/
Text
ВИБРАЦИИ
В ТЕХНИКЕ
СПРАВОЧНИК
6
В VJ ТОМАХ
Редакционный совет
Председатель — В. Н. Челомей (главный редактор издания)
Члены В. С. Авдуевский, | И. И. Артоболевский |, И. И. Блехман,
А. Н. Боголюбов, Н. Н. Боголюбов, В. В. Бойцов, В. В. Болотин,
Н. В. Бутенин, И. И. Быховский, Р. Ф. Ганиев, М. Д. Генкин,
Э. И. Григолюк (зам. председателя и главного редактора), Ф. М. Ди-
ментберг, А. Е. Кобринский, К. С. Колесников, М. 3. Коловский,
Э. Э. Лавендел, |А. И. Лурье , Ю. А. Митропольский, Я. Г. Панов-
ко, К. М. Рагульскис, В. В. Румянцев, Л. И. Седов, | С. В. Серенсен [,
К. В. Фролов (зам. главного редактора)
Москва « Машиностроение » 1981
ИЗМЕРЕНИЯ
И ИСПЫТАНИЯ
том
5
Под редакцией
д-ра техн. наук проф. М. Д. ГЕНКИ НА
Москва « Машиностроение » 1981
ББК 34.41
В 41
УДК 621—752 @31)
Авторы:
В В Алесенко, А. С. Больших, М. Д. Генкин, Л. Д. Гик, В. С. Голубев, Ф. М. Де-
дученко А С. Исаев, В. А. Каминскас, В. А. Клочко, М. В. Кутьин, Ю. Г. Мигун,
А А Немура, А. К. Новиков, В. С. Пеллинец, В. И. Попков, А. В. Синев,
В И. Смыслов, А. Г. Соколова, М. И. Субботин, К. М. Терещук, А. А. Туник,
И. Б. Челпанов, Ю. Н. Чеховой, В. В. Яблонский
Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т./Ред. совет:
В 41 В. Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1981—Т. 5.
Измерения и испытания. — Под ред. М. Д. Генкина. 1981.
496 с, ил.
В пер.: 2 р. 70 к.
На обороте гит л. авт.: В. В. Алесенко, А. С. Больших, М. Д. Генкин и др.
В пятом томе описаны современные методы и средства вибрационных измерений
и испытаний механических систем. Приведены методы аналитического описания и
анализа процессов и систем Описана современная аппаратура для регистрации
и анализа колебательных процессов. Большое внимание уделено методам и средст»
вам экспериментального определения характеристик, идентификации и виброакус-
виброакустической диагностике механических систем. Описаны практические методы и
средства виброиспытаний механиче<утх систем при гармонических, случайных и
ударных воздействиях.
Справочник предназначен для инженерно-технических работников, занятых
расчетами, проектированием, изготовлением и эксплуатацией объектов современной
техники.
© Издательство «Машиностроение», 1981 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ИЗМЕРЕНИЯ
Глава I. Математическое описание первичных измеряемых величин
(В. С. Голубев) 11
1. Основные понятия 11
2. Вещественное пространство 12
3. Комплексное пространство 16
4. Кинематические величины точки 25
5. Кинематические величины абсолютно твердого тела 28
6. Силы и моменты сил 32
7. Напряжения и деформации 34
Список литературы 40
Глава II. Передаточные функции линейных механических систем (п. 1—6
М. Д. Генкин, В. С. Голубев; п. 7, 8 М. Д. Генкин, В. С. Голубев,
А. В. Синев; п. 9—12 М. Д. Генкин, В. В. Яблонский) 41
1. Понятие передаточной функции 41
2. Механические системы и цепи 42
3. Идеализированные двухполюсные элементы и звенья механи-
механических цепей 43
4. Передаточные функции пассивных двухполюсников и цепей . . 50
5. Основные законы линейных механических цепей 52
6. Упрощение механических цепей 54
7. Графы и механические цепи 55
8. Анализ механических цепей 64
9. Матрицы передаточных функций (МПФ) сложных систем ... 74
10. Преобразование МПФ при взаимном соединении механических
систем 77
11. Вибрационный расчет системы, содержащей многомерные
источники колебаний и нагрузку 78
12. Принципы экспериментального определения элементов МПФ
и выбор модели 80
Список литературы 82
Глава III. Модели процессов (И. Б. Челпанов) 83
1. Методы описания и представления процессов 83
2. Классификация моделей процессов 84
3. Детерминированные модели колебательных стационарных и
импульсных процессов 85
4. Способы учета неопределенности при задании моделей процес-
процессов 87
5. Вероятностные модели процессов 87
6. Способы построения комбинированных моделей процессов ... 88
Список литературы . , , , 88
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Статистические характеристики совокупностей дискретных дан-
данных и непрерывных процессов (п. 1—4 И. Б. Челпаиов, п 5 А. К.
Новиков) 89
1. Задачи статистического анализа °"
2. Статистические характеристики совокупностей дискретных дан-
данных О
3. Статистические характеристики непрерывных процессов и по-
последовательностей 92
4. Вторичная статистическая обработка 95
5. Вероятностные характеристики случайных процессов 96
Список литературы 98
Глава V. Линейные и нелинейные преобразования сигналов (И Б. Чел-
панов) 98
1. Модели систем, преобразующих сигналы 98
2. Характеристики линейных стационарных систем при детерми-
детерминированных входных сигналах 9^
3. Характеристики линейных стационарных систем при случай-
случайных входных сигналах 102
4. Основные эффекты нелинейного преобразования сигналов . , , 104
5. Дискретизация непрерывных сигналов 105
Список литературы ,,....,, 106
1 лава VI. Средства и методы измерений (п. 1. М. Д. Генкин, В. С. Голубев;
п. 2—4 М. Д Генкин, В. С. Голубев, Л. Д. Гик; п. 5 Л Д. Гик,
М. В. Кутьин; п. 6 М. В Кутьин) 107
1. Измерения и измеряемые величины , 107
2. Средства измерений и их характеристики , ПО
3. Коррекция динамических характеристик средств измерений . . 119
4. Методы измерения параметров относительной и абсолютной виб-
вибрации 121
5. Оптические методы измерения параметров вибрации 125
6. Акустические методы измерения параметров вибрации 132
Список литературы 132
Глава VII. Измерительные устройства инерционного принципа действия
и их применение (В С Голубев) J34
1. Основные понятия и определения 134
2. Прямолинейные датчики кинематических величин с несколькими
направленными инерционными элементами 136
3. Прямолинейные датчики кинематических величин с одним на-
направленным инерционным элементом 141
4. Угловые датчики кинематических величин с направленным
инерционным элементом , 152
5. Датчики кинематических величин с ненаправленными инерци-
инерционными элементами 155
6. Рекомендации по использованию датчиков инерционного дей-
действия , , , , 161
7. Кинематические погрешности измерения прямолинейных дат-
датчиков . , 164
8. Кинематические погрешности измерения угловых датчиков . , . 172
9. Измерение многомерной вибрации твердого тела с помощью дат-
датчиков сейсмического типа , 173
10. Другие измерительные устройства инерционного принципа дей
ствия , 180
Список литературы 182
Глава VIII. Механоэлектрические преобразователи (п. 1 М. Д. Генкин,
В. С. Голубев, М. И. Субботин; п. 2—8 М. И. Субботин) .... 182
1. Основные понятия и соотношения 182
2. Генераторные преобразователи . , , , 188
ОГЛАВЛЕНИЕ I
3. Параметрические преобразователи 196
4 Комбинированные преобразователи 206
5 Волновые преобразователи 209
6. Компенсационные преобразователи 209
7. Другие типы преобразователей 210
8. Сравнение МЭП 210
Список литературы 211
Глава IX Датчики механических величин (п. 1, 3 М. Д Генкин, В. С. Го-
Голубев, М. И. Субботин; п. 2, 4—10 М. И. Субботин) 212
1. Входные и выходные цепи датчиков механических величин . . 212
2 Метрологические и эксплуатационные характеристики датчиков 215
3. Специальные характеристики датчиков векторных величин . . . 217
4. Датчики для измерения линейной вибрации 220
5. Датчики для измерения угловой вибрации 226
6. Датчики деформации 227
7. Датчики силы 229
8. Датчики давления жидких и газообразных сред 230
9 Датчики крутящего момента 231
10. Общие замечания об использовании датчиков 232
Список литературы , 233
Глава X. Аппаратура общего применения (п. 1—3 В. А. Клсчко, Ю. Г. Ми-
гун; п. 4, 6 В. А. Клочко; п. 5 К- М. Терещук) 234
1. Устройства формирования и преобразования электрических
сигналов 234
2. Устройства для измерения параметров электрических сигналов 246
3. Устройства регистрации и представления информации 247
4. Вспомогательные устройства ..,.,.., 256
5. Телеметрические системы , 259
6. Агрегатный комплекс средств измерения вибрации 263
Список литературы . , , 266
Глава XI. Аппаратурные методы анализа процессов (А. К. Новиков) . . 266
1. Элементы теории статистических измерений 266
2. Спектральный анализ стационарных процессов 270
3. Измерения корреляционных связей процессов 274
4. Измерения характеристик процессов, представляемых моделями
негауссовских и нестационарных процессов 280
5. Цифровые методы статистического анализа процессов 285
Список литературы . , , . , 289
Глава XII. Погрешности измерений (В. С. Пеллинец) 289
1. Основные понятия и классификация 289
2. Случайные погрешности 291
3. Систематические погрешности 294
4. Погрешности средств измерений 296
5. Динамические погрешности средств измерений 297
6. Вычисление оценок известных систематических погрешностей 298
7. Вычисление оценок погрешностей многократных прямых изме-
измерений 300
Список литературы . , 301
Глава XIII. Градуировка и испытания средств измерений механических
величин (В. С. Пеллинец) 301
1. Общие понятия. Эталоны и поверочные схемы 301
2. Поверка средств измерений параметров вибраций и удара . . . 304
3. Поверка других средств измерений механических величин . . . 306
4. Определение отдельных метрологических характеристик средств
измерений 306
Список литературы . . , , ( • . . 313
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК,
ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ДИАГНОСТИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XIV. Определение частотных характеристик и колебательной мощ-
мощности механических систем (В. В. Яблонский) 314
1. Значение частотных характеристик 314
2. Принципы проведения эксперимента 316
3. Организация испытаний при различных моделях объекта ... 318
4. Датчики для измерения частотных характеристик ....... 320
5. Измерительная аппаратура 323
6. Измерение колебательной мощности 326
Список литературы 329
Глава XV. Определение характеристик собственных колебаний (В. И. Смыс-
Смыслов) • 330
1. Характеристики собственных колебаний 330
2. Определение характеристик собственных колебаний с помощью
резонансных испытаний 332
3. Многоканальное оборудование для проведения резонансных
испытаний 341
Список литературы 348
Глава XVI. Идентификация механических систем (В. А. Каминскас, А. А.
Немура) 348
1. Общие вопросы идентификации 348
2. Математические модели механических систем 357
3. Оценивание параметров моделей линейных систем 362
4. Оценивание параметров моделей нелинейных систем 366
5. Оценивание состояния систем 373
6. Примеры идентификации реальных механических систем . . . 374
7. Построение параметрических моделей механических систем по
экспериментальным амплитудно-фазовым частотным характери-
характеристикам , , 377
Список литературы , 378
Глава XVII. Виброакустическая диагностика машин и механизмов (п. 1, 2
М. Д. Генкин Ф. М. Дедученко, А. Г. Соколова; п. 3, 4 А. Г. Соко-
Соколова, Ф. М. Дедученко; п. 5—ТА. Г. Соколова; п. 8 В. И, Попков). 380
1. Постановка задачи 380
2. Функциональная схема системы виброакустической диагностики 384
3. Диагностические модели 385
4. Виброакустический сигнал и выбор системы измерения и обра-
обработки информации 389
5. Предварительная обработка измерительной информации .... 399
6. Использование характеристик виброакустических процессов
в диагностических целях , 401
7. Решающие правила распознавания 408
8. Локализация источников повышенной виброактивности меха-
механизмов и конструкций 413
Список литературы . . , 418
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ВИБРОИСПЫТАНИЯ
Глава XVIII. Испытания на вибронадежность (А. С. Больших) ..... 420
1. Назначение виброиспытаний 420
2. Классификация виброиспытаний 420
Список литературы , 421
ОГЛАВЛЕНИЕ 9
Глава XIX Организация и планирование виброиспытаний (В В Алесенко,
А. С. Исаев) 421
1. Задачи вибрационных испытаний 421
2. Информация об эксплуатационных вибрациях 422
3. Механизмы влияния вибрации на определяющие параметры
объекта 432
4 Организация и планирование вибрационных испытаний для
механизма влияния типа А 434
5 Организация и планирование вибрационных испытаний для
механизма влияния типа Б 450
Список литературы 454
Глава XX. Методы и средства моделирования эксплуатационных состоя-
состояний при гармонических воздействиях (А, С. Больших) 454
1. Испытания гармонической вибрацией на фиксированных часто-
частотах , , 454
2. Испытания с переменной частотой гармонической вибрации , . 455
3. Испытания полигармонической вибрацией . , 457
4. Многоточечное вибровозбуждение 458
Список литературы 458
Глава XXI Методы и средства моделирования эксплуатационных состо-
состояний при случайных воздействиях (А. А. Туник) 459
1. Общие положения 459
2. Аналоговые методы создания широкополосной случайной виб-
вибрации 461
3. Цифровые методы создания широкополосной случайной вибра-
вибрации 466
4. Испытания случайной узкополосной вибрацией 471
5. Испытания реальной вибрацией 472
6. Рекомендации по выбору методов испытаний 474
Список литературы , , 474
Глава XXII. Методы и средства моделирования эксплуатационных состо-
состояний при испытаниях ударом (Ю. Н Чеховой) , 475
1. Основные понятия 475
2. Способы испытаний ударом 476
3. Методика ударного нагружения 481
Список литературы 487
Приложение 1 488
Приложение 2 , 489
ПриложениеЗ 490
Приложение 4 491
Предметный указатель ,...., ,,,.,,, 492
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пятый том справочника посвящен современным методам и средствам экспери-
экспериментального определения характеристик колебательных процессов и систем.
Том состоит из трех частей.
Первая часть содержит необходимый теоретический и методический материал,
а также описание виброизмерительной аппаратуры, начиная с преобразователей
и кончая средствами обработки данных.
Вторая часть посвящена идентификации и диагностике систем по вибрационным
параметрам, а также измерениям частотных характеристик (импедансов, динамиче-
динамических жесткостей и т. п.), собственных частот и форм колебаний механических систем,
В третьей части рассмотрены вопросы организации и проведения виброиспыта-
виброиспытаний, причем главное внимание уделено выбору режимов испытаний, применению
ЦВМ при случайном и ударном возбуждении.
Авторы стремились максимально использовать материалы отечественных и
международных стандартов и современную терминологию. Многие ма1ериальг, осо-
особенно относящиеся к теории работы датчиков, измерениям, идентификации и диаг-
диагностике систем, а также к планированию виброиспытаний, ранее в справочниках
не публиковались. В соответствии с задачами издания в томе не приведены техни-
технические характеристики конкретных типов аппаратуры, поскольку такие сведения
есть в специальных справочниках.
Редактор тома д-р техн. наук проф. М. Д. ГЕНКИН
Часть первая
ИЗМЕРЕНИЯ
Глава I
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ПЕРВИЧНЫХ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Понятие об измерениях. Измерения являются одним из важнейших путей по-
познания природы человеком и их определяют как нахождение значений физических
величин опытным путем с помощью специальных технических средств [2]. Измере-
Измерения механических величин составляют неотъемлемую часть испытаний механиче-
механических систем, и в том числе виброиспытаний, задачей которых является изучение
виброустойчивости, вибропрочности и эффективности объектов в условиях вибра-
вибраций, а гакже изучение эффективности виброзащиты [3].
Измерение дает количественное представление величины на основ-1 измеритель-
измерительного преобразования, при котором устанавливается взаимно-однозначное соответ-
соответствие между размерами измеряемой (преобразуемой) и преобразованной величин,
сохраняющее для некоторого множества размеров преобразуемой величины все
определенные для нее отношения и операции [2].
Техническое устройство, осуществляющее измерительное преобразование, на-
называют преобразователем, а преобразуемую и преобразованную им величины —
соответственно входной и выходной. Техническое устройство, используемое при
измерениях и имеющее нормированные метрологические свойства, называют сред-
средством измерения [2].
Измерительной аппаратурой называют все технические устройства, предназна-
предназначенные для проведения измерений. Под измерительной техникой понимают как
средства измерений, так и прикладную науку, занимающуюся вопросами создания
и применения средств измерений. Наука об измерениях, методах и средствах обес-
обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности называется метро-
метрологией [2].
Классификация измерений. По характеру зависимости измеряемой величины
от времени измерения разделяют на статические, при которых размер измеряемой
величины можно принять не зависящим от времени, и динамические, при которых
размер измеряемой величины изменяется во времени.
По способу получения результатов измерения разделяют на прямые, косвен-
косвенные, совокупные и совместные. Прямое — измерение, при котором искомое значе-
значение величины находят непосредственно из опыта. Косвенное — измерение, при кото-
котором искомое значение величины находят на основании известной зависимости между
этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Совокупные —
производимые одновременно измерения нескольких величин, при которых искомые
значения величин на:.одят решением системы уравнений, получаемых при прямых
измерениях и включающих в себя измеряемые величины. Совместные — произво-
производимые одновременно измерения двух или несксльких величин для нахождения зави-
зависимости между ними Г2].
Основными характеристиками измерений являются принцип, метод, процедура,
погрешность, точность, правильность и достоверность [1, 2]. Принцип измерений
есть совокупност! физических явлений, на которых основаны изм рения Метод
измерений — совокупность приемов использования принципов и средств измере-
измерений. Процедура измерений есть совокупность и последовательность операций, выпол-
выполняемых при проведении измерений. Погрешность измерения — разность между
12 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Точность
измерения есть его качество, отражающее близость результата измерения к истин-
истинному значению измеряемой величины.
Измеряемые механические величины. По отношению к рассматриваемой меха-
механической системе измеряемые механические величины можно подразделить на пер-
первичные и вторичные. Первичными измеряемыми величинами являются те, которые,
как правило, выбирают в качестве обобщенных сил, обобщенных координат и их
производных по времени при описании поведения механических систем (сила, мо-
момент сил, координаты, перемещения, скорости, ускорения точек и тел, напряже-
напряжения и деформации тел, давления). Для измерения первичной механической вели-
величины, как правило, используют датчик — измерительный преобразователь,
переводящий измеряемую физическую величину в величину другого физического
характера.
Вторичными являются механические величины, которые характеризуют свойства
механической системы и их проявление в первичных механических величинах.
Значения вторичных механических величин находят в процессе обработки данных
о первичных измеряемых величинах. К ним относят различные размерные и без-
безразмерные частотные характеристики механических систем (динамическая жест-
жесткость, импеданс, частотные характеристики системы и т. п.), совместные характери-
характеристики процессов во временной и частотной областях (взаимные корреляционные
функции, взаимные спектральные характеристики и т. п.).
На практике в процессе измерений стараются найти значения вполне опре-
определенных физических величин, отвечающих принятому математическому описанию
механической системы и процессов, т. е. принятой математической модели.
Описание движения механических систем. При исследовании механических
систем одной из главных задач является описание механического движения, т. е. из-
изменения с течением времени взаимного положения в пространстве материальных
тел или взаимного положения частей данного тела [17].
Примечание. Механической системой называют любую совокупность материаль-
материальных точек, т. е. точек, имеющих масеу. Материальное тело есть механическая система,
образованная непрерывной совокупностью материальных точек» Абсолютно твердым телом
(твердым телом) называют материальное тело, в котором расстояние между любыми точ-
точками всегда остается неизменным [17]. Материальное тело, в котором расстояния между
точками изменяются, называют деформируемым.
Положение материальных объектов в трехмерном физическом пространстве
всегда определяют относительно некоторого твердого тела, с которым связывают
базис S — тройку векторов, например е±, е2, е3, не лежащих в одной плоскости и,
следовательно, линейно независимых и имеющих
общее начало, например точку О: S = {О, elF
е2> ез} (рис. 1). Твердое тело вместе с выбранным
базисом S, по отношению к которому с помощью
какой-нибудь системы координат определяют
положение других тел (или механических си-
систем) называют системой отсчета.
Движение механических систем происхо-
происходит в трехмерном вещественном пространстве.
Однако при описании механических колебаний
иногда удобно использовать математические
модели комплексных пространств. Ниже при-
приведены некоторые свойства математических мо-
моделей трехмерного вещественного и комплекс-
Рис. 1. система отсчета с базисом ного пространств, которые использованы в дру-
s = {О, е,, е2, е3} гих главах.
2. ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
Задание векторов. Пусть имеется базис вещественного трехмерного линейного
пространства S {О, elt е2> е3} (см. рис. 1). Положение точки относительно базиса
задают радиусом-вектором г, проведенным из общего начала О в заданную точку.
ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
13
В вещественном линейном пространстве определены операции сложения векторов
как ориентированных отрезков и умножения векторов на вещественное число [13, 14].
Поэтому радиус-вектор г можно записать в виде
Числа х, у, г называют координатами вектора г по отношению к базисным век-
горам е,-. Эти же числа называют прямолинейными (аффинными) координатами
точки [14]. При использовании единичных и ортогональных базисных векторов
эти координаты называют прямоугольными декартовыми.
Если гх = (х1, ух, гх) яг,= (хг, yt, z2) есть радиус-векторы точек 1 и 2, то век-
вектор гх>, у которого порядок следования индексов указывает, что он проведен из
точки / в точку 2, равен разности векторов r2 u хх:
Уравнение
определяет точку Л, лежащую на прямой, проходящей
через точки 1 и 2 (рис. 2).
Для ряда векторов важно знать только их длину
и ориентацию относительно принятого базиса. Такие
векторы задают через их проекции; например, для век-
вектора скорости v точки
3
? vkek, D)
Рис. 2. Прямая, прохо-
проходящая через заданные
точки / и 2
Где x)k — проекции, или координаты, вектора v.
Скалярное произведение векторов. Наше физическое
пространство является евклидовым, поскольку в нем оп-
определено скалярное произведение векторов, и метрическим, так как в нем опре-
определены расстояние между точками и длина, или норма вектора [13, 14].
Скалярное произведение векторов s и а есть вещественное число
a-s=
E)
(*.
1, 2, 3),
гДе Ski — координаты симметричного метрического тензора С
В матричной форме скалярное произведение векторов s и а имеет вид
s • а=sTGa = J
I g21
W
#12 SlS
F)
где sT — матрица-строка, отвечающая вектору s и получающаяся транспонирова-
транспонированием матрицы-столбца s; а — ма1рица-столбец, отвечающая вектору а.
Базисные векторы называют единичными, если
eft.eft=l, (k = l, 2, 3), G)
и перпендикулярными, или -ортогональными, если
eft.e, = 0, (k, 1 = 1, 2, 3). (8)
Базис, удовлетворяющий условиям G) и (8), называют ортонормированным,
а его единичные векторы — ортами. В этом случае
14 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Ниже везде, если не оговорено особо, базис принят ортонормированным. В орто-
нормированном базисе скалярное произведение векторов имеет вид
з
s • а = Si
s a=sTEa = (slS2s3) о2 , E = Fft/)J, (Ю)
W
и, следовательно,
s-eft = sft. (И)
Норма вектора. Длиной, или нормой I г , вектора г = (х, у, г) евклидова про-
пространства называют неотрицательный квадратный корень из скалярного квадрата
этого вектора:
V A2)
Единичный вектор —|- будем обозначать далее через ег или г°.
Расстояние между точками. Расстоянием между точками 1 и 2 й (г1, г2) про-
пространства называют норму вектора, проведенного между этими точками. Из B)
следует, что
d(«i. r3) = ||г2 — гх = +[(x2-x1f + (y2-y1f + (z2-z1f}U2. A3)
Угол между векторами. В силу неравенства Коши [14] для двух векторов s и а
I s |l a l|
Это отношение есть косинус угла 8 между векторами s и а:
Угол между ортогональными векторами равен я/2, так как при этом s -a= 0.
Криволинейные координаты точки. При задании движения точки в криволи-
криволинейных координатах qy, q2, q3 для каждого положения точки могут быть построены
три координатные поверхности qx = const; q2 = const; q3 — const, пересекающиеся
между собой по трем координатным линиям lq, вдоль каждой из которых изменя-
изменяется только одна из криволинейных координат. Касательные к координатным ли-
линиям, проведенные из рассматриваемого положения точки в сторону возрастания
изменяющейся криволинейной координаты, называют осями криволинейных коор-
координат (qi). Совокупность единичных векторов этих осей в рассматриваемой точке
образует базис криволинейной системы координат.
В цилиндрических координатах р (t), cp (t), г (t) (рис. 3) координатными по-
поверхностями служат цилиндрическая поверхность I (p = const; <p, z=var), пло-
плоскости // (ф = const, г, р= var) и /// (г = const; p, <p = var) Базис цилин-
цилиндрической системы координат {О', ер, е<р ег} ортогональный и его орты связаны
с ортами базиса декартовой системы координат {О, ех, еу, ег,} соотношениями (рис. 3):
cosq> smcp 0\ /еЛ
= — sincp соэф 0 ев. A6)
\ 0 0 1/W/
При перемещении точки О' направление ортов ер и еф изменяется в общем случае.
В цилиндрических координатах радиус-вектор г (/) произвольной точки О'
имеет вид
ег. A7)
ВЕЩЕСТВЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО
15
№ уравнений A6) также следует, что
В сферических координатах r(f), б (t), ф (t) (рис. 4) координатными поверх-
поверхностями являются сферическая поверхность I {г = const, б, ф = var), коническая
а)
Рис. 3. Цилиндрические координаты:
а координатные поверхности / //, ///, координатные линии /р, /ф, / ; оси (р), (ф), (г)
и базис {О', е , вф, ег) цилиндрических координат, б — связь ортов цилиндрических
и декартовых координат
поверхность // (б = con^t, ф, г = var) и плоскость /// (ф = const, г, в — var).
Орты ортогонального базиса сферической системы координат {O',tr, eg, еф} связаны
Рис. 4. Сферические координаты:
а — координатные поверхности /, //, ///, координатные линии lr, Zg, 1^; оси (г), F), (ф)
и базис {О', е , ел, еф} сферических координат, б —¦ связь ортов сферических и декарто-
декартовых координат
с ортами базиса декартовой системы координат {О, tx, ey, ег} соотношениями (рис. 4):
/ег \ /cos ф sin б sin ф sin б cos б\ /чх\
( ее ] = cos ф cos б sin ф cos в —sin6]ley|. A9)
\еф/ \—втф совф О JVJ
В общем случае направления ортов сг, еэ, еф зависят от положения точки О'.
В сферических координатах радиус-вектор г (t) точки О' имеет вид
г = пу. B0)
16 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Метрические операции над векторами. При проведении измерений и их описании
наиболее часто используют следующие метрические операции над векторами: ска-
скалярное, векторное и смешанное произведение векторов; преобразование координат
векторов при переходе от одного базиса к другому; задание линейных скалярных
и векторных функций векторного аргумента [13, 14].
3. КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО
При исследовании колебаний для описания динамических явлений часто удобно
искусственно вводить комплексные векторы. В этом случае осуществляется пере-
переход к комплексному пространству. Примерами могут служить описания механиче-
механических колебаний и их преобразований, осуществляемых реальными датчиками. При-
Применяя комплексное пространство при описании гармонических процессов, можно
геометрически выражать временные сдвиги в рассматриваемых векторных про-
процессах и реализовать известные преимущества аналитических расчетов с использо-
использованием комплексных показательных функций.
Комплексное евклидово пространство. Пусть S {О, е1( е2, е3} есть базис трех-
трехмерного комплексного евклидова пространства, в котором определены операции
умножения векторов на комплексные числа и сложения векторов и заданы два ска-
скалярных произведения векторов х-у [13, 14] и (х, у) [6], которые назовем соответ-
соответственно первым и вторым.
При ортонормированием вещественном базисе, который используется ниже,
/О, (кф
В таком базисе указанные скалярные произведения векторов х и у:
х=х1е1 -j- x2
в координатной записи имеют вид
^¦У='^18к1ХьУ1 = х1у1+х^г + х3у3; B1)
k.i
(х, у) = 2 НыЧУ* = ЧУ1 + ЧУ* + хзУз = х ' У*. B2)
k.i
где у* есть вектор, координаты которого комплексно сопряжены с координатами
вектора у.
Скалярным квадратом вектора х называют выражение
х* = х-х = х\ + х1 + х1 B3)
В комплексном пространстве как скалярные произведения векторов, так и
квадрат вектора могут принимать комплексные значения и, в частности, быть веще-
вещественными, мнимыми и нулем. Векторы, скалярный квадрат которых равен нулю,
называют изотропными [13, 14].
Норму вектора в комплексном пространстве удобно задавать через второе ска-
скалярное произведение
чтобы она выражалась положительным вещественным числом. При исследовании
гармонических колебаний первое скалярное произведение используют для учета
фазовых сдвигов, а второе — для получения энергетических соотношений.
Представление комплексных векторов. Комплексный вектор х можно предста-
представить суммой двух векторов хг и х7:
КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО
17
где xrft, *ik — вещественные числа. Вектор х,. задан в собственно евклидовом про-
пространстве с базисом S {О, elt e2, е3}, а вектор х7 — в псевдоевклидовом пространстве
с базисом Sj {О, jelt /e2, /е3} из мнимоединичных векторов:
О, фф
В этом случае для наглядного представления векторов необходимо использо-
использовать два трехмерных пространства. Эти пространства можно совместить, причем
вариантов совмещения может быть бесконечно много.
Но комплексный вектор х можно представить и иначе, поставив ему в соот-
соответствие пару векторов хг и х,' собственно евклидова пространства, из которых
%t умножением на / переводится в вектор х; псевдоевклидова пространства;
2+хг3е3;
2 + xi3e3,
B5)
Учитывая последнее замечание, для наглядного представления комплексных
векторов будем использовать только собственно евклидово пространство, задавая
Рис. 5. Образ комплексного вектора х в базисе S {О, ei, e2, е3}
Рис. в. Образ комплексного вектора г, равного сумме комп-
комплексных векторов х и у
в нем образы комплексных векторов х — пары векторов \г и х,-, причем при графиче-
графическом представлении векторов условимся векторы хг вещественной части комплекс-
комплексных векторов изображать сплошными линиями, а векторы х; мнимой части ком-
комплексных векторов — штриховыми.
На рис. 5 показан образ комплексного вектора х в базисе S {О, elt e2, е3}.
В общем случае комплексный вектор х можно представить разложенным по двум
единичным векторам ехг и tXj, имеющим направление векторов хг и х,-, соответст-
соответственно (рис. 5)
х = х, + 1щ = |1 х, I ехг + /1| х; 1 exi. B6)
Простым комплексным вектором назовем вектор х, который может быть задан
через один единичный вектор
ex. B7)
Некоторые свойства комплексного пространства. Ниже приведены наиболее
важные свойства комплексного пространства.
1. При сложении векторов х и у (рис. 6) вектор суммы
B8)
18 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
2. При умножении вектора х = \r + /xj на комплексное число а — аг + /а,-
результирующий вектор
аг -аЛ/хЛ | B9
а,- а,./ \х; /' >
Образ вектора г остается в подпространстве, определяемом векторами хг и х,-.
При умножении на комплексное число изотропный сектор остается изотропным,
а простой — простым. При умножении на е/°>' векторы вещественной и мнимой частей
изотропных векторов вращаются в пространстве, а простых — осциллируют со сдви-
сдвигом по фазе на я/2.
3. Для первого скалярного произведения
х-у = ух; C0)
if = x,-y + x2-y; C1)
у) = ар (х-у). C2)
Первое скалярное произведение векторов х и у, выраженное через векторы
вещественной и мнимой частей, имеет вид
(хг -хЛ (у Л !¦ C3)
В частности,
4. При ортогональности комплексных векторов х и у их скалярное произведе-'
ние обращается в нуль, при этом из C3) следует, в частности, что
*-Ул-Х|-Л = 0; C5)
ХгУ, + х,-у, = 0. C6)
Изотропный вектор х ортогонален самому себе, и, как следует из уравнения C4),
лг —д(., л,-'л,- "i (OI)
т. е. у изотропного вектора векторы \г и х, равны по норме и ортогональны.
5. Комплексный вектор х = х,. -f- /x, можно характеризовать углом в' между
векторами хг и х,- (см. рис. 5), для которого
Поэтому равенство C4) можно записать в виде
[ х. [| cos 6',
Для простого комплексного вектора cos б' = ±1, а для изотропного cos S' = 0.
6. Для второго скалярного произведения
(у, х) = (х, у)*; C9)
(xi + x2, y) = (xlt y) + (x2, у); D0)
(ах, рУ) = оф*(х, у). D1)
Второе скалярное произведение векторов х и у, выраженное через векторы
вещественной и мнимой частей, имеет вид
(х, y) = x.y*=xr.y,+x,--y,- + /(-x,-y,- + xry,) = Y,.+/Yi; ]
(AJ у,\ [ D2)
\7г U M / )
КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО 19
В частности,
(х, x)=fx;,* = x=-f^ = |]X^+|x,f. D3)
7. Любой комплексный вектор х, не являющийся изотропным или простым,
можно разложить на простой комплексный вектор хп и изотропный вектор хи : (х =
= Хи + хп), добавив к исходным векторам хг или х,- и вычтя из них векторы, допол-
дополняющие их до изотропных в подпространстве, заданном векторами ехг и е^,-. Так,
с помощью вектора / (| х,- (| е вектор х можно представить в виде суммы:
" ==!! X/-1 ехг+/ | хг | е — / J, хг || е + / | х,-1| exi = хи + х„;
е = (ext X ехг) X ехг/Ц exi X exr ||,
изотропного хи и простого мнимого х„ векторов:
хи = |]х/-|ехг + /||х/.[ е, е^-е = 0;
8. С использованием первого скалярного произведения в комплексном про-
пространстве можно задать те же метрические операции над векторами, что и в веще-
вещественном пространстве.
9. Всякому линейному оператору А вещественного пространства соответствует
линейный оператор комплексного пространства, действие которого на веществен-
вещественные базисные векторы е,- совпадает с действием исходного оператора на эти век-
векторы, и действие которого на произвольные комплексные векторы х=\\хкек опре-
к
деляется по закону [14]
2> D4)
k
В, частности,
Ах = Ахг + /Ах,-. D5)
Ортогональные операторы переводят изотропные векторы в изотропные, поэтому
изотропные векторы переходят друг в друга при вращении пространства.
Переход к комплексному пространству во временной области. Наиболее рас-
распространенным способом перехода от вещественного пространства к комплексному
во временной области является построение вектора мнимой части комплексного
вектора как преобразования Гильберта исходного вещественного вектора [20].
Комплексный аналитический вектор, отвечающий вещественному вектору R (i),
будем обозначать через Rc (t), а построенный вектор мнимой части — через R (t):
з
Rc @ = R @ +/R @; R @ = Ц ч (t) ч\ D6)
k—l
$ (t) = <Ж [R (/)] = 2 еЯГ \xk (/)] Ч = J] xk (t) eAl
где e^ — неподвижные единичные векторы.
Функции х (t) и х (t) связаны парой преобразований Гильберта:
со
± \ 7=7*5 D7)
— СО
ОО А
20
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
причем в обоих случаях интеграл понимается в смысле главного значения по Коши,
т. е. в D7)
си is — e + «э\
Из D7) и D8) следует, что
Исходные и преобразованные по Гильберту функции (табл. 1), рассматривае-
рассматриваемые как векторы функционального пространства, ортогональны между собой:
г
(х, х)= Hm -~ f х (t)x (t)dt = Q.
Т -»со ' J
Для гармонических и узкополосных случайных процессов преобразование
Гильберта дает возможность неформально представить процессы в виде комплекс-
комплексных показательных функций.
При х (t) = а0 cos aje
х (t) = аи sin юо/е и хс (t) = x (t) + ух (t) = а„е/Мо<е.
D9)
При х (t) = а @ cos ф (Ое, Ф (t) = со0^ + Дф (t), когда a (t) и Дф (/) — мед-
медленно меняющиеся функции времени по сравнению с cos ф (t) и wot соответственно,
хс @ = х (t) + /х @ = о @ е/ф (<)е.
1. Некоторые функции и их преобразования по Гильберту
E0)
х,
о0 cos {at 4 Ф)
а0 sir (co^ +1|))
2 (а^ cos k at -\- b^ sin * со<)
*= 1, 2. 3 ... : со >0
о0 cos Q/.cos at
Q, со > 0; Q < со
йо cos Q/.cos ai
Q. со >0; Q > со
o0 cos Ж-sin со.'
й, со > 0; Я < со
Oq cos Я*«sin со/
Й, co> 0; Q >co
а„е/ш'; со > 0
M0^,W]
[sign со] a» sin (at 4 Ф)
— [sign со] а„ cos (со' 4 Ф)
ao cos QZ-s!n at
Co sin ЯЛсоэ со/
— a0 cos Qf-cos at
Oo sin Q/'Sin at
Пример. Измерению подлежит гармоническая векторная величина
3
а(О= ^ "oft
КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСТРАНСТВО 21
комплексный вектор которой
где а..—вектор комплексной амплитуды
Измеряющий датчик характеризуется вектором комплексной чувствительности к этой
величине
3 3 ¦>
s(/co)= ? Va)eft= H !5А</'М> Iе/ф* <v
Выходной сигнал датчика
где «о — комплексная амплитуда сигнала;
Описание гармонического движения точки. Пусть координаты точки изменяются
по закону
4{t)=dakcos{(at + ^k), k=\, 2, 3, E1)
где dok — амплитуды перемещений вдоль осей хи х2, хя.
Радиус-вектор R @, комплексный радиус-вектор Rc (t) и вектор комплексной
амплитуды Ro точки имеют вид
з
R (/) = 2 doft cos {at + гЫ eft; E2)
fe=i
Rc (t) = R W + /R @ = Roe^ffl/; E3)
з
Ro= 2 do*e/4>*efc=RB/- + /R«i; E4)
з j
Ro/-= 2 rfo* cos i|;fceft; Roi= 2 dok sin ^ft- E5)
Конец радиус-вектора R (^) точки движется в пространстве по эллипсу в пло-
плоскости, проходящей через векторы R0/. и R,,;. Направление, перпендикулярное
этой плоскости, задается единичным вектором
е =. ?OrXR,0'" . E6)
I'RR!
Ниже даны частные случаи гармонического движения точки в плоскости.
1. Движение точки по прямой линии. Координаты точки
Ч (/) = d01cos(<o/+i|>);
х2 @ = d02 cos (со/ + -ф); со>0;
R @ = (doA + dme2) cos (со/ + г|>); R @ = (^oxei + ^оаег) sin (ш/ + г|));
Rc @ = R @ + /R @ = (^А + do2e2) еЛе/»' = Roe/«'. E7)
Вектор комплексной амплитуды
является простым комплексным вектором (рис. 7), у которого
Кол = rfoi cos "Фе1 + ^02 cos фе2 = rf0 cos ife;
sin ^e2 = da sin ^e.
22
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Вещественная и мнимая части вектора Rc (/) осциллируют
2 Движение точки по окружности Координаты точки
xi (О = d0 cos со/;
хг (t) = t4 sin at, со > 0.
Знак плюс соответствует движению точки против часовой стрелки, знак минус —
движению по часовой стрелке.
R @ = d0 cos cotei _t d0 sm ^еа! R @ = rfo SI" «в^ + rf0 c°s ®*е2;
Rc @ = R @ + / R W = 4. (e, + /e2) e/"* - Roe^'. E8)
Вектор Ro является изотропным-
поэтому при умножении его на dal опять получается изотропный вектор Rc (f),
векторы вещественной и мнимой части которого вращаются в плоскости Oxtx2 про-
Рис. 7. Образ вектора ком-
плексной амплитуды Ro =»
= (ROr, ROl} при гармоничен
ских колебаниях точки с
прямолинейной траекторией
d.01cos4>
тив часовой [Ro = d0 (ex — /е2)] или по часовой [R^ = d0 (et -f- /ea)J стрелке. Н?
рис. 8, а и б показаны образы векторов комплексной амплитуды, соответствующие
указанным направлениям вращения.
е1 й„в% Xt
Рис. 8. Образы векторов комплексной амплитуды Ro = {Ro/., R*oj} при гармонических колеба-
колебаниях точки с траекторией в виде окружности:
а — вращение против часовой стрелки, б — вращение по часовой стрелке
Рис. 9. Образ вектора комплексной амплитуды "Ro = {R0/.t &oi} при гармонических колеба»
ниях точки с траекторией в виде эллипса
3. Движение точки по эллипсу. Координаты точки
хх (t) = d01 cos at;
x2 (t) = dm cos (at +4"), со > 0.
R (t) — d&1 cos cofej -}- d02 cos (at -f ty) e2;
Re (t) = RoeJ''0'' = (dolex + d 2^^) е-710'; E91
Ro/- = ^oiei + ^02 cos №2.'' R01= ^02 sin г|)е2.
пространство
23
Образ вектора комплексной амплитуды Ro показан на рис. 9. На рис. 10 по-
показаны траектории, описываемые концом радиус-вектора R (г) при различных
углах г|5, и отвечающие им векторы вещественной Ror и мнимой Ro, частей вектора
комплексной амплитуды Ro/.
При положительных углах • точка движется по эллипсу по часовой стрелке,
при отрицательных — против часовой стрелки, при этом в первом случае вектор Ro,
опережает вектор Rnr, во втором — отстает от векгора ROir.
Рис. 10. Траектории, описываемые точкой при различных углах сдвига фаз ф, и отвечаю-
отвечающие им векторы вещественной RQ (сплошная линия) и мнимой EL. (штриховая линия)
частей вектора комплексной амплитуды Ro
При углах, меньших я/2, эллипс имеет положительный наклон, при углах,
больших я/2, — отрицательный. При положительном наклоне вектор Ro, находится
в первом квадранте, при отрицательном — в четвертом.
Полученные результаты позволяют решить обратную задачу определить вели-
величины doi, d02 и \|; по форме эллипса и направлению движения точки по нему.
На рис. 11 изображены эллипсы с положительным и отрицательным наклоном
и указаны координаты характерных точек. Точка С, отвечающая нулевому моменту
времени, в принятом описании движения всегда находится на правой стороне пря-
прямоугольника, в который вписан эллипс. Амплитуды dn и d02 находят по максималь-
максимальным отклонениям от начала координат вдоль осей Охг и 0х2. Для определения угла i|)
сначала находят вспомогательный угол ф через значения cos ф и sin ф:
ОА
OF
ED
F0)
Угол ф положительный и изменяется от 0 до я/2.
Значение угла г|) находят следующим образом:
Если наклон эллипса положителен, го г|> = -f-<p при движении точки по часо-
часовой стрелке, и i|i = —ф при движении против часовой стрелки.
Если наклон эллипса отрицателен, то i|) = я — ф при движении точки по ча-
часовой сфелкс, и \р = ф — я при движении против часовой стрелки.
Переход к комплексному пространству в частотной области. В частотной области
переход к комплексному пространству осуществляют, используя преобразования
•Лапласа и Фурье.
24
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
В области комплексных частот (р = а + /со) переход к комплексному про-
пространству осуществляют через преобразование Лапласа исходного временного
вектора х (<):
i
х@= 2 xk(t)ek;
)=*Х [х (/)] =
) = l xk(t)z-P'dt,
0
FП
F2)
Оригинал х (f) связан с изображением по Лапласу X (р) обратным преобразова-
преобразованием Лапласа:
о-|-;
о—/о
F3)
Ж
Рис. 11. Эллипсы с координатами характерных точек:
а — эллипо с положительным наклоном; б — эллипс о отрицательным наклоном
Пример. Измеряемый векторный процесс а (О имеет изображение по Лапласу А (р),
а измеряющий датчик имеет вектор операторной чувствительности s (p);
3 3
F4)
Выходной сигнал u(t) датчика определяют через изображение сигнала по Лапласу
U со);
F5)
F6)
0—/to
3
В области вещественных частот (р = /со) переход к комплексному пространству
осуществляют путем получения вектора комплексного спектра X (/со) исходного
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТОЧКИ 25
временного вектора х (/) через его преобразование Фурье:
1
(/со) = 9 [х @] = 2 ? I** @1 eft = V ** (A») eA3 F7)
fci *
F8)
— 00
Оригинал х (t) связан с изображением по Фурье X (/со), или комплексным спек-
спектром, обратным преобразованием Фурье:
со
1 Г
х (/)=,F-i [X (/to)] = —;— \ X (/и'е/0 dco F9)
2я J
— оо
Пример. Измеряемый векторный процесс а (О имеет комплексный спектр А (/ш), а из-
измеряющий датчик—вектор комплексной чувствительности s (/со)
3 3
А(/о»= ? Ah (/со) eft; s (/со) = ^
Выходной сигнал и «) датчика определяют через комплексный спектр сигнала U (/со)'
оо
=— \ V (/со) е^ш' </ш; G1)
— со
3
4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТОЧКИ
Измерение характеристик движения материальной точки является одной из
основных задач при исследовании механических колебаний. При описании движе-
движения точки используют ряд кинематических величин радиус-вектор или коорди-
координаты текущего положения, перемещение, скорость, ускорение точки и др.
Задание движения точки. Пусть имеются основная S {О, |°, т|°, ?0} и подвиж-
подвижная Sl {Р, х°, у0, z0} системы отсчета [17] (рис. 12) В общем случае система от-
отсчета (тело) St при движении вращается относительно системы S с угловой ско-
скоростью ш (см. раздел 5). Движение материальной точки по отношению к основной
системе отсчета S называют абсолютным, а по отношению к подвижной системе
отсчета St — относительным. Движение системы Sx по отношению к системе S
называют переносным. При движении материальной точки М ее положение отно-
относительно системы S в любой момент времени полностью характеризует радиус-
вектор р = ||* + r|^° + Iff', являющийся функцией времени, конец которого
описывает в пространстве кривую Т, называемую траекторией точки. Сложное
движение точки описывают одновременно в основной и подвижной системах от-
отсчета [17]. Так, положение точки М может быть задано через текущие радиус-век-
радиус-вектор рр @ полюса Р системы Sx и радиус-вектор г (t) точки М относительно системы Sx:
2z». G3)
Перемещение точки. Перемещение точки есть кинематическая векторная вели-
величина, характеризующая изменение положеаия точки относительно некоторого исход-
исходного. Начало и конец вектора лежат на траектории,
26
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНШ. ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
В основной системе отсчета перемещение d точки М относительно исходного
положения р' равно (см. рис. 12)
d = p —p', p' = const. G4)
При сложном движении точки ее абсолютное перемещение d (относительно си-
системы S) может быть представлено суммой абсолютного перемещения Ар полюса Р
и абсолютного перемещения dj точки, заданного с помощью системы отсчета
S] (см. рис. 12):
d = p-p' = d/, + d1; G5)
= Pp — Р'р
i = r — г';
р'р, r'=const.
Скорость точки — это мера движения точки, равная производной по времени
от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета [17J.
Рис. 12, Схема задания движе-
движения точки М в основной
S{ О, |°, r\°, i°] и подвижной
Si {P, х°, у0, г6} системах от-
отсчета
Примечание. Под радиус-вектором точки понимают вектор, проведенный от некото-
некоторой точки, неизменно связанной с рассматриваемой системой отсчета, до движущейся
точки [17].
В силу равенств G4) и G5) скорость точки можно также определить как кине-
кинематическую величину, равную производной по времени от перемещения этой точка
в рассматриваемой системе координат. В основной системе отсчета скорость точки М
Iе. Чв, gs = const. G6,i
Выражение для абсолютной скорости v точки М в сложном движении с уче-
учетом равенств [9, 15]
dx» dy° „ dz"
—jr- = OJXX , —^— = (i)Xy', —:— = Q)Xz* /77)
dt at at ч
получим из уравнения G3):
dp dpp
dt dt
dx dp
dx'
dz"
= ^l + ixO+i/yO + ^ + ^ + у +Z
dt
dt
dt
dt
dpp
6r
G8)
где vp = pp — абсолютная скорость полюса Р; vy — относительная скорость точки
в системе Sx:
6г dx ., , do . , йг
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ ТОЧКИ 27
и \е — переносная скорость точки:
ve = vp-f«>xr. (80)
В выражениях G8) и G9) через -^- обозначена относительная, или локальная,
производная вектора г в системе Slt т. е. взятая в предположении, что орты х°, у°,
г° неподвижны.
Из уравнения G8) следует выражение, связывающее абсолютную и относитель-
относительную производные некоторого вектора В, заданного проекциями в подвижной системе
отсчета S^.
г/В 6В
Обозначив вектор —г- через D, уравнение (81) можно записать в проекциях
векторов:
Qx = В а + ч>уВг — ыгВу; -I
1 (82)
Прчмер. Найти компоненты скорости точки по координатным линиям в цилиндриче-
цилиндрических (р, ф, г) и сферических (г, 6, <р) координатах (рис. 3 и 4).
Решение. Скорость точки v относительно подвижной системы отсчета получим в ре-
результате ди'ференцирования по времени уравнении A7) и B0) с учетом соотношений A6)
и AУ).
В цилиндрических координатах
(83)
(84)
т. е. о =р, v =рф, vz=z. В сферических координатах
и, следовательно, v = г, Vn—r{), v = фг sin 0*
Ускорение точки. Ускорение точки w есть мера изменения скорости точки,
равная производной по времени от скорости этой точки в рассматриваемой системе
отсчета [17]. В основной системе отсчета ускорение точки М (рис. 12)
w = -i = pfg» +щ" +U'=d; ?", rf, S* = const. V85)
Выражение для абсолютного ускорения w точки М в сложном движении полу-
получают дифференцированием по времени равенства G8) с учетом соотношения (81):
w = v = vi р + е х г -f- о) х (о х г) + v/r + 2ш х vr = we + wr + wC) (86)
где Wp= Vp — абсолютное ускорение полюса; е = w — угловое ускорение системы Sx
относительно S; wg, w,., wc — соответственно переносное, относительное и корио-
лисово (добавочное) ускорения:
(87)
; (88)
(89)
Пример. Найти компоненты ускорения точки по координатным линиям в цилиндри-
цилиндрических (р, ф, г) и сферических (г, в, ф) координатах (см рис. 3 и 4).
Ре ш е н и е. Ускорение точки w относительно подвижной системы отсчета получим в ре-
м?ате Дифференцирования по времени уравнений (83) и (84) с учетом соотношений A6)
В цилиндрических координатах w = шлел + шфе(р +
<90)
28
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
В сферических координатах w = wrer + w^e^ + w e
wr= r — re2 — (r sin20)<j>2;
wQ = -i- A (r2S) — (/• sin 0 cos 0) ф».
(91)
Резкость точки j есть мера изменения ускорения точки, равная производной
по времени от ускорения этой точки в рассматриваемой системе отсчета. В основ-
основной системе отсчета резкость точки М (см. рис 12)
J = w = v = p ="il° +'riЛ" + ?ёв = d; Г, Ч\ Г = const. (92)
В связи с тем, что движущаяся точка перемещается в пространстве по некото-
некоторой линии, перемещение, скорость и ускорение точки часто называют линейными.
Перемещения, скорости и ускорения, проекции которых являются колеблю-
колеблющимися величинами, называют виброперемещением, виброскоростью и виброускоре-
виброускорением и обозначают часто через d, v и а соответственно.
Примечание. При описании движения точек основную систему отсчета принимают за
инерциа1ьную, т. е. систему отсчета, по отношению к которой изолированная материальная
точка находится в покое или движется прямолинейно и равномерно [17]- Для задач иссле-ч
дования вибрации звуковых частот система отсчета, связанная с поверхностью Земли, как
правило, может быть принята за инерциальную.
5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Описание движения твердого тела. Пусть имеется основная система координат
0|т|?, в которой описывается движение тела В вместе с подвижной системой коор-
координат Рхуг, жестко связанной с этим телом (рис. 13). Радиус-векторы р = (?, т), ?)
и рр = (|р, т)р, ?р) задают мгновенное положение в пространстве произвольной
точки гела и выбранного полюса Р относительно
системы координат ОВ,г\1, причем
Ч Л Sl^~\ Р = рр +г, (93)
где г — радиус-вектор выбранной точки относи-
относительно полюса. При задании вектора г в системе
координат Рхуг * г = (х, у, г), х, у, г = const
равенство (93) принимает вид
Р — Pp + ^x^ + i/y' + zz0 (94)
где х°, у*, z* — орты ос^й. Из равенства (94) сле-
следуют выражения для проекций вектора р на оси
системы координат О|т|?:
(95)
где aik — девять направляющих косинусов осей, из которых три являются незави-
независимыми [9, 16]. Матрица А = (atk)\ характеризует переход от системы Рхуг к си-
системе О|т\?;.
Таким образом, свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы движе-
движения и его положение в пространстве может быть задано радиус-вектором полюса Р
и указанием ориентации системы Рхуг относительно системы О?т)?.
• Для задач кинематики чаще всего безразлично, какая точка тела принята за полюс Р
и как направлены оси х, у и г. Однако решение задач динамики, как правило, упрощается,
еали полюс совмещен о центром масо G, а оси направлены вдоль главных осей инерции тела.
Рис. 13. Схема задания в си-
системе координат Ogn? движения
тела вместе с подвижной систе-
системой координат Рхуг
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
29
В качестве обобщенных координат можно выбрать три координаты полюса
и либо три направляющих косинуса, либо три независимых между собой угла Эй-
Эйлера. Для описания конечных вращений как правило используют углы Эйлера,
которые могут быть выбраны разными способами в зависимости от типа решаемой
задачи. Так, для описания движения волчка удобна система углов, описывающая
его прецессию, нутацию и собственное вращение (см. т. I, стр. 48).
Для описания угловой вибрации твердого тела удобнее система эйлеровых углов,
представленная на рис 14, которая нашла широкое применение в динамике самолета
и при решении многих других технических вопросов [5, 9, 11] В этой системе эйле-
эйлеровы углы, определяющие поворот твердого тела (системы координат Рхуг] отно-
относительно полюса, задаются следующим образом. Рассмотрим три последователь-
последовательных вращения системы координат, жестко связанной с телом. Для геометрического
"> 5) в)
Рис. 14. Система эйлеровых углов, определяющих поворот твердого тела относительно
полюса Р
изображения поворотов твердого тела используем сферу с центром в выбранном
полюсе. Вначале системы координат Рхуг и P%r\t, совпадают, так что оси х, у и г
совпадают соответственно с осями §, к), ?. Первым поворотом вокруг оси Рх\ на угол \|з
(угол рыскания) система Рхуг переводится в положение PliiiiSi (Рис- 14, а). Затем
система Р^т^х поворачивается на угол в [угол тангажа (дифферента)] относи-
относительно оси Ot,i и занимает положение Рхг^ (рис. 14, б). Наконец, третьим поворо-
поворотом относительно оси Рх на угол ср (угол крена) система Pxt^i переводится в окон-
окончательное положение Рхуг (рис. 14, в). В принятых правых системах координат
положительные углы отвечают поворотам против часовой стрелки. В общем случае
операции конечного вращения некоммутативны, а три угла г]), 8 и ф не образуют
вектора. Указанные выше последовательные повороты, дающие переходы к новым
системам координат, описываются соответственно ортогональными матрицами V^,
V У
и У
/COSlp
Vsin гр
0 •
1
0
— sin \р\
I
ve = l
0
/
-
\
0
cos 8
¦ sin 8
0
sin 8
cos 8
0
0
0
1
v =
ф:
(96)
и и \
= [ 0 совф sin ф 1.
О — sin ф cos ф/
Результирующий переход от системы Pgr)? к системе Рхуг задается матрицей
Vq>Ve\\|,, а обратный переход — матрицей А = V = А^АеАф, где А/ =
(cos\pcos8 sin ip sin ф — cos т|з cos ф sin 8 sin ipcos ф + соэгрзшф sin0\
sin 8 cos 8 cos ф — cos 8 sin ф j. (97)
— sin ^ cos 6 cos г|5 sin ф + sin t|> cos ф sin 6 cos ip cos ф — sin гр sin ф sin 8/
30 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Возможны и другие системы эйлеровых углов, в которых используются пово-
повороты относительно каждой из осей подвижной системы координат [11].
Из уравнения (93) с учетом (95) следует, что
Р = Рр + Аг0, ro= r(mj= Д (98)
В общем случае движение твердого тела в соответствии с уравнением (98) может
быть представлено суммой двух независимых движений: поступательного рр (t)
вместе с полюсом, при котором изменяются только координаты полюса Р, и вра-
вращательного Аг0 относительно полюса, при котором изменяются только углы между
осями (А = A (t)).
Угловые перемещения твердого тела. При больших углах поворотов угловые
перемещения тела задаются изменениями углов Эйлера. При малых углах пово-
поворотов возможно введение вектора угла поворота а, поскольку при этом матрицу А
с точностью до величин второго порядка малости можно представить в виде
0-6
0 -Ф , Е = F,7)*. (99)
ф ф 0/
В этом случае исходя из уравнения (98), можно записать [9]
A00)
где а = (а| = ф, а.ц = г|э, ctg = 6) и «|, а^, ag — углы поворота тела относительно
осей I, г) и ?•
Полученное представление результирующего поворота вектором говорит о том,
что для малых углов операции конечного вращения можно считать коммутативными.
Можно считать при этом, что повороты на углы ф, \|э, 6 совершаются вокруг осей
х, у, z. Последнее замечание используется при выборе обобщенных координат для
описания малых колебаний упруго закрепленного твердого тела (см. том I, стр. 71).
Вектор угловых перемещений 6 тела характеризует ею повороты относительно задан-
заданного положения а' — const:
6 = а-а'. A01)
При малых угловых перемещениях и а' — 0
h^bx = cf, 6ц = 1р^8у, 8t^6z^e. A02)
Угловая скорость твердого тела есть кинематическая мера вращательного дви-
движения тела, выражаемая вектором ш, равным по модулю отношению элементарного
угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается
этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда
элементарный поворот тела виден происходящим против часовой стрелки [17].
Для проекций мгновенной угловой скорости « на оси х, у и z справедливы
равенства [9, 11]
о,=^?-.Л «.,--?•<•; »,«^-У. A03)
Связь между проекциями угловой скорости на оси подвижной и основной систем
координат и принятыми углами Эйлера дается уравнениями
Ф sin в;
(йу = ф cos 6 cos ф -f-S sin ф;
»* = — i{> cos б sin ф + в cos ф;
= ф cos 9 cos yp + 6 sin 6;
A04)
— ф cos 6 sin t|> + 9 cos ^.
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 31
При малых угловых перемещениях се =г= о и
w*==a>!K=6x= ф; (оу =к ш71 =« Ьу к= ij); шг s« a>? =« бг «в б •
Угловое ускорение твердого тела есть мера изменения угловой скорости тела,
равная производной от угловой скорости по времени [17]:
-?. 005)
Для проекций вектора углового ускорения на оси основной системы и системы
координат, связанной с телом, имеем равенства [9, 15]:
e| = (oj; sn = con; е^ = ш^; A06)
Вх = <^х'' еу = <х)!/; ег = со,. A07)
Равенства A07) имеют место в силу условия ш X w = 0, см. уравнения (82).
Перемещения точек твердого тела. Абсолютное перемещение d произвольной
точки тела, отсчитываемое от некоторого заданного ее положения р' = р'р + А'г0,
складывается из перемещения полюса dp и перемещения точки dB при повороте
тела относительно полюса:
d = p — p' = dp + dB; A08)
dp = PP-Pp; dB = (A-A')r0.
При малых угловых перемещениях тела вектор перемещения d произвольной
ючки в силу соотношений A00) и A01) можно представить векторным равенством
d^dp+6xr0=«dp + 6Xr. A09)
Скорости точек твердого тела. Выражение для абсолютной скорости произволь-
произвольной точки твердого тела следует из уравнения G8) при v,. = 0 (так как х, у, z =
= const):
' A10)
где Vp — скорость полюса Р.
Положив v = D и d = В, через соотношения (82) находим связь между про-
проекциями векторов v и d в подвижной системе координат Рхуг:
A11)
Ускорения точек твердого тела. Выражение для абсолютного ускорения произ-
произвольной точки твердого тела следует из уравнения (86) при vn w,. = 0:
где Wp — ускорение полюса Р, wBP = 8 X г — вращательное (тангенциальное)
Ускорение точки, woc = w X (о X г) — осестремительное ускорение. Положив
w = D и v = В, через соотношения (82) находим связь между проекциями векто-
векторов w и v в подвижной системе координат Рхуг:
ijc+tayVg—agVy; \
Vy + ()JVx — (i)xV/, >
ig + ajfiy—(ouvx. >
32
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Пример. Тело В вместе с подвижной системой координат Охуг совершает угловые ко-
лебания Ф (О вокруг оси Ох (рис 15) По известным проекциям абсолютного перемещения
d=(rf?. d dr) точки М тела в основной системе координат О|тЙ найти проекции абсолют
ных перемещения, скорости v и ускорения w точки М в системе координат Окцг, исполь-
используя соотношения A11) и A13) Оси Ох и 01 совпадают Координаты точки М. х=0, г/=0,
Рис. 15, Угловые колебания тела В вместе с подвижной системой координат Охуг вокруг
оси Ох; й, v — векторы абсолютных перемещения и скорости точки М; w , w^ — компоненты
вектора абсолютного ускорения точки М; ф —угол поворота тела; (о — вектор угловой ско-
скорости тела; Гщ — траектория точки М
Решение На рис 15 следует, чтос(» = 0> d = — rsin ф, rf. = —/¦ A —соэф) Проекции
лютного перемещения d и & (d^. = 0) найдем, используя преобразование координат
абсолютного перемещения d и &z
с матрицей У„ [см уравнение (96)]
v=
о о
cos ф sin ф
- sin ф ссъ ф
= 0, d = — rsintp,
находим проекции абсолютной скорости
(i-
да =0,
=0, нз уравнений (JJJ/
Из уравнений A13) находим проекции абсолютного ускорения
х у v z
6. СИЛЫ И МОМЕНТЫ СИЛ
Силы. Векторную величину, являющуюся мерой механического действия одного
материального тела на другое, называют силой [17].
Действие силы на материальное тело приводит к изменению скоростей точек
этого тела или к изменению взаимного положения его частей. Согласно второму
закону Ньютона произведение массы т любой материальной точки на ее ускоре-
ускорение w относительно инерциальной системы отсчета равно сумме всех сил Fj, дей-
действующих на данную точку со стороны других тел:
ту/--
= F.
1114J
СИЛЫ И МОМЕНТЫ СИЛ 33
Сумма всех сил, действующих на механическую систему, образует главный
вектор системы сил. В системе единиц СИ сила имеет размерность LMT~2, а еди
ница силы есть ньютон (Н).
Классификация сил. Перечислим некоторые из сил, которые приходится исполь-
использовать при описании поведения механических систем, работы датчиков механиче-
механических величин, при градуировке датчиков, при виброиспытаниях
Сила инерции I — величина, равная произведению пассы материальной точки
на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению [17]. В соот-
сетстаии с уравнением A14) 1= —mw. В соответствии с уравнением (86) в под-
подвижной системе координат
I = — mw = — mv/e — mv/r — mwc = le-{-lr-{-]c, A15)
где Ir — сила инерции относительного движения; \е, \с — соответственно пере-
переносная и кориолисова силы инерции Сила \г всегда является фиктивной. Силы \е
и 1г тоже могут быть фиктивными. Однако для твердого тела в подвижной системе
отсчета, связанной с самим телом, силы \е и 1С не являются фиктивными и могут
быть измерены (см. также том I, стр. 31—35).
Потенциальная сила — величина, равная градиенту скалярной функции потен
циального силового поля и зависящая от координат и, может быть, от времени (см.
подробнее в работе [12]). Примерами потенциальных сил являются сила тяготения
и упругая сила. Сила FV ньютонианского тяготения (притяжения) есть централь-
центральная сила, пропорциональная массе т1 материальной точки, на которую она дей-
действует, обратно пропорциональная квадрату расстояния г21 между этой точкой и
центром силы и направленная к центру силы [17]. Для материальной точки с мае
сой т2
Упругая сила F21 пружины (концы пружины в точках I и 2 прикреплены к те
лам), действующая на тело в точке /, при малых удлинениях пружины пропорцио
нальна им и направлена по прямой, совпадающей с осью пружины,
F21 = — c(/-21 — /)—. A17;
В формулах A16) и A17) г21 = г± —г2, гх и га есть радиус-векторы точек / и 2;
у — гравитационная постоянная; с — жесткость пружины; / — длина ненапряжен-
ненапряженной пружины
Сила тяжести Р — сила, действующая на материальную точку, находящуюся
вблизи земной поверхности, равная произведению массы т этой точки на ускоре-
ускорение g ее свободного падения в вакууме [17].
Сила тяжести равна геометрической сумме силы земного притяжения F3 и пере-
переносной силы инерции 1|, обусловленной суточным вращением Земли:
где j — ускорение от силы тяготения; w3 — переносное ускорение от суточного
вращения Земли. За номинальное значение ускорения свободного падения прини-
принимается его значение на широте 45°, равное 9,80665 м-с.
Диссипативные силы — силы сопротивления, зависящие от скоростей точек
механической системы и вызывающие убывание ее полной механической энергии,
равной сумме кинетической и потенциальной энергий системы.
Гироскопическая сила — сила, линейно зависящая от скорости точки и направ
ленная всегда перпендикулярно этой скорости. Работа гироскопической силы ьсегда
Равна нулю. Силы, совершающие работу, могут быть измерены непосредственно,
а силы, не совершающие работу, — только косвенно.
Моменты сил. Момент силы относительно точки есть величина, равная век-
т°рному произведению радиус-вектора, проведенного из данной точки в точку при-
приложения силы, и этой силы. Момент силы относительно оси есть величина, равная
2 п./р Генкина М. Д., т. 5
34
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
проекции на эту ось момента силы, взятого относительно любой точки оси [17].
Момент системы сил равен сумме моментов всех сил механической системы. Моменты
сил, как правило, не подвергают прямым измерениям Исключение составляют
измерения при вращательном движении и угловых колебаниях относительно одной
оси — измерения статического и динамического крутящих моментов.
7. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Предварительные замечания. Исследование вопросов прочности деталей машин
и конструкций при вибрации связано с необходимостью измерения переменных
механических напряжений и деформаций в различных точках этих деталей. В дан-
данном разделе приведены основные понятия и зависимости, необходимые для задач
измерения деформаций и напряжений. Более подробно вопросы напряженного и
деформированного состояний тел рассматриваются в руководствах по теории упру-
упругости [1, 10, 18] (см. также том I, гл. VIII, раздел 2).
Рис. 16. Напряжения в точке выбранного сечения тела
Рис. 17. Малый кубический элемент тела с действующими на гранях компонентами напря-
напряжений
Напряжения. Напряжением называют интенсивность внутренних сил в неко
торой точке тела и оценивают силой, приходящейся на единицу площади. Единицей
напряжения является паскаль, 1 Па=1 Н/м2, [Па] = LT^-MV2. Для тела, находя-
находящегося в равновесии под действием сил Flt ..., Fj. (рис. 16), в любой точке услов-
условного плоского сечения с нормалью N существует вектор полного напряжения рN,
который может быть разложен на нормальное напряжение aN, перпендикулярное
сечению, и касательное напряжение %N, действующее в плоскости сечения:
oN
Тд, => pN sin
На рис. 17 показан малый кубический элемент тела в точке Р с гранями, парал-
параллельными координатным осям х, у, г. Для каждой грани показаны действующие
на нее компоненты напряжений, принимаемые за положительные. Касательные
напряжения, разложены на два компонента, параллельные координатным осям.
Первый индекс напряжений указывает направление нормали к рассматриваемой
грани, второй индекс касательных напряжений — направление компонента напря-
напряжения. Нормальное напряжение считается полоокительным, если оно вызывает
растяжение элемента. Для гралей, растягивающие напряжения которых совпадают
с направлением координатных осей, положительные компоненты касательных на-
напряжений также совпадают с направлением координатных осей. Для противополож-
противоположных граней положительные компоненты касательных напряжений направлены
в обратную сторону.
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ 35
Три нормальных напряжения ах, ау, oz и шесть касательных хху, ххг, %*> ХУ>
Хгх, тад задают симметричный тензор напряжений в точке
ху
Таким образом, для описания напряжений, действующих на координатных
плоскостях, проходящих через любую точку, достаточно иметь шесть величин ах,
Си, °>> хху — Чух* ххг — xZK, xyz = xzy< называемых компонентами напряжений
в этой точке.
Для площадки, проходящей через ту же точку Р на рис. 17 и имеющей нор-
нормаль N с направляющими косинусами /, т, п, где / = cos (N, х), т = cos (N, у),
n=cos(N, г), вектор полного напряжения pN = (X,Y, Z) имеет следующие ком-
компоненты:
X = oJ + rxym + xxzn; \
У = хХу1 + аут+тугп; 1 A19)
Z=T:xJ + TyZm-\-azn, I
а нормальное напряжение
о-д, =¦ XI + Ym -\-Zti = охР + аут2 + azti2 + 2xxylm + 2rx,!n -f 2хугтп. A20)
Площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касатель-
касательные напряжения равны нулю, называют главными площадками. Действующие на
этих площадках напряжения называют главными, а их направления — главными
направлениями нагпяжений. В общем случае через любую точку тела проходят
три взаимно перпендикулярные площадки, которым отвечают главные напряжения
ai> °а> аз (ai > СТ2 > °з)- 1л?впые напряжения в рассматриваемой точке являются
корнями уравнения
аз-/1а2 + /2а-/3 = 0, A21)
где /х, /2 и /3 — инварианты напряжений:
. . L T2 2 2
Максимальные касательные напряжения определяются выражением
— 1
и действуют по площадке, перпендикулярной второй главной площадке и делящей
пополам угол между максимальным и минимальным главными напряжениями.
Деформации. Деформацией сплошного тела называют такое изменение поло-
положений его точек, при котором изменяются расстоячия между ними. Деформация,
выраженная в единицах длины, .называется абсолютной. Отношение абсолютной
Деформации к некоторому начальному размеру назывчюг относительной деформа-
деформацией. Относительные деформации делят на относительные удлинения и относитель-
относительные деформации сдвига. Деформация в плоскости складывается из двух деформа-
деформаций удлинения и одной деформации сдвига. На рис. 18 показано влияние дефор-
деформации удлинения &х в направлении оси х на деформацию г'а линейного элемента
Длины г, расположенного под углом а к оси х. При деформации точка А переме-
перемечается в точку А' и при малых деформациях
в? = — я» — cos2 a = вх cos2 a,
2*
36 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
так как
cos а"
Аналогично при деформации удлинения ву в направлении оси у этот линейный
элемент получает деформацию s?= s^sin2».
У
<
0
У*
А
S-'x
А'
X
У
\
X
0
¦о
/л
-«
/
X
i
л
У
/
-«-
А \ iff/
\Л
—~j
л, да
Л х»
л
Рис. 18. График влияния деформации удлинения в направлении оси х на деформацию ли-
линейного элемента, расположенного под углом а, к оси х
Рис. 19. График влияния деформации сдвига \х на деформацию линейного элемента, рас-
расположенного под углом а к оси х
На рис. 19 показано влияние деформации сдвига уху в плоскости на деформа-
деформацию г" линейного элемента:
б'"/- 6'"* coss a
= 4" Уху cos2 a == yXy sin a cos a,
X
так как
6"'x = # tg Vjf j ^ #y*,,5 -|- = tg a.
Деформация сдвига уху определяет искажение прямого угла образованными
прямыми, первоначально совпадающими по направлению с осями хну. Резуль-
Результирующая относительная деформация &а рассматриваемого линейного элемента в силу
малости деформаций может быть найдена методом суперпозиции!
e* cos2
• + ¦
к"щш 8«|
sin2 a-\-yxy sin a cos a =
cos 2а + ^ sin 2a.
A22)
При объемном деформированном состоянии относительная деформация вг малого
линейного элемента в направлении г, имеющем направляющие косинусы /, т, п
в системе координат хуг [18]:
е .,/2
у!т
([ 23)
где 8Л, Sj,, вг — относительные удлинения (сжатия) в направлении осей х, у, г; ухи,
V*z> Ууг — относительные деформации сдвига в плоскостях ху, xz, уг. Положитель-
Положительными считают удлинения и деформации сдвига, которым отвечает уменьшение ранее
прямого угла между положительно направленными прямыми. Указанные шесть
компонентов деформации полностью характеризуют деформацию в выбранной точке
тела и позволяют найти удлинение в любом направлении и изменение угла между
любыми двумя направлениями [18]. Эти шесть величин определяют элементы сим-
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
37
метричного тензора деформаций
/
8 l V
в* ~К Уху
1
2 Уху
1
е„ •*-"
1
\-
- Yxs -о"
I
В любой точке тела заданной деформации всегда соответствуют три взаимно
перпендикулярных направления, называемых главными направлениями (осями)
деформаций, углы между которыми остаются прямыми и после деформации Дефор-
Деформации удлинений в этих направлениях 8lF ea и е3 называют главными деформациями.
Прямоугольный параллелепипед *. гранями, параллельными главным плоскостям,
не испытывает деформаций сдвига и остается прямоуголы.ым после деформации.
Любая деформация в точке может быть представлена как результат трех главных
деформаций. Главные деформации в рассматриваемой точке являются корнями
уравнения
1
¦Ухг
1
—с=о,
A24)
где в (относительное изменение объема), бис есть инварианты деформаций:
Ь =
гугг - -i
с = гхгугг + -j-
— -j (йху1г + ЪуУхг + Вгу%у)
Направляющие косинусы /;, /п,-, щ главных направлений деформаций нахо-
находят из следующей системы уравнений подстановкой вместо в,- последовательно глав-
главных деформаций е1( е2, 83:
(8л — в,-) h + -g- Y^m,- + -j ухгщ = 0;
— zl) mi + Y
¦j txzh + -j УугЩ + (ez — e,-) nt = 0.
A25)
(=1, 2, 3.
Для плоского напряженного состояния (аг, ххг, хуг, — 0) и плоской деформации
г, yyz, ег = 0) ухг = 0, Yi/г = 0 и
е1а=4"[8*+е!/:±'К(8*~е!/J+^1 ]; A2ВД
Y™,?х = е, - е, = 1/(8, - в„)« + у'„; A27)
A28)
2(81-8^)'
2(s2 —ej
Y*if
Уху
2(82 —8y)f
tg2a,
A29)
ЦЗО)
пРичем положительные урлы с^ и аа отсчитывают от оси * к оси у.
38
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Для однородных и изотропных тел главные направления деформаций совпадают
с главными направлениями напряжений.
Связь между напряжениями и деформациями. Для изотропного упругого тела
при малых деформациях обобщенный закон Гука устанавливает линейные соотно-
соотношения между компонентами деформации и компонентами напряжений
1
-gr [ох—\(оу+ог)У,
1
1
1
I
A31)
u ^ z\ Ууг—Qty*
содержащие модуль упругости (модуль Юнга) Е, коэффициент Пуассона v и модуль
сдвига G = . Соответственно напряжения через деформации выражаются
равенствами
х v> у у < A32)
где
На рис. 20, а показана деформация стержня, работающего на растяжение,
а на рис. 20, б диаграммы напряжений и деформаций в точке стержня для различ-
U 1
г
Б)
Рис. 20. Эффект Пуассона (а) при деформации растяжения стержня и диаграммы напряже-
напряжений и деформаций (б) в точке стержня в плоскости, проходящей через ось х
ных направлений в плоскости, проходящей через ось х. В этом случае составляю-
составляющие деформации
бх ах Ьу vax бг vax
гх---~; гу - _; 8г = -т = -_.
На рис. 20, б видно, что в направлении /—/ (перпендикулярном оси х) напря-
напряжения нет, а деформация есть, в направлении //—// напряжение есть, а нет дефор-
деформации.
Измерение деформаций и напряжений. Деформации измеряют непосредственно,
а напряжения — косвенно, используя расчет по формулам связи напряжений и де*
формаций. Устройства для непосредственного измерения деформаций называют
тензометрами. Среди тензометров наиболее распространены резишивные тензо-
НАПРЯЖЬНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
39
для измерения деформации удлинения в заданном направлении (см. раз-
раздел 3 гл. VIII и раздел 6 гл. IX). При применении таких датчиков измерения осно-
йзн.ы на использовании зависимостей, описываемых уравнениями A22) и A23). Урав-
Уравнения A22) используют при измерении поверхностных деформаций, а A23) —¦
при измерении компонентов деформации при объемном напряженном состоянии.
При измерении поверхностных деформаций обычно предполагают, что на пло-
площадке ху, к которой прикреплены датчики, напряжения отсутствуют (<зг, Хх^,хуг = 0);
поэтому в соответствии с уравнением A22) деформированное состояние в точке пол-
полностью определяется значениями ък, е„ и уь„ Когда главные направления известны,
Ж Л
Рис. 21. Направления измеряемых удлинений в типовых тензометрических розетках:
а — розетка типа «дельта», б — прямоугольная розетка; в — розетка типа «Т-дельта»
то при измерениях используют два датчика. Если же главные направления неиз-
неизвестны, то для определения ev, гу и ухч необходимо решить систему из трех урав-
уравнений вида A22), которые получают при измерении трех относительных удлинений
8j, 8jj, 8щ в различных направлениях. При измерениях обычно используют стандарт-
стандартные наборы датчиков, называемые розетками. Ниже для типовых розеток (рис. 21)
приведены выражения для главных деформаций (ег, е2) и напряжений (аи а2), для
максимальных деформации и напряжения при сдвиге (у™уХ, х™*х) и для угла^ между
первым главным направлением и осью х, представленные в функции от измеряе-
измеряемых деформаций [4, 22]. Для розетки типа «дельта»
гш\2 , /еп-8ш\2
ьш
-j/V
2 , /еп-еш\2
// ег4-егг+епт\2 /егт — егтг\2
I6'- з ) +('VH) !
ei i
3A -v)
3A-v)
"xy
1+v
1-t-v
/ gI+8n+e
V1 3
/ е, + еп-И
V1 3
ш \2 /еп-8пЛ2
' 7 +\ Уъ 1 \
ш\2 /8п~8пЛ2
/ ' \ V з 1
о \ 2
40 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРВИЧНЫХ ВЕЛИЧИН
Для прямоугольной розетки
8, +81П 1
e,— e
ш
Для розетки типа «Т-дельта»
_ _8i+8iv J^
8l==8max 2 2
-f (8n-8niJ;
1 2^8,,—B,
1=— arctg -^Ui
2 V3
rej + в
1"^
2 yl^-ejvI
При измерении динамических деформаций и напряжений приведенные выра-
выражения позволяют вычислить искомые величины для каждого момента времени.
Для измерения объемной деформации в точке в тело помещают розетку из шести
датчиков, что позволяет получить систему из шести независимых уравнений вида A2 3)
[21]. Следует указать также, что при исследовании полей напряжений и деформаций
существенную помощь оказывает применение оптических методов — метода фото-
фотоупругости и метода муара [18, 22].
Список литературы
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.
Наука. 1979. 512 о.
2. Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии. 2-е изд., доп. М.; Изд-во стан-
стандартов, 1975. 336 с.
3. Вибрации в технике! Справочник. В 6-ти т. Ред. совет; В. Н. Челомей (пред.) и др-
Т. I. Колебания линейных систем / Под ред. В. В, Болотина. М.; Машиностроение, 1978.
352 о.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 41
4. Вогаи Дж. Измерение деформации аппаратурой фирмы Брюль и Къер. Нэрум:
К. Ларсен и сын, 1976. 141 с. у
5. Ганиев Р. Ф.. Кононенко В. О. Колебания твердых тел М.: Наука, 1976. 431 с.
6. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц 3-е изд. М.: Наука, 1967 576 с
7. Измерение напряжений и усилий / С. П. Гончаров, В В Кущенко, А. И. Моргу-
лис, Л. Г. Чернявский. М.: Машгиз, 1955. 68 с.
8. Измерения деформаций и напряжений деталей машин. Сб. / Под ред. Н. И. При-
горовского. М.: Машгиз, 1961. 535 с.
9. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
10. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. Изд 4-е, М.: Наука, 1975. 400 с.
11. Одинцов А. А. Теория гироскопов и гироскопических приборов: Практикум/
Под ред Б- А. Рябова. Киев: Вища школа, 1976. 236 с.
12. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. 2-е изд, доп и пе-
рераб. М.: Изд-во МГУ, 1974. 570 с.
13. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.
14. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства М : Наука, 1966. 648 с.
15. Синг Дж. Л. Классическая динамика/ Пер. с англ М.: Физматгиз, 1963. 448 с.
16. Суслов Г. К. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1946. 655 с.
17. Теоретическая механика. Терминология. Вып. 90. М : Наука, 1977. 44 с.
18. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. 2-е изд. М.: Наука,
1979 560 с.
19. Финк К. и Рзрбах X. Измерение напряжений и деформаций. М.: Машгиз, 1961,
535 с.
20. Френке Л. Теория сигналов. Нью-Джерси, 1969 / Пер. с англ.; Под ред. Д Е. Вак-
мана. М.: Советское радио. 1974 344 с.
21 Яковлев В. Ф. Измерение деформаций и напряжений деталей машин. М. — Л.Э
Машгиз, 1963. 192 с.
22. Handbook of Experimental Stress Analysis. Ed. by M. Hetenyi, N. Y., John Wiley.
1950. 1077 p.
Глава II
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ПОНЯТИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
Предварительные замечания. В этой главе показано применение операторных
и комплексных передаточных функции (ПФ) для описания свойств линейных меха-
механических систем. Термин «операторные ПФ» связан с операционным исчислением [7],
использующим преобразование Лапласа, и с символическим методом анализа [7, 13]
линейных систем, использующим оператор дифференцирования. Термин «комплекс-
«комплексные ПФ» связан с комплексным представлением гармонических функций и преобра-
преобразованием Фурье. Операторные ПФ, характеризующие свойства системы при воз-
воздействии произвольного вида, используют для теоретического рассмотрения дина-
динамических задач. Комплексные ПФ характеризуют свойства системы при гармониче-
гармоническом воздействии на нее, т. е. они являются размерными и безразмерными частот-
частотными характеристиками системы. На практике их используют как для теоретиче-
теоретического, так и для экспериментального исследования механических систем. В экс-
эксперименте значения комплексных ПФ всегда находят через пару первичных меха-
механических величин — сил, перемещений, скоростей, ускорений и т. д. Измеряемые
комплексные ПФ всегда являются результатом косвенных измерений, основанных
на прямых измерениях первичных механических величин, т. е. являются вторич-
вторичными механическими величинами.
В разделах 2—8 рассмотрены линейные, стационарные механические системы
с сосредоточенными параметрами, которые можно представить в виде механических
Цепей из двухполюсных элементов. Рассмотрение механических цепей ограничено
пространственно-одномерными цепями двухполюсных элементов с поступательным
Движением. Аналогично могу г быть рассмотрены пространственно-одномерные
Цепи с вращательным движением. Системы с пространственно-одномерным движе-
движением часто встречаются в задачах механики, однако наибольшее применение они
Находят в измерительных и испытательных электромеханических устройствах.
42 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В разделах 9—11 рассмотрены сложные линейные стационарные механиче-
механические системы, структура которых, как правило, неизвестна и поведение которых
оценивают только с помощью ПФ, определяемых для некоторых «входов» и «выхо-
«выходов» системы.
Передаточная функция. Поведение линейной стационарной системы в частотной
области [р-области, р = а -+• /ш, (со — /а) — комплексная угловая частота] описы-
описывают с помощью передаточных функций, связывающих реакцию системы с ее воз-
возбуждением. Так, если во временной области (i-области) возбуждение системы в неко-
некотором месте (на входе) е (t), а ее реакция в некотором месте (на выходе) г (t), то
связывающая эти величины передаточная функция Ф (р) задается выражением
нну'
где В (р) и Г (р) — преобразования Лапласа соответственно от е (t) и г (t) при нуле-
нулевых начальных условиях (ННУ) для системы. Нулевые начальные условия необ-
необходимы для того, чтобы функция Ф (р) характеризовалась только параметрами
системы. Для систем с сосредоточенными параметрами ПФ являются рациональ-
рациональными функциями, представляющими собой отношение двух конечных полиномов
от р с целыми степенями. Передаточные функции Ф (р) от аргумента р называют
операторными, а от аргумента /со — комплексными и динамическими. Комплексные
ПФ называют также частотными характеристиками.
Передаточные функции, определяемые через переменные разной размерности,
как правило, имеют специальные названия, например, операторный и комплексный
импеданс, операторная и комплексная (динамическая) жесткость и т. д.
2. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И ЦЕПИ
Часто механическую систему можно представить в виде соединения отдельных
сосредоточенных элементов с отличающимися свойствами, которые приближенно
можно описать элементарными зависимостями. Так, одни элементы можно предста-
представить имеющими только инерционные свойства, другие — безынерционными упру-
упругими элементами, третьи — устройствами с трением. Некоторые элементы могут
обладать рядом указанных свойств. Отдельно представляют элементы, поставляю-
поставляющие энергию в механическую систему и возбуждающие ее движение, — актив-
активные элементы, или источники. Элементы, не имеющие независимых источников сил
или кинематических величин, называют пассивными.
Механическую систему, представленную в виде совокупности соединенных
между собой активных и пассивных элементов, называют механической цепью. Пред-
Предполагается, что механическая цепь с приемлемой точностью отражает динамиче-
динамические свойства исходной механической системы. Места соединения элементов назы-
называют узлами. Соединение двух и более пассивных элементов называют звеном. Для
всякой системы можно указать места, через которые осуществляется ее связь со сре-
средой. Место, в котором к системе прикладывается воздействие, называют входом.
Выходом называют место, в котором оценивают реакцию системы. Вход (или выход)
системы, характеризующийся обобщенными координатой и силой, называют полю-
полюсом. В общем случае вход и выход системы могут быть многополюсными. Любой
элемент механической цепи имеет по крайней мере два полюса. Элемент, имеющий
два полюса, называют двухполюсником. Возможны механические цепи, составленные
из п — полюсников, однако на практике наиболее распространены цепи их двухпо-
двухполюсников.
Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-многомерных меха-
механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с ко-
конечным числом степеней свободы (см. том 1, часть I). Однако при исследовании
довольно распространенных пространственно-одномерных механических цепей
для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения
движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой меха-
механической цепи на основе законов Кирхгофа. Ниже при рассмотрении простран-
пространственно-одномерных цепей двухполюсников введены воспринимаемые силы, пара-
параметры двухполюсников и их ассоциированные направления, выбираемые одинако-
ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСН. ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВЕНЬЯ ЦЕПЕЙ 43
выми для всех элементов относительно принятой системы отсчета. Это позволяет
применить для описания и анализа указанных цепей аппарат теории графов и дать
систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей.
3. ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
И ЗВЕНЬЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
В настоящем разделе рассмотрены элементарные пассивные и активные идеа-
идеализированные двухполюсные элементы механических цепей и звенья из этих эле-
элементов.
Переменные двухполюсника. Любой двухполюсник в принятой системе отсчета
можно характеризовать силами ?1 и F2, приложенными к его полюсам 1 и 2, и пара-
параметрами движения полюсов (рис. 1). Для перемещений
полюсов dt и d2 имеем
где х1A, хт, х1г х2 — исходные и текущие координаты
точек / и 2; х° — единичный вектор оси Ох.
Скорости v,- и ускорения а,- полюсов определяют из ° *° х
выражений
Рис. 1. Явухполюсник Д
Vj = t>;x° =d,- = rf;x°; а,= а;Х° = v; = f,-x°; (t = l, 2). B) с полюсами / и 2
Относительное движение полюсов удобно характеризовать с помощью кинема-
кинематических векторов двухполюсника d, v и a (d — относительное перемещение, v — отно-
относительная скорость; а — относительное ускорение полюсов; эти векторы ниже обоб-
обобщенно обозначаются буквой к);
d = dx" =\di — dj | ед (З)
v=vx°=\Vi-Vj\ev; D)
a = ax° = |a,—а/|еа, E)
где d, v и а — кинематические переменные двухполюсника, обобщенно обозначаемые
буквой k; ед. (k = d, v, a) — единичные векторы, направленные от полюса с боль-
большим алгебраическим значением кинематической переменной к полюсу с ее мень-
меньшим алгебраическим значением. Положительно направленным векторам d и v отве-
отвечает сближение полюсов двухполюсника, поэтому при условии, что координата Х{
полюса (' меньше координаты Xj полюса / (х,- < xj),
k = k,—k;-; k = d, v, а. F)
Так, для указанных на рис. 2 индексации полюсов и направления оси Ox d =
= di — d2.
В двухполюснике силы Fx и F2 полюсов равны по величине и противоположно
направлены (см. рис. 1):
F1 = F1xe = Fx°=F; F2 = Ftf? = — F x° = — F, G)
где F — воспринимаемая двухполюсником сила; F — силовая переменная двухполюс-
двухполюсника. Для однозначного толкования уравнений G) примем следующее правило
задания направлений сил, приложенных к полюсам извне, когда заданы направ-
направления воспринимаемой двухполюсником силы F и оси Ох: если эти направления
совпадают, то к двухполюснику приложены сжимающие силы, если они не совпа-
совпадают, то приложены растягивающие силы (рис. 3). Величины F и k (k = d, v, a) —
переменные двухполюсника, F( и &г (?; = d,-, и,-, ад i= 1,2)—полюсные перемен-
ные. Характер движения полюсов (сближение или удаление) и приложенных сил
(сжимающие или растягивающие) не зависит от принятого положительного направ-
направления оси Ох, поэтому при изменении направления оси Ох на обратное аналогично
изменяются направления векторов d, v, а, F.
Элементарные пассивные двухполюсники. К основным элементарным пассивным
Ухполюсникам относятся: упругий элемент (УЭ) — упругость, диссипативный
44
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
элемент (ДЭ) — демпфер и инерционный элемент (ИЭ) — масса. ^Отличительной
чертой этих элементов является простота математических соотношений, связывающих
переменные двухполюсника.
Упругий элемент (упругость). Упругость есть идеальный механический эле-
элемент, относительное перемещение d полюсов которого пропорционально прило-
приложенной (воспринимаемой) силе F (рис. 4). Для сил Fi и F2, приложенных к полю-
полюсам / и 2. имеем [см. уравнения C) и F)]
J
Где с _ коэффициент жесткости упругого элемента; F и d — переменные двух-
двухполюсника. Положительному значению переменной d отвечает деформация сжа-
сжатия УЭ, а отрицательному — деформация растяжения. В принятой системе отсчета
F
"¦'">¦ •
F
¦ »
I—I
—u
F
—•
a
-F
1» *¦
Рис. 2. Двухполюсники Д с векторами d относительного перемещения полюсов!
a — d\ > d2'> б — di < dz
Рис. 3. Графив связи направлений сил, приложенных к полюсам извне, с направлениями
воспрТУни'маемой двухполюсником сшхы F и оси Ох:
а — сжимающие силы; б — растягивающие силы
Рис. 4. Схема упругого элемента
УЭ можно характеризовать ассоциированным направлением, задавая при элементе
стрелку (рис. 5). Направление называют ассоциированным, поскольку с ним свя-
связаны направления векторов d и F: векторы d и F одинаково направлены относи-
относительно него. Если стрелка направлена так же, как и ось Ох, то при совпадении
с ней направлений векторов d и F (d, F > 0) к полюсам двухполюсника приложены
сжимающие силы, а ,при несовпадении (d, F < 0) — растягивающие.
Следовательно, задание ассоциированного направления позволяет учитывать
знак переменных двухполюсника. Рассматриваемый упругий элемент можно пред-
представить графом — схематическим рисунком в виде линии с полюсами, на котором
стрелкой отмечено ассоциированное направление (рис. 5). Ассоциированное направ-
направление может быть выбрано произвольно, важно только знать его связь с направле-
направлением оси Ох. Из уравнения (8) следует, что
F = cd = c(d1 —d2). (9)
Диссипативный элемент (демпфер). Демпфер есть идеальный механический
элемент, у которого относительная скорость v полюсов пропорциональна прило-
приложенной (воспринимаемой) силе F (рис. 6). Для сил Fx и F2, приложенных к полю-
полюсам 1 и 2, с учетом равенств D) и F) можно записать:
Fх =
Fx* = b (v1 —
хф = bvx? =
° = — F,
¦"I
A0)
где b — коэффициент сопротивления диссипативного элемента. Положительному
значению переменной двухполюсника v отвечает сближение полюсов. По аналогии
с упругим элементом демпферу можно придавать ассоциированное направление,
ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСН. ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВЕНЬЯ ЦЕПЕЙ
45
так как векторы v и F одинаково направлены. Пусть, например, ассоциированное
направление совпадает с направлением оси Ох. В этом случае при совпадении на-
направления векторов v и F с ассоциированным направлением (v, F > 0) к полю-
полюсам демпфера приложены сжимающие силы, а при несовпадении (v, F < 0) — растя-
, F,
¦ F<
I
1
V
F
¦'¦¦¦¦'i
Ah
-Л i
1
-1*
•в-
"]
"г
2
2
0 X"
0 х°
Рис. 5. Упругий элемент с выбранным ассоциированным направлением (АН) и его граф G:
а — d, F > 0, 6 — d, F < 0
Рис. 6. Схема демпфера
Рис. 7. Демпфер с выбранным ассоциированным направлением (АН) и его граф G:
а — v, F > 0; б — v, F < 0
гивающие. На рис. 7 показан демпфер с выбранным ассоциированным направле-
направлением и граф демпфера.
Из уравнения A0) следует, что
F= bv=*b{vx — vj,t A1)
Инерционный элемент (масса). Масса есть идеальный механический элемент,
у которого относительное ускорение полюсов а пропорционально приложенной
(воспринимаемой) силе F в принятой системе отсчета. Один полюс массы как двух-
двухполюсника жестко связан с принятой системой отсчета (в общем случае неинерци-
альной) и имеет ее ускорение (рис. 8). С принятой системой отсчета связана ось Ох,
— ь
-rS-441
Рис. 8. Схема инерционного элемента как двухполюсника
рис. 9. Инерционный элемент с выбранным ассоциированным направлением (АН) и его
граф <?:
а — a, F > 0; б — а, Р < 0
ось О'х' связана с инерциальной системой отсчета. Для ускорений полюсов с уче-
учетом равенств E) и F) можно записать
a = ax9 = ai— а2 = а[ — &^ = {а\—а'2) х°,
гДе alf а2, —ускорения полюсов в принятой системе отсчета; a'v &'% — абсолютные
Ускорения полюсов (в инерциальной системе огсчега); а — относительное ускорение
полюсов двухполюсника; х' — единичный вектор осей х и х'.
46 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В принятой системе отсчета в полюсах приложены силы Fl и F2 (рис. 9):
A3)
где /n — масса инерционного элемента.
Векторы а и F одинаково направлены, поэтому с массой как двухполюсником
тоже можно связывать ассоциированное направление. Если ассоциированное на-
направление одинаково с направлением оси Ох, то при совпадении направления век-
векторов а и F с ассоциированным направлением (а, F > 0) к полюсам массы как двух-
двухполюсника приложены сжимающие силы, при несовпадении направлений (а, F < 0)—
растягивающие. На рис. 9 показана масса с выбранным ассоциированным направ-
направлением и ее граф. Из уравнения A3) следует, что
Если принятая система отсчета движется с абсолютным ускорением, равным
абсолютному ускорению инерционного элемента; а'2 = а[, то в соответствии с урав-
уравнением A3) в этой системе отсчета на ИЭ как бы не действуют никакие силы (F — 0).
ч\\\\Ч\Ч\\\\\\\\\\
Рис. 10. Эквивалентные цепи механической системы в абсолютной (а) и подвижной (б) си-
системах отсчета:
О'х', Ох — оси абсолютной и подвижной систем отсчета; 1,2 — инерционные элементы с
массами mt и гпг, 3.4 — упругие элементы; 5, 6 — источники переносных сил инерции ^",
; а?
— ускорение подвижной системы отсчета относительно абсолютной
Если принятая система отсчета инерциальна; а'2 = 0, то в соответствии со вторым
законом Ньютона и уравнением A3) F = та\.
Из уравнений A3) и A2) следует, что
? = пл[ — т&1 = ?* — таз, A5)
где F" — воспринимаемая массой сила в инерциальной системе отсчета (абсолют-
(абсолютная воспринимаемая сила).
Поскольку в уравнениях динамики, записанных в подвижной системе отсчета,
фигурируют абсолютные воспринимаемые силы, в соответствии с уравнением A5)
в подвижной системе отсчета параллельно каждой массе тг к механической цепи
должен быть добавлен источник, создающий силу &'г = тга'2 (см. рис 10). Таким
же образом осуществляется переход от кинематического возбуждения к силовому.
Тождественный элемент можно рассматривать как вырожденный безынерцион-
безынерционный упругий элемент, жесткость которого бесконечно велика. У этого элемента
движение полюсов одинаково; d = 0.
Нулевой элемент. Этот элемент тоже можно рассматривать как вырожденный
безынерционный упругий элемент, жесткость которого равна нулю. Воспринимае-
Воспринимаемая этим элементом сила F равна нулю, т. е. он не препятствует движению полю-
полюсов.
Тождественный и нулевой элементы используют при анализе механических
цепей с помощью теорем Тевенина и Нортона, при составлении исходных и дуаль-
ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСН ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВГНЬЯ ЦЕПЕЙ 47
ных цепей соединений двухполюсников, когда порождающая механическая цепь
содержит точки, имеющие тождественно равные кинематические величины, но раз-
разные координаты (см. пример на стр. 65).
Примечание. Иногда в механические цепи с поступательным движением включают
трансформирующие элементы — рычаги [В, 8]. Рычаг является идеализированным механи-
механическим элементом, изменяющим масштаб по-
полюсных переменных плеч устройства и знак
о/гнои из переменных (рис 11). Однако рычаг
не является двухполюсником, так как в ме-
механическую цепь он включается через три
точки A, 2 и 3 на рис. 1!) Используя коор-
координатную запись векторов
1, 2, 3),
V,
v.
(f
можно записать следующие соотношения
рычага, изображенного на рис. 11, а:
Vi—V,
для
\и
¦>0,
и рычага, изображенного на рис. 11, б:
о,— v,
?«.
A6)
A7)
Уг 2
О—ъ
Рис. 11. Трансформирующий элемент (ры-
(рычаг)
где Fj, »( — воспринимаемые силы и скорости полюсов; п —коэффициент трансформации.
При рассмотрении механической цепи рычаг можно исключить из нее, учтя его влия-
влияние изменением масштаба параметров ряда элементов.
Элементарные активные двухполюсники. Активные двухполюсники являются
идеализированными механическими элементами — источниками механической энер-
энергии. Их условно делят на источники (возбудители) силы и источники (возбудители)
кинематических величин — перемещений, скоростей, ускорений. Все идеальные
источники имеют бесконечную мощность, но в каждом отдельном случае название
источника определяется его внутренним сопротивлением. Источник силы имеет
нулевое внутреннее сопротивление: при отсутствии порождаемой силы он не ока-
оказывает сопротивления движению системы, при этом его полюсы повторяют движе-
движение полюсов элементов, к которым они присоединены. Источники кинематических
величин имеют бесконечное внутреннее сопротивление: при отсутствии порождае-
порождаемой кинематической величины они не сообщают системе энергии, а относительное
перемещение полюсов источника при этом равно нулю.
Источник силы. Источник силы есть идеальный механический элемент с нуле-
нулевым внутренним сопротивлением, который создает в полюсах силы известного вида
при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы, перемеще-
перемещениях полюсов (рис. 12). Для источника силы в полюсах 1 и 2
F1=F = — Jr1=
A9)
где J^, ^ — силы, создаваемые источником силы в полюсах / и 2; Fx и F2 — силы,
воспринимаемые источником силы в полюсах / и 2 при взаимодействии с механи-
механической системой. Таким образом, источник силы можно характеризовать создавае-
создаваемой силой У и воспринимаемой силой F: (рис. 12), F=—3:. Воспринимаемая сила
положительна (F > 0) при сжимающих воспринимаемых силах полюсов (рис. 12, а)
и отрицательна (F < 0) при растягивающих силах (рис. 12, б). Знаки создавае-
создаваемых сил противоположны. При изображении механической цепи можно пользо-
пользоваться создаваемыми силами. При составлении графа цепи и написании динамиче-
динамических уравнений во избежание ошибок следует использовать воспринимаемые силы.
Таким образом, силовой переменной двухполюсника является воспринимаемая
сила F = _ &, Кинематические переменные источника силы — относительные
48
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
перемещение d, скорость о или ускорение а полюсов — в общем случае не ассоции-
ассоциированы по знаку с переменной F, так как соотношения между векторами F и d (v, a)
при наличии в цепи нескольких источников произвольны. Однако для удобства
написания уравнений и исследования цепей источнику силы тоже придают ассо-
ассоциированное направление, а истинное соотношение знаков переменных двухполюс-
двухполюсника автоматически выявляется из уравнений сил и кинематических переменных
цепи. Для источников сил переменные F являются известными функциями вре-
времени. Если ассоциированное направление источника одинаково с направлением
оси Ох, то при совпадении направления вектора F и ассоциированного направле-
направления к 'полюсам источника приложены сжимающие воспринимаемые силы, а при
несовпадении — растягивающие. На рис. 12 показан граф G источника силы с вы-
выбранным ассоциированным направлением АН.
0
Рис.
Рис.
12.
13.
Источник
и
Источник
силы и его граф в с выбранным ассоциированным направлением (АН):
— воспринимаемая источником сила F>0; б — F < О
кинематической величины и его граф G с выбранным ассоциированным
направлением (АН):
а — d, (а, о) > 0; б — d, (о, а) < 0
Источники кинематических величин. Источник кинематической величины (пере-
(перемещения, скорости, ускорения) есть идеальный механический элемент с бесконечным
внутренним сопротивлением, который задает определенное относительное движе-
движение полюсов при произвольных, определяемых свойствами возбуждаемой системы
силах в полюсах (рис. 13). Для источника кинематической величины известен век-
вектор относительного перемещения полюсов d [см. уравнение F)]. В зависимости от вида
кинематической величины, используемой в конкретной решаемой задаче, различают
источники перемещения d, скорости v или ускорения а.
Для сил в полюсах / и2 имеем
F. ™ F — Fx° — Ф• F — F — - Fv° Ф /ос\\
где Fj, F2 — силы, воспринимаемые источником перемещения в полюсах 1 и 2;
F — сила, воспринимаемая источником перемещения; У — сила, создаваемая источ-
источником перемещения, ."/¦ = F.
Относительное перемещение полюсов (см. стр. 43)
d = d1-d2 = dx°, B1)
di, d2 — перемещение полюсов в принятой системе отсчета; хя — единичный век-
вектор оси Ох. В качестве переменных двухполюсника берем силу F и относительное
перемещение d, скорость v или ускорение а, в зависимости от решаемой задачи.
Кинематические переменные источника в общем случае не ассоциированы с пере-
переменной F, так как при наличии в цепи нескольких источников знаки векторов F
и d (v, а) могут быть различными. Однако для удобства анализа цепей источникам
ИДЕАЛИЗИРОВАННЫЕ ДВУХПОЛЮСН. ЭЛЕМЕНТЫ И ЗВЕНЬЯ ЦЕПЕЙ
49
кинематических величин тоже придают ассоциированное направление, поскольку
щетинные знаки переменных двухполюсника восстанавливаются с помощью урав-
уравнений сил и кинематических переменных цепи.
Кинематические переменные источников считают известными функциями вре-
времени. Принятие ассоциированного направления означает, что сначала знаки пере-
ценных двухполюсника принимают одинаковыми. На рис. 13 показан граф источ-
источника кинематической величины.
Соединения двухполюсников. При исследовании цепей часто приходится рас-
рассматривать взаимные соединения элементов, при которых полюсы двухполюсников
соединяются в узлы. Особенно это важно при решении задач, в которых рассматри
вается движение только нескольких точек или элементов. В этом случае целесо-
целесообразно упрощать систему, вводя эквивалентные двухполюсные элементы, внутри
которых «спрятаны» полюса, не представляющие интереса при исследовании. Суще
ствуют два типа соединения элементов — параллельное и последовательное. Двух-
Двухполюсник, получающийся в результате соединения элементов, называют результи-
результирующим или эквивалентным.
-•"*
F
Л-fT}
1
a
—•—
b
{7}-
2
H»-f7|-
•^
г
с
i
* ¦
Рис. 14. Параллельно; соединение двухполюсников 1,2, 3, 4 и его граф G
Рис. 15. Последовательное соединение двухполюсников /, 2, 3 и его граф G
Яргг параллельном соединении двухполюсников их полюсы объединяются в два
узла (рис. 14), и у результирующего двухполюсника воспринимаемая сила F равна
сумме воспринимаемых сил F; отдельных двухполюсников:
а относительные перемещение d, скорость v и ускорение а полюсов такие же, как
и у всех двухполюсников:
d = db v=v;, а = аь k = k,-, (t=l, 2 я). B3)
На рис. 14 показан граф G параллельного соединения двухполюсников.
При последовательном соединении двухполюсников их полюсы соединяются так,
что каждый узел принадлежит только двум двухполюсникам (рис. 15). У резуль-
результирующего двухполюсника воспринимаемая сила F равна воспринимаемым силам Ff
отдельных двухполюсников:
F = F,-, A=1, 2 я), B4)
а кинемат! ческие векторы d, v и а равны сумие кинематических векторов отдельных
Двухполюсников:
(«-=1.2
л).
B6)
На рис. 15 показан граф G последовательного соединения двухполюсников с
выбранными ассоциированными направлениями.
-Звенья механических цепей. Соединения пассивных двухполюсников, в том
ЧИсле последовательно-параллельные и не последовательно-параллельные (мосто-
50 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
вые), образуют пассивные звенья механических цепей. В пассивных звеньях воз-
возможны произвольные соединения элементов. Соединения активных двухполюсников
образуют активные звенья цепи. При соединении активных двухполюсников в звенья
необходимо помнить, что источники сил не должны включаться параллельно с источ-
источниками кинематических величин; источники произвольных сил можно соединять
параллельно, но нельзя соединять последовательно, источники произвольно задан-
заданных кинематических величин можно соединять последовательно, но нельзя соеди-
соединять параллельно.
4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ПАССИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
И ЦЕПЕЙ
Применив к уравнениям (9), A1) и A4) преобразование Лапласа при нулевых
начальных условиях *, для упругости, демпфера и массы получим следующие урав-
уравнения, связывающие изображения силовой и кинематических переменных:
F (р) = cu(p)=^v(p)^~a (p); B6)
F (р) = рЬа (р) = bv(p) = ~ a (p); B7)
р (р) = pZmcl (р) = pmv (р) = тп(р); B8)
u(p)=pv(p)=p4(p).
Важными динамическими характеристиками являются следующие передаточ-
передаточные функции двухполюсника, выражаемые через отношение изображений его пере-
переменных: масса М (р), механический импеданс Z (р), жесткость R (р), восприимчи-
восприимчивость ** G (р), подвижность Y (р) и податливость А (р):
B9)
~1(р); C2)
C3)
Л(р) *М= * =Ш = /?-х(р). C4)
F(p) pZ(p) р КИ> ^ '
Динамические характеристики в функции от переменной р называют оператор-
операторными, например операторный импеданс 2 (р), а в функции от переменной /со — ком-
комплексными. Так, комплексная (динамическая) жесткость демпфера R (/со) = /cob.
Наиболее употребительны импеданс, подвижность, жесткость и восприимчивость
двухполюсников. В табл. 1 представлены операторные передаточные функции эле-
элементарных двухполюсников — упругости, демпфера и массы в соответствии с урав-
уравнениями B6) — B8).
Зависимость между силовой переменной F (р) и обобщенной кинематической
переменной k (p) [k (р) — а (р), v (p), d {p)\ двухполюсника в соответствии с уравне-
уравнениями B9) — C4) имеет вид
F{p) = D{p)k(p); C5)
К (Р) = D-i (p) F (р), C6)
• Ниже везде предполагаются нулевые начальные условия переменных.
•* Иногда применяют неудачный термин «инертность».
ФУНКЦИИ ПАССИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ И ЦЕПЕЙ
51
где D (р) — прямая динамическая характеристика (или прямой динамический па-
параметр при конкретном значении р) двухполюсника [D (р) = М (р), 2 (р), R (р)],
СГ1 (р) ~~ обратная динамическая характеристика (или обратный динамический
параметр) двухполюсника [ЕГ1 (р) = G (p), Y (р), Л (р)].
1. Операторные передаточные функции элементарных двухполюсников
Динамическая хаоактеристика
D{p)
О-« (р)
М (р)
Z (р)
«<р>
К(Р)
-4 (Р)
Упругость
(с)
с
г:
Р
с
Ра
с
р
1
с
Демпфер
р
6
рЬ
Р
b
1
6
1
Масса
(т)
т
рт
р2т
1
т
1
рт
1
Поскольку упругость, демпфер и масса имеют ассоциированные переменные
двухполюсника, приведение сложных двухполюсников к одному из указанных ти-
типов путем использования кинематической переменной одного вида оставляет пере-
переменные F (р) и k (p) ассоциированными. Поэтому при анализе цепей можно исполь-
использовать не_оригиналы переменных, а их изображения и общую кинематическую пере-
переменную k (p), выбираемую из условий конкретной задачи.
Как следует из уравнений B2) и B3), у результирующего двухполюсника, со-
составленного из параллельно соединенных пассивных двухполюсников, прямой дина-
динамический параметр равен сумме прямых динамических параметров отдельных двух-
двухполюсников:
C7)
1= 1
1= 1
а обратный динамический параметр равен произведению обратных динамических
параметров, деленному на сумму их частичных произведений,
k{p)
П
п Г
= 11
п
i w П
i = 1
(Р)
C8)
гДе Y[ —
символ произведения; Dt (p) JJ DJ1 (p) — i-e частичное произведение
°°Ратных параметров.
Из уравнений B4) и B5) следует, что у результирующего двухполюсника, со-
таьленного из последовательно соединенных пассивных двухполюсников, обратный
Нам1'Ческий параметр равен сумме обратных динамических параметров отдельных
52 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
двухполюсников:
п
k(p) ,= 1
C9)
а прямой динамический параметр равен произведению прямых динамических пара-
метров, деленному на сумму их частичных произведений,
° (Р) k (р) D-1 (р)
П D, (р)
i 1
1= 1
D0)
где DT1 (p) TJ Di(p)— i-e частичное произведение прямых параметров,
l
5. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Изложенные законы являются основными из применимых к линейным механи-
механическим цепям, состоящим из активных и пассивных двухполюсников с постоянными
сосредоточенными параметрами, т. е. двухполюсников, параметры которых не за-
зависят от силовых и кинематических переменных.
л Закон сил (правило узлов). Сумма всех сил, дей-
действующих на любой узел цепи, равна нулю, В терми-
терминах воспринимаемых сил двухполюсников этот закон
читается так: для любого узла сумма воспринимаемых
сил по одну сторону от узла равна сумме воспринимае-
воспринимаемых сил по другую сторону от узла. Поэтому для
любого узла сумма воспринимаемых сил Fr принадле-
принадлежащих ему двухполюсников, взятая с учетом располо-
расположения последних относительно узла, равна нулю
(рис. 16):
2JarF/--O; %arFr = 0. D1)
Причем аг = 1, если Fr находится по одну сторону от
узла, и аг = —1, если FA находится по другую сторону
узла. Так, для узла Ь цепи, показанной на рис. 16, имеем
Рис. 16. Цепь из четырех
двухполюсников {1 — 4) с об-
общим узлом ft и ее граф G
Такой же результат получаем из графа G цепи, если двухполюсникам слева и
справа от узла задавать одинаковые ассоциированные направления, а коэффициенты
ат находить из условия: аг= 1, если стрелка направлена от узла, и аг = —1, если
стрелка направлена к узлу. Отсюда следует правило: для получения непротиворе-
непротиворечивой системы уравнений из графа цепи ассоциированные направления двухполюс-
двухполюсников должны быть выбраны одинаковыми.
Закон сил является следствием третьего закона Ньютона о равенстве действия
и противодействия.
Закон относительного движения (правило контуров). Сумма относительных
перемещений узлов цепи на любом замкнутом контуре, образованном соединением
двухполюсников, равна нулю. Сумма кинематических векторов к, (кЛ = Ап vr, ar),
следовательно, и кинематических переменных kr двухполюсников на любом замкну-
замкнутом контуре цепи, взятая с учетом расположения двухполюсников в контуре, равна
нулю (рис. 17):
2 brkr = 0; 2 brkr — 0. D2)
г г
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
53
причем Ьг = 1, если при обходе по контуру r-й двухполюсник проходят в направле
нии (против) оси Ох, и Ъг = —1, если двухполюсник проходят против (в направле-
направлении) оси Ох.
Так, для контура, изображенного на рис. 17, имеем
ki=ka—kb'> k%—kb — kc\ k3 — kc — kd; fe4 = fta — kd,
что следует и из графа G цепи, если ассоциированные направления элементов за-
заданы одинаковыми, т. е. в соответствии с указанным выше правилом. Сформулиро-
Сформулированные выше два закона называют также законами Кирхгофа [21]. (Эти законы спра-
справедливы как для линейных, так и для нелинейных систем). Уравнение D1) называют
, а D2) — контурным.
Рис. 17, Цепь из четырех двухполюсников A—4), образующих контур, и ее граф О
Рис. 18. Эквивалентные схемы неидеальных источников:
а — источник силы; б — источник кинематической величины (а, Ь — полюсы источника'
tlJX — пассивный двухполюсник)
Принцип суперпозиции. Для механической цепи, состоящей из линейных двух-
двухполюсников и имеющей несколько источников сил или кинематических величин,
результат воздействия всех источников может быть получен как сумма результатов
воздействия каждого из источников в отдельности, при этом остальные источники
должны быть заменены двухполюсниками, имеющими динамические параметры
заменяемых источников. Прямые динамические параметры идеального источника
силы равны нулю, а обратные — бесконечности. У идеального источника кинема-
кинематической величины прямые динамические параметры равны бесконечности, а обрат-
обратные — нулю. В силу конечной отдаваемой мощности реальных источников значения
динамических параметров лежат между указанными предельными. Реальный источ-
источник силы при отсутствии создаваемой им силы может оказывать сопротивление
Движению, поэтому его изображают в виде параллельного соединения идеального
источника силы и некоторого пассивного двухполюсника (рис. 18, а). Реальный
источник кинематической величины при отсутствии создаваемого им движения может
Допускать относительное перемещение полюсов, поэтому его изображают в виде
последовательного соединения идеального источника и некоторого пассивного двух-
двухполюсника с конечными динамическими параметрами (рис. 18, б).
Принцип взаимности. Если в линейной механической цепи, состоящей из
взаимных элементов, между узлами а и Ь действует источник силы ? (t), при этом
кинематическая величина между узлами cud равна k (t), то при приложении того
Же источника силы между узлами с и d та же кинематическая величина k (f) будет
между узлами а и Ь. Принцип взаимности может быть аналогично сформулирован
Для источника кинематической величины и создаваемых им сил.
Принцип взаимности формулируется для линейных систем, состоящих из вза-
взаимных элементов, которые одинаково передают воздействия в обоих направлениях.
Теорема Тезенина [ 12, 16, 21]: «Если механическая цепь, состоящая из взаимных
*вУхполюсников и содержащая некоторые источники, присоединяется к нагружаю-
Ы ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
щему двухполюснику (нагрузке), то эта механическая цепь можег быть представлена
единым эквивалентным идеальным источником силы J*'т в параллель с пассивным
двухполюсником, имеющим динамический параметр ?>,-, которые и присоединяются
к нагрузке». Следовательно, механическая цепь заменяется эквивалентным источ-
источником силы с внутренним динамическим параметром ?>,-. Параметры эквивалентной
цепи Тевенина можно найти следующим образом. Если узлы цепи, к которым при-
присоединяется нагрузка, соединить бесконечно жестким элементом, то воспринимае-
воспринимаемая им сила будет равна F т = —&г Если эти узлы освободить от нагрузки, то их
относительное движение будет характеризовать свободная кинематическая перемен-
переменная ki. Параметр D,- определяется отношением FTlkf. На практике комплексный
параметр ?>,• (/со) может быть измерен на частоте со, когда внутренние источники не
поставляют энергии в цепь. Если динамические параметры элементов цепи известны,
го ZFт и D, можно определить аналитически.
Теорема Нортона [12, 16, 21]: «Если механическая цепь, состоящая из взаимных
двухполюсников и содержащая некоторые источники, присоединяется к двухполюс-
двухполюсной нагрузке, то эта механическая цепь может быть представлена единым эквива-
эквивалентным идеальным источником кинематической величины kf, соединенным после-
последовательно с пассивным двухполюсником, имеющим динамический параметр Dp>.
Эта последовательная эквивалентная цепь присоединяется к нагрузке.Величины kf
и Dj те же, о которых говорилось ранее. Когда kf и D; известны, Fт = kfD-t. Следует
иметь в виду, что при экспериментальном определении параметров эквивалентного
источника на некоторой частоте для тяжелых конструкций удобнее измерять сво-
свободную кинематическую величину, а не силу между взаимно заторможенными уз-
узлами. Теоремы Тевенина и Нортона дают также правило перехода от неидеального
источника силы к неидеальному источнику кинематической величины, и наоборот.
Они легко обобщаются на произвольные линейные системы (см. разд. 10).
6. УПРОЩЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Часто задачей анализа является определение воспринимаемых сил и кинема-
кинематических величин только для нескольких элементов и узлов цепи. В этом случае
сложная цепь, состоящая из большого числа пассивных двухполюсников, может
быть упрощена путем замены «ненужных» последовательно и параллельно соеди-
соединенных двухполюсников эквивалентными им в соответствии с правилами, задавае-
задаваемыми уравнениями C7) — D0). Полученные после упрощения цепи называют экви-
эквивалентными. Комплексные параметры эквивалентного двухполюсника для любой
частоты представляют собой комплексные числа, вещественной части которых можно
сопоставить некоторый диссипативный элемент, а мнимой — упругий или инер-
инерционный, включаемые параллельно для прямых параметров и последовательно
для обратных. Когда задачей анализа цепи является определение сил и кинемати-
кинематических величин только для одного двухполюсника — нагрузки, сложную цепь можно
привести к эквивалентным источникам с использованием теорем Тевенина и Нор-
Нортона, как это показано в приведенных ниже примерах.
Пример 1. Найти параметры эквивалентного источника силы для цепи, изображенной
на рис. 19, а. Нагрузкой цепи служит двухполюсник I, присоединенный к точке Ь. Для ре-
решения применим теорему Тевенина. Используя правило определения динамических папа-
метров параллельно включенных элементов (см. стр. 19), заменим группы элементов F, с,
"it), («г. Сг) и (т3) двухполюсниками с прямыми параметрами D,, D2, D» соответственно
(рис. 19, б). Определим воспринимаемую силу FТ двухполюсника с параметром ?>2, через
который сила передается в точку Ь, когда последняя заторможена (рис. 19, в):
(а)
Внутренний прямой параметр ?>(. эквивалентного источника можно найти по цепи, изо-
изображенной на рис. 19, г, из которой удален источник силы, как не оказывающий сопротив-
лени я движению)
ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
55
Схема эквивалентного источника силы показана на рис. 19, д сплошными линиями.
Воспринимаемая нагрузкой сила Fj и кинематическая переменная kl определяются выра-
выражениями
- _ ?т°1 - &т
Пример 2. Найти параметры эквивалентного кинематического источника для цепи,
изображенной на рис. 19, а. Для решения применяем теорему Нортона, при этом необхо-
Рис. 19. Механическая цепь (а) с нагрузкой /, схемы промежуточных преобразований (б—г),
эквивалентные схемы по Тевенину C) и Нортону (е)
димо знать свободную кинематическую величину k± для узла Ь (*/=*й)' Уравнения сил
для узлов а а Ь дают
Отсюда находим
о=-
Внутренний параметр D^ эквивалентного источника определяется уравнением (б) пре-
предыдущего примера. Схема эквивалентного кинематического источника показана на рис. 19, е
сплошными линиями. Воспринимаемую нагрузкой силу Fj и кинематическую переменную
находят по формулам
DJ1
D. + D,
7. ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Анализ сложных линейных механических цепей удобно проводить с помощью
линейных графов. Линейный граф представляет собой схематический рисунок в виде
сетки, элементами которой являются отрезки линий и места их соединений. Отрезки
линий вместе с концевыми точками называют ребрами графа, а концевые точки ребра—
вершинами. Строго линейным графом называют множество ребер, не имеющих ника-
никаких других общих точек, кроме вершин. При анализе механических цепей исполь-
3Уют линейные графы цепей (графы цепей) и линейные графы сигналов (графы сигна-
лов, графы потока сигналов) цепей И те и другие графы являются направленными,
так как каждое ребро в них ориентировано. Граф цепи несет информацию о соеди-
соединении элементов цепи и всю информацию о связи переменных этой цепи. Граф сиг-
56
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
налов несет информацию только о системе уравнений, связывающих переменные
цепи. „
Основные понятия, определения и соотношения теории линейных графов цепей
[6, 11]. Линейный граф цепи есть граф, в котором двухполюсным элементам и узлам
цепи поставлены в соответствие ребра и вершины графа: ребра представляют двух
полюсники, а вершины — полюсы или узлы в соединении двухполюсников (рис. 20).
Линейные графы цепей являются направленными: ориентация ребер в них совпадает
с ассоциированными направлениями двухполюсников цепи (см. рис. 20). Ниже
общее число ребер графа обозначено буквой е, а число вершин в графе — буквой и;
на рис. 20 е = 6, v = 4 (а, Ь, с, d).
Вершина и ребро инцидентны друг другу, если рассматриваемая вершина есть
концевая точка ребра. Граф называют связным, если между любыми двумя его вер-
вершинами существует путь, образованный ребрами графа. (Ниже рассматриваются
Рис. 20. Механическая цепь (а) и ее граф, представленный в двух конфигурациях (б и в):
1 — источник кинематической величины: 2, 3 — упругие элементы; 4, 5 — инерционнпе
элементы; 6 —- источник силы; Ох — ось инерциальной системы отсчета; Т — дерево графа,
/, //, III — основные контуры графа
только связные графы). Подграфом данного графа называют его часть, состоящую
из некоторых его ребер. Дополнением подграфа называется вся остальная часть рас-
рассматриваемого графа. Связный граф или подграф, в котором каждая вершина инци-
инцидентна только двум ребрам, называют контуром. Следовательно, ребра контура обра-
образуют замкнутый путь.
Важнейшим понятием теории графов является дерево. Деревом связного графа
называют связный подграф, содержащий все вершины этого графа, но не содержа-
содержащий контуров.
Ребра дерева называют ветвями, а ребра, образующие дополнение дерева, —
хордами. Связный граф с v вершинами и е ребрами содержит v — 1 ветвей и е — v + 1
хорд. (На рис. 20 жирными линиями показано одно из деревьев графа цепи; ребра 1,
2, 4 есть ветви, а 3, 5 и 6 — хорды графа). С использованием понятия дерева связано
определение числа независимых уравнений Кирхгофа, метода выбора независимых
уравнений, структуры коэффициентов матриц уравнений и формулы функций цепей.
Важным для дальнейшего является понятие сечения, дуальное понятию кон-
контура [5, 11]. Сечением называют такое множество ребер связного графа, удаление
которого делит исходный граф на два изолированных подграфа. Следовательно,
сечение представляет собой разделение вершин графа. Для большинства графов
простой метод определения сечений состоит в нанесении на граф линий, отсекающих
одни вершины от других (рис. 21). Однако могут быть и такие сечения, которые нельзя
показать, не придав графу другой конфигурации. Важными являются также поня-
понятия неразделимых, пленарных и дуальных графов. Граф называют неразделимым,
если каждый подграф графа имеет минимум две вершины, общие с его дополнением.
Неразделимый граф соответствует неразделимой цепи. Разделимая механическая
ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
57
цепь состоит из частей, соединенных только в одном узле. Динамическое поведение
9Тих частей можно рассматривать независимо друг от друга. (Ниже рассматри-
рассматриваются только неразделимые цепи.)
Изображенный на плоскости граф является планарным, если он может быть
представлен так, чтобы не было двух ребер, имеющих общую точку, которая не яв-
являлась бы вершиной. Таким образом,
, пленарный граф можно представить
так, что он будет делить плоскость на
неперекрывающиеся области, ограни-
4 , ченные ребрами графа (граф, изобра
vTi с с d
Рис. 21. Сечения (I—VII) графа механической цепи, показанной на рис. 20;
I, II, III — основные сечения; Т — дерево графа
Рис. 22. Два основных непланарных графа (жирными точками с индексами
показаны вершины графа)
женный на рис. 20, является планарным). Необходимое и достаточное условие пла
нарности графа состоит в том, чтобы он не содержал в качестве подграфов двух
основных непланарных графов Куратовского, показанных на рис. 22 [11, 17].
Граф является дуальным исходному, если имеется взаимно однозначное соот-
соответствие ребер графов и взаимно однозначное соответствие контуров исходного графа
вершинам дуального графа, и наоборот. Всякий пленарный граф имеет дуальный
Ш
¦ а)
Рис. 23. Механическая цепь (а), ее исходный граф Ох и дуальный граф <?2 (б):
I~VII — вершины дуального графа; индексы соответствующих ребер графа Ог помечены
звездочками
граф. Для всякого неразделимого пленарного графа Gt дуальный граф G2 может
быть построен на плоскости так, что, во-первых, соответствующие ребра графов Qt
и ^2 пересекаются и не пересекают других ребер, во-вторых, внутри каждой области
исходного графа йг находится только одна вершина дуального графа G2. Граф, дуаль-
дуальный неразделимому графу, неразделим. (На рис. 23 показаны механическая цепь,
!? исходный граф Ьх и построенный указанным выше способом дуальный граф G2.
РаФ О2 показан совместно с графом Gx и отдельно,)
58
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исходные и дуальные графы механических цепей очень удобны при рассмотре-
рассмотрении динамических аналогий между механическими и электрическими цепями (см.
том 1 гл. II, раздел 5). При использовании аналогии сила — напряжение конфигу.
рация электрической цепи определяется конфигурацией дуального графа, а ее кон-
контурные переменные аналогичны кинематическим переменным узлов механической
цепи. При использовании аналогии сила — ток конфигурация электрической цепи
имеет конфигурацию исходного графа, но узловые переменные электрической цепи
аналогичны кинематическим переменным узлов механической цепи. В табл. 2 при-
приведены величины — аналоги для упомянутых аналогий.
2. Величины-аналоги для аналогий сила — напряжение и сила — ток
Цепь
Механиче-
Механическая
Электри-
Электрическая
Аналогия
—
Сила —
напря-
напряжение
Сила —
ток
Величины-аналоги
Сила
F
Напря-
Напряжение
и
Ток
i
Скорость
V
Ток
i
Напря-
Напряжение и
Масса
т
Индуктив-
Индуктивность
L
Емкость
С
Коэффициент
сопротивле-
сопротивления Ь
Сопроти-
Сопротивление
R
1
~7Г
Коэффициент
жесткости
с
1
С
1
L
На рис. 24 представлены электрические цепи — аналоги механической цепи,
показанной на рис. 23, построенные с использованием аналогий сила — напряжение
и сила — ток.
Матрица вершин. Важной характеристикой графа является матрица вершин,
или матрица инциденций А„ = (а;Л) размера v X e, v строк которой соответствуют
вершинам, а е столбцов — ориентированным ребрам графа. Элементы щг заданы
следующим образом:
1, если ребро г инцидентно вершине i
и направлено от нее;
— 1, если ребро г инцидентно вершине
i и направлено к ней;
О, если ребро г не инцидентно вер-
вершине 1.
Порядок следования вершин и ребер може* быть любым, однако, если -шорное
дерево выбрано, то матрицу лучше составлять в упорядоченной последовательности
индексов хорд и ветвей. Так, матрица вершин Аа ,чрафа, показанного на рис. 20,
может быть записана в виде
Хорды
Ветви
а
ь\
1
с
3
/ 0
0
1
V-i
5
1
0
—1
0
6
0
1
0
—1
1
J
J
0
0
2
0
1
2
0
4
1
0
0
—1
D3)
(Индекс а у матрицы Аа означает, что матрица записана для всех вершин; слева ука-
указаны вершины, а сверху — ребра графа). Матрица вершин Аа представляет собой
ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
5Э
матрицу коэффициентов уравнений воспринимаемых сил двухполюсников, записан-
записанных в соответствии с законом Кирхгофа для сил D1). Кроме этого транспонированная
матрица Ата связывает кинематические переменные двухполюсников с их полюсными
(узловыми) переменными. Некоторые свойства матрицы вершин приведены ниже
[5, l'J.
Рис. 24. Электрические цепи — аналоги механической цепи, показанной на рис. 23:
а — цепь с конфигурацией графа GbI б — цепь с конфигурацией графа G,
1. Каждый столбец матрицы Аа всегда имеет один элемент, равный 1, и один
элемент, равный —1; все остальные элементы равны нулю.
2. Ранг матрицы Аа равен v— 1; следовательно, только v— 1 из уравнений
сил, определяемых этой матрицей, являются независимыми. Матрицу А, получен-
полученную из матрицы Аа вычеркиванием одной строки, называют упрощенной матрицей
вершин.
3. Для того чтобы в матрице А подматрица размера (у — 1) X (v — 1) была
неособенной, необходимо и достаточно, чтобы ее столбцы соответствовали некоторому
Дереву графа.
Замечание. Исключение из Аа некоторой строки дает матрицу А, получающуюся при
анализе цепи методом уравнений узлов, когда в качестве опорного узла, относительно кото-
которого определяется движение других узлов, принят узел, соответствующий исключенной
из А
строке.
Матрица контуров [5, 11] Каждая строка матрицы контуров Ва — F/Л) соот-
ветствует одному контуру графа, а е столбцов — ребрам графа. Контуры ориенти-
ориентированы, так как для каждого из них выбрано направление обхода. Элементы мат-
РиЦы задают следующим образом: bir= 1, если ребро г принадлежит контуру I
¦j ич направления совпадают; Ь;г — —1, если ребро принадлежит контуру /, но их
Управления противоположны; i>ir = 0, если ребро г не принадлежит контуру /.
60 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Так, матрица Вй для графа, приведенного на рис. 20, содержащего семь конту.
ров с одной, двумя и тремя хордами, имеет вид
I
II
III
IV
V
VI
VII
3
11
0
1
1
0
\1
Хорды
5
0
1
0
1
0
1
1
6
0
0
1
0
-1
1
-1
1
1
1
0
0
0
—1
Ветви
2
1
0
0
1
j
0
4
о'
—1
-1
0
1
о/
D4
(Слева указаны номера контуров, а сверху — ребра графа).
Матрица контуров представляет собой матрицу коэффициентов уравнений
Кирхгофа для кинематических переменных двухполюсников цепи D2). Для практики
наиболее важны основные контуры графа, позволяющие получать совместную си-
систему независимых уравнений кинематических величин. Основные контуры графа
относительно опорного дерева Т представляют собой е — v-\- \ контуров, образо-
образованных каждой хордой и ее единственным путем в дереве Т между вершинами этой
хорды. Направление основного контура выбирают совпадающим с направлением
хорды. Матрицу В^ основных контуров составляют в соответствии с принятой после-
последовательностью индексов хорд и ветвей дерева Т, причем строки должны следовать
также в порядке следования порождающих их хорд:
Bf*=(E:Bfl2) D5)
(штриховая линия делит матрицу В^ на две части, относящиеся к хордам и ветвям.)
Единичная матрица Е определяет ранг матрицы В^, которая является подматри-
подматрицей матрицы Ва. Так, в определяемой равенством D4) матрице Ва первые три строки
образуют матрицу В^.
Некоторые свойства контурных матриц приведены ниже [5, 11].
1. Ранг матриц В^ и Ва равен е — v + 1; следовательно, существует е — v + 1
независимых контурных уравнений. Одним из способов формализованного полу-
получения этих уравнений является использование основных контуров. Если В есть
матрица контуров, имеющая е — v -f- 1 строк и ранг, равный е — v + 1, то сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между дополнениями деревьев графа и не-
неособенными квадратными подматрицами порядка е — v -f- 1 упрощенной матрицы
контуров В.
2. Если столбцы матриц Ао, А, Ва, В записаны с одинаковой последовательно
стью индексов ребер, то
АаВа = °; В^ = 0; D6)
АВт = 0; ВАт = 0. D7)
3. Если матрицу вершин А представить через хорды и ветви дерева
A = (Au.;Ala), D8)
го матрицу В^ основных контуров для дерева, соответствующего А12, исходя из урав-
уравнения D8), можно представить в виде
В/ = (Е I «W=( Ei-AL (A-')T) = (E i (- А-'АЦ)Т). D9)
(Индекс т сверху здесь и далее означает транспонирование матрицы).
Матрица сечений [5]. Как указывалось выше, сечение есть множество ребер
графа, определяющих разделение его вершин. Сечения ориентируют, задавая им
направления относительно одного из ребер каждого сечения, и помечают это напра-
направление стрелкой при линии, обозначающей сечение. Свойства сечений графа удобно
ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
61
„поставлять матрицей сечений, которая по существу содержит ту же информацию,
^ и матрица вершин. Матрица сечений Qa = (qmr) содержит е столбцов по числу
ребер графа, а число строк равно числу возможных сечений графа. Элементы матрицы
оПреДеляют следующим образом: qmr = 1, если ребро г находится в сечении т и их
^правления совпадают; qmr — — 1, если ребро г находится в сечении т, но их на-
направления противоположны; qmr — О, если ребро г не находится в сечении т. Граф,
изображенный на рис 21, а и отвечающий цепи, показанной на рис. 20, имеет семь
сечений (сечение VII, содержащее ребра 1, 2, 3 к 4, показано на рис. 21, б), и его
матрица сечений имеет вид
Хорды Ветви
3
I -1
ba-
baIll
= IV
V
VI
Vll
5 6
1 -1
-1 I
1 0
0 0 10
10 0 1
0 1 0 1 0 1
0 0—11—10
0 1 10
1 1
10 0 1—1 l/
E0)
(Слева указаны номера сечений, сверху — ребра графа).
Матрица Qa представляет собой матрицу коэффициентов уравнений восприни-
воспринимаемых сил двух полюсников, полученных путем линейного преобразования узло-
узловых уравнений, записанных в соответствии с законом Кирхгофа для сил D1). Поэтому
строки матрицы Qa являются линейными комбинациями строк сечений, записанных
для вершин. Так, строка I в приведенной выше матрице Qa может быть получена
как сумма V и II или разность IV и III строк, строка VI — как разность IV и V или
сумма [II и II строк, а строка VII — как сумма III и V или разность IV и II строк.
Для решения задач наиболее важны основные сечения графа, позволяющие полу-
получать совместную систему независимых уравнений воспринимаемых сил двухполюс-
двухполюсников
Основные сечения графа относительно опорного дерева Т представляют собой
о — 1 сечений, каждое из которых содержит только одну ветвь дерева Т. Направле-
Направление основного сечения выбирают совпадающим с направлением порождающей его
ветви опорного дерева. Матрица Qf основных сечений, составленная в соответствии
с упорядоченной последовательностью индексов хорд и ветвей дерева Т, так что се-
сечения идут в порядке следования порождающих их ветвей, имеет вид
Q/ = (Q/U1E). E1)
Единичная матрица Е определяет ранг матрицы Qf, являющейся подматрицей
матрицы Qa. В определяемой равенством E0) матрице Qo первые три строки обра-
образуют матрицу С^.
Некоторые свойства матриц сечений приведены ниже [5].
1. Матрица сечений Qa содержит все строки матрицы вершин Ай (некоторые
стРоки последней могут быть умножены на —1).
2. Ранг матриц Qf и Qa графа с v вершинами равен v — 1. Следовательно,
существует v — 1 независимых уравнений для воспринимаемых сил двухполюсни-
двухполюсников. Одним из способов формализованного получения этих уравнений является ис-
использование основных сечений. Если Q есть матрица сечений рассматриваемого
гРафа, имеющая v — 1 строк и ранг, равный v — 1, то существует взаимно однознач-
^°е соответствие между неособенными квадратными подматрицами матрицы Q и
4еРевьями графа.
3. Если столбцы матриц Qa, Q, Ba, В записаны с одинаковой последовательно-
Ь1° индексов ребер графа, то
Q Вт = 0; В Ql = 0; E2)
QBT=0; BQT = 0.
E3)
62
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4. Если матрицы А, В/, Q^ записаны в соответствии с принятой последователь-
ностью индексов хорд и ветгей дерева, так что
А = (АП:А12); В/=(Е:В,и);
то из уравнений D9) и E3) следуют выряжптия
= — BTi2=== Aii A
n-
E4)
E5)
E6)
z,
1
1
z2
-1
1
Из уравнений D9) и E6) следует, что матрицы Q^ и В/ можно вычислить неп0-
средственно из матрицы А, отвечающей опорному дереву Т.
Основные понятия, определения и соотношения теории графов сигналов. Гра,
фом сигналов цепи называют линейный направленный граф, ребра которого характе-
характеризуют направление и величину передачи сигнала
(переменной), а вершины являются переменными
цепи. Под передачей (передаточной функцией) ребра
понимают отношение выходной величины к входной
(или лапласовых изображений этих величин). Пе.
редача ребра может быть размерной и безразмер-
ной. Таким образом, граф сигналов представляет
собой графическое изображение соотношений межд;
переменными, для линейной системы — изображе-
изображение системы линейных уравнений. На рис. 25
показан граф сигналов цепи, изображенной ы
рис. 20, а.
К вершинам графа могут подходить и от них
отходить несколько ребер. Сигнал (переменная) k4
вершины равен сумме сигналов, приходящих к ней,
при этом выходящие из k-й вершины сигналы не
учитываются. В зависимости от переменных, выб-
выбранных в качестве вершин, граф сигналов может
иметь различную структуру.
Последовательность ребер, вдоль которых сиг-
сигнал может проходить в указанном направлении,
образует путь прохождения сигнала; между двумя
вершинами может находиться любое количество
путей. Путь, в котором нет вершин, встречающихся
более одного раза, называют разомкнутым. Любой путь, возвращающийся к исход
ной вершине и не проходящий дважды через одну и ту же вершину, называют зам
нутым, или петлей. Не всякий контур образует петлю. Петля, образованная одним
замкнутым ребром, называется элементарной петлей графа. Разомкнутый путь и
исходной вершины к другой заданной называют прямым. Передача разомкнутого
пути или петли равна произведению передач проходимых ребер. Вершина, предста-
представляющая независимую переменную, называется источником; в источник не заходи
ни одно из ребер.
Определение передачи от источника к некоторой вершине графа осуществляют
двумя способами: I) для простых графов последовательным упрощением с помощьк
специальных правил [I, 9, 14, 18, 19] (основные из этих правил представлены н»
рис. 26); 2) для сложных графов с помощью правила Шэннона — Мэзона [1, 2, 9.
10, 18, 19, 20], при этом исходный граф может быть предварительно упрощен. Пр>
наличии нескольких источников в графе искомую переменную находят, используя
принцип суперпозиции, поскольку рассматриваются линейные системы.
Правило Шэннона — Мэзона. Передача от источника (входного сигнала) к за-
зависимой переменной (выходному сигналу)
Рис. 25. Граф сигналов меха-
механической цепи, показанной на
рис. 20, а
ГРАФЫ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
63
где Тп — передача л-го прямого пути между заданными входом и выходом; Д„ —
определитель подграфа, образующегося в результате исключения из исходного графа
пути с передачей Т„ и вершин, через которые он проходит; Д — определитель графа
Г"
.^J>
1
cb I
? -
* j
Рис. 26. Схемы упрощения графов сигналов:
' ~ простейшие эквивалентные преобразования: а — сложение, 6 — умножение, виг —
Рэскрытие скобок в произведении; // — искл-ючение узла в звезде; /// — образование эле-
Янтарной петли; IV — учет влияния элементарной петли; V — инверсия передачи от вы-
выходного сигнала к входному
(одинаковый для всех пар входов и выходов графа). Суммирование произ-
произпо всем имеющимся прямым путям. Причем
i, k, l
/, к
64 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
где 2L; —сумма передач всех петель
дач некасающихся петель для всех возможных
то же, для сочетаний некасающихся петель по три и т. д.
Определители Д„ находят аналогично.
ль графа; %L'-L'k — сумма произведений пере-
зможных сочетаний петель по две; "ZL'jL^L^ -,
8. АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Задачей полного анализа механической цепи является определение всех кине-
кинематических величин, характеризующих абсолютное и относительное движение
полюсов в принятой системе отсчета (полюсные переменные и переменные двухполюс-
двухполюсников), и воспринимаемых элементами цепи сил. При этом ставится задача опреде-
определения как величины (размера), так и знака искомых величин. Знание знака отно-
относительных переменных двухполюсника эквивалентно знанию характера движения
полюсов (сближение или удаление) и характера приложенных сил (сжимающие или
растягивающие), см. раздел 3. Зная перечисленные выше величины, можно опреде-
определить другие величины — силы между узлами и функции цепей (коэффициенты пере-
передачи сил и кинематических величин, прямых и обратных параметров участков цепи).
В основе анализа механических цепей лежит использование уравнений Кирх-
Кирхгофа для сил D1) и кинематических переменных двухполюсников D2) и уравнений
пассивных двухполюсников в прямой C5) или обратной C6) форме. Преимущест-
Преимуществом излагаемого ниже способа анализа цепей с использозанием ассоциированных
направлений двухполюсников, привязанных к выбранной системе отсчета, являет»
возможность формализации способов составления и решения уравнений цепей на
основе теории графов. С помощью графов цепей легко находят совместные системы
независимых уравнений основных контуров и сечений, которые вместе с уравнениями
пассивных двухполюсников C5) и C6) и уравнениями связи кинематических пере-
переменных цепи образуют основу для анализа механических цепей.
Задачей неполного анализа механической цепи является определение только
части переменных и функций цепи. Когда число искомых величин мало, для анализа
цепи удобно использовать графы сигналов.
Составление схемы соединений двухполюсников и графа цепи. Для того чтобы
схема соединений двухполюсников и граф цепи правильно отражали свойства пред-
представляемой ими механической системы, при их составлении необходимо соблюдать
следующие правила:
1. В схеме соединений двухполюсников и на графе цепи не должно быть раз-
различных узлов и вершин, имеющих одинаковые обозначения. Для этого узлы меха-
механической цепи, имеющие тождественно равные кинематические величины, должны
быть соединены тождественным элементом, сохраняющим порядок следования узлов
вдоль оси Ох, принятой для описания движения.
2. Ассоциированные направления всех двухполюсников должны быть выбраны
одинаковыми относительно оси Ох. Истинные знаки искомых переменных получаются
после подстановки в найденные уравнения заданных переменных.
Пример. Провести анализ цепи, изображенной на рис. 27, а. На упругие элементы /
и 2 действует в данный момент источник 3 растягивающих сил (^ < О, F3——JT >0). На
рис. 27, б показана цепь соединений двухполюсников с ассоциированными направлениями.
Из графа цепи (рис. 27, в) следуют уравнения
di — ds=0; d2 — d3 = 0; Fl + F:i-{-F3 = 0,
из которых с учетом уравнений двухполюсников
и равенства <*а=0 получаем
АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ *>5
1 ..ним образом, обе пружины воспринимают растягивающие силы, а перемещение узла Ь
оложп гель но.
гие эле
Рис. 27. Механическая цепь с параллельным соединением элементов
Пример. Провести анализ цепи, изображенной на рис 28, а. В данный момент на упру-
лементы I и 2 действует источник 3 растягивающих сил ^. (J^ < О, F, = — $f>0). На
Рис. 28. Механическая цепь с тождественным элементом, связывающим узлы а и с
Рис. 28, б показана цепь соединений двухполюсников, в которой присутствует тождествен-
тождественный элемент 4, так как d2=d =0. Из графа цепи (рис. 28, е) следуют уравнения
чз которых с учетом уравнений двухполюсников
F1 = c1d1 = c1(da-db); fa =
а Равенств й = d =0, d. = (d — d ) = 0 получим
6 - dc)
¦<:0;
F, — .
м Таким образом, пружина I воспринимает растягивающие силы, а пружина 2 —сжи-
вип Ие; пеРемещение узла Ь положительно. Из сравнения двух рассмотренных примеров
силы ЧТ° прУжины 2 в них воспринимают одинаковые по величине, но разные по знаку
Уравнения основных контуров. Используя закон Кирхгофа D2) для относи-
относительного движения узлов в замкнутом контуре, запишем уравнения основных кон-
>Ров для графа, изображенного на рис. 20, в, опорное дерево которого образуют
ви '> 2, 4 (жирные линии). Хорды 3, 5 и 6 (светлые линии) определяют основные
3 п-/р. Генкина М. Д., т. 5
66 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
контуры /, //, /// и их направления. Уравнения имеют вид
II. -/
III. кг
Эти уравнения запишем в матричной форме, введя в рассмотрение кинематиче-
кинематические переменные всех двухполюсников (элементов), причем в матрице-столбце (век-
(векторе) ke кинематических переменных двухполюсников упорядочение расположим
сначала кинематические переменные хорд, а затем — ветвей дерева
Для уравнений, записанных в порядке следования порождающих их хорд,
получим
•10 0 1 1 —
0 10—1—1 0
>0 0 1 1 0—1
E8)
Независимость уравнений этой системы следует из наличия единичной матрицы
третьего порядка, отвечающей вектору хорд (Число независимых уравнений кон-
контуров равно числу хорд е — v + 1). Используя введенное ранее для прямоугольной
матрицы основных контуров обозначение By, уравнение E8) представим в виде
ufke = Q. E9)
Уравнение E9) можно записать также в разделенной матричной форме
Ц?):0, F0,
где кес и кеЬ есть матрицы-столбцы кинематических переменных хорд и ветвей соот-
соответственно. Из уравнения F0) следует, что
^ = 0; kec = -B/12keft. F1)
Следовательно, кинематические переменные хорд всегда можно выразить в виде
явных функций от кинематических переменных ветвей дерева. Для справедливости
обратного вывода матрица Вда должна иметь обратную. По этой причине при выборе
опорного дерева графа системы в него следует включать источники кинематических
величин. Из уравнения F1) следует, что кинематические переменные двухполюсни-
двухполюсников цепи могут быть заданы произвольно тогда, когда они входят в ветви некото-
некоторого дерева графа [6]. Как следствие заключаем, что источники произвольно задан-
заданных кинематических величин не должны образовывать контура в графе цепи.
Уравнения основных сечений. В соответствии с законом Кирхгофа для сил D1)
запишем узловые уравнения для узлов а, Ь и с цепи, изображенной на рис. 20:
a) Fi-F2-/76 = 0;
Сложив первые два уравнения и добавив второе и третье, получим систему
I. -Fs + Ft-Fe+F^O.
II. ~/г3 + /?5 + /7б = 0. F2)
АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 67
Эту систему уравнений можно получить непосредственно из графа цепи, изобра-
изображенного на рис. 21, а, если использовать матрицу СЬ основных сечений /, // и
/// графа:
I
Q/= II'
III
3
/-1
-1
\ 1
5
1
1
0
6
—1
0
1
1
1
0
0
2
0
1
0
4
0
0
1
F3)
в матрицу-столбец (вектор) ?е силовых переменных двухполюсников цепи, записан-
записанных в упорядоченной последовательности индексов хорд и ветвей,
2fJT. F4)
Система уравнений F2) следует из матричного уравнения
IFA *
1 1 _i 1 о
Q/Fe= —1 1 0 0 10
V 1 0 I 0 0 1
Хорды
! ;
Ветви
= 0. F5)
W }
Уравнения F5) называют уравнениями основных сечений, а их независимость
следует из наличия единичной матрицы третьего порядка, отвечающей вектору вет-
ветвей. (Число уравнений основных сечений равно числу ветвей дерева v — 1). Матрич-
Матричное уравнение F5) можно представить в разделенной матричной форме
(Q/u E) ' =0, F6)
У"" ь!
где Fc и ?ь есть матрицы-столбцы силовых переменных хорд и ветвей соответственно.
Из уравнения F6) следует, что
0, F6 = -Q/UFC. F7)
Таким образом, силовые переменные ветвей всегда можно выразить в виде яв-
явных функций or силовых переменных хорд. Для справедливости обратного вывода
матрица Qyu (в общем случае прямоугольная) должна иметь обратную матрицу.
По этой причине при выборе опорного дерева графа цепи в него не следует включать
источники сил. Из уравнения F7) следует также, что силовые переменные двух-
двухполюсников цепи могут быть заданы произвольно только тогда, когда они входят
в дополнение дерева (в хорды графа цепи) [4]. Следовательно, источники произвольно
заданных сил могут быть включены только в хорды графа цепи. Сравнение уравне-
уравнений F1), F7) и E6) показывает, чга при исследовании системы нет необходимости
выводить обе системы уравнений. Любая из систем является достаточной для ре-
решения задачи.
Уравнения связи кинематических переменных цепи. Если /--й двухполюсник
Цепи включен между узлами ; и / и стрелка его ассоциированного направления идет
°т i к /, то кинематическая переменная kr этого двухполюсника выражается через
Узловые кинематические переменные kL и kt в соответствии с уравнением F) следую-
следующим образом kr = ki — kj, когда ассоциированное направление совпадает с напра-
направлением оси Ox, kr = —(k, — kj), когда они противоположны. Матрица вершин \а
^Рафа цепи характеризует связь двухполюсников с узлами. Поэтому матрица-стол-
^Ч ke кинематических переменных элементов цепи и матрица-столбец k'n узловых
кинематических переменных, записанные с тем же порядком следования индексов
элементов и узлов, что и в матрице \а, связаны между собой равенством
68
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
когда ассоциированные направления положительны, и равенством
\г — а к
F9)
когда ассоциированные направления отрицательны.
Так, для цепи, показанной на рис. 20, в соответствии с уравнением D3) имеем
/Кз\
G0)
¦1 0/
О -1'
Поскольку один из узлов i всегда принимается за опорный (kt = 0), связь между
кинематическими переменными цепи выражается через транспонированную упро-
упрощенную матрицу вершин Ат, в которой отсутствует столбец матрицы А*, отвечающий
опорному узлу:
А т|г П\\
е— Л кга> v Ч
где кп — матрица-столбец узловых кинематических переменных, имеющая v — 1
элементов и не содержащая переменной опорного узла.
Так, уравнение G0) при
Хорды
Ветви
0 (d — опорный узел) принимает вид
k
\kj
\
0
0
l
—l
l
0
1
—1
0
0
—1
0
-1\
0^
—1
0
0
-1/
G2)
Уравнение G1) всегда разрешимо в силу свойства C) матрицы вершин. Для
этого в матрице Ат необходимо выделить неособенную квадратную подматрицу (An)a
порядка v— 1, отвечающую дереву графа. Тогда уравнение G1) можно записать
в разделенной форме:
eb
Отсюда следует, что
Из уравнения G2), в частности, имеем
lh\ /—1 0 O\jka\ ika
Ik, = 1 _L oft»; [kb
\kj \ 0 0 —\l\kj \kc
1
1
0
0
\
0
0
0
—1
G3)
G4)
G5)
Решение уравнений системы. Пусть требуется определить все силовые и кинема-
кинематические переменные двухполюсников и узловые кинематические переменные цепи,
имеющей е элементов (из которых п — источники) и v узлов. Поскольку узловые
кинематические переменные всегда могут быть получены через кинематические пере-
переменные элементов из уравнения G4), задача сводится к отысканию переменных двух-
двухполюсников. Для е элементов имеем 2е переменных. Для каждого из источников
известна одна силовая или кинематическая переменная — соответственно для источ-
АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 69
ника силы и кинематической величины. Поэтому при наличии в цепи п источников
необходимо находить 1е — п переменных. Число уравнений пассивных двухполюс-
двухполюсников равно е — п, уравнений основных сечений v — 1 и уравнений основных кон-
контуров е — у+ I. Следовательно, общее число уравнений
(е — n) + (v— l) + (e — у+1) = 2е — п. G6)
Таким образом, указанные уравнения образуют совместную систему из 2е — п
уравнений, называемых уравнениями системы, решение которой позволяет найти
искомые переменные. При решении уравнения записывают через преобразования
Лапласа искомых переменных. Сложность операций, связанных с решением системы
уравнений, можно существенно уменьшить, если использовать определенные поря-
порядок подготовки уравнений и последовательность операций при их решении [6].
Прежде всего необходимо выбрать опорное дерево графа цепи, причем так, чтобы
источники кинематических величин были представлены в графе ветвями, а источ-
источники сил — хордами. Если это сделать невозможно, то нельзя получить и полное
решение. Далее необходимо сгруппировать полученные уравнения основных сечений
и контуров так, чтобы заданные переменные ветвей и хорд были представлены само-
самостоятельными матрицами-столбцами. С учетом сказанного матрицы Вд2 и (fyu пред-
представим через подматрицы
/Ьа Ь12\ (Чп сЦ
\d2i D22/ \q2i q22/
и уравнения F0) и F6) перепишем, переставив местами хорды и ветви так, чтобы
в матрицах-столбцах переменных двухполюсников ке и Ре вначале шли переменные
источников кинематических величин, а замыкали их переменные источников сил.
Уравнения графа примут вид:
уравнения основных сечений
F /1 о ъ qJhAP)\
' е \0 1 ifai Чи/1 fa(p) J
уравнения основных контуров
" .(ph
в,к.-си :12: :k:m(p)i-o, ^
Ьи
b2i
2
b22
1
0
0
\
kft2(P)
kci (P)
kc2(P)
где индексы бис, как и ранее, относятся к ветвям и хордам; kbl — матрица-столбец
заданных кинематических переменных; Fc2 — матрица-столбец, заданных силовых
переменных. Из уравнения E6) следует, что*
(80)
поэтому из графа необходимо записать только матрицу основных контуров или
Только матрицу основных сечений. Затем в соответствии с уравнениями C5) и C6)
следует записать уравнения двухполюсников в прямой форме:
W \0 1
70 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
или обратной форме:
/к \ I ТУ ha Л \ /в, \
\kJ~\Q D7?I\fJ'
Ниже описан ход решения, когда уравнения системы требуется записать чере^
кинематические переменные (уравнения ветвей). В этом случае уравнения двухпо
люсников должны быть записаны в прямой форме (81). Эти уравнения подставляют
в уравнения основных сечений G8):
К )fWt- (83,
q2i/\ 0 DcJ\k] \/
Из первой строки уравнений контуров G9) находят кеп как функцию перемен-
переменных kc6i и keu2, что позволяет записать с учетом равенства (80)
к&1\ /0 1 \
Подстановка (84) в (83) дает
/0 4ii\/b2 / /Ц /q,2_
Полученное матричное уравнение эквивалентно двум.
0 \ / 0 1 \ /kftl\
Q г» I I _Т _Т J I С I ' т' " - ' ' '
/Dft2 вуо 1\/км;. _ .
(о/)
После преобразований эти уравнения имеют вид
(D*2 + 421DclqJl) k42 + 421Dclq^kul + q22Fc2 = 0. (89)
Из системы уравнений (Щ находят кинематические переменные k~s2 как функ
ции заданных переменных kbl и FC2:
DS=D*2 + 421Dcl4l1. (91)
Число уравнений в системе (89) равно числу переменных в матрице-столбце kbi.
Остальные кинематические переменные kcl и кС2 определяют из уравнений конту-
контуров G9):
kci=-bukH-b12kft2; (92)
Силовые переменные Fbl и Fcl находят из 5 равнений двухполюсников (81), а
FM — из системы уравнений (88) с учетом (92):
АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
71
Когда уравнения системы требуется записать через силовые переменные (урав-
(уравнения хорд), используют следующий порядок решения уравнения двухполюсни-
двухполюсников, записанные в обратной форме (82), подставляют в уравнения основных конту-
контуров G9); затем в эти уравнения подставляют выражение для Fft2 в функции от пере-
переменных F2j, и Fj2, найденное из второй строки уравнений сечений G8), в результате
получают искомые уравнения
'"W+
hl/
D
bl
О D
1
о\
(95)
Примечание Следует помнить, что в общем случае рассматриваемые матрицы и
подматрицы являются прямоугольными, а не квадратными
Пример. Для цепи, изображенной на рнс 20 а, необходимо найти 1) изображения по
Лапласу для абсолютных и относительных скоростей узлов и воспринимаемых сил элемен-
элементов при нулевых начальных условиях, 2) функцию цепи Т (р), характеризующую преобра-
преобразование ускорения al(/)= — a U) источника ускорения / в деформацию (относительное пере-
перемещение rf2 @ узлов) упругого элемента 2 (при положительном a {t) ускорение точки а
положительно) Таким образом, необходимо найти кинематические переменные Тг (р) = ^) (р)
элементов (г = 1, 2, .. , 6) и Ъп (Р) =vn W узлов цепи (л = а, Ь, с), а также силовые пере-
переменные Г'г (р) элементов
Решение задачи найдем для обобщенных кинематических переменных, а искомые кине-
кинематические переменные и необходимые динамические параметры элементов цепи подставим
в окончательные формулы Из графа цепи (рис 20 и 21) записываем уравнения основных
сечений G8) [см также уравнение F5)]
(\ 0 q,,
М> 1 q,,
10 0—1 1—1
0 10—11 0J
,001.10 1/
F.
= 0,
(96)
а уравнения основных контуров G9) [см также уравнение E8)]
b,i
Ь„ 1 0\
ьг2 о 1/
к.
»2
\с2
\
/
/ 1
= -1
1
\
1
—1
0
—1
1
0
0
0
1
0
0
0
1/
"Мея в виду, что k, и Р, заданы
Из уравнений (96) и (97) следует, что
q«=(-l И, qt! = —U
i-i i\
^ 1 0
b,,=
Ь„ = 1
-i
гл
\k.l
/0\.
2 = @ —1).
= 0,
(97)
Уравнения цепи запишем через кинематические переменные ветвей дерева; для этого
Уравнения пассивных двухполюсников цепи записываем в прямой форме
Db2 °
0 D
kt
ci/ \к„
(98)
72 Г7ЕРРДЛТ0ЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Подставив уравнения (98) в уравнения сечении (96) и осуществив затем замену с по
мощью уравнений контуров (97):
м
к.
\ 1 °
\ о
/ \ 1
1
0
—1
1
\
А
1
о/
1 kt
\k~4
находим необходимые для решения задачи уравнения цепи
' „II . . . I \ к, 1 + | О
0
Удовлетворяющие этому уравнению кинематические переменные /г2 и *» найдем, ис
пользуя общее решение (90) и найденные подматрицы цепи-
Э(о,У(.) (!И
Из уравнения (91) определим
(-! J)(
о) [о
A01)
\ D3
и подставим в уравнение A00). Тогда получим
— I
= -д— [(?>,D4 + D3D, -f D^s) F, + D,?,];
—1
Из уравнений (92) и (93)
к .=
находим кинематические переменные
из =— fci —Sa + fe4; Б, = Е, + ?„; k, — —b, ц14. A041
Силовые переменные, входящие в Fft2 и Рс1, находим нз уравнений двухполюеннко»
(98), а входящие в ?й1 — из уравнения (94):
(—1)F, =О,*з — O6fc5 +Fe. A05)
Подставив в полученные формулы требуемые кинематические величины Я = v и отве-
отвечающие им прямые динамические параметры (импедансы) Dr=Zf, получим искомые пере-
АНАЛИЗ МЕХАНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
73
двухполюсников
, (р) = "' (Р). а ( ) — ~
[(Z2ZS + Z2Z4) t>, (p)_ ZsFe (p)];
A06)
F,
:3o3 (p) - Z.o, (p) + Fe (p); F, (p) *= ZjO, (p);
3o, (p); F,(p) =Z,o4(p), Fs (p)= Z,oe(p),
Скорости 5злов чепи найдем из уравнения G5)
И, наконец, для функции цепи Т (р) получим с учетом A06)
A071
A08)
Анализ механических цепей методом графа сигналов. Построение графа меха-
механической цепи и его дерева дает возможность проводить анализ этой цепи 6ej реше-
решения уравнений, используя граф сигналов цепи Граф сигналов позволяет непосред-
непосредственно получить аналитическое выражение передаточной функции между любым
его входом и выходом Построение графа сигналов для механической цепи произво-
производят следующим образом [9, 10].
1 На графе цепи выбирают опорное дерево. В ветви дерева включают все источ-
источники кинематических величин, но не включают ни один источник силы (поэтому
каждый из них всегда оказывается хордой графа).
2. Все кинематические переменные хорд выражают через кинематические пере-
переменные ветвей дерева на основании закона Кирхгофа для относительного движения
узлов в замкнутом контуре, записанного для основных контуров [см. уравнения D2),
E9) - F1)].
3. Силы ветвей дерева выражают через силы хорд на основании закона Кирх-
Кирхгофа для сил, записанного для основных сечений [см уравнения D1), F5) — F7)].
4. Полученные зависимости изображают графически по правилам графов сиг-
сигналов. Построение графа сигналов заканчивают введением в него ребер, связываю-
связывающих переменные пассивных элементов механической цепи. При этом для ветвей де-
Рева передача направлена от сил к кинематическим переменным и равна восприим-
восприимчивости, подвижности или динамической податливости, для хорд передача напра-
направлена от кинематических переменных к силам и равна динамической массе, импедансу
или динамической жесткости (см. рис. 25).
Используя полученный граф сигналов, методом упрощения графа или по пра-
правилу Шэннона — Мэзона вычисляют передаточные функции от источников к зависи-
зависимым переменным (см. стр. 62), а по ним — зависимые переменные.
Пример Для механической цепи, изображенной на рис 20, а, с помощью графа сиг-
Налов найти лашысово изображение скоростидеформации ог (р) упругого элемента 2 при
аДанных изобрлжеьиях сигналов источников v, (p) и Ft (p).
кот Решения задачи по графу цепи (рис 20, 6) строим rpafi сигналов (рис. 25), из
°Рого для искомой переменно!"/
V, (Р) =
v,) Vt (p) + / (F, -* v,) F, (р)
74 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
необходимо найти передачи Т (vt-+I<2) и Т (f.^'vt) от источников соответственно щ и ^
к зависимой переменной о,. Указанные передачи находим по правилу Шэннона — Мэзона
2^ S
4- Z,Z4 +
_
Граф сигналов имеет три петли, из которых две некасающиеся, поэтому
(§ё13 1шт
Окончательно получаем
о, (р) = j=4~ [(Z3Z. -f Z3Z5 + Z4Z5) о, (Р) + Z,F, (p)].
[Сравните результат со вторым выражением в уравнении A06)].
9. МАТРИЦЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ (МПФ)
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Понятие МПФ. Многие важные технические объекты, например космические
аппараты, не удается моделировать одномерными механическими цепями. Для рас-
расчета их колебаний пригодны экспериментально-расчетные методы, основанные на
использовании МПФ. В отличие от одномерных механических цепей значения эле-
элементов МПФ сложных систем, как правило, не вычисляют, а измеряют непосред-
непосредственно, после чего используют для определения вибрационных режимов, собствен-
собственных частот и форм, а также для задач идентификации.
В этой главе рассмотрены принципы определения элементов МПФ, а также их
использования для вибрационных расчетов. Технике измерения ПФ и элементов МПФ
посвящена глава XIV.
МПФ является естественным обобщением понятия ПФ. Она связывает два мно-
многомерных вектора — вектор возбуждения [например, силу F (р)] и вектор реакции
системы [например, скорость V (р)], которые принято называть обобщенными входом
и выходом *. Так,
) = Y(p)F(p),
где Y (р) — матрица операторных подвижностей. Элементы МПФ являются обыч-
обычными ПФ и могут быгь размерными и безразмерными величинами.
МПФ при силовом возбуждении. В механической системе при силовом возбуж-
возбуждении входной вектор состоит из обобщенных сил (сил и моментов), выходной —
из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений (включая угловые), а также
из сил взаимодействия с присоединенными системами или жесткими опорами.
Соответствующие передаточные функции можно называть операторной податливо-
податливостью, операторной подвижностью, операторной восприимчивостью, передаточной
функцией сил. В многомерном случае получается матрица операторных податли-
востей и т. д.
МПФ при кинематическом возбуждении. В этом случае входной вектор состоит
из обобщенных перемещений, скоростей или ускорений, выходной сектор — из сил
взаимодействия с присоединенными системами или с жесткими опорами, а также из
кинематических величин, аналогичных входным. Соответствующие передаточные
функции можно называть операторной жесткостью, операторным импедансом, опе-
операторной массой, передаточной функцией перемещений (скоростей, ускорений).
В многомерной системе получается матрица операторных жесткостей и т. д. Пр11
замене параметра р на /со получают матрицу комплексных жесткостей и т. п.
* Поскольку в этом и последующих разделах гл. II рассматриваются не функции вре-
времени, а только их изображения по Лапласу и Фурье, черта над изображением с целью упро-
щения опускается.
МАТРИЦЫ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
3. Передаточные функции колебательной системы с одной степенью свободы
НИ
75
Передаточная функция
Операторная жесткость
Rip)
Операторная податливость
А (р)
Операторный импеданс
Zip)
Операторная подвижность
Yip)
Операторная масса
М (р)
Операторная восприимчивость
О(Р)
Выражение
тр2 + bp -f. с
1
трг -f Ьр + с
тр + Ь + ~
1
тр + 6 Н
Р
Р Р2
1
, 6 , с
т+-р+-рТ
Выбор точек возбуждения и измерения. Передаточная матрица. МПФ отли-
отличаются не только размерностью, но и выбором точек возбуждения и измерения.
Можно указать два основных варианта.
1. В каждой из выбранных точек задаются вынуждающие силы и измеряется
вибрация (отклик). Выходы и входы здесь совмещены. В табл. 3 приведены переда-
передаточные функции колебательной системы с одной степенью свободы. В общем случае
в каждой из п точек (мест) может быть приложено до шести обобщенных сил и изме-
измерено до шести обобщенных параметров вибрации. Таким образом, матрица переда-
передаточных функций может иметь до бге строк и столбцов. Ее удобно записывать в виде
блочной матрицы п-го порядка. Отдельные блоки, или клетки, могут иметь порядок
от одного до шести в зависимости от учета тех или иных координат:
76
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(П-
1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МПФ ПРИ ВЗАИМНОМ СОЕДИНЕНИИ СИСТЕМ 77
Ввиду того что по принципу взаимности матрица в целом симметрична, клетки \и,
расположенные на главной диагонали, должны быть симметричны, а остальные
должны удовлетворять условию \lk = Y?..
Во избежание ошибок необходимо строго придерживаться единоъбразия в вы-
выборе положительных направлений сил и перемещений. Оси местной системы коор-
координат должны быть согласованы с направлением внешней нормали в данной точке.
2. Все выбранные точки системы делят на две группы — входные и выход'-
нЫе. Оба вектора содержат как силовые, так и кинематические величины. Такая
система является обычно передаточным звеном между двумя другими системами,
вдИа из которых является источником колебаний, другая — нагрузкой, восприни-
воспринимающей вибрационную энергию. Например, однородный стержень, совершающий
изгибные колебания в одной плоскости, имеет на каждом из двух концевых сечений
перерезывающую силу, момент, линейное и угловое перемещения — вектор из четы-
четырех компонентов.
Наиболее распространены модели систем для анализа однонаправленных коле-
колебаний. У этих моделей на входе и выходе имеется по одной обобщенной силе и один
кинематический параметр. Иногда эти модели называют механическими четырехполюс-
четырехполюсниками по аналогии с электрическими.
Матрицу передаточных функций, связывающую входной и выходной векторы
передаточного звена, называют передаточной матрицей. В табл. 4 приведены ком-
комплексные передаточные матрицы, а также матрицы импедансов и подвижностей
простейших механических систем — массы, пружины, колебательной системы с одной
степенью свободы. Все положительные направления F и V выбраны внутрь системы.
При использовании матрицы Т для вектора скорости V2 часто выбирают направле-
направление, совпадающее с Vx. Для этого случая необходимо изменить знаки элементов Тп
и Г22 матриц Т в табл. 4.
10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МПФ ПРИ ВЗАИМНОМ СОЕДИНЕНИИ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Согласование координатных осей. Одно из основных применений МПФ — это
расчет вибрационных режимов или собственных колебаний сложной системы исходя
Рис. 29. Согласование местных систем координат сочленяемых участков:
0 — при последовательном (встречном) соединении; б — при подключении к 3-му участку
Из передаточных функций отдельных подсистем. При этом входы (выходы) разных
Подсистем различным образом соединяются между собой, и для расчетов необходимо
78 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
согласовать положительные направления координатных осей. В точках последо.
вательного соединения различных систем (рис. 29, а) оси двух местных систем коор.
динат должны быть противоположны. Тогда соответствующие силы и перемещения
(скорости, ускорения) удовлетворяют при соединении систем 1 и 2 условиям F1 = Fs>
Vx = -V,.
Рис. 30. Системы с параллельным соединением входов
Рис. 81. Системы с параллельным соединением входов и выходов
В точках параллельного подсоединения различных систем к одному источнику
(рис. 29, б) оси должны быть одинаково направлены. Тогда общая сила F и скорость V
связаны с F1; F2 и Vx, V2 следующим образом: F = Fx -f- F2, V = Vx = V2.
Параллельное соединение систем. Пусть имеются две системы с матрицами
импедансов Z' и Z" одного порядка, параллельно подключаемые, например, к неко-
некоторому многомерному источнику сил. Имеют
f' Fj p'j fr'1 место следующие равенства (рис. 30):
^~ ~~ ^~ F' = Z'V; F = F' + F";
r'
•V2
Рис. 32. Последовательное соеди-
соединение систем
р» 7"V"- V V— V F Г
Для п систем
F = (Z' + Z"-f ... +Z"")V.
Таким образом, при параллельном соединении систем импеданс (жесткость,
масса) новой системы равен сумме импедансов (жесткостей, масс) отдельных систем.
В частности, при параллельном соединении входов и выходов передаточных зве-
звеньев (рис. 31) вместо передаточных матриц удобно рассматривать матрицы импе-
импедансов
(F'\ / v"\ /F"\
г И _ 7'/ I • I Ч
F' I \
•2/
_ 7
7"
-V,
Последовательное соединение передаточных звеньев. Если соединяются после-
последовательно два звена е передаточными матрицами Т' и Т" одного порядка (рис. 32),
справедливы следующие равенства:
М = Т'Т"( 2
У1)
и вообще, для я звеньев =Т'Т" ... Т"»
\v2/ \v("V
1 аким образом, при последовательном соединении передаточных звеньев пере-
передаточные матрицы перемножаются.
11. ВИБРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩЕЙ
МНОГОМЕРНЫЕ ИСТОЧНИКИ КОЛЕБАНИЙ И НАГРУЗКУ
Характеристика реальных источников вибрации. Как правило, при исследова-
исследований вибрации машин и экспериментальных установок источники колебаний имеют
сложную структуру, являются протяженными и многомерными, т. е. отдают меха-
вибрационный расчет системы
с(Р)
f,:
ническую энергию присоединенной конструкции (нагрузке) через более или менее
значительное число связей (от четырех—шести и более). С помощью МПФ возможно
мНогомерное обобщение известных теорем об эквивалентном генераторе (Тевенина
и Нортона), рассмотренных в начале главы.
Эквивалентные источники силы, скорости. Источник колебательной энергии,
отдаваемой в присоединенные конструкции, в общем случае имеет две группы точек,
g точках первой группы прило-
приложено силовое и кинематическое воз-
бужДение> в точках второй группы
энергия отдается вовне. На прак-
практике удобно рассматривать только
вторую группу точек, т. е. приво-
приводить параметры источника к его
выходу.
Для схемы (рис. 33, а) можно
ввести блочную матрицу импедан- д)
СОВ С разбиением последней на Рис. 33. Эквивалентные преобразования источни-
четыре блока (клетки): ков колебательной энергии:
. ,„,„ „, 7,п о)\ / \/гп)\ a ~~ источник с р входами и q выходами;
/Г'Р'\ L г, у ?. г, ч \ v у \ б — эквивалентный источник силы; в — эквива-
\f<q>)\Z<4.P' VI- Я>)[— V"?1/' лентныЗ источник скорости
Верхние индексы указывают число строк и столбцов каждого вектора и блока
(клетки). Из этой системы можно выделить два матричных уравнения;
а)
F F
F F
ТТ
Б)
Y"
( V"?»);
( V'?').
A09)
Выражая в 1-м из этих уравнений вектор V'P> через F'*" и V'?' и подставляя его
выражение во 2-е уравнение, получим соотношение между внутренними силами и
силой и скоростью на выходе:
FW = Z(9, P> (Z'P. P^^T'
где F" — выходная сила эквивалентного источника, равная развиваемой им силе
на абсолютно жестких опорах:
~ vl(?) = o * ' '
Z" — выходной импеданс эквивалентного источника, равный импедансу источника
как пассивной системы при измерении со стороны выхода и F'p1 = 0 (рис. 33, б)
Аналогично можно ввести и другие эквивалентные параметры в уравнении
V'?1 = Vй Y"F'"
где Vй — выходная скорость эквивалентного источника, равная развиваемой им
скорости на абсолютно мягких опорах:
V"=-V<?'l (?)_ ;
^и — выходная подвижность эквивалентного источника, равная его подвижности
как пассивной системы, при измерении со стороны выхода и F'P' = 0 (рис. 33, в).
Эквивалентные источники с нагрузкой. Если на выходе источника присоединена
Другая система, воспринимающая колебательную энергию [механическая нагрузка
с матрицей импедансов ZH или подвижностей YH (рис. 33, б, в], имеют мест равен-
(+)
Эти равенства позволяют исследовать вибрацию нежесткого механизма, непо-
редственно присоединенного к нежесткому фундаменту. В работах [3, 15] приведены
jjj рмулы Для источника, соединенного с нагрузкой через передаточные звенья,
пример упругие виброизоляторы.
80 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
12. ПРИНЦИПЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ МПФ И ВЫБОР МОДЕЛИ
Определение элементов матрицы импедансов или подвижностей. Элементы МПф
определяют, как правило, при гармоническом возбуждении на частотах, представ-
представляющих интерес. Находят отдельные значения на фиксированных частотах, а так*е
непрерывные частотные характеристики (ЧХ), по которым судят о резонансных
свойствах системы. Комплексная (амплитудно-фазовая) частотная характеристика
(АФЧХ) или комплексная ПФ получается при замене в функции Ф (р) параметра
преобразования Лапласа р на /со:
ф (/и) = Фх (со) + /Ф2 (со) = Фо (со) е/Ф <ш>.
Функция Фо (со) носит название модуля частотной характеристики, или амп-
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). Функция ср (со) — сдвиг по фазе, или
фазочастотная характеристика (ФЧХ). Функция Фх (со) = Фо (со) соь ср (со) назы-
называется действительной ЧХ, а Ф2 (со) = Фо (со) sin ср (со) — мнииой ЧХ. Графически
ЧХ выражают в прямоугольной системе координат,
1тф \ й» причем частота, как правило, откладывается по оси
абсцисс в логарифмическом масштабе. Такой же
масштаб выбирают для построения АЧХ. Очень часто
при измерениях записывают уровень АЧХ в децибе-
децибелах СдБ), т. е. в виде 20 lg (Фо/Фоо), где Фоо — от-
счетное значение, соответствующее условному нуле-
В0МУ УР0БНЮ (см' Приложения 1 и 2).
В полярной системе координат АФЧХ имеет вид
Рис. 34. АФЧХ в полярной кривой — геометрического места концов вектора, про-
систеие координат веденного из начала координат. Длина вектора про-
пропорциональна значениям АЧХ Фо (со), а угол, образуе-
образуемый с горизонтальной осью, равен сдвигу фазы <р (со) (рис. 34). В этой системе ча-
частота является параметром, неравномерно изменяющимся вдоль кривой в зависи-
зависимости от скорости изменения АЧХ и ФЧХ.
Значения частотных характеристик при некотором значении угловой частоты о:
называют комплексными коэффициентами передачи. На практике последние находят
с помощью косвенных измерений, например, модуль определяют через отношение
соответствующих гармонических величин, измеряемых непосредственно, а сдвиг
фазы определяют через разность их фаз. Так, комплексную подвижность находят
согласно выражению
A)
Элементы матрицы импедансов (аналогично жесткостей и масс) определяют со-
согласно следующему правилу:
*» = (?,/?*)*,= о, '**,
т. е. при кинематическом возбуждении Vk, жестком закреплении во всех других точ-
точках и направлениях и измерении сил в опорах.
В многомерной системе элементы матрицы Z непосредственно измерить трудно.
Почти всегда определяют обратные матрицы (податливостей, подвижностей, воспри-
имчивостей) по правилу Ylk = (VilFk)p ^0, 1фк, т. е. при силовом возбуждении /~*
в k-Ъ точке, разгрузке системы во всех остальных точках и направлениях и измере-
измерении кинематических параметров в свободных точках. По результатам измерений
элементов матрицы Y можно найти матрицу Z = Y1:
где Аы ~ алгебраическое дополнение ki-ro элемента матрицы Y.
В табл. 5 приведены соотношения между различными комплексными частот-
частотными характеристиками. В последней графе указаны возможные пределы изменения
фазового угла диагональных элементов соответствующих матриц, что может быть
полезно при контроле правильности измерений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МПФ И ВЫБОР МОДЕЛИ
5. В)аимосвячь частотных характеристик и пределы изменения фазы
Диагональных элементов
81
Частотные
характе-
характеристики
Комплекс-
Комплексная
жесткость
Механи
ческии
импеданс
Комплекс
ная
масса
Комплекс-
Комплексная
податли-
податливость
Подвиж-
Подвижность
Восприим
чивость
Комплекс
ная
жесткость
R
- '-R
О)
' -
«'- К
R1
Импеданс
/raZ
Z
_1 z
@
--'z->
0)
г-»
/wZ-i
Комплекс
ная
масса
-со2М
/ИМ
М
И2
-J-M-»
и
м-»
Комплекс-
Комплексная
податли-
податливость
А-«
- '-А-
а
А
/соА
-Ш!А
Подвиж-
Подвижность
/<oY->
Y-i
со
- ' Y
ш
Y
/MY
Вос-
приимчи-
приимчивость
-co2G-i
/fflO
o-«
--'-G
@
G
Фаза
От 0
до 180»
От —90°
до +90°
От 180"
до 0
От 0
до 180'
От -90°
до +90°
От 0
до 180°
Основные принципы выбора модели сложных систем. Порядок матрицы переда-
передаточных функций равен числу учитываемых обобщенных сил и реакций и заключен
в пределах га — 6/г, где п — число достаточно малых участков, к которым прило-
приложены внешние воздействия, т. е. вынуждающие силы и реакции (в том числе мо-
моменты). При выборе обобщенных сил должны учитываться общие свойства объекта
HCl 35. Фундамент механизма (а) с участками контакта и схемой учитываемых действую-
действующих сил и эквивалентная схема (б) с 18 входами
(например, симметрия), направления внешних сил, характер связей (жесткие, шар-
ирные и т. п.), частотный диапазон, требуемая точность расчета. Это позволяет
-Щественно упростить модель. В противном случае даже в простых объектах нужен
лищком большой объем сложных измерений, трудна обработка данных даже при
'^пользовании ЭВМ.
8«бпа ИМер постР°ения модели. Электрогенератор, работающий при 3000 об/мин, передает
с соот На Фундамент через шесть виброизоляторов (я = 6). Их опорные фланцы вместе
тветствующими участками фундамента можно считать абсолютно жесткими до частоты
82 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
порядка 500 Гц. Действием сосредоточенных моментов пренебрегаем. Модель фундамецТа
имеет N= Зл = 18 входов (рис. 35). Стрелками на рис. 35, а показано направление учить,.
ваемых сил, которые здесь пронумерованы. На низких частотах 50, 100, 150 1ц допустимо
не учитывать силы и вибрации, направленные вдоль фундамента, что приводит к сокраще.
нию входов до N~2n= 12. Дальнейшее упрощение может быть связано с высокой жест.
костью опорного флшца фундамента. Число п участков уменьшается за счет объединения
соседних, если при проверке поверхность нового участка не деформируется (деформацщ
много меньше амплитуд колебаний). Наиболее простой случай — N = 2 (фундамент «ак
жесткий блок под действием двух сил).
Каждый коэффициент передачи как комплексное число находят опытным путещ
на заданной частоте гармонической вынуждающей силы (определяют модуль и фазу
или действительную и мнимую часть).
Согласно данным, приведенным в табл. 5, допустимая фаза диагональных эле-
элементов матриц пассивных объектов ограничена какими-либо двумя соседними квад-
квадрантами на комплексной плоскости. Поэтому одна из составляющих элемента (дей-
(действительная или мнимая часть) должна иметь определенный знак, например ReZ,-; >o,
Im Мц «? 0. Нарушение этих неравенств в эксперименте свидетельствует об ошиб-
ошибках, допущенных при измерениях или при выборе координатных осей. Поэтому при
выборе модели следует использовать указания гл. XIV. Практика показывает, что
при слишком сложной модели (учет большого числа точек и направлений) результат
расчета получается неточным из-за накопления экспериментальных погрешностей.
Обычно в каждой точке учитывают одно, реже — два направления колебаний.
Список литературы
1. Абрахаме Дж., Каверли Дж. Анализ электрических цепей методом графов. М.: Мир
1967. 176 с.
2. Браун Ф. Т. Непосредственное применение правила циклов к графам связей. -
В кн.: Применение теории графов связи в технике / Пер. с англ.; Под ред. Д. Кэрнола и
Р. Розенберга. М.: Мир, 1974. 96 с.
3. Генкин М. Д., Яблонский В. В. Механизм как многополюсный генератор колеба-
колебаний. — В кн.: Виброакустическая активность механизмов с зубчатыми передачами М ¦
Наука, 1971, с. J61 —167.
4. Дружинский И. А. Механические цепи. М.—Л.: Машиностроение, 1977. 240 с.
5. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез / Пер. с англ.; Под ред. С. Е Лондона
М.: Связь, 1973. 368 с.
6. Кениг Герман Е., Блекуэлл Вильям А. Теория электромеханических систем / Пер
с англ. М.— Л.: Энергия, 1965. 424 с.
7. Конторович М. И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях
4-е изд. перераб. и доп. М.: Советское радио, 1975. 320 с.
8. Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными парамет-
параметрами. М.: Мир, 1978. 284 с.
9. Мэзон С, Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы. М : Изл иностр
лит., 1963. 620 с.
10. Робяшо Л., Буавер М., Робер Ж. Направленные графы и их приложение к элект-
электрическим цепям и машинам / Пер. с фр. М. — Л.; Энергия, 1964. 248 с.
11. Сешу С. и Рид М. Б. Линейные графы и электрические цепи / Пер. с англ ; Под
ред. П. А. Ионкина. М.: Высшая школа, 1971. 448 с.
12. Сешу С, Балабанян Н. Анализ линейных цепей / Пер. с англ. М — Л • Госэнср-
гоиздат, 1963. 552 с.
13. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. II. М.: ГИТТЛ, 1956. 628 с
14. Траксел Д. Синтез систем автоматического регулирования. М.: Машгиз, 1959 61 1 с.
15. Colloquium on Mechanical Impedance Methods for Mechanical Vibrations ASME,
1959.
16. Desoer, Charles A. and Kuh. Enest S. Basic Circuit Theory. Me Graw — Hill BooK
Company, N. Y , 1969.
17. Kuratowski С Sur le Probleme des Courbes Grauehes en Topologie, Fund Math 1930,
15. p 271 — 283.
18. Lorens, Charles S. Flowgraphs for the Modeling and Analysis of linear Systems Mo-
nooraph in Modern Engineering Science. Me Graw—Hill, 1964.
19. Mason S. J. Feedback — Theory — Some properties of Signal Flow Graphs Proc
of the IRE, 1Q53, N. 9.
20. Mason S. J. Feedback — Theory — Further properties of Signal Flow Graphs Proc
of the IRE, 1956, N. 7.
21. Shock and vibration handbook (in 3 volumes). Ed. by С. М. Harris and С. Е Crcde,
vol. 1. Basic theory and measurements, Me Graw—Hill Book Company N Y 1961
22. Whitney H. Congruent Graphs and Connectivity of Graphs, Am. J. Math. 1932, 54-
p. 150 — 168.
МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОВ 83
Глава III
МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
I. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОВ
При изучении свойств реальных процессов важным этапом является удачный
подбор математических моделей. От модели требуется, чтобы она отражала те свой-
свойства процесса, которые представляются наиболее важными. При подборе и конкре-
конкретизации модели преследуют различные цели: компактность описания, получение в
удобной форме исходных данных для расчетов, формулировку требований к сред-
средствам измерения, регистрации и воспроизведения вибрационных процессов. Ниже
рассмотрены модели непрерывных (непрерывнозначных) процессов. Однако изло-
изложенное справедливо и для последовательностей — процессов, у которых область
определения образует дискретное множество [5]. Последовательность {хп} может
быть получена, например, из непрерывного процесса х (t) путем его дискретизации
по времени с шагом А^:
{xn}=x(tn) = x(nAt), « = A N).
(Описание процессов см. гл. III и том I, гл. I и XVII).
Аппроксимационные модели. Аналитическая модель может строиться с целью
приближенного описания процесса совокупностью конечного (обычно малого) числа
величин. Аппроксимационная модель представляет собой выражение G (ct Ci, t),
зависящее от / постоянных с,-. Вид функции G задается исходя из требований сход-
сходства или близости в известном смысле к процессу х (t). Коэффициенты находят из
условий наилучшей аппроксимации. Аппроксимационную модель чаще используют
при описании процессов, простых по форме (в частности, одиночных импульсов и
периодических процессов). Некоторые коэффициенты с; входят в выражение G (сх, ...
..., Cj, t) нелинейно.
Задачи аппроксимации часто связывают с задачами разложения функции х (f)
в ряды по выбранным системам функций {^i}. Такое сопоставление имеет смысл,
если коэффициенты с; входят в функцию G линейно [7]:
I
G(Cl с,, 0=_2 <*%(*). A)
(=1
Это выражение рассматривается как конечный отрезок бесконечного ряда
оо
..., с,, t)= Ц <№(')• B)
i=i
Для ортонормированной системы функций с весом g (f)
\ § (t) % @ f/ (t) dt=a//; 6,7=f ° HI \ ^ '• } C)
При выполнении этих условий коэффициенты ортонормированного ряда, опре-
определяемые из условий наилучшего приближения на интервале О, Т заданной функ-
Чии х (t),
т
Ci=\g{t)^i{t)x{t)dt. D)
о
п„ ^а практике используют разложения в ряд Фурье, по полиномам Чебышева,
и ЖанДра, Лагерра, Эрмита 17, 8, 12] по разрывным функциям Хаара и Уолша
и В технической литературе задачи аппроксимации и разложения принято фор-
кровать на языке функционального анализа [14].
84 МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
Модели на основе интегральных преобразований. Другой способ представления
процессов связан с использованием интегральных представлений (преобразований)
Линейное интегральное преобразование процесса х (t) в общем виде определяется
следующим образом:
ъ
X(k)=\r(t, %)x(t)dt. E)
Интегральное преобразование переводит непрерывную функцию х (f) аргумента /
в непрерывную функцию X (X) аргумента К. Свойства интегрального преобразован^
определяются ядром г (t. Я). Обычно используемые интегральные преобразования
обладают свойством обратимости: функция х (f) выражается через X (к) линейным
интегральным преобразованием. Часто используют интегральные преобразования
Фурье, Лапласа, Гильберта (см. гл. I). Преобразование Фурье определяется следую.
щим образом:
F {x (()} = X (/со) = ) x(t) t-)at dt. F)
Функция X О'ю) представляет собой спектральную характеристику функции
х (f). Далее величину X (/<в) будем называть комплексным амплитудным спектром
или спектром (см. также том 1, стр. 21 и 271). Обратное преобразование Фурье имеет
вид
4- оо
С)
Выражения F) и G) являются исходными для спектральной теории процессов
[1, 12]. Свойства интегрального преобразования Фурье и типичные примеры опи-
описаны в работе [7]. Интегральные преобразования часто применяют тогда, когда функ-
функция X (А) по виду проще, чем х (t). Их удобно использовать для записи зависимости
выходного сигнала линейной системы от входного, при нахождении огибающих
узкополосных сигналов, при определении распределения энергии сигналов по часто-
частотам и пр. [8, 11, 12, 14].
Для последовательности х [п] = х (пТ), получаемой из непрерывного процесса
г (t) равномерной дискретизацией по времени с шагом Т, по аналогии с F) вводят
г-преобразование, обозначаемое через X (г):
\&) / j Л. \11 1N ) \с IT / • [0J
Хорошо разработанная теория г-преобразования является основным математи
ческим аппаратом теории дискретных систем и цифровой обработки сигналов [2, 3,
13, 16, 17].
2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ
Общепризнанной, полной и в то же время удобной классификации моделей
процессов не существует. Следуя преимущественно рекомендациям, данным в ра-
работе [10], укажем ряд моделей процессов с кратким пояснением основных признаков,
положенных в основу бинарной классификации моделей.
Скалярные и векторные модели (классификация по признаку размерности).
Скалярная модель задается одной скалярной величиной. В векторной модели объеди-
объединяются несколько в общем случае разнородных скалярных величин, рассматривае-
рассматриваемых как компоненты вектора.
Прямые и структурные модели (классификация по признаку способа формиро-
формирования). Прямые модели непосредственно определяют свойства процессов как функ-
функций времени. Структурные модели задаются в виде математических моделей систем
МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ 85
/обычно в виде систем дифференциальных уравнений) так, чтобы выходные сигналы
той системы моделировали процессы
3 Полные и неполные модели (классификация по признаку степени полноты опи-
описания) Для полных моделей по заданной конечной совокупности параметров могут
быть рассчитаны все другие параметры или характеристики.
Детерминированные и вероятностные модели (классификация по признаку пред-
предсказуемое ги).
Временные и частотные модели (классификация по виду аргумента) Временные
модели задают параметры функциональной зависимости процесса во времени, для
частотных — параметры спектральных характеристик.
Стационарные и нестационарные модели (классификация по признаку, опре-
определяющему изменение свойств во времени). Стационарными являются те модели
процессов, для которых все характеристики не изменяются при сдвиге во времени.
Параметрические и непараметрические модели (классификация по способу за-
задания). Для параметрических моделей .адаются аналитические выражения для
процесса или его характеристик, зависящие от конечного числа параметров
Одним и тем же процессам могут соответствовать различные модели. В практике
описания результатов расчета и экспериментальных данных чаще всего используют
модели, кратко рассмотренные в следующих разделах главы.
3. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ
СТАЦИОНАРНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ПРОЦЕССОВ
Эти модели традиционно использовали для описания установившихся процес-
процессов. Основные модели, относящиеся к рассматриваемому классу, перечислены в по-
порядке усложнения.
Модель гармонического процесса. При прямом задании модели процесс представ-
представляется в следующей форме:
х (t) = a sin (orf + 6), (9)
где <в = 2nf = 2яТ"х, здесь / и Т — частота и период гармонического процесса.
Существенными параметрами обычно считают амплитуду а и угловую частоту со.
Структурная модель представляет собой систему, уравнение которой имеет вид
~ + сЛ = 0. A0)
Приближенно вместо A0) может быть задано нелинейное уравнение автоколеба-
автоколебательной системы.
Модель периодического процесса. Процесс характеризуется условием
х (t + Т) = х (г), где Т — период процесса, и может быть представлен в виде ряда
Фурье:
а У A1)
Коэффициенты ufi убывают при увеличении k, поэтому можно учитывать только
конечное число членов ряда. Спекгр процесса дискретный, с равномерным шагом по
частоте. Одна из возможных структурных моделей задается системой
A2)
е- процесс рассматривается как результат прохождения гармонического сигнала
его производной через нелинейные безынерционные элементы со специально подоб-
чнными характеристиками /х и /2.
86 МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
Модель почти периодического или полигармонического процесса. Процесс пред.
ставляется в виде суммы гармонических составляющих произвольных частот щ/;
т
*@= 2 aksm(akt + 8k). A3)
к — 1
Обычно начальные фазы бА несущественны. Структурная модель задается си-
стемой
= 0; * = 2 **¦
Модели периодического и полигармонического процессов всегда широко исполь-
использовали в механике при описании установившихся колебательных процессов.
Модели модулированных процессов. Колебательный процесс представляется
в виде
х @ = о @ sin [ш @+ «(<)]• A5)
Законы модуляции [функциональные зависимости a (t), ш (f), б (t)] могут быть
различными. В зависимости от того, какая из трех указанных величин изменяется
во времени, модуляция может быть амплитудной, частотной или фазовой. Если
a (t), ш (t), б (/) являются медленно изменяющимися функциями по сравнению с
cos <$t, т. е.
d(s>
<со [
то процесс называют почти гармоническим. В зависимости от закона модуляции
спектр может быть дискретным или непрерывным. Данные о спектрах различным
образом модулированных сигналов можно найти в работе [4J. Структурная модель
представляет собой автоколебательную систему с изменяющимися параметрами.
Модели импульсных процессов. Одиночный импульс простой формы фиксиро-
фиксированной длительности Т удобно задавать аналитическим выражением [6, 9]
{Q (с,, с, с„, t) при Osg.. ,
при «О и ,>Г, ^
определенным с точностью до коэффициентов с/. Спектр одиночного игпульса всегда
непрерывный. Для импульсов простой формы условная ширина спектра Дсо имеет
порядок 1/Т [4]. Обычно используемые числовые характеристики импульсов могут
быть разделены на локальные и интегральные. К локальным характеристикам отно-
относят пиковое значение импульса, максимальное значение производной и т. д. Основ-
Основными интегральными характеристиками являются моменты [6]
т
Ik*=\t*x(t)dt\ (k = 0, I, ...). A7)
о
Структурная модель может быть задана дифференциальным уравнением системы,
на вход которой подается импульс в виде б-функции. Одиночные импульсы в механике
моделируют ударные явления. Когда рассматриваемое ударное явление есть резуль-
результат прохождения короткого удара через систему (среду), структурная модель харак-
характеризует ее свойства. Периодическая последовательность импульсов является объе-
объединением моделей периодического и импульсного процессов. Спектр периодического
импульсного процесса дискретный.
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ 8/
4. СПОСОБЫ УЧЕТА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ПРИ ЗАДАНИИ МОДЕЛЕЙ ПРОЦЕССОВ
Неопределенность, неизбежную при описании реальных процессов, в той или
иной форме следует учитывать при построении моделей Используют три основных
приема.
1. Задание пределов изменения процесса, его производных или спектра. Огра-
Ограничения имеют вид х~ (t) s? х (t) s? x+ (t). В простейших случаях предельные значе-
нИя задаются постоянными. Для частотного представления обычно налагаются огра-
ограничения сверху на модуль спектра. Однако они непосредственно не ограничивают
значения параметров структурных моделей.
2. Задание пределов изменения параметров с; сигналов или их структурных
моделей В общем случае область Q в пространстве параметров <г,- может быть произ-
произвольной формы, однако чаще всего на параметры ci налагают независимые ограниче-
ограничения С[ =?= с, =ё с\, так что область Q представляется в виде многомерного параллеле-
параллелепипеда. В некоторых случаях ограничения считают переменными во времени
3. Задание распределения значений процессов или параметров по всем возмож-
возможным значениям. Такой подход приводит к вероятностным моделям, рассматривае-
рассматриваемым ниже.
5. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
Предварительные замечания. Вероятностные (стохастические) модели вводят
для того, чтобы отразить частотные закономерности, проявляющиеся при неповто-
неповторимости результатов экспериментов. Случайный (вероятностный, стохастический)
процесс представляют в виде бесконечного и непрерывного множества (ансамбля)
реализаций. Вероятностная модель требует задания распределения вероятностей
на множестве реализаций (см том 1, гл. XVII). В математической теории случайных
процессов особое внимание обращается на возможность построения полных моделей
(в частности, стационарных гауссовских процессов), для которых любые вероят
постные характеристики могут быть выражены через несколько основных [9]. Однако
для практических приложений в первую очередь представляют интерес немногие
характеристики, в частности, математическое ожидание, дисперсия, корреляционная
функция. Чаще всего используют три основных типа моделей случайных процессов.
Модели квазидетерминированных случайных процессов. В этом случае процесс
х (t) представляют в виде функций G (clF c8, ..., t) известного вида, зависящей от ко-
конечного числа случайных постоянных коэффициентов с,, для совокупности которых
задается распределение вероятностей [9]. Если считается заданной re-мерная плот-
плотность вероятности коэффициентов, то модель является полной. При структурном
способе задания модели случайными могут быть и начальные условия и параметры
системы
Модели стационарных случайных процессов. Процесс является стационарным,
если все его вероятностные характеристики не изменяются при сдвиге во времени.
Математическое ожидание и дисперсия стационарного процесса постоянны. Основ-
Основной характеристикой стационарного случайного процесса является спектральная
плотность, которая характеризует распределение энергии процесса по частотам.
Для векторных стационарных процессов, у которых стационарны компоненты,
обычно дополнительно предполагается, что связь компонентов также стационарна [9].
Модели импульсных случайных процессов. Предполагается, что импульсы (в по-
последовательности импульсов) могут иметь случайные пиковые значения, длитель-
длительность ^и, возможно, форму. В общем случае начальные моменты импульсов тоже
случайны. Импульсы могут следовать раздельно или налагаться друг на друга;
во втором случае импульсный процесс теряет свою специфику. В общем случае спектр
Мпульсного случайного процесса непрерывный. Если импульсы следуют с по-
тоянным периодом, то спектр имеет дискретную и непрерывную составляющие.
Часто используют модель стационарного импульсного процесса, спектральные
Лотности таких процессов обычно имеют сложную форму. Методы аналитического
^следования импульсных случайных процессов хорошо разработаны [9]. Система
ческому изложению теории импульсных процессов посвящена работа [6].
88 МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ
6. СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ
КОМБИНИРОВАННЫХ МОДЕЛЕЙ
ПРОЦЕССОВ
Более сложные модели, необходимые для более правильного описания ^реаль
ных процессов, могут быть получены комбинированием простейших моделей, рас
смотренных ранее. Далее показано, какие возможности открывает применение
немногих приемов комбинирования.
Структурные модели со случайным процессом на входе. На вход системы по
дается порождающее воздействие у (t), описываемое одной из простейших моделей,
в зависимости от свойств системы может быть получено большое число различных
моделей выходных процессов х (t).
Аддитивные модели. Процесс х (() представляется в виде взвешенной суммы
(смеси) процессов
ftl
2
ftl
= 2 од* (о, (is
где составляющие х/г (t) определяются моделями, описанными выше. В приложе-
приложениях чаще всего используют сочетания стационарных случайных процессов с им
пульсными и периодическими квазидетерминированными.
Мультипликативные модели. Процесс х (t) представляется в виде
x(t) = z(t)[yo + ?,y(t)]. A9)
Каждый из процессов г (t) и у (t) можно описывать любой моделью. Формулу A9)
чаще используют в тех случаях, когда один из процессов высокочастотный или
широкополосный, а другой — медленно или редко изменяющийся. В этом случае
первый из них удобно считать модулируемым (определяющим заполнение), а вго
рой — модулирующим (определяющим огибающую). Чаще используют модели
гармонического процесса со случайной огибающей, широкополосного шумовою
процесса с медленно изменяющейся интенсивностью.
Модели процессов с медленно изменяющимися вероятностными параметрами.
Построение модели начинают с задания одной из перечисленных ранее моделей
После этого параметры вероятностных характеристик (в частности, математическое
ожидание, дисперсия, коэффициенты выражений корреляционной функции или
спектральной плотности) считают медленно изменяющимися функциями времени.
Список литературы
1. Бендат Дж., Пирсол Л. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1971
408 с.
2. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. богнера и А Константинилиса
М.: Мир, 1976. 384 с.
3. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Советское радио, 1973 367 с
4. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы М : Советское радио 1971
671 с.
5. Коновалов Г. В., Тарасенко Е. М. Импульсные случайные пргцессы в электро
связи М.: Наука, 1974. 304 с
6 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров
М : Наука, 1974. 831 с.
7. Куля В. И. Ортогональные фильтры. Киев: Техника, 1967 278 с.
8. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. I M • Совет
ское радио, 1969. 748 с.
9. Розенберг В. Я. Введение в теорию точности измерительных систем М : Совет
ское радио, 1975. 304 с.
10. Современная теория фильтров и их проектирование / Под ред Г. Темеше и С Mi'
тры. М.: Мир, 1977. 564 с
11. Трахтман А. М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов М ' Совет
ское радио. 1972. 352 с.
12. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического регулирования М : М^'
шиностроение, 1964 703 с.
13. Френке Л. Теория сигналов М : Советское радио, 1974. 343 с.
14. Хан Г., Шапиро С. Статистические модели в инженерных задачах. М.; Мир, 19b9.
395 е.
ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 89
Глава IV
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВОКУПНОСТЕЙ
ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
1. ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Предварительные замечания. Статистическая обработка экспериментальных
данных, результатов расчетов и математического моделирования прежде всего необ-
необходима для представления информации в более компактной форме, удобной для
дальнейшего использования. В настоящее время все шире используют хорошо раз-
разработанный аппарат математической статистики, которая занимается «методами
систематизации, обработки и использования статистических данных для научных
и практических выводов» [8] Статистическая обработка неизбежно связана с потерей
информации, поэтому при выборе статистических характеристик важно глубокое
понимание специфики конкретных задач, чтобы в концентрированной форме сохра-
сохранять нужную информацию. Большой опыт накоплен, например, в экономической
статистике [4]. Однако имеется тенденция к универсализации алгоритмов статисти-
статистической обработки
Цели статистической обработки данных. В математической статистике и смеж-
смежных областях предложено большое число методов, способоз и алгоритмов обработки
данных. При статистической обработке обычно ставят следующие основные цели.
1. Компактное и наглядное описание и представление свойств дискретных дан-
данных и процессов Результаты обработки могут быть представлены в виде числовых
параметров или функций, задаваемых последовательностями значений или анали-
аналитически, аппроксимирующими выражениями.
2. Получение исходных данных для аналитических исследований, численных
расчетов или статистического моделирования. При этом форма представления ста-
статистических характеристик должна быть приспособлена для используемых вычис-
вычислительных средств.
3. Обоснование требований к средствам сбора данных, измерения и регистрации
процессов. В этом случае статистические параметры могут оцениваться достаточно
грубо, с большим запасом.
4. Получение данных для воспроизведения воздействий, в определенном смысле
эквивалентных наблюдаемым.
Часто перечисленные цели ставятся совместно, в различных комбинациях.
Приходится учитывать требование возможно большей унификации вида используе-
используемых ста!истических характеристик. Статистическая характеристика может пред-
представлять собой одну скалярную величину (статистическую оценку), совокупность
скалярных величин формально преде являемых в виде матрицы, функцию одного
или нескольких аргументов, совокупность функций Следует различать первичные
статистические характеристики, получаемые непосредственной обработкой данных,
и вторичные, для кошрых объектом обработки являются первичные характеристики.
Для определения гех и других используют одинаковые алгоритмы; в дальнейшем
ПеРвичным характеристикам уделяют основное внимание.
Принимаемые определения характеристик. Характеристики, получаемые путем
обработки по заданным алгоритмам одной выборки дискретных данных, выборочной
Функции или последовательности, называют выборочными или первичными стати-
статическими Выборочные характеристики и характеристики, получаемые путем вто-
Ричной обработки, называют статистическими. Статистические характеристики
числяют, как правило, без введения модели процесса. Аналогичные характерн-
характерней, вычисляемые в предположении справедливости вероятностей модели про-
эаи й веР0ЯТН0СТНЬ1М осреднением по бесконечному непрерывному множеству реали-
чае пР°цесса> называют вероятностными. Статистические характеристики, полу-
„ ь'е при введении вероятностной модели процесса, считают оценками вероят-
х характеристик.
90 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СОВОКУПНОСТЕЙ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ
Простейшим объектом статистической обработки является совокупность ска
лярных величин хх, хл, ..., xN. В статистике эта совокупность называется выбор
кой (из большой совокупности), а каждая величина — элементом выборки Можно
выделить четыре группы выборочных характеристик.
Средние значения. Из выборочных средних чаще всего используется средне
арифметическое
Если некоторые из данных могут быть ненадежными, то устойчивый результа]
дает выборочная медиана
m<2> = med (xlt х2 ..., Хд,), B>
которая представляет собой средний член вариационного ряда, составленного из
элементов выборки и перенумерованных в порядке возрастания. Среднее а рифме
тическое, выборочная медиана и другие варианты среднего могут быть получень
из условия наилучшего приближения
N
l(\Xi — m |), C
i
где / — неубывающая функция потерь [3). При / (у) = у2 получается A), при / (у) =
= \у\ — выражение B).
Оценки рассеяния. В качестве меры рассеяния относительно среднего чаще
используют среднеквадратичное отклонение а; его квадрат — выборочная диспер-
дисперсия
л
2! ^-
1
Широкий класс оценок может быть определен, как то значение функции / (вы-
(выражение C)], при котором достигается минимум Важными данными являются
экстремальные значения элементов выборки
*miu=inl>i, *i, ¦¦•,%); *w=sup(*i, *., •••, xn)- ®
При этом оценкой рассеяния является вариация
Оценки распределения. Основной характеристикой распределения значений
элементов выборки по отношению к заданному уровню и является выборочная (эмпи-
(эмпирическая) функция распределения
N
~ 2 H«*i), G)
i= 1
где 1 (и) — функция единичного скачка. Более наглядной характеристикой явля-
является гистограмма. Гистограмма строится как кусочно-постоянная функция, уро-
уровень ко юрой на каждом интервале значений величины х пропорционален числу ве-
величин xi, которые попали в этот интервал Выборочная функция распределения пол-
полностью содержит все исходные данные в наглядной форме, гистограмма представ-
представляет сжатую информацию. Ступенчатые функции часто неудобны для практиче-
ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВОКУПНОСТЕЙ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ 91
.ого использования, в качестве непрерывных аппроксимаций обычно используюг
дхоДЯЩие вероятностные законы.
11 Оценки взаимосвязи элементов двух выборок. Исходными данными являются
v пар соответствующих друг другу элементов xt, yt; х2, уг; ...; xN, yN. Функция
с2, ..., С[, х); (8)
которая приближенно характеризует взаимосвязь величин х и у к зависит от / неиз-
неизвестных постоянных cJt называется функцией регрессии. При N > / ее находят
„з условий наилучшего приближения
N
2 bji — 4>(ci> сг С(, ж,-)}2 = тт. (9)
1= 1 О,
Если связь предполагается линейной (ф = сг + с%х), то из (9) следует, что
N N
2 2 2]
(• = 1 1=1 (¦ = 1
Рассеяние относительно линейной зависимости определяется безразмерным
коэффициентом корреляции
N
9ху = дг —
где sx и sv — среднеквадратичные значения выборок.
Выполняется условие |pV;/1 ^ 1. Чем ближе рсу к граничным значениям + 1,
тем меньше рассеяние относительно средней линейной зависимости. Если рху близко
к нулю, то считают, что элементы выборок не связаны линейной зависимостью.
Аналогичные задачи ставят и решают при исследовании взаимосвязи элементов более
чем двух выборок.
Общие замечания. Описанные выше статистические характеристики могут быть
использованы независимо от степени однородности статистических данных. Однако,
если выборки априори представляются однородными, то смысл всех характери-
характеристик полностью соответствует их групповым наименованиям. Для заведомо неод-
неоднородных данных, когда они разбиваются на значительно различающиеся группы
(страты), характеристики рассеяния теряют наглядность и зависят преимущественно
от различий средних свойств групп. В этих случаях перед статистической обработ-
обработкой рекомендуется применять процедуру разделения выборки на группы (такая
процедура также называется классификацией, стратификацией или таксокомией) [7].
"ри разделении на группы целесообразно использовать:
1) Данные о том, от каких экземпляров получены сведения;
2) сведения об изменчивости внешних условий и режимов работы;
3) последовательность поступления данных во времени;
4) свойства получаемых статистических распределений.
»ак, если гистограмма имеет несколько устойчивых и явно выраженных пиков,
это часто свидетельствует о неоднородности выборки Возможно также чисто
л°шое разделение выборок по заранее выбранным диапазонам.
^ Статистические характеристики имеют самостоятельную ценность и непосред-
непосредственно используются для получения конкретных выводов и рекомендаций. Не обя-
нят ЬНо связывать процедуру нахождения статистических характеристик с при-
непо М опРеДеленных вероятностных моделей, особенно полных моделей, она должна
бедственно вытекать из характера решаемых задач.
92 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
При статистической обработке непрерывных процессов основным объектом
является единственная выборочная функция времени (в виде электрического сиг.
нала или записи), которую в дальнейшем в соответствии с терминологией, приН!ь
той в теории случайных процессов, будем называть реализацией. Статистические
характеристики представляют собой или скалярные величины (функционалы) или
функции (обычно интегральные преобразования, определяемые непосредственно
по реализации или по ее спектру). Для процессов некоторые характеристики явля-
ются аналогами рассмотренных в предыдущем разделе выборочных характеристик
совокупностей дискретных данных. Для реализации х (t), заданной на интервале
(О, Т), основными являются следующие группы статистических характеристик.
Средние или осредненные значения. Среднее значение по всему интервалу (О, Т),
аналогичное среднему арифметическому A),
тхТ = ~т \ xV)dt- A2)
т i
Наряду с этим используют осреднение по отрезкам интервала или сглаживание:
t
mx (t) = ^h(t, т) х (т) dx, A3)
о
при котором осреднение по времени является неравномерным. Свойства резуль-
результата сглаживания — функции mx (t) — определяются выбором весовой функции
h (t, т); сглаживание вместо осреднения широко используется в схемах статистиче-
статистических анализаторов (см. гл. X).
Коэффициенты аппроксимаций. Анализируемая реализация представляется
в виде аппроксимирующего выражения — функции G (q, c2, ..., С;, t) [19]. Искомыми
статистическими характеристиками являются коэффициенты Cj, определяемые из
условия наилучшего приближения, в частности, равномерного
x(t) — G(cu c2 ch 0}2* = min. A4)
*,
Если коэффициенты с/ входят линейно:
I
G(^i с,, 0= 2 с,ф/(О, A5)
/=1
то при этом для коэффициентов су получается система линейных уравнений, резуль-
результат решения которой может быть представлен в виде
т
ci = \g,(T,t)x{t)dt. A6)
Весовые функции gj{T, t) получаются из решения системы уравнений [14].
Такого рода преобразования используют при определении параметров импульсных
сигналов, при выделении периодических составляющих и тренда, а также при опре-
определении коэффициентов разложения отрезка реализации в ряд по выбранной си-
системе функций.
Оценка рассеяния. Основной характеристикой рассеяния является выборочная
дисперсия, т. е. средний квадрат отклонения от среднего, от результата сглажива-
сглаживания или от результата аппроксимации. При этом, как и среднее значение, средний
ХАРАКТЕР. НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 93
КВЭДРат может определяться равномерным осреднением по всему интервалу:
г
а*г = у J {*{t)-mx (t)}*dt A7)
о
иЛи сглаживанием:
o*(t) = \h(t, i){*(t)-ffl,MPA. A8)
6
Самостоятельными статистическими характеристиками являются максималь-
максимальное и минимальное значение на интервале
*min = inf {*(')}; *max = sup {*(<)}; (OsS^^T). A9)
Характеристикой рассеяния является вариация
rf==A:max-^min. B0)
Оценки распределения. Выборочная функция распределения значений, которая
характеризует относительное время пребывания реализации х (t) ниже заданного
уровня и, определяется как интегральное преобразование
г
FxT(u) = \l[u-x(t)]dt. B1)
о
Если первым этапом статистической обработки реализации является выделе-
выделение из реализации аппроксимирующей функции G (сх> с2, ..., с/, t), то обычно пред-
представляет интерес определение статистической функции распределения не процесса
х (f), а разности
e@ = G(Cl, сг c,,t)-x{t), B2)
которая рассматривается как случайная погрешность.
Характеристики экстремальных значений. Для реализации х (t) определяются
отдельно ординаты x'v x'v ..., х'г локальных минимумов и ординаты х\, x''v ..., *" ло-
локальных максимумов. Для двух полученных последовательностей могут рассчи-
рассчитываться все статистические характеристики, как для обычных последовательно-
последовательностей дискретных данных (см. раздел 2). При аппроксимации процесса х (t) функ-
функцией G (clt с2 Ci, t) те же характеристики строят для последовательностей е[
е'г, е\, ... е"г минимумов и максимумов случайной погрешности B2).
Характеристика выбросов. Для описания свойств выбросов (пересечений процес-
процессом уровнен) используют характеристики импульсных процессов, в частности число v
выбросов за уровень и на интервале @, Т), среднее значение Тх интервала между
выбросами, среднюю длительность Тг импульсов. Все эти характеристики — функ-
функции уровня и.
Характеристики взаимосвязи значений. Основной статистической характеристи-
характеристикой взаимосвязи значений одной и той же реализации является выборочная автокор-
автокорреляционная функция, которая представляет собой нелинейное интегральное пре-
преобразование
т—х
. B3)
Нормированная автокорреляционная функция рхх (т) = КХх М 1КХХ @) опре-
определяет среднюю степень линейной взаимосвязи отклонений процесса х (f) от сред-
ег° Для сечений, сдвинутых друг относительно друга на время т. Убывание функ-
Г1" Кхх (т) от начального значения К.х.х @) характеризует дисперсию производной:
ем больше дисперсия производной, тем быстрей убывает автокорреляционная
"Ушци Поведение функции Кхх (т) ПРИ увеличении т для незатухающих реализа-
94 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
ций колебательного характера определяется степенью регулярности. Если реад
зация периодическая или полигармоническая со строго постоянными частотам,,"
то автокорреляционная функция не затухает и также является периодической щ'
полигармонической (но с измененными соотношениями амплитуд и фаз составляв
щих). Всякого рода проявления нерегулярности (в частности, эффект «набегания
фаз составляющих) приводят к тому, что автокорреляционная функция затухает'
Значение т = т*, начиная с которого можно условно считать Кхх (т) ~ 0, назц.
вают интервалом корреляции; при сдвиге во времени т > т* значения ордиНа"
практически линейно не связаны (в частности, при фиксированном х (f) для х (t -(. -
возможен любой знак).
Основной статистической характеристикой взаимосвязи значений двух реа,
лизаций х (/) ну (t) является выборочная взаимно-корреляционная функция
т — х
t@@If(< + )(<+)](tt. B4!
Нормированная взаимно-корреляционная функция рХу(т)=К ху(т)/[Кхх@) К уу ()]
определяет среднюю степень линейной взаимосвязи отклонений от среднего
для реализаций, сдвинутых на интервал т. Если реализации относятся ^
различным физическим процессам, то между отклонениями реализаций от
средних связь отсутствует, и взаимно-корреляционная функция колеблется около
нуля. В частности, это имеет место в тех случаях, когда реализации х (t) и у (t) _
полигармонические, но частоты составляющих различны. Когда реализации х (ь
и у (t) имеют составляющие высокого уровня, происходящие от одних и тех же ис-
исходных причин, взаимно-корреляционная функция по крайней мере в некотором
диапазоне изменения аргумента т существенно отлична от нуля.
Во многих задачах особый интерес представляет наибольший по модулю экст
ремум взаимно-корреляционной функции. Если уровень экстремума достаточно
высок, то из этого следует, что реализации в среднем сильно взаимосвязаны, соот-
соответствующее значение хт аргумента представляет собой среднее время взаимного
запаздывания соответствующих составляющих реализаций. Статистическую корре-
корреляционную функцию часто сглаживают. Если аппаратура дает дискретные значе-
значения корреляционной функции, то операцию сглаживания совмещают с интерполя-
интерполяцией. Иногда функции сглаживания осуществляет процедура аналитической аппро
ксимации.
Спектральные характеристики. Комплексный спектр ХТ (Jai) реализации х {(],
заданной на интервале (О, Т), определяется выражением
$ х
— со
Комплексный спектр не может рассматриваться как статистическая характе-
характеристика, поскольку спектр сохраняет всю информацию о реализации, и реализа-
реализацию можно получить обратным преобразованием Фурье [см, гл. II, уравнение G)].
Вместо комплексного спектра используют выборочную спектральную плотность
(периодограмму) [5]
\X(ja)]* 0?ш< B5)
которую называют также спектром мощности и менее удачно энергетическим спек-
спектром реализации.
По теореме Персеваля
Г со
S*T*=~§ х* @ # = -11- f ) Хт ум) |i Ad. B6)
о о
о
ВТОРИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА 95
Таким образом, оказываются связанными две различные характеристики:
педний квадрат (статистическая или выборочная дисперсия при нулевом сред-
ем значении) и статистическая спектральная плотность. По функции Sv/ (со) не мо-
жеТ быть восстановлена реализация, поскольку теряется информация о фазах эле-
ентарных составляющих, однако функция полностью сохраняет «тонкую струк-
структуру», свойственную вещественной и мнимой частям комплексного спектра. Поэтому
Диетические характеристики, использующие частотную форму представления
сигнала, определяются только как результаты преобразования функции Sxf (со).
Основной статистической характеристикой является сглаженная статистиче-
статистическая спектральная плотность [5]
s*m
00
= j К («>. »i) SxT (wi) <Ч- B7)
Результаты сглаживания определяются весовой функцией ha (со, щ). Если
аппаратура дает дискретные значения спектральной плотности, то сглаживание
может осуществляться дискретно или совмещаться с интерполяцией. Когда реа-
реализация х (t) имеет видимую однородность во времени, структура функции SхТ (со)
существенно неоднородна, средняя частота колебаний (по аргументу со) возрастает
при уменьшении со. Поэтому интервал сглаживания целесообразно уменьшать с умень-
уменьшением частоты со, что обычно и реализуется при спектральном анализе (см. гл. X).
Для частотного описания двух реализаций х (t) и у (t), заданных на интер-
интервале (О, Т), основной статистической характеристикой является выборочная взаим-
взаимная спектральная плотность
sxyT И =т\Хт W Yт (~ /«) | - B8)
которая выражается через комплексный спектр Хт (/со) реализации х (t) и сопря-
сопряженный комплексный спектр Yт (—/со) реализации у (f). Как и спектральные плот-
плотности каждого из сигналов, взаимную спектральную плотность B8) необходимо
сглаживать.
При аппаратурном определении дисперсии распределения, корреляционной
функции и спектральной плотности часто вместо осреднения по всему интервалу
используется сглаживание; зависимости этих характеристик от времени часто несут
ценную информацию. Все перечисленные статистические характеристики могут
определяться не только для реализации, но и для ее производных, а также резуль-
результатов других преобразований. Отметим, что во всех рассмотренных способах рас-
расчета статистических характеристик не использовались какие-либо гипотезы отно-
относительно их аналитического вида.
Формулы для определения выборочных характеристик последовательностей
приведены в томе I на стр. 296—299, однако получаемые статистические характе-
характеристики авторы рассматривают только как оценки соответствующих вероятност-
вероятностных характеристик.
4. ВТОРИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА
Первичные статистические характеристики, получаемые непосредственной
обработкой реализаций, представляются в виде скалярных величин, совокупностей
величин или функций одной или нескольких переменных. Объектом вторичной
обработки являются первичные статистические характеристики. Ниже перечислены
основные задачи вторичной обработки.
1- Аппроксимация. Для компактного представления статистических характе-
характеристик целесообразно аппроксимировать их аналитическими выражениями. Аппрок-
"Мирование может осуществляться как вручную, так и с помощью вычислитель-
Нои техники [12, 17].
2. Совместная обработка совокупностей статистических характеристик, полу-
ньгх обработкой различных реализаций. При этом возможно как их определе-
96 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
ние, так и выделение в известном смысле крайних, максимально отличающие
от средних или типичных.
3. Сопоставление и совместная обработка разнородных статистических xapd(
теристик. Такая обработка может иметь целью повышение достоверности, надеА
ности и точности описания свойств процессов.
4. Исследование и описание зависимостей параметров статистических xapat
теристик процессов от измеряемых и регистрируемых влияющих факторов, в ч^
ности от режимов работы, типов и состояний изделий, от условий эксгопагацтц
Математическим аппаратом решения подобных задач обычно является регрессии
ный анализ [7].
5. Принятие решении и проверка гипотез относительно свойств исследуемы
процессов и систем [2].
6. Построение вероятностных моделей Если вероятностная модель принщ,(
ется, то по статистическим характеристикам оценивают основные вероятностны
характеристики. Когда принимают простейшую модель стационарного гауссовског
случайного процесса, все вероятностные характеристики можно выразить мере
среднее значение и спектральную плотность. Однако следует иметь в виду, что в тел
нических приложениях гипотезы эргодичности и стационарности могут быть спрй
ведливыми лишь приближенно.
Следует предостеречь читателей от переоценки роли вероятностных моделеР
заключающейся в игнорировании фактора расхождения свойств реальных процес
сов с моделью и отсутствии статистической устойчивости, приписывании сходимости
где ее не существует, экстраполяции на большие интервалы и т. д. Необходим
иметь в виду, что принятие вероятностных моделей всегда должно сопровождаться
оценкой степени ее адекватности и пределов ее применимости.
б. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Общие сведения. Случайный процесс (СП) является математической абстрак
цией, моделью реального физического явления. Случайный (вероятностный, сто
хастический) процесс х (t) представляется ансамблем реализаций X/, (t), на кото
ром задана вероятностная мера. Различают вероятностные характеристики, пол>чен
ные по одной реализации путем осреднения по времени (^-текущие).
т
= Iim ~
полученные по ансамблю реализаций путем осреднения по множеству (/-текущие).
N
Q @ = Iim 1 У q [xk @1 = {q [xk (/)]>, C0)
fc= 1
и средние характеристики:
N Т
Q= Iim -1 У Q(&) = Iim ~ f Q (О Л. C1)
ft= 1 0
Полной вероятностной характеристикой СП является функция распределения
вероятностей F (f) или плотность вероятности р (х). Одномерная /-текущая плот-
плотность вероятности р (х, t) представляет характеристику СП (ансамбль реализа-
реализаций) в определенный момент времени /; ^-текущая плотность вероятности р (х, Ч
характеризует распределение мгновенных значений одной реализации.
Многомерные вероятностные характеристики. Двумерная плотность вероятности
одного процесса р (xi: x2, tlt t2) характеризует связь двух значений одного пр»'
цесса в моменты времени tx и /2. характер его изменения во времени. Двумерн3"
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 9?
отнопь вероятности двух процессов р (х, у, tlt t2) характеризует степень стати-
сТйческой связи двух процессов, степень согласованности и характер их поведения
„о времени. В теории исследуются и многомерные плотности вероятности случай-
случайных процессов, однако на практике ограничиваются двумерными характеристиками,
в0зножносги которых в представлении свойств случайных процессов достаточно
велики.
Другой способ представления вероятностных свойств СП, более удобный для
практики, состоит в использовании моментных tnn (lu t2), центральных моментных
in ft> 4) или обобщенных корреляционных Кп (tlt 4) функций порядка га, беско-
лечная совокупность которых обладает той же информативностью, что и плотность
вероятности. Последнее следует из разложения в ряд Маклорена соответствующей
полной вероятностной характеристики, например F (х), р (х) и т. п. [20, 21]. Прак-
Практически ограничиваются корреляционными функциями второго — четвертого по-
порядка, информативность высших корреляционных функций мала. Обобщенные
корреляционные функции удобны для представления свойств СП, так как высшие
корреляционные функции не зависят от низших, это позволяет классифицировать
случайные процессы по порядку нестационарности — порядку корреляционной
функции, проявляющей зависимость от времени [21, 22].
Одномерные вероятностные характеристики. Одномерные корреляционные функ-
функции называют кумулянтами х„: Ki = x-i — Щ — математическое ожидание про-
процесса, Кг = у-ъ — о2 — дисперсия процесса, К3 — к3 = т\ — центральный момент,
нормированное значение которого характеризует асимметрию плотности вероят-
вероятности (коэффициент асимметрии) Ya = у-в^У1' Ki — И4 = Щ — Ът-, — кумулянт
четвертого порядка, начиная с которого появляются отличия кумулянтов от цен-
центральных моментов; нормированное значение этого кумулянта известно как коэф-
коэффициент эксцесса у3 = щЫ\, характеризующий степень островершинности (уэ > 0)
или плосковершинности (уэ < 0) одномерной плотности распределения вероят-
вероятности.
Характеристики процессов различных классов. Нормальный (гауссовский) ста-
стационарный случайный процесс полностью характеризуется лишь тремя вероят-
вероятностными характеристиками, не зависящими от времени: средним значением mlt
дисперсией а2 и корреляционной функцией второго порядка /С2 (т) или спектральной
плотностью S (»), связанной с /С2 (т) преобразованием Фурье:
00
S((o)= J Kt{i)t-№dx. C2)
— со
Таким образом, равенство нулю кумулянтов высших порядков, кп = 0, л >: 3,
является признаком гауссовского процесса.
Более сложным является гауссовский нестационарный процесс, одна или не-
несколько характеристик которого зависят от времени, образуя процесс нестационар-
нестационарный по математическому ожиданию: Ki = Ki (t); по дисперсии- К2 = с2 (t); по кор-
корреляционной функции. К2 it, т) или спектральной плотности: S (t, со). Зависимость
от времени корреляционной функции может проявляться различным образом, на-
например в изменении во времени положения нулевых значений т0 = т/0 (t), интервала
корреляции т/? = rk (t) и т. п. Соответственно и зависимость параметров спектраль-
чои плотности может проявляться в изменении наклона спектра, его уровня, поло-
положения экстремальных значений и т. п. Примером явления, характеризуемого моделью
лучайного процесса с нестационарным спектром, является вибрация механизма
Ри его включении (выключении), а двумерное изображение нестационарного спектра
Редставляется соно1раммой процесса [23].
ст Другой сложной моделью является стационарный негауссовский процесс,
тистические характеристики которого не зависят от времени, но корреляционные
функции и кумулянты третьего или более высокого порядка не равны нулю, Кп =
^? (т)> ЯЭ^З. Модели негауссовских процессов рассмотрены в гл. XI, раздел 4.
н общ.ем случае процесс может быть нестационарным негауссовским, корреля-
а Нр"Ые Функции (или кумулянты) которого выше третьего порядка не равны нулю,
Herav °'3ые из них к ТОМУ же являются функциями времени. Конкретные виды
Уссовских и нестационарных процессов описываются определенными феномено-
^ п-/р. Генкнна М Д , т. 5
98 ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНЫХ ДАННЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ
логическими моделями—математическими функциями, содержащими иро^п
(в статистическом смысле) процессы, такие ктк гаусиэвский стационарным npj
цесс, детерминированные функции со случайными или фиксированными параце
рами.
Отмеченная классификация процессов относится не к реальным физически
процессам, а к их моделям — случайным процессам (функциям), которые Morji Отр
жать лишь отдельные свойства реального процесса соответственно постарл^ннь
целям и задачам экспериментальных исследований.
Список литературы
1 Алимов Ю. И. Элементы теории эксперимента. Свердловск У ПИ, 1976 182 с
2 Ьендат Дж., Пирсол Л. Измерение и анализ случайных процессов ЭД ' Мир, j971
408 с •
3 Большей Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики М : На>ка
1968 474 с
4 Венецкий И Г., Венецкая В. И. Основные математико-статистические понятна
формулы в экономическом анализе М Статистика, 1974 279 с.
5 Боллеренер Н Ф Аппаратурный спектральный анализ М : Советское радио, 197?
208 с.
6 Г>мбель Э. Статистика экстремальных значений М Мир, 1965. 450 с
7 Кендалл М , Стюарт А. Статистические выводы и связи М : Наука, 1973 849 с
8 Колмогоров А. Н , Прохоров Ю. В. Математическая статистика БЭС Т 15, М
Советская энциклопедия, 1974 с 480 — 484
9 Ланцош К Практические методы прикладного анализа М ¦ Фнзматгиз, 1961 5241
10 Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов М. Наука, 1974
696 о.
11 Пустыльник Е. И. Статистические методы анализа и обработки наблюдении М
Наука, 1968 288 с
12 Романенко А. Ф , Cepieee Г. А Аппроксимативные методы анализа случаииьи
процессов М Энергия, 1974
13 Серебренников М. Г., Первозваггский А. А. Выявление скрытых периодичностеи
М ; Наука 1965 244 с
14 Тихонов В. И Выбросы случайных процессов М : Наука, 1970 392 с
15 Уилкс С. Математическая статистика М Наука, 1967 632 о
16 Худсон Д Статистика для физиков М Мир 1967 242 с
17 Шиголев Б М Математическая обработка наблюдений М Физматгнз, 1969 344с
18 Юл. Дж Кендал М Теория статистики М . Госстатиздат, 1960 779 с
19 Яноши Л Теория и практика обработки результатов измерений М. Мир, 1965
462 с.
20 Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники Кя 1 М Совет
utoe радио, 1969 748 с
21 Котюк А. Ф., Цветков Э. Н. Спектральный и корреляционный анализ нестационар
ных случайных процессов М Изд-во стандартов, 1970 107 с
22 Ольшевский В. В. Основы теории статистических измерений Таганрог. ТРТИ
им. В. Д Калмыкова, 1976 105 с.
Глава V
ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СИГНАЛОВ
I. МОДЕЛИ СИСТЕМ, ПРЕОБРАЗУЮЩИХ СИГНАЛЫ
Предварительные замечания В предыдущих главах изменяющиеся во временя
физические величины рассматривались как процессы В настоящей главе эти вели
чины, называемые сигналами, рассмагриваклея в их отношении к физическим систе
мам как характеристики воздействий на эти системы и реакций последних на ни*
Первые сигналы называют входными, вторые — выходными С математической ючь"
зрения выходные сигналы есть результат преобразования входных сигналов р$с
сматриваемой системы Вопросы преобразования сигналов приходится решать ка"
в задачах измерений, ,ак и при испытаниях механических систем При измерения*
последовательно преобразуемые сигналы, функционально св^нанные с измеряемым11
физическими величинами, нашвают сигналами и-шерительной информации [21
Вопросы преобразования сигналов, в частности динамики систем, осуществляют*1*
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ПРИ ДЕТЕРМИНИР ВХОДИ СИГНАЛАХ 99
образования, в данной главе рассматриваются только в той степени, в какой это
инимально необходимо для измерительных задач и задач воспроизведения коле-
колебательных и импульсных процессов
Классификация моделей систем. Описание свойств реальных систем осуще-
осуществляется на основе приведения их к математическим моделям Ниже дана класси-
классификация моделей по основным признакам, обычно используемым для характеристики
систем [13].
Основное внимание в этой главе уделяется одномерным детерминированным
стационарным моделям средств измерений (СИ). В дальнейшем в соответствии с тра-
тцией математическую модель будем называть просто системой.
2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ
Динамические характеристики одномерных систем. Значительная часть средств
измерений (например, датчики, согласующие устройства, усилители, фильтры,
регистрирующие устройства) представляет собой одномерные линейные стацио-
стационарные динамические системы. Преобразование сигналов в таких системах удобно
характеризовать динамическими характеристиками. К настоящему времени
в ГОСТ 8.256—77 ГСИ установлены классификация динамических характеристик
(ДХ) средств измерений, основные правила выбора нормируемых динамических
характеристик СИ, формы представления ДХ и основные требования к методам
их экспериментального определения. Полными ДХ, чнание которых позволяет
рассчитать законы изменения выходного сигнала и динамической погрешности при
любых законах изменения измеряемой величины, являются дифференциальное урав-
уравнение, импульсная характеристика, переходная характеристика, передаточная функ-
функция, совокупность амплитудно- и фазо-частотной характеристик (АЧХ и ФЧХ
соответственно).
К числу частных ДХ относят параметры полных ДХ, а также любые характе-
оистики, не отражающие полностью динамические свойства СИ, но удобные для
практического использования
Полные ДХ могут быть представлены в аналитической, графической и таблич-
табличной формах, причем предпоч!ительной является аналитическая форма. В соот-
соответствии с общими принципами метрологии помимо ДХ нормируют их отклонения
от номинальных, чтобы при любых заданных законах изменения измеряемой вели-
величины могли быть оценены пределы изменения динамических погрешностей. Рас-
Рассмотрим последовательно полные ДХ
Дифференциальное уравнение СИ. Дифференциальное уравнение связи измеряе-
измеряемой величины х (t) и выходного сигнала г (г) СИ для стационарной системы с сосре-
сосредоточенными параметрами записывается в форме
гда Q (jt ) и Р ( ,-) — полиномы Описание ДХ с помощью дифференциальных урав-
„\at I \dt I
нении естественно при предварительном теоретическом анализе свойств систем и
Удобно при математическом моделировании (при расчете погрешностей на ЭВМ).
Импульсная характеристика. Связь измеряемой величины и выходного сигнала
°жет быть представлена в форме
{t — %)x(%)dx. C)
иым слагаемое Zj (t) определяет переходный процесс, обусловленный началь-
толь ^СЛовиями в момент времени t = 0, а интеграл свертки г2 (t) определяется
"ой 'т?у3аконом изменения измеряемой величины При этом способе описания пол-
•Чл является импульсная характеристика h {t), которая имеет смысл реакции
4»
100 линейные и нелинейные преобразования сигналов
на единичный импульс (б-функцию); для стационарной системы она зависит от раз,
ности аргументов. Импульсную характеристику удобно использовать для описания
реакции СИ на короткие импульсы.
Переходная характеристика связана с импульсной характеристикой соотношением
t
Переходная характеристика считается самостоятельной ДХ, она представляет
собой реакцию на единичное скачкообразное воздействие (единичную функцию)
Передаточная функция. Связь между измеряемой величиной и выходным сигна
лом СИ при нулевых начальных условиях может быть представлена в операторной
форме
)) E)
где г (р) и X (р) — преобразования по Лапласу выходного сигнала и измеряемо?!
величины, Н (р) — передаточная функция, определяемая как преобразование Лап
ласа от импульсной характеристики:
Я(р) = 1[А(т)е-Р*Л. F)
о
При замене р и /со получается комплексная частотная характеристика И (/со),
Для системы с сосредоточенными параметрами частотная характеристика представ
ляет собой дробно-рациональную функцию
где р (/со) и Q (/со) — те же полиномы, что и в дифференциальном уравнении A),
а г (/со) и X (/со) — преобразования Фурье сигналов:
00
; X(/со) = j х (t) е~Мdt, x(t), z(/) = 0, при t <0.
(/со) = j
Амплитудно-частотная А (со) и фазово-частотная ср (со) характеристики непосред
ственно выражаются через комплексную частотную характеристику следующим
образом:
А (со) = \Н (/со) | = K[Re H (/соI2 + [Im H (/со)]2;
Im Н (/со) „
ср (со) = arg Н (/со) = arctg
Re H (/со)'
АЧХ и ФЧХ определяют установившийся режим при синусоидальном законе изме
нения измеряемой величины, когда
(9/
(Ю)
~ = А((о); ip2-^ = cp(co). A1)
АЧХ и ФЧХ чаще всего используют при представлении экспериментальны^
данных.
Совокупность АЧХ и ФЧХ наиболее наглядно отображает динамические свой
ства СИ. Обычно АЧХ строят в логарифмической сетке [1] [по оси ординат в дени-
белах (дБ)], а ФЧХ — в полулогарифмической сетке (по оси ординат масштаб на
туральный). При этом удобно описывать динамические свойства в широких 0s'.
пазонах. Если характерные частотные параметры (корни и полюса передаточной
функции) значительно различаются по абсолютной величине, то АЧХ графически
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ПРИ ДЕТЕРМИНИР. ВХОДН. СИГНАЛАХ
101
приближенно представляется в виде ломаной линии, прячем прямолинейные участки
имеют наклоны, коэффициенты которых кратны 20 дБ/дек. В местах сопряжений
участков различных наклонов могут быть плавные переходы или пики. Резонанс-
Резонансные пики могут быть вблизи частот, при которых происходит изменение коэффи-
коэффициента наклона на 40 дБ/дек (см. рис. 1). При выполнении определенных условий
(в частности, при условии минимальной фазы [5]). ФЧХ однозначно определяется
поведением АЧХ, а именно участкам постоянного наклона АЧХ соответствует по-
постоянное значение фазы, изменению наклона на 20 дБ/дек — изменение фазы па я/2.
Частотные характеристики динамических погрешностей СИ. При выборе СИ
по заданным ограничениям на динамические погрешности целесообразно строить
ДХ не для выходного сигнала, а для динамической погрешности е (t). Комплексная
частотная характеристика и соответствующая АЧХ для динамической погрешности
могут быть определены несколькими
способами. Для СИ, имеющих частот-
частотные характеристики как у фильтра
нижних частот, существуют два спо-
способа ее определения (рис. 2).
iS
SO
го
о
-я/г
-п
10
ЮО
Щ0).
Рис. 1. Амплитудно- и фазово-частотная характеристики линейной системы
Рис. 2. График для определения динамической погрешности СИ, имеющего
АЧХ типа фильтра нижних частот
1. Погрешность определяется как разность выходного сигнала СИ и приве-
приведенной к выходу измеряемой величины в один и тот же момент времени. В этом
случае е (t) = г (t) — Н @) х (/) и
Щ (/«) =
= Я(/со)-Я@).
A2)
Если считать Н @) = 1, то при малых значениях погрешности может быть
использовано приближенное представление Н1е (/со) исходя из разложения #' (/со)
в ряд при сохранении слагаемых первого порядка малости:
Щ (/со) *« ]ч>Тъ
Н (/со)
A3)
Выражение A3) определяет скоростную составляющую динамической погреш-
погрешности, величина 7\ представляет собой эквивалентное время запаздывания, она же
^пределяет продолжительность переходных процессов. В области низких частот
(при соТ1! <^ 1) АЧХ для динамической погрешности представляет собой прямую
с наклоном 20 дБ/дек независимо от сложности вида его действительной передаточ-
н°й функции (см. рис. 2).
2. Необходимо определить только амплитудную погрешность. В этом случае
а» (со)
1-Я @).
(И)
102 ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
В области низких частот
А
П5)
что представляется прямой с наклоном 40 дБ/дек.
При использовании npocieftumx аппроксимаций вида A3) и A5) можно избе-
избежать детального исследования конкретных передаточных функций СИ. Так, если
свойства СИ характеризуются передаточной функцией второго порядка
то
[ Н1» (/ш) J «= 2tjco; /i;si (<в) «» | т| —2т| | со3. A7)
Когда измеряемая величина изменяется по синусоидальному ^закону, A7) непо
средственно определяют относительные амплитуды погрешностей.
Примечание Динамические свойства многомерных линейных стационарных систем
с п входами и m выходами могут быть описаны с помощью m дифференциальных уравнении
или совокупности тхя импульсных характеристик (матричная импульсная характеристика),
или совокупности тХл передаточных функций (матричная передаточная функция) [22, 23J
Замечания о линейных нестационарных системах. Для описания преобразований
сигналов, осуществляемых нестационарными системами, используют те же приемы,
что и для стационарных систем. Отметим три класса нестационарных систем, кото-
которые представляют наибольший интерес для решения практических задач.
1. Системы с периодическими параметрами Их исследование опирается на хо-
хорошо разработанный математический аппарат теории дифференциальных уравнении
с периодическими коэффициентами [9] (см также т. 1, гл. VII). Специфическим
видом периодически нестационарного преобразования является дискретизация
по времени с постоянным шагом; свойства этого преобразования кратко рассмо-
рассмотрены в разделе 5.
2. Системы с параметрами, которые колеблются с высокой частотой в доста-
достаточно узких пределах относительно средних значений. Хотя в таких условиях могут
возникать новые качественные эффекты, часто достаточно считать параметры по-
постоянными, равными их средним значениям [5]
3. Системы с медленно изменяющимися параметрами. Если скорость изменения
параметров мала по сравнению со скоростью затухания переходных процессов,
используют приближенный метод «замороженных» коэффициентов Решение нахо-
находят как для постоянных значений параметров, а затем в полученных решениях
эти параметры считают функциями времени [15]. Переход к моделям стационарных
систем обычно возможен, если параметры изменяются достаточно медленно, т. е.
если малы изменения параметров на интервалах времени порядка длительности
переходных процессов.
3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ
Связь между входными и выходными сигналами. Если входные и выходные
си1 налы рассматриваются как случайные процессы, то основной задачей теории
является установление соотношений между результатами осреднения этих сигна-
сигналов, результатов их преобразования или значений параметров. При этом осредне-
осреднение можег осуществляться по любому множеству: конечному или бесконечному,
дискретному или непрерывному. Для обозначения операции осреднения используют
символ М, который в частном случае может иметь смысл вероятностного осреднения
(математического ожидания).
Для осредненных значений выходных и входных сигналов линейных систем
соотношения связи имеют такой же вид, как и для детерминированных процессов.
Основной характеристикой разброса относительно среднею является дисперсия.
Дисперсия аг выходного сигнала г (f) линейной системы является постоянной, если
выполняю1ся следующие три условия; входной процесс х (t) стационарный, система
асимптотически устойчива, время воздействия достаточно велико по сравнению
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ
103
с длительностью переходных процессов. При выполнении этих условий свойства
системы удобно задавать комплексной частотной характеристикой Я (/со), а свойства
входного процесса — спектральной плотностью Sx (со). Выражение для спектраль-
спектральной плотности выходного процесса имеет вид
дисперсия выходного процесса определяется выражением
С» = 5- \ | Н (/СО) ,* Sx (СО) ЛО.
A9)
Соотношение [18] имеет простой физический смысл: мощности составляющих
с различными частотами суммируются, как для полигармонического процесса.
Для дробно-рациональных подынтегральных выражений Sz (со) в ряде книг (напри-
(например, [12]) приведены выражения интеграла A9) через коэффициенты полиномов чис-
числителя и знаменателя (см. также т. 2, гл. XVII и XVIII).
Sx(oj)
Рис. 3. Амплитудные спектры входного улншолосного случайного процесса и выходного
процесса в СИ с равномерной АЧХ
Рис. 4. Амплитудные спектры входного широкополосного случайного процесса и выход-
выходного процесса в СИ с частотно-избирательной АЧХ
Рекомендации для измерений и анализа результатов. Сначала рассмотрим два
частных случая.
1. Входной процесс х (t) узкополосный, так что спектральная плотность Sx (со)
имеет пик, а АЧХ системы — плавная (рис. 3). В этом случае кривая спеюралыюй
плотности Ss (со) имеет почти тот же вид, что и Sx (со), т. е. основные частоты выход-
выходного и входного процессов одинаковы
2. Входной процесс х (t) широкополосный, а система обладает ярко вырнжен-
ными резонансными свойствами (рис. 4). В этом случае спектральная плотность вы-
выходного процесса имеет пик почти на резонансной частоте системы.
В общем случае в спектральной плотности выходного процесса одновременно
проявляются как основные частоты входного процесса, так и резонансные частоты
системы. С учетом этих простейших соображений можно грубо оценивать основные
свойства параметров объектов, что необходимо для формулировки требований к сред-
средствам измерения и передачи измерительной информации, а также к воспроизведению
процессов Так, если заранее известно, что воздействия на объект узкополосные,
т° именно на эти частоты следует ориентироваться при измерениях. Когда объект
непобладает резонансными свойствами, необходимо оценить частоту со *, с кото-
Р°и начинает быстро спадать его АЧХ. Эту частоту можно рассматривать как оценку
(возможно завышенную) для верхней границы диапазона частот измеряемого про-
процесса Если свойства объекта характеризуются набором резонансных частот, то верх-
*и границей диапазона может быть частота Q, начиная с которой резонансные
вления практически не проявляются.
пп ^бь™ количественный анализ поведения спектральных плотностей удобно
Р°воднгь в логарифмической сетке. При дробно-рациональной аппроксимации
104 ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
спектральная плотность, как и квадро АЧХ, предаавлястся приближенно асимп-
асимптотической ломаной, коэффициенты наклона по участкам которой кратны 40 дБ/дек,
То обстоятельство, что входные процессы или их свойства известны лишь при.
ближенно, может быть учтено путем явного задания пределов их возможных изме-
изменений. По этим данным могут быть оценены пределы изменений выходных процес-
сов, их характеристик- и параметров. Для достижения простоты описания
изменчивости свойств выходных процессов обычно используют линеаризацию
зависимостей относительно параметров, а также хорошо разработанный аппарат
теории чувствительности [18].
4. ОСНОВНЫЕ ЭФФЕКТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СИГНАЛОВ
В одних случаях нелинейность является отрицательным свойством системы
как результат естественной нелинейности характеристик ее элементов, в других —
она специально вводится для получения новых полезных качественных эффектов.
Основные нелинейные эффекты, представляющие особый интерес для задач
измерения и воспроизведения вибрационных процессов, могут быть условно раз-
разделены на несколько групп.
1. Появление постоянной составляющей в выходном сигнале при отсутствии
ее во входном. Эффект проявляется в смещении среднего положения тел при коле-
колебаниях на нелинейных упругих элементах или из-за несимметричности ограничений
при колебаниях. При измерениях эффект используют для нахождения среднего
абсолютного, среднеквадратичного значений и среднего квадрата сигнала.
2. Транспонирование и деформация спектров или спектральных плотностей
Влияние нелинейностей обычно приводит к обогащению спектра и расширению
диапазона частот процесса. Так, при ударах в системе, обусловленных ограниче-
ограничением хода масс, спектр становится близким к равномерному в широком диапазоне.
Модуляция, представляющая собой нестационарное и нелинейное преобразо-
преобразование, транспонирует спектр, кодируя сигнал. Демодуляция, восстанавливая сиг-
сигнал, также транспонирует спектр. Вопросы трансформации спектров при модуля-
модуляции и демодуляции подробно изучены как для детерминированных [5], так и для
вероятностных [9] моделей процессов.
3. Изменение свойств системы по отношению к воздействию, которое считается
основным, из-за влияния других воздействий. Так, дополнительные колебательные
воздействия могут приводить к линеаризации и сглаживанию характеристик, суще-
существенно нелинейных вблизи нуля [9].
4. Изменение частотных характеристик в зависимости от уровня воздейст-
воздействий [4, 9]. Задачи этого типа являются классическими для нелинейной механики,
5. Изменение продолжительности (обычно увеличение) переходных процес-
процессов при увеличении уровня воздействий. Такое явление характерно для замкнутых
систем (в частности, средств измерения компенсационного типа).
6. Изменение локальных характеристик, в частности увеличение экстремаль-
экстремальных значений производных. Например, такие эффекты характерны для механических
систем с ограничением перемещений, когда возникают удары, сопровождающиеся
короткими и большими импульсами ускорений.
7. Потеря устойчивости положения равновесия, которая может привести к по-
появлению авюколебаний. Автоколебания могут возникать в механических, электро-
электромеханических системах и замкнутых электрических контурах.
8. Появление динамической взаимосвязи движений подсистем, в линеаризован-
линеаризованном приближении полностью независимых. В ряде задач динамики твердых тел
динамическая связь между углами поворота вокруг различных осей проявляется
только в нелинейном приближении.
При выборе методов применительно к задачам измерения и воспроизведения
слеЛует иметь в виду, что часто нелинейности неточно заданы: они могут быть неста-
нестабильными, достоверно известен лишь их качественный характер. Поэтому часто
допустимо использовать такие аппроксимации нелинейных характеристик и методы
расчета, которые дают возможность получать результаты в более простой форме [13].
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ 105
5. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ
При измерении, передаче и преобразовании сигналов часто осуществляется
их перевод из непрерывной в дискретную форму. В результате равномерной дискре-
дискретизации по времени с постоянным шагом Т непрерывного процесса х (t) получается
последовательность значений .. х (iT) = х [г], х ((» + 1) Т) = х [i + 1]... Пере-
Переведение непрерывных сигналов в дискретные представляет собой обязательный
этап, если последующие преобразования осуществляются на ЭВМ. Хорошо разра-
разработана теория линейных преобразований дискретных сигналов (см., например
[19, 21-23]).
После переведения сигналов в дискретную форму и проведения необходимых
преобразований может оказаться необходимым получение непрерывного сигнала
путеч интерполяции или экстраполяции на время шага. Если даже эта операция
фактически не осуществляется, важно знать, какая информация теряется при ди-
дискретизации и с какой точностью можно восстановить непрерывный сигнал по ди-
дискретным значениям. Наглядное представление об изменениях свойств сигналов
-Ш. О Ш in.
Рис. 5. Спектральная плотность дискретизованного низкочастотного процесса
Рис. в. Спектральная плотность широкополосного процесса исходного (сплошные линии)
и дискретизованного (штриховые)
после дискретизации и последующего восстановления получается для модели ста-
стационарного случайного сигнала. Если Sx (со) — спектральная плотность непрерыв-
непрерывного сигнала х (f), то для дискретизованного сигнала, представленного в виде «ре-
«решетчатой функции»:
х* (Q = 2 * W « (* - Я1) = 2 * [«'] в С -iT), B0)
I i
спектральная плотность S* (со) является периодической и определяется выраже-
выражением [20]
+f (-2-fi). B1)
Два типичных случая изображены на рис. 5 и 6. Когда процесс является низ-
низкочастотным, кривые, соответствующие слагаемым выражения B1), практически
не перекрываются (рис. 5), поэтому в диапазоне (— сох, + со,) основных частот
непрерывного процесса выполняется условие Sx (со) « Sx (со), т. е. информация
0 непрерывном процессе при дискретизации практически не искажается.
Для широкополосного процесса вследствие наложения кривых совершенно
изменяется вид спектральной плотности (рис. 6), дискретная последовательность
приобретает свойства белого шума, и непрерывный сигнал практически невозможно
восстановить. Если принять, что спектр сигнала ограничен частотой со*, то пере-
перекрытие отсутствует при ю*Т < п. Отсюда делают практические выводы по выбору
Шага дискретизации. Условие на шаг интервала дискретизации часто связывают
с тсоремой Котельникова [8], в силу которой при со*Г= я можно точно восстано-
ВИть непрерывный сигнал по последовательности его дискретных значений. Однако
то возможно только при строгой ограниченности спектра, при вполне определен-
определенном способе восстановления (с помощью ряда Котельникова) по бесконечной после-
последовательности дискретных значений.
106
линейные и нелинейные преобразования сигналов
Любой реальный способ интерполяции или экстраполяции (особенно при нест-
нестрого ограниченном спектре сигнала) всегда сопровождается ошибками. Обычно
используемые способы интерполяции обладают таким свойством, что в моменты
(_' if полученные дискретные значения воспроизводятся точно, а график модуля
ошибки \е (t) I имеет вид пилообразной функции. При экстраполяции на шаг впе-
вперед максимальные значения ошибок достигаются непосредственно перед получе-
нием очередного значения (при t = iT — е), а при интерполяции — как правило,
на серединах интервалов Гпри t = U + у) Т . Характеристиками точности интер-
интерполяции или экстраполяции могут быть: максимум максиморум Mmaxmax модуля
ошибки, дисперсия а/, полученная осреднением
по всему времени, дисперсия о|тах значений
максимумов на каждом шаге.
Рассмотрим простейший вариант интер-
интерполяции: запоминание постоянного значения
. На рис. 7
. 1 \т /. , 1
— -S- Г, U + —
\ L
17
на интервале
изображен непрерывный процесс х (t), результат
его кусочно-постоянной интерполяции и ошиб-
ошибка е (t) интерполяции. Ошибки интерполяции
приближенно оценивают по значениям первой
производной х (t) процесса:
1
B2)
Рис. 7. Графики кусочно-постоян-
кусочно-постоянной интерполяции и ошибки ин-
интерполяции непрерывного процесса
О\, _,,,„ = -7-<
где aij — дисперсия процесса Jc (t). При линейной интерполяции ошибки пропор-
пропорциональны значениям второй производной Я (t). Те же характеристики точности
определяются выражениями
1
п- = — п~Т1
е max 64 ^ '
B3)
Оценки B2) и B3) применимы как для детерминированных, так и для вероят-
вероятностных моделей процессов.
Если шаг Т дискретизации по времени задан, а процесс широкополосный, то
перед дискретизацией целесообразно сглаживать сигнал. При этом устраняются
высокочастотные составляющие, которые не могут быть воспроизведены и играют
роль помехи; тем самым повышается точность воспроизведения низкочастотных
составляющих. Предымпульсная фильтрация (сглаживание сигналов перед дискре-
дискретизацией) является эффективным средством повышения точности.
При преобразовании сигналов в цифровую форму происходит их квантование
по уровню. Ошибка квантования представляет собой пилообразную функцию, е за-
зависимости от способа квантования максимальная ошибка равна h или 1г, а диспер-
дисперсия ошибки квантования равна у5/г2. гДе h — высота ступени квантования. По вре-
временным свойствам ошибки квантования представляют собой широкополосные шумы.
Список литературы
1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования
М.! Наука, 1972. 767 с.
2. Браславский Д. А., Петров В. В. Точность измерительных устройств М' Маши-
Машиностроение, 1976. 432 с.
3. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 892 с.
ИЗМЕРЕНИЯ И ИЗМЕРЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 107
А Бутенин И. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных ко-
колебаний. М.: Наука, 1976. 378 с.
5 Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Советское радио, 1971.
а71 С
6. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1963. 771 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инжене-
инженеров. М-: Наука, 1974. 831 с.
8. Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Госэнергоиз-
дат, 1956- 15' с-
9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Т. I M • Совет-
Советское радио, 1969. 748 с.
10. Наумов Б. Н. Теория нелинейных автоматических систем. М : Наука, 1972. 544 с.
11. Ньютон Дж., Гулд Л. Д., Кайзер Дж. Ф. Теория линейных следящих систем М:
физматгиз, 1961. 407 с.
12. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Наука, 1973. 883 с.
13. Розенберг В. Я. Введение в теорию точности измерительных систем. М ; Совет-
Советское радио, 1Р75. 304 с.
14. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М.: Машинострое-
Машиностроение, 1976 215 с.
15. Случайные колебания /Под ред. С. Кренделла; Пер. с англ. Под ред. А. А. Пер-
возванского. М.- Мир, 1967. 256 с.
16. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах.
M.J Изд. иностр. лит., 1953. 357 с.
17. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966. 678 с.
18. Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М.: Советское ра-
дио, 1972. 239 с.
19. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического регулирования. М.: Ма-
Машиностроение, 1964. 703 с.
20. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз. 1962. 236 с.
21 Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977. 560 с.
22. Чинаев П. И. Методы анализа и синтеза многомерных автоматических систем, Киев:
Темшка, 1969. 380 с.
23. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления / Пер.
с англ. М.: Наука, 1970. 620 с.
Глава VI
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИЗМЕРЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Измерения и методы измерений. В настоящее время измерение определяют
как нахождение значения физической величины опытным путем с помощью спе-
специальных технических средств [6]. Измерение дает возможность количественного
представления величин и независимо от измеряемой величины, метода и средства
измерений сводится к сравнению опытным путем размера некоторой величины с раз-
размером подобной ей величины, принятой за единицу.
В основе всякого измерения лежит измерительное преобразование, при кото-
котором между размерами двух величин устанавливается взаимно-однозначное соот-
соответствие. Измерительное преобразование, как правило, осуществляют техниче-
техническими устройствами, называемыми преобразователями. Преобразуемую величину
называют входной, а преобразованную (результат преобразования) — выходной
величиной. Как правило, измерения проводят с помощью ряда преобразователей.
Первая из входных величин является воспринимаемой. Измеряемой называют физи-
физическую величину, подлежащую или подвергаемую измерению. В общем случае
не всякая воспринимаемая величина является измеряемой. Часто измеряемая вели-
величина только функционально связана с воспринимаемой и извлекается из последней
с помощью специального преобразования. Это имеет место, например, при измере-
измерении частоты или периода гармонической величины, спектральной плотности слу-
случайного процесса и т. д. В ряде случаев эти величины совпадают, например, когда
измеряемыми параметрами являются мгновенные значения воспринимаемой вели-
Измерительный преобразователь может иметь несколько входных величин.
1ак, если результатом измерительного преобразования является, например, чгно-
яенная механическая мощность, то воспринимаемыми величинами являются одно-
одновременно сила и скорость. При описании работы преобразователя входные и выход-
@8 СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
ные величины, абстрагируясь от их физической природы, называют сигналами.
Сигналы характеризуют информативными и неинформативными параметрами,
которые соответственно функционально связаны и не связаны с измеряемой вели-
чиной. Информативный параметр сигнала называют также сигналом измеритель-
измерительной информации. Ниже, если не оговорено, то под входными и выходными величи-
величинами и сигналами будем понимать сигналы измерительной информации. Наряду
с измеряемой величиной рассматривают также влияющие физические величины,^ кото-
которые не подлежат измерению, но оказывают влияние на результаты измерений дан-
данным средством измерений.
При исследовании вибраций механических систем приходится измерять как
механические, так и немеханические величины. Механические величины можно
подразделить на первичные, которые чаще всего являются процессами или их харак-
характеристиками, и вторичные, чаще всего являющиеся характеристиками механических
систем (см. раздел 1 гл I и гл. II). В качестве примера немеханических величин
отметим частоту, период, сдвиг фазы гармонического или узкополосного случайного
процесса.
Важной характеристикой измерений является метод измерении — совокуп-
совокупность приемов использования принципов и средств измерений [6]. Однако в назва-
названиях методов часто указывают только главные отличительные особенности метода,
например принцип действия (токовихревой, электродинамический, оптический),
либо используемые средства измерения (электрические, неэлектрические), либо
приемы использования (контактные и бесконтактные, прямого преобразования,
уравновешивани я).
Метод прямого преобразования основан на том, что все преобразования сигна-
сигналов производят только в направлении от входа к выходу измерительного устройства.
Метод измерений, при котором используется обратное преобразование выходной
величины в величину, однородную с входной преобразуемой величиной, и их взаим-
взаимное уравновешивание с той или иной степенью точности, называют методом урав-
уравновешивания [37].
Бесконтактными в метрологии называют все методы измерений, в которых
воспринимающий элемент измерительного устройства не приводится в непосредст-
непосредственный механический контакт с объектом, характеризуемым измеряемой величи
ной. К ним относят оптические, акустические, вихретоковый, емкостный, индуктив-
индуктивный методы измерения. Эти методы следует отличать от методов измерения с бес-
бесконтактной передачей измерительной информации внутри измерительного канала
(бесконтактный съем электрического сигнала, передача сигнала с помощью радио-
радиоволн и т. д.).
Большинств.о методов измерения механических величин независимо от прин-
принципов действия являются электрическими, исключение составляют простейшие
оптические и механические методы. Электрическими называют методы измерений,
при которых используют электрические технические средства. Последние обла-
обладают такими преимуществами, как простота измерения и большой диапазон воз-
возможных значений чувствительности; большое быстродействие, малые габариты;
возможность реализации сложных математических преобразований при измерениях;
создания автоматических и автоматизированных информационно-измерительных
систем, измерения на больших расстояниях и т. д.
Классификация измерений. По характеру зависимости измеряемой величины
(или функционально связанной с ней величины) от времени измерения разделяют
на статические и динамические. Измерения физических величин, размеры кото-
которых без потери точности измерений можно принять не зависящими от времени,
называют статическими. Измерения, связанные с нахождением изменений физи-
физических величин во времени или некоторых мгновенных значений изменяющихся фи-
физических величин, называют динамическими. Статическими являются, например,
измерения постоянной силы, динамическими — измерения мгновенных значений
параметров вибрации, пульсирующего давления.
По способу получения измеряемой величины (результата измерения) измере-
измерения разделяют на прямые, косвенные, совокупные и совместные (см. раздел 1 гл. I)-
Примерами косвенных измерений являются измерения мощности, модуля и фазы
импеданса через сигналы скорости и силы. Примером совокупных измерений явля-
ИЗМЕРЕНИЯ И ИЗМЕРЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 109
еТся одновременное измерение компонентов линейного ускорения полюса и углового
ускорения твердого тела путем решения в реальном времени системы уравнений,
заданных сигналами прямолинейных акселерометров, установленных в различных
тОчках твердого тела (см. гл. VII).
По условиям, определяющим точность результата, различают: 1) измерения
максимально возможной точности (эталонные и специальные измерения высокой
точности); 2) контрольно-поверочные измерения (измерения, выполняемые специаль-
специальными лабораториями, при которых погрешность не должна превышать заданного
значения); 3) технические измерения, в которых погрешность результата измерения
определяется характеристиками средств измерений.
Различают абсолютные и относительные измерения. Измерения, основанные
на прямых измерениях одной или нескольких основных величин и (или) использо-
использовании значений физических констант, называют абсолютными. Примером является
измерение амплитуды о0 гармонического ускорения через измеренные амплитуду d0
перемещения и период Т колебания (а0 = 4n2d0/T^). Относительными называют
измерения отношения величины к одноименной величине, играющей роль единицы,
или изменения величины по отношению к одноименной величине, принимаемой за
исходную. Примерами таких измерений являются: 1) измерение амплитудно-частот-
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) преобразователя в логарифмическом масштабе по отно-
отношению к значению АЧХ на некоторой частоте; 2) измерение отклонения АЧХ от ее
значения на некоторой частоте или от заданной АЧХ.
К характеристикам измерений относят принцип, метод, процедуру, погреш-
погрешность, точность, правильность, сходимость и воспроизводимость измерений [6].
Определения этих понятий и пояснения к ним даны в разделе 1 гл. I и в разделе 1
гл XII. Остановимся только на понятиях погрешности и связанной с ней точности
измерений.
Погрешностью измерений называют разность между результатом измерения дсизм
и истинным значением х измеряемой величины:
ах — хты х. \1)
Эта величина есть абсолютная погрешность измерений. Лучшей оценкой ка-
качества измерений является относительная погрешность измерений, определяемая
по формуле
6 = —. B)
х ч '
Относительную погрешность часто выражают в процентах. Если измеряемая
величина является функцией времени, и особенно знакопеременной, ю абсолютную
погрешность измерения часто, а относительную всегда оценивают через некоторые
принятые (представляющие) параметры переменной величины. В качестве таких
параметров берут некоторый функционал (среднеквадратичное значение, среднее
по модулю значение и г. п.), так что представляющий параметр не обращается в нуль,
если переменная величина не равна тождественно нулю. Если х (t) есть перемен-
переменная величина, а X — принятый для оценки ее размера параметр, то указанные
Грешное™ равны:
А V V V. {Ъ\
ЛЛ5=Лизм — *W \ /
6 = ^. D)
Точность измерений есть характеристика их качества, отражающая близость
Результата измерения к истинному значению измеряемой величины Количественно
°чность измерений е выражают через модуль относительной погрешности:
8 = | 6 ("I. E)
^ ОДробнее о погрешностях измерений см. гл. XII, а о погрешностях преобразо-
1елеи — гл. VII и IX).
ПО СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
2. СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Классификация средств измерений. Средством измерения называют техниче.
ское устройство, используемое при измерениях и имеющее нормированные м.епщ.
логические свойства. Средства измерения включают меры, измерительные преобра.
зователи, измерительные приборы и вспомогательные средства. Меры предназна-
предназначены для воспроизведения физической величины заданного размера. Измеритель.
ным преобразователем называют средство измерения, предназначенное для аыра.
ботки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальней-
шего преобразования, обработки и (или) хранения.
Измерительным прибором называют средство измерения, в котором иш{ор.
нация об измеряемой величине вырабатывается в форме, удобной для восприящя
человеком. В настоящее время большинство приборов одновременно являются и
измерительными преобразователями, поскольку имеют выходы для передачи сигнала
измерительной информации другим средствам измерения. Измерительные преобра-
преобразователи и приборы часто называют измерительными устройствами. Различают
согласующие, вычислительные, частотно-формирующие, частотно-преобразующие,
фазокорректирующие измерительные преобразователи. Конкретные виды измери-
измерительных преобразователей часто имеют специальные названия: датчик, усилитель,
сумматор, интегратор, фильтр и т. д. В обобщенном смысле все измерительные уст-
устройства являются измерительными преобразователями.
Преобразователи условно можно разделить на три класса: пропорциональные,
функциональные и операционные [38]. Первые предназначены для подобного вос-
воспроизведения входного сигнала в выходном сигнале; вторые — для вычисления
некоторой функции от входного сигнала, например у (t) = хг (t); третьи — для
получения выходного сигнала, являющегося решением некоторого дифференциаль-
дифференциального уравнения. В идеальном случае первые и вторые преобразователи являются
безынерционными, а третьи — инерционными, в последних значение выходного
сигнала в некоторый момент времени зависит не только от значения входного сиг-
сигнала в тот же момент времени, но и от его значений в предшествующие моменты
времени.
По характеру входных и выходных сигналов как функций времени преобразо-
преобразователи можно разделить на непрерывные (аналоговые), непрерывно-дискретные,
дискретно-непрерывные и дискретные. Сигнал относят к непрерывному, если у него
область значений и область определения (время) являются непрерывными множе-
множествами. У дискретного сигнала хотя бы одно из этих множеств является дискрет-
дискретным. (Ниже при демонстрации ряда положений используются непрерывные преобра-
преобразователи).
Средства измерений, не осуществляющие непосредственного преобразования
сигналов или осуществляющие их тождественное преобразование, называют вспо-
вспомогательными (источники питания, коммутаторы, соединительные кабели и т. д.).
При описании средств измерений (СИ) используют также следующую их клас-
классификацию:
1) по назначению — СИ, предназначенные специально для измерения пара-
параметров механических колебаний (виброметры, акселерометры, динамометры, изме-
измерители вибрационной мощности и т. п.); СИ общего назначения (вольтметры, уси-
усилители, фазометры, частотомеры и т. п.);
2) по рабочему диапазону частот (СИ инфразвукового, звукового и ультразву-
ультразвукового диапазонов частот);
3) по рабочему диапазону измерений (СИ сигналов большого, среднего и малого
уровней);
4) по условиям, определяющим точность результата измерения (СИ макси-
максимально возможной точности; контрольно-поверочные; технические);
5) по характеру применения (СИ лабораторные, для промышленных предприя-
предприятий, для специальных условий эксплуатации, переносные, стационарные);
6) по взаимному расположению воспринимающей и остальной части измери-
измерительного канала (СИ локального и дистанционного действия);
7) по механической связи СИ с объектом измерения (контактные и бесконтакт-
бесконтактные СИ).
СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 111
Средства измерения параметров механических колебаний классифицируют:
1) по принципу преобразования механических колебаний в Электрические
/генераторные, параметрические и с промежуточным преобразованием в колебания
другого физического характера);
2) по используемому в измерениях физическому явлению (механические, опти-
оптические, акустические, электродинамические, пьезоэлектрические и т. п.);
3) по чиглу компонентов измеряемых'"векторных величин (одно-, двух- и трех-
юмпонентные).
Средства измерения параметров вибрации гел добавочно подразделяют:
1) по отношению к инерциальной системе отсчета (СИ параметров абсолютной
и относительной вибрации);
2) по связи используемой в измерениях системы отсчета с движущимся телом
[средства измерения ССО (в собственной системе отсчета) и НСО (в назначенной
системе отсчета)];
3) по используемому принципу измерения (СИ кинематического и динамиче-
динамического принципа измерения);
4) по виду измеряемых кинематических величин (СИ параметров линейной и
угловой вибрации, см. также [16]).
Структура измерительных устройств. Всякое измерительное устройство состоит
из последовательного ряда измерительных преобразователей, образующих канал
передачи информации (измерительный канал). При описании действия измеритель-
измерительного устройства его представляют измерительной цепью — упорядоченной сово-
совокупностью преобразовательных элементов, обеспечивающей осуществление всех
преобразований сигнала измерительной информации. При этом под преобразова-
преобразовательным элементом понимают элемент средства измерения, в котором происходит
преобразование величин.
Характеристики средств измерений. Различают метрологические и эксплуата-
эксплуатационные характеристики СИ. Первые определяют результаты и погрешности изме-
измерений, вторые — условия применения СИ. К метрологическим характеристикам СИ
относят функцию преобразования; характеристики систематической, случайной
и суммарной погрешности; вариацию выходного сигнала; входной и выходной им-
педансы; динамические характеристики; неинформативные параметры выходного
сигнала; функции влияния (см раздел 3 гл. XII); наибольшие допустимые изменения
метрологических характеристик, вызванные изменениями внешних влияющих
величин и неинформативных параметров входного сигнала. К метрологическим ха-
характеристикам следует отнести также порог чувствительности и разрешающую
способность средства измерений.
Порог чувствительности СИ есть значение измеряемой (преобразуемой) вели-
величины, для которой относительная погрешность измерений составляет 100 %. Раз-
Разрешающая способность есть число градаций измеряемой (преобразуемой) вели-
величины, различимое на выходе средства измерений (см. [37], стр. 33). Ниже в этом па-
параграфе рассмотрены функция преобразования, динамические характеристики и
связанные с ними динамические погрешности, приведены классификация погреш-
погрешностей и эксплуатационные характеристики средств измерений.
Функция преобразования и ее характеристики. Всякий измерительный преоб-
Разоваггль и преобразовательный элемент (ниже обобщенно называемые преобразо-
преобразователями) характеризуют функцией преобразования — функциональной зависи-
зависимостью принятого параметра выходной величины от принятого параметра входной
величины, задаваемой аналитическим выражением или графиком [37, 38]. Если
* @ и у (/) есть входной и выходной сигналы соответственно, а X и Y — принятые
параметры для выражения их размера (нормы), то функция преобразования есть
Y=,f(X)^Y{X). F)
Если преобразователь имеет несколько входных хх (t), хг (/), ..., хт (/) и не-
к°лько выходных r/j (t), у2 (t) yn (t) сигналов, то для него задают семейство
РУнкций преобразования:
Yki = f{xi> */,;./--= const), (k=\, 2. ..., ft; /=,1, 2, .... m).
112
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
Функцию преобразования называют также градуированной характеристикой
Чаще стремятся иметь линейную функцию преобразования, при которой изменения
величин X и Y пропорциональны (рис. 1). Для преобразователей с одним входом
и одним выходом нелинейность функции преобразования (рис. 2) указывает на нели
нейность преобразователя. Отношение величины Y (X) — Y @) к соответствую,
щей ей величине X называют коэффициентом преобразования:
rs- J
X
Другой важной характеристикой функции преобразования является чувстви-
чувствительность преобразователя, характеризующая крутизну преобразования для кащ.
дого значения входной величины X. Чувствительность s определяют как отношение
УМ*
Уфу
У^О
0 X,
Рис. 1. Линейная функция преобразования
Рис* 2. Нелинейная функция преобразования
изменения ДК принятого параметра выходного сигнала преобразователя к вызвав-
вызвавшему его изменению АХ принятого параметра входного сигнала со значениями
параметров и их приращений в установленных пределах [16]:
s(X) = -r— яв lim 1г-~. (8)
ДА лх^олл
Для линейной функции преобразования коэффициент преобразования равен
чувствительности. При малой нелинейности функции преобразования ее линеари-
линеаризуют в соответствии с принимаемым критерием близости и характеризуют преобра-
преобразователь средней чувствительностью.
Динамические характеристики измерительных устройств и преобразовательных
элементов отражают их динамические свойства, проявляющиеся при воздействии
на рассматриваемую систему изменяющегося во времени сигнала. Для преобразо-
преобразователей, которые можно рассматривать как линейные стационарные системы непре-
непрерывного действия с сосредоточенными параметрами, основными динамическими
характеристиками являются дифференциальное уравнение, импульсная и переход-
переходная характеристики, передаточная функция, амплитудно-частотная и фазочастот-
ная характеристики [16, 37, 38]. (Подробнее о динамических характеристиках см.
гл. V). Аналогичные динамические характеристики используют для описания ди-
дискретных линейных систем. Указанные динамические характеристики взаимосвя-
взаимосвязаны, и при аналитическом задании одной из них все остальные могут быть найдены.
Знание полных динамических характеристик позволяет по заданному входному
сигналу х (t) находить выходной сигнал у (t), что важно для исследования реак-
реакции преобразователя, расчета преобразователей, используемых при сглаживании,
фильтрации, коррекции сигналов и т. п., а также для определения их динамических
погрешностей. Из уравнений A) и E) гл. V следует, что связь между выходные
и входным сигналами линейного преобразователя при нулевых начальных условиях
может быть представлена в виде
СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
113
где У
(р), х (р) — изображения сигналов по Лапласу; s (р) — передаточная функ-
„я или операторная чувствительность. Величина s0 = Ь0/а0 определяет стати-
,ескУю чувствительность преобразователя, т. е. чувствительность к постоянному
''ходНОму сигналу. У некоторых преобразователей статическая чувствительность
в уТСтвует F0 = 0)- К ним относятся пьезоэлектрические и электродинамические
затчики, усилители переменного тока, полосовые фильтры и фильтры высоких ча-
тот и ДР- Преобразователи, у которых а0 = 0, являются интегрирующими: при по-
постоянном входном сигнале их выходной сигнал нарастает пропорционально вре-
меНи. Заменив в выражении операторной чувствительности р на /со, получают ком-
комплексную чувствительность s (jco):
s Ца) =
_ "т
Ьт (/со)"»+ *«-!
+. •. + h
ап (/со)"
= s(ff>)e-"P'M),
A0)
которая удобна как при теоретическом, так и экспериментальном исследовании
преобразователя, так как определяет амплитудно-частотную (АЧХ) s (со) и фа-
зочастотную (ФЧХ) ер (ш) характеристики чувствительности [16, 17, 37, 38]:
s («) = | s (jco) | == V"[Re s (jco)P+ [Im s (/ш)р;
Iras
(H)
A2)
(см. также раздел 2 гл. V).
Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики s (а) идеальных преобразователей:
а — пропорционального; б — дифференцирующего; в — интегрирующего <<р (<й) — вноси-
вносимый фазовый сдвиг преобразователя)
У пропорциональных преобразователей у (f) = sx (t), s (со) = s = const, cp (со) =
= 0. Если под пропорциональностью сигналов понимать их подобие с точностью
До сдвига во времени на величину Т, т, е. зависимость
y(t)=sx(t-T), Г5=0, A3)
то соответствующий преобразователь имеет следующие операторную и комплекс-
комплексную чувствительности:
У(Р) съ—РТ c^i „TO. 1 п2Т2
s (/си) = se~ iaT — s (cos coT — / sin соГ);
A4)
A5)
s(co) = s; ф(со) = — соГ. A6)
Такой преобразователь имеет постоянную амплитудно-частотную харакгери-
°" и пропорциональный частоте фазовый сдвиг. Многие инерционные преобра-
'ли в области низких частот имеют такие характеристики. На рис. 3 показаны
на рис. 4 — переходные характеристики пропорционального, дифференци-
дифференцирующего и интегрирующего идеальных преобразователей. В табл. 1 представлены
^которые динамические характеристики типовых преобразователей, на рис. 5 —
рр
ТрМы пассивных электрических цепей, имеющих приведенные динамические харак-
з РИс™ки Знание переходных и импульсных характеристик особенно важно, если
Дачей измерений является регистрация процесса во времени. Для ориентировоч-
114
СРЕДСТВА И MFTOUbl ИЗМЕРП1ИП
""о
3
п.
1
о
~-
1
|
СО,
1
X
1
"Г
02.
"¦-.
|т
СМ
1
э
1
Si
%
I
с?.
У
|
он
|
СО.
S.
&
3
Н
м
з
s ° о и
„ Ш О Ч
ся ?¦< t_ -г
НИ
н Я fc I- SS
л я о о ч
СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И Их ХАРАКТЕРИСТИКИ
115
я.
3
1
о
3
1
со.
1
1
I-
i
>
3
17
к
+
7
-
i
+
г
J
1
I
.—.
1
Si
+
02.
X
l
1
CO.
V
1
ca
Ith
a.
I I
+
2 S о а
116
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
о.
С:
X
i
XI
1
1
CO.
1
I
CO.
1
t_
I
3
X
I
Si
I
_ 3
iff
иш
СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
117
х оценок возможностей преобразовагеля можно воспользоваться кривыми его
" а типовые воздейсия [16 38] Б б
х оц рр ожно воспользоваться кривыми его
"»якиии на типовые воздействия [16, 38]. Более подробно эти вопросы освещены
f руководствах^по теории колебаний [3, 16—18, 26, 32], см. также раздел 5 1Л. VI
"еового тома. Экспериментально определяют чаще частотные и переходные харак-
характеристики преобразователей первые — в режиме вынужденных колебаний при воз-
б\ЖДенИИ их от внешнег0 источника гармонического сигнала меняющейся частоты,
Ht-t0)
i(t-tt)
v_
а) 8) в)
Рис. 4. Переходные характеристики g (/ — /0) идеальных преобразователей:
а _ пропорционального; б — дифференцирующего; в — интегрирующего; A (t — /„) _ еди'
ничная функция, отвечающая моменту времени @)
вторые — путем регистрации переходного процесса при возбуждении его ступен-
ступенчатым воздействием. Переходные процессы удобно снимать для операционных пре-
преобразователей невысокого порядка. Для операционных преобразователей высокого
порядка, имеющих несколько собственных частот, удобнее снимать частотные ха-
характеристики. Динамические свойства преобразователей подробнее описаны в ра-
работах [30, 35, 63].
Pllc 5. Схемы пассивных электрических цепей, имеющих приведенные в табл. 1 динамиче-
динамические характеристики:
а — фильтр нижних частот первого порядка; б — фильтр верхних частот первого порядка,
' ~ фильтр нижних частот второго порядка, г — полосовой фильтр второго порядка; а —
фильтр верхних частот второго порядка
Динамические погрешности. Выходной сигнал у (/) реального преобразова-
преобразовали отличается от идеального сигнала ут (I) при одном и том же входном сигнале
* W на величину
Рая является абсолютной динамической погрешностью [сравните с уравне-
_-"| A)]. Динамическая погрешность зависит как от вида входного сигнала (его
"ектров и размера), так и от динамических характеристик реального преобразова-
еля. Из уравнения A7) находят операторную динамическую погрешность
48 СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
которую для непрерывных линейных стационарных преобразователей можно пред_
ставить в виде
где у (р), (/ид (р)> * (Р). АУ (Р) — изображения по Лапласу соответствующих срг
налов; s (p), sM (р) — операторные чувствительности реального и идеального пре
образователей. Зная х (р), s (p) и sm (p), можно находить Д{/ (р) и исследовать г0
грешность как в частотной, так и во временной области. Из уравнения A9) < 1едуС1
что
Д(/ (/со) = [s (/со) — sm (/со)] х (/со), BЬ
где х (/со,) Д(/ (/со) — комплексные спектры сигналов; s (/со), srfs (/со) — комплекс
ные чувствительности (комплексные частотные характеристики) преобразовлтелей
Для характеристики качества преобразователя в части воспроизведения ВЬ1
ходной величины используют различные оценки относительной динамической по,
грешности. Во временной области используют оценки
1
B2)
где \\у (t)\\ — норма (оценка размера) величины у (t); при этом норма может быгь
средней по модулю:
среднеквадрати чной i
максимальной:
или более общего вида:
\\V(t)}r= I/ -^r \ \y(t)\rw{t)dt, B3)
= 1
п ~*<
/ Т
П Г
'Л
0
J
т
т
У1
dt
at
*
т
где ад @ 5= 0 — весовая функция, J w (t) dt = 1. Погрешность 6t характериз}^
неточность воспроизведения мгновенных значений, т. е. учитывает инерционные
свойства преобразователя; погрешность 62 учитывает в большей степени несовпаде-
несовпадение формы и масштаба сравниваемых функций. Для удобства сравнения преобразо-
преобразователей в качестве выходного сигнала у (t) берут реакцию на типовое воздействие,
например переходную функцию g (().
В частотной области используют оценки
5(/ЮI B4)
j^t^Mw/^
КОРРЕКЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ \ 1 >
Эти оценки удобны для гармонических сигналов: б3 (со) характеризует отно-
относительную амплитуду сигнала ошибки (абсолютной погрешности), 64 (со) — отно-
относительную погрешность в амплитуде выходного сигнала. Возможны усредненные
оценки по некоторому диапазону частот, вычисляемые через нормы модулей вели-
величин в формулах B4) и B5) (О погрешностях ё3 и 64 для преобразователей типа
фильтра нижних частот см. раздел 2 гл. V). Фазовые погрешности преобразователя
обычно оценивают в абсолютной величине фазового сдвига Дф (со):
Дф (со) = ср (со) — фид (со), B6)
где ф (ш)> Фид (и) — ФЧХ реального и идеального преобразователей. В зависи-
зависимости от конкретного назначения преобразователя выбирают наиболее подходящие
критерии качества преобразования. Кроме указанных выше погрешностей к таким
критериям относят время переходного процесса при воздействии испытательного
сигнала, величину первого выброса колебательного процесса, искажения фронтов
импульса и т. д. [38].
Классификация погрешностей средств измерений. Погрешности средств измере-
измерений подразделяют на абсолютные и относительные, статические и динамические,
систематические и случайные, основные и дополнительные, аддитивные и мульти
пликативные [6, 28, 37] (подробнее дано в гл. XII).
Эксплуатационные характеристики средств измерений. Предел измерений (пре-
(преобразования) — наибольшее или наименьшее значение диапазона измерений (пре-
(преобразования). Полный диапазон измерений (преобразования) — интервал значений
измеряемой (преобразуемой) величины от порога чувствительности до верхнего
предела измерений (преобразования), задаваемого, как правило, из условий допу-
допустимых нелинейных искажений, прочности и т. п. Рабочий диапазон измерений
(преобразования) — часть полного диапазона, в которой относительная погрешность
не превосходит заданной величины. Рабочий диапазон частот — интервал частот
входных гармонических сигналов, в котором нормированы допустимые погреш-
погрешности Нормальное значение (нормальная область значений) влияющей величины —
устанавливаемое предпочтительное значение (область значений) влияющей вели-
величины, при котором (которых) определяют основную погрешность СИ. Рабочая область
значений влияющей величины — область значений последней, в пределах которой
нормируется дополнительная погрешность СИ.
3. КОРРЕКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Целью коррекции является улучшение динамических характеристик преобра-
преобразователей и средств измерений в целом для уменьшения динамических погрешно-
погрешностей и нелинейных искажений, расширения диапазона измерений и рабочего диа-
диапазона частот. Динамические характеристики исходных измерительных устройств
Улучшают с помощью корректирующих устройств.
Рассмотрим вопросы коррекции характеристик линейных аналоговых стацио-
стационарных преобразователей. Пусть исходный преобразователь имеет операторную чув-
чувствительность s (р). Исходя из желаемых характеристик преобразователя необхо-
необходимо найти выражение операторной чувствительности sK (p) преобразователя после
Коррекции и осуществить ее. В общем случае для исправления динамических харак-
характеристик требуется последовательно решить задачи аппроксимации и реализации ди-
динамических характеристик [21, 30]. Для аппроксимации заданной динамической
характеристики | (г) преобразователя динамической характеристикой Ск (г, D),
ГДе г — вещественный аргумент (частота, квадрат частоты, время и т. п.) из интер-
интервала значений Е, D — вектор варьируемых вещественных параметров (значения
Параметров элементов устройства, коэффициенты передаточной функции, ее нули
и полюсы и т. п.), необходимо отыскать такую функцию Cw (z, D), чтобы обеспечива-
обеспечивалась требуемая близость характеристик в принятой метрике функционального про-
пространства (по принятой норме):
|| ?(z)-CK (г, DHs?p0, ге?. B7)
120
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
Функции Ск (г, D) берут из классов физически возможных функции^ отвеЧа
ющих физически возможным системам. При наличии добавочных требовании мо*Но
сузить класс возможных функций (Зв до класса G. Если решение существует и оНо
не единственно, то возможен поиск предпочтительного решения с оценкой цень1
решения с помощью функции цели (критерия оптимальности) F (D). В этом еду
чае коррекция сводится к решению задачи оптимального синтеза [21, 301:
B8)
;(г)-Ск(г,
Ск (г, D) e G, ге Е;
F(D) = min (max).
В качестве функции цели выбирают стабильность характеристики,^ число эле
ментов в корректирующем устройстве, стоимость корректирующего устройства и т д
По выбранной характеристике Ск (г, D) находят отвечающую ей операторную ч;,а.
ствительность sK (р), которую будет иметь результирующий преобразователь после
Х(Р)
sip)
Щр)
х(Р)
МР)
МР)
ч
Н(Р)
. Sk(P)
а)
ГЦ
У „IP)
г)
S(P)
ос •'const
•)
Рис. 6. Структурные схемы коррекции преобразователей:
s (р) — операторная чувствительность исходного преобразователя; Я (р) — передаточная
функция корректирующего звена, S — сумматор; х (р); у^ (р) — изображения входного и
выходного сигналов корректированного преобразователя
коррекции. На этапе реализации, используя известные операторные чувствитель-
чувствительности s (р) и sK (p), по принятой структурной схеме коррекции находят передаточ-
передаточные функции Н (р) используемых корректирующих устройств. Если операторная
чувствительность sK (p) известна, то коррекция сводится к реализации, например,
в тех случаях, когда задачей коррекции является получение динамических харак-
характеристик, подобных характеристикам исходного преобразователя, но с меньшими
постоянными времени [38]. На этапе реализации по функции Н (р) выбирают струк-
структуру корректирующего устройства и вычисляют значения параметров его элемен-
элементов.
Методы коррекции динамических характеристик. Корректировать приходится
механические, механоэлектрические, электрические и электромеханические преоб-
преобразователи. Корректирующие устройства мснут быть такого же типа. Коррекцию
осуществляют как правило электрическими методами. Различают активную и пассив-
пассивную коррекцию. Активная коррекция характеризуется использованием устройств,
для работы которых кроме энергии сигнала необходима энергия сторонних источ-
источников. Можно предложить много структурных схем коррекции динамических харак-
характеристик. Наибольший интерес представляют схемы минимальной сложности.
На рис. 6, а—е показаны различные структурные схемы коррекции преобра^0'
вателей, включающие исходной преобразователь с операторной чувствительностью
s(p), корректирующее устройство с передаточной функцией Н (р) и сумматор ?¦
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
121
з эгих схемах используется последовательная, параллельная и параллельно-по
сЛедозательная коррекция с прямой и обратной (положительной и отрицательной)
,,вязьЮ' Показанный на схемах масштабный коэффициент а реализуется в сумма-
сумматоре- В электрических преобразователях может быть использована любая схема.
Для коррекции динамических характеристик датчиков используют схемы, по-
назанные на рис. 6, а—в. Метод коррекции по схеме, приведенной на рис. 6, а, на-
называют коррекцией на основе умножения частотных характеристик, а по схеме, по-
показанной на рис. 6, б,^—-коррекцией на основе моделирования погрешности [13].
rjo схеме, приведенной на рис. 6, а, часто осуществляют пассивную коррекцию;
для этой схемы коррекции на рис. 7, а показана электрическая схема корректиру-
корректирующего устройства, используемого для расширения частотного диапазона датчиков
рис. 7. Электрические цепи
коррекции частотных харак-
характеристик датчиков инер-
инерционного действия:
а — в режиме виброметра,
б — в режиме акселерометра
С1
инерционного действия в режиме виброметра, а на рис. 7,6 — для датчиков инер-
инерционного действия в режиме акселерометра. При соответствующем выборе пара-
параметров этих схем [13] расширяется частотный диапазон без повышения порядка
дифференциального уравнения, описывающего систему. Для коррекции частотных
характеристик упомянутых датчиков используют также лестничные RC-тпи [37].
Схему, показанную на рис. 6, б, являющуюся разновидностью схемы, приведенной
на рис. 6, а, используют, как правило, для активной коррекции, имеющей большие
возможности [37]. Методы синтеза корректирующих цепей на основе заданных тре-
требований описаны в работах [9, 13, 37]. Схему, показанную на рис. 6, в, используют
в компенсационных датчиках, в которых применяют электромеханическую обрат-
обратную связь для уравновешивания преобразуемой величины с помощью обратного
преобразователя: при такой коррекции расширяются рабочий диапазон частот и
Диапазон измерений, существенно уменьшаются нелинейные искажения преобра-
преобразователя [2, 10, 12, 37].
Для настройки наиболее удобны схемы активной коррекции, в которых воз-
возможна регулировка по каждой из производных выходного сигнала исходного пре-
преобразователя. При коррекции электромеханических преобразователей используют,
Как правило, схему (рис. 6, а), в которой корректирующий преобразователь по-
помещают перед электромеханическим [38].
4. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ
И АБСОЛЮТНОЙ ВИБРАЦИИ
Относительная и абсолютная вибрация. Вибрацию, параметры которой измеряют
относительно подвижной системы отсчета, называют относительной [33]. Так, вибра-
:|'я колеблющихся деталей друг относительно друга является относительной. Виб-
?аЦию, параметры которой измеряют относительно системы отсчета, принимаемой
Т()и или иной степенью точности за инерциальную, называют абсолютной (см.
Р здед 4 гл. I). Для большинства технических измерений за инерциальную систему
Чета можно принять систему отсчета, неподвижную относительно Земли. При
тактических измерениях в качестве такой системы отсчета иногда могут быть взяты
122 СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
фундамент здания, фундамент машины, защищенные от вибрации массивные тела
Иногда, имея в виду вышеизложенное, говорят об измерении параметров вибрацИ(,
в относительных и абсолютных координатах, хотя это не очень строго, так как речь
может идти не только о перемещениях.
Собственная и назначенная системы отсчета. Собственная система отсчета (ССОу
жестко связана с самим движущимся телом. Назначенная система отсчета (НСО)
с самим движущимся телом не связана. В общем случае ССО является^подвижпой „
неинерциалыюй. НСО может быть как подвижной, так и «неподвижной» инерциздь.
ной, т. е. в НСО можно измерять параметры как относительной, так и абсолютной
вибрации. В последнем случае часто используют инерционно-упругую систему и За-
резонансном режиме работы для имитации инерционным телом инерциальнои си-
системы отсчета (рис. 8). В ССО, как правило, измеряют параметры абсолютной вибра.
ции с помощью приборов инерционного действия сейсмического типа. Многомер.
ную абсолютную вибрацию тел можно измерять с помощью совокупности датчиков
как в ССО, так и в НСО, однако в последнем случае перемещения объекта измерения
должны быть малыми (см. также разделы 1, 9 и 10 гл. VII).
Недостатком устройств, измеряющих параметры абсолютной вибрации в НСО,
является меньшая универсальность по сравнению с устройствами инерционного
действия сейсмического типа, измеряющими параметры вибрации в ССО и устанав-
устанавливаемыми на объект измерения. Действительно, первые устройства необходимо
связывать не с одним, а с двумя объектами, причем оба узла крепления должны быть
строго определенно ориентированы в пространстве. Однако не всегда удается заранее
спроектировать измерительное устройство так, чтобы оно удовлетворяло этим требо-
требованиям для разных условий применения; по этой причине подобные устройства по-
получили меньшее распространение.
Инерциальные измерительные устройства. Измерительные устройства, работа
которых основана на использовании законов инерции, называют инерциальными.
Разновидностью этих устройств являются устройства инерционного действия (ИД),
кратко называемые инерционными, в основе работы которых лежит использование
сил инерции; эти устройства используют для измерения параметров абсолютной виб-
вибрации. Устройства ИД, в свою очередь, можно подразделить на устройства ИД
с удерживающими и неудерживающими связями (см. том 1, гл II, раздел 1).
Устройства ИД с удерживающими связями представляют собой инерционно-
упругие системы, движение которых происходит под действием сил инерции (под-
(подробнее см. гл VII). Вместо упругих могут использоваться квазиупругие восстанав-
восстанавливающие силы. Как известно, связи описывают с помощью равенств и неравенств
относительно координат и скоростей точек системы. Условия удерживающих связей
выражаются в виде равенств.
Рассматриваемые устройства ИД применяют для измерения параметров абсо-
абсолютной вибрации в НСО и ССО. В первом случае используют зарезонансный режим
работы инерционно-упругой системы (рис. 8), которая является только частью изме-
измерительного устройства и предназначена для задания «инерциальнои» системы отсчета;
остальная часть измерительного устройства имеет кинематический принцип действия
и крепится к инерционному элементу, удерживаемому «неподвижным» в пространстве
с помощью сил инерции. Средняя скорость основания измерительной системы отно-
относительно объекта измерения обычно равна нулю.
При измерении в ССО применяют как дорезонансный, так и зарезонанспый
режимы работы системы, а силы инерции используются непосредственно для H3ve-
рения лараметров вибрации. С их помощью измерение абсолютной вибрации иссле-
исследуемого объекта сводится к измерению вынужденной относительной вибрации объ
екта и упруго связанного с ним инерционного элемента (рис. 9). Эти устройства
имеют динамический принцип действия, поскольку в основе измерений лежит реше-
решение уравнений динамики измерительной механической системы [30]. В измеритель-
измерительных устройс1вах обоих видов силы инерции F создаются с помощью инерционного
элемента массы т:
F = — ma, B9)
где а — абсолютное ускорение объекга, к которому прикреплена измерительная
система. Уравнение связи задает расстояние / от центра масс С инерционного элемента
МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
123
«ест<з крепления измерительной системы:
/(/) = /(, + * @; C°)
с
/ расстояние, отвечающее состоянию покоя; х (t) — относительное переме-
перемещение инерционного элемента; с — коэффициент жесткости упругого элемента.
й в устройствах ИД динамического принципа действия в качестве инерцион-
0 элемента можно использовать твердые тела, жидкости, газы, элементарные
Истицы- При использовании в качестве инерционного элемента твердого тела в уст-
ойствах применяют дорезонансный (режим акселерометра) и зарезонансный (режим
виброметра) режимы работы. В первом режиме деформация пружины пропорцио-
,альна силе инерции, которая в свою очередь пропорциональна абсолютному уско-
ускорению объекта; во втором режиме деформация пружины равна абсолютному переме-
перемещению объекта измерения.
•//////////////у//*'/////'
ссо
Рис. 8. Схема измерения параметров абсолютной вибрации в назначенной инерциальнои
системе отсчета:
/ - оскование измерительной системы; 2 — пружина; 3 — инерционный элемент, имити-
имитирующий в зарезонансном режиме работы измерительной системы инерциальную систему
отсчета; 4 — объект измерения; 5 — датчик; С — центр масс инерционного элемента
Рис. 9. Схема измерения параметров абсолютной вибрации в собственной системе отсчета:
' — объект измерения; 2 — пружина; 3 — инерционный элемент (С — центр масс инер-
инерционного элемента)
Рис. 10. Датчик инерционного действия с жидкостным наполнением:
— корпус датчика; 2 — упругий элемент; 3 — твердый инерционный элемент; 4 — жид-
жидкость
Существует еще один способ построения устройств ИД с твердым инерционным
элементом [11]. На рис. 10 изображена схема сейсмической системы, отличающейся
°т общепринятой тем, что инерционный элемент 3 имеет малую среднюю плотность
Ро— mo/vo (где т0 — масса тела 3; Vo — его объем), а внутренний объем датчика
аполнен жидкостью, имеющей высокую плотность: рж > р0. Принцип действия
>«ройства нагляднее можно показать при его работе в дорезонансной области ча-
i .При движении датчика с ускорением а жидкость воздействует на тело 3 с си-
j"fw= ржаУ0, что следует из закона Архимеда. Эта сила в рж/р0 раз больше той
/|( ы инерции та, которая сжимала бы пружину сейсмической системы в отсутствие
стви СТИ' Таким образом, при малой величине от0 удается получить высокую чув-
ЧеИтельность, что иногда может дать значительный положительный эффект, напри-
«ебг,8 гех слУчаях, когда желательно добиться высокой чувствительное^ при общей
'ак*1ЬШой Массе Датчика. В послерезонансной области частот (режим виброметра)
пР°Ис* и изза оздейстия большой ускоря
Д р (р рр)
пР°Ис*-одиг увеличение чувствительности из-за воздействия большой ускоря
силы ржа|/0 на малую массу р0К0 [10].
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ
Рассмотренный вариант сейсмической системы можег быть использован дЛя
мерения виброперемещений, превышающих предельное перемещение инерциоц,,J
элемента относительно корпуса датчика. Датчик линейного виброперемещения До°
жен иметь уменьшенную чувствительность, поэтому плотность жидкости выбир-J
близкой к плотности твердого инерционного элемента:
При этом уменьшается чувствительность в 6 раз за счет уменьшения деформащ,
упругого элемента [10].
В ряде устройств ИД используется вращение инерционного элемента для осу
щесгаления принципа действия (например, круговой маятник) или увеличен»,
инерционности.
При измерении ускорений можно использовать инерционные свойства жидко
стей. Полезным эффектом может быть возникновение давления в жидкости, нахо.
дящейся в замкнутом сосуде. Так, если сооб-
сообщить ускоренное движение некоторому жес,.
кому сосуду, наполненному несжимаемой
жидкостью (см. рис. 10), то на расстоянии |
от передней по направлению движения сген-
ки возникает давление- р = рж1а. Как видно
из этого простого соотношения, измеряя дав
ление в сосуде, можно однозначно судить «'
ускорении его движения.
Давление можно измерить, использ1,'
изменения физико-химических свойств я щ
кости, происходящие в ней под влияню'
давления, либо перемещения жидкости в
результате давления. Конструктивные щи
осуществления этого способа могут быть
различными.
По аналогии с жидкостью в качестве
источника сил инерции можно использовав
газообразную среду Информацией об уско-
ускорении может быть пространственный гра-
градиент давления газа внутри закрытого со
суда при ускоренном движении последнего. чОднако ввиду малости градиента дав
ления при ускорениях, представляющих практический интерес, этот путь неприго
ден для виброметрии. Можно также использовать инерционные свойства электронов
протонов и других элементарных частиц. В качестве примера укажем на исполь
зование инерционности электронов, например, в акселерометре со сверхпровод^
щим резонансным контуром [11].
Устройства ИД с неудерживающими связями. Измерительные устройства этого
вида представляют собой систему, содержащую два соприкасающихся тверда
тела — инерционный элемент и корпус измерительного устройства (рис. 11 и 121
Связь этих тел является неудерживающй, она описывается неравенством / (t) ^ k
т. е. контакт тел нарушается, если расстояние / (t) от центра масс С инерционного
элемента до основания корпуса измерительного устройства превысит величину к\
Сила инерции используется для измерения максимальных мгновенных значении
линейного ускорения. Устройства этого вида обычно называют максимальными №
склерометрами. В одних максимальных акселерометрах используют нарушение без
отрывного следования инерционного элемента за корпусом, связанным с объектов
измерения (см. рис. 11). Сила Fo в состоянии прижать инерционный элемент, если
измеряемое ускорение меньше значения а0 = FJm (m — масса инерционного эле-
элемента). При большем ускорении между инерционным элементом и корпусом ДОТ'
чика возникает зазор, появление которого и регистрируют. Значение а0 можно и3'
менять, если имеется возможность изменять силу F,,, например, с помощью прижи»1'
ной пружины с переменным натягом или электромагнитных устройств. .„
Возможен и другой путь построения максимального акселерометра. На рис. ^
инерционный элемент 2 в виде бойка соприкасается с пластично деформируемой Де'
Рис. 11. Максимальный акселерометр
с прижатым инерционным элементом:
/ — корпус акселерометра; 2 — инер-
инерционный элемент; 3 — пружина
Рис. 12. Крешерный акселерометр:
/ — корпус акселерометра; 2 — инер-
инерционный элемент; 3 — пластично де-
деформируемый элемент
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ 125
талью 3. При действии ускорения в показанном на рис. 12 направлении на детали
? остается вмятина, площадь которой пропорциональна максимальному значению
ускорения атах. Это так называемый крсшерный акселерометр разового дейс1вия.
5. ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
Оптические и акустические (см. раздел 6) методы измерения параметров абсо
чютной и относительной вибрации являются бесконтактными волновыми, поскольку
основаны на использовании явлений отражения, преломления, дифракции и интер-
интерференции волн.
фотомодуляционные методы (ФММ). Действие измерительных преобразоватс
лей, реализующих фотомодуляционные методы, основано на пространственной моду
дяции светового пучка или модуляции его интенсивности колеблющейся по
"верхностью, что может происходить за счет отражения, перекрытия или пересече
ния, вращения плоскости поляризации и т. п. Данные методы не критичны к источ
нику излучения, однако на практике чаще используют оптические квантовые генера
торы (ОКГ), или лазеры.
Метод пространственной модуляции светового пучка (иногда его называют зер-
зеркальным [16]) основан на последующем преобразовании пространственного смеще-
смещения пучка, линейного или углового, позиционно-чувствительным элементом (фото-
(фотопреобразователем). Работу позиционно-чувствительного фотопреобразователя запи
шем в общем виде [20]
Л(б) = В[ФF)],
где А (8) — выходной сигнал; В — некоторый оператор, описывающий способ выде
ления выходного сигнала; б — пространственное смещение светового пучка; Ф (б) —
поток излучения, воспринимаемый преобразователем. Основные параметры преоб-
преобразователя: крутизна позиционной характеристики
и минимально обнаружимое смещение бтш, которое находят из соотношения
Л(8ш1п) = Мш.
где Ат — среднеквадратичное значение шумов преобразователя; k^ — допусти-
допустимое отношение сигнал/шум.
В зависимости от типа позиционно-чувствительного преобразователя выходной
сигнал может быть величиной непрерывной (например, в случае использования фото-
фотопотенциометра) и дискретной (например, в случае применения диссектора со специ-
специальной формой мишени или диафрагмы).
Другим распространенным методом является модуляция светового пучка неко-
некоторой структурой, имеющей функцию пропускания с четко выраженной периодич-
периодичностью (например, растр или дифракционная решетка). Дискретность характери-
характеристики преобразования этого метода очевидна, причем входная величина (вибропере-
(виброперемещение) квантуется по уровню. Сопряжением параллельных растров получают ком-
комбинационные (муаровые или нониусные) полосы. В этом случае малому перемещению
''ОДвижного растра соответствует значительное перемещение комбинационных по-
полос. Разновидностью подобных преобразователей являются кодовые маски, позво-
позволяющие передавать информацию о линейном или угловом перемещении в параллель-
параллельном «-разрядном цифровом коде, что дает возможность непосредственно сопрягать
такие преобразователи с каналами цифровой обработки и регистрации.
Использование ФММ для измерения силы и ускорения основано на различных
Ффектах, например пьезооптическом, использующем поляризационный способ
^Дуляции интенсивности. Заметим, что оптический по принципу действия, этот
Зрительный преобразователь относится к типу контактных.
Возможности методов оптической регистрации вибрационных процессов, осно-
^Ы на скоРостной кинофотосъемке объекта и использовании стробоскопического
при визуальной регистрации, исчерпываются в основном получением каче-
126
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
ственной информации о вибропроцессе; примеры получения количественных оценок
даны в работе [16].
Интерференционно-оптические методы (ИОМ), применяемые в виброметру
основаны на использовании информации, содержащейся в фазе световой волцц
отраженной от поверхности исследуемого объекта. Следовательно, получение инфор!
мации о параметрах движения объекта связано с процессом демодуляции фазо-м0.
дулированного (ФМ) сигнала оптического диапазона, что осуществляется (исключая
способ преобразования ФМ оптического сигнала в пространственное смещение с по-
помощью дисперсионного элемента) только посредством интерференции. Так как dyln
есть частота (в данном случае — следствие линейного эффекта Допплера [35]), эти
методы можно рассматривать как интерференционно-допплеровские. Учитывая, что
реальные приемники оптического диапазона (в том числе и глаз) являются квадратич-
квадратичными детекторами, необходимо осуществлять следующую последовательность пре-
образований сигнала в измерительном канале такого типа: фазовая модуляция
(эффект Допплера) — фазовая демодуляция (интерференция) — квадратичное де.
тектирование (фоторегистрация).
Рис. 13. Интерферометр скорости:
' — ОКГ; 2, 8, 9 ¦— зеркала; 3, 4 — светоделительные призмы; 5 — щелевая диафрагма;
6 — фотодетектор; 7 — поверхность объекта
По виду получаемой информации методы оптической интерферометрии делят
на локальные (дающие информацию о параметрах вибрации отдельных точек поверх-
поверхности исследуемого объекта) и интегральные (дающие информацию о распределении
параметров вибрации по поверхности объекта), соответственно на интерференционно-
допплеровские и интерференционно-голографические.
Интерференционно-допплеровские методы. В зависимости от кинематического
параметра, к которому чувствительна данная оптическая схема интерференционно-
допплеровского измерительного преобразователя, различают интерферометры пере-
перемещения и интерферометры скорости [44, 45]. В первом случае сигнал на выходе ин-
интерферометра пропорционален виброперемещению, а о виброскорости судят по ско-
скорости изменения этого сигнала; во втором случае сигнал пропорционален вибро-
виброскорости, а производная сигнала по времени — виброускорению.
Схема включения интерферометра скорости в измерительный канал показана
на рис. 13. Интерферометр (обведен штрихпунктирной линией) состоит из светодели-
тельных призм 3 и 4 и зеркал 8 и 9, т. е. это асимметричный (плечо 3—8—9—4 больше
плеча 3—4) интерферометр Маха—Цендера. Излучение ОКГ 1 направляется зерка-
зеркалом 2 на поверхность колеблющегося объекта 7 и, промодулированное по частоте
допплер-эффекгом, попадает в интерферометр, где делится призмой 3 на два пучка,
проходящие из-за асимметрии плеч разный путь. Разность оптических путей А'
эквивалентна некоторой временной задержке т = АЦс (с — скорость света), кото-
которая неодинакова для различных частот излучения. Следовательно, соединяемые
призмой 4 пучки создадут интерференционную картину, перемещающуюся в резуль-
результате изменения частоты излучения ш0 в ту или другую сторону в зависимости от
знака изменения. Щелевая диафрагма 5 ограничивает поле зрения фотопреобразова-
фотопреобразователя 6 участком, меньшим по сравнению с расстоянием между интерференционными
полосами, что позволяет получить на выходе 6 фототок /ф, пропорциональный вибро-
виброскорости объекта р;
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
127
длина волны излучения
Майкель-
где /фо - амплитуда фоююка; ф0 - начальная ф<па; к „
п[(Г /• Аналогичным образом могут быть использованы интерферометры
она, Фабри—Перо и т. д.
В интерферометрах перемещения чувствительность к виброперемещению обес-
ечивается различными схемами.
' 1. За счет изменения симметрии плеч, т. е. изменения разности хода (наиболее
распространенный вариант). На рис. 14 этот режим показан для той же интерферен-
интерференционной схемы Маха—Цендера.
Здесь одно плечо 2—3—7 обрачо-
„aHo светоделителями 2 и 7 и угол-
уголковой призмой 3, закрепленной на
исследуемом объекте 4, и называет-
называется измерительным, другое плечо
\_j] — опорным (или «референт-
«референтным»). Перемещение объекта 4 на
некоторую величину х вызовет из-
изменение асимметрии плеч интерфе-
интерферометра на величину 2х и создаст
разность фаз интерферирующих
пучков:
C2)
1
|_
I6
7
ч
/
г
7
Г
4
У
— HIF--
[]
Рис. 14. Интерферометр перемещения с измене
нием разности хода:
I — ОКГ; 2, 7 — светоделители;
4 — объект; 5 — фотодстектор;
диафрагма
3 — призма
6 — щелева у
где X —длина волны излучения
ОКГ L Следовательно, фотодетек-
гор 5 зарегистрирует в соответст-
соответствии с C2) определенное число экстремумов интерференционной картины, одно-
однозначно определяющее значение перемещения. Частота следования экстремумов /д
(допплеровская) связана со скоростью виброперемещения vx соотношением
/д V / / X' W /
2. С помощью схемы, показанной на рис. 15. Такие интерферометры применяют
преимущественно в анемометрии, но они незаменимы при исследовании вибропере-
виброперемещений микрообъектов типа нитей, волокон, а также микрообъектов с ясно выра-
Рис. 15. Интерферометр перемещения с измерительным объемом:
— ОКГ; 2 — светоделитель; 3 — линза; 4 — объект; 5 — фотодетектор; 6 — зеркало
диффузно-рассенвающими поверхностями [43]. Здесь луч ОКГ / делится
"рнзмой 2, и оба сфокусированных линзой 3 пучка пересекаются, создавая стацио-
стационарную пространственную интерференционную картину с расстоянием между поло-
полосами L = К/2 sin а/2, где К — длина волны излучения ОКГ 1;<х — угол между пуч-
Ками (см. рис. 15).
В область пересечения пучков введем нить 4, колеблющуюся (как показано
стРелками) в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка. При пересечении
*Итью экстремумов интерференционной картины возникает переменный световой
"От<Ж, регистрируемый детектором 5, и на его выходе появляются импульсы фото-
°Ка, число которых пропорционально виброперемещению, а частота следования —
ибр0СКОрости 05ъекта 4. Это интерференционный аналог растрового преобразова-
преобразования.
128
СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
О
Рис. 16. Характеристики пре-
преобразования интерферометров:
/ — гомодин; 2 — гетеродин
Нечувствительность к изменению направления виброперемещения в ду
из рассмотренных схем особенно наглядна. В случаях, когда сдвиг фазы волны при
отражении больше я/2, эта нечувствительность xapaKiepua и для ранее рассмотри,
ных схем, т. е. все они — гомодинные интерферометры, или интерферометры (рис. щ
с нулевой поднесущей.
При измерении параметров гармонических колебаний можно воспользоваться
выражением C3), переписав его в следующем виде:
/д = B/Х) vx = Dя<утД) cos Bnfmt),
где d0 и fm — амплитуда и частота гармонического колебания. Если амплитуда кс
лебания достаточно велика (d0 2з 5Я), то отсутствие информации о знаке вибропсде
мещения можно компенсировать специальными приемами счета импульсов (за опрс.
деленные интервалы времени [29]), дающими необ-
необходимую информацию о вибропроцессе.
Область значений амплитуд виброперемещения
в которой сдвиг фазы световой волны при отражс
нии от поверхности колеблющегося объекта
я =g Аф =g 5я, характерна тем, что методы прямого
гомодинного детектирования (работа на «скате
интерференционной полосы), дающие информацию
о знаке виброперемещения, уже неприменим!.
а счетно-импульсная обработка еще неприменима
из-за малого числа импульсов.
Работоспособность гомодинных интерферочет
ров в этой области обеспечивают использованием
методов спектрального анализа частотно-модулиро
ванного сигнала [19]. Впервые эго практически
осуществлено визуальной регистрацией моментов
исчезновения интерференционных полос. В этом случае глаз работает не только
как фотодетектор, но из-за большой инерционности и как узкополосный фильтр
При совпадении индексов модуляции со значениями корней функции Бесселя пер
вого ряда нулевого порядка функция обращается в нуль, что визуально восприни-
воспринимается как исчезновение интерференционных полос.
Однозначная связь индексов модуляции с длиной волны излучения и амплнт\
дой колебания позволяет легко и точно определять эти амплитуды по таблицам зна-
значений корней функций Бесселя. Применение фотоэлектрических преобразователен
позволило использовать функцию Бесселя первого порядка при подключении к вы
ходу фотопреобразователя узкополосного фильтра с центральной частотой, настрои-
ной на частоту колебания объекта. Применение методов спектрального анализ
[42] оказалось настолько плодотворным, что они стали метрологической основой ка
либровки и аттестации вибродатчиков [46].
При исследовании негармонических вибропроцессов информация о знаке виб-
виброперемещения становится необходимой. В этом случае следует использовать схемь'
знакочувствительных гомодинов (иногда их называют квадратурными интерферо
метрами [39]) или схемы гетеродинных интерферометров. В схеме квадратурного
интерферометра использованы оба оптических выхода (второй выход показан на
рис. 14 штриховыми линиями), сигналы в которых различными способами сдвищты
на я/2. Изменение направления виброперемещения проявляется в относительном
отставании или опережении чередования экстремумов интерференционной кар-
картины на выходах. При такой информации можно применять технику реверсив-
реверсивного счета интерференционных полос и цифроаналогового преобразования [39, 41]-
Гетеродинные методы основаны на создании некоторого предварительного
сдвига частоты оптического сигнала в одном из плеч интерферометра, например опор-
опорном, т. е. на создании ненулевой поднесущей частоты. Когда объект неподвижен,
образованные на выходе интерферометра интерференционные полосы перемещаются
с постоянной скоростью, давая переменный (на частоте поднесущей) фототок на вы-
выходе детектора (см. рис. 16). Изменение виброскорости объекта приводит к изме-
изменению (девиации) этой частоты, что легко регистрируется. В интерферометрах та-
такого типа используют двухчастотные лазеры (например, на эффекте Зеемана), ил»
ОПГИЧЬСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
129
устройства сдвига частоты излучения на электрооитических, акустико-оптических
и других эффектах [25], которые вводят непосредственно в плечо интерферометра
Особенность ОКГ как источника излучения состоит в том, что он фактически
является интерферометром. Поэтому включение ОКГ в схему с другим интерферо-
интерферометром, являющимся измерительным преобразователем, создает оптическую обрат-
обратную связь (ООС) между ними — явление, проявляющееся в модуляции интенсивно-
интенсивности излучения ОКГ. Из-за этого лазерная интерферометрия развивается по двум
направлениям 1) интерферометрия с лазерным источником; 2) интерферометрия
с ООС В первом случае явление ООС исключается с помощью специальных приемов,
во втором оно используется, что дает принципиально новые схемные решения [5]
Все рассмотренные выше интерферометры относятся к интерферометрам с лазерными
источниками излучения.
В качестве примера на рис. 17 дана применяемая в виброметрии схема трех-
зеркального интерферометра с ООС. Лазер, состоящий из активного элемента 3,
помещенного в резонатор (интерферометр Фабри—Перо, образованный зеркалами
2 4), излучает в сторону объекта 6 с закрепленным на
нем зеркалом 5 и на фотодетектор /. Виброперемеще-
ние зеркала 5 приводит к чередованию максимумов и
минимумов ООС, что вызывает пропорциональное
изменение интенсивности излучения лазера, регистри-
окг
w
Рис. 17. Интерферометр с оптической обратной связью:
/ — фотодетектор, 2,4 — зеркало, 3 — активный элемент; 5 — внешнее зеркало, 6 —- объект
Рис. 18. Область применения интерференционного вибропреобразователя (d0, о) — соот-
соответственно амплитуда и угловая частота измеряемого вибропроцесса)
руемое детектором /. Очевидная простота и эксплуатационная надежность этого
юмодина выгодно отличают его от большинства вышеприведенных классических
схем При соответствии некоторым условиям такой интерферометр обладает чувстви-
чувствительностью к смещению 102 см в диапазоне амплитуд + 4-10~8 см [40].
Зеркало 5 можно убрать, сделав одно из зеркал (например, 4) подвижным,
и осуществить измерительное преобразование за счет его смещения. Интерферометры
такого класса получили название квантовых гетеродинов |5].
Разнообразие методов, схем и приемов обработки информации обусловлено
широким диапазоном задач, решаемых современной интерферометрией, и здесь
рассмотрены только основные, наиболее употребляемые методы и приемы. Конкрет-
Конкретных устройств допплеровской интерферометрии значительно больше (см., напри-
например, работу [29]). Выбор конкретного схемного решения производится с учетом
многих параметров, из которых основными являются быстродействие — макси-
максимально допустимая скорость изменения фазы d(f/dt, т. е. максимальное значение
Допплеровской частоты, регистрируемое интерферометром; пороговая чувствитель-
чувствительность — минимальный фазовый сдвиг, регистрируемый интерферометром; помехо-
помехозащищенность — Допустимый уровень внешних помех, выше которого метрологи-
метрологические характеристики интерферометра не гарантируются; область применения
(Рис. 18) — часть амплитудно-частотной плоскости значений исследуемых вибра-
вибрации, ограниченная быстродействием, пороговой чувствительностью и помехозащи-
'Дбнностью интерферометра.
Интерференционно-голографические методы измерений основаны на регистра-
регистрами фазовых возмущений волнового фронта, возникающих при отражении от неко-
°рой вибрирующей поверхности В общем случае реализация методов представляет
обой двухстадийный процесс записи (регистрации) голограммы и восстановления
обращения (действительного или мнимого) за счет преобразования голограммой
10Рной волны в копию предметной Оптическая схема, реализующая данные ме-
5 ",/Р. Гснкина М. Д , т, 5
[30
И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ
тоды, представляет собой вариант двухлучевого интерферометра (рис. 19). Луч ла-
зера 3 делится призмой 6 на два пучка, направляемых зеркалами / и 9 в линзы 2
и 8, формирующие опорную и предметную волны. Предметная волна отражается по.
верхностью исследуемого объекта 4. Интерференционная картина, образованная
опорной и отраженной предметной волнами, регистрируется фоточувствительньщ
материалом 7, образуя (после соответствующей обработки) голограмму.
По способу записи (экспозиции) голограммы различают три основных ъ>егода
интерференционной голографии [14]: метод многократных экспозиций; стробсгол0.
графический метод и голографирование в реальном масштабе времени.
Метод многократных экспозиций (или голографирование с усреднением по врь
мени) заключается в том, что время экспозиции голограммы значительно превышает
период колебания объекта. В крайних положениях движущегося объекта его ско-
скорость минимальна, поэтому вклад этих двух состояний движения в общую экспоэд.
цию максимален, что позволяет трактовать такую голограмму и рассчитывать а.мпли.
туды вибраций по восстановленной с нее интерферограмме объекта как полученную
Рис. 19. Интерференционно-
голографическая установка:
1,9 — зеркала; 2, S — линзы
(расширители пучков); 3 — ОКГ,
4 — объект; 5 — оптический за
твор; 6 — светоделитель; 7 _
фоточувствительный материал
методом двух экспозиций B7]. Интенсивность восстановленного изображения при
гармоническом колебании объекта описывается выражением
где /0 — интенсивность изображения неподвижного объекта; Jo — функция Бес-
Бесселя первого рода нулевого порядка; d0 — амплитуда колебания данной точки по-
поверхности объекта; Я — длина волны света; <pj и q?2 — углы освещения и наблюде-
наблюдения объекта соответственно. В частном случае освещения объекта со стороны голо-
голограммы и движения его в том же направлении <pt = <р2 = 0 и
т. е. восстановленное изображение покрыто системой интерференционных конту-
контуров, являющихся геометрическими местами точек равных амплитуд колебаний,
удовлетворяющих условию J\ (—г-^ 1 = 0, причем узловые линии (неподвижные
\ А, /
участки поверхности) имеют максимальную яркость. Амплитудный диапазон метода
ограничен снизу d0 < к/4 и сверху — d0 «? 5А.. Последнее вызвано резким умень-
уменьшением контраста интерференционной картины, определяемого характерной зави-
зависимостью Уо от аргумента. Расширение амплитудного диапазона метода достигают
синхронной (с частотой колебания объекта) фазовой модуляции опорного пучка,
например, за счет колебания зеркала / (рис. 19) с некоторой амплитудой d'o. Тогда,
пренебрегая начальной фазой отраженной от объекта волны, можем записать.
C4)
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ 131
Так, варьируя глубину модуляции фазы, т. е. изменяя d'a, компенсируют часть
амплитУды вибрации объекта, что позволяет проводить исследования колебаний
объектов с du > ЮЛ. Автоматическую модуляцию фазы опорной волны получают
укреплением небольшого зеркала на исследуемой поверхности, т. е. формируют
опорную волну из части предметной.
для регистрации малых амплитуд вибрации (порядка 0.01Я) применяют метод
темного поля, заключающийся в подборе d'o таким образом, чтобы 70 (-^-2) было
\ к ]
равно нулю. Тогда, разложив C4) в ряд Тейлора и ограничившись первыми двумя
чченами разложения, получим
12 ,„/4я
т, е. на восстановленном изображении наблюдаются -области малых амплитуд вибро-
виброперемещений в виде светлых пятен на общем темном фоне, причем распределение
яркости пропорционально квадрату амплитуды da. Для исследования малых ампли-
амплитуд применяют метод голографического вычитания, основанный на записи двух
голограмм объекта со сдвигом фазы одного из пучков между экспозициями на п.
На восстановленном изображении видны только те области, положения которых
изменились за время между экспозициями или во время одной из них.
Экспонирование голограммы осуществляют стробоголографическим методом,
используя короткие световые импульсы, синхронизированные с определенной фазой
исследуемой вибрации, что позволяет применять метод для исследования любых
(в том числе и негармонических) периодических процессов. В предельном случае,
когда скважность стробирующих импульсов велика, интенсивность восстановлен-
восстановленного изображения
т. е. преимущество данного метода для исследования больших (d0 > 10Х) амплитуд
колебаний объектов очевидно; однако инерционность реальных оптических затво-
затворов и связанная с ней конечная величина скважности импульсов дают ограничение
метода сверху.
Техника получения стробирующих световых импульсов разнообразна, причем
используются как устройства (например, 5 на рис. 19), формирующие импульсы
излучения лазеров непрерывного действия (см, [25]), так и импульсные лазеры.
Голографирование в реальном масштабе времени осуществляют экспонирова-
экспонированием голограммы неподвижного объекта и наложением восстановленного с голо-
голограммы изображения на колеблющийся объект. В результате непосредственной ин-
интерференции восстановленного изображения с вибрирующим объектом образуется
система подвижных (иногда их называют живыми) интерференционных полос, поз-
позволяющая исследовать вибрационные поля объектов в динамике визуально либо
записывать их на фотопленку или видеорекордер. Метод особенно выгоден для по-
получения информации об отклике объекта на изменение возбуждающих параметров
(амплитуды или частоты колебания). Специфика метода заключается в необходимо-
необходимости фиксировать (проявлять) голограмму на месте экспозиции, что в случае приме-
применения традиционных фотоматериалов непроизводительно. Применение специальных
гермопластичных материалов позволяет создавать исключительно эффективные
Устройства, реализующие данный метод.
Спекл-интерференционный метод рассматривается в работе [14] как сопутству-
сопутствующий интерференционно-голографическим методам. Он основан на специфической
интерференции световых волн, рассеянных диффузной поверхностью объекта, обра-
ующей характерную промранственную спекл-структуру. Виброперемещение объ-
та приводит к перераспределению спеклов-отдельных ярких «зерен» структуры,
озволяющему получить .информацию о параметрах вибропроцесса. Основные дан-
J* извлекают из фотографически зарегистрированных усредненных по времени
пекл-структур с применением соответствующей пространственной фильтрации.
Им„сп°собом измеряют углы наклона элементов поверхности вблизи оси узловых
й. Максимальные амплитуды оценивают по результатам измерения,
Б*
132 СРЕДСТВА И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ
6. АКУСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ
Акустические методы измерения являются волновыми. Это позволяет распро.
странить все сказанное выше в разделе оптических методов измерений и на изме-
измерения с помощью звуковых волн, в том числе на акустическую голографию [щ
В отличие от оптики акустика располагает как квадратичными, так и линейными
(амплитудными) детекторами [7], поэтому ее возможности шире. Преимуществом
акустических методов в прикладном отношении являются некритичность к нали-
наличию дыма (аэрозолей) в газовых средах и возможность работать в оптически непро
зрачных средах.
Однако ряд особенностей [специфика отражения звуковых волн на границе раз-
дела сред, неоднородность передающих сред (особенно жидких и твердых) и т. п.]
[31], делают метод акустической интерференции в режиме стоячей волны метрологи-
метрологически малоэффективным. Поэтому основное развитие получили звуколокациониые
методы [15] — методы пассивной и активной звуколокации. Возможности пассивной
звуколокации (прием звуковых волн, излучаемых вибрирующим объектом) огра-
ограничены в основном получением информации о частоте колебаний. Больший интерес
представляет активная звуколокация, связанная с облучением исследуемого объекта
внешним источником, как правило, ультразвукового (УЗ) диапазона. Приемник
излучения располагают как на объекте (метод сквозного прозвучивания) так и вне
его (эхо-метод).
Оба метода основаны на использовании излучателей, работающих в непрерыв-
непрерывном и импульсном режимах, причем эхо-метод используют относительно чаще. В слу-
случае непрерывной генерации источника УЗ используют в основном фазовый и частот-
частотный (режим бегущей волны) методы получения информации.
Если амплитуда виброперемещения объекта меньше длины УЗ волны, то целе-
целесообразно пользоваться фазовым методом измерений, зная зависимость вибропере-
виброперемещения поверхности d0 от фазы ср отраженной УЗ волны и ее длины волны Ао (или
ее частоты /0):
<p = 4nd0f0/c = 4jid0Ao,
где с — скорость звука в данной среде. Фазовая демодуляция такого сигнала дает
значение амплитуды виброперемещения объекта.
В случаях, когда d0 %¦ Хо, выгоднее использовать частотный метод, позволяю-
позволяющий непосредственно принимать сигнал, частотно-модулированный эффектом Допп-
лера, в акустическом диапазоне [31]. Так, если УЗ волна с частотой /0 отражается
поверхностью, движущейся с виброскоростью v, то в случае отражения по нормали
эта частота изменится на величину fu =,-. Принимая отраженный сигнал с частотой
Ао
/о ± /д и преобразуя его частотным детектором, получают сигнал, пропорциональ-
пропорциональный виброскорости, изменяющейся с периодом, равным периоду колебания объекта.
По получаемой информации этот метод аналогичен оптическому гетеродинному.
В импульсном режиме работы используют различные варианты УЗ импульсных
посылок [15]. Получение измерительной информации связано с определением за-
задержки распространения зондирующих импульсов. Передача импульсов в виде па-
пакетов, заполненных колебаниями несущей частоты, дает энергетический выигрыш
и обеспечивает высокую помехоустойчивость и информативность измерительного
канала. Схемы акустических виброизмерителей и их метрологические характери-
характеристики рассмотрены в работе [29].
Список литературы
1. Артым А. Д. Электрические корректирующие цепи и усилители. Л.Г Энергия, 1965.
424 с.
2. Аршанский Б. Э. Некоторые пути создания инфранизкочастотных виброметров. —
° кн.: Автоматический контроль и методы электрических измерений. Новосибирск: Изд-во
3. Бабаков и. М. Теория колебаний. 2-е изд., перераб. М.! Наука, 1965. 660 о.
список литературы '33
б
ов, м :Го\эТргоздат,Т96?^41Ге Р
5. Бердичсвский А. М., Перебякин В. Д., Теняева Л. В. Лазерный интерферометр.
Обзоры по электронной технике. — Электроника, 1973, вып. 7 A33). 57 с.
6. Бурдун Г. Д., Марков Б. Н. Основы метрологии: Уч. пособие. 2-е изд. доп. М.: Изд-во
стандартов, 1975. 336 с.
7 Боббер Р. Дж. Гидроакустические измерения. М.: Мир, 1974. 362 с,
8. Быховский М. Л. Основы динамической точности электрических и механических
цепей. М.: Из-во АН СССР, 1958. 157 с.
9. Гевондпн Г. А., Киселев Л. Т. Приборы для измерения и регистрации колебаний
М; Машгиз. 1962. 467 с.
10. Гик Л. Д. Измерение вибраций. Новосибирск: Наука, 1972. 291 с.
11. Гик Л. Д. Измерение ускорений. Новосибирск: Наука, 1966. 123 с.
12 Гик Л. Д., Некурящее В. Н. Использование электромеханической обратной связи
в виброметрах с магнитоэлектрическими связями. — Автометрия, 1968, № 6. с. 45 — 53.
13. Гик Л. Д., Карандеев К. Б. Электрическая коррекция виброизмерительной аппа-
аппаратуры Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962, 130 с.
14. Голографические неразрушающие исследования / Пер. с англ.; Под ред. В. А. Ка-
расева. М.: Машиностроение, 1979, 448 с.
15. Горбатов А. А., Рудашевский Г. Е. Акустические методы и средства измерения рас-
расстояний в воздушной среде. М.: Энергия, 1973. 144 с.
16. Иориш Ю. И. Виброметрия. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Машгиз, 1963. 772 с.
17. Иванов В. А., Чемоданов Б. К.. Медведев В. С. Математические основы теории
автоматического регулирования / Под ред Б. К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971.
808 с.
18. Кандидов В. П., Капцов П. Н., Харламов А. А. Решение и анализ задач линей-
линейной теории колебаний. М.: Изд-во МГУ, 1976. 272 с.
19. Карташев А. И., Эцин И. Ш. Методы измерения малых изменений разности фаз в ин-
интерференционных устройствах. — Успехи физических наук. 1972, т. 106. вып. 4, с. 687 —
721.
20. Катыс Г. П. Оптико-электронная обработка информации. М.; Машиностроение
1973. 563 с.
21 Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электрических цепей. М.: Связь, 1969.
293 с.
22 Ленк А., Ренитц Ю. Механические испытания приборов и аппаратов / Пер. с нем.
М.: Мир. 1976 270 с.
23. Маликов М. Ф. Основы метрологии. М.: Коммерприбор, 1949. 479 с.
24 Мирский Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов
М. — Л.: Энергия, 1967. 432 с.
25 Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Методы модуляции и сканирования света. M.s Наука,
1970. 296 с.
26. Обморшев А. Н. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1965. 276 с.
27. Островский Ю. И., Бутусов М. М., Островская Г. В. Голографическая интерферо-
интерферометрия. М.: Наука, 1977. 339 с.
28 Пеллинец В. С. Измерение ударных ускорений. М.: Изд-во стандартов, 1975
287 с.
29. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара. Справочник. В 2-х
кн. Кн. 2 / Под ред. В. В. Клюева, М.: Машиностроение, 1978. 439 с.
30 Синтез активных ЯС-цепей. Современное состояние и проблемы / Под ред. А. А. Лан-
Ланнэ М.: Связь, 1975. 290 с.
31. Скучик Е. Основы акустики. В 2-х т. М.: Мир, 1976.
32. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 437 с.
33. Теоретическая механика: Терминология. М.: Наука, 1977, Вып. 90. 45 с.
34. Фельдбаум А. А., Бутковский А. Г. Теоретические основы связи и управления.
М.: Физматгиз. 1963. 744 с.
35 Франкфурт У. П., Френк А. М. Оптика движущихся тел. M.S Наука, 1972.
36. Харкевич А. А. Теория преобразователей: Избранные труды в 3-х томах. М.: На-
ука, 1973. Том 1. 399 с.
37. Электрические измерения неэлектрических величин. Изд. 5-е, перераб. и доп. /
Под ред. п. В. Новицкого. Л.: Энергия, 1975. 576 с.
38. Электрические измерительные преобразователи / В. Ю Кончаловский, Я. А. Ку-
першмидт, Р. Я. Сыропятова, Р Р Харченко; Под ред. Р. Р. Харчеико. М. — Л.: Энер-
Энергия, 1967. 408 с.
39. Black J. D., flagman R. L. — Rev. Sci. Inbtrum 1977, № 7, 729 p.
40. Boersch H., Eichler H., Wissemann W. — Appl. Opt., vol. 9, № 3, 645 p.
41. Buchenauer С J., Jacobson A. R. — Rev. Sci. lnstrum, 1977, № 7, p. 769.
42. Deferrari H. A., Darby R. A., Anderews F. A. — J. Aconst. Soc. Amer., 1967, № 5,
P. 982.
43. Eberhard G. — J. Acoust. Soc. Amer., 1970, vol 13, p. 603.
44. Goosman D. R. — Jorn. of Appl. Phys., 1975, vol 46, № 8, p. 3516.
45. Henry K. W., Carlson G. A. — Rev. Sci. lnstrum, 1973. JVs 11, p. 1654.
M 46. Shock and vibration handbook. 2-nd edition. Editedby Harris C. M. and Creade С. Вч
"« Graw Hill В. С 1976.
134 УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Глава VII
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО
ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Системы отсчета и измерительные устройства. Движения тел, в том числе и
вибрацию тел, можно описывать в различных системах отсчета. Но по отношению
к рассматриваемому телу это могут быть только две системы отсчета: жестко связан-
связанная с движущимся телом и не связанная жестко с ним. Промежуточное положение
занимают системы отсчета, имеющие общую точку с телом, которые следует относить
ко вторым (например, система отсчета трехстепенного гироскопа имев! начало коор
динат, совпадающее с некоторой точкой тела).
Измерительные устройства, действие которых основано на использовании си-
систем отсчета, не связанных жестко с движущимся телом, называют устройствами
измерения относительно назначенной (фиксированной) системы отсчета (НСО)
или назначенной системы координат (НСК). Поскольку назначенные системы от
счета (координат) можно условно принять за неподвижные, эти устройства называют
также устройствами измерения относительно неподвижной системы отсчета (коор
динат) [6]. В иностранной литературе эти устройства называют «fixed reference in
struments» [17].
В общем случае назначенные системы отсчета могут быть основными и подвиж
ными, инерциальными и неинерциальными [14] (см. также гл I). Примерами устрой
ства НСО являются устройства контактного и бесконтактного действия, определя-
определяющие взаимное положение тел (реостатные, емкостные, индуктивные, токовихревые
датчики, в иностранной литературе их называют «proximity type transducers» [17];
локационные измерительные устройства; гироскопические измерители угловых
координат и т. п.) или скорость изменения взаимного положения тел (индукцион
ные датчики, допплеровские измерители скорости и т п.). Все измерительные уст-
устройства НСО являются устройствами кинематического принципа действия [6], т. е.
устройствами, работа которых основана на регистрации относительного движения
тел.
Измерительные устройства, действие которых основано на использовании для
описания движения тел систем отсчета, жестко сказанных с движущимся телом, по
аналогии с предыдущим можно назвать устройствами измерения относительно соб
ственной системы отсчета (ССО) или собственной системы координат (ССК) (см
также гл. VI).
Измерительные устройства инерционного принципа действия. Измерительные
устройства, действие которых основано на использовании сил инерции и моменюв
сил инерции, называют устройствами инерционного действия (ИД) или кратко
инерционными [7, 10], (см. также гл. VI). Устройства ИД применяют, как правило,
для измерения параметров абсолютной вибрации в НСО и ССО. Действие инерцион
ных устройств НСО основано на использовании сил инерции только для задания
неподвижной системы отсчета. В инерционных устройствах ССО силы инерции ис-
используются непосредственно в процессе измерения для задания движения измери-
измерительной инерционно-упругой системе; для получения сил инерции эти устройства
всегда скрепляют с движущимся телом Таким гбразом, эти инерционные устройства
имеют динамический принцип действия [6]. Их называют устройствами ИД сейсми-
сейсмического типа Эти устройства не следует называть просто сейсмическими, поскольку
сейсмические устройства предназначены для измерения колебаний земной коры
при землетрясениях. Иногда устройствами инерционного действия называют только
устройства сейсмического типа [6]. Неотъемлемой частью устройств ИД является
инерционный элемент (явный или неявный) — источник сил инерции.
Инерционные измерительные устройства являются разновидностью инерци
альных измерительных устройств [7], в основе работы которых лежит использование
инертности материальных тел — свойства, «проявляющегося в сохранении движе-
движения, совершаемого телом при отсутствии действующих сил, и в постепенном изме-
чСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ '35
йении этого движения с течением времени, когда на тело начинают действовать силы»
[14] Большой подкласс инерциальных измерительных устройств образуют гиро-
гироскопические устройства, действие которых основано на использовании вращающихся
(часто с большой скоростью) материальных тел. Гироскопические измерительные
устройства могут быть как устройствами НСО, так и устройствами ССО инерцион-
инерционного действия [6].
Измерительные устройства ИД сейсмического типа применяют, как правило,
для измерения кинематических величин, характеризующих движение и, в частно-
частности, вибрацию в инерциальной системе координат, с которой в данный момент вре-
времени совпадает измерительная система координат устройства. При этом последняя,
как правило, не является инерциальной. Таким образом, эти устройства измеряют
характеристики абсолютного движения в собственной системе отсчета тела, на ко-
котором они установлены. Устройства ИД сейсмического типа можно применять также
для измерения силы тяжести, инерционных сил, моментов инерционных сил. Инер-
Инерционные устройства сейсмического типа могут быть автономными приборами меха-
механического принципа действия или датчиками, входящими в состав различных изме-
измерительных преобразователей, приборов, измерительных систем.
Датчики кинематических величин. Датчиком называют измерительный преобра-
преобразователь, переводящий измеряемую физическую величину в величину другого фи-
физического характера, чаще всего — электрическую. Датчики кинематических вели-
величин инерционного действия наиболее широко применяют для измерения кинемати-
кинематических величин точки и твердого тела — абсолютных перемещений, скоростей,
ускорений и т. п. (см. гл. I, разделы 4 и 5). Как правило, датчики выполняют в виде
отдельного конструктивного узла. Рассматриваемые датчики являются датчиками
векторных величин и подразделяются на прямолинейные и угловые [18]. Прямо-
Прямолинейными называют датчики для измерения кинематических величин, характери-
характеризующих движение точки тела (или всего тела при его поступательном движении)
вдоль заданной датчиком прямой линии.
Таким образом, прямолинейные датчики есть датчики параметров движения
(вибрации в том числе) точки. При этом не подразумевается, что точка, параметры
движения которой измеряют, движется по прямолинейной траектории. Точка мо-
может совершать движение по произвольной линии, но по отношению к датчику оцени-
оценивается ее движение вдоль прямой линии, совпадающей с измерительной осью дат-
датчика. Следовательно, и твердое тело, параметры движения точек которого измеряют
прямолинейными датчиками, может двигаться произвольно, а не только поступа-
поступательно. Не рекомендуется вместо термина «прямолинейный датчик» использовать
термин «линейный датчик», поскольку последний используют для определения дат-
датчиков, у которых в заданном динамическом диапазоне входной и выходной сигналы
связаны линейно, т. е. датчиков, преобразование которых аддитивно и однородно
(подчинено принципу суперпозиции). Однако прямолинейный датчик перемещения
(скорости, ускорения) правильно называть также датчиком линейного перемещения
(скорости, ускорения) точки. Вообще же определение «прямолинейный» следует ис-
использовать только в тех случаях, когда необходимо отличить датчик этого вида от
углового датчика.
Угловыми называют датчики, предназначенные для измерения кинематических
величин, характеризующих угловые двиокения (вибрацию в том числе) тела. Приме-
Примером угловых датчиков являются датчики углового виброперемещения (виброскоро-
СТи, виброускорения) тела. Датчики ускорения (прямолинейные и угловые) по тра-
традиции называют также акселерометрами, что нашло отражение в стандарте ИСО [18].
Инерционные датчики сейсмического типа могут иметь как направленные, так и не-
ненаправленные инерционные элементы. Направленными называют инерционные эле-
элементы, перемещения которых в диапазоне измерений в рабочем направлении (вдоль
или вокруг некоторой оси) настолько превосходят перемещения в других направ-
направлениях, что последними можно пренебречь. Направление движения задают с по-
помощью либо специальных направляющих, либо свойств упругого закрепления инер-
Чионного элемента. Датчики сейсмического типа выполняют чаще всего как дат-
датчики прямого преобразования, у которых все преобразования сигналов производятся
только в направлении от входа к выходу. Датчики с направленными инерционными
элементами делают также компенсационными. В компенсационном датчике (дапике
136
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЙ
с уравновешиванием) используется обратное преобразование выходной величин^
в величину, однородную с входной, и их взаимное уравновешивание с той или
иной степенью точности [15].
2. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
С НЕСКОЛЬКИМИ НАПРАВЛЕННЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ
Уравнения движения измерительной системы датчика. Сначала целесообразно
рассмотреть работу датчика, подвижная система которого имеет несколько инер-
инерционных элементов (ИЭ) [5].
На рис. 1 показана схема датчика, имеющего два ИЭ, массы которых тх и т2.
С корпусом датчика связаны две правые прямоугольные системы координат: Охуг
и |г|?. Ог есть назначаемая измерительная
ось датчика, т. е. ось, определяемая кон
струкцией датчика. Вдоль этой оси направ
лены измеряемый компонент векторной ве-
величины и вектор основной чувствительно
сти датчика. Направленные свойства дат-
датчика определяются тем, что инерционные
элементы на упругом подвесе могут совер-
Рис. 1. Упругоинерционная измерительная
система прямолинейного датчика с двумя
направленными инерционными элементами
Рис. 2. Схема задания положения про-
произвольной точки относительно центра
Земли А и относительно начала Ot си-
системы координат, расположенной на
поверхности Земли {г' = г -\- R3);
NS — ось вращения Земли
шать только поступательные перемещения вдоль оси ?. Пусть ось ? не совпадает с из-
измерительной осью Ог, что вызвано дефектом изготовления датчика Такие датчики
могут быть использованы для измерения низкочастотной вибрации, хотя в рассмат-
рассматриваемом случае они представляют больше теоретический интерес.
При отсутствии внешних сил точки / и 2, положение которых неизменно отно-
относительно корпуса датчика, совпадают с точками 3 и 4 центров масс инерционных
элементов (положение ИЭ на рис. 1). В общем случае центры масс могут не лежать
на оси ?. Предполагается, что датчик установлен на некотором теле и трехгранник
?т]?, перемещаясь вместе с телом, вращается с абсолютной угловой скоростью
^ ^g
где |ф, tj", g* — единичные векторы соошетствующих осей.
Пространственное положение указанных выше точек в произвольный момент
времени задано радиус-вектором г,- (г — номер точки), проведенным из начала 0х
некоторой системы координат, расположенной на поверхности Земли и, следова-
следовательно, не являющейся инерциалыюй.
ПРЯМОЛИНЕЯН. ДАТЧИКИ С НЕСКОЛЬКИМИ ИНЕРЦ. ЭЛЕМЕНТАМИ 137
На рис. 2 показано положение этой системы координат относительно Земли и
ее центра, обозначенного точкой А. Приняв центр Земли за точку инерциальной
системы отсчета, для указанных радиус-векторов можно записать равенства
где Кз радиус-вектор, проведенный из центра Земли в точку Ov Перемещения масс
т и т2 относительно корпуса определяются соотношениями:
61 (О = г3 @ - гх @ = г,' @ - r[ (t) = 6Х (О Г; B)
62 @ = и @ - г2 @ = rj(O - г^ (о = б2 @ g9.
Для описания работы датчика выразим кинетическую Т и потенциальную U
энергии измерительной системы, а также ее диссипативную функцию R через обоб-
обобщенные координаты 6j и б2 и обобщенные скорости бх и б2 с учетом B):
2
где ct, c2, cs — коэффициенты жесткости элементов упругого подвеса; Ьъ Ьг — коэф-
коэффициенты сопротивления; j — ускорение от действия силы тяготения Земли. (Точ-
(Точкой между векторами здесь и ниже обозначено скалярное произведение векторов.)
Дифференциальные уравнения движения измерительной системы датчика по-
получим из уравнений Лагранжа [1, 8, 13] (см. также том 1, стр. 38):
?^iL + ^ + ^=0, «=i,2.
dt dbn д6п д6п дЬп
Первоначально удобно использовать выражение для проекции главного вектора
каждой массы на направление оси ? [7].
d дТ дТ
dt dbn доп
В этом случае уравнения движения измерительной системы датчика принимают
вид
Mi + (ci + сг) Si — с2б2 = — т1 ( г J — j) ¦ g";
6262 — c26i + (c2 + с3) б2 = — m2 (t\ — j) • g*t
где ?5, г*4 — абсолютные ускорения центров масс инерционных элементов; Ьфп —
диссипативные силы, пропорциональные скорости перемещения инерционных эле-
элементов относительно корпуса и характеризующие рассеяние энергии в системе;
члены вида сб определяют упругие восстанавливающие силы, действующие на инер-
инерционные элементы; (т'щг — j) — кажущиеся ускорения центров масс ИЭ, равные
геометрической разности между абсолютным ускорением и ускорением от силы тя-
тяготения [7]. Если за основную систему отсчета принять систему, связанную с Зем-
Землей и находящуюся на ее поверхности, то с учетом равенства A) уравнения D) при-
примут вид
ЪА + (Cl + г„) бх - с2б2 = — mt (acl - g) • ?'; |
(с2 + с3) б2 = — т2 (ас2 — g) • ?*; J
С1 " 1-й ^"
где w3 = R3 — абсолютное ускорение точки Земли, в которой расположено начало
координат Oj\ ясп — абсолютные ускорения центров масс инерционных элементов
138
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
за вычетом ускорения w3; g — ускорение свободного падения, равное геометриче-
геометрической разности ускорения от действия силы тяготения и ускорения от вращения
Земли w3, см рис. 2. Международным сетлашением для g принято значение
9,806 65 м/с2 [18]. Величины ас1 и аса ниже будем называть абсолютными ускорени-
ускорениями центров масс относительно начала принятой системы отсчета (см. раздел 4 гл. I).
Величины — mnacn-L,° есть проекции сил инерции центров масс на ось ?, mng-g° —
проекции сил тяжести на ось ?. (На спутнике в условиях невесомости g = 0 и силы
инерции пропорциональны, только абсолютным ускорениям точек относительно
системы отсчета, связанной со спутником.)
Работа датчика в режиме акселерометра. Уравнения E) удобны для описания
работы датчика в режиме акселерометра [6] с малым демпфированием, реализуе-
реализуемом при использовании жесткого подвеса и работе в диапазоне ^частот, располо-
расположенном существенно ниже частоты первого резонанса измерительной системы. В этом
случае членами bibl и ЬгЬ2 можно пренебречь, и
уравнения E) принимают вид
(ci+cjbi-cA^-tnx&n-ti-V; 1 F)
— с2бх + (са + с3) 62 **== — Щ (ас2 — g) ¦ Ss- /
Если выходной сигнал датчика и (() сде-
сделать пропорциональным деформации одного из
упругих элементов, например, с жесткостью Cj:
и (t) = — уфх (t), i>6 > 0,
то, найдя из уравнения F) бх, получим урав-
уравнение работы датчика
и = «ai • (aci — g) + sa2
G)
Рис. 3. Схема расположения изме-
измеряющих точек /, 2, и и векторов
чувствительности sali s , s^ дат-
датчика относительно его корпуса
Таким образом, в рассматриваемом датчике
имеются две «измеряющие точки», в которых
приложены вещественные векторы %а1 и sa2 чув-
чувствительности к абсолютному ускорению, и эти
точки совпадают с центрами масс инерционных
элементов. Следова гельно, векторы sal и sa2 являются связанными векторами.
При большой жесткости элементов упругого подвеса перемещения S]. и б2 незна-
незначительны, поэтому с точностью до ускорений на относительных перемещениях
уравнение G) можно заменить другим:
• (a2 — g);
(8)
т. е. при этом можно считать, что измеряющими точками датчика являются точки
1 и 2, неизменные относительно корпуса, в которых приложены векторы чувстви-
чувствительности sQ, и sa2 (рис. 3). В данном случае можно указать результирующую изме-
измеряющую точку датчика, для которой выполняется условие
и=sa • (аи—g), ал = ги, ф/
где ги — радиус-вектор результирующей измеряющей точки и, в которой приложен
результирующий вектор чувствительности sa.
Из сравнения формул (8) и (9) следует, что
Sa = Sai + Sa2 = (sai + W V = SaS'i
ПРЯМОЛИНЕИН. ДАТЧИКИ С НЕСКОЛЬКИМИ ИНЕРЦ. ЭЛЕМЕНТАМИ 139
ИЛИ
Отсюда находят положение результирующей измеряющей точки
A0)
Это уравнение определяет точку, лежащую на прямой, проходящей через точки
и 2. Действительно, если точка и лежит на этой прямой, то в ахмветствии с рис 3
имеем
откуда следует равенство A0).
На практике измеряющую точку необходимо зада-
задавать в системе координат, связанной с датчиком. Для
этого следует сделать замену
после чего уравнение A0) примет вид
Ри = {1— а)р! + ар2. A1)
Если начало координат О совместить с измеряющей
точкой и, то из уравнения (И) получим
Pi =_а_=_?о2
Рз a —I Sai'
т. е., расстояния от результирующей измеряющей точки
до точек / и 2 обратно пропорциональны модулям векто-
векторов чувствительности, приложенных в этих точках.
Если бы датчик рассмотренного типа имел / инерционных элементов, то при
условии, что
Рис. 4. Схема разложе-
разложения вектора чувствитель-
чувствительности к ускорению s на
компоненты
него аналогично существовала бы единая измеряющая точка
I
в которой приложен результирующий вектор чувствительности sa.
Таким обрааом, датчик в рассматриваемом режиме является датчиком ускоре-
ускорения точки и.
Результирующий вектор чувствительности может быть представлен составляю-
составляющими по осям системы координат Охуг с ортами х", у", z° (рис. 4):
Sa = Sax + say + Sae = Saxx' -f sayf + s,
•ауУ
sax
say
A3)
где sax — основная чувствительность датчика; sax, say — поперечные чувствитель-
чувствительности датчика в направлении осей х и у; kx, ky — относительные поперечные чув-
чувствительности датчика в направлении осей хну. Результирующий вектор попереч-
поперечной чувствительности каху = sav + ъау определяет направление оси максимальной
поперечной чувствительности (ось /—/ на рис. 4), перпендикулярно которой направ-
направлена ось нулевой поперечной чувствительности.
140 устройства инерционного действия
Из уравнения A2) следует, что коэффициенты kx и ky являются коэффициентами
влияния компонентов ускорения в измеряющей точке по осям х и у (см. гл. VIII,
XII, XIII).
В общем случае точка приложения результирующего вектора чувствительно-
чувствительности, т. е фактическая измеряющая точка датчика (точка и на рис. 4), не лежит на
измерительной оси г.
Но у датчиков вибрации точки измеряющая точка должна быть указана по
паспорту на измерительной оси. В связи с этим вводят условную измеряющую точку
датчика, которую чаще всего и называют измеряющей точкой датчика. Эта точка
лежит в основании перпендикуляра, опущенного из фактической измеряющей точки
на измерительную ось датчика (точка О на рис. 4) В этой точке в дальнейшем и бу-
будем помещать начало координат системы Охуг, Радиус-вектор R, проведенный из
условной измеряющей точки в фактическую, называют радиусом неточного положе-
положения измеряющей точки.
Развернутые уравнения движения измерительной системы. Для исследования
работы прямолинейного датчика в сбщем виде необходимо развернуть уравнения E)
с учетом равенств B), C) и соотношений:
A5)
В результате уравнения E) примут вид
8l — ctQ!t = — m1(a1 — g)-?'; )
2 -f-с3) б2 = — ш2 (а2 — g) • ?". J
— т2 (Q| + Q?j) б2 — с-Д -f- (c2 -f-с3) б ( ) ?" J
Из уравнений A6) видно, что для устойчивой работы датчика необходимо вы-
выполнение условий
Следовательно, при наличии угловых колебаний для выполнения условий A7)
датчик должен иметь высокие собственные частоты.
Характеристики датчика при измерении поступательной вибрации. Если тело,
на котором установлен датчик, совершает поступательные колебания, то в любой
момент времени угловая скорость Й равна нулю (?а {t) = const), ускорения всех
точек тела и корпуса датчика одинаковы ах = а2 = а, а проекция ускорения свобод-
свободного падения на ось С неизменна: g-?®= const. Применив в этом случае к уравне-
уравнениям A6) преобразование Лапласа, без учета постоянной составляющей от ускоре-
ускорения силы тяжести получим *
(р) = - m2at(p);
(t) = a - ?•] = ?• . X [a (t)] = ?e ¦ a (p). A9)
Для датчика, выходной сигнал которого и (t) пропорционален, например, пе-
перемещению 6j (t),
и (р) = — Y6<5i (Р). 76 > 0, B0)
из уравнений A8) и B0) следует операторная чувствительность sa (p) к ускорению
• Здесь и далее орш инал и его изображения по Лапласу и Фурье обозначены одной и
той же буквой!
ПРЯМОЛИНЕЕН. ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 141
Комплексную чувствительность sa (/со) к поступательному ускорению полу-
получим, заменив комплексную переменную р на /со. Из уравнений A9) и B1) следует,
что
и (Р) = sa (p) at (р) = sn (p) g° . а (р) = so (p) • а (р),
где sa (p) = sa (p)?° есть вектор операторной чувствительности. По отношению к по-
поступательной гармонической вибрации дагчик следует характеризовать комплекс-
комплексным вектором чувствительности sa (/со) = S(I (/w)?°, который можно рассматривать
как пространственную комплексную передаточную функцию, связывающую преоб-
преобразования Фурье выходного сигнала датчика и (/со) и измеряемого ускорения а (/со)
(см. гл. I) выражением
ц (/«) = а (/со) • sa (/со) = as (/со) sa (/со); B2)
а 0<в) = аЕ (/со) ?° + а,, (/со) if+а^ (/со) ?°.
При поступательной вибрации проекции ускорения а^, скорости vr и переме-
перемещения dg связаны равенствами (см. гл. I, стр, 31);
vl @ = j a? @ ^ I ^? @ •= j <Н \ а% (t) dt,
так что для датчика можно ввести в рассмотрение также векторы чувствительности
к скорости sv (/(о) и чувствительности к перемещению s^ (/со);
sv (Ум) = /wso (/со) ёв, sd (/со) = — mha (/со) ?°. B3)
3. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ИНЕРЦИОННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Уравнения работы датчика. На рис. 5 показана схема датчика с одним инерцион-
инерционным элементом, масса которого равна т. С корпусом датчика связана правая прямо-
прямоугольная система координат 0?т]?. Условия работы датчика и обозначения приняты
такими, как в предыдущем разделе, с той разницей, ччо ось О? — измерительная
ось датчика, а центр масс инерционного элемента расположен в точке С, которая ле-
лежит на оси OZ, и в отсутствие внешних сил совпадает с точкой О, неизменной относи-
относительно корпуса датчика. Относительное перемещение инерционного элемента опре-
определяется равенством
Уравнения, описывающие работу датчика в системе отсчета, которая связана
с поверхностью Земли, легко получить из результатов предыдущего раздела. Для
этого в исходных формулах необходимо положить: ся = оо; шх — пг\ тг = О, Ьх = Ь;
Ьг = 0; 6\ = б; б2 ~ 0; ас1 = ас; а, = а0. Из уравнения E) следует уравнение дви-
движения измерительной системы
-«(ac-g)-g°, с = сг + съ, B4)
сг
где ЬЬ — диссипативная сила, пропорцио-
пропорциональная скорости относительного перемеще-
перемещения инерционного элемента и характери-
характеризующая рассеяние энергии в системе; сЬ —
упругая восстанавливающая сила; ас—век-
ас—вектор абсолютного ускорения центра масс С
относительно начала принятой системы от-
отсчета; — m&Q-t,0 — проекция на ось L силы
инерции центра масс; mg-g0 —проекция силы
тяжести инерционного элемента на ось ?;
ас — g — кажущееся ускорение центра масс.
Диссипативная сила 66 может существо-
существовать самопроизвольно, и тогда пропорцио-
пропорциональность относительной скорости является
идеализацией; однако эту силу часто со-
создают искусственно как силу вязкого трения
Рис. 5. Упругоинерционная измери-
измерительная система прямолинейного дат-
датчика с одним направленным инерцион-
инерционным элементом
142
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
(воздушное и жидкостное демпфирование) или как силу противодействия движению
в магнитном поле, пропорциональную току в резистивной цепи (электромагнитное
демпфирование) [6]. Восстанавливающую силу пропорциональную отклонению S
создают иногда как результат взаимодействия магнитных полей [6].
Часто для удобства физического толкования уравнению B4) ставят в соответ-
соответствие эквивалентные схемы датчика, изображенные на рис. 6, о и б, на которых
упругий элемент имеет эквивалентную жесткость с, а поршень символизирует нали-
наличие диссипативной силы (демпфирования в системе). Из уравнения B4) следует,
что в режиме акселерометра с малым демпфированием (сб :> Ь6)
c6=a-m(ac-g) ?°, B5)
поэтому выходной сигнал датчика u (i), пропорциональный относительному переме-
перемещению инерционного элемента,
и (/) = — у&8 (/), тв = const > 0, B6)
может быть представлен через скалярное произведение вещественного вектора so
чувствительности к абсолютному ускорению и вектора кажущегося ускорения
(ас - g):
»=v(ac-g); B7)
m
где coo =
= 1/ —
CO*
B8)
есть угловая собственная частота измерительной системы датчика.
Таким образом, измеряющая точка датчика, в которой приложен вещественный
вектор чувствительности sa, совпадает с центром масе инерционного элемента С.
X
Рис. 6. Эквивалентные механиче-
механические схемы прямолинейного дат-
датчика с одним инерционным эле-
элементом
При большой жесткости упругого подвеса относительное перемещение исер-
ционного элемента незначительно, ускорения точек С и О практически одинаковы
(аС ~ ао)> и Уравнение B7) можно заменить следующим:
u==sa' (аО — Ю> ^^
т. е. можно считать, что измеряющей точкой является точка О, в которой и прило-
приложен вектор чувствительности $а. Из уравнения B8) видно, что чувствительность дат-
датчика в режиме акселерометра обратно пропорциональна квадрату собственной
частоты. Размерность вектора чувствительности [sa] равна [и]1[а]
Как следует из A6), развернутое уравнение движения инерционного элемента
относительно корпуса датчика, представленное через ускорение точки О, имеет вид
C0)
Это уравнение позволяет исследовать динамические свойства датчика при про-
произвольной измеряемой вибрации.
-т (Q|+ Q'n) б = — т (ao-g) ¦ g".
ПРЯМОЛИНЕЯН. ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 143
Динамические свойства датчика при измерении поступательной вибрации. В этом
случае угловая скорость Q тела, на котором установлен датчик, в любой момент вре-
времени равна нулю (Qj, Q^, fig = 0), ускорения всех точек тела и корпуса датчика
одинаковы, а проекция ускорения свободного падения на ось ? неизменна:
Под влиянием силы тяжести инерционный элемент получает статическое смеще-
смещение б^:
Понимая далее под 8 только перемещение, обусловленное поступательным уско-
ускорением а0, из уравнения C0) получим
тб + 6б+сб = —та^, C1)
где а^= а0 • ?* есть проекция ускорения а0 тела на ось ?.
Преобразование Лапласа уравнения C1) дает
(р*т + pb+cN(p} = — та^ (р), C2)
где р — комплексная переменная.
Чувствительности измерительной системы датчика. Из уравнения C2) для
измерительной системы находят операторную чувствительность к ускорению а^
по перемещению 6:
°«(Р ~at(p) ~ рЪ
Поскольку при поступательном движении проекции ускорения а, скорости v
и перемещения d тела (см. гл. I) a = v = d на любую его ось, например ?, связаны
условиями
ч='ч='к' C4)
вС(р)=-Р»С(р)=радС(Р). C5)
а также учитывая, что для относительной скорости V = 6
V(p)=p6(p), C6)
для измерительной системы можно определить также операторные чувствитель-
чувствительности:
к скорости О? по перемещению б:
Vl(p) ~ рЫ + pb+c'
к перемещению rfj по перемещению 6:
к ускорению aj по скорости V:
к скорости [>? по скорости V:
к перемещению d^ по скорости V:
V
°1 {р)~
144
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Чувствительности измерительной системы к различным кинематическим ве-
величинам по перемещению б и скорости V приведены в связи с тем, что используемые
в датчиках инерционного действия физические преобразователи реагируют на от-
относительное перемещение б или относительную скорость V (см. гл. VIII, IX).
На рис. 7 приведены схемы датчиков инерционного действия с параметриче-
параметрическими и генераторным механозлектрическими преобразователями. В параметриче-
параметрических преобразователях изменения индуктивности L, емкости С и сопротивления г
пропорциональны относительному перемещению S инерционного элемента. В генера-
генераторном электродинамическом преобразователе генерируемое напряжение е пропор-
пропорционально скорости катушки, укрепленной на инерционном элементе, относительно
магнита, прикрепленного к корпусу датчика (е пропорционально относительной
скорости V).
Поскольку
то четыре выражения определяют шесть операторных чувствительностей.
Знание операторных чувствительностей позволяет найти реакцию измеритель-
измерительной системы как функцию времени, если измеряемая величина задана через свое изо-
изображение по Лапласу.
b
1
T f
m
f
и
с
Рис. 7. Схемы прямолинейных датчиков инерционного действия с преобразователями:
п — параметрическим индуктивным, б — параметрическим емкостным; в — параметриче-
параметрическим резистивным, г — генераторным электродинамическим
Подстановка в выражения для операторных чувствительностей вместо комплекс-
комплексной переменной р аргумента /со дает выражения для комплексных чувствительностей
измерительной системы. Например, из уравнения C3) находят комплексную чув-
чувствительность к ускорению по перемещению:
Комплексные чувствительности позволяют найти установившуюся реакцию
на измеряемую гармоническую величину.
Действительно, если виброперемещение гармоническое:
dg = d0 cos (tit;
v^ = v0 cos (cot + я/2) = codo cos (w/ + я/2);
°? = ffo cos (<>>i — n) = 01 *da cos («it — л),
(<o = 2я/ — угловая частота, рад/с; / — частота, Гц), то установившаяся реакция
измерительной системы имеет вид б = fi0 cos (to/ + щ). Из уравнения D3) имеем
% во* «о' "°а W в ~_Ш2 + /й) *+_?."' D4)
ПРЯМОЛИНЕЙН. ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 145
где б и aj — комплексные гармонические перемещение и ускорение:
6 = 60e^ = S0e/<pV»';
\ = а0 с><»< = йое/фаел^; фа = _ я>
j, в во- соответствующие комплексные амплитуды.
Из D4) находим амплитудно-частогную характеристику (АЧХ) чувствитель-
чувствительности
D5)
и фазочастотную характеристику (ФЧХ) чувствительности ф* (со)
Ь
а —
ф° (со) = я — arctg . D6)
?-ш»
Из уравнений D5) и D6) следует, что при отсутствии демпфирования в системе
ф = 0) резонанс имеет место на собственной частоте f0:
«»? D7)
при этом бо/ао, 60/d0 -> со и ф* = 90°.
При описании частотных характеристик часто используют относительные вели
чины — относительное демпфирование р" и частотное отношение т), которые поз-
позволяют задать частотные характеристики в нормированном виде.
Относительное демпфирование р4 численно равно отношению коэффициента со-
сопротивления Ь к критическому коэффициенту сопротивления системы Ъс:
Ьс=2\Г^т\ D8)
U U
D9)
bc 2 У cm
где bc — значение коэффициента сопротивления, при котором система перестает
быть колсб дельной. Относительное демпфирование есть отношение коэффициента
демпфирования системы е к ее критическому коэффициенту демпфирования ес,
Частотное отношение — безразмерная величина, равная отношению частоты
к собственной частоте
ч = ?-г E0)
шо /о
Так, уравнения D5) и D6) можно представить в следующем виде:
(ч) Я (л); E1)
E2)
Фа (П) = q>! Ц) = я- arctg -
146 УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Иногда для описания частотных характеристик используют также добротность
системы Q — величину, обратную удвоенному относительному демпфированию
истемы:
1 /"
E4)
Так, уравнения E1) и E3) можно представить в следующем виде:
()E5)
т E6)
Аналогично можно найти частотные характеристики комплексной чувствитель-
чувствительности к перемещению dg по перемещению б из уравнения C8):
^+ А,»*-* E7)
A+ ?.
Откуда следует, что
ф* A) == Фа=ф2 (п)=- arct§ fTi^a=Ф1W - "• E9)
На рис. 8 представлены нормированные частотные характеристики указанных
выше чузствительностей измерительной системы для различных значений р. На
рис. 9 показана векторная диаграмма комплексных амплитуд для случая, когда
г| < 1, причем стрелка указывает направление поворота векторов б0 и v0 с ростом ц.
Из представленной векторной диаграммы хорошо прослеживается ход фазоча-
статных хараетеристик.
Частотные характеристики а* (т)), а^ (т|), а\ (ц) имеют участки, где чувстви-
чувствительность мало изменяется с изменением частоты Поэтому характеристику ав ис-
используют в датчиках ускорения, а характеристики а\ и а^ — в датчиках перемеще
ния и скорости соответственно.
Чувствительности и частотные характеоистики датчиков. В датчике ycKopi
ния в дорезонансиом режиме (т) s? 1), а в датчиках перемещения и скорости в заре
зонансном режиме (т) > 1) полярность выходного сигнала и (t) должна соответ-
соответствовать полярности измеряемой величины. Для этого необходимо, чтобы выходной
сигнал датчиков ускорения и перемещения имел знак, противоположный знак>
относительного перемещения:
« @ = — Тбб Ф. Тб = c°nst > О,
а датчика скорости — противоположный знаку относительной скорости
u(t) = — yvV (t), 7i/=const>0
В этом случае в соответствии с уравнениями D2), E1), E3), E8) и E9) чувст-
чувствительности датчиков ускорения $а, скорости sv и перемещения sd имеют вид
'а (/П) = " = - v6 Д = - у6о&а (М = -ШИ (Ц) eW-™ e V«_ „ () е/Фа(г1) 60;
Ч % ш§ ч>\
))e^'^), F1)
Ч)е^«1)ш F2)
ПРЯМОЛИНЕИН. ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
я<?
14?
1
II ^«0
|i 0,725
\luZJ
^\ 0,7
—~^:
0,7
*90°
-90<
-180°
0,125"
J3=0
0,7 NAi
1
J3~a
1
^0,125
^0,25
0,7
-?
^ ; ¦
и
Ч
1
0,125-
— 0,125
fi-ti
0,7
-^
= г
п
1
0,7
+ 90°
0,2i\
0,115"
^0,125
1
7
J3~O
2 П
-90°
Рис. 8. Нормированные амплитудно-частотные (<т) и фазочастотные (ф) характеристики
чувствительностей измерительной системы прямолинейного датчика при различных значе-
значениях относительного демпфирования fl:
а — чувствительности к ускорению а по перемещению б, б — чувствительности к скорости о
(Ускорению а) по перемещению б (скорости V), в — чувствительности к перемещению d (ско-
(скорости и) по перемещению 6 (скорости V); г — чувствительности к перемещению d по скоро-
скорости V
148 УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Следовательно, при малом демпфировании датчики имеют фазовый сдвиг в ра-
рабочем диапазоне частот близкий к нулю.
Нормированные амплитудно-частотные характеристики Нх (ц) и Н2 (т|) и фазо-
частотные характеристики ц>х (т|) и ф2 (т)) представлены на рис. 10 и 11 соответст-
соответственно. Построение кривых как функций переменной
Г)'
позволяет совместить кривые Нх и Я2, а фазочастогные характеристики предста-
представить кососимметричными относительно \ — 1 и <pt = 90°. Фазочастотные харак-
характеристики (рис. 12) пересекаются в общей точке при г) = 1, причем крутизна кри-
кривых в этой точке пропорциональна доброт-
добротности Q измерительной системы
dr] dx\ P
Следовательно, добротность можно опре-
^ делить как половину крутизны фазовой ха-
а0 / d0 Re рактеристики в точке т) = 1. Это определе-
1 •" ние позволяет распространить понятие доб-
добротности на нерезонансиые системы [15] и
у дать для них практический способ нахожде-
* ния ее значения.
Рис. 9. векторная Диа1 рамма комплекс Реальные АЧХ и ФЧХ датчиков обус-
ных амплитуд при поступательной гар- ловливают линейные искажения сигнала:
ионической вибрации, когда п < 1 гармонические сигналы получают различ-
различное изменение масштаба и фазовый сдвиг.
Амплитудная погрешность Непостоянство АЧХ приводит к амплитудной
погрешности измеряемых гармонических сигналов. Амплитудная погрешность Ах
датчиков ускорения в рабочем диапазоне частот (т^ < 1, rf <C 1) в соответствии
с уравнением F0) выражается через Н1 (ц) и может быть задана следующим приб-
приближенным выражением [15]-
А\ (г)) = # Oi) — 1 S53 A —2р2) тJ.
Отсюда следует, что Аг « 0, если р == 1/1^2 = 0,707. При fj < 0,707 появ-
появляются положительные амплитудные погрешности, а при р ^ 0,707 — отрица-
отрицательные. Если допустимая амплитудная погрешность порядка 5 %, то лучше брать
Р ?а 0,6, так как при этом получается более широкий рабочий диапазон частот,
в котором сначала допускаются положительные погрешности, а затем отрицатель-
отрицательные. Однако большинство датчиков ускорения имеют малое демпфирование и для
работы с допустимыми погрешностями их собственная частота должна быть зна-
значительно выше частоты измеряемого сигнала.
Датчики ускорения с малым демпфированием, для которых р и 0 и
обычно характеризуют двумя значениями верхней границы рабочего диапазона
частот, отвечающими т) = 1/3 и т) = 1/5 При т] = 1/3 (ш = шо/3) А, = 12 % A дБ),
при т) = 1/5 (ш = со0/5) Л = 4 % « 0,5 дБ)
Амплитудная погрешность датчиков перемещения и скорости в рабочем диа-
диапазоне частот (ц > 1, тL > 1) в соответствии с уравнениями F1) и F2) выража-
выражается через #2 (г\) и приближенно описывается равенством [15]
А, (Л) = #2 О!) ~ 1 ** (- 2р* + 1 )/т|».
Амплитудная погрешность минимальна при C = 0,707, положительна при
Р < 0,707 и отрица!ельна при р ^ 0,707.
ПРЯМОЛИНЕИН ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 149
О qr qz qj qt cp qs 0,7 qs qs 1,0 1,1 1,2 >,j /,$¦ 1,6 r,s 1,7 i,s гэ 4
i ' ¦ ' t__i i__i 1-, 1 1 1 1 1 ''''''[
0 qr qz 0,3 ff,b qs qs 0,7 qs 0,9 1,0 t,n 1/5угэtfs zj) g sj s w
i i i i
1 i i
> 10 s 3,3 zp гр rt6s ifizsifl f/r ito q$ qs q? qs
qz qr о
Рис. 10. Нормированные амплитудно-частотные характеристики Hi (tj) и Н% (г|)
V?
183
160
140
120
100
90
80
60
20
о
\
ч
2,0
' ^
s\fl
1 \
0,02^
fi=o^
t=2-i/n,
tp2=-arc
—~.
К.
k
v 0,7
q*1
1^q^
4 >-',
\
г
\
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
1,6 1,8 2,0
—i I I
<P°2
0
-10
-BO
-80
-SO
-WO
-120
— W
-160
-180
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,25 1,66 2,5 5,0 °o
п. Нормированные фазочастотные характеристики (fi и ф2 как функции переменной
150
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Датчики перемещения и скорости с малым демпфированием ф » 0), для кото-
которых
аналогично можно характеризовать двумя значениями нижней границы рабочего
диапазона частот, отвечающими г) = 3 и т) = 5. При т) = 3 (со = Зш0) А2 — 12 %
A дБ), при г) = 5 (со = 5соо) А2 — 4 % « 0,5 дБ).
Рабочие диапазоны частот датчиков с малым демпфированием с указанными
выше границами и соответствующими амплитудными погрешностями показаны
на рис. 10 заштрихованными участками.
Фазовая погрешность. Фазовая погрешность датчика характеризуется вноси-
вносимым им фазовым сдвигом гармонического сигнала На рис. 12 видно, чго наимень-
наименьшие фазовые погрешности в рабочем диапазоне частот имеют датчики с малым демп-
демпфированием Только датчики ускорения и лишь при ц <; 1 имеют линейные фазо-
фазовые характеристики, выходящие из начала координат (пропорциональный частоте
фазовый сдвиг). Последнее необходимо для неискаженной передачи формы сиг-
сигнала, имеющего широкий спектр частот, начиная от 0. В широком диапазоне ча-
частот @ < т) s? 0,6-г-0,8) линейный фазовый сдвиг присущ только фазовым характе-
характеристикам, у которых Р = 0,6-^0,7.
0,2 0Л 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2
Рис. 12. Нормированные фазочастотные характеристики ф, и ср2 как функции переменной г\
Выше основное внимание уделено датчикам с дорезонансным и зарезонансным
режимами работы упругоинерционной системы, поскольку они наиболее распро-
распространены. Использование при измерениях других режимов работы подробно рас-
рассмотрено в работе [6].
Динамические свойства датчика при измерении вибрации общего вида.
Важно знать, в каком случае характеристики датчика, полученные при испытаниях
пост>пательной вибрацией, справедливы при измерении вибрации общего вида.
Обозначив проекцию кажущегося ускорения на ось ? в уравнении C0) через а[,
представим это уравнение в виде
= ~mai, F3)
или
F4
При заданном виде а? (/), Q| (/) и Q^ (f) это уравнение может трактоваться как
уравнение системы с параметрическим возбуждением. Поэтому юлько при выпол-
выполнении условия
ПРЯМОЛИНЕЙН. ДАТЧИКИ С ОДНИМ НАПРАВЛЕННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 15)
и наличии достаточного демпфирования в системе можно не опасаться потери устой-
устойчивости от параметрического возбуждения [6]. Отсюда, например, следует, что если
датчик установлен на вращающейся детали и его измерительная ось перпендику-
перпендикулярна оси вращения, то собственная частота датчика в значительной степени должна
превосходить угловую скорость вращения детали.
Для измерений важно установить допустимые значения угловых колебаний.
Из сравнения уравнения F3) с уравнением C1) следует, что при одном и том
же законе изменения во времени а^ (t) и а[_ (() движение инерционного элемента
б @ почти такое же, как и при поступательной вибрации, если в уравнении F3)
можно пренебречь членом m (й| + ?Ц) б, характеризующим осестремительное
ускорение на относительном перемещении. В этом случае характеристики датчика,
полученные при измерении поступательной вибрации, с ограничениями пригодны
и для измерения вибрации общего вида. Для датчика любого вида условия пре-
пренебрежения членом m (Ш + Q^) б определяют допустимые значения угловой вибра-
вибрации.
Для датчика ускорения с дорезонансным режимом работы и верхней гранич-
граничной частотой сов = со0/3, у которого определяющим является упругое сопротивле-
сопротивление, исходя из погрешности а регистрации амплитуды гармонической вибрации
можно потребовать выполнения условия
асбЗгт(й| + Йл)б,
или
С з _ _1 /,
m ~~ ,-..--... FS)
Условие точности измерений F6) при а <^ I обеспечивает и условие устойчи-
устойчивости работы F5). В зависимости от спектра угловой скорости требования к допу-
допустимым значениям угловой вибрации различны. При гармонической угловой виб-
вибрации, например, когда
fl. = 80^ о
й| = — ©eeossin
для датчиков с типовым демпфированием @ < Р =ё I) погрешность измерения гар-
гармонического ускорения точки О
at, = ag cos co^
по сравнению с поступательным движением не превысит по амплитуде 5 % (а = 0,05)
и по фазе 3°, если согласно уравнению F6)
Отсюда следует, что амплитуда угловой вибрации 8U на частоте сое не Должна
превышать значения
Зш9
При cog = сов = шо/3 допустимая амплитуда 60| = 1 рад (— 57°). Для датчиков
перемещения и скорости с зарезонансным режимом работы и нижней граничной
частотой сон = Зсо0 определяющим для нахождения допустимых значений угловой
вибрации является условие устойчивости F5). У верхней границы рабочего диа-
диапазона частот допустимые значения угловой вибрации малы. Поэтому при наличии
Угловой вибрации для измерения скорости и перемещения предпочтительнее исполь-
использовать датчики ускорения с последующим одно- или двухкратным интегрирова-
интегрированием сигнала соответственно.
152
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Таким образом, если угловая вибрация не превосходит определенных значе-
значений, то прямолинейные датчики перемещения, скорости и ускорения при измере-
измерении вибрации общего вида можно характеризовать векторами комплексной и опера-
операторной чувствительности s (/со) и s (p), приложенными в измеряющей точке дат-
датчика и определяемыми только параметрами его измерительной системы.
На рис. 13 показана схема датчика с вектором комплексной чувствительности
на некоторой частоте щ, причем штриховой линией показан вектор мнимой части
s; (coj комплексного вектора чувствительности s (jcOj) (см.
раздел 3 гл. I)
S (J(O1)=Sr (COj) +/S; (ClV = [Sr (Wl) +/S; ((Oj)] ?*•
В общем случае вектор чувствительности может не сов-
совпадать с направлением измерительной оси. Применение век-
векторов комплексной и операторной чувствительности позво-
позволяет находить сигнал датчика, если известны преобразова-
преобразования Лапласа, Фурье или Гильберта измеряемого векторного
процесса (см раздел 3 гл. I).
Рис. 13. Расположение составляющих комплексного вектора
чувствительности относительно корпуса датчика:
О — измеряющая точка; s (tt>i), s. (<ui) — соответственно вещест-
вещественная и мнимая части комплексного вектора
z
i
i
0'
1
|
j
4. УГЛОВЫЕ ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
С НАПРАВЛЕННЫМ ИНЕРЦИОННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ
Уравнения движения измерительной системы датчика. На рис. 14 показана
схема углового датчика с направленным инерционным элементом (ИЭ), который
упруго закреплен в корпусе датчика и может совершать только угловые колеба-
колебания вокруг рабочей оси ?. Ось г есть назначенная измерительная ось датчика. Из-за
Рис. 14. Схема (а) углового датчика с направленным инерционным элементом и сечение (б)
инерционного элемента плоскостью |я?
ошибок изготовления датчика оси ? и г не совпадают и центр масс С инерционного
элемента не лежит на оси ?. На рис. 14 справа показано сечение инерционного эле-
элемента плоскостью, проходящей через центр масс С и перпендикулярной оси ?. Си-
Система координат О|т]? жестко связана с корпусом датчика и движется с угловой" ско-
скоростью Q, как и твердое тело, на котором установлен датчик. Относительно O\rL
движется система координат Оат?, жестко связанная с инерционным элементом
При отсутствии внешних сил центр масс С находится в точке В. Обозначения т
рис. 14:
датчика; 6
УГЛОВЫЕ ДАТЧИКИ С НАПРАВЛ ИНЕРЦИОННЫМ ЭЛЕМЕНТОМ 153
14: 9= 6 ?° — угол поворота инерционного элемента относительно корпуса
ка; 6 — относительное перемещение центра масс при повороте инерционного
НТЗ; О ПЯССТОЯНИР ОТ ПРНТПЯ МП^Р лп лои Т /~W..^^t.iTarTi..ijn/} попйногмоипй
датчика; 6 — относительное перемещение центра масс при повороте инерционного
элемента; р — расстояние от центра масс до оси ?. Относительное перемещение
(см. гл. I)
6 = 6|Г + 6,1т)° = —р [sin 61° +A —cos 6) if], p = const.
Для описания работы датчика выразим кинетическую Т и потенциальную U
энергии и диссипативную функцию R измерительной системы через обобщенную
координату 6 и обобщенную скорость 6:
энер ду фуцю R и
координату 6 и обобщенную скорость 6:
— cos6) if];
где \с и vfl — абсолютные скорости точек С и В относительно начала системы коор-
координат, связанной с поверхностью Земли (см. раздел 2); б' — относительная угловая
скорость ИЭ; Q^, Йо> ^т — составляющие угловой скорости Q; т — масса инерци-
инерционного элемента; J — момент инерции ИЭ относительно главной центральной оси ?',
проходящей через центр масс С и параллельной оси ?; JgC, JxC — другие главные
центральные моменты инерции; и — коэффициент угловой жесткости упругого креп-
крепления; Ьа — коэффициент углового сопротивления; g — ускорение свободного
падения; а°, |°, if — единичные векторы осей.
Дифференциальное уравнение движения измерительной системы датчика полу-
получим из уравнения Лагранжа
i^_^j- —+ —-О
dt дв дв дв дв
Используем написанные выше выражения и соотношение
дд<г°
<r°=e =
Тогда
дТ дх.
— — = mvc-(-
дТ dvr f.da°
ae-=mvc • ж=~ mVc'p e
^ (cos61°+sin eTjo) =
56
Подставив полученные выражения в уравнение Лагранжа, получим дифферен-
дифференциальное уравнение движения измерительной системы датчика
= — /Q?+ pmvc • a" — pm? ¦ <гв. F7)
154
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
где рт\с-в" — момент силы инерции центра масс относительно оси ?; — pmg-a" ¦—
момент силы тяжести инерционного элемента относительно оси %,; —JU^ — момент
сил инерции ротора относительно главной центральной оси инерции ?'.
Введя специальные обозначения для ускорения центра масс vc = ас и угло-
углового ускорения тела е= Й (Qj= е^= е-?°) уравнение F7) представим в виде
Л + bj + x6 = — Je ¦ ?°-fpm (ac— g) ¦ a". Fii
Если центр масс инерционного элемента лежит на оси вращения (р = 0), то
уравнение F8) принимает вид
+ и6 = — /е? = — Je.g>. F9)
Свойства угловых датчиков. Из сравнения уравнений F9) и C1) видно, что
они подобны и, следовательно, характеристики углового датчика такие же, как
и характеристики прямолинейного датчика при измерении
поступательной вибрации. Поэтому все сказанное в разделе
3 на стр. 143—150 применимо к датчикам углового перемеще-
перемещения, угловой скорости и углового ускорения. Из сравнения
уравнений F9) и F3) видно, что, во-первых, в отличие от
прямолинейных угловым датчикам не свойственно по-раз-
по-разному реагировать на измеряемую величину в зависимости
от значений составляющих угловой скорости Qt и пц, пер-
перпендикулярных измерительной оси датчика; во-вторых, угло-
угловые датчики устойчиво работают в дорезонансной и зарезо-
нансной областях.
Рис. 15. Схема расположения вещественных векторов чувствитель-
чувствительности относительно корпуса датчика углового ускорения
Возвращаясь к уравнению F8), отметим, что в режиме акселерометра с малым
демпфированием в диапазоне частот, расположенном существенно ниже частоты
резонанса, х9 Js> /9 + ba6, и справедливо приближенное уравнение
• ъ -г Р ( с 8) ¦ • G0)
Для датчика, выходной сигнал которого и (t) пропорционален углу поворота 9,
и (t) = -—удб (t), в соответствии с уравнением G0) можно записать, что
u=e-se + (ac — g)-sa, G1)
где se — свободный вектор чувствительности к угловому ускорению корпуса дат-
датчика; sa — связанный вектор чувствительности к линейному ускорению, приложен-
приложенный в центре масс инерционного элемента:
П1Г\
;', 7>0.
Отношение модулей чувствительностей называют радиусом 100-процентной
ошибки измерения углового ускорения:
тр'
G2)
На рис. 15 показана схема датчика углового ускорения с указанными векто-
векторами чувствительности. Кинематические ошибки углового датчика порождаются
поперечной чувствительностью к угловому ускорению, когда вектор чувствитель-
чувствительности sa не направлен вдоль измерительной оси, и чувствительностью датчика к ка-
кажущемуся линейному ускорению (ас — g). Как и прямолинейные датчики, угловые
ДАТЧИКИ С НЕНАПРАВЛЕННЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
155
датчики перемещения, скорости и ускорения можно характеризовать векторами
комплексных и операторных чувствительностей к углу а угловой скорости Q и
угловому ускорению е: Sq, (;©), sa (p), Sq (/щ), Sq (р), S(J (/ш), se (p).
При многомерных угловых колебаниях чувствительность к углу используют
только при углах, не превышающих 20°.
5. ДАТЧИКИ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
С НЕНАПРАВЛЕННЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Предварительные замечания. В датчиках с ненаправленными инерционными
элементами последние в диапазоне измерений могут совершать соизмеримые линей-
линейные и угловые перемещения в различных направлениях. При этом проектирующие
свойства датчика, позволяющие измерять требуемые компоненты векторных вели-
величин, обеспечиваются как за счет геометрических свойств упругого крепления инер-
инерционных элементов, так и за счет проектирующих свойств используемых механо-
электрических преобразователей [4] (см. также гл. VIII).
К датчикам этого вида можно отнести пьезоэлектриче-
пьезоэлектрические (прямолинейные и угловые), тензорезистивные с кон-
консольным закреплением инерционного элемента, магнито-
стрикционные и др. В высокочастотных пьезоэлектрических
датчиках габариты деталей уменьшаются настолько, что мас-
масса инерционного элемента становится сравнимой с массой
других деталей измерительной системы. Датчики следует
рассматривать, как содержащие несколько инерционных
элементов. Существуют и используются пьезоэлектрические
датчики ускорений, в которых нет специального инерцион-
инерционного элемента. Они работают на объемных инерционных
силах пьезоэлементов [16]. Вследствие малости относитель-
относительных перемещений инерционных элементов и наличия не-
нескольких резонансов в измерительной системе такие датчи-
датчики используют только как датчики ускорений.
Рис. 1В. Схема измерительного устройства с двумя ненаправлен-
ненаправленными инерционными элементами:
1,2 — точки центров масс ИЭ (a,, at — ускорения центров масс
ИЭ); S — преобразователи
Описание работы датчиков. На рис. 16 показана схема устройства, содержащего
Два инерционных элемента (п = 2). В работе такого устройства используют ма-
малость относительных линейных и угловых перемещений, а устройство, как пра-
правило, работает в режиме акселерометра, когда спектр частот измеряемых сигналов
лежит существенно ниже частоты первого резонанса устройства. Вынуждающими
силами упругоинерционной системы устройства являются инерционные силы, про-
пропорциональные угловому ускорению s корпуса и кажущимся ускорением (ал — g)
Центров масс инерционных элементов [см. правые части формул E) и F8)]. Ввиду
малости относительных перемещений инерционных элементов можно рассматривать
векторы относительных линейных Ьп и угловых в„ перемещений, являющиеся ли-
линейными векторными функциями векторных аргументов е и (ага — g). Если в рас-
рассматриваемом устройстве использовать k (k ^ 1) механоэлектрических преобразо-
преобразователей, электрические сигналы и^ которых представляют собой линейные ска-
скалярные функции векторных аргументов 6„ и в„, то для каждого из преобразователей
при п = 2 можно записать [5, 11, 12]
«* = sa7 ¦ (al -2) + SM • (a2-2) + se • 8
где s^*1, s^'— векторы чувствительности k-ro преобразователя к линейным кажу-
156
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
щимся ускорениям центров масс; s(*' — вектор чувствительности &-го преобразова-
преобразователя к угловому ускорению.
Сигнал датчика и получают как линейную комбинацию сигналов и^:
_ у „ .(ft)
~2j aksal >
s.=
s(ft)
s
При п инерционных элементах получим
п
«= X s7r(a,'-g)+se-e;
G3)
.(ft)
««2ftm eI]ft8
ft ft
Надлежащей установкой электромеханических преобразователей в датчиках
линейного ускорения обеспечивают выполнение условия
п
2 Sa/• (а,—g) > S8 • 8,
а в датчиках углового ускорения — условия
п
« —g).
Датчик линейного ускорения. Для датчика ускорения точки уравнения G3)
можно привести к виду [5]
где sa — вектор чувствительности датчика к линейному ускорению в условной
измеряющей точке О (см. также раздел 2); sE — результирующий вектор чувстви-
чувствительности к угловому ускорению, и (Й2) — сигнал,
пропорциональный квадрату угловой скорости Q2
X /„ корпуса датчика Измеряющая точка О лежит на
измерительной оси датчика Ог. В работе [5] предложен
способ практического нахождения условной измеряю-
измеряющей точки О датчика по минимуму сигнала и (Й2)
при воздействии на датчик гармонической угловой
вибрации с частотой со При испытании датчик
Рис. 17. Схема практического нахождения условной изме
ряющей точки и чувствительности к угловому ускорению
датчика:
/ — стол вибровозбудителя угловых колебаний; 2 — ползун,
перемещающийся вдоль оси Вт, 3 — датчик с измерительной
осью г, В — точка, через которую проходит ось вращения
стола
перемещают по столу крутильной виброустановки в направлении прямой линии,
проходящей через ось вращения стола (рис. 17). Способ удобен тем, что сигнал и (Q2)
проявляется на частоте 2<в и может быть выделен с помощью частотно-селективных
устройств. Одновременно находят составляющие вектора чувствительности:
ДАТЧИКИ С НЕНАПРАВЛЕННЫМИ ИНЕРЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 157
в положении, когда ось вращения вибростола проходит через измеряющую точку О
датчика. Ось вращения вибростола при испытаниях должна быть параллельна век-
вектору ускорения свободного падения g, чтобы не было вклада в сигнал от этого фак-
фактора (sa- g = const) Составляющие вектора
= sa
sayy °
"ay
определяют по реакции датчика на единичные ускорения поступательного дви-
движения (чаще всего гармонического) вдоль соответствующих осей. Направленные
свойства линейного датчика определяются вектором sa. Вопросы практического
исследования направленных свойств датчиков изложены в работе [3] Чувствитель-
Чувствительность датчика к ортогональным компонентам линейного ускорения ах и ау опре-
определяется вектором поперечной чувствительности
и оценивается относительными поперечными чувствительностями
s
's~a~z
и
кхи — '
где sax, $ay — поперечные чувствительности к линейному ускорению в направле-
направлении осей х и у, перпендикулярных измерительной оси г; saz — основная чувстви-
чувствительность к линейному ускорению в направлении измерительной оси г.
Сигнал ротационной ошибки датчика
появляется только при его вращении, причем, если углы поворота при колебаниях
малы, то u(Q2)<sb-8 В качестве параметра, характери-
характеризующею чувствительность датчика к угловому ускоре-
ускорению, удобно принять условный радиус R неточного поло-
положения измеряющей точки датчика (см. раздел 2)
sex
где sE K, siy, sez — чувствительности датчика к угловому
ускорению относительно осей х, у и г.
Рис. 18. Схема расположения вещественных векторов чувстви-
чувствительности относительно корпуса датчика линейного ускорения
Величины Rx, R2 и R3, являющиеся коэффициентами влияния составляющих
углового ускорения гх, гу и гг соответственно, при измерении составляющей линей-
линейного ускорения а2 удобны гем, что позволяют оценить, каким смещениям датчика
относительно измеряемой точки на объекте измерения эквивалентна чувствитель-
чувствительность к угловому ускорению. В работе [5] описан способ практического определе-
определения Rlt R2 и Я3.
В датчиках ускорения точки, действие которых основано на использовании
цепи преобразований измеряемое ускорение точки — инерционная сила — изме-
измеряемая деформация, радиус R может быть мал Однако в датчиках, действие кото-
которых основано на использовании цепи преобразований измеряемое ускорение точки —
инерционная сила — момент инерционной силы — измеряемая деформация, радиус R
всегда не меньше габаритных размеров инерционного элемента.
На рис. 18 показана схема датчика линейного ускорения с векторами sa и se
Когда у датчика линейного ускорения чувствительность к угловому ускоре
нию мала, его выходной сигнал можно представить в следующем виде:
«~sa («0-8)- *75)
158
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
В общем случае датчик следует хараюеризовать векторами операторной sa (p)
и комплексной sa (/со) чувствительности (см разделы 2 и 3):
з
sa (Р) = У, sai (P) е/; G6)
з
(=1
= хв, е2 = з
G7)
где sai (p), sai (/со) — соответственно операторные и комплексные чувствительности
к линейному ускорению вдоль измерительной оси г и перпендикулярных ей осей;
_ .^ _ „ — » » Т? ГУ XMI II ТГ Л
виде:
неу ур
орты осей датчика.
Уравнение G7) для вектора so (/со) можно также представить в следующем
:
где sa! (со) — амплитудно-частотная характеристика чувствительности вдоль оси /;
ц,а1 (ж) _ фазочастотная характеристика чувствительности вдоль оси /.
В огличис от датчика с направленными инерционными элементами в данном
датчике комплексные векторы sa (p) и sa (/со) в общем случае не являются простыми,
т. е. у них векторы вещественной и мнимой частей не имеют общего направления
(см. гл. 1, раздел 3). Вектор sa (/со) становится простым
только при одинаковых фазовых сдвигах по всем осям
датчика
Фал: (W) = Фаг/ М = Фаг («) = Фа (<•>)•
На рис. 19 показана схема датчика с вектором ком-
комплексной чувствительности s (/'coj на частоте Wj, состоя-
состоящим из вектора вещественной части sr (щ) и вектора
мнимой части s; (<%),
s (/coj = s,- (coj) + /s/ (ffli) = sr (coj) esr + /s,- (coj) ei;-; G8)
Рис. 19. Схема расположения составляющих комплексного век
тора чувствительности s {Jtoi) относительно корпуса датчика
(околорезонансный режим работы на частоте (Oj)
На рис. 19 даны составляющие векторов основной sz Цщ) и поперечной sxy (/о
чувствительностей датчика:
s (/сог) =¦ sz Цщ) + sxy (/ffli); G9)
S? (/Wl) =z Srz (Wl) ~f~ iSiz (^l) I
s-fl/ (№>i) = Sz-д-у (C0t) -(- I'Sixy (u)l),
которые также являются комплексными векторами (сравните с рис. 4). Векторы
мнимой части комплексных векторов показаны штриховыми линиями.
С изменением частоты со вектор комплексной чувствительности s (/со) изме-
изменяет свое положение в пространстве, т. е. в общем случае вместо уравнения G8)
имеем
s (/со) = sr (со) + /s; (со) = sr (&"¦ esr (со) + jsi (со) esl (со).
Когда вектор sa (/со) является простым, диаграммы направленности чувстви-
чувствительности датчика, определяемые по значению выходного сигнала, отвечающего
действию единичного гармонического ускорения в заданном направлении, в любой
плоскости представляют собой две соприкасающиеся окружности [3]. Когда век-
Т0Р sa (/ю) не является простым, вид диаграмм направленности становится более
сложным, и для датчика характерно изменение фазы выходного сигнала при изме-
Датчики с ненаправленными инерционными элементами 15ч
нении направления измеряемого ускорения. На рис. 20 показана диаграмма направ-
направленности поперечной чувствительности датчика на частоте, для которой вектор
поперечной чувствительности не является простым. На рисунке для каждого направ-
направления действия гармонического ускорения a (jwt) = е>ша° полярным радиусом от-
отложена амплитуда и0 выходного сигнала датчика и (/со, t) с указанием фазы отно-
относительно действующего ускорения.
Рис. 20. Диаграмма направленности (ДН) ноперечной чувствительности датчика на частоте ш
(s , s. — векторы вещественной и мнимой частей комплексного вектора поперечной
чувствительности sA ; г — г, s — I — перпендикулярные им направления; яг — единичный
направляющий вектор ускорения; s^ = s.f , a — 30°)
При использовании преобразования Лапласа а (р) и Фурье а (/ш) измеряемого
векторного сигнала a (t) (см. гл. I, раздел 3)
2
1=1
а (р) = X [а (/)] =
ф] e,= 2<i, (p) ez;
z=i
а (/со) «.F [a
/= 1
векторы операторной sa (р) и комплексной sa (/го) чувствительностей позволяют
находить преобразования Лапласа и Фурье выходного сигнала датчика и (t) по ана-
lbO УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
логии с уравнением G5)
и (Р) = Sa (Р) • а (р) = 2 sa, (р) а{ (р);
з
и ()«) = sa (/(о) • а (/о) = 2 sai (/w) a/ (/со).
Датчик углового ускорения. Для датчика углового ускорения также выгодно
приводить уравнение G3) к виду G4):
« = sB-8 + sa-(ao-g) + «(G2) (80;
с указанием для датчика точки О, в которой измеряется линейное ускорение а0>
и которую на практике находят по минимуму сигнала и (Q2) (см. предыдущий раз-
раздел). Зная эту точку, можно уменьшить погрешность измерений в тех случаях, когда
бывает известна ось вращения тела, на которое устанавливают датчик. Для этого
датчик следует устанавливать так, чтобы ось вращения тела проходила через изме-
измеряющую точку О, при этом &0 = 0.
Составляющие вектора чувствительности к угловому ускорению
(81)
определяют на крутильной виброустановке. Ось вращения вибростола должна быть
строго параллельна вектору ускорения свободного падения g, чтобы sa-g не было
функцией времени. При sa Ф 0 ось вращения должна также проходить через изме-
измеряющую точку О Если чувствительность к линейному ускорению мала, sa кв 0,
то последнее условие можно не соблюдать. Измерительную ось г датчика углового
ускорения рекомендуется назначать так, чтобы фактическая измеряющая точка
лежала на ней, хотя на практике положение измерительной оси может быть назна
чено из других соображений, например из условия минимума момента инерции
датчика относительно нее
В датчике углового ускорения сигнал so- (а0— g) порождает ошибку изме-
измерения как при поступательной, так и при угловой вибрации. В качестве параметра,
характеризующего датчик по чувствительности к линейному ускорению, удобно
принять условный радиус Rm 100-процентной ошибки измерения углового ускоре-
ускорения:
100/3~^' 100/3~^'
р
100/1 ~s^ ^ ^
где ssz — основная чувствительность датчика к угловому ускорению; sax, say, saz —
нежелательные чувствительности датчика к линейному ускорению вдоль осей х,
У и z.
Величины Rloo/l, Rm/2 и #1U0/3 позволяют оценить, насколько допустимо уда
лять датчик углового ускорения от предполагаемой оси вращения тела, на котором
он установлен Обратные величины R^n, #fOo/sj и ^ш/з являются коэффициентами
влияния составляющих линейного ускорения соответственно ах, аи и az при изме-
измерении 8г.
На рис. 21 показана схема датчика углового ускорения с векторами se и so.
Когда у датчика углового ускорения чу ветви 1ельность к линейному ускорению
мала, его сигнал можно представить в виде
н s» sg • 8. (82)
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ДАТЧИКОВ
161
В общем случае датчик следует характеризовать векторами операторной sg (р)
и комплексной s? (/со) чувствительности:
з
se (Р) = 2 %г (Р) ег; (83)
/=1
з
VW Q „в „ „в
1 — * 1 е2 — х > еЗ == Z I
где se/ — Чувствительности датчика к угловому ускорению относительно измери-
измерительной г и перпендикулярных ей осей; е/ — орты осей датчика.
Сказанное в предыдущем разделе относительно операторных
чувствительностей полностью относится и к датчикам
углового ускорения.
Пример. Пьезоэлектрический Датчик углового ускорения I
чувствительность к угловому ускорению
и комплексных
имеет
s?> =
= 30 мкВ/рад/с8 и чувствительности к линейному ускорению
s = 15 мкВ/м/с2, » ,,= Ю мкВ/м/с2, s^,= 15 мкВ/м/с2. Оп-
100%-нои ошибки измерения RM
s
ределить радиус
^100/1
Следовательно,
¦2 м: «100/2= Г5--3 м:
at/
«100/3 = I— = 2 м-
:,оо = 2 м
Рис. 21. Схема расположения вещественных векторов чувстви-
чувствительности относительно корпуса датчика углового ускорения
6. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ДАТЧИКОВ
ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Прямолинейные и угловые датчики могут быть использованы для измерения
перемещений, скоростей, ускорений, резкости. Как следует из материала предыду-
предыдущих разделов, чаще используют датчики перемещений и скоростей, работающие
в зарезонансном режиме, либо датчики ускорений, работающие в дорезонансном
режиме В последнее время датчики ускорений применяют для измерения как уско-
ускорений, так и скоростей и перемещений, используя одно- и двукратное интегрирова-
интегрирование сигнала датчика.
Датчики перемещения. Прямолинейные и угловые датчики перемещения, ра
ботающие в зарезонансном режиме (см. разделы 3 и 4), имеют, как правило, на-
направленные инерционные элементы и применяются для измерения низкочастотных
сигналов. Свойства датчика описываются уравнением F2). При малом демпфирова-
демпфировании ф « 0) сдвиг по фазе входных гармонических сигналов в датчике мал (q\ «= 0),
и форма сложною сигнала, спектр частот которого лежит в рабочем диапазоне ча-
частот датчика, практически не искажается (см. ц>х на рис. 11). Вследствие крутого
хода амплитудно-частотной характеристики датчика гармонические составляющие
в наибольшей степени изменяются по амплитуде. При введении в датчик сущест-
существенного демпфирования ф = 0,5-=-0,7) плоскую часть амплитудно-частотной харак-
характеристики датчика можно значительно распространить в область низких частот
(см. Я2 (г|) на рис. 10). При измерении только амплитуд гармонических состав-
составляющих сигнала это позволяет значительно расширить рабочий диапазон частот.
Однако при всех значениях демпфирования, отличных от нуля ф > 0), фазовый
6 и. р Генкина М Д , г. Ь
162 УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЙ
сдвиг датчика не пропорционален частоте (см. q>1 на рис. 12) в рабочем диапазон^
частот, поэтому сигнал сложной формы искажается. Только при оптимальном демп-
демпфировании ф = 0,6-^0,7) в узком диапазоне частот вблизи час юты резонанса можно
найти участок, где фазовый сдвиг еще можно считать пропорциональным частоте [6]
Верхний предел измеряемых перемещений определяется, как правило, усло-
условиями линейности датчика Размеры корпуса датчика должны позволять ему пере
мещаться относительно почти неподвижного в пространстве инерционного элемента.
Большинство датчиков этого вида имеет упоры, ограничивающие относительное
перемещение и, следовательно, верхний предел измеряемых перемещений ^Нижний
предел измеряемых перемещений определяется шумами или разрешающей способ-
способностью используемых механоэлектрических преобразователей.
Уравнение F2) описывает свойства идеализированною датчика, у которого
рабочий диапазон частот сверху не ограничен. На практике верхняя граница рабо
чего диапазона частот датчика ограничена вторичными резонансами в пружинах [17]
Датчики скорости. Прямолинейные и угловые датчики скорости, работающие
в зарезонансном режиме, применяют в основном для измерения низкочастотной
вибрации. Выходной сигнал датчика пропорционален относительной скорости
инерционного элемента — б, 6 (см. разделы 3 и 4), что достигается применением
чувствительных к скорости механоэлектрических преобразователей. Свойства дат-
датчика описываются уравнением F1) [сравните с уравнением F2)]. Да1чик скорости
работает в том же частотном диапазоне, что и датчик перемещения, имеет такие же
частотные характеристики и ограничения по входным перемещениям к частотному
диапазону
Датчики ускорения. Прямолинейные и угловые датчики ускорения, работаю-
работающие в дорезонансном режиме (см разделы 3—5), применяют для измерения вибра-
вибрации в широком диапазоне частот, начиная от нуля, если это позволяет используемый
механолпектрический преобразователь. Свойства датчика описываются уравнением
F0). При малом демпфировании ф rs 0) сдвиг по фазе измеряемых гармонических
сигналов в датчике мал (ф2 « 0), и форма сложного сигнала, спектр частот кото-
которого не превосходит верхней граничной частоты датчика (см. раздел 3), практи-
практически не искажается. Введя в датчик существенное демпфирование ф = 0,5-г-0,7),
можно значительно расширить его рабочий диапазон частот (см. Нх (т|) на рис. 10),
в котором незначительны искажения формы сигнала. При т) «^ 1 (при относитель-
относительном демпфировании р = 0,5-j- 0,7 и в более широком диапазоне частот, 0 < Т) ^
^0,6-г-0,8) датчики ускорения имеют пропорциональный частоте фазовый сдвиг
2
ф2 = aw (см. ф2 на рис. 12). Поэтому входному сигналу вида a (/)=2 a0,- cos (w,/ +
i
-f- %) соответствует выходной сигнал вида
«@=2 sa {щ) aoi cos (со,; + aw, + %) = 2 sa W au cos [со, (t -f a
Следовательно, при постоянной амплитудно-частотной характеристике (sa (со,) =
= const) датчик осуществляет только сдвиг сигнала во времени на величину а без
искажения его формы При 0 = 0,5-=-0,7 a «* —я/2соо. Как видно на рис.12, при
любых значениях относительного демпфирования, кроме р1 = 0 и р *» 0,65, фазовый
сдвиг ф2 датчика в широком диапазоне частот не пропорционален частоте и, сле-
следовательно, форма сигнала искажается.
Рабочий диапазон частот датчика пропорционален собственной частоте соо>
а чувствительность датчика обратно пропорциональна ш§, поэтому при измерении
вибрации малого уровня не следует брать датчики, имеющие запас по диапазону
частот.
Датчики ускорения наиболее пригодны для измерения ударных процессов,
поскольку позволяют измерять гармонические составляющие, начиная с низких
частот. На рис. 22—24 представлены кривые отклика датчика ускорения на типо-
типовые импульсы [19]. Импульсы показаны штриховыми линиями. Кривые отклика
датчика, показанные сплошными линиями, вычислены для четырех значений отно-
относительного демпфирования ф = 0; 0,4, 0,7; 1,0) и трех значений отношения to/j[tu/t=
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ДАТЧИКОВ
163
= 1,014Ja); 0,338F); 0,203 (в)], где т — длительность импульса; т0 = 1//0 — соб-
собственный период датчика. Анализ кривых позволяет сделать следующие выводы.
1. Датчик тем точнее воспроизводит импульс, чем выше его собственная ча-
частота (чем меньше собственный период по сравнению с длительностью импульса).
У
?
*
0
-15
/
/3=0
и
?
?
V
?
0
-?
-
7
/
-
\л
Ml
ff'VW\
1 I
Г
0.5
Рис. 22. Кривые отклика датчика ускорения на полусинусоидальный импульс ускорения
длительности т (штриховая линия) при различных значениях собственного периода То дат-
датчика (р — отношение измеренного ускорения к пиковому ускорению импульса)
2. При наличии демпфирования более точно воспроизводится форма импульса,
так как уменьшается переходная реакция датчика на приложенный импульс, про-
происходящая на частоте свободных колебаний.
7G
0,5
^0,5
'?
4s
I
/и
-
1
/ \ л
/ \ /3^0
г<уу'0'7
1 v_
\ 1
a)
У
?
-0,5
4,0
45
-A
-
К
f\
}
\
0,7^
Ofi'
1
^/3=10
W
t,5T
в)
Рпс. 23. Кривые отклика датчика ускорения на треугольный импульс ускорения длительно-
длительности х (пунктирная линия) при различных значениях собственного периода т0 датчика
3. В зависимости от принятых критериев точности воспроизведения импульса
Для каждой формы импульса можно найти оптимальное значение относительного
Демпфирования.
Однако на практике демпфирование датчика может быть небольшим. Для дат-
датчика (. малым демпфированием и высокой собавенной частотой можно применить
6*
164
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
фильтр нижних частот, пропускающий гармонические составляющие с частотами
спектра импульса, не устраняющий переходные колебания.
При измерении ударных ускорений необходимо достаточно хорошо передавать
низкочастотные составляющие спектра импульса. Для датчиков и аппаратуры,
не передающих сигналы нулевой частоты, частота среза низких частот fCH результи-
результирующей амплитудно-частотной характеристики, на которой усиление падает ча 3 дБ,
~Ц5
¦0,5
If-
ll
1
0/
ю
Рис. 24. Кривые отклика датчика ускорения на прямоугольный импульс ускорения длитель-
длительности t (пунктирная линия) при различных значениях собственного периода т0 датчика
не должна превышать 1/50 т, где т. — длительность импульса [17]. Вопросы изме-
измерения колебаний различной формы более подробно рассмотрены в работе [6].
Устойчивость датчиков линейного ускорения существенно выше, чем датчиков
линейного перемещения и линейной скорости при измерениях в условиях угловой
вибрации.
7. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДАТЧИКОВ
Предварительные замечания. Результирующая (суммарная) погрешность дат-
датчика складывается из основной и дополнительной (см. гл. XII, раздел 4). Основ-
Основная погрешность прямолинейных датчиков определяется в нормальных условиях:
при отсутствии поперечных компонентов поступательного движения и угловых
колебаний датчика; в заданных интервалах значений параметров физических полей
(электромагнитного, акустического, поля деформаций объекта в месте установки
датчика), температуры, влажности и других факторов. Основная погрешность опре-
определяется главным образом погрешностью градуировки (калибровки) и нелиней-
нелинейностью функции преобразования. Дополнительные погрешности возникают вслед-
вследствие того, что влияющие величины выходят из областей нормальных значений.
Дополнительные погрешности датчиков, порождаемые влияющими величинами,
связанными с движением или проявляющимися при движении, называют кинема-
кинематическими. Кинематические погрешности прямолинейных датчиков обусловлены
их чувствительностью к поперечным компонентам поступательного движения и
угловым колебаниям. Когда известны влияющие величины и функции влияния
(коэффициенты влияния), кинематические погрешности рассматривают как система-
систематические; в этом случае возможна автоматическая компенсация указанных погреш-
погрешностей или их учет. В противном случае их считают случайными. В данном разделе
рассмотрены причины кинематических погрешностей прямолинейных датчиков и
величины, по которым оценивают эти погрешности. Кинематические погрешности
угловых датчиков описаны в следующем разделе.
Выходные сигналы датчиков ускорения точки иа, датчика скорости точки и„
и датчика перемещения точки ц^ выражаются через проекцию кажущегося ускоре*
ния на вектор чувствительности датчика (а не нэ измерительную ось).
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДАТЧИКОВ
165
В датчиках ускорения с дорезонансным режимом работы и датчиках скорости
и перемещения с зарезонансным режимом работы выходные сигналы в рабочем диа-
диапазоне частот можно представить в следующем виде:
«a = sa(a — g) • s°; (85)
u*, = St, j (a —g) ¦ s° dt; (86)
ud— sd ) dt ^ (a—g) -&°dt, (87)
где sa, sv, Srf — максимальные чувствительности датчиков; (а — g) — кажущееся
ускорение, равное геометрической разности абсолютного ускорения а в измеряе-
измеряемой точке и ускорения в поле силы тяжести g, g = 9,81 м/с2; s° — единичный вектор
вектора чувствительности датчика. (Точка в формулах означает скалярное произ-
произведение векторов). Формулы (86) и (87) справедливы и для случая, когда скорость
и перемещение находят интегрированием сигнала датчика ускорения (85). В общем
случае выходные сигналы датчиков скорости и перемещения не совсем точно вос-
воспроизводят измеряемые величины — скорость и перемещение точки, причем погреш-
погрешность измерения пропорциональна величине угловых колебаний (см ниже). По-
Поскольку прямолинейные датчики имеют также некоторую чувствительность к угло-
угловому ускорению, при рассмотрении кинематических погрешностей в соответствии
с уравнением G4) в (85) — (87) вместо (а — g) -s' следует подставить выражение
[(а — g) -s° + sE-e/sa]. Уравнение (85), например, записанное в координатях вхо-
входящих векторов в системе координат датчика Охуг, имеет при этом вид (см. раздел 5)
— saz\ (ах — gx)
L saz
ssx sey
= saz[(ax—Sx) kx + (ay—gy) ky + (аг — g2) +
где kx, ky, Ru R2, R3 — аддитивные коэффициенты влияния соответствующих вели-
величин.
Погрешность измерения, обусловленная влиянием поперечных компонентов дви-
движения. Вектор чувствительности s датчика, как правило, не совпадает с направле-
направлением его паспортной измерительной оси. Кроме того,
при установке датчика на объект возможно отклонение
измерительной оси Ог датчика от заданного измеритель-
измерительного направления O'Z (рис. 25, где s0 — вектор основ-
основной чувствительности датчика; О — измеряющая точка
датчика, совмещенная с точкой измерения; O'XYZ — систе-
система координат, определяемая заданными измеритель-
измерительными направлениями). Таким образом, вектор чувстви-
чувствительности s имеет результирующие составляющие и
вдоль осей О'X и O'Y:
Рис. 25. Схема отклонения измерительной оси Ог датчика от
заданного измерительного направления O'Z
Если измеряется, например, поступательное виброускорение а в точке О
то результат измерения [см. (85)]
168 УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
где S,, — чувствительность датчика вдоль измерительной оси Ог. Практически всегда
можно положить &2 те so> так что
где kx, ку — результирующие коэффициенты относительной поперечной чувст-
чувствительности (ОПЧ) к ускорению вдоль осей ОХ и OY (результирующие коэффи-
коэффициенты влияния). Последние два члена определяют абсолютную погрешность изме-
измерения Да^-, обусловленную влиянием компонентов виброускорения, перпендику-
перпендикулярных заданному измерительному направлению:
Относительную погрешность измерения можно оценить одной из величин:
"*-[[>* Т*".
ky
где а%, Qy, az — среднеквадратичные, средние по модулю или пиковые значения
измеряемых величин (представляющие параметры). Здесь и далее при нахожде-
нахождении относительных погрешностей измерения, а также при сравнении функций вре
мени предполагается, что используются некоторые оценочные значения (представ-
(представляющие параметры) этих функций, которые не равны нулю, если функции тожде-
тождественно не равны нулю, см гл. VI, раздел 1.
Обусловленная влиянием поперечных компонентов движения погрешность из-
измерения складывается из инструментальной (датчика) и установочной погрешно-
погрешностей. Если kx и ky — коэффициенты относительной поперечной чувствительности
датчика вдоль собственных осей Ох и Оу и известен наклон измерительной оси Ог
датчика относительно заданного измерительного направления (<p^, <ру), то резуль-
результирующие коэффициенты влияния кх и ку вычисляют по формулам
где ц>х и фу — углы поворота (в радианах) измерительной оси Ог датчика отно-
относительно осей О'Х и О' У, положительные при повороте против часовой стрелки.
(Наклон измерительной оси на 1° эквивалентен коэффициенту ОПЧ 2%). Если
известны только паспортное значение коэффициента ОПЧ датчика кЛ и среднее
значение коэффициента ОПЧ от установки kycr, то относительную погрешность из-
измерения можно оценить одной из величин:
Для определения погрешности измерений по результатам измерений ускоре-
ускорение точки О необходимо измерять трехкомпонентным датчиком. В этом случае ре-
результаты измерения можно представить в следующем виде:
Погрешности измерения прямолинейных датчиков
16?
еде индексы 1, 2 и 3 при коэффициентах влияния относя гея соответственно к дат-
датчикам, измеряющим ускорения вдоль осей OX, 0Y и 01. Найденные из опыта
относительные погрешности измерения можно оценить выражениями
a°vn= A
ay
ах
az
'= *.
a
™ a'*
+
hz'
ь
nn T i...
11/2
J
11/2
J ;
Для датчиков скорости и перемещения погрешность измерения может быть
найдена по тем же формулам, с заменой а на и и d.
Погрешность измерения, порождаемая угловыми колебаниями датчиков в поле
силы тяжести. При угловых колебаниях в поле силы тяжести прямолинейные
датчики инерционного действия вырабатывают
дополнительный сигнал, пропорциональный
проекции на измерительную ось датчика
(если вектор чувствительности совпадает с
измерительной осью) вектора ускорения в
поле силы тяжести g. В соответствии с фор-
формулами (85) — (87) имеем
"aV,g) = — sag-s°; (88)
uv(t, g) = —sv jg-s°ctf; (89)
Погрешность от влияния ускорения си-
силы тяжести является методической; она обу-
обусловлена действием на инерционный элемент
датчика силы тяжести (см раздел 2). Сигнал
от угловых колебаний в поле силы тяжести
особенно опасен в области низких частот, где
ускорения малы даже при больших переме-
перемещениях. Ниже показано, что наибольший
переменный сигнал вырабатывают датчики,
среднее положение измерительной оси кото-
которых перпендикулярно вектору g. На рис. 26
показан объект, совершающий угловые колебания как твердое тело в плоскости
Охгх2 относительно точки 0 по закону ф (t) — ф0 cos Ш. В точках / и 2 тела
установлены датчики виброускорения точки, векторы чувствительности которых S]
и s2 направлены вдоль осей хх и хг. Датчики имеют одинаковые чувствительности
si = &> = sa, установлены по касательной к траектории точек при угловых коле-
колебаниях и измеряют вращательное ускорение овр = Й2фо Р cos Q/. В соответствии
с уравнением (88) добавочные сигналы датчиков от угловых колебаний в поле силы
тяжести
ugi-=— Sag cos (я/2—ф) = — sag sin ф; ug2 — sag cos ф.
Для углов, не превышающих 30°, можно использовать приближенные равенства
NWWWWY
Рис. 26. Схема измерения вращатель'
пых ускорений точек / и 2 тела при
различной ориентации измерительных
осей датчиков относительно ускорения
силы тяжести g
Таким образом, при малых }глах наибольший переменный сигнал вырабаты-
вырабатывает датчик /,
168
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Для того чтобы при измерениях относительная погрешность Р не превышала
заданной величины, должны выполняться следующие условия:
(91)
(92)
(предполагается, что постоянная составляющая сигнала не измеряется)^ Получен-
Полученные соотношения показывает, что низшая частота угловой гармонической вибрации
йолжна быть ограничена, чтобы погрешность измерения вибрации точки из-за угло-
угловых колебаний датчика в поле силы тяжести не превышала заданной величины.
Для датчиков, измерительная ось которых при угловых колебаниях прибли-
приблизительно перпендикулярна направлению ускорения в поле силы тяжести Земли,
низшая частота /jj- в соответствии с соотношением (91) должна быть ограничена усло-
условием
где g — ускорение в поле силы тяжести; E — заданная величина погрешности изме-
измерения вибрации точки от угловых колебаний датчиков в поле силы тяжести; рг —
максимальный габаритный размер тела, совершающего угловые колебания.
Для датчиков, измерительная ось которых при угловых колебаниях прибли-
приблизительно параллельна направлению ускорения в поле силы тяжести Земли, низ-
низшая частота /^ в соответствии с соотношением (92) должна быть ограничена условием
/
W2
где ф0 — амплитуда угловых колебаний датчика на низшей частоте.
В табл. 1 дана относительная погрешность измерения р , для датчиков, изме-
измерительная ось которых приблизительно перпендикулярна вектору g. Погрешность
вычислена из условия (91) по формуле
для различных значений частоты угловых колебаний /и р = 1 м.
1. Относительная погрешность
измерения (P)
2. Относительная погрешность
измерения (Рц)
f. Гц
OS
1
2
3
5
10
П2р = BлИ2Р,
м-с-*
10
40
160
360
1000
4000
Bj.. %
10J
23
6
3
1
0,25
Фо
30
10
б
3
1
Фо. рад
0,5
0,15
0,1
0,05
0,015
Рц. %
12
4
2
1,2
0,4
В табл. 2 указана огносигельная погрешность измерения {5П для датчиков,
измерительная ось которых приблизительно параллельна вектору g. Погрешность
вычислена из условия (92) по формуле
для различных значений >гла % при частою угловых колебаний 0,5 Гц и р = 1 м.
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДАТЧИКОВ
169
При измерении вибрации общего вида погрешность для указанных датчиков
может быть оценена по формулам
ft _ Ф1Г. а _ Ф2?
где ф — измеренное значение угловых колебаний датчика в вертикальной пло-
плоскости, рад; а — ускорение точки в направлении измерительной оси датчика.
Из формул (85) — (87) следует, что при равных условиях погрешность измере-
измерения от влияния силы тяжести одинакова для датчиков ускорения, скорости и пере-
перемещения.
Погрешность измерения, обусловленная неточным положением измеряющей
точки датчика. Если измеряющая точка датчика не совпадает с точкой измерения,
то при наличии угловых колебаний тела, на котором установлен датчик, возни-
возникают погрешности измерения. Действительно, для
ускорения точки А (рис. 27) справедливо выражение
где ар — ускорение полюса; р — радиус-вектор, прове-
проведенный из полюса Р в точку А; е, ш — соответственно
угловое виброускорение и угловая виброскорость тела.
Пусть А есть точка измерения, а измеряющая точка
датчика находится в точке Л,. Ускорение точки Ах от-
отличается от ускорения точки А на величину
При угловых колебаниях, не превышающих 30э,
можно ограничиться учетом только добавочного вра-
вращательного ускорения с компонентами
Рис. 27. Схема смещения
измеряющей точки датчика
Ai относительно точки из-
измерения A; s — вектор чув-
чувствительности датчика
которые определяют погрешность от неточного положения измеряющей точки дат-
датчика, пропорциональную радиусу неточного положения измеряющей точки R =
= (Rx, %' ^z)- Относительную погрешность измерения к находим, используя
полученные выражения для абсолютных погрешностей. Так, при измерении ком-
компонента ускорения az относительную погрешность можно оценить выражениями
= max [R
е*х
v -j-
у a*z
R
е*у
4C
если известны координаты радиуса неточного положения измеряющей точки (звез-
(звездочкой обозначены представляющие параметры переменных величин). В общем слу-
случае рассматриваемая погрешность состоит из установочной и инструментальной,
так как кроме характеристики установки датчика радиус неточного положения
измеряющей точки может включать характеристику чувствительности датчика
вибрации точки к угловому виброускорению (см разделы 2 и 5). Так, если задано
среднее значение радиуса #уст неточного положения измеряющей точки, характе-
характеризующего точность установки датчика, и известно паспортное значение радиуса RK
неточного положения измеряющей точки в датчике, то относительную погрешность
170
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
можно оценить одной из следующих величин:
max
а|'
fl 7
уст
\I/2_
Для датчиков скорости и перемещения погрешность измерения может быть
найдена по аналогичным формулам с заменой е на и или 8, и а на v или d, что
следует из зависимостей Av = (ш X R) и Ad » (9 X R).
Погрешность измерения, обусловленная интегрированием сигналов датчиков,
совершающих угловые колебания, относится к числу методических. Как известно,
составляющие вектора абсолютной скорости v = (vx, vy, vz) [абсолютного переме-
перемещения d = (dx, dy, dz)] точки в правой прямоугольной системе координат хуг, свя
запной с телом и совершающей вращательное движение с угловой скоростью ш =
«= (u)x, <о„, wz), связаны с составляющими вектора абсолютного ускорения а =
= (ак, ау, az) [абсолютной скорости] этой точки следующими интегральными урав
нениями [см. гл. I, уравнения A11) и A13)]-
2oy) dt;
vz=\ (az — ®xvy + o>yvx)dt,
dx = j (vx — U)ydz + (u2dy) dt;
dy—\ (Vy — obzdx + QxdS dt,
dz=] (vz~®xdy + (oydx) dt.
(93)
(94)
Из приведенных уравнений видно, что при наличии угловых колебаний ком-
компоненты абсолютной скорости (абсолютного перемещения) точки не точно равны
интегралу от соответствующих компонентов абсолютного ускорения (абсолютной
скорости) этой точки. При поступательной вибрации тела интегрирование дает
точный результат. Таким образом, если компоненты скорости точки получают путем
интегрирование сигнала датчика ускорения (или через сигнал датчика скорости,
см. уравнение (86)], то, как следует из уравнений (93), абсолютные ошибки измере-
измерения
Avx = j axdt — vx = j (toyv2 — azvy) dt;
A Vy = \ uydt — vy — \ (azvx — (?>xvz) dt;
Avz = § azdt — vz — ^ {axvy — myvx) dt.
(95)
Аналогично нельзя точно получить компоненты резкости точки j = а аолько
п-утем дифференцирования си1 налов датчиков ускорения Из уравнений (93) и (95)
видно, что относительную погрешность у измерения компонентов скорости точки,
обусловленную интегрированием сигнала датчика ускорения, совершающего угло-
угловые колебания, можно оценить по формуле
»
(96)
где i, j, k — индексы, получаемые круговой перестановкой индексов х, у, г, со*, со?
оценочные значения угловых скоростей относительно осей / и k (компонентов век-
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДАТЧИКОВ
171
тора угловой скорости по осям / и k); o|, v* — оценочные значения скоростей точки
в направлении осей k и /; af — оценочное значение ускорения точки вдоль оси i.
Ошибки измерения, связанные с дифференцированием или интегрированием
в неинерциальной системе координат, пропорциональны значению угла у1ловых
колебаний. В том случае, когда из-за указанного фактора погрешность измерений
превышает допустимое значение, в ка-
качестве измеряемой кинематической ве-
величины следует принимать ускорение
или вводить в измерения автоматиче-
автоматическую коррекцию На рис. 28 показана
структурная схема измерителя компо-
компонентов скорости точки с автоматиче-
автоматической коррекцией влияния угловых ко-
колебаний датчика.
Рис. 28. Струк1урная схема измерителя компонентов скорости точки с автоматической кор-
коррекцией влияния угловых колебаний датчика
Рис. 29. Схема измерения компонентов скорости точки А по осям у и z с помощью датчиков
ускорения точки (датчиков линейного ускорения)
Пример. Пусть объект совершает угловые колебания как твердое тело в плоскости Оуг
относительно точки О по закону ф=ф0созй< (рис 29, см. также пример в гл I, раз-
разделе 5). В точке А тела установлен двухкомпонентный датчик ускорения точки, векторы
чувствительности которого &t и sg направлены вдоль осей у и Z. Угловая виброскорость а)
и угловое виброускорение s тела направлены вдоль оси О*. Датчики имеют одинаковые
чувствительности. Единичные векторы осей х°, у° и г". Точка А лежит на оси Ог на рас»
стоянии р от начала координат. Таким образом, имеем
si = sy°; s2 = sz°; q = qz°,
@= фх°= сол.х°= — йф0 sin Qix"; a>x= — Яф„ sin Qt; со = 0; az=0;
: — Qs<P0cos Qt; e --
¦¦ 0; гг = О.
Абсолютная скорость точки А
v = @X0 = — ®x^' = йф(
направлена по касательной к траектории точки, вращательное авР и осестремительное
дОс ускорения
авР = еХо=-е1.|
~ 2
172
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
Первый датчик, направленный вдоль оси у, измеряет вращательное ускорение, второй
датчик, направленный вдоль оси 2. — осестремительное ускорение
иа1 »=¦ aBP-s1 = а у°-sy° =• sQ2<j>0p cos Qt;
и „ = aoc 'S = a z'-sz" = — -- sQ2q>Q p A — cos 2Q<)-
Проинтегрировав сигнал первого датчика, получим компонент виброскорости о •
t t
— [и , @ dt~ [ П2Ф„Р cos Qt dt — Йф„р sin Ш = v
s J fli J u ° У
0 0
Проинтегрировав сигнал второго датчика, получим величину, отличающуюся от зна-
значения v — 0 [см. уравнение (93) при az= ш^о и (о = 0]. В соответствии с формулой (96)
у\ 1 так как ог = a>xvy
можно взять отношение амплитуд
получим, что уу= 0 (со,,, сг=0, ОуТ^О) и у\= 1, так как ог = a>xvy и
стве оценки погрешности измерения виброскорости ^
переменных составляющих проинтегрированного сигнала, тогда
V фо
В табл. 3 приведены значения Gvz для различных значений угла фд.
S. Оценка птрешности G^ измерения виброскорости
Фо
57,3
29
14
5,7
фо, рад
1
0,5
0 25
0,1
GVZ^~ 100%
25
12
6
2,5
фо
2,9
1,4
0,5
фо, Рад
0,05
0,025
0,01
а1 = -г юо%
1,2
0,6
0,25
Таким образом, при угловых колебаниях датчика, меньших 5°, для оценки виброско-
виброскорости точки с относительной погрешностью G < 2% сигналы датчиков виброускорения точки
можно интегрировать. Величина G является разновидностью приведенной погрешности (см.
гл. XII, раздел 1).
8. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ
УГЛОВЫХ ДАТЧИКОВ
Кинематические погрешности угловых датчиков обусловлены их чувствитель-
чувствительностью к поперечным компонентам вращательного движения и к линейной вибрации
(см. предварительные замечания к разделу 7).
Выходные сигналы датчиков углового ускорения (ив), угловой скорости (иа)
и углового перемещения (ug) тела выражаются через проекцию углового ускоре-
ускорения 8 на вектор чувствительности датчика. Для датчиков ускорения с дорезонанс-
ным режимом работы и датчиков скорости и перемещения с зарезонансным режи-
режимом работы в рабочем диапазоне частот выходные сигналы можно представить в сле-
следующем виде:
ue = see-s°; (97)
ua=sa^e.s°dt = sam-so; (98)
где se, So), sg — максимальные чувствительности датчиков; е — вектор углового
ускорения; со — вектор угловой скорости; 9 — угол поворота; s° — единичный
вектор вектора чувствительности, в общем случае не совпадающий с направлением
измерительной оси датчика. Формулы (97) — (99) справедливы и при нахождении
ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ВИБРАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 173
угловой скорости и углового перемещения интегрированием сигнала датчика угло-
углового ускорения (97). Поскольку угловые датчики имеют некоторую чувствитель-
чувствительность к линейному ускорению, при рассмотрении кинематических погрешностей
в уравнения (97) — (99), в соответствии с уравнением (80) вместо e-s° следует под-
подставить выражение [e-s° + (а — g) -sa/se], где (а — g) — кажущееся ускорение
в некоторой измеряющей точке. Уравнение (97), например, записанное в коорди-
координатах входящих векторов в системе координат датчика хуг, имеет вид
[GJC ? U &?
[
]
=
]
= *ez [eA* + Sykzy + ег + (ах — gx)
(a,—gz) RToo/г],
где Se.z — основная чувствительность датчика (в направлении измерительной оси г);
ket> ^гу — коэффициенты влияния ортогональных составляющих углового ускоре-
ускорения; ^ю'од- ((' = х, у, г) — коэффициенты влияния ортогональных составляющих
линейного ускорения (см. раздел 5).
Кинематические погрешности измерений. В общем случае угловым датчикам
инерционного действия свойственны кинематические погрешности измерения из-за
влияния ортогональных (поперечных) составляющих вращательного и поступатель-
поступательного движения и силы тяжести.
Относительные погрешности измерений из-за указанных факторов можно оце-
оценить по формулам, аналогичным приведенным для прямолинейных датчиков. При
отсутствии чувствительности к линейному ускорению (so = 0) датчики можно рас-
располагать в любом месте твердого тела, так как векторы е и ш свободные.
В связи с тем, что компоненты вектора угловой скорости в системе коорди-
координат хуг, связанной с телом, получаются непосредственным интегрированием соот-
соответствующих компонентов вектора углового ускорения (см. гл. I, раздел 5):
датчик угловой скорости, как и операция интегрирования сигнала датчика углового
ускорения, дают точное значение измеряемых компонентов угловой скорости.
Однако компоненты вектора угловой резкости тела h = e нельзя точно полу-
получить путем дифференцирования сигналов датчиков углового ускорения.
Действительно,
А
[
Ошибка из-за указанного фактора отсутствует только при одномерных угловых
колебаниях, так как в этом случае в силу коллинеарности векторов 8, ш и е
Относительную погрешность измерений из-за интегрирования или дифферен-
дифференцирования в системе координат, совершающей вращательное движение, можно
оценить так же, как это сделано для прямолинейных датчиков.
При измерении многомерной угловой вибрации в условиях больших углов
поворота предпочтительнее в качестве измеряемой кинематической величины вы-
выбирать угловую скорость или угловое ускорение.
9. ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ВИБРАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКОВ СЕЙСМИЧЕСКОГО ТИПА
При измерении многомерной вибрации твердых тел, в общем случае имеющих
Шесть степеней свободы колебательного движения, необходимо измерять трехмер-
трехмерную вибрацию выбранного полюса (точки) тела и трехмерную угловую вибрацию
174
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
1ела. Измеряя многомерную вибрацию тела с помощью датчиков инерционного дей-
действия сейсмического типа, можно получать абсолютные кинематические характери-
характеристики движения, причем измерения проводят в системе координат, жестко связан-
связанной с движущимся телом.
Измерения многомерной вибрации обычно сводятся к измерению компонентов
вектора ускорения ар (скорости \р, перемещения dp) полюса Р и вектора углового
ускорения е (угловой скорости ш, углового перемещения Э) тела. Вследствие извест-
известных ограничений на точность измерения линейной скорости, линейного и углового
перемещения эти кинематические величины используют только при малых значе-
значениях углов поворотов (см. разделы 3 и 7). Для измерения многомерной вибрации
тел используют как прямолинейные, так и угловые датчики ускорения, скорости
и перемещения. Однако при измерении любых кинематических величин предпочти-
предпочтительнее находить их с помощью датчиков ускорения, учитывая преимущества в части
рабочего диапазона частот, устойчивой работы при больших угловых перемещениях,
возможности измерения ударных процессов, габаритов (см. раздел 6).
Рис. 30. Схема расположения прямолинейных и угловых датчиков при измерении многомер-
многомерной вибрации твердого тела:
sii s2, s3 — векторы чувствительности прямолинейных датчиков; s4, s5, se — векторы чув-
чувствительности угловых датчиков
Рис. 31. Схема задания мгновенного положения в пространстве произвольной точки твердого
тела В относительно основной системы отсчета |ti? (Рхуг — собственная система отсчета
тела)
Измерения с одновременным использованием прямолинейных и угловых датчиков
проводят в случаях, когда полюс доступен для установки в нем прямолинейных
датчиков. В выбранном полюсе Р устанавливают трехкомпонентный датчик уско-
ускорения (скорости, перемещения) точки, векторы чувствительности которого направ-
направляют вдоль заданных осей координат. Три однокомпонентных датчика углового
ускорения (скорости, перемещения) тела или один трехкомпонентный могут быть
установлены в произвольных местах тела, но их векторы чувствительности также
должны быть направлены в сторону положительных направлений осей выбранной
системы координат (рис. 30). Сигналы датчиков определяются уравнениями (85) —
(87) и (97) — (99). К преимуществам измерений этого вида следует отнести про-
простоту и универсальность используемой аппаратуры.
Измерения с использованием только прямолинейных датчиков проводят, во-
первых, когда в полюсе невозможно установить прямолинейные датчики и для полу-
получения информации о движении полюса необходимо использовать минимум шесть
прямолинейных датчиков, поэтому угловое движение тела выгодно оценивать с по-
помощью сигналов прямолинейных датчиков; во-вторых, когда точность угловых
датчиков недостаточна — мал радиус 100%-ной ошибки измерения; в-третьих,
когда угловые датчики не подходят по другим причинам. Рассматриваемые измере-
измерения относятся к совокупным, поскольку искомые величины — характеристики дви-
движения полюса и углового движения тела находят путем решения в реальном вре-
времени систем уравнений, заданных сигналами прямолинейных датчиков, установ-
установленных в различных точках твердого тела. В основе метода измерения искомых
ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ВИЬРАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛ 4 175
кинематических величин лежат хорошо известные кинематические соотношения,
определяющие абсолютные перемещение d, скорость v и ускорение а точек твер-
твердого тела.
Краткое описание метода измерений. Пусть имеется твердое тело В и требу-
требуется измерить его многомерную вибрацию относительно системы координат Рхуг,
жестко связанной с этим телом (рис. 31). Радиус-вектор г (t) задает мгновенное поло-
положение в пространстве произвольной точки тела относительно системы координат |г|?,
связанной с поверхностью Земли (см. гл. Г, раздел 5 и гл. 7, раздел 2). Относи-
Относительно выбранного полюса Р можно записать
г(О=гр@+р@. (ЮО)
где Тр @ — мгновенный радиус-вектор полюса; р (f) — радиус-вектор, проведен-
проведенный из полюса в выбранную точку.
Конечное изменение радиус-вектора г (f) определяет абсолютное перемеще-
перемещение d (I) точки относительно начала системы координат |г]?, которое при малых
у1лах поворота связано с перемещением полюса йр (t) соотношением
dsadp + Sxp. A01)
Из уравнения A00) следуют также точные выражения для абсолютной скоро-
скорости v (t) и абсолютного ускорения a (t) произвольной точки тела относительно на-
начала системы координат grj?:
v=^- = vp + (oxp; A02)
d2r
а+еХр+о)Х(шхр) A03)
Принятые обозначения: 0, ш, е — соответственно векторы углового переме-
перемещения, угловой скорости и углового ускорения тела относительно системы коорди-
координат ?r]?; vp, ap — соответственно абсолютные скорость и ускорение полюса отно-
относительно начала |г|?.
Для компактности дальнейшего изложения уравнения A01) — A03) запишем
в виде
b=bp+b(p), A04)
где b — вектор, представляющий векторы d, v и а в конкретном случае; b (p) —
векторная функция от р. Уравнение A04) удобно представить в матричной форме
b = bp + C*p, A05)
где С* = (cfftM — линейный оператор, отвечающий линейной векторной функ-
функции b (p). В координатной записи A05) имеет вид
2
к
Для перемещения, скорости и ускорения оператор С* имеет соответственно
вид [см. гл. 1 и уравнения A01) — A03)]
0 -В, ел
8* ° -ч. A07)
8j, 8* О/
0 -юг
-
176
устройства инерционного дгиствия
Если на теле установлен прямолинейный датчик ускорения, скорости или пе
ремещения так, что его измеряющая точка совпадает с выбранной точкой измере
ния, то в соответствии с уравнениями (85) — (87) он вырабатывает сигнал вида
«a = (a-g)-sa; sa = sos°; (ПО)
uv^(v-yg).w, sv = Sl3s°, (HI)
«<;=s;(d— d^") ¦ S;/; S(;=S(;SO, A12)
где sa, sv, sd — соответственно векторы чувствительности датчиков к ускорению,
скорости и перемещению; s° — единичный направляющий вектор чувствительности
датчика, который здесь считаем совпадающим с направлением измерительной оси
датчика; и в формальной записи
vS-= (j g ¦ s°dt) s°, d?= (j dt j g • s'dt) s".
Равенство (ПО) справедливо всегда, а равенства A11) и A12) только при ма-
малых углах поворота тела (см. раздел 7) С учетом A04) уравнения (ПО) —A12)
можно тоже записать в обобщенном виде
ы = (Ь—b?)-s, A13)
где Ьй представляет векторы g и v? или d?; s — векторы sa> sa или s^ в кон-
конкретном случае.
Для электрического сигнала прямолинейного датчика из уравнения A13) с )че-
юм равенства A06) получим выражение
где Ч; — проекции вектора чувствительности s на оси системы координат Рхуг,
Pk — координаты измеряющей точки датчика (координаты вектора р) в системе
координат Рхуг.
Итак, каждый установленный на теле прямолинейный датчик порождает сиг-
сигнал, описываемый уравнением вида A14), в которое входят искомые характери
стики движения полюса ЬР[ и углового движения F(., сог, е;) через коэффициенты clk
Используя специальную установку датчиков
на теле и необходимую ориентацию векто-
векторов чувствительности, получаем определен-
определенную систему уравнений, решение которой
и позволяет измерить искомые величины
Датчики должны быть установлены на теле
так, чтобы система уравнений получилась
невырожденной [9]. Конкретный вид преоб-
преобразований сигналов датчиков, необходимых
для вычисления искомых величин, получает-
получается при решении системы уравнений с учетом
координат мест установки датчиков и проек-
проекций векторов чувствительности. При более
простой схеме установки датчиков, когда ис-
используют симметрию в системе координат
Рхуг, минимальное число координат мест
установки датчиков и проекций векторов
чувствительности, получаются более просты-
простыми и преобразования сигналов, а следова-
следовательно, и используемая аппаратура. Опыт
показывает [20], что для нахождения искомых величин из имеющейся системы
уравнений лучше использовать алгебраические способы.
Измерения с помощью датчиков перемещения и скорости. В измерениях уча-
участвуют шесть датчиков, поскольку в уравнениях имеются шесть неизвестных' три
компонента движения полюса bPi и три компонента угла или угловой скорости
[см. матрицы A07) и A08)]. На рис. 32 показан один из вариантов установки дат-
Рис. 3 2. Схема установки датчиков пе
ремещения и скорости на теле
ИЗМЕРЕН ИГ МНОГОМЕРНОЙ ВИБРМШИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 177
чиков перемещения или скорости на теле. Ниже даны отвечающие этому варианту
преобразования сигналов датчиков, необходимые для получения искомых величин,
v -V& s0 I Sl \у„ — У1; * Sl \у3 — У1
°" L1 \ II .Чл / У • \ «„ / 7~ \ 1
г4<0;
Ч } = }[«¦?
'Ру vy )
V
1
d
»,-"?
—г4) \ s4
s0 s0
U4 -— — «3 —-
s -
) _ 1 I ii_Urio\.
., 0
s
где Ui — сигнал /-го датчика: si — чувствительность /-го датчика; 50 — нормиро-
нормированная чувствительность датчиков1 Х[, </;, г/ — координаты измеряющей точки
/-го датчика.
Измерения с помощью датчиков ускорения В общем случае при использовании
датчиков ускорения на тело необходимо устанавливать 12 датчиков, поскольку
в уравнение A14) входят 12 неизвестных: три компонента ускорения полюса и девять
элементов матрицы (c°k). Однако для измерения необходимы только девять величин:
компоненты ускорения полюса и шесть недиагональных элементов матрицы (с^).
Последние необходимы для вычисления компонентов вектора углового ускорения
Если из уравнения A14) исключить диагональные элементы матрицы (cfk),
то для измерений необходимо девять датчиков. Диагональные элементы исключаются
при выполнении условий
szp1 = O. A15)
При использовании датчиков, измерительные оси которых параллельны осям
х, у и г, это эквивалентно требованию размещения измерительных точек датчиков
в плоскостях системы координат Pxyz.
При малых углах поворотов, когда осестремительным ускорением их (со X р)
точек можно пренебречь перед вращательным е X р, можно использовать шесть
датчиков. Матрица (c"fe) упрощается [сравните с матрицами A07) и A08)]
0 — ег
\cik)
0
Датчики ускорения можно установить в соответствии с рис. 32.
Если при больших углах поворотов на теле установить три группы датчиков
по четыре в каждой, ориентировав датчики каждой группы параллельно соответ-
178
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЙ
ственно осям х, у и г, то в соо1вет<пвии с уравнением A14) получим систему урав-
иГ-=з1х[(арх-ёх) + схуу1 + ,хгг^.сххХ[1 (/=1,2,3,4), A16)
= 9. 10, И, 12)
A18)
в которой координаты измеряющей точки 1-го датчика pa-, Piy, P;2 обозначены
через Х[, yi, г/, а верхний индекс элементов матрицы (cfk) для простоты опущен.
Решая системы уравнений A16) — A18), находим составляющие искомых векторов
Так, для оси х
Хп tta/Sny 2n
Ух гх
Уъ г2
уя z3
jh г4
Х1ц
дгц uu/slu ги
^г uu/sV2z 212
хв
иРх'
2ALU
где AL.V, AL,y и Д?г — определители матриц Lx, Ly и Lz:
Z5
J/5
Уз г3
Уха гю
1 Z't x<j Уч I I 1 -^li Ух1 ^и
Xt/ \i 28 Ха yg/ - \1 x12 Уц г12/
Аналогично находят составляющие искомых векторов по осям у и г.
z г
Рис. 33. Схемы размещения датчиков ускорения на осях системы координат Рху? с исполь-
использованием датчиков*.
а — трехкомпонентного и двухкомпонентных; б — трехкомпонентного и однокомпонентных;
в — однокомпонентных
Размещение датчиков ускорения в плоскостях. Если датчики установить в пло-
плоскостях системы координат Рхуг, \о вследствие выполнения условия A15) системы
уравнений A16) — A18) примут вид
и1=ч1х[(аРх-ех) + схуУ1 + с„г1]1 A=\, 2, 3);
Um = smy[(aPy-gy) + Vm + CyXxm], (m=4, 5, 6);
Для невырожденности этих систем уравнений необходимо, чтобы измеряющие
точки трех датчиков, ориентированных вдоль одной и той же оси, не лежали на одной
прямой. При ориентации датчиков вдоль осей системы координат Рхуг условия AJ5)
ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ВИБРАЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
179
могут выполняться, когда вектор р равен нулю, имеет одну ади две составляю-
составляющие, чему отвечает установка датчиков в начале системы координат, на ее осях
и в плоскостях соответственно [см. рис. 33 и 34]. Для вариантов а и б (рис. 33)
преобразования сигналов имеют вид
P _ ' 17,. S0 „ «0 \ , 4 (.. SO „ So \]
Если при установке датчиков в координатных плоскостях добавочно устано-
установить еще три датчика, ориентировав их вдоль соответствующих осей, то можно дуб-
дублировать искомые величины. Вариант такого размещения датчиков показан на
7
s-
/
! %/
<
У
Рис. 34. Схема размещения на теле однокомпонентных датчиков ускорения
в плоскостях системы координат Ркуг (не на осях)
Рис. 35. Схема установки на теле двенадцати датчиков линейного ускорения
рис. 35. Датчики установлены на детали в трех плоскостях системы координат Рхуг
с соблюдением симметрии относительно начала и осей системы координат: на рас-
расстоянии Ь от оси Рг и на расстоянии d от плоскости Рху.
Искомые величины связаны с сигналами датчиков следующими выражениями:
__ 1 / м2 «4 \ _ 1 / "з «:
арх-ех-= -2- ^—- -17/ ~ " \^~ ~ "^
-a =±hs.-^)= — (^~^
Ру gy 2 \ Se «в / 2 \ s5 s,
1 / И9 . Иц\ 1 U10 U12
Рг~~Sz = ~7T [~ г ~ — ~п {- Г —
4й [ d \ Sn s5 / ySiQ s12,
Ь/ff.
s10 S12
Ab [ d
\Sll
= J_ Г й /_Ua _ U3 \ /ми _ u, \"|.
«5
"S
S6 S8 Sj
'4b
«4
180
УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОННОГО ДЕЙСТВИЯ
При проведении измерений выгодно переходить к нормированным чувствитель-
чувствительности и базовому расстоянию путем введения соответствующих масштабных коэф-
коэффициентов при преобразовании сигналов датчиков.
Измерительная аппаратура. Полученные результаты показывают, что для
измерения искомых величин требуется аппаратура, решающая в реальном масш-
масштабе времени системы алгебраических уравнений. Аппаратура должна уравнивать
чувствительности датчиков, изменять масштаб (усиление) сигналов, инвертировать
сигналы и складывать их с необходимыми весовыми коэффициентами.
Подробнее измерения многомерной вибрации твердого тела с помощью прямо-
прямолинейных датчиков ускорения описаны в работах [9, 20].
10. ДРУГИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
ИНЕРЦИОННОГО ПРИНЦИПА ДЕЙСТВИЯ
Предварительные замечания. В предыдущих разделах рассмотрены в основном
вопросы, касающиеся работы и применения датчиков инерционного действия, пред-
предназначенных для измерения параметров абсолютной вибрации в собственной системе
отсчета тела, т. е. датчиков, устанавливаемых на тело; описаны датчики, измери-
измерительная система которых является инерцион-
инерционно-упругой с удерживающими связями. Од-
Однако класс измерительных устройств инер-
инерционного действия (ИД), используемых для
измерения параметров абсолютной вибрации
с помощью сил инерции, гораздо шире.
Настоящий раздел посвящен описанию
других инерционных устройств, действие
которых основано на использовании инер-
инерционно упругой системы с удерживающими
связями и сил инерции. Эти устройства мо-
могут предназначаться для измерения парамет-
параметров вибрации как в назначенной системе от-
отсчета (НСО), так и в собственной системе
отсчета (ССО) тела. В первом случае силы
инерции используются пассивно — только для
создания «инерциальной» системы отсчета,
во-втором — активно, т. е. для создания
процесса измерения. Соответственно этому
рассматриваемые устройства подразделяют
на инерционные устройства кинематического
принципа измерения и динамического прин-
принципа измерения (сейсмического типа). Тео-
Теория работы этих устройств одинакова с теорией работы датчиков ИД, рассмо-
рассмотренной в предыдущих разделах главы, поэтому все приведенные ранее основные
уравнения и зависимости приложимы и к этим устройствам. Следует отметить также
измерительные устройства ИД, предназначенные для измерения максимальных
ускорений [6, 17] (см. гл. VI, раздел 4).
Бесконтактные инерционные устройства предназначены для измерения пара-
параметров абсолютной вибрации в НСО (см. гл. VI, раздел 4). Часто устройства выпол-
выполняют в виде бесконтактных датчиков (рис. 8, гл. VI), однако вместо датчика может
быть и другой преобразователь — оптический, акустический и т. п. По аналогичной
схеме выполняют и бесконтактные угловые датчики ИД.
На рис. 36 показана схема бесконтактного измерения многомерной вибрации
твердого тела с помощью шести прямолинейных датчиков. На схеме указаны точки
измерения 1, 2, ..., 6 и отвечающие им векторы чувствительности датчиков slt s2, ...,
..., se- Параметры абсолютной вибрации измеряют в назначенной «инерциальной»
системе отсчета О?т)? при отсутствии движения совпадающей с собственной системой
отсчета тела Рхуг. Параметры вибрации полюса Р и угловой вибрации тела находят
путем следующих преобразований сигналов датчиков линейного перемещения (ско-
f
Рис. 36. Схема бесконтактного измере-
измерения многомерной абсолютной вибрации
твердого тела с помощью шести пря-
прямолинейных датчиков
ДРУГИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА ИНЕРЦИОНН ДЕЙСТВИЯ 181
рости).
Ч s5
Ч \ — 1 / So _ S0
05; 1 so0/i—Уз) I 3 S2 * «I
где rfPj, yp; — компоненты перемещения и скорости полюса вдоль оси / (t — g, rj, 5);
6(, со; — компоненты углового перемещения и угловой скорости тела, и/ — сигнал
/-го датчика, si — чувствительность 1-го датчика; s0 — нормированная чувстви-
чувствительность датчиков; xi, yi, zi — координаты точек, в которых осуществляют изме-
измерения (I = I, 2, .., 6). Преимуществом измерений по сравнению с использованием
датчиков сейсмического типа является отсутствие влияния поля силы тяжести.
Недос1атки измерений: ограниченный снизу диапазон частот; зависимость чувстви-
чувствительности датчиков от начального зазора между датчиком и телом, малый диапазон
измерения перемещений; средняя скорость гела в любом направлении должна рав-
равняться нулю.
Устанавливаемые вибрографы и виброметры — автономные инерционные устрой-
устройства динамического принципа действия, предназначаются для записи и измерения
абсолютных виброперемещений тел соответственно. Как правило, это механические
измерительные устройства. При измерениях их устанавливают на исследуемый
объект. В настоящее время их используют редко, в специальных случаях, например,
когда наличие электричества недопустимо.
Устройства работают в зарезонансном режиме; рабочий диапазон частот у них
невелик. Подробное описание таких устройств дано в работах [2, 6, 17].
Щупами называют контактные измерительные устройства прижимного гипа:
их связь с исследуемым объектом в процессе измерения осуществляется с помощью
силы. Щупы подразделяют на стационарные, закрепляемые на некотором массив-
массивном теле вблизи исследуемого объекта, и ручные, удерживаемые в руках в процессе
измерения Стационарные и ручные щупы первого типа являются инерционными
устройствами для измерения абсолютных виброперемещений тел в НСО. В основе
их работы лежит запись движения стержня, прижимаемого к вибрирующему телу
через пружину, присоединенную к исходному массивному телу, относительно ко-
которого и регистрируется движение. Эти устройства осуществляют регистрацию
безотрывного виброперемещения стержня [2, 6] Ручные щупы второго типа явля-
являются инерционными измерительными устройствами для измерения параметров аб-
абсолютной вибрации тела в ССО. Прижимной стержень используют только для обес-
обеспечения связи с вибрирующим объектом и задания измерительной оси ССО. Уст-
Устройство с инерционно-измерительной системой может работать как в режиме вибро-
виброметра, так и в режиме акселерометра. Щупы, как правило, используют для изме-
измерения параметров вибрации сравнительно низкой частоты. Конструктивно их выпол-
выполняют либо в виде автономных устройств (вибрографы, виброметры), либо в виде дат-
датчиков электроизмерительной аппаратуры [2, 6, 17].
Гироскопические устройства для измерения параметров угловой вибрации —
«указатели поворота» на основе двухстепенного гироскопа [6]. Двухстепенный ги-
гироскоп, действие которого основано на использовании восстанавливающего момента
упругого элемента, является устройством инерционного действия, имеющим инер-
182 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
ционно-упругую измерительную систему. Его можно использовать для измере-
измерения параметров низкочастотной угловой вибрации тела в собственной системе отсчета.
Работа устройства описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вто-
второго порядка, как и углового акселерометра. В отличие от акселерометра возбуж-
возбуждающим фактором для движения измерительной системы является скорость угло-
угловых колебаний тела, на котором устанавливают гироскопический измеритель [6].
Список литературы
1. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. 300 с.
2. Гевондян Т. А., Киселев Л. Т. Приборы для измерения и регистрации колебаний.
М.! Машгиз, 1962. 468 с.
3. Генкин М. Д., Голубев В. С. О направленных свойствах акселерометров. — Машино-
Машиноведение, 1968, № 5, 9 — 16 с.
4. Генкин М. Д., Голубев В. С, Соминский С. Д. Причины погрешностей в работе
пьезоакселерометров и пути их устранения — В кн.: Виброакустическая активность меха-
механизмов с зубчатыми передачами. М.; Наука, 1971, с. 222 — 239.
5. Голубев В. С. К оценке измерительных свойств акселерометров линейных ускоре-
ускорений В кн : Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях
М.: Наука, 1974, с 83—98.
6. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1963. 772 с.
7 Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальиая навигация. М.: Наука,
1976 672 с.
8. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961. 824 с.
9. Методика и аппаратура для исследования пространственных колебаний вращаю-
вращающихся деталей редукторных установок / М. Д. Генкин, В. С. Голубев, Ю, Г. Мигун, А. И.
Орлов. — В кн.: Динамика и акустика машин. М.: Наука, 1971, с. 41—57.
10. Ольховский И. И. Курс теоретической механики для физиков. М.: МГУ, 1974. 570 с.
11. Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 6Ь4 с.
12. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с'
13. Синг Дж. Д. Классическая динамика / Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. 448 с.
14. Теоретическая механика. Терминология. Сборники рекомендуемых терминов АН
СССР. Вып 90. М.: Наука, 1977. 46 с.
15. Электрические измерения неэлектрических величин / Под ред. П. В. Новицкого.
5-е изд. Л.: Энергия, 1975. 576 с.
16. Янчич В. В., Кравцов Б. А,, Крамаров О, П. Монолитные пьезоэлектрические ак-
акселерометры. — Приборы и системы управления, 1974, № 10, с. 42 — 43.
17. Harris С. М., Crede С. Е. Shock and vibration handbook. 2-nd ed. Me Graw—Hill
Book V Company, N. Y., 1976.
18. International standard 2041 Vibration and Shock — Vocabulary, 1975. p. 53.
19. Leoy, S. and W. D. Kroll. Research Paper 2138, J. Research Natl. Bur. Standards,
45, N 4 A950).
20. Padgaonkar A. Y., Krieger K. W., King A. I. Measurement oi Angular Acceleration
of a Rigid Body Using Linear Accelerometers. — Journal of Applied Mechanics. Vol. 42, N. 3,
p. 552—556, Sep. 1975.
Глава VIII
МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
Назначение механоэлектрических преобразователей. При измерении многих
физических величин первым звеном измерительной цепи является датчик — кон-
конструктивно выделенная совокупность преобразовательных элементов, восприни-
воспринимающих от объекта измерения физическую величину, функционально связанную
с измеряемой физической величиной, и вырабатывающих сигнал измерительной
информации в форме, удобной для преобразования в последующих звеньях цепи.
Датчик переводит воспринимаемую физическую величину в величину другого физи-
физического характера, обычно электрическую, поскольку электрические сигналы наи-
наиболее удобны для усиления и обработки. Поэтому в состав датчика механической
величины входит измерительный механоэлектрический преобразователь (МЭП).
От МЭП требуется в первую очередь однозначное и минимально-искаженное вос-
воспроизведение на его выходе временной зависимости величины, действующей на входе
МЭП.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
183
Классификация механоэлектр:,ческих преобразователей. В простых МЭП пре-
преобразование производится срачу в электрическую величину, в комбинированных
МЭП сначала производится преобразование в промежуточную немеханическую (оп-
(оптическую, магнитную и др.) величину, а затем уже в электрическую. Для каждого
МЭП существуют механическая и электрическая величины, называемые естествен-
естественными входной и выходной, чувствительность которых друг к другу наибольшая по
сравнению с другими влияющими на измерения величинами. МЭП, для работы
которых необходима только преобразуемая механическая энергия, называют генера-
генераторными, а также пассивными МЭП, для работы которых необходим добавочный
источник немеханической энергии (чаще всего электрической), называют парамет-
параметрическими, модуляторными и активными.
I I
и и
I
S-
I
Рис. 1. Основные механоэлектрические преобразователи:
(У —- механическое напряжение; ? — деформация; х — перемещение; v — скорость; п —
показатель преломления, / — частота; // — напряженность магнитного поля; Ф — световой
поток; Q — добротность, ф — сдвш фаз; / — время; L — индуктивность; q, i, U — электри-
электрические заряд, ток и напряжение
Генераторные МЭП создают ток на выходе, если в преобразователе произво-
производится работа; поэтому они принципиально непригодны для измерения неизменяю-
неизменяющихся во времени величин. В генераторных МЭП механическая величина непосред-
непосредственно порождает электрическую в форме заряда, тока или напряжения. В пара-
параметрических преобразователях выходной сигнал образуется более сложным обра-
образом. Входная величина прямо или косвенно влияет на какое-либо электрическое
свойство преобразователя, регулирующее потребление энергии от внешнего источ-
источника. Измерительная информация содержится в законе модуляции электрической
величины. На рис. 1 представлены естественные входные и выходные величины и
промежуточные параметры МЭП. Символы механических величин на схеме следует
относить как к поступательному, так и к вращательному движению. В генератор-
генераторных МЭП естественная входная величина сразу преобразуется в выходную электри
ческую, причем обозначение последней не содержит знака приращения.
Описание работы МЭП. Механоэлектрический преобразователь является систе-
системой, которая обменивается со средой механической и электрической энергией. На-
Наличие электрических цепей предопределяет использование для описания работы
МЭП операторных импедансов или обратных им величин — операторных проводи-
мостей и подвижностей для электрических и механических цепей соответственно.
Операторный импеданс линейного элемента или системы вводится как отношение
преобразованных по Лапласу—Карсону обобщенных силы и скорости [2Ц, За обоб-
184 МЕХА110ЭЛЕКТРИЧГСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
щепные силу и скорость обычно принимают силу F и скорость v (или момент М и
угловую скорость со) для механических систем, и падение напряжения V и силу то-
тока ( — для электрических. Для обозначения этих и других физических величин как
функций времени и отвечающих им функций, преобразованных по Лапласу—Кар-
сону, будем использовать одни и те же символы, отличая в случае необходимости
функции времени аргументом L Слово «операторный» будем опускать всюду, где
это не вызывает недоразумений. Электрический импеданс
U{p) X [U jt)]
где X — символ преобразования Лапласа—Карсона; р — переменная в преобра-
преобразовании, трактуемая как комплексная частота и одновременно играющая роль опе-
оператора дифференцирования по времени при нулевых начальных условиях [6].
Следовательно, если импеданс не зависит от р, временные зависимости тока
и напряжения одинаковы. Импеданс сложной цепи определяется импедансами со-
составляющих ее резистивных, емкостных и индуктивных элементов, обозначаемыми
через R, МрС и pL соответственно. Аналогично в случае поступательного движения
механический импеданс
г , \ - F (Р) - Х If W1
для вращательного движения
т( л М(р) ХШ(М
(о параметрах механических цепей см. гл. II). Используя известную связь тока
и заряда q, скорости у и перемещения х (i = pq, v= рх), импедансы можно выра-
выразить через обобщенные перемещения q и х, что удобно, если они являются естествен-
естественными входными и выходными величинами данного преобразователя. Для систем
с поступательным движением механический импеданс тела массы m равен рт. Импе-
Импеданс невесомой пружины с коэффициентом жесткости с равен dp Импеданс дисси-
пативного элемента равен его коэффициенту сопротивления Ь (см. гл. II). Если в об-
общем выражении для ? преобладает какой-либо из названных членов, импеданс счи-
считают инерционным, упругим (или жесткостным) и активным соответственно. В слу-
случае вращательного движения твердого тела импеданс определяется моментом инер-
инерции J, коэффициентом угловой жесткости са и коэффициентом углового сопротив-
сопротивления Ьа. Так как в дальнейшем объекты исследования достаточно рассматривать
как системы с сосредоточенными параметрами, их импедансы — рациональные функ-
функции р. При описании работы МЭП необходимо рассматривать электрические и ме-
механические цепи; теория первых хорошо известна, построение и анализ механиче-
механических цепей описаны в гл. II [26]. Для систем, в которых определены вход и выход,
понятие импеданса может быть расширено путем введения передаточного импеданса,
определяемого через отношение обобщенной силы входа (выхода) к обобщенной ско-
скорости выхода (входа). Например, для рассматриваемых ниже преобразователей опре-
определены передаточные импедансы FH и U/v.
МЭП удобно рассматривать как четырехполюсник с входной механической и
выходной электрической сторонами. Когда заданной функцией на механической сто-
стороне является сила, действие преобразователя удобнее описывать в импедансных
параметрах. Вход преобразователя характеризуется силой F и скоростью v, выход —
напряжением U и током i. На рис. 2, а, б МЭП показан соответственно с неявно и
явно выраженной механической и электрической нагрузкой. Внешнее воздействие
на преобразователь с механической и электрической сторон учитывается по теореме
Тевенина источниками силы 3-s и электродвижущей силы es и импедансами нагру-
нагрузок ?г и гг\ go. и г0 _ собственные механический и электрический импедансы преоб-
преобразователя; >,иея —дополнительные сила и ЭДС, создаваемые при наличии дви-
движения на противоположных сторонах преобразователя в процессе преобразования
энергии и, как правило, противодействующие внешним воздействиям. Величины
J" е и ет определяются как преобразованные по Лапласу—Карсону производные
соответственно энергии электрического (или магнитного) поля в преобразователе
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ 185
1H перемещению и механической энергии по заряду. Для линейных и линеаризо-
линеаризованных систем, рассматриваемых в дальнейшем, имеют место пропорциональные
зависимости
&e = \iei = — Fe; em
где J е и Fe— создаваемая и воспринимаемая источником механические силы cooi«
ветственно; ет — ЭДС источника. В общем случае це и [Лт могут быть как отрица-
отрицательными, так и положительными. Коэффициенты \ie и \im, называемые коэффици-
коэффициентами связи, — собственные передаточные импедансы преобразователя. В общем
Г!
Рис. 2. Схемы механоэлектрнческого преобразователя в импедансных параметрах
случае они являются функциями р и определяются из физических законов, харак-
характеризующих работу данного вида МЭП. На рис. 2, в, г показана схема МЭП, в кото-
которой механическая цепь заменена эквивалентной электрической по аналогии сила —
напряжение (см. гл. II, раздел 7). Для механической и электрической сторон пре-
преобразователя выполняются равенства
Таким образом, действие преобразователя описывается следующей системой
уравнений:
где р — сила, действующая непосредственно на вход преобразователя и составляю-
составляющая обычно часть от силы &¦ s (F = & s при ?/ =0), и — падение напряжения не-
непосредственно на выходе преобразователя; is — ток, обусловленный наличием внеш-
внешнего электрического источника es; im — ток, обусловленный наличием источника ет.
Если es = 0, то (s = 0 и уравнения преобразователя принимают вид
U = ztim
Замечание. Следует иметь в виду, что при рассмотрении работы отдельных
преобразователей в режиме es = 0 ток im для краткости обозначен через i.
188 МЁХАН05ЛЁКТРМЧЁСКНЕ ПРкОБРАзОВАТЕЛМ
Решение системы уравнений A) даег
C)
D)
Из (I) видно, что при разомкнутом выходе ( = 0 и 3" s — (?0 + ?;) v, а при за-
заторможенной входной стороне преобразователя v = 0 и es = (г0 + г[I. Следова-
Следовательно, в этом случае входные импедансы преобразователя с механической и элек-
электрической сторон равны ?о и г„ соответственно Если движение имеет место на обеих
сторонах, то входные импедансы нагруженного преобразователя
VeP-m
E)
F)
Из формул C) и D) следует, что при [ \ie \ — \ \im \ = р. выполняется равен-
равенство
Такие преобразователи называют обратимыми. Возможно также, что [^т?= 0,
[ле = 0. Это свидетельствует о полной необратимости, т. е. об отсутствии скорости
на механической стороне при электрическом воздействии.
Из уравнений C) и D) можно получить важные характеристики преобразова-
преобразователя. К ним относятся операторная чувствительность к силе по току
Цр)
Ида
и операторная чувствительность к скорости по току
И-л
v(p)
G)
(8)
Величины s'gr и sl называют также коэффициентами преобразования. МЭП можно
характеризовать собственными чувствительностями sgr и J , находимыми при ус-
ловии, что с,! и г/ равны нулю:
i(p)
Up)
s,5z>2/ = o F{p)
i (P)
v (p
,=0
A0)
Указанные чувствительности служат основой для дальнейших расчетов, в част-
частности, для определения чувствительностей к входным величинам но напряжению.
Энергический КПД преобразователя при идеальном источнике на входе (?/ =
= 0) равен
Т
С q <t) dt
' v* (t) dt
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СООТНОШЕНИЯ
187
где (/ — ток нагрузки; /-, и р — вещественная часть г/ и ?0 соответственно; Т —
время, за которое определяется КПД. Для измерительных преобразователей этот
параметр хотя и важен, но не играет такой роли, как для энергетических
Для единообразия во всей главе используется описание преобразователей с по-
помощью системы уравнений A) Однако когда заданной функцией на механической
стороне является скорость, уравнения преобразователя удобнее записывать через
подвижности и проводимости. По теореме Нортона, внешнее воздействие на меха-
механической стороне учитывается источником скорости vs и подвижностью нагрузки
Jlh а на электрической стороне — источником тока Is и проводимостью нагрузки
yt. Схема МЭП для этого случая показана на рис. 3, а, б с обозначениями: F', v'
сила и скорость на входе преобразователя; U', <" — напряжение и ток на выходе
преобразователя; еМа, ув — собственные подвижность и проводимость преобразова-
преобразователя; ve и Im — источники скорости и
тока, характеризующие связь сторон в А •'
процессе преобразователя энергии: L-i— '
Величины ve и Im находят через про-
производные соответственно энергии электри-
электрического или магнитного поля в преобра-
преобразователе по силе и механической энергии
по напряжению. Для механической и
электрической сторон преобразователя
можно записать равенства
Is — Im=*\y» + yi)U'>
которые дают следующую систему урав-
уравнений преобразователя:
+r)eU';
F+ yaU';
Рис. З. Схемы МЭП, представленные через
подвижности и проводимости, с неявно (а)
и явно (б) выраженными механическими и
электрическими воздействиями и нагрузками
где ?/', U'm — напряжения, обусловленные наличием соответственно внешнего источ-
источника тока / и источника тока /т. Если Is = 0, то U's = 0 и уравнения преобразо-
преобразователя принимают вид
Возможно описание
НЭП
В этом случае ток (' = —ytU'm равен току нагрузки
преобразователей и в смешанных параметрах.
Одно и. типичных требований, предъявляемых к
измерительному МЭП, заключается в том, чтобы его
чувствительность была заданной функцией р (чаще
всего не должна зависеть от р, что означает пропор-
пропорциональность выходной и входной величин). Как пра-
правило, это возможно в ограниченной области измене-
изменения р Варьируя параметры элементов, определяющих
нагрузку zi, можно расширить эту область. Дополни-
Дополнительные возможности дает введение корректирующих
элементов и обратной связи, обеспечивающих необхо-
необходимое изменение выходных электрических параметров
преобразователя. Электрическая обратная связь экви-
эквивалентна введению в преобразователь зависимых
электрических источников, например es = es (i). От операторных параметров
преобразователя легко перейти к частотным, заменив в формулах р на /ш, где со —
Рис. 4. Схема МЭП, у кото-
которого полезная нагрузка со-
составляет часть общей
188 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
угловая частота Последнее дает возможность исследовать их амплитудно-частот-
амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.
Пример. На рис 4 показан МЭП, у которого полезная нагрузка с импедансом гп шун-
шунтирована вредной нагрузкой с импедансом гш. Необходимо найти чувствительность sjf
к силе по юку / полезной нагрузки Имеем следующие соотношения
L — !_ г _ _fn_ a = —
( 14- а' ' 14а' гш'
где ( _ ток общей нагрузки, / — ток полезной нагрузки; г^ —импеданс общей нагрузки
Искомую чувствительность нлйдем из уравнения G)
'/ '
/
: 0 " ' +га
4 «) [- n,um + (So + t,) («o + T^
2. ГЕНЕРАТОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Общие замечания. Для генераторных МЭП не требуется источник электриче-
электрической энергии При отсутствии корректирующего источника es = 0 [см уравнения
A) и B)! Из закона сохранения энергии следует (ниже это подтверждено на конкрет-
конкретных примерах), что р.т = —це = —ц. Следовательно, генераторные МЭП обратимы
Из уравнений E)—(8) получаем
t __ '(Р) _
где t,in — входной механический импеданс. Чувствительности по току растут с умень-
уменьшением Z[. В противоположном случае, когда Zi > z0, этот параметр теряет значение
и следует рассматривать чувствительности по напряжению на нагрузке:
A5)
v v(p) v(p)
Чувствительность s^ при ц2 > (?о + ?г) (г0 + zt) определяется только коэффи-
коэффициентом связи |д, а так как он является простой функцией р (или вообще не зави-
зависит от р), этот режим дает значительные метрологические преимущества. Однако для
большинства МЭП указанное условие может выполняться лишь в области механи-
механического резонанса. Только электродинамический преобразователь составляет исклю-
исключение из этого правила Реальные условия работы генераторных преобразователей
таковы, что в различных диапазонах частот они могут быть с достаточным прибли-
приближением дифференциаторами, масштабными преобразователями или интеграторами,
причем режимы плавно переходят друг в друга при изменении частоты В области
низких частот любой из таких преобразователей является дифференциатором.
Пьезоэлектрический преобразователь. Прямым пьезоэлектрическим эффектом
называется возникновение электрической поляризации в кристаллах некоторых
классов или пьезокерамиках в результате приложения к ним внешних сил (Пьезо-
керамика есть продукт отжига спрессованной смеси мелкораздробленного сегнето-
электрического кристалла и присадок ) В простейшем случае (рис. 5) эффект про-
проявляется в форме поверхностных связанных зарядов пьезоэдемента, изготовленього
ГЕНЕРАТОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
189
из пьезокерамики или вырезанного из кристалла. Плотность зарядов пропорцио-
пропорциональна создаваемому механическому напряжению и характеризуется вектором элек-
электрической поляризации Р, [Р] = Кл/м2. Для получения свободных зарядов q с пье-
зоэлементом жестко связывают металлические электроды (см. рис. 5)
Сущность эффекта заключается в том, что механическое напряжение изменяет
симметрию элементарной ячейки кристаллической структуры. Если вначале она
электрически нейтральна (уравновешена), то в деформированной ячейке равновесие
нарушено. Каждая ячейка приобретает электрический момент, в результате чего по-
поверхности пьезоэлемента электризуются и на металлических электродах появля-
появляются свободные заряды [28]. Более детальное рассмотрение показывает, что явление
значительно сложнее. Пьезоэффект наблюдается и при нагружении пьезоэлемента
силами, не имеющими компонентов вдоль оси, нормальной к электродам, а также
моментами. Ввиду этого необходим тензорный аппарат для математического описа
ния пьезоэффекта [17] Краткое описание сводится к следующему. Напряженное
состояние твердого тела описывается совокупностью девяти величин a/j. (t, k= 1,
2, 3), являющихся компонентами
тензора напряжений г i
021
«32
023
0зз
Рис. 5. Схема образования зарядов при прямом
пьезоэффекте:
/ — пьезоэлемент, 2 — металлические электро-
электроды, F — приложенная сила; Р — вектор элек-
электрической поляризации, q — свободные электри-
электрические заряды
Координатные оси обозначены
цифрами 1, 2, 3, первый индекс
при о";? указывает, какой оси пер-
перпендикулярна площадка, а вто-
второй — какой оси параллельно на-
напряжение, [o",fc] = Па. Составляю-
Составляющие с одинаковыми общими индек-
индексами изображают нормальные (сжимающие или растягивающие) напряжения, а
остальные — касательные (сдвиговые). Оказывается, что ацг = a^i, вследствие чего
матрицу можно записать в сокращенной форме по схеме
1<Зи 012 013
021 022 023
Vcr31 a32 0зз.
Каждый из трех последних членов является суммой двух симметричных недиа-
недиагональных членов первоначальной таблицы, например о5 = 2ст^ =* аи + <т31.
При пьезоэффекте составляющие вектора поляризации куба описываются урав-
уравнениями
*=1, 2, 3;
2
6)
A7)
Коэффициенты dy, [dn] = Кл/Н, называемые пьезомодулями, образуют таб-
таблицу в общем случае из 18 членов, причем первый индекс указывает направление
составляющей вектора поляризации, а вшрой — порождающее механическое на-
напряжение. Пьезомодуль с одинаковыми индексами t, j = 1, 2, 3 называют продоль-
продольным он характеризует эффект при сжатии граней, с которых снимается заряд. Пье-
Пьезомодуль с разными индексами (t, / = 1, 2, 3, i Ф /) называют поперечным; в этом
случае сила сжатия направлена вдоль электродов Наконец, пьезомодуль, у кото-
которого / = 4, 5, 6, описывает эффект при действии касательных напряжений и назы-
называется сдвиговым. Направления координатных осей выбираются специальным обра-
образом [20]. Вследствие симметрии кристалла некоторые из пьезомодулей равны друг
Другу или нулю, так что в простейшем случае в таблице остается только два равных
190
МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
пьезомодуля. Пьезомодули (в пКл/Н) некоторых пьезоэлектриков приведены ниже:
Кварц
Сульфид кадмия
2,31
0
0
2,31
0
0
0
0
0
—0,67
0
0
0
0,67
0
0
0
-5,1
0
4,62
0
Оки
0
0
—5,1
с ь
0
0
12,1
0
0
—5
ц и н
0
-8
0
,16
к а
2
—8
0
0
0
0
-5,
,2
16
0
0
0
0
0
10,32
0
— 14
0
-14
0
0
0
0
0
Наиболее распространены поликристаллические (керамические) пьеэоэлект-
рики, приобретающие пьезоактивность после выдержки в электрическом поле. Для
керамики ось 3 совпадает с направлением поляризующего поля. Таблица пьезомоду-
лей керамики содержит пять не равных нулю членов, причем в большинстве экспе-
экспериментов согласно принятой методике определяют только один или два из них. Пье-
Пьезоактивность керамики выше, чем монокристаллов. Например, для одного из со-
составов на основе цирконатов свинца и некоторых других металлов таблица имеет
вид
0 0 0 0 290 0
0 0 0 290 0 0
_.84 —84 220 0 0 0
У распространенного пьезокерамического материала ЦТС-19 d31 — 157, d^ —
= 360 пКл/Н Из приведенных таблиц следует, что пьезозаряды возникают не при
любом способе нагружения Например, у керамики заряд на сторонах пьезоэлемента,
перпендикулярных оси 5 (полярной оси) возникает при сжатии в любом направлении,
а заряд на сторонах, параллельных полярной оси, появляется только при наличии
одного из касательных напряжений: 04 или а5-
При воздействии давления жидкости или газа на пьезоэлемент возникает его рав-
равномерное сжатие: а} = а2 = а3, о4 = а6 = а6 = 0. В этом случае для кварца и суль-
сульфида кадмия поляризация отсутствует:
3 = —5,16^—5,
2,31а1+0 = 0
6^+ 10,320!
0;
а для пьезокерамики она наблюдается, хотя эффект меньше, чем при простом сжа-
сжатии:
Р3 = (—84—84 + 220) О"! = 52о, Ф 0
В пьезоэлектриках наблюдается обратный эффект — деформация кристалла
в электрическом поле. Это явление характеризуется уравнениями
(/=1, 2, ..., 6; i=l, 2, 3),
A8)
где \, — компоненты деформации, заданные такой же таблицей, как и 07; Э,- — ком-
компоненты вектора напряженности приложенного поля. Видно, что эффект определя-
определяется теми же пьезомодулями, но расположенными в транспонированной таблице.
Важным свойством пьеэоэлектряков является существование точки Кюри —
значения температуры, при котором пьезоактивность исчезает. Необходимо также
иметь в виду, что упругие и диэлектрические свойства кристаллов, как правило, за-
зависят от направления и описываются тензорами.
После того, как пьезоэлемент получен (из кристалла вырезана пластина опреде-
определенной ориентации или произведена поляризация керамической пластины), анализ
работы пьезоэлектрического преобразователя по его основному назначению можно
ГЕНЕРАТОРНЫЕ ПРС0ЬР\ЮВ\1ЁЛЙ I9l
bee г и без учета тензорного характера пье-юэффекы, т е не гводя индексов направ-
направления Типичная схема преобразователя, работающею Hd сжатие, показана на рис. 6.
При всех применениях, рассматриваемых в дальнейшем, электрический импеданс
пьезоэлектрического преобразователя можно считав чисто емкостным.
Введем обозначения: еа и d — абсолютная диэлектрическая проницаемость и
пьезомодуль пьезоэлектрика, Е — модуль упругости пьезоэлекгрика, б и б0 — соот
ветственно толщины пьезопластины при действии и отсутствии сил; х — относитель
ное перемещение электродов, так что б = б0 -f- х, х <; 60; 5 — площадь электродов
Си С,- текущая и начальная емкости пьезопластины, Со = eaS/60, F и v — сила
и скорость на входе преобразователя; q и i — заряд и ток преобразователя Учтя,
что х/Ь0 = f-IES, а плотность зарядов на электродах численно равна поляризации
Р, найдем выражения для q и силы элек-
электрическою взаимодействия:
пп , n dxES F хЕ
"о \дх) ^
//////// / /////
_ Л$А (t) — Ed
^ А) 8а Рис. 8. Схема пьезоэлектрического пре-
Ed Ed образователя
Fe {p) = — 1 (Р) = —. 1 (Р) = Ц (Р)' (Р)
ьа ьаР
Уравнения работы преобразователя, нагруженного с механической и электриче-
электрической сторон, примут вид [см. уравнения A) и B)]
+ г/I; A9)
Ed ] у с ES
рде [х — коэффициент преобразования; г0 и ^, — собственные электрический и меха-
механический импедансы преобразователя, г; и ?г — электрический и механический им-
педансы нагрузок; с — жесткость пьезоэлемента, причем
Обратимость преобразователя ясна из уравнений A9). Так как ja не зависит
от геометрических соотношений, уравнения A9) сохраняют силу для любого анало-
аналогичного пьезоэлектрического преобразователя, изменяются только числовые зна-
значения Е, й и 8а.
В общем случае
Ed
B0)
В случае, когда жесткость пьезоэлемента определяет механический импеданс
преобразователя (?„ >• Zt), получим
Безразмерная величина r\ = Ed1lza приближенно определяет энергетическую
эффективнооь преобразователя Для большинства пьезоэлектриков она значи1ельно
меньше единицы
!92
МЕХАНОЭЛШРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Режим измерения существенно зависит от вида нагрузки гь и значения pCnzt.
Обычно нагрузка включает параллельно соединенные Ri u G/, т. е. Z[ = Ri/(l -j-
+ pRfii). Тогда можно составить табл. 1 операторных чувсгвительностей к силе по
току i/F и напряжению Ui/F для нескольких предельных режимов (Ui = fej).
1. Чувствительность пьезоэлектрического преобразователя
Чувстви-
Чувствительность
1
/ К о
d
1 + П
R d
Т+п
Р
R,
A
1
["
+ t
2
vRlC0
ct<c
rf
+ TDC,
rf
Режим
<1
0
+ co
3
>1
ctd
A +Т1)С^Ч
(i-ft))с^ч c0
d
1 -f t)
rf
A -f T)) C^
/ '
1
1 —
В первом режиме преобразователь является дифференциатором. Наибольшая
чувствительность по напряжению достигается во втором режиме, когда напряже-
напряжение на нагрузке практически равно напряжению на разомкнутом пьезоэлементе,
пропорциональному величине d/e,,. Третий режим близок к короткому замыканию.
Хотя напряжение на нагрузке резко падает, этот
режим имеет определенные преимущества [25].
Пьезоэлектрические преобразователи применя-
применяют чрезвычайно широко для измерения динамиче-
динамических сил и сводимых к ним величин, а также дина-
динамических деформаций.
Электретный преобразователь. Электреты — по-
поляризованные диэлектрики в виде пластин или пле-
пленок, несущие на противоположных сюронах свя-
связанные заряды разных знаков и создающие вслед-
вследствие этого электрическое поле в окружающем
пространстве [24]. Электретное состояние возни-
возникает при соответствующей обработке диэлектрика
(нагрев и охлаждение в электрическом поле; гамма-
облучение в поле; облучение электронами и др.), вызывающей его поляризацию
Поляризация неравновесна и постепенно уменьшав 1ся вследствие различных рела-
релаксационных процессов. Для электретов характерное время релаксации составляет
от нескольких месяцев до 10 лет и более. Вскоре после изготовления поверхност-
поверхностная плотнос1ь зарядов а быстро убывает в несколько раз по сравнению с первона-
первоначальным значением, а затем почти стабилизируется Стабильность а сильно зависит
от объемной и поверхностной электропроводности образца и состояния окружающей
среды. При хранении на воздухе происходит сравнительно быстрая нейтрализация
поверхностных зарядов ионами, практически все1да имеющимися в воздухе.
Принципиальная схема электретного преобразователя показана на рис 7. Под-
Подвижным изображен электрет /, однако для анализа несущественно, движется он
или электрод 2, важно только изменение их взаимного расположения. Преобразова-
Преобразователь является конденсатором, емкость которого
Рис. 7. Схема электретного пре-
преобразователя:
/ — электрет, 2 — электроды
С = -
S
ГЕНЕРА ТОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВА ГЕЛИ 193
где S, ft и еа — площадь, толщина и абсолютная диэлектрическая проницаемость
электрета соответственно; б — зазор между электретом и электродом. Эта формула
и все последующие выводы верны при условии h < Ys • Существенным условием
является малость импеданса нагрузки г/ по сравнению с импедансом преобразова-
преобразователя 1/рС, вследствие чего потенциал электродов почти одинаков. При этом условии
электрет с поверхностной плотностью зарядов а индуцирует на электродах заряд
Заряд и емкость преобразователя зависят от зазора б = б0 -f- х, где §д — на-
начальный зазор; х — относительное перемещение электродов. Однако их частное,
имеющее размерность напряжения, является постоянной величиной;
= crft/8a = const.
Преобразуя формулы для С и Q, получим
г (у х\. r-
°\ ё'о] "
aSh oSh aSh x
где бд = 50 -{ «действующий» начальный зазор, при котором емкость и заряд
X
равны Со и Qo соответственно; q = Qoer — переменная часть заряда;
Сила электрического взаимодействия между электродами
ahdQ Ql,Qo F, oh
Перейдя к току /, получим
Рассматривая напряжение, вызванное зарядом q, можно показать обратимость
преобразователя
J
Поэтому в соответствии с A) и B) получаем систему уравнений преобразователя!
^ , oh .
22
oft , 1 '
0 = ttv-]—-p-
рга6'0 рС0
Отсюда (не учитывая постоянную силу Fo)
aft
B3)
Собственный механический импеданс So преобразователя мал. В электретных
преобразователях можно применять диэлектрик любого вида. Типичным материа-
материалом является фторопласт-4 в виде пленки, который после термообработки в поле
напряженностью ~ Ю9 В/м приобретает поверхностную плотность зарядов порядка
2-1О~и Кл/м2. В течение одного месяца а уменьшается до 8-10"*8 Кл/м2, после чего
7 л«р. Генкива М, Д., г, 5
194
МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
остается почти' постоянной, убывая примерно на 10 % в год. Для фторопласта от-
отношение o7e,t составляет ~ 0,05 В/м. Иногда используется также керамика чита-
ната кальция СаТЮ3. Электретный преобразователь пока применяется редко. В ос-
основном он используется при измерении пульсаций давления и вибраций средних
звуковых частот.
Действие электродинамического преобразователя основано на использовании
двух физических явлений: электромагнитной индукции и силового взаимодействия
тока с магнитным полем. Они выражаются известными законами Фарадея и Ампера,
которые с учетом векторного характера величин
f\ удобно привести в следующем виде:
-*—¦ Де ^5. = _д
Рис. 8. Схема электродинамиче-
электродинамического преобразователя:
/ — катушка; 2 — магнитная
система
где Ает — ЭДС индукции участка проводника Д1,
пересекающего со скоростью v однородное магнит-
магнитное поле с индукцией В; -^ скорость пересече-
пересечения магнитного потока Ф; AFe — сила, действую-
действующая в магнитном поле на участок проводника А/,
по которому течет ток i заданного направления. За-
Закон Фарадея предполагает режим холостого хода
(г = 0), а закон Ампера — режим заторможенного
проводника (у = 0).
Наиболее распространенная конструкция элек-
электродинамического преобразователя показана на
рис. 8. Под действием внешней силы катушка 1 движется вдоль оси магнитной си-
системы 2, пересекая силовые линии радиального магнитного поля. Если относитель-
относительная осевая скорость движения равна v, a I — общая длина провода, находящегося
в магнитном поле (она равна произведению средней длины витка на их число), то
с учетом перпендикулярности направлений поля, тока и движения, для результи-
результирующей ЭДС ет катушки и действующей на катушку силы Fe получим
em=—Blv, Fe = BH.
Исходя из уравнений A) и B) с учетом выбранного направления тока i полу-
получим уравнения преобразователя
B4)
Следовательно, преобразователь является обратимым, причем коэффициент
связи \i = В1 не зависит от р. Электрический импеданс г0 определяется последова-
последовательно соединенными сопротивлением и индуктивностью. Чувствительность пре-
преобразователя к силе по току, как следует из уравнения A3), постоянна, если (SO2 +
+ (So + id (го + zi) ** const. Это возможно либо вблизи механического резонанса,
либо в случае, когда первый член этого выражения преобладает. Такой режим воз-
возможен только в электродинамическом преобразователе [4]. Значение (х может до-
достигать 5 Т-м. Собственный механический импеданс имеет инерционный характер
и практически пропорционален ц.
Имеется много разновидностей МЭП этого типа, например с плоской катушкой
в однородном магнитном поле; с подвижным магнитом; с преобразованием линейной
скорости в угловую и тахогенератором и др. Электродинамические преобразователи
имеют высокую чувствительность к скорости и широко применяются при измерении
низко- и среднечастотной вибрации в относительно спокойных условиях (в сейсмо-
сейсмометрии, при исследовании колебаний сооружений). В сочетании с магнитоэлектри-
магнитоэлектрическим гальванометром они могут иметь разнообразные характеристики и эконо-
экономичны, так как не требуют питания. Их широко используют при измерении угловых
скоростей.
ГЕНЕРАТОРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
195
Электрокинетический преобразователь. Электрокинетические явления проис-
происходят на границе твердой и жидкой фаз состояния вещества. Вследствие таких про-
процессов, как обмен ионами, адсорбция полярных молекул жидкости, химическая сорб-
сорбция компонентов жидкости, на границе раздела фаз возникает двойной слой элек-
электрических зарядов, находящийся в динамическом равновесии [14]. Если твердая фаза
имеет вид диэлектрической перегородки с капиллярами и жидкость протекает сквозь
нее, электрическое равновесие на входной и выходной сторонах перегородки нару-
нарушается и между ними возникает
так называемый потенциал про-
протекания, выражаемый прибли-
приближенной формулой
ч Р^ГАр, B5)
где еа — диэлектрическая про-
проницаемость материала перего-
перегородки; уе и г| — эффективная
удельная проводимость и дина-
динамическая вязкость жидкости со-
отвелственно; к — электрокине-
электрокинетическая постоянная; Ар — раз-
разность давлений жидкости по обе
стороны перегородки (рис. 9).
Из опыта известно, что если
через жидкость, заполняющую
капилляр, пропускать электри-
электрический ток, то возникает течение жидкости по направлению тока, объемная ско-
скорость которого Vy пропорциональна току через капилляр с коэффициентом про.
порциональности eaxY,./T). Это явление называется электроосмосом. Если при-
принять, что капилляр имеет круговое сечение, то объемная скорость шчения
Рис. 9. Эдекгрокинетический преобразователь (а) и
схема его электрического выхода (б):
I — капиллярная перегородка; 2 — рабочая жид-
жидкость; 3 — мембрана; 4 — корпус
где t я S — длина и площадь сечения капилляра.
Примем, что перегородка имеет N капилляров сечением S каждый, а скорость
течения жидкости по капилляру равна v. Тогда vv = NSv и из B6) можно найти
vv NS
Если пропускание тока i через перегородку вызывает течение с объемной ско-
ской А vJB т е
ростью vv , то это эквивалентно приложению разности давлений Аре
действию на жидкость в капилляре силы [см. уравнение B5)]:
Отсюда следуют уравнения электрокинетического преобразователя.»
FNS
т. е.
TNS
В
из которых очевидна его обратимость с коэффициентом (х~
чения Г и В, получаем
B7)
VNS
. Раскрывая зна-
7*
196 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Электрический импеданс преобразователя г0 образован сопротивлением капилля-
капилляров #о = Т7—к > шунтированным межэлектродной емкостью Со. Значение Ro велико,
поэтому обычный режим работы преобразователя — короткое замыкание. Таким
образом, ток в нагрузке
,-, _ Я» Ц р B8)
При малых р обычно у, « с/р и ток пропорционален pF. Однако имеется широ-
широкий интервал изменения р,"где вследствие большого сопротивления течению в капил-
капиллярах ?0 « Ь = 8л1ц, но pRC0 < 1. В этом случае преобразователь воспроизводит
закон изменения силы, т. е. является масштабным:
Как следует из B8), при значениях рЯ0С0, сравнимых с единицей, ток в нагрузке
уменьшается, причем плавно, без каких-либо резонансных явлений. При pR0C0 > 1
преобразователь становится интегрирующим.
Приведенная выше формула для коэффициента связи ц не может быть прак-
практически использована при расчете вследствие отсутствия методов прямого измере-
измерения к и уе, поэтому \i приходится определять экспериментально.
В электрокинетических преобразователях в качестве рабочих жидкостей ис-
используют ацетон, спирты, ацетонитрил. Материал перегородки — кварц, стекло,
керамика, фторопласт. Типичное значение Яо порядка 0,1 МОм, Со— 10 пФ, по-
поэтому преобразователь является низко- и среднечастотным. Он может использо-
использоваться для измерения параметров вибраций и переменных давлений, а также в ряде
других случаев [14]. Однако следует отметить отсутствие сведений о серийном выпуске
аппаратуры с электрокинетическими преобразователями.
3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Общие замечания. Параметрические преобразователи, как отмечено в разделе 1,
управляют параметрами потока энергии, поступающего от внешнего источника,
и могут работать в одном из двух режимов. В первом из них преобразователь явля-
является регулятором постоянного тока или напряжения.
Измерительную информацию несет закон изменения уровня электрической вели-
величины. Хотя такой преобразователь принципиально должен быть нелинейной систе-
системой, в определенных условиях его выходной сигнал может считаться линейно свя-
связанным со входным и даже прослеживается аналогия с генераторными МЭП. На-
Например, в простейшем случае преобразователь, имеющий электрический импеданс
г0, включен последовательно с нагрузкой z/ и питается от источника с ЭДС е и внут-
внутренним сопротивлениел« R,. Внешнее воздействие изменяет импеданс преобразова-
преобразователя на Дг0, вследствие чего ток в цепи изменяется на величину i. Отсюда имеем
Нелинейность преобразования вносит произведение гДг0. Но при Дг0 «^ г0
/ + Rt
е я= (г0 + г, + Rt) »0 — (г0 + zt -f Rt) i — i0 Дг0.
Если импеданс Дг0 линейно связан с входной величиной МЭП (обычно это пере-
перемещение х), т. е. Дг0 = Аух, то можно записать
^2. C0)
Если в преобразователе действует электрическая сила Fe, причем Fe г=а Fo
-f- A2i, где Fo и А2 не зависят от г, то уравнение баланса сил принимает вид
C1)
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
197
Последние два уравнения подобны системе уравнений A) и B), причем А2 ч=
= ]Хе, i0AJp — ]хт. Если | pAJi^ | = 1, то такой преобразователь эквивалентен
генераторному МЭП, и его можно назвать квазиобрагимым. Для него сохраняют
силу общие замечания раздела 2. Преобразователь, питаемый постоянным током,
может быть квазиобратимым только при условии, что энергия источника питания
затрачивается главным образом на создание электрического или магнитного поля
в преобразователе. Если поле мало, то отсутствуют и пондеромоторяые силы, т. е.
\ie « 0. Практически такой же результат получается при питании переменным то-
током вследствие различия спектрального состава входной и выходной величин (преоб-
(преобразователь, являясь модулятором, осуществляет перенос спектра, см. гл. 10).
Выходным сигналом преобразователя может быть ток (при zi <^. г0 -f- Ri) или
напряжение на нагрузке (в обратном случае).
Кроме режима регулятора тока, параметрический МЭП может работать в режиме
возбудителя, входя в состав частотно-задающей цепи генератора с самовозбужде-
самовозбуждением. Измеряемая величина модулирует частоту генерируемого напряжения. Изме-
Изменение частоты может быть прямо использовано в качестве выходного сигнала либо
преобразовано в другую форму (дискретную или аналоговую). В этом режиме пре-
преобразователь всегда необратим.
Рис. 10. Емкостный преобразователь:
о с переменным зазором (площадью); б — с переменной проницаемостью; в — дифферен-
дифференциальный
Выходной сигнал параметрического МЭП, питаемого переменным током, дол-
должен подвергаться детектированию (демодулированшо), производимому обычно в уси-
усилительно-преобразующей аппаратуре. Так как этот сигнал действует на фоне другого,
не несущего полезной информации, но более сильного вследствие того, что Дг0 <[
< z0, его выделение осуществляется дифференциальными или мостовыми схемами
[25].
Емкостный преобразователь. Принцип действия этого преобразователя основан
на зависимости емкости между проводниками от их взаиморасположения, размеров
и свойств среды между ними. В простейшем случае плоского конденсатора его емкость
^ eS
где S — площадь электродов; S — зазор между ними; 8 — эффективная (т. е. учи-
учитывающая неоднородность свойств) диэлектрическая проницаемость межэлектрод-
межэлектродного пространства. Возможные принципиальные схемы емкостного преобразова-
преобразователя представлены на рис. 10. Имеются два вида зависимостей емкости от переме-
перемещения х одного из электродов:
1) C = C0(l+ax); 2)С = -Г^7Г-Г; <х=6^.
Первый из них соответствует изменению площади или эффективной проницае-
проницаемости, второй — изменению зазора.
При АС < Со для первого вида
1 AC
~р ~&
198 МПХЛНОЭЛЕК.ТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
а для второго
. ах а
рС0 p-t0
Таким образом, уравнение C0) может быть записано в следующем виде:
¦fP-T^ v- C2)
где 6 = ~ или -^=г- Для видов 1 и 2 соответственно.
pcQ pw
Выражение для Fe существенно зависит от электрического режима преобразо-
преобразователя. Вследствие сложности анализа в общем виде ограничимся двумя крайними
случаями при питании от источпика постоянього напряжения.
1 Изменения емкости происходят настолько медленно, что источник ттиния
успевает практически без запаздывания заряжать емкость, поддерживая на ней одно
и то же напряжение, равное е, если последовательно с преобразователем не включены
другие емкости Тогда C2) принимает следующий вид:
j^eC C3)
рс0
С другой стороны, Fe = -д- -J— , и так как rfC/dv равно аС0 или — аС0/A -J- ах), го
для вида 1 Fe = —'-— = Fu;
для вида 2 F, = =- -
Так как заряд на емкости
= eCt, — асСа х = еС„ -
где 9 — переменная часть заряда, то для вида 2 можно записать:
2. Изменения емкости происходят наоолько быстро, что заряд на ней не успе-
успевает существенно измениться и сохраняется равным начальному значению еСд. Сле-
Следовательно, напряжение на емкости изменяется по закону eCJC (x). Если заряд
не изменяется, то ток, проходящий через емкость, равен нулю, а источник питания
нужен по существу только для начального заряда емкости (при пренебрежении
током утечки). Однако имеется малый ток через нагрузку Zi, поддерживаемый ра-
работой внешней силы F. Для зависимости первого вида емкости от перемещения (см.
стр. 197)
т. е. кроме постоянной силы имеется дополнительная электрическая упругоаь. Для
зависимости второго вида
Уравнение C2) записывается в следующем виде!
0 = —zli + $epCav. C4)
Вид второго члена объясняется тем, что вначале (при х = 0) импеданс емкости,
а не нагрузки, определяет характер начального тока.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
199
Уравнения преобразователя во всех режимах и их решениях сведены в табл. 2.
2. Уравнения емкостного преобр«1зователя
Режим
Постоянное напряже-
напряжение рС z. <€, 1
Постоянный заряд
рСог1 ^ 1
F +
i
0 = — г(
2
zl <
1
~Ус01
ае2Со
2
а"С0
So
р
р?о+а2
— о 1
I/7 + /=¦«)
•!Со)
с.
1 + а*
п 1 . , ом 1
Рб0 р 1
. да!С„ ае |
'•I 2 р «+ Ьо" )
1 аеС° p(F + F')
O^-zJ + ^v }
Р \
F I 2 ?"J J
ае /^ _^ «
Из приведенных в табл. 2 выражений видно, что во всех случаях выходной
ток прямо или косвенно зависит от р При работе в режиме постоянного напряже-
напряжения и при упругом характере ?„ преобразователь является дифференциатором. В ре-
режиме постоянного заряда выходной сигнал зависит от вида нагрузки, в частности,
если нагрузка активная, то ток пропорционален силе. Однако в любом случае невоз-
невозможно измерить постоянные силы или перемещения Из табл. 2 видно, что в одном
из режимов преобразователь является квазиобратимым.
При питании преобразователя от источника переменного напряжения ток через
него протекает, даже если емкость не изменяется, и, ток может служить ме-
мерой емкости при любом законе ее изменения. Для расчета следует использовать
уравнение C2) с учетом того, что е является функцией р. Например, при питании
синусоидальным напряжением частоты сое =~yt—г" ^° формулам табл. 2 можно
определить амплитуду выходного тока @, если вместо выражения, стоящего перед
(F + Fo), взять его модуль при р = /со Частоту со, называемую несущей, выбирают
значительно больше наивысшей частоты в спектре F. В зависимости от соотношения
(aQ) и zi преобразователь может работать в" двух крайних режимах ¦— короткого
замыкания (г, <—7Г-\ и холостого хода (г; > 1/соСо) В первом из них имеет место
уравнение
а во втором
0 =
1
;соС0
0 = -
Выражения для Fe разбиваются на две части, причем первая не зависит от вре-
времени, а вторая пульсирует с частотой 2со; почти всегда ими можно пренебречь (см.
ниже), т е преобразователь считать необратимым
Расчет показывает, что при правильном выборе со и Zi в любом режиме ампли-
амплитуда выходного гока i0 преобразователя может быть пропорциональна действующей
силе. Например, для режима холостого хода и переменного зазора
'о =
°
l0 (;co)
200 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Следовательно, Zi надо выбирать так, чтобы знаменатель был постоянным. При
упругом характере импеданса это соответствует активной нагрузке: Z; = Ri. Для
измерения обычно используют мостовые схемы [25].
Наибольшая удельная сила притяжения электродов преобразователя опреде-
определяется пробойной напряженностью поля и для воздуха составляет ~ 0,01 Н/см2.
Если действующая сила F во всех режимах в значительной степени больше силы
электрического взаимодействия, то использование преобразователя только при
АС •< Со сужает возможный диапазон изменения входной величины. Увеличение же
ДС/С0 ведет к быстрому росту нелинейности преобразования, которую можно умень-
уменьшить применением различных методов линеаризации. Одним из них является ис-
использование дифференциальных преобразователей (рис. 10, в), в которых емкости
изменяются одновременно в разные стороны. В этом случае наряду с линеаризацией
и увеличением чувствительности достигается хорошая компенсация влияния внеш-
внешних условий. Линейность значительно увеличивается, если выходным является
параметр, обратный АС, например изменение емкостного сопротивления. Линей-
Линейная связь его с х соблюдается вплоть до смыкания электродов преобразователя. Пря-
Прямую линеаризацию можно произвести путем преобразования выходного сигнала в до-
волнительном блоке на основе микропроцессора, что теперь вполне возможно даже
в устройствах с автономным питанием.
Если емкость включена в задающую цепь генератора переменного напряже-
напряжения, то можно измерять не токи или напряжения, а временные параметры — ча-
етоту или длительность. В классическом генераторе с индуктивностью период коле-
колебаний пропорционален У~С, а в резистивно-емкостном генераторе он линейно зави-
зависит от С. Этот метод обладает большой гибкостью, так как всегда можно выбрать
оптимальный вид выходного сигнала. Например, при включении преобразователя
е переменным зазором в цепь резистивно-емкостного генератора частота колебаний
1 - \+ах
где
f°=lc0'' Д/=Щ*; *=const*
Изменение частоты пропорционально х и его целесообразно использовать в ка-
качестве выходного сигнала. Если преобразователь имеет переменную площадь, то ли-
линейно связанным с перемещением оказывается период колебаний
Т = kC = kC0 A +ах) = То + ДГ,
T0 = /eC0, AT = kCoax.
Следовательно, в обоих случаях возможна работа без вышеприведенного огра-
ограничения АС <^ Со с большой устойчивостью к перегрузке. При включении преобра-
вователя в колебательный контур эти свойства в значительной степени теряются,
но достигается гораздо большая стабильность параметров генератора. Поэтому по-
последний способ широко применяют в высокочувствительных и стабильных изме-
измерительных системах. Преобразователь с частотным выходом необратим во всех слу-
случаях.
Чувствительность емкостного преобразователя определяется его геометриче-
геометрическими соотношениями, питающим напряжением и стабильностью конструктивных
елементов. Наиболее высокая чувствительность достигается при переменном зазоре,
однако одновременно уменьшается верхний предел измерения. Поэтому области при-
применения преобразователей с переменной площадью и переменным зазором различны.
Преобразователи с переменной проницаемостью в технике механических измерений
используют редко, хотя существуют кристаллические вещества с большой зависи-
зависимостью проницаемости от механического напряжения. Такие диэлектрики могут
быть эффективны в преобразователях силы и давления.
Емкостные преобразователи используют при измерении сил и сводимых к ним
величин, а также перемещений, особенно малых и сверхмалых.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
201
Индуктивный преобразователь. Действие индуктивных МЭП основано на ис-
использовании зависимости индуктивности контура с током или взаимоиндуктивности
двух связанных контуров от их размеров, формы, взаиморасположения и магнит-
магнитной проницаемости среды, в которой они находятся. В частности, индуктивность
катушки с магнитным сердечником, имеющим зазор, зависит от длины последнего
(рис. 11).
Примем, что кольцевой зазор, через который замыкаются силовые линии, иду-
идущие вне катушки, настолько мал, что им можно пренебречь. Если обозначить через
ца абсолютную магнитную проницаемость сердечника; / — среднюю длину силовой
линии в сердечнике; V — индуктивность катуппи без сердечника, то индуктив-
индуктивность изображенной на рис. 11 катушки L=\i^L',
где \i'a — эффективная магнитная проницаемость с 3 f\
учетом зазора; ч
Ра у'а 1 + у.аE0+х)/Г
Эта формула верна при <50 -f х < /. Если в до-
дополнение к этому б0 + х <gj l/\ia, то 2-
Таким образом,
где Lo — индуктивность при х =
KL'
=
Энергия магнитного поля в катушке
Рис. 11. Индуктивный преобра-
преобразователь:
/ — неподвижный сердечник;
2 — катушка; 3 — подвижный
сердечник
где [0 — ток при х — 0. Если ограничиться членами 2-го порядка малости и учесть,
что AL/L0 = i/г'о, то
Lotg tg AL Iot\
2 2 2 '
.di
'«a
Подставляя эти величины в C0), C!) и учитывая, что г0 = pL0 + R, получаем
уравнения преобразователя
Из этих уравнений видно, что преобразователь является квазиобратимым с ко-
коэффициентом [i (но не |ха), равным (оа.
Выходной ток
Как обычно, в дорезонансной области преобразователь дифференцирующий,
а за резонансом — масштабный. Питание индуктивного преобразователя постоян-
постоянным напряжением не практикуется, поскольку в отличие от емкостного, он потреб-
потребляет энергию, бесполезно расходуемую на его активном сопротивлении. При пита-
питании переменным напряжением уменьшается расход энергии и становится возмож
202
МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
ным измерение постоянных величин. Выходные параметры рассчитывают так же,
как и для емкостного преобразователя. Сохраняют силу выводы о возможности при-
применения временных или частотных методов измерения и линеаризации.
Преобразователи имеют много конструктивных разновидностей [25]. Кроме пре-
преобразователей с переменной длиной зазора, характеризующихся наибольшей чув-
чувствительностью к перемещению сердечника, известны преобразователи с перемен-
переменной площадью зазора; с разомкнутой магнитной цепью (без неподвижного сердеч-
сердечника); с переменной взаимоиндуктивностью и др. Чувствительность их достаточна
для измерения перемещений до 0,1 мкм.
Индуктивные преобразователи применяют для измерения перемещений и пре-
преобразовываемых в них сил и давлений.
Магнитоупругий преобразователь отличается от индуктивного механизмом
изменения индуктивности. Оно осуществляется прямым воздействием силы на ферро-
ферромагнитный сердечник (рис. 12). Известно, что про-
проницаемость ферромагнетика зависит от механиче-
механических напряжений в материале [5]. Если при от-
отсутствии напряжения проницаемость равна ца, то
создание напряжения а изменяет ее на Дца. Чув-
Чувствительность ферромагнетика к напряжениям ха-
характеризуют коэффициентом |3 = k\ial\\,ao, который
зависит от а и поля в ферромагнетике Н. В неко-
некоторой области изменения о и Я можно принять
Р га const. Тогда индуктивность катушки L =
= Lo + Д10, где Д10 = L0Ect. Так как для изобра-
изображенного преобразовахеля а = Ex/h, где Е — мо-
модуль упругости материала сердечника, х — пере-
перемещение его верхнего торца, h — высота, то
Рис. 12. Магнитоупругий пре-
преобразователь:
/ — сердечник; 2 — катушка
Подставляя это значение в C0), получаем
уравнение для выходного тока преобразователя.
Магнитоупругий преобразователь всегда питают
переменным напряжением, ввиду чего он практически необратим. Выходной сиг-
сигнал находят по формуле, аналогичной C5). Так как значения коэффициента Efi
могут достигать нескольких сотен, преобразователь чувствителен к малым напря-
напряжениям. Однако шумы в ферромагнетике и гистерезисные явления ограничивают
минимальные измеряемые напряжения значением порядка 10~7 Е.
Естественной областью применения магнитоупругого преобразователя является
измерение сил и давлений. Однако он используется реже, чем индуктивный, в основ-
основном для измерения медленно изменяющихся величин одного знака.
Резистивные преобразователи. Действие резистивных МЭП основано на исполь-
использовании зависимости входящих в формулу для электрического сопротивления вели-
величин — длины проводника /, его сечения 5 и удельной электропроводности матери-
материала у — от механических воздействий. В простейшем случае резистивный МЭП
представляет собой прямой или намотанный спиралью провод с переменной активной
длиной, определяемой положением скользящего контакта (рис. 13). Такой преоб-
преобразователь называют реостатным. Изображенный преобразователь со спиральной
намоткой не аналоговый, а дискретный с шагом, равным межвитковому расстоя-
расстоянию d. При перемещении контакта на х относительное изменение сопротивления
&R/R равно х/1, где / — длина намотки. Таким образом, AR/R может изменяться
от dll до единицы, однако обычно начальное положение контакта выбирают в сере-
середине намотки. Другим примером является тензорезистор — проводящий ток эле-
элемент, подвергающийся деформации, чаще одноосной (рис. 14). При этом изменя-
изменяются все величины, от которых зависит сопротивление.
Для оценки свойств материала тензорезистора вводят коэффициент тензочувст-
дп д/
вительности k, равный -—- : —. Расчет изменения размеров провода при деформации
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
203
дает для k значение 1 + 2v, где v — коэффициент Пуассона, равный 0,25—0,35.
Но так как в дополнение к этому изменяется плотность материала, а следовательно,
и концентрация носителей заряда, и деформируется кристаллическая решетка, k
оказывается значительно большим (до 22 для металлов). В полупроводниках, где
имеются носители зарядов двух типов и механические напряжения изменяют струк-
структуру энергетических зон и подвижность носителей, коэффициент тензочувствитель-
ности на порядок выше, но зависит от типа проводимости, ее значения и ориентации
оси резистора относительно кристаллографических осей материала [3].
Рис. 13. Реостатный преобразователь
Рис. 14. Текзорезистивный преобразователь
В резистивных преобразователях можно полностью пренебречь воздействием
электрической стороны на механическую и рассматривать обе как независимые. Ме-
Механический импеданс тензорезистора относительно невелик и носит упругий харак-
характер; в реостатном преобразователе скользящий контакт является нелинейным эле-
элементом (типа трения без смазки). Чувствительность резистивных преобразователей
обоих типов, например по току, определяется формулами
<«&_-*•-
i __ e
~ T (l
где a — коэффициент преобразования деформации объекта ? в деформацию тензо-
резистора MIL Передача деформации осуществляется либо по всей длине тензоре-
зистора, либо в отдельных точках. Конструкции тензорезисторных МЭП разнообраз-
разнообразные. Их изготовляют различной формы из проволоки, фольги, напыленной пленки
или куска монокристалла.
Выходной сигнал тензорезисторов невелик по отношению к напряжению пита-
питания е и подвержен сильным паразитным влияниям, что заставляет применять для
его измерения дифференциальные схемы включения [25].
Чувствительность тензорезисторных МЭП позволяет измерять динамические
деформации до 10~8.
Реостатные преобразователи применяют для измерения относительно больших
относительных перемещений, а тензоречистивные — для измерения деформаций
и преобразуемых в них величин: сил, давлений, моментов.
Преобразователи с переменной характеристикой. Особую разновидность пара-
параметрических МЭП представляют преобразователи с нелинейной вольтамперной ха-
характеристикой (ВАХ), изменяющейся при механическом воздействии на преобразо-
преобразователь. Типичным примером является механотронный преобразователь — электро-
электровакуумный прибор с подвижным электродом [2]. На рис. 15 показан схематически
Диодный механотрон с подвижным анодом. При перемещении анода относительно
катода, происходящем под воздействием силы на упругую мембрану, ВАХ диода —
зависимость анодного тока от напряжения между электродами — изменяется. Это
видно из формулы для анодного тока
204
МЕХАНОЭЛЕК.ТРИЧЕСК.ИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
где в — коэффициент, зависящий от материала и температуры катода и площади
электродов; Ua — анодное напряжение. Изменение ВАХ показано на рис. 16, в пра-
правом квадранте которого изображено семейство характеристик при разных межэлек-
межэлектродных расстояниях б. Изображение зависимостей в виде графиков часто является
единственно возможным, если отсутствуют аналитические выражения, имеющие до-
достаточную точность. Так как в цепь диода включен нагрузочный резистор Rh вы-
выполняется равенство Ua + iaRi = e, в результате чего ток изменяется в соответст-
соответствии с динамической характеристикой ia = ia (б, Rt), построение которой показано
в левом квадранте рис. 16. Несмотря на резко выраженную нелинейность исходных
ВАХ, динамическая характеристика близка к прямой. Отсчитывая перемещение
с t/a
Рис. 15. Диодный механотронный преобразователь:
/ — мембрана, 2 — подвижный анод
Рис. 16. Схема построения динамической
характеристики преобразователя
анода х от начального расстояния б0 и обозначив U = е — Uan, i = ia — im иц =
¦" Rl *Й Ф> можно записать U « —\ix и, следовательно, уравнения преобразователя:
Таким образом, оба уравнения независимы. Выходной ток преобразователя
Механический импеданс механотрона значителен. В дорезонансной области,
которая для этого типа МЭП обычно является рабочей, преобразователь будет мас-
масштабным.
Диодный механотрон является простейшим в ряду преобразователей с подвиж-
подвижными электродами. Разработаны конструкции с двумя анодами и дифференциальной
схемой включения, выполненные как по диодной, так и по триодной схемам, с чув-
чувствительностью до нескольких сот микроампер на микрометр. Вследствие большой
ж§сткости механотроны более пригодны для измерения сил и давлений.
Наряду с вакуумными известны преобразователи твердотельного типа — по-
полупроводниковые диоды и триоды (транзисторы), в которых ВАХ является функ-
функцией механического напряжения, приложенного к активной области кристалла:
р—л-переходу, каналу [3]. Практически все известные типы полупроводниковых
приборов могут использоваться в этих целях. Эффект здесь достигается за счет того,
Что при изменении размеров активной области изменяются концентрация и подвиж-
йость носителей заряда, а в полевом транзисторе с изолированным затвором возни-
возникает еще и пьезоэлектрическая поляризация в изолирующем слое. Полупроводнико-
Полупроводниковые МЭП этого типа имеют значительно меньший механический импеданс, чем меха-
механотрон, и могут измерять малые силы, поскольку их чувствительность высока; однако
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
205
стабильность недостаточно хороша. Пока они не получили широкого распростране-
распространения.
Резонаторные преобразователи. Преобразователи этого типа представляют собой
генераторы с электромеханической обратной связью через частотно-избирательный
элемент, параметры которого зависят от производимого на него воздействия (рис. 17).
Генератор с пьезоэлектрическим резонатором в цепи обратной связи возбуждается
на частоте f0, равной Ncs/2l, где cs — скорость распространения используемых
звуковых волн; N — целое число; I — длина пути волн в резонаторе. Если на резо-
резонатор действует сила, его размеры и механические свойства, а с ними и частота ге-
генерации, изменяются в первом приближении пропорционально силе. Таким обра-
образом, преобразователь является управляемым силой генератором с частотной моду-
модуляцией {16] и близок к емкостным или индуктивным МЭП с частотным выходом,
однако в последних используется не меха-
механический, а электрический резонанс.
В преобразователях чаще используют
резонаторы с колебаниями сдвига по тол-
толщине (рис. 17) или изгиба. Рассмотрим пер-
первый из них, как более простой.
Из выражения для f0 следует, что -.— =
/о
м
-f0 Ac
т~. Однако скорость зву-
1
— ---. -- ~
'0 CS
ка в незначительной степени
механических напряжений в
Л/ F
Л/
Учитывая, что —=v -
зависит от
материале.
где Ь — модуль
Юнга в направлении действия силы; S —
площадь поперечного сечения резонатора; v •
Рис. 17. Пьезорезонаторный преобра-
преобразователь:
/ — резонатор; 2 — электроды; 3 —
генератор
- коэффициент Пуассона, получаем
где х — перемещение торца резонатора под действием силы. Для повышения чув-
чувствительности к силе выгодно использовать материалы с относительно малым моду-
модулем упругости, однако главную роль играет стабильность свойств во времени, а также
при изменении температуры и других характеристик окружающей среды. Это объяс-
объясняется тем, что выходным параметром фактически является относительно низкая
разностная частота / — }'о — /0. Но
f = — г =
ES
21ES
2/яг
h Gv2.l/2
SP ?2 /
где т — масса резонатора; А — толщина; G — модуль сдвига в направлении /.
Стабильность / определяется стабильностью комбинации геометрических и упру-
упругих параметров, стоящей в скобках. Важное значение при этом имеет ликвидация
утечек энергии, генерируемой в резонаторе, что достигается рациональным выбором
типа возбуждаемых волн, конструкции резонатора и присоединительных элемен-
элементов.
Резонаторные МЭП нецелесообразно описывать системой уравнений A) и B),
так как они имеют частотный выход, а обратное влияние электрической стороны на
механическую определяется слабыми эффектами второго порядка малости, и им можно
пренебречь.
Наиболее распространены резонаторные МЭП другого вида — так называе-
называемые вибрационно-частотные (струнные) [25]. Их действие основано на использовании
того факта, что собственная частота струны, натянутой с усилием Р, пропорцио-
пропорциональна Pl!i. Следовательно, если Р = Ро -}- F, то отклонение частоты от началь-
206 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
ного значения пропорционально РШ hf\ +FIP0~- l)«* ( Гм/г) F~ °^uaK0 Pe30'
кагоры на твердом теле имеют хорошую перспективу, так как обладают рядом пре-
преимуществ, в частности по быстродействию. Их чувствительность позволяет измерять
силы, вызывающие напряжения порядка КГ" Е. Известны также преобразователи
с чисто электрическими резонаторами типа клистронных, которые однако не вышли
за пределы лабораторных исследований вследствие значительных эксплуатацион-
эксплуатационных неудобств. Резонаторные МЭП используют для измерения сил и величин, сво-
сводимых к ним.
Вихретоковый преобразователь. Действие вихретоковых (или токовихревых)
преобразователей основано на использовании явления электромагнитной индук-
^^_^^^_^ ции. Если в магнитном поле тока находится про-
Y////////////A водящее тело, то при изменении поля в нем воз-
возбуждаются короткозамкнутые (вихревые) токи,
10+1 отсасывающие энергию поля [191. Поэтому, напри-
* " мер, амплитуда переменного тока в плоской катуш-
1
I' 1 ке| находящейся вблизи металлической поверхно
I . 1 . I
—¦——{—I
сти, зависит от расстояния до нее, электропро-
водности и магнитных свойств металла. Так как
результатом взаимодействия магнитных полей ка-
тушки и вихревых токов является вносимый в цепь
импеданс, можно считать, что преобразователь
Рис. 18. Вихретоковый преобра- (рис. 18) представляет собой электрический коле-
зователь (е — em sm 2л/00 бательный контур с переменными параметрами.
Как известно, импеданс контура при питании гар-
гармоническим напряжением с частотой, равной собственной частоте контура /0, чисто
активен и равен сопротивлению потерь в контуре R. Если R является функцией
расстояния от катушки до некоторого поглотителя излучаемой ею энергии и
можно записать, что
R — Ro + &Ro ^Ro + ax, <*¦ = const,
где х — перемещение поглотителя, отсчитываемое от некоторого начального рассто-
расстояния ха, подстановка этого значения импеданса в C0) дает выражение для выход-
выходного сигнала преобразователя. Так как контур не является задающим, влияние
измеряемой величины на /0 и обратное влияние выхода на вход отсутствуют, следо-
следовательно, преобразователь является необратимым. Катушку иногда включают в за-
задающий контур генератора аналогично индуктивному преобразователю.
При анализе работы вихретокового МЭП приходится вводить ряд коэффициен-
коэффициентов, определяемых параметрами катушки и поглотителя энергии. Их теоретический
расчет дает малую точность, поэтому используют экспериментально полученные
характеристики при различных сочетаниях параметров. Реальной является чувстви-
чувствительность по перемещению 10 мВ/мкм. Вихретоковые преобразователи применяют
при измерении относительных перемещений.
4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
В комбинированных преобразователях входная механическая величина сначала
преобразуется в промежуточную величину другой природы, а затем в электрическую.
Гальваномагнитные преобразователи. Гальваномагнитные эффекты наблю-
наблюдаются при движении зарядов в проводнике или полупроводнике, находящемся
в магнитном поле, и проявляются в возникновении ЭДС Холла, увеличении сопро-
сопротивления, а также изменении свойств р—га-переходов [3].
Силовое действие поля на ток приводит, во-первых, к отклонению траектории
движения зарядов в направлении, перпендикулярном току, и как следствие, к соз-
созданию их избытка у одной грани проводника и недостатка у противоположной, т. е.
возникновению ЭДС между ними, называемой ЭДС Холла. При фиксированных зна-
значениях тока и индукции поля ее значение обратно пропорционально концентрации
носителей заряда. Таким образом, этот эффект проявляется заметно только в полу-
КОМБИНИРОВАННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
207
проводниках. Во-вторых, из-за воздействия поля на заряды направление тока не
совпадает с направлением электрического поля, что эквивалентно увеличению сопро-
сопротивления. Этот эффект пропорционален квадрату индукции и также наиболее заме-
заметен в полупроводниках.
Еще более сильно зависит от магнитного поля ВАХ полупроводникового диода
и транзистора при специальном подборе размеров и свойств материала.
Все эти эффекты могут использоваться для измерения перемещения магнито-
чувствительного элемента в неоднородном магнитном поле [22]. Схема такого пре-
преобразователя, например, с элементом Холла, показана на рис. 19 (для удобства
изображения направление поля повернуто в плоскость рисунка). Магнитное поле
создается постоянным магнитом, причем подбирают такую его конфигурацию, чтобы
в рабочем пространстве градиент поля был постоянным: В — Во A -f- fk), где х
отсчитывается от некоторого среднего значе-
значения. Тогда и ЭДС Холла будет линейно за-
зависеть от перемещения:
\
4—^LL^=l_
-*—
в
x
г _
где у — магниточувствительность элемента,
зависящая от его толщины и концентрации
носителей заряда; i0 — ток через элемент;
^ S k ?B
Рис. 19. Гальваномагнитный (холловский) преобразователь:
/ — элемент Холла (направление магнитной индукции условно повернуто на 90° в плоскость
рисунка)
Рис. 20. Фотоэлектрический преобразователь:
/ — излучатель
Сила взаимодействия тока с магнитным полем пренебрежимо мала вследствие
малой длины элемента. Таким образом, ЭДС преобразователя
_ и = ь_Р
т ° Plo '
Собственный механический импеданс элемента Холла мал, а электрический
импеданс — активное сопротивление, как правило, много меньше импеданса на-
нагрузки Z/. Поэтому практическое значение имеет чувствительность к перемещению
по напряжению Uilx « k. Ее значение определяется величинами, входящими в вы-
выражение для k. Наибольшее значение у имеет арсенид галлия — до 500 м3/Кл. Ин-
Индукция Во Для магнитов приемлемых габаритов может быть 1 Т, а градиент поля
на линейном участке порядка 10 Т/м. В результате чувствительность по перемеще-
перемещению при предельно возможных токах доходит до 1 В/мм. Магниторезисторы и маг-
нитодиоды в принципе позволяют получить значительно большую чувствительность.
Гальваномагнитные преобразователи применяют для измерения перемещения
и величин, преобразовываемых в него (давления, параметров движения и др.).
Фотоэлектрический преобразователь также чувствителен к перемещению и осу-
осуществляет модуляцию светового потока, попадающего на светочувствительный эле-
элемент (рис 20) Световой поток на входе фотопрпеыпика
208
МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Ток приемника (в данном случае фотодиода) ?ф' = йФ + id, где а — чувстви-
чувствительность; la — темновой ток приемника. Таким образом,
Отсутствие влияния выходной стороны на входную очевидно, а чувствительность
к перемещению по току равна аФ0/б0 Типичная чувствительность полупроводнико-
полупроводниковых фотоприемников а ~ 10 А/лм, а поток Фо от источника некогерентного света
с конденсатором может быть порядка 10 лм, что при б0 ~ 1 мм дает чувствитель-
чувствительность по перемещению около 1 мА/мм. С фотоумножителем чувствительность на
порядок выше, однако он значительно сложнее в применении.
Фотоэлектрические преобразователи применяются главным образом при изме
рении перемещений [8].
Пьезооптический преобразователь. В пьезооптических преобразователях ис-
используется зависимость оптических свойств твердых тел от механических напря-
напряжений в них (фотоупругость) В напряженном состоянии показатель преломления п
становится зависимым от направления колебаний светового вектора, причем раз-
разность показателей Дя пропорциональна приложенному напряжению а. Поэтому
еК
Рис. 21. Пьезооптический преобразователь:
/ — излучатель (светодиод); 2 — поляризатор; 3 — чувствительный элемент; 4 — фазовая
пластинка: 5 — анализатор, 6 — фотоприемник
луч плоскополяризованного света, проходящий через вещество, разделяется на
два луча, распространяющиеся с различной скоростью, поляризованные во взаимно
перпендикулярных направлениях и имеющие на выходе разность фаз
Аф==2я — а,
где I — длина пути света в веществе; aj'° — так называемая фотоупругая постоян-
постоянная Если оба луча свести в одну плоскость анализатором, то при рациональной
ориентации поляризатора и анализатора относительно направлений главных на-
напряжений [1] световой поток на выходе
ф = Фо (sin Дф + а),
где Фо и а не зависят от Дф. Формула выведена при условии, что между лучами
имеется начальная разность фаз 90 .
Простейшая схема пьезооптического преобразователя показана на рис. 21.
Луч света (в данном случае от светодиода) проходит через поляризатор 2 на чув-
чувствительный элемент 3, далее через фазовую пластинку 4, создающую фазовый сдвиг
на 90°, анализатор 5 и попадает на фотоприемник 6. Сигнал последнего отсчитыва-
ется от начального уровня, соответствующего половине максимального сигнала.
01.0
Согласно формуле для Ф при увеличении а от 0 Ао~- сигнал, пройдя максимум,
вернется к прежнему значению. Однозначная и линейная зависимость соблюдается
при отклонениях фазы от начального значения, меньших 10—15°.
Пьезооптическии преобразователь относится к полностью необратимым Его
чувствительность к напряжению является функцией нескольких величин и пара-
параметров: светового потока от источника; степени поляризации света, прозрачности и
/ 2
\ \
ч
У
/
t
4 Г
1 !
1
В
КОМПЕНСАЦИОННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ 209
чувствительности (а\ 'О фотоупругого материала, его геометрии; длины пути света
в нем, чувствительность фогоприемника. Не рассматривая всех этих составляющих,
отметим, что постоянная aji0 практически пригодных материалов составляет 3,5—
35 МПа, а уровень шумов в 104—10° раз меньше максимального сигнала, что поз-
позволяет измерять воздействия, вызывающие напряжения 2—3 Па
Преобразователь имеет значительный механический импеданс упругого типа и
может эффективно использоваться для измерения сил и преобразуемых в них вели-
величин
Радиоактивные преобразователи. В преобразователях этого типа используется
эффект поглощения радиоактивного излучения в веществе. Удельная интенсивность
потока излучения от точечного источника убывает пропорционально квадрату рас-
расстояния от него, что дает возможность измерять перемещения. Однако точность
таких преобразователей крайне невелика,
и они практически не применяются.
Значительно большие возможности
дает явление резонансного поглощения
гамма-излучения (эффект Мессбауэра)
При определенных условиях поглощение 'У/////////У//У-
гамма-квантов в твердом теле зависит от
ИХ энергии Замешое уменьшение ПОГЛО- Рис- 22- Гамма-резонансный преобразова-
щения начинается при относительном от- тель-
irnratoirau анрпгии от нпмнняльипгп чня- ' ~ объект; 2 — источник гамма-квантов,
КЛОНениИ энергии ОТ номинального ЗНЭ д _ ре3онансный поглотитель, 4 - детек-
чения на Ю~1Л—10 1о. Если излучатель тор гамма излучения 5 — фотоумножи-
движется, то за счет этого энергия излу- тель' в — блок обработки сигналов
чаемых квантов изменяется, причем ее
относительное изменение равно отношению скорости движения к скорости света.
Таким образом, теоретически можно измерять малые относительные скорости —
до нескольких микрометров в секунду [23]
Упрощенная схема гамма-резонансного преобразователя показана на рис. 22.
Излучение от источника, установленного на объекте измерения, проходит через
резонансный поглотитель, детектор гамма-излучения и далее на фотоприемник, по-
после чего сигнал усиливается и регистрируется Фототок связан функционально со
скоростью движения источника. Для гармонического движения эта зависимость
имеет следующий вид:
где t0 — фототок при v — 0; v0 — амплитуда скорости; a — разрешающая способ-
способность поглотителя. Как недостаток надо отметить, что в этом выполнении преобра-
преобразователь не реагирует на знак скорости, а чувствительность его в функции г0 сна-
сначала близка к нулю, затем достигает максимума и вновь убывает Эти недостатки
могут быть устранены значительным усложнением конструктивной схемы преобра-
преобразователя.
5. ВОЛНОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Действие волновых преобразователей основано на использовании явлений,
связанных с распространением электромагнитных волн (например, оптического диа-
диапазона) и волн в сплошных средах (акустические преобразователи). Наличие та-
таких свойств, как сдвиг фазы волны при отражении от движущейся поверхности
колеблющегося тела, позволяет успешно применять их для измерения параметров
вибрации (подробнее см гл. VI, разделы 5 и 6)
6. КОМПЕНСАЦИОННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
Все рассмотренные МЭП осуществляют прямое преобразование входной вели-
величины, уравнения которого выводятся при ряде допущений. Хотя зависимость вы-
выходной величины от входной устанавливается экспериментально, достигаемая точ-
точность может быть недостаточной. Одним из способов ее повышения является исполь-
210 МЕХАНОЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ
зование компенсации входной величины с помощью электромеханической обратной
связи.
Такой преобразователь (рис. 23) состоит из обычного МЭП, усилителя его сиг-
сигнала и обратного (электромеханического) преобразователя, превращающего уси-
усиленный сигнал в механическую величину той же природы, что и входная величина
механического преобразователя. Таким образом, МП оказывается под воздействием
двух механических величин. Если выходная величина Fx электромеханического пре-
преобразователя связана с выходным током МЭП уравнением F±= —Ai, A = const > 0,
а чувствительность системы (МП + МЭП) по току
равна а, то очевидно
1
2
<
откуда
Рис. 23. Компенсационный При аА !> 1 i яа F/A, т. е. практически не зависит от
преобразователь: ^ свойств механического и механоэлектрического преоб-
пре7бра^ватель-еХ2Н1ЧемеКхИа- разователей. Легко видеть, что в этом режиме Ft «
нический преобразователь; = —F, т. е. воздействие измеряемой величины оказы-
з — иеханоэлектрический вается скомпенсированным, а МЭП работает в режиме
преобразователь индикатора. Нелинейность, а также изменение его
параметров мало влияют на точность измерения [25].
Широкому распространению компенсационных преобразователей препятствуют
несколько причин, в частности, увеличение габаритов и потребляемой мощности, не-
невозможность компенсации входных величин значительною уровня и с широким
спектром частот. Они пригодны для измерения медленно изменяющихся сил, дав-
давлений, ускорений.
7. ДРУГИЕ ТИПЫ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Выше не рассматривался ряд известных преобразователей, которые можно
условно разбить на следующие категории:
1) морально устаревшие преобразователи, например электромагнитный пре-
преобразователь, реагирующий на изменение протяженности зазора; в настоящее время
не применяют из-за низких метрологических характеристик и эксплуатационных
неудобств [12];
2) преобразователи, действие которых основано на использовании принципи-
принципиально известных методов, например интерференционный преобразователь рентгенов-
рентгеновского диапазона [15];
3) преобразователи, находящиеся в стадии разработки, например инерцион-
инерционно-плазменный, действие которого основано на том, что движение заряженных частиц
определяется наряду с электрическим и магнитным полями ускорением, действую-
действующим на их массу [13].
8. СРАВНЕНИЕ МЭП
Измерительные преобразователи механических величин, в которых используют
описанные в настоящей главе МЭП, должны обеспечивать оптимальное решение кон-
конкретных измерительных задач, т. е. позволять измерять данную вели чну с макси-
максимально возможной в данных условиях точностью. Этим объясняются разнообразие
и некоторая противоречивость предъявляемых к МЭП требований, среди которых
можно отметить следующие: 1) максимальность чувствительности к естественной
входной величине, допустимого диапазона изменения последней, рабочего диапазона
частот, устойчивости к условиям эксплуатации; 2) минимальность габаритов и массы,
чувствительности к паразитным влияниям при эксплуатации, нелинейных иска-
искажений, потребляемой энергии.
Для каждой задачи можно выделить одно или несколько обязательных требова-
требований, определяющих возможность проведения измерений, в то время как остальные
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 211
являются желательными. Например, при проведении измерений на камере сгора-
сгорания реактивного двигателя определяющей является теплостойкость; на реакторе
ядерной установки — радиационная стойкость; на плате электронного прибора —
малая масса; на роторе турбины — малые масса и чувствительность к центробеж-
центробежным ускорениям и т. д.
Разнообразие задач измерения делает почти невозможным сравнение преобразо-
преобразователей разных типов и видов по какому-то обобщенному критерию, хотя такие
попытки и делались. Предлагалось, в частности, сравнивать их по энергоотдаче на
единицу массы, энергетическому КПД и др. [25]. Ясно, однако, что такому сравне-
сравнению могут подвергаться преобразователи, предназначенные для одинаковых усло-
условий применения, что снижает значение проводимой оценки. Например, пьезоэлек-
пьезоэлектрический преобразователь имеет чрезвычайно малый энергетический КПД, но тем
не менее успешно применяется для измерения малых динамических деформаций,
правда в исключительно стабильных условиях. Металлический тензорезистор зна-
значительно уступает полупроводниковому по чувствительности и энергоотдаче, однако
его относительная стабильность параметров лучше, так что при малом уровне внеш-
внешних помех он оказывается более широкодиапазонным. Поэтому ниже приведены
только сведения о предельной достигнутой чувствительности МЭП.
Среди МЭП, воспринимающих перемещение, наиболее чувствительным оказы-
оказывается емкостный с переменным зазором. При тщательном выполнении и в благо-
благоприятных условиях им измерялись перемещения до Ю'12 мм [И].
Из преобразователей, чувствительных к скорости, следует выделить гамма-ре-
гамма-резонансный, реагирующий на скорость 10~7 м/с, и электродинамический с чувствитель-
чувствительностью на порядок выше. Наименьшие деформации (до КГ16) измеряли пьезоэлектри-
пьезоэлектрическим преобразователем и емкостным (до 101) [30]. Наименьшие механические
напряжения порядка 10~5 Па измерены также пьезоэлектрическим преобразователем
[30].
Ввиду условности оценок по критериям, о преимуществах преобразователя
можно судить по распространенности (конечно, с учетом новизны) датчиков на его
рснове.
Список литературы
1 Белицкий Г. М. Конструкции пьезооптических акселерометров. — В кн.: Вибраци-
Вибрационная техника М: МДНТП, 1977. с. 25 — 30.
2. Берлин Г. С, Розентул С. А. Механотронные преобразователи и их применение.
М.: Энергия, 1973. 239 с.
3 Викулин И. М., Стафеев В. И. Полупроводниковые датчики, М.: Советское радио,
1975 104 с.
4' Гик Л. Д. Измерение вибраций. Новосибирск; Наука, 1972. 292 с.
5. Гинзбург В. Б. Магнитоупругие датчики М.: Энергия, 1970. 71 с.
6 Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М.:
Высшая школа, 1965. 466 с.
7. Застрогин Ю. Ф. Бесконтактные методы измерения параметров механических ко-
колебаний, основанные на использовании эффекта Допплера. — Приборы и системы управле-
управления, 1975, № 3, с. 23 — 26.
8. Ивашевский С. Н., Карташев А. И. Оптико-электронная система измерения быст-
быстрых смещений. — Измерительная техника, 1972, № 4, с. 90—92.
9 Измерение вибрации лазерными интерферометрами / В. А. Боднер, Ю. Ф Заст-
Застрогин А. М. Королев, В. Р. Белевитнев. — В кн.. Вибрационная техника. М.: МДНТП,
1976, с. 70-77.
10. Измерение малых акустических колебаний оптическими методами /А. Н. Бонда-
ренко, Ю. Б Дробот, В. А. Константинов. — Автометрия, 1976, № 3, с. 83 — 90.
11 Измерение слабых акустических волн при помощи емкостного датчика / В. Б. Бра-
Брагинский, В. П Митрофанов, В Н. Руденко, А. А. Хорев. — Приборы и техника эксперимента,
1971, № 4, с 241—243.
12. Иориш Ю. И. Виброиетрия П.: Машгиз, 1963. 771 с.
13 Иориш Ю. И. Инерционно-плазменные измерительные приборы параметров движе-
движения на инплатронах — Измерительная техника, 1972, № 4, с. 31—39.
14 Касимзаде М. С. Электрокинетические преобразователи информации. М.: Энергия,
1973. 136 с.
15 Крылова Н. О. Рентгеновские интерферометры для измерения амплитуд перемеще-
перемещения от 10 до I02 нм. — Труды метрологических институтов СССР, 1976, вып. J92 B52),
q ] о 20
16 Малов В. В. Пьезорезонансные датчики. М.: Энергия, 1978. 248 с.
17. Най Д. Физические свойства кристаллов / Пер. с англ, М.; Мир;, 1967. 385 е.
212 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
18. Рядчиков В. Е. Измерение вибрации с помощью ультразвука. — В кн.; Вибраци-
Вибрационная техника М • МДНТП, 1976, с. 78 — 86
19. Соболев В. С, Шкарлет Ю. М. Накладные и экранные датчики. Новосибирск На-
Наука. 1967 144 с.
20 Сонин А. С. Беседы о кристаллофизике. М.: Атомиздат, 1976. 24и с.
21. Харкевич А. А. Избранные труды в 3-х томах Т. 1 Теория электроакустических
преобразователей. Волновые процессы М.: Наука, 1953. 399 с
22. Хомерики О. К- Гальваномагнитные датчики в приборостроении. — Приборы и
системы управления, 1972, № 7, с. 13 — 15.
23. Шкаликов В. С, Витман В. О., Федорин В. Л. Измерение параметров вибраций с ис-
использованием эффекта Мессбауэра. — В кн : Датчики и виброизмепительная аппаратура.
Киев' КДНТП, 1969, с. 16-25.
24 Электретный эффект и диэлектрическая релаксация в твердых диэлектриках /
Под ред А. Н Губкина — Труды МИЭМ. 1976, вып 34, 222 с.
25. Электрические измерения неэлектрических величин Изд 5-е / Под ред. П В. Но-
Новицкого. Л : Энергия, 1975. 576 с.
26 Ленк А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами.
МЛ Мир, 1978. 283 с.
27. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара: Справочник в г-х кн. /
Под ред. В. В. Клюева. М : Машиностроение, 1978. Кн. 1—447 с; кн. 2 — 439 с.
28 Cady W. О. Piezoelectricity. Newrev. ed. in 2 vol. 1964
29 Shock and vibration handbook. Ed. by С М. Harris and С. Е. Crede., 2 ed., N. Y.,
Mv Graw Hill В. С, 1976, 1332 p.
30 Weber. J. Evidence for discocery of gravitational radiation. — Phys Rev. Zett, vol.
2, 1970, p. 1320-1328.
Глава IX
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
В главе VIII рассмотрены принципы преобразования ряда механических вели-
величин (силы, напряжения, относительных перемещения и скорости, деформации)
в электрический сигнал, которые можно использовать при электрическом измерении
этих величин. Для решения конкретных измерительных задач механоэлектрическому
преобразователю придают определенный конструктивный вид с учетом особенно-
особенностей измерения и дополняют его узлами, обеспечивающими преобразование механи-
механической величины в заданную электрическую форму с наименьшими потерями и наи-
наибольшей точностью. Конструктивно выделенная совокупность преобразовательных
элементов, воспринимающих от объекта измерения механическую величину, функ-
функционально связанную с измеряемой физической величиной, и вырабатывающих
сигнал измерительной информации в электрической форме, образует электрический
датчик механической величины. В настоящей главе рассмотрены общие вопросы по-
построения датчиков механических величин, их основные метрологические характе-
характеристики, области и некоторые особенности применения. Основное внимание уделено
датчикам, применяемым для измерения величин, непосредственно характеризующих
вибрацию, т. е. датчикам кинематических величин.
I. ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ЦЕПИ ДАТЧИКОВ
МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Структура датчиков. В общем случае совокупность преобразований механи-
механической величины в электрический сигнал датчика происходит следующим образом.
Механическая величина через чувствительный, или воспринимающий, элемент
(ЧЭ) передается на механический преобразователь (МП), который переводит ее в есте-
естественную входную величину МЭП. Механический преобразователь может изменять
масштаб входной величины или преобразовать ее в другую, например ускорение —
в силу, а силу — в скорость, перемещение или деформацию. В некоторых случаях
датчик содержит устройство обработки электрической информации, а также цепи
обратной связи, как электрической, так и электромеханической (см. гл. VIII, раз-
раздел 6).
Таким образом, структуру датчика можно отобразить схемой, показанной на
рис. 1. Отдельные виды датчиков могут не содержать части узлов, Входная часть
ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ЦЕПИ ДАТЧИКОВ
213
датчика определяется видом воспринимаемой механической величины. В некоторых
случаях схема построения датчика отличается от показанной на рис. 1 наличием
двух МЭП, приводимых в движение общим механическим преобразователем или вос-
воспринимающим элементом тем, что естественные входные величины этих МЭП имеют
противоположные знаки (рис. 2). Выходные сигналы МЭП вычитаются в блоке срав-
сравнения. В силу различия знаков входных сигналов МЭП механоэлектрический пре-
преобразователь и построенный на его основе датчик называют дифференциальными
[40].
Дифференциальные датчики имеют следующие преимущества при одинаковых
параметрах обоих МЭП: зависимость выходного сигнала от входной механической
величины близка к линейной благодаря взаимной коррекции нелинейности исполь-
используемых МЭП, проявляющейся во взаимной компенсации составляющих, пропорцио-
пропорциональных четным степеням входного сигнала; действие влияющих факторов на МЭП
не проявляется в выходном сигнале; выходной сигнал датчика вдвое больше, чем
при использовании одного МЭП. Вместе с тем дифференциальные датчики конст-
конструктивно сложнее.
Рис. 1. Структурная схема электрического датчика механической величины:
/ — чувствительный элемент; 2 — механический преобразователь; 3 — промежуточный
преобразователь; 4 — оконечный преобразователь; 5 — блок обработки электрического сиг-
сигнала, 6 — цепь электрической обратной связи, 7 — источник электрической энергии; 8 —
цепь электромеханической обратной связи
Рис. 2. Часть структурной схемы дифференциального датчика:
/ — чувствительный элемент; 2 — механический преобразователь; 3, 4 — механоэлектри-
ческие преобразователи; 5 — блок сравнения
Входные цепи датчиков. В случае измерения силы датчик должен быть соеди-
соединен последовательно с объектом, на котором производится измерение (при последо-
последовательном соединении элементов действующие в них силы одинаковы). Датчик не
вносит искажений в измерения и в распределение сил на объекте, если его входной
импеданс значительно больше импеданса места включения. Поэтому в некоторых
случаях ЧЭ как обособленная часть датчика вообще отсутствует. Если для МЭП
естественной входной величиной (EBB) является сила, то при расчетах механиче-
механическая входная цепь датчика от входа до МЭП учитывается импедансом ?;; если EBB —
скорость, то эта цепь учитывается подвижностью JPli (см. гл. VIII, раздел 1). При
измерении кинематических величин устанавливаемые датчики не должны сущест-
существенно изменять параметры объекта, а датчики относительных кинематических вели-
величин не должны изменять движения концов на измеряемом участке, т. е. они должны
иметь большую входную подвижность.
Выходные цепи датчиков. Свойства датчика в значительной степени зависят
от вида электрической цепи, связывающей его с нагрузкой. Электрическая цепь дат-
датчика вместе с входной цепью приемного устройства может образовать одно- и двух-
сигнальный выходы, которые называют также несимметричным и симметричным.
соответственно. Причем во втором случае имеют в виду симметрию цепей и наличие
на выходе одновременно двух сигналов хотя и противоположной полярности отно-
относительно измерительной земли.
На рис. 3 показаны схемы электрических цепей с несимметричным выходом.
На рис. 3, а выход заземлен на корпус датчика, и только один из выводных прово-
проводов изолирован от последнего; вторым выводным проводом служит металлический
214
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
экран, окружающий изолированный провод. На рис. 3, б сигнал к нагрузке под-
подводится отдельными проводами, но измерительная земля {ИЗ) выхода тоже соеди-
соединена с корпусом датчика через экран, который не является токоведущим для полез-
полезного сигнала датчика. Схема, показанная 'на рис. 3, в, отличается от предыдущей
только тем, что экран И корпус датчика не соединены с измерительной землей.
На рис. 4 показаны схемы с симметричным выходом. В схемах, приведенных
на рис. 4, а, б, симметричный выход образован цепью нагрузки. В схеме, показан-
показанной на рис. 4, о, измерительная земля может быть соединена или не соединена с эк-
экраном. В схеме, приведенной на рис. 4, б, использована двойная экранировка вы-
выводных проводов. В схемах, показанных на рис. 4, в, г, симметричный выход обра-
образован с помощью двух самостоятельных источников сигнала в датчике; в первой
0 П Выход
¦/ход
Рис. 3. Схемы электрических цепей с несиммет-
несимметричным выходом:
/ — корпус датчика; 2 — экранирующий проврд;
3 — приемное устройство; УЗ — установочная
земля; ИЗ — измерительная земля
Рис. 4, Схемы электрических цепей с симметрич-
симметричным выходом:
/ — корпус датчика; 2 — первый экран; 3 —
приемное устройство; 4 — второй экран; УЗ —
установочная земля; ИЗ — измерительная земля;
Vi,Vi — выходные сигналы разной полярности
относительно ИЗ
схеме измерительная земля соединена с корпусом датчика экранирующим проводом;
во второй — применена двойная экранировка выводных проводов, измерительная
земля соединена со вторым экраном, но не соединена с первым экраном и корпусом
датчика. Общая точка источников и ее связь с корпусом датчика или вторым экра-
экраном чаще образуются конструкцией датчика; импедансы обоих источников делают
равными.
Схема, показанная на рис. 3, а, наиболее чувствительна к наводкам (помехам
от переменных электрических и магнитных полей) и земельным помехам (помехам
от земельных токов и разностей потенциалов). По сравнению с ней схемы, приведен-
приведенные на рис. 3, б, в, лучше защищены от земельных помех, причем первая схема может
оказаться лучше защищенной от наводок, чем вторая, однако обе схемы недостаточно
помехоустойчивы из-за асимметрии выводных проводов относительно измерительной
земли (точки заземления).
МЕТРОЛОГИЧ. И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКОВ 215
^ Схемы, показанные на рис. 4, используют в более помехоустойчивой измеритель-
измерительной аппаратуре, однако они требуют применения дифференциальных приемных
устройств (чаще согласующих), обеспечивающих вычитание разнополярных сигна-
сигналов выхода и подавление синфазных помех. Схема, приведенная на рис. 4, а, имеет
лучшую помехоустойчивость, чем схемы, показанные на рис. 3, но уступает схеме,
данной на рис. 4, б. Схемы, приведенные на рис. 4, в, г, могут несколько уступать
в помехоустойчивости схемам, показанным на рис. 4, а, б соответственно, но имеют
большую чувствительность к измеряемому сигналу.
При использовании в рабочих условиях симметрирования импедансов плеч
выхода очень практичной становится схема, показанная на рис. 4, в, позволяющая
иметь удобную в работе гальваническую связь измерительной земли и корпуса дат-
датчика и применять простые конструкции датчиков, у которых источники сигналов
заземлены на корпус (см. рис. 10). Во всех случаях отношение сигнал/шум тем больше,
чем меньше импедансы МЭП и нагрузок по сравнению с импедансами влияющих
цепей.
В схеме, приведенной на рис. 3, а, для датчика требуется экранированный кабель
с одним проводом внутри; в схемах, показанных на рис. 3, б, в и 4, а, в, — экрани-
экранированный кабель с двумя проводами внутри; в схемах, данных на рис. 4, б, г, кабель
датчика должен иметь два экрана и два провода внутри. Как видно из приведен-
приведенных рисунков, один и тот же датчик может иметь различные электрические схемы
включения. Иногда датчики, способные работать в цепях с симметричным выходом
совместно с дифференциальными приемными (согласующими) устройствами, тоже
называют дифференциальными; однако во избежание путаницы с истинно диффе-
дифференциальными датчиками их лучше называть датчиками с симметричным выходом.
2. МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ И ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКОВ
Основные метрологические характеристики. Свойства датчика как средства
измерения определяются в первую очередь тем, как он воспринимает и воспроиз-
воспроизводит в электрической форме на выходе подлежащую измерению механическую
величину. Эти свойства выражаются рядом так называемых основных метрологиче-
метрологических характеристик [30].
Градуировочная (калибровочная) характеристика — зависимость между зна-
значениями выходной электрической и входной механической величин. Желатель-
Желательный вид характеристики — прямая линия, проходящая через начало координат.
Коэффициент преобразования — отношение принятого параметра выходного
сигнала к принятому параметру входной механической величины датчика. Эта ве-
величина может быть определена для каждой точки градуировочной характеристики.
Принятым параметром может быть либо мгновенное значение сигнала, либо некото-
некоторый функционал от него (среднеквадратичное значение, среднее по модулю значе-
значение и т. д.).
Чувствительность датчика — отношение изменения принятого параметра вы-
выходного сигнала датчика к вызвавшему его изменению принятого параметра вход-
входного сигнала со значениями параметров и их изменений в установленных пределах.
Для линейных датчиков эту величину находят как коэффициент преобразования,
но предпочтение отдают термину «чувствительность».
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — зависимость от частоты от-
отношения амплитуды первой гармоники выходного сигнала к амплитуде входной гар-
гармонической величины.
Фазочастотная характеристика (ФЧХ) — зависимость от частоты сдвига фаз
между первой гармоникой выходного сигнала и входной гармонической величиной.
Рабочий диапазон частот — интервал частот входной гармонической величины,
в котором нормированы допускаемые погрешности датчика.
Диапазон измерений ¦— область значений измеряемой величины, в которой
нормированы допускаемые погрешности датчика. Предел измерений — наибольшее
или наименьшее значение диапазона измерений. Порог чувствительности — значение
измеряемой величины, относительная погрешность измерения которого составляет
216 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
100%. Коэффициент нелинейности — выраженное в относительной форме макси-
максимальное отклонение градуировочной характеристики от прямой линии во всем диа-
диапазоне измерения. В некоторых случаях различают нелинейность функциональной
связи и гистерезис, т. е. неоднозначность градуировочной характеристики при воз-
возрастании и убывании входной величины.
Основная погрешность — погрешность датчика, используемого в нормальных
условиях. Она равна погрешности определения чувствительности в диапазоне изме-
измерения.
Вспомогательные метрологические характеристики: выходной электрический
импеданс датчика; частота резонанса закрепленного датчика (частота входного гар-
гармонического сигнала, на которой проявляется резонанс датчика в условиях стан-
стандартного крепления его к объекту); добротность (отношение амплитуд выходного
сигнала на частоте установочного резонанса и на частоте, принятой в качестве базо-
базовой, при постоянной амплитуде входной гармонической величины).
Реакция на воздействие окружающей среды. Основная погрешность датчика
определяется в нормальных условиях, т. е. при регламентированных параметрах
окружающей среды. Реальный датчик чувствителен не только к измеряемой величине
(физической величине, подлежащей или подвергаемой измерению), но и к другим
величинам той или другой размерности и даже другой физической природы, которые
могут воздействовать на датчик во время измерения или до него. Величины, кото-
которые не должны измеряться датчиком, но проявляются в его выходном сигнале и вно-
вносят дополнительную погрешность, называют влияющими (применяют также термин
«влияющие факторы») [30].
Фактически датчик является преобразователем с несколькими входами: основ-
основным для измеряемой величины и дополнительными для влияющих величин. Ввиду
разного характера воздействия последние разделяют на две группы. Одну группу
составляют мультипликативно влияющие величины, т. е. величины, воздействующие
на чувствительность датчика к измеряемой величине X. В другую группу входят
аддитивно влияющие величины, сигнал от которых прибавляется к сигналу от из-
измеряемой величины. Различают аддитивные факторы 1-го и 2-го рода по механизму
воздействия. Аддитивные факторы 1-го рода воздействуют на вход МЭП, а 2-го рода —
на выходные цепи датчика. Для датчиков механических величин к факторам 1-го рода
принадлежат те, которые имеют механическую природу или вызывают значительные
механические эффекты. Факторы 2-го рода — немеханические, их состав определяется
принципом действия МЭП, используемого в датчике.
Свойства датчика, обусловленные наличием чувствительности к какому-либо
влияющему фактору, описываются его функцией влияния — зависимостью выход-
выходного сигнала от значения этого фактора. В большинстве случаев применения датчи-
датчиков механических величин функции влияния факторов, в особенности аддитивных,
можно считать линейными. Коэффициенты пропорциональности носят название
коэффициентов влияния соответствующего фактора. При этих условиях сигнал дат-
датчика, приведенный к измеряемой величине X (t), имеет следующий вид:
y(t)= 1+2 Qi^l ЧО \X(f)+ 2 <ikwk Щ + И riwi @, A)
L *=i J I ft=i I 1 = 1
где Q. — коэффициент влияния мультипликативного фактора W\M^; q — коэф-
коэффициент влияния аддитивного фактора 1-го рода W{kAl); rt — коэффициент влияния
аддитивного фактора 2-го рода W\AiK
Фактор, оказывающий смешанное действие, учитывается дважды.
Размерности коэффициентов влияния зависят от группы влияющего фактора:
J^H. B)
Коэффициенты влияния позволяют оценивать дополнительную погрешность
измерения. При сравнении датчиков одного назначения, но разных типов, более
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКОВ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН
217
показательны приведенные коэффициенты влияния (отнесенные к верхнему пределу
измерения) [И].
Кратко охарактеризуем наиболее распространенные влияющие факторы. Тем-
Температура является смешанно-действующим фактором. Однако ее воздействие на дат-
датчики с генераторными МЭП носит главным образом мультипликативный характер
(аддитивно проявляются только перепады температуры). Деформация объекта изме-
измерения также относится к смешанным факторам, хотя ее аддитивное действие обычно
преобладает. Давление окружающей среды действует аналогичным образом. Вибра-
Вибрация обычно считается действующей аддитивно, если она не выводит МЭП из нормаль-
нормального режима работы. Медленное ускорение влияет аддитивно, пока суммарный сиг-
сигнал датчика не превышает значения, соответствующего верхнему пределу измерения.
Магнитное поле оказывает мультипликативное действие только на те датчики, чув-
чувствительность которых в значительной степени зависит от него, например с гальва-
гальваномагнитным МЭП, в остальных случаях его воздействие аддитивно. Электрическое
поле аналогично магнитному по характеру влияния. Акустическое давление дейст-
действует аддитивно. Проникающая радиация может считаться смешанным, но преиму-
преимущественно мультипликативным фактором. Время также оказывает мультипликатив-
мультипликативное воздействие, если продолжительность измерения значительно меньше периода
проявления старения.
Зависимость свойств датчика от размера влияющей величины, выраженная
в виде функции влияния и предполагающая, что воздействие учитывается внесением
нормируемой дополнительной погрешности, имеет место в определенной области
изменения влияющей величины. Эта область является областью устойчивости к дан-
данному фактору. За ее границами степень влияния возрастает настолько, что датчик
по существу теряет нормируемые метрологические характеристики, однако имеется
зона (область прочности), при возвращении из которой в область устойчивости
свойства датчика полностью восстанавливаются. Переход верхней границы области
прочности может привести к необратимым изменениям свойств датчика, поэтому
недопустим.
Кроме этого в число эксплуатационных характеристик входят масса и габарит-
габаритные размеры датчика, присоединительные размеры, длина кабеля, выходной импе-
импеданс, энергопотребление и некоторые другие параметры. Вместе с метрологическими
характеристиками они полностью определяют измерительные свойства датчика.
3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКОВ
ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН
Значительная часть датчиков предназначена для измерения векторных вели-
величин — сил, моментов, кинематических величин. Измерительные свойства таких дат-
датчиков определяют рядом специальных характеристик,
отражающих проектирующие свойства датчиков, специ-
специфику измеряемых векторных величин и чувствительность
датчика к влияющим векторным величинам (см. также
гл. VII).
Измерительная ось датчика. Измерительная ось есть
назначенная ось, связанная с датчиком, вдоль которой
направлен измеряемый компонент векторной величины
(рис. 5). Идеальный датчик должен вырабатывать выход-
выходной сигнал, пропорциональный проекции на эту ось инте-
интересующей нас векторной величины. Измерительная ось
датчика может быть выбрана из условия минимума ра-
радиуса неточного положения измеряющей точки, симметрии
относительно корпуса, минимума момента инерции отно-
относительно этой оси и т. д. Для измерительной оси должно
быть указано положительное направление, совпадающее
с направлением измеряемой векторной величины, при
котором на указанных клеммах датчика выходной сигнал имеет положительную
полярность относительно отсчетного проводника.
Рис. 5. Положение век-
вектора чувствительности s
датчика относительно из-
измерительной оси Ог
218 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Вектор чувствительности датчика. Понятие вектора чувствительности приме-
применимо только к линейным датчикам. В диапазоне частот, в котором малы амплитуд-
амплитудные и фазовые искажения измеряемых гармонических величин, работу датчика можно
описать с помощью вещественного вектора чувствительности — вектора, модуль
которого равен чувствительности датчика, а направление соответствует направлению
измеряемой векторной величины, при котором полярность выходного сигнала дат-
датчика положительна и значение максимально (рис. 5).
Выходной сигнал линейного датчика векторной величины математически выра-
выражается скалярным произведением вектора чувствительности s и интересующей век-
векторной величины х (f):
U(t) = s %{t), C)
Таким образом, выходной сигнал реального датчика пропорционален проекции
вектора х на направление вектора чувствительности s, которое в общем случае может
не совпадать с направлением измерительной оси. Вектор чувствительности s может
быть разложен на два компонента. Компонент s0, направленный вдоль измеритель-
измерительной оси датчика, называют вектором основной чувствительности. Компонент sx,
лежащий в плоскости, перпендикулярной измерительной оси, называют вектором
поперечной чувствительности Для датчиков, измеряющих свободные векторы (век-
(векторы угловой скорости, углового ускорения тела), вектор чувствительности свобод-
свободный, а для датчиков, измеряющих связанные векторы (скорость, ускорение точки),
связанный. В направлении вектора Sj_ датчик имеет максимальную поперечную чув-
чувствительность. Для характеристики поперечной чувствительности датчика удобно
использовать относительную поперечную чувствительность
s.
i"](<p)=-—cosq>, D)
so
где <р — угол между вектором s-р и измеряемой векторной величиной в плоскости,
перпендикулярной измерительной оси: s0, s •— основная и максимальная поперечная
чувствительности Значение ц при tp == 0 называют коэффициентом относительной
поперечной чувствительности. (См гл. VII и XIII).
Измеряющая точка датчика. Точка приложения связанного вектора чувстви-
чувствительности есть фактическая измеряющая точка датчика. Для реальных датчиков
измеряющую точку указывают на измерительной оси на минимальном расстоянии
от фактической измеряющей точки (см. рис. 5) Например, для датчиков инерцион-
инерционного действия, масса инерционного элемента которых существенно больше масс
других деталей подвижной системы, измеряющую точку можно считать совпадаю-
совпадающей с центром масс инерционного элемента, в других случаях положение измеряю-
измеряющей точки датчика следует находить экспериментально [17] Несовпадение указан-
указанной на оси измеряющей точки с фактической измеряющей точкой характеризуют ра-
радиусом неточного положения измеряющей точки. Координаты измеряющей точки
задают относительно корпуса датчика. Измеряющая точка при измерениях должна
быть совмещена с точкой измерения.
Диаграммы направленности датчика. Направтенность чувствительности датчика
характеризуют диаграммами направленности (представленными в системе координат
датчика), в которых из одной точки в направлении действия векторной величины
постоянного размера полярным радиусом отложен принятый параметр выходного
сигнала датчика Диаграмма направленности датчика изображает зависимость вы-
выходного сигнала от угла между вектором чувствительности s и направлением дейст-
действующего вектора х. Как следует из уравнения C), выходной сигнал пропорционален
косинусу этого угла, поэтому пространственная диаграмма направленности датчика
представляет собой две соприкасающиеся сферы одинакового диаметра, через центры
которых проходит ось максимальной чувствительности датчика Диаграммы напра-
направленности датчика в плоскостях представляют собой две соприкасающиеся окруж-
окружности одинакового диаметра
На рис 6, а и б показаны два сечения пространственной диаграммы направлен-
направленности, первое из которых проходит через вектор чувствительности s и измеритель-
измерительную ось Ог, а второе перпендикулярно к Ог, диаграммы построены для единичного
вектора х. Кривую, приведенную на рис. 6, б, называют диаграммой поперечной
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДАТЧИКОВ ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН
219
чувствительности. На ней видно, что существуют два перпендикулярных друг другу
направления, в которых поперечная чувствительность равна нулю или, наоборот,
максимальна Эти направления носят названия осей нулевой и максимальной попе-
поперечной чувствительности соответственно.
Наличие поперечной чувствительности приводит к дополнительной погрешности
измерения Для ее оценки в паспортных данных указывают значение модуля макси-
максимальной поперечной чувствительности на некоторой базовой частоте (часто в про-
процентах от чувствительности в направлении измерительной оси), а на датчике иногда
указывают ось нулевой поперечной чувствительности. Для возможности коррекции
^ Рис, 6. Диаграммы направленности датчика
Рис. 7. Диаграммы, получаемые при определении
направленности поперечной чувствительности
датчика при малой (а) и большой (б) неперпенди-
неперпендикулярности оси вращения к кинематическому век-
вектору:
1,2— вклад в выходной сигнал от поперечной и
основной чувствительности соответственно, 3 —
диаграмма результирующего выходного сигнала
(штриховые и сплошные линии относятся к сиг-
сигналам разной полярности)
90 •¦
180'
о" по"\
при измерениях поперечной чувствительности необходимо указывать максимальную
поперечную чувствительность каждого датчика и положительное направление отве-
отвечающей ей оси. При практическом определении диаграмм направленности попереч-
поперечной чувствительности датчиков кинематических величин с помощью гармонических
сигналов часто встречаются две ошибки измерения: I) неперпендикулярность оси
вращения датчика, совпадающей с его измерительной осью, к кинематическому век-
вектору; 2) неправильное движение вибростола, когда траекториями его точек даже при
поступательном движении являются не прямые, а эллипсы [15]. При обеих ошибках
получаемые диаграммы отличаются от идеальной (рис. 6, б). Первая ошибка при-
приводит к тому, что получающиеся диаграммы описываются кривыми, относящимися
к классу кардиоид. Однако в этом случае по диаграммам удается вычислить коэф-
коэффициент относительной поперечной чувствительности г) датчика. При малой непер-
неперпендикулярности диаграмма имеет двухлеиестковый вид (рис 7, а), и коэффициент т|
определяют по формуле
''max 1 т "rau2 ,-\
«= ш—' E)
220 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ
где U ,, и„ „„ — последовательные максимальные значения выходного сигнала
^ max 1' гпэх а
датчика на диаграмме; k — значение кинематической величины, устанавливаемое
при определении диаграммы направленности; s0 — основная чувствительность на той
же частоте. При значительной неперпендикулярности диаграмма принимает одно-
лепестковый вид (рис. 7, б), и коэффициент г| определяют по формуле
^max rain ,г>
Т>F)
где U и Umin — максимальное и минимальное значения выходного сигнала дат-
датчика на диаграмме.
При второй ошибке полярный радиус диаграммы направленности не обращается
в нуль, а фаза электрического сигнала непрерывно изменяется при повороте дат-
датчика; вторая ошибка обычно не бывает большой и в незначительной степени влияет
на вычисление коэффициента г\.
4. ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ВИБРАЦИИ
Датчики линейного виброускорения (акселерометры). Датчики, сигнал которых
пропорционален виброускорению, являются основным средством измерения харак-
характеристик вибрации и составляют одну из самых многочисленных групп датчиков
вообще. Их широкая распространенность объясняется тем, что именно акселеромет-
акселерометрам удается придать наиболее высокие эксплуатационные качества, а знание вибро-
виброускорений позволяет сравнительно просто определить другие кинематические и
некоторые динамические величины [14, 46].
Датчики кинематических величин могут быть датчиками характеристик отно-
относительного или абсолютного движения В первом случае измерение ведется относи-
относительно системы отсчета, связанной с материальным объектом, на движение которого
не накладывается никаких ограничений. Однако датчики относительного виброуско-
виброускорения, как правило, не конструируют ввиду отсутствия МЭП, воспринимающих уско-
ускорение. Поэтому все акселерометры, не использующие дополнительного дифферен-
дифференцирования, измеряют абсолютное ускорение (ускорение в инерциальной системе от-
отсчета) и являются приборами инерционного действия, имеющими чувствительный
элемент в виде упруго закрепленной массы.
Выходной величиной МП может быть почти любая кинематическая или силовая
величина, однако на практике ею является напряжение, деформация или переме-
перемещение. Несмотря на разнообразие МЭП, воспринимающих эти величины, серийно
выпускают больше пьезоэлектрических, меньше — тензорезистивных и еще меньше —
емкостных и индуктивных акселерометров.
Сферы применения этих датчиков различны: индуктивные акселерометры яв-
являются низкочастотными, тензорезистивные и емкостные используют в более широ-
широкой области низких и средних частот, причем все они работают от нулевой частоты.
Известны тензорезистивные акселерометры с более широким рабочим диапазоном
частот, но при измерении виброускорений, близких к стационарным, они не обладают
какими-либо преимуществами перед пьезоэлектрическими, применяемыми практи-
практически монопольно в области средних и высоких частот Преимуществом пьезоэлект-
пьезоэлектрического МЭП является и то, что в большинстве случаев он одновременно выполняет
функции механического преобразователя. В последнее время ведутся разработки
пьезооптических акселерометров [5], по ряду качеств близких к пьезоэлектрическим
и удобных для проведения измерений в специальных условиях на низких и сред-
средних частотах.
Акселерометр с большим рабочим диапазоном частот имеет и больший диапазон
измерений. Это очень удобно, так как на многих технических объектах виброско-
виброскорость в незначительной степени зависит от частоты и, следовательно, виброускоре-
виброускорение увеличивается с ростом частоты.
Подавляющее большинство акселерометров предназначено для измерения од-
одного компонента вектора ускорения, однако применяемые МЭП позволяют конструи-
конструировать малогабаритные двух- и трехкомпонентные датчики.
ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ВИБРАЦИИ
221
Акселерометры целесообразно систематизировать по эксплуатационным особен-
особенностям. К первой эксплуатационной группе относят акселерометры для лаборатор-
лабораторных, цеховых и натурных измерений, непосредственно проводимых человеком в срав-
сравнительно легких условиях, в которых погрешность измерения определяется главным
образом основной погрешностью акселерометра. Вторая группа включает приборы
для цеховых и натурных измерений в более жестких условиях, исключающих об-
обслуживание на месте. Для них определяющими являются частные (дополнительные)
погрешности, вклад которых превосходит основную погрешность. К третьей группе
принадлежат акселерометры, предназначенные для эксплуатации в крайне жестких
натурных условиях, когда без применения специальных мер неизбежно или разру-
разрушение прибора, или возрастание погрешности до 100 % и более. К этой группе отно-
относят и специальные акселерометры, например сверхминиатюрные.
Акселерометры первой группы конструктивно сравнительно просты (рис. 8).
Пьезоэлектрический МЭП в них обычно работает на растяжение-сжатие, а тензоре-
зистивный — на изгиб. Наряду с керамическими пьезоэлементами используют и
монокристаллические, преимущественно в образцовых датчиках. В электрической
, \
I
i
1
У/////,
Рис. 8. Простейший пьезоэлектрический акселерометр:
1 — пьезоэлементы, 2 — чувствительный элемент; 3 — пружинная поджимная гайка; 4 —
корпус
Рис. 9. Акселерометр с полупроводниковыми тензоргзисторами:
/ — инерционный (чувствительный) элемент, 2 — тензорезисторы, 3 — основание корпуса;
4 — кабель
схеме обычно используют простейший несимметричный выход (см. рис. 3, а). Съем-
Съемный кабель, выведенный вверх или вбок, облегчает установку на объекте и демон-
демонтаж. По этой причине применяется резьбовое, магнитное или мастичное крепление
к объекту. Большое внимание уделено повышению основной чувствительности и
снижению поперечной. Низкочастотные акселерометры часто снабжают демпферами,
иногда применяют встроенные усилители сигнала. Акселерометры этой группы
ориентированы на измерение вибрационных ускорений низкой и средней интенсив-
интенсивности (до 1000—10 000 м/с2). Их широко используют при градуировке других при-
приборов методом сличения.
При разработке акселерометров второй группы приняты меры по улучшению
и стабилизации характеристик и облегчению длительной эксплуатации. В среднем
их габариты меньше. Пьезоэлектрические датчики часто содержат МЭП, работающий
на сдвиг. Благодаря особой форме основания и корпуса ослаблена чувствительность
к деформациям основания. Широко применяют неразъемный кабель, выводимый
как вверх, так и вбок, повышена герметичность конструкции В ряде датчиков исполь-
используют симметричный электрический выход для повышения помехоустойчивости (см.
раздел 1), клеевое или резьбовое с клеевой фиксацией крепление к объекту. Чувст-
Чувствительность акселерометров этой группы может быть ниже, чем предыдущей, так
как важнее ее относительная стабильность. Более широко применяют многокомпо-
многокомпонентные датчики и встроенные усилители. Демпферы, как правило, отсутствуют. По
аиапазонам измерения акселерометры этой группы близки к предыдущей; рабочий
Диапазон частот может быть несколько шире (до 10—15 кГц).
На рис. 9 дана схема нечувствительного к деформациям корпуса тензорезистив-
ного акселерометра. На рис. 10 показана схема нечувствительного к деформациям
222
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
корпуса пьезоэлектрического акселерометра с симметричным выходом. Для
увеличения чувствительности к ускорению вместо изоляторов применены пьезоэле-
менты, а для увеличения помехоустойчивости использована емкостная симметрия
пьезоэлементов. Эквивалентная электрическая схема пьезоэлектрического преоб-
преобразователя показана на рис. 10, б. Датчик предназначен для работы с дифференци-
дифференциальным согласующим устройством с включением по схеме, приведенной на рис. 4, в.
Акселерометры третьей группы (рис. 11 и 12), обладающие еще более высокой
защищенностью от внешних воздействий, в значительной степени специализированы.
Например, для измерений при высоких температурах или больших уровнях радиа-
радиации используют стабилизированные материалы и жесткие кабели, а иногда и при-
принудительное охлаждение. В акселерометрах, устойчивых к интенсивным электро-
электромагнитным воздействиям, МЭП изолирован от корпуса, имеет симметричный выход,
емкости пьезоэлементов;
внешней нагрузки);
Рис. 10. Пьезоэлектрический акселерометр
с симметричным выходом (а) и эквивалент-
эквивалентная электрическая схема его пьезоэлектриче-
пьезоэлектрического преобразователя (б):
/ — основание; 2 — корпус; 3 — пьезоэле-
менты; 4 — инерционный (чувствительный)
элемент; 5 — пружина; 6 — гайка; 7 — крыш-
крышка; 8 — герметизация (Q, — Qj — заряды,
генерируемые пьезоэлементами; Сх — С3 —
7i — U3 — электрические напряжения на пьезоэлементах без
в некоторых случаях используется специальный кабель с двойной экранировкой.
Стойкие к нестационарным механическим и тепловым воздействиям акселерометры
конструируют дифференциальными. Указанные конструктивные особенности вне
специальных условий применения не дают каких-то преимуществ или даже затруд-
затрудняют измерения. Для акселерометров этой группы характерна высокая вибропроч-
вибропрочность во всех направлениях, что заставляет использовать неразъемный кабель,
выведенный вбок почти на уровне посадочной плоскости, реже — специальный виб-
вибростойкий разъем в основании. По типу МП и МЭП и способу крепления к объекту
они имеют сходство с акселерометрами второй группы. Диапазоны измерения и ра-
рабочие диапазоны частот наиболее широки. К специальным относят миниатюрные аксе-
акселерометры [48], особенно пьезорезистивные на основе интегральной технологии
[47], имеющие массу ~0,02 г, размер 2 X 3 X 0,6 мм, рабочий диапазон частот
в несколько сотен герц, верхний предел измеряемых ускорений ¦—-1000 м/с3.
Современные акселерометры могут измерять виброускорения от 10~3 до 106 м/с2
в диапазоне частот от 0,5 Гц до 50 кГц. Однако наиболее широко применяют акселе-
акселерометры, рассчитанные на измерение ускорений до 10 000 м/с2 с частотами до 10—
15 кГц.
ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ВИБРАЦИИ
223
Основная погрешность 2—10%. Рабочие температуры от —250 до -f 750 СС.
Aijcca некоторых акселерометров составляет десятые и сотые доли грамма.
При эксплуатации акселерометров необходимо соблюдать ряд предосторожно-
предосторожностей во избежание увеличения погрешности или получения неверных результатов
[10, 30]. Резьбовое крепление высокочастотных акселерометров следует уплотнять
и по возможности фиксировать клеем. Кабель следует закреплять, особенно в непо-
непосредственной близости от акселерометра, что легче осуществить при боковом выводе
кабеля. При высокочастотных измерениях целесообразно использовать акселерометры
с известной собственной частотой колебаний перпендикулярно измерительной оси,
поскольку она обычно ниже паспортной собственной частоты, а высокочастотные
виброускорения имеют почти сплошной спектр и произвольные направления, так
что возможно возникновение поперечного резонанса. Чувствительность не следует
выбирать чрезмерно высокой, так как это может привести к повышению нелиней-
нелинейных искажений. После датчика рекомендуется включать фильтр, максимально огра-
ограничивающий с обеих сторон рабочий диапазон частот.
Рис. 11. Низкочастотный дифференциальный акселерометр:
/ — составной инерционный элемент; 3 — пьезоэлементы; 3 —¦ поджимные пружины; 4 —
основание
Рис. 12. Высокотемпературный пьезоакселерометр:
/ — основание; 2 — пьезоэлемент, работающий на сдвиг; 3 — инерционный элемент; 4 —
жесткий кабель с неорганической изоляцией
Следует обратить внимание на одно специфическое явление. Иногда акселерометр
совместно с измерительным каналом предназначают для измерения виброускоре-
виброускорений в области низких частот, но спектр действующих ускорений значительно шире
и включает составляющие с частотой, близкой к собственной частоте акселерометра.
В этом случае диапазон измерения выбирают исходя из ожидаемых значений уско-
ускорения на нижних частотах. В то же время сигнал МП на верхних частотах оказы-
оказывается значительно большим из-за общего роста виброускорений с частотой и резо-
резонансных явлений. Если этот сигнал превысит уровень, максимально допустимый
Для МЭП или какого-либо последующего звена измерительного канала, полезный
сигнал может быть существенно искажен. Особенно опасно это явление для аксе-
акселерометров с параметрическим МЭП, чувствительным к перемещению, в частности
индуктивным. Поэтому для подобных измерений рекомендуется использовать дат-
датчики с генераторным МЭП, которые можно надежно защитить фильтром нижних
частот, включенным между МЭП и остальной частью измерительного канала.
Датчики для измерения нестационарных ускорений импульсного характера не
имеют каких-либо отличий от датчиков виброускорений. Диапазон измерения у них
больше, так как ускорения при ударе достигают 10е м/с2, причем часто больший уро-
уровень ускорений соответствует меньшей длительности, и наоборот. Выбор парамет-
параметров датчиков для измерения ударных ускорений достаточно полно рассмотрен в ра-
работах [30, 48]. Отметим особый вид нелинейных искажений сигнала, свойственный
главным образом акселерометрам с пьезокерамическим МЭП — сдвиг нулевого уровня
после удара [48]. Во избежание его следует применять акселерометры без боль-
224 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
шого запаса по чувствительности. Если ее необходимо снизить, то можно шунтиро-
вать датчик параллельной ЯС-цепочкой, подобранной так, чтобы постоянная вре-
времени датчика не изменялась. Тензорезистивные акселерометры or этого вида иска-
искажения почти свободны Особой разновидностью датчиков для измерения ударных
ускорений являются пиковые акселерометры, измеряющие только пиковое (наиболь-
(наибольшее) значение ускорения. Они представляют собой механические приборы однократ-
однократного действия [30].
Виброускорения измерять можно путем электрического дифференцирования
сигнала датчика скорости. Этот метод используют редко и только в низкочастотной
области, так как датчики скорости уступают акселерометрам по ряду метрологиче-
метрологических характеристик, по прочности и устойчивости к эксплуатационным воздействиям
(см. следующий раздел и гл. VII).
В датчиках линейной виброскорости можно использовать МЭП, чувствитель-
чувствительные к относительной скорости, без предварительного механического преобразователя.
В бесконтактных устройствах для измерения относительной скорости приме-
применяют допплеровский [32], гамма-резонансный [7, 20] и электродинамический пре-
преобразователи. Первый из них обычно используют в лазерном исполнении Это
объясняется высоким уровнем развития лазерной техники, хорошей точностью и воз-
возможностью производить измерения на значительном расстоянии от объекта. Гамма-
резонансный МЭП уступает ему ввиду большей сложности в эксплуатации. Оба
преобразователя более присповоблены для измерения установившегося уровня
виброскорости. Электродинамический МЭП используют чаще остальных. Он прост
и удобен в эксплуатации Если перемещение объекта во время измерения не превос
ходит нескольких миллиметров, то конструкция датчика практически повторяет
схему, показанную на рис. 8, гл. VIII. Для измерения скорости больших переме-
перемещений применяют датчик с подвижным магнитом. Диапазон измерения виброско-
виброскорости с помощью всех упомянутых преобразователей сверху практически не огра-
ограничен
Вместе с тем относительную скорость часто измеряют путем дифференцирова-
дифференцирования сигнала датчика перемещения. Этот метод рекомендуется применять в тех слу-
случаях, когда измерение перемещения должно проводиться как основное. Промышлен-
Промышленный выпуск датчиков относительной скорости крайне мал.
Датчики абсолютной скорости инерционного действия по механической схеме
близки к акселерометрам и отличаются тем, что МП должен преобразовать силу инер-
инерции в кинематическою величину — скорость, перемещение или деформацию (так как
упругая сила не может быть мерой скорости, см. гл. VII). В одном из возможных
режимов работы выходной сигнал МП (перемещение или деформация) пропорциона-
пропорционален виброскорости объекта, что возможно в некотором диапазоне частот по обе сто-
стороны от собственной частоты механической системы. Ширина диапазона практически
пропорциональна относительному демпфированию в датчике. Такой квазирезонанс-
квазирезонансный режим пока можно получить только в низкочастотной области и в ограниченном
интервале температур [42]. Квазирезонансный режим возможно создать не на меха-
механической, а на электрической стороне датчика с помощью схем коррекции сигнала.
Оба варианта датчика близки по параметрам Собственная частота (которая в данном
случае характеризуется не максимумом АЧХ, а переходом ФЧХ через значение 90°)
20—30 Гц. Меньшая собственная частота дает выигрыш в чувствительности, но
приводит к зависимости характеристик датчика от положения в поле земного тяго-
тяготения из-за статического прогиба. Подвижную систему подвешивают на плоских
пружинах, обеспечивающих ее одномерное перемещение. Верхняя граница ра-
рабочего диапазона достигает нескольких сот герц. Она ограничивается не только
возможностями демпфирования, но и наличием высших собственных частот механи-
механической системы, ярко выраженных для этого типа подвеса.
При эксплуатации датчиков виброскорости следует иметь в виду их сравни-
сравнительно малую устойчивость к поперечной и угловой вибрации, которые могут вызы-
вызывать искажения сигнала всех видов (линейные и нелинейные).
Во втором режиме механическая система датчика воспроизводит вибропереме-
виброперемещение объекта, а сигнал МЭП или датчика пропорционален скорости этого переме-
перемещения, что возможно на частотах выше собственной частоты механической системы.
Фактически это датчики перемещения с вн)тренним электрическим дифференциро-
ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЛИНЬИНОИ ВИБРАЦИИ
223
в<1 нем Такое выполнение позволяет расширить рабочий диапазон частот до 1000—
1С i Гц В этих датчиках часто используют электродинамический МЭП с радиальным
гк м в рабочем зазоре (рис. 13) Магнитная система из современных сплавов имеет
cpai нительно и-алые размеры (порядка нескольких сантиметров) и может эксплуа-
эксплуатироваться при повышенных температурах B00—300 °С) Подвес выполняют на пло-
плоских разрезных или профилированных пружинах Все замечания об jci-оичивости
к вибрации не в направлении измерительной оси и к поворотам в поле силы тяжести
относятся к зтим датчикам даже в большей степени, чем к акселерометрам На работу
датчиков влияют постоянное и переменное магнитные поля Масса их сравнительно
вешка (более 50 г), диапазон измерения не более 1 м/с, погрешность 2—8 %
Сравнение метрологических и эксплуатационных свойств датчиков виброско-
виброскорости и акселерометров показывает, что у акселерометров они выше почти по всем
показателям Применение датчиков скорости дает единственное преимущество —
большой выходной сигнал Но это преимущество не является решающим, поэтому
для измерения абсолютной виброскорости наиболее часто используют акселерометры
с последующим интегрированием сигнала. Та-
Такой метод позволяет сократить количество и
разновидности датчиков, применяемых при из-
измерениях По этим причинам промышленный
выпуск датчиков абсолютной
тельно невелик.
скорости относи-
Рис. 13. Электродинамический датчик абсолютной виброскорости.
/ — магнит, 2 — магнитопровод, 3 — разрезные пружины, 4 — катушка в качестве инер-
инерционного элемента
Рис. 14. Вихретоковый датчик относительного перемещения1
/ — рабочая катушка, 2 —¦ катушка температурной компенсации, 3 — корпус, 4 — изоля-
изоляционная втулка
Датчики линейного виброперемещения. Механическая схема датчика перемеще-
перемещения практически повторяет схему датчика скорости Выбор возможных типов МЭП
наиболее широк, так как большая часть преобразователей, рассмотренных в гл VIII,
чувствительна именно к перемещению или функционально связанной с ним дефор-
деформации
В датчиках малых и сверхмалых относительных перемещений (от единиц микро-
микрометров и менее) эффективно используют емкостные преобразователи с переменным
зазором и частотным выходом. Конструкции таких датчиков несложны, однако вы-
выполнены из материалов с повышенной стабильностью свойств Рабочий диапазон
частот практически не ограничен (правда, чем он уже, тем меньше нижний предел
измеряемых перемещений) В лабораторных условиях емкостным датчиком регист-
регистрируют периодические высокочастотные виброперемещения до 10"* мкм [8] Близок
к этому значению порог чувствительности фазовых интерференционных измеритель-
измерительных устройств, работающих в рентгеновской области, однако их диапазон из-
измерения узок Аналогичные по принципу работы устройства оптического диапазона
с Лазерным излучателем могут измерять перемещения до 10~4 мкм Их преимущест-
преимуществом является практическое отсутствие силового воздействия на объект измерения
Рабочий диапазон частот не ограничен, но для измерения перемещений с частотами
ниже нескольких герц необходима тщательная виброизоляция излучающего и при-
приемного узлов преобразователя.
8 п р Генквна М. Д , т. 5
226 ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИИ
Датчики относительных перемещений от единиц до тысяч микрометров яв-
являются, по-видимому, самыми распространенными приборами этого назначения
В них применяют практически все параметрические преобразователи перемещения,
рассмотренные в гл. VIII. Предпочтение следует отдать тем из них, которые меньше
нагружают объект измерения и имеют широкий рабочий диапазон частот B0—50 кГц),
т. е. емкостному при прецизионных и вихретоковому при обычных технических
измерениях [23]. На рис. 14 показана схема вихретокового датчика
Для измерения перемещений от нескольких миллиметров и выше используют
датчики с индуктивными и емкостными преобразователями. Их рабочий диапазон
частот определяется механическим импедансом подвижного узла и не превышает
нескольких сот герц, что не является недостатком, так как большие вибропереме-
виброперемещения возможны только на малых частотах. Параметры датчиков этого диапазона
могут быть высокими. Известны приборы для измерения перемещений до 100 мм
с основной погрешностью 0,01 %. Применяют также интерференционные измери-
измерительные устройства со счетом полос, причем как оптические, так и ультразвуковые
варианты [19]. Лазерный преобразователь наиболее универсален по диапазону изме-
измерения. Ограничения верхнего предела измеряемых перемещений накладываются
только электрическими параметрами вторичной аппаратуры — объемом памяти и
допустимой скоростью счета полос.
Датчики абсолютного виброперемещения инерционного действия имеют такую
же механическую схему, как и датчики виброскорости, только относительное демп-
демпфирование в них меньше. Так как перемещение подвижной системы повторяет пере-
перемещение объекта на частотах, больших собственной частоты датчика, последнюю
выбирают возможно более низкой, чтобы расширить рабочий диапазон частот. Вслед-
Вследствие этого габариты и масса датчика оказываются значительными, а прочность малой
Датчики виброперемещения чувствительны к медленным прямолинейным ускоре-
ускорениям, а выполненные по маятниковой схеме — и к паразитным угловым вибрациям.
Хотя в них могут применяться почти все виды МЭП, чувствительные к перемещению
или деформации (индуктивный, тензорезистивный и др.), часто используют электро-
электродинамический МЭП [2], так что датчик фактически является датчиком виброскорости
во втором режиме. Интегрирование производят электрически вне датчика, причем
иногда интегратором является регистрирующий гальванометр. Инерционные дат-
датчики виброперемещения всех типов имеют диапазон измерения t-5 мм, основная
погрешность 3—10 %, рабочий диапазон частот — от 30—50 до 2000—5000 Гц.
Для измерения виброперемещений можно применять акселерометры с двухкрат-
двухкратными интеграторами сигнала Хотя при этом увеличивается уровень шумов и соот-
соответственно сужается диапазон измерения, эксплуатационные преимущества обусло-
обусловили широкое распространение этого способа измерений.
5. ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВОЙ ВИБРАЦИИ
Различают датчики измерения углового виброускорения, угловой виброско-
виброскорости и углового виброперемещения (колебательного угла поворота). Все сказанное
в предыдущем разделе относительно прямолинейных датчиков относится и к угло-
угловым датчикам. В основном их специфика связана только с вращательным движением
и проявляется в конструктивных решениях.
Характеристики угловой вибрации часто измеряют в условиях установившегося
или изменяющегося вращения с большой угловой скоростью и, следовательно, боль-
больших осестремительных ускорений. Это накладывает отпечаток на конструкцию угло-
угловых датчиков. Менее жесткие требования предъявляются к датчикам для измерения
угловой вибрации невращающихся объектов — станков с мягкой виброизоляцией,
автомобилей, сидений операторов и др. Большинство описываемых и изготовляемых
датчиков предназначено для измерения крутильных колебаний валов и связанных
с ними деталей [40]. Для измерения угловых ускорений чаще используют датчики
инерционного действия (см. гл. VII). В них применяют упругий элемент, работаю-
работающий на кручение, или несколько симметрично расположенных упругих элементов
работающих на изгиб или растяжение-сжатие (рис. 15). В угловых акселерометрах
используют как параметрические МЭП, чувствительные к деформации, перемещению,
напряжению (тензорезистивные, индуктивные, кагнитоупругие), так и генератор-
ДАТЧИКИ ДЕФОРМАЦИИ
227
ные (электродинамические и пьезоэлектрические, рис. 16). МЭП конструируют так,
чтобы он реагировал только на характеристики вращательного движения.
№ СовР|менные Угл°вые акселерометры рассчитаны на измерение ускорений до
10 рад/с с частотами до 2 кГц, однако обычно их диапазоны значительно уже. Ра-
Рабочий диапазон температур невелик (от —30 до +70°). Максимальные измеряемые
Рис. 15. Угловой тензорезисторный акселерометр (разрез):
/ — инерционный (чувствительный) элемент; 2 — один из упругих элементов; 3 — опорное
кольцо; 4 — тензорезисторы; 5 — корпус (токосъемник не показан)
Рис. 16. Угловой пьезоэлектрический акселерометр:
/ — пьезоэлементы с радиальной поляризацией; 2 — инерционный элемент
угловые виброперемещения не превосходят 0,1 рад, частотный диапазон 10—1000 Гц.
В ряде случаев для точных измерений угловой вибрации тел применяют совокуп-
совокупность только прямолинейных датчиков [14, 48, гл. VII].
6. ДАТЧИКИ ДЕФОРМАЦИИ
Датчики деформации (тензодатчики) являются наиболее часто применяемыми
в технике механических измерений. Их используют не только по прямому назна-
назначению, но и для измерения напряжений, а также во многих датчиках других величин
в качестве промежуточного элемента [41].
Датчик деформации близок по механической схеме к датчикам относительного
перемещения. Его механический импеданс должен быть по возможности малым,
поскольку он включается параллельно жесткости участка измерения и тем самым
уменьшает измеряемую деформацию. Но так как жесткость большинства объектов
достаточно велика, требования к импедансу намного ниже, чем в датчиках относи-
относительного перемещения. Почти во всех случаях, за исключением высокоточных изме-
измерений и измерений при повышенных температурах, импеданс тензодатчика можно
считать упругим [35]. Для измерения деформации применяют почти исключительно
приклеиваемые металлические тензорезисторы — тензодатчики, действие которых
основано на использовании тензорезистивного эффекта. Они воспринимают дефор-
деформацию объекта, усредненную по их длине (базе). Наиболее известными из них яв-
являются проволочные тензорезисторы (рис. 17, а), предназначенные для измерения
одноосной деформации. Для них разработано большое количество специальных
сплачов, в том числе с повышенным тензоэффектом, стабильных во времени и в широ-
широком диапазоне температур, а также мало восприимчивых к другим влияющим факто-
факторам; органических и неорганических клеев (цементов) с малой ползучестью; мате-
материалов подложек, хорошо передающих деформацию проволоке [35, 50]. Усовершен-
Усовершенствованы методы изготовления тензорезисторов, позволяющие получить высокую
однородность свойств датчиков. Достигнут значительный прогресс в изготовлении
фольговых тензорезисторов, имеющих преимущества при измерении более сложных
деформаций, а также хорошо приспособленных к массовой технологии [35]. Метал-
лопленочные тензорезисторы, изготовляемые методом напыления тонких слоев ме-
металла на подложку, имеют высокую стабильность ввиду отсутствия клеевой про-
прослойки [35]. Металлические тензорезисторы легко изгибаются и допускают накЛеи-
вание на цилиндрические поверхности.
8*
228
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Деформации можно измерять металлическими тензорезисторами в интервале от
1СГ6 до 10 с погрешностью порядка 1—3 %. Следует сказать, что метрологические
аспекты измерения переменных деформаций пока не исследованы в достаточном
объеме. Максимальные рабочие температуры доходят до 9^0 °С. В большом ассорти-
ассортименте выпускают так называемые розетки для измерения сложных деформаций
(рис. 17, б) и тензорезисторы, предназначенные для наклеивания на распространен-
распространенные конструкционные материалы и не дающие паразитного сигнала при изменении
температуры объекта в определенном интервале. Имеются также съемные тензодат-
чики, смонтированные на металлической полоске, прикрепляемой к объекту точеч-
точечной сваркой [35].
Полупроводниковые тензорезисторы применяют значительно реже, чем метал-
металлические, так как они сильнее подвержены внешним воздействиям и сложнее в экс-
эксплуатации. Их используют для измерения сравнительно кратковременных деформаций
в интервале от 1СГ8 до 10~3 при умеренных температурах. В основном их применяют
в составе датчиков силовых и кинематических величин, для которых важна повы-
повышенная чувствительность и допустима более высокая погрешность.
Рис. 17. Тензорезисторы:
а — проволочный; 6 — фольговая розетка
В ограниченном количестве используют тензодатчики других типов, в частно-
частности емкостные, а также пьезоэлектрические, измеряющие только динамические де-
деформации, но зато имеющие чрезвычайно высокую чувствительность [8]. Необходи-
Необходимым условием их нормальной работы является постоянство температуры во время
измерения. Магнитоупругие датчики деформации значительно уступают тензорези-
стивным и практически вышли из применения.
Датчики деформации используют для измерения напряжений в упругих телах.
Хотя в большинстве случаев деформацию и напряжение можно считать связанными
между собой законом Гука, нахождение напряжений требует обработки сигналов
тензодатчиков, расположенных на объекте по определенной системе. Необходимость
этой обработки ясна хотя бы из того, что при одностороннем сжатии стержня дефор-
деформация имеет три компонента, а напряжение — только один. Для обработки исполь-
используют специализированные вычислительные устройства [12].
При измерении кратковременных деформаций частотные свойства тензодатчика
определяются в основном временем распространения волны деформации по его базе.
Так как скорость распространения упругих волн в твердых телах превышает 1 мм/мкс,
а база составляет несколько миллиметров, этим временем можно пренебречь почти
всегда, за исключением измерения высокоскоростных ударных деформаций.
В последнее время развивается голографическая техника измерения деформаций.
Ее преимущество заключается в возможности бесконтактного измерения деформаций
не в отдельных точках, а сразу на всей видимой поверхности объекта и с высокой
чувствительностью [4] Однако пока голографические методы измерения деформаций,
в особенности динамических, нельзя считать освоенными.
ДАТЧИКИ СИЛЫ
229
7. ДАТЧИКИ СИЛЫ
В датчике силы воспринимающий узел, включающий чувствительный члемент и
механический преобразователь, создает упругую силу, которая уравновешивает
измеряемую силу Поэтому воспринимающий узел часто называют упругим элемен-
элементом Деформация упругого элемента или относительное перемещение его частей ив
ляется входным сигналом МЭП Если применен МЭП, чувствительный к механиче-
механическому напряжению, то он одновременно выполняет функции упругого элемента
Наиболее часто в датчиках силы используют тензорезисторные преобразователи
Вследствие малости их размеров и возможности расположения даже на цилиндри
ческой поверхности упругому элементу удается придать оптимальные форму и свой-
свойства, повышающие точность измерений, требования к которой высоки [36] В датчи-
датчиках малых сил (до 10 кН) изгибаемый упругий элемент изготовлен из специальных
сплавов с повышенными стабильностью и линейностью упругих характеристик.
Датчики больших сил имеют упругий элемент, работающий на сжатие-растяжение.
Конструкции упругих элементов с высокими метрологическими характеристиками
сложны (рис. 18). Этим достигается малость влияний температуры, поперечных сил
и моментов, давления окружающей среды.
Рис. IS. Тензорезисторный датчик силы:
/ — механический преобразователь силы в деформацию, 2 — тензорезисторы
Рис. 19. Пьезоэлектрический датчик переменной силы:
/ — присоединительный штырь; 2 — основание, 3 — пьезоэлементы, 4 — кабель
Деформации упругого элемента под действием измеряемой силы определяют
с помощью металлических или (реже) полупроводниковых тензорезисторов. В не-
некоторых прецизионных датчиках не слишком быстро изменяющихся сил применяют
струнные резонаторные МЭП [29]
В датчиках знакопеременных сил целесообразно использовать пьезоэлектриче-
пьезоэлектрический МЭП, совмещающий функции всех преобразователей (рис 19). Разновидностью
подобного датчика является импедансная головка, в состав которой входит также
Датчик ускорения. При возбуждении вибраций объекта от внешнего источника, же-
жестко соединенного с корпусом головки, последняя измеряет одновременно действую-
действующую силу и вызванное ею виброускорение. Импедансные головки особенно удобны
Для определения частотных характеристик объектов (см гл. XIV).
В датчиках малых сил эффективно используют пьезооптический МЭП, имеющий
высокую чувствительность [33] Известны также индуктивные, механотронные и
Другие датчики силы [3, 25]. Большинство выпускаемых датчиков предназначено для
Измерения силы сжатия, однако имеется достаточно много разновидностей датчи-
датчиков, измеряющих силы обоих знаков Погрешность измерения переменных сил может
составлять десятые доли процента.
Диапазоны измерения лежат в интервале от 0,1 до Ю7 Н, но наиболее часто
Датчики силы имеют диапазон порядка 1 — 100 кН. Рабочие температуры от —200
4о -j-250 "С, а температурная погрешность в несколько более узком диапазоне до-
230
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
ходит до 0,01 % на 1 К [45]. Габариты и масса определяются уровнем измеряемых
сил и поэтому могут быть достаточно велики. Рабочий диапазон частот датчика силы
зависит в первую очередь от собственной частоты воспринимающего узла, который
при расчете приходится рассматривать как имеющий распределенные параметры [36].
Она обычно лежит в интервале от нескольких сот до нескольких тысяч герц, увели-
увеличиваясь вместе с диапазоном измерения датчика. Исключение составляют только
пьезоэлектрические датчики силы, собственная частота которых значительно выше
Однако при эксплуатации упругий элемент датчика оказывается нагруженным при-
присоединенной массой объекта, поэтому верхняя граница диапазона частот, в котором
погрешность измерения силы близка к номинальной, может быть значительно ниже
паспортной.
8. ДАТЧИКИ ДАВЛЕНИЯ ЖИДКИХ И ГАЗООБРАЗНЫХ СРЕД
Датчик давления (рис. 20—22) построен аналогично датчику силы, т. е. содер-
содержит упругий элемент, уравновешивающий действие измеряемого давления. Часто
им служит мембрана, изолирующая МЭП от объекта измерения. Мерой давления
может быть как прогиб, так и деформация мембраны. В некоторых случаях мембрана
Рис. 20. Индуктивный датчик давления:
/ — мембрана; 2 — рабочая катушка; 3 — компенсационная катушка
Рис. 21. Емкостный датчик низкочастотного давления:
/ — мембрана; 2 — неподвижный электрод; 3 — герметизированный вывод
Рис. 22. Пьезоэлектрический датчик пульсаций давления:
/ — пьезоэлементы; 2 — поджимная втулка; 3 — корпус
играет только защитную роль, а упругим элементом является МЭП. Упругий эле-
элемент должен обеспечивать высокие метрологические характеристики датчика, прежде
всего малую нелинейность в диапазоне измерения и стабильность характеристик
в рабочих условиях. Достигается это подбором его формы и материала. Как правило,
дополнительным требованием является малость габаритов датчика. Датчик давления
должен иметь высокую механическую прочность и обеспечивать хорошее уплотне-
уплотнение посадочного места, во избежание прорыва среды в пространство за датчиком.
Поэтому крепление к объекту обычно резьбовое с большим моментом затяжки, вызы-
вызывающим значительную деформацию корпуса. Конструкция корпуса и упругого эле-
элемента должна снижать влияние этой деформации на характеристики датчика до допу-
допустимого значения.
В современных датчиках давления нашли широкое применение тензорезистив-
ные и индуктивные МЭП. Емкостные МЭП используют в меньшей степени в основ-
основном из-за высокого значения импеданса, затрудняющего передачу сигнала преобра-
преобразователя по кабелю. Металлические тензорезисторы позволяют получить высокие
метрологические характеристики. Датчики с полупроводниковыми тензорезисторами
ДАТЧИКИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
231
Рис. 23. Емкостный измери
тельный микрофон:
/ — мембрана; 2 — защит-
защитная крышка; 3 — неподвиж-
неподвижный электрод; 4 — контакт
разъема; 5 — изолятор
обладают преимуществом в тех случаях, когда точностные требования не столь
жестки. Индуктивные и резонаторные (струнные) датчики давления имеют харак-
характеристики, близкие к характеристикам тензорезисторных. Для измерения перемен-
переменной составляющей давления чаще используют пьезоэлектрические преобразователи.
По условиям эксплуатации датчики давления могут быть разбиты на группы
аналогично акселерометрам (см. раздел 4). Для второй и особенно третьей группы
существенными влияющими факторами являются перепады температуры среды
(тепловые удары) и вибрации объекта. Устойчивость к этим факторам указывают
не все изготовители, что следует иметь в виду при постановке измерений [45].
Особым классом датчиков давления являются измерительные микрофоны —
преобразователи акустического давления. В технике микрофон обычно эксплуати-
эксплуатируется в воздухе при отсутствии значительного избы-
избыточного статического давления и многих других влия-
влияющих факторов, что облегчает сопряжение его с уси-
усилительно-преобразующей аппаратурой. В этих условиях
емкостный МЗП имеет преимущества и широко исполь-
используется наряду с пьезоэлектрическим (рис. 23) [9, 44].
Упругий элемент датчика давления имеет высо-
высокую собственную частоту и позволяет вести измере-
измерения в широком частотном диапазоне. Однако, если
мембрана соединена с полостью, давление в которой
измеряется, хотя бы небольшим каналом, или диаметр
отверстия в присоединительном штуцере меньше диа-
диаметра мембраны, то образуется механический фильтр
нижних частот, резко снижающий частотный диапа-
диапазон измеряемых давлений [25].
Типичные датчики давления рассчитаны на изме-
измерение давлений порядка 1 —10 МПа с погрешностью
до 0,2 % при статических измерениях и 3—5 % при
динамических. Температурный диапазон от —250 до
+370 °С, причем температурная погрешность может не превышать 0,01% на 1 К.
Собственная частота доходит до 900 кГц. Известны миниатюрные датчики диамет-
диаметром 2—3 мм и массой ~1 г. Лучшие измерительные микрофоны могут измерять
звуковые давления до 180 дБ с частотами до 50 кГц в диапазоне температур от
—50 до +260 °С. Основная и температурная погрешности достигают 0,5 дБ и
0,01 дБ/°С соответственно.
9. ДАТЧИКИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
Датчики крутящего момента аналогичны датчикам силы и также основаны на
методе упругого уравновешивания измеряемой величины. Они содержат упругий
элемент, снабженный преобразователем угла его закручивания в электрический
сигнал и токосъемником для передачи сигнала с вращающегося вала (рис. 24). Угол
закручивания измеряют либо по деформации кручения, либо по углу поворота двух
сечений упругого элемента, находящихся на определенном расстоянии друг от друга.
Первый метод широко распространен, что является следствием стремления унифи-
унифицировать методы измерений и аппаратуру. Тензорезистивные преобразователи по-
позволяют достичь этого благодаря их универсальности. Однако сигнал наиболее от-
отработанных и прецизионных металлических тензорезисторов мал по абсолютной
величине и при передаче по токосъемнику подвержен влиянию помех. Кроме тензо-
тензорезисторных, применяют магнитоупругие МЭП [40]. Второй метод осуществляют
с помощью двух растровых дисков, расположенных рядом, но опирающихся на упру-
упругий элемент возможно дальше друг от друга. Взаимное угловое перемещение раст-
растров измеряют оптическим, индуктивным или другим МЭП, чувствительным к этому
параметру
Измерение моментов осложняется рядом обстоятельств: кроме вышеназванных
влияющих факторов здесь действуют продольные (направленные по оси вала) силы
и изгибающие вал моменты, сигнал от которых накладывается на сигнал от измеряе-
измеряемой величины. Эти помехи можно устранить при высокой точности формы и высокой
232
ДАТЧИКИ МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
однородности свойств упругого элемента в сочетании с применением нескольких пар
преобразователей деформации или перемещения, симметрично расположенных на
ней и соединенных так, чтобы сигналы обоих видов помех вычитались, а сигналы от
закручивания складывались. Из-за этих помех низкую точность дает самый простой
метод измерения момента, когда упругим элементом является вал [28].
Преобразователи момента выпускаются в меньших количествах по сравнению
с датчиками других силовых величин. Диапазоны измерения разнообразны и дости-
достигают 105 Н-м, основная погрешность 0,2—2% Температурный диапазон относи-
относительно невелик (от —20 до +70 °С), но температурная погрешность в нем может
не превышать 1 %. Масса датчика может достигать нескольких десятков килограм-
килограммов при больших диапазонах измере-
измерения. Рабочий диапазон частот, как и
в датчиках силы, ограничен сверху
частотой установочного резонанса дат-
датчика, определяемой крутильной жест-
жесткостью упругого элемента и моментом
инерции соединенных с ним узлов
объекта измерения. Она оказывается
сравнительно низкой — не более сотен
герц. Погрешность измерения перемен-
переменных моментов в лучшем случае порядка
3—6 % • Переменный момент можно
определить и без специального датчи
ка — путем измерения относительного
углового виброперемещения двух сече-
сечений вала, если известны расстояние
между сечениями и крутильная жесткость вала на участке между ними. Вместо
датчиков углового перемещения используют два угловых акселерометра [34].
Уровень помех меньше, если интегрируется разность сигналов акселерометров,
а не вычитаются сигналы интеграторов. Динамические моменты масс, совершающих
угловые колебания, измеряют косвенно с помощью угловых акселерометров инер-
инерционного действия с последующим пересчетом через известные моменты инерции
деталей [34].
Рис. 24. Г-нзорежсторный дашик крутящего
момено с бе-к <нгактным индуктивным токо-
токосъемником:
/ — тензорезисгоры, 2 — катушки питания;
3 — катушки съема сигнала
10. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ДАТЧИКОВ
В связи с общей тенденцией к увеличению удельной энергооснащенности сов-
современных технических объекюв и одновременному снижению запасов прочности
возрастают важность и ответственность измерения механических величин при испы-
испытаниях и эксплуатации Измерения обычно проводят в условиях, далеких от нор-
нормальных, что гребует внимательного подхода к постановке измерений. Необходимо
учесть по возможности все факторы, сильно влияющие на достоверность результатов,
и оценить их влияние количественно Если в описании средства измерения приве-
приведены требующиеся для этого коэффициенты влияния, то следует оцепить предельные
значения влияющих факторов и соответствующих частных погрешностей, а затем и
общей погрешности измерения. Несоответствие последней предъявляемым требова-
требованиям означает необходимость перехода к более точным значениям частных погреш-
погрешностей и внесения поправок. В этом случае необходимы дополнительные измерения
ряда влияющих факторов в ходе проводимого эксперимента, что значительно услож-
усложняет и удорожает его. Поэтому, с одной стороны, следует воздерживаться от необо-
необоснованного завышения требований к точности измерения, а с другой — применять
средства измерения, особенно датчик, с параметрами, совокупность которых опти-
оптимальна в данных условиях. При выборе предпочтителен датчик, более полно исследо-
исследованный во время разработки, о чем свидетельствует количество технических харак-
характеристик, указываемых в паспорте или описании.
Измерение механических величин на современном техническом объекте, особенно
при конструкторских испытаниях, представляет собой часть обширного комплекса
измерений различных физических величин, действующих одновременно и во многом
взаимосвязанных. Всегда можно выделить группы величин, в которых связи яв-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 233
ляются ясно выраженными. Одновременность действия, конечно, искажает резуль-
результаты измерения отдельных величин группы, но вместе с тем дает возможность их
уточнить путем перекрестной проверки временных и количественных соотношений
между ними. Проверку следует проводить последовательно, начиная с датчика,
в наименьшей степени подверженного влиянию факторов, действовавших во время
измерения. Его показания — основа для внесения первой поправки в результаты
измерения другими датчиками, которые, в свою очередь, используются для даль-
дальнейших поправок и т. д. Такая взаимопроверка и коррекция результатов измерения
отдельных величин позволяют значительно повысить достоверность результатов
измерений в целом.
Список литературы
1. Агейкин Д. И., Костина Е. Н., Кузнецова Н. Н. Датчики контроля и регулиро-
регулирования. М.: Машиностроение, 1965. 928 с.
2. Анцыферов М. С. Теория геофонов и виброметров звукового диапазона. М : Наука
1976. 143 с.
3. Аристов Е. М., Корешев Г. П. Измерительные преобразователи сил и давлений и,
магнитоулругом эффекте ферритов. — Приборы и системы управления, 1974, № 11, с. 32 — 33
4. Батерс Д. Голография и ее применение / Пер. с англ М.: Энергия, 1977. 223 с.
5. Белицкий Г. М. Конструкции пьезооптических акселерометров В кн : Вибрацпон
ная техника М.: МДНТП, 1977, с 25 — 30
6. Бойков Н. А., Звездин П. С, Резник Л. Б. Измерение давлений при быстропроте-
кающих процессах, М.: Энергия, 1970 64 с
7. Бордиловский А. Ф., Шкаликов В. С. Лазерные методы измерения параметров виб
раций. Л.: ЛДНТП, 1974 30 с.
8. Брагинский В. Б., Манукин А. Б. Измерение малых сил в физических эксперимен
тах. М.: Наука, 1974 151 с
9. Брох Е. Т. Применение аппаратуры фирмы «Брюль и Къер» для измерения акусти-
акустического шума Себорг: К Ларсен и сын, 1971. 138 с.
10. Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы «Брюль и Къер» для измсре-
ния механических колебаний и ударов. Себорг: К. Ларсен и сын. 1971. 308 с.
11. Влияние механических, тепловых и электрических воздействий на показания пье-
пьезоэлектрических акселерометров / В. П. Дунаевский, М. И. Субботин, А. Н. Вуколов,
Ю. М. Козаков — В кн.: Вибрационная техника М.: МДНТП. 1976, с. 15 — 27.
12. Воган Д. Измерение деформаций аппаратурой фирмы «Брюль и Къер». Себорг:
К. Ларсен и сын, 1976, 141 с.
13. Гаевский Н. А. Техника измерения давления. М.: Машиностроение, 1970. 48 с.
14. Генкин М. Д., Голубев В, С, Мигун Ю. Г. Методика и аппаратура для исследования
пространственных колебаний вращающихся деталей редукторных установок. — В кн.: Ди
намика и акустика машин. М : Наука, с. 41 — 57.
15. Генкин М. Д., Голубев В. С. О направленных свойствах акселерометров. — Маши
новедение, ] 968. Д° 5, с. 9 — 16
16 Гик Л. Д. Измерение вибраций Новосибирск: Наука, 1972 292 с.
17. Голубев В. С. К оценке измерительных свойств акселерометров линейных ускорс
ний. — В кн : Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конетт-укциях
М.: Наука, 1974, с. 83 — 98.
18 Горев Д. С, Корнеев О. И., Панченко В. М. Об измерении параметрог вибрации \
удара магнитоупругими преобразователями. — В кн.: Вибрационная техника. М.: МДНТП.
1974, с. 17 — 22.
19. Горбатов А. А., Рудашевский Г. Е. Акустические методы измерения расстояний
в воздушной среде. М.: Энергия, 1973 145 с.
20. Гудов В. И., Федорин В. Л.. Шкаликов В. С. Прибор для измерения параметров виб-
вибрации методом ядерного гамма-резонанса. — В кн.: Вибрационная техника. М.: МДНТП.
1974, с. 15—16.
21. Измерение малых акустических колебаний оптическими методами / А. Н. Бонда
ренко, Ю. Б. Дробот, В. А. Константинов и др. — Автометрия, 1976, № 3, с. 83 — 90.
22 Иориш Ю. И. Виброметрия. ГНТИ машиностроительной литературы. М.: Машгиз.
1963, 771 с.
'3. Карпов В. М. Высокотемпературный вихретоковый преобразователь перемещений.—
Приборы и системы управления, 1977, № 1, с. 407 — 409
24. Конструкции пьезоэлектрических акселерометров с монолитными модулями /
В. И Донское, В. В. Янчич, В. В. Козлов. А. М. Лимарев — В кн.: Вибрационная техника
М.: МДНТП, 1976, с. 3—7.
25 Логинов В. Н. Электрические измерения механических величин. М.: Энергия, 1976
104 с.
26. Малов В. В. Пьезорезонансные датчики. М.: Энергия, 1978. 248 с.
27. Нуберт Г. Измерительные преобразователи неэлектрических величин / Пер. с англ
Л.: Энергия. 1970. 360 с.
28. Одинец С. С, Топилин Г. Е. Средства измерения крутящего момента. М.: Машино-
Машиностроение, 1977. 160 с.
29. Осадчий Е. П., Жучков А. И. Вопросы расчета и конструирования дифференциаль-
дифференциальных струнных датчиков. — Приборы н системы управления, 1971, № 5, с. 18—20.
234 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
30. Пеллинец В. С. Измерение ударных ускорений. М : Изд-во стандартов, 1975. 287 с.
31. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара: Справочник, и' -i-X
кн /Под ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 197S, кн. 1-я — 447 с, кн. 2-я — 4J9 с.
32. Применение эффекта Допплера в измерительной технике / Б. М. Кулыдин,
В. И Смирнов, Б С Ринкевичюс и др Приборы и системы управления, 1976. Ла 9, с. 18 — 20.
33. Слезингер И. И. Измерительный преобразователь — В кн.: Теория и разработка
первичных преобразователей для измерения нестационарных величин. Киев: Знание, 1974,
с. 3—5.
34. Соколов М. М., Масандилов Л. Б. Измерение динамических моментов в электропри-
электроприводах переменного тока. М.: Энергия, 1975. 184 с.
35 Тензометрия в машиностроении / Под ред Р. А. Макарова. М.: Машиностроение,
1975. 287 с. _ „, „
36 Феликсон Е. И. Упругие элементы силоизмерительных приборов. М.: Машиностро-
' 37. Финк К. и Рорбах X. Измерение напряжений и деформаций / Пер. с нем.; Под ред
Н И Пригоровского М.: Машгиз, 1961. 535 с.
38. Цеханский К. Р., Макеев В. П. Пути построения высокотемпературных пьезоэлек-
пьезоэлектрических акселерометров — В кн.: Вибрационная техника. М : МДНТП, 1977, с. 67 — 72.
39 Щербаков Я. Е. Фотоэлектрические вибрографы. — В кн.: Вибрационная техника.
М.; МДНТП, 1974, с. 9-14.
40. Электрические измерения неэлектрических величин. Изд 5-е / Под ред П. В. Но-
Новицкого. Л.: Энергия, 1975. 576 с.
41. Эрлер В., Вальтер Л. Электрические измерения неэлектрических величин полупро-
полупроводниковыми тензорезисторами / Пер. с нем. М.: Мир, 1974. 286 с.
42. Яроменок А. С. Современные зарубежные линейные акселерометры и виброаксе-
лерометры — Итоги науки и техники. Серия — метрология и измерительная техника Том 3.
М , 1975 338 с.
43. Bauraann E. Elektrische Kraftmesstechnik Berlin, Tecbnik. 1976. 340 s.
44. Burronghs L. Microphones: design and application. Planview (N. Y.), Sagamore publ
soc. 1974. 260 p.
45. Magrab E. Environmental effects on microphones. Washington, Gov. print, off ,
1976. 106 p.
46. Padgaonkar A. and ath. Measurement of angular acceleration of a rigid body using
linear accelerometers. — Trans, of the ASME, J. A. M. 1975, sept., 552 p.
47. Roylance L. M., Angell J. B. A Miniature Integrated Circuit Accelerometer. Digest
of Technical Papers. 1978 IEEE International Solid — State Circuits Conference, p. 220 — 221.
48. Shock and Vibration. Measurement technology Endevco dynamic instrument division.
1977. 198 p.
49. Shock and Vibration handbook. Ed. by С M. Harris and C. E. Crede 2-nd ed. N. Y.,
Me Graw-Hill B. C.» 1976. 1332 p.
50. Stuburskl W. Przetworniki tensometriczne. Warszawa, «Wyd-wo nauk — techn.»
1976. 365 p.
51. Vibration and Shock — Vocabulary. Standard ISO 2041, 1975. 53 p.
Глава X
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
1. УСТРОЙСТВА ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Предварительные усилители. При измерении параметров механических колеба-
колебаний для обеспечения нормальной работы датчиков используют предварительные уси-
усилители (предусилители). Предусилители предназначены для увеличения мощности
входного сигнала, согласования импедансов датчика и следующего измерительного
преобразователя, обеспечения необходимой постоянной времени цепи датчика с це-
целью задания нижней граничной частоты диапазона рабочих частот, а также для
приведения уровня выходного сигнала к требуемому (нормализация выходного сиг-
сигнала). Предусилители называют также согласующими устройствами.
Предусилители для пьезодатчиков. Пьезоэлектрические датчики ускорениий и
сил наиболее часто используют в аппаратуре для измерения параметров механических
колебаний. Пьезоэлектрический преобразователь этих датчиков имеет емкостное
внутреннее сопротивление и вырабатывает электрический заряд, пропорциональный
измеряемому сигналу. Пьезоэлектрический преобразователь можно рассматривать
как источник заряда, тока или напряжения. Соответственно различают предусили-
предусилители заряда, тока и напряжения. Выходные сигналы пропорциональны соответст-
соответственно указанным входным величинам. Наибольшее применение находят предуси-
УСТР. ФОРМИРОВАНИЯ и ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ 235
лители напряжения и заряда. В настоящее время предусилители строят, как правило,
на твердотельных операционных усилителях.
Предусилители делают с несимметричным и симметричным входом для работы
с пьезодатчиками с соответственно несимметричными и симметричными электриче-
электрическими выходами. Пьезодатчики с симметричным электрическим выходом (симмет-
(симметричные пьезодатчики) имеют параметры электрической цепи, симметричные отно-
относительно корпуса датчика и экрана кабеля. На рис. 1—3 показаны схемы симметрич-
симметричных пьезоакселерометров и эквивалентные электрические схемы последних. В пока-
показанных акселерометрах используется деформация сжатия-растяжения пьезоэле-
ментов.
Симметричные пьезодатчики совместно с дифференциальными (вычитающими)
предусилителями, имеющими симметричный вход, используют для подавления эле-
электрических и электромагнитных помех [7, 24, 25]. Основным условием хорошего по-
подавления помех является соблюдение максимальной симметрии параметров цепей
датчика, соединительного кабеля и нагружающего входа предусилителей относительно
точек заземления, экранирующих и выводных сигнальных проводов. Поэтому в пре-
дусилителях напряжения необходимо обеспечивать симметрию входных цепей, а
в предусилителях заряда — также и цепей обратных связей. Применение симмет-
симметричных датчиков совместно с дифференциальными предусилителями позволяет более
чем на 40 дБ снизить электрические и электромагнитные помехи, а также помехи от
трибоэлектрического и микрофонного эффектов соединительного кабеля.
При рассмотрении совместной работы симметричного датчика и дифференциаль-
дифференциального предусилителя важны случаи, когда экранирующий провод кабеля, соединяю-
соединяющего пьезодатчик с предусилителем, неразрывен или имеет разрыв. Во втором слу-
случае при обеспечении симметрии на входе предусилителя для длинных линий пере-
передачи сигнала можно добиться лучшего подавления электрических помех заземле-
заземления; при этом разрыв экрана должен находиться у датчика. Из сравнения электри-
электрических эквивалентных схем симметричных пьезоакселерометров (см. рис. 1—3) видно,
что они отличаются только числом генераторов заряда и соотношением емкостей.
Поэтому для описания работы дифференциальных предусилителей взята наиболее
общая электрическая схема, показанная на рис. 2.
Предварительные усилители напряжения. На рис. 4, а приведена эквивалент-
эквивалентная электрическая схема несимметричного пьезодатчика с несимметричным пред-
предусилителем напряжения. В рабочем диапазоне частот выходное напряжение пред-
предусилителя
;/ QK m
где Q — электрический заряд, генерируемый пьезодатчиком; К — коэффициент пре-
преобразования предусилителя; СТ — емкость пьезодатчика; CL — емкость соедини-
соединительной кабельной линии вместе со входной емкостью предусилителя.
Выходное напряжение симметричного предусилителя, работающего в паре с сим-
симметричным пьезодатчиком (рис. 4, б), когда датчик и предусилитель имеют общу'ю
точку заземления, в рабочем диапазоне частот определяется выражением [7]
(
Х
(С С
"ВЬ1Х
где CLl и CL2 — емкости сигнальных проводов относительно экрана кабеля вместе
с соответствующими входными емкостями предусилителя; С1з — емкость между
сигнальными проводами в кабеле вместе с соответствующей входной емкостью пре-
йусилителя.
236
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
о +
¦о-
0 +
о-
Рис Г. Схема симметричного пьезоакселерометра с двумя изоляторами пьезоэлемента (а) и
эквивалентная электрическая схема пьезоакселерометра (б):
/ — корпус 1 — инерционный элемент; * — поджимная гайка; 4 — пьезоэлеменгы, 5 —
изоляторы пьезоэлементов; С,, С.г — емкости изоляторов; С3 — емкость пьезоэлемента; Q —
заряд, генерируемый пьезоэлементом
Рис. 2. Схема симметричного пьезоакселерометра без изоляторов и с механическим последо-
последовательным включением пьезоэлементов (о) и эквивалентная электрическая схема пьезоак-
пьезоакселерометра (б):
Си С2, Са — емкости пьезоэлементов; Q,, Q2, Q3 — заряды, генерируемые пьезоэлементами
(остальные обозначения см. рис. 1)
J
1
L
с,
cz
1
0
L3
' О
О +
с, c2
Рис. з. Схема симметричного пьезоакселерометра без изоляторов и с механическим после-
последовательно-параллельным включением пьезоэлементов (а) и эквивалентная электрическая
схема пьезоакселерометра (б):
^i, С2 — емкости правой и левой групп пьезоэлементов, С3 — собственная емкость между
выводными проводами; Q,, Q2 — заряды, генерируемые указанными группами пьезоэлемен-
пьезоэлементов (остальные обозначения см. рис. 1)
УСТР. ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ 237
Когда экран соединительного кабеля отсоединен от корпуса датчика,
C)
cLlcLi
При наличии симметрии (С1 = С2 = С, CLX = Ci2 = CJ выражения B) и C)
принимают одинаковый вид
~c+cs+cL3+LcL'
Из приведенных выражений (!) — C) видно, что с изменением длины соедини-
соединительного кабеля изменяется выходное напряжение. Для учета этого изменения
необходимо проводить либо дополнительную калибровку измерительного канала,
либо учитывать фактические емкости соединительного кабеля при измерении.
Рис. 4. Эквивалентные электрические схемы несимметричного пьезодатчика с несимметрич-
несимметричным предусилителем напряжения (о) и симметричного пьезодатчика с симметричным преду-
силителем напряжения (б):
/ — несимметричный пьезодатчик: 2 — несимметричный предусилитель напряжения; 3 —
источник сигнала помехи; 4 — экран; 5 — симметричный пьезодатчик; 6 — симметричный
предусилитель напряжения; 3» — земля в месте установки датчика; 32 — измерительная
земля
Для обеспечения в области низких частот требуемой амплитудно-частотной
характеристики предусилители напряжения должны иметь большие входные актив-
активные сопротивления.
Последнее требование накладывает определенные конструктивные трудности
на выполнение соединительных кабелей, особенно при работе в условиях повышен-
повышенной влажности и измерениях в области частот ниже 20 Гц.
Таким образом, в предусилителях напряжения входные сопротивления должны
быть большими, а подключаемые к датчику емкости — малыми. Активная входная
нагрузка снижает чувствительность тракта только на низких частотах, в то время
как емкостная нагрузка — во всем диапазоне частот. Поэтому предусилители на-
напряжения рекомендуется монтировать в непосредственной близости от преобразо-
преобразователя. Дифференциальные предусилители напряжения существенно подавляют все
помехи, которые сводятся к синфазным сигналам.
Для уменьшения напряжения помехи, создаваемой в схеме 4, а через электро-
электростатическую емкость Gg, можно использовать включение преобразователя по схеме
о так называемым активным экраном В этом случае а качестве линии связи исполь-
используют коаксиальный кабель с двумя экранами (промежуточным и внешним). Выход
предусилителя соединен с промежуточным экраном кабеля связи, что обеспечивает
снижение влияния емкости соединительного кабеля на чувствительность преобра-
238
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
зователя, поскольку потенциалы центральной жилы и промежуточного экрана ка-
кабеля примерно одинаковы.
Относительно малое влияние емкости соединительного кабеля на чувствитель-
чувствительность преобразователя в схемах с активным экраном справедливо для соединитель-
соединительных кабелей длиной не более 15 м. При длине соединительного кабеля более 30 м
такая схема включения малоэффективна. Другие способы подавления помех изло-
изложены в работе [16].
Рис. 5. Эквивалентные электрические схемы несимметричного пьезодатчика с несимметрич-
несимметричным предусилителем заряда (а) и симметричного пьезодатчика с симметричным предусили-
телем заряда (б):
/ — несимметричный пьезодатчик; 2 — несимметричный предусилитель заряда; 3 — сим-
метричный пьезодатчик; 4 — экран; S ~ симметричный предусилитель заряда
Предварительные усилители заряда. На рис. 5, а приведена эквивалентная элек-
электрическая схема несимметричного пьезодатчика с несимметричным предусилителем
заряда. Зависимость выходного напряжения предусилителя от заряда пьезодатчика
в операторной форме имеет следующий вид:
(Р) = — "
KpRfQ (p)
A+К)
PR/
Ст
pRfCf+l
где Rf и Cf — сопротивление и емкость в цепи обратной связи предусилителя за-
заряда.
Обычно К >¦ 1, поэтому предусилитель имеет частотную характеристику фильтра
высоких частот с частотой среза сос = (RfCf)'1 и наклоном 6 дБ на октаву. В боль-
большинстве практических случаев частотная характеристика предусилителя заряда
в области низких частот определяется только параметрами его внутренних элемен-
элементов и не зависит от параметров датчика и соединительного кабеля Она зависит в не-
незначительной степени от указанных параметров только при неудачном сочетании
большой емкости (Ст + CL) на входе с малой емкостью в цепи обратной связи.
В рабочем диапазоне частот (ш > ш,,)
^ВЫХ ^ ~гГ W.<
cf
Выходное напряжение симметричного предусилителя заряда, работающего
в паре с симметричным пьезодатчиком (рис. 5, б), когда датчик и предусилитель
имеют общую точку заземления, в рабочем диапазоне частот определяется выраже-
выражением [7]
1-^7-
D)
УСТР. ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ 239
Согласно формуле D) при равенстве емкостей С[ и С'а выходное напряжение не
зависит от их значений, при этом
^вых=- (-f- Qi+y Q,+Q3)gr ¦ E)
Желательно также, чтобы выполнялось условие Qt= Q2 = Qt так как
W
т. е. обеспечивается независимость выходного напряжения от емкостей С\ и С'а даже
в случае, когда они не равны.
Когда экран сигнального кабеля отсоединен от корпуса датчика,
Из сравнения формул D) и F) следует, что при работе с предусилителем заряда
лучше иметь раздельные точки заземления. Однако при этом необходимо, чтобы влия-
влияющие электромагнитные поля были незначительны. Кроме того, на практике трудно
обеспечивать раздельные точки заземления вне соединительного кабеля. При обес-
обеспечений- симметрии (что всегда надо делать для хорошего помехоподавления) выра-
выражения D) и F) приводятся к виду E).
Предусилители заряда могут иметь невысокие входные сопротивления. Основ-
Основным недостатком этих предусилителей является повышенная чувствительность к шу-
шумам во входных цепях, которая возрастает с увеличением длины кабеля. Поэтому
предусилители заряда тоже рекомендуется устанавливать на минимальном удале-
удалении от датчиков. Кроме того, используют добавочные фильтры верхних частот для
подавления сигналов трибоэлектрических помех и шумов операционных усилите-
усилителей, имеющих низкочастотный спектр. При работе с высокочувствительными низко-
низкочастотными датчиками рабочий диапазон частот предусилителей заряда должен быть
ограничен сверху во избежание его перегрузок.
Предварительный усилитель тока. Эквивалентная электрическая схема пред-
усилителя тока (рис. 6) содержит включенный последовательно с датчиком / линей-
линейный усилитель 2, расположенный в непосредственной близости от датчика и обеспе-
обеспечивающий преобразование выходного напряжения последнего в электрический ток,
и усилитель тока 4, соединенный с линейным усилителем кабелем связи 3. Питание
линейного усилителя осуществляется через сигнальный кабель от схемы усилителя
тока.
По существу линейный усилитель является модулятором входного тока уси-
усилителя тока. Усилитель тока обладает малым динамическим входным импедансом,
поэтому схема датчика с предусилителем тока обладает повышенной помехоустой-
помехоустойчивостью и имеет наиболее широкую частотную характеристику, которая может
составлять несколько сотен килогерц при длине соединительного кабеля, равной
нескольким сотням метров.
Примечания В предусилителях заряда предусматривают возможность замыкания
цепи обратной связч для разрядки конденсатора и восстановления исходного состояния
предусилителя Для калибровки предусилителей используют контрольный сигнал фиксиро-
фиксированной частоты и амплитуды от внешнего или внутреннего генератора Иногда в предуси-
предусилителях применяют трансформаторы для гальванической развязки измерительных цепей
во избежание образования ложных контуров и сопутствующих этому наводок.
В ряде случаев предусилители могут выполнять функции интегратора. На
рис. 7 приведена принципиальная схема аналогового интегратора — усилителя.
Измерительные усилители. При измерении параметров вибраций измерительные
усилители используют для усиления по уровню малых постоянных или переменных
электрических сигналов, поступающих от измерительных преобразователей различ-
различных видов, для дополнительного усиления сигналов предварительных усилителей,
а также для измерения малых напряжений [19, 20].
240
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Измерительные усилители отличаются большой чувствительностью, высокой
точностью калибровки коэффициента усиления в полосе рабочих частот, малыми
нелинейными искажениями, низким уровнем шумов, наличием измерительного блока,
позволяющего измерять уровень выходного напряжения.
Измерительные усилители могут быть селективными, низко- и высокочастотными
широкополосными, а" также усилителями напряжения постоянного тока, универсаль-
универсальными Селективные усилители предназначены для выделения, усиления и измерения
малых синусоидальных напряжений при наличии шумов, измерения гармонических
составляющих периодических сигналов, качественной оценки спектральной плот-
плотности шумовых сигналов.
Как правило, в селективных усилителях предусмотрен широкополосный режим
работы Низкочастотные измерительные усилители применяют для усиления и из-
измерения переменных напряжений в полосе частот от единиц герц до 200 кГц. Усили-
Усилители этого класса могут иметь встроенные фильтры, позволяющие проводить изме-
измерение при строго заданном ходе частотных характеристик (кривые А, В, С, D) [12]
Rl I
f—c=h-cz>
^Я2 4=С2
Рис. в. Эквивалентная электрическая схема предусилителя тока
Рис. 7. Принципиальная электрическая схема аналогового интегратора-усилителя
Высокочастотные усилители охватывают диапазон частот от десятков герц до
десятков или сотен мегагерц. Измерительные усилители напряжений постоянного
тока используют для усиления и измерения постоянных и медленно изменяющихся
сигналов. Этот тип усилителей характеризуется малым дрейфом выходного напря-
напряжения Универсальные усилители служат для усиления слабых сигналов, имеющих
в спектре постоянную составляющую.
При включении усилителей в измерительную схему следует учитывать меры,
обеспечивающие помехозащищенность сигнальных цепей.
Фильтрами электрическими называют устройства, обладающие селективностью
(избирательностью) по отношению к сигналам различных частот [1, 3, 10].
В технике измерения параметров механических колебаний электрические фильтры
используют для частотного анализа и селективного усиления сигналов датчиков,
задания рабочей полосы частот и подавления ложных сигналов и шумов в измери-
измерительных устройствах, а также для частотной коррекции измерительных систем.
Полоса частот, в пределах которой уровень сигнала на выходе фильтра не ниже
некоторого заданного значения, называется полосой пропускания фильтра. Область
частот, в пределах которой сигнал ниже заданного значения, называется полосой
задержания фильтра. Между полосой пропускания и полосой задержания располо-
расположена переходная область.
В зависимости от взаимного расположения полосы пропускания и полосы за-
задержания различают фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ),
полосовые фильтры (ПФ) и заграждающие фильтры (ЗФ).
Фильтры нижних частот пропускают сигналы, частоты которых не превышают
некоторую верхнюю частоту /в (рис. 8, а). Для такого фильтра полоса пропускания
располагается на оси частот между нулевой частотой и частотой Д,.
Фильтры верхних частот пропускают сигналы, частоты которых выше нижней
частоты /н (рис. 8, б). В этих фильтрах полоса пропускания располагается за ча-
стотои /„
Полосовые фильтры пропускают сигналы в некоторой полосе частот между /н
и /в (рис. 8, в), которая является полосой пропускания фильтра.
УСТР. ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ 241
Заграждающие фильтры используют для подавления сигналов в некоторой по-
полосе частот, ограничиваемой частотами Д, и /„ (рис. 8, г).
При измерении параметров вибрации полоса пропускания определяется непре-
непрерывной совокупностью частот в диапазоне от нижней до верхней граничных частот.
В ряде случаев рассматриваемый диапазон частот разделяют на участки, называе-
называемые полосами частот. Граничные частоты в полосе частот связаны между собой соот-
соотношением
В виброметрии наибольшее распространение получили октавные и третьоктав-
ные полосы частот, для которых справедливы соотношения /в = 2/н и /B = /nf/
соответственно. Иногда полосу частот устанавливают произвольно, тогда используют
понятие средней частоты fcp = Y
f)
>)
г)
Рис. 8. Характеристики затухания (ос) идеальных фильтров:
а ¦— фильтры нижних частот, б — фильтры верхних частот, в — полосовые фильтры, г —
заграждающие фильтры
Коэффициент передачи фильтра. Важной характеристикой фильтра является
его комплексный коэффициент передачи по напряжению К, .под которым понимают
отношение комплексных амплитуд на выходе ?/2 и входе Ux фильтра:
К 2
где К — модуль коэффициента передачи; ц> — разность фаз сигналов на выходе и
входе фильтра Модуль коэффициента передачи в полосе пропускания должен быть
постоянен с заданной степенью точности, в пределах полосы задержания коэффи
циент передачи (по модулю) не должен превосходить заданного значения, т е. в по-
полосе задержания необходимо обеспечить заданное затухание. В переходной области
коэффициент передачи должен изменяться от значения, допустимого в полосе про-
пропускания, до значения, требуемого в полосе задержания
Помимо требований к модулю коэффициента передачи в некоторых случаях
предъявляют требования к аргументу этого коэффициента, т. е к фазовой характе-
характеристике фильтра, а также к коэффициенту отражения по входу и выходу фильтра,
к допустимой величине нелинейных искажений и др. Существование переходной
области вызывает необходимость введения понятий эффективной полосы пропу-
пропускания, эффективной полосы задержания, граничных частот эффективной полосы
пропускания и задержания для фильтров верхних и нижних частот.
Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) фильтров. Фильтры Баттерворта
(рис. 9, а) характеризуются монотонным изменением АЧХ в полосе пропускания и
задержания.
Характеристики фильтров Гаусса (Бесселя) и фильтров с линейной фазовой
характеристикой монотонные в полосе пропускания и задержания. Они отличаются
хорошими фазовыми характеристиками, но имеют меньшее затухание, чем фильтры
Баттерворта. Фильтры с линейной фазовой характеристикой используют только
в качестве ФНЧ, поскольку в процессе преобразования в ФВЧ или полосовой фильтр
они теряют линейность фазовых характеристик Фильтры Чебышева (рис. 9, б)
имеют колебательный характер затухания в полосе пропускания и монотонный
в полосе задержания. Характеристики фильтров Золотарева — Кауэра (рис. 9, в)
Имеют колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе задержания.
242
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
Пассивные и активные фильтры. С энергетической точки зрения электрические
фильтры можно разделить на две группы: пассивные и активные. Пассивные фильтры
не содержат внутренних источников энергии. Уровень сигнала на выходе такого
фильтра меньше входного. Активные фильтры содержат внутренние источники энер-
энергии, поэтому выходной сигнал обычно усиливается по напряжению или по мощ-
мощности.
Как правило, применяют пассивные LC-фильтры и активные ЯС-фильтры.
Применение в фильтрах активных элементов (операционных усилителей, гираторов
и т. п.) позволяет развязать фильтр со стороны входа и выхода без дополнительных
схемных элементов. В отличие от пассивных LC-фильтров входное и выходное сопро-
сопротивления активных RC-фильтров не зависят от частоты.
Каскадное включение активных фильтров производят не по принципу согла-
согласования импедансов стыкуемых фильтров, а по принципу соединения низкоомного
выхода предыдущего фильтра с высокоомным входом последующего.
К,ЗБ
5 70 2ufJn
Рис. 9. Амплитудно-частотные характеристики фильтров:
а — фильтры Баттерворта; б — фильтры Чебышева;
в — фильтры Золотарева — Кауэра (К = сс~*, АК — ве-
величина неравномерности затухания в полосе пропуска-
пропусканное зат
жания)
Рис. 10. Частотная характеристика третьоктавного
фильтра:
/ — МЭК, 2 — типичный третьоктавный фил1тр
Преимуществом LC-фильтров является простота, надежность, недостатком —
относительно большие размеры и масса. Преимуществом активных ^С-фильтров
являются малые габариты и масса, возможность микроминиатюризации.
Октавные и третьоктавные фильтры, применяемые при измерении парамет-
параметров механических колебаний представляют собой набор фильтров со средними ча-
частотами от 2 Гц до десятков килогерц. При этом октавные полосы набирают, как
правило, с перекрытием диапазонов смежных фильтров. Средние частоты полосовых
третьоктавных фильтров выбирают из ряда предпочтительных частот, приведенных
в табл. 1, в соответствии с требованиями Международной электротехнической комис-
комиссии (см. материалы МЭК 225—1966 и ANSISI. 11—1966).
Частотная характеристика третьоктавного фильтра приведена на рис. 10. Верх-
Верхние части частотных характеристик октавного и третьоктавного фильтров даны
на рис. 11.
Генераторы электрических колебаний в вибрационной технике. Они отличаются
многообразием функциональных назначений, широким частотным диапазоном (от
сотых долей герца до сотен килогерц), разнообразием форм колебаний. Их приме-
применяют при измерении амплитудно-частотных и фаэочастотпых характеристик вибро-
виброаппаратуры, в технике испытаний объектов на воздействие вибрации и удара, а также
в качестве устройств формирования возбуждающего сигнала.
УСТР ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ
243
Средняя
частота,
Гц
2
2,5
3,15
4
5
С,3
8
10
12,5
16
20
25
31,5
40
50
63
80
1. Средние *
Приближенная
ширина треть-
октавной полосы
C, 7 дБ), Гц
0,46
0,58
0,73
0,92
1,16
1,45
1,83
2,30
2,90
3,70
4,60
5,8
7,3
9,2
11,6
14,5
18,3
астоты полосовых третьоктавных фильтров
Средняя
частота,
Гц
100
125
160
200
250
315
400
500
630
800
1 000
1 250
1 600
2 000
2 500
3 150
4 000
Приближенная
ширина треть-
октавпоп полосы
C, 7 дБ), Гц
23
29
37
46
58
73
92
116
145
183
230
290
370
460
580
730
920
Средняя
частота,
Гц
5 000
6 300
8 000
10 000
12 500
16 000
20 000
25 000
31 500
40 000
50 000
63 000
80 000
100 000
125 000
160 000
Приближенная
ширина треть-
октавной полосы
C, 7 дБ), Гц
1 160
1 450
1 830
2 300
2 900
3 700
4 600
5 800
7 300
9 200
11 600
14 500
18 300
23 000
29 000
37 000
По форме вырабатываемого сигнала генераторы можно разделить на генераторы
синусоидальных сигналов (или просто генераторы сигналов), генераторы сигналов
специальной формы, генераторы импульсов и генераторы шума [2, 3, 8, 14, 19, 23].
В указанных выше измерениях наиболее часто используют низкочастотные
генераторы сигналов. Основными техническими характеристиками этих генераторов
являются:
1) диапазон генерируемых частот;
2) стабильность выходной частоты, обеспечиваемая схемой генератора при воз-
воздействии на нее различных дестабилизирующих факторов (например, изменения
питающего напряжения, сопротивления нагрузки, рабочей выходной частоты и др.);
0,1 0,5
рис. п. Верхние части частотных характеристик октавного (а) и третьоктавного (б) фильт-
фильтров (обозначения см, рис. 10)
3) точность установки выходной частоты;
4) амплитудно-частотная характеристика;
5) искажения синусоидальной формы кривой выходного напряжения, которые
характеризуются коэффициентом нелинейных искажений
n 100%'
244
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
где дг—действующее значение основной гармоники; А2, А3 Ап — действую-
действующие значения высших гармоник (второй, третьей л-й соответственно);
6) коэффициент шума, определяемый как отношение амплитуды шума на выходе
генератора к амплитуде выходного напряжения:
лвыч
7) стабильность амплитуды выходного напряжения.
Низкочастотные генераторы по способу создания колебаний выходной частоты
разделяют на две основные группы: ЛС-генераторы и генераторы на биениях.
В общем случае /?С-генератор — это колебательная система, в которой вместо
колебательного контура используют селективный ЯС-фильтр (рис. 12). Генераторы
этого типа имеют широкий диапазон генерируемых частот @,04 Гц — 60 кГц), низ-
низкий уровень нелинейных искажений @,1—0,4 %), малую нестабильность частоты
(< Г%) При более низких требованиях к стабильности частоты и к нелинейным
искажениям диапазон генерируемых частот может быть расширен до 2 мГц. Не-
Недостатком перестраиваемых ^С-генераторов является зависимость амплитуды вы-
выходного напряжения от частоты. По этой причине крайние частоты диапазона не мо-
могут отличаться более чем в 10 раз [3].
Рис. 12. Структурная схема RC-генератора:
/ — перестраиваемый ЯС-фильтр, 2 — усилитель
Рис. 13. Структурная схема генератора на биениях:
/ — гетеродин фиксированной частоты; 2 — гетеродин переменной частоты; 3 — усилитель;
4 — преобразователь частоты; ,5 — фильтр нижних частот; 6 — выходной усилитель
В генераторах на биениях колебания низкой частоты получаются в результате
биений, образуемых при смешении двух высокочастотных сигналов в устройстве
с нелинейной амплитудной характеристикой. Схема такого генератора дана на
рис. 13. Для изменения частоты выходного сигнала частота одного из гетеродинов
плавно изменяется в необходимых пределах. Поскольку частоты гетеродинов в де-
десятки и сотни раз больше частоты выходных колебаний, небольшое относительное
изменение частоты перестраиваемого гетеродина значительно изменяет частоту вы-
выходного напряжения генератора. Это обстоятельство позволяет получать достаточно
равномерную амплитудно-частотную характеристику, но ухудшает стабильность
частоты выходных колебаний.
Генераторы сигналов специальной формы являются источниками синусоидаль-
синусоидальных, треугольных, пилообразных и других форм колебаний. Специфическими пара-
параметрами таких приборов являются: 1) длительность фронтов прямоугольных напря-
напряжений и длительность обратного хода пилообразного напряжения, измеряемые
между уровнями, соответствующими 10 и 90 % полного размаха напряжения; 2) коэф-
коэффициент нелинейности пилообразного и треугольного напряжений, показывающий
относительное изменение скорости изменения этих напряжений в начале и конце
линейной зависимости; 3) постоянная составляющая в выходном сигнале.
Принципы построения генераторов сигналов специальной формы разнообразные
и изложены в специальной литературе.
Генераторы импульсов находят все большее применение в вибрационной тех-
технике в связи с тенденцией увеличения числа устройств виброметрии, основанных
на цифровой обработке информации, а также с созданием информационно-измери-
информационно-измерительных систем с ЦВМ. По числу каналов основных импульсов генераторы подраз-
подразделяют на одно- и многоканальные. По характеру последовательности импульсов
УСТР. ФОРМИРОВАНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТР. СИГНАЛОВ 245
различают генераторы непрерывной последовательности импульсов, серии импуль-
импульсов и кодовых пакетов импульсов.
Основными параметрами генераторов импульса являются частота (период)
повторения импульсов, длительность импульсов, погрешность установки длитель-
длительности импульсов, длительности фронта и среза, временной сдвиг между импульсами
(для двух и более канальных генераторов), максимальная амплитуда импульса и
погрешность ее установки.
Генераторы шума представляют собой генераторы случайных непериодических
колебаний и предназначены для имитации реальных шумовых процессов. Различают
генераторы белого, розового и узкополосного шумов Для белого шума характерна
равномерная спектральная плотность во всем диапазоне частот. Розовый шум может
быть получен путем фильтрования белого шума корректирующим фильтром со спа-
спадом частотной характеристики 3 дБ/окт. Для узкополосного сигнала характерно
сосредоточение спектра мощности в узкой полосе частот.
Основными параметрами генераторов белого и розового шума являются частот-
частотный диапазон, спектральная плотность, однородность спектральной плотности, закон
и диапазон распределения амплитуд, выходной уровень сигнала, отношение сиг-
сигнал/фон, флюктуация уровня выходного сигнала. Для генераторов узкополосного
случайного сигнала характерным параметром является ширина полосы шума.
Рис. 14. Структурные схемы генераторов шума:
а — генератор прямого усиления: / — первичный источник шума; 2 — усилитель с полосо-
полосовыми фильтрами; 3 — калиброванный аттенюатор; 4 — измеритель уровня; б — генератор
с переносом спектра: / — первичный источник шума; 2 — усилитель с полосовым фильтром;
3 — смеситель; 4 — гетеродин; S — фильтр нижних частот; 6 — аттенюатор; 7 — измери-
измеритель уровня
По схемному исполнению генераторы шума можно разделить на две группы:
1) построенные по схеме прямого усиления; 2) с нелинейными элементами (с пере-
переносом спектра). В генераторах первой группы (рис. 14, а) напряжение, вырабаты-
вырабатываемое первичным источником шума, подается на усилитель с полосовыми фильт-
фильтрами. Изменение частотного диапазона выходного сигнала достигается перестройкой
полосовых фильтров. Далее сигнал поступает на калиброванный аттенюатор, к вы-
выходу которого подключена нагрузка и измеритель уровня. В генераторах второй
группы (рис. 14, б) усилитель с полосовым фильтром пропускает сигнал, имеющий
частоту /0 +; Д/ (/0 — средняя частота полосового фильтра) и усиленный до величины,
необходимой для работы смесителя, на который одновременно подается сигнал с ге-
гетеродина, настроенного на частоту /0. С выхода смесителя снимается сигнал, у кото-
которого полосы частот Д/ и 2 (/0 ± Д/). Этот сигнал поступает на фильтр нижних частот,
с выхода которого на вход аттенюатора подается низкочастотный шум, имеющий
частотный диапазон Д/. Отличительной особенностью генератора узкополосного
случайного шума являются наличие узкополосных фильтров, включаемых перед сме-
смесителем, и развертка выходного сигнала в заданном диапазоне частот.
В качестве первичных источников шума в генераторах используют ионные
приборы, специальные шумовые резисторы, вакуумные и полупроводниковые при-
приборы.
Синтезаторы частоты предназначены для преобразования сигнала фиксирован-
фиксированной частоты от высокостабильного источника в сигнал, значение частоты которого
может быть установлено в рабочем диапазоне частот с необходимой точностью, кото-
которая ограничивается лишь дискретностью, обусловленной конструктивными данными
прибора [19]. Синтезаторы отличаются стабильностью частоты выходного сигнала,
высокой разрешающей способностью по частоте, широким диапазоном выходных ча-
частот, возможностью автоматического (программного), ручного и дистанционного
управления выбором значений частоты и ослабления. Они находят широкое при-
246 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
менение при снятии частотных характеристик четырехполюсников и фильтров, оценке
спектральных свойств сигналов, настройке и калибровке частотомеров и других
приборов, работающих в частотной области.
2. УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
Анализаторы спектра можно разделить на анализаторы, действие которых
основано на использовании принципа фильтрации и преобразования Фурье. Пер-
Первая группа анализаторов может быть с непосредственной фильтрацией, с предва-
предварительным гетеродинированием, с временной компрессией.^ Различают анализаторы
спектра параллельного и последовательного принципа действия [4, 11].
В ряде случаев используют анализаторы, содержащие задерживающие цепи
с дисперсией фазовой скорости Если исследуемый сигнал подвергнуть линейной
частотной модуляции, а затем подать на устройство с дисперсией, то на выходе
последнего появляется сигнал, огибающая которого является спектральной плот-
плотностью исследуемого сигнала.
В связи с развитием микроэлектроники резко возрос интерес к применению
цифровых анализаторов спектра. Использование цифровых фильтров позволяет
относительно просто решить проблему перестройки анализатора, резко уменьшить
его габариты и массу при высоких качественных показателях всего устройства
Например, относительная ширина полосы пропускания 0,1—100 Гц в диапазоне
частот 1 Гц — 1 мГц соответствует добротности фильтра до Ю7. При узкой полосе
пропускания @,1 Гц) для обеспечения автоматического слежения за сигналом в схеме
цифровых анализаторов предусматривают цифровой контур автоматической под-
подстройки частоты гетеродина.
Другое направление в области спектрального анализа связано с широким
внедрением ЦВМ для расчета текущего спектра исследуемого сигнала. При этом
используют дискретные значения сигнала, а его текущий спектр рассчитывают
путем непосредственного применения дискретного преобразования Фурье и различ-
различных модификаций алгоритма быстрого преобразования Фурье.
Современные анализаторы спектра характеризуются широкой областью при-
применения и универсальностью использования. Они могут заменить селективный
вольтметр, частотомер, измеритель нелинейных искажений, использоваться в ка-
качестве корректирующего или избирательного усилителя. Схемные решения анали-
анализаторов спектра предусматривают наличие полосно-заграждающих фильтров, обес-
обеспечивающих эффективное подавление фиксированной частоты или полосы частот,
специальных фильтров со стандартными частотными характеристиками, находя-
находящих применение при анализе спектрального состава виброакустических шумов.
В комплект анализаторов спектра включают специализированные устройства,
облегчающие их эксплуатацию и обеспечивающие высокие метрологические харак-
характеристики. К таким устройствам относят индикаторы перегрузки входного и выход-
выходного усилителей, индикаторы среднего номинального значения частоты, встроенные
устройства калибровки и нормализации сигналов от измерительных преобразова-
преобразователей, логарифмические преобразователи для прямого отсчета уровней составляю-
составляющих спектра в децибелах, устройства автоматического переключения диапазона
исследуемых частот и др
Частотомеры электронно-счетные предназначены для измерения частоты и
периода электрических колебаний, интервалов времени, длительности импульсов,
отношения частот и подсчета числа импульсов [19, 20]. Они могут быть использо-
использованы как источники колебаний высокостабильной частоты. Различают упрощенные,
универсальные и специализированные частотомеры. Все они являются многофунк-
многофункциональными приборами, обладают высокой точностью и уровнем автоматизации
измерений, отличаются высокой надежностью, имеют возможность дистанционного
управления работой. Результаты измерений представляются в цифровой форме
с помощью газоразрядных знаковых индикаторов с системой памяти и могут быть
выведены в форме кодов в цифропечатающую машину или цифроаналоговый пре-
преобразователь. Предусмотрена возможность использования частотомеров в авгома-
УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 247
газированных системах измерения и управления. С этой целью совместно с частото-
частотомерами можно применять коммутаторы измерительные, коммутаторы кодов, ком-
компараторы кодов и преобразователи кодов.
Измерители временных интервалов предназначены для точных измерений вре-
временных параметров периодических (повторяющихся) импульсов и сигналов сину-
синусоидальной формы, длительностей импульсов, фронтов и спадов, сдвигов между
импульсами, периода следования, частоты. Различают осциллографические и циф-
цифровые измерители временных интервалов. Осциллографические измерители поз-
позволяют наблюдать исследуемый процесс на экране индикатора, производить изме-
измерения на любом уровне и участке сигнала по шкале времени [18, 19, 20]
Цифровые измерители обладают дополнительными функциональными возмож-
возможностями. Они позволяют измерять временные параметры однократных процессов,
регулировать промежуток времени между измерениями и запоминать результаты
измерений за этот промежуток, осуществлять счет числа импульсов. Результат
измерения получается с большой скоростью в цифровой форме, как правило, в коде
8—4—2—1 и может быть выведен на внешнее регистрирующее устройство, цифро-
печатающую машину, цифроаналоговый преобразователь и др.
Измерители разности фаз предназначены для измерения угла сдвига фаз между
двумя непрерывными синусоидальными сигналами в диапазоне частот, а также
позволяют индицировать знак фазы и получать сигнал, пропорциональный раз-
разности фаз для регистрации.
Для аппаратурного определения сдвига фаз используют три основных метода.
Первый метод основан на прямом или косвенном измерении отношения временного
интервала между характерными точками двух сигналов (например, переходами
через некоторый заданный уровень, обычно нулевой) к периоду исследуемых сиг-
сигналов [5, 21] Фазометры этого типа имеют относительно простую конструкцию и
обеспечивают получение высокой точности измеряемого фазового сдвига при высо-
высоком соотношении сигнал/шум.
Второй метод состоит в получении коэффициентов Фурье для гармонических
составляющих исследуемых сигналов, соответствующих частоте, на которой опре-
определяется фазовый сдвиг. Если получаемые коэффициенты разложения по синусной
и косинусной функциям соответственно для первого и второго сигналов равны asl,
ас1, as2, ас2, то фазовый сдвиг между сигналами
Этот метод целесообразнее использовать для определения спектра сигнала,
так как могут быть одновременно получены амплитудный и фазовый спектры. Более
подробно вопросы, связанные с построением аппаратуры, используемой для реали-
реализации метода, изложены в разделе, посвященном анализаторам спектров
Третий метод основан на определении коэффициента корреляции между иссле-
исследуемыми сигналами с последующим вычислением оценки фазового сдвига по полу-
полученному коэффициенту корреляции в соответствии с выражением
Лц> = Кх,у/ох<уу,
где Кх, у — корреляционный момент исследуемых сигналов; 0V и ау — действую-
действующие значения входных сигналов.
Корреляционный метод измерения сдвига фаз целесообразно использовать
при наличии на выходах первичных измерительных преобразователей кроме иссле-
исследуемых сигналов значительных по сравнению с ними составляющих типа шумового
сигнала и помех, не коррелированных между собой.
3. УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ИНФОРМАЦИИ
Общие замечания. Результат измерения параметров вибраций, шума и удара,
снимаемый с выхода преобразователя, представляют, как правило, в форме элек-
электрического аналогового сигнала. Эти сигналы можно подвергать следующим опе-
операциям:
248 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
1) представлению в форме динамической картины на экране или в виде доку-
документа;
2) запоминанию в естественной форме на магнитной ленте с последующим пред-
представлением согласно п 1;
3) счетно-решающим операциям в аналоговой вычислительной машине с пос-
последующим представлением результатов согласно п. 1;
4) преобразованию в цифровую форму с помощью аналого-цифрового преобра-
преобразователя (АЦП); причем коды, полученные от АЦП, могут быть подвергнуты непо-
непосредственной обработке в цифровой вычислительной машине (ЦВМ) или запоми-
запоминанию в накопителях различных видов;
5) представлению в цифровой форме по кодам, выведенным из ЦВМ или нако-
накопителя;
6) обратному преобразованию из цифровой формы в аналоговую после обра-
обработки в ЦВМ; результат этого преобразования либо представляют в аналоговой форме
согласно п. 1, либо вводят в аналоговую ЭВМ; входящую совместно с ЦВМ в ана-
аналого-цифровой комплекс.
Методы и средства документирования информации можно классифицировать
по ряду физических и конструктивных признаков.
По физическому воздействию, оказываемому органом записи на носитель, их
делят на механические, электромагнитные (световые, магнитные, электрические,
химические и тепловые).
К механическим способам относят карандашные, чернильные, струйные, печат-
печатные, резцовые и перфораторные К способам с электромагнитным (световым) воз-
воздействием на носитель принадлежат разнообразные фотографические (галоидосе-
ребряные в видимом и ультрафиолетовом участках спектра, диазотопные, термогра-
термографический, фотополимеризационный, фотокаталитический, фотопластический и др ).
Регистрацию с воздействием магнитного поля на носитель осуществляют маг-
магнитным, магнитохимическим и магнитоориентационным способами Она основы-
основывается на использовании переориентации магнитных доменов, изменения цвета но-
носителя в результате химической реакции и ориентации частиц в носителе записи.
Регистрация с воздействием электрического поля на носитель подразделяется на
электрофотографическую запись, электростатическую запись (в воздушной среде
и вакууме) и рельефографию на термопластиках, масляных пленках и гелях Среди
химических способов регистрации выделяют электрохимические с необратимыми
и обратимыми изменениями носителя записи, а также теллуровый К тепловым
относят искровой, плавильный, термохимический и термохроматический способы.
По конструктивному признаку все способы регистрации делят на контактные,
квазиконтактные и бесконтактные. К контактным принадлежат такие способы реги-
регистрации (механический, химический и др.), при которых вещество или энергия
от органа записи к носителю могут быть переданы только через надежный контакт
между ними. При квазиконтактных способах (электростатическом, магнитном и
др ) этот контакт не обязателен, но расстояние между органом и носителем записи
должно быть того же порядка, что и размер рабочей части органа записи. При бес-
бесконтактных способах (световых, электронно-лучевых и некоторых магнитных)
энергия, необходимая для регистрации, передается на расстояния, значительно
превышающие размеры рабочей части органа записи.
По характеру записываемой информации средства регистрации делят на уст-
устройства знакопечатающие, для записи непрерывных функций времени, двухкоор-
динатные графопостроители и устройства полутоновой записи.
Ниже рассмотрены те способы регистрации, которые особенно широко исполь-
используют в виброметрии.
Осциллографы электронно-лучевые и для регистрации быстропротекающих про-
процессов. Электронно-лучевые осциллографы находят в виброизмерительной технике
широкое применение. Они позволяют наблюдать периодические и непериодические
вибрационные процессы непрерывного и импульсного характера, снимаемые с изме-
измерительных преобразователей, регистрировать их с помощью фотоприставки или фото-
фотоаппарата, определять амплитудные временные, частотные и фазовые характери-
характеристики исследуемого сигнала. Различают одно-, двух- и многолучевые и запоминаю-
запоминающие осциллографы. Последние обеспечивают! запоминание формы электрических
УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 249
сигналов с последующим ее воспроизведением и используются при исследовании
однократных и редко повторяющихся импульсов или фотографировании их с экрана
осциллографа когда обычный осциллограф неэффективен из-за недостаточной дли-
длительности послесвечения
Помимо рассмотренных типов осциллографов в некоторых случаях при изме
рениях вибрационных процессов используют специальные телевизионные, скорост-
скоростные, стробоскопические осциллографы, а также осциллографы с механической раз-
разверткой. Приборы данной группы предназначены для регистрации быстропро1екаю-
щих процессов с максимальной частотой 50—100 кГц. Несмотря на разнообразие,
осциллографы имеют в основном одинаковые структурные схемы и состоят из элек-
электронно-лучевой грубки (ЭЛТ) с электростатическим управлением луча, каналов
вертикального и горизонтального отклонения луча ЭЛТ, измерительных блоков
амплитуды и длительности, блока источника питания. Одновременное наблюдение
на экране ЭЛТ нескольких сигналов достигают за счет использования специальных
двух- и многолучевых трубок, а также коммутаторов в канале вертикального откло-
отклонения луча.
Запоминающие электронно-лучевые осциллографы отличаются применением за-
запоминающих электронно-лучевых трубок и наличием блоков управления их режи-
режимами работы
Многофункциональные осциллографы, используемые для получения функцио-
функциональных зависимостей переменных величин вибрации во времени, имеют, как пра-
правило, сменные функциональные блоки, расширяющие технические возможности
осциллографов К таким блокам относят предварительные усилители вертикального
отклонения луча с различной полосой пропускания и чувствительностью, диффе-
дифференциальные предусилители, коммутаторы и др. [19, 20].
Принцип действия электронно-лучевых осциллографов заключается в следую-
следующем К горизонтальным отклоняющим пластинам ЭЛТ подводится линейное пило-
пилообразное напряжение, формируемое генератором развертки. Луч перемещается
на экране ЭЛГ по горизонтали в одном направлении с постоянной скоростью На
вход вертикальных отклоняющих пластин ЭЛТ подается напряжение исследуе-
исследуемого вибрационного процесса. Под воздействием этого напряжения луч отклоня-
отклоняется по вертикали, т е на экране ЭЛТ зафиксировано положение луча, соответ-
соответствующее мгновенному значению исследуемого сигнала. За время действия пило-
пилообразного напряжения луч описывает кривую, характеризующую форму исследуе-
исследуемого сигнала на этом отрезке времени.
В осциллографах предусмотрена возможность применения автоколебатель-
автоколебательного, ждущего и однократного режимов работы генератора развертки с целью син-
синхронизации начала развертки. Синхронизация производится исследуемым либо
внешним сигналом, синхронным с исследуемым Для исследования периодических
процессов или периодической последовательности импульсов использ}ют авто-
автоколебательный режим развертки, когда генератор развертки находится в режиме
самовозбуждения При этом частота генератора автоматически устанавливается
равной или кратной частоте исследуемого сигнала при наличии синхронизирующего
сигнала Для исследования импульсов с большой скважностью используют режим
ждущей развертки или ждущей развертки с задержкой. В этом случае генератор
развертки запускается каждый раз после поступления синхронизирующего сиг-
сигнала Режим однократной развертки отличается от предыдущего тем, что после за-
запуска генератора предусмотрена блокировка развертки Этот режим используется
в основном для фоторегистрации осциллограмм
В запоминающих осциллографах ЭЛТ состоит из записывающего и воспроиз-
воспроизводящего прожекторов, коллектора, мишени и люминесцентного экрана. При по-
даче на отклоняющие пластины ЭЛТ исследуемого сигнала записывающий прожек-
прожектор, создающий пучок электронов, проходит по noBtpxHocra мишени и вызывает
вторичную эмиссию диэлектрика Потенциал отдельных участков поверхности ми-
мишени повышается, при этом пучок электронов воспроизводящего прожектора про-
проникает через эти участки и вызывает свечение экрана. Запоминающие осциллографы
могут также работать и в режиме обычного осциллографирования В запоминающих
осциллографах предусмотрен режим последовательного наложения изображения,
когда используются интегрирующие свойства запоминающих трубок.
250 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЙ
Основными характеристиками этих устройств являются размеры экрана ЭЛТ,
чувствительность вертикального и горизонтального каналов, входные сопротивления
и емкость, частотная полоса пропускания каналов, погрешности измерения ампли-
амплитуды напряжения и временных интервалов Запоминающие элекгронно-лучевые
осциллографы дополнительно характеризуются скоростью записи, временем воспро-
воспроизведения и временем хранения информации.
В осциллографах для регистрации быстропротекающих процессов запись осу-
осуществляется на высокочувствительной осциллографной бумаге световым лучом,
спроецированным оптической системой с экрана проекционной электронно-лучевой
трубки
Дисплеи. По назначению различают две группы дисплеев. 1) текстовые, пред-
предназначенные для вывода алфавитно-цифровой информации; 2) графические, или
универсальные, позволяющие выводить информацию любого вида.
Текстовой дисплей обычно содержит электронно-лучевую трубку, буферную
память для автономной регенерации изображения, генератор знаков, средства фор-
формирования и редактирования информации на экране и клавиатуру для ручного ввода
текста на экран или его редактирования. В состав дисплея иногда включают пишу-
пишущую машинку, которая позволяет одновременно с наблюдением получать доку-
документ.
В зависимости от типа дисплея информационная емкость экрана может состав-
составлять от 240 до 1024 знаков Схемы текстовых дисплеев представляют оператору раз-
разнообразные возможности редактировать с клавиатуры содержание изображения
на экране в автономном режиме, в частности набирать текст в произвольной части
экрана, стирать его полностью или частично, вплоть до отдельного знака, сдвигать
на экране по вертикали или горизонтали, раздвигать части текста и вставлять строки
или знаки При управлении используют специальный световой знак — курсор,
предназначенный для указания позиции, в которую вводится знак с клавиатуры,
и обозначения границ, поля, подвергаемого редактированию Курсор можно уста-
устанавливать в любой точке экрана, используя управляющие клавиши.
Графические дисплеи позволяют выводить на экран вручную или автомати-
автоматически информацию любого вида и являются исключительно эффективными сред-
средствами диалоговой связи человека и ЦВМ. В настоящее время дисплей используют
главным образом совместно с ЦВМ. Однако можно ожидать, что благодаря пере-
перечисленным преимуществам и по мере распространения стандартных интерфейсов
они будут находить все более широкое применение в измерительной технике.
Самопишущие приборы. К приборам данной группы относят быстродействую-
быстродействующие самопишущие приборы (БСП), самописцы уровня и двухкоординатные регистри-
регистрирующие построители (ДРП).
Быстродействующие самопишущие приборы (БСП) предназначены для записи
электрических напряжений (гоков) с максимальной частотой до нескольких сотен
герц в функции времени. Запись осуществляется на ленточных, поступательно
движущихся носителях БСП характеризуются физическим способом получения
видимого следа на носителе и принципом преобразования входной электрической
величины в движение органа записи Их относят к приборам с прямой контактной
записью В них находят применение чернильный, копировальный, струйный, элек-
электротермический, плавильный (тепловой) и электроэрозионный способы записи
При трех первых способах запись осуществляют на обычной рулонной бумаге
чернилами или пастой, наносимыми на нее движущимся органом записи. При осталь-
остальных способах для записи используют специальную двух- или трехслойную бумагу
того или иного типа Изображение на бумаге образуется при электротермической
записи вследствие теплового действия тока, протекающего от пишущего электрода
в сторону проводящей основы бумаги, при плавильном способе вследствие оплав-
оплавления^ поверхностного слоя бумаги теплом от тонкого нагревателя и обнажения
темной основы, при электроэрозионном способе благодаря разрушению слоя алю-
алюминия под действием импульсов тока.
Различают БПС прямого и следящего преобразования электрического сигнала
в движение органа записи. В приборах первого вида регистрируемый сигнал после
усиления воздействует на измерительный механизм. В приборах второго вида реги-
УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 251
стрируемый сигнал уравновешивается сигналом обратной связи, снимаемым с уст-
устройства, преобразующего угловую координату измерительного механизма в напря-
напряжение. Таким образом, положение подвижной системы и связанного с ней органа
записи является линейной функцией входного сигнала.
В любом случае орган записи — перо, нагреватель или электрод жестко
связан с подвижной системой измерительного устройства БСП и преобразует ее
движение в видимое изображение на ленте. В БСП отечественного производства,
как правило, используют измерительные механизмы магнитоэлектрической си'
стемы.
В серийно выпускаемых БСП общего назначения используется преимущест-
преимущественно чернильный способ записи. Преимущества чернильной записи: непосред-
непосредственное получение видимого изображения без необходимости дополнительно обра-
обрабатывать носитель записи, хорошее качество записи, длительная сохраняемость
документа. Недостатки: относительно малое значение верхней границы рабочего
диапазона частот, невозможность записи при минусовых температурах.
Самописцы уровня предназначены для непрерывной записи среднеквадратич-
среднеквадратичного, среднего или типового значения переменных напряжений, а также медленно
изменяющихся постоянных напряжений. Запись сигналов возможна в диапазоне
частот от 2 Гц до 200 кГц и может производиться в функции времени или частоты
В некоторых типах приборов предусмотрена возможность записи диаграмм направ-
направленности на бумаге с полярной координатной сеткой. Запись производят черниль-
чернильным или резцовым способом, при этом исаользуют два типа бумаги с нанесенными
на нее различными метками: белую бумагу для записи чернилами и черную бумагу,
покрытую парафином, для записи иглой. Когда запись производят резцовым спо-
способом, игла снимает верхний слой парафина, оставляя черную, цветную или про-
прозрачную основу. Такая бумага пригодна для записи при различной скорости иглы
[12, 15].
Самописцы уровня относят к приборам со следящим преобразованием Реги-
Регистрируемый электрический сигнал поступает через входной аттенюатор на сменный
функциональный делитель диапазона, который состоит из прецизионных резисторов,
соединенных попарно с соответствующими ламелями прямолинейного коммутатора.
По контактам коммутатора перемещается движок делителя диапазона, механически
связанный с рычагом пишущего механизма. Электрический сигнал на движке уси-
усиливается, детектируется и уровень его сравнивается с внутренним эталонным напря-
напряжением. В случае, когда уровень детектируемого сигнала отличается от эталон-
эталонного, возникает разбаланс напряжения, который усиливается по мощности и пода-
подается на катушку электромагнитного приводного механизма. Катушка перемеща-
перемещается в магнитном поле и вызывает перемещение движка делителя диапазона, а сле-
следовательно, и рычага пишущего механизма. Направление движения определяется
полярностью разбаланса напряжения. Перемещение движка происходит до тех
пор, пока разбаланс напряжения не уменьшится до нуля. При этом уровень сигнала
поддерживается постоянным.
Вторая катушка электромагнитного приводного механизма подключена к выход-
выходному каскаду усилителя мощности, обеспечивая сигнал обратной связи. Этот сиг-
сигнал регулирует скорость перемещения подвижной катушки с изменением уровня
записываемого сигнала. Для измерения изменяющихся во времени сигналов необ-
необходимо производить усреднение по времени, которое определяется согласованием
выбора нижнего предела рабочей частоты и скоростью движения рычага пищущего
механизма. Механическая часть самописца уровня помимо привода рычага пишу-
пишущего механизма включает контактный механизм для выполнения периодических
отметок на бумаге и лентопротяжный механизм. Последний используют для при-
привода бумаги. Он обеспечивает автоматическую остановку бумаги, синхронизацию
внешних приборов с движением бумаги и управление устройством для переключе-
переключения сигналов, поступающих, например, от различных датчиков.
Самописцы уровня оснащают вспомогательными устройствами для осущест-
осуществления связей с внешними устройствами, а также снабжают набором принадлежно-
принадлежностей, в который входят перья для записи и отметки характерных знаков и марки-
маркировки, бумага, чернила. Самописцы уровня могут иметь механические выходы для
частотной развертки генераторов и анализаторов спектра синхронно с движением
252 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
частотно-градуированной бумаги, а также для приведения в движение внешних
устройств, включаемых в измерительную схему. Самописцы уровня некоторых
типов имеют возможность дистанционного управления рабочими режимами, а также
могут работать в режиме двухкоординатного самописца vровня.
Двухкоординатные регистрирующие построители (ДРП), называемые также
графопостроителями, предназначены для вычерчивания в прямоугольных коор-
координатах кривых функциональных зависимостей, в частности спектральных харак-
характеристик, построения чертежей, схем, карт и вывода сопроводительной знаковой
информации. Органом записи служит сменное чернильное перо капиллярного или
волоконного типа, а иногда шариковый стержень с пастой. Различают две разновид-
разновидности ДРП, входными величинами для которых являются соответственно аналого-
аналоговые и кодовые сигналы. ДРП с вводом аналоговых напряжений обычно выпускают
в планшетном исполнении: ДРП с вводом кодовых сигналов — в планшетном и
барабанном исполнениях [15, 20].
В планшетном ДРП запись осуществляется на плоском листе бумаги. Держа-
Держатель пера совершает движение вдоль каретки (координата X), а каретка, в свою
очередь, движется относительно корпуса прибора (координата Y). Движение обеих
подвижных систем обеспечивается двумя сервомеханизмами, каждый из которых
обычно содержит схему сравнения, усилитель, серводвигатель, прецизионный
аттенюатор, схему защиты входа.
В барабанном ДРП координатная система состоит из реверсивного транспорт-
транспортного барабана, который перемещает рулон по оси К, и привода пишущего узла,
совершающего движение вдоль образующей барабана по оси Y. Пишущий узел
содержит до трех органов записи, позволяющих осуществлять трехцветную реги-
регистрацию.
Светолучевые осциллографы относят к числу регистрирующих приборов, наибо-
наиболее широко используемых при изучении вибрации машин, их деформаций. Преиму-
Преимуществами этих приборов магнитоэлектрических, шлейфовых, вибраторных явля-
являются широкий диапазон регистрируемых частот, высокая чувствительность измери-
измерительных устройств, возможность одновременной записи на одной осциллограмме
нескольких процессов с отклонением по каждой дорожке на всю ширину ленты
и относительная простота обслуживания [151.
В светолучевых осциллографах регистрируемая электрическая величина —
напряжение или ток — преобразуется в отклонение светового пятна на чувствитель-
чувствительной к свету бумаге или пленке В качестве носителей записи используют:
1) осциллографную рулонную фотобумагу чувствительностью 200—1000 ед. ГОСТ;
2) фотобумагу чувствительную к ультрафиолетовому свету, и не требующую
химического проявления;
3) киноленту шириной 35 мм, перфорированную, чувствительностью 180 ед.
ГОСТ.
Основной недостаток осциллографов с записью на обычной фотобумаге и кино-
киноленте — необходимость проявлять и закреплять изображение после окончания
регистрации. Запись на бумаге, чувствительной к ультрафиолетовому свету, этого
недостатка не имеет.
Различают стационарные и переносные, а также универсальные и специальные
светолучевые осциллографы.
Магнитографы — приборы, предназначенные для точной записи на магнито-
носителе измерительной информации, представленной в форме электрических сиг-
сигналов, и для ее воспроизведения в той же форме [12].
Основные преимущества магнитографов: широкий частотный диапазон регистри-
регистрируемых процессов (от единиц до сотен тысяч герц); высокий динамический диапа-
диапазон магнитной записи (до 50—60 дБ); удобство автоматического анализа записей
на ЭВМ и анализаторах, большая емкость носителя и возможность его многократ-
многократного использования, надежность в работе.
Магнитоноситель — магнитная лента — представляет собой гибкую полимер-
кую пленку, на которую нанесен тонкий слой двуокиси железа, покрытый связую-
связующим материалом. Регистрируемый сигнал подают в обмотку записывающей головки
При перемещении ленты относительно головки рабочий слой ленты подвергается
действию магнитного поля головки, которое является функцией входного сигнала.
УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 253
Информация записывается на ленте в виде остаточной намагниченности ее рабочего
слоя Одновременно на ленте записывают несколько независимых процессов
Используют несколько способов магнитной записи: прямую (ПЗ) и запись
с различными видами модуляции
Режим ПЗ аналогичен способу работы обычного магнитофона и заключается
в следующем. Магнитоноситель, перематываясь с подающей кассеты на приемную,
перемещается с постоянной скоростью мимо стирающей, записывающей и воспро-
воспроизводящей головок. Регистрируемый сигнал подают на вход усилителя записи,
ток с выхода которого направляют в обмотку головки записи. Изменения этого
тока преобразуются головкой в изменения напряженности магнитного поля в рабо
чем зазоре. При прохождении магнитной ленты близ зазора поле взаимодействует
с магнитными частицами рабочего слоя, и информация сохраняется в виде остаточной
магнитной индукции слоя. Для линеаризации амплитудной характеристики записи
применяют подмагничивание высокочастотным полем, которое создается током
с частотой 30—100 кГц от генератора.
Воспроизведение осуществляется головкой и усилителем воспроизведения.
Поскольку головка дифференцирует записанный сигнал и амплитудно-частотная
характеристика записи в определенном диапазоне частот становится неравномерной,
в усилитель воспроизведения вводят схему частотной коррекции. В случае необ-
необходимости запись на ленте можно стереть, используя стирающую головку и гене-
генератор высокой частоты.
Так как величина сигнала с головки при воспроизведении пропорциональна
скорости изменения потока, при уменьшении частоты записанного сигнала чувст-
чувствительность канала воспроизведения быстро падает, и при частоте 20—30 Гц уро-
уровень становится соизмерим с уровнем шумов. Минимальная частота записываемых
сигналов при ПЗ составляет 25 Гц.
Другой недостаток — зависимость точности воспроизведения от продольной
неоднородности магнитных свойств носителя и колебаний скорости его движения
при записи и воспроизведении. По этой причине точность записи в лучших образ-
образцах не превышает 5 % (в среднем 10—15 %). В то же время рабочий диапазон
частот в режиме ПЗ значительно шире, чем в других режимах, и его верхняя граница
может составлять несколько сотен килогерц.
При магнитной регистрации различают продольную и поперечную плотность
записи. Продольная плотность записи характеризуется числом импульсов, записан-
записанным вдоль носителя на 1 мм. Поперечная плотность записи характеризуется рас-
расстоянием между дорожками и зависит от ширины магнитных головок. При распо-
расположении магнитных головок в шахматном порядке поперечную плотность удается
довести до одной дорожки на 1 мм.
Магнитную запись осуществляют как в непрерывной аналоговой форме, так
и в дискретной — кодовой. Регистрация процессов в виде кодовых импульсов в дво-
двоичной системе отличается высоким динамическим диапазоном и обеспечивает воз-
возможность автоматического анализа записи на ЦВМ.
Для обеспечения возможности записи постоянных и низкочастотных напря-
напряжений и повышения точности записи используют принцип модуляции: амплитуд-
амплитудной (AM), частотной (ЧМ), частотно-импульсной (ЧИМ), широтно-импульсной (ШИМ),
фазовой (ФМ) и кодоимпульсной (КИМ).
В режиме ЧМ регистрируемое напряжение подают на модулятор, на второй
вход которого поступает сигнал несущей частоты от генератора. Модулированный
сигнал усиливается и записывается головкой. При воспроизведении сигнал, сни-
снимаемый с воспроизводящей головки, усиливается, а демодулятор восстанавливает
исходный сигнал
Режим ЧМ характеризуется значением несущей частоты /0 и глубиной моду-
модуляции р. Несущая частота для любого частотного диапазона записи должна в 5—7 раз
превышать значение верхней частоты этого диапазона. Глубина модуляции опре-
определяется как абсолютное значение отношения девиации частоты к частоте /0. Для
современных магнитографов E = 0,4.
При применении ЧМ точность записи повышается до 1%. Значительно более
высокую точность записи аналоговых сигналов @,1—0,01 %) можно получить,
используя цифровой магнитограф с аналого-цифровым преобразователем на входе,
254 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
При амплитудной модуляции амплитуда сигнала несущей частоты изменяется
в соответствии с записываемым низкочастотным процессом. В этом случае частот-
частотный диапазон равен двойной максимальной частоте модулирующего сигнала. Однако
точность воспроизведения невысока, и запись с амплитудной модуляцией исполь-
используют при регистрации процессов с частотой не ниже 50—100 Гц.
При широтно-импульсной модуляции импульсы модулируются по длитель-
длительности, пропорциональной амплитуде регистрируемого сигнала. Этот способ исполь-
используют, как правило, при многоканальной записи медленно изменяющихся процессов
с временным разделением, основанным на делении сигнала на дискретные значе-
значения и на записи его отдельных мгновенных значений. Временное разделение осуще-
осуществляют с помощью коммутаторов, которые должны быть снабжены дополнитель-
дополнительными контактами для обеспечения синхронизации и калибровки.
Фазоймпульсная модуляция позволяет исключить влияние изменения скорости
носителя на воспроизводимый сигнал и основана на сравнении фаз двух колеба-
колебаний, записанных на отдельных дорожках или разделенных по частоте либо по вре-
времени.
Кодоимпульсную модуляцию применяют при автоматической обработке инфор-
информации на вычислительных машинах. Запись ведут кодированием в двоичной системе
исчисления, при этом импульсы в каждом разряде записывают на отдельных до-
дорожках.
Цифровые устройства для запоминания измерительной информации появились
сравнительно недавно и могут быть отнесены к числу наиболее эффективных средств
оперативного накопления и представления информации о вибрационных процес-
процессах. Типичным представителем этой группы устройств является цифровой само-
самописец мод. 7502, разработанный фирмой «Брюль и Къер». Он предназначен для ре-
регистрации и воспроизведения кратковременных процессов в аналоговой и цифровой
форме.
Цифровой самописец состоит из устройства для выборки дискретных данных,
аналого-цифрового преобразователя, запоминающего устройства и цифроаналогового
преобразователя, а также системы управления. Емкость памяти запоминающего
устройства рассчитана на 4096 бит и может быть увеличена соответственно до
10 240 бит с помощью трех вставных печатных плат по 2048 бит каждая. Цифровые
данные поступают непосредственно на вход переключателя, соединенного с запоми-
запоминающим устройством, аналоговая информация поступает в запоминающее уст-
устройство через аттенюатор, фильтр нижних частот и аналого-цифровой преобразова-
преобразователь, в котором происходит преобразование аналогового сигнала в стандартные
восьмибитовые коды. Информация поступает в запоминающее устройство со ско-
скоростью, определяемой частотой тактового генератора.
Устройство переводится в режим записи вручную либо по внешнему сигналу
запуска. Продолжительность интервала записи зависит от частоты работы АЦП
и емкости памяти. После запуска устройства специальный счетчик начинает счет
преобразований в АЦП, и, когда это число станет равным емкости памяти, уст-
устройство переводится в режим ожидания.
Устройство может выдавать запасенные данные в цифровой и аналоговой фор-
формах. При включении устройства в режим воспроизведения выход блока памяти
автоматически соединяется через переключатель со входом. Так обеспечивается
циклическая выдача информации, хранящейся в блоке памяти, со скоростью, опре-
определяемой положением переключателя «скорость выборки дискретных данных» в суб-
субблоке управления выдачей данных. Эта скорость имеет десять значений — от 0,5
до 500 000 слов/с. Таким образом, устройство можно использовать для преобра-
преобразования (транспонирования) скорости следования кодов или для сжатия-расшире-
сжатия-расширения спектра аналоговых сигналов [12].
Если данные выдаются в цифровой форме, то коды с выхода можно направ-
направлять в ЦВМ, перфоратор и другие устройства цифровой обработки. Скорость выборки
задается приемным устройством. После окончания этой операции регистратор авто-
автоматически переходит в режим ожидания. При выдаче данных в аналоговой форме
вступает в действие ЦАП и фильтр нижних частот, аналогичный фильтру входного
блока. Аналоговые сигналы с выхода можно записывать на магнитографе или реги-
регистрировать на самописце уровня. Устройство может также работать в режиме линии
УСТРОЙСТВА РЕГИСТРАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИНФОРМАЦИИ 255
задержки и позволяет регулировать интервал между моментами начала циклов
развертки.
Знакопечатающие устройства относят к традиционным средствам вывода инфор-
информации из ЦВМ. Они находят все возрастающее применение в информационно-изме-
информационно-измерительных системах (ИИС) с цифровым выходом. Устройства рассматриваемого
класса можно условно разделить на три группы: 1) печатающие механизмы и ма-
машинки; 2) комплектные алфавитно-цифровые печатающие устройства для ЦВМ;
3) буквопечатающие телеграфные аппараты-телетайпы.
Любое устройство второй группы состоит из печатающего механизма первой
группы и аппаратуры управления печатью, включающей средства подключения
к стандартным каналам ЦВМ или ИИС.
Основными показателями печатающих устройств являются скорость печати,
ширина рабочего поля бумаги (длина строки) и число знаков на строке.
Механизмы знакопечатающих устройств относят к классу электромеханиче-
электромеханических устройств ударного действия. В устройствах барабанного типа знаконосителем
служит комплект расположенных на общем валу знаковых колес с полным набором
знаков на каждом колесе. Знаковый барабан непрерывно вращается. И отпечаток
на бумаге получается в результате удара выбранного печатающего молоточка через
красящую ленту и бумагу по соответствующему знаковому колесу. Механизмы и
машинки, как правило, являются устройствами последовательного действия и печа-
печатают данные с относительно низкой скоростью.
Электроуправляемые пишущие машинки оснащены устройствами управления
и могут выполнять функции пультовых машинок в ЦВМ и ИИС. Основными частями
такой машинки являются печатающий механизм последовательного действия с ли-
литерными рычагами, знаковая клавиатура, устройство управления, включающее
командную клавиатуру, и сигнальные лампочки, а также элементы сопряжения
стандартного интерфейса.
В последние годы большое внимание уделяется разработке и применению без-
безударных печатающих устройств, основанных на использовании разного рода элек-
электрических явлений (электротехнических, электротермических, электростатических)
и обладающих хорошими эксплуатационными параметрами. Запись осуществля-
осуществляется на электростатической бумаге, имеющей проводящую ток основу и рабочий
слой из диэлектрической композиции. По внешнему виду бумага не отличается
от высококачественной типографской бумаги.
Органом записи служит многоэлектродная головка, электроды которой рас-
расставлены с определенным шагом 0,35 мм. Значения скорости вывода цифровых дан-
данных с помощью устройства могут достигать 600, 1200, 2400, 4800 и 9600 бит/с. Про-
Проявление скрытого изображения осуществляется жидким проявителем в ритме записи.
Запись бесшумная.
Преобразователи вида информации. При аналого-цифровом преобразовании
(АЦП) точное значение непрерывного сигнала квантуют по уровню и по времени,
т. е. заменяют приближенным дискретным значением, привязанным к определен-
определенному моменту времени. Это дискретное значение представляется в форме двоичного
или двоично-десятичного кода — цифрового эквивалента исходной величины [6].
В системах виброметрии результат измерения обычно представляют в форме
непрерывного напряжения. Поэтому здесь рассмотрены только преобразователи
напряжения в код (ПНК) и кода в напряжение (ПК.Н).
При аналого-цифровом преобразовании устанавливается соответствие между
преобразуемой величиной и некоторой совокупностью единиц измерения или эта-
эталонных мер. Иными словами, это преобразование подпадает под понятие «изме-
«измерение».
Известны три основных метода аналого-цифрового преобразования [6]. При
методе последовательного счета кодируемая величина уравновешивается суммой
одинаковых и минимальных по величине эталонных единиц — квантов. Момент
равенства фиксируется единственной схемой сравнения (нуль-органом), после чего
суммирование квантов прекращается, а их число, накопленное до срабатывания
схемы сравнения, является результатом преобразования.
При использовании метода поразрядного кодирования (уравновешивания)
кодируемая величина уравновешивается суммой эталонов, выбранных по опре-
S56 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЙ
деленному Закону. Если АЦП должен формировать позиционный двоичный код,
то значения эталонов пропорциональны степеням числа 2. Уравновешивание проис-
происходит за п одинаковых интервалов времени. В первом интервале входная вели-
величина сравнивается с наибольшим эталоном и формируется цифра старшего раз-
разряда кода. Если эта величина меньше эталона, то в старший разряд записывается О
и уравновешивание входной величины во втором интервале осуществляется следую-
следующим, в 2 раза меньшим, эталоном. Если входная величина равна или больше стар-
старшего эталона, то в старший разряд кода записывается 1, и во втором интервате
будет уравновешиваться не входнгя величина, а разность между нею и первым эта-
эталоном. Аналогичные операции выполняются в остальных интервалах. Моменты
уравновешивания фиксируются единственной схемой сравнения.
При методе считывания используются наборы из 2Л — 1 эталонов и 2" — 1
схемы сравнения. При этом старший эталон составляет 2Л — 1 квантов, следую-
следующий за ним — 2" — 2 квантов и т. д. до младшего, величина которого равна кванту.
Кодируемую величину одновременно сравнивают со всеми эталонами, используя
все 2" — 1 схем сравнения. Те из схем сравнения, которые фиксируют превышение
кодируемой величины над соответствующим эталоном, формируют символ 1 в парал-
параллельном единичном n-позиционном коде, остальные образуют символ 0. Полученный
код преобразуют в позиционный двоичный.
Из перечисленных методов аналого-цифрового преобразования первый исполь-
используется, как правило, при построении точных A0 и более двоичных разрядов), но
относительно небыстродействующих АЦП (время преобразования сотни и более
микросекунд).
При построении АЦП с временем преобразования порядка единиц микросекунд
используется метод поразрядного кодирования.
Преобразователи третьей группы являются наиболее быстродействующими,
но менее технологичными, поэтому широкого распространения не получили.
Важнейшими параметрами АЦП являются диапазон изменений входных и вы-
выходных величин; временные параметры (период квантования, время преобразования),
точность преобразования, характеризуемая величинами (погрешность квантования,
инструментальная погрешность, число разрядов в коде); надежность.
Цифроаналоговое преобразование заключается в суммировании аналоговых
эталонов в соответствии со значащими разрядами входного кода, в результате чего
на выходе ЦАП устанавливается текущее значение аналоговой величины, эквива-
эквивалентной коду. Существуют два метода цифроаналогового преобразования. При
методе суммирования единичных аналоговых квантов на вход ЦАП подается еди-
единичный код, число единиц в котором определяет количество суммируемых квантов.
При методе суммирования квантов с учетом веса разрядов на вход ЦАП подается
позиционный двоичный код, поразрядные эталоны имеют веса, изменяющиеся
по двоичному закону, а в суммировании в каждом данном цикле участвуют только
те из них, которые выбраны в соответствии с наличием символов 1 в разрядах кода.
Наиболее широко применяют преобразователи код — напряжение — ПК.Н
для параллельного прямого двоичного кода, основанные на использовании матриц
с весовыми сопротивлениями, величины которых взвешены по двоичному закону,
и матриц типа R—2R.
В АЦП и ЦАП используют главным образом позиционные или весовые двоич-
двоичные и двоично-десятичные прямые коды. Однако так как операцию вычитания
в ЦВМ часто заменяют операцией сложения в специальных машинных кодах (обрат-
(обратном и дополнительном), в некоторых преобразователях входную величину пред-
предпочитают представлять в одном из этих кодов.
4. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА
Вспомогательные устройства в виброизмерительной технике предназначены
для осуществления функциональных связей между узлами, приборами и комплек-
комплексами, для коммутации и согласования различных цепей, для крепления измери-
измерительных преобразователей и других деталей. Вспомогательные устройства поз-
позволяют расширить функциональные возможности аппаратуры для измерения вибра-
вибрации и улучшить условия ее эксплуатации. К вспомогательным устройствам отно-
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УСТРОЙСТВА 257
сяг электрические соединители, кабельные изделия, измерительные коммутаторы,
источники электропитания и другие приспособления н принадлежности [12, 13].
Электрические соединители предназначены для соединения токоведущих про-
проводников и составных элементов приборов. Их широкое применение обусловлено
блочно-узловой конструкцией аппаратуры. По виду сочленения внешнего кон-
контакта ^применяют соединители с резьбовым соединением (с помощью резьбовой на-
накидкой гайки), с байопетным соединением (с быстросъемным фигурным замком-
байонетом), с врубным соединением (непосредственное соединение блоков аппара-
аппаратуры). По конструктивному исполнению соединители подразделяют на кабельные,
устанавливаемые на кабели, приборные или блочные, укрепляемые на панелях при-
приборов или блоков, и приборно-кабельные, которые устанавливают на кабели и па-
панели приборов. Соединители изготовляют в виде розеток и вилок (полярные), а также
с одинаковыми сочленяющимися частями (униполярные). Каждый соединитель имеет
условное обозначение, состоящее из букв и цифр. Штепсельные разъемы серии ШР,
Р, ШРН применяют в электротехнической и электронной аппаратуре в цепях по-
постоянного и переменного тока частотой до 3 МГц.
Кабельные изделия — провода монтажные и установочные, кабели монтажные,
переносные и силовые, шнуры соединительные.
Для передачи малых электрических сигналов в условиях воздействия вибра-
вибрации и ударов, в том числе для передачи электрических сигналов от пьезоэлектри-
пьезоэлектрического вибропреобразователя, применяют антивибрационные (малошумящие) мало-
малогабаритные кабели АВК-1, АВК-2, АВК-3, АВК-6, АВКЭ-1, АВКТ-3, АВКТ-4,
АВКТ-5, АВКЭР, АВКЭРУ. Кабели имеют высокою стабильность антишумовых
свойств во времени в условиях климатических и механических воздействий.
Измерительные коммутаторы. Эти устройства необходимы для образования со-
соединений между выбранными точками контролируемого объекта и соответствую-
соответствующими устройствами измерительной системы. Коммутаторы могут быть универсам
ными, для которых не налагается ограничений на порядок подключения выходных
точек объекта и измерительных каналов системы ко входам и выходам коммута-
коммутатора, и специализированными, для которых при выполнении указанных соединений
необходимо придерживаться определенного порядка и правил. В связи с этим спе-
специализированные коммутаторы обладают свойством канальности. Под каналом ком-
коммутатора подразумевают его часть, обслуживающую одно или несколько устройств
контролируемого объекта.
Основные характеристики коммутаторов' коммутационный коэффициент (отно-
(отношение сопротивления цепи в разомкнутом состоянии к сопротивлению в замкнутом
состоянии), переключаемые напряжения (токи), частотный диапазон переключае-
переключаемых сигналов, быстродействие (число переключений в единицу времени), вносимые
искажения и паразитные связи, надежность.
По типу коммутирующих элементов измерительные коммутаторы делят на
контактные, выполненные на механических элементах (реле, шаговые искатели
и т. п.) и бесконтактные, выполненные на электронных элементах (диоды, тран-
транзисторы).
Контактные коммутаторы имеют большой коммутационный коэффициент, допу-
допускают переключение больших напряжений, но обладают малым быстродействием
и относительно низкой надежностью, имеют большие габариты и массу.
Бесконтактные коммутаторы более быстродействующие, надежные и занимают
небольшой объем, но коммутационные характеристики их хуже, а параметры зави-
зависят от температуры.
Источники электропитания. По функциональному назначению источники пита-
питания можно разделить на следующие группы: нестабилизированные источники пита-
питания постоянного тока, выпрямители; стабилизированные источники питания постоян-
постоянного тока, стабилизированные выпрямители, стабилизаторы напряжения постоян-
постоянного тока, стабилизаторы тока; преобразователи постоянного напряжения в пере-
переменное нестабилизированное, преобразователи постоянного напряжения в перемен-
переменное стабилизированное.
По виду используемых источников электрической энергии различают:
1) источники вторичного электропитания, в которых в качестве первичного
источника электроэнергии используется напряжение питающей сети;
9 п/р. Генкина М. Д , т 5
258 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
2) автономные источники электропитания, содержащие какой-либо первичный
источник электроэнергии.
Кроме перечисленных видов и групп имеются комбинированные (с питанием
от сети и от встроенного в них автономного источника электроэнергии); многоканаль-
многоканальные, т. е. обеспечивающие питание приборов или систем по нескольким гальвани-
гальванически развязанным каналам различными напряжениями и токами; лабораторные
регулируемые для проведения экспериментов, испытаний, исследований; специ-
специальные, к которым относят источники электропитания во взрывобезопасном испол-
исполнении; предназначенные для работы в импульсном режиме, высоковольтные и т. д.
Источники электропитания для виброизмерительной аппаратуры должны
не только обеспечивать определенные выходные параметры, но и удовлетворять всем
другим требованиям, вытекающим из условий эксплуатации данного прибора или
системы. Потребление электроэнергии прибором может быть различным. Количе-
Количественно это оценивается потребляемой мощностью.
Основными параметрами, характеризующими источник вторичного нестабили-
зированного электропитания, являются напряжение и частота питающей сети, вы-
выходное напряжение, максимально-допустимый ток нагрузки и переменная состав-
составляющая выходного напряжения. Сопоставляя требующиеся для питания прибора
показатели этих величин с указанными в технических данных на источники пита-
питания, подбирают такой источник, который соответствует этим требованиям.
Напряжение на выходе нестабилизированных источников питания может коле-
колебаться в широких пределах, что значительно ухудшает количество работы аппара-
аппаратуры. Основными причинами этих колебаний являются изменение напряжения
на входе выпрямителя и изменение нагрузки на его выходе. В тех случаях, когда
такие колебания недопустимы, применяют источники стабилизированного пита-
питания, т. е. такие, у которых между источником первичной электрической энергии
и нагрузкой установлено стабилизирующее устройство.
Основными параметрами, характеризующими качество работы стабилизатора
напряжения, являются коэффициент стабилизации; выходное сопротивление (к ве-
величине выходного сопротивления предъявляются повышенные требования в тех
случаях, когда данный источник электропитания используют в условиях значи-
значительного изменения тока нагрузки или для работы на импульсную нагрузку); коэф-
коэффициент сглаживания
Отдельные элементы виброизмерительных устройств требуют поддержания
неизменного значения тока. В этом случае между первичным источником электри-
электрической энергии и потребителем должен быть установлен стабилизатор тока.
Для оценки стабилизатора тока используют коэффициенты стабилизации по
входному напряжению; стабилизации при изменении сопротивления нагрузки и
пульсации по току.
Помимо параметров, характеризующих качество стабилизации, стабилизаторы
постоянного тока (или напряжения) оцениваются по основному энергетическому
показателю — коэффициенту полезного действия.
Учитывая гораздо меньшее применение в технике измерения вибрации удара
и шума стабилизаторов переменного напряжения, перечислим дополнительные
параметры, которыми они характеризуются — это стабильность выходного напря-
напряжения в зависимости от частоты питающего напряжения, коэффициент мощности,
искажение формы кривой выходного напряжения.
Среди приборов для измерения вибрации имеется значительное количество
таких, которые предназначены для постоянной или периодической работы в условиях
отсутствия стационарной электрической сети. Такие приборы имеют автономные
или комбинированные источники электропитания, выполненные в виде приставки
к прибору или встроенные в него. В приборах, не требующих стабилизации питаю-
питающего напряжения это могут быть просто гальванические элементы или аккуму-
аккумуляторы.
Первые допускают лишь однократное использование заключенных в них актив-
ных материалов. Такие источники целесообразно применять в портативной и пере-
переносной аппаратуре периодического использования, потребляющей небольшие токи.
Гальванические элементы характеризуются значительными сроками сохранности
(время, в течение которого они теряют не более 30 % начальной емкости).
ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 259
При значительных токах потребления рекомендуется применять аккумуляторы.
Работоспособность аккумулятора после разряда может быть восстановлена путем
его заряда Наиболее распространенными в настоящее время являются кадмиево-
никелевые герметичные аккумуляторы различной конфигурации: дисковые, цилин-
цилиндрические и прямоугольные. В отличие от негерметичных эти аккумуляторы не тре-
требуют замены или долива электролита в процессе эксплуатации, могут работать
в любом положении в пространстве
Виброизмерительные приборы, предназначенные для работы в стационарных
и полевых условиях, целесообразно снабжать комбинированными источниками пита-
питания, т е. состоящими из автономного первичного источника электроэнергии и
дополнительного сетевого выпрямителя, стабилизированного или нестабилизирован-
ного. При работе в стационарных условиях прибор подключается к питающей сети.
Если в качестве автономного источника применен аккумулятор, то одновременно
с работой прибора в этом режиме осуществляется и подзаряд аккумулятора малым
зарядным током.
5. ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Предварительное замечание. Основным средством получения информации о про-
процессах, происходящих на летательных аппаратах и подвижных объектах во время
их испытаний и эксплуатации, являются телеметрические системы. Телеметрическая
система — это совокупность средств измерений, вспомогательных устройств и кана-
каналов связи, предназначенных для передачи сигналов измерительной информации
на расстояние и отличающихся наличием специальных средств для формирования
передаваемого сигнала и его приема По способу выполнения линий связи теле-
телеметрические системы можно разделить на проводные и радиотелеметрические.
Радиотелеметрические системы (РТС) — телеметрическая система, у которой
передача сигналов измерительной информации на расстояние осуществляется с по-
помощью радиоволн. Проводные телеметрические системы используют обычно при
наземных испытаниях подвижных объектов и, как правило, имеют сравнительно
малое быстродействие. Радиотелеметрические системы имеют значительно большее
быстродействие и нашли более широкое применение при передаче информации о про-
процессах, происходящих на исследуемых объектах. Обобщенная структурная схема
РТС приведена на рис. 15.
Подлежащие измерению величины преобразуются первичными преобразовате-
преобразователями в электрический сигнал и нормализуются в промежуточном преобразователе.
Нормализованные напряжения с промежуточных преобразователей поступают
на суммирующее и кодирующее устройство, формирующее групповой сигнал, содер-
содержащий сообщение каждого из п первичных преобразователей. Групповой сигнал
поступает на вход модулятора радиопередающего устройства. Модулированный
высокочастотный сигнал излучается в заданном направлении. Запоминающее уст-
устройство предназначено для хранения информации в период между сеансами связи.
Совокупность первичных и промежуточных преобразователей (суммирующее, коди-
кодирующее, запоминающее устройства, передатчик, антенны и т. д.) составляет ком-
комплекс бортовой телеметрической аппаратуры.
Сигналы с борта принимаются наземной телеметрической аппаратурой, в состав
которой входят антенна, приемник, разделитель каналов, декодирующее устройство,
аппаратура регистрации, индикации и первичной обработки. Разделитель каналов
представляет собой устройство, разделяющее групповое сообщение по отдельным
каналам в соответствии с их характерными признаками.
После разделения каналов осуществляется демодуляция сигналов в каждом
канале и восстановление сообщений. Принятые сообщения подвергаются обработке
для представления в форме, удобной для наблюдения и анализа, а также регистри
руются на кинопленку, магнитную ленту, электрохимическую или электротермиче
скую бумагу.
По способу разделения каналов различают РТС с временным (ВРК), частот
ным (ЧРК), кодовым (КРК) и комбинированным разделением.
В системах ВРК разделение каналов осуществляется путем последовательного
подключения преобразователей к суммирующему и кодирующему устройствам
9*
260
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
с одновременной синхронизацией работы бортовой и наземной аппаратуры. Для
каждого канала системы с ЧРК имеют свою поднесущую частоту.^ Разделение кана-
каналов в приемном устройстве осуществляется частотной селекцией модулированных
поднесущих разделительными фильтрами. В системах с КРК признаком канала
является адресный код, а сообщение состоит из адреса канала и информационной
части. На приемной часта адресный код сопоставляется с адресами в разделителе
и при совпадении его с одним из них информационная часть направляется в соот-
соответствующий канал регистрации Системы с комбинированным разделением кана-
каналов используют различные сочетания указанных выше методов. Наибольшее при-
применение на практике нашли системы с временным разделением каналов.
1
\
2
Рис. 15. Обобщенная структурная схема РТС:
/ — первичный преобразователь; 2 — промежуточный преобразователь; 3 — суммирующее
и кодирующее устройство; 4 — радиопередающее устройство; 5 — эталон времени, 6 — за-
запоминающее устройство; 7 — блок управления режимом работы; 8 — радиоприемное уст-
устройство; 9 — разделитель каналов; 10 — индикатор; // — регистратор; 12 — система еди-
единого времени
По методу передачи сообщений РТС разделяют на аналоговые и дискре1но-
цифровые. Цифровая форма передачи информации по сравнению с аналоговой имеет
ряд преимуществ. Основные из них- высокая точность, большая помехоустойчи-
помехоустойчивость, отсутствие дрейфа нуля и нестабильностей, удобство обработки информации
с помощью ЭЦВМ, отсутствие ошибок отсчета субъективного характера. Преимуще-
Преимуществом аналоговых систем являются простота бортовой и наземной аппаратуры,
более наглядное отображение принятой информации.
В РТС с временным разделением каналов сигналы первичных преобразователей,
нормализованные в промежуточном преобразователе, последовательно подклю-
подключаются к передающему устройству Каждому каналу отведен временной интервал,
в течение которого передается информация только отданного первичного преобра-
преобразователя. Существуют два способа подключения первичного преобразователя к пере-
передающему устройству. Первый способ заключается в том, что каждый первичный
преобразователь опрашивается периодически в строго заданной последователь-
последовательности. Системы с таким способом опроса получили широкое распространение и назы-
называются синхронными, или циклическими (рис. 16). Каждый первичный преобразо-
преобразовать в синхронной системе подключается через строго фиксированный интервал
времени, называемый периодом опроса. Группа импульсов, полученных в резуль-
ТЕЛЕМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
261
таге однократного опроса всех преобразователей, называется кадром, а соотвег-
сгвующий интервал времени —длительностью кадра. Информация о номере канала
заключена во временном положении канальных импульсов
При втором способе опрос производится произвольным образом, т. е. порядок
включения первичных преобразователей случаен. Момент времени, в который необ-
необходимо осуществить опрос преобразователя, определяется анализатором активности
канала. Это устройство может работать по различным алгоритмам. Такая РТС назы-
называется асинхронной. Асинхронные системы с ВРК обладают большей гибкостью
и меньшей избыточностью информации, чем синхронные, так как частота опроса
каждого канала зависит от свойств передаваемой информации.
5
С
J
L
7
8
i
W
11
I
S
Рис. 18. Структурная схема синхронной РТС с временным разделением каналов:
/ — первичный преобразователь; 2 — промежуточный преобразователь; 3 — коммутатор?
4 — синхронизатор; 5 — модулятор; 6 — радиопередающее устройство; 7 — радиоприемное
устройство; 8 — разделитель каналов; 9 •— селектор кадровых импульсов; 10 — демодуля-
демодулятор; // — регистрирующее устройство
РТС с частотным разделением каналов — многоканальная система, в которой
сигнал каждого преобразователя модулирует собственное поднесущее колебание,
отличающееся от других частотой. Признаком канала в такой системе является
поднесущая частота. Структурная схема РТС с частотным разделением каналов
приведена на рис. 17.
С выходов преобразователей сигналы подаются на канальные модуляторы,
в которых модулируются колебания поднесущих частот. Для устранения крат-
кратных гармоник и комбинационных частот полученные модулированные сигналы
пропускаются через канальные фильтры, настроенные на соответствующие под-
несущие. Затем напряжения всех поднесущих складываются в сумматоре и моду-
модулируют несущую частоту передатчика. В наземном устройстве производятся демо-
демодуляции принятых сигналов и разделение по каналам с помощью разделительных
фильтров. На выходе каждого канала дополнительно используется НЧ — фильтр,
который подавляет колебания поднесущей частоты и ее гармоник, а также умень-
уменьшает уровень помех от остальных каналов и шумов.
262
АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
РТС с частотным разделением каналов применяют в качестве систем средней
эффективности. Они способны передавать информацию с частотой ~ 500 Гц по
небольшому числу каналов.
Важным преимуществом систем с ЧРК являются их высокая надежность в силу
независимости отдельных каналов и удобство записи выходных сигналов поднесу-
щих магнитофонами до их демодуляции. Одним из недостатков систем с ЧРК явля-
является обязательная стабилизация частот генераторов поднесущих и их периодиче-
периодическая калибровка.
8
Рис. 17. Струкг>рная схема РТС с частотным разделением каналов:
/ — первичный преобразователь; 2 — промежуточный преобразователь; 3 — генератор под-
несущей, 4 — канальный модулятор; 5 — канальный фильтр, 6 — суммирующее устройство;
7 — радиопередающее устройство; 8 — радиоприемное устройство; 9 — разделительный
фильтр, 10 — детектор поднесущей, // — фильтр НЧ; 12 — регистратор
В РТС с кодовым разделением каналов, как и в системах с ВРК, передача инфор-
информации в различных каналах производится в дискретные моменты времени (моменты
опроса). Сигнал каждого канала состоит из адреса и результата измерения. Адрес
содержит информацию о номере канала, которому принадлежит данный сигнал,
а результат измерения — о сигнале в канале в момент опроса. Адрес обычно пере-
передается в цифровой форме, а результат измерения — в цифровой или аналоговой
форме. Сигналы различных каналов передаются в различные отрезки времени в лю-
любом порядке, который может измениться в процессе передачи.
На рис. 18 приведены структурная схема РТС с КРК для передачи результатов
измерений цифровым методом. Распределитель на передающей стороне определяет
очередность передачи сигналов различных каналов. Импульсы, формируемые пооче-
поочередно в его цепях 1, 2, ..., подаются на схему формирования кода адреса, а импульсы
цепей преобразователей 1, 2, ... — на ключевые схемы 3, с которых поступают
на кодирующее устройство результатов измерения. С выхода кодирующего устройства
пары состыкованных кодов — код адреса и код результата измерения — поступают
на передающее устройство. На приемной стороне видеосигналы подаются на деко-
агрегатный комплекс средств измерения вибрации
263
дирующее устройство, которое опознает, какому каналу принадлежит передавае-
передаваемый адрес, и подает импульс, коммутирующий соответствующий ключ 9. Код резуль-
результата измерения проходит на преобразователь, в котором преобразуется в удобную
для регистрации форму. РТС с К.РК обладают бесспорным преимуществом перед
1
1
1
1
2
5
I-
2
2
2
2
Г)
*
J
—v
j
j
i
U-
v I
1
в
7
J
10
10
H
10
72
Рис. 18. Структурная схема РТС с кодовым разделением каналов:
/ — первичный преобразователь, 2 — промежуточный преобразователь, 3,9 — ключевая
схема; 4 — формирователь кода измерения; 5 — распределитель, б — формирователь кода
адреса; 7 — радиопередающее устройство, 8 — радиоприемное устройство; 10 — преобра-
преобразователь кода; // — декодирующее устройство адреса, 12 — регистратор
РТС с ВРК и ЧРК, так как произвольный порядок выборки информации позво-
позволяют создавать адаптивные РТС с возможностью отбора наиболее ценной и суще-
существенной информации при соответствующем сокращении количества избыточной,
несущественной для потребителя информации.
6. АГРЕГАТНЫЙ КОМПЛЕКС СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ ВИБРАЦИИ
(АСИВ)
Понятие об АСИВ. Агрегатный комплекс входит в состав Государственной
системы промышленных приборов и средств автоматизации (ГСП) и представляет
собой систему унифицированных функциональных устройств и приборов, норма-
нормализованных по выполняемым функциям, входным, выходным и управляющим сиг-
сигналам, номиналам питания и другим параметрам, и характеризующихся информа-
информационной, метрологической, конструктивной, технологической и эксплуатационной
совместимостью.
Назначение АСИВ. Агрегатный комплекс предназначен для измерения вибрации,
вибрационных испытаний объектов, технической диагностики вибрационного со
264 АППАРАТУРА ОБЩЕГО ПРИМЕНГНИЯ
стояния контролируемых объектов, поверки и калибровки виброизмерительпой
аппаратуры в промышленности, при научных исследованиях, испытательных и пове-
поверочных работах. Устройства, приборы и системы АСИВ используют также для
определения резонансных частот и частотных характеристик объектов, измерения
механического импеданса, балансировки вращающихся частей оборудования, испы-
испытаний объектов на воздействие удара и акустического шума. АСИВ подразделяют
на четыре подкомплекса: производственный (АСИВ-П), контрольно-сигнальный
(АСИВ-К), исследовательский (АСИВ-И), метрологический (АСИВ-М).
Принципы построения АСИВ. Общая структурно-функциональная схема АСИВ
основана на следующих основных принципах: деления устройств и приборов, вхо-
входящих в агрегатный комплекс на группы по их функциональному назначению;
построения в пределах каждой функциональной группы рациональных функцио-
функционально-параметрических рядов устройств и приборов, позволяющих решать различ-
различные измерительные задачи; блочного метода разработки устройств и приборов на
основе единой конструктивно-технологической базы; широкого использования
стандартных элементов, де1алей, \злов и прочих компонентов, а также заимствова-
заимствования устройств и приборов других агрегатных комплексов ГСП; обеспечения единства
результатов измерения, испытания, анализа и их обработки, а также информатив-
информативной совместимости с другими агрегатными комплексами.
Структурно-функциональный состав АСИВ. Отражая принципиальные особен-
особенности средств виброметрии, АСИВ включает в состав следующие основные группы
устройств: устройства для воспроизведения механических колебаний, для зада-
задания и управления механическими колебаниями, первичного преобразования инфор-
информации о механических колебаниях, обработки, хранения и представления инфор-
информационных сигналов; вспомогательные устройства. По признаку основной выпол-
выполняемой функции группы подразделяют на подгруппы, по характерному признаку
подгруппы — на виды, из подгрупп и видов формируют комплекты приборов, изме-
измерительно-информационные системы.
В первую группу устройств входят усилители мощности, испытательные и
образцовые вибровозб^дители, возбудители акустических колебаний, испытательные
возбудители ударных воздействий. Ко второй группе относят устройства формиро-
формирования периодических, одиночных, случайных сигналов, управления периодическими
и одиночными сигналами; задания параметров различных функций; формирова-
формирования частотных характеристик, а также универсальные цифроаналоговые формирую-
формирующие устройства. В третью группу входят виброизмерительные преобразователи
перемещения, скорости, ускорения, а также преобразователи силы, механического
импеданса, измерительные микрофоны и акселерометры. К четвертой группе отно-
относят устройства предварительного усиления, интегрирования и дифференцирова-
дифференцирования, коммутации, управления коммутацией, аналого-цифрового и цифроаналогового
преобразования, фильтрации, измерительные, регистрирующие, индикации, запоми-
запоминания, сопряжения с ЭВМ. В пятую группу входят источники питания, средства
связи, устройства интерфейса, конструктивные элементы и другие вспомогательные
приспособления и принадлежности.
Конструктивная база АСИВ. Приборы и устройства АСИВ выполняют на основе
базовых конструкций с унифицированными структурными и конструктивными
параметрами, обеспечивающими повышенный уровень унификации и технологиче-
технологической подготовки производства. В АСИВ предусматривают использование системы
унифицированных типовых конструкций (УТК) нулевого, первого, второго и третьего
порядков. К изделиям нулевого порядка относят платы монтажные вдвижные и
вспомогательные детали. Изделиями первого порядка считают рамки защитные,
платы монтажные вдвижные защищенные и экранированные, каркасы частичные
и базовые, вставные и приборные. К изделиям второго порядка относят каркасы
базовые для изделий второго порядка, каркасы комплектные и блочные вставные
приборные, каркасы блочные и комплектные приборные, контейнеры навесные
и встраиваемые. Изделиями третьего порядка считают каркасы базовые для изде-
изделий третьего порядка, кожухи встраиваемые, стойки открытые и закрытые, шкафы,
секции щитов каркасные и панельные, секции пультов, столы. Условные номиналь-
номинальные размеры h, b, I характеризуют высоту, ширину и глубину изделия соответ-
соответственно. При этом условные номинальные размеры вычисляют по формулам h =
АГРЕГАТНЫЙ КОМПЛЕКС СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ ВИБРАЦИИ 265
= 20/1/,; Ь — 20/1^; I — 20га/, где п^, щ, П( — числа целые, принятые с учетом огра-
ограничительных рядов номинальных размеров.
Связь АСИВ с агрегатными комплексами ГСП. В состав АСИВ могут входить
функциональные устройства и приборы из других агрегатных комплексов ГСП,
выполняющих измерительные функции; например, из агрегатного комплекса средств
электроизмерительной техники (АСЗТ), агрегатного комплекса средств контроля
и регулирования (АСКР), агрегатного комплекса средств неразрушающего контроля
(АСНК), агрегатного комплекса средств испытаний на прочность (АСИП), агрегат-
агрегатного комплекса средств вычислительной техники (АСВТ), агрегатного комплекса
средств регистрирующей техники (АСРТ) и др. Для обеспечения связей АСИВ с дру-
другими агрегатными комплексами ГСП предусмотрено использование интерфейса ЕИ1
и специальных устройств сопряжения интерфейсов (интерфейсных карт).
Интерфейс агрегатных комплексов ГСП. Стандартным интерфейсом называют
совокупность логических, программных, электрических, конструктивных усло-
условий, а также технических средств, обеспечивающих сопряжение и взаимодействие
функциональных единиц в измерительных устройствах, информационно-измеритель-
информационно-измерительных, управляющих и вычислительных системах.
Логические условия устанавливают очередность прохождения сигналов по
соединительным линиям между функциональными единицами, обеспечивающую
заданное функционирование измерительного устройства или измерительно-инфор-
измерительно-информационной системы. Стандартный интерфейс определяется, как правило, информа-
информационными (цифровыми и аналоговыми), управляющими, адресными, программными
(цифровыми и аналоговыми) и опорными сигналами.
Информационные сигналы используют для передачи измерительной информа-
информации, представленной в аналоговой или цифровой форме, и характеризуются вели-
величиной, знаком и размерностью. При цифровой передаче число информационных
сигналов, передаваемых параллельно в одном цикле и образующих информацион-
информационное слово, равно, как правило, 16.
Управляющие сигналы предназначены для запуска функциональных единиц
и контроля за выполнением заданных функций. Различают командные и извести-
тельные сигналы.
Адресные сигналы осуществляют пространственный выбор функциональных
единиц в случае необходимости получения хранящейся в них информации.
Программные сигналы определяют режим работы функциональных единиц,
а также алгоритм обработки информационных сигналов без непосредственного
влияния на пуск и выполнение функций.
Опорные сигналы задают уровни напряжений, которым присваиваются опре-
определенные значения логических переменных.
Стандартный интерфейс, как правило, не распространяется на сигналы, замы-
замыкающиеся внутри функциональной единицы и не выводимые наружу, а также на
СВЧ-сигналы и сигналы, выводимые из приборов и устройств, поставляемых ком-
комплектно и не рассчитанных на использование в других системах.
Электрические условия определяются элементной базой, используемой в со-
составе функциональной единицы. Они устанавливают соответствие между уровнями
напряжений и значениями логических переменных, а также электрических сопря-
сопряжений схемных элементов (выходные и входные сопротивления, коэффициенты
нагрузки).
Конструктивные условия устанавливают способы взаимного вещественного
сопряжения функциональных единиц: типы разъемных соединений, виды и способы
прокладки кабельных или проводных связей и шин и их максимально допустимую
Длину
Технические средства стандартного интерфейса представляют собой интерфейс-
интерфейсные карты или платы, содержащие те или иные согласующие устройства. Во мно-
многих случаях сопряжение функциональных единиц осуществляется без интерфейс-
интерфейсных карт Как правило, технические средства должны обеспечивать согласование
сигналов по уровню, импедансу, по соответствию определенных значений логиче-
логических переменных.
266 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Список литературы
1. Алексеев Л. В., Знаменский А. Е., Лоткова Е. Д. Электрические фильтры метрового
и дециметрового диапазонов М.: Связь, 1976 280 с.
2 Ананян М. А. Генераторы функций в технике цифровой связи. М.: Связь, 1976.
56 о. „
3. Барсуков Ф. И. Генерирование и селекция сигналов низкой частоты. М.: анергия,
4 Бендат Д. Т., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974
464 с
5. Галахова О. П., Колтик Е. Д., Кравченко С. А. Основы фазометрин. Л.; Энергия,
1976 256 с.
6 Гитис Э. И. Преобразователи информации для электронных цифровых вычисли-
вычислительных устройств. 3-е изд,, перераб. М.: Энергия, 1975. 477 с.
7 Голубев В. С. Пьезоакселерометры с симметричным выходом. — в кн. Вибрацион-
Вибрационная техника М.: МДНТП, 1980, с. 22-28.
8 Гольденберг Л. М. Теория и расчет импульсных устройств на полупроводниковых
приборах М: Связь, 1969. 755 с.
9 Гольденберг Л. М., Левчук Ю. П., Поляк М. Н. Цифровые фильтры. М.: Связь,
10. Знаменский А. Е., Теплюк И. Н. Активные RC-фильтры. М.: Связь, 1970. 279 с.
11 Золотарев И. Д., Брюханов Ю. А. Автоматические анализаторы спектра рецирку-
рециркуляционного типа M.t Энергия, 1973. 119 с.
12 Каталог изделий фирмы «Брюль и К/ьер». Дания, 1975. 420 с.
13. Китаев В. Е., Бокумяев А. А., Колканов М. Ф. Электропитание устройств связи.
М.! Связь, 1975. 328 с.
14. Кузнецов А. А. Вибрационные испытания элементов и устройств автоматики. М.:
Энергия, 1976 116 с.
15. Логинов В. Н. Электрические измерения механических величин. М.: Энергия,
1976. 104 с.
16. Отт Г. Методы подавления шумов и помех в электронных схемах / Пер. с англ.;
Под ред. М. В. Гальперина. М.: Мир, 1979. 317 с.
17. Приборы и системы для изменения вибрации, шума и удара: Справочник. В 2-х
кн. / Под ред. В. В. Клюева. М : Машиностроение, 1978.
18. Радиотехнические измерения в физических исследованиях. М.: Наука, 1977. 198 с.
19 Справочник по радиоизмерительным приборам. М.: Энергия, 1976. 624 с.
20. Терешин А. И., Софронов В. А, Справочник по эксплуатации радиоизмерительных
приборов Киев: Техника, 1973. 500 с.
21. Фазоизмерительные системы и устройства: Сборник материалов научно-техниче-
научно-технической конференции. Томск: Изд-во Томского университета, 1974 285 с.
22 Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров. М.: Советское радио, 1974. 288 с.
23. Черепов В. Ф., Веселов Ю. В., Кузин В. М. Аппаратура автоматического управ-
управления электродинамическими вибрационными установками. Л., ЛДНТП, 1972. 48 с.
24. Bowes С. A. Engine vibration morntorino on the Boeing 747 aircraft. Report presen-
presented at the Sixteenth International ISA Aerospace Instrumentation Symposium. May 11 — 13,
1970, Seattle, Washington, ISA Reprint.
25. Rledel J. Isolation and Shielding. Section III from «Vibration Measurements Hand-
Handbook». Endevco Corporation, Pasadena, California, 1973, p. 3—1 till 3—22.
Глава XI
АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Целесообразность применения вероятностных методов. При измерениях вибра-
вибраций лишь в простейших случаях возможны прямые измерения нескольких парамет-
параметров процесса, например амплитуды, частоты, фазы гармонического колебания. В боль-
большинстве случаев приходится прибегать к разложению сложного процесса на простые
компоненты или характеризовать процесс функцией, представляющей свойства
процесса в обобщенной форме, т. е. выполнять анализ процесса.
Наиболее общие методы анализа процессов основаны на их вероятностных пред-
представлениях (см. гл. III, раздел 5). Вероятностный подход позволяет построить мето-
методологию измерений на основе теории случайных процессов, связать результаты экспе-
эксперимента с теоретическими исследованиями, совершенствовать методы измерений
в направлении получения новой информации об исследуемом процессе. Реализация
этих возможностей ценна при исследовании причин вибрации, диагностике состояния
механизмов, анализе машин как источников шума и т. п.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ 267
Вероятностные методы целесообразно применять для анализа, описания, пред-
представления физических процессов и полей в следующих ситуациях:
1) при исследовании процессов, носящих случайный характер, ход которых
во времени невозможно предсказать;
2) при исследовании процессов, форма которых описывается простой аналити-
аналитической зависимостью, но параметры процесса случайным образом изменяются во
времени (модуляция амплитуды, частоты, фазы гармонического колебания или дру-
другого вида периодического процесса);
3) при исследовании детерминированных, неслучайных колебаний, параметры
которых являются неинформагивными для поставленной задачи, когда необходимо
отразить инвариантность результата по отношению к этим параметрам.
Термином «случайный процесс» обозначают математическую абстракцию, модель
реального физического процесса, представляемую в виде ансамбля реализаций.
Реально существуют физические процессы, которые можно описать той или иной
вероятностной моделью — случайным процессом определенного класса.
Выбор вероятностной модели при измерениях. Вероятностная модель, как и
любая другая, представляет одно определенное свойство (или определенную ограни-
ограниченную совокупность свойств) реального физического процесса, которое избирает
исследователь для решения поставленной задачи. Выбор вероятностной модели —
это фактически выбор способа анализа и состава требуемых для решения задачи
статистических характеристик процесса, которые приведены ниже.
1. Анализ по ансамблю реализаций соответствует принятию априорной модели
нестационарного случайного процесса, ибо только путем усреднения по множеству
можно получить ту или иную функцию времени, t — текущую статистическую характе-
характеристику случайного процесса.
2. Анализ по одной реализации соответствует принятию априорной модели ста-
стационарного эргодического процесса и применяется для определения корреляцион-
корреляционных, спектральных функций процесса или плотности вероятности и ее числовых
характеристик, не зависящих от времени.
3. Ограничение состава измеряемых характеристик статистическими характе-
характеристиками первого и второго порядка (математическое ожидание, дисперсия и кор-
корреляционная функция второго порядка или спектральная плотность процесса) озна-
означает принятие модели нормального (гауссовского) процесса в дополнение к принятым
моделям стационарного (п. 2) или нестационарного (п. I) случайного процесса.
Методы формирования ансамбля реализаций. В случае применения модели
нестационарного процесса необходимо выбрать метод формирования ансамбля реа-
реализаций. В теории случайных процессов под реализацией понимают функцию, полу-
получаемую в результате одного опыта. Понятие одного опыта находится вне теории
вероятностей, и экспериментатор вправе выбрать свое определение, соответствующее
условиям задачи. С учетом этого можно указать на следующие способы получения
отдельных реализаций:
1) одновременное включение Л' идентичных исследуемых систем, что наиболее
адекватно методам теории случайных процессов, но редко осуществимо на практике;
2) последовательное включение одной исследуемой системы N раз —• наиболее
употребительный способ, если целью измерений являются исследование неустано-
неустановившихся явлений, сопровождающих включение (выключение) механизма, или
определение отклика системы на одиночный удар и т. п.;
3) деление непрерывного процесса или его записи на N статистически эквива-
эквивалентных отрезков, каждый из которых принимается в кччестве реализации случай-
случайного процесса, применяется при исследовании периодически повторяющихся явлений,
например при изменении интенсивности вибрации за один оборот двигателя, оп-
определении средней формы колебаний системы за один период ее работы и т. д.
Вторая задача, которую необходимо решить при определении временных харак-
характеристик процесса по ансамблю реализаций, — это осуществление упорядоченной
привязки получаемых реализаций к единой оси времени. Здесь особенность заклю-
заключается в том, что искомая функция времени Q (t) скрыта шумами, случайными флюк-
туациями | (/), ибо если это не так, то и не возникает необходимости в применении
вероятностных методов анализа и искомая функция Q (i) может быть зарегистрирована
непосредственно. Поэтому для привязки реализаций к временной оси приходится
268
АППАРАТУРНЫЕ МГГОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
гнзчз-чз
прибегать к использованию специальных импульсов синхронизации (рис. 1), полу-
получаемых отдатчика, зстачовленного на механизме. Требуемую характеристику можно
определять либо в реальном масштабе времени, тогда запоминается результат на-
накопления текущих значений статистической характеристики, либо ретроспективно,
тогда вначале запоминается выборочный ансамбль реализаций. В первом случае
требуется высокое быстродействие статистического анализатора, во втором случае
необходим большой объем памяти, скорость же анализа может быть небольшой.
Точность привязки к оси времени должна быть достаточно высокой, в противном
случае возникают погрешности измерений, проявляющиеся в сглаживании искомой
функции времени на интервале случайных флюк-
флюктуации начальных моментов времени отдельных
реализаций [20].
Анализ по одной реализации процесса.
При анализе процессы рассматривают как ста-
стационарные в двух случаях-
1) когда изменения характеристик процес-
процесса являются малыми или настолько медлен-
медленными, что за время Ги измерений их можно
считать практически неизменными;
2) когда изменения процесса быстрые, т. е.
период изменений характеристик мал по срав-
сравнению с длительностью реализации Т, но для
решения поставленной задачи достаточно знать
средние (за период) характеристики.
Вследствие стационарности и эргодичности процесса его характеристики можно
определить по одной его реализации путем применения операторов усреднения по
времени. При этом эргодичность постулируется из физических соображений: нас
интересуют характеристики системы при неизменных внутренних и внешних усло-
условиях ее функционирования, так что многократные измерения привели бы к статисти-
статистически однородному ансамблю реализаций.
Стационарные (в статистическом смысле) вибрации механических систем пред-
представляются оценками вероятностных характеристик, которые находят путем усред-
усреднения по времени Они обладают следующими свойствами:
1) математическое ожидание процесса равно нулю:
г
Рис. 1. Схема измерений характе-
характеристик нестационарных процессов:
/ — объект; 2 — запоминающее ус-
устройство; 3 — блок управления;
4 — вычислительный блок, 5 — ре-
регистрирующее yCTpoilCTrtO
m
НГ)
= -' \l(t)dt->0 при Т -* со,
A)
так как измеряются лишь колебания системы (флюктуации) относительно ее среднего
значения, а виброизмеригельный тракт содержит усилители переменного тока, не
пропускающие постоянной составляющей даже при ее появлении на выходе датчика;
2) дисперсия характеризует среднюю мощность процесса и с учетом /их = 0
записывается в виде
B)
где черта сверху означает усреднение по времени;
3) автокорреляционная функция представляет информацию о динамике (харак-
(характере и скорости изменения значений во времени) колебательного процесса;
К„(т)(П =
@
= о|р (т),
C)
где р (т) — нормированная корреляционная функция;
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ 26Э
4) кумулянты высших порядков характеризую-) отклонение процесса от гауссов-
СКОГО'
*з, 7) = m3°(V» = y I ^ W *• К4 (n = Kin - *КЬ) ¦ D)
о
При Т -» оо зти оценки сходятся в среднед! квадратическом к истинным значе-
значениям вероятностных характеристик.
Погрешности статистических измерений. Вследствие конечной длительности
реализаций Т и конечного их числа Л результаты измерений, называемые оценками
вероятностных характеристик, обладают случайной (флюктуационной <7фл) и систе-
систематической погрешностью (смещенностью результата <ьм). Поэтому дисперсия сум-
суммарной ошибки может быть представлена двумя составляющими:
где дисперсия флюктуационной погрешности, проявляющейся в форме случайных
отклонений измеряемой характеристики Q( (t)T от ее среднего значения < Q (t)T > N
дисперсия смещенности результата, проявляющейся в форме систематического
отклонения оценки вероятностной характеристики Qt (t)T от истинного ее значения
Q (t) и возникающей вследствие конечной разрешающей способности анализатора на
конечном интервале времени Т,
^m(t)-[(QA0t)n-Q@Y. F)
Для практики ценными являются лишь алгоритмы, приводящие к состоятельным
оценкам вероятностных характеристик, случайные флюктуации которых снижаются
с увеличением объема выборки:
где а — коэффициент, определяемый видом измеряемой вероятностной характерис-
характеристики; Af — полоса частот процесса.
В общем случае погрешность измерений, как и любая другая случайная величина,
характеризуется плотностью вероятности, а надежность (достоверность) измерений —
доверительным интервалом (областью возможных значений измеряемой величины
вблизи ее среднего значения) и доверительной вероятностью (вероятностью попада-
попадания результата измерений в доверительный интервал). При достаточно большом числе
усреднений закон распределения ошибок измерений близок к нормальному, для кото-
которого характерна следующая связь между доверительной вероятностью Р и довери-
доверительным интервалом, выраженным в значении дисперсии ошибки:
[ ] = 0,68;
Я [<Э - За < Q < Q + Зсг] = 0,99,
*
где Q, Q — оценка и истинное значение вероятностной характеристики.
270 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Методы определения и представления спектральной плотности процесса. Если
для решения задачи достаточно ограничиться лишь статистическими характеристи-
характеристиками второго порядка: сг2, К2 (т), несущими основную информацию об исследуемом
процессе, то приемлема модель гауссовского процесса
В большинстве случаев вместо автокорреляционной функции измеряют спект-
спектральную плотность (одностороннюю) G (со), являющуюся преобразованием Фурье
автокорреляционной функции, т. е. находят оценку
ттах
Gg(to)(r) = 4 j K^(T)iT)h{i)Q.os4)Tdx, G)
о
в то время как в теории исследуют спектр S(to), определенный в области частот
—оо < (о < со; так что hm Gt(«)j-=2S (со),
Т —* оо
Выражение G) является одним из алгоритмов определения спектральной плот-
кости, реализуемым в цифровых анализаторах или при обработке процессов на ЭВМ.
Другой алгоритм дает определение спектра через амплитудный спектр F (<о) отрезков
процесса:
N
где амплитудный (комплексный) спектр отрезка процесса g (t)
т,
^' в)Г1. (9)
Анализ алгоритмов определения спектра мощности показывает следующее.
1. Оценка Gg (w)r спектра по отрезкам реализаций конечной длительности 7\
представляет собой результат сглаживания истинного спектра Gg (со) вследствие
конечной полосы А/э « 1/7\ частотной характеристики анализатора. Эта оценка на
частоте в является дисперсией выделенного фильтром анализатора процесса, норми-
нормированной полосой анализатора:
2. Частотная характеристика анализатора определяется видом весовых функций
А (т) и в идеальном случае должна иметь следующий вид:
1;!ю-Шо1<4й)з/2; (Ю)
0, |(о-«о[>Аа)э/2. V ;
Приближение к этому виду в цифровых анализаторах достигается подбором
весовых функций h (т), а в аналоговых анализаторах — конструированием фильтров
с «прямоугольной» частотной характеристикой.
3. Снижение флюктуационной (случайной) погрешности достигается либо усред-
усреднением по времени Т при определении корреляционной функции /ft (t)j, либо усред-
усреднением по множеству N квадратов модуля амплитудных спектров реализаций, каж-
каждую из которых в случае модели стационарного эргодического процесса можно получить
из одного отрезка длительностью Т = NTt делением его на N отрезков, т. е. в конеч-
конечном счете также путем усреднения по времени. Относительная флюктуационная по-
погрешность убывает при Т -* оо, Тг — const:
о"фл а а
^ (I1)
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 271
где а — коэффициент, зависящий от вида детектора и частотной характеристики
(или весовой функции) фильтра [14]. Следовательно, оценка Oj (<о)г является состоя-
состоятельной.
4. При анализе смешанного спектра процесса, состоящего из случайного ста-
стационарного процесса 1 (t) и суммы гармонических колебаний, необходимо учитывать
различную размерность величин этих компонентов спектров и различное их представ-
представление спектральным анализатором, показания которого U (со) для сплошного спектра
пропорциональны полосе анализа:
а для дискретного спектра не зависят от полосы анализа:
где а; — амплитуда г-й гармонической составляющей. Поэтому при обработке ре-
результатов измерений спектральной плотности мощности смешанного спектра исполь-
используют один из следующих способов:
1) выделяют дискретные составляющие спектра и оставляют показания анализа-
анализатора на частотах дискретных составляющих неизменными, а уровни сплошной части
спектра Uc (со) делят на энергетическую полосу пропускания анализатора Д/у,
2) представляют спектр в виде частотной зависимости дисперсии на выходе ана-
анализатора, имеющей размерность квадрата измеряемой величины:
но при этом указывают полосу анализа Д/9, необходимую для сопоставления спект-
спектров, полученных с разными полосами анализа.
5. При проектировании анализаторов учитывается, что проще и точнее измерять
не дисперсию на выходе фильтра анализатора U (со) = а^ (о)) = G^ (со)Д/э = rf (f),
Где Ti (t) = F^f Ц (/)] — результат фильтрации (представляемой оператором FAj)
исследуемого процесса ? (t) фильтром анализатора с полосой Л/,, а среднеквадра-
среднеквадратичное значение 0Д^ (со) = 1 YJ (t), уровни которого изменяются в меньшем диапа-
диапазоне значений, чем ст^. При этом размерность спектральной характеристики совпа-
совпадает с размерностью измеряемой величины: [а (со)] = [|]. Результат измерения спект-
спектра чаще представляют (и фиксируют на самописцах) в логарифмическом масштабе,
при введении которого снимается различие размерностей измеряемых величин, так
как L (со) = 20 lg =10 lg—~, где ст0 — принятое нулевое значение
измеряемой величины (в частности, для ускорения вибрации ?0 = 3- Ю'4 м/с2). Лога-
Логарифмический масштаб имеет преимущества перед линейным, так как позволяет за-
зафиксировать и представить все точки (уровни) спектра с равной относительной по-
погрешностью, а также упростить последующую обработку данных, заменяя, напри-
например, умножение на поправочный постоянный коэффициент введением аддитивных
поправок на чувствительность датчика или виброизмерительного тракта для полу-
получения абсолютных значений спектра среднеквадратичных значений.
Рассмотрим далее схемы и принципы работы анализаторов спектра.
Спектрометры. Наиболее простой спектральной характеристикой вибрации
является октавный спектр (где m = 1, 2, 3 и т. д.), представляющий собой ряд
т
отсчетов дисперсий процесса в смежных полосах частот, шириной, равной октаве
(т= 1. /в = 2/н), полуоктаве (т = 2, /в = V~2 fH), третьоктаве (т — 3, frt ¦= |/ 2/н)
или в общем случае fn=2m /н, где /„ — верхняя частота полосы, /„ — нижняя час-
частота полосы пропускания —октавного фильтра.
272 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Таким образом,—¦ -октавный спектр представляет собой сглаженную по частоте
оценку спектральной плотности мощности с переменной шириной сглаживающей
функции (спектрального окна): Д/=[\2т — 1// 2 2т\f0, где /0 — средняя геомет-
геометрическая частота фильтра /0 = (/,,/в) •
Прибор для измерения этой характеристики называют — -октавным спектромет-
спектрометром. Он содержит набор — -октавных полосовых фильтров, включенных параллельно,
к выходам которых подключены дегекторы среднеквадратичных значений и RC-ия-
теграторы Электронный коммутатор осуществляет сканирование выходов интегра-
интеграторов, в результате чего на экране электронно-лучевой трубки образуется линей-
линейчатое изображение спектра, полученное в реальном масштабе времени (например,
прибор типа 3347 [7]). В более простых моделях спектрометров выходы фильтров
переключаются механически, а результат записывается на ленте самописца.
Частоты октавных фильтров стандартизованы и определены стандартом
т
МЭК 225—1966, ANSI SI 11—1966 и ГОСТ 12090—66. Наиболее распространенные
третьоктавные фильтры звукового диапазона частот имеют следующие средние
частоты полос фильтров: 25, 32, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, 200, 250, 320, 400, 500,
630, 800, 1000, 1250, 1600, 2000, 2500, 3200, 4000, 5000, 6300, 8000, 10000, 12500,
16000, 20000.
Спектрометры являются удобным инструментом для промышленных измерений
вибрации механизмов, систем, установок, так как представляют результат в виде
определенного набора цифр. Такой результат легко обрабатывать, например сравни-
сравнивать с эталонным, усреднять с другими измерениями, вводить поправки для приве-
приведения к абсолютным уровням и т. д. Эту вторичную обработку данных при большом
объеме измерений можно провести на ЭВМ [10, 13]. Однако для выявления более тон-
тонкой спектральной структуры процесса, необходимой для ряда исследований вибра-
вибраций, требуются узкополосные анализаторы спектра. Рассмотрим их функциональные
схемы.
Узкополосные анализаторы последовательного анализа измеряют спектр после-
последовательно по частоте. Работа анализаторов может быть основана на следующих
алгоритмах (методах).
1 Метод преобразования Фурье исследуемого процесса (безфильтровый анализатор
спектра) описывается алгоритмом
т /тг 12
G. (соO = \ НИ (Г) \\\h(t'~t)l @ cos wtdt) +
о Uo J
T -m
h(t' — t)l(t)sm<ntdt\\dt'. A2)
В соответствии с этим в блоках анализатора выполняются следующие действия
(рис 2):
1) перемножение в модуляторах 2 процесса \ (t) на синусный и косинусный сиг-
сигналы гетеродина 3 с медленно изменяющейся частотой со;
2) сглаживание полученных произведений интегратором с весовой функцией
h (t), полоса пропускания Д//, которого (односторонняя, со > 0) соответствует поло-
половине полосы анализатора: А/а = 2А//[| результаты сглаживания определяют коси-
косинусную и синусную составляющие спектра (дают их мгновенные оценки);
3) возведение в квадрат и суммирование квадратов составляющих спектра, даю-
дающее мгновенную оценку спектра мощности;
4) усреднение с импульсной переходной характеристикой НИ (/), дающее сгла-
сглаженную оценку спектра мощности, точнее — дисперсию процесса, отфильтрованного
полосой Д/а; т. е. U = G| (со) Д/а; для перехода к спектральной плотности мощности
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
273
результат следует разделить на ДД„ что выполняется в случае необходимости вруч-
вручную.
2. Анализатор фильтровой гетеродинного типа содержит узкополосный поло-
полосовой фильтр, но вместо перестройки его частоты, что технически нерационально,
используют смещение спектра вдоль оси частот за счет операции гетеродинирования.
В блоках анализатора (рис. 3) выполняются следующие действия:
1) исследуемый сигнал умножается в модуляторе 2 на напряжение гетеродина 3
с медленно изменяющейся частотой со, что дает спектры суммарных и разностных
частот;
2) из спектра суммарных частот полосовым фильтром 4 вырезается полоса час-
частот Д/а;
3) выделенный сигнал детектируется квадратичным детектором 5 или детектором
среднеквадратичных значений [22];
4) результат усредняется (сглаживается) и подается на индикатор-самописец 7,
при этом роль интегратора 6 часто выполняет самописец 6 с определенно выбранной
скоростью пера.
Рис. 2. Схема «бесфильтрового» анализатора спектра:
/ — усилитель; 2 — модулятор (перемножнтель), 3 — гетеродин, 4 — интегратор с импульс-
импульсной переходной характеристикой h (<); 5 — детектор (квадратичный); 6 — сумматор, 7 —
интегратор с импульсной переходной характеристикой НИ {{); 8 — самописец
Рис. 3. Гетеродинный анализатор спектра:
/ — усилитель; 2 — модулятор, 3 — гетеродин; 4 — узкополосный пелосовой фильтр; 5 —
детектор (среднеквадратичных значений); 6 — интегратор с импульсной переходной харак-
характеристикой Яи @; 7 — самописец
В практических схемах в полосовом фильтре также может быть применен прин-
принцип гетеродинирования (второй гетеродин) для смещения полученного спектра вниз
по частоте с целью облегчения создания узкополосного фильтра (например, см. ана-
анализаторы С5-3, С4-51, С4-53 [18]). Анализатор содержит различные вспомогательные
цепи, аттенюаторы, органы регулирования, калибровки, управления и средства
отображения информации (стрелочные приборы, электронно-лучевая трубка).
При использовании узкополосных анализаторов необходимо правильно выбирать
основные параметры анализа:
1) полосу анализа А/а выбирают из условия Afa= -^-6f, т. е. разрешения по час-
частоте двух максимумов изрезанного спектра, с разностью их частот б/;
2) время усреднения Ги = RCa выбирают из условия допустимой флюктуацион-
ной погрешности бфл = - , считая приемлемой бфл ^ 0,1 -f- 0,2.
У А/а^и
3) скорость последовательного анализа, т. е. скорость уа развертки спектра по
частоте выбирают такой, чтобы динамические ошибки спектрального анализа вслед-
вследствие инерционности интегратора не превосходили флюктуационную погрешность,
тогда
v^bU/RC. A3)
Для каждого анализатора целесообразно составлять таблицы или графики [14],
связывающие основные параметры (Д/а, RC, vd, Оф,), пользуясь которыми легко выб-
выбрать параметры анализа исходя из конкретных условий измерений. Расчетные оценки
274 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
показывают, что при высокой разрешающей способности требование малой флюк-
туационной погрешности привело бы к продолжительности анализа чрезвычайно
большой, например для анализатора типа С5-3 при А/о = 6 Гц и б = 0,1 необходимо
выбрать v = 1,5 Гц/с, а длительность анализа при частотах от 0 до 10 кГц составит
~2 ч Поэтому с целью сокращения длительности анализа низкочастотных сигналов
применяют их транспонирование вверх, т. е. мультипликативный перенос спектра
в область высоких частот с помощью устройств запоминания исследуемой реализации
и последующего многократного ее воспроизведения со скоростью в Ктр раз больше.
При применении магнитофонов коэффициент транспонирования КГр = 40 -*- 50,
а в цифровых транспониаторах /Стр = Ю3 -г- 104 (например, прибор 7502 [7]), что
позволяет во стотько же раз сократить длительность анализа и вести его в реальном
масштабе времени.
Узкополосные анализаторы параллельного анализа. Применение набора парал-
параллельных узкополосных фильтров оказывается технически нерациональным. По-
Поэтому параллельный узкополосный анализ выполняют одним из следующих методов:
1) применяя цифровые транспонирующие устройства и гетеродинные анализа-
анализаторы последовательного действия с цифровым накоплением и запоминанием резуль-
результатов анализа (например, прибор типа 3347 [7]);
2) применяя цифровые анализаторы спектра, работающие по алгоритму быстрого
преобразования Фурье в реальном масштабе времени (например, прибор типа 2031
[2]]).
При использовании анализаторов этого типа выбирают число усреднений N
спектров исходя из допускаемой погрешности 6фл«»1/кЛг, а верхнюю частоту
диапазона — соответственно условиям эксперимента. Если необходимо повысить
разрешающую способность анализатора, то применяют гетеродирование вниз по
частоте сигнала, предварительно отфильтрованного полосовым фильтром. При не-
необходимости слежения за уровнем гармонической составляющей с изменяющейся
частотой можно автоматически изменять масштаб оси частот цифрового анализатора,
если синхронизовать его частоту квантования частотой вращения ротора механизма.
Определение спектра по корреляционной функции сигнала удобно применять
в сочетании с корреляционным анализом процессов. На этапе получения корреля-
корреляционной функции может быть достигнута экономия вычислительных операций за счет
применения разреженной выборки [4], т. е. отсчетов пар значений процесса | (t) и
|(^+т), отстоящих от предыдущей пары отсчетов на интервал времени t1^rK,
где тк — интервал корреляции процесса. Преобразование Фурье производится
после определения корреляционной функции. Невозможность наблюдения за мгно-
мгновенным спектром ограничивает применение этого метода.
Анализ неслучайных, например периодических процессов, отличается тем, что
отпадает необходимость в усреднении измеряемых величин и в их сглаживании.
Поэтому при анализе неслучайных периодических процессов применяют те же ана-
анализаторы спектра, но при измерениях определяют спектр по одной выборке (N = 1)
или выбирают время усреднения Ти, равное нескольким периодам исследуемой
функции, что существенно сокращает длительность анализа. При исследовании им-
импульсных (однократных) процессов применяют запоминание либо результата анализа
в приборах параллельного анализа либо процесса с последующим его многократным
воспроизведением и анализом в приборах последовательного анализа.
3. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ ПРОЦЕССОВ
Свойства корреляционных функций и взаимных спектров процессов. Степень
линейной статистической связи двух процессов во временной области определяется
взаимной корреляционной функцией, оценка которой применительно к вибрациям,
являющимся центрированными процессами, дается формулой C). В частотной об-
области связанность процессов х (t), у (t) представляется взаимным спектром, являю
щимся преобразованием Фурье взаимной корреляционной функции
)( A4)
ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ ПРОЦЕССОВ 275
В общем случае функция Gxy (ш) является комплексной, гак как взаимная кор-
корреляционная функция Я,у(т) нечетная. Рассмотрим, каким образом эти функции
отражают определенные свойства линейно связанных процессов.
Процессы х (t), у (t) в двух точках бегущей волны (в недиспергирующей среде)
отличаются тем, что процесс y(t) = x{t — ~\ запаздывает на величину <3=—,
где d — пространственное разделение точек вдоль направления распространения
волны, с — скорость распространения колебаний. Взаимная корреляционная функ-
функция и взаимный спектр этих центрированных процессов х (t), у If) имеют вид соот-
соответственно.
Т
Кхи(т)=\\т ~ \ х@х [t-~-T)dt = Kx{x~t3)\ A5;
Т —¦ оэ ' «J \ ~ }
О
Gxy(u>)=
оо
— оо
= 5 Kx{T — t3)e'Jaxdr = Gx((>) [cos ®t3 — j sin <ot3], A6)
— CO
где Кх (т) — автокорреляционная функция процесса х (t);
Ox (w) — спектральная плотность мощности э-ого же процесса.
Таким образом, запаздывание сигналов в функции взаимной корреляции отра-
отражается сдвигом максимума на величину Т = —4; а во взаимном спектре — появле-
появлением мнимой составляющей и осцилляции действительной и мнимой составляющих
с периодом, равным Mt3.
Количественно степень связанности процессов определяется максимальным
уровнем нормированной функции взаимной корреляции г12 (х) (коэффициентом кор-
корреляции) и уровнем функции когерентности у (со), которые в рассматриваемом слу-
случае равны
y@)]V2~ u( Утах-1> G)
lWI = i- A8)
[Gx (со) Gy (со)] V*
В данном случае функции г12 (т) и gu (со) показывают, что два исследуемых
процесса отличаются лишь запаздыванием одного из них.
Пусть кроме исследуемых сигналов х (f) и у {t)=x It ) в одной точке приема
имеется помеха | (/), тогда
d
С"'Л-1/"г^^(-4)<1. A9)
1/2 \ \+q U\ С
где q=xz @/|2 @ — отношение сигнал/помеха (по мощности);
здесь q (со) = Gx (co)/Gg (со) — отношение спектров мощности сигнала и помехи,
276 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Таким образом, в случае помехи, некогерентной с сигналом х (t), уровни коэффи-
коэффициента когерентности становятся меньше единицы и определяются величинами q и
q (w) соответственно
Другой причиной снижения уровня корреляции может быть искажение сигнала
х (t) при его распространении или прохождении через исследуемую систему. Одним
из видов искажений вибрации является искажение формы колебаний изгибных волн,
вследствие дисперсии скорости их распространения. По этой причине когерентность
сигналов в двух точках изгибной волны нарушается и может быть определена [14]
по выражению
где # = —-!/ —-; С (&), S (d) — косинусный и синусный интегралы Френеля;
дд f полоса частот и средняя частота шума; d — пространственное разделение
точек; Ха — длина волны изгибных колебаний.
Отсюда следует оценка пространственного интервала когерентности,
B2)
в пределах которого изгибные колебания можно считать практически когерентными.
Таким образом, при корреляционных измерениях изгибных волн необходимо
учитывать следующее:
1) корреляционные измерения целесообразно проводить в достаточно узких
полосах частот с целью увеличения пространственного интервала когерентности;
2) измерения взаимных спектров могут иметь определенные преимущества перед
корреляционными, так как проводятся в существенно более узких полосах частот.
Действительно, нормированный взаимный спектр изгибных колебаний в точках,
разделенных расстоянием d, имеет вид
. . d . . d .т/м ¦ • j i /"<<>
b M = cos со / sin со — = cos a I/ -.—• / sin d I/ -,-,
B3)
где cn—y(i)Jc — скорость изгибных волн; J — радиус инерции сечения стержня
(пластины); с — скорость продольных волн в материале стержня (пластины). При
этом | g12 (со) I = 1, т. е. когерентность процессов не нарушается. Практически при
наличии конечной полосы пропускания анализаторов взаимного спектра на высоких
частотах появляется сглаживание осцилляции действительной и мнимой составляю-
составляющих и завал уровня g12 (со). Вследствие этого ограничивается применение конкретного
прибора, но не метода.
Целесообразность корреляционных измерений в полосах частот вытекает также
из необходимости отразить изменение статистических свойств сигналов (в частности,
их связи) с частотой. Например, зависимость q (со) приводит к зависимости у (со),
как видно из B0). Последнюю можно получить как г (т, соо), если измерить коэффи-
коэффициенты корреляции в полосах частот со средними частотами со0.
Общие требования к корреляторам. Перейдем к обсуждению функциональных
схем корреляторов. Выбор метода (и алгоритма) корреляционного анализа зависит
от ряда условий. Применительно к исследованию виброакустических процессов
условия измерений можно сформулировать следующим образом:
1) измерения должны выполняться в смежных полосах частот для получения
частотных зависимостей корреляционных связей;
2) исследуемые процессы являются центрированными, поэтому для них справед-
справедлив более простой алгоритм определения корреляционной функции C) вследствие
того, что тх = 0;
3) диапазон частот представляет собой интервал от единиц герц до нескольких
десятков кГц;
4) диапазон задержек должен обеспечивать анализ сигналов с запаздываниями
до десятков — сотен миллисекунд,
ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ ПРОЦЕССОВ 277
5) наиболее ценным является получение нормированных величин — коэффи-
коэффициента корреляции гп (т) и коэффициента когерентности у (а).
С учетом этих условий для исследований степени статистической связи вибро-
гмлстических сигналов применяют корреляторы и анализаторы взаимного спектра,
принципы работы и функциональные схемы которых изложены ниже.
Мультипликативные корреляторы. В соответствии с алгоритмом C) корреля-
коррелятор (рис. 4) содержит блок переменной задержки сигналов, перемножитель и инте-
интегратор. Наиболее трудным оказалось создание конструктивно простых блоков за-
задержки. В первых корреляторах применяли блоки с магнитными барабанами или
м.'и нитной лентой [14], позволявшие получить добротность линии задержки f ттах =
= 300 -f- 800 н A—2) 103 соответственно (/в — верхняя рабочая частота линии за-
задержки, rmax — максимальное время запаздывания). Ог-
Ограничивающим фактором являлась детонация тракта
магнитной записи. В LC-лнниях задержки добротность
f ттах = 100 -;- 500 ограничивается частотной зависи-
зависимостью хз = тз (со).
Перемножение сигналов в аналоговой форме fl4]
осуществляется путем квадрирования суммы и разности
перемножаемых сигналов:
Рис. 4. Схема корреля-
корреляту =- (X -j-уJ — (Х~ I/J. тора:
/ — блок задержки; 2 —
Для получения коэффициента корреляции выполняют перемножитель; з — ин-
-х—s тегратор; 4 — самописец
нормирование величиной А/2 либо применяют блоки
автоматического регулирования уровня сигналов до их
перемножения, обеспечивающие x2ys = const. Другим способом получения норми-
нормированной корреляционной функции является использование отношения квадратов
суммы и разности сигналов, тогда
где множитель -s-Mi+j B незначительной степени зависит от d1=yx'i/y2-
2 \ их/
В качестве усредняющей цепи достаточно использовать простую «С-цепочку,
позволяющую легко изменять значение RC соответственно условиям измерений.
Корреляторы описанного типа работали по принципу последовательного вы-
вычисления корреляционной функции при плавном или ступенчатом изменении запаз-
запаздывания Г3. Оптимальные условия измерений обеспечиваются [ 14] выбором постоянной
времени ЙС-интегратора и скорости анализа kx в соответствии с частотным и дина-
динамическим диапазонами измерений:
RC = D2/Af; B4)
1/0,5 АоГ
' ' 125)
где D — Кх @)/2Офл — динамический диапазон измерений; а|л — дисперсия флюк-
туационной (случайной) погрешности; ДД f0 — полоса частот и средняя частота ис-
исследуемого сигнала, обычно определяемые полосовыми фильтрами, включенными на
входах коррелятора; kx — скорость развертки запаздывания тз> мс/мин; А^с — ди-
динамическая погрешность анализа вследствие инерционности интегратора.
Для выбора параметров анализа удобно пользоваться номограммами, связы-
связывающими величины D, RC, /0, k% для заданных Д///о и Д^с. Практически вычисление
одной корреляционной функции сигналов, записанных иа кольце магнитной ленты,
Длится 10—20 мин, поэтому при большом объеме измерений применение коррелято-
корреляторов последовательного действия ограничено.
278 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Корреляторы параллельного действия, работающие в реальном масштабе вре-
времени, были созданы лишь на базе цифровой вычислительной техники. Входные ана-
аналого-цифровые преобразователи преобразуют непрерывные сигналы в дискретные
отсчеты, которые запоминаются до заданною максимального значения запаздывания,
затем перемножаются на вновь поступающие отсчеты и накапливаются в блоке па-
памяти выходных данных. Результат вычислений представляется на экране электронно-
электроннолучевой трубки Наряду с преимуществами корреляторы параллельного действия
мультипликативного типа имеют существенный недостаток — измеряют ненорми-
ненормированную функцию корреляции. Нормирование осуществляется в результате по-
последовательного измерения трех величин: Кху (т), Кх (т), Кц (т), что увеличивает
погрешность измерений, особенно при нестационарных процессах.
Полярные (знаковые) корреляторы. При исследованиях вибраций в полосах
частот, т. е. узкополосных центрированных процессов и гармонических колебаний,
обладающих симметричной функцией распределения, используют связь между ве-
вероятностью совпадения знаков сигналов и коэффициентом корреляции:
P++ = ^__=l+|-arcsin/-12(T). B6)
Функции Р++и Р__ называют полярными корреляционными функциями и исполь-
используют для измерений коэффициента корреляции.
Более точны и удобны приборы, учитывающие также и вероятность несовпаде-
несовпадения знаков Р+_ и Р_ + дающие знаковую функцию корреляции:
Рху= sgn x (t) sgn y(t)=— arcsm ru (т). B7)
Возможность использования информации лишь о знаке сигнала позволяет су-
существенно упростить схему прибора и построить его на базе элементов вычислитель-
вычислительной техники. Полярный (знаковый) коррелятор последовательного действия работает
следующим образом [14]. Входные сигналы, снимаемые с полосовых фильтров,
клиппируются (подвергаются двустороннему ограничению), один из них подается на
блок регистров сдвига, где осуществляется задержка сигнала на время, определяе-
определяемое числом ячеек регистра др и периодом следования тактовых импульсов Гг, т. е.
т = (?р — 1) Тт. Задержанный и входной клиппированные сигналы подаются на
схемы совпадения-несовпадения знаков сигналов, а результат подвергается сглажи-
сглаживанию в ЯС-интеграторе. Задержка т изменяется за счет изменения частоты тактовых
импульсов.
Полярный (знаковый) коррелятор параллельного действия отличается тем, что
линия задержки (регистр сдвига) работает при постоянной частоте тактовых импуль-
импульсов, а число ячеек q берется равным числу одновременно измеряемых точек корреля-
корреляционной функции и после каждой ячейки делаются отводы сигнала. Эти сигналы
подаются на q схем совпадения с интеграторами, где и накапливается результат одно-
одновременного вычисления q точек корреляционной функции.
Отсутствие каких-либо подвижных механических узлов в полярных, знаковых
корреляторах делает их компактными и надежными. Другим их преимуществом
является высокая точность и удобство получения нормированных функций корреля-
корреляции как стационарных, так и нестационарных процессов.
Анализаторы взаимного спектра. Аналоговые приборы этого типа выполняют
как анализаторы последовательного действия. Работа анализатора гетеродинного
фильтрового типа (рис. 5) описывается алгоритмами:
t
Re \Gxy (со)] = j т)! (О т|а (О Яи (*' — t) dt; B8)
— оо
t
— оо
ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ СВЯЗЕЙ ПРОЦЕССОВ
279
где сигналы, снимаемые с полосовых фильтров после смесителя, управляемого гете-
гетеродином
Ш @ = j h (f) Лф К t — t') cos оз' dt',
t
*)<№ = \ It @ H (to, t — t') sin at' dt', A=1, 2)
о
Действительная составляющая B8) получается в результате интегрирования
с весовой функцией На (t) произведения сигналов nx (t) и т|2 (t). При определении
мнимой составляющей один из сигналов сдвигается по фазе на л/2. В блоке б находится
модуль | GXy (со) \ = VR^GAy (со) + Jm2Gxy (со). Развертка осуществляется мед-
медленным изменением частоты гетеродина. В качестве анализатора можно использо-
использовать серийные узкополосные анализаторы (С5-3, С4-53), ведомые общим гетероди
ном [14]. Заменив перемножитель схемой совпадений, получаем возможность измерить
составляющие нормированного взаимного спектра Re gu (ш) и Jm gu (со) и коэффи-
коэффициент когерентности у (ш) = У (Reg12J
/о—( 1
Si/7 (kit)
COS(
1
wt)
* Ы J
ЕНЗ
Рис, 5. Гетеродинный анализатор взаимного спектра:
/ _ смеситель; 2 — гетеродин, 3 — узкополосный полосовой фильтр, 4 — фазосдвигающая
цепь; 5 — перемножитель; 6 — блок вычисления модуля
Рис. 6. Схема «бесфильтрового» анализатора взаимного спектра:
/ — смеситель; 2 — гетеродин; 3 — фильтр нижних частот; 4 — перемножитель; 5 — интег-
интегратор; 6 — самописец
В бесфильтровом анализаторе взаимного спектра (рис. 6) частота гетеродина
изменяется в рабочем диапазоне частот, вместо полосовых фильтров используются
фильтры нижних частот 3, отфильтрованные низкочастотные сигналы перемножаются
и сглаживаются в соответствии с алгоритмами:
dt; C0)
dt. C1)
Re[G^(co)]r= ^r \ [ x(t')cosat'dt' f у (Г) cos at"dt"
-Т i-т t-x
Jm [Gxy (ю)]г= у [ J x (f) cos Ш'dt' | у (f) sin at" dt"
-T (-T t-x.
При выборе параметров анализаторов учитывают следующие факторы [14].
Исходя из максимально возможной задержки t3 и допустимой систематической ошиб-
ошибки Дх (смещенности оценки) выбирают полосу анализа
Д/ = 0,8 Vr~&lit3. C2)
280 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Далее выбирают постоянную времени RC интегратора из заданного динамичес-
динамического диапазона измерений D:
/?C = D2/A/, C3)
и скорость анализа исходя из допустимой динамической ошибки Д2:
va = Q,22 VK2/(t3RC) C4)
Для выбора Д/, RC, v1 также удобно пользоваться номограммами [14].
Возможности коррелятора и анализатора взаимного спектра можно объединить
в одном приборе, если в один из входов анализатора включить блок запаздывания.
Тогда, выбирая нужную полосу анализа и вводя компенсирующее запаздывание тк,
можно выделить сигнал с нужным запаздыванием из суммы других сигналов [141.
В заключение можно привести следующий перечень задач, решаемых путем
измерений корреляционных функций или взаимных спектров: оценка степени диф-
фузности поля вибраций; оценка степени синхронности, связанности колебаний раз-
различных точек механизма; определение коэффициента отражения и преломления из-
гибных волн различными препятствиями; определение вклада различных источников
вибраций или шума в суммарное поле, создаваемое при их одновременной работе
и т. д.
4. ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ,
ПРЕДСТАВЛЯЕМЫХ МОДЕЛЯМИ НЕГАУССОВСКИХ
И НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Отклонения процесса от гауссовского могут быть описаны той или иной феномено-
феноменологической моделью, представляющей сложный процесс сформированным из простых
(в статистическом смысле) процессов, таких как стационарный гауссовский шум и
детерминированные функции с постоянными или случайными Параметрами. Анализ
характеристик негауссовости следует проводить, как и корреляционный анализ,
в смежных (например, —октавных) полосах частот с целью выявить и отразить из-
изменение статистических свойств процесса с частотой.
Модели сложных процессов. Рассматриваемые ниже модели представляют
негауссовские стационарные процессы.
1. Нелинейное преобразование F гауссовского стационарного процесса g (t)
v@=flU0]. CS)
Процесс характеризуется неравными нулю кумулянтами четных или нечет ых
порядков в зависимости от вида нелинейного преобразования. При фильтрации
такого процесса коэффициенты асимметрии уа и эксцесса у3 малы вследствие норма-
нормализующего действия фильтров (Тф !> т J:
1Ф ^ф
где r\ (t) — процесс после фильтрации; тк — интервал корреляции процесса v (f);
Тф — постоянная времени фильтра.
2. Сумма гауссовского шума ? (f) и гармонических составляющих
S Ю = Е @ + 2 а* sin (M*f + <*>*)• C6)
Пслагая начальную фазу <рк случайной (в пространстве реализаций процесса)
и равномерно распределенной в пределах периода колебаний, получаем коэффи-
коэффициенты асимметрии и эксцесса с учетом фильтрации процесса:
ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ 28]
где 9О — превышение уровня гармонических колебаний над сплошной частью спектра
в полосе Щ, п — число гармонических колебаний в полосе Д/.
При наличии только одной гармоники в полосе Д/ получим уэт, = — —, при уве-
увеличении числа гармоник и наличии шума уэ„ -> 0.
3. Амплитудно-модулированный гауссовский шум
г(9 = Г1 + ц*@1?@. C8)
где (х — коэффициент модуляции; X (t) — модулирующая функция, нормированная
таким образом, что X2 (t) = ох2 = 0,5.
Модель C8) представляет стационарный случайный процесс лишь в случаях,
когда модулирующая функция X (() является стационарной (случайной) либо
периодической со случайной (в пространстве реализаций), равномерно распределен-
распределенной в пределах периода фазой. Тогда
C9)
Проанализируем статистические характеристики процессов, представляемых
рассмотренными моделями Анализ показывает, что при оговоренных условиях все
их характеристики не зависят от времени, следовательно, все три модели представ-
представляют стационарные процессы.
Гауссовский процесс | (t), а также процессы v (t) и г (t) имеют сплошные спектры;
процесс ? (t) кроме сплошной частя содержит дискретные составляющие на частотах шк
Таким образом, по характеру спектра выделяется процесс t, (t), модели остальных
процессов не могут быть установлены по результатам спектрального анализа.
Измеряя коэффициенты эксцесса в полосах частот и коэффициенты асимметрии
и эксцесса процессов, получаем, что
для полос гауссовского шума и прсцесса в целом уа = 0; уэ = 0;
для полос процесса v (t) имеем уЭГ[ ~ 0; fan « 0; для процесса "Уэут4 0 или
7av^ 0;
для процесса ? (/) в тех полосах, которые содержат гармонически составляющую,
УК < 0;
для полос модулированного шума и процесса в целом у3 > 0.
Таким образом, исследование характеристик негауссовости процессов позволяет
различать модели процессов в тех случаях, когда они не отличаются по виду спект-
спектров. Это свойство является ценным при выявлении различных источников колебаний,
при диагностике состояния механизма и других исследованиях вибраций.
Определение вклада источников методом периодической огибающей. Особенно
важную информацию об источнике несет модулированный шум, образующийся,
например, при периодическом ударном возбуждении вибрации (в дизелях, компрес-
компрессорах, помпах), при кавитациях рабочих органов насосов и в других случаях. Измере-
Измерение модуляционных характеристик позволяет, в частности, выявить вклад источников
модулированных внбраций или шума в суммарное поле.
Возможность таких измерений основана на свойстве модулированного шума
[1 + \iX (t)\ I (t) источника А при его суммировании с другим шумом v (t) образо-
образовывать результирующий процесс (! -f- \icX (t)]Z,i (t) с меньшими значениями коэф-
аА
фициента модуляции цс = (хА——. Отсюда следует алгоритм определения средне-
среднеквадратичного значения модулированного шумаОд по измеренным значениям ас, |лс)
По способу измерения коэффициента модуляции различают методы: спектраль-
спектрального анализа огибающих вибраций; автокорреляционного анализа огибающих;
взаимокорреляционного анализа огибающих.
2Я2
АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Анализ [15] предела измерений малых уровней модуляции показывает, что наи-
наименьшие уровни периодической модуляции p.m!n могут быть измерены методом взаим-
взаимной корреляции:
D1)
где п — коэффициент превышения минимально измеряемой величины |xmln над
флюктуациями [принимается п = 2 -г- 3 по известному «правилу двух (трех) сигм»];
FB — верхняя исследуемая частота огибающей, Л/ — полоса пропускания додетек-
торного фильтра; Т — время усреднения.
Хорошие результаты дает метод спектрального анализа огибающих:
D2)
где Af — полоса пропускания фильтра анализатора огибающей. Расчеты показы-
показывают, что эти два метода позволяют измерять коэффициенты модуляции порядка
долей процента. Автокорреляционным методом анализа огибающих можно измерять
лишь большие значения \i, поэтому его применять не рекомендуется. Заметим, что
в источнике коэффициент модуляции может достигать 30—50 %.
2
*0*
5
1
6
Рис. 7. Схема тракта взаимокорреляционного анализа огибающих:
/ — усилитель, 2 — полосовой фильтр; 3 — блок автоматической регулировки уровня,
4 — детектор огибающей, 5 — фильтр нижних частот; 6 — коррелятор
Рис. 8. Схема тракта спектрального анализа огибающей:
/ — усилитель, 2 — полосовой фильтр; 3 — блок автоматической регулировки уровня;
4 — детектор огибающей, 5 — анализатор (узкополосный)
Вклад источника методом взаимной корреляции огибающих определяют следую-
следующим образом Измеряют вибрации источника Айв точке суммарного поля (рис. 7).
В каждом канале сигнал фильтруется (обычно применяют третьоктавные фильтры),
проходит блок автоматической регулировки уровня 3, поддерживающий постоянную
составляющую Ео на выходе детектора неизменной, далее процесс детектируется
линейным детектором огибающей 4, ограничивается по частоте Fn фильтром нижних
частот 5 и подается на коррелятор 6. На экране наблюдают периодическую состав-
составляющую корреляционной функции огибающей, размах которой R12 фиксируют.
Измеряют также автокорреляционную функцию огибающей источника с размахом
RA. По этим данным рассчитывают
в*. D3)
определяющий вклад d = — источника А в суммарное поле в точке X при ра-
работе других источников. Коэффициент модуляции в источнике может быть определен
по соотношению
цА = ]/2ЯА/?„. D4)
Для этого необходимо измерить постоянную составляющую Ео на выходе детек-
детектора. Другой способ состоит в непосредственной градуировке шкалы коррелятора
в значениях коэффициента модуляции по «эталонному» сигналу с известным коэффи-
ИЗМЕРЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССОВ 283
циентом модуляции. Коэффициент модуляции или вклад d определяют последова-
последовательно в каждой полосе шума.
Тракт для измерения коэффициента модуляции методом спектрального анализа
огибающей (рис. 8) содержит полосовые фильтры, блок автоматического регулирова-
регулирования уровня (АРУ), поддерживающий Ео = const, линейный детектор и узкополосный
анализатор. Шкалу анализатора предварительно градуируют по cm налу с известным
коэффициентом модуляции (синусоидальная несущая модулированная гармониче-
гармоническим низкочастотным сигналом), либо парциальные коэффициенты модуляции оце-
оценивают по соотношению
¦,_Л(О,)_ 1,4V (Q.)
1
где A (Q,) — амплитуда; V (Я,) — среднеквадратичное значение дискретной состав-
составляющей огибающей на частоте Q,- (i = 1, 2, 3.,.) на выходе детектора.
При определении вклада источника этим методом измеряют коэффициенты моду-
модуляции в источнике ц^ и в исследуемой точке суммарного поля и.?'\ а затем рассчи-
рассчитывают ^=]/^AA">/м(г). Для повышения точности оценок коэффициентов модуляции
* с / " А
вибрации можно рекомендовать переход от парциальных коэффициентов модуляции
p,(i) к суммарному коэффициенту модуляции ]i = VYi (ц""'J, что эквивалентно
усреднению по ряду измерений ц.' .
Методы измерений коэффициентов асимметрии и эксцесса. Наиболее точны
методы определения числовых характеристик плотности распределения вероятно-
вероятностей сигнала на ЭВМ. Но удовлетворительные результаты могут быть получены
и в приборе аналогового типа, где измеряются центральные моменты исследуемого
процесса \ (t):
т
D5)
после чего рассчитывают уя = m'f/im1"'K^ и^,= m'f I (m'^Y — 3. Другой метод
состоит в использовании блока АРУ, поддерживающего tnf = const, тогда шкалы
приборов m'j01 и т401 непосредственно градуируют в значениях y^ и уэ- Исследуемый
процесс возводится в степени 2, 3 и 4 в соответствующих нелинейных преобразова-
преобразователях, построенных, например, на диодах по принципу кусочно-линейной аппрок-
аппроксимации соответствующей нелинейной зависимости / = UBX, связывающей входное
напряжение UHX и выходной ток /.
Измерение уэ процесса позволяет оценить возможную его модель, как показано
выше, а в случае уэ > 0 оценить суммарный коэффициент модуляции по выражению
C9) В суммарный коэффициент модуляции, найденный таким образом, кроме энер-
энергетической суммы парциальных коэффициентов периодической модуляции т'1' вхо-
входит коэффициент случайной модуляции, который можно вычислить методом спект-
спектрального анализа огибающей, если измерены т(<>.
Измерение характеристик нестационарности процесса. Свойства нестационар-
нестационарности могут быть тесным образом связаны со свойствами негауссовского процесса.
Первая модель v (t) не содержит каких-либо детерминированных функций времени
и поэтому однозначно отьосится к классу стационарных негауссовских процессов.
Рассмотрим втор>ю из приведенных выше моделей случайных процессов. В слу-
случае, если гармонические составляющие связаны в единый звукоряд гармоник перио-
периодической фу нкции с периодом То и известной начальной фазой, т. е. ^ °* cos (Q** +
k
+ cpfc) = / (t, To), или имеется лишь одна составляющая с известной (определенной)
начальной фазой ф^, то сумма | [t-\- f (t, To)] представляет модель нестационарного
по математическому ожиданию случайного процесса. Действительно, определяя его
статистические характеристики осреднением по выборочному ансамблю из N реали-
284 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
заций, получаем
где случайные составляющие et (г") и 82 (/) малы по сравнению с / (t, To) и а| и вызваны
конечностью числа реализаций N, по которым производится усреднение:
е2 @ = <2g @ в, (/) + ef (/))* дг^— 0.
Таким образом, усреднение по ансамблю реализаций позволяет определить
функцию / (t, To) с любой заданной точностью, определяемой выбором N. Однако
этот результат может быть достигнут лишь при условии синхронной привязки всех
реализаций к единой оси времени, осуществляемой по схеме, приведенной на рис. 1,
а под реализацией в данном случае понимается отрезок процесса ? (/), длительность
которого равна периоду То функции f (t, To), получаемой, например, за один оборот
двигателя, машины. Этот метод измерений, известный как метод синхронного накоп-
накопления, позволяет анализировать процессы с быстрой периодической нестационарно-
нестационарностью, выделять детерминированную функцию / (t, То) на фоне шума % (t), спектры
которых лежат в одном диапазоне частот.
Рассмотрим третью модель г (/) при условии периодически модулирующей
функции X (t, To) и известной начальной фазе. При усреднении по ансамблю реали-
реализаций получим оценки вероятностных характеристик.
«1 <*) = <[! +тХ ('• To)]W)n = *i (О АГ^ЗО;
где е2 (t) -» 0 при N -> <х>.
Эта модель приводит к процессу, нестационарному по дисперсии, а зависимость
дисперсии от времени определяется модулирующей функцией X (t, To). И здесь при
относительно быстром изменении функции X (t) результат может быть получен лишь
методом синхронного накопления, примененным к определению дисперсии по схеме,
показанной на рис. 1. В обоих рассмотренных случаях оговаривалось условие, что
для элементарного периодического процесса, «ответственного» за нестационарность
сложного процесса, известна начальная фаза. Это означает, что информация о на-
начальных моментах времени реализаций должна вводиться в прибор, т. е. начальная
фаза должна быть «известна» прибору. Обобщая результаты анализа, проведенного
на примере двух последних моделей процессов, содержащих детерминированные
функции времени, следует отметить возможность представления одного и того же
процесса в различных классах случайных процессов, а зависимости от выбранной
для измерений вероятностной характеристики. По степени нарастания объема полу-
получаемой информации выделяются следующие виды измерений:
1) измерения коэффициента эксцесса; они наиболее просты, но результат содер-
содержит информацию только о наличии аддитивных гармонических составляющих (?э <
< 0) либо мультипликативных составляющих, т. е. модуляции (уэ > 0), амплитуды
и частоты этих составляющих остаются неизвестными; процесс относится к класс\
стационарных негауссовских;
2) измерения спектра мощности процесса или его огибающей, позволяют опре-
определить амплитуды и частоты аддитивных или мультипликативных составляющих
процесса, но неизвестными остаются начальные фазы этих составляющих, а еле
довательно, и форма периодической функции; процесс относится к классу стацио-
стационарного негауссовского;
3) измерения характеристик путем усреднения по ансамблю реализаций (мето-
(методом синхронного накопления в случае периодичности определяемой функции); даюг
наибольшую информацию о процессе, позволяют определить форму аддитивной и
мультипликативной составляющей процесса, однако этот результат достигается
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ 285
усложнением методики и техники эксперимента, использованием импульсов синхро-
синхронизации, которые и доставляют в измерительный тракт информацию о начальных
фазах составляющих; процесс относится к классу нестационарных.
Очевидно, что рассмотренный метод накопления результата путем усреднения
по ансамблю реализаций применим и к непериодическим характеристикам, но в этом
случае каждая реализация должна получаться в результате включения (выключе-
(выключения) исследуемой системы, а импульс синхронизации должен фиксировать определен-
определенный начальный момент развития нестационарного процесса.
В случае малой скорости изменения характеристик процесса во времени стано-
становится возможным измерение функции нестационарности, характеризующей это
изменение, по одной реализации процесса путем скользящего сглаживания с весом
h(t):
Т
Q@=\ h{t-t')F[x(t')\dt'.
о
В этом случае возникает задача об оптимальном выборе параметров сглаживания,
ибо две составляющие погрешности в различной степени зависят от ширины Г9 вре-
временного окна:
смещенность результата Дс уменьшается с уменьшением Тэ, т. е. в общем случае
\ы ~ ^ WJTq) + с (TJTgJ + ..., где Tq — характерный масштаб (протяжен-
(протяженность во времени) функции нестационарности (например, [2] для процесса т) (t) =
= VВ {t)\ (/) при измерении дисперсии относительная смещенность результата
случайные флюктуации возрастают с уменьшением Тэ, т. е.
В каждом конкретном случае по одному из критериев (Д = Асм + Стфл = min
или Л2 = Л^м -[- о!л = mm) могут быть найдены [2] условия минимума суммарной
погрешности измерений характеристик нестационарного процесса.
5. ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ПРОЦЕССОВ
Целесообразно различать два аспекта применения цифровых методов для стати-
статистического анализа процессов:
1) разработку специализированных измерительных приборов, основанных на
дискретной цифровой технике;
2) применение универсальных ЭВМ или систем, содержащих спецпроцессоры и
ЭВМ, для обработки электрических сигналов.
В первом случае удается получить быстродействующие компактные приборы
высокой точности, как правило, параллельного действия, работающие в реальном
масштабе времени. Наиболее простые приборы содержат устройства, запоминающие
сигнал, а анализ выполняется ретроспективно. Более крупные установки и анализи-
анализирующие тракты создаются на базе сочетания аналоговых и цифровых приборов, что
позволяет наилучшим образом использовать преимущества каждого из этих способов
обработки сигналов. Специализированные приборы широкого применения исполь-
используют для измерения «стандартных» характеристик и выполнения наиболее распрост-
распространенных видов обработки сигналов. Это узкополосные анализаторы, корреляторы,
измерители плотностей вероятностей, цифровые транспониаторы спектра сигналов
(запоминающе-воспроизводящие устройства). Высокие технические и эксплуата-
эксплуатационные характеристики цифровых приборов достигаются применением ряда спе-
специальных методов и приемов обработки сигналов.
286 АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Применение универсальных ЭВМ позволяет выполнять стандартные и нестан-
нестандартные виды обработки сигналов, что особенно ценно при проведении исследований
физической природы сигналов, моделировании физических явлений, выполнении спе-
специальных видов обработки сигналов и т. п. Другая группа задач, решаемых на уни-
универсальных ЭВМ, — это вторичная обработка статистических характеристик, полу-
полученных на специализированных процессорах или на первом этапе обработки сигналов
на универсальной ЭВМ (определение средних характеристик, их дисперсии, их ап-
аппроксимация, введение поправок, учитывающих характеристики датчиков и изме-
измерительного тракта, получение абсолютных значений искомых величин и т. п ). Наибо-
Наиболее приспособленными для использования широким кругом специалистов-исследо-
специалистов-исследователей, физиков — являются мини-ЭВМ [10, 13, 19], отличающиеся малыми габа-
габаритами, простотой обслуживания и, что особенно ценно, — высокой надежностью
(число часов наработки на отказ может составлять несколько тысяч).
Рассмотрим основные правила и приемы цифровой дискретной обработки сигна-
сигналов, выполнение которых избавляет от ошибок, способствует сокращению длитель-
длительности процедуры обработки.
Частота квантования. Возможны искажения спектра [3] типа наложения участ-
участков спектра, появления ложных составляющих при неправильном сочетании частоты
квантования и параметров входного фильтра анализатора Квантование процесса
по времени — неизбежная процедура обработки сигнала % (t) на ЭВМ, которую
можно представить как операцию модуляции амплитуд импульсного процесса:
g (К ДО = 6 (/)/(*> тк)
Спектр последовательности импульсов квантования / (t, Тк) = 2 V (t, TK)
характеризуется рядом дискретных составляющих, расположенных с интервалом
по частоте FK — \/Тк, где Гк — период следования импульсов. Модуляция амплитуд
этой последовательности импульсов приводит к появлению боковых полос около
каждой дискретной составляющей частоты квантования и, следовательно, к эффекту
наложения спектра (рис. 9).
л) t) t) г)
Рис. 9. Эффект наложения спектров при квантовании по времени:
а — спектр анализируемого процесса, б — спектр импульсов квантования, в — спектры
первого С,, второго О2 и третьего G, порядка, накладывающиеся при неправильном выборе
частоты квантования, г — то же, при выборе частоты квантования, исключающей наложение
спектров
Чтобы снизить эффект наложения спектра, необходимо выполнение следующих
условий'
1) верхняя частота входного сигнала FB должна быть ограничена фильтром
нижних частот;
2) частота квантования FK — C — 4) FB;
3) крутизна среза ФНЧ должна обеспечивать на частоте (FK — FB) ослабление
в число раз, не меньшее динамического диапазона D значений спектра:
K(FK-FB)=\/Df
(обычно Df = Ю2 ч- 1С или 40—50 дБ, при падающем спектре допустимы менее
жесткие условия).
Число уровней дискретизации входного сигнала. Требуемая точность пред-
представления уровня сигнала определяется видом измеряемой характеристики. Кван-
Квантование по уровню эквивалентно добавлению к исследуемому сигналу аддитивной
помехи, некоррелированной с сигналом, дисперсия которой определяется так на-
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ 287
зываемой поправкой Шеппарда: а?в = Д2/12 (где Дк — шаг квантования по уров-
уровню), сказывающейся при измерении корреляционных функций вблизи т = 0 и быстро
убывающей с увеличением т. Для снижения влияния шумов квантования необходимо
поддерживать близким к номинальному входной уровень сигнала. В то же время
недопустимы перегрузки по входному уровню, приводящие к нелинейным искажениям.
Наибольшее число разрядов требуется при измерении плотности распределения
вероятностей. При корреляционном анализе число разрядов в одном из каналов
может быть снижено до 2—3. Обычно аналого-цифровые преобразователи выдают
результат, содержащий 6—14 двоичных разрядов, причем меньшее число разрядоа
присуще более высокочастотным (быстродействующим) АЦП.
Объем памяти. Для выполнения ретроспективной обработки сигнала его необ-
необходимо запомнить в запоминающем устройстве ЭВМ. Чтобы запомнить реализацию
длиной Тр при верхней частоте FB, необходимо, с учетом FKB = AFB, записать в ЗУ
машины iV3y = ^Т F^ отсчетов. Например, при F = 10-103 Гц и Г = 60 с необ-
необходимо N3y = 24 106 отсчетов, что обеспечивается не в каждой ЭВМ. Если ЗУ ма-
машины не справляется с этой задачей, то целесообразно рассмотреть возможность
работы в реальном масштабе времени, чтобы накапливать и запоминать лишь резуль-
результат анализа, обычно не превышающий A—2) 103 отсчетов. Иначе говоря, малый объем
ЗУ может быть компенсирован большим быстродействием ЭВМ. Существенно меньший
объем памяти требуется для вторичной обработки статистических характеристик,
которые могут содержать A—2) 103 отсчетов.
Быстродействие. Универсальные ЭВМ обладают ограниченным быстродействием,
если к этому подходить с позиции оценки возможности работы ЭВМ в реальном мас-
масштабе времени. Например, если в аналоговых устройствах перемножение выпол-
выполняется мгновенно, со скоростью поступления сигнала, то в ЭВМ операция умножения
занимает 25—100 мкс, и возможность реализации параллельного способа анализа,
треб5ющего выполнения ряда перемножений, оказывается ограниченной быстро-
быстродействием ЭВМ. В универсальных ЭВМ скорость счета существенно снижается при-
применением языков высокого уровня и необходимостью выполнения большого числа
вспомогательных операций (организация счетчиков при циклических процедурах,
обращение к долговременной памяти, дисковым ЗУ и т. п.). Преодоление ограничен-
ограниченного быстродействия ЭВМ достигается следующими методами:
1) применением аналоговых блоков и цифровых спецпроцессоров для первичной
обработки и анализа сигналов; тогда на ЭВМ возлагается лишь вторичная обработка
данных;
2) программированием операций первичной обработки в кодах машины;
3) применением специальных алгоритмов, устраняющих избыточность операций
по обработке данных (например, алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ)
при вычислении спектров, метода разреженных выборок или корреляционном ана-
анализе);
4) применением транспонирования сигналов вниз по частоте для согласования
небольших расхождение между скоростью протекания исследуемых процессов и
быстродействием ЭВМ.
Методы сокращения длительности анализа. Остановимся на алгоритмах, устра-
устраняющих избыточность информации или операций при статистическом анализе про-
процессов. При корреляционном анализе таким алгоритмом является метод разреженных
выборок [5]. Сущность его состоит в том, что из исследуемых сигналов берутся пары
значений, разделенных требуемым запаздыванием ft Дт, т.е. х (t) и y(t+k&x), a
следующая пара значений выбирается со сдвигом Д^ = тк, где тк — интервал кор-
корреляции процессов, причем Д^ ;> Дт, где Дт — шаг квантования процесса по време-
времени, выбранный из условия минимальной ошибки интерполяции корреляционной
функции по дискретным отсчетам. Алгоритм вычисления корреляционной функции
методом разреженных некоррелированных выборок [4, 5] записывается следующим
образом (рис. 10):
N
1 VI
-ту- / х(щуДт)(/[(от\> + &) Дт]> « = 0,1, II, |/и — 1.
288
АППАРАТУРНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ
Однако при анализе периодических процессов такой алгоритм может приводить
к искажениям корреляционной функции из-за так называемого эффекта синхронности,
если частота квантования в одном из каналов окажется близкой к частоте сигнала.
Для устранения этой погрешности прибегают к случайной выборке (Д/j случайным
образом изменяется) либо к выборке с линейным изменением Д^ во времени.
Алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) основан на другом методе
устранения избыточности информации — устранении повторяющихся при дискрет-
дискретном преобразовании Фурье (ДПФ) перемножений значений сигнала на значения
sin со^ и cos (ot. Формально процедура формирования алгоритма БПФ описывается
следующим образом [6].
[m(v~r)}
X/mv)
\
x[mfv+tj\
t
\
t
Рис. 10. Схема перемножения выборочных значений процессов х (t) и у it) по методу раз-
разреженных выборов
Необходимо вычислить комплексный спектр последовательности N чисел
N-1
Хт= V Xncxp\-j?^], m = 0, 1, 2, ..., N-1. D6)
я=0
Введя обозначение W (и) = ехр —/—~п—\> записывают дискретное преобра-
преобразование Фурье в виде
N—1
Разбивая ряд N чисел на два ряда (четные и нечетные числа), получаем для каж-
каждого из них выражение, аналогичное D6),
причем
/NJ2
ZZ'=zmW(rnn), m=l, 3, 5, .... N-l,
Для ряда длиной N = 2fe, повторяя эту процедуру k раз, приходим к ряду,
имеющему один член, тогда преобразование Фурье этого члена совпадает с ним-
В результате вместо 2N* операций умножения, требуемых для процедуры обычного
ДПФ, необходимо 2N log 2 N операций перемножения при БПФ. Например, при
N = 1024 выигрыш в числе операций и во времени составит N12 log2 N « 50 раз.
Для сокращения объема обработки при спектральном анализе узкополосных
процессов частоту квантования выбирают исходя из ширины Д/с спектра сигнала
^кв = C -5- 4) Д/с. При измерениях таким способом входной ФНЧ цифрового ана-
анализатора отключают,
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ 289
Требования к быстродействию ЭВМ можно снизить за счет следующей предва-
предварительной аналоговой обработки сигнала:
1) фильтрации полосовыми фильтрами;
2) детектирования и выделения огибающей;
3) гетеродинирования вниз по частоте узкополосных сигналов-
4) преобразования узкополосного процесса в два медленно изменяющихся про-
процесса — амплитуду и фазу.
При этом важно правильно выбрать соответствующие алгоритмы. Специалист
по вибрациям, овладевший искусством программирования, всегда может выбрать
алгор.пм наиболее подходящий для обработки сигналов на ЭВМ.
Список литературы
1. Бендат Дж., Пирсол А. Измерения и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.
464 с.
2. Воллернер Н. Ф. Аппаратурный спектральный анализ сигналов М : Советское Da-
дно, 1977. 205 с.
3. Грибанов Ю. И., Малькоз В. Л. Спектральный анализ случайных процессов М :
Энергия 1974 239 с.
4. Грибанов Ю. И., Мачьков В. Л. Выборочные оценки спектральных характеристик
стационарных случайных процессов. М.: Энергия, 1978. 149 с.
5. Грибанов Ю. И., Веселова Г. П., Андреев В. П., Автоматические цифровые корре-
корреляторы. М.: Энергия, 1971. 2-10 с.
6. Дженкис Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 2. М.: Мир,
1972. 288 с.
7. Каталог приборов фирмы Ерюль и Къер. Дания, 1978 52 с.
8 Кок У. Видимый звук. М.: Мир, 1974. 120 с.
9. Котюк А. Ф., Цветков Э. И. Спектральный и корреляционный анализ нестационар-
нестационарных случайных процессов. М.: Изд-во стандартов, 1970. 102 с.
10. Куценко А. В., Полосьянц Б. А., Ступин В. Ю. Мини-ЭВМ в экспериментальной
физике М.: Аточиздат, 1975 285 с.
11. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. М.: Со-
Советское радио, 1974. 550 с.
12. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1 М.: Советское радио,
1961. 782 с
13. Мини-ЭВМ: Сборник статей / Под редакцией Э. Опперля. М.: Мир, 1975 102 с.
14. Новиков А. К. Корреляционные измерения в корабельной акустике. Л.: Судостро-
Судостроение, 1971. 255 с.
15. Новиков А. К. Сравнительная оценка методов определения значимости источни-
источников по периодической огибающей излучаемого ими шума: Тезисы докладов IX Всесоюзной
акустической конференции. Секция Отделения Механики АН СССР 1977. 87 с.
16. Новиков А. К. Применение метода взаимных спектров к некоторым акустическим
измерениям — В кн.: Борьба с шумами и вибрациями М.: Стройиздат, J966 416 с.
17. Ольшевский В. В. Основы теории статистических измерений Таганрогский радио-
радиотехнический институт им. В. Д Калмыкова, 1976. 105 с.
18. Радиоизмерительные приборы: Каталог-проспект. М.: НИИЭИР, 1974 23В с.
19. Соучек Б. Минн-ЭВМ в системах обработки информации. М.: Мир, 1976. 520 с.
20. Юшин В. Ю. О погрешности, вызванной разбросом начал отсчета при осреднении
по множеству реализаций — Автометрия. 1966, № 4, с. 15—1с>.
21 Technical Review, Bruel and Kjaer, Denmark, 1978. N. 1. p 30.
22. Technical Review, Bruet and Kjaer, Denmark, 1958, N. 3 p. 30.
Глава XII
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Предварительные замечания. Для обеспечения единства измерений необходимо,
чтобы полученные результаты сопровождались оценками погрешности измерений,
найденными в соответствии с определенными правилами. Погрешности необходимо
знать для признания изделий годными или негодными по заданным параметрам,
установления пределов применимости изделий, оценок надежности, выбора путей
повышения точности измерений и т. д.
Теория погрешностей широко использует соотношения математической статис-
статистики; физические закономерности, определяющие принцип действия средств измере-
10 п./р. Геикина М. Д., т. 5 i
290 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
ний или свойства измеряемой величины; методы вычислительной техчики; другие
источники дополнительной информации об измеряемой величине.
Определения основных метрологических понятий даны в ГОСТ 16263—70. Тре-
Требования к форме представления оценок погрешности, система нормирования метроло-
метрологических характеристик, порядок нахождения оценок погрешностей при прямых
многократных измерениях и частные методы нахождения погрешностей однократных
измерений изложены как в научной литературе [2, 6, 13], так и в нормативных мате-
материалах — ГОСТ 8.009—72,* ГОСТ 8.207—76, ГОСТ 16263—70, методике МИ 107-7G
и др.
Абсолютная и относительная погрешности измерений. Погрешностью измерения
Ах называют отклонение результата измерения хтм от истинного значения лг
измеряемой величины [6]:
гИС1
Погрешность измерения, выраженную согласно A) в единицах измеряемой ве-
величины, называют абсолютной. Поскольку истинное значение измеряемой величины
неизвестно, вместо него используют действительное значение дсд, приближающееся
к истинному настолько, что для рассматриваемой задачи различием между ними
можно пренебречь. Поэтому
(\Х =5й Хизм Хд.
Последнюю величину называют оценкой погрешности измерения (слово «оценка»
для краткости часто опускают). Если результат измерений находят по данным ряда
наблюдений (в том числе при косвенных измерениях), то говорят о погрешности ре-
результата, связанной с отклонениями отдельных наблюдений (в ряду измерений).
Погрешность измерения зависит от свойств средства измерений, характеристик
измеряемой величины и от условий выполнения измерения. Если последние две за-
зависимости не существенны, то для нахождения оценок погрешностей измерения ис-
используют данные о погрешностях средств измерений, обычно представляющих собой
верхнюю границу возможной погрешности в заданном диапазоне значений измеряе-
измеряемой величины, при определенных уровнях влияющих величин.
Для удобства оценки качества выполненного измерения вводят относительную
погрешность измерения как отношение абсолютной погрешности измерения к истин-
истинному значению измеряемой величины:
, _ Дх Ах
В качестве характеристики точности приборов часто принимают приведенную
погрешность измерительного прибора, под которой понимают отношение погрешности
измерительного прибора к условно принятому нормирующему значению xN, например
верхнему пределу измерений, длине шкалы и т, д.:
Ак
Случайная и систематическая погрешности измерений. Многочисленные источ-
источники погрешностей разделяют на две группы: 1) не поддающиеся точному учету или
недостаточно изученные факторы, возникновение и характер влияния которых не
удается определить заранее: 2) постоянно действующие или закономерно изменяю-
изменяющиеся в процессе измерительного эксперимента факторы. Составляющую суммарной
погрешности, вызванную действием факторов первой группы, называют случайной
погрешностью, второй — систематической погрешностью. Ограниченная точность
установления закономерностей в последнем случае вызывает некоторую неопределен-
неопределенность оценок систематической погрешности, что характеризуют значением неисклю-
ченного остатка систематической погрешности (НСП) [2].
Статические и динамические погрешности измерений связаны соответственно
со статическими и динамическими измерениями (см. гл. VI, раздел 1). В случае из-
измерения неизменной во времени входной величины или неизменной характеристики
случайные погрешности 291
(параметра) входной величины, изменяющейся по периодическому закону (например
действующего значения виброускорения), измерения и соответствующие погреш-
погрешности относят к статическим, а погрешности, зависящие от частоты входного сигна-
сигнала, оценивают с помощью частотных характеристик, рассматриваемых как функции
влияния. TJ
Динамические погрешности являются характеристикой динамических измерений
и связаны с изменением входной величины во времени. Динамическую погрешность
средства измерений, которая в общем случае представляет собой функцию времени
чаще находят как решение прямой задачи, т. е. по входному сигналу известной формы
с заданными параметрами и известным динамическим характеристикам средства
измерений [см. гл. VI, уравнения A7) — B2)] [7, 11]. Во всех случаях, когда входная
величина является переменной, расчет погрешностей требует учета и характера
изменения входной величины и динамических свойств измерительных цепей устрой-
устройства. Как статические, так и динамические погрешности могут складываться из систе-
систематических и случайных погрешностей.
Аддитивные и мультипликативные погрешности измерений. Составляющие
суммарной погрешности, обусловленные наличием в выходном сигнале средства из-
измерений добавочных сигналов, не зависящих от входного, называют аддитивными
погрешностями. Этим погрешностям соответствует смещение функции преобразо-
преобразования вдоль оси ординат (см. гл. VI, рис. 1). Составляющие суммарной погрешности,
появляющиеся вследствие изменения чувствительности средства измерений, назы-
называют мультипликативными погрешностями. При линейной функции преобразования
мультипликативные погрешности пропорциональны текущему значению входного
сигнала.
Общие характеристики измерений. В качестве общих характеристик всех видов
измерений применяют понятия их точности, правильности, сходимости и воспроиз-
воспроизводимости. Точность измерений — это качество измерений, отражающее близость
их результатов к истинному значению измеряемой величины; ее количественное
выражение
0
где 8S — относительная суммарная погрешность.
Правильность измерений отражает близость к нулю систематических погреш-
погрешностей в их результатах. Сходимость измерений является отражением близости
результатов повторных измерений одной и той же величины, выполненных в одина-
одинаковых условиях, и связана главным образом со случайной погрешностью. Воспроиз-
Воспроизводимость измерений характеризует близость результатов измерений одной и той же
величины, выполненных в различных условиях (в различное время, в различных
местах, различными методами и средствами).
2. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
Случайная погрешность и ее функция распределения. Случайная погрешность
определяется как разность между исправленным результатом отдельного измерения
и Действительным значением измеряемой величины. Под исправленным понимают
значение, из которого исключена систематическая погрешность.
Случайную погрешность рассматривают как центрированную случайную вели-
величину, полной характеристикой которой является интегральная или дифференциаль-
дифференциальная функция распределения. Вид функции распределения находят в процессе обра-
обработки результатов многократных измерений, а в некоторых случаях — по априорной
информации о свойствах средств измерений.
В практике измерений наиболее часто встречаются следующие функции распре-
распределения: нормальная, равномерная, треугольная.
Нормальная функция распределения наблюдается у флюктуационных погреш-
погрешностей (неравномерность электронной эмиссии, дробовой эффект, тепловые шумы);
Яля рядов экспериментальных данных при отсутствии корреляции; при большом
числе независимых частных погрешностей и отсутствии доминирующей.
10*
292 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ
Равномерная функция характерна для погрешностей вследствие округления
отсчетов до целого деления; при ручной компенсации по прибору дискретными регу-
регуляторами уравновешивающей величины, от зазоров в механически сочленяемых
элементах приборов. Эту функцию принято приписывать погрешностям вследствие
колебаний напряжения силовой сети, температуры окружающей среды в установ-
установленных пределах; а также всем видам малых неисключенных остатков систематичес-
систематической погрешности. Несимметричная равномерная функция соответствует погрешнос-
погрешностям от изменения напряжения первичных и вторичных гальванических элементов,
дрейфа выходных величин при разогреве за короткое время.
Треугольная функция распределения возникает при действии двух некоррели-
некоррелированных погрешностей, подчиняющихся равномерной функции распределения.
Это может иметь место при измерениях по двум отсчетам, в частности при измерениях
методом замещения, при измерениях длин, углов, интервалов времени и т. п.
Точечные оценки случайной погрешности. В качестве кратких оценок свойств
случайной погрешности применяют точечные оценки, основанные на понятиях мо-
моментов случайной величины. Для этого используют интегральные моменты
М*]= ] Xrp(X)dX,
— оэ
где X — случайная величина, в частности случайная погрешность; г — порядок
момента.
Наиболее часто применяют второй центральный момент, в отдельных случаях
для точечной оценки используют третий и четвертый центральные моменты.
Точечные оценки, найденные на основании опытных данных, следует рассматри-
рассматривать как случайные величины, рассеяние которых зависит от свойств исходной слу-
случайной величины и объема выборки, т. е. числа измерений. Точечные оценки должны
отвечать определенным требованиям:
1) состоятельность оценки заключается в приближении ее (по вероятности)
к значению оцениваемого параметра по мере увеличения числа измерений;
2) несмещенность оценки имеет место, если ее математическое ожидание равно
оцениваемому параметру;
3) эффективность оценки достигается, если ее дисперсия меньше, чем у любой
другой оценки данного параметра.
В качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимают среднее
арифметическое полученных результатов
п
X" __. ^ у.
п ?j
1-Х
Для оценивания сходимости результатов отдельных наблюдений в серии изме-
измерений одной и той же величины принимают оценку среднеквадратичного отклонения
(СКО) результатов наблюдений
«"* =
Для перевода оценки СКО в относительную форму используют соотношение
о*л = —.
Для оценки симметрии распределения случайных погрешностей применяют
коэффициент асимметрии
S — М-з [б]
*~ а'х '
где ц» [6] — третий центральный момент случайной погрешности,
СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ 293
_ Оценкой свойств распределения случайной погрешности является эксцесс Ех,
большие значения которого отвечают распределениям с более острой вершиной:
Е
Для нормального распределения Ех — 0.
Большое практическое значение имеют оценки случайной погрешности с помощью
интервалов.
Доверительные интервалы. Доверительными называют интервалы, в пределах
которых находятся с определенными (доверительными) вероятностями истинные
значения оцениваемых параметров. Обычно ширину доверительного интервала вы-
выражают через СКО результатов отдельных наблюдений vx. Тогда для нормального
распределения при условии, что систематические погрешности исключены, а диспер-
дисперсия <з\ известна,
P{x-tpcx<xKC^x + tpox\^2<$(tp)-l,
где Р — символ вероятности события, указанного в скобках; х — результат наблю-
наблюдения; *ИС1 — истинное значение измеряемой величины; Ф (tp) — нормированная
интегральная функция ошибок; tp — нормированный аргумент функции распреде-
распределения.
Доверительная вероятность Р при заданном значении (р может быть найдена
по таблицам функции Ф (tp).
Половина длины доверительного интервала /рО^ называется доверительной гра
ницей случайной погрешности измерения, соответствующей доверительной вероят-
вероятности Р.
При использовании данных п измерений для вычисления результата сходимость
последнего возрастает, для нормального распределения — пропорционально корню
квадратному из числа наблюдений:
А —/ °х
где др — доверительная граница погрешности результата измерений.
Если дисперсия а| результатов наблюдений неизвестна, то для нормального
распределения находят дробь Стьюдента
где S- и S — точечные оценки СКО результата измерений и отдельного наблю-
наблюдения.
Распределение этой дроби является функцией двух аргументов —t и к, где k =
= п 1, и известно как распределение Стьюдента—Фишера, плотность которого
Значения этой функции табулированы [6]. При п — 20 -*- 30 распределение
Стьюдента—Фишера переходит в нормальное.
Для распределений, отличающихся от нормального, точные вычисления оце-
оценок с помощью интервалов представляют существенные трудности. Однако при
достаточно большом числе наблюдений (обычно п = 10 -ь 40 для разных условий
измерений) распределение среднего арифметического приближается к нормальному,
что позволяет использовать соотношение B),
294 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ
Доверительные интервалы для СКО результатов наблюдений находят, исполь-
используя распределение Пирсона, которому подчиняется отношение
Плотность распределения Пирсона (^-распределения) описывается формулой
где k = п — 1 называется числом степеней свободы.
Если qli — значения вероятности выхода дисперсии за нижнюю и верхнюю
границы доверительного интервала: х?, q/i "X|,i_q/b т°
где F — интегральная функция распределения Пирсона.
Доверительный интервал для среднеквадратичного отклонения определяется
выражением
tk, q/2 "f-k, l—q/2
Грубые погрешности. Отдельные погрешности, значения которых не согласуются
с данными статистической обработки остальных погрешностей измерений, называют
грубыми. Предполагая строгое соответствие случайной погрешности принятому для
нее распределению, в качестве критерия грубой погрешности принимают несоответ-
несоответствие наибольшей или наименьшей из погрешностей измерений доверительным
интервалам, найденным для величин
Для нормального распределения результатов наблюдений функции распреде-
распределения vmax и vmlm совпадающие между собой, протабулированы [2].
3. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ
Классификация систематических погрешностей. Систематической называется
составляющая погрешности, которая при повторных измерениях одной и той же
величины, выполняемых при неизменных условиях, остается постоянной или законо-
закономерно изменяется. Анализ систематических погрешностей позволяет путем выбора
соответствующих метода и аппаратуры свести их значения к минимуму либо оценить
эти значения с целью введения в результат измерений соответствующей поправки.
Систематические погрешности подразделяют на инструментальные, установоч-
установочные, методические, субъективные и обработки результатов.
Причиной инструментальных погрешностей являются свойства применяемых
средств измерений. Установочные погрешности связаны с взаимным влиянием средств
измерений и физической среды, неправильным расположением средств измерений,
несогласованностью их характеристик, влиянием внешних факторов. Методиче-
Методические погрешности связаны с выбором недостаточно точных моделей средств изме-
измерений или аппроксимаций законов изменения измеряемой величины. Субъективные
погрешности определяются индивидуальными особенностями наблюдателя.
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ 295
Инструментальные, установочные и методические погрешности могут быть вы-
выражены как функции влияния разного рода влияющих величин на результаты на-
наблюдении. * J
Общее выражение для функции влияния имеет следующий вид:
в«=т;иг л2,..., ап, wlA, wtii,...,wltm),
где А, — характеристика средства измерений; Wu, ..., 1Г«,т - группа одновре-
одновременно действующих влияющих величин.
Часто функции влияния удается линеаризовать; если при этом их можно счи-
считать независимыми, то выражение для погрешности, вызванной отдельной влияю-
влияющей величиной, принимает вид
в.=^(+Ч>,1Р*/*д, C)
где хж — действительное значение измеряемой величины; Ч?„ ф,- — мультипликатив-
мультипликативный и аддитивный коэффициенты влияния рассматриваемой влияющей величины;
Wi — влияющая величина или ее функция.
(Примеры определения систематических погрешностей датчиков даны в гл. VII
и IX).
По характеру проявления систематические погрешности разделяют на постоян-
постоянные и переменные, причем последние включают прогрессивные, периодические и из-
изменяющиеся по сложному закону [2].
Пути уменьшения систематических погрешностей. К числу общих путей умень-
уменьшения систематических погрешностей относят регулярную поверку средств измере-
измерений в соответствии с общесоюзной или локальной поверочной схемой; выбор наибо-
наиболее точных моделей средств измерений, в том числе для описания их динамических
свойств; выбор средств измерений с минимальными коэффициентами влияния; ис-
использование дифференциальных методов измерений, автокомпенсационных средств
измерений с высокостабильными элементами цепи обратной связи; метода замеще-
замещения, цифровых отсчетных устройств и автоматизации обработки результатов измере-
измерений; измерение одной и той же величины несколькими независимыми методами с по-
последующим вычислением среднего взвешенного значения измеряемой величины;
выполнение симметричных наблюдений, при которых производят два цикла много-
многократных измерений в обратном друг другу порядке изменения влияющей величины.
При обработке данных систематчческие погрешности можно уменьшить при
наличии дополнительной априорной информации. Так, при измерениях нескольких
величин, связанных физическим законом, выполняют N наблюдений, причем N >
> L — Н (L — число независимых измеряемых величин; Н — число уравнений
связи). Из системы условных уравнений находят нормальные уравнения, которые
ешают с помощью определителей либо одним из методов математического поиска
ре
Другим способом использования дополнительной информации является филь-
фильтрация (сглаживание) результатов измерений на основе данных о спектральном со-
составе сигнала и помехи [12].
Наличие переменных систематических погрешностей при многократных измере-
измерениях может быть обнаружено статистическими методами. К ним относится проверка
статистической подконтрольности групп результатов измерений с помощью диспер-
дисперсионного анализа [4]. Предполагая нормальное распределение" результатов N изме-
измерений, разделенных на п серий, находят оценки дисперсий — внутрисерийную
Sf с числом степеней свободы N—п и межсерийную Sf с числом степеней свободы
п—1. Если данные не содержат систематических погрешностей, то Sf и S| должны
иметь ^-распределение для числа степеней свободы N—п и п—1 соответственно.
Другой метод заключается в подборе линии регрессии, являющейся эмпириче-
эмпирической оценкой функции влияния некоторой величины W, на результат наблюдения.
Оценку находят, группируя в серии данные наблюдений при близких значениях
влияющей величины. Для отношения межсерийной и внутрисерийной дисперсии при-
принимают распределение Фишера и при соответствии этого отношения доверительному
интервалу находят дж Персии параметров линии регрессии.
Параметры линии регрессии (функции влияния) можно определить с примене-
применением корреляционного анализа. В этом случае находят коэффициент корреляции
296 ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
ф„ w между погрешностью измерения б и влияющей величиной W, а также коэф-
коэффициенты линеаризованной кривой регрессии
6 V/
что позволяет оценить соответствующую систематическую погрешность.
Для оценки ошибки определения систематической погрешности используют
критерий исключения систематической погрешности [6] в виде соотношения
| 5НС | < 0,005fi2 ,
если суммарная погрешность выражается двумя значащими цифрами, и I бнс I <
< 0,056s при одной значащей цифре.
Согласно данным работы [2], для неисключенных остатков систематических
погрешностей принимают равномерное распределение, причем граница систематиче-
систематической погрешности
D)
Где б,- — один из остатков систематических погрешностей.
Значения коэффициента ?2 в зависимости от выбранной доверительной вероят-
вероятности Рд приведены ниже:
0,9 0,95 0,99
0,95 1,1 1,4
При числе слагаемых п < 4 найденное значение должно удовлетворять усло-
условию
6Гр< S I6''!- E)
i=i
в противном случае
вгр=2|8/|. F)
i= 1
4. ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Погрешность средств измерений — алгебраическая разность между номиналь-
номинальным и действительным значениями меры или между показаниями прибора и дей-
действительным значением измеряемой величины. Она определяет предел допускаемых
погрешностей для определенного диапазона значений измеряемой величины и задан-
заданного уровня влияющих величин. Поэтому погрешность средства измерений может
быть использована для приближенной оценки погрешности результатов измерений.
Согласно ГОСТ 13600—68, пределы допускаемых погрешностей могут определяться
одним значением Д = +а; двучленной формулой Д = ± (а + by), где у — показа-
показания или выходной сигнал; а и b — постоянные.
Погрешность средств измерений подразделяется на основную и дополнитель-
дополнительную. Основная погрешность имеет место, если влияющие величины лежат в обла-
областях нормальных значений. В число источников основной погрешности средств
измерений механических величин входят погрешность градуировки; не учитываемая
при обработке результатов нелинейность амплитудной характеристики; трение и
люфты в сочленениях; заряды, возникающие при движении кабеля пьезоэлектриче-
пьезоэлектрических средств измерений параметров движения.
Дополнительные погрешности возникают при выходе влияющих величин из
областей нормальных значений. Пределы допускаемых дополнительных погрешно-
погрешностей задаются двумя способами: указанием их значений для расширенной области
ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 297
значений влияющих величин или нормированием коэффициентов влияния (для точ-
точных средств измерений — функций влияния).
Нормы на отдельные составляющие суммарной погрешности. Кроме основной
и дополнительной погрешности стандартами на отдельные виды средств измерений
устанавливаются нормы на отдельные составляющие суммарной погрешности этих
средств. Так, для динамометров и силоизчеригельных машин по традиции под по-
погрешностью прибора понимается систематическая составляющая погрешности опре-
определяемая как среднее из данных трех—пяти наблюдений. Характеристиками слу-
случайной составляющей погрешности являются вариация (разность показаний при до-
достижении измеряемой величиной заданного значения при ее увеличении и уменьше-
уменьшении), размах (то же, при изменении величины в одном направлении). При этом для
силоизмерительных приборов и приборов измерения длины вариацию определяют
при одностороннем изменении измеряемой величины, а погрешность обратного хода
нормируют отдельно.
Классы точности. Для средств измерений, действие влияющих величин на по-
показания которых хорошо изучено, установлены классы точности, представляющие
собой обобщенную характеристику пределов допускаемой основной и важнейших
дополнительных погрешностел, а также других свойств средства измерений, влияю-
влияющих на его точность [2].
5. ДИНАМИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Анализ динамической погрешности СИ. Динамическая погрешность опреде-
определяется формулой A7) гл. VI. Анализ динамической погрешности может включать:
1) прямую задачу, т. е. определение погрешности Ахпих выходного сигнала по задан-
заданным входному сигналу х и динамическим характеристикам СИ; 2) обратную задачу,
т. е. определение измеряемой величины по известным выходному сигналу хвых и пол-
полным динамическим характеристикам; 3) определение динамических характеристик
СИ по известным входному и выходному сигналам.
Полные динамические характеристики СИ могут быть представлены в виде коэф-
коэффициентов дифференциального уравнения; передаточной функции или комплексной
амплитудно-частотной характеристики; переходной или импульсной переходной функ-
функции (см. также гл. V и VI).
В ряде случаев вместо них используют неполные динамические характеристики,
к числу которых относят отдельные коэффициенты дифференциального уравнения
(собственная частота, постоянная времени, демпфирование); амплитудно-частот-
амплитудно-частотную характеристику, диапазон рабочих частот; время установления показаний
и т. п. Неполные динамические характеристики позволяют находить динамические
погрешности по отдельным параметрам измеряемых величин. Отклонение амплитуд-
амплитудно-частотной характеристики от значения статического коэффициента преобразова-
преобразования или от значения на номинальной частоте (для систем, не передающих постоянную
составляющую) равно погрешности измерения амплитуды гармонического сигнала;
время установления показаний, являющееся точкой переходной характеристики
на заданном уровне, представляет собой параметр однократного сигнала.
Форма представления динамических характеристик определяется эксперимен-
экспериментальными возможностями и дополнительной информацией о свойствах данного типа
приборов [10]. Обычно этот выбор регламентируется стандартами на средства изме-
измерений.
Динамические погрешности измерения однократных процессов. Наибольшую
сложность анализ динамических погрешностей представляет применительно к одно-
однократным процессам, где анализируются переходные и установившиеся непериодиче-
непериодические явления, тогда как для периодических процессов ограничиваются анализом уста-
установившихся явлений.
Приближенные формулы для оценки динамических погрешностей по некоторым
их параметрам даны в табл. 1 [9].
Формулы, приведенные в табл. 1, пригодны для процессов без наложенных ко-
колебаний. В них приняты следующие обозначения:
Т т
2дф=——; zh=jt; 2ф
298
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
где f постоянная времени; Гф — длительность фронта входной величины; т— дли-
длительность действия входной величины; f0 — собственная частота недемпфирован-
недемпфированной колебательной системы; Р — относительное демпфирование колебательной
системы.
1. Формулы для оценки динамических погрешностей
Измеряемый
параметр
Пиковое значение
величины
Длительность фрон-
фронта
Преобразователь
дифференцирующий
504-70
П~ гдф
* гдф
(гдф>5)
интегрирующий
я 500
(ги > 10)И
. 200
(ги > 8)
Колебательная
система 2-го порядка
45 4-64
В гфA+7&2ф)
(гф>2)
Ф ягф
(гф>5)
(Р > 0,01)
В работе [9] приведены таблицы для шести видов динамических погрешностей
по параметрам однократных процессов.
Анализ динамических погрешностей по полным динамическим характеристи-
характеристикам и методы их уменьшения описаны в работах [3, 5, 9], а также в гл. VI,
6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНОК ИЗВЕСТНЫХ
СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Вычисление оценок известных систематических погрешностей является пер-
первым этапом обработки группы результатов наблюдений при многократных измере-
измерениях. В случае обработки данных однократных измерений, а также при прогнози-
прогнозировании погрешности однократных измерений ограничиваются выполнением этого
этапа. Учитываемые функции влияния рассматриваются как случайные функции
случайных аргументов. В большинстве случаев функции влияния линеаризуют, т. е.
переходят к коэффициентам влияния. Частные составляющие систематической по-
погрешности принимают независимыми. При удовлетворении этого условия действие
каждой из независимых влияющих величин на все элементы измерительного уст-
устройства описывается одним коэффициентом влияния. Постоянная систематическая
составляющая частной погрешности представляет собой среднее значение такой
функции:
Ь = У№{ + Ъ№,/хя, G)
где ?;, tj>,- — средние значения коэффициентов влияния; W, — среднее значение вли-
влияющей величины или ее функции; хл — действительное значение измеряемой вели-
величины.
Для малых значений относительных среднеквадратичных отклонений коэффици-
коэффициентов влияния и влияющих величин среднеквадратичное отклонение функции
а(б) = {о-2 (V,) Wf + <P(Wl)V1t+dl(ipi) Wf/xl + o^W^pxl}1'2. (8)
Если выражения для частной погрешности, зависящей от двух влияющих вели-
величин, удается привести к произведению следующего вида:
6 = VuWlW1, (9)
где *Р12 — коэффициент влияния, являющийся случайной величиной; Wlt W2 —
функции первой и второй влияющих величин соответственно, то постоянная система-
систематическая составляющая
ОЦЕНКИ ИЗВЕСТНЫХ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ 299
а относительное среднеквадратичное отклонение относительной погрешности б
F2) al (V^ + o* (Ти) + а« (В^ + а* (Г8)]1/*, A1)
где о> (х) = a (x)/x.
Если для одного^ или нескольких сомножителей уравнения (9) средние значе-
значения равны нулю, то б = 0, а дисперсии этих сомножителей и СКО погрешности на-
находят в абсолютной форме. Так, если ?12 = 0, то
)[^1) B) ^A)^(W2)]1/2, A2)
а при ^12 = 0 и Wt = О
Суммарную систематическую погрешность находят алгебраическим суммирова-
суммированием постоянных систематических составляющих частных погрешностей:
и в результат измерений вносят поправку
V = — До
Дисперсию неисключенного остатка систематической погрешности находят
суммированием дисперсий случайных составляющих частных погрешностей. Если
полученное в результате среднеквадратичное отклонение неисключенных остатков
систематической погрешности существенно меньше среднеквадратичного отклонения
случайной погрешности, то ограничиваются нахождением значений б,- и приближен-
приближенной оценки границ неисключенного остатка согласно уравнениям D)—F). В про-
противном случае неисключенные остатки рассматривают как случайную составляющую
погрешности измерения. Перечень учитываемых частных составляющих системати-
систематической погрешности составляют исходя из специфических особенностей метода из-
измерений и применяемой аппаратуры.
Рассмотрим пример использования выражений G)—A2).
Пусть известно, что зависимость относительной погрешности «г температуры не-
нелинейна и может быть выражена как
где Ч'е — среднее значение температурного коэффициента в рабочем диапазоне тем-
температур; F (8) —эмпирическая функция нелинейности температурной зависимости;
6, 60 — температура чувствительного элемента при измерении и ее нормальное
значение.
Температуру 6 рассматривают как случайную величину. Другая случайная
величина возникает при линеаризации зависимости, проводимой для облегчения рас-
расчета погрешности_путем замены функции F (8) на случайную величину W2 со сред-
средним значением №2 = 1. Тогда согласно (8) постоянная систематическая погреш-
погрешность
б = г1)в(б-е0).
Далее находят СКО величин Nf,, Рассеяние 8 имеет место вследствие отли-
отличия температуры чувствительного элемента от температуры окружающей среды и
неравномерности последней. Пусть найдена оценка or (8) = 0,32 С. Значение a (W2)
находят для определенного типа СИ, представляя детерминированное отклонение
F (8) от единицы как случайный разброс величины W2. Пусть a (W2) = 0,2; согласно
соотношению (8) СКО неисключенного остатка
0 (б) = % [а* (Г2) (в* + 8?) + 02 (8)Jl'2,
COO ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИИ
приближенно для небольших значений 6 — 60
В более сложном случае анализа погрешности вследствие восприимчивости
ИП ударного ускорения к поперечным составляющим движения исходная физиче-
физическая закономерность имеет вид
где \|) — коэффициент влияния; ojj_ — угол между направлением действия изме-
измеряемого ускорения и осью чувствительности ИП; А — эмпирический коэффициент,
характеризующий усиление поперечных колебаний вследствие динамических свойств
системы (см. табл. 1); /оп — низшая собственная частота колебаний ИП в попереч-
поперечном направлении; тф — длительность фронта измеряемого ускорения.
Коэффициент влияния г|>, зависит от ориентации ИП, причем для ИП с кварце-
кварцевыми пьезоэлементами
фх = sign (sin p±) ^?pl /l+cos2Plf
где Р^ — угол ме;кду направлением проекции вектора измеряемого ускорения на
плоскость, перпендикулярную оси чувствительности ИП, и направлением наиболь-
наибольшей восприимчивости ИП к поперечным ускорениям.
Учитывая, что углы а^ и Р , в процессе измерения могут изменяться, в фор-
формуле погрешности случайными следует считать величины г|)^, а., и А. Тогда, обоз-
обозначая №, = tga^; W2= [I + у4/(/0ПТф)], приходим к выражению (9).
Статистические характеристики величины можно найти, задаваясь функциями
распределения исходных аргументов а^, C . и А. При этом среднее значение коэф-
коэффициента влияния i|)^ равно нулю; остальные характеристики в примере имеют
следующие значения: a (tyj_) = 0,72t|?j_ тах; W1 = Tga,; в (WJ = \fi3Wi, W2 =
= [1 + Л/(/опГф)]; а (W2) = 0,1,9 W2. '
Согласно A2) получено выражение для абсолютного СКО случайной погреш-
погрешности
а=0,74 №j_. m№ l"ti^j_ [1 +0,3/(^пхф)].
7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТЕЙ
МНОГОКРАТНЫХ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Основные положения методики вычисления погрешностей изложены в ГОСТ
8.207—76. После исключения из результатов наблюдений учтенных систематиче-
систематических погрешностей находят среднее арифметическое исправленных результатов наб-
наблюдений, принимаемое за результат измерения хл, а также оценки среднеквадратич-
среднеквадратичных отклонений результата наблюдений ov и результата измерения.
При использовании для вычислений малых программируемых ЦВМ, в том числе
клавишных, рекомендуется применять алгоритм, предусматривающий текущее усред-
усреднение последовательно вводимых данных и нахождение дисперсии как разности вто-
второго момента и квадрата математического ожидания. Разрядность выбирают на че-
четыре—пять знаков более, чем требуемая;
л D Ия-1 = 0; *„_1=0; п = 0-
А. Ввод Xii
ВЫВОД ГЦ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ЭТАЛОНЫ И ПОВЕРОЧНЫЕ СХЕМЫ 301
ВЫВОД %n'i
если п = 1, то идти на А;
вывод а (х);
o(x) = a
вывод а (х);
идти на А.
Далее проверяют гипотезу о нормальном распределении результатов наблюде-
наблюдений по ГОСТ 11.006—74 или приложению 1 к ГОСТ 8.207—76 и при подтверждении
гипотезы вычисляют доверительные границы для случайной погрешности измерения
и суммарной погрешности результата измерения.
Методы обработки результатов наблюдений при косвенных измерениях разра-
разработаны в меньшей степени.
Список литературы
1. Бсрезин И. С, и Жидков Н. И. Методы вычислений. 3-е изд Т. I M : Наука, 1966.
632 с.
2. Бурдун Д. Г. и Марков Б. Н. Основы метрологии. М.: Изд-no стандартов, 1У75
336 с.
3. Вашны Е. Динамика измерительных цепей. М.: Энергия, 1969. 288 с.
4. Долинский Е. Ф. Обработка результатов измерений. М.: Изд-во стандартов, 1973.
132 с.
5. Иориш Ю. И. Виброметрия М.: Машгиз, 1963. 772 с.
6. Маликов М. Ф. Основы метрологии. М.: Коммервес, 1949. 479 с.
7. Основные задачи метрологического обеспечения динамических измерений /
Ю. В. Тарбеев, А. Н. Гордов, В А Грановский и др. — Измерительная техника, 1979, № 4,
с. 10 — 13.
8. Островский Л. А. Основы общей теории электроизмерительных устройств. Л.,'
Энергия, 1971. 544 с.
9. Пеллинец В. С. Измерение ударных ускорений. М.: Изд-во стандартов, 1975. 288 с.
10. Рабинович Б. Е. Методика суммирования частных погрешностей в области радио-
радиотехнических измерений: Труды институтов Комитета стандартов. М. — Л.: Изд-во стандар-
стандартов, 1962, вып. 57 A17), с. 19 — 23.
П. Солопченко Г. Н., Челпанов И. Б. Методы определения и нормирования динами-
динамических характеристик средств измерений. — Измерительная техника, 1979, № 4, с. 13—16.
12 Френке Л. Теория сигналов М.: Советское радио, 1974. 344 с.
13. Campion P. J., Burns I. E., Williams A. A code of practice for the detailed statement
oi accuracy. London. National Physical LaBoratory. 1973.
Глава XIII
ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТАНИЯ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
ЭТАЛОНЫ И ПОВЕРОЧНЫЕ СХЕМЫ
Свойства средств измерений (СИ) определяются их метрологическими и эксплуа-
эксплуатационными характеристиками (см. гл. VI, раздел 2). Первые позволяют установить
связь между показаниями (выходным сигналом) средства измерений и измеряемой
зеличиной и содержат исходные данные для вычисления оценки погрешности ре-
результата измерений. Вторые определяют область применения средства измерений
как диапазоны допустимых значений измеряемой величины и влияющих величин,
в том числе изменений неинформативных параметров входного сигнала,
302 ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ. СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ МЕХАН. ВЕЛИЧИН
Важнейшей метрологической характеристикой СИ является градуированная
характеристика, или функция преобразования, которую находят в результате граду-
градуировки СИ по образцовым средствам (в иностранной литературе эту операцию на-
называют калибровкой СИ). Градуировку и определение других основных метрологи-
метрологических характеристик средств измерений обычно совмещают с поверкой СИ. Осталь-
Остальные метрологические характеристики определяют в процессе метрологической атте-
аттестации. Эксплуатационные характеристики находят в процессе испытаний средства
измерений, преимущественно на стадии его разработки.
Поверка средств измерений заключается в определении метрологическим орга-
органом погрешностей средства измерений и установлении его пригодности к примене-
применению [2]. Перечень операций, выполняемых с этой целью, различен для средств из-
измерений различных величин и определяется при разработке СИ по согласованию
с органами Госстандарта. Поверка разделяется на государственную, осуществляе-
осуществляемую органами Госстандарта, и ведомственную. Обязательной государственной по-
поверке подлежат определенные категории приборов, в том числе используемые в ка-
качестве образцовых; применяемые в качестве рабочих средств для измерений, связан-
связанных с учетом материальных ценностей, взаимными расчетами и торговлей, охраной
здоровья трудящихся, обеспечением безопасности и безвредности труда по номенкла-
номенклатуре, утверждаемой Госстандартом; применяемые для измерений при проведении
экспертиз органами государственного арбитража.
Основной целью обязательной периодической поверки средств измерений яв-
является обеспечение единства измерений. Системы обеспечения поверки действующего
парка средств измерений могут быть централизованными. В первом случае воспроиз-
воспроизведение размера единицы физической величины обеспечивается с помощью госу-
государственного эталона и комплекса подчиненных ему вторичных эталонов и образцо-
образцовых средств. В случаях, когда централизованное воспроизведение размера единицы
нецелесообразно, в качестве исходных используют образцовые средства измерений
высшей точности.
Эталоны. Первичным называют эталон, воспроизводящий единицу с наивыс-
наивысшей в стране точностью. Специальный эталон обеспечивает воспроизведение еди-
единицы в особых условиях, например в условиях быстрого изменения измеряемой
величины.
Поверочные схемы. Основные положения системы поверки средств измерений
рассматриваемой физической величины в определенных условиях излагают в по-
поверочной схеме. Этот документ, утвержденный в установленном порядке, содержит
перечень средств, методов и точность передачи размера единицы от эталона или
исходного образцового средства рабочим средствам измерений. Общесоюзные пове-
поверочные схемы утверждают в виде государственного стандарта.
В области измерения параметров вибрации и удара действуют общесоюзные
поверочные схемы для средств измерений постоянного линейного ускорения твер-
твердого тела в диапазоне 0,001—200 м/с2; перемещения, скорости и ускорения при коле-
колебательном движении твердого тела в диапазоне частот 0,5—104 Гц; пиковых ускоре-
ускорений при ударном движении.
Содержание и построение поверочных схем, порядок утверждения, хранения
и применения эталонов и образцовых средств измерений определяются соответству-
соответствующими стандартами. Число ступеней поверочной схемы определяется количеством
подлежащих поверке средств измерений и потерей точности при увеличении числа
ступеней.^ Соотношение погрешностей между поверяемым и образцовым средствами
измерений выбирают с учетом ряда факторов, в числе которых соотношение точностей
эталона и рабочих средств измерений, метод передачи размера единицы, число сту-
ступеней поверочной схемы и др. [2, 19]. Его значения лежат в диапазоне от % 5
До V10.
Основные характеристики поверочных схем средств измерений параметров
движения сведены в табл. 1.
Как следует из табл. 1, погрешность средств измерений не может быть ниже,
чем полторы-две погрешности эталона, независимо от сходимости измерений, обеспе-
обеспечиваемой данным средством. В то же время в некоторых фирменных изданиях в ка-
качестве погрешности средства измерений приводят только характеристику сходимости
его показаний,
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ. ЭТАЛОНЫ И ПОВЕРОЧНЫЕ СХЕМЫ
303
8
и
X
2
в
В"
о
о.
1
К
К
Е-*
К
сЗ
С
S
<и
3
я
ва
о
X
и
о
ности рабочих
измерений при
по образцовым
редствам
cs-§
о
я
о
ч
BS
ее
?2
У я
О ь
X о
а ><
огре:
С
высшего разря
iли по эталону
низшего
разряда
ф
о
ганэхэ ионьойэаоц
иэнэиЛхо о
е услови
зведения
Гц
3 я
ю о
о а
°2
Диапазон
измеряемой
величины,
м/с2
величина
а метр
«§¦
CS
¦е-
J-OHh
0.01—10
0,024—32
1
1
1
к
со
N
ь
7
1
i
о
т
к
0,05—20* J
*
о"
-01
СО
V/
1
V/
1
5-200
скорение
С
а
i
&
с
ь
t
с
1—2,5
00
-01
V/
*
V/
,5-30
о
1
1
армоническо-
м
и
Ампли'
12—100
1
V/
1
-15-1
1
СО
S
i
ния
а
уско
го вибро
1
I
к
V/
-15-1
&
7
о
"я"
о
7
о
эрмонической
"" н
г!
Is
с о
«я
1.
6—100
1
V/
L
-15-1
t
со
0,25—10» мкм
армоническо-
щения
туда
пере:
II
*;
О
Т-
т
т
о
I
о
о
ю
•1-
II
•&
10—2-10'
*
о"
•1-
о
|[
#
о
%
о
I
25—40
к
сч
о
S
II
•&
&
О
!
рное ускоре-
cd
<u
о
»
о
р
я
м
7-
00
т
о
1
in
1
J
ю
о
8 — 1001 «
I
2
о л
11
^ га
Р
Is
304 ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЯ МЕХАН ВЕЛИЧИН
2. ПОВЕРКА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
ВИБРАЦИЙ И УДАРА
Общие положения. Градуировка средств измерений, как правило, произво
дится в нормальных условиях, т. е. при минимальном отклонении^ влияющих вели-
величин от нормальных значений. Применительно к средствам измерений параметров дви-
движения ставится требование поддержания определенной формы кривой зависимости
измеряемой величины от времени гармонической — для поверки в вибрационном
режиме и оптимальной (рис. 1) — для поверки в ударном режиме Вследствие суще-
существенной нелинейности, наблюдаемой у многих рабочих средств измерений, гра
дуировка всех рабочих средств должна производиться в режиме, в котором они
применяются Как правило, средства измерений подлежат комплектной поверке,
однако в случаях, когда поверка наименее стабильных элементов средств измере-
измерений может производиться более часто, большую точность измерений может обеспе-
обеспечить поэлементная поверка [11].
Поверка средств измерений параметров вибрации и удара включает кроме гра-
градуировки ряд контрольно-измерительных операций, позволяющих убедиться в пол-
полной исправности и стабильности показаний поверяемой
аппаратуры. Типичными предварительными операция-
операциями являются внешний осмотр и проверка работоспо-
работоспособности; определение электрических параметров эле-
элементов поверяемого устройства, определение осношшх
динамических характеристик; определение важнейших
коэффициентов влияния.
Градуировка поверяемого устройства обычно про-
производится при нескольких значениях измеряемой ве-
Рис 1. Оптимальная форма личины (при неизменной частоте или длительности
кривой зависимости измеря- фронта). Кроме того, градуировку выполняют при
смой величины от времени нескольких значениях частоты или длительности фрон-
для поверки средств измере ппгтпяннпм vnnnijp гигняля
ний в ударном режиме @ = та> но ПРИ постоянном уровне сигнала.
«= t/x нормированное время; Образцовая поверочная аппаратура, применяемая
/ — время, х — длительность дЛЯ поверки средств измерений, должна отвечать спе-
действия ударного импульса) цифическ'им требованиям, важнейшими из которых
являются [11, 16] необходимая точность воспроиз-
воспроизведения измеряемой величины или заданного ее параметра; строго одинаковое
значение измеряемой величины на входе образцового и поверяемого средств
измерений; обеспечение нормальных условий поверки и заданной формы кривой
зависимости величины от времени. При этом предпочтение отдается образцовым
установкам, реализующим абсолютный метод измерения, когда результат измере-
измерений определяется по данным измерений основных физических величин, а в слу-
случае необходимости — значениям физических констант.
Поверка виброизмерительных устройств. Виброизмерительные устройства гра-
градуируют на образцовых вибрационных установках [6]. К наиболее распространен-
распространенным установкам относят электродинамические вибрационные установки ОВУ-1
B5-10 000 Гц), ОИВУ-2 A — 100 Гц), СОВКУ-68 A — 300 Гц и 300 — 10 000 Гц);
камертонные установки A00, 200, 500, 900, 1000 Гц); пьезоэлектрические вибрацион-
вибрационные установки (8, 10, 13, 16, 20 и 50 кГц).
В качестве образцового средства измерений используют встроенный образцо-
образцовый измерительный вибропреобразователь с образцовым электронным вольтмет-
вольтметром. На низких частотах в схему вводят согласующий усилитель, обладающий не-
необходимым входным сопротивлением (в Ом)
гДе /— частота вибрации, Гц, с — суммарная емкость преобразователя и входных
цепей согласующего усилителя, Ф.
При поверке точных средств измерений образцовым средством является интер-
интерференционный измеритель амплитуды виброперемещения s0 (см, гл. VI), по показа-
ПОВЕРКА СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ ПАРАМЕТРОВ ВИБРАЦИИ И УДАРА 305
ниям которого находят амплитуду виброускорения а0 гармонических колебаний
по формуле
а0 = 4л2р5о.
Входной сигнал определяют путем многократного измерения электронным
вольтметром действующего или амплитудного выходного напряжения преобразо-
преобразователя. Коэффициент преобразования находят по одному из двух соотношений.
где и0, а0 — амплитудные значения напряжения и ускорения; U, ас& — средне-
среднеквадратичные значения тех же величин.
Для области низких частот находят применение двойные центрифуги, в кото-
которых на основной вращающейся платформе закреплена дополнительная, несущая на
себе поверяемый датчик. Воспроизводимое двойной центрифугой ускорение
a = s;Q2 sin co^,
где О и о — угловые скорости основной и дополнительной платформы; s/ — рас-
расстояние между осями платформ.
На установке поверяют акселерометры с малым коэффициентом влияния попе-
поперечных составляющих ускорения, так как эти составляющие периодически достшают
значения основной составляющей при фазовом сдвиге 90°
Поверка средств измерений параметров ударного движения, кроме указанных
выше предварительных операций, включает определение коэффициента преобразо-
преобразования в вибрационном режиме на одной частоте с целью сравнения его с данными
градуировки в основном (ударном) режиме. В качестве образцового средства изме-
измерений рекомендуются электродинамические ударные установки УУЭ-1/150 или
УУЭ-2/200, технические характеристики которых должны отвечать установлен-
установленным требованиям. Для больших длительностей действия ударных ускорений исполь-
используют установки с параметрическим возбуждением по ГОСТ 8.137—75; при малых дли-
длительностях — установки, в которых ударное движение создается на торце цилин-
цилиндрического стержня (механического волновода) в результате воздействия на дру-
другой торец электромагнитных сил [11].
Акселерометр (или преобразователь) признают непригодным в случаях, когда
среднеквадратичное отклонение результатов превышает 3 % в вибрационном ре-
режиме или 5 % в ударном режиме (для одной из длительностей фронта) и когда рас-
расхождение коэффициента преобразования в вибрационном и ударном режиме (для
одной из длительностей фронта) по абсолютной величине более 20%.
Динамические свойства преобразователя оценивают по соотношению коэффи-
коэффициентов преобразования в ударном режиме для разных значений длительности
фронта.
Градуировка акселерометров постоянного ускорения. В области ускорений мень-
меньших g (9,81 м/с2) градуировка осуществляется на поворотных столах. При наклоне
плоскости платформы стола по отношению к горизонту на угол а составляющая
ускорения свободного падения, направленная вдоль измерительной оси Z акселе-
акселерометра,
gz = g cos а.
С целью повышения точности некоторые столы допускают поворот вокруг вто-
второй горизонтальной оси, перпендикулярной первой. При градуировке указанным
методом перпендикулярно измерительной оси акселерометра действует ускорение
g. = g sm а, поэтому наряду с погрешностями задания углов ориентации акселе-
акселерометра нижний предел градуировки определяется коэффициентом влияния попереч-
поперечных составляющих ускорения.
В области ускорений > 10 м/с2 для градуировки акселерометров применяют
Центрифуги. При угловой скорости ротора центрифуги ш ускорение точки, удален-
удаленной на расстояние sR от оси вращения, а = s^co2 и направлено по радиусу.
306
ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ МЕХАН ВЕЛИЧИИ
Конструктивно ротор представляет собой сбалансированный рычаг; в наибо
лее точных установках применяют воздушные подшипники [13]
Градуировка датчиков параметров углового движения. Для градуировки этих
датчиков разработаны электромеханические образцовые установки В одной из них
якорь электродвигателя с возбуждением постоянным то-
током, связанный с основанием торсионом, возбуждается
переменным током на собственной частоте системы, что
позволяет получить угловые ускорения до 1000 рад/с2
при частотах до 20 Гц [8] Перспективны также специаль-
специальные электродинамические виброустановки, схема одной из
таких установок японской фирмы Shinken Co., Ltd пока-
показана на рис 2.
Рис. 2. Электродинамическая установка для создания угловой
вибрации:
/ — сердечник из магнитного материала, 2 — ярмо, 3 — виб-
вибростол, 4 — катушка возбуждения вибрации, питаемая пере-
переменным током, 5 — катушка намагничивания
3. ПОВЕРКА ДРУГИХ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
МЕХАНИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Общие вопросы поверки СИ аналогичны описанным в разд. 2 Отметим специ-
специфику градуировки датчиков.
Датчики переменных давлений в жидкой среде обычно градуируют при скач-
скачкообразном спаде давления от заранее установленного значения до атмосферного,
что достигается быстрым открытием вентиля. В настоящее время разработаны об-
образцовые установки, действие которых основано на инерционном методе воспроиз-
воспроизведения гармонического давления В них используется качающаяся или вибриру-
вибрирующая трубка, заполненная жидкостью. В других установках, действие которых
основано на методе взаимности, в камеру грузопоршневого манометра помешены
градуируемый и обратимый преобразователи, а также вспомогательный излучатель
Применяют также установки, в которых переменное давление в жидкости созда
ется пьезоэлектрическим или магнитострикционными излучателями [10].
Для градуировки в динамическом режиме и определения переходных харак-
характеристик датчиков импульсных давлений применяют газодинамические ударные
трубы и клапанные установки [9, 12, 18].
Действие образцовых установок для поверки средств измерения переменных
сил и вращающих моментов обычно основано на использовании вибрирующего тела
В качестве образцовых средств измерений в них применяют кварцевые [4, 17] или
тензометр и чес кие динамометры.
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
Операции, выполняемые в процессе государственной или ведомственной по-
поверки, в некоторых случаях дополняют исследованиями метрологических характе
ристик средств измерений.
Градуировка на баллистическом маятнике. Определенное распространение имеет
градуировка ударных акселерометров на баллистическом маятнике [5, 6]. Сущность
метода заключается в измерении приращения скорости Ду, возникающего в рабо-
МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ 307
чем теле установки при механическом возбуждении ударного движения тела с од-
одновременным измерением длительности действия т ударного ускорения.
При этом пиковое ускорение находят по упрощенной формуле
Av
{где у. — характеристика формы кривой зависимости ускорения от времени) либо
путем численного интегрирования выходного сигнала исследуемого преобразователя
в предположении полной линейности его амплитудной характеристики. Согласно
данным работы [11], определенное увеличение точности достигается при установле-
установлении верхнего предела интегрирования в точке одного из экстремумов сигнала после-
последействия поверяемого акселерометра. В связи с тем, что данный метод обеспечи-
обеспечивает градуировку акселерометров не по пиковому ударному ускорению, а по инте-
интегральному параметру — импульсу ускорения, он может быть рекомендован только
для поверки средств измерений, амплитудная линейность которых проверена дру-
другим, независимым методом
Определение амплитудной характеристики в заданном режиме производят пу-
путем измерения коэффициента преобразования в заданном диапазоне амплитуд гар-
гармонического воздействия (или однократного сигнала) при постоянной частоте (или
длительности фронта импульсного воздействия). Число уровней п входной вели-
величины обычно принимают из расчета одного уровня на каждые 10 дБ амплитудного
диапазона:
Для снижения влияния случайных погрешностей для каждого уровня выпол-
выполняют три—пять измерений.
Нелинейность амплитудной характеристики
и
"max
где kmax, femin — наибольшее и наименьшее значения средних в группах коэффици-
коэффициентов преобразования.
Для нахождения аналитического выражения амплитудной характеристики
ее аппроксимируют степенным многочленом (или иной функцией [11]), после чего
с помощью ЦВМ находят коэффициенты функции, при которых сумма квадратов ос-
остаточных разностей между экспериментальными и аппроксимирующими значени-
значениями коэффициента преобразования имеет минимум.
Если для получения заданного амплитудного диапазона необходимо использо-
использование двух и более установок, то в данные для расчета амплитудной характеристики
входит разность систематических погрешностей установок Предполагая, что относи-
относительные систематические погрешности установок постоянны, допускают введение
в показания, полученные на одной из установок, поправочного множителя, приво-
приводящего их в точках, воспроизводимых обеими установками, к значению, получен-
полученному на более точной установке. На рис. 3 исходные данные показаны сплошными
линиями, а исправленные — штриховыми. Цифрами / и 2 обозначены диапазоны
амплитуд, воспроизводимых на первой и второй установках
Определение амплитудно-частотной характеристики. Измерения производят при
постоянном значении амплитуды гармонического зходного воздействия. При необ-
необходимости использования двух и более установок допускается применение указан-
указанного выше метода сопряжения отдельных участков характеристики
Для получения характеристики используют два основных метода измерения*
на ряде фиксированных частот и при плавно изменяющейся частоте. Число фикси-
308 ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ. СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ МВХАН ВЕЛИЧИН
рованных частот зависит от степени демпфирования преобразователей [71
In
где fmax, fmjn—граничные частоты диапазона; р"—относительное демпфирование.
Скорость изменения частоты во втором методе также зависит от степени демп-
демпфирования. Учитывая, что время установления колебаний в резонансном режиме
с относительной точностью 1 — ост
1пат
у 2л/,
число периодов колебаний за время прохождения полосы частот 2р/?-
!пат
и зависимость частоты от времени
/minV
где у = —In aT. Точное выполнение каждого из условий связано со значительными
затратами времени. Поэтому указанные условия на тех участках диапазона частот,
где резонансы не проявляются, выполняют не
полностью. Индикатор резонанса должен быть
безынерционным; удобно наблюдение с помощью
электронного осциллографа фигуры Лиссажу,
образованной входным и выходным сигналами:
в момент резонанса эллипс изменяет ориента-
ориентацию. Уровень входного сигнала должен под-
поддерживаться постоянным с помощью средства
измерений, амплитудно-частотная характеристи-
характеристика которого в заданном диапазоне частот из-
известна.
Определение фазочастотных характеристик
датчиков связано с необходимостью применения
в качестве образцового высокочастотного пре-
преобразователя с малым демпфированием.
Приближенное выражение для низшей соб-
собственной частоты /„ образцового преобразовате-
преобразователя имеет вид [11]
, ^1158 f
max»
О
Рис. 3. Схема построения резуль-
тирующей амплитудной характери-
характеристики по результатам испытаний
на двух установках
Дф
где /тах — максимальная частота рабочего диапазона поверяемого преобразова-
преобразователя; Дф — допускаемая погрешность определения фазочастотной характеристики,
градусы.
Сдвиг фаз между выходными сигналами образцового и поверяемого средств из-
измерений наиболее удобно находить с помощью цифровых фазометров.
Определение импульсной переходной характеристики датчиков является наиболее
распространенным способом получения одной из полных динамических характери-
характеристик средств измерений параметров движения. Необходимыми условиями здесь
являются получение однократного импульса входного сигнала, длительность дей-
действия которого [11]
2/,
гр
МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ
309
гДе гтах нах°Дят из табл. 2, в которой приведены данные для двух значений погреш-
погрешности воспроизведения кривой; под /гр понимается верхняя граница частотного
диапазона, в пределах которого полученная импульсная переходная функция поз-
позволяет определять частотные свойства системы. Для создания кратковременных
импульсов ускорения используют специальные электромагнитные возбудители [3].
2. Значения г
Форма импульса
Прямоугольная
Полусинусоидальная
Смещенная косинусоидальная
Треугольная
Экспоненциальная
Значения гтах при в, %
10
0,50
0,Ь7
0,80
0,72
0,34
5
0 34
0 46
0,53
0 50
0,24
л? ли* '
Определение с помощью импульсной переходной функции динамических иска-
искажений измеряемых процессов производят численными методами [1].
Для датчиков, имеющих один четко выраженный резонанс, по импульсной
переходной функции можно найти такие характеристики эквивалентной одномассо-
вой колебательной системы, как собственная
частота и относительное демпфирование. Когда
датчик имеет несколько собственных частот и
импульсная переходная характеристика сложна,
удобнее пользоваться амплитудно-частотной ха-
характеристикой, по которой значения собствен-
собственных частот находят непосредственно, а отно-
относительное демпфирование — по формулам:
Pa^sr- ПРИ Р<0,15;
Рис. 4. Амплитудно-частотная ха-
характеристика датчика, имеющего
несколько собственных частот
при р < 0,2;
где Л/л — ширина полосы на уровне 0,71 kn max
я-го резонансного пика (рис. 4).
Определение коэффициентов влияния. Ме-
Методика определения коэффициентов влияния
зависит от характера погрешности, возникаю-
возникающей под действием влияющих величин. В случае возникновения мультипликатив-
мультипликативной погрешности (пропорциональной измеряемой величине [14]) коэффициент
влияния находят, согласно уравнению C) гл. XII, в результате многократного
измерения одного и того же значения параметра входной величины к при разных
уровнях влияющей величины W (остальные влияющие величины, вызывающие
мультипликативные погрешности, при этих измерениях должны иметь постоянные
значения):
ш _ X2 — Xi
гДе хъ х2 — показания средства измерений при двух измерениях; х0 — то же, при
отсутствии рассматриваемой влияющей величины; Wlt W2 — значения влияющей
величины при двух измерениях; одно из значений W удобно принимать равным
нулю.
При возникновении аддитивной погрешности (не зависящей от измеряемой
величины) методикой определения коэффициента влияния ^ предусмотрено измере-
310 ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ. СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ МЕХАН. ВЕЛИЧИН
ние выходного сигнала в отсутствие измеряемой величины при известном значении
Wx влияющей величины (остальные аддитивные погрешности должны быть исклю-
исключены):
,ь Xl l*-°
V- Wl-W0 '
где Wo — нормальное значение влияющей величины.
Рассмотрим несколько методик определения коэффициентов влияния.
Коэффициент влияния поперечных составляющих движения датчика \|)j_ пред-
представляет собой отношение выходных сигналов преобразователя при одном и том же
входном воздействии, приложенном перпендикулярно измерительной оси и вдоль
нее. Коэффициент влияния поперечных составляющих движения зависит от ориента-
ориентации' вектора поперечной составляющей движения в плоскости, перпендикулярной
измерительной оси преобразователя, и от частоты колебаний.
Пример полярной диаграммы зависимости коэффициента i|>j_ от ориентации
вектора поперечного направления представлен на рис. 5. Следует иметь в виду,
что фазы выходного напряжения, вызванного влиянием поперечной составляющей
движения, противоположны для противоположных направлений этого движения
(см. гл. VII и IX).
Зя/2
Рис. 5. Диаграмма направленности
коэффициента влияния поперечной
составляющей векторной величины
Рис. 6. Установка для получения ?>¦
непрерывной зависимости коэффи-
коэффициента влияния поперечной состав-
составляющей векторной величины от
ориентации поперечного движения
Обычно определяют максимальное значение коэффициента г|), на частоте, при
которой резонансные свойства датчика по отношению к поперечному возбуждению
не вызывают увеличения этого коэффициента. Измерения производят при одном
значении параметра поперечной составляющей движения в отсутствие движения
вдоль измерительной оси. Простейший способ определения ф, основан на исполь-
использовании резонансной виброустановки с малым значением поперечной составляющей
воспроизводимого движения, например камертонной, или системы в виде стержня.
Исследуемый преобразователь устанавливают с помощью жесткого приспособле-
приспособления, обеспечивающего перпендикулярность измерительной оси преобразователя на-
направлению колебаний. После измерения выходного сигнала преобразователь пово-
поворачивают в приспособлении вокруг измерительной оси на 30° и повторяют изме-
измерения. Всего выполняют шесть измерений; из результатов измерения берут наиболь-
наибольшее. Основным недостатком методики является нестабильность получаемых резуль-
результатов вследствие влияния неизбежных при повторных закреплениях изменениях
жесткости крепления на результат измерений. Большую точность обеспечивает при-
применение установки [11] для получения непрерывной зависимости коэффициента ipj_
от ориентации поперечного движения.
На рис. 6 представлена схема, иллюстрирующая принцип действия этой уста-
установки. Цилиндрический стержень 2 жестко закреплен в фундаментной плите 1-
Электромагнит 6 возбуждает поперечные колебания стержня 2 на частоте, близкой
МЕТРОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ
311
к собственной. Благодаря вращению электромагнита 6 с помощью вспомогательного
двигателя 3 через редуктор 4 (или вручную) достигается плавное изменение ориента-
ориентации движения в плоскости, перпендикулярной измерительной оси преобразова-
преобразователя 8. Постоянство амплитуды колебаний поддерживается с помощью фотоэлектри-
фотоэлектрического измерителя перемещений 9. Подмагничивание стержня осуществляется с по-
помощью катушки 5. Диаграмма зависимости коэффициента г|>± от угла ориентации дви-
движения записывается самописцем 7. Коэффициент влияния поперечных составляю-
составляющих движения определяют для различных датчиков векторных величин, в том чи-
числе датчиков ускорения, скорости и перемещения.
Рис. 7. Установка для определения коэффициента влияния деформации места крепления
датчика
Коэффициент влияния деформации учитывает влияние деформации места креп-
крепления датчика на его выходной сигнал за счет деформации корпуса датчика. Эго яв-
явление свойственно главным образом высокочастотным акселерометрам. Коэффициент
влияния деформации i|) ье определяется как входное ускорение, вызывающее на вы-
выходе датчика сигнал, равный сигналу от деформации е^ = 1 мкм/м растяжения (сжа-
(сжатия) места крепления преобразователя
Ф = 8 '
где ие — выходное напряжение, вызванное деформацией места крепления преоб-
преобразователя, В, Sa,a — коэффициент преобразования. Коэффициент влияния г|)п,е
зависит от ориентации деформации в плоскости, перпендикулярной измеритель-
измерительной оси. Экспериментальное определение коэффициента г|зае производится на уста-
установках, в которых одновременно с деформацией сжатия происходит деформация
изгиба. Одна из подобных установок, конструктивная схема которой показана на
рис. 7, состоит из сменной пластины-вибратора 4, в центре которой укреплен иссле-
Дуемый датчик 6. Пластина защемлена в нейтральном сечении двумя парами захва-
захватов 5, причем верхние захваты перекрывают лишь края пластины, оставляя
свободным место для крепления датчика. Свободные концы пластины снабжены па-
пакетами из пластин / магнитомягкого материала, они находятся между полюсами маг-
магнитных систем 7, несущих катушки возбуждения 3 и катушки подмагничивания.
Амплитуда колебаний контролируется инструментальным микроскопом 2, причем
коэффициент связи между амплитудой колебаний пластины и деформацией пластины
в Центре определяется предварительно с помощью тензорезисторов. Пластина воз-
бУЖдается на низшей собственной частоте от генератора звуковых частот через уси-
усилитель мощности.
Используют также более простые системы с консольным закреплением балки
и измерением деформации с помощью тензорезисторов. При точных измерениях воз-
возможный вклад в сигнал датчика от вибрации в месте его установки должен компен-
компенсироваться.
312 ГРАДУИРОВКА И ИСПЫТ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИИ МЕХАН ВЕЛИЧИН
Коэффициент влияния температуры
_«! —Ир 1
Vt иТ~ М '
где «1( щ — выходные сигналы измерительного устройства при одном и том же зна-
значении измеряемой величины и двух значениях окружающей температуры (второе зна-
значение — нормальное); М — разность температур.
Измерения проводят в установившемся тепловом режиме при нескольких значе
ниях температуры. Одна из применяемых для датчиков установок показана на рис. 8.
Она состоит из камертона 1, возбуждаемого с помощью электромагнитной системы
(на рисунке не видна) на частоте, близкой к частоте его собственных колебаний.
На одной из ветвей камертона с помощью армированной текстолитовой переходной
втулки 9, обеспечивающей необходимую теплоизоляцию, укреплен исследуемый
датчик. Амплитуда колебаний армирующей втулки, на которой закреплен датчик,
контролируется с помощью инструментального микроскопа. Датчик находится во
внутренней полости камеры, изолированной от окружающего воздуха. С помощью
двигателя, вентилятора и воздушной решетки во внутренней полости создается
9 8 7 6
Рис. 8. Установка для определения коэффициента влияния температуры
циркуляция турбулентного воздушного потока, что обеспечивает быстрое установ-
установление стационарного температурного режима. Температура датчика контролиру-
контролируется с помощью термопары, укрепленной на его поверхности, температура воздуха
во внутренней полости контролируется с помощью терморезистора. При измерениях
в области положительных температур используется нагревательная камера, в этом
случае температура регулируется самопишущим потенциометром. При работе в об-
области отрицательных температур взамен нагревателя используют сменные патроны
с эвтектическими смесями, обладающими температурой фазового перехода —1,2,
—21,2, —33,6, —40,3 и —65 °С, причем установка включает три патрона каждого
типа. Патроны охлаждаются в специальном холодильнике, в котором в качестве
хладагента используется жидкий азот, или в обычной криокамере при температуре
на 40—50 °С ниже номинальной. Необходимая для работы установки электронная
аппаратура скомпонована в стойке.
Наряду с упомянутым выше находят коэффициенты влияния кабельного эффек-
эффекта, акустического поля, магнитного поля промышленной частоты, электрического
импульсного поля и др. [II].
Определение эксплуатационных характеристик. Методы определения эксплуата-
эксплуатационных характеристик средств измерений выбирают в процессе разработки этих
средств В отличие от определения метрологических характеристик они включают
не только определение коэффициентов влияния при наибольших допустимых откло-
отклонениях влияющих величин от нормальных значении, но и определение основных
метрологических характеристик после пребывания средства измерений в указанных
условиях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 313
Список литературы
1 Березин И. С. и Жидков Н. П. Методы выч! слений В 2-х т Т 1 и 2 М:
Наука, 1966
2 Бурдун Г. Д. и Марков Б. Н. Основы метрологии М Изд во стандартов 1975 335 с
3 Гик Л. Д. Измерение вибраций Новосибирск. Наука, 1972 232 с
4 Дрсипер И. С, Маккей В , Лис С. Измерительные системы М Машгиз 1460
5 Инженерные методы исследования ударных процессов /ГС Батуев, Ю В Го-
Голубков, А К Ефремов, А А Федосов М Машиностроение, 1977 ?40 с
6 Иориш Ю. И. Вчбромстрия М Машгиз, 1963 772 с
7 Ленк А., Ренитц Ю. Механические испытания npi Соров и аппаратов М- Мио
1976 272 с
8 Менчиков В. М , Шумилин В П. Маятниковая установка для градуировки угловых
акселерометров — В кн Труды метрологических институтов СССР Вып 143 B03) Изме-
Измерение угловых ускорений М — Л Изд во стандартов, 1973 с 13 — 17
9 Методы и средства для определения переходных характеристик преобразовате
лей импульсного давления / И. В Пютников, В А Дуь аева, В А Ефремов и др — Изме-
Измерительная техника, 1979, Ш 4, с 18 — 19
10 Методы и средства определения частотных характеристик измерительных преоб-
преобразователен давления / В П Шумилин, Ф Н Авдеев, Р М Долгих, Л Б Ланганс —- Из-
Измерительная техника, 1979, № 4, с 19 — 21
11 Пеллинец В. С. Измерение ударных ускорений М Изд во стандартов, 1975 288 с
12 Плотников И. В., Полухин Г. И., Шумилин В. П Состояние и задачи метрологи-
метрологического обеспечения измерений переменных давлений — Метрология, 1976, № 4, с 14 — 26
13 Синельников А. Е. и Блантер Б. Э. Градуировка и поверка низкочастотных аксе
лерометров Л ЛДНТП, 1971 24 с
14 Электрические измерения кеэлечтрических величин / Под ред П В Новицкого
Л : Энергия, 1975 576 с
15 Электрические измеритетьные преобразователи /В Ю Кончаловскии, Я А Ку-
першмидт, Р Я Сыропятова, Р Р Харченко М — Л Энергия, 1967 408 с
16 Broch J. Т. The Application of the В & К Measuring Systems to Mechanical Vibra-
Vibration and Shock Measurements Seborg, Denmark К Larsen & Son
17 Gohlke W. bmfuhrung in die Piezoelektnsche MeBtechmk Leipzig, Gust und Portig,
1959
18 Schweppe J. L. et al Methods for the Dynamic Calibration of Pressure Transducers.
NBS, Monograph 67 Dec , 12 1963
19 Wlldhack W.A. Accuracy of Measurement Standards. «Acta IMEK.O, No 1 —USA—262.
Stockholm, 1964, Separatum, s. 6.
Часть вторая
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ХАРАКТЕРИСТИК, ИДЕНТИФИКАЦИЯ
И ДИАГНОСТИКА МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава XIV
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
И КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
1. ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Частотные характеристики (импеданс и подвижность, комплексные жесткость
и податливость, комплексные масса и восприимчивость (см. гл II)), используют
прежде всего для расчета колебаний сложных систем исходя из свойств их составных
частей Во многих случаях эти составные части (подсистемы) сложны. Их характери-
характеристики легче определять экспериментально в виде частотных зависимостей вибра-
вибрации в точках соединения подсистем при определенных искусственных силовых или
кинематических воздействиях. Полученные данные, а также известные вынуждаю-
вынуждающие силы в рабочем режиме позволяют вычислить ожидаемую вибрацию механиче-
механической системы с помощью алгебраических уравнений при использовании комплекс-
комплексного представления гармонических функций. Формулы для расчета приведены
в гл. II.
Пример 1 (Определение критических частот ротора на упругих опорах) Критические
частоты турбин и других быстроходных механизмов зависят от динамической жесткости
опор по отношению к неуравновешенным силам, действующим на подшипники со стороны
вала Указанная жесткость зависит от частоты, параметров масляной пленки, а также масс
и жесткостей всей внешней конструкции Предполагая, что жесткость опор одинакова,
а взаимодействие между ними отсутствует, используем уравнение A09) из гл II в простей-
простейшей одномерной форме
' 2й (Q) + ZH (и)'
или при переходе к виброперемещениям и динамическим жесткостям
О(в,-
Си (со) 4- Сн (со)'
где V (со) или D (со) — виброскорость или виброперемещение подшипников; FH (to) =
_ ряе]Ш — синусоидальная вынуждающая сила, 2й (со), Си (со), ZH(co), Сн (со) — имчедансы
и динамические жесткости источника (вала) н нагрузки (опор), со — круговая частота
Критические частоты вращения в об/мин « = 30 и/л соответствуют тем частотам со;, где
| Си (аг) + Сн (to,) | = mm, или (при отсутствии демпфирования) | Сн (со() -f Си(со() [ = 0
На рис 1 приведены графики расчетной динамической жесткости с обратным знаком
(— С" (и)) для двухопорного ротора турбины, входящей в состав турбокомпрессорнои уста-
установки Сн (со) — измеренная жесткость опор По оси абсцисс отложено частотное отношение
(o/cooi, где coot — 1 я критическая частота ротора на жестких опорах Масштаб по оси орди
нат — линейный в пределах + 0,4 10" Н/м и логарифмический в остальной области Абсциссы
асимптот Д01 = 1, Д02= Шог/сот соответствуют двум критическим частотам на жестких опо-
опорах, Rv H2 R3 —искомым реальным критическим частотам со; = R со j, (t= 1, 2, 3)
Пример 2. (Учет обратного влияния объекта на вибрацию основания при виброиспы-
виброиспытаниях) При виброиспытаниях оборудования, установленного на относительно легкие и
гибкие основания, необходимо учитывать изменение свободной виброскорости 1^и нена-
груженного основания после установки оборудования
, г К" (со)'
ЗНАЧЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
315
где Vn (со) — виброскорость нагрузки (оборудования) в точке крепления ее к основанию,
Уи (со), Ун (со) — подвижности источника (основания) и нагрузки в той же точке Оче
видно, что VH (со) = Vй (со) только при условии j Уи (со) | «! | Ун (со) |, которое в данном
случае может не выполняться Необходимо либо задавать действительную виброскорость
Vй (со), предварительно измеренную при работе изделия в сборе, либо имитировать под
вижность Уи (со) при испытаниях Например, при установке объекта — системы с одной
10
S
2
1
0,5
0,2
0
-0,2
- 1
- 2
- 5
-70
J
г-
'/
/
н
i
_г .
| у
I
/
I/'
г
I
\J
ч
,—--*
>^
2
У
т •*
I
I
/
V
4
/
Г
ц_
г
У
У
Рис. 1. Графики для определения критических частот ротора на упругих опорах:
/ — жесткость — Си (синфазная форма), 2 — жесткость — Си (противофазная форма);
3 — жесткость +СН
степенью свободы (массы тн) на основание — пластину (жесткости си) на низких частотах
имеем приближенное выражение для знаменателя правой части формулы
1 +
Уи (со)
Ун (со)
т. е I V" (со) | > | Vй (со) |. Использование для испытаний свободной скорости Vй (и) при-
привело бы в данном случае к уменьшению действительных динамических нагрузок на объект —
недоиспытанию
С помощью измерения и последующего анализа частотных характеристик можно
осуществить идентификацию механического объекта [5]. Многомерную матрицу им-
педансов или подвижностеи используют для вычисления собственных частот, форм,
эквивалентных масс и коэффициентов демпфирования объектов авиационной и кос-
космической техники [14, 17].
Все более широко применяют импедансные методы контроля качества изделии,
например, для оценки целости сварных швов, клеевых соединений, многослойных
материалов и покрытий. При этом обеспечивается большая глубина контроля, чем
при ультразвуковой дефектоскопии [12]. Импедансные приборы для дефектоскопии
описаны в работе [9].
В отличие от обычных виброиспытаний абсолютные уровни сил и параметров
вибрации не имеют существенного значения. Их выбирают произвольно в пределах
линейности объекта, но по возможности выше уровня помех. Как правило, доста-
достаточны вынуждающие силы 10—50 Н. Аппаратура отличается способом крепления воз-
возбудителей к объекту и применением силоизмерительных датчиков, а также специ-
специальных комбинированных датчиков—импедансных головок Кроме простейших ис-
исследований обязательно измерение сдвига фазы гармонических сигналов силы и виб-
Рации или их действительной и мнимой частей при комплексном представлении сиг-
сигналов
Теоретические и методологические вопросы применения частотных характери-
характеристик изложены в работах [1, 8, 11, 16, 21].
316 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ. МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
2. ПРИНЦИПЫ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
Предварительные замечания. Как указывалось в гл. II, п. 12, частотные харак-
характеристики чаще определяют при последовательном создании заданных гармониче-
гармонических возмещающих сил или кинематических воздействий. Измеряют амплитуды и
фазы сил и скоростей, после чего определяют отношения амплитуд и разности фаз.
Другие принципы измерения, например по изменению вносимого сопротивления ка-
катушки возбудителя [16], применяют редко.
В многомерном случае необходимо определить все отдельные элементы матриц
согласно правилам, изложенным в гл. II, п. 12.
Из общего числа Л/2 элементов матрицы различными (в силу симметрии) яв
ляются —N(N+\). Рекомендуется определять некоторое число симметричных
членов с целью контроля. Большое расхождение результатов свидетельствует обычно
о невыполнении требуемых граничных условий. При разнице < 3 дБ по модулю и
20° по фазе оба элемента необходимо заменять их векторной полусуммой.
Рис. 2. Схемы крепления испытуемых объектов к стационарному электродинамическому
вибровозбудителю (ЭДВ):
а — установка на вибростоле; б—д — упругое крепление к внешним опорам, б — жесткое
крепление к вибростолу; в — крепление посредством шарнира; г — крепление посредством
натянутой струны или тонкого стержня, измерительный узел на вибростоле; д — то же,
измерительный узел на объекте; / — корпус ЭДВ, 2 — упругая мембрана; 3 — подвижная
система; 4 — испытуемый объект, 5 — измерительный узел (силоизмерительный датчик
или импедансная головка); 6 — упругие связи, 7 — жесткие тяги, 8 — шарнир; 9 натя
нута я струна или тонкий стержень
Приложение вынуждающей силы. Вынуждающая сила вибровозбудителя должна
быть эквивалентна по своему действию на объект реальной вибрационной силе той
же амплитуды и частоты. Обычно реальные силы приложены к более или менее про-
протяженным участкам размером 0,01—0,5 м. Вибровозбудитель, как правило, присое-
присоединяется через площадку диаметром < 50 мм, т. е. практически он является источ-
источником сосредоточенной силы. Если при этом деформация рабочей площадки сущест-
существенна, то схему возбуждения можно изменить следующим образом:
1) обеспечить возбуждение рабочей площадки через жесткий переходник;
2) возбуждать площадку поочередно в нескольких точках и результаты склады
вать по правилам векторного сложения.
Крепление вибровозбудителей и объекта. Для исследования частотных харак-
характеристик применяют стандартные вибровозбудители, главным образом электроди-
электродинамические (ЭДВ), реже — пьезоэлектрические, электромагнитные (ЭМВ), электро-
электрогидравлические и механические. Крепление их к объекту должно обеспечивать
точное поочередное определение всех частотных характеристик как в точке возбуж-
возбуждения, так и в других выбранных точках. Способы крепления разнообразны и за-
зависят от задачи (главным образом от принятой модели), способа установки объекта,
размеров и массы объекта и вибровозбудителя.
При возбуждении в одной точке легких или упруго подвешиваемых объектов
используют стационарный вибровозбудигель (вибростенд), установленный на жест-
жестких внешних опорах (рис. 2). Непосредственная установка изделия на вибростол
(рис. 2, а) возможна при малой его массе и строго вертикальном направлении силы.
Внешняя подвеска объекта (рис. 2, б—д) устраняет эта ограничения, однако может
ПРИНЦИПЫ ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
317
вызвать перекос, поломку или замыкание катушки. Шарнирная тяга (рис. 2 в) на-
натянутая струна или тонкий стержень (рис. 2, е, д) устраняют поперечные статические
и динамические реакции при возникновении поперечных и угловых колебаний объ-
объекта или вибровозбудителя. Возбуждение объекта производится через измерительный
узел (силовую или импедансную головку).
Рис. 3. Схемы крепления переносных ЭДВ к испытуемому объекту:
а — крепление вибростола непосредственно к объекту; б — крепление через натянутую
струну или тонкий стержень, измерительный узел на вибростоле, в — то же, измерительный
узел на объекте; г — крепление к приливу на опорной поверхности объекта для возбуждения
горизонтальной силой; д — крепление к объекту двух ЭДВ для возбуждения вертикальной
и горизонтальной сил
При исследовании (особенно многоточечном) машин и опорных конструкций
непосредственно на их штатных или стендовых фундаментах применяют переносные
вибровозбудители (рис. 3). Для вертикального возбуждения крепят подвижную си-
систему ЭДВ с измерительным узлом непосредственно к объекту, корпус возбудителя
подвешен на собственной мембране (рис. 3, а). При этом не требуется внешней опоры,
что чрезвычайно удобно. Однако жесткая мембрана, необходимая для удержания
возбудителя, ограничивает снизу частотный диапазон измерений. Кроме того, боль-
большинство ЭДВ (особенно мощные) не рассчитаны на нагрузку собственным весом.
у///////////.
i
r-±-3
1
0
o—
—
55
-
n n "
J-У L
U4J
ti.
.1
J
5
a) 5) 8)
Рис. 4. Схемы крепления переносных электромагнитных вибровозбудителей (ЭМВ) к испы-
испытуемому объекту:
а — несимметричный ЭМВ с внешней опорой, 6 — несимметричный ЭВМ с упруго подве-
подвешенным якорем (реактивной массой), в — симметричный (дифференциального типа) ЭМВ
с упруго подвешенным якорем: / — сердечники с обмотками, 2 — якорь, 3 — упругие эле-
элементы подвески якоря; 4 — корпус, 5 — испытуемый объект
Различные варианты крепления с внешней опорой (рис. 3, б, в) аналогичны рас-
рассмотренным вариантам со стационарным ЭДВ. Закрепляя ЭДВ под соответствующим
углом, можно возбуждать конструкцию горизонтально (рис. 3, г). Здесь возникает
«паразитный» момент силы; слишком длинна силовая тяга при больших габаритах
объекта. Предпочтительнее может оказаться устройство с двумя ЭДВ, линии дей-
действия которых сходятся в точке возбуждения под углом 90°. Питая возбудители
одинаковыми токами синфазно, противофазно или со сдвигом фазы 90°, можно полу-
получить соответственно вертикальную, горизонтальную и вращающуюся (типа центро-
центробежной) силы.
Электромагнитные вибровозбудители (ЭМВ) менее универсальны, однако имеют
пречмущества в частных случаях. Возбуждение через воздушный зазор (рис. 4, а)
Давно применяют для легких конструкций. При определенных условиях (большом
зазоре О, малой массе якоря) оно позволяет получить практически идеальный (не
318 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ. МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
зависящий от реакции) источник силы при полном отсутствии боковых реакций.
Однако в некоторых случаях необходимо компенсировать силу F постоянного при-
притяжения дополнительной мягкой пружиной, а в динамических расчетах учитывать
OF
отрицательную жесткость С9Ы = —-^ электромагнитной пружины. ЭМВ с упруго
подвешенным якорем (рис. 4, б, в) можно устанавливать подобно ЭДВ (рис. 3, а)
без внешней опоры непосредственно на объекте (обычно массивном). При зазорах
2,5 3 мм якорь относительно небольшой массы может иметь значительное вибро-
виброускорение (до 30—50 мс), что позволяет получать на низких частотах силы, в 1,5—
2 раза превосходящие общий вес ЭМВ с корпусом. ЭМВ дифференциального типа
(рис. 3, в) имеет большую отдачу и меньшие искажения. Частотный диапазон огра-
ограничен снизу, так как жесткость пружин якоря должна быть значительно выше элек-
электромагнитной жесткости (во избежание неустойчивой работы и «залипания» якоря,
особенно при больших амплитудах).
Существенным недостатком ЭМВ, показанных на рис. 4, б, в, является боль-
большой выходной механический импеданс источника (за счет массы), присоединенный
к объекту и искажающий его характеристики. Между корпусом и объектом рекомен-
рекомендуется устанавливать силоизмерительные датчики. Как и в схемах с ЭДВ, они поз-
позволяют исключить влияние импеданса на измерения. Одно-, двух- и трехкомпонент-
ные датчики силы можно применять для измерения реакций в опорах объекта, про-
пропорциональных импедансу и комплексной жесткости, а также для определения вибра-
вибрационных сил в рабочем режиме с целью последующего вычисления вибрации по
силам и частотным характеристикам [2].
Измерение вибрации. Вибрация определяется обычными датчиками ускорения,
в отдельных случаях — электродинамическими датчиками скорости. Датчик (или
датчики) следует устанавливать ближе к точке возбуждения во избежание погреш-
погрешностей на повышенных частотах. Наиболее точное совмещение датчика с точкой
возбуждения достигается в специальных измерительных узлах (импедансных голов-
головках, описанных ниже) со встроенными датчиками силы и ускорения.
Выбор схемы измерения прежде всего зависит от принятой модели исследуемого
объекта,
3. ОРГАНИЗАЦИЯ ИСПЫТАНИЙ
ПРИ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ОБЪЕКТА
Модель с одним входом (N = 1) для симметричных объектов выбирают при
резонансных испытаниях изделий, возбуждаемых в одной точке по оси симметрии,
при исследовании и идентификации деталей вибровозбудителей и сопряженных
с ними узлов (подвижных систем, силовых и импедансных головок), при дефектоско-
дефектоскопии изделий типа многослойных пластин импедансным методом. Она содержит пред-
предположение о том, что колебаниями других направлений в точке возбуждения можно
пренебречь. Частотная характеристика такой системы, измеряемая по отношению па-
параметра вибрации и силы на единственном входе, определяется одним комплексным
числом. Только в этом простейшем случае импеданс и подвижность, комплексная
жесткость и податливость, комплексная масса и восприимчивость являются вза-
взаимно обратными величинами: Z = 1/К и т. д.
При экспериментальном исследовании объектов, моделируемых таким образом,
следует применять возбудители—источники однонаправленной силы или перемеще-
перемещения, симметричные относительно оси возбуждения. Эти требования закладываются
в конструкцию вибровозбудителей всех типов и, как правило, выполняются в боль-
большей части рабочего диапазона частот. Осесимметричность упругих связей изделия и
источника колебаний позволяет уменьшить погрешности на низких частотах, учесть
влияние связей расчетным путем. Свойства объекта в принципе позволяют исполь-
использовать без ограничений наиболее простые варианты крепления ЭДВ (рис. 2, а, 3, а),
а также (для массивных структур) ЭМВ с реактивной массой (рис. 4, б, в). По схеме,
показанной на рис. 3, а, выполнены и серийно выпускаются малогабаритные изме-
измерители импеданса и подвижности. Используются также варианты возбуждения под
углом при малой жесткости мембраны возбудителя, Для испытания на крутиль-
ОРГАНИЗАЦИЯ ИСПЫТАНИЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЯХ ОБЪЕКТА 319
ные колебания валопроводов и других подобных систем можно применять специ-
специальные крутильные вибровозбудители.
При виброиспытаниях часто приходится учитывать влияние выходных харак-
характеристик источника (возбудителя) на вибрацию нагрузки (изделия). Для одномер-
одномерных цепей используют следующие формулы [упрощенный вариант формул (см. гл. II,
' 1+(КиГн)' —
где FH, Vй — сила и виброскорость в точке возбуждения; ZH, К" = 1/ZH—импе-
1/ZH—импеданс и подвижность нагрузки; Z", Ки = 1/Z" — импеданс и подвижность источ-
источника, измеренные со стороны выхода; F" = (Fa) = Q — вынуждающая сила источ-
источника, измеренная в заторможенном режиме (на жестких опорах); Vя = (Va) н —
виброскорость источника, измеренная в свободном состоянии (без нагрузки). В со-
современных автоматизированных комплексах вели-
величины Fa или Vя искусственно поддерживаются
на заданном уровне, что равносильно обращению Z"
или Y" в нуль.
Модель с одним входом (N = 1) для несим-
несимметричных объектов выбирают при резонансных
испытаниях изделий, работающих в условиях,
когда асимметрия в точке возбуждения не вносит а.
дополнительных реакций.
„ .. , , Рис. 5. Консольная балка (а) и
Пример. Консольная балка в рабочем режиме под- модель с двумя (б) и одним (в)
вержена действию некоторой поперечной силы (рис. 5, а) входом
и должна быть испытана в тех же условиях. Однако
рабочий орган возбудителя, присоединенный к балке
при ее виброиспытаниях, может создавать нагружающий момент, что ведет к искажению
результатов испытаний. При учете момента на конце балки получается модель с двумя
выходами (рис. 5, б) и матрицами характеристик 2-го порядка:
7 1 \ V V
В рамках этой модели подвижность и импеданс в точке 1 (для силы) не являются взаимно
обратными величинами, так как определяются при различных граничных условиях:
Величину 1/У„ правильнее называть обратной подвижностью При F2 = 0 переходим к мо-
модели с одним входом, имеющей подвижность У= Yn и импеданс Z= 1/Уц.
Такая модель пригодна при наличии развязки между возбудителем и объек-
объектом (шарнира, струны, стержня, воздушного зазора), как показано на рис. 2, 0—д,
3, 6—д, 4, а. Допускается и простое крепление (рис. 2, а, 3, а), если комплексная
податливость (или подвижность, восприимчивость) вибровозбудителя по отноше-
отношению к посторонним силам и моментам много меньше, чем соответствующий пара-
параметр объекта. Моментами относительно поперечной оси можно пренебречь, если
ЭДВ имеет легкую и малогабаритную подвижную систему с учетом измерительного
узла, а также гибкую мембрану.
Модель с одним входом и одним выходом применяют для характеристики пере-
передачи вибрационной энергии через разнообразные механические структуры, как
осесимметричные (в приборах вибрационной техники), так и более сложные. Как
правило, на входе и выход- учитывают силы и скорости, действующие по одним и
тем же осям. Входные, выходные и передаточные характеристики модели можно
определить, поочередно подключая возбудитель ко входу и выходу.
Равенство побочных коэффициентов матриц Z и Y (следствие принципа взаим-
взаимности) позволяет ограничиться определением только одного из этих коэффициентов,
что упрощает измерения. Измерение обоих коэффициентов полезно для косвенной
проверки правильности измерения и пригодности принятой модели. Существенное
расхождение результатов чаще всего свидетельствует о наличии неконтролируемых
320
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБЛТ МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
Рис. в. Схема возбуждения мо-
моментом силы:
/ — датчики силы, 2 — датчи-
датчики виброускорения
воздействий на объект, например момента при жестком креплении вибростола
(рис. 3, а).
Модель со многими входами (N > 2) используют при расчете ожидаемом виора
ции сложных агрегатов, включающих механизм с несколькими опорами (источник
колебаний), виброизоляторы и фундамент [2], при определении собственных частот
и форм колебаний больших конструкций [17], при идентификации пространственных
обьектов [14] При выборе споссба крепления вибровозбудителя к объекту следует
пользоваться изложенными вариантами. Они применимы для возбуждения любой
конструкции силами в трех взаимно перпендикулярных направлениях
Сосредоточенный момент силы можно создать двумя вибровозбудителями, вклю-
включенными в противофазе, используя симметричный рычаг (рис. 6). Площадка под
рычагом должна по возможности соответствовать
рабочей площадке. Если она меньше, то ее разче
ры должны в 3 раза превышать толщину опор-
опорного фланца испытуемого объекта. Ь 5- 3/г. В про-
противном случае податливость по отношению к мо-
моменту заметно увеличивается и не соответствует
рабочим условиям Момент инерции рычага вместе
с присоединенными массами (до силоизмеритель-
ных датчиков) определяет собственный импеданс
источника момента.
Последовательная перестановка источника си
лы из одной точки в другую, обеспечение его точ-
точного положения, необходимого натяжения струны
(рис. 2, г—д, 3, б—3) являются наиболее трудоем
кими операциями. При большом объеме подобных
измерений целесообразно подвешивать возбудители
в специальных держателях и жесткой раме таким образом, чтобы их можно было
передвигать и поворачивать в нужном направлении. Следует иметь достаточно
много вибровозб^ дителей с легкими подвижными системами и измерительными
узлами. Возбудители (ЭДВ) можно подключить ко всем входам системы сразу,
чтобы устранить механические операции во время испытании.
4. ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Силоизмерительные датчики. В отличие от испытаний на вибропрочность и
виброустойчивость, при измерении частотных характеристик используют силовое,
а не кинематическое возбуждение. Для измерения вынуждающей силы, приложен
ной к объекту, применяют малогабаритные пьезоэлектрические датчики силы на ос-
основе пьезокерамики, реже — кварца. Они имеют гораздо большую чувствитель-
чувствительность @,01—0,1 В/Н), чем, например, тензорезисторные датчики при той же жестко-
жесткости. Для них нужна та же усилительная и регистрирующая аппаратура, которой ком-
комплектуются пьезоэлектрические датчики ускорения. Диапазон рабочих частот (в сред-
среднем 5—5000 Гц) снизу ограничен параметрами согласующего усилителя, сверху —
резонансными свойствами механических связей. Диапазон измеряемых усилий при-
примерно 0,1—1000 Н. Типичная конструкция датчика силы описана в работе [7] и по-
показана на рис. 7, а.
В реальных условиях на датчик, размещенный между вибровозбудителем и объ-
объектом, как показано на рис. 2—3, действует не только динамическая, но и стати-
статическая сила, как правило, большей величины, зависящая от массы возбудителя
или натяжения гибкой и шарнирной связей. Пластины датчика должны быть доста-
достаточно сильно сжаты деталями корпуса, чтобы ни при каких условиях не было размы-
ктния. Стягивающий элемент должен бьпь, во-первых достаточно прочным для обес-
обеспечения требуемого сжатия A03—104 Н в зависимости от диапазона действующих
усилий). Вместе с тем его жесткость не должна быть слишком большой, так как она
играет роль «силового шунта», уменьшая эффективную чувствительность датчика'
где сд, сщ — жесткости датчика и шунта; sF — чувствительность датчика без шунта.
ДАТЧИКИ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
321
Изменение жесткостей сд и сш за счет контактных явлений (влияния шерохова-
шероховатости, смятия резьбы, силы прижатия) может быть причиной нестабильности эффек-
эффективной чувствительности. Поэтому в датчиках для малых статических нагрузок,
работающих без ударов и перекосов, следует использовать податливый шунт (сш <;
сд) В остальных случаях допустимы жесткие шунты, если есть резерв чувстви-
чувствительности Практика показала, что при сильном натяге и отсутствии перегрузок ве-
величина s'F практически постоянна с точностью 5—7 %. Периодическую градуировку
д-нтчика проводят с помощью эталонной массы т, и датчика ее виброускорения а
(по силе тэа)
На значение силы влияют главным образом масса М подвижной системы между
возбудителем и датчиком и масса т крепежных деталей между датчиком и объектом
(рис. 7, б). Можно использовать элементарные соотношения:
K = Fv — Ma0;
o — Fr — па0,
A)
B)
где а0 — виброускорение объекта; FB — сила, развиваемая вибровозбудителем;
FB = Bit (здесь В— индукция в зазоре ЭДВ, I — длина провода катушки; i —
ток; Fa — сила, измеряемая датчиком; Fo — сила, приложенная к объекту).
Рис. 7. Силоизмерительный датчик:
о — типовая схема / — приемный эле-
элемент и крышка корпуса, 2 — выход
силоизмерительного датчика, 3 — пье-
зо^лемент 4 — переходник, 6 — схема
расположения датчика между подвиж-
подвижной системой и объектом
М
Ю
Из уравнений A) и B) следует, что масса М уменьшает отдачу глозбудителя, но
не влияет на точность измерений. Последняя зависит от инерционной силы массы т:
Р0 — Рл | = от | а0 |.
Поэтому эту массу стремятся сделать возможно меньшей (до 1 г), применяя проч
ные и легкие металлы, например бериллий. Уравнение B) используют также для
электронной компенсации, корректирующей сигнал датчика, если Fд и та0 сопоста-
сопоставимы. Из уравнения A) следует также, что при | Ма0 ] < ^в отдельный датчик силы
не нужен, так как силу fB = ^0 можно измерять по току в катушке и паспортной
чувствительности возбудителя.
Недостатком пьезодатчиков силы является их чувствительность к перекосам
и ударам, низкая стабильность чувствительности по сравнению с те,нзорезистор-
ными датчиками, значительная поперечная чувствительность. Двух- и трехкомпо-
нентные конструкции датчиков могут быть необходимы для измерения сил в опорах,
Импедансные головки служат для одновременного измерения вынуждающей
силы и вибрации в точке возбуждения. Головка типичной конструкции (рис. 8)
включает корпус, силоизмерительный датчик, пьезодатчик ускорения и переходник.
Для точного измерения обеих величин одновременно должны соблюдаться сле-
Щющие условия:
1) малая величина массы между испытуемым объектом и силоизмерительным
элементом, как в обычном датчике силы;
2) возможно меньшее расстояние между датчиком виброускорения и испытуе-
испытуемым объектом,
3) малая суммарная податливость участка между объектом и датчиком вибро-
ускорения (включая контактную податливость) по сравнению с динамической по"
Датливостью объекта;
П и^р. [енкииа М. Д., т. б
322
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ. МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
4) хорошая защита чувствительного элемента датчика виброускорения от из-
гибных деформаций.
С точки зрения выполнения этих требований известные конструкции далеко
не равноценны. Головка, показанная на рис. 9, плохо удовлетворяет усло-
условиям 2 и 3 и непригодна для исследования жестких и массивных объектов, так как
показания датчика виброускорения в этом случае могут быть значительно завы-
завышены. Поэтому лучше применять головку, приведенную на рис. 8, у которой датчик
ускорения находится непосредственно на переходнике. Однако она уступает преды-
предыдущей при измерении малых импедансов, так как имеет сравнительно массивный
переходник (нарушение условия 1).
Рис. 8. Импедаисная головка:
/ — приемный элемент корпуса; 2 — инерционная масса датчика виброускорения; 3 — пье-
пьезоэлемент датчика виброускорения; 4 — выход датчика виброускорения; 5 — выход дат-
датчика силы; б — переходник; 7 — пьезоэлемент датчика силы
Рис. 9. Импсдансная головка с верхним расположением датчика ускорений:
/ — приемный элемент корпуса; 2 — инерционный элемент датчика ускорения; 3 — пьезо-
пьезоэлемент датчика ускорения; 4 — разъем датчика силы; 5 — уплотнение; 6 — переходник;
7 — пьезоэлемент датчика силы; 8 — разъем датчика ускорения
Рис. 10. Импедансная головка с упругим креплением датчика ускорения:
/ — приемный элемент корпуса; 2 — датчик силы; 3 — переходник; 4 — датчик вибро-
виброускорения; 5 — упругий элемент [3]
Импедансная головка, показанная на рис. 10 [3], отвечает всем этим требова-
требованиям. Датчик ускорения (точнее, его корпус) целиком расположен внутри штыря,
т. е. находится в точке возбуждения (условие 2). Он достаточно жестко (с помощью
резьбы) соединен с объектом и точно измеряет его виброускорение. К переходнику
корпус датчика крепится через упругий элемент — тонкостенный участок штыря.
Он обеспечивает динамическую развязку датчика от переходника и в то же время
имеет достаточную прочность.
Существенно улучшается качество измерений жестких и массивных объектов при
креплении головки с применением мастики и свинцовых прокладок.
Диапазон измеряемых величин у головок, показанных на рис, 8 и 9, опреде-
определяется следующими неравенствами [4]:
(ш/п/е) =g | z | =g (с/со) е; C)
где ю — угловая частота, 1/с; т — масса, заключенная между силоизмерительным
датчиком и объектом, кг; 8 — относительная погрешность измерений; | г | — модуль
измеряемого импеданса или обратной подвижности; с—жесткость участка между
датчиком ускорения и объектом, Н/м; sa — чувствительность датчика ускорения,
Вс2/м; (sa)F — паразитная чувствительность датчика ускорения к силе, В/Н; F —
ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ АППАРАТУРА
323
вынуждающая сила, Н; umin — минимальный сигнал датчика ускорения, регистри-
регистрируемый аппаратурой с заданной погрешностью, В.
Указанные границы диапазона изображены схематически на рис. 11 в логариф-
логарифмическом масштабе при т= 0,15 кг; с = 1,2-1010 Нм~10; М = 160 кг
Импедансная головка с упругим элементом (см. рис. Ю^имеет более высокий
верхний предел измерения | г \
(com/8) =s? | z | ==S (СдОсПо/сэ)/б,
— жесткость связи датчик—объект; сп0
съ — жесткость упругого элемента.
C')
жесткость связи переходник—
/00
гооо
Рис. 11. Пределы измерения | г | импедаисными головками при т = 0,15 кг, с = 1,2 -Ю*0 Нм-1,
Mmav = 160 КГ
Жесткости сп0 из неравенства C') и с из неравенства C) обычно примерно оди-
одинаковы. Поэтому можно считать, что верхний предел I г I в неравенстве C ) увели-
увеличивается приблизительно в (сло/сэ) раз по сравнению с обычной головкой. В реальных
конструкциях выигрыш может составить несколько десятков.
Для широкого диапазона измерений следует применять головки различных ти-
типоразмеров. Они являются обязательной частью серийно выпускаемых измерителей
импеданса.
5. ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ АППАРАТУРА
Аппаратура при возбуждении гармонической силой. Наиболее распространен-
распространенный метод измерения частотных характеристик заключается в приложении к объекту
синусоидальных сил, медленно изменяющих свою частоту, и в получении основных
результатов (амплитуды и фазы отклика) в графической или табличной форме. Пре-
Преимущества этого метода перед другими в том, что соответствующая аппаратура хорошо
отработана; достигается (с сопровождающими фильтрами) высокое отношение сиг-
сигнал/шум; малы нелинейные искажения; обеспечивается широкий диапазон нагрузок.
Подача на ЭВМ данных, обработанных аналоговой аппаратурой, существенно упро-
упрощает цифровую обработку, что важно на первых этапах внедрения цифровой техники
в эту область измерений.
Измерительный комплекс, полностью состоящий из серийно выпускаемой аппа-
аппаратуры (рис. 12), содержит несколько измерительных схем более узкого назначения
и может использоваться частями. В него входят звуковой генератор 1 медленно
изменяющейся частоты, усилитель мощности 2 и вибровозбудитель 3. Вибровозбу-
Вибровозбудитель установлен на испытуемом объекте вместе с импедансной головкой 4, содер-
содержащей встроенные датчик силы с выходом 5 и датчик ускорения с выходом 6. Сигналы
Датчиков 5 я 6 (для измерения в точке возбуждения), а также датчика ускорения 7
11*
324
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
(для измерения передаточных характеристик) поступают на предварительные уси-
усилители 8. Корректирующая схема, содержащая усилитель 9 с фазойнвертором и
сумматор 10, выполняет преобразование согласно уравнению (?). Сигнал Fl0 на ее
выходе в идеальном случае соо!ветств>ет силе, действующей на объект со стороны
переходника. Эта коррекция существенна при измерении малых имнедансов и по-
позволяет снизить нижний предел измерения I г | а 5—8 раз Далее сигналы ускорения
можно интегрировать (блоки 11). Сигналы силы Fl0 и скорости Vt, Vъ (или ускоре-
ускорения о,, ak) подлежат дальнейшей обработке по одной из схем А, Б или В.
Регистрация модуля и фазы (схема А). Сигналы поступают на идентичные сопро-
сопровождающие узкополосные фильтры 12, перестраиваемые синхронно с генератором 1
и управляемые его сигналами. Выход канала силы подается на регулирующий
вход s генератора /, Через него осуществляется такое регулирование (компрессия)
Рис 12. Структурная схема комп-
комплекса для измерения частотных ха-
характеристик с аналоговой и цифро-
цифровой обработкой результатов
выходного напряжения генератора, при котором амплитуда основной гармоники вы-
вынуждающей силы остается постоянной В этом случае среднеквадратичное значение
скорости Vo, записанное на самописец 13, развертка которого синхронизирована
с генератором, есть в определенном масштабе частотная характеристика модуля под-
подвижности | Y (ш) |. Параллельно, с помощью фазометра 14 с регистрирующим уст-
устройством записывается фазочастотная характеристика q> = arg У (w). Так как по-
полярность сигналов зависит от положения датчиков и полярности пьезопластин,
необходимо проверять соответствие фазы данным табл. 4 (гл, II) (для сигналов Fl0
и Vt) и при необходимости вводить поправку 180°.
Регистрация действительной а мнимой части (схема Б). В каналз силы при-
применяют сопровождающий фильтр 12, где имеется широкополосный фазовращатель
я/2, вводимый с помощью переключателя. При подаче на синхронный детектор 15
опорного сигнала Fl0 и сигнала Vt (или Vk) самописец 16 регистрирует действитель-
ную часть характеристики Re Y. При подаче опорного сигнала Floe 2, сдвинутого
на 90°, получается мнимая часть Im Y.
Цифровая обработка результатов (схема В). Вместо генератора непрерывно
изменяющейся частоты используют генератор фиксированных звуковых частот (ча-
(частотный синтезатор) 19, частота и выходное напряжение которого изменяются с по-
ИЗМЕРИТЕ 7ЫГАЯ АППАРАТУРА 325
мощью ЭВМ 18 непосредственно или через специальный блок управления ЭВМ,
получая кодированные значения сигналов F, и V, (или Vk) с выхода аналого-цифро-
аналого-цифрового преобразователя 17, при наличии помех может определять среднеквадратичные
значения силы, ускорения, скорости (путем деления на со), мод)ля импеданса и под-
подвижности (путем взаимного деления величин), фазового угла (через вычисление авто-
и взаимно-корреляционных функций). Результаты выводятся на цнфропечатающее
устройство и (или) используются при дальнейших вычислениях (идентификация,
определение собственных частот и форм, обращение матриц и т п ).
Генератором можно управлять по жесткой программе С^ществ>ют также про
граммы регулировки шага по частоте в зависимости от крутизны получаемого гра
фика
Варианты А и Б (с использованием сопровождающих фильтров) требуют боль
ших затрат времени на анализ (время измерения импеданса одной точки в диапа-
диапазоне 20—5000 Гц с фильтрами полосой А/ = 10 Гц порядка 15 мин). Схема В
с цифровым анализом позволяет производить измерения при значительно более быст-
быстром изменении частоты
Измерения при импульсном и случайном возбуждении. Благодаря развитию
современной вычислительной техники, в особенности мини- и микро-ЭВМ, а также
появлению необходимых алюритмов обработки сигналов, особенно быстрого пре-
преобразования Фурье, все больше распространяются методы измерения частотных ха-
характеристик при импульсном воздействии на механический объект. Импульсы вы-
вынуждающей силы и отклика подвергаются преобразованию Фурье, и по соотношению
гармоник определяется нужная характеристика. Отношение сигнал/шум может
быть повышено путем промежуточного преобразования анализируемых сигналов
с помощью авто- и взаимно-корреляционных функций [18] Соответствующие возбу-
возбудители зачастую оказываются значительно проще и меньше, чем электродинамиче-
электродинамические, не требуют специального крепления (что особенно важно при перестановке),
дают значительное усилие в импульсе Общее время испытаний и выдачи результа-
результатов снижается до величины порядка нескольких миллисекунд (в специализирован-
специализированных быстродействующих ЭВМ). Можно назвать несколько примеров реализации
импульсного метода.
1 Возбуждение в виде однократного импульса. Используется легкий молоточек
со встроенным пьезодатчиком [20], не требуется никаких крепежных приспособле-
приспособлений, обеспечивается развязка возбудителя и объекта во время затухающих колеба-
колебаний последнего Однако импульс не получается «стандартным» и годится главным
образом для массивных объектов в области низких частот
2. Возбуждение в виде периодических импульсов. Одна из технических реали-
реализаций [20] использует обычный электродинамический возбудитель, подвижная си-
система которого имеет боек с полусферической головкой Катушка питается от сети
переменного напряжения Импульс длительностью 140 мкс при амплитуде 7 кН
позволяет определять характеристики в диапазоне до 5 кГц
3 Возбуждение в виде импульса заданной формы, например полусинусоиды.
Производится с помощью обычной аппаратуры, предназначенной для синусоидаль-
синусоидальных виброиспытаний [19] В сочетании с автокорреляционным методом для устране-
устранения шума в широкой полосе частот [18J обеспечивает практически полное совпадение
с обычным анализом в диапазоне 20—200 Гц Время обработки (включая построение
графиков) 3 мин
Частотные характеристики можно получить при возбуждении в объекте случай-
случайной вибрации, измеряя ссбственную и взаимную спектральную плотность [16]. Для
увеличения измеряемого сигнала применяют генераторы узкополосного шума с
плавно изменяющейся средней частотой Измерение отклика системы на шум в отно-
относительно широкой полосе позволяет получить усредненную частотную характери-
характеристику многорезонансной системы, что может быть полезно для выявления основных
резонансов [11]
При испытаниях сложных и уникальных объектов по матрицам частотных ха-
характеристик определяют движения объекта под действием заданных сил и воспроиз-
воспроизводят его в замедленном виде с помощью дисплея [14].
326 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ. МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
6. ИЗМЕРЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ
Значение колебательной мощности в вибрационных исследованиях. Вибрацион-
Вибрационное поле сложной конструкции приходится описывать многомерными векторами и
матрицами. По мере увеличения размерности системы эти характеристики становятся
все менее наглядными и достоверными, не дают прямой и достаточно точной оценки
наиболее общих, энергетических свойств вибрационного процесса. Например, при
решении задач виброзащиты стремятся минимизировать сумму средних квадратов
виброскоростей в заданных точках сложной системы. Из-за резкого различия частот-
частотных характеристик (импеданса) энергетический «вклад» отдельных слагаемых не-
неравномерный в отличие от однородной акустической среды, имеющей одинаковое
волновое сопротивление в разных точках. Поэтому в виброакустике нельзя ограни-
ограничиваться измерением средних квадратов, необходимо развивать точные методы изме-
измерения колебательной мощности [6]. Эти методы позволяют дать простую и наглядную
оценку акустической мощности, излучаемой системой; помогают определить утечку
колебательной энергии в опоры, т. е. демпфирующие свойства опор; уточнить крите-
критерии виброзащиты. Суммарный поток колебательной энергии, или активную колеба-
колебательную мощность, /Va используют для вычисления эффективных частотных харак-
характеристик, которые, несмотря на некоторую условность, являются наиболее обосно-
обоснованным результатом усреднения характеристик системы в отдельных точках [2, 11].
В диффузных вибрационных полях, возбуждаемых случайным шумом, потоки энер-
энергии являются основными расчетными величинами A0].
Выражение колебательной мощности через силу и скорость. На практике коле-
колебательную мощность (в Вт) в данной точке определяют через приложенную силу
и виброскорость в этой точке, согласно равенству
т
^F{t)V(t)dt. F)
о
Время усреднения Т равно периоду (в случае гармонического процесса) или
значительно больше его, если вибрация представляет случайный процесс.
Мгновенная колебательная мощность, например, гармонического процесса
F (t) = Fo cos (со/ + ф^), V (t) = Vo cos (coi + фк) определяется как произведение
мгновенных значений силы и скорости:
N (Q = F (/) V (t) =~F0V0 cos (yF-vv)-^.F0V0 c
Она содержит постоянную составляющую — активную колебательную мощность
tf«=y/7,/ocos(<P/'-qv) G)
и переменное слагаемое двойной частоты, которое при усреднении согласно F) обра-
обращается в нуль. По аналогии с электротехникой, кроме активной рассматривают ре-
реактивную колебательную мощность
Nr = -jFoVosm(<pF-q>v).
В отличие от активной понятие реактивной колебательной мощности непосред-
непосредственно не распространяется на многомерную систему [2].
Если гармонические сила и скорость заданы в комплексной форме, то справед-
справедливы следующие выражения:
Na = ~
где * обозначает комплексно-сопряженную величину.
ИЗМЕРЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ МОЩНОСТИ
327
Общий поток колебательной энергии внутрь некоторой системы равен алгебраи-
алгебраической сумме потоков через отдельные точки (участки):
При взаимодействии сложных систем некоторые слагаемые в выражении (8)
могут иметь противоположный знак, что свидетельствует о наличии обратных пото-
потоков энергии.
Выражение F) используют для измерения потока энергии с помощью датчиков
силы и скорости (рис. 13, а). На выходе каналов установлен аналоговый или цифро-
цифровой перемножитель, в качестве которого могут быть использованы коррелометр или
синхронный детектор. При чисто гармонических сигналах достаточны два вольт-
вольтметра и фазометр, однако при этом требуются дополнительные вычисления. Необхо-
Необходима идентичность фазовых характеристик фильтров.
Рис. 13. Структурная схема
комплекса для измерения коле-
колебательной мощности по силе и
скорости в опорах:
а — при жестких опорах: / —
опорная плита механизма; 2 —
опорная плита фундамента;
3 — жесткая проставка с дат-
датчиком силы; 4 — датчик вибро-
виброускорения; 5 — предусилители;
6 — интегрирующий усилитель;
7 — синхронные фильтры; 8 —
измерители напряжения; 9 —
перемножитель, фазометр или
коррелометр; б — расположе-
расположение датчиков при наличии уп-
упругой подвески: / — виброизо-
виброизолятор; 2 — встроенный датчик
силы
Для определения колебательной мощности при полигармонических, а также
случайных процессах необходимо использовать гребенчатые фильтры или широко-
широкополосные цепи, а также качественный перемножитель, не содержащий ключевых
схем.
Выражение колебательной мощности через скорость (силу) и импеданс (подвиж-
(подвижность). Для системы с одним входом при гармоническом возбуждении
~ Re
i- Re
(9)
где r = Re Z — активный импеданс системы.
В многомерном случае выражения ZV и V — векторы, и используется их скаляр-
скалярное произведение. В матричном виде получим (см. стр, 16—18):
VT
(Ю)
Здесь при преобразованиях использовалась симметрия матрицы импедансов Z.
Таким образом, полная колебательная мощность, отдаваемая системе, описывается
квадратичной формой комплексных виброскоростей. Коэффициентами формы яв-
являются элементы симметричной матрицы активных импедансов. Аналогично выра-
выражается мощность через компоненты вектора F и матрицу активных по&вижностей:
(П)
328 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И КОЛЕБАТ. МОЩНОСТЬ СИСТЕМ
Например, при п = 2 выражение A0) имеет следующий вид:
2
где r(-ft составляют матрицу
Выражение A2) наглядно показывает, что кроме слагаемых, содержащих квад-
квадраты скоростей, есть члены, обусловленные взаимодействием между разными точ-
точками. , , . .
Систему в целом можно характеризовать эффективным импедансом (активным)
г считая ее системой с одним входом при той же потребляемой мощности:
j _
где V2 квадрат скорости, усредненный по всем точкам, где приложены силы.
Величина лЭфф при достаточно равномерном распределении виброскоростей и свойств
системы может использоваться для упрощенных вибрационных расчетов [2]. Однако
необходимо иметь в виду, что она существенно изменяется при значительном изме-
изменении распределения скоростей. Когда вектор V является собственным вектором мат-
матрицы Re Z, соответствующим минимальному собственному значению, этот эффектив-
эффективный импеданс и мощность также минимальны [2]. Таким образом, в многомерных
системах, в отличие от одномерных, существует дополнительный «резерв» снижения
вибропередачи путем перераспределения сил или скоростей на входе.
Колебательная мощность на входе и выходе передаточного звена. Звено с одним
входом и одним выходом также удобно характеризовать матрицей импедансов Z
2-го порядка:
(h\(Zu Za\( КЛ
[P'J U12 Zj\-Vj-
Мощности на входе и выходе выражаются следующим образом;
4 $ ?Ш; A3)
A4)
(положительное направление потока Nal — внутрь, Na2 — вне системы; т. е. они
совпадают).
Если звенья входят, например, в состав виброизолирующей подвески, имеющей
значительный перепад вибрации, то во входном потоке Nal основное значение имеет
1 1
1 1 ~ ~
член у /"uVjKf, а в выходном потоке — члену Re A^V*), характеризующий пере-
передачу энергии с входа на выход^ При малом виброизолирующем эффекте под некото-
некоторыми изоляторами скорость К, может быть относительно велика, и второй член
2 Г22^2^|) может стать преобладающим (обратный поток энергии). В крайних
случаях, когда скорость К2 значительно больше, чем Vu и на входе наблюдается
обратный поток энергии (внутрь механизма), что может быть также признаком на-
наличия внешнего источника энергии. Выражения A3) и A4) легко обобщаются на си-
системы произвольной размерности.
Наиболее важен случай, когда передаточное звено — параллельно соединенные
пружина с жесткостью с и демпфер с коэффициентом демпфирования Ь. Формулы
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
329
имеют следующий вид:
ли=4
A5)
A6)
Обычно виброизоляторы, например резинометаллические, имеют на входе и
выходе крепежные пластины, т. е. более или менее значительные массы (рис. 13 б)
Целесообразно определять импедансы только упругой часги виброизолятора, т. е!
не учитывать влияние масс, для чего требуются датчики силы, встроенные в упругий
слой.
6
-| 7
н *
-| 8
V,
-И * 1
1 ' /V
~По]-Г7г]
/г
Рис. 14. Структурная схема комплекса для измерения колебательной мощности по вибра-
вибрации и частотным характеристики виброизолятора:
/ — опорная плита механизма; 2 — опорная плита фундамента; 3 — виброизолятор; 4, 5 —
нижний и верхний датчики виброускорения; 6 — предусилигели; 7 — интегрирующие уси-
усилители; 8 — синхронные фильтры; 9 — измерители напряжения; 10 — аналого-цифровой
преобразователь; // — запоминающее устройство [содержит значения г.. или Ь, с из A3) —
16)]; 12 — вычислительное устройство
Схема измерения потока энергии на входе и выходе виброизолятора (рис. 14)
согласно выражениям A5) и A6) предусматривает усиление, фильтрацию и интег-
интегрирование сигналов виброускорения, и далее — расчетные операции умножения и
сложения с использованием заложенных в вычислительное устройство значений
импедансов. Здесь наиболее удобна цифровая аппаратура.
Список литературы
1 Вибрация энергетических машин! Справочное пособие. Л.: Машиностроение, 1974.
464 о.
2. Виброакустическая активность механизмов с зубчатыми передачами / Под ред.
М. Д. Генкина. М.: Наука, 1971, с. 161—167, 176 — 184.
3. Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях / Под
ред М. Д. Генкина, М.; Наука, 1974. 155 с.
4. Виброметрия. Сб. статей. Л.: ЛДНТП, 1967. 126 с.
5 Влияние вибраций на организм человека. Тезисы докладов III Всесоюзного симпо-
симпозиума. М.: 1977, с. 252 — 261.
6. Генкин М. Д., Яблонский В. В. Поток энергии колебаний как критерий виброак-
виброактивности механизма. — Машиноведение, 1965, № 5, с. 55 — 58.
7. Динамика и акустика машин / Под ред. М. Д. Генкина, М.: Наука, 1971. 126 с.
8. Крон Г. Исследование сложных систем по частям — диакоптика. М.: Наука, 1972.
544 е.
9. Керазрушающие испытания: Справочник. Т. 2. М.: Машиностроение, 1977.
10. Никифоров А. С, Будрин С. Б. Распространение и поглощение звуковой вибра-
вибрации на судах. Л.: Судостроение, 1968. 216 с.
11. Попков В. И. Виброакустическая диагностика и снижение виброактивности су-
судовых механизмов. Л.: Судостроение, 1974. 222 с. ,
12. Экспресс-информация «Испытательные приборы и стенды», 1967, вып. 8. 46 с.
13. Экспресс-информация «Испытательные приборы и стенды», 1974. вып. 19. 30 с.
14 Экспресс-информация «Испытательные приборы и стенды», 1977, вып. 33. 34 с.
15. Technical Review. Bruel & KJaer, N. 4, 1975
16 Colloquium on Mechanical Impedance Methods for Mechanical Vibrations. ASME,
1959. 146 p.
17 Dornier Post. 1975, N. 3 — 4, pp. 41—43.
18' Journal of Sound and Vibration, 1971, 15, N. 2, pp. 203—215.
19 Journal of Sound and Vibration, 1972, 25, N. 2, pp. 217 — 243
20' Messen und Prufen, 1977, N. 3, S 126 — 128, 130.
21 Shock and Vibration Handbook Edited by G. H. Harris, С. Е. Crede. New-York, Me
Qraw — Hill, 1976, 1211 p.
330 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯ
Глава XV
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
1. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Понятие свободных и вынужденных колебаний введено в гл. Ill, V и VI тома 1
для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В технике колебания
упругих распределенных систем представляют колебаниями систем с конечным чи-
числом степеней свободы (и обычно решение технических задач ограничено определен-
определенным диапазоном частот).
В этой главе рассмотрены характеристики собственных колебаний (частоты,
формы, обобщенные массы и декременты), которые необходимо определять экспери-
экспериментальным путем и которые служат для полного описания вынужденных колеба-
колебаний реальной упругой конструкции. Экспериментальное определение характеристик
осуществляется главным образом в режиме гармонических колебаний при резонанс
ных испытаниях с многоточечным возбуждением. Эти испытания проводят с помощью
определенных методических приемов, при использовании современного многоканаль-
многоканального оборудования.
Уравнения свободных колебаний. В большинстве практических случаев коле-
колебания исследуемой реальной механической системы близки к колебаниям некоторой
идеализированной линейной системы с эквивалентным вязким трением. Исключение
представляют специальные случаи, когда реальная конструкция содержит элементы
с резко выраженными нелинейными свойствами. Их следует рассматривать отдельно.
Целесообразен подход к реальной распределенной конструкции как к идеализиро-
идеализированной системе, с конечным числом степеней свободы, имеющей определенные соб-
собственные характеристики, которыми с достаточной точностью определяют колебания
исследуемой конструкции, поскольку практически исследуют ограниченное число
собственных тонов. Таким образом, если принять характер демпфирования «вязким»
(силы трения пропорциональны скорости), то предметом рассмотрения является
линейная система с я степенями свободы, дифференциальное уравнение движения
которой можно представить в следующем виде:
A)
где А, В и С — соответственно матрицы инерции, вязкого демпфирования и жссг-
кости; q — вектор обобщенных координат, в частности, перемещений отдельных
точек.
Уравнения A) описывают малые свободные колебания около положения равно-
равновесия. При уменьшении затухания (элементы Ь-ч -> 0) поведение системы прибли-
приближается к поведению консервативной системы, свободные колебания которой описы-
описываются уравнением
Aq + Cq=0, B)
его п решений имеют следующий вид (см. [16]):
п п
]]28МК//-)-)[/), C)
к, /=1, 2, ..., «,
значения действительных qja и х,- определяются начальными условиями, vk. (элементы
модальной матрицы V) — безразмерные коэффициенты распределения амплитуд
(действительные числа) — определяют форму колебаний. Собственные колебания
одной частоты происходят без сдвига фаз во всех координатах, и соотношения ам-
амплитуд колебаний этой частоты определяются величинами v^j, не зависящими от на-
начальных условий и способа возбуждения. Если амплитуда колебаний задана одной
ХАРАКТЕРИСТИКИ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 331
из координат с частотой соо/, то колебания остальных имеют определенные ампли-
амплитуды.
Таким образом, собственные частоты и коэффициенты распределения амплитуч
и являются теми характеристиками, которые необходимо определить эксперимен-
экспериментально. Удобно свободные колебания системы представить суммой собственных,
каждое из которых является гармоническим колебанием нормальной координаты ц'
Последнюю можно определить как координату, совершающую гармонические коле-
колебания лишь частоты со0/. Амплитуда нормального колебания определяется амплиту-
амплитудой колебаний (той же частоты) в одной из обобщенных координат, например qa.
Обычные, физические, координаты выражаются через нормальные в соответствии
с C).
Для консервативной системы собственный тон характеризуется совокупностью
собственной частоты, формы, и, следовательно, для каждого собственного тона может
быть определена обобщенная масса а°, и обобщенная жесткость с°. = cog а!- (понятие
собственного тона с некоторыми ограничениями распространяется на неконсерватив-
неконсервативные системы). Величина с° равна удвоенной полной энергии системы при колебаниях
по /-му тону.
Очевидно, каждое нормальное колебание имеет форму /-го собственного колеба-
колебания (частоты шоу), а уравнения, описывающие рассматриваемую систему в нормаль-
нормальных координатах, записываются гораздо проще. Для консервативной системы они
определяются подстановкой C) в B) и умножением на V (транспонированную мо-
модальную матрицу) слева:
A°q'+C°q' = 0, D)
где А° = VTAV иС°= VTCV — диагональные (в силу ортогональности собственных
векторов) матрицы обобщенной массы и жесткости с элементами:
к I
Исследуемая система с п степенями свободы распадается на я независимых с од-
одной степенью свободы каждая и решениями в виде выражений C).
Аналогичным образом уравнение A) можно формально также преобразовать
к нормальным координатам консервативной системы B):
q 0, (б)
где В0 = VTBV.
Во многих случаях матрицу В0 можно считать диагональной (при силах демп-
демпфирования, пропорциональных упругим или инерционным, матрица В°, очевидно,
всегда диагональная), поскольку диссипативные связи между собственными тонами
достаточно малы. Тогда система уравнений F) распадается на ряд отдельных неза-
независимых уравнений для каждого собственного тона, описывающих колебания си-
системы с одной степенью свободы, элементами которых являются скалярные величины:
) Q. V)
Преимущества перехода к нормальным координатам консервативной системы *
очевидны: можно анализировать колебания по каждому собственному тону незави-
независимо, а исследование колебаний сводится к простому и наглядному рассмотрению
одностепенных систем. О комплексных нормальных координатах неконсервативной
системы см. работу [16].
Уравнения вынужденных колебаний. В первую очередь представляют интерес
два вида колебаний физических систем — свободные и вынужденные. Свободные
колебания описываются уравнениями A), F) с нулевой правой частью, вынужден-
вынужденные—при наличии внешних возмущений — такими же уравнениями, отличающи-
отличающимися членом F в правой части, соответствующим вынуждающей силе. В физических
* Иногда эти координаты ошибочно называют нормальными координатами для дисси-
пативных систем (или координатами, при переходе к которым система F) распадается на
независимые уравнения), в то время как нормальные координаты неконсервативных систем
являются комплексными.
332 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
координатах [уравнение A)] F — вектор сил, в нормальных координатах [уравне-
[уравнение F)] он преобраз\ ется в вектор обобщенных сил F' = VF, /-я компонента кото-
которого пропорциональна работе сил возбуждения на перемещениях по форме /-го соб-
п
ственного тона: Ff = 2
2j )
fe= 1
Учитывая, что произвольное периодическое внешнее воздействие можно пред-
представить разложением в ряд Фурье суммой синусоидальных колебаний с кратными
частотами, первоочередной интерес представляет случай синусоидального возбужде-
возбуждения с одной частотой (о:
a'fq';+-Ь°q',+eft-= Fу cos at; /=1,2 п. (8)
При использовании метода комплексных амплитуд [16] уравнение вынужденных
колебаний системы A) для комплексных обобщенных координат q принимает вид
Fue'^; q = qoe^ = (Re i + ilm q0) e«'«"; q0 = 4l)e''<P, (9)
что в случае силы возбуждения Fo cos at дает решение q в виде реальной части q:
q = q0 cos (at + cp) = Re q0 cos at — Im q0 sin at;
' <7/= <7o/cos (w/+ ф) =Re <?o/ cosatf — Im q0)- sin at. A0)
Для расчета вынужденных колебаний в системе (8) необходимо знать: 1) собст-
собственные частоты ш0.; 2) обобщенные массы а", или обобщенные жесткости с°, (поскольку
они связаны значением собственной частоты ш0]); 3) обобщенные коэффициенты сопро-
nb°,
тивления 6°. или безразмерные значения — логарифмические декременты 6°. = ——;
1 ш0]а}
4) коэффициенты распределения амплитуд v^j или формы собственных колебаний —
векторы \], поскольку последние являются столбцами модальной матрицы V, исполь-
используемой для перехода от физических координат к нормальным и для определения
обобщенных сил F',.. Следует еще раз подчеркнуть, что речь идет о собственных фор-
формах консервативной системы, которые служат для описания колебаний реальной
системы с трением. Форма колебаний неконсервативной системы описывается двумя
векторами, сдвинутыми по времени на четверть периода и представляющими бегу-
бегущую волну, в противоположность стоячим волнам, представляемым векторами vf.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
С ПОМОЩЬЮ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТАНИЙ
Гармоническое возбуждение. Применение гармонического возбуждения (для
определения частот и форм собственных колебаний), которое является частным
видом периодического возбуждения, имеет ряд преимуществ. Исследуемая механи-
механическая система отзывается на такое возбуждение, как набор осцилляторов, особенно
в случаях, когда соответствующие декременты малы, т. е. для тех собственных тонов,
которые являются наиболее важными, например могут быть наиболее опасны по со-
соображениям прочности.
Результаты анализа реакции конструкций на гармоническое возбуждение в наи-
наименьшей степени подвержены влиянию погрешностей, так как не требуется допол-
дополнительной обработки и можно использовать эффективную фильтрацию средствами
синхронного детектирования или иными, однако при этом увеличивается длитель-
длительность измерений. В этом случае наиболее наглядны резонансные явления (одни из
важнейших в технических приложениях), а непосредственно используемый матема-
математический аппарат (частотные методы анализа) хорошо развит и является достаточно
простым.
Система с одной степенью свободы. При экспериментальных исследованиях
колебаний реальных конструкций в ряде случаев оказывается, что их основные ха-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
333
рактеристики близки к характеристикам простейшей системы с одной степенью сво-
свободы. Свободные колебания такой системы описываются уравнением G)
Простота анализа колебаний в системе с вязким трением и возможность во мно-
многих случаях свести реальное демпфирование к эквивалентному вязкому обусловили
широкое практическое использование этого допущения.
_at
0,3
w
2Я 0 ff,t C,Z 0,3 0/f
Рис. 1. Зависимость In q от числа периодов
0,5 в
Рис. 2. Погрешность определения логарифмического декремента по величине &q/q\&Q~
Затухающие колебания, вызванные начальным отклонением q0, имеют вид q (f) =
= q0 V\ -(- (9/2яJ е~?/cos ые/ — ц>); tg<p = 9/2it, откуда определяются обе ха-
характерные величины: cos и 8 (со| = cog — s2, s=jp, ou-j= —J, либо ие и логарифми-
логарифмический декремент б = 2пе/а>*. Для проверки близости характера затухания вязкому
иногда определяется зависимость In q от числа т периодов (рис. 1). Значение лога-
логарифмического декремента получается в соответствии с определением 6= — In k ,
либо 6=^— (kq = qk — qk+1), что справедливо для малых декрементов (рис, 2),
Рассматривая вынужденные колебания системы с вязким трением: aq'-\-bq +
t — q>)= qCT cos (со/ — q>) / l/ A — Ц2)*
= F0 cos a>t; q =
at
«о
<7ст
отметим неоднозначность понятия «резонанса» в такой системе. Если резонанс-
резонансным называть значение со, при котором амплитуда колеблющейся механической ве-
величины достигает максимума, то небезразлично, какую величину измеряют при
эксперименте — перемещение, скорость или ускорение (т. е. используются ли дат-
датчики перемещения, скорости или ускорения), так как соответствующие резонансные
частоты отличаются друг от друга (рис. 3). При уменьшении затухания (Ь -» 0) эти
величины практически одинаковы.
Собственной частоте системы ш0 соответствует максимальная амплитуда, изме-
измеряемая датчиком скорости (скорость при этом имеет нулевой фазовый сдвиг отно-
Иногда вместо cofi ошибочно записывают соо.
334
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
сительно вынуждающей силы), а фазовый сдвиг перемещения (и ускорения) по от-
отношению к вынуждающей силе составляет 90°. Частоту, при которой г| = 1 и ф = 0
(для скорости колебаний), часто называют частотой фазового резонанса, а значение,
соответствующее макснм>му перемещений (меньше частоты а>е свободных
колебаний системы с затуханием), — частотой амплитудного резонанса. Далее везде
резонансной частотой называется частота фазового резонанса.
Чо/9ст
(uUct)
Л/?ст
¦ ¦ is
- l_
l(^o ?cr)
? V i,o ?=^ ер. о,з ?,о 1,1 >,г 7=^
Рис. 3. Резонансные кривые, измеренные датчиками перемещения и ускорения <02 > Э,)
Практически одним из наиболее простых и точных способов определения собст-
собственной частоты является определение ее по нулевому фазовому сдвигу сигналов
силы и скорости, например, с помощью электронного осциллографа (рис.4). По изобра-
изображению фигуры Лиссажу на экране осциллографа, когда необходимо отметить
лишь отклонение изображения от прямой линии, оператор может определить резо-
резонанс с погрешностью по фазе порядка Дф = ±1°, что ведет к относительной ошибке
определения частоты (в процентах) —=«0,36, т, е. порядка 0,05 % при логариф-
логарифмическом декременте 8 = 0,1 -?- 0,2,
Рис. 4. Схема определения частоты фазового резонанса:
1 — синусоидальный генератор; 2 — ЭДВ
Способом, позволяющим отчасти устранить влияние нелинейности системы
(например, влияние высших гармонических составляющих), является измерение
мнимой и действительной частей кинематических величин, т. е. синфазной (в фазе
с возбуждающей силой) составляющей этих величин и квадратурной — сдвинутой
на четверть периода по фазе относительно силы, см. (9), A0).
Для квадратурной составляющей перемещения из соотношений A0) и A1) полу-
— Im <7„ sin at = -
с
A-4*)*+ г)
: sin со/= —
sin at,
A2)
~ ¦
откуда видно, что максимальное значение Im q0 совпадает с максимальным значе-
значением модуля перемещения q0, но резонансная кривая становится более узкой (рис, 5).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 335
Аналогично для синфазной составляющей перемещения можно получить
, Im t7n
• cos Ы = —2" cos ш/
со
A3)
откуда следует, что частота со = щ определяется по нулевому значению синфазной
составляющей перемещения Re q0 (рис. 5). Экстремумы кривой Re o0 соответствуют
частотам wf,2 = cog (I ± din), или со12 ^ со0 A ± б/2я).
Амплитудно-фазовые 'характеристики величин <?, <?, соответствующие компонен-
компонентам A2), A3) при постоянной амплитуде силы возбуждения (частотные годографы
системы), представляют собой, для малых б, почти правильные окружности (рис. 6),
при этом угловая скорость вектора годографа максимальна в окрестности собствен-
собственной частоты [22].
И \ V?4 7=ё
Л
Рис. 5. Резонансные кривые синфазных (Re GOt Re qa) и квадратурных
ставляющих
1т^0) со-
соРис. 6. Амплитудно-фазовые характеристики (частотные годографы) скорости и переме-
перемещения
При известной зависимости q0 от частоты декремент колебаний определяется по
ширине резонансной кривой либо по величине qp — максимальному значению qa:
6 = л—. A4)
Если <7СГ неизвестно, то декремент определяют по значениям двух частот: г^
и у|2, соответствующих одинаковым величинам q0. Для ^0 (ii) — Яа (Пг) = аЯр в СЛУ"
li Г 1 1
чае вязкого демпфирования 8 = 2л (щ — тJ) / |/ 1, и при а = -7==0,707
/ ' а3 У 2
получается широко используемое соотношение
6 = я(г|1 — т]2). A5)
Это же соотношение справедливо для резонансных зависимостей синфазной и
квадратурной составляющих, где в качестве характерных частот следует взять
значения, соответствующие либо экстремумам кривой Re qQ (или Im q0) либо на уровне
(практически) г- Im qu (или —Re <7о)-При использовании частотного годографа соот-
ношением A5) можно пользоваться, принимая за % и тJ частоты точек пересечения
линии диаметра, перпендикулярного вектору резонансных колебаний, с окружностью
частотного годографа (рис. 7).
Для измерений, в которых при изменении частоты амплитуда перемещения под-
поддерживается постоянной путем изменения амплитуды силы, соотношение A5) также
336 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
остается справедливым, если значения % и % определяются условием Fp/F0 = 0,707
С помощью частотного годографа значение 6 может быть найдено в ряде случаев
более достоверно по величинам двух частот, Г|[ и г\'а и угла ф0 между соответствующими
векторами (рис. 7):
Степени детализации сложных систем. В определении характеристик собствен-
собственных колебаний сложных систем со многими степенями свободы путем резонансных
испытаний степени детализации могут существенно отличаться.
Практически всегда необходима оценка значений собственных частот, и это
может быть либо начальной стадией испытаний, либо в простых случаях содержит
ответ на практический вопрос. Затем определяют форму колебаний на той или иной
собственной частоте, т.е. находят соотношение амплитуд q%, цг, ... qn. При этом
форма может быть названа по определенному признаку (например, названию эле-
элемента конструкции, имеющего наибольшую амплитуду при колебаниях по данной
форме).
Imqt
Гр
7
Р
?'
\
1z
, ?
9о/7/>
Рис. 7. График определения логарифмического декремента с помощью частотного годографа
Рис. 8. Амплитудно-частотные характеристики при поддерживании постоянства показаний
датчика перемещений
Во многих случаях этой информации о формах и частотах собственных колеба-
колебаний достаточно для решения практической задачи. Однако полная информация о си-
системе, необходимая и достаточная для расчета ее колебаний, содержит также значе-
значения других обобщенных параметров — декрементов и обобщенных масс (или жест-
костей) для каждого собственного тона. Как правило, экспериментальное опреде-
определение этих величин требует предварительного нахождения собственных частот и
форм, а также резонансных зависимостей (амплитудно- и фазочастотных характе-
характеристик).
Практически полный объем испытаний включает определение спектра собствен-
собственных частот (в выбранном диапазоне, поскольку реальная распределенная конструк-
конструкция имеет бесконечный набор собственных частот), форм колебаний (иногда не для
всех найденных частот), а также измерения, необходимые для определения декре-
декрементов и обобщенных масс наиболее важных в данной задаче собственных тонов.
Дополнительным этапом является проверка соответствия конструкции допущению
о линейности ее модели- определение зависимости собственных частот от амплитуды
перемещений, или амплитуды перемещений от силы возбуждения. Для этой же цели
определяют обобщенные параметры системы (для данного тона) различными спосо-
способами, которые в идеальном случае должны дать идентичные результаты.
Резонансные испытания с многоточечным возбуждением. Путем надлежащего
выбора сил возбуждения при таких испытаниях выделяют поочередно отдельные
собственные тона и регистрируют соответствующие формы, частоты и величины, по
которым определяют обобщенные массы (или жесткости) и коэффициенты демпфиро-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯ 337
вания. Возбуждение осуществляется гармоническими силами с относительными фа-
фазовыми сдвигами 0 или 180° и различными амплитудами.
Специфической особенностью испытаний с многоточечным возбуждением яв-
является необходимость управления многими силами с целью отыскания вектора Fo
с такими действительными компонентами, чтобы вынужденные колебания представ-
представлялись одним собственным вектором [5, 15, 20, 21]. При полной компенсации сил
демпфирования силами возбуждения ?'о cos at на собственной частоте консерватив-
консервативной системы соО/ справедливы соотношения
FJcosco^BV; Aoq'+C°q'^=0; cd = u>()/, A6)
т. е. скорости всех точек конструкции и силы синусоидального возбуждения оказы-
оказываются в фазе (или противофазе) между собой, и скорости имеют отличную от нуля
лишь синфазную составляющую. При возбуждении собственных колебаний одного
тона (если В0 — диагональная) можно записать-
Fo/ = O; 1=1, 2, ...л; 1ф],
где Re qoj и Im q,tj — амплитудные значения синфазной и квадратурной составляю
щих; все коэффициенты — скалярные величины.
Чтобы уменьшить влияние нелинейности характеристик испытываемой конст-
конструкции на результаты, измерения проводят при фиксированном уровне — одном или
нескольких. Уровень колебаний определяется некоторой усредненной по конструкции
величиной — суммарным сигналом:
?/ = ^J >7/s sign Re90/( = Re t/0cos«tf+ Im Uo sin Ш,
k
т. е суммой скоростей характерных точек, знаки которых совпадают со знаками
синфазной составляющей скорости (эта величина определяется заново для каждой
формы). Могут быть использованы и сигналы перемещений или ускорений, в этом
случае их знаки определяются знаками соответствующих квадратурных составляю-
составляющих, например U=~S\qk sign Im qaf,- Сигнал U легко реализовать в ходе экспери-
k
мента.
При таком методе испытаний требуется сложное оборудование, однако полу-
получают точные экспериментальные данные в виде коэффициентов уравнений F) и G).
При этом обеспечивается возможность оперативной обработки результатов с помо-
помощью простейшего анализа, что существенно при испытаниях в сжатые сроки, когда
необходима полная уверенность в надежности получаемых результатов на каждом
этапе эксперимента.
Подбор сил возбуждения. Из соотношений A7) следует, что специальный подбор
сил возбуждения и их частоты позволяет исследовать колебания сложной конструк-
конструкции как колебания одностепенной системы (отдельно для каждого собственного тона).
Например, частота собственных колебаний системы без демпфирования определяется
по нулевому фазовому сдвигу между силой и скоростью. Если скорость измерять
по двум составляющим Re q0 и Im q0, то совпадение частоты возбуждения с собст-
собственной определяется обращением в нуль квадратурной составляющей скорости —
условием lmq0 — 0 (либо Im Uo = 0).
Поскольку признаком выделения тона является отсутствие фазовых сдвигов
в отдельных точках конструкции (отличных от нуля или 180°) при нулевом сдвиге
фазы скорости относительно возбуждения, подбор сил может осуществляться с по-
помощью итерационной процедуры при наблюдении колебаний характерных точек по
экрану электронного индикатора [2, 24]. Когда изображение имеет вид фигур Лис-
сажу, подбор сил должен обеспечить получение этих фигур в виде прямых, если ха-
характерный размер изображения пропорционален величинам Im q, то эти составляю-
составляющие обращаются в нуль и т. п. Для ускорения процесса выделения колебаний од-
338 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ного (искомого) тона можно использовать единую минимизируемую величину, когда,
например, целью подбора сил является min ^ (lm q0kJ.
к
Более эффективно процесс выделения искомого тона осуществляется в том слу-
случае, когда автоматически поддерживаются условия фазового резонанса при посто-
постоянном уровне колебаний, т. е. выполняются соотношения
Ime/0 = 0; Rec/0 = const. A8)
Одной из перспектив в этом направлении является использование методов мини-
минимизации (или иных) для подбора сил с помощью управляющей ЭВМ.
Для оценки степени выделения тона удобно использовать единый численный
критерий, характеризующий фазовые сдвиги <pk колебаний отдельных точек (по от-
отношению друг к другу)- Таким критерием служит величина усредненного фазового
сдвига, которая получается суммированием I tg cpfe | с весовыми коэффициентами vk,
пропорциональными I vkf |. При 2V*= 1 они принимают вид vft = ) vkj | / ^1 vij I.
ft / /
так что усредненный фазовый сдвиг, <pcp, не зависит от уровня колебаний: tg <pcp =
= Sv* I tg(P* I"' Si Im?o*i/2i' Re?«* '• Значение tg cpcp легко подсчитать
k k I ft
в процессе испытаний после регистрации Im q^ и Re qol! (или Re q\k и Im qok).
Выделение собственного тона обеспечивается при установке силовозбудителей
в точках с большими амплитудами колебаний по форме исследуемого тона (а также
ближайших по частоте), поэтому при наличии плоскости симметрии конструкции их
рекомендуется устанавливать симметрично. В то же время при отсутствии близких
тонов и наличии относительно малых декрементов колебаний (что может реализо-
реализоваться для первых упругих тонов) подбор сил иногда может сводиться к определению
одной-двух отличных от нуля сил.
Если хорошо выделенный собственный тон не имеет связи с другими тонами через
демпфирование, то его характеристики полностью совпадают с характеристиками
одностепенной системы. Это можно наблюдать, в частности, по характеру годографа
частотной характеристики (окружность для линейной системы), по отдельным ре-
резонансным кривым, а также по виду затухающих колебаний после мгновенного вы-
выключения всех сил возбуждения. В этом случае по осциллограммам затухающих
колебаний можно также определить величины б"..
Измерение собственных частот и форм. Отношение двух обобщенных характе-
характеристик (массы и жесткости) определяют по собственной частоте консервативной си-
системы. При испытаниях с многоточечным возбуждением эту частоту измеряют при
нулевом фазовом сдвиге между сигналами скорости и возбуждения (а также при обра-
обращениях в нуль сигнала Im Uo) с большой точностью E—6 значащих цифр). Это не-
необходимо для определения обобщенных масс, когда требуется измерить малые при-
приращения частоты и большая погрешность недопустима, однако практически допусти-
допустимые погрешности определения частоты собственных колебаний на 2—3 порядка выше,
поэтому допустим отсчет и непосредственно по шкале генератора.
Измерение форм собственных колебаний (консервативной системы) практически
осуществляют измерением распределения Re ~q0 или Im q0 для первой гармоники коле-
колебаний на резонансной частоте, хотя в более простых случаях, когда не требуется
большой точности, можно измерять и распределение значений модуля сигнала q0
или 9о- При фазовом сдвиге <р = 8° разница Im q0 и q0 составляет ~1 %, при ф =
= 24° ~ 10 %. Анализ по первой гармонике позволяет устранить влияние искаже-
искажений формы сигнала, вызванных нелинейностью или иными причинами, на резуль-
результаты измерений посредством выделения составляющих для основной частоты коле-
колебаний и осуществляется способом синхронного детектирования.
Многоканальное оборудование позволяет определять значения синфазной и
квадратурной составляющих сигналов 10—20 датчиков одновременно с целью по-
последующей регистрации большого числа сигналов такими группами. В то же время,
если число точек измерения формы не велико (в пределах 10—20) и все они сравни-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ 339
тельно легко доступны, то измерения можно проводить с поочередным «обходом»
этих точек посредством одного переносного датчика, сигналы которого подаются
на вход одноканального блока синхронного детектирования. Найденные таким обра-
образом сигналы непосредственно являются коэффициентами распределения амплитуд
исследуемой формы колебаний.
Способы измерения обобщенных масс. Обобщенные массы определяют различ-
различными способами, дополняющими друг друга и позволяющими путем независимых
измерений контролировать получаемые значения [5, 15, 20]. Наиболее точным по-
видимому, являегся способ механической догрузки конструкций, которым опреде-
определяется изменение собственной частоты (или периода ГД вызванное установкой до-
дополнительных сосредоточенных масс ak. Из уравнения D) можно получить, что при
малых приращениях
Д»
2я
На практике для уменьшения влияния случайных ошибок измерения проводят
при нескольких вариантах догрузки. Затем методом наименьших квадратов (МНК)
определяют значения обобщенных масс из следующего соотношения:
Аа° =VL /1т9оП2~1. at т т
m /\akm[- с— ; Д/ т — 1 т— 1 /,
k
где Аа° и Д71 — приращение обобщенной массы и периода собственных колебаний
для m-го варианта догрузки массами а^т; Im qQa — перемещение точки нормирования,
Imgoft^ —т_ можно заменить —— при Дшт = ш0/ — сот, поскольку -=-я»
Im?0H *' Т, ио/ Т
(О
Для определения влияния нелинейности на величину а° измерения можно
повторить при различных уровнях колебаний. Недостатком способа является необ-
необходимость установки грузов, что не всегда возможно практически и требует допол-
дополнительного времени.
Более оперативным является определение обобщенных масс, связанное с добав-
добавлением квадратурных составляющих сил возбуждения. При этом фактически изменяют
общий фазовый сдвиг ф0 всех сил возбуждения по отношению к фазе сигнала 0 гене-
генератора, по которому отмечается фазовый резонанс. Если отношение модуля квадра-
квадратурной составляющей силы возбуждения к исходной (синфазной) обозначить А, =
= tg(p0, то в уравнении (9) следует заменить FJ на FJ A + (к). При исходной резо-
резонансной частоте соо/- сигнал скорости также изменит фазовый сдвиг на ср0. Изменением
частоты Дш добиваются такого значения фазового сдвига сигнала скорости, при ко-
котором этот сигнал совпадает по фазе с начальной — синфазной составляющей воз-
возбуждения, т. е. наблюдают фазовый резонанс скорости с сигналом. О генератора.
При этом квадратурная составляющая сил возбуждения (сигнал ±90° генератора)
по величине и фазовому сдвигу эквивалентна силам инерции некоторой дополнитель-
дополнительной массы аэкв (для одной силы Xfoft = aBKBqok), а уравнение A7) можно представить
в следующем виде:
Foi = 6/ Re q'or, (wu/ + Д»J a/ Im q'oi — c) Im q'Oi + XFai = 0-
При Дсо < Оду с учетом q'f = qg
а} =а itFo/Ze^fflo/ Im ^он= Т/Ы12%х Re
Дш 2л ДГ 2л VI /im qok
<aOj к Т] к к
340
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Измерения проводят при положительном и отрицательном значениях tg ф0,
т е. измеряют значения Г', соответствующие резонансу при + I к | F' и значения Т,
соответствующие — I A, I F'o. Отсюда определяется одна общая величина
д у f f>
-7=- = =—=7,. Как и при механической догрузке, й; измеряется для нескольких
вариантов значений Хт, которые служат для определения обобщенной массы по
МНК подстановкой в B1) следующего выражения вместо Ь^:
[{%тП •
B2)
Как при механической догрузке, так и при добавлении квадратурных составляю-
составляющих сил возбуждения, проводят контрольные измерения собственных форм, по-
поскольку неизменность формы — исходное допущение при выводе соотношений A9) —
Д7" /Асо\ . , . , . „,
B2) и линейного характера зависимости -у- (— j от Да или | А \ (рис. 9),
АГ/Т
¦а)
О
АТ/Т
Аа
\
\
в)
1ЛГ
Рис. 9. Графики контроля достоверности определения обобщенных пасс различными спо-
способами:
а — механической догрузки; б — добавления квадратурных составляющих сил возбужде-
возбуждения; в — энергетическим
Энергетический способ (называемый также способом комплексной мощности [20])
определения а°- основан на измерении частотного годографа в малой окрестности ча-
частоты со0/ для всех точек возбуждения. После регистрации Re 5os> Im ~quk (или Im "q^,
Re qok) для координат точек возбуждения при пяти — семи значениях Тт (или шш),
отличающихся на 0,2—0,3%,
( J J B3)
\т _ т
m
4n (Re <?0HJ= - tgX72«0, (im ?0HJ.
где угол наклона прямой, характеризующей зависимость <?т=У] Fok
k
от Tm (си- рис, 9) либо Qm=
соотношений:
Re9
oft \
определяется с помощью МНК из
B4)
Зависимости B4) равномерны при относительно больших декрементах, когда
Дш/ш <: @,03-ь 0,04) 6; | фу | =g 15°. В противном случае необходима аппрокси-
аппроксимация экспериментальных данных по МНК полиномом третьей степени, что дает
более сложное соотношение для tg^. При 2Tm — .S^m = 0» напРимер при равно-
т т
МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТ. 341
отстоящих частотах или симметричных относительно средней
t ,=C? Q
Измерение логарифмических декрементов колебаний. Декремент колебаний
определяют различными способами. Требования к точности результата здесь в не-
несколько раз ниже, чем при определении а°. Большей частью приведенные выше
способы измерения декремента одностепенной системы по ширине резонансных кри-
кривых (или по частотному годографу) пригодны и в случае системы со многими степенями
свободы. Логарифмический декремент определяется попутно соотношениями B2)
в процессе измерения а° при добавлении квадратурной составляющей сил возбужде-
возбуждения. На практике проверяют, изменяется ли декремент 6 ° с изменением перемеще-
перемещения <7о- Зависимость 8° (</0) может быть найдена при измерениях 6^ на разных уров-
уровнях или по переходному процессу, вызванному мгновенным выключением гармониче"
ского возбуждения выделенного тона. При отсутствии биений декремент определяют»
как указано выше для системы с одной степенью свободы, с усреднением за несколько
(пять — десять) колебаний. Биений не будет при отсутствии связи исследуемого
тона с другими через силы демпфирования. Как правило, это относится к двум —
трем низшим по частоте формам.
Последовательность измерений. Эксперимент с многоточечным возбуждением
проводят в несколько этапов Сначала приближенно определяют собственные ча-
частоты и формы ио всем основным тонам Затем выделяют искомый тон подбором сил
возбуждения и измеряют его характеристики (частоты, формы, обобщенные массы и
декременты). Операции выделения тона и измерения его характеристик повторяют
поочередно для каждого из тонов в заданном диапазоне частот. Такова последова-
последовательность измерений в случае линейной исследуемой системы. Характеристики
нелинейной системы при ее исследовании частотными методами (когда это возможно,
т. е. если система линеаризуема) определяют посредством выделения сигналов ос-
основной гармонической составляющей, в частности методами синхронного детекти-
детектирования. Для этой составляющей справедливы приведенные выше соотношения,
которыми описываются колебания линейной системы. Однако в этом случае необхо-
необходимо повторять измерения при различных уровнях колебаний [20], т. е. получать
семейство хара. 1еристик, в частности амплитудно- и фазочастотных. Предпочти-
Предпочтительнее исследлать такие системы методами, при измерениях которыми уровень
сигналов кинемашческих величин поддерживается постоянным либо изменяется не-
незначительно.
3. МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ
ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТАНИЙ
Состав оборудования. Полный состав многоканального оборудования содержит
технические средства возбуждения, измерения и регистрации сил и кинематических
величин (рис. 10) [2, 5, 12, 13, 20, 23, 24].
При испытаниях с многоточечным возбуждением необходимо применять много-
многоканальное оборудование, которое обеспечивает возможность одновременного при-
приложения сил во многих точках A0—12). При этом гармоническое возбуждение осуще-
осуществляют с помощью средств, позволяющих регулировать амплитуду и фазовые сдвиги
как всех сил одновременно, так и независимо в каждой точке возбуждения. Для этой
Цели, как правило, используют специальные возбудители (силовозбудители) электро-
электродинамического типа (ЭДВ).
ЭДВ питаются от усилителей мощности — генераторов тока, на вход которых
подается сигнал задающего синусоидального генератора с помощью специальных
регулирующих элементов — блоков подбора сил
342
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЯ
Вибрации измеряют с помощью датчиков перемещения, скорости и ускорения
(либо их комбинации), сигналы которых через коммутатор подают на вход измери-
измерительных приборов Для регистрации установившихся процессов (форм колебаний,
амплитудно- и фазочастотных характеристик) сигналы датчиков фильтруют и с по-
помощью аналого-цифровых преобразователей кодируют для регистрации на цифро-
печатающей машине (ЦПМ) или перфоленте. Переходные процессы регистрируют
с помощью шлейфовых осциллографов либо инструментальных магнитофонов.
1 -*-
6
2
3
Ч
I
5
¦ни т tkF° У, 40ffb ¦ i
- возбуждения
Рис. 10. Структурная схема многоканального оборудования для резонансных испытаний:
/ — аппаратура возбуждения; 2 — ЭДВ; 3 — испытуемая конструкция; 4 — датчики и
приборы измерения; Ь — аппаратура регистрации; 6 — опорные сигналы возбуждения
Рис. 11. Структурная схема аппаратуры возбуждения колебаний и электродинамические
возбудители (ЭДВ):
с — аппаратура возбуждения: / — общий блок подбора сил; 2 — блоки подбора отдельных
сил; 3 — усилитель мощности — генератор тока; 4 — ЭДВ; 5 — выходной каскад B0 —
40 транзисторов); 6 — предварительный усилитель; 7 — отрицательная обратная связь
(°э — эталонное сопротивление); б — разрез ЭДВ: / — подшипниковые направляющие;
2 — подвижная катушка; 3 — обмотка электромагнита; 4 — магнитопровод
Средства возбуждения (рис. 11). Генератор гармонических сигналов (ГС) вместе
с блоками подбора сил обеспечивает возможность установки частоты (вручную,
с автоматической разверткой или внешними сигналами) в диапазоне от десятых
долей Гц до нескольких сотен Гц (или нескольких килогерц). При этом регулируются
уровень возбуждения и фазовый сдвиг. Значение частоты, определяемое с точностью
до пятого знака, отсчитывается либо по соответствующим показаниям 1енератора,
либо с помощью отдельного цифрового частотомера. В последнем случае часто опре-
определяют период колебаний, что существенно быстрее измерения частоты, особенно
на низких частотах.
Усилители мощности — генераторы тока — имеют глубокую отрицательную
обратную связь по выходному току и высокое выходное сопротивление. Они преоб-
преобразуют входное электрическое напряжение E—10 В) в пропорциональный ему вы-
выходной ток с амплитудным значением до ~5 А в случае ламповых выходных каска-
каскадов и на порядок выше в случае транзисторных, при фазовом сдвиге < Г — на
частотах 0—300 Гц.
Возбудители (ЭДВ) специальной конструкции, обеспечивающей постоянство
градуировки сила — ток при максимальных перемещениях, рассчитаны на получе-
получение выходной силы амплитудой 10—2000 Н. Используют различные возбудители
с номинальными силами, отличающимися в 4—5 раз. Отношение выходной силы
к весу подвижной системы не менее 30 (табл. 1).
МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТ.
343
X
о
ю
Ш
О
X
о
а
и
о
С*]
¦I-
><
ш
о
ся
Щ
-з
о
сч
о
X
о
о
СО
О
О
-зон
из
о
раметр
га
С
500
о
100
S
Я
300
в
сила,
мальная (
Макси
¦о
ОО
—1
"•)
X
о
X
о
ю
й
силителя,
ток у
мальный
Макси
о
ю
CD
О
СО*
Г-.
О
D
¦ч-
о
стемы, кр
ой си
подвижн
Масса
ш
g
S
•2
ещение, т
Перем
о
о
о
о
о
о
и
подвеса,
стота
га
3*
к
X
X
и
н
о
—
—
Л.
о
-
еще-
s
при пе
я
:тернстик
харас
ь
X
11
S °
X
150
с^
115
я масса, :
Обща:
о
о
ГО
к
X
м
о
с
шение
я
ля/conpoi
кабе
тивленне
ушки, %
Сопро
ой кат
ы
,85
о
СО
г—
о*
сю
о"
8
о"
U
зоре,
;ция в за:
ГС
S3
iO
СО
системы
жной
вес подви
Сила/
агн]
Е
D.
CU
с;
В
я ~~"
та
Е
>Я
S
X
X
я
о
в
о
с
(-
я
U
рома
н
0)
0)
) ПОЛЯ
1ТН0ГС
ник магн!
Источ
СО
СО
-
со
ео
1.г>
-
катушн
о
подвижн
емени
о.
@
к
та
X
X
W
Посто
0,05
S
о
ю
QO
о*
о
-г
о
о
U
Е
я
1
ижной ка
1
«¦ивность
ИНДУ!
250
S
3
S
300
туш-
женной
о
г
с затор
га
S
о
В"
к
га
X
А
<=;
о, .
^ о
Н-5
с»
и
X
CN
X
О*
6
00
3
X
со
<
О
Я
6
X
ю
к
U
силителя
Тип у
[13
X
—^
S
ч
m
<:
„
"CL,
Ш
о
ГО1
—1
Я
s
m
«й
ния
борудова
Тип о
344
ОПРЕДЕЛЕНИЕ X1РАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
Измерение и регистрация (рис 12). Амплитуду сигналов датчиков, составляю-
составляющую от сотых долей до нескольких десятков вольт, определяют с помощью низко-
низкочастотных милливольтметров, их форму наблюдают на экране электронного осцилло-
осциллографа или многоканального индикатора. В последнем случае может быть получено
суждение о распределении амплитуд и фаговых сдвигов колебаний по длине кон-
конструкции.
Общее число датчиков может составлять от одного — двух десятков до несколь-
нескольких сотен *, поэтому для регистрации необходимо коммутировать сигналы датчиков.
Фильтрация ос>ществляется посредством синхронного детектирования— выделения
амплитуды синфач'ноп и квадратурной составляющих основной гармоники сигнала
[3, 5, 9, 13]. В блоке синхронного детектирования (СД) аппаратурными средствами
реализуется умножение исследуемого сигнала на один из опорных сигналов генера-
генератора _ с фазой 0 или 90° с последующим отфильтровыванием переменной составляю-
составляющей.
—зг"-^_п J
—~—Код
Рис. 12. Структурная схема аппаратуры многоканального измерения и регистрации:
/ — программный коммутатор и блок управления, 2 — блок синхронного детектирования,
3 — фильтр нижних частот, 4 — двухкоординатный построитель; 5 — АЦП, 6 — ЦПМ;
7 — ленточный перфоратор, 8 — электронный осциллограф, 9 — измерительный магнито-
магнитофон; 10 — шлейфовый осциллограф; // — многоканальный индикатор
Приведенный на рис. 10—12 максимальный состав оборудования в случае более
простых испытаний может быть сокращен как по количеству точек возбуждения и
измерения, так и по составу аппаратуры.
При большом числе точек измерения форму колебаний измеряют посредством
регистрации сигналов большого числа датчиков, соединенных с конструкцией в те-
течение всего времени испытаний. При малом числе точек измерения и их относительно
легкой доступности форму целесообразно измерять с помощью двух датчиков. Один
из них располагают в фиксированной точке конструкции для контроля уровня виб-
вибраций, а другой — перемещают по отдельным точкам конструкции с поочередной
регистрацией сигнала. В этом случае число точек измерения может доходить до
нескольких десятков
При большом числе датчиков регистрацию можно ускорить увеличением числа
наиболее «инерционных» каналов, осуществляющих преобразование переменного
сигнала в постоянный. Так, увеличение числа пар синхронных детекторов до 10—20
позволяет с помощью групповой коммутации (усложнением коммутирующей аппа-
аппаратуры) сократить время регистрации в 5—20 раз.
Применение аналоговых вычислительных блоков. В ряде случаев аппаратуру,
используемую для возбуждения и измерения вибраций, дополняют различными
элементами аналоговой вычислительной техники. В частности, для формирования
суммарного сигнала и минимизируемой величины (при подборе сил) можно исполь-
использовать элементы аналоговых вычислительных устройств — микросхемные опера-
операционные усилители. Суммарный сигнал формируется двумя последовательно соеди-
соединенными сумматорами (рис. 13, а) посредством включения сигнала каждого из вы-
* Максимальное число обследуемых собственных тонов не превышает нескольких де-
десятков, число точек возбуждения еще меньше.
МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТ.
345
бранных датчиков на вход одного из сумматоров в зависимости от необходимого
знака Mgn Re <}oll.
В случае минимизации сигнала ^] (Im 4»kf его величина формируется преобра-
k
зованием выходных напряжений блоков синхронного детектирования с помощью
квадраторов и операционных усилителей (рис. 13 б).
Подавая суммарный сигнал U на вход одной пары синхронных детекторов, полу-
получают два постоянных напряжения — амплитуды составляющих Im Uo и Re Uo.
Обращение в нуль первой из них является критерием резонанса, величина второй
характеризует уровень колебаний, который может поддерживаться автоматически
изменением коэффициента усиления общего блока подбора сил. Для автоматизации
поддерживания частоты резонанса условие Im Uo = 0 реализуется соответствующим
блоком управления частотой генератора. Оба контура работоспособны при больших
значениях их постоянных времени, значительно превышающих наибольшее значе-
значение периода исследуемых колебаний.
Рис. 13. Структурные схемы
аналоговых вычислительных
блоков для формирования.
а — суммарного сигнала U,
6 — минимизируемой величины
^](Im?ofr)a / — блок синхрон-
k
ного детектирования; 2 —
фильтр нижних частот
Рис. 14. Структурная схема
многоканального оборудования
с мини-ЭВМ:
7 — сигналы управления возбу-
возбуждением, 8—мини ЭВМ (осталь-
(остальные обозначения см рис 10)
Применение ЭВМ. Большие возможности открывает использование мини-ЭВМ
[11, 12, 26, 14] в составе многоканального оборудования (рис. 14). Их характеризует
высокое быстродействие (цикл памяти порядка сотен наносекунд), большой объем
оперативной памяти (десятки килобайт), возможность работы с внешними устройст-
устройствами — телетайпом, перфоратором, ЦПМ и т. д.
При использовании внешних запоминающих устройств (накопителей на маг-
магнитной ленте, магнитных дисков), а также устройств отображения информации (гра-
(графический и алфавитно-цифровой дисплей, графопостроитель) вычислительные воз-
возможности мини-ЭВМ расширяются. Все эти качества позволяют использовать мини-
ЭВМ для замены части измерительной и преобразующей аппаратуры многоканаль-
многоканального оборудования, для частичной обработки информации, а также для управления
отдельными этапами испытаний (см. рис. 14).
ЭВМ может реализовать простейшие программы первичной обработки данных:
умножение и деление показаний на коэффициент усиления, чувствительность, частоту
или квадрат частоты, вычитание поправки на уход нуля и т. п. При этом со време-
временем программа обработки может совершенствоваться.
При указанном простейшем применении мини-ЭВМ предусматривается ее ра-
работа при наличии блоков синхронного детектирования. Возможна замена этих бло-
блоков соответствующей программной реализацией, когда умножение и суммирование
выполняются над выбранными в дискретные момент времени значениями входных
346 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИИ
сигналов (если выборки повторяются достаточное число раз за период на протяже-
протяжении многих периодов).
Обработка данных при расширении вычислительных возможностей мини-ЭВМ
может быть усложнена и дополнена построением частотных характеристик, форм
колебаний, расчетом обобщенных параметров, диагностикой работоспособности от-
отдельных элементов. Например, соотношение B5) следует из известного выражения
МНК (для линейной регрессии): b = (t'tj^f'Q, где b и Q — векторы с компонен-
компонентами bi и Qm; Т — матрица с элементами Тш — (ТтI, / = 0, 1, 3; т = 1,2, ..., N.
Решение этой системы с помощью мини-ЭВМ дает значение tg % (равное Ьг) и обоб
щенной массы а°.
Помимо измерительных функций мини-ЭВМ осуществляет определенные задачи
управления [14, 1]. С этой целью основные блоки возбуждения дополняют элементами
согласования с ЭВМ, обеспечивающими преобразование кодовых сигналов в из-
изменение частоты или уровня возбуждения и т. п. Тогда реализуется автоматическое
измерение частотной характеристики с переменным шагом по частоте, или измене-
изменение уровня возбуждения по определенному алгоритму, например поддерживание
условий резонанса (по амплитуде и частоте). При разработке эффективной программы
возможен подбор сил возбуждения для выделения одного тона собственных колеба-
колебаний. Последнее реально в режиме диалога оператора с мини-ЭВМ.
При дополнении многоканального оборудования мини-ЭВМ расширяются воз-
возможности эксперимента, но одновременно усложняется его проведение. Такое ус-
усложнение оправдано в случае регулярных, дорогостоящих испытаний с использова-
использованием большого объема оборудования.
В ряде случаев проще использовать микро-ЭВМ или микропроцессорные системы
[17, 4]. Функциональные возможности их несколько меньше, чем мини-ЭВМ, однако
они компактны, имеют низкую стоимость и с успехом могут заменить измерительные,
преобразующие, или управляющие устройства. Микро-ЭВМ обладают повышенной
надежностью и большой гибкостью. Они могут быть многорежимными, а при пост-
построении мультимикропроцессорных систем быстродействие их работы повышается.
Оптимальное соотношение средств вычислительной техники и традиционной аппа-
аппаратуры в составе многоканального оборудования выявляется по мере накопления
опыта разработки и эксплуатации таких систем при проведении динамических испы-
испытаний.
Погрешности измерения. Определение характеристик собственных колебаний
связано с двумя видами погрешностей: аппаратурных и методических. Первые носят
случайный характер и зависят от класса измерительных приборов, а также от алго-
алгоритма обработки измерений, например при определении обобщенных масс. Методи-
Методические погрешности обусловлены тем, что характер колебаний исследуемой конст-
конструкции отличается от предполагаемого, так как, например, на форму колебаний
влияет механическая догрузка, обобщенные массы искажаются влиянием ЭДВ и т. п.
Эти погрешности являются систематическими, поэтому их влияние может быть скор-
скорректировано при получении окончательных результатов.
Случайные погрешности. Влияние аппаратурных погрешностей на результаты
определяется видом основных соотношений для обобщенных параметров, получае-
получаемых при испытаниях. Поскольку погрешности измерительной аппаратуры задаются
максимальными значениями для всей области изменения измеряемых величин, так
что появление какой-либо погрешности любого знака имеет случайный характер,
функциональная связь между среднеквадратичными ошибками ах]г аргумента и
о [г (хи х2, .,., хп)] функции имеет известный вид (при независимости измерений хк)
[дг{хи хг, ...xn)/dxk]*(oxk)* k = l, 2, ... п. B5)
Если функция г (xt, x2, ... хп) нелинейна, то это соотношение получается с по-
помощью линеаризации функции г и справедливо при малом изменении аргументов.
Детальный анализ погрешностей может быть проведен в каждом случае отдельно.
Относительное отклонение (отношение ахк к среднему значению хк) измерений пе-
МНОГОКАНАЛЬНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ РЕЗОНАНСНЫХ ИСПЫТ. 347
риода может составлять несколько сотых долей процента, перемещений — 1 2 %,
сил возбуждения — 2—3 %, декремента колебаний — до 2 % и обобщенной массы
при механической догрузке — до 5 % E, 6]. Указанные значения получены для кон-
конкретных условий с учетом характеристик современного многоканального оборудо-
оборудования и при тщательной подготовке и проведении измерений.
Получаемые на основании B5) конкретные аналитические соотношения для
погрешностей определения обобщенных параметров при резонансных испытаниях
позволяют сформулировать требования к метрологическим характеристикам обо-
оборудования. Кроме того, в процессе испытаний можно получить погрешности экспе-
эксперимента и непосредственно как характеристики рассеивания.
Поскольку временем и условиями испытаний число экспериментальных точек m
, ATk .. . &Tk . ,
например функции —=- (А/,) или -—- (ак), ограничено, значение m можно оцеьить
исходя из надежности а, эксперимента, т. е. вероятности попадания истинного зна-
значения измеряемой величины в заданный (доверительный) интервал [6, 8, 18]. Так,
для пяти экспериментальных точек при а = 0,9 отношение абсолютной погрешности
измерения к выборочной среднеквадратичной, зависящее от числа измерений и от
надежности а [коэффициент распределения Стьюдента t (а)] составляет 2,13. При уве-
увеличении m до 10 (при том же a) t (а) = 1,83, т. е. уменьшение незначительно, в то
время как трудоемкость испытаний практически удваивается. При а = 0,95 разница
коэффициентов t(a) также невелика. При числе точек менее четырех трудно исклю-
исключать какую-либо из них, поэтому минимальное число m должно быть 4—5.
Исключение грубых ошибок-промахов производят с помощью одного из стати-
статистических критериев по отклонению от среднего или от значения, полученного по
МНК с использованием выборочной оценки среднеквадратичной погрешности [8, 18].
Систематические погрешности. Методическая погрешность (в ряде случаев су-
существенная) возникает также из-за искажения колебательных характеристик испы-
испытуемого объекта, вызванного влиянием ЭДВ, датчиков и т. п. При известных харак-
характеристиках элементов оборудования (в основном ЭДВ) погрешности измеряемых пара-
параметров со0 , а° и 6° устраняют пересчетом на основе оценки их влияния [5, 15].
Обозначив через ank и спк = w^anft приведенные массу и жесткость упругого
подвеса подвижной системы ЭДВ в k-й точке возбуждения (со„д, — частота собствен-
собственных колебаний подвижной системы ЭДВ, не соединенного с испытываемой конструк-
конструкцией), приращение обобщенной массы /-го тона
°'a°i = 2 a"* (' ~ *!"*) "*/' ^k = °W»o/- B6)
k
Тогда, определяя экспериментально в первом приближении cof(-, a°-*, 8J* и
полагая, что форма собственных колебаний не изменяется вследствие влияния ЭДВ,
можно определить истинные значения частоты собственных колебаний и обобщенных
параметров из соотношений
а) = аТ -
B7)
где 6 nU — логарифмический декремент колебаний подвижной системы «свободного»
&-го ЭДВ; суммирование, как и в B6), производится по номерам точек возбуждения.
Одна из наиболее важных в методическом плане — систематическая погрешность
определения характеристик, вызванная изменением формы в процессе измерений
(при известных величинах этого изменения), также может быть найдена и исполь-
использована для дальнейшего корректирования результатов [5, 6, 25].
Как показывает анализ факторов, влияющих на точность определения харак-
характеристик собственных колебаний упругой системы при резонансных испытаниях
с многоточечным возбуждением, погрешности результатов могут быть сведены до
приемлемых значений. Для получения удовлетворительных результатов (в частности,
обобщенных масс) в первую очередь необходимо аостаточно точно выделить иссле-
348 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
дуемые тона и обеспечить основные метрологические характеристики средств воз-
возбуждения и измерения (чувствительности ЭДВ, датчиков и измерительной аппара-
аппаратуры).
Список литературы
1. Автоматическое управление вибрационными испытаниями /А. Г. Гетманов,
П И Дехтяренко, Б. Ю. Мандровскнй-Соколов и др. М.: Энергия, 1978. 112 с.
2. Бисплингхофф Р. Л., Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость. М.: Изд. иностр.
лит., 1958. 977 с.
3. Вавилов А. А., Солодовников А. И. Экспериментальное определение частотных
характеристик автоматических систем. М. — Л.: ГЭИ, 1963. 252 с.
4. Вальков В. М. Микроэлектронные управляющие вычислительные комплексы. М.:
Машиностроение, 1979. 200 с.
5. Васильев К- И., Смыслов В. И., Ульянов В. И. Экспериментальное исследование
упругих колебаний летательных аппаратов с помощью многоканального оборудования
АВДИ-1Н. Труды ЦАГИ, 1975, вып. 1634. 37 с.
6. Жаров Е. А., Смыслов В. И. Точность определения колебательных характеристик
упругой конструкции при резонансных испытаниях с многоточечным возбуждением. —
Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. 7, № 5, с. 88-97
7. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1966. 716 с.
8. Кассандрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка результатов наблюдений. М.: Наука,
1970. 104 с.
9 Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической кибернетики
М. — Л.: ГЭИ, 1962. 600 с.
10. Кузнецов О. А., Смыслов В. И. Опыт корректирования расчетной динамической схемы
по результатам резонансных испытаний. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 6, с. 99 —
112.
11. Куценко А. В., Полосьянц Б. А., Ступин Ю. В. Мини-ЭВМ в экспериментальной
физике. М : Атомиздат, 1975. 288 с.
12. Микишев Г. Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М.:
Машиностроение, 1978. 248 с.
13. Многоканальное оборудование для определения динамических характеристик
механических конструкций / В. И. Смыслов, К- И. Васильев, Ю. А. Грузов, В. М. Язвин.—
Приборы и системы управления, 1979, № 7, с. 26 — 27.
14. Приборы и системы для измерения вибрации, шума и удара: Справочник. В 2-х
кн. / Под ред. В. В. Клюева. М.: Машиностроение, 1978. 448 с.
15. Смыслов В. И. Некоторые вопросы методики многоточечного возбуждения при
экспериментальном исследовании колебаний упругих конструкций. — Ученые записки
ЦАГИ, 1972, т. 3, № 5, с. 110 — 118.
16. Стрелков С. П. Введение в теорию колебаний. М.: Наука, 1964. 440 с.
17. Хилбурн Дж., Джулич П. Микро-ЭВМ и микропроцессоры. М.: Мир, 1979. 464 с.
18. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 958 с.
19. Юсупов Р. М. Получение информации об управляемом процессе в самонастраиваю-
самонастраивающихся системах. Л : Энергия, 1966. 142 с.
20. Beatrix С. La determination experimentale des caracteristiques vibratoires des struc-
structures. — ONERA Note Techniques, 1973, N. 212.
21. Bishop R. E. D., Giadwell G. Ift. L. An investigation into the theory oi resonance test-
testing. — Phil. Trans. Vol. 225, ser. A, N. 1055, 1963, p. 241—280.
22. Kennedy С. С, Pancu С. D. P. Use of vectors in vibration measurement and analysis.—
Journal of the Aeronautical Sci., Vol. 14, N. 11, 1947, p. 603—625.
23. Manual on aeroelasticity, 1961, AGARD, p. 1 ch. 4, p. 1—87.
24. North R. G., Stevenson J. R. Multiple shaker ground vibration test system designed
for XB —70A. — The shock and vibration Bull. N. 36. part. 3, 1967 p. 55 — 70.
25. Simpson A. An improved displaced frequency method for estimation of dynamical
caracteristics of mecanical systems. J., of Royal Aeron Sci., Vol. 70, N 666, 1966, p. 661—665.
26. Smith, Stroud, Hamma, Hallayer, Yee. — MODALAB — a computerized data ac-
quizition and analysis system structural dynamic testing. — Instrument Soc. of America, Proc,
1975, Meet. Philadel., p. 183-189.
Глава XVI
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ
Задача идентификации. Идентификация понимается как построение математи-
математической модели функционирующего объекта (системы) по априорной информации
и измерительным данным В общем случае математическая модель представляется
в виде функционального уравнения
Ф(х, у) = 0, A)
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 349
где Ф — некоторая полностью или частично неизвестная и подлежащая определе-
определению функция (функционал); х = (х (t), t0 sc / <с Г) — входная переменная; у =
— (У М. fo^'^T) — выходная переменная; t—непрерывное или дискретное
время. Для многомерного объекта х и у — векторы, а в случае одномерного объекта х
и у — скаляры. Обычно имеется некоторая априорная информация о Ф, х и у, напри-
например может быть априори известен класс и даже структура уравнения, физический
смысл и размерности векторов х, у, а иногда известны функции распределения слу-
случайной переменной х и ошибок измерения §. Однако часто встречаются такие случаи
идентификации, когда почти ничего неизвестно об уравнении A) (размерности и
физический смысл векторов х, у и т. п.). В таких случаях установление переменных х,
у, определение или выбор вида уравнения A) обычно относят к постановке задачи
идентификации реального объекта. До сих пор постановка задачи идентификации
осуществляется обычно исследователем неформальными методами. Формальные ме-
методы оценивания (определения) класса и структуры уравнения A), выяснения зна-
значимых (существенных) входов и выходов объекта пока находятся в начальной стадии
развития.
В большинстве практических задач идентификации уравнение A) приводят
к виду операторного уравнения
Ау = Вх, B)
где А и F — неполностью известные и подлежащие определению математические
операторы, действующие на у и х соответственно, Когда существует обратный опера-
оператор А, уравнение B) приводят к виду
y = Fx, C)
где F = А В — подлежащий определению оператор.
С целью получения недостающей информации о модели эксперимент проводят
в условиях функционирования объекта, при котором измеряют переменные х, у или
некоторые другие величины, зависящие от х и у, причем измерение обычно возможно
с некоторой ошибкой §.
Используя априорную информацию об операторах А, В или F и результаты из-
измерения u = u (х, у, |), можно найги оптимальные в некотором смысле оценки опе-
операторов А, В или F. Ввиду того, что переменные х, у измеряют с ошибкой 1, истинные
операторы А, В или F невозможно найти, можно найти некоторые их оценки А,
В или F.
Наиболее широкое распространение получила так называемая параметрическая
идентификация. На основе априорной информации строят гипотезы о классе и струк-
структуре модели A), B) или C). Используя измерения, проверяют гипотезы и принимают
соответствующие решения. При этом допускается, что операторы А, В или оператор F
известны с точностью до векторного параметра с, т. е. уравнения B) и C) имеют вид
А(с)у = В(с)х;
y=F(c)x,
где А (с), В (с), F (с) — операторы, действующие на у и х соответственно и извест-
известным образом зависящие от неизвестного векторного параметра с. Таким образом,
оценивание операторов А, В или F сводится к задаче оценивания векторного пара-
параметра с. Параметрическая идентификация (далее для краткости ее будем называть
просто идентификацией) является многоэтапным процессом и состоит из следующих
основных этапов [3, 8, 14, 18, 21, 25, 28, 44, 48]:
1) планирования и проведения эксперимента, необходимого для получения
наблюдений за входными и выходными переменными;
2) определения или уточнения класса и структуры модели;
3) оценивания неизвестного параметра с модели известной структуры;
4) анализа адекватности модели и принятия решения о продолжении или окон-
окончании процесса идентификации.
Установление этапов идентификации в значительной степени условно, так как
они переплетаются между собой и явной границы между ними не существует.
350 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Получение информативных измерений. Измерительные данные и = и (х, у, |)
должны содержать достаточное количество информации об операторах А, В или F.
Если в результатах измерений и не содержится достаточной информации об указан-
указанных операторах, то никакими способами невозможно получить хорошие оценки А,
В или F. Когда операторы А, В, F заданы с точностью до неизвестного векторного
параметра с, в результате измерений и должны содержаться информация о всех
компонентах векторного параметра с. Количество имеющейся в наблюдениях и
информации о параметре с зависит от класса входного воздействия х, типа и уровня
ошибок измерения |, от размерности вектора с, от вида операторов А (с), В (с) или
F (с). Принципиальная возможность оценить векторный параметр с по наблюдениям и
определяется условиями оцениваемости.
Обычно наблюдения ит = (х + gj, у + У> где §j = (^ if), t0 s? <s? T), ?2 =
= (§2 @>'о *= ' *== 7") ~~ отдельно ненаблюдаемые ошибки измерения входа х и
выхода ^соответственно. Предполагается, что gj и |2 являются случайными и некор-
некоррелированными между собой и с х и у. Встречаются следующие характерные схемы
наблюдения.
1. Ошибки измерений отсутствуют, т. е. |j = |2 = 0. Это исключительно ред-
редкий случай, позволяющий одинаково эффективно использовать модели типа D).
2. |х =0, %%ф 0- Основные результаты по исследованию задачи оценивания
параметров операторов получены именно для этого случая. При оценивании вектор-
векторного параметра с операторов А (с), В (с) D) этот случай не является настолько удоб-
удобным, как при оценивании с оператора F (с).
3. gj =? 0, §2 = 0. Этот случай эквивалентен задаче оценивания параметра с
обратного оператора F (с) уравнения
x = F-4c)y. E)
4. Ij^ 0, \ъф 0. При этом информативность наблюдений хуже, чем в слу-
случаях 1—3.
Из вышесказанного следует, что измерение входных сигналов должно осущест-
осуществляться как можно точнее, так как ошибки во входных наблюдениях влияют на точ-
точность идентификации и во многих случаях не удается построить помехозащищенные
методы. Методы идентификации менее чувствительны к ошибкам выходных наблю-
наблюдений. Так как неучтенные в модели факторы действуют в виде неконтролируемой
помехи, уровень этой помехи определяет допустимую точность наблюдений за выход-
выходными сигналами.
Если наблюдения за контролируемыми непрерывными системами осуществ-
осуществляются в дискретные моменты времени / = k&t, k — 1,2, ..., то необходимо правильно
выбрать шаг дискретности времени At. Обычно его выбирают в соответствии с теоре-
теоремой Котельникова, т.е. из условия Д*=ё 1/2/^, где fN — максимальная частота,
которую требуется различать по дискретизированным сигналам. В задаче идентифи-
идентификации в качестве fN может быть принята интересующая исследователя максималь-
максимальная частота частотной характеристики системы (или максимальная частота выход-
выходных сигналов). При этом следует иметь в виду, что слишком высокая частота дискре-
дискретизации непрерывных сигналов приводит к дискретным моделям (в виде разностных
уравнений) с близкими к границе области устойчивости коэффициентами, что услож-
усложняет задачу оценивания параметров таких моделей. В связи с этим появляется проб-
проблема оптимальной дискретизации, которая может быть решена для конкретных
структур операторов.
Необходимо отметить, что при неизвестной структуре, а иногда и параметрах
математической модели, нельзя указать методики получения наблюдений за вход-
входными и выходными сигналами системы, гарантирующие решение задачи идентифи-
идентификации оптимальным способом. При исследовании задач каждого этапа идентификации
могут потребоваться новые наблюдения, проведенные в измененных (в соответствии
с полученной апостериорной информацией) условиях.
Оценивание параметров оператора. В большинстве случаев при известной струк-
структуре модели задачу удается свести к параметрическому виду с неизвестным векто-
вектором числовых параметров ст = (clt сг, .,., ст). Тогда задача оценивания параметров
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 351
состоит в определении таких значений параметров с, которые соответствуют наимень-
наименьшему или наибольшему (для определенности далее будем говорить о наименьшем)
значению выбранного критерия качества Q (с) в допустимой области С:
с: Q(c)= min Q(c). F)
Допустимая область определяется теми ограничениями, которые накладываются
на параметры. Например, при идентификации динамических систем допустимыми
являются те значения параметров, которые обеспечивают устойчивость модели. Если
ограничения на параметры не накладываются, то допустимая область С совпадает
с евклидовым пространством размерности т. Выбор критерия качества Q (с) в зна-
значительной степени зависит от априорной информации, целей идентификации, формы
представления наблюдений за сигналами системы, вычислительных возможностей
исследователя и т. д. Поэтому здесь приведены только наиболее распространенные
способы построения функции Q (с).
Метод наименьших квадратов. Предполагается, что существующую связь между
векторами наблюдений за входными х и выходными у сигналами можно представить
в следующем виде:
у = у(х; с) + |, G)
где у (х; с) — вектор-функция размерности N, известная с точностью до вектора па-
параметров с; |—вектор ненаблюдаемой помехи, При этом используются два вида
функции:
Q(c) = [y-y(x; c)]T[y-y(x; с)]; (8)
Q(c) = [y-y(x; c)]TR [y-y(x; с)], (9)
где R — положительно определенная матрица. Функция (8) является статистически
обоснованной для случаев, когда вектор помехи % имеет нулевое среднее, а ее коор-
координаты независимы между собой. При применении функции (9) говорят об обобщен-
обобщенном методе наименьших квадратов. Если R = Vr1, где Vj—ковариационная матрица
коррелированной помехи \, имеющей нулевое среднее, то оценки параметров называют
марковскими [32, 44]. Метод наименьших квадратов особенно часто используют при
линейных по параметрам зависимостях вида
у(х; с) = А(х)с A0)
и при отсутствии ограничений на параметры, В последнем выражении А (х) — неко-
некоторая матрица, элементы которой получаются из соответствующих преобразований
над входными наблюдениями х.
Метод максимального правдоподобия. Оценивание параметров оператора рас-
рассматривается как задача исследования условного распределения вероятностей
наблюдений ит = (хт, ут) относительно вектора параметров с. В качестве оценок
выбирают такие значения параметров, которые являются наиболее вероятными при
наблюдениях и, В связи с этим функция Q (с) имеет вид
Q(c) = -logp(u|c), A1)
где р (и [ с) — плотность условного распределения вероятностей, известная с точ-
точностью до вектора параметров с (логарифм от плотности берется для удобства при
вычислении). В общем случае
р(и|с) = р(у|х, с)р(х|с), A2)
где р (у | х, с) — плотность условного распределения вероятностей выходных на-
наблюдений у при фиксированных входных наблюдениях х и параметрах с; р (х | с) —
плотность условного распределения наблюдений х относительно параметров с.
В большинстве случаев р (х I с) = р (х), так как входной сигнал независим от пара-
параметров системы, В соответствии с A2) получаем
Q(c) = -{logp(y|x, c)-f-logp(x|c)}. A3)
352 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Если наблюдения за входными сигналами х не зависят от параметров с опера-
оператора, то второй член в фигурных скобках выражения A3) можно отбросить, так
как он не влияет на значение аргумента, соответствующее наименьшему значению
функции.
Метод максимальной апостериорной вероятности. Предполагается, что пара-
параметры с являются случайными величинами, плотность распределения вероятно-
вероятностей р (с) которых известна и называется априорной плотностью распределения.
Должна быть задана с точностью до параметров с плотность р (и с) условного рас-
распределения вероятностей наблюдений и для каждой реализации случайного вектора с.
Тогда по формуле Байеса определяется так называемая апостериорная плотность
распределения вероятностей параметров с:
= j
р (с) р (и ] с) dc. A4)
Если априорные вероятности характеризуют возможность появления различных
значений параметров с до получения наблюдений за сигналами системы, то апосте-
апостериорные вероятности описывают частоты появления тех же значений параметров
после того, как к априорной информации добавлена информация, извлеченная из
наблюдений и. Поэтому в качестве оценок целесообразно принимать такие значе-
значения параметров, которые соответствуют наибольшим апостериорным вероятностям.
Тогда функция Q (с) имеет вид
Q (с) = — logp (и с) = — {logp(c) + logp(uj с) —logp(u)}. A5)
Последний член в фигурных скобках не зависит от параметров с, поэтому
вместо A5) можно использовать функцию
Q(c) = —{logp(c) + logp(u]c)}. A6)
Из выражений A1) и A6) непосредственно видно различие между методом мак-
максимального правдоподобия и методом максимальной апостериорной вероятности.
Часто используют гауссовские аппроксимации плотностей р (yix, с) и р (с), что
приводит к критерию вида
Q(c)=[y-y(x; с)]тУ|1[у-у(х; с)] + (с-с)т Vc1 (c-c), A7)
где Vc, с — соответственно ковариационная матрица и априорное среднее век-
вектора с.
Метод среднего риска. В предыдущих методах не учитывались возможные по-
потери, появляющиеся при отличии оценок от истинных значений параметров опера-
оператора системы с. Эти потери можно представить так называемой неотрицательной
функцией потерь П (с, с). Тогда мерой качества может быть функция средних потерь
по всевозможным наблюдениям для каждого фиксированного значения вектора пара-
параметров с:
L (с, с) = Ми <П (с, с)} = j П (с, с) р (u j с) du, A8)
которая называется функцией условного риска. Функция среднего риска получа-
получается усреднением условного риска по всевозможным значениям случайных пара-
параметров с:
= I р (и) \ П (с, с) р (с | u) dc du. A9)
и с
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 353
Из A9) следует, что функция среднего риска будет наименьшей, если мини-
минимизировать внутренний интеграл. Поэтому критерий представляется в виде
B(с) = $П(с, c)p(c|u)dc- B0;
Метод среднего риска является наиболее общим методом оценивания парамет-
параметров. В зависимости от конкретного вида функции потери П (с, с) и априорного рас
пределения р (с) можно получить различные оценки — наиболее вероятное, апо-
апостериорное среднее, минимаксную и др. [32]. В целом оценки параметров, 'полу-
'полученные в соответствии с двумя последними методами, называют байесовскими оцен-
оценками.
Численные алгоритмы минимизации. Решение экстремальной задачи F) в явном
виде можно получить только для случаев, когда критерий качества является квадра-
тической функцией, а ограничения на параметры либо отсутствуют, либо заданы
в виде системы линейных алгебраических уравнений:
cTBc; B1)
C={c:Hc = d}, B2)
где В — неотрицательно определенная матрица порядка т; Н — матрица размер-
размерности г X т, ранг которой равен г; Ь и d — векторы-столбцы размерностей таг
соответственно. В этом случае оценки с параметров с получаются решением системы
линейных уравнений [1]
Hc-d=O, j B3>
где X — вектор-столбец множителей Лагранжа размерности г.
Например, в случае линейных по параметрам зависимостей вида A0) метод
наименьших квадратов приводит к функции вида B1) с параметрами
Ь = Ат (х) у; В = Аг (х) А (х), B4)
или
b = Ат (х) Ry; В = Ат (х) RA (х). B5)
При отсутствии ограничений на параметры с из B3) получаются системы нор-
нормальных уравнений
Ат(х)А(х)с=Ат(х)у. B6)
или
Ат (х) RA (х) с = А1 (х) Ry. B7)
В остальных случаях для решения экстремальной задачи F) необходимо при-
применять численные методы оптимизации [26, 411. Формально итерационный алго-
алгоритм вычисления оценок параметров представляется в виде
Cj+1 = c,- + v,-p,-, B8)
где р; — направление поиска в 1-й итерации; 7г — неотрицательное число, являю-
являющееся шагом вдоль направления р,. В соответствии с B8) процесс вычисления оценки
состоит из повторения следующих двух этапов: 1) выбора направления поиска,
ведущего к уменьшению функции внутри допустимой области; 2) выбора шага из
интервала [0, yt maxL где yt max — максимально допустимый шаг по направлению р;,
при котором оценки c,Vl остаются в допустимой области С. Различные численные
методы оптимизации отличаются друг от друга выбором направления поиска и шага
[12, 26, 41].
Эффективным оказывается также принцип покомпонентной минимизации вы-
выбранного критерия Q (с) — поочередный спуск по отдельным группам параметров
12 njp. Генкина М. Д., т. 5-
354
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
при фиксированных остальных. Фиксация отдельных групп параметров обычно
упрощает минимизируемую функцию относительно остальных, а для многих струк-
структур операторов она имеет вид B1).
Направление поиска. Наиболее распространенными методами выбора направле-
направления р; внутри допустимой области С являются:
метод наискорейшего спуска
p,-=-VcQ(c,), B9)
метод сопряженных градиентов
lVcQ(C;)f
C0)
метод переменной метрики
P, = _H.VCQ(?,);
hi-ihl-
Н^ = Нг-_1 -|- ¦—
0 = -VcQ(c0);
I — i I — 1 I — J
метод Ньютона
C1)
C2)
где VCQ (c)) — градиент функции Q (с) в точке с = с(; V^CQ (с,) — матрица вторых
частных производных; I — единичная матрица; Н,- — неотрицательно определен-
определенная матрица порядка т. Если на t'-м шаге поиска достигается граница допустимой
области С, а очередное (вычисленное в соответствии с B9) — C2)) направление p,\i
ведет из допустимой области, то максимально допустимый шаг 7<г+и полу-
IX1BX
чается нулевым, из-за чего процесс поиска преждевременно прекращается. В таких
случаях необходимо с учетом активных ограничений выбирать компромиссное на-
направление, которое ведет к уменьшению критерия качества внутри допустимой
области. Для этой цели можно использовать метод проекции градиента, метод
обобщенного приведенного градиента и др. [41].
Шаг Vi обычно минимизирует функцию Q (с) по направлению р; на интервале
1°. V,- шаХ]:
Ъ max]
C3)
Решение экстремальной задачи C3) можно получить методами одномерного
поиска типа Фибоначи, золотого сечения и др. [41]. В практических задачах наи-
наиболее часто используют следующие интерполяционные формулы:
при квадратической интерполяции
Т« =
2 (Уг - Уз) / (Yi) + (Уз - Yi) / (Y2) -f- (Yi - Y2) / (Уз)'
при кубической интерполяции
C4)
C5)
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ 355
при квадратичной аппроксимации функции / (у)
где Vi < Y2 < Тз значения шага из интервала [0, у( тах], для которых выполняются
неравенства / (ft) > / (у2) < / (УзУ, /' (т) — производная функции / (у).
Рекуррентные стохастические алгоритмы. На основе применения вышеописан-
вышеописанных методов получается вполне определенный критерий качества Q (с). Однако кри-
критерий качества может быть задан в виде
Q (с) = Ма [F (со; с)} = \ F (со; с) р (со) dm, ,3?)
где F (со; с) — известная функция, зависящая от случайной величины со и пара-
параметров с; р (со) — неизвестная плотность распределения вероятностей величины со.
Следовательно, критерий качества C7) не является вполне определенным, и для
вычисления оценок параметров нельзя применить детерминированные методы вида
B3) или B8). Однако оказывается, что в таких случаях можно построить рекуррент-
рекуррентные стохастические процедуры вычисления оптимальных по критерию F) оценок
параметров. Формально алгоритмы такого типа представляются в следующем виде:
), C8)
где Л^ — некоторая неотрицательно определенная матрица; р^ (со) — случайное
направление поиска (псевдоградиент), удовлетворяющее условию неотрицательности
скалярного произведения
(VcQ(ct), 4o{M»>})^°> C9>
т. е. угол между средним направлением в k-й итерации и антиградиентом функ-
функции C7) должен быть острым. В зависимости от вида функции F (со; с), способа опре-
определения направления Рд (со) и матрицы Л* получаются различные варианты рекур-
рекуррентных стохастических алгоритмов [1, 9, 12, 23, 27, 42, 43]. Наиболее часто в ка-
качестве направления р/, (со) используют антиградиент наблюдаемой реализации
функции F (сод.; с) в точке с^. Ограничения на параметры соблюдают путем проек-
проекции оценок в допустимую область С [9].
Оцениваемость параметров и предельная точность оценивания. Естественным
оказывается вопрос — какой наибольшей (предельной) точности оценок параметров
можно достичь на основе имеющейся априорной информации и информации, полу-
полученной из и наблюдений за входными и выходными сигналами системы. Ответ на
этот вопрос дает неравенство Рао—Крамера [32, 44]:
Ул =г [I + Vcb (с)] З-41 + Vcb (с)]т, D0)
где ковариационная матрица ошибок
V.= Ai {(с-с)(с-с)т}; D1;
смещение оценки с
b (с) = m (с) — с; m (с) = М (с)'. D2j
фишеровская информационная матрица
Jc = M[Vcbgp(u, c)][Vclogp(u, с)]т; D3)
плотность совместного распределения вероятностей наблюдений и и парамет-
параметров с
р (и, с) = р (и ! с) р (с). D4)
Если параметры с являются детерминированными, то р (с) превращается в мно-
многомерную дельта-функцию: р (с) = б (с),
12*
356 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Правая часть неравенства D0) указывает нижнюю границу для ковариацион-
ковариационной матрицы ошибок оценивания. Эта граница не зависит от конкретного метода
оценивания. Если можно найти оценки параметров, для которых в D0) достига-
достигается равенство, ю их можно называть наилучшими оценками. Неравентво Рао—
Крамера остается справедливым и в более частных формах записи— для следа,
детерминанта или максимального собственного значения ковариационной матрицы.
Из неравенства Рао—Крамера D0) также следует, что ковариационная мат-
матрица ошибок оценок параметров не ограничена по любой норме матрицы, если ин-
информационная матрица D3) вырождена. Это означает, что в таком случае нельзя
найти оценки всех координат вектора с, близкие к истинным значениям. Вырожден-
Вырожденность информационной матрицы указывает на отсутствие необходимой информации
о некоторых координатах векторного параметра с. Поэтому параметры с оператора
заданной структуры являются оцениваемыми, если их фишеровская информа-
информационная матрица D3) является невырожденной. Оцениваемость параметров может
быть обеспечена как для каждого входного сигнала, так и в среднем для заданного
класса входных сигналов [14, 24]
Выделение существенных параметров. В большинстве случаев при параметри-
параметризации оператора заданной структуры априори не удается точно указать число т
неизвестных его параметров. Исследованием условий оцениваемости можно найти
верхнее число параметров, которые могут быть оценены по имеющимся наблюде-
наблюдениям за входными и выходными сигналами. Однако в модели всегда целесообразно
оставить только существенные параметры из совокупности оцениваемых, так как
число неизвестных параметров обычно определяет сложность математической модели
и затраты на идентификацию, а увеличение числа параметров не всегда гарантирует
улучшение математического описания исследуемой системы. Поэтому на этапе оце-
оценивания параметров оператора известной структуры необходимо определить зна-
значимость отдельных параметров или их групп. Таким образом можно выбрать и
существенные входные и выходные сигналы системы, так как им соответствуют
отдельные группы существенных параметров.
Исходной информацией при построении решающих правил для выделения суще-
существенных параметров математической модели являются векторы остаточных оши-
ошибок
_ 1
е = У— у(х, с), 8 = Vj. 2e. D5)
При введении в модель всех существенных параметров координаты вектора е
должны быть некоррелированными между собой. Первая группа решающих пра-
правил основывается на критериях проверки этого предположения [3]. Второй способ
состоит в сопоставлении между собой оценок дисперсии остаточной ошибки е при
различных размерностях вектора с [14]. Для конкретных операторов возможны
и другие подходы [49, 50].
Проверка построенной модели на адекватность. Полное описание систем пред-
представляет собой нереальную задачу, так как невозможно учесть все действующие
переменные и возмущения во время функционирования. Математическая модель
обычно отражает только те основные закономерности реальной системы или про-
процесса, которые необходимы для решения конкретной задачи познавания, проек-
проектирования или управления. Поэтому при решении задачи идентификации всегда
появляется необходимость в оценке степени адекватности (соответствия) построен-
построенной модели реальной системе. Для количественной оценки степени адекватности
могут быть использованы информационная и дисперсионная меры степени адекват-
адекватности [28].
Информационной мерой степени адекватности называется величина
D6)
в точке с = с. В последнем уравнении Э (у | х, с) — условная энтропия выходных
наблюдений у относительно входных х при фиксированных параметрах с- Э (у) —
энтропия выходных наблюдений [34]. Величина q D6) принимает значения из интер-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 357
вала [О, 1]. Случай единичной информационной меры означает, что построенная
модель позволяет полностью восстанавливать выходные наблюдения у по входным
наблюдениям х.
Дисперсионной мерой степени адекватности называется величина
ч(„и,,)=1ш т
в точке с = с. В уравнении D7) D {yk} — дисперсия k-й координаты вектора выход-
выходных наблюдений у, D {yk | х, с} — условная дисперсия переменной yk относительно
входных наблюдений х при фиксированных параметрах с Дисперсионная мера также
принимает значения из интервала [0, 1]. В практических задачах вместо величин
в числителе и знаменателе D7) используют соответствующие их оцеьки, вычислен-
вычисленные по входным наблюдениям и остаточным ошибкам D5).
Количественные меры адекватности D6) и D7) показывают степень восстанов-
восстановления выходных наблюдений у с помощью модели по входным наблюдениям х.
В то же время во многих задачах or модели требуется не только возможность вос-
восстановления выходных наблюдений, которые искажены помехами, но также и опре-
определенная точность при восстановлении неизвестных истинных значений у„. выход-
выходных сигналов или истинных значений с* параметров системы, когда структура
операторов системы и модели полностью совпадает. В этих ситуациях в качестве
меры адекватности модели следует использовать некоторые числовые характери-
характеристики близости величины у и у, или с и с*, причем эти характеристики не должны
зависеть от неизвестных значений у* или ct. Такие характеристики близости можно
построить на основе применения теории доверительных областей [14].
Кроме применения вышеописанных количественных мер степени адекватности
используют и другие способы проверки адекватности построенной модели, напри-
например статистический анализ вектора остатка 8 D5), так как его координаты только
при полностью адекватной модели являются некоррелированными случайными вели-
величинами с нулевым средним и одинаковой дисперсией [40]. Сопоставлением моде-
моделей, построенных по группам наблюдений в различные периоды времени, можно
обнаружить неадекватность модели с постоянными параметрами реальной системе
[14, 15]. В ряде случаев пользуются качественной априорной информацией об иссле-
исследуемой системе. Например, если известно, что система является колебательной
или ее нелинейная характеристика выпуклая вниз, то аналогичными свойствами
должна обладать построенная модель. Только всесторонняя проверка позволяет
построить достаточно адекватную модель идентифицируемой системы.
2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Любая механическая система характеризуется входными и выходными пере-
переменными, параметрами и характеристиками и некоторыми математическими урав-
уравнениями, связывающими их между собой.
Входные и выходные переменные — это конкретные физические величины:
силы, моменты сил, перемещения, скорости, электрические токи, напряжения и
Др. Входные и выходные переменные часто называют входными и выходными сиг-
сигналами, а иногда (общим термином) координатами системы, хотя, вообще говоря,
координатами системы могут быть любые физические и абстрактные величины,
не имеющие ясного физического смысла. Выходными переменными называют те пере-
переменные системы, которые являются результатом воздействия входных переменных,
и, может быть, некоторых других неучитываемых воздействий.
Воздействия, нарушающие работу рассматриваемой системы, называют поме-
помехами. Помехи могут быть внутренними и внешними, контролируемыми и неконтро-
неконтролируемыми. Ошибки измерения переменной систем также относят к помехам,
"Параметрами системы называют некоторые физические и математические вели-
величины, характеризующие свойства системы. Параметрами считают коэффициенты
усиления, постоянные времени, временное запаздывание, коэффициенты дифферен-
дифференциальных и разностных уравнений и т, g.
358 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В математическом моделировании механических систем большую роль играют
характеристики, определяющие взаимные зависимости параметров, входных и вы-
выходных переменных системы. К таким зависимостям относят нелинейные статические
характеристики, импульсные переходные (весовые) функции, амплитудно-фазовые
частотные характеристики т. п.
Механическая система, имеющая только одну входную и выходную перемен-
переменную, называется одномерной. Когда число входных или выходных переменных
превышает единицу, система называется многомерной. Однако одну и ту же систему
в зависимости от решаемых ею задач, от числа учитываемых переменных или от вида
принимаемой математической модели, можно рассматривать как одномерную либо
как многомерную. Для одномерных систем входные и выходные переменные явля-
являются скалярами, для многомерных — векторами.
Непрерывные линейные модели. В одномерном случае нестационарные линей-
линейные дифференциальные операторы
п т
А(р, 0 = 1+ У ak(t)pk, B(p, 0= У b,{t)p>, P = ~jt D8)
k= l /= 0
приводят к модели, описываемой линейным дифференциальным уравнением
А(Р, t)y(t) = B(p, t)x(t), D9)
где uk (t), bj (t) — некоторые функции времени, которые в задачах идентификации
неизвестны и подлежат определению. Неизвестными могут быть также порядки
т, п и начальные условия у (ta), ..., у'1'1 (t0).
Для q входов и г выходов модель имеет вид
А(Р, 0 У W = B(P. 0*@. E0)
где ут @ = (i/i (t), y2 (t), ..., yr @), хт (t) = (x1 (t), хг (t), ..., xq (t)) — вектор— строки
размерности г, q,
п
А (Р, 0 = (Ац (р, 0), AtJ (p, 0=1+2 4 @ Pk> E1)
k — 1
В (Р. 0 = (Ва (Р, 0). Ви (р, 0=2 ьк @ Pk E2)
— полиномиальные матрицы размерностей г X г и г X q соответственно
Для стационарных линейных систем операторы D8), E1) и E2) не зависят
от времени t, и вместо неизвестных функций необходимо определить постоянные
числовые ^параметры, что значительно упрощает задачу идентификации.
Линейную нестационарную систему можно описать с помощью нестационар-
нестационарного интегрального оператора
t
t
y(t)=y D) +\h(t, X)x (Я) dX, E3)
где h (t, X), Osg^sgoo, O^X^oo — неизвестная и подлежащая оцениванию
импульсная переходная (весовая) функция.
Для физически возможной системы
°
h(t, к),
Если система имеет q входов и г выходов, импульсная переходная функция
является матричной функцией. Для стационарной системы h (t, X) — h (t — Я).
Поэтому интегральный оператор
со
У @ = У (to) + \ h (т) * (/ - т) dT. E5)
0
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 359
Состояние нестационарной линейной системы можно описать математической
моделью
E6)
где A (t) — матричная функция размера п X п; В (t) — матричная функция раз-
размера п X (т + 1); w (/) — я-мерная векторная функция; q (t) — n-мерный вектор
состояния; хт (t) — [х (/), х' (t) х<т> (t)). Для стационарных линейных систем
матрицы А, В и вектор w не зависят от времени.
Любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
может быть представлено в канонической форме:
E7)
где qT @ = (у @. У' @. •••> У'1' @) — вектор состояния,
О 1 0, ..., 0 \
,001 0 \ /° °п ,
АН о"' о 0. .... 1 ; в*= ° ° ° I- E8)
w*T = (l 0, 0, ..., 0), 6/=—, (/=07^)> a?==—, (* = 0, я^Т). E9)
Дискретные линейные модели. Все указанные выше модели непрерывных систем
можно представить дискретными моделями, в некотором смысле эквивалентными
непрерывным. Критерием эквивалентности дискретной аппроксимации непрерыв-
непрерывных процессов может быть равенство значений непрерывного и дискретного про-
процессов в дискретные моменты времени t== k&t, (k= 0, 1, 2, ...), совпадение зна-
значений корреляционных функций непрерывного и дискретного процессов в моменты
времени t= kAt и др. В задачах идентификации систем для дискретной аппрокси-
аппроксимации непрерывных моделей можно использовать бесконечное множество дискрет-
дискретных моделей, эквивалентных в том смысле, что при Д^ -> 0 любая дискретная модель
из этого множества переходит в исходную непрерывную модель. Для дискретной
аппроксимации непрерывных моделей обычно используют следующие наиболее
простые соотношения:
x(t)->xk = x(k At); F0)
—: р->-ттB— 1); F2)
k
(Я) <й. -> м ^ **-/; — -* A
где 2~v еператор сдвига назад на v тактов, т. е. z~vxk = xk_v. В случае необ-
необходимости можно использовать более сложные операторы дискретного дифферен-
дифференцирования и интегрирования, которые обеспечивают более высокую точность [17, 19].
Дискретная модель одномерной нестационарной линейной динамической системы
имеет следующий общий вид'
F4)
360 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
где
п. "U
Л* B, *) = 1+ 2 <fe2~v: В* (г, *)= 2 ****"' F5)
v=l 7=0
— полиномы от оператора сдвига назад Г1, коэффициенты которых a*k и bjk явля-
являются некоторыми функциями дискретного времени k. Если дискретная модель
строится для непрерывной системы, то при фиксированном шаге дискретизации Д/
коэффициенты полиномов F5) являются некоторыми функциями от параметров
непрерывной системы. Конкретный вид функциональной зависимости определя-
определяется способом дискретизации уравнения D9).
Многомерную дискретную модель нестационарной динамической системы можно
представить в следующем виде:
A*(z, А)уА = В*(г, ft)xft, F6)
где A* (z, k), В* (г, k) — матрицы размерностей г X г я г X q с элемешами
а*, (г,к)=б,у + 2 C*-v; в', (*. *) = 2 &;^~v; F7)
v=l v=0
/ 1, если ,=/;
I, 0, если |'т& /
— символ Кронекера. В случае стационарных систем коэффициенты полиномов
F5) и F7) не зависят от дискретного времени k.
Дискретным аналогом интегрального оператора E3) является уравнение
к
Е h>kxb F9)
которое для стационарных систем принимает вид
со
У к ^^ Уо ~т~ / i fXk—ti ('")
/=0
где h,ji, hj — дискретные весовые функции.
Уравнение состояния дискретной нестационарной системы
G1)
I
где А|, в| — соответствующие матрицы; w^ — вектор-строка. Для стационарных
систем эти величины не зависят от дискретного времени к.
Нелинейные математические модели. При идентификации нелинейных механи-
механических систем в качестве математических моделей используются различные нелиней-
нелинейные математические операторы и нелинейные дифференциальные, интегральные и
разностные уравнения. Наиболее часто применяют приведенные ниже нелинейные
модели [10, 20].
Математическая модель нелинейной динамической системы имеет вид нормаль-
нормальной системы дифференциальных уравнений:
¦^¦ = F(q(O, x<"»(t), .... x{f), с It)); J (?2)
где qT=(<?i, q2, •••, qr) — векторная переменная состояния системы; Fr — (F1, F2,
.., Fr) — нелинейная векторная функция; х (t) — входная переменная; ф — ска-
скалярная функция, связывающая вектор состояния с физической выходной перемен-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 361
ной системы у (t); cT (Q = (c, (t), c2 (t) с„ (i)) — оцениваемый векторный пара-
параметр .
Оператором Гаммерштейна
t
V(i) = \h(t, r)f(x(T), t)d% G3)
о
описывается система, которая получается последовательным соединением безынер-
безынерционного нелинейного звена с характеристикой / и линейной динамической части,
характеризуемой импульсной переходной функцией h (t, т) или дифференциальным
уравнением. В последнем случае вместо G3) используют
А(р, t)y(() = B(p, t)f(x(t), t). G4)
Нелинейный оператор Винера имеет следующий вид:
y{t)=f{\h(\)x[t-V)dK t), G5)
где / (и) — непрерывная относительно аргумента и функция, которая может зави-
зависеть от времени t. В дифференциальной форме оператор Винера записывается в сле-
следующем виде:
А(р, t)u(t) = B(p, /)*(/); ^
y(t)=f(u(t), t). ]
Систему, описываемую оператором Винера, можно представить как последова-
последовательное соединение линейной динамической части и нелинейной статической части.
Наиболее общим нелинейным оператором является функциональный ряд Воль-
Вольтер р а [35]
\i $ A2(Tlt т2) х A-tJ x (t-T2) ^хс1х2 + ..., G7)
0 0
где hi (tl7 ..., Т;) — непрерывные относительно Tlt ..., т, функции.
Дискретные модели нелинейных систем получают, как и модели линейных
динамических систем.
Примеры математических моделей. 1 Вынужденные колебания линейной механической
системы с одной степенью свободы описываются дифференциальным уравнением
^lH^ = xW, G8,
где т— свободная масса; /- — обобщенный коэффициент вязкого трения; с — жесткость
пружины; х «) — возмущающая сила.
Уравнение G8) часто приводят к следующему виду
1,{0 G9,
или
где 6 = — коэффициент затухания; ш0 = у — — частота собственных колебаний системы
при отсутствии трения; Т = J/ ™ = постоянная времени системы; & — ~^f=6T —от-
—относительный коэффициент затухания; К= — — коэффициент усиления.
2. В случае, когда возмущающая сила х (i) действует на свободную массу m через
безынерционный нелинейный элемент, вынужденные колебания механической системы
с одной степенью свободы описываются моделью Гаммерштейна
где / — характеристика нелинейного элемента.
(81,
362
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3 Система подвесьи экипажа в первом приближении может быть рассмотрена как
колебательная система с одной степенью свободы Вынужденные колебания описываются
следующей моделью Гаммерштейна
^?» (82)
Ш
где у (t) — вертикальные колебания экипажа; / (х (<)) — функция профиля поверхности
дороги, х Ц) — функция пути
4 В некоторых механических системах рассматриваемая выходная величина у явля-
является некоторой функцией f от перемещения и свободной массы т. Такого вида системы
с одной степенью свободы описываются нелинейной моделью Винера:
di
(83)
В качестве нелинейного элемента может быть, например, ""езынерционный датчик пере-
перемещения и (t) с нелинейной характеристикой I (и)
3. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Оценивание параметров импульсной переходной функции. Предполагается, что
импульсная переходная функция h (t), О sc t sg T представляется конечным рядом
по некоторой системе линейно-независимых ф} нкций ф/ (t), т. е,
1=0
В соответствии с (84) уравнение E5) представляется в следующем виде!
J/@=2 «
1 = 0
(85)
и задача оценивания импульсной переходной функции эквивалентна оцениванию
векторного параметра с.
Тогда для случая наблюдений вида
(Q (86)
оценка 6 и ее ковариационная матрица
деляются по уравнениям
с = Л-*Р;
где
методом наименьших квадратов опре-
квадратов опре=^|A-!, (87)
Т
j (88)
квадратная матрица и вектор-столбец размерностей (г + 1) X (г + 1) и {г + 1)
соответственно; 5 @ — помеха типа белого шума с нулевым средним и интенсив-
интенсивностью g|.
Когда входной сигнал д: (Q является стационарным (в широком смысле) слу-
случайным процессом, оценки параметров с можно получить, исходя из уравнения
Винера—Хопфа:
) = j
и (г) = j Л (Л) /С^ (т-Л) Л.
(89)
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 363
__ В данном случае оценку с также можно предсгавить в виде (87), учитывая дру-
другой способ определения элементов матрицы А и вектора р"
<хх (т — I) (р, (т) ф, (к) dx Л;
с
И
о о
/=j Кхи (Т) ф, (Т)
(90)
гДе /Сл-лг (т)> Л"мх (т) — соответствующие оценки авто- и взаимно-ковариационных
функций. Поскольку ковариационные функции физических систем заметно отли-
отличаются от нуля только в конечном интервале [—т/тах, Ттах], верхний предел инте-
интегрирования в (90) можно заменить величиной ттах Проблема выбора функций ф (т)
обсуждается в работах [5, 10].
Если импульсная переходная функция является достаточно гладкой и быстро
убывает, то в качестве координат векторного параметра с можно рассматривать
значения импульсной переходной функции в дискретные моменты времени:
c, = h()b%), (/ = 077). (91)
Тогда элементы матрицы А и вектора {5 в уравнении (87) определяют следую-
следующим образом
Xlf = Axkxx[(j-i)&T;], Р/ = Хл-и(/Ат), (92)
где Ат — шаг дискретизации импульсной переходной функции.
Уравнения (87) остаются справедливыми и при оценивании импульсной пере-
переходной функции стационарных дискретных моделей, если интенсивность gt заме-
заменяется дисперсией а| дискретного белого шума. При этом интегральные операторы
в выражениях (85) и (90) аппроксимируются соответствующими суммами.
Регуляризация задачи оценивания импульсной переходной функции. Как сле-
следует из изложенного, оценивание импульсной переходной функции основывается
на решении соответствующей системы линейных уравнений, которая может полу-
получиться вырожденной (определитель системы равен нулю) или плохо обусловленной
(определитель системы близок к нулю) В таких случаях малым изменениям в век-
векторе Р или матрице А могут соответствовать большие изменения решения с, т. е за-
задача оценивания импульсной переходной функции относится к некорректным зада-
задачам [36]. Поэтому появляется проблема регуляризации — проблема нахождения
обобщенных решений, которые устойчивы к малым изменениям элементов матрицы А
и вектора р.
В соответствии с теорией регуляризации [1, 36] вместо первого уравнения в (87)
следует использовать уравнение
са = (а1 + Л)-1Р, (93)
где а > 0 — некоторый скаляр, называемый регуляризирующим фактором; I —
единичная матрица.
Регуляризирующее воздействие оказывает априорная информация о векторе с.
Например, если принять, что координаты векторного параметра с независимы между
собой и имеют одинаковую дисперсию о"?, то в случае оценивания импульсной пере-
переходной функции применение критерия A7) приводит к уравнению (93) с регуля-
ризующим фактором:
или а = —? . (94)
о*
Оценивание параметров линейных дифференциальных уравнений. Пусть связь
между входным х @ и выходным у (t) сигналами описывается обыкновенным диф-
364 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ференциальным уравнением
где
(Р) = 2 biP'< А (Р) = ! + S a'p<-
; = 0 1=1
\п.
(95)
(96)
При наблюдениях выхода системы с аддитивной стационарной помехой g (t)
ипа белого шума оценивание параметров модели (95) по методу наименьших ква-
квадратов состоит в минимизации функции
Г
Q (а, Ь) = \ {и {t)-y (t, a, b) }* dt (97)
в допустимой области С, которая является областью устойчивости решений диф-
дифференциального уравнения. Для вычисления оценок следует использовать итера-
итерационные алгоритмы типа B8). Градиент функции (97), который необходим при вы-
выборе направления поиска, состоит из двух составляющих:
VlQ (с) = [vjQ (с), VlQ (с)], (98)
где
т
VbQ(c)=-2J [U(t)-y(t, a, b)]Vby(t, a, b)dt;
(99)
VbQ(c)=-2J [u(t)-y(t, a, b)]Vby(t, a, b)dt;
dy(t, a, b)
dbj
A{p)
x(t), (/ = 0, m);
VaQ(c)=-2J [«й-yft a, b)] Va(/P, a, b) dt;
1- ¦•
A00)
Начальные условия для дифференциальных уравнений в (99) и A00) получа-
получаются нулевыми. В то же время для уравнения (95) они должны быть заданными.
Однако при решении многих практических задач начальные условия бывают неиз-
неизвестными. Тогда приходится их принимать либо нулевыми, что приводит к допол-
дополнительным ошибкам оценок, либо усложнить задачу, оценивая неизвестные началь-
начальные условия совместно с параметрами модели [30, 44].
Оценивание параметров линейных разностных уравнений. Когда наблюдения
за входным и выходным сигналами получены в дискретные моменты времени t = kAt
(либо непрерывные сигналы х (t) и и (t) дискретизируются в связи с применением
ЭЦВМ), модель линейной системы задается в виде линейного разностного уравне-
уравнения rfr
где
A01)
A02)
— полиномы, не имеющие общих корней. Тогда оценки а, 6 по методу наимень-
наименьших квадратов должны минимизировать функцию
Q(a, b)
A03)
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
365
в допустимой области С, которая является областью устойчивости решений раз-
разностного уравнения A01). В последнем уравнении N >Bп + т + 1) — число
дискретных наблюдений.
При вычислении оценок параметров следует использовать итерационные алго-
алгоритмы типа B8). Градиент функции A03) также имеет структуру вида (98), а отдель-
отдельные компоненты вычисляются следующим образом:
VbQ(c)=-2
2
k—n
b);
дЬ,
VaQ(c)=-2
дук (а, Ь) _
да;
(/==_._
А (г)
N
2 1ик—Ук(.л> b)J Vat/k (a> Ь);
В (г) г-
Л» (г)
А(г)
уь(л, Ь), (г=1, я).
A04)
A05)
Начальные условия для разностных уравнений в A04) и A05) являются нулевыми.
В качестве начальных неизвестных условий для уравнения A01) приближенно
можно использовать п первых значений последовательности и^. Начальные усло-
условия можно оценивать совместно с параметрами модели а и Ь, усложняя задачу
[30, 44].
Алгоритмы оценивания параметров, основанные на численных методах оптими-
оптимизации, легко применяют и при коррелированных помехах, имеющих дробно-рацио-
дробно-рациональные спектральные плотности
A06)
где корни полиномов F (г) и D (г) лежат вне единичной окружности; fT = (/t, f2,
.... fr), dT = (dx ..., dp) — неизвестные параметры. В этом случае согласно обобщен-
обобщенному методу наименьших квадратов следует минимизировать функцию [12]
A07)
по параметрам ст = (ат, bT, fT, dT). Другие модели и методы подробно описаны
в работе [44].
Оценивание параметров многомерных систем. Пусть значения и^ векторного
входного сигнала системы с q входами и г выходами в дискретные моменты времени
t— kM представляются в виде
A08)
A09)
где А (г), В (г) — матрицы размерности г X г и г X q, элементы которых
п
At, (г) = Ьц + 2 а\г~'; В (г)
г1
*>*
и^ = (м , щк, ..., иг1) — /"-мерный выходной сигнал; х?= (xlk, x2k, ..., xql) —
<7-мерный входной сигнал; 11= (llk, l2k %rk) — г-мерная последовательность
366 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
помех, имеющая нулевое среднее и ковариационную матрицу
q положительно определенная матрица размерности г У. г; 0 — нулевая мат-
матрица. Обозначим
Г, = (а{/)' Av = (&y, (i, / = 177), (ц=П). С11)
Тогда уравнение A08) представляется в следующем виде:
l (П2)
ГД6 С=(Га. Г„ .... Г„, Ао, Аъ .... А™), (ИЗ)
— матрица размерности гХ [т + q (m + 1I. элементами которой являются неиз-
неизвестные параметры уравнения A08),
vjH-4_,, -«г_2, ..-, -ит,_„. *!• .... xj_m) (П4)
— вектор-сгрока размерности rn-\-q (т-\- \). Тогда оценивание матрицы С по
методу наименьших квадратов [22] приводит к уравнению
С = ПОТП-', A15)
где
П™= 2 vfcvj, П„„= 2 u*v* <116)
— матрицы размерности [rn + q (т + 1I X [га + 9 (т + 1)], /" X [га + ? (от + 1)]
соответственно; JV > {п + г [гп + ? (tn + 1)]} — число наблюдений.
Когда модель многомерной системы строится не в виде многомерного разност-
разностного уравнения A08), а в форме многомерной дискретной весовой функции, урав-
уравнение модели можно получить из A08), подставляя в него А (г) = I. Тогда В (z)
представляет собой усеченную в дискретный момент времени Т = тЫ матричную
дискретную весовую функцию многомерной системы, и по уравнению A15) полу-
получается оценка матричной дискретной весовой функции.
4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Оценивание параметров моделей Гаммерштейна с весовыми функциями. Связь
между входным х (t) и выходным у (t) сигналами описывается интегральным опе-
оператором
со
[t-%)\<fr. A17)
Весовая функция h (т) и нелинейная характеристика безынерционной части / (х)
разлагаются в ряд по линейно-независимым функциям:
2 = b>(T); A18)
/=о
2
( = 0
где di, bj — неизвестные числовые коэффициенты разложения, dT = (d0, dlt ..., dr),
Ф W = (Фо (*). <Pi (*) Фг (*)) — соответствующие вектор-строки размерности
г+ 1, Ьт = F0, blt ,,., bm), ifr (т) = [ip0 (т), ..., tym (x)\ — вектор-строки размер-
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 367
ности т+ 1. Подстановка A18) и A19) в A17) приводит к уравнению
г т
у (t, b, d) = 2 dt 2 b,hi; (t) = dTH @ b, A20)
! = 0 1=0
где H (t) — матрица размерности (г + 1) X (m + 1) с элементами
/^)(fl[x(t-T:)]dx, (i = 677, / = 6Tm). A21)
При наблюдениях выхода системы с аддитивной стационарной помехой | (t)
типа белого шума
u(t) = y(t, b, d)+g(O A22)
оценивание параметров модели A20) по методу наименьших квадратов состоит
в минимизации функции вида (97). Покомпонентная минимизация по аргументам d
и b на /-м этапе поиска приводит к уравнениям."
), /=1, 2 A23)
где
т т
Г (Ьм) = I Н @ b;_1bJ_1HT @ Л, Г (d,) = j HT (/) d^djH @ Л A24)
— квадратичные матрицы порядка (/¦ + 1) и (т + 1) соответственно,
т т
Р (Ь,^) = J и (О Н @ Ьц Л, Р (d,) == J и (О Нт @ ut dt A25)
б о
— вектор-столбцы размерностей (г + 1) и (т + 1) соответственно.
Оценки параметров d и b вычисляются с точностью до неизвестных множи-
множителей ей 1/е, где 8 — любое ненулевое число [14]. Для устранения этой неоднознач-
неоднозначности принимается, что коэффициент усиления линейной динамической части явля-
является единичным. Тогда нелинейная характеристика / (х) представляет общий нели-
нелинейный коэффициент усиления системы, оценками параметров модели A20) явля-
являются величины
m го A26)
/=*о ' о
где L — номер итерации, при которой алгоритм A23) сходится с требуемой точностью.
Априорную информацию о параметрах удобно представить в виде средних
(номинальных) значений d, b и ковариационных матриц Vb, Vd, характеризующих
допустимый разброс параметров. Тогда применение критерия типа A7) приводит
к уравнениям вида A23), если в указанных выражениях соответствующие матрицы
и векторы заменить следующими:
г* OVi) = г (b;-i) +4Vd1' Г* (di) = Г (di) +?ivb\- A27>
dld> P.(d,) = P(d,)+glVi;1b. A28)
Из уравнений A27), A28) следует, что с помощью априорной информации регу-
ляричуется задача оценивания параметров. С другими методами оценивания можно
ознакомиться в работах [4, 29].
Когда наблюдения за входом и выходом систем проводят в дискретные моменты
времени t = kAi или непрерывные записи дискретизируются в связи с применением
ЭЦВМ, интегральное уравнение A17) заменяют дискретным аналогом
оо
Ц 0. A29)
368 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Числовая последовательность ft, (/ = 0, 1, ...) называется дискретной весо-
весовой функцией или весовыми коэффициентами. Так как для устойчивых динамических
систем Ь, -» 0 при / -» оо, при идентификации ограничиваются конечным числом т
весовых коэффициентов. Тогда с учетом A19) получается дискретная параметриче-
параметрическая модель
уй(Ь, d) = drHfeb, A3°»
где nk _ матрица размерности (г + 1) X (т + 1) с элементами
Ьк1, = <Р,(хм), A=0Гг, /=*0Гт). A31)
Применение метода наименьших квадратов для оценивания параметров дискрет-
дискретной модели A30) и покомпонентная минимизация критерия приводят к уравне-
уравнениям типа A23) со следующими матрицами и векторами:
Г(Ьг_х)= 2 Hftb/_1bJ_,Hj, Г(<1,)= S
k — tn + l k—
N N
P(bt_i)= 2
k=m-\-\
Сопоставление A24), A25) с A32) и A33) показывает, что разница при их вы-
вычислении заключается только в замене операции интегрирования операцией сум-
суммирования для соответствующих дискретных величин. Имея это в виду, нетрудно
получить все остальные выражения, приведенные для случая непрерывной модели.
Более подробно с этими вопросами можно познакомиться в работах [13, 14].
Оценивание параметров модели Гаммерштейна в виде дифференциального
уравнения. Выходной
y(t) = ^~f[Ht)l A34)
где
т п
В (Р) = 1 + 2 Ь,р/, А (р) = 1 + 2 а,рК т s? n, A35)
— полиномы от оператора дифференцирования р = —-; bT = (blt Ь2, ..., Ьт); ат =
= (alt oj, ..., ап) — числовые неизвестные коэффициенты. Подстановка A19) в A34)
приводит к параметрической модели
У С а, Ь, d) = -|т
с неизвестными векторными параметрами a, b, d.
В случае наблюдений вида A22) оценивание по методу наименьших квадратов
связано с минимизацией функции
Т
Q(a, b, d) = J {u(t)-y(t, a, b, d)J^ A37)
о
в допустимой области С, которая в данном случае является областью устойчивости
передаточной функции линейной части модели. Для этой цели удобным оказывается
принцип покомпонентной минимизации по параметрам d и ст = (Ьт, ат). При фик-
фиксированных на /-м этапе поиска параметрах линейной части с= с,_а функция A37)
является квадратической формой относительно параметров нелинейной части d,
что приводит к уравнению
d^r-i^^Ptcn), /=1,2 A38)
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 369
где
т
Г (с,_г) = $ Vdy (t; d, C/_!) • V}y (t\ d, См) Л A39)
— квадратичная матрица порядка (л + 1);
т
Р (Си) = $ и @ Vd(/ (Л d, C/_x) Л A40)
— вектор-столбец размерности г+1, г-я координата градиента функции A36)
определяется в соответствии с дифференциальным уравнением
имеющим нулевые начальные условия.
При фиксированных параметрах d = d; нелинейной части функция A37) не яв-
является квадратичной формой относительно параметров с линейной части, поэтому
необходимо применить численные методы оптимизации B8). Градиент функции A37)
по параметрам с линейной части вычисляют, как в случае оценивания парамет-
параметров линейных дифференциальных уравнений. При этом в соответствующих урав-
уравнениях (99) и A00) вместо входного сигнала х (t) используют сигнал v {t) — ft [х (t)],
где fi (x) — оценка характеристики нелинейного элемента на 1-й этапе поиска,
которая получается подстановкой d = d; в A19).
Оценивание параметров модели Гаммерштейна в виде разностного уравнения.
Выходную последовательность yk представляют в следующем виде;
ук^АЩ.[(хк), A42)
где
т п
В(г)= 2 biz~J' A (z) = 1 + 2 а>г~1 A43^
, = 0 1=1
— полиномы от оператора сдвига г на один такт назад. Подстановка A19) в A42)
приводит к параметрической модели вида
г
yk (a, b, d) = —— у dffli (•*•&)• A44)
1=0
Применение принципа покомпонентной минимизации критерия наименьших
квадратов типа (8) по аргументам d и ст = (Ьт, а1) приводит к уравнениям вида
A38) и B8). При этом
I, с,,); A45)
= 21
dyk (d, с,.,) = Bt.t (г) ф< {ч) (г = 5Г7)- (Н7)
Составляющие градиента по параметрам с вычисляют по уравнениям, анало-
аналогичным A04) и A05) с использованием сигнала vk — ft (x^). Начальные условия
Для разностного уравнения A47) являются нулевыми.
370 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Для восстановления отдельных оценок параметров d нелинейного элемента
и параметров b разностного уравнения используют требование относительно еди-
единичного коэффициента усиления линейной части модели. Это осуществляют в соот-
соответствии с уравнениями A36), вычисляя KL по формуле
A48)
Более подробно с вопросами построения дискретных моделей данного типа
можно ознакомиться в работах [13, 16, 47].
Оценивание параметров модели Винера с весовыми функциями. Связь между
входным х Щ и выходным у (t) сигналами представляют в следующем виде:
g(t)=*f[v(t)], o@=J h(t)x(t-T)dx. A49)
о
После разложения весовой функции h (т) в ряд вида A18), а / (v) в ряд A19),
получается следующий параметрический оператор:
г т со
у (t, b, d)= ^ ^ifi lv ('• b)]. v (t, b) = ^ b/ $ 'Ф/ (T) x V ~T) dr. A50)
г=0 /=0 0
На основе принципа покомпонентной минимизации квадратического критерия
на /-м этапе поиска получается уравнение вида A38) для параметров d с исполь-
использованием в нем величин:
т
Г (b;_i) = f <p [v (t, Ь/_х)] <рт [v (t, b,_j)] dti A51)
т
о
Для вычисления параметров весовой функции применяют алгоритм B8), а гра-
градиент представляют в следующем виде:
т
VbQ(b, dl) = -2'\i[u(t)-y(t, b, d,)]Vby(/, b, d)dti A53)
о
(/, b, dj) _ у j ^ф,- [t> (/, I)] <3t) (/, b) _
A54)
'
Указанный алгоритм позволяет найти оценки параметров b и d только с точ-
точностью до определенных множителей. Для восстановления отдельных оценок пара-
параметров следует ввести дополнительное требование относительно единичного коэф
фициента линейной части модели и соответствующим образом нормировать вычислен-
вычисленные оценки [7].
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
371
Когда используют дискретные наблюдения, выходная последовательность
представляется в виде
2
A55)
Параметризация оператора A55) производится аналогично случаю модели
Гаммерштейна, что приводит к уравнениям:
г т
У к (Ь, d)= 2] 4-Ф. [о* Ш; vk (b)= 2 */**-/• A56)
1=0 /=0
Тогда покомпонентное оценивание параметров с использованием метода наи-
наименьших квадратов приводит к вычислениям по уравнениям типа A38) и B8). При
этом
N
Г (b,_i) =2 ф [vk (b,_t)] фт [vk (b,_i)]; A57)
n)l: A58)
i. d,); A59)
db/
Svk(b)
(=0
[vh (Ъ)] dvk (b) _
dv db, •
= xk_f, A = 0, m).
A60)
Оценивание параметров модели Винера в виде дифференциального уравнения.
Выходной сигнал у (t) представляют в следующем виде:
Подстановка A19) в A61) приводит к уравнению
y(t, a, b, d)=
, a, b)], v (t, a, b) = -
A62)
i=0
Покомпонентное оценивание параметров d и ст = (Ь,тат) в соответствии с мето-
методом наименьших квадратов приводит к уравнениям типа A38) и B8) с использова-
использованием в них величин
т
Г(с/_,) = ( ф [v <(, с. Л] mT \v (t, c/_,)l dt; A63)
Р (c:_i) = J и @ <р Г» (t> c;_i)] Л; A64)
«, a, b, df) _ V ,г %¦ [о (Л а, Ь)] до (Л а, Ь) n^Ylhy A65)
dft/ ^J ' do dbj '
dy (t, a, b, d;) _ у di dcpj [v, (t, a, b)] dv (t, a, b) (Jfe ==TT~n). A66)
Z ' do ^a
г=о
372 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Дифференциальные уравнения для производных с переменной v (t, а, Ь) имеют
структуру (99), A00). „
Оценивание параметров модели Винера в виде разностного уравнения. Выход,
ную последовательность ук представляют в следующем виде:
A67)
что после параметризации приводит к оператору
yk (a, b, d)= 2 d^ [Vk (a> bI> Vk (a> b) =
t=0
В данном случае покомпонентное оценивание параметров связано с исполь-
использованием уравнений вида A38), B8). При этом
Г(сц)= |] q> [о* (c/-i)lq>T [о* (<*-i)]; A69)
N
k + l
J2L . ""><!?• "> , (/ = о, т); A71)
1=0 "" '
г
dyk(a, b, di) \1 j dq>i [vk (a, b)] dvk (a, b) -r—-. „
^ r = / a. ; ¦ ^- ¦. (Ll=l, fl). (I'-w
dciu j^ ' dv dun
1=0
Разностные уравнения для производных переменной v^ (а, Ь) имеют структуру
A04), A05). С результатами исследования описанных алгоритмов можно ознако-
ознакомиться в работах [7, 45].
Связь модели Винера с рядом Вольтерра. Если в разложении вида A19) линейно-
независимые функции являются степенным полиномом, т. е. <р,- (х) = х\ то урав-
уравнение A49) можно представить в виде
$ \ A73)
о
Если обозначить
h0 = do, h (т) = dji (x), h (тх, та) = d2h (т) h (к), ... A74)
то уравнение A73) примет вид
^ $ f h(xv x2)x(t—rlt <-т2) dt1dxa + .... A75)
Оно соответствует ряду Вольтерра G7). Следовательно, если в модели Винера
нелинейная характеристика / (х) может быть представлена через степенные поли-
полиномы, то данная модель эквивалентна ряду Вольтерра, когда его ядра имеют вид
A74). В связи с этим приведенные алгоритмы для построения модели Винера можно
отнести к алгоритмам оценивания параметров нелинейных динамических моделей
в виде ряда Вольтерра.
Дисперсионное уравнение идентификации. В некоторых случаях может появиться
желание описать нелинейную динамическую систему линейной моделью. Тогда для
стационарных систем используют следующее уравнение [28]:
"ух
(s) = ? h(%)bxx(s, %)d"K, A76)
ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ 373
где ®хх («> Ц, $ ух (s) = ®yx(t, t — s) — так называемые автодисперсионная и вза-
взаимная дисперсионная функции стационарных случайных функций х (t) и у (t).
Весовая функция h (X), определенная по уравнению A76), соответствует связи не между
сигналами х (t) и у (t), а между их сглаженными характеристиками ~ условными
математическими ожиданиями:
A77)
где М {yt | xUx\ — условное математическое ожидание выходной переменной у
в момент времени t относительно входной переменной х в момент времени t — т,
М {х\ I xt_x\ — условное математическое ожидание входной переменной х в момент
времени X относительно к в момент времени t—т. Модель A77) можно рассматри-
тать как линейную в среднем.
5. ОЦЕНИВАНИЕ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМ
Оценивание состояния линейных систем. Рассмотрим дискретный алгоритм
оптимального оценивания состояния, который получил название фильтра Бьюси—
Калмана или фильтра Калмана. Модель дискретного процесса задана линейным
векторным разностным уравнением
A78)
где х (k + 1) — «-мерный вектор состояния в момент дискретного времени k + 1;
ф (k + 1, k) — матричная функция при имеющихся наблюдениях в момент вре-
времени k размерности я X п; Г (k) — матричная функция времени размерности т X т,
векторный входной шум w (k) представляет собой белый шум с нулевым средним
и ковариационной матрицей Vw (k). Модель измерений задана уравнением
z(A) = H(A)x(A) + v(A), A79)
где ошибка измерения v (k) представляет собой белый шум с нулевым средним и
ковариационной матрицей Vv (k), который независим от входного шума w (k)\ г (k) —
/-мерный вектор измерения; Н (k) — матричная функция времени размера 1X1.
Рекуррентный алгоритм фильтрации Калмана для получения оценки х (k) с ми-
минимальной дисперсией ошибки по измерениям z (k), имеет вид [11, 31, 32]
\)\. A80)
Коэффициент усиления фильтра Калмана К (k) представляет собой матрицу
размерности п X п и определяется рекуррентным соотношением
где
A82)
— априорная ковариационная матрица ошибки х = х — х;
V; (К) = [I - К (ft) H (k)] V; (А | ft -1) A83)
— апостериорная ковариационная матрица ошибки. Матрицы К (k), V~(k\k— 1)
и V~ (k) не зависят от измерений z (k) и могут быть вычислены независимо от х (k).
Нелинейное оценивание. Если модель процесса и измерений является нелиней-
нелинейной, то
х(А+1) = <р[х(?), k] + T(k)v/(k); A84)
z<k) = b[x(k),k] + v(k), A85)
?де <р [.] — n-мерная векторная функция; h [•] — /-мерная векторная функция.
Начальные априорные предпосылки аналогичны, как и для линейного случая.
374 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В таких ситуациях применяют приближенные алгоритмы фильтрации [31, 32]:
где
К (k+1)= Vj (A+ 1)НФ (k+1) V-1 (k+1);
V;(A+1)-=V;(A+1 A)-V;(A+1 | A) HJ(A+1)X
(A,
(А) Гт
A86)
A87)
A88)
A90)
6. ПРИМЕРЫ ИНДЕНТИФИКАЦИИ
РЕАЛЬНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Построение математических моделей процессов в трубопроводных системах.
Трубопроводные системы высокого давления применяют в различных отраслях
промышленности. Однако вопросы расчета ресурса по критерию прочности эле-
элементов труб с учетом действующих динамических нагрузок являются мало иссле-
исследованными. Это обусловлено отсутствием достоверной информации о напряженно-
деформированном состоянии элементов трубопровода, и в первую очередь о дина-
динамической составляющей напряжений. В общем случае динамическая составляющая
Рис. 1. Контрольный участок трубо-
трубопровода:
/ — гидропульсатор, L{ — точки изме-
измерений пульсаций давлений рабочей
жидкости, А, В — точки измерений
пульсаций и кольцевых напряжений
напряжений в стенке трубы определяется пульсациями давления рабочей среды,
продольными и поперечными колебаниями трубопровода. Однако при расчете тон-
тонкостенных труб по кольцевым напряжениям можно ограничиться динамической
составляющей, порождаемой пульсациями давления. Поэтому появилась задача
построения математической модели, на основе которой можно предсказывать коль-
кольцевые напряжения трубопровода по пульсациям давления рабочей среды [6].
Для получения исходных данных проведены специальные экспериментальные
исследования на стенде, моделирующем работу реальных трубопроводных систем.
На входе контрольного участка (рис. 1) установлен стохастический гидропульсатор
с возмущающими частотами до 3 кГц. Рабочее давление среды 10 мПа, средняя
скорость потока 5 м/с.
ПРИМЕРЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ РЕАЛЬНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 375
Поставленную задачу решали с использованием математических моделей двух
типов: модели распространения пульсаций давления среды в трубопроводе вида
xk (L) = К (AL) xk_x[&L) (?,) +lk (L)
(I92)
и модели динамической зависимости кольцевых напряжений от пульсаций давления
рабочей среды вида
В последних уравнениях хк (?.,•) — измеряемые в дискретные моменты вре-
времени t = kAt значения пульсаций давления в контролируемой точке L,- трубопро-
трубопровода; xk (L) — пульсации давления в любой другой точке L, удаленной от L,- на рас-
расстояние AL. К (AL) — коэффициент передачи амплитуды; т (AL) — чистое запаз-
запаздывание, \k (L) и tk (L) — помехи, вызванные неучтенными факторами; В (г; L),
А (г; L) — полиномы вида A02),
1,0
0,75
0,5
0,15
1,0 т «¦
—-""
\-
п /
м
J
-—|
ТТЛ-пи,
250 500 750 Г О00 1250 f, Гц
а)
0/5
0,5
0,25
О
- 3
2
- 1
¦о—
5
1 ^
-4-
в)
250 500 750 ГООО 1250 f, Гц
Рис. 2. Результаты идентификации:
а — характеристики прямого участка в
точке Л; б — характеристики гнутого
участка в точке В, в — характеристики
распространения пульсаций давления ра-
рабочей жидкости: / — нормированные спек-
спектральные плотности Sxx tf)/S^max пульса-
ax = 1,1501 10 МПа2,
5 6 AL,M цИй давления (
max = 9'137 10~' МПа2): 2 — нормиро-
нормирокольцевых напряжений (Su max =
ванные спектральные плотности Suu(f)/Su max
= 5,3267'Ю-4 МПа2, s" max = 3,7357 -10~3 МПа2): З — нормированные амплитудно-час-
амплитудно-частотные характеристики
В результате решения задачи идентификации получено, что в уравнении A93)
можно ограничиться полиномами второго порядка. При этом количественная оценка
степени адекватности модели при использовании дисперсионной меры D7) г\А = 0,9
для прямого участка (точка А) и г]в = 0,8 при криволинейном участке (точка В
на рис. 1). Степень адекватности модели A92) несущественно зависит от расстоя-
расстояния AL относительно контрольной точки Lt: для точки L2 r\L^ = 0,83, а для точки
Ц r|L = 0,75. На рис. 2, а и б показаны нормированные оценки спектральных
плотностей пульсаций давления и напряжений, а также амплитудно-частотные
характеристики, соответствующие модели A93). На рис. 2, в показана зависимость
полученных оценок т (AL) и к. (AL) параметров модели A93) от расстояния AL.
Идентификация скоростных роторных систем. Скоростные роторные системы,
широко применяемые в технике (например, гироскопы), в реальных условиях ра-
работают под воздействием механических вибраций, которые снижают точность си-
системы. Природа вибраций ротора электродвигателя, вызываемых вибрациями кор-
376
ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
пуса, характеризуется жесткостными и демпфирующими характеристиками системы,
постоянными и переменными составляющими момента сил сопротивления вращения
ротора в опорах, осевыми и радиальными колебаниями центра тяжести ротора и
рядом других характеристик. Аналитическое исследование динамики таких систем
является сложной задачей, поэтому их характеристики целесообразно получать
методами идентификации по результатам эксперимента.
Рис. 3. Принципиальная схема стенда:
/ — вибростенд; 2 — емкостной датчик; 3 — роторная система; 4 — преобразователь; 5, $
измерительная аппаратура и аппаратура записи; 7 — сейсмический пьезодатчик
Рис. 4. Экспериментальные зависимости нормированных спектральных плотностей от ча-
частоты при виброударном возбуждении системы:
1745 Н2. Su max = 142,8 мкм8
Принципиальная схема вибростенда для проведения эксперимента по исследо-
исследованию динамических характеристик прецизионных роторных систем показана на
рис. 3. Роторную систему с вертикальной осью вращения монтируют на механиче-
механическом виброударном стенде 1. Для регистрации перемещения ротора относительно
Р,"
SO
ВО
30
0
>
цз
/Л
А
\
П
18 Al*10~s,M ,? jg ?Q $0 щ z-W^C
Рис. 5. Оценки жесткостных характеристик роторной системы:
/ — метод активного эксперимента; 2 — по виброударному возбуждению
Рис. в. Оценка весовой функции роторной системы
статора (корпуса) в осевом направлении испытуемого прецизионного малогабарит-
малогабаритного электродвигателя 3 используют емкостной датчик 2, а сигнал возбуждаемых
колебаний регистрируют сейсмическим пьезодатчиком 7. На рис. 4, на котором
показаны нормированные оценки спектральных плотностей входного и выходного
сигналов, видно, что система возбуждается с максимальной энергией на частотах
50—700 Гц.
ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 377
Для описания зависимости осевых колебаний uk ротора относительно ста-
статора от силы xk виброударного возмущения, измеряемой в дискретные моменты
времени / = kat, применяли модель Гаммерштейна [2]
A94)
где lk — помеха типа дискретного белого шума. В результате идентификации уста-
установлено, что жесткостную характеристику / (х) можно аппроксимировать полино-
полиномом третьей степени, а динамические свойства объекта —полиномом А (г) второго —
четвертого порядков. При переходе от дискретной модели второго порядка к непре-
непрерывной модели
GV + 2pr+l)@/[ 0 A95)
получены следующие оценки параметров^ левой части. Постоянная времени f =
= 3,76- Ю с и коэффициент затухания J3 = 0,71. Оценка жесткостной характери-
характеристики / (х) показана на рис. 5, вид весовой функции модели — на рис. 6.
Из анализа методом активного эксперимента установлено, что жесткостная
характеристика имеет петлевой характер (рис. 5, кривая 1). Используемое в дина-
динамической модели A94) полиномиальное представление характеристики / (*) не поз-
позволяет оценивать неоднозначные нелинейности. Для получения более строгих резуль-
результатов следует применять специальные методы описания неоднозначных нелиней-
ностей. Однако модель с полиномиальной аппроксимацией жесткостной характери-
характеристики обладает достаточной для инженерных расчетов точностью, так как ff|/«max «
я* 2,5 %, где al — оценка дисперсии помехи |ft; итах — максимальное значение
сигнала и (I).
7. ПОСТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Оценивание параметров непрерывных моделей. В качестве исходной информа-
информации в задаче идентификации линейных систем могут быть использованы экспери-
экспериментальные значения амплитудно-фазовой частотной характеристики
Я(/соА) = Ке((ол) + /1т((йА) = !Я(/соА)|е/ф(<в*) (?=0), A96)
где Re {(?>k), lm (cofc) — действительная и мнимая части частотной характери-
характеристики; \Н (/cofc)|, ф (coft) — амплитудно- и фазочастотные характеристики; сод =
= 2Tlfk — k-e значение угловой частоты; fk — k-e значение частоты, Гц; N — ко-
количество различных частот, при которых получена экспериментальная частотная
характеристика системы; |.|—модуль комплексной величины.
В данном случае критерием качества является функция
Q(a, b)= 2 \Нищ)-Н(^к, а, Ь)|*= 2 №*• а> Ь) I3' A97>
4=1 4=1
где
4Щ A98)
— амплитудно-фазовая частотная характеристика, соответствующая параметри-
параметрической модели (95); полиномы В (ja>), A (jco) получаются из (96) при подстановке
Р — /«.
378 ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Оценки а и Ь параметров вычисляют по численному алгоритму B8) для мини-
минимизации функции A97) в области устойчивости решений дифференциального урав-
уравнения (95). При этом компоненты градиента критерия качества A97) определяют
из выражений
N
VbQ(a, b)= ^ {е(/ш*> а> b) vbe(~ imk< а> b) + e(~~^°V а> Ь) ^ье(/шА'а> Ь)}"> С")
, a,
B00)
V Q(a, b)= У {e(/coft, a, b) Vae(- /соА, а, Ь)+е (—/юй, а, Ь) ?ае(/шА> а, Ь)}; B01)
= я (/ b)_^)l_ ((-=[7Я B02)
( ( Л (/со*)
где е (—/со/;, а, Ь) — комплексно-сопряженная величина е (/coft, a, b).
Оценивание параметров дискретных моделей. Амплитудно-фазовая частотная
характеристика, соответствующая дискретной модели A01), имеет вид
где полиномы В (е~/й)Д'), Л (е"/соА') получают из A02) при подстановке г'1 =
Методика оценивания параметров а и b разностного уравнения A01) явля-
является аналогичной приведенному выше случаю непрерывной модели. При этом
в соответствующих выражениях A97), A99) — B02) величину /со следует заменять
величиной е~/соД', а частотную характеристику A98) — частотной характеристикой
B03), а НЦщ) умножить на е</(л-т) ш до.
Список литературы
1. Альберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука,
1977. 223 с.
2. Балтрунас И. И., Каминскас В. А., Кранчюкас Р. Б. Идентификация скоростных
роторных систем. — Труды вузов Лит. ССР. Вибротехника, 1977, т. 2 B6). с. 81—89, 133 —
140.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. М.; Мир,
1974, вып. 1, 406 с, вып. 2. 200 с.
4. Глухое Л. В. Восстановление характеристик одного нелинейного звена по вход-
входному и выходному сигналам. — Автоматика и телемеханика, 1967, № 11, с. 82—90.
5. Грабарь Л. П. Применение полиномов Чебышева, ортонормированных на системе
равноотстоящих точек, для решения интегральных уравнении первого ряда. — ДАН СССР.
Серия математика—физика, 1967, т. 172, № 4, 5, 6.
6. Дулевичгос И. И., Жилюкас П. Ю., Каминскас В. А. Прогнозирование динамиче-
динамической составляющей напряжений трубопроводов методами идентификации — Межвузовский
сборник «Вибротехника:», 1979. т. 5 B3), с. 171 — 178.
7. Душкесас М. И., Каминскас В. А. Оценивание параметров модели Винера с приме-
применением численных методов оптимизации. — Труды АН Лит. ССР. Сер. Б, 1978, т. 3 A06),
с. 83—92.
8. Евланов Л. Г., Константинов В. 1Л. Системы со случайными параметрами. М.:
Наука, 1976. 568 с.
9. Ермольев Ю. М. Методы стохастического программирования. М.; Наука, 1976. 240 с.
10. Идентификация динамических систем / Под ред. А. Немуры. Вильнюс; Минтис,
1974. 287 с.
11. Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состоя-
состояний. М.: Наука, 1975. 432 с.
12. Каминскас В. А. К проблеме оценивания нелинейных параметров дискретных си-
систем и процессов. — В кн.: Статистические проблемы управления. Вып. 10 Вильнюс: Изд-во
АН Лит. ССР, 1975, с. 9—33.
13. Каминскас В. А. Оценивание параметров дискретных систем класса Гаммерштей-
на. — Автоматика и телемеханика, 1975, Ка 7, с. 63 — 69.
14. Каминскас В. А., Немура А. А. Статистические методы в идентификации динами-
динамических систем, Вильнюс; Мннтис, 1975. 197 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 379
15. Каминскас В. А., Шипените Д. А. Параметрические критерии обнаружения неста-
нестационарности динамических систем и процессов. — Изв. АН СССР, Техническая кибернетика,
I 976, № 1, с. 212 — 217,
16. Каминскас В. А., Яницкене Д. Ю. Идентификация нелинейных дискретных систем
класса Гаммерштейна. - Труды АН Лит ССР. Сер. Б, 1978, т. 2 A05), с. 121 — 129, т. 3 A06),
17. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инжене-
ров• **i• • *~iйукЭ| 1У/4. /?\) с,
18. Круг Г. К., Сосулин Ю. А., Фатуев В. А. Планирование эксперимента в задачах
идентификации и экстраполяции. М.; Наука, 1977. 208 с. "
19. Кузин Л. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления М • Машгиз
1962. 684 с. '
20. Куликовский Р. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического
регулирования. М.: Наука, 1967. 197 с.
21. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. М.: Наука,
22. Маленво Э. Статистические методы эконометрии М.; Статистика, 1975, Вып. 1.
423 с.
23. Медведев Г. А. Рекуррентное оценивание при помощи коррелированных наблюде-
наблюдений. — Автоматика и телемеханика, 1974, № 5, с. ПО—116.
24. Петров Б. Н., Теряев Е. Д., Шамриков Б. М. Условия параметрической идентифи-
идентифицируемости управляемых объектов в разомкнутых и замкнутых автоматических системах. —
Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1977, № 2, с. 170 — 175.
25. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов. М.! Мир,
1977. 552 с.
26. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. 376 с.
27. Поляк Б. Т., Цыпкин Я. 3. Помехоустойчивая идентификация. — Препринты
IV симпозиума ИФАК «Идентификация и оценка параметров систем», 1976, ч. I, с. 190 — 213.
28. Райбман Н. С, Чадеев В. М. Построение моделей производства. М.: Энергия, 1975
375 с.
29. Растригин Л. А., Маджаров Н. Е. Введение в идентификацию объектов управле-
управления. М.: Энергия, 1977. 216 с.
30. Рубан А. И. Идентификация нелинейных динамических объектов на основе алго-
алгоритма чувствительности. Томск: Изд-во Томского университета, 1975. 270 с.
31. Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления. М.: Наука, 1974.
246 с.
32. Сейдж Э. П., Мелса Дж. Л. Теория оценивания и ее применение в связи и управле-
управления. М.: Статистика, 1976. 495 с.
33. Солодов А. В. Линейные системы автоматического управления с переменными
параметрами. М.: Физматгиз, 1962. 324 с.
34. Стратонович Р. Л. Теория информации. М.: Советское радио, 1975. 424 с.
35. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирований. Т. 2 / Под
ред В. В. Солодов ни ков а. М.: Машиностроение, 1967. 679 с.
36. Тихонов А. Н., Арсении В. Я. Методы решения некорректных задач. M.I Наука,
1974. 223 с.
37. Функциональный анализ / Под ред. Крейна С. Г. М.: Наука, 1964. с.
38. Хеминг Р. В. Численные методы. М.: Физматгиз, 1968. 440„с.
39. Хенан Э. Анализ временных рядов. М.: Наука, 1964. 215 с.
40. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973. 958 с.
41. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975. 534 с.
42 Цыпкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968.
400 с.
43. Цыпкин Я- 3. Алгоритмы функционирования адаптивных систем. — Б кн.: Во-
Вопросы кибернетики. Адаптивные системы. М.: Изд-во АН СССР, 1974, с. 5 — 30.
44 Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. 684 с.
45 Goldberg S., Durling A. A computational algorithm for the identification of nonlinear
systems' - J. of Franklin Institute, 1971, V. 297, p. 427-447.
46. Gustavsson I., LJung L., SoderstrBm T. Identification of processes in closed loop —
Identifiability and accuracy aspects. — Automatica, 1977, V. 13, p. 59—75.
47 Haber R., Kevicky L. The identification of the diskretetime Hammerstein model. Pe-
riodica Polytechnica, Elektrical Engineering, Budapest, 1974, V. 18, N. 1, p. 71 — 84.
48 Isermann R. ProzeSidentifikation.. Springer—Verlag, Berlin—Heidelberg—New-York,
1974 p. 188. , . .
49 Unbehauen H., Gchring B. Tests for determining model order in parameter estima-
estimation — Automatika, vol. 10, pp. 233 — 244.
50 Van den Boom A. J. W., Van den Enden A. W. M. The determination of the orders
of process and noise dynamics. — Aulomatika, 1974, vol. 10, p. 245—256.
380 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Глава XVII
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Виброакустическая диагностика — раздел технической диагностики [3, 17,
20, 21] — отрасль знаний, включающая теорию и методы организации процессов
распознавания технических состояний машин и механизмов по исходной инфор-
информации, содержащейся в виброакустическом сигнале.
Виброакустическим сигналом обобщенно называют физические величины, ха-
характеризующие механические колебания (вибрационные, акустические, гидроаку-
гидроакустические), сопровождающие функционирование технического объекта. При этом
характеристики исследуемого сигнала, содержащие информацию о параметрах
технического состояния объекта, принято называть диагностическими признаками
состояния.
Понятие технического состояния объекта является одним из основных в диаг-
диагностике и определяется совокупностью технических параметров, характеризующих
возможное отклонение функционирования объекта от нормального, приводящее
к отказу. Параметрами технического состояния машины (механизма) являются
параметры деталей (геометрические и физические) и их взаимного расположения,
а также параметры, характеризующие внутреннюю динамику машины (качество
контактирующих поверхностей, зазор, угол перекоса осей, отклонение геометри-
геометрических параметров деталей от исходных, изменение структуры и прочности матери-
материала, качество смесеобразования, расходные характеристики и др.),
Совокупность параметров
7т_/7(« М) ,@1 П\
L — |2j , 22 2mj A)
определяет состояние объекта W (t) в момент времени t.
Диагностика тесно связана с проблемой надежности технических устройств [4].
Диагностическую информацию используют не только для выявления дефектов
и оценки работоспособности исследуемых объектов, но и для прогнозирования их
дальнейшего поведения. Основным понятием теории надежности является поня-
понятие неисправности (дефекта), используемое для обозначения класса состояний объ-
объекта, находясь в которых, он не может выполнять возложенные на него функции.
Переход из класса исправных состояний в класс неисправных называется отказом.
К отказам следует относить иногда отказ по виброакустическим показателям, хотя
в общепринятом смысле объект не теряет работоспособности.
Множество возможных состояний W объекта бесконечно вследствие непрерыв-
непрерывности их изменения в пространстве и времени. Его можно разделить по крайней
мере на два подмножества. Одно из них W включает все состояния, позволяющие
объекту выпрлнять возложенные на него функции. Каждое из состояний в этом
подмножестве характеризуется степенью или запасом работоспособности, который
характеризуется приближением состояния объекта к предельно допустимому. Дру-
Другое подмножество W" включает все состояния, соответствующие появлению отка-
отказов в работе объекта.
Для того чтобы поставить диагноз, все возможные состояния нужно разбить
на некоторое конечное число г классов №,-, i= 1,2, ..., г, подлежащих распознаванию-
Число классов в подмножестве неработоспособных состояний определяется числом
возможных отказов.
Анализ состояний объекта в подмножестве W позволяет установить характер
изменения степени его работоспособности и в ряде случаев предсказать момент пере-
перехода в подмножество W", следовательно, осуществить прогнозирование состояния
объекта. На втором этапе определяют, в каком из состояний подмножества W" нахо-
находится диагностический объект, Этот этап может быть назван обнаружением возник-
возникшей неисправности.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 381
Разбиение состояний на классы должно удовлетворять условиям:
jjji-*-- B)
0 для всех Иф1, C)
которые означают, что в множестве W нет состояний, не охваченных классификацией
и что одно и то же состояние одновременно не принадлежит разным классам По-
Поскольку каждая реализация технического состояния является случайным событием
каждому классу состояний должна соответствовать вероятность Р, принадлежности
к i-му классу. Тогда условия B) и C) можно записать следующим образом.
Е^-1. D)
i=l
Pki = 0 Для кф1, E)
где Pki — вероятность отнесения состояния одновременно к классам Wk и №;.
Синтез диагностических признаков технического состояния непрерывно функцио-
функционирующих объектов — одна из важнейших операций. От способа ее построения и
конкретизации перечня этих признаков существенно зависит успех последующей
классификации технических состояний объекта. Прямое использование в качестве
диагностических признаков текущих значений измеряемых параметров (без пред-
предварительной обработки) практически мало эффективно. Основная причина этого —
отсутствие детерминизма взаимосвязи между возможными техническими состоя-
состояниями объекта контроля и значениями измеряемых параметров, как правило, нере-
нерегулярно изменяющихся во времени. Кроме того, при таком способе распознавания
процедуры классификации технических состояний оказываются чрезвычайно перегру-
перегруженными по входам. Реальный путь преодоления этих трудностей состоит в специа-
специализации исходной информации, т. е. в выделении таких характеристик виброакусти-
виброакустического сигнала, которые обладают повышенной чувствительностью к определенным
видам технических состояний и инвариантны к другим состояниям. Эти характерис-
характеристики представляют собой так называемые характерные диагностические признаки,
значения которых являются исходными для решения задачи классификации.
Диагностическими признаками могут быть различные статистические характе-
характеристики колебательных процессов, в общем случае являющихся случайными про-
процессами: частота и амплитуда спектральной компоненты или их совокупность, моду-
модуляционные характеристики, вероятностные характеристики сигналов или их
взаимосвязи, различные параметры оператора динамической модели объекта и др.
В каждый момент времени t состояние механизма можно охарактеризовать набором
диагностических признаков uSp (параметров виброакустического сигнала) для удоб-
удобства представленных в виде вектора
и*={«</>, и«\ ...,«</>}: F)
Эти векторы удобно рассматривать в качестве точек я-мерного евклидова про-
пространства.
Функционирующий механизм можно рассматривать как некоторый преобразо-
преобразователь А параметров его технического состояния г, в параметры виброакустического
сигнала и,:
' U = AZ G)
Задачей виброакустической диагностики фактически является получение зави-
зависимости, обратной G),
V Z = A-HJ, (8)
где А оператор, обратный А, когда на основании имеющихся данных об изме-
измеряемом сигнале необходимо сделать заключение о параметрах технического состояния
объекта.
382 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
При соблюдении условий B) и C), а также при постоянстве внешних воздей-
воздействий на объект и условий проведения диагностических испытаний связь между
параметрами технических состояний и параметрами виброакустического сигнала
в простейшем случае может быть представлена в виде функциональных зависи-
зависимостей [21]
zl = Fl(u1, и2> .... н„), i = l, 2 т; (9)
ы/ = С/(г1> г2 гт), /= 1, 2, ..., п, A0)
конкретный вид которых устанавливается в период обучения, предшествующий
этапу постановки диагноза.
Систему а функций A0) или аналогичную ей систему т. функции (9) можно рас-
рассматривать как отображение пространства состояний, заданного координатами гъ
Zz, ..., гт, в пространство диагностических признаков с координатами ult u2 ..., ип,
и'наоборот. Первое отображение имитирует работу механизма, второе — процесс
постановки диагноза.
В целях диагностирования состояния объекта важным является соблюдение
требования однозначности отображения (9), в соответствии с которым любой из воз-
возможных реализаций системы диагностических признаков ult u2, ..., ип отвечает
единственное значение координат гг, г2, ..., гт, определяющих конкретное техничес
кое состояние объекта контроля. Это условие выполняется только при таких раз-
размерностях пространств, когда л з= т. При повышении размерности пространства
диагностических признаков облегчаются условия выполнения однозначности отобра-
отображения (9). Однако такой путь достижения требуемого свойства обычно сопряжен
с большими техническими трудностями, так как синтез каждого нового диагности-
диагностического признака, его увязка с системой параметров состояния и обеспечение допол-
дополнительного информативного вклада — сложная поисковая задача. В случае непре-
непрерывного прослеживания изменения технического состояния объекта (практически
при достаточно частом выполнении процедуры диагностирования) возможно компро-
компромиссное решение вопроса' размерность п пространства диагностических признаков
выбирают равным размерности т пространства параметров состояния; условие одно
значности отображения (9) заменяют условием локального взаимно-однозначного
соответствия, в соответствии с которым для каждой конкретной реализации вектора
U диагностических признаков существует некоторая его е-окрестность, поставленная
во взаимно-однозначное соответствие с ее отображением посредством соотношения (9).
Математически, если функции Gj в A0) непрерывно дифференцируемы в неко-
некоторой области n-мерного пространства и функциональный определитель (якобиан)
(ID
отличен в ней от нуля, то уравнения (9) и A0) обеспечивают требуемое локальное
взаимно-однозначное отображение.
3G/
Элемент ^— функционального определителя определяет чувствительность диаг-
OZj
ностического признака и, к изменению параметра технического состояния г,-. Нару-
Нарушение условия взаимно-однозначного соответствия проявляется следующим образом.
1. Когда одна из строк матрицы якобиана равна нулю (^—^ = 0, t = 1,2, ..., т),
D(Glt
D(zlt
Gt, ...
*,, ....
Gn)
zm)
dz,
...™2
диагностический признак не реагирует на изменение параметров состояния и практи-
практически не пригоден для целей распознавания.
IdGi \
2. Когда один из столбцов равен нулю I —= 0, /=1, 2, .... п), изменение
параметра состояния г( не влияет ни на один диагностический признак. Вся система
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 383
диагностических признаков оказывается недостаточной для распознавания состояний
в описании которых присутствует параметр г,-. '
3. Когда одна из строк является линейной комбинацией других в пространстве
диагностических признаков существуют целые области их значений, принципиально
не пригодные для целей распознавания технических состояний (избыточность диаг-
диагностических признаков). й
4. Когда один из столбцов является линейной комбинацией других один из
параметров состояния может быть выражен через другие параметры (избыточность
параметров состояния).
Практическая реализация решения системы уравнений (9) затруднена громозд-
громоздкостью вычислений, особенно в случае нелинейных зависимостей. Чтобы избежать
подобных затруднений, прибегают к расчленению агрегата на блоки и узлы, для каж-
каждого из которых составляют уравнения вида (9). Наибольшие упрощения дости-
достигаются в том случае, когда каждому параметру состояния г, удается поставить
в соответствие только один, характерный диагностический признак и/.
h = Fi(Uj) A2)
В этом случае система A0) распадается на п независимых соотношений вида
A2). При этом диагностические признаки выбирают из физических соображений на
основе математического моделирования динамики механизма.
В общем случае распознавание технических состояний функционирующего
объекта производится в условиях ограниченной информации при большом уровне
помех, источником которых является несоблюдение постоянства внешних условий
проведения диагностических испытаний, неполнота описания классов состояний,
неопределенность границ между классами состояний и соответствующих им диагно-
диагностических признаков и т. д.
Помимо очевидных способов уменьшения помех существует способ, основанный
на использовании избыточной информации, заключающийся в увеличении размер-
размерности вектора диагностических признаков F).
При отсутствии четких границ между классами технических состояний и харак-
характерных диагностических признаков задачу виброакустической диагностики решают
методами технической кибернетики, занимающейся распознаванием образов безот-
безотносительно к их физической реализации [4, 6, 9, 11, 13, 18, 23, 24, 26].
Существует два основных подхода к задаче распознавания: вероятностный и
детерминистский, которые в общем не противоречат друг другу. В обоих случаях
требуется найти решающее правило, с помощью которого предъявленная совокуп-
совокупность признаков может быть отнесена к одному из возможных классов состояний.
При вероятностном подходе области существования как состояний, так и признаков
могут пересекаться; каждый из совокупности признаков лишь с определенной вероят-
вероятностью характеризует состояние системы. При детерминистском подходе предполага-
предполагается, что классы состояний не пересекаются и каждому классу W, соответствует
некоторая область D, в л-мерном пространстве признаков D. Таким образом, задача
сводится к установлению взаимно однозначного соответствия между пространством
технических состояний W и пространством диагностических признаков D.
Как для описания классов состояний, так и для описания классов диагности-
диагностических признаков, удовлетворяющих условиям, аналогичным B) — E), используют
вероятностные меры, отображающие свойства целого класса. Характеристикой
центра области существования класса служит усредненный образ данного класса,
или эталон. Разброс параметров состояния внутри одного класса (вследствие влия-
влияния временного фактора или отличий реализаций технического состояния для раз-
разных экземпляров однотипных механизмов) оценивается с помощью дисперсии —
меры рассеивания. Для того чтобы задача диагностики была разрешимой, дисперсия
внутри одного класса (т. е. расстояние от эталона до границ области) должна быть
меньше, чем расстояние между точками, принадлежащими разным классам.
Степень близости вектора диагностических признаков F) к одному из эталонных
оценивают с помощью классифицирующих функций. Совокупность последовательных
Действий при постановке диагноза называется алгоритмом распознавания. Алгоритмы
распознавания частично основываются на диагностических моделях, устанавли-
устанавливающих связь между состояниями механизма и их отображениями в пространстве
384 ВИЬРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
диагностических признаков. В ряде случаев диагностическая модель процессов
возбуждения и распространения колебаний в механизме помогает сформировать
систему характерных диагностических признаков.
На основании предварительного обучения разрабатываются алгоритмы рас-
распознавания, включающие формирование системы информативных диагностических
признаков, построение эталонных изображений для каждого класса технических
состояний и разработку правил принятия решений о принадлежности к тому или
иному классу.
Если к дефекту механизма отнесена его повышенная виброактивность, выходя-
выходящая за допустимые рамки, то этапом диагностических исследований, предшествую-
предшествующим этапу установления связи между вектором U диагностических признаков и век-
вектором параметров технического состояния Z, является локализация источников
повышенного уровня колебательной энергии. При этом различают два возможных
варианта: источники шума независимы либо статистически связаны. Уровень труд-
трудностей, обусловленный необходимостью разделения влияния коррелированных
источников, в значительной степени усложняет процедуру постановки диагноза.
Эффективность процессов постановки диагноза определяется не только качеством
алгоритма диагноза, но и в не меньшей степени качеством средств диагноза. Эффек-
Эффективная организация системы сбора и обработки информации, увеличивающая досто-
достоверность диагноза, уменьшающая влияние субъективных факторов, а также умень-
уменьшающая затраты времени, труда и средств, включает разработку автсматизированной
системы виброакустической диагностики сложного объекта на стадии его проекти-
проектирования как необходимую составную часть объекта.
Создание системы виброакустической диагностики связано с решением ряда
взаимосвязанных задач:
1) детальным изучением объекта с целью выявления наиболее уязвимых мест,
составлением перечня параметров гъ г2 гГ, выходящих за допустимые нормы,
и разбиением на классы W={Wl, W2, ..,, Wm\ технических состояний, подлежащих
распознаванию;
2) выбором средств измерения и мест их размещения на объекте на основе изуче-
изучения физики процессов, протекающих в объекте;
3) локализацией источников излучения повышенной колебательной энергии
в исследуемом объекте;
4) определением динамических характеристик и математических моделей отдель-
отдельных узлов, агрегатов и объекта в целом в целях построения диагностической модели;
5) формированием и доводкой системы информативных диагностических призна-
признаков U — {и1; и2, ..., «„}, чувствительных к изменению параметров технического
состояния в процессе обучения диагностической системы;
6) разработкой алгоритмов определения текущего технического состояния
механизма;
7) прогнозированием изменений виброакустического сигнала и параметров
технического состояния;
8) разработкой процедур обратного воздействия на объект (выключение, перевод
на щадящий режим и т. п.).
2. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ
ВИБРОАКУСТИЧЕСКОИ ДИАГНОСТИКИ
Функциональная схема системы виброакустической диагностики может быть
представлена в виде схемы, изображенной на рис. 1.
Как и любая другая система распознавания образов, система виброакустической
диагностики технического состояния машин и механизмов состоит из объекта иссле-
исследования с набором технических состояний, подлежащих распознаванию, блоков фор-
формирования диагностических признаков и решающих правил и блока принятия
решения.
Подсистема измерения поставляет исходную информацию о состоянии объекта,
содержащуюся в измеряемом сигнале. Подсистема включает преобразователи вибро-
виброакустических процессов в их электрические эквиваленты, а также усилители, норма-
ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
385
лизаторы, фильтры и другие преобразователи первичной информации, многоканаль-
многоканальные магнитьте регистраторы, предназначенные для долговременного хранения ин-
информации и ее последующей обработки.
Подсистема формирования диагностических признаков технического состояния
объекта^контроля и отдельных его элементов выполняет функции преобразования
исходной информации от системы измерения в соответствии со специально разрабаты-
разрабатываемыми для этой цели алгоритмами. Последние выделяют такие характеристики
измеряемых сигналов, которые обладают требуемыми избирательными свойствами
к Зсцашюму классу дефектов, подлежащих распознаванию,
Блок
управления
объектом
Объект
диагностики
Блок
измерения
акустических
параметров
Диагностичес-
Диагностическая модель
Формирователь
диагностиче-
диагностических признаков
Формирователь
эталонов
Классифи-
Классификатор
Диагно з
Набор
решающих
правил
Рис. 1. Функциональная схема системы виброакустической диагностики
На основании обучения диагностической системы для каждого класса техничес-
технических состояний формируются эталоны (усредненные для данного класса значения
диагностических признаков).
Для формирования системы диагностических признаков и эталонов иногда ис-
используют диагностическую модель объекта, в ряде случаев облегчающую процесс
поиска информативных компонент в исследуемом сигнале.
Подсистема предназначена для хранения набора классифицирующих функций,
с помощью которых производится распознавание параметров виброакустического
сигнала.
Назначение подсистемы принятия решения — определение фактического состоя-
состояния (постановка диагноза) объекта контроля и его элементов по текущим значениям
диагностических признаков. Характеристики изменения последних во времени яв-
являются исходными для реализации алгоритмов упреждения (прогноза) потенциаль-
потенциальных отказов.
Подсистема связи с объектом диагностирования выполняет функции управле-
управления объектом в соответствии с принятым решением о его фактическом состоянии!
аварийное выключение, перевод на щадящий режим, включение резервов и т, д.
3. ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Оптимальное решение задач виброакустической диагностики сложных объектов
можег быть получено только в результате анализа множества W состояний, в которых
эти объекты могут находиться в период эксплуатации. Этот анализ может быть
выполнен как теоретически, так и экспериментально.
Построение алгоритмов распознавания в диагностике существенно облегчается
в том случае, когда удается построить диагностическую модель, устанавливающую
связь между пространством состояний и пространством диагностических признаков.
При этом не имеет значения, в какой форме представлена sia связь,
13 п./р. Генкина М. Д., т. 5
386
ВИБРОАКУСТИЧЕСКДЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Диагностическая модель отвечает назначению в том случае, когда она позвочяег
1) сформулировать условия разбиения множества W на два подмножества
исправных W и неисправных W" состояний;
2) полечить критерий для оценки работоспособности объекта диагностики
(различение состояний в подмножестве W),
3) установить признаки возникших неисправностей (различение состояний
в подмножестве №"),
4) установить соответствие между пространством состояний W и пространством
диагностических признаков D.
Выбор типа модели зависит от таких факторов, как условия эксплуатации,
конструктивное выполнение, тип комплектующих элементов, характер взаимодей-
взаимодействия деталей, условия возбуждения колебаний, характер целевой функции и т. п.
В качестве диагностических моделей можно рассматривать дифференциальные
и алгебраические уравнения [6, 23, 30], логические соотношения [17, 20], матрицы
узловых проводимостей [26], функциональные [17, 201, структурные [16, 29], регрес-
регрессионные [1, 23, 28] и другие модели, позволяющие связать параметры технического
состояния с виброакустическими характеристиками объекта.
Представление реального объекта диагностической моделью позволяет отвлечься
от его физической природы и формализовать решение диагностических задач. Ниже
дано краткое описание некоторых типов моделей.
Структурно-следственная модель. Для того чтобы разработать какой-либо метод
и технологию диагностирования сложного агрегата, недостаточно знать закономер-
закономерности изменения параметров его отдельных узлов. Необходимо обобщенное логи-
логическое или аналитическое описание наиболее важных свойств всего объекта в целом,
которое должно включать перечень наиболее часто отказывающих элементов, соот-
соответствующие этим элементам структурные и диагностические параметры и связи
между ними.
Наиболее простое логическое описание объекта контроля выражается струк-
структурно-следственной схемой, изображенной на рис, 2,
Наиболее
уязвимые
дета чи
.
_
Структурные
параметры
Характерные
неисправности
(предельные
значения струк-
структурных пара-
параметров)
-
Диагности-
признаки
Рис. г. Структурно-следственная схема объекта диагностирования
Структурно следственная модель создается на основе инженерного изучения
устройства объекта и его функционирования, статистического анализа показателей
надежности и диагностических параметров. Она дает наглядное представление о
наиболее уязвимых и наиболее ответственных элементах и связи структурных и
диагностических параметров Пользуясь этой схемой, можно выбрать наиболее
важные диагностические признаки, следовательно, методы и средства диагностиро-
диагностирования.
Динамическая модель. Одним из способов построения диагностической модели
механического объекта является математическое описание связи между структурными
и диагностическими параметрами с помощью дифференциальных или алгебраических
уравнений (типичная задача идентификации).
При диагностировании многомерной системы с р входами и п выходами (рис. 3)
уравнение связи вектора входных воздействий X (t) = \хг (t), x2 (t), ..., хр (t)} и век-
вектора выходных сигналов Y (t) = {уг (/), у2 (t) уп (t)} записывается в операторном
виде выражением
Y(t) = BX((), A3)
где В — оператор системы, содержащий в неявном виде данные о параметрах техни-
технического состояния г, системы,
ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
387
Изменение параметров технического состояния может вызвать изменение опера-
оператора при неизменном X (/). В качестве критерия работоспособности динамического
звена может быть принята степень соответствия действительного оператора В- опе-
оператору нормально функционирующего механизма В,о, которою можно оценить зна-
значением невязки в соответствии со схемой, приведенной на рис. 4, где х — возму-
возмущающее воздействие; у0 — реакция номинальной модели исследуемого динамиче-
динамического звена; Ау — невязка, и - диагностический признак.
Одним из способов оценки изменения оператора динамического звена является
снятие амплитудно частотной характеристики (АЧХ) механизма методом синхрон-
синхронного анализа виброакустических процессов при плавном увеличении или уменьшении
числа оборотов механизма Информация об изменении положения собственных частот
системы на диаграмме АЧХ дает возможность найти соответствие между изменениями
структурных параметров и математическим описанием поведения оператора динами-
динамического звена.
z=
г,
Рис. 3. Модель «черного ящика» с р входами, п выходами и т параметрами состояния
Рис. 4. Модель формирования диагностического признака путем оценки изменения опера-
оператора динамического звена:
/ — динамическое звено объекта контроля, 2 — формирующее устройство, 3 — номинальная
математическая модель объекта контроля
С помощью уравнений идентификации можно сформировать диагностические
признаки, представляющие собой такие характеристики математической модели
выделенного динамического звена, как значения собственных частот, декремент
колебания и др. Их конкретизация зависит от понимания физики процессов, порождае-
порождаемых развивающимся дефектом, и формы описания их соответствующей математиче-
математической моделью. Так, для совокупности дефектов, приводящих к изменению демпфи-
демпфирующих свойств динамического звена, в каместве диагностических признаков выби-
выбирают такие характеристики его линейной математической модели, как действительные
части корней характеристического уравнения, приводящих к нарушению упругих
свойств — мнимые части этих корней.
При разбиении объекта контроля на отдельные динамические звенья, для каж-
каждого из которых требуется выполнение процедуры диагностирования, может быть
использован метод математического моделирования. В этом случае обычный анали-
аналитический способ описания и учета механизма взаимодействия выделенного динами-
динамического звена с остальными звеньями необходимо заменять физическим измерением
соответствующих параметров объекта контроля. Математически это эквивалентно
поиску стационарных (независящих от времени) взаимосвязей параметров данного
динамического звена, нарушение которых свидетельствует о появлении в нем де-
дефекта. Формирование диагностических признаков технического состояния звена на
основе этих взаимосвязей гозволяет реализовать важное свойство их инвариант-
инвариантности (независимости) по отношению к развивающимся дефектам в других звеньях
объекта.
Применяя в качестве диагностической модели линейные дифференциальные
уравнения, описывающие физические процессы, протекающие в объекте, можно
смоделировать различные неисправности и сформулировать такие условия работо-
работоспособности в наиболее общем виде, как ограничения для перемещений полюсов и
нулей на комплексной плоскости.
Построение математической модели позволяет сформулировать также условия
изменения вида оператора, например перехода из класса линейных в класс нелиней
ных операторов, и сформировать систему диагностических признаков, реагирующих
на эти изменения.
13*
388 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Регрессионная модель. Процесс изменения параметров технического состояния
механизма при его эксплуатации, следовательно, и характеристик виброакустического
сигнала — многофакторный. Поэтому при построении системы диагностических
признаков целесообразен подход, предполагающий построение многофакторной
модели зависимости функций отклика системы (характеристики виброакустического
сигнала механизма) от параметров технического состояния.
В условиях ограниченных возможностей набора статистических данных вслед-
вследствие высокой стоимости диагностических испытаний наиболее эффективным является
метод построения регрессионной модели, базирующийся на использовании матема-
математического аппарата планирования эксперимента [1, 28]. Этот метод позволяет отыскать
«характерный» диагностический признак, однозначно связанный с каким-либо одним
параметром технического состояния.
Планирование эксперимента — это процедура выбора числа и условий прове-
проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с тре-
требуемой точностью.
При рассмотрении функции отклика, зависящей от многих факторов, результаты
наблюдений представляют полиномиальной моделью. Полученное при этом прибли-
приближенное уравнение связи параметров технического состояния z, (факторов) и диагно-
диагностического признака и (функции отклика) называют уравнением регрессии. В ряде
случаев хорошее приближение дает линейная регрессионная модель вида
к к
где вторая сумма характеризует эффекты взаимодействия к нормированных факто-
факторов.
Задача моделирования сводится к нахождению коэффициентов регрессии 6„
bij и оценке адекватности модели в соответствии с определенными правилами [1].
Число уравнений системы A4) равно числу рк, где р — число дискретных уровней
варьируемых параметров технического состояния, которые должны удовлетворять
требованиям независимости, совместимости и управляемости; k — число факторов.
В процессе обработки результатов эксперимента оценивают следующие вели-
величины:
1) дисперсию функции отклика по результатам п параллельных опытов
где й = 2 Viln ~ математическое ожидание; п — 1 — число степеней свободы,
2) дисперсию воспроизводимости функции отклика по результатам всех опытов
N п
2] 23 lUql-Bg)*
С2 q=\ 1-х /=1, 2, .... п;
s<">=—щ^т)—. ?=i,2;...>; (]б)
3) оценку однородности дисперсий по F-критерию Фишера
max
<F7- A7)
"min
где Fr —табличное значение F-критерия при выбранном уровне значимости;
4) коэффициенты регрессии
N
ВИБРОАКУСТ. СИГНАЛ И ВЫБОР С ИСТ ИЗМЕР И ОБРА Б. ИНФОРМ. 389
5) доверительный интервал коэффициента регрессии
Ab^ + t-jf, (щ
где t — табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с кото-
которым определялось S|^, и выбранном уровне значимости [25];
6) адекватность модели
SI
-§r^-<FT> B0)
N
I —— 1
где ?эд= ~дг_/^ i n дисперсия адекватности; й — расчетное значение функ-
функции отклика.
В результате проведенных расчетов в уравнении модели остаются только значи-
значимые члены, существенно влияющие на формирование данного диагностического
признака. В предельном случае, когда диагностический признак является функцией
одного аргумента и— 60 + btzlt его называют характерным.
4. ВИБРОАКУСТИЧЕСКИИ СИГНАЛ И ВЫБОР
СИСТЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ
Характер виброакустических сигналов. Виброакустический сигнал механизма
имеет сложную структуру, зависящую от динамики механизма и набора комплек-
комплектующих его узлов. Для примера рассмотрим природу возникновения колебаний
нескольких типовых узлов механизма.
Подшипники качения и скольжения должны обладать такими свойствами, чтобы
обеспечить вращение вала с минимальными потерями энергии и постоянством поло-
положения оси вала относительно системы координат, связанной с корпусом подшипника.
Однако можно указать большое число погрешностей в элементах подшипника, кото-
которые приводят к нарушению этих требований. Так, например, в подшипнике качения
источниками колебаний являются волнистость и овальность беговых дорожек, огран-
ность тел качения, дисперсия их диаметров, наличие радиального зазора, что при-
приводит к сложному характеру движения центра вала под влиянием переменной силы
взаимодействия контактирующих деталей [21, 10]. При этом измеряемый сигнал
имеет вид импульсов с высокочастотным заполнением, модулированных по амплитуде
случайным процессом. Спектр этого сигнала широкополосный с наличием большого
числа гармоник, кратных основным частотам возбуждения, приведенным в табл. 1.
При износе подшипников качения наблюдается увеличение зазора, приводящее
к ударному взаимодействию вала с телами качения, что связано с увеличением ампли-
амплитуды полигармонического сигнала. Увеличение шероховатости поверхностей вызы-
вызывает увеличение уровня шумовой компоненты.
Зубчатое зацепление служит для передачи вращательного движения от механизма
к механизму с преобразованием мощности и частоты вращения. На зуб, находящийся
в зацеплении, действует переменная сила нагружения, вызывающая в нем колебания
с частотой повторения fz (зубцовой частотой), кратной произведению числа зубьев
на оборотную частоту. При этом одновременно действует несколько факторов, вызы-
вызывающих существенное усложнение виброакустического сигнала: неуравновешенность
вращающихся деталей приводит к появлению в спектре исследуемого сигнала частот
кратных оборотной частоте /og, кинематические погрешности, допущенные при наре-
нарезании зубьев и сборке колес, приводят к появлению частот, кратных числу зубьев
делительного колеса станка, на котором нарезается зубчатое колесо (см. табл. 1),
а также к амплитудной и фазовой модуляции колебаний на зубцовой частоте, что
проявляется в спектре в виде набора боковых составляющих /z ± kfo$.
390
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
1. Определение частот основных возмущающих сил
некоторых механизмов
Причина вибрации
Формула
Обозначения
Турбозубчатые агрегаты
1, Неуравновешенность:
вращающихся деталей и первой
ступени редуктора, а также по-
погрешности, допущенные при их
изготовлении и сборке
вращающихся деталей второй
ступени редуктора, а также
погрешности, допущенные при
их изготовлении и сборке
вращающихся деталей выход-
выходного вала редуктора и соеди-
соединительной муфты, а также по-
погрешности, допущенные при их
изготовлении и сборке
сателлитов первой ступени ре-
редуктора, а также погрешности,
допущенные при их изготов-
изготовлении
сателлитов второй ступени
2. Погрешности:
формы деталей турбины (ТВД,
ТСД или ТНД) и первой сту-
ступени редуктора
формы деталей второй ступени
редуктора
эпицикла, выходного вала и
соединительной муфты
3. Кинематические погрешности
пересопряжения:
зубьев колес первой ступени
планетарного редуктора
редуктора п»реборного типа
(ТВД, ТСД или ТНД)
зубьев колес
редуктора
второй ступени
зубьев шестерни и сателлитов
первой ступени редуктора
зубьев сателлитов и эпицикла
первой ступени
зубьев шестерни и сателлитов
второй ступени редуктора
сателлитов и эпициклов второй
ступени редуктора
4. Вторая гармоника от кинема-
кинематических погрешностей в зацеп-
зацеплении.
шестерни первой ступени редук-
редуктора ТВД, ТСД и ТНД
'Рз
: 60
Ув
60
%_
' 60
' 60
'Pi
60
2э2
'/р2
'Р»:
'рю ""
'Pu
60
60
гУв
60
60
60
'P.,
60
60
a/Pl,
f — передаточное число редук-
редуктора (ТВД, ТНД или ТСД);
пъ — частота вращения выход-
выходного вала редуктора, об/мин
«а — передаточное число второй
ступени редуктора
nci ~ частота вращения сател-
сателлитов первой ступени, об/мин-
2э, (г*,) и *Ci — число зубьев
эпицикла (колеса) и сателлитов
первой ступени
«Сг — частота вращения сател-
сателлитов второй ступени, об/мин
Z32 (гк2L гс2 — число зубьев эпи-
эпицикла (колеса) и сателлитов
второй ступени
г, — число зубьев шестерни пер-
первой ступени
гг — число зубьев шестерни вто-
второй ступени
kCt — число сателлитов первой
ступени
— число сателлитов второй
ступени
ВИБРОАКУСТ. СИГНАЛ И ВЫБОР СИСТ. ИЗМЕР. И ОБРАЪ. ИНФОРМ. 391
Продолжение табл. /
Причина вибрации
зубчатых колес второй ступени
редуктора
5 Фазовые отклонения в зацеп-
зацеплении сателлитов ступени редук-
редуктора:
первой
второй
6. Циклическая ошибка:
в зацеплении шестерни первой
ступени планетарного редук-
редуктора
в зацеплении шестерни первой
ступени редукторов переборного
типа
в зацеплении шестерни второй
ступени редуктора
эпицикла первой ступени ре-
редуктора
колеса первой ступени редук-
редуктора
эпицикла или колеса второй
ступени редуктора
сателлитов второй ступени ре-
редуктора
сателлитов первой ступени ре-
редуктора
7. Вторая гармоника от цикли-
циклической ошибки в зацеплении;
шестерни первой ступени редук-
редуктора ТВД, ТСД или ТНД
шестерни второй ступени редук-
редуктора
эпицикла или колеса первой
ступени редуктора
эпицикла или колеса второй
ступени редуктора
8. Циклическая погрешность в
окружном шаге;
шестерни первой ступени ре
дуктора ТВД, ТСД и ТНД
эпицикла первой ступени ре
дуктора ТВД, ТСД или ТНД
Формула
! ,-2/
^Pl8 = *С^Рв
/р„ = *с/р„
(' - 1) гст,"в
'Рго 60
<>CTj n13
'Pai 60
<2гСтЛ
'Р22 60
(VH)Wb
'Ргз " 60
*2гетЛ
'Р24 60
гст5"в
'Р25 60
лсагст„"в
'Р29 60
"с12ст,пв
fPsi — " 60
1 — 2?п
или 2fpal
fn =2^р
9
/ =2/
или 2/рг4
f =2/
i(kZl-zCTl)nB
fP32 60
(*2+ I) „
1 Рз» 60 Х
Обозначения
ст — число зубьев делитель-
делительного колеса станка, на котором
нарезается шестерня
ст — число зубьев делитель-
делительного колеса станка, на котором
нарезается шестерня
СТз — висло зубьев делитель-
Hoi о колеса станка, на котором
урезается эпицикл первой сту-
ступени
2ст4 — число зубьев делитель-
делительного колеса станка, на котором
нарезается колесо первой сту-
ступени
2СТ — число зубьев делитель-
делительного колеса станка, на котором
нарезается эпицикл (колесо)
второй ступени
2 — число зубьев делитель-
делительного колеса станка для нарезки
сателлитов второй ступени
гст — то же, для нарезки са-
сателлитов первой ступени
k = 1, 2, 3 — целое число, обес-
печивающее kz\ — zCTl <. -j-
392 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Продолжение табл. 1
Причина вибрации
колеса первой ступени редук-
редуктора ТВД, ТСД или ТНД
шестерни второй ступени ре-
редуктора
эпицикла или колеса второй
ступени редуктора
9. кинематические погрешности
пересопряжения зубьев зубчатых
колес привода импульсного насоса
10. Неуравновешенность вращаю-
вращающихся деталей турбины
П. Неравномерность потока пара
в проточной части турбины
Формула
Vb „
^Ра4 60 "
.. *2Ki-zct,
60
'РЗБ 60 Х
*г2 ~ гСТз
Л 60
(*г2 ~ гСТ4) "в
'Рзв 61)
t гз"п
'Р37 60
kn
f ZJI"T
'Р38 60
Обозначения
г3 — число зубьев колеса при-
привода импульсного насоса
п — частота вращения рогора
турбины, об/мин
2Д — число лопаток в рассматри-
рассматриваемой ступени
Турбогенератор
12. Неуравновешенность:
вращающихся деталей привод-
приводной турбины
генератора, а также погреш-
погрешности, допущенные при их изго-
изготовлении
13. Погрешности формы деталей:
приводной турбины
генератора
14. Перемагничивание активного
железа генератора
15. Пульсация магнитного потока
в воздушном зазоре генератора
' 60
= "б0"
¦-1П
~~60~
п? — частота вращения ротора
генератора, об/мин
fo—частота тока генератора,
Гц
гя — число зубцов якоря (ро-
(ротора);
= 1,2 — номер гармоники
Центробежные (осевые), винтовые и шестеренные насосы
с электро- или турбоприводом
16. Неуравновешенность:
вращающихся деталей и погреш-
погрешности, допущенные при их из-
изготовлении и сборке
приводного электродвигателя
или турбины
17. Отклонения в форме деталей:
насоса и действие сил инерции,
а также двойная жесткость ро-
ротора на изгиб
приводимого электродвигателя
или турбины; двойная жест-
жесткость ротора на изгиб
fiu
'а.1
JUs.
60
nR — частота вращения
насоса, об/мин
ротора
- передаточное число редук-
k — порядковый
НИКИ
номер i армо-
ВИБРОАКУСТ. СИГНАЛ И ВЫБОР СИСТ. ИЗМЕР. И ОБРАБ. ИНФОРМ. 393
Продолжение табл. I
Причина вибрации
18. Неравномерность потока жид-
жидкости:
в первой ступени насоса
во второй ступени насоса
19. Неравномерность подачи вин-
винтовых насосов или от трения сколь-
скольжения
20. Кинематические погрешности в
сопряжении винтов винтовых насосов
21. Пересопряжение зубьев:
шестерни редуктора
колеса редуктора
22. Отклонения формы:
сепараторов подшипников ка-
качения насоса
подшипников качения привод-
приводного электродвигателя или тур-
турбины
23. Радиальные зазоры в подшип-
подшипниках качения насоса
приводного электродвигателя
(турбины)
24 Волнистость тяговых доро-
дорожек подшипников качения:
насоса
приводного электродвигателя
(турбины)
25. Гранность (овальность) тел
качения подшипников насосов
26. Перемагничивание активного
железа приводного электродви-
электродвигателя
27. Пульсации магнитного по-
потока:
в воздушном зазоре приводного
электродвигателя постоянного
тока
Формула
, z»inn
'"« 60
zh2"h
'"в 60
г kn
р X Н
'я' 60
г z n
g ХВ X 8
гн„ 60
, !'гш"н
'я» 60
, гк"н
'Ню 60
п
'"" 2-60
т„
f
'Нц— 2-60
гт"н
[ни 2-60
ггтгеи
^Нн 60
/ ^dT\
°
X
Я
[плюс (-)-) — по внеш-
внешней дорожке,
минус (—) — по
внутренней]
fHw = ifHlB
2 2
f ¦ f 5'
f н = 2fn
'8 U
Iz n
'h» h ¦ 60
Обозначения
ZH, ~ число лопаток (зубцов
винтов) рабочего колеса nepBof
ступени насоса
zH2 — число лопаток (зубцов,
винтов) рабочего колеса второй
ступени насоса
zv — число заходов винта или
Л
число трущихся пар;
k — число винтов
zvn — число рабочих ходов вин-
ХВ Г "
та
2Ш — число зубьев шестерни
2К — число зубьев колеса ре-
редуктора
zx — число тел качения
2В — число волн на дорожке;
q — общий наибольший делитель
между 2Т и zB;
d — диаметр тел качения;
?>а — диаметр окружности, пере-
переходящей по геометрическим
центрам тел качения
2 — количество граней у тел
г
качения
fo — частота тока сети
k = 1, 2 — номер гармоники;
г — число зубцов якоря (рото-
(ротора) двигателя
394 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Продолжение табл /
Причина вибрации
асинхронных электродвигателей
28 Неравномерность потока воз-
воздуха (пара) в вентилятор» (турбине)
приводного электродвигателя
Формула
fHzo = f0 [B или 0) -f-
гя*
Р
fH2i " 60
Обо значения
р — число полюсов,
s — скольжение
29. Неуравновешенность вращаю-
вращающихся деталей, сил инерции пер-
первого порядка и их момента
30. Процесс сгорания топлива
31. Неуравногешенность"
вращающихся деталей второго
порядка
Двигатели внутреннего сгорания
kn
деталей
вала
распределительного
32. Перекладка поршней цилинд-
ро-поршневой группы
33. Трение в коренных подшип-
подшипниках вала
34. Удары клапанов
Неуравновешенность*
вращающихся деталей водяного
насоса и погрешности, допущен-
допущенные при их изготовлении и
сборке
деталей масляного насоса
деталей воздуходувки
35. Отклонение в форме деталей
водяного (масляного) насоса
а также двойная жесткость ро
тора на изгиб
воздуходувки
^^•Неравномерность потока жид-
в водяном насосе
для масляного насоса
для воздуходувки
д_
60
'Да ~ 2D
с __ Д
'Д' 60
60т
11ПЛ
60
60
60
60
60
60
k = 1, 2 — номер гармоники;
«д — частота вращения колен-
коленчатого вала двигателя, об/мин
с — скорость звука в газе при
сюрании, D— диаметр цилиндра
(камера сгорания) двигателя
Ь — число перекладок поршня,
определяемое по диаграмме нор-
нормальных сил; г — число цилинд-
цилиндров двигателя
т — число трущихся пар
гкл — число разновременно ра-
работающих клапанов одного ци-
цилиндра; т — коэффициент такт-
ности
— передаточное число при-
привода водяного насоса
— передаточное число привода
масляЕтого насоса
i3 — передаточное число привода
воздуходувки
га — число лопаток (зубцов,
винтов) рабочего колеса насоса
(воздуходувки)
ВИБРОАКУСТ СИГНАЛ И ВЫБОР СИСТ ИЗМЕР И ОБРАБ ИНФОРМ 395
Продо гжение табл I
Причина вибрации
37 Кинематические погрешности
пересопряженных зубьев
шсстррни редуктора водяного
насоса
шестерни редуктора масляного
насоса
шестерни редуктора воздухо-
воздуходувки
шестерни редуктора распреде-
распределительного вала
колеса редуктора водяного на-
насоса
38 Кинематические погрешности
пересопряжения колеса редуктора
масляного насоса
воздуходувки
распределительного вала
Формула
f Aг.лпД
'Aie [60
'аи 60
'Aia do
60
f г1гкПД
'Дго 60
fai 60
fa 2 60
f 7 f
тд,2-> — гк'д» ~
2 60
Обозначения
гш ~ число зубьев шестерни
zR — число зубьев колеса
Увеличение трения при нарушении геометрии колес в процессе их эксплуатации
приводит к увеличению уровня шумовой компоненты.
Большие скорости вращения деталей в редукторе при больших нагружающих
моментах определяют характер колебательных процессов, сопровождающих его
работу.
Исследовать раздельное влияние каждого зуба на характер колебательных
процессов в редукторе как и в подшипнике, нецелесообразно, поэтому для выделения
полезного сигнала на фоне помех при диагностировании редуктора используют раз-
различные методы частотной фильтрации а также детектирование амплитудное и фазо-
фазовое с последующим статистическим анализом.
Работа двигателей внутреннего сгорания (ДВС) характерна тем, что рабочие
процессы в различных секциях происходят в разные моменты времени, поэтому для
выделения колебательного процесса, связанного с работой отдельно взятой секции
или отдельного элемента одной секции, применяют временную селекцию (стробиро-
вание) Характер возбуждения колебательных процессов в ДВС своеобразен. Отли-
Отличительной особенностью его является импульсный характер возбуждения, вызванный
большой скоростью нарастания давления в камере сгорания, ударами при перекладке
поршней, процессами впрыска топлива и выхлопа отработанных газов (рис 5)
При изменении параметров состояния ДВС, например момента впрыска топлива,
нарушения в работе Газораспределительного механизма, износа поршневых колец,
увеличении зазора между поршнем и втулкой связанные с работой этих устройств
импульсы смещаются по фазе, изменяются их амплитуды и длительности, появляются
новые импульсы. Для временного выделения соответствующих импульсов методом
стробирования наиболее благоприятным режимом является работа двигателя с низ
кой, но достаточно устойчивой частотой вращения коленчатого вала [10].
396
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Рассмотренные примеры показывают сложность колебательных процессов, воз-
возникающих в работающем механизме, поэтому выделение полезного сигнала от диаг-
диагностируемого узла сопряжено с определенными трудностями, тем большими, чем
меньше используется каналов измерительной информации.
Формирование и измерение виброакустического сигнала в механизме. Схема
формирования и расшифровки информации от г'-го узла механизма при использовании
одного датчика показана на рис. 6 [21].
Вибрационный сигнал, соответствующий определенному техническому состоянию
г- i-ro узла, на пути к вибродатчику не только искажается помехой y-t (мультипли-
(мультипликативной или аддитивной), характерной для i'-го канала, но суммируется с сигналами
от других узлов, искаженных помехами. Задачей системы измерения и переработки
информации является не только разделение сигналов от каждого из узлов, но и на-
нахождение связи их с параметрами технического состояния г,- каждого из узлов, Такая
постановка задачи с использованием одного датчика возможна в двух случаях:
5-15
4
f
¦*'.
*„':
5
Рис. 5. Схема расположения виброимпульсов, формируемых механизмами четырехцилинд-
рового двигателя, по тактам цикла:
/ — форсункой топливной системы; 2 — рабочим процессом в цилиндрах; 3 — впускным
(а и б) и выпускным (в и г) клапанами газораспределителя; 4 — перекладкой поршня; 5 —
шатунными подшипниками; 6 — отметка ВМТ (верхней мертвой точки) и НМТ (нижней
мертвой точки); 7 — отметка времени
Рис. в. Схема формирования и расшифровки акустического сигнала при использовании
одного датчика колебаний:
/ — диагностируемый узел; 2 — так называемый акустический канал, т. е. тракт, по кото-
которому колебательный процесс попадает в место расположения датчика; 3 — датчик; 4 изме-
измерительное устройство; 5 — преобразователь информации
1) вибрационные сигналы от каждого узла обладают существенно различными
качествами, что позволяет сравнительно просто сформировать систему независимых
диагностических признаков состояния каждого из узлов механизма;
2) условия эксплуатации механизма не позволяют оснастить его развитой систе-
системой сбора и обработки информации с разделением сложного агрегата на более простые
и установкой датчиков на каждом из них.
Во втором случае трудности задачи диагностирования возрастают, так как внутри-
агрегатные связи делают области значений диагностических признаков перекрываю-
перекрывающимися. При этом методы распознавания усложняются, а вероятность постановки
правильного диагноза падает.
Уменьшить влияние помех можно разделением механизма на более простые
агрегаты с установкой датчиков в наиболее информативных точках конструкции,
позволяющих оценить работоспособность данного узла. В роторных механизмах,
например, наиболее целесообразно подключение датчиков на входном и выходном
валах с последующей оценкой совместных двумерных характеристик. Помимо этих
мероприятий целесообразно проводить различные преобразования, увеличивающие
отношение сигнал/помеха,
ВИБРОАКУСТ. СИГНАЛ И ВЫБОР СИСТ. ИЗМЕР. И ОБРАБ. ИНФОРМ. 397
В соответствии с принятым разбиением объекта контроля на динамические звенья
и перечнем технических состояний, подлежащих распознаванию, может быть произ-
произведен предварительный выбор средств измерения и геометрии их расположения на
объекте исходя из следующих соображений. Прежде всего необходимо упорядочить
перечень технических состояний для каждого выделенного динамического звена
в соответствии с классификационной схемой дефектов.
Измеряемые параметры выбирают из соображений максимального информацион-
информационного вклада виброакустического сигнала, место расположения датчика должно быть
по возможности приближено к потенциальному источнику возбуждения колебаний.
В реальных условиях при отработке методов диагностики конкретных объектов
систему измерения выбирают избыточной и обычно модифицируют в соответствии
с полученными практическими результатами, прежде чем придать ей окончательный
вид.
Исходная информация об измеряемых виброакустических параметрах динами-
динамических звеньев объекта контроля может обрабатываться в диагностических целях
как непосредственно в ходе функционирования объекта (в реальном масштабе вре-
времени), так и постфактум — по результатам проведенного эксперимента. Во втором
(часто и в первом) случае неизбежной оказывается регистрация измеряемых элек-
электрических эквивалентов виброакустических параметров на магнитных носителях
с последующим многократным воспроизведением записей, обработкой и анализом их
на специализированной аппаратуре для статистических исследований и ЭВМ. При
этом к магнитным регистраторам предъявляют повышенные требования к точности
и синхронности записи — воспроизведения многих параметров, идентичности соот-
соответствующих каналов по АЧХ и ФЧХ, возможности одновременной регистрации
как низких (включая постоянную составляющую), так и высоких частот, управляе-
управляемому изменению скоростей протяжки ленты. Этим условиям удовлетворяют специаль-
специальные прецизионные многоканальные магнитные регистраторы с частотной модуляцией
записываемых сигналов в диапазоне частот 0—20 кГц и выше.
Процедура поиска характерных диагностических признаков. Рациональный
выбор диагностических признаков, т. е. характеристик колебательных процессов,
сопровождающих работу машин и механизмов, в значительной мере определяет успех
решения задачи виброакустической диагностики.
Признаки выбирают по следующей схеме.
На основании предварительного изучения статистики отказов составляют пере-
перечень неисправностей механизма, подлежащих распознаванию. Для каждого вида
отказа подбирают соответствующий структурный параметр. В процессе обучения
диагностической системы на однофакторных экспериментах составляют словарь аку-
акустических диагностических признаков, соответствующих каждому виду отказа. Для
выявления характерных диагностических признаков м> жно рекомендовать следую-
следующую процедуру обработки виброакустического сигнала;
1) предварительное получение спектральных характеристик колебательного
процесса при нормальном и дефектном функционировании механизма;
2) выявление зон и характера наибольших изменений спектральных характе-
характеристик (существенное изменение амплитуд дискретных составляющих, перераспре-
перераспределение энергии по частотам, рост шумовой компоненты, появление гармоник или суб-
субгармоник основных частот возбуждения, появление или увеличение амплитуд модуля-
модуляционных или комбинационных частот и т. п.);
3) построение математической модели формирования виброакустического сиг-
сигнала при появлении дефекта;
4) выбор системы предварительной обработки исследуемого сигнала (фильтра-
(фильтрация, детектирование, стробирование и т. п.) с целью повышения его информативности
на основании выводов, полученных по п. 2 и 3;
5) в соответствии с характером изменения спектра мощности виброакустического
сигнала составление программы получения статистических характеристик, наиболее
чувствительных к этим изменениям (обобщенный «-мерный вектор спектральных ком-
компонент гармонического ряда колебательного процесса или его огибающей, ампли-
амплитуды отдельных составляющих спектра, величина или форма коэффициента корре-
корреляции, вид регрессионной зависимости колебаний различных точек объекта, кепстр,
биспектр и т, д.);
398 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
6) поиск характерных диагностических признаков на основе многофакторного
эксперимента и построения регрессионной модели зависимости диагностического
признака от параметров технического состояния механизма.
Элемент объекта диагностирования (зубчатое зацепление)
Питтинг
Заедание
Излом зуба
Износ зубьев
?
я
4
с
и о
a*14—
Я я
Измен
гармо:
туд
s
Ч
с
S
UJ **—
К Ьй
Я И
Измен
гармо:
Ьй
о
с
и
к
Расш
м
ч~*
я
я
я
S
ч
траль
ИЛИ к
о.
о
ЬЙ
о>
m
ный
о.
ф
1
с
о
ЬЙ
льны
S.
о
ь
3 щ
о, я
с
и
о
и
н
рос
J3
я
0J
о
о
я
н
о
я
нен'
о
с
о
S
о
MOB
а
2 я я
Рис . 7. Структурно-следственная схема формирования диагностических признаков
некоторых Дефектов зубчатвго Зацепления
На основании проведенной процедуры составляют словарь характерных диаг-
диагностических признаков, однозначно реагирующих на проявление отдельного вида
дефекта. В случае отсутствия характерных признаков распознавание состояний
механизма осуществляется по совокупности признаков в соответствии с теорией
распознавания образов,
ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ 399
На рис. 7 изображена примерная структурно-следственная схема формирования
диагностических признаков, предшествующая процедуре активного многофактор-
многофакторного эксперимента. В качестве примера рассмотрены четыре дефекта зубчатого
зацепления (II уровень), наиболее часто проявляющихся при длительной эксплуата-
эксплуатации редуктора. На III уровне схемы представлены характерные изменения спектраль-
спектральной картины, вызванные проявлением дефекта. Внизу (IV уровень) представлен
неполный перечень возможных диагностических признаков по каждому дефекту
на основании которого отбирают характерные признаки.
5. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА
ИЗМЕРИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
В практических условиях активной работы с измеряемыми колебательными
процессами технического объекта процедуре формирования диагностических призна-
признаков предшествуют процедуры предварительной обработки виброакустического сиг-
сигнала, связанные с выделением информативных компонент, подавлением помех, нор-
нормированием сигналов и т. д.
Ниже приведено краткое описание основных процедур предварительного пре-
преобразования исследуемого сигнала.
Фильтрация (частотная селекция) виброакустического сигнала х (t) выпол-
выполняется для выделения информативной компоненты у (t) с помощью электрических
линейных избирательных устройств или соответствующих математических операций
на ЭВМ. Если х (t) — стационарный случайный процесс, то
ф B1)
О
или в частотной области
е,(<о) = |Яф(/в))рО,(ш), B2)
где Аф (8) — импульсная переходная; #ф (/со) — передаточная функции фильтра;
дх (ИЬ Gy (со) — энергетические спектры сигналов х (t) ну (f) на входе и выходе
фильтра.
Для выделения полезного сигнала используют как фильтры верхних и нижних
частот, так и полосовые фильтры (см. гл. X).
Нормирование виброакустического сигнала по мощности в выделенной полосе
частот (со,, со2) производится с целью снижения требований к стабильности чувстви-
чувствительности датчиков и коэффициентов усиления трактов. Наиболее целесообразно
нормирование по мощности [211, для чего исходный сигнал х (t) пропускается через
фильтр с полосой пропускания (co^ со2) и усилитель с коэффициентом усиления
Мау (щ, со2), где ау (%, е>2) среднеквадратичное значение выделенной фильтром ком-
компоненты сигнала у (t), определяемое соотношением
о» ((¦>!, (О2) = ~ ?о„(ю)Ао B3)
Ml
Выделение огибающей или фазы узкополосного колебательного процесса важно
во многих процедурах формирования диагностических признаков технического
состояния объекта контроля. Например, при износе контактирующих поверхностей
и кинематических пар искажение геометрии деталей приводит к неравномерности
вращения (частотная модуляция) и изменению силы взаимодействия сопряженных
деталей (амплитудная модуляция). В общем случае узкополосный процесс при до-
достаточно широких предположениях [14] может быть представлен в следующем виде:
x(t)=Vx(t)cos[(uJi-(fx(t)], B4)
где Vх (t) и фл (/) — огибающая и фаза процесса х (t), медленно изменяющиеся по
сравнению с cos со0/; со0 — средняя частота сосредоточения энергетическое спектра
0х (со),
400
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Выделение огибающей V х (f) производят с помощью специальных электрических
устройств — амплитудных детекторов, a q>x (t) — с помощью фазовых детекторов
либо на ЭЦВМ с помощью преобразования Гильберта.
Стробирование (временную селекцию) виброакустического сигнала применяют
для выделения периодического процесса, жестко связанного с определенной фазой
кинематического цикла механизма [10, 16, 21].
Так, в механизмах или кинематических парах ударного действия прямое наблю-
наблюдение откликов на соударения заданной кинематической пары в измеряемых акусти-
акустических параметрах, несущих важную ин-
информацию о техническом состоянии дета-
деталей этой пары, как правило, невозможно
из-за наложения ударных импульсов от
других узлов механизма.
Необходимый сигнал можно выде-
выделить при использовании процедуры вре-
временной селекции сигнала х (t) в соответ-
соответствии с формулой
п
</@= 2 x(t)g(t — kT-x), B5)
где
1 для kT-\-x-\-t' ^t^kT -\-x-\-t";
0 для всех других t
Т—период следования ударных импуль-
импульсов процесса х (t); At= t" — f — ширина
стробирующего импульса; Т — время за-
запаздывания стробирующего импульса g (t)
относительно синхроимпульса | (/) с дат-
ника оборотов одной из вращающихся
деталей механизма. При диагностике
ДВС, например, синхронизацию вибро-
вибропроцессов, как правило, осуществляют
оборотной частотой коленчатого вала, а за
начало отсчета времени принимают по-
положение поршня в верхней мертвой
точке одного из цилиндров.
На рис, 8 сверху вниз приведены изображения процессов, участвующих в опе-
операции временной селекции: х (t) — виброакустический сигнал на входе стробирую-
стробирующего устройства; | (t) — синхроимпульс; g (t) — стробирующий импульс; у (t) —
результирующий процесс на выходе временного селектора.
Синхронное (когерентное) накопление. Для выделения периодической компоненты
исследуемого процесса на фоне аддитивной шумовой компоненты применяют метод
синхронного накопления [27]. Суть метода заключается в том, что при суммировании
реализаций сигналов на п периодах детерминированной составляющей процесса
Рис. 8. Схема использования временной
селекции для выделения временной ком-
компоненты сигнала
y(t)=
-kT)\,
B6)
(где А @ — периодическая компонента с амплитудой и периодом Г; г (t) — случай-
случайная компонента с дисперсией 22), амплитуда детерминированной составляющей растет
пропорционально я, следовательно, энергия растет пропорционально и2, в то время
как дисперсия суммы случайных компонент равна сумме дисперсий /гг2, если время
усреднения Т больше интервала корреляции шума. Таким образом, отношение
сигнал/помеха на выходе синхронного накопителя равно Ес/Еш = п (A2I~S), что
в п раз превышает то же отношение на входе устройства,
ИСПОЛЬЗ ХАРАКТЕР. ПРОЦЕССОВ В ДИАГНОСТ ЦЕЛЯХ
401
6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ДИАГНОСТИЧЕСКИХ ЦЕЛЯХ
В данном разделе рассматриваются различные параметры виброакустического
сигнала и способы формирования диагностических признаков, связанные с обнаруже-
обнаружением и последующим выделением информационной компоненты в измеряемых колеба-
колебательных процессах, определяющих как сам факт наличия дефекта, так и глубину
его развития.
Временная реализация. Когда в колебательном процессе, сопровождающем
работу агрегатов, например двигателя внутреннего сгорания, необходимо сохранить
фазовые соотношения, несущие основную информацию о параметрах технического
состояния, достаточно проанализировать временную реализацию процесса. На рис. 5
дана схема расположения виброимпульсов, формируемых механизмами четырех-
цилиндрового двигателя, по тактам цикла. Выделение импульсов, формируемых уз-
узлом, осуществляется временной селекцией (см. раздел 6). В данном случае диагности-
диагностическими признаками могут служить смещение
соответствующего импульса по фазе, а также
его амплитуда.
При ударном возбуждении колебаний на
осциллограмме, синхронизированной оборотной
частотой, можно выделить момент появления
удара, его длительность, частоту заполнения
импульса, период следования и форму импуль-
импульса, если эти импульсы не накладываются друг
на друга.
Таким способом можно выявить появление
раковин на одной из контактирующих поверх-
поверхностей (на зубе шестерни или беговой дорожке
подшипника качения), поломку зуба, обрыв ло-
лопатки в турбине и т. п.
Кинематические погрешности изготовления или монтажа влияют на глубину
модуляции колебательных процессов, что также может быть использовано в качестве
диагностического признака состояния механизма.
При наличии высокочастотной флуктуационной помехи от периода к периоду
применяют метод синхронного накопления на периоде самого низкочастотного про-
процесса, например равного периоду оборотной частоты.
Если колебательный процесс х (Л близок к периодическому и нет никакой апри-
априорной информации об амплитудах и фазах процесса на периоде цикла Г, то для
последующей его классификации можно воспользоваться представлением его в виде
«-мерного вектора, компонентами которого являются значения амплитуд, взятые
через равные интервалы времени Д^ (рис. 9).
Такой диагностический признак информативен, если в качестве объекта диаг-
диагностики фигурирует низкооборотная машина циклического действия, а параметры
состояния в значительной степени изменяются, например, при диагностике грубых
отказов в работе.
В общем случае виброакустические процессы в машинах являются случайными,
поэтому для получения неслучайных закономерностей изменения исследуемого
сигнала необходимо перейти к рассмотрению его статистических характеристик.
Спектр мощности. Если реализация стационарного случайного процесса х (t)
задана на ограниченном интервале времени @, Т) и равна нулю вне его, то за оценку
спектральной плотности мощности принимают величину [27]
L*M? B7)
Рис. 9. График дискретизации вре-
временного процесса
которая дает усредненную картину распределения мощности по частоте. Здесь
г
*(/«>)= j x(t)e-J«>ldt B8,
о
402 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
— преобразование Фурье от функции х (t), так называемый спектр мгновенных зна-
значений (комплексный спектр). Функция! X (/со) i ~VTGx(a) носит название оценки
амплитудного спектра и применяется при аппаратурной реализации спектрального
анализа.
В качестве диагностического признака вместо спектрального разложения про-
процесса иногда используют интегральную характеристику — дисперсию шума B3).
а>2
2я J
в полосе частот ((nl, со2)> где изменения виброакустического сигнала проявляются
наиболее заметно.
При диагностике состояния кинематических звеньев механизма на каждом режиме
работы полезно иметь таблицу основных частот возбуждения колебаний (аналогич-
(аналогичную табл. 1) и их гармоник с тем, чтобы вести направленный поиск диагностических
признаков В ряде случаев в качестве диагностического признака может служить
спектральная амплитуда на частоте возбуждения диагностируемого узла, если ее
поведение однозначно связано с изменением соответствующего параметра состояния
механизма Однако в большинстве случаев целесообразно использовать энергети-
энергетический спектр для формирования обобщенного диагностического признака в виде
n-мерного вектора, компонентами которого служат отсчеты дискретного представле-
представления спектра в точках i= 1, ..., п, разнесенных по частоте на Дсо = шгр/я.
При наличии в спектре четко выраженного гармонического ряда или нескольких
рядов частот, кратных основным частотам возбуждения механизма, удобно форми-
формировать диагностический признак из составляющих гармонического ряда [9], ампли-
амплитуды гармоник которого несут основную информацию об изменении состояния узла
объекта диагностики. При этом наиболее простым и достаточно информативным при-
признаком служит длина /t-мерного вектора, компонентами которого являются ампли-
амплитуды А; гармонического ряда. В ряде случаев достаточно ограничиться числом ряда
п = 5 -4- 10
Такое представление виброакустического сигнала является одной из форм сжатия
информации, представлением ее в более компактной форме. Распознавание осу-
осуществляется по одному из решающих правил, приведенных в разделе 8 настоящей
главы.
Функция корреляции. Функция автокорреляции стационарного случайного
процесса х (t) на конечном времени наблюдения @, Т) имеет оценку [14]
f x(t)x(t + x)dt, B9)
Кхх (т) — -,
Несмотря на то, что функция автокорреляции несет ту же информацию, что и
спектральная плотность G (со), так как эти функции связаны между собой парой
преобразований Фурье (см гл IV), на практике встречаются случаи, когда поведе-
поведение функции корреляции более наглядно отражает изменение состояния объекта
диагностирования, например при изменении соотношения энергии периодической
и шумовой компонент Ес/Еш.
При появлении дефекта, связанного с возбуждением периодического процесса
с периодом Т, зависимость нормированной функции корреляции от т
pxx(%)-KZW C0)
становится периодической при т > т0, где т0 — интервал корреляции шумовой ком-
компоненты (рис. 10) с амплитудой, равной отношению Ez/Em.
Этот фактор может быть использован в качестве диагностического признака
дефекта, вызывающего появление или увеличение уровня периодической составляю-
ИСПОЛЬЗ ХАРАКТЕР ПРОЦЕССОВ В ДИАГНОСТ ЦЕЛЯХ
403
щеп с периодом Т. На рис. 10 сплошной линией изображена огибающая коэффициента
корреляции при наличии периодической составляющей, штриховой линией при
ее О1сутствии.
При явлениях износа, связанных с увеличением шероховатости контактирующих
поверхностей, наблюдается обратное явление, т. е. возрастает роль шумовой компо-
компоненты, dro обстоятельство также отражается на внешнем виде рхх (т), уменьшая
отношение Ес/Ет и увеличивая коэффициент затухания функции рхх (т), который
может служить диагностическим признаком.
В качестве диагностического признака может быть использовано максимальное
значение коэффициента взаимной корреляции
Кху (т)
процессов х (t) я у (t), измеренных в различных точках агрегата. Наиболее эффек-
эффективно использование этого диагностического признака, если х (t) — входной, у (t)—
выходной процесс какого-либо узла агрегата Появление дополнительного некоге-
некогерентного возбуждения внутри узла непре-
непременно проявит себя уменьшением значе-
значения max | рху (т) |.
Взаимный спектр. Преобразование
Фурье от функции взаимной корреля-
корреляции — взаимный спектр
(/«)
СО
2л J
C1)
Рис. 10. Коэффициент автокорреляции
может быть использован для формиро-
формирования диагностических признаков. Мо-
Модуль взаимного спектра I GxtJ (со) | харак-
характеризует распределение по частоте энергии
взаимодействия колебательных процессов
х (t) и у (f) Этот факт может быть использован для формирования характерных
диагностических признаков по аналогии со спектром мощности. Одно из распрост-
распространенных применений функции взаимной спектральной плотности — определение
передаточной функции линейной модели объекта при случайных входных воз-
возмущениях:
Gxu (/со)
П\](й)^—^; -.—г—. \^1
Поскольку в режиме нормального функционирования объекта реально действую-
действующее на вход диагностируемого узла возбуждение может иметь произвольный спектр,
передаточная функция не может быть определена на частотах, где Gxx (со) = 0. Если
при появлении дефекта изменяется передаточная функция узла (смещаются собствен-
собственные частоты за счет изменения, например, жесткости какого-либо сопряжения,
изменяется амплитуда при изменении демпфирования или фазовый сдвиг между вхо-
входом и выходом), то любой из этих параметров может быть использован в качестве
йиагносгического признака.
Функция когерентности. Одной из разновидностей характеристик статистиче-
статистической связи двух случайных процессов является функция когерентности двух про-
процессов
VL = -7T-^—i C3)
иУУ
изменяющаяся в пределах 0 s? v2 «? Ь
В случаях, когда необходимо оценивать величину линейной связи колебатель-
колебательных процессов в частотной области, используют нормированный взаимный спектр
(или функцию когерентности), Следует, однако, помнить, что va (ш) не является па*
404
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
мехоустойчивым параметром, поэтому использовать ее в диагностических целях надо
с известной осторожностью, оценивая величину доверительного интервала на каждой
из интересующих частот.
Функцию когерентности так же, как и спектр мощности Gxx и модуль взаимного
спектра I Gxy I, можно использовать для построения /г-мерного вектора, в том числе
на частотах гармонического ряда при полигармонических колебаниях механизма.
Кепстр. Известно, что в машинах ротационного действия спектр возбуждения
колебаний полигармонический. Например, для зубчатого зацепления и подшип-
подшипников качения характерно присутствие иногда десятков гармоник основных частот
возбуждения. В этих условиях трудно найти информативный диагностический
признак, используя традиционное спектрально-корреляционное представление
сигнала.
T J.
I 1
a) 5)
Рис. 11. Спектр (а) и кепстр (б) временного процесса
Для сжатия полученной информации прибегают к нелинейным преобразова-
преобразованиям, например к логарифмированию, что часто используется при спектральном
анализе виброакустических процессов. Преобразование Фурье от логарифмического
спектра мощности, т. е. кепстр [19]
С (т) = J log Gx (со) cos шт doa,
о
C4)
позволяет разделить во времени информацию о сигнале, полученную в результате
многократных отражений, при нелинейных преобразованиях и модуляции. При этом
энергия виброакустического сигнала, рассеянная по множеству гармоник в спектраль-
спектральном представлении, локализуется в одной составляющей в кепстральном представле-
представлении сигнала. На рис. 11 приведено изображение спектра (б) и кепстра (а) того же
процесса.
Кепстр используют для формирования диагностических признаков только в тех
случаях, когда колебательный процесс имеет периодически модулированный спектр,
что может наблюдаться при явлениях нелинейного взаимодействия узлов и деталей
механизма, при наличии амплитудной или частотной модуляции, а также при пре-
преобразованиях типа свертки нескольких временных процессов. В качестве диагно-
диагностических признаков используют амплитуды кепстральных компонент.
Биспектр. Решение проблемы автоматического распознавания образов зависит
от результатов поиска системы признаков, описывающей свойства объекта диагно-
диагностирования и обладающей достаточной помехозащищенностью [11]. В этом плане
полезным оказывается применение многомерных спектров, хотя они и не получили
такого широкого распространения, как одномерные, из-за расчетных сложностей.
Наиболее легко реализуемой многомерной спектральной характеристикой коле-
колебательного процесса является двумерный спектр (или биспектр) S (и>1, ш2) — пре-
преобразование Фурье от двумерной функции автокорреляции:
C5)
C6)
ИСПОЛЬЗ. ХАРАКТЕР. ПРОЦЕССОВ В ДИАГНОСТ. ЦЕЛЯХ
405
Биспектр — функция комплексная, поэтому чаще используют модуль биспекгра
| S К, со2) I. Расчетные значения этой функции лежат на симплексе, ограниченном
частотными осями @, согр) и диагональю квадрата. Биспектральная функция обла-
обладает свойством подавления шумовых компонент, так как момент третьего порядка от
гауссовского процесса равен нулю, в то же время реагирует на зависимость между
дискретными частотными компонентами %, <»2, %, если они удовлетворяют соотно-
соотношению со! + «2 + Щ = 0, где со3 = — («1 + о2). Эго следует из представления
формулы биспектра в виде
S (с*!, щ) = Х (щ) X (со2) X* (coj-f со2),
где X (со) — мгновенный спектр процесса х (t).
На рис. 12 изображены линии уровней биспектра вибраций редуктора для двух
параметров состояния. При дискретном спектре колебаний механизма наблюдается
высокая чувствительность этой характеристики к изменениям параметров измеряемого
процесса,
f-156, Гц
1Z
16
го
24
28
52 О 4 8 12 16 20 2Ц- f-156, Гц
<*)
Рис. 12. Линии уровья биспектра S (/*,, f2) вибраций редуктора при двух значениях
нагружающего момента:
а — Р = 100 кгс-м; б — Р = 250 кгс-м (п = 700 об/мин)
Ценность информации, получаемой из биспектра, заключается в том, что эта
характеристика помогает разобраться в структуре колебательного процесса, обнару-
обнаружить участки спектра, статистически связанные между собой, а также выявить
характер проявления комбинационных и модуляционных частот [2].
Биспектр можно использовать как обобщенный диагностический признак с пред-
представлением его в матричной или линейной форме с последовательной разверткой по
столбцам или строками. В этом случае распознавание осуществляется по минимуму
евклидова расстояния от эталонного биспектра.
Одномерный закон распределения вероятностей амплитуды. Несмотря на то, что
только совокупность всех конечномерных распределений дает исчерпывающую инфор-
информацию о случайном процессе, в ряде практических случаев даже одномерный Р (х)
и двумерный Р (х, у) законы распределения амплитуд колебательных процессов яв-
являются достаточно представительными характеристиками, которые могут быть
использованы в качестве диагностических признаков состояния механизма.
Пример тому — изменение формы одномерного закона распределения вероят-
вероятностей при изменении состояния объекта диагностирования, вызванное изменением
энергетического соотношения периодической и случайной компонент в достаточно
узкой полосе частот (например, октавной, 1/2-октавной и др.) [7, 15].
Форма одномерного закона распределения случайного процесса к (t), заданная
в виде п-мерного вектора отсчетов его амплитуды Р (xk) — носитель информации
о параметрах состояния объекта исследования [7, 21],
щ
(о
(с
<=
V-3
1,3
'cfi,
а
о
?
р,1Ь
8 12 16 20 2bf-156.ru,
5)
406 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
В качестве характеристик закона распределения в статистике используют его
моменты до четвертого включительно [25] математическое ожидание
C7)
соответствующее постоянной составляющей исследуемого сигнала, и центральные
моменты до четвертого включительно
В качестве меры рассеивания рассматривают центральный момент второго порядка
и, или дисперсию
DX M(XMXf C8)
Меру рассеивания, имеющую размерность математического ожидания или слу-
случайной величины, называют среднеквадратичным или стандартным отклонением
о = УШ. C9)
Характеристикой асимметрии эмпирического распределения является показа-
показатель асимметрии
^ = ^ = ^[М(Х-МХ)Ц D0)
В качестве характеристики большей или меньшей «вершинности» по сравнению
с нормальной кривой распределения используют эксцесс
^ ^-3. D1)
Показатели асимметрии и эксцесса, отличные от нуля, указывают на отклонение
рассматриваемого распределения по форме от нормального.
Каждая из характеристик C8) — D1) может быть использована в качестве диаг-
диагностического признака, хотя наибольшей информативностью обладает дисперсия
как широкополосного, так и узкополосного случайных процессов
Двумерный закон распределения амплитуд. В качестве алгоритма для расчета
дифференциального двумерного закона распределения вероятностей амплитуд
Р (х„ у;) процессов х (t) и у (t) на ЭЦВМ может быть использовано выражение [25]
Р(х„ y,)AxAy=[F(xa + Ax, yo + Ay)-F(xo, yo-{ Ay)]-
-[F(xo + Ax, yo)~F{xo, у0)], D2)
где F (х, у) — интегральный закон распределения; х0 < xt < х0 + Ах, у0 < у, <
< Уо + Д</.
Знание двумерного закона Р (*,, yt) дает возможность вычисления одномерных
законов распределения амплитуд Р (х,), Р (</,) каждого из процессов х (t) и у (t),
заданных в виде дискретных отсчетов х, и уу.
P(xl) = %P(xl, у,), Р(у,)=-ЛР(х„ у,) D3)
и условных законов распределения
Р (х,, У,) Р(х,, у.)
Характеристиками условных законов распределения, как и в одномерном случае,
служат условное математическое ожидание, условная дисперсия и условные моменты
более высокого порядка
К наиболее интересным характеристикам, полученным из двумерного закона,
которые могут быть использованы при формировании диагностических признаков,
следует отнести условное математическое ожидание Y при фиксированном х, так на
Зываемую функцию регрессии
'? D5)
ИСПОЛЬЗ ХАРАКТЕР. ПРОЦЕССОВ В ДИАГНОСТ ЦЕЛЯХ
и корреляционное отношение
«з _ 1 аУ/х
407
D6)
характеризующее тесноту связи между X и Y в случае нелинейной зависимости
между ними.
В выражении D6)
aY/x = 2 &/ -0 (*)]* *> (У//*) D7)
— условная дисперсия У при данном *, характеризующая рассеивание вокруг линии
регрессии.
Рис. 13. Линии уровня двумерного закона распределения вероятностей амплитуд пульса
ций давления в камере сгорания газотурбинного двигателя при трех значениях расхода
топлива:
а — а = 6,0; б — а = 3,0, в — а = 2,5
Двумерный закон распределения с различными моментными характеристиками
можно использовать для оценки параметров технического состояния объекта конт-
контроля, Иногда форма двумерного закона, заданная в матричном виде, может служить
диагностическим признаком. На рис. 13 изображено семейство графиков линий уров-
уровней Р (к, у), где х (t) и у @ — пульсационное давление на входе и выходе камеры
сгорания газотурбинного двигателя при различных режимах его работы.
У
•••
1
°J
.•1
С*
О •¦
О
о
о
1
о
О
X
V
<
Г §
о
о
)
t
О
°п
О
•
•
V
D
О
о
о—
о
о
О
р
3 g
ф-
в
•
1
У
•••
•
ф,
о
э
О
О
о
0
о •
к
•
а) 0)
Рис. 14 Линии регрессии вибраций двух точек редуктора на зубцовой частоте при двух
значениях параметра технического состояния:
а — Ц2 = 0,080, Т|2 = 0,084, R2 = 0,048, б — Т|2 = 0.154 Щ — 0,132, R2 = 0,130
1 z 12
Рис. 15. Линии регрессионной зависимости между первой и второй гармониками зубцовой
частоты вибраций редуктора:
, 0,97; Г}3 = 0,0004, R1 = 0,007; б — п? = 0,479, ^з = 0,002; Я2 =0,032
_ -ер
0,0004, R1 = 0,007; б — г,а = 0,479, чз
Одной из форм информации о свойствах механизма, которую можно почерпнуть
из двумерного закона распределения амплитуд виброакустических сигналов, изме-
измеренных в двух различных точках конструкции (например, на входе и выходе одного
из кинематических узлов), является оценка степени и характера статистической зави
симости между этими процессами.
408 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
Вид зависимости (линейной или нелинейной) можно определить с помощью
линий регрессии (рис. 14), тесноту связи — с помощью дисперсионного (корреля-
(корреляционного) отношения.
Используя те же функции D5) и D6), можно оценить вид и тесноту связи между
различными частотными компонентами одного и того же колебательного процесса.
Это целесообразно делать при оценке изменчивости амплитудных соотношений
внутри гармонического ряда из-за изменения параметра технического состояния.
Для примера на рис. 15 изображены регрессионные зависимости между первой и
второй гармониками зубцовой частоты редуктора при двух значениях нагружающего
момента в зацеплении.
Информация, полученная из двумерного закона распределения, полезна не только
при поиске информативных диагностических признаков, но и при оценке и уточне-
уточнении динамических параметров диагностической модели объекта исследования.
7. РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА РАСПОЗНАВАНИЯ
Поскольку акустическая диагностика машин и механизмов есть распознавание
технических состояний объекта по параметрам колебательных процессов, естествен-
естественным является привлечение аппарата распознавания образов в тех случаях, когда нет
очевидного соответствия между параметрами технического состояния и параметрами
виброакустического сигнала, т. е. нет характерных диагностических признаков.
В основу методологии распознавания виброакустических сигналов легли разработки
в области распознавания зрительных и речевых образов [4, 9, 11, 18, 24, 26], а также
контроля и идентификации непрерывно функционирующих систем [6, 13, 23, 29, 30].
В основе идеи синтеза систем автоматического распознавания лежат способы,
с помощью которых описывают и разделяют классы образов. Существуют три основ-
основные методологии: эвристическая, математическая и лингвистическая [11].
За основу эвристического подхода взяты интуиция и опыт человека; в нем исполь-
используются принципы перечисления членов класса и общности их свойств. Обычно
системы, построенные таким образом, включают набор специфических процедур,
разработанных применительно к конкретным задачам распознавания.
В основу математического подхода положены правила классификации, которые
формулируются и выводятся в рамках определенного математического формализма.
Их можно разбить на два класса: детерминистские и статистические. Детерминистский
подход базируется на математическом аппарате, не использующем в явном виде
статистические свойства изучаемых классов образов. Построение статистического
классификатора в общем случае предполагает использование байесовского класси-
классификационного правила и его разновидностей.
Если образ можно описать с помощью иерархической структуры подобразов,
аналогичной синтаксической структуре языка, то для решения задач распознавания
образов применяют лингвистический (или синтаксический) подход с использованием
теории формальных языков.
Задачи акустической диагностики больше тяготеют к эвристическому и мате-
математическому подходам с детерминистским уклоном, поэтому ниже рассмотрены методы
классификации по принципу минимального расстояния между испытуемым и эталон-
эталонным изображениями.
Понятие меры сходства. В основе распознавания состояний объекта диагностики
лежит сравнение их признаков с априорными, характеризующими классы состоя-
состояний. Совокупность признаков состояния, принадлежащих одному классу, называют
образом. Признаки образа могут изменяться в некоторых пределах, в то время как
образ относится к одному и тому же классу, поэтому необходимо знать статистические
свойства признаков, т. е. возможные разбросы параметров образа.
Удобно представлять диагностический признак (изображение) в виде вектора
U (%, и2, ..., ип), координатами которого являются количественные значения диаг-
диагностических признаков. При этом наиболее вероятное, эталонное изображение каж-
каждого класса состояний, с которым сравнивают вновь предъявленное изображение
для его классификации, также представляется вектором V; (v^\ v[p i/''). Сово-
Совокупности изображений, относящихся к одному классу, соответствует ансамбль точек,
РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА РАСПОЗНАВАНИЯ
409
рассеянных внутри некоторой области пространства изображений, причем «расстоя-
«расстояние» da между членами одного класса меньше, чем между членами разных классов
di, (рис. 16).
Алгоритмы распознавания (классификации) основываются на сравнении меры
близости испытуемого изображения с каждым классом.
Критерием распознавания является правило, по которому в пространстве призна-
признаков строится гиперповерхность, разделяющая распознаваемые параметры состояний
на классы.
Необходимым условием функционирования диагностической системы является
наличие априорных сведений о классах состояний, которые или задаются заранее,
или появляются в процессе обучения, предшествующему процессу классификации.
Процесс обучения состоит в том, что на вход диагностической системы последовательно
подаются признаки состояний каждого класса. Этот процесс заканчивается, если
реакция диагностической системы на данные
воздействия становится устойчивой, удовлетво-
удовлетворяющей определенным требованиям. Структур-
Структурная схема диагностической системы может
включать диагностическую модель объекта диа-
диагностики, помогающую формировать классы со-
состояний и соответствующие им диагностические
признаки в тех случаях, когда условия их ре-
реализации на натурном объекте трудно осуще-
осуществимы.
Для формирования образов необходимо вы-
выработать определенные правила, с помощью ко-
которых сходные между собой изображения были
бы отнесены к одному классу. Как при форми-
формировании, так и при распознавании образов ши-
широко используют понятие меры сходства изо-
изображений, с помощью которого производится
их классификация. Наиболее очевидный способ
введения меры сходства для векторов образов, интерпретируемых как точки в
евклидовом пространстве, — определение их близости. Такой подход иногда назы-
называется классификацией образов по критерию минимума расстояния.
Ниже приведены алгоритмы некоторых, наиболее часто используемых мер сход-
сходства [4, 26].
1. Распознавание по расстоянию между точками в пространстве изображений.
Если в л-мерном пространстве изображений диагностических признаков U, заданы
векторы (точки) \lt V2> ..., Ym, соответствующие заранее построенным эталонам, то
распознавание входного изображения U осуществляется путем определения расстоя-
расстояний между испытуемым изображением и всеми эталонами. Входное изображение отно-
относится к тому классу, расстояние до которого минимально, т, е. Us V/; если
L(U, Vj) = mmL(U, V,-). D8)
Поскольку испытуемые изображения и эталоны задаются совокупностью призна-
признаD9)
E0)
Рис. 16. Двумерное изображение
классов состояний объекта диаг-
диагностирования в признаковом про-
пространстве
ков:
U = U(«1, щ, ..., «„);
Vft = V(yA1, vk2, ..., vkn), fe=l, 2, ...,m,
расстояние между векторами определяется по одной из формул:
евклидово расстояние
квадрат расстояния
)=i/ 2J
, V*)= 2
E1)
E2)
410 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
расстояние по Хеммингу
п
L(l), Vft)= 2 \Щ — vki\- E3)
»= 1
2. Распознавание по скалярному произведению. Один из наиболее часто встре-
встречающихся методов в принятии решений при распознавании образов состоит в опре-
определении скалярного произведения рассматриваемого изображения с каждым из эта-
эталонов:
п
L (U, V^) = ^j ^i^ki1 E4)
i= 1
Изображение относится к тому классу, для которого скалярное произведение
достигает наибольшего значения
U e=Vy, если L(U, V/) = maxL(U, V,). E5)
3. Распознавание по косинусу угла между векторами. Функцией сходства
является в данном случае нормированное скалярное произведение векторов
L (U, V*) = ~Z' _ - • E6)
vki
/п п.
Zj ut Zj k
Максимум сходства достигается, когда направления векторов совпадают, т. е.
распознавание осуществляется в соответствии с решающим правилом E5). Этой мерой
сходства удобно пользоваться в тех случаях, когда точки, принадлежащие одному
классу, располагаются вдоль главной оси, а угол, охватывающий подмножество
изображений, относящихся к одному классу, мал по сравнению с углом между эта-
эталонами.
Одной из разновидностей классифицирующей функции в данном случае является
выражение для угла между векторами
L(V, VA) = arccos /=' ¦ E6')
У (=i (=i
Построение системы независимых признаков и выбор главных диагностических
признаков. Известно, что при распознавании образов наиболее полезными призна-
признаками являются те, которые инвариантны (нечувствительны) к изменению изображе-
изображения внутри образа, но резко изменяются при переходе от одного образа к другому.
Целесообразно истолковывать признаки как систему случайных чисел с вероятност-
вероятностной точки зрения. Каждый из признаков, характеризующих состояние объекта диаг-
диагностики, при измерении может принимать случайные значения как в результате
погрешностей измерения, так и в результате разброса параметров самих объектов
и их состояний, принадлежащих одному классу. Поэтому при распознавании необ-
необходимо принимать во внимание не только значение того или иного признака, но и
вероятность его получения. Это необходимо для выбора из множества возможных
признаков состояния минимального числа наиболее важных признаков, которые
мало изменяются от изображения к изображению данного образа, т. е. имеют наимень-
наименьшую дисперсию в пределах образа. Однако установить, какие признаки обладают
минимальной дисперсией, можно только, если они независимы и, следовательно, их
корреляционная матрица К даагональна.
РЕШАЮЩИЕ ПРАВИЛА РАСПОЗНАВАНИЯ 411
Если проведено п повторных экспериментов, то степень коррелированное™
диагностических признаков uk и ut можно определить по формуле
К „ = i
где Muk и Mug — оценки математических ожиданий признаков ик и щ.
Чтобы установить, действительно ли некоррелированы признаки в общей сово-
совокупности (при малой выборке), по /-критерию Стьюдента следует определить, не
превосходит ли рассчитанное по приведенной ниже формуле значение t табличного
значения при принятом уровне значимости:
где v = (я — 2) — число степеней свободы; pw = Kkil°kal — оценка коэффициента
корреляции; а'^, с| — оценка дисперсий признаков uk и и{.
Для вероятности правильного решения Р = 0,95 (уровень значимости 0,05)
табличные значения t приведены ниже.
5
2,57
8
2,3
10
2,23
15
2,13
20
2,08
25
2,06
30
2,04
40
2,02
Если рассчитанное значение t меньше приведенного, то с вероятностью 0,95
статистическая связь между признаками отсутствует, и наоборот. Критерием / можно
пользоваться для проверки связи при нормальном законе распределения или близком
к нему.
В общем случае составляется корреляционная матрица
и А12 ... Лц
к= Кп к™ ;•¦ К2п , F8)
К*?
л2 ¦•• "ял
в которой диагональные элементы Ки — дисперсия признаков. При отсутствии кор-
корреляционной связи между признаками Kit = Кц = 0, и корреляционная матрица —
диагональна.
В диагональной корреляционной матрице важнейшими из составляющих являют-
являются те, которым соответствуют наименьшие диагональные элементы — дисперсии
[18]. Признаки, имеющие достаточно большую дисперсию, мало влияют на вероят-
вероятность правильного распознавания и могут быть исключены. При сокращении числа
признаков существенно уменьшается объем работы, необходимый для постановки
диагноза.
Когда измеряемые признаки коррелированы между собой, по диагональным
членам нельзя судить о важности признака. В этом случае путем линейных преобра-
преобразований вида Y = СХ, где С — некоторая матрица, корреляционную матрицу для
новых переменных Y можно привести к диагональному виду.
Известно, что часто такая исчерпывающая характеристика признака как закон
распределения вероятностей, не может быть построена из-за ограниченности экспе-
экспериментального материала или из-за громоздкости и трудоемкости вычислений. В этом
случае для практической оценки полезности признаков применяют упрощенные
методы, которые в какой-то степени определяют их информативность. Одним из
таких методов является минимизация признаков по числу разрешаемых споров
[4, 12].
В акустической диагностике часто прибегают к выбору таких признаков состо-
состояния, каждый из которых характеризует только свой образ (если образы компактны
и не пересекаются). Минимизация описания производится исходя из физических
соображений, при этом к диагностическим признакам предъявляется ряд требова-
412 ВИБРОАКУСТИЧРСКЛЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
ний. Одним из основных требований является высокая чувствительность признака
— т е большая скорость его изменения от нормального функционирования объ
dz '
екта «н до наступления неисправного (дефектного) состояния «д
Дм = -
E9)
Полезность признака можно оценивать по средней скорости его изменения при
подходе к критическому состоянию объекта
1 ^ |M/-«/+il
>--2
т ±шь
;=1 "'
Вторым требованием является однозначность диагностического признака, т. г
отсутствие экстремума ("Х"^^) в диапазоне изменения параметра состояния
Третьим требованием является стабильность, которую можно определить как
рассеивание признака относительно среднего при неизменных условиях иэмерени;
Четвертым требованием является информативность диагностического приз
нака
Для выбора информативных диагностических признаков, если каждый при
знак «г является функцией нескольких параметров состояния и, = / (гх, г2, , гт),
оценка информативности признаков производится по максимальной чувствительно
сти к изменению данного параметра состояния Функция чувствительности имеет
вид частной производной
_ ди,
Наилучшим является характерный признак, чувствительный только к данному
параметру технического состояния Один из методов отыскания характерного диа!
ностического признака — составление регрессионной модели методом планирова
ния эксперимента
Надежность распознавания. В теории распознавания образов надежность pat
познавания оценивается вероятностными методами, требующими большой стати
стики При этом оценивается условный риск принятия решения о принадлежности
изображения к определенному образу Оценка производится с использованием мат
рицы штрафов и набора апостериорных вероятностей образов [4]
В задачах акустической диагностики механизмов в большинстве случаев трудно
получить информацию о законах распределения генеральных совокупностей каж
дого образа, поэтому при оценке надежности распознавания диагностической си
стемы целесообразно пользоваться приближенными методами, например, посредст
вом оценки разрешающей способности диагностической системы
Пусть заданы вектор диагностических признаков U (их, щ, , , ип), мера сходств
между описаниями двух состояний объекта диагностики с помощью этих признакос
L (I),, \j) и решающее правило, по которому изображение U относится к образу V?,
Если справедливо неравенство
L (Vlg, Vg) - max L (Vlg, Vk) = 6, > Д, F0,
то такие образы различимы
В выражении F0) L (\3lg, Wg) — мера сходства между *-м изображением, при
надлежащим g-uy образу, и g м эталоном, max L (UJ?., V/;) — максимальная из мег
сходства изображения \Jtg со всеми остальными эталонами, кроме g го, Л — nopoi
чувствительности индикатора меры сходства, 6 — разрешающая способность диаг
ностической системы,
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ПОВЫШЕННОЙ ВИБРОАКТИВНОСТИ 413
Для оценки надежности диагностической системы можно использовать сред-
среднее значение разрешающей способности по всем значениям i и к. Минимальное зна
чение emln соответствует наиболее трудно различимым изображениям
Одним из способов оценки разрешающей способности диагностической системы
твляется оценка ее по максимальной мере сходства между эталонами образов Чем
яыше мера сходства, тем труднее различаются эти образы, тем менее надежна си-
свема диагностики.
8. ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ПОВЫШЕННОЙ
ВИБРОАКТИВНОСТИ МЕХАНИЗМОВ И КОНСТРУКЦИЙ
Изменение параметров технического состояния машин в ряде случаев сопровож-
сопровождается увеличением уровня колебательной энергии (Ниже, когда нет необходимости
различать механизм, машину и агрегат, для простоты их будем называть машиной).
Для машин, уровень шума которых имеет существенное значение, превышение опре-
определенного уровня вибрации или излучаемой акустической энергии можно считать
отказом по виброакустическим показателям В этом случае первой задачей вибро-
виброакустической диагностики машин является локализация источников повышенной
виброактивности. Она позволяет определить относительную роль каждого источника
в создании общей вибрации. На ее основе строят математическую модель механизма
и устанавливают особенности кинематики рабочего узла или протекающего в нем
процесса, приводящие к возникновению повышенной вибрации Источник вибра-
вибрации может быть протяженным (например, многоопорныи ротор) Тогда возникает
необходимость дополнительного исследования пространственного распределения
динамических сил и кинематических возбуждений, возникающих в данном узле.
Наиболее распространенными способами выявления и локализации источников
является сравнение вибрационных «образов» (во временной и частотной областях)
машины в целом и отдельных ее узлов Когда виброак^стические образы нескольких
источников подобны, полезно анализировать потоки колебательной энергии через
различные сечения механизмов, динамические силы, действ}ющие в различных
сочленениях, а также статистические характеристики процессов (функции корре-
корреляции, взаимные спектры, модуляционные характеристики и т д.). В связи с тем,
что силовые и кинематические возбуждения в узлах и вибрация машины в целом
зависят не только от интенсивности рабочих процессов, но и от динамических харак-
характеристик конструкций, для выявления причин повышенной вибрации следует из-
измерять механический импеданс и подвижность различных узлов — статорных и
опорных узлов механизмов, машин, агрегатов, а также фундаментных конструкций
Способы выявления источников повышенной виброактивности механизмов.
Наиболее распространенный способ выявления — сопоставление частот дискретных
составляющих измеренного спектра вибрации с расчетными частотами возбужде-
возбуждений, действующих в рабочих узлах механизмов В табл. 1 пре ставлены сводные
формулы частот дискретных составляющих вибрации и возбуждающих сил некото
рых механизмов. Спектры вибрации измеряют на нескольких скоростных режимах
работы механизма, что позволяет более надежно сопоставить расчетные частоты с ре-
реальным частотным спектром вибрации КрИЕые зависимости уровней конкретных
дискретных составляющих вибрации от режима работы механизма дают возмож-
возможность выявить резонансные зоны.
Если на исследуемой частоте (или в полосе частот) в механизме или агрегате
имеется локальный источник интенсивной вибрации (отдельный узел или механизм),
то его можно выявить по пространственному распределению уровней вибрации кон
струкции Уровни вибрации вблизи источника обычно наибольшие.
При действии несколько источников на одной частоте в конструкциях возбуж-
возбуждается почти равномерное вибрационное поле Его следует анализировать с учетом
констр\ ктивных особенностей машины и ее резонансных свойств. Повышенная
вибрация в отдельных местах может быть следствием резонанса, а не наличия близко
Расположенного источника вибрации
Для выявления источников вибрации в некоторых агрегатах удается использо-
использовать метод последовательного исключения. Согласно этому методу измеряют и анали-
414 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
зируют вибрации при поочередном выключении отдельных механизмов. Метод дает
надежную информацию, если при выключении одного узла или механизма не изме-
изменяются условия работы остальных механизмов.
Для ряда рабочих процессов в машинах наблюдается определенная связь ре-
режимных и виброакустических параметров. Это тоже используют для выявления
основного источника из нескольких с одинаковыми спектрами частот вибрации.
Например, в компрессорах и вентиляторах вихревой шум пропорционален 3,5—5-й
степени относительной скорости потока среды на лопатке, а сплошной шум подшип-
подшипников качения в значительно меньшей степени зависит от нагрузки и частоты враще-
вращения ротора. Поэтому, если в данном механизме при изменении скоростного режима
интенсивность шума нарастает пропорционально, например 4-й степени частоты
вращения ротора, то можно сделать вывод о его аэродинамическом происхождении.
В ряде случаев для выявления источников приходится определять формы коле
баний, т. е. измерять амплитуду и фазу, и распределение возбуждающих сил.
Локализация источников методом измерения динамических сил и колебательной
мощности. Измерив силы, действующие со стороны отдельных меманизмов в агре-
агрегатах и блочных установках, можно выявить картину обобщенного силового воз-
воздействия на несущую конструкцию.
Важным параметром, характеризующим механизм как источник вибрации, яв-
является величина излучаемой в опоры колебательной мощности (см. [22], а также
гл. XIV). По спектру колебательной мощности можно установить, какой источник
дает наибольший вклад в виброакустическое поле; например, у роторных механиз-
механизмов основное излучение происходит на частоте вращения неуравновешенного ротора.
Особенно полезен этот параметр для оценки роли вибрации разного направле-
направления, а также роли линейной и угловой вибрации.
Информацию об изучаемых колебательных мощностях можно с успехом исполь-
использовать при определении основных источников виброактивносги блочных агрегатов.
Локализация источника (отдельного механизма, входящего в состав агрегата) про-
производится двумя способами: по соотношению величин колебательных мощностей,
излучаемых отдельными механизмами в рамные конструкции, и по направлению
потока колебательной энергии.
Направление потока энергии можно определить по знаку среднего по временм
произведения электрических сигналов датчиков силы F и скорости V, установлен-
установленных в местах крепления механизма к раме, или по знаку косинуса угла сдвига фаз
между ними (действительной части взаимной спектральной плотности, или взаим-
взаимного спектра, Re IGFV] на данной частоте). При направлении потока энергии от ме-
механизма к опорным конструкциям величина Re [0^] > 0, в противном случае
Re [GFV] < 0. Суммарный поток энергии направлен внутрь механизма (через сечение
его контакта с рамными конструкциями), если этот механизм не излучает на дан-
данных частотах, или его излучение гораздо меньше излучения соседнего механизма.
Выявление источников вибрации методом взаимных спектров и механических
импедансов. Количественную оценку влияния на уровни вибрации сложных меха-
механизмов каждой из сил одинаковой частоты, действующих в различных рабочих >з-
лах, можно производить методом взаимных спектров и механических импедансов
([22], гл. II, XIV), который основан на использовании связи между энергетическими
спектрами колебательных скоростей V" (t) в точках опорной поверхности механизмов
и энергетическими и взаимными спектрами действующих на корпус механизма
сил F>j (f):
т 6
1]2 (f fyfttf, F1)
ft=l p= I /= I v= I
ьф,> i фу
* f*)
где m — число возбуждающих сил; G (F*. f*), G (FkJt F§ — энергетические и вза-
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ПОВЫШЕННОЙ ВИБРОАКТИВНОСТИ
415
имиые спектры возбуждающих сил Fk. и F?; Y.} — переходная подвижность (О и
Y — функции частоты со); k, n, p — индексы для обозначения точек действия сил и
измерения вибрации; i, j, v - индексы для обозначения направления обобщенных
сил и скоростей.
Доля спектральной плотности вибрации, обусловленная действием силы Fk (со),
„I, 1
] = 4 (со) +
F2)
Члены уравнения виза
p=lv=l
пропорциональны вибрации, обусловленной действием каждой из сил при отсут-
отсутствии между ними корреляционной связи. Коэффициенты Вк? характеризуют сте-
степень влияния корреляционной связи между силами на уровень вибрации механизма.
Сравнительная оценка степени влияния возбуждающих сил на вибрацию в за-
заданной точке сводится к определению соотношения отдельных произведений правой
части уравнения и их суммы. Энергетические и взаимные спектры позволяют коли-
количественно в относительных единицах или процентах оценить долю вибрации, обу-
обусловленную действием каждой из сил. По подвижности конструкций и взаимным спек-
спектрам возбуждающих сил можно определить долю вибрации, обусловленную дейст-
действием каждой силы без учета и с учетом их взаимной корреляции.
Если исследователь не располагает всеми указанными характеристиками, то
задача решается приближенно при допущении, что составляющие вибрации Vk} (со)
в точках действия сил определяются соответствующими составляющими возбужда-
возбуждающих сил, когда точечная подвижность конструкций I К?* I превышает значения
переходных подвижностей 1 Yk" [. При этом имеют место следующие соотношения:
F3)
)
Такое допущение обычно справедливо для частот выше 100 Гц, когда механизмы
и агрегаты уже не колеблются как целое.
Взаимные спектры вибрационной скорости измеряют на работающем механизме.
Коэффициенты отношения подвижностей, характеризующие свойства конструкций,
либо измеряют на неработающем механизме, либо рассчитывают по данным о взаим-
взаимных спектрах вибрации из систем уравнений вида
2 2
1 1
416
ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
С целью упрощения и некоторого сглаживания получаемых частотных зависимо-
зависимостей удобно использовать вместо истинных спектральных плотностей и нодвижно-
стей их значения, усредненные по частоте в некоторой конечной полосе Лю (напри-
(например, Дсо = 1/в октавы).
Если корреляционная связь между различными рабочими узлами отсутствуем
долю спектральной плотности вибрации механизма С* (со), обусловленную действие\,
k-то источника силы f* в полосе Дсо, можно определить по формуле
o(v?iv?)
или по формуле
G{V?,V?)\Y%
F8)
где черта означает усреднение в полосе Дсо.
Выявление резонирующих элементов конструкций механизмов и блочных агрега-
агрегатов при различном характере действующих сил. В сложных колебательных систе-
системах со многими степенями свободы (например, в блочных агрегатах с присоедине1 ¦
ными опорными и неопорными связями) в диапазоне действия частот возбуждающи \
сил всегда имеется большое количество частот собственных колебаний, часто соь-
падающих с частотами вынужденных колебаний, поэтому при определении резонан-
резонансных характеристик механизмов и блочных агрегатов необходимо учитывать харак-
характер действующих в механизме сил.
Если конструкция механизма подвергается воздействию одной гармоническои
силы, то ее резонансные свойства можно характеризовать точечной Ykjj (со) или m •
реходной подвижностью Y? (со) на частоте со в зависимости от того, совпадает точк,
контроля вибрации с точкой действия силы или нет. Если рассматривать стационар-
стационарные (в статистическом смысле) режимы функционирования механизма с шумовым х,\
рактером возбуждения колебаний, то резонансные свойства оцениваются подвиж
ностыо Y или импедансом Z в полосе частот Доз.
Yf =6^
(F, F) [Re О (V, F)+j Im G (V, F)] =
F9)
При стационарном случайном характере вибрационных процессов комплексные
механические импедансы в полосе частот можно измерить с помощью устройства,
описание которого представлено в гл. XIV.
Конструкции ряда сложных механизмов и агрегатов подвергаются воздействию
сил, приложенных в различных точках и направлениях. Когда вибрационные про-
процессы имеют гармонический характер, вибрационная скорость V" контрольной
фу ущ Fk,
по формуле
точки на частоте ш является функцией всех действующих сил Fk, и определяется
т 6
G0)
где т — число точек действия сил; / — направление приложения сил, в том числе
крутящих моментов. Из уравнения видно, что при действии нескольких сил отдель-
отдельные переходные подвижности не характеризуют вибролроводящие свойства конструК'
ции. Эти свойства оцениваются суммой переходных подвижностей, причем роль )чз-
стка конструкции определяется как подвижностью участка, так и соответствующей
вибрационной силой. Для оценки вибропроводящих свойств конструкций, подвер-
подвергающихся воздействию нескольких сил, целесообразно использовать понятие дейст-
ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВ ПОВЫШЕННОЙ ВИБРОАКТИВНОСТИ 417
1У1,м/Нч
10
1,Ги.
f.rn
Рис. 17. Частотные характеристики точечных (а) и действующих (б) поавижносгей
14 п./р. Генкина М. Д., т. 3
418 ВИБРОАКУСТИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА МАШИН И МЕХАНИЗМОВ
вующей подвижности конструкции
т 6
V? (to) = FH (to) 2 2 а/ (ю) У)? — ръ (a) У » Gl^
ft=l/ =!
где f _ нормировочная сила, выбираемая путем усреднения сил Fj.
Коэффициент Кд называют действующей подвижностью. Он равен сумме пере-
переходных подвижностей с учетом их значимости а* (ш), определяемой значениями дей-
действующих сил. Частотная характеристика действующей подвижности позволяет
судить о резонансных свойствах конструкций механизмов, блочных агрегатов в це-
целом и с учетом особенностей силового воздействия. Максимумы в частотной харак-
характеристике действующей подвижности соответствуют основным резонансам конструк-
конструкций. Роль участка или элемента конструкций в передаче колебаний к контрольной
точке оценивают не его переходной подвижностью, а произведением а* (ш)У;" (ш).
Сравнивая эти коэффициенты, можно выявить силы и участки конструкций, через
которые передается большая часть колебательной энергии.
Для приближенной оценки резонансных свойств конструкций агрегатов и опор
взаимосвязью между действующими силами зачастую можно пренебречь, Выраже-
Выражение для действующей подвижности при этом имеет следующий вид:
/
У — V V
\А 1
6 \ 1/2
V *l2 k I2
Ykn I2
где
^ J^j7|FHp. G31
Дальнейшие упрощения получаются при учете вместо шести только трех обоб-
обобщенных сил в каждой точке.
Следовательно, в уравнениях G2) и G3) для вычисления действующей подвиж-
подвижности можно ограничиться значениями /= 1; 2; 3.
Целесообразность использования именно действующей подвижности при оценке
резонансных свойств конструкций, возбуждаемых несколькими силами, можно уви-
увидеть из сравнения частотных характеристик подвижностей блочного агрегата в раз-
различных точках (рис. 17, а) и характеристики Ул (рис. 17, б). Резонансные характе-
характеристики в различных точках механизма различаются между собой. Поэтому сложно
определить, применительно к каким участкам и собственным частотам следует раз-
разрабатывать рекомендации по обеспечению снижения виброактивности всего агрегата.
Частотная характеристика действующей подвижности (рис. 17, б) свидетельствует
о наличии трех основных зон повышенной вибропроводимости данных конструкций:
60—80, 120 и 350 Гц. Сравнивая частотную характеристику действующей подвижно-
подвижности со спектром вибраций, можно установить, какие собственные частоты совпа-
совпадают с частотами действующих сил.
Список литературы
1. Адлер Ю. П., Марков Е. В., Грановский Ю. В. Планирование эксперимента при по-
поиске оптимальных условий. М.; Наука, 1976. 279 с.
2. Выявление нелинейных режимов работы зубчатых передач биспектральным и дис-
дисперсионным методами / Ф. Я. Балицкий, М. Д. Генкин, М. А. Иванова, А. Г. Соколова. —
В кн.; Виброакустические процессы в машинах и присоединенных конструкциях. М.: Наука,
1974, с. 60—65.
3. Биргер И. А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.
4. Васильев В. И. Распознающие системы. Киев: Наукова думка, 1969
5. Вибрации в технике: справочник. Т. 1. М.: Машиностроение, 1978. 292 с.
6. Гельфандбейн Я. А. Методы кибернетической диагностики динамических систем
Рига: Зинатне, 1967. 542 с.
7. Вопросы акустической диагностики / М. Д. Генкин, Ф. Я. Балицкий, Ю. И. Бобров-
ницкий и др. — В кн.: Методы виброизоляции машин и присоединенных конструкций. М.;
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 419
8. Гсршман С. Г., Свет В. Д. Экспериментальные исследования некоторых статисти-
статистических характеристик вибрации авиационного двигателя. — Акустический журнал, 1975,
т. 21, вып. 5, стр. 711—720.
9. Горелик А. Л., Скрипкин В. А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1977.
10. Диагностика автотракторных двигателей / Н. С. Ждановский, В. А. Аллилуев.
А. В. Николаенко, Б. А. Улитовский. Л.: Колос, 1977. 264 с.
П. Загоруйко Н. Г. Методы распознавания и их применение. М.; Советское радио,
12. Ивахненко А. Г. Критерий числа разрешаемых споров для выбора полезных призна-
признаков для распознающих и предсказывающих систем. — Автоматика, 1966, № 4, с. 39 — 44
13. Ивахненко А. Г. Техническая кибернетика. Укртехиздат, 1962. 422 с.
14. Левин Б. Р. Теория случайных процессов и се применение в радиотехнике. М.'
Советское радио, 1957. 496 с.
15. М. Мидлтон. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1. М.: Советское радио,
1961. 782 с.
16. Мирошнвков Л. В., Болдин А. П., Пал В. И. Диагностирование технического состо
яния автомобилей на автотракторных предприятиях. М.: Трактор, 1977. 263 с.
17. А. В. Мозгалевский, Д. В. Гаскаров. Техническая диагностика М.: Высшая школа
1975. 207 с.
18 Опознавание образов / Под ред. И. Т. Турбовича. М.: Наука, 1968. 228 с.
19. Оппенхейм А. В., Шефер Р. И., Стокхем Т. Г. Нелинейная фильтрация сигналов,
представленных в виде произведения и свертки. — Труды Института инженеров по элек-
электротехнике и радиотехнике, 1962, 56, № 8, с. 15—25.
20. Основы технической диагностики / Под ред. П П. Пархоменко. М.: Энергия, 1976
463 с.
21. Павлов Б. В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971,
223 с.
22 Попков В. И. Виброакустическая диагностика и снижение виброактивности судо
вых механизмов. М.: Судостроение, 1974. 221 с.
23. Райбман Н. С, Чадеев В. М. Построение моделей процессов производства. М.: Энер
гия, 1975. 375 с.
24. Себестиан Г. Процессы принятия решений при распознавании образов. Киев: Тех
ника, 1965. 151 с.
25 Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Краткий курс математической статистики
для технических приложений. М.: Физматгиз, 1959. 436 с.
26. Ту Дж., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов. М.: Мир, 1978, 411 с.
27. Харкевич А. А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965. 275 с.
28. Хартман К., Лецкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании тех-
технологических процессов. М.: Мир, 1977. 147 с.
29. Шибанов Г. П. Распознавание в системах автоконтроля. М.: Машиностроение,
1973 24 с
' 30. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.; Мир, 1975. 677 о.
14»
Часть третья
ВИБРОИСПЫТАНИЯ
Глава XVIII
ИСПЫТАНИЯ НА ВИБРОНАДЕЖНОСТЬ
1. НАЗНАЧЕНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
Вибрации и надежность. Летательные аппараты, транспортные средства, энер-
энергетическое оборудование, элементы автоматики, радиоэлектроники и информационно-
измершельная аппаратура в эксплуатационных условиях испытывают различные
виды воздействия, климатических факторов, акустического поля, линейных ускоре-
ускорений, вибрации и ударов. Повышение надежности, долговечности и качества функ-
функционирования упомянутых объектов и их элементов достигается моделированием в ла-
лабораторных условиях внешних воздействий, отражающих условия эксплуатации.
Создание средств моделирования комплексных воздействий на испытуемый объ-
объект является исключительно сложной задачей, и большинство испытаний прово-
проводятся пока при моделировании какого-либо одного воздействия.
Значительное количество отказов аппаратуры, установленной на подвижных
объектах, вызывается воздействием интенсивных механических вибраций. Кроме
того, вопросы прочности и надежности при воздействии вибраций давно приобрели
решающее значение при разработке и конструировании машин. Однако количест-
количественное определение возникающих при воздействии вибрации зависимостей при ис-
испытаниях приборов и аппаратов значительно сложнее, чем при рассмотрении анало-
аналогичных вопросов в машиностроении. Приборы и аппараты, как правило, содержат
большое число различных конструктивных элементов и узлов, реакция которых на
воздействие вибраций различна. Во время эксплуатации прибор может подвергаться
воздействию вибрации различного характера — периодического, близкого к гармо-
гармоническому, ударного или случайного.
Две задачи виброиспытаний. Существуют две категории причин выхода из
строя (отказа) испытуемых объектов, определяющих их надежность:
1) усталостное разрушение конструктивных элементов;
2) отклонение основных параметров за пределы норм, характеризующих исправ-
исправное функционирование.
Таким образом, при виброиспытаниях решают, по крайней мере, две задачи,
вытекающие из требований, формируемых в процессе разработки и создания, и тре-
требований эксплуатации:
1) оценивают срок службы испытуемого объекта;
2) разрабатывают методы испытаний, которые соответствуют типичным случаям
вибрационного воздействия во время эксплуатации объекта и пригодны для обяза-
обязательных приемо-сдаточных испытаний.
2. КЛАССИФИКАЦИЯ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
Вибропрочность и виброустойчивость. Испытания на вибропрочность позволяют
оценить способность объекта сохранять прочность при действии вибрации.
В целях определения предельных вибрационных нагрузок испытуемый объект
можно доводить до разрушения. При этом регистрируют интенсивность вибрации,
частоты, а также время воздействия, число циклов нагружения и значения нагружа-
нагружающих переменных сил. Испытаниям на вибропрочность подвергают как закончен-
законченные изделия, так и их отдельные элементы и образцы материалов. В последних слу-
случаях испытания принято называть испытаниями на устаЛость,
ЗАДАЧИ ВИБРАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ 421
Испытания на виброустойчивость необходимы для оценки способности объекта
выполнять функции и сохранять значения параметров в пределах норм при действии
вибрации. При этих испытаниях объект, как правило, функционирует в номиналь-
номинальном режиме и подвергается воздействию вибрации с интенсивностью, не вызываю-
вызывающей разрушения его механических элементов и связей. Регистрируются отказы в ра-
работе объекта, происходящие на различных уровнях интенсивности вибрации. Вибро-
Вибропрочность и виброустойчивость объединяются одним термином «вибронадежность».
Виды воздействия при виброиспытаниях. В зависимости от вида возбуждаемой
вибрации различают виброиспытания:
1) гармонической вибрацией на фиксированных частотах;
2) гармонической вибрацией переменной частоты;
3) полигармонической вибрацией;
4) широкополосной случайной вибрацией;
5) узкополосной случайной вибрацией с переменной средней частотой спектра;
6) реальными вибрациями.
Испытания гармонической вибрацией наиболее легко осуществимы. Их прово-
проводят для узлов и деталей в тех случаях, когда нет взаимодействия элементов на раз-
различных частотах. Они применимы для испытаний, в которых можно не учитывать ре-
реальный характер возбуждения колебаний.
Несоответствие условий испытаний реальным условиям оказывается наиболь-
наибольшим в низкочастотном диапазоне возбуждения. Интенсивность воздействия опреде-
определяется не характером имитируемых вибраций, а амплитудой, которую можно соз-
создать имеющимся в распоряжении вибровозбудителем. Однако и в этих условиях испы-
испытания гармонической вибрацией переменной частоты позволяют сократить время
испытаний и ограничиться определением резонансов, которые проявляются настолько
отчетливо, что необходимо изменить конструкцию.
Испытания полигармонической вибрацией, широкополосной случайной вибра-
вибрацией, узкополосной случайной вибрацией с переменной средней частотой спектра
позволяют имитировать реальный вибрационный процесс [1, 2]. Не только общий ха-
характер, но и распределение искусственно воспроизводимых вибраций в простран-
пространстве и во времени должны соответствовать вибрациям при эксплуатации объекта.
Моделирование эксплуатационных вибрационных состояний и выбор рациональных
стратегий их воспроизведения в лабораторных условиях рассмотрены в следующей
главе. Остальные главы посвящены способам осуществления, техническому и про-
программному оснащению различных видов виброиспытаний.
Список литературы
1. Карпушин В. Б. Вибрации и удары в радиоаппаратуре. М.: Советское радио, 1971.
344 с.
2. Кренделл С. Случайные колебания. М : Мир, 1967. 356 с.
3 Ленк А., Ренитц Ю. Механические испытания приборов и аппаратов. М.: Мир,
1976. 270 с.
4 Малинский В. Д. Контроль и испытания радиоаппаратуры. М.; Энергия. 1970.
336 с.
5. Сидоренко М. К. Виброметрия газотурбинных двигателей. М.; Машиностроение,
1973. 224 с.
Глава XIX
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
1. ЗАДАЧИ ВИБРАЦИОННЫХ ИСПЫТАНИЙ
Основные понятия и определения. При вибрационных испытаниях проверяют
способен ли объект нормально выполнять функции в условиях воздействия эксплу-
эксплуатационных вибраций. Чтобы задача испытаний была поставлена корректно, необ-
необходимо перед началом испытаний иметь четкое представление о том, что следует по-
понимать под нормальным функционированием объекта и какая вибрация может воз-
воздействовать на него в эксплуатации.
422 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
В общем случае функционирование любого объекта может характеризоваться
LOBOKynHocTbK) параметров (Ях, К2) ..., %п), образующих вектор % = (^j, Я2, ..., Я„).
Примем, что функционирование считается нормальным, если вектор X за время
эксплуатации не выходит за пределы некоторой области Л, заданной в пространстве
переменных (Яг> Х2> . , Л„). В этом случае область Л может быть названа полем до-
допуска, вектор А, — определяющим параметром для данного объекта.
Таким образом, задача вибрационных испытаний заключается в доказательстве
того, что в результате воздействия эксплуатационной вибрации определяющий пара-
параметр объекта А, не имеет выбросов за поле допуска Л.
В большинстве случаев подобное доказательство ведется в условиях наличия
множества случайных факторов. Прежде всего речь идет, как правило, не о един-
единственном экземпляре объекта (хотя могут быть и такие случаи), а о множестве одно-
однотипных объектов, каждый из которых обпадает отличающимися характеристиками
и, следовательно, по-разному реагирует на одну и ту же вибрацию. Кроме того,
эксплуатационные вибрации различны для различных экземпляров объекта.
Таким образом, в общем случае случайны как характеристики объектов, так и
параметры воздействующих на них вибраций.
Следовательно, принципиально возможно, что для одних экземпляров объекта
в процессе эксплуатации определяющий параметр не выходит за поле допуска, а для
других — выходит, т. е. существует некоторая вероятность Р [А, е Л] того, что при
эксплуатации данного экземпляра объекта определяющий параметр не выходит за
пределы области Л.
Достоверность оценок Р [% е Л] зависит как от объема испытаний (испытыва-
ется, как правило, ограниченное число экземпляров исследуемого объекта), так и
от качества программы вибрационных испытаний.
2. ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ
Понятие модели вибрационных процессов. Для того чтобы оценить способность
объекта переносить вибрацию, необходимо иметь информацию об эксплуатацион-
эксплуатационных вибрациях, т. е. иметь модель вибрационных процессов — ее структуру и пара-
параметры, адекватно описывающие реальные процессы.
В большинстве случаев реальные вибрационные процессы сложны и разнооб-
разнообразны. Поэтому может существовать достаточно большое количество моделей для их
описания. Ниже рассмотрена общая модель экс-
эксплуатационной вибрации, которая, с одной сторо-
стороны, охватывает достаточно широкий круг практи-
практических задач, а с другой — дает методическую ос-
основу для построения подобных моделей в тех слу-
случаях, когда эта модель оказывается непригодной
Пусть имеется объект А (рис. 1) В результате
действия на него сил F (f) возникает вибрация кон-
конструкции объекта. Каждая точка v объекта совер
шает пространственные колебания В любой дру-
другой точке s ее перемещения [xs (/), ys (t), zs (t)]
могут отличаться от перемещений в v-й точке.
Рис. 1. схема вибрационного В наиболее общем случае колебания каждой
состояния объекта точки — нестационарный случайный процесс. Од-
Однако на основании только этого утверждения прак
тически невозможно построить модель. Необходимо ввести некоторые упрощаю
щие допущения В качестве одного из таких допущений примем, что на достаточно
малом интервале времени At колебания точки представляют собой «отрезок» ста-
стационарного случайного процесса, а с течением времени характеристики стационар
ного процесса изменяются.
Вторым допущением является предположение о том, что если процесс, харак-
характеризующий колебания точки объекта разбить на короткие одинаковые интервалы вре-
времени At, то характеристики стационарной вибрации изменяются скачком при пере-
переходе от одного интервала времени к следующему, но эти скачкообразные измене-
изменения режима вибрации не влияют на функционирование объекта. Последнее утвер-
ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ
423
ждение справедливо, поскольку в реальных условиях режим не изменяется скачко-
скачкообразно. Таким образом, модель вибрации объекта —последовательность «отрезков»
стационарных случайных процессов равной продолжительности.
Последнее допущение — предположение о том, что характеристики стационар-
стационарного процесса на каждом участке случайны и независимы для любых двух участков
в том числе и соседних в статистическом смысле.
Известно, что скалярный стационарный случайный процесс практически исчер-
исчерпывающим образом может быть описан его спектральной плотностью Sx (со). Раз-
Разбив частотный диапазон @, сотах) на интервалы Дсо, всю информацию о спектраль-
спектральной плотности можно задать в виде дисперсионного вектора D^. = (Dx , ..., Dx ),
компонентами которого являются дисперсии процесса в узких полосах частотного ди-
диапазона, т, е.
Dx
Sx((a)da. (i=l, 2,..., п).
При достаточно детальном разбиении частотного диапазона дисперсионный век-
вектор по информативности практически равнозначен спектральной плотности рассмат-
рассматриваемого процесса (рис. 2).
О u>i a>i+1 со 0 ш
Рис. 2. Схема замены спектральной плотности дисперсионным вектором
В большинстве случаев в любой v-й точке объекта вибрация представляет собой
пространственный процесс, и для ее описания необходимо дать характеристики не
только каждой из компонент такого процесса (в принятой модели это спектральные
плотности Sx (со), Sy (со), S2 (со) или соответственно дисперсионные векторы Dx,
Dy, Dz), но и статистические характеристики связи между компонентами, взаимные
S () S () S ()
y, z), р
спектральные плотности Sxy (со), S
корреляционные векторы: Кдгг/> КХ2
xz (со),
и Куг
у
Syz (со) или соответствующие взаимные
где
К.
Куг - \
0 = 1, 2 n).
424
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
Таким образом, в случае, когда на некотором отрезке времени х вибрация в точке
v объекта А может рассматриваться как стационарный случайный процесс, практи-
практически полная информация о характеристиках этой вибрации может быть задана
векторами
Если число диапазонов разбиения частотной оси равно п, то для полного опи-
описания вибрации в точке необходимо задать я + п + я + 2я + 2/г + 2я = 9п
r»V fc-V Ь-V
Ux> *xy> К-лгг
К? DVy К*
Поскольку информация, содержащаяся в матрице Rv, практически полностью
характеризует вибрационное состояние на интервале т, матрица может быть названа
матрицей вибрационного состояния. При этом под вибрационным состоянием v-й
точки объекта понимают стационарную случайную вибрацию с фиксированными зна-
значениями элементов матрицы корреляционных векто-
векторов Два вибрационных состояния отличаются друг от
друга, если хотя бы один из элементов матрицы R^
отличается от соответствующего элемента матрицы R^ .
В соответствии с принятыми в предлагаемой мо-
модели допущениями элементы матрицы Rv случайным
образом изменяются (скачком!) при переходе от одного
временного интервала к следующему, т. е. случайным
образом изменяется вибрационное состояние в точке V,
Рассмотрим многомерное пространство, осями ко-
которого являются элементы матрицы корреляционных
векторов. Каждое вибрационное состояние может быть
представлено в виде точки в этом пространстве (рис. 3)
а процесс изменения вибрационного состояния во вре-
времени — в виде мгновенных «перескоков) из одной точки пространства вибрацион
ных состояний в другую и т. д. через равные промежутки времени.
В большинстве частных случаев в каждой точке вибрации в направлении какой-
либо одной оси оказываются более сильными, чем по другим направлениям. Тогда
колебаниями по этим направлениям можно пренебречь и вибрационное состояние
точки v описывать с помощью только одного дисперсионного вектора D. Это зна-
значительно сокращает объем информации для описания вибрационного состояния
(я чисел вместо 9п\) и позволяет значительно упростить построение программы вибра-
вибрационных испытаний.
Если перейти от рассмотрения вибрации одной точки объекта к рассмотрению
вибрации его во многих точках, то можно утверждать, что для любого объекта су-
существует такой набор ограниченного числа конкретных точек, что задание вибра
ционного состояния для каждой из этих точек и статистической связи между коле
баниями в любой паре точек набора практически полностью описывает вибрацион-
вибрационное состояние объекта в целом.
Так, для случая, когда имеются две контрольные точки: v и s (рис, 1), кроме
Rv и R4 необходимо ввести взаимные спектральные плотности:
а,
Рис. 3. График изменения
вибрационного состояния
объекта во времени
л\лв Vs *v's
Vs(w): V/ffl): Vs(@):
Sz x (со); S, <o); S, , 'со)
ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ 425
или соответствующие комплексные корреляционные векторы
XVXS \ Vs *vV Vs/1
где
При введении характеристик статистической связи между колебаниями в раз-
различных точках объекта резко увеличивается объем информации для описания виб-
вибрационного состояния, поэтому прежде чем включать подобную информацию в мо-
модель вибрационного состояния, всегда следует проанализировать, влияет ли связь
между вибрациями в различных точках конструкции на те эффекты, которые вибра-
вибрация может вызывать в функционировании объекта. В тех случаях, когда такое влия-
влияние не исключено, не следует отказываться от введения в описание вибрационного
состояния характеристик статистической связи В противном случае это вполне допу-
допустимо и даже необходимо, так как усложнение модели вибрационного состояния
затрудняет использование получаемой информации
Как и в случае с одной точкой объекта, всякое вибрационное состояние в задан-
заданном наборе точек может быть изображено некоторой точкой в пространстве пара-
параметров вибрационного состояния, хотя размерность этого пространства значительно
выше, а изменение вибрационного состояния объекта во времени представляется
скачкообразными переходами из одной точки пространства в другую через равные
промежутки времени. Таким образом, в пространстве вибрационных состояний обра-
образуется ломаная траектория переходов из одного состояния в другое (см. рис. 3).
Получить информацию об эксплуатационных вибрационных состояниях объ
екта — это значит:
1) выбрать модель вибрационного состояния (установить число и расположе-
расположение контрольных точек в объекте, общий диапазон частот вибраций и его разбиение
на интервааы Дш, направления колебаний в каждой точке и перечень статистиче-
статистических связей между точками или направлениями в точке, которая представляет ин-
интерес);
2) установить (экспериментальным, расчетным или другим путем), какие вибра-
вибрационные состояния возможны при эксплуатации;
3) указать, как часто определенные вибрационные состояния могут встречаться
при эксплуатации.
Множества эксплуатационных вибрационных состояний. Установить, какие
вибрационные состояния возможны в эксплуатации, — это значит определить гра-
границы такой области С в пространстве параметров вибрационных состояний, что лю-
любое вибрационное состояние R из этой области может хотя бы один раз встретиться
для данного объекта в условиях эксплуатации Множество вибрационных состоя-
состояний {R}, любой элемент которого ReC, назовем множеством эксплуатационных
рибрационных состояний.
Формы задания границ множества С могут быть разнообразные. Одним из про-
простых вариантов является непосредственное перечисление эксплуатационных состо-
состояний, т. е.
C = {R1, R2, ..., Rm}.
Это означает, что в эксплуатации невозможны никакие режимы вибрации, кроме
перечисленных в приведенном ряде, Такая ситуация может иметь место, если анали-
426 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИЬРОИСПЫТАНИИ
зируемый объект установлен на некоторой стационарной машине, имеющей фикси-
фиксированные режимы работы, например аппаратура управления на стационарном элек-
электрическом генераторе, эксплуатация которого допускается на определенных фикси-
фиксированных режимах.
К сожалению, такая форма допустима в немногих случаях, и для наиболее рас-
распространенных групп наземных, надводных и воздушных объектов требуются бо-
более сложные модели множества С, поскольку оно оказывается для них несчетным.
Второй вариант задания множества С состоит в том, что граница множества С пред-
представляется в виде выпуклого гипермногогранника. Если все элементы матрицы
корреляционных моментов расположить в ряд и его члены обозначить (г1( г2, ..., г/),
то условие ReC может быть записано в следующем виде:
ilrl «S Вх;
V* «S Вр.
В этой записи каждое неравенство означает, что вектор параметров вибрационного
состояния расположен по одну сторону соответствующей гиперплоскости.
Совокупность гиперплоскостей образует гипермногогранник в /-мерном про-
пространстве. Наиболее простое описание множества С получается в том случае, когда
вибрационное состояние объекта может быть описано по состоянию одной его точки
и только по одной из осей.
В этом случае дисперсионный вектор D= (Du D2, ..,, ?>„), описывающий пол-
полностью состояние объекта, должен принадлежать области, ограниченной неравен-
неравенствами
a11D1 + alaD2+... + alnDne?:B1;
A)
<VD1 + ap2D2 + ¦ • • + «рл°я *? Вр.
Один из практических приемов построения подобной системы неравенств состоит
в следующем.
Пусть имеются результаты наблюдений вибрационных состояний в эксплуата-
эксплуатации, представленные в виде ряда
Dn, Dn Dnl;
D12, D22, ¦••» ?>n2;
Если задаться некоторыми произвольными значениями коэффициентов an, ...,aln
и подставлять в первое неравенство поочередно все наблюдавшиеся значения диспер-
дисперсионного вектора, то получится ряд значений Вх:
Из полученных значений В1; следует оставить максимальное, так что
B1 = supB]y, (/ = 1, m)
i
i
Это и будет искомое значение параметра В1. Точно так же могут быть найдены дру-
другие значения В2. .. , Вр. В каждом случае коэффициенты а следует выбирать новыми,
и смысл этого выбора должен отражать стремление более или менее равномерно
ограничить множество С по всем направлениям, поскольку физический смысл коэф-
коэффициентов a — наклон гиперплоскости к координатным осям. Достаточно наглядно
можно проиллюстрировать это, если рассмотреть двумерный дисперсионный век-
вектор D = (Ох, D2),
ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ
Тогда система A) принимает вид
427
B)
-В
р.
Каждое неравенство в B) означает принадлежность вектора к полуплоскости,
расположенной влево — вниз от прямой, уравнения которой получаются при замене
знака г^. на =. Совокупность прямых образует многогранник (рис. 4).
Учитывая, что D, 5= 0, можно утверждать, что геометрическим местом точек,
удовлетворяющих B), является заштрихованная область на рис. 4.
Допустим, что результаты наблюдений вибрационных состояний нанесены на
график рис. 5 в виде точек.
\ \ 4
Рис. 4. Схема построения границ множества С в виде многогранника
Рис. 5. Схема выбора коэффициентов аи и aia и определения sup В по эксперименталь-
экспериментальным точкам
Выбор пары коэффициентов ап, а12 означает выбор угла наклона прямой, оп-
определение sup В/ по всем экспериментальным точкам — выбор из семейства парал-
параллельных прямых, проходящих через каждую точку, крайней (вверх—вправо) пря-
прямой, так что все экспериментальные точки оказываются под ней. Далее для новой
пары a21, a22 решение повторяется, но при другом угле наклона прямой.
Число прямых может быть неограниченным, но углы наклона рекомендуется вы-
выбирать значительно отличающимися друг от друга. Так, на рис. 6 вариант б следует
предпочесть варианту а.
Другой способ построения гипермногогранника, ограничивающего множество
эксплуатационных вибрационных состояний, основан на использовании следую-
следующей системы неравенств.
Di s? sup Dt); (За)
C6)
У] D, =S sup 2 Di/>
i= 1 ' ?= l
k=\, 2, ..., n), (/=1, 2 m).
(Зв)
Первая группа неравенств означает, что дисперсия в i-й частотной полосе не
превышала некоторого максимального уровня. Вторая группа неравенств означает,
что сумма дисперсий в двух частотных полосах не превышала максимального уровня.
Это практически важное ограничение, так как свидетельствует о том, способна ли
система интенсивно «возбуждаться» одновременно на двух частотах.
Последнее неравенство — ограничение общего уровня процесса. Смысл совмест-
совместного выпол1*ния этих ограничений можно проиллюстрировать на примере, в ко-
котором и=3, Ограничения (За)—(Зв) изображены на рис, 7, а, 'б, в соответственно,
428
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИИ
а на рис. 7, г показан выпуклый многогранник, полученный при совместном вы-
выполнении всех трех неравенств. Очевидно, что задание ограничений в форме (За)
а) ^
Рис. 6. Графики коэффициентов аи и atB
эквивалентно традиционному методу огибающих. Ограничения вида (Зв) эквива-
эквивалентно традиционному методу ограничения суммарной дисперсии процесса. Введе-
Введение дополнительных ограничений на попарные суммы и использование одновре-
одновременно всех трех неравенств позволяет исключить из программы испытаний режимы,
оказывающиеся более тяжелыми, чем эксплуатационные.
Рис. 7. Графическое изображение неравенств C)
В рассмотренном примере, таким образом, удается исключить режимы 1—10
12, 14—16.
При таком подходе значительно облегчаются режимы испытаний и сохраняется
гарантия того, что испытанные объекты будут нормально функционировать в эксплу-
эксплуатации.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ 429
Во всех случаях, когда это удобно, границы множества С могут быть построены
в любой другой форме, однако изложенные подходы обладают рядом удобств свя-
связанных с последующими операциями по выбору режимов испытаний.
Все описанные способы построения границ множества С основаны на идее по-
построения такой поверхности в параметрическом пространстве, которая, с одной
стороны, ограничивает всю область наблюдавшихся состояний, с другой стороны
позволяет утверждать, что в условиях эксплуатации не встретятся состояния, выхо-
выходящие за пределы области, ограничиваемой этой поверхностью (рис. 8).
Очевидно, что такой подход справедлив при наличии бесконечно большого числа
наблюдений вибрационных состояний при эксплуатации. Практически число наб-
наблюдений всегда конечно. Поэтому границы всех возможных при эксплуатации вибра-
вибрационных состояний можно построить лишь в том слу-
случае, когда параметры предельных состояний могут
быть заключены в рамки некоторых физических огра-
ограничений.
В общем случае следует говорить о таких грани-
границах множества С, которые соответствуют некоторому
значению вероятности события, состоящего в том, что
за время эксплуатации Т ни разу не произойдет вы-
выброса параметров вибрационного состояния за пределы
области С.
Оценка такой вероятности непосредственно свя- рис. 8. Граница множества
зана с необходимостью дать ответ на третий вопрос: эксплуатационных состоя-
как часто вибрационное состояние объекта может
встретиться при эксплуатации.
Распределение вероятностей на множестве эксплуатационных вибрационных
состояний. В соответствии с принятой моделью процесса изменения характеристик
вибрации объекта на каждом последующем интервале времени возникает новое виб-
вибрационное состояние с параметрами, случайным образом выбираемыми из множе-
множества С. Кроме того, предполагается, что параметры состояний на соседних или лю-
любых других интервалах времени статистически независимы.
Следовательно, модель предполагает наличие некоторой функции распределе-
распределения f (г) или / (rlt r2, ..., /¦;), в которой должна содержаться вся необходимая инфор-
информация о повторяемости эксплуатационных состояний.
Информация о функции распределения f (rlt r2 г{) может быть представлена
в одном из следующих вариантов.
1. Задается тип функции распределения и ее основные параметры.
В частности, предполагая функцию распределения нормальной, для ее исчер-
исчерпывающего описания достаточно задать все моменты распределения до второго по-
порядка включительно.
Более распространенной является ситуация, когда чаще встречаются слабые
вибрации и реже — интенсивные. В этом случае функция распределения ближе
к многомерному распределению Релея либо к другому распределению, но также име-
имеющему несимметричный вид.
В подобных случаях может понадобиться задание моментов распределения
более высоких порядков.
2. Строится ряд распределения на базе оценок вероятности попадания вибра-
вибрационного состояния в произвольные области пространства состояний.
В этом случае, разбивая множество эксплуатационных состояний С на v про-
произвольных непересекающихся подмножеств и используя статистику имеющихся
наблюдений эксплуатационных вибрационных состояний, нетрудно получить
оценки вероятностей попадания указанных состояний в каждое v-e подмножество
(рис. 9).
Так, если имелось та наблюдений вибрационных состояний и из них mv наблю-
наблюдалось в подмножестве Cv (очевидно, что U CV = C\, то оценка вероятности
m
430
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
При рациональном выборе формы областей Cv подобный подход может ока-
оказаться удобным для последующей организации процесса вибрационных испытаний.
Необходимо отметить, что рациональное разбиение множества С на подмножества Cv
возможно только после получения информации о свойствах исследуемого объекта,
т. е. непосредственно в процессе испытаний.
Однако априори могут быть указаны некоторые рациональные подходы.
1. Если граница множества С построена в виде выпуклого гипермногогранника,
то в качестве его рационального разбиения целесообразно использовать эквидистант-
эквидистантные многогранники (рис. 10).
Рис. 9. Схема разбиения множества G на произвольные подмножества
Рис. 10. Схема разбиения множества в на эквидистантные многогранники
В данном случае границы v-й области задаются неравенствами
«iA + .---
Вр;
ap A + - jj
2. Если все пространство вибрационных состояний разбить на область, явля-
являющуюся квадрантом К многомерного пространства с вершиной в точке D, все точки
которого D, е К удовлетворяют условию D, s? D, и на область, которой принад-
принадлежат все остальные точки пространства вибрационных состояний, то для каждого
значения вектора D может быть указана вероятность того, что на данном интервале
времени т параметры вибрационного состояния находятся в пределах квадранта
К (D), т, е, Р [D е К (D)] = 1, и соответственно
Р [D ё/С (D)] = I — Р [D е К (D)J.
Оценка этой вероятности может быть получена по формуле
Р* [D е= К (D)] = P* (D) =
где mK(D) — число состояний, оказавшихся в пределах области К с вершиной в точке
D; т — общее число состояний.
Задаваясь различными значениями вектора D, можно получить различные ве-
вероятности:
), .... P'(Dn).
ИНФОРМАЦИЯ ОБ ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ ВИБРАЦИЯХ
431
характеризующие повторяемость тех или иных вибрационных состояний при экс-
эксплуатации.
При большом числе точек D, а также при представительной выборке наблюдав-
наблюдавшихся состояний совокупность значений указанных вероятностей представляет, по
существу, оценку функции распределения и содержит необходимую информацию
о повторяемости эксплуатационных вибрационных состояний.
На практике достаточно ограничиться вполне определенным числом значений
D, если эти значения выбраны правильно.
Для двумерного параметрического пространства идея разбиения области С на
пересекающиеся квадранты показана на рис. 11.
Можно использовать и многие другие способы представления информации о том,
какова повторяемость в условиях эксплуатации различных вибрационных состоя-
состояний для данного объекта.
Рис. 11. Схема разбиения множества С на пересекающиеся квадранты
Рис. 12. График колебания объекта в условиях импульсных воздействий
В конечном итоге любой способ представления информации о повторяемости
вибрационных состояний при эксплуатации должен обеспечивать получение оце-
оценок функции распределения вероятностей F (Dx, D2, ..., Dn) либо плотности распре-
распределения /(?>!, ?>2. •••> Dn).
Предложенная выше модель вибрационного состояния объекта в виде отрезков
стационарных случайных процессов равной длительности со случайными спектраль-
спектральными характеристиками не может быть универсальной и охватывать все варианты
вибрационных процессов, встречающихся при эксплуатации различных машин,
механизмов и сооружений. Однако она пригодна для большинства объектов, являю-
являющихся транспортными средствами или их частями, блоками или элементами. В тех
же случаях, когда источники вибрации — силы, порождаемые вращающимися "не-
"несбалансированными элементами, периодически движущимися деталями и т. п., т. е.
когда возникают гармонические, полигармонические или узкополосные вибрации,
модели могут быть построены аналогично. Различие заключается лишь в том, что
вместо дисперсий в полосах частот необходимо рассматривать соответствующие ам-
амплитуды, а вместо корреляционных моментов — фазовые сдвиги.
Однако, учитывая тот факт, что и при гармонических возбудителях всегда су-
существуют случайные факторы, приводящие к непостоянству амплитуды колебаний
и соответствующему «размножению» спектра, можно утверждать, что все указанные
случаи можно рассматривать как частные случаи изложенной выше модели. Слож-
Сложнее обстоит дело, когда гипотеза о «медленной» нестационарности вибрации оказы-
оказывается неверной. Так происходит в тех случаях, когда объект подвергается воздей-
воздействию ударных или импульсных нагрузок. Типичными примерами является вибра-
вибрация агрегата самолета в момент его посадки на взлетную полосу, а также технологи-
технологические процессы, связанные с последовательным действием ударных нагрузок
различной интенсивности.
Для этих случаев описанная выше модель не подходит. Однако метод, который
использовался при ее построении, может быть применен. Покажем это на следую-
следующем примере.
Пусть при действии на объект ударных нагрузок колебания в одной из его то-
точек представляют собой нестационарный процесс (рис, 12).
432 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИИ
Параметры конкретной реализации такого процесса х (t), возникающей в мо-
момент времени t0, могут быть получены, если имеется математическая модель процесса
x(t), структура и параметры которой адекватно описывают любую его реализацию.
Например, можно попытаться представить процесс х (t) в виде функции:
х (t) = mx (t) -f- ax sin at -f- а2 cos co^,
тогда параметры %, а2, ш полностью описывают данную реализацию.
Вводя пространство параметров для реализаций и имея в виду, что каждая
реализация изображается точкой в этом пространстве, можно описанным выше спо-
способом построить область С (множество эксплуатационных состояний) и определить
повторяемость каждого из них в процессе эксплуатации.
3. МЕХАНИЗМЫ ВЛИЯНИЯ ВИБРАЦИИ
НА ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ПАРАМЕТРЫ ОБЪЕКТА
Для того чтобы правильно построить программу вибрационных испытаний,
необходимо прежде всего определить, каким может быть механизм влияния виб-
вибрации на исследуемый объект.
Следует различать два основных типа таких механизмов.
1. Механизм типа А. Основным признаком механизма влияния типа А явля-
является отсутствие каких-либо эффектов накопления или памяти в исследуемом объекте.
Это значит, что определяющий параметр X в любой момент времени является только
функцией вибрационного состояния объекта в этот момент времени и не зависит от
его вибрационной предыстории.
Таким образом, для механизма типа А справедливо соотношение
X = \{R) или
Xi = Ai(/'1, r2, ..., гт);
• D)
^/! = ^n(ri> гг> •••> гт)-
Наличие механизмов типа А обусловлено, как правило, проявлением некото-
некоторых параметрических эффектов в рассматриваемом объекте, т. е. таких явлений,
при которых вибрация, вызывая механические деформации и перемещения различ-
различных элементов объекта, приводит к изменению основных параметров объекта как
системы, предназначенной для выполнения определенных функций. Так, например,
колебания электронно-лучевой трубки вызывают изменение расстояний между ее
электродами, что приводит к изменению таких важнейших параметров, как напря-
напряженность электрического поля и т. п. Последние могут оказать существенное влия-
влияние на яркость и четкость изображения. При прекращении вибрации первоначаль-
первоначальные параметры полностью восстанавливаются, и объект переходит в состояние нор-
нормальной работы.
Подобного рода эффекты характерны практически для всех типов радиоэлек-
радиоэлектронной аппаратуры и для многих видов электромеханических устройств, предназ-
предназначенных для преобразования информации (акселерометры, гироскопическая аппа-
аппаратура, элементы систем регулирования и управления процессами и т. п.).
В большинстве практических случаев функцию к (R) удается аппроксимиро-
аппроксимировать линейной формой (во всяком случае в пределах некоторой локальной области
параметрического пространства). Так, если А, — скаляр, а вибрационное состояние
объекта может быть описано дисперсионным вектором D = (Dlt D2 ?>„), то функ-
функция A, (R) может быть в явной форме записана в виде
... + anDn, E)
где Df =g D. sg Of, (t = 1, 2 n) — ограничения на область изменения диспер-
дисперсионного вектора D, в которой линейная форма E) справедлива.
В тех случаях, когда наблюдается существенно нелинейная связь между опреде-
определяющим параметром и параметрами вибрационного состояния объекта, можно исполь-
ВЛИЯНИЕ ВИБРАЦИИ НА ПАРАМЕТРЫ ОБЪЕКТА
зовать аппроксимирующие полиномы более высоких порядков:
433
В соответствии с принятой моделью изменения вибрационных состояний объекта
при наличии механизма влияния типа А каждому вибрационному состоянию R на
каждом интервале времени т соответствует определенное значение параметра X
Таким образом, при переходе вибрационного состояния на соседний интервал т
(при изменении параметров вибрационного состояния) скачком изменяются и зна-
значения %.
Для случая, когда % — скаляр, характер изменения его во времени показан
на рис. 13.
Поскольку на каждом интервале т значения R случайны, очевидно, случайны
значения параметра X. Причем для всех (в том числе и соседних интервалов т) зна-
значения параметра X статистически независимы.
Будем считать, что объект функционирует нормально до тех пор, пока isA.
Хотя бы один выход определяющего параметра X за область допустимых значений
Л означает появление функционального отказа объекта.
Следует рассматривать функциональные отказы обратимые и необратимые. Об-
Обратимые отказы означают, что при изменении вибрационного состояния объект мо-
может вновь стать работоспособным. Не-
Необратимые отказы означают, чго объ-
ект выходит из строя на все последу-
последующее время, т. е. происходит поломка.
Поскольку и те и другие отказы не
допустимы при эксплуатации, целью
вибрационных испытаний является до-
доказательство того, что вероятность хо-
хотя бы одного функционального отказа
за заданное время эксплуатации Т Рис 13 Схема изченениЯ определяющего па-
(все время эксплуатации или какой- раметра во времени
либо характерный период) не превы-
превысит заданного значения. Для определения этой вероятности в рамках рассмат-
рассматриваемой модели достаточно знать закон распределения вероятностей значений
определяющего параметра для любого интервала т.
Так, если / (i) — плотность распределения вероятностей значений определя-
определяющею параметра, то вероятность невыхода % за область допустимых значений Л на
данном интервале т
ш
't
а вероятность невыхода за время Т
где / = Г/т.
2. Механизм типа Б. Основным признаком механизма влияния типа Б явля-
является существование эффекта накопления или памяти в исследуемом объекте.
Наиболее характерным примером механизма типа Б является процесс накопле-
накопления усталостных повреждений в конструкции объекта.
В этом случае определяющий параметр является функционалом вида
где f (t) — функция изменения параметров вибрационного состояния объекта во
времени; Т — момент времени, в который рассматривается накопленное значение
определяющего параметра.
Для процессов накопления усталостных повреждений характерно наличие мо-
монотонных функций "К (Г), хотя и здесь могут встретиться моменты, нарушающие мо-
монотонность, например упрочнение конструкции (нагартовка) при действии высоких
нагрузок.
15 п./р. Генкина М. Д., т. 5
434. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
В общем случае функционалы F) могут иметь произвольный вид. Именно про-
произвольные функционалы создают наибольшие трудности при планировании вибра-
вибрационных испытаний.
4. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРАЦИОННЫХ
ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
Общие положения. Под задачей планирования вибрационных испытаний объекта
будем понимать выбор такой совокупности и последовательности режимов вибра-
вибрационных испытаний (под режимом испытаний будем понимать любую, воспроизво-
воспроизводимую в лабораторных условиях точку пространства вибрационных состояний),
чтобы по результатам наблюдений определяющего параметра на каждом режиме
испытаний можно было получить информацию о функции X (г), достаточную для оп-
определения вероятности функционального отказа за время эксплуатации Т, т, е.
Рт = Р[ке=А).
При этом объем проводимых испытаний (число и продолжительность режимов испы-
испытаний) должен быть минимальным при заданных требованиях к достоверности оцен-
оценки Pf.
Изменению вибрационного состояния объекта при эксплуатации соответствует
реализация траектории г (t). Так как в рассматриваемом случае определяющий па-
параметр зависит от компонент rt вибрационного состояния г, то траектории г (t) соот-
соответствует траектория X (t).
Для удовлетворительного функционирования объекта необходимо, чтобы за
время Т ни разу не нарушилось условие 1бА, т. е. траектория X (t) не должна
иметь выбросов за пределы области Л. Но траектория X (t) определяется траекторией
г (t). Следовательно, виброустойчивость исследуемого объекта характеризуется ве-
вероятностью того, что в множестве эксплуатационных вибрационных состояний С
траектория г (t) не выйдет за пределы такого подмножества и с: С, для которого соб-
соблюдается условие X е Л.
Таким образом, множество С может быть разбито на таких два подмножества
и и Ф, что
Для любого геи X е А, а для любого г s О X е А, т. е. появление хотя бы
одного состояния из # приводит к функциональному отказу.
Так как статистика эксплуатационных вибрационных состояний на множестве
С должна быть задана, вероятность нормального функционирования исследуемого
объекта, равная вероятности невыброса траектории г (t) за пределы и е С, может
быть всегда вычислена, если известно разбиение множества С на подмножества и
и #.
При этом возможны две ситуации.
1. Организация и планирование виброиспытаний в случае, когда функция
X (г) известна. Эта ситуация может возникнуть, например, когда объект достаточно
прост, а теория механизма влияния вибрации для него хорошо разработана и дает
надежные результаты. В этом случае вообще нет необходимости проводить вибрацион-
вибрационные испытания объекта, так как разбиение множества С на подмножества и и 0 мо-
может быть осуществлено расчетным путем.
2. Организация и планирование виброиспытаний, когда функция X (г) неиз-
неизвестна или известна только структура функции для исследуемого объекта. В этом
случае план испытаний должен быть построен таким образом, чтобы в результате
его реализации можно было бы получить все необходимые сведения о функции X (г)
и использовать эти сведения для оценки способности объекта нормально функцио-
функционировать в условиях эксплуатационных вибраций. При этом рациональный (опти-
(оптимальный) план испытаний удается получить, если последовательно проверить ряд
гипотез о свойствах объекта, каждая из которых постепенно усложняется, но та-
таким образом, что вероятность существования сложных гипотез оказывается неболь-
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
435
шой. В большинстве практических случаев такой подход позволяет прекратить ис-
испытания после проверки объекта на достаточно малом числе режимов.
Пусть для исследуемого объекта множество эксплуатационных вибрационных
состояний С и вероятностная мера на нем / (г) известны. Известно, что множество С
может быть разделено на подмножества ии#. Поверхность, разделяющую простран-
пространство R на подмножества и и ¦& (рис. 14),
назовем разделяющей поверхностью (РП).
Взаимное расположение области С и
разделяющей поверхности может быть раз-
различным и в конечном итоге сводиться к
одной из следующих трех возможных ком-
комбинаций: 1) множество и пустое (рис. 15, а);
2) не являются пустыми ни и, ни О (рис.
15, б); 3) пусто множество и. Последняя ком-
комбинация встречается редко, так как любая
эксплуатационная вибрация в конечном ито-
итоге может вызвать отказ.
Испытания следует начинать с провер-
проверки гипотезы, состоящей в том, что для
исследуемого объекта подмножество ¦& пусто.
Если это предположение верно, то никакое эксплуатационное состояние не может
вывести определяющий параметр за поле допуска, в том числе и самое тяжелое
вибрационное состояние тт.
Если было бы известно, какое состояние является тяжелейшим, т. е. были бы
Рис.
14. График разбиения множества
С на подмножества и и О
известны координаты г:
соответствующей точки параметрического про-
пространства, то достаточно провести испытания на этом единственном режиме. При
этом были бы возможны два результата: I. (гт) е Л или Я (г^) е Л.. Первый означал
бы принятие гипотезы о том, что Ф = ф, и соответственно возможность утверж-
утверждать, что никакая эксплуатационная вибрация не вызовет в объекте функциональ-
функционального отказа; второй — невозможность принятия гипотезы о том, что A=0и, сле-
следовательно, необходимость проведения дальнейших испытаний для построения раз-
разделяющей поверхности.
Рис. 15. Схемы взаимного расположения области С н разделяющей поверхности
Однако тяжелейший режим тт заранее, как правило, неизвестен. Поэтому пре-
прежде чем провести соответствующие испытания, необходимо среди всех геС оты-
отыскать тяжелейший режим тт.
В тех случаях, когда определяющий параметр % — скаляр и задано некоторое
число, являющееся допустимой верхней или нижней границей для определяющего
параметра, обычно не возникает никаких проблем с определением вибросостояния,
которое является более тяжелым. Так, если А — допуск и условие X ^? Л означает
удовлетворительное функционирование объекта, то при Я (гх) > "к (г2) состояние гх
более тяжелое, чем г2.
В этом случае тяжелейший режим очевиден:
= max Я (г).
геС
15*
436
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЯ
Сложнее обстоит дело в тех случаях, когда X — многомерный вектор, Л — про-
произвольная область в пространстве определяющего параметра.
Строго говоря, если никаких априорных сведений не имеется, то необходимо
признать, что количественная оценка любых двух значений вектора X не так важна,
как установление принадлежности к области А. При таком подходе и в случае, когда
два значения порождены различными вибрационными состояниями, невозможно
точно определить, какое состояние является более тяжелым. Однако на практике
такой подход оказывается неудобным, поскольку почти всегда необходимо уста-
установить степень близости вектора X к границе области Л. При этом можно утверж-
утверждать, что по мере увеличения этой близости тяжесть породивших это значение X виб-
вибрационных состояний возрастаем
Следовательно, почти во всех случаях желательно искусственно ввести поня-
понятие «степени тяжести» вибрационного состояния, которое в конечном итоге позво-
позволит выделять в множестве эксплуатационных состояний равнотяжелые режимы.
Мерой тяжести режима может служить кратчайшее расстояние в пространстве
определяющего параметра от любой произвольной точки до границы области Л-
В этом случае все точки, обладающие одинаковым кратчайшим расстоянием до гра-
границы области Л, порождены равнотяжелыми вибрационными состояниями (рис. 16),
Гг
Контуры рад/ii/jc
откликов
Я, Л
Рис. 16. Схема определения меры тяжести испытательного режима
Рис. 17. К определению направления крутого восхождения
Используя подобную меру для измерения степени близости к границе допуска,
фактически вводим некоторую функцию -ф (\, ..., Хп) — Хск> которая сводит любое
значение вектора X = (А^, ла, ..., Хп) к некоторому скаляру. Несмотря на то, что
эта операция является искусственной, она не противоречит физическому смыслу
поставленной задачи. При этом существенно упрощается решение всех вопросов,
связанных с необходимостью ранжирования вибросостояний и соответственно с оп-
определением тяжелейшего режима.
Таким образом, для скалярного определяющего параметра испытаниям на тя-
тяжелейшем режиме Гу. должна предшествовать процедура его поиска, которая пред-
представляет собой один из возможных алгоритмов поиска экстремума функции многих
переменных.
Поскольку вид функции А, (г), как правило, неизвестен, в большинстве практи-
практических случаев наиболее приемлемой может быть следующая процедура организации
испытаний.
1. Выбираем некоторую произвольную точку г0 в параметрическом пространстве.
Проводим испытания на режиме г0 и определяем отклик исследуемого объекта на
данное воздействие X (г0). При этом возможны следующие ситуации: X (г0) з= Л и
А Оо) «? Л.
2. Принимая режим г0 за основной уровень и выбирая соответствующие интер-
интервалы варьирования в окрестностях точки г0, организуем полный факторный экспе-
эксперимент или дробную реплику от него [3, 4], целью которого является аппроксима-
аппроксимация участка поверхности X (г) в окрестностях точки г0 гиперплоскостью А. (г) =
= «о-{" <Vi+ ,,,-! апгп. Используя полученное уравнение, определяем напрев-
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
437
ление скорейшего возрастания определяющего параметра, т. е. линию крутого вос-
восхождения (рис. 17), которая является нормалью к контурам равных откликов.
В частности, для двумерного случая уравнение контуров равных откликов
имеет следующий вид:
12
а уравнение нормали (см. рис, 17)
Рис. 18. График поиска тяже-
тяжелейшего режима
3. Выбираем режим испытаний Tj в направлении скорейшего возрастания опре-
определяющего параметра и на этом режиме испытываем объект.
Расстояние между г, и г0 выбираем произвольно. Полезным является соотнесе-
соотнесение этого расстояния с интервалом варьирования переменных в полном факторном
эксперименте или в дробной реплике от него.
Если в результате испытаний оказалось, что X (гл > X (г0), то делается следую-
следующий шаг в том же направлении. Размеры этого шага вновь произвольный могут быть
выбраны равными размерам первого шага. Так продолжается до тех пор, пока не
прекратится увеличение X, т. е. пока не получим,
что
i.(rl+l)<k(rl), A = 0, I, II, .., К)-
4. В окрестности предпоследней точки, соот-
соответствующей максимальному значению определяю-
определяющего параметра, вновь организуем полный фак-
факторный эксперимент или дробную реплику от него
и вновь находим направление скорейшего возрас-
возрастания параметра %.
5. Описанную процедуру повторяем до тех
пор, пока не прекратится дальнейшее увеличение
параметра X.
При этом все время должно сохраняться ус-
условие геС. Экстремум функции X (г) может ока-
оказаться внутри области С,_ но чаще всего он расположен на ее границе. Поэтому,
если в процессе поиска экстремума линия крутого восхождения вышла на границу
области С, то целесообразно в окрестностях этого пересечения (рис. 18) осущест-
осуществить поиск возможного направления дальнейшего возрастания X при перемещении
вдоль границы области С.
Число экспериментов (испытательных режимов) в такой схеме зависит от раз-
размерности параметрического пространства и может быть большим. Причем основное
число режимов расходуется на организацию факторного эксперимента. Число точек
на траектории поиска может быть невелико, если шаг в направлении крутого восхож-
восхождения не слишком мал по сравнению с размерами области С.
Вообще говоря, успех и экономичность такой процедуры определяется удачей
в выборе начальной точки. Поэтому в данном случае необходимо использовать всю
априорную информацию и только после ее всестороннего анализа приступать к ис-
испытаниям.
Пример поиска тяжелейшего режима. Испытаем аппаратурный блок в составе
датчика линейных ускорений и усилителя. В качестве определяющего параметра X
выберем вибрационную ошибку прибора (выходной сигнал усилителя). Ее допусти-
допустимое значение Л= 2,5 В.
Множество эксплуатационных вибрационных состояний представим значениями
компонент дисперсионных векторов, характеризующих спектральные плотности
процессов, зарегистрированных при эксплуатации. Значения компонент приведены
в табл. 1.
Прежде чем приступить к поиску тяжелейшего режима, проведем отсеиваю
щий эксперимент по методу случайного баланса [4].
438
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЯ
I. Форма заданий множества
№ со-
стоя-
стояния
1
2
3
4
5
0,377
0,466
0,646
0,126
0,571
Da
0,092
0,105
0,168
0,086
0,069
Оз
0,088
0,090
0,304
0,078
0,116
D.
0,077
0,066
0,135
0,212
0,081
0В
0,062
0,0?5
0,105
0.400
0,073
D.
0,013
0,100
0.088
0,231
0,069
Di
0.088
0,127
0,118
0,142
0,062
D,
0,111
0,070
0,148
0,353
0,077
О.
0,071
0,084
0,073
0,105
0,174
Ою
0,058
0,086
0,050
0,091
0,161
Анализ диаграмм рассеяния позволил перейти от двадцатимерного пространства
вибрации к пятимерному, характеризующемуся следующими полосами частот: 20—
100, 100-200, 800-900, 1100-1200, 1600-1700 Гц.
В качестве границы множества эксплуатационных вибраций выберем выпук-
выпуклый гипермногогранник, положение которого зададим следующей системой ограни-
ограничений:
0,174; Di2==c 0,356; В„ sgO,2;
»9^0,154; Di+0^^0,927; 0^0^^0,771;
'9=s?0,243; D8+D12s?0,425; Da+D17 ==?0,269;
'i2=e 0,530; D9 + D1?=?C 0,374;
'14*5 0,712; ?>12+?>„«= 0,558;
ss 0,400;
,646; ?>2 s? 0,168;
,292; Ох+Д^О.вН;
AH-Da=s?0,336;
,348;
sup ]]Д^1,664.
В качестве начальной выберем точку @,4; 0,1; 0,2; 0,1; 0,1). В окрестности этой
точки реализована дробная реплика от полного факторного эксперимента типа 25
План эксперимента и матрица результатов наблюдений представлены в табл. 2.
В результате обработки получим значения коэффициентов регрессии Ь- и наме-
наметим направление крутого восхождения к области экстремума вибрационной ошибки
л. приоорэ.
Реализация крутого восхождения (нижняя часть табл. 2) привела к тому что
в реализованном опыте 5 вибрационная ошибка превысила допустимое значение
л, — До В. Она оказалась равной 2,66 В.
n»«iРРИ„ЭТОМ испытательный режим @,60; 0,108; 0,208; 0,104) полностью принад-
принадлежал области эксплуатационных вибраций.
Процедура поиска тяжелейшего режима — это трудоемкая процедура поэтому
ILTnZ3yl°T В СЛУгае> К0ГДЗ ГИП0Тезу ° пУстоте подмножества не удается дока-
доказать одним из способов, приведенных ниже.
Подходы, связанные с идеями априорного доминирования. Если сравнить
два произвольных вибрационных состояния г, и г,,, то для рассматриваемого объекта
с его определяющим параметром одно из этих состояний может оказаться более тя-
Ж6ЛЫМ.
Состояние Г; будем называть доминирующим над состоянием ш, если X (г.) >
> л, (гп), и обозначим это соотношение г, ?— ги.
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
л.сплуатационных состояний
439
0,063
0,094
0,055
0,102
0,105
Dlt
0,083
0,!02
0,062
0,074
0,356
Da
0,087
0,105
0,065
0,112
0,629
Dtt
0,081
0,145
0,045
0,094
0,159
Du
0,102
0,145
0,060
0,080
0,167
Du
0,122
0,100
0,049
0,112
0,358
Dv
0,095
0,089
0,058
O.C68
0,200
0,125
0,01
0,065
0,114
0,082
?>i»
0,103
0,197
0,078
0,128
0,094
o»
0,185
0,155
0.0S8
0,212
0,114
2. План и результаты эксперимента
Переменные
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Кодовое обозначение пере-
переменных
Опыт;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Коэффициенты регрессии
Интервал варьирования
Шаг, соответствующий из-
изменению на 0,05
Округление
Мысленный опыт:
2
Реализованный опыт:
3
4
6
о,
0,4
0,1
0,50
0,30
d,
(_
__
г
+ 1 +
_
+0,533
0,0533
0,0533
0,05
0,45
0,ЬО
0,55
0,60
0 65
0,70
D,
0,1
0,05
0,15
0,05
ds,
, ,
1
1
1
—
+0,044
0,0022
0,0022
0,002
0,102
0,104
0,106
0,108
0,110
0,112
D,
0,1
0,05
0,15
0,05
d,
i
—
+
+0,04
0,002
0,002
0,002
0,102
0,104
0,106
0,108
0,110
0,112
0,2
0,07
0 27
0,13
du
-
+
1
+
1
+0,027
0,0019
0,0019
0,002
0,202
0,204
0,206
0,208
0,210
0,212
a,
0,1
0,05
0,15
0,05
du
—
+
—
+
—
+
—
+0,001
0,0005
0,0005
0,001
0,101
0,102
0,108
0,107
0,105
0,106
—
—
—
—
0,19
1,27
0,21
1,30
0,24
1,35
0,39
1,31
0,22
1,23
0,28
1,45
0,24
1,38
0,41
1,48
-
—
2,12
2,48
2,66
Для каждого вибрационного состояния г^ может существовать такое подмноже-
подмножество ц в пространстве R, что г^ ?- г для любого г е ц. Такое состояние Гц является
доминирующим по отношению к подмножеству (х.
Проведя испытания на некотором режиме и получив удовлетворительный ре-
результат, можно утверждать, что на всех режимах доминируемого подмножества ре-
результат будет также удовлетворительный. Следует отметить, что соотношения доми-
440
ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
нирования существуют не вообще и справедливы только для данного объекта. Не
зная свойств объекта или не проведя его испытаний, нельзя установить соотношения
доминирования. В то же время в большинстве случаев можно говорить о соотноше-
соотношениях априорного доминирования для определенного класса объектов, не испытывая
их и ничего не зная о их внутренней структуре.
Будем считать, что режим г„м априори доминирует над подмножеством а^, если
заранее известно, чго независимо от типа объекта к (тар) > X (г) для любого г е
е a\i. Так, если вибрационное состояние описывается дисперсионным вектором
D = (D1 Dn), то вектор Dj = (?>ц, D12 Dln) априори доминирует по отно-
отношению к любому вектору D2 = (?>2i. #22 Asn)> когда для всех i = 1, 2, ..., и
выполняется неравенство Du- Э= Г>м-
Действительно, трудно представить такой механизм влияния вибрации, при
котором уменьшение уровня вибрации хотя бы в одной из частотных полос ухудшило
бы положение с определяющим параметром.
Существует бесконечное число режимов априори доминирующих над множест-
множеством С,
Рис. 19. Априори доминирующие режимы
Рис. 20. Минимально доминирующий режим
Рис. 21. Система режимов, обеспечивающих доминирование множества в
Так, на рис. 19 для двумерного случая режим Dj^ajXj, режим Djj?— a\xu, у&-
жим DjhS—ацТП, но С с: ащ> С cz а\х1} и С с: ацш, поэтому DjJ—С, DtI?-C и
Ош $- С.
Если испытания объекта провести на любом из этих режимов и результат ока-
окажется положительным, то можно утверждать, что объект удовлетворительно перене-
перенесет любое состояние из С.
Недостаток состоит в том, что такие режимы оказываются слишком тяжелыми
и велика вероятность отрицательного ответа. Однако если на априори доминиру-
доминирующем над множеством С режиме наблюдался функциональный отказ, то это не сви-
свидетельству о том, что §=? ф. Поэтому, используя идею испытания на априори до-
доминирующем режиме, надо постараться выбрать минимально-априори доминирую-
доминирующий режим.
Минимально доминирующий режим по отношению к множеству С (или любому
другому) — это такой режим, который, доминируя над С, не является доминирую-
доминирующим по отношению хотя бы к одному режиму, также доминирующему над С (рис. 20).
Обозначим его Dmax.
В частном случае существует единственный минимально-априори доминирую-
доминирующий режим, и его следует выбирать в качестве режима испытаний. Если К (rmax) s?
^ Л, то может быть подтверждена гипотеза о пустоте множества &. В противном
случае испытания необходимо продолжить. Минимально доминирующий режим мо-
может оказаться излишне тяжелым. Это проявляется в том, что объект при испытаниях
на данном режиме не может функционировать нормально (ieA) либо в нем воз-
возможны даже механические разрушения.
Чтобы избежать этого, можно провести испытания не на единственном минималь-
минимально-априори доминирующем режиме, а использовать систему режимов, совокупность
которых обеспечиваег априорное доминирование множества С.
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
441
Пусть режим Tj априори доминирует множество a\iv режим ru$—a\iu и т. д.
Тогда, если
(множество С полностью включено в объединение множеств qO, то удовлетворитель-
удовлетворительное функционирование объекта на каждом из режимов тк (% — I, Ц} ..,) означает
что объект нормально функционирует на всех режимах каждого из априори домини-
доминируемых подмножеств.
Но в силу G) каждый из элементов множества С является в то же время эле-
элементом хотя бы одного из подмножеств a\iK, и, следовательно, можно гарантировать
удовлетворительное функционирование объекта на всех вибрационных состояниях
из С.
Математическая запись этого утверждения сводится к следующему. Если
X (гк) е Л для всех К, а хк ?— a\xR, то для любого re у ацк (К. = I,
К=1, II, ...
II, ...) А, (г) е Л и в силу того, что С с \J a[iKt обеспечивается А, (г) s
K=i, и, ...
е Л для всех геС, Графически интерпретация этого подхода для двумерного слу-
случая приведена на рис. 21.
r>z
Втах
Рис. 22. Минимальная доминирующая система режимов
Рис. 23. Схема перетяжеления испытательных режимов
Априори доминируемое множество состояний для каждого из значений диспер-
дисперсионного вектора Dp Djj и Оп1 представляет собой прямоугольники в пространстве
состояний с правой верхней вершиной в точках Dj, Dn и Dni. Две стороны каж-
каждого прямоугольника совпадают с осями координат.
Справа — налево — вниз заштрихована область, являющаяся объединением
этих прямоугольников, а область С, заштрихованная с противоположным наклоном,
полностью включена в объединение прямоугольников.
Система априори доминирующих состояний также может быть минимальной,
если объединение I) а[г^ не содержит таких вибрационных состояний, которые не
К
принадлежат множеству Си в то же время априори доминируются более чем одним из
режимов, входящих в систему. Для двумерного случая такая минимальная система
показана на рис. 22.
Для сравнения на рис. 22 показан единственный минимально-априори домини-
доминирующий режим Dmax Он является более тяжелым, поскольку суммарная диспер-
дисперсия колебаний в таком процессе выше и, кроме того, этот режим доминирует не только
над множеством С, но над всеми режимами Dz, Dn и Din вм"есте с доминируемыми ими
подм ножествами.
Выбор системы априори доминирующих режимов является в известной степени
произвольным как в отношении числа режимов, входящих в систему, так и в отно-
отношении выбора режимов. Чем больше режимов включается в систему, тем меньше
«излишних» требований предъявляется к объекту. Если определяющий параметр
вышел за поле допуска на одном из режимов из системы с небольшим числом режи-
442
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИИ
мов, то вполне возможно, что он будет вполне удовлетворительно функционировать
на всех режимах из системы, включающей достаточно большое число доминирующих
режимов.
На рис. 23 заштрихованы все состояния, которые оказываются «излишними»
при испытаниях системой с малым числом режимов по сравнению с испытаниями
системой большого числа режимов.
Таким образом, принципиально возможна такая последовательность:
1) вначале испытания ведутся на единственном априори доминирующем режиме
(лучше минимальном). Если X е Л, то испытания прекращаются;
2) при 1еЛ пытаются построить минимально-априори доминирующую систему
из двух-трех состояний. На ней проводят испытания, и, если на каждом из них
%, е Л, то испытания прекращают, так как доказано, что ¦& = 0. В противном слу-
случае создается новая система из большего числа режимов, и т. д.
№ со-
состояния
1
2
3
п
3.
Форма задания множества
Диапазон
22—2S
0,814
1,456
0,955
1,573
1,516
28—35
0,460
0,877
0,168
0,137
0,547
35-44
0,387
0 548
0,311
0,093
0,314
44-56
0,259
0,355
0,222
0,096
0,257
55—70
0,313
0,280
0,190
0,096
0,188
70—89
0,018
0.185
0,211
0,079
0,137
89-111
0,195
0,340
0,496
0,093
0,171
И1-140
0,185
0,260
0,253
0,089
0,177
140—178
0,187
0,205
0,185
0,082
0,148
17S—221
0,198
0,320
0,200
0,082
0,131
В какой-то момент времени возникает ситуация, когда число режимов, входящих
в минимально-априори доминирующую систему, становится соизмеримо с тем числом
режимов, которое необходимо для реализации процедуры поиска тяжелейшего
режима. Тогда целесообразно перейти именно к схеме испытаний, которая описана
выше.
Пример выбора априори доминирующего режима. Испытаем промышленную
телевизионную установку. Заключение о виброустойчивости примем в форме «да—нет»,
т. е. рассмотрим случаи: был срыв изображения в условиях воздействия эксплуата-
эксплуатационных вибраций или нет.
Множество эксплуатационных вибрационных состояний представим значениями
компонент дисперсионных векторов, характеризующих спектральные плотности
процессов, зарегистрированных при эксплуатации. Значения компонент дисперсион-
дисперсионных векторов приведены в табл. 3.
В качестве априори доминирующего режима выбираем режим г„„ = A,6; 0,9:
0,55; 0,36; 0,32; 0,22; 0,5; 0,3; 0,21; 0,33; 0,29; 0,22; 0,25; 0,28; 0,22; 0,23; 0,29; 0,34;
0,6; 0,27), для которого выполняется соотношение Dal-Э= ?)гу, где /= 1, 2, ..., 5;
Испытания показали, что после приложения априори доминирующего режима
происходит срыв изображения. Поэтому принято решение подвергнуть установку
испытаниям на тяжелейшем режиме, которые она успешно выдержала.
Одним из двух рассмотренных выше путей, т. е. с использованием идеи априор-
априорного доминирования или реализацией процедуры поиска тяжелейшего режима
в пределах множества эксплуатационных вибрационных состояний, решается задача
проверки гипотезы о том, что множество состояний д, ведущих к функциональному
отказу, пусто. Если ее удается подтвердить, то вибрационные испытания заканчи-
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
443
ваются. Таким образом, получен вывод о том, что любая эксплуатационная вибрация
не может вызвать нарушений функционирования объекта.
В противном случае возникает следующая ситуация. Поскольку на тяжелейшем
режиме допуск нарушен Aе Л), можно сделать вывод, что 0=^ ф. Это значит,
что есть некоторая разделяющая поверхность ф (г) = 0, и от ее положения в парамет-
параметрическом пространстве зависит то, как часто в условиях эксплуатации возможны
нарушения работы объекта. Поэтому следующей фазой испытаний должна явиться
процедура построения разделяющей поверхности. Но прежде чем перейти к описа-
описанию этой процедуры, целесообразно отметить особенности еще одного возможного
случая: когда границы множества С в пространстве {R} не заданы, а задана лишь
вероятностная мера на множестве R.
В этом случае нельзя поставить вопрос о том, что существует режим, домини-
доминирующий над всеми возможными в эксплуатации состояниями, поскольку функция
эк сплу атационныэ
частот,
221 —279
0,167
0,285
0,153
0.110
0.125
Гц
279-352
0,210
0,195
0,190
0.086
0,160
состояний
352-444
0,242
0,185
0,127
0,134
0,211
444-55S
0,279
0,220
0 163
0,179
0,228
558—705
0,204
0,180
0,211
0,127
0,205
705-8S7
0,227
0,200
0,222
0,134
0,211
887-1115
0,283
0,165
0,190
0,161
0,182
1115—НОЙ
0,332
0,245
0,258
0,120
0,279
1400—1777
0,332
0,195
0,243
0,189
0,593
1777—222
0,168
0,220
0,258
0,137
0,268
распределения вероятностей может быть и такой, которая принципиально допускает
любое значение параметрического вектора, т. е. множество С оказывается областью
без «жестких границ». Здесь, очевидно, требуется трансформация постановки задачи
и вместо доказательства гипотезы о пустоте множества $• следует доказать, что вероят-
вероятность появления в условиях эксплуатации вибрационных состояний, вызывающих
нарушенияфункционирования объекта, не может превысить некоторого выбранного
значения Р.
На этом этапе речь пойдет не об определении оценки Р* [ге§] — вероятности
того, что на некотором интервале т вибрационное состояние окажется принадлежа-
принадлежащим подмножеству О, а о получении оценки сверху: действительная вероятность
Р [г е Щ должна быть заведомо меньше Р.
Как и во всех описанных случаях постепенного наращивания сложности испы-
испытаний, здесь действует та же закономерность: чтобы получить менее информативный
показатель (вместо точечной — интервальную оценку), можно потратить меньшее
число опытов, т. е. провести испытания на меньшем числе режимов.
Пусть режим г априори доминирует над множеством ац. Если испытать объект
на этом режиме и при этом окажется, что он успешно функционирует, т. е. к (г) е Л,
то можно утверждать, что он будет успешно функционировать на всех режимах
г е a\i, и, следовательно, ац, а и. Очевидно, что Р[ге а\\] =? Р [г е и].
Если, используя информацию о функции распределения, удалось вычислить
вероятность Р[ге ац] — вероятность появления вибрационного состояния из до-
доминируемого подмножества a\i, то можно утверждать, что вероятность успешного
функционирования больше, а вероятность состояния, вызывающего отказ, соответ-
соответственно меньше, чем Р [г е= а\х]. Отсюда возникает схема проведения испыта-
испытаний.
444
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЯ
Сначала следует задаться некоторым уровнем оценки сверху вероятности функ-
функционального отказа. Затем выбирать такое значение режима г, для которого вероят-
вероятность непопадания состояния в a\i равна Р. Конечно, существует бесчисленное
множество режимов, для которых это условие выполняется (рис. 24j. Поэтому может
быть выбран любой из этих режимов, что позволяет осуществлять выбор с учетом
некоторых других требований, например простоты воспроизведения в лабораторных
условиях и т. д.
Используя не один, а несколько режимов испытаний можно доказать высказан-
высказанное выше положение: Р [г е О] s? P, прибегая к более легким вибрационным состоя-
состояниям или (что то же самое) используя режимы той же степени тяжести, добиться более
низких значений Р.
Рассмотрим случай с использованием двух режимов: rj и гп. Каждый из них
априори доминирует над подмножеством а\хг и a\iu. Если объект успешно прошел
испытания на обоих режимах, то X (г,)е Л и X (гп) <= Л, и можно утверждать,
что любой режим на пересечении этих подмножеств также обеспечивает принадлеж-
принадлежность определяющего параметра полю допуска, т. е. 1 (г) е Л для всех г <= a\kl (J
U
Мг
= const
I
1
1
1
л?
Рис. 24. Геометрическое место состояний с равной вероятностью по-
попадания в априори доминируемые подмножества
Рис. 25. Совокупность режимов (г,, гг, г3), эквивалентных режиму rj
Вероятность Р[ге ац1 [} a\ill] в силу того, что ajXj U a\ill (при успешных испы-
испытаниях на г{ и ги), следовательно, вероятность состояния, вызывающего отказы,
меньше выбранного значения Р, так как P[rs
Для произвольного набора режимов испытаний
которых успешно выдерживается объектом, имеем
U
=1 — P.
каждый из
Следовательно,
Если Р
Л для /С=1. •••. М.
Цг) е Л для всех г е (j
К
сии и+ 0 = С.
\ И а\хкЛ = 1 — Р, то Р [г <= Щ г=: Р, так как 11
X J к
На рис. 25 показаны два подмножества множества С, имеющие одинаковые
вероятности попадания в них эксплуатационных состояний. Одна получена пересе-
пересечением априори доминирующих областей для нескольких режимов. Другая представ-
представляет собой априори доминирующую область для одного режима. Видно, что в послед-
последнем случае этот режим более тяжелый, т. е. объект может выдержать все испытания
на режимах первой группы и не выдержать испытание единственным режимом.
Одна и та же вероятность попадания эксплуатационного состояния в множество
(J ajxj может достигаться для различных режимов R; ?— ац{. Поэтому при назначении <
t
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А 445
совокупности испытательных режимов {R,-} необходимо стремиться к тому, чтобы для
заданного уровня вероятности режимы из этой совокупности оказывались по воз-
возможности более легкими.
Однако используя подходы априорного доминирования для любой пары режи-
режимов, ни один из которых не доминирует над другим (только такие режимы и следует
включать в испытательную совокупность), нельзя установить соотношение «легче
тяжелее». Поэтому рекомендуется выбрать произвольную совокупность испытатель-
испытательных режимов, соответствующую требуемому уровню вероятности, и проводить испы-
испытания. Если на одном или нескольких режимах наблюдается выход определяющего
параметра за поле допуска, то следует попытаться заменить эти режимы, чтобы ве-
вероятность непопадания в объединение вновь образовавшихся доминирующих под-
подмножеств (включая подмножества от тех режимов, испытания на которых прошли
успешно) осталась прежней, но объект успешно переносил эти режимы.
Естественно, что такая процедура имеет смысл только до тех пор, пока число
испытательных режимов, затрачиваемых на поиск, заметно меньше, чем на процедуру
построения разделяющей поверхности, которая будет рассмотрена ниже.
Определение точечной оценки вероятности невыхода при эксплуатации опреде-
определяющего параметра за поле допуска методом построения разделяющей поверхности.
Если описанные выше методы не позволяют принять гипотезу о том, что подмножество
¦О пусто, то следует переходить к процедуре испытаний, направленной на получение
точечной оценки вероятности невыхода определяющего параметра за поле допуска
при эксплуатации.
Общая идея построения такой процедуры сводится к следующему. Если подмно-
подмножества а и О не пусты, то в пространстве вибрационныхсостояний {R} есть некоторая
поверхность х|) (гл, ..., гт) = Ь, разделяющая множество С на подмножества и и 0.
Если ее уравнение известно, то вероятность того, что при эксплуатации на интервале
Т состояние окажется в пределах и, может быть определена интегрированием функции
плотности распределения вероятностей по всей области и, т. е.
P[R ей] = $...$/(>-! rm)dri ...drm,
('i rm)e=u,
где (rlt ..., rm) <= и, если ф (гх rm) «S b.
Таким образом, задача получения точечной оценки вероятности Р* [г е и]
сводится к задаче построения разделяющей поверхности г|> (rx rm) = b, т. е.
к построению некоторой аппроксимирующей функции ij)* (гь ..., /",„) = Ъ, являющейся
достаточно близкой к истинной разделяющей поверхности. Следовательно, вероят-
вероятности Р [г е и] и Р* [г е и], полученные интегрированием соответственно по истин-
истинной и аппроксимирующей разделяющим поверхностям, должны быть, близки.
Аппроксимирующая функция может быть получена только в процессе вибра-
вибрационных испытаний, и, следовательно, план этой фазы виброиспытаний объекта
должен быть таким, чтобы получить оценку г|>* (гу, ..., rm) = b с минимальными
затратами, т. е. с помощью минимального числа вибрационных состояний, исполь-
использованных в качестве испытательных.
Рациональная программа виброиспытаний для построения разделяющей поверх-
поверхности зависит от наличия априорных сведений о ее виде. Если таких сведений нет,
то целесообразно рассмотреть последовательный ряд все более усложняющихся гипо-
гипотез и организовать проверку каждой из них, чтобы получить приемлемый результат.
1. Пусть имеется основание для того, чтобы считать, что разделяющая поверх-
поверхность представляет собой гиперплоскость в пространстве вибрационных состояний
и является одной из параллельных между собой гиперплоскостей, каждая из которых
представляет собой геометрическое место точек равнотяжелых режимов в простран-
пространстве вибрационных состояний. Это значит, что имеется семейство гиперплоскостей
= bn,
446
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИИ
где ап — ... — ат; а1т = ... = апт и при Ь; = b одна из них является разделяю-
разделяющей поверхностью.
В этом случае испытания предельно просты. Выбирают произвольную точку
в пространстве вибрационных состояний в качестве испытательного режима и на этом
режиме проводят испытания. Если % е Л, то определяется направление скорейшего
увеличения ?, (как при поиске тяжелейшего режима). В этом направлении последо-
последовательно выбирают новые испытательные режимы
до тех пор, пока на одном из них не будет достиг-
достигнут или превышен допуск % Э^ Л. Поскольку в этом
случае направление скорейшего возрастания опре-
определяющего параметра в пространстве состояний
не изменяется и не зависит от выбора начальной
точки, направление движения в сторону разделяю-
разделяющей поверхности определяют один раз (рис. 26).
Когда определена одна точка на разделяющей
поверхности — гр, уравнение поверхности получить
нетрудно, так как известно положение нормали к
исходной гиперплоскости и одна точка гиперпло-
гиперплоскости.
2. Если по-прежнему можно считать, чго раз-
разделяющая поверхность — гиперплоскость, но се-
семейство равнотяжелых поверхностей нельзя считать
параллельными гиперплоскостями, то программа ис-
испытаний близка к описанной выше. Она отличается
тем, что направление движения от начальной точки г0 к точке на разделяющей поверх-
поверхности гр отличается от прямолинейного, и в процессе движения возникает необхо-
необходимость уточнения направления скорейшего возрастания определяющего параметра.
Кроме того, при достижении точки г/г необходимо провести испытания при нескольких
вибрационных состояниях для уточнения угловой ориентации разделяющей гипер-
гиперплоскости (рис. 27).
Л
Рис. 26. Схема построения раз
деляющей поверхности для слу-
случая, когда семейство равнотя-
равнотяжелых поверхностей — парал-
параллельные гиперплоскости
Аппроксимирующсцт
псость
Рис. 27. Схема построения разделяющей поверхности для случая, когда она является гипер-
гиперплоскостью
Рис. 28. Схема построения аппроксимации разделяющей поверхности произвольной формы
3. Если разделяющую поверхность нельзя считать гиперплоскостью в пределах
области, где вероятность появления состояний в эксплуатации заметно отличается
от нуля, то можно попытаться осуществить аппроксимацию этой поверхности некото-
некоторым гипермногогранником, грани которого образованы гиперплоскостями, касатель-
касательными к разделяющей поверхности.
Такую схему можно реализовать, выйдя на разделяющую поверхность в разных
местах из различных начальных точек пространства состояний (рис. 28), а затем
в окрестностях каждой найденной точки на разделяющей поверхности провести
эксперимент для определения угловой ориентации аппроксимирующих гиперплоско-
гиперплоскостей.
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А 447
Условие принадлежности вибрационного состояния к подмножеству и и в этом
случае описывается системой линейных неравенств:
. + almrm ==? Ьх',
4. Если для рассматриваемого объекта известно аналитическое выражение для
разделяющей поверхности i|) {rx, ..., гт) = Ь произвольного вида, т. е. известна струк-
структура этого выражения, и задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты,
входящие в это выражение, процедура испытаний должна быть следующей.
Необходимо описанным выше способом найти координаты нескольких точек,
лежащих на разделяющей поверхности (например, осуществляя быстрый спуск на
разделяющую поверхность из ряда произвольных точек). Число этих точек должно
быть равным числу неизвестных коэффициентов в уравнении г|) (ги ..., гт) = Ъ.
Пусть, например, ах, ..., ат — неизвестные коэффициенты. Тогда уравнение
разделяющей поверхности может быть записано в следующем виде:
i|) (rlt ..., гт; аг ат) = Ь.
В этом уравнении неизвестны все коэффициенты щ, ..., ат и 6, т. е. т + 1 неизвест-
неизвестных. Если найдены т + 1 точки на разделяющей поверхности и их координаты
ги> ••• > rmi>
rlm+v ••• > rmm+v
то решение системы уравнений
¦Ч?(ги, • ••> гт1; аъ ..., ат) = Ь;
t Oim+li •••- rmm+l> au ¦•¦> ат)—Ь
относительно неизвестных аг, ..., атц Ь даст искомый результат: уравнение^ {г) = Ь
может быть записано в явном виде.
Так как при любом эксперименте и измерении возможны ошибки, точность
определения коэффициентов уравнения разделяющей поверхности может быть повы-
повышена, если число экспериментов больше, чем число неизвестных коэффициентов.
В этом случае обработка результатов испытаний с целью определения коэффициентов
может быть осуществлена, например, методом наименьших квадратов.
Пример построения разделяющей поверхности. Испытаем датчик линейных уско-
ускорений поступательного типа. В качестве определяющего параметра % выберем его
вибрационную ошибку. Ее допустимое значение Л примем равным >,доп = 1,2 В.
Множество вибрационных состояний в данном случае представим множеством
стационарных случайных процессов, сформированных из суммы четырех узкополос-
узкополосных процессов с произвольными комбинациями дисперсий в полосах частот Dlt D2,
Ds, D4. Полосы частот характеризуются следующими значениями: 31,7—40, 50,4—
63,5, 80—100, 127—160 Гц. Ограничений на уровень дисперсий по полосам не накла-
накладываем.
Целью эксперимента является построение функции
X, = X.(Z>i, D2, D3, D4)=l,2.
При проведении эксперимента одновременно испытаем два датчика и их ошибки
усредним для уменьшения влияния случайного разброса. Все опыты рандомизи-
руем во времени с помощью таблицы случайных чисел. В качестве начальной точки
выберем точку Do = C,0; 3,0; 3,0; 3,0). При этом вибрационная ошибка датчика
0,563 В. В окрестности этой точки проведем факторный эксперимент типа 24 с опре-
определяющим контрастом J = D^DJD^)^. Результаты этого эксперимента приведены
в табл. 4. В ней же указаны найденные коэффициенты регрессии и точки движения
в направлении скорейшего возрастания А,.
Как видно из табл. 4, в точке 4 при D= E,0; 5,0; 1,5; 0,5) %— %Ж0Т, = 1,2.
Для получения плоскости, касательной к разделяющей поверхности в точке D =
= E,0; 5,0; 1,5; 0,5), в окрестности этой точки проведем новый эксперимент, план
и результаты которого предстаглены в табл. 5. Уравнение касательной имеет вид
0,075 (?»1-5,0)-0,035(?»a-5,0)-0>065(D8-l>5)-0>012(D4-0,5) = 0.
448
ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЯ
4. План и результаты эксперимента
Переменные
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Кодовое обозначение переменных
Опыт:
1
2
з
5
g
7
8
Коэффициенты регрессии Ь^
Ь^Хинтервал варьирования
Шаг, соответствующий изменению Dt
на 0,3
Округление
Опыт;
1
2
3
4
3
1
4
2
d,
4-
+
+
0 05
0,05
02
—
4,4
4,0
4,8
5,0
3
1
4
2
d,
,
-t-
Н-
I
0,067
0 067
0,2
—
4,4
4,6
4,8
5,0
3
1
4
2
d,
+
.
+
+
—0,0382
-0,0382
-0,1
—
1,8
1,7
1,6
1,5
3
1
4
2
dt
_
+
—
-f-
+
—0,018
—0,118
-0,3
—
1,4
1,1
0,8
0,5
I*
—
—
0,563
0 575
0,212
0,45
0,757
0 312
0 505
0,485
—
—
—
—
1,12
1,14
1,16
1,2
Среднее значение для двух параллельных опытов.
5. План и результаты эксперимента
Переменные
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Кодовое обозначение переменных
С/ПЫТ."
2
3
4
5
6
7
8
Коэффициенты оегрессии Ь^
(ьХинтервал варьирования
О.
5
1
6
4
rfl
+
+
0,075
0,075
5
1
6
4
d2
+
+
+
-0,035
-0,035
1,5
1
2,5
05
d3
+
—0,065
—0,065
0.5
0,2
0,7
0,3
d4
—
+
+
+
-0,06
-0,012
I*
—
1,28
1,32
1,13
1,11
1,46
1,37
1,14
1,11
—
* Среднее значение для двух параллельных опытов.
Далее описанным выше способом найдем направление движения в этой плоскости,
в котором происходит наибольшее удаление от функции к (Dlf D2, ?>,, D4) = 1,2.
В этом направлении возьмем точку с координатами D= E,6; 7,0; 1,0; 2,0),
в которой значение определяющего параметра % = 1,45. Произошло существенное
отклонение от разделяющей поверхности. Поэтому был организован спуск на разде-
разделяющую поверхность. План этого эксперимента и траектория кратчайшего спуска
на разделяющую поверхность приведены в табл. 6,
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА А
449
В точке D E,0; 6,8; 0,6; 2,2) вновь достигнуто значение X = 1,2. Для построения
касательной в этой точке выполним новый эксперимент, план и результаты которого
приведены в табл. 7.
В этом случае уравнение касательной плоскости имеет вид
0,0062@! —5,0) + 0,0087(D2—6,8)—0,0012(D3 —0,6) —0,0212 (D4 — 2,2) =
Полученную пару плоскостей можно рассматривать как приемлемую оценку
й Х1 ф P j /(D)rf
разделяющей поверхности. Х1алее по формуле
виброустойчивость исследуемого датчика.
/(D)rfD можно оценить
6. План и результаты
Переменные
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Кодовое обозначение переменных
Опыт:
1
2
3
4
5
6
7
8
Коэффициенты регрессии Ъ^
^(Хинтервал варьирования
Шаг, соответствующий изменению D4 на 0,27
Округление
Опыт:
1
2
3
4
эксперимента
а.
5,6
0,5
6,1
5,1
dt
4-
<
0,054
0,027
0,27
0,3
5,6
5,3
5,0
4,7
7,0
0,5
7,5
6,5
d2
+
.1
0,004
0,002
0,02
0,1
7
6,9
6,8
6,7
я.
1,0
0,5
1,5
05
d3
i
—
0,036
0,018
0,18
0,2
1
0,8
0,6
0,4
2,0
05
2,5
1,5
dt
_
+
-0,021
—0,012
—0,12
-0,1
2
2,1
2,2
2,3
I*
—
-
1,35
1,5
1 42
1,2S
1,51
1,38
1,4
1,49
—
—
—
—
1,45
1,35
1,2
1,15
* Среднее значение для двух параллельных опытов.
7. План и результаты эксперимента
Переменные
Основной уровень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Кодовое значение переменных
Опыт:
1
2
3
4
5
6
7
8
Коэффициенты регрессии Ь(
^Хинтервал варьирования
о,
5,0
0,5
5,5
4,5
d\
„
14-
+
л.
0 0125
0,0062
о,
6,8
0,5
7,3
63
d%
4-
4-
0,0175
0,087
D,
06
05
1,1
0,1
da
—
—
_]-
4-
-0,0025
—0,0012
O4
2,2
05
2,7
1.7
d,
—
—
+
_f_
—0,0425
—0,0212
—
—
—
—
1,21
1.28
1,15
1,2
1,31
1,12
1,22
1,17
—
450 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЙ
5. ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРАЦИОННЫХ
ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА Б
Общие положения. Наиболее распространенной задачей испытаний объекта,
характеризующейся зависимостью типа Б, является оценка его вибропрочности
в эксплуатации, где на объект воздействует случайная нестационарная вибрация.
Поэтому дальнейшее изложение в основном посвящено решению именно этой задачи,
отличающейся монотонным возрастанием определяющего параметра — накопленного
повреждения.
Организация и планирование виброиспытаний. Пусть имеется некоторый объект,
информация о вибрационных состояниях которого в эксплуатации известна и модель
изменения вибрационных состояний соответствует рассмотренной выше. Тогда
вибрационное состояние на каждом «стационарном» интервале времени задается
вектором R= (rlt r2, ..., гп), характеризующим спектральную плотность вибрации
в каждой точке конструкции (для фиксированной совокупности контрольных точек)
и все взаимные спектральные характеристики. Кроме того, на множестве эксплуата-
эксплуатационных вибрационных состояний задается плотность распределения вероятностей
/ (R).
Требуется построить процедуру испытаний объекта, чтобы убедиться в том, что
вероятность усталостного разрушения одного из его элементов не превысит заданного
уровня Р. Предполагается, что разрушение конструкции объекта может произойти
в одной из точек счетного множества, если накопленное в этой точке усталостное
разрушение превысит единицу.
Процесс изменения напряжения av (f) в каждой v-й точке объекта для данного
вибрационного состояния R есть результат некоторого преобразования вибраций
объектом. В общем случае для каждого вибрационного состояния R в данной точке
конструкции v существует процесс av (t), характеризующийся спектральной плот-
плотностью SOy (со) или соответствующим дисперсионным вектором 6V = 6Vl, ..., 6V/[, где
Sv; = \ 5Ov (со) da>,
«,.
и связь между вектором R и Sv может быть описана системой уравнений
где av,- — вектор, характеризующий динамику конструкции на частоте м,-.
Повреждение (iv, накапливаемое в v-й точке в единицу времени в случае, когда
напряжение в материале изменяется как стационарный случайный процесс с диспер-
дисперсионным вектором 8V, является функцией 6V и некоторого вектора Ь,-, характеризую-
характеризующего свойства материала и конструкции (наличие концентраторов напряжений)
в этой же точке, т. е.
jxv=p- (Sv> bv).
Но с учетом того, что Sv зависит от R и av, можно записать
^v=[i* (R, &у, bv). (9)
Если задаться конкретным значением скорости накопления повреждения jiv
и подставить его в уравнение (9), то получим уравнение некоторой поверхности
в пространстве вибрационных состояний, которая является геометрическим местом
точек, соответствующих вибрационным состояниям объекта, приводящим к данной
скорости накопления повреждения, т. е. равнотяжелых для точки V.
Так, для случая, когда вибрационное состояние задается в одной точке и дис-
дисперсионный вектор D = (Dx, D2) — двумерный, можно представить следующую
графическую интерпретацию этого положения (рис. 29). Если выбрать некоторый
малый интервал скоростей накопления повреждений в v-й точке (jxv, fiv + Д), то все
вибрационные состояния, удовлетворяющие неравенству
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА Б
451
можно рассматривать как равнотяжелый слой в пространстве вибросостояний
(рис. 30).
Разбив весь диапазон скоростей накопления повреждения в v-й точке @ ^
¦•ё (\ ^= КГаХ) на малые интервалы, можно получить совокупность таких своего рода
«геодезических» поверхностей в пространстве вибрационных состояний (рис. 31),
что все состояния, принадлежащие одной поверхности, следует считать равнотяже-
лыми по скорости накопления усталостного повреждения в рассматриваемой точке
конструкции.
Рис. 29. Кривые равнотяжелых вибрационных состояний для двух точек конструкции по
скорости накопления повреждения
Рис. 30. Равнотяжелый по скорости накопления слой
Время пребывания конструкции объекта в вибрационных состояниях, принад-
принадлежащих одному /С-му слою, можно вычислить по формуле
(ги .... rn)drx ... drn,
^..=:
T — общее время эксплуатации.
Суммарное повреждение, накопленное в v-й точке за время Т
К
(Ю)
Как «расслоение», так и относительное время пребывания вибросостояния
в каждом слое, следовательно, и накопление повреждения индивидуальны для каж-
каждой точки конструкции.
Если для всех точек конструкции по формуле A0) подсчитать накопленные за
время Т повреждения и окажется, что nv 3= 1, то это означает, что расчет предска-
предсказывает усталостное разрушение конструкции.
Необходимой информацией для расчета является знание динамических свойств
конструкции (вектор av для всех v), усталостных характеристик конструкции и
материала (вектор bv), закона распределения вероятностей на множестве вибрацион-
вибрационных состояний и некоторой гипотезы относительно закона накопления усталостных
повреждений.
Достоверность такого расчета невелика по ряду причин. Во-первых, априори
практически неизвестны динамические свойства конструкции объекта (за исключе-
исключением тех редких случаев, когда конструкция проста и место возможного разрушения
очевидно). Во-вторых, недостоверны сведения об усталостных свойствах материала
и общеизвестна ограниченность применения наиболее распространенных гипотез
накопления повреждения,
452 ОРГАНИЗАЦИЯ И ПЛАНИРОВАНИЕ ВИБРОИСПЫТАНИЯ
Для того чтобы оценка усталостной прочности конструкции была получена с
требуемой степенью достоверности, необходимо провести испытания объекта на зибро-
прочность. Какие режимы испытаний следует выбирать для получения такой оценки?
Поскольку в эксплуатации реализуется последовательность различных вибро-
вибросостояний, невозможно найти единственное R состояние, эквивалентное этой после-
последовательности по накопленному за то же время Г повреждению.
Для каждого состояния в каждой точке имеется скорость накопления поврежде-
повреждений, так что при попытке выбрать одно эквивалентное состояние наиболее нагружен-
нагруженной оказывается одна точка конструкции, а в остальных скорость накопления отли-
отличается от эксплуатационной.
Наиболее очевидной схемой испытаний могла бы быть последовательная реали-
реализация различных испытательных вибросостояний R1? ..., Rn с помощью специального
случайного механизма, реализующего рас-
распределение вероятностей f (гх, ..., г„). При
этом схема испытаний аналогична вычи-
вычислительным методам Монте—Карло.
Однако практически реализовать та-
такую схему трудно из-за того, что время
существования каждого состояния долж-
должно быть достаточно коротким, а «настрой-
«настройка» нового состояния оказывается делом
кропотливым и длительным даже при вы-
высокой автоматизации этого процесса. По-
Поэтому переходные процессы могут быть
соизмеримы по длительности с временем
существования каждого режима. При
этом снижается достоверность оценки.
л' Кроме того, для получения достоверных
Рис. 31. Схема разбиения множества экс- оценок таким методом необходимо ИСПЫ-
плуатационных вибрационных состояний тать значительное количество экземпля-
С на совокупность равнотяжелых слоев ров объекта (следует помнить о широком
разбросе усталостных свойств), что неже-
нежелательно по экономическим и технологическим соображениям. Поэтому подобная
схема испытаний, вероятно, применима только в ограниченном числе случаев.
Более экономическую (с точки зрения рационального планирования экспери-
эксперимента) схему можно построить, если максимально исследовать имеющуюся или до-
доступную для получения информацию о динамических и усталостных свойствах
конструкции. При этом схему испытаний можно построить следующим образом.
Первый этап — экспериментальное выявление структуры и параметров (векто-
(векторов av) зависимостей (8), связывающих вибрационное состояние с характеристиками
напряжения в материале всех контрольных точек (точек, где ожидается разрушение)
v= 1, 2 Эта задача может быть решена путем воспроизведения некоторой
системы тестовых вибрационных состояний и одновременного тензометрирования
в потенциально опасных точках.
Если принять некоторую гипотезу накопления усталостных повреждений при
стационарной случайной нагрузке, то по известным функциям усталости (зависи-
(зависимости числа циклов до разрушения от уровня периодического напряжения) материала
(вектор bv) с учетом концентраторов напряжений в этих точках, можно вычислить
скорости накопления повреждений в каждой точке конструкции для различных
вибрационных состояний, т. е. получить зависимость
Hv = Hv(R. av, bv). A1)
Справедливость этой зависимости подтверждается экспериментально найден-
найденными значениями av и в значительной степени экспериментальными значениями bv»
Однако в силу ряда причин невозможность в большинстве случаев непосред-
непосредственно организовать тензометрирование в опасных точках точность этих соотноше-
соотношений по-прежнему невысокая. Поэтому использовать эти соотношения можно лишь
как априорную информацию, позволяющую более рационально организовать даль-
дальнейшие испытания.
ИСПЫТАНИЯ ДЛЯ МЕХАНИЗМА ВЛИЯНИЯ ТИПА Б 453
Введем понятие средней скорости накопления повреждения в точке за время
эксплуатации:
т , _ _
tkv
к = 1
Полученные средние скорости накопления позволяют осуществить ранжировку
опасных точек, располагая их в порядке убывания средних скоростей. Тогда первая
точка будет обладать наибольшей скоростью накопления (u,Jp = max \x^p) и, следо-
следовательно, наибольшей вероятностью повреждения, вторая — меньшей, третья —
еще меньшей и т. д.
Дальнейшие испытания на вибропрочность должны быть направлены на подтвер-
подтверждение правильности полученной ранжировки или при необходимости на ее уточне-
уточнение. Одним из возможных путей является выбор такого испытательного режима,
который должен обеспечить предсказанные скорости накопления повреждений в
выбранном подмножестве точек. Этот режим есть не что иное, как решение системы
уравнений A1) относительно компонент вектора R.
Число точек объекта, в которых можно поддерживать определенные скорости
накопления, не может быть большим, чем размерность вектора R. Скорости в осталь-
остальных точках получаются произвольными, и необходимо следить за тем, чтобы они не
превышали предсказанных средних значений и не нарушали таким образом ранжи-
ранжировку.
Испытания на найденном режиме ведутся до разрушения. Если разрушение про-
происходит в первой точке, то опасное место найдено правильно. Однако следует помнить
о возможности разброса свойств конструкции при принятии решения о достаточности
испытаний одного образца объекта. При необходимости следует испытать несколько
экземпляров.
Далее сопоставляют фактическое время до разрушения с предсказанным и опре-
определяют поправочный коэффициент для первой точки av, так что можно записать
уточненную зависимость
В такой форме она может быть использована для более точного предсказания
долговечности конструкции. Однако может случиться так, что разрушение произойдет
не в первой, а в одной из последующих точек ранжированного ряда. Такой результат
означает, что ранжировка произведена неправильно. Тем не менее поправочный
коэффициент av для разрушившейся точки может быть найден. Для проверки пра-
правильности ранжировки следует уточнить скорости накопления в точках, подозре-
подозревавшихся более тяжелыми, чем разрушившаяся, подобрав для следующего экземпляра
аппаратуры такой испытательный режим, который с большей вероятностью вызовет
разрушение именно в этой точке. Данную процедуру можно реализовать, если задаться
произвольным рядом скоростей накопления, в котором [% > \i2, У-з Этот ряд
подставляют в систему A1) и находят решение относительного вектора R. Последний
и соответствует режиму испытаний, обеспечивающему разрушение в первой точке.
Далее определяют поправочный коэффициент и корректируют ранжировку. Такие
же операции могут быть при необходимости выполнены и для других головных точек
ранжировки. В конечном итоге эксплуатационную долговечность определяют с доста-
достаточной точностью.
Используя систему A1), можно провести испытания конструкции на режимах,
обеспечивающих одинаковую скорость накопления повреждений для нескольких
выбранных точек. Для определения такого режима необходимо задаться некоторым
значением скорости, подставить это значение в систему A1) и решить ее относи-
относительно R. Применив эти режимы и произведя испытания до разрушения, можно найти
такую точку конструкции, для которой прогноз выносливости оказывается наиболее
завышенным. Если это одна из первых точек, то найден один из путей исправления
ранжировки.
До сих пор рассматривались испытания на единственном фиксированном режиме
вибрации (хотя и случайной). Но при малой уверенности в правильности используе-
454 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ ГАРМОНИИ. ВОЗДЕЙСТВИЯХ
мых гипотез накопления результат может получиться ненадежным. Тогда можно
построить программы испытаний, при которых сохраняются средние скорости накоп-
накопления повреждений и распределение фактических скоростей более близко к эксплуа-
эксплуатационному.
Пусть программа испытаний включает вибрационные состояния R^ R2, ..., Rn
с относительными временами действия соответственно т^ т2 т„. Тогда средняя
скорость накопления в v-й точке
К
HvP= H f**v(av. bv> R)Tft. A2)
*=*l
Задавшись определенными значениями fi?p, следует решить систему A2) относи-
относительно неизвестных R и т^. Поскольку число уравнений здесь всегда меньше числа
неизвестных, существует бесчисленное число решений. Для нахождения одного из
решений следует задаться либо значениями определенных параметров, либо ввести
дополнительные связи между параметрами. Во всяком случае система (J2) позво-
позволяет создать новые схемы испытаний конструкции. Если одна из программ, удов-
удовлетворяющая требованиям по средним скоростям накопления повреждений, найдена,
то дальнейшие действия должны полностью соответствовать рассмотренному выше
случаю с единственным испытательным режимом.
Все изложенные подходы к организации и планированию вибрационных испыта-
испытаний базируются на допущении, что любое эксплуатационное вибрационное состояние
г из множества эксплуатационных вибрационных состояний С может быть воспроиз-
воспроизведено в лабораторных условиях. Приведенные в гл, XX—XXII материалы показы-
показывают, что принятое допущение не является слишком жестким.
Так, в гл. XX даны материалы, содержащие информацию о методах и средствах
воспроизведения эксплуатационных вибрационных состояний, представляющих
собой гармонические вибрации с постоянной и переменной частотой (амплитудой),
а также рекомендации о подходах к моделированию эксплуатационных вибраций
в случае многоточечного возбуждения.
В гл. XXI и XXII подробно описаны методы и средства моделирования узко-
и широкополосных случайных вибрационных процессов, а также подходы к воспро-
воспроизведению ударных воздействий.
Список литературы
I. Алесенко В. В., Исаев А. С, Лапшин М. Г. Новый метод обобщения информации
о Вибрациях сложных конструкций. — Стандарты и качество, 1969, На 8, с. 60—65.
2. Алесенко В. В., Исаев А. С. О некоторых новых подходах к выбору режимов виб-
вибрационных испытаний аппаратуры — В кн.: Внорозащита человека. — оператора н вопросы
моделирования. М : Наука, 1973, с. 64 — 75.
3. Налимов В. В. Теория эксперимента. М.: Наука, 1971. 208 с.
4 Налимов В. В., Чернова Н. А. Статистические методы планирования экстремаль-
экстремальных экспериментов М : Наука, 1965. 340 с.
5. Хикс Ч. Основные принципы планирования эксперимента. М.1 Мир, 1967. 406 с.
Глава XX
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ
ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. ИСПЫТАНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВИБРАЦИЕЙ
НА ФИКСИРОВАННЫХ ЧАСТОТАХ
Испытания гармонической вибрацией на фиксированных частотах широко рас-
распространены в практике виброиспытаний. Они являются дешевыми и простыми испы-
испытаниями на вибропрочность и виброустойчивость элементов конструкций, приборов
и блоков аппаратуры, Для их выполнения пригодны все вибростенди и испытатель-
ИСПЫТАНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВИБРАЦИИ 455
ные машины, в частности установки с механическими и гидравлическими вибро-
вибровозбудителями.
При испытаниях на вибропрочность (усталость) контролируют переменную и
статическую силы, приложенные к испытуемому объекту, и число циклов его нагру-
жения. В процессе испытания на виброустойчивость контролируют амплитуду либо
размах виброперемещения стола вибростенда. При использовании датчиков скорости
или ускорения (с последующим интегрированием полученного сигнала) их устанав-
устанавливают на стол вибростенда или в контрольной точке испытуемого объекта [2, 5].
Разновидностью этих испытаний являются испытания на резонансных частотах,
определяемых параметрами испытуемых объектов и присоединенных к ним масс
и жесткостей. Эти испытания получили наибольшее распространение в практике
высокочастотных испытаний на усталость деталей и образцов материалов.
При составлении программы испытаний назначают частоту испытаний или ряд
частот, а также значение контролируемой величины (вибросмещения, виброскорости
или виброускорения) на каждой частоте в заданной точке испытуемого объекта или
в определенной точке стола вибростенда, чаще всего в центре стола. Частоты испыта-
испытаний назначают исходя из предварительного расчета конструкции испытуемого объекта
на собственные частоты либо после экспериментального определения частотных
характеристик и резонансных частот изделия (как правило, при малых вынуждаю-
вынуждающих силах).
Необходимо также установить длительность воздействия на каждой из выбран-
выбранных частот — назначить продолжительность испытаний или число периодов колеба-
колебаний. Их устанавливают по-разному. При испытаниях на вибропрочность руковод-
ствз'ются прочностными характеристиками примененных материалов, а при испыта-
испытаниях на виброустойчивость учитывают предельно допустимые нормы воздействия
на компоненты испытуемого объекта [3, 7, 8, 9, 121.
2. ИСПЫТАНИЯ С ПЕРЕМЕННОЙ ЧАСТОТОЙ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВИБРАЦИИ
Испытания с переменной частотой вибрации широко применяют для испытания
объектов на вибропрочность и виброустойчивость. Они пригодны для определения
резонансных частот изделий и частотных характеристик. Для выполнения этих
испытаний подходят вибростенды с электродинамическими (ЭДВ), электрогидравли-
электрогидравлическими (ЭГВ) или иными вибровозбудителями, позволяющими пларно изменять
частоту колебаний стола вибростенда в некоторых пределах.
При использовании ЭДВ частотный диапазон выбирают в пределах от 5—10 Гц
до 2000—5000 Гц. При испытаниях в диапазоне от 5—10 до 70—80 Гц обычно под-
поддерживают постоянной амплитуду виброперемещения, в диапазоне от 70—80 Гц
до верхнего предела частоты — амплитуду виброускорения. Иногда в диапазоне от
нескольких десятков до нескольких сотен герц назначают постоянной амплитуду
виброскорости [2, 7, 8]. Частотный диапазон вибростендов и машин для испытаний
на усталость с ЭГВ лежит в пределах от 0 до 100—200 Гц. На более высоких частотах
ЭГВ вносят большие искажения, и колебания стола вибростенда нельзя считать
гармоническими.
ЭГВ с комбинированными системами управления, ЭГВ, использующие жидкость,
изменяющую вязкость при наложении электростатического поля, или магнитогидрав-
лические возбудители колебаний (МГВ) обеспечивают испытания до частот 400—
1000 Гц [11].
Испытания с переменной частотой гармонической вибрации, как правило, ведут
при постоянной амплитуде вибросмещения до частот в несколько десятков герц,
а затем поддерживают постоянную виброскорость или постоянное виброускорение.
Структурная схема вибростенда с ЭДВ для испытаний с переменной частотой
гармонической вибрации представлена на рис. 1. Кроме аппаратуры, указанной
на рис. 1, вибростенд с ЭГВ или МГВ должен содержать насосную установку для
питания возбудителя.
Ускорение ав на столе вибровозбудителя 4, т. е. на входе испытуемого объекта
9, измеряется датчиком ускорения 6, выходной сигнал которого подается на инте-
456
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ ГДРМОНИЧ. ВОЗДЕЙСТВИЯХ
гратор 7 и программатор 8, предназначенный для выбора частотных диапазонов под-
поддержания постоянных виброперемещения, виброскорости, виброускорения или гра-
градиента виброускорения у = а/(Кш)-
Вибровозбудитель и испытуемое изделие могут обладать нелинейными свой-
свойствами. Тогда дажапри чисто синусоидальном питающем токе или напряжении кон-
контрольное виброускорение содержит высшие гармоники. В этом случае выделяют
1-ю гармонику с помощью синхронного детектора или сопровождающего фильтра
аналогично технике измерения частотных характеристик.
Все большее распространение получают многоканальные системы, позволяющие
вести управление по виброускорению или другому параметру вибрации в той точке
испытуемого изделия, где он максимален [1, 10}.
9
11
Рис. I. Структурная схема вибро-
вибростенда для испытаний гармониче-
гармонической вибрацией переменной ча-
частоты:
/ — задающий генератор с плавно
изменяемой частотой; 2 ¦— усили-
усилитель с управляемым коэффициентом
передачи; 3 — усилитель мощно-
мощности; 4 — электродинамический виб
ровозбудитель; 5 — источник пита-
питания обмоток подмагничивания виб-
вибровозбудителя; S — датчик вибро-
виброускорения; 7 — интегратор; 8 —
программатор; 9 — испытуемый объ-
объект; 10 — вибродатчик; // — реги-
регистрирующая аппаратура
При составлении программы испытаний с переменной частотой гармонической
вибрации устанавливают зависимость плавно изменяющейся частоты от времени по
заданным соотношениям продолжительности воздействия для различных резонирую-
резонирующих узлов и деталей испытуемого объекта. При этом можно исходить из требования
постоянства времени или постоянства числа циклов нагружения каждого резонирую-
резонирующего элемента. В первом случае частота колебаний аолжна изменяться по закону
1
8
7
J
6
\
\
II1
/
во втором случае
/>=i
T=-
где f± — начальная частота; /2 — конечная частота; Т — длительность изменения
частоты от Д до /2; t— текущее время; т — постоянная времени нарастания частоты,
обратно пропорциональная скорости ее нарастания, Гц/с:
Полагая постоянным время воздействия на каждый резонирующий элемент,
получим, что виброскорость, октава/с,
... ._»
1 Т ~т1п2"
Допустимую скорость изменения частоты оценивают неравенством
где Q — добротность резонирующего элемента; обычно Q = 20,
ИСПЫТАНИЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОИ ВИБРАЦИЕЙ
457
Исходя из прочностных и усталостных характеристик материалов (при испыта-
испытаниях на вибропрочность) и допустимых норм вибрационного воздействия [8] (при
испытаниях на виброустойчивость) выбирают необходимое число п полных циклов
изменения частоты и общее время виброиспытаний tn = nT.
Преимущества этого вида испытаний состоят в относительно низкой стоимости
оборудования. Они дают полезную информацию для корректировки испытуемого
объекта, так как может быть легко зафиксирована частота, при которой происходит
его разрушение или отказ в работе. Недостатком испытаний с переменной частотой
гармонической вибрации является то, что возбуждение различных резонансов в
испытуемом объекте происходит последовательно, а не одновременно.
3. ИСПЫТАНИЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОЙ ВИБРАЦИЕЙ
Испытания полигармонической вибрацией позволяют более точно моделировать
реальную вибрацию, чем испытания на одной частоте,
Рис. 2. Структурная схема вибро-
вибростенда для испытаний полигармо
ннчсской вибрацией:
/ — генераторы электрических гар-
гармонических колебаний с регулиро-
регулированием частоты и амплитуды сиг-
нала; 2 — усилители с управляе-
управляемым коэффициентом передачи; 3 —
сумматор; 4 — усилитель мощно-
мощности; 5 — ЭДВ; 6 — испытуемый
объект; 7 — датчик вибрации; 8 —
усилитель; 9 — регистрирующая
аппаратура; 10 — перестраиваемые
полосовые фильтры; // — усилите-
усилители и детекторы; 12 — блоки управ-
управления для поддержания заданного
уровня вибрации; 13 — регистри-
регистрирующая аппаратура
г
г
06 2
п
2
Is
\
\
1
1
2^
\
А
\
\
1
\
\
Л1
IX
\>
\
\
2
\
\
3
1
- z
11
\
\
/?
/р
6
Z
>
-А ЗАВ
V у
)
10
\
ч
ч
"/
ч
ОС
При испытаниях на вибропрочность, в частности на усталостную прочность,
получило распространение бигармоническое возбуждение переменных нагрузок. На
относительно низкочастотные колебания нагружающей силы с большим размахом
накладывают высокочастотную составляющую переменной силы с малой амплитудой.
Подобная программа легко реализуется на испытательных машинах с электрогидраа-
лическими возбудителями колебаний и на машинах, оснащенных роторными гидрав-
гидравлическими пульсаторами [4, 9, 11, 12J
Виброиспытания с полигармоническим возбуждением более общего вида прово-
проводят на вибростендах с ЭДВ, позволяющими осуществлять возбуждение с кратными
и с произвольными частотами. В последнем случае имеется возможность имитации
некоторых характеристик случайной вибрации достаточно простыми средствами
с помощью частотных синтезаторов [3, 6],
458 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ ГАРМОНИЯ. ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Для максимального приближения условий виброиспытаний к натурным усло-
условиям эксплуатации испытуемого объекта используют полигармоническое ьозбуждение
такого спектрального состава, чтобы имитировалось случайное возбуждение. Для
этого формируют полигармонический сигнал, содержащий сравнительно небольшое
число составляющих, который статистически эквивалентен стационарному случай-
случайному процессу.
Вибростенд, схема которого показана на рис. 2, обеспечивает поддержание на
определенном уровне нескольких гармоник одновременно в заданной точке испытуе-
испытуемого объекта. Это осуществляется замкнутой системой управления, содержащей
датчик 7, усилитель 8, набор анализирующих и управляющих блоков параллельного
действия. Отработка i-й гармоники измеряемого параметра осуществляется регуля-
регулятором в каждом параллельном канале. Выходные сигналы регуляторов суммируются
в сумматоре 3 и подаются на усилитель мощности 4, питающий вибровозбудитель.
Программирование испытаний на виброустойчивость при воздействии полигар-
полигармонической вибрации включает спектральный анализ вибрации испытуемого объекта
в эксплуатационном режиме. По результатам анализа составляют таблицу частот
с выделением основной частоты спектра и ряда гармоник с соответствующими им
виброперемещениями, виброскоростями или виброускорениями, присущими опре-
определенным точкам испытуемого объекта. Руководствуясь допустимыми нормами воз-
воздействия на компоненты испытуемого объекта, назначают время испытаний и интен-
интенсивность воздействия внешней вынуждающей силы на каждой из выбранных гармони-
гармонических составляющих. Набор программы производят на макете объекта, внося соот-
соответствующие коррективы. Эта мера позволяет предотвратить выход объекта из строя
в процессе отладки программы.
При испытаниях на вибропрочность спектральный состав возбуждения может
быть установлен по результатам анализа реальной вибрации. В этом случае интен-
интенсивность воздействия можно устанавливать по виброускорению явно выраженных
масс испытуемого объекта или по приложенному к нему переменному усилию [7, 8].
С целью наиболее точной имитации реальных вибраций и создаваемых ими нагру-
нагрузок все более широко применяют испытания случайной вибрацией, а также испыта-
испытания «реальной вибрацией» и ударом.
4. МНОГОТОЧЕЧНОЕ ВИБРОВОЗБУЖДЕНИЕ
Вибровозбудители имеют широкую номенклатуру и развивают усилия от единиц
до сотен тысяч ньютон. Однако во многих случаях применение мощных вибровозбу-
вибровозбудителей нецелесообразно с технической точки зрения, так как с ростом размеров
испытуемого объекта растут габариты и вес приспособления, применяемого для его
крепления к столу возбудителя. Ряд объектов нельзя установить на вибровозбуди-
вибровозбудитель. Поэтому для испытаний крупногабаритных объектов применяют вибростенды,
содержащие несколько вибровозбудителей сравнительно небольшой мощности, воз-
возбуждающих механические колебания в различных точках в соответствии с програм-
программой. Управление вибровозбудителями осуществляют как от одного источника сигнала,
так и с помощью нескольких взаимосвязанных задающих генераторов. В зависимости
от цели испытания, в цепи каждого вибровозбудителя могут быть установлены регу-
регулируемые фазовращатели, наборы фильтров или другая аппаратура для формиро-
формирования сигнала заданных параметров. Анализ вибраций испытуемого объекта ведется,
как правило, по показаниям большого числа датчиков — датчиков ускорения,
скорости, перемещения, датчиков силы, импендансных головок и т. д. [2, 10].
При многоточечном возбуждении может быть осуществлен любой из рассмотрен-
рассмотренных видов виброиспытаний или их комбинация. Оно применяется также для опреде-
определения характеристик собственных колебаний механических систем.
Список литературы
1. Автоматическое управление вибрационными испытаниями /А Г. Гетматов,
П. И. Дехтяренко, Б Ю Мандровскии-Соколов и др М.: Энергия. 1978. ПО с.
2. Божко А. Е., Урецкий Я. С. Системы формирования спектра случайных вибраций.
Киев; Наукова думка, 1979. 173 с.
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 459
3 Брох Е. Т. Измерения механических колебаний и ударов. Себорг: Брюль и Къер,
»У/о, oUo С.
4. Испытания материала действием повторно-переменных нагрузок. — В кн.: Ис-
Испытания металлов / Под ред К. Нитцше. М : Металлургия, 1967, с. 52 — 87.
5. Иориш Ю. И. Виброметрия. М.: Машгиз, 1966 716 с.
6. Коловский М. 3. О замене случайного вибрационного воздействия полигармони-
полигармоническим процессом — Известия АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 2,
с. 93—101
7. Кузнецов А. А. Вибрационные испытания элементов и устройств автоматики. М.:
Энергия, 1976. 118 с.
8. Ленк А., Ренитц Ю. Механические испытания приборов и аппаратов. М.: Мир,
9. Литвак В. И. Автоматизация усталостных испытаний натурных конструкций
М.; Машиностроение. 1972. 383 с.
10 Многоканальная система управления моногармоническими виброиспытаниями /
С. В. Абрамович, М А Гнаткж, П. И. Дехтяренко и др. — В кн.: Вибростенды и возбуди-
возбудители колебаний Киев: КДНТП, 1969, с. 18 — 27.
11 Приборы и системы для измерения вибрации шума и удара: Справочник. Кн. 2.
М.; Машиностроение, 1978. 448 с.
12. Серенсен С. В., Гарф М. Э., Кузыиенко В. А. Динамика машин для испытаний на
усталость М : Машиностроение, 1967. 460 с.
13. Тябликов Ю. Е. Механика спаренных пульсаторов Стабилизация статических,
циклических и повторно-статических нагрузок. — В кн.: Исследование работы машин и при-
приборов, применяемых при испытании строительных материалов и конструкций. М.; Госстрой-
издат, 1960, с. 35-41.
Глава XXI
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ
ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Цель испытаний. Многочисленные исследования реальных вибраций различных
подвижных объектов (самолетов, ракет, автомобилей, судов, железнодорожных
вагонов и т. п.) показывают, что эти вибрации являются случайными функциями
времени [14, 20, 22]. Их статистические характеристики определяются в результате
обработки записей реальной вибрации. Целью испытаний является воспроизведение
на вибростенде вибрации с заданными статистическими характеристиками в контроль-
контрольных точках испытуемого изделия. Поскольку в качестве заданных статистических
характеристик используются результаты обработки натурных вибраций., испытания
случайной вибрацией наиболее точно воспроизводят реальное вибрационное состоя-
состояние испытуемого изделия.
Схемы нагружения. Испытания широкополосной случайной вибрацией обычно
проводят при возбуждении объекта в одной точке и в одном направлении. Контроль
вибрации, как правило, ведут в нескольких точках. В последнее время все шире
используют многоточечное вибровозбуждение (см. гл. XIV), что позволяет точнее
воспроизвести реальное вибрационное состояние. При этом анализируют векторный
вибрационный процесс, компонентами которого являются вибрации в отдельных точ-
точках и направлениях. Соответствующие испытательные системы являются много-
многомерными.
Принимаемые гипотезы. При организации испытаний случайной вибрацией
принимают две гипотезы [14, 20, 22]: 1) о нормальности закона распределения случай-
случайных вибраций; 2) о локальной стационарности случайных вибраций. Обоснование
первой гипотезы заключается в том, что вибрационное состояние изделия можно рас-
рассматривать как суперпозицию различных случайных процессов, порождаемых ста-
статистически независимыми источниками. Следует учесть также, что если вибродатчик
расположен в таком месте конструкции, где проявляются ее фильтрующие свойства,
то закон распределения выходного сигнала этого датчика приближается к нормаль-
нормальному. Существует достаточно большое число экспериментальных работ, подтверждаю-
460 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
щих эту гипотезу [14, 22]. Вторая гипотеза предполагает, что статистические харак-
характеристики вибрации изменяются достаточно медленно во времени. Это позволяет
считать, что некоторые усредненные характеристики, вычисленные в определенном
временном интервале, дают адэкватное описание вибрационного состояния на этом
отрезке времени. Такое предположение оправдывается для широкого класса объектов
испытаний и вибрационных режимов [14]. Оно не выполняется при ударных воздей-
воздействиях (испытания ударом рассмотрены в гл. XXII).
Спектральные характеристики случайной вибрации. Свойства вибрации как
стационарного центрированного нормального процесса полностью определяются
в общем (векторном) случае ковариационной матрицей или ее преобразованием
фурЬе _ матрицей спектральных плотностей. В частном (скалярном) случае процесс
характеризуется корреляционной функцией или спектральной плотностью. Поскольку
испытуемые конструкции являются многорезонансными динамическими системами
с ярко выраженными частотно-избирательными свойствами, спектральные харак-
характеристики (собственные и взаимные спектры) наиболее наглядны и имеют определяю-
определяющее значение для инженера-испытателя. Режим испытаний случайной вибрацией
определяется спектральной плотностью виброускорения, контролируемого в одной
точке и в одном направлении, или матрицей спектральных плотностей при анализе
векторной вибрации.
Вибрационные испытания в широкой полосе охватывают обычно частотный
диапазон в одну-две декады. Случайная узкополосная вибрация возбуждается и
исследуется в полосе единиц или десятков герц.
Основные требования к виброиспытаниям. При проведении испытаний форму-
формулируют требования к следующим параметрам:
1) диапазону частот спектра вибраций в контрольных точках испытуемого изде-
изделия, которые определяются условиями нормальной эксплуатации изделия;
2) продолжительности испытаний, которая ограничивается испытательным
ресурсом изделия;
3) времени настройки системы на заданный режим;
4) точности воспроизведения и поддержания заданных спектральных характе-
характеристик в ходе испытаний.
В табл. 1 приведены примерные численные значения этих параметров для испы-
испытаний подвижных объектов [9, 14, 22].
1. Параметры испытаний подвижных объектов
Испытуемый
объект
Наземные подвиж-
подвижные объекты
Летательные алпа-
эаты
Частоты спектров
низшие
0—2 Гц
5—20 Гц
высшие
50—200 Гц
500—2000 Гц
Время проведения
испытаний
От нескольких ми-
минут до нескольких
часов
От нескольких де-
десятков секунд до не-
нескольких часов
Время настройки
системы на задан-
заданный режим, с
10-60 с
5-30 с
Примечание. Точность воспроизведения и поддержания спектра 1—1,5 дБ.
Из табл. 1 следует, что в ходе испытаний за короткое время необходимо вос-
воспроизвести заданные спектральные характеристики вибраций в широком диапазоне
частот и с достаточно высокой точностью. Решение этой задачи для одномерных и в
особенности для многомерных систем невозможно без применения автоматизирован-
автоматизированных систем управления виброиспытаниями. Именно поэтому современные испытания
случайной вибрацией являются автоматизированным машиноуправляемым экспери-
экспериментом, методика проведения которого неразрывно связана со структурой инфор-
информационно-управляющей системы,
АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ШИРОКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИИ 461
2. АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ
ШИРОКОПОЛОСНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВИБРАЦИИ
Общие принципы управления. Воспроизведение случайной вибрации с требуе-
требуемыми характеристиками на выходе многомерной вибросистемы основано на общих
принципах как для аналоговых, так и для
цифровых методов.
Вибросистемой будем называть испытуе-
испытуемое изделие вместе с присоединенными виб-
ровозбудителями и датчиками (рис. 1). В об-
общем случае может быть произвольное число
т вибровозбудителей и п ^= т контролируе-
контролируемых параметров вибрации (в различных
точках и направлениях). В этой главе бу-
будем полагать п= т, что является необхо-
необходимым условием управляемости [11]. На
практике датчики располагаются, как пра-
правило, вблизи точек возбуждения, в направ-
направлении вынуждающей силы. Эта система опи-
описывается матрицей передаточных функций
Но (р) — №/ (р))Т- Для воспроизведения на
ее выходе векторного случайного процесса
У = {lJl\m c заданной матрицей спектраль-
спектральных плотностей Syy (/со) с помощью генера-
УУ
горов стационарного белого шума (^
ГБШт) необходимо применять многомерный
формирующий фильтр 2 с матрицей передаточ-
передаточных функций Нфф (р). Матрица спектраль-
спектральных плотностей векторного процесса у =
-- {УAm на выходе системы определяется как
Рис. 1. Структурная схема системы уп-
управления спектральными характери-
характеристиками случайных процессов в об
щем случае:
/ — генераторы белого шума, 2 — уп-
управляемый формирующий фильтр; 3 —
усилители мощности; 4 — вибровозбу-
вибровозбудители; 5 — испытуемое изделие, 6 —
датчики; 7 — вычислительное устрой-
устройство — анализатор спектра, 8 — уп-
управляющее устройство
= Но* (/со) Нфф (/со) • S., (/со) Н|ф (/со) HJ (/со),
A)
где S|| = а2Е; а2—дисперсия выходного сигнала ГБШ; звездочка означает комплекс-
комплексное сопряжение.
Чтобы по заданной матрице S' (/со) определить матрицу формирующего фильтра,
необходимо знать матрицу частотных характеристик вибросистемы Но (/со), для чего
следует выполнить процедуру идентификации. После этого нужно реализовать фор-
формирующий фильтр с матрицей передаточных функций Н1ф (/со). Такой фильтр слож-
сложный и имеет высокий порядок из-за сложности динамических характеристик вибро-
вибросистем. Кроме того, формирующий фильтр нужно долго подстраивать вручную для
получения требуемой точности. Все операции необходимо повторять для каждого
нового объекта испытаний. Поэтому такой путь решения задачи оказывается непри-
неприемлемым для практики, хотя он и применялся на ранних стадиях развития испыта-
испытаний при создании разомкнутых систем.
Единственным практически возможным способом точного и быстрого воспроиз-
воспроизведения заданных спектральных характеристик является построение управляемого
формирующего фильтра (УФФ), который автоматически настраивается так, чтобы
получить на выходе объекта заданную матрицу спектральных плотностей S^y (/со)
при заранее неизвестных частотных характеристиках объекта. Для этого необходимо
(см. рис. 1) вычислять оценки элементов матрицы спектральных плотностей S^ (/со)
с помощью вычислительного устройства 7 (или анализатора спектров АС) и срав-
сравнивать их с заданными S°y (/со). Полученный вектор ошибок преобразуется в управ-
управляющем устройстве 8 в вектор управляющих воздействий на перестраиваемые пара-
параметры а элементов матрицы передаточных функций Нфф (/со). Замкнутая система,
462 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
представленная на рис. 1, является многомерным самонастраивающимся форми-
формирующим фильтром; который автоматически перестраивается при изменении частот-
частотных характеристик объекта управления и элементов матрицы S^ (/со). Изображен-
Изображенная на рис. 1 структурная схема является исходной для всех аналоговых, цифро-
вых и цифроаналоговых систем управления при виброиспытаниях широкополосной
случайной вибрацией.
Структуры аналоговых систем. Задача создания многомерного формирующего
фильтра, изменяющего частотные характеристики в широком диапазоне частот,
может быть решена с помощью параметризации, т. е. представления частотных
характеристик УФФ в виде разложения на элементарные функции и управления
параметрами этого разложения. В одномерном случае такое разложение выглядит
наиболее наглядно. Для этого случая уравнение A) имеет вид
Syy И = | Но №*>) ЯФФ (/°>- °) Г 03' Р)
°ткуда
syy
Из C) следует, что для получения заданной спектральной плотности Sny (со)
необходимо управлять только амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) УФФ.
Представим комплексную частот-
\! НуЮ характеристику УФФ в виде
п
Яффу», «)= 2 а'яФФ((/»);
щ > О для всех I, D)
где Яфф( (/со) — частотные характери
стики элементарных фильтров; аг —
компоненты вектора управляющих па-
параметров ес= {<Xi}n.
Если на элементарные формирую-
формирующие фильтры (ФФ() / действуют стати-
статистически независимые источники бело-
Рис. г. Амплитудно-частотные характеристи- го шума (т. е. исчезает взаимная кор-
корки вибросистемы || #„ (/и) и и фильтров реляция между их выходными сигна-
' ^фф i (зш) I лами), то в простейшем случае их
АЧХ можно аппроксимировать прямо-
прямоугольниками, каждый из которых выделяет i-ю частотную полосу (t = 1, ..., п).
На практике применяют узкополосные резонансные фильтры (кварцевые, магнито-
стрикционные или RLC) [9, 14), АЧХ которых приближаются к прямоугольным.
При этом допускается некоторое перекрытие характеристик соседних фильтров для
уменьшения погрешности аппроксимации. На рис. 2 представлена трапецеидальная
аппроксимация АЧХ I Яфф,-(/со) |, а на рис.3 — соотве1ствующий формирующий
фильтр УФФ. Поскольку практически перекрытие АЧХ имеет место только для двух
соседних фильтров, для устранения взаимной корреляции достаточно применить
два независимых генератора белого шума (ГБШХ и ГБШ2). Перемножители (Яг) 3 не-
необходимы для изменения параметров а,- в разложении D), причем положитель-
положительность а; обеспечивается выпрямителями (ВУ) 13.
Для измерения спектральной плотности процесса у на выходе вибросистемы
применяют известный анализатор спектра АС параллельного действия [2, 3, 9, 12,
14]. Сигнал у разделяется на п узкополосных компонентов анализирующими филь-
фильтрами (АФ;), 9 идентичных формирующим фильтрам ФФ;. Выходные сигналы фильтров
выпрямляются детекторами (В^— B^j 10 к сглаживаются фильтрами низких частот
(ФНЧ! — ФНЧ„) 11. Распределение узкополосных случайных процессов на выходах
АФ; близко к нормальному. Это дает возможность применять в качестве выпрямите-
выпрямителей 10 простые линейные детекторы. При нормальном процессе на входе математи-
математическое ожидание процесса на выходе линейного детектора пропорционально средне-
АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ШИРОКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИИ
463
квадратичному значению входного сигнала [2, 12]. Выходные напряжения ФНЧ
являются оценками амплитудного спектра в узких полосах частот. В реальных систе-
системах они регистрируются и отображаются на телевизионных трубках в логарифми-
логарифмическом масштабе [1, 9, 14]. Переход от логарифмических уровней «амплитудного»
спектра к уровням спектра мощности осуществляется простым удвоением соответст-
соответствующих уровней.
Оценки а! — ап сравниваются с эталонными значениями oi — о*, которые полу-
получаются в результате осреднения эталонного спектра в соответствующих диапазонах
частот. Сигналы ошибок ех — еп поступают в устройство управления, где усиливаются
усилителями обратной связи (Уоа — ^ося) 12- Их выходные сигналы, проходя через
выпрямители {Ву—B^jl3, управляют коэффициентами передачи а3—ал перемножи-
перемножителей Пг — Пп. В реальных системах перемножители Пх — Пп работают только при
значении а,- > 0, а приа; < 0 запираются, поэтому отпадает необходимость в выпря-
выпрямителях Ву — Вуп.
Рис. 3. Структурная схема замкнутой аналоговой системы управления спектром одномерных
случайных вибраций:
1 — генератор белого шума; 2 — формирующий фильтр; 3 — перемножитель; 4 — сумма-
сумматор; 5 — усилитель мощности, 6 — вибровозбудитель; 7 — испытуемое изделие; 8 — дат-
датчик; 9 — анализирующий фильтр; 10 — выпрямитель; // — фильтр низких частот; 12 —
усилитель обратной связи, 13 — выпрямитель в цепи управления
На основе описанного метода воспроизведения случайных вибраций реализованы
практические системы управления, которые имеют множество модификаций [2, 9, 14],
зависящих от типа применяемых фильтров (кварцевые или магнитострикционные
фильтры на высокой несущей частоте; активные или пассивные (RLC) фильтры в зву-
звуковом диапазоне частот), а также от типа обратной связи (системы АРУ и системы
по отклонению). Эти системы нашли широкое применение в мировой практике вибро-
виброиспытаний. Общим в них является использование узкополосных резонансных фильт-
фильтров в качестве единой аппаратурной базы для гтъп-язг и формирования случайных
процессов, а в некоторых случаях и для идентификации АЧХ объекта [1]. Действи-
Действительно, разомкнув систему рис. 3 и установив все напряжения на управляющих вхо-
входах перемножителей равными друг другу (а.1= ... — ап =Щ — const), на выходе
АС получаем значения АЧХ вибросистемы.
Как известно, оценки среднего значения спектра в узкой полосе частот являются
состоятельными, но смещенными [2, 12, 14]. Смещение зависит от точности ступен-
ступенчатой аппроксимации неизвестной прямой измеряемого спектра. В связи с этим число
фильтров, необходимых для работы в широком диапазоне, а также число замкнутых
каналов управления должно быть большим (несколько десятков).
Аналоговые методы создания многомерных случайных вибраций с заданными
спектральными характеристиками основаны на разложении матрицы частотных
464 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
характеристик формирующего фильтра Нфф аналогично D) [11]:
п
о, а) = 2 #фф( (/а) Н,- (а,),
E)
где #Л(Ь • (/<*>) — частотные характеристики узкополосных резонансных фильтров,
рассмотренные выше; Н, (а,) — последовательность эрмитовых матриц управляемых
Р<21>ехР(><21>)
p<m2>exP
<m2>)
«, = {о
(mm)
i(m-I,
F)
— мерный вектор параметров, причем
Схема УФФ для двумерного случая представлена на рис. 4, где изображены
пе; е^рестные связи в формирователе спектров для t-ro частотного диапазона, опре-
определяемого частотной характеристикой формирующего фильтра Яфф,- (/со). Необходи-
Необходимым и достаточным условием управляемости элементов матрицы спектральных плот-
плотностей S,,y (/w) при использовании разложения F) является невырожденность мат-
матрицы передаточных функций вибросистемы Но (/ш) (рис.4) на всех частотах [11],
"<р,> 04) "оОЧ)
нт О
>
Г
L
Г
¦Hg>
'; '2
0
5--
- *
нп
Н„
—1
У2
*,
Рис. 4. Структурная схема двумерного формирующего фильтра для г-го диапазона частот:
/ — формирующие фильтры, 2 — перемножители, управляющие собственными спектрами
по каждому пространственному каналу, 3 — перемножители, определяющие модуль взаим-
взаимного спектра в i-частотном диапазоне; 4 — управляемые фазовращатели, определяющие
фазу взаимного спектра в этом диапазоне, 5 — испытуемое изделие с возбудителями и дат-
датчиками (вибросистема)
Анализ взаимного спектра производят, вычисляя оценку действительной и
мнимой частей взаимного спектра двух узкополосных случайных процессов уг (t,
о);, Дш) и у2 (t, ti>i, Дсо) по известным формулам [2, 12]
т
G)
Aa>)dt>
где yl — процесс, сдвинутый по фазе относительно у% на 90°,
АНАЛОГОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ШИРИКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИИ 465
Структурная схема анализатора взаимного спектра, выполняющего вычисление
по формулам G), представлена на рис. 5. Анализатор спектра и УФФ для всего час-
частотного диапазона представляет собой параллельное соединение нескольких десят-
десятков устройств, изображенных на рис. 4 и 5. Замкнутая аналоговая система управ-
управления двумерным случайным вибропроцессом, построенная в соответствии со схемой
показанной на рис. 1, и включающая вышеописанные АС и УФФ, реализуется на
практике с помощью сложных и дорогостоящих устройств, число которых резко
возрастает с увеличением пространственной размерности случайных вибраций [И].
Рис. 5. Структурная схема ана-
анализатора взаимных спектров
для «-го диапазона частот:
/ — анализирующие фильтры;
2 — фазовращатель на 90°, 3—
фильтр низких частот; 4 — пе-
перемножитель
Рис. 8. Структурная схема зам-
замкнутой цифровой системы управ-
управления спектральными характе-
характеристиками векторных случай-
случайных вибраций:
/ — процессор для выполнения
быстрого преобразования Фурье;
2 — блок, реализующий алго-
алгоритм спектрального анализа;
в — блок, реализующий алго-
алгоритм управления, 4 — блок,
реализующий алгоритм генери-
генерирования случайных процессов;
5 — цифро-аналоговый преобра-
преобразователь; 6 — аналого-цифровой
преобразователь; 7 — вибровоз-
вибровозбудитель; 8 — датчик; 9 — ис-
испытуемое изделие; 10 — усили-
усилитель мощности
Поэтому аналоговые методы широко применяют на практике лишь для создания
одномерных случайных вибраций. Виброиспытания на многомерные случайные вибра-
вибрации проводят в основном с помощью цифровых методов.
Схемы, изображенные на рис, 5, применяют для последовательного анализа
взаимного спектра. В этом случае анализирующие фильтры являются сопровождаю-
сопровождающими фильтрами, средняя частота которых плавно перестраивается в диапазоне
частот спектрального анализа [3].
При имитации нестационарных вибраций с медленно изменяющимися характе-
характеристиками требуется отработка определенной программы изменения заданных спек-
спектральных характеристик во времени на отдельных участках локальной стационар-
стационарности. Решение этих задач с помощью аналоговых методов существенно проще по
16 п./р. Генкина М. Д , т. 5
466 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
сравнению с цифровыми методами, так как процессы управления в аналоговых систе-
системах происходят одновременно с генерироранием и анализом случайных сигналов.
Поэтому заданные спектры отрабатываются аналоговыми системами в течение вре-
времени, определяемого длительностью переходных процессов (до 10 с). Изменение ре-
режима испытаний может выполняться изменением положения потенциометров, опре-
определяющих эталонные напряжения а* а% (см. рис. 3) и, следовательно, форму
задаваемого спектра. В некоторых системах эти потенциометры выполнены в виде
цифровых аттенюаторов, управляемых от ЦВМ, которая задает программу измене-
изменения спектральных характеристик во времени.
3. ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ
ШИРОКОПОЛОСНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВИБРАЦИИ
Общие принципы управления. Развитие цифровой вычислительной техники
привело к применению ЦВМ не только для обработки экспериментальных данных,
получаемых при виброиспытаниях, но и для непосредственного управления режимом
испытаний. Структурная схема цифровой системы представлена на рис. 6. Вектор
выходного сигнала у = {ylt y2, Уз\ датчиков преобразуется аналого-цифровыми пре-
преобразователями АЦП в цифровые коды, которые обрабатываются в управляющей
ЦВМ. На входы вибровозб^дителей подаются усиленные по мощности аналоговые
сигналы х = {хг, х2, х3}, получаемые обратным (цифроаналоговым) преобразованием
цифровых кодов, генерируемых ЦВМ.
Основная задача, возникающая при практической реализации цифровых методов
управления при испытаниях случайной вибрацией, заключается в разработке мате-
математического обеспечения управляющей ЦВМ. Здесь рассмотрены алгоритмы, состав-
составляющие содержательную часть пакета прикладных программ математического обес-
обеспечения систем управления виброиспытаниями. Техническая реализация этих систем
связана также с разработкой операционных систем, сервисного математического
обеспечения и прочими вопросами системного программирования. Излагаемые ниже
алгоритмы математического обеспечения для одномерного случая являются в основ-
основном общепринятыми решениями в современных цифровых системах [16, 21]. Описание
многомерных систем основано на работах [15, 18].
Алгоритмы генерирования случайных процессов [АГСП|. Алгоритмы с задан-
заданными статистическими характеристиками (см. рис. 6) для одномерного случая основаны
на разложении Раиса—Пирсона:
м
x(kAt) = ^ A(iAa)cos[iAwkAt-\-(f(iA(i,)i, k = 0, ... , N—l, (8)
1 = 0
где Дм — шаг квантования по частоте; Д* — шаг квантования по времени; М — число
гармоник; амплитуда А определяется требуемой спектральной плотностью
A (i Дю) = V2SXX (i Дш) Дт, (9)
Ф (гДю) — случайная фаза, равномерно распределенная в диапазоне [—я, я].
Непосредственное вычисление ординат временного ряда х (kAt) по формуле (8)
сопряжено с длительными вычислениями. Для ускорения вычислений применяют
алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) [см. Т. 1, введение]. Поскольку
для вычисления х (kAt) необходим переход из частотной области Sxx (со) во временную
используют обратное преобразование (ОБПФ) [1,19].
Число дискрет временного ряда, подвергаемого БПФ, или число коэффициентов
Фурье, над которыми выполняется ОБПФ, должно быть 2Р, где р — целое число
12, 7]. В практических системах N = 1024 -=- 2048 ординат, М = 256 н- 512 гармо-
гармоник. Для перехода к новой реализации х (kAt) с той же спектральной плотностью
Sxx («) следует прогенерировать новый набор случайных фаз срг и по (9) рассчитать
новый массив х (kAt), (k = 0, ..., N — 1).
Вопрос замены широкополосного случайного процесса полигармоническим
подробно исследован в работе [20] и отчасти в работе [13]. Результаты этих исследо-
исследований подтверждают, что при равномерном распределении случайной фазы, если
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ШИРОКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИИ 467
число гармоник М генерируемого процесса достаточно велико, моментные характе-
характеристики процесса (8), вычисленные при усреднении как по ансамблю реализаций
[13], так и по времени [8], практически совпадают с соответствующими характеристи-
характеристиками гауссовского процесса. Например, эксцесс распределения процесса (8) убывает
пропорционально М'1.
Объем массива N ординат временного ряда х (kAt) ограничивается объемом памя-
памяти. Как правило, время возбуждения колебаний в объекте при виброиспытаниях
значительно превышает длину реализации х (kAt). Для преодоления этой трудности
существуют два пути. Первый путь является наиболее простым с точки зрения техни-
технической реализации, поскольку не требует никакого дополнительного оборудования.
Он сводится к циклическому повторению реализации х (kAt), записанной в памяти
ЦВМ, в течение сколь угодно длительного интервала времени [16, 18]. При этом полу-
получается псевдослучайный периодический процесс с линейчатым спектром [17]. Второй
путь требует применения специализированного процесса БПФ (см. рис. 6), который
позволяет существенно увеличить скорость обработки информации по алгоритмам
БПФ. Это дает возможность повторять реализации х (kAt) не более 2—3 раз, вычисляя
одновременно новую реализацию ха (kAt) с новым набором случайных фаз ср (/Дсо).
После этого реализация заменяется на хн, и процесс повторяется в течение всего
времени испытания. При этом усложняется организация вычислительного процесса,
но устраняется периодичность сигнала х (kAt), возбуждающего вибросистему.
Разложение (8) для случая генерирования m-мерного случайного процесса х
с управляемой матрицей спектральных плотностей Sxx (/со) формируется согласно
следующему выражению [12, 14]:
м
х (k At) = 2 Re 2 НФ< (/' Ащ. а<) Si О At)< A0)
(=1
где Нф^ (//Дсо, а,-) — последовательность эрмитовых матриц для формирования соб-
собственных и взаимных спектров; а,- — вектор управляемых параметров размерности
т2. Они имеют вид F) как матрицы и векторы для аналоговых систем, но с заменой
диагональных элементов а*.л), ..., а'.тт) на амплитуды гармоник А (гДсо), ...,
Д(тт> (/Дсо), определяющие собственные спектры компонент процесса х (kAt). Такая
же замена делается в первых т компонентах вектора а^ в F).
Вектор l,i (kAt) является /я-мерным вектором с компонентами:
?,- (k At)={exp [j (/ Aak Л^ + ф1 (» Aw))] exp [/ (i Дсо? At + q>m (i Дсо))]},
«=1, ... M, A1)
где фг ((Дсо) (I = 1, ..., m) — статистически независимые случайные фазы, равно-
равномерно распределенные в диапазоне [— я, я]. Для ускорения вычислений по формуле
A0) с помощью алгоритма ОБПФ необходимо вычислить коэффициенты Фурье
а\1) и Ь^Р (I = 1, ..., т) для каждой компоненты процесса х = {х1 хт]. Подроб-
Подробности применения ОБПФ для генерирования многомерных процессов вида A0)
изложены в работе [18].
Алгоритмы спектрального анализа (АСА, см. рис. 6). Применение алгоритма
БПФ для спектрального анализа достаточно подробно описано в литературе [2, 7].
Последовательность операций при таком спектральном анализе сводится к вычисле-
вычислению коэффициентов Фурье Y1'1 (/г'Дсо) временных рядов i/i (k) (I = 1, ..., т) — про-
процессов на выходах датчиков (см. рис. 6), после чего вычисляются периодограммы
или выборочные собственные /'"' (г) и взаимные 1ап (г) спектры в виде [2, 7]
[in, (i) = JL ( уч, (,-) |2; rin {0 = Ц. уч> (,¦) уп ((). A2)
Затем необходимо выполнить сглаживание «сырых» периодограмм A2), поскольку
последовательности ldr) (i) и Illr> (i), как и исходные последовательности yr (k),
являются случайными. При этом можно воспользоваться известным методом сглажи-
сглаживания периодограмм с помощью спектральных «окон» [2, 7], Однако в замкнутых
16*
468 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
автоматизированных системах виброиспытаний этим методом не пользуются. Это
связано с тем, что, исходя из свойств алгоритма БПФ, шаг по частоте Af=-=r- =
р
— . ' . и оказывается малым. При виброиспытаниях измеряют и управляют диспер-
N At л
сиями в узких полосах частот о/, в которых помещаются несколько ординат выбороч-
выборочных спектров с шагом А/. В связи с этим используют среднее значение ординат в
полосах частот Ьщ (q = 1, ..., L); 8ш > Дш; L < М. Оценки спектра, полученные
таким образом, являются в достаточной мере сглаженными [15].
Таким образом, в качестве оценок собственных и взаимных спектральных ^плот-
^плотностей используют L значений выборочных собственных спектров, а также действи-
действительной и мнимой частей выборочных взаимных спектров, усредненных в полосах
частот Ьщ:
Srr(qba); Re Sri (<? 6cu); Im S n (q fia>); q=l,...,L\ r, 1=1 m.
Быстрое преобразование Фурье является единой алгоритмической базой для
генерирования и анализа случайных процессов в цифровых системах подобно тому,
как в аналоговых системах та же задача решается с помощью единой аппаратурной
базы — узкополосных фильтров. В связи с этим большое значение имеет применение
специализированных процессов БПФ (см. рис. 6), которые позволяют на несколько
порядков уменьшить время выполнения БПФ и ОБПФ по сравнению с программной
реализацией этих алгоритмов в УВМ и, таким образом, существенно увеличить эффек-
эффективность цифровых систем.
Алгоритмы управления и идентификации (рис. 6). Для управления виброиспы-
виброиспытаниями применяют управляющие ЦВМ средней и малой мощности. В таких машинах
алгоритмы генерирования, анализа и управления реализуются последовательно во
времени. Как в многомерном, так и в одномерном случае в начале процесса управле-
управления выполняется процедура идентификации частотных характеристик вибросистемы.
Она заключается в том, что на вход первого вибровозбудителя подают процесс вида
(8) с одинаковыми амплитудами A (i) : А A) = ... = А (М) = Ао. На выводах всех
датчиков регистрируются реакции у (kAt) = {yx (kAt) ym (kAt)). После выпол-
выполнения над ними БПФ получают комплексные массивы коэффициентов Фурье:
Yl (/(Доз), ..., Ym (/(Доз). После этого вычисляют первый столбец матрицы частотных
характеристик:
пи (п Доз) = -гт— — =
X, (/( Доз) А1
nmi f/t ДСй) = т.———: == —
Затем тот же процесс х (kAt) подается на второй вибровозбудитель (ему присваи-
присваивается индекс х2), повторяются все вышеуказанные операции, вычисляется второй
столбец матрицы Но (/lAco) : #12, ..., Нтъ и так до тех пор, пока не будут определены
все т столбцов матрицы частотных характеристик.
Для управления в одномерном случае, как следует нз B) и C), необходимо знать
только модуль частотной характеристики вибросистемы. Поэтому A3) имеет вид
Ад
Значения элементов матрицы для Яо> усредненные в диапазонах частот боз
хранятся в памяти ЦВМ.
Следующим этапом является нахождение нулевого приближения вектора а@)
управляемых параметров, определяющих спектральные характеристики сигналов
возбуждения. Как следует из A1), матрица спектральных плотностей случайного
вектора ? является единичной, поэтому уравнение A) имеет вид
syу (/<70ш) = Но (/(?бсо) Нф (jqbet, ag) Нф (jq6&, aq) Щ (/<?боз) (] 4,
9=1 L.
ЦИФРОВЫЕ МЕТОДЫ СОЗДАНИЯ ШИРОКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИИ 469
Задача нахождения нулевого приближения сводится к решению A4) с матрицей
Нф, определяемой из F), относительно тг компонент вектора ая @) = \A'Jl> @),
А^ф), .... Afm)(Q), p<t«>@) 6</2>(О), ...}. При этом заданными являются
матрицы Syy — S*^ и Но. Последняя определяется в результате выполнения процедуры
идентификации.
В одномерном случае задача существенно упрощается [ см. (8) и (9)]:
m, (96@) 6ш
_. A5
В соответствии с принципом разбиения диапазоны <?йсо включают несколько
дискретных частот, разделенных малым промежутком Асо. Поэтому значения компо-
компонент вектора а, определенные для диапазона бсо, присраиваются всем гармоникам,
входящим в этот диапазон.
После определения вектора управляемых параметров а генерируются возбуж-
возбуждающие сигналы с соответствующими амплитудами и фазами и регистрируется реак-
реакция вибросистемы. Для того чтобы исключить влияние переходных процессов и ана-
анализировать установившиеся реакции вибросистемы, реализации входных процессов
непрерывно повторяют 2 раза, и только после этого (на третий раз) начинают отсчет
ординат установившегося отклика.
При полной адэкватности математической модели и объекта и отсутствии помех
процесс управления мог бы быть на этом закончен. В действительности это вряд ли
возможно, так как существование нелинейных искажений в вибросистеме, погреш-
погрешностей измерений и шумов приборов всегда приводит к существенным различиям
спектральных характеристик выхода, измеренных после генерирования сигналов
по нулевому приближению, от заданных. Для более точной настройки на требуемый
режим следует воспользоваться итерационными процедурами, сходящимися к задан-
заданным значениям оценок спектральных плотностей при наличии случайных возмущений
и нелинейных искажений. Такими свойствами обладают процедуры стохастической
аппроксимации [15]. Оценки собственных и взаимных спектров можно представить
в виде вектора с компонентами sy — {Sn,..., Smm, Re Sls, ..., Re Sm_lt m, Im S]3, ...,
Im Sm_lt m}, имеющего размерность /n2. Тогда по формулам F) и A4) можно опреде-
определить матрицу чувствительности (матрицу Якоби) системы [15]
и построить градиентные алгоритмы стохастической аппроксимации типа Роббинса—
Монро, оптимальные по скорости сходимости
ад(п+1 =о?(я) + у(я)[Д(о„(л))]-1(8*((,)-81/Ы(п)) A6)
где л — номер шага итерационного процесса; s* . , — заданное значение вектора
оценок спектральных характеристик в полосе частот q§a>, у (п) — гармонический ряд;
При правильном выборе начального приближения значительно ускоряется схо-
сходимость алгоритма A6). Поэтому расчет нулевого приближения aq @) имеет важное
значение для улучшения сходимости алгоритма.
Таким образом, процесс итерационного управления заключается в коррекции
вектора управляемых параметров а по алгоритму A6). После каждого шага коррек-
коррекции генерируются новые процессы х, регистрируются реакции у, определяется вектор
их спектральных характеристик sv, и так до тех пор, пока во всех частотных диапа-
диапазонах норма вектора ошибки en = s* — &у (л) не станет меньше некоторого числа 6
После этого процесс A6) прекращается,
470
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
После окончания процесса управления переходят к режиму испытаний. В этом
режиме сформированные реализации векторного процесса х возбуждают вибросистему
в течение длительного времени (с учетом высказанных выше замечаний по поводу
периодичности).
Изменение заданного режима при испытаниях, проводимых с помощью цифровых
систем, выполняется следующим образом. Вышеописанная процедура выполняется
для каждого набора спектральных характеристик, которые необходимо воспроизвести
при испытаниях. Реализации входных сигналов возбуждения вибросистемы, соответ-
соответствующие каждому набору эталонных спектров, записываются на промежуточном
носителе информации (чаще на магнитографе) либо хранятся в памяти ЦВМ, откуда
они считываются в течение заданных ин-
интервалов времени при проведении испы-
испытаний.
Сравнение цифровых и аналоговых
систем. 1. С точки зрения технической
реализации предпочтительнее цифровые
системы. Аналоговые системы требуют
большого количества нестандартного обо-
оборудования, которое используется только
для конкретных узких целей, достигае-
достигаемых этими системами. Цифровые системы
построены в основном на серийных управ-
управляющих ЦВМ и их штатных устройствах
связи с объектом, которые при использо-
использовании другого пакета прикладных про-
программ могут служить и для иных целей
(обработка информации, управление дру-
другими объектами и т. п.).
2. Цифровые системы обладают боль-
большей гибкостью при реализации алгорит-
алгоритмов идентификации, управления, спект-
спектрального анализа и генерирования слу-
случайных процессов. Одна и та же машина
может обслуживать разные типы стендов.
3. Преимуществом аналоговых систем
является то, что случайный процесс, гене-
генерируемый в них, является непериодиче-
непериодическим процессом со сплошным спектром,
поскольку он порождается физическими источниками. В цифровых системах легко
получается только псевдослучайный периодический процесс с дискретным спектром.
Избавиться от этого недостатка можно только с помощью достаточно сложных мер как
программного, так и аппаратурного характера.
В связи с этим разработаны гибридные системы [18], в которых генерирование
выполняется одно- или многомерными аналоговыми формирующими фильтрами,
описанными в п. 2, а управление, анализ и идентификация — с помощью управляю-
управляющих ЦВМ. Они обладают многими преимуществами аналоговых и цифровых систем.
Перспективными являются цифровые системы управления ^иброиспытаниями
на случайную вибрацию использующие методы цифровой фильтрации случайных
процессов [4, 10], В таких системах формирование частотных характеристик управ-
управляемого фильтра выполняется с помощью цифровых нерекурсивных фильтров [10],
Многомерный цифровой формирующий фильтр МЦФ (рис. 7) является по существу
специализированным процессором (СП), содержащим устройство управления (УУ),
оперативное запоминающее устройство (ОЗУ), блок сопряжения (БС) с управляющей
мини-ЭВМ, генератор псевдослучайных тестовых сигналов (ГТС) и блок генераторов
белого шума (ГБШ). ГТС служит для определения динамических характеристик
вибросистем в режиме идентификации, а ГБШ — для генерирования белого шума
в режимах испытаний и итерационного управления. Благодаря быстродействию такого
СП алгоритмы нерекурсивной цифровой фильтрации работают в реальном времени,
что позволяет, с одной стороны, произвольным образом изменять форму спектральной
Рис. 7. Система с цифровыми фильтрами.
/ — специализированный процессор; 2 —
многомерный цифровой фильтр; 3 — гене-
генератор тестового сигнала; 4 — блок генера-
генераторов белого шума, 5 — ©перативное запо-
запоминающее устройство; 6 — устройство уп-
управления, 7 — блок сопряжения с мини-
ЭВМ, 8 — коммутатор сигналов; 9 —циф-
роаналоговый преобразователь; 10 — ана*
лого-цифровой преобразователь: // — ви-
вибросистема: 12 —управляющая мини-ЭВМ
ИСПЫТАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ УЗКОПОЛОСНОИ ВИБРАЦИЕЙ
471
плотности сигнала, генерируемого ГБЩ, с другой стороны, избавиться от периодич-
периодичности случайного процесса на выходе МЦФ. Спектральный анализ и управление
осуществляются в управляющей мини-ЭВМ аналогично описанной выше цифровой
системе.
4. ИСПЫТАНИЯ СЛУЧАЙНОЙ УЗКОПОЛОСНОЙ ВИБРАЦИЕЙ
Широкое распространение получили методы испытаний случайной узкополосной
вибрацией с переменной во времени средней частотой. Они имеют следующие преиму-
преимущества:
1) возможность получения значительных уровней нагрузки с помощью менее
мощного оборудования;
2) возможность применения более простой аппаратуры управления, требующей
менее квалифицированного персонала.
Основными задачами являются определение закона изменения средней частоты во
времени и закона изменения вибрации в зависимости от частоты. При определении
этих законов руководствуются соображе- , ,
ниями некоторой эквивалентности испы- >см с
таний на узко- и широкополосные слу-
случайные вибрации. Она установлена, на-
например, для испытаний на усталостную
прочность, при которых требуется иден-
идентичность распределения максимумов и
минимумов нагрузки при узко- и широ-
широкополосных вибрациях [3, 6, 20]. Уста-
Установлено [9, 14], что такая идентичность
имеет место в том случае, когда средняя
частота / измеряется по логарифмическо-
логарифмическому закону, а среднеквадратичное значе-
значение виброускорения пропорционально
квадратному корню частоты К/ • Для
удобства назначения режима испытаний
вводят параметр у (bg-c1^2), который на-
называется градиентом ускорения и имеет
вид [1,8]
"*
а — спектральные плотности узкополосной
Оу и широкополосной вибрации, б — струк-
У^— г , A7) турная схема системы: I — привод ска-
у 2я/ нирования частоты, 2 — виброметрическая
аппаратура, 3 — датчик, 4 — испытуемое
где оу- среднеквадратичное значение ^^щ7о&??^^юкЪУ<?
виброперегрузки (по ускорению в еди- гулятор усиления, 8 - сопровождающий
НИЦЭХ g=9,8l MC 2) При УЗКОПОЛОСНОМ фильтр; 9 — генератор белого шума
возбуждении. Если ау должно быть про-
пропорционально V/, то градиент ускорения при испытаниях на узкопбЛосную виб-
вибрацию — постоянная величина. Время испытаний при логарифмическом изменении
частоты
/„ = 20р?ш1п^-, A8)
/н
где /в и /н — соответственно высшая и низшая частоты диапазона, в котором произ-
производится сканирование; ty и tm — время проведения испытаний при узко- и широко-
широкополосной вибрации; р — масштабный коэффициент.
Для воспроизведения условий, возникающих при широкополосной вибрации
с равномерной спектральной плотностью So в полосе частот /н и /в (см. рис. 8, а),
градиент ускорения вычисляют по формуле [1,8]
4ft,
ср
A9)
472 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
где kc = - \ \Ha(j(o)\da> — средний коэффициент передачи вибросистемы;
Но (р) — ее передаточная функция.
В соответствии с A8) и A9) режим испытаний на узкополосную вибрацию опре-
определяется коэффициентами р и q. Коэффициент q может изменяться от 1,14 (при прос-
простых испытаниях) до 3,3 (при ускоренных испытаниях). Коэффициент р изменяется
соответственно в пределах 0,65—0,025.
На рис. 8, а показаны спектральные плотности узкополосных и широкополосных
вибраций. Наклон штриховой линии (tga), определяющий скорость нарастания
спектральной плотности при изменении средней частоты f, равен квадрату градиента
ускорения.
Известно большое число промышленных систем автоматизации испытании на
узкополосную случайную вибрацию [3, 9]. Они построены по схеме, показанной на
рис. 8, б. Узкополосный случайный процесс с переменной во времени центральной
частотой / получается с помощью генератора белого шума и сопровождающего фильт-
фильтра, центральная частота которого изменяется приводом сканирования частоты
(ПСЧ). Скорость вращения ПСЧ регулируется в широких пределах. Среднеквад-
Среднеквадратичное значение узкополосных вибраций на выходе вибросистемы стабилизируется
с помощью системы автоматической регулировки усиления (АРУ). Сигнал обратной
связи АРУ поступает с выхода виброметрической аппаратуры ВА.
Приращению среднеквадратичного значения сигнала, пропорциональному Vf,
соответствует в логарифмическом масштабе наклон 3 дБ на октаву. Поэтому на вы-
выходе ВА (перед входом АРУ) включается фильтр, имеющий затухание 3 дБ на октаву.
Это и обеспечивает постоянство градиента ускорения при сканировании средней
частоты.
5. ИСПЫТАНИЯ РЕАЛЬНОЙ ВИБРАЦИЕЙ
Задачи испытаний. Под испытаниями реальной вибрацией понимают воспроиз-
воспроизведение на выходе вибросистемы, состоящей из вибростенда и испытуемого изделия,
мгновенных значений реализации вибропроцессов, записанных в натурных усло-
условиях на один из носителей информации. Такие испытания проводят, когда в процессе
нормальной эксплуатации на исследуемую конструкцию воздействуют существенно
нестационарные процессы, которые не удовлетворяют гипотезе локальной стационар-
стационарности (п. 1). Способы воспроизведения широкополосных случайных вибраций, опи-
описанные в пп. 2, 3, в данном случае оказываются неприемлемыми. Записи реальных
вибраций могут иметь различную форму и длительность, что существенно отличает их
от различных эталонных ударных воздействий, воспроизведение которых рассмотрено
в гл. XXII. Таким образом, испытания на реальную вибрацию занимают промежуточ-
промежуточное положение между испытаниями случайной вибрацией и ударными испытаниями.
Коррекция частотных характеристик. Как известно, динамические свойства
вибросистем описываются передаточными функциями высокого порядка. Поэтому
замыкание обратной связи непосредственно по мгновенным значениям датчика виб-
виброперегрузок в контрольной точке испытуемой конструкции невозможно, так как
нельзя обеспечить требуемую глубину обратной связи без нарушения условий устой-
устойчивости. В связи с этим применяют различные методы коррекции частотных харак-
характеристик вибросистем, разомкнутых по задающему сигналу. Целью этой коррекции
является максимально возможное приближение к единице передаточной функции
вибросистемы с корректирующим фильтром в заданном диапазоне частот. Тогда сиг-
сигнал, записанный на одном из носителей информации, проходит через такую вибро-
вибросистему с минимальными искажениями.
Коррекция частотных искажений вибросистем может быть выполнена средствами
аналоговой и цифровой техники. При использовании аналоговых методов коррекции
в качестве носителя информации, на котором записаны реализации реальных вибро-
вибропроцессов, применяют устройства магнитной записи (магнитофоны и магнитографы).
В случае цифровой коррекции отдельные реализации вибропроцессов вводятся в па-
память ЦВМ,
ИСПЫТАНИЯ РЕАЛЬНОЙ ВИБРАЦИЕЙ 473
Аналоговые методы коррекции делят на параллельные и последовательные.
В гл. XXII рассмотрены методы параллельной коррекции динамических характерис-
характеристик ЭГВ с помощью местных корректирующих обратных связей (например, по ско-
скорости). Эти методы могут быть применены при испытаниях реальной вибрацией.
Методы параллельной коррекции предпочтительны при использовании ЭГВ, которые
являются замкнутыми следящими системами.
Для работы с ЭДВ более широкое распространение получили методы последо-
последовательной коррекции. Их суть в том, что последовательно с усилителем мощности
ЭДВ на его входе включается корректирующее звено, выравнивающее частотную
характеристику вибросистемы. Основная трудность этого метода заключается в том,
что невозможно добиться точной компенсации частотных искажений нагруженного
вибровозбудителя. Это объясняется тем, что корректирующие звенья оказываются
физически нереализуемыми, т. е. степень полинома числителя их передаточной
функции выше степени полинома знаменателя. В связи с этим последовательная кор-
коррекция частотных характеристик вибросистемы с ЭДВ возможна только в определен-
определенных полосах частот. В качестве корректирующего звена применяют также систему
параллельно включенных резонансных узкополосных фильтров, подобных форми-
формирующим фильтрам в аналоговых системах управления случайной вибрацией (п. 2).
Однако такой метод позволяет скорректировать только амплитудно-частотную харак-
характеристику. Фазовые искажения могут оказаться значительными.
Таким образом, аналоговые методы воспроизведения реальных вибраций яв-
являются приближенными. Точность этих методов может быть повышена с помощью
применения цифровой техники и создания цифроаналоговых (гибридных) систем.
Алгоритм последовательной перезаписи программ (АПП, гл. XXII) успешно функ-
функционирует и в случае испытаний реальной вибрацией. Необходимым условием схо-
сходимости АПП является неравенство A6) из указанной главы. Оно выполняется, когда
частотная характеристика скорректирована соответствующим образом с помощью
аналоговых средств.
Цифровые методы коррекции основаны на вычислении реализаций входных
слгналов вибросистемы х (t), рассчитанных по результатам идентификации ее дина-
динамических характеристик таким образом, чтобы реализации выходных сигналов виб-
вибросистемы у (f) равны требуемым у° (t). Практически осуществление цифровых ме-
методов связано прежде всего с выполнением процедуры идентификации частотных
характеристик вибросистемы с помощью техники БПФ. После идентификации вы-
выполняют расчеты реализации входного процесса х (t) одним из двух способов.
Первый способ заключается в применении алгоритмов прямого и обратного БПФ
и подробно описан в п. 3. Он более предпочтителен, так как используется стандартное
математическое обеспечение вычислительных комплексов для управления виброис-
виброиспытаниями. Второй способ заключается в синтезе цифрового корректирующего
фильтра с передаточной функцией Нк(г) (г = ерГ°— переменная г-преобразо-
вания; То — интервал дискретизации по времени).
Фильтр должен удовлетворять соотношению
HK(z)Z{H0(p)} = l, B0)
где Z — символ оператора z-преобразования; Но (р) — передаточная функция
вибросистемы.
Соотношение B5) удовлетворяется только для физически нереализуемого фильт-
фильтра. В данном случае это не является серьезным препятствием, так как в памяти ЦВМ
хранится вся реализация требуемого вибропроцесса. Поэтому в один и тот же момент
времени для вычисления реакции фильтра доступны как прошлые, так и будущие
значения ординат. Через синтезированный таким образом фильтр пропускается
реализация требуемого процесса. На выходе фильтра получается реализация вход-
входного процесса, возбуждающего вибросистему. Недостатком этого метода является
необходимость дополнительной разработки нестандартных алгоритмов и программ
математического обеспечения,
474 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
6. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫБОРУ МЕТОДОВ ИСПЫТАНИЙ
Рассмотренные принципы построения различных систем упра&тения виброиспы-
виброиспытаниями на случайную вибрацию позволяют сформулировать рекомендации по выбору
типов испытаний.
1. Если испытуемые конструкции являются простейшими колебательными систе-
системами с одной степенью свободы или вынуждающая сила в натурных условиях явля-
является узкополосным случайным процессом со значительной мощностью, сосредоточен-
сосредоточенной в окрестности некоторой центральной частоты, то достаточно провести испытания
на узкополосную случайную вибрацию.
2. При широкополосном возбуждении сложных механических конструкции
с большим числом степеней свободы необходимо проводить испытания на широкопо-
широкополосную случайную вибрацию. Если в данной конструкции возможны сложные про-
пространственные движения, то для наилучшего приближения условий эксперимента
к натурным следует воспроизводить многомерные (векторные) вибрации.
3. Если сложные многорезонансные объекты необходимо испытать в течение
короткого отрезка времени, в течение которого невозможно определить, являются ли
вибрации стационарными или нестационарными процессами, то следует применять
методы испытаний на реальную вибрацию или удар,
Список литературы
1. Автоматическое управление вибрационными испытаниями / А. Г. Гетманов,
П. И. Дехтяренко, Б. Ю. Мандровский—Соколов и др. М.: Энергия, 1978. ПО с.
2. Бендат Дно, Пнрсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1974.
463 с.
3. Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы «Брюль и Къер» для изме-
измерения механических колебаний и ударов. Себорг; Изд-во фирмы «К- Ларсен и сын», 1973.
308 с.
4. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. Богяерз и Д. Константв нидиса.
М.; Мир. 1976. 215 с.
6. Гиц И. Д., Таций В. Г. К вопросу о точности управления процессом усталостных
испытаний. — В кн. Проблемы надежности в строительной механике. Материалы 2-й Все-
Всесоюзной конференции по проблемам надежности в строительной механике. Вильнюс. 1968,
с. 245-252.
6. Гиц И. Д., Таций В. Г. Расчет усталостной долговечности при случайных нагруз-
нагрузках. — Прикладная механика. 1970, т. VI, вып. 2, с. 110 — 117.
7. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. В 2-х т. М.: Мир,
1971 т. 1, 316 с, т. 2, 288 с.
8. Коловский М. 3. О замене случайного вибрационного воздействия полигармони-
полигармоническим процессом. — Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1963, № 2, с. 93 —
9. Кузнецов А. А. Вибрационные испытания элементов и устройств автоматики М.:
Энергия, 1976. 116 с.
10. Леусенко А. Е., Ярмолик В. Н., Петровский А. А. Цифровой генератор случайных
процессов на базе простых цифровых схем. — Изв. вузов СССР Приборостроение. 1977.
№ 12, с. 39 — 42.
11. Лычак М. М., Матвиенко Н. К., Туник А. А. О самонастраивающихся формирую-
формирующих фильтрах для воспроизведения векторного случайного процесса с заданной спектраль-
спектральной матрицей. — В кн.: Кибернетика и вычислительная техника Киев: Наукова думка,
19/4, вып. 23, с. 65—70.
12. Мирский Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов
М. — Л.: Энергия. 1967, 455 с.
13 Пирсон В. Д. Ветровые волны. — В кн.: Ветровые волны / Под ред. Ю М Крылова
М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 350 с.
14. Случайные колебания / Под ред. в. Кренделла. М.: Мир, 1967. 356 с.
15 Туник А. А., Мовсесян В. М. Об алгоритмах управления цифровой системы вос-
воспроизведения векторного случайного процесса с заданной спектральной матрицей. — В кн :
Кибернетика и вычислительная техника. Киев, Наукова думка, 1975. с. 98 — 107.
16 Туник А. А., Пойда В. Н., Лобовкин М. И. Применение ЭВМ для автоматизации виб-
виброиспытаний при случайных возмущениях. — Механизация и автоматизация производства,
1 У / 1 ¦ Jw I U С. 2/ <3 — 2, о.
17. Френке Л. Теория сигналов /Пер. с англ. М.: Советское радио, 1974. 343 с.
18. Цифровые и гибридные способы управления спектральными характеристиками
векторных случайных процессов / А. А. Туник, Б. Ю. Мандровский—Соколов, В. Н. Пойда,
М. И. Лобовкин. — В кн.: Кибернетика и вычислительная техника Киев: Наукова думка'
1973, вып. 20. с 110 — 117.
19. Чеголин П. М., Пойда В. Н. Методы, алгоритмы и программы статистического ана-
анализа. Минск; Наука и техника, 1971. 250 с.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 475
20. CrandalJ S. H., Mark W. D. Random vibration in Mechanical Systems N. Y. — Lnd.
Acad. Press, 1963.
21. Ratz A. G. Random Vibration Test Systems Using Digital Equalizers. Symp. of Amer.
Control Council on Stoch. Probl. in Control 16-th Annual Meeting and Exposition. Apr. 13,
1970.
22. Shock and Vibration Handbook. Ed. by G. M Harris and G. E. Crede. N. Y., Me Graw —
Hill, 1976.
Глава XXII
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА МОДЕЛИРОВАНИЯ
ЭКСПЛУАТАЦИОННЫХ СОСТОЯНИЙ
ПРИ ИСПЫТАНИЯХ УДАРОМ
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Удар и ударные процессы. В теоретической механике ударом называют
механическое взаимодействие материальных тел, приводящее к конечному изменению
скоростей их точек за бесконечно малый промежуток времени [8]. Физически это ко-
конечный, достаточно малый промежуток времени — время удара Т. Оно не должно быть
больше наименьшего периода То = 2я/©0 собственных колебаний или постоянной
времени исследуемой системы.
Различают силовое и кинематическое ударные воздействия на исследуемую систе-
систему, которые вызывают реакцию — ударное движение.
В соответствии с ГОСТ 8.127—74 при ударном движении в рассматриваемых
точках измеряют ударные ускорения, скорость или перемещение. В совокупности
такие воздействия и реакции называют ударными процессами.
а)
Рис. 1. Графики ударных процессов:
а, 6 — простой формы; в — сложной формы с отличным от нуля ударным импульсом; г —
сложной формы с нулевым ударный импульсом
Простой и сложный удар. Ударные процессы (рис. 1) могут быть простой (в виде
однополярного короткого импульса) или сложной формы (в виде совокупности им-
импульсов одного или разных знаков с наложенными колебаниями). В отличие от просто-
простого удара ударное воздействие сложной формы (сложный удар) может охватывать
несколько периодов собственных колебаний. Изделия могут подвергаться не только
одиночным ударам (простым и сложным), но также периодической или случайной
последовательности ударов. Если реакция системы }\;°ньшается к моменту очеред-
очередного удара до определенной величины, принимаемой за условный нуль, то движение
ее точек можно рассчитывать, как при однократном ударе.
Ударный импульс. Помимо закона изменения во времени ударного ускорения,
скорости или перемещения, важнейшими характеристиками ударных процессов
являются интегральные величины: ударный импульс (импульс ударной силы за время
удара JF(t)dt) и импульс ударного ускорения, скорости, перемещения (интеграл
от ударного ускорения за время, равное длительности его действия Т), При простом
476 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
ударе длительности Т > Т0 движение определяется только ударным импульсом,
а форма воздействия не имеет значения (см. т. 1, гл. VI, раздел 6). Ударные процессы
сложной формы могут иметь как отличный от нуля, так и нулевой импульс. В этой
главе импульс означает характерную форму ударного процесса как временной зави-
зависимости.
Задачи испытаний. Интенсивным ударам подвергаются многие машины и при-
приборы в процессе эксплуатации или транспортирования. Причинами ударов могут
быть столкновения, взрывы, сверхзвуковое движение, аварийные режимы, возникаю-
возникающие при неправильном обращении с оборудованием, и т. п.
Результаты воздействия удара на изделие сложны и многообразны. Они зависят
от характеристик воздействия и механических свойств изделия. Простой удар может
вызвать разрушения вследствие возникновения сильных, хотя и кратковременных
перенапряжений в материале. Сложный удар, сопровождающийся циклическими
или знакопеременными перенапряжениями, может привести к накоплению микро-
микродеформаций усталостного характера. Если изделие обладает резонансными свойст-
свойствами, то даже простой удар может вызвать колебательную реакцию в элементах
конструкции, которая также сопровождается усталостными явлениями.
Чтобы гарантировать удовлетворительное функционирование изделий в таких
условиях, их подвергают испытаниям путем приложения контрольных ударных воз-
воздействий (испытания ударом). Основными требованиями к таким испытаниям являют-
являются более полная имитация поведения изделия в условиях реальной эксплуатации и
получение воспроизводимых результатов. Точная имитация поведения изделия в ре-
реальных условиях требует не только детального изучения реальных ударных воздей-
воздействий на изделие, но и глубокого понимания и учета его механических свойств. Для
практического осуществления такого подхода необходимо сложное, дорогостоящее
и узкоспециализированное (для каждого класса изделий) испытательное оборудова-
оборудование, что экономически не оправдано. Поэтому при разработке методов испытаний
ударом и создании испытательного оборудования выработан ряд компромиссных
подходов,
2. СПОСОБЫ ИСПЫТАНИЙ УДАРОМ
Испытания неуправляемым ударным воздействием появились раньше других
и широко применяются в настоящее время. Для испытаний по этому способу исполь-
используют специальные удароиспытательные машины (рис. 2) — механические (копровые,
маятниковые), пневматические или гидравлические. Испытание на копровой машине
(рис. 2, о) производится сбрасыванием рамы 2 с изделием 3 с определенной высоты.
В маятниковой машине (рис. 2, б) удар тяжелого маятника / передается скользящему
столу 2, на котором закреплено изделие 3. Ударное движение гасится резиновым
упором 4 н демпфером 5. Для испытаний на пневматической машине (рис. 2, в) в ниж-
нижнюю полость рабочего цилиндра / подается сжатый воздух, который с помощью
поршня 2 поднимает вверх стол 3 с укрепленным на нем изделием 4. После этого
включается тормоз 5, и давление подается в верхнюю полость цилиндра /. Испытание
начинается с выключения тормоза 5, вследствие чего стол с изделием из-за избыточ-
избыточного давления в верхней полости цилиндра / быстро падает вниз до демпфирующего
упора 6.
Общей принципиальной особенностью всех испытательных установок такого
типа является наличие источника энергии небольшой мощности и аккумулирующего
устройства. В подготовительной фазе испытаний энергия, получаемая от внешнего
источнила, накапливается в аккумулирующем устройстве, а затем в виде мощного,
но короткого импульса передается испытуемому изделию. При таком способе испы-
испытаний сравнительно грубо имитируются реальные удары. Ударное кинематическое
воздействие, как правило, имеет сложную колебательную форму (рис. 2, г) и в про-
процессе испытаний не управляется. Испытатель может более или менее точно регули-
регулировать пиковое значение А ударного ускорения; возможности влияния на форму
ударного импульса (выбором конструкции и материала демпферов) ограничены.
Воспроизводимость результатов при таком способе испытаний существенно зависит
от механических характеристик испытуемых изделий, степени износа демпфирующих
поверхностей и т. п. Этот способ испытаний может дать удовлетворительную воспро-
СПОСОБЫ ИСПЫТАНИЯ УДАРОМ
477
изводишкть результатов при испытании серии однотипных изделий на одной и той же
испытательной устанопке.
Испытания управляемым ударным воздействием. В качестве силовозбудителей
используют универсальные электрогидравлические (ЭГВ) или электродинамиче-
электродинамические (ЭДВ) вибростенды, оснащенные специальными системами автоматического
управления. С помощью этой аппаратуры энергия отбирается от внешнего источника
и передается испытуемому изделию непосредственно в момент испытания без проме-
промежуточной аккумуляции. Поэтому универсальные силовозбудители требуют мощных
источников внешней энергии (насосные станции электрическая сеть). Благодаря
применению автоматического управления они позволяют обеспечить высокую вос-
воспроизводимость ударных воздействий независимо от механических характеристик
испытуемых изделий, и конструкции используемого испытательного оборудования.
Рис. 2. Типичные схемы удароиспытательных машин:
а копровая машина; / — подъемный механизм; 2 — скользящая рама; 3 — испытуемое
изделие; 4 — ударные демпфирующие поверхности; б — маятниковая машина: / — маятник;
2— скользящий стол; 3 — испытуемое изделие; 4 — резиновый упор; 5 — демпфер; в — пнев-
пневматическая машина: / — рабочий цилиндр; 2 — поршень; 3 — стол, 4 — испытуемое изделие;
5 тормоз; 6 — демпфер; а — график ускорения a (f) испытуемого изделия
В настоящее время нет единой общепринятой физической величины (параметра,
функции), которая полностью характеризовала бы удар и его разрушительное дей-
действие. Для практики разработаны три способа задания (стандартизации) ударных
воздействий (табл. 1).
1. Способы испытаний ударом
Испытатель-
Испытательное
воздействие
Неуправляе-
Неуправляемое
Управляемое
Испытательное
оборудование
Специализированные
удароиспытательные ма-
машины и стенды
ЭГВ или ЭДВ, осна-
оснащенные автоматизиро-
автоматизированными системами
управления
Способ стандартизации
(задания) испытатель-
испытательного воздействия
Стандартизация кон-
конструкции испытатель-
испытательной машины
Стандартизация эта-
эталонных ударных им-
импульсов
Стандартизация эта-
эталонных ударных спект-
спектров
Выбор типичных за-
записей реальных удар-
ударных процессов
Получаемый
результат
Грубая имитация ре-
реального ударного воз-
воздействия
Точное воспроизведе-
воспроизведение эталонных ударных
импульсов
Грубая имитация реак-
_ции изделия на эталон-
эталонное ударное воздействие
Точная имитация ре-
реального ударного воз-
воздействия и движения
Стандартизация формы ударного ускорения существенно облегчает обеспечение
воспроизводимости испытательных воздействий и результатов испытаний, хотя и
приводит к сравнительно грубому моделированию множества реальных ударов
478
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
одной или несколькими формами эталонных импульсов. Образец такого стандарта
разработан Международной электротехнической комиссией (МЭК) * и принят в на-
настоящее время многими организациями и фирмами, проводящими испытания ударом
(рис. 3). Важными преимуществами такой формы задания (стандартизации) испыта-
испытательного кинематического воздействия являются простота, универсальность и сравни-
сравнительная легкость обеспечения высокой воспроизводимости результатов. Недостаток
Рис. 3. Формы эталонных ударных воз
действий, рекомендованные МЭК:
а — треугольное; 6 — полусинусоидаль-
полусинусоидальное, в — трапецеидальное (Л — пиковое
значение номинального испытательного
импульса; О — рекомендуемое минималь-
минимальное время, в течение которого следует
осуществлять контроль за точностью вос-
воспроизведения испытательного импульса)
Рис. А, К понятию ударного спектра:
a — система с одной степенью свободы;
б — реакция на короткий импульс (Т «г
¦^ 2я/<ло>, в — реакция на импульс дли-
длительностью Г <» з Bя/а>о)
a(t)
Cod)
а
А
0
т
V/
а)
t)
t
5)
В)
в том, что реакция на удар, которая при одних и тех же внешних воздействиях изде-
изделии с разными механическими характеристиками может быть существенно различной
не имитируется и не контролируется.
Ударные спектры. Рассмотрим простейшую модель испытуемого изделия в виде
системы с одной степенью свободы (рис. 4). Реакция этой системы, т. е. ускорение
массы m при ударном кинематическом воздействии со стороны основания импульсом
ускорения а0 (t), может иметь различную форму в зависимости от характера удара
(рис. 4). В частности, при сложном ударе (рис. 4, в) она может быть в 2 раза выше
пикового ускорения А. Однако при одном и том же импульсе а„ (t) характер >дара
зависит от периода Го или частоты щ = ^~ собственных колебаний системы.
' о
* Рекомендация МЭК oS-J — 27.
СПОСОБЫ ИСПЫТАНИЯ УДАРОМ
479
Ударный спектр 5 (ш0) есть зависимость максимального значения реакции a (t)
указанной системы от ее собственной частоты со0 без учета демпфирования. В зависи-
зависимости от интервала времени, в котором наблюдается реакция системы a (t), разли-
различают три типа ударных спектров: начальный SH (ш0), остаточный So (coo) и полный
Sn (<u0) *. Они определяются следующим образом:
^I при OsS
o («о) = SUP | a (t) | при
i
A)
B)
Реакция реальной системы (здесь атах) тем ближе к одному из эталонных спект
ров, чем точнее свойства системы описываются принятой моделью, т. е. чем меньше
демпфирование на частоте основного резо-
резонанса. Ввиду неизбежных расхождений
(влияние демпфирования и соседних резо-
нансов) этот способ задания испытательного
воздействия не позволяет точно имитировать
реакцию реального объекта на заданный
ударный импульс.
Для задания эталонных ударных спект-
спектров задаются формами эталонных импуль-
импульсов а0 (О- Ими могут быть, например, эта-
эталонные импульсы, рекомендованные МЭК
(см. рис. 3). Формы этих импульсов выби-
выбирают так, чтобы порождаемые ими полные
ударные спектры Sn (со„) в незначительной
степени зависели от собственной частоты
w0, т. е. были достаточно плоскими. Затем
рассчитывают реакцию a (t) простейшей
линейной консервативной системы на вы-
выбранное ударное воздействие при различ-
различных значениях ю0. По полученным реакци-
реакциям и формулам A) — C) строят ударные
спектры. Примеры начального и остаточно-
остаточного ударных спектров, построенных таким
образом, приведены на рис. 5. Полный удар-
ударный спектр можно определить по приве-
приведенным графикам как их верхнюю огибаю-
огибающую в соответствии с формулой
П (<в0) = sup [SH (w0), So
при О==?со6<со.
Рис. 5. Ударные спектры (начальный
и остаточный) прямоугольного (а),
пилообразного (б) и полусинусоидаль-
полусинусоидального (в) импульсов
Исходя из физической природы удар-
ударных спектров, допуски на точность их вос-
воспроизведения должны соответствовать допускам на пиковые значения эталонных
импульсов, что по нормам, рекомендованным МЭК (рис. 3), составляет ± A5—20) % .
Один и тот же спектр может порождаться множеством разных импульсов а0 (t).
Поэтому для имитации ударного движения, заданного ударным спектром, можно не
воспроизводить на столе испытательной установки эталонный импульс, для которого
данный ударный спектр рассчитан. Это обстоятельство позволяет упростить способы
аппаратурной реализации испытаний ударом. Важным преимуществом такой формы
задания испытательного воздействия является сравнительно хорошая воспроизво-
воспроизводимость максимальных перенапряжений в элементах конструкции испытуемого из-
* Терминология па ударным спектрам еще не полностью устоялась, поэтому как п оте-
отечественной, так и в зарубежной литературе для обозначения приведенных понятий иногда
применяют' п другие термины Так, в т 1 (гл 6) ударный спектр — это зависимость <2тах
(т/Г ). где rfmax — максимальное перемещение массы т, X — длительность удара, rg —
период свободных колебаний механической системы с учетом демпфированлч.
480
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
делия. Однако, поскольку формы импульса а0 (t) и реакции a (t) при этом не фикси-
фиксируются и в разных испытаниях (при одном и том же ударном спектре) могут быть
различными, повреждения усталостного характера, вызванные накоплением циклов
перенапряжений, в разных испытаниях могут существенно различаться.
Использование записи реальных ударных процессов. Для задания испытатель-
испытательного воздействия используют записи реальных ударных процессов, полученные
с помощью специальной записывающей аппаратуры в условиях нормальной эксплу-
эксплуатации. Обычно эти процессы соответствуют сложному удару, т. е. содержат после-
последовательность импульсов и наложенные колебания (см. рис. 1, в, г и 2, г). Применение
такой формы задания испытательного воздействия эффективно в том ограниченном
числе случаев, когда условия эксплуатации изделия и источники преобладающих
ударных воздействий хорошо известны. Эти воздействия однотипны, так что сбор ин-
информации о них не представляет серьезных трудностей. Типичными примерами могут
служить элементы или узлы кузнечно-прессовых установок, а также другое обору-
оборудование, которое по условиям эксплуатации приходится располагать в непосредствен-
непосредственной близости от подобных установок. В этих случаях задача испытаний сводится
к получению записей реальных ударов и последующему их воспроизведению на испы-
испытательных установках.
Воздействие
Прямо-
Прямоугольный
импульс
Пило-
Пилообразный
импульс
Полусину-
Полусинусоидальный
импульс
Сложный
колебатель-
колебательный удар
2. Типичные ударные воздействия и их
«МО
С 0 при t <0
1 А при 0 < / < Т
\ 0 при t> T
0 при / <с 0
А ¦— при 0 < t < Г
0 при t ^> Т
( 0 при 1 < 0
| sin я y ПРИ 0 < t < Т
{ 0 при t> T
( 0 при t < 0
{ -at
К е ¦* cos (cooi + <р) при t > 0
спектры
AT
<»T
2 sin —~
AT Г 2
2 [IZT X
xj/1-jjf.dn.or + j^.
2АТ
Я
®T
, «>!Г«
V^ - 2 (col - a2) (o2 + W0'+^f
Ac @)
AT
AT
2
2AT
n
0
Амплитудные спектры ударных воздействий. Важной дополнительной характе-
характеристикой импульса ускорения а0 (t) является его амплитудный спектр, т. е модуль
изображения функции а0 (t) по Фурье. Примеры амплитудных спектров типичных
испытательных импульсов при простом и сложном ударе приведены в табл 2 и на
рис. ь и /. Спектральная плотность на нулевой частоте Ао @) (табл. 2) не зависит
от формы импульса и равна его площади, т. е. импульсу ударного ускорения, численно
равному приращению скорости изделия в результате удара:
т
Л@) = До = 1( aB(t)dt. D)
6
Амплитудный спектр сложного колебательного удара (рис. 7 б) существенно
отличается от спектра ударного импульса конечной длительности, В частности, он
МЕТОДИКА УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
481
стремится к нулю па нулевой частоте и имеет максимум на частоте, приблизительно
совпадающий с преобладающей частотой ш0 затухающих колебаний. Этот максимум
тем выше, чем меньше демпфирование. Амплитудные спектры Ао (со) позволяют пра-
правильно выбрать структуру и характеристики (в частности, полосу пропускания)
Рис. 6. Амплитудные спектры прямоугольного (а), пилообразного (б) и полусинусоидаль-
полусинусоидального («) импульсов (см. табл. 2)
Рис. 7. Сложный колебательный удар (а) и его амплитудный спектр (б) (табл. 2)
виброиспытательного комплекса. Воспроизведение ударного испытательного воздей-
воздействия с заданным остаточным ударным спектром So (co0) может быть сведено к извест-
известной задаче воспроизведения амплитудного спектра Фурье благодаря соотношению
A,(u>) = ~So@). E)
Эта задача решается при испытаниях случайной вибрацией.
3. МЕТОДИКА УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
Форма импульсов и движение системы. При ударных испытаниях необходимо
учитывать характер движения объекта в результате ударного нагружения. Если удар
носит колебательный характер (см. рис. 1, е) и его спектр на нулевой частоте Аа @) =
= 0, то согласно формуле D) суммарное приращение скорости изделия после удара
Да = о. Такие импульсы могут применяться при использовании записей реального
удара или эталонных ударных спектров. Когда для испытаний применяются эталон-
эталонные импульсы, Ао @) — Ду Ф 0 (табл. 2, рис. 3) и изделие, находившееся до удара
в состоянии покоя, после улара приобретает некоторую остаточную скорость v (T) —
= Ли. Если эту скорость не погасить, то стол испытательной установки с из-
изделием будет двигаться со скоростью v (T) до упора. В результате столкновения
с упором изделие подвергнется вторичному удару, который может вызвать в нем
482
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
перенапряжения, превышающие допустимый уровень. Чтобы этого не произошло,
необходимо предусматривать меры для более плавного гашения остаточной скорости
v(T).
Гашение остаточной скорости. В специализированных удароиспытательных
машинах (см. рис. 2) скорость гасят с помощью демпфирующих упоров. При воспроиз-
воспроизведении эталонных импульсов на универсальных вибростендах для этой цели в прог-
программу испытаний вводят два дополнительных отрицательных импульса (рис. 8):
разгонный / и тормозной 2. Эти вспомогательные импульсы имеют малую амплитуду
6Л (б < 1), соизмеримую с допусками на точность воспроизведения основного испы-
испытательного импульса 3 и увеличенную длительность РГ > Т. Форму вспомогательных
импульсов выбирают так, чтобы не только остаточная скорость, но и суммарное пере-
перемещение изделия обращались в нуль после
испытания, общая длительность которого
A + Р) Т. Для этого должны быть справед-
справедливы соотношения:
A + 3) т
O"т
F)
ax(t)
б б
a2(t — р\Г —
Q; G)
8A, 'а2@!=йбЛ, 6==?бдоп<1, (8)
где бдоп — допустимая погрешность воспро
изведения испытательного импульса о0 (t),
отнесенная к пиковому значению ускорения
А; % (О, <Ч (О— функции, описывающие
разгонный и тормозной импульсы; рх, Р2 —
их относительные длительности P = Pi + P2-
При симметричной форме импульса а0 (/)
вспомогательные импульсы симметричны
относительно того же момента времени.
В этом случае экстремальные значения
скоростей и перемещений (см. рис. 8) наименьшие. Если а0 (t) — прямоугольный
импульс, параметры вспомогательных импульсов и ударного движения определяют
из следующих выражений:
Рис. 8. Программа испытаний прямо-
прямоугольным импульсом: ускорение, ско-
скорость и перемещение испытуемого из-
изделия
AT
2 ;
smin |
При несимметричных импульсах равенство G) не выполняется и I v 1 (или
1\\ I I ГПЭ.Х ^
»ши U и I smln I превышают указанные значения.
Предельные режимы. Методикой ударного нагружения необходимо учитывать
реальные возможности испытательной установки. Предельное усилие Ртах, предель-
предельный ход Smax подвижной системы и предельная скорость Vmax всякого вибростенда
ограничены. Чтобы вибростенд не выходил на упоры и не подвергался чрезмерным
перегрузкам, испытательная программа, кроме соотношений F) — (8), должна
удовлетворить неравенствам
\мп
-; sup i
ьт1п
(9)
где т — масса испытуемого изделия; ц =
ma
коэффициент нагрузки вибро-
"'0
стенда (т0 — масса подвижных частей вибростенда). Так, например, для прямоу-
МЕТОДИКА УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
483
гольных испытательных импульсов (см. рис. 8) эти неравенства приобретают следую-
следующий вид:
i AT*
1+р
Расчет испытательной программы по формулам F) и G) и проверка неравенств
(8), (9) — громоздкая и кропотливая вычислительная работа. Эти расчеты целесооб-
целесообразно выполнить один раз для каждого типа эталонных испытательных импульсов
и каждого вибростенда, применяемого для испытаний на удар. Результаты расчетов
удобно представлять графически в виде так называемой диаграммы предельных ре-
режимов вибростенда, которая принимает простой вид, если ее строить в логарифми-
логарифмическом масштабе (рис. 9). Семейство горизонтальных прямых (по параметру (д,) на
этой диаграмме определяет ограничения по усилию Ртах, прямая с отрицательным
наклоном 45° — ограничение по скорости Vmax, а семейство параллельных наклонных
прямых (по параметру Р) — ограниче-
ограничения по ходу подвижной системы виб-
ростенда S
Область допустимых
режимов вибростенда определяется,
если известны параметры \i и р* (на
рис. 9 для (г = р = 5 эта область за-
заштрихована). Графики построены для
Ртах =3,5-10* Я, Vmax = 2 м-с-1,
5тах=0,2м.
Максимально возможный ход под-
подвижной системы вибростенда сущест-
существенно ограничивает предельную дли-
длительность Т воспроизводимых ударных
импульсов (рис. 9). Поэтому ЭДВ, ко-
которые имеют небольшой ход (Smax sg
г?5-^6см), пригодны для воспроиз-
воспроизведения коротких импульсов с длитель-
длительностью порядка нескольких миллисе-
миллисекунд. ЭДВ, специально предназначенные для ударных испытаний, имеют ход 10 см
и более и оснащены усилителями мощности с бестрансформаторным выходом, пропус-
пропускающими постоянную составляющую. Для воспроизведения более длинных ударных
импульсов (десятки миллисекунд) применяют ЭГВ, у которых ход подвижной си-
системы достигает десятков сантиметров.
3. Способы автоматизации испытаний ударом
1 1 5 10 20 50 100 200 Т,мС
Рис. 9. Диаграмма предельных режимов виб-
вибростенда при воспроизведении испытательной
программы согласно рис. 8 (g = 9,81 мс)
Способ задания
испытательного
воздействия
Эталонные ударные
импульсы
Типичные записи
реальных ударов
Ударные спектры
Способ компенсации
динамических характеристик
испытательной установки
Корректирующие обратные
связи по ускорению и скорости
Предыскажение программы
Алгоритмы АПП
Алгоритмы БПФ и ОБПФ
Синтез спектра с помощью на-
набора полосовых фильтров
Алгоритмы БПФ и ОБПФ
Тип
вибростенда
ЭГВ. ЭДВ
ЭГВ; ЭДВ
ЭДВ
ЭДВ
Аппаратурная
реализация
Аналоговая или
аналогоцифровая
Цифровая
Аналог овая
Цифровая
484
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИЙ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Воспроизведение-управляемых испытательных воздействий на универсальных
вибростендах. Эффективное воспроизведение испытательных воздействий на универ-
универсальных силовозбудителях невозможно без их автоматизации. Поэтому рассмотре-
рассмотрение способов такого воспроизведения сводится по существу к рассмотрению спосо-
способов построения (структур) соответствующих си-
систем автоматического управления (САУ). Сущест-
Существуют две принципиально различные группы та-
таких способов, предназначенных соответственно
для воспроизведения собственно испытательных
воздействий (эталонных или реальных) и заданных
ударных спектров (табл. 3).
Корректирующие обратные связи. Воспроиз-
Воспроизведение заданных испытательных воздействий с
точки зрения автоматического регулирования пред-
представляет собой типичную задачу программного
управления. Всякая автоматическая система про-
программного управления состоит из некоторой базо-
базовой следящей системы и дополнительных корректирующих цепей (контуров), по-
повышающих точность отработки заданной программы.
В следящей системе с ЭГВ (рис. 10) перемещения на входе и выходе (в изображе-
изображениях по Лапласу) связаны равенством
Рис. 10. Структурная схема сле-
следящей системы с ЭГВ:
/ — усилитель мощности; 2 —
электрогидравлический возбу-
возбудитель; 3 — датчик перемеще-
перемещения
где К — коэффициент усиления усилителя мощности; Н (р) — передаточная функ-
функция ЭГВ. При К -» °° S (р) -» So (p), однако с ростом К система обычно становится
неустойчивой. Область устойчивости по К расширяется при введении корректирую-
корректирующих обратных связей по ускорению и скорости стола (рис, 11), При этом изображение
ускорения стола имеет вид
_ КНа{р)Н(р)
\ + КН„(р)Н{р)
¦А„(р), A1)
s,(t)
где Но (р) = рор2 + PiP + 1 — передаточ-
передаточная функция обратных связей.
Если пренебречь влиянием нагрузки
вибростенда, инерционностью электрогид-
электрогидравлического преобразователя, золотника
и датчиков, то передаточная функция
Н (р) (по существу передаточная функция
ненагруженного силового гидроцилинд-
гидроцилиндра) может быть задана следующим выра-
выражением:
^2
/
К
5
Н(Р)
¦—а
(§4
1
Ар
Ар'
-*-
,7
41*-
,»
s(V
При ро= Ьо, Р1 =
следует, что
из A1)—A2)
Рис. 11, Структурная схема следящей си-
системы с ЗГВ и корректирующими связями:
/ — усилитель; 2 — дифференцирующее
звено; 3 — двойное дифференцирующее
звено; 4 — усилитель мощности; 5 —
электрогидравлический возбудитель; 6 —
датчик перемещения; 7 — датчик скоро,
сти; 8 — датчик ускорения
Такая система сохраняет устойчивость при большом значении К, поэтому теоре-
теоретически она может обеспечить высокую точность воспроизведения заданного ускоре-
ускорения an (t). Ha практике возможности увеличения значения К существенно ограни-
ограничены влиянием динамики элементов, не учтенных в модели A2). Тем не менее при
слабо нагруженном вибростенде рассмотренные корректирующие связи помогают
повысить точность отработки испытательной программы.
Предварительное искажение испытательной программы. Пусть на вход следя-
следящей системы (см, рис, 10) помимо обычного сигнала s0 (t) подан предыскажающий
МЕТОДИКА УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ 485
сигнал &s0 {t), изображение по Лапласу которого
Согласно A0) на выходе получают неискаженный сигнал
S (Р) = 1 + КЩР) Is» W + AS° 0>)] = So (Р). (И)
В действительности точное значение функции Н (р) обычно неизвестно, и резуль»
тат A4) получить нельзя. Однако введением предыскажения программы даже на ос-
основе грубых оценок Н (р) можно получить неплохие результаты. Например, при
использовании корректирующих обратных связей (см. рис. 11), когда с учетом кор-
коррекции можно приближенно положить //(р)к=>— , целесообразно ввести предыска-
женную программу вида
Алгоритм последовательной перезаписи программы (АПП), известный из теории
программного управления, позволяет итеративным путем (путем последовательных
приближений) выработать эффективное предыскажение программы, даже если пере-
передаточная функция Н (р) неизвестна. Для реализации алгоритма АПП необходимо
снабдить систему оперативным запоминающим устройством (ОЗУ). Функции ОЗУ
может выполнять, например, магнитофонное устройство или оперативная память
цифровой управляющей машины. На каждой n-й итерации работы алгоритма АПП
(рис. 12) на вход базовой следящей системы подаются испытательная программа s0 (t)
и управление un_{ (t) предыдущей (я — 1)-й итерации из ОЗУ, а текущее управление
un (t) вводится в ОЗУ и запоминается в нем. При этом изображение, ошибки отработки
программы на п-& итерации
и стремится к нулю при п -» оо, если
\\ + КН (/&))[ < 1 при 0 =S со ss Q, A6)
где @, Q) — полоса частот задающего сигнала s0 (f).
Неравенство A6) является условием сходимости алгоритма АПП и сводится
к требованию, чтобы годограф функции Н (/со) не пересекал и не охватывал круг
радиуса ^ с центром в точке (— ^-, 0 ] (на рис. 12 этот круг заштрихован). Процесс
сходимости оказывается более равномерным, если сигнал «„ (/) перед запоминанием
в ОЗУ умножать на коэффициент а„ < 1, который с ростом п монотонно стремится
к 1, Хорошие результаты дает, например, коэффициент ап = ——т-. Ошибка обычно
уменьшается до допустимых пределов после четырех-пяти итераций.
Выработку предыскажения программы с помощью алгоритма АПП следует про-
производить при пониженных уровнях возбуждения, чтобы не подвергать испытуемое
изделие многократным перегрузкам. После уменьшения ошибки до допустимых пре-
пределов устанавливают заданный уровень возбуждения и проводят испытание.
Все три рассмотренных способа коррекции характеристик ЭГВ хорошо сочета-
сочетаются друг с другом и могут применяться совместно.
Алгоритмы БПФ и ОБПФ. Для реализации этих алгоритмов необходима цифро-
цифровая управляющая машина или специализированный процессор БПФ (рис. 13). На пер-
первом (подготовительном) такте работы заданный сигнал ускорения а0 (t) (при пони-
пониженном уровне силовозбуждения), пересчитанный в перемещение s0 (t), подается
из оперативного запоминающего устройства 6 на вход следящей системы. Сигнал
a {t) с датчика 2 и сигнал а0 @ поступают в процессор БПФЗ, который вычисляет их
486 МОДЕЛИРОВАНИЕ СОСТОЯНИИ ПРИ УДАРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
изображения по Фурье А (/со) и Ао (/со). Согласно A0) они связаны соотношением
Затем вычислительное устройство ВУ определяет изображение скорректирован-
скорректированного сигнала по Фурье
4(/w)
К <ja>) =
А (/со)
A8)
в озу-
Из ОЗУ
S0(t)
Un(t)
которое подвергается обратному преобразованию Фурье в процессоре ОБПФ5. Полу-
Полученный сигнал а'о (t) вводится в ОЗУ, на следующем (рабочем) такте работы пересчи-
тывается в скорректированный задающий сигнал по перемещению $'а (t) и при нор-
нормальном уровне силовозбуждения пода-
ется на вход следящей системы. Соглас-
Согласно A7) и A8) a' (t) « а0 (t). Аналогично
коррекцию можно применять в системе
c ЭДВ (при этом обратная связь по пере-
перемещению отсутствует). Система управле-
управления с БПФ и ОБПФ требует наличия
более сложного оборудования и матема-
матемаб
Un-i(t)
«/
ад
к -
- Н(р)
ру
тического обеспечения, чем ранее рас-
рассмотренные системы.
t
-t
ли
4i
>01'
. 1
Р!
а;
>_
'о
К
1
-
Н(р)
i'(
tt(t)
-з
/I
?
Jf
5
Рис. 12. Реализация итеративного алгоритма АПП:
а — структурная схема следящем системы с ЭГВ и оперативным запоминающим устройст-
устройством (ОЗУ) для реализации алгоритма АПП: / — усилитель мощности, 2 — электрогидравли-
электрогидравлический возбудитель; 3 — датчик перемещения, б — годограф функции Н (
Рис. 13. Структурная схема следящей системы с ЭГВ и цифровыми блоками для реализации
алгоритмов БПФ и ОБПФ:
/ — двойное интегрирующее звено, 2 — датчик ускорения, 3 — процессор БПФ, 4 — вы-
вычислительное устройство; 5 — процессор ОБПФ, 6 — оперативное запоминающее устройство
Воспроизведение ударного воздействия с заданным ударным спектром, как по-
показано выше, сводится к известной задаче синтеза амплитудного спектра Ао (а),
рассчитанного по формуле E), и называется ударным синтезом. Для ее решения почти
полностью могут быть использованы методы, алгоритмы и аппаратура испытаний
случайной вибрацией (гл. XXI) как аналоговые, так и цифровые, что является боль-
большим преимуществом. Генератор шума в аналоговом варианте заменяется геьератором
коротких импульсов.
Требования к используемым датчикам. В системах управления, обеспечивающих
воспроизведение заданных ударных воздействий (рис. 10—13), датчики, предназна-
предназначенные для измерения параматроь удара (ускорения, скорости, перемещения), вклю-
включены в замкнутый контур автоматического управления, работающий в реальном мас-
масштабе времени. Их динамические характеристики оказывают непосредственное влия-
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 487
ние на устойчивость соответствующей замкнутой системы и на точность воспроизве-
воспроизведения заданного испытательного воздействия. Поэтому к частотным характеристи-
характеристикам таких датчиков предъявляются повышенные требования. Амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) датчика в рабочем диапазоне частот должна быть плоской и
датчик не должен вносить существенных фазовых искажений. Поскольку датчики
обычно представляют собой минимально-фазовые системы, у которых, как известно,
амплитудно- и фазочастотные характеристики связаны жесткой зависимостью, ука-
указанные требования можно сформулировать в виде ограничений на АЧХ. Для практи-
практических целей можно рекомендовать следующее полуэмпирическое правило: АЧХ
датчика должна быть плоской в полосе частот, определяемой неравенством
ехр B,1 — In T) =s/s= ехр (9,2— In T)
где Т — длительность воспроизводимых ударных импульсов, мс; f — частота, Гц.
Список литературы
1 Брох Е. Т. Применение измерительных систем фирмы «Брюль и Къер» для измере
ния механических колебаний и ударов Себорг, 1973
2 Вотосов В. В., Чеховой Ю. Н. Гидравлический привод как объект автоматического
управления (на укр языке) — Автоматика, 1977, № 3, 87 — 89 с
3 Кокрен В. Г., Кули Дж. В., Фейтвин Д. Л. Что такое быстрое преобразование
Фурье? — Труды института инженеров по электронике и радиотехнике, 1967, т 55, № 10,
7 — 17 с
4 Кузнецов А. А. Вибрационные испытания элементов и устройств автоматики. М.:
Энергия, 1976. 116 с.
б. Пеллинец В. С. Измерение ударных ускорений М.: Изд-во стандартов, 1975.288с
6. Случайные колебания / Пер с англ. Под ред С. Кренделла М : Мир, 1967. 356 с.
7 Тарасов Л. С, Чеховой Ю. Н., Явелов А. Е. Система автоматического управления
ударными испытаниями жестких изделий — В кн : Методы и средства испытаний изделий:
Материалы конференции М : МДНТП, 1977 44 — 50 с
8 Теоретическая механика: Терминология М : Наука, 1977 48 с.
9. Харкевич А. А. Спектры и анализ М : Физматгиз, 1962. 236 с.
10 Morrow С. Т. Shock and Vibration Engineering. John Wiley and Sons N. Y., 1963.
11 Shock and Vibration Handbook Edited by С. М Harris and С Е. Crede N. Y. Mc-
McGraw-Hill Book, 1976 1211 p
12. Standard ISO 2041 Vibration and Shock Vocabulary 1st edition. Int Org for Stand.
1975 53 p
13 Vigness I. Elementary Considerations of Shock Spectra. — Shock and Vibration and
Associated Environments Bull. 34, Part 3, 1965.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
ОТНОШЕНИЕ ВЕЛИЧИН И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ МАСШТАБ
Отношение величин х/х0 часто представляют в логарифмическом масштабе (в де-
децибелах) по формуле
L = 201gf.
В табл. 1 даны отношения величин х!х0 (от 1 до 10) и соответствующие им значе-
значения в децибелах при | х \ > | хй \.
ДБ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0
1,000
1,122
1,259
1,113
1,585
1,778
1,495
2,234
2,512
2,818
3,162
3,548
3,981
4,467
5,0i2
5,623
6,310
7,079
7,943
8,913
1. Отношения
0,1
1,012
1,135
1,274
1,429
1,603
1,799
2,018
2,265
2,541
2,851
ЗЛ9У
3,589
4,A27
4,519
5,070
5,689
6,383
7,161
8,035
9,016
0,2
1,023
1,148
1,288
1,445
1,622
1,820
2,042
2,291
2,570
2,884
3 236
3 631
4,074
4,571
5,129
5,754
6,457
7,244
8,128
9,120
величин
0,3
1,035
1,161
1,303
1,462
1,641
1,841
2,065
2,317
2,600
2,917
3,273
3,673
4,121
4,624
5,188
5,821
6 531
7,328
8,222
9,226
и их значения в
0,4
1,047
1,175
1,418
1,479
1,6Ь0
1,862
2,089
2,344
2,630
2,951
3,311
3,715
4,169
4,677
5,248
5,888
6,607
7,413
8,318
9,333
0,5
1,059
1,189
1,334
1,496
1,679
1,884
2,113
2,371
2,Ь61
2,985
3,350
3,758
4,217
4,732
5,309
5,957
6,683
7,499
8,414
9,441
децибелах
0,6
1,072
1,202
1,349
1,514
1,698
1,905
2,138
2,399
2,692
3,020
3 388
3 802
4,266
4,786
5,370
6,026
6,76)
7.5S6
8,511
9,550
0,7
1,084
1,216
1,365
1,531
1,718
1,928
2,163
2,427
2,723
3,055
3,428
3.846
4,315
4,842
5,433
6,095
6,839
7,674
8,610
9,661
0,8
1,096
1,230
1,380
1,549
1,738
1,950
2,188
2,455
2,754
3,090
3,467
3,890
4,365
4,898
5,495
6,166
6,918
7,762
8,710
9,772
0,9
1,109
1,245
1,396
1,567
1,758
1,972
2,213
2,483
2,786
3,126
3,508
3,936
4,416
4,955
5,559
6,237
6 99S
7,852
8,810
9,886
Перевод децибел в отношение величин. Вычтите целое число (я X 20) дБ из
обдего значения L. Положительный остаток AL — L — (п X 20) < 20 дБ переве-
переведите в отношение а, пользуясь табл. 1.
Искомое отношение величин
— = «• 10".
Перевод отношения величин в децибелы. Разделите переводимое отношение
на 10п, чтобы частное а' лежало между 1 и 10:
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
489
По табл. 1 найдите ближайшее к а' число а и отвечающее ему значение &L в де-
децибелах. Результирующее значение в децибелах
Примечание. Если отношение величин переводят в децибелы по формуле
?.= lOIg*
то выполняют описанные выше действия. При этом переводимое значение в децибелах сле-
следует умножить на 2, а результат перевода в децибелы разделить на 2.
Приложение 2
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРОВНИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Логарифмический уровень величины (уровень в белах, децибелах) есть число,
пропорциональное десятичному логарифму отношения сравниваемых оцениваемого
и отсчетного значений одноименных физических величин.
В табл. 2 приведены формулы, отсчетные значения и символы для вычисления и
представления логарифмических уровней ряда физических величин, принятые Меж-
Международной Организацией по стандартизации (ISO/DIS 1683.2).
В табл. 3 представлены логарифмические уровни линейного ускорения и линей-
линейной скорости, вычисленные относительно рекомендованных ISO отсчетных значений.
2. Символы, формулы и отсчетные значения Для логарифмических
уровней величин
Величина
Уровень лин-ейного ускорения
Уровень линейной скорости
Уровень силы
Уровень звукового давления
Уровень мощности
Уровень интенсивности
Уровень энергии
Уровень плотности энергии
Символ
La
Lv
t-F
LP
LW
4
LE
Формула
20 lg (ajab) дБ
20 lg (c/Oo) ДБ
20 lg (F/Fa) дБ
20 lg (p/po) ДБ
10 lg {P/Po) дБ
10 lg (///„) дБ
10 lg (?¦/?¦„) дБ
10 lg (wfwo) дБ
Отсчетное
значение fl
1 мкм/сг
1 нм/с
1 мкН
20 мкПа "
1 мкПа *3
! пкВт
1 пкВт/м2
1 пкДж
1 пкДж/м3
*х а0, Со. Ль ... — отсчетные значения, соответствующие нулевым логарифмическим
уровням величин.
*2 В воздухе.
*3 В других средах.
3. Логарифмические уровни линейного ускорения и линейной скорости
(ао = 1
20л
20л + 1
20л -f 2
20л+ 3
20л -f 4
20л+ 5
20л 4- 6
мкм/с2 = 10 6 м/с2,
6
1,00
1,12
1,26
1,41
1 58
1,78
1,99
»о = 1 нм/с=Ю 9 м/с! а = й-10"
а „ •»'
дБ
20л + 7
20л+ 8
20л + 9
20л + Ю
20я + П
20л 4- 12
20л + 13
ь
2,24
2,51
2,82
3,16
3,55
S.9S
4,47
1~е> м/с2; с =
La' V
ДБ
20л +44
20п 4- 15
20л ¦+¦ 16
20л + 17
20л + 18
20л + 19
= &-101я 8) м/с)
6
5,01
5,62
6,31
7,08
7,94
8,91
Обозначение: п — положительное или отрицательное целое число
490
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Логарифмические уровни Lx и Ц, вычисленные относительно отсчетных значе-
значений х01 и х02, соответственно, связаны равенствами:
^ X
Примечание. Для больших уровней ускорений в качестве отстетного значения
иногда принимают значение ускорения свободного падения g = 980,665 см/с', как это сде-
сделано в т. 1, гл I. о
Приложение 3
Номограмма для пересчета амплитуд ускорения а„, скорости ¦»„ и перемеще-
перемещения d0 при гармонической вибрации с частотой /{ ао = 2л/ио=Bя/K4о, vQ = 2nfd9.
0,0001
10
WO
IH
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Приложение 4
Номограмма для пересчета механического импеданса Z, динамической массы М
и динамической жесткости R на заданной частоте /.
R f
1,И-ф
to
10'
to'
10*
щ
OK.
gig
X.
>$<^;xl?<
0?
.0^
10 20 50 tOO 200 500 tOOO 2000 5000 10000 f,ru,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агрегатный комплекс средств измерения
вибрации — Конструктивная база 264,
265
— Назначение 263
— Понятие 263
— Принципы построения 264
— Спязь с комплексами ГСП 265
— Структурно-функциональный состав
264
Адекватность — Информационная мера
356, 357
— Проверка построенной модели 356
Акселерометры — Виды 150, 152, 155, 156,
221—224, 226, 227
— Назначение 135, 220
— Поверка 301—305
— Применение 161—164, 220
— Принцип действия 136—142, 152—156,
220—224
— Схема 136, 142, 144, 152, 155, 221, 227
— Характеристики 140, 141, 143—152, 154,
158, 159, 215 — 224
Акселерометр постоянного ускорения —
Градуировка 305, 306
— прямолинейный 138, 141 — 152, 156
— угловой 154, 160
— угловой пьезоэлектрический — Приме-
Применение 227 — Схема 227
— угловой тензорезисторный — Примене-
Применение 226, 227 — Схема 226
— ударный — Градуировка на баллисти-
баллистическом маятнике 306, 307
Алгоритмы минимизации — Применение
353
— стохастические рекуррентные — Приме-
Применение 355
Анализ механических цепей методом графа
сигналов 73, 74
— методом графа цепи 64—73
— неполный 64
— полный 64
Анализ процессов — Аппаратурные методы
266 — Методы сокращения длительности
287
— корреляционный 274
— огибающих 281
— по одной реализации процесса 268
¦— спектральный 270
Анализаторы взаимного спектра — Прин-
Принцип действия 278—280 — Схемы 279
— спектра — Виды 246 — Применение 246
— узкополосные — Алгоритмы 272—274 —
Виды 272 — 274 — Применение 272 —
274 — Схемы 273
Аналогия динамическая 58
Аппаратура возбуждения колебаний — Со-
Состав 342 — Структурная схема 342
— измерительная — Измерения многомер-
многомерной вибрации твердого тела 180 — Из-
Измерения частотных характеристик 323 —
Назначение 11 — Применение 234
г- многоканального измерения и регистра-
регистрации — Состав 344, 345 — Структурная
схема 344
Блоки вычислительные аналоговые — При-
Применение 344, 345
— Структурные схемы 345
Быстродействие ЭВМ — Способы повыше-
повышения 287
— Требования 289
Вектор — Задание 12, 13
— Метрические операции 16
— Норма 14
— Скалярное произведение векторов 13,
14
— Угол между векторами 14
Векторы комплексные — Норма 16
— Образ 17
— Понятие 16
— Представление 16, 17
— Скалярный квадрат 16
Величины механические первичные — Из-
Измерение 12
— вторичные — Измерение 12
Вершина графа — Понятие 55, 56
Взаимосвязь значений процесса — Харак-
Характеристики 93, 94
Вибрация — Измерение 121, 125, 132, 173,
220, 226, 318 — Механизмы влияния на
параметры объекта 432 — 434
— Способы выявления источников 413
418
Вибрация абсолютная — Понятие 121 —
Схемы измерения параметров 123
— многомерная — Измерение 173 — 181
— относительная — Понятие 121
Вибровозбудитель электродинамический —
Применение 316, 317 — Схемы крепления
316, 317 — Характеристики 343
— электромагнитный — Применение 317,
318 — Схемы крепления 317
Виброграф — Назначение 181
— Применение 181
Виброиспытания — Задачи 11, 420 — 422
— Классификация 420, 422
— Организация 434—454
Виброметр — Назначение 181
— Применение 181
Восприимчивость — Определение 50
Воспроизводимость измерений — Понятие
291
Выборка — Понятие 90
— Разделение на группы 91
Выбросы — 'Характеристики 93
Генераторы электрически)' колебаний
Виды 242, 244, 245
— Назначение 242
— Основные технические характеристики
Головки импедансные — Назначение 321
— Пределы измерения 323
— Схемы 322
— Условия применения 321
— Устройство 322, 323
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
493
Граф линейный — Понятие 55
— сигналов — Определение 62—64 — Ос-
Основные соотношения 62—64 — Понятие
62 — Схема 62 — Схемы упрощения 63
— цепи — Определение 56, 57 — Основ-
Основные понятия 55, 56 — Соотношения 56,
57 — Схема 56
Д
Датчики давления — Виды 230, 231 —
Применение 230, 231 — Принцип действия
230 — Схемы 230
— деформаций — Виды 227, 288 — При-
Применение 227 — Принцип действия 227 —
Схема 228
— дифференциальные — Принцип дейст-
действия 213 — Схема 213
— кинематических величии — Виды 135,
136 — Понятие 135 — Схема 144, 155 —
Уравнения работы 136, 141, 142 — Ха-
Характеристики 140, 141
— крутящего момента — Применение 231,
232 — Принцип действия 231 — Схема
232
— линейного виброчеремещения — Прин-
ципдействия 136, 141, 225, 226 — Схемы
142, 225
— линейной виброскорости — Принцип
действия 224. 225 — Схема 225
— линейного виброускорения — Принцип
действия 136, 141, 155 — 160 — Схемы
136, 142, 144, V55 — см также Акселе-
Акселерометры
— механических величин — Вектор чув-
чувствительности 218 — Входные цепи
213 — Выходные цепи 213, 214 — Диаг-
Диаграммы направленности 218 — 220 — Из-
Измерительная ось 217 — Измеряющая
точка 218 — Метрологические характе-
характеристики 215, 216 — Структурная схема
213
— параметров углового движения 152,
160 — Градуировка 306
— переменных давлений — Градуировка
306
— перемещений — Применение 161, 162,
176, 177 —Свойства 146, 161 —Схема
установки 176
— прямолинейные — Выходные сигналы
164, 165 — Погрешности измерения
165-172
— сейсмического типа — Принцип дейст-
действия и свойства 136 —173 — Применение
173 — 180
— силоизмерительные — Применение 320
— Схемы 321 — Устройство 320, 321
— силы — Виды 229 — Применение 229,
230 — Принцип действия 229 — Схемы
229
— скорости — Применение 162, 176, 177 —
Свойства 146, 162—Схема установки 176
— углового ускорения — Принцип дейст-
действия 152, 155, 160, 161 — Схемы 152,
155, 161
— угловые — Виды 226, 227 — Выходные
сигналы 172, 173 — Кинематические по-
погрешности 173 — Определение 135 —
Рекомендации по использованию 161 —
164 — Свойства 154 J55 — Схемы 152,
227 — Уравнения движения измери-
измерительной системы 152—154
— ускорения — Применение 162 —164,
177, 178 — Свойства 162 — 164 — Схема
установки 178, 179
Двухполюсники элементарные активные —
Описание 47 — 49
— пассивные — Операторные передаточ
ные функции 50 — 52 — Описание 43 — 47
Декремент колебаний — Измерение 341
Демпфер — Понятие 44
— Схема 45
Дерево — Понятие 56
Деформация — Виды 35
— Измерение 38 — 40
— Описание 35 — 38
— Определение 35
— Понятие 35
— Связь с напряжениями 38
Дисплеи — Применение 250
— Принцип действия 250
— Типы 250
Ж
Жесткость — Определение 50
И
Идентификация — Задачи 349
— Оценивание параметров оператора 350,
351
— Получение информативных измерений
— Понятие 348
— Примеры 374 — 377
Изделия кабельные — Применение 257
— Типы 257
Измерения — Воспроизводимость 291
— Классификация 11, 108, 109
— Методы 108
— Основные характеристики 11, 108, 109
— Понятие И, 107
Измерители временных интервалов — На-
Назначение 247
— Применение 247
— разности фаз — Назначение 247 — При
менение 247
Импеданс механический — Определение 50
Интервалы доверительные — Определение
293, 294
— Понятие 293
Интерфейс агрегатных комплексов ГСП —
Понятие 265
— Применение 263
— Технические средства 265
Интерферометр перемещения — Принцип
действия 127 — Схема 127 — скорости —
Принцип действия 126 — Схема 126
Испытания резонансные с многоточечным
возбуждением — Методика 336, 337
— Особенности 337
— Последовательность изменений 341
Источники вибрации реальные — Харак-
Характеристики 78, 79
— электропитания — Виды 257—258 —
Назначение 257 — Основные параметры
258 — Применение 258, 259
К
Колебания вынужденные — Уравнения 331
332
— свободные — Уравнения 330, 331
— собственные — Измерение форм 338,
339 — Определение характеристик 332 —
336 — Погрешности измерений 346 —
348
Коммутаторы — Назначение 257
— Основные характеристики 257
— Типы 257
Комплексы для измерения колебательной
мощности — Применение 326 — 329 — Схе-
Схемы 327 — 329
— частотных характеристик — Примене-
Применение 323 — 325 — Состав 323, 324 — Схе-
Схемы 323, 324
Коррекция динамических характеристик —
Методы 119, 121
— Структурные схемы 120
494
предметный указатель
— Цель 119
— Электрические цепи 121
Корреляторы — Виды 277, 278
— Общие требования 276, 277
Коэффициенты аппроксимации — Опреде-
Определение 92 — Понятие 92
— асимметрии — Методы измерений 283
— влияния — Определение 2D8 —300 —
Применение 165, 216, 217, 309 — 312
— передачи комплексный — Определение
80, 81 — Понятие 80
— эксцесса — Методы измерения 283
М
Магнитографы — Назначение 252
— Применение 254
— Режимы работы 253
— Устройство 252, 253
Масса комплексная — Определение 50
— обобщенная — Способы измерения
339 — 341
— операторная 50
Матрица вершин графа — Описание 68,
59 — Свойства 59
— импедансов — Определение элементов
80
— контуров — Описание 59. 60 — Свойст-
Свойства 60
— передаточная 75, 76
— передаточных функций 74, 75
— подвижностей 76
— сечений графа — Описание 60 — Свой-
Свойства 61
Метод максимального правдоподобия —
Применение 351, 352
— максимальной апостериорной вероятно-
вероятности — Применение 352
— Муара — Применение 40
— наименьших квадратов — Применение
— периодической огибающей — Определе-
Определение вклада источников 281—283 — При-
Применение 282, 283
— среднего риска — Применение 352,
353
— фотоупругости — Применение 40
Методы измерения акустические — Поня-
Понятие 132 — Разновидности 132
— вероятностные — Анализ по одной реа-
реализации процесса 268 — Выбор модели
Погрешности измерений 269 — Приме-
Применение 266, 267 — Формирование ан-
ансамбля реализаций 267
— интерференционно-голографические —
Понятие 129 — Применение 129 — 131 —
Установка 130
— интерференционно-допплеровские —
Понятие 126 — Применение 126, 127
— интерференционно-оптические — Поня-
Понятие 126 — Применение 126
— фотомодуляционные — Понятие 125
Применение J25
Микрофон емкостной ~ Применение 231
— Схема 231
Модели аддитивные 88
— аппроксимационные 83
— векторные 84
— вероятностные 85
— временные 85
— гармонического процесса 85
— детерминированные 85
— диагностические 386—389
— импульсных процессов 86
— комбинированные 88
— линейные 358 — 360
— линейных систем 362, 365
— модулированных процессов 86
— мультипликативные 88
— на основе интегральных преобразова-
преобразований 84
— нелинейные 360 — 362
— нелинейных систем 360 — 373
— непараметрические 85
— неполные 85
— непрерывные 377, 378
— нестационарные 85
— параметрические 85
— периодического процесса 85
— полигармонические 86
— полные 85
— процессов 84 — 87
— прямые 84
— скалярные 84
— сложных систем 81, 82
— случайных процессов 87
— стационарные 85
— структурные 84, 85, 88
— частотные 85
Н
Нагрузка эквивалентных источников 79
Направление поиска — Методы выбора 354,
355
Напряжения механические — Виды 34, 35
— Измерение 39, 40
— Определение 34, 35
— Понятие 34
— Связь с деформацией 38
О
Оборудование многоканальное — Состав
341
— Структурная схема 341
Обработка статистическая 89, 95, 96
Объект испытаний — Модели 318 — 320
— Схемы крепления к нему возбудителей
316
Объем памяти — Определение 287
Осциллографы светолучевые — Виды 252 —
Назначение 252 — Недостатки 252 — Пре-
Преимущества 252 — Принцип действия 252
— электронно-лучевые 248, 249 — Прин-
Принцип действия 249 — Типы 248, 249 —
Характеристики 250
Отказ — Понятие 380
Оценки рассеяния — Определение 90, 91
— Понятие 90
— Характеристики 92, 93
п
Плотность процесса спектральная — Мето-
Методы определения 270, 271
— Методы представления 270, 271
Погрешности — Виды 290, 291
— Оценка 290
— Понятие 109, 290
Погрешности абсолютные 109, 290
— аддитивные 216, 291
— грубые 294
— динамические — Анализ 297 — Опреде-
Определение 117, 118, 290, 291 — Понятие
117 — Формулы для оценки 298
— кинематические прямолинейных датчи-
датчиков 164 — 172
— кинематические угловых датчиков 172,
173
— многократных прямых измерений —
Вычисление оценок 300, 301
— мультипликативные 216, 291
— относительные 109, 290
— систематические — Вычисление оценоь
298 — 300 — Классификация 294, 295 —
Определение 347, 348 — Понятие 290 —
Пути уменьшения 295, 296
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
495
— случайные — Определение 346, 347 —
Понятие 290 — Точечные оценки 292,
293 — Функции распределения 291, 292
средств измерений — Виды 296, 297 —
Нормы 297 — Понятия 296
— статические 290, 291
Податливость — Определение 50
Правило Шэннона — №эзона 62—64
Преобразование Лапласа — Применение
23, 24, 41, 42, 100
— Гильберта — Определение 19, 20
— Фурье — Алгоритм быстрого преобразо-
преобразования 288 — Применение 24, 25, 41, 84,
84, 270, 272, 274
Преобразователи вида информации — Виды
255, 256 — Применение 255, 256 — Прин-
Принцип действия 255, 256
— вихретоковые — Применение 206 —
Принцип действия 206 — Схема 206
— волновые — Применение 209 — Прин-
Принцип действия 209
— гальваномагнитные — Применение 207
— Принцип действия 206, 207 — Схема
207
— емкостные — Применение 200 — Прин-
Принцип действия 197—200 — Схема 197 —
Уравнения 199 — Чувствительность 200
— измерительные — Классы 110 — Наз-
Назначение 107 — Понятие 107 — Работа
107 — Характеристики 114 —116
— индуктивные — Применение 202 —
Принцип действия 201 — Схема 201
— компенсационные — Применение 210 —
Принцип действия 209, 210 — Схема210
— магнитоупругие — Применение 202 —
205
Принцип действия 209, 210 Схема
— магнитоупругие — Применение 202
Принцип действия 202 — Схема 202
— механотронные — Применение 204, '.
Г~Тг\иимигт пдйртпиа ОП1^ ОС\А. __ f1 vc
204
канотронные — применение zui, zuo
Принцип действия 203, 204 — Схема
— механоэлектрические — Классификация
183 — Назначение 182 — Принцип ра-
работы 183 — 185 — Схемы 185, 187 — Ха-
Характеристики 184 —188
— пьезооптические — Принцип действия
208, 209 — Схема 208
— пьезо
, е
пьезорезонаторные — Применение 206
— Принцип действия 205, 206 — Схема
205
— пьезоэлектрические — Принцип дейст-
действия 188—192 — Схема 191 — Чувстви-
Чувствительность 192 — Принцип действия
209 — Схема 209
— резистивные — Применение 203 —
Принцип действия 202, 203 — Схема 203
— тензорезистивные — Применение 203 —
Принцип действия 203 — Схема 203
— фотоэлектрические — Применение 208—
Принцип действия 207, 208 — Схема
207
— электретные — Принцип действия 192 —
194 — Схема 192
электродинамические — Виды 194 —
— Приьцип действия [94 — Схема [94
— электрокинетические — Принцип дейст-
действия 195, 196 — Схема 195
Приборы самопишущие —Назначение 250 —
252 — Типы 250 — 252 — Устройство 250—
252
Признаки диагностические — Поиск 397
— Понятие 381
— Структурно-следственная схема форми-
формирования 398, 399
Пространство вещественное — Задание век-
векторов 12, 13 — Некоторые свойства Id —1о
— комплексное — Некоторые свойства
17 — 19 — Понятие 16
Сигнал измерительной информации 108
— виброакустический — Измерение 396,
397 — Надежность распознавания 412,
413 — Нормирование 399 — Параметры
401—408 — Понятие 380 — Правила
распознаваиия 408 — 412 — Синхронное
накопление 400 — Стробирование 400 —
Формирование 396 — Фильтрация 399
— Характеристики 389
— входной 108
— выходной 108
Сила — Классификация 33
— Понятие 32
— Эквивалентные источники 79
Сила возбуждения — Подбор 337, 338
Синтезаторы частоты — Назначение 245
— Применение 245, 246
— Характеристики 245
Системы виброакустической диагностики —
Создание 384 — Функциональная схема
384, 385
— колебательные — Передаточные функ-
функции 75
— линейные — Оценивание состояния 373,
374
— многочерные — Оценивание парамет-
параметров 365, 366
— механические — Виды систем 41, 42 —
Виды соединения 78 — Понятие 12 —
Элементы 42
— нестационарные — Классы [02
— одномерные — Динамические характе-
характеристики 99
— отсчета — Виды 122, 134 — Понятие
12 — Применение 122, 134, 173, 174,
180 — 182
— радиотелеметрические — Виды 259—
263 — Применение 259 — Схемы 260 —
263 — Устройство 259 — 263
Скорость — Эквивалентные источники 79
Соединители — Виды 257
— Назначение 257
Состояние объекта вибрационное — Гра-
График изменения 424 — Множества 425 —
432 — Модели 422 — 424 — Схема 422
— техническое — Анализ 380 — 384 — Оп-
Определение 380 — Понятие 380
— эксплуатационное — Моделирование
454 — 487
Спектрометры — Виды 271, 272
— Применение 272
Средства измерения — Классификация 110,
111
— Поверка 302, ЗОБ
— Погрешности 117, 119, 256, 297
— Понятие ПО
— Характеристики 99 — 102, 110, 111, 119,
301, 302
Схемы поверочные — Понятие 302
— Содержание 302
— Характеристики 303
Тело абсолютно твердое — Описание дви-
движения 28 — 30
— Понятие 12
— Угловая скорость 30, 31
— Угловое перемещение 30
— Угловое ускорение 31
Тензорезисторы — Применение 228
— Принцип действия 228
— Схема 228
Теорема Нортона 54, 79
— Тевенина 53, 54, 79
Теория графов сигналов 62 — 64
— цепей 65—62
496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точка — Задание движения 25
— Описание гармонического движения
21—23
— Перемещение 25 — 27
— Резкость 28
— Ускорение 25 — 27
Точность измерений — Понятие 291
Функция импульсная переходная — Оце-
Оценивание параметров 362, 363
— передаточная — Виды 41, 42 — Поня-
Понятие 41
— преобразования — Понятие 111 — Ха-
Характеристики 111, 112
— распределения — Виды 291, 292
Усилители предварительные для пьезодат-
чиков 234 — Виды 235 — Назначение 234
— Применение 234 — 236
заряда — Принцип действия 238, 239 —
Эквивалентные схемы 238
напряжения — Принцип действия 235,
237, 238 — Эквивалентные схемы 237
— тока — Принцип действия 239 — Экви-
Эквивалентная схема 240
Устройства бесконтактные индукционные—
Назначение 180
— гироскопические — Назначение 181 —
Устройство 181, 182
— знакопечатающие — Виды 255 — При-
Применение 255 — Устройство 255
— измерительные — Понятие ПО
— инерциальные — Понятие 122, 134, 135
— инерционного принципа действия —
Описание 102 — 115, 134 — 182 — Поня-
Понятие 122, 134-135
— сейсмического типа — Описание 134 —
180 — Понятие 180
— цифровые — Применение 254 — Прин-
Принцип действия 254
Фильтры электрические — Виды 240, 241
— Коэффициент передачи 241
— Назначение 240
— Средние частоты 243
— Характеристики 241, 242
Формы собственных колебаний — Измере-
Измерение 338, 339
Характеристика амплитудная — Определе-
Определение 307 — Понятие 111, 112
— амплитудно-частотная — Определение
307, 308 — Понятие 80, 100
— вероятностные 96, 97
— спектральные 94, 95
— статистические — Вычисление 89 — Ис-
Использование 90, 91 — Понятие 89 — 91
— фазочастотная — Определение 308 —
Понятие 80, 100
— частотные — Соотношения 80, 81
— эксплуатационные — Определение 312
Цепь механическая — Понятие 42 — Упро-
Упрощение 54, 55
Частота собственная — Измерение 338
Частотомеры — Назначение 246
— Применение 246, 247
Щ
Щупы — Виды 181
— Назначение 181
— Применение 181
Эффекты наложения спектра — Понятие
286 — Способы снижения 286
— нелинейного преобразования сигналов
— Классификация 104
ЭВМ — Применение 285 — 289, 345, 346
ИБ № 717
Владимир Владимирович Алесекко,
Артемий Степанович Больших,
Михаил Дмитриевич Генкин и др.
ВИБРАЦИЯ В ТЕХНИКЕ. В 6-ти томах.
Том 5
ИЗМЕРЕНИЯ И ИСПЫТАНИЯ
Редактор 3. 3. Акчурина
Художественный редактор С. С. Водчиц
Технический редактор Т. С. Старых
Корректоры: И. М. Борейша и Л. П. Озерова
Переплет художника Л. Я. Михайлова
Сдано в набор 30 07.80 Подписано в печать 27.04.81 Т-08723. Формат 60X90'/ie Бумага
типографская № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ л 31 0 Уч -изд
л. 45,65. Тираж 30 000 экз. Заказ 1455. Цена 2 р. 70 к.
Издательство «Машиностроение», 107076, г. Москва, Б-76, Стромынский пер., д. 4
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А М Горького Союз-
полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр 15