-
через тензор напряжений Ру >
5. Одной из основных задач механики упругого тела является
задача о равновесии* Пусть тело находилось в "естественном" со-
состоянии в положении Qo. Пусть к этому телу приложена не зави-
гая от времени нагрузка в виде некоторого поля массовых сил
¦ <fjfr) и каких-либо поверхностных сил на поверхности тела дО.о
Если приложенные силы находятся в равновесии, тог как показыва-
показывает опыт» по прошествии некоторого времени это тело перейдет в
положение Q^, которое не будет меняться со временем. Это но-
новое положение и будет положением равновесия нагруженного упру- .
того тела.
Задача о равновесии упругого тела есть задача об отыскании
положения Q^, т.е. поля перемещений при переходе^^-Q^, и
поля напряжений, действующих в теле в положении Q^ В зависи-
зависимости от характера дополнитаяьной информации, которая задается
в виде так называемых граничных условий, эта задача может ре-
решаться либо в перемещениях, либо в напряжениях.
Так как в положении равновесия вектор перемещения!^от вре-
времени нел зависит, то он удовлетворяет стационарному уравнению
Даме
решение которого w= ж($) требуется найти в области Qo ¦ При
решении задачи в перемещениях требуется, чтобы вектор 2Fбыл за-
задан на все:^ границе dQ0. Если эта первая краевая, задача теории
упругости решена, то тензор деформаций вычисляется по формуле
10A3), а тензор напряжений - по формуле E).
6. Сложнее обстоит дело во второй краевой задаче теории уп~*
ругости, когда на границе д Qo заданы напряжения. В этом случае
задачу надо решать в напряжениях. Равносильное уравнению G)
уравнение в напряжениях есть уравнение импульсов 10(9)
23

p , так как оно является векторным и состоит из трех скаляр-
скалярных уравнений,, в то время как симметричны! тензор напряжений
Р имеет шесть неизвестных компонент.
Недостающие уравнения дает условие совместности. Если пред-
предположить, что тензор Р найден, то, в силу F), будет известен
и- тензор ё • Построение перемещения ^-^-^^тогда. сведется- к
задаче об отыскании поля перемещений и^по тензору деформаций
б • Эта задача была рассмотрена в лекции 7$ где было выяснено,.
что она разрешима тогда и только тогда, когда тензор& удовлет-
удовлетворяет условию совместности Сен-Венана 7A1). Если ввести в
рассмотрение "тензор несовместимости11
то условие совместности запищется в виде
Подстановка сюда выражения F) дает условие совместности
тензора напряжений Р
Итак, тензор напряжений должен удовлетворять как уравнению
(8), так и уравнению A0)* Система, состоящая из этих; уравне-
уравнений, переопределена: в ней девять скалярных уравнений дяя шести
искомых функций. Тем не менее, Как устанавливается в теории уп-
упругости, вторая краевая задача -для системы (8), A0) поставлена
корректно. ,

§ 12* СИЛЬНЫЙ РАЗРЫВ
I. До сих пор рассматривались движения сплошных сред» не-
непрерывные в смысле определения 3.2. Дет непрерывных даижений
дифференциальные уравнения М,- равносильны интегральным законам
сохранения Uj_f которые могут быть переписаны в виде
V (i)
*\
Все эти уравнения можно считать кошфетизациями одного и того
же абстрактного-закона сохранения, имеющего вид
B)
4 ^ ^
2. Использование того факта, что закон сохранения B) вы-
выполняется дая любого деи*р$егося объема 6^,позволяет жреобразо
вать его к такому виду, в котором отсутствует какие-либо произ
водные функций F ,?f *
Для непрерывного двияения справедливы равенства, первое из
которых получается с помощью-формулы 3B) и замечания, что
JL+Fdifrir=*-^~-hdzv- CF&) * а второе - по теореме
роградского
t к ? ? t
В силу этих равенств уравнение B) равносильно ел едущему:
В § 2 отсща были получены дифференциальные уравнения непрерыв-
непрерывного движения, образующие модель
25

гладкой границей Т=ЭС- (четырехмерный объем)* для всех точек
которой время Ч заполняет некоторый интервал с-C^i^z)* ^пя
каждого -t?T в качестве области интегрирования в C) берется
речение объема G гиперплоскостью, несущей это значение Ь , пос-
после чего это равенство интегрируется по интервалу т (по перемен-
переменному i )¦ В силу теоремы о повторном интеграле получается равен-
равенство
G G
Можно заметить, что под знаком левого интеграла находится четы-
четырехмерная дивергенция вектора -FT+ Ftr- 7р , где Т- орт оси ir
ъ?*?хг4)* К этому интегралу можно применить теорему Гаусса-
Остроградского, в силу которой он преобразуется в интеграл по
ГOTjfc-рмальной к Г составляющей! этого вектора. Следовательно,
если У - орт внешней нормали к Г (в пространстве "-J? ), то 'равен
ство D) равносильно следующему:
3, В снучае непрерывных движений справедливость равенства
C) для любого движущегося объема равносильна справедливости ра-
равенства E) для любого четырехмерного объема 6г . Однако область
применимости равенства E) шире, чем равенства C). Действитель-
Действительно, равенство E) имеет смысл даже тогда, когда от F и ^требу-
^требуется только, чтобы они были ограниченными измеримыми функциями.
В этом классе функций равенство C), а значит и дифференциапьные
уравнения, вообще говоря, смысла не имеют. Если в E) конкрети-
конкретизировать значения санкций F, ^, X применительно к законам со-
сохранения (I), то получится определенная система интегральных со-
соотношений. Она будет обозначаться также номером E). Более широ-
широкий, чем непрерывные движения, класс движений охватывается сле-
следующим определением.
Обобщенным движением сплошной среды называется такое движе-
движение, в котором ваяичины р., V , Р » 7F ^ являются ограниченны-
ограниченными измеримыми функциями переменных (Зс, t) и для них. совокупность
интегральных соотношений E) выполнена для любого четырехмерно-
четырехмерного объема G .
Во всей полноте класс обобщенных движений весьма труден для
анализа и, на самом деле, до конца не изучен даже в случае про-
26

4, Здесь будет рассмотрен один важный подкласс обобщенных
движений, а именно движения с сильным разрывом. Рассматривает-
Рассматривается движение, определенное в области W<=J?*(Jc,-?) # и.предполага-
и.предполагается, что некоторой гладкой гиперповерхностью .Я3область Wде-
Wделится на две подобласти Wx и ?
Обобщенное движение*в области Wназывается движением с
сильным разрывом, если в каждой из подобластей Wy , И? оно яв-
является непрерывным движением и если в каждой из этих подоблас-
подобластей функции р , U , Р , гг , ^Г имеют непрерывные предельные
значения на Л* /вообще говоря, различные для"И^ и Wg . При
5
этом гиперповерхность Л5 называется поверхностью сильного раз-
разрыва. •
В силу этого определения, при переходе через гиперповерх-
гиперповерхность Л функции р , 1/, Р , гР, ^ претерпевают разрыв первого
рода (конечный скачок). В каждой точке Л3существуют два набо-
набора значений; р?, U{ , Р? , ^ , 5/ - предельша Значения из
подобласти Щ и fa , Щ , ^ » ^ t ^ - предельные значения
из подобласти W& . Оказывается, эти наборы не могут быть проиэ-
вольными; они связаны определенными соотношениями, которые на-
называются уравнениями сильного разрыва.
5» Вывод абстрактного уравнения сильного разрыва начинает--
ся с выбора точки А^Л3 9 орта нормали / кЛ в точке А^,
круглого гиперцилиндра достаточно малого радиуса г с осью 7 ,
пересекающего Л6 по гиперплощадке / , и достаточно малого числа
h > о . От гиперцилиндра отсекается конечная часть &h (область
в Я^) гиперповерхностями, получаемыми параллельным переносом
Л5 на расстояние^k в направлении вектора 7. Граница Г объе-
объема &? образована "основаниями" гиперцилиндра ^ и j^ и его бо-
боковой гиперповерхностью fe . Пусть^с"^ , fy^Wz^ нормаль7
направлена в область Щ,.
Применение равенства E) к так построенному объему^ и
предельный переход при /ь^О, в результате которого обращаются
в нуль правая часть и интеграл по^ , приводит к соотношению
к
Отсюда следует, ввиду произвольности "радиуса" Z гшерплощадки
у и непрерывности всех входящих величин в точке А^.$ что в
27

дание равно нулю. Если для обозначения скачка ал - ^любой ве-
величины а ввести символ/^?/ , то получится следующее абстрактное
уравнение сильного разрыва:
jf)-7]~0. F)
6. Дия записи уравнения F) в терминах пространства ,&3(<jc)
удобно ввести в рассмотрение сечения гиперповерхности Л5гипер-
Л5гиперплоскостями -t~ const Каждое такое сечение есть двумерная по-
поверхность в JRb(j&). Значит,множество этих сечений можно пред-
представить как двумерную поверхность /L , меняющую свое положение
в пространстве со временем,-т.е. перемещающуюся в М
9
Определение понятия скорости перемещения поверхности
связано со следующим построением. Берется точка А^Д^к орт
нормали % к П.? в точке А и рассматривается поверхность й?
которая пересечет прямую, определяемую точкойА и вектором Ж в
некоторой точке В .
Скоростью перемещения поверхности Л^ (в точке А ) в направ-
направлении нормали УХ называется величина
* . G)
Велич.ина ^^предполагается конечной. Оказывается, что орт
нормали V к U3 в чвчв.ъА.?*(At-t) может быть выражен через % ж&я
Действительно, так как % есть нормаль к сечению Д*. гиперпо-
гиперповерхности Л59 ортогональному орту Т оси ± , то векторы У , ТЕ и
/лежат в одной плоскости. Пусть угол ol определен равенствами
coscC^V-^ » Sz/joL-V7b. Чо?я$Г\?*=72созы.+У?$1/7о(> Но из рассмотре-
ния элементарного чертежа легко следует, ^
Поэтому требуемое выражение таково г
(8)
7. Подстановка выражения (8) в уравнение F) приводят послед-
последнее к следующему;
где &п ^р-, Л есть нормальная к Л± скорость частиц среда в напра-
направлении нормали И . Для краткости это равенство записывается че-
через относительную скорость Vj?= V^-uD^p тогда онд принимает\окон-
принимает\окончательный вид
28

хранения (I) приводит к следующим уравнениям сильного разрыва
в сплошных средах;
[f%&-P<%>J~O;
\
Сюда не вошло уравнение, получаемое из закона сохранения мо-
момента количества движения, так как оно является следствием вто-
второго уравнения A0).
Удобно преобразовать уравнения A0), введя в них компоненты
разложения векторов хУж 'р^ Р<пувя составляющие в направлении
нормали 7Г и в касательной плоскости к поверхности разрыва
(индекс «?*)
После подстановки в A0) выражений (II) и очевидных упрощений
уравнения сильного разрыва примут окончательный вид
[¦?<]
> A2)
8. Характерным видом сильного разрыва является такой, в ко-
котором тУ^ = О .В этом случае &П=ЮП> т.е. скорость перемещения
частиц среды в направлении нормаяи Ж совпадает со скоростью пе-
перемещения поверхности разрыва Л± . Это означает, что между об-
областями Щи Vfc обмена частицами не происходит. Вдоль поверхности
Л± как бы контактируют два состояния среда или две различные
среда (нацример вода и воздух на поверхности моря). Поэтому по-
поверхность разрыва, на которой Цт- о , называется контактным раз-
разрывом. •
Уравнения контактного разрыва таковы':

Другой типичный случай сильного/разрыва характерен для "иде-
"идеальной" среда, в которой Р=-р1 (а также а*=О ) и, следователь-
следовательно, pn=~p7i t pfw^- p t /j^ -О . Рассматривается сильный разрыв,
на котором 1%ФО • В этом случае частицы среды переходят, из об-
области W/ в область W% , пересекая поверхность разрыва Л^ или,
что то же самое, поверхностьсильного разрыва/2t распространяет-
распространяется по сре^е со скоростью г^. Такая поверхность сильного разры-
разрыва называется ударной волной.
¦Уравнения ударной волны имеют вид
Здесь характерный является поведение касательной к поверхности
разрыва составляющей вектора скорости i? : при переходе через
ударную волну она сохраняется.
§ 13. МОДЕЛИРОВАНИЕ
I* Моделирование - один из важнейших методов познания и ос-
освоения закономерностей реального мира. В этой лекции будут рас- .
смотрены вопросы математического моделирования, основной. продукт
которого есть математическая модель* Этим термином обозначается
математическая структура, в которой, в схематизированной форме,
отражены наиболее общие свойства определенного класса реальных
явлений или процессов.
ФЕзичеекая структура класса явлений (V,?D)описывается набо-
набором характерных наблюдаемых величия V (функций или параметров)
и списком некоторых дополнительных объектов S), уточняющих об-
обстановку протекания явления (областей пространства, начальных
и граничных значений и т.п.). Математическая модель M(?tV, JU)
состоит из описания структуры явления (V, ?)) и соотношений (урав-
(уравнений)^ , связывающих величины у . Последние, в свою очередь,
подразделяются на известные (или задаваемые) величины К и иско-
искомые величины JT , так 4^oV^V(KfJC) * Например, в модели М5
вязкой несжимаемой жидкости (лекция Ъ)Х=(д;р) , К~(§,$М » ?~
уравнения Навье-Стокса М§ , а ?) включает в себя область опреде-

ления величин ir , p , а также начальные и граничные условия,
К математической модели предъявляются некоторые общие тре-
требования, вытекающие из основанного на опыте представления о
свойствах класса моделируемых явлений. Обычно это представление
связано с тем» что явление (а) наблюдаемо (величины набораX
могут быть измерены), (б) протекает детерминированным образом
(при данных К ж ?двеличины^ получаются вполне определенными)
и (в) надежно воспроизводится от опыта к опыту (величиныX сла-
слабо зависят от всегда имеющих место в опыте малых флуктуации
данных К и ?)).
В соответствии с этим представлением первое требование к
математической модели ./#??, JC, л; ?>Л выражающее необходимое
свойство ее адэкватности явлению, состоит в том, что решение
X уравнений Ж должно (а) существовать, (б) быть единственным
и (в) непрерывно зависеть от данных ir , i?>. математическая мо-
модель, удовлетворяющая этому требованию, называется корректной.
Второе требование -достаточная оби^ность математической мо-
модели, охват по возможности наиболее широкого класса физических
явлений. Йиу необходимо удовлетворить для того, чтобы с помощью
математической модели можно было прослеживать взаимосвязи кон-
конкретных явлений данного класоа и решать вопросы управления #ти-
ми явлениями.
Наконец, третье требование - простота модели. Если модель
слишком сложна, то трудно надеяться, что её уравнения удается
продуктивно решать. Кроме того, сложность модели может происте-
проистекать из-за ее перегруженности информацией о некоторых чертах яв-
явления, которые могут быть несущественными. Конечно, понятие про-
простоты относительно, оно зависит как от глубины проникновения в
суть описываемых явлений, так и от имеющихся технических средств
решения задач: развитых математических методов, вычислительной
техники, возможности подготовки дополнительной эксперименталь-
экспериментальной информации для проведения конкретных расчетов и т.п.
Обычно конкретные решенияX уравнения Ж моделей сплошных
сред отыскиваются в некоторой области определения Q.czJ2 иско-
искомых функций при некоторых начальных и граничных условиях. Зада-
Задача об отыскании решения в заданной области при заданных началь-
начальных и граничных условиях называется краевой задачей.
Начаяъще условия заключаются в задании при некотором -t^iro
тех из величин X , от которых в Ж входят производные по времени-
31

¦fc . ири этом число условии должно оыть равно
производных. Например, для уравнений Эйлера Mg надо задать
при f« ^только значения вектора скорости Tr^iFoCc) /а
уравнения Даме Mjq¦- значения вектора^перемещения uF~u
и его первой производной дЩ/д? = Щ С2с).
Граничные условия различны для разных сред и разных за-
задач и во. многом определяются характером воздействия на среду
и физической структурой ограничивающих ее тел. Например, в
задаче о равновесии упругого тела на его поверхности можно
задавать лш5о перемещения, либо напряжения. На границе Г с
неподвижным твердам телом дои вязкой жидкости ставится условие
прилипания: тг=о » а даш идеальной жидкости - условие непро-
непротекания: zF'7i=0t где 7i- орт нормали к Г . Граница раздела
двух разных сплошных сред обычно рассматривается как контакт-
контактный разрыв, на котором должны быт]ь выполнены уравнения 12A3).
Постановка и исследование, корректных краевых задач для мо-
моделей механики сплошных сред составляет предает специальных на-
научных дисциплин, таких как гидродинамика, газовая динамика,
теория упругости и т.п.
3Ф Каждое конкретное решение уравнений JT, называемое так-
также частным решением, есть математическая модель одной опреде-
определенной реализации явления. Однако обычно в приложениях ста-
ставится вопрос об отыскании цатах классов решений, зависящих от
некоторого произвола в дополнительных объектах iz>, с целью рас-
распорядиться этим произволом &яя управления соответствующим про-
процессом в сплошной среде.
Признаки или условия, с помощью которых выделяются классы
решений,могут иметь физическую или математическую природу. Фор-
Формирование таких признаков или условий, уирощавдих некоторую
данную модель, будет называться субможелированием» Фактически
субмоделирование уже использовалось в предыдущих параграфах,
так как все рассмотренные модели сплошных сред M^-Mjq были в
указанном смысле субмоделями основной моде,ди законов сохранения
M-J-. Но если!.какая-лиооиз этих моделей принимается в качестве ис-
исходной, то возможно и практически важно построение ее субмоделей.
Какого-либо;одного общего метода моделирования и субмодели-
субмоделирования не существует. Поэтому невозможно в общем виде произвес-
произвести к/гассификацию всех возможных субмоделей некоторой данной мо-
модели, В этом вопросе важную роль играет изучение различных осзо-
32

jjvuivti)a.n ц^иайчсилих'и шш
сосредоточенных в отдельных точках* на линиях или поверхностях.
Однако можно достаточно четко выделить два.направления: ngjfc-
ближенное и точное субмо датирование.
4, Приближенное субмоделирование обычно бывает связано с
присутствием в модели щи в краевой задаче некоторого малого :
параметра 6 (обычно в- безразмерная величина)* Пусть это бу-
будет модель A/?~M(I!g,Vj,?UuKtem8Lne формируется определенное :
представление о характере зависимости входящих в М# величин
от 6 .Затем выполняется-формальны!! предельный переход при
% в результате которого получается новая модель Мо~
tVbiSbp)* Если модель Мо корректна, то ее можно
считать приближенной субмоделью модели М$.
Пример приближенного субмоделирования дает¦выполненный в
лекции 10 переход от общих уравнений термоупругости Mg к урав-
уравнениям Щ линейнбй тврмоупругости,^ в котором малым параметром :,
6 была норма тензора T-I^dHr/d^ . Этот пример типичен для
метода приближенного субмоделирования, носящего название лине-
линеаризации. Широкое использование метода линеаризации в теории
движения сплошных сред обусловлено тем, что для линейных задач
существует хорошо развитый математический аппарат их исследова-
исследования. . ' \ . . ¦ ¦
В механике сплошных сред имеется много примеров приближен-
приближенного субмоделирования, приводящих, к нелинейным субмоделям (по-
(пограничный слой, "мелкая вода", околозвук и другие), которые вы-
выводятся и изучаются в специальных дисциплинах.
Более далеко продвинутое использование малого параметра
приводит к методам приближенного субмоделирования, получившим
название асимптотических методов, Они характерны тем, что позво-
позволяют конструировать специальное: так называемо^ асимптотическое
представление решения. В простейшем случае асимптотическое пред-
представление величин Х$ имеет вид ряда по степеня^ S
где величины Хо * Х? , Хд 9* •¦ уже не зависят от параметра S и
могут быть найдены как решения определенной последовательности
корректных задач.
В противовес приближенному, точное субмрделирование обладает
тем важным свойством, фр любое решение уравнений суфюдели яв-
является также решением уравнений исходной модели. Один.общий под-
33

ход к методам построения точных субмоделей, основанный на свой-
свойству инвариантности модели относительно некоторой группы нреоб-
зований. будет подробно изложен в следующем параграфе.,
5. Далее рассматривается метода: подобая - частный, но ва**
ней дщ приложений случай точного субмоделирования.
Пусть г- какая-нибудь величина и си* вещественное число. -
Преобразование г ~^*г'=^ называется растяжением величины г , а
число со - коэффициентом или параметром растяжения. Растяжением
набора *величш^«?г^?^назнвается преобразование
ъ2!С?21У при котором каждая из величин zi преобра-
преобразуется растяжением с параметром-^ t- т-е* Z? =%%¦
Пусть Tenepb-z^^^g^jecTb набор всех величин (в том числе ь
координат и времени) некоторой модели^ . Если набор г подверг-
подвергнуть растяжению с параметрами a?*p,/fa?>...), то все соотношения мо-
модели перейдут в некоторые ноше соотношения, которые будут со-
содержать параметр® си. te« самым получится новая: модель^ж'^ Жа,
зависящая от параметров^^..„„Ш)даэвь^.и Л/лназываются подобными.
Метод подобия и состоит в переходе от данной модели М к ей по-
подобной модели М&.
При вычислении преобразованных соотношений используется сле-
следующее определение* Преобразованием функции F(z) при растяжении
%-+-Zf называется
Преобразованию функции соответствует правило преобразования
производных
ЪГ /BFV bF / BF
j дг. a дг.
и растяжению подвергается также величина 1С t тщж-
, и~<~и'=*ёи, , то производные от ^преобразуются.по формуле
z ф6
Правила (I), B), C) позволяют выполнить преобразование лю-
любого уравнения. Например, если модельМсостоит из одного урав-
уравнения ( ? t «г , Ц — скаляры, k - параметр)
34

согласно правилам (I), B), C) оно перейдет в следующее;
или, после сокращения на Сч/0 , в уравнение подобной Л/ моде-
модели М'
ас
Уравнение E) равносильно уравнению D) в том смысле, что если
гс^1*(-6,лс) есть решение D), то ^-^^^л-решеше E), и, обрат-
обратно, если ZL=I(-ifa:}- решение E), тоic-cF(?* #)- решение D).
6. На практике метод подобия используется по-разному. Преж-
Прежде всего, его.можно применить для перехода от натуры к лабора-
лабораторной модели. Это достигается растяжением независимых перемен-
переменных &' — оЗЕ , позволяющим изменить пространственный масштаб яв-
явления. Коли в модели М такий масштабом была характерная длина Л .
то масштабом модели М' будет L'^aL . Тем самым модель М 'будет
геометрически подобна модели М .
Геометрического подобия, вообще говоря, недостаточно для
полного лабораторного моделирования явления . Например, если в
модели D) считать jc пространственной координатой ж выполнить
переход D)-*-E) за счет растяжения только координаты *30-*~jc'**&c
(т.е. положить а«*?«¦/), то параметр ж заменится нак~?&в E),
Это означает, что- если А - характеристика среда, то в лаборатор-
лабораторной модели необходимо взять другую среду - среду с характеристи-
характеристикой ё& . Переход от одной среда к другой путем растяжения харак-
характерных физических параметров среда называется физическим подоби-
ем. Итак,, лабораторная модель подобна натуре /если и только если
она подобна ей геометрически и физмчески.
7. Другая сторона метода подобия-выясняется, если предполо-
предположить, что дейолштедьше условия, накладываемые на решение урав-
уравнения D), полностью характеризуются одним параметром ? . Тогда
можно считать, что вся моделью , состоящая из уравнения D) и
дополнительных условий, определяется двумя параметрами А , ? >
или, как говорят, представляет двухпараметричеекое семейство мо-
моделей М($, ?)* ' .
После растяжения только одной величины tc^u == ?tc получится
уравнение вида D) с параметром 77= &/? .Если предположить еще,
что параметры к и 6 имеют одну и ту же физическую природу, тс

шлрашггргл 11 не цудет зсшииить их единицы р
величин 4 9 в .Такой параметр //называется безразмерным» В
Этом случае двухпараметрическоё семейство модедейЛ/<^,Доводит-
модедейЛ/<^,Доводится к однопараметрическому семействуМ(Л,/). Для подобия двух
моде^е^^^^и^/^^необходшйо и достаточно, чтобы-^-^^йли,
что то же самое, чтобы Л «// ¦ В общем случае, когда параметр
t не является единственной характеристикой дополнительных ус-
условий, накладываемых на решение, равенство Л~Л будет лишь не-
необходимым условием подобия моделей J/D,?...)иМ(М'€,[.^.
Безразмерные параметры, равенство которых необходимо дяя
подобия моделей, называются критериями подобия. Установление
критериев подобия ддоз различных моделей и задач механики сплош-
сплошных сред является вопросом первостепенной важности с точки зре-
зрения приложений. ^_
Пример: уравнения Навье-Сток|са М§ при^ ^0 . В каяесиве
дополнительных параметров вводятся характерная дазша М и ско-.
рость V . После растяженияЖ^-Ljc, zF^Vp-\ ~b—r~*b* р-*-'рУр ,
соответствующего переходу к другим единицам измерения, лолучают-
ся подобные уравнения, в которых плотность р»/ , а коэ<|фйцйент
кинематической вязкости $ заменился на V/I. У . Так как величи^-
ны f hZV имеют одинаковую размерность, то пстгучается критерий
подобия'движений вязкой несжимаемой жидкости - число -Рейнольдеа
8. Применение метода подобия связано с излагаемыми ниже поня
тиями и фактами теории размерностей.
Пусть %,...,€ - независимые единицы измерения. Размерностью
величины if называется одночлен
где показатели степениot.f....о^ вещественные числа. Если Y-
другая величина с размерностью [У]=??.,, &S* то» но определе-
определению
,
Далее, размерность любой (вещественной) степени Л величины X оп
ределяется формулой ....-.-¦-- "
Величина X ° нулевой размерностью {^—...^ы^О) называется без
36

ствуют такие числа зе?}.„9ае $ не все равные нулю, что величина
является, безразмерной. В противном случае величины .Х^ ...^^на-
...^^называются,, независимыми.
Основная задача теории размерностей состоит в том, чтобы
выяснить, сколько среда величин из набора^...,Хт имеется неза-
независимых, отобрать их и выразить остальные величины через неза-
независимые.
Эта задача сводится к задаче линейно! алгебры. Действитель-
Действительно, пусть [Х{]=е**щ .с**. Применение данных ¦¦определений дает
Следовательно, величиныX/,..., Хтзависимы, если и только если су
ществуют числа..а^г , удовлетворяющие равенствам
в которых подразумевается суммирование по i ==У,...,/^ -Решение си-
системы F) из ж линейных алгебраических уравнений от неизвестны-
неизвестными #е- определяется матрицей А =(<*.*-), Пусть ранг Л равенть ¦. Всег-
Всегда п/4/я и 7b?i<. Если п^/7? , то система F) имеет только нуле-
нулевое решение и величины.Х^..., Д^независимы, Если ш/ь<л?ч то
система F) имеет р^т-/г- линейно независимых решений (зе?),...,(зс?)
В этом случае среди величин J^,..., Д^имеется лишь /ъ независимых
и можно построитьр независимых безразмерных величин
Ш.т дополнительно предположить, ч^то ранговый минор матрицы
А находится в её левом верхнем углу, т.е. построен на первых
строках и первых п столбцах, то независимые решения (^ ){S =/,...?р)
всегда молено выбрать так, чтобы зе? с «•/ » а дая z ^ 6 , г** /,.,., о.
было eeni_ Z-O. Тогда G) будет иметь вид П5 -Xj1,.. Х^- ^,,откуда
получаются выражения
;*^** E-1,.,., ру (8)
поставленная задача по.таостыо решена, так как величины
,..f ^независимы, а остальныеХ^/9.„, Хт выражаются через них
по формулам (8).
37

M HI'AVgVAiMH^» .f ^^ 4w*f7 V**^:. i» «W «i A w^V?^*»a.a, ^Mww*»-v n« _.» w v ¦¦ v-м iwv pr
мулируется в так называемой Д-т@ореме (Шкингеиа). В ней пред-
яояйгается» что дан набор величин. XW..JT,» * „которые, вообще
говоря, зависимы и шрол^цают максимум & независимых безразмер-
безразмерных величщ Л - ^^.,.,*ЛгУ Рассматривается вадичина Y, которая
является функнде! величин Х^,...,^. Без нарушения общности ату
ш можно прейдолагать заданной в виде У=.
величищ ^„..^^^
V™ безразмерная величина, то функодя
^не зависит, т «,е.. *?—f(Hj.
елш'ани, безразмерная функция размерных величин все-
является (функцией от безразмерннх комбинаций этих величин.
Доказа-тельство. Если изменить етщниш измерения с помощью
^а^{г^{7,..^к)9 то при условиях теоремы бу-
ж X'3~$SXS> где g5 (S =*/,...,т-г) - независимые
числа. Следовательно, после растяжения получится равенство
У ~ F(if Xj,... от_ % Хт.. z у -Л).
Так как ери $икс1арованшз!: Y и Л произведения ?3 X'5i$-?? *»,&
могут принимать ,яюбые значения за счет изменения независимых
нерененнйх ^,,,, 9$т^щ то из этого равенства следует» что функция
F от первых /^-г аргументов не зависит. Теорема доказана.
Сила это! теоремы в том, что она позволяет устанавливать ап-
априорный вид связей между величинами какого-либо процесса или яв-
явления без обращения к уравнениям его математической модели.
38

§ 14. ИНВАИШТНОСХЬ
I. Вначале несколько алгебраических понятий. Рассматрива-
Рассматривается совокушость Gt"("^) всех взаимно однозначных отображений
Т некоторого множества^ на себя. С операцией кошозщш
TjO T& в качестве умножения ж тождественным отображением I в
качестве единичного элемента G?(X) является группой.
Пусть G - какая-нибудь группа. Говорят »что группа & дей-ч
ствует на множестве if , если дан гокошрфизм у.- С —»- g?(:X).
Лдя сокращенного обозначения фразы "действие группы G на мно-
множестве Jf w используется символ G/X *' Обнчно. образ элемента
•асеХ Щ>и отображении Х- jff^j , где qeG fr- вместо ^(д\??)за-
^(д\??)записывается сокращенно QX&) -
Если дано G/X и*хеЛ , то множество Oz(js)^la(a^\^eG- 1на~
зывается орбитой элементах « Подгруппа G-c'G называется
- отапионарной подгруппой влешещ&_лХ?Л.* еслие^^^гдш всех
q'eG' * Элемент&gX называется инвариантным элементом отно-
относительноG \х ...$ если «е^^^гдля любого ^е^,
Цусть ашожество. Y состоит из объектов» которые получаются
по некоторому правилу из элементе? шожестваХ. Если при этом
влечет некоторое,G]Y » TOir/Y называется
G IX . Например, есяи душ некоторого множества/ дано
также 6,/2 и Е*- множество всех отображений i
GJX продолжается до в-\?х по формуле
(I)
В частности, если ^?/Z тривиально» т.е()
то формула продолжения (I) упрощается до. следующей:
Отображение J7 .• X—Z называется инвариантны^ отображением
относительно Gig*9 если a(F)=F.J№R любого *Q&Q • П^сть фик-
фиксирована точка ZoeZvi дано отображение FiX^E ; рассматрива-
рассматривается уравнение
FC)=&o.. C)
Уравнение C) называется инвариантным уравнением относительно
, если равенство
39

справедливо для всех <а:еХ;., удовлетворяющих уравнению C).
2* В механике сплошных сред $ояь множества^ играет ^-мер-
^-мерное евклидово ^ocTpaHOTBp^^^z^-je^r^i??^^^ «<Ъе*..
есть набор всех независимых переменных (обычно это координаты
вектора^-{txf^jcju времени-Ь-*я:4), а^-^й?,,й^айбор всех
искошх функций, входящих в систему дифференциальных уравнений
X некоторой моделиМ . . ¦ . .
Вместо группы О?(Л jиспользуется так называемая ц?евдогр;ут1~
па P^i?^Bcex взаимно однозначных бесконечно дифференцируемых
локальных преобразований (т«е. преобразований семейства окрест-
окрестностей некоторой точки) пространства J?"^i,z/J. В качестве G бе-
берется так называемая локальная группа Ли. .
Локальная г -параметрическая груша ЫВ-г есть множество
точек (векторов) <& f ^,..* некоторой окрестности нуля г-мер-
г-мерного евклидова пространства J2Z\ дая которых определен закон ум-
ножещш<^р : (^^--^^^удовлетворякщий обычным групповым акси-
аксиомам, с нудевым вектором в качестве единичного элемента, но
лишь для точек-9 достаточно близких к нулю. При этом закон умно-
предполагается аналитическим в окрестности нуля. Образ
элемента а, при гомоморфизме Gz-*-P(RM) обозначается Т^ .
Действие группы Gz на Iffav)задается формулами вида
D)
где функции^ и А-предполагаются бесконечно дифференцируемыми.
._ Вводится продолженное пространство Я**** в котором координа-
координатами точки являются значения всех *z? , и? ж всевозможных йроиз-
водных
Заданное &г \? продолжается до#г /i?*^ определяемого формулами
г
вида
где[pj&foLl* функции к^г,.^а естественно возникают при вычисле-
вычислении,, на основании D), производных от переменных #/дгно перемен-
ным:'*г'г"по правилам Анализа. Участвующие в ^/^?°°преобразования'
обозначаются Т?* ,
3. I^cTbj^ обозначает арифметическое простраштво размернос-
ти ? (множество, всех наборов из S вещественннх -чисел (ж19... 7 к А*
Воли ввести символ р для обозначения точки пространства i?°% то
40

любую систему J5 дафференциаяьшх уравнений какой-либо модели
М механики сплошных сред можно записать в виде
Е: FCpj-O
с некоторым заданным отображением Ft Я00 —>—J?s.
Далее предполагается, что Oz \Jtg тривиально. Тогда можно '
использовать формулу B) продолжения ?г цГ*Рр Gz Ijf дяя вы-
выяснения вопроса об инвариантности системы Е ¦
Если, в указанном смысле, система уравнений_? инвариантна
относительно &z \J? , то говорят «что система Ж допускает
или группа Gpl допускается системой Е ,
Дин установления связи между понятием допускаемой группы и
решениями уравнений i? надо заметить следующее. В общем случае
формулами D) определено шшь&г \И*(л:м)* а ъъ&ъ\м%х) или
Gz I Rm(tu) по отдельности. Поэтому Gz / (я?*1) не может быть получе-
получено по формуле (I) (символ (^^используется для краткого обозна-
обознаия множества (&т(и))Яа&>). Тем не менее Gz I^
чения множества (&т(и))Яа&>). Тем не менее Gz IM^fe uy можно
хгродоляить №Gz\Cmn) по следующему правилу. Если дано отобра
жение f ;Rfb^-R% то отображение ^Laty);J2+J2%.axom'ZGz из
уравнения
В дальнейшем Gz(ma)будет пониматься в указанном смысле.
Пусть Ф-^- множество всех решений-у..Д~+-д системы урав-
уравнений^1 , так что Ф<^.(тп). Справедлива следующая фундаменталь-
фундаментальная теорема об занвариантности множества решений.
ТЕОРЖА I. Если Е допускает группу^ , то Ф инвариантно от-
относительно Gz \QnP)* Другими словами, под действием любого пре-
преобразования из допускаемой группы ?2 любое решение системы урав-
уравнений Ж переходит в решение этой же системы.
Доказательство можно найти в'[ ]-
В силу теоремы I определено С-2/Ф- Решение ^еф , инвари-
инвариантное относительно (г^(Ф? называется инвариантным решением си-
системы Ж .. . ¦ ¦
Ес.тш Е допускает Gz , то Е допускает и любую подгруппу И<^ G
Поэтому понятие инвариантного рёшеция зависит от выбора положен-
положенной в основу его определения группыН . В связи с этим решение,
инвариантное относительно i/ /^называется также инвариантным Н -
решением.
41

4, Математическая структура* которая возникает., если систе-
система дифференциальных уравнений.допускает некоторую локальную
группу Ли» составляет предает специальной теории, называемой
групповым анализом дш&Ьерешшаяьных уравнений* Один из практи-
практически важных результатов этой теории формулируется в следующей
теореме о понижении размерности. ' ' ¦ .
TSQPEMA. 2. Если Е допускает группу У/¦, то, при некотором
условии, задача об отыскании инвариантных В -решений системы
Е сводится к отысканию решений некоторой новой система Е/Я ,
в которой- все независимые и зависимые переменные суть инвариан-
инварианты JJIR (x,U)* а суммарное число этих переменных меньшей .
При этом дшбое решение системы Е/Я дает некоторое инвариант-
инвариантное Й-решение системы Е .....'
Доказательство можно найти в[: J.
В силу теореда 2 задача отыскания инвариантных //-решений
системы Е проще задачи отыскания произвольных ее решений, так
как система Е /Н ,, вообще говоря, связывает функции от мень-
меньшего, чем в Е , числа незавиеиьлх переменных»
Переход (Е,И)—~ЕЩоъ системы уравнений Е * допускающей
группу И t к более просто! системе Е/Н является методом точ-
точного субмоделирования. Простейшие варианты этого метода инвари-
инвариантных решений давно и весьма плодотворно применяются в механи-
механике сплошных сред. Однако во всей его полноте он был разработан
лишь около 15 лет тоиу назад. .
5. Один из простейших вариантов метода инвариантных решений
получается в том смысле,- есшМ -группа растяжений. Этим терми-
термином называется г-параметрическая ( Z>1 ) группа преобразова-
ний пространства J? fezt) ¦ i№ которой Н/^^задается формула-
формулами J J
i H
в которых #?,...,.#-?- параметры, a aUs t a - заданные веществен
ные числа.
Предварительно полезно установить аналогию между теорией
групп растяжений и теорией размерностей (см. 13.8). Длш этого
надо ввести г независимых единиц измерения ?г,,.,. г ?^ и припи-
приписать величинам jc% ^размерности >
42 •

далее надо растянуть единицы измерения9 перейдя к единицам
?s = ds?s и вычислить размерности [<&1]\¦[%??]'в новых единицах.
Тогда подучатся формулы, -выражающие новые размерности через ис-
исходные . . \ х
*4 ? М-[и*] 4 ..-.
Эти формулы точно совпадают с G), и аналогия очевидна.
В силу этой аналогии можно сказать,что инварианты HIR -
это "безразмерные1*-величины,-образованные из з? и ььк * Упомя-
Упомянутое в теореме-2-дополнительное.условие в данном случае сво-
сводится к требованию, чтобы величины 10 были "независимыми". Тог-
Тогда система Е\Н будет связывать только "безразмерные" величины.
Соответствукхцие инвариантные Н -решения системы Е называются ав-
автомодельными (в узком смысле).
6. Дия механики сплошных сред фундаментальное значение име-
имеет тот факт, что ее уравнения инвариантны относительно группы
Галилея» Фактически это свойство следовало бы сформулировать в
качестве одной из аксиом механики сплошных сред. Так или иначе,
эту инвариантность теперь можно просто проверить для уже постро-
построенных моделей.
В качестве пространства, в котором действует группа Галилея,
берется пространство Л , где координатами точки являются время
-t , три координаты радиус-вектораЙ*«=^г:/^су^с^и три координа-
координаты вектора скорости ^(vfv-f V3) (в ортонормированием базис е{~еЛ)
Группа Галилея ^^порождается следующими десятью независимы-
независимыми непрерывными преобразованиями и одним дискретным (явно выписа-
выписаны только фактически преобразуемые величины; остальные остаются
неизменными).
Перенос по времени Т°: -t'^t+fc*
Переносы по координатам Т* %<х'1=а:с+ at (i=/, ?,3 );
Галилеевы переносы Гс: jbn**jcl+64 » О-'1^!Г1+-б1 ( *<Bs
4
Вращения ®г: Ж'= Овь <3>$ гЛ = Oei<Hr> { i~ /,Я,<3 );
Отражение'? : ^ ^F^F
Здесь <ь , а? , 6Z, б?г- параметры группы, а 0^^—вращение вок-
вокруг г -той оси на угол 0е . Совокупность всех вращений вместе с
отражением ? образует группу С3 ортогональных преобразований про-
пространства Л5, •
Инвариантность некоторой системы дифференциадьных уравнений

Jl ОТНОСЯТеЛЬДО КаЖДОГО ИЗ ЭТИХ преооразсшщщй из±ш.Чс*«т
ющее.
Т°! ъ Е явно не входит время t ; инвариантные Г -ряжения
называются стационарными, /*
Tlv в ?* явно не входнт переменная 'лс*; инвариантные !ГС-
решения называются плоскопараллельными (в частности - плоскими).
Гх: уравнения Е не меняются при переходе в систему коор-
координат, дюпущуюся поступательно с постоянной скоростью в направ-
направлении ?^ ; инвариантные /^-решения можно назвать гадилеево-од-
норошшми.
®1\ ес.з!и в ? перейти к щугиндрическим координатам с осью
~е1, то угловая координата4 Gz в преобразованные уравнения не
войдет; инвариантные ®с-решения называются
(в частности - осеоимметричными).
Другие субмодели получаются при: использовании подгрупп
ffc Gi0 с двумя или тремя параметрами. Если символом И (А
обозначить подгруппу, порожденную однопараметрическими подгрул-
нами ^4, В.,.,. , то можно of метить следующие. -
Подгруппа Я(Tf Г3) порождает класс одномерных нестационар-
нестационарш решений; подгруппа B(T°t Т ) - класс плоских стационарных
решений; подгруппа 03-И(®, ®, &f?) *-&яаее сферически симмет-
симметричных нестационарных решений. .
Конечно, упомянутыми еуомодалями далеко не исчерпываются
все возможности точного субмоделирования» основанного на свойст-
свойстве инвариантности уравнений относительно группы преобразований.
Для исчерпывающего анализа этих возможностей применительно к
данной системе уравнений Е надо решить две задачи: найти наи-
наиболее широкую, так называемую основную группу G » допускаемую
системой Е , и классифицировать подгруппы Uc-G * Эти и другие,
сопутствующие, задачи изучает групповой анализ дифференциальных
уравнений.

§ 15. Л310ШШНЫЕ МОДЕЛИ
1, В предадутцих параграфах были описаны лишь простейшие,
классические математические модели сплошных сред. Однако, в
практических вопросах часто; приходится иметь дело с такими
сплошными средаш, поведение которых не укладывается в рамки
классических моделей. В таких случаях выражения основных» опор-
опорных законов сохранения массы, имйульса и энергии приходятся ви-
видоизменять за счет отказа от некоторых аксиом Aj-Ajq и замены
их другими, более полно и адэкватно отражающими новые черты по-
поведения среда. Проблемы построения и изучения таких моделей
весьма актуальны, они составляют значительную часть научного
содержания современной механики сплошных сред. Здесь будет дано
лишь общее представление о некоторых усложненных моделях.
2. Многофазные среды.Термином "многофазные" шшяшогокомпо-
нентные" среда обозначаются среда, представляющие собой "смеси"
нескольких сред с разными физическими свойствамиt каждая из ко-
которых удовлетворяет условиям сплошности и деформируемости. Это -
пылевые и дождевые облака, продукты сгорания топлив, насыщенные
пузырьками газа жидкости, смеси химшески реагирующих веществ и
т.п* Наиболее ясной моделью многофазной среды является так на-
называемая модель взаимопроникающих сред« которая далее описыва-
описывается на примере ;авух&азной средн.»
Рассматриваются две сплошные среда, среда V" и среда nznt
заполняющие одну и ту же область Q <=¦ Л 3Cс)* Смесь этих двух
сред также есть единая сплошная среда "У+Л V Средние величины
дня этих сред определяются следующим, образом» Цусть среда V"
имеет истинную плотность fy * а среда п?п. — fe . Йсли в объеме
Ус ?2 среда V" занимает объем Yi илимеет массу ^, а среда
"?" занимает объем Y% ж имеет массу т^9 то/^ = ^^и гл^~ о^Ч^
Тогда среда п 1+SL и в том же объеме V имеет массу/т?- тп?+/П?& сре-
среднюю еяотность f~m/V* Если ввести объемные концентрации сос-
составляющих сред х?=* tf/Уи j?=T?/VV,to будут с^праведаивы ра-
равенства ' , . .¦
• Движение в области Q может рассматриваться как движение,
калдой из этих сред. Соответственно этому вводятся три средние
45

скорости &? г Р#ж & * Так как скорости определяются" через им
пульс s то из равенства mf ?J + 77?^^. =^7#*следует равенство для
Средних -г- _,^_ " _>_ ¦
Аналогичное соотношение справедливо дяя плотностей внутренней
энергии каждой из сред
и вообще дан массовой плотности любой аддитивной функции мно-
множества.
Нуеть i7- тензор напряжений и^Г- вектор потока тепла в сре-
среде п4+Я". Тогда для этой среды можно считать справедливыми ура-
уравнения интегральных законов сохранения со следующим добавлением.
При взаимощюникавдем движении сред */" и "&п в ереде rt/IT Дей-
Действует внутренняя массовая сила«с объемной плотностью Ife , обу-
обусловленная сопротивлением прониканию этой среда через среду "&".
Эта сила зависит от относительной скорости ^ -Щ* а ?акже от
других характеристик обеих сред. Аналогичная сила Ufa действует
в среде п?щ, причей, из условия равновесия, ft-^fsT^'9 ^0ЭТ0МУ
в уравнение импульсов эти силы не войдут. Однако, они совершают
работу в каждой из сред, которая дает приток энергии в среду
п /*?", равный &(Щ-Щ)^9Этот приток должен быть учтен в зако-
законе сохранения энергии.
При написаний интегральных законов сохранения для среда ** ? w
надо также учесть, что поверхностная сила, действующая через п.до-
щадку de с нормалью % на эту среду, будет равна не р^ d<5 , a
Jtt~pa d& . Аналогично, количество тепла, переносимое через такую
же площадку и воспринятое средой "г Сбудет равно К^Омс/б.
Полученные таким путем системы интегральных законов сохране-
сохранения до каждой из сред 'V"» У и "//,2 й надо "замыкать" путем до-
добавления термодинамических уравнений, вклшащих температуры Qi
и энтропии &1 {?¦'-/,Л) сред wi" и м^", а также уравнений состояния,
связывающих тензор напряжений с тензорами деформации или скорости .
деформации обешх составляющих сред.
, 3* Анизотропные ере,пн, Этим термином называются такие сплош-
сплошные средыл которые обладают различными свойствами в разных направ-
' леяиях.^ .Анизотропными могут быть как деформируемые твердые тана
(кристаллы, полимеры), так'и ждаос-ти (растворы полимеров, "жидкие
.46

кристаллы"). Особенностью математических моделей таких сред
является то, что тензор напряжений Р в них уже не яшяетея
изотропной сушащей тензора деформаций & или тензора скорос-
скоростей деформаций,®. Это влечет значительное усложнение уравне-
уравнения состояния, "замыкающего" систему законов сохранения*
Например, пусть общая зависимость между тензорами Р и <§
взята в виде р — FС6)° В линейной теории эта зависимость,
записанная через ковариантные компоненты тензоров» имеет вид -
Набор коэффициентов Aij образует тензор четвертого ранга А ,
называемый тензором упругих констант. В силу симметрии тензо-
тензоровРж ё количество независимых компонент тензора .Л в общем
случае равно 36. Их определение является тяжелой эксперимен-
экспериментальной задачей. Как было показано в § II, для изотропной сре-
среды это количество сводится к двум.
Многие анизотропные среды обладают определенными свойства-
свойствами симметрии, т.е. имеют свойства, инвариантные относительно
некоторых преобразований из ортогональной группы О5 * Совокуп-
Совокупность всех таких преобразований образует подгруппу H<zO3, на-
называемую группой симметрии рассматриваемой среды. Например,
группы симметрии кристаллов - рто некоторые конечные группы И ,
изучаемые в кристаллографии.
Наличие симметрии влечет инвариантность уравнения Р^Р(^ё)
относительно действия группыН на пространстве &fe(_&5), указан-
указанного в (МЛ. II), Это приводит к значительному сокращению числа
независимых компонент тензора А .
4. Вззкоупругие среры. Этим термином называются такие среды,
в которых проявляются как свойства жидкостей (вязкость), так и
свойства деформируемых твердых тел (упругость). Обычно его отно-
относят к деформируемым твердым телам, в которых, при определенных
условиях, процесс деформирования неявляется обратимым термоди-
термодинамическим процессом. Наиболее важными в практике средами с та-
таким поведением являются металлы, полимеры и различные композит-
композитные материаш. Условия, при которых проявляются свойства вязко-
упругости,создаются тогда, когда тело подвергается относительно
сильным механическим или тепловым воздействиям..
Два основных проявления свойства вязкоупругости называются
ползучестью и релаксацией. Явление ползучести состоит в том, что

при постоянной внешней нагрузке деформировавши материал- не ос-
остается в состоянии покоя, как это было бы с упругой средой, а
как бы "ползет;*% т.е. за длительное время претерпевает изменяю-
изменяющуюся со временем деформацию. Явление релаксации заклшается в
том, что напряженное состояние материала при фиксированной внеш-
внешней деформированной конфигурации не остается стационарным, как
это било бы в случае упругой среда„ а как бы постепенно "снима-
"снимается1* t релаксирует» т.е. напряжения в теле за длительное время
выравниваются и, вообще говоря» ослабевают» Эти два явления тес»,
но связаны межпу собой,ж релаксацию можно рассматривать как не-
некоторую "внутреннюю" ползучесть.
В математическую модель свойства вязкоупругоети вносятся че~
рез уравнение состояния, связывающее тензор напряжений Р о тензо-
тензором деформаций 6 . Однако в эти связи» в отличие от классичес-
классической теории упругостиt входят не только сами тензоре 6 и Р f но' .
также и их производные по времени. В линейной теории (наиболее
разработанной в настоящее время) уравнение состояния задается в
виде линейной зависимости между Производными по времени от тен-
тензоров Р ж ё с коэффициентами., зависщими от температуры и опреде-
определяемыми опытным путем»
Классическими примерами вязкоупругах связей между напряжени-
напряжением б (-6) и деформацией б (-t) (при ^одноосном нагружении) яешются
элемент Максведа - ;
л н р
и элемент Фойгта
в которых ?!- модуль упругости, а ^ - релаксационный параметр¦ В
современно! теории эти связи принято задавать в общей интегральной
форме
где ш^атливооть -j-ff) и модуль GD) - экспериментально опреде.дяе-
мые характеристики среда. Эти уравнения означают/ что реакция
среды в момент временив зависит^не только от воздействия на нее
в этот момент, но от всей предыстории воздействия, причем влия-
48

ние этон предыстории со временем уменьшается.
5* Электромагнитные средн. Так можно назвать сплошные сре-
среда» на движение которых влияют электромагнитные свойства веще-
вещества. К ним относятся потоки заряженных частиц, плазма, среда
околоземного пространства и т.п. Уже эти.примеры показывают,
насколько актуально изучение таких сред. Особенностью этих
сред является то, что в них действуют изменявшиеся в простран-
пространстве и во времени электрические и магнитные поля. В механичес-
механическом отношении эти среда ведут себя, с надлежащими поправками,
как жидкости или газы. Поведение электромагнитных сред отлича-
отличается большой сложностью и изучается в ряде самостоятельных на-
научных дисциплин. Здесь будет описан,.один из наиболее простых,
случай так называемой магнитно! гидродинамики.
Магнитная гидродинамика изучает движение жидкости в магнит-
магнитном поле, по которой идет электрический ток. Эта наука имеет
дело со скоростями движения вещества, много меньшими скорости
света. Поэтому ее.уравнения строятся в так называемом нереля-
нерелятивистском приближении, когда, время и пространство считаются
абсолютными, как это принято в механике Ньютона.
Основными характеристиками электромагнитных свойств среда
в магнитной гидродинамике являются напряженность электрического
поля Ж', напряженность магнитного поля If ж плотность тока^' .
Электромагнитные свойства среда описываются фундаментальными
законами- Фарадея и Ампера. Здесь они формулируются в упрощен-
упрощенной формулировке, в магнитогидродинамическом приближенииt ког-
когда пренебрегают эффектами поляризации, намагничивания и некото-
некоторыми другими. Законы Фарад ея и Ампера приводят к уравнениям
Максвелла .¦. ¦_+_'¦'
^O у с/г04**
которые дополняются законом Ома для движущейся среда
где абсолютная постоянная U=4ff- /О (в системеЛ/Л?), а (^про-
(^проводимость, характеризующая среду.
При формулировке интегральных законов сохранения f магнитной
гидродинамике необходимо учитывать новую .массовую силу - так на-
называемую силу "Лоренца,- с объемной плотностью
49

хН.
Если ограничиться моделью несжимаемой жидкости, то дифференци
адыше уравнения собственно гидродинамики сведутся, как и в
модели Eg* к уравнению неразрывности и дополненному уравнению
Цавье-Стокса
На_ самом деле, в этом приближении электрическое поле ? и ток
i можно из уравнении исключить и тогда останется система урав-
уравнений, описывающая взаимодействие полей &жН . Поэтому эта
иодель и получила название магнитной гидродинамики.
В случае сжимаемой среда (газа) существенны также энергети-
энергетические эффекты,^на которых наиболее важно объемное' выделение
^жоудева! тешш г-? .Это приводит к тому, что магнитогазоди-
намические процессы оказываются дассипативншщ даже в том слу-
случае, когда газ рассматривается^ как идёадьная среда.
50

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
I. Отображения. Тензорный . анализ. Координаты.
Различные векторные формулы
Пусть {^-1 - правый ортонормированный базжс в М . По
двум векторам J?-—eI~^t^^J:^" ?3 определить вектор
^ так, чтобы тройка векторов {^Л также образ"овываяа
правый ортонормированный базие -
\ А*) » Уе1(%)*0 Доказать, что
)
инварианты^fg(P)и 33(Р) линейного отображения
Р через следа ЫР, tz(Pa)f tz(P5).
1.4. Доказать, что изотропная ^нкция^ .*<5?,??^-*-л6 может
быть представлена как функция только инвариантов отобра-
отображения;
1.5. Доказать, что изотропная векторная функция
имеет вид
где <fft)~ произвольная скалярная функция скалярного ар-
аргумента.
1.6? Доказать, что непрерывная изотропная
может быть представлена в виде
где cL % & f Y зависят только от инвариантов отображения
1.7^ .Вычислить отображение (I+?6)~ t выразив его через С *
если известно, что 6ё<?с(Д )
1,8* Найти нроизводше отображений
где л"- фшссированшй вектор.

f] :I,9? Показать, что элементы матршш ^//^
Э// <L4 отображения /-<?СЯ 3)+-Я вычисляются по
т{ ¦ ) «-^^,-где^*?л/, а производное отображе-
ние действует на элементi*e<Z(Я)по формуле
М
1Л0? Цуоть «Х. » J^.t ^ " инварианты отображенжя ^ . Вйчис
лить производше
7
I. II. Найти вторую производную отображений^ l3c /¦ .• ^ t
I,I2. Тензорное произведение векторов (&,&)-*-И-®?(диада) оп
ределено как элемент пространства d? (? ) фо
Доказать равенства
*
- линейное отображение пространства Ms +
1.13. Написать матрицу ( л~ $ ) диада 2®^ двух векторов 'а, и
^ * Шчиелить инварианты даада.
.1.14. В^3дан тензор четвертого ранга Ф со следующими свойст-
свойствами симметрии:
Вапиеать шесть независимых компонент тензора ^, опреде-
определенного формулой . ^ . ¦ ^_
и показатьt что остальные компоненты могут быть выражены
через них.
1,15? (Теорема деления тензоров). Доказать» что объект У, за-
заданный в каждом базисе в R^с помощью«З^исел-Еошгонент
, является тензором ранга ля , если при ушоже-
нии его на прожзвольный тензор Ф ранга к<тя ж свертки по
любым ?ж индексам получается тйязорЛ.?анга../7-л'.
52

\)I.I6. На плоскости с координатами-г /# ¦задано' контравариант-
ное векторное шлеЛг;/). Найти такую систему координат»
в которой это поле принимает mjx(Jr0J.
,1,17? Пусть б pas ш?т/гг- ковариантные и контравариантные ком-
компоненты дискриминантного тензора <5 » определенного фор-
формулой 6<ia.fSf(f> ^Q,-(gx%y Доказать тоадество
о mm
-det
*,
8
гь
ДД8,! Используя тоздество задачи I.I7, вывести формулы
^. . ¦ ¦-¦-..
1Л9. Вектор ^представлен в виде линейной комбинации трех ли-
линейно независимых векторов 1& » 6 ¦ ^t TP=*
Показать, что
где б - дискриминантный тензор.
1.20. Доказать формулы:
zot ( VF) =* О f diir(zfrb 7) = Q'
IF-
ZOt
1.21, Доказать формулу
d
1.22./Доказать формулу
53

: где f - скаляр, л. - тензор второго ранга.
I»23*-'Доказать, что в ортогональных координатах символы Крис-
тоффеяя выражаются по ".формулам:
«-¦-?-Ли,
Доказать формулу!* «—?-^—2' где/^?/=
1.25? Доказать t что ковариантш© производные компонент тензо-
тензора Ф^? ранга z , вычисленные в системе координат
**К,Ж5 ) ^выражаются по. формулам:
О ш k " ¦' * *
1.26. Показать, что 6ijeiS~?**,,-$=*Р* ГД© Йг7е и
компоненты дискриминантного тензора <5 .
1.27, Доказать формулы даш векторных операций:
\[ а) градиента функции (уЖ)л~-——, ;
производной BeKTopa/_^iL\ ~ -¦ i—JT-tf
чв) дивергенции вектора d?v-~tf*=—— . S—V \ /
г) -оператора Лапласа от функции
7 дк
ч:
д) ротора вектора
v е) дивергенции» тензора (di&P)г- с/г'^()ГЖр
Р ?= (В] PZ> Р ) -» векторы-строки штрйсщ (Р М
54

ж) оператора Лапласа от вектора
J tr: ... 9 k.
ускорения .
1.28. Найти выражения дяя оператора Лапласа"'от футшдш и- век
тора в ортогональных координатах.
1.29. Записать линейные условия совместности жяя тензора де-
деформации б .;..'"-¦¦ ' ¦
& * 7 t<JeJ? .- щ>оизвольные посто-
постоянные (ипробшеи) векторы, в ковариантной форм© в произ-
произвольной; системе координат¦
1.30. Ва&ри физические компоненты метрического тензора в сфери-
сферической системе координат.
1.31. Вывести формулы; преобразования физических компонент век-
вектора и тензора второго ранга при переходе от декартовой
к цилиндрической системе координат.
1.32. Найти выражение физических компонент ускорения через фи-
физические компоненты вектора скорости в цилиндрической и
сферической системах координат,
•1.33. Найти выражение физических компонент
s J
через физические компоненты вектора &ъ цилиндрической и
сферической системах координат. ..
П. Переменные Лагранжа и Эйлера* Законы сохранения
в интегральной и дифференциальной формах
V2.I. Дан закон движения среда .
Определить компоненты скорости в эйлеровых и лагранжевых
переменных.
2.2. Поле скоростей задано в переменных Лагранжа:
55

Найти компоненты ускорения в эйлеровых переменных,
\ 2.3. Дан закон движения среда
Показать» 44<x'jatet(<?Ejiff)*(pL. определить кошонентн векто-
вектора перемещения в эйлеровых переменных.
2.4. Доказать, что при установившемся движении среда (д&[дЫ))
линии тока и траектории совпадают.
2.5. Доказать, что при движении среде» в котором ^~ fFKF,
линии тока и траектории совпадают,
v2.6. При движении абсолютно твердого тела с неподвижной точ-
точкой поле скоростей дашет ш&7?=75.*ЗЕ. Доказать, что для
такого движения закон сохранения момента шшульеа прини-
принимает вид / -
?шЗ<&,?>-]][$[&1(&6)-(?*Ъ*HеЩ - тензор моментов
SI ' ¦ ¦¦ ' ¦ " ¦ Л
инерции объемаQ , занятого средой,^ - полный момент
всех сил, действущих на объем Q *
2.7. Доказать» чэю при движении ореда с полем скоростей
^t^l^^ 4»^ta* ^^ ^ш^^^шш. ' *^fci*»
Zt^caxjc E?**&>C-t) ) кинетическая энергия К среда, заклю-
заключенной в объеме^? f выражается формулой:
где J - тензор моментов инерции объема Q
2.8. Доказать формулу ЭЕяера (см, §2 )
у2.9? Доказать формулу
где да> - поверхность объема со(Ч) f состоящего из одних
и тех же частиц* :
2.10. Записать, интегральные законы сохранения шссн, импульса
ж энергиидяя объема, фиксированного в переменных Эйлера*
11II. Вшести интегральные законы сохранения массы и'энергии в
случае одномерных движений с плоскими» хщлиндржческими ж
сферическими волнат.
56

2.12*: извести интеграяьше законы еохршенш импульса в случае
одярмерных движений о плоскими и цилиндрщескими волншр.
2.13. Записать законы сохранения в дифференциальной форме в пе-
переменных Лягранка.
2.14. Написать в переменных Эйлера уравнение^сохранения массы
в щшшдрической и сферической системах координат, исполь-
используя физические компонента вектора скорости. "к-'
2.15. Написать уравнения движения в щжндрической эйлерово! си-
системе координат через физические компоненты вектора ско-
скорости и тензора напряжений.
2.16. Написать уравнение сохранения энергии в цилиндрической и
сферической эйлеровых системах координат, используя физи-
физические компоненты соответствующих тензоров.
¦ , 2.17. Для некоторой стационарно двизкущейся среда поле скоростей
задается выражениями _
Показать, что в'этом движении плотность в частице сохра-
сохраняется. /
2.18. Задано поле скоростей стационарно движущейся среда &=
й: , &В= О * Показать, что плотность в частице сохраня-
сохраняется. Найти линии тока.
1/2.19. Пусть движущаяся ъЛ гиперповерхность/7 задана неявно урав-
уравнением
Г;
Доказать, что скорость3)^движения поверхности в направле-
направлений вектора л> вычисляется по формуле
'' 2 в 20.. Пусть движение поверхности, ограничивающей .-сплошную среду
с полем скоростей &(¦?, ЗЕ) « задано уравнением -&~Ф(щ, Ш-
вести дифференциаяьное уравнение, которому должна удовлет-
удовлетворять функцияФ(ЗЕ)в том случае, когда рассматриваемая
поверхность сплошной среда состоит из одних и тех же час-
частиц.
\-2.21. Доказать, что если в непрерывном движении сплошной среды
в некоторой точке плотность 'f—-0 , то f=O будет вдоль
всей траектории, проходящей через эту"точку.

Ш„ Напряжения в точке. Тензор напряжений. Круги Мора.
Специальные случае напряженного состояния
ЗД. Доказать, что тензор напряжений можно представить в виде
суммы шарового тензора и девиатора и притом единственным
- образом,
v 3.2. В некоторой точке задан тензор напряжений
О L I
Л1
i О
причем величина Д^не указана. Определить р&& так» чтобы
вектор напряжений на некоторой площадке в этой точке, об-
обращался в нуль,. Найти единичную нормаль к этой свободной
от напряжений площадке.
3.3. Показать, что суша квадратов модулей4 трех векторов нап-
напряжений на трех взаимно ортогональных площадках имеет по-
постоянное значение, не зависящее от выбора площадок.
3.4; Пусть ^ и y^1- векторн напряжений на щощадках с норма-
нормалями У^ж ~%?. Как направлен вектор напряжения на площаж-
ка, лежащей в плоскости векторов /? и р
3.5» Построить разложениеi1<:^>*&^>w^V^r если
(Р)~ (о О i)
^ ортонорщрованном базисе),
3,6. В прямоугольной декартовой системе координат тензор на-
напряжений J5 имеет компоненты
Найти компоненты тензора.напряжений в системе координат,
повернутой вокруг оси о?з на угол оС ¦
Напряженное состояние в любой точке сплошной среда в де-
картовой системе координат^яг^^^^задано матрицей
О
Определить вектор напряжения в точке(?t 1 -\/Е)на площадке,
касательной в этой--точке к цилиндрической ловерзшости
58

3.8. Определить главные направления и главные значения тен-
тензора напряжений
4
_ i /
у 3.9. Цусть 1С и7?*--два единичных вектора и <*,- вещественное
число* Тензор напряжений Р задан формулой Р~ o
Найти главные направления и главные напряжения.
'¦¦ 3.10. Октаэдрической площадкой называется площадка, нормаль
к которой составляет равные углы с тремя главными нап-
направлениями тензора напряжений. Показать, что нормальное
и касательное напряжения на такой площадке выражаются
формулами
где pi -^главные напряжения.
3.II. Цусть главные напряжения в точке Л/ равный > р% >fy* Ж
пусть прямая линия б t проходящая через точку М ,¦ имеет
относительно главных направлений тензора напряжений V
направляющие косинусы
Показать, что вектор касательного напряжения для каждого
элемента поверхности в точкеМ t проходящего ^ерез пря-
пряную/ , имеет направление прямой ?\-.
у3Л2. Пусть главные значения тензора напряжений равны
Доказать, что ^ах/Ж/^^?^) достигается на п-яощадке с
7? *&
нормалью/г=?^=;й^^(в главных осях).
3.13. В некоторой точке заданы компоненты тензора напряжений в
¦декартовой системе координат
/ $ о о
(Р) = ( О . -/?
Опредещть максимальное касательное напряжение в этой
точке и показать, что оно действует в плоскости, которая
де,шт пополам угол между ашщадками максимального, и ми-
минимального нормальных напряжений.

ЗД4« Построить круги^-М о pa-для плоского напряженного: состоя^-
ния, соответствующего напряжениям, действующим на эле-
; ыентарный куб, ребра кот-opprо параллельны осям коорди-
координат, если тензор напряжений в точке (О,-О, 0) шее? вид:
/<Г О О \ / О О Ту /000
а) I О о О~) 6) [ О О О 1 в) I О ~<? О
хо о-в/, \ т о о/у л'-Ь'-'с -б
1»де б> О , Z>0» Определить максимальное касательное
найрйжение в каждом случае и площадку, на которой оно
действует,
3,15. Выяснить вид поверхностей напряжений Коши в точке Ж для
следующих напряженных состояний: ,
а) вс ее тороннее* равн ом ерное раст!жевйе (ежатие)
6) одноосное растяжение (сжатие)
в) простой сдвиг
г) плоское напряженное состояние
ЗЛ6? Используя уравнения равновесия cfi&J* =о » гДе i3" тен"
зор напряжений, получить формулу, определяющую средние
значения по объему компонент тензора напряжений, возни-
возникающих в теле от действия поверхностных нагрузок.
3.1?. Доле напряжений в сплошной среде задано тензором
О О з
Определить: а) распределение массовых сил, если среда
находится в равновесии; б) величины главных,напряжений
в точке М((Х,О, Я Va) ; в) максимальное касательное нап-
.ряжение. в то^ке М ; г) главные значения девиатора нап-
напряжений в точке М *
а & 1
60

3.18. Записать уравнения равновесия сплошной среды в цилиндри-
цилиндрических и сферических координатах, используя физические
компоненты тензора напряжений и вектора плотности массо-
массовых сил.
1У. Деформация. Тензоры деформации и скоростей деформаций.
Условия совместности. Линейная теория упругости
4.1, Вектор перемещения Шуъ декартовой системе координат за-
задан в переменных Лагранжа выражением ^
±?^.21* где {^i}3~ базисные векторы.
ное положение частицы .первоначально находившейся в точке
1%Т
3
4.2. В ортогональной декартовой лагранжевой системе коордщнат
4 г fc) 3?®ан0 иоле вектора перемещений Щ^-
^Щ - константа. Определить компонен-
компоненты вектдра перемещений в цилшдричеокой эйлеровой систем©
координат С г, Цг%\* если обе системы имеют общее начало.
4.3. Найти выражения доя физических компонент тензора деформа-
деформаций через физические компоненты вектора перемещения (ли--
нейная теория) в цилиндаической и сферической системах
координат.
4.4. Перемещение среда.??т;>г. ?)-*-r.?sc,y,-2)задано уравненвями
cc-t + 2 * 9~% * ^?». Вычислить латранжев б и эйлеров
ётензоры деформации и найти в обоих случаях главные на-
направления и удлинения.
4.5. Кручение упругой среды задается
g
Найти лагранжев тензор деформации <* г главные направле-
направления и удршнения.
4.6. Дано поле перемещений оГу- ^ ^Щ^г^аг §?~Щз»*Фн5!г
Найти,эйлеров тензор деформациис5 и главные удяинвния
/ 4.7, В некоторой точке задан тензор деформации;
-VI /•
4/
Определить относительное удлинение в направленияг
61

и изменение угла между направлениями i) и
4.8. Деградация называется однородной, еслн она определяется
вектором перемещения щш&~Л&)<Рус заданно! штщ~
щйЛСб)* Доказать, что при такой деформащш шсоские
сечения остаются -плоскими, а прямые линии остаются пря-
прямыми.
4.9. В рамках линейно! теории доказать, что изменение угла
между ортогональными векторами f ил/ (единичными). неде-
формировашож'конфигурации дается формулой
4.10. Доказать» что формула, выражающая изменение угла между.
координатными линиями $% г. ^в прямоугольной декартовой
: системе координат, имеет следующий вид: .
4. II. Найти выражение дда c/etf??\4&pe3 ооновнве инварианты
эШгерова тензора деформапди ч
4.12. Задано поле скоростей в эйлеровых переменных:
Найти тензор скоростей деформации, вектор вихря скорос-
скорости, закон движения, вектор перемещения как функцию ла-
гранжешх координат, лагранжев тензор деформации, изме-
изменение плотности в процессе движения,
4.13. Доказать, что тензор скоростей деформации
одноосным тогда и только гогда, когда равны, нулю
4.14, Лдя некоторой движутчейся средр поле тензоров скоростей
деформации имеет все компоненты равные нулю, кроме ?д/$
¦ и i&?? t зависящих только от переменных оГ^и jc*. На!ти
общШ вид соответствущвго поля' скорое тейt
4.15. "Показать, что в услонтеж совместности Сен-Ввязка имеется
всего шесть независшшж уравнений. .
¦62

4.16, Показать, что система уравнений ^;./.:v" ;v : /¦
относительно скапнрной функции ^с,.. .^является вполне
интегрируемой-. Найти решение этой систеш» удовлетворя-
удовлетворяющее начальному условию <f(/P...,J)*=/.
4.17. Тензор второго ранга Допределен формулой ?D~Vf^?f?
где 41—окалярная фикция, зависящая в декартовой систе-
системе координат от координат *x?i зс& . Найти условие, при .
котором тензорSD может рассматриваться как тензор скоро-
¦ ст.е^ деформации,
4.18. Ддя плоского движения существует только одно соотношение
совместности между отличными от нуля компонентами тензо-
тензора скоростей деформации. Вывести это соотношение безоб-
f ращения к общему условию совместности,
4.19. Какими должны быть функции у , а » A J№ того» чтобы си-
система уравнений относительно функции (f(<a:, и)
4S
где (Ь f $ » с - постоянные, .имела решение?
4,20. В рамках .яинейной теории выяснить, можно "ли тензор ? ,
1 ? /
JL *
рассматривать как тензор деформаций некоторого перемеще-
перемещения.
4.21. Для каких гладких скаяярных функций f(f) шаровой тензор
б ~ f{?~)T мажет быть тензором деформации -.(линейная тео-^
рия)?
4.22, Найти вектор.перемещения¦ для тензора деформации из зада-
задачи 4.21. л
4.23? Доказать, что шаровой тензор й~<р(?I может рассматри-
рассматриваться как лагранжев тензор конечных деформации в том
и только в том случае/ если скалярная функция (f($)..име-
(f($)..имеет следующий'-вид: ,
63

причем постоянные oL t В , С связаны соотношением
?
I
: 4.24? Показать» что тензор TC&~)t подучаемый как решение
вполне ^интегрируемого уравнения
л¦ _¦/
) 4
начальным условием
* удовлетворяет соотношению
U» то есть действительно является тензором
Доказать, что полная производная по времени эйлерова
тензора деформации б выражается формулой
где SD- тензор скоростей .деформации,
4.26. Нуеть движение упругого тела (линейная теория) таково,
что вектор перемещенияW^CUfVtW") зависит только o^-t t
jt 9 Доказать, что кошоненты w,w , иУудовлетворяют
волновому уравнению^^ ~^$2tur* т$$ постоянная й/равна
сзкороети распространения продольных волн для 1С и попе-
поперечных 'волн для V- и 2#\.. Массовые силы отсутствуют.
4.27. Показать, что в упруго! йоперечкой бегущей плоской вол-
волне езотность не меняется^ О ^0о .
4.28» Бйвестж уравнещш плоской "теории -упругости,
4.29. Выразить инварианты <$л(?)через JeC<$) жш закона 1^ука,
4*30. Как упростится условие-совместности в напряжениях» если
деформация такова, что объем сохраняется?
4.31. При растяжении круглого стержня диаметром с/= Z см» дащ-
. ной ? = I м» силой -?*= 24,6 кГ, приложенной к торцам
стержня, он. удлинился на I мм» Найти модуль Юнга.
4,32,. Пусть векторы перемещения^всех точек параллельны нлоскоо-
И=г# ,( плоская де^ормацдя). Найти векз&р рд напряже-
напряжей *^(
ния, действующего на площадку с норадалью*^(линейная
теория ушугости)
64

:»33. В условиях предадущей задачи показать, что векторе р,
j- ¦ ¦ » ¦ ¦ / ¦*
д^ параллельны плоскости g *= о ¦
У. Жидкости и газы. Простейшие модели •
5.1. Написать уравнения дажения идеальной несжимаемой жид-
жидкости в цилиндрической и сферической системах коордж-т
нат, используя физические компоненты векторов*
5.2. Лдш идеальной несжимаемой жидкости вывести уравнение
неразрывности и уравнения движения в переменных Лагран-
¦ жа. . ..'¦". ' ¦
5.3. Найти распределение давления в весомой покоящейся не-
несжимаемой жидкости, занимающей область 04Z4&* яа
свободной поверхности ? -О которой действует атмосфер-
атмосферное давление ро •
•5,4. Показать, что на тело, погруженное в жидкость, действу-
действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости
(закон Архимеда).
* 5*5. Найти давление" в центре жидкого* шара радиуса си, посто-
постоянной плотности о % если жидкость покоится, а силы вза-
взаимодействия определятся законом Ньютона:
где т^ж rrig-. взаимодействующие массы,. расположенные в
точках*^ и ^ , J - гравитационная постоянная (даатге-
ние на поверхности равно нулю).
5.6. Тяжелая жидкость находится в равновесии в вагонетке, ко-
которая скатывается без скольжения по наклонной плоскости*
Найти форму свободной поверхности и распределение давле-
давления в жидкости.
5*7. Весомая идеальная несжимаемая жидкость вращается с посто-
постоянной угловой скоростью сз вокруг реи, образующей с напра-
направлением силы тяжести уголос.. Определить-поверхности по-
постоянного давления. ¦ j*? ' -*-
5.8. Преобразовать динамические; уравнения..Эйлера f^-^P^?^
к уравнениям движения идеальной жидкости в форме Громеки-
Лэыба-:.
65

S|5.3» Пусть установившееся ( ЬхУ/dt^O) движение идеальной не-
несжимаемой жидкости происходит под действием потенциаль-
потенциальных массовых сил (jT^-vU )# Показать, что вдоль линий
тока и. вкхревшс линий" величина К-^ЩК^ + U сохраняет-
сохраняется. Для каких движений данная величина постоянна во
всем пространстве?
5.10. Показать.» что дея идеальной несжимаемой жидкости вихрь
'скорости 2?= toi^удовлетворяет уравнению
^ - плотность массовых сил, действующих на жидкость.
5.II? Пусть в начальный момент времени -Ь^О в некоторой мас-
массе QL идеальной несжимаемой жидкости движение было без-
безвихревым ( гоё&~О), Доказать, что если.массовые силы
потенциальны,'то и в любой момент времени движение будет
безвихревым в этой массе жидкости Q (±) (теорема Лагран-
5.12. Проверить, что функция. tf~ Ujc Q+ —^ У, где г^<х + ч +%t
задает потенциал скоростей идеальной несжимаемой жидкос-
жидкости ~нри обтекании шара радиуса си о центром /в начале коор-
координат со скоростьюUна бесконечности, направленной по
ч 5.13? Доказать, что яри.обтекании пара идеальной несжимаемой
жидкостью (ем. 5.1*0 суммарная сила давления на шар равна
нулю (парадокс ДадамбераЬ
' -.5.1.4. Показать, что уравнения Навье-Стокса имеют решение вилд .
где\х г v\ ? - декартовы координаты»
5*15. Шчислить скорость диссипации кинетической энергии на еди-
единицу длины трубы дш течения Пуазейдя;В;круглой трубе, В
декартовой системе координат распределение^скрростей зада
ется формулами: - ' ''¦ ' -: '
ршихшпадаетс осью ? .: -. ч- : л r ^
5.16. Шйти распределение давления ж шготнЬстй в неподвижной ат
мосфере,:;;в которой 'давление V? и"йбтнреть р связаш соот-
66

ношением P~Po(f/PoJ (ff^^)* Определить высоту атмос-
атмосферы.
v'5.17» Показать9 что. если в стационарном течении идеального
~" ;¦""'¦ rasa линия'тока прямолинейна9 то поверхности равного -
давления к ней ортогональны.
5.18. Показать» что уравнение сильного разрыва, соответствую-
соответствующее закону сохранения момента импульса, есть следствие
уравнений сильного разрыва;
Г
Здесь [J-]~?r^ символ скачка, -4 Ij'-gbjpt- вектор от-
относительной скорости f Я)^- скорость перемещения поверх-
поверхности сильного разрыва в направлении нормали п*ж
~?пГрпя^+~Р^г ~ разложение вектора спряжений на пло-
площадке с .нормалью Ж 9
5.19. Написать в развернутом виде условия на контактном раз-
разрыве: вязкая несжимаемая жидкость - газ (см. 5.18).
УГ. Преобразования растяжения. Теория размерности
6.1. Однопараметрическое семейство преобразований пространст-
пространства Я С*х,тзадано формулами
Шяснить, образует ли это семейство преобразований грун-
. щ Ы (?± .
6.2. По инфинитезимадьшм операторам
о-ь djc y die
вычислить преобразования У^ соответствуЕзщих групп
преобразований^ пространства J25

6.3/До инфинитезшальному оператору
% ди
вычислить преобразования Т^ соответствующе! группы G?
преобразований пространства R^(&, и, и,, &)¦.
6.4. Найти два независимых инварианта дяя каждой из групп за
; дачи 6.2.
6.5. Аягебра Ли1*ул группы Галилея задается следующими базис
ными ¦операторами:
"
Составить таблицу кошнутаторов ддя этой алгебры.
6».6. Какова наибольшая возможная размерность группы растяже-
ниж в пространстве J? ?¦
-6.7? Найти общий вид оператора растяжения переменных f ,<J,
V*;, который расширяет LJ0{<m. 6.5) до Ху^ .
6,8- На1ти все преобразования растяжения, допускаемые уравне-
уравнением" '
6.9..'.Найти все преобразования растяженияf допускаемые уравне-
уравнениями Навье-Стокса.
6.10. Найти вид инвариантного решения уравнений Эйлера относи-
. тельно групш Л3(Х^,Х33^.Вывести систему 6/Я3> Здесь
Я?- оператор растяжения:
11II. То же щш )
6.12. Найти общий вид автомодельных (в узком смысле) решений
уравнений Эйлера.
6.13? Показать, что наиболее общее Я -решение уравнений Эйлера,
инвариантное относительно группы Щ (?/0 i.?f ^здимеет вид
68

'6.14? Найти решение уравнений Даме (в трехмерном 'случае при
отсутствии массовых сил), инвариантное относительно под-
группы Яъ (ХиХяГЖО +?3).
6.15. Из резервуара через отверстие¦на дне под действием сида
тяжести штекает жидкость..Предположим, что основными
параметрами, определяющими скорость истечения-жвдкости
V { являются высота h уровня жидкости над дном* площадь
отверстия F , плотность жидкости р и ускорение свободао-
го падения а . Найти вид искомой зависимости скорости от
.перечисленных параметров.
6.16. При движении корабля с-постоянной'скоростью ^сопротивле-
^сопротивление- Р , испытываемое корабл.ем со стороны жидкости, и смо-
смоченная площадь^ определяются системой параметров:
где а - ускорение свободного паденияt С - характерный
размер, d~ объемное водоизмещение (размерность - длина
в кубе) корабля, р - п.татность, м - вязкость жидкости.
Определить структуру соотношенийt опреде.7Ш1ощих сопротив-
сопротивление Р и смоченную площадь при движении корабля.
6.17* Найти представление дяя силы Р сопротивления, которую жид-
жидкость оказывает движущемуся в ней о постоянной скоростью
IX твердому телу сферической форш,.в следующих случаях:
а)-жидкость вязкая, несжимаемая;
б) жидкость идеальная, сжимаемая.