/
Author: Поливанов К.М.
Tags: электротехника физика теоретическая физика электромагнитное поле электромагнитные явления
Year: 1969
Text
К. М. ПОЛИВАНОВ
МАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ
ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
В ТРЕХ ЧАСТЯХ
Часть третья
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1969
к. м. ПОЛИВАНОВ
ТЕОРИЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1969
6П2.1. '
П49
УДК 621.3.01
ПОЛИВАНОВ к. м.
П 49
Теоретические основы электротехники, ч. 3. Теория электро-"
магнитного поля, М., «Энергия», 1969.
352 с. с илл.
Книга представляет собой третью часть курса «Теоретические основы электротехни-
ки» под редакцией проф. К. М. Поливанова. В ней рассматриваются электромагнитные
явления, используемые в различных областях электротехники и радиотехники. Приво-
дятся основные законы и их физическое содержание. Указываются методы исследования
и расчета полей.
Книга предназначается для студентов электротехнических специальностей и факуль-
тетов, изучающих данную дисциплину как с отрывом, так и без отрыва от производства.
Она может быть полезна и аспирантам, а также инженерам и преподавателям элек-
тротехники.
3-3-8
Поливанов Константин Михайлович
Теоретические основы электротехники, ч. 3.
Теория электромагнитного поля.
Редактор Б. Я- Жуховицкий
Технический редактор Т. И. Павлова
Корректор В. С. Антипова
Сдано в набор 4/1V 1968 г. Подписано к печати 20/1 1969 г. Т-02514. Формат ТОхЮЗ1/^
Бумага типографская № 2 Усл. печ. л. 30,8 Уч.-изд. л. 32,84 Тираж 25 000 экз. Цена 1 р. 84 к. Зак. 476
Издательство «Энергия». Москва, Ж-П4, Шлюзовая наб., 10.
Владимирская типография Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Гор. Владимир, ул. Победы, д. 18-6.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга, посвященная теории электромагнитного поля, завершает об-
щий курс Теоретических основ электротехники. Предыдущие части кур-
са изложены в книгах: «Теоретические основы электротехники, ч. I, Тео-
рия линейных электрических цепей , с сосредоточенными параметрами»,
К. М. Поливанов (1965) и ч. 2, «Четырехполюсники, длинные линии, не-
линейные цепи», Б. Я. Жуховицкий, И. Б. Негневицкий (1965).
Содержание книги и уровень изложения соответствуют программе
курса Теоретических основ электротехники, утвержденной для электро-
технических и радиотехнических специальностей Министерством высше-
го и среднего образования СССР. Однако автор в ряде случаев созна-
тельно выходил за рамки, установленные практикой чтения лекций по
теории электромагнитного поля. К этому его побуждали многие причи-
ны. Так, из-за недостатка часов, отводимых в большинстве учебных пла-
нов, сами преподаватели жертвуют, прежде всего, разделами теории по-
ля: они трудно усваиваются и, казалось бы, менее важны в обиходной
практике инженера. Теорию поля излагают чрезмерно сжато, без долж-
ных иллюстраций практическими примерами. Из-за этого ценность курса
для образования инженера электрика стала вызывать справедливые со-
мнения. В результате такой обратной связи теория поля, в ряде случаев,
вообще исключалась из общего курса Теоретических основ электро-
техники.
Придерживаясь противоположных взглядов, автор позволил себе бо-
лее широкое и подробное изложение теории электромагнитного поля, со-
провождая его многочисленными примерами. Этим автор стремился сде-
лать изложение возможно доступным и в то же время показать прак-
тическое значение теории поля для инженера-электрика. В книге не
только особое внимание уделяется примерам, но они входят в нее почти
на равных правах с остальным текстом; однако, это требует от чита-
теля большей активности. Автор настойчиво рекомендует каждый из
примеров сначала пытаться решить самостоятельно (некоторые более
трудные примеры отмечены в тексте звездочкой*).
Расширение объема вызвано еще тем, что на разных факультетах
наиболее важны иногда различные разделы теории. Кроме того, автор
хотел ознакомить преподавателей и студентов с разделами теории, ко-
торые обычно вовсе не излагаются, а между тем, заслуживают внима-
ния. Так, например, по мнению автора, изложенные в книге теоремы
о магнитном потоке и наведенном электрическом заряде (§ 4-12) важнее
детальных расчетов статических полей. Впрочем и некоторые разделы,
относящиеся к расчету потенциальных полей, изложены с теми подроб-
ностями, которые стали традиционными (§ 4-9 — Поле двухпроводной
линии).
Особенность изложения заключается в том, что в первых двух главах
с самого начала рассматриваются основы электродинамики и перемен-
ные электромагнитные поля. Автор рассчитывал при этом на знакомст-
во читателей из общего курса физики с основами теории Максвелла.
5
Поэтому в первой главе автор ограничивается лишь напоминанием важ-
нейших уравнений в их интегральной формулировке. Разнообразные
примеры приводятся с тем, чтобы читателю возможно полно представи-
лось значение уравнений Максвелла и связь между ними. Во второй
главе, правда в самых общих чертах, рассказывается даже о волново-
дах. Значительно подробнее волноводы рассмотрены в гл. 7. Однако
возможно, что студенты некоторых специальностей ограничатся дан-
ными, изложенными в начальных главах. Преимущество такого располо-
жения материала заключается еще в том, что оно дает возможность
в учебных лабораториях сразу приступать к выполнению работ по те-
мам, подробное изложение которых обычно бывает отнесено на конец
курса (например, на основе изложенного в гл. 2, а также известной тео-
рии длинных линий, учащиеся могут приступить к исследованию вол-
новодов). Переходя к дифференциальной форме уравнений электро-
магнитного поля (гл. 2), автор стремился по возможности постепенно
приучать к дифференциальным операциям, показывая их глубокую
осмысленность, выразительность и сравнительную простоту. Там же
приводятся и полные определения основных операций. Автор предпола-
гает, однако, что этого достаточно только для читателя, изучавшего эле-
менты векторного анализа, хотя бы в объеме, изложенном в известном
курсе И. Е. Тамма [Л. 2-3].
После основного текста в книге идет несколько приложений; некото-
рые из них содержат чисто справочный материал (4-е и 5-е), в других
несколько подробнее анализируются отдельные вопросы курса. В конце
дан список рекомендуемой литературы. Он не претендует на полноту
и в нем не указаны многие книги, заслуживающие внимания. Его зада-
ча лишь в том, чтобы дать читателям, особенно учащимся, некоторую
ориентацию. Ссылки на литературу содержатся непосредственно и в при-
мечаниях к тексту, в тех случаях, когда упоминается источник, связан-
ный лишь с излагаемым частным вопросом.
В заключение, автор считает своим долгом выразить благодарность
всем лицам, оказавшим ему дружескую помощь при написании этой
книги. Отдельные ее главы, еще в рукописи обсуждались на кафедре
Теоретических основ электротехники Московского Ордена Ленина Энер-
гетического института; изложение некоторых разделов выработалось
в результате многолетнего обмена мнениями между членами этой ка-
федры. Всему коллективу автор приносит большую благодарность. Осо-
бенно ценны были замечания Г. В. Зевеке, Б. М. Фрадкина, Л. П. Собо-
левой, Я. Н. Колли, И. А. Мирошника, А. И. Думиня и Е. И. Калугина.
В новую книгу в переработанном виде автор перенес ряд парагра-
фов из написанной им ранее в соавторстве с А. В. Нетушилом (А. В. Не-
тушил, К* М. Поливанов, Основы электротехники, ч. 3, ГЭИ, 1956).
С А. В. Нетушилом обсуждались и многие разделы новой книги. Автор
очень признателен ему за многолетнюю и постоянную научную связь.
Академику И. М. Кирко автор выражает глубокую благодарность за
его вдумчивую и серьезную рецензию рукописи и за многие критические
указания, которые приняты во внимание.
Автор очень благодарен А. Д. Смирнову за дружеское внимание
и одобрение рукописи.
За тщательную подготовку рукописи к печати и многочисленные цен-
ные замечания автор весьма признателен редактору книги Б. Я. Жухо-
вицкому.
В предлагаемой вниманию читателей книге автор во многом отсту-
пил от традиций, принятых при изложении курса теории электромагнит-
ного поля. Тем больше вероятности допустить существенные промахи
и недочеты. За все критические замечания по поводу книги автор зара-
нее благодарит. , .
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...........................*.................................... 5
Глава первая. Теория электромагнитного поля (предварительные замечания) 13
1-1. Основной вектор электрического поля............................... 13
1-2. Основной вектор магнитного или электрокинетического поля.......... 15
1-3. Принцип наложения (суперпозиции) ............................... 17
1-4. Средние величины и понятие сплошных сред ......................... 18
1 -5. Классическая электродинамика..................................... 20
1-6. Теория цепей и теория поля...................................... 21
Градиент (22)
1-7. Расчеты поля по интегральным уравнениям и другие примеры про-
стейших вычислений ............'................................... 22
Глава вторая. Уравнения Максвелла ........................................ 39
2-1. Уравнения Максвелла в интегральной форме ........г.............. 39
2-2. Переход к дифференциальной форме основных уравнений ............. 40
Дивергенция (40). Ротор (40). Первое уравнение Максвелла (41).
Второе уравнение Максвелла (41). Теорема Гаусса для электрическо-
го поля (42). Уравнение Лапласа — Пуассона (42). Теорема Гаусса
для магнитного поля (42). Связь между векторами (42).
Примечания: 1) О непрерывности и дифференцируемости (43). 2) Наб-
ла в обозначении дифференциальных операций (43).
2-3. Примеры применения дифференциальных операций к различного рода
Полям ........................................................ 43
2-4. Ток смещения в вакууме ......,................................. 46
2-5. Следствия, вытекающие из уравнений Максвелла .................... 48
Электромагнитные волны; их распространение со скоростью света (48).
Линия с распределенными постоянными (50). Экспериментальные дока-
зательства справедливости уравнений /Максвелла (50). Полые резона-
торы сверхвысоких частот (50). Волноводы (52).
2-6. Потенциалы скалярный и векторный ................................. 54
Скалярный потенциал (54). Потенциальное поле (54). Соленоидальное
поле (55). Вихревое поле (56). Векторный потенциал (57). Векторный
потенциал и магнитный поток (59). Заключительные замечания (59).
2-7. Выражение напряженности электрического поля в Максвелловском
обобщении............................................................. 60
Слагающая напряженности электрического поля, определяемая маг-
нитным векторным потенциалом (60). Слагающие, обусловленные ска-
лярным и векторным потенциалами (62). Что покажет вольтметр? (63).
Возникновение электрического поля при движении в магнитном поле
(65). Релятивизм уравнений Максвелла (65).
2-8. Движение проводников и заряженных частиц в магнитном поле .... 66
Электрические генераторы (66). • Магнитная гидро- и газодинамика (67).
Плазменная электротехника (68). Наведение э. д. с. в экранированных
проводах (69). Вихревые токи и «униполярный» генератор (71). Дви-
жение заряженных частиц в магнитном поле (72). О простейших коль-
цевых ускорителях (74). Вывод формул (2-121) и (2-122), связывающих
радиус, магнитную индукцию и энергию летящих частиц (78). Движе-
ние заряженных частиц в перекрестных полях (78).
7
Глава третья. Электромагнитное поле в поляризуемых средах . .у
81
3-1. Постоянное электрическое поле в среде с электрической поляризацией 82
Вектор электрической поляризации (82). Плотность связанный заря-
дов электрически поляризованной среды (85). Электрическое смеще-
ние (87). Поляризация и электрическая восприимчивость (87). Диэлек-
трическая проницаемость (89). Закон Кулона для однородной/ среды
с проницаемостью е (89). Векторы поля на поверхности раздев двух
сред — граничные условия (90). Влияние проводимости на пол£ в ди-
электрике (91). I
3-2. Постоянное магнитное поле в среде с магнитной поляризацией^....... 94
Магнитная поляризация — намагниченность. Эквивалентный | поверх-
ностный ток (94). Эквивалентная плотность тока (97). Напряженность
магнитного поля (98). Восприимчивость и проницаемость (99). При-
меры (100). Векторы поля на поверхности раздела двух сред — гра-
ничные условия (102). Магнетостатика — формально удобная систе-
ма (103).
3-3. Электрокинетическая природа намагниченности .................... 104
Гиромагнитные эффекты (104j. Уравнение гиромагнитного движения
(105). Гиромагнитный резонанс (106).
3-4. Диэлектрик в переменном поле.................................. 108
Ток поляризации и ток смещения (108). Запаздывание поляризации
(109) . Комплексное представление восприимчивости и проницаемости
(ПО). Реактивная и активная составляющие плотности тока смеще-
ния (111). Диэлектрические потери (111). Несовершенные ди-
электрики и плохие проводники (112). Эквивалентная проводимость
* и эквивалентная проницаемость (112). Граничные условия на поверх-
ности раздела двух несовершенных диэлектриков (112). Свободный
и связанный заряды при комплексных параметрах среды (ИЗ). Про-
водник или диэлектрик? (114). Частотные характеристики и переход-
ные процессы (115). Конденсатор в элекгрической цепи при заданном
изменении поляризации (115).
3-5. Ферромагнетик в переменном поле .............................. 117
Характеристика основных эффектов (117). Комплексная восприимчи-
вость и проницаемость (117). Эллиптическая петля гистерезиса (118).
Эквивалентные параметры (119). Построение эллиптической петли
(119). Резонансные эффекты (119). Гиромагнитный резонанс с учетом
затухания (121). Тензор восприимчивости гиротропной среды (124).
Глава четвертая. Потенциальные поля .................................... 126
4-1. Общая характеристика методов расчета .......................... 126
Интегрирование (решение) уравнений в частных производных (127).
Интегрирование уравнений Лапласа — Пуассона (127). Особые точки
потенциальных функций; точечные заряды в уравнении Пуассона (129).
Другие методы расчета полей (129).
4-2. Интегрирование уравнений в частных производных по методу Фурье.
Плоскопараллельное поле в декартовых координатах (130)........; 129
4-3. Поле намагниченной ленты ..................................... 131
Поперечно намагниченная лента в окружении воздуха (131). Попереч-
но намагниченная лента при большой проницаемости верхней области
(133). Продольно намагниченная лента, окруженная воздухом (133).
Продольно намагниченная лента при большой проницаемости верхней
области (135).
4-4. Простейшие задачи, решаемые в цилиндрической и сферической систе-
мах координат..................................................... 136
Цилиндр в однородном внешнем поле (136). Распределение потенциа-
ла (136). Ферромагнитная труба в поперечном поле (138). Сфера в од-
нородном внешнем поле (139). Построение эквипртенциалей по извест-
ным уравнениям (140). Сопоставление результатов для цилиндров
и сферы (140). Слагающие поля, обусловленные поляризацией (141).
Поле поляризованных тел (142).
8
4-5. Поляризованный эллипсоид. Размагничивающие факторы, коэффици-
енты деполяризации................................................... *43
6 коэффициентах сферы, цилиндра, пластины (144). О коэффициен-
тах N и системах единиц (145). Тонкие магнитные пленки (145). Эллип-
соид во внешнем однородном поле; анизотропия формы (146). Свобод-
ные колебания намагниченного эллипсоида в магнитном поле (147).
О физическом смысле коэффициентов N (148).
4-6. Поляризуемые тела в переменном поле............................. 148
Диэлектрическая сфера с комплексной проницаемостью' во внешнем
переменном поле при 8е=1 (149). Цилиндр, эллипсоид и другие тела
в переменном поле (150). Потери в переменном поле (151). Поляризуе-
мые тела во вращающемся поле (151). Вращательный гистерезис (152).
Гистерезисный двигатель (152). Вращение цилиндра в постоянном маг-
нитном поле (153). Потери во вращающемся поле (153). Относительная
угловая скорость и вращающий момент (154). Вращающееся поле в за-
зоре машины (155). Эллиптический цилиндр во вращающемся по-
ле (155).
4-7. Переходные процессы в квазистатических полях. Релаксация........ 156
Операторный метод в применении к расчету поля в неоднородном не-
совершенном диэлектрике (156). Сфера из несовершенного диэлектрика
в окружении другого диэлектрика, также несовершенного (157). Оста-
точные явления. Релаксация (159). Некоторые обобщения (160)
4-8. Методы изображений ............................................. 160
Зеркальные изображения (160). Многократные отражения (163). На-
магниченное тело между полюсами магнита (163). Изображение точеч-
ного заряда в проводящей сфере (164). Сфера в однородном внешнем
поле (165). Цилиндр в поле заряженной оси (166). Заключительные за-
мечания о методах изображений (166). Метод инверсии (166). Метод
функций комплексного переменного; конформные изображения (166).
Электрический поток (169). Комплексное выражение напряженности
поля (169).
4-9. Поле параллельных проводов. Система заряженных проводящих тел.
Линии высокого напряжения...................................... 170
Параллельные круглые провода (170). Провод над проводящей пло-
скостью (171). Распределение потенциалов и зарядов в системе прово-
дящих тел (172). Потенциальные коэффициенты (172). Емкостные ко-
эффициенты (172). Частичные емкости (173). Принцип взаимно-
сти (173). Потенциальные коэффициенты воздушных линий (173). Про-
вода воздушной линии высокого напряжения (174).
4-10. Потенциальное поле в проводящей среде.......................... 176
Электролитическая ванна (177). Защитные заземления и шаговое
напряжение (178). Плоские ванны, проводящие листы (179). Инвер-
сия (179).
4-11. Принцип взаимности в цепи постоянного тока..................... 179
4-12. Теоремы о магнитном потоке и наведенном электрическом заряде.... 180
Применение принципа взаимности (180). Теорема о потокосцеплении
и примеры ее применения (182). Доказательство теоремы о магнитном
потоке (184). Распространение теоремы о потоке на случай перемен-
ных полей (185). Измерительная обмотка, исключающая связь с внеш-
ним полем, при отсутствии намагниченного образца (186). Теорема
о наведенном заряде (187). Та же теорема в условиях гармонически из-
меняющейся поляризации (188). Обобщение теоремы на случай лю-
бой нагрузки на зажимах электродов (189). Доказательство теоремы
о наведенном заряде (190). Теорема Шокли (191).
Глава пятая. Энергия, силы .............................................. 192
5-1. Общие замечания ............................................ 192
Электрическая и магнитная энергии (192). Силы в электромагнитных
системах (193). Джоуль за джоуль (195). Выражение силы через
векторы поля, ток и заряд (196). Момент и сила, испытываемые дипо-
лем (197).
5-2. Энергия поля и ее преобразования.............................. 199
Теорема Умова — Пойнтинга (199). Вывод теоремы Пойнтинга — Хеви-
сайда (199). Электромагнитная энергия волны (202). Двухпровод-
ная линия передачи (202). Передача энергии через индуктивную связь
(трансформатор) (203). Теорема Пойнтинга — Хевисайда в комплекс-
ной форме (205). Трансформатор (206).
2—476
9
5-3. Энергия и силы в электромеханических машинах..........;......... 207
Магнитный цилиндр в переменном поле (207). Неподвижный магнит-
ный цилиндр во вращающемся поле (208). Вращающий момент (209).
Вращение цилиндра в постоянном поперечном поле (210). Реактивная
мощность (210). Модель асинхронного двигателя (210). Модель син-
хронной машины (211). Поле в зазоре между круглыми статором и ро-
тором электрической машины (212). Передача мощности между ста-
тором и ротором и вращающий момент в синхронной машине (214).
5-4. О силах, действующих на поляризуемую среду...................... 215
Общие замечания (215). О силах, действующих на диэлектрик J215).
Силы взаимодействия, выводимые из магнетостатики (217). Действие
поля на связанные токи (218). Притяжение сердечников электромаг-
нита (218).
5-5. Энергия поля постоянного магнита........-....................... 22®
О постоянных магнитах (220).
5-6. Обобщение и анализ выражений энергии в поляризованной среде.... 221
Энергия намагниченных тел в магнитном поле (221). Энергия окру-
жающего поля W' (223). Вывод формулы (5-124) (225). Поворот по-
стоянного магнита в постороннем поле (225). Полная энергия постоян-
ного магнита (226). Обратимые изменения (227).
5-7. Энергия в анизотропных телах .................................. 228
Анизотропия проницаемости или восприимчивости (228). Анизотропия
при постоянной намагниченности; кристаллографическая анизотропия
(230). Анизотропная однодоменная сфера в однородном поле длинного
соленоида (231).
5-8. Изменения энергии, сопутствующие изменению поляризации.......... 233
5-9. Заключительные замечания об энергии электромагнитного поля..... 235
Энергия электрического потенциального поля (235). О векторе Пойн-
тинга в условиях отсутствия его дивергенции (237). О количественных
значениях энергии электромагнитного поля (237).
Глава шестая. Переменное электромагнитное поле в проводящей среде. По-
верхностный эффект ...................................................... 239
6-1. Общие соображения о совместном решении уравнений Максвелла.... 239
Волновое уравнение. Идеальный диэлектрик (240). Диффузионное урав-
нение или уравнение распространения тепла. Хорошие проводники
z (240). Аналогии тепловых и электромагнитных процессов (242). Пе-
ременное (простое гармоническое) поле в проводящей среде (244).
Поверхностный эффект при распространении тепла (244). Квазйвол-
новое распространение в г, С кабеле (244). Обобщающие замечания
о волновых процессах (245). Волны в среде с эквивалентными комп-
лексными параметрами (246). Электромагнитная опрессовка (247). По-
лучение самых сильных магнитных полей при взрыве (249).
6-2. Переменное магнитное поле в тонкой пластине.................... 250-
Стальная пластина трансформаторного сердечника (250). Распростране-
ние плоских волн (251). Средняя проницаемость (253). Потери на вих-
ревые токи (255). Полные потери на перемагничивание (255). Глубина
проникновения (256). Цилиндрический экран (256).
6-3. Поверхностный эффект в коаксиальном кабеле...................... 258
Случай сильно выраженного поверхностного эффекта (258). Комплекс-
ное сопротивление кабеля (259). Общий случай поверхностного эффек-
та в кабеле (260). Некоторые обобщения (265).
6-4. Электромагнитное поле в проводах двухпроводной линии............. 266
Большое расстояние между проводами (266). Близкое расположение
проводов. Эффект близости (266). Провод — земля (266). Об учете
внутреннего магнитного поля при определении индуктивности (266)
6-5. Провода в пазу электрической машины..............ч.............. 267
Расчет в предположении распространения плоской волны (267). Рас-
сеяние, энергии в проводах (269).
6-6. Электромагнитное поле в случае сильно выраженного поверхностного
эффекта .........................................._............... 27Q
10
Первое приближение (270). Второе приближение (270). Пропорцио-
нальность магнитной и электрической напряженностей поля (271). Вы-
вод формулы (6-112) (272). Физический смысл эффекта близости
(273). Внутреннее комплексное сопротивление (274). Рассеиваемая
мощность (274). Приближенность изложенных расчетов (274).
6-7. Моделирование поверхностного эффекта........................... 275
Модель электрической системы в уменьшенном масштабе (275). Пере-
ходные процессы (276). Аналоговая модель (276). Масштаб напряже-
ния (280). Масштаб тока (280). Масштаб сопротивлений (281). Моде-
лирование на цепочке четырехполюсников (282).
6-8. Проводящий цилиндр в однородном поперечном переменном поле.... 282
Эквивалентная магнитная проницаемость (282). Проводящая сфера
в переменном и вращающемся поле (285).
6-9. Заключительные замечания ..................................... 285
Понятие об увеличении потерь на вихревые токи, -обусловленном до-
менной структурой (286). Намагничение пластины с прямоугольной
петлей (287). Магнитное поле в присутствии сверхпроводников (288).
Глава седьмая. Распространение и отражение электромагнитных волн.... 289
7-1. Простейшие случаи распространения плоских электромагнитных волн 289
Отражение вблны от плоской поверхности двух сред (нормальное па-
дение) (291). Аналогия с длинными линиями (292). Волновой вектор
(293). Составляющие скорости распространения и фазовой скорости
(294). Отражение волны от проводящей поверхности при косом паде-
нии (296). Мощность, передаваемая волной (297). Анализ найденных
результатов (298). Давление электромагнитной волны при ее падении
на поверхность раздела двух сред (299). Физические процессы, обус-
ловливающие отражение и влияющие на распространение волн (300).
7-2. Полые резонаторы и волноводы................................... 300
Полый резонатор (301). Потери и добротность резонаторов (304). Гра-
ницы применения полых резонаторов (304). Прямоугольный волновод
(305). Длина волньгв волноводе А и фазовая скорость (305). Волны ти-
пов ТЕ и ТМ (307). Возбуждение волн разных типов (308). Заключи-
тельные замечания "(309). Фазовая... скорость и собирающая линза
(311). Дополнительные замечания о различных скоростях (312).
7-3. Волны в анизотропной среде..................................... 312
Особенности, обусловленные простейшей анизотропией (312). Приведе-
ние тензоров к диагональному виду (314). Гиротропные среды (315).
Общий случай анизотропии (316).
7-4. Волны в нелинейной среде ...................................... 316
Глава восьмая. Излучение электромагнитных волн........................... 318
8-1. Вводные замечания . ,........................................ 318
8-2. Запаздывающие потенциалы ..................................... 319
Выводы уравнений для запаздывающих потенциалов (321).
8-3. Излучение электрического диполя ............................... 322
Векторный потенциал (323). Магнитное поле (323). Электрическое
поле (324). Излучаемая мощность (324). Входное сопротивление излу-
чающего диполя, сопротивление излучения (325). Дополнительные за-
мечания (325).
8-4. Полуволновая антенна .......................................•. 327
/ Излучаемая мощность (329)
8-5. Направленное излучение .................................... 329
8-6. Заключительные замечания ................................ 330
Вектор Герца (330). Магнитный диполь и магнитный вектор Герца
(332). Принцип взаимности и приемные антенны (333). Излучение дви-
жущегося заряда (333). Голубое небо (334). Молекулярные генерато-
ры (335).
2*
11
Приложения.
Приложение 1. О комплексном представлении пространствен-
ных, гармонически изменяющихся составляющих.................... 336
Линейная поляризация (336). Круговая поляризация (336). Разложе-
ние произвольного колебания в плоскости %, у на два встречных вра-
щения (337). Эллиптическое поле (338). Разложение трехмерных век-
торов с комплексными составляющими (339).
Прил о ж е н и е 2. Проводящий цилиндр в поперечном переменном
магнитном поле ............................................. 340.
Сплошной круглый ротор в асинхронной машине (342).
Приложение 3. О дивергенции векторов напряженности электри-
ческого поля (Е) и векторного потенциала (А)................... 343
Пр вложение 4. Таблицы функций Бесселя от аргумента %=
—X V—j ........................................................ 344
Приложение 5. Формулы векторного исчисления.................... 349
Литература .................................................... 352
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
(предварительные замечания)
Представления теории поля, осо-
бенно подчеркивавшиеся Фарадеем
и подробно развитые Максвеллом,
противополагались теории дально-
действия. В чем заключалось это
противоположение, легко понять,
рассматривая простейшие примеры.
®— —— ----------— >-®отаивЕив^|>~
Гр
Рис. 1-1.
По обычной формулировке з а-
кона Кулона, сила, с которой
заряд q} действует на заряд 72, вы-
ражается равенством
F2=—-^-RO (1-1)
2 е0 W2 12 V 7
Принятые обозначения понятны из
рис. 1-1; все величины выражены
в рационализованной интернацио-
нальной системе (СИ)1.
Как и в других законах элек-
тромагнетизма, здесь казалось бы,
' идет речь о действии на расстоянии;
в теории дальнодействия это прини-
малось как данное и вопрос о том,
как происходит действие, не ста-
вился.
1 Система единиц интернациональная,
совпадающая для общефизических и элект-
ромагнитных величин с системой единиц
МКС А (метр, килограмм, секунда, ампер)
при том, что уравнения записываются в ра-
ционализованной форме. При этом 80 =
= 8,85 • 10-12 ф!м и |1о=4 л-10~7 гн!м.
1-1. ОСНОВНОЙ ВЕКТОР
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
С точки зрения теории поля, раз-
вивавшейся приблизительно с сере-
дины прошлого века, рассмотренное
взаимодействие двух зарядов истол-
ковывается так: в пространстве во-
круг заряда q\ существует какое-то
особое состояние — «поле действия»
этого заряда. Здесь выражение поле
действия употреблено в обычном
разговорном смысле слова, как го-
ворят о чьем-либо поле действия,
поле влияния, или чьей-то области
или сфере влияния и т. п. Первона-
чально лишь такой смысл и припи-
сывался слову «поле». Впоследст-
вии, однако, в физике стали гово-
рить об электромагнитном поле, как
о реально существующем физиче-
ском объекте, т. е. стали рассмат-
ривать электромагнитное поле как
один из видов материи, к которому
могут применяться количественные
меры и которое обладает вполне
определенными физическими свойст-
вами.
Мерой электрического поля слу-
жит векторная величина Е — нап-
ряженность поля или его ин-
тенсивность.
Любой заряд q, находясь во
внешнем электрическом поле напря-
женностью Е, испытывает силу
F=9E. (1-2)
Конечно, заряд q также обладает
своим полем; более того, возникно-
13
вение силы F определяется взаимо-
действием внешнего поля и собст-
венного поля заряда q.
Изображая картину поля сило-
выми линиями, Фарадей представ-
лял себе все силы как результат на-
тяжения линий и взаимного оттал-
кивания их: линии поля — это оси
некоторых! упругих трубок, сплошь
^заполняющих пространство, они
стремятся расшириться по сечению
и сократиться по длине. Возникно-
вение сил очень наглядно выявляет-
ся из построенной картины поля
(рис. 1-2, я, б, в). Однако в совре-
менной теории поля этим линиям
и трубкам не приписывается ника-
кой физической реальности — они
рассматриваются только как способ
изображения поля. На рис. 1-2, а,
б, в пунктиром показаны линии рав-
ного потенциала. Рисунки несколь-
ко упрощенно воспроизводят черте-'
жи из трактата Максвелла.
Из сочетания формул (1-1)
и (1-2) очевидна следующая^ форму-
лировка, закона Кулона на языке
теорий поля: заряд q=qi обладает
полем, напряженность которого
в точке, отстоящей от него на рас-
стояние R=/?R°, выражается фор-
мулой
дЯ°
Е
(1-3)
Другой заряд, скажем q—qz, нахо-
дясь в поле (1-3) первого заряда qi,
испытывает силу (1-1-) в соответст-
вии с формулой (1-2).
Рис. 1-2.
14
I
Из (1 -3) следует, что поток
вектора напряженности электри-
ческого поля через замкнутую по-
верхность пропорционален заряду,
находящемуся внутри нее,
EdS= — q (1-За)
8о
(частный случай электростатиче-
ской теоремы Гаусса). Эта
формулировка, справедливая для
вакуума, непосредственно вытекает
из закона Кулона, однако уравне-
ние (1-За) обладает большей общ-
ностью — оно применимо и к таким
электрическим полям, которые су-
х ществуют вообще в отсутствие элек-
трических зарядов (т. е. когда Е #=0
при ^=0).
В случае среды с диэлектри-
ческой проницаемостью е
в правой стороне теоремы Гаусса
в знаменателе ставится множитель е
(рядом с постоянной 8о). При этом
.можно ограничиться требованием
постоянства е в области располо-
жения замкнутой поверхности (S)
интегрирования:
(f)EdS (1-36)
Что же касается закона Кулона для
среды с диэлектрической постоян-
ной е, то теорема Гаусса позволяет
его выразить формулой
Е = —-----q— Ro (1-Зв)
8S0 4л7?2
только в том случае, когда диэлект-
рик с проницаемостью 8 распреде-
лен в пространстве симметрично от-
носительно точки расположения за-
ряда q и, разумеется, находится
в точке, для которой определяется Е.
На рис. 1-2, г показаны случаи, ког-
да применимы или неприменимы
формулировки (1-36) и (1-Зв). Ис-
черпывающее объяснение читатель
может дать самостоятельно, во вся-
ком случае после изучения § 3-1.
1-2. ОСНОВНОЙ ВЕКТОР МАГНИТНОГО
ИЛИ ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Рассматривая систему двух «бес-
конечно» длинных, параллельных,
тонких проводов с токами и i2
(рис. 1-3), можно выразить силу,
действующую на единицу длины
любого из проводов, скажем, второ-
го провода, формулой
М (1-4)
И в этом случае речь идет, казалось
бы, о действии на расстоянии.
Однако, на языке теории поля
тот же результат формулируется
иначе. В пространстве, окружаю-
щем движущиеся электриче-
ские заряды, а следовательно, и ток,
существует магнитное поле. Мерой
этого поля служит векторная вели-
чина В, определяющая его интен-
сивность. По исторически сложив-
шимся обстоятельствам развития
учения о магнитном поле эту вели-
чину В называют магнитной
индукцией.
Движущийся электрический за-
ряд, находясь в магнитном поле В
других движущихся зарядов, испы-
тывает механическую силу (рис.
1-4, а)
F=9vXB; (1-5а)
здесь v — скорость заряда q в той
же системе координат, в которой
определен вектор внешнего поля В;
косой крест — знак векторного ум-
ножения.
Неподвижный заряд не испыты-
вает никакой силы в магнитном по-
ле. Сказанное объясняет, почему
магнитное поле можно называть по-
лем электрокинетически м.
Если вместо одного заряда рас-
сматривать упорядоченное движе-
ние зарядов, характеризуемое
плотностью тока J, то сила,
испытываемая во внешнем магнит-
ном поле В элементом объема dV
(в котором ток имеет плотность J),
выражается так (рис. 1-4,6):
dF-JxBdV. (1-56)
15
В случае элементарного отрезка
проводника d\ с током i (dl направ-
лено по току, как показано на рис.
1-4, в)
dF~idlxB. (1-5в)
В однородном поле В отрезок про-
водника длиной I с током i испыты-
вает силу
F=Z1°XBZ; (1-5г)
здесь 1° — единичный вектор, парал-
лельный оси проводника и ориенти-
Из сопоставления (1-5в) и (1-5г)
становится понятным выражение
(1-4) для силы в системе рис. 1-3:
в месте расположения проводника
с током i2 существует поле перво-
го (бесконечно длинного) провод-
ника
В=р,0—1°Хг°; (1-6)
направление вектора В определяет-
ся векторным произведение^ еди-
ничных векторов 1° и г° (рис. 1-5).
рованный по выбранному положи-
тельному направлению тока (рис.
1-4,г).
Заметим, что в электротехниче-
ских устройствах силы взаимодейст-
вия электрического поля с заряда-
ми, как правило, очень невелики;
напротив, силы, действующие на
проводники с током в магнитном
поле, часто очень значительны. Так,
например, в электрических машинах
на проводник длиной 1 м с током
1 000 а, когда он находится в поле
В = 1 тл (1 тесла=1 в-сек!м2 =
= 104 гс) при том, что В±1, дейст-
вует сила 77=1 ООО 100 кГ
(1 ньютон =1 дэ/с/ж=107 эрг!м =
= 105 дин^Ъ, 1 кГ).
Находясь в этом поле, отрезок
второго проводника испытывает си-
лу (1-4), определяемую из (1-5г)
и (1-6). Последнее выражение, как
будет показано ниже (пример 1-1),
16
непосредственно находится из пер-
вого уравнения Максвелла
В dl — |x0 i J6S
(1-7)
или из закона Био—Савара: маг-
нитная индукция (dB), обусловлен-
ная элементом тока, выражается
формулой
ИЛИ
__ i dl X r° /1 о z-" \
<‘-8б>
В этих формулах dV — рассматри-
ваемый элемент объема, внутри ко-
торого ток имеет плотность J (рис.
1-6, я); dl—элемент длины провод-
ника с током i (рис. 1-6,6). Полное
значение вектора магнитной индук-
ции В может быть найдено из фор-
мул (1-8а) и (1-86) после интегри-
рования по всем проводникам, несу-
щим ток.
Как и в случае электрического
поля, силы, действующие в магнит-
ном поле на проводники с током, мо-
гут быть найдены из картины линий
поля, если, следуя за Фарадеем,
этим линиям придать свойства
упругого натяжения и отталкивания..
Рисунок 1-7 схематически ил-,
люстрирует магнитное поле уеди-.
ненного прямого провода с током
(а), двух параллельных проводов
с одинаково (б) и противоположно:
(в) направленными токами, а также-
результирующее магнитное поле (г)
проводника с током, находящегося
в однородном внешнем поле Во;
проводники направлены нормально
к плоскости чертежа, косой крест —
хвост, точка — острие стрелки, ука-.
зывающей направление тока.
1-3. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ
(СУПЕРПОЗИЦИИ)
Поле нескольких зарядов, ска-,
жем, 91, 92, 9з, в заданной точке
определяется как сумма полей каж-
дого из зарядов, взятых отдельно^
Так, результирующая напряжен-
ность поля
Е=ЕХ+Е2+Е3, (1-9)
где для любого точечного заряда Е/г
определяется по формуле (1-3),.
в которую вводится радиус R, прове-
денный из точки расположения за-
ряда в точку, для которой опреде-
ляется напряженность поля.
Сказанное выражает принцип
суперпозиции (наложения)
или, говоря более физическим язы-
ком, принцип независимого дейст-
вия: поля зарядов 1, 2, 3... склады-
ваются, причем поле каждого из за-
рядов остается таким же, каким оно
было бы в отсутствие других.
Если заряд непрерывно распре-
делен в некотором объеме V и за-
дана плотность заряда р, то
в рассматриваемой точке каждый
элемент объема dV вносит свою сла-
гающую напряженности поля
dE = pdV Ro. (1-Ю)
е0-4лЯ2
Здесь /?R° — вектор проведенный
в точку наблюдения, для которой
определяется поле, из точки истока,
т. е. из точки расположения заряда
pdV.
17-
Разумеется что р может быть
функцией координат. При этом ис-
комая напряженность поля
Е = ——
е0 -4л
(Ы1)
Для заряда, распределенного
в пространстве с заданной плот-
ностью р (х, у, z), может быть сфор-
мулирована теорема Гаусса, более
общая, чем (1-За), а именно:
(|)EdS= О’113)
Принцип суперпозиции приме-
ним и к магнитному полю. Поэтому
при заданном распределении векто-
ра плотности тока по (1-8а) нахо-
дим, что
в = -±2- f dv, (1-12а)
4л J
интегрирование распространяется
на все области, где /^0. При задан-
ном геометрическом расположении
провода с линейным током по (1-86)
В == — jiofrOXdi. (1-126)
4л; J г2
В выражениях (Г 12) векторы
/?R° й гг° также проводятся в точку
наблюдения из точек истока (точек
расположения элементов тока) .
Во всех приведенных в этом па-
раграфе выражениях предполагает-
ся отсутствие поляризуемых сред
(в=1,|Л=1).
1-4. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ПОНЯТИЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
Средняя плотность заряда р
в объеме V равна сумме зарядов q,
находящихся внутри этого объема,
деленной на объем V.
Стягивая поверхность, ограничи-
вающую V, к точке (х, у, z), можно
определить плотность заряда в этой
точке, что и выражается формулой
р=Иш-&-, (1-13)
V->0 V
Однако в действительности элек-
трический заряд имеет дискретную
структуру и нельзя чрезмерно
уменьшать объем V, по которому
производится усреднение. Линейные
размеры рассматриваемого объема
должны оставаться очень большими
по сравнению с расстояниями меж-
Здесь интегрирование проводится
по всему контуру тока,
Рис. 1-7.
18
ду отдельными заряженными части-
цами, образующими объемный за-
ряд (например, между электронами,
внутри вакуумной электронной лам-
пы, в электронном луче и т. п.).
В противном случае уже нельзя рас-
сматривать плотность заряда как
непрерывную функцию координат.
Поэтому, пользуясь математическим
символом V-+0 (а также S->0,
Z—>0), мы полагаем, что элементы
объема (поверхности, длины) оста-
ются еще настолько большими, что
усреднение остается возможным.
Вместе с тем эти «стремящиеся
к нулю» величины должны быть
действительно очень малы по срав-
нению с размерами той области по-
ля, в которой математическими
уравнениями описываются измене-
ния векоторов поля, плотности за-
ряда и других физических величин.
(Заметим еще, что вследствие обяза-
тельно происходящего движения
зарядов их плотность изменяется во
времени, даже в условиях, которые
мы считаем статикой. При этом,
говоря о средних значениях, имеют
/ в виду усреднение и по времени.
Вектор плотности тока опреде-
ляется как в среднем упорядоченное
движение зарядов
J=< pv > = lim^L. (1-14)
v->o V
В этой формуле, кроме сказанного
о смысле выражения V->0 и об
усреднении, содержится еще одна
особенность. Усреднение, обозначен-
ное угольными скобками, относится
к произведению плотности заряда
на скорость, а не к произведению
средних величин. Действительно,
в общем случае
<pv>=£=<p><v>. (1-15)
Так, например, в металлическом
проводе с током можно считать, что
в среднем упорядоченное поступа-
тельное движение присуще только
отрицательным зарядам (электрон-
ный ток), причем средняя плотность
заряда внутри проводника равна ну-
лю1: средняя плотность электронов
1 В электрических проводах обычно су-
ществует еще поверхностный заряд, прак-
тически не зависящий от идущего в них
тока и определяемый заданной конфигура-
цией проводов и напряжением между ними.
равна и противоположна по знаку
средней плотности в среднем непо-
движного положительного заряда.
Почти всегда произведение
<pv> в (1-14) можно понимать
как сумму средней плотности отри-
цательного заряда р_, умноженной
на его среднюю скорость v_, и соот-
ветствующего произведения плотно-
сти и скорости (p4-v+) положитель-
ных зарядов
< pv > = < р_1_ V_L. > + < Р— v_ >.
(1-16)
Очевидно, что при <pv>=^=0 сред-
няя плотность заряда
< р > ~ < р- > + < Р+ >
может быть равна нулю. Такое ус-
ловие наблюдается в лампах (труб-
ках) газового разряда или ионных
газоразрядных устройствах (ртут-
ные выпрямители, игнитроны
и т. п.); в ионизированном газе или
плазме под влиянием электрическо-
го поля заряды разного знака дви-
жутся в противоположные стороны,
обычно с разными скоростями.
Во многих проводниках средняя
скорость движения зарядов пропор-
циональна напряженности поля,
т. е., иначе говоря, скорость пропор-
циональна силе. Такой характер
движения наблюдается при наличии
трения. Существование электриче-
ского трения и приводит к закону
Qmb:
J=oE, (1-17) .
т. е. плотность тока прямо пропор-
циональна напряженности поля.
Проводники, к которым применим
закон Ома, называют линейными.
Коэффициент о называют элект-
рической проводимостью.
Усреднение, подобное изложен-
ному для плотности заряда и векто-
ра плотности тока, применяется
и к другим величинам, таким как
плотность магнитного и электриче-
ского моментов (гл. 3). Аналогич-
ным путем производится и усред-
ненное определение свойств вещест-
i ва, рассматриваемого как сплош-
ная непрерывная среда.
Только при этом можно говорить
о проводимости (электропроводно-
сти) или проницаемости (диэлектри-
ческой проницаемости) того или
19
другого вещества. Совершенно так
же, впрочем, обстоит дело и в опре-
делении таких простейших понятий,
как объемная плотность р (удель-
ный вес): если р — функция^ коор-
динат, то ее значение в какой-либо
заданной точке определяется как
предел отношения массы М рас-
сматриваемого вещества внутри
объема V, включающего рассматри-
ваемую точку, когда V->0,
v м
р = lim —.
v->o V
При этом, разумеется, объем V
должен оставаться еще настолько
большим, чтобы в нем заключалось
достаточное число частиц вещества,
позволяющее говорить об усредне-
нии; если это тела, рассматривае-
мые в обиходе как сплошные, то
речь идет о молекулах, атомах или
элементарных частицах; если же это
песок, то необходимо, чтобы внутри
объема V было достаточно большое
число песчинок. Именно в таком
смысле в макроскопической физике
говорят о непрерывных распределе-
ниях тех или иных физических про-
цессов или состояний и о сплошных
средах.
1-5. КЛАССИЧЕСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
В условиях неподвижных и по-
стоянных зарядов (статика) или
медленно изменяющихся зарядов
и токов, а следовательно, и соответ-
ствующих полей применение основ-
ных законов приводит к одинако-
вым результатам, будь эти законы
формулированы на языке дально-
действия или на языке теории поля
(близкодействия).
Однако уже Гаусс в начале про-
шлого века говорил о пространст-
венно-временном ' распространении
действия поля, тем самым рассмат-
ривая поле как некоторую физиче-
скую реальность, а не как формаль-
ный способ описания электромаг-
нитных явлений.
В условиях быстрых изменений
распространение электромагнитного
поля сопровождается эффектами,
которые трудно связать с представ-
лениями дальнодействия. Напротив,
именно на языке теории поля, воз-
водящей электромагнитное поле
в ранг самостоятельно существую-
щей физической реальности, легко-
объяснить излучение и распростра-
нение электромагнитных волн. Тео-
рия поля привела к заключению
о том, что изменяющееся (во време-
ни) электрическое поле сопровож-
дается полем магнитным, а изменя-
ющееся магнитное поле сопровож-
дается полем электрическим. При
этом электрическое поле уже не
связывается обязательно с электри-
ческими зарядами, так же как маг-
нитное поле не связывается обяза-
тельно с движением электрических
зарядов.
В современной физике электро-
магнитное поле рассматривается
как самостоятельный вид материи
наряду с материей, существующей
в форме частиц, образующих атомы
и молекулы. Свойства частиц, ато-
мов, молекул неразрывно связаны
с их собственными электромагнит-
ными полями; так, например, крис-
таллическая структура твердых тел
и их физические свойства в значи-
тельной мере определяются внутрен-
ними электромагнитными полями,
существующими одновременно с
ядерными силами.
Изучению ~ основных свойств
электромагнитного поля и его вза-
имодействию с веществом посвяще-
на излагаемая . здесь последняя
часть курса теоретических основ
электротехники.
Рассматривая взаимодействие
поля и вещества, во многих случа-
ях целесообразно ограничиваться
макроскопической теорией, т. е. счи-
тать вещественные среды сплошны-
ми и характеризовать их усреднен-
ными величинами.
При таком изложении теория по-
ля называется макроскопиче-
ской. Теорию электромагнитного
поля часто называют электро-
динамикой. При указанных
ограничениях говорят об электро-
динамике сплошных сред или о мак-
роскопической электродинамике.
Дальнейшее развитие учения об
электромагнетизме связано с мик-
роскопической теорией вещества
(физика твердого тела, жидкостей,
20
тазов и.плазмы), с квантовой тео-
рией (квантовая электродинамика)
и с рассмотрением электромагнит-
ных процессов в быстро движущих-
ся системах (теория относительно-
сти и релятивистская электродина-
мика) .
В пределах электродинамики
сплошных сред, неподвижных или
медленно движущихся, применимы
законы классической физики, поэто-
му излагаемая здесь теория элек-
тромагнитного поля может быть на-
звана и классической элек-
тродинамикой.
Основное содержание классиче-
ской электродинамики совпадает
< электродинамикой Максвелла, хо-
тя из основных положений, выра-
женных уравнениями Максвелла,
сделаны существенно новые выводы,
не содержащиеся в его знаменитом
трактате; важнейший из них — это
излучение электромагнитных волн.
Важно заметить -и то, что после
фундаментальных работ Лоренца,
основанных на возникшей электрон-
ной теории, стали по-новому смот-
реть на взаимодействие электромаг-
нитного поля и поляризуемых ве-
щественных сред. Таким образом,
современная электродинамика во
многом и отличается от Максвел-
ловской теории.
Кроме того, по Фарадею и Макс-
веллу поле представлялось как осо-
бое напряженное состояние некото-
рой гипотетической среды — носите-
ля поля (ее называли эфиром);
в настоящее время поле рассматри-
вается непосредственно как один из
видов материи, а не как состояние
какой бы то ни было среды. В силу
всего сказанного иногда говорят
о Максвелл — Лоренце в-
ской электродинамике..
1-6. ТЕОРИЯ цепей и теория поля
Электромагнитные процессы
практически во всех электротехни-
ческих устройствах могут рассмат-
риваться с точки зрения теории по-
ля. Вместе с тем теорию электриче-
ских цепей целесообразно выделять
из общей теории поля в силу боль-
шого числа своеобразных законов
и методов расчета, не требующих
постоянного обращения к теории по-
ля. Однако физические понятия,
с которыми имеет дело теория це-
пей, как и многие из ее законов, ос-
новываются именно на положениях
теории поля. Так, в курсе теории це-
пей напряжение определяется как
интеграл от напряженности поля
и представляется как разность
потенциалов
«i-s = yEdl=q>1 — ср2. (1-18)
1—2
Отожествление напряжения и раз-
ности потенциала связано с тем, что
напряженность поля может быть
представлена как минус градиент
потенциала1
Е = —gradcp. (1-19)
Выражение (1-19) всегда примени-
мо, если электрическое поле связано
с электрическими зарядами законом
Кулона. При этом и сам закон Ку-
лона может быть формулирован не
для напряженности поля (1-3),
а для потенциала
<р = — . (1-20)
v е0
Вычисляя градиент от последнего
выражения в соответствии с (1-19),
непосредственно приходим к (1-3)
для точечного заряда q в отсутствие
поляризуемых сред.
К потенциалам (1-20) , конечно,
применим принцип суперпозиции.
При этом суммирование потенциа-
лов проще, чем суммирование на-
пряженностей поля по (1-9), в по-
следнем случае суммируются векто-
ры (Efe).
Выражение, аналогичное (1 -20),
применимо, и к случаю простран-*
ственно распределенного заряда
(p = _l_f£^K. (1-21)
т е0-4л J R
К выражениям (1-20) и (1-21) мо-
жет быть добавлена (как и ко вся-
кому потенциалу) любая аддитив-
ная постоянная, поскольку физиче-
ский смысл и физическую однознач-
ность имеют только разность потен-
циалов или градиент потенциала.
1 Определение градиента дано в конце
параграфа.
21
Заметим еще, что выражение
э.д.с., индуктируемой изменяющим-
ся магнитным потоком)
э = —d<D/d/, (1-22)
в сочетании с определениями э.д.с.
и магнитного потока
з = (£Е<Й; Ф= J BdS (1-23)
по существу дела в замаскирован-
ной форме представляет собой про-
сто выражение второго уравнения
Максвелла
(’BdS. (1-24)
Расчет магнитной цепи ведется
по закону полного тока
(j)Hdl = 2tn, (1-25)
представляющему собой частный
случай формулировки первого урав-
нения Максвелла.
- Аналитические выражения ос-
новных параметров электрической
цепи R, С, L, М любой заданной си-
стемы проводников могут быть най-
дены только на основании теории
поля.
Таким образом, в курсе теории
цепей мы встречаемся почти со все-
ми основными уравнениями поля.
Многие разделы практической
электротехники связаны с теорией
поля даже более тесно, чем с тео-
рией цепей. К их числу относятся не
только основные разделы радиотех-
ники — распространение и прием
электромагнитных волн, но и мно-
гие разделы теории электрических
машин и генераторов, изоляционной
техники, техники высоких напряже-
ний и др.
Градиент. Пусть скаляр <р есть
непрерывная дифференцируемая
функция пространственных коорди-
нат
Ф==ф(х,У,г).
При перемещении на
ds=ех dx-]-ey dy+ez dz (1-26)
значение скаляра ф возрастает на
Лр, определяемое по правилам диф-
ференциального исчисления,
dtp = dx + dy + dz. (1-27)
дх ду dz
Замечательно, что последнее выра-
жение можно рассматривать как
скалярное произведение вектора ds
с компонентами dx, dy, dz и векто-
ра, имеющего компоненты ду/дх,
д^/ду, dqjdz. Действительно, (1-27)
есть сумма произведения одноимен-
ных компонентов таких двух векто-
ров. Второй вектор и называют
гр адиентом
grad <р= ех + е + ег.
дх ду у dz
' (1-28)
Очевидно, что дифференциал имеет
при равных ds наибольшее значе-
ние, когда направление ds совпада-
ет с направлением вектора grad ф.
Поэтому можно принять такое опре-
деление градиента ф: это вектор, лю-
бая компонента которого равна ско-
рости возрастания ф в направлении
f-й координаты; направление гради-
ента ф есть направление наиболее
быстрого возрастания ф.
Данное здесь определение позво-
ляет выразить градиент в любой си-
стеме координат.
1-7. РАСЧЕТЫ ПОЛЯ
ПО ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
И ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Исходя из интегральных уравне-
ний, удается очень просто рассчи-
тать поле только в случаях высокой
степени симметрии, позволяющей
заключить о постоянстве рассматри-
ваемых векторов поля на каком-ли-
бо контуре или поверхности; в ре-
зультате искомая постоянная вели-
чина может быть вынесена за знак
интеграла. Хотя эти случаи кажут-
ся исключительными, они часто
встречаются на практике. При этом
расчеты очень просты; вместе с тем
они дают навык в применении ос-
новных уравнений поля и делают
более отчетливым понимание их со-
держания. Некоторые другие приме-
ры простых расчетов, приводимые
в этом параграфе, служат иллюст-
рацией изложенного в гл. 1 (опре-
деление С, R, L в простейших слу-
чаях и т. п.). Все примеры мало от-
22
личаются от задач из общего курса
физики.
Примечания:
1. Если при решении приведенных ни-
же примеров возникнут неясности в фор^
мулировке уравнений Максвелла, можно
обратиться к § 2-1.
2. Примеры более трудные или более
громоздкие отмечены звездочкой около но-
мера.
<j)BdS=O. (в>
Действительно, построив цилиндр, со^
осный кабелю, найдем, что через его боко-
вую поверхность проходит поток
Вг-2яг1, (г}
где I — длина цилиндра, а г — его радиус.
Через одну торцевую поверхность входит
такой же поток, какой выходит через дру-
гую, поскольку в этом случае поток опре-
Ри,с. 1-8.
1
3. Умение решить пример или, по край-
ней мере, полное понимание приводимого
решения следует считать обязательным для
чтения последующего текста. Однако в на-
чале ознакомления с курсом ряд примеров
можно пропустить с тем, чтобы вернуться
к ним при соответствующих ссылках в даль-
нейшем тексте.
Пример 1-1 о По коаксиальному кабелю
(рис. 1-8) проходит ток i. Ток, идущий по
жиле, возвращается по оболочке. Магнит-
ная проницаемость ц как проводящих, так
и изолирующих материалов равна единице.
Кабель можно считать прямым и беско-
нечно длинным; последнее означает, что мы
пренебрегаем полем токов в местах присо-
единения кабеля к источнику и нагрузке,
какой бы ни была там конфигурация про-
водов. Найти магнитное поле тока.
Решение. Магнитное поле рассматри-
ваемого тока может зависеть только от ра-
’ диуса
В = В(г), (а)
так как: 1) в системе существует осевая
симметрия (любой выбор начала отсчета
углов « в цилиндрической системе коорди-
нат, ось которой совпадает с осью кабеля,
равноправен) и 2) система бесконечно про-
тяженна в направлении оси z и все точки,
достаточно отдаленные от концов, равно-
правны.
Далее очевидно, что в рассматриваемом
случае вектор В имеет только одну а-ю
слагающую (в цилиндрической системе ко-
ординат), так как по (1-12а) каждая сла-
гающая вектора В обязательно нормальна
к вектору плотности тока (в нашем случае
ток параллелен оси z). Вместе с тем ради-
альная слагающая при условии (а) не мо-
жет существовать
Вг = 0. (б)
Это следует из того, что поток вектора В
через замкнутую поверхность равен нулю1
1 Сказанное рассматривается в совре-
менной физике как опытный факт [см.
Л. 2-1, .2-2].
деляется составляющими В, которые не за-
висят от z и на двух торцевых поверхно-
стях остаются неизменными. Слагаю-
щие в поток через рассматриваемый ци-
линдр ничего не вносят. Поэтому условие
(в) выполняется только при том, что (г) об-
ращается в нуль. А это и приводит к усло-
вию (б)2.
Итак, мы пришли к выводу, что в ци-
линдрической системе координат, соосней
с кабелем, вектор магнитной индукции за-
висит только от радиуса и имеет единствен-
ную а-ю слагающую
в=ва = ¥ (г). > (д>-
В таком случае в выражении закона пол-
ного тока (1-25), примененного к окружно-
стям г=const, можно полагать
dl = r da, В = р,0Н || dl и В = const;
2-
cj) В dl — Br 1 da = Вг*2л = (e)
6
В правой части равенства стоит сумма «ам-
пер-витков», т. 'е. весь ток, проходящий че-
рез поверхность, ограниченную контуром,
интегрирования. Поэтому при г0<г<П
Вг-2л = или В — Ва~ (ж)
В более общем случае в правой части
закона полного тока следует ставить интег-
рал от плотности тока по поверхности,
ограниченной контуром интегрирования,
(j> В dl = fi0 f $ dS. (з>
Полагая, что плотность тока в жиле посто-
янна J—ilrcrQ, найдем для О<г<го:
Вг*2я> — р0 лг2
или
В = р,о£г/2лТо. (и
2 См. пример 1-7, где рассматривается
магнитное поле, имеющее Вг 0 между по-
верхностями соосных цилиндров.
23
В оболочке плотность тока (опять же по-
лагая ее постоянной)
J—i/n (
ДЛЯ 71<Г<Г2
г| — Г1) ’ ПОЭТОМУ
л ( г2 )
или
В = Р-0 4— г2)/2лг ( /f—4)-
Поле обращается в нуль на внешней по-
верхности оболочки. Очевидно, что оно
остается равным нулю и при г>г2. Картина
Рис. 1-9.
магнитного поля схематически показана на
рис. 1-9 пунктиром.
Рекомендуется построить график В
в функции г.
Пример 1-2. Вычислить магнитный по-
ток Ф между проводами коаксиального ка-
беля и определить индуктивность кабеля на
единицу длины, определяя ее равенством
jLq = Ф/Zi.
Решение. Искомый поток найдем
как интеграл
г0
2л г0
(а)
Действительно, вычисляя поток через
плоскую полоску а=const, ограниченную
жилой и оболочкой, видим, что индукция
Ва нормальна ее плоскости, т. е. В dS =
=В dS при элементарной площадке dS=
= 1 dr, где I — длина полоски.
В таком случае из данного определения
£0 = ^1п^-.
2л г0
(б)
Пример 1-3. Требуется определить элек-
трическое поле кабеля примера 1-1 при за-
данной разности потенциалов £7=const
между жилой и оболочкой; диэлектрическая
проницаемость изолирующей среды 8=2.
Продольная слагающая поля Ez, обуслов-
ленная током, много меньше радиальной.
Решение. Как и в.примере 1-1, сра-
зу заключаем о том, что напряженность по-
ля может зависеть только от радиуса
Е = Е(г). (а)
Соображения симметрии вместе с за-
коном Кулона (1-3) позволяют заключить
о существовании только радиальной сла-
гающей напряженности поля
Е = Ег = Е(г). (б)
Действительно, выбрав какую-либо точку
между проводами, можно произвольно при-
нять для нее 2=0. Заряд равномерно рас-
пределен по проводам. Каждому заряду на
поверхности жилы>в точке 2= |г| соответст-
вует такой же заряд в точке 2=—|?|.При
суммировании 2-е слагающие напряженно-
сти поля взаимно уравновешиваются -(они
равны и противоположны). Точно так же,
положив для данной точки а=0, найдем,
что каждому заряду, расположенному
в точке а= |сс|, соответствует такой же
заряд в точке а=— |а|. Поэтому при сум-
мировании а-е слагающие напряженности
поля исчезают.
Применяя теорему Гаусса к соосной ци-
линдрической поверхности радиусом г
и длиной Z, находим, что
g)EdS = ErZ-23Tr =
= —f р dV = tZ/880; (в)
ее0 J
здесь т— весь заряд жилы на единицу
длины.
Таким образом,
Е — Ег — (г)
разумеется, при Го Л, так как внутри
провода электрическое поле
отсутствует в условиях стати-
ки.
В найденном решении, однако^ оста-
лось не определенным значение т, так как
в условии задан не заряд кабеля, а раз-
ность потенциалов (напряжение). Но зная
напряженность поля, легко определим нап-
ряжение
Г1
U = фо — Ф1 = f Er dr =
= —^-(1ПГ1 — 1лг0) =
88о’25Т
= In^/Fo). (Д)
Выражая т через заданное U, находим
окончательный ответ:
£ = £г = ^/г1п(г1/Го). (е)
Схематически картина поля показана на
рис. 1г9 сплошными линиями.
Рекомендуется построить график Е—
—Ег в функции г.
Внутри проводящей среды (гОо и
г>л) в условиях статики Е=0; при проте-
кании тока (пример 1-1) в жиле и оболочке
существует продольная слагающая поля
Ег—Цб, определяемая по закону Ома (1-17).
24
В обычных электротехнических линиях
продольная слагающая (Ez) очень мала по
сравнению с поперечной (Ет).
Пример 1-4. В кабеле предыдущего
примера дано ri=2r0=2 см, проводники
выполнены из меди. 1) Найти отноше-
ние Et!Ez на поверхности жилы при
токе /=1000 а (ток очень большой пе-
регрузки) и при £7=10 кв\ 2) Найти
максимально допустимое напряжение V
между жилой и оболочкой, если внут-
ри изоляции максимально допустимая
напряженность поля 100 кв!см\ 3) Можно
ли увеличить максимально допустимое на-
пряжение (в условиях предыдущего вопро-
са) путем изменения радиуса жилы (при
П=const)? Если можно, то до какой вели-
чины и при каком значении радиуса Го?
Решение. 1) По закону Ома (1-17)
Е2 ~ J/a — 1/лг^а= 5,7-10~4в/см.
По формуле (е) предыдущего примера
Ег (г0) = £макс = ^/Л)1п (Г1/го)=14,4кв/см.
Следовательно, при r—r0, ET!EZ~2$ • 107.
2) По той же формуле (е)
^=^максго 1п (Г1/г0) = 69,5кв.
3) Максимальное значение £7 (г0) най-
дем, приравняв нулю производную
dU д
дг0 ~Еыакс дг0
= Емакс Цп (Г1/г0) — 1 ].
Очевидный ответ: наиболее выгодное отно-
шение радиусов
rJrQ = е, или г0 = rje.
При таком радиусе жилы максимально до-
пустимое напряжение £/макс = 100 кв.
Пример 1-5. Вычислить емкость Со на
единицу длины коаксиального кабеля.
Решение. Непосредственно по форму-
ле (д) примера 1-3 находим:
Со = т/£/ = ее0-2л/1п (гх/г0).
Пример 1-6. Электрический заряд с
заданной объемной плотностью р образует
цилиндр радиусом го. В остальном прост-
ранстве объемный заряд отсутствует. Коак-
сиально с цилиндром расположен металли-
ческий круглый электрод с внутренним
радиусом и. Подобную систему образует,
например, электронный луч внутри фоку-
сирующего металлического цилиндра.
Требуется найти напряженность поля.
Упрощая реальные условия, считать систему
неограниченно протяженной в направлении
оси.
Решение. Как и в примере 1-3, сле-
дует исходить из теоремы Гаусса, которая
для г<г0 запишется так:
ф EdS = Ег 1-2лг = — f р dV =
J Б0 J
г
р/-2л С л
= —-----| Г dr. (а)
80 J
0
Очевидно, что интегрирование ведется по
коаксиальному цилиндру, для которого эле-
мент объема dV—l • 2лг dr. В результате на-
ходим, что
Е — Er — prl2&Q при г < г0. (б)
При Го в правой части (а) заряд ос-
тается постоянным, поскольку р=0 при
г>г0, поверхность в левой части (а) растет
пропорционально г. В итоге находим, что
£ = Ег= рг^/2е0г. (в)
Пример 1-7. В примере 1-1 было пока-
зано, что магнитное поле тока в коаксиаль-
ном кабеле имеет только а-ю составляю-
щую. При этом заключение Вг=0 основы-
валось, в частности, и на том, что Вг если
и существует, то не зависит от z. Требуется
найти хотя бы идеализированную систему,
в которой на некотором участке, ограничен-
ном по оси z (система конечна в осевом на-
правлении), между двумя коаксиальными
поверхностями, имеющими радиусы г0 и гх
существовала бы именно радиальная сла-
гающая поля Вт^ 0 при Ва =0 и практиче-
ски В2=0. Показать, почему это обязатель-
но связано с существованием слагающей
Bz¥=0 и зависящей от z в области Го
И Г>Г\.
Решение приводится в конце главы.
Пример 1-8. Привести пример магнит-
ного поля, имеющего только г-ю составляю-
щую в области, ограниченной двумя коак-
сиальными поверхностями г=г0 и г=гь
Решение приводится в конце главы.
Пример 1-9. В длинном круглом ферри-
товом стержне существует изменяющееся
во времени магнитное поле B=BZ(/). Ради-
ус стержня г0; вне стержня В=0; внутри
стержня индукция не зависит от координат
(рис. 1-10, а).
Разумеется, что стержень имеет конеч-
ную длину, вблизи, его торцов вектор маг-
нитной индукции приобретает радиальную
составляющую и магнитный поток так или
иначе замыкается во внешнем пространстве
от одного торца (7V) к другому торцу (S)
(рис. 1-10,6). Однако сейчас рассматрива-
25
ется только область, расположенная на рас-
стояниях от стержня, малых по сравнению
с его длиной; для этой области можно счи-
тать стержень как бы неограниченно про-
тяженным. Феррит — это неметаллический
-ферромагнетик (керамика), проводимость
которого очень мала и в нашей задаче мо-
жет считаться равной нулю.
Изменение магнитной индукции в фер-
ромагнитных сердечниках обычно происхо-
дит под влиянием изменения электрического
тока (трансформаторы), но легко можно се-
бе представить, что изменение происходит
знак минус соответствует предположению,
что положительные значения B=BZ и
~Еа связаны между собой правилом пра-
воходового винта. Поскольку В не зависит
от координат (В—const при г <г0 и В=0
при г>го), имеем:
Е — — — dB/dt при г < г0;
L2
^0
Е = — — dB/dt при г > г0.
(в)
Рис. 1-11.
под влиянием каких-либо посторонних не-
электромагнитных воздействий. Можно
предполагать, например, что ферритовый
•сердечник имел остаточную индукцию Во,
а затем его стали нагревать; при этом ин-
дукция должна уменьшаться, обращаясь в
нуль при достаточно высокой критической
температуре (точка Кюри); существуют
ферриты, для которых температура Кюри
близка к комнатной.
Требуется найти электрическое поле в
ферритовом стержне и окружающей его воз-
душной среде.
Примечание. Следует считать, что
магнитное поле изменяется медленно и что
ч’акже медленно изменяется во времени про-
изводная dBldt', можно даже считать, что
в рассматриваемом интервале времени
dBldt const.
Смысл этого примечания заключается в
том, что:
1) можно не считаться с процессом
распространения электромагнитных волн
вокруг стержня и 2) можно пренебречь
плотностью токов смещения (J = 88odE/d£)
и тем магнитным полем, какое, в свою оче-
редь, сопровождает эти токи.
Решение. Рассуждения, аналогич-
ные приведенным в решении примера 1-1,
позволяют утверждать, что в рассматривае-
мой системе вдали от торцов
E = Ea=F(r). (а)
При этом в соответствии с законом элект-
ромагнитной индукции
Е-2лг=
Пример 1-10. Две удаленные одна от
другой металлические полусферы погруже-
ны в грунт (в землю) так, что их жлоский
срез совпадает с плоскостью земли
(рис. 1-11). Радиус каждой из сфер Ro~
= 1 м, расстояние между ними I ^>Ro.
Удельная проводимость металла во много
раз больше проводимости земли О'—
= 10~4 сим! см.
Требуется найти электрическое сопро-
тивление между полусферами, определяе-
мое как сумма «сопротивлений растеканию
тока» для каждой из полусфер *.
Решение. Электрическое поле вблизи
каждой из полусфер можно считать неза-
висимым от влияния другого электрода,
имеющего вид полусферы или какой бы то
ни было иной.
Из соображений симметрии можно счи-
тать, что ток, выходящий из полусферы, рас-
текается по радиусам с плотностью, не за-
висящей от координатных углов. В таком
случае на любом расстоянии R > Ro плот-
ность тока
J = JR — i/2nR2; (а)
в знаменателе стоит поверхность полусфе-
ры, через которую растекается ток.
По закону Ома (1-17) напряженность
электрического поля
E = ER=JR/o. (б)
Поэтому разность потенциалов между
лусферой и любой точкой, удаленной
расстояние R > Ro,
по- .
на
U =
dR
R2 ”
J В-2лг dr
Q
(б)
i/2noR0.
(В)
1 Вместо «сопротивление растеканию»
говорят и «сопротивление растекания».
26
Такое же напряжение с противоположным
знаком существует между второй сферой и
той же точкой, поскольку по предположе-
нию она удалена на расстояние, много боль-
шее Ro, как от первой, так и от второй по-
лусферы.
Искомое сопротивление растекания для
каждого из электродов
/эл = U/i = l/2mRQ = 15,9 ом. (г)
Сопротивление между двумя сферами
Пример 1-11. Три группы электродов,
состоящих из ряда вертикально забитых в
землю железных труб (рис. L12), образуют
заземление, предназначенное для отведения
больших токов однополюсных замыканий
на землю. Эти три группы электродов рас-
положены достаточно близко одна к дру-
гой, так что растекание тока с одной груп-
пы безусловно влияет на пространствен-
ное распределение тока, растекающегося с
другой группы.
Кроме того, имеется четвертый элект-
род, расположенный достаточно далеко . от
рассматриваемых групп, для которого его
сопротивление растекания известно.
Были произведены измерения сопротив-
лений Гм, ^24, >34 между соответствующими
парами электродов. Затем предположено,
что сопротивления растекания для каждой
из трех групп соответственно равны
Рис. 1-13.
Л=П4—r4,rf2=r24—г4, Г,3=Г34—Г4} Где Г4 —
сопротивление растекания четвертого элект-
рода. Наконец, три группы электродов бы-
ли соединены параллельно и было замерено
соответствующее сопротивление растекания
rS — rs4 — U-
При этом оказалось, что
1/^¥=1/гл1+1//-'2+1//"3.
1) Объяснить этот результат, пользуясь
схематическим представлением о простран-
ственном распределении токов, а также об-
щей эквивалентной схемой замещения для
такой системы, знакомой из теории цепей.
2) Каким знаком (> или <) можно
заменить знак ¥= в последней формуле?
3) Сколько опытов необходимо произ-
вести для определения всех параметров
схемы замещения, если четвертый электрод
отсутствует (или отсутствует доступ к не-
му) , а потенциал достаточно удаленной
точки на поверхности земли можно считать
не зависящим от токов рассматриваемых
электродов (потенциал этой бесконечно уда-
ленной точки обычно принимают равным
нулю).
Решение. 1) При включении только
одной из трех групп ток распространяется
на всю ту область пространства, на которую
должен распространяться ток всех трех
групп при их параллельном включении. По-
этому проводимость при включении трех
групп параллельно меньше, чем сумма Про-
водимостей этих групп, когда каждая из
них работает отдельно.
Сказанное иллюстрируется схематичес-
кой картиной распределения токов при
включении одной только второй группы
(рис. 1-13, а) и при параллельном включе-
нии всех трех групп (рис. 1-13,б). Как вид-
но из этих рисунков, пути растекания тока
со второго электрода, обозначенные на
рис. 1-13, а буквами a, b, с, d, при включе-
27
нии всех трех электродов «заняты» током,
стекающим с электрода 3.
Эквивалентная схема замещения рас-
сматриваемой системы представлена на
•рис. 1-14. Из нее'очевидно, что при включе-
нии одной первой группы ток проходит не
только по сопротивлению п, но имеет ряд
параллельных путей; в итоге очевидно, что
2) Из ответа на предыдущий вопрос
следует, что знак #= можно заменить зна-
ком <.
3) Определению подлежит шесть пара-
метров в соответствии с рис. 1-14. Этот от-
вет, так же как и сама схема рис. 1-14,
объясняет, почему неправилен распростра-
ненный метод измерения, называемый мето-
дом трех земель (или трех заземлений), ос-
нованный на замене действительно эквива-
лентной схемы рис. 1-14 схемой рис. 1-15.
Последняя схема не эквивалентна, и для
нее в самом деле
Л12 — Г1 + Г2> г23 = ^2 + Г3> Г31 = гз + Г1-
На основании последних формул
г1 = ~ (Г12 + Г31 Г2з)>
но это неверно для эквивалентной схемы
рис. 1-14. Иногда наблюдающиеся несоот-
ветствия бывают склонны относить за счет
неточности измерений, а не ошибочности
исходных формул.
Заметим еще, что треугольник /, 2, 3 в
схеме рис. 1-14 можно заменить эквива-
лентной звездой, но ее центральный узел
может иметь потенциал, отличный от потен-
циала «бесконечно» удаленной точки <р=0.
Поэтому ветви этих двух звезд нельзя скла-
дывать как параллельные.
Все изложенное применимо и к простей-
шему случаю трех одинаковых полусфери-
ческих заземлителей, из которых два рас-
положены близко один от другого, а третий
удален.
Пример 1-12. Глубоко под водой и на
большом расстоянии от дна находится сфе-
рический электрод; ток к нему подводится
по тонкому изолированному кабелю
(рис. 1-16).
Требуется определить магнитное поле
тока в окрестности электрода.
Решение. Имея в виду осевую сим-
метрию, легко заключить, что вектор В не
зависит от меридианного угла а, но может
зависеть от двух координат — широтного уг-
ла 0 и радиуса R. Здесь 7?, О, а —коорди-
наты сферической системы.
Соображения симметрии позволяют
также предполагать отсутствие 0-й и 7?-й
составляющих вектора В.
Если В—Ва =F(R, 0), то, выбрав ок-
ружность при 7?=const и 0=const (рис. 1-16),
удобно применить к ней первое уравнение
Максвелла в интегральной форме (закон
полного тока): на этой окружности В —
=Ва = const и d\ || В, следовательно,
(j) В dl = Ва г da == Ва г«2л, (а)
где г=7? sin 0 — радиус окружности.
В рассматриваемых условиях ток рас-
текается в воде по радиусам, и не зависит
от углов 0 и а. При этом вектор плотности
тока имеет в воде только радиальную со-
ставляющую
J = JR (б)
В таком случае в правой части уравнения
Максвелла должен стоять ток, пропорцио-
нальный телесному углу Q конуса
Рис. 1-16.
0=const, опирающемуся на рассматривае-
мую окружность. Из элементарной геомет-
рии известно, что этот угол
Q = 2л (1 — cos 0); (в)
он равен нулю при 0=0, т. е. в точках на
оси г, служащей продолжением кабеля; он
равен 4л при 0=л, когда через сферу про-
ходит весь ток i. Следовательно, в наших
условиях
Но ’’ | JdS = Но"- • 2л (1 cos 0). (г)
J 4л
В итоге по первому уравнению Макс-
велла
Ва R sin 0 = Но — (1 — cos 0). (д)
Здесь левая часть уравнения это (а), а пра-
вая — это (г) после деления на 2л. Окон-
чательно
(е)
Примечание. При определении маг-
нитного поля тока, текущего по прово-
дам, часто основываются на дифферен-
циальном выражении обобщенного закона
Био — Савара, производя интегрирование
по отдельным участкам проводов.
r«Xdl , ч
dB = —p,oi——(ж)
4ЛГ2
28
Очень любопытный факт заключается
в том, что, определяя магнитное поле тока
в точке R, 0 путем интегрирования вдоль
всего провода от z— — со до 2=0, найдем
В = —
г°Хе2 dz
4лг2
т
ф, =— ~~------In г, + const. (а)
+ 2Л80 + '
Наличие другой оси, несущей заряд
—т и отстоящей от рассматриваемой точки
А на расстояние г_, вносит дополнительную
слагающую
= М-п---------тг (1 — cos 0) е„ .
^°4Jt/?sin0 V ’ а
Ф- = + ~— In Г- + const. (а')
По принципу суперпозиции потенциал ре-
зультирующего поля
Здесь г — радиус, проведенный в точку
наблюдения (R, 0) из текущей точки рас-
положения элемента тока i d\ или iez dz.
Этот результат в точности совпадает с вы-
ражением (е) для результирующего поля В.
Вместе с тем по принципу суперпозиции
вектор поля В в рассматриваемой точке
равняется сумме вектора В*, обусловленно-
го током в проводе, и вектора Bj, обуслов-
ленного равномерно растекающимися то-
ками,
В = В/ + Ву.
Полученный результат позволяет ут-
верждать, что слагающая поля, обуслов-
ленная током, равномерно растекающимся
во все стороны из сферы, равна нулю, или
в принятом здесь обозначении Bj=0.
Пример 1-13. Два очень длинных па-
раллельных провода воздушной линии на-
ходятся на расстоянии 2а=200 один от дру-
гого;, радиус каждого из проводов го=
= 1<^2д, что позволяет рассматривать про-
вода, несущие заряды как «заряженные
оси».
Требуется: 1) найти уравнения для ли-
ний равного потенциала в поле двух заря-
женных осей с зарядами +т и —т на еди-
ницу длины; 2) полагая потенциалы прово-
дов равными +100 и —100, построить
линии с потенциалами 75, 50, 25, 0; 3) пост-
роить график ф(х) и E=Ex=f(x) при #=
=0. Имеется в виду система декартовых ко-
ординат- (рис. 1-17), в которых ось z парал-
Ф = Ф+ + Ф_ = -Т— In — -Г const, (б)
' 2JT8q Г-}..
Разумеется, аддитивные константы в трех
приведенных выражениях могут
различны.
Если принять, что в плоскости
тенциал равен нулю, то последнее
ние принимает вид:
Т Г—
ф = —------In ---,
2Л8о /*+
так как для этой плоскости
г-l = r_, a In 1 = 0.
Для произвольной точки X, у
rL = (x — a)2 + у2 и г+= (х + а)2-Ь у2,
поэтому потенциал этой точки
т (х — а)2 + у2
ф —---------------In ------------- . (г)
Т 2Д8о (х + а)2 + !/2 к
оыть и
х=0 по-
выраже-
(В)
Последнее выражение позволяет напи-
сать уравнение линий 1 равного потенциала
= k — const. (д)
Это есть не что иное, как уравнение окруж-
ностей, центры которых лежат на оси х
(т. е. при z/=0) и отстоят от начала коор-
динат на расстояние х0, причем
у2_
л q — и>
/*2 + Ц2 .
U2—1/
(е)
Радиусы этих окружностей
4^а2
(£2— I)2
(Ж)
К результату (е), (ж) легко прийти, возво-
дя (д) в квадрат и выражая г_ и г+ через
х, у, а.
2) Полагая, что при 2а>г0 для любой
точки первого (+) провода r^lr+^2alr9>
а для любой точки поверхности второго
(—) провода г_1г±~гъ12а, найдем, что их
потенциалы
лельна проводам; начало координат лежит
в плоскости проводов в середине между
ними, ось х — в плоскости проводов, а ось
у нормальна к ней.
Решение. 1) Как следует из реше-
ния примера 1-3 [см. формулы (г) и (д)],
потенциал в точке Л, отстоящей на рас-
стояние г+ от оси с зарядом +т, выража-
ется формулой
Ф+ =
2Л80
2а
— и
го
2Л80 2а
(3)
1 Линии получаются как сечение по-
верхностей равного потенциала * плоскостью
2=const.
29
Полагая <р+=100, находим что для ф—75
0,75 ~ In £75/In (2a/r0)
или
k75 = exp [0,75 In (2a/r0)] = (2а/r ^5,
Аналогично для ф=50 и 25
^5o = (2a/ro)0’5 и fe25 = (2a I rtf’’*.
Обобщая, можем записать, что
kn = (2a/rQ)n для фп = (и)
Значения k, х0 и I?, вычисленные по
В плоскости проводов формула (г)
для потенциала принимает вид:
т , (х —а)2
ф =------In ---------
4Л80 (х 4- а)2
(К)
Для внутренней стороны левого провода
(+) координата х=—а+г0, поэтому
100 =
т
2Л!8О
In
2а —Л,
г0
формулам (и), (е) и (ж) для заданных
Ф/Фч- при 2а/г0—200, приведены ниже.
Ф/<Р+ 0,75 0,50 0,25
k 52,5 14,1 3,75
х0 1,0007а 1,010а 1,15а
R 0,037а 0,141а 0,547а
т „ 2а
-----In —
2лв0 г0
[Ср.(з)].
Поэтому формулу (к) запишем так:
Ф
50 (х—а)2
“ 1п (2а/rQ) П (х 4- а)2
= 9,45 In
Приведенные значения показывают, что
наиболее быстрое падение потенциала про-
исходит вблизи проводов; соответствующие
(х — а)2
(х + а)2
(л)
Рис. 1-18.
(при 2а/го=2ОО).
Напряженность поля легко получить по
теореме Гаусса с последующей суперпози-
цией (см. пример 1-15) или непосредствен-
но дифференцируя (л):
Построение по (л) и (м) представлено
на рис. 1-19.
Пример 1-14. Вычислить емкость на еди-
ницу длины воздушной линии предыдущего
примера без учета влияния земли
эквипотенциали изображаются окружностя-
ми, центры которых совпадают практически
с центром провода (xQ^a) при ф>0,75ф4_;
при ф<0,25ф+ окружность имеет значитель-
ное смещение центра (рис. 1-18).
3) График Е(х) и ф(х) подтверждает
только что полученный результат: главная
часть падения потенциала сосредоточена у
проводов.
1 Очевидно, что в предыдущем приме-
ре влияние земли не учитывалось, посколь-
ку рассматривались два уединенных парал-
лельных провода и не учитывалось наличие
каких-либо иных проводящих тёл. В слу-
чае воздушной линии влияние земли нич-
тожно, если высота подвеса значительно
больше расстояния между проводами.
30
Решение. Из формул (з) предыду-
щего примера очевидно, что напряжение
между проводами
т
U = <р_|_ — ф_=----In (2а/го).
Л80
Но по определению емкость на единицу
длины 0
С0 = т/^.
Следовательно, для двухпроводной воздуш-
ной линии без учета земли
Со = Л80/1п (2а/г0) = тсе0/2,31g (2а/г0).
Для данных предыдущего примера
(2a/ro==200) получаем Со—0,00525 мкф!км.
Пример 1-15. 1) Построить линии элект-
рического поля (силовые линии) для двух
параллельных проводов воздушной линии
примера 1-13. При построении исходить из
уравнения этих линий (рис. 1-20)
(y-y0)2 + x^Rl, (а)
где
Ro = Уо + °2- (б
Приведенные уравнения показывают,
что линии поля суть окружности радиусом
7?о, центры которых лежат на оси у (т. е.
при х=0) в точках у= —уо. Из уравнения
(б) очевидно, что эти окружности проходят
через «заряженные оси».
Силовые линии проводить так, чтобы
между каждой парой линий проходил по-
ток вектора 8оЕ, равный Чг=т/12; имеется в
виду поток на единицу длины проводов.
Этот поток пропорционален углу 0
между горизонталью и хордой, проведен-
ной из оси +т в точку окружности при
х=0:
Т* _ т0/л. (в)
Следовательно, между хордами двух сосед-
них линий для заданного условия угол дол-
жен отличаться на 15°=л/12.
Положение центра окружности, соответ-
ствующей потоку (в), легко найти, проведя
из оси +т прямую, образующую с осью х
угол
Р = 20 — л/2, (г)
как это поясняет рис. 1-20; пересечение этой
прямой с осью у и есть точка — уо, т. е.
центр О' искомой окружности.
2) Напряженность поля в точке А
(рис. 1-20) выражается равенством
[см. также уравнение (г) примера 1-3].
.Исходя из равенства (д), составить
дифференциальное уравнение силовой линии
Е X di = 0, (е)
где dl=ex dx+ey dy — элемент линии поля.
Равенство (е) есть формулировка парал-
лельности векторов Е и d\, т. е. того, что
d\ есть элемент линии поля.
Переходя в (д) и (е) к декартовым ко-
ординатам, показать, что решение получен-
ного дифференциального уравнения приво-
дит к (а)' и (б).
3*) Показать, что поток 4е между со-
седними силовыми линиями, например 1 и 2
действительно выражается равенством
т = т(02 —е^/л, (ж)
соответствующим (в). При этом проще все-
го определять поток через ось у (при х=0),
на которой Е=ЕХ.
Решение. 1) Требуемое построение
изображено на рис. 1-21.
На том же рисунке пунктиром проведе-
ны эквипотенциали, построенные на рис. 1-18
(пример 1-13).
2) Как видно из рис. 1-20, радиусы
в выражении (д) представляются в декар-
товых координатах формулами:
г+ = (х + а) ех + у^у,
г—= (х — а)ех + уеу,
31
при этом их квадраты
= j? 4- а2 + у2 + 2ах;
г_ = х1 + а2 + у2 — 2ах.
После подстановки этих выражений в (д)
и простых преобразований находим, что
-----[(а2 + У2 — х2) ех — 2ху еу\.
Л80 Ср
Поскольку множитель перед прямой
скобкой не может обратить в нуль вектор-
ное произведение (е), формулируем послед-
нее условие уравнением
[(а2 +z/2 —х2)ех — 2хуеу\ X
X [exdx±eydy] =0.
Вычисляя векторное произведение, по-
лучим только z-ю составляющую, которая
и должна равняться нулю:
(а2 + у2 — х2) dy + 2ху dx = 0.
Заменяя координату у координатой т} =
—у—Уь где уо —некоторая произвольная
постоянная, получаем новое выражение
дифференциального уравнения
( + Уо + П2 + 2т]«/0 — л?) dr] +
+ (n + {/o)2xdx = O.
Полагая в нем
а2 + Уо = const = т|2 + х2 — Rq ,
приходим к равенству
(т) + yQ)2 т] dr] + (п + у0) 2х dx = 0
или
2rj drf + 2xdx = 0.
Решение последнего уравнения очевидно:
т]2 + х2 = R% — const,
разумеется, const при данном уо=const.
3*) На оси у (т. е. при х=0)
“ т 1
Е = Ех =------------- --- 2 cos 0.
2Я8° уа2+у2
Здесь в квадратных скобках стоит выраже-
ние, равное напряженности поля одной за-
ряженной оси; так как у-е. составляющие
поля от осей +г и —г взаимно уничтожа-
ются, берется только х-я составляющая от
каждой из осей, поэтому квадратная скоб-
ка и умножается на 2 cos 0 (рис. 1-20).
Имея в виду, что
cos 0 = a/V а2 + у2,
выражению для Е придаем вид (при х=0)
Е = Ех = ат/Л80 (а2 + У2) • (з)
В таком случае поток через полоску
в плоскости х=0 (т. е. через плоскость yz)
при единичной ширине полоски (от z=0 до
z=L) и высоте у выражается интегра-
лом:
У У
«Г dy
У Л J 02-4-1/2
о
6
т у
= —arctg—ь = т0/л, (и)
Л CL
чем и доказаны выражения (в) и (ж).
При интегрировании по у от —©о до
-|- ©о через полоску должен пройти весь по-
ток, исходящий из заряда 4-Т; очевидно,
что при этом 0 изменяется в пределах от
—л/2 до л/2 и, следовательно,
^полн = ео J Edy — x.
Пример 1-16. По проводам воздушной
линии примера 1-13 проходит ток ±i.
Требуется найти: 1) магнитную индук-
цию в плоскости проводов (у—0) и пост-
роить график B=f(x); 2) индуктивность
линии.
Решение. 1) В рассматриваемой
плоскости магнитное поле каждого из токов
имеет только у-ю составляющую, поэтому,
применяя суперпозицию, находим, что
Л 1 I 1 1 \
В — Ву — Ро । I —
у 2л \ /1 г2 /
i ( 1 1 \ i а
— --------—---------- I = По--'“Z---- »
2л \ х -j-а х — а] л а2—х2
где п=г+ и г2=г_.
Внутри провода, скажем, правого, в
котором ток идет * за плоскость чертежа,
слагающая поля «чужого тока» сохраняет
прежнее выражение, тогда как слагающая
поля «своего тока» зависит от распределе-
ния тока по сечению. Полагая плотность
тока постоянной, находим, что поле «своего
тока» линейно убывает [см. (и) в приме-
ре 1-1] от величины ц0*72лг0 до величины
—|х0^/2лг0. В дальнейшем поле правого про-
вода, оставаясь отрицательным, убывает по
закону
в' — Ву — — р0/72л (х — а).
График B—f(x) для z/=0 представлен на
рис. 1-22.
2) Зная индукцию в пространстве меж-
ду проводами, можно найти сцепленный
с ними поток (на единицу длины), прохо-
дящий вне проводников,
Ф
а — х
= Но— In
л
2а — г о
Q
(а)
32
Найденному результату соответствует
внешняя индуктивность (иногда говорят
«воздушная») на единицу длины
Ро 2а — г0 р0 2а
Lo — — In-------------as — In —• . (б)
Л Го Л Го
Что касается индуктивности, обусловленной
магнитным потоком внутри проводов, этот
вопрос анализируется в § 6-4.
Пример 1-17 *. 1) Показать, что урав-
нение линий магнитного поля предыдущего
примера совпадает с уравнением эквипотен-
циалей электрического поля примера 1-13.
2) Построить ряд линий магнитного по-
ля так, чтобы между соседними линиями
проходила V12 часть всего магнитного пото-
ка, определив для каждой линии радиус R,
смещение оси х0 и координату пересечения
с осью х при х2<а2.
3) Построить на общем графике для
двухпроводной линии 2а/го=2ОО сетку ли-
ний электрического и магнитного полей так,
чтобы как по магнитному, так и по элект-
рическому потоку между смежными линия-
ми' поля проходила 712 часть общего пото-
- ка.
Решение. 1) В отличие от предыду-
щего примера при суперпозиции полей
двух проводов в произвольной точке необ-
ходимо производить сложение векторов1
7 о .. z г1Хе2 , г2Хе2\
О 1Лп I —I— I
^°2л I г2 г2
\ \ '1 г2 /
' = 2 2 ( — Г2 Г1 + Г1 г2) Хег- (3)
2л rf г;
Выражая радиусы в декартовых коор-
динатах (см. решение примера 1-15), пос-
ле простых преобразований получаем:
В = k [(а2 + у2 — х2) ех — 2ху ej Хе2, (б)
где
k — — р,0 ш/л г\ г? 0.
Уравнение линии магнитного поля мож-
но записать так:
BXdl = 0, (в)
где dl=ex dx+ey dy — элемент искомой ли-
нии.
Условие (в) выполняется при равенст-
ве нулю произведения
{[(а2 + г/2 — х2)ех — 2xyey]Xez] X
X (ех dx + еу dy) == 0.
Выполняя простейшие двойные вектор-
ные умножения, легко найти, что
—ехХе2Хех== е2, ехХе2Хе^=0
и т. д.
В итоге приходим к выражению
(а2 + у2 — х2). dx — 2ху dy = 0. (г)
Переходя в полуплоскости х>0 к коорди-
нате
g = x — х0, (д)
вместо (г) получаем:
( а2 + у2 — g2 — х^— 2g x0)dx —
— 2(Е, + х0) ydy = O. (е)
В последнем уравнении уже можно узнать
искомое дифференциальное уравнение ок-
ружности: полагая
^2 । ,.2_ г)2 р2__у2___
ё + У = R и^ — х0 — а,
приводим уравнение к виду
(—2g 2 - 2g х0) d g - 2 (g + х0) у dy =. 0
или окончательно к виду
2£)d% + 2ydy = 0. (ж)
Это и есть дифференциальное уравнение ок-
ружности
£2 ^2 _ consf _ £>2. (з)
2) Поток, проходящий через горизон-
тальную плоскость y=Q на участке от 0 до
х (при единичной длине в направлении
оси z)
X
. р0 ia С dx
л J а2 — х2
0
М , а+х
=---- 1П ----
— х
(и)
при х2<а2. %
Полный поток между проводами най-
дем, полагая х=а—г0 и удваивая резуль-
тат [см. также (а), в примере 1-16],
а—г0
[ioia f
л . J
о
dx
а2— х2
1 Г1 и г2 — радиусы, проведенные в
точку, наблюдения из левого и правого
проводов, при том что по левому проводу
ток идет из-за плоскости чертежа (т. е. по
оси +z), а по правому проводу ток направ-
лен противоположно (см. рис. 1-22).
Ро i 2а — г0
----ш-------------
Л Fq
Из последних двух выражений ясно,
что п-я часть потока проходит между на-
3—476
33
чалом координат и точкой х' на оси х, оп-
ределяемой равенством
Но* .
—— In
2л
go *’ — rQ
п-----In--------
Л
Поэтому значение • х', соответствующее за-
данному п, определяется равенством
а + х' /2а—г0\2п
—- — N~i-----------° ~(2а/г0)2", (к)
О X \ Го z /
откуда
, N — 1
х = а--------.
M-f-1
(Л)
Из простейших геометрических соображе-
ний очевидно, что
х =x0 — jR — х0— у Хц — а2
или
(х'У + а2 №4-1
ха — --------— а-----------.
Чх' №—1
(м)
<н)
3) Требуемое построение выполнено на
рис. 1-23. На рисунке стрелки на линиях
магнитного поля сделаны светлыми (как на
векторах тока), а на линиях поля электри-
ческого — темными (как на векторах на-
пряжения) .
Значения 2V, х<, х0, 7? для 2а/го=2ОО
представлены ниже.
12/2 = 1
JV = 2,41
xf = 0,414 а
xQ = 1,415 а
R = 1,001 а
2
5,8
0,705 а
1,060 а
0,355 а
3 4
14,0 33,8
0,867 а 0,942 а
1,010 а 1,002 а
0,143 а 0,060 а
о
81,5
0,976 а
1,000 с
0,024 а
График построен в предположении, что
в правом проводе ток направлен за плос-
кость чертежа и что левый провод имеет
более высокий потенциал (левый провод
Ч-т, правый —г).
Рис. 1-23.
Пример 1-18. Две двухпроводные ли-
нии идут параллельно. В поперечной плос-
кости координаты осей первой линии г/=0,
х = ±п;- второй линии у=—b и —с, х = 5а
(рис. 1-24).
Требуется найти взаимную индуктив-
ность двух линий на единицу,-длины.
Дано: а=100 см; 6=200 см; с=250 см.
Решение. Магнитный поток поля
первого провода, проходящий между дву-
мя проводами второй линии,
Ф1 = ~~ (*12/*11),
2Л
где гп и г12— расстояния от первого про-
вода первой линии до первого (гн) и вто-
рого (г12) проводов второй линии.
Аналогично выражается поток, обу-
словленный вторым проводом первой линии,
несущим ток противоположного знака (—i).
После алгебраического суммирования
находим, что
ф = Ь°± in^Z2!-,
2зт *ii г22
где г22 и г21 — расстояния от второго про-
вода первой линии до второго (г22) и пер-
вого (г21) проводов второй линии.
По определению
„. Но . *12 *21
М = Ф/г =-----In-------.
Для данных примера М=4,6 мкгн/км.
Рис. 1-24.
Пример 1-19. Двухпроводная линия
замкнута с одной стороны накоротко; на
другой стороне измеряется э. д. с., кото-
рая наводится в линии током квадратной
рамки /тп=40 ма^ со=5 000 сек~1. Рамка
имеет п=40 витков и расположена в пло-
скости проводов линии так, что ось линии
параллельна сторонам рамки и проходит
по ее середине. Сторона квадрата 6=25 см;
расстояние между проводами линии 2а=
=50 см.
Найти амплитуду наводимой э. д. с.
Решение. . Очевидно, что искомая (
э. д. с. имеет амплитуду
Эт — со М1т.
Для ее вычисления следует определить М.
Можно «непосредственно» искать по- ’
ток Ф, обусловленный током в рамке и
сцепленный с проводами линии; для этого
нужно вычислять магнитное поле рамки.
Такой прямой путь оказывается очень гро-
моздким.
Задача значительно упрощается, если
воспользоваться принципом взаимности
(М12=М21) и найти поток W, сцепленный
с рамкой при протекании тока i в проводах
линии. При этом искомая взаимная индук-
тивность
М = T/Z.
34
Искомый поток (потокосцепление)
u0 i а + 6/2
У = 2 ~—hb In--------— = /«4,39 мкгн.
2л а~ Ь/2
Следовательно М=4,39 мкгн и Эт =
=878 мкв. .
Пример 1-20. Требуется найти 1) по-
тенциал и 2) напряженность поля в функ-
ции координат для диполя (рис. 1-25), об-
разованного двумя равными и противопо-
ложными по знаку точечными зарядами
±q, отстоящими один от другого на рас-
стояние 1 (вектор 1 проводится из точки
расположения заряда — q в точку располо-
жения заряда +q).
Рекомендуется выбрать сферическую
систему координат, расположив ее начало
в середине отрезка 1, а углы 0 отсчитывать
от направления вектора 1.
Произведение р=q\ называют элект-
рическим моментом диполя.
Решение. 1) Полагая известным
выражение для потенциала точечного за-
ряда
Ф = ^/4 Л80 R + const
(где R отсчитывается от точки расположе-
'--ния заряда q) и применяя принцип супер-
позиции, находим, что искомый потенциал
диполя
43Т8О \ #2 R1 J
где и Т?2 — расстояния соответственно от
зарядов Л-q и —q, а потенциал плоскости,
для которой R1—R2, принят равным нулю.
. Из простейшей геометрии очевидно, что
Ri = R —1/2, R2 = R + l/2,
" где вектор R проведен из начала коорди-
нат /из середины вектора 1); поэтому
^i = K(R —1/2)2 =
= R К1—/ cos 0/7? + (Z/27?)2 «
~ 7? — 1 cos 0
приближение справедливо при. (1/R)2 < Ь.
Аналогично R2^R+~^~l cos0. Подставляя
полученные выражения для Ri и R2 в (а)
и полагая 1/(1Ч-8)~1—8 при 82< 1, нахо-
дим, что
q Z cos 0 pR
Ф ---------------- „—..— e
4Л8О R2 4j180jR3
2) Две слагающие напряженности по-
ля получаем прямым дифференцированием:
д ф q I cos 0
R ~ ~dR = 2ле0 Я3 ’ (В)
Р ду_______________q Z sin 0
®- RdO ~~ 4ле0 R3 ' W
Обратите внимание, что в последнем выра-
жении дифференцирование проводится не
просто по координате 0, а еще знаменатель
умножается на R. Действительно, в знаме-
нателе должно стоять перемещение (дли-
на) при изменении только координаты 0,
это и есть ds=R dQ. Формально можно
просто написать, что Е=—grad ф. Состав-
ляющие градиента в сферической' системе
координат тождественны с (в) и (г).
Пример 1-21 *. Построить эквипотенци-
али и линии потока в конденсаторе с па-
раллельными электродами, из которых
один — бесконечная плоскость г/=0, дру-
гой — бесконечная полуплоскость. Сечение
электродов такого конденсатора представ-
лено на рис. 1-26.
Рис. 1-26.
Изучение его поля показывает сущест-
вование краевого эффекта. Совершенно
очевидно, что внутри конденсатора, вдали
от края, ,поле однородно и его эквипотен-
циали — плоскости, параллельные электро-
дам. Однако вблизи края верхнего электро-
да поле становится существенно неоднород-
ным.
В параметрической форме уравнение
эквипотенциал ей ф=const и линий потока
(силовых линий) Чг=const было записано
Максвеллом в таком виде:
х = ~ (W + е® cos ф);
л
У = “ (ф + sin ф) ‘ (а)
Л
Исходя из этих уравнений, следует прове-
сти: линии потенциала через 0,2 U, где
U — полная разность потенциалов между
электродами, и силовые линии в интервале
г—1 так, чтобы для смежных ли-
ний Ч изменялось на 0,5, а в интервале
^-5 < Ч< —1 на 1.
Прежде чем начинать строить (точнее,
для того чтобы иметь возможность произ-
водить построение), следует ответить на
следующие вопросы:
1) Каковы координаты верхнего элект-
рода, соотвётствующие заданным уравне-
ниям (а) ?
2) Каковы потенциалы электродов и
разность потенциалов между ними?
Решение. 1) Ордината верхнего
электрода не может зависеть от потока
(Ч), следовательно, его потенциал следует
принять равным ср=зт; очевидно, что при
этом у—а.
Зная потенциал верхнего электрода,
запишем для него первое из данных уравне-
ний в таком виде:
x = -^-(Y-e*)
зт
(так как cos ср=cos л=—1). Очевидно, что
координата верхнего электрода х зависит
от потока, т. е. от Ч; при 4=— <х> также .и
х——оо. Остается определить наибольшее
возможное значение х, удовлетворяющее
уравнению (б), это и есть координата края
верхнего электрода.
Применяя классический метод опреде-
ления максимума, ищем решение уравнения
34 зт х
Оно очевидно: 4=0. Соответствующее мак-
симальное значение х:
х = — а/п.
2) Потенциал верхнего электрода был
найден при анализе первого вопроса <р=зг.
Те же соображения заставляют считать, что
потенциал нижнего электрода ср==О.
Построенная картина поля представле-
на на рис. 1-27.
Пример 1-22 *. В поле, конденсатора
предыдущего примера следует выбрать си-
ловую линию (линию потока), имеющую на
нижнем электроде (#=0) координату х=
=—а/зт. Чему равняется координата х этой
линии на верхнем электроде {у=а)?
Решение. Полагая в первом из ра-
венств (а) предыдущего примера ср=О и
х=—a)зг (это условия для нижнего элект-
рода), приходим к уравнению
—1=^F+ ew.
Строя график или непосредственно
пользуясь таблицей показательных’ функ-
ций или натуральных логарифмовх, под-
бираем искомое значение 4*=—1,279. Под-
ставляя найденное, значение 4“ в первое из
(б)
1 Для решения посредством таблицы
натуральных логарифмов уравнению прида-
ют вид 1п(—1—Ч)=1п[10(—1—Ч)]—
—In 10=4*. При этом очевидно, что Ч<—1,
иначе под логарифмом^, стояла бы отрица-
тельная величина.- Вместе с тем Ч>—2,
иначе логарифм . оказывался бы положи-
тельным.
уравнений (а) примера 1-21 при ф=зт, на-
ходим искомый ответ:
х = — (— 1,279 — е-1’279) = - ~ . 1,56.
ЗТ 31
. Если бы поле оставалось однородным,
х не изменялось бы вдоль силовой линии.
РисЛ1-27.
Пример 1-23*. 1) Найти выражение
для напряженности поля в конденсаторе
примера 1-21.
2) Вдоль эквипотенциали напряжен-
ность поля изменяется в функции потока
Е(Ч). Спрашивается, для каких эквипо-
тенциалей (при каких значениях ср=const)
напряженность поля может превосходить
напряженность в области однородного по-
ля Ео=л/а?
3) Найти координаты х, у одной из
таких эквипотенциалей в точке E—E^^Q.
Решение. 1) Уравнения (а) приме-
ра 1-21, если в них положить 4=const,
представляют собой уравнение силовой ли-
нии в параметрической форме. Дифферен-
цируя каждое из них по ср
дх
, а .
——। = — — esmep,
О ф |w=const ЗТ
(а)
ду |
дф |ф= const
= — (1 + еч cos ф),
можно найти длину ds перемещения вдоль
силовой линии, соответствующую прира-
щению потенциала dq:
. дх \ '
dx =----- ^ф,
д ф |w=const
„ ду ,
dy ~----- d ф
д ф 4’=const
и, следовательно,
ds = '/’•(dx)2 * + (dy)* , (в)
опять же при 4=const.
Подставляя (б) и (а) в (в), получаем:
ds = — 'У е2® sin2 Ф + 1 + 2е® cos ф
ЗТ
+ е2^ cos2 ф dq>=
= — V1 + е211 + 2е&cosф dtp. (г)
зт
36
Из последнего выражения легко найти
искомую напряженность поля
£ = |~| =Е0/+е2>г+ 2е41'созф . (д)
I os |
2) Для того чтобы ответить на второй
вопрос, следует искать максимум Е или
минимум подкоренного выражения. Приме-
няя обычный прием (дифференцируя поТ),
находим условие экстремума:
е2Ф + cos ф == 0. (е)
Это уравнение удовлетворяется, во-первых,
при гР=—со—это область внутри конден-
сатора, вдали от края [где Е=Е0, как это
видно из (д)]. Однако уравнение (е) имеет
еще одно решение
— cos ф. (ж)
Оно возможно только при ф>л/2, когда
правая часть (ж) становится положитель-
ной.
3) Для эквипотенциали ф=0,6эт, про-
веденной на рис. 1-27, напряженность мак-,
симальна при Чг=—1,174. Координаты соот-
‘ ветствующей точки х=—1,27 а/л и z/=
=2,18 а/л.
Анализ некоторых особенностей приве-
• денного решения содержится в следующем
примере.
Пример 1-24 *. В формуле (а) преды-
дущего примера при выражениях частных
производных сделано специальное указание
о том, что производные берутся вдоль си-
ловой линии (Чг=const). Это сделано в
предупреждение ошибочного предположе-
ния о том, что в выражение слагающих
вектора напряженности поля
р_ д<р д<р
дх ду у
можно подставить обратные величины
дх/дср и dyjdq, найденные при Чг=const.
В действительности это можно сделать, ес-
ли бы имелись производные
дх/д <P|r/=const и ду/д Ф|х= const.
Для иллюстрации изложенного выше
предлагается найти слагающие
д Ф I д ф
дх |£= const ’ ду
и
x=const
д ф I
дх |W== const
д ф
ду
W=const
для простейшего случая электрического по-
ля точечного заряда и убедиться в том, что
последние ни в коем случае не совпадают
с составляющими Ех и Еу вектора Е.
Решение. В плоскости координат х,
у, начало которых лежит в точке располо-
жения точечного заряда,
q 1 -------
= (2)
(предполагается, что const=0). Уравнение
силовой линии
х/у = tg е = const. (б)
Следовательно, уравнение потенциала мож-
но представить и в такой форме:
4Л8° уУ 14-tg2е
= ——--------------------. (в)
4яе» xV 1 + ctg2e
В таком случае из выражений (а)
х (г)
дх jr=const 4ле0 (х2 + у2У2
= ----Е__ (д)
ду x=const 4Л80 (х2 + у2) 1г
E = q (хех + уеу)/4лгв (х2 + у2)3'2.
Иными оказываются частные производные,
которые легко найти из (в):
Зф I = —д 1_______________________=
дх |e=const 4ле0 c|g2 g
= —----------1 (е)
4яе° хУх^ + у2
2ф| __=£--------. (Ж)
ду |e=const 4зте0 ^|/x2_i_^2
Нетрудно показать и то, что из выраже-
ний (е) и (ж) можно найти длину отрезка
ds при перемещении вдоль силовой линии
на дф, как это было сделано в предыдущем
примере для другого поля. В случае точеч-
ного заряда по формулам (е) и (ж)
4Л8л -j г .
dx = —---------ху х2 + у2 ^ф;
Я
dy — — 4JI8°-- у Ух2 + у2 dip
q
и
ds=y (dx)2 + (.dy)2 =
= 4-~р- (х2 + у2) d ф.
q
Из последнего выражения
q 1
Е=Мф№| =— ----------------—-
Y 4Л8о X2 + 1
_ <7 1
4Л8О 7?2
Решение примеров 1-7 и 1-8. Поле, тре-
буемое в примере 1-7, получается в систе-
ме, • схематически изображенной на
рис. 1-28: затененная часть изготовлена из
ферромагнитного материала большой про-
ницаемости; по торцам воздушного цилин-
дра расположена кольцевая обмотка с то-
ком, его направление показано, как обычно,
косыми крестами и точками (при изобра-
жении разреза, нормального к оси, обмот-
ка не показана).
37
Линии магнитной индукции схематиче-
ски показаны в воздушном зазоре, а на
рис. 1-28, а и в центральном стержне. Как
очевидно из этого схематического рисунка,
теперь' в центральном стержне B—Bz и
а)
Рис. 1-28.
зависит от г. При этом очевидно, что по-
ток, выходящий через замкнутую поверх-
ность, образованную цилиндром радиусом
г0<г<И и двумя торцами, нормальными
к оси, может равняться нулю, несмотря на
то, что ’ Вг #=0 [см. формулу (г) приме-
ра 1-1]. Действительно, теперь через боко-
вую поверхность цилиндра исходит поток,
в точности равный входящему через тор-
цы; и это именно потому, что Bz есть функ-
ция z.
Поле, требуемое в примере 1-8, полу-
чается, в частности, в пространстве между
двумя длинными коаксиальными катушка-
ми, показанными на рис. 1-29.
Рис. 1-29.
Интересно обратить внимание еще на
два обстоятельства. 1) В пространстве,
ограниченном: внутренней катушкой, поле
В = Вг = go (М2 — Ml) .
где М2 — ампер-витки на единицу [Длины
внешней катушки, а — внутренней; по-
ложительные направления токов и z-й со-
ставляющей соответствуют изображенному
на рисунке.
При равенстве iifil=i2n2 поле в этой
области отсутствует. В пространстве меж-,
ду двумя катушками поле определяется
ампер-витками только одной внешней об-
мотки.
2) В пространстве между катушками
может существовать еще и a-я составляю-
щая из-за того, что витки обмотки идут
по спирали, т. е. имеют г-ю составляющую
в направлении тока. Эти составляющие
уничтожаются, если при намотке нанесено
четное число слоев с одинаковым шагом,-
одинаковым направлением а-й слагающей
тока, но с противоположным типом винто-
вой линии, например правый винт в нечет-
ных слоях и левый винт в четных.
ГЛАВА ВТОРАЯ
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Джемс Клерк Максвелл в своем
трактате об электричестве и магне-
тизме (1873), обобщая эксперимен-
тальные и теоретические исследова-
ния, проведенные в основном за
прошедшие 100 лет (Кулон, Пуас-
сон,< Лаплас, Грин, Гаусс, Ампер,
Фарадей, Ом, Ленц и др.), показал,
что многочисленные и разнообраз-
ные электромагнитные явления мо-
гут быть описаны с точки зрения
теории поля, причем количествен-
ные соотношения и частные законо-
мерности могут быть найдены из
небольшого числа уравнений. Эти
уравнения электромагнитного по-
ля и называют уравнениями
Максвелла.
В этой книге предполагается,
что читателю знакомо содержание
уравнений Максвелла, во всяком
случае в их интегральной (или в
еще более упрощенной) формули-
ровке, а также знакомо более или
менее полное определение всех
величин, входящих в эти уравнения.
Их применению к ряду простых
расчетов посвящен последний пара-
граф предыдущей главы.
2-1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Первое уравнение Макс-
велла— это не что иное, как из-
вестный закон полного тока:
^Hdl=J JndS, (2-1)
в его правой части стоит полный
№ ток, т. е. сумма тока переноса элек-
трических зарядов (обычно это про-
сто ток проводимости), плотность
которого J, и тока смещения, плот-
ность которого
3CM=dD/dt ’ ?
равна’ производной по времени от
вектора электрического смещения.
В левой части стоит контурный
интеграл (интеграл по замкнутой
линии /) от напряженности магнит-
ного поля Н, в случае вакуума рав-
ной вектору магнитной индукции,
деленному на постоянную (go) - Н =
='В/ц0; в правой части стоит интег-
рал от плотности полного тока, он
берется по поверхности, ограничен-
ной контуром Z. В простейшем слу-
чае первое уравнение имеет вид
(1-25).
ВтороеуравнениеМакс-
велла — это хорошо известный
закон электромагнитной индукции:
э = (f) Еdl = -4-f BdS; (2-2)
J dt J
э.д. с.; наводимая в замкнутом кон^
туре изменяющимся магнитным по-
лем, равна скорости убывания маг-
нитного потока, сцепленного с рас-
сматриваемым контуром [см. также
уравнение (1-24)] Ч
1 Приведенные здесь два уравнения
Максвелла часто, особенно в электротехни-
ческой литературе, называют именно, как
в этой книге: первым—(2-1) и соответст-
венно вторым—(2-2). Однако встречается
и обратное; в частности, в знаменитом
курсе Ландау и Лифшица [Л. 2-2] послед-
нее из двух уравнений (2-2) называют пер-
вым, а уравнение (2-1)—вторым.
f *_ -
Г Т А/ — Л
39
Следующее уравнение поля из-
вестно как электростатическая тео-
рема Гаусса:
T=(f D dS=Q= J р dV; (2-3)
поток Т вектора электрического
смещения D, выходящий через зам-
кнутую поверхность S, равен заря-
ду, заключенному внутри этой по-
верхности. Заряд Q выражается
объемным интегралом от его плот-
ности р; разумеется, интегрирование
проводится по объему V, ограничен-
ному рассматриваемой поверхно-
стью S.
Этот закон широко применяется
при расчетах электростатических
полей. Максвелл показал его при-
менимость и к полям, изменяющим-
ся во времени.
Аналогичное уравнение, приме-
ненное к магнитному потоку (т. е.
к потоку вектора магнитной индук-
ции В), утверждает, что поток через
любую замкнутую поверхность ра-
вен нулю: -
(|)B<2S=0. * (2-4)
Между различными векторами, вхо-
дящими в рассматриваемые урав-
нения, в простейшем случае сущест-
вует следующая связь:
J=cE; (2-5)
D—88оЕ; (2-6)
В-рцоН. (2-7)
Равенство (2-5) выражает закон
Ома (в дифференциальной форме).
Коэффициенты а, 8, р — это пара-
метры, характеризующие среду; они
называются удельной прово-
димостью (о), электрической или
диэлектрической прони-
цаемостью (е) и магнитной
проницаемостью (р).
Приведенными простыми зако-
нами и определениями охватывают-
ся разнообразные проявления элек-
тромагнитного поля. Однако в тео-
рии поля наибольшее значение
имеют уравнения, записанные в
дифференциальной форме (.§ 2-2).
К сожалению, их понимание часто
затрудняется недостаточно отчетли-
вым осмысливанием дифференци-
альных операций векторного анали-
за и отсутствием опыта в их приме-
нении. Хотя для понимания этих
уравнений и всех операций с ними,
излагаемых в книге, по существу
дела, требуются лишь минимальные
сведения из векторного анализа,
однако знакомство с основными
операциями, символами и теорема-
ми, конечно, совершенно необходи-
мо (см. приложение 5 в конце кни-
ги).
2-2. ПЕРЕХОД
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
От интегральной формы уравне-
ний к дифференциальной легко пе-
рейти, обращаясь к определению
дифференциальных операций век-
торного анализа дивергенции и ро-
тора Ч •
Дивергенция (или расхождение)
какого-либо вектора F определяет-
ся как предел отношения потока
вектора F, исходящего из замкну-
той поверхности S, к объему V,
ограниченному этой поверхностью,
если поверхность стягивается во-
круг заданной точки, для которой
и определяется дивергенция; при
этом, разумеется, расстояние от за-
данной точки до любой точки по-
верхности стремится к нулю, а зна-
чит, стремится к нулю и объем V.
Сказанное выражается формулой
divF=lim-----. (2-8)
v->o V
В левой части стоит принятое обо-
значение дивергенции вектора.
Ротор (или вихрь) какого-либо
вектора F есть вектор; его состав-
ляющая, нормальная к площадке S,
определяется как предел отношения
циркуляции вектора F по контуру /,
ограничивающему площадку, к ее
площади S, если контур стягивает-
ся к заданной точке, для которой и
определяется соответствующая со-
ставляющая ротора; при этом, разу-
меется, расстояние от заданной точ-
ки до любой точки контура стремит-
ся к нулю, а значит, стремится к ну-
лю и площадь (S), ограниченная
1 О градиенте см. в конце § 1-6.
40
контуром. Сказанное выражается
формулой
(6 F d\
rot„ F = lim , (2-9)
<S—>0 о
в левой части стоит принятое обо-
значение n-й составляющей ротора;
сам вектор обозначается без всяко-
го индекса: rot F.
Заметим еще, что направление
нормали п к площадке S связано
правилом правоходового винта с на-
правлением обхода (di) по контуру,
ограничивающему S.
Приведенные определения н е
зависят от системы коор-
динат. Из них всегда можно най-
ти дифференциальные операции,
посредством которых выражаются
дивергенция и ротор в той или иной
системе координат (см. приложе-
ние 5).
Первое уравнение Максвелла.
Подставив в правую часть (2-9) вы-
ражение закона полного тока (2-1),
непосредственно получаем, что
f Hdl =
rot„ Н = lim ---
" s_»o S
, fjndS
= Km . (2-10)
Применим теперь к правой ча-
сти теорему о среднем:
j‘JndS = 7n>npS=JnjnS. (2-11)
В этих формулах индекс п обозна-
чает нормальную к площадке dS
составляющую, а черта над буквой
обозначает среднее значение, рав-
ное значению рассматриваемой ве-
личины хотя бы в одной из точек по-
верхности S.
Из (2-10) и (2-11) следует, что
п-я составляющая ротора напря-
женности магнитного поля равна
n-й составляющей вектора плотно-
сти тока; добавим — любая n-я со-
ставляющая. Это значит, что могут
быть непосредственно приравнены и
самые векторы — вихрь напряжен-
ности поля и вектор плотности пол-
ного тока:
rot Н=Jn=J-pdD/d/. (2-12)
В случае простой проводящей среды
плотность тока переноса может
4—476
быть выражена через напряжен-
ность электрического поля и прово-
димость (закон Ома), после чего
первое уравнение Максвелла приоб-
ретает вид:
rotH-oE+dD/d/ (2-13)
или
rot H=(o+880W Е, (2-14)
если среда характеризуется посто-
янной диэлектрической проницае-
мостью 8 (постоянной по времени и
не зависящей от величины векто-
pa Е).
В случае простого гармоническо-
го изменения рассматриваемых век-
торов, разумеется, можно представ-
лять их комплексами и заменять
дифференцирование по времени
множителем /со. При этом вместо
(2-13) и (2-14) получим:
rotH-oE+/coD (2-13а)
и
rot Н=(о+/®880) Ё. (2-14а)
Второе уравнение Максвелла.
Из того же определения ротора,
т. е. из формулы (2-9), после под-
становки выражения (2-2) и рас-
суждений о среднем значении на по-
верхности S->0 найдем, что
rot;z Е = lim
s->o
д_
dt
(2-15)
Поскольку последнее равенство
справедливо для любых п-х состав-
ляющих, оно справедливо и для
векторов
rotE = — dB/dt (2-16)
или в случае среды с постоянной
магнитной проницаемостью
rotE = —рродН/дЛ (2-17)
Аналогично изложенному для
(2-13) и (2-14) в случае величин,
изменяющихся во времени по гармо-
ническому закону, второе уравне-
ние Максвелла можно записать в
комплексной форме:
rotE = —/®В (2-16а)
и
rot Ё = — /<врр0Н. (2-17а)
41
Теорема Гаусса для электриче-
ского поля. Третье уравнение полу-
чим, подставляя (2-3) в (2-8),
div D — lim --—
v->o V
= НтЦ^=р. (2-18)
v->o V
При этом, кроме определения ди-
вергенции, мы опять же пользова-
лись теоремой о среднем (р — сред-
нее значение плотности заряда
в объеме У->0).
Полученное дифференциальное
уравнение говорит о том, что рас-
хождение (дивергенция) вектора
электрического смещения, или плот-
ность источников этого вектора,
равно плотности электрического за-
ряда. Это уравнение -называют
дифференциальной фор-
мой электростатической
теоремы Гаусса.
В случае постоянной проницае-
мости (не зависящей также и от
координат)
di v D=di v (ее0 Е)=р (2-19)
и
div Е—р/880. (2-20)
Уравнение Лапласа—Пуассона.
В тех случаях, когда электрическое
поле потенциально, его напряжен-
ность можно представить через гра-
диент потенциала
Е==—grad ср. (2-21)
Подставляя последнее выражение
в (2-20), получаем, что
— div grad <р = — у2ф =
= — Д<р=р/880. (2-22)
Последняя формула и выражает
уравнение Пуассона, когда
Р=^=0, или уравнение Лапла-
са, когда р = 0.
В формуле (2-22) у2 — это наб-
ла квадрат, а Д — лапласиан; в при-
менении этой дифференциальной
операции второго порядка к скаля-
ру, например к ф,
div grad = у2 - д- (2-23)
Все сказанное объясняет, поче-
му уравнение Лапласа — Пуассона
часто пишут так:
Г 0 —уравнение Лапласа,)
р/ее0—уравнение Пуассона.}
(2-24)
Теорема Гаусса для магнитного
поля. В соответствии с интеграль-
ным равенством (2-4) и определе-
нием дивергенции (2-8) приходим
к равенству
div В-0, (2-25)
которое говорит, что поле вектора
магнитной индукции не имеет источ-
ников. Это равносильно такой фор-
мулировке на языке Фарадея: ли-
нии вектора В всегда замкнуты или,
по крайней мере, не имеют ни кон-
ца ни начала.
По аналогии с дивергенцией
электрического вектора (2-20) сле-
довало бы ожидать, что правая
часть (2-25) должна равняться
плотности магнитного заряда. Но...
«в физическом мире не существует
такой штуки как магнитный заряд»,
так со свойственной ему вырази-
тельностью говорит один из выдаю-
щихся современных физиков
Р. Фейнман в своих лекциях [Л. 2-1,
вып. 7, гл. 36, § 1].
Связь между векторами. Два
основных уравнения Максвелла
(первое и второе) содержат пять
векторов. Поэтому очевидно, что
должно существовать еще три
уравнения, независимо устанавли-
вающих связь между этими векто-
рами. Первое из них — это уже упо-
минавшийся закон Ома (2-5).
. В качестве двух других могут
служить приведенные выше уравне-
ния (2-6) и (2-7). Однако их приме-
нимость ограничена, и здесь мы при-
ведем более общие уравнения, кото-
рые следует считать определе-
ниями векторов Н и D:
Н= — В — М; (2-26)
Ио
D-80E+P. (2-27)
В последние выражения входят
еще два новых вектора: намаг-
ниченность М и электриче-
ская поляризация Р. Их оп-
ределению, так же как обоснованию
выражений (2-26) и (2-27), посвя-
щены § 3-1, 3-2 и след. Здесь огра-
ничимся одним принципиальным
42
замечанием: намагниченность и по-
ляризация могут быть обусловлены
физическими причинами, не связан-
ными со значениями индукции или
напряженности поля; при этом зна-
чения М и Р должны быть так или
иначе заданы дополнительно, иног-
да уравнениями, дополнительными
к максвелловским. В тех случаях,
когда М и Р определяются именно
векторами поля, соответствующая
зависимость, например Р(Е) или
М(Н), должна быть задана в до-
полнение к уравнениям (2-26) и
(2-27).
Примечания: 1) О непрерывности и
дифференцируемости. Интегральные выра-
жения (2-8), (2-9), содержащие предель-
ные переходы, не требуют дальнейших ого-
ворок только в том случае, когда подын-
тегральные функции координат непрерыв-
ны и дифференцируемы; то же самое отно-
сится к применению теоремы о среднем.
Важно иметь в виду, что даже такие ос-
новные уравнения, как уравнение Лапла-
са — Пуассона, непосредственно примени-
мы тоже только в областях непрерывного
распределения зарядов (см. пример 2-6).
Почти всегда можно избежать специ-
альных формулировок и рассмотрение то-
чечных, линейных или поверхностных за-
рядов заменить рассмотрением зарядов,
распределенных с конечной плотностью
в некотором объеме, с последующим пре-
дельным переходом такого типа
при К->0.
Однако во многих случаях представление
о разрывных функциях, выражающих рас-
пределение заряда, оказывается очень по-
лезным.
2) Набла в обозначении дифференци-
альных операций. Градиент, дивергенция
и ротор всегда могут быть выражены че-
рез оператор набла:
УФ = grad (р; уВ = div В;
rot Е == у X Е; у2ср = div grad ср.
2-3. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ
К РАЗЛИЧНОГО РОДА ПОЛЯМ
Прежде чем обращаться к более
детальным расчетам, рассмотрим
схематическую иллюстрацию про-
стейших типов полей.
На рис. 2-1 изображен провод-
ник с током; магнитное поле изоб-
ражается рядом коаксиальных ок-
ружностей. При этом линии поля
нигде не имеют истоков (divH = 0).
Во внутренней области проводника
rotH=J¥=0, тогда как во внешней
области, где ток отсутствует,
rotH = 0.
На рис. 2-2 изображено электри-
ческое поле, обусловленное измене-
Рис. 2-1.
нием магнитной индукции внутри
длинного стержня (см. пример 1-9).
Характер поля в этом случае ана-
логичен полю рис. 2-1. Существенно
В
Рис. 2-2.
лишь заметить, что в согласии со
вторым уравнением
rotE=— dWdt,
поэтому во внутренней области
rot Е параллелен вектору В, когда
B=Bz>0 и dBldt<Q>. В противном
рлучае (когда B = Bz>0, но dBjdt>
>0) rot Е антипараллелен векто-
РУ в-
На рис. 2-3 схематически пока-
зано поле объемного заряда, рас-
4*
43
пред елейного с положительной плот-
ностью р>0 внутри цилиндра ради-
усом г0- Вне цилиндра р = 0. На
рис. 2-3 показан разрез плоскостью,
перпендикулярной оси цилиндра.
Как видно из схематически про-
веденных линий поля, их начала
распределены по области г<г0, в
Рис. 2-3.
ней div Е>0. Во внешнем простран-
стве (г>г0) линии идут непрерыв-
но. Конечно, они найдут свой конец
на отрицательных зарядах (вне об-
ласти г<Го).
Если бы в области г<г0 были
распределены электроны (см. при-
мер 1-6), то стрелки векторов, изо-
бражающих Е, изменили бы на-
правление. Изменились бы и знаки
р и div Е.
Пример 2-1. Магнитное поле коакси-
ального кабеля примера 1-1 выражено
уравнениями
в = ва = p.0ir/2n при г < г0;
В == Ва = при г0 < г < гх,
где i — ток в кабеле, г0 и гх — радиус жи-
лы и внутренний радиус оболочки.
Найти значения ротора и дивергенции
В и показать соответствие результата урав-
нениям поля.
Решение. В цилиндрической систе-
ме координат для вектора, имеющего толь-
ко а-ю составляющую (см. приложение 5):
divB^-L^.
г да
Поскольку в решении Ва не зависит
от а, находим, что div В=0.
В той же системе ротор выражается
определителем:
1 1
— ег еа — ez
г г
rot F = д/дг д/да д/дг
Fr Fz
Независимость В от а и от z можно выра-
зить так:
d/da===d/dz==0.
В таком случае для вектора, имеющего
только а-ю составляющую,
1 1
"7 ег еа —
rot в = 5/а- о о =
О гВа о
1 д
После подстановки приведенных выше вы-
ражений для Ва находим, что при г<го
1 1 i
rot В = — ц0*------ -2r ez=u0 —— e2,
Г 2ЛГд Д/д
т. e. именно плотности тока в жиле кабеля.
Ротор равен нулю при г > г0, так как
При ЭТОМ Г В a =const.
Это решение соответствует схематиче-
ской картине поля рис. 2-1.
Пример 2-2. Для напряженности элект-
рического поля электронного луча (при-
мер 1-6) была найдена зависимость от ра-
диуса Е (г), совершенно аналогичная зави-
симости В (г) в предыдущем примере.
Однако в случае электрического поля на-
пряженность имеет только радиальную
составляющую:^
Е = Er = рг/2е0 при г < г0;
... „ ^Е — Er = pr^/2zQr при г0 < г < гх.
Здесь р — объемная плотность электриче-
ского заряда (в случае электронного луча
р=— |р| )•
Найти rot Е и div Е рассматриваемого
поля.
Решение. Для вычисления ротора
обратимся к его выражению в цилиндриче-
ских координатах (см. решение предыду-
щего примера). Однако в условиях рас-
сматриваемой задачи
1 1
-ег еа Тег
rotE= д/дг О О
Ег О О
Из этой формулы очевидно, что rot Е=0
при любом виде функции Ег (г).
В присутствии только радиальной сла-
гающей вектора Е
1 д
div Е =------— (гЕг).
г дг
Подставляя конкретные выражения £г, на-
ходим, что
div Е = р/80 при г < г0;
div Е = О при г0 < г < гх.
Найденное решение соответствует схемати-
ческой картине поля рис. 2-3.
44
Пример 2-3. В примере 1-9 рассматри-
вался круглый стержень, внутри которого
изменялась магнитная индукция На осно-
вании закона электромагнитной индукции
было найдено электрическое поле:
т дВ
£ = £а = ^Т-пРиг<г0;
Г. Г. г20дВ
E = Ea=---Wj>r0.
В этих выражениях B=BZi rQ — радиус
стержня. Найти дивергенцию и ротор элект-
рического поля.
Решение. В этом случае составля-
ющие Е и зависимость их от радиуса сов-
падают с вектором В примера 2-1. Поэтому
очевидный результат:
rot Е = — е2 dB/dt при г < г0;]
rot Е = 0 при г > г0.
Пример 2-4. В примере 1-12 [форму-
ла (е)] было найдено такое выражение для
магнитного поля в сферической координат-
ной системе:
В = Ва =|W (1 — cos sin 0.
Найти div В и rot В.
Решение. Дивергенция вектора В
при наличии только а-й составляющей вы-
ражается формулой (в сферической си-
стеме по приложению 5)
div В =------- дВ /да.
7? sin0 а
Она тождественно равна нулю, поскольку
Ва не зависит от меридианного угла а.
Ротор в сферических координатах выража-
ется определителем, который при BR—
—RBq =0 и д/да=0 имеет вид:
е9 еа
7?2sin 0 R sin 0 R
r°tB= Q,dR d/dQ 0
0 0 R sin 6 Ba
Производя все требуемые операции,
находим, что
rot В —— flW (1 — cos 0)/4л] -=
Я2 sin 0 00 Lr° V 7
е д
d^~5 ы (1 ~ C°S е)/4я1'
R sin 0 dR
Второе слагаемое равно нулю, поскольку
под знаком производной стоит величина,
не зависящая от R. После дифференциро-
вания и простого сокращения находим, что
retB=!1°4^e«
или rot В = |1OJ.
Пример 2-5. Между плоскопараллель-
ными электродами потенциал изменяется
по закону (p=kx^s. Потенциал нижнего
электрода (катода) ф=0, потенциал верх-
него (анода) (p=Ua=kfl3, где / — расстоя-
ние между электродами.
Найти распределение заряда между
электродами, т. е. p=f(x), и напряженно-
сти электрического поля.
Решение. Дифференцируя по х, на-
ходим:
Е = — grad ф = — ех дф/дх
или
О
Вторично дифференцируя по х, прихо-
дим к уравнению Пуассона:
-?2Ф = --^=-уйх-2/3 = р7е0.
В межэлектродном пространстве суще-
ствует объемный заряд, отрицательный по
знаку; по абсолютной величине плотность
заряда неограниченно возрастает на катоде
(это соответствует принятой идеализации:
неограниченной возможности испускания
электронов, а также предположению о ну-
левой начальной скорости).
Пример 2-6. Потенциал выражается
функцией
b е~а#
4Л8О В
где R — радиус сферической системы коор-
динат; все остальные величины постоян-
ные1.
Применима ли к рассматриваемому по-
лю теорема Гаусса
Q= Jpdy = e0|EdS (б)
и можно ли в этом случае определять
плотность заряда по уравнению Пуассона-.
— V2<P = p/so, (в)
а заряд в объеме V путем интегрирования
плотности заряда по объему? Объяснить
полученный результат.
Решение. Вычислим сначала напря-
женность поля. В том случае, когда потен-
циал есть функция только радиуса,
grad ф = dq/dR. (г)
В нашем случае
E = -gradcp = —.
‘tJ 1Ол/\
. . (д)
Лапласиан от <p, опять же когда <р=<р(#)'.
1 52(£ф)
Ьа2 е~а#
4ле0 R
(е)
1 См. у Стрэттона [Л, 2-6, § 3-1], а
также у Фейнмана [Л. 2-1, вып. 6, форму-
ла (28-18)]. Функция этого вида была вве-
дена Юкавой при рассмотрении ядерных
сил-
45
и, следовательно, по уравнению Пуассона
Ьа2, 0—°^ . .
Р==-8^ = (Ж)
Подставляя (ж) в левую часть ра-
венства (б), найдем, что
R
ba2 С 0~aR
р dV = —---- 1 -----4л+W =
4л J R
о
R
= — b f (aR) e~aR d (aR) =
6
= 6 [(1+a7?)e-a/? — 1] . (з)
Подставляя (д) в правую часть (б),
найдем иной результат:
е0 $ Е dS — 80 Er 4л7?2 =
= 6(1+ aR) e~aR . (и)
Очевидное различие результатов про-
тиворечит равенству (б).
Выражение (з), т. е. Jp dV, меньше со-
ответствующего поверхностного интеграла,
(и), т. е. 8о <J)EdS, на величину b незави-
симо от R. На основании этого можно
предположить, что при определении заряда
по объемному интегралу не был учтен то-
чечный заряд Ь, расположенный в начале
координат. Наличие такого заряда соот-
ветствует особой точке поля, в которой не-
применимо уравнение Пуассона.
Более общее определение заряда внут-
ри объема
Q=E? + JpdV (к)
при высказанном предположении приводит
к результату
<2 = q (1 +aR)e~aR. (л)
При этом безусловно справедлива
электростатическая теорема Гаусса
Q~ s0^EJS. (м)
2-4. ТОК СМЕЩЕНИЯ В ВАКУУМЕ
Рассмотрим поле в отсутствие
поляризуемых диэлектриков (когда
Р = 0 и 8—1) и поляризуемых маг-
нетиков (когда М = 0 и 1). Эти
условия осуществляются в вакууме,
а в первом приближении в воздухе.
В этом случае первое уравнение
Максвелла (2-12) можно записать
так:
rot В=ф0 J+p080 dE/dt. (2-28)
В его правой части рядом с векто-
ром плотности тока J, обусловлен-
ного движением зарядов, на равных
правах с ним стоит вектор dE/dt.
Это значит, что изменение элект-
рического поля сопровождается та-
ким же магнитным полем, как и
движение заряда. К этому замеча-
тельному результату максвеллов-
ской электродинамики непосредст-
венно приводит анализ первого
уравнения.
В условиях постоянного поля
(5Е/д£ = 0) первое уравнение Макс-
велла принимает более простой вид:
rotB=p0J (2-29)
или
^Bdl=|x0 J JdS, (2-30)
где J = <pv> есть плотность тока,
обусловленная в среднем упорядо-
ченным переносом зарядов.
Однако эти уравнения теряют
смысл, когда наличествует изменя-
ющееся электрическое поле. Дейст-
вительно, ток, выходящий из любой
замкнутой поверхности, обязатель-
но равен уменьшению количества
электричества Q, заключенного вну-
три этой поверхности,
^us=_|=_|jp(iy
(2-31)
— закон сохранения элект-
ричества.
Заменяя правую часть последне-
го равенства по теореме Гаусса
(2-13), найдем, что
(2-32)
А это значит, что поток вектора
плотности тока через замкнутую по-
верхность может не равняться ну-
лю, когда существует изменяюще-
еся поле (dE/dt)/
Но в таком случае само понятие
поток вектора J через поверхность,
ограниченную контуром I [правая
часть равенства (2-30)], теряет
смысл: понятие поток через контур,
точнее поток через поверхность, опи-
рающуюся на контур, оказывается
определенным только в том случае,
когда через любую поверхность,
опирающуюся на контур, проходит
одинаковый поток. Но последнее
46
условие равносильно тому, что по-
ток рассматриваемого вектора че-
рез замкнутую поверхность равен
нулю. Таким образом, выражение
(2-30) теряет смысл при наличии
изменяющегося электрического по-
ля (<ЭЕ/д/^ 0).
Попробуем применить уравне-
ние (2-30) к случаю электрической
цепи, замкнутой на конденсатор
(рис. 2-4). В такой цепи может про-
текать ток, а непродолжительное
время даже постоянный ток, если
напряжение на конденсаторе изме-
няется во времени. Постоянный ток
протекает в цепи, если напряжение
на конденсаторе линейно возраста-
ет во времени,
duc
i=C---- = const при uc^UJT.
dt
Проведем контур /, охватываю-
щий один из проводов. Для такого
контура $ В d\ определяется одно-
значно. Натянем на этот контур
ограничиваемую им поверхность.
Эту поверхность можно провести
так, что она пересечет провод с то-
ком i (Si на рис. 2-4). В этом случае
правая часть уравнения (2-30) рав-
на щД Но поверхность, ограничен-
ную тем же контуром, можно дефор-
мировать так, чтобы проводник с то-
ком нигде не пересекался этой по-
верхностью; для этого достаточно
провести поверхность между элект-
родами конденсатора (S2 на рис.
2-4). Для такой поверхности (S2)
правая часть уравнения (2-30) рав-
на нулю.
Из анализа первого .уравнения
Максвелла, записанного в диффе-
ренциальной форме (2-29), с не-
меньшей отчетливостью видна необ-
ходимость введения дополнительно-
го слагаемого.
Действительно, полагая в (2-31)
интегралы распространенными на
объем V и на поверхность S, огра-
ничивающую этот объем, после их
деления на V и перехода к пределу
находим, что
6 J dS — Cd р/d/ dV
lim ±---=lim —. (2-33)
v-o V v-H) V
Применяя теорему о среднем
к правой части равенства и замечая,
что левая часть есть не что иное, как
определение дивергенции, приходим
к выражению закона сохра-
нения электричества в диф-
ференциальной форме
divJ= —dp/dt. (2-34)
Но это выражение несовместимо
с (2-29), так как дивергенция вся-
кого ротора тождественно равна ну-
лю, по самому смыслу математиче-
ских операций: применяя (2-34)
к левой и правой частям (2-29), по-
лучаем
div rot В=0=Д р0 div J — — р,0 dpfdt.
(2-35)
Следовательно, для того чтобы
(2-29) сохраняло силу и в случае
изменяющихся полей, надо допол-
нить его правую часть таким слага-
емым F, которое обращает в нуль
ее дивергенцию:
— rotB=J4-F при div(J+F)=0.
Ио
(2-36)
Такой вектор F нетрудно найти:
выражая в (2-34) плотность заряда
по теореме Гаусса (2-19), найдем,
что
div J = — div (80 dE/dt) (2-37)
или
div (J+e0 dEjdt) 0. (2-38)
Таким образом, искомое слагае-
мое
F=80dE/dZ. (2-39)
Следуя Максвеллу, эту величину
можно называть плотностью
тока смещения в вакууме,
а сумму
Jn = J+80dE/d/ (2-40)
47
— плотностью полного (или
истинного) тока.
Дивергенция вектора плотности
полного тока тождественно равна
нулю
divJn-O, (2-41)
как это видно из (2-38). Соответст-
венно равен нулю и поток вектора
плотности полного тока через лю-
бую замкнутую поверхность
^JndS = O. (2-42)
Следовательно, замена в (2-29)
и (2-30) плотности тока на плот-
ность полного тока делает эти урав-
нения однозначными и не содержа-
щими противоречий в любых усло-
виях.
Так, в системе рис. 2-4 через по-
верхность S2 проходит ток смеще-
ния в вакууме, равный току i, про-
ходящему через поверхность Si.
Введение полного тока' в первое
уравнение поля
—.rotB=J+e0dE/5Z (2-43а)
Но
И
~ ф В dl = j4 (J+s0 dE/dt) dS (2-436)
одно из самых важных положений
электродинамики Максвелла. Из
него с необходимостью вытекает су-
ществование совершенно новых яв-
лений, о которых до того трудно бы-
ло даже составить себе представле-
ние. Однако справедливость этих
уравнений требовала эксперимен-
тального подтверждения.
2-5. СЛЕДСТВИЯ, ВЫТЕКАЮЩИЕ
ИЗ УРАВНЕНИИ Л1АКСВЕЛЛА
Из уравнений (2-43) прежде все-
го следует, что изменяющееся элект-
рическое поле сопровождается маг-
нитным полем, так же как электри-
ческий ток. Иначе говоря, в отсутст-
вие тока в обычном смысле слова,
т. е. в отсутствие движения заря-
дов, должно существовать магнит-
ное поле, вихрь которого равен ско-
рости изменения электрического
поля. Но соответствует ли действи-
тельности предположение о такой
связи между магнитным и электри-
ческим полями? Об этом можно су-
48
дить, во-первых, по прямому экспе-
рименту, измеряя магнитное поле,
обусловленное изменением поля
электрического; во-вторых, по экс-
периментальному наблюдению элек-
тромагнитных явлений, которые
должны существовать как следствие
высказанного предположения о маг-
нитном поле токов смещения.
Любопытно отметить, что гени-
альная гипотеза Максвелла о воз-
можности существования магнитно-
го поля без токов и намагниченных
тел, а также электрического поля
без электрических зарядов в соот-
ветствии с уравнениями
rot В=ф080 dE/d/; rot Е= — db[dt
(2-44)
или
rot В—j соц080Ё; rotE= — j со В (2-44а)
в свое время вызывала негодование
некоторых из его современников.
Им казалось, что Максвелл сводит
реальные физические явления к ма-
тематическим абстракциям, из кото-
рых следует существование элект-
рических явлений без электричест-
ва и магнитных явлений без магне-
тизма (намагниченных тел или по-
стоянных магнитов) и тока L
Электромагнитные волны; их
распространение со скоростью све-
та. Исходя из уравнений (2-44»),
Максвелл показал со всей ясностью
возможность существования элект-
ромагнитных волн, распространяю-
щихся со скоростью света.
На рис. 2-5 воспроизведен рис. 73
из § 791 знаменитого Максвеллова
трактата; он изображает плоскую
электромагнитную волну, распрост-
раняющуюся в направлении г.
В терминологии Максвелла элект-
1 Можно думать, что аналогичные со-
ображения заставили Максвелла рассмат-
ривать скорость изменения электрического
поля (умноженную на константу 80) как
ток смещения чего-то электрического, сме-
щения, происходящего в вакууме под дей-
ствием напряженности поля. Сегодня мы
предпочитаем, рассматривая электромаг-
нитное поле как физическую реальность,
считать образование вихрей магнитного по-
ля при изменении электрического поля,
точно так же как образование вихрей элект-
рического поля при изменении магнитного
поля, основным свойством электромагнитно-
го жаля.
рическое смещение для вакуума —
это 80Е, а магнитная сила, опять же
для вакуума,— этоВ/ц0; знаки плюс
указывают, что соответствующие на-
правления выбраны в качестве по-
ложительных; изображенные сверху
координаты декартовой системы
здесь добавлены к подлинному ри-
сунку Максвелла.
Рис. 2-5.
Поле такой волны, бегущей со
скоростью v, можно представить
следующими выражениями:
E=Ex^=Eq cosco(/—z/v); 1
B=By=BQ cos co (t—z/v). )
(2-45)
Последним формулам
придать и такой вид:
£'=£,x=£’0cos((d/ — kz); 1
B=By=BQ cos (co t— kz), j
можно
(2-45a)
т. e. можно не выносить co за скоб-
ку. Именно такая форма удобна
для перехода к комплексным выра-
жениям:
Ё=ЁоеЧкг-, B=Boe~’kz. (2-456)
Здесь Е и В — амплитудные ком-
плексы; эффективные значения рав-
ны их модулям, деленным на V 2.
Очевидно, что в последних форму-
лах
(2-46)
Длину волны, определяемой
уравнениями (2-45), легко найти
как приращение координаты^, при
котором аргумент изменился на 2л;
иначе говоря, длина волны
(2-46а>
Легко убедиться, что выражения
(2-45) согласуются с уравнениями
(2-44).
Выполняя дифференциальные
операции в декартовых координа-
тах, при том что векторы поля пло-
ской волны зависят от времени и
только от одной пространственной
координаты г, находим:
rot В= — ех — Bq sin со (t—z/v)=
V
==fxoeo (ЭЕ/ctf—
= — ex p0s0co sin co (t — z/v)
и rot E = e^, — Ео sin co (t — z v)=
y V
= — dBy/dt=ey co Во sin co (t—z/v).
Уравнения (2-44) удовлетворя-
ются при условии
---В0 = Ц080(ОЕ0 И Eq = (£) Bq,
V V
т. e. только при
Е0/В0^=1/У^==^/к. (2-47}
Поразительный результат этого
решения заключается в том, что во
всех системах единиц и при любом
способе определения постоянных
цо и 8о (магнитной и электрической
«проницаемостей вакуума», как их
часто называют) скорость v оказы-
вается равной скорости света. Имен-
но это привело Максвелла к заклю-
чению о том, что свет—-электромаг-
нитные волны. Максвелл вычислил
даже значения электрического и
магнитного векторов солнечного
света, рассматривая его энергию
как энергию поля; он вычислил и
величину светового давления.
Однако Максвеллу не удалось
дать прямое доказательство спра-
ведливости своих уравнений, он не
сделал также вывода о существова-
нии излучения электромагнитных
волн при электрических колебаниях,
хотя этот замечательный эффект,
лежащий в основе всей радиотехни-
ки, непосредственно вытекает из его
уравнений (интересно заметить, что
этот вывод совсем несложен, а сам
Максвелл великолепно владел со-
49
ответствующим математическим ап-
паратом).
Линия с распределенными по-
стоянными. Легко убедиться, что
во всех электротехнических устрой-
ствах уравнения Максвелла всегда
удовлетворяются, однако, если не
рассматривать излучение, распрост-
ранение и отражение волн, в этих
уравнениях часто нет прямой необ-
ходимости.
Возьмем, например, коаксиальный ка-
бель, в- котором расстояние между жи-
лой и оболочкой много меньше длины вол-
ны. Питая кабель источником переменного
тока при коротком замыкании в конце ка-
беля, в нем можно возбудить стоячие вол-
ны, как это было показано во второй ча-
сти книги.
Стоячие волны описываются уравне-
ниями
i — Im cos (2л х/ л) cos со
и ~ Um sin (2л х/К) cos (со /4-л/2),
причем
^т/^т = %с — 1//ЛLq/Cq ==l/~Ро/8о Oi/'o)»
л = 2л v/a>; v = 1/VL0C0 =1/VgoSo .
Значения LQ и Со для коаксиального кабе-
ля были вычислены в примерах 1-2 и 1-5,
а векторы поля при r0<r<ri— в примере
1-3
Е = Ег = и/г In (ri/r0)
и в примере 1-1
В = Ва = р,0г72лг.
Выполняя операции^ rot В и rot Е, най-
дем результат, согласующийся с уравнени-
ями Максвелла х.
В рассмотренном случае можно было
бы искать приведенные результаты исходя
именно из этих дифференциальных уравне-
ний Максвелла. Однако здесь электриче-
ское поле проще определяется по интег-
ральной теореме Гаусса, примененной к за-
рядам, распределенным на проводах (т=
—CqU), а магнитное поле — по первому
уравнению Максвелла в интегральной фор-
ме, причем в его правую часть входит толь-
ко ток, идущий по проводу.
Экспериментальные доказатель-
ства справедливости уравнений
Максвелла. Экспериментально до-
казать справедливость уравнений
Максвелла и вытекающих из них
следствий (таких следствий, кото-
рые не могут быть получены без
этих уравнений) удалось Герцу
1 Детально эти операции в цилиндри-
ческой системе координат рекомендуется
выполнить самостоятельно (см. приложе-
ние 5 в конце книги).
лишь через' 15 лет после опублико-
вания трактата Максвелла.
Ставя свои опыты, Герц стремил-
ся получить колебания с возможно
высокой частотой, чтобы увеличить
производную от напряженности
электрического поля, определяю-
щую плотность тока смещения. При
этом он обнаружил возникновение
электромагнитных волн; . излучае-
мых его вибратором (рис.*8-2). От-
крытие излучения и составляет ос-
новной результат его опытов. Герц
доказал, что это излучение происхо-
дит в точном соответствии с урав-
нениями Максвелла. В этой книге
излучению посвящена гл. 8.
Полые резонаторы сверхвысо-
ких частот. Современная техника
располагает генераторами столь вы-
соких частот и такими измеритель-
ными средствами, что нетрудно про-
извести опыты, в которых отчетливо
и непосредственно видно, что маг-
нитное поле «создается» токами
смещения в вакууме. На рис. 2-6 по-
казан разрез полого цилиндрическо-
го резонатора круглого сечения,
в котором возбуждено переменное
электромагнитное поле, схематиче-
ски показанное на том же рисунке
(его называют полем типа //он).-
Стенки резонатора выполняются из
хорошего проводника, внутрь кото-
рого поле практически не проника-
ет. Пунктиром показаны линии маг-
нитного поля, а сплошными линия-
ми — линии электрического Поля.
50
Магнитное поле в этом случае
похоже по своей конфигурации на
магнитное поле соленоида, «обмот-
кой» которого служат токи смеще-
ния, замыкающиеся в виде колец.
На рис. 2-7 и 2-8 показан пря-
моугольный полый резонатор, в ко-
а)
ют полем типа Еои. В этом случае
токи смещения (и вектор электри-
ческого поля) имеют только одну
.х-ю составляющую, как это показа-
ло для плоскости, нормальной к оси
z (рис. 2-8, а). Ток смещения, про-
ходящий внутри полости, замыкает-
ся током проводимости по хорошо
проводящим стенкам резонатора.
Линии магнитного поля замкнуты
и лежат в плоскостях, нормальных
к оси х (рис. 2-8,6). Они охваты-
вают проходящий внутри них ток
смещения, при этом в правой части
формулы закона полного тока
(в комплексной форме)
jndS— j j coeoEdS
под интегралом стоит только ток
смещения в вакууме
** 1сМ = /^оЁ.
Внутри обоих резонаторов предпо-
лагается отсутствие объемных заря-
дов, при этом среда (воздух) счи-
тается практически непроводящей
(от—0) и неполяризуемой (е^1).
В рассмотренных резонаторах
можно возбудить слабо затухающее
переменное электромагнитное поле
только вполне определенной часто-
ты, зависящей от размеров резона-
тора и типа возбуждаемых колеба-
ний. Добротность полых резонато-
ров очень велика — порядка не-
скольких тысяч, что делает возмож-
ным широкое применение сверхвы-
соких частот.
Заметим, что выполнение всех
расчетов для прямоугольного резо-
натора (рис. 2-7) производится
в элементарных (тригонометриче-
ских) функциях (пример 2-7); на-
против, расчеты для цилиндрическо-
го резонатора (рис. 2-6) выполняют-
ся в более сложных (цилиндриче-
ских) функциях.
4. Подробнее полые резонаторы рас-
сматриваются в гл. 7.
Призер 2-7. Внутри прямоугольного
объемного резонатора (рис. 2-7) электриче-
ское поле (рис. 2-8, а) в комплексной фор-
ме выражается уравнением
Л у л Z
Е — Ех~Еь$>\п---sin----, (а)
В С
а магнитное поле (рис. 2-8, б) — уравне-
ниями
. Eq зт зт у Л Z
Ни = 1 -----------sin------- cos — ;
у <О[ЛО С В С
и i Ер п
СйЦ0 В
л у Л Z
cos----sin-----;
В С
Нх = 0.
• (б)
)
Это поле типа Еюо, оно может быть
буждено при частоте
воз-
(в)
80 Но
Ю2 + с2
вс
л
со=2л f =
51
1. Требуется показать, что в поле ре-
зонатора действительно
к требуемым результатам. Например, под-
ставляя значения (б) в формулу вычисле-
ния ротора, находим:
(j) Hdl= J / co8OEdS. (г)
Рис. 2-9.
Можно ограничиться вычислением интегра-
лов для прямоугольного плоского контура
(рис. 2-9) со сторонами
z—C/4; и г=ЗС/4, у=В/4 и у=ЗВ/4,
х — const
2. Показать, что в рассматриваемом
поле
div Ё — 0; rot Н = / С080 Ё; rot Ё =
Решение. 1. Левый интеграл (г) сле-
дует записать как сумму интегралов по сто-
ронам четырехугольника. При этом для сто-
роны 1 имеем:
ЗВ/4
f Hydy\
J lz=C/4
В/4
ЗВ/4
Eq л f* я у
]------- | sin —
соро С J В
В/4
-77; dy=j
А
соро
В
С '
Проводя аналогичные вычисления для
остальных сторон, находим:
2£0
Н dl = j-----—
J соро
В2 + &
ВС
(д)
Далее следует вычислить интеграл в пра-
вой части:
j С080 Ё ds = j й)80
ЪС[4 3B/4
=j (D80 Eq
fr я у я. г
I sin---sin — dy dz=
. J В С
z=C/4 y=-Bj4
= j (n&Q Eq 2ВС/я%. (e)
При значении о, указанном в (в), вы-
ражения (д) и (е) тожественно совпада-
ют, что и требовалось доказать.
2. Вычисление div и rot в декартовых
координатах непосредственно приводит
Eq л2
= ех/--------
соЦо
ц——i
С2 1
1 \ . лу
--- Sin----
'' 1 1В
X sin —— + 04-ег 0.
С/
Подставляя в выражение ротора значение
1/В2+\/С2 из (в), после простых сокраще-
ний найдем, что
яу яг
rot Н = /со8о Eq sin--sin —— ех,
В С
т. е. именно то, что требовалось: в правой
части стоит вектор плотности тока смеще-
ния /СО8оЕ.
Волноводы. В современной тех-
нике существуют очень своеобраз-
ные устройства для направленного
распространения электромагнитных
волн по трубам. В отличие от не-
ограниченной плоской волны, рас-
сматривавшейся Максвеллом (рис.
2-5), внутри трубы происходят мно-
гократные отражения электромаг-
нитных волн от стенок; такие систе-
мы и называют волноводами. Впер-
вые теория распространения элек-^
тромагнитного поля в волновода^
была теоретически рассмотрена Ре-
леем примерно за 50 лет до прак-
тической реализации первых волно-
водных устройств. Релей исходил из.
уравнений Максвелла и опублико-
вал достаточно полный анализ про-
цесса распространения электромаг-
нитных волн в трубах. Первые вол^
новодные устройства появились
после создания электронных генерал
торов очень высоких частот (от 3 до
30 Ггц). Это было в годы второй ми-
ровой войны, когда разрабатывав
лась радиолокационная техника.
Интересно, что при этом всю те-
орию волноводов начали разрабаты-
вать заново, забыв старую публика-
цию Релея!
Проще всего понять устройство,
прямоугольного волновода как пря-
моугольного резонатора, у. которого.
52
удалены стенки, нормальные к од-
ной из осей —• пусть это будет ось z.
Такой волновод изображен на рис.
2-10. В нем могут распространяться
волны электромагнитного поля раз-
личных типов. В одном из простей-
ших типов с поперечным электриче-
ским полем (тип TEqi) составляю-
щие поля выражаются уравнениями:
1
я
E—Ex—Eq sin — у sin (со/—kz г);
В
kz зт
Ну—-----Ео sin — у sin (©/—kz z)\
(ОРо В }
—ЗТ Л
Нг=-------Eq cos — у cos (со/—k2 z)\
соро В В
нх = 0.
(2-48)
В этих уравнениях
и
k2 = со2 р0 е0 — (д21с2 (2-49)
{см. (2-46) и (2-47)].
Схематически поле, соответству-
ющее (2-48), изображено на рис.
2-10.
Из рисунка видно, что линии
магнитного поля образуют замкну-
тые кольца вокруг вертикально на-
правленного тока смещения. Важно
понять при этом, что распределение
векторов плотности тока смещения
не совпадает с распределением на-
пряженности электрического поля.
Действительно, вектор плотности то-
ка смещения
4м=4 = ео^/^ =
=®е0 Ео sin — у cos (at — kz z).
В
Поэтому для какого-либо фиксиро-
ванного момента времени to, напри-
мер, когда at0=2л, в середине вол-
новода (у=В12, и sin лу/В—\) Е
и JCM выражаются уравнениями;
£ = Ех — — Ео sin kz z;
JCM=Jx=as0E0coskzz. (2-50)
Уравнения (2-48) выражают волну,
распространяющуюся с фазовой
скоростью
уф = a/kz. (2-51)
Этот результат легко находится из
определения фазовой скорости Уф
как скорости распространения со-
ставляющих, имеющих постоянную
«фазу», т. е. аргумент
со/ — kzz — const.
Очевидно, что, вычисляя произ-
водную по времени от последнего
выражения, мы найдем фазовую
скорость, т. е. скорость перемеще-
ния вдоль оси z точки с постоянной
фазой:
со — kz dz/dt = 0,
поэтому
Уф = dz /dt = m
Эта скорость больше скорости све-
та, как видно из сравнения (2-49)
и (2-51). Такой странный результат
объясняется тем, что скорость (2-51)
есть только фазовая скорость. Под-
робнее этот вопрос анализируется
в гл. 7.
53
Из различия v и следует различие
и длин волн при распространении поля
в свободном пространстве (%) и в волно-
воде (Л):
Л = v$/f — 2л,/kz = 2л>/ Vк2—(л/В)2 —
= X/ Р1—(Шкр)2 , (2-52)
где %кр=2В для волны рассматриваемого
типа (?jEoi). В волноводе могут распрост-
раняться поля только при частоте, которой
в свободном пространстве соответствуют
волны ДЛИНОЙ %<%кр-
Несовпадение точек, имеющих
Е —Емакс И /см ~ /см. макс» объясняется
тем, что при движении волны в на-
правлении оси z в точке £=Емакс
скорость изменения Е равна нулю;
напротив, в точках Е = 0 скорость
изменения напряженности поля бе-
гущей волны максимальна.
Анализируя выражения (2-48),
легко убедиться, что вблизи хорошо
проводящих стенок волновода су-
ществуют только нормальные сла-
гающие напряженности электриче-
ского поля и касательные слагаю-
щие магнитного.
Помимо большого практического
значения волноводов в технике
сверхвысоких частот, они представ-
ляют в настоящее время очень про-
стые лабораторные устройства, поз-
воляющие с большой наглядностью
убедиться в справедливости и глу-
боком значении уравнений Макс-
велла.
Заметим в заключение, что урав-
нения (2-48) очень похожи на урав-
нения линии с распределенными по-
стоянными; из этого очевидна воз-
можность получения стоячих волн
в волноводе при коротком замыка-
нии его конца, возможность опреде-
ления его нагрузки по коэффициен-
там стоячей волны и по расстоянию
минимума или максимума Е от кон-
ца волновода и т. п. Эти методы те-
ории длинных линий, изложенные
в ч. 2 книги, находят широкое при-
менение в волноводной технике,
в частности для определения элек-
тромагнитных параметров среды
при сверхвысоких частотах.
2-6. ПОТЕНЦИАЛЫ СКАЛЯРНЫЙ
И ВЕКТОРНЫЙ
Скалярный потенциал. Хорошо
известно, что вектор Е=Е(х, у, z)
какого-либо поля может быть пред-
ставлен как градиент некоторой
скалярной функции координат ф=
==ф(х, у, z), обычно записываемый
со знаком минус,
Е = — grad ф, (2-53)
в том случае (и только в том слу-
чае), когда это поле не содержит
вихрей в рассматриваемой области,,
т. е. когда
rotE-O. (2-54)
Последнее условие совершенно
обязательно, так как по смыслу ма-
тематических операций вихрь любо-
го градиента тожественно равен
нулю:
rot grad ф = v X V«P 0.
Скалярную функцию ф называют
скалярным потенциалом.
Потенциальное поле. Если вих-
ри рассматриваемого поля отсут-
ствуют везде, говорят просто, что
поле потенциально (потенциально
без каких-либо оговорок). Именно
таково поле неподвижных (или мед-
ленно двужущихся) электрических
зарядов; оно всегда может быть
представлено как
дельных зарядов,
которых
Е =----q-
е0 • 4з1
Вихрь такого поля тожественно
равен нулю1. При этом интеграл от
вектора по замкнутому контуру то-
жественно равен нулю
(jEdl = O.
В таком поле потенциал ф опре-
деляется однозначно с точностью до
произвольной аддитивной постоян-
ной, как это следует из свойств ин-
теграла:
Ф = — J Е dl —
Если потенциал определяется
для точки х, у, z, то тем самым в ин-
теграле фиксируется лишь верхний
сумма полей от-
для каждого из
-Г R0- (2-55)
J grad ср dl. (2-56)
1 В определителе, выражающем ротор
в сферических координатах, в двух послед-
ниХл строках составляющие второго и третье-
го столбцов равны нулю: д/д§ = д/да=Е$ =
=Еа =0.
54
предел. При этом интеграл не ста-
новится определенным и к нему мо-
жет быть добавлена произвольная
постоянная.
Потенциалу, или точнее разности
потенциалов, может быть придано
определенное физическое толкова-
ние: разность потенциалов между
точками а и b равна работе, совер-
шаемой силами поля при переносе
заряда q, отнесенной к величине за-
ряда. Обозначая работу буквой W,
сказанное можно записать в такой
форме:
ъ ь
Wab/q = — J Fdl —± j<?Edl =
а а
Ъ
= J Е dl = <ра — ср6. (2-57)
а
Однако наиболее точное и основное
определение потенциала соответст-
вует выражению (2-53): потенци-
ал — это функция, минус градиент
которой равен соответствующему
вектору поля. Из этого определения
для электрического поля следует
и выражение (2-57).
Соленоидальное поле. Сущест-
вуют векторные поля безвихревые
в некоторой области однако име-
ющие циркуляцию, отличную от
нуля,
(2-58)
внутри той же области Vi при опре-
деленном выборе контура I. Поле
в этой области безвихревое в том
смысле, что непосредственно в об-
ласти Vi вихри поля F равны нулю.
Однако в таких полях также div F=
=0. Условие (2-58) предполагает
обязательное существование какой-
то области V2? внутри которой поле
имеет вихри. В самом деле, по тео-
реме Стокса
j)Fdl= JrotFdS, (2-59)
s
где площадь S опирается на кон-
тур /, по которому вычисляется цир-
куляция. Сопоставление (2-58)
и (2-59) показывает, что S проходит
через область, в которой rot F=^=0,
хотя I может целиком лежать в об-
ласти Vi.
Поля с указанными свойствами
иногда называют соленоидальными;
в них вектор может быть представ-
лен как градиент скалярного потен-
циала (в области, где rot F=0)
F = — grad ф, (2-60)
однако в таком поле при условии
(2-58) потенциал неоднозначен.
Рис. 2-11.
Поясним сказанное примером
магнитного поля в коаксиальном ка-
беле (пример 1-1). На рис. 2-11
схематически показано поперечное
сечение кабеля. В области между
жилой и оболочкой
в = е и rot В = 0.
2лг а
При этом вектор магнитной индук-
ции можно представить как минус
градиент скалярного потенциала
¥ = — цоих/2л. (2-61)
Вычисляя минус градиент Т в ци-
линдрических координатах, действи-
тельно найдем правильное значение-
вектор а В:
—grad е = В. (2-62>
2л: гда
Определим теперь разность по-
тенциалов между какими-либо дву-
мя точками а и Ь, лежащими в той
же области (между жилой и обо-
лочкой); пусть координаты этих то-
чек га, аа и гь, аъ (рис. 2-11).
Искомую разность потенциалов
выразим интегралом
' Ta-¥6=jBdl =
a—b
=—J graded 1. (2-63)
а—b
55
Выполняя интегрирования по пути 1
на рис. 2-11, найдем, что
(а-Ь)1
= ^(afc-aa). (2-64)
Если же выбрать путь, при котором
совершается поворот больше чем на
2л, отличный от предыдущего
(путь 2 на рис. 2-11), то результат
интегрирования также будет отли-
чаться на величину, пропорциональ-
ную 2л,
Ya-v6= J Bdi =
(a-b)2
= (2л 4- аь — аа). (2-65)
2л
Если сделать дополнительно п
витков вокруг жилы, то и разность
потенциалов дополнительно возрас-
тет на niioi.
Такая неоднозначность потенци-
ала на величине его градиента не
сказывается.
Заметим еще, что возрастание
потенциала, пропорциональное чис-
лу витков, в соленоидальном поле,
имеет не только формальный смысл,
как будет показано на примере кру-
гового движения воды {уравнение
(2-84)], а в § 2-7 и 2-8 на примерах
трансформатора и бетатрона.
Устанавливая в области соленои-
дального поля дополнительные пе-
регородки, переход через которые
запрещен, можно исключить воз-
можность образования контур-
ного интеграла с результатом,
отличным от нуля. В случае кабеля
(рис. 2-11) достаточно перегородить
область г0<г<ц любой плоскостью
а=const, например плоскостью
а = 0. В таком случае путь интегри-
рования (2) окажется недозволен-
ным — он пересекает перегородку
а = 0.
Соленоидально и поле соленоида
стоком (рис. 2-12): исключая из об-
ласти Vi все провода обмотки (они
заключены в области У2), найдем,
что rot В = 0 во всей области У г, од-
нако обход по замкнутому контуру
/1 приводит к результату, отличному
от нуля. Но проведем в области Vi
перегородку, разрезающую солено-
ид поперек. В этом случае окажет-
ся невозможным получить^В dl=f=O.
Линии поля на самом деле пере-
секают нашу воображаемую перего-
родку. На одной стороне перегород-
Рис. 2-12.
ки линии как бы возникают — как
будто бы на этой стороне был рас-
положен положительный «магнит-
ный заряд»; на другой стороне той
же перегородки линии заканчива-
ются— как будто бы на той сторо-
не был расположен отрицательный
заряд (рис. 2-12).
Вихревое поле. В той области
пространства, где rotF=^=0, вектор F
не может быть представлен как гра-
диент скалярного потенциала;
в этом случае не помогут никакие
перегородки или допущение его не-
однозначности.
В случае рассмотренного коак-
сиального кабеля (рис. 2-11) при
г<Го (т. е. внутри жилы) магнитное
поле
В = Ва = р,0 fr/2jrr§. (2-66)
Это поле вихревое
rotB = p0J. (2-67)
56
Оно не может быть представлено
как градиент какой бы то ни было
скалярной функции.
Векторный потенциал. Сущест-
вует еще одна возможность пред-
ставления векторов поля V через
пространственную производную.
Она применима в тех случаях, ког-
да для рассматриваемого вектора
divV=0, (2-68)
т. е. когда й векторном поле отсут-
ствуют истоки. В этом случае век-
тор V может быть представлен как
вихрь некоторого другого вектора А
V-rotA. (2-69)
Этот вектор А называют вектор-
ным потенциалом поля V по
аналогии со скалярным потенциа-
лом, градиент которого определяет
рассматриваемое поле. Необходи-
мость условия (2-68) определяется
тем, что дивергенция любого ротора
тожественно равна нулю по прави-
лам операций векторного анализа
div rot А = v (у X А) = 0. (2-70)
Но именно условию (2-68) удовлет-
воряет магнитное поле: вектор маг-
нитной индукции не имеет истоков
divB-0. (2-71)
Поэтому вектор магнитной индук-
ции В- может быть представлен как
вихрь магнитного векторного потен-
циала
В-rot А. (2-72)
Последнее выражение и служит
определением магнитного векторно-
го потенциала: это такая функция,
ротор которой равен вектору В. Из
определения следует, что к векто-
ру А может быть прибавлена любая
функция F, ротор которой равен ну-
лю, так как при этом
rot А = rot (А + F). (2-73)
Произвольное слагаемое F, при-
бавляемое к вектору, может быть
любой функцией координат, кото-
рая представляется как градиент
скаляра
F - grad v, (2-74)
так как. ротор всякого градиента
тожественно равен нулю.
Дивергенция всякого ротора то-
жественно равна нулю
div rot S = 0,
тогда как дивергенция вектора, вы-
ражаемого как градиент, может от-
личаться от нуля. Более того, всег-
да можно выбрать функцию F =
= gradv так, чтобы divF была тре-
буемой функцией координат. А это
значит, что путем добавления сла-
гаемого F=gradv можно влиять на
величину дивергенции векторного
потенциала (divA), не цлияя на его
ротор (rotA). Это замечательное
свойство векторных функций приме-
няют для упрощения уравнений, со-
держащих векторный потенциал.
Подставляя (2-72) в первое уравне-
ние Максвелла, найдем, что
rot В — rot rot А — — V2 А +
+ grad div А = р0 J. (2-75)
На основании только что сказанно-
го можно придать любое удобное
нам значение слагаемому grad divA
путем подбора вида функции F.
При расчетах полей, медленно
изменяющихся во времени, удобно
принимать1
div А = 0. (2-76а)
В общем случае наиболее удоб-
но полагать, что
div А= — &0[iQd(p/dt9 (2-766)
где ф — скалярный потенциал элек-
трического поля. Когда потенциал
изменяется медленно, можно счи-
тать, что последнее выражение ди-
вергенции А переходит в предыду-
щее. При этом получается уравне-
ние, связывающее векторный потен-
циал и плотность тока,
V2A = —jx0J. (2-77а)
Последние равенства позволяют
выразить векторный потенциал для
поля постоянных токов интегралом
А = Г (2-776)
4л J R ' 7
ИЛИ
А = Ь. J . (2-77в)
1 См. также приложение 3 и формулу
(8-8).
57
Выражение (2-77а) аналогично
уравнению Пуассона для электро-
статического поля (2-24):
У2<р = — р/е0.
Но решение последнего известно
(Ь21)
I f pdv
<р =-----I -— .
4jT8q J
Переписывая (2-77а) для составля-
ющих Декартовой системы
V ^Х V Ау ~ ХУ
найдем из аналогии с уравнением
Пуассона возможность аналогично-
го интегрального выражения. При-
меняя его для всех составляющих,
а затем складывая их (после соот-
ветствующего умножения на ех,
е^,...) получаем (2-776).
Особенно удобно применение
формул (2-77а), когда J имеет един-
ственную составляющую в Декар-
товой системе, например 7 = Л, или
соответственно ток i при параллель-
ных проводах I (иначе говоря,
в случае плоской задачи). В этом
случае выражения для A=AZ про-
порциональны выражениям скаляр-
ного потенциала плоскопараллель-
ного электростатического поля,
обусловленного объемными заряда-
ми или зарядами т, соответ-
ствующими току L В случае двух
параллельных проводов результат,
разумеется, не отличается от най-
денного другим методом [сравните
(2-90) и формулу (в) примера 1-13].
Не обращаясь к установлению
общих зависимостей, легко опреде-
лить векторный потенциал для ря-
да частных случаев.
Внутри жилы коаксиального кабеля (г<
</о), где поле выражается формулой
(2-66), легко найти из рассмотрения обще-
го выражения для ротора, что .
А = Аг = — ц^/4)^ . (2-78)
Действительно, в цилиндрических коор-
динатах
д 1 д
rot А = — е — А +е2— — (гА ).
dr z 2 г dr v а 7
(2-79)
При вычислении принято, что d/da=d/dz=0
в соответствии с условиями задачи.
Далее нам известно, что B=rot А име-
ет только a-ю составляющую. Поэтому
можно положить Аа =0 и искать Az из
уравнения
В — Ва — [1^г/2тсг^== — dAJdr. (2-80)
Очевидное решение этого уравнения и пред-
ставлено выражением (2-78).
Для области П>г>го, где величина Az
определяется из уравнения
В = Ва = = — dAJdr, (2-81)
решение очевидно:
Аг = — In г + const. (2-82)
Выберем постоянную интегрирования так,
чтобы (2-78) и (2-82) давали одинаковый
результат при г=г0; этому требованию
удовлетворяет
const ==(2 In г0 — 1).
4л
При этом (2-82) принимает вид:
Аг = —[ 1 + 21п (г/г0)] • (2-82а)
4Л
Читателю предлагается самостоятельно
определить Az(r) для области г>гь
Векторы поля могут быть выра-
жены как ротор векторного потен-
циала и в области, где вихри отсут-
ствуют, как это видно из приведен-
ного решения (2-82).
Заметим в заключение, что поня-
тие векторного потенциала приме-
нимо не только к электромагнитным
полям. Можно ввести — ив ряде
случаев это целесообразно —• век-
торный потенциал скорости v, опре-
деляя скорость уравнением
v=rotA. (2-83)
Пусть круглый вертикальный цилиндр
медленно вращается в жидкости со ско-
ростью со, не возбуждая турбулентного
движения и вихрей — водоворотов. Вслед
за его вращением во вращательное движе-
ние увлекается и жидкость (вследствие не-
которой вязкости). Если ее движение лами-
нарно, т. е. происходит без вихрей, ско-
рость движения жидкости
v = = ы%/г,
здесь го — радиус цилиндра.
Скорость различных точек цилиндра
v—va =с$г. Вычислим значение ротора ско-
ростей:
1 д
rot v= — ez ^г(«'в ) = ez-2o>; г <re (2-84)
и
rot v = 0; г > r0. (2-85)
Что касается векторного потенциала
скорости, то находим его так же, как в по-
ле коаксиального кабеля.
58
Для заданного поля скоростей
А = А2 = — ~ or2 при г < г0 (2-86)
1 / г \
A = AZ=—- — согд II+2 In — I
2 \ г0 /
при г > г0. (2-87)
Скалярный потенциал поля скоростей
в воде неоднозначен (поле соленоидально).
Действительно, перемещаться против тече-
ния можно, только затрачивая работу.
И вот, если работа, затраченная при обхо-
де полного круга (против течения), равна.
№0, то для того чтобы сделать п оборотов
вокруг вращающегося цилиндра (против
течения), нужно, конечно, совершить рабо-
ту nW0.
Векторный потенциал и магнит-
ный поток. По теореме Стокса
J rot AdS = (р Adi. (2-88)
Но если rot А выражает собой век-
тор рассматриваемого поля, напри-
мер, вектор магнитной индукции В,
то левая часть приведенного равен-
ства есть поток вектора В через по-
верхность S, ограниченную конту-
ром /, по которому берется линей-
ный интеграл от векторного потен-
циала. Так, для магнитного потока
ф = jBdS= (|)А<Й. (2-89)
Векторный потенциал A=AZ магнитно-
го поля двухпроводной линии (рис. 1-23)
легко найти, пользуясь известным выраже-
нием магнитной индукции и потока, а так-
же формулой (2-89); он выражается ра-
венством
t А = Аг = In (ri/r2), (2-90)
2 л
где И — расстояние до рассматриваемой
точки от оси левого провода, несущего ток
в направлении оси +2, а г2 — расстояние
от оси правого провода с током по оси —z.
К тому же результату приводит фор-
мула (2-77в), что непосредственно следует
цз ее сопоставления с решением для стати-
ческого потенциала в поле двух параллель-
ных противоположно заряженных линий
[пример 1-13, формула (в)].
Пример 2-8. Внутри длинного намагни-
ченного стержня радиусом г0 существует
магнитная индукция, параллельная оси
стержня, B—Bz. Вне стержня (при г>го)
магнитное поле отсутствует.
Такой стержень был рассмотрен в при-
мере 1-9 (см. также рис. 2-2).
Требуется: 1) найти магнитный вектор-
ный потенциал внутри и вне стержня,' ос-
новываясь на уравнении (2-89); 2) убедить-
ся путем прямого дифференцирования, что
rot А равен заданному значению В.
Решение. 1) Из соображений сим-
метрии легко заключить, что А=Аа —F(r).
При этом, интегрируя по окружности г=
=const, z=const, находим по (2-89), что
при г <г0
ф = Brtr2 — А • 2зтг, (а)
откуда
А = Аа—Вг/2. (б)
Аналогично при г>г0
ф = Взггц — А-2лг, (в)
откуда
А = Аа=Вг20/2г. (г)
2) Вычисляя ротор в
системе, находим:
цилиндрической
rot А =
Ве2 при
О при
(д)
Заключительные замечания. 1. В
общем случае вектор поля может
содержать составляющие, из кото-
рых одна выражается через скаляр-
ный, а другая через векторный по-
тенциалы,
F —— grad Т + rot А. (2-91)
2. В случае электрического поля,
для которого divE—0, может быть
введен электрический векторный по-
тенциал Аэ, такой, что
E=rot Аэ.
Примером электрического поля,
имеющего divE=0, может служить
поле в цилиндрическом резонаторе
схематически изображенное на рис.
2-6.
3. Как скалярный, так и вектор-
ный потенциалы измеряются в еди-
ницах определяемого ими вектора,
умноженных на единицу длины. Так,
в случае магнитного векторного по-
тенциала его единица равна едини-
це магнитной индукции (тесла =
= в • сек/м2), умноженной на метр
(в • сек/м).
4. Наибольшее распространение
в электротехнике получили скаляр-
ный электрический и векторный маг-
нитный потенциалы. При расчетах
полей и описании различных явле-
ний. могут вводиться и другие век-
торные и скалярные потенциалы.
Принято считать, что все эти пси
тенциалы имеют характер вспомо-
гательных величин, важных для рас-
59
четов, преобразования и решения
уравнений. Таким образом, они от-
личны от векторов В и Е, непосред-
ственно характеризующих электро-
магнитное поле. Это утверждение
справедливо только в рамках клас-
сической электродинамики.
В лекциях Фейнмана [Л. 2-1,
вып. 6, стр. 22 и следующие] пока-
зано, что траектория летящих элек-
тронов изменяется под влиянием
магнитного поля и в том случае,
когда они проходят область, где
А=^=0, но rotA=B = 0. (Даже в усло-
виях неизменяющегося поля
dA/d£=0.) С точки зрения совре-
менной квантовой физики сами по-
тенциалы А и (р играют не меньшую
роль, чем их пространственные про-
изводные. Во всяком случае введе-
ние потенциалов «приводит к более
прямому описанию физических про-
цессов» и более того: «в общей тео-
рий — квантовой электродинами-
ке — в системе уравнений, заменяю-
щих собой уравнения Максвелла,
векторные и скалярные потенциалы
уже считаются фундаментальными
величинами». Приведенные утверж-
дения взяты из названной книги
Фейнмана.
Однако в пределах обыкновен-
ной электротехники и прикладной
электрофизики можно ограничиться
классической электродинамикой, в
которой силы, действующие на элек-
трические заряды, зависят только
от градиента скалярного электриче-
ского потенциала (gradcp) и ротора
магнитного векторного потенциала
(rotA) или производной этого по-
тенциала по времени dA/dZ, как бу-
дет показано в следующем парагра-
фе. Редкое исключение может встре-
титься при рассмотрении некото-
рых тонких эффектов, таких как
электронная дифракция и интерфе-
ренция.
Некоторым пояснением к изло-
женному может служить такая ана-
логия. При решении практических
задач о течении воды по ороситель-
ным каналам достаточно знать зна-
чение градиента высоты. Однако ес-
ли быть точным, надо помнить,
что g (ускорение силы тяжести) за-
висит от высоты Л, а следовательно,
скорость течения воды по каналам
зависит и от h и от градиента й. Во
всех технических задачах можно
считать, что g=cons]: и что влияние
оказывает только grad h.
2-7. ВЫРАЖЕНИЕ НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В МАКСВЕЛЛОВСКОМ ОБОБЩЕНИИ
Введенное в предыдущем пара-
графе понятие магнитного вектор-
ного потенциала особенно важно
тем, что оно позволяет дать общее
выражение для напряженности
электрического поля. При этом вы-
вод исключительной важности по-
лучается путем очень простых мате-
матических операций, правда, при
помощи мощных средств векторного
анализа.
Слагающая напряженности элек-
трического поля, определяемая маг-
нитным векторным потенциалом.
Обратимся ко второму уравнению
Максвелла
rotE = — dB/dt
и выразим в нем магнитную индук-
цию как ротор векторного потен-
циала; имея еще в виду перемести-
мость последовательности диффе-
ренцирования по времени и прост-
ранственным координатам, получа-
ем, что
rot Е ----— rot А — rot (dA/dt)
dt
или
rot (E+dA/d/) - 0 (2-92)
(сумма роторов равна ротору сум-
мы, так как операция дифференци-
рования линейна). Решение послед-
него уравнения может быть пред-
ставлено в таком виде:
E-j-dA/dZ = — grad ср, (2-93)
поскольку ротор всякого градиента
тожественно равен нулю.
Это решение привело Максвелла
к такому выражению напряженно-
сти электрического поля:
Е = — vt — dA/dt, (2-94)
т. е. напряженность электрического
поля равна сумме градиента элек-
трического потенциала и производ-
ной по времени от векторного маг-
нитного потенциала, при том что пе-
60
ред каждым из слагаемых стоит
знак минус.
Это замечательное равенство со-
держит в себе дифференциальное
выражение закона электромагнит-
ной индукции.
Действительно, интегрируя
(2-94) по замкнутому контуру, на-
ходим:
= (2-95)
Но первый интеграл в правой части
тожественно равен нулю, а второй
по (2-89) равен магнитному потоку,
поэтому полученное выражение то-
жественно закону Фарадея
э = — дФ/dt.
Формула (2-94) позволяет опреде-
лить в любой заданной точке индук-
тированную напряженность элек-
трического поля, т. е. слагающую,
обусловленную изменяющимся маг-
нитным потоком, тогда как по зако-
ну Фарадея можно определить лишь
интегральную величину, т. е. элек-
тродвижущую силу.
Существенно обратить внимание
на отсутствие непосредственной за-
висимости ' индуктированной Е
в данной точке от магнитного поля
в той же точке. Так, существуют об-
ласти, в которых В = 0, тогда как
индуктированное электрическое по-
ле отлично от нуля. Напротив, мож-
но указать точки, в которых отсут-
ствует индуктированная напряжен-
ность электрического поля, несмот-
ря на присутствие изменяющегося
во времени магнитного поля. И это
в самых обычных распространенных
электрических устройствах. Приве-
дем два примера (см. также в § 2-8
о наведении э.д.с. в экранированных
проводах).
Обратимся к уже не раз рас-
смотренной двухпроводной воздуш-
ной линии с током i (/). В плоско-
сти проводов (рис. 2-13) магнитная
индукция между проводами
в=в= (—— 4- —1_А
2л \ а — х а-\-х]’
векторный потенциал по (2-90)
Л=Л2= -ЙЙ In -Й±£ .
__________ ? 2л а — х
Соответствующие величины схема-
тически изображены на рис. 2-13
для какого-то заданного момента t.
На том же рисунке представлена
индуктированная напряженность по-
ля ЕЛ =—dAfdt (в плоскости у =0).
Она имеет только 2-ю составляю-
щую. Итак, в этом случае £А = 0
при х=у=0, где и dBldt=j=Q.
Наряду с этой напряженностью
поля между проводами может суще-
ствовать потенциальная слагающая
Е^~ ——уф, обусловленная заряда-
ми проводов. В плоскости проводов
она обычно имеет доминирующую
х-ю составляющую. Эта слагающая
напряженности может быть направ-
лена справа налево, если энергия
передается по линии за плоскость
чертежа, или слева направо, если
передаваемая по линии энергия по-
ступает из-за плоскости чертежа.
Другой интересный пример пред-
ставляет собой трансформатор. Для
простоты расчетов представим себе
трансформатор с круглым сердеч-
ником (г = Го), поток которого, про-
ходя по торцам, замыкается через
коаксиальный цилиндр внутренним
радиусом Г1 и наружным г2. Такой
трансформатор представлен на рис.
2-14, где показаны схематически
и витки первичной намагничиваю-
щей обмотки, ее внешний радиус га
(см. также пример 1-9). В области,
61
окруженной сердечником при го<
<г<гь напряженность магнитного
поля очень мала при условии боль-
шой проницаемости материала сер-
дечников. Например, если торцы
и внешняя цилиндрическая часть
сердечника выполнены из супермал-
лоя с проницаемостью ц=106 при
индукции ~0,2 тл (2 кгс), то внутри
рассматриваемой, области В~0 или
Рис. 2-14.
В<2-10“7 тл (0,002 гс). Если при
этом во внутреннем стержне (г0=
=2 см) индукция 5 = 1 тл, то при
г=2,5 см имеем:
А = А —------= 8 • 10~3 тл • м —
а 2зтг
= 8- 103гс-сж,
как это следует из формулы (2-89).
Если поле убывает в 2 раза за
10-3 сек, то напряженность поля
Е=Еа=—dA!dt=4 тл • м!сек=А в/м
(так как 1 тл=1 в-сек/м2 и
1 тл-м=1 в-сек/м). Эта величина
определяется скоростью, изменения
векторного потенциала и практиче-
ски не зависит от наличного слабо-
го магнитного поля (0,002 гс). Если
бы проницаемость внешнего цилин-
дра уменьшилась в 2 раза, но ин-
дукция в центральном стержне не
изменилась бы, то практически не
изменились бы ни индуктированное
электрическое поле, ни векторный
потенциал, хотя магнитная индук-
ция в рассматриваемой области уве-
личилась бы в 2 раза (0,004 вместо
0,002 гс).
Если окружить сердечник
(рис. 2-14) многовитковой обмот-
кой радиусом г=2,5 см, содержа-
щей, скажем, 1 000 витков, то по ее
виткам интегрируется напряжен-
ность поля Еа. При этом э.д.с. на
один виток эо = О,63 в. Поскольку
поле Е внутри рассматриваемой об-
ласти соленоидально, то при каж-
дом новом полном витке интеграл
J Edl увеличивается на 0,63 в, и в
итоге для 1000 витков э.д.с., ока-
жется равной 630 в.
Можно вернуться и к идеализи-
рованным условиям длинного круг-
лого намагниченного стержня, внут-
ри~ которого (г<г0) индукция рав-
на В, а вне — равна нулю (пример
1-9). При изменении магнитного по-
ля в таком стержне во внешней об-
ласти (г>г0), где 5 = 0, возникает
электрическое поле.
Слагающие, обусловленные ска-
лярным и векторным потенциалами.
Однозначное разделение напряжен-
ности электрического поля Е на
указанные слагающие (Еф = — уф
и Еа = —dAJdt) иногда встречает
затруднения, особенно когда рас-
сматривается не все поле, а только
часть его, ограниченная в простран-
стве некоторой областью. При этом
однозначное разделение на состав-
ляющие может даже оказаться не-
осуществимым, поскольку к векто-
ру А можно добавить любую функ-
цию, представленную как градиент
(она не влияет на ротор), а такое
дополнение одного слагаемого отни-
мает соответствующую часть. от
другого. Заметим, что возникающие
в связи с этим затруднения принци-
пиально не распространяются на
величину определяемого вектора Е,
а также на его дивергенцию и ро-
тор, однозначный физический смысл
которых выражается теоремой Га-
усса и вторым уравнением Макс-
велла; однозначными, разумеется,
остаются и такие интегральные ве-
личины, как магнитный поток (Ф)
и напряжение (Ё).
В следующих примерах рассмот-
рены простейшие случаи электро-
магнитных систем, в которых мож-
но отчетливо выделить условие от-
сутствия или возникновения потен-
циальных составляющих, а также
62
найти численное значение одной
(—dkjdt) и другой (—уф) состав-
ляющих.
Пример 2-9. Длинный намагниченный
стержень радиусом г0 (пример 1-9) охва-
тывается соосным проволочным кольцом
радиусом 2 <ш=г>г0=1 см; его сечение
5=1 мм2. Половина кольца выполнена из
медной проволоки 01=56*104 сим/см, а
другая половина — из свинцовой 02=
=4,55-104 сим/см (рис. 2-15).
Рис. 2-15.
Магнитная индукция в сердечнике рав-
номерно убывает
dB/dt = — 100 тл/сек = const.
Конечно, эти условия длятся лишь не-
большое время (10—20 мсек), но при этом
индуктированный ток в кольце можно счи-
тать постоянным, во всяком случае через
долю миллисекунды после начала измене-
ния В. Те же условия можно представить
и в системе рис. 2-14.
1) Найти, напряженность поля в меди
и в свинце, выделив слагающие, соответст-
вующие векторному и скалярному потен-
циалу.
2) Объяснить физическую причину воз-
никновения слагающей —\7ф-
Решение. 1) Очевидно, что э. д. с.
э = — ЛГ0 dB/dt = Еа*2пг = 31,4 мв.
Сопротивление контура
пг / 1 . 1 \
7?=— —+ — = 14,95-10-Зож
5 \ ах а2 /
В кольце устанавливается ток £=э//?=2,1 а.
Такому току соответствует напряжен-
ность поля в меди '
Ei = i/S0i = 0,375 мв/см
и в свинце
Е2 = i/So2 = 4,61 мв/см.
Но переменная составляющая векторного
потенциала определяется только изменени-
ем магнитной индукции стержня, поэтому,
зная выражение для векторного потенциа-
ла Л=Ла ==Вг-о|2 г, находим, что
ЕА = — dA/dt = 2,50 мв/см
как в медной так и в свинцовой части коль-
ца. Возникшее различие результирующих
напряженностей Е^=/=Е2 может объясняться
только появлением градиента скалярного
потенциала:
г. дА
„ ЗА
£2= — — — ^Ф)а2 • (а)
Обязательное условие
f V<P di = (?ф)а1 ll +(Уф)а2 12 = 0 - (б)
приводит к выводу, что
(V«P)a2 = —(¥Ф)а1 <В>
При li=l2 находим:
(V<P)a2 = - (V<P)«1 = (V4>)a • (Г)
При этом условии из уравнений (а) на-
ходим, что
— (VP)a = —(?ф)а2 =
= (Е2 — Ej) = 2,12 мв/см.
Такова слагающая, обусловленная градиен-
том скалярного потенциала.
2) Физическое объяснение результата
очень простое; при переходе тока из меди
в свинец (при 01 >02) и вблизи этого места
распределяются положительные заряды, а
вблизи перехода тока из свинца в медь —
отрицательные, как это схематически пока-'
зано на рис. 2-15. Эти заряды, действуя по
.закону Кулона, создают в свинце поле,
совпадающее по направлению с составляю-
щей — dA/dt-, поэтому в свинце поле усили-
вается. Те же заряды в меди создают поле,
направленное навстречу составляющей —
dA/dt-, поэтому в меди поле ослабляется.
Пример 2-10. Рассматривается та же
система, что и в предыдущем примере, но
в свинцовой проволоке сделан поперечный
разрез; образовавшийся зазор имеет длину
4 мк (микрона). Найти напряженность по-
ля в зазоре.
Решение. В этом случае внутри
проволоки ток идти не может (цепь разом-
кнута), поэтому в ней поле должно рав-
няться нулю. Следовательно, как в медной,
так и в свинцовой проволоке
— (VT)a — — (—dA/dt) = — 2,5 мв/см-
Применяя выводы уравнения (б) предыду-
щего примера к новым условиям, находим,
что
(VT)a ^пров (VT)a ВОЗД ^ВОЗДэ
здесь индексы «пров» и «возд» обозначают
«проволоки» и «воздушного зазора».
Вычисляя, находим, что
-(Уф)авозд=78’6 в^см-
Что покажет вольтметр? Такой
вопрос часто возникает, когда сое-
динительные провода вольтметра
проходят в области переменного
G3
векторного потенциала (—dAjdt
=^=0), иначе говоря, когда в соедини-
тельных проводах существует ин-
дуктированная напряженность элек-
трического поля.
Представим себе для большей
определенности, что рассматривае-
мый вольтметр — прибор электро-
статической системы '"(отклонение
стрелки определяется силой притя-
жения изолированных один от дру-
гого электродов, соединенных с вы-
ходными зажимами). Заметим, что
вольтметр показывает разность по-
тенциалов между его электродами
(как термометр показывает свою
собственную температуру) незави-
симо от того, соответствует ли она
разности потенциалов между теми
точками, к которым вольтметр при-
соединен. На основании только что
изложенного в тексте и в примерах
легко найти ответ на поставленный
вопрос в условиях, приводимых в
следующих примерах.
Пример 2-11. Измерение двумя вольт-
метрами Vj и У2 (рис. 2-16, а) производит-
ся в условиях, подробно рассмотренных
в примере 2-9, когда проволочное кольцо
охватывает стержень с переменной магнит-
ной индукцией. Одна половина кольца —
медная проволока, другая — свинцовая.
Точки присоединения вольтметров
к кольцу тип диаметрально противопо-
ложны и совпадают с точками спая свин-
цовой и медной проволок. Предполагается,
что вектор В направлен из-за плоскости
чертежа и dBldt<&, этому соответствует
направление вектора Е=—dkidt, указан-
ное на чертеже (оно совпадает с положи-
тельным направлением вектора А при В=
=Bz>0, поскольку ^Аа/д/<0)1.
Спрашивается: 1) Что покажет каж-
дый из вольтметров? 2) Как объяснить
разницу в их показаниях, если она сущест-
вует?
Небольшое усложнение конструкции
делает электростатические вольтметры спо-
собными отмечать и знак разности потен-
циалов на его зажимах. Принимая во вни-
мание сказанное, дать ответ с учетом зна-
ка; при этом считать, что
^1/1 = - Фу UV2= фс - Ф<г (а)
Эти условия соответствуют знаку плюс,
поставленному у одного из зажимов каж-
дого из вольтметров; этот знак обозначает
то, что отклонение вольтметра положитель-
но, когда потенциал зажима «плюс» выше,
чем потенциал другого зажима.
1 Убедитесь в том, что направление Е
согласуется с законом Ленца.
Решение приведено в конце главы.
Пример 2-12. Найти, как изменятся по-
казания вольтметров предыдущего приме-
ра, если точка п: 1) переместится вдоль
свинцовой проволоки сначала на 90°, а по-
том на 180°; 2) переместится вдоль медной
проволоки сначала на 90°, а потом на 180°.
Примечание. В первом случае точ-
ка п перемещается (рис. 2-16, а) против
часовой стрелки, а во втором — по часовой
стрелке. Точка т при этом остается непод-
вижной. Точка О остается общей точкой
для соединительных проводов двух вольт-
метров.
Решение приведено в конце .главы.
Подобные вопросы можно варьировать
и варьировать, например спрашивать о по-
казаниях вольтметров, когда присоединение
вольтметров выполнено, как схематически
показано на рис. 2-16, б.
Провода вольтметров от точек «плюс»
идут к точке О, где они соединяются. Да-
лее от точки О к точке п провод проходит
внутри тонкого канала, просверленного
64
в намагниченном стержне. Провод изоли-
рован от канала, а влияние канала на ве-
личину магнитного потока в намагничен-
ном сердечнике ничтожно.
Сохраняя те же условия и вопросы,
можно точку присоединения п перемещать,
как в примере 2-12.
Возникновение электрического
поля при движении в магнитном
поле. При движении заряда q
в магнитном поле В со скоростью v
заряд испытывает силу
F = #vxB, (2-96)
при том что В измеряется в той же
системе координат, в которой опре-
деляется и скорость v; другими сло-
вами, заряд q движется со скоро-
стью v относительно выбранной си-
стемы координат.
Если движение происходит со
скоростью v, значительно меньшей
скорости света, то в системе коорди-
нат, движущейся с зарядом, наблю-
дается такое же магнитное поле.
В той же системе заряд неподви-
жен; поэтому испытываемая им си-
ла F может быть отнесена за счет
существования электрического поля
Eo = F/<7 = vxB. (2-97)
Это выражение представляет собой
третью слагающую в обобщенном
выражении Максвелла (
Е = — v<₽ — dk/dt + vx В, (2-98)
именно такое выражение, отличаю-
щееся только обозначениями, содер-
жится в § 599 его знаменитого трак-
тата Ч
Трем слагающим этой замеча-
тельной формулы Максвелла можно
дать такое название, облегчающее
запоминание их физического смыс-
ла: — v <р — напряженность, наблю-
даемая в конденсаторе; — dk/dt —
в трансформаторе; vxB— в машин-
ном генераторе (или соответственно
конденсаторная, трансформаторная,
генераторная напряженности поля).
Если в неподвижной системе ко-
ординат (х, у. z) наблюдается, кро-
ме того, электрическое поле Е, то
в подвижной системе (х', у', z'),
движущейся со скоростью v, наблю-
1 Несмотря на это последнее слагаемое,
т. е. (2-97}» а также (2-96), называют си-
лой Лоренца, исследования которого отно-
сятся к более позднему времени.
дается дополнительная слагающая
В7 магнитного поля, определяемая
уравнением, совершенно аналогич-
ным (2-97),
B0 = -J-vxE (2-99)
С2
(рис. 2-Г7). Множитель г2=9Х
Х1020 см!сек объясняет, почему
в электротехнике эффект (2-99) не
играет практически никакой роли
в отличие от эффекта (2-97). Заме-
тим, что выражая Е в в/см, v
в см/сек, мы получим Bv выражен-
ным в в-сек/см2. Так, например,
при Е=10 кв/см и и=103 см/сек
найдем:
Bv = 107/9:1020 ~ 10-14 в • сек/см2 =
= 10~10 тл=10“6 гс.
Релятивизм уравнений Максвелла.
Основные уравнения Максвелла не нужда-
ются ни в- каких релятивистских поправ-
ках и остаются справедливыми для каждо-
го из наблюдателей при любой скорости их
относительного движения. Этим они суще-
ственно отличаются от многих других фун-
даментальных законов, таких, например,
как законы’ Ньютона, нуждающиеся в ре-
лятивистских поправках при больших ско-
ростях. Сказанному не противоречит тот
факт, что в двух системах координат, дви-
жущихся одна относительно другой, одно
и то же поле проявляет себя различно, на-
пример в одной системе координат может
обнаруживаться существование только маг-
нитного, а в другой — как магнитного, так
и электрического поля, хотя бы в соответ-
ствии с уравнением (2-97); и это при том,
что в обеих системах объектом' наблюдения
служит одно и то же поле.
Напротив, это обстоятельство указы-
вает только на единство электромагнитного
поля, в котором три составляющие трех-
5—476
65
мерного вектора В и три составляющие
трехмерного вектора Е определяют компо-
ненты четырехмерного антисимметричного
тензора второго ранга, выражающего элек-
тромагнитное поле,
В последние годы многих при-
влекает вопрос о связи теории от-
носительности с электротехникой.
Этому вопросу посвятил свою книгу
p\v 1 2 3 4
1 0 Вг -By J— £ nX c
2 -Bz 0 Bx -j— e
F = c (2-100)
P-V /
3 By 0 Ег
c
4 — E — Е — Ег 0
c c c
Все уравнения поля выражаются через
дифференциальные операции над тензором.
В четырехмерной системе координат
х2, хз, первые три соответствуют декар-
товым координатам х, у, z, а четвертая
координата
*4 = V —C2t = jd.
(2-101)
Все составляющие трехмерного поля
Вх, Ву, Bz, Ех, Еу, Ег, а значит, и все ком-
поненты единого тензора электромагнитно-
го поля удобно выражать через четырех-
мерный векторный потенциал Фг-, компо-
ненты которого
Фхг==^-1» ^ъ—Ая', Фз=А3, Ф4== ’ <р; (2-102)
с
в этих формулах Аи А2, А3 — обычные ком-
поненты магнитного векторного потенциа-
ла, <р — скалярный электрический потен-
циал.
При этом
5Ф, ЙФр.
Ч дх„
(2-103)
при pi, v==l, 2, 3, 4. Так, например, в соот-
ветствии с (2-100), (2-102) и (2-103)
—F13 = + Fsi = By
дА± дА3
дх3
дх!
дАх дАг
= <2-104>
Точно так же по (2-100) — (2-103)
.. _ . _ . /дФ< ЗФ1
JcF14 =— jcF41 = Ex = jc[ — — —
\ дх± дх4
_ МХ1
jedt J
— V* Ф
(2-105)
Более подробные сведения выходят за рам-
ки теории электромагнитного поля как по-
следней части курса теоретических основ
электротехники.
Э. А. Меерович в ней содержится
значительная библиография. . По-
добной же теме посвящена француз-
ская книга Арзели2. Очень доступно
и интересно разобраны многие
вопросы релятивистской электроди-
намики в фейнмановских лекциях
[Л. 2-1]; особенно хочется обратить
внимание на вып. 5, гл. 13, § 6, где
показывается связь законов Кулона
и Био — Савара3. Применение ре-
лятивистской электродинамики со-
вершенно необходимо при рассмот-
рении быстрых заряженных частиц
(см. § 2-8).
2-8. ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДНИКОВ
И ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Электрические генераторы. Преж-
де всего именно в результате движе-
ния проводов в магнитном поле воз-
никает э. д. с. почти во всех элект-
рических машинах и генераторах,
где происходит преобразование ме-
ханической работы в электрическую
энергию (или обратное преобразо-
вание в электрических двигателях).
При этом обычно считают, что в дви-
жущихся проводах возникает (ин-
дуктируется) напряженность элект-
рического поля
Е = vXBcp,
которая после интегрирования вдоль
проводов и выражается как индук-
1 Э. А. Меерович, Методы реляти-
вистской электродинамики в электротехни-
ке, изд-во «Энергия», 1966.
2 Н. А г z е 1 i е s, Electricite macros-
copique et relativise, Gauthier-Villars,- Pa-
ris, 1963.
3 См. также приложение 3 в конце
книги.
““ dt
66
тированная э.д. с. В приведенном
здесь равенстве вместо вектора В
поставлен вектор Вср; смысл этого
разъясняется ниже при рассмотре-
нии наведения э.д.с. в экраниро-
ванных проводах.
Большие надежды современная
электроэнергетика возлагает на маг-
нитные гидродинамические генера-
торы (МГД генераторы); в них пре-
образование тепловой энергии
Рис. 2-18.
в электромагнитную производится
без вращающихся машин и подоб-
ных механизмов.
Самое схематическое представ-
ление о МГД генераторе можно по-
лучить, обращаясь к схематическо-
му рис. 2-18: между двумя стенка-
ми, в которые вделаны электроды,
с большой скоростью протекает
ионизированный газ (плазма); нор-
мально к течению плазмы и к оси
расположения электродов в канале
создается сильное магнитное поле.
В плазме возникает электрическое
поле, иначе говоря, наводится э. д. с.,
равная произведению vXB, умно-
женному на ширину канала. Воз-
никающие при наличии поперечного
тока тормозящие силы и определя-
ют термодинамику преобразования
тепловой энергии в электрическую.
К сожалению, в простейших
устройствах возникают постоянные
и не слишком большие э. д. с. Для
передачи полученной электроэнер-
гии на большие расстояния она
должна подвергаться дальнейшим
преобразованиям.
Покидая генератор, поток плаз-
мы еще обладает большой энергией
и высокой температурой. Эта энер-
гия используется в следующих
звеньях системы преобразования,
работающих подобно обычной теп-
лоэлектроцентрали. Наличие пред-
варительного отбора энергии плаз-
менного потока в МГД генераторе
большой мощности способно суще-
ственно повысить к. п.д. всей систе-
мы в целом.
Несмотря на значительные тех-
нические трудности, в 1967 г. опыт-
ный МГД генератор мощностью
в 25 Мет начал работать на одной
из Московских электростанций, от-
давая энергию в московскую сеть.
Магнитная гидро- и газодинами-
ка. Это — новая отрасль науки, изу-
чающая движение проводящих
жидкостей, прежде всего жидких
металлов, и газов (плазма) в маг-
нитном поле. Особенность магнит-
ной гидродинамики заключается в
том, что рядом с силами, обуслов-
ленными спадом давления,
fp = —gradp (2-106)
(эта сила направлена всегда в сто-
рону уменьшения давления), появ-
ляется сила, действующая в магнит-
ном поле на движущиеся заряды,
fM = JxB. (2-107)
Здесь J — плотность тока, характе-
ризующая упорядоченное движение
зарядов в сплошных проводящих
средах.
Силы fp и fM отнесены к единице
объема.
При этом плотность тока выра-
жается по закону Ома, в который
в качестве напряженности электри-
ческого поля должно входить обоб-
щенное максвелловское выражение
J=oE = —\7ф ^-+vxB^.
(2-108)
Совместное решение уравнений гид-
родинамики, в которые входит сум-
ма сил (2-106) и (2-107)
f=fP + fM =— grad p + J X B, (2-109)
при том что второе слагаемое в свою
очередь зависит от скорости, а так-
же неоднородностей среды (что при-
водит к появлению кулоновских
сил), представляет в общем случае
очень сложную, но в ряде случаев
и очень важную проблему. Боль-
шую отрасль магнитной гидро- и
газодинамики представляет собой
космическая электродинамика, изу-
5*
67
чающая движение и образование
туманностей и галактик. Более близ-
кие к земле задачи — образование
электромагнитных полей и потоков
частиц в солнечной системе. Чтобы
характеризовать важность дости-
жения успехов в этой области до-
статочно напомнить, что до сих пор
не существует достоверной теории
происхождения даже земного маг-
нитного поля.
Большое значение магнитная
гидродинамика имеет непосредст-
венно в технике. Так, например, из
схемы устройства МГД генератора
очевидна его обратимость: если из-
вне подвести напряжение, то в про-
водящей подвижной среде пойдет
ток; при наличии поперечного маг-
нитного поля в подвижной среде
благодаря этому току возникнут
силы (2-107); они могут привести
в движение проводящую среду, за-
полняющую канал. Так устроены,
например, насосы для перекачки
расплавленного металла, поступаю-
щего в канал..
Широкое распространение имеют
также насосы для жидкого метал-
ла, работающие на переменном маг-
нитном поле. Эти насосы подобны
асинхронным двигателям. Обмотки
с переменным током создают попе-
речное магнитное поле, бегущее
вдоль канала со скоростью р. Нали-
чие такого бегущего поля создает
в жидкой подвижной среде элект-
рический ток; его взаимодействие
с магнитным полем приводит к ув-
лечению подвижной среды вслед за
магнитным полем [Л. 3-7]. 1
Плазменная электротехника —
получение плазмы в электрическом
поле (вольтова дуга, разряд в раз-
реженных газах и т. п.), управление
плазмой посредством наложения
магнитного поля и т. д. — содержит
очень много особенностей, изучае-
мых обычно не в курсе общей элект-
родинамики, а в специальной дис-
циплине, которую и называют фи-
зика плазмы [Л. 3-10].
Ограничимся здесь лишь указа-
нием на то, что плазменные устрой-
ства находят все больше и больше
технических применений. Хочется
указать, например, на плазменный
факел, получаемый в результате
«выдувания» вольтовой дуги маг-
нитным полем. Тонкий язык пламе-
ни длиной 20—30 см rqctwczzt на;
столько высокой температуры, что
в нем испаряются вольфрам иЪкись
алюминия. Столь высокая темпера-
тура позволяет применять плазмен;
ный факел для резки больших ли-
стов жароупорной стали. По дан-
ным Челябинского завода, металли-
Ма.гни.гг!ное
поле
Рис. 2-19.
ческие заготовки не требуют после
разрезания дальнейшей обработки,
так как капли оплавленного метал-
ла испаряются.
Процессам в плазменной элект-
родинамике свойственны многие
своеобразные эффекты. Здесь нет
возможности останавливаться на их
анализе, но стоит обратить внима-
ние на то, что правило левой руки
(векторного произведения JXB) не
всегда применимо для • опреде:
ления силы, действующей на плаз:
му. Так, например, иногда под
действием магнитного поля устой;
чиво наблюдается встречное движе-
ние (в направлении минус JXB),
что объясняется реакцией на ветер,
образуемый разрядом в магнитном
поле. На рис. 2-19 схематически
изображено устройство для измере-
ния силы ветра и скорости движения
дуги при разряде в атмосфере раз-
реженного аргона Ч Скорость этого
ветра составляет несколько сотен
метров в секунду (в разреженном
аргоне с давлением 10 мм рт. ст.
при токе порядка 50 а и магнитном
поле порядка 2 кгс).
1 X. Вейхель, американский Журнал
прикладной физики, т. 37. стр. 2317, 1966.
68
Наведение э.д.с. в экраниро-
ванных проводах. Обычно при рас-
смотрении э.д.с., наводимой в про-
водах электрических машин, исхо-
дят из выражения (2-97)
E = vB или E = vxB,
где Е — индуктированная в проводе
напряженность поля, v — скорость
относительного движения провода
в магнитном поле, а В — радиаль-
ная (нормальная к скорости) сла-
гающая магнитной индукции.
Здесь следовало бы уточнить,
о каком значении В идет речь; в на-
чале этого параграфа мы написали
Вср, и это было справедливо; одна-
ко в формуле (2-97), выражающей
индуктированную напряженность
поля, речь идет безусловно о той
индукции, которая существует в дви-
жущемся проводе, именно в той точ-
ке, для которой определяется £.
Применимость простого приве-
денного здесь выражения даже без
всяких оговорок обычно кажется
очевидной, тем более что, по-видимо-
му, оно ежедневно подтверждается и
опытом расчета машин и авторите-
тами. Однако это выражение про-
сто ошибочно, и по существу дела
при всех практических расчетах
пользуются не этим выражением, а
лишь очень на него похожим. В са-
мом деле, это выражение непосред-
ственно неприменимо даже для про-
вода с током, движущегося в маг-
нитном поле; в этом случае, правда,
нужна только подразумевающаяся
дополнительная оговорка: В — век-
тор магнитной индукции внешнего
поля.
Пусть в круглом проводе идет
постоянный ток / и провод движет-
ся в постоянном внешнем поле Во
со скоростью v (рис. 2-20). Благо-
даря наличию собственного поля то-
ка 7, в разных точках провода ин-
дукция различна, например в точке
а индукция может быть существен-
но меньше, чем Во, а в точке b —
существенно больше, если, конечно,
ц^//2лГо того же порядка, что Во.
Однако во всех точках провода на-
водится одна и та же напряжен-
ность электрического поля
Е = vxB0. (2-97а)
Что было бы в случае ферромаг-
нитного провода с большой прони-
цаемостью (ц > 1), движущегося
во внешнем поле Во? Какая в нем
наводится э. д. с.? Магнитная индук-
ция внутри такого стержня в 2 ра-
v
Рис. 2’20..
Рис. 2-21.
за больше индукции внешнего поля
В2=В0+Вм=2В0, как показано в
гл. 4. Однако э.д.с., наводимая
в нем, по-прежнему выражается
формулой (2-97а), так как допол-
нительное поле в проводе опреде-
ляется его собственной намагничен-
ностью ВМ=ВО- Ясно, что при этом
отсутствует относительное движе-
ние провода и этого дополнительно-
го поля Вм.
Вернемся к анализу выражения
для индуктированной напряженно-
сти в случае частичного или даже
полного экранирования движущего-
ся провода. В электрических маши-
нах, как правило, провода лежат
внутри пазов, прорезанных в фер-
ромагнитном корпусе статора и ро-
тора (рис. 2-21). Пусть, например,
средняя радиальная составляющая
на поверхности ротора равна 9 кгс.
При этом поток, выходя из ротора,
в основном проходит по зубцам ста-
тора и лишь незначительная часть
69
потока проходит внутри паза. Так,
при проницаемости стали у основа-
ния зубца порядка 1 000 внутри па-
за индукция не превосходит 5П=
= 10 гс (во всяком случае в глубине
па^а). Относительное движение ро-
тора и статора определяется угло-
вой скоростью со— 314 сект1', внеш-
ний радиус ротора гр=50 см, рас-
стояние точки Л от оси ротора =
=65 см. Пусть в точке А магнитная
индукция Вп= 10 гс=10~3 тл, а ско-
рость движения этой точки в систе-
ме координат, связанной с ротором,
са = соГа = 204 м/сек. Можно ли оп-
ределить напряженность индукти-
рованного электрического поля Е
ио обсуждаемой формуле (2-97)
или (2-97а)? Иначе говоря, равна
ли эта напряженность поля £=
:=Уа5а = 204 м/сед-10~3 в«сек/ж2 =
= 0,204 в/м?
Не приходится сомневаться в от-
рицательном ответе.
Впрочем, если остановить вра-
щение машины и двигать проволоку
внутри паза (конечно, в пределах
ширины паза) со скоростью
то величина индуктированной на-
пряженности поля окажется именно
0,204 e/м, если не учитывать неко-
торые дополнительные эффекты.
Если бы приведенное вычисление
оказалось применимым (правиль-
ным) для вращающейся машины,
то наверно пришлось бы отказать-
ся от расположения проводов внут-
ри паза (пазы еще иногда делаются
закрытыми!). Действительно, рас-
полагая провод на гладкой наруж-
ной поверхности при г=0,51 м и
В=£ср=8,8 кгс, мы получили бы
£=141,5 в/м.
Но на поверхности статора в се-
редине его зубца — в точке а поле
существенно больше, чем ВСр (рис.
2-21). Допустим, что в этой точке
Во=15 кгс и га=51 см. Если бы
можно было вычислить Е по рас-
сматриваемой формуле, то для точ-
ки а оказалось бы £=240 e/м, что
еще лучше, чём 141 в/м.
В рассмотренном случае враща-
ющейся машины применение об-
суждаемой формулы приводит к не-
верным результатам. Однако вме-
сто обсуждаемой формулы можно
исходить из рассмотрения всего по-
тока, сцепленного с рассматривае-
мым контуром, а величину индук-
тируемой э.д. с. определить по из-
вестной фарадеевской формуле
э = - дФ/dt.
Но теория поля должна иметь не
только интегральную формулиров-
ку для индуктированной э.д.с., а
выражение, определяющее значе-
ние индуктированной э.д.с. в дан-
ной рассматриваемой точке через
величины, характеризующие поле
в этой самой точке. Такое выраже-
ние и представляет собой производ-
ная от векторного потенциала
Е=— dA/dt.
При этом внутри паза при враще-
нии ротора происходит быстрое из-
менение векторного потенциала, не-
смотря на уменьшение вектора В
экранирующим действием зубцов.
Заметим еще, что в случае вра-
щающейся машины существует пря-
мая опасность, уже учтя всю индук-
тированную напряженность поля
как — dA/dt, добавить лишнее сла-
гаемое vXB. Вероятность такой
ошибки увеличивается, когда во
вращающейся машине изменения
магнитного поля происходят еще и
благодаря тому, что магнитное поле
возбуждается переменным током.
В случае вращающейся машины
в известной мере разделение £ на
составляющие vXB и —dA/dt, мо-
жет оказаться неоднозначным.. Наи-
более надежный результат полу-
чается при проверке интегрального
результата по фарадеевской фор-
муле.
Спрашивается, нельзя ли при-
менить к случаю провода в пазу
рассуждение, применявшееся к дви-
жущемуся проводу с током
(рис. 2-20), поскольку ослабление
поля внутри паза в значительной
мере определяется полем.намагни-
ченных зубцов, движущихся вместе
с проводом? Можно. Однако это за-
трудняется, когда поле статора не
только движется относительно про-
вода, но и меняется во времени.
Самое простое решение послед-
ней задачи состоит в разложении
переменного вращающегося поля
на два вращающихся поля с посто-
70
янной амплитудой (приложение 1,
пример 1-3).
Неприменимость формулы Е=
= vXB к проводам в пазу машины
и подобным случаям неоднократно
обсуждалось среди электротехни-
ков. Защищая эту формулу, очень
остроумную аргументацию привел
В. Ф. Миткевич; по его мнению, все
дело в том, что при уменьшении В
из-за экранирования соответствен-
но возрастает скорость движения
магнитного поля относительно рас-
сматриваемой точки; она превосхо-
дит относительную скорость дви-
жения механической системы.
В своей книге1 «Магнитный по-
ток и его преобразование»
В. Ф. Миткевич так рассказывает
о движении магнитно-экранирован-
ного провода в перпендикулярном
магнитном поле: «Начертим на ли-
сте белой бумаги ряд параллельных
линий, равно отстоящих одна от
другой (рис. 117). Представим се-
бе далее, что наш глаз смотрит на
этот ряд линий через какую-либо
лупу L. Линии, рассматриваемые
при посредстве лупы, кажутся раз-
двинувшимися по сравнению с тем,
что наблюдается за пределами оп-
равы лупы». Такое раздвижение ли-
ний соответствует ослаблению поля
в результате экранирования (см.
рис. 2-22, он воспроизводит рис. 117
оригинала). «Начнем теперь дви-
гать лупу поперек линий слева на-
право. В то время как линии вне
оправы остаются неподвижными, те
линии, которые мы наблюдаем
сквозь лупу, кажутся перебегающи-
ми справа налево с некоторой доба-
вочной скоростью относительно са-
мой лупы. Для большей полноты
аналогии с тем, что происходит
в случаях движения заэкранирован-
ного проводника во внешнем маг-
нитном поле, наклеим в центре лу-
пы L какой-либо небольшой бу-
мажный кружок С, который будет
соответствовать сечению проводни-
ка... Этот кружок при движении лу-
пы будет казаться пересекающим
все начерченные на бумаге линии».
Вихревые токи и «униполярный»
генератор. Однако существуют си-
1 Изд. АН СССР, Москва, 1946.
стемы, в которых единственно ос-
мысленной формулировкой для ин-
дуктированной напряженности поля
оказывается именно
E0~vxB.
Рассматривая, например, прово-
дящий диск (обычно алюминие-
вый), вращающийся между полю-
сами постоянного магнита, легко
обнаружить, что в диске возникают
вихревые токи, тормозящие враще-
ние диска (рис. 2-23). Такие посто-
янные магниты применяют в обыч-
ных счетчиках электроэнергии для
того, чтобы счетчик не делал лиш-
них оборотов, вращаясь по инерции.
Эти токи возникают именно в силу
того, что под полюсами магнита
возникает напряженность поля
E^=vXB. В рядом лежащих про-
водящих частях диска, находящих-
ся вне магнитного поля, Ev~0.
Вследствие этого равновесие восста-
навливается только после того, как
в диске установится ток. При посто-
янной скорости и постоянных маг-
нитах, разумеется, постоянным бу-
дет и ток (характеризуемый плот-
ностью тока, имеющей неизменное
распределение). Очевидно, что
71
в рассматриваемом случае не мо-
жет быть и речи о каком-то изменя-
ющемся во времени векторном по-
тенциале, во всяком случае в непо-
движной системе координат
(dA/dt = 0).
Для. физического понимания ро-
ли разных составляющих полезно
рассмотреть крайне упрощенную и
схематизированную картину (рис.
2-24) на границе магнитного поля
в диске. На границе кулоновская
слагающая напряженности элект-
рического поля — одна и та же для
левой и правой областей, т. е. непре-
рывна. Поле слева от границы,(где
В=0) имеет только кулоновскую
составляющую
£1=Ji/(J = Екул = VT»
это — потенциальное поле. Справа
от границы напряженность поля
другая, так как к общей- потенци-
альной составляющей добавилась
слагающая Ev=vXB и результиру-
ющее поле
Е2=Екул Ео = J2/^*
Из сопоставления последних
двух уравнений находим, что плот-
ность тока справа и слева от грани-
цы должны иметь противополож-
ные направления (так как Екул на-
правлена навстречу Ev).
Рассмотрим еще машину (рис.
2-25), в которой проводящий диск
(ротор /?) вращается между полю-
сами неподвижного кольцевого элек-
тромагнита (статор S). Магнитное
поле возбуждается кольцевой об-
моткой. В такой машине — унипо-
лярном генераторе — индуктирует-
ся радиальная напряженность поля
Ev = Er = vB.
Рис. 2-25.
В неподвижной системе из трех
слагающих (2-98) может отличать-
ся от нуля только первая, т. е.
— уср; и напряжение между непо-
движными щетками ( + , —) равно
только разности потенциалов. Но
для движущегося диска J =
= о(—Поэтому при
разомкнутой внешней цепи \7ф=
=vXB.
Таким путем индуктируемая на-
пряженность поля проявляется как
разность потенциалов.
Благодаря расположению полю-
сов по всему кольцу ток не может
замыкаться по диску. Щетки сколь-
зят по периферии диска и по его ва-
лу, к ним присоединяется внешняя
цепь генератора.
Движение заряженных частиц
в магнитном поле. Электрическое
поле E^=vXB играет исключитель-
но важную роль в управлении элек-
тронными потоками в самых разно-
образных устройствах современной
72
' электроники (электронные микро-
L скопы, телевизионные трубки, маг-
нетроны, электронные трубки, масс-
спектрографы, ускорители и многие
Е .. другие).
Из уравнения F=#vXB следу-
ет, что сила, действующая на дви-
г: жущиеся заряды, не совершает ни-
какой работы, так как она всегда
перпендикулярна направлению пе-
ремещения (v). Разложим ско-
I' рость движения заряженной части-
цы v на две составляющие — тан-
г, генциальную (vt) и нормальную
(ип) вектору В. Найдем, что пер-
вая (vt) не меняется под действием
tz -магнитного поля, тогда как вторая
(vn) приводит к ускорению в на-
правлении, нормальном к vn.
В: ’ В пределах однородного поля B±v
I, и В=const траектория такого дви-
Ef . жения — окружность. В самом де-
» ле, любое тело совершает движение
по окружности, если действует ра-
” диальная сила (fr==—f), уравнове-
1| шивающая центробежную
(2-110)
Е' где т — масса тела, г—
круговой траектории, v — скорость.
Из сопоставления последнего
выражения с силой F, действующей
на заряженную частицу в магнит-
jk ном поле,
qvB = mv2!r9 (2- 111)
ного поля. Этот прибор представля-
ет собой стеклянную трубку, запол-
ненную разреженными парами рту-
ти; внутри трубки расположена на-
находим, что радиус траектории ча-
стицы
r-=mvjqB\ (2-112)
в последних двух выражениях
v — скорость, нормальная к векто-
ру В (т. е. v = vn). Скорость vt,
параллельная вектору В, остается
без изменения. В результате части-
ца, двигавшаяся под углом к векто-
ру поля, описывает спираль вокруг
направления вектора В. При изме-
нении направления В соответствен-
но меняется разделение результи-
рующей скорости на составляющие
vt и vn; однако цо-прежнему по-
ступательное движение частицы
продолжает совпадать с направле-
нием вектора поля, как это схемати-
чески показано на рис. 2-26, а. На
этом принципе основан прибор, де-
лающий «видимыми» линии магнит-
Рис. 2-26.
каленная нить (катод), окруженная
кольцевыми анодами (рис. 2-26,6).
Электроны, двигаясь в поле ка-
тод—анод, приобретают такую ско-
6—476
73
рость, что они по инерции пролета-
ют расстояние, значительно превос-
ходящее радиус анодов. Сталки-
ваясь с молекулами ртутных паров,
эти электроны вызывают свечение
и образуют в отсутствие магнитного
поля светящиеся параллельные
слои, лежащие в промежутках
между кольцами. При внесении та-
кой трубки в магнитное поле поток
электронов следует за линиями
магнитного поля, показывая
очень наглядно картину поля
(рис. 2-26, в) 1 * * * * *.
Частицы высокотемпер атурной
плазмы в опытах по термоядерной
реакции удерживались от раз лета-
ния тем, что плазменный шнур на-
ходился в сильном продольном маг-
1 Это изображение появляется практи-
чески мгновенно после приложения анодно-
го напряжения, а поэтому в сочетании с
принципом стробоскопии может быть при-
менено к исследованию периодически из-
меняющихся магнитных полей.
нитном поле — заряженные части-
цы не могли пройти поперек маг-
нитного поля (значительно сложнее
было предотвратить утечку частиц
вдоль линий поля!).
Магнитное поле земли (доволь-
но слабое, но распространяющееся
на добрую сотню тысяч километ-
ров) представляет защиту от ча-
стиц высоких энергий, падающих
на землю; попадая в магнитное по-
ле земли, заряженные частицы
поворачиваются силой #vXB
(рис., 2-27). В экваториальной плос-
кости только частицы с энергией,
превосходящей 15 • 109 эв (электрон-
вольт) , способны пробиться через
магнитное окружение земли. На-
против, вблизи полюсов оно значи-
тельно меньше препятствует про-
никновению в земную атмосферу
летящих к земле заряженных ча-
стиц (v||B и vxB = 0). Поэтому
в полярных областях поток быстро
летящих частиц (в основном элект-
ронов) попадает в атмосферу и
ионизирует ее. Это сопровождается
эффектным свечением (полярные
сияния); неравномерность потока
частиц и вызываемое ими возмуще-
ние как электрического, так и маг-
нитного поля земли создают особен-
но живые и трепещущие картины.
При спиральном движении частиц
вдоль линий земного магнитного
ноля они могут приближаться
к полюсам. Однако по мере, усиле-
ния поля увеличивается скорость их
вращения и становится заметным
взаимодействие магнитного поля
Земли с магнитным полем кругово-
го движения зарядов. Вращающие-
ся электроны будут отталкиваться
от полюсов.
О простейших кольцевых уско-
рителях. Как было показано [урав-
нение (2-112)], в однородном магнит-
ном поле заряженные частицы дви-
жутся по окружности радиусом
r^mvfqB.
Если между полюсами электро-
магнита расположить электриче-
ские экраны с двумя (или несколь-
кими) зазорами, то каждый раз,
проходя этот зазор, частица с заря-
дом q (летящая в канале с высоким
вакуумом) приобретает энергию
АТТ = qU,
74
где [/ — пройденная разность по-
тенциалов. К тому моменту, когда
заряд подойдет к следующему за-
зору, на этом зазоре должно быть
вновь установлено напряжение того
же знака.
На рис. 2-28 схематически пока-
заны два экрана, расположенных
в магнитном поле, которое направ-
лено перпендикулярно плоскости
чертежа (из-за плоскости к наблю-
дателю); при этом электрон (#<0)
движется по окружности против,
а позитрон и протон — по часовой
стрелке. Электрон будет набирать
скорость, если, проходя зазор /, он
перемещается от более низкого
потенциала к более высокому
(фа<Ф&)* Такое же требование
должно быть предъявлено и к тому
моменту, когда электрон, пробежав
половину окружности внутри экра-
на- (где электрическое поле отсутст-
вует, £'=0), окажется у зазора 2:
в этот момент потенциал электрода
b должен быть ниже, чем потенциал
электрода а (т. е. фь<фо). Из этого
простого рассмотрения очевидно,
что к экранам должно быть прило-
жено переменное напряжение с пе-
риодом, равным времени Т пробега
электроном полного круга. Это вре-
мя легко найти из уравнения
(2-112). Действительно, по скорости
и радиусу время
Т = 2nrjv = ZttmfqB. (2-113)
Таким образом, можно разго-
нять частицы в постоянном магнит-
ном поле, подводя к электродам пе-
ременное напряжение надлежащей
частоты. Однако эта простая воз-
можность ограничивается лишь
сравнительно небольшими скоростя-
ми, когда масса частиц остается по-
стоянной. По мере роста скорости
6*
частиц (а значит, и их энергии) их
масса возрастает по релятивистско-
му уравнению
m = т0/ V1—а , (2-114)
где а = v2/с2 и т0—масса покоя.
В современных ускорителях уве-
личение массы разгоняемых частиц
очень велико; так, в проектируемых
ускорителях протонов на 1 000 Гэв
(1012 электрон-вольт1) масса элект-
ронов (и позитронов) увеличивает-
ся более чем в 2 миллиона раз из-за
Эйнштейновской поправки (2-114).
При этом радиус ускорительного
кольца равен 2,08 км.
Для сохранения синхронности
можно постепенно изменять частоту
(фазотрон) или магнитное поле
(синхротрон). Можно изменять и
поле и частоту, с тем чтобы радиус
орбиты оставался постоянным
(синхрофазотрон). Например, в ус-
корителе протонов на 3 Гэв («кос-
мотрон», США, 1952) весь процесс
ускорения длился около 1 сек и за
это время магнитное поле увеличи-
валось с 300 гс до 14 кгс, а частота
с 350 кгц до 4,2 Мгц. К началу ра-
боты циклического ускорителя в не-
го впускается «стайка» протонов
(инжекция), предварительно уско-
ренная в электрическом поле до
3,6 Мэв. Затем протоны делают око-
ло 3 млн. оборотов, пробегая за
1 сек путь в 200 000 км. К концу
ускорения скорость движения всей
стайки (несколько поредевшей)
увеличивается в 12 раз, а энергия
частиц увеличивается в 860 раз
в полном соответствии с законами
теории относительности.
В больших ускорителях электро-
магниты состоят из ряда секций.
В их зазорах проходит канал, по
которому в вакууме летят ускоряе-
мые частицы. На отдельных участ-
ках канал расположен вне поля,
и на этих участках частицы летят
прямо. Наблюдение за полем и тра-
1 1 Гэв (гигаэлектрон-вольт) = 1 Бэе
(биллион электрон-вольт). Измеряя энер-
гию заряженных частиц в электрон-вольтах,
за единицу принимают энергию, приобретае-
мую электроном в электрическом поле при
переходе под действием поля разности по-
тенциалов в 1 в. Соответствующая энергия
1 эв= 1 • 1,60 • 10~19 в • а • сек, так как заряд
электрона 1,60*10~19 а • сек.
75
екторией частиц ведется автомати-
чески. На основании обработки по-
лученных данных на цифровой
вычислительной машине автомати-
чески регулируются частота следо-
вания ускоряющих импульсов и на-
растание магнитного поля.
Рис. 2-29.
В устройстве ускорителей очень
трудная и важная задача—фоку-
сировка потока частиц. Действи-
тельно, частицы пролетают сотни
тысяч километров и при этом они
их к стенкам канала. Настройка
ускорителей — наладка фокусиров-
. ки — длилась очень долго и состав-
v ляла одну из труднейших техниче-
ских задач, пока не была открыта
новая система фокусировки, полу-
'чившая название жесткой. Пер-
вый же ускоритель, построенный
с жесткой фокусировкой, показал
всю эффективность этой системы.
Настройка не потребовала ни дли-
- тельного времени, ни4 ухищрений
и упорства сотрудников^ Кроме то-
го, прй жесткой фокусировке уда-
лось значительно, уменьшить сече-
ние канала (7X14 см2 в ускорителе
ЦЕРН* на "28 Гэв) и соответственно
уменьшить размеры и ; -.мощность
электромагнитов. / .
Идея жесткой -.фокусировки за-
ключается в том, что на ' одном
участке (одна секция электромаг-
нита) производится сильная кор-
рекция траектории частиц (фокуси-
ровка) . в осевохм направлении
(рис. 2-29, а) при слабой' дефокуси-
ровке в радиальном направлении,
а в следующей секции (рис. 2-29,6)
производится сильная коррекция
(фокусировка) в радиальном на-
правлении, при слабой дефокусиров-
ке в осевом направлении/
Рассмотрим внимательно влия-
ние неоднородного поля йервого ти-
не должны покидать вакуумный ка-
нал небольшого сечения (в космо-
троне сечение канала 15,2Х
ХбЗ,5 щи2). Вместе с тем небольшие
отступления магнитного поля от
требуемой конфигурации могут из-
менить. скорость частиц, направляя
па (рис. 2-30). Если частица вышла
из плоскости своей орбиты наверх
(точка 7), то на нее действует сила
F, возвращающая ее к плоскости,
где Яг=0. При смещении частицы
вниз (точка 2) на нее действует
также возвращающая сила. Так
76
г; -происходит аксиальная фокусиров-
г. ka. v;. Однако в таком же поле при/
радиальном уходе от нормальной
* орбиты происходит не возвращение
частицы, а дальнейший уход ее (не-
. . стабильность)*. Действительно, при
уменьшении радиуса частица по-
падает в более сильное поле, при
г котором радиус, кривизны траекто-'
рии должен опять же уменьшаться!
..
Г ' Нетрудно- убедиться, что в сек--
ции второго типа, напротив, фоку- ?
/> ; сировка производится по радиусу.
Требуемый эффект достигается
благодаря тому, что в каждом из
таких участков фокусировка силь-
ней/чем дефокусировка на следую-
щем участке.
’ В -Фейнмановских лекциях при-
водится очень яркое сравнение си-
стемы жесткой фокусировки с тем,
что у "маятника второе положение
, равновесия (центр тяжести выше
оси) - делается устойчивым, если по-
ложение.. оси непрерывно осцилли-
* л рует. На рис. 2-31 воспроизведен
рисунок Из книги .Фейнмана [Л. 2-1,
вып. 6, рис. 29-16]. Когда ось дер-
Н гается вниз, груз ^маятника испиты-
- ваетс ускорение, всегда направлен-
ное навстречу его малому отклоне-
нию от положения равновесия.
. В самом большом ускорителе
мира на 70 Гав, построенном в Сер-
пухове й только что (1967 г.) всту-
пившем в строй, также применена
жесткая фокусировка.
Кроме., циклических ускорителей,
большое значение’имеют линейные
ускорители, часто работающий в со-
четании^ с циклическими. Управле-
ние потоком летящих частиц в на-
стоящее время доведено до такой...
степени совершенства, что два по-
тока ускоренных частиц можно
пускать навстречу друг другу.
Ограничимся здесь несколькими
иллюстративными расчетами прин-
ципиального характера. Отношение
заряда к массе покоя для электро-
на и даже для протона выражается
большими числами:
для электрона
qjmQ= 1,76 • 1011 а • сек!кг
(или м1 2 * * * *1 в • сек2); (2-115)
для протона
q[mQ = 9,5-107 а • сек!кг
(или ж2/в • сек2) Л (2-116)
> Поэтому радиус по (2-112) оста-
вался бы малым при движении ча-
стиц даже в сравнительно слабых
полях, если бы при больших ско-
ростях не происходило возрастания
массы частицы по мере роста ее
скорости и ее кинетической энергии.
В общем случае кинетическую
энергию можно представить равен-
ством
Д<ин = {т — т0) с2, (2-117)
где т0 — масса покоя, т— масса,
определяемая по (2-114). Легко по-
казать, что (2-117) при (у/с)2< 1
переходит в известное нерелятивист-
ское выражение кинетической энер-
гии2
Лин = т0^/2. (2-118)
При 1—у2/с2<^1, т. е. при очень
больших энергиях, когда
Лин»^0с2; (2-119)
1 Из знаменитой формулы Эйнштейна
тс2=А ясно, что в системе СИ энергия 4,
выражаемая электротехниками в дж—v
=в*а-сек, может быть выражена в
кг • (м!сек) 2.
2 Полагая a=(v/c)2<l, находим по из-
вестным формулам приближенных вычисле-
Г---- / а \
ний m=m0/y 1—а^т0/ 11—— I «га0(1 +
а \
Подставляя написанное приближен-
ное выражение в (2-117), приходим к
(2-118).
77
в выражении (2-117) можно огра-
ничиться только первым членом:
Лкин^/ж2. (2-120)
Имея в виду (2-118) и (2-120), из
(2-112) можно найти соответствую-
щие выражения радиуса траекто-
рии частиц. Ниже приводятся из-
вестные формулы для частиц, имею-
щих заряд, равный по абсолютной
величине заряду электрона:
1) для малых энергий, когда
масса частицы равна массе покоя
электрона, т. е. когда применимо
выражение (2-118),
]/Цэв) =0,297г(^)-В(гс); (2-121)
2) для больших энергий, когда
применимо выражение (2-120),
А(эв) = 300г(ему В(гс). (2-122)
В последнем выражении масса по-
коя частицы может быть любой,
как это следует из выражения для
кинетической энергии (2-120).
Применяя (2-121) к электронной
трубке для наблюдения картины
магнитного поля (рис. 2-26), най-
дем, что при индукции 1 000 гс
и при анодном напряжении 100 в
радиус кругового движения элект-
ронов, движущихся по спиралям,
составляет 0,337 мм.
Пользуясь (2-122), можно опре-
делить магнитное поле проектируе-
мого ускорителя на 1 000 Гэв, ра-
диус которого, как уже говорилось,
составляет 2 080 м: В =16 кгс.
Заметим в заключение, что уско-
рение электронов, движущихся по
окружностям, может создаваться
индуктированным электрическим
полем —дЩдк, возникающим при
нарастании магнитного потока (бе-
татрон). При этом летящий
электрон быстро описывает виток
за витком, набирая скорость.
В этом смысле увеличение скорости
электрона подобно получению вы-
сокого напряжения путем навива-
ния большого числа витков в об-
мотке трансформатора. В. В. Ясин-
ский, впервые указавший на воз-
можность устройства такого уско-
рителя в 1940 г., и называл его
электронным трансформа-
тором. Есть возможность изго-
товлять бетатроны очень небольших
размеров; они могут служить пере-
носным источником электронов вы-
соких энергий. Такие устройства
применяются и в технике и в меди-
цине.
Вывод формул (2-121) и (2-122), связы-
вающих радиус, магнитную индукцию и
энергию летящих частиц. При малых ско-
ростях энергия частицы А=т0и2/2, или
в электрон-вольтах А (эв) = (m0/q) v2/2, ее
радиус r=mQVlqB. Выражая v в последнем
равенстве через энергию (из предыдущего
равенства), получаем:
Г = — V2Л (эв) ?/т0 /В. (2-123)
<7
После подстановки числового значения
q/m0 приходим к (2-121).
Обращаясь к релятивистскому выраже-
нию массы (2-114) при больших скоростях,
т. е. т=т^1 ]/~1—v2jc2, после возведения
в квадрат и простейших преобразований
находим
(mu)2 — m2 с2 — m2 с2
или
тс = тс 1 — (m0/m)2 тс. (2-124)
Последнее приближение верно для скоро-
стей, близких к скорости света. Умножая
обе части (2-124) на с, получаем при усло-
вии (2-120), т. е. для больших энергий,
тсс — тс2 = Лкин (2-125)
или, представляя кинетическую энергию
в электрон-вольтах,
А (эв) = mcc/q. (2-126)
После подстановки mejq в (2-112) прихо-
дим к выражению (2-122), правда, после
некоторых элементарных операций с еди-
ницами измерения.
Движение заряженных частиц
в перекрестных полях. Очень свое-
образный характер движения ча-
стиц при одновременном действии
электрического и магнитного полей,
нормальных друг к другу (В±Е),
в последнее время также находит
применение в электронных устрой-
ствах Ч В постоянном поле (при
<?A/df=O) уравнение движения име-
ет вид:
F=d(mv)/dt = q(E + vXB). (2-127)
Решение этого уравнения, т. е.
определение положения и скорости
частицы в любой момент времени,
обычно оказывается сложным. Ре-
шения очень просты только при Е
и В, не зависящих от координат.
1 Л. 3-9, т. II.
78
Для решения целесообразно перей-
ти к системе координат, движущей-
ся с постоянной скоростью V отно-
сительно координатной системы,
в которой заданы векторы поля В
и Е. В этой новой системе коорди-
нат скорость vx=v—V; значение
вектора индукции практически не
изменяется ВХ = В, тогда как вектор
напряженности поля
Ех = E + VxB. (2-128)
При условии Е±В. всегда можно
выбрать такую скорость V, при ко-
торой Ех==0. Эта скорость
V = ExB/B2. (2-129)
Названные системы координат
и соответствующие поля схемати-
чески показаны на рис. 2-32. Вид
Рис. 2-32.
F о
траектории заряженной частицы q
зависит от ее начальной скорости
V'(O) = V(O) — V, (2-130)
которая по абсолютной величине
в дальнейшем остается постоянной
(в системе Xх, у', гх), поскольку ча-
стица описывает окружность ра-
диусом
г' = mv'lqB, (2-131)
двигаясь с угловой скоростью
со = 2л/Т = qBjm, (2-132)
опять же в системе с координатами
Xх, yr, z\ где Е'=0.
В системе же координат, непо-
движной (х, у, z) к движению, опи-
сываемому выражениями (2-131),
(2-132), добавляется еще скорость
V. Это движение представляет со-
бой циклоиду, поскольку оно может
быть описано как движение точки,
прикрепленной к катящемуся коле-
су на расстоянии гх, при том что
радиус катящегося колеса р должен
обеспечивать скорость V=pco, от-
куда
р = у/со = mViqB. (2-133)
Из сравнения с (2-131) находим от-
ношение радиусов
//p==tf/K (2-134)
При равенстве v7=V частица дви-
жется по циклоиде; при этом
v (0) =0. При гх>р (удлиненная
циклоида) следует представить се-
бе колесо радиусом р, имеющее ре-
борду, на которой и расположена
на радиусе г' точка, описывающая
заданную траекторию.
Интересен случай, когда v7 (0) =
= 0; это значит по (2-130), что
v(0)=V. При этом в системе коор-
динат Xх, yf, z7 частица первона-
чально неподвижна. Но в этой си-
стеме координат существует только
магнитное поле, не оказывающее
никакого действия на неподвижную
частицу; частица и остается непо-
движной в этой системе координат,
а значит, в системе х, у, z частица
будет двигаться по прямой линии
перпендикулярно как вектору Е,
так и вектору В. Такая траектория
показана на рис. 2-32, она обозна-
чена /; там же траектория 2 — цик-
лоида.
Решение примера 2-11. 1) Вы-
числяя интеграл по замкнутому пути а, Ьу
Z, т, РЬ, п, О, а (см. рис. 2-16, а), нахо-
дим, что
(р Е d 1 = (pfl — ф6 — Е2 лг = 0,
где Е2 — напряженность поля в свинце.
Этот результат очевиден, так как в соеди-
нительных проводах нет тока и, следова-
тельно, на участках Ы, 1ту пО, Оа напря-
женность £=0. Равенство нулю всего ин-
теграла определяется тем, что с контуром
не сцеплен изменяющийся магнитный
поток.
Из решения примера 2-9 известно, что
Е2=4,61 mb! см при г=2 см. Поэтому иско-
мый ответ
UV1 z=^a~~^b==E2nr = 29 мв-
Для определения показаний второго вольт-
метра выполняем интегрирование по конту-
ру d, Z, m, Си, п, О, с:
§ Е d 1 = — фй + Ег лг = 0,
откуда, зная решение примера 2-9, полу-
чаем
79
Uy2 — фс — Ф^ = — лг = — 2,38 мв.
Здесь £1 — напряженность поля в меди.
2) Разность показаний вольтметров
легко найти, беря интеграл от Е по внеш-
нему контуру (рис. 2-16, a) a, b, I, d, с,
О, а:
= (<ра - <pfc) - (<рс - <pd) =
= UVI— Uvz
Этот интеграл, однако, не равен нулю, так
как рассматриваемый контур сцеплен с из-
меняющимся потоком; при выбранном об-
ходе контура против часовой стрелки поло-,
жительным следует считать поток, направ-
ленный из-за плоскости чертежа, т. е. Вягц,
При этом
(j) Е d 1 = UV1 — Uy2 ~= э.
По ранее выполненным вычислениям (см.
пример 2-9) э=31,4 мв в полном соответ-
ствии с разностью найденных показаний
вольтметров.
Р ехш ение примера 2-12. 1) После
перемещения точки п на 90° вдоль свинцо-
вой проволоки показание каждого из вольт-
метров уменьшится на 14,5 мв, что следует
из метода, примененного при решении пре- ’•
дыдущего примера. Прибавляя к Показа-
нию каждого из вольтметров по —14,5 мв,
находим £/vi=14,5 мв; Uv$=—46,9 мв.
Аналогичным путем находим, что после пе-
ремещения на 180° показания вольтметров:
^У1=0; Uуз——31,4 мв.
Последний результат можно считать
почти тривиальным: зажимы первого вольт-
метра оказались замкнутыми накоротко,
а второй вольтметр измеряет полную эг д. с.,
индуктируемую в одном витке.
2) После перемещения точки п вдоль
медной проволоки на 90° по изложенным
соображениям надо добавить к показанйю
каждого из вольтметров по +1,19 мв. По-
этому ^/^1=30,2 мв; U-V2——'1,19 мв.
• После перемещения на 180° нужно еще
раз прибавить по 1,19 мв, и в итоге Uvi=
=31,4 мв; Uу2===0‘
л ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПОЛЯРИЗУЕМЫХ СРЕДАХ
При рассмотрении поля в поля-
ризуемых вещественных средах в
уравнения Максвелла вводятся но-
вые векторы
D=8oE + P и H = -Lв — М. (3-1)
Но
При этом векторы D и Н часто
определяются так невнятно, как,
пожалуй, ни одна другая физиче-
ская величина. Это объясняется
прежде всего тем, что в разное вре-
мя совершенно различно понимали
природу электромагнитных явле-
ний L
Так, например, возможно опре-
деление напряженности магнитного
поля по силе, действующей на фик-
тивный (несуществующий) магнит-
ный заряд
F^H9m. (3-2)
Такое определение аналогично
определению напряженности поля
электрического. Именно в результа-
те такого определения вектора Н за
ним установилось наименование на-
пряженности магнитного поля.
Вместе с тем, как будет показа-
но в дальнейшем, попарно анало-
гичными следует считать векторы
поля В и Е, векторы М и Р, харак-
теризующие поляризованность ве-
1 В последующем изложении предпола-
гается, что читатель знаком из общего кур-
са физики с природой диэлектриков и маг-
нетиков. Кроме указанных здесь курсов фи-
зики [Л. 2-1, 2-2, 2-3 и др.] можно рекомен-
довать специальные монографии по диэлект-
рикам [Л. 3-1] и по магнетизму [Л. 3-3];
новейшие идеи в области физики магнитных
явлений изложены в [Л. 3-11 и 3-12], в по-
следней книге имеется в виду прежде всего
первая вводная статья.
щества, и векторы D и Н. Такая ана-
логия совершенно очевидна с точки
зрения современной электродинами-
ки; она подчеркивается и в теории
относительности при выражении
тензора электромагнитного поля
[см. § 2-7, формула (2-100)]. По-
этому один из выдающихся наших
ученых Я. И. Френкель предлагал
поменять наименования и обозначе-
ния для индукции и напряженности
магнитного поля1 2. Однако такое
переименование не привилось, а в
некоторых случаях увеличило суще-
ствующую невнятицу.
Заметим, что из (3-2) можно
провести формально безупречное
построение теории магнитного поля,
вполне пригодное для огромного
числа расчетов. Его недостаток
в том, что основной вектор опреде-
ляется через несуществующую ве-
личину магнитного заряда и вся
формальная теория не соответству-
ет- электрокинетической • природе
магнитных явлений.
Перейдем^ к анализу и выводу
уравнений (3-1), основываясь на
совершенно ясных физических пред-
ставлениях, не останавливаясь на
других возможных способах опреде-
ления векторов D (электрическое
смещение) и Н (напряженность
магнитного поля), а также на исто-
рии их странных наименований.
2 [Л. 2-4] Электродинамика, т; II, гл. 1,
§ 3 и 7.
Я. И. Френкель писал В = Н—4дМ
вместо обычного выражения в системе Га-
усса Н = В—4лМ, которое отличается от
второго из уравнений (3-1) только коэффи-
циентами.
§1
Векторы Е и В — это собственно
векторы поля, векторы Р и М — это
векторы, характеризующие состоя-
ние поляризованного вещества, век-
торы D и Н представляют собой
лишь линейную комбинацию соот-
ветствующих пар векторов поля и
поляризации, составленную так, что-
бы, пользуясь ими, было удобно опи-
сывать поле в поляризованных сре-
дах. Сказанное нуждается в оговор-
ке: в макроскопической теории при
рассмотрении поля в поляризован-
ной среде векторы В и Е — это
усредненные значения векторов
поля.
Сами уравнения (3-1) и следует
считать определениями векторов D
и Н.
В физической литературе урав-
нения, аналогичные (3-1), обычно
записываются в системе единиц
СГС (симметричная Гауссова си-
стема) в таком виде:
D.=E-|-4nP; Н-В —4лМ. (3-3)
При рассмотрении поля в вакууме,
где
Н = В/р0 и D = 80 Е,
иногда пользуются, как и в этой
книге, не только векторами В и Е,
но и векторами Н и D. Однако ум-
ножение или деление определенной
физической величины на любую кон-
станту нельзя рассматривать как
переход к новой по существу вели-
чине.
Умножение любого из векторов
(3-1) на другие постоянные коэффи-
циенты, зависящие от выбранной
системы единиц и формы записи
уравнений, не влияет на физический
смысл этих уравнений. В литерату-
ре можно встретить, например, та-
кую запись:
Н=~(В —М'); (3-4)
Но
ее отличие от (3-1) только в том,
что М,=ц0Л/1.
В следующих параграфах этой
главы будут рассмотрены сначала
основные вопросы теории поля, свя-
занные с электрической поляриза-
цией (§ 3-1), затем основные вопро-
сы теории поля, связанные с маг-
нитной поляризацией (§ 3-2). В
изложениях этих параграфов под-
черкивается аналогичность методов
анализа. В обоих параграфах рас-
сматриваются статические или уста-
новившиеся режимы в постоянном
поле.
Различие электростатического
характера электрических диполей и
электрокинетического характера ди-
полей магнитных становится оче-
видным из наблюдаемых гиромаг-
нитных эффектов (§ 3-3 и 3-5).
В § 3-4 и 3-5 рассматриваются
некоторые дополнительные вопросы
и прежде всего поляризация в гар-
монически изменяющихся полях и
переходные процессы.
3-1. постоянное
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В СРЕДЕ
С ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
В этом параграфе рассматрива-
ются лишь основные положения тео-
рии для электрического поля, по-
стоянного во времени, к тому же
в условиях установившегося режима
(статические и квазистатические
поля). Переходные процессы, свя-
занные с запаздыванием поляриза-
ции, и процессы в переменных по-
лях рассматриваются в § 3-4.
Вектор электрической поляриза-
ции. Электрическое поле незаря-
женного тела может быть отлично
от нуля, если в нем содержатся по-
парно связанные заряды ±q, обра-
зующие в среднем отличный от ну-
ля электрический момент.
82
Электрический момент пары за-
рядов ±9, или диполя, — это произ-
ведение заряда q на расстояние 1,
отделяющее заряды (рис. 3-1). По-
лагая 1 направленным от —q к +#,
получаем векторное выражение мо-
мента
(3.7)
4Л80 R3 4 7
Р-91. (3-5)
Электрическое поле диполя на рас-
стояниях R, больших по сравнению
с Z, характеризуется потенциалом
ф = pR0 (3-6)
4Л8о R* v
или радиальной и меридианной со-
ставляющими напряженности поля
(рис. 3-1):
Е = pcos® . £ ==
R 2Л8о#3 ’ 6
Как потенциал, так и напряжен-
ность поля зависят не в отдельности
от q и Z, а только от момента р = 9I.
Выражения (3-7) выведены в при-
мере 1-20.
Электрическим моментом обла-
дают и проводящие тела, располо-
женные во внешнем электрическом
поле. На рис. 3-2 показано резуль-
тирующее поле, получающееся при
Рис. 3-2.
внесении проводящего тела во внеш-
нее рднородное электрическое поле.
Под действием сил электрического
поля заряды, способные переме-
щаться в проводнике, смещаются в
направлении поля до тех пор, пока
поле внутри проводника не обратит-
ся в нуль. При этом суммарный
заряд, а также объемный заряд
в любой точке внутри проводника
равен нулю. Равно.нулю и электри-
ческое поле внутри проводника, во
всяком случае в условиях статики.
Иначе обстоит дело в диэлектри-
ках. Внутри них могут существо-
вать электрическое поле, объемный
заряд, а также связанные заряды,,
обладающие дипольным моментом.
Распределение именно этих момен-
тов характеризует вещество как ди-
электрик.
Нейтральные молекулы любого
вещества содержат попарно связан-
ные заряды. При этом сумма заря-
дов равна нулю, однако среднее по-
ложение зарядов может не совпа-
дать, в результате чего нейтральные
молекулы могут обладать электри-
ческим моментом; такие молекулы
оказываются диполями. Если в ве-
ществе имеется упорядоченная ори-
ентация диполей, говорят, что ве-
щество поляризовано.
Мерой электрической поляриза-
ции служит плотность ди-
польных моментов, или
электрический момент еди-
ницы объема,
P = lim^-= <р> = <<71>; (3-8)
знак суммы распространяется на все
диполи объема V (см. также § 1-4);
знак <> обозначает усреднение,
отнесенное к единице объема.
Вектор Р называют электри-
ческой поляризованностью
или поляризацией.
б)
Рис. 3-3.
На рис. 3-3, а показаны беспоря-
дочно ориентированные дипольные
молекулы, в этом случае Р = 0; на
рис. 3-3, б показаны те же молеку-
лы, имеющие в среднем упорядочен-
ную составляющую момента Р в на-
правлении электрического поля Е.
Диполи обладают электрическим
полем. Поляризованное вещество
обладает электрическим моментом,
который для элементарного объема
83
dV может быть выражен через по-
ляризацию 1
d^ = PdV. ' (3-9)
Следовательно, может существо-
вать электрическое поле поляризо-
ванного вещества, хотя бы средний
заряд этого вещества был равен
нулю.
Поле поляризованного вещества
всегда можно найти, пользуясь фор-;
мулами (3-7) и (3-9). Так, напри-
мер, потенциал, обусловленный по-
ляризованной средой, по (3-6) и
(3-9) выражается интегралом
<Рр = — f—(3-10)
р 4те0 J & v ’
распространенным на всю область
V, в которой Р¥= 0.
Мы выберем другой более о’б-
щий путь, следуя идеям Лоренца и
рассматривая поле поляризованной
среды как поле некомпенсирован-
ных связанных зарядов.
В случае однородно поляризо-
ванной среды положительные и от-
рицательные заряды диполей во
всей толще вещества взаимно ком-
пенсируются (рис. 3-4); некомпенси-
рованными оказываются только за-
ряды на границе поляризованного
вещества, так что объемная плот-
ность связанных зарядов равна ну-
Рис. 3-4.
лю. Поверхностная плотность свя-
занных зарядов, как показано ниже,
Qs=Pn°=P„. (3-11)
Однако при неоднородной поля-
ризованности вещества могут суще-
ствовать не только поверхностные,
но и объемные связанные заряды.
—«пэ» готическое.
Если, например; поляризованность
изменяется по линейдому закону
p=px=a+bx, (3-12)
в пространстве оказывается рас-
пределенным отрицательный объ-
емный заряд ,рсвз. Действительно,
возрастание поляризации можно
^рп=рг°
Р=РХ= а +Ьх . Р“0
Рис. 3-5.
0^РгГРг>0
Рис. 3-6. Рис, 3-7.
представить возрастанием числа ди-
полей в единице объема; при этом
во всей области применимости зако-
на (3-12) отрицательных зарядов
оказывается больше, чем положи-
тельных (рис. 3-5).
Неоднородность поляризации
может, однако, и не приводить к по-
явлению связанного объемного за-
ряда. Так, в однородном диэлектри-
ке, окружающем заряженный ци-
линдр, поляризованность неодно-
родна
p^p^afr, (3-13)
но объемный связанный заряд от-,
сутствует (рис. 3-6). Хотя по мере
роста радиуса плотность диполей
уменьшается, их число в каждом
84
кольцевом слое остается постоян-
ным и каждый положительный за-
ряд уравновешивается отрицатель-
ным.
Перейдем к выводу математиче-
ского выражения плотности связан-
ных зарядов.
Плотность связанных зарядов
электрически поляризованной сре-
ды. При однородной поляризации
тела внутри него все связанные за-
ряды взаимно компенсируются. Не-
компенсированными остаются толь-
ко заряды на его поверхности
(рис. 3-4): их поверхностная плот-
ность выражается формулой (3-11).
Действительно, пусть внутри ди-
электрического тела в форме пря-
моугольной призмы высотой h с пло-
щадью оснований S имеется’ одно-
родная поляризация Р, нормальная
\ к основаниям (рис. 3-7). По самому
определению поляризации как элек-
трического момента единицы объе-
ма полный электрический момент
тела
Ф-РУ, (3-14)
или
Ф=РН5, (3-15)
где h=/m°, а п°— единичный век-
тор нормали. Призма (тех же раз-
меров), имеющая заряды ±SQs со-
ответственно на верхнем и нижнем
основаниях, обладает таким же мо-
ментом
Ф-QsSh. (3-16)
Действительно, столбик высотой h
с основаниями dS обладает момен-
том d^=QsdSh. Суммируя момен-
ты всех элементарных столбиков,
приходим к написанному выраже-
нию полного момента.
Тем самым доказывается (3-11),
так как некомпенсированный по*
верхностный заряд, определяемый
выражением (3-11), образует тре-
буемый момент.
Легко убедиться из самой про-
стой модели, что на границе поля-
ризованного диэлектрика слагаю-
щая, параллельная граничной по-
верхности, не создает поверхност-
ного заряда (все заряды диполей
компенсируются при однородной
поляризации).
Рассмотрим еще поверхностный
заряд, образуемый поляризованной
средой на границе двух диэлектри-
ков, из которых один обладает поля-
ризацией Pi, а другой поляризацией
Р2. .Очевидно, что в этом случае на-
до просто сложить заряды, опреде-
ляемые для каждой среды по фор-
муле (3-11). Пусть нормаль п° на-
правлена из первой среды во вто-
рую, в таком случае результирую-
щий поверхностный заряд
С5=(Р1-Ра)п°=Лп-?Р2^ (3-17)
Если изменить- направление норма-
ли, то найденное значение Qs не из-
менится, так как одновременно с из-
менением знака самих Р\п и Р$п
уменьшаемое и вычитаемое в (3-17)
поменяются местами.
Определим теперь плотность свя-
занного заряда в случае неоднород-
ной поляризации.
Пусть требуется определить
среднюю плотность связанного за-
ряда в малой области V. Проведем
85
(рис. 3-8, а) плоскость g= const,
нормальную к единичному вектору
еа и проходящую через рассматри-
ваемую область V. В тонком слое
толщиной Ag, включающем в себя
область V, вектор поляризации (при
перемещении вдоль Ag) изменяется
на величину
ЛР«>=^ДЕ- <3'18)
Индекс 5, поставленный в скобках,
обозначает не £-ю составляющую, а
то изменение вектора поляризации,
которое происходит при перемеще-
нии в направлении g.
Предположим теперь, что это из-
менение поляризации происходит не
плавно, а ступенькой при переходе
через плоскость £ = const. Такой при-
ем часто применяется в анализе;
его иллюстрирует рис. 3-8,6, где
показан график зависимости одной
из составляющих вектора Р в функ-
ции от I.
Принятые допущения позволяют
рассматривать поверхность g=const
как границу между двумя областя-
ми, поляризация которых отличает-
ся на АР. При этом плотность заря-
да поляризации на поверхности
раздела по (3-17)
Q = -APn=-AP,=
=----^Ag. (3-19)
В соответствии с условиями по-
строения нормальная слагающая Р
представляет собой именно g-ю со-
ставляющую, что и учтено при за-
писи выражений (3-19). Полагая
этот заряд отнесенным к толщине
слоя Ag, находим объемную плот-
ность заряда поляризации, обуслов-
ленную изменением поляризации по
координате g:
(3-20)
Можно считать, что в пределах слоя
постоянной оказывается производ-
ная 6Д /6g. Последнее соответству-
ет предположению о спрямлений
кривой P^(g) на интервале Ag.
Выполненные вычисления опре-
деляют, однако, еще не всю, т. е. не
полную, плотность заряда поляри-
зации в области V, а только ту ее
часть, которая определяется изме-
нением слагающей вектора поляри-
зации 74 в направлении ее . Для то-
го чтобы найти полную плотность
заряда, обусловленную изменением
всех слагающих вектора Р, надо
последовательно ориентировать
нормаль п° по трем ортогональным
направлениям, скажем, по х, у, г,
а затем сложить найденные значе-
ния составляющих плотности за-
ряда.
Таким образом, беря сумму вы-
ражений, аналогичных (3-20), най-
дем искомую плотность связанного
заряда, обусловленную поляриза-
цией,
Рр Рсвз
(3-21)
Легко увидеть, что найденное выра-
жение представляет собой дивер-
генцию вектора Р, взятую со зна-
ком минус. Поэтому найденный ре-
зультат записывают так:
divP. (3-22)
Пользуясь последней формулой
и выражением (1-21) для потенци-
ала пространственно распределен-
ных зарядов, найдем, что потен-
циал, обусловленный поляризован-
ной средой, представляется интегра-
лом
’p-“^J=vEdl/’ (3'В * * * * * * * * * * * * * * 23)
распространенным на всю область,
для которой div Р ¥= 0. Тожествен-
ность результатов (3-10) и (3-23)
может быть доказана путем обык-
новенных математических преобра-
зований.
Дифференциальная операция
div предполагает непрерывность
дифференцируемого вектора Р. Что-
бы удовлетворить требованию не-
прерывности также на границах,
можно вблизи реальной границы ди-
электрика предполагать постепен-
ное изменение вектора Р в тонком
граничном слое.
В случае разрывов вектора мож-
но переходить к так называемой по-
верхностной дивергенции, определя-
86
ющей поверхностную плотность за-
ряда поляризации,
Qs=— Div Р=— (Р2 - PJ п° =
= Р1п-Р2п- (3-24)
здесь, как и в (3-17), Pi и Р2 — зна-
чения поляризации с двух сторон от
поверхности разрыва, а п° — нор-
маль к поверхности, направленная
из первой среды во вторую. Сущест-
вование поверхностной плотности
заряда должно быть учтено и при
интегрировании по формуле (3-23).
Примеры, иллюстрирующие приме-
нения уравнения (3-22), приведены
в конце параграфа.
Электрическое смещение. Как
было сказано, электрическое поле
поляризованной среды можно рас-
сматривать как поле связанных за-
рядов, плотность которых
Рр= — divP.
Только существованием этих заря-
дов и отличаются поля в присутст-
вии поляризованных сред. Поэтому
все уравнения, справедливые для
вакуума, сохраняют силу, если на-
ряду со свободными зарядами вво-
дить в эти уравнения и заряды свя-
занные.
Сказанное прежде всего приво-
дит к дополнительному слагаемому
в правой части теоремы Гаусса:
divs0E=p+pp. (3-25)
Выражая в последнем, уравнении
плотность связанного заряда через
дивергенцию поляризации, найдем,
что
div 80 Е=р — div Р. (3-26)
Имея в виду линейность дифферен-
циальной операции div, приходим
к новой формулировке той же тео-
ремы Гаусса:
div (80Е + Р)=р. (3-27)
Эта формулировка замечатель-
на тем, что справа стоит только
объемная плотность электрического
заряда в обычном смысле слова
(свободный заряд), а влияние поля-
ризованной среды учитывается сла-
гаемым Р, стоящим под знаком ди-
вергенции.
Сумму векторов, расхождение
(div) которой равно плотности сво-
бодного заряда, называют векто-
ром электрического сме-
щения1
D-80E+P. (3-28)
Вводя этот вектор, получаем
уравнения поля:
divD=p; (3-29)
содержащие в явном виде только
свободный заряд (Q) и плотность
свободного заряда (р).
Поляризация и электрическая
восприимчивость. Чаще всего в тео-
рии поля рассматривают электриче-
скую поляризацию в диэлектриках
и полупроводниках, которая проис-
ходит под влиянием электрического
поля: среднее положение связанных
зарядов, входящих попарно ( + #,
—q) в состав молекул, смещается
под действием сил поля ( + <?Е и
—</Е). Положительные и отрица-
тельные заряды смещаются в про-
тивоположные стороны, поэтому
возникает поляризация (средний
момент единицы объема).
В молекулах, не обладавших
моментом в отсутствие поля (непо-
лярные молекулы), могут возникать
моменты, направленные по полю.
Если же молекулы обладали момен-
том и в отсутствие поля (полярные
молекулы), но их средний момент
равнялся нулю вследствие беспоря-
дочной ориентации, то влияние
внешнего поля выражается в стрем-
лении ориентировать моменты моле-
кул по направлению поля.
В обоих случаях поляризация
зависит от поля. Однако легко по-
нять, что поляризация молекул этих
двух типов должна различно зави-
сеть от таких физических факторов,
как температура, частота электри-
ческого поля и т. п.
Действительно, тепловое движе-
ние должно способствовать беспоря-
дочной ориентации полярных моле-
кул, поэтому с ростом температуры
(при одном и том же электрическом
поле) поляризация вещества, обус-
1 Термин «смещение» определяется су-
ществовавшими представлениями о том,
что под влиянием напряженности поля
происходят два аналогичных процесса —
смещение электричества в вакууме (е0Е)
и в веществе (Р).
§7
лбвленная полярными молекулами,
должна’ уменьшаться. Напротив, по-
ляризация неполярных молекул 4от
температуры не должна зависеть.
Для образования упорядоченной
ориентации полярных молекул под
действием поля требуется некоторое
время; поэтому способность к поля-
ризации вещества, содержащего по-
лярные молекулы, может заметно
Рис. 3-9.
уменьшаться с ростом частоты пере-
менного поля (§ 3-4). Наконец,
в случае полярных молекул может
происходить «насыщение»: при не-
котором достаточно сильном поле
(если, конечно, диэлектрик не будет
«пробит») почти все молекулы мо-
гут оказаться ориентированными по
полю и его дальнейшее увеличение
уже не, .вызовет заметного роста
поляризации.
Поляризация вещества, обуслов-
ленная неполярными молекулами,
не зависит от частоты в очень широ-
ком диапазоне и пропорциональна
напряженности поля до тех пор, по-
ка электрическая прочность ди-
электрика не разрушается под дей-
ствием поля (пробой).
В простейшем случае поляриза-
ция пропорциональна напряженно-
сти поля (рис. 3-9, а)
Р=80йэЕ, (3-30)
коэффициент пропорциональности
k3 называют восприимчиво-
стью. ,
Множитель 8о определяется выбранной
системой единиц СИ. В системе СГС пишут
4л Р = 4л%Е = k3 Е (3-30*)
и восприимчивостью называют коэффициент
%. Он связан с восприимчивостью в систе-
ме СИ равенством 4л%=&э. Во всех таб-
лицах физических параметров, как правило,
дается коэффициент %.
Выражение (3-30), как и весь
текст этого параграфа, относится
к установившемуся режиму. Зависи-
мость Р (Е) в переходном режиме и
переменных полях рассматривается
в § 3-4.
Поляризация не всегда пропор-
циональна напряженности; она мо-
жет характеризоваться нелинейной
зависимостью (рис. 3-9,6) и да-
же иметь гистерезисный характер
(рис. 3-9,в). Диэлектрики послед-
него типа называют сегнетоэлектри-
ками или ферроэлектриками пото-
му, что подобной характеристикой
Р(Е) обладает сегнетова соль и по-
тому что такие характеристики
сходны с магнитными характери-
стиками ферромагнетиков. Важно
заметить, что в сегнетоэлектриках
поляризация может существовать и
в отсутствие поля (Р¥=0 при Е=0).
Для обычных твердых и жидких
диэлектриков восприимчивость вы-
ражается числом порядка несколь-
ких единиц (для трансформаторно-
го масла &э=1,.для фарфора йэ=4).
У сегнетоэлектриков восприимчи-
вость зависит от напряженности по-
ля и может быть равной нескольким
сотням и даже тысячам. Восприим-
чивость воздуха и большинства га-
зов много меньше единицы и в прак-
тических расчетах может быть при-
нята равной нулю.
В анизотропных телах (кристал-
лах и диэлектриках с ориентирован-
ной структурой) проницаемость за-
висит от направления поля. Поэтому
в анизотропной среде векторы Р и
Е могут не совпадать по направле-
нию; для такой среды восприимчи-
вость выражается как тензор (см.
гл. 5).
Очень важно, что поляризация
диэлектрика может вызываться не
только электрическим полем. В элек-
тротехнике большое примёненЦе на-
ходит эффект возникновения поля-
ризации под влиянием механиче-
ских напряжений. Всем известны,
например, пьезоэлектрические адап-
теры: при движении иглы по грам-
88
мофонному диску происходят коле-
бания, вызывающие переменное
сжатие маленького куска диэлект-
рика. Это сжатие создает электри-
ческую поляризацию; в конечном
итоге переменное электрическое по-
ле, создаваемое поляризацией, воз-
действует на электронную лампу
или полупроводниковый триод. Пье-
зоэлектрические кристаллы (кварц)
применяются и для измерения пере-
менных давлений (удар, взрыв
и т. п.).
Эффект связи между механиче-
ским напряжением и поляризацией
обладает свойством взаимности:
поляризация, созданная электриче-
ским полем, вызывает механическую
деформацию кристалла (электро-
стрикция). На этом эффекте осно-
вано устройство кварцевых резона-
торов, применяемых, например, для
стабилизации частоты.
Диэлектрическая проницаемость.
Из сочетания общего определения
вектора электрического смещения и
предположения о пропорционально-
сти поляризации и напряженности
поля легко перейти к равенству
D=80E+P=e0 (1 4Л) Е=80еЕ, (3-31)
в котором 8 = 1 +&э — диэлектриче-
ская проницаемость.
Очевидно, что первая часть ра-
венства остается всегда справедли-
вой (D=e0E+P), тогда как вторая
часть (D = 8q8E) применима только
в условиях пропорциональности Р и-
Е. Так очевидна бессмысленность
определения е каким-либо числом,
когда поляризация вызывается ме-
ханическим напряжением Ч
В случае обычных линейных ди-
электриков очень удобно пользо-
ваться понятием проницаемости.
Применяя систему СИ, часто объеди-
няют произведение 8о8 и называют его аб-
солютной проницаемостью
8q = 8q8.
При этом упрощается запись уравнений по-
ля, особенно если опускать индекс «а» и
1 В этом случае можно ввести только
понятие восприимчивости преобразования,
в которой тензор kQ связывает механиче-
ское напряжение Т и поляризацию, Р=80^эТ.
Соответственно можно говорить и о прони-
цаемости преобразования.
буквой е обозначать «абсолютную прони-
цаемость». В последнем случае проницае-
мость 1-Мэ называют «относительной про-
ницаемостью», снабжают букву 8 инде-
ксом г и пишут
8— С08г.
Пользуясь такой терминологией, константу
8о называют «абсолютной проницаемостью
вакуума» .
Закон Кулона для однородной
среды с проницаемостью е. Пред-
ставив в теореме Гаусса (2-3) D
как произведение воеЕ, найдем, что
^ee0EdS = JpdV=Q. (3-32)
Если точечный заряд q окружен
неограниченной средой с проницае-
мостью е, то напряженность его поля
E=Er = ------g—~, (3-33)
R 4Л88о£2 ’ V 7 ’
как легко найти, основываясь на со-
ображениях симметрии2.
Таким образом, в знаменателе
закона Кулона появляется коэффи-
циент 8.
Важно сразу отметить, что вы-
полнение условий симметрии совер-
шенно необходимо для того, чтобы
формула (3-33) оставалась верной.
Представим себе заряд q, погру-
женный в трансформаторное масло
с проницаемостью еп при том что
заряд находится недалеко от по-
верхности, Над КОТОрОЙ 8=82=1.
Поле заряда q в этом случае не мо-
жет быть определено по форму-
ле (3-33). Действительно, в этих
условиях необходимые условия сим-
метрии отсутствуют3 * *. Однако фор-
мула (3-33) применима, если заряд
q находится в центре сферы с про-
ницаемостью 81, которая окружена
неограниченной однородной средой
(условия симметрии сохраняются).
В случае коаксиального кабеля,
содержащего однородный диэлект-
рик между жилой и оболочкой, на-
2 Полагая Е зависящим только от ра-
диуса и имеющим только радиальную со-
ставляющую, получаем из (3-32) для сфе-
рической поверхности еео-Ев • 4л7?2=^. См.
также § 1-3, рис. 1-2, г и приводимый ниже
пример 3-11.
3 Решение такой задачи рассматрива-
ется в § 4-8. См. также рис. 1-2, г и сопро-
вождающий текст.
89
пряженность поля определяется
формулой
Е=ЕГ~ ——
2Л880Г
(3-34)
здесь т — заряд на единицу длины
жилы; 8 — проницаемость диэлект-
рика. Действительно, к этой форму-
ле приводит теорема Гаусса (3-32)
6>0,Е*0
Рис. 3-10.
в сочетании с соображениями сим-
метрии.
Соображения симметрии сохра-
няют силу и в случае коаксиального
кабеля с двухслойной коаксиальной
изоляцией.
Векторы поля на поверхности
раздела двух сред — граничные ус-
ловия. Рассматриваемые в этом па-
раграфе граничные условия выведе-
ны для статики или установившего-
ся постоянного поля. Граничные ус-
ловия для более общего случая рас-
сматриваются в § 3-4.
Поверхностная плотность заря-
да Qs на проводнике (свободного
заряда), граничащем с поляризо-
ванным диэлектриком, и нормаль-
ная слагающая напряженности по-
ля на его поверхности Еп (рис. 3-10)
в условиях статики связаны урав-
нением
Qs=80e£'„=£>„, (3-35)
где е — проницаемость диэлектрика.
Сказанное непосредственно сле-
дует из теоремы Гаусса (3-32),при-
мененной к замкнутой поверхности,
охватывающей границу проводника
и диэлектрика (рис. 3-10, см. также
примеры в конце параграфа). Дей-
ствительно, пусть поверхность пред-
ставляет собой прямоугольный па-
раллелепипед с основаниями dS,
параллельными поверхности разде-
ла проводника и диэлектрика, а вы-
сота параллелепипеда ничтожно
мала. В таком случае поток* выхо-
дящий из поверхности,
dT-DdS-880£ndS,
так как внутри проводника в усло-
виях статики поле отсутствует. За-
ряд, заключенный внутри поверхно-
сти, равен поверхностной плотности
заряда на проводнике Qs, умножен-
ной на площадь проводника dS, за-
ключенную внутри параллелепи-
педа,
dQ=QsdS.
Из сопоставления двух последних
формул непосредственно вытекает
(3-35).
Если на поверхности раздела
двух диэлектриков с проницаемо-
стями 81 и 82 существует свободный
поверхностный заряд Qs, то по тео-
реме Гаусса он выражается через
нормальные слагающие вектора
электрического смещения
Qs ~^п2 “
= 80 (&2Еп2 — 81Дг1)> (3-36)
при том что нормаль направлена из
первой среды во вторую (рис.
3-11, а).
При отсутствии свободного по-
верхностного заряда (Qs = 0) нор-
мальные слагающие вектора D не
претерпевают разрыва и граничное
условие (3-36) принимает вид:
^2-^712== или Е)п2=Е)п-у, (З-Зба)
Поверхностная плотность связанно-
го заряда (заряда поляризации) по
(3-24)
Qsp ~ Рп1 Рпъ ~
“ 80 (^э1 ЕП1 ^э2 Дчг), (3-37)
где йэ=е—1 (см. рис. 3-11, б).
Складывая (3-36) и (3-37), най-
дем полную плотность поверхност-
ного заряда (рис. 3-11, в)
Qs+QSP=8о (еп2 — £П1) • (3-38)
Последнее выражение подтвержда-
ет общий принцип, положенный в
основу лоренцевской теории поля
в диэлектриках: если учитывать как
свободные, так и связанные заряды,
то все законы поля можно выражать
через векторы напряженности поля,
игнорируя «проницаемость» среды и
§0
не обращаясь к векторам смещения
(см. примеры в конце параграфа).
Как видно из приведенных урав-
нений, нормальная слагающая на-
пряженности электрического поля
может претерпевать разрыв. Напро-
$5 ^п2
£п1
£п2
Рис. 3-11.
тив, тангенциальная слагающая на-
пряженности поля непрерывна при
переходе из одной среды в другую
(3-39)
Последнее условие выводится из
применения второго уравнения
Максвелла к маленькому прямо-
угольному контуру (рис. 3-12), две
стороны которого ds параллельны
граничной поверхности и лежат в
разных средах, а две другие сто-
роны dn ничтожно малы по сравне-
нию с малой величиной ds (т. е.
dn^ds). Интеграл от напряженно-
сти поля по этому контуру в усло-
виях постоянного ПОЛЯ
(£ Е dl=(Etz — Еп) ds=0. (3-39a)
Следовательно,
Et2 Ец— 0.
Заметим еще, что тангенциальная
составляющая — это вектор, «нор-
мальный к нормали», и в плоско-
сти, касательной к граничной по-
Рис. 3-12.
верхности, он может иметь две со-
ставляющие; в таком случае следу-
ет считать, что (3-39а) применяется
к любой из них. В результате (3-39)
справедливо и в применении к век-
торам En = Ei2.
В присутствии переменного маг-
нитного поля правая часть ин-
теграла (3-39а) равна — dQ)ldt~
=—(дБ? /dt)ds dn, откуда
Et2—En=—(dBv ldt)dn-*-Q
при любом конечном дВ^ /dt; здесь
—слагающая магнитной индук-
ции, нормальная к плоскости конту-
ра со сторонами ds и dn.
Равенства (3-36) и (3-39) при-
водят к заключению о том, что
в изотропных средах векторы поля
Еь Е2 образуют с нормалью п°, на-
правленной из среды 1 в среду 2,
углы Pi и ₽2, для которых (рис. 3-13)
tg₽i/tg₽2 = (-^): (^) =
\ &П1 / \ 1
=ЕП2/Еп1=ъ1/е2, (3-40)
если на поверхности раздела нет
свободного поверхностного заряда.
Влияние проводимости на поле
в диэлектрике. Реальные диэлект-
рики всегда в большей или меньшей
степени обладают проводимостью.
Если эта проводимость не столь-ве-
лика, чтобы заслонить возможность
91
наблюдения эффектов, обусловлен-
ных поляризацией, говорят о несо-
вершенных диэлектриках (или по-
лупроводниках); в противном слу-
чае о среде говорят как о провод-
нике. Наличие Проводимости очень
сильно влияет на распределение
электрического поля; а в постоян-
ном поле при установившемся ре-
жиме диэлектрические характери-
стики среды не играют никакой ро-
ли — поле определяется как поле
в проводнике (в проводящей среде).
Правда, для многих диэлектриков
такой установившийся режим дости-
гается только через несколько часов
после приложения постоянного по-
ля. Поведение несовершенных ди-
электриков в переменном поле и в
переходном режиме рассматрива-
ется в § 3-4.
Пример 3-1. Плоский конденсатор име-
ет двухслойную изоляцию, поверхность
раздела которой параллельна электродам
(рис. 3-14, а). Проводимостью изоляции
можно пренебречь. Толщина и диэлектри-
ческая проницаемость слоев соответственно
равны 8О=7, а=0,05 см; ъъ—2, 6=0,20 см;
поверхность 5=100 см2; напряжение на
электродах U=^a—Фь=12 кв.
Найти: 1) плотность свободного заря-
да на электродах; 2) плотность связанного
заряда (заряда поляризации) у электродов
и на поверхности раздела диэлектриков
(предполагается, что свободный заряд су-
ществует только на электродах); 3) ем-
кость конденсатора; 4) показать, что напря-
женность поля связана с полным зарядом
по теореме Гаусса для вакуума (без учета
поляризации и проницаемости).
Решение. 1) На каждом из элект-
родов свободный заряд
Qs=Dn=D; (а)
при этом Qb=—Qa. Электрическое смеще-
ние в обоих слоях одинаково Da—Db—D и
£>=евев Еа=еоеь Е*. (б)
Напряженность поля определяется по за-
данному напряжению равенством
аЕа+ЬЕь = и. (в)
Из совместного решения последних двух
уравнений находим, что
£в = 1/;(о+*“-); £Й = ^-Еа. (г)
Для приведенных числовых данных
Еа — 16 кв/см; Еь=56 кв/см; D = Q8 =
=9,9 • 10-9 к/см2.
2) Заряды поляризации у поверхности
электродов имеют плотность
Ср,а = “ Ра = ~~ Ра 80 Еа) ~
~ 1~ — (sa — 1) -О/^а —
=— 8,5*10^9 к/см2; (д)
QP,b = Pb = (*b~V E'sb =
= 4,95.10—9 к/см2.
Полагая направление от а к b положи-
тельным для векторов Е и Р, находим, что
на поверхности раздела двух диэлектриков
плотность заряда поляризации
Qp = Ра — рь = 3,55- IO-9 к/см2. (е)
3) Зная 5 и Qs при данном Z7, нахо-
дим, что
С = SQs/U = 9,9-10—7/12 • 103 =
= 8,25-10—11
Нетрудно записать выражение емкости пло-
ского конденсатора с двухслойной изоля-
цией в общем виде
„ _ Sea
С — 8о it
08# -j- Ь&а
4) На поверхности а суммарная плот-
ность заряда
Qs +Qs>p =9,9-10—9 — 8,5.10—9 =
= 1,4* IO—9 к/см2. . (ж)
По теореме Гаусса для вакуума плот-
ность заряда на проводящей поверхности
равна гьЕ. Соответственно правая часть
формулы (ж) 1,4.10_9 к/см2—гьЕа. При
некоторой приближенности проведенных
вычислений результат удовлетворяет тео-
реме Гаусса для вакуума.. Тот же резуль-
тат находим для границы двух диэлектри-
ков. По теореме Гаусса в формулировках
(3-37), (3-38)
^Ea-EbY-%=Pa-Pb-
Вычисляя, находим, что левая часть .равен-
ства s0(£a—Bd)= 3,54-IO-9 к/см2; правая
часть уже была ранее вычислена [см. ра-
венство (е)] и в пределах точности прове-
денных вычислений удовлетворяет усло-
вию (з).
Пример 3-2. Электроды плоского двух-
слойного конденсатора замкнуты накорот-
ко (рис. 3-14, а при сра—Фь==0). Слой а—
=0,05 см характеризуется диэлектрической
проницаемостью 8а=4. Во втором слое Ь=
=0,25 см в результате остаточных явлений
92
сохраняется поляризованность Рь =
=5 • 10“10 к! см2. Свободные заряды могут
существовать только на внутренних поверх-
ностях электродов (равные и противопо-
ложные по знаку).
Найти напряженность поля и электри-
ческое смещение в первом и втором слоях.
Решение. В данных условиях
к слою b можно применять только общее
определение электрического смещения £>& =
—г^Еъ+Ръ, тогда как в слое а справедли-
во равенство Da=^aEa. Поскольку на по-
верхности раздела диэлектриков отсутствует
свободный заряд, имеем D=Da=Db\ так
как электроды конденсатора замкнуты, то
аЕа+ЬЕь=Ъ. Из совместного решения че-
тырех уравнений находим, что
Еа — ЬРь!&ъ (b&a + а) = 1,34 кв/см\
Еь = — аЕа/Ъ — — 269 в!см}
D = 808л Еа — 4,75 • 10—10 к/см2.
Важно обратить внимание на то обстоятель-
ство, что в поляризованном посторонними
силами диэлектрике поле направлено на-
встречу поляризации, т. е. электрическое
поле в поляризованном диэлектрике стре-
мится его деполяризовать.
Подобные явления наблюдаются и в
незамкнутом конденсаторе. Общий случай
переходного режима в цепи конденсатора,
замкнутого на сопротивление, разбирается
в конце § 3-4 и в конце гл. 4.
Пример 3-3. Между' пластинами пло-
ского конденсатора (рис. 3-14,6) находит-
ся несовершенный диэлектрик. Расстояние
между пластинами А=0,5 см. Расстояние х
отсчитывается от отрицательной пластины.
Разность потенциалов между электродами
постоянна, U=1 кв. Рассматривается поле
в установившемся режиме. Диэлектриче-
ская проницаемость 8 и проводимость о за-
висят от х, как показано в табл. 3-1. Для
вариантов А, Б, В, найти Е, D, Р, а также
плотности свободных 'р и связанных рр за-
рядов; показать, что 8о div Е=р+рр.
Таблица 3-1
Варианты 8 о
А а
Б а’(1—0х) <т0/(1— И
В а/(1— 0х) Оо
В таблице а = 200; о0 = 10~5 cuMjcM',
0=1 см~х.
Решение. В установившемся режиме
по всему межэлектродному пространству
проходит ток с постоянной плотностью
J=const, так как в установившемся режи-
ме divJ=—dp/d/=O. Поэтому
Е (х) = J/o (х).
При заданном напряжении U плотность
тока определяется из уравнения
h
U =
Е (х) dx = J
Г dx
J
о
В вариантах А и Б
J=2(yQU/(2 — ph)h
и
Е (х) = 2U (1 — 0х)/(2 — 0А) h.
В варианте А
D = еоеЕ = soaE (х);
в варианте Б
D — sQa*2U/(2 — 0А) h — const.
Из последних уравнений следует, что
в варианте А плотность свободного заряда
р — div D = — 2е0ари/(2 — ph) h — const,
т. е. в пространстве между электродами
распределен отрицательный заряд с посто-
янной плотностью.
о)
Рис. 3-14.
Интересно обратить внимание, что при
этом плотность заряда на положительном
электроде Qs+ равна и противоположна по
знаку сумме заряда на отрицательном
электроде (Qs-) и всего объемного заряда
в столбике с основанием 5=1 сти2
Q^_{_ = — ( Qs_ + рА).
В варианте Б между электродами нет
свободного заряда (Z)=const), однако су-
ществует связанный объемный заряд
Рр = — 80 divE = 8o-2t70/(2 —0А)А.
Последнее равенство справедливо только .
при р=0.
Существованием объемного заряда по-
ляризации и объясняется зависимость
Е(х).
Дальнейшее решение и анализ целесо-
образно провести самостоятельно.
Пример 3-4. В плоском конденсаторе
с двухслойной изоляцией (рис. 3-14, а)
г=га=7 в слое ц=0,05 см и 8=8&=2
в слое А=0,20 см. Проводимость в обоих
случаях одинакова, 0=1,5-10~10 сим!см.
Найти плотность * поверхностных зарядов
93
(свободного, поляризации и полного) у
электродов а и b и на поверхности раздела
диэлектриков ab при установившемся ре-
жиме и постоянном напряжении £/=2,5 кв.
Решение. В рассматриваемых усло-
виях напряженность электрического поля
в обоих слоях одинакова, E=J!g=\Q кв/см.
При этом Ёа=6,2 • 10-9 к) см2, Db—
=1,77 • 10~9 к!см2', соответственно плотность
свободных зарядов на электродах а и Ь:
Qa~Da, Qb~—Db»
На поверхности раздела двух диэлект-
риков плотность свободного заряда QOb=
=—DaA-Bb——4,43 • 10~9 к!см2. Тот факт,
что Еа=Еъ позволяет сразу утверждать,
что свободный заряд на поверхности раз-
дела двух диэлектриков компенсируется
равным и противоположным зарядом поля-
ризации Qp,ab==—Qab.
У электродов Qp,a==—(sa—1)£>а/8а=
=—5,31 • 10~9 к!см2 и <2р,ь=(е&—l)Dd/sb=
=+0,885- 10-9 к!см2.
Найденные числовые значения соответ-
ствуют условию
~~Qp,ab ~ Qpta “Ь Qp,b *
Пример 3-5. В плоском конденсаторе
плоская граница между двумя диэлектри-
ками образует угол а с электродами
(рис. 3-15). Диэлектрические постоянные
двух сред еа=6, 8ь=2; их проводимости
одинаковы, аа=о&. Расстояние между
электродами 0,5 см. Напряжение между
ними постоянное, £/=cpi—ф2=1 кв.
Найти для установившегося режима
плотность свободного заряда на поверхно-
сти раздела ab, полагая а=30°.
Рис. 3-15.
Решение. В установившемся режи-
ме при одинаковой проводимости двух сред
между электродами устанавливается одно-
родная напряженность поля Еа=Еъ —
=Е=2 кв!см.
На поверхности раздела нормальные
к ней слагающие напряженности Еап=
~Ebn=E cos а=Еп, при том что положи-
тельное направление нормали идет от а к Ь.
Искомая плотность свободного заряда
равна разности нормальных слагающих век-
тора электрического смещения
Qs = £о ~~ &b) Еп = 7,1 • 10—10 к/СМ*.
Пример 3-6. Проводящая сфера радиу-
са а с зарядом q расположена в неограни-
ченно протяженном однородном диэлектри-
ке с проницаемостью 8. Напряженность по-
ля на расстоянии 2? от центра сферы может
быть выражена или формулой
где ^q=q+qp, т. е. сумма свободного за-
ряда q и заряда поляризации qp, обвола-
кивающего сферу (<7р<0 при ^>0), или
формулой
Е = #/4л7?2808 , (6}
в которой q — только свободный заряд, а
свойства среды учитываются множителем
8 в знаменателе.
Показать тожественность формул (а)
и (б).
Решение. Имея в виду, что на по-
верхности сферы
—qp — 4ла2Р = 4ла2е0 (8 — 1) Е,
и выражая Е (на поверхности сферы) по
формуле (а), найдем после простых сокра-
щений, что
— ?р = (е—1)(<7 + <7р).
Из последнего равенства следует, что
<7р = —<?(е —1)/е и <7 + ?р = ?/е.
Что и требовалось доказать.
Правомочность формулы (б) с коэффи-
циентом 8 в знаменателе служила основани-
ем для утверждений, подобных тому, что
«диэлектрик делает эфир более податливым
к воздействию электричества». При этом но
аналогии с механикой сплошных упругих
сред предполагалось, что Е эквивалентно
механическому напряжению, a D — соответ-
ствующей упругой деформации или смеще-
нию. Подобные несостоятельные аналогии
и определили собой подбор слов для поня-
тий Е, е, D.
3-2. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В СРЕДЕ С МАГНИТНОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ
Магнитная поляризация — на-
магниченность. Эквивалентный по-
верхностный ток. Как издавна изве-
стно, магнитным полем обладают не
только движущиеся заряды, но и на-
магниченные тела, в которых отсут-
ствуют токи в обычном смысле сло-
ва. Однако, сравнивая магнитные
поля токов и намагниченных тел
(постоянных магнитов), француз-
ский физик Ампер предположил, что
намагниченность тел объясняется
существованием в них микроскопи-
ческих токов, образующих микро-
скопические замкнутые контуры.
При упорядоченной ориентиро-
ванности амперовых токов они об-
разуют магнитный момент, в сред-
нем отличный от нуля. Этим момен-
94
том и определяется существование
магнитного поля при кажущемся
отсутствии упорядоченного движе-
ния зарядов, при отсутствии тока
через любое сечение тела.
Магнитным моментом
плоского контура с током i и пло-
щадью S называют произведение
m=i’S, (3-41)
где S — векторное представление
площади, ограниченной контуром,
причем положительное направление
нормали согласовано с направлени-
ем тока правилом правоходового
винта (рис. 3-16).
Магнитное поле такого контура
на расстояниях R, больших по срав-
нению с размерами контура, имеет
радиальную (BR) и меридианную
(Во) составляющие (рис. 3-16)
d т cos 6 р т sin О
2 л Я3 ’ 4л Я3 ’
(3-42)
зависящие не от тока i и площади S
в отдельности, а только от произве-
дения m = ZS, т. е. от величины и на-
правления магнитного момента.
Выражения (3-42) могут быть
выведены по формуле (1-126)
в предположении, что линейные раз-
меры контура тока очень малы по
сравнению с расстоянием R от кон-
тура до рассматриваемой точки;
как характер вывода, так и резуль-
тат в значительной мере аналогич-
ны формулам (3-7) для напряжен-
ности электрического поля диполя.
Мерой магнитной поляризации
вещества служит плотность магнит-
ных моментов, или магнитный мо-
мент единицы объема
M=lim —. (3-43)
v-o V v ’
Вектор М называют намагни-
ченностью. Магнитное поле по-
ляризованной среды можно найти,
пользуясь формулами (3-42) в со-
четании с определением намагничен-
ности. Однако возможен другой ме-
тод, аналогичный примененному при
выводе поля электрически поляри-
зованной среды.
Магнитное поле намагниченного
вещества можно рассматривать как
поле некомпенсированных амперо-
вых или связанных токов. Для этого
нужно найти выражение плотности
этих токов Ум, эквивалентных по
своему магнитному полю намагни-
ченности М.
Представим себе однородно про-
дольно намагниченный стержень.
Легко понять, что токи смежных
(соприкасающихся) контуров вза-
имно компенсируются (рис. 3-17).
Некомпенсированными оказывают-
ся тольдо токи на границе тела, па-
раллельной М, где плотность экви-
валентного поверхностного тока 1м
оказывается равной намагниченно-
сти.
Рис. 3-17.
Направление этого вектора оп-
ределяется векторным произведе-
нием
1^= МХп°, (3-44)
где п° — внешняя нормаль к поверх-
ности тела.
95
Понятие поверхностной плотно-
сти тока вводится в тех случаях, ког-
да можно считать ток сосредоточен-
ным в тонком слое толщиной т. Ес-
ли плотность тока во всем слое оди-
накова и равна J, то плотность по-
верхностного тока I определяется
как произведение
I—Jt. (3-45)
К равенству (3-44) легко прийти,
сравнивая магнитное поле круглого
продольно намагниченного стержня
(рис. 3-18, а) и соленоида тех же
размеров, имеющего w0 витков на
единицу длины, по которым идет ток
i (рис. 3-18,5). Магнитное поле на-
магниченного стержня и соленоида
должно быть одинаково, если оди-
наковы их магнитные моменты
Но полный магнитный момент соле-
ноида равен:
’ЭЛ=iSw ez=iSwQlez^=iwQVez, (3-46)
где V — объем соленоида. Каждый
виток по определению имеет момент
iS, причем моменты всех витков оди-
наковы; ez — единичный вектор, на-
правленный по оси.
Магнитный момент продольно
намагниченного стержня, по самому
определению намагниченности,
^t=MV=MVez. (3-47)
Следовательно, заменяя намаг-
ниченность стержня эквивалентным
поверхностным током 1м, мы долж-
ны считать
IM=iw0=M, (3-48)
так как поверхностная плотность то-
ка соленоида равна именно iw0.
Формула (3-44) легко может
быть обобщена для случая границы
между двумя средами с намагничен-
костями Mi и М2: эквива-
лентный поверхностный
ток 1м на границе двух
сред
1м=(М1 —М2)Хп°, (3-49
если нормаль п° направ-
лена из первой среды во
вторую.
Для более отчетливо-
го понимания изложенно- "
го очень полезно подроб-
но рассмотреть приведенные ниже
примеры.
Пример 3-7. Продольная намагничен-
ность круглого цилиндра (рис. 3-18, а) М—
=800 а[см', его длина /=26=6 см; его диа-
метр d—2a~3 см.
Требуется найти магнитную индукцию
на его оси z как функцию расстояния от се-
редины магнита. При этом можно считать
известной расчетную формулу для магнит-
ной индукции на оси соленоида
В — Вг = ро (cos ai — cos а2), (а)
где iwo — «ампер-витки» на единицу длины
соленоида (на 1 м, если go выражено в
гн!м)\ щ и аг — углы, образуемые с осью
соленоида (г) радиусами, проведенными из
рассматриваемой точки к поверхности соле-
ноида на его двух торцах (рис. 3-19); угол
ai соответствует торцу, обращенному в сто-
рону возрастания z; положительное направ-
ление тока по обмотке согласуется прави-
лом правоходового винта с направлением
оси z.
Решение. Пользуясь формулой (3-44),
находим эквивалентный поверхностный ток
для намагниченного стержня 1м=М=
=800 а!см. Этот ток эквивалентен ампер-
виткам на единицу длины соленоида с те-
ми же размерами. Отсчитывая z от середи-
ны магнита, находим, что
cos = (Ь — z)/!^а--\- (Ь — z)2;
cos &2= — (Ь + г)/]/ а2 4- (6 + а)2. '
Следовательно, В =— goM (cos сч —
— cos а2). Наибольшее значение индукция
имеет в середине магнита (z=0)
’Эй — «эм» готическое.
Вмакс = Но МЫ V&+& = Но Ml/VZ2+rf2 .
96
На торцах магнита Вт = |i0Afbl Y l2+a2.
Если 462=/2>б2, индукция на торцах
вдвое меньше, чем в середине магнита. Для
данных примера Вмакс =0,090 тл (или
900 гс) и Вт=0,049 тл (490 гс).
Пример 3-8. Продольно намагниченный
магнит имеет форму отрезка трубки длиной
6 см с внутренним диаметром 3 см и наруж-
ным 5 см. Найти магнитную индукцию на
оси трубки, полагая /И=400 а!см.
Решение. Пользуясь формулой (а)
предыдущего примера и применяя суперпо-
зицию, поле можно искать как поле двух
коаксиальных соленоидов, имеющих диа-
метры 3 и 5 см, при встречных токах в
обмотках.
Пример 3-9. Найти ток и размеры экви-
валентных соленоидов для случая, когда
магнит примера 3-7 вставлен внутрь магни-
та примера 3-8.
Решение. Два коаксиальных соле-
ноида длиной .1 и диаметрами di=3 см и
d2=5 см. Ток в обмотках как внутреннего,
так и внешнего соленоида IM=ш?о“4ОО а!см.
Пример 3-10. В каком из трех послед-
них примеров имеют наибольшее и наимень-
шее значения 1) магнитная индукция В и
2) магнитный поток Ф? Магнитная индук-
ция ищется (а) в центре и (б) на торцах
(z=b) при г=0; магнитный поток Ф=]* BdS
ищется для сечения 5=лге2, где ге — наи-
больший радиус трубчатого магнита.
Ре прение. 1) В=Вмакс в условиях
примера 3-7, В = ВМИН в условиях примера
3-8 как при 2=0, так и при z=b.
2) Ф=ФМакс в условиях примера 3-9;
Ф=Фмин в условиях примера 3-8.
Эквивалентная плотность тока.
Перейдем -к определению эквива-
лентной объемной плотности тока
когда намагниченность М — непре-
рывная функция координат.
const
е£
Рис. 3-20.
Пусть требуется определить
внутри некоторого объема V ->0.
Проведем мысленно (рис. 3-20)
плоскость g = const, нормальную к
единичному вектору еа и проходя-
щую через рассматриваемую об-
ласть V. В тонком слое толщиной
Ag, включающем в себя область V,
вектор намагниченности (при пере-
мещении вдоль Ag) изменяется на
величину
AM(e)=^Ag. (3-50)
Индекс g, поставленный в скобках,
по-прежнему обозначает не g-ю со-
ставляющую, а то изменение векто-
ра М, которое происходит при пере-
мещении в направлении g.
Предположим теперь, что это из-
менение намагниченности происхо-
дит не плавно, а ступенькой при пе-
реходе через плоскость g=const
[см. рис. 3-8 и аналогичные рассуж-
дения, связанные с формулами
(3-18) —(3-22)].
Пусть намагниченность с одной
стороны границы имеет значение М,
а с другой стороны М+ДМф. В та-
ком случае по формуле (3-49) нахо-
дим, что внутри тонкого слоя про-
водит ток
— ДЛ^Хе.-ееХЛМ^. (3-51)
Полагая ток равномерно распреде-
ленным по толщине слоя, находим
соответствующую составляющую
плотности тока:
J(S) = I(;)/Ag=e6X-^-. (3-52)
Найденное выражение представ-
ляет не всю плотность тока а
только слагающую, обусловленную
изменением вектора намагниченно-
сти в направлении нормали п°, что и
обозначено индексом (g).
Пусть, например, направление п°
совпадает с осью х декартовых ко-
ординат, т. е. п° = ех. В таком случае
формулой (3-52) определяется толь-
ко плотность тока J(X>, обусловлен-
ная изменением намагниченности
в зависимости от координаты х. Сам
вектор J(X) направлен перпендику-
лярно п°.
Полное значение вектора плотно-
сти тока JM, эквивалентного намаг-
7—476
97
ниченности М(х, у, z), найдем, при1
давая нормали п° последовательно
значения ех, еу, е2 и складывая соот-
ветствующие выражения, получае-
мые по 'формуле (3-52):
Напряженность магнитного поля.
Применяя первое уравнение Макс-
велла к намагниченной среде, нуж-
но в правой части к плотности пол-
ного тока
Jn=J+-^ (3-56)
dt
(3-53)
Но правая часть найденного выра-
жения представляет собой вектор-
ное произведение оператора v и
вектора М, т. е. ротор вектора М:
= VXM^rotM. (3-54)
Полученный результат и выража-
ет искомую плотность тока JM, эк-
вивалентную намагниченности М(х,
У, z).
Дифференциальная операция rot
предполагает непрерывность диффе-
ренцируемого вектора. В случае
разрывов вектора М следует перехо-
дить к формуле (3-49), определяю-
щей поверхностную плотность экви-
валентного тока. Выражаемая этой
формулой операция носит название
поверхностного ротора
1Л1==(М1 — М2) X n° = RotM
(3-55)
(в обозначении поверхностного рото-
ра пишут прописную букву R).
В формуле (3-55) Mi и М2 — намаг-
ниченность первой и второй сред на
поверхности разрыва, а п° — единич-
ный вектор, направленный нормаль-
но к поверхности разрыва от первой
среды ко второй.
В случае реально существующей
границы намагниченной среды всег-
да можно считать эту намагничен-
ность плавно спадающей до нуля
в некотором тонком слое т. Внутри
этого слоя может быть найдена эк-
вивалентная плотность тока JM-
В случае резкой границы между дву-
мя средами с намагниченностями
М] и М2 можно считать, что в тон-
ком слое толщиной т, заменяющем
границу, намагниченность плавно
изменяется от Mf до М2. Полагая
толщину слоя стремящейся к нулю
(т -> 0), приходим к эквивалентному
поверхностному току.
добавить плотность тока,
лентного намагниченности,
rotB=p,0 (;
эквива-
(3-57)
добавлением вектора JM учитывает-
ся влияние намагниченной среды на
магнитное поле.
Но плотность связанного тока
равна вихрю намагниченности
(3-54); следовательно,
rot В—ц0 (Jn+rot М). (3-58}
Перенося rot М в левую часть и
помня, что сумма производных рав-
на производной суммы, получаем:
rot р в —Al'j-Jn (3-59)
\Но )
или, переходя к интегральной форме
(закон полного тока),
ф В — М j dl = J Jn dS. (3-60)
Последнее равенство непосредст-
венно получается из предыдущего
после интегрирования по поверхно-
сти и применения теоремы Стокса.
Крайне полезно обратить внима-
ние на сходство рассуждений, кото-
рые привели к последним двум фор-
мулам, с рассуждениями § 3-1, от-
носившимися к электрически поля-
ризованной среде [формулы (3-22) —
(3-29)]. Как и в случае электричес-
кого поля, теперь можно сделать
следующий важный шаг.
Пользуясь разностью векторов
— В—М (вместо вектора В), можно.
Но
применять первое уравнение Макс-
велла (закон полного тока) и к на-
магниченным средам, по-прежнему
учитывая в явном виде только пол-
ный ток. Эту разность двух векторов^
и называют напряженностью
магнитного поля:
Н=—В —М. (3-61>
Но
98
Пользуясь этой новой величиной,
можем записать:
JjndS или rotH = Jn.
(3-62)
Из написанных выражений оче-
видно, что в принятой здесь системе
единиц СИ напряженность поля из-
меряется в амперах на единицу дли-
ны.
В гауссовой симметричной системе на-
пряженность поля определяется равенством
Н=В —4лМ, (3-61*)
имеющим, конечно, такой же смысл, как
(3-61). Единицы измерения для В, Н и М
при этом принципиально одинаковы. Одна-
ко в отличие от единицы индукции гаусс
равную ей единицу напряженности называ-
ют эрстед:
1э =------а/см 0,8 а/см. (3-63)
0,4л
Формулы (3-61) и (3-61*) отличаются
не только единицами, но и формой записи.
Поэтому соотношение для Н и М в этих си-
стемах различно: числовое значение намаг-
- ниченности, выраженной в а!см, следует ум-
ножить на 0,1, чтобы получить числовое зна-
чение намагниченности, выраженное в гаус-
совой системе (в гауссах или эрстедах).
Восприимчивость и проницае-
мость. В случае материалов с ма-
лой проницаемостью и в случае
очень слабых полей намагничен-
ность пропорциональна индукции
- М=сВ. (3-64)
Очевидно, при этом намагничен-
ность оказывается пропорциональ-
ной также и напряженности поля
М=£мН. (3-65)
В свою очередь при этом прямая
пропорциональность должна сущест-
вовать также между В и Н
В-р0 (Н+М) = ц#м+1) Н (3-66)
или
В=цоцН. (3-67)
Коэффициент пропорционально-
сти Ам между намагниченностью и
напряженностью получил наимено-
вание восприимчивости. Ко-
эффициент пропорциональности ме-
жду индукцией и напряженностью
поля (помноженной на постоянный
коэффициент цо) носит название
магнитной проницаемости:
ц = 1+^м=В/ц07/. (3-68а)
В гауссовой системе проницаемость име-
ет такое же значение
ц = 1 +4л%-В/Я, (3-686)
а восприимчивость % выражается числом,
в 4л меньшим [см. также формулу (3-30)
и следующие].
Зависимость между В (или Л4)
и Н для ферромагнетиков носит
Рис. 3-21.
очень сложный характер, на плоско-
сти В (или Л4), Н она образует пет-
лю гистерезиса или магнитную пет-
лю (см. рис. 3-21, где показаны раз-
ные типы магнитных петель). Когда
характеристика имеет вид петли, по-
нятие проницаемости, определяемое
7
99
равенством (3-68), теряет смысл.
В электротехнических расчетах про-
ницаемость всех материалов, кроме
ферромагнитных, обычно принимают
равной единице.
Значение напряженности поля на
петле гистерезиса, при котором В = 0
(или Л4 — 0), называют коэрцитивной
силой по индукции вНс (или по на-
магниченности МНс). При относи-
тельно малых значениях коэрцитив-
ной силы (HJMq <1) практически
вНс~мНс~Нс. Значения индукции
и намагниченности на петле гисте-
резиса при Я —0 называют остаточ-
ными (Во и Мо или Вг и Мг).
Примеры. Внимательное рассмот-
рение следующих примеров поможет
разобраться в смысле понятий В,
М, Н.
Пример 3-11. Кольцевой однородный
магнитный сердечник (тороид) был намаг-
ничен равномерно нанесенной обмоткой
с током. После выключения тока' найдена
остаточная индукция в сердечнике Во =
= 1,6 тл. Требуется найти остаточную на-
магниченность Мо и убедиться в справедли-
вости формулы (3-44).
Решение. В силу отсутствия напря-
женности поля 1 * * * * находим:
1 1,6
— Bo=Mq—--------—у- ~ 1,27« 106 а/м.
р0 4л-10
Предполагая, что это поле создается
только поверхностным током (в амперах на
единицу длины), находим из применения за-
кона полного тока для В:
Bq = Но Is или Is = MQ.
Пример 3-12. Кольцевой сердечник из
ферромагнитного материала был намагни-
чен током, протекавшим по равномерно на-
несенной обмотке. После выключения тока
в сердечнике сохранилась намагниченность
Л4=9,5 ка/см, или 950 гс. Стальной сердеч-
ник содержит небольшой поперечный воз-
душный зазор длиной /в = 0,02 см, а общая
длина стального сердечника /ф = 10 см.
Найти В и Н внутри сердечника и в
воздушном зазоре.
Вследствие относительной малости воз-
душного зазора можно полагать индукцию
1 Так как (j) Н d\=H • 2nz=iw = 0, то 77 =
= 0. Если бы сердечник был неоднороден, то
нельзя было бы выносить И за знак интег-
рала, а следовательно, нельзя было бы за-
ключать по отсутствию тока о том, что на-
пряженность поля равна нулю. И действи-
тельно, при неоднородности кольца (в от-
ношении его намагниченности) напряжен-
ность поля Н^0, несмотря на отсутствие
тока (см. пример 3-12).
В во всех точках стального сердечника и
воздушного зазора одинаковой (Вв —
=ВФ=В)._
Решение. По закону полного тока
Нф1ф + — В1Ъ = iw = 0. (а)
Но
Подставляя в это уравнение значение В, вы-
раженное из основного определения напря-
женности поля (3-61),
В = ц0(Нф + М), (б)
находим, что
Нф(/ф + /в)+Л1/в = 0 (в)
или
Яф = —/И/в/(/в 4~ /ф)- (г)
В воздушном зазоре
Нв = В/[10, (д)
причем В определяется по (б) при задан-
ном М и найденном Н$.
Для числовых значений данного приме-
ра Яф =—19,0 а/см=—24,8 э; В=1,19 тл =
= 11,90 кгс- Яв=9,48 ка/см=]А,9 кэ.
Важно заметить, что напряженность
Яф направлена противоположно намагни-
ченности в том случае, когда поле создает-
ся телом с заданной намагниченностью.
Следует обратить внимание на различ-
ное соотношение между одинаково назы-
ваемыми единицами разных систем (а) см в
СИ и эрстед в гауссовой системе), когда в
этих единицах выражают разные физичес-
кие величины (М и Н в нашем примере).
Пример 3-13. Какой величины ток дол-
жен быть сохранен в обмотке сердечника
предыдущего примера для того, чтобы об-
ратить в нуль напряженность поля внутри
ферромагнетика (Яф) после его намагниче-
ния? Значение, достигнутое намагниченно-
стью, можно при этом считать не изменяю-
щимся (материал с прямоугольной петлей
рис. 3-21, в). Чему при этом равна напря-
женность поля в воздушном зазоре Яв? Ка-
кую долю магнитной индукции можно отне-
сти за счет внешнего тока (Вг) и какую за
счет намагниченности вещества (Вм)?
Вследствие относительной малости воз-
душного зазора можно полагать индукцию
по всему тороиду (включая зазор) неизмен-
ной.
Решение. В уравнении, составленном
по закону полного тока, в отличие от пре-
дыдущего примера правая часть не равна
нулю
1
Яф/ф + — В1Ъ = iw, (а)
Но
зато равна нулю (по условию) Яф=0. При
этом
или
Нф = В — м = о
Но
В = ц0М.
(б)
100
Следовательно, по (а) и (б)
iw — М1В. (в)
При этом напряженность поля в воздухе
Нв — -~В—М (г)
Во
(здесь М — по-прежнему намагниченность
ферромагнетика).
Составляющая, обусловленная намаг-
ниченностью, в условиях этого примера
должна быть такой же, как и в условиях
предыдущего примера, поскольку и геомет-
рия и намагниченность не изменились,
&м = М'о ( д)
Обусловленная током в обмотке составляю-
щая магнитной индукции
Bi =iwHl$ + /в);
она имеет такое же значение в случае од-
ной равномерной обмотки с током в отсут-
ствие ферромагнетиков.
Физический смысл ответа iw=MlB за-
ключается в том, что условия сплошного
однородно намагниченного тороида (при-
мер 3-11) достигаются после того, как недо-
стающий эквивалентный ток (связанные
«ампер-витки» в объеме воздушного зазо-
ра) заменяется током в обмотке.
Пример 3-14. Круглый ферромагнитный
стержень намагничен так, что его намагни-
ченность можно считать постоянной (Л1) и
параллельной оси (рис. 3-22, а). Требуется
найти индукцию и напряженность поля
вдоль оси 2, совпадающей с осью цилиндра
(стержня). .
Размеры цилиндра: радиус я=1,5 см;
длина 1=2Ь=6 см; М = 800 а!см.
Решение. Индукция на оси рассмат-
риваемого стержня была найдена в при-
мере 3-7. Напряженность поля находится
как разность индукции (деленной на ц0) и
намагниченности. Внутри стержня на его
оси
1
Н^Нг= — В~М =
Во
/ COS CCt — cos <z2
= 714 ----------
\ 2
(значения углов «ij2 см. на рис. 3-19).
Z м в н
0 Ь — е ь +£ 800 а/см (80 э) 800 а/см (80 э) 0 9-10—2 тл (900 гс) 4,9-10—2 тл (490 гс) 4,9-10-2 тл (490 гс) — 80"aicM (—100 э) —410’а/аи (—510 э) 390 а/см (490 э)
Пример 3-15. Тонкая полоса шириной
2Ь и толщиной намагничена в по-
перечном направлении
Му = Mq sin kx.
Такой характер может иметь запись звука
Внутри стержня напряженность поля на
оси имеет отрицательное значение, т. е. на-
правлена навстречу М (см. пример 3-12).
Вне стержня напряженность поля отличает-
ся от индукции только постоянным множи-
телем, значение которого определяется вы-
бором системы единиц (ц0 или 1).
Важно обратить внимание, что при пе-
реходе из намагниченного вещества в окру-
жающее пространство нормальная слагаю-
щая магнитной индукции не претерпевает
разрыва, тогда как нормальная (к поверх-
ности торца) слагающая вектора напряжен-
ности поля претерпевает разрыв, меняясь
скачком на величину М.
Рис. 3-22.
В табл. 3-2 приведены значения В, Н, М
в двух системах единиц для трех значе-
ний z.
Числовые значения несколько округле-
ны; z=0 — центр стержня; для его торцов
2 = ±Ь; е—>0.
Очень полезно построить график зави-
симости В, М и Н от 2, а также доказать,
-|-оо
что J Hzdz—§ Н dl = 0.
Рассчитать В и Н можно, конечно, и не
только на оси. Правда, расчеты при этом
значительно усложняются. На рис.
3-22, бив схематически показаны линии
В и Н внутри и вне стержня. Ход изменения
индукции в стержне полностью совпадает
с изменением индукции внутри катушки та-
ких же размеров.
Векторы В, Н и М в точках, не лежа-
щих на оси, не совпадают по направлениям
(рис. 3-22, г). Однако и в этом случае В =
= ц0 (Н + М).
‘ Таблица 3-2
на магнитной ленте. Выбор координатных
осей и распределение намагниченности по-
нятны из рис. 3-23, а.
Найти распределение эквивалентной
плотности тока.
101
Решение. Вычисляя ротор, находим:
Jz — kMQ cos kx при | z | < b\
J'x — [d (z + b) — 6(z — b)] sin k?c.
Выражение плотности тока через d-функ-
цию соответствует резкому спаду М (г) =
=Mq [/ (z+b\—1 (z—&)] sin kx. Полагая
т малым, можно представить эквивалентные
токи как поверхностные, направленные по
оси z,
- Iz = т kM0 cos kx при | z | < b
и сосредоточенные токи (бесконечной плот-
ности)
i == —т MQ sin kx при z = — b
и
7 i = ъМо sin kx при z = b,
текущие по краям ленты; положительное
направление этих сосредоточенных токов
совпадает с положительным направлением
оси х. Схематически распределение токов
в плоскости г, х представлено на рис.
3-23, б.
Векторы поля на поверхности
раздела двух сред — граничные ус-
ловия. Из теоремы Гаусса (div В = 0)
следует, что на. поверхности раздела
двух сред нормальная слагающая
вектора магнитной индукции не пре-
терпевает разрыва
(3-69)
а при любой конечной плотности то-
ка (см. также гл. 6 и 7) непрерывны
тангенциальные составляющие на-
пряженности поля
. (3-70)
как это следует из первого уравне-
ния Максвелла.
Очевидна аналогия выражений
(3-69) и (3-70) с выведенными ранее
для электрического поля [см. (3-36)
и (3-39)], и вывод (3-70) аналогичен
доказательству равенства (3-39).
Рис. 3-24.
Действительно, применяя закон
полного тока к прямоугольному кон-
туру рис. 3-24, две стороны которого
ds параллельны поверхности разде-
ла и лежат в разных средах, а две
другие стороны ,dn нормальны к по-
верхности раздела и очень малы да-
же по сравнению с ds (т. е. dn<^ ds),
найдем, что
402
$ Н di=(Hx+ H2)ds=(H,2— Ha)ds=
= J ds X dn
(3-71)
или
Ht2-Htl=J,dn-+0, (3-72)
где J, — слагающая вектора плот-
ности тока (остающегося конечным),
нормальная к поверхности нашего
контура, т. е. параллельная dS =
= ds\dn.
Из аналогии можно записать без
дальнейших комментариев, что
\tlnl/ \Нп2/
(3-73)
Магнетостатика—формально удоб-
ная система. Аналогия может идти
и много дальше: при отсутствии то-
ков, т. е. когда
rotH = J—О, (3-74)
магнитное поле потенциально и мо-
жно установить следующую фор-
мальную систему аналогий:
D-88o Е ~ B=[ip0 Н;
Р~р,0М;
Е= — grad ф—Н= — grad фм.
(3-75)
Эта система аналогий всегда фор-
мально верна в условиях медленно
изменяющихся полей. Отличие маг-
нитного поля от поля электрическо-
го формально заключается в отсут-
ствии свободных магнитных зарядов
(поскольку divB = 0). Что же каса-
ется связанных магнитных зарядов,
то они определяются формулой
div (ц0 Н)= — div (р.о М)=рм, (3-76)
аналогичной (3-22).
В § 3-1 было показано, что
div 80 Е равна полной плотности за-
ряда — свободного и связанного
(3-25). Но (3-76) относится к слу-
чаю отсутствия свободного магнит-
ного заряда (div В = 0), поэтому ана-
логия не нарушается. Что касается
поверхностных магнитных зарядов,
то их плотность выражается форму-
лой, аналогичной (3-37),
QSm=^o(4i-<2) (3-77)
ИЛИ
[Hnl (Ml (М'2 !)]•
(3-77а)
Именно к магнитным зарядам,
определенным, как здесь было пока-
зано, применима формула (3-2) или
эквивалентная ей
dF—HpMdV, (3-78)
выражающая силу, действующую на
магнитный заряд плотностью рм
в объеме dV, который находится во
внешнем поле Н.
Из дальнейшего развития анало-
гии можно формулировать ряд дру-
гих широко известных законов: маг-
нитный закон Кулона для взаимо-
действия элементарных зарядов
Q\M~Q\MdV\ И ^2M=P2M^V2
F2
91М 9'2М
4зтц0
К?2.
(3-79)
выражение скалярного магнитного
потенциала через распределение
объемной плотности зарядов
= Д С PMdv
4лр,0 J R
(3-80)
где, разумеется, рм определяется по
(3-76), а кроме того, всюду отсутст-
вуют вихри магнитного поля
(rot H = J = 0), т. е. не существует
токов.
Пример 3-16. Между двумя антипарал-
лельно намагниченными областями (Mi =
=—М2) намагниченность плавно изменяет-
ся в слое толщиной а. При этом изменение
намагниченности происходит за счет плав-
ного поворота вектора намагниченности,
остающегося все время неизменным по аб-
солютной величине, M1=M2=Afa=Al, при-
чем в декартовой системе координат
=Мъу.
Граница между двумя областями пер-
пендикулярна оси х; начало отсчета распо-
ложено на поверхности первой области.
Обе области и пограничный слой а можно
считать неограниченно протяженными в на-
правлениях у и 2.
Найти плотность магнитного заряда
в пограничном слое при том, что переход
от Mi к М2 совершается в согласии с урав-
нением
1) = М (sin тх ех + cos тх еу)
или
2)Ма — М (sin тх е2 + cos тх еу),
где т—п/а.
Решение. В первом случае по (3-76)
Р-рЗТ
рм=— ------М cos тх, во втором случае
а
Рм =0.
103
3-3. ЭЛ ЕКТРОКИНЕТИЧЕСКАЯ
ПРИРОДА НАМАГНИЧЕННОСТИ
При рассмотрении электрической
и магнитной поляризации были вы-
браны существенно различные пути:
электрическая поляризация объяс-
нялась смещением статических свя-
занных зарядов, в результате чего
образовывались диполи с моментом
р = ^1; магнитная поляризация объ-
яснялась движением зарядов, обра-
зующих электрокинетический мо-
мент (подобно моменту количества
движения в механике). Достаточ-
ным основанием для этого была из-
вестная нам электрокинетическая
природа магнитного поля — оно
создается токами и обнаруживается
по действию на движущиеся заряды.
Однако взаимодействие постоян-
ных магнитов было известно раньше,
чем было обнаружено магнитное по-
ле тока. В те времена и возникло
представление о намагниченности,
обусловленной статическими диполь-
ными моментами рм=?м1, которые
образуются связанными магнитными
зарядами Особенность маг-
нитных явлений видели лишь в том,
что не существует свободных маг-
нитных зарядов. Интересно напом-
нить, что Кулон формулировал свой
знаменитый закон прежде всего
в применении к магнитным зарядам;
вопрос о существовании свободных
магнитных зарядов (магнитных мо-
нополей, а не диполей) обсуждался
и в современной физике (Ферми).
Представление о магнитных за-
рядах и диполях получило очень
широкое распространение, им часто
пользуются. Огромное число следст-
вий, вытекающих из,подобной фор-
мальной магнетостатики, приводит
к совершенно правильным расчет-
ным результатам, во всяком случае
до тех пор, пока рассматриваются
статические магнитные поля. Точнее
говоря, не статические, а только
квазистатические, поскольку даже
статическая намагниченность об-
условлена движением заряда, т. е.
электрокинетическим моментом.
Выбор между двумя представле-
ниями о природе магнитной поляри-
зации может быть произведен одно-
значно на основании опыта, если
в какой-то области двум представ-
лениям соответствуют различные
физические явления.
Гиромагнитные эффекты. Еще
Максвелл с полной отчетливостью
дал анализ следствий, вытекающих
из предположения об электрокине-
тической природе магнитного момен-
та. Максвелл исходил из естествен-
ного предположения, что частицы,
обладающие электрическим заря-
дом, обладают и массой. Следова-
тельно, наличие электрокинетиче-
ского (магнитного) момента обяза-
тельно связано с наличием момента
количества движения.
После создания боровской моде-
ли атома казалось возможным ото-
жествить магнитный момент атомов
с орбитальным движением электро-
на. Поскольку электрон обладает
вполне определенным отношением
заряда к массе, можно было легко
вычислить отношение электрокине-
тического момента к моменту коли-
чества движения для орбитальных
электронов.
Однако знаменитый опыт Эйн-
штейна— де Гааза показал, что от-
ношение механического момента
к электрокинетическому в 2 раза
меньше рассчитанного. Это привело
к новому представлению о моментах.
В настоящее время принято считать,
что магнитный и механиче-
ский моменты (или электро-
кинетический момент и момент им-
пульса) суть столь же основные век-
торные характеристики элементар-
ных частиц, как две другие ска-
лярные характеристики — заряд и
масса.
Электрокинетическим и механи-
ческим моментами обладают и элек-
троны; эти моменты называют спи-
новыми моментами L
Не вникая в теорию элементар-
ных частиц и в теорию магнетизма,
мы можем, однако, принять как со-
вершенно достоверный вывод, что
магнитный момент М пропорциона-
лен моменту количества движения S.
Когда магнитный момент обуслов-
лен спинами электронов (намагни-
1 Слово «спин» по английски значит
вращаться, спиновый момент соответствует
как бы вращению частицы вокруг собствен-
ной оси.
104
ченность ферромагнетиков), можно
считать
М=— yS, (3-81)
где у= 1,765 • 1011 (тл • сек) ~1 или
у =1,765-107 (э-сек)~\
Мы рассмотрим здесь только
один из эффектов, полностью под-
тверждающий электрокинетическую
теорию магнетизма, а именно гиро-
магнитный резонанс, получивший
очень широкое практическое приме-
нение.
Рассмотрим предварительно при-
менение известного закона механи-
ки, на котором основывается расчет,
dS/d/=L, (3-82)
скорость изменения момента им-
пульса (т. е. момента количества
движения) равна приложенному
вращающему моменту L.
В простейшем случае момент им-
пульса вращающейся машины равен
произведению момента инерции I на
угловую скорость
S-Zcoe, (3-83)
где е — единичный вектор, ориенти-
рованный по оси и связанный с на-
правлением вращения правилом
правоходового винта.
Изменить скорость вращения ма-
шины (о), а следовательно, и ее мо-
мент импульса (S) можно, воздей-
ствуя на ее вал вращающим момен-
том «пары сил»; представленный
как вектор вращающий момент ра-
вен векторному произведению плеча
г и силы F
L=rXF. (3-84)
В рассматриваемом примере
(рис. 3-25) направления S и L сов-
падают, поэтому векторное равенст-
во (3-82) можно заменить скаляр-
ным
Id(&ldt=L. (3-85)
Сложнее обстоит дело в случае
волчка (гироскопа), способного
к самым, казалось бы, причудливым
ответам (реакциям) на возмущаю-
щие воздействия. На самом деле эти
ответы в точности подчиняются про-
стому закону (3-82), в котором,
однако, направления вращающего
момента L и момента S различны.
На рис. 3-26 схематически пред-
ставлен волчок, ось которого накло-
нена. Сила тяжести F образует вра-
щающий момент L, стремящийся по-
вернуть ось волчка (положить его).
Однако благодаря его вращению
(о) он уже обладает моментом им-
пульса (моментом количества дви-
жения) S=Zco, направленным по его
оси вращения. Под влиянием вра-
щающего момента L происходит из-
менение момента импульса dS, рав-
ное импульсу вращающего момента
Ldt. В результате ось волчка пово-
рачивается, описывая конус, так как
в любом ее положении вращающий
момент L направлен перпендикуляр-
но плоскости, в которой лежат сила
F и ось волчка, имеющего момент S;
такое движение волчка называется
прецессией.
Уравнение гиромагнитного дви-
жения. Частица с магнитным мо-
ментом т, находясь во внешнем
магнитном поле В, испытывает вра-
щающий момент
L—m X В, (3-86)
8—476
105
стремящийся ориентировать m по
направлению поля (так, например,
действует земное поле на стрелку
компаса).
Однако частица одновременно
обладает моментом количества дви-
жения
s= — ш/у, (3-87)
поэтому движение частицы (поворот
ее момента s) определяется уравне-
нием
dsjdt—m X В (3- 88)
или
ds=mXBd/. (3-89)
Подчиняясь этому уравнению,
частица повернется в плоскости,
нормальной к В (рис. 3-27); и это
вместо приближения магнитного мо-
мента m к направлению поля В.
или
dmjdt—y BXm. (3-91)
От последнего выражения легко
перейти к уравнению для намагни-
ченности М: полагая, что в единице
объема содержится N частиц с оди-
наковыми моментами m и s, нахо-
дим, что
М-Мп, (3-92)
поэтому, умножая обе части уравне-
ния (3-91) на N, приходим к следую-
щему фундаментальному уравнению
теории магнетизма:
d№/dt=yBXM. (3-93)
Это уравнение описывает прецес-
сию (прецессионное вращение) век-
тора М вокруг В; его часто называ-
ют уравнением Ландау — Лифшица^
хотя последнее отличается присутст-
Рис. 3-28.
На рис. 3-27 m направлено по
оси г, s =—гп/у— по оси —г, В —
по оси х. В этом случае вращающий
момент L=mXB направлен по оси
у. По оси у направлено и прираще-
ние момента ds.
Приращение магнитного момента
dm — — yds (3-90)
при этом направлено по —у.
Магнитный и спиновый моменты
частицы по абсолютной величине,
т. е. т л 5, остаются постоянными,
поэтому изменения dm и ds происхо-
дят только за счет поворота ча-
стицы.
Умножая обе части (3-88) на —у,
приходим к уравнению, описываю-
щему изменение только магнитного
момента,
—у ds 'dt—dm!tdt= — у m X В
вием еще одного слагаемого, приво-
дящего к затуханию прецессии.
Представим себе, что поле В вне-
запно возникло, оказалось направ-
ленным по оси z и сохраняет значе-
ние Во (рис. 3-28, а). Если в началь-
ный момент вектор М имел значение
Мо, то в соответствии с уравнением
(3-93) он будет описывать конус
с осью Во, как показано на рис. 3-28,а.
Это и есть прецессия.
Если учитывать неизбежное за-
тухание (хотя оно может быть очень
малым), то раствор конуса будет
непрерывно уменьшаться, как пока-
зано на рис. 3-28, б. В результате
вектор магнитного момента с тече-
нием времени окажется ориентиро-
ванным по внешнему полю Во.
Гиромагнитный резонанс. Пусть
маленькая ферритовая сфера нахо-
106
дится в постоянном поле Во, направ-
ленном по оси z (рис. 3-29). Пусть,
кроме того, на нее действует очень
малое переменное поле
6=&х==Вхсо5О)Л (3-94)
Наша задача состоит в исследо-
вании изменений намагниченности
сферы по уравнению (3-93).
Рис. 3-29.
случае Мо просто складывается с ве-
щественной частью М (подробнее
см. первую часть книги, § 4-2).
Перейдем к развернутому пред-
ставлению уравнения (3-93) в де-
картовых координатах. Так как ле-
вая часть есть производная, в ней
останутся только переменные со-
ставляющие, и в комплексной форме
эту производную можно записать
в такой форме:
—dM dt~ j <$(mxex+myey+mzez).
(3-95)
Чтобы найти все составляющие
правой части (3-93), запишем век-
торное произведение в форме опре-
делителя:
у В\М~ у
Во
. (3-96)
Естественно предположить, что
намагниченность М содержит по-
стоянную составляющую 7И0, на-
правленную по оси z, и малые пере-
менные составляющие mx, ту, mz.
Поскольку в правой части урав-
нения (3-93) содержится перемен-
ная величина fe = Bxcos cut, естествен-
но предполагать, что переменные тх,
ту, mz также могут быть представ-
лены как простые гармонические ко-
лебания той же частоты. Это пред-
положение позволяет перейти к
комплексному представлению пере-
менны?; величин, что мы будем обоз-
начать здесь знаком ~ над буквой.
При этом комплексная гармониче-
ская функция
mk=mkrne
= mkmZQs (со £+cc)=Re mk.
Комплексные гармонические
функции можно складывать с по-
стоянными. Например, имеет пря-
мой смысл запись
M0+mz^M0+mzrn cos (со /4-а),
недопустимая при пользовании
комплексными амплитудами М =
= те1а. Действительно, в последнем
При выполнении умножения бу-
дем считать, что произведение ма-
лых величин, например Ьту, имеет
малость второго порядка и может
быть отброшено.
Произведение гармонических
функций следует представлять про-
изведением вещественных частей
btn Re b Re т. При этом порядок
малости произведения остается рав-
ным | Ът |. Если один из множите-
лей — постоянная величина, напри-
мер Af0, то Re(Af06)=-WReb. Такое
произведение может быть представ-
лено гармонической функцией М0Ь.
В таком случае, раскрывая опре-
делитель, получаем, что
у ВХМ ~ у [—Вотуех+
+(Вотх—ЪМ0) ej. (3-97)
Приравнивая одноименные ком-
поненты (3-95) и (3-97), приходим
к системе уравнений
jamx=—yBomy-,
j со ту=у (Вотх— ЬМ0);
j атг=0.
(3-98)
8*
107
Решая эту систему относительно
тх и ту, находим, что
V25o-“
ту = —/ ~т . (3-996)
Y Д)
В найденном решении содержат-
ся два замечательных результата,
каждый из которых полностью под-
тверждается опытом. Во-первых, из
этих выражений со всей очевид-
ностью вытекает существование ре-
зонанса: если знаменатель в (3-99)
обращается в нуль, что происхо-
дит при
у2В02-со2, (3-100)
то конечные значения переменной
намагниченности (тх, ту) достига-
ются при сколь угодно малом значе-
нии переменного поля (b = bx). Явно
выраженные резонансные явления
действительно наблюдаются, когда
частота при заданном постоянном
поле или постоянное поле при за-
данной частоте достигает значений,
соответствующих равенству (3-100).
При поле Во=1ОООО гс (1 тл)
резонансная частота co = 2jtf=BoY =
= 1,76 • 1011 сект1 или f=2,8 • 1010 гц =
= 28 Ггц. Этой частоте соответствует
длина волны в вакууме ho = c/f=
= 1,07 см.
Второй замечательный результат
найденного решения: в переменном
поле, направленном по оси х, появ-
ляется, кроме тх, переменная сла-
гающая в ортогональном направле-
нии (ту).
Переходя от комплексных вели-
чин (3-99) к мгновенным значениям,
находим, что при резонансе
mx==mGcos<£> t и т^=тозтсоЛ (3-101)
Значит, переменная составляю-
щая намагниченности представляет
собой вектор, постоянный по вели-
чине и вращающийся со скоростью
со в плоскости х, у (рис. 3-29). Этот
эффект также наблюдается в опыте
и находит важное применение в сов-
ременной технике сверхвысоких ча-
стот.
Устройства для получения маг-
нитного поля порядка 1 тл сравни-
тельно тяжелы и громоздки. Для
волн короче 1 см требуется дальней-
шее увеличение постоянного поля,
что затрудняет практическое приме-
нение устройств, основанных на
ферромагнитном резонансе в обыч-
ных ферритах. Однако, применяя
материалы с большими внутренними
полями (собственное поле анизо-
тропных ферритов), удается значи-
тельно расширить область примене-
ния резонансных эффектов.
3-4. ДИЭЛЕКТРИК
В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ
Ток поляризации и ток смеще-
ния. Изменение поляризации со-
провождается движением связанных
зарядов. В самом деле, по опреде-
лению
Р = <91 >. (3-102)
Изменение момента отдельных
диполей (gi) всегда можно предста-
вить как изменение расстояния 1
между зарядами ±q при неизмен-
ности самих зарядов. В таком
случае
dP)dt= <?dl/d/> = <?v>; (3-103)
здесь знак < > по-прежнему обоз-
начает усреднение по объему (и от-
несенное к единице объема).
Правая часть последней форму-
лы выражает среднюю скорость
движения связанных зарядов (от-
несенную к единице объема),
т. е. плотность тока, образуемого
движением связанных зарядов при
изменении поляризации; ее называ-
ют плотностью тока поляризации
Jp=dP/dZ. (3-104)
Из сказанного следует, что в пер-
вом уравнении Максвелла правая
часть должна содержать, кроме
плотности тока переноса свободных
зарядов (J) и тока смещения в ва-
кууме, еще и плотность тока поля-
ризации
rot H=J+e0^- + ^-. (3-105)
dt dt
Пользуясь вектором D, этому
уравнению можно придать и такой
вид:
rotH=J+^- = Jn, (3-106)
dt
108
по-прежнему называя правую часть
плотностью полного тока (включаю-
щего и плотность тока электриче-
ской поляризации).
Слагаемое dD/d£ называют плот-
ностью тока смещения.
Однако два слагаемых плотности
тока смещения z^dlLIdt и dPjdt ис-
толковываются различно — второе
слагаемое определяется изменением
состояния вещества и ему соответст-
вует движение зарядов, хотя и свя-
занных; первое выражает только
одно из свойств собственно электро-
магнитного поля — изменяющееся
электрическое поле есть вихрь маг-
нитного поля и может сопровож-
даться магнитным полем.
Запаздывание поляризации. В
тех случаях, когда поляризация сре-
ды обусловлена смещением элект-
ронных орбит (неполярные молеку-
лы), образование момента происхо-
дит практически немедленно вслед
за появлением электрического поля.
Напротив, в случае полярных моле-
кул, когда поляризация происходит
за счет поворота молекул, образова-
ние среднего момента происходит
с некоторым запаздыванием, раз-
личным для разных диэлектриков.
Естественно, что в переменных
полях благодаря запаздыванию про-
ницаемость диэлектриков умень-
шается с ростом частоты; так, для
большинства магнетодиэлектриков
(ферритов) электрическая прони-
цаемость не превосходит ~ 12 при
частоте, измеряемой в гигагерцах
(109 гц).
Как правило, большим запазды-
ванием обладают диэлектрики с
большей проницаемостью, хотя су-
ществуют и отдельные исключения
(например, проницаемость рутила
остается больше 100 даже при
сверхвысоких частотах).
Запаздывание поляризации ли-
нейной среды в простейшем случае
описывается дифференциальным
уравнением 1
1 Этому уравнению можно дать такую
словесную формулировку: скорость измене-
ния поляризации (dP/dt) пропорциональна
разности между поляризацией в устано-
вившемся режиме (Рсо=8о^э£’) и фактиче-
ски достигнутой к данному моменту време-
ни [Р(/)=Р].
(3-107)
dt
Из этого уравнения сразу видно, что
при установившемся режиме и по-
стоянном поле (dPldt=G) поляриза-
ция по-прежнему характеризуется
восприимчивостью йэ. Однако при
dPldt>G, т. е. в процессе нараста-
ния, поляризация меньше своего
установившегося значения:
P—&G k3E — xdPjdt =
= &ok3(E — a dP/dt). (3-108)
Слагаемое в круглых скобках может
рассматриваться как эффективное
(действующее) поле, ослабленное
«трением».
Уравнения, подобные приведен-
ному, очень часто встречаются в фи-
зике. Поэтому как смысл отдельных
слагаемых и коэффициентов, так
и решение нового уравнения для
различных режимов легко находят-
ся из его сопоставления с хорошо
изученными. Так, например, полезно
провести сопоставление с уравнени-
ем для цепи последовательно вклю-
ченных С и R:
ис+х~ = и, (3-109)
где x = RC— постоянная времени.
Интересно и сопоставление с
классическим уравнением механики
x + x-^L = kf, (3-110)
которое описывает упругую дефор-
мацию, например растяжение х пру-
жины при наличии трения, пропор-
ционального скорости. Такое трение
называют вязким или ньютоновым.
Уравнение (3-107) решается
очень просто. Например, при нуле-
вых начальных условиях и ступенча-
том изменении напряженности поля
E=E^l(tY.
P = 4k3E0(\-e-tlz}. (3-111)
Для установившегося гармониче-
ского режима целесообразно пред-
ставлять в комплексной форме как
само уравнение (3-107)
Р + т/о)Р = ^k3E, (3-112)
так и его решения
Р = е0—-------Ё. (3-113)
0 1 4- /сох v
109
Очевидно, что в рассмотренном
случае электрическое смещение
в комплексной форме представляет-
ся равенством
D = 80 £ + / = е0Ё (3-П4)
1 + /сот;
При (от<1+&э, т. е. для диэлектри-
ков с большой проницаемостью
1, а также для малых значений
сот можно заменить последнее урав-
нение приближенным выражением
Ь = е0-±±^-Ё. (3-115)
1 + /сот
Напротив, при больших сот и, в част-
ности, при сот—> оо только полное
выражение (3-114) дает физически
правильный результат
D^z0E. (3-116)
Комплексное представление вос-
приимчивости и проницаемости.
Сохраняя для переменных полей
прежние определения восприимчи-
вости и проницаемости, мы должны
представлять эти коэффициенты
комплексами, как это следует, на-
пример, из последних выражений.
Если нужно подчеркнуть комплекс-
ный характер этих коэффициентов,
их можно снабжать знаком тильда
(~):
8 = s' — /е"; k = k' — /Г; (3-117)
знаками штрих и два штриха будем
обозначать соответственно вещест-
венную и мнимую части комплексов.
В таком случае из (3-113)
£ = 8о^£ = £
1 + /СОТ
находим, что
k^k' — jk" = —— =
1 + /сот
=----------(3418j
1 + (®т)2 1 + (сот)2
здесь £э=£(0) =Л(0) —восприимчи-
вость при со = О. Аналогично из
(3-114)
£) = 808£ = 8еЦАд±^Ё
1 4- /сот
находим, что
8 = 8х — /в" =
= 8 (0) + (СОТ)2 _ . [8(0)—1] СОТ /3_ J | 9Ч
1 + (сот)2 7 1 + (сот)2 ’ 1 '
где 8 (0) = 1 + kd — проницаемость
при со ->0.
Как видно из полученных выра-
жений, и восприимчивость и прони-
цаемость могут зависеть от частоты.
Частотные характеристики подоб-
ных выражений уже рассматрива-
лись в первой части книги, где так-
же было показано, как эти характе-
ристики связаны с переходными
процессами [§ 5-6, формулы (5-139)
и следующие; § 12-4, пример 12-1
и рис. 12-3, а].
Частотные характеристики вос-
приимчивости могут иметь и более
сложный характер. Однако во мно-
гих случаях они сводятся именно
к зависимости, выражаемой уравне-
нием (3-118). Коэффициент т носит
название постоянной времени или
постоянной релаксации. При этом
и дифференциальное уравнение и
все следствия из него, включая ча-
стотную характеристику, называют
релаксационными.
Годограф, т. е. геометрическое
место комплекса А (/со), на комплекс-
ной плоскости представляется кру-
говой диаграммой, как это было по-
казано в первой части книги. Такой
годограф называют иногда Коль—
Коль диаграммой, так как на нее
обратили особенное внимание
братья Коль при изучении диэлект-
риков.
При любой частотной зависи-
мости е(/со) между полной зависи-
мостью от частоты ее мнимой и ее
вещественной частей существует
строго определенная связь, если ди-
электрик остается линейным; эту
связь выражают дисперсионные со-
отношения Крамере — Кронига 1:
/ / \ 2 С ®8" (W) Л 1 г / \
8 ((0х) = - I ——H-dco + 8 (оо);
Я J (О2 — CDf
о
// / \ 2 Г 8' (<о) 1
е (®х) =-----©1 -2-v ’-—da,
71 J to2 — cof
о
где coi — частота, при которой опре-
деляется проницаемость. Так, на-
пример, не может существовать по-
стоянство вещественной части при
1 См. [Л. 3-4, § 7-4].
110
мнимой части, отличной от нуля:
£, = const только при условии 8Z, = 0.
Заметим, что существующие зависи-
мости подобны частотным характе-
ристикам двухполюсников.
Когда в данных экспериментах
нарушаются соотношения Кра-
мере— Кронига, можно с уверен-
ностью утверждать, что эти данные
ошибочны, если измерения относят-
ся к линейным диэлектрикам.
У многих диэлектриков частот-
ная характеристика содержит не
одну а две п и ?2 (или даже не-
сколько) постоянных времени (см.
рис. 3-30).
Реактивная и активная состав-
ляющие плотности тока смещения.
В отсутствие запаздывания плот-
ность тока смещения опережает по
фазе напряженность поля ровно на
.п/2:
j — ](£)ё0 гЁ. (3-120)
Ток смещения находится в квадра-
туре с напряженностью поля и мо-
жет быть назван реактивным. Так
обстоит дело только при отсутствии
запаздывания процессов поляриза-
ции. Но когда изменения поляриза-
ции запаздывают относительно из-
менений поля, ток смещения опере-
жает по фазе напряженность поля
меньше чем на л/2; а это значит, что
появляется слагающая тока смеще-
ния, совпадающая по фазе с напря-
женностью поля (см. первую часть
книги, § 5-6, рис. 5-56). В токе сме-
щения появляется активная состав-
ляющая.
Все сказанное выражается комп-
лексным значением проницаемости,
имеющей отрицательную мнимую
часть. Действительно, в случае
комплексного 8 плотность трка сме-
щения выражается формулой
j = /С0808 Ё = (/(080 8Z + С080 8/Z)E. (3-121)
Второе слагаемое в правой части
выражает слагающую тока сме-
щения
Л-(0808"£, (3-122)
которая совпадает по фазе с напря-
женностью поля; эта слагающая мо-
жет быть названа активной. Суще-
ствование такой слагающей обуслов-
лено рассеянием мощности; в соот-
ветствии с законом Джоуля
PQ = JaE = ^efE2. (3-123)
Отношение ez//ez часто называют
тангенсом угла потерь:
tg6 = 8"/8z. (3-124)
[см. также первую часть книги,
§ 5-6, рис. 5-56 и 5-57, формулы
(5-123) и (5-132)]. По формулам
(3-123) и (3-124)
P0-€0808Z£2tg6. (3-125)
При малых значениях tgd с доста-
точной точностью можно считать
е= je| ~8Z (с точностью порядка 1 %
при tg 6^0,1). В таком случае
в (3-125) вместо 8Z можно писать
просто 8
P0 -(0808E2tg6. (3-126)
Последняя формула применяется
к хорошим диэлектрикам, у которых
tg д составляет сотые, тысячные
и даже десятитысячные доли еди-
ницы.
Диэлектрические потери. Мощ-
ность Ро, рассеиваемая в диэлектри-
ке даже при отсутствии проводи-
мости, называется мощностью ди-
электрических потерь. В соответст-
вии с уравнением (3-108) она может
быть истолкована как потери, об-
условленные трением при изменении
поляризации. Наличие диэлектриче-
ских потерь сопровождается нагре-
вом диэлектрика. Высокочастотный
нагрев диэлектриков находит широ-
кое практическое применение: им
пользуются в технологии различных
111
пластиков, для прогрева резины,
в технологии пищевой промышлен-
ности, при варке стекла и т. д.
Несовершенные диэлектрики и
плохие проводники. Все диэлект-
рики всегда в большей или меньшей
мере несовершенные изоляторы —
они обладают хотя бы и очень ма-
лой, но все же конечной проводи-
мостью (о^О). Поэтому в перемен-
ном электрическом поле [см.
уравнение (3-106)] полный ток об-
разуется суммой тока проводимости
(7=о£) и тока смещения. При этом
для гармонического поля и устано-
вившегося режима первое уравне-
ние Максвелла в комплексной фор-
ме принимает такой вид:
rot Н = (о + /соео е) Ё =
= [а + /соо 8 (е' — /в")] Ё. (3- 127а)
или
rotH = [а+(080 8"+/сд80 8'] Ё. (3-1276)
В последнем равенстве комплексная
проницаемость представлена через
вещественную в' и мнимую s/z со-
ставляющие по (3-117); проводи-
мость представлена как веществен-
ная величина о, что почти всегда
справедливо вплоть до самых высо-
ких радиочастот.
Электрические свойства вещест-
ва для переменного поля заданной
частоты характеризуются всеми сла-
гаемыми внутри скобок (3-127).
Мнимая часть диэлектрической про-
ницаемости (ez/) обусловливает сла-
гающую тока, совпадающую по фа-
зе с током проводимости. Поэтому
по эксперименту в переменном поле
практически нельзя отличить сла-
гаемые о и со8о8,/, представляющие
собой вещественную часть множите-
ля при Е в правой стороне первого
уравнения Максвелла.
Эквивалентная проводимость и
эквивалентная проницаемость. Весь
множитель при Е в правой части
первого уравнения Максвелла,
т. е. всю скобку в (3-127), можно
представить одним комплексным
множителем. При этом можно запи-
сать уравнение или как для прово-
дящей среды, вводя эквивалентную
проводимость СГЭКВ,
rotH-(J3KBE, (3-128)
или же как для диэлектрической
среды, вводя эквивалентную комп-
лексную проницаемость 8ЭКВ:
rot Н — 8экв Ё. (3-129)
Сопоставляя (3-127) —(3-129), легко
найти,что
°экв ~ °1 ~Г /°2 ~
= 0)^0 8" + ez (3-130)
и что
8экв = 81 /82 =
= е' —/ (г," 4- . (3-131)
\ 80О /
При этом в эквивалентную мнимую
составляющую проницаемости вхо-
дит и эквивалентный учет проводи-
мости 1
е2==е" + —(3-132)
В соответствии с последними
двумя равенствами очевидно, что
тангенс угла полных потерь среды
с эквивалентной проницаемостью
8экв
tg ^экв “ ег/е1 “
= (<* + 8о ®е,,)/8о (3-133)
В этом случае полные потери
мощности могут быть выражены так
Ро = co8oE2E2=(D8oe1tg6SKB£2. (3-134)
Граничные условия на поверхно-
сти раздела двух несовершенных
диэлектриков. Условие для нор-
мальных слагающих напряженности
электрического поля в этом случае
усложняется необходимостью учиты-
вать как диэлектрическую проницае-
мость, так и проводимость. Посколь-
ку токи проводимости (если ./Па=£
=^/пь) могут приносить на поверх-
1 Если появляются мнимая составляю-
щая проводимости и частотная зависимость
о(/со) = o,-J-/o", то при аналитическом опи-
сании соответствующие эффекты могут
быть отнесены к эквивалентной проницае-
мости или проводимости, выражаемой фор-
мулами (3-130) и (3-131). Вещественный
или комплексный характер подставляемой
в них проводимости влияет только на рас-
четно определяемое разделение эквива-
лентных параметров на отдельные состав-
ляющие; это разделение носит в значитель-
ной мере произвольный характер. Конечно,
есть случаи, когда может оказаться целесо-
образным вводить в (3-127) — (3-131) комп-
лексное о = о (/со) вместо вещественного.
112
ность раздела свободный заряд, по-
стольку простейшее условие (З-Зба)
^па ~ &Ъ ЕпЪ*
неприменимо. При этом усложняет-
ся формулировка граничных усло-
вий.
Значительно более простой ре-
зультат получается, если обратиться
к первому уравнению Максвелла
в комплексной форме с эквивалент-
ной комплексной проницаемостью
(3-129).
Поскольку дивергенция всякого
ротора тожественно равна нулю,
вектор 8ЭквЁ = еЕ не имеет источни-
ков и, следовательно, на поверх-
ности раздела двух диэлектриков
а' и b
&а ^па Ч ЁпЬ’
(3-135)
Точно так же
^па — Е nbi (3" 136)
поскольку о=сГэкв отличается от 8 =
==8экв лишь постоянным множите-
лем /о)8о.
Для тангенциальных составляю-
щих на поверхности раздела двух
сред сохраняется ранее выведенное
условие
= (3-137)
Пользуясь выведенным выраже-
нием граничных условий, легко рас-
считать поле, например, в двуслой-
ном плоском конденсаторе с комп-
лексными проницаемостями, поль-
зуясь шаблонным расчетом для кон-
денсатора с идеальной изоляцией.
Очевидно, что емкость такого кон-
денсатора выражается комплексной
величиной:
„ S&a &Ь
+ Ь&а
(3-138)
где S — площадь электродов, а
и b — толщины слоев с эквивалент-
ными проницаемостями га и (см.
пример 3-1).
Из равенства (3-135) видно, что
напряженности поля Еа и Еъ в об-
щем случае не совпадают по фазе
(см. ниже пример 3-17). Более слож-
ный расчет поля в среде с комплекс-
ными проницаемостями рассматри-
вается в следующей главе (§ 4-6).
Свободный и связанный заря-
ды при комплексных параметрах
среды. В тех случаях, когда из
комплексного параметра среды мож-
но отчетливо выделить значение
проводимости ст, естественно опреде-
лять свободный заряд, основываясь
на формуле
div J=div (оЁ) = — /сор; (3-139)
здесь р — комплексное значение объ-
емной плотности свободного заряда.
На поверхности раздела двух
сред плотность поверхностного сво-
бодного заряда определяется урав-
нением
/<oQs ~ ^па Jnb “
— оа Ёпа ЁпЬ, (3-140)
где положительное направление для
нормальной слагающей плотности
тока Jna соответствует притеканию
зарядов к поверхности раздела;
противоположное можно сказать
о нормальной слагающей плотности,
тока Jnb.
Пример 3-17. Конденсатор примера 3-4
приключен к напряжению £7=2,5 кв при ча-
стоте: A) /=50 гц и Б) /=5 кгц.
Определить: I) напряженность поля в
слоях а и Ь; 2) плотность свободного заряда
Qs=Qab на поверхности раздела двух ди-
электриков.
Решение. Из уравнений
гаЁа = ^ЬЁь и аЁа + ЬЁь = и, (а)
где
8а,Ь = 8а.ь+ > (б>
находим для данных примера 3-4 (в кв!см):
А) Ёа = 7,12Z—27°40'; Ёь = 10,9Z4°20';
Б) £а=3,33; Ёъ = 11,65. В последнем случае
распределение напряженности поля прак-
тически совпадает с распределением при
СГ~О И 8а = Еа, 8й=8ь. НаПОМНИМ, ЧТО Еа =
= кв!см при со-^0 (пример 3-4).
2) Зная Ёа,ъ и о, находим по (3-140)
плотность свободного заряда на поверхно-
сти раздела диэлектриков (к/сл*2):
A) Qs=(— 1,98-Ь/ 2,20) 10-9; Б) Q’ =
=/3,97. 10-11.
Напомним, что при со->0 (пример 3-4)
плотность свободного заряда на поверхно-
сти раздела двух диэлектриков составляла
Qs = — 4,43- 10~9 к!см2.
113
Проверка.- Интересно проверить по-
лученные результаты для поверхностной
плотности свободного заряда, пользуясь
формулой
Qs — £>nb £>па — ео (е6 Ёь Ёа)> (в)
эта формула прямое следствие общей тео-
ремы Гаусса и безусловно должна быть
применима.
А) При f—50 гц находим Qs=(—1,97+
+/2,2) • 10-9 к! см2. Б) При /=5 кгц невоз-
можно произвести проверку путем прямого
вычисления со счетной линейкой, так как
. при этой частоте
Za — ея + ---= 7 — / 0,054 « 7,
/СО8о
^ = 2-/0,054^2. (г)
Найденные при таком приближении зна-
чения Ёа и Еь приводят к результату
&аЕа—въЕъ^О. В этом случае надо продол-
жить алгебраические преобразования и
лишь после производить вычисления, в ко-
торых уже отчетливо выступит разность
очень близких величин, но все же отличных
от нуля.
Из формул (а) и (б), приведенных в
начале примера, легко найти Еа и Ёъ в об-
щем виде. Подставляя эти выражения в
(в), найдем, что
Qs=e0 (е6 еа — еа еь). (д)
Ьеа + ое&
В знаменателе, последнего выражения мож-
но спокойно применить приближение (г),
т. е. полагать 8а~8а, —8^. Напротив, для
выражения, стоящего в скобках, такое при-
ближение недопустимо. Подставляя без при-
ближения значения эквивалентных комп-
лексных проницаемостей из (г), находим,
что
еь — 8а 8ь = а (еь—8а)//Ю8о •
В результате по (д) находим, что Qs —
=/3,97* 10“п к!см2, что совпадаете резуль-
татом, найденным по формуле (в).
Проводник или диэлектрик? Как
видно из выражений для эквива-
лентной комплексной проводимости
(3-130), она зависит от частоты. За-
висит также от частоты и эквива-
лентная проницаемость (3-131).
Очевидно, зависит от частоты и тан-
генс угла полных потерь, как это
видно, в частности, из формулы
(3-133).
Если предположить 8z/~0 и 8Z =
= const (или даже в некотором диа-
пазоне частот szz = const ^=0 и sz =
= const), то очевидно, что с ростом
частоты происходит относительное
возрастание мнимой слагающей
€>экв— это значит, что происходит
относительное возрастание токов
смещения по сравнению с токами
проводимости. В условиях принято-
го ограничения с ростом частоты
уменьшается тангенс угла потерь
(3-133).
Пусть, например 8zz/8z = const<l.
В таком случае при низкой частоте
среду можно рассматривать как
проводник
(7+(0808ZZ>(0808Z ПрИ (О < С0ъ (3-141)
а при высокой частоте как диэлект-
рик
C080 8Z О' + (D80 8Z/ — (080 82
при СО > СОЛ . (3-142)
В первом случае можно утверж-
дать, что мы имеем дело с провод-
ником, хотя бы и плохим, если о ма-
лая величина, например порядка
10~4 сим)см в случае влажной поч-
вы. Во втором случае среду следует
считать диэлектриком, хотя бы и не-
совершенным. Так, например, в слу-
чае той же почвы можно считать
8~8Z~2 при очень высоких часто-
тах. В таком случае почва остается
проводником при f<9 Мгц-. о =
= 10-4 сим/см ^CD8o8Z<lO~5 cumIcm.
Почва должна рассматриваться как
диэлектрик с tg6<0,1 при частотах
f > 900 Мгц, так как при этом сг =
= 10~4 CUM/СМ <C08o8Z>10~3 сим/см.
Такое разделение на проводники
и диэлектрики имеет смысл глав-
ным образом при исследовании
распространения электромагнитных
волн — несколько схематично счи-
тают, что электромагнитные волны
отражаются от проводящей среды
и не могут распространяться в ней;
напротив,’ волны распространяются
в диэлектрике и затухание волн тем
меньше, чем меньше tg6.
В электротехнике и прежде все-
го в технике высоких напряжений
иногда важно знать распределение
напряженности поля по изоляции.
Как видно из формулы для эквива-
лентной проводимости (3-130), при
частоте, стремящейся к нулю, оЭкв~
и от диэлектрических свойств
изоляции ничего не остается — в по-
стоянном поле распределение напря-
женности определяется только про-
водимостью; напротив, при высокой
114
*
частоте распределение поля в изо-
ляции может определяться диэлект-
рическими свойствами.
Для" простоты рассуждений вы-
ше было наложено ограничение 8ZZ=
= const и 8Z = const. На самом деле
во многих средах проницаемость за-
висит от частоты, т. е. ezz (со) и 8Z (со).
При этом наблюдаются такие эф-
фекты: материалы в поле низкой
частоты (например, стекло, бумага,
пропитанная лаком, и т. п.) ведут
себя как превосходные изоляторы
с очень малым о и достаточно ма-
лым tg6, но с ростом частоты резко
падает 8Z, растет ezz и соответствен-
но tg6. Подобный материал переста-
ет выполнять функции изолятора,
а в сильных полях начинает недопу-
стимо нагреваться.
Интересно, что ионосфера, окру-
жающая Землю, оказывается хоро-
шим проводником и не пропускает
через себя радиоволны как сравни-
, тельно низкой, так и очень высокой
частот; поэтому для связи с косми-
ческими кораблями и для радиоаст-
рономических наблюдений пригод-
ны только определенные диапазоны
частот.
Частотные характеристики и пе-
реходные процессы. Полнота ин-
формации, даваемая частотной ха-
рактеристикой линейной цепи, хоро-
шо известна. Такую же полноту для
расчета поля дает характеристика
8 (/со) или о (/со). При расчете гар-
монического поля в расчет вводятся
г или о, соответствующие заданной
частоте. Иначе обстоит дело при
апериодическом возмущении. Дейст-
вительно, апериодическое возмуще-
ние содержит целый спектр частот,
а разным частотам соответствует
разная реакция, поскольку парамет-
ры среды зависят от частоты.
При расчете переходного процес-
са очень удобно пользоваться опе-
раторным выражением эквивалент-
ных параметров среды, заменяя /со
на р в выражениях 8 или о. При
этом получаем операторные выра-
жения эквивалентных проницаемо-
сти и проводимости:
8Э (р) = 8 (р) + ст/ре0; (3- 143а)
(р) = <т + Р80 8 (р). (3-1436)
Последние формулы написаны в
предположении, что проводимость
(о) не зависит от частоты, а прони-
цаемость зависит; нужно заметить,
что речь идет именно о проницае-
мости 8=8Z—j&", а не только об эк-
вивалентной проницаемости. При
этом проницаемость представляется
в операторном виде 8(р). Так, для
частотной зависимости релаксаци-
онного типа (3-119) операторная
проницаемость
8(р)= s(0) + pT. (3-144)
1-Ьрт
Следует твердо запомнить, что пе-
реход к операторному представле-
нию возможен только от полной
функции комплексного аргумента
/со путем замены /со на р; поэтому
не существует операторного выра-
жения для 8Z, или 8ZZ, заданных чис-
ловыми значениями, для какого-ни-
будь значения (или диапазона) час-
тот.
Если известно, как выражается
в установившемся режиме реакция
на гармоническое возмущение че-
рез комплексные параметры среды,
то переходный процесс при аперио-
дическом возмущении можно найти,
заменяя в найденном выражении
параметры среды их операторным
выражением. Разумеется, что при
этом внешнее возмущение должно
быть представлено в операторной
форме. Наиболее просто решение
выражается при нулевых началь-
ных условиях. Решение для ненуле-
вых начальных условий проще все-
го ищется методом суперпозиции.
Пример подобного расчета приведен
в § 4-7.
Частотные характеристики сре-
ды представляют значительный ин-
терес не только с точки зрения рас-
чета поля в заданной среде, но
и как средство изучения физико-хи-
мических свойств и структуры изу-
чаемого вещества.
Конденсатор в электрической це-
пи при заданном изменении поляри-
зации1. В развитие примера 3-2 рас-
смотрим здесь конденсатор, замкну-
тый на внешнюю цепь. Для просто-
ты расчетов полагаем внешнюю
1 См. теорему о наведенном заряде
§ 4-12, в частности примеры 4-26 и 4-27.
115
цепь в виде простого сопротивле-
ния R. Общие методы расчета пере-
ходных процессов (первая часть
книги) позволяют без труда произ-
вести дальнейшие обобщения, пола-
гая конденсатор замкнутым на опе-
раторное сопротивление z(p).
Пусть между электродами плос-
кого конденсатора (рис. 3-31) рас-
положена пластина, поляризация
которой внезапно принимает значе-
ние Pq и остается постоянной. Мож-
но представить себе, что поляриза-
ция обусловлена внезапно прило-
женным механическим давлением
на пластину. Конденсатор замкнут
на сопротивление R.
Требуется найти напряжение на
конденсаторе uc(t). Площадь пла-
стины и электродов конденсатора S,
толщина пластины а, воздушный за-
зор между электродами и пла-
стиной Ь.
При /<0 конденсатор не был за-
ряжен (ис = 0, Р=0) —это необхо-
димое начальное условие, достаточ-
ное в том случае, когда конденсатор
замкнут на сопротивление1 * *.
Для рассматриваемой системы
составим следующие уравнения:
ис =Ф1 — q)z=iR=Eaa+Ebb (3-145а)
и
Da^eQEa+PQ=Db^&0Eb^Qs (3-1456)
(электрическое смещение в воздухе
и пластине одинаково, так как на
разделяющей их поверхности нет
свободного заряда; оно равно по-
верхностной плотности заряда на
1 Когда в цепи имеется еще индуктив-
ность, в начальные условия должен вхо-
дить ток, равный Cduddt.
внутренней стороне электрода /)~
Но ток в цепи равен скорости убы-
вания заряда на верхней пластине
i - — SdQJdt, (3-146>
что непосредственно следует из за-
кона сохранения количества элек-
тричества. Этот ток замыкается то-
ком смещения в вакууме
i = —SdDb/dt. (3-147>
Поскольку Db = Qs, обе формулиров-
ки тожественны.
Очень важно обратить внимание
на то, что составление всех написан-
ных уравнений обязательно требова-
ло выбора (произвольного) поло-
жительных направлений Е, Р, i, ис-
Как этот выбор сделан, ясно из рис.
3-31 и уравнений (3-145)—(3-147).
После исключения всех неизвест-
ных, кроме Qs, приходим к диффе-
ренциальному уравнению
q = р (3-148}
dt e0RS s 80#S 0 v 7
Необходимое начальное значе-
ние Qs очевидно: Qs(0)=0. Действи-
тельно, конденсатор предварительно^
не был заряжен, а при конечном
значении тока за бесконечно малый
интервал времени изменение заряда
равно нулю.
Решая полученное уравнение,
находим, что
Qs = -7-7 Л (1 - ), (3-149}
а + b
где T=80#S/(a+6) Со —ем-
кость конденсатора при отсутствии
поляризации.
Зная Qs(/), легко найти ток, нап-
ряжение, а также напряженности
поля ЕакЕь:
1=——Рое~(,\ ur = iR-
e0R с
Р-а — (Qs Р о)Ч---------------Р О
Ь + аг
(а + Ь) е0
Еь = Ро-----------
(а + Ь) е0
(1-е~П
Интересно обратить внимание на то,
что поляризация и напряженность
поля внутри поляризованного слоя
направлены противоположно, т. е..
поле стремится деполяризовать ди-
электрик. В начальный момент
116
(/ = 4-0) напряженность поля вну-
три диэлектрика
£fl(+O)--PoMo (3-150)
и, следовательно, смещение
АД + 0) =Д>(+0) равно нулю. Это
соответствует отсутствию заряда на
электродах и отсутствию поля в воз-
душном зазоре
Д>(+0)=0. (3-151)
При установившемся режиме
(/->оо) напряжение на конденсато-
ре обращается в нуль, хотя конден-
сатор обладает зарядом
Qs(°°)=—~7’Л> (3-152)
a -j- b
и внутри него существует поле
а р
(3-153)
(очевидно, что при этом ис = аЕа +
+ ЬЕЪ = О),
Существование этого поля и за-
ряда обнаруживается во внешней
цепи при исчезновении поляризации.
3-5. ФЕРРОМАГНЕТИК
В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ
Характеристика основных эффек-
тов. Изменяющееся магнитное по-
ле сопровождается полем электри-
ческим. Электрическое поле в про-
воднике вызывает ток. По закону
Ленца ток всегда направлен так,
чтобы противодействовать измене-
нию магнитного поля. Этот эффект
в случае металлических ферромаг-
нетиков в переменном поле играет
первостепенную роль. Он рассмат-
ривается в гл. 6. Все же нельзя го-
ворить о ферромагнетиках в пере-
менном поле, не упомянув хотя бы
о существовании этого эффекта.
Вследствие него (размагничиваю-
щее действие вихревых токов) сред-
няя проницаемость ферромагнитных
сердечников изменяется с частотой
(убывает с ростом частоты). При
этом, разумеется, появляется и теп-
ловое рассеяние электромагнитной
энергии (джоулево тепло вихревых
токов).
Но помимо вихревых токов су-
ществует и непосредственная зави-
симость самой магнитной проницае-
мости вещества от частоты.
Поведение реальных ферромаг-
нетиков в переменных полях значи-
тельно осложняется их нелиней-
ностью.
Комплексная восприимчивость и
проницаемость. Изменение намаг-
ниченности отстает от изменений по-
ля точно так же, как электрическая
поляризация. Этот эффект может
быть учтен в линейной области вве-
дением комплексных значений
k=k' — jk"\ р-р/—/р/'== 1-p-fe.
(3-154)
Если изменение намагниченности
характеризуется «вязким» или нью-
тоновским трением, т. е.
ЛЯ-т-^-=МЛ (3-155)
at
то восприимчивость в условиях пе-
ременного (гармонического) поля
выражается комплексом, зависящим
от частоты,
k == k' — jk"=——— , (3-156)
(Ц-/от)’
где £м=£(0)—восприимчивость в
постоянном поле (со->0).
Решение дифференциального
уравнения (3-155) приводит в слу-
чае ступенчатого изменения поля
к известной рела-
ксационной зависимости
М(0=МЛ)(1-е_*Л). (3-157)
На рис. 3-32 представлена частот-
ная характеристика проницаемости
двух типов никель-цинковых фер-
ритов, близкая к определяемой
уравнениями (3-154) и (3-156). Час-
то наблюдается спад проницаемо-
сти, характеризуемый не одной,
а несколькими постоянными рела-
ксации Ti, Т2-. (см. рис. 3-30).
Спад магнитной проницаемости
при больших частотах наблюдается
практически у всех ферромагнети-
ков. При этом речь идет не о раз-
магничивающем действии вихревых
токов (§ 6-2), а о спаде самой про-
ницаемости. Предположение о су-
ществовании вязкого трения в ряде
случаев хорошо объясняет наблю-
117
даемые явления. Как правило, в ма-
териалах с большой проницаемо-
стью ее падение наблюдается при
более никой частоте. В ферритах из-
за их большого удельного сопротив-
ления (в миллионы раз большего,
чем у металлов) влияние вихревых
токов практически не сказывается.
Тем не менее при частоте 5—10 Мгц
их проницаемость заметно умень-
шается, если первоначально она бы-
ла велика (рис. 3-32).
Эллиптическая петля гистерези-
са. При комплексной проницаемо-
сти
IX - / p/z=р/ (1 — / tg 6) (3-158)
гармонические изменения магнит-
ной индукции отстают по фазе на
угол
6=arctgp"// (3-159)
от соответствующих изменений на-
пряженности поля
В cos (со t — б);
Н (/)= Нт cos со t. (3-160)
Нетрудно увидеть в последних двух
формулах параметрическое уравне-
ние эллипса (рис. 3-33). Его харак-
терные точки остаточной индукции
Вг, Н=0 и коэрцитивной силы В = 0,
Н=НС определяются уравнениями
Br—Bm cos ------8^ = Вт sin б
(3-1бГа)
и
Нс=Нт cos sin 6,
(3-1616)
как это прямо следует из (3-160).
Зная из графика еще значения
или Вт (на эллиптической петле они
не совпадают), легко найти значе-
ния tg6, | р |, р,' и р".
Как известно и как со всей стро-
гостью выводится в § 5-2, энергия,
рассеиваемая в единице объема за
один цикл, выражается площадью
петли гистерезиса (закон Варбур-
га). Поэтому рассеиваемая мощ-
ность (отнесенная к единице объе-
ма)
P0 = /(j)HdB, (3-162а)
а при Н(1 В
Ро = f j HdB. (3-1626)
Следовательно1, при гармониче-
ском законе (3-160)
1 Подставляя в (3-1626) значения Н
и В из (3-160), находим, что за один цикл .
(£ HdB = — НтВт J cos со/ •
oJ
• sin • (со/ — б) с/со/ = л НтВт sin б.
118
кВ
Рис. 3-34.
Ро=(О^8шб==СОИоЯ2фИ".
(3-163)
здесь 7УЭф — эффективное значение
напряженности поля, тогда как Н
и В — это мгновенные значения; при
выводе принималось во внимание,
что
I Нт и |р,| sin 6=ф". (3-164)
В действительности эллиптиче-
ская петля встречается редко и пре-
имущественно при малых амплиту-
дах поля или при высоких частотах.
На рис. 3-34 показано, как петля ги-
стерезиса приближается к эллипти-
ческой по мере увеличения частоты
(по данным Л. И. Рабкина [Л. 3-5]).
Эквивалентные параметры. Но
важнейшее значение комплексной
проницаемости и эллиптической пет-
ли состоит в возможности прибли-
женного представления действи-
тельных свойств ферромагнетиков
посредством параметров, в каком-
то отношении эквивалентных. Наи-
более часто эквивалентные парамет-
ры выбирают так, чтобы при дан-
ных со и Вт в действительном и эк-
вивалентном ферромагнетиках про-
исходило одинаковое рассеяние
мощности и были одинаковыми зна-
чения Нт.
Эквивалентные параметры легко
найти; так, если дано Pq, Вт и Нт,
по. (3-164) находим:
й=|ц' —/ц"|=вт/р.о//т, (3-165>
по (3-163)
|х"=Ро/®ц0 Я2эф (3-166)
и, наконец,
(з-167>
Построение эллиптической пет-
ли. Исходя из параметрических
уравнений эллипса (3-160), можно
определить его оси и построить весь
эллипс в координатах В, Н. Это
можно сделать или путем классиче-
ских преобразований (поворота)
координат, или же на основании
операций с комплексами, изложен-
ных в приложении 1.
Резонансные эффекты. Носите-
ли магнитного момента в ферромаг-
нетиках способны к свободным за-
тухающим колебаниям со своей соб-
ственной частотой. Очевидно, что
при этом возможны резонансы. •
В 1913 г. В. К. Аркадьев впер-
вые наблюдал зависимость магнит-
ной проницаемости от частоты в об-
ласти сантиметровых волн и наблю-
давшуюся зависимость объяснил
слабо выраженными резонансными
эффектами. Эффекты были слабы-
ми, и трудность их наблюдения в от-
сутствие современной высокочастот-
ной аппаратуры была очень велика.
К тому же наблюдения велись на
металлах (железо и никель). В на-
стоящее время резонансные эффек-
ты отчетливо наблюдаются и нахо-
дят существенное практическое при-
119'
менение в технике сверхвысоких ча-
стот. Резонанс наблюдается в фер-
ритах, гранатах иттрия и подобных
магнитных материалах, обладаю-
щих ничтожной проводимостью.
Проще всего резонанс наблюдается,
когда, кроме слабого магнитного по-
ля высокой частоты, на магнетик
воздействует большое постоянное
поле (§ 3-3). Постоянное поле мо-
жет создаваться внешним источни-
ком; такой же эффект могут оказы-
вать и внутренние поля анизотропии
(см. § 5-7). В некоторых ферритах
и редкоземельных гранатах затуха-
ние относительно очень мало и доб-
ротность системы достигает десят-
ков тысяч. В отдельных случаях
удавалось наблюдать и свободные
затухающие колебания магнитного
момента.
К гиромагнитному резонансу
ферромагнетиков очень близки яв-
ления парамагнитного и ядерного
резонанса. Последние эффекты так-
же нашли важные практические
приложения, например для точного
измерения магнитного поля.
Резонансные эффекты наблюда-
ются и в отсутствие внешнего поля
(естественный резонанс) на ферри-
тах при частоте в несколько мил-
лионов герц; правда, добротность
колебательной системы при этом не-
велика. Однако о существовании ре-
зонанса можно с уверенностью су-
дить по небольшому увеличению ве-
щественной составляющей магнит-
ной проницаемости р/ с ростом час-
тоты (рис. 3-35). Такое явление не
может наблюдаться при релаксаци-
онном характере процесса, описы-
ваемого дифференциальным уравне-
нием первого порядка (3-155).
Резонансные эффекты .могут на-
блюдаться лишь в тех случаях, ког-
да магнитное состояние вещества
соответствует дифференциальному
уравнению по крайней мере второго
порядка. Типичным уравнением слу-
жит такое:
а
&м_
dt*
dM
dt
+ сМ=Н (3-168а)
или
d2M . dM , 9 л, 1 и /п
-^+р^-+Ч« = тй' (3'168о)
О к с а ср ер ЧОО
а)
При гармоническом возмущении ре-
шение этого уравнения для устано-
вившегося режима может быть вы-
ражено комплексом
Af= г/ 2 ’ <3-169>
а [(о)р —со ) +/сор ]
здесь сор — резонансная частота си-
стемы или частота ее свободных ко-
лебаний при отсутствии «трения»,
т. е. при отсутствии рассеянии энер-
гии (р = 0).
Заменяя в знаменателе (3-169)
/со на р, приравнивая знаменатель
нулю и решая полученное уравнение
относительно р, находим корни ха-
рактеристического уравнения:
Pi,2= — -у ± / VР2/4 =
= — а±/р; (3-170а)
здесь а — коэффициент затухания;
₽ = сосв — круговая частота свобод-
ных колебаний.
120
Полезно сопоставить уравнения
нашей системы с уравнением конту-
ра г, L, С, в котором
± //(1/LC) —(г/2£)а=
= — ос i / Р;
Q = <ор — = (0р/2а.
(3-1706)
Анализ уравнений резонансного
контура подробно рассматривается
в теории линейных электрических
цепей.
Множитель при Н в выражении
для М представляет собой не что
иное, как комплексную восприимчи-
вость k=k'—jk". Разделяя вещест-
венную и мнимую части восприим-
чивости, запишем:
k=^k(O)
9 Ч
(±С — СО" — / 0)0
-------------—-----, (3-171)
Рр-со1 2)2 + (<ор)2
где k (0) = 1 /асо2 — восприимчивость
в постоянном поле (со-- 0).
В это выражение обычно вводят
относительную частоту ц и доброт-
ность Q:
T)=(D/CDP; Q==(Dp/p=(Dp,2oc. (3-172)
В таком случае приходим к обоб-
щенным выражениям восприимчи-
вости (деля числитель и знамена-
тель (3-171) на (Ор, а затем умножая
на Q2]:
k'=k (0)----------------- (3.! 73)
-П (Q2 (1/Т) — Т])2+ 1]
и
k"=k (0)--------5. (3-174)
n[Q2(l/4-4)2+ll
Из этих выражений отчетливо
видно (см. также рис. 3-36), что ве-
щественная проницаемость k' имеет
знак &(0) при частоте, меньшей ре-
зонанса (ц<1) (значит для ферро-
и парамагнетиков ^7>0), обращает-
ся в нуль в точке резонанса, а за-
тем меняет знак (при т]>1).
Мнимая составляющая проница-
емости при резонансе достигает зна-
чения
k^Qk(Q) (3-175>
и обращается в нуль как при ц -> оо,
так и при г] ->0.
К анализу уравнений (3-173),
(3-174) обычно применяют теорию
резонанса, разработанную для ана-
лиза классического колебательного
контура г, Л, С, внося лишь самые
необходимые изменения; основные-
положения такой теории кратко из-
ложены в первой части книги
(§ 5-5) 1.
Так, например, легко показать,
что при больших добротностях
*Lkc=*;=w) (3-176).
и что по ширине резонансной кривой
определяется добротность
^2-^ = 4- (3 * * *-177>‘
Гиромагнитный резонанс с уче-
том затухания. Из всего изложен-
ного выше о «силах трения», препят-
ствующих свободному изменению
поляризации [см., например,’ (3-155)
и (3-168)], можно сделать такой вы-
вод: наряду с вектором магнитного*
поля В (или Н), вызывающим изме-
нение поляризации, существует тор-
мозящее воздействие, пропорцио-
нальное скорости изменения поляри-
зации; это тормозящее воздействие
должно вычитаться из вектора, вы-
зывающего изменение поляризации.
В результате можно считать, что
вместо вектора В результирующее-
воздействие на поляризацию харак-
теризуется некоторым эффективным
или эквивалентным вектором маг-
нитной индукции
Взкв = В — P'o't jdt. (3-178)
Заменяя в уравнении прецессии
(3-93) В на Вэкв, получаем уравне-
ние
(В — цот d№[dt) X М. (3-179>
Это уравнение, введенное Гиль-
бертом, представляет собой одну из
1 В названной книге в этом разделе до-
пущена опечатка; формулу (5-93) надо за-
менить следующей:
Пс= К 1-1/2Q2 =1/T)L.
Именно такому выражению соответствует
и последующая формула (5-94).
121:
модификаций уравнения Ландау —
Лифшица.
При решении последнего уравне-
ния ко всем составляющим вектор-
ного произведения уВхМ, вычис-
ленным в (3-96) и (3-97) для част-
ного случая В = 6жеж + В0е2, теперь
следует добавить составляющие век-
тора
..
— YHoT —ХМ
at
л. у
ту тп
л* у
тг
тг+М0
УНо'Ь/®
= ]'<£>Г(туех—тхеу); (3-180)
здесь Г=уцотЛ1о.
При вычислении, как и в § 3-3,
предположено, что вектор намагни-
ченности имеет малые переменные
составляющие, представленные в
комплексной форме тх, ту, тг, и
постоянную z-ю составляющую Мо;
последняя, конечно, исчезает при
дифференцировании (поэтому 7И0 не
содержится во второй строке опре-
делителя); в окончательном резуль-
тате произведения малых величин,
таких как тхту и т. и., отброшены
(линейное приближение).
В итоге теперь вместо (3-98) при-
ходим к равенствам:
7 ф тх— — (у Во+/ ©Г) ту-,
j со ту—(у Во+ / соГ) тх —
— уМ^х,
j ®mz=0.
Решение этой системы:
~ = (уВо + /юГ)тМе ь _
х (уВо + /®Г)2+(/©Я х'
т = ________________£
у (у Во+7<оГ)з+ (/<£>)’- х'
} (3-181)
(3-182а)
(3-1826)
В отличие от выражений (3-99),
в которых знаменатель соответство-
вал колебательной (резонансной)
системе без потерь (уВ —со2) и в ко-
торой резонанс наступал при час-
тоте
“=®£=YBC- (3-183)
новые выражения (3-182) соответст-
вуют системе, содержащей трение,
т. е. системе, в которой происходит
рассеяние энергии.
В уравнении (3-182а) коэффици-
ент пропорциональности между тх
и bx/[iQ можно назвать восприимчи-
востью собственной
kxx = ~ - (3-184а)
(сов + 7 й)Г)2+(/Ш)2
Двойной индекс хх обозначает, что
это коэффициент пропорционально-
сти между намагниченностью в на-
правлении х (первый индекс) и х-й
(второй индекс) составляющей
внешнего переменного поля.
В уравнении (3-1826) коэффи-
циент пропорциональности между
ту и &Х/Щ) можно назвать восприим-
чивостью передаточной (подобно
передаточной проводимости)
k — ____~7.№^о_______ /Я 1Я4М
Ух (<Ов + /<ОГ)2+(7<0)2 ' (3 84о)
В последнем случае по-прежнему
первый индекс относится к наимено-
ванию составляющей намагниченно-
сти (//), а второй — к наименованию
составляющей возбуждающего пере-
менного поля (х). В каждой из этих
восприимчивостей можно выделить
вещественную и мнимую составляю-
щие.
Заменяя в знаменателе (3-184)
/со на р и приравнивая знаменатель
нулю, определяем его корни 1:
Pi ,2 — i / Р,
после простых преобразований на-
ходим:
р1>2= — а ± /Р =
= -ГШе/(1+Г2)±/(ов'(1+Г2),
(3-185)
откуда частота свободных колебаний
(резонансная)
<ор=Р=®в/(1+Г2) (3-186)
и добротность
Q=cop/2cc= Г2Г. (3-187)
1 Это не что иное, как корни, соответст-
вующие характеристическому уравнению.
См., например, ч. 1 книги, гл. 10.
122
'После разделения вещественной
<и мнимой восприимчивости и после
деления (и числителя и знаменате-
.ля) на со^ получаем:
Kx^k'xx~ №'хх=
= k 1 _ Т]2 (1 _ Р) - j Т]Г [1 + I]2 (1+Г2)]
° [1 — Ч2(1 + г2)]2 + 4т)2Г2
(3-188а)
'ИЛИ
= _ : k 1~Т]2(1+Г2)-/1]2Г
7 ° [1 — т)2(1 + Г2)]2+4т]2 Г2 '
(3-1886)
В этих формулах т) = со/соБ^со/сор —
приведенная частота (приближение
справедливо при Г2< 1);
— ke=kxx (0) —собственная воспри-
имчивость в постоянном поле (т] = 0).
Передаточная восприимчивость
обращается в нуль при т] ->0, т. е.
&yx(0)=0. При малых значениях Г2
и при значениях ^2~ 1/(1 + Г2) зна-
менатель резко изменяется при
очень небольших изменениях rj2. Из
этого, в частности, следует, что мни-
мая часть восприимчивости kxx близ-
ка к максимуму при
л2=1/(1+Г2)^ 1 — Г2^1. (3-189)
При этом она равна:
^MaKc^^o/2r = ^oQ. (3-190)
Одновременно вещественная часть
обращается в нуль (k'xx=G) (рис.
3-36).
По частотной зависимости вос-
приимчивости, характеризующей ре-
зонансную систему, можно судить
о частоте собственных колебаний и о
добротности системы.
При этом особенно существенна
возможность определения резонанс-
ной частоты по максимуму рассеи-
ваемой мощности 1 (максимум k"xx)
и добротности — по условной шири-
не резонансной характеристики
Дт1=П2 —П1, (3-191)
гДе Ль2 — частоты, при которых мни-
мая составляющая восприимчивости
1 В условиях линейной (плоской) поля-
ризации переменного поля (см., § 7-3).
k"xx принимает значение половины
максимального
^(^==4 (3-192)
Из сопоставления (3-188) и (3-174)
очевидно, что 2
т]1>2 = 1 + Г-1 + 1/2Q. (3-193)
На рис. 3-36 представлена характе-
ристика kxx(r\), вычисленная для
Q—10.
Изменение относительной часто-
ты т] = (о/сов = (о/уВо в экспериментах
обычно удобнее осуществлять,
оставляя со— const и варьируя по-
стоянное поле Во. На рис. 3-36 и
представлена вторая шкала, по ко-
торой отложено внешнее поле Во в
долях его резонансного значения
ВОр. Характеристика построена для
постоянной частоты со —2зт-9 375 Мгц
(или длины волны в вакууме %0=
— 3,19 см).
В ряде случаев теоретические построе-
ния основываются не на предположении о
постоянстве коэффициента Г=уц0тЛ40, а на
предположении о постоянстве вещественной
части корня характеристического уравне-
ния
а = Гсов /(1 + Г2) Гсов — const,
2 По условию из (3-188а) при Г2<1
*11,2г С1 + 'Hi.g) 1 Г2
(1-<2)2 + <2Г2 " 2 4Г2 ’
правая часть — это половина соответствую-
щего значения при т] = 1.
Полагая = 1—е, при том что Г и е—
малые величины одного порядка малости,
после простых преобразований и отбрасы-
вания всех величин, имеющих малость бо-
лее низкого порядка, находим, что 82=Г2=
= 1/(2 Q)2.
123
при этом меняется вид частотной характе-
ристики. Не имея возможности в общем
курсе глубже анализировать этот вопрос,
заметим лишь, что следует основываться
или на микроскопической теории, или на ре-
зультатах опыта.
Тензор восприимчивости гиротропной
среды. Легко получить обобщение выводов
предыдущего раздела, полагая, что внеш-
нее переменное поле имеет как х-ю так и
у-ю составляющие:
Ь — Ьх + Ьу£у,
(3-194)
а постоянная составляющая и поля и на-
магниченности направлена по оси г:
BO=BZ, M0=Mz.
Подставляя эти составляющие в урав-
нение Гильберта (3-179) и производя вычис-
ления по (3-96) с учетом двух составляю-
щих вектора Ь, а затем по (3-180), придем
к системе уравнений:
/ со тх~ ~ (сов + j соГ) ту+
Собственная восприимчивость для двух:
направлений х и у одинакова
kyy— ^хх
(3-200>
тогда как kxy =—kyx.
Этот результат имеет ясный физический =
смысл: особое направление в рассматривае-
мой системе имеет ось z, поскольку по нею
/ со ту= (ив + j соГ) тх—
(3-195)
j со тг ~ 0.
Их решение:
(<ов + j <йГ) у Мо Ь' + j coy M~b
тх —------------------------------------ ;
(СОВ + / С0Г)2+ (/ С0)2
(3-196а)
(сов +/ <вГ) у Мо b— j coy Mobx
ти=-----------------------------------—
(3-1966)
Теперь в отличие от (3-182) появилась сла-
гающая х-й намагниченности, обусловлен-
ная у-й составляющей внешнего поля Ьу\
поэтому теперь можно написать, что
тх — kxx bxl\*>Q-\- kxy 6у/ц0, (3-197)
где оказывается
kxy— — kyx> (3-198)
a kxx имеет прежнее значение (3-184a).
Аналогично для у-й намагниченности
/Пу — kyX kyy by!Цо
(3-199)
при том, что kyx сохраняет ранее найденное
значение (3-1846).
направлено постоянное поле, создающее по-
стоянную намагниченность
/14о = kzz До/Цо = koBol[iQ. (3-201Г
Относительно этой физически отмеченной
оси одинаково ориентированы (ортогональ-
но) оси х и у\ поэтому собственная вос-
приимчивость и должна иметь одинаковое-
значение. Если переменное поле ориентиро-
вано любым образом в плоскости, нормаль-
ной к z, то для такой v-й составляющей
остается справедливым равенство
^kxx. (3-202)
Для того чтобы объяснить смысл равен-
ства (3-198), поставим такую задачу. Вели-
чина k^} определена для поля Во; найти
намагниченность в направлении, перпенди-
кулярном как Во, так и оси у.
Сразу возникает возражение: поставлен-
ная задача сформулирована неоднозначно,
существуют два направления, перпендику-
лярных к Во и v (рис. 3-37),
е+ = X ev и е_ — — е_|_ — ev X ев .
Если в одном из этих направлений имеется
составляющая т+, то для противоположно-
го направления она же воспринимается как
составляющая, отличающаяся только зна-
ком, т_ =—т±. Тем самым и объясняется
соотношение kyx =—kxy.
В самом деле, первая восприимчивость
определяет намагниченность в направлении
одиночного вектора
е+ = еу = ев X е, = е5 X е*.
тогда как вторая — в направлении противо-
положного единичного вектора
е_ = ех = е, X ев = еу X ев .
124
Восприимчивость может быть выражена
комплексным числом с двумя индексами ki7l
при том, что п и I пробегают все возможные
значения х, у, z. Восприимчивость kin есть
тензор; его можно представить в виде таб-
лицы из трех строк, для которых Z=x, у, z
si трех столбцов, для которых п=х, у, z.
\ п z\ X У Z
X г kxy 0
km = у kyx kyy 0
Z 0 0 kzZ‘
(3-203)
Составляющие вектора намагниченно-
сти Mi (т. е. весь вектор М) можно выра-
зить как произведение тензора восприимчи-
вости и напряженности поля:
Mi — kin Нп •
(3-204)
Этому равенству придается такой смысл:
Mi — это Z-я слагающая намагниченности,
обусловленная n-ми слагающими напряжен-
ности поля, причем производится суммиро-
вание по всем возможным значениям п, на-
пример:
Мх— kxx НkXy Ну.
Часто в таблице, обозначающей тензор,
опускают обрамляющие ряды п=х, у ...,
1=х ... . Кроме того, часто пользуются обо-
значениями
* II k-xy — kyx — №а •
В таком случае пишут: k jka 0 1
II ф-а; II е -~jka k 0 0 0 ko (3-205) i
Соответствующ проницаемость: им тензором В №a :: об 0 ! •означают и
р/п = Р “ ~№а И 0 0 0 Pri , (3-206)
где
р = 1 k, Ptz — р-11 - = 1+^0-
Вопросам, затронутым здесь, посвящена об-
ширная литература [см. например Л. 3-6].
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
4-1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
МЕТОДОВ РАСЧЕТА
Рассчитать электрическое поле в
однородной среде при заданном
пространственном распределении
зарядов, имеющих плотность р,
всегда можно, определяя потенциал
в любой заданной точке по закону
Кулона: при 8= 1
Для расчета по закону Кулона
необходимо знать распределения
всех зарядов и поляризацию всех
диэлектриков. Другими словами,
вместо заданного распределения за-
рядов нельзя исходить из потенциа-
лов заданной пары проводящих
(4-1)
Если имеются отдельные точечные
заряды (q), или поверхностные
(Qs = cr), или, наконец, линейные,
т. е. распределенные вдоль какой-
либо линии с заданной плотностью
на единицу длины (Qz=t), то путем
предельного перехода можно при-
менить к этим случаям модифика-
цию формулы (4-1)
Рис. 4-1.
Ф
1
4ле0
(4-1а)
При заданном пространственном
распределении поляризации Р (х, у,
z) также можно перейти к зарядам
(объемным или поверхностным) и
внести их в дополнение к соответст-
вующим свободным зарядам в вы-
ражение (4-1). При известном Р
(х, у, г) потенциал можно опреде-
лить и по выражению для потен-
циала диполя
1
Ф —-----
4Л80
(4-16)
электродов (рис. 4-1). Точно так же
по закону Кулона нельзя рассчитать
поле и поляризацию заданного ди-
электрического тела, когда известны:
диэлектрическая проницаемость его*
вещества и внешнее электрическое
поле, которое вызывает эту поляри-
зацию. Сказанное иллюстрирует
рис. 4-1; на нем слева изображена
система двух параллельных плоских
электродов, между которыми распо-
ложена диэлектрическая сфера;
справа изображены два параллель-
ных круглых провода. В электротех-
нической практике вопрос обычно*
ставится именно так: известна гео-
метрия электродов и напряжение
между ними, а ищется поле. Расчет
по закону Кулона, т. е. по (4-1), в
подобных случаях невозможен.
126
Но есть другая, более важная
особенность метода, основанного на
законе Кулона (Максвелл называл
его прямым методом): он содержит
в себе представление о дальнодей-
ствии— заряд dq = pdV создает сла-
гаемую потенциала d^^dqlz^ • 4л7?
в точке наблюдения, отстоящей на
расстояние R от «точки истока»,
в которой расположен заряд dq.
Иначе обстоит дело при расчете
поля по соответствующим диффе-
ренциальным уравнениям в частных
производных; в случае потенциаль-
ного электрического поля—это диф-
ференциальное уравнение Пуассо-
на — Лапласа
у2ф=—р/80 (4-2)
или в декартовых координатах
д2^'[дх2+д2у‘ду2+д2ф/dz2—
р/е0- (4-2а)
Максвелл в § 95, а своего трак-
тата так характеризует последнее
уравнение: «В дифференциальном
уравнении мы говорим, что сумма
вторых производных ОТ ф вблизи
рассматриваемой точки определен-
ным образом связана с плотностью
заряда в этой точке; но мы ничего
не говорим о связи между значени-
ем ср в этой точке и значением р в
точке, удаленной на конечное рас-
стояние от рассматриваемой»1. Та-
ким образом, «дифференциальное
уравнение удовлетворяет представ-
лениям о действии, происходящем
между смежными частями среды».
В этой цитате Максвелл говорит о
среде (эфире?). На основании всего
изложенного в предыдущих главах
ясно, что теперь предпочли бы гово-
рить просто о смежных частях поля.
Однако в приведенной цитате Макс-
велл очень проникновенно характе-
ризует отличие методов расчета, ос-
нованных на законах поля, которые
выражены дифференциальными
уравнениями в частных производ-
ных. Цитированный § 95, а Макс-
велл заканчивает словами, подчер-
кивающими важность применения
названных уравнений: пользуясь
1 В подлиннике стоит не буква ср, а
буква V.
ими, «мы приготовим наш ум к пе-
реходу от представлений о прямом
действии на расстоянии» к новым
представлениям теории поля.
С физической точки зрения и
граничные условия (необходимые
для решения системы уравнений по-
ля) по существу дела влияют на ре-
зультат только тем, что они влияют
на поле в смежных точках, а затем
это влияние передается от точки к
точке (причем с конечной скоро-
стью! Последнее несущественно для
статических и квазистатических по-
лей).
Сказанное здесь о потенциаль-
ных электрических полях полностью
относится и к потенциальным маг-
нитным полям.
Интегрирование (решение) урав-
нений в частных производных. До
теории поля в курсе Теоретических
основ электротехники такие урав-
нения— их часто называют уравне-
ниями математической физики —
почти и не встречались2.
В общем случае расчеты полей
представляют сложную задачу, и
результаты таких расчетов в боль-
шинстве случаев не удается выра-
зить в форме простых функций. По-
этому лишь небольшое число про-
стейших примеров может быть рас-
смотрено в нашем курсе. В них по
возможности отражены важнейшие
черты общих методов интегрирова-
ния уравнений поля, причем особое
внимание уделено физическому и
электротехническому истолкованию
результатов. Многочисленные ранее
рассмотренные примеры расчетов
основывались на том или ином спо-
собе обхода приемов прямого ин-
тегрирования дифференциальных
уравнений, например все методы
применения теорем Гаусса и теоре-
мы о циркуляции при высокой сте-
пени симметрии.
Интегрирование уравнений Лап-
ласа— Пуассона. Задача расчета
безвихревых полей, в которых
2 Появление простейших уравнений с
частными производными при рассмотрении
переходных процессов в цепях с распреде-
ленными постоянными объясняется тем, что
эти процессы определяются распростране-
нием и отражением волн электромагнитного
поля.
127
напряженность может быть пред-
ставлена как градиент потенциала,
состоит в решении уравнения Лап-
•ласа — Пуассона. Решение обыкно-
венных дифференциальных уравне-
ний, скажем, из области теории це-
пей, становится однозначным только
после определения произвольных
постоянных (постоянных интегриро-
вания) из начальных условий. В слу-
чае же уравнения в частных произ-
водных в решение входят не только
произвольные постоянные, но и про-
извольные функции. Выбор функций
и постоянных, которые действитель-
но соответствуют искомому реше-
нию, производится из дополнитель-
ных условий, делающих постановку
задачи физически определенной.
Так, например, решая задачу о по-
тенциальном электрическом поле
внутри некоторой области, недоста-
точно сказать, что поле должно
удовлетворять в этой области урав-
нению Лапласа, но надо сообщить,
например, какими электродами соз-
дается поле и какие потенциалы
приданы электродам. Такие условия
называются граничными.
Вся электротехническая практи-
ка учит тому, что в однородной ли-
нейной среде при одинаковой гео-
метрической форме электродов и
разности потенциалов между ними
всегда устанавливается одинаковое
поле (т. е. одинаковое распределе-
ние потенциалов). На основании
сказанного при решении уравнений
поля всегда следует ожидать, что
существует единственное решение.
Иначе говоря, любое решение, удов-
летворяющее уравнениям поля и
граничным условиям задачи, есть
полное и единственное. Единствен-
ность решения может быть доказа-
на и математически.
В общем случае для определения
поля внутри некоторой области, ог-
раниченной поверхностью S, доста-
точно задать на этой поверхности
значение потенциала (задача Ди-
рихле)
<p|s = A(S)- (4-3)
или значение нормальной слагаю-
щей градиента (задача Неймана)
д^’дп |s = J2 (S), (4-4)
если во всей области удовлетворя-
ется уравнение Лапласа и среда, за-
полняющая область, однородна.
В ряде технических задач гра-
ничные условия задаются в смешан-
ной форме. В некоторых задачах
граничные условия оказываются за-
данными посредством тангенциаль-
ной слагающей градиента по повер-
хности, ограничивающей рассматри-
ваемую область (§ 5-3).
В тех случаях, когда поле может
распространяться на бесконечное
пространство, образующее внешнюю
область для поверхности одного или
нескольких электродов, в число гра-
ничных условий необходимо долж-
ны входить условия в бесконечно-
сти: при их неопределенности оста-
ется неопределенной и сама задача.
В число граничных условий вхо-
дят и условия на поверхности раз-
дела двух сред, если в рассматри-
ваемой области лежит граница меж-
ду двумя различными средами
(§ 3-1—3-4). При этом в общем слу-
чае ищутся отдельные решения для
каждой из сред, которые дополни-
тельно должны удовлетворять усло-
виям на границе раздела.
Наиболее часто существование
электрического поля определяется
заданной разностью потенциалов
между электродами, заданным рас-
пределением зарядов или токов. Одг
нако во многих случаях рассматри-
ваемое поле определяется заданным
распределением поляризации, элект-
рической (Р) или магнитной (М);
соответствующие примеры рассмат-
риваются в § 4-3.
Не останавливаясь подробнее на
требованиях к формулировке гра-
ничных условий, заметим только,
что полнота их соответствует пол-
ной физической определенности в
постановке задачи. Поэтому, напри-
мер, очевидно, что при расчете ста-
тических и установившихся полей не
требуется задавать начальные усло-
вия в дополнение к граничным. На-
против, при рассмотрении полей,
изменяющихся во времени, хотя бы
потенциальных полей в неоднород-
ных несовершенных изоляторах, не-
обходимо задавать также и началь-
ные условия, т. е. распределение за-
ряда (или потенциала) в рассмат-
128
риваемой области в начальный мо-
мент времени, поскольку с течением
времени распределение меняется
(§ 4-7).
В той мере, в какой уравнения
потенциальных полей и ряд типич-
ных граничных условий оказывают-
ся одинаковыми для электрических
и магнитных полей, одинаковыми
оказываются и соответствующие ре-
шения. Это важное обстоятельство,
как отмечалось ранее (конец § 3-2) ?
делает особенно ценной формальную
(математическую) аналогию в опи-
сании полей.
Методы решения уравнений по-
ля существенно зависят от геомет-
рических условий, т. е. от формы по-
верхностей, для которых задаются
известные граничные условия, от
числа координат, определяющих по-
тенциал, и т. п.
В последующих параграфах рас-
сматриваются некоторые простей-
шие и наиболее распространенные
методы расчета потенциальных по-
лей; они иллюстрируются примера-
ми, взятыми из электротехнической
практики.
Особые точки потенциальных
функций; точечные заряды в урав-
нении Пуассона. Если в уравнении
Пуассона потенциал задан как функ-
ция координат, то по заданной по-
тенциальной функции ф, выполняя
дифференцирование (4-2), казалось
бы, всегда можно найти соответст-
вующую плотность заряда.
Однако в тех случаях, когда по-
тенциальная функция имеет особые
точки, в которых |<р| -> оо, следует
полагать, что в поле содержатся то-
чечные заряды. При этом не только
их количественное значение, но да-
же факт их присутствия в поле не
выявляются уравнением Пуассона.
Дж. Стрэттон приводит замечатель-
ный пример такого поля (см. при-
мер Д-6 § 2-3), показывающий
смысл такой формулировки теоре-
мы Гаусса:
Еее0 dS = S q + J р dV, (4-5)
где q — точечные заряды. Заметим,
однако, что часто можно исключать
из рассмотрения точечные заряды,
заменяя их пространственно распре-
деленными.
. 9—476
Другие методы расчета полей.
Далеко не всегда расчеты потенци-
альных полей основываются непо-
средственно на дифференциальных
уравнениях в частных производных.
Большое значение имеет примене-
ние интегральных уравнейий и
некоторые другие математические
методы. Их изучение относится,
однако, к специальным разделам
математики, а не к общим осно-
вам теории поля, входящей в курс
Теоретические основы электротех-
ники.
Из-за недостатка места и слож-
ности расчета реальных систем мно-
гие технические задачи в книге не
рассматриваются (даже такая, ка-
залось бы, простая задача, как рас-
чет взаимной индуктивности).
Наряду q аналитическими мето-
дами [Л. 4-1] широко применяется
экспериментальное исследование
полей на моделях. Большое практи-
ческое значение имеют также при-
ближенные методы расчета, особен-
но метод сеток [Л. 1-5], метод
Монте-Карло [Л. 1-3]. Широко при-
меняются экспериментальное иссле-
дование и расчеты на цифровых ма-
шинах [Л. 4-2].
В этой главе в особые парагра-
фы вынесены метод изображений,
широко применяемый в электротех-
нике (§ 4-8 и заключительные заме-
чания к нему), методы рассмотре-
ния поля системы заряженных тел,
и в первую очередь системы парал-
лельных проводов (§ 4-9), и, нако-
нец, методы определения некоторых
интегральных характеристик — по-
токосцепления и индуктированного
заряда (§ 4-12).
4-2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПО МЕТОДУ ФУРЬЕ
Метод Фурье, или Фурье — Эй-
лера, заключается в представлении
искомой функции, скажем, двух ко-
ординат ф (х, у) посредством про-
изведения или суммы произведений
функций, каждая из которых зави-
сит только от одной координаты,
например:
Х„=Х„(х) и Yn=Yn{y). (4-6)
129
При этом предполагается, что для
любого п
срп=ХпУп (4-7)
есть решение уравнения, хотя бы и
не удовлетворяющее заданным гра-
ничным условиям. Граничным усло-
виям должна удовлетворять сумма
таких решений, каждое из которых
множится на тот или иной коэффи-
циент
q> = S^nx„r„. (4-8)
п
Очевидность того, что сумма ре-
шений удовлетворяет уравнению
Лапласа, если ему удовлетворяет
каждое из слагаемых, вытекает из
линейности исходного уравнения
V2(p = O. Найденное выражение
(4-8) и есть искомое решение, по-
скольку оно удовлетворяет как гра-
ничным условиям, так и исходному
уравнению.
Метод Фурье приводит сравни-
тельно легко к желаемым результа-
там, если удается выбрать коорди-
натную систему, в которой разделя-
ются переменные и легко формули-
руются граничные условия; в этих
случаях задача приводится к реше-
нию обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. Чаще всего трудно-
сти возникают при отыскании функ-
ции или рядов функций, удовлетво-
ряющих граничным условиям; в ря-
де случаев, если простейшие усло-
вия относительно искомой функции
(например, постоянное значение по-
тенциала) не могут быть связаны с
простейшими условиями для коор-
динат (например, х=const или у--=
= const), трудно даже аналитически
записать эти условия.
Излагаемый метод может быть
распространен на функции трех (у,
х, г) или даже четырех (у, х, г, t)
координат. По мере роста числа не-
зависимых переменных, конечно,
трудности в решении уравнений бы-
стро возрастают.
Плоскопараллельное поле в де-
картовых координатах. В случае
поля, зависящего от двух координат
у, х, представим искомую функцию
Ф (х, у) как произведение XnYn. В
таком случае, подставляя ф в урав-
нение Лапласа и деля каждое из
слагаемых на произведение XnYn,
получаем:
1
ХпУп
^(XnYn) = -^d^ +
Хп дх2
1 &Yn
'п ду2
= 0.
(4-9)
Естественно, что Уп рассматрива-
ется как постоянная при дифферен-
цировании по х, а Хп при диффе-
ренцировании по у.
Первое из слагаемых в послед-
нем уравнении может зависеть толь-
ко от х, а второе — только от у\
вместе с тем они должны быть рав-
ны и противоположны по знаку.
Единственно возможное следствие:
каждое из слагаемых равно посто-
янной, т. е.
1 д2Хп
Хп дх2
= % (4-10)
'п ду* " v
ИЛИ
д*Хп1дх*=КпХп-,
d*Yn/dy*=-KnYn, (4-10а)
где Кп — произвольная постоянная.
В последних дифференциальных
уравнениях содержится только по
одной независимой переменной, по-
этому каждое из них может рас-
сматриваться как обыкновенное
дифференциальное уравнение. Их
решение выражается в виде триго-
нометрических и гиперболических
синусов или косинусов или соответ-
ствующих показательных функций.
Если положить, что произволь-
ная постоянная Кп положительная,
то получаем в качестве решений
(4-10):
Xn=anchknx + bnshknx; (4-lla)
Yn=cn cos kn y+dn sin kn y, (4-11-6)
где k2n=Kn-
Если положить K„<0, то
X„= ancosk„x-]-bn sin k„x; (4-1 1b)
/4 fl, fl, 1 ft, f у • \ z
Уп=сп ch kn у + dn sh kn y, (4-11 r)
где теперь k2n =—Kn.
В соответствии с (4-8) искомое
решение можно представить в та-
кой форме:
<Р = S Ап cos х ch У +
130
+ SS»ch‘"Icons'!”»' (4’12)
n
где сокращенно представлены про-
изведения из всевозможных сочета-
ний функций, удовлетворяющих
уравнению Лапласа.
При пользовании показательной
формой потенциал представляется
как произведение экспонент с мни-
мой и вещественной степенями.
Иногда решение удобно представ-
лять и в смешанной форме, напри-
мер:
<Pn = (Ап e~kn-v + cos kn X.
(4-13)
После того как найдено общее
решение уравнения Лапласа, следу-
ет обратиться к граничным услови-
ям, которые помогут выбрать необ-
ходимые функции и постоянные из
числа всех указанных в (4-12).
Иллюстрацией метода Фурье, ко-
гда применима декартова система
координат, служат примеры § 4-3; в
§ 4-4 тот же метод применяется к
случаям, для которых удобно поль-
зоваться цилиндрическими и сфери-
ческими координатами.
4-3. ПОЛЕ НАМАГНИЧЕННОЙ ЛЕНТЫ
Поле тонкой ферромагнитной
ленты, применяемой для звукозапи-
си, рассчитывается очень легко, ес-
ли сделать упрощающее допущение
о том, что ее намагниченность зави-
сит только от одной координаты
(х). При этом поле оказывается за-
висящим только от двух координат
(X, у).
Поперечно намагниченная лента
в окружении воздуха. Допустим,
что в результате звукозаписи в лен-
те создана поперечная намагничен-
ность, изменяющаяся по закону
М=Му=Мо cos kx. (4-14)
Начало координат выбрано на
верхней поверхности ленты; толщи-
на денты (магнитного слоя) а (рис.
4-2,а); лента окружена немагнит-
ной средой.
Мы рассматриваем магнитное
поле не токов, а намагниченного ве-
щества. Следовательно, rot Н = 0 и
напряженность может быть выра-
жена как градиент магнитного по-
тенциала
Н=—gradcp. (4-15)
В рассматриваемой задаче
div М==дМх/дх+дМу/ду=^О, (4-16)
в каждой из трех областей 1
(у<— а\ 0>у>—а; у>0),
так как намагниченность или равна
нулю, или имеет только у-ю состав-
ляющую, зависящую только от ко-
ординаты х. Очевидно, равна нулю
и div Н, поскольку div В = 0, а В =
= Ио(Н + М).
Следовательно, задача сводится
к интегрированию уравнения Лап-
ласа
у2ф=0. (4-17)
Поле ряда магнитных диполей
чередующегося знака, расположен-
ных внутри ленты, быстро убывает
по мере удаления от ленты- Поэто-
му Н—>0 при \у | -> оо; следователь-
но, потенциал в бесконечности по-
стоянен и может быть принят рав-
ным нулю. Таким образом, вот одно
из граничных условий:
Ф-> О при \у\ -> оо. (4-18)
Уже из этого следует, что Y (у)
должно быть представлено аперио-
дической функцией. При этом Х(х)
должно представляться функцией
периодической [см. (4-11)]. Задан-
ный периодический характер намаг-
ниченности (аргумент косинуса kx)
позволяет предполагать, что общее
решение для трех областей поля
имеет следующий вид:
1) (рг=АекУ coskx, — а; (4-19а)
2) ср2=(Beky+Ce~ky) cos kx,
0>y>—a-9 (4-196)
3) ф3=Defeoskx, y>0. (4-19в)
Для областей 1 и 3 выбраны экс-
поненты с таким знаком показателя,
чтобы удовлетворялось условие
(4-18). Во второй области у изме-
няется в ограниченных пределах,
поэтому в этой области допустимо
2 1 Изменение нормальной слагающей М
на поверхности раздела двух сред (на по-
верхности намагниченной ленты) может
быть выражено как поверхностная дивер-
генция. Однако существование этого раз-
рыва полностью учитывается граничными
условиями для поверхностей раздела.
9*
131
существование двух экспонент. Для
функции Х(х) мы выбрали cos kx
без столь твердых оснований, руко-
водствуясь только догадкой, что при
таком выборе нам удастся удовлет-
ворить граничным условиям. Если
бы наша догадка оказалась невер-
ной, мы могли бы ввести и sin kx.
Но (—д^ду 4- Му) = — |i0 д^/ду,
при у = — а. (4-226 )
В этих выражениях Ну представ-
лено как —dqfdy, соответствующая
составляющая магнитной индукции
Ву = ^ при Му=0 в обла-
стях 1 и 3.
С)
Рис. 4-2.
Для определения четырех посто-
янных А, В, С, D можно составить
четыре уравнения из граничных ус-
ловий для двух поверхностей раз-
дела.
Первое граничное условие — это
непрерывность тангенциальной сла-
гающей Н, совпадающее с требова-
нием непрерывности потенциала
при переходе через поверхность раз-
дела:
фг = фз при у = 0; (4-20а)
<р2 = Ф1 при у = —а. (4-206)
Эти условия приводят к уравне-
ниям:
£>=В+С; Вё~ка-\-Сека=Аё~ка. (4-21)
Второе граничное условие — это
непрерывность нормальной слагаю-
щей В при переходе через поверх-
ность раздела:
Ро (—дф2/дг/ +Му)=— р0 дср3/ду}
при у = 0; (4-22а)
После подстановки (4-19) в вы-
ражения второго граничного усло-
вия и после простых сокращений
получаем еще два уравнения для
определения постоянных:
kD = — kB + kC + Л40; (4-23а)
—kAe~ka = — kBe~ka+ kCeka + Л40.
(4-236)
Вводя обозначения
m = MJk, е — eka, (4-24)
систему уравнений приводим к та-
кому виду:
В + С —D = 0; А — В — Се2 = 0;
В—C+D—m;
A — B + Ce* = —me, (4-25)
откуда
С =----— те-1 ; В =. — т;
2 2
£)= -~-т (1 —е~*);
132
4 = у/п(1- е). (4-26)
После подстановки найденных
постоянных в (4-19) получаем окон-
чательные выражения потенциалов:
<Pi = т (1 — е) eky cos kx; (4-27a)
Ф2 = -~m ( eky— e 1 e ky} cos kx;
(4-276)
Фз = m (1—8~*) e~ky coskx. (4-27b)
Решению можно придать более симмет-
ричный вид, поместив начало отсчета верти-
кальной оси в середину ленты, другими сло-
вами, вводя координату
ц = у + а/2. (4-28)
При этом выражения (4-27) удобнее
всего записать так:
<Р1 — — т sh р ekT' cos kx, 4 — «/2; (4-29a)
qp2 = me~~$ sh kx\ cos kx, | T] ( < a/2; (4-296)
Фз = m sh p е~^ cos kx, rj > a/2, (4-29b)
где для сокращения принято ka/2 = fi.
Дифференцируя (4-27) или
(4-29) по соответствующим коорди-
натам, легко найти обе слагающие
напряженности поля Нх, Ну для
всех трех областей. Схематически
картина поля вне ленты показана
на рис. 4-2, б (внутри ленты постав-
лены стрелки, указывающие на-
правление намагниченности).
После окончательного расчета
еще раз полезно убедиться в том,
что действительно выполняются все
граничные условия.
Размагничивающее поле самой
ленты. Как очевидно из (4-29),
внутри самой ленты (|т]|<а/2)
Ну — — Мо е~$ ch kr\ cos kx. (4-30)
Наибольшее значение Ну при-
нимает на амплитудах «волны» на-
магниченности (kx = 0; • я; 2л ...)
на поверхности ленты (г} = ±а/2)
Ну макс = М) Ch Р
~-7И0(1-₽), (4-31)
приближенное выражение справед-
ливо при р <С 1-
Поле намагниченной ленты мож-
но представить себе как поле по-
верхностных (фиктивных) магнит-
ных зарядов (рис. 4-2, в) или как
поле токов эквивалентных на-
магниченности (рис. 4-2, г),
= rot М = — kM0 sin kx e2. (4-32)
При первом представлении (за-
кон Кулона) становится очевидным
изменение знака вертикальной сла-
гающей напряженности поля при
переходе из ленты в воздух; при
втором представлении из закона
Био — Савара, примененного к эк-
вивалентным токам, определяется
только магнитная индукция. Напря-
женность поля в последнем случае
может быть определена по формулу
Н = В/р0 —М. (4-33)
Перейдя к эквивалентным плот-
ностям заряда или тока и применяя
законы Кулона или Био — Савара,
мы переходим от полевых методов
расчета к «прямым» (см. начало
§ 4-1). В литературе именно для
случая намагниченной ленты полу-
чили большее распространение пря-
мые методы, несмотря на их боль-
шую громоздкость.
Поперечно намагниченная лента
при большой проницаемости верх-
ней области. Такая система может
служить моделью системы при нало-
женной сверху воспроизводящей го-
ловке (магнитном снимателе)- Весь
путь расчета остается таким же, как
в предыдущем примере. Только
в уравнение (4-22а) для нормальной
слагающей магнитной индукции
в третьей области должен быть вве-
ден множитель цз
BSy = — |10|л3дф3/д# при у>0. (4-34)
Такое изменение в записи гранич-
ного условия приводит к изменению
значения постоянных Л, В, С, D:
л 1 —£—1 1 ( — Л
А=т--------------— 8 );
1 ”Т Рз 2
в = 2 + (рз — 1) е~1
2 1 + Рз
С =----—ms”1;
2
D = m (4-35)
1 + Р-з
Продольно намагниченная лента,
окруженная воздухом. Мы предпо-
133
лагаем теперь, что в результате зву-
козаписи в ленте создана продоль-
ная намагниченность (рис. 4-3, а),
изменяющаяся по закону
М — Мх — Мо sin kx. (4-36)
В этом случае внутри ленты
div Н = — div М =— dMJdx =
=— kM0 cos kx, (4-37)
т. e. внутри ленты поле описывается
уравнением Пуассона
V2 <р—д2 <р/дх2 + d2 qjdy2 =
— kMa cos kx. (4-38)
% = (Beky + Ce~ky - 4^ cos kx-
\ k /
0>y >—a; (4-406)
q3=De~ky coskx; (4-40b)
Эти выражения отличаются от
(4-19) только тем, что для второй
области добавлено частное решение,
удовлетворяющее уравнению Пуас-
сона.
Записывая граничные условия
для непрерывности потенциала (или
непрерывности Нх), приходим к ра-
венствам:
Рис. 4-3.
В областях / и 3 поле, как и раньше,
- описывается уравнением Лапласа.
Решение (4-38) можно искать
как сумму решений, из которых од-
но ф2 удовлетворяет уравнению Лап-
ласа (правая часть равна нулю),
а другое у2 представляет собой част-
ное решение того же уравнения; его
легко найти:
= — cos kx. (4-39)
Применяя метод Фурье и выби-
рая из общего решения те слагае-
мые, которые, вероятно, удовлетво-
рят граничным условиям, записыва-
ем предполагаемое решение в таком
виде:
= Aeky cos kx; у < — а; (4-40а)
Ле 1 — В& 1 + Се— т
при у = —а; (4-41)
В + С — т — D при у = 0. (4-42)
Здесь по-прежнему & = eka и т =
=M^k.
В данном случае отсутствует
нормальная слагающая намагничен-
ности и граничные условия для не-
прерывности Ву совпадают с гранич-
ными условиями для непрерывности
Ну = —ду/ду. Из этих условий полу-
чаем:
Ле-1 = Be-1 —Се при у = —а; (4-43)
— D = B— С при ^/= 0. (4-44)
134
Из совместного решения (4-41) —
(4-47) находим:
Л= —т(1 — в); В=^-т;
2 v 7 2
г 1 -^1
С — — тг :
2
D= Am(e-1 *_ 1). (4.45)
Окончательное решение:
< Pi = ~~ т (1 — е) eky cos kx; (4-46а)
< р2 = -у т ( e~ky — 2) cosfex;
(4-466)
< р3 = т ( в-'1— 1) e-^cos kx, (4-46в)
Полезно еще раз проверить вы-
полнение всех граничных условий.
Из сопоставления (4-46) и (4-27)
видно, что в области 1 при попереч-
ном и продольном намагничении
(изменяющемся по гармоническому
закону) поля совпадают, в области 3
они противоположны по знаку,
а в области 2 (т. е. внутри самой
ленты) они имеют одинаковую нор-
мальную слагающую напряженности
поля (Ну), но различную танген-
циальную (Нх).
В области максимальной про-
дольной намагниченности встречное
размагничивающее поле макси-
мальное
Нх=— Мо (1—% — Мо р. (4-47)
Приближенное выражение дано для
Р < 1. Из сопоставления последнего
выражения и (4-31) видно, что при
малых р размагничивающее поле
при продольной намагниченности
много меньше, чем при поперечной-
Для того чтобы иметь некоторую коли-
чественную ориентировку, заметим, что в
магнитной ленте, рассчитанной на скорость
v = 19 см!сек при звуковой частоте f=800a4,
длина волны намагниченности %=v/f=
=0,238 мм.
При толщине ферромагнитного слоя
ленты я=0,05 мм находим р=шх/%=0,67 и
Р —0,512; при а=0,025 мм соответственно
13=0,335 и е~3=0,715.
Размагничивающее поле соответствен-
но равно —Мо - 0,488 и —Мо • 0,285. В слу-
чае поперечной намагниченности размагни-
чивающее поле для тех же значений а и %
равно соответственно —Л1е-0,512 и
—Мо - 0,715.
При частоте f=8 кгц и тех же двух
зачениях Мо находим, что при продольной
намагниченности размагничивающее поле
имеет наибольшие значения —Мо- 0,999 и
—Мо- 0,965, а при поперечной намагничен-
ности —Мо- 0,0012 и —М0'0,035.
Схематически картина магнитно-
го поля при продольной намагничен-
ности изображена на рис. 4-3, б.
В этом случае поле вектора Н имеет
своим источником (рис. 4-3, в) рас-
пределенную в толщине ленты объ-
емную плотность фиктивных магнит-
ных зарядов (—div М). Ток, экви-
валентный намагниченности, имеет
поверхностную плотность, опреде-
ляемую по уравнению (3-49):
1Д1 = (М1-М2)х<2. (4-48)
Направление эквивалентных поверх-
ностных токов схематически показа-
но на рис. 4-3, г. Наличие поверх-
ностных токов объясняет существо-
вание разрыва тангенциальных со-
ставляющих вектора В на поверх-
ностях раздела.
Продольно намагниченная лента
при большой проницаемости верх-
ней области. Интересно, выполнив
расчеты для соответствующего слу-
чая, убедиться в следующем простом
результате: увеличение проницае-
мости верхней области усиливает
поле в нижней области при попереч-
ной намагниченности и ослабляет
поле в нижней области при продоль-
ной намагниченности. Простое фи-
зическое объяснение этого эффекта
предоставляется читателю.
В действительных лентах с за-
писанными сигналами существует
как вертикальная, так и горизон-
тальная составляющие намагничен-
ности. О том, какая из них превали-
рует, можно судить по эффекту на-
ложения ленты на ферромагнитную
плиту — поле на противоположной
стороне ленты ослабляется при про-
дольной намагниченности и усили-
вается при поперечной1.
Заключительное замечание о рас-
чете поля магнитной ленты- При ре-
шении задачи о потоке, сцепленном
1 Расчет магнитного поля тонкой ленты
может быть основан на представлении о
магнитном моменте поверхности (см.
[Л. 1-3]).
135
с обмоткой воспроизводящей голов-
ки, следует исходить вовсе не из рас-
чета поля ленты, а из расчета поля
самого снимающего устройства,
пользуясь принципом взаимности
(см. теорему о магнитном потоке
в §4-12).
4-4. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ,
РЕШАЕМЫЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
И СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМАХ
КООРДИНАТ
Цилиндр в однородном внешнем
поле Ч Во внешнее однородное поле
вносится длинный диэлектрический
цилиндр, ось которого перпендику-
лярна вектору напряженности внеш-
него поля. Проницаемость цилиндра
в k раз больше проницаемости внеш-
ней среды. Требуется найти резуль-
тирующее поле в средней части, где
влиянием краев цилиндра можно
пренебречь. Сказанное равносильно
тому, что рассматривается бесконеч-
но длинный цилиндр. В таком случае
в цилиндрической системе коорди-
нат, ось которой совпадает с осью
цилиндра, поле оказывается плоско-
параллельным, т. е. зависящим толь-
ко от координат а и г, и одинако-
вым для любого г.
Излагаемый метод может быть
одинаково применен к случаю элект-
рического поля в диэлектрике
(рис. 4-4), магнитного поля (по-
перечное намагничение цилиндра),
электрического поля в проводящей
среде. В последнем случае, конечно,
1 См. также о поле в зазоре между ста-
тором и ротором в § 5-3.
вместо проницаемостей цилиндра
и окружающей среды речь идет
о проводимостях.
Распределение потенциала. При-
меняя цилиндрическую систему ко-
ординат и отсчитывая угол а от на-
правления вектора внешнего поля
(Ео), легко убедиться в том, что:
1) потенциал представляет периоди-
ческую функцию а и, следовательно,
может быть представлен через ряд
Фурье, 2) коэффициенты ряда зави-
сят от радиуса, 3) ряд содержит
только четные функции, так как при
любом г = const
Ф (&) = Ф (—а), (4-49)
что следует из симметрии поля.
При указанных условиях ряд
Фурье содержит только косинусо-
идальные функции
ф (а, г)=С0+ X Сп (г) cos па. (4-50)
п
Постоянная Со обращается в
нуль, если произвольно принять, что
Ф=0 в-плоскости а=±л/2-
Дальнейшее решение ведется в
соответствии с изложенным в начале
главы. Прежде всего записываем ре-
шение типа (4-50) для двух обла-
стей — внутренней (£) и внешней
(е):
ф. = S сп cos па;
(ре = S Сп cos па. (4’51)
Как видно из самой записи, эти ре-
шения содержат разные коэффици-
енты ряда Ci,..., сп и Сь..., Сп...,
зависящие, конечно, от радиуса.
Второй шаг заключается в под-
становке предполагаемого решения
(4-51) в уравнение поля (уравнение
Лапласа), в результате чего можно
определить возможный вид неизвест-
ных еще функций радиуса. Записы-
вая уравнение Лапласа в цилиндри-
ческих координатах
+ = o (4-52)
г дг \ дг ) г2 да2
(потенциал не зависит от координа-
ты z) и выполняя дифференцирова-
ние, находим, например, для внеш-
136
ней области:
R2Cn(r) 1
L dr2 г
dCnif)
• cos na = 0.
(4-53)
Поскольку полученное уравнение
должно выполняться при любом а,
необходимо считать равным нулю
множитель, стоящий в квадратных
скобках. Он представляет собой
дифференциальное уравнение, со-
держащее функцию только г, диф-
ференцируемую также только по г.
Сказанное позволяет записать квад-
ратную скобку как обыкновенное
однородное дифференциальное урав-
нение:
d2Cn 1 dCn
dr2 г dr
/ я \2 Л
(у) Сп = 0. (4-54)
Его решением служит 'т-я степень
радиуса, умноженная на постоян-
ную Кп,
Сп (г) = гт при т = ± п, (4-55)
в чем легко убедиться, подставляя
(4-55) в (4-54); действительно, по-
лученное уравнение
[т (т— 1) +т—п2] Кп гт~2 =0 (4-56)
тожественно удовлетворяется при
т = ±п-
Последний шаг состоит в опреде-
лении постоянных интегрирования
из граничных условий.
Обозначим эти постоянные /С+
и для внешней области (г>а)
соответственно при т=+п и т=
=—п\ для внутренней области
(г <а) обозначим постоянные таки-
ми же строчными буквами k+ и k~.
Итак, записываем для внутрен-
ней области (г<а):
<р; = X (rn+fen r~n) cos ««, (4-57)
n
а для внешней области (r>a)
<pe = X (Ktrn+ r~n)cosna. (4-58)
n
Во всей внутренней области по-
тенциал должен оставаться конеч-
ным (при конечном Ео), поэтому все
множители при отрицательных сте-
пенях г (поскольку г может прини-
мать нулевое значение) должны
быть равны нулю
0. (4-59)
Во внешней области вдали от ци-
линдра, т. е. при г/а>1, возмущаю-
щее влияние цилиндра должно исче-
зать и потенциал должен выражать-
ся как потенциал внешнего однород-
ного (невозмущенного) поля; а этот
потенциал
сре = — Ео г cos а — — Ео х
при г^а, (4-60)
если ф = 0 при х=0, что следует из
ранее принятого условия, что Со = О
в формуле (4-50).
Из сопоставления последнего ра-
венства с (4-58) следует, что
К+ = 0 при п > 2 и
К+ = -Ео. (4-61)
Из условия (4-60) ничего нельзя
сказать относительно множителей
при отрицательных степенях г, пото-
му что при г^>а соответствующие
слагаемые ничтожно малы по срав-
нению с первым (Kfr). Следствия,
полученные из сопоставления (4-58)
и (4-60), и есть результат примене-
ния «условий в бесконечности».
Остаются еще неиспользованны-
ми условия на поверхности раздела
двух сред. Их можно сформулиро-
вать как равенство потенциалов
<ре = ф. при г. = а (4-62)
и как равенство нормальных слагаю-
щих вектора электрического смеще-
ния; поскольку в нашем случае нор-
мальные слагающие — это радиаль-
ные, последнее условие можно фор-
мулировать так:
8,- dqifdr = ге дуе/дг при г = а. (4-63)
Учитывая уже полученные результа-
ты (4-59) и (4-61), переписываем
для большей ясности выражения для
потенциалов:
ф. =ж= kt rn cos па; (4-64)
п>1
<ре = — Ео г cos а +
+ ^КпГ~п cos па. (4-65)
п>1
10—476
137
После этого легко, исходя из (4-62)
и (4-63), прийти к таким системам
уравнений:
$ = а ! 1 (4-66)
ег^=-8е(£0+ХГа-2); J
при п>2:
а =Кп о ; (4-67)
8Z nk+ ап~' =—8е пК~ а~(п+Х}- J
Из первых двух уравнений (4-66)
с двумя неизвестными находим:
kt = -E0
28g _
в/4-е/
КГ=£0-^=^о2. (4-68)
eZ + &е
Вторая пара уравнений (4-67) при-
водит к заключению, что
Кп = kt = 0 при п > 2.*
После того как определены все
коэффициенты, приходим к оконча-
тельным выражениям для потенциа-
лов:
во внешней области (г > а, 8=ее)
[1 S;—( а \21
1---1-—- —I г cos а;
ег-4-ее к г ) J
(4-69)
во внутренней области (г<е,
8 = 8{)
w = — Ео г cos а (4-70)
е/+ег
и для слагающих напряженностей
поля:
= Е0Г1V] cos а; (4-71а)
L \ г / J
с* — ^Ф^ __
*’а г да
sin а;
(4-716)
* Если только &е=£—что практиче-
ски нереализуемо. Если бы условие оказа-
лось выполненным, то значения коэффици-
ентов kt и оказались бы связанными
между собой равенством ^=/С~а~2,оста-
ваясь неопределенными.
во внутренней области
£- = £«=-^=£»д5г;(4-71в>
в последнем выражении через х
обозначена декартова координата
x=rcosa, направление которой сов-
падает с Ео; это единственная со-
ставляющая поля, которое внутри
цилиндра остается не зависящим от
координат (Е~ const при г<я).
Полученный результат объясня-
ет, почему внутри инородных вклю-
чений, имеющих меньшую диэлект-
рическую проницаемость, чем окру-
жающая среда, напряженность поля
может заметно возрастать, что в не-
которых случаях способствует раз-
витию пробоя или повреждению изо-
ляции из-за разряда, начинающего-
ся внутри включения. Например,
когда в стекле (Ee=7) оказывается
вытянутый воздушный пузырек
(8г- = 1), то при поперечном внешнем
поле напряженность внутри воздуш-
ной нити может превзойти напря-
женность, которая существовала бы
в стекле при отсутствии нитевидного
включения, в 28e/(se+ei) = 1,75 раза-
В пределе при е* напряженность
поля внутри включения удваивается.
При 8е<Ег напряженность удваива-
ется по сравнению с напряжен-
ностью невозмущенного поля с
внешней стороны цилиндра на «по-
люсах» (в точках r=a\ а = 0 и л).
Найденное решение легко приме-
нить к задаче о проводящем цилинд-
ре в однородном внешнем поле. Для
этого достаточно положить е^оо
в (4-71а) и (4-716), так как при этом
поле внутри исчезает, как и в случае
проводника.
Это же решение может быть при-
менено к случаю круглого магнит-
ного стержня во внешнем однород-
ном поперечном поле Но. Для этого
в (4-70) и (4-71) следует заменить
все е на ц, Е на Н, а ф считать маг-
нитным скалярным . потенциалом.
Ферромагнитная труба в по-
перечном поле. Пользуясь тем же
методом, легко решить задачу об
экранировании, производимом фер-
ромагнитной трубой, расположенной
во внешнем поперечном магнитном
поле. Полагая внешнее (невозму-
щенное) поле равным наружный
138
и внутренний радиусы трубы ге и гг-,
магнитную проницаемость трубы у,
(в остальном пространстве ц=1),
найдем, пользуясь прежним мето-
дом, что поле во внутренней области
однородно и равно:
Н = Шо,
(4-72)
где коэффициент экранирования
k
(Р + П2^-(И-1)2г?
Р( re~r2i)
(4-73)
(приближенно для р>1).
В отличие от ранее рассмотрен-
ного случая в задаче об экранирова-
нии нужно записывать решение не
для двух, а для трех областей (r<rz,
гг- < г < ге, ге < г), условия для по-
верхности раздела двух сред приме-
нять к двум границам.
Сфера в однородном внешнем
поле. Как и в случае цилиндра,
предполагается, что проницаемость
сферы 8г при том, что проницаемость
окружающей среды 8е. В этом случае
целесообразно выбрать сферическую
систему координат, направив ось z
по вектору внешнего поля (рис. 4-5).
Выражение для потенциала в
рассматриваемом случае имеет вид:
Ф = AR cos 0 + BR~2 cos 0, (4-74)
где А и В — постоянные.
В сказанном легко убедиться,
подставляя ф в уравнение Лапласа,
записанное в сферических коорди-
натах,
2 I а2(7?Ф) .
V Ф = ----------Т
v v R dR2
1 д ( . л дф \
--------------I sin 0 ——
£2sin0--------де \ д0 /
-1.....^ = 0. (4-
7?2sin26 да2
Постоянные А и В определяются
из тех же граничных условий, что
и в предыдущем случае (цилиндр
в однородном поле). В случае ди-
электрического шара, имеющего ра-
диус а и находящегося во внеш-
нем однородном поле напряжен-
ностью £0»
Л==Л _£ В = В 0
1 е/ + 2ег
при R < а, где 8=8Z;
Л=Л.--Е., В=В.=Е„^. о.
при где 8 = &е.
При этом потенциал выражается
формулами:
ф. = — Е0 —R cos 6; (4-76а)
8 Z 28^
(4-766)
По выражениям потенциала лег-
ко найти соответствующие состав-
ляющие напряженности поля:
во внешней области
р________Эфе =
“ dR
В рассматриваемом случае поле
зависит от двух координат — R (ра-
диус) и 0 (широтный угол) и не за-
висит от координаты а (меридиан-
ный угол). Это значит, что в любой
меридианной плоскости (а = const)
поле одинаково- Такое поле называ-
ют п л о с к о м е р и д и а н н ы м. ,
10*
= £о
1+2 ———
Ч-2ее
= d^e =
e>e RdQ
’ [1 £i —й \31
L \ R J J
cos 6;
(4-77a)
sin 0;
(4-776)
139
во внутренней области
Е[ —Ег =—dq>[dz =
= Ео , (4-77в)
е,-+2ев к ’
где z=R cos 6.
Как и в ранее рассмотренном ци-
линдре, поле внутри и на поверх-
ности сферы может существенно от-
личаться от внешнего однородного
поля. Так, при 8e>8i поле внутри
сферы больше чем Ео; если 8e^>8z,
то Е2-^1,5Ео* Если 8е<8г*, поле внут-
ри сферы ослабляется, но увеличи-
вается снаружи, в особенности у по-
люсов сферы (6 = 0 или л).
В случае проводящей сферы во
внешнем статическом поле можно
полагать 8г--> оо. При этом напря-
женность поля на полюсах увеличи-
вается в 3 раза.
Заметим еще, что как в случае
цилиндра, так и в случае сферы при
8; = 8е все выражения переходят
просто в выражение невозмущенно-
го поля.
Вывод выражения (4-74). Как и в пре-
дыдущем случае (цилиндр в однородном
поле), решение можно найти элементарным
путем, пользуясь представлением потенциа-
ла через ряд Фурье и обращая внимание на
четность1 зависимости потенциала от уг-
ла 0:
фп = Ln cos n0. (4-78)
Здесь, разумеется, Ln есть функция радиу-
са R (и только радиуса).
Подставляя последнее выражение в
уравнение Лапласа (4-75), приходим к диф-
ференциальному уравнению
1 Г д* L . о dL ]
v2*=Tri^+2^dcosne~
nL
~R*
(sin n0 cig 0 + n cos n0) = 0.
Полученное уравнение имеет решение
только при п=1. В последнем случае (п=1)
уравнение принимает вид:
/d2 L 2 dL
v2 ф= I---------------
v \dR2 R dR
2L \
R2 /
cos0 = 0.
В скобках стоит однородное дифференци-
альное уравнение. Его решение найдем в
форме L=Rm. Выполняя дифференцирова-
ние, приходим к уравнению
{т(т~ 1) + 2m —2] #m~2 = 0.
1 Действительно, в сферической систе-
ме знак у координаты 0 не играет никакой
роли.
Оно удовлетворяется при т=1 и пг=—2.
Это и приводит к результату, выраженному
формулой (4-74).
Определение постоянных А и В в (4-74).
Пусть для внешней области
ф^> ~ (Ае R A-Be COS 6,
а для внутренней
Ф/ — (Л / R + В[ R~2) cos 0,
Вдали от сферы, когда R^d, ее возму-
щающее влияние должно исчезать. Поэто-
му потенциал должен совпадать с потенциа-
лом заданного невозмущенного поля, т. е.
— — Ео г = — Eq R cos 0 при R > а,
если принять, что ср=О в плоскости
=R cos 0=0.
Из этого условия в бесконечности нахо-
дим, что Ае=—-Eq. Поскольку внутри сферы
потенциал должен оставаться конечным, на-
ходим, что Bi~Q. Из выражения двух гра-
ничных Условий на поверхности сферы
(/? = а.)
ф,- = Ai a cos 0 = =
= (—Eq а-\~Ве а~2) cos 0;
дф£
dR
&i Ai cos 0 =
dq>e _
dR
= — &е (Eq J- 2Ве а 3) cos 0
составляем такую систему уравнений:
Ai а — Be а~2 — — Eq а\
Ai £>i *4~ Ве-2а = Eq
Из совместного решения приходим к приве-
денным выражениям.
Построение эквипотенциален по
известным уравнениям. В качестве
очень полезных упражнений можно
рекомендовать построить эквипотен-
циали поля для любого из разобран-
ных в этой главе случаев.
Поскольку потенциал опреде-
ляется двумя координатами
ф = ФЙ, п).
то построение следует вести так: за-
давшись потенциалами <рь ф2 •..
и какими-либо конкретными значе-
ниями одной из координат, напри-
мер gi, $2 ..., определяют координа-
ты т]1, т]2 • • •> т. е. определяют точки,
в которых заданные эквипотенциали
Ф1, ф2 •. - пересекают линии gi, & .. •
Обычно целесообразно строить экви-
потенциали при определенной раз-
ности потенциалов между соседними
эквипотенциалями.
Сопоставление результатов для
цилиндра и сферы. Из решений
(4-71) и (4-77) видно, что: А) когда
140
проводник расположен в однород-
ном внешнем поле Ео, напряжен-
ность на полюсах возрастает до 2 Ео
в случае цилиндра и до ЗЕ0 в случае
сферы; Б) когда в проводящей
среде сделано отверстие (или когда
тогда в случае цилиндриче-
ского отверстия напряженность по-
ля внутри цилиндра возрастает до
2£0, ав случае сферического отвер-
стия— всего до 1,5 Ео; здесь Ео —
напряженность внешнего однород-
ного поля.
Особенность изложенного, т. е.
большее влияние проводящей сферы
в одном случае (А) и большее влия-
ние непроводящего цилиндра в дру-
гом (Б), легко объяснить из общих
представлений о потоке линий элект-
рического поля. В случае А линии
потока устремляются к легкому пути
через проводящее включение; при
этом к сфере линии сходятся, «стре-
мясь со* всех сторон» к ее полюсу,
тогда как в случае цилиндра линии
стремятся к его поверхности, нигде
не пересекая плоскостей, нормаль-
ных к оси цилиндра. Поэтому есте-
ственно ожидать, что уплотнение ли-
ний потока будет сильнее у полюсов
сферы (3 Ео), чем у цилиндра (2Е0).
В случае Б, наоборот, линии по-
тока должны огибать встретившееся
им препятствие- Очевидно, что обо-
гнуть сферу легче (ее можно обойти
со всех сторон), чем обойти попереч-
но расположенный цилиндр. Поэто-
му внутри цилиндра оказывается
большая плотность линий (2Е0),
чем внутри сферы (1,5Е0).
Слагающие поля, обусловленные
поляризацией. В рассмотренных
случаях диэлектрических цилиндра
и сферы во внешнем однородном по-
ле Eq происходящее изменение поля
обусловлено наличием дополнитель-
ного поля зарядов поляризации.
Если 8е=1, то заряды поляризации
определяются только поляризацией
диэлектрика, из которого сделан ци-
линдр или сфера, и можно полагать
результирующее поле равным сумме
напряженности внешнего поля (Ео)
и дополнительного поля поляризо-
ванного тела (Ер):
Е = Е0+Ер. (4-79)
Поскольку нам известны слагающие
результирующего поля, а также
внешнего поля, всегда нетрудно най-
ти соответствующие слагающие поля
поляризации.
Цилиндр (8г = е, 8е—1). Для
внутренней области (г<а) по (4-71)
находим:
9
(4-80)
Напряженность поля поляризации
антипараллельна (е>1) внешнему
полю.
Для внешней области надо пред-
варительно определить слагающие
невозмущенного поля Ео в цилинд-
рических координатах (рис. 4-4):
Е0>а——-Eosina; £0>r =£0coscc, (4-81)
после чего по (4-71) и (4-79) нахо-
дим (при г>а):
Ер-г=Е°Т^Т C0Sa' (4'82а)
£Р.«=Д^(трпа- (4‘82б)
Напряженность поля, обусловлен-
ную поляризацией, легко выразить
непосредственно через Р. Для этого
следует вспомнить, что 8—1 есть вос-
приимчивость (&э), и, следовательно,
поляризация диэлектрика в ци-
линдре
P = Eis0(& — 1). (4-83)
По формуле (4-71 в) при том, что
8е = 1 И 8г = 8, находим, ЧТО
Е = £о-4д8о(е-1). (4-84)
Полученная формула позволяет за-
менить Eq через Р в выражениях
(4-80) и (4-82), после чего получаем:
для внутренней области (г<^а
Ер = -Р/2^ (4-85а)
для внешней области (г^а)
1 / а \2
= 7>cosa> (4-856)
Psina‘ (4’85в)
Сфера (8г = 8, 8е==1). Повторяя
выводы, полностью аналогичные
только что выполненным для
141
цилиндра, приходим к таким выра-
жениям:
Р=£0-^-е0(в-1). (4-86)
8 -р 2
Напряженность поля для внутрен-
ней области (R<a)
Ep = -P/3s0, (4-87)
при этом Ер постоянно и направле-
но навстречу вектору Р. Такое на-
правление вектора Ер легко объяс-
нить, рисуя на поверхности сферы
заряды поляризации (рис. 4-6); эти
заряды и их поле связываются зако-
ном Кулона
Для внешней области (R>a) на-
пряженность поля поляризованной
сферы
/7 ' 3
—) Р cos 6 =
R /
E — 1 2 (
P'R ~ 380 t
=-----------cos0;
2зТ80 R3
1
з
ЕпЛ = -----I---- j jT SI
₽>e 3e0 \ fl )
Ф • a
= ——-------sin 6,
4Л80 7?3
где $ = 4rcPa3/3— полный момент
сферы. Интересно обратить внима-
ние на тожественность выведенных^
выражений и (3-7) для напряжен-
ности поля диполя с моментом р.
Поле поляризованных тел. Вы-
веденные сейчас выражения для сла-
гающих напряженности поля, об-
условленных поляризацией, справед-
ливы, разумеется, независимо от то-
го, чем вызвана существующая по-
ляризация Р; иначе говоря, они
1 Нетрудно. непосредственно вычислить
Ер из распределения поверхностной плот-
ности зарядов Qs,p=P cos 0; вычисления
очень просты для центра сферы.
справедливы и в том случае, когда
поляризация тела не есть результат
действующего в данный момент по-
ля, т. е. P=f=Ei&o(&—1). Чаще всего
приходится встречаться с тем, что
поляризация получилась как оста-
точный эффект после предваритель-
ного воздействия внешнего поля на
нелинейную среду. Это похоже на
остаточную деформацию изгибаемо-
го стержня, когда превзойден предел
упругости.
Все предыдущие расчеты были
выполнены для электрического поля
и электрической поляризации. Одна-
ко на практике чаще приходится
встречаться с магнитной поляриза-
цией (намагниченностью), сохра-
няющейся после намагничения,
т. е. после воздействия внешнего
магнитного поля. Естественно, что
сохраняют свою намагниченность
только ферромагнитные тела, для
которых зависимость между М. и Н
выражается гистерезисной петлей
(рис. 3-21).
Остаточная электрическая поля-
ризация существует тоже только
в диэлектриках с гистерезисной пет-
лей. Формулы для напряженности
Рис. 4-7.
магнитного поля (Я)., обусловленно-
го намагниченностью (2И), получа-
ются из соответствующих формул
электрического поля при следующей
замене:
Р/е0->М; Ер>Н,(. (4-89)
Так, по (4-87) внутри однородно на-
магниченной сферы (рис. 4-7) напря-
женность магнитного поля
^=-4-^- (4‘90)
о
После намагничения сильным по-
лем, при котором зависимость М (Н)
выражается предельной >.петлей,
142
внешнее поле выключается и намаг-
ниченное тело остается в собствен-
ном’ поле Нм. При этом две величи-
ны М и Н определяются из совмест-
ного решения двух уравнений,
а именно: уравнения (4-90) — в слу-
чае сферы и уравнения М (Н), обыч-
но задаваемого графиком (см., на-
пример, рис. 3-21).
Очень полезно самостоятельно
вывести формулы для поля Ер и Нм
как внутри, так и вне цилиндра
и сферы, исходя из основных урав-
нений (уравнение Лапласа) и гра-
ничных условий при заданной по-
стоянной поляризации
Более общие случаи поля поля-
ризованного эллипсоида рассмотре-
ны в § 4-5.
Пример 4-1. Радиус сферы а=0,5 см;
ее материал обладает гистерезисной харак-
теристикой, на которой остаточная намаг-
ниченность (т. е. намагниченность при Н=
=0) Мг=137 э=1370 а!см= 1,370 • 105 а/ж
и коэрцитивная сила, при которой М=0,
Яс=410э=328 ajcM—3,28 • 104 ajM. Кривая
размагничивания (участок петли при М > 0
характеризуется точками
~~Н!НС = 0,25 0,5 0,75
Л4/Мг = 0,92 0,8 0,55
Найти намагниченность сферы при от-
сутствии внешнего поля.
Решение. Проводя прямую Н—
=НМ——М/3 (внимание к масштабам!),
ищем точку ее пересечения с кривой раз-
магничивания. Для приведенных здесь дан-
ных в точке пересечения Я=—246 а!см, М=
=740 а!см.
Пример 4-2. Приведенные в предыду-
щем примере данные относятся к бариево-
му ферриту с относительно «умеренными»
значениями Мг и Нс. При этом значения
М и Н в сфере оказываются существенно
ОТЛИЧНЫМИ ОТ Mr и /7С.
Магнитные материалы могут иметь сов-
сем иные соотношения между Мг и Нс
(правда, и вид кривой размагничивания
может существенно отличаться от данного
в предыдущем примере). Поэтому полезно
найти значения Н и М для намагниченной
сферы (после устранения внешнего поля)
для- существенно других параметров:
1) #с=1080 а!см\ Мг=240 а/см-, 2) Нс=
=40 а!см\ Мг=4 НО а!см. Эти данные от-
носятся также к бариевым ферритам с ины-
ми присадками и другой технологией изго-
товления.
Решение. В результате применения
метода, изложенного в предыдущем приме-
1 Существенно заметить, что при (р=0
в средней плоскости граничное условие в
бесконечности также выражается как ф —> 0
при г—или поскольку на боль-
ших5 расстояниях возмущающее действие
поляризованного цилиндра и сферы исче-
зает.
ре, находим для новых данных:
1) Н=—78,4 а! см', Л4=234 а!см\
2) Н=—39,2 а!см', М=118 а/см.
Пример 4-3. Найти потенциал, обус-
ловленный сферой радиусом а, которая
имеет поляризацию Р=const. Во всем
остальном пространстве нет ни поляриза-
ции ни зарядов. При выводе исходить из
выражений (4-76) и (4-86). Показать, что
найденный результат согласуется с выра-
жениями для напряженности поля (4-87),
(4-88).
Решение. Вычитая из выражений
(4-76) потенциал внешнего поля <р0=
=—EqR cos 0 и зная, что поляризация сфе-
ры во внешнем поле выражается равенст-
вом (4-86), получаем вместо (4-76) иско-
мые формулы:
Ф/ = PR cos 6/3ео, Ж я;
<ре = Ра3 cos 0/3eo/?1 2, R^a*
В том что найденные выражения для по-
тенциала соответствуют ранее приведенным
выражениям для напряженности поля, лег-
ко убедиться, выполняя дифференциро-
вание.
Интересно обратить внимание, что на
поверхности сферы потенциал непрерывен,
а напряженность поля претерпевает разрыв.
Этот разрыв обусловлен существованием
поверхностного связанного заряда.
4-5. ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ ЭЛЛИПСОИД.
РАЗМАГНИЧИВАЮЩИЕ ФАКТОРЫ,
КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЕПОЛЯРИЗАЦИИ
Поле однородно поляризованно-
го эллипсоида можно рассчитать,
обращаясь к уравнениям Лапласа
и граничным условиям в подходя-
щей для этого случая эллиптиче-
ской системе координат. Однако
весь путь расчета и функции, по-
средством которых выражается по-
ле вне эллипсоида, достаточно
сложны. Простые выражения полу-
чаются только для поля внутри од-
нородно поляризованного эллипсои-
да или для эллипсоида во внешнем
однородном поле (рис. 4-8). Внутри
эллипсоида напряженность поля,
обусловленная его однородной по-
ляризацией, также однородна.
143
Таким свойством обладают только
тела, имеющие форму эллипсоида.
В случае магнитной поляриза-
ции (намагниченность Л4) обуслов-
ленные ею составляющие поля
внутри эллипсоида
HX——NXMX; Hy——NyMy,
HZ——NZMZ. (4-91)
Здесь х, у, z— координаты, направ-
ленные по главным осям эллипсои-
да (а, &, с), Nj — размагничи-
вающие факторы, зависящие
от соотношения осей; они обладают
таким любопытным свойством:
^+^+^=1- (4-92)
В случае эллипсоида с электри-
ческой поляризацией Р обусловлен-
ные ею составляющие внутри эл-
липсоида
Ех = — Nx Рх/е0', Еу= — NyPyiR0-,
Ez = —NzPz/e0. (4-93)
В случае электрической поляриза-
ции те же самые коэффициенты Nj
называют коэффициентами
деполяризации.
Для эллипсоида вращения с
осью вращения z полуоси в направ-
лениях хи у равны (#=&); из сооб-
ражений симметрии ясно, что рав-
ны и соответствующие коэффициен-
ты
Nx=Ny при а=Ь. (4-94)
Для вытянутого эллипсоида враще-
ния (а=Ь<с)
\ — у2) (Arth у—у)/у3; (4-95а)
Nx=Ny= [у - (1 - у2) Arth у]/2уЗ=
=(1-Л/2)/2, (4-956)
где
у= К1— (а) с)\
При вычислениях может ока-
заться удобным иметь в виду, что
Arth у=— 1п •1 +v .
г 2 1 —у
Для очень большого эксцентри-
ситета, когда (а/с)2<1,
*"=в1г(|о-7—')! (4'96а)
Л'х“Л'«~4-»Л'1- (4-966)
Для сплюснутого эллипсоида (а=
N= (1 -ИЗ2) (₽ - arctg р)/р; (4-97а)
N=Ny= [(1 +₽2) arctg ₽-Й/2₽з=
=(1-0'2, (4-976)
где
р=)Л (а/с)2 — 1 .
При вычислениях может оказаться
полезным обращение к рядам
srctgp=₽_i+i_£+..,
04 о 7
когда Р<1 и
arctg |3=—--------— + 1
2 р зрз
1 , 1
• когда ₽>1.
5₽5 * 7₽?
В случае очень большого эксцен-
триситета, когда Л2 = (с/й)2С 1,
можно пользоваться формулой
#х=Л^==зтЛ/2 (2+лЛ). (4-98)
При этом Mc<Afz~l.
Знание коэффициентов Nj для
эллипсоида практически важно
главным образом потому, что часто
реально встречающиеся тела при-
ближенно представляют собой эл-
липсоиды. Так, например, диск
можно рассматривать как сплюсну-
тый эллипсоид вращения, а круглый
стержень — как вытянутый эллип-
соид и определять для них коэффи-
циенты N, хотя следует помнить,
что однородная поляризация обус-
ловливает однородное поле в соот-
ветствии с равенствами (4-91) толь-
ко в случае эллипсоидов вращения.
А это значит, что, строго говоря,
только для эллипсоидов имеет
смысл говорить о размагничиваю-
щих факторах и коэффициентах де-
поляризации1.
Действительно, в § 3-2 было по-
казано, что при однородной намаг-
ниченности круглого стерженька
поле внутри него неоднородно
(см. рис. 3-22).
О коэффициентах сферы, ци-
линдра, пластины. Из соображений
1 См. также примеры 3-12, 3-13, реше-
ние которых приводит к заключению о воз-
можности говорить о размагничивающих
факторах тороида с малым зазором.
144
симметрии и уравнения (4-92)
с очевидностью следует уже извест-
ный результат (§ 4-4): для сферы
Af=l/3 и для бесконечно протяжен-
ного круглого цилиндра в попереч-
ном поле В последнем слу-
чае большая ось эллипсоида с-> оо.
При этом Л^->0, поскольку деполя-
ризующее действие зарядов поля-
ризации, обнажившихся на беско-
нечно удаленных концах вытянуто-
го эллипсоида, равно нулю. Подоб-
ные же соображения позволяют
заключить, что размагничивающий
фактор бесконечно протяженной
пластины для поперечного намагни-
чивания N—1.
О коэффициентах N и системах
единиц. Практически все книги по
физике электричества и магнетиз-
ма, как и по теоретической физике,
написаны не в системе СИ, а в си-
стеме Гаусса (симметричная систе-
ма СГС). Поскольку различны не
только единицы мер, но и форма за-
писи уравнений (см. § 3-2 и др.),
коэффициенты деполяризации (раз-
магничивающие факторы) выража-
ются в системе Гаусса другими чис-
лами, чем в системе СИ, а именно
числами, в 4л раза большими,
N*=4xN. (4-99)
Здесь /V* — значение коэффициен-
тов, которыми надлежит пользо-
ваться в системе Гаусса; при этом
для однородно поляризованного эл-
липсоида во внешнем однородном
поле
Н.=Не В=4лМ+Н;
(4-100а)
Е.=Ее . — D=4jxP+E,
j j j j
(4-1006)
где H, M и В — в эрстедах и гаус-
сах; Е, Р и D — в единицах системы
Гаусса; индекс е обозначает внеш-
нее поле. Те же формулы в систе-
ме СИ:
В=Ио(М+Н);
(4-101а)
El=Ee,-NjP^ D=P+s0E.
(4-1016)
Во всех формулах (4-100) — (4-101)
индекс j указывает на то, что рас-
сматриваются составляющие векто-
ра по ортогональным осям эллип-
соида (х||а, у\\Ь, г||г), или на то,
что берется соответствующий этому
направлению размагничивающий
фактор (коэффициент деполяриза-
ции). При этом векторы Н, М, В мо-
гут оказаться непараллельными,
так же как и векторы Е, Р, D.
Переводные множители для одних и тех
же единиц, например а/м, различны для
разных величин, например для Н и 74;
сказанное относится и к электрическим ве-
личинам D и Р. Еще раз повторим здесь
важнейшие правила.
Числовое значение Н в а/м, умножен-
ное на 4л/1000=0,0125, равно числовому
значению Н в эрстедах. Числовое значение
М в а/м, деленное на 1 000, равно числово-
му значению М в эрстедах (или гауссах).
Например: Н=80 а/ж=1 э, но
= 1 000 а/м=1 э. Можно еще добавить, что
в системе Гаусса единицу намагниченности
с одинаковым правом можно называть
и эрстедом и гауссом, а кроме того, неко-
торые авторы продолжают считать, что
в системе СИ намагниченностью следует
называть величину р,0М.
Числовое значение D в к/ж2 (система
СИ), умноженное на 12л• 105, равно чис-
ловому значению D в системе Гаусса. Чис-
ловое значение Р или поверхностной плот-
ности заряда Qs, выраженное в к/ж2, умно-
женное на 3 • 105, равно числовому зна-
чению Р (или Qs) в системе Гаусса. Напри-
мер: Р=10~8 к/ж2=3,77 • 10-2 единиц
заряда в системе Гаусса на 1 сж2. При этом
на 1 см2 приходится приблизительно
6,25 • 106 избыточных электронов. Заряду
с такой поверхностной плотностью на элек-
троде Qs = 10—8 к/ж2=3-10“3 ед. Гаусса/сж2
соответствует в вакууме напряженность по-
ля E=D/8o=Qs/eo=H,3 в/см или в системе
Гаусса E'=D=4jtQs=3,77 • 10-2 своих еди-
ниц.
Пример 4-4. Шар имеет намагничен-
ность М=200 э. Определить, чему равно
поле Н и магнитная индукция В внутри
шара, если внешнее поле Не||М и пе=
= 1000 э?
Решение. Зная, что для шара Л^=!/з
или 2У*=4л/3, находим Н=Не—N*M—
= 1000—836=164 э; В=Я+4л74=2 670 гс.
Пример 4-5. То же, что и в предыду-
щем примере, но дано 74=45 ка!м й Не—
=25 ка/ж. Найти по-прежнему Н и В.
Решение. Выполняя все операции
в системе СИ, находим Я=10 ка!м=
= 125,6 э; В=6,9 • 10-2 тл=690 гс.
Тонкие магнитные пленки. За
последнее десятилетие привлекли
к себе большое внимание тонкие
ферромагнитные пленки, применяе-
мые в качестве элементов матема-
тических машин и быстродействую-
щей автоматики. Одна из их особен-
145
ностей заключается в малом раз-
магничивающем факторе при
намагничении в плоскости пленки,
благодаря этому маленькие ферро-
магнитные диски можно намагничи-
вать в прямом или противополож-
ном направлении, записывая тем
самым сигналы, условно обознача-
ющие 1 (да) или 0 (нет). Несмотря
на сравнительно большую остаточ-
ную индукцию (4jtA17-~10 кгс), их
размагничивающее поле очень не-
велико — в случае сферы оно со-
ставляло бы примерно 3 000 э и, ко-
нечно, размагнитило бы любой
обычный магнитный материал. За-
метим еще, что при больших коэр-
цитивных силах требовались бы
и очень большие поля для намагни-
чивания. В обычно применяемых
пленках из железо-никелевых спла-
вов коэрцитивная сила порядка не-
скольких эрстед, но благодаря ма-
лому размагничивающему фактору
они хорошо сохраняют свою срав-
нительно большую намагничен-
ность.
Действительно, приближенно
представляя круглую пленку диа-
метром d и толщиной т эллипсои-
дом вращения, ее размагничиваю-
щий фактор можно определить по
формуле (4-98). Например, для
пленки т=1 ООО A, d=2 мм находим
Л=5 • 10~5 и Af=3,9 • 10-5. При оста-
точной намагниченности 4яМг^
^Вг—104гс (т. е. Мг==800 гс =
=8* 105 а/м) в рассматриваемой
пленке —NM = —31,2 а!м =
=—0,312 а/см — —0,392 э. Замечу,
что не только для всех физиков, но
и для всех инженеров, имеющих
дело с магнитными элементами,
только последние две цифры (т. е.
выражение в эрстедах или а]см)
сразу вызывают представления о
существующей интенсивности поля.
Эллипсоид во внешнем однород-
ном поле; анизотропия формы.
Рассмотрим эллипсоид вращения
с заданной магнитной проницае-
мостью р. Вектор внешнего поля Не
разложим на две составляющие —
одну, параллельную оси вращения
эллипсоида, Hz и другую, нормаль-
ную к оси, Нх:
Не==Нхех+н.^ (4-102)
Сказанное здесь определяет вы-
бранную систему координат (рис.
4-8).
Предположение о постоянстве
проницаемости равносильно утверж-
дению о линейных свойствах среды,
допускающей суперпозицию. В та-
ком случае намагниченность эллип-
соида по осям х и z определяется
равенствами [см. (4-101а)]
Mx=(flx — NxNl^k\
Mz=(Hz — NzMz)k. (4-103а)
В этих формулах в скобках сто-
ит х-я и соответственно z-я состав-
ляющие поля Н внутри намагничен-
ного тела; она умножается на вос-
приимчивость fe==AM=p—1. Решая
(4-103а) относительно составляю-
щих намагниченности, находим:
Mx=kHx/(l+kNx)-,
Mz=kHz/(l +kNz). (4-1036)
Вследствие различных значений
Nx и Nz вектор намагниченности не
совпадает по направлению с векто-
ром напряженности внешнего поля
(рис. 4-8,6), прижимаясь к наи-
большей оси. Действительно, из
(4-1036) очевидно, что
Mx/Mz=f= Hx/Hz при Nx=f= Nz. (4-104)
Здесь во всех уравнениях Нх и
Hz — слагающие внешнего поля,
а не поля внутри эллипсоида.
Здесь во всех рассуждениях
предполагалось, что среда изотроп-
на: ее проницаемость ц и восприим-
чивость й = ц—1 не зависят от на-
правления. Однако мы пришли к не-
равенству (4-104), типичному для
анизотропной среды. В данном слу-
чае анизотропия обусловлена раз-
ноосностью эллипсоида, это ани-
зотропия формы.
Пример 4-6. Эллипсоид вращения с ося-
ми с=3 см и а=6=0,6 см находится в од-
нородном внешнем поле 77е = 14,1 а!см, об-
разующем . угол 45° с осью эллипсоида.
Проницаемость вещества, из которого из-
готовлен эллипсоид, ц= 101.
1) Определить намагниченность эллип-
соида и угол % между векторами Не и М.
-2) Определить вращающий момент L,
испытываемый эллипсоидом, полагая из-
вестным (см. также гл. 5), что он выра-
жается равенством
L = Ц0 М X'Не У = |*о ЗД X Не,' .
i*. ; . ; _. .к * ' ' .. - л 1 * -
146
где V — объем тела: — магнитный
момент тела; в* случае эллипсоида враще-
ния V=4nabc/3=4ла?с/3.
Решение. Определяем сначала ко-
эффициенты N по формулам (4-95): Nz—
=0,0558; Nx=0,472. При этом для задан-
ной напряженности внешнего поля HX=HZ
находим по формулам (4-103а) Л4Х=
=20,8 а/сл«=2,08 э; Mz = 152 а/см=15,2 э.
Угол 0 между осью z и вектором М
0 == arctg MjJMz — 7°50'.
Угол 1=45°—7°50,=37°10z. Искомый вра-
щающий момент
L — [ioV(MzHx — MxHz)~
= iiQMHe V sin Х=7,45*10~5 а*в*сек(дж) —
= 745 дин * см 0,759 Г* см.
Примечание. Здесь подробно при-
водятся все преобразования с единицами
измерения, так как, наверное, каждого ин-
женера, выполняющего расчеты, когда он
скажет, что М= 100 а!см, спросят — а сколь-
ко это в гауссовой системе? (и, вероятно,
удивятся, узнав, что не 125, а Юз). Ког-
да вращающий момент окажется выражен-
ным как 7,45 • 10~5 дж, то для конкретно-
сти, осязаемости результата (тактильно-
сти), вероятно, всем захочется понять, что
это — момент, вызываемый силой веса тела
с массой 0,759 г при плече 1 см.
Свободные колебания намагни-
ченного эллипсоида в магнитном
поле. При свободных колебаниях
иглы (компасной стрелки) в маг-
нитном поле, если угол между на-
правлениями продольно намагни-
ченной стрелки и внешнего поля
остается малым, можно считать, что
момент вращения прямо пропорцио-
нален углу отклонения оси стрелки
L=р0 VМНе sin % ц0 VMHe 'к.
Интересно заметить, что если игла
(стрелка) не была намагничена, но
обладала заметной проницаемо-
стью, то ее намагниченность при
малых К практически совпадала бы
с осью иглы, а следовательно, со-
хранила бы силу приведенная фор-
мула. Сказанное применимо и для
тонкой магнитной пленки, подве-
шенной за нить, как зеркальце галь-
ванометра, и способной совершать
крутильные колебания в горизон-
тальном магнитном поле (рис. 4-9,
где показана круглая тонкая плен-
ка, осажденная на прямоугольное
стеклышко). При малых углах %
легко найти, что намагниченность
останется практически в плоскости
пленки.
В уравнении свободных колеба-
ний системы
Jd2 h/dt2+p d K/dt+c Z-0
коэффициент упругого момента с=
= Co+yLoVMHe зависит от напряжен-
ности внешнего поля и намагничен-
ности образца. Следовательно, от
тех же величин зависит и наблюдае-
мый период свободных колебаний
Т=2n/d)=4nJ/yr 4cJ— р2.
Именно основываясь на изложен-
ном, более 150 лет тому назад Гаусс
предложил определять напряжен-
ность земного поля по периоду соб-
ственных колебаний магнитной
стрелки, для которой были извест-
ны VM и J при ничтожно малом р
и при с0~0. Точно так же для тон-
кой пленки (рис. 4-9) по периоду ее
колебаний в известном поле можно
легко определить ее намагничен-
ность. Этот метод неприменим для
металлических тел относительно
больших размеров из-за возникаю-
щих вихревых токов (см. гл. 6).
Пример 4-7. Магнитная пленка тол-
о
щиной 103А и диаметром 1 см обладает
восприимчивостью £=400. Внешнее поле
Не—1 а!м и образует угол Х=5° с плос-
костью пленки. Определить: 1) насколько
вектор намагниченности отклоняется от
плоскости пленки; 2) насколько слагающая
намагниченности в плоскости пленки мень-
ше, чем при %=0.
Решение. Вычисляя по формуле
(4-98) размагничивающие- факторы, нахо-
дим Nx=Ny=N=7,85 • 10~6 и Af±«l(A± =
=NZ .для поперечного намагничивания).
Далее, вычислив Нх=Не cos 5°= 1*0,996
и ИZ—He sin 5°= 1 • 0,0872, по формулам
(4-1036) находим для намагниченности
147
в плоскости пленки М=400 • 0,993 а/м и
для поперечной намагниченности М± =
=0,0872 а/м. Очевидно, что при %=5°=
=0,0873 рад.
X = arctg(/72/Hx) =
= arctg (0,0872/0,996) « tg %,
тогда как для намагниченности
Таким образом, находим, что вектор на-
магниченности отклоняется меньше чем на
0,75' от плоскости пленки. Намагниченность
при %=0 составляла ‘бы Л40=400, т. е. бы-
ла бы на 0,7% больше.
О физическом смысле коэффици-
ентов N. Поле электрически поля-
ризованного эллипсоида рассчиты-
вается по законам электростатики,
и появление внутреннего поля
—ЛФ/ео, направленного навстречу
поляризации, объясняется сущест-
вованием на поверхности эллипсои-
да связанных поверхностных заря-
дов Qsp^Pn, создающих поле в со-
ответствии с законом Кулона.
Но аналогичный расчет выпол-
няется и для магнитного поля на-
магниченных тел; как при этом объ-
яснить действительное размагничи-
вание фиктивными магнитными за-
рядами? Что касается формальной
стороны, то все корректно, посколь-
ку была доказана формальная пра-
вомочность магнетостатики. Одна-
ко все же иногда возникает жела-
ние найти объяснение, более близ-
кое к физическому пониманию
явлений, в которых фиктивные маг-
нитные заряды не участвуют. Мож-
но предложить такой путь рассуж-
дений.
Магнитное поле в присутствии
намагниченного тела содержит два
слагаемых
B=Bo+Bm. (4-105)
из которых первое определяется
внешними причинами (ток в соле-
ноиде, намагниченность сердечника
электромагнита и т. п.), а вто-
рое— намагниченностью самого те-
ла. В случае однородно намагни-
ченного эллипсоида последнее сла-
гаемое внутри эллипсоида постоян-
но, и в случае намагниченности по
одной из осей вектор Вм паралле-
лен вектору М, а сами векторы свя-
заны просто коэффициентом про-
порциональности
Влг"!гС'^Л1 или ВМ^0==КМ- (4-106)
Этот коэффициент Д' положителен
и меньше единицы
0<К< 1. (4-107)
Он равен нулю для бесконечно про-
тяженной поперечно намагниченной
тонкой пластины. Действительно,
индукция внутри пластины непре-
рывно перейдет в индукцию внеш-
него поля и должна распростра-
ниться на все бесконечное простран-
ство, при том что эквивалентный
ток лежит где-то очень далеко, про-
ходя по кромке пластинки (этот ток
очень мал, он равен 1==Мг, где т —
толщина пластины). Напротив,
в случае очень вытянутого продоль-
но намагниченного эллипсоида ко-
эффициент К стремится к единице.
Действительно, при этом поверх-
ностный эквивалентный ток (на \'см
длины) 7Э=Л1 и, как внутри длин-
ного соленоида, Вм = ц.о/э=цоМ,
а это и значит, что Д=1.
Перейдем теперь к определению
напряженности поля, обусловленной
намагниченностью,
Нм=Вм1^-М = (К-1) М =
= — (1— К)М. (4-108)
В последнем выражении легко уви-
деть размагничивающий фактор
1> 1— (4-109)
4-6. ПОЛЯРИЗУЕМЫЕ ТЕЛА
В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ
Переменное поле в поляризуе-
мых средах часто можно рассмат-
ривать как поле квазистатическое,
т. е. полагать, что оно подчиняется
тому же уравнению Лапласа—Пу-
ассона. Правда, при этом, рассмат-
ривая установившийся режим в гар-
моническом (синусоидально изме-
няющемся) поле, следует переходить
к комплексным представлениям век-
торов и потенциалов поля, а также
к комплексному представлению па-
раметров среды; при рассмотрении
переходных процессов следует об-
ращаться к соответствующим опе-
раторным выражениям.
Условие применимости уравне-
ний квазистатического поля можно
формулировать так:
148
(4-110)
здесь Х = 2д/со — длина
волны в поляризуемой среде, при-
чем для среды с комплексной про-
ницаемостью в качестве & и ц в пер-
вом приближении подставляются
модули; I — характерный размер
тела, например радиус сферы или
радиус цилиндра (но не его длина,
если цилиндр находится в однород-
ном поле, так как вдоль цилиндра
поле не изменяется, а изменяется
только по мере проникновения
внутрь цилиндра). Физически к то-
му же условию мы придем, полагая,
что в переменном электрическом по-
ле может существовать конечная
(хотя и малая) плотность тока j =
=/со8оеэЕ; этот ток создает магнит-
ное поле, хоть и малое, но все же
его можно учитывать. Однако сле-
дующим звеном мы уже должны
пренебречь*, электрическое поле, ин-
дуктируемое переменным магнит-
ным полем, должно быть ничтожно
малым по сравнению с найденным
квазистатическим (квазипотенци-
а’льным) электрическим полем.
В случае переменного магнитно-
го поля тому же условию соответ-
ствует возможность возникновения
электрического (индуктированного)
поля. Это поле можно считать за-
метным (конечным), так же как
и ток, вызванный индуктированным
электрическим полем. Однако сле-
дующее звено связи между полем
электрическим и магнитным мы
уже должны считать отсутствую-
щим, т. е. должны пренебречь сла-
гающими магнитного поля, обуслов-
ленного индуктированным электри-
ческим полем, как ничтожно малы-
ми по сравнению с найденным
квазистатическим (иногда и ква-
зипотенциал ьным) магнитным по-
лем.
Диэлектрическая сфера с комп-
лексной проницаемостью во внеш-
нем переменном поле при 8е=1.
В этом случае применимы все фор-
мулы, выведенные в § 4-4 [(4-76),
(4-77), (4-79) (4-86) —(4-88)], если
в них все переменные величины
(ф, Ё, D, Р) выражать в комплекс-
ной форме, так же как и проницае-
мость Сферы 8г=8 = 8/—j&".
В случае неидеального диэлект-
рика, т. е. при еМ=0, появляется од-
на интересная особенность: в точ-
ках, лежащих вне сферы, слагающие
внешнего однородного поля Ео и по-
ляризации Ёр при R>a не совпада-
ют ни по направлению ни по фазе.
Действительно, по (4-88) и (4-86)
Ep=E0F [2cos0e^+sin0ee], (4-111)
где
У, (4-112)
е+2'R '
тогда как
Ео=Ео [cos 0 ер — sin 0 ее] (4-113)
(см. рис. 4-5).
Такое поле содержит круговые
(вращающиеся) составляющие, как
показано в приложении 1. Эти со-
ставляющие можно определить по
формулам (П1-22), в которых со-
ставляющие х и у следует заменить
в случае сферических координат на
составляющие R и 0.
При этом слагающая правого враще-
ния (от ел к ее) определяется комплексом
С = СеП = (Er + ;Ёе)/2, (4-114а)
а слагающая левого (встречного) враще-
ния комплексом1
S = Sen' = ^er _/£в)/2, (4-1146)
где
rr = rp,R’ = А), в + ЁР> в-
При вещественной проницаемости
комплекс 3 сопряжен С, поэтому эллипс,
определяемый ими, вырождается в пря-
мую.
По формулам (П1-23) легко опреде-
лить в заданной точке R > а максимальное
и минимальное значения вектора Е как
значения большой и малой (а и Ь) полу-
осей эллипса, а также углы а и Р, обра-
зуемые с радиусом R этими полуосями эл-
липса.
Пример 4-8. Шар с проницаемостью
8 = 4—/2 находится во внешнем однород-
ном переменном поле Ёо=25О кв!м, (о =
=3 140 сек-1. Поле направлено по оси сфе-
рической системы координат (0=0).
Найти поле в точке где л=
=0,05 м — радиус сферы, при 0=зт/6. Тре-
буется определить £маКс и £ми в назван-
ной точке, а также углы, которые они об-
разуют с радиусом.
Решение. Для определения комп-
лексов С и S предварительно находим зна-
1 В приложении 1 вместо 3 принята
буква D.
149
чения Er и Eq по формулам (4-111),
(4-113):
Er -- EPtR “Ь ^0, R - Е0 Н“ 1 ) С0$
И
^9=^р, е+£о, q=Eq(f ~ Usine,
где F=0,412 —/0,112.
Производя вычисления, находим для
заданной точки: Ёц=Ёо(1,58—/0,194); Eq~
=—Ео(О,294+/О,112). Далее по (4-114) С=
=Ё0 0,880 16°5Z; S=E0 0,734 /3e55z.
Следовательно, EK&KC — EQ 1,614; Е МИН-
=£()• 0,146; а=—6°10z; р = а+л/2.
Как уже говорилось, внутри сферы
возникает электрический ток плотностью
(&qE+P). Он, конечно, сопровождает-
ся магнитным полем; но при относительно
низких частотах это поле столь невелико,
что можно пренебречь электрическим по-
лем, сопровождающим изменение поля
магнитного.
Пример 4-9. Рассчитать для сферы
предыдущего примера напряженность маг-
нитного поля на ее поверхности при 0 =
=л/2 (экватор).
Решение. По формуле (4-77в) внут-
ри сферы
. - . . Ос
D = 808 е = So Eq --, (а)
е+2
где в соответствии с условием задачи при-
нято, ЧТО 8е=1 и 8г = 8. ПЛОТНОСТЬ ТОКИ
внутри сферы Ток через эквато-
риальное сечение сферы Наконец,
по закону полного тока
Н — 1/2па = aJ/2 =
=36,9/81° 55' -10~5 а/м.
Магнитное поле токов смещения очень
мало, и в этом примере очевидна оправ-
данность предположения о ничтожности
индуктированного им электрического поля.
Цилиндр, эллипсоид и другие те-
ла в переменном поле. В случае ци-
линдра и эллипсоида следует посту-
пать так же, как и в подробно рас-
смотренном случае сферы, т. е.
пользоваться имеющимися реше-
ниями, подставляя в них надлежа-
щие комплексные величины.
Интересно заметить, что в слу-
чае сферы и цилиндра, конечно,
в однородном внешнем поле, поле
внутри них не имеет вращающихся
составляющих. Однако в случае
неравноосного эллипсоида при
комплексных параметрах среды
круговые составляющие имеются
и внутри эллипсоида, правда, обыч-
но очень незначительные. Заметим,
что так же обстоит дело и с любыми
анизотропными телами, независимо
от того, чем обусловлена их анизо-
тропия.
Пример 4-10. Определить составляю-
щую электрического поля на поверхности
ферритового цилиндра, находящегося в по-
перечном магнитном поле Яо=1ООО
Радиус цилиндра а=0,5 см; частота
переменного поля со=3 140 сек; проницае-
мость ц=10—/2=10,15 /—ll°20z.
Решение. Определяя магнитное по-
ле внутри цилиндра по формуле (4-71в),
находим,. что
В — Вх = /7о*2рр,о/ (р» 4“ !)•' {&)
Поток, который проходит между образую-
щими цилиндра (рис. 4-10), лежащими под
углами ±%, на единицу их длины
ф0 = 2Bxasin %,
и по закону электромагнитной индукции
Ё — Ё2 = — /©Ф0/2 = — }(йВх a sin %.
Для данных этого примера Вх =
= ро#о 2,2 / l°10z при напряженности внут-
реннего поля H—Hq 0,217 /12°30z.
Следует обратить внимание на то,
что Н заметно сдвинуто по фазе относи-
тельно Но, что сдвиг по фазе между Н и В
в точности равен аргументу (углу потерь)
магнитной проницаемости. Однако магнит-
ная индукция внутри цилиндра почти в фа-
зе с внешним полем.
Искомое значение напряженности элек-
трического поля
Ё = 0,0432 sin X /—88°40' в/м.
Если магнитный цилиндр не обладает
металлической проводимостью (ферритовый
цилиндр), то, разумеется, обусловленные
150
этим полем токи ничтожны и практически
не влияют на магнитное поле; оно остается
полем квазистатическим.
Металлический стержень в переменном
магнитном поле рассматривается в гл. 6.
Потери в переменном поле. Как
было показано в § 3-4, 3-5, для сре-
ды с комплексной проницаемостью в
единице объема рассеивается мощ-
ность
Р0-<оЯ2р0р" (4-115а)
или
Р0 = аЕ2ъ0ь", (4-1156)
где Н и соответственно Е — дейст-
вующее значение гармонической пе-
ременной.
Мощность, отнесенную к едини-
це объема, можно охарактеризовать
и комплексной величиной
s0 = Ро + iQo = в =
= jaH2 Ро (и' — /р") (4- Иба)
или
So = 7®£2 80 (8' — /б"). (4-1166)
В применении к цилиндру в по-
перечном переменном магнитном по-
ле находим, что
S = Р +JQ.= j®
до 4(р' —/р") У
Ро (1 +Р')2+(Р")2
4В? о/Ро
как это следует из (4-116а) и (4-71 в);
в этом выражении Во=Яоро — дей-
; ствующее значение внешнего маг-
нитного поля; р/—/pZ, = Pi; Ре=1;
V — объем цилиндра.
Пример 4-11. Найти мощность (поте-
ри), рассеиваемую в шаре примера 4-8, но
при частоте 50 кгц.
Решение. По (4-77в) или по фор-
муле (а) примера 4-9 находим напряжен-
ность поля Е внутри сферы. Затем по
(4-1156) после умножения на объем шара
находим искомую мощность
Р=41 епг =
= a>El е0 е” • 12ла3 / [(2 + s')2 +(е")2].
Расчет выполнен в предположении, что
£о==25О кв/м — действующее значение.
Поляризуемые тела во вращаю-
щемся поле. Вращающееся поле вы-
ражается как сумма двух простран-
ственно ортогональных составляю-
щих, смещенных друг относительно
друга по фазе на л/2.
В декартовых координатах комп-
лексный вектор
F = Foex-jFQey (4-118)
изображает вектор, вращающийся
со скоростью со в плоскости х, у в
положительном направлении (от оси
х к оси у); при этом величина век-
тора Ро, а угол, образуемый F с
осью х в момент 1=0, равен у, если
Fo=FQe^ (см. подробнее приложе-
ние 1).
В силу сказанного поле поляри-
зуемого тела с линейными свойства-
ми во вращающемся внешнем поле
можно рассматривать, применяя
принцип наложения: находят снача-
ла поле при однородном внешнем
поле Fx=Fq, затем при однородном
внешнем поле Fy=—jF0-f найденные
результаты суммируют. Разумеется,
применимость суперпозиции предпо-
лагает обязательное выполнение
требования линейности, т. е. незави-
симость проницаемости от амплиту-
ды поля.
В случае идеального ферромаг-
нетика (ц,,=0) или диэлектрика
(в//=0) ничего нового во вращаю-
щихся полях не происходит. Напро-
тив, в поляризуемых средах с поте-
рями (pi,,=^=0, 8/z =^=0), когда харак-
теристика носит гистерезисный ха-
рактер, появляется существенно но-
вое явление: симметричное тело —
сфера или цилиндр в поперечном од-
нородном внешнем вращающемся
поле испытывает вращакнций меха-
нический момент. Это объясняется
запаздыванием в изменении поляри-
зации относительно изменения поля.
Пусть, например, напряженность
поля представляется вектором
Ёх = Ёо = Еоеп ; Ёу - —]ЁХ,
а поляризация — вектором
Рх — Ёх — k&0E0 е1’ ;
отстающим по фазе на угол тр
Тогда в случае вращающегося
поля (4-118) найдем для вектора по-
ляризации такое выражение:
Р = feoEoe/(7“T‘) ех —
— jke0E0 е1 еу. (4-119)
151
Вращающийся вектор Р отстает в
пространстве от вектора Е на угол
тр При этом постоянное значение
(модуль) вращающегося вектора на-
пряженности |Е| =Е0, а поляриза-
ции | Р | == Р=Аво^о; Eq — это ам-
плитудное значение как х-й, так и
у-й составляющих. Если Eq представ-
ляет собой действующее (эффектив-
ное) значение х-й и г/-й составляю-
щих, то при определении величины
вектора вращающегося поля следу-
ет вводить множитель ]Л2. Когда
вектор поляризации Р и вектор по-
ля Е сдвинуты на угол г), возникает
вращающий момент, отнесенный к
единице объема вещества,
Lo = РЕ sin т] (4- 120а)
или в векторной форме
Lo = ReP*XE = РхЕ — L
L = Р Е sin 1] е2; (4-1206)
здесь Е — комплексный вектор по-
ля, а Р* — комплексный вектор, со-
пряженный вектору поляризации
(в обоих случаях это комплексное
выражение амплитуд); Р и Е — век-
торы вращающегося поля, имеющие
постоянную величину Р и Е; ez —
единичный вектор, определяющий
направление вращающего момен-
та L, согласованного правилом пра-
вого винта с направлением враще-
ния Ч
В случае магнитного поля
E0 = 2WBsinr] (4-12 la)
или
L0 = ReM*xB. (4-1216)
Вращательный гистерезис. В дей-
ствительности, даже в условиях, ма-
ло отличающихся от линейности,
угол отставания по фазе в линейном
переменном поле и угол отставания
поляризации от вращающегося по-
ля могут отличаться в силу разли-
чия физических процессов. В этой
книге вопрос глубже не анализи-
руется.
Гистерезисный двигатель. Ци-
линдр во вращающемся магнитном
поле представляет собой ‘важный
элемент машин переменного тока.
1 В тожественности разных выражений
в правой части (4-1206) легко убедиться
прямым выполнением указанных операций.
В том случае, когда проводи-
мость цилиндра мала, вращающий
момент определяется только нали-
чием гистерезиса. В случае хорошо
проводящего цилиндра в нем возни-
кают вихревые токи, их взаимодей-
ствие с внешним вращающимся маг-
нитным полем также создает вра-
щающий момент; этот случай рас-
сматривается в гл. 6.
Рассчитаем вращающий момент
для непроводящего цилиндра в по-
перечном вращающемся поле. Амп-
литуда поля Во, проницаемость ци-
линдра н = /ц", радиус цилинд-
ра а.
Для цилиндра во внешнем од-
нородном поле применима формула
(4-71 в), приводящая после соответ-
ствующих замен к выражению (а)
примера 4-10.
В случае вращающегося поля
B0=B0ex-/B0eF (4-122)
(для простоты начальная фаза Во
принята за нуль: Во—Во); поле
внутри цилиндра выражается ра-
венствами
Вх = Во-2р/(1 4-й;
Ву =—/В0-2|*/(1+£)• (4-123)
Индукция и намагниченность
связаны известной формулой
= 1)/ИоИ- (4-124)
Применяя ее к предыдущим ра-
венствам, находим:
Мх = В0-2(р - 1)/ро (И + D; (4-125а)
'му——]В0• 2 (ц-1)/Цо (71+1). (+1256)
Вектор М вращается в ту же
сторону, что и вектор Во (конечно, с
такой же скоростью), но отстает на
угол тр
Л=/Во.м=
= - arg[(i?- 1)/(н+ !)]• (4-126)
Вращающий момент Во опреде-
ляется взаимодействием намагни-
ченности М именно с внешним1 по-
лем Во, поэтому искомый момент
1 См. подробнее гл. 5.
152
(на единицу длины цилиндра) в на-
шем случае:
L = VB0 М sin т] —
4|Г
= — £2----------------------V. (4-127)
Ио 0 (ц' + 1)2 + 0Иа
так как
sinr]=—Im | -—- j ; t,
Vpi + l J H + 1
м = — b0 £—!- .
Po H + 1
Очевидно, что при отсутствии
гистерезиса момент обращается в
нуль вместе с из-
вращение цилиндра в постоян-
ном магнитном поле. Найденные
здесь выражения поля и момента
для цилиндра во внешнем вращаю-
щемся поле полностью применимы
и для цилиндра, вращаемого в не-
подвижном магнитном поле (рис.
4-11) ; в самом деле, важно только
относительное изменение положения
вектора Во и тела.
Пример 4-12. Найти момент L, который
необходимо приложить к магнитному ци-
линдру (рис. 4-11) для того, чтобы вра-
щать его со скоростью со в постоянном маг-
нитном поле Во—const, например когда ци-
линдр расположен между полюсами маг-
нита.
Цилиндр обладает гистерезисом, кото-
рый можно охарактеризовать комплексом
—jp,/z; проводимость цилиндра нич-
тожно мала.
Решение. Вращение цилиндра со
скоростью со в постоянном поле Во равно-
сильно тому, что неподвижный цилиндр на-
ходится в поле, вращающемся с такой. же
скоростью со в противоположную сторону.
Поэтому можно определить составляющие
вектора намагниченности по формулам
(4-125), полагая, что вращающийся вектор
внешнего поля имеет составляющие
Вх ~ Дь — А-
Подставляя эти составляющие в фор-
мулу векторного произведения
L=VReM*xB0,
где
&Z
1 -/ о
2Вр у* — j
------- «2/------е
Ио 7 Н*+1 2
и производя требуемые операции с ком--
плексами
ReF_j 1
L ц' + 1+/х ]
= 2jx"/[(H' + l)2 + (n")2L
находим искомый момент
1 9 4ц"
L=-----В?----------------Vez.
Но ° (Н' + 1)2 + (Н")2
Естественно, что результат не отличается-
от (4-127).
Потери во вращающемся поле.
Куда девается энергия, расходуемая
на вращение цилиндра в постоянном
внешнем поле? Единственно воз-
можный ответ заключается в том,
что она рассеивается во вращаемом
цилиндре, т. е. что она обращается
в тепло, обусловленное тем, что ве-
щество с проницаемостью р, = р/—
—/р" находится во вращающемся
поле. Но мощность, расходуемая на
вращение, равна произведению мо-
мента на угловую скорость.
Из сказанного следует, что ак-
тивная мощность, которая рассеива-
ется в цилиндре, находящемся во
вращающемся внешнем поле Во,
153.
Р = La =
= J_#2------W2-------v (4428)
Ho 0 (H' + 1)2 + (H")2
в соответствии с (4-127).
Сопоставляя (4-128) с (4-117),
находим, что потери выражаются
на вид такой же формулой. Однако
в (4-117) Во эффективное, а не ам-
плитудное значение, тогда как
в (4-128) BQ — скорее уж можно
назвать амплитудным; впрочем, в
случае вращающегося поля понятия
амплитудный и эффективный совпа-
дают, как в случае постоянного тока
(см. приложение 1).
Интересно еще выразить потери
через напряженность вращающегося
поля непосредственно внутри тела
для сравнения с известной формулой
(4-115а) потерь мощности в линей-
ном переменном поле Pq=miiqH2ii".
Для этого достаточно в выражении
(4-128) заменить Bq на H=Hi, по-
следнее легко сделать, обращаясь к
формулам (4-123): ’
Н = Ж/Р-о(ц + 1); (4-129а)
^=^/РоН=—/25о/Цо(н+ О- (4-1296)
Из этих равенств следует, что
4В2 = Я2р2[(и'+1)2 + (Ю2]> (4-130)
где Н — значение вектора вращаю-
щегося поля в каждой точке Н=Нт,
причем Н^\Н^=\Ну\^\Нх\^\Ну\\
После подстановки в (4-128) нахо-
дим, что на единицу объема потери
во вращающемся поле
Р0 = Р0Н^". (4-131)
В линейном переменном поле с
такой же амплитудой Нт потери в
два раза меньше
/>о = ^>н72 (4-132)
(при одинаковых максимальных зна-
чениях Н).
Относительная угловая скорость
и вращающий момент. Казалось бы,
по (4-127) величина вращающего
момента L не зависит от со; это спра-
ведливо, если магнитная проницае-
мость и площадь гистерезисной пет-
ли не зависят от частоты. На самом
деле это не так. Гистерезис и потери
во вращающемся поле, как уже го-
ворилось, несколько отличаются от
гистерезиса и потерь в простом пе-
ременном поле. Однако характер
наблюдаемых явлений легко просле-
дить, предполагая простейшую зави-
симость проницаемости от частоты .
Н (/«>) = н=р/ — /и" = 1 + ——
1 + /сот
или
/11 п
Ц — 1 -j--------,
1+(сот)2
„ паут
1 + (сот)2
характерную для релаксационных
процессов поляризации (см. § 3-5).
При такой зависимости ц (/со)
находим по (4-127), что
Bq4/icotV [1 + (®т)2]/Цо
[2 + 2(сот)2 + л]2 + (псот)2 v
Момент сначала растет вместе с от-
носительной угловой скоростью вра-
щающегося поля со, затем достигает
максимума, и, наконец, падает, как
показано на рис. 4-12, где момент L'
и частота со' представлены в услов-
ных единицах.
Пусть внешнее поле вращается
со скоростью со; =7 (в условных
единицах, рис. 4-12), а вращающий
момент нагрузки на ферритовый ци-
линдр пусть составляет L'a —2 (в ус-
ловных единицах, рис. 4-12). Что
произойдет? Легко найти ответ: при
со'=со; = 7 вр ащающий момент, обус-
ловленный электромагнитным по-
лем, £;м, больше противодействую-
щего (тормозящего) момента на-
грузки Z/H. Поэтому цилиндр, увле-
каемый полем, начнет вращаться с
ускорением. По мере раскручивания
154
цилиндра, представляющего ротор
двигателя, относительная угловая
скорость вращающегося поля о/ нач-
нет убывать. Очевидно, что угловая
скорость поля относительно цилинд-
ра (о7 равна разности скоростей элек-
тромагнитного поля cdq и самого ци-
линдра сОр. Когда эта разность до-
стигнет значения, равного абсциссе
точки L* (на рис. 4-12 (о7~1,2), тог-
да заданный противодействующий
момент нагрузки окажется равным
моменту, обусловленному полем,
вращающимся с относительной угло-
вой скоростью co,=coq —сор. Эта точ-
ка и оказывается точкой равнове-
сия. Цилиндр (ротор) должен вра-
щаться со скоростью сор=5,8.
Из приведенной характеристики
L7((o7) видно, что при постоянстве
скорости внешнего поля по мере ро-
ста противодействующего момента
нагрузки уменьшается скорость вра-
щения ротора (Ор. Из той же диа-
граммы видно, что существует пре-
дельный момент нагрузки, при кото-
ром поле еще способно вращать
цилиндр.
Из простейшего проведенного
здесь анализа и кривой, построенной
на рис. 4-12, можно сделать много
выводов о характере работы асин-
хронного гистерезисного двигателя
и прежде всего объяснить его на-
звание «асинхронный»: при любом
моменте, отличном от нуля, ротор
(в нашем случае ферритовый ци-
линдр) всегда вращается медлен-
нее, чем поле.
Пример 4-13. Пусть скорость поля (оо —
=20, а тормозящий момент равен Лн=4.
Определить рабочую точку описанного вы-
ше двигателя (рис. 4-12) и объяснить путь,
который приводит в эту точку.
Решение. Противодействующий мо-
мент Ан=4 меньше момента, развиваемого
двигателем при неподвижном роторе (L'=
=4,6). Ротор начнет вращаться увлекаемый
полем. При этом скорость вращения поля
относительно цилиндра начнет уменьшаться,
а вращающий момент, обусловленный по-
лем, будет еще возрастать. Разность момен-
тов уравновешивается моментом ускоренно-
го движения
L — Ln = J dcop /dx,
где J — момент инерции, ат — время в ус-
ловных единицах. Ускорение обратится в
нуль тогда, когда цилиндр раскрутится на-
столько, что относительная скорость враще-
ния-станет равной со'=2,5 (координаты точ-
ки Б на рис. 4-12: Ь'==4, сй'=2,5).
Вращающееся поле в зазоре ма-
шины. Вращающееся поле в воз-
душном зазоре машины трехфазно-
го тока с одной парой полюсов
и цилиндрическим ротором при ма-
лом зазоре в первом приближении
описывается теми же уравнениями,
что и поле магнитного цилиндра во
внешнем вращающемся поле (по-
дробнее см. § 5-3).
Эллиптический цилиндр во вра-
щающемся поле. Существенно иные
эффекты наблюдаются в случае ани-
зотропного тела во вращающемся
поле.
Рассмотрим простейший случай
анизотропии формы, когда эллип-
тический цилиндр с осями а>Ь рас-
положен в поперечном вращающем-
ся поле (рис. 4-13). Магнитные свой-
ства материала характеризуются
проницаемостью ц = const. Вектор
внешнего поля Но вращается отно-
сительно системы координат, свя-
занной с цилиндром, со скоростью
(о = (оо—(оц, где соо — скорость внеш-
него вращающегося поля, соц — ско-
рость вращения самого эллиптичес-
кого цилиндра. Кроме того, необхо-
димо ввести в расчет некоторый на-
чальный угол v, образуемый векто-
ром Но с осью х в момент /=0,
Заметим сразу физическую необ-
ходимость ввести этот угол v: всегда
можно представить себе, что ци-
линдр вращается с такой же скоро-
стью, как и внешнее поле; такое
вращение называют синхрон-
ным; при этом (о = 0, p=ZH0, М =
= const. Из-за эллиптичности ци-
линдра момент, действующий на ци-
линдр, может быть отличен от нуля
и зависит от угла v. Например, при
155
v = 0 ясно, что и р = 0 (намагничен-
ность совпадает и с вектором поля
и с большой осью эллипсоида). В.об-
щем случае и при синхронном
вращении
L-p,0MXH0 V=const.
L максимально, когда v=45°, как
доказывается ниже; при v = 90° век-
тор М совпадает пр направлению с
вектором Но (Р = 0) и момент обра-
щается в нуль. Влияние гистерезиса
приводит к дополнительному отста-
ванию вектора М от вектора Но
при со=/=0.
Ввиду того что угол между Но
и М периодически изменяется, если
со=^=0, в рассматриваемом случае
удобнее обратиться к мгновенным
значениям, чем оперировать с ком-
плексами. В заданных условиях
(рис. 4-13)
Н0х—Н0 cos (со H-v);
"'"Wi
s == 77О sin (со Z-j-v) 3 (4-134)
и по формулам (4-1036)
Л4 =_cos (со Ч-v); (4-135а)
1+^4
Му = , Т7Т, sin(o^+v), (4-1356)
1 + kN у
где —1.
При этом величина момента оп-
ределяется векторным произведе-
нием:
\ * Ь X * 1 <wv у /
• V sin 2 (со z+v) (4-136)
(здесь принято во внимание, что
sin a cos а=— sin 2а).
2
В случае эллиптического цилинд-
ра (и просто эллипсоида) Nx<Ny,
когда а>Ь, как на рис. 4-13. Легко
понять, что при этом момент поло-
жителен, когда Но лежит в первом
или третьем квадранте; он максима-
лен при sin2(co£+v) = 1; в первом
квадранте этому соответствует угол
v = 45°. При установившемся режи-
ме, если вращающееся поле сумеет
вовлечь цилиндр в синхронное вра-
щение со/ = О, так как со = 0, а посто-
янный угол v устанавливается та-
ким, чтобы момент вращения, обус-
ловленный полем, равнялся проти-
водействующему моменту нагрузки.
•^н—-^макс sin 2v. (4-137)
В переходном (несинхронном)
режиме движение описывается
сложными уравнениями, а магнит-
ные силы дергают ротор то в одну,,
то в другую сторону. В больших син-
хронных машинах анизотропия (по-
добие эллиптическому цилиндру)
обусловливается либо постоянным
током обмотки возбуждения, лежа-
щей на роторе, либо его сильно вы-
ступающими полюсами. При этом
возникающие силы огромны. В ре-
альных машинах при выпадении из
синхронного движения или при втя-
гивании в него расчет переходных
процессов усложняется еще рядом
явлений (см. также § 5-3).
4-7. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В КВАЗИСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЯХ.
РЕЛАКСАЦИЯ
Операторный метод в примене-
нии к расчету поля в неоднородном
несовершенном диэлектрике. Зави-
симость эквивалентных параметров,
среды от частоты (гл. 3) показыва-
ет, что распределение поля в неод-
нородной среде при различной ча-
стоте внешнего поля в общем случае
различно, например в случае ди-
электрического шара с проницае-
мостью 8г в среде с проницаемо-
стью 8е.
Но когда реакция зависит от ча-
стоты возмущения, тогда при апери-
одическом возмущении должен су-
ществовать переходный процесс
рассматриваемой реакции. Действи-
тельно, апериодическое возмущение
содержит некоторый определенный
спектр, а разные частотные состав-
ляющие вызывают различную реак-
цию.
Для расчета переходного процес-
са очень удобно обратиться к опе-
раторному выражению эквивалент-
ных оэ и 8Э, заменяя в них /со на р в
соответствии с изложенным в
§ 3-4: . .
еэ=еэ(р)=е+о//7е0 (4-138а)
или
оэ=°э (р) = G+P 8ое- (4-1386)
Разумеется, что при этом внеш-
нее возмущение должно быть пред-
ставлено в операторной форме. Ес-
ли в результате расчета найдено для
156
какой-либо точки поля операторное
выражение, скажем, Е(Р) , то, сле-
дуя обычным правилам операторно-
го метода, можно найти соответст-
вующую функцию времени
Е(/) ~Е(р).
Некоторые трудности могут воз-
никнуть, если начальные условия
нельзя считать нулевыми. Этот во-
Да, можно, но только для момен-
тов времени, близких к моменту
включения внешнего поля (Ео).
Действительно, очень быстро1
после включения внешнего поля
произойдет поляризация диэлектри-
ка и на поверхности сферы появятся
связанные заряды, т. е. заряды по-
ляризации; они и приведут к тому
распределению поля, которое опре-
прос анализируется после рассмот-
рения простейшего конкретного при-
мера, в котором, как будет показано
позже, начальные условия нулевые.
Сфера из несовершенного ди-
электрика в окружении другого
диэлектрика, также несовершенного.
Пусть в газовой среде с параметра-
ми 8е, ое расположена сфера радиу-
сом а из твердой смолы, параметры
которой 8г-, а; пусть, например,
ег = 2ее; 8Й=1; ог-=0,1ог;
ае=10“16 сим} см.
Внешнее поле Ео, действующее
на рассматриваемую- систему, од-
нородно. Наличие диэлектрической
сферы должно усиливать поле Е
вблизи ее полюсов вследствие того,
что 8г>8е, как это схематически по-
казано на рис. 4-14.
Рассматривая поле во внешней
области (R > а) непосредственно у
полюсов, найдем для приведенных
чисел по (4-77) при 0 = 0 и R = a, что
E=ER=l,5E0.
При этом, однако, мы пренебре-
гали влиянием проводимостей (о) и
весь расчет вели исходя из отноше-
ния проницаемостей (s) сферы и
окружающей среды. Можно ли так
поступать?
деляется диэлектрическими прони-
цаемостями.
Но в общем случае2 в неоднород-
ной среде наряду с зарядами поля-
ризации могут появиться и свобод-
ные заряды. Появление свободных
зарядов может изменить всю карти-
ну поля. Однако если первоначально
в рассматриваемой области не было
свободных зарядов, то они могут на-
капливаться лишь постепенно, при-
чем в среде с малой проводимостью
процесс их накапливания происхо-
дит очень медленно. Этот процесс
закончится тогда, когда распреде-
ление поля будет определяться толы
ко отношением проводимостей сфе-
ры и окружающей среды. Такое
поле можно найти, обращаясь к фор-
мулам (4-77) и заменяя в них &i и 8е
соответствующими значениями Gt и
Ое.
£„=£„[1+2
R 0 L а/ + 2<те
з
cos 6;
(4-139а)
1 Полагая проницаемость чисто вещест-
венной и не зависящей от частоты, мы тем
самым приняли, что поляризация без вся-
кого замедления следует за изменениями
поля.
2 Если отношение о/s не остается по-
стоянным во всей среде, т. е если
8i/CFf^= 8e/(Je.
157
(4-1396)
при а.
Для нашего примера, когда рас-
пределение поля определяется про-
водимостями, во внешней области
(R >а) вблизи полюса (R=a, 0 =
=0) найдем, что £ = О,145£о
(рис. 4-15).
Введем теперь эквивалентные
операторные проницаемо-
сти (4-138а) в выражения (4-77а)
и (4-776) или операторные проводи-
мости (4-1386) в выражение (4-139);
при этом для поля во внешней об-
ласти
ER(p)=E0(p) [1+2S]cos0; (4-140а)
Ее (р) = - Eq (р) [ 1 —S]sin 0, (4-1406)
где
5= Pgo(g/ — &е) + Of — /_£_]3
Р 8o(£i+28e)4-CFi+ 2CTg \ R /
Как известно, по операторному
выражению F(p) легко найти значе-
ние соответствующей величины
f(/)~F(p) для начального момента
вр’емени £ = 0 и для установившегося
(постоянного) режима t= оо, поль-
зуясь формулами
/:(0) = limp/?(p); f (co)==lim/?F(p).
р—>СО р—>0
(4-141)
Применяя эти формулы к
(4-140), получим в начальный мо-
мент, т. е. сразу после включения
постоянного поля EQi выражения
(4-77а) и (4-776).
Таким образом, операторные вы-
ражения (4-140) соответствуют
именно тем начальным условиям,
которые мы определили выше, исхо-
дя из физических соображений: сво-
бодные заряды должны отсутство-
вать и, следовательно, распределе-
ние поля определяется только про-
цессами поляризации, что и выра-
жается отсутствием влияния прово-
димостей (сгг-, ие) на результат.
Пользуясь операторными выра-
жениями, найдем распределение по-
ля при установившемся режиме, ког-
да с течением времени (/->оо)
прекратится дальнейшее изменение
зарядов. Применение (4-141) при
0 к (4-140) приводит к распре-
делению поля, определяемому толь-
ко проводимостями, т. е. к (4-139).
Как же протекает переходный
процесс от начального распределе-
ния поля (4-77) к конечному
(4-139)? Для того чтобы ответить
на этот вопрос, нужно найти выра-
жения E(t), соответствующие дан-
ным выражениям Е(р).
Обращаясь к (4-140), после под-
становки Eq(p) =EqIp и простых ал-
гебраических преобразований нахо-
дим, что
ER(p)=E0 Г—+2l/| cos 6; (4-142а)
L Р J
£е (р)= — Ео Г——t/lsin 0, (4-1426)
где
I I , т 1 / а V
”1~р(р + *)1Ш ’
^=(о-г+2ое)/е0 (ег-+2ей);
/=(ег — ее)/(ег+2ей);
ое)/Е0^+2ее).
Искомые функции времени лег-
ко найти из любых таблиц соответ-
ствия оригиналов и изображений1:
ER(t)=EQ [l+2T]cos0; (4-143а)
EQ(t) = — Ео(1— T)sin0, (4-1436)
где
[ М )} \ R)
В этих выражениях
mlk= (с>1—Ое) / (Ог + 2ое).
Для внешней области R >а, не-
посредственно вблизи сферы R -+а,
0 = 0, для конкретных данных, при-
веденных выше, находим, что
E=ER (t) = Ео (0,145 + 1,35е~*')
(4-144)
при &=1,18-10“3 сект1.
1 См., например, первую часть книги.
158
График зависимости E(t)/E0
представлен на рис. 4-16. Через
10 мин напряженность поля спадает
от 1,5 Eq (в начальный момент) до
0,8 Eq; через 30 мин напряженность
поля спадает до 0,3 Ео.
На рис. 4-14 и 4-15 воспроизве-
дены с небольшими изменениями ри-
сунки из книги Н. Фелиси 1 об элект-
ростатических генераторах высокого
напряжения: слева показано распре-
деление поля в начальный момент,
а справа — после того как диэлект-
рический шар «облепили» свобод-
ные заряды. Напомним, что элект-
рическая проводимость шара мень-
ше проводимости окружающей газо-
вой среды. К тому же при работе
электростатического генератора
происходит ионизация газа и его
электропроводность значительно
возрастает. Рисунки 4-14 и 4-15 при-
ведены в книге Фелиси для объясне-
ния эффекта, казавшегося сначала
непонятным. Для того чтобы маши-
на работала нормально, в ее упро-
щенной модели напряженность поля
у полюсов сферы должна оставаться
возможно большей; при запуске ма-
шина работала в соответствии
с ожидаемым результатом; однако
через 10—15 мин (иногда через 15—
30 мин) работа машины существен-
но ухудшалась и в конце концов
машина переставала работать, ее
останавливали и разбирали;после
нового запуска машина вновь рабо-
тала удовлетворительно, но лишь
в течение ограниченного времени.
Этот эффект был объяснен постепен-
ным спадом напряженности поля
из-за несоответствующего соотноше-
1 N. J. F е 1 i с i., Elektrostatische Hoch-
spannungs-Generatoren, Karlsruhe, 1957.
ния проводимостей и проницаемо-
стей.
Мы разобрали здесь лишь один
простой пример, поддающийся эле-
ментарному расчету2. Однако из не-
го можно сделать общий вывод: при
воздействии внешнего постоянного
поля его распределение в неодно-
родной среде сначала определяется
только проницаемостями, а в конце
только проводимостями.
Как для данного примера, так
и в общем случае аналитические
расчеты могут быть сделаны не толь-
ко для напряженностей поля, но и
для потенциалов. Так, переходный
процесс для потенциала <р(£) можно
в случае той же сферы рассчиты-
вать, пользуясь формулами (4-76),
вводя в нее операторные выражения
для Eq(p) и е(р).
Расчет переходных процессов мо-
жет основываться и на частотных
характеристиках, полученных экспе-
риментально при отсутствии анали-
тического выражения E(ja).
Остаточные явления. Релакса-
ция. В неоднородной среде нако-
пившиеся свободные заряды сохра-
няются некоторое время и после вы-
ключения внешнего поля. Свободные
заряды создают свое поле, постепен-
но ослабевающее по мере их нейтра-
лизации (релаксация). Это поле
можно рассчитать, пользуясь прин-
ципом суперпозиции.
Пусть E'(t) —поле, обусловлен-
ное включенным в момент t=0 внеш-
ним полем Eq. Выключение внешнего
источника поля в момент t=tQ мож-
но представить как включение
в этот момент дополнительного ис-
точника, отличающегося знаком
(—Eq). В таком случае результи-
рующее поле при можно вы-
разить суммой:
Е(/)=Е,(/)-^ (Z-Q,
где E'(t) —найденная функция вре-
мени, например (4-144) в предыду-
щем примере.
2 В приведенном расчете рассматрива-
лось только поле в точке 0=0, где напря-
женность имела лишь одну составляющую-.
Очевидно, что в других точках могут ме-
няться как величина, так и направление по-
ля, что очевидно из рис. 4-14"и 4-15.
159*
Некоторые обобщения. Рассмот-
ренный процесс постепенного изме-
нения поля и накопления зарядов
в среде с неоднородным и несовер-
шенным (о¥=0) диэлектриком,
можно считать типичным для ди-
электриков и полупроводников.
С подобными эффектами приходится
часто встречаться в электротехниче-
ской практике. Так, если кабель,
находившийся под высоким постоян-
ным напряжением, отключить сов-
сем от источника питания и на не-
сколько секунд соединить . между
собой его жилу и оболочку (разря-
дить кабель), то через некоторое
время на разомкнутых электродах
кабеля вновь появится напряжение,
которое может продержаться до-
вольно долго.
При исследовании процессов
в переходных слоях полупроводни-
ковых элементов также приходится
рассматривать образование и посте-
пенное рассасывание объемного за-
ряда.
Пользуясь основными уравнения-
ми поля, можно вывести выражения,
списывающие рассматриваемый
процесс. Скорость убывания плот-
ности р свободного электрического
заряда равна дивергенции вектора
плотности тока проводимости JJ, вы-
ражаемого законом Ома J = crE:
.77j..£. — div j=div (о Е)=
dt
= о div Е+Е grad о. (4-145)
Сама плотность свободного заря-
да выражается формулой Гаусса
р=div D=div (е08 Е)=
=808 div Е-Но Е grad 8.
Исключая из этих уравнений divE,
находим, что
— + а р = — Е grad 8 — Е grad
dt 8
гг2 Г 1 Р 1
=Е— —grade-----------grade =
е [ ст с2 J
= Е —grad (—= Jagrad(1/а),
е \ ст j
(4-146)
где а = о/880.
Из последнего уравнения очевид-
но, что в среде с в/о=const (хотя,бы
среда была неоднородна) в устано-
вившемся режиме плотность свобод-
ного заряда обязательно равна ну-
лю, так как grad (const) =0.
Если, однако, в такой среде в мо-
мент /=0 существовала плотность
заряда ро^О, то решение последне-
го уравнения
д p/dt+ap=O
имеет вид:
p=poe~at. (4-147)
Последнее выражение позволяет
оценить длительность процесса ре-
лаксации, «рассасывания» заряда
или «распада поля»; она определя-
ется постоянной времени т= 1/а=
= 88о/о.
Трудность решения уравнения
(4-146) при grad (е/сг) =f= 0 определя-
ется тем, что сама напряженность
поля Е выражается через интеграл
от р.
4-8. МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В начале этой главы было дано
представление о методах решения
уравнения Лапласа. Не углубляясь
далее в область математической тео-
рии уравнений электромагнитного
поля, рассмотрим, однако, некоторые
приемы расчета поля, разработан-
ные в значительной мере в связи с
электротехническими задачами и
расширяющие класс легко разреши-
мых и практически важных задач.
Зеркальные изображения. Поле
заряда, расположенного рядом с хо-
рошо проводящей поверхностью
(рис. 4-17), может быть найдено по
методу зеркальных изображений,
при котором влияние всей проводя-
щей поверхности (влияние наведен-
ных на ней зарядов) заменяется по-
лем зеркального изображения дан-
ного заряда с измененным знаком.
Действительно, в поле таких двух
зарядов средняя плоскость оказы-
вается эквипотенциалью (из усло-
вий симметрии), как это требуется
действительными условиями. Метод
зеркальных изображений был раз-
работан крупнейшим английским
физиком Кельвином еще в середине
прошлого столетия и широко приме-
няется на практике.
160
. Существенное развитие метода
принадлежит другому английскому
физику Сирлу, распространившему
метод на случай отражения от по-
верхности раздела любых двух раз-
личных сред Ч
Рис. 4-17.
Пусть заряд q (рис. 4-18, а) рас-
положен с среде с диэлектрической
проницаемостью 81 на расстоянии h
от плоской границы с полупростран-
ством, заполненным средой с прони-
цаемостью 82- Спрашивается, нельзя
Рис. 4-18.
_v।
Поле совпадает
с действительные
ли найти поле, предполагая, что в
первой области оно создается дейст-
вительным зарядом q и его непол-
ным (несовершенным) отражением
лежащим на расстоянии h
за границей, и что оба заряда рас-
положены в однородной неограни-
ченной среде с проницаемостью 81
(рис. 4-18, б).
1 Портрет Сирла находится в ряду
портретов других профессоров Кавенди-
щевской лаборатории Кэмбриджского уни-
верситета, где в свое время работали Макс-
велл, Резерфорд, Капица и многие другие
выдающиеся физики. Сотрудники лаборато-
рии еще изустно передают характеристику
Сирла как блестящего лектора, умевшего с
необыкновенным изяществом решать слож-
ные задачи.
Продолжая аналогию с оптикой,
можно представить, что поле во вто-
рой среде создается некоторым за-
рядом #2, находящимся в положении
действительного заряда q, но коли-
чественно измененного: q2=zk2q, а
все пространство заполнено одна-’
родной средой с проницаемостью 8?
(рис. 4-18,в)2.
Правильность этих догадок мо-
жет быть подтверждена следующи-
ми рассуждениями, из которых оп-
ределяются и значения коэффициен-
тов ki и й2*
Если поле в первой области оп-
ределяется как поле зарядов q и qi
при проницаемости среды 8Ь а поле
во второй области определяется как
поле заряда q2 при проницаемости
среды 82, то на границе двух обла-
стей эти два решения должны удов-
летворить граничным условиям
Eti—Etz> е1Еп1=е2£'п2. (4-148)
Важно заметить еще, что в обо-
их решениях в той части простран-
ства, к которой они применяются,
наличествует только действительно
существующий в первой области
заряд.
При сделанных предположениях
для первой области х>0 (рис.
4-18,6) потенциал выражается ра-
венством
4)!=—{[(х —/i)2+y2+z2]_1/2+
4Л808!
+^[(x + /i)2+r/2+z2]-I/2},
где в квадратных скобках стоят
квадраты расстояний от точки на-
блюдения до зарядов q n qi=kxq,
если плоскость yz совпадает с по-
верхностью раздела, а ось х прохо-
дит через заряд q.
Для второй области х < 0 (рис.
4-18, в)
Ф2=-^- [(x-/i)2+z/2+z2j-1/2.
4JT8q82
Если ПОЛОЖИТЬ Ф1 = (Р2 при х = 0, то
тем самым окажется выполненным
2 Сирл пользовался аналогией со свечой
(/у), горящей в комнате и не полностью от-
ражающейся в стекле окна (^i). Если пред-
ставить себе за окном туман (8 = 82), то
очевидно, что снаружи свеча кажется более
тусклой (q2) и находящейся также в окру-
жении тумана (е2).
11—476
161
условие для тангенциальных состав-
ляющих Е. Итак, первое условие мо-
жет быть выражено равенством
— {[А2+1/2+22Г1/2+
+К [/i2+y2+z2]-1/2) =
= A [h2+y2+z2]~A'2,
е2
и, следовательно,
1 <-£1=£2 ei/e2- (4-149)
Условие (4-148) для нормальных
слагающих выразится через произ-
водные по х при х=0:
8i dcpi/dx=82 д^дх
или
(1-^)[Л24-у2+г2]-3/2й =
=й2[/12+у2+г2Г3/2Л
и, следовательно,
1 — kr~k2.
Этот результат вместе с (4-149)
приводит к тому, что
^i== ei-ea ; .2е2 . (4.150)
81 + 82 8Х + £2
Знак отраженного заряда q\=k\q
определяется отношением величин
81 И 82. При 81 >82 ЛИНИИ ПОЛЯ КПК бы
избегают заходить во вторую об-
ласть (&i>0); при 81 <82, напротив,
они как бы втягиваются во вторую
область (&i<0). Заметим, что для
однородной среды (81 = 82) имеем
(как это и должно быть) й2=1,
£1 = 0.
В условиях статики в проводя-
щей среде поле отсутствует (£2 = 0).
Для зарядов, действующих по зако-
ну Кулона, это равносильно усло-
вию 82 00• При этом £1 = —-1, т. е.
происходит полное отражение с из-
менением знака.
Пример 4-14. Определить поле точечно-
го заряда q, находящегося в воздухе (81 = 1)
рядом с вертикальной металлической
стенкой над поверхностью жидкого ди-
электрика с проницаемостью s2 (рис. 4-19).
Решение. Отражение заряда q
в металлической стенке позволяет решение
задачи свести к отысканию поля двух заря-
дов +q и —q, отстоящих один от другого
на расстоянии 2а и находящихся над по-
верхностью диэлектрика (е2) на высоте Ь.
Далее задача решается, как задача Сир-
ла с несовершенным отражением.
Все выводы, проведенные на при-
мерах из электростатики, примени-
мы и к задачам магнетостатики,
Пусть, например, в воздухе
(p,i = l) рядом с плоской границей
среды, проницаемость которой ц2,
расположен намагниченный стер-
жень с моментом 9JJ (рис. 4-20) Ч
По методу зеркальных изобра-
жений поле в первой среде следует
считать равным полю заданного
стержня с моментом 9Й и его зер-
кального изображения с моментом
(так как каждый из зарядов
изменился при зеркальном изобра-
жении в £1 раз, то в k\ раз изменя-
ется и момент), причем
, Hi —Н2 .
Hl + Р-2
(4-151)
проницаемость всей среды при этом
ць Весь расчет и дальше ведется
аналогично изложенному в приме-
нении к электростатике.
Другой важный случай расчета
по методу зеркальных изображе-
ний— случай проводника с током
рядом с границей двух различных
магнитных сред. Уравнения поля и
граничные условия при этом удов-
летворяются, если вести расчет в со-
ответствии со схемой, представлен-
ной на рис. 4-21.
Поле в первой среде (ц = ,щ)
равно полю двух токов: тока I в
данном проводе и тока k\I в зер-
кальном изображении провода
(рис. 4-21,6); при этом
ц2 —
1 Hi + Н2
и проницаемость неограниченной
среды pj.
1ЗЛ — «эм» готическое.
162
Поле во второй среде (ц=ц2)
равно полю действительного прово-
да с измененным током k’2I, причем
2Ц1
Hi + Р-2
(4-153)
и все пространство заполнено сре-
дой с проницаемостью ц2.
Рис. 4-21.
Легко показать, что именно при
таких значениях токов выполняются
и граничные условия (3-69), (3-70)
и основные уравнения.
Различие между kx и k2 и
состоит в перемене мест между pi
и р2. Этому может быть дано сле-
дующее объяснение. Если при зер-
кальном изображении момент отра-
Рис. 4-22.
жается без изменения знака, то в
эквивалентном контуре ток меняет
направление (рис. 4-22); этим и вы-
зывается изменение знака у соот-
ветствующего коэффициента (&J =
=—£i). Другое изменение заклю-
чается в следующем: в условиях
магнетостатики индукция не зави-
сит от среды (в однородной среде),
а зависит только от магнитных за-
рядов, тогда как в магнитном поле
токов при однородной среде напря-
женность определяется только током
и не зависит от среды.
Многократные отражения. В тех-
нических задачах встречаются и
значительно более сложные систе-
мы отражений. Так, в задаче об
экранирующем действии стального
Рис. 4-23.
листа (с проницаемостью ц) на по-
ле проводника с током, параллель-
ного листу и лежащего на расстоя-
нии а от его поверхности, приходит-
ся рассматривать многократные
отражения от поверхностей раздела,
схематически показанные на
рис. 4-23. Действительный ток,
имеющий единичное значение (/=1),
внутри стального листа (область II)
«видится» как ток с2, который при
переходе в область III «видится»
уже как ток с2с4, а в области II до-
полнительно «видно» его отражение
с2с3. Коэффициенты с2, с3, £4 в соот-
ветствии с ' ранее изложенным
равны:
2 1 — н 2р
2 н-Н И+1 Р- + 1
Продолжая ряд последователь-
ных отражений, находим, что поле
в области III создается кажущимся
рядом токов с2с4, с2с4с1, c2c4dh • • •>
расположенных слева от правой
границы листа на расстояниях
b + а, ЗЬ + а, ЪЬ + а, ... (рис. 4-23).
Намагниченное тело между по-
люсами магнита. При магнитных
измерениях часто пользуются элек-
тромагнитами и располагают обра-
зец между его полюсами (рис. 4-24).
11*
163
Если проницаемость полюсов очень
велика,’ они представляют собой эк-
випотенциали, в которых отражает-
ся образец; в результате многократ-
ного отражения образца, располо-
женного симметрично относительно
полюсов, получаем цепочку образ-
цов (рис. 4-25), причем посредине
каждого из зазоров проходят экви-
потенциальные плоскости (пунк-
тир).
Если поперечное сечение образ-
цов мало по сравнению с сечением
полюсов, то можно считать, что вся
Рис. 4-25.
цепочка находится в таком же внеш-
нем поле Но, которое существовало
между полюсами до внесения об-
разца. После внесения образца к
внешнему полю добавится размаг-
ничивающее поле намагниченного
образца (см. § 4-5). Однако в слу-
чае цепочки образцов, т. е. в случае
образца между зеркально отра-
жающими полюсами, размагничи-
вающее поле меньше, чем в случае
одного образца в однородном по-
ле Но.
Сказанное объясняется тем, что в
случае цепочки на образец дейст-
вуют подмагничивающие поля
остальных членов цепочки. При вы-
полнении магнитных измерений это
всегда следует учитывать. Чаще все-
го вносят поправку на значение на-
пряженности поля Н, непосредст-
венно измеряя поле Н в зазоре в
присутствии образца (а не полагая
H=H0 — NM).
Если проницаемость полюсов
недостаточно велика (что и наблю-
дается в сильных полях), происхо-
дит ослабление поля вблизи образ-
ца (7?1<Яо); сказанное соответст-
вует схематическому рис. 4-26, где
сплошными линиями показан ход
эквипотенциалей.
Рис. 4-26.
Изображение точечного заряда
в проводящей сфере. Рассмотрим
сначала поле, создаваемое точечны-
ми зарядами q и — kq, лежащими
на одной прямой, которая в сфери-
ческой системе координат принима-
ется за полярную ось (рис. 4-27).
Пусть b — расстояние от начала ко-
ординат до заряда — kq.
Потенциал в точке А, определяе-
мой координатами R, 0 (при любом
значении меридианного угла а), вы-
ражается равенством
4Л8о Г2 П. /
= [(^+s2+27?scoser1/2—
4зте0
— k (R2+b*+2Rb cos 6)“!/2]. (4-154)
Для любого постоянного радиу-
са R=a можно найти такое значе-
ние заряда — kq (т. е. найти значе-
164
ние k) и такое расстояние Ь, при ко-
торых потенциал ф = 0 при любом
значении 0. Другими словами, для
любого данного заряда q, располо-
женного на расстоянии s от центра
сферы заданного радиуса R = a,
можно подобрать такой заряд — kq
и так его расположить, чтобы потен-
циал сферы равнялся нулю.
Нетрудно найти соответствую-
щие условия. Из (4-154) находим,
что ф = 0, если
£2tf2+&2s2+2&2 as cos0—
=a2-\-b2+2ab cos 0.
Но это условие должно выполняться
при любом 0, значит, можно прирав-
нять отдельные части равенства:
k2 (a2+s2)—a2+b2 и k2s=b.
Решая полученные уравнения,
находим искомые условия:
k—ajs и &=a2/s. (4-155а)
Полученные соотношения позво-
ляют решать ряд задач об электри-
ческом поле точечного заряда в при-
сутствии проводящей сферы.
Если физическими условиями
задан заряд сферы Q, отличный от
7 —kq, то всегда можно в центре сфе-
ры поместить недостающий заряд
q'=Q.+kq-
Потенциал, обусловленный этим
центральным зарядом на поверхно-
сти любой концентричной сферы,
обязательно постоянен. Если сфера
не заряжена, т. е. Q = 0, то в центре
сферы должен быть расположен за-
ряд +kq\ иначе говоря, отражением
заряда q служит диполь
p=bkq. (4-1556)
Если данный заряд q лежит вну-
три полой сферы на расстоянии b
от ее центра, то его изображение
—qfk оказывается лежащим вне
сферы на расстоянии s = a2lb от ее
центра .(при условии, что потенциал
сферы равен нулю).
Пример 4-15. Металлический шар ра-
диусом а=5 см соединен с землей; рядом
с ним располагается заряженное тело, раз-
меры которого можно считать ничтожно
малыми; заряд этого тела (в кулонах) q =
=2,5- IO-10; расстояние до центра шара s=
= 10 см. Шар изолируется (прерывается
соединение с землей), а заряженное тело
удаляется настолько далеко, что его влия-
ние на шар становится ничтожным.
Требуется определить потенциал изоли-
рованного шара после удаления заряда.
Решение. • Шар имел нулевой потен-
циал в то время, когда заряд находился на
расстоянии s от его центра. Следовательно,
заряд, индуктированный на поверхности
шара, был равносилен заряду —kq, лежа-
щему внутри шара, а по (4-155) этот заряд
равен — 0,5 q.
После изоляции шара его заряд не мог
измениться, поэтому тот же заряд —kq’
остался на шаре и после удаления заря-
женного тела. Этот заряд распределяется
равномерно по поверхности шара, потен-
циал которого
ф — — kq / 4ле0 а — — 22,5s.
Влияние соединительных проводов, изоля-
торов и т. п. в решении, конечно, не учиты-
валось.
Пример 4-16. Найти силу, испытывае-
мую малым телом с зарядом q, в условиях,
отличающихся от условий предыдущего,
примера тем, что металлический шар с са-
мого начала приближения к нему заряжен-
ного тела оставался изолированным от
земли.
Р е ш е н и е. Сила, испытываемая за-
рядом q, находится теперь по закону Ку-
лона для взаимодействия с диполем
(4-1556):
Г 1 _ 1 1
4л8о L (s — 6)2 S2 J ~
q^cP (2s2 — а2)
4л80 s3 (s2—а2)2
Эта сила обусловливается перераспре-
делением заряда на сфере под влиянием
заряда q.
Для числовых данных предыдущего
примера f=2,18 - 10~3 дин.
Сфера в однородном внешнем
поле. Задача о проводящей сфере
в однородном внешнем поле легко
решается на основании найденных
соотношений. Действительно, поло-
жим, что и заряд q и расстояние s
неограниченно возрастают так, что
напряженность поля этого заряда в
области сферы однородна и равна
заданной конечной величине
EQ=q! 4ле0 s2. (4-156)
Применяя к этим условиям толь-
ко что проделанные выводы, найдем,
что добавочное поле, обусловленное
перераспределением зарядов на
сфере, соответствует полю двух за-
рядов kq и —kq, расположенных —
первый в центре сферы, а второй —
на расстоянии b = a2ls от центра.
Так как в новых условиях s—>оо и
165
b -* 0, то эти два заряда образуют
диполь с моментом
p — kqb—asq!s2. (4-157)
Сопоставляя этот результат с
(4-156) и обращая внимание на то,
что вектор р параллелен вектору
Ео, можем написать, что
р = Ео 4ле0 а3. (4-158)
Нетрудно вычислить дополни-
тельное поле, создаваемое таким
диполем вне шара. По (4-88) и
(3-7) при подстановке значения р
из (4-158)
£p^=2£o(a/7?)3cos0;
£p,e-Bo(Wsine. (4-159)
Угол 6 отсчитывается от направ-
ления вектора Ео (ось г) или р.
Следует иметь в виду, что
(4-159) — это только слагающие до-
полнительного поля, тогда как сла-
гающие внешнего поля соответст-
венно равны Eq)R—Eq cos 0 и £0,е =
=—E.q sin 0.
На поверхности проводящей
сферы тангенциальная (0) состав-
ляющая результирующего поля рав-
на нулю (как это и требуется). Ра-
диальная слагающая дополнитель-
ного поля в точках z=±a равна
2£0 и результирующее поле равно
3£0.
Найденный результат тождест-
венно совпадает с выражениями
(4-88) для поля поляризованной
сферы (при /?>а), если полный мо-
мент поляризованной сферы $
приравнять значению (4-158).
Цилиндр в поле заряженной оси.
Как и в случае только что рассмот-
ренной сферы и точечного заряда,
сначала следует рассмотреть поле
двух заряженных осей. При этом
положение второй оси следует вы-
брать так, чтобы поверхность за-
данного цилиндра оказалась экви-
потенциалью в поле заданной оси и
ее изображения. Такая задача рас-
сматривалась в примерах гл. 1; кро-
ме того, подробнее круглые парал-
лельные провода рассматриваются
в следующем параграфе.
Заключительные замечания о ме-
тодах изображений. Воздерживаясь
от дальнейшего изложения матема-
тических методов, можно ограни-
166
читься указанием на то, что к мето-
ду изображений можно отнести,
во-первых, метод обращения (инвер-
сии) и, во-вторых, метод конформ-
ных изображений (или отображе-
ний, или преобразований).
Метод инверсии1. Он основан
на инвариантности уравнения Лап-
ласа при одновременной замене в
сферической системе координат ра-
диуса R на радиус
R'—a2jR (4-160)
и потенциала ср на потенциал
Ф'(Я')=^Ф(Я).
t\
При этом изменяются также, ве-
личина и координаты зарядов: то-
чечный заряд 7, находившийся в
точке R, переходит в заряд q' =
= (R'ld)q, расположенный в точке
R'=(a/R)2R.
Из приведенных формул очевид-
но, что сфера радиуса R = a после
преобразования остается той же
сферой, причем не изменяются по-
тенциалы всех ее точек и заряды,
расположенные на ней.
При этом вся область, лежавшая
внутри сферы в исходной системе,
переходит в область за пределами
сферы, а точка 7? = 0 переходит в
бесконечно удаленную точку R'-^oo.
Напротив, бесконечно удаленная
точка 7?->оо переходит после инвер-
сии в начало координат. Если при
этом считалось, как это обычно де-
лается, что <р(оо)=0) то после ин-
версии ф(0) =0.
Метод функций комплексного пе-
ременного; конформные изображе-
ния. Метод применим в случае
плоских полей, в которых потенци-
ал зависит только от двух декарто-
вых координат, скажем, ф(х, у).
Представляя координаты в ком-
плексной форме можно
образовать функцию этих коорди-
нат как функцию комплексного пе-
ременного
вещественная и мнимая составляю-
щие комплекса w, разумеется, пред-
1 О методе инверсии в плоскопарал-
лельном поле см. § 4-10, формулы (4-205)
и следующие.
ставляют собой функции двух ко-
ординат х и у, т. е. и=и (х, у) и
v = v (х, у).
Пусть, например, w = z2. Это зна-
чит, что u+jv= (x+jy)2=x2—у2 +
+ 2jxy. Поэтому и=х2—у2 и v =
= 2ху.
Все функции w, которые называ-
ют аналитическими, обладают опре-
деленными производными
dw
dz
. ]jm (г + A z) — (z)
Дг—>0 Д Z
не зависящими от того, как выбран
отрезок Аг вблизи рассматриваемой
точки г и по какому пути он стре-
мится к нулю.
Сказанное справедливо для про-
изводных любого порядка; иначе
говоря, для таких функций
dw dw dw':t d2w d2w d2w
dz dx jdy1 dz2 dx2 dy2
(4-161)
Так, в случае w=z2
dwjdz=2z=dwjdx=2x+j^y—
= dw'jdy=(—2y+j2x)lj.
Разделяя w на вещественную и
мнимую части в выражениях второй
производной (4-161), находим, что
d2u . d2v d2u . d2v
----F 1 = 1-.
dx2 dx2------------------dy2-dy2
(4-162a)
Последний результат показыва-
ет, что как и (х, г/), так и v (х, у),
удовлетворяют уравнению Лапласа
2 d2u , d2u А
V2U=------------—0;
dx2 dy2
2 d2v , d2v A . л
v°=^+^=o- <4'l62o>
Этот замечательный результат
позволяет любую из функций и или
v рассматривать как потенциал, а
другую — как функцию потока; на-
пример полагать, что и= const —
линии равного потенциала, a v =
= const — ортогональные им линии
потока.
Ортогональность линий и = const
и v = const легко доказать, напри-
мер, рассматривая скалярное про-
изведение двух градиентов
j du , du
grad u= — ех + — е&;
dx dy у
. dv . dv
grad v = — ex 4------
s dx x dy y
Очевидно, оно выражается так:
< i du dv
grad u grad — —
dx dx
du dv
dy dy
Но по первому из равенств (4-161)
duldx+jdvjdx^ — jdu[d y+dv/dy
(4-163a)
или
—dvldx=dufdy\ dvjdy^duldx, (4-1636)
и после подстановки (4-1636) в ска-
лярное произведение градиентов на-
ходим, что
grad и grad v = 0. (4-164)
Это и есть выражение ортогональ-
ности линий и — const и и = const.
В качестве примера рассмотрим
функцию
w = u-]-jv=i/ In ——(4-165)
z + а
где комплекс г=х4~Л/ определяет
точку на плоскости х> у.
Легко убедиться в том, что эта
функция описывает поле двух заря-
женных осей, расположенных в точ-
ках 2 = —а (положительный заряд
т) и 2=+а (отрицательный заряд
—т).
При этом Re W — U выражает по-
тенциал точки А (рис. 4-28)-
Действительно,
z4-a=r+/a и z — а=г~/Р_
суть векторы, из которых первый
проведен в рассматриваемую точку
z из положительной оси, а второй —
из отрицательной.
В таком случае
w=u+In (r_/r+)4-/ V (P — a)
167
Рис. 4-29.
ИЛИ
и=^х' In (Г—/Г-l) и t>=Tz(|3 — а).
(4-166)
Это уравнения эквипотенциалей
(и=const при г_/г+ = const )и сило-
вых линий (v = const при р—а =
= const), уже знакомые по приме-
рам 1-13, 1-15. Их можно рассмат-
ривать или как уравнения поля двух
заряженных осей, или как уравне-
ния поля между двумя параллель-
ными круглыми цилиндрическими
проводами, поверхности которых
совпадают с эквипотенциалями щ
и и2.
Полученную картину поля (см.
рисунки к примерам 1-13 и 1-15, а
также рис. 4-29, а) можно рассмат-
ривать как отображение на плос-
кость z=x+jy (т. е. деформирован-
ное изображение) простейшего
однородного поля, которое на плос-
кости w = u+jv имеет линии равного
потенциала (и = const) и силовые
линии, т. е. линии потока (v =
= const), совпадающие с декарто-
выми координатами (рис. 4-29, б).
В общем случае отображение ли-
ний однородного поля на плоскость
выражается аналитической функци-
ей w=f(z)- В частности, в случае
поля заряженных осей эта функция
имеет вид (4-165).
Отображение посредством ана-
литических функций w = f(z) или
z = f~l(w) обладает очень важной
особенностью — оно конформно;
это значит, что в нем все ортого-
нальные линии переходят в ортого-
нальные, а любые достаточно малые
геометрические фигуры при отобра-
жении остаются подобными. На рис.
4-29 показано, как прямолинейный
прямоугольник плоскости w = u+jv
отображается в криволинейный
прямоугольник, в вершинах которо-
го а, Ь, с, d углы между линиями и
и v остаются прямыми. Конформное
отображение однозначно: каждая
линия и и v плоскости w однознач-
но определяет соответствующие ли-
нии и и v на плоскости z. Все сказан-
ное практически с очевидностью сле-
дует из того, что все аналитические
функции комплексного перемен-
ного г, т. е. w=f (г), удовлетворя-
ют уравнениям Лапласа \/2v = 0,
\2и = 0.
Изложенное здесь объясняет, по-
чему метод расчета полей, основан-
ный на применении функций ком-
плексного переменного, называют
методом конформных изображений
или отображений.
168
Электрический поток. Между
любыми двумя ЛИНИЯМИ V1 И V2 про-
ходит поток
¥-(^-^2)808, (4-167)
если 8 — диэлектрическая проницае-
мость среды между электродами и
если поток определяется на единицу
глубины (т. е. на единицу длины па-
раллельных электродов).
Рис. 4-30. *
Как при любом определении по-
тока (например, электрического то-
ка), в случае формулы (4-167) не-
обходимо условиться, какое направ-
ление потока считать положитель-
ным: в формулировке (4-167)
предполагается, что положительный
поток проходит слева направо, если
наблюдатель перемещается вдоль
линии, проведенной от Vi к v2 (рис.
4-29 и 4-30).
Заметим, что приведенному оп-
ределению соответствует обход по
замкнутой кривой против часовой
стрелки — именно при этом, по при-
нятому здесь правилу, положитель-
ный поток Т>0 соответствует поло-
жительному заряду т, заключенному
внутри замкнутой кривой (рис.
4-30).
Поток Т, заключенный между
линиями с’1 и v2 (рис. 4-29,а), выра-
жается в условно принятом масшта-
бе разностью
vi — v2—m [(₽! — ai) — (Р2 — а2)] =Т;
здесь индексы 1 и 2 соответствуют
углам радиусов г+ и г_, скользя-
щих по линиям vi и v2, Для построе-
ния, выполненного на рис. 4-29,
₽i—ai=Jt—0 и р2—а2=п/2.
Можно рекомендовать самостоя-
тельно проанализировать несколько
функций, например убедиться в том,
что вещественная часть уравнения
w—х In (sin (4-168)
\ а /
выражает эквипотенциали ряда от-
рицательно заряженных осей (если
т'>0), расположенных в точках
= па при любом целом п. При нало-
жении на последнее поле еще посто-
янной составляющей Wo=jz получа-
ется поле, похожее на поле вблизи
сетки триода.
Сумма поля (4-168) и поля та-
ких же осей, смещенных на zQ = a!2
и имеющих противоположный знак,
, А . л z ! я г \
w=х (In sm------In cos--- =
\ a al
/1 2. Л Z
=x In tg---
a
выражает поле решетки знакопере-
менных осей.
Очень просто и интересно по-
строить эквипотенциали (и=const)
поля, описываемого уравнением
w=u-\- jv=x' arccos (cos г/ch a). (4-169)
Так как cos z=cos (x+jy) =
= cos%*chy—/sin x* shy, то при
= ±л/2 имеем cos£=+/shy и, зна-
чит, и = const=х'л/2 (две вертикаль-
ные эквипотенциали, лежащие при
х — ± л/2).
При х=0 по той же формуле для
cos z находим, что
w = и+jv=tz arccos (ch y/ch d).
Это значит, что при у>а потенциал
(и) равен нулю, так как arccos от
числа, большего единицы, чисто
мнимая величина. Следовательно,
при х=0 и jy]>a лежит электрод
с потенциалом и=0, При х=0, но
| у | <а функция arccos — веществен-
ная, т. е. v = 0. Это значит, что на
этом отрезке силовые линии могут
идти только по касательной к нему.
Комплексное выражение напря-
женности поля. Пусть и — потен-
циал; тогда напряженность поля
, ди ди
=—grad и=— — ех — — е„.
Эх ду у
12—476
169
Но, пользуясь функциями комплекс-
ного переменного, можно предста-
вить напряженность поля как произ-
водную от сопряженной функции
. Е= —dw*/dz=
=—du[dx — j ди/ду. (4-170)
Это легко доказывается. Дейст-
вительно,
dw/dz =du/dx+j dv/dx;
подставляя в правую часть dvfdx из
(4-1636), получаем:
dw/dz^du/dx — jdujdy. ? • w
Переход к сопряженному значению
w * равносилен изменению знака
мнимой составляющей, чем и дока-
зывается (4-170).
В случае приведенных выше
функций находим для поля двух
осей:
Р__ dw* ___2а
dz — ’
4-9. ПОЛЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРОВОДОВ. СИСТЕМА ЗАРЯЖЕННЫХ
ПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ.
ЛИНИИ ВЫСОКОГО НАПРЯЖЕНИЯ
Параллельные круглые провода.
В примере 1-13 было показано, что
для двух заряженных осей эквипо-
тенциали в поперечном сечении
представляются окружностями ра-
диусом R
^2 = Х2_а2 (4.171)
[уравнение (ж) примера 1-13]; цент-
ры окружности лежат на оси и от-
стоят от начала координат на рас-
стояние Хо (рис. 4-29, а). Как было
показано в решении того же приме-
ра 1-13, формулы (в) — (д), а также
в предыдущем параграфе (4-166),
потенциал любой из окружностей
равен:
Ф=т' 1п£, (4-172)
если полагать ср = О при х=0; в по-
следней формуле tz=t/2^80; й = г_/г+.
На любой из эквипотенциальных
окружностей величина k остается
постоянной.
Как уже говорилось в начале
этой главы, в области, ограниченной
двумя эквипотенциалями, поле опре-
деляется однозначно [задача Дирих-
ле, формула (4-3)], так как доста-
точными и необходимыми граничны-
ми условиями служит именно потен-
циал на поверхности S, ограничи-
вающей рассматриваемую область
поля. При этом совершенно несуще-
ственно, в результате чего достигну-
то заданное распределение потен-
циала.
Выделим из системы эквипотен-
циалей в поле двух заряженных осей
какие-либо две окружности с потен-
циалами epi и ф2, имеющие радиусы
и R2 и центры, определяемые зна-
чениями х01, Хо2 (рис- 4-29, а и 4-31).
Представляя эти окружности по-
верхностями металлических электро-
дов, найдем, что поле между ними
совпадает с полем двух заряженных
осей (+т, —т), поскольку в послед-
нем случае поверхности электродов
(/?i, R2) также эквипотенциальны.
На рис. 4-29, а представлен слу-
чай, соответствующий двум парал-
лельным проводам радиусами R2
при расстоянии между их центрами
S=Xoi~b'^O2 > R1+R*
На рис. 4-31 представлен случай,
когда один из проводов (радиусом
R2) заключен в металлическую обо-
лочку (радиусом /?1>/?2) при том,
что расстояние между их центрами
—R2.
Мы знаем, как построить все эк-
випотенциали и силовые линии; мы
знаем, как определить напряжен-
ность поля и как найти разность по-
тенциалов между двумя эквипотен-
циалями в случае поля двух заря-
женных осей. Поэтому можно было
бы считать решенной.и задачу о по-
ле двух данных круглых цилиндров
170
(рис. 4-29, а или 4-31), если бы было
известно положение начала коорди-
нат на линии, проведенной через
геометрические оси цилиндров,
а также положение геометрических
осей, т. е. координаты ±а. В отли-
чие от примеров 1-13—1-15 сейчас
мы предполагаем, что в задаче нам
известны радиусы 7?i, Rz и расстоя-
ние между центрами s. Зная эти три
величины, мы должны определить
величины а, xOi, *02 (рис. 4-29 и 4-31),
после чего уже легко определяются
отношения k и решается вся задача.
Рассмотрим сначала случай
рис. 4-29, а; из рисунка непосредст-
венно видно, что
s=x01+x02; (4-173)
здесь Хм и Хо2 — абсолютные значе-
ния расстояний.
Далее по формуле (4-171)
Я?=*01 — °2 и #2=*02 —а2- (4-174)
Теперь в трех последних уравне-
ниях содержится лишь три неизвест-
ных а, хт, Хаг- Подставляя х%2 из
(4-173) в (4-174) и беря разность
двух уравнений последней системы,
находим, что
х01 —(s2+/?2 —/?|)/2$. (4-175)
Путем замены индексов или из
сочетания (4-173) с только что най-
денным решением, находим:
x02=(s2+^-^)/2s. (4-176)
По любому из равенств (4-174)
а= /V ^02-^1- (4-177)
Значения k\ и k2, определяющие
потенциалы цилиндров, легко найти
для точек, лежащих на оси х:
для внутренней точки цилиндра
Ri (точка а на рис. 4-29, а)
К=г-!г+=
=(е+х01 — R^!(flA~R\— -^oi), (4-178а)
то же для /?2 (точка d на рис. 4-29, а)
k2=r_/r+=
==(а-|-7?2 — xoz)l(.a~t-xo2—Rz)- (4-1786)
Таким образом, разность потен-
циалов между двумя цилиндрами
J712 = t' 0П ^1— In k2) = .
—Tz In (a~b*oi—Ri) (д~Ь*02 — A?2) (4_ । удa
(a—— xQ2 + Rz)
где x'=x)2n^.
В частности, для проводов оди-
накового радиуса R=R\=Rz
Ulz=2т' In . (4-1796)
а — + R
По найденному напряжению при
заряде х на единицу длины легко
вычислить емкость:
С0=т/П12=2ле0/1п (4-180)
Аналогичные рассуждения при-
менимы для случая рис. 4-31, когда
s~xoi — -^02 и (4-181)
Совместное решение (4-181)
и уравнений (4-174), которые не из-
меняются, позволяет найти
x01=(^-^+s2)/2s;
x02=(Rl-Rl-sy2s. (4-182)
Величина а определяется по
прежним формулам (4-177).
Что касается отношений k\ и kz,
их легко найти заново по рис. 4-31
каю отношение расстояний от осей
—х и +т до точек обоих цилиндров,
ближайших к началу координат:
^1=(бг—^oi+^iVC^+^oi—^i);] (Л 1QQ4
> (4-183)
^2“(^ -^02"4~-^2)/(^'_Г -^02 -^2)*)
После того как найдено положе-
ние электрических осей, легко про-
вести линии поля, найти разность
потенциалов при заданном х и вы-
числить емкость (4-180).
Пример 4-17. Круглый провод /?2=
=4 см расположен внутри трубы радиусом
Я1 = 10 см. Расстояние между геометричес-
кими осями этих цилиндров s=5 см.
Найти положение электрических осей
и емкость между проводами.
Решение. По формулам (4-182) на-
ходим %о1 = 10,9 см\ х02 = 5,9 см\ по формуле
(4-177) находим я=4,34 см. Соответствую-
щее. расположение осей и электродов пока-
зано приблизительно в масштабе на рис.
4-31.
Емкость определяется равенством
(4-180) при значениях и k2, определяемых
формулами (4-183). При этом
Со= 1,075 • 10-10 ф/м.
Провод над проводящей плоско-
стью. Когда провод проложен па-
раллельно проводящей поверхности
(провод над землей), его поле мож-
12*
171
но рассматривать, применяя зер-
кальное изображение или полагая
проводящую плоскость поверх-
ностью цилиндра, радиус которого
стремится к оо.
Оба пути приводят к тожествен-
ному результату: если< h — расстоя-
ние от геометрической оси провода
радиусом ’ R до плоскости (рис.
4-32, а), то поле представляется .как
Рис. 4-32.
777X77777
h
поле двух заряженных осей с коор-
динатами
о = j/й2 —7?2 , (4-184)
где а -г- расстояние, отсчитываемое
в направлении, нормальном к плос-
кости. При этом на оси, лежащей
внутри провода, располагается весь
его заряд +т, а на другой оси за-
ряд —т.
Формула (4-184) вытекает из
(4-177), так как зеркально отражен-
ный провод имеет такой же радиус
R, а расстояние между осями про-
водов s=2xo=2h.
При h^>R положение электриче-
ской оси и геометрической практи-
чески совпадает, т. е. a~h, как, на-
пример, в случае проводов, протяну-
тых над землей (рис. 4-32,6), когда
h = 15 м и jR== 1 см.
Распределение потенциалов и
зарядов в системе проводящих тел.
До сих пор рассматривалось поле
одного или двух заряженных тел.
Но в технике часто встречаются си-
стемы, состоящие из ряда проводов
(проводящих тел), которым принуж-
денно сообщаются различные потен-
циалы и которые обладают разными
зарядами.
Потенциальные коэффициенты.
На основании принципа суперпози-
ции потенциал системы заряженных
проводов в любой точке А можно
представить как сумму потенциалов,
обусловленных зарядами первого
провода, второго, третьего и т. д.:
' Фд=Фл1+Фл2+ФлзН----> (4-185)
причем каждая составляющая пря-
мо пропорциональна соответствую-
щему заряду, т. е.
Фл1 = аА1 Яу Фд2= аЛ2 92 • • (4- 186)
Коэффициенты аАь «а2 •. • зависят
как от положения точки А, так и от
«геометрии» всех проводов, несущих
заряды. Объединяя последние фор-
мулы, можно написать:
^А = аА1 ^l^aA2^2~i~aA3^3~i" ’ ‘ '
Полагая, что точка А сначала
расположена на проводе 4 затем на
проводе 2 и т. д., получаем систему
уравнений:
Ф1~ <Хц71 + а12^2+ ’ • •;
Ф2=а21^1 + а22?24~ • • * ;
(4-187)
где ф1 — потенциал первого прово-
да, ф2 — второго и т. д. Коэффициен-
ты aik называют потенциальными.
Система уравнений с потенциаль-
ными коэффициентами позволяет не-
посредственно решить задачу о рас-
пределении потенциалов в системе
проводов, если известны их заряды
и коэффициенты aik.
Емкостные коэффициенты. Часто
встречается обратная задача: даны
потенциалы всех проводов, а требу-
ется найти их заряды. Ответ может
быть в этом случае получен путем
решения системы (4-187) относи-
тельно зарядов:
Р11Ф1+Р12Ф2+ * ;
^2^р21Ф1^р22ф2+ * ' ’ J
(4-188)
Такая система носит название
системы уравнений с емкостными
коэффициентами р^- Связь между
емкостными и потенциальными ко-
эффициентами легко найти, рас-
172
сматривая решение системы (4-187):
?1=<Р1Лц/Р+ф2А2/^+ * *';
----;
(4-189)
или в общем случае п+1 провод-
ника:
=Cn+CZ24 НОД (4.192)
₽,-*=— Cik при i=!=k. J
где Aki — алгебраические дополне-
ния; D — определитель системы.
Сопоставляя (4-188) и (4-189),
находим:
Частичные емкости. Очень важ-
ная форма записи, по существу дела
тех же соотношений, основана на
представлении о частичных ем-
костях, связывающих между собой
попарно все проводники рассматри-
ваемой системы. В качестве примера
на рис. 4-33 показаны частичные
емкости в трехжильном кабеле.
Имея перед глазами схему вклю-
чения частичных емкостей, очень
легко выразить заряд каждого из
проводов через потенциалы и ем-
кости. Так, полагая потенциал обо-
.лочки кабеля равным нулю, находим
выражение для зарядов на трех жи-
лах кабеля:
91= Ф1С,ц+(<р1 — ф2) С12+(фх—ф3)С13;
92 = (ф2 Ф1) С*21 + ф2^22 + (ф2 фз) ^23*,
9з=(фз Ф1) С*31 +(ф3— ф2) С32+ф3С33.
(4-191)
Емкости С12 и С2Ь С23 и Сз2 то-
жественно равны- Приравнивая ко-
эффициенты при одинаковых потен-
циалах в системах уравнений типов
(4-188) и (4-191), легко находим:
$ii==Cii+C124-C13; Р2з=—С23 и т. д.
Решая эти равенства относитель-
но Сц, получаем:
Cii=Pzi + Pj2+ * ’ * +Р/Н +Р/ГС’ z
(4-193)
Принцип взаимности. В рассмат-
риваемой системе потенциального
поля заряженных тел выполняется
принцип взаимности; он выражается
равенствами
alk=akt и (4-194)
Легко дать и словесную форму-
лировку принципа взаимности: по-
тенциал первого провода при нали-
чии заряда только на одном втором
проводе равен потенциалу второго
провода при наличии такого же за-
ряда только на одном первом про-
воде.
Равенство емкостных коэффици-
ентов $ik=$ki совпадает с очевид-
ным равенством частичных емкостей
Cik=Cki — ведь Cik и Cki суть толь-
ко разные обозначения одной и той
же емкости между проводами k и i.
А равенство потенциальных коэффи-
циентов = — непосредственное
следствие равенства емкостных ко-
эффициентов, поскольку коэффи-
циенты aik могут быть найдены из
решения системы (4-188), для кото-
рой алгебраические дополнения
Bk~Bik (так как |3и = ₽м)-
Потенциальные коэффициенты
воздушных линий. В системе па-
раллельных воздушных проводов
(рис. 4-34), протянутых над землей,
коэффициенты легко вычисляют-
ся. Действительно, по формуле
(4-172) потенциал на поверхности
первого провода, обусловленный за-
рядами этого провода =tJ) него
зеркального изображения (—
тх , 2А1
<Р11 = —In —— =
2Я8о
• 1 27гх
= тт In--------- ,
(4-195)
где h\ — высота первого провода
над землей; и — радиус этого про-
вода.
173
Потенциал того же первого про-
вода, обусловленный зарядом вто-
рого провода и его зеркального изо-
бражения,
Ф12=т'1п(/12,//12), (4-196)
где Т2 =Т2/2л8о и Т2 —- заряд второго
провода на единицу длины; Z12, —
расстояние между проводом 1 и зер-
кальным изображением провода 2;
/12 — расстояние между проводом 1
и проводом 2 (рис. 4-34).
Точно так же
Ф1з ( ^1з7^1з)> (4-197)
где обозначения аналогичны преды-
дущим.
Таким образом, потенциальные
коэффициенты рассматриваемой си-
стемы (рис. 4-34) для «приведенных
зарядов» xk =т^/2л8о:
(2/li/ri);
а12~^П ( ^127^12)5
а13“^П ( Лз'/Лз) *
(4-198)
Совершенно так же находятся
значения коэффициентов в выраже-
нии для потенциала провода 2:
a2i In (z21,/z2i);
CZ22=ln (2Й2/г2);
а23~1П ( 4з74з)’
(4-199)
здесь /21, — расстояние от провода 2
до зеркального изображения прово-
да 1\ Z2i — от провода 2 до прово-
да /.
Само собой разумеется, что /12 =
= Z2i и ^2ir==^i2r' Это приводит к ра-
венству коэффициентов в
согласии с принципом взаимности.
Формулы с коэффициентами а^,
и Cik очень похожи на общие вы-
ражения для распределений токов
и потенциалов в линейных электри-
ческих цепях. В случае гармониче-
ских потенциалов после перехода
к комплексам и умножения на /со
сходство еще увеличивается, так как
i^qk = i^ Это сходство полезно
иметь в виду; пользуясь им, можно
применять к рассматриваемой си-
стеме уравнений всю технику рас-
четов линейных цепей, в частности
для определения коэффициентов а^,
и частичных емкостей Cik,
Системы уравнений с потен-
циальными и емкостными коэффи-
циентами называют часто форму-
лами Максвелла, так как они
были систематизированы именно
в трактате Максвелла. На-
помним, что и системы уравнений
электрической цепи с контурными
токами и узловыми потенциалами
также были даны Максвеллом.
Провода воздушной линии высо-
кого напряжения. В случае двух-
проводной линии легко определить
предельно допустимое напряжение
между проводами, когда задан ра-
диус проводов, особенно если можно
пренебречь влиянием земли
Пусть го — радиус провода, as —
расстояние между проводами; пола-
гая, например, s=10 м и 2г0 = 3,3 см,
можно не учитывать смещение осей
(хо~а и s~2c). В таком случае на-
пряжение между проводами
f/12=-^-ln(S/r0).
Максимальная напряженность
поля на поверхности провода
Ем а кс ~ Т/2 Л8оГо,
если пренебречь неравномерностью
в распределении заряда по поверх-
ности провода, которая вызывается
влиянием соседнего провода, несу-
щих опор или земли. Напряжен-
ность поля должна быть меньше
30 кв/см, так как при такой напря-
женности в воздухе начинается
электрический разряд: на проводах
возникает корона — светящийся
слой. Правда, возникновение короны
еще не означает пробоя изоляции
между проводами, однако ее суще-
ствование может служить подготов-
кой к повреждению изоляции, сопро-
вождается потерями энергии, а так-
же вызывает высшие гармонические
тока, нежелательные с точки зрения
помех системам связи. Поэтому дей-
ствующее (эффективное) значение
гармонической напряженности поля
должно быть меньше предельного
значения £пред=20 кв!см.
1 Речь идет только о расчете по пре-
дельно допустимой напряженности поля. На
самом деле технический расчет сложнее.
174
Очевидно, что при этом
т/Л8о = 2г0£Пред и
^пРед=2г0£пред1п(8/г0). (4-200)
Так, при 8=10 м и 2го=3,3 см
предельно допустимое действующее
значение напряжения между прово-
дами £преД=420 кв; увеличив рас-
стояние в 1,5 раза (s = 15 м) и со-
храняя диаметр, находим, что
^щ>ед=450 кв, т. е. возрастает не-
намного.
Пример 4-18. Определить диаметр оди-
ночного провода, подвешенного на высоте
10 м, с расчетом, чтобы на его поверхности
напряженность поля достигла 30 кв) см при
напряжении £7=450 кв.
Решение. Для одного провода
U = т' In (2Л/г0) и Е = т'/го»
Исключая т7, приходим к уравнению с един-
ственными неизвестным г0:
2V = £//2AE = (lnx)/x,
где x=2h!rQ.
Уравнение решается или путем подбора
нужных числовых значений (числовая ин-
терполяция), или графически, при этом, ко-
нечно, следует строить график (1пх)/х око-
ло значений, близких к N.
Искомый диаметр 2г0=4,4 см.
При больших диаметрах приме-
няются специальные конструкции
полых проводов, изготовляемых из
различных материалов (например,
стали и алюминия или меди). Но в
длинных линиях при передаче боль-
шой энергии уже сейчас применяют-
ся более высокие напряжения (нап-
ример, 500 и 750 /се); в ближайшее
время они будут еще выше. При
этом вряд ли разумно применять
одиночные провода и еще увеличи-
вать их диаметр. Поэтому в воз-
душных линиях очень высокого нап-
ряжения отдельный электрический
провод (отдельную «фазу») заменя-
ют группой из нескольких парал-
лельных проводов или жил, отодви-
нутых друг от друга, но электриче-
ски соединенных между собой (рис.
4-35). Их взаимное экранирование
снижает максимальную напряжен-
ность поля на поверхности отдель-
ных жил
1 Такое расщепление фазы, т. е. разде-
ление провода на ряд жил в установках
высокого напряжения, было предложено
В. Ф. Миткевичем (1910). Результаты его
исследований были опубликованы в журна-
ле «Электричество», 1910, № 7.
Пусть каждый такой сложный
провод состоит из ряда параллель-
ных жил, симметрично расположен-
ных по поверхности воображаемого
круглого цилиндра радиусом 7?0
Рис. 4-35.
(рис. 4-36). Расстояние между ося-
ми воображаемых цилиндров S; ра-
диус отдельных «жил» Го; эти жилы
могут иметь радиус 1—2 см и также
представлять собой сложную конст-
рукцию; кроме того, для правильно-
го расположения жил они связыва-
ются перемычками или кольцами.
На рис. 4-36 схематически показана
двухпроводная линия, каждый про-
вод которой состоит из четырех жил.
Таким путем удается получить нуж-
ный эффект снижения максималь-
ной напряженности поля.
Проведем приближенный расчет для сле-
дующих данных: диаметр жилы 2г0=3,3 см\
диаметр окружности или диагональ квадра-
та d=2T?o=60K' 2 см, т. е. сторона квадра-
та &=60 см\ расстояние между осями про-
водов s= 15 м. Можно считать, что все жи-
лы несут одинаковый заряд т, поскольку и
высота над поверхностью земли 10 м)
и расстояние s много больше радиуса жилы
и расстояния между жилами.
Потенциал, обусловленный парой про-
тивоположно заряженных жил, в любой точ-
ке определяется известной формул' й
ф = т' In (Г_/Г-|_),
175
где г_ и r+ — расстояния от рассматривае-
мой точки соответственно до отрицательно
и положительно заряженных жил, а т'=
==Т/2Л8о.
При этом к системе заряженных прово-
дов можно применять принцип суперпози-
ции. В таком случае для проводов рис. 4-36
разность потенциалов между жилами 1 и
обусловленная зарядами жил 2 и 2', состав-
ляет одно из слагаемых:
U2 — х' In (s/b) — т' In (b/s) = 2r' In (s/b).
Такую же величину U±=U2 вносит за-
ряд жил 4 и 4'.
Следующее слагаемое обусловлено за-
рядами жил 3 и 3':
U3 = 2tz In (s/d).
Во всех только что написанных форму-
лах принято, что расстояние между любой
парой жил из разных проводов приблизи-
тельно равно s, так как s^d (к тому же
соответствующее расстояние входит под
знак логарифма).
Заряды самих жил 1 и Г обусловливают
между ними разность потенциалов
Ul = 2т' In (s/r0).
В итоге искомое напряжение между прово-
дами
U = 2т' fin (s/r0) + 2 In (s/b) + In (s/d)].
Для заданных значенйй находим U=
==х' • 32,2.
Величину т' можно определить из пре-
дельного значения допустимой напряженно-
сти поля Впред=20 кв/см. В случае четырех
проводов (рис. 4-36) максимальную напря-
женность поля в системе можно приближен-
но рассчитать так: три жилы, назовем их
2, 5, 4, создают в области расположения
оставшейся (/) напряженность поля 1
£01 = Т'[K2/6+l/d ].
Эта напряженность увеличивается в
2 раза в результате перераспределения за-
рядов в жиле. Кроме того, благодаря собст-
венному заряду жилы 1 на ее поверхности
существует слагающая напряженности Еи =
=х'/г0.
В результате наибольшая напряжен-
ность
Е — 2Е01 + Ец =
= т' [2 (К 2/6+ 1/d) + 1/г0].
Для выбранных параметров
Е — EupeR = 20кв/см ~ хг-0,677.
Следовательно,
20
^пред — n -32,2 = 965 кв.
0,677
1 Напряженности поля от жил 2 и 4
складываются геометрически и дают вектор,
направленный по диагонали, т. е. совпадаю-
щий по направлению с вектором напряжен-
ности, обусловленной зарядами жилы 3 и
самой жилы 1.
В действительности линия с подобными
параметрами предназначена для напряже-
ния £7=750 кв. Некоторый запас прочности
(965/750=1,29) необходим, так как поверх-
ность жил не совершенно гладкая, на жилах
могут образовываться выступы, увеличива-
ющие напряженность поля, в поле прово-
дов попадают капли дождя (на поверхности
круглой капли напряженность внешнего по-
ля может утраиваться, отчасти поэтому во
время дождя нередко появляется корона на
проводах), сами провода оказываются во
внешнем атмосферном поле и т. п.
Полезно выяснить на основании само-
стоятельных вычислений, как влияет на ма-
ксимальную напряженность поля увеличе-
ние Ro, го, s, неучтенное здесь поле зеркаль-
ного отражения в земле, как повлияет
увеличение или уменьшение числа жил (на-
пример, при 500 кв применяют провода,
состоящие из трех жил).
В заключение заметим, что все
выводы делались без учета влияния
несущих изоляторов, опор и траверс,
а наибольшая напряженность поля и
наибольшая опасность пробоя имеют
место именно на опорах.
4-10. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ
В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
Электрическое поле в проводя-
щей среде потенциально и подчиня-
ется уравнению Лапласа, если отсут-
ствует влияние изменяющегося маг-
нитного поля и сторонних сил.
Закону Ома и граничным услови-
ям в таких проводящих средах
J=crE; E^=Et29
GiEnl=G2En2 ' (4-201)
легко могут быть сопоставлены ана-
логичные уравнения потенциальных
полей в изолирующей среде:
D=88oE; Etl=Ei2;
£iEnl==e2En2. (4-202)
Сравнение их делает очевидным,
что все поля в изолирующих средах
подобны полям в проводящих сре-
дах при одинаковой конфигурации
заданных поверхностей равного по-
тенциала или заданных линий пото-
ка вектора смещения и тока.
Если область рассматриваемого
поля заполнена не однородным ве-
ществом, а состоит, например из
двух диэлектриков с проницаемостя-
ми 81 и 82, то аналогичным оказыва-
ется поле с таким же геометричес-
ким разделом двух проводящих сред
176
с проводимостями Qi и $2 при7 обяза-
тельном сохранении соотношения
между аналогичными параметрами,
Т. е. ПрИ (Т1/СГ2 = 81/82.
На основании указанной анало-
гии для расчета полей в проводящих
средах можно пользоваться метода-
ми, разработанными для электриче-
ских полей в изолирующих средах;
в частности, можно воспользоваться
Рис. 4-37. Рис. 4-38.
формулами метода зеркальных изо-
бражений (§ 4-8). При этом, конеч-
но, все 88о заменяются на о, а источ-
ники потока вектора D, т. е. заряды,
заменяются источниками потока век-
тора J, т. е. источниками тока.
В отличие от электростатики, где
8 никогда не бывает меньше 1, при
рассмотрении полей в проводящих
средах приходится часто встречать-
ся с о=0. Так, на границе проводни-
ка и изолятора (где ог~0) происхо-
дит полное отражение, но без пере-
мены знака. Действительно, при та-
ком отражении выполняется условие
отсутствия нормальной слагающей
тока.
Допустим, например, что ищется
проводимость на единицу длины
между двумя параллельными же-
лезными стержнями в бетоне (рис.
4-37, где показан разрез бетонного
фундамента, неограниченно протя-
женного в левую сторону). Поль-
зуясь методами зеркальных изобра-
жений, можно получить искомое по-
ле, заменяя непроводящее полупро-
странство (сг2=0) средой с той же
проводимостью Hi (рис. 4-38), но
содержащей отраженные электроды
того же знака. Из соображений сим-
метрии можно приписать всем четы-
рем электродам потенциалы + ф и
—ф. На рис. 4-38 схематически по-
казано растекание токов.
Пользуясь методом, изложенным
в § 4-9, можно рассчитать распреде-
ление потенциалов и токов в систе-
ме получившихся четырех элек-
тродов.
Заменяя в расчетных формулах
q на 7, а ее0 на а, найдем связь меж-
ду током I и разностью потенциалов
между электродами (7=2ф. Отноше-
ние этих величин и равно искомой
проводимости б==7/2ф.
При наличии многих электродов
в проводящей среде (например, при
электрическом прогреве бетона, при
сложных заземлителях и т. п.) к ним
применимы уравнения для системы
заряженных тел (§ 4-9), конечно,
при соответствующей замене 88о на
о, q на 7, Cik на Gik и при соот-
ветствующем изменении наименова-
ний: частичные емкости следует за-
менить частичными проводимостя-
ми, емкостные коэффициенты — ко-
эффициентами проводимости.
Электролитическая ванна. Для
изучения различных полей, не под-
дающихся простым расчетам, часто
применяют их моделирование в элек-
тролитической ванне, т. е. в со-
суде с электролитом. При создании
модели исходят из вышеизложенных
основных условий для аналогичных
полей. Для перехода от данных, по-
лученных на модели (U7, Г и т. п.~),
к данным, ожидаемым в натуре (U,
I ит. п.), определяют соответствую-
щие масштабные множители или ко-
эффициенты модели.
Пример 4-19. В электролитическую
ванну с проводимостью электролита
=1,5* 10~2 сим)см погружена геометрически
подобная модель защитного заземления, из-
готовленная в масштабе 1 : 50. Заземление
состоит из ряда труб диаметром 8 см, заби-
ваемых в землю на глубину 2 м по пери-
метру прямоугольника. Из соображений
симметрии изготовлена одна четверть за-
землителя (рис. 4-39). Второй «очень уда-
ленный» электрод представлен медной по-
лосой, расположенной на противоположной
дугообразной стенке ванны. Радиус ванны
R считается большим по сравнению
с линейными размерами заземления
177
(R^5l' 4- 10/'); также считается большой
и глубина ванны. При токе /'=3 а спад по-
тенциала q/ в направлении d' его наиболее
быстрого изменения (пунктир на риц 4-39)
найден экспериментально и представлен на
графике рис. 4-40.
Требуется определить график cp(d) для
действительного заземлителя при токе за-
мыкания на землю 1=1 000 а и при удель-
ной проводимости почвы сг=10~4 сим/см.
Решение. Задача сводится к опреде-
лению коэффициентов модели или масштаб-
ных множителей для потенциала и коорди-
наты в равенствах <р=(р,тф и d=d'md.
Из простейших соотношений
U = EI = JI/g = IUSg
легко найти, что
U = Гт^ — U'rriy ,
где
I'rrij =1,..., = о и U'=rir/S'o'.
Следовательно, масштаб по напряжению
или потенциалу
mv=mu = mi та
(ms=m2). Для приведенных в этом примере
конкретных данных тф=1 0>Э0.
Знание этого масштабного множителя в
дополнение к данному геометрическому мас-
штабу модели позволяет построить задан-
ный график, изменив цену делений по вер-
тикали и горизонтали на графике рис. 4-40.
Защитные заземления и шаговое
напряжение. Заземление, подобное
рассмотренному в примере 4-19,
устраивается для защиты обслужи-
вающего персонала от действия вы-
соких напряжений. Цель его заклю-
чается в том, чтобы напряжение
между двумя точками, которых од-
новременно может коснуться чело-
век (напряжение прикосновения), не
достигало опасных значений.
При подходе к защитному за-
землению и при шаге длиной 0,7 м
человек попадает под напряжение,
которое имеется между точками по-
верхности земли, отстоящими на
расстояние 0,7 м одна от другой. Это
напряжение называется шаговым.
Измеряя на кривой рис. 4-40 раз-
ность потенциалов, приходящуюся
на расстояние 0,7 м, легко построить
график шагового напряжения (в на-
правлении d) от координаты и уста-
новить, всюду ли шаговое напряже-
ние не превосходит величину, допу-
стимую техникой безопасности (U<
<40 в). Если шаговое напряжение
выше допустимого, надо или сгла-
живать скорость спада потенциала
путем изменения конфигураций за-
землителей, или ограждать опасные
зоны (обычно лежащие в непосред-
ственной близости от самых зазем-
лителей и их выступающих частей),
или принимать меры к уменьшению
тока замыкания на землю.
Рис. 4-41.
Пользуясь ванной, можно опре-
делять также проводимости, емко-
сти, потенциальные и емкостные ко-
эффициенты и т. п.
На рис. 4-41 показана измери-
тельная схема для определения ко-
эффициента а.12 в трехфазном кабе-
ле: электроды, геометрически подоб-
ные скрученным жилам, погружены
178
в электролит, заполняющий метал-
лический цилиндр, подобный оболоч-
ке кабеля. При положении движ-
ка 2, соответствующем отсутствию
разности потенциалов между точка-
ми присоединения прибора 0 (нуле-
вого индикатора), замечаются пока-
зания вольтметра 2 (U2) и ампермет-
ра 1. (Л); их отношение, умноженное
на масштабный множитель, равно
потенциальному коэффициенту:
“2! = (ВД) I (4_203)
ma=(z7z) (аМо); |
а— проводимость электролита; s —
проницаемость изоляции в кабеле;
Z'/Z — отношение размеров модели и
действительного кабеля.
Зная дополнительно показание
вольтметра 1 легко определить
другой потенциальный коэффици-
ент:
C5n=(l/]/Z1)/na. (4-204)
Плоские ванны, проводящие ли-
сты. В случае плоскопараллельных
полей, когда потенциал зависит
только от двух декартовых коорди-
нат ф(х, у), моделирование ведут
или на плоских ваннах — неглубо-
кий слой электролита и электроды,
образующие которых проходят на
всю глубину электролита (до не-
проводящего дна), или на проводя-
щей бумаге, пропитанной каким-ли-
бо проводящим составом или покры-
той равномерным тончайшим слоем
графита или другого проводящего
вещества. В случае моделирования
на проводящих листах электродами
служат просто проводящие тела со-
ответствующей формы; они плотно
прижимаются к листу.
В случае моделирования плоско-
го поля можно практически устра-
нить влияние краев ванны или бу-
маги. Для этого делают проводящий
слой в виде двух дисков радиуса а,
разделенных непроводящим слоем;
по краям диски соприкасаются.
Рассматривая верхний диск, как мо-
делирующий наше поле в линейном
масштабе, можно считать, что ниж-
ний служит инверсным продолже-
нием рассматриваемого поля.
Инверсия. Координаты, отсчиты-
ваемые от центра нижнего диска
(обращенной области или области
инверсии), связаны с координатами
моделируемого поля г равенством
г'=а*1г. (4-205)
При этом, так как г' < а, нижний
диск соответствует точкам поля, для
которых г > а; центр нижнего диска
соответствует бесконечно удаленной
точке. Заметим, что в отличие от ме-
тода инверсии в трехмерном прост-
ранстве, когда тоже R'=a2/R [§ 4-8,
формулы (4-160) и следующие] в
случае инверсии в плоскопараллель-
ном поле потенциалы преобразуют-
ся равенством
<р'(г') = ф(г). (4-206)
Доказательство инвариантности
уравнения Лапласа в цилиндриче-
ской системе координат при указан-
ных преобразованиях может слу-
жить хорошим упражнением в опе-
рациях с частными производными.
Полезно и нетрудно также самостоя-
тельно убедиться, что в области ниж-
него диска (т. е. при г>а и г' = а2/г)
составляющие напряженности поля
связаны простым множителем
Е (а, г) = (S/a)2 Е' (а, г'); (4-207)
при этом Е'г =—dq'ldr' и Е[ =
= —ду'1г'да.
4-11. ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ
В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Анализ уравнений поля, в част-
ности уравнений Лапласа, не всегда
имеет своей целью определение всей
картины поля, т. е. определение за-
висимости вектора поля от всех ко-
ординат, например Е(х, у, г) и даже
Е(х, у, г, /), как в задаче § 4-7.
Предметом анализа и даже расчетов
могут служить либо отдельные ин-
тегральные величины, например си-
лы и моменты (гл. 5), или интеграль-
ные параметры цепи (г, С, L, 7И);
в ряде случаев может служить пред-
метом расчета магнитный поток,
сцепленный с какой-либо обмоткой,
или наведенный заряд (см. § 4-12).
Иногда методы теории поля приме-
няются и для вывода некоторых об-
щих принципов. В этом параграфе в
качестве примера приводится вывод
принципа взаимности для линейной
179
электрической цепи, основанный на
общем анализе векторных уравне-
ний поля.
На рис. 4-42 изображен линей-
ный пассивный четырехполюсник.
Для него принцип взаимности вы-
ражается равенством
ТС + 1'^ = 1^ + Г2и'2, (4-208)
в котором индексами штрих и два
штриха обозначены величины, отно-
Рис. 4-42.
сящиеся к каким-либо (вообще го-
воря, любым) двум различным ре-
жимам. Различие режимов опреде-
ляется только внешней цепью, так
как четырехполюсник пассивен и его
свойства неизменны. Однако в лю-
бом режиме ток, входящий в полюс
а, равен току, выходящему из полю-
са с.
Напряжения определяются как
соответствующие разности потенциа-
лов:
С/; = Фа —<Р/, Ц = Фа — Фе!
U2=% — 4d'< U2 = <Pb — 4>d-
Такая формулировка принципа
была дана в первой части книги
[§ 2-9, формула (2-107)].
Возьмем интеграл по замкнутой
поверхности S от искусственно со-
ставленной разности:
(£(JV — JV)<iS =
= J [div (J'<p") — div (JV)] dV = 0,
(4-209)
который преобразован по теореме
Гаусса. Получающийся объемный
интеграл тожественно равен нулю,
что легко доказывается. Действи-
тельно, вычисляя дивергенцию от
произведения, находим, что
div (Гф")=ф" divT+Г grad Ф" -
=0 —УЕ"=—УГ/о; (4-210)
аналогично div (У'ф') =—У'У/в.
В последних выражениях приня-
то во внимание, что divJ = O (первый
закон Кирхгофа).
Обращаясь вновь к уравнению
(4-209) и выполняя интегрирование
по замкнутой поверхности, прихо-
дим к уравнению (4-208). В самом
деле, плотность тока отлична от ну-
ля только там, где. поверхность S
пересекает один из четырех прово-
дов. При пересечении любого прово-
да можно считать потенциал по-
стоянным. Поэтому при пересечении
двух проводов а и с интеграл от пер-
вого слагаемого
j jv<is= - те+те=-w.
(4-21’1)
где Si — часть поверхности S, пе-
ресекающая только провода а и с.
При пересечении провода а ин-
тегрирование плотности тока дает
отрицательное значение тока Л, так
как по условию Ц — это ток, входя-
щий через провода; но JdS поло-
жительно, когда ток выходит из по-
верхности S (по принятому прави-
лу dS направлено наружу).
Интегрируя по всей замкнутой
поверхности оба слагаемых, прихо-
дим к формуле (4-208), которую и
требовалось доказать.
Применимость принципа взаим-
ности для любой линейной цепи пе-
ременного тока без вращающихся
элементов вытекает из принципа
взаимности для емкостных и потен-
циальных коэффициентов
а также коэффициентов
взаимной индукции
4-12. ТЕОРЕМЫ О МАГНИТНОМ ПОТОКЕ
И НАВЕДЕННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ '
ЗАРЯДЕ
Применение принципа взаимно-
сти. Работа многих электротехниче-
ских устройств основана на возник-
новении э.д. с. при изменении маг-
нитного потока, сцепленного с тем
или иным проводниковым контуром.
Этот поток иногда может оказаться
180
проще определять, пользуясь прин-
ципом взаимности, если в резуль-
тате можно ограничиться расчетом
более простого поля, как показано
в примере 1-19. s.
Ярким, хотя технически не очень
реальным примером может служить
случай, изображенный на рис. 4-43:
Рис. 4-44.
ищется э.д. с. э = «2, наводимая в
витках соленоида, диаметрально
пронизанного изолированным про-
водом, который включается к источ-
нику напряжения и\. Поток, сцеп-
ленный с прямым проводом, когда
поле обусловлено током соленоида,
рассчитать очень просто. Много
сложнее рассчитывать поток, сцеп-
ленный с многовитковым соленои-
дом, определяя магнитное поле про-
вода, несущего ток i\.
Сказанное о возможности упро-
щения в результате применения
принципа взаимности особенно важ-
но, когда речь идет о вычислении
сцепленного с проволочным конту-
ром потока, обусловленного намаг-
ниченностью ферромагнетика.
Рассмотрим, например, перемен-
ный магнитный поток, сцепленный
с обмоткой воспроизводящей голов-
ки (рис. 4-44, а), при скольжении
ленты с записанным на ней звуком.
Для того чтобы определить потоко-
сцепление, можно (но автор этого не
советует) исходить из расчета маг-
нитного поля ленты (см. § 4-3) при
магнитной проницаемости верхней
области ц>1 (полюса сердечника);
алгебраическая разность потоков,
входящих в левый и правый полюсы
сердечника, и равна искомому пото-
ку через сердечник; расчет можно
произвести лишь очень приближен-
но! В самом деле, при скорости лен-
ты v=19 см/сек и при f = 3 160 гц
имеем длину волны намагниченно-
сти A = €)/f = 0,06 мм, а длина полю-
сов больше этой величины!
Но к расчету можно применить
принцип взаимности, после чего ис-
комое потокосцепление определяет-
ся и значительно проще и значитель-
но точнее. При таком расчете
в соответствии с излагаемой ниже
теоремой о магнитном потоке доста-
точно знать магнитное поле в зоне
ленты, обусловленное единич-
ным током в обмотке головки
(рис. 4-44,6). При малом зазоре
между полюсами поле очень быстро
спадает, к тому же поле достаточ-
но просто рассчитывается или моде-
лируется.
Ниже приводится ряд других
технических примеров. К сожале-
нию, однако, излагаемый здесь ме-
181
тод сравнительно редко применяет-
ся на практике1.
Аналогично расчету потокосцеп-
ления, обусловленного намагничен-
ностью, производится расчет заря-
да, наведенного на электродах по-
ляризованным диэлектриком. Оба
метода основываются на аналогич-
ных теоремах. Излагаемые методы
значительно облегчают также ана-
лиз изменений энергии поля под
влиянием поляризации диэлектри-
ков и магнетиков (см. § 5-6, 5-7).
Теорема о потокосцеплении и
примеры ее применения. Искомое
потокосцепление с заданным конту-
ром, обусловленное намагничен-
ным телом, всегда можно вычислить
по следующей формуле:
Т = ^Н7МбГ/, (4-212а)
V
где Н7 — вектор напряженности по-
ля рассматриваемого контура, когда
по нему проходит ток / (влияние
поляризуемого тела не учитывает-
ся); М — намагниченность рассмат-
риваемого тела в элементе dV\
V — объем рассматриваемого на-
магниченного тела.
Формула для потокосцепления
особенно проста, когда в пределах
рассматриваемого тела V как М,
так и Н7 постоянны:
= (4-2126)
Прежде чем доказывать эту тео-
рему, рассмотрим простые примеры
ее применения. Рассчитывая поле
намагниченной ленты (см. § 4-3),
мы увидели, что при расположении
ферромагнетика под лентой поле
над лентой увеличивается, если лен-
та намагничена поперечно, и умень-
шается, если лента намагничена
продольно. Из сопоставления
рис. 4-44,6 и в (в последнем изоб-
1 Он применялся, в частности, автором
этой книги и его сотрудниками в работах,
публиковавшихся начиная с 1960 г. Метод
и доказательство теоремы изложены также
в очень интересных и глубоко содержатель-
ных книгах Брауна [Л. 3-11]. В 1966 г.
Дж. Мелинсон в американском Журнале
прикладной физики (№ 6, стр. 2514) так-
же обращает внимание на практическую
важность этого метода.
ражено поле воспроизводящей го-
ловки при ферромагнитной подлож-
ке) также очевидно, что в послед-
нем случае лучше выявляется по-
перечная намагниченность, и ху-
же— продольная. Действительно, в
последнем случае (рис. 4-44, в) Hz
имеет преимущественно вертикаль-
ную составляющую и, следователь-
но, по формуле (4-212а) в скаляр-
ном произведении доминируют
вертикальные (поперечные) состав-
ляющие вектора намагниченности.
Работа воспроизводящей головки
в условиях динамики дополнитель-
но анализируется ниже, в разделе
«Распространение теоремы о потоке
на случай переменных полей»
(рис. 4-50).
Пример 4-20. Внутри длинного много-
виткового соленоида, имеющего nQ—5 вит-
ков на 1 см длины, расположена парал-
лельно оси соленоида тонкая ферро-
магнитная пленка, имеющая форму
о
диска толщиной т=2 000 А=2-10~5 * * см и
радиусом г=0,5 см.
Какая э. д. с. наведется на зажимах
соленоида, если составляющая намагничен-
ности пленки, параллельная оси соленоида,
равномерно изменяется от р0Л4=1 тл до
lxQM=—1 тл за 7=10 нсек=10-8 сек?
Решение. По формуле (4-2126) маг-
нитное потокосцепление
Hi
4е — ро == Ио Мтлг2 * *.
В процессе изменения намагниченности
э = — d4/dt = 2Чг0/7 = 1,57s,
где Чго=^Чг при р0Л4=1 тл (см. также при-
мечание в конце следующего примера).
Пример 4-21. Насколько увеличится
индуктивность, если внутрь соленоида, где
его поле однородно, внести сферу радиусом
г=1 см, имеющую проницаемость р=1 000,
или такого же объема вытянутый эллипсо-
ид вращения с большой осью, параллель-
ной оси соленоида, при том что его размаг-
ничивающий фактор А=0,02?
Число витков соленоида на 1 см дли-
ны по=5О.
Решение. По определению прира-
щение индуктивности
ДА = ДТ/7,
где Д*Р — дополнительное потокосцепление,
обусловленное намагниченностью тела, вне-
сенного внутрь соленоида.
Если в однородное поле Но внесена
сфера, то ее намагниченность
3 (и, — 1)
М = Н0 ' ~ЗН0, (а)
р + 2
182
как было показано в § 4-4 [формула (4-86];
приближенное значение (ЗН0) соответству-
ет большой проницаемости.
В нашем случае Н0=1п0, поэтому по
формуле (4-2126) дополнительный поток,
обусловленный внесением сферы,
Д'? я n0rtgI-3V,
где У=4лг3/3=4,18 • 10~6 м3.
Искомое приращение индуктивности
в случае сферы
AL » р-о*3по V = 0,393 мен. (в)
В случае вытянутого эллипсоида вращения
его намагниченность (4-1036)
F—1
(б)
Так как по условиям задачи объем V ос-
тался тем же и по-прежнему H0—InQ, на-
ходим, применяя формулу (4-2126), что
AY = Hoz«o VIN. (г)
Последняя формула включает в себя и
формулу (б) для сферы, имеющей N— 1/3.
Для данных примера в случае эллип-
соида АЛ=6,58 мгн.
а). б)
Рис. 4-45.
Примечание. На рис. 4-45,а схе-
матически представлено поле соленоида
с намагниченным телом внутри него. Опре-
делить АЧ7 можно, разумеется, и непос-
редственно вычисляя дополнительный по-
ток, сцепленный с контуром (рис. 4-45,6).
Однако это сопряжено с очень сложными
вычислениями.
Пример 4-22. Тонкая пленка лежит
о
в плоскости х, t/; ее толщина т=1 000А;
она имеет вид квадрата со сторонами I—
=2 мм, параллельными осям х и у
(рис. 4-46). Намагниченность пленки изме-
няется под действием внешнего поля Ну от
p^M—p,QMx== 1 тл до цо^=Р'оЛ12/= 1 тл\
иначе говоря, вектор намагниченности по-
ворачивается на 90°, оставаясь в плоскости
пленки.
Над серединой пленки на высоте а=
=5 микрон параллельно оси у проходит
тонкий круглый провод. Спрашивается, как
изменится потокосцепление с контуром, ча-
стью которого служит названный провод,
при таком изменении намагниченности.
Решение. Поле провода, парал-
лельного оси у, не имеет у-й составляющей,
и в конце процесса (М=МУ) поток магнит-
ного поля пленки не сцеплен с проводом.
Поэтому для решения задачи достаточно
определить потокосцепление при исходном
значении намагниченности (М—Мх). Для
этого нужно знать значение х-й составля-
ющей поля прямого провода. Из закона
полного тока (рис. 4-46)
/ 1
Н = —— =-------==г •
2яр 2л lZx2 + а2
a al
Нх — Н ? — 2л (%2 + а2)
Подставляя найденное значение в формулу
(4-212а), находим, что при исходной намаг-
ниченности потокосцепление выражается
интегралом
+Z/2 Z/2
и0 Г , С dx
HxMxnldx — Ка I—---------
I J х х . J х2 + й2
—Z/2 —112
=2/(arctg-^— = 10 10вб = 10 2 мкс. ,(б)
Буквой К в предыдущих формулах обозна-
чена постоянная величина [10Мхх1/2л. При
вычислениях полезно все время записывать
единицы измерения и, производя действия,
убеждаться в правильности принятых еди-
ниц.
Искомый результат AW^—10~10 вб.
Обсуждение результатов. 1) При охва-
тывании пленки одним витком, вплотную
лежащим на пленке, изменение потока со-
ставило бы
ДТ1В = — Цо Мх xl = — 2-10~10 вб,
т. е. величину, всего лишь в 2 раза боль-
шую. Сказанное имеет простое объяснение:
прямой провод прилегает очень близко к
поверхности пластинки, а весь поток пла-
стинки симметрично разделяется на полу-
пространство 2>0 и z<0; практически весь
поток в области z>0 охватывает провод,
183
поскольку //2=200 а. 2) Несмотря на ма-
лую величину потока, при его быстром из-
менении в пррводе возникает заметная
э. д. с.; для 7=5 нсек эср=—АЧг/Т=20 мв.
Указанная э. д. с. достаточна для того, что-
бы пользоваться подобными пленками
в быстродействующей автоматике, напри-
мер в цифровых вычислительных машинах.
3) Когда, в отличие от предыдущего при-
мера, пленка имеет форму диска (рис. 4-47),
интегрирование приходится распространять
на к вектору намагниченности (т. е.
dS |] М), так что
dV = dldS = dldS. (4-213)
Магнитный момент рассматривае-
мого элемента dSfft можно предста-
вить эквивалентным контуром тока
/э, охватывающим площадку JS:
d^St = М dV = i3 dS. (4-214)
Из последних двух равенств следу-
ет, что
Mdl = Md! = i3. (4-215)
Поток W, пронизывающий заданный
макроскопический контур содер-
жит элементарную составляющую
не на полоску dx постоянной длины /, а на
полоску, длина которой 1=2 V г2—х2=
=2 г cosa, т. е. зависит от координаты х
(рис. 4-47,6). При этом интеграл (4-212а)
несколько сложнее.
В результате интегрирования полу-
чается:
Рис. 4-48.
¥ = tu0 Мх хг []/" 1 + {а/г)2 — а/г ]
Г а
|х0 Мх xr 1— —
2 г2 J
Приближение дает погрешность, мень-
шую 1% при (а/г)2 < 0,01.
Расчет показывает, что при малых а/г
практически половина потока, проходящего
через диаметральное сечение пленки (¥р=
==НоМзсТ -2г), оказывается сцепленной
с прямым проводом.
Доказательство теоремы о маг-
нитном потоке. Представим себе
элемент объема dV, выделенный
в намагниченном теле (рис. 4-48).
Пусть он имеет форму цилиндрика
с образующей dl || М и с основания-
ми dS, плоскость которых нормаль-
rfT, обязанную своим существова-
нием намагниченному элементу
M.dV. Эта составляющая может
быть выражена равенством
dW = i3dLM, (4-216)
где /э— ток эквивалентного конту-
ра, a dLM— взаимная индуктив-
ность между эквивалентным конту-
ром и заданным контуром k.
Основываясь на принципе взаим-
ности, можно определить dLM как
поток, пронизывающий площадку
dS при единичном токе Ik в задан-
ном макроскопическом контуре k\
сказанное выражается формулой
= (4-217)
здесь — вектор напряженности
поля, обусловленного током Ik мак-
роскопического контура; вектор
Hfe определяется для места распо-
ложения элемента dS.
Подставляя (4-215) и (4-217)
в (4-216), находим, что .
dW = р0 Щ (М dl) dS/Ik (4-218)
Г84
или, поскольку по условию М || dS
и dldS=dV,
(4-219)
. 4
После интегрирования по объ-
ему V, для которого MHft=^=0, прихо-
дим к выражению (4-212а), что и
требовалось доказать.
составляющие потока, сцепленного
с контуром я, обусловленные соот-
ветственно токами контуров э и k.
Принцип взаимности для конту-
ров k и э, несмотря на присутствие
еще одного контура я, формулиру-
ется по-прежнему:
при этом
И Лг=0
4
Рис. 4-49.
Распространение теоремы о по-
токе на случай переменных полей.
На величину эффективной взаимной
индуктивности Lk9 между контура-
ми k и э при переменном токе мо-
жет влиять присутствие третьего
контура я, замкнутого на некоторое
комплексное сопротивление Zn (рис.
4-49). В этом случае потокосцепле-
ние контуров Л, э, п выражается
известной системой уравнений:
^kk~\~Д 1~^п ^kn*
э = Ц ^3k + h ^ээ + in L3n;
Фп ~ ik Lniz + ^пэ 4“ in Lnn J
(4-220)
здесь коэффициенты L с двумя оди-
наковыми индексами выражают соб-
ственную индуктивность, а коэф-
фициенты с разными индексами —
взаимную индуктивность; причем по
принципу взаимности
L/гэ — ^эп — Ln3... (4-221)
Если известны токи /э и Д и в
контуре п не действуют источники,
то ток 1п можно найти по закону
Ома для переменного тока
in = - (Ъ + ч^) /Znn, (4-2.22)
где Zпп —Zn.
В последнем выражении
~ и ^nk = ikLnk^ (4-223)
где — эффективные значе-
ния индуктивности, на величину ко-
торых влияет наличие контура я.
К выражениям (4-224) непосред-
ственно приводят предыдущие урав-
нения (4-220) — (4-223). Действи-
тельно, из них следует, что при Д =
= 0 и 7Э=/
а при h = I и /э=0
= i (L9k j(£>LnkL3niZnt^.
Этот результат вследствие
(4-221) совпадает с (4-224).
Очевидно, что наличие не одного,
а нескольких контуров типа я или
какого бы то ни было сплошного
проводящего тела не изменяет воз-
можности применения принципа
взаимности, причем, однако, эффек-
тивные взаимные индуктивности за-
висят от частоты и могут представ-
ляться комплексной величиной.
В силу всего сказанного форму-
лу (4-217) теперь следует записать
так:
= (4-225)
Комплексный характер этой эле-
ментарной взаимной индуктивности
определяется тем, что Hfe и Д могут
не совпадать по фазе Различие вы-
ражений (4-217) и (4-225) приво-
дит к разным выражениям потоко-
сцепления. Пользуясь комплексами
185
для гармонически изменяющегося
вектора М, магнитное потокосцеп-
ление с контуром k представим вы-
ражением
т = Не Г—м dv. (4-226)
J 4
Разумеется, здесь и Ik имеют
частоту фактически изменяющегося
М. Заметим еще, что от координат
может зависеть абсолютная величи-
на, фаза и пространственное на-
правление комплексных векторов М
и Искомое потокосцепление
при том же самом М(х, у, г) в об-
щем случае зависит от частоты,
поскольку от частоты зависит НА/Л-
Соотношение (4-226) не только
применимо для расчетов, но позво-
ляет лучше понять электромагнит-
ные процессы в проводящих средах
и в электротехнических устройствах.
Например, только в свете изложен-
ного становится понятным, для чего
у полюсов воспроизводящей голов-
ки иногда устанавливаются допол-
нительные проводящие экраны, на-
пример такого типа, как показано
на рис. 4-50: для магнитного поля
звуковой частоты эти экраны непро-
ницаемы (см. гл. 6); в результате
Рис. 4-50.
магнитное поле Hfe при звуковой
частоте получает более благоприят-
ное расположение. Подобные экра-
ны могут улучшить частотную ха-
рактеристику воспроизводящей го-
ловки.
Очевидно, что от комплексного
выражения легко совершается пере-
ход и к расчету переходного про-
цесса. Например, если известен за-
кон изменения М(/), одинаковый
для всех элементов объема V и для
всех составляющих вектора, то сле-
дует искать Н(£), соответствующее
/(/), при том что i(t) и М(£) выра-
жаются функциями времени, отли-
чающимися только постоянными
множителями. Если, например,
M(t) =М0» 1 (t), то следует предпо-
лагать, что ik(t) также представля-
ется функцией Zofe-Z(^). При этом,
конечно, функция Щ(/) может
иметь существенно иную зависи-
мость от времени.
Измерительная обмотка, исклю-
чающая связь с внешним полем,
при отсутствии намагниченного об-
разца. Несмотря на полезность
формулы (4-212а), не следует пре-
увеличивать ее значения. Есть ряд
задач, где проще производить вы-
числения потокосцепления прямым
методом.
Так, например, чтобы устранить
влияние внешнего, иногда очень
большого поля, при измерении на-
магниченности образца применяют
измерительный контур, состоящий
из двух встречно включенных кату-
шек, для которых
Sj ^1 ~ ^2>
где Si и S2 — среднее значение для
плоской поверхности, ограничивае-
мой соответственно первой и второй
катушками. При этом, когда ка-
тушки расположены в однородном
поле BG (рис. 4-51), поток, сцеплен-
ный с измерительным контуром, ра-
вен нулю
Во (Si/?! — S2n2) = 0.
Однако, когда в поле находится
намагниченное тело, например сфе-
ра, как показано на рис. 4-51, по-
ток Т, сцепленный с измерительным
186
контуром, отличен от нуля и про-
порционален намагниченности об-
разца
Т - Ш. (4-227)
Коэффициент пропорционально-
сти зависит от конфигурации образ-
ца и катушек. В случае системы
(рис. 4-51) нецелесообразно приме-
нять формулу (4-212), проще выпол-
нить прямое вычисление коэффици-
ента й, так как поле намагниченной
сферы вычисляется проще, чем поле
катушек. Измерение зависимости
М от Н посредством системы
рис. 4-51 производится или путем из-
менений внешнего поля и наблюде-
ния соответствующих АЛ4, или пу-
тем удаления образца из области
поля (выдергивания); в обоих слу-
чаях изменение потокосцепления
АТ* может определяться по отклоне-
нию баллистического гальвано-
метра.
Впрочем, в последнее десятиле-
тие получил распространение еще и
вибрационный метод (метод Фоне-
ра): создается высокочастотная
вибрация образца, в результате че-
го меняется поток, сцепленный с не-
подвижной катушкой. Наводимая
в катушке переменная э. д. с. легко
усиливается, если нужно, и измеря-
ется. Эта э.д. с. не зависит от посто-
янной составляющей поля и прямо
пропорциональна намагниченности
образца. Выбор оптимальной гео-
метрии катушек для вибрационных
измерений был произведен^ в упоми-
навшейся работе Мелинсона, имен-
но на основании принципа взаимно-
сти. В следующем примере прово-
дится вычисление потокосцепления
прямым путем для системы
рис. 4-51.
Пример 4-23. Поле создается однород-
но намагниченной сферой радиусом а
(рис. 4-51). Намагниченность направлена
по оси z (ось, проходящая через полюса).
Ищется поток, сцепленный с двумя встреч-
но соединенными обмотками, лежащими в
экваториальной плоскости (0=л/2); их ра-
диусы ri и г2, их числа витков пх и п2,
причемПри таком соединении
и таком выборе соотношений между витка-
ми в однородном поле Во потокосцепление
отсутствует.
Решение. В данном случае проще
всего определить поток путем непосредст-
венного интегрирования. Основываясь на
известных выражениях (4-88) при В > а,
находим составляющие вектора:
2
вй = — ц0Ма3 COS0//?3;
Вй = ~у- Ц0Ма3 sind/R3.
При R < а по (4-87) и (4-90)
2
В = Вг=— ц0М.
О
При R>a в экваториальной
(0=зт/2)
плоскости
2
¥ 1 = пг — р0 Мла2 —
о
— V Но Ма3
О
= — ро М2 Ла3
о
(под интегралом величина 2лЯ dR — эле-
мент площади, лежащей в экваториальной
плоскости между радиусами а и п). Анало-
гично для второй катушки (при п2=
=П1 rf/r|)
р.о М 2па3 r\ I г®!
О
искомое потокосцепление
v = -(Г1/Г2)3]/Г1’
где 9Dfc=4 ла3М!3— магнитный момент всей
сферы.
Иными словами, потокосцепление прямо
пропорционально намагниченности T—kM.
К тому же результату можно прийти,
вычисляя поток через полусферы, опираю-
щиеся на окружности радиусами гх и г2.
При этом определяется только поток ради-
альной слагающей вектора В для области
R>a. Последний способ вычисления пото-
ка существенно проще вычисления потока
через плоскость катушек в том случае, ког-
да две катушки лежат в одной плоскости,
нормальной к оси г, но смещенной относи-
тельно экватора (например, на а/2, а или
2а).
Если вследствие толщины обмотки
нельзя считать для всех проводов катушки
одинаковые значения координат, необходи-
мо производить соответствующее усредне-
ние.
Теорема о наведенном заряде.
Эта теорема — электрический ана-
лог изложенной выше теоремы о по-
токосцеплении.
Если между электродами корот-
козамкнутого конденсатора (рис.
4-52, а) появляется диэлектрическое
тело, имеющее поляризацию Р, то
187
в ветви, коротко замыкающей эле-
ктроды, проходит количество элект-
ричества
AQ = ~ J Е' Р dV; (4-228)
здесь Е7 — напряженность электри-
ческого поля конденсатора при на-
пряжении на нем U7 в отсутствие
ся к нулю удалением /заряда Q с
электрода /, то наличие этого до-
полнительного заряда приводит к
напряжению \U=QIC. При этом
предполагается, что ДС7 определяет-
ся изменением разности потенциа-
лов тех же электродов и в той же
последовательности, что и в слу-
чае U7.
~Гг)
Рис. 4-52.
рассматриваемого поляризованного
тела (рис. 4-52, б); V — объем поля-
ризованного тела. В формуле (4-228)
AQ>0 соответствует переходу заря-
да с электрода 1 к электроду 2, при
том что напряжение в формуле
(4-228) определяется разностью
= £(4-229)
' Как в случае теоремы о магнит-
ном потоке, выражение (4-228) зна-
чительно упрощается, когда Е'Р
.остается постоянным во всем теле.
Аналогичную теорему легко фор-
мулировать для случая (рис. 4-52,в)
изолированных электродов (AQ = 0):
при внесении поляризованного тела
напряжение между электродами воз-
растет на
Д17=^ jE'PdV; (4-230)
в этой формуле С — емкость рас-
сматриваемого конденсатора в от-
сутствие поляризованного тела;
остальные обозначения — прежние.
Справедливость последнего вы-
ражения непосредственно вытекает
из предыдущего. Действительно, ес-
ли возрастание напряжения сводит-
Пример 4-24. Между электродами плос-
кого конденсатора расположена пластина
толщиной 6=0,40 см; расстояние между
электродами Л = 0,41 см. Конденсатору
было сообщено напряжение U(—0) =
= Ф1—ф2=4,0 в, после чего он был отклю-
чен от источника. Затем под влиянием ме-
ханического сжатия возросла на величину
АР = 1,55 • 10~13 к/см2 нормальная к электро-
дам составляющая поляризация пластины в
направлении от 2 к 1. Спрашивается, чему
равно напряжение на конденсаторе после
изменения поляризации?
Решение. По теореме (4-230) при-
ращение напряжения
= ДРК = 0,7в;
ufc
AU>0, так как векторы Ez и ДР антипарал-
лельны.
В результате находим:
U = U(—0)4- Д£/ = 4,7в.
Та же теорема в условиях гар-
монически изменяющейся поляриза-
ции. Полагая, что поляризация
изменяется по простому гармоничес-
кому закону, и прибегая к комплекс-
ным обозначениям, из формулы
(4-228) сразу получаем выражение
для тока в короткозамкнутой внеш-
ней ветви (рис. 4-53, а):
188
1=j(f>Q=J E'/coP dV. (4-231)
Аналогично из формулы (4-230) на-
ходим, что переменное напряжение
на разомкнутых электродах (рис.
4-53, б)
(J = — J ЕР dV. (4-232)
Выбор положительных направлений
сохранен прежний.
Обобщение теоремы на случай
любой нагрузки на зажимах элект-
родов. Последние два выражения
можно рассматривать с точки зре-
ния общей теории линейных цепей
как ток короткого замыкания /=/к
и напряжение холостого хода U=
= UX активного двухполюсника; его
э. д. с. обусловлена перио-
дически изменяющейся по-
ляризацией диэлектрика. Из
общей теории линейных це- ______
пей очевидно, что наш ак-
тивный двухполюсник обла- ——
дает внутренним сопротив-
лением в последовательной
эквивалентной схеме
2/=t7x//K=l;/®C. (4-233)
Этот общий результат позволяет
рассматривать и установившиеся
гармонические режимы и переход-
ные процессы.
Пример 4-25 Электроды плоского кон-
денсатора предыдущего примера замкнуты
на сопротивление 7? = 108 ом (рис. 4-54, а).
Первоначально напряжение отсутствовало.
Найти, как изменяется во времени напря-
жение, наведенное такой же внезапно воз-
никшей поляризацией АР, как в предыду-
щем примере? Для ответа на поставленный
вопрос в предыдущем примере не хватало
данных: теперь нужно еще знать емкость
конденсатора или эквивалентную площадь
электрода S = 4,0 см2.
Решение. По только что изложенно-
му приходим к эквивалентной схеме (рис.
4-54), где напряжение генератора u(t) —
==А£7-1(0, а величина At7 определяется по
•формуле (4-230); как было найдено в прош-
лом примере, AZ7=0,7 в. Искомое напря-
жение
^ = 0,7^,
где р=1Ж=1,16-104 сек -1.
1 Решение той же задачи без обраще-
ния к теореме о наведенном заряде приве-
дено в § 3-4 [формулы (3-145) и следую-
щие]. Аналогичное . решение приведено в
«Задачнике по теоретическим основам
электротехники», 1962, задача 9-14 [Л. 1-6].
Интересно заметить, что в схеме заме-
щения (рис. 4-54, б) на электродах заряд
держится до тех пор, пока не исчезает по-
ляризация. В натуре этому соответствует
индуктированный заряд, вызванный поля^-
ризованным диэлектриком, причем, как и в
натуре, заряд отрицательный на пластине,
обращенной к узлу 1.
Пример 4-26. Между электродами ко-
аксиального цилиндрического конденсатора
(рис. 4-55) расположена диэлектрическая
пластина. Декартовы координаты выбраны
так, что z совпадает с осью цилиндров.
Пластина расположена нормально к оси у
на расстоянии у—а. Толщина пластины
т<а. Пластина в направлении % имеет ши-
рину 2Ь и 4Ь в направлении г. В пластине
возбуждаются упругие колебания с часто-
той f, в результате чего в ней возникает пе-
ременная поляризация
P = Py=PmCOS&t.
Электроды соединены индуктивно-
стью L. Добротность контура Q >100.
Рис. 4-53.
Найти напряжение между электродами
конденсатора при настройке контура в ре-
зонанс. Размеры цилиндра очень малы
по сравнению с длиной волны в свободном
пространстве при заданной частоте коле-
баний f.
Рис. 4-54.
189
Решение. Э. д. с. эквивалентного ге-
нератора, или найдем по формуле
(4-232), в которой
Очевидно, что в нашей системе (рис. 4-55)
Е' = а
у 8о2л а2 + х2
где Qq = U'C!1 — заряд на единицу длины
нашего конденсатора, а I — длина конден-
сатора; поэтому
х=Ь
J е02л J а2+х2
V х=—Ъ
= т46-------arctg (b/a).
8q3T
Следовательно, по (4-232)
. 4т£
= Р-----г arctg (b/a).
8q5T/
Между электродами конденсатора при
резонансе и высокой добротности
^c = f7xQ.
Доказательство теоремы о наве-
денном заряде. Представим себе,
что между электродами конденсато-
ра расположен элементарный объ-
ем поляризованного диэлектрика
Р dV (рис. 4-56), причем элементар-
ный объем — это цилиндрик с обра-
зующей di, параллельной вектору
поляризации 6?1||Р и с нормальными
к ним основаниями dS, т. е. такими,
что dS||dl. Очевидно, что при этом
dldS=dldS=dV. (4-234)
Электрический момент элемента мо-
жно представить двумя эквивалент-
ными зарядами ±7, отделенными
один от другого расстоянием dl
dty—PdV=qd[, (4-235)
при том что
7=PdS. (4-236)
Рассматриваемую систему (рис.
4-56) можно считать системой четы-
рех зарядов: два заряда диполя
qi = q и 72 =—71 и два заряда элект-
родов конденсатора 73 и 74 = —73.
Обозначим через срп потенциал, под
которым находится соответствую-
щий заряд qn, и примем потенциал
четвертого заряда равным нулю
(ф4 = 0). В таком случае связь меж-
ду и qn может быть выражена
известной системой формул Макс-
Рис. 4-56.
велла с потенциальными коэффици-
ентами [формулы (4-187), § 4-9]:
Ф1 —71аи+?20С124’7з^1з
Ф2 — 71^214"92^224* 7 3°^23 \
фз“ 71^314" 72^324“ 7зазз>
(4-237)
где — потенциальные коэффи-
циенты, подчиняющиеся, как извест-
но, принципу взаимности а^ = а^-
Имея в виду, что в нашем случае
71 = —72 — 7, Фз=£Л а также учиты-
вая только что сформулированный
принцип взаимности, вместо (4-237)
можем написать систему
Фх—Ф2=^(аи—2ос12-|-ос22)4"7з244 (4-238)
U = 7^4-73^33, )
где А=а31 — а32==а13 — а23.
В отсутствие поляризованного
элемента, т. е. при 7 = 0, но при на-
личии заряда qs = q' на конденсато-
ре находим, что разность потенциа-
190
лов между основаниями элементар-
ного цилиндрика
ср; — (р; - Е' (4-239)
здесь Е7 — напряженность поля
внутри цилиндрика при заряде q' на
конденсаторе и при отсутствии поля-
ризованного элемента (Р = 0).
Таким образом, из (4-239) нахо-
дим, что
Л = —E'dl. (4-240)
q'
Если же ^з=94=0, т. е. конденсатор
не заряжен, но с?=^=0, то по (4-238)
U=qA = — E'qdl
q'
или, принимая во внимание (4-235),
С7 = — E'PdV. (4-241)
q'
По существу дела, здесь лучше
было бы писать dU вместо £7, остав-
ляя обозначение U для результата,
получаемого после интегрирования
последнего выражения по всему
объему V, для которого Е7Р ^=0.
Этот интеграл тожественно совпа-
дает с выражением (4-230). Тем са-
мым и доказана его справедливость.
Но (4-230) эквивалентно выраже-
нию (4-228) и другим, следующим
из них.
Теорема Шокли. Приведенные
выше выражения теоремы о наве-
денном заряде (4-228), (4-230) —
(4-233) непосредственно приводят к
известной теореме Шокли о токе,
который наводится зарядом q. дви-
жущимся со скоростью v между
электродами.
Для этого следует иметь в виду,
что в случае фактического движе-
ния единственного заряда q со ско-
ростью v это движение можно пред-
ставить как изменение момента ди-
поля $ у которого другой за-
ряд минус q лежит неопределенно
далеко и неподвижен. При этом
dty.dt—q dl/dt=qv. (4-242)
Дифференцируя (4-228) по вре-
мени, находим ток, проходящий че-
рез провод, коротко замыкающий
электроды,
i = = -=L С Е' — dV. (4-243)
dt V J dt
Но если в пределах действия по-
ля Е7 единственное изменение ди-
польного момента обусловлено дви-
жением заряда, то от интеграла
(4-243) переходим к такому выра-
жению:
i=— (E'/f/Ogv. (4-244}
Это и есть одна из простейших
формулировок теоремы Шокли: ток
в проводе, коротко замыкающем
электроды, равен скорости движе-
ния заряда, умноженной на величи-
ну заряда (qv — электрическое ко-
личество движения) и на вектор на-
пряженности поля которое со-
здавалось бы в точке расположения
заряда q единичным напряжением
на электродах конденсатора (это и
выражается отношением напряжен-
ности поля к напряжению).
Повторяя выводы, аналогичные-
тем, что нас привели к выражениям
(4-231) — (4-233), можно теорему
Шокли применить к случаю любой'
цепи, замыкающей электроды
[Л. 3-9].
Пример 4-27. В поле плоского конден-
сатора по окружности радиуса а, перпен-
дикулярной электродам, движется «сгу-
сток» зарядов q с угловой скоростью со.
Пластины конденсатора замкнуты на ин-
дуктивность L. Образовавшийся контур L,
С настраивается в резонанс с частотой со.
Добротность системы Q. Найти напряжение'
на конденсаторе в установившемся режиме,
если расстояние между пластинами конден-
сатора h=4 а.
Решение. Имея в виду, что в дан-
ном примере Е'=Е'Х, ErIUf—\l4a и С—
— г^814а, находим по формуле (4-232)
t7= -J Рх dV = - $x/soS, (а)-
где —комплексное представление гар-
монической части дипольного момента. Для
вращающегося сгустка по (4-242)
Фх = Фо + qa cos at ~ фх = qa. (б>
В итоге находим искомое напряжение при
резонансе:
UC = QU = Qqal^S.
191:
ГЛАВА ПЯТАЯ
ЭНЕРГИЯ, СИЛЫ
5-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Передача и преобразование энер-
гии имеют первостепенное значение
во всей электротехнике. Даже в тех
случаях, когда цель технического
устройства — это передача и прием
информации, почти всегда процессы
преобразования энергии играют су-
щественную роль.
Электродинамика первоначально
развивалась как учение о силах и
движении механических тел, вы-
званных электромагнитными процес-
сами (примерно так понимал элект-
родинамику Ампер, когда он ввел и
само слово); при этом часто основ-
ную роль играли формулировки, со-
державшие интегральные величины
и параметры.
Электрическая и магнитная энер-
гии. Электрическую энергию заря-
женного конденсатора и магнитную
энергию катушки с током, действи-
тельно, можно выразить через на-
пряжение, ток, заряд и магнитный
поток (потокосцепление):
Wz3=iz2C/2—r/7/2;
IFM-f2L/2-ZT/2, (5-1)
не обращаясь к представлениям тео-
рии поля и не касаясь вопроса о про-
странственной локализации этой
энергии.
Эти выражения могут быть обоб-
щены на систему заряженных тел и
систему контуров тока. В первом
случае широкое применение нашла
удобная формула
= <5-2)
i
где суммирование ведется по всем
зарядам Формула (5-2) выводит-
ся из более общих выражений в
§ 5-9. Во втором случае наряду с
собственной индуктивностью в вы-
ражение энергии должна входить
обязательно и взаимная индуктив-
ность. При этом энергию можно вы-
разить такой формулой:
(5-3)
z
k,l
где суммирование проводится и по
индексу k и по индексу I для всех
контуров (от 1 доп), т. е. для каж-
дого k суммирование ведется по
всем I.
В частности, для двух контуров
( *1^1 + Г*2^) + Ч 4^12»
(5-За)
где ^22^12~^21 ~^12*
Для случая двух контуров эта
формула выводилась в первой части
книги [уравнение (6-17)]. Тот же вы-
вод может быть распространен и на
случай п контуров.
Когда энергия передается «по
проводам», мощность можно выра-
зить через напряжение и ток
не касаясь вопроса о том, где и по
какому пути проходит эта энергия
от генератора к потребителю.
Во все приведенные здесь фор-
мулы входят только интегральные
192
величины (u, f, 9, 49, а величины,
характеризующие поле (Е, J, Н, В,
D), не входят в явном виде. Однако
с точки зрения теории поля процес-
сы передачи и преобразования энер-
гии в электромагнитных системах
следует рассматривать как процес-
сы, протекающие в поле, обуслов-
ленные полем и выражаемые урав-
нениями поля. При этом очевидно,
что энергия электромагнитных си-
стем должна рассматриваться как
энергия поля.
Существование энергии поля с
необходимостью определяется и тем,
что передача энергии в электромаг-
нитных системах может происходить
и без проводов (радио), а само эле-
ктромагнитное поле может сущест-
вовать и без зарядов и без токов.
Энергии поля и ее передаче, т. е. по-
току энергии поля, посвящен § 5-2.
При анализе энергетических со-
отношений существенную роль игра-
ет закон Джоуля — Ленца,
показывающий, как происходит теп-
ловое рассеяние электромагнитной
энергии. В дифференциальной фор-
ме этот закон выражается форму-
лой 1
P0^J2/o=£2o; (5-4)
здесь Ро — мощность, отнесенная к
единице объема; о — проводимость.
В выражении (5-4) предполагается
простейшая связь между векторами
плотности тока и напряженности по-
ля (закон Ома)
J-Eo.
.В случае анизотропной среды
векторы J и Е могут не совпадать
по направлению; при этом закон
Ома остается справедливым только
для составляющих этих векторов
k~Gkn Еп.
1 Прямоугольный параллелепипед с реб-
рами dl|| Е и основанием dS обладает элект-
рическим сопротивлением г=dl/о dS; ток,
идущий в нем, i=J dS. Следовательно, рас-
сеиваемая в нем мощность по закону
Джоуля — Ленца, формулированному на
языке теории цепей,
dP = Pr=(J2/o)dV9
где dV=dSdl — объем параллелепипеда.
Переходя к мощности на единицу объема,
получаем формулу (5-4).
В последней формуле предпола-
гается, как об этом уже говорилось
в гл. 3, суммирование по одноимен-
ным индексам (по п). В соответст-
вии с последней формулой закону
Джоуля — Ленца для анизотропной
среды должна быть придана обоб-
щенная форма
Р 0—JE.
В изотропной среде последнее выра-
жение непосредственно переходит в
(5-4). В случае анизотропной среды
Р0~Jk (pkn
В последнем выражении сначала
производится суммирование по всем
п для какого-либо k9 а затем полу-
ченный результат множится на Д и,
наконец, проводится суммирование
по всем k.
Силы в электромагнитных систе-
мах. Силы можно определять из
энергетических соображений, также
не обращаясь к представлениям по-
ля, а ограничиваясь выражением
энергии через интегральные пара-
метры и применяя закон сохранения
энергии к рассматриваемой системе.
Закону сохранения соответствует
следующий баланс энергии:
dWn=dW+dA. (5-5)
Здесь dWA — энергия, подведенная
к системе от источника питания (от
генератора), за исключением энер-
гии, которая преобразуется в извест-
ные другие виды энергии, например
в тепло по закону Джоуля — Ленца
Prdt\ dW — приращение энергии
поля; dA — механическая работа,
совершаемая рассматриваемой си-
лой при элементарном перемещении.
В общем случае элементарная
работа равна элементарному пере-
мещению в заданном направлении,
умноженному на соответствующую
составляющую силы, т. е.
dA=f.dl (5-6)
Разумеется, что при этом в урав-
нение баланса энергии входят эле-
ментарное приращение энергии поля
dW и энергия, подведенная от источ-
ника, dWn, обусловленные именно
перемещением dg,
. dW dW^ .с.
dW = — dt и dW„ = —- dt.
13—476
193
Поэтому в более развернутой
форме уравнение (5-5) может быть
записано так:
dWH/d^dW,di+f^ (5-7)
Если в систему от источника не
поступает энергия, то работа может
производиться только за счет убыли
энергии поля
dA=—dW (5-8)
и соответственно
f^-dW'dl. (5-9)
В приведенных здесь уравнениях
по правилам аналитической механи-
ки координата g и сила могут рас-
сматриваться как обобщенные коор-
динаты и силы, произведение кото-
рых равно работе по (5-6). Так, ес-
ли g — это угол поворота а, то со-
ответствующая обобщенная состав-
ляющая силы есть механический мо-
мент П. Действительно,
f^dt==Tada=dA.
Следующие простые примеры по-
яснят применение выведенных здесь
соотношений.
Пример 5-1. Емкость плоского воздуш-
ного (е=1) конденсатора C=^SIh. С ка-
кой силой притягиваются друг к другу
пластины при заданном напряжении £7?
Решение. Для конденсатора, от-
ключенного от источника, сила f определя-
ется по формуле (5-9), т. е. по убыли энер-
гии поля с перемещением. При этом заряд
конденсатора q—const, поэтому наиболее
выгодно энергию заряженного конденсато-
ра представить через заряд и емкость
W = I/2C/2 = ^2/2С = q4i№,QS. (а)
Дифференцируя по направлению пере-
мещения х под действием силы, находим:
. =— СГ ,<)h. = ,б)
tx 2e0S дх 2e0S ’ ' ’
так как h=ho—х и, следовательно, dh/dx=
=—1.
Но по условию задачи ищется сила при
заданном напряжении U, Имея в виду, что
q=UC, находим, что
fx = — t/2C//z = U40SI№. (в)
2 2
Пример 5-2. Электростатический вольт-
метр (рис. 5-1) состоит из ряда параллель-
* В этой главе, где в выражениях энер-
гии часто встречается индуктивность (L,
£&п), для вращающегося момента, в отли-
чие от обозначений в гл. 4, принята буква
Т вместо L.
ных пластин, имеющих форму полудисков,,
между которыми расположен другой ряд
полукруглых пластин. Первая система пла-
стин неподвижна, вторая подвешена на уп-
ругой нити, и может вращаться вокруг оси
и связана с указателем (зеркальцем или
стрелкой). Повороту подвижной системы
противодействует момент закручиваемой
нити подвеса, пропорциональный углу за-
кручивания (рис. 5-1). Все подвижные по-
лудиски соединены между собой и изолиро-
ваны от системы неподвижных полудисковг
также соединенных между собой. Если в ре-'
зультате взаимодействия зарядов пластины;
испытывают момент Т, то при повороте на
угол а совершается работа; она расходу-
ется на образование потенциальной энергии
закручиваемой нити. Емкость плоского кон-
денсатора пропорциональна площади пла-
стин. В данной системе активная площадь-
пластин, т. е. та часть, которая может рас-
сматриваться как поверхность электродов
плоского конденсатора, пропорциональна
углу а. Поэтому и емкость системы
С = Cq —J— ka,
где k— коэффициент пропорциональности,
зависящий от конструктивных данных.
Требуется найти зависимость угла пово-
рота а пластин (и стрелки) от приложенно-
го напряжения.
Решение. В результате взаимодей-
ствия разноименно заряженных пластин си-
стема испытывает момент 7, стремящийся
увеличить угол а.
При этом элементарная работа
dA = Т da
переходит в потенциальную энергию закру-
чиваемой нити или пружины, противодей-
ствующей повороту.
Из формулы баланса энергии (5-7) мо-
жно найти силу. Предположим, что источ-
ник питания поддерживает напряжение'
постоянным t7=const. При этом по (5-7)
fa = Т = dWJda — dW/da.
Энергия, поступающая от источника при
постоянном напряжении, определяется со-
общенным зарядом dq = U dC:
dWK — Udq — U2 dC,
поэтому
dWu/da = U2 дС/да.
Приращение энергии поля при U —const
dW = -^-U2dC,
2
194
и, следовательно,
dW/да = U* дС/да.
Интересно обратить внимание на то, что
при постоянстве напряжения (подпитка от
источника!) энергия поля возрастает, а не
убывает.
В итоге находим, что
f = Т = —1/2 дС/да = — U2k.
2 2
Пример 5-3. Две обмотки (рис. 5-2)
располагаются на одной оси, и одна может
поворачиваться относительно другой. При
небольших значениях угла а можно счи-
тать, что взаимная индуктивность между
обмотками
М = Mucosa. (а)
Определить вращающий момент, испы-
тываемый обмотками при их последова-
тельном согласном включении, предполагая,
во-первых, что работа производится за счет
энергии поля и, во-вторых, что в цепи со-
держится источник питания, поддерживаю-
щий ток неизменным.
Решение. Энергия системы (5-За)
при последовательном согласном соедине-
нии
W=-^(L1 + L2 + 2M)i*.
(б)
1) Вообразим, что цепь отключена от
источника питания, короткозамкнута, а все
обмотки выполнены из сверхпроводника.
В таком случае постоянным оказывается
полное потокосцепление цепи
V = i (Li + £2 + 2Л4) (в)
и, следовательно,
ЗТ д
~—^i—(L1 + L2 + 2M) +
да да
di
+ (L1 + L2 + 2M) — = 0.
да
В рассматриваемом случае Lx и L2 не
изменяются, поэтому
дЧ /da = 2idM/da +
+ (Ii + L2 + 2M)di/da = 0. (г)
Обращаясь к уравнениям (5-9) и (б),
находим, что
()\У
да
= -(^ + £2 + 2^) i
di о дМ
-----— Z2-------
да да
В последнее выражение можно подста-
вить неизвестную величину di/da из (г)
7’«=2‘2
дМ
да
i2
дМ
да
дМ
= Р---
да
(д)
и в нашем конкретном случае
Г = — Z2 sin а;
а о
знак минус показывает, что момент стре-
мится уменьшить угол а.
2) В случае источника питания, под-
держивающего неизменным ток, следует ис-
ходить из выражения (5-7), которое для
заданных условий примера принимает вид:
fa = Та = dWjda - dW/да.} (е)
Источник питания подводит в цепь ‘энергию
= iudt.
В конкретных условиях изменяющейся ин-
дуктивности при Z=const
и — /dt и dWn — i dW. (ж
Обращаясь к (в), находим, что при посто-
янном токе
34! дМ
dW = ----da = 2i — da
да да
или
dW-ц/да = 2i2 дМ/da.
(з)
Изменение энергии поля при Z=const нахо-
дим из (б):
dW/да ~ i2 дМ/да. (и)
В итоге, подставляя (з) и (и) в (е) прихо-
дим, как и следовало ожидать, к найденно-
му результату (д).
Джоуль за джоуль. Когда силы
совершают работу dA в отсутствие
источников питания, то очевидно,
что на такую же величину умень-
шается энергия системы
dA^—dW. (5-10а)
Это прямое следствие закона сохра-
нения энергии. Но в приведенных
примерах было найдено, что на та-
кую же точно величину возрастает
энергия поля
dA = dW или dW„ = 2dW, (5-106)
13*
195
если к системе подсоединен источ-
ник питания, поддерживающий на-
пряжение на конденсаторах, когда
речь идет о работе сил электроста-
тического поля (пример 5-1), или
же если источник питания поддер-
живает неизменный ток в индуктив-
ных контурах, когда речь идет о ра-
боте сил магнитного поля (при-
мер 5-3).
Уравнение (5-10а) повторяет
(5-8) и выражает просто напросто
закон сохранения энергии, тогда как
(5-106) скорее должно вызывать
удивление, чем казаться естествен-
ным. Правило (5-106) совершенно
общее, и его иногда называют
джоуль за джоуль: когда си-
лы поля совершают работу в 1 джо-
уль, то на 1 джоуль увеличивается
энергия поля; очевидно, что при
этом источник питания должен от-
дать 2 джоуля.
Правило (5-106), т. е. джоуль за
джоуль, не раз ошибочно принима-
лось за закон сохранения энергии.
Чтобы не прибегать к общим вы-
ражениям аналитической механики,
ограничимся рассмотрением: 1) си-
лы , обусловленной изменением
емкости С(§) при перемещении од-
ного из электродов в направлении
— это случай электростатических
сил, и 2) силы , обусловленной из-
менением индуктивности L (g) при
перемещении какого-то участка кон-
тура в направлении g,— это случай
магнитных сил.
В первом случае в отсутствие ис-
точника (5-9)
А = (5-11)
2 dg v 7
при Си ~ q = const.
Последнее условие позволяет за-
ключить, что
С ди/д% + и дС/д% = 0. (5-12)
Выполняя дифференцирование
(5-11) и подставляя в результат
.ди/д^ из (5-12), находим, что
1 о дС
— и1 2 —
2 dg
(5-13)
dW
т. е. именно -^-при и = const.
Аналогично во втором случае при
отсутствии источника
= — (5-14)
2 5g • '
при Т = iL = const.
Последнее условие позволяет за-
ключить, что
i dL/dt + L di/dl = 0. (5-15)
Выполняя дифференцирование
(5-14) и подставляя дМда, из (5-15),
находим, что
(5-16)
2 5g
dW . z
т. е. именно —при t = const.
Выражение силы через векторы
поля, ток и заряд. Иногда удобно
определять силы, лишь наполовину
прибегая к представлениям поля.
Так, сила, действующая на заряд
в электрическом поле, определяется
из выражения
df = Е dq = Ер dV, (5-17)
а сила, действующая на провода
с током, — из выражений
или JXBdV. (5-18)
Существенно заметить, что в этих
выражениях векторы Е и В — это
векторы постороннего поля, рассчи-
танного без учета влияния того за-
ряда (dq) или тока (idl или JdV),
для которых определяются силы Ч
Конечно, во всех случаях резуль-
тат, к которому приводят последние
формулы, не может и не должен от-
личаться от результата, определяе-
мого из общих энергетических сооб-
ражений. Так, для электродов пло-
ского конденсатора в примере 5-1
было найдено, что на единицу ак-
тивной поверхности приходится
сила 2
(5-19)
1 Например, в однородном внешнем
поле Во цилиндрический поперечный провод
с током i испытывает силу fQ = JBoi на еди-
ницу длины независимо от того медный это
или железный провод, хотя в железном
проводе индукция В~2В0 (не считая влия-
ния тока самого провода), как было пока-
зано в предыдущей главе.
2 Этот результат следует из формул
(б) и (в) примера 5-1, в которых поверх-
ностная плотность заряда и напряженность
поля составляют:
а = q/S и Е = U/h = а/е0.
196
В это выражение входит половина
напряженности Е/2 потому, что та-
кова напряженность поля, обу-
словленная зарядом только одной
пластины; вторая половина обуслов-
лена зарядом второй пластины, на
заряд которой и действует, сила fQ.
Рис. 5-3.
рающихся в обе
мого сечения:
Пример 5-4. Най-
ти силу fx% действую-
щую на перемычку
(на подвижный эле-
мент) выключателя
(рис. 5-3), пользуясь
формулой (5-18).
Решение. Поле
параллельных прово-
дов (а только оно и
должно учитываться
при определении си-
лы, действующей на
перемычку), ограни-
ченных перемычкой,
должно равняться по-
ловине поля таких
же параллельных
проводов, но пр ости-
стороны от рассматривае-
1 ,( I 1 У
--- Цп I I -4- I «
2 \ 2пу 2л (а—у) / *
где у — расстояние от оси левого провода.
В этом выражении первое слагаемое —
это поле левого провода, а второе — поле
правого. Оба слагаемых имеют одинаковое
направление (из-за плоскости чертежа к на-
блюдателю) .
Искомую силу найдем, интегрируя
(5-18) от у=г до у=а—г,
а—г
У~г
1 л а — г
= -т— Н о ‘ а 1п ——- •
2я г
К тому же результату приводит расчет,
основанный на энергетических соображе-
ниях [(5-7) и др.].
Момент и сила, испытываемые
диполем. Из предыдущих выраже-
ний легко определить и момент Т
(пару сил), испытываемый диполем
(парой зарядов), показанным на
рис. 5-4. Действительно, по самому
определению механический вращаю-
щий момент (пара сил) выражает-
ся как векторное произведение си-
лы (f=#E) на плечо (h):
T=hX?E = pxE, (5-20)
где р = qh — электрический момент
диполя.
Если поле неоднородно, то си-
лы, действующие на заряды ±.д, не
уравновешиваются. Пусть Е — поле
в точке расположения отрицатель-
ного заряда (—q), а в точке распо-
ложения положительного заряда
( + q) поле увеличено на hdEjdh,
где производная берется по направ-
лению h. При этом h полагается на-
столько малым, что, рассматривая
изменение напряженности поля, мо-
Рис. 5-4.
жно ограничиться линейным при-
ближением. Тогда сила, действую-
щая на весь диполь,
f - qh dEjdh = р dEjdh. (5-21)
Встретившаяся здесь операция про-
странственного дифференцирования
вектора по направлению h выража-
ется в векторном анализе через опе-
ратор набла;
hdE/dh= (h\/)E-
скобки показывают, что сначала
следует взять скалярное произведе-
ние вектора h и векторного операто-
ра v> з уже потом выполнять диф-
ференцирование. На диполь дейст-
вует сила
f = (pV)E. (5-22)
Сила, действующая на магнит-
ный диполь m в магнитном поле В,
выражается аналогично:
f = (my?) В. (5-23)
Пример 5-5. Найти механический мо-
мент и силу, действующие на диполь р2, на-
ходящийся в поле диполя рь Расстояние
между диполями Ro; диполи лежат в одной
плоскости и ориентированы: А) перпендику-
лярно Ro; Б) параллельно Re; В) pi |[ Ro, а
р2 -L Ro; Г) pi ± Ro, а р2 II Ro- На рис. 5-5 по-
казано расположение диполей в случаях
Б и Г.
Решение вести в декартовых коорди-
натах.
Решение. Пусть pi расположен в на-
чале координат и направлен по оси у. При
этом диполь р2 следует предполагать ле-
жащими на оси х (случаи А и Г) или на
оси у (случаи Б и В). На том же рис. 5-5
197
показано, что угол 0 сферической системы
отсчитывается от оси у, как он должен от-
считываться от направления диполя рь ес-
ли пользоваться известными выражениями
для составляющих напряженности поля
первого диполя в сферических координатах:
Е^ — — dq/dR = 2 A cosO/R3;
Ев = — dq>/Rd& = A sin 0/R3.
Т=р2ХЕ =
^х ^у &Z
Р2х Р2у О
где cp=pi cos6/4jte0^2 и А=р1/4л80.
Рис. 5-5.
Ех Еу О
~ е2 (.Ръх Еу Pzy Ех). (в)
Так как для разных условий А—Г изме-
няются только угол 0 и значение слагаю-
щих р2х и р2уу на основании формул (а),
(б) и (в) легко находим значения T—Tz,
представленные в табл. 5-1. Заметим, что:
1) изменение знака pj или р2 изменяет знак
момента; 2) в случае А диполь р2 находит-
ся в состоянии неустойчивого равновесия:
при малом отклонении в ту или иную сто-
рону появляется момент, стремящийся рас-
положить диполи антипараллельно, повора-
чивая диполь р2 по часовой стрелке или
против нее.
Для определения силы f, испытывае-
мой диполем р2, следует обратиться к фор-
муле (5-22). В декартовых координатах
f = (P2V)E =
/ д д \
V2* дх р2у ~ду) ^Ех + Еу
' дЕх дЕх \
Р2х дх + Рч ду jex+
/ дЕу дЕу \
\Р2Х-Т- + Р2У~\еу
\ дх ду ) у
где производные для Ех и Еу определяют-
ся из (а) и (б). Производя соответствую-
щие подстановки, находим значения силы,
приведенные в табл. 5-1.
Переход к декартовым координатам
легко осуществить по известным формулам:
для любого вектора F и его составляющих
Fv — Fev ,
где ev — единичный вектор для v-й состав-
ляющей. В нашем случае
Ех =ЕЕ еЕ ех +Е0 е0 ех =
= 2А cos 0 sin 0 / R3 + Asin 0 cos 0 / R3=
— 3Acos0sin0/R3 = 3Ax#/R5; (a)
аналогично
‘ fEy = A (2 cos2 0 — sin2 0)/R3 =
= A(2f/2 — X2)/R5. (6)
Здесь принято во внимание, что cos &=y!R
и sin 0—x/R.
Зная слагающие напряженности поля,
легко найти выражение для вращающего
момента
Важно отметить, что в последних двух
случаях вращающий момент, испытываемый
диполями pi и р2, в сумме отличен от нуля.
В этом легко убедиться: если у второго ди-
поля в случае Г изменить знак, то этот
случай совпадает со случаем В; при этом
у момента, найденного в случае Г, следует
изменить знак ( + 1), после чего он окажет-
ся равен моменту, испытываемому диполем
pi в случае В. Это значит, что сумма мо-
ментов, испытываемых диполями, равна
+ 3. Казалось бы, результат противоречит
требованиям механики о равенстве нулю
всех моментов (как и всех сил) системы.
Это совсем не так: ведь сила, действующая
на второй диполь, направлена по оси х и
образует момент fxRo =—3 (ось г и поло-
жительное направление момента Т совпада-
ют), т. е. дополнительный момент стремит-
198
Таблица 5-1
Случаи А Б В Г Умножить
Схема расположения t t I t t t
Координаты второго диполя х. у 0; Ео 0; Ro Ro; о
Составляющие дипольного момента р2х, р-2у 0; р2 0; р2 Pl, 0 p2; 0
Момент вращения Т 0 0 2 —1 р2А7?з
Составляющие силы f2x, 3; 0 0; —6 3; 0 0; 3 p2 AiR®
ся повернуть весь второй диполь в слу-
чае В по стрелке часов, как схематически
показано на рис. 5-6. Именно поэтому сум-
ма всех моментов и оказывается равной
нулю.
5-2. ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ
И ЕЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Теорема Умова — Пойнтинга.
Анализ преобразования энергии в
электромагнитном поле можно ос-
новывать на общей теореме Умова,
соответствующей закону сохране-
ния энергии и представлениям о ее
физической локализации: если внут-
ри некоторого объема V происходит
изменение энергии, то через замкну-
тую поверхность, охватывающую
объем, должен пройти поток энер-
гии, равный этому изменению.
Переходя от энергии к мощно-
сти, можно теорему формулировать
так: скорость уменьшения энергии
(—dWjdt), заключенной в объеме V,
равна потоку мощности, выходяще-
му через поверхность, охватываю-
щую этот объем. Выражая вектором
F плотность потока мощности, мож-
но придать этой теореме такую ма-
тематическую формулировку:
—dW [dt— —FdS; (5-24)
здесь буквой w обозначена объем-
ная плотность энергии.
Применяя к формуле (5-24) тео-
рему Остроградского—Гаусса, мо-
жно записать теорему Умова и в
дифференциальной форме:
— d^/dZ=divF. (5-25)
Профессор Московского универ-
ситета Н. А. Умов изложил эту тео-
рему в своей докторской диссерта-
ции (1874 г.), применив ее к меха-
нике сплошных сред. Через 10 лет
аналогичная теорема была доказана
в Англии Пойнтингом и Хевисайдом
(независимо друг от друга и от ра-
бот Умова) в применении к электро-
динамике, причем как Хевисайд,
так и Пойнтинг нашли выражение
для вектора плотности потока мощ-
ности в электромагнитном поле
F=n=ExH. (5-26)
Вывод теоремы Пойнтинга —
Хевисайда. Обратимся к уравне-
ниям Максвелла:
rot H—oE-fdD/d/;
rot Е= — dbfdt. (5-27)
Ключом к их анализу с точки зрения
энергетических преобразований мо-
жет служить закон Джоуля—Лен-
ца, записанный в дифференциальной
форме,
P0=JE=o£2, (5-28)
где Ро — мощность, отнесенная к
единице объема.
Рассмотрим поле, в котором про-
исходит рассеяние электромагнитной
энергии (стЕ2) и вместе с тем отсут-
ствуют другие энергетические преоб-
разования (Е=const, Н = const).
В соответствии с изложенными пред-
ставлениями об энергии мы можем
рассуждать так: если в объеме dV
рассеивается мощность оЕ2 dV, зна-
чит, такой же поток мощности вхо-
199
дит в поверхность, ограничивающую
этот объем,
— §№S=$oEzdV-, (5-29)
здесь П — вектор плотности потока
электромагнитной мощности; знак
минус в левой части стоит потому,
что нормаль dS направлена наружу
и, следовательно, интеграл (без ми-
нуса) выражает исходящий поток.
Последнее равенство можно запи-
сать и в дифференциальной форме:
— divH-oE1 2-JE. (5-30)
Вернемся теперь к общим уравне-
ниям поля. Чтобы ввести в них сла-
гаемое оЕ2, помножим первое из них
на Е, в результате чего получим:
ErotH-oE2+EdDM (5-31)
Чтобы левую часть искомого равен-
ства (содержащего в правой части
оЕ2) представить как дивергенцию
некоторого вектора *, вычтем из
(5-31) второе уравнение Максвелла,
предварительно умноженное на Н.
Заметим еще, что при этом придаем
уравнению, содержащему оЕ2, вид,
симметричный относительно векто-
ров поля Н и Е. Выполняя эту опе-
рацию, получаем:
Е rot Н — Н rot Е —— div (ЕХН)=
- JE+E dD/d/-|-H dB/dt. (5-32)
Но в условиях постоянного поля,
когда dldt = Q, найденное уравнение
принимает вид:
— div(EXH)-o£2. (5-33)
Его сопоставление с (5-3Q) поз-
воляет так выразить вектор плотно-
сти потока мощности электромагнит-
ного поля:
П-ЕхН. (5-34)
Вектор П получил название векто-
ра Пойнтинга2.
Сохраняя найденное толкование
вектора П = ЕХН и в изменяющемся
поле, легко понять смысл всех сла-
гаемых правой части равенства
(5-32): слагаемое EdD/d/ равно
1 По формуле векторного анализа
A rot В — В rot А = — div (АХВ).
2 Правда, к нему может быть добав-
лена любая произвольная функция Т, ди-
вергенция которой равна нулю; однако при-
нято полагать Т=0.
мощности, затрачиваемой на образо-
вание электрического поля,
EdD/dZ-d^/ • (5-35)
слагаемое Н dBjdt равно мощности,
затрачиваемой на образование маг-
нитного поля,
HdB/dZ-d^M/d/. (5-36)
Действительно, представим себе
конденсатор с идеальным диэлект-
риком, проводимость которого рав-
на нулю. Пусть конденсатор заря-
жается постоянным током (i = const
при duc!dt=const). Тогда а£=0, так
же как HdB/df=0 (поскольку i =
= const), и, следовательно,
— div П= — div (ЕхН)=
-EdD/d/. (5-37)
Энергия, подводимая потоком мощ-
ности за время dt, в этом случае мо*
жет идти только на образование в
диэлектрике электрического поля.
Эта энергия, отнесенная к единице
объема,
dw3=EdD. (5-38)
В случае линейного диэлектрика, у
КОТОрОГО D=880E,
<fe3=-l-eeod(E2), (5-39)
и, следовательно, можно считать, что
= -у Е2 (5-40)
есть плотность энергии электричес-
кого поля.
В случае нелинейного диэлектри-
ка мощность EdD/d/ должна рас-
сматриваться как мощность, затра-
чиваемая на образование поля, од-
нако не обязательно вся эта мощ-
ность идет на увеличение энергии
поля. В случае диэлектрика, харак-
теристика которого D (Е) образует
петлю, энергия, затрачиваемая при
возрастании поля (D изменяется от
—Омакс ДО + Омаке), больше ЭНер-
гии, возвращаемой полем при его
уменьшении (от +Омакс до
—Омаке) - Сумма этих энергий
4“ ^макс ^макс
Те Ж = f EdD=u»r (5-41)
—Dd 4-0
макс “макс
равна энергии, превратившейся в
тепло вследствие гистерезиса (энер-
гия, теряемая на гистерезис за один
200
цикл). Разумеется, речь идет, как и
в предыдущем тексте, об энергии,
отнесенной к единице объема. Сле-
дует иметь также в виду, что в вы-
ражении (5-41) предполагается сна-
чала монотонное возрастание смеще-
ния, а затем монотонное убывание.
Совершенно аналогичные рас-
суждения позволяют определить в
(5-32), что слагаемое НдВ/д£ выра-
жает мощность, затрачиваемую на
образование магнитного поля в
единице объема. При ц = const (ли-
нейная магнитная среда) объемная
плотность энергии магнитного поля
^м=ИЦоЯ2/2. (5-42)
В случае нелинейной среды энергия,
затраченная на образование магнит-
ного поля (в единице объема),
(5-43)
Это равенство имеет смысл, анало-
гичный с (5-38).
Потери на гистерезис выражают-
ся формулой, аналогичной (5-41),
^HdB=^r. (5-44)
Последнее равенство называют за-
коном Варбурга.
Пример 5-6. Показать путем непосред-
ственного вычисления справедливость вы-
ражений (5-32) и (5-36) в применении к
длинному круглому ферритовому стержню
(^.1=const, о ~0, радиус Го) внутри длинной
катушки, имеюшей па витков на единицу
длины. При расчете следует полагать, что
при t > 0 ток линейно возрастает
i^hUT.
Решение. В рассматриваемых усло-
виях напряженность электрического поля
внутри ферритового стержня
Е = Еа=—-~-щ\.йг dHz!dt
при н ==HZ = in0 = Iq По ЦТ.
В таком случае вектор Пойнтинга
п = пг = Е« Нг = - у (Jo По)2 rt/T*.
Выполняя дифференцирование в цилинд-
рических координатах, находим:
— div П =— — (гПг) -
Г дг
= РНо (70 я0)2 //Г2 = const.
Дифференцируя по времени ^м=р,ц0#2/2;
находим, конечно, тот же результат.
Аналогичный расчет легко выполнить
для плоского конденсатора с круглыми
электродами. В цепи такого конденсатора
устанавливается постоянный ток при рав-
номерном возрастании электрического поля.
Переписывая выражение (5-32) в
интегральной форме
— (f EXHdS = — fIdS=
= foEMV + fE — dV+ Ch — dV=
J J dt J dt
_ dWp _l_ . ЭГм (5-45)
dt dt dt ' v
приходим к наиболее распростра-
ненной формулировке теоремы
Пойнтинга: сумма скорости, с
которой возрастает энергия электро-
магнитного поля (dW\dt=d^^dt-r
+ <3IFM/d£) внутри некоторого объе-
ма V, и скорости, с которой часть
энергии электромагнитного поля
внутри этого объема преобразуется
в другие виды энергии (д№е/д/),
равна потоку мощности электро-
магнитного поля, входящему через
замкнутую поверхность S, ограничи-
вающую этот объем, причем поток
мощности равен потоку вектора
П-ЕХН.
В случае простой линейной сре-
ды, характеризуемой параметрами
а, е, р (не зависящими от напря-
женности поля), скорость возраста-
ния энергии поля
J 880 Е dV + J ИИо Н dV =
= dW/dt, (5-46)
а скорость'энергии, преобразуемой
в тепло,
dWJdt— aE2dV.
(5-47)
В случае линейной цепи с сосредо-
точенными параметрами Ц С, г
dWJdt=^i2r.
Теорема Пойнтинга остается спра-
ведливой и при других видах преоб-
разования электромагнитной энер-
гии (например, при ее преобразова-
нии в механическую работу).
В присутствии движущихся тел
и наличия преобразования электро-
14—476
201
магнитной энергии в механическую
и сама величина вектора Пойнтин-
га и его дивергенция зависят от вы-
бранной системы координат (см.
§ 5-3 и 5-7).
Электромагнитная энергия волны. Как
уже говорилось, Максвелл показал, что
решение системы уравнений поля в диэлект-
рике может иметь вид распространяющей-
ся волны с взаимно ортогональными векто-
рами Н и Е, лежащими в плоскости, пер-
пендикулярной направлению распростране-
ния волны. Это направление совпадает с
направлением вектора Пойнтинга (рис. 5-7).
Рис. 5-7.
Вектор Пойнтинга выражает количество
энергии, переносимое волной в единицу вре-
мени, через единицу поверхности, нормаль-
ной к направлению волны. В соответствии
с этим определением следует предполагать,
что плотность импульса (количества дви-
жения) электромагнитной волны выража-
ется вектором
g = П/с2 (5-48)
и что электромагнитная волна обладает
массой, пространственная плотность кото-
рой
р = П/с3. (5-49)
Эти представления полностью подтвер-
ждаются опытом. Например, пользуясь вы-
ражением для векторной плотности импуль-
са, можно рассчитать обнаруживаемое на
опыте давление электромагнитных волн.
Двухпроводная линия передачи.
Рассматривая обыкновенную двух-
проводную линию передачи энергии
с точки зрения изложенной теории
поля, легко убедиться в том, что
энергия передается через изолирую-
щую среду, окружающую провода,
где векторы электрического и маг-
нитного поля взаимно ортогональ-
ны, а вектор Пойнтинга параллелен
проводам и направлен в сторону пе-
редачи энергии. При этом провода
играют лишь родь направляющих.
На рис. 5-8 схематически показано
поле в плоскости поперечного сече-
ния. Пунктиром показаны линии
магнитного поля. В каждой точке
векторы напряженности поля на-
правлены по касательной к соответ-
ствующим линиям. Направление
вектора Пойнтинга обозначено ко-
сым крестом — стрелка, направлен-
ная за плоскость чертежа.
Рис. 5-8.
Внутри проводов существует
только продольная составляющая
напряженности электрического поля
(заряды движутся вдоль проводов),
которая равна плотности тока, де-
ленной на проводимость проводника
£прод=^/<7- Такая же продольная
слагающая существует, конечно, и
на внешней поверхности провода;
обычно она очень мала по сравне-
нию с нормальной слагающей на-
пряженности электрического поля
(например, для линии передачи вы-
сокого напряжения характерны та-
кие цифры: £прод~1,8 в/м\ jEhopm—
«400 кв 1м).
Однако существование продоль-
ной слагающей электрического поля
определяет наличие слагающей век-
тора Пойнтинга П——Пг, направ-
202
ленной по радиусу к оси провода
(рис. 5-9). Поток мощности, входя-
щей внутрь провода, объясняется
существованием джоулевых потерь
в проводнике.
Пример 5-7. В медном проводе (сг=
=56- 104 сим/см) диаметром 2г0 = 1,25 см
проходит постоянный ток 1=1230 а, рас-
пределенный по сечению с постоянной
плотностью 7=10 а!мм2 (рис. 5-9).
Найти поток мощности, входящий
внутрь проводника, на единицу его длины,
исходя из определения вектора Пойнтинга
на его поверхности. Вычислить диверген-
цию вектора Пойнтинга внутри проводника.
Можно пренебречь влиянием тока, воз-
вращающегося по другому проводу, на рас-
сматриваемое магнитное поле.
Решение. Напряженность электри-
ческого поля по всему сечению провода
постоянна и параллельна его оси
E = EZ = J/o = 1,76 в/м.
Напряженность магнитного поля имеет
только а-ю составляющую
H = Ha=Jr!<2.
В силу ортогональности Е и Н вектор Пойн-
тинга
nr = ~EzHa=-J2r/2a.
На поверхности провода слагающая П,
направленная к оси,
П = J%/2a.
Поток, входящий в провод через его по-
верхность на длине I,
Р = П *2лг01 — I2 R,
где Р=1/тгц — сопротивление провода,
определяемое по закону Ома.
Вычисляя дивергенцию вектора Пойн-
тинга в цилиндрической системе координат,
находим:
1 д
div П = — —- (гПг) = — /2/сг,
г дг
чю соответствует дифференциальной форме
закона Джоуля — Ленца.
Пример 5-8. В двухпроводной линии
(рис. 5-8) расстояние между осями прово-
дов 2 а много больше диаметра каждого из
проводов 2 г0. Найти продольные слагаю-
щие вектора Пойнтинга при постоянном то-
ке i и постоянном напряжении U. Убедить-
ся в ортогональности векторов Е и Н.
Решение. Несложные расчеты по за-
кону полного тока приводят к значениям:
н = _L\
Х 2Л \ р2 £2 /’
и _ * /а + х а — ху
У 2Л \ р2 £2 Г
аналогично по теореме Гаусса значения на-
пряженности электрического поля
Е_____т /а + х а —х\
х “ 2ле0 рз )’
Е = __________
у 2ле0'р2 Г?)'
где р2 = (а + х)2 + J/2; ?2 = (а — *)2 + У2;
т == UCq = £7Л8О/1П (2а/г0)-
В итоге находим, что
H — ILz—ExHy — EyHx.
В ортогональности векторов можно убедить-
ся из того, что
ЕН=ЕхНх + ЕуНу = 0.
Передача энергии через индук-
тивную связь (трансформатор). Рас-
смотрим идеализированный транс-
форматор, сердечник которого обла-
дает бесконечной проницаемостью
(р,> 1), а его первичная и вторич-
ная обмотки образуют по одному
витку, сцепленному с сердечником
(рис. 5-10, а) Так как провод про-
ходит вблизи тела с большой прони-
цаемостью, то линии магнитного по-
ля деформируются и частично про-
ходят через магнитную среду, как
схематически показано на рис. 5-11
(см. также § 4-8). Когда в сердеч-
нике магнитный поток изменяется,
вокруг него образуются кольцевые
линии напряженности электрическо-
го поля. При этом с наружной сторо-
ны сердечника и с'его внутренней
стороны вектор Е имеет противопо-
ложное направление, как это пока-
зано на рис. 5-10, а для момента,
когда d<D/dt>0.
Из схематического рис. 5-10, а
легко определить направление век-
тора Пойнтинга в области /, т. е. в
начале двухпроводной линии, соеди-
ненной с первым витком. В этой об-
ласти векторам поля и Hi соот-
ветствует вектор Пь На внутренней
стороне сердечника (область Т) век-
тор Ei изменил направление на про-
тивоположное, как и вектор Н; по-
следний определяется линией маг-
нитного поля в воздухе, замыкаю-
щейся через сердечник. В этой об-
ласти вектор П имеет направление,
определяемое наличием магнитного
сердечника. Картина поля векто-
ров Н2, Е2, П2 для второй обмотки
1 Другая схема (рис. 5-12) рассматри-
вается в режиме переменного тока после
формулировки теоремы Пойнтинга в комп-
лексной форме.
14*
203
cL<P/dLt>0
Рис. 5-11.
Е и что
Рис. 5-10.
и отходящей от нее второй двухпро-
водной линии (область 2) аналогич-
на, как это видно из рис. 5-10, а для
момента, когда и>0, г*2>0. Так про-
исходит передача энергии в транс-
форматоре,
Заметим еще, что при оо ин-
теграл jHdl, взятый по воздуху
вдоль любой линии Н, начинающей-
ся и кончающейся на сердечнике,
равен одной и той же величине, а
именно току L При этом обязательно
в любой момент времени
i1=zi2 = i или /1—1*2 ~0.
Это условие с необходимостью вы-
полняется для замкнутых сердечни-
ков с бесконечно большой проницае-
мостью. При конечных напряжени-
ях, действующих в течение конечно-
го промежутка времени, магнитный
поток в сердечнике должен оставать-
ся конечным. Это значит, что конеч-
ной остается и величина магнитной
индукции. Следовательно, внутри
сердечника Н = В/цц0->0 при оо.
На рис. 5-10,6 представлено поле в
плоскости поперечного разреза че-
рез сердечник (разрез плоскостью,
нормальной к чертежу рис. 5-10, а,
вид слева направо). На рис. 5-10,6
схематически показаны линии маг-
нитного и электрического полей. Они
ортогональны, и им соответствует
вектор Пойнтинга, направленный
за плоскость рис. 5-10,6 (как на
рис. 5-10, а).
Заметив, что
Н dl = i вдоль любой линии, про-
ходящей от верхнего сечения к ниж-
нему, легко найти, что через всю
бесконечную плоскость S, отделяю-
щую первую обмотку от второй,
р = j*(EXH)dS=i3. (5-50)
В самом деле, проведем на плос-
кости рис. 5-10,6 рядом две линии
Н, так чтобы между ними величина
Е dn оставалась постоянной при
dx ± Е или Н t бйп.. Вычисление
всего интеграла по поверхности те-
перь можно начать с элемента по-
верхности dS = dnX^T, ограниченной
двумя линиями Н,
JJ(ExH)(dnXdr)=
= (5-51)
При этом интегрирование по dn сле-
дует вести по замкнутому • контуру,
охватывающему либо одно, либо
другое сечение сердечника, а пз
dx — от одного сердечника до друго-
го; как первый, так и второй инте-
гралы остаются постоянными — пер-
вый равен э, второй равен i.
Что касается подынтегрального
преобразования (5-51), оно следует
из формулы векторной алгебры
(AxB)(CxD)=(AC)(BD), (5-52)
если AD = 0 или ВС=0. Это равенст-
204
во легко доказывается хотя бы пу-
тем разложения всех четырех сомно-
жителей на их составляющие.
Теорема Пойнтинга — Хевисайда
в комплексной форме. В случае гар-
монического поля и линейной среды
можно представить уравнения Мак-
свелла в комплексной форме. Но
теперь для того, чтобы в первом
уравнении получить выражение
джоулевых потерь
Е0=оЕ2-оЁЁ, (5-53)
необходимо в правой части получить
произведение комплекса Ё на сопря-
*
женный ему комплекс Е. Здесь Е—
это комплекс эффективного значе-
ния, так что мгновенное значение
вектора
E(Z) = ]//2‘ReEe'“z. (5-54)
Для того чтобы получить (5-53), мо-
жно или обе части первого уравне-
ния Максвелла умножить на сопря-
женный комплекс (Е), или умно-
жить просто на Ё все члены первого
уравнения, предварительно заменив
их сопряженными, т. е. производя
перемножение,
Ё rot Н =Ё(оЁ — /со80е*Ё). (5-55)
Выбрав последний способ, нужно
второе уравнение помножить на со-
пряженный комплекс напряженно-
сти магнитного поля
Н rot Ё = — /cDLtpof/2, (5-56)
так как только при этом мы придем
к одинаковым векторам Ё и И в
преобразуемой разности:
ErotH— Hrot Ё =—div (ЁхН) =
=оЕ2 — /со8ое*£’2+/й)рор/У2 =
= (а+с0808") £24-сорор"Я2 +
+/со (—Бое'^+рор'Я2). (5-57)
Последнее преобразование подобно
(5-32), и вектор ЁхН = П есть ком-
плексное выражение вектора Пойн-
тинга1. Однако теперь в правой ча-
сти (5-57), кроме джоулева тепла
1 См. также (5-81) в § 5-3.
(оЕ2), появляются слагаемые необ-
ратимого рассеяния электромагнит-
ной энергии в диэлектрике (диэлект-
рические потери соеов^Е2) и в магне-
тике (магнитные потери со|ХоЦ/,ЕГ2).
Эти три слагаемых просто склады-
ваются— их сумма равна среднему
за период значению рассеиваемой
мощности, отнесенной к единице
объема (ро=Ро),
Но рядом стоит еще мнимая ве-
личина
/со (—8oszE2+poH/^2)^/Qo; (5-58)
она представляет собой реактивную
мощность в переменном поле, отне-
сенную к единице объема. Реактив-
ная мощность содержит магнитную
составляющую (сорорАЕ2) — она по-
ложительна, и электрическую
(—соеое'Е2), последняя отрицатель-
на. Такие знаки соответствуют при-
нятому в Европе совершенно услов-
ному определению: реактивная мощ-
ность положительна в индуктивно-
сти Q = Qb = 72coE>0 и отрицательна
в емкости
Q=— Qc=— Д/юС=—t/c юС < 0.
При этом в формуле комплексной
мощности следует брать сопряжен-
ное значение тока
S=(7/’
а в выражении вектора Пойнтинга—
сопряженное значение вектора на-
пряженности магнитного поля Н.
Однако в США принято иное условие,
* • ~ * •
там пишут S=UI и П=ЕхН. При этом
меняются знаки только мнимых составляю-
щих, определяющих реактивную мощность.
Выше было сказано, что можно или rot Н
* *
• помножить на Е, или rot Н помножить на
Е. Если был бы выбран первый путь (Н и
Ё), то мы пришли бы к знакам реактив-
ной мощности, принятым в США. Очевид-
но, что различие в условном выборе знака
не имеет никакого физического смысла. Су-
щественно лишь то, что электрическая и
магнитная составляющие реактивной мощ-
ности имеют разные знаки и могут компен-
сировать друг друга.
Уравнению (5-57) соответствует
такая формулировка комплекса пол-
ной мощности, поступающей в объем
205
V, ограниченный замкнутой поверх-
ностью S:
S=JP+/Q=— $ П dS=
= —<j)(ExH)dS=
— J (оЕ2+сое0е"£24-спр0р"Я2) dV-f-
+ /© J (Ио|л'Я2 — e08zE2) dV. (5-59)
В последнем уравнении содержится
и самое общее выражение реактив-
ной мощности и ее «закон сохране-
ния». В нем уже видно, что при алге-
браическом суммировании реактив-
ных слагающих не играют никакой
роли фазы напряженностей магнит-
ного и электрического полей.
а)
Рис. 5-12.
Трансформатор. Допустим, что
обмотки трансформатора равномер-
но намотаны на круглый сердечник
радиусом гс одна поверх другой. Ку-
сок сердечника с обмотками показан
на рис. 5-12, я, где указаны также
положительные направления токов,
потока и составляющих напряжен-
ностей поля. На рис. 5-12,6 показа-
на схема электрической цепи, содер-
жащей трансформатор, в которой
положительные направления выбра-
ны в соответствии с предположени-
ем о передаче мощности из первой
ветви во вторую. При этом э. д. с. ин-
дукции определяется по закону Фа-
радея: на единицу длины первичной
и вторичной обмоток
Э2=—/(оФп2
и э. д. с., наводимая в одном витке,
Эо=—>ф.
Здесь rii и п2 — числа витков первич-
ной и вторичной обмоток на единицу
их длины. Для выбранных положи-
тельных направлений
3^7; 672—Э2/; (5-60)
в последних равенствах, так же как
в схематическом рис. 5-12,6, не при-
нято во внимание падение напряже-
ния в сопротивлениях и в индук-
тивностях рассеяния обмоток.
Последнее условие равносильно
предположению, что обе обмотки
пронизываются одинаковым пото-
ком Ф. Сказанное практически вы-
полняется при большой проницае-
мости сердечника, когда дополни-
тельным потоком в воздухе можно
пренебречь. В этих условиях для вы-
бранных положительных направ-
лений напряженность электрическо-
го поля вне сердечника и на его по-
верхности (г>гс)‘
Е=Еа =— /соФ/2л:г= 30/2лг; (5-61)
напряженность магнитного поля на
поверхности сердечника, а также
между сердечником и первой обмот-
кой
(5-62)
а в слое, разделяющем первую и
вторую обмотки,
(l,2)z~~ *4 П2* (5-63)
Зная Е = Еа и Н=Нг (они ортого-
нальны), легко найти поток вектора
Пойнтинга, входящий в сердечник,
Sc=—Пг • 2лгс/=—•f'ca Hcz • 2лгс1 (5-64а)
206
или, подставив £с из (5-61) при г=
= гс и Яс из (5-62),
Sc— Эо (JijTi — 72tz2)
^Urh-иЛ (5-646)
В правой части последнего ра-
венства стоит разность мощности,
поступающей в первичную обмотку,
и мощности, отдаваемой вторичной
обмоткой (мощности, «теряемые» в
индуктивностях рассеяния и актив-
ном сопротивлении обмоток, на про-
тяжении всего вывода не учитыва-
ются) .
Мощность, поступающую в сер-
дечник, можно выразить и через его
магнитные параметры. Полагая про-
ницаемость сердечника комплекс-
ной, найдем, что
Ф= Ярролг| (5-65)
и, следовательно, по (5-61)
Ес = — joH fi|i0rc/2. (5-66)
Подставляя это выражение £са в
формулу потока мощности (5-64а),
найдем, что результат тожественно
совпадает с комплексной мощно-
стью, рассчитанной по формуле
S=/соро рЯ1 2К
Поток вектора Пойнтинга, иду-
щий в радиальном направлении че-
рез поверхность, которая разделяет
две обмотки,
Si,2 = Пг-2пг1=ЕсаНи2'2пг1 (5-67)
должен выражать мощность, посту-
пающую из первой обмотки во вто-
рую,
Si,2 (5-68)
Но из выражения (5-67) мы прямо
приходим к последнему, так как
Яса ’ 22ТГ:=Яд И Я1,2 ==
Мощность, поступающая в пер-
вичную обмотку, передается во вто-
ричную за вычетом расходуемой на
перемагничивание сердечника. Ра-
зумеется, все выводы сохраняют си-
лу, если поменять ролями обмотки
или поменять их расположение.
5-3. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ
В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ
МАШИНАХ
В § 4-6 был рассмотрен гистере-
зисный двигатель, причем предвари-
тельно рассматривался цилиндр с
комплексной проницаемостью в по-
перечном поле ЯО = ЯХ, а затем был
рассмотрен цилиндр во вращающем-
ся поле Ну=—jH0. Посту-
пим так же и здесь.
Магнитный цилиндр в перемен-
ном поле. На рис. 5-13 схематически
показаны три случая расположения
цилиндра между полюсами электро-
магнита (случаи а, б, в). На рисун-
ках схематически проведены линии
магнитной индукции (вектора В);
характер напряженности внешнего
поля Яо электромагнита в каждом
из трех случаев указан на рисунке.
В случае а электромагнит создает
переменное поле; в случае б поле
электромагнита постоянно (это мо-
жет быть постоянный магнит), но
сам магнит вращается; в случае в
поле постоянно и магнит неподви-
жен. Магнитный цилиндр неподви-
жен в случаях а и б; он вращается в
случае в.
Пусть (рис. 5-13, а) внешнее поле
НО=НХ, где Яо — амплитудное зна-
чение. Во всем последующем изло-
жении все комплексы также выра-
жают амплитуды.
Электрическая проводимость ци-
линдра ничтожно мала Ч В таком
случае на поверхности цилиндра ра-
диусом г=а, ось которого парал-
лельна оси 2, напряженность маг-
нитного поля имеет тангенциальную
составляющую [см. § 4-4, формула
(4-71) для г=а\
Н = —Яо—-—sina=
а и
JX+ 1
= — Нi sin а; (5-69)
эта формула справедлива и при
г<я, т. е. для однородного поля
внутри цилиндра.
1 Во всяком случае в направлении оси
Последнее достигается при сборе цилиндра
из пластин, изолированных друг от друга.
Можно представить себе и ферритовый ци-
линдр.
207
Напряженность электрического
поля для данного случая легко оп-
ределяется из закона электромаг-
нитной индукции (см. пример 4-10,
§ 4-6): при г < а
—/со Вх г sin а, (5-70)
где
Bi=B=H^H0 (5-71)
р + 1
— магнитное поле внутри цилиндра.
Из приведенных выражений сле-
дует, что мощность, определяемая
как поток вектора Пойнтинга, вхо-
дящий внутрь цилиндра (на едини-
цу длины),
*/2
So——4 nrada =
а=0
*/2 j
= 4 J -g- EzHa a da
(5-72)
соответствует ранее найденным вы-
ражениям (5-59), (4-116) и другим:
So==Po+jQo===j^^H'2.mi0na2. (5-73)
Действительно, подставляя На и Ёг
из (5-69) — (5-71), при г=а нахо-
дим, что
~ 1 • * 1 ~
-Пг = — ЕгНа=](£> - g- Н2 р,р,0 a sin2 а;
оставляя под интегралом только
переменную, находим:
тс/ 2
j* sin2ada—л/4.
а—0
После подстановки последних
двух значений в (5-72) приходим к
формуле (5-73).
Два необходимых замечания:
1. Из соображений симметрии в (5-72)
интеграл берется по одной четверти поверх-
ности и умножается на четыре.
2. Поскольку здесь и Н и Е — ампли-
тудные комплексы, в (5-73) квадрат напря-
женности делится на два, так же как
в (5-72) делится на два произведение комп-
лексов Е и Н при выражении вектора Пойн-
тинга.
Заметим еще, что иногда удобнее
выражать мощность через внешнее
поле 7/0; в таком случае по (5-73) и
(5-69) можно писать, что
2 ла2.
(5-74)
Неподвижный магнитный ци-
линдр во вращающемся поле. Для
случая б (рис. 5-13) можно опреде-
лить все слагающие поля путем су-
перпозиции результатов для полей
Нх=НоиНу = -]Но, (5-75)
так как их сумме соответствует век-
тор поля, постоянный по абсолютной
величине (она равна Яо) и враща-
ющийся с угловой скоростью о; век-
тор Но образует с осью х угол а = со£
(при Hq=Hq).
Внутри цилиндра поле по-преж-
нему остается однородным:
Д=Д0-2/(|Г+1); Ну = —]НХ,
Bx=Bit B^-jBt, (5-76)
где
Д.=ИоДо-2й/£+1). (5-77)
208
В случае существования мнимой
составляющей проницаемости
(ц" =/= 0) вектор поля В внутри ци-
линдра хотя и вращается синхронно
с вращением вектора внешнего поля
Hq, однако отстает от него на угол
у=—arg [р/(р+1)], а намагничен-
ность отстает на угол
YA1=-arg[(H-l)/(n+l)] (5-78)
[см. также § 4-6, формулы (4-122) —
(4-126)].
ЗвГая векторы магнитного поля,
можно найти и значения вектора
электрического поля, опять же на
основании закона электромагнитной
индукции.
При этом можно применять су-
перпозицию. Каждая из составляю-
щих Но обусловливает 2-ю состав-
ляющую вектора электрического по-
ля, однако в формуле (5-70) для со-
ставляющей Ez, обусловленной маг-
нитной индукцией Ву, следует угол а
заменить углом а—л/2, так как от-
счет угла следует производить от
направления соответствующей со-
ставляющей вектора В. Так как
sin (а—л/2) =—cosa, находим, что
во вращающемся поле
E=EZ=—j® Bt г (sin / cos а) =
=coBzre-/a. (5-79)
Таким же путем, применяя суперпо-
зицию и формулу (5-69), находим:
Я«=— Но------(sin a-f-/ cos a)=
р + 1
=—jH0—— е~‘\ (5-80)
М-1
В таком случае вектор Пойнтинга
на поверхности цилиндра1
-д.
(1+Ю(1+£*)
(5-81)
Он не зависит от угла а. Поэтому
полная мощность (на едрницу дли-
ны)
1 Еще раз напомним, что в этом пара-
графе Е и Н — это комплексные амплиту-
ды; поэтому в выражении вектора Пойнтин-
га стоит множитель !/2.
=Wo^o‘43Tfl:2M'/(1+ ЙО+Н*)— .
=(ор.о//2 ——(5-82)
° ° (1 -j- |Л')2 -р (Ц")2 4 7
Эта мощность в 2 раза больше
мощности, теряемой в цилиндре,
расположенном в переменном поле
как это видно из сравнения
с формулой (5-74). Такое удвоение
легко объясняется тем, что суперпо-
зируемые поля ортогональны (Ях и
Ну). Поэтому отсутствует энергети-
ческое взаимодействие между ни-
ми и мощность каждого из двух сла-
гаемых остается равной мощности в
пульсирующем, а не вращающемся
поле.
Впрочем, следует признать есте-
ственным желание более полного
обоснования результата, так как
векторы Н и В внутри цилиндра с
потерями (р," =/=0) не совпадают по
направлению. Несовпадение векто-
ров Н и В (или Е и D) в изотропной
среде может иметь место только при
вращении векторов и при наличии
потерь (р"=/= 0 или 8Л=/=0).
Обращаясь к (5-57), нетрудно
переписать это уравнение, отказав-
шись от представления о параллель-
ности J и Е, Е и D, В и Н.
В результате найдем, что мощ-
ность, рассеиваемая в магнитном по-
ле (отнесенная к единице объема),
Po+/Qo=/coBH/2. (5-83)
Последнее выражение согласуется
и с формулой (5-36), в которой
также не требуется параллельности
векторов. Пусть Н = Яхех + Я1/е1/ и
В = ВХ^Х+Ву^у, их скалярное произ-
ведение, определяющее мощность,
содержит два не зависимых одно от
другого слагаемых
Ш=ВХНХ+В,НУ. (5-84)
Последнее выражение объясняет
удвоение рассеиваемой мощности
во вращающемся поле1.
Вращающий момент. Цилиндр,
находясь во вращающемся поле
(рис. 5-13,6), испытывает вращаю-
щий момент То (на единицу осевой
1 См. также (4-131) и (4-132).
209
длины)1, который равен активной
мощности, рассеиваемой в цилиндре
[вещественная часть выражения
(5-82)], деленной на круговую час-
тоту,
+ ^.(5-85)
Высказанное положение вытека-
ет из следующего: поток вектора
Пойнтинга передает неподвижному
цилиндру мощность Ро, такую же
мощность следует затрачивать на
вращение поля; предполагая, что
вращение поля производится меха-
ническим вращением магнита (по-
люсы которого N и S показаны на
рис. 5-13,6), следует ожидать, что
на это вращение и затрачивается
мощность Ро; она должна равняться
моменту, умноженному на угловую
скорость; по принципу Ньютона мо-
мент, приложенный к вращающейся
системе, равен моменту, приложен-
ному к заторможенному цилиндру.
Характер магнитного поля схемати-
чески изображен на рис. 5-13,6. Из
Фарадеевых представлений о натя-
жении линий поля видно направле-
ние момента, действующего на ци-
линдр во вращающемся поле. Из та-
кой же схематической картины поля
видно, что в условиях пульсирующе-
го поля (рис. 5-13, а) вращающий
момент не возникает.
Вращение цилиндра в постоян-
ном поперечном поле. Если внешнее
поле ЯО=ЯХ=const и в нем враща-
ется со скоростью —со ци-
линдр с потерями (р,74=0), то карти-
на магнитного поля в этом случае
(рис. 5-13, в) такая же, как в случае
неподвижного цилиндра в поле, вра-
щающемся со скоростью +со в об-
ратном направлении (рис. 5-13,6).
Картины тожественно совпадают,
если координатную систему наблю-
дателя в обоих случаях связать с по-
люсами магнита или в обоих случа-
ях с магнитным цилиндром.
Совершенно очевидно, что рассеи-
ваемая в цилиндре активная мощ-
ность (она может быть определена
термометром по нагреву магнитно-
1 Соответствующая пара сил f, дейст-
вующих на цилиндр со стороны вращающе-
гося поля, показана на рис. 5-13,5; То=
го цилиндра) в обоих случаях оди-
накова. В то же время в случае не-
подвижных полюсов (рис. 5-13, в) в
системе координат, связанной с по-
люсами, не обнаруживается никако-
го электрического поля. Следова-
тельно, в этой системе, несмотря на
мощность Pq, рассеиваемую в ци-
линдре, в поле нет никакого потока
вектора Пойнтинга. Этого и следо-
вало ожидать; действительно, в по-
следнем случае (рис. 5-13, в) мощ-
ность поступает в магнитный ци-
линдр от вращающего вала;
механическая мощность (поток ко-
торой характеризуется движением
механически напряженной среды и
равен потоку вектора Умова!) по-
степенно рассеивается за счет маг-
нитных потерь. Однако, если в слу-
чае б (рис. 5-13) выбрать систему
координат, вращающуюся с полю-
сами (или с вращающимся по-
лем), то в этой системе вектор
Пойнтинга в зазоре обратится в нуль.
Реактивная мощность. Некото-
рая неясность остается в вопросе о
реактивной мощности, существова-
ние которой связывалось с пульси-
рующей энергией электрического
или магнитного поля. Что значит
реактивная мощность в случае вра-
щающегося поля или в случае вра-
щения цилиндра в неподвижном по-
ле, когда картина поля остается во
времени неизменной и существует
только постоянное выделение тепла
в цилиндре, соответствующее посто-
янному значению Ро — активной
мощности?
К анализу этого вопроса можно
подойти, обращая внимание на то,
что в обоих случаях, кроме передачи
активной мощности, происходят и
другие энергетические процессы.
Прежде всего, энергия магнитного
поля перемещается из одних точек
цилиндра в другие и в каждой точке
цилиндра плотность энергии изменя-
ется во времени периодически. Кро-
ме того, можно заметить, что при от-
носительном вращении поля и ци-
линдра (рис. 5-13,6 и в) энергия
магнитного поля оказывается боль-
ше, чем в неподвижном поле (рис.
5-13, я) при одном и том же Но.
Модель асинхронного двигателя.
Система, изображенная на рис.
210
5-13,6, может рассматриваться как
модель асинхронного (гистерезисно-
го) двигателя, в котором поле вра-
щается с относительной скоростью
<о. Эту скорость можно рассматри-
вать как разность между скоростью
вращения поля соСт, связанного со
статором, и скоростью вращения
магнитного цилиндра (ротора) сор:
(0 — С0ст С0р.
В общем случае комплексная
проницаемость зависит от частоты,
поэтому от частоты зависит и вра-
щающий момент. Однако на его зна-
чение может влиять лишь относи-
тельная круговая частота со.
Модель такой системы рассмат-
ривалась в § 4-6, где показывалась
зависимость вращающего момента
То от со. Дополнительно рассмотрим
здесь вопрос о потоках мощности.
Пусть известны и постоянны уг-
ловая скорость и амплитуда внешне-
го поля (сост и HG). В таком случае
по (5-82) активная мощность, отда-
ваемая статором,
=со . Hi--------------4ла2 =
° ст0 °(1+н')2+(н")2
= coCTF(co), (5-86)
где ц = ц'—/рЛ — комплексная про-
ницаемость статора. Проницаемость
есть функция относительной частоты
со, точно так же как и весь множи-
тель при сост, обозначенный здесь
F(co). Эта мощность передается че-
рез электромагнитное поле (вектор
Пойнтинга) от статора к ротору.
Часть этой мощности Р$ рассеивает-
ся в ферромагнетике ротора из-за
того, что он находится в поле, вра-
щающемся со скоростью со относи-
тельно ротора; она может быть вы-
ражена как вещественная часть
(5-82):
Рф-соР(со). (5-87)
Остальная мощность = пере-
дается от двигателя внешней на-
грузке и равняется произведению
угловой скорости ротора на враща-
ющий момент1
Рр = сорТо. (5-88)
1 Если вал двигателя просто тормозит-
ся, то вся мощность Рр выделяется в виде
тепла в тормозном устройстве,-
Момент, развиваемый ротором дви-
гателя, по (5-85) равен именно вы-
деленному в (5-86) множителю
F(co). Из сопоставления трех выра-
жений (5-86) — (5-88) следует урав-
нение баланса мощности
Р. - PR. + Р*. (5-89)
Как видно из (5-87), потери мощ-
ности в ферромагнетике тем мень-
ше, чем меньше разность скоростей
статора и ротора.
В двигателях трехфазного тока
f=50 гц и (при одной паре полюсов
на окружности) угловая скорость
вращающегося поля соСт = 314 сект1.
При малой нагрузке и холостом хо-
де скорость ротора мало отличается
от скорости поля сост; однако все же
она должна быть меньше, так как
иначе исчезает и вращающий мо-
мент. Максимальный вращающий
момент соответствует такому значе-
нию со, при котором потери в роторе
максимальны (см. § 4-6).
Модель синхронной машины.
Эллиптический цилиндр во вращаю-
щемся поле может служить моделью
синхронной машины (см. § 4-6, рис.
4-13). Однако в больших синхрон-
ных машинах анизотропия ротора
Рис. 5-14.
определяется преимущественно тем,
что он намагничивается обмоткой
постоянного тока, нанесенной на ро-
тор и питаемой через контактные
кольца; анизотропию могут образо-
вывать и явно выраженные полюсы.
На рис. 5-14 схематически пока-
зана синхронная машина с одной па-
211
рой полюсов. Магнитное поле соз-
дается переменным трехфазным то-
ком, идущим по обмотке, которая
заложена в пазы статора (см. пер-
вую часть книги, рис. 8-33,6), и по-
стоянным током, питающим обмот-
ку круглого цилиндрического ротора
(она также скрыта в глубоких па-
зах). Схематически картина поля,
вращающегося со скоростью со (син-
хронно с ротором), показана на рис.
5-14.
В воздушном зазоре между ста-
тором и ротором машины магнитное
поле имеет как радиальную состав-
ляющую Нг, так и тангенциальную
На (см. подробнее расчет поля в
следующем подразделе). Линии по-
ля, как показано на рис. 5-14, могут
быть деформированы, если магнит-
ные полюсы ротора немного сдвину-
ты относительно полюсов статора.
На рис. 5-14 полюсы ротора сдвину-
ты в сторону опережения. Для этого
должен быть приложен механичес-
кий момент, который тянет ротор
вперед (в сторону вращения).
Если этот момент равен Г, то к
ротору подводится механическая
мощность Рмех=Та), которая пото-
ком вектора Пойнтинга переносится
в статор. Синхронная машина рабо-
тает как генератор.
Из схематического рис. 5-14 вид-
но, что поток вектора Пойнтинга на-
правлен от ротора к статору; дейст-
вительно, радиальная слагающая
поля Яг>0 создает электрическое
поле (в системе координат, связан-
ной со статором) Ez=^r[i0Hr. При
этом, если слагающая На <0 (т. е.
направлена по часовой стрелке), то
вектор 77г=—EzHa>0. Но если ро-
тор вращается с опережением (рис.
5-14), то именно в области Нг>0
имеется На <0, а в области Нг<0,
наоборот, На >0.
Если же при синхронном враще-
нии ротор подтормаживать, полюсы
ротора будут отставать от полюсов
статора, линии поля в зазоре приоб-
ретут другой наклон и поток векто-
ра Пойнтинга будет переносить мощ-
ность от статора к ротору. Машина
работает как синхронный двигатель.
Более полный расчет передачи
мощности через вектор Пойнтинга
можно провести после расчета поля
в воздушном зазоре.
Поле в зазоре между круглыми
статором и ротором электрической
машины. Когда длина машины в
осевом направлении заметно больше
радиусов статора и ротора, можно
считать поле зависящим только от
двух координат (г, а), исключая не-
большую область вблизи торцов.
Магнитное поле в зазоре обычно оп-
Рис.’ 5-15.
ределяется токами обмоток, распо-
ложенных в специальных пазах, как
показано на-рис. 5-15; эти пазы вы-
тачиваются в массивном теле цилин-
дрического ротора (постоянный ток)
или выштамповываются в листах
стали, из которой собирается статор.
Провода с током распределяются
в пазах так, чтобы в итоге, не счи-
таясь со ступенчатым переходом от
паза к пазу, от провода к проводу
и т. п., можно было принять ток,
приходящийся на единицу длины
периметра (поверхностный ток), из-
меняющимся по простому гармони-
ческому закону
k = К' cos а + К" sin а. (5-90)
Говоря точнее, последнее выра-
жение представляет собой первую
гармоническую в периодическом
распределении тока по поверхности
статора и ротора. Если а — прост-
ранственный угол, то выражение
(5-90) справедливо лишь для маг-
нитных систем с одной парой полю-
сов на полной окружности (при п
парах полюсов следует заменить а
на па).
Полагая проницаемость ротора и
статора большими (ц > 1), можно
считать, что напряженность поля от-
лична от нуля только в воздухе. При
этом поверхностный ток однозначно
определяет тангенциальную слагаю-
щую напряженности поля на поверх-
ности ротора (г=гь На=На1) и на
212.
поверхности статора (r=r2, На =
-Яа2).
Поле статора, питаемого пере-
менным током, вращается с угловой
скоростью <о; с такой же скоростью
вращается и ротор; его положение
относительно поля статора в уста-
новившемся режиме остается неиз-
менным. Поэтому удобно отсчет уг-
ла а производить в системе коорди-
нат, также вращающейся со скоро-
стью со.
Из ранее выполненных расчетов
нам известны два вида векторных
функций от г и а, тангенциальная
составляющая которых имеет гармо-
ническую зависимость от угла, раз-
личную для разных радиусов; из
сказанного следует, что надлежа-
щим сочетанием этих функций мож-
но удовлетворить заданные гранич-
ные условия. Разумеется, речь идет
о векторных функциях Н (г, а), удов-
летворяющих в заданной области
Г]<г<Г2 уравнениям заданного маг-
нитного поля
divH-О и rotH-O. (5-91)
Эти функции соответствуют: 1) од-
нородному полю Но = const, направ-
ленному под углом g к оси, от кото-
рой ведется отсчет углов а и 2) по-
лю однородного, поперечно намаг-
ниченного цилиндра (см. § 4-6),
магнитный момент которого
образует угол т] с осью начала от-
счета углов а.
Граничные условия удобно запи-
сать как заданные тангенциальные
слагающие напряженности поля
(5-90) на поверхности статора
На2 = — К2 cos а [г = г2) (5-92а)
и на поверхности ротора
/C'cos а + /C"sin а (г=гх), (5-926)
при этом выбор начала отсчета уг-
ла а определен тем, что в выраже-
нии поля статора отсутствует сину-
соидальная слагающая. В предпола-
гаемых функциональных зависимо-
стях Я (а, г) постоянные могут быть
подобраны так, чтобы граничные ус-
ловия (5-92) удовлетворялись. При
этом решение имеет вид:
cos а 4-
+ ri (— 1) sin а} <5“93)
и
Н-г
Из этих формул видно, что в воз-
душном зазоре гармонически изме-
няющаяся радиальная составляю-
щая обязательно сопровождается
тангенциальной составляющей.
Из тех же формул (5-93) и (5-94)
видно еще одно очень важное об-
стоятельство: тангенциальные со-
ставляющие, обусловленные обмот-
кой ротора, исчезают по мере при-
ближения к статору (множитель
г 2/г2—1 стремится к нулю); точно
так же по мере приближения к ро-
тору исчезает влияние тока статор-
ной обмотки на тангенциальную со-
ставляющую поля. Тем самым удов-
летворяются граничные условия.
Радиальные слагающие вблизи по-
верхностей и статора и ротора обус-
ловлены токами обеих обмоток.
Для большей ясности можно ре-
комендовать рассчитать составляю-
щие поля для конкретных данных.
Пример 5-9. Рассчитать радиальные со-
ставляющие поля по формуле (5-94) в зазо-
ре между круглым ротором Г1=0,50 м и
круглым статором г2=0,51 ж при таком рас-
пределении поверхностных токов:
на поверхностях статора На2~—K2cos а,
и ротора cos а + sin а
при К2=К; ^'-1,6 К;
Решение. При данных граничных ус-
ловиях находим радиальные составляющие
на поверхности ротора
HrilK = 51 cos а — 133,5 sin а =
= 143 cos (а+ 69° 10'),
и на поверхности статора
= 50 cos а — 131,0 sin а =
= 140 cos (а+ 69° 10').
213
Обсуждение результата. В про-
веденных вычислениях на обыкновенной ло-
гарифмической линейке пространственный
сдвиг по углу а радиальных составляющих
незаметен. Он существует на самом деле,
хотя и весьма мал.
Пример 5-10. Найти угол, образуемый
вектором поля с радиусом в середине воз-
душного зазора (г=го=О,5О5 м) в точке а,
соответствующей максимальному значению
Нг при тех же значениях токов, что и в пре-
дыдущем примере.
Решение. Имея в виду результаты
предыдущего примера, легко убедиться в
возможности, не производя нового расчета,
принять Htq~ 141,5 К cos (а+69°10'). При
этом по формуле (5-93) в той же точке
HaQ — 0,28^ cos a + 0,5/f sin a =
= 0,574/C cos (a — 60° 50').
В таком случае максимум Нг0 равен 141,
при а=—69° 10'; в той же точке На0 =
—0,368 К.
Как видно из расчета, угол, образуемый
вектором Н с радиусом, очень мал. Однако
направление наклона Н соответствует схе-
матическому рис. 5-14.
Передача мощности между ста-
тором и ротором и вращающий мо-
мент в синхронной машине. В непод-
вижной системе координат, связан-
ной со статором, легко найти на-
пряженность электрического поля,
индуктированного вращающимся
полем в зазоре,
Е = Ez = согро Нг. (5-95)
Радиальная слагающая вектора
Пойнтинга при найденном Ez
Пг = -ЕгНа=-^0НаНг. (5-96)
Выражая слагающие магнитного
поля через поверхностные токи [фор-
мулы (5-93), (5-94)] для любого ра-
диуса г, можно найти выражение,
поддающееся разумному толкова-
нию. Примем для простоты г=г2,
в таком случае для какого-то мгно-
вения (/=0)
Пг = ^gHofocosa „cosа_
- [2к; 4 +К2( r\ + r2)] sin a}. (5-97)
Чтобы найти значение всего по-
тока мощности на единицу длины
ротора, нужно взять интеграл от
Пт по всей окружности, т. е. по а,
изменяющемуся от 0 до 2л. Но, как
хорошо известно, при этом слагаю-
щее A sin a cos а исчезает. Поэто-
му искомый поток мощности
^0 ^рот^стат 2 J I7rrda
о
—------------------ I cos ada =
Р Л
Г:г ri J
о
= 9 1 9 (5'98)
ri-ri
Такова мощность, передаваемая от
ротора к статору на единицу длины
машины и, конечно, при синхронном
вращении (со).
Эта мощность равна механиче-
скому моменту То, приложенному к
ротору (по направлению его враще-
ния) , умноженному на угловую ско-
рость, Ро = (дТо; поэтому вращающий
момент (на единицу длины ротора)
ОтГ р
(5-99)
В последнем выражении Д/7 можно
представить как К\ sin v, где =
= V (K'i)2-)- (K/zl)2— амплитуда
пространственного распределения
поверхностного тока ротора; v —
угол, на который полюсы ротора
опережают полюсы вращающегося
поля статора. При этом получаем
такое выражение момента:
TQ = N sin v (5-100а)
при
N = 2лг2 г2 р0Д2 (г2— г2). (5-1006)
Последнее выражение момента та-
кое же, как в уравнении маятника.
Аналогия идет и дальше: на син-
хронное вращение ротора могут на-
кладываться сравнительно медлен-
ные колебания маятника. В самом
деле, пусть v — угол, на который по-
ле ротора опережает поле статора.
В таком случае поле статора созда-
ет момент, стремящийся уменьшить
этот угол.
Если внезапно исчезнет внешний
момент, приложенный к ротору,,
то по законам механики вращаю-
щий момент уравновесится прира-
214
щением импульса (т. е. момента ко-
личества движения)
To = d(Jocop) /dt,
гд$ Jo — момент инерции ротора на
единицу его длины; (ор — угловая
скорость ротора. Последняя отлична
от синхронной скорости поля со в те
моменты, когда изменяется угол v:
сор = со + dvldt.
В таком случае находим, что
То - N sin v Nv = Jo d2 v/dt2. (5-101)
Приближение sin v=v справедливо
для колебаний с малыми амплиту-
дами. При этом получается класси-
ческое уравнение простых гармони-
ческих колебаний, частота которых
£__ т Дх /Сг /г 102^
2” »
Интересно проследить роль отдель-
ных слагающих (например, увели-
чение разности между радиусами г2
и ri уменьшает связь между стато-
ром и ротором и замедляет колеба-
ния и т. п.). Полезно убедиться в
правильной размерности последнего
равенства Ч
Вращающий момент можно най-
ти из определения силы по закону
Био — Савара. Однако следует от-
дать предпочтение выводу выраже-
ния момента из общего анализа
картины поля, хотя бы уже потому,
что на провода, заложенные в паз,
никогда, по счастью, не действует
сила, равная произведению тока и
среднего значения Вг.
5-4. О СИЛАХ, ДЕЙСТВУЮЩИХ
НА ПОЛЯРИЗУЕМУЮ СРЕДУ
Общие замечания. В этом пара-
графе рассматриваются силы, испы-
тываемые линейной поляризуемой
средой, в которой Р = 8о&эЕ или М=
=&МН. Энергия и силы в телах с ос-
таточной поляризацией рассматри-
ваются в § 5-6.
В случае линейной среды можно
определять силы, испытываемые в
поле, исходя из закона сохранения
энергии и найденного уже выраже-
ния плотности энергии в диэлектри-
1 Напомним, что размерность момента
инерции круглого цилиндра относительно
его оси на единицу его длины
[7о]=яг • м—в • а • сек?!м.
ческой или магнитной среде; при
нелинейной среде следует исходить
из выражений изменения энергии
Н йВи EdD [(5-38) и (5-43)].
Можно, однако, исходить из бо-
лее детального рассмотрения, обра-
щаясь к анализу сил, действующих
на диполь,
f = (р V) Е; f - Но (m v) Н; (5-103)
эти формулы были выведены в кон-
це § 5-1 [формулы (5-22) и (5-23)].
В поляризованной среде можно
рассматривать элементарный ди-
поль с моментом
dp = PdV. (5-104)
Поэтому вместо (5-103) можно на-
писать:
df = (Py)EdV; (5-105)
так выражается сила, действующая
на элементарный объем диэлектри-
ка dV-
Для случая линейной среды, за-
меняя Р на &э8оЕ, приходим к выра-
жению
dF-s0^(Ev)EdF, (5-106)
справедливому при kd=const. От
выражений (5-105), (5-106) можно
прийти к более общему, справедли-
вому и при зависимости восприим-
чивости от координат выражению
dF - grad (PE/2) dV. (5-107)
О силах, действующих на ди-
электрик. Рассмотрим силу FQ, дей-
ствующую на диэлектрик, который
частично заполняет плоский конден-
сатор и имеет поверхность раздела,
нормальную к электродам (рис.
5-16).
Чтобы определить силу Fo из
энергетических соображений, будем
215
считать, что под действием этой си-
лы уровень первого диэлектрика
(81) подымется на dy. Положим не-
изменным напряжение U=const
(можно было бы полагать, что
q =const, однако при этом и £=var
и Z) = var). Значит, при составлении
энергетического баланса необходи-
мо учитывать энергию, отданную
источником, поддерживающим раз-
ность потенциалов; эта энергия
dWn = Udq = U2dC (5-108)
(приращение заряда dq равно на-
пряжению U, умноженному на при-
ращение емкости dC).
Увеличение энергии электриче-
ского поля можно выразить так:
dW=-±-UzdC. (5-109)
Из закона сохранения энергии
очевидно, что
dW^dW + dA, (5-110)
где dA<— механическая работа, со-
вершенная силами поля при рас-
сматриваемом перемещении. Из
(5-108) и (5-109) видно, что увели-
чение энергии электрического поля
(при U=const) равно половине под-
веденной энергии. Следовательно,
половина энергии, сообщенной ис-
точником, равняется работе, совер-
шенной силами поля (ей же равно
увеличение энергии электрического
поля, см. §5-1, Джоуль за
джоуль). Так как под действием
поля происходит подъем первого ди-
электрика (81) на высоту dy, то
dA = Foabdy, (5-111)
где а — расстояние между пласти-
нами; b — их ширина (так что ab —
площадь поверхности раздела ди-
электриков) ; Fg —• сила, действую-
щая в направлении у на единицу по-
верхности раздела (рис. 5-16).
Соответствующее приращение
емкости
dC= 81 —8() Ь dy.
а
Следовательно,
dA~Fn ab dy = dW =
= — ------- • eobdy
2 a
или
Г 1 Z X
Л> = ~
= у e0(e1-e2)=-^(D1-D2). (5-112)
Эта сила положительна при 8i>82,
т. е. в межэлектродное пространство
втягивается диэлектрик с большим 8.
На этом явлении основано устрой-
ство прибора для определения ди-
электрической постоянной жидких
диэлектриков; по высоте подъема
поверхности раздела, находящейся
в электрическом поле, определяют
значения 8. Втягиванием диэлектри-
ка в электрическое поле пользуются
для электросепарации, а также для
осаждения дыма и пыли.
В этой книге до сих пор диэлект-
рик в электрическом поле рассмат-
ривался с точки зрения дипольной
теории. Поэтому естественно поста-
вить вопрос, как с этой точки зрения
объяснить возникновение силы, ко-
торая действует на поверхность раз-
дела диэлектриков, параллельную
векторам поля, и заставляет ди-
электрик ПОДНИМатЬСЯ ПрИ 81 >82?
Ведь, казалось бы, между пластина-
ми поле однородно (рис. 5-17),
а в однородном поле результирую-
щая сила, испытываемая диполем,
должна быть равна нулю (на каж-
дый из зарядов диполя действуют
равные и противоположно направ-
216
ленные силы, как показано на
рис. 5-18). Все дело в том, что в дан-
ном случае место возникновения сил,
действующих на диэлектрик, не-
сколько «замаскировано», чем и объ-
ясняется возможность постановки по
существу неправильного вопроса
о силе, «действующей на поверх-
ность раздела». Действительно, из
того что при перемещении поверх-
ности раздела на dy совершается
определенная работа, равная F$dy,
х —нЭ—- Рис. 5-18.
~9 ^9
еще вовсе не значит, что сила Ео
приложена именно к этой поверх-
ности. Работа сил может происхо-
дить во всем объеме перемещающе-
гося диэлектрика.
Если между параллельными
электродами на большом удалении
от их краев поле действительно од-
нородно, то оно перестает быть одно-
родным вблизи краев (рис. 5-17).
Именно там и возникают силы, за-
ставляющие диэлектрик поднимать-
ся. Появление этих сил становится
понятным из схематического изобра-
жения диполя (рис. 5-19), находяще-
гося вблизи нижнего края конден-
сатора, где поле искажено краевым
эффектом; помимо сил Flx и F2x
(взаимно уравновешивающихся), на
диполь действуют силы Fiy и F2y,
имеющие одинаковое направление.
Из энергетических расчетов по
формулам (5-108) —(5-110) легко
вывести и выражение силы, дейст-
вующей на поверхность раздела
двух диэлектриков в результате су-
ществования нормальной слагающей
поля,
-----(5-113)
В последнем выражении D — нор-
мальная слагающая вектора элект-
рического смещения; его направле-
ние, как и направление силы, из об-
ласти 1 в область 2 считается по-
ложительным, тогда как в (5-112)
£, Z)i, D2 — тангенциальные слагаю-
щие соответствующих векторов
поля.
Силы взаимодействия, выводи-
мые из магнетостатики. При вычис-
лении механического взаимодейст-
вия намагниченных тел удобно поль-
зоваться представлениями магнето-
статики и даже просто заимствовать
готовые формулы из электростатики.
Так, например, рассматривая парал-
лельные поверхности полюсов маг-
нита и притягиваемой ими стальной
плиты (ц^> 1), можно считать, что
на поверхности полюсов существует
поверхностный магнитный заряд ом,
равный нормальной слагающей век-
тора намагниченности (конечно,
речь идет о связанном заряде).
В поверхности плиты происходит
зеркальное отражение заряда с из-
менением знака. При малом воздуш-
ном зазоре поле в нем можно счи-
тать однородным и рассчитывать
силы, как между пластинами плос-
кого конденсатора: напряженность
Рис. 5-20.
поля, создаваемая зарядами только
одной из поверхностей (рис. 5-20),
Н = = (5-114)
сила, действующая на заряды дру-
гой поверхности (на единицу пло-
щади),
= уЛ42Ио. (5-115)
Заметим, что при сближении
магнита и плиты сила их взаимо-
действия обычно значительно воз-
растает, хотя это, казалось бы, и не
отражено в (5-115). Но дело в том,
что выражение (5-115), во-первых,
217
справедливо тогда, когда поле в за-
зоре можно считать однородным,
т. е. только при сближении плиты
и полюсов; во-вторых, по мере
уменьшения зазора может происхо-
дить увеличение М (за счет умень-
шения размагничивающего фак-
тора).
Аналогиями с электростатикой
пользуются не только при расчете
взаимодействия магнитов, но и при
решении многих других задач о втя-
гивании магнитных частиц в область
более сильного поля (магнитная се-
парация и осаждение различных
магнитных материалов), при изме-
рении малых проницаемостей и т. п.
Конечно, такое рассмотрение носит
формальный характер.
Действие поля на связанные то-
ки. Силы, испытываемые намагни-
ченными телами в магнитном поле,
могут рассматриваться и как дейст-
вие поля на связанные токи. Такое
рассмотрение более соответствует
физической природе магнитных яв-
лений. С этой точки зрения, напри-
мер, взаимодействие двух половинок
намагниченного тороида следует
рассматривать не как взаимо-
действие поверхностных зарядов
(рис. 5-20), а как взаимодействие
связанных поверхностных токов Is,
обнаруживающихся на боковой по-
верхности одной половины тороида,
и нормальной слагающей поля Вх
другой его половины (рис. 5-21).
Производя более детальный вы-
вод (подобный приведенному для
электрической поляризации) для на-
магниченной среды, можно основы-
ваться на электрокинетическом
представлении магнитной поляриза-
ции. При этом следует исходить из
рассмотрения механических сил,
действующих в магнитном поле на
малый контур тока с магнитным мо-
ментом т или на плотность эквива-
лентного тока JM=rot М. Находясь
в однородном магнитном поле, такой
контур испытывает только вращаю-
щий момент 7; если же поле изме-
няется от точки к точке, то на контур
действует также сила f; как Г, так
и f зависят не отдельно от тока
и геометрии контура, а только от
произведения fS = m:
T=mXB и f=grad(mB/2), (5-116)
где В — магнитная индукция внеш-
него поля.
В том случае, когда rot В = 0, по-
следнему выражению может быть
придан и такой вид:
f = (mV)B. (5-117)
Приведенные здесь выражения
особенно важны в их применении
к намагниченным средам, характе-
ризуемым магнитным моментом, от-
несенным к единице объема, т. е. на-
магниченностью М. Заменяя в
(5-116) m на М dV, получаем:
dT-MXBdVn
df = grad(MB/2)dK (5-118)
Для определения силы или мо-
мента, действующих на тело конеч-
ных размеров, выражения (5-118)
должны интегрироваться по соответ-
ствующему объему.
Притяжение сердечников элек-
тромагнита. Полезно рассмотреть
еще одно типичное для электротех-
ники устройство; несколько идеали-
зируя, представим электромагнит
в виде двух половин кольцевого
сердечника с п витками (рис. 5-22).
Полюсы двух половин сердечника
взаимно притягиваются (ср. рис. 5-20
и 5-21).
Применяя к этой системе урав-
нение баланса энергии, мы придем
к выражению, совпадающему с
(5-115) при большой проницаемости.
Однако излагаемые соображения
могут быть полезны и для рассмот-
рения сил в более общем случае.
Рассмотрим уменьшение зазора на
218
dt], В таком случае совершаемая ра-
бота
dA = FTdri = dWu — dW. (5-119)
Полагая неизменным ток источ-
ника, находим:
dW„ = IdW, (5-120)
или в простейшем случае, когда по
всему неизменному сечению S про-
исходит одинаковое изменение ин-
дукции,
dW„ = InSdB =
= InS — di]. (5-121)
дх]
Рис. 5-22.
Приращение электромагнитной
энергии dW найдем на основании
общего выражения (5-43)
dW = J(HdB)JI/;
последнее выражение может быть
применено и для линейной среды,
например для воздуха, когда Н =
= цоН dH = [i0d(H1 2/2), и для нели-
нейной среды, где Н dB определяет-
ся для заданной точки нелинейной
зависимости В (Н); существенно за-
метить, что в последнем случае Н dB
есть извне поступившая энергия, ко-
торая в значительной мере может
необратимо перейти в тепло (из-за
гистерезиса). Это, однако, не нару-
шает справедливости уравнения ба-
ланса энергии (5-119); в нем суще-
ственно лишь то, что совершенная
работа dA равна разности энергии,
подведенной от источника dW^
и «куда-то еще» ушедшей энергии
dW. Последнее слагаемое лишь
в простейшем случае есть прираще-
ние энергии электромагнитного
поля !.
После этих общих замечаний
вернемся к частному случаю «маг-
нитной цепи» рис. 5-22. В этом про-
стейшем случае принято считать ин-
дукцию одинаковой в зазоре и маг-
ните: ВЪ = В^ = В, и по закону пол-
ного тока
In = НЪ1Ъ + Нм 1М,
где для воздуха
Л в ~ В/Ио.
Рассмотрим теперь энергию, от-
данную полю при перемещении d^:
dW=~(siB^Adf] +
дц\ 2 /
+ SlKHu^-dt].
дт]
При дифференцировании теперь
следует иметь в виду, что в первом
слагаемом изменяется не только #в,
но и длина зазора; она уменьшается
на так как
/в ~ dr[,
где /во — первоначальный зазор; при
этом д/в/дц = — 1.
Таким образом, первое слагае-
мое равно:
с/ о- л е Но#в 1
SlBHB -~-dt] — S —-— dt].
04 2
В итоге находим:
dW=S(lBHB + Hulu)-^-dn-
04
Имея в виду, что сумма слагае-
мых в скобках равна просто In
и, следовательно, первое слагаемое
dB=
1 Приращение «энергии» HdB в об-
щем случае выражается через
дВ дН .
--------ан
дН дч
при дВ/дЯ=р0Нд, где — дифференци-
альная проницаемость нелинейного мате-
риала. Во многих расчетах, как и в при-
водимом здесь простейшем примере, к по-
нятию дВ!дН приходится прибегать лишь
в промежуточных рассуждениях, тогда как
в окончательный результат входят лишь
значения В и Н,
219
равно dWK=IdxV, из уравнения
(5-121) находим, что
г. . е ^оЯв , е В2 .
F,dn-s^-drl=s—drl.
Но при больших значениях про-
ницаемости
В=р,0(7И+Ям) р0М;
поэтому выражение силы, найденное
из баланса энергии, не отличается
от выражения силы (5-115), найден-
ной из аналогии магнетостатика —
электростатика.
5-5. ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ
ПОСТОЯННОГО МАГНИТА
О постоянных магнитах. Посто-
янные магниты привлекали очень
давно внимание человека. Они были
известны в древней Греции, а в на-
чале нашей эры в древнем Китае
Рис. 5-23.
Рис. 5-24.
был сконструирован первый й мире
компас (рис. 5-23): постоянный маг-
нит, выточенный из естественно на-
магниченной горной породы, был
положен на гладкую каменную дос-
ку; он мог ориентироваться по на-
правлению земного магнитного по-
ля. Магнитные компасы находят
и сейчас широкое практическое при-
менение. До сих пор активно инте-
ресует исследователей и намагни-
ченность горных пород: во-первых,
изучая аномалию магнитного поля
земли, можно сделать важные за-
ключения о залежах полезных иско-
паемых (а характер земного поля
теперь можно записать автомати-
чески посредством магнетометра,
установленного на самолете); во-
вторых, остаточная намагниченность
горных пород представляет своеоб-
разную летопись изменений земного
поля, перемещения горных массивов
и материков, а также изменения фи-
зических условий (температуры,
давления), в которых находились
горные породы; изучение и расшиф-
ровка такой летописи составляют
предмет одной из новых наук — па-
леомагнетизма.
Постоянные магниты нашли
и разнообразные технические приме-
нения, причем в новых магнитных
материалах достигнуты необычно
высокие параметры по коэрцитивной
силе и остаточному магнетизму. По-
стоянные магниты, поставленные
в магнитную цепь, заменяют собой
ампер-витки намагничиваю-
щей обмотки; схематическое
изображение простейшей
магнитной цепи показано на
рис. 5-24 (а — цепь с намаг-
ничивающей обмоткой, б —
цепь с постоянным магни-
том). Помимо технологично-
сти, стоимости, механиче-
ской прочности, термо- и
виброустойчивости и т. п. о
качестве магнитного мате-
риала судят по наибольшей
возможной энергии внешне-
го поля магнита из такого
материала. Эта энергия, от-
несенная к единице объема
материала, равна полупро-
изведению векторов индук-
ции В и напряженности по-
220
ля Н внутри магнита, взятому со
знаком минус.
^окР=-ВН/2. (5-122)
В простейшем случае зависимость
между В и Н выражается через ска-
ляры В(Н); при этом
wOKp=-BH/2, (5-123)
где В — магнитная индукция и Н —
напряженность поля внутри магни-
та. В последнем случае можно опре-
делять значение произведений — ВН
на участке размагничивания (вто-
рой квадрант) петли гистерезиса
(рис. 5-25 — магнико и рис. 5-26 —
три типа бариевых ферритов).
Рис. 5-26.
Как видно из приведенных ха-
рактеристик современных хороших
материалов, энергия внешнего поля
для них превосходит 0,010 дж/см3
(на-1 см3 материала), что по край-
ней мере в 10 раз больше соответст-
вующей величины для хороших ма-
териалов первой четверти нашего
•века.
В более общем случае, когда
внутри.постоянного магнита в раз-
ных точках значение НВ может
быть различным, вместо формулы
(5-122) приходится обращаться к
интегральному выражению
^OKP=--|-JHB£nz; <5'124)
интегрирование распространяется
на весь объем постоянного магнита.
Вывод выражений энергии внешнего
поля постоянного магнита (5-122) —
(5-124) приводится в § 5-6.
Часто величину —НВ/2 называ-
ют энергией поля магнита, имея
в виду, что поле в окружающем про-
странстве действительно есть поле
магнита, т. е. поле, обусловленное
им. Но может и в самом деле воз-
никнуть вопрос: чему же равна
энергия самого намагниченного ве-
щества, обладающего остаточной по-
ляризацией, или чему равна энергия
магнитного поля внутри магнита?
Тело намагничено до насыщения
(M=Ms=const); зависит ли «энер-
гия магнитного поля» внутри тела
от величины и направления внешне-
го поля Но? Подобные вопросы об-
суждаются в следующем параграфе.
5-6. ОБОБЩЕНИЕ И АНАЛИЗ
ВЫРАЖЕНИЙ ЭНЕРГИИ
В ПОЛЯРИЗОВАННОЙ СРЕДЕ
Из общего выражения электро-
магнитной энергии, изменение ко-
торой
(5-125)
[см. формулы (5-38), (5-43)], можно
сделать дальнейшие выводы, позво-
ляющие дать физически разумное
толкование отдельных составляю-
щих. Ограничимся рассмотрением
слагающих энергии магнетиков, так
как магнитные материалы с оста-
точной намагниченностью, а также
магнитно-анизотропные материалы
чаще встречаются в электротехнике.
Впрочем, все приводимые ниже вы-
кладки применимы к электрическим
полям в электретах и сегнетоэлект-
риках при формально соответствую-
щей замене величин (Н -> Е, В -> D,
м -> Р/8о И Цо ео).
Энергия намагниченных тел в
магнитном поле. Приращение энер-
гии магнитного поля намагничивае-
221
мой системы можно найти по теоре-
ме Пойнтинга из интеграла
dW=$HdBdV, (5-126)
где
— приращение плотности энергии
в любой заданной точке поля.
Называя Н dB приращением
плотности энергии, следует ясно по-
нимать, что dw — это лишь то при-
ращение энергии, которое поступило
от поля и которое выражается через
векторы поля. Эта поступившая
энергия (отнесенная к единице объ-
ема) в случае вакуума действитель-
но целиком представляет собой при-
ращение плотности энергии поля.
В случае же поляризуемого вещест-
ва изменение магнитного состояния
сопровождается рядом процессов,
связанных с тем или иным энергети-
ческим преобразованием, обрати-
мым или необратимым. Так, напри-
мер, часть поступившей энергии dw
может необратимо превращаться
в тепловую (гистерезис). Перейдем
к анализу выражения Н dB.
Имея в виду общее представле-
ние напряженности магнитного поля
н=Ъв—м
Но
и подставляя его в последнее выра-
жение, получим:
<to=HdB = J-BdB — MdB. (5-127)
Цо
Произведем еще одно простое
и чисто формальное преобразование:
d(BM)-BdM+MdB,
из которого следует, что
MdB=d(BM) — BdM.
Подставляя последнее в (5-127),
найдем, что приращение плотности
энергии выражается равенством
= --BdB —d(BM) + BdM. (5-128)
Но
Интегрируя (5-128), можно пола-
гать, что
w == jHdB-
-В2/2р0 —ВМ+ J BdM. (5-129)
В случае линейной среды
(когда М, а следовательно, и В про-
порциональны Н)
w - В2/2р0 — ВМ-рВМ/2—
= НВ/2. (5-130)
В этом случае вся энергия (на
единицу объема) w обычно рассмат-
ривается как плотность энергии
электромагнитного поля без какого-
бы то ни было разделения на состав-
ляющие (см. также § 5-8).
В последних трех выражениях
(5-128) — (5-130) стоят слагающие,
которым целесообразно дать сле-
дующее толкование:
собственно энергия поля
В2/2ц0=^п и — BdB=dwn; (5-131)
Р-о
энергия намагниченного вещества
в поле
—BM=-^n
и —d(BM)=d^n; (5-132)
энергия взаимодействия вещества
и намагниченности 8
В^М=^в. (5-133)
Значение самой величины wM-& мо-
жет быть определено путем интегри-
рования только в том случае, когда
в процессе изменения намагничен-
ности не происходит необратимого
рассеяния энергии, передаваемой
веществу носителями магнитного
момента. Эта оговорка относится,
конечно, и к (5-129).
При интегрировании по замкну-
тому циклу только последнее сла-
гаемое, т. е. dwMB, может дать вели-
чину, отличную от нуля,
BdM = r£|i0(H+M)dM =
= ^цонам=шг. (5-134)
Здесь принято во внимание, что
ф MdM = фЪ d(M2) = 0. (5-135)
Иначе говоря, гистерезисные потери
определяются именно взаимодейст-
вием намагниченности и вещества.
Изменение ориентации носителей
магнитного момента относительно
осей кристаллитов, из которых со-
стоит твердое тело,изменяет энер-
222
гию кристаллической системы. Взаи-
модействие вещества (его кристал-
лической решетки) и намагниченно-
сти (ориентации спинов) определяет
собой важнейший вид изменений
энергии при намагничении вещест-
ва. Кроме того, при намагничении
происходит деформация вещества,
связанная с образованием механи-
ческих напряжений (магнитострик-
ция), происходят термодинамиче-
ские изменения и т. п. В переменном
поле при колебаниях или прецессии
спинов их энергия передается коле-
баниям решетки (спин-решеточное
взаимодействие); иначе говоря,
электромагнитная энергия рассеи-
вается, превращаясь в тепло.
По поводу первых двух слагае-
мых тоже важно сделать несколько
замечаний. В макроскопической
электродинамике вектор В опреде-
ляется как среднее значение вектора
микроскопического поля Вмикро,
т. е. В = Вмикро» тогда как действи-
тельная плотность энергии поля
в каком-то макроскопическом объ-
еме_определяется средним значени-
ем В1 2микро. Но в общем случае сред-
нее квадратичное и просто среднее
могут не совпадать. Поэтому и шп,
строго говоря, не может рассматри-
ваться как действительная плот-
ность энергии поля.
Слагающее — ВМ dV обычно
рассматривается как потенци-
альная энергия, или энер-
гия положения магнитного мо-
мента = во внешнем поле.
Может возникнуть вопрос, не сво-
дится ли энергия положения элемен-
тарного диполя во внешнем поле
к изменению энергии поля вследст-
вие взаимодействия полей (внешне-
го поля и поля диполя)? На этот
вопрос принципиально нельзя отве-
тить, оставаясь в рамках классиче-
ской макроскопической электроди-
намики; а в квантовой физике, ве-
роятно, лишено смысла вычисление
классической энергии поля в присут-
ствии спина электрона — основного
носителя магнитного момента в слу-
чае ферромагнетиков. Как бы то ни
было в макроскопической электро-
динамике и даже в статистической
физике целесообразно рассматри-
вать слагаемое —ВйЭЛкак своего
рода потенциальную энергию,
т. е. энергию положения диполя
в поле.
В выражении
d(BM)=pod [(Н+М)М] =
=ф0 d (НМ)+р0 dM2 (5-136)
последнее слагаемое обращается
в нуль, когда М2 = const. В этих слу-
Рис. 5-27.
чаях изменение энергии положения
можно определять выражением
^п = -Но^(НМ). (5-137)
Ниже приводится ряд примеров,
в которых отчетливо виден смысл
выражения энергии (5-128). В этих
примерах рассматривается ферро-
магнитное тело, расположенное-
внутри однородного поля соленоида,
= (о-138)
При анализе изменений энергии
оказывается очень полезным приме-
нение теоремы о потоке (4-212).
Энергия окружающего поля W'..
Внутри длинного соленоида распо-
ложен эллипсоид вращения с осью,
образующей угол р с осью z соле-
ноида (рис. 5-27). Пусть вектор М
направлен внутри эллипсоида по его
оси Ч В обмотке соленоида проходит
1 Можно было бы рассмотреть и более
общий случай, когда направление М не
совпадает с осью эллипсоида, но это сде-
лает излишне громоздким все выкладки
(см. пример 5-13).
223
ток i, которому соответствует поле
jBo=Bz = p,oino. Нужно найти энер-
гию W' всего поля вне области, за-
нятой намагниченным эллипсоидом.
Для этого предположим сначала,
что намагниченность М обусловлена
полем соленоида и связана с ним
линейной зависимостью
cHG—M (5-139)
при с=const, хотя векторы Но и М
не совпадают по направлению, об-
разуя постоянный угол р. Такой эл-
липсоид можно изготовить, поль-
зуясь анизотропным материалом
(§ 5-7).
В самом общем случае энергия,
подведенная к соленоиду от источ-
ника, определяется выражением
i dW=id (Loi)+i dWM, (5-140)
где Lq — индуктивность пустого со-
леноида (без магнитного эллипсои-
да), а — магнитный поток, сцеп-
ленный с обмоткой благодаря рас-
положению внутри соленоида маг-
нитного тела.
Величина Тм может быть опре-
делена по теореме о потоке (4-212)
^=-уН0МУ; (5-141)
здесь V — объем соленоида.
В заданных условиях при £ =
= const
fdY^=p0770cosP VdM. (5-142)
Итак, в случае линейного ферро-
магнетика энергия, подведенная ис-
точником,
+lV/0cosP VdM. (5-143)
Индекс (л) подчеркивает, что это —
энергия, отданная источником в ли-
нейном случае. Вычитая из послед-
него выражения электромагнитную
энергию, отданную эллипсоиду, dW^ 9
найдем искомое приращение энергии
в окружающем электромагнитном
поле:
dW^dW^-dW"*. (5-144)
Энергия W' теперь представляет
энергию всего поля, окружающего
намагниченный эллипсоид при токе
i в соленоиде. Величина энергии W',
точно так же как вид поля и область
его распространения, не зависит от-
того, каким путем была достигнута
намагниченность М.
Но величина dW" может быть
определена по основной формуле
(5-126), вытекающей из теоремы
Пойнтинга:
(5-145)
Здесь принято во внимание, что по-
ле внутри эллипсоида одинаково во
всех точках, поэтому объем эллип-
соида V входит простым множите-
лем.
Внутри эллипсоида 1
Н=Н0 —#М; (5-146)
В=Ио(Н+М>
-Ио[Но+(1-^)М] (5-147)
и,следовательно,
dW^VHdB^V^ [HodHo +
+HG cos р dM — Nd (Н0М) —
— W(1 — N)MdtA]. (5-148)
После подстановки (5-148) и
(5-143) в (5-144) находим искомое
приращение энергии поля, окружаю-
щего намагниченный эллипсоид
(рис. 5-27),
dWf=id(LGi) — V[HodBo—Nd(BQM) —
— Af(l— AOHoMdM]. (5-149)
Последнее выражение охватыва-
ет много частных случаев. Напри-
мер, при М = 0 находим, как й тре-
буется, что
— (Я0В0/2)7, (5-150)
т. е. равно полной энергии пустого
соленоида, за исключением энергии
поля в объеме эллипсоида.
При £—Во = О, т. е. в отсутствие
внешнего поля, находим, что
1F-W(1— N)ii0M2/2. (5-151)
Но в отсутствие внешнего поля на-
пряженность поля внутри эллипсои-
да Н=—/VM, а магнитная индукция
по (5-147)
В=р0 (Н+М) = Но (1 — N) М. (5-152)
Следовательно, в правой части
(5-151) стоит полупроизведение Н
1 При условии, что М совпадает с осью
вращения эллипсоида.
224 *
и В, умноженное на объем и взятое
со знаком минус. Иначе говоря, это
F--HBV/2, (5-153)
т. е. выражение (5-122).
Вывод формулы (5-124). Для
поля магнита в отсутствие токов
можно полагать Н = —gradcp. При
этом
div (Вф)=ф div B+Bgrad ф =
= —ВН, (5-154)
так как divB = 0. Применяя теорему
Остроградского — Гаусса и распро-
страняя интеграл на бесконечное
пространство, где ВН<Л/7?3 при
7? -> оо и конечном значении Л, на-
ходим, что
— j ВН dV= J div (Вф) dV =
= — (6B<pdS=O (5-155)
ИЛИ
2
J ^-dV,
(v-vM)
(5-156)
где — объем постоянного магни-
та, а V — объем всего пространства,
в котором ВН=^=0. Последнее равен-
ство и доказывает (5-124).
Пример 5-11. Внутрь соленоида, еще
до включения тока, помещается идеальный
постоянный магнит с намагниченностью
М=const; его намагниченность остается не-
изменной и при включении тока в обмотку
соленоида. Соленоид включается в цепь то-
ка один раз так, что В0||М; другой раз так,
что Во||—М. Через Во обозначена однород-
ная индукция поля, обусловленного током
соленоида. В указанных здесь условиях от
источника к соленоиду, в обоих случаях
(В0||М и Boll—М) подводится одинаковая
энергия, равная LQi1 2 3/2. Вместе с тем оче-
видно, что энергия поля W', окружающего
магнит, в обоих случаях различна, так как
в них по-разному ориентированы поля то-
ка и магнита.
Найти разницу в энергиях окружающе-
го поля W' в двух случаях.
Показать, что эта разница равна и про-
тивоположна по знаку разнице энергий
внутри магнитов W',
Решение. Пользуясь формулой
(5-149), находим:
^-^2 = V*2NMBQ. (а)
Это значит, что в первом случае энергия
поля в окружающей среде больше. Поль-
зуясь формулой (5-128) или прямо (5-129),
находим, что
магниченного
uzj —1^2= V
изменение энергии внутри на-
тела 1
Г 1
— В±М+В2М ,
2р0
(б)
при том что 2
B1>2=B0^P0(l+tf)M. (в)
Подставляя значения В\г 2, после простых
приведений находим:
DTj —1^2 = — V*2NBQ М. (г)
Таким образом, из (а) и (г) очевидно, что
^=^+^=172=^+^;,
т. е. общая энергия поля в обоих случаях
одинакова 3.
Поворот постоянного магнита в
постороннем поле. В случае поворо-
та идеального постоянного магнита
(рис. 5-27) в поле соленоида он со-
вершает работу
dA=— Td$=— VMBQ sin ₽ ф.; (5-157)
Вращающий момент, обусловлен-
ный взаимодействием внешнего по-
ля Во и намагниченности вещест-
ва М,
7==KMBosin₽ (5-158)
стремится уменьшить угол р (рис.
5-27), поэтому в правой части
(5-157) поставлен знак минус. Если
предоставить магниту возможность
свободно поворачиваться, он начнет
колебаться вокруг направления по-
ля, пока приобретенная им кинети-
ческая энергия не рассеется в фор-
ме тепла вследствие существующего
трения. Такие колебания всем хоро-
шо известны — стрелка компаса так
колеблется в земном поле, прежде
чем достигнет статического равно-
1 Слагаемое J BdM =£ 0 выражает ту
энергию, которая была сообщена в про-
цессе образования магнита, т. е. когда про-
исходило изменение М. В дальнейшем М=
=const (идеальный магнит), поэтому при-
веденный здесь интеграл, входящий в пра-
вую часть (5-129), остается неизменным.
2 В формулах (б) и (в) уже принято
во внимание, что Л11=—М2—М.
3 Этого и следовало ожидать, посколь-
ку: 1) энергия в исходном состоянии WG—
= 1Г0 +1^о была одинакова; одинаковы
были неизвестное значение Wq и известное
W'o ^—BHV/2=[i0N(l—N)M2l2‘, 2) в обоих
случаях от источника подведена также оди-
наковая энергия r2L0/2.
15—476
225
весия. Но движение может происхо-
дить и без колебаний, если при сво-
ем повороте магнит совершает ме-
ханическую работу dA, например,
против сил трения.
Рис. 5-28.
Совершаемая работа dA (или
приобретаемая кинетическая энер-
гия) происходит за счет убыли маг-
нитной энергии системы и за счет
энергии, подведенной от источника
питания. Поэтому для рассматри-
ваемой системы уравнение баланса
энергии записывается так:
dA=—dW' — dW"+dWu. (5-159)
Следует различать два предель-
ных случая, когда в цепи соленоида
стоит генератор тока i= const и
когда в цепи соленоида нет источ-
ника питания, а сама обмотка вы-
полнена из сверхпроводника и об-
разует замкнутую цепь с током i.
В последнем случае постоянным
поддерживается не ток в соленоиде,
а его полное потокосцепление; так
как источник отсутствует, работа
при повороте магнита может про-
исходить только за счет убыли энер-
гии поля
dA=—dW' — dW". (5-160)
Полная энергия постоянного
магнита. Основываясь на прежних
выводах и приобретя опыт в ана-
лизе изменений энергии, теперь
можно ответить на поставленный
вопрос об энергии постоянного маг-
нита; ответить с возможной полно-
той, отдавая себе, однако, отчет в
существовании принципиальных ог-
раничений. Рассмотрим все измене-
ния энергии в достаточно общем
случае намагничивания эллипсо-
идального магнита в поле тока со-
осного соленоида (рис. 5-28, а).
Сначала определяем энергию, отда-
ваемую источником при намагничи-
вании внутри катушки, поле кото-
рой Во=ро^о = ЦоШо- По прежним
формулам (5-140) и (5-141) нахо-
дим, что
dW^i d d
=i d (^o)~pV^o dM—i d
+V[L&[HdM+Nd(M2/2)]. (5-161)
Здесь принято во внимание, что
внутри эллипсоида
H—Hq — NM или
Во=|ЛОЯО=|ЛО (H+NM).
В процессе намагничивания ток
изменяется от нуля до iMaKC, а затем
вновь уменьшается до нуля. В ито-
ге за весь процесс от источника по-
ступила энергия
Ма
ги=IX, J*н dM+Vy^M^Z. (5-162)
Интеграл берется от исходного со-
стояния М = $, Н=0 по всему изме-
нению М и Н. Эти величины прохо-
дят через значения Л4макс и //макс и
затем становятся равными Ма
и На = —NMa при выключенном то-
ке. Весь процесс характеризуется
неоднозначной кривой М(Н) (рис.
5-29), вдоль которой интеграл вы-
ражается косо заштрихованной пло-
щадью
S=(S1+S2)-S2 + S3. (5-163)
Второе слагаемое в (5-162) может *
быть представлено на том же гра-
226
фике и в том же масштабе треуголь-
ником ОаНа.
Часть этой энергии остается
в виде энергии поля, окружающего
магнит; эта энергия при отсутствии
тока и других намагниченных тел
по (5-153)
W'=—VBaHa/2=
=V^N (1 — N) APJ2, (5-164)
поскольку На = —NMa и Ва=
= ц0(Яа + Ма) = ро(1 - N)Ma.
Остальная часть энергии сообщена
намагниченному телу
W"=WH—W'^
Ма
= V\i0^HdM + Vp0 № №J2 =
oJ
Ма
= V [р0 J Н dM+ |Л<Д72] . (5-165)
Но Н2 = 2J HrfH, поэтому сумма,
стоящая в квадратных скобках, мо-
жет быть представлена просто как
а
f HziB в полном согласии с теорией,
о
Выражение для w"=W"IV
можно разложить на слагающие
w"= J Н
О
, =В2 '2р0— ВМ+ [ BdM. (5-166)
о
Последнее слагаемое выражает
энергию, израсходованную при
взаимодействии вещества и намаг-
ниченности
wmb = J = Но J мам +
о о
+ ц0 jHdM=p0M*/2+S. (5-167)
о 1
Буквой S обозначен интеграл, мно-
го раз встречавшийся в представ-
ленный площадью S = S1+S3, на
рис. 5-29.
Несложные преобразования по-
зволяют при этом равенству (5-166)
придать такой вид:
w'^^H^+S. (5-168)
Величина, обозначенная буквой
S, представляет собой часть энер-
гии, сообщенной веществу (5-167),
и может быть вычислена при извест-
ной зависимости М(В) или М(Н).
Однако адрес, куда эта энергия на-
правлена, не может быть найден из
вида функции М (Н): эта энергия
может быть превращена в тепло-
вую, упругую, магнитную, энергию
кристаллической анизотропии и дру-
гие. Часть энергии может быть не-
обратимо рассеяна.
В силу сказанного в намагни-
ченном теле остается локализован-
ной не вся энергия w или wMB (см.
также § 5-9).
Обратимые изменения. В рабо-
чем режиме постоянного магнита
могут происходить изменения поля
Н в небольших пределах вблизи
точки На, Ма. Они часто сопровож-
даются обратимым изменением на-
магниченности. В простейшем слу-
чае линейного приближения
где т=М—Mai h = H—На и kB —
восприимчивость или коэффициент
возврата (рис. 5-30). Очевидно, что
при этом изменение плотности энер-
15*
- 227
гии намагниченного тела можно
найти из (5-165)
м
6Г'= Ио J н<ш+н0 (и2 - ^/2=
ма
=ИоЛ(Яа+й/2)(1+/гв).
Множитель 1+Ав называют прони-
цаемостью возврата
(5-169)
Изменение энергии, как всегда, мо-
жет быть определено и по интегра-
лу JHJB.
5-7. ЭНЕРГИЯ
В АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛАХ
Анизотропия проницаемости или
восприимчивости. Проницаемость
материалов может быть различной
в различных направлениях. Очевид-
на невозможность при этом опре-
делить проницаемость простым
числом. В, простейшем случае про-
ницаемость может быть выражена
тремя числами, соответствующими
трем осям координат, например
l^yyi l^zz где каждая из сла-
гающих выражает связь между од-
ноименными составляющими индук-
ции и напряженности поля:
= РоРхх &у Но Р’уу Ну9
BZ=\^ZZHZ. (5-170)
В этом простом случае достаточно
разложить вектор поля Н на его
составляющие, после чего легко на-
ходятся соответствующие состав-
ляющие индукции. В более общем
случае существуют еще проницае-
мости рХ2/, ^yz •••; каждая из
них выражает одну из составляю-
щих индукции, возникающей под
влиянием другой составляющей на-
пряженности, например
-6^“ Но (Н#х Нх~ЬНуу Ну Н- V'yz Нг)«
(5-171)
Подобный эффект рассматривался
в связи с гиромагнитным резонан-
сом в гл. 3. В общем случае прони-
цаемость выражается тензором
и k-я составляющая индукции пред-
ставляется равенством
— (5-172)
В правой стороне последнего равен-
ства предполагается суммирование
по одноименным индексам /, как
представлено в (5-171).
Анизотропия проницаемости мо-
жет быть обусловлена кристалличе-
ской структурой тела, технологией
изготовления (прокат, охлаждение
в магнитном поле), внешним физи-
ческим воздействием (растяжением
или сжатием), постоянным магнит-
ным полем (как в случае гиромаг-
нитного резонанса, § 3-5) и т. п.
Анизотропией проницаемости обла-
дает широко распространенная хо-
лоднокатаная электротехническая
сталь (ХВП), имеющая большую
проницаемость вдоль направления
проката; с этим необходимо счи-
таться при изготовлении сердечни-
ков из такой стали. Если анизотроп-
ная среда характеризуется постоян-
ными коэффициентами цы, она оста-
ется линейной, и к такой среде пол-
ностью применима формула плот-
ности энергии
йУ=НВ/2. (5-173)
Анизотропия—проницаемости мо-
жет быть значительно более слож-
ной, чем выражаемая через ортого-
нальные прямолинейные координа-
ты. В диэлектриках встречается
анизотропия проницаемости, для
которой характерные направления
определяются тремя ортами цилин-
дрической системы. Но здесь мы
ограничимся простейшими слу-
чаями.
Рассмотрим среду с двумя
магнитными проницаемостями
ц-хх^''> при поле
Н=Нхех + Нуеу. (5-174)
Легко найти, что при одинаковой
напряженности поля (77 = const)
плотность энергии внутри ферромаг-
нетика минимальна, когда поле на-
правлено по оси с меньшей про-
ницаемостью. Действительно, по
(5-173)
ш=НВ/2 =
“М^„+»>та)/2. (5-175)
Для подтверждения сказанного не
требуется дополнительного анализа.
Напротив, если полагать М2 =
= const, но H=var, то энергия
минимальна, когда вектор намагни-
ченности направлен по оси с
228
большей проницаемостью. При Н =
= НХ и М=НХ (цжж—1) имеем:
НВ Но х Ихк
Ww = V = 2 =
= , (5-176)
2(^ж-1)2’ V
а при Н=НУ и М = НУ —1)
(5-177)
ЕСЛИ Рхх^*Цуу 1? ТО W(y)^>W(x)‘.
Пример 5-12. Анизотропный диск с про-
ницаемостями Рхх = 1 500, р2/2/=5ОО распо-
ложен во внешнем поле Я0=5 а!см, парал-
лельном поверхности диска. Толщина дис-
ка т=0,35 мм, его диаметр £>=6 см. Найти
зависимость вращающего момента от угла,
образуемого осью х диска и вектором Но.
Диск можно считать сплюснутым эллипсои-
дом (см. § 4-5).
Решение. Пусть ф — угол, на кото-
рый ось х повернута относительно вектора
Но внешнего поля (рис. 5-31). В таком
случае внешнее поле имеет составляющие
момента можно ставить как значение внеш-
него поля (Но), так и значение внутреннего
поля Нг, имеющего компоненты
Нх — Нох — NXMX и Ну = Ноу — NyMy.
Действительно, при Nx = Ny=N
Т = p0MXH0 = p0MXHt‘,
так как МхАМ=0. Напротив, при Ну
в общем случае
МХ(— NxMxex — NyMyty) =
= (Nx-Ny)MxMy е2^0
и, следовательно,
T = poMXHo¥=PoMXHz
(см. также примечание к следующему при-
меру) .
Очень полезно провести анализ энерге-
тических соотношений при повороте анизо-
тропного диска магнитным полем, напри-
мер однородным полем соленоида.
Пример 5-13. Эллипсоид вращения с
осью t расположен во внешнем однород-
ном поле Во=ро#о (рис. 5-32). Его мате-
риал анизотропен, причем оси анизотропии
Н$х=Но cos ф и HQy=—Я05Шф. Из урав-
нений
Mx = (H0x-HMx)kXX9
My = (HOy-NMy)kyy
находим:
Мх = Но kxx cos ф/( 1 4- Nkxx)\
Му ~ ~ Но kyy sin ф/( 1 + Nkyy)\
здесь ЛХх = Рхх—1; kyy = pyy—1; N— раз-
магничивающий фактор, определяемый по
формуле (4-98), Н=0,00455.
Вычисляя, находим, что Л4Ж=962 cos ф
(а! см), Му——767 зшф (а!см). Вращающий
момент
Т = р0МХН0Е =
= Ро (Мх Hoy Му Нох) V ,
где V — объем диска. В нашем случае
Т = — 121 sin ф cos ф (эрг) =
= — 60,5 sin 2ф (эрг).
Примечание. В случае тела, изо-
тропного по форме (Nx=Ny), в формулу
* В сказанном можно убедиться на ос-
новании того, что d[x(x—l)~2]/dx=—(х+
+ !)/(%—1)3<0 при х>1. А это указывает
на то, что функция х/(х—I)2 непрерывно
убывает с ростом х при х>1.
х, у лежат в одной плоскости с вектором
Но и осью t. Ось t смещена относительно
оси х на угол а: Но смещен относительно t
в том же направлении на угол р. Воспри-
имчивость ферромагнетика kxx и kyy (при-
чем kxx ^=kyy). Ищется вращающий мо-
мент, испытываемый эллипсоидом.
Решение. Вектор намагниченности
может быть разложен на составляющие Мх,
Му и на составляющие Mt, Мп. При этом
Mf — Мх cos а + Му sin а;
Мп = —Мх sin аМу cos а. (а)
Эти слагающие позволяют легко выразить
напряженность поля, обусловленную намаг-
ниченностью,
HMi = -Mt-, НМп = -Nn Мп. (б)
В итоге аналогичных преобразований
находятся выражения для намагниченно-
сти:
Мх — Кхх Нох + Кху Ноу\
Му = К ух Нох~\~ Куу Ноу , (в))
22&
где Кхх, КХу — слагающие тензора прони-
цаемости Ктп тела, анизотропного по фор-
ме и состоящего из анизотропного веще-
ства:
Кхх =
=&хх[1 +&уу {Nt sin2 a +'Nn cos2 a)]/z;
KXy = kxxkyy(Nt — Nn) sin a cos а/z; (г)
Kyy ~
= kyy [1 + kxx (Nt cos2 а + Nn sin2 a)]/z,
где знаменатель во всех трех выражениях
z = 1 + Nt {kyy sin2 а + kxx cos2 а) + .
-г Nn {kyy cos2 а + kxx sin2 a) + Nn Nt kXX kyy
Таким образом, по уравнениям (в), (г)
можно найти составляющие намагниченно-
сти, а следовательно, и выражение для ис-
комого вращающего момента
ех ^у ег
Т = p,0VMXH0 = pov Му 0 =
Нох Ноу 0
= |х0 Ve2 {Мх Ноу — Му Нох) —
— \{КХХ — Kyy) Нох Ноу +
Примечание. Для тела, изотроп-
ного по форме, вращающий момент можно
искать как векторное произведение намаг-
ниченности и вектора внешнего поля Но
или намагниченности и вектора внутренне-
го поля Нг = Н04-Нм. В обоих случаях ре-
зультат остается прежним, так как
МХНм = МХ(—7VM) ее 0.
Однако при анизотропной форме вектор
Нм, как показано в этом примере, имеет
более сложное выражение. При этом
МХНм —
==ег [- M*NyX 4- Мх Му (Nxx - Nyy)] =# 0.
А это значит, что в случае остаточной на-
магниченности, даже в отсутствие внешне-
го поля, эллипсоид испытывает вращаю-
щий момент, что, конечно, невозможно. Из
сказанного, казалось бы, видна неправиль-
ность формулы
T = Vp0MXHj или VMXBf, (д)
где Нг = Н = Н04-Нм и В^ = В=(Нг-рМ) р,0.
Она применима только для тел, изотроп-
ных по форме. Не замечая этого, часто при
рекомендации определять момент по фор-
муле (д) не делают никаких оговорок.
При этом, однако, возникает принципи-
альный вопрос: как различать вектор внеш-
него поля Во или Но от поля В или Н?
Ведь по существу вся максвелловская тео-
рия построена на предположении о том, что
электромагнитное состояние в рассматри-
ваемом элементе dV определяется только
векторами поля именно в этом объеме dV
Существенно также и то, что принципи-
ально не делалось различия между внеш-
ним и внутренним полем, когда преобразо-
вывалось выражение HdB, из которого и
было найдено минус ВМ как значение энер-
гии вещества в поле (5-132). А именно из
этих выражений и следует формула для
вращающего момента.
Выход из кажущейся противоречивости
находится очень легко: в случае анизотроп-
ного тела можно применять формулу То=
=МхВ для любого элемента вещества, но
только часть этого момента МхВ0 прояв-
ляется как момент, стремящийся повернуть
эллипсоид в целом. Остальная часть мо-
мента стремится только деформировать его
и уравновешивается внутренними силами
упругости (как в случае с человеком, стре-
мящимся поднять себя на стуле).
Анизотропия при постоянной на-
магниченности; кристаллографиче-
ская анизотропия. Иной характер
магнитной анизотропии наблюдает-
ся в монокристаллических телах,
обладающих постоянной намагни-
ченностью, направление которой мо-
жет изменяться под действием
внешнего поля. Подобно монокрис-
таллам ведут себя и многие поли-
кристаллические тела, анизотропия
которых образовалась в результате
той или иной технологической обра-
ботки. ,_____
Однородная намагниченность,
или однодоменность, может поддер-
живаться внешним полем, когда
угол между Н и М меньше л/2.
В случае малого размагничивающе-
го фактора, например в тонких
пленках, или в случае малой намаг-
ниченности насыщения и большой
коэрцитивной силы однодоменность
наблюдается и в отсутствие внешне-
го поля: иногда она сохраняется да-
же при небольшом встречном поле.
Ферромагнитные частицы очень ма-
лых размеров сохраняют свою одно-
доменность в любом поле. Магнит-
ная анизотропия рассматриваемых
тел проявляется в том, что их энер-
гия зависит от направления вектора
намагниченности, т. е. от углов, ко-
торые этот вектор образует с неко-
торыми определенными направле-
ниями или осями. В кристаллах —
это кристаллографические оси.
В случае упругих деформаций эти
направления определяются механи-
ческими напряжениями.
В случае кубической анизотро-
пии (железо, никель и многие спла-
вы) энергия анизотропии выражает-
ся уравнением
230
Ea^Eo+Z^ (cos2 * Qx COS2 +
+ COS2 Qy COS2 62 + COS2 0Z COS2 0X) +
+ k2 cos2 0X cos2 §y cos2 0Z+ • • •; (5-178)
здесь 0X, 0y, Qz — углы с тремя орто-
гональными осями кубической
структуры; kx, k2, ..., — константы
анизотропии, они могут быть как по-
ложительными, так и отрицатель-
ными; Ео — постоянная составляю-
щая энергии.
Если все константы положитель-
ны, энергия минимальна, когда век-
тор намагниченности совпадает с
•одной из осей. Действительно, пусть
это будет ось х; в таком случае
cos 0y = cos 02 = О и Еа=£0. Это и есть
возможный минимум при положи-
тельных значениях всех kt. В приве-
денной формуле кубической решет-
ки все оси равноправны. Достаточно
одного этого соображения, чтобы
можно было написать формулу
(5-178).
Под влиянием магнитного поля
вектор М может отклониться от на-
правления, при котором энергия
анизотропии минимальна. Энергия
анизотропии или ее переменная
часть
£а-£о=^в (5-179)
представляет собой типичный слу-
чай именно энергия взаимодействия
намагниченности и вещества.
Ограничимся более подробным
анализом простейшего случая одно-
осной анизотропии, когда энергия
анизотропии представляется равен-
ством
Ea=Eo+^isin20+^2sin40+..., (5-180)
где 0 —угол между намагниченно-
стью и единственной осью анизотро-
пии (рис. 5-33).
Выражение содержит ряд чет-
ных степеней sin0, т. е. энергия за-
висит от угла, образуемого с осью, а
не с заданным положительным на-
правлением этой оси; иначе говоря,
принципиально
Ж=/(- 0)=/ (л - 6)* 1.
* Ряд четных степеней sin 0 удовлетво-
ряет таким же условиям. Можно было бы
вместо четных степеней sin 0 ввести четные
степени cos 0; но cos2 0 = 1—sin2 поэтому
замена sin2n 0 на cos2/z 0 повлияла бы толь-
ко на постоянную Ео и на значение коэффи-
циентов т. е, констант анизотропии.
Обычно ограничиваются первы-
ми двумя константами; иногда фак-
тически обнаруживается существо-
вание только первой константы.
Для наших дальнейших рассуж-
дений несущественно, как выглядит
Еа (0), поэтому примем, что энергия
анизотропии на единицу объема
Ea-Eo+^sin20 (5-181)
при &i>0. В этом случае линия 0 =
= 0 называется линией легкого на-
магничивания Ч В дальнейшем, сле-
Рис. 5-33.
дуя принятой идеализации, будем
полагать, что намагниченность рас-
сматриваемого тела не меняется по
абсолютной величине, оставаясь
равной намагниченности насыщения,
и что под-действием поля происхо-
дит только поворот вектора намаг-
ниченности. Рассмотрим изменения
энергии в частных случаях.
Анизотропная однодоменная сфера в
однородном поле длинного соленоида.
Если тело изотропно по форме (сфера), то
в отсутствие поля намагниченность направ-
лена по оси легкого намагничивания (0=0).
Расположим сферу внутри соленоида так,
чтобы в исходном состоянии, т. е. при от-
сутствии тока в соленоиде, намагничен-
ность сферы образовывала угол р<тс/2
с осью z соленоида (рис. 5-33); такой же
угол с осью z образует и ось легкого на-
магничивания (ОЛН).
Поворачивая сферу на угол d$ в поле
соленоида Во, проследим за изменением:
1 В случае &i<0 ось 0=0 представляет
собой ось трудного намагничивания, а плос-
кость, перпендикулярная оси, представляет
плоскость легкого намагничивания. Таким
свойством обладает, например, один из
ферритов, называемый феррокспланом.
231
dWn— энергии подведенной от источни-
ка тока к соленоиду;
dW'—энергии электромагнитного поля
вне сферы;
dW'' — энергии электромагнитного поля
внутри сферы.
Теперь, в отличие от случая идеально-
го постоянного магнита, в выражение dW"
должна входить и слагающая dW"MB-> т. е.
изменение энергии взаимодействия вещества
и намагниченности. В рассмотренном слу-
чае эта слагающая и представляет собой
изменение энергии анизотропии. В системе
координат, жестко связанной со сферой по
(5-128)
dW" = VH dB = V (^wn+dwMn+dwMB)=
= V (— BdB — d(BM)4-BdM), (5-182)
\ Ho J
при
В = dEa = 2ki sin 0 cos 0 d&.
Выражая каждое из слагаемых (5-182),
найдем, что
dwMri — $ (— d0 + d0);
(5-183)
do^^Sd©,
где S=B0Msin(p—0).
В выбранной системе координат состав-
ляющие параллельные оси легкого намаг-
ничивания (индекс ||) и перпендикулярные
ей (индекс ±) имеют значения
2 1
В у = BG cos р -|- — go М cos 0;
2
В ± = Bq sin р+ — р0 М sin 0;
о
(5-184)
М у = М cos 0; Л1± = Л48т0,
зная эти выражения, легко получить
(5-183).
Значения dW' и dWn не зависят от вы-
бора системы координат; они находятся
для данных конкретных условий i=const,
B0=const, M=const, 7V=l/3 по формуле
(5-140)
dWil = id = SV (— dp + d0) (5-185)
и по формуле (5-149)
В итоге оказывается, что в данном
случае
dW' + dW" dW^ (5-187)
так как в систему дополнительно введена
энергия, равная механической работе, со-
вершенной при относительном повороте
соленоида и сферы
dA = B0MV sin (р — 0) dp. (5-188)
Баланс изменений энергии сходится, если
к правой части (5-187) добавить (5-188).
В системе координат, жестко связанной
со сферой, можно считать, что вся энергия
внутрь сферы приносится только потоком
вектора Пойнтинга, так как сфера непо-
движна. В этом случае dw"=H dB.
Напротив, выбрав систему координат,
связанную с соленоидом, найдем, что сфе-
ра движется (поворачивается на угол d(3)
под действием приложенного момента; при
этом внутрь сферы вводится энергия, вы-
ражаемая как поток вектора Умова У,
имеющего составляющие
(5-189)
где бы — тензор механического напряже-
ния, vi—l-ая составляющая скорости.
Конечно, изменения энергии в сфере
не зависят от выбора системы координат,
но в системе, связанной с соленоидом
dw" = HdB + d4. (5-190)
В последнем легко убедиться, подстав-
ляя в выражение Н dB значения составляю-
щих в декартовых координатах, у кото-
рых z направлено по оси соленоида
(рис. 5-33):
2
Bz— Во+ ~ Vo М cos а;
о
2
By = — р0 М sin а;
0
Mz ~ М cos а; Му ~ М sin а;
1 1
nz ~----Во —-----М cos а;
* Ио 3
Ну — — sin а,
здесь а=р—0.
По моменту, испытываемому
анизотропной сферой во внешнем
магнитном поле, можно определить
значение констант анизотропии. Под
влиянием анизотропии вектор на-
магниченности ориентируется в оп-
ределенном направлении. При ма-
лом отклонении от этого направле-
ния намагниченность оказывается
под действием возвращающей силы.
Эту возвращающую силу можно
представить как некоторую напря-
женность магнитного поля, эквива-
лентную силам анизотропии (поле
анизотропии На); эти эквивалентные
поля достигают десятков тысяч
эрстед. Наличие анизотропии выра-
жается в упругих возвращающих
силах, присутствие которых объяс-
няет возможность резонансных ко-
лебаний намагниченности L
1 См. Резонансные эффекты в § 3-5.
232
Пользуясь только что изложен-
ным, интересно проследить прежни-
ми методами все изменения энергии
в случае, когда анизотропная сфера
совершает внешнюю работу dA, по-
ворачиваясь в поле соленоида в от-
сутствие источников питания при
сверхпроводящем контуре соленои-
да. Такой анализ можно рекомен-
довать в качестве полезного упраж-
нения. Интересно также найти все
изменения энергии при повороте во
внешнем поле эллипсоида из ани-
зотропного ферромагнетика или при
любом изменении внешнего поля.
5-8. ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ,
СОПУТСТВУЮЩИЕ ИЗМЕНЕНИЮ
ПОЛЯРИЗАЦИИ
В предыдущих параграфах было
показано, что при изменении внеш-
него поля в поляризуемую среду по-
ступает некоторая энергия dw, она
воспринимается, «впитывается» те-
лом. На единицу объема поступле-
ние этой энергии представляется вы-
ражением
cto—Е dD+H dB=80 Е dE+
+ Е dP+jx0 (Н dH 4- Н dM).
Только при самом поверхностном
рассмотрении dw может определять-
ся как приращение плотности энер-
гии электромагнитного поля. Стро-
го говоря, такое определение спра-
ведливо лишь для вакуума, когда
dw = ~e0dE2 +— dB2
2 0 2g0
действительно есть не что иное, как
приращение плотности энергии
электромагнитного поля. Но в при-
сутствии поляризуемой среды, даже
строго линейной, когда все процес-
сы происходят обратимо, dw все же
нельзя считать просто приращением
энергии поля, как это было показа-
но выше. Однако, кроме рассмот-
ренных явлений, при изменении по-
ляризации происходит ряд сопут-
ствующих явлений, таких как ли-
нейное и объемное расширение
(электро- и магнитострикция) и из-
менение температуры (магнетокало-
рический эффект). Сказанное нуж-
дается в немедленных оговорках:
1) говоря об изменении размеров,
предполагают неизменность сил рас-
тяжения или давления; если же
приложенные внешние силы препят-
ствуют деформации, то вместо из-
менения размеров происходит изме-
нение упругого состояния (как,
например, при намагничении прово-
локи, зажатой на концах в немаг-
нитном держателе); 2) говоря об
изменении температуры, предпола-
гают, что намагничение происходит
адиабатически; напротив, в услови-
ях изотермического намагничения
следует говорить о выделении или
поглощении тепла.
Названные эффекты находят
разнообразные и оригинальные при-
менения. Так, в случае магнитоуп-
ругого взаимодействия, кроме давно
известных магнитострикционных ко-
лебаний, находящих широчайшее
применение в ультразвуковой тех-
нике, очень интересно взаимодейст-
вие упругих колебаний с электро-
Рис. 5-34.
магнитными: при распространении
электромагнитных волн в магнето-
диэлектриках (в ферритах) они мо-
гут быть усилены под действием уп-
ругой (акустической) волны очень
высокой частоты, вызванной посто-
ронним источником; в среде проис-
ходит преобразование механической
энергии в электромагнитную и об-
ратное преобразование; при этом,
однако, распространение волны лю-
бого вида связано с частичным рас-
сеянием энергии, т. е. с ее преобра-
зованием в тепловую. На схемати-
ческом рис. 5-34 показаны потоки
энергии W, входящие (1) и выходя-
щие (2) из преобразователя; индек-
сы имеют следующий смысл: эм —
электромагнитная, а — акустиче-
ская, 0 — тепловая. Взаимодействия
между различными колебаниями
очень сильно возрастают из-за ре-
зонансных эффектов. Особую роль
16—476
233
играет распространение колебаний
в системе носителей магнитных мо-
ментов— в системе спинов, связан-
ных между собой немагнитными си-
лами (силы обменного взаимодей-
ствия, имеющие только’ квантовоме-
ханическое объяснение). Не .имея
возможности здесь рассматривать
эти колебания (спиновые волны)
и обмен энергиями между спиновы-
ми, электромагнитными и упругими
волнами, нужно все же указать на
их существование и огромную роль
в технике сверхвысоких частот.
Указанный выше магнетокалори-
ческий эффект также имеет очень
важное практическое применение.
Температура Т парамагнетиков воз-
растает вместе с возрастанием при-
ложенного поля. При комнатной
температуре эти эффекты ничтож-
ны, однако они возрастают с пони-
жением температуры и вблизи аб-
солютного нуля становятся значи-
тельными, так, вблизи Т=1°К для
некоторых парамагнитных солей
(соли гадолиния)
dW^5-10'5 °К/э.
Это значит, что при уменьшении на-
пряженности поля на 1 000 э темпе-
ратура должна понизиться на
0,05° К. Если бы значение dTjdH
оставалось неизменным при сниже-
нии температуры, то снижение поля
на 10 000 э позволило бы снизить
температуру от 1 до 0,5° К за один
прием. В самом деле, создав поле в
10 кэ (1 тл) и охладив жидким ге-
лием парамагнитные соли до 1°К,
можно было бы сразу получить
0,5° К, выключая поле! Конечно, де-
ло обстоит не столь просто, но во
всяком случае охлаждение посред-
ством применения парамагнитных
солей — один из реально применяе-
мых способов при решении трудней-
шей задачи снижения температуры
ниже 1°К (приближение к абсолют-
ному нулю).
В случае ферромагнетиков, об-
ладающих гистерезисом, происходят
и обратимые (как в парамагнети-
ках) и необратимые (гистерезисный
нагрев) температурные изменения.
При этом с увеличением поля может
происходить как понижение, так
и увеличение температуры. В нике-
ле (рис. 5-35, а) при уменьшении
абсолютной величины поля проис-
ходит сначала понижение темпера-
туры на 2,7 • 10~3 °C (участок сф и
а'Ь' на рис. 5-35,а), а затем в обла-
сти быстрого возрастания намагни-
ченности (участок Ь'с') происходит
столь же быстрое возрастание тем-
пературы; здесь-то и происходит
необратимое превращение электро-
магнитной энергии в тепловую.
В дальнейшем на том участке, где
и намагничение происходит без ги-
стерезиса (участок c'd'), происхо-
дят лишь обратимые изменения:
температура с ростом поля возра-
стает настолько же, насколько она
понижается при убывании поля.
При замыкании гистерезисного цик-
ла никель оказывается нагретым
приблизительно на 13,5 • 10~3 °C.
Это не много, но при частоте f =
= 1 000 гц в условиях тепловой изо-
ляции за 1 сек никель нагрелся бы
234
на 13,5° С (если при такой частоте
не добавятся потери на вихревые
токи). Это уже очень много. На
рис. 5-35, б представлены темпера-
турные изменения при намагниче-
нии технически чистого хорошо
отожженного железа. В этом случае
с уменьшением напряженности поля
температура возрастает. Обращает
на себя внимание то обстоятельство,
что в случае магнитно-мягкого ма-
териала (малая коэрцитивная сила)
обратимые изменения температуры
могут в несколько раз превысить
необратимое изменение температу-
ры за полный цикл.
5-9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ОБ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО
ПОЛЯ
В предыдущих параграфах при
анализе ряда основных положений
было затронуто несколько вопросов,
требующих дополнительных разъ-
яснений; им и посвящен этот пара-
граф.
Энергия электрического потен-
циального поля. Она может быть
выражена или как интеграл от про-
странственно локализованной энер-
гии, имеющей плотность f EdD,
W = J J E dD dV, (5-191)
или через заряды и потенциалы без
обращения к представлениям о фи-
зически реальном поле, имеющем
пространственную локализацию;
для линейной среды (когда JErfD =
= ED/2)
(5’192)
k
Оба выражения эквивалентны.
Представим себе три тела с по-
тенциалами epi, ф2, фз и соответствен-
но с зарядами qiy q2, q^ Картина
поля должна обязательно содер-
жать потоки вектора D, начинаю-
щиеся на одном теле и кончающие-
ся на другом, как это схематически
представлено на рис. 5-36.
В зависимости от распределения
зарядов и от конфигурации электро-
дов все пространство разделяется
так или иначе расположенными гра-
ницами на области kl так, что вну-
три каждой из таких областей ле-
жат все линии поля, начинающиеся
на заряде k и кончающиеся на за-
ряде I. Возможность такого разбие-
ния пространства очевидна, так как
все линии потенциального поля не-
прерывны, не пересекаются одна
другой и имеют начала и концы, ле-
жащие на зарядах разных тел. При
заданной конфигурации электродов
области могут деформироваться в
зависимости от распределения по-
тенциалов; некоторые из них могут
вовсе исчезать. Так, например, на
рис. 5-36,6 показано распределение
линий поля, при котором область
23 отсутствует. Вычисляя интеграл
от ED/2 по объему отдельных обла-
стей, можно доказать справедли-
вость (5-192).
Однако проще вести доказатель-
ство, основываясь на преобразова-
нии уравнений поля. Очевидно, что
div (cpD)—ср div D+D grad ф=
=^divD —DE (5-193)
и, следовательно,
ъ CDEdV=-b ffpdivDdV —
2 J 2 J1
—-T fdiv(<pD)dV. (5-194)
16*
235
Но во всем пространстве между
электродами divD = 0, так как по
предположению заряд содержится
лишь на электродах; значит справа
первый интеграл равен нулю. Вто-
рой интеграл преобразовывается по
теореме Гаусса — Остроградского
J div (<р D) dV— $ фО dS. (5-195)
Интегрируя по всему пространству,
в котором существует поле, мы ис-
ключаем из него заряженные элек-
троды, обволакивая каждый из них
замкнутыми оболочками Sb S2 ...
Рис. 5-37.
(рис. 5-37). Совокупность таких
оболочек и представляет собой
замкнутую поверхность интегриро-
вания
^9DdS= (f) фхОбК +
S1
+ $92DdS4------h^DdS. (5-196)
52 sk
(Интегрирование ведется по всему
океану, границы которого образуют
береговую линию, окружающую
каждый из островов и материки.)
Нормаль dS, направленная на-
ружу, это нормаль, направленная
из области поля к электроду (от
океана к берегу), как это показано
на рис. 5-38. В таком случае, по-
скольку нормальная слагающая
вектора смещения равна поверх-
ностной плотности заряда =
находим, что для любой оболочки
любого электрода
(j\pfeDdS=— §<pkDndS = —<fkqk.
sk
(5-197)
Тем самым и показана справедли-
вость выражения (5-192).
Еще три замечания по поводу
формулы (5-192):
1) Ко всем значениям потенциа-
лов можно добавить любую- адди-
тивную постоянную и писать фх+фо,
ф2 + фо ••• вместо фь ф2 •••; ведь здесь
только разности потенциалов и об-
ладают смыслом. Но поскольку рас-
сматривается все поле, то в форму-
лу (5-192) входят и все заряды, по-
этому 2^ = 0, а следовательно, и
Фо = V Ф° = °-
k k
2) При распределении зарядов
с объемной плотностью р можно в
качестве отдельных зарядов по
которым ведется суммирование,
рассматривать заряды р dV, пере-
ходя при этом от суммы к инте-
гралу,
4-1>*фг*-Ирф^. (5’198)
Z Z J
k
Но непрерывное распределение
заряда существует только в чисто
макроскопическом представлении
Рис. 5-38.
и не соответствует действительно-
сти: чем ближе мы будем прибли-
жаться к точечным зарядам, тем вы-
ше будут те потенциалы, которые
следует вводить в сумму qk ф&. Та-
ким образом, возможны различия
в определении энергии поля, зави-
сящие от способа макроскопическо-
го усреднения полей.
3) Перед формулой (5-192) бы-
ла сделана оговорка о ее справед-
ливости только в случае линейных
свойств среды, в которой существу-
ет электрическое поле. Этим прин-
ципиально признается локализован-
ность энергии в поле, а не на элек-
тродах, свойства которых остаются
236
одинаковыми при линейном и нели-
нейном диэлектриках в их поле;
вместе с тем знание только значе-
ний зарядов и потенциалов оказы-
вается недостаточным для опреде-
ления энергии. Аналогично (5-192)
энергия магнитного поля может
быть выражена через токи и вектор-
ные потенциалы.
О векторе Пойнтинга в условиях
отсутствия его дивергенции. К по-
нятию вектора Пойнтинга привели
поиски такого вектора, дивергенция
которого равна изменению плотно-
сти энергии [§ 5-2, формула (5-32)].
В силу сказанного возникла точка
зрения, что о векторе П = ЕхН име-
ет смысл говорить лишь в случаях,
когда div П=^=0 или по крайней ме-
ре может не равняться нулю. При
этом часто приводился пример элек-
тростатического поля двух зарядов
в перекрестном магнитном поле.
В силу заведомо статических усло-
вий, казалось бы, бессмысленно го-
ворить о потоке мощности. Но это
не так, и вектор П = ЕхН соответ-
ствует физической реальности и
в этом случае. Убедительное дока-
зательство приводит И. Е. Тамм
в своем известном курсе «Основы
теории электричества» [Л. 2-4], ана-
лизируя коаксиальный цилиндриче-
ский конденсатор, расположенный
в продольном поле магнита. На рис.
5-39 воспроизведено изображение
этой системы в книге И. Е. Тамма.
Вокруг оси коаксиального конден-
сатора должна циркулировать энер-
гия в соответствии с выражением
вектора Пойнтинга. Существует ли
такая циркуляция энергии?
В условиях статики на этот во-
прос ответить нельзя, так как дивер-
генция вектора Пойнтинга равна ну-
лю. Но из общих соображений о том,
что энергия обладает массой, а по-
ток энергии количеством движения,
следует, что циркуляция энергии
обладает моментом количества дви-
жения (моментом импульса), при-
чем существует закон сохранения
момента импульса. Следовательно,
при разряде конденсатора, т. е. при
исчезновении поля Е, а значит, и П,
должен исчезнуть соответствующий
им момент К. Его исчезновение мо-
жет компенсировать только появле-
ние такого же момента в движении
конденсатора относительно магни-
та. Такой механический момент ко-
личества движения Км и должен
обязательно возникнуть из-за мо-
мента сил, действующих на ток в
магнитном поле. Детально прове-
денный расчет показывает, что при
этом действительно в процессе за-
ряда и разряда конденсатора
Так же можно было бы рассчитать
и момент сил, действующих на за-
ряды конденсатора при изменении
магнитного поля.
О количественных значениях
энергии электромагнитного поля.
Энергия в поле В=1 тл сравни-
тельно невелика и составляет w=
= 0,398 дж!см3 = 0,095 кал/см3. Од-
нако с увеличением поля энергия
растет пропорционально квадрату
его значения. Поэтому при поле
10 тл, а такого порядка поля могут
быть достигнуты в сверхпроводя-
щих катушках и в соленоидах с ин-
тенсивным охлаждением, энергия
возрастает до 9,5 кал!см3. При объ-
еме поля V~ 103 см3 это уже энер-
гия Ц7«9,5-103 кал (напомним, что
при сжигании 1 г бензина выделяв
ется 7,62- 103 кал). Это не так мно-
го, но все же при внезапной потере
сверхпроводимости какого-либо
участка цепи поле исчезает очень
быстро и выделение энергии проис-
ходит приблизительно такое, как
при ружейном выстреле; при даль-
237
нейшем росте поля, скажем, до
1 миллиона гаусс, т. е. до 100 тл —
а сейчас получаются поля такого
порядка — плотность энергии воз-
растает еще в 100 раз, достигая
950 кал/см?. В объеме одного литра
такое поле содержит столько же
энергии, как 125 г бензина.
Трудно получить такую же плот-
ность энергии электрического поля
хотя бы уже потому, что в воздухе
при напряженности 30 кв!см проис-
ходит пробой. А при этом плотность
энергии не очень значительна, ведь
нужно множить Е2 на малую вели-
чину 8о (а в случае магнитного поля
В2 надо было делить на ц0)'
^=80Е2/2 =
=8,855- МГ'Хф/см)- 9 108(в2/сж2): 2=
= 3}98-
Это ровно в десять тысяч раз мень-
ше, чем плотность энергии магнит-
ного поля при 5 = 1 тл. Запасы
энергии грозовых туч велики только
вследствие колоссальных объемов,
занятых полем. Вероятно, подав-
ляющее преимущество в энергетиче-
ской технике магнитных машин
объясняется именно достижением
больших плотностей энергии в маг-
нитных полях.
Электротехника и электроэнер-
гетика развиваются очень быстро,
и многие уже известные эффекты и
явления находят практическое при-
менение благодаря развивающейся
технологии в изготовлении как
материалов, так и всей вспомогатель-
ной аппаратуры. Поэтому, напри-
мер, техническое применение сверх-
проводимости на протяжении деся-
тилетий оставалось в пределах
утопических мечтаний: свинец и дру-
гие известные сверхпроводники тре-
бовали очень низких температур
(4—7° К) и сохраняли сверхпрово-
димость лишь до небольших значе-
ний магнитного поля (для свинца
803 э). Новые материалы
(сплавы ниобия и олова) при над-
лежащей технологии изготовле-
ния становятся сверхпроводниками,
правда, при гелиевых, но все же
значительно более высоких темпера-
турах (~ 18° К' для Nb3Sn) и со-
храняют свои свойства при магнит-
ных полях, достигающих десятков
тесла. Кроме того, техника охлаж-
дения (криогенная техника) стала
много совершеннее, поэтому воз-
можно, что в ближайшее десятиле-
тие реально встанет вопрос о прак-
тическом применении энергетиче-
ских линий передачи из сверхпрово-
дящего кабеля. В лабораторной
практике сверхпроводники уже при-
меняются. Прикинем, какую же
мощность можно передавать по ка-
белю при напряженности электри-
ческого поля 20 кв!см и при магнит-
ном поле 6,3 тл. Расчет очень про-,
стой: через поперечное сечение ди-
электрика такого сверхпроводящего
кабеля может передаваться мощ-
ность
П=— ЕВ= \0sMem/cM2.
Цо
Это много, даже если принимать во
внимание масштабы современной
энергетики, когда линии передач
рассчитываются на сотни и тысячи
мегаватт.
В связи с обсуждением пробле-
мы применения сверхпроводников,
а также и просто с развитием крио-
генной техники и ростом мощности
энергетических агрегатов выявляет-
ся выгода применения менее глубо-
кого охлаждения, при котором, од-
нако, значительно уменьшается
(почти в 100 раз) сопротивление
проводников; имеют значение и мно-
гие новые конструкции (например,
интенсивное охлаждение обмоток
электромагнитов при прямом кон-
такте с проточной водой и т.п.).
Заканчивая главу об энергии и
ее преобразованиях, заметим еще
раз, что многие вопросы должны
быть связаны с термодинамикой
и физикой проводников, полупро-
водников, диэлектриков и магнети-
ков. Здесь существует очень много
интересных возможностей и новых
примененией термоэлектромагнит-
ных преобразователей, например
охлаждение полупроводниковыми
элементами или работа ферромаг-
нетика по термомагнитному циклу,
включающему переход через точку
Кюри.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
в проводящей среде, поверхностный эффект
6-1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
О СОВМЕСТНОМ РЕШЕНИИ
УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В этой главе (а также и в сле-
дующих) рассматривается перемен-
ное электромагнитное поле; оно
описывается уравнениями Максвел-
ла. Характер совместного решения
двух основных уравнений сущест-
венно различен для диэлектриков и
проводников; он определяется отно-
сительной долей необратимого рас-
сеяния электромагнитной энергии,
или, как говорят, потерями.
В случае линейных сред можно,
не теряя общности, основываться
на анализе гармонических полей в
установившемся режиме, записывая
уравнения в комплексной форме:
rot Н=(о+/со880)Ё; (6-1а)
rot Ё =—j(opp0 Н. (6-16)
Исключая из этой системы уравне-
ний с двумя неизвестными (Ё и Н)
одно из них, можно перейти к одно-
му уравнению с одним неизвестным
(Н или Е) ценой повышения поряд-
ка производных.
Взяв ротор от обеих частей пер-
вого равенства, приходим к уравне-
нию
г ot rot Н=(о+/6)88О) rot Ё, (6-2)
если в рассматриваемой области
параметры среды (о, 8) не зависят
от координат (т. е. уо^уе^О)
В последнем равенстве rot Е мо-
жет быть заменен через правую
часть второго уравнения Максвел-
ла, после чего в уравнении остается
единственное неизвестное Н:
rot rot Н==—(о'+/ (0 880) Н. (6-3)
Аналогичное уравнение получается,
если исключить Н:
rot rot Ё = —(о+/С0880) /сорро Ё. (6-4)
Левая часть последних выраже-
ний содержит операцию
rot rot F = — у2 F+grad div F. (6-5)
Когда свойства среды не зависят от
координат и отсутствуют объемные
заряды,
grad div F = О, (6-6)
так как div Ё и div Н в этих усло-
виях равны нулю.
Уравнения (6-3) и (6-4) при этом
еще упрощаются; их можно пред-
ставить в форме
v2 F=(о+/С08е0) /о ПРО (6-7)
где F — вектор напряженности либо
магнитного (Н), либо электрическо-
го (Ё) поля.
Операция у2 уже известна нам
по ее применению к скаляру: в про-
стейшем случае декартовых коорди-
нат это сумма вторых производных.
Некоторые осложнения получаются,
когда эта операция применяется к
составляющим вектора в криволи-
нейных системах координат, но во
239
всяком случае в левой части равен-
ства (6-7) содержатся производные
второго порядка (и не выше) по
пространственным координатам. В
правой части комплексные множи-
тели /со и (/со)2 символически выра-
жают первую и вторую производные
по времени d/dt и d^jdt2.
Характер уравнения (6-7) и опи-
сываемого им процесса зависит от
параметров среды. Наиболее важны
два предельных случая: идеальный
диэлектрик и хороший проводник.
Волновое уравнение. Идеальный
диэлектрик. В идеальном диэлектри-
ке (о=0) полученные уравнения
описывают распространение волны
в среде без потерь или с относитель-
но малыми потерями (со88о от) •
v2 F=(/< 4 F, (6-8)
где ^=1/]/’ 88оЦЦо — скорость рас-
пространения волны.
Дифференцирование по времени
можно записать и в явном виде; при
этом получаем:
рез некоторое время после того как
волна прошла, может появиться от-
раженный сигнал, как появляется
эхо.
Описанная картина типична для
волнового распространения того или
иного физического процесса (не
обязательно электромагнитного)
ty>(a+d)/v
М
Рис. 6-1.
В простейшем случае, когда F
зависит от единственной пространст-
венной координаты, например 2, и
когда существует только одна ка-
кая-либо составляющая вектора F,
выражения (6-8) и (6-9) упрощают-
ся и принимают вид:
^4 = (/(О)2 4^; (6-Юа)
dz2 v2
d2Fk = 1 d2Fk
dz2 v2 dt2
(6-106)
Такого рода уравнения встречаются
в теории цепей при рассмотрении
переходных процессов (волн) в ли-
ниях без потерь [см. (4-2) во второй
части книги]. Возмущение, например
импульс напряжения и, длящийся
Т (сек) и поданный в начале линии,
распространяется вдоль линии со
скоростью v- При этом в точке Л,
отстоящей на расстояние а от места,
где возникло возмущение (рис. 6-1),
сигнал появится только через время
a/v, необходимое волне для пробе-
гания пути а\ когда волна пройдет
точку Л, в ней сигнал исчезнет. Че-
Распространение электромагнит-
ных волн в диэлектриках и их отра-
жения рассматриваются в гл. 7 и 8.
Диффузионное уравнение или
уравнение распространения тепла.
Хорошие проводники. В хороших
проводниках
а^>СО88о. (6-П)
Они представляют другой крайний
случай для уравнения (6-7). Усло-
вие хорошей проводимости (6-11)
равносильно утверждению, что в
рассматриваемой среде токи прово-
димости доминируют над токами
смещения. При этом условии урав-
нение (6-7) принимает вид:
V2 F=/соцро о F, (6-12)
где опять же F может обозначать
напряженность или электрического
(Е), или магнитного (Н) поля.
Последнее выражение может
быть представлено с явными произ-
водными от времени (/со d/dt);
комплексное выражение (F) долж-
но быть заменено функцией времени
240
F = F(f), после чего вместо (6-12)
получаем:
V2 F=цfx0 odF/dt. (6-13)
Уравнениям (6-12) и (6-13) под-
чиняются электромагнитные процес-
сы в хорошо проводящей среде; их
изучению посвящены следующие
параграфы этой главы.
В тех случаях, когда можно рас-
сматривать только одну из состав-
ляющих вектора F в декартовой си-
стеме координат, например когда
F = FX при = = уравнение
(6-13) упрощается тем, что оно за-
писывается для скаляра
^F^bdFfdt, (6-14)
где b = ццоог.
Уравнение такого вида совпада-
ет с уравнениями диффузии или
распространения тепла. Для пони-
мания характера решения подобных
уравнений не бесполезно кратко
рассмотреть решение уравнений,
описывающих именно диффузию.
Диффузионные процессы изуча-
ются в ряде разделов физики; обоб-
щенно их можно описать так: в не-
которой среде однородность нару-
шена скоплением частиц, объемная
плотноть которых характеризуется
величиной п\ эти частицы, стремясь
равномерно распределиться в про-
странстве, движутся в сторону мень-
шей плотности, и скорость их дви-
жения (w) пропорциональна гра-
диенту плотности со знаком минус
w=—у grad п, (6-15)
Вектор w совершенно аналогичен
вектору плотности тока; он равен
числу частиц, переносимых в едини-
цу времени через единицу поверхно-
сти, нормальной и вектору w-
Если рассматриваемые частицы
не исчезают и не рождаются, их
плотность изменяется только за счет
перемещения частиц. При этом ди-
вергенция скорости w равна скоро-
сти убывания плотности частиц
div w=—dnfdt. (6-16)
Заметим еще раз аналогию с соот-
ношением между плотностями тока
и объемного заряда при наличии за-
кона сохранения количества элект-
ричества.
После подстановки w из (6-15)'
в (6-16) получаем дифференциаль-
ное уравнение диффузии
у div grad
или
V2 n=bdnldt, (6-17>
где 6==1/у. С математической точ-
ки зрения все отличие этого уравне-
ния от (6-14) в буквенных обозна-
чениях.
Совершенно к такому же урав-
нению приходят, изучая процессы
распределения температуры, в тех.
случаях,, когда передача тепла про-
исходит только за счет теплопро-
водности.
Сопоставление тепловых уравне-
ний с уравнениями электромагнит-
ного поля позволяет перенести на
область электромагнетизма отчетли-
вые и наглядные представления о
процессах распространения темпе-
ратуры; в ряде случаев могут быть,
непосредственно применены даже
готовые решения и уж во всяком
случае — методы, найденные Фурье,
фундаментальное исследование ко-
торого называется Аналитической
теорией тепла. Вектор плотности
теплового потока Q направлен в
сторону, противоположную градиен-
ту температуры 0,
Q=—&grad0; (6-18)
в этом простом равенстве k — тепло-
проводность.
Плотность тепла (тепловой энер-
гии) в любой точке выражается как
произведение температуры 0 и теп-
лоемкости с. Если внутри среды не
происходит генерации тепла (напри-
мер, увеличения плотности тепловой
энергии за счет химических реакций
или нагрева вещества электриче-
ским током по закону Джоуля —
Ленца), то изменение плотности
тепловой энергии происходит только
за счет тепла, приносимого потоком
Q. Выражая плотность тепловой
(свободной) энергии как произве-
дение теплоемкости с и температу-
ры, можно выразить сказанное та-
кой формулой:
cd^ldt=— divQ, (6-19>
т. е. скорость возрастания плотно-
сти тепловой энергии (cdQldt) рав-
241-
на интенсивности притока тепла
(—divQ). Когда дивергенция по-
ложительна, температура падает,
так как истечение тепла (divQ>0)
происходит за счет убывания плот-
ности тепловой энергии.
Подстановка (6-18) в (6-19) при-
водит нас к уравнению
v2 е=& ае/а/, (6-20)
где b = clk.
Написанное уравнение отличает-
ся от (6-14) и (6-17) только значе-
нием постоянного коэффициента.
Уравнения (6-15) и (6-16) легко
решить и относительно вектора ско-
рости w; для этого нужно диффе-
ренцировать (6-15) по времени и
подставить в результат dnjdt из
(6-16) • В итоге находим, что
grad div w=y v2 w-
Аналогично для тепловых про-
цессов, дифференцируя по времени
(6-18) и подставляя dtydt из (6-19),
найдем, что
5Q/a/-(fe/c)V2Q.
Последние два уравнения фор-
мально еще ближе к уравнению
электромагнитного поля в проводя-
щей среде (6-13). При этом, к сожа-
лению, нет простых аналогий в гра-
ничных условиях, необходимых для
аналогичности решений.
Аналогии тепловых и электро-
магнитных процессов. Мы все обла-
даем некоторым осязательным опы-
том для суждения о процессе рас-
пространения тепла; все знают, что
чайник, поставленный на огонь, не
сразу нагревается, чашка из тол-
стого фарфора остается некоторое
время холодной, после того как в
нее налит кипяток и т. п. Но можно
•составить себе и гораздо более пол-
ное представление о скорости, с ка-
кой устанавливается магнитное по-
ле в проводящей среде, если рас-
сматривать геометрически подобные
Таблица 6-1
Ь, сек/см2 Сталь Медь Свиней Фарфор
[х=2 ООО р.=10 ООО
elk 5,5 5,5 0,90 4,0 12,5
И Рост 2,5 12,5 0,0072 0,0006 Ю-is
тепловую и электромагнитную си-
стемы при сходных начальных усло-
виях. Конечно, большое значение
имеет и числовая величина множи-
теля b в уравнениях (6-14) и (6-20).
Можно, впрочем, соответствующим
образом изменять масштаб, т. е. еди-
ницы измерения (например, в одном
Рис. 6-2.
Рис. 6-3.
случае измеряя время в секундах,
а в другом в миллисекундах и т. п.).
Чем больше Ъ, тем медленнее про-
текает переход к установившемуся
режиму. В табл. 6-1 приведены зна-
чения b для ряда материалов.
Подобными при близких значе-
ниях b оказываются, например, та-
кие системы: 1) металлический (или
фарфоровый) стержень, имевший
температуру 0(0), быстро погружа-
ется в среду с температурой 0о (рис.
6-2) и 2) стальной (но не медный и
не фарфоровый) стержень находит-
ся внутри соленоида (рис. 6-3), в
котором в момент £=0 возникает
ток г*о, а в пространстве, окружаю-
щем стержень, возникает поле 7/0;
до этого внутри стержня поле рав-
нялось нулю #(0)=0. В рассматри-
ваемой электромагнитной системе
может существовать только одна со-
ставляющая магнитного поля, па-
раллельная оси соленоида. Поэтому
процесс описывается скалярным
уравнением (6-14).
Вместо сплошных стержней
можно рассматривать и трубки с
внешним радиусом а и
толщиной стенок I. В по-
следнем случае трубка
экранирует внутреннюю
область как от нагрева
средой с температурой 0О,
так и от магнитного по-
ля Hq.
242
В подобных системах одинако-
вые уравнения (отличающиеся
обозначениями 0 и Я) применены к
одинаково геометрически ограни-
ченным областям. Одинаковы и
граничные условия 0 = 0О илиЯ = Я0
при г=а и начальные 0 = 0(0) или
Я = Я(0) при г<а.
Рис. 6-4.
При одинаковых геометрических
размерах и одинаковых значениях
b очевидно, что
h(r, ^)='б'(г, /) при г^а и />0‘, (6-21)
где h=H!H0 и ф = ------
vo-v (U)
На рис- 6-4 представлена зави-
симость h в функции ria для раз-
личных моментов времени, рассчи-
танных для 6=12,5 сек/см2 при ра-
диусе стержня а=\ см (рис. 6-2
и 6-3).
График показывает, что сталь-
ной цилиндр радиусом 1 см при про-
ницаемости pi= 10 000 после включе-
ния поля Но=1 а/м будет постепен-
но «промагничиваться», причем че-
рез 1 сек напряженность поля на
его оси составит приблизительно
0,1 Яо и только через 3,37 сек маг-
нитное поле достигнет приблизи-
тельно 70% внешнего поля.
С такой же скоростью при таком
же распределении температуры по
глубине прогревается фарфоровый
стержень таких же размеров: если
его первоначальная температура
была 20° С и он погружен в кипя-
щую воду, то через 1 сек темпера-
тура на его оси повысится всего на
8° С. При других значениях b и а
можно воспользоваться теми же
кривыми на рис. 6-4, заменяя время
t, указанное около кривых, време-
нем
= (6-22)
Ь \ а /
где Ь' и а' — новые значения пара-
метра b и радиуса а. Так, например,
внутрь медного цилиндра радиусом
(2 = 0,5 см поле будет проникать го-
раздо скорее; так, на его оси поле
достигнет ~ 70% за время t'=
= 0,48 мсек. Нагрев такого же мед-
ного цилиндра будет происходить
медленнее, так как для него
с/6> ЦЦоС.
В случае нагрева экранирующее
действие внешних слоев сплошного
цилиндра или стенок трубы объяс-
няется тем, что прохождение тепло-
вого потока встречает некоторое
сопротивление, а кроме того, необ-
ходимо еще и нагревать слои ци-
линдра или стенки трубы; поэтому
чем больше теплоемкость (с) мате-
риала, тем медленнее происходит
нагрев, а чем больше теплопровод-
ность (k), тем быстрее.
Разумеется, совершенно иначе
объясняется экранирующее дейст-
вие проводящей трубы в случае
электромагнитных процессов. При
включении магнитного поля в трубе,
так же как и в верхних слоях
сплошного цилиндра, по мере про-
никновения магнитного поля вглубь
наводится э. д. с. По закону Ленца
наводимая э.д.с. создает ток, пре-
пятствующий изменению магнитного
потока, сцепленного с контуром; в
данном случае наведенный ток соз-
дает встречное поле, препятствую-
щее проникновению поля в глубь
стержня.
Хотя физические причины, обу-
словливающие замедленность рас-
пространения поля и температуры,
различны, их формальная аналогия
может быть очень сильной. Поэтому
в решении технических задач иногда
применяются аналогичные приемы;
например, для того, чтобы обеспе-
чить быстрое проникновение магнит-
ного поля в стальные сердечники,
их собирают из тонких изолирован-
ных пластин, (сердечники трансфор-
243
маторов); аналогично поступают в
теплотехнике при устройстве радиа-
торов.
Проникновение электрического
поля в толщу металла так же за-
держивается. Особенно отчетливо
этот эффект наблюдается в прово-
дах с переменным током (см. § 6-4).
Переменное (простое гармониче-
ское) поле в проводящей среде. Наи-
более часто на практике приходится
встречаться с процессами проникно-
вения поля в проводящую среду при
воздействии простого гармоническо-
го (синусоидального) поля. При
этом встречаются особенности в ре-
шении уравнения (6-12), физико-ма-
тематический смысл которых очень
важно понять.
Обратимся снова к нагреву ци-
линдра (рис. 6-2), полагая теперь
гармоническое изменение темпера-
туры окружающей среды
0О=6m cos со/+61. (6-23)
/
Оно колеблется вокруг среднего
значения Or Постепенное повыше-
ние температуры цилиндра 6 проис-
ходит по мере роста 0О и начинается
с наружных слоев.
Если бы 6о менялась медленно,
то весь цилиндр успевал бы принять
температуру внешней среды, т. е.
0о. Напротив, при быстром измене-
нии 0О только незначительный на-
ружный слой успевает нагреться и
приобрести температуру, близкую к
0О. Легко представить себе столь
быстрые изменения 0о, что внутрен-
ние слои нагреются выше 01 только
к тому моменту, когда температура
внешней среды уже начнет падать,
опускаясь ниже средней (0р<01)-
В результате незакончившийся
процесс нагревания сменится про-
цессом охлаждения, которое, в свою
очередь, лишь постепенно проникнет
вглубь. Однако при достаточно ча-
стых изменениях наружной темпе-
ратуры внутренние слои не успева-
ют заметно охладиться, так же как
они не успевают заметно нагреться;
существенные колебания температу-
ры (с амплитудой, близкой к 0т)
происходят лищь во внешних слоях,
а по мере углубления амплитуда ко-
лебаний становится все меньше и
меньше.
Следует обратить внимание еще
на одно обстоятельство. Наиболь-
ший нагрев (амплитуда температу-
ры) во внешних слоях достигается
раньше, чем во внутренних, и, таким
образом, происходит как бы волно-
вое распространение температуры:
гребень волны распространяется от
поверхности к оси, постепенно сни-
жаясь (затухание волны); процесс
распространения можно рассматри-
вать и как отставание по фазе по
мере проникновения в глубь тела.
Поверхностный эффект при рас-
пространении тепла. В рассмотрен-
ном примере со всей отчетливостью
выступает «поверхностный эффект»
(или скин-эффект; скин — по ан-
глийски кожа): переменное возму-
щение в окружающей среде не про-
никает в глубь массивных тел; чем
выше частота, тем меньше глубина
проникновения.
Известный яркий пример влия-
ния частоты на глубину проникнове-
ния представляет собой изменение
температуры почвы, поверхность ко-
торой подвергается периодическим
годовым и суточным колебаниям
температуры. Суточные колебания
температуры проникают значитель-
но менее глубоко, чем годовые. Для
этого случая можно наглядно пред-
ставить себе и запаздывание по фа-
зе температурных колебаний в сло-
ях почвы по мере увеличения глуби-
ны. Так, очевидно, что при наступ-
лении морозов сначала промерзают
только верхние слои почвы, а вес-
ной почва оттаивает сначала только
на поверхности. Интересно, что на
некоторой глубине наиболее высо-
кая температура достигается только
зимой (летний нагрев только еще
успевает дойти до этой глубины), а
наинизшая — летом.
Еще раз повторим, что при внеш-
нем сходстве проникновения тепло-
вого и электромагнитного поля фи-
зические процессы, задерживающие
проникновение внешнего возмуще-
ния, существенно различны.
Квазиволновое распространение
в г, С кабеле. Для кабеля с относи-
тельно большим сопротивлением
проводов при заметной емкости
Кельвин предложил приближенное
решение уравнений, полагая отсут-
244
ствующей индуктивность (LG = 0) и
поперечную проводимость (g = 0).
Основные уравнения такого г, С ка-
беля:
dUfdx^ — 7?0Z;
dlldx^—jtoCJU. (6-24)
Их совместное решение оче-
видно:
52(//Зх2=/со7?оСо(?;
дИ^х^^С»!. (6-25)
Оно отличается от диффузионного
уравнения (6-12) только тем, что в
случае кабеля наличествует единст-
венная пространственная коорди-
ната.
Поскольку зависимость от вре-
мени представлена в комплексной
форме, уравнения можно рассмат-
ривать как простые дифференциаль-
ные уравнения, а не как уравнения
в частных производных. Их решение
находится простейшим путем (хотя
бы из характеристического уравне-
ния) 1
(6-26)
где (в случае Lo=go = O) у = а +
+/Р = V /согоСо; а = р = (х)ГоСо/2;
А1А2 — постоянные интегрирования.
Выражение (6-26) представляет
сумму двух встречно бегущих волн
с фазовыми скоростями
v^= ± со/|3 = ± с/]/ер, . (6-27)
В случае гармонического источни-
ка питания вдоль г, С кабеля рас-
пространяется затухающая волна с
определенной фазовой скоростью.
Это процесс, соответствующий диф-
фузионному уравнению, или, что
для нас сейчас важнее всего, это
процесс,, соответствующий уравне-
нию электромагнитного поля в про-
водящей (и даже хорошо проводя-
щей) среде. Почему же этот про-
цесс называют квазиволновым, т. е.
как бы волновым?
Обобщающие замечания о волно-
вых процессах. В самом строгом
смысле слова можно называть вол-
ной процесс, описываемый уравне-
ниями
1 См. также вторую часть книги, урав-
нения (3-4) — (3-14).
f^r)=f(t-r/v) (6-28)
или
(6-29)
в которых г — координата в направ-
лении распространения волны; v—
скорость распространения, а m(r) —
функция, характеризующая затуха-
ние и зависящая от пути, пройден-
ного волной (т. е. от г)-
Если f(t—r/v) отлична от нуля
только в некотором интервале зна-
чений аргумента
«'i — (6-30)
то в точке ri эта функция отлична
от нуля в интервале времени
тх < t < Т2 в соответствии с (6-30);
здесь ri—это момент, когда пришло
начало волны, а т2 — момент, когда
ушел конец волны.
Пусть в начале координат (г = 0)
возмущение f=#=0 возникло в момент
t = 0 и прекратилось в момент Т
(длительность возмущения).
В таком случае в (6-30) <&1 = 0 и
0'2 = Т, а для точки ц интервал вре-
мени определяется значениями ti =
= гх/и; Т2=Г1/У1 + Т. Применительно
к рис. 6-1 найдем для точки А:
x^a/v- x2=a/v+T,
если предполагать, что в точке Q
сигнал появляется в момент t = Q и
исчезает в момент t — T.
Ничего подобного уравнениям
(6-28) и (6-29) не получается из
квазиволновых уравнений (6-25) и
соответствующих решений. Самая
существенная причина расхождения
заключается в том, что квазиволно-
вые процессы получаются из диф-
фузионного уравнения только в слу-
чае периодического возмущения и
только когда рассматривается ре-
шение для установившегося режи-
ма; при этом коэффициенты фазы
(Р) и затухания (а), так же как фа-
зовая скорость, зависят от частоты.
В случае апериодического про-
цесса при его спектральном разло-
жении получается набор непрерыв-
ного ряда частот. А так как и зату-
хание, и скорость, и фаза в случае
квазиволнового процесса зависят от
частоты, то форма сигнала по мере
его распространения искажается
245
Интересно заметить, что чем вы-
ше частота, тем больше фазовая
скорость, но больше и затухание.
Поэтому гармоническая слагающая
бесконечно большой частоты (ш —> оо)
распространяется с бесконечной ско-
ростью, но затухание ее амплитуды
бесконечно велико (е~~а,г -> 0 при
а—>оо ). Поэтому сигнал, возник-
ший, например, в начале линии,
мгновенно доходит до ее конца, но
с нулевой амплитудой; возмущение
в конце лишь постепенно возраста-
ет. Именно так распространяются
от периферии к оси нагрев стержня
и внезапно возникшее снаружи маг-
нитное поле (рис. 6-2 и 6-3).
Волны в среде с эквивалентными
комплексными параметрами. В гл. 3
было показано, как можно перейти
к эквивалентным комплексным пара-
метрам сгэ или 8Э, между которыми
существует простая связь
Оэ=/(0 808э. (6-31)
Не значит ли это, что тем самым
уничтожается разница между вол-
новым уравнением и диффузион-
ным? Действительно, множитель
при правой части уравнения поля
может быть представлен в любой из
двух эквивалентных форм
v2 F=(/<в)2е0 еэ р0 р, F (6-32)
или
V2 F=/® р0 р аэ F. (6-33)
Ограничимся анализом простей-
шего случая, когда F зависит от
единственной декартовой коорди-
наты х и, значит,
V2 F - d2 F/dx2. (6-34)
При этом решение как уравне-
ния (6-32), так и уравнения (6-33)
может быть записано в виде
F=А+ е~ах e~l?x+A_ е™ ei?x, (6-35)
где постоянная распространения
?=«+/₽ = V еэ е0 р р0
К /сорр0оэ.
(6-36)
Очевидно, что при (6-31) оба
выражения для у эквивалентны.
Различие между волновыми и ква-
зиволновыми процессами определя-
ется, конечно, не формой записи
уравнений, а свойствами среды:
уравнения (6-32) и (6-33) выража-
ют чисто волновой процесс, когда
ц = ц и 8Э=8, т. е. в среде без потерь;
те же уравнения выражают квази-
волновой процесс, соответствующий
уравнению диффузии, в среде, где
сГэ=(У и 89=с//со8о, т. е. в провод-
нике.
В первом случае уравнениям
(6-32) и (6-33) соответствует про-
цесс, выражаемый уравнением
(6-28) при г=х. При этом волна
распространяется с постоянной ско-
ростью v~cl ]/р8, где с=1/ рюво
—скорость света в вакууме. Во вто-
ром случае представление о волне
возникает только в результате пе-
риодического характера возмуще-
ний, и ни о каких волнах нельзя го-
ворить в случае апериодического
возмущения (d->oo, а->оопри со->
—>оо).
В общем случае все параметры
8Э, ц, оэ носят комплексный характер
и общее решение носит характер за-
тухающей волны, имеющей фазовую
скорость и затухание, зависящие от
частоты. Но если скорость и зату-
хание зависят от частоты (диспер-
сия), то очевидно, что распростра-
няющийся сигнал искажается; в
этом случае неприменимы выраже-
ния (6-28) и (6-29). Кроме случая
идеального диэлектрика = =
= о=0), среда характеризуется ком-
плексными параметрами. Однако .
часто потери (р/, 8э или о) в среде
очень малы; соответственно мала и
дисперсия (зависимость скорости и
затухания от частоты). В этих слу-
чаях распространение электромаг-
нитных волн происходит практиче-
ски в согласии с выражениями
(6-28) и (6-29).
В следующей главе будут рас-
смотрены простейшие случаи реше-
ния волновых уравнений при задан-
ных граничных условиях (распрост-
ранение и отражение волн), причем
в случае зависимости поля только
от одной координаты особенно по*
лезно обращаться к знакомым мето-
246
дам расчета режима длинных ли-
ний. '
Интересно еще заметить, что при
любой зависимости р, и 8Э от часто-
ты эти величины с ростом часто-
ты всегда стремятся к конечному
значению, не меньшему чем 1. По-
этому скорость при си оо в пределе
достигает скорости света в вакууме.
Рис. 6-5.
Электромагнитная опрессовка.
В заключение этого параграфа рас-
смотрим любопытный пример прак-
тического применения свойств пере-
менного магнитного поля в прово-
дящей среде для сильного обжатия
металлических деталей, например
для посадки медной гильзы на
стальной вал. Принцип работы ос-
нован на создании короткого им-
пульса магнитного поля, которое не
успевает проникнуть в глубь метал-
ла, поэтому здесь существование
поверхностного эффекта играет
принципиальную роль.
Пусть поле создается импульс-
ным током в проводах соленоида,
внутрь которого помещен стальной
стержень, окруженный медным по-
яском радиусом г = а (рис. 6-5);
именно этот поясок и должен быть
напрессован на стержень. При быс-
тром нарастании поля и краткости
импульса, как уже говорилось,
внутрь пояска поле не успевает про-
никнуть. Импульсный ток можно
создать, разряжая на соленоид кон-
денсатор достаточно большой емко-
сти при достаточно высоком напря-
жении. Без особого труда в такого
рода устройствах можно получить
поля, достигающие 200 ка/см ~ 250 кэ-
и выше.
Для простоты расчетов предпо-
ложим, что напряженность магнит-
ного поля убывает по линейному за-
кону (рис. 6-6) в поверхностном
слое толщиной р = я—roCw
H=HZ= — Но (г — г0)1(а — г0).
Защита от внешнего поля обра-
зуется вихревыми токами, наводи-
мыми в поверхностном слое медного*
пояса; плотность этих токов опреде-
ляется из первого уравнения Макс-
велла (в цилиндрической системе
координат)
J=rot Н = —еа dH_Jdr=ea Н0/(а — г0),
что легко найти, выполняя диффе-
ренцирование в цилиндрических ко-
ординатах при д!да = д!дг^^- На-
правление токов / = /а показывает,
что именно эта слагающая тока пре-
пятствует проникновению поля. Ос-
тается вычислить давление на еди-
ницу поверхности цилиндра: сила,
отнесенная к единице объема и
обусловленная взаимодействием то-
ка и поля, f=JB.
Рис. 6-6.
Интегрируя эту силу по радиусу,,
найдем давление — силу, отнесен-
ную к единице поверхности и на-
правленную нормально к ней,
247
F=$(-fr)dr =
Гй
a
= J110 ^~^dr=lloHol2-
(6-37a)
Таким же оказывается давление
при любом законе изменения Н в
медном поясе, если только поле на
его внутренней поверхности обраща-
ется в нуль. Это легко показать, если
не торопиться с выполнением диф-
ференцирования, а решение до кон-
ца вести в общем виде. Действи-
тельно, при H—Hz(r), т. е. когда Н
направлено параллельно оси и зави-
сит только от радиуса,
J=rotH——е dHJdr.
a Z>
При этом
•и, следовательно,
= Ио J /Уг^г=Ио(^-/7;?)/2. (6-376)
В этих формулах индекс i соот-
ветствует значениям на внутренней
/поверхности цилиндра. Если Яг- = 0,
то, как говорилось выше, 77=|л0Яд/2.
Эту величину, выражающую плот-
ность энергии поля, можно рассмат-
ривать как давление поля на поверх-
ность (касательную к вектору поля),
когда с другой ее стороны поле от-
сутствует. Однако максвелловское
представление о давлении поля ка-
жется слишком формальным — нам
легче и нагляднее представить про-
исхождение такого давления как
взаимодействие магнитного поля и
движущихся зарядов.
Пусть поле Но (рис. 6-5) возни-
кало относительно медленно и пол-
ностью проникло в пространство,
охваченное медным пояском. Если
быстро прервать ток, питающий со-
леноид, то в медном пояске возбу-
дятся токи, поддерживающие поле
во внутренней области (в согласии
с законом Ленца). Внутри поле со-
хранилось, а поле снаружи исчезло.
В таком случае давление магнитно-
го поля стремится не сжать, а ра-
зорвать медный поясок. Направле-
ние сил легко объяснить и как дав-
ление поля (изнутри пояска) и как
взаимодействие поля и наведенного
тока.
Эффект, подобный рассмотрен-
ному давлению поля, наблюдается
и при протекании тока в проводе.
Однажды, после удара молнии, мед-
ная оболочка трубчатого «громоот-
вода» была сплющена, точнее при-
жата к внутреннему железному
каркасу. Зная давление, какое для
этого необходимо, определили вели-
чину тока, достигнутую или пре-
взойденную при ударе молнии. Рас-
чет совершенно аналогичен ранее
рассмотренному. Ток молнии пред-
ставляет собой один или несколько
очень коротких импульсов, при ко-
торых электрическое поле, а следо-
вательно, и ток не успевают проник-
нуть во всю толщу трубы.
Сказанное вытекает из решения
уравнений поля. Но что же препят-
ствует проникновению электричес-
кого поля? Ответ ясен: электродви-
жущая сила, наводимая магнитным
потоком. В самом деле, когда в тру-
бе начинает протекать ток, в ней воз-
никает магнитное поле; быстрое на-
растание магнитного потока наводит
э. д. с., направленную навстречу воз-
никающему току, опять же в полном
соответствии с законом Ленца.
Предположим, что плотность то-
ка J = orE0 постоянна и отлична от
нуля только в тонком поверхностном
248
слое трубы т=а—b <<^Ь<а. При этом
полный ток в трубе г’=/-2лгт, где
г^Ь~а, а напряженность магнитно-
го поля на поверхности трубы Н=
=Ho=i/2nr. Поскольку слой тонок,
можно не считаться с его кривизной
и применять прямолинейную систе-
му координат в пределах тонкого
слоя т (рис. 6-7). В таком случае
при J=JZ находим, что в пределах
этого слоя (х<т)
Я=-Я^Я0(т-х)/т.
Действительно, теперь J = rot Н =
= zzHqIx. Вычисляя силу, приходя-
щуюся на единицу внешней поверх-
ности '(т. е. давление), найдем:
F=J р,0 HJ dx =
о
т
-Цо Щ J dx= ц0 ну 2. (6-37в)
о
Таким образом, и в последнем слу-
чае результат может быть истолко-
ван как внешнее давление магнит-
ного поля ^Ну2.
Выражая в последнем равенстве
Яо через ток 1=2лаН0, находим, что
р,0 £2/8те2 а2.
Считая, что труба громоотвода
при диаметре 2,5 см не выдерживает
и сплющивается, когда давление до-
стигает примерно 10 ат, найдем, что
искомый ток молнии составлял вели-
чину порядка 100 ка. Расчет нужно
рассматривать как очень прибли-
женный, прежде всего потому, что
здесь не учтен динамический харак-
тер механических сил.
Получение самых сильных маг-
нитных полей при взрыве. Поля по-
рядка миллиона гаусс недавно были
получены акад. А. Д. Сахаровым при
взрывах. Метод основан на сущест-
вовании «поверхностного эффекта»,
т. е. на ограниченной скорости про-
никновения поля в металл. В. К. Ар-
кадьев говорил о магнитном ком-
прессоре, имея ввиду подобные уст-
ройства.
Представим себе соленоид, внут-
ри которого расположены корпус
поршневого насоса или дуло орудия.
Увеличивая ток, можно довести по-
ле во внутренней полости Но до зна-
чения в несколько десятков тысяч
гаусс. После того как поле Но уста-
новится, введем с большой скоро-
стью v поршень; таким поршнем мо-
жет служить снаряд, вылетающий
из дула (рис. 6-8, а). Магнитный по-
ток не может заметно измениться
внутри металлических дула и порш-
ня (снаряда) при их большой прово-
димости и при большой скорости
поршня — их внутренние области
будут защищены индуктируемыми
токами (f). Поэтому магнитный по-
ток, существовавший в сечении дула,
Ф = НоягоЯо
изменится на небольшую величину
АФ за счет частичного проникнове-
ния поля внутрь металла, а осталь-
ная часть потока Ф1 = Ф—АФ долж-
на распределиться в зазоре между
поршнем и корпусом.
249
Ограничимся грубым расчетом, полагая,
что напряженность поля в зазоре возрастет
в 40 раз,
Н = 40 Но = (Ф — АФ)/р0 S;
здесь S — площадь зазора. Но для того
чтобы существовало такое поле, необходи-
мо, чтобы дополнительные «ампер-витки»
в стенке дула, т. е. ток на единицу его дли-
ны, достигли значения
Предположим, что этот ток распределен
в слое т с линейно убывающей плотностью
/(г). Тогда средняя плотность тока JCd=Vt,
а наибольшая на внутренней поверхности
дула Jмакс =2*/т.
Если считать т=1 см (для этого нужно
иметь достаточно толстые стенки и дула и
снаряда), то при а/см получим
/макс —20 • 105 d/см2 (колоссальная плот-
ность тока!).
Для того чтобы создать такую плот-
ность тока в стали, необходима напряжен^
НОСТЬ ЭЛеКТричеСКОГО ПОЛЯ Ем&кс — /МаксМ~
—20 в/см.
Первоначальное значение магнитного
потока было Фн=р,озггоЯ0, а конечное —
приблизительно равно Фк = Цо • 40/7 /100,
если напряженность поля увеличилась в
40 раз, а сечение уменьшилось в 100 раз.
Полагая, что такое изменение потока про-
изошло за время Т, найдем, что э. д. с. ин-
дукции в стенке
Э = ^макс‘2^0 — (Фн Фк)//1
или
•^макс = Но ^о’0,6 Но/27\
Подставляя числовые значения и пола-
гая го = Ю см, получим 7—5-10“5 сек. Если
при этом снаряд должен пройти путь по-
рядка 5 см, то требуемая скорость состав-
ляет и —1 000 м/сек.
Помимо простого сжатия поля, описан-
ного здесь при пролете снаряда, поле мо-
жет быть «загнано» в специально преду-
смотренную камеру, указанную пунктиром
на рис. 6-8.
Обратим еще внимание на очень боль-
шие давления, возникающие в столь силь-
ных полях. Если полагать, что давление мо-
жет быть выражено несколько раз встре-
чавшейся формулой F=^H2/2, то при Н=
= 106 а/см давление достигает величины
6,28 • 105 н/сж2^64 • 103 ат. Такого порядка
сила (давление) и скорость и должны быть
получены при взрывах.
На рис. 6-8, б показана одна из
реально выполненных установок, на
которой было получено поле, дости-
гавшее 400 тл (4 млн. гаусс)1.
Внутри кольца из нержавеющей
стали 7, диаметром около 10 см, тол-
щиной в несколько миллиметров,
предварительно создавалось поле
1 Р. Кэрд, В. Гарн, Д. Томсон, К. Фау-
лер, американский Журнал прикладной фи-
зики, т. 35, стр. 781, 1964 г.
порядка 1,5.-4-2,5 тл при разряде
конденсаторов (435 мкф при 20 кв)
на медную обмотку 4. После этого
24 детонатора 6, расположенных по
периферии кольца 5 из взрывчатого
вещества, вызывали взрыв (в точно-
сти в нужный момент). Кольцо 7
сжималось, и внутри него поле воз-
растало до огромной величины. До-
стигавшаяся величина поля ограни-
чивалась тем, что сила взрыва не
могла дальше сжимать кольцо из-за
противодействия сил давления поля
(более полумиллиона атмосфер).
Исследуемый образец 1 поме-
щался внутрь стеклянной трубки 2
(рабочий объем имел диаметр от 8,9
до 3,2 мм). того чтобы устра-
нить противодействие воздуха и за-
щитить образец от действия ударной
воздушной волны, трубка и кольцо
располагались внутри эвакуирован-
ного цилиндра, образованного изо-
лирующей оболочкой 3.
6-2, ПЕРЕМЕННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В ТОНКОЙ ПЛАСТИНЕ
Стальная пластина трансформа-
торного сердечника. Это самый про-
стой и вместе с тем_, очень часто
встречающийся случай. Пластины
в сердечнике изолированы одна от
другой и не оказывают влияния друг
на друга, во всяком случае в первом
приближении (см. также § 6-9).
Обычно ширина пластины b много
больше ее толщины (2а). Располо-
250
жим оси декартовых координат так,
чтобы снаружи напряженность маг-
нитного поля Hq имела только одну
2-ю составляющую (рис. 6-9); эта
напряженность поля одинакова с
обеих сторон пластины. Полагая, что
пластина перпендикулярна оси х,
можем утверждать, что внутри од-
нородной и изотропной пластины на-
пряженность магнитного поля имеет
только 2-ю составляющую и зависит
только от координаты х. При этом
основное уравнение поля (6-12)
V2 Н =] сор р0 о Н
значительно упрощается и принима-
ет вид:
d2 H;dx2=y2H (6-38а)
при
у—У рр0 G ; (6-386)
здесь, разумеется, H=HZ.
Распространение плоских волн.
Дифференциальное уравнение
(6-38а) не отличается от уравнения
г, С кабеля (6-25); его решение из-
вестно:
Н = А1е"1Х + А2 е(Х =
= А. е~ах e~/?JX + Л2 е*х е*х. (6-39)
Результирующее поле состоит из
двух волн, распространяющихся на-
встречу одна другой в направлении
±х с фазовой скоростью.
(6-40)
и длиной волны
Т’=глф//:=2тг/Э. (6-41)
Когда с двух сторон пластины
напряженность поля одинакова
и равна Но, значение постоянных
определяется из тожественных гра-
ничных условий, если начало коор-
динат расположено в середине пла-
стины:
Нх=а =Н0= А^а + А^а
= Нх^-а=А1е,а + Л2е~(6-42)
Из них следует, что
Л1=Л2=Л=Я0/( е'а + е-<а) =
= Но/2 ch уа.
После подстановки найденного зна-
чения постоянных в (6-39) полу-
чаем:
Но
2 ch уа
(е-^+ет^ = Д
Н
ch ух
ch уа
(6-43)
Распределение магнитного поля
по толщине пластины изображено
на рис. 6-10, где представлено отно-
сительное значение модуля
h(x) = \H/H0\ - |ch yx/ch уа| (6-44)
в функции относительного значения
координаты, т. е. х/а.
При отсутствии соответствующих
таблиц гиперболические функции от
комплексного аргумента следует вы-
ражать через функции действитель-
ного переменного, пользуясь извест-
ной формулой
ch (х+jy)=ch х cos y+j sh x sin y.
На рис. 6-10 функция ft(x) пред-
ставлена для четырех значений аа.
Значения 0,5 и 1,0 соответствуют
нормальному режиму трансформа-
торных сердечников энергетических
систем. Как видно из формулы
(6-386), увеличение ая в 2 раза со-
ответствует увеличению в 2 раза
толщины пластины или увеличению
в 4 раза частоты (или проницае-
мости, или проводимости, или, нако-
нец, произведения сорог).
Толщина листов трансформатор-
ной стали для промышленной часто-
ты порядка 0,35 мм; если кривая
аа=1 (рис. 6-10) представляет рас-
пределение напряженности поля
в такой пластине при частоте 50 гц,
то кривая аа=4 соответствует ча-
стоте 800 гц. В трансформаторах по-
251
вишенной частоты, а также рабо-
тающих в импульсном режиме при-
меняют сердечники из тонкого пер-
маллоя (очень тонкие ленты имеют
толщину порядка 1 жкн=10~4 см).
В быстродействующих элементах
электромагнитной волны данной ча-
стоты. При этом в области |х| > 0,5
можно считать, что имеется только
одна волна, входящая внутрь пла-
стины со стороны ближайшей по-
верхности. Следовательно, отноше-
автоматики применяют тонкие плен-
ки еще меньшей толщины от 400 до
4 000 А, т. е. 4-10-6—4-10-5 см.
В таких пленках поверхностный эф-
фект во всех электротехнических
устройствах незаметен.
Представляя поле суммой двух
волн, распространяющихся одна на-
встречу другой,
Я = е~'х + е'х =
2 ch у а ’ 2 ch у а
= Н++Н-,
можно утверждать, что при больших
значениях вещественной части пока-
зателя можно пренебречь одной из
волн по сравнению с другой. Так,
при сш=4 (рис. 6-10) для точек х=
= 0,5 а отношение между амплиту-
дами встречных волн
\Н~/Н+\х=0,5а =е4-54,6.
В последних выражених — вол-
на, бегущая в сторону отрицатель-
ных х (справа налево на рис. 6-9 и
6-11); эта волна прошла от поверх-
ности пластины до точки х=0,5я
путь, равный 0,5 а. В тех же выра-
жениях — волна, бегущая в сто-
рону положительных х (слева на-
право на рис. 6-9 и 6-11); эта волна
прошла от поверхности пластины
(от левой поверхности) до точки
х = 0,5 а путь, равный 1,5 я.
Можно сказать, что в таких ус-
ловиях пластина непрозрачна для
ние h=\H/HQ\ (6-44), представлен-
ное на рис. 6-10, выражается просто
экспонентой
е~а{а—х) _ е— аа(1—х/а)
Напряженность электрического
поля Е (или соответствующую плот-
ность тока J = oE) легко найти, при-
меняя первое уравнение Максвелла,
Ё= — rotft.
а
Произведя дифференцирование для
случая плоских волн (6-39), нахо-
дим, что при H=HZ
Ё=Ёу=-±^-. (6-45)
* о дх
Если Н представлено суммой двух
волн (6-39), найдем, что
Ё=Ёу=й1е~'!Х-^х=
=Ё+ — Ё_, (6-46)
где
£=у/ст= ]/ /сор,р,о/а. (6-47)
Полученное выражение показывает,
что для каждой из волн, взятой
в отдельности, но не для их суммы
напряженности магнитного и элект-
рического поля связаны одинаковым
соотношением: напряженность элек-
трического поля равна напряжен-
ности магнитного поля, умноженной
на £,
252
(6-48а)
Ё_=^Н_=1А^Х. (6-486)
Множитель £ — волновое или ха-
рактеристическое сопротивление сре-
ды; его размерность — ом. Направ-
ление векторов Ё+ и Ё_ связано
с направлением векторов Н+ и Н_
и е направлением распространения
волн так, чтобы соответствующий
вектор Пойнтинга П = ЕхН совпа-
дал с направлением распростране-
ния волны,
П+-Ё+хН+и П_=Ё_хН__, (6-49)
как это схематически показано на
рис. 6-11.
Векторы поля и орты (е+, е_),
указывающие направление распро-
странения волн, связаны между со-
бой равенствами (рис. 6-11)
Н+,_= е+_ХЁЪ-/С (6-50а)
или
Ё+,_=СН+,-Х е+,_. (6-506)
Для напряженностей поля Н+_
и Е+>_ применим принцип суперпо-
зиции 1 * * *
Н=Н++Н_и Ё-Ё++Ё-. (6-51)
Однако при сложении состав-
ляющих обязательно нужно учиты-
вать противоположное направление
векторов Ё+ и Ё_, когда Н+ и Н_
совпадают по направлению, как на
рис. 6-11. При этом
? (Я+-Я_), (6-51а)
если
н=н++н~.
В случае встречного распростра-
нения таких же плоских волн, как
на рис. 6-11, возможно совпадение
направления, их электрических век-
торов Ё+^и Ё_ (см. § 6-5); при этом
для одной из волн (скажем, правой)
векторы Е и Н окажутся повернуты-
1 Принцип суперпозиции не применим к
векторам Пойнтинга, и вектор П результи-
рующего поля не равен сумме слагающих
П+ и П_, поскольку мощность определяет-
ся не линейными составляющими, а квадра-
тичными.
ми на 180°, в результате чего на-
правление распространения волны
не изменится. В этом случае при пе-
реходе к составляющим оказывается
а Н=Н+—Н_. (6-516)
Равенства (6-50) и (6-51) при этом
сохраняют силу. Последние соотно-
шения, так же как (6-39), (6-46),
(6-48) и др., похожи на знакомые
уравнения длинных линий. Как и в
случае длинных линий, из найден-
ного равенства очевидна непримени-
мость выражений типа (6-48)
и (6-50) к результирующему полю.
Как электрическое, так и магнит-
ное поля зависят от расстояния до
поверхности пластины; они изменя-
ются как по амплитуде, так и по
фазе. Наибольшие значения Н и Е
имеют на поверхности пластины
(рис. 6-10).
При наличии выражения (6-43)
для напряженности магнитного по-
ля весь изложенный ход рассужде-
ний приводит к следующему:
ъ 2 ch у a v 7
= — sh ух/ch ya. (6-52)
В частности, при х=а
Ёо=— Еу=Уа (6-52а)
и при х=—а
Ё.=Ёу=^Н^уа. (6-526)
Последние результаты можно по-
лучить, применяя операцию диффе-
ренцирования (6-45) к выражению
(6-43). Однако несколько более
сложный путь обогатил нас отчет-
ливым представлением о разложе-
нии результирующего поля на
встречно распространяющиеся вол-
ны; при этом мы пришли к важному
понятию характеристического сопро-
тивления среды (или ее волнового
сопротивления) £ и другим важным
соотношениям (6-48) — (6-51).
Средняя проницаемость. Зная
напряженность внешнего поля Но
и среднее значение магнитной ин-
дукции по сечению пластины 1
1 Конечно, при выполнении интегриро-
вания необходимо учитывать зависимость
от х не только величины, но и фазы комп-
лекса Н.
253
a
5Cp== ClMA# dx =
zee j
—a
a
=— l бк=ц0[лЯср, (6-53)
a J
о
можно определить среднюю магнит-
ную проницаемость
Н=Нср=5Ср/|л0Я0=|лЯср/Лг0. (6-54)
Как очевидно из рис. 6-10 и всего
предыдущего анализа, ц может зна-
чительно отличаться от ц при боль-
ших значениях | уа |.
В случае однородной пластины
выполнить указанные математиче-
ские операции нетрудно. Однако це-
лесообразнее воспользоваться дру-
гим методом. Его существо заклю-
чается в возможности определить
магнитный поток по закону Фа-
радея:
—/<вф =a = ^Edl. (6-55)
Для пластины (рис. 6-9) интег-
рирование по контуру, охватываю-
щему пластину, если обход по кон-
туру связан с направлением вектора
Н (ось г) правилом правоходового
винта, приводит к равенству:
(fj Ё dl = —2Е0Ь=—2Ь£Н0 th уа,(6-56)
здесь учтено (6-52а) и (6-526).
Сопоставляя (6-56) и (6-55), на-
ходим, что
Вср=Ф/2а&=Жйуа (6-57)
И
H=5cp/fio^o=7-^-thy«. (6-58)
/сороа
В последнем выражении можно вы-
полнить еще одно преобразование,
подставляя £ по (6-47),
При этом выражение для средней
проницаемости пластины принимает
вид:
— /1^2=Р th уа уа. (6-59)
При малых значениях можно поль-
зоваться разложением в степен-
ной ряд
th уа—уа р — —
+ А(уО)4_.
Io J
при ЭТОМ
и/и=1--^ + А(уо)4_..
О 10
= 1 —^(«iwO2^— • ••
10
—/юцр,0оя2/3 — • • (6-59а)
Средняя проницаемость — комплекс-
ная величина, даже когда проницае-
мость самого вещества — веществен-
ное число (отсутствие магнитных
потерь). Как видно из (6-59а), ве-
щественная часть средней проницае-
мости уменьшается с ростом ]уа|.
При больших значениях Re(y&)
можно считать, что th уа -> 1 и
jx/jx = \jya= 1/а V. (6-596)
Последнее выражение соответствует
«сильному поверхностному эффекту’»
или «высокой частоте», при которой
пластина остается «непрозрачной»
для электромагнитной волны: с каж-
дой стороны распространяется зату-
хающая волна
Н= (6-60)
где п — расстояние от поверхности
пластины. При этом напряженность
электрического поля на поверхности
пластины
Ё^Н.. (6-61а)
При такой высокой частоте слагаю-
щие поля, касательные к поверхно-
сти,— ортогональны; при ' этом на
единицу поверхности входит поток
мощности
т’о+№о=вд=4/:*=^о^ (6-616)
или
P0=Re(^C)=Re(^/C). (6-61в)
В этом случае магнитный поток
прямо пропорционален периметру,
как это следует из (6-56). Дальней-
шее увеличение толщины пластины
не приводит к увеличению магнит-
ного потока, так как магнитное поле
все равно не проходит в глубину,
пластина не «промагничивается».
254
Потери на вихревые токи. Энер-
гия переменного магнитного поля,
необратимо переходящая в тепло-
вую энергию за единицу времени,
называется рассеиваемой мощ-
ностью. В ферромагнитном провод-
нике с вещественной магнитной про-
ницаемостью (ц,,==0) вся рассеивае-
мая мощность определяется суще-
ствованием вихревых токов (J =
= оЕ=^=0). При этом в каждом эле-
менте объема по закону Джоуля—
Ленца выделяется тепловая мощ-
ность
dP= — j2dV—EzodV. (6-62)
а
Интегрируя это выражение по всей
толщине пластины, можно найти
«потери на вихревые токи» в пла-
стине; обычно их относят к единице
объема (или веса).
Однако, хотя и нетрудно взять
интеграл от квадрата модуля Е, вы-
ражаемого равенством (6-52), сле-
дует предпочесть .более общий ме-
тод; к тому же он, как правило, про-
ще приводит к цели: комплексная
мощность, рассеиваемая в пластине,
равна мощности, поступающей в нее
через боковые поверхности; послед-
няя равна интегралу от вектора
Пойнтинга. На единицу площади
пластины приходится поток мощ-
ности (рис. 6-9)
n0=E0E0-gE0thya-E0; (6-63)
а на единицу объема
So==7’o+/Qo=2Пр/2а=Я2 с th уа/а=
= Н%]‘(£>Щ1,0 th уа[уа. (6-64)
В (6-64) мощность, отнесенная
к единице объема, выражается через
среднюю (эффективную) комплекс-
ную проницаемость (6-59), частоту
и напряженность поля в соответст-
вии с ранее выведенной формулой
(5-57)
So=-Po+/Qo=7/o>Mo (R—т2)- (6‘65)
Полные потери на перемагничи-
вание. В простейшем случае линей-
ной среды потери на гистерезис мо-
гут быть учтены представлением
петли гистерезиса в виде эллипса,
площадь которого (в координатах
В, Н) равна гистерезисным потерям
за один цикл. При этом (см. § 3-5)
проницаемость самого вещества вы-
ражается комплексом
р=р/ — /р"=ре“/8. (6-66)
Если заменить проницаемость веще-
ства ее комплексным выражением,
то формула (6-59) по-прежнему вы-
разит среднюю (эффективную)
комплексную проницаемость пла-
стины. При этом формулы потерь
(6-63) и (6-65) выражают полные
потери на перемагничивание, состоя-
щие из потерь «на вихревые токи»
(т. е. обусловленных вихревыми то-
ками) и гистерезисных потерь. Раз-
деление общих потерь на эти два
вида далеко не всегда представляет
простую задачу.
Пример 6-1. Найти индуктивное сопро-
тивление тороида, содержащего п=50 вит-
ков при средней длине сердечника 2=8 см.
Сердечник свернут из ферромагнитной ме-
таллической ленты шириной 6=1,0 см, тол-
щиной 2 а=0,15 мм. В сердечнике уклады-
вается /п=30 слоев ленты, изолированных
один от другого. Поперечное сечение торои-
да, занятое воздухом, изолирующими про-
слойками и каркасом из диэлектрика, под-
держивающим обмотку, So =1,45 см2. Часто-
та переменного тока f=8 кгц. Проницае-
мость и проводимость ленты р=10 000 и
о=5 • 104 сим!см.
Решение. Ленту можно считать не-
прозрачной для электромагнитного поля ча-
стотой 8 кгц, поскольку для данных при-
мера по (6-386) а2я=2 a У сощюо/2=
=5,95 и, следовательно, при прохождении
толщи листа амплитуда каждой волны
уменьшается приблизительно до 0,25%.
При этом на поверхности ленты (6-61а) Ео=
= £//0 и в ленте сечением SM=m*26z6 =
=0,45 см2 магнитный поток (6-55), (6-56)
Фм = тЕ$ЬЦ(& — т^2ЬНаЦ(и.
Зр&сь nfl.
К этому потоку следует добавить «воз-
душный поток», т. е. поток в изоляционных
прослойках, воздухе и т. п.,
Фо = p-o^oSo.
По определению индуктивность L—n&II.
поэтому
/ 2б£\
L, == ~~~ । Ро*$о Ч- . ) •
I \ JCO /
Первое слагаемое в этом выражении не от-
личается от формулы индуктивности торои-
да с магнитной проницаемостью сердечника
ц=1 при поперечном сечении So. Напротив^
второе слагаемое имеет вид, обусловленный
существованием поверхностного эффекта;
кроме того, второе слагаемое — комплекс-
ная величина.
255
Вычисляя, находим, что первое слагае-
мое ничтожно мало и комплексное сопро-
тивление тороида
Z =/<о£ = (!+/) 149
Глубина проникновения. Из
основного решения (6-39) видно, что
при распространении плоских волн
внутри проводящей среды затухание
амплитуды каждой слагающей про-
исходит по экспоненциальному за-
кону. При этом, пройдя в глубь ме-
талла путь
х0 = 1/а, (6-67)
амплитуда волны убывает в еах° = е
раз. Это расстояние условно назы-
вают глубиной проникновения. Ко-
нечно, на самом деле поле проника-
ет и на большую глубину, но при су-
щественно уменьшающейся ампли-
туде.
Как следует из всего изложенно-
го, для плоских волн в проводящей
среде можно определить фазовую
скорость Цф как скорость, с которой
перемещается гребень волны (мак-
симум напряженности поля) при
гармоническом возмущении на по-
верхности и при отсутствии встреч-
ной волны. При этом длина волны X
(6-41) определяется как расстояние
между двумя ближайшими друг к
Другу гребнями. В среде с вещест-
венными параметрами (а = р =
= V соццоо/2) на протяжении х==Х=
=2л/р амплитуда уменьшается в е2тс
раз, т. е. уменьшается до значения
~ 0,0018 исходного. Поэтому оче-
видно, что во всех случаях, когда
размеры тела близки к длине волны,
можно считать такие тела совер-
шенно непрозрачными для электро-
магнитного поля. Практически с не-
сколько меньшим основанием счита-
ют тела непрозрачными и в том
случае, когда волна должна пройти
путь, превосходящий удвоенную глу-
бину проникновения. Если радиус
кривизны поверхности заметно пре-
восходит глубину проникновения по-
ля (в 2—3 раза), то для приближен-
ных расчетов можно полагать по-
верхность плоской и считать, что
внутрь проводящей среды распро-
страняются плоские волны (см. так-
же § 6-3, пример 6-5).
Цилиндрический экран. На рис.
6-12 изображен полый металличес-
кий цилиндр неограниченной длины.
Он должен защищать (экраниро-
вать) внутреннюю область от внеш-
него переменного поля, напряжен-
ность которого Но параллельна оси
цилиндра: радиус цилиндра велик
по сравнению с толщиной стенок
Гг Л?—r$=a, проводимость и про-
ницаемость стенок аир,.
Приближенный расчет экрани-
рующего действия такого цилиндра
легко произвести, полагая, что в
стенке движутся плоские волны, так
что
Я-А^+А^; (6-68)
координату х условимся отсчитывать
от внутренней поверхности экрана.
Постоянные А\ и А2 можно опреде-
лить по двум известным значениям
напряженностей электрического или
магнитного поля при тех или иных
значениях координаты. Так, напри-
мер, при известных значениях на-
пряженности магнитного поля на
внутренней (Я1) и внешней (Яо) по-
верхностях экрана находим, что
Я^А+А; Яо^Л^ + А^.
(6-69)
Теперь на двух поверхностях усло-
вия различны, тогда как в ранее рас-
смотренной пластине трансформа-
торного сердечника условия были
одинаковы. Но дело не только в не-
симметрии (#1=/= Яо); гораздо важ-
нее то, что условиями задачи вообще
задано только Яо, а величину как
раз и требуется определить. Дейст-
вительно, коэффициент экранирова-
ния, т. е. достигнутый эффект, опре-
деляется отношением
256
k^H^H». (6-70)
Иначе говоря, величина Hi ищет-
ся, а не задается.
Но Hi однозначно связано с Еь
т. е. с напряженностью электричес-
кого поля на внутренней поверхно-
сти экрана, во-первых, уравнением
Ё^АХ-А^ (6-71)
а во-вторых, уравнением, выражаю-
щим фарадеевский закон электро-
магнитной индукции,
2лг1Ё1——janri [i0Hх. (6-72)
В последних уравнениях предполо-
жено, что Hi = Hiz и Е1=Ё1У (рис.
6-12). Сопоставляя (6-71), (6-72) и
первое из равенств (6-69), находим,
что
А %, + Ио
2 12Г — /<оггЦо
(6-73)
Подставляя (6-73) в (6-69), находим
после простых преобразований, что
Ho/H^ch уа + -±-Г; J/ /®р,0о/р sh уа.
2 (6-74)
Расчет, подобный изложенному, при-
меним только в тех случаях, когда
длина волны переменного магнитно-
го поля в среде, окружающей ци-
линдр и заполняющей его полость,
много больше диаметра экрана. Дей-
ствительно, только при этом можно
считать, что на всех точках каждой
из поверхностей экрана напряжен-
ность магнитного поля одинакова
(Н=Н0 при г = ге и H=Hi при
r<rt).
Пример 6-2. Найти коэффициент экра-
нирования для цилиндрических экранов
гг=2,50 см, г<?=2,52 см: 1) медного при ча-
стоте f=l Мгц с проводимостью в=
=5 • 105 сим!см и 2) ферромагнитного при
/=100 гц, ц=100 000, о=5*104 сим]см.
Толщина экранов а=ге—1\.
Решение. В обоих случаях данные
подобраны так, что аргумент гиперболичес-
ких функций одинаков
уа = (1 4- /) а сорроО/2 = 2 ,8(1+ /);
его вещественная часть столь велика, что
sh уа ch уа е^а.
Модуль множителя при shyn в (6-74)
один раз очень велик, а другой очень мал
по сравнению с 1. Действительно, для мед-
ного экрана он равен 248 и в 105 раз боль-
ше, чем для ферромагнитного.
Экранирование в этих двух случаях раз-
лично: для медного экрана HJHq—4,9-10~4,
а для ферромагнитного — всего 0,122. Оно
различно, хотя в толще экрана в обоих
случаях распространяется практически толь-
ко волна, направленная к оси от перифе-
рии, и в обоих случаях затухание волны
(ё~аа) одинаково. Различный коэффициент
экранирования получается только за счет
различного характеристического (волнового)
сопротивления среды. В условиях этого
примера £Fe = 10gcir
Чтобы понять этот результат, нужно
глубже вникнуть в теорию распространения
и отражения электромагнитных волн (гл. 7).
Полезно самостоятельно определить ко-
эффициент экранирования для медного эк-
рана при частоте 100 гц.
Обсуждение результатов. При
рассмотрении цилиндрического экрана мо-
жет возникнуть сомнение в обоснованности
выбранного метода анализа. Не обстоит ли
все значительно проще? В цилиндре индук-
тируется ток, как в короткозамкнутом вит-
ке; его размагничивающее поле ослабляет
поле внутри. При таком подходе, совершен-
но разумном, все определяется проводимо-
стью экрана. Но в случае двух экранов с
равными ва, т. е. с одинаковой проводимо-
стью для постоянного тока, экранирующее
действие может оказаться существенно раз-
личным при разных магнитных проницае-
мостях, т. е. при разных уа. Например, эк-
ранирующее действие ферромагнитного
экрана (р= 104) значительно выше, чем мед-
ного или алюминиевого с такой же прово-
димостью ва. Можно и здесь найти объяс-
нение: из-за большей проницаемости ферро-
магнитного экрана при одном и том же
внешнем магнитном поле большим оказы-
вается магнитный поток, наводящий э. д. с.
Это — тоже правильно. Но приведенный
выше анализ, основанный на максвеллов-
ских уравнениях, безусловно обладает пре-
имуществами общности и более полным
выявлением картины электромагнитных про-
цессов.
Заметим еще, что наличие продольной
щели, прорезанной в цилиндре, нарушает
экранирующее действие. С точки зрения
максвелловской теории это происходит по-
тому, что электромагнитные волны свобод-
но проходят через щель; с точки же зрения
теории короткозамкнутого витка щель на-
рушает проводимость (виток разомкнут).
Интересно самостоятельно решить задачу,
отличающуюся от предыдущего примера
тем, что на внутренней стороне металличес-
кого цилиндра нанесен слой феррита про-
ницаемостью pi100 - 1 000 при ничтожной
проводимости 0=0; толщину слоя можно
принять равной а или 2а.
К расчету распространения плос-
ких электромагнитных волн сводит-
ся практически важный случай по-
верхностного эффекта в проводах
электрических машин (см. § 6-5).
17—476
257
6-3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ
В КОАКСИАЛЬНОМ КАБЕЛЕ
Случай сильно выраженного по-
верхностного эффекта. Рассмотрим
случай, когда глубина проникнове-
ния поля в жилу и оболочку кабеля
(рис. 6-13) мала по сравнению с ра-
диусом жилы и по сравнению с тол-
щиной оболочки. При этом поле и в
Рис. 6-13.
жиле и в оболочке практически пред-
ставляет собой плоскую волну, рас-
пространяющуюся к центру в жиле
и к периферии в оболочке (рис.
6-14).
Пусть в жиле ток I идет за плос-
кость чертежа (рис. 6-13), тогда на
поверхности жилы напряженность
магнитного поля
(6-75)
направлена по часовой стрелке (по-
ложительное направление Н при по-
ложительном токе f). Соответствую-
щая напряженность электрического
поля
(6-76а)
где — характеристическое сопро-
тивление материала жилы. Положи-
тельное направление вектора Ег- сов-
падает с направлением тока в жиле.
При этом паре векторов Еь Нг соот-
ветствует волна, направленная
внутрь жилы (рис. 6-14); такое же
направление имеет и соответствую-
щий вектор Пойнтинга.
В оболочке и положительное на-
правление тока и положительное на-
правление вектора электрического
поля противоположны (рис. 6-14).
Пара векторов Ёе и Не на внутрен-
ней поверхности жилы связана урав-
нением
H=ll2nre.
В рассматриваемых
(б-7бб)
где Ze— характеристическое сопро-
тивление оболочки; вектор Пойнтин-
га совпадает с направлением рас-
пространения волны — он направлен
к периферии (рис. 6-14). При этом
на внутренней поверхности оболочки
(6-77)
условиях
сильно выраженного поверхностного
эффекта частота должна быть до-
статочно высокой по условию для
глубины проникновения:
х0 = 1/К®Н|1оО/2« { (6-78)
где т — толщина оболочки.
Однако частота должна быть та-
кой, чтобы длина волны в среде,
изолирующей жилу от оболочки, бы-
ла велика по сравнению с расстоя-
нием между этими проводниками
Ге - Г/ « %.=оТ= . (6-79)
т/ п со
у S
В последней формуле с— скорость
света, а 8 — диэлектрическая прони-
цаемость изолирующей среды; при
этом предполагается что изолирую-
щая среда идеальна (8,z=0, о=0)
и ее магнитная проницаемость ц=1.
Если бы условие (6-79) не выполня-
лось, то оказалось бы необходимым
рассматривать распространение вол-
ны в радиальном направлении внут-
ри изолирующего слоя. При этом
уже было бы невозможно опреде-
лять напряженность магнитного по-
ля просто по закону полного тока
(6-75) и (6-77); действительно,
в пространстве между проводниками
мог бы существовать заметный ток
258
смещения в продольном направле-
нии.
Когда по кабелю происходит пе-
редача энергии, между проводами
(жилой и оболочкой) должно быть
приложено напряжение; ему соответ-
ствует радиальная слагающая на-
пряженности электрического поля.
Эта последняя вместе с напряжен-
ностью магнитного поля создает про-
дольную слагающую потока мощ-
ности. Как и в кабеле постоянного
тока (см. § 5-2, рис. 5-9), продоль-
ные слагающие напряженности поля
обусловливают лишь ответвления
в сторону к жиле и оболочке от по-
тока мощности, распространяющего-
ся параллельно оси.
Комплексное сопротивление ка-
беля. Для того чтобы определить
Zo — комплексное (полное) сопро-
тивление кабеля на единицу длины,
нужно найти падение напряжения
на единицу длины кабеля, а потом
разделить его на ток в кабеле. Пусть
t/H — напряжение между жилой и
оболочкой в начале участка кабеля
длиной Z, а С/к — напряжение в кон-
це этого участка; в таком случае
сказанное выражается формулой
(t/H-t/K)/Z^/Z0=/(7?0+/X0). (6-80)
Напряжение в каждом попереч-
ном сечении кабеля может быть
определено как разность потенциа-
лов жилы и оболочки или как инте-
грал от напряженности электриче-
ского поля вдоль радиуса
ге.
Фе= J Ёг dr. (6-81)
rt
Поскольку уже известны значе-
ния продольных слагающих напря-
женности поля на поверхности жилы
и оболочки (Д и Ее), искомое паде-
ние напряжения (Z7H—t7K) можно
найти, применяя второе уравнение
Максвелла к прямоугольному конту-
ру, показанному пунктиром на рис.
6-13 и образованному двумя отрез-
ками радиусов и двумя линиями, па-
раллельными оси и проходящими по
внешней поверхности жилы и внут-
ренней поверхности оболочки; на-
правление обхода контура и соот-
ветствующее положительное направ-
ление магнитного потока связаны
правилом правоходового винта:
^Ёй=(Д.+4)/+^к-(7н=
= — /со J BdS= — /соФ (6-82а)
ИЛИ
f7H-t/K=(Ez+£e)/+/o)d). (6-826)
Магнитный поток, пронизываю-
щий наш контур, есть поток «воз-
душной» индуктивности:
ф=7Ьв—/Z
в 2л г,-
Эта формула выводилась еще в гл. 1.
Напряженность электрического
поля содержит в общем случае как
потенциальную составляющую Еф =
=—gradcp, так и вихревую ЕА =
= —/соА. Выделяя эти составляющие
в формуле (6-82а), получаем:
(£.. + М/-/и (Л+4Р +
+ U, — V.=— /аф. (6-82в)
Но (Л1+Ае)'1 — это интеграл от
векторного потенциала, равный, по
определению, магнитному потоку,
сцепленному с контуром интегриро-
вания; в силу сказанного в выраже-
нии (6-82в) соответствующие члены
равенства можно сократить, запи-
сав его в таком виде:
Ц^ + Ё9е)1 = ин-ик, (6-82г)
где — это слагающие, равные
минус градиенту потенциала.
Последнее уравнение со всей на-
глядностью показывает, что падение
напряжения определяется целиком
падением потенциала вдоль прово-
дов; это естественно, поскольку в
рассматриваемых условиях напря-
жение представляет собой разность
потенциалов между жилой и оболоч-
кой в заданном поперечном сечении
(2=const). Поэтому падение напря-
жения (6-82г) есть разность разно-
стей потенциалов.
В случае сильно выраженного по-
верхностного эффекта величины Е<
и Ёе определяются формулами
(6-76), а входящие в них значения
напряженностей магнитного поля
выражаются через I по закону пол-
17*
259
ного тока. Поэтому после простых
преобразований из (6-826) полу-
чаем:
([7Н UK )/1 — I /со Z0B +
+CJj/2jtrz+^/72nre= /Zo,
откуда
^o—^o+/^o“
- ^./2лп + £е/2лге + >Z0B, (6-83)
где
^,е=/ Н,е1*Л,е-
Первые два слагаемые содержат
и вещественную часть, равную ак-
тивному сопротивлению 7?0, и мни-
мую часть, равную внутреннему ре-
активному сопротивлению; к ним до-
бавляется последнее слагаемое —
реактивное сопротивление воздуш-
ной индуктивности.
Существенно заметить, что пер-
вые два слагаемые обратно пропор-
циональны периметру, а не сечению,
как в случае сопротивления посто-
янному току.
Конечно, сопротивление при по-
стоянном токе (/?оп) меньше, чем со-
противление при переменном токе
(/?о). Это очевидно из того, что при
заданном токе I тепловые потери,
определяемые по закону Джоуля —
Ленца, минимальны, когда плот-
ность тока распределена по сечению
проводника равномерно.
При высокой частоте (т. е. при
сильно выраженном поверхностном
эффекте) отношение названных со-
противлений
D ID _ V ____
^oz/^on- 2яг. aznrz_
=гг p,0cri:2'|/r 2 ; (6-84а)
для оболочки
ЗДя = 2 т (Г +т/2) =
= р0 <те (1 1 2 * • (6-846)
Пример 6-3. 1. Определить комплексное
сопротивление медного коаксиального кабе-
ля (рис. 6-13): ri = \ мм\ ге = 7 мм\ Ог = ^е =
=5,5-105 сим/см\ толщина оболочки х=
=2 мм\ изоляцию можно считать совершен-
ной (а=0); 8=1,2; |л=1. Частота перемен-
ного тока f—1 Мгц.
2. Определить отношение активного со-
противления к сопротивлению при посто-
янном токе.
Решение 1. При заданной частоте
в диэлектрике длина волны %е =300/1^8 —
=274 м, а глубина проникновения в медь
(6-67) х0=0,068 мм. Таким образом, для
приведенных данных можно определить
Zo по формуле (6-83) J:
= /Хо —48,8-j- j 24,5-102 ом/км.
"Сопротивление, обусловленное внутрен-
ней индуктивностью, численно равное
много меньше реактивного сопротивления
воздушной индуктивности.
2. Сопротивление жилы и оболочки то-
го же кабеля при постоянном токе 7?Оп =
=6,0 ом/км. Сопротивление при переменном
токе в 8,15 раза больше сопротивления при
постоянном токе.
Общий случай поверхностного
эффекта в кабеле. Когда проводни-
ки тока прозрачны или полупрозрач-
ны для электромагнитных волн, т. е.
когда в кабеле глубина проникнове-
ния одного порядка с радиусом жи-
лы Гг и ТОЛЩИНОЙ обоЛОЧКИ T, ПрИХО-
дится считаться с проникновением
электромагнитного поля во всю тол-
щу проводника. В этом случае диф-
ференциальное уравнение, подлежа-
щее решению, усложняется.
Уравнение (6-12) для электричес-
кого поля
V2E=/co Е
в цилиндрической системе коорди-
нат записывается сравнительно про-
сто:
— 7 = (6-85)
г dr I дг /
поскольку Ё~Ег\ при этом может
применяться формула для квадрат
наблы от скаляра (v2 ф) \ кроме то-
го, Ё не зависит ни от координаты
2, ни от координаты а.
Напряженность магнитного поля
имеет только а-ю составляющую.
При этом операция v2 не тожест-
венна операции над скалярной функ-
цией. Найти соответствующее выра-
жение в цилиндрической системе
проще всего, проводя дифференци-
рование в соответствии с (6-3)
и (6-4) в цилиндрических координа-
тах. Поскольку Н=На, находим, что
1 При столь большой относительно ра-
диусов длине волны к кабелю еще можно
применять общую теорию длинных линий.
260
rot H=e, Г— — (rH) 1
[ г dr J
И
rot rot Н=— е — Г— —(гН) 1 =
а dr L г дг 7 j
=—/cojxpLo О' Н. (6-86)
Подставляя в (6-85) и в (6-86)
вместо единственного независимого
переменного г переменное «кси»
—/o)ppi0(T —/, (6-86а)
придаем этим уравнениям наиболее
простой вид:
^ + J_1^ + £=O; (6-87а)
dg2 g dg
(6-876)
В последних уравнениях частные
производные заменены обыкновен-
ными, так как и Н и Ё суть функции
единственного переменного
Заметим еще раз, что Ё = Ег и
Н—Н^ вследствие чего уравнения
(6-87) различны, хотя они представ-
ляют собой выражение (в цилинд-
рических координатах) одного и то-
го же уравнения (6-12).
В дополнение к уравнениям
(6-87) существуют еще три гранич-
ных условия:
1) Н=Н^112пгг при г—1\\
2) Н=He=i/2nre' при
3) Н=0 при г—ге+х.
И еще четвертое необходимое ус-
ловие: Н и Ё остаются ограниченны-
ми при г=0.
Условия 1 и 4 служат для опре-
деления двух постоянных интегриро-
вания в решении для жилы кабеля,
а условия 2 и 3 — для определения
двух постоянных интегрирования
в решении для оболочки.
Уравнения (6-87) тщательно ис-
следованы в математике; они пред-
ставляют частные случаи уравнения
Бесселя порядка п:
&У i 1 _|_ Л
dx2 1 х dx \ х2
*/=0;
(6-87а) — уравнение нулевого по-
рядка, (6-876) — первого. Их реше-
ния представляются в виде линей-
ной комбинации бесселевых функ-
ций первого Jn(l) и второго рода
Yn(g) порядка п.
Так, для электрического поля
Ё = Ez= Ао Jo ®+В0 Yo ©, (6-88а)
а для магнитного
(6-886)
Буквами Ап и Вп обозначены по-
стоянные интегрирования.
Практически при выполнении ре-
шения достаточно определить напря-
женность или магнитной, или элект-
рической составляющей поля, так
как другая легко может быть найде-
на по одному из уравнений Макс-
велла.
Наиболее удобно в условиях по-
ставленной задачи представлять Я=
^=На через Ё=Ёг по второму урав-
нению Максвелла, которое приводит
к такому результату:
Н = — —, (6-89)
К
где £ («дзета») — волновое сопро-
тивление.
Для жилы напряжен-
ность поля выражается через бессе-
левы функции первого рода:
Е^-/£^Л0(Э/Л1(У;
(6-90а)
где Hi = 1/2 nri — напряженность
магнитного поля на поверхности жи-
лы; — значение аргумента при
Г = Г<-
Сопротивление жилы, по опреде-
лению равное Ё^Ц выражается фор-
мулой
zOi=tiii = =
2nr£Jx(^)
(б-906»
Jtrf О 2 J1 (fei)
Множитель 1/лгг-2сг есть сопро-
тивление жилы радиусом г2- при про-
текании постоянного тока. Значение
второго множителя O,5gJo (g) /Ji (g)
для заданного g=g$ непосредствен-
но можно найти в распространенных
261
таблицах бесселевых функций (см.
приложение 4).
На рис. 6-15 представлены гра-
фики функций Jo(g) и Ji(6) ПРИ
Вывод формулы (6-90). В общем
решении (6-88) постоянные Во=О
и Bi =0, так как бесселевы функции
второго рода неограниченно возра-
стают, когда их аргумент стремится
к нулю:
Y0(0)->oo, Yx(0)->oo.
Вместе с тем очевидно, что значения
напряженности поля на оси (г=0)
должны оставаться конечными. При
этом выражения (6-88) для жилы
упрощаются
Ё=£г=Л0Л0(|);
Н = Н=АХ\®. (6-91)
В теории бесселевых функций
показывается, что для любой из ци-
линдрических функций порядка О
. (6-92)
и в частности
dJ0^/d^ = -^. (6-93)
Поэтому из второго уравнения Макс-
велла
rot Ё=—еа дЁ/dr=—j ®р,р0 Н
следует, что
дг 0 dr
= — Ао Jx (Е) ]/— /со ^и0 о .
Производя алгебраические пре-
образования, находим г:
Н=-Ао^~, (6-94)
Л
где £ = ]//© р|10/сг — волновое сопро-
тивление среды. Последний резуль-
тат соответствует формуле (6-89).
Поскольку при г=г?- напряжен-
ность магнитного поля определяется
по закону полного тока Я2=7/2ягг-,
находим значение постоянной ин-
тегрирования:
Ло- —/U 2nrf Jx (gz).
1 При алгебраических действиях с кор-
нями из комплексных величин легко прийти
к результатам, различным по знаку. Чтобы
избежать неоднозначности, можно реко-
мендовать представлять аргумент в показа-
тельной форме е^\ так чтобы k1 2 остава-
лась меньшим 1. Например, следует считать,
что —/=е~^2, а не хотя оба
выражения представляют одну и ту же
точку на комплексной плоскости.
262
Подставляя найденное значение Ао
в (6-91), приходим к (6-90).
Пример 6-4. Определить для данных
примера 6-3 при другой частоте, а именно
f=67,5 кгц, комплексное сопротивление жи-
лы и отношение ее активного сопротивле-
ния (Roi) к сопротивлению при низкой ча-
стоте (7?оп). Сравнить результат с прибли-
женным расчетом, выполненным в предпо-
ложении распространения плоской волны
(как при высокой частоте).
Решение. Чтобы воспользоваться
формулой (6-906) вычисляем
7?оп = 1/лг2. о = 5,78 ом/км
и
= '•j V— Р-0 0 =5.4 V— j
По таблицам (приложение 4) для х=5,4
находим
0,5 Ь Jo (gz)/Ji (gz) = 2,88 /40^42'.
После чего вычисляем
Zoz = 16,7/40° 42Л = 10,9 + j 12,6 ом/км,
В отличие от примера 6-3 (где частота бы-
ла 1 Мгц) теперь глубина проникновения
больше (%о=0,264 мм). Поэтому у нас мень-
ше оснований для приближенного расчета,,
основанного на предположении о плоской
волне. По такому расчету находим:
Zoz = ^zCz// = Cz/2Jtrz-
= 15,7 /45° ом/км = 11,1+ j 11,1 ом/км.
Расхождение, однако, небольшое.
В оболочке коаксиального кабе-
ля толщиной т выражения (6-88)
для электрического и магнитного по-
ля содержат как функции первого
рода (Jo и Ji), так и функции второ-
го рода (Yo и Yi). Все функции оста-
ются конечными, если модуль их ар-
гумента конечен и отличен от нуля.
Это условие и выполняется для обо-
лочки конечной толщины. Однако,
при высоких частотах аргумент мо-
жет оказаться все же очень боль-
шим. При этом модули функций
и первого рода и функций второго
рода также становятся очень боль-
шими; модули всех функций, входя-
щих в (6-88) неограниченно растут,
когда модуль аргумента стремится
к бесконечности.
Обратимся к простым физичес-
ким соображениям. При достаточно
толстой оболочке кабеля поле не
должно проникать наружу; на внеш-
ней стороне оболочки напряжен-,
ность поля и плотность тока долж-
ны обращаться в нуль. Действитель-
но, электромагнитное поле распро-
страняется из зазора между жилой
и оболочкой и оно должно затухать
в оболочке быстрее, чем затухает
плоская волна, так как наряду
с рассеянием энергии в проводящей
среде с ростом радиуса расширяется
фронт волны.
Таким требованиям могут удов-
летворять линейные комбинации
функций первого и второго рода.
Эти комбинации называют бесселе-
выми функциями третьего рода или
функциями Ганкеля:
H<1> = Jn + /Y„;
H<2)=J„-/Y„. (6-95)
здесь п — порядок функций; два ви-
да этих функций отличаются ин-
дексами 1 и 2, поставленными в скоб-
ках над буквой. При отрицательной
мнимой части аргумента, т. е. когда
g=x ]/"—/, с ростом х модуль стре-
мится к нулю у функции с индексом
(2), т. е.
lim Н„2) (х = 0.
X—>СО
Сказанное позволяет утверждать,
что именно эта функция выражает
волну, распространяющуюся от оси
к периферии (по радиусу). График
функций Ho2)(g) и Hi2)(£) показан на
рис. 6-15. Когда оболочка коакси-
ального кабеля непрозрачна, для
электромагнитной волны поле выра-
жается функциями
£=Ёг=а0Н^(5),
(6-96)
Н=Н=а^($.
Применяя к случаю непрозрач-
ной оболочки выводы, только что
примененные к жиле, найдем значе-
ние постоянных
&)
И
где Я1 = 1/2 пг\ — напряженность
магнитного поля на внутренней по-
верхности оболочки. Аналогично оп-
ределяем внутреннее сопротивление
непрозрачной оболочки:
263
(6-97)
-к н<2> (Ь)
2«Г! Н<2> (g,)
Пример 6-5. Оболочка кабеля выполне-
на из свинца 0=4,55 • 104 cumIcm. Ее внут-
ренний радиус п=3 мм. Толщина оболоч-
ки более 3 мм. Частота переменного тока
67,5 кгц.
1) Найти сопротивление оболочки, слу-
жащей для возврата тока, проходящего по
жиле.
2) Определить во сколько раз уменьша-
ется плотность тока в оболочке на глубине
3 мм (г=6 мм), полагая известным, что
I Hq |=0,000350 при аргументе ^2=9,36]^—д
3) Сравнить последний результат с
расчетом, основанным на предположении
распространения вглубь оболочки плоской
волны.
Решение. 1) Прежде всего находим
значение аргумента бесселевых функций
уравнения (6-97)
h = ?1 V — /со Ио а = 4,68 ,
а также волновое сопротивление
£ — р^/соро/п =3,42-10 j ом.
По таблицам (приложение 4) находим
Нр (gi)/^2^) = 0,928/0,958-90°=
= 0,928/86°.
В таком случае по (6-97)
Z01 = 16,8^/ 41°ърм/км.
2) Отношение напряженностей электри-
ческого поля т] и плотностей тока на внут-
ренней поверхности (rj=3 мм) и на глу-
бине 3 мм (т. е. при г2=6 мм) на основа-
нии (6-96) выражается отношением ганке-
левых функций нулевого порядка с индек-
сом 2:
т) = (g2)/H(<2) (gi)| = 0,0265.
При вычислении принято g2=l,28gi =
= 9,36/~=7.
3) В случае плоской волны находим
п = е"3-31 «0,0366,
где 3,31=0,3^ <оцо<т/2.
Но следует принять во внимание, что
помимо рассеяния энергии по закону Джоу-
ля— Ленца фронт волны увеличился в два
раза (от 2лТ1 до 2зт2Г1); поэтому даже при
таком же рассеянии энергии и экспоненци-
альном уменьшении потока мощности мож-
но ожидать, что напряженности поля долж-
ны уменьшиться в \/~2 раза Ч При этом
исправленное значение
Лиспр — 9>0259,
что очень близко к найденному в пункте 2.
- *
1 Поток мощности ПЪтсг—ЕНЪпг—
=E23irl'C}*. Если бы при неизменном потоке
радиус увеличился в 2 раза, то напряжен-
ность поля должна уменьшиться лишь в”К2.
Представим себе трубу в качест-
ве электрического провода (рис.
6-16, а); если угодно, можно считать,
что она находится на месте жилы
в коаксиальном кабеле. Когда по
трубе проходит переменный ток I на
ее поверхности (г=Г2) образуется
магнитное поле Н=1!2я>Г2, прони-
Рис. 6-16.
кающее с периферии вглубь. Если
толщина оболочки трубы непрозрач-
на для электромагнитной волны, то
очевидно, что электромагнитное по-
ле в ней описывается теми же урав-
нениями, что и поле в сплошном
круглом цилиндре. Действительно,
если поле не проникает через толщу
трубы, то на ее поверхности не мо-
жет появиться сигнал, по которому
можно было бы узнать, есть ли дыр-
ка внутри цилиндра, т. е. труба это
или сплошной цилиндр. Это значит,
что в таком случае решение пред-
ставится для продольного электри-
ческого поля бесселевой функцией
первого рода, нулевого порядка. Ес-
ли же изнутри распространяется
встречная волна (например, в слу-
чае тонкостенной трубки), то появ-
ляется слагаемое, описываемое ган-
келевой функцией. Например, для
E = EZ решение принимает вид:
£=£2=А>оН<2) (g)+m0 Jo (g). (6-98)
264
Как непосредственно следует из
определения ганкелевой функции с
индексом 1 (6-95), последняя фор-
мула может быть записана и в та-
ком виде:
Ё=Ёг=а0 HP (Э+&0 Н^> (В). (6-99)
При этом все дело лишь в другой
форме записи постоянных интегри-
рования. Легко показать, что
k0=a0 — b0 и т0—2Ь0.
В соответствии со сказанным
можно считать, что ганкелевы функ-
ции с индексами 2 и 1 выражают ци-
линдрические волны в проводящей
среде, распространяющиеся соответ-
ственно от оси к периферии (2) и от
периферии к оси (1). Сказанное
справедливо для принятого здесь
выражения аргумента —/.
Значение постоянных а0 и &о(илиАо
и т0) определяется из двух гранич-
ных условий на внутренней и наруж-
ной поверхностях трубы. Как в слу-
чае сплошной жилы или одной вол-
ны, распространяющейся к перифе-
рии, можно и в последнем случае
выразить значение напряженности
магнитного поля, т. е. а-ю состав-
ляющую через производные от функ-
ций нулевого порядка, имея в виду,
что
(6-100)
ИЛИ
^^- = -KZ7h<p)(D. (6-101)
Из двух выражений (6-98) и
(6-99) следует предпочитать первое,
так как оно позволяет не вводить
новую функцию Но1^), соответст-
вующую волне, бегущей из перифе-
рии к оси.
Некоторые обобщения. Кроме
простейшего случая коаксиального
кабеля изложенный выше метод
можно применять к ряду иных слу-
чаев распространения цилиндричес-
ких электромагнитных волн в про-
водящих средах.
На рис. 6-16 показаны четыре
разных случая, когда векторы поля
описываются уравнениями, типа рас-
смотренных ранее:
F=/^fe0H<2)(g)+/n0J0(Q,
(6-102)
В зависимости от конкретных ус-
ловий F представляет собой вектор
электрического поля (Е), а Р — век-
тор магнитного поля (Я), или на-
оборот.
Во всех случаях, чтобы упростить
определение постоянных интегриро-
вания, можно твердо придерживать-
ся такого правила: за основное сле-
дует считать первое из уравнений
(6-102), независимо от того, выра-
жает оно электрическую или магнит-
ную напряженность поля, а ко вто-
рому уравнению переходить по од-
ному из уравнений Максвелла, не
вводя при этом новых постоянных.
Если внутри проводящей оболоч-
ки помещен длинный ферромагнит-
ный стержень с продольной перемен-
ной намагниченностью, то в такой
системе (рис. 6-16, б) напряженность
электрического поля имеет а-ю сла-
гающую, а магнитного — z-ю (Еа и
Hz). В этом случае граничное усло-
вие внутри оболочки определяется
по закону Фарадея
4z=—/®Ф/2лГ1,
где Ф — поток в сердечнике, а и —
внутренний радиус оболочки.
Второе граничное условие в ука-
занной задаче состоит в том, что на
внешней поверхности H=HZ=G.
На рис. 6-16, в показана схема
намагничения трубы; она соответст-
вует задаче об экране (§ 6-2). При
более точном решении две экспонен-
циальные волны уравнения (6-68)
должны быть заменены цилиндри-
ческими, т. е. (6-68) следует заме-
нить уравнениями (6-102). Электри-
ческое поле рассматриваемого экра-
на имеет а-ю составляющую, а маг-
нитное поле — 2-ю. Наконец, на рис.
6-16,2 повторена схема коаксиально-
го кабеля. На всех рисунках показа-
но направление векторов волны,
убегающей от оси (на внутренней
стороне оболочки) и векторов вол-
ны, бегущей к оси (с внешней сто-
роны оболочки). Направление рас-
18—476
265
пространения волны всегда совпа-
дает с направлением соответствую-
щего вектора Пойнтинга.
6-4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В ПРОВОДАХ ДВУХПРОВОДНОЙ
ЛИНИИ
Большое расстояние между про-
водами. Если расстояние между
проводами 2а велико по сравнению
с их радиусом г0, то влиянием маг-
нитного поля соседнего провода мо-
жно пренебречь — напряженность
(Н) обратно пропорциональна рас-
стоянию до оси. Сказанное позволя-
ет сопротивление каждого из парал-
лельных круглых проводов с учетом
поверхностного эффекта рассчиты-
вать как сопротивление жилы коак-
сиального кабеля (6-906). В таком
случае можно считать сопротивле-
ние каждого провода с учетом по-
верхностного эффекта и потом для
определения полного сопротивления
добавить реактивное сопротивление,
обусловленное магнитным потоком
в воздухе.
Таким образом, для двухпровод-
ной линии с круглыми проводами
радиусом Го
Zo= + .
л/? a Ji (li) п го
Близкое расположение проводов.
Эффект близости. В этом случае
каждый из проводов находится не
только в поле идущего по нему то-
ка, но и в магнитном поле тока со-
седнего провода. В результате на
распределение электрического по-
ля в проводе добавочно влияет эле-
ктрическое поле, наведенное в од-
ном проводе изменением магнитного
поля другого провода. Это влияние
называют эффектом близости.
К сожалению, при этом сколько-
нибудь простое интегрирование
уравнений невозможно (трудно да-
же формулировать граничные усло-
вия) . 4
Физически понять влияние сосед-
них проводов, напротив, очень легко,
рассматривая поля высокой частоты,
когда поверхностный эффект сильно
выражен; такие поля рассматрива-
ются в § 6-6.
Эффектом близости можно объ-
яснять и тот факт, что в коаксиаль-
ном кабеле плотность тока в обо-
лочке убывает с ростом радиуса.
Это действительно обусловлено маг-
нитным полем тока в жиле. Если бы
ток в жиле отсутствовал, то в обо-
лочке плотность тока возрастала бы
к периферии.
Практически для проводов шаб-
лонной конфигурации пользуются
расчетными формулами, выведенны-
ми из опыта, т. е. просто берут из
справочников активное и реактивное
сопротивления проводов такой-то
марки и конструкции. Заметим еще,
что провода бывают свиты из ряда
проволок; часто они изготовляются
из двух металлов, например сталь —
алюминий, сталь — медь. В случае
проводов нового сечения и нового
взаимного расположения рекоменду-
ется проводить предварительные ис-
следования на моделях (см. § 6-7).
Провод — земля. В системах пе-
редачи энергии, а также в системах
связи представляет значительный
интерес случай, когда обратным
проводом для тока служит земля.
В энергетических системах пере-
менного тока это, как правило, толь-
ко аварийный режим. При постоян-
ном токе необходимо считаться
только с сопротивлением в местах
растекания тока с заземляющих эле-
ктродов; на остальном протяжении
ток распространяется на столь боль-
шое сечение, что сопротивление
практически обращается в нуль. На-
против, при переменном токе вслед-
ствие поверхностного эффекта поле
проникает не слишком глубоко и от-
ношение
(Яоз + /^Оз)
(где Е3 — напряженность электри-
ческого поля на поверхности земли)
определяет активное и реактивное
сопротивление, обусловленное про-
теканием тока по земле.
Об учете внутреннего магнитно-
го поля при определении индуктив-
ности. Если рассматривать индук-
тивность как коэффициент в выра-
жении реактивного сопротивления1,
1 Т. е. не рассматривать роль индуктив-
ности при определении механической силы
притяжения или отталкивания, что связано
с изменением энергии поля.
266
то учет внутреннего магнитного по-
ля имеет смысл только в тех случа-
ях, когда э. д. с., вызываемую этим
полем, нельзя считать ничтожно ма-
лой по сравнению с э. д, с., обуслов-
ленной потоком между проводами,
или по сравнению с активной состав-
ляющей падения напряжения в про-
водах. Но в таких случаях протека-
ние переменного тока неизбежно
связано с неравномерным распреде-
лением тока в проводе (т. е. со скин-
эффектом) и влияние внутреннего
магнитного поля должно учитывать-
ся так, как это делается в теории
поверхностного эффекта. В тех же
случаях, когда э. д. с., вызываемая
внутренним потоком, мала и не при-
водит к перераспределению тока в
проводе, влиянием внутреннего маг-
нитного потока можно просто пре-
небречь.
Так, определяя собственную ин-
дуктивность петли из двух парал-
лельных проводов при 2а>г0, мы
полагали, что
L0 = -^ln(2a/r0)=
Л
=4-1О~41п(2я/го), гн)км.
Но в литературе часто вводят до-
бавочный член, обусловленный по-
током внутри самих проводов, и пи-
шут:
Lo = -И» /1п —+ 0,25\
Л \ /"о /
Если он играет заметную роль по
сравнению с первым слагаемым и,
кроме того, индуктивное сопротив-
ление соЛо нельзя ‘ считать ничтожно
малым по сравнению с /?0, то необ-
ходимо учитывать внутреннюю ин-
дуктивность, исходя из расчета рас-
пределения поля в проводе, иногда
учитывая и эффект близости.
Пример 6-6. Определить индуктивное
сопротивление двухпроводной линии при
расстоянии между проводами 2а=2 м и ра-
диусе провода г0=Г см. Провода считать
сплошными медными цилиндрическими. Ча-
стота: 1) /=50 гц и 2) /=800 гц.
Решение. В обоих случаях воздуш-
ная индуктивность £0в=2,11 мгн/км. При
этом учет дополнительного члена 0,25 go/л,
приведенного в последней формуле этого
параграфа, составляет ^5%. Сопротивле-
ние постоянному току двух проводов 7?Оп =
=0,116 ом)км.
При частоте 50 гц реактивное сопро-
тивление составляет:
Хов — ®£ов = 0,664 ом 1км.
При этом gi = l,47 —/, когда /=50 гц
и комплекс внутреннего сопротивления (для
двух проводов петли)
Zoi = Roi + jXoi = 0,122 + / 0,0354 omIkm.
Активное сопротивление незначительно
увеличивается, а внутреннее индуктивное
сопротивление мало отличается от допол-
нительного слагаемого, обусловленного «уче-
том внутреннего потока» при постоянном
токе: слагаемое со *0,25 цо/л=О,О314 ом!км.
При более высокой частоте f=800 гц
имеем Хов = 10,6 ом!км, а комплекс внутрен-
него сопротивления Zoг=0,296+/0,21 ом]км.
Внутреннее реактивное сопротивление мень-
ше, чем получается путем учета внутренне-
го потока, когда со • 0,25 ЦоМ=О,5О ом!км.
Заметим в заключение, что при боль-
ших частотах внутреннее реактивное сопро-
тивление растет пропорционально корню из
частоты (см. § 6-3), тогда как учет внут-
реннего потока добавочным постоянным
слагаемым в выражении для АОв приводит
к кажущемуся росту внутреннего реактив-
ного сопротивления, пропорциональному
частоте.
6-5. ПРОВОДА В ПАЗУ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ
Расчет в предположении распро-
странения плоской волны. Можно
считать, что в медных или алюми-
ниевых проводах (ц=1), заполняю-
щих ферромагнитный паз (рис. 6-17),
распространяется плоская электро-
магнитная волна, электрическое по-
ле которой Ё=ЁХ, магнитное Н =
= НУ\ волна распространяется в на-
правлении оси г.
18*
267
Основанием для такого предпо-
ложения служит прежде всего боль-
шая проницаемость ферромагнетика
(ц^ оо), проводимость которого
в направлении оси х равна нулю,
так как ферромагнетик состоит из
стальных листов, нормальных к оси
машины (ось х) и друг от друга
изолированных. В этих условиях
вектор напряженности магнитного
поля должен входить в стенки паза
практически под прямым углом, что
и позволяет приближенно считать
линии магнитного поля параллель-
ными оси у.
В рассматриваемой системе мож-
но считать известным общее выра-
жение для векторов Н и Ё:
(6-103а)
Ё=ЁХ= Схе~^+ C2elz, (6-1036)
где у=]/ /сор,0о.
Вместо двух уравнений с незави-
симыми постоянными интегрирова-
ния Д1, А2, Ci, С2 целесообразно од-
но из них получать из другого, осно-
вываясь на одном из уравнений
Максвелла. Так, из первого уравне-
ния го!Н = сгЁ при учете того, что
Н=НУ и что поле зависит только от
координаты г, находим после под-
становки Я из (6-103):
Ё= ЁХ=С (Де”'2 — Аетг), (6-104) ,
где по-прежнему g=y/a.
Остается только определить по-
стоянные Ai и А2, исходя из кон-
кретных'условий задачи. Пусть, на-
пример, в пазу заложены два про-
вода (рис. 6-17) высотой hi и h2 с то-
ками /1 и /2; пусть оба провода мед-
ные и, следовательно, для обоих
проводов одинаковы значения у и £.
Решим сначала задачу для ниж-
него провода. Для этого перенесем
z начало отсчета z на верх нижнего
провода. Значения постоянных Ai
и А2 при этом определятся из гра-
ничных условий для 2=0 и z=h2.
При 2=Л2 (дно паза) напряжен-
ность поля равна нулю:
Ну = А1ё~'^+ А2е<Нг = 0. (6-105)
Действительно, при конечном
значении Ц+/2 магнитный поток,
охватывающий провода в открытом
пазу, должен быть конечным, так
как магнитный поток должен замы-
каться через воздух. Но если поток
конечен, а проницаемость ферромаг-
нетика бесконечно велика, то напря-
женность поля в ферромагнетике
равна нулю. Кроме того, мы знаем,
что касательная слагающая напря-
женности поля не претерпевает раз-
рыв (не меняется скачком). Все ска-
занное и приводит к условию
(6-105).
При 2=0 (между проводами)
Н = + Л2 = /2/6, (6-106)
где Ъ — ширина паза. Последнее
условие непосредственно следует из
(6-105) в сочетании с законом пол-
ного тока: выбрав контур, идущий
от левой стенки к правой между
проводами, а дальше замыкающий-
ся по ферромагнетику, получим:
^ftdl=^&=/a.
Из (6-105) и (6-106) находим, что
/„ • —to e~^h‘
g — ________22 g
2b sh yh2 2 2b sh yh2 *
Следовательно, по (6-103a) и (6-104)
H= 1* __e-r(ft2-2)y _:
2Z?shyA2
= A shY(/t2 —z) (6407a)
b sh yh2
И . Д
(6-1076)
b sh yh2
где 2 отсчитывается от верха ниж-
него провода.
Из найденного решения легко
прийти к простейшему случаю един-
ственного провода в пазу. Для этого
достаточно предположить, что пол-
ная глубина паза h-=h2 (при этом
можно считать /2=/, Л = 0, &i = 0).
Для верхнего провода (рис. 6-17)
решение ищется аналогичным путем.
Перенеся начало отсчета z к верху
первого провода и определяя по-
стоянные Ai, А2 из граничных усло-
вий 7/=72/& при 2 = Л1 и Я=
268
= \h+i2)/b при z = 0*, находим для
первого провода:
— г)
b sb
к?И?_+*Н(*г-г). (6.ю8а)
b sh у ht
Ё ==
j ch у (Лх ~ г) ____
1 sh у hi
•j ch yz — ch у (hi — z)
2 sh y^i
В рассмотренной системе мы встре-
чаемся со всеми типичными особен-
ностями распространения плоских
волн: результирующее поле склады-
вается из двух волн, распространяю-
щихся одна навстречу другой. В са-
мом низу второго провода (на дне
паза) магнитное поле равно нулю.
Это значит, что там векторы магнит-
ного поля двух встречных волн рав-
ны и противоположны.
Несмотря на приближенный ха-
рактер расчета (предположение, что
всюду Н = НУ), его результаты до-
вольно близки к измеренным. Экс-
периментальное определение зави-
симости Ё(г) можно произвести, из-
меряя на поверхности провода на-
пряжение
EQl = U
. (6-1086)
между двумя острыми электродами,
прижатыми к проводу (рис. 6-18).
Провода, идущие от электродов
к вольтметру, должны быть распо-
ложены так, чтобы замкнутый кон-
тур, по которому производится ин-
тегрирование, по возможности не
был сцеплен с магнитным потоком,
так как только при этом можно счи-
тать, что
(£ЁД = Ёо1 — й = о,
где U — напряжение, измеряемое
вольтметром. В противном случае
в правой части последнего равенст-
ва вместо нуля следовало написать
—/®Ф.
Рассеяние энергии в проводах
Чему же равно сопротивление про-
вода в пазу? Насколько увеличи-
* Н определяется по закону полного
то&а жри том, что H—Q для £=/44-^2-
ваются тепловые потери в проводе
из-за «поверхностного эффекта»?
Энергию, рассеиваемую в прово-
дах, легко найти по вектору Пойн-
тинга. Так, для нижнего провода
(рис. 6-17) поток вектора Пойнтин-
га входит только через верхнюю по-
верхность провода. Этот поток на
единицу длины провода равен:
Po + jQo — ЁНЬ.
Вещественная часть этого выра-
жения и есть искомое необратимое
рассеяние энергии, которое можно
представить как /2R0, следуя закону
Джоуля—Ленца.
*После подстановки значений Ё
и Я из (6-107) при 2=0 (для верх-
ней поверхности нижнего провода)
находим, что
/2^о-^о = &Ке(ЕЯ)-
= /2 Re cth yh2 j .
Отношение вещественной части
выражения, стоящего в фигурной
скобке, к сопротивлению при посто-
янном токе, равному (ба/^)”1, и слу-
жит мерой увеличения сопротивле-
ния из-за поверхностного эффекта
k = Re (уй2 cth yh^. (6-109)
Мы пришли к формуле, подоб-
ной уже встречавшейся ранее при
рассмотрении распространения
плоских электромагнитных волн в
проводящей среде [ср. (6-59), § 6-2].
Сопротивление одного провода
высотой h = hi = fe, занимающего
весь паз, больше четверти двух по-
269
следовательно соединенных прово-
дов высотой й1=Л2 = /г/2.
Сопротивление таких двух после-
довательных проводов легко рассчи-
тать, полагая
6-6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
В СЛУЧАЕ СИЛЬНО ВЫРАЖЕННОГО
ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА
Первое приближение. В первом
приближении расчет поверхностного
эффекта значительно упрощается,
так как можно исходить из простого
предположения, что поле внутрь
Рис. 6-19.
На поверхности проводника
(рис. 6-20) она представляет собой
составляющую электрического век-
тора плоской электромагнитной вол-
ны, входящей внутрь проводника по
нормали п°, направленной внутрь
проводника. Эта волна имеет напря-
женность магнитного поля, каса-
тельную к поверхности, H=Ht.
В таком случае электрическая
напряженность поля, как было по-
Рис. 6-20.
проводника не проникает; а это,
в свою очередь, значит, что на по-
верхности проводников вектор Н
имеет только касательную состав-
ляющую, а вектор Е только нор-
мальную (см. схематический рис.
6-19).
Сказанное легко объяснить —
нормальная слагающая вектора' Е
прерывается на электрических по-
верхностных зарядах и не проникает
в глубь проводника, тогда как нор-
мальная слагающая вектора В не
претерпевает разрыва на поверх-
ности проводника и, следовательно,
существование нормальной слагаю-
щей вектора Н на поверхности пред-
полагает его внедрение в глубь ме-
талла.
Первым приближением очень
удобно пользоваться для расчета
электромагнитного поля в изолирую-
щей среде вне проводников.
Второе приближение. Вслед за
первым приближением можно пред-
положить, что на поверхности про-
водника все же существует, хоть
и незначительная, касательная сла-
гающая напряженности электриче-
ского поля.
казано ранее (6-506), в проводнике
около его поверхности
Ё-ШХп°, (6-110)
где £ — волновое сопротивление сре-
ды. Применение выражения (6-110)
к поверхности проводника называют
граничным условием Л е о н-
тов и ч а.
На рис. 6-19 представлено поле
полосковой линии — тонкая медная
полоска над сплошной медной пла-
стиной — при сильно выраженном
поверхностном эффекте, но при ус-
ловии, что длина волны в воздухе
(Xo = c/f) еще много больше, чем
расстояния между проводами и ши-
рина полоски. Последнее условие
позволяет рассматривать электриче-
ское поле в изолирующей среде как
потенциальное (квазистатическое).
Линии магнитного поля (Н)
в этой системе совпадают с экви-
потенциалями (ср = const) электро-
статического поля. В самом деле,
именно линии равного потенциала
касаются поверхности проводовх.
1 В любом поперечном сечении поверх-
ность провода эквипотенциальна; кроме
того, продольную слагающую поля (Ez—Et)
270
Важно отчетливо понять, что такой
характер линии магнитного поля
имеют только в случае сильно выра-
женного поверхностного эффекта,
когда глубина проникновения
1/ ]/" сорроо72 < г, где г — какой-либо
характерный размер сечения про-
вода.
В случае слабо выраженного по-
верхностного эффекта или его отсут-
ствия линии магнитного поля могут
Рис. 6-21.
входить и внутрь проводника. Возь-
мем для примера точку g на поверх-
ности круглого провода двухпровод-
ной линии (рис. 6-21); положение
точки выбрано так, что ее расстоя-
ние до оси левого провода Oi с то-
ком Л в 2 раза меньше расстояния
до оси второго провода О2 с током
/2=Л. Соответствующие слагаю-
щие Hi и Н2 изображены на
рис. 6-21; там же показан и вектор
Н результирующего поля.
При сильно выраженном поверх-
ностном эффекте в той же точке g
результирующая напряженность
магнитного поля параллельна векто-
ру Нх,она обусловлена теми же то-
ками Л и /2, но при их распределе-
нии с неравномерной плотностью по
поверхности проводов.
Электрическое поле между про-
водами однозначно определяется
эквипотенциальностью проводов в
рассматриваемом поперечном сече-
нии. Сетке линий Е соответствует
единственная ортогональная сетка
линий — это сетка эквипотенциалей.
В каждой точке изолирующей
среды магнитное поле также одно-
значно определено линиями Н, охва-
всегда можно считать малой по сравнению
с нормальной слагающей, как в поле линии
постоянного тока.
тывающими прямой и обратный про-
вода; это поле вновь удовлетворяет
уравнению Лапласа, так как rot Н =
=0 и div Н = 0. Но граничные линии
на поверхности проводов совпадают
для эквипотенциалей и для линий Н.
Этого достаточно, чтобы системы
линий совпадали всюду. Магнитное
поле вне проводов при этом совпа-
дает с полем токов, расположенных
на «электрических осях» +т и —т.
Пропорциональность магнитной
и электрической напряженностей по-
ля. В любой точке изолирующего
промежутка между параллельными
проводами существует прямая про-
порциональность между ортогональ-
ными векторами Ей Н (рис. 6-19):
E = kti. (6-111)
Здесь имеются в виду только сла-
гающие вектора Е, лежащие в плос-
кости, нормальной к оси проводов.
Коэффициент пропорционально-
сти k зависит от приложенного на-
пряжения U, тока I и конфигурации
рассматриваемых проводов, точнее
говоря, от их емкости Со или индук-
тивности Ло = Цо8о/Со на единицу
длины 1 * * *:
i т"'' т т С С0 С Цо
^ = £-'я=ТГ=7Т- <6-112*
I ео I ьо
Вывод этого выражения приводится
ниже.
Как уже говорилось, во втором
приближении, после того как опре-
делена напряженность магнитного
поля на поверхности провода H=Ht,
можно определить и продольную
слагающую напряженности электри-
ческого поля на поверхности
Ez = l>Ht, (6-113)
которой мы пренебрегали при пер-
вом приближении; ей соответствует
плотность тока на поверхности
Jz = (rfz. (6-114)
При сильном поверхностном эф-
фекте ток проходит лишь в тонком
поверхностном слое и амплитуда его
плотности экспоненциально убывает.
1 Понятия £о, сохраняют еще пол-
ностью вкладываемый в них смысл, если
длина волны в воздухе много больше рас-
стояния между проводами.
271
Этот ток полностью экранирует
внутреннюю область от магнитного
поля. Поэтому закон полного тока
позволяет заключить, что поверх-
ностный ток (рис. 6-20) ,
Is = Ht. (6-115)
Вывод формулы (6-112). Суще-
ствование пропорциональности меж-
ду векторами Н и Ё непосредствен-
но следует из их ортогональности,
так как при этом они могут быть вы-
ражены на комплексной плоскости,
как векторы, пропорциональные гра-
диентам от и или от v, например:
Н = — с± уи, Е = — е2 vv,
при u+jv = w=f(2), где z=x+jy
[см. § 4-8, формула (4-1636)]. Из
теории функций комплексного пере-
менного следует, что при этом
| уш |=| уи |, т. е. что И и Е пропор-
циональны.
Здесь ставится задача опреде-
лить значение коэффициента про-
порциональности k=E)H.
Интегрируя по линии магнитного
поля, охватывающей провод, на ос-
новании закона полного тока нахо-
дим, что
Если по поясу единичной ширины,
представленному в сечении тем же
самым контуром, взять поверхност-
ный интеграл от напряженности
электрического поля, то на основа-
нии теоремы Гаусса найдем, что
(j) ~ Qo/во == kf)
здесь Qq=UCo — заряд на единицу
длины; последняя часть равенства
написана из сопоставления с преды-
дущим результатом в предположе-
нии того, что En=kH. Полученное
равенство приводит к (6-112).
К тому же результату можно
прийти, беря интеграл вдоль линии
электрического поля, соединяющей
два электрода. В этом случае
2
1
Интеграл от Н вдоль этой же ли-
нии (при H±dl) равен магнитному
т
потоку, сцепленному с проводами
(на единице их длины),
2
Ро j Hndl = Фо = IL0 = РоJ7jk.
1
Последняя часть равенства на-
писана из сопоставления с предыду-
щим в предположении, что H=E(k,
Пример 6-7. По параллельным прово-
дам воздушной линии (рис. 6-21) проходит
ток I при сильно выраженном поверхност-
ном эффекте. Определить плотность тока Jz
и поверхностный ток Is в точках 1 и 2, ле-
жащих на линии, соединяющей оси прово-
дов; сопоставить плотности токов на внут-
ренней и внешней сторонах проводов. Дано:
го=О,5 см\ s=2,4 г0; сг=5,5 • 105 сим!см\
f=10 кгц.
Решение. Прежде всего, пользуясь
формулой (6-112), надо определить
#/=£«-4“- (а)
U
Для этого ищем Еп по формулам электро-
статики (см. гл. 1, примеры 1-13 и следую-
щие, а также рис. 4-29, а и § 4-9). В точке 1
. т 2а
Еп1 —-----------------(б)
2Л8О (r0+s/2)2-a2 V 7
где а~У (s/2)2—г20, а заряд на единицу
длины провода x=UCq.
Поэтому в той же точке по формуле
(а)
— Asi»
q 4 -}- 1
(Ю
где ч=$/2го.
Иначе говоря, напряженность магнитно-
го поля в точке 1 равняется умноженной
на Y Ч2—1/(ч + 0 напряженности, кото-
рая существовала бы на поверхности про-
вода в. отсутствие влияния соседнего прово-
да (7/2зтг), т. е. в отсутствие эффекта
близости.
В точке 2
Ё =_Е_____________2о___
"2 2ле0 o2 — (s/2—г0)2
S2*
Л______/
t2 2лт0 Ч — 1
Отношение поверхностных токов и напря-
женностей поля в точках 2 и 1
НЛ = (ч + 1)/ (ч-1).
В условиях задачи 4 = 1,2 и, следовательно,
Продольная составляющая напряжен-
ности электрического поля на поверхности
проводника
Ez^t>Ht и =
при
Y =]/Л/<оц0о = (1 + /)]/соцоо/2 .
Следовательно,
. _1+/ I PV-i
г 0,068 2лг0 Т] ± 1 ’
где знак плюс в знаменателе соответствует
точке /, а знак минус — точке 2.
Для заданной геометрии находим Jz\ =
=7-2,0 Z45° см~2: Jz2=/.21,9 Z45° см~2.
Заметим, что при равномерном распре-
делении тока (в отсутствие поверхностного
эффекта и эффекта близости), т. е. при
«низкой частоте», плотность тока всюду
одинакова и значительно меньше
7 . _9
J==: «7г2 ==: п === 7 • 1,27 см .
Физический смысл эффекта бли-
зости. Из всего изложенного в этом
параграфе, а также из расчетов пос-
леднего примера очевидна неравно-
мерность распределения плотности
тока в проводнике: плотность тока
тем больше, чем больше поле в при-
легающей диэлектрической среде.
Это просто объясняется представ-
лениями о проникновении магнитно-
го поля в проводящую среду и о пе-
редаче энергии электромагнитным
полем, распространяющимся между
проводами, которые служат лишь
направляющими (§ 5-2). Перемен-
ное поле, переносящее энергию
вдоль проводов, ответвляется в про-
водящую среду, причем амплитуда
продольного электрического поля
пропорциональна тангенциальной
слагающей магнитного
Кроме того по (6-112) Ht и Ёп про-
порциональны друг другу. Поэтому
в двух параллельных проводах, не-
сущих встречные токи, наибольшая
плотность тока в ближайших друг
к другу частях проводов. Картина
становится другой, когда по двум
параллельным проводам идут оди-
наковые токи, а обратным проводом
служит, например, пластина, как
показано на рис. 6-22; в этом случае
наибольшая плотность тока в ниж-
них частях проводов.
Интересно представить себе кар-
тину поля в системе рис. 6-23, когда
токи I в круглых проводах имеют
различное направление: при высо-
кой частоте магнитное поле не мо-
жет проникнуть в глубь пластины
и линии магнитного поля проходят
по касательной к ее поверхности.
Это осуществимо благодаря тому,
что в пластине под проводами ин-
Рис. 6-22.
дуктируются токи, противополож-
ные по знаку току в проводе, лежа-
щем над поверхностью. Картина по-
ля над пластиной может быть при-
ближенно найдена, если заменить
пластину зеркальным изображени-
ем проводов с токами противопо-
ложного направления (рис. 6-23).
Очевидно, что теперь наибольшая
плотность тока в круглых проводах
оказывается в участках поверхно-
сти, наиболее близких к соседним
проводникам.
Пример 6-8. В проводах рис. 6-23 про-
ходят токи / частотой f=107 гц. Провода
проходят над поверхностью медной пласти-
ны, толщина которой много больше глуби-
ны проникновения. Пользуясь системой изо-
бражений, представленных на рис. 6-23, най-
ти распределение поверхностного тока на
пластине и положение точек, где этот ток
максимален по амплитуде. Оси проводов
расположены на высоте а=1 мм\ расстоя-
ние между осями 2а=2 мм.
273
Решение. Полагая начало координат
в центре системы проводов и их зеркаль-
ных изображений (показанных на рис.
6-23), находим, что
. . - 1а
1 1
(х + я)2 + я2
г ь
|_(х — а)2 -|- а2
4а2 х
л (4а4 + х4)
Положение точек максимальной плот-
ности тока легко найти, приравнивая нулю
производную по х. Координаты этих точек
х—± 1,075 а.
Внутреннее комплексное сопро-
тивление. По ранее введенному оп-
ределению очевидно, что для каждо-
го из параллельных проводов внут-
реннее комплексное сопротивление
на единицу длины провода ‘опреде-
ляется равенством [см. (6-80) и
(6-826)]
2ог= Ez/i.
Выражая продольную слагаю-
щую напряженности поля Ёг по
(6-113) — (6-111), находим, что при
высокой частоте
= (6-116)
и Со
где Еп — нормальная слагающая
напряженности электрического по-
ля на поверхности провода. Эта на-
пряженность определяется из расче-
та потенциального поля, и поэтому
очевидно, что отношение EJU — ве-
щественная величина, имеющая
размерность, обратную длине, и
ZOi не зависит ни от тока, ни от на-
пряжения.
Рассеиваемая мощность. Энер-
гию, вносимую электромагнитным
нолем внутрь проводника за едини-
цу времени (мощность), можно оп-
ределить как поток вектора Пойн-
тинга; вещественная часть этого по-
тока, выраженного в комплексной
форме, и равна тепловым потерям
или рассеиваемой мощности.
Выражение тепловые «потери»
применимо к системам передачи
энергии. В случае высокочастотной
электротермии нагрев высокоча-
стотным полем и представляет цель,
поэтому переданная активная мощ-
ность — полезная. Так, например,
система на рис. 6-23 может рассмат-
риваться как двухпроводный «ин-
дуктор», питаемый током высокой
частоты для нагрева лежащей под
ним плиты. Вследствие того что
электромагнитное поле не проника-
ет глубоко, нагревается преимуще-
ственно поверхностный слой, что
оказывается технологически выгод-
ным, например, для осуществления
поверхностной закалки стали. Ак-
тивная мощность, особенно в тех
случаях, когда речь идет о потерях
в проводах, может быть определена
и по закону Джоуля — Ленца.
Приближенность изложенных
расчетов. Вследствие эффекта бли-
зости плотность тока на поверхно-
сти проводов различна, поэтому
различными оказываются и про-
дольная напряженность электриче-
ского поля в разных точках поверх-
ности провода (Ez) и вычисленное
по ним сопротивление ZQi, Однако
это утверждение противоречит пред-
положению о том, что магнитный по-
ток не проходит внутрь проводника.
В самом деле, возьмем линейный
интеграл вдоль замкнутого контура,
в который входят образующие на
диаметрально противоположных
сторонах цилиндра (7 и 2) и два
диаметра (рис. 6-24). В точках 1 и
2 продольные слагающие поля Ezi
и Ez2 различны (см. пример 6-7), а
внутри проводника отсутствуют
вовсе радиальные слагающие элект-
рического поля, поэтому
(£ Ё dl = (Ёг1 — Ёг2) =
= — /<вФо=/=О (6-117)
[см. также уравнение (6-82а), § 6-3].
В последнем выражении интегри-
рование произведено по длине /=1
и соответственно поток Фо — это по-
ток, входящий в провод на единице
его длины; Фо Ф 0, если Ez\ Ez2
(рис. 6-24).
Заметим, что Фо по фазе сдви-
нут относительно главной части по-
тока Фо, проходящей по воздуху.
Различное определение активно-
го сопротивления Ео приводит к не-
однозначному определению рассеи-
ваемой мощности по закону Джоу-
ля — Ленца /27?о, и результат может
отличаться от расчета через поток
274
вектора ПойнтингаJ. Последнее
обычно дает более точный резуль-
тат, к тому же иногда только такой
расчет и может быть выполнен, на-
пример, при расчете мощности, пе-
редаваемой проводящей пластине
расположенными над ней провода-
ми (рис. 6-22 и 6-23).
Рис. 6-24.
Пример 6-9. Найти активную (сред-
нюю) мощность, отдаваемую пластине па-
рой проводов, рассмотренных в примере
6-8. Проводимость медной пластины о=
=5,5 • 105 сим/см.
Решение. На поверхности пластины
нормальная составляющая вектора Пойн-
тинга Hn=EzHx при EZ — QIX имеет значе-
ние П=^.
Интегрируя вещественную часть потока
по х от 0 до оо и умножая результат на 2,
получим активную мощность на единицу
длины пластины (вдоль проводов)
оо
P0=Re(g)2 \H1 2dx. (а)
О
Подставляя вместо Нх его значение из
формулы, найденной в решении примера
6-8, приходим к интегралу
/2- 16а4 Г х2 dx
л2 J (4а4 + х4)2
о
(б)
Подынтегральное выражение убывает
очень быстро, поэтому можно легко взять
интеграл графически или представить дроб-
ное выражение каким-либо рядом. Но в на-
шем случае интеграл представляется конеч-
ным выражением2 и просто равен ла~5/64.
1 Наиболее общим при определении Zc
оказывается его определение через раз-
ность разностей потенциалов
[см. § 6-3, (6-82г) и следующий текст, а так-
же § 6-7].
2 См. Рыжик и Градштейн.
Таблицы интегралов и т. д., 1951, формулы
2.216.4 и 2.215 [Л. 4-4а].
Подставляя этот результат в (б), находим,
что
f Hxz dx = РЦпа. (в)
о
После подстановки (в) в (а) приходим
к ответу:
PQ ~ /2 ]/"<ор,0/2о /2ла = 72- 1,23 мет/см,
где ток в амперах. Таковы потери в медной
пластине из-за наведенных в ней токов.
6-7. МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПОВЕРХНОСТНОГО ЭФФЕКТА
Модель электрической системы
в уменьшенном масштабе. При ис-
следовании цепей сравнительно низ-
кой частоты и больших геометриче-
ских размеров удобно исследовать
поле и определять комплексное со-
противление на модели, физически
совпадающей с исследуемым объек-
том, но уменьшенной во всех своих
геометрических размерах.
Для того чтобы процесс проник-
новения электромагнитного поля
в металл в новом линейном масшта-
бе оставался прежним, необходимо
сохранить неизменным произведе-
ние (параметр Ценнека)
а2 сорр0 а = const, (6-118)
где а — один из линейных парамет-
ров системы.
При этом остается неизменным
аргумент функций, характеризую-
щих поверхностный эффект, т. е. §
или уа. Самый вид функций опреде-
ляется формой поперечного сечения
и остается неизменным при геомет-
рическом подобии.
Однако в любом из выражений
для сопротивления перед той
или иной функцией от § стоит мно-
житель
У а = К/<ор.р,о/а /а, (6-119)
как, например, в (6-906).
Иначе говоря, комплексное со-
противление проводника
(6-120)
а
поэтому, сохраняя инвариантным
F (g)—условие (6-118),, найдем
сопротивление модели (Z$) отлич-
ным от сопротивления натуры (Zo)
275
ZO = Z'O^, (6-121)
где или штрихом, или индексом 1
обозначены величины, относящиеся
к модели !.
Существенно еще заметить, что
при непосредственном измерении
сопротивления на входе пары про-
водов в результат входит еще реак-
тивное сопротивление ХОв, обуслов-
ленное потоком в воздушном про-
межутке между проводами. Это со-
противление прямо пропорциональ-
но частоте и (в первом приближе-
нии) не зависит от пропорциональ-
ного изменения линейных размеров
при моделировании, поскольку в вы-
ражение индуктивности (и собствен-
ной и взаимной) входит только от-
ношение линейных размеров, харак-
теризующих геометрию поперечного
сечения системы. Все сказанное, ра-
зумеется, затрудняет моделирова-
ние и расчеты, производимые на ос-
новании модельных данных.
Последние из указанных затруд-
нений не относятся к случаю магнит-
ного поверхностного эффекта, где
весь процесс ограничивается обла-
стью проводящего сердечника
(§ 6-2), а также к случаю поверх-
ностного эффекта в проводах, зало-
женных в пазы машины (§ 6-5),
так как в опыте отчетливо измеряет-
ся только распределение поля по
глубине провода и комплекс только
внутреннего сопротивления.
Переходные процессы. Из связи
переходных процессов с частотой
очевидно, что формула (6-118) мо-
жет быть применена и к переходным
процессам после замены в ней со на
т4, где т — некоторая характерная
для рассматриваемого процесса по-
стоянная времени. В таком случае
из равенства
а V р,ц0 о/т =
= Vp|i0 сг/tj = const. (6-122)
следует, что в модели (индекс 1)
изменен масштаб времени: время
в натуре t равно времени в модели
ti, умноженному на масштабный
1 Недостаточность условия (6-119) на-
гяядно выступает в примере с цилиндриче-
ским экраном ($ 6-2).
множитель
kt = t/tj = (ajatf, (6-123)
если проводимость и проницаемость
неизменны.
Пример 6-10. Модель паза с заложен-
ными в него медными проводами выполне-
на в масштабе */4 натуры. Проводимость
меди и в модели и в натуре одинакова а=
=5,5 • 105 сим!см. Частота переменного то-
ка в натуре 50 гц. В результате измерения
на наружной поверхности шины найдено,,
что
Ег11г = | Z011 = 1,51 • КГ*3 ом/м.
Требуется найти ‘сопротивление ]Z0| в на-
туре.
Решение. Частота при опытах на
модели должна составлять ft=800 гц, как
это следует из формулы (6-118). Что же ка-
сается соотношения сопротивлений натуры
и модели, то по формуле (6-114)
|2o| = |201|y--y = |Z01| -у =
cl т а
= 1^011/16 = 9,45-10~5 ом/м.
Очевидно, что к тому же результату
приводит и прямой анализ выражения для
напряженности электрического поля, когда
провод лежит в пазу [§ 6-5, формула
(6-1076)].
Пример 6-11. В сплошном ферромаг-
нитном сердёчнике прямоугольного сечения
поток достигает 50% установившегося зна-
чения потока через т=2,4 мсек после вклю-
чения постоянного внешнего магнитного по-
ля Hq—Ь а!см. Через какое время устано-
вится такая доля магнитного потока, если
все размеры сердечника увеличить в 10 раз,
сохраняя те же свойства материала и то же
значение внешнего поля Но?
Решение. Из соображений подобия,
выраженных формулой (6-123), находим,
что требующееся время в 100 раз больше,
т. е. 0,24 сек.
Примечание. При постановке зада-
чи и ее решении предполагалось, что нара-
стание магнитного потока задерживается
только влиянием вихревых токов, а не за-
висимостью магнитной проницаемости от
частоты.
Аналоговая модель. Поверхност-
ный эффект в параллельных прово-
дах можно моделировать посредст-
вом электрической модели, в кото-
рой протекают процессы, совсем от-
личные от натуры, однако такие, что
они выражаются через функцио-
нальные зависимости, пропорцио-
нальные зависимостям для натуры.
Такое моделирование называют ана-
логовым.
За последние годы привлек вни-
мание инженеров - исследователей
очень интересный метод аналогового
моделирования поверхностного эф-
276
фекта в системе параллельных про-
водников 1.
В натуре следующие уравнения
описывают систему:
внутри проводника
V2 Ё = /Wo °Ё-9 (6-124а)
вне проводника
V2 Ё = (j<d880 Дорр0) Ё =
= —-^-£ — 0; (6-1246)
здесь Ё=Ёг.
Второе уравнение говорит о том,
что влиянием токов смещения в про-
странстве между проводами можно
пренебречь (poeeo^—O).
Результирующую напряженность
всегда можно представить как сум-
му двух составляющих
ё=е;+.ёл=
= — grad ф — /со А.
(6-125)
На границе двух сред (i и е)
векторы магнитного поля должны
удовлетворять следующим условиям
непрерывности:
1 Этот метод был подробно разработан
и обоснован в Ленинграде К. С. Демирчя-
ном [Известия ОТН СССР, «Транспорт
и энергетика», 1963] и в Москве Г. С. Бор-
чаниновым («Электричество», 1967, № 6).
Первые публикации в существенно менее
полном виде содержались в американской
литературе (Н. К. Farr, W. R. Wilson,
Trans, AIEE, ч. II, т. 70, стр. 1301, 1951).
Названные исследователи основывались
на уравнениях для векторного потенциала.
Из приводимого здесь изложения видно,
что можно основываться на более нагляд-
ных уравнениях для напряженности элект-
рического поля.
Bnl=^i li0Hni=Bne^iie Но Нпе; (6-126)
обозначения понятны из рис. 6-25.
Ортогональная координатная систе-
ма t, п, z может быть названа мест-
ной декартовой системой, так как
для разных точек поверхности на-
правления t и п могут меняться.
Поскольку в основных уравнени-
ях (6-124) у нас фигурирует только
напряженность электрического поля,
то условие (6-126) можно выразить
через Е, пользуясь вторым уравне-
нием Максвелла,
rot Ё =
д/дгг 0
0 Ел
= ef дЁА /дп — ел дЁА/д1 =
= — /соцро Н. (6-127)
Здесь принято во внимание, что:
1) rotE = rotEA, так как rot Ёф=|);
2) по самой ^остановке задачи, поле
медленно изменяется вдоль коорди-
наты z (падение напряжения в про-
водах незначительно), и волны
вдоль линии имеют длину, много
большую всех размеров рассматри-
ваемого поперечного сечения; по-
этому считаем d/dz=0; 3) как внут-
ри, так и вне проводника вихревая
составляющая Ё имеет только г-ю
составляющую.
Отсутствие слагающей Еф в вы-
ражении (6-127) отнюдь не означа-
ет, что ее нет в пространстве между
проводами; напротив, эта слагаю-
щая часто превышает в миллионы
раз значение составляющей £zA =
=Ёа9 которая нами учитывается.
Итак, граничные условия (6-126)
для любой среды могут быть выра-
жены по (6-127) через г-е слагаю-
щие вихревой составляющей напря-
женности электрического поля:
_1_ 1 / дЁл \
Р/ \ дп j I р,е \ дп / е
№а
\ dt
Эти составляющие не претерпевают
разрыва на границе между двумя
различными средами I и е.
277
Рассмотрим модель, в которой
электромагнитные процессы описы-
ваются уравнениями, аналогичными
(6-124), при аналогичном выраже-
нии граничных условий (6-128).
Представим себе проводящий лист
(или пленку) толщиной b с прово-
димостью о; размеры листа полага-
ем неограниченными1. Пусть к
этому листу подводится перемен-
ный ток через электроды 1 и 2
(рис. 6-26). Этот ток растекается по
листу и характеризуется вектором
поверхностной плотности тока
F= —bagradV = —ggradV; (6-129)
здесь V — потенциал точек листа, за-
висящий от х, у; —a grad V=J&—
плотность тока (а/см2), a F=bJb —
поверхностная плотность тока
(а/см)\ из самой формулы ясно, что
g=ba.
При сравнительно высокой про-
водимости листа, его хорошей изо-
ляции и относительно низкой часто-
те переменного тока можно считать,
что токи утечки через окружающую
среду (включая и токи смещения)
отсутствуют и, следовательно,
divF = bdivJ* = O (6-130)
или
—div grad V = —v2V = 0. (6-131)
Сказанное относится ко всей по-
верхности листа, кроме его участ-
ков, находящихся под электродами.
Полагая, что электроды отделяются
от поверхности листа тонким слоем
диэлектрика с проницаемостью е
(рис. 6-27), найдем, что под элект-
родами к поверхности листа прите-
кает ток, имеющий плотность
J = (U — V)jtoi&Znla, (6-132)
где а — толщина диэлектрика; —
частота источника питания модели;
U — потенциал электрода (одинако-
вый во всех его точках).
Можно считать с достаточной
точностью, что плотность тока в ди-
электрике под электродом имеет
только г-ю составляющую J~iz.
1 Об устранении влияния границ плос-
кой электролитической ванны см. § 4-10,
формула (4-205) и следующие.
Притекание тока (6-132) в на-
правлении, нормальном к пластине,
приводит к тому, что дивергенция
поверхностного тока F становится
отличной от нуля; она равна имен-
но плотности притекающего к пла-г
стине тока Jz:
divF-Jz. (6-133)
Учитывая (6-132) и то, что
div F= — g div grad V=— g\/2 V,
после деления на —g приходим к
выражению
\/2V=(V—U) ja^/ga.
Имея в виду постоянство £7, можем
ввести —U под знак V2» после чего
приходим к искомому уравнению
модели
v2 (У—U)=(V—U). (6-134)
ga
Оно аналогично (6-124а); очевидна
также аналогичность уравнений
(6-1246) и (6-131). Выпишем еще
раз аналогичные пары, проведя в
явной форме разделение электриче-
ской напряженности на потенциаль-
ную и вихревую:
278
для проводящей среды
va (ёа+ё9) =/fiWo О(£д+£Ф);
(6-135а)
V2(V—(6-1356)
ga
для изолирующей среды
V2^-V2V-0. (6-136)
В последнее равенство введена
только вихревая составляющая; это
допустимо, поскольку v2 (Еа+Ё^=
= 0 и =0. Во всех уравнениях
(6-135), (6-136) ЁА=.ЁА2и Ё<? = Ёц>2.
Уже из уравнений (6-135),
(6-136) можно заключить о пропор-
циональности между следующими
величинами в натуре и модели:
----U, (6-137)
если соответствующие уравнения
имеют одинаковые решения. Пос-
леднее выполняется при одинаково
заданных источниках поля и гра-
ничных условиях.
Прежде всего необходимо соб-
люсти геометрическое подобие
натуры (поперечное сечение парал-
лельных проводов заданной систе-
мы) и модели (расположение элект-
родов, их форма, размеры, расстоя-
f ние между ними).
Кроме того, требуется опреде-
ленное соотношение между пара-
метрами натуры (со, ц, а) и пара-
метрами модели (®1, 8, a, g).
Требуемое соотношение найдем,
переходя от координат х, у к коор-
динатам g, т], выраженным в отвле-
ченных единицах. Для заданной си-
стемы проводов примем
g=x/Z; т\=у/1, (6-138а)
где I — какой-либо характерный ли-
нейный размер в плоскости попе-
речного сечения; соответственно в
модели примем:
£=*/4; *]=<, (6-1386)
где /м — аналогичный размер в гео-
метрически подобной конфигурации
электродов модели. При выполнении
этих условий границы сечения прово-
дов (электродов), расстояния между
ними и т. п. одинаково определяют-
ся в системе координат g, т] как для
модели, так и для натуры, а опера-
тор \2=д21дх2+д21ду2 в старых ко-
ординатах отличается от_ такого же
оператора в новых v2==d2/dg2+
+ д2!дт\2 только множителем I2 для
натуры и /2М для модели: v2==^2V2 и
V2-/2mV2.
В силу сказанного уравнения на-
туры и модели (6-135) можно пере-
писать так:
V2(^+£,(p)=j72©p,p0or (ЁА+Ё^-,
(6-139а)
V2(V-U) = jll^ ^(У-U)
ga
(6-1396)
для точек, лежащих внутри попереч-
ного сечения проводов или в моде-
ли под электродами.
Для остальной области
= (6-140)
Еще раз повторим, что границы
между этими областями определя-
ются в координатах g, ц совершен-
но одинаково для модели и для на-
туры (условие геометрического по-
добия).
Решение уравнений (6-139),
(6-140) приводит к пропорциональ-
ным функциям ЁА (g, j]) и V (g, -q),
а также (g, ц) и U (g, ц), если,
во-первых,
/2©рр0<т=^©1880/§а, (6-141)
т. е. если множители перед скобка-
ми в правой части (6-139) одинако-
вы, и, во-вторых, если граничные
условия на поверхности раздела
двух сред тожественны в натуре и в
модели для аналогичных величин,
что сводится по (6-128) к непрерыв-
ности “ (дЁА1дп) и dEAjdt. Это
значит, что в модели (рис. 6-28)
должны выполняться условия
~дп= ^nilSi—
= k^- = ~№^S. (6-U2)
При = и
dVildt=dVeldt. (6-143)
Второе условие выполняется
всегда, поскольку потенциал прово-
279
дящего слоя непрерывен. Что же
касается первого условия, то оно
выполняется только при
k=^i/li-e=ge/gi, (6-144)
поскольку нормальная слагающая
плотности поверхностного тока F
непрерывна, т. е. Fni=Fne.
Рис. 6-28.
Таким образом, условие (6-144)
дополняет условие (6-141) аналого-
вого моделирования.
Масштаб напряжения. В модели
разность потенциалов двух электро-
дов (например, 1 и 2 на рис. 6-26)
—и2 можно представить как
сумму падений потенциала под кра-
ем первого электрода (их—Vt) меж-
ду электродами (Vi—У2)и, наконец,
под краем: второго (V2—U2)'
+(V1-V2)4-(V2-t72). (6-145)
Каждое из трех слагаемых в по-
следнем равенстве соответствует оп-
ределенным величинам в моделиру-
емой системе и имеет отчетливо, вы-
раженный физический смысл.
Обозначим буквой М коэффици-
ент пропорциональности составлю-
щих напряженности поля в натуре и
соответствующих потенциалов в мо-
дели:
и=—МЁ^ V=--MEa (6-146)
[ср. уравнения (6-135) — (6-137)].
В таком случае первое и послед-
нее слагающие в правой части
(6-145) соответствуют напряженно-
сти электрического поля на поверх-
ности первого и второго проводов:
0- ^1“ М (Ё^+ЁА1)= ~ МЁ^
^2 V2= М (Ё^2~ЁЁА2^ ~ ^^ог-
Среднее слагаемое соответствует
разности вихревых составляющих
напряженности электрического по-
ля на поверхностях первого и вто-
рого проводов
Но разность, стоящая в скобках,
имеет простой физический смысл;
его легко понять, обращаясь к рис.
6-29: интеграл вдоль контура еди-
ничной длины по второму уравне-
нию Максвелла
ЁА1 ЁА2 ~
где Фо — поток на единицу длины.
Выбор направления обхода по кон-
туру и положительное направление
потока понятны из последней фор-
мулы в сочетании с рис. 6-29.
Представляя напряженность по-
ля на поверхности проводника как
произведение тока на внутреннее
сопротивление EOi—Ео2=IZQi и маг-
нитный поток как произведение тока
на индуктивность Фо=/Ео, можно
придать равенству (6-145) такой
вид:
(7Г= — MI (Zol+j(dLQ) =MU; (6-147)
здесь U — падение напряжения в
натуре.
Масштаб тока. В натуре
j = вЁ и
7= о JEdS=^E9S+ J BAdS),
(6-148)
где S — поперечное сечение прово-
да, ток в котором определяется; по-
скольку внутри провода потенциаль-
ная слагающая постоянна, множи-
тель Еф вынесен из-под интеграла и
результат представлен как произве-
дение ЕФЕ.
В модели под электродами плот-
ность тока (направленная по оси z)
•7M=(/®iee0/a)(17—V)
280
и ток
4=Oiee0/a) (t7SM — J V dSM];
(6-149)
здесь SM=S (l-Jl)2 — площадь соот-
ветствующего электрода модели.
Учитывая (6-146), придадим по-
следнему выражению такой вид:
4=— (/<О1е80/а)Л4(£ф SM+dS^.
(6-150)
Ь
1 /
V
Из его сопоставления с (6-148)
находим, что
(W*o / аи)М (/м//)2 / (6-151)
или, принимая во внимание (6-141),
4= — jaiWogML (6-152)
Масштаб сопротивлений. Из
(6-147) и (6-152) следует, что
Ur! +/хм=
=(2oi+/®Lo)//®MHo^ (6-153)
ИЛИ
= —XM ^iiGg+]RM (6-154)
где Zq — полное комплексное сопро-
тивление на единицу длины двух-
проводной линии, той,
но Хм<0, поскольку оно определя-
ется, грубо говоря, двумя конден-
саторами, включенными между
электродами.
В последних выражениях встре-
чается произведение pg; по условию
(6-144) это произведение должно
оставаться постоянным
const.
Когда в моделируемой системе
различные провода имеют различ-
ную проводимость, необходимо со-
ответственно изменять параметры
диэлектрической прослойки под
электродом: по (6-141) должно ос-
таваться неизменным
0(2/8= const.
Изготовление модели, подобной
описанной, требует большой тща-
тельности и представляет серьезные
трудности; при этом целесообразно
воспользоваться широко разрабо-
танной технологией пленочной
электротехники и электроники. В не-
которых случаях может быть дос-
тигнуто заметное упрощение путем
замены распределенного диэлектри-
ческого слоя рядом сосредоточенных
конденсаторов.
Существенно обратить внимание
и еще на одно обстоятельство: даже
только мысленное наблюдение за
распределением потенциалов на во--
ображаемой модели может способ-
ствовать разъяснению процессов^
происходящих в натуре.
На рис. 6-30 схематически изо-
бражены шинопровод (шины в эк-
ранирующей оболочке) и модели-
рующая система. При этом экран —
стальная оболочка — имеет прово-
димость (сгэ) меньшую, чем шины, и
магнитную проницаемость (рэ),
большую единицы. Соответственно
на изображении модели расстояние
между электродом и листом больше
по которой идет ток /
при частоте со.
Таким образом, ак-
тивная слагающая со-
противления натуры
пропорциональна ре-
активному сопротив-
лению модели; послед-
нее всегда отрицатель-
Рис. 6-30.
281
для экрана, а толщина листа умень-
шена под электродом, изображаю-
щим экран. На рис. 6-30 показано
присоединение источника к шинам
а, Ь.
На рис. 6-31, а изображена мо-
дель трех параллельных шин a, b, с,
причем по шинам а, с проходит ток,
а шина b изолирована. На рис.
6-31,6 объяснено влияние шины b
на увеличение активного сопротив-
ления линии ас\ на модели появля-
ется дополнительный путь тока че-
рез емкость среднего электрода. В
результате на модели увеличивает-
ся реактивное сопротивление (в на-
туре увеличивается /?о) и уменьша-
ется активное сопротивление (в на-
туре уменьшается индуктивность).
Пользуясь такими же моделями,
можно определять влияние одной
линии на другую, если по-прежнему
сохраняется условие Мыс-
ленно рассмотрев задачу на модели,
легко прийти к разумному опреде-
лению взаимной индуктивности да-
же в том случае, когда обычное оп-
ределение через потокосцепление
теряет смысл, например когда раз-
меры поперечного сечения проводов
больше воздушного зазора между
ними. Это определение в духе всего
ранее изложенного:
/со Л40 —£72/^ 1»
где U2 — разность потенциалов меж-
ду разомкнутыми проводами второ-
го контура, когда по первому кон-
туру идет гармонический ток Л и
когда на единичном расстоянии от
места измерения U2 провода второ-
го контура замкнуты накоротко
(последнее условие можно исклю-
чить, полагая, что U2— разность
разностей потенциалов на единице
длины второго контура при отсутст-
вии тока в нем).
Аналогично изложенному можно
моделировать и магнитный поверх-
ностный эффект. Обычно при этом
задача значительно упрощается
благодаря тому, что линии элек-
трического тока не выходят за сече-
ние проводящего сердечника (отсут-
ствует эффект близости).
Моделирование на цепочке четы-
рыхполюсников. Когда поверхност-
ный эффект описывается простым
распространением плоской волны,
как, например, в случае поверхност-
ного эффекта в ферромагнитных
пластинах трансформаторных сер-
дечников, можно применять цепо-
чечное включение четырехполюсни-
ков с нелинейными индуктивностя-
ми. Такая система моделирует
распространение плоской волны в
нелинейной проводящей среде, по-
добно тому как цепная схема может
Рис. 6-32.
служить моделью длинной линий.
На рис. 6-32 изображена цепочка,
соответствующая поверхностному
эффекту в пластине при включении
с двух сторон постоянного магнит-
ного поля H^i'.
6-8. ПРОВОДЯЩИЙ ЦИЛИНДР
В ОДНОРОДНОМ ПОПЕРЕЧНОМ
ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ
Эквивалентная ’магнитная про-
ницаемость. В решении поставлен-
ной задачи есть одна очень интерес-
ная черта: магнитное поле во
внешней области (вне проводящего
цилиндра), обусловленное в значи-
тельной мере вихревыми токами в
самом цилиндре, совпадает с маг-
нитным полем непроводящего ци-
линдра (без всяких вихревых то-
282
ков), имеющего эквивалентную про-
ницаемость
/К
Другими словами, влияние поля
вихревых токов может быть пред-
ставлено введением некоторой экви-
валентной проницаемости. Так, при
поперечном магнитном поле BQ
— /(OfW7 •
При вещественной проницаемо-
сти самого цилиндра, т. е. при р,= р,
1а = *аУЧ> (6-157)
где ]Лпр,р0о.
Два выражения (6-156) тожест-
венно совпадают, так как по опре-
делению
J ___ Т
g Л J°‘
^2
При малых значениях х
х2 < 1) функции Бесселя
быть представлены первыми
ми рядов:
(когда
могут
члена-
(рис. 6-33) во внешней области
(г>а, где а — радиус цилиндра)
В =—Во [1 — ——- f —"j 1 sin а;
а °L ^ + dr/J
(6-155а)
Вг=Вь Г1 + и'э ~1 { —) ] cos а.
L Рэ + 1 \ г / J
(6-1556)
Это решение известно из § 4-4
[уравнения (4-71)].
Эквивалентная проницаемость
зависит и от размеров цилиндра, и
от частоты, и от проводимости. Это
естественно, так как в рассматри-
ваемом случае большую роль могут
играть вихревые токи; более того,
при р=1 (например, медный или
алюминиевый цилиндры) отличие
цэ от 1 обусловлено только вихре-
выми токами.
Итак, в формулы (6-155) входит
эквивалентная проницаемость; она
выражается равенством 1
= + . (6-156)
Jo J2
Здесь Jo, Ji, J2 — бесселевы функ-
ции первого рода нулевого, первого
и второго порядков от аргумента
1 См. приложение 2.
(6-158)
При этом
(1 — /<о|1|1о^2/4), (6-159)
Пример 6-12. Получить выражение
(6-159) для случая х2 < 1, выражая бессе-
левы функции формулами (6-158).
Решение. Пользуясь ^формулой
(6-156), после простых сокращений прихо-
дим к выражению
где р = <орроаа2/8.
Отбрасывать величины, малые по срав-
нению с 1, можно только после перехода к
модулю в знаменателе; поэтому
Пэ = р. (1 + /₽) (1 - /3₽)/(1 + 9₽3)~
~ р, (1 + Зрз - /20) « р (1 - /2₽),
что и требовалось получить.
Легко сделать элементарную ошибку: в
знаменателе (а) отбросить мнимую часть
как «малую» по сравнению с единицей. Не-
лепость получающегося при этом результата
очевидна из того, что мнимая часть р,э ока-
зывается положительной: Цэ=рэ+ /|pg| ,
т. е. 1шрэ>0. Это физически невозможно:
помещая такой цилиндр в переменное маг-
нитное поле, можно было бы отбирать от
него энергию.
Выражение (6-159), благодаря
его простоте может быть иногда по-
лезно.
283
При X 0, кай §1'6 ёвдно из тех
же рядбв, Цэ р и выражения
(6-155) переходят в известные фор-
мулы для цилиндра в поперечном
магнитном поле в отсутствие влия-
ния вихревых токов.
Если вектор внешнего поля Во
вращается с угловой скоростью со =
^dajdt, то вместо (6-155) приходим
к следующим выражениям для поля
вне цилиндра (г > а):
в =—В0 Г1 — (—VI ]'е~1а;
“ °1 Нэ+Л''/]
ВГ=ВО Г1 + ( —У1е-/а.
L Рэ + 1 \ г ) J
(6-160)
Эти выражения отличаются от
исходных уравнений в § 4-6 (раздел
«Поляризуемые тела во вращаю-
щемся поле») только тем, что в ис-
ходной формуле (6-155) вместо ц
поставлено цэ, определяемое форму-
лой (6-156).
Поскольку во вращающемся по-
ле и поток мощности, входящей
в цилиндр, и вращающий момент,
испытываемый им, полностью опре-
делялись комплексной магнитной
проницаемостью цилиндра (при за-
данных со, а, В), как это было под-
робно показано в § 4-6 (4-127) и
§ 5-3 (5-85), то теперь те же вели-
чины могут быть выражены преж-
ними формулами при замене р,
на цэ.
Проводящий цилиндр во вра-
щающемся поле представляет собой
упрощенную модель асинхронного
двигателя со сплошным ротором; он
во многом похож на гистерезисный
асинхронный двигатель (§ 4-6 и 5-3).
Зависимость комплексной проницае-
мости цэ от ха представлена на рис.
6-34, п, где по горизонтальной оси
длины цилиндра, вычисленному че-
рез цэ по формуле (5-85).
Сходство графиков рис. 6-34, б и
4-12 показывает на сходство асин-
хронных двигателей, гистерезисного
и основанного на взаимодействии
магнитного поля и вихревых токов.
Рис. 6-34.
После ряда сравнительно про-
стых преобразований выражению
для вращающего момента иногда
придают такой вид, удобный для
расчетов:
Р__gjj__________________р (ber2 bei — ber bei2) а2/р0___
~ °’ [(n+1) ber+(n—1) Ьег2р+ [(ц+D bei + ([г-1) bei2p
где ber +/bei=Jo (хд V—/) и ber2+jbei2=J2 [ха ]/—/’);
(6-161)
отложен параметр ха=а Y (орр0о'.
По известным значениям рэ мож-
но найти и вращающий момент. На
рис. 6-34, б, по оси ординат отложе-
ны значения величины Т(ха), про-
порциональные моменту на единицу
значение аргумента g у функций
ber g, bei g, ..., для простоты не на-
писаны.
Формулы (6-156) для рэ справед-
ливы при любом комплексном значе-
нии проницаемости вещества ц=
284
= р/—/р", а не только к случаю ц=
= р, однако вычисление бесселевых
функций от комплексного аргумен-
та, отличного от простейшего
±х^—j при x=|g|, осложнено.
Проводящая сфера в переменном
и вращающемся поле. Все изложен-
ное о проводящем цилиндре в пере-
менном поле, включая и механиче-
ский момент, испытываемый цилин-
дром во вращающемся поле, можно
распространить на сферу с конечной
проводимостью о. Нужно только
иметь в виду, что для проводящей
сферы в переменном поле примени-
мо решение, найденное в статике
[§ 4-4, (4-77)] для ферритовой сфе-
ры (0=0) после замены проницае-
мости вещества сферы на эквива-
лентную проницаемость 1
и - 2ц уа ~th уа
э (уа)2 th уа — (уа — th уа^ ’
где а — радиус сферы и
у = V /й)рроа •
6-9. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Сравнительно большой объем
этой главы, посвященной технически
важным задачам, может создать
впечатление о более или менее пол-
ном изложении теории переменного
поля в проводящих средах. К сожа-
лению, это не так: существуют целые
классы задач, которых мы здесь сов-
сем и не касались; в значительной
мере это объясняется громоздкостью
или даже неразработанностью мето-
дов математического анализа, при-
годных для обычных технических
расчетов.
Интересные технические приме-
нения магнитной гидродинамики
практически остались за рамками
книги; например, подобно силам,
действующим на проводник во вра-
щающемся поле, на проводник дей-
ствуют силы и тогда, когда он нахо-
дится в бегущем поле. Действие бе-
гущего магнитного поля на жидкий
металл позволяет устраивать насо-
сы для разливки расплавленного
металла.
Классическая задача о потерях
в пластинах трансформаторных сер-
1 См. [Л. 3-4, § 6-10].
дечников в этой главе тоже рассмот-
рена лишь в самом начальном при-
ближении и только в условиях уста-
новившегося режима. На самом де-
ле ферромагнитный металл сердеч-
ников обладает нелинейной зависи-
мостью В (Н), анизотропией — не-
одинаковой проницаемостью по раз-
ным направлениям и рядом других
физических особенностей. Наконец,
в пакетах трансформаторной стали
возможен частичный переход потока
с одной пластины на другую; в ре-
зультате возникают вихревые токи,
текущие в плоскости листа и охва-
тывающие поток, входящий через
поверхность пластины; эти вихревые
токи создают лишние потери энер-
гии.
Сказанное особенно важно пото-
му, что статическая петля гистерези-
са современной электротехнической
стали сужена искусством технологов
и ее площадь очень мала, т. е. очень
малы гистерезисные потери (0,4 вт!кг
в лучших сортах стали при 50 гц
в режиме энергетических устано-
вок).
Поэтому доля потерь, обуслов-
ленная вихревыми токами, стала
очень заметной, причем эти потери
значительно больше, чем рассчитан-
ные классическим методом для дан-
ной проводимости и проницаемости.
Существование дополнительных по-
терь может быть отчасти объяснено
возрастанием мнимой составляющей
проницаемости при возрастании ча-
стоты (магнитная вязкость), отчасти
микроскопической неоднородностью
процессов намагничивания. Хотя
потери в электротехнической стали
относительно очень малы, но доста-
точно, во-первых, сказать, что в год
производится около 10 млн. т элек-
тротехнической стали, во-вторых, на-
помнить о том, сколько трансформа-
торов со стальными сердечниками
стоит на пути от производителя
электроэнергии до ее потребителя,
и, наконец, указать, что на совре-
менных электростанциях размеры
гигантских генераторов и трансфор-
маторов определяются в значитель-
ной мере допустимой плотностью
энергии, рассеиваемой в меди и в
стали; поэтому с ростом удельных
потерь в стали растут и размеры ма-
285
шин, а значит, растет требуемое для
них помещение, в объеме которого
обычно инженеры стеснены, особен-
но в случае гидростанций.
Понятие об увеличении потерь
на вихревые токи, обусловленном
доменной структурой. Проведем рас-
чет крайне упрощенного случая, ко-
торый, однако, позволяет понять,
почему потери на вихревые токи мо-
Рис. 6-35.
гут оказаться больше рассчитанных
по классическим уравнениям § 6-2.
С точки зрения теории ферромаг-
нетизма легко представить себе, что
размагниченная пластина, в которой
£> = Вср=7Иср=0, на самом деле со-
стоит из отдельных встречно намаг-
ниченных областей, как это схемати-
чески показано на рис. 6-35: в пла-
стине толщиной 2я = 4 6 наружные
слои толщиной b имеют намагничен-
ность, близкую к насыщению и ори-
ентированную вниз, а средний слой
толщиной 2 b имеет такую же намаг-
ниченность, направленную прямо
противоположно; при этом средняя
н а м агниченность
Mcp=Ms(2b — 26)=0,
тогда как величина 7WS очень велика.
ц0М3~2 тл.
Заметим, что при столь большой
намагниченности магнитная индук-
ция в каждой из областей остается
практически равной значению pt0Als,
несмотря на наличие дополнитель-
ной напряженности поля даже
если бы она составляла сотни а/см,
т. е. можно всегда считать, что в хо-
рошем ферромагнетике
5=Но (Ms+H0) |л0Л4.
(если, конечно, поле Но не достигает
тысяч или десятков тысяч а!см).
Процесс намагничивания рас-
сматриваемой пластины можно себе
представить как процесс смещения
границ между областями. Так, если
в результате приложения внешнего
поля Но границы движутся в проти-
воположные стороны со скоростью
с, то происходит увеличение средней
магнитной индукции В
dB/dt=2viiGMsla. (6-162)
Действительно, при смещении
границы на расстояние ds = vdt в
этом участке намагниченность изме-
няется с —Ms на +Afs, т. е. на 2MS;
но это изменение индукции надо от-
нести к полутолщине пластины (а).
Полагая, что среднее значение ин-
дукции меняется по закону Bm cos at
находим, что
2срGMJa == — (йВт sin cof,
откуда
v~—ymsinco/ при Vm=d)aBm/2ii0Ms.
При таком движении границы ее
максимальное смещение
sffl=Vm/<D=aBm/2p07Ms. (6-163)
Очевидно, что_при сравнительно
малых индукциях В — 0,1 тл (1000 гс)
относительное смещение границы не-
велико, sm/a=0,025, и ширину всех
областей можно считать постоянной.
При таком движении границ в
наружных областях наводится на-
пряженность электрического поля
E(t)=2^Msv. (6-164)
Легко рассчитать, какая энергия
должна рассеиваться на джоулево
тепло:
PG=E2G^2bl2a^a^~B2(5l2. (6-165)
В последнем выражении В — эф-
фективное значение средней (по се-
чению) индукции, а Е—• эффектив-
ное значение наводимой напряжен-
ности поля.
Результат легко сравнить с рас-
четом потерь на вихревые токи по
методу § 6-2. При низкой частоте,
когда 1, из разложения в ряд
th уа можно найти, что потери, вы-
численные по формуле (6-165), в 1,5
286
раза больше вычисленных по фор-
муле (6-64).
Пример 0-13. Сравнить потери на вихре-
вые токи, рассчитываемые по методике § 6-2
на основании вычисления средней проницае-
мости ц=р, th yalya и по формуле (6-165).
В обоих случаях можно считать |уя]<1.
Решение. По формулам § 6-2 нахо-
дим мнимую часть средней магнитной про-
ницаемости р2, разлагая thya в степенной
ряд и ограничиваясь первыми двумя чле-
нами,
th уа = уа [ 1 — (уа)2/3]. (а)
При этом
р- = gi — J>2 = Ц [1 — /а2®р|Л0^/3]
и
ц2 = а2сор2ро^/3. (б)
По формуле (4-115а) потери, отнесен-
ные к единице объема,
Ро = (В)
или после подстановки (б) в (в)
р0 = aWPu/3.
В соответствии со сказанным выше найден-
ная величина в 1,5 раза меньше вычисляе-
мой по формуле (6-165).
Намагничение пластины с пря-
моугольной петлей. Многие ферро-
магнитные материалы имеют прямо-
угольную петлю (рис. 6-36, а); такие
материалы нашли широкое приме-
нение в элементах автоматики. Рас-
смотрим, как в таких материалах
процесс перемагничивания тормо-
зится вихревыми токами.
В качестве ориентирующих пара-
метров примем следующие: пермал-
лоевая пластина толщиной 2 а =
= 2-104 см с проводимостью о=
= 5- 104 сим1 см и коэрцитивной си-
лой 7Ус=0,1 а/см при намагниченно-
сти насыщения Ms~Bo/po, где Во =
= 1 тл.
Пусть первоначально внешнее
поле отсутствует и намагниченность
отрицательна по всей пластине. В
таком случае изменение намагни-
ченности начнется только с того мо-
мента, когда внешнее поле достигнет
значения ЯО>ЯС.
При начавшемся перемагничива-
нии во внешнем слое толщиной х
(рис. 6-36,6) намагниченность при-
обретает значение Ms, а толщина
слоя х возрастает со скоростью v —
с такой скоростью с каждой из сто-
рон движется внутрь граница меж-
ду противоположно намагниченны-
ми областями. При этом происходит
возрастание средней индукции
dB/dt=2p,07Hs vja, (6-166)
где v^dxjdt.
В результате движения границы
во внешних областях наводится
электрическое поле
E=2y^Msv (6-167)
и в слое х возникает ток
i0=Eox=2p0Ms vox, (6-168)
приходящийся на единицу длины
пластины (по направлению Яо) •
кв
И с н
&)
-Во
Рис. 6-36.
Очевидно, что такое же значение
имеет напряженность магнитного
поля индуктированных токов. Ре-
зультирующее поле на границе
— (6-169)
Оно должно быть равно Нс для то-
го, чтобы движение границы не ос-
танавливалось (так как изменение
намагниченности с —Ms на -Ш
происходит только при Н=НС).
Решая совместно только что вы-
веденные уравнения для заданной
внешней напряженности поля Яо,
находим, что смещение границы
х = УК/р0Мо (6-170)
и скорость возрастания средней
магнитной индукции
(6-171)
dt а
В последних двух выражениях
К = рЯ0-Яс)Л (6-172)
о
287
— импульс избыточного поля (пре-
восходящего Нс).
Разумеется, выведенные форму-
лы могут применяться лишь до тех
пор, пока х^а, т. е. пока не закон-
чился процесс перемагничивания.
Из формулы (6-170) легко опреде-
ляется импульс, необходимый для
полного перемагничивания,
т
Ко= J (Но— Нс) dt=p0Msoa\ (6-173)
О
где Т — длительность процесса пе-
р ем агничив ания.
Хотя все выведенные соотноше-
ния далеко не полностью подтверж-
даются опытом, однако в произве-
денном расчете выступает несколь-
ко черт, характерных для действи-
тельных процессов. Прежде всего
это зависимость длительности Т
процесса перемагничивания от ве-
личины импульса поля Ко- Чем
больше Hq, тем меньше время Т,
требуемое для перемагничивания.
Величину Ко называют переклю-
чающим импульсом, а Т — време-
нем переключения.
Магнитное поле в присутствии
сверхпроводников. Как говорилось,
сверхпроводники уже находят при-
менение в технике и бесспорно их
роль должна в ближайшее десяти-
летие еще возрасти. Поэтому было
бы очень важно рассмотреть пове-
дение сверхпроводников в магнит-
ном поле. Однако приходится от-
сылать читателя к физической и
специальной литературе [Л. 2-2, 3-8]
из-за невозможности дальнейшего
увеличения объема книги.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В нашем курсе теории электро-
магнитного поля лишь кратко рас-
сматриваются самые основные по-
ложения теории распространения и
отражения волн, которые можно из-
ложить без сложных математиче-
ских выкладок. Однако математиче-
ское описание процессов распрост-
ранения электромагнитных волн и
методы расчетов играют важную
практическую роль, особенно в ра-
диотехнике. Теории распростране-
ния, отражения и преломления
электромагнитных волн посвящено
большое число монографий и учеб-
ных курсов.
7-1. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПЛОСКИХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
Пусть волна распространяется в
идеальном диэлектрике 8 = 8, ее
электрический вектор имеет только
одну х-ю составляющую и пусть она
зависит только от одной пространст-
венной координаты
Ё=Ёх(х). (7-1)
Условие (7-1) определяет плос-
кую линейно поляризованную вол-
ну. В таком случае, как было пока-
зано в § 6-1 [см. уравнения (6-10а)],
для Е = ЕХ получается волновое
уравнение
d2£/^2-(/cD)2£/t/2,
где ^=Г|^8еорцо,
или
d2£/dz2=Y2E.
Это дифференциальное уравнение
имеетрешение
Ё= Д+^2+Л_е‘2=Е++£_' (7-2)
при коэффициенте распространения
VPJ1O88O = /р.
Значения постоянных А+,- опреде-
ляются граничными условиями. Пе-
реход к мгновенным значениям осу-
ществляется обычным путем:
Е (/, т cos (со£ — +
+£_, т cos (со/+₽г+ф_). (7-3)
Если в (7-2) Ё — комплекс эффек-
тивного значения, то
Е+.„=И+|ГТиЕ_,„=|Л_|Г2-;
умножать на V~ 2 не надо, если Е
представляет амплитудное значение,
что часто предполагается без поста-
новки особого индекса, такого как
т.
Выражения (7-2), (7-3) соответ-
ствуют волне в идеальном диэлект-
рике; это настоящие волны, и вы-
ражение (7-3) полностью соответст-
вует определению волны [§ 6-1;
уравнение (6-28)]: процесс, описы-
ваемый функцией с аргументом
в форме разности координаты и вре-
мени, умноженного на скорость
/а,г)=/(г-^). (7-4)
Но именно к этому виду приводятся
289
19—476
аргументы двух слагаемых (7-3):
L Р J
+ + (7-5)
L Р J
Поэтому очевидно, что первое
слагаемое выражает волну \ распро-
страняющуюся со скоростью и = со/р
в сторону положительных значений
z (падающая волна), а второе сла-
гаемое выражает волну, бегущую
навстречу с такой же скоростью
(встречная волна). При этом
t>=o/|3=c/]/Gер,, (7-6)
где с — скорость распространения
волны в вакууме.
Когда известно выражение для
одного из векторов электромагнит-
ного поля, значение другого можно
найти, применяя к первому одно из
уравнений Максвелла. В нашем слу-
чае находим по второму уравнению:
н = —rotfe •=----1---dJt е (7-7)
— j — /<орро dz
поскольку Ё=Ёх(г). Дифференци-
руя (7-2), находим, что
н=йд=й++ нЕ=
= / (Al. е~1г — А__ е/, (7-8)
где
£=/юрр0/у= ]/рро/еео =
= 120 л Ур/е, ом. (7-9)
Последний параметр называют вол-
новым сопротивлением; оно равно
отношению векторов Е и Н каждой
из составляющих (падающей или
встречной) электромагнитной волны.
В среде с комплексными парамет-
рами /р,"=ц2—6.,
—fez/ = e Z—6S коэффициент рас-
пространения и волновое сопротив-
ление
у=а+/₽=/® У р080 р е =
= -^ri^z4(It-6e-6pi) (7-Юа)
1 Это плоскополяризованная волна,
см. § 7-3 и приложение 1.
и
(7-Юб)
Вещественная часть коэффициента
распространения у по-прежнему ха-
рактеризует затухание, а мнимая
часть — скорость распространения.
При комплексном коэффициенте
распространения происходит экспо-
ненциальное затухание волны; так,
например, для плоской волны, рас-
пространяющейся в направлении оси
z (при отсутствии встречной волны),
(7-11)
или
Е (/, z)=£0 e~az cos (со/ — ₽z + ф0),
где Ео — амплитуда и фо — фаза при
z=0 и / = 0. При этом напряжен-
ность магнитного поля
H=HQ e~>z = Hoe~az (T*z (7-12)
и
Яо
Фаза магнитного поля отстает от
фазы электрического поля на угол
Ф=(бе— 6^ )/2, как показано на
рис. 7-1 для ср>0; соответствующий
пространственный сдвиг Дг=ф/р.
График выполнен не в масштабе,
и в нем подчеркивается именно рас-
хождение фаз; такому расхождению
фаз должно соответствовать замет-
ное затухание амплитуд, которое не
показано. Полезно сопоставить этот
график с рисунком Максвелла
(рис. 2-5), выполненным для среды
без потерь.
290
Выражения (7-10), (7-11) и след-
ствия из них применимы и для экви-
валентного 8Э, когда его мнимая со-
ставляющая обусловлена проводи-
мостью. При переходе волны из од-
ной среды в другую волна частично
отражается, а частично проходит
в другую среду. В результате кар-
тина поля существенно изменяется.
Отражение волны от плоской по-
верхности двух сред (нормальное
падение). В общем случае решение
волновых уравнений при падении за-
данной электромагнитной волны на
тело, нарушающее однородность
среды, представляет существенные
трудности, хотя физически сформу-
лировать ход решения очень просто:
он состоит в решении волнового
уравнения V 1 2F=y2F при выполне-
нии ранее сформулированных гра-
ничных условий для векторов Ё, Ь,
Н, В. Подобные задачи, в частности,
представляют предмет исследований
в области радиотехники: распрост-
ранение электромагнитных волн
вдоль поверхности земли или моря,
их отражение от проводящих слоев
атмосферы (различно ионизирован-
ные слои ионосферы), взаимодейст-
вие падающих волн с приемными
антеннами и т. п.
Здесь мы ограничимся рассмот-
рением простейшего случая падения
!плоской плоскополяризованной вол-
ны на плоскую поверхность раздела
двух изотропных сред, при том что
поверхность раздела перпендикуляр-
на направлению распространения
падающей волны (нормальное па-
дение) Г При этом падающая, отра-
женная и проходящая волны поля-
ризованы одинаково. Если бы это
было не так, то не удалось бы найти
соответствующего решения, т. е.
удовлетворить граничным условиям
и волновым уравнениям в двух сре-
1 В плоскополяризованной волне век-
торы поля на всем протяжении волны ос-
таются лежать в какой-нибудь одной плос-
кости, например Е в плоскости xz и соот-
ветственно Н в плоскости yz.
Волна называется плоской, когда ее
векторы зависят только от одной коорди-
наты, в направлении которой распространя-
ется волна.
дах, сохраняя высказанное предпо-
ложение.
Выберем систему координат по
рис. 7-2; параметры первой среды
(г<0) gi, yi при 81, параметры
второй (г>0) g2, У2 при 82, Ц2’, па-
дающая волна распространяется
в сторону возрастания г; оси х, у
выбраны так, что Е~ЕХ и Н — Ну.
Граничные условия для векторов
напряженности поля можно запи-
сать так:
Ех- Е2; Нг^=Н2 при z=0. (7-13)
Это известное требование непрерыв-
ности тангенциальных слагающих
векторов напряженности поля. По
условиям задачи в первой среде со-
держатся падающая и отраженная
волны:
Даад Азад, 0 в
и ^=^Тр = Ктр,о^2; (7-14а)
Дпад/^1
и й;«=«о,р —4„^.(7-14б)
При этом, как и раньше [(7-2)
и (7-8)],
Ег ^Ёпад+Еотр; (7-15а)
Т/i —/7Пад ”Ь 7/отр =
= (Ёпад-Ёотр)/:1. (7-156)
Во второй, неограниченно протяжен-
ной среде содержится только прохо-
дящая волна, распространяющаяся
в сторону +z:
4=4х=4Р=4р,о^гг; (7-iea)
Н2=Н2у =Дпр-Ёпр/:2. (7-166)
19*
291
Подставляя в уравнения граничных
условий (7-13) значения векторов
падающей, отраженной и проходя-
щей волн при z=0, получаем сле-
дующую систему:
Е пад + £отр Aip (7~17 а)
И ;
Епад + 77ОТр Т^пр
= [Ёпал-Ётр)/^Ёпр/^. (7-176)
Последнее равенство получено из
условия для векторов напряжен-
ности магнитного поля (7-156).
Исключая из полученной систе-
мы вектор проходящей волны, на-
ходим, что при 2 = 0
-^отр— Г £*пад^ (7-18)
в последнем равенстве
Г^-^Ж+Si), (7-19)
это — коэффициент отражения.
Поскольку Яотр =—£отр/£1, нахо-
дим, что при 2 = 0
Яотр=-Г#пад. (7-20)
Из полученных выражений и
(7-13) легко найти векторы прохо-
дящей волны при 2=0:
Е2=(1 + Г)Епад; (7-21)
Яа=(1-Г)Япад. (7-22)
Рассмотрим для конкретизации
переход волны из воздуха (вакуума)
в медь при f = 50 Мгц. В этом случае
по (7-9) g1 = g0=120jx=377 ом,
a g2 — комплексная величина, зави-
сящая от частоты (6-47). Для меди
при частоте 50 Мгц
:а=2,6-10“3Х45° ом.
При уменьшении частоты сопротив-
ление g2 уменьшается. При столь
малом |g2/gi I можно полагать, Г~
~— 1. Волна отразилась полностью,
при этом изменился знак электриче-
ского вектора
р ____р
^отр, 0 ' 'пад, 0»
в итоге напряженность поля на по-
верхности металла близка к нулю
А,0 = ^отр, 0 +Дпад, о ~ 0*
Напротив, напряженность магнит-
ного поля увеличилась приблизи-
тельно вдвое по сравнению с напря-
женностью падающей волны, как
это следует из (7-20). Значение ма-
лой напряженности электрического
поля на металлической поверхности
можно найти, умножая результи-
рующую напряженность магнитного
поля на волновое сопротивление:
Eq ~Е2^ = 2/7^, 0 ^2 ~
=24ад,(Л/£1- (7-23)
Легко убедиться, что это соответст-
вует вычислению по выведенному
здесь значению Г при том, что Г~
~—1. Из проведенных выводов лег-
ко увидеть их аналогию с соответст-
вующими выводами для случая двух
последовательно включенных длин-
ных линий. При этом роль характе-
ристических или волновых сопротив-
лений линий Zc теперь играют вол-
новые сопротивления среды g.
Аналогия с длинными линиями
особенно существенна, когда вслед
за первой граничной поверхностью
^2’У2
Рис. 7-3.
встречается ряд других, ей парал-
лельных (рис. 7-3). В этом случае,
как и в случае ряда последователь-
но включенных линий, при расчете
коэффициента отражения следует
вместо волнового сопротивления сле-
дующей среды g2 брать входное со-
противление gBX всей системы, лежа-
щей за поверхностью раздела; оно
определяется аналогично входному
сопротивлению системы длинных
линий.
£вХ = 4М,о> (7-24)
292
где и Я1,о= Н2,о— значения
напряженностей поля на рассматри-
ваемой (первой) границе. Следую-
щий пример показывает весь про-
цесс вычислений, основанный на
аналогии с известными расчетами
для длинных линий.
Пример 7-1. С целью уменьшения от-
ражения радиолокационных волн от прово-
дящих поверхностей применяется двухслой-
ное покрытие этих поверхностей (рис. 7-3)
диэлектриком, имеющим толщину а1=1£/4
(где %£ —длина волны в данном диэлектри-
ке), и проводником, толщина которого а2
подбирается из условия минимального зна-
чения коэффициента отражения всего покры-
тия. Для того чтобы отражение было мини-
мальным, необходимо входное сопротивле-
ние такого двухслойного покрытия иметь
равным волновому сопротивлению воздуха
(вакуума) So-
Пусть необходимо обеспечить отсутст-
вие отражения электромагнитной волны дли-
ной А,о=1О см от поверхности с бесконечно
большой проводимостью. Для покрытия
этой поверхности можно воспользоваться
слоем диэлектрика с проницаемостью 81 =
=2,25 (Ц] = 1) и слоем полупроводящего ма-
териала с проводимостью (72 = 2 сим!см. Тре-
буется определить толщину каждого из
слоев.
Решение. Так как ho=c/f, а =^i/f
и v^c/y^ gb то tfi=As /4=%0МуЛ£1 = 1,66 см.
Входное сопротивление Sb si наружной
поверхности этого диэлектрика, лежащего
на хорошем проводнике, при отсутствии по-
терь как в диэлектрике, так и в проводни-
ке оказывается равным бесконечности ана-
логично входному сопротивлению коротко-
замкнутой четвертьволновой линии.
Входное сопротивление наружной по-
верхности проводящего покрытия толщиной
а2 может быть выражено аналогично вход-
ному сопротивлению линии с волновым со-
противлением S2, разомкнутой на конце:
£вх2 = ^2 cth У2
Если J y2^2|< 1, ТО cth у2а2 = 1 /у2а2 и,
следовательно,
Sbx2 = £2/У 2 а2 ~ 1 Мг #2 •
Отражение отсутствует (Г~0), когда Sbx2=
= So и, следовательно, а2= l/So^s =
= 1,33-10"3 см. Подсчет I у2а2\ показывает,
что допущение | у2а21 < 1 применимо для
полученного значения а2.
Примечание. Выполненное покры-
тие обеспечивает отсутствие отражения
только для заданной длины волны %о=1О см.
Для другой волны рассмотренная система
может давать значительное отражение. Уст-
ройство и расчет реальных противолокани-
онных покрытий значительно сложнее.
Волновой вектор. Пусть волна
бежит в направлении единичного
вектора es и пусть s — координата
рассматриваемой точки, отсчитывае-
мая от начала координат в направ-
лении es (рис. 7-4). В таком случае
можно пользоваться всеми прежни-
ми уравнениями, обозначая в них
Рис. 7-4.
координату, вдоль которой распро-
страняется волна, буквой s:
Ё -Ёо e~'s и Н =H0^s (7-25)
при Ё—^Н.
Коэффициент распространения у
в приведенных формулах часто вы-
ражают через волновой коэффици-
ент
k= — [у. (7-26)
При этом запись уравнения бегущей
электромагнитной волны принимает
вид:
Ё=Eoe-/fe и Н=Н0 e~',ks-, (7-27)
она отличается от (7-25) и предыду-
щих только способом обозначения
показателя.
Из ранее данного определения
(7-10а) очевидно, что
k--=—7у=со F 8 80fip,0. (7-28)
В среде без потерь (ц=ц, 8=е) вол-
новой коэффициент — вещественное
число
&=2л/%, (7-28а)
где л = или ggoeco-
В этих выражениях v — скорость
распространения электромагнитной
волны в данной среде, а X — ее
длина.
293
При описании электромагнитных
волн удобно вводить понятие вол-
нового вектора. Для плоской
волны, распространяющейся в на-
правлении es, волновой вектор
K=kes. (7-29)
При этом для любой точки прост-
ранства В, положение которой опре-
деляется вектором г, проведенным
из начала координат (рис. 7-4),
res=s и гК=Й5. (7-30)
Имея в виду последнее равенство,
можно в уравнения бегущей волны
(7-27) вводить волновой вектор
Ё = Ёо е~'Кг и И = Ное~'Кг. (7-31)
Замечательно, что векторы Е, Н и
К образуют тройку векторов (рис.
7-5), связанных между собой про-
стыми соотношениями 1
Н = К X Ё/сорро;
Ё = И х к/соеео. (7-32)
Эти формулы легко получаются, ес-
ли иметь ввиду, что для волны Ё =
= ^Н и что вектор Пойнтинга П =
= ЕхН должен совпадать с направ-
лением распространения волны, т. е.
с вектором К. В выражении (7-31)
скалярное произведение можно пред-
ставить через декартовы коорди-
наты
Кг =kx x+kyy+kzz, (7-33)
если r=xex+ye?/.+ 2ez, при этом
ky, kz — составляющие волнового
вектора в декартовых координатах
Kex=£x=£cos(K, ех); 1
Ke^==^=fecos(K, еу); I (7-34)
Ke2=&2=fecos(K, е2). J
1 Ср. рис. 6-11 и сопровождающий
текст
Модуль волнового вектора связан со
своими проекциями (в среде без по-
терь) простым соотношением
K2 = k2 = k^+k2 + k2z =
=со2 880 |1|10=(2л/Х)2. (7-35)
Последняя часть равенства повторя-
ет ранее найденный результат
(7-28 а).
Представляя в (7-31) скалярное
произведение Кг по (7-33), получим,
еще одно выражение для бегущей
плоской волны
E=Eoe-/<:^+V+^z). (7-36)
Зная составляющие волнового век-
тора, легко определить направление
распространения волны
е8=К/А=^(^ех+^+ад. (7-37)
Скорость распространения свобод-
ной волны совпадает с фазовой ско-
ростью в направлении es
г»==€»ф8=<о//г; (7-38)
длина свободно распространяющей-
ся волны
%=vT=v/f=2л/k. (7-39)
Составляющие скорости распро-
странения и фазовой скорости. Ско-
рость v можно представить как век-
тор
v^yes=uK//? ~
=vxex+vyey+vzez, (7-40)
имеющий определенные составляю-
щие по декартовым координатам; их
значение легко определяется из со-
поставления (7-40) с (7-34):
j?x=ocos(K,ex);
1^=1/cos (К, еД... (7-41)
Каждая из составляющих vx... мень-
ше, чем скорость v в направлении
К. Это можно считать очевидным и
не стоило бы подчеркивать, если бы
не существовало еще понятие фазо-
вых скоростей в направлении х, у, z\
v<bxj=^xf\ v^=Ayf..., (7-42)
где Лх, Ку... — длины волны в на-
правлении х, у..., a f = l/T — часто-
та. Эти скорости, как сейчас будет
доказано, больше скорости распро-
странения электромагнитной волны.
294
Этот, казалось бы, парадоксальный
результат относится только к фазо-
вой скорости; скорость распростра-
нения любого сигнала, передаваемо-
го посредством электромагнитной
волны, всегда меньше или в пределе
равна скорости распространения
свободной волны.
Зависимость длины волны
от направления, в котором эта
длина измеряется, свойствен-
на всем волновым процессам.
На рис. 7-6 схематически изо-
бражены волны, бегущие в на-
правлении г. В этом направле-
нии расстояние между гребня-
ми минимально и равно %. В
каком-то ином направлении
I — расстояние между сосед-
ними гребнями больше:
Az=Vcos а > %, (7-43а)
где а= Ze2, 1.
Можно обратиться и к рис. 7-4.
Пусть нарисованный треугольник
представляет собой часть ам-
плитудной плоскости, т. е. плоскости
(перпендикулярной s), в которой
векторы поля равны амплитудам;
пусть, дальше, s равно как раз дли-
не волны. Иначе говоря, соседняя
амплитудная плоскость параллель-
на первой и проходит через начало
координат. В этих условиях отрезки,
отсекаемые на осях, равны соответ-
ственно длинам волн в направлении
этих осей
Лх.=х0; Ау=у0-
Но поскольку s = Xes есть нормаль к
плоскости, то очевидно, что
s—K=Xq cos (s, ех)=
=у0 cos (s, ♦ (7-436)
Тем самым мы в более общей форме
пришли к результату (7-43а). Сопо-
ставление (7-43) с (7-39) и (7-42)
приводит к выводу, что
cos (К, еЛ) > v;
v$y " cos (к, е^) > ^... (7-44)
Между скоростью волны у, фазо-
вой скоростью и составляющей
скорости vx в данном направлении
х существует общее соотношение,
вытекающее непосредственно из
уравнений (7-41) и (7-44):
(7-45)
Связь между фазовой скоростью
и скоростью волны легко уяснить,
рассматривая знакомые и нагляд-
ные физические процессы волнового
характера. Пусть морские волны
бегут к берегу так, что линии их
гребней не совсем параллельны ли-
нии берега, а образуют с ней неболь-
Рис. 7-6.
шой угол. Если сравнить медленное
движение гребня волны по поверх-
ности моря и большую скорость, с
которой этот пенящийся гребень
пробегает вдоль берега, то легко за-
метить различие этих скоростей.
Первая соответствует волновой, а
вторая — фазовой скорости вдоль
берега. На рис. 7-7 схематически по-
казан берег моря, совпадающий
с осью х; по направлению к берегу,
под некоторым углом а к нему, со
скоростью v движутся волны, греб-
Рис. 7-7.
ни которых показаны рядом сплош-
ных линий.
Если за время T=l/f каждая из
волн переместится на расстояние %,
то вдоль берега эта волна пробежит
расстояние
Ax=X/cos а.
Чем меньший угол образуют гребни
волны с берегом, тем быстрее про-
бегает волна вдоль него. В пределе,
когда волны бегут перпендикулярно
берегу (их гребни параллельны бе-
регу), фазовая скорость вдоль бере-
295
га обращается в бесконечность, так
как вдоль всего берега оказывается
одновременно одна и та же фаза
волны.
Последнему случаю соответству-
ет отсутствие составляющей скоро-
сти волны вдоль берега vx = 0 при
а = л/2, тогда как v$x= оо.
Дополнительные замечания о фазовой
скорости и скорости передачи сигнала даны
в конце § 7-2.
Выражение (7-45) было выведено для
простейшего случая одной плоской волны
в неограниченной однородной среде при от-
сутствии отраженных волн. Однако это вы-
ражение оказывается очень общим, и фазо-
вая скорость Уф в заданном направлении,
умноженная на скорость распространения
сигнала vs в том же направлении, всегда
равна квадрату скорости распространения
свободной волны:
(7-45а)
Отражение волны от проводящей
поверхности при косом падении.
Расчет отражения и преломления
волны, падающей под косым углом
к поверхности раздела двух сред,
значительно сложнее, чем расчет
при нормальном падении. Поэтому
ограничимся случаем отражения от
идеально проводящей плоской по-
верхности. Выберем координатные
оси так, чтобы волновой вектор па-
дающей волны К лежал в плоскости
х, у (рис. 7-8); это значит, что К=
~kxtx+kyty. В таком случае урав-
нение падающей волны
Ёпад = Ёое-/Кг. (7-46)
Уравнение отраженной волны
Ёотр = Ё1е~/К-Г (7-47)
отличается значением амплитудного
вектора (Ei вместо Ёо) и значением
волнового вектора Ki, вместо К.
Вектор Ео можно- разложить на
две слагающие: касательную к плос-
кости границы Ео/ и нормальную к
ней Eon* Из простых физических со-
ображений можно догадаться, что
первая составляющая должна отра-
жаться с изменением знака. Дейст-
вительно, тангенциальная слагаю-
щая напряженности электрического
поля на всей плоскости у=0 должна
равняться нулю, а^это выполняется
только при условии
Ёо/ + Ё1г k=ax+kzi 2)=0 (7-48)
при у = 0 и любых значениях х'и х.
Но такое требование выполняется
единственно при
Ёо/=—Ёк; kx=kxl и /?г1=0. (7-49)
Остается определить у-ю составляю-
щую вектора отраженной волны.
Падающая и отраженная волны
проходят в одной среде, поэтому
А это значит, что
^1—А, (7-50)
так как kx]=kx и K=#=Ki.
Последнее неравенство должно
обязательно выполняться, посколь-
ку равенство волновых векторов па-
дающей и отраженной волн (K=Ki)
равносильно отсутствию какой бы то
ни было другой волны, кроме па-
дающей.
Уравнения (7-49) и (7-50) позво-
ляют написать, что
K=kxex+kyey
и К1=(гхех—kyey. (7-51)
Эти равенства говорят о том, что
векторы К и Ki лежат в одной плос-
кости, нормальной к поверхности ме-
талла, и что угол падения а
равен углу отражения си
(рис. 7-8). Найденное выражение
волнового вектора отраженной вол-
ны лежит в основе решения неко-
торых задач следующего параграфа;
Однако для полноты требуется
определить и значение амплитудно-
го множителя отраженной волны
Ёх = Ё1Х ех +Ё1у еу + Ё1г ег
296
при известном значении амплитуд-
ного множителя падающей
Ёо = Ёох £х Еоу “Ь Ё02 е2.
По первому из равенств (7-49)
очевидно, что
ЁОл.= Е1Х и E$z= Eiz-
Остается определить Eiy. Для
этого обратимся к новому уравне-
нию поля divE=0; оно применимо
и к падающей и к отраженной вол-
нам. Для падающей волны в декар-
товых координатах
div Ёпад
д ^пад, х . д у д -Ё'пад, 2
дх ду дг
О,
ду
где каждая из составляющих кроме
амплитудных множителей содер-
жит экспоненциальный множитель
М>; так, х.я компонента
Ё =Ёа e~^k^+kyy^
пад, х О, х
Дифференцируя и сокращая
+ находим, что
на
E0xkx+E0yky=Q. (7-52а)
Аналогично для отраженной волны
Eixklx + Elykly = 0. (7-526)
Из последних двух равенств, имея в
виду, что kix=kx и kiy——ky, нахо-
дим
Ё1у = ЁОу. (7-53)
Интересно заметить, что при задан-
ном направлении волнового вектора
и заданном значении ЁОх нормаль-
ная составляющая однозначно опре-
деляет из (7-52 а)
Ёоу= ЁОхкх1ку. (7-54)
Сказанное объясняется тем, что век-
тор Ео должен быть перпендикуля-
рен волновому вектору К. При этом
E$z может иметь любое значение.
Что касается вектора напряжен-
пости магнитного поля, то его легче
всего найти по формуле (7-32):
^пад К X Ёпад/copjXg; (7-55а)
ЙотР=К1ХЁотр/®р1и0. (7-556)
Пример 7-2. В системе рис. 7-8 волна
имеет длину Х=3 см; tga=0,5; 8=ц=1;
£ох=О,8 кв!см:, Eoz—2fi кв/см. Ищутся зна-
чения векторов К и Кь Ёо, Еь Но, Иц эти
векторы должны быть выражены через их
составляющие в декартовой системе коор-
динат. Убедиться в процессе вычисления,
что найденные векторы Ео, Но, К, так же
как и Нь Еь Ki, образуют тройку ортого-
нальных векторов; проверить также выпол-
нение равенства Но=Ёо/377.
Решение. При заданном угле паде-
ния ky=—0,5 kx. Вместе с тем по (7-35)
^2==^_j_^y=s (2л/3)2. Следовательно, k£=
= 1,87 см-1; ^=—0,935 см-1. Далее по
(7-54) находим, что EOy~lfi кв 1см.
В ортогональности E0JLK убеждаемся,
так как (7-52а) представляет собой скаляр-
ное произведение ЁоК и равно нулю.
Магнитный вектор падающей волны по
(7-32) Но=КХ*Е0/(ор,о=~2,38 ех—4,75e,/ +
+ 4,75 ez, al см.
Вычисляя модули £,о=2,68 кв/см и Но—
=7,12 а/см, находим, что Ёо—377 ом Но с
точностью, которую позволяют вычисления
на линейке. Выполняется и требование ор-
тогональности Н0±Е0:
Но Ео=—2,38-0,8 — 4,75-1,6 + 4,75-2 = 0.
Для отраженной волны Ki = l,87 ех+
+0,935 еу см-1. Амплитудный вектор элек-
трического поля отраженной волны:
Ё^х== — Eqx “ — 0,8 кв/см; Ё1у = Ёоу =
= 1,6 кв! см; Ё1г = — Ёог = — 2,0 кв!см.
Прежним путем найдем и амплитудный век-
тор магнитного поля [см. (7-55)]:
Н1=Ь£1 X Ei/соро ==
= — 2,38 qx “И 4,75 еу -j- 4,75 е2 а/см.
Читателю следует обратить внимание на то,
что на поверхности проводника в суммар-
ном магнитном поле Н = НПад+НОтр, как и
требуется, исчезает нормальная слагающая
магнитного поля. Условия Н\ • 377=2?! и
Hi ± Ei ± Ki выполняются.
Мощность, передаваемая волной.
Для падающей волны вектор Пойн-
тинга
П = Ё X Н = КЕ2/(орро =
= КЯ2/со88о (7-56)
в согласии с (7-32).
Поток мощности распростра-
няется в направлении волнового
вектора К, иначе говоря, в направ-
лении распространения волны.
Плотность энергии бегущей вол-
ны найдем, пользуясь известными
формулами
^э=Е2880/2; ^м=Я2НР'о/2- (7-57)
Из равенства Е2 = £;2Я2 или £2 =
= Я2(р,р,о/88о) следует, что wd=wM и
20—476
297
полная плотность энергии в электро-
магнитной волне
ш=8ео Е2=Н2. (7-58)
Если Н и Е— эффективные значе-
ния, то w представляет среднее зна-
чение плотности энергии (среднее в
пространстве вдоль волны от Ет до
Ет или среднее во времени за пери-
од для неподвижной точки, через ко-
торую пробегает волна).
Выражения плотности энергии и
потока мощности, т. е. (7-56) и
(7-58), согласуются между собой ра-
венством
JI=wv, (7-59)
где v — скорость распространения
свободной волны. Действительно,
2 = 1/]/ р,|хО88о и, следовательно,
wv=H2 fifx0/]/" ННо88о =
=Е2е&0/У' щх0880 =ЕН, (7-60)
Что касается направления, то по оп-
ределению направления К и v сов-
падают.
Приведенные выражения приме-
нимы только в отсутствие отражен-
ной волны или других волн, одно-
временно проходящих через рас-
сматриваемую область. Для векто-
ров поля применим принцип супер-
позиции, тогда как для энергии и
мощности (произведения или квад-
раты) суперпозиция неприменима.
В случае прямого падения плос-
кой волны на плоскую поверхность
раздела двух сред получаются неко-
торые простые и интересные соотно-
шения. Пусть рассматриваемая сре-
да—воздух (Si = So, 8 = u=l) и вол-
на падает нормально на среду с лю-
быми комплексными параметрами.
В первой среде при этом распрост-
раняются одна навстречу другой па-
дающая (в сторону +г) и встречная
(в сторону —г) волны. Волновые
векторы падающей и встречной (от-
раженной) волн прямопротивопо-
ложны Ki = —К, и по (7-18), (7-20)
ЕОтр Г Епад; Н0Тр = Г Нпад.
Векторы результирующего поля
(7-15):
Ё = Ёйё~1кг (1 + Г e+/2fe);
Я=Ге+/2*2).
В этом случае вектор Пойнтинга
П = ЁХН=£^[1-|Г|2 +
+ /2 Im (Ге+/2*г) ] —. (7-61)
(О88о
Последнее слагаемое внутри квад-
ратных скобок — разность сопря-
женных величин —Г*е~i2kz
Интересно, что поток активной мощ-
ности представляет разность соот-
ветствующих составляющих потока
мощности прямой волны и отражен-
ной. Мнимая составляющая потока
мощности, т. е. реактивная мощ-
ность, зависит от координаты и со-
ответствует образованию областей с
преимущественной энергией элект-
рического поля и областей с преиму-
щественной энергией магнитного по-
ля; сказанное соответствует возник-
новению «стоячих волн» (см. вторую
часть книги).
Пример 7-3. Найти выражение вектора
Пойнтинга для поля предыдущего приме-
ра (рис. 7-8).
Решение. В соответствии с общим
положением теории П =ЕхН. Подставляя
значения, найденные в примере 7-2, и про-
изводя операции, требуемые векторной ал-
геброй, находим:
П = (34,2 — 3,8 cos 1,87у) ех —
— /17,1 sin 1,87 г/ 4-
+ 15,2 cos 1,87 у е2 квпг/см2.
Анализ найденных резуль-
татов. Пх т. е. х-я составляющая потока
мощности, как и следовало ожидать, содер-
жит положительную постоянную (среднюю
по времени). Этот поток направлен в сто-
рону +х в соответствии с такой же состав-
ляющей волнового вектора как падающей,
так и отраженной волн (Лх=&1х =
= Ц87сж~1>0). Можно объяснить и перио-
дические изменения Нх(у) от 30,4 до
38 квт/см* как результат наложения отра-
женной волны на падающую (образование
стоячих волн). Понятно также, что вещест-
венная составляющая потока в направле-
нии оси у равна нулю (Re Пу=0): это ре-
зультат полного отражения нормальной со-
ставляющей; у-я составляющая потока со-
держит мнимую часть, периодически изме-
няющуюся с изменением координаты это
указывает на пульсацию энергии магнитно-
го и электрического поля. Там, где макси-
мальное значение плотности энергии маг-
нитного поля
W . макс = Е2
MdKC * * и
больше максимального значения энергии
электрического ПОЛЯ Wa,MaKC=£288(h там
плотность «потребляемой» реактивной мощ-
298
НОСТИ Qo = CO(wM, макС'—^э, макс) ПОЛОЖИ-
тельна.
Приток реактивной мощности можно
найти, вычисляя дивергенцию вектора
Пойнтинга; она положительна в об-
ласти Qo<O и отрицательна в области Qo>0.
В последнем случае «потребляется» поло-
жительная реактивная мощность, значит,
дивергенция плотности потока реактивной
мощности отрицательна:
div (im II) < 0 при Qo > 0.
Легко убедиться, что в нашем примере все
согласуется с изложенным. Действительно,
divll = — j 32,0 (квар) см3) cos 1,87 у1.
У поверхности пластины (г/=0) электричес-
кое поле равно нулю, а магнитное поле
большое (WM, МаксЖ, макс И Qq>Q)\
в этих же точках div (Im П) <0.
Наиболее интересен, а может быть и не-
ожиданен результат для г-й составляющей
потока: ее вещественная часть отлична от
нуля и зависит от координаты у как коси-
нусоида. Это значит, что параллельно по-
верхности раздела расположены слои, в ко-
торых поток движется в одном слое в сто-
рону положительных г, а в следующем
слое — в сторону отрицательных г. При
этом поток в каждом слое равен и противо-
положен по направлению потоку в следую-
щем слое. Поэтому, как и должно быть, ни-
какая энергия не распространяется поперек
направления движения волны.
— Однако существование этих слоев име-
ет глубокий физический смысл: рассматри-
ваемый режим может существовать над
пластиной конечных размеров (в направле-
нии ±г) только в том случае, когда поток
энергии, бегущей в направлениях ±z, тем
или иным способом отражается в каких-то
плоскостях ±z; в противном случае поток
энергии, разбегаясь в направлениях ±z,
соскользнет с проводящей поверхности.
Если волна падает на хорошо проводя-
щую тонкую ленту, лежащую в плоскости
у=0, то чередующиеся по направлению по-
токи энергии (в направлении ±з) участву-
ют в огибании ленты электромагнитной вол-
ной (дифракция).
Давление электромагнитной вол-
ны при ее падении на поверхность
раздела двух сред.. В случае нор-
мального падения волны, на плос-
кую поверхность границы хорошо
проводящей среды можно найти
производимое волной давление, об-
ращаясь к прежнему методу [§ 6-1,
(6-37), рис. 6-6 и 6?7].
Выберем так систему координат,
чтобы магнитный вектор падающей
волны H — Hz, при том что волна
распространяется в направлении
1 Мнимая составляющая мощности вы-
ражена в квар (киловольт-амперы реактив-
ные) .
оси z/, как показано на рис. 7-9.
Внутри металла при высокой часто-
те поле быстро убывает; при этом
в металле возникает ток, плотность
которого
j = rot Н — ех dHJdy. (7-62)
Этот вектор направлен в отрица-
тельную сторону (—ех), так как Hz
убывает с ростом у.
Сила, испытываемая металлом,
по которому идет ток J, отнесенная
к единице объема,
f0 = Но j хн = Но
Интегрируя эту силу по всей толщи-
не металла от у = 0 до у=#о, т. е. до
глубины, на которой плотность тока
практически обращается в нуль, на-
ходим силу, отнесенную к единице
поверхности металла, иначе говоря,
давление
Уо Уо
~ С • * р * дН
Fo=ei/Ho j JH И — dy =
о о
н=о
= Mi0 J = (7-63)
H=HS
где Hs — напряженность поля на по-
верхности металла.
Как видно из полученного выра-
жения, давление равно плотности
энергии поля на поверхности метал-
ла (см. § 6-1). На хорошо проводя-
щей поверхности напряженность
магнитного поля в 2 раза больше
напряженности падающей волны
Hs = 2Н0. (7-64)
20*
299
Следовательно, давление в 4 раза
больше среднего значения плотности
энергий магнитного поля падающей
волны
Го = Но^/2 = 4(РоЯ2/2) (7-65)
или в 2 раза больше среднего зна-
чения полной плотности энергии
[см. (7-58)] опять же падающей
волны
^о = 2(ИоЯ2/2 + 8о^/2). (7-66)
К тому же результату приводят об-
щие положения механики в сочета-
нии с знаменитой формулой Эйн-
штейна, по которой плотности энер-
гии w соответствует плотность
массы
m0 = w/c2.
В случае электромагнитной волны
средняя плотность массы падающей
электромагнитной волны
т0 = Ио Н2 /2с2 + 80 Е2/2с2. (7-67)
Движущаяся масса обладает им-
пульсом (или количеством движе-
ния), равным массе, помноженной
на скорость; следовательно, для па-
дающей волны средняя плотность
импульса
go = moc. (7-68)
По закону Ньютона изменение коли-
чества движения равно импульсу
силы
d (mv) = f dt.
В нашем случае при полном отра-
жении от нормальной поверхности
металла скорость волны меняется
на прямо противоположную; это
значит, что средняя плотность им-
пульса изменяемся на величину
&go = 2moc. Но за время Т меняет
свое направление поток энергии,
распределенный в столбике сТ, опи-
рающемся на единичную поверх-
ность. Поэтому импульс силы, рав-
ный произведению давления Fo
и времени Т, должен быть равен ве-
личине Ag0, умноженной на дли-
ну сТ:
FQT = 2m0c2T (7-69)
или
F0 = 2m0c2. (7-70)
Принимая во внимание значение
плотности массы, определенное по
закону Эйнштейна и выраженное ра-
венством (7-67), приходим к (7-66).
Физические процессы, обусловли-
вающие отражение и влияющие на
распространение волн. В случае ди-
электрика в электрическом поле
(гл. 3 и 4) при всех выводах под-
черкивалось, что роль диэлектрика
сводится к появлению дополнитель-
ных связанных зарядов, обладаю-
щих своим дополнительным полем.
Также подчеркивалось, что влияние
магнитно-поляризуемой среды сво-
дится к появлению дополнительных
носителей электрокинетического
(магнитного) момента. Так обстоит
дело и с влиянием среды на ско-
рость и направление электромаг-
нитных волн. Молекулярные диполи,
колеблющиеся под влиянием элект-
ромагнитной волны, сами становят-
ся микроскопическими источниками
электромагнитного поля. Поле мно-
жества таких излучателей1 накла-
дывается на поле падающей волны,
образуя в сумме результирующее
поле.
7-2. ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
И волноводы
Мы уже несколько раз говорили
о направленном распространении
волн. В простейшем случае это вол-
ны между проводами кабелей или
воздушных линий. Однако электро-
магнитные волны могут распростра-
няться и по волноводам, полым ме-
таллическим трубам и по толстым
нитям с большой диэлектрической
проницаемостью (диэлектрический
волновод). В первом случае волны
бегут в трубе, многократно отража-
ясь от хорошо проводящих стенок;
в последнем случае волны отража-
ются от границы диэлектрика с воз-
духом (хорошо известный в оптике
эффект полного внутреннего отра-
жения) .
Большое практическое значение
имеют и полые резонаторы; они
в известной мере напоминают аку-
стические объемные резонаторы
1 Излучение электромагнитных волн ко-
леблющимся диполем рассматривается в
следующей главе.
300
и представляют собой в простейшем
случае полую металлическую короб-
ку, внутри которой могут образовы-
ваться объемные стоячие волны
только строго определенной длины.
При связи с источником поля (соот-
ветствующей частоты) в резонаторе
происходит значительное накопле-
ние энергии, как в резонансном кон-
туре L, С, подсоединенном к источ-
Продолжая подобные рассужде-
ния, найдем восемь возможных зна-
чений волновых векторов:
Ki =- + kx ex+ky еу +k2 ez; ]
К2 = — kx ex+ky ey+kz ez; *
K3 ~ kx ex ky kz ez; §
Ki — kx Qx ky ey kz ez; I
(7-72)
нику резонансной часто-
ты. Добротность полых
резонаторов очень высо-
ка (десятки тысяч).
Расчет и полых резо-
наторов и волноводов
можно вести разными
способами. В случае пря-
моугольных резонаторов
и волноводов проще исхо-
дить из представления о
существовании ряда плос-
ких волн, отражающихся
от хорошо проводящих
стенок. Помимо матема-
тической простоты, при
этом существенна просто-
та физического представ-
ления о появлении стоя-
Рис. 7-10.
чих волн в результате на-
ложения ряда бегущих волн.
Полый резонатор. Пусть метал-
лические стенки, ограничивающие
прямоугольную полость, расположе-
ны нормально к координатным осям,
как показано на рис. 7-10, а. Рас-
стояния между параллельными стен-
ками (высота, глубина и ширина
полости) соответственно А, В, С.
Предположим, что внутри такой по-
лости распространяется волна
Ё, = Ё10е/К1Г, (7-71)
где Ki = йхех+ky^y+kzez.
Эта волна, дойдя до стенки, нор-
мальной к оси х, отражается. Вол-
новой вектор отраженной волны от-
личается от Ki только измененным
знаком х-й компоненты:
К2 — ^Х ky ^У ~Г" ^2
Дойдя до стенки, нормальной к оси
у, эта вторая волна то'же отражает-
ся; волновой вектор новой отражен-
ной волны отличается только знаком
у-й компоненты
Кз = — kx — ky еу + kz ег.
К5 — ~r.kx ех ky еу kz е2;
К.6 ~ + kx &xA~ky Qy kz ez,
К? — + kx ex ky ey—kz ez,
K.8 — kx cx~[~ky ty kz e2.
Разумеется, для всех этих векто-
ров с необходимостью должно вы-
полняться условие (7-35), вытекаю-
щее из основных уравнений поля.
Плоская волна, характеризуемая
любым из этих волновых векторов,
после ряда отражений вновь пре-
вращается в волну с тем же самым
волновым вектором..
Сумма восьми различных волн,
в общем случае с различными ам-
плитудными множителями, выра-
жается достаточно громоздкими
формулами. Действительно, пред-
ставляя каждый из экспоненциаль-
ных множителей по формуле Эйле-
ра, найдем, что
e = e e y e z —
= (cos kx x ± j sin kx x) (cos kyy ±
± j sin ky y)(cos kzz ± j sin kz z). (7-73
(7-72)
301
Выписанное выражение состоит из
8 слагаемых для каждого набора
выбранных знаков, соответствующих
определенному индексу Z, который
имеет 8 значений. Кроме того, каж-
дый из амплитудных множителей
имеет 3 слагаемых:
£7 — Р Р —Ц Р Р —L Р р
' ^XS i ^ys i ^2*
Однако все возможные члены
удается записать в очень компакт-
ной форме благодаря их однотип-
ности. Так, х-я составляющая на-
пряженности поля в самом общем
виде представляется равенством
(7-74)
в котором индекс i соответствует
различному сочетанию множителей,
выбранных в виде косинусов или си-
нусов.
Но и это выражение легко еще
упростить, применяя известные гра-
ничные условия для идеально про-
водящих стенок: на их поверхности
может существовать только нор-
мальная слагающая напряженности
электрического поля. Значит, выра-
жение (7-74) должно обращаться
в нуль при у = 0, так же как и при
г=0, чему соответствуют синусы,
а не косинусы. Поэтому вместо
(7-74) можно написать:
Ёх = Ёг kx х\sin ky у sin kz z\
Ёи = sin kx x I c.os ky у) sin kz z\
y ~ \sm yj) z
Ez = E3sin£„x sin kyy lc.oskzz\
? * * (sm j
(7-75)
Дальнейшие уточнения легко
произвести, во-первых, из того, что
Ех=0 при у=В, а также при z=C
из тех же соображений о поле на
поверхности проводника (стенки па-
раллельны оси х). Эти условия вы-
полняются при
ky = тп[В и kz = пп[С. (7-76а)
Аналогичное требование к г/-й
и 2-й составляющим приводит к ра-
венству
kx ~ 1л/А. (7-766)
В последних трех равенствах Z,
т, п — целые числа, называемые ха-
рактеристическими. Их набор, на-
пример, Z = 0, m=l, п=1 или 1=1,
т=1, п=0 и т. п., характеризует
вид колебаний.
Равенства (7-76) в сочетании
с (7-35) приводят к уравнению, свя-
зывающему частоту f или длину сво-
бодно распространяющейся волны
%=c/f с размерами резонатора
(к/л)2= (2/Х)2 =(7/Л)2 +(m/B)2+(n/C)2.
(7-77)
Значит, для резонатора с заданны-
ми размерами А, В, С существует
некоторая максимальная длина вол-
ны % (или минимальная частота f),
при которой внутри резонатора мо-
гут быть возбуждены резонансные
колебания; иначе говоря, внутри ре-
зонатора переменное электромаг-
нитное поле может существовать
в форме пространственных стоячих
волн.
Наибольшей длине волны соот-
ветствуют колебания, при которых
электрический вектор направлен по
самой короткой стороне. Действи-
тельно, по (7-77)
%/2- 1/У(1/АУ+(т/В)2+(п/С)2. (7-78)
Если А<В^С, то очевидно, что
^=Хмакс при 1 = 0. Два других числа
должны иметь возможно малое зна-
чение т = п=1; при этом электри-
ческий вектор (7-75а) выражается
равенством
Ё = Ёх = Ег sin sin —. (7-79)
В с
Остальные составляющие (т. е.. Еу
и Ez) равны нулю Ч
При этих условиях
А=Хмакс = 2ВС/ ГВ2 + С2. (7-80)
В резонаторе при А<В = С
^макс “ .
1 Если бы, кроме I, принять, что еще т
или п равно нулю, то исчезнет и х-я со-
ставляющая.
302
В формулы (7-75) следует внести
еще одно уточнение, поскольку
в .каждой из строк сохранился мно-
житель, в котором надлежит вы-
брать косинус или синус. Разными
путями можно показать, что нужно
выбрать именно косинусы, и вместо
(7-75) писать:
Ё=Ё, cos kx х sin kv у sin kz z\
Л X Л У kJ Z 7
Ёу=Ё2 sin kx x cos ky у sin kz z\
Ёг=Ё3 sin kx x sin ky у cos kz z.
(7-81)
Проще всего этот результат по-
лучается путем вычисления div Ё,
которая должна равняться нулю при
отсутствии объемного заряда. Дей-
ствительно, по (7-81) находим, что
div Ё = дЁх)дх + дЁу)ду + дЁг^ =
— — {Ё1 kx -j- Ё2 ky +
+ Ё3 kz) sin kx x sin kyy sin kzz.
Один из синусов тожественно обра-
щается в нуль, когда одно из харак-
теристических чисел (/, т, п) равно
нулю. При этом, как и требуется,
div Ё = 0 и не налагается никаких
ограничений на соотношение между
векторами поля. Если же ни одно из
характеристических чисел не обра-
щается в нуль, то обязательно соот-
ношение между амплитудными мно-
жителями, обращающее в нуль
круглую скобку. Иной выбор между
.cos и sin в (7-75) приводит к систе-
ме уравнений, имеющей единствен-
ное решение Ei=E2=E3=0.
Магнитное поле внутри резона-
тора всегда можно найти по второ-
му уравнению Максвелла, разумеет-
.ся, при известном Ё:
Н=-Л— rotE. (7-82)
©go
Рассмотрим картину поля в про-
стейшем случае 1=0, т=1, п=1.
В этом случае по (7-79) и (7-82):
Г. А •• пУ • Л2
Е=ЕХ=Е1 sin—- sin-------;
В G
нх = о-
fr i . Tty 3TZ
/Я = —----— Er sin —— cos ----;
у С В С
(7-83)
- г —1 ЗТ * зт у , TtZ
= — -----EiCos—— sin ------
2 p-о со В В С
(7-83)
На рис. 7-10 схематически показано
распределение поля в резонаторе.
Возбуждение колебаний в резо-
наторе достигается путем слабой
Рис. 7-11.
связи между внешним источником
колебаний и резонатором. Для этого
в стенке резонатора проделывается
отверстие и к нему подводится ко-
аксиальный кабель (или волновод).
При первом, электрическом, спосо-
бе возбуждения жила кабеля вво-
дится на небольшую глубину внутрь
резонатора (рис. 7-11, а); электри-
ческое поле, вносимое жилой внутрь
резонатора, должно хотя бы частич-
но совпадать с полем того типа, ко-
торое хотят возбудить.
В другом, магнитном, способе
возбуждения жила изгибается
в форме маленькой петли и ее конец
соединяется накоротко со стенкой
резонатора (рис. 7-11,6); магнитное
поле петли, вносимое внутрь резона-
тора, должно частично совпадать
с тем полем, которое стремятся воз-
будить.
В случае рассмотренного поля
/=0, m = n=l при электрическом
возбуждении кабель должен подво-
диться к стенке, нормальной к оси х,
и выступающий штырек должен
быть параллелен оси х; при магнит-
303
ном возбуждении кабель должен
присоединяться к стенкам, парал-
лельным оси х (см. также рис. 7-16,
7-17 и соответствующий текст.)
Потери и добротность резонато-
ров. Как уже говорилось, доброт-
ность резонаторов очень велика;
для волн Х=10 см она порядка де-
сятков тысяч. В случае рассмотрен-
ного типа колебаний добротность
приблизительно может быть опреде-
лена формулой
Q = HHa + B2)/x0>
если В = С; здесь х0— ]/г2/а>р.0р,о—
условная глубина проникновения.
Приближенно расчет потерь
можно произвести исходя из найден-
ного значения напряженности маг-
нитного поля на поверхности стенок,
пользуясь формулой (6-61в),
Ро = Re (Я2 □ - H2/gxQ9 (7-84)
где Н — касательная к поверхности
напряженность поля (эффективное
значение). Последняя формула вы-
ражает мощность, отнесенную к еди-
нице поверхности. Беря интеграл от
Ро по всем шести стенкам, можно
найти всю рассеиваемую мощность.
Для определения добротности нуж-
но еще определить энергию, запа-
сенную в резонаторе. Ее легко най-
ти, интегрируя по объему значение
максимальной плотности энергии
электрического поля:
^э.макс = J E280dV9
если Е — эффективное значение.
Такой же величине равна и мак-
симальная энергия магнитного поля,
так как 2 раза за период вся энергия
электрического поля переходит
в энергию поля магнитного. Послед-
нее ясно из общих представлений
о колебаниях в резонаторе, а также
из сдвига по фазе на л/2 между век-
торами электрического и магнитного
поля, как это видно из сопоставле-
ния формул (7-83). После того как
найдены энергия и рассеиваемая
мощность, добротность выражается
их отношением
С = <оГзмакс/Р, ; 77-85)
которое представляет основное
определение этого понятия.
Границы применения полых резо-
наторов. Мы рассмотрели здесь про-
стейший резонатор и простейший
тип образующегося в нем поля. Дру-
гие типы колебаний могут быть воз-
буждены при соответствующих раз-
мерах резонатора путем более слож-
ной связи внешнего источника с ре-
зонатором (см. рис. 7-16—7-18).
Полые резонаторы применяются
главным образом в диапазоне сверх-
высоких частот при длине волны
приблизительно от 10 см и до не-
скольких миллиметров. Для более
длинных волн размеры полостей
становятся слишком большими
и удобнее пользоваться в качестве
резонаторов отрезками линий, на-
строенных на определенную длину
волны. Действительно, при волнах
длиной в несколько метров резона-
торы должны иметь размеры целых
комнат. Технически это уже не-
удобно.
Комнаты для работы с высоко-
частотной аппаратурой и высокоча-
стотными генераторами часто быва-
ют окружены металлическим экра-
ном (металлическими стенками)
и, таким образом, оказываются спо-
собными к образованию в них стоя-
чих волн определенной частоты.
В таких комнатах иногда образуют-
ся большие напряженности поля, ко-
торые могут оказаться вредными ра-
ботающим в комнате. Для борьбы
с этим должны дополнительно экра-
нироваться генераторы; в некоторых
случаях предусматривается допол-
нительное поглощающее покрытие
металлических стенок — из-за боль-
шого рассеивания мощности в таких
покрытиях резонансные явления ис-
чезают.
При волнах длиной около милли-
метра техника объемных резонато-
ров и волноводов становится непри-
менимой из-за трудности точного из-
готовления столь малых деталей
и сложности их настройки и обра-
щения с ними. Но за последнее вре-
мя, особенно в связи с развитием
молекулярной электроники, получи-
ли широкое распространение волны
миллиметрового и субмиллиметро-
вого диапазонов. Техника столь ко-
ротких волн в значительней мере
смыкается с техникой оптической,
304
и в ней появляется много устройств,
новых даже для сверхвысоких ча-
стот. Прежде всего это — открытые
резонаторы и волноводы. Они заме-
чательны тем, что их размеры зна-
чительно превосходят длину элект-
ромагнитных волн, как в оптике раз-
меры зеркал ,и линз превосходят
длину световых волн. В простейшем
щимися от (7-81) тем, что в них
sin kzz и cos kzz следует заменить на
е ~~ I
Ёх=Ёг cos kx х sin ky у e~'lk^ ;
ЁУ^=Ё2 sin kx x cos ky у e~ikz2 ;
Ёг=Ёз sin kx x sin ky у .
(7-86)
При этом
Рис. 7-12.
^ + ^ + ^ = (2W
и
kx = /л/Д; ky = mn>!B.
Для того чтобы электромагнит-
ные волны распространялись в на-
правлении z без затухания, необхо-
димо, чтобы kz было вещественным,
т. е. чтобы выполнялось неравенство
k\ = (2л/Х)2 — (/л/Д)2—(mnfBf > 0.
(7-87)
Последнее условие показывает,
что в волноводе могут распростра-
няться колебания, длина волны ко-
торых в свободном пространстве
меньше некоторого критического
значения (£z = 0):
случае открытый резонатор пред-
ставляет собой просто два металли-
ческих зеркала, расположенных од-
но против другого. Открытые резо-
наторы применяются в технике
квантовых генераторов. Теория
и практика применения открытых
резонаторов начали развиваться
с 1958 г.
Прямоугольный волновод. Рас-
смотрим прямоугольный волновод
(рис. 7-12) с размерами А и В по
беям х и z/, неограниченно протя-
женный в направлении х. Отличие
поля в таком волноводе от поля
в прямоугольном резонаторе
(рис. 7-10) только в том, что теперь
не происходит отражений от стенки,
нормальной к оси г; поэтому в на-
боре волновых векторов (7-72) сла-
гающая kz имеет один знак.
В случае волны, распространяю-
щейся в сторону +z, в экспоненте
появляется только показатель —jkzz
(а не + jkzz и —jkzz). Из сказанного
вытекает, что возможные решения
выражаются формулами, отличаю-
ь <Хр = г . . (7-88)
У(/М)2 + (т/В)2
Критическая длина волны зависит
от типа устанавливающегося поля,
определяемого характеристически-
ми числами I и т. Если Д<В, то
наибольшее значение критической
волны соответствует числам /=0
и т=1 (оба числа не могут одно-
временно обращаться в нуль). При
этом
% =2В.
кр, макс
Длина волны в волноводе Л
и фазовая скорость. Зная 2-ю со-
ставляющую волнового вектора, на-
ходим длину волны, распространяю-
щейся по волноводу,
Л - 2n/kz. (7-89)
Из сопоставления (7-87) — (7-89)
можно заключить, что эта длина
всегда больше длины % свободной
волны, например приводя последнее
равенство к виду
л = %/]/1-(ЖкР)2- - (7-90>
305
Соответственно фазовая скорость
волны, распространяющейся в вол-
новоде, Уф всегда больше скорости
в свободном пространстве
уф = Л/>у = V. (7-91)
Схематически соотношение меж-
ду % и Л показано на рис. 7-13, где
изображена волна, распространяю-
щаяся по волноводу и многократно
Рис. 7-13.
отражающаяся от нижней и верхней
стенок. Различие между л и А и их
соотношение не требует новых объ-
яснений.
Но на рисунке показана еще од-
на величина X/, она показывает, на-
сколько продвигается гребень вдоль
направления z, т. е. вдоль волнового
вектора падающей волны. Этот путь
меньше не только длины Л, но
и длины свободной волны X. С ро-
стом угла а растет длина волны
в волноводе, но уменьшается про-
движение в направлении оси z за
один период, т. е. длина Xz.
Между тремя длинами существу-
ет простое соотношение
Л%2 = %2. (7-92)
Для случая, показанного на
рис. 7-13, это очевидно, так как 2iz=
=Xcosa и Acosa = Z. Если разде-
лить обе части равенства (7-92) на
72, то найдем, что
^v2 = y2, (7-93)
где v — скорость волны в свободном
пространстве, равная скорости све-
та, а Уф — фазовая скорость в на-
правлении Z.
Какой смысл имеет скорость yz?
На этот вопрос можно ответить,
произведя мысленно такой опыт.
Пусть в некотором поперечном сече-
нии волновода 1 прервалось поступ-
ление электромагнитной волны, че-
рез какое время прекратится по-
ступление волны в сечение 2, от-
стоящее на расстоянии 2i2=s?
Ответ такой: через время
т = (s/cos а) : у = s/у cos а.
Действительно, до второго сечения
волна бежит не по прямому пути,
а делает зигзаги, отражаясь то от
одной стенки, то от другой. Посколь-
ку волна падает под углом а, путь,
пробегаемый волной, равен s/cos а.
Скорость у cos а = yz — это скорость
передачи или распространения сиг-
нала в направлении z. Ясно, что эта
скорость не может быть больше ско-
рости распространения свободной
волны у и равна ей, когда направ-
ление z совпадает с направлением
распространения свободной волны.
О скорости yz как о скорости рас-
пространения сигнала можно соста-
вить представление, воображая, что
Рис. 7-14.
кратковременный световой сигнал
подан прожектором в направлении,
образующем угол а с осью z. Этот
сигнал будет распространяться в на-
правлении z в результате много-
кратных отражений от стенок. Со-
отношение (7-93) справедливо во
всех случаях, когда может идти речь
о трех скоростях, а не только в слу-
чае прямоугольного волновода (см.
также конец параграфа).
На рис. 7-14 представлена попыт-
ка наглядно показать более полно
картину электрического поля для
какого-то момента времени t. С те-
чением времени вся картина пере-
носится в направлении z со ско-
ростью Уф=Л/Г=Л/. Изображенное
поле получается в результате много-
;306
кратных отражений при 1 = 0 и т = 1,
иначе говоря, при kx = 0\ ky = n!B.
При этом уравнение (7-86) прини-
мает вид:
Ё = Ёх = sin (лу/В) е~’^г . (7-94)
Уровень сетки, представленной на
рис. 7-14, показывает мгновенное
значение'вектора Е=ЕХ. Значение
напряженности поля в заданный
момент времени отрицательно там,
где сетка ниже нулевого уровня.
Волны типов ТЕ й ТМ. Множе-
ство разных типов волн в волново-
дах, описываемых в самой общей
форме выражениями (7-86) и (7-95),
прежде всего разделяют на два
класса. К одному относятся волны,
не имеющие продольной, т. е. 2-й,
слагающей электрического вектора
(£2 = 0); их называют поперечно-
электрическими ТЕ или магнитными
Я; эти два названия равноправны.
К другому классу относятся волны,
Рис. 7-15.
Сетка имеет нулевой уровень около
боковых стенок волновода (у=0
и у = В), где по условию Ех=0, Рас-
стояние между двумя ближайшими
вершинами сетки (вдоль оси z)
и представляет длину волноводной
волны Л.
Магнитное поле волны легко
найти по уравнению Максвелла:
Н = rot Ё =
соцо
— {[(ky E3+jkz Ё2) sin kx х cos ky у] ex +
+ [(—jkz E±—kx £3) cos kxx sin kyy] e_„+
+ [(&x E2—ky EJ cos kx x cos ky у] ег} p,
где p =
. — jk z
je 2
(7-95)
не имеющие продольной магнитной
составляющей; их называют по-
перечномагнитными ТМ или элект-
рическими Е.
Дальнейшее подразделение опре-
деляется значениями характеристи-
ческих чисел; говорят о волне TEim,
если в ней £3 = 0, а характеристиче-
ские числа имеют значения I и т,
или о волне ТМгт, если Hz=0.
Волна, изображенная на рис. 7-12
и 7-14, это волна типа ТЕщ- Для нее
электрический вектор определяется
формулой (7-94), а магнитный име-
ет р-ю и 2-ю составляющие:
Н = [kz Ёг sin (лу/В) —
— jk Ёг cos (лу/В) е2] ---,
(ОЦо
(7-96)
307
как это следует из (7-95) при £'2=
=E3=kx=0.
Для волн типа ТЕ02 картина по-
ля отличается тем, что вдоль оси у
укладывается не одна полуволна си-
нусоиды Ех (и соответствующего
магнитного поля), а две, как это по-
казано на рис. 7-15.
Сравнивая поле волновода и ре-
зонатора (в нем образовалась стоя-
миллиметров. В качестве серьезного
самостоятельного упражнения мож-
но рекомендовать выполнение сле-
дующего расчета: начиная с некото-
рого сечения 21, волновод заполнен
несовершенным диэлектриком с па-
раметрами 8=10; tg6e=0,15; p=L
В волноводе возбуждается волна ти-
па ТЕы при Х=10 см. Надо найти
отношение ТГмакс/^мин и расстояние
Рис. 7-16.
чая волна), интересно заметить, что
в резонаторе ортогональные векто-
ры Е и Н сдвинуты по фазе на л/2
и вещественная составляющая век-
тора Пойнтинга равна нулю. Иначе
обстоит дело в волноводе с бегущей
волной — в нем происходит перенос
энергии, как в длинной линии.
Важно заметить, что волноводы
во многом аналогичны длинным ли-
ниям, поскольку распространяющие-
ся в них волны содержат множитель
e—ikzz ж Большое число положений
теории длинных линий применимо
к волноводам. Очень существенно,
что к волноводам применимо и по-
нятие входного и характеристиче-
ского сопротивлений и понятие ко-
эффициента отражения.
Характеристическое сопротивле-
ние зависит от типа волны; для вол-
ны TEqi принято такое определение:
Zc = Ex!Hy. (7-97)
По (7-94) и (7-96) легко найти, что
Zc= <вцп/^= J6*o/so (7.98)
V i-wm2
Чем ближе X к Хкр, тем больше
оказывается Zc. К волноводам при-
менима и теория измерительной ли-
нии (§ 3-26, второй части книги).
Пользуясь ею, измеряют электриче-
ские и магнитные свойства среды
вплоть до волн длиной в несколько
от Z\ до ближайшего минимума. Ре-
зультаты сопоставить с формулами
§ 3-26 второй части книги и пока-
зать возможность определения па-
раметров диэлектрика из опыта.
От конца волновода происходит
отражение и при открытом конце
и при короткозамкнутом. Через от-
крытый конец часть энергии излу-
чается в свободное пространство.
Волновод на конце соединяют с ру-
пором, очень похожим на акустиче-
ские рупоры, для того чтобы умень-
шить отражение от разомкнутого
конца и увеличить количество из-
лучаемой энергии.
Возбуждение волн разных типов.
Тип волны, устанавливающейся
в волноводе, зависит в основном от
способа связи волновода с генера-
тором. На рис. 7-16, а показан шты-
рек, вводимый в волновод для воз-
буждения волны типа TEqi. На
рис. 7-16, б показаны два штырька
для возбуждения волны типа ТЕ^
поле одного из штырьков отличает-
ся знаком от поля другого, так как
подводящие кабели отличаются по
длине на Х/2. Из сопоставления
рис. 7-16 с рис. 7-12 и 7-15 очевидно
соответствие разных возбудителей
поля своим типам волн. На рис. 7-17
показано подсоединение кабеля
к волноводу для возбуждения волны
ТТИц. В этой волне электрическое
поле имеет продольную составляю-
308.
щую, как видно из способа возбуж-
дения. Напротив, магнитное поле
имеет только поперечные составляю-
щие (поперечномагнитная или элек-
трическая волна). Схематически
картина поля типа Т7Иц показана
на рис. 7-18. Связь с источником
может производиться и посредством
петли, магнитное поле которой
должно совпадать (частично) с маг-
нитным полем возбуждаемой волны.
ственная величина; здесь по (7-87)
kz = К(2л/10)2 —(л/9)2 =0,523 СЛ1-1 .
При £1=5 кв [см, со=2л>3-1О9 сек-1 на-
ходим:
П2 = 50 sin2
кет/см?.
Интегрируя по всему сечению волновода, на-
ходим мощность:
в
Р — [ nz A dy = 0,9 Мет.
'о
Н Е £
ТМ^ z
Рис. 7-18.
Для разных типов волн критиче-
ская частота (длина волны) имеет
различное значение. Практически
наиболее удобно работать с такими
волноводами, чтобы при данной ча-
стоте генератора в них мог возбуж-
даться единственный тип волны.
Пример 7-4. Поперечные размеры вол^
повода 4x9 щи2; какие типы волн Н (т. е.
ТЕ) могут распространяться по этому вол-
новоду при длине свободной волны %=
= 10 см?
Решение. По формуле (7-88), пола-
гая Д=4 см и В=9 см, находим %кп для
разных значений I и т:
1т = 01; 02; 10; 20; 11;
ZKp = 18; 9; 8; 4; 7,3 см.
.Следовательно, по волноводу могут
распространяться только волны типа ТЕщ,
для которых %<%Кр.
Пример 7-5. Какую максимальную мощ-
ность можно передавать по волноводу пре-
дыдущего примера при %=10 см? Можно
считать, что предел мощности определяется
электрической прочностью воздуха: напря-
женность электрического поля должна быть
всего порядка 5 кв 1см, для того чтобы су-
ществовал достаточный запас прочности.
Решение. При отсутствии отражен-
ной волны находим, что продольная состав-
ляющая вектора Пойнтинга
11g — ЁхНу—
Цо®
— веще-
В реальных установках для радиолокации
мощности в импульсе достигают величин
такого порядка.
Пример 7-6. На основании (7-86) и
(7-95), казалось бы, может существовать
поле, распространяющееся в волноводе без
затухания при отсутствии продольных
(г-х) составляющих как электрического
(Е3=0), так и магнитного вектора:
Н2 — 0 при kx Ё2 — kyt1 = Q. (а)
Казалось бы, возможно подобрать такие
значения Ех и Е2, чтобы последнее условие
выполнялось.
Докажите, что на самом деле это не-
возможно.
Решение приведено в конце параграфа.
Заключительные замечания.
В современной технике теория
и практика применения электромаг-
нитных волн захватывают все более
и более широкие области. Сравни-
тельно длинные волны применяются
прежде всего для радиосвязи (вол-
ны длиной от тысяч метров до не-
скольких метров) и телевизионных
передач (порядка метра). В технике
связи получили распространение
и радиорелейные линии. В них
электромагнитные волны длиной от
3 м до 3 см подводятся по коакси-
альному кабелю или по волноводу
к вогнутым зеркалам или рупорам,
от которых они, как луч прожекто-
309
ра, распространяются по прямой ли-
нии до следующей мачты с прием-
ными улавливающими зеркалами
или рупорами. После усиления с той
же мачты луч электромагнитной
волны посылается к следующей
приемной мачте. Для того чтобы пе-
редавать сигналы по таким линиям,
разумеется, волны нужным образом
модулируются, их колебания филь-
труются, детектируются и направля-
ются в приемный аппарат.
В качестве промежуточной стан-
ции могут служить искусственные
спутники Земли: на их приемное
устройство падает луч электромаг-
нитной волны передатчика, усили-
вается аппаратурой спутника и вновь
излучается в направлении Земли.
При этом легко осуществляется
связь на такие расстояния, как Вла-
дивосток— Москва и Москва — Па-
риж, с единственным ретрансляци-
онным пунктом (спутник «Мол-
ния») .
Еще несколько замечаний о раз-
личном поведении волн разной дли-
ны: 1) длинные волны остаются при-
вязанными к поверхности Земли по-
добно коротким волнам вдоль ис-
кусственного направляющего уст-
ройства (рис. 7-19); для этих волн
поверхность Земли служит откры-
тым волноводом; 2) короткие волны
достигают удаленных пунктов, отра-
жаясь от проводящих слоев ионо-
сферы; в некоторых случаях при
этом может к приемнику приходить
и волна, привязанная к поверхности
Земли, и волна, отразившаяся от
ионосферы; эти волны могут интер-
ферировать, взаимно уничтожая
друг друга, если благодаря разли-
чию пройденного пути разность в их
фазах близка к л (фединг); возмож-
ны и другие типы интерференций;
3) еще более короткие волны сво-
бодно проходят через ионосферу
и поэтому могут приниматься толь-
ко в условиях «прямого видения»,,
как лучи прожектора; эти-то волны
и передаются по радиоретрансля-
ционным или радиорелейным лини-
ям, в том числе и с ретрансляцией
от спутника; 4) самые короткие вол-
ны не могут служить для связи из-за
их сильного поглощения в атмосфер-
ном воздухе.
В заключение этого радиотехни-
ческого отступления заметим, что
увеличение частоты выгодно для
техники связи, из-за того что с ро-
стом частоты все большее и большее
количество информации (телефон-
ных разговоров, телевизионных сиг-
налов и т. п.) может быть передано
в пределах небольшого диапазона
частот. Поэтому необычайно бога-
тые возможности содержит связь на
лучах лазеров.
Диапазон сантиметровых и деци-
метровых волн применяется в ра-
диолокации. В импульсе радиолока-
ционного излучателя волна имеет
Поверхностная
\ болна
Отклоненная свободная
болна
Рис. 7-19.
310
громадную мощность — порядка ме-
гаватт. В то время, когда станция
излучает ее, приемники бездейству-
ют. Но через малый промежуток
времени, соответствующий примерно
ожидаемому времени пробега луча
до места отражения и его возвраще-
ния, включается приемное устройст-
во, способное воспринять сигнал да-
же в том случае, когда с ним воз-
вращается всего одна миллиардная
часть посланного импульса энергии.
Волны более короткого (милли-
метрового) диапазона находят мень-
шее практическое применение из-за
их значительного поглощения в воз-
духе. Однако эти волны, так же как
и еще более короткие (субмилли-
метровые), находят важные приме-
нения в области различных физико-
химических исследований. Еще бо-
лее короткие волны приходится от-
носить уже к оптической технике.
Для волн миллиметрового и суб-
миллиметрового диапазонов приме-
няются направляющие устройства,
которые можно назвать открытыми
волноводами. Они отличаются тем,
что их размеры много больше, чем
длина волны; при этом- они отчасти
приближаются к оптическим систе-
мам, как об этом уже говорилось
в связи с объемными резонаторами.
Существуют открытые волноводы
и другого типа; они представляют
собой искусственные структуры из
ряда штырьков или дисков
(рис. 7-19,а), расположенных по
кривой линии (рис. 7-19, б). Плоская
волна, падая на такую систему, пре-
вращается в поверхностную волну
и параллельные линии поля плоской
падающей волны превращаются
в замкнутые петли, бегущие вдоль
системы, как это схематически по-
казано на рис. 7-19, б1. Сбегая
-с конца направляющей системы, по-
верхностная волна опять превра-
щается в плоскую, но распростра-
няется уже в новом направлении.
Такой волновод применялся для
волн длиной около 3 см; штырьки
направляющей системы имели длину
порядка 1 см.
Фазовая скорость и собирающая
линза. Иногда говорят, что скорость
распространения свободной волны —
это действительно волновая ско-
рость (она-то по закону Эйнштейна
никогда и не может превзойти ско-
рость света в вакууме), тогда как
фазовая скорость — понятие, воз-
никшее в результате совершенно
формального определения и не име-
ет за собой физической реальности.
Это не совсем правильно, так как
формальное определение фазовой
скорости Уф основывается на физи-
чески реальных явлениях. Иллюст-
рацией сказанному может служить
сравнение обычной оптической со-
бирающей линзы (рис. 7-20, а)
и собирающей линзы, основанной:
на том, что между двумя проводя-
щими плоскостями — как в волно-
воде с параллельными стенками—
фазовая скорость больше скорости
света Уф>с (рис. 7-20,6).
1 По статье Э. Г. Неймана (Е. G. Ne-
umann) в немецком Журнале прикладной
физики (Zs. angew. Phys., т. 18, стр. 71,
1964).
Поэтому в линзе, состоящей из
ряда параллельных или коаксиаль-
ных проводящих пластин, толщина
собирающей линзы увеличивается
311
по мере удаления от центра в про-
тивоположность обычной оптической
собирающей линзе, в которой тол-
щина уменьшается с удалением от
центра, так как в стекле скорость
волны меньше, чем в воздухе L
Дополнительные замечания о раз-
личных скоростях. Если в среде е
и р, а следовательно, и скорость
распространения свободной волны
не зависят от частоты, иначе говоря,
если среда не обладает дисперсией,
нет надобности вводить еще какие-
то определения скорости, кроме ско-
рости свободной волны v, фазовой
Уф и скорости распространения сиг-
нала vs. Однако в случае дисперги-
рующей среды, свойства которой за-
висят от частоты, т. е. 8 (/со) и р(/со),
оказывается необходимым вводить
еще групповую скорость и и ско-
рость переноса энергии щ. В недис-
пергирующей среде эти два вида
скорости совпадают со скоростью
распространения сигнала: u=Ui = us.
Решение примера 7-6. Кроме
уравнений (7-86) и вытекающих из них
(7-95), уравнения поля должны удовлетво-
рять теореме Гаусса: div Е=0 при отсутст-
вии объемного заряда, и условию (7-35),
т. е. решению основного' уравнения.
Применяя операцию div к слагающим
вектора (7-86) при Е3=0, находим, что
• , _jk 2»
(kxEx-\- kyE£ smkxxsmkyye 2 =0.
или
&X + ky -^2 ~ (6)
Но одновременное выполнение условий (a)
и (б) возможно или при или при
Ei —Е2=0, т. е. при отсутствии поля. Заме-
тим еще, что первое условие, равносильное
тому, что kx=ky-^Q; приводит, как видно
из (7-86), к тому же результату Е—0.
7-3. ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Особенности, обусловленные про-
стейшей анизотропией. В анизотроп-
ной среде различные составляющие
волны могут распространяться с раз-
личной скоростью и в общем случае
с различным затуханием. Пусть, на-
пример, анизотропия среды характе-
ризуется тем, что в ней sxx>syy, т. е.
что проницаемость в направлении
оси х больше проницаемости по оси
у; при этом пусть магнитная прони-
цаемость по всем осям равна 1. 1
1 [Л. 1-4], т. 2, гл. 33.
Рассмотрим волну с электричес-
ким вектором
Ё = Ёх ех -j- Ёу е^,
распространяющуюся в направлении
оси г.
Первая составляющая (Ёу—Ё^
встречает_волновое сопротивление
?х=?о/1/< 8хх и образует в паре с маг-
нитным вектором Н\=Ну—ExlZx
волну, распространяющуюся со ско-
ростью Ui = с/ ]/ 8Хх-
Вторая составляющая (Ё2=Ёу)
сопровождается магнитным полем
Н2~НХ== Eyily ПрИ —£о/ V &уу\
эта пара векторов образует волну,
распрост]цшяющуюся со скоростью
V2 === с/ &уу.
Пусть в какой-то точке, произ-
вольно принятой за начало отсчета
по оси 2, слагающие Ёх и Еу совпа-
дают по фазе.
Иначе говоря, в этой точке волна
плоскополяризована: ее век-
торы, изменяясь по гармоническому
закону, не меняют направления
Е = Ео cos (orf + сс);
H-H0cos(co/ + a), (7-99)
оставаясь параллельными или ан-
типараллельными соответственно
векторам Ео и Но. Эти векторы ор-
тогональны; в случае среды без
потерь они совпадают по фазе Ч
При этих условиях в точке z
= Нуйё~,к'г
и
Ё^Ёу=ЕуОё~^- Hz=Hx—HxOe~ik2Z.
Это значит, что составляющие Ёх
и Ёу, совпадая по фазе в точке 2=0,
уже расходятся по фазе в точке z
на величину
arg (Ё1/£2)=-(^1-й2)г; (7-100)
здесь
k;=2nlX,-=a/v,; щ==с,']/~ё7;
В изотропной среде ki—k2, vl = v2,
поэтому волна, плоскополяризован-
ная в точке z=0, остается плоскопо-
См. приложение 1.
312
ляризованной и по мере удаления от
этой точки, т. е. при z 4= 0. Напротив,
в анизотропной среде составляющие
£х и Ёу расходятся по фазе и вектор
Е(£) описывает в плоскости х, у
в общем случае эллипс. При этом
оси эллипса поворачиваются с из-
менением г, причем изменяется и от-
ношение между полуосями. Все рас-
четы легко произвести, обращаясь
к геометрическим операциям с комп-
лексами (см. приложение 1) или
переходя от комплексов к мгновен-
ным значениям и пользуясь обычны-
ми геометрическими методами. По-
добные расчеты показаны в примере
7-7.
В изотропной среде также могут
существовать волны эллиптически
поляризованные или поляризован-,
ные по кругу. При этом в изотроп-
ной среде характер поляризации,
наблюдаемый в одной точке, сохра-
няется и при дальнейшем распрост-
ранении волны. Однако он может
изменяться при отражении от ани-
зотропной среды или при косом па-
дении на поверхность раздела двух
сред.
Пример 7-7. В анизотропной среде
Sxx 4, 8^77=2, &ху = 8xz = Syz ~ |Л=1;
0=0; плоская волна распространяется в на-
правлении оси. г. Частота f==3«10n гц. Из-
вестно, что Ех = Ех0=5 e/сж; Еу=Еу0 =
=2,5 в/см в точке г=0.
Определить поле в какой-либо точке,
например 2!=0,01 см. Найти ближайшую
точку z2>0, в которой составляющие Ех
и Еу оказываются в квадратуре
arg Ёх — arg Ёу=—л/2,
и точку г3, в которой составляющие опять
оказываются в фазе (как были в точке z—
=0). Построить для точек Z\ и г2 геомет-
рическое место концов вектора Е.
Решение. Ех и Ёу — электрические
векторы двух независимых (в линейной сре-
де) волн, имеющих разные скорости и встре-
чающих разные волновые сопротивления.
Волновые векторы этих волн:
СО -1/--
k± = со/^1 = — У ехх = 40л см—1
с
и'
k2 = — У"— 20 2 л = 28, Зл см—1.
1) В точке ^1=0,01 см
Ё1= Ёх = 5е-/0’43 = 5/—72° в/см;
Ё2= Ёу = 2,5е-/0’283;с = 2,5/—51° в/см
ИЛИ
Е± (t) = Ех (t) = 5 cos (со/ 72°) в/см;
Е2 (/) = Еу (/) = 2,5 cos (со/ — 51°) в/см.
Соответствующие векторы магнитного
поля:
Нг = Ну = Ex/Zx = 2,68 Z_—72° а/м;
Н2= Нх=-~Ёу/£у — 0,94 Z—51° а/м,
где £х = 188 ом; ^=266 ом.
Геометрическое место и электрического
и магнитного векторов — эллипсы.
Для вектора электрического поля боль-
шая полуось эллипса по формулам прило-
жения (П1-22) и (П1-23) Еа=5,53 в/см,
малая полуось Е&=0,83 в/см. Угол наклона
большой оси ф=26°30/. В момент /=0 век-
тор Е=Е(0) имеет составляющие Ех(0) =
=5 cos 72°= 1,545 в/м и Еу (0) =2,5 cos 51°=
= 1,57 в/см. Как видно из рис. 7-21, эта
точка лежит на эллипсе.
2) В точке z2 по заданному условию и
по (7-100)
—л/2 = — (&! — k2) г2 = — 11,7лг2,
откуда z2=0,0427 см.
В этой точке
Д = Ёх =5е_'гЛ’71 ~ 5 cos (со/ + 52°15');
Ё2 -- Ёу —
= 2,5е~— — 2,5 cos (со/ — 37°45').
В тригонометрической записи к аргументам
прибавлено ±/г2л.
Параметры соответствующего эллипса
найдем по методу приложения 1 (рис. 7-22).
Параметры эллипса: ф=0; а=Еа = С+
+7)=5 в/см; Ь=ЕЪ — С—D=2,5 в/см.
В момент /=0 составляющие имеют зна-
чения Ех(0) =3,07 в/см и Ey (fl) =—1,98 в/см;
как и требуется, конец соответствующего
вектора Е(0) лежит на эллипсе. На рис. 7-22
показано направление, по которому конец
вектора Е перемещается по эллипсу.
3) Слагающие Ех и Ёу оказываются в
фазе, а волна — плоскополяризованная в
точке — (^i—£2) г3=—2л при г3=4г2=
=0,171 см.
313
Полезно самостоятельно провести даль-
нейшее исследование; интересно построить
графики Е(t, z)\ Ei{t, z); £2(^z) для каких-
либо значений Л а также проследить за по-
воротом оси эллипса в функции z (враще-
ние плоскости поляризации) и за направ-
лением движения конца вектора Е по эл-
липсу.
Пример 7-8. Падающая волна поляри-
зована по кругу Ex—jEy и распространяет-
ся в изотропной среде в направлении оси
—z, вдоль которой длина волны X. В точке
г=0 установлена отражающая решетка
Герца, состоящая из ряда хорошо прово-
дящих проволок, протянутых параллельно
оси у. От решетки полностью отражается
составляющая волны Еу; составляющая
Ех, не претерпевая отражения, свободно
проходит дальше.
Какой характер имеет волна после ре-
шетки z<0 и до решетки г>0, где наряду
с падающей волной существует волна от-
раженная?
Решение. За решеткой волна плос-
кополяризована (Еу=0). Перед решеткой г/-я
составляющая электрического вектора пред-
ставляет стоячую волну, амплитуда кото-
рой в 2 раза превосходит, амплитуду х-й
составляющей. При этом вид поля зависит
от координаты z. Волна поляризована по
эллипсу, и в разных точках на расстоянии
л/2 направление поляризации противопо-
ложно. В отдельных точках волна поляри-
зована по кругу (также с разным направле-
нием вращения), а в узлах волны Еу оста-
ется плоскополяризованная волна (только
£*^0) •
Приведение тензоров к диаго-
нальному виду. В случае анизотро-
пии кубического типа (например, об-
условленного зависимостью свойств
от направления в кристалле с куби-
ческой решеткой) параметры среды,
например, 8, выражаются тензором
8mn, компоненты которого в декар-
товых координатах представляются
матрицей
Причем В ЭТОЙ Матрице 8mn = 8nw.
В случае такой симметричной
матрицы всегда можно выбрать та-
кие декартовы координаты g, ц, g,
чтобы в матрице остались только
диагональные составляющие 8рр ,
а все остальные обратились в нули
8р = 0 при p^=v.
Физически это значит, что при
напряженности поля появляется
только т]-я составляющая поляриза-
ции Процессы поляри-
зации таких сред анализировались
в гл. 5. Записывая общее выражение
для Е и D в старой системе коорди-
нат х у, z и представляя составляю-
щие всех векторов в новой системе
g, т], g, получаем систему уравнений,
в которых £)р выражается через все
составляющие Е^:
D . = 8 л 8 Е .
р 0 pv V
Приравнивая во всех подобных вы-
ражениях нулю все коэффициенты,
если p¥=v, т. е. полагая 8 =0 при
p=^=v, получаем систему уравнений,
из которой и находится искомое пре-
образование координат.
Из линейной алгебры или эле-
ментов матричного (или тензорного)
исчисления известно, что любой тен-
зор может быть представлен путем
попарного суммирования соответст-
вующих элементов симметричного
k'mn=knm и антисимметричного k"mn=
=— k'nm тензоров. Поэтому рас-
смотрим дополнительно последний
случай.
Диагонализация антисимметрич-
ного тензора восприимчивости, у ко-
торого kxy =—kyx возможна только
при разложении колебаний на два
встречно вращающихся вектора,
314
и невозможна при разложении век-
торов на два ортогональных по осям
х; у.
Гиротропные среды. Антисиммет-
ричный тензор восприимчивости
анализировался в гл. 3 в связи с ги-
ромагнитными средами. Наличие
антисимметричности в тензоре
всегда характеризует наличие осо-
бого вида анизотропии, когда среда
по-разному реагирует на право-
и левовращающиеся векторы поля;
такая среда называется гиро-
тропной.
В результате гиромагнитных яв-
лений магнитная восприимчивость
характеризуется тензором (см. гл.З)
в том случае, когда векторы пере-
менного поля лежат в плоскости х,
у, а постоянное поле направлено по
оси 2.
При этом
kyX ~ ^ху ~ fea 9 '• ^ХХ = kyy = k ;
kzz=kz. (7-103)
В этих условиях можно привести
тензор к диагональному виду путем
перехода к право- и левовращаю-
щимся векторам магнитного поля
(ось вращения — ось z):
^ = Т(Й-'Ч);
= (7-Ю4)
Вектор намагниченности тоже
следует представлять через вращаю-
щиеся составляющие:
ML—kLRHR^kLLHL. (7-10оо)
Те же составляющие могут быть вы-
ражены через Мх и ]МУ по форму-
лам, аналогичным (7-104), а сами
Мх и ]МУ выражаются через kmn
и Нп.
При этом получаем, например,
что
= kXX+Hykxy + jHx kyx +
+jH у kyy)~ — [Hx (kxX-}~ jky^ +
Л~Ну {kxy-{-jkyy)\. (7-106)
Но в то же время по (7-105)
и (7-104)
+у
+4,i(kLL-kLR)]. (7-107)
Аналогичные выражения получают-
ся для MR:
-^[Hx(kxx—jkyx) +
-\-Ну (kxy jkyy)] ==
=4-кй«-^«)^+
+(»«+/»„) М' Р-108>
Приравнивая коэффициенты при Нх
и Ну, получаем систему уравнений,
из которой для гиротропной среды
с антисимметричной матрицей вос-
приимчивости (7-102), (7-103) на-
ходим
kLL~k ka\ kRR—k-}-ka\
kLR-kRL^Q. (7-109)
Этот замечательный результат
показывает, что волны
с левой и правой поляризацией вы-
зывают существенно разную реак-
цию среды.
Вблизи гиромагнитного резонан-
са рассеяние мощности электромаг-
нитной волны и соответственно за-
тухание совершенно различны для
волн с правой и левой круговой по-
ляризацией. Этот эффект находит
большое применение в технике
сверхвысоких частот.
315
Общий случай анизотропии. Не-
которые типы анизотропии не поз-
воляют найти систему координат,
в которой можно было бы решать
уравнения поля независимо для
разных составляющих. К такому
типу анизотропии относится, напри-
мер, система, характеризуемая раз-
ными параметрами для трех разных
составляющих вектора поля в ци-
линдрической системе координат.
В подобных случаях возникают
волны сложных типов; их распрост-
ранение напоминает распростране-
ние в волноводах.
7-4. ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
Анализ распространения волн
в нелинейных средах представляет
сложную и важную задачу техниче-
ской электродинамики. В гл. 6 был
рассмотрен простейший случай по-
верхностного эффекта в нелинейном
ферромагнетике. Остановимся здесь
лишь на качественном рассмотрении
возникновения ударных волн
в нелинейном ферромагнитном ди-
электрике.
Скорость распространения волны
обратно пропорциональна корню из
магнитной проницаемости. Сама
магнитная проницаемость умень-
шается с ростом напряженности по-
ля из-за эффекта насыщения. По-
этому на участках с большей ампли-
тудой напряженности магнитного
поля падающая волна распростра-
няется скорее.
Рассмотрим волну в коаксиаль-
ном кабеле, изоляция которого со-
стоит из феррита. Пусть в начале
линии волна имела вид, показанный
на рис. 7-23, а. Какой вид приобре-
тет волна спустя некоторое время
Д£, если скорость распространения
тем больше, чем больше ее напря-
женность?
Ответ дан на рис. 7-23, б: участ-
ки волны с наибольшим Н обогнали
остальные участки с меньшей на-
пряженностью поля, и у волны ока-
зался очень крутой фронт — почти
мгновенное возрастание поля волны
до своего максимального значения.
Этот процесс напоминает опроки-
дывание морской волны при ее при-
ближении к берегу: скорость движе-
ния нижних слоев воды (вовлекае-
мых в движение набегающей вол-
ной) притормаживается близостью
дна, и верхние слои волны обгоняют
свое основание, образуя нависаю-
щий над волной козырек. Всем из-
вестна эта картина морского при-
Рис. 7-24.
боя. Похожий процесс встречается
в аэродинамике при образовании
ударных волн.
В некоторых условиях (подбор
амплитуд Н при данной магнитной
характеристике) можно наблюдать
процесс, соответствующий возраста-
нию проницаемости с ростом поля;
это наблюдается на кривой магнит-
ной проницаемости в области сла-
бых полей (рис. 7-24). Что же про-
изойдет в этом случае? Вероятно,
передние участки волны (пока они
не достигли максимума) вырвутся
вперед; уносимая ими энергия рас-
пределится вдоль линии, и передняя
часть волны настолько размоется,
что ее трудно заметить. Такой про-
цесс тоже способствует образова-
нию переднего крутого фронта. Но
самое интересное, что в этих усло-
виях растянутый хвост волны дол-
жен подтянуться; при малых Н ско-
рость больше из-за малой проницае-
мости. В итоге можно ожидать, что
волна, изображаемая на рис. 7-25, а,
316
примет вид, показанный на
рис. 7-25, б.
Естественно, что эти вопросы
возникали всегда при рассуждениях
о распространении волн в нелиней-
ных средах. Но впервые идея прак-
тического применения этого эффек-
та для формирования волн с крутым
фронтом возникла у И. Г. Катаева
б)
Рис. 7-25.
Рис. 7-26.
в конце 50-х годов; причем четкие
теоретические выводы (они много
сложнее приведенного здесь качест-
венного рассуждения) тогда же,
и тоже впервые, были сделаны
А. В. Гапоновым; он же с рядом со-
трудников впервые наблюдал в экс-
перименте, как формируется прямо-
угольный уступ в начале и в конце
линии. Независимо и приблизитель-
но в то же время теория ударных
электромагнитных волн разрабаты-
валась Р. В. Хохловым.
Интересно обратить внимание
еще на следующее обстоятельство:
для формирования прямоугольных
импульсов в США была предложена
цепочка нелинейных четырехполюс-
ников (рис. 7-26), теория которых
была разработана Мельвилем; эти
цепочки называли тиракторами, те-
перь их чаще называют формирую-
щими линиями. Еще во второй части
книги в теории линий с распределен-
ными параметрами было показано,
как линии могут заменяться цепоч-
кой четырехполюсников, а здесь
в гл. 7 было показано, что распро-
странение и отражение плоских
волн подчиняется законам, анало-
гичным законам, линий. Из сказан-
ного можно понять, что тирактор
представляет собой не что иное, как
модель длинной линии с нелинейны-
ми параметрами. Напряжение на
выходе тирактора так же деформи-
руется по сравнению с напряжением
на его входе, как деформируется
волна в среде с нелинейными пара-
метрами.
Интересно еще обратить внима-
ние на сходство и различие цепочек
рис. 6-32 и рис. 7-26 — первые моде-
лируют распространение волн в про-
водящей нелинейной среде, а по-
следние — в нелинейной диэлектри-
ческой среде; соответственно в пер-
вой цепочке в поперечных ветвях
поставлены сопротивления, а во вто-
рой — конденсаторы.
Нелинейные эффекты могут быть
вызваны не только магнитной, но
и электрической нелинейностью (по-
лупроводника). В электродинамике
они приобретают все большее зна-
чение, о чем говорит, в частности,
серия книг, изданных за последние
годы, по нелинейной электродина-
мике и нелинейной оптике.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
8-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Мы неоднократно рассматривали
волны электромагнитного поля. Уже
в гл. 1, следуя Максвеллу, было по-
казано, что в свободном пространст-
ве (в неполяризуемой и непроводя-
щей среде) поле распространяется
со скоростью света с. В дальнейшем
были рассмотрены различные случаи
отражения и преломления волн
(гл. 7). Однако мы ничего не гово-
рили о том, как эти волны возника-
ют, т. е. как колебания тока и заря-
да приводят к излучению электро-
магнитных волн.
Анализ этого вопроса был отло-
жен до последней главы потому, что
он связан с довольно сложными ма-
тематическими преобразованиями;
вместе с тем их смысл, а также ре-
зультаты, к которым они приводят,
становятся вполне понятными толь-
ко после приобретения опыта в об-
ращении с уравнениями поля
и в проведении соответствующих
математических операций.
Качественно представление об
излучении электромагнитных волн
легко получить, рассматривая лю-
бое излучение механических колеба-
ний, например разбегающиеся круги
на поверхности воды, в которую
брошен камень. Радиально распро-
страняющиеся волны, убывание их
амплитуды по мере роста радиуса —
все говорит о том, что часть энергии,
отданной камнем при его падении в
воду, отдана разбегающимся вол-
нам. Эта энергия, уносимая волна-
ми, излучается вдоль поверхности
воды; она уже не вернется к месту
падения камня Ч
Интересно обратить внимание на
такое явление: если медленно и с
постоянной скоростью подымать
палку, вертикально опущенную в во-
ду (рис. 8-1,а), то можно увидеть
едва заметный подъем уровня воды
только у самой поверхности палки;
если же палку подымать и.опускать
периодически, подобрав подходя-
щую частоту, то по поверхности во-
ды побегут круги, заметные на боль-
шом расстоянии от палки (рис.
8-1,6). В этом существует некоторая
аналогия с излучением электромаг-
нитных волн. Электрическое поле
диполя, изображенного на рис. 8-2,
быстро убывает с расстоянием (см.
пример 1-20). Действительно, его
потенциал
ф = = . (8-1)
4Л80Я3 4Л8о#2 ’ ' '
а составляющие его напряженности
поля
2Л8о#8 0 4зТ807?3
1 Если «насмешливый читатель» заме-
тит влияние мудрого совета Козьмы Прут-
кова, автор с удовольствием встретит эту
шутку.
Но за кругами, бегущими по воде, на-
блюдал и Шекспир, что видно из слов Иоан-
ны Д’Арк:
«Как круг в воде, расходится в ничто
От собственного роста — ...»
(«Генрих VI», ч. 1,-перевод А. Л. Соко-
ловского) .
318
Напряженность поля убывает об-
ратно пропорционально кубу рас-
стояния.
Если же момент диполя G/Г) бы-
стро изменяется, например, вследст-
где с — скорость света (скорость
электромагнитной волны в ваку-
уме) .
Напряженность поля теперь убы-
вает обратно пропорционально пер-
вой степени расстояния.
8-2. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
При расчете излучаемых элект-
ромагнитных волн обычно удобнее
иметь дело со скалярным (<р) и век-
торным (А) потенциалами, а не с
напряженностями поля. Однако
связь этих потенциалов с зарядами
и токами нам известна только для
статических или квазистатических
полей:
1 CpdV
ф ™i : •
4Л8о J 2?
A = (8-2)
[см. уравнения (1-21) и (2-776)].
Рис. 8-2.
вие питания диполя от генератора
переменного тока, то поле, обуслов-
ленное этим переменным диполем,
распространяется значительно даль-
ше, сравнительно медленно затуха-
ет и носит характер электромагнит-
ной волны; в плоскости, перпендику-
лярной диполю и проходящей через
его середину, в случае простого гар-
монического изменения дипольного
момента ql = qm cos coZ • 1 при Z=Zz
имеем на расстоянии
D П Ий 1 / J. R \
В=Вп = — — qml cos (0 (t---;
“ 4л Rc ™ \ q У ’
Е=Ег=сВ,
и 7
Поэтому надо найти, если это воз-
можно, аналогичные связи для слу-
чая зарядов и токов, плотность кото-
рых p(Z) и J(Z) изменяется сколь
угодно быстро.
Обратимся к уравнениям поля,
записанным для вакуума:
rot B=p0J+p080dE/d/;'
rotE=— dB/dt;
divE==p/e0; div B=0.
(8-3)
Представляя в них основные век-
торы поля через потенциалы
Е=—gradcp — db-ldt-, B=rotA (8-4)
319
и, подставляя их в третье и первое
ив уравнений (8-3), получаем:
div Е=— V2(P — div ~ J (8-^)
ut 8д
rot В=rot rot A=
=—v2A+ grad div A=
, 1 д 1 d2A /o
=Ио J~ F grad <P~V ' (8’6)
Здесь применено тожественное пре-
образование rot rot A =—v2A +
-Fgrad div А и 1/c2 написано вместо
8оЦо-
В последнем равенстве целесооб-
разно все слагаемые, содержащие
потенциал, перенести в левую часть,
после чего оно принимает вид:
+ grad (div А + -Г =|x0J. (8-7)
\ С2 01 )
Последовательность операций про-
странственного дифференцирования
и дифференцирования по времени
можно изменить, поэтому
Agr»d<P = grad^.
В каждом из уравнений (8-5) и
(8-7) содержатся как скалярный,
так и векторный потенциалы. Это
крайне неудобно из-за того, что в
уравнении (8-5) скалярный потен-
циал связан, казалось бы, не только
с электрическим зарядом (р), но и с
векторным потенциалом; также в
уравнении (8-7) векторный потен-
циал связан, казалось бы, не только
с плотностью тока (J), но и со ска-
лярным потенциалом. В последних
фразах добавлены слова «казалось
бы>>, так как это только кажущаяся
связь. Видимость этой связи легко
устранить, если вспомнить, что при
определении векторного потенциала
(§ 2-6) подчеркивалась возможность
произвольно задаваться значением
div А: как бы ни выражалась div А,
это не повлияет на значение rot А.
Для того чтобы оба уравнения
(8-5) и (8-7) сделать однородными,
достаточно принять следующее оп-
ределение дивергенции векторного
потенциала:
divA=-4?-- (8-8)
С2 01
При таком определении в уравнении
(8-5) исчезает векторный потенци-
ал, а кроме того, в (8-7) обращает-
ся в нуль сумма, стоящая в круглых
скобках.
Возможность упростить уравне-
ние (8-7) путем соответствующего
выбора выражения для div А — дос-
таточный стимул для того, чтобы
дополнить систему уравнений Макс-
велла уравнением (8-8); последнее
называют уравнением или калиб-
ровкой ЛоренцаДействительно,
при этом выражениям для потенциа-
лов (8-5), (8-7) можно придать
симметричный вид:
(8-9)
v т с! ~
v**--71г—е** <840)
6о
они отличаются только вторыми
членами в левых частях от ранее из-
вестных уравнений, применявшихся
в условиях постоянных и медленно
изменяющихся полей. Но при посто-
янном поле эти члены обращаются
в нуль; они ничтожно малы и при
медленном изменении поля (вторая
производная, деленная на квадрат
скорости света).
Выведенные уравнения представ-
ляют собой волновые уравнения.
Простейшее одномерное волновое
уравнение подробно анализирова-
лось в гл. 6 и 7, а также встреча-
лось еще в теории цепей [уравнение
переходного процесса в длинной ли-
нии, вторая часть книги, § 4-2]:
d2/___L^ = 0.
dx2 a2 dZ2
Особенность последнего уравне-
ния в том, что вместо
^f=d2f/dx2+d2f/dy2+d2fldz2
в нем стоит только д2Цдх2, т. е. вто-
рая производная по единственной
пространственной координате.
Решение найденных волновых
уравнений (8-9) и (8-10) представ-
ляется равенствами
(р = _1_С[еиК:
4Я80 J R
A=-^fTldV. (8-11)
________ tajtf
1 См. также Приложение 3.
320
Под интегралами плотность заряда
р и плотность тока J поставлены в
квадратные скобки. Это значит, что
при интегрировании для получения
потенциала в какой-либо точке в
момент времени t необходимо под-
ставлять заряды и токи, существо-
вавшие в более ранний момент вре-
мени, а именно в момент t—R/c,
т. е. [p]-=p(Z—R/c)-, [J]=J(£—R/c).
Это соответствует представлению о
конечной скорости с, с которой рас-
пространяется электромагнитное
возмущение: любое изменение заря-
да (или тока), находящегося на рас-
стоянии R от точки наблюдения, мо-
жет наблюдаться только по проше-
ствии времени R/c, необходимого
для пробега волны.
Потенциалы, выражаемые фор-
мулами (8-11), называют запаз-
дывающими потенциалами.
В случае точечного заряда q =
= pAV или отрезка проводника с то-
ком £1=JAV выражения для запаз-
дывающих потенциалов упроща-
ются:
ф = —L-М; д = МН1. (8-12)
4Я8о R 4л7?
При этом если заряд изменяется во
времени q(t), то [q}=q(t—R/c)-, точ-
но так же если il = F(/), то [Й]=
= F(Z—R/c).
Выводы уравнений для запазды-
вающих потенциалов. Пусть потен-
циал ф создается зарядом q, распо-
ложенным в начале координат, при
этом р отлично от нуля только в не-
большой области AV, охватываю-
щей точку 0. Предположим, что за-
ряд изменяется во времени q = q (t).
Естественно, что при этом и потен-
циал ф должен быть функцией вре-
мени. Для того чтобы найти ф как
функцию пространственных коор-
динат и времени, нужно решить
уравнение (8-9). Для всей области
пространства, не занятой зарядом
(для всего'пространства, кроме об-
ласти AV), уравнение может быть
записано в виде
V2<p = — — • (8-13)
ДО '
Из соображений симметрии ес-
тественно заключить, что в сфериче-
ской системе координат ф может за-
висеть от единственной пространст-
венной координаты R, а следова-
тельно, после выполнения диффе-
ренциальных операций выражение
для V2<P принимает вид:
v \ dR I R адя
где правая часть записана в форме,
удобной для дальнейших преобразо-
ваний. Умножая обе части уравне-
ния (8-13) на R и внося R под знак
дифференцирования по t, получаем:
д2(£ф)___1 d2(#P) __0 (8.14)
dR2 с2 dt* • V /
Решение этого уравнения, най-
денное Даламбером, хорошо изве-
стно:
R<P=fi(t-R/c)+f2(t+R/c), (8-15)
где fi и f2— любые функции удов-
летворяющие тем или иным кон-
кретным условиям рассматриваемой
частной задачи.
В том, что выражение (8-15)
действительно удовлетворяет урав-
нению (8-14), легко убедиться путем
подстановки. При этом, конечно,
предполагается, что функции fi и f2
имеют однозначно определенные
вторые производные. Особенность
fi и f2 заключается в том, что они
зависят от R и t не в отдельности,
а только от разности t—R/c или
суммы t+R/c. А. это значит, что пер-
вая функция fi (t—R/c) выражает
волну, распространяющуюся от на-
чала координат в радиальном на-
правлении со скоростью с [см. так-
же § 6-1].
Действительно, то значение, ко-
торое имеет fi в точке R в момент t,
она будет иметь в момент t+At в
точке /?+А/?, если AR = cAt, так как
при этом аргумент функции (t—R/c)
остается неизменным (а значение
функции определяется только ее ар-
гументом) . Очевидно, что такое рас-
суждение применимо к любой точке
и к любому моменту времени. Сле-
довательно, то распределение, кото-
рое имеет fi по радиусу в какой-ли-
бо момент времени, непрерывно пе-
реносится вдоль радиуса со скоро-
стью с. Аналогично зависимость от
времени, наблюдаемая в точке с
фиксированным значением R, будет
повторена в точке 7?+А7? с опозда-
21—476
321
нием на промежуток времени Д/=-
=&R!c. Сказанное здесь о функции
fi (t—R/c) позволяет считать ее са-
мым общим определением волны,
распространяющейся вдоль R
(в сторону возрастания R) со ско-
ростью с.
Вторая функция f2(t+R!c). как
это ясно из вышеизложенного, вы-
ражает волну, распространяющуюся
вдоль радиуса со скоростью с к цен-
тру. На основании простых физиче-
ских соображений второе слагаемое
в выражении (8-15) следует отбро-
сить, как не соответствующее рас-
сматриваемым условиям: перемен-
ный заряд находится в начале коор-
динат, и, следовательно, изменение
потенциала (умноженного на ради-
ус), обусловленное изменением ве-
личины заряда, должно сначала
произойти в точках с меньшим R и
с течением времени дойти до точек
с большим R (а уж никак не на-
оборот). Итак, полагая fs=O, полу-
чаем в качестве решения уравнения
(8-13) выражение
Ф = ^А(^-2?/с), (8-16)
в котором вид функции fi пока еще
остается неизвестным.
Для того чтобы определить эту
функцию, можно применить следую-
щее рассуждение. Если с—> оо, то
уравнение (8-16) принимает вид
(p = ~fi(O (8-17)
к
и должно служить решенной урав-
нения (8-13) при правой части,
стремящейся к нулю, т. е. решением
уравнения Лапласа \72ф = 0. Но для
этого случая [центральный заряд,
изменяющийся во времени, q(t) =
= p(/)AV] решение хорошо известно
из электростатики
42T8qjR
Сопоставление последнего ра-
венства с (8-17) позволяет опреде-
лить искомый вид функции
Р(/)АУ .
4JT8q 43I8q
Заметим, что устремляя с к беско-
нечности, мы меняли только аргу-
мент, а не вид функции, который те-
перь нами найден. Возвращаясь по-
сле этого к уравнению (8-16), мы
можем его написать уже с полным
знанием не только аргумента, но и
функции, соответствующей нашим
частным условиям,
= gjt^RIc) = Р (/ — T?/67) AV . 18
4Я807? 4Л8о7?
Положив ДЕ->0 и перейдя к ин-
тегралу как к сумме потенциалов,
созданных отдельными зарядами
prfV, мы и получим то выражение
для запаздывающего потенциала,
вывод которого мы хотели здесь
привести. Заметим, что р является
как функцией времени £,таки функ-
цией координат (х, у, г), т. е. р =
=р (*, V, z, 0- Выражение р, стоя-
щее под интегралом для запазды-
вающего потенциала и обозначен-
ное [р], в соответствии со сказанным
выше в развернутом виде может
быть записано так:
[р]=р(х, у, z,t—R/c).
Путем совершенно аналогичных
рассуждений из уравнений (8-2) и
(8-10) получается выражение (8-11)
для запаздывающего векторного по-
тенциала А.
Не останавливаясь дольше на
общем решении, обратимся к неко-
торым частным случаям.
8-3. ИЗЛУЧЕНИЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ
Пусть в проводе, элемент кото-
рого выражается вектором 1, прохо-
дит переменный ток i(t). Рассмот-
рим создаваемое им электромагнит-
ное поле, учитывая конечную ско-
рость распространения поля, что
можно сделать, вводя в расчет за-
паздывающие потенциалы. Расчет
проведем для простого гармониче-
ского тока, изображая его комплек-
сом
I — cos of. (8-19)
При этом целесообразно идти таким
путем: сначала определить вектор-
ный потенциал А, затем, вычислив
его вихрь, определить вектор' маг-
нитной индукции
rot А = В,
322
наконец, определить значение век-
тора электрического поля по перво-
му уравнению Максвелла
rot В = р0 80 /со Ё = Ё
или
Ё = — rot В. (8-20)
/со
При выполнении всех расчетов
целесообразно пользоваться сфери-
ческой системой координат (рис.
8-3,а). Выпишем здесь те матема-
тические выражения, которые при
этом потребуются:
1) в выбранной системе коорди-
нат (рис. 8-3, б)
1 =Z (cos 6 eR — sin 0 e0); (8-21)
2) единственная операция прост-
ранственного дифференцирования,
которая встречается на выбранном
пути, это rot F в сферической си-
стеме координат
ет? ее еа
R2 sin 0 2? sin 0 R
r0t = д/dR d/<?0' d’da
Fr RF(j 7?sin6FK
(8-22)
Векторный потенциал. В точке,
отстоящей на R от элемента тока II,
он определяется очень простым вы-
ражением [см. § 2-6, уравнение
(2-77 в)]
А = Но П_ =
4л R
. cos 0 вр — sin0efi t
= **11---------5---------L_. (8-23)
4л R
Для того чтобы учесть запаздыва-
ние, следует от времени t перейти к
t—R/c. Иначе говоря, в случае гар-
монической функции вместо cos cdZ
следует писать cos со (t—R/c), что
соответствует умножению комплек-
са / (8-19) на e~io>R,c= e~ikR- при
этом
I e~ikR~Imcos(at — kR); (8-24)
здесь по-прежнему
k=&',c. (8-25)
Итак, для того чтобы учесть за-
паздывание векторного потенциала,
в его выражение (8-23) следует
ввести только добавочный множи-
тель e~,kR. При этом получим1:
. cos0ep— sin0en !hK
А=Ф----------------L e~,kR. (8-26)
Здесь Ф = цоД/4д — величина, не за-
висящая от координат и имеющая
размерность магнитного потока
(вольт-секунда или вебер); сказан-
ным объясняется выбор буквенного
обозначения.
Магнитное поле. Вектор маг-
нитной индукции найдем как rot А,
применяя (8-22) к (8-26). Посколь-
ку А не зависит от меридианного
угла а и не имеет а-й составляющей
(д/ди=Аа — 0), операция rot А очень
1 Здесь и в последующем тексте име-
ются в виду запаздывающие потенциалы.
21*
323
упрощается, приводя в нашем слу-
чае к равенству
а 1 d/dR
в = —
R\Ar
д/дв
RA.
ек (8-27)
или
В = В = ®-\-^ (_sinee-^)-
а д А 7
д
дВ
ад '
COS 6 e~ikR \
r л
^фр+ Иsine
кЯс В2 J
В квазистатических условиях, когда
kR^R!c=2nRI^ 1 (8-29)
(8-28)
{ближняя зона), первым слагаемым
внутри скобок можно пренебречь,
одновременно полагая е~~1кЯ^АЯ
При этом магнитное поле
B=B.~^sine-|A0“,sine (8-зо)
в точности соответствует5 закону
Био — Савара.
Напротив, на больших расстоя-
ниях и при высокой частоте, когда
1 (8-31)
{дальняя зона), можно пренебречь
вторым слагаемым в круглых скоб-
ках и полагать
В = В = Фsine e~'kR =
“ Rc
= ~ sin0e“'*\ (8-32)
4л 7^ с
Это и есть магнитное поле излучае-
мой электромагнитной волны.
Замечательно, что поле излуче-
ния тем больше, чем больше часто-
та, и что оно убывает обратно про-
порционально радиусу в первой сте-
пени, т. е. существенно меньше ос-
лабляется расстояние, чем био—
саваровская составляющая (8-30).
Имея в виду связь между длиной
волны в свободном пространстве и
частотой ^=c/f = 2яс/со, выражение
(8-32) можно записать и в такой
форме:
в = В = Xsine e~lkR. (8-33)
“ 2 * 1 ’
Магнитное поле направлено по
касательной к широтным кругам
(В= Ва) ; его интенсивность убыва-
ет от экватора к полюсам (sin 0).
Электрическое поле. Вектор Е
определяется по первому уравнению
Максвелла (8-20). Пользуясь фор-
мулой (8-22) при В=Ва (8-28) и
д/да = 0, записываем
rotB =
e_R
7?2sin0
d/dR
0
eo
7?sin0
d/dQ
0
еа
~R
0
R sin 0 B«
и производя
находим, что
rot В _ » ‘-IU>
R
дифференцирование,
— + A_^2cos0 е„ +
Rc R*) R
+ [(—У+ +4-1sin0 еЛ <8-34)
[\ c ) cR R* J eJ v '
По первому уравнению Максвел-
ла (8-20), имея в виду только что
найденное выражение (8-34), нахо-
дим, что
/<а Ф е с
R Ц/соТ?
Ё
——'j ]2cos0 ер+
jaR/ J R
+ [1 + — + (—fl sin 0efl 1. (8-35)
[ jaR \jaR) J ej ’
Полученное выражение для на-
пряженности электрического поля
также содержит слагаемое, убываю-
щее обратно пропорционально ра-
диусу; по сравнению с ним в даль-
ней зоне можно пренебречь всеми
остальными слагаемыми и получить
Ё = Ё8 = Ф sin 0 e~‘kR. (8-36)
Это слагаемое соответствует полю
излучения и подобно магнитному
полю (8-32) пропорционально час-
тоте.
В дальней зоне слагающие В и
Е ортогональны (рис. 8-2) и свя-
заны между собой множителем с
Ё — = сВ = сВа. (8-37)
На рис. 8-4 схематически изоб-
ражены линии электрического поля
в плоскости, проходящей через из-
лучающий элемент /1.
Излучаемая мощность. Она мо-
жет быть найдена путем вычисле-
324
ния потока вектора Пойнтинга че-
рез замкнутую поверхность. Выпол-
нить такое интегрирование по сфере
очень просто.
Вектор Пойнтинга в дальней зо-
не по (8-32) и (8-37) представляет-
ся выражением
П = 1ЁХВ--В’;ей =
Но Но
\2sin20e =/7 е (8-38)
г ЛтгР / К К Л 4
Вещественный характер вектора
Пойнтинга показывает, что в даль-
ней зоне энергия в любой момент
Рис. 8-4.
времени движется только от источ-
ника.
При интегрировании веществен-
ного вектора по сфере получим ве-
щественную величину — активную
мощность, которая и называется
мощностью излучения,
•К
2
sin2 0 • 2л7?2 sin
Е» — (Z/)2.
с 6л '
ede =
(8-39)
Здесь принято во внимание, что
dS = dSeR и dS=2 wRsinO RdQ—
элемент сферической поверхности в
виде пояса между двумя широтны-
ми кругами, отличающимися по уг-
лу на dQ; R sin 0 — радиус широт-
ного круга с углом 0; угол 0 отсчи-
тывается от «северного полюса».
Рассматривая электрический ди-
поль (рис. 8-2) с переменным элект-
рическим моментом ql, мы должны
считать, что в проводе, соединяю-
щем заряженные сферы, проходит
ток I=jci)q. Поэтому излучение эле-
мента /1 тожественно излучению
электрического диполя
<71= — Л. (8-40)
/О)
Соответственно во все выраже-
ния излучаемого поля и мощности
вместо 7/=4лФ/ро можно подста-
вить электрический момент (8-40).
При этом получаем, что
В=В =— —9Zsin0e“;W; (8-41)
“ to й 7 v
Ё = Ёе=сВа (8-42)
и р=Е1Е!(7/)2. (8-43)
с 6л
Входное сопротивление излучаю-
щего диполя, сопротивление излуче-
ния. Это очень важная характери-
стика для источника питания, под-
держивающего колебания зарядов
(и тока) в диполе. Сопротивление
может содержать реактивную со-
ставляющую; она соответствует об-
ратимым изменениям энергии поля
вблизи диполя и может быть ком-
пенсирована надлежащим включе-
нием надлежащих L или С. Но
входное сопротивление обязательно
содержит эквивалентную активную
составляющую (гВх), в которой из-
лучаемая мощность как бы рассеи-
вается по закону Джоуля — Ленца
/2гвх. Как видно из (8-39),
Г — — — /2 „
ВХ /2 С 6Л
= 80лаЛ,ож. (8-44)
Например, при длине волны 100 м
и при длине диполя Z= 10 м имеем
гвх~7,9 ом.
Дополнительные замечания. В об-
щем случае напряженность элект-
рического поля может быть пред-
ставлена как сумма двух слагаемых
Ё = —grad ф—/со А. (8-45)
Может возникнуть вопрос, оба
ли эти слагаемые содержатся в по-
325
лученной нами формуле (8-35), по-
скольку при наших расчетах мы ис-
ходили только из векторного потен-
циала и совсем ничего не говорили
о скалярном потенциале ср и его гра-
диенте. Можно определенно и одно-
значно ответить: да, оба слагаемых,
поскольку мы исходили из первого
уравнения Максвелла, в правой ча-
сти которого стоит производная
дЕ/д£~/соЁ от полной напряженно-
сти поля. Вместе с тем для опреде-
ления вектора магнитной индукции
(входящего в левую часть того же
максвелловского уравнения) доста-
точно знать только векторный по-
тенциал А.
Интересно заметить, что оба сла-
гаемых в (8-45) могут быть вычис-
лены непосредственно.
Действительно, дифференцируя по вре-
мени выражение для векторного потенциа-
ла (8-26), находим
ЁЛ = — j соА = •-
cos 0 ео — sin0 еп
= —/соФ -------------------e~,kR. (8-46)
R
e~‘kR
Если наш ответ был справедлив, то
, • f. А
Е<р = -^Ф = Е-Ел = — — •
2cos0e^ +
с
jaR,
' с
juR
2
JM
' j®R 2 ]
2 с 1 )
1 +/©Я] S*n 6 е9 J' (8'47)
К тому же самому выражению можно
прийти, исходя из определения запаздыва-
ющего скалярного потенциала диполя с
электрическим моментом q 1 = — 11. При
/со
этом, однако, нельзя исходить из готового
выражения для потенциала диполя, пред-
ставленного формулой (8-1), и ограничить-
ся подстановкой q(t—Rjc) вместо q(t) или
qe—ikR вместо q. Надо повторить весь вы-
вод для потенциала диполя с учетом запаз-
дывания. Дело в том, что теперь в отличие
от аналогичного вывода в условиях стати-
ческих или квазистатических надо учиты-
вать не только различие, в расстояниях до
зарядов -\-q и —q, но и различие в запазды-
вании.
На рис. 8-5 еще раз изображен диполь,
для которого можно считать
= 7? — —-1 cos 0;
Rz = Я + 1 cos 0, (8-48)
если R^>1.
В точке, определяемой расстоянием R
и углом 0, потенциал от зарядов +q и
—q представится выражением
ф = Ф+ + Ф_ =
q / е е—
4j18q \ Ri R%
(8-49
После приведения к общему знамена-
телю RiR2~R2 находим, что
Ф = /?2 ^2 е~^ ~ Kie~ikRz')- (8-50)
Чтобы упростить запись, введем обо-
значение-^- I cos 0 = г.После чего выраже-
ние, стоящее внутри скобок в последней
формуле, запишем так:
(R + г) e~ikR eikr -(R — r)e~^R e~ikr =
= e~ikR.
(8-51)
Произведем простое преобразование
показателя:
а = kr = сог/с = Til cos 0/Л, (8-52)
где Х—сТ— длина волны в свободном про-
странстве. По условиям постановки задачи
в противном случае провод длиной
I следовало бы рассматривать как «длин-
ную линию» (см. § 8-4). Но при а < 1
(следствие того, что I < ^) можно полагать
е/а 1 + /а.
В таком случае выражение (8-5Г) при-
нимает вид:
2(Rja, + r)e~!kR =
( COS 0 \ . г/>о
= R ial------- + I cos 0 e~ikR. (8-53)
\ C J
После подстановки в (8-50) получаем
искомое выражение для потенциала в поле
диполя:
qI cos 0
Ф =---------
4Л8о
q\e~ikR R
= <8-54>
4зт 80 R?
1 , /<0
R2 Rc
-ikR =
326
Легко увидеть, что при со-* 0 мы при-
ходим к обычному кулоновскому выраже-
нию потенциала (8-1); оно применим© в
ближней зоне (когда R < с/со=Х/2л). На-
против, для дальней зоны внутри скобок в
формуле (8-54) сохраняется практически
только второе слагаемое.
Для того чтобы определить напряжен-
ность электрического поля, обусловленную
запаздывающим скалярным потенциалом
электрического диполя, т. е. потенциальную
слагающую напряженности электрического
поля, надо взять градиент (со знаком ми-
нус) от выражения (8-541).
В сферической системе координат
, дф , 1 дф
+ е _____!____*
а Z?sin0 да 9
причем в нашем случае, поскольку ф не за-
висит от а, последнее слагаемое отсутст-
вует.
Производя дифференцирование, прихо-
дим к выражению Еф, тожественно совпа-
дающему с (8-47) после замены и
1/ео=ЦоС2.
Очевидно, что найденная таким путем
напряженность поля представляет собой
только одну из составляющих, а именно Еф
и что го1Ёф=0, так как Еф =—grad ф.
Пример 8-1. Показать, что для замкну-
того контура, проведенного в плоскости
0=const (например, 0 = зт/2)
1
д С
В dl = —-- I е0 Е dS
Но Т dt J
(а)
и что для замкнутого контура, лежащего в
плоскости а=const,
Для упрощения выкладок можно огра-
ничиться рассмотрением дальней зоны.
Решение. Выбрав контур в виде
отрезка двух дуг Ri и R2, ограниченных
отрезками радиусов, проведенных под уг-
лом «о (рис. 8-6), где координатные оси х,
у соответствуют рис. 8-3, а, находим, что
вдоль такого контура по (8-33)
- ф В dl = — (R8 В2 - Ri Bl) =
lo J Ho
= /-4 «о
2л
(в промежуточном выражении Bi,2 обозна-
чает индукцию при R=Ri,2).
Интеграл в правой части рассматрива-
емого равенства а (интегральная форма пер-
вого уравнения Максвелла) можно найти,
пользуясь комплексами, т. е. принимая во
внимание, что d/dt~j(j), и учитывая (8-36);
интеграл при этом принимает вид:
J /С080 Ё dS — j® s0 а0 J Ёв R dR =
. Rz
4л; J
Ri
После интегрирования и простых пре-
образований (сокращение, деление на j
и т. п.) убеждаемся в применимости инте-
гральной формы уравнений Максвелла к
полю излучения.
Вторую часть поставленной задачи чи-
татель может выполнить самостоятельно.
Пример 8-2. На расстоянии R > К в
плоскости диполя (а=const) расположена
проволочная рамка площадью 5 с числом
витков п. Все размеры рамки много мень-
ше длины волны. Обмотка рамки замкнута
на конденсатор. Добротность контура, на-
строенного в резонанс, равна Q. Требуется
найти напряжение на конденсаторе, если
вся излучаемая диполем мощность состав-
ляет Р. Влиянием возможных отражений
и поглощений другими телами пренебре-
гаем.
Решение. Зная всю излучаемую
мощность, можно по формуле (8-39) опре-
делить значение (//со)2, равное блДс/ро,
после этого по формуле (8-32) найдем зна-
чение
В = (До) sin 0 ==
4лДс
1
R
Р sin0.
Электродвижущая сила, наводимая пе-
ременным магнитным потоком в рамке
(в антенне),
Э == ®BnS.
Напряжение на конденсаторе (при на-
стройке в резонанс) в Q раз больше.
8-4. ПОЛУВОЛНОВАЯ АНТЕННА
При высокой частоте длину из-
лучающего провода I не всегда мож-
но считать очень малой по сравне-
нию с длиной волны (здесь полезно
вспомнить все сказанное по поводу
327
длинных линий, т. е. цепей с распре-
деленными постоянными, во второй
части книги). При этом нельзя счи-
тать, что во всех участках провода
ток имеет одинаковое значение. Лег-
ко себе представить (по опыту рас-
чета процессов в длинных линиях),
что ток, имея конечное значение в
начале линии, на ее открытом конце
обращается в нуль (соответственно
напряжение у открытого конца мак-
ЛД<
симально). Если длина каждого из
двух проводов, присоединенных к
источнику (рис. 8-7, а), близка к од-
ной четвертой длины волны (Л/4), то
в этих проводах образуются стоячие
волны при распределении тока
вдоль каждого из проводов, близком
к синусоидальному. При этом две
половины антенны имеют длину Л/2,
соответственно чему такую антенну
называют полуволновой. На рис.
8-7, а схематически показано рас-
пределение тока и линейной плотно-
сти заряда (т), которая, конечно,
пропорциональна напряжению; на
рис. 8-7,6 показана антенна, поло-
вина которой представляется как
зеркальное отображение в проводя-
щей поверхности земли. Вертикаль-
ный провод и его отражение образу-
ют вместе полуволновую антенну.
Распределение тока вдоль про-
вода может быть принято косинусо-
идальным
I = IQ cos (2л//Л),
где I — расстояние от центра антен-
ны до рассматриваемой точки. При
этом для каждого элемента антенны
поле может быть найдено по ранее
выведенным формулам, если /1 за-
менить на I dl и взять интеграл по Z
—Л/4 до +Л/4. Расстояние до точ-
наблюдения (А на рис. 8-8) от
от
ки
разных точек антенны различно. Как
очевидно из рис. 8-8, с большой сте-
пенью точности можно считать, что
расстояние R=Ro — I cos0, во всяком
случае для дальней зоны. Это раз-
личие ничтожно мало по сравнению
с Rq, но оно может быть заметным
по сравнению с длиной волны Л (на-
помним, что вся длина антенны рав-
на Л/2). А если так, то в точке на-
блюдения может оказаться заметной
и разность фаз волн, излучаемых от-
дельными участками антенны.
Обращаясь к формуле (8-32), за-
меним в ней I на dl и будем считать
в знаменателе R—Rq, угол 0 будем
также считать постоянным для ра-
диусов R и /?0 (рис. 8-8). Однако
фазовый множитель будем считать
зависимым от положения излучае-
мой точки на антенне (т. е. от коор-
динаты I) :
е-№ e-ikRo eiki cos о. (8-55)
Для того чтобы получить полное по-
ле, нужно взять сумму слагаемых
поля, излучаемого элементами вдоль
всей антенны; иначе говоря, взять
интеграл по I от —Л/4 до +Л/4:
В=Ва=
=Boe~ikRa
Х/4
f e~jkl cosQ cos kldl9
vnA R— Po/o/wsine
1де п0— - -
4л Rc
328
В результате интегрирования нахо-
дим, что
В =В = j ——ё~/feR°cos(—cos б).
“ 2л7? sin 6 к 2 )
(8-56)
В дальней зоне, для которой и
найдено решение, вектор электриче-
ского поля ортогонален вектору В
и отличается от него множителем с:
Ё — Ёв=сВ = сВа. (8-57)
Излучаемая мощность. Интегри-
руя поток вектора Пойнтинга, мож-
но найти мощность излучения полу-
волновой антенны, как было сдела-
но в предыдущем параграфе:
(8-58)
Не останавливаясь на математи-
ческой задаче вычисления встретив-
шегося определенного интеграла
(его можно приближенно найти хо-
тя бы путем графического интегри-
рования), укажем что
1,219.
При этом
1,219
2л;
rg==rBX/2, (8-59)
где гвх = 73,14 ом — активная состав-
ляющая входного (эквивалентного)
сопротивления полуволновой антен-
ны; она не зависит от частоты.
Пример 8-3. Нижняя половина полувол-
новой антенны представлена зеркальным
отражением в поверхности земли (рис.
8-7, б); подводимая к антенне активная мощ-
ность Р=7,5 кет.
А. Найти напряженность поля у поверх-
ности земли на расстоянии 1 км от .антенны.
Б. Найти напряженность поля, наблю-
даемую на высоте 1 км над указанной выше
точкой.
Поверхность земли предполагается
плоской и хорошо проводящей.
Решение. По заданной мощности на-
ходим значение тока на входе антенны из
(8-59) Р/Гвх=Ю,1 а. По формулам
(8-56) и (8-57) находим напряженность
электрического поля. В случае А, когда 0 =
= л/2 и /?=1 км,
Г. Цо Л)
Е — с------------
2л7? sin 6
cos ( — cos 0
\ 2
£Цо Л)
= 6,07 ме/см;
B—E/c=2,02-10~s /ил = 2,02-IO-5 гс.
В случае Б, когда 6г=л/4 и R= км,
получим Е=2,71 ме/см; В=9-10“6 гс.
8-5. НАПРАВЛЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Во многих случаях передачи ра-
диосигналов исключительное значе-
ние имеет направленность излуче-
ния. В рассмотренных уже системах
излучателей также существовала не-
которая направленность: зависи-
мость Ва и Eq от угла 0 показана
на рис. 8-7, в. Однако излучаемая
энергия распространялась внутри
очень широкого телесного угла; по-
этому при отсутствии поглощения
энергии мощность излучения убыва-
ла обратно пропорционально квад-
рату расстояния, а каждая из
составляющих электромагнитного по-
ля убывала обратно пропорциональ-
но радиусу. Чем меньше будет рас-
твор угла, внутри которого распро-
страняется излучаемая энергия, тем
на большее расстояние можно пе-
редать еще заметный сигнал.
Одно из самых простых уст-
ройств для получения требуемой
направленности состоит из ряда по-
луволновых антенн, которые распо-
ложены на вполне определенных
расстояниях одна от другой и в ко-
торых обеспечивается совпадение
токов по фазе или определенный,
заданный на основании расчета фа-
зовый сдвиг. Расчет излучаемого
поля ведется путем суммирования
составляющих от каждой из антенн.
При этом в дальней зоне можно счи-
тать расстояние до каждой из ан-
тенн практически одинаковым, од-
нако влияние небольшой разницы в
расстояниях на расхождение фазы
волн, пришедших от отдельных ан-
тенн ряда, оказывается существен-
ным и должно учитываться.
Рассмотрим, например, пять па-
раллельно расположенных полу-
329
волновых антенн с расстоянием %/2
между соседними антеннами. Такой
ряд антенн показан на рис. 8-9
(плоскость чертежа перпендикуляр-
на антеннам и проходит через сере-
дину каждой из них). Из рисунка
очевидно, что расстояние от точки
наблюдения для каждой антенны с
увеличением ее порядкового номера
на единицу возрастает на b cos а,
где b — расстояние между соседни-
ми антеннами, по условию равное
л/2; а —меридианный угол, т. е. угол
Рис. 8-9.
между линией антенн и радиусом,
проведенным в точку наблюде-
ниями.
Соответственно поле каждой ан-
тенны отличается по фазе от поля
соседней на угол
ЪпЬ
т)= — cosc^rtcosoc.
%
Суммируя пять таких векторов
(рис. 8-9), при том что каждый из
них имеет длину F, находим, что
сумма
р __р sin (5ц/2)
sin(Y]/2)‘
Отыскивая значение вектора
мы должны считать, что F выража-
ется формулой (8-56). Выражение
для E==Eq получим, умножив Ва на
с (дальняя зона).
Диаграмма направленности
представлена на рис. 8-10 для плос-
кости 0 = л/2. Зависимость от 0 по-
прежнему характеризуется диаг-
раммой рис. 8-7,в.
Другой способ получения на-
правленного излучения состоит в
том, что излучатель располагают в
фокусе параболического «зеркала»
(решетчатая конструкция из про-
водников). Диаметр таких зеркал
достигает десятков метров. Излуча-
тели, подобные описанным здесь,
часто применяются в качестве ра-
диомаяков, в качестве облучателей
(прожекторов) в радиолокации; па-
раболические системы находят ши-
Рис. 8-10.
рокое применение в качестве прием-
ных антенн в радиоастрономии. Со-
вершенно исключительной направ-
ленностью (практически параллель-
ный пучок) обладает излучение
лазеров и мазеров. Однако рассмот-
рение этих замечательных устройств
молекулярной радиоэлектроники
выходит за пределы нашего курса.
8-6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Вектор Герца. Рассматривая из-
лучение электрического диполя
часто вводят еще один вид вектор-
ного потенциала
Z = фе“ж/4ле07?. (8-60)
Его называют вектором Герца
или поляризационным век-
торным потенциалом. С точ-
ностью до постоянного множителя
он равен моменту диполя, деленно-
му на расстояние R от диполя до
рассматриваемой точки. При этом
для переменного момента диполя
берется его значение, существовав-
шее в момент времени t—R/c. Тем
самым учитывается конечная ско-
рость (с) распространения поляри-
330
зационного потенциала. В случае
гармонических изменений, представ-
ляемых комплексом ф, запаздыва-
ние выражается множителем е
(запаздывание по фазе на kR).
Вектор Z обладает рядом заме-
чательных свойств. Прежде всего
следует обратить внимание на то,
что он удовлетворяет волновому
уравнению, которому, пользуясь
комплексами, придадим такой вид:
V2Z + (<o/c)2Z=O. (8-61)
Это уравнение отличается от
(8-10) тем, что в нем дифференциро-
вание по времени d/dt заданной гар-
монической функции времени Z(t)
представлено как умножение на /со
соответствующего комплекса Z.
Справедливость уравнения (8-61)
следует из того, что аналогичное
уравнение применимо к векторному
потенциалу
А = Но JL e~^kR =
4л R
j® e-jkR
4яе0 с2 R -
(8-62)
как это было показано ранее [см.
(8-12) и (8-10); выражение (8-62)
тожественно с (8-12) для случая
гармонической функции, представ*
ленной в комплексной форме]. Дей-
ствительно, (8-60) и (8-62) пред-
ставляют собой одинаковые функ-
ции времени и координат
С e~ikRIR
и отличаются только значением по-
стоянного множителя С = const.
Два других замечательных свой-
ства вектора Герца заключаются в
том, что через него могут быть вы-
ражены как скалярный, <р, так и
векторный А потенциалы:
ср=—divZ и _ (8-63)
В сказанном можно убедиться,
выполняя операцию div в сфериче-
ской системе координат и сопостав-
ляя результат с ранее найденным
выражением для потенциала (8-54);
еще легче сопоставить выражение
(8-60) для Z и (8-23) для А.
Подставив выражения (8-63) для
Ф и А в выражение для полной на-
пряженности электрического поля
Ё=— grad ср — /со А
найдем, что
Ё = grad div Z — (jco/c)2 Z
или, раскрывая выражение
grad div Z на основании известного
тожества,
Ё-v2 Z+rot rot Z — (jco/c)2 Z.
Наконец, принимая во внимание
(8-61), находим, что
Ё-rot rot Z. (8-64)
Таким образом, полная напря-
женность электрического поля ди-
поля выражается через вектор Герца
Z или поляризационный потенциал.
Вектор магнитного поля найдем
из выражения векторного потен-
циала (8-63):
B=rot А =: —rot Z (8-65)
С2
В случае одного электрического
диполя применение вектора Герца
приводит к уже известным результа-
там и по существу дела не дает ни-
каких преимуществ. Однако в ряде
расчетных задач, пользуясь векто-
ром Герца, можно получить некото-
рые математические упрощения.
В случае переменной электриче-
ской поляризации Р момент элемен-
тарного объема
d% = PdV,
обусловленный им потенциал
d Z = -Г— e~lkR dV. (8-66)
4ле07?
Поляризационный потенциал всей
поляризованной среды выражается
интегралом:
Z= £e~!kR dV-, (8-67)
J 4Л80Я
по приведенным формулам (8-64) и
(8-65) из него находятся векторы
Ё и В.
Вектор Герца может быть най-
ден и для поля, обусловленного пе-
ременным током /, текущим в про-
водниках Z. В элементе провода dl
331
произведение I di легко выражается
через элементарный электрический
диполь:
I di = jaqdi = /собйр. (8-68)
Поэтому вектор Герца, соответст-
вующий току 1(1) в проводнике,
определяется интегралом:
Z = —— С e~!kR dl. (8-69)
/со4лео J R
Применяя этот интеграл к замк-
нутому контуру с переменным то-
ком /, одинаковым во всех элемен-
ных на концах отрезков 1 (рис.
8-11),
ц0^ = 4м1. (8-716)
Распространяя далее эту анало-
гию, определяют и магнитный
вектор Герца или магнит-
ный поляризационный по-
тенциал
ZM = e~ikR= e~ikR\ (8-72)
Из симметрии уравнений Макс-
велла (с точностью до знака!)
rotH=/(0 80E; rotE=—/<ороН,
можно сопоставить как аналогич-
ные следующие величины:
Е — Н; Н - Ё;—/®80---(8-73)
Обозначив ранее введенный век-
тор Z как электрический вектор
Герца Z9, легко сопоставить анало-
гичные выражения ряда величин че-
рез магнитный вектор Герца ZM,
имея в виду, конечно, соотношения
(8-73):
Z =
4ле07?
E=rotrotZ3
Н=/®е0 rot Z3
> _№Re~ikR
-----------
4лро R
H=rot rot ZM
Ё =—/<opo rot ZM
тах контура, можно в последнем вы-
ражении вынести i за знак интегра-
ла; для такого контура
Z =----------(f) — e~ikRdl. (8-70)
/С0-4Л80 R
Таким путем можно найти излу-
чение рамочной антенны (рис. 8-11).
Магнитный диполь и магнитный
вектор Герца. Для области d,
где d — линейные размеры площад-
ки S, охватываемой контуром тока
/, рамочную антенну можно пред-
ставить как магнитный диполь с
магнитным моментом
= (8-71а)
Исходя из формальной аналогии
магнетостатики и электростатики,
магнитный момент можно предста-
вить и в виде двух разноименных
магнитных зарядов qM, расположен-
^=qi
Выражение для H в левой ко-
лонке получается из выражения
(8-65) для В при Н = В/цо и с2 =
= 1/роео*
Все выведенные здесь выраже-
ния справедливы для однородной
среды: ц=8=1 и сг = О. Они могут
быть распространены и на любую
среду при условии замены ц0 и 8о
на цор, и 808 и скорости света в пус-
тоте с на комплексную величину
с/ V 8р. Очевидно, что при этом
множитель ехр (—jkR^ер) учиты-
вает не только запаздывание, но и
затухание.
Все приведенные уравнения мо-
гут быть применены и к случаю
двух различных сред. К каждой из
них применяются основные уравне-
ния, а затем требуется выполнение
332
граничных условий на поверхности
раздела этих сред.
Очень важная задача о распро-
странении радиоволн вдоль поверх-
ности земли была решена Зоммер-
фельдом именно указанным путем.
Интересно отметить, что расчеты с
вектором Герца по методу Зоммер-
фельда находят широкое примене-
ние в геологоразведке: многовитко-
вое кольцо диаметром в десятки
метров укладывается на поверхно-
сти земли и через него пропускают
переменный ток очень низкой часто-
ты (порядка одного и даже десятой
доли герца). На большом расстоя-
нии от кольца измеряют поле на
«дневной поверхности» (так гово-
рят геологи). Это поле зависит от
проводимости земли, а также от
структуры — от наличия одного или
нескольких слоев с различной про-
водимостью, от отдельных (круп-
ных) включений и т. п.
Принцип взаимности и приемные
антенны. Если в дальней зоне излу-
чающего элемента тока бесконечно
малой длины d\\ находится второй
бесконечно малый элемент dl2, то
э.д.с., наводимая первым элементом
во втором,
d92=dE dl2.
Подставляя ранее найденное dE
из (8-36), получаем:
dS2 =e/e-^(di1XR)dl2. (8-74)
Рассматривая d92 как величину,
пропорциональную смешанному про-
изведению трех векторов (dlt X R) dl2,
можно последнему выражению при-
дать такой вид:
d э*— ^ie~ikR^^ Я1’
где R —вектор, проведенный из dli
в dl2.
Из последнего выражения сим-
метричного относительно d\\ и dl2,
следует, что если приемный и пере-
дающий элементы поменять места-
ми, то при том же значении тока I
в одном элементе та же э.д.с. наве-
дется в другом. Это и есть принцип
взаимности между передающей и
приемной антеннами. Он справедлив
для электромагнитных волн, рас-
пространяющихся в вакууме и любой
изотропной линейной среде (при от-
сутствии свободных зарядов, нахо-
дящихся в постоянном магнитном
поле, как в случае ионосферы).
Интегрируя (8-74) по отрезкам
dli и dl2, можно показать, что тео-
рема взаимности справедлива не
только для элементарных вибрато-
ров, но и для вибраторов более
сложной формы. Принцип взаимно-
сти имеет большое значение для
расчета излучающих и приемных си-
стем (антенн).
Излучение движущегося заряда.
Когда заряд Q движется с некото-
рым ускорением \ он излучает элек-
тромагнитные волны. При этом рас-
чет излучения проще всего вести,
применяя формулы для поля элект-
рического диполя в дальней зоне:
4л/?с R
И
Ё = с ВХе^
[см. (8-42)].
Эти формулы написаны в пред-
положении гармонического измене-
ния момента; вторая производная
по времени при этом представлена
множителем (/со)1 2 .
В случае произвольной функции
времени
(O=Q1 (0 (8-75)
имеем:
в (/)= (8.76а)
Е(/)=сВ(0хе;?. (8-766)
В случае движущегося заряда Q
(рис. 8-12) можно всегда предста-
вить, что в начале отсчета 1(0 на-
ходится неподвижный заряд —Q.
В таком случае эти два заряда об-
ладают электрическим дипольным
моментом (8-75).
Предположение о существовании
неподвижного заряда —Q в начале
отсчета «плеча» 1, конечно, не ока-
зывает никакого влияния на поле,
излучаемое движущимся зарядом.
1 В условиях неоднородной среды за-
ряд может излучать и при движении с по-
стоянной скоростью (эффект Черенкова).
333
Очевидно, что dl/d/=v(/) —ско-
рость движения заряда, а д21/<5£2=
= а(/) —ускорение. Конечная ско-
рость (скорость света) распростра-
няющегося поля, т. е. запаздывание,
учитывается заменой аргумента t
на t—R/c. В результате вместо
(8-76) можно написать, что
В ® = ГТГ V - ^XeR- (8-77)
4зт Rc Л
При этом вектор Пойнтинга 1
П = —ЕХВ =
Но
-------Q2 a2 sin8 v е„, (8-78)
е0(4лс)2 *
где v — угол между векторами а и
ев (рис. 8-12).
Беря интеграл по сфере радиу-
сом R [см. (8-39) — (8-43)], находим,
что полная излучаемая мощность
(мгновенное значение)
р (0 = 6 П dS= —Ц Q2 а2. (8-79)
J 6Л80 С3
При гармоническом колебании
следует а2 заменить на (со2/)2, где
I — половина полного размаха (т. е.
амплитуда) колебаний заряда; кро-
1 Результат находится после раскры-
тия четверного векторного произведения
[(а X ел) Хей] X (аХек) =ев[а2— (аев)2]=
=ека2(1—cos2v). Для выполнения всех опе-
раций надлежит последовательно применять
известную формулу Ах (ВХС) =В(АС) —
—С (АВ).
ме того, надо перейти к среднему
по времени значению мощности. Ес-
ли I — амплитуда гармонического
колебания, то, как известно, средне-
квадратичное значение^ (эффектив-
ное) составляет 1/У 2 от ампли-
тудного. В итоге находим, что
jP=(Q/co2)2/12 Я8ос3. (8-80)
В последнем выражении можно
вместо частоты co=2jtf подставить
длину волны %—-2лс/со. При этом
/>= Ajt3c(Q/)8/e0%4 * * *, (8-81)
3
т. е. излучаемая мощность обратно
пропорциональна длине волны в
четвертой степени.
Голубое небо. Найденная зависи-
мость мощности излучения от час-
тоты объясняет голубой цвет неба.
Это, конечно, не входит в область
проблем электротехники, но инте-
ресно, что выведенные здесь законы
классической электродинамики объ-
ясняют такой удивительный факт,
как голубизна неба.
Молекулы атмосферного возду-
ха под действием электрического
поля световой волны поляризуются.
Образовавшиеся дипольные момен-
ты колеблются с частотой световых
волн. Частота колебаний молеку-
лярных диполей очень высока, по-
этому можно предполагать в пер-
вом приближении, что амплитуды
колебаний всех молекулярных ди-
полей пропорциональны интенсив-
ности спектрального состава света1.
Таким образом, для белого света
амплитуды колебаний молекул рав-
номерно распределяются по всем
1 Уравнение колебаний электрона
d^x dx
т м + Р 77 + kx = cos cot
ot2 dt
В нем m, q — масса и заряд электрона;
р — коэффициент «трения»; kx — возвра-
щающая сила, пропорциональная х, т. е. от-
клонению от равновесия. В установившемся
режиме решение можно представить комп-
лексом
X — q E/fjcnp + k — то2).
Резонансная частота o^=k/m. Если
k/m > со2 и трение невелико, т. е. сор < k,
то решение можно представить равенством
X—qEjk. Последнее равенство соответству-
ет тексту.
334
частотам спектра. Но мощность из-
лучения (8-80) пропорциональна
четвертой степени частоты Ч По-
этому свет, рассеиваемый молеку-
лами, кажется голубым: воздух ат-
мосферы — это множество светиль-
ников всех цветов спектра, в кото-
ром источники синего цвета светят
сильнее, чем источники красного.
Молекулярные генераторы. Пре-
образование электромагнитной энер-
гии одной частоты (fi) в другую (/2)
представляет важную задачу элект-
ротехники. Особенно существенно,
когда мощность, отдаваемая на ча-
стоте f2, больше мощности электро-
магнитных колебаний на частоте fi.
При этом, конечно, закон сохране-
ния энергии не нарушается, а про-
исходит дополнительное питание на
частоте «местного» источника (под-
качка). Некоторые из таких уст-
ройств рассматриваются в общей
теории нелинейных колебаний (па-
раметрические усилители): их рабо-
та определяется из феноменологи-
ческого анализа нелинейных харак-
теристик. Но наиболее важная
группа подобных генераторов-пре-
образователей основывается на за-
конах .квантовой физики и физиче-
ской оптики (лазеры).
1 В уравнении последнего примечания
для свободных электронов &~0; кроме то-
го, при малых амплитудах колебаний сво-
бодных электронов для них р~0; поэтому
амплитуда колебаний (Хт) свободных
электронов обратно пропорциональна
квадрату частоты Х=—qEjtsEm. Мощность
излучения пропорциональна квадрату со2Х=
=(o2Z[cm. (8-80)]. Поэтому на всех часто-
тах излучается одинаковая мощность. Элек-
троны проводимости не способны изменять
цвет рассеиваемого ими света.
Чтобы показать какие совершен-
но новые явления могут войти в
электротехническую практику и как
важна для их понимания физика,
интересно упомянуть о генераторе
Гана: при пропускании постоянного
тока через арсенид галия последний
начинает излучать волны длиной
около 3 см. Причина такого излуче-
ния может быть объяснена тем, что
под действием электрического поля
электроны срываются с одного узла
кристаллической решетки и с уско-
рением движутся до какого-то но-
вого узла, где они тормозятся. При
таком неравномерном движении они
излучают1. В известной мере этот
эффект подобен возникновению зву-
ка при движении смычка по струне
или мокрого пальца по чистому
стеклу. Однако для понимания су-
щества процесса недостаточно зна-
ния классической электродинамики.
Кроме нее, надо знать и квантовую
физику и физику твердого тела.
Из всего изложения нашего кур-
са теоретических основ электротех-
ники, и, может быть, в особенности
из последних разделов, можно сде-
лать вывод о том, что весь курс
представляет собой лишь введение
в более углубленное изучение тео-
рии, требуемое для тех или иных
специальных инженерных проблем.
Это правильный вывод. Однако для
различных областей инженерных
проблем требуется и существенно
различный характер дальнейшего
углубленного изучения теории.
1 Иногда ток, проходя через кристал-
лы, приводит к излучению волн светового
диапазона. Это должно найти применение
для электрического освещения.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
О КОМПЛЕКСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ,
ГАРМОНИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ
СОСТАВЛЯЮЩИХ
Пусть пространственные составляющие
вектора изменяются по гармоническому за-
кону
fx = Fx cos (at + ipj;
fy = Fу cos + ’M • (П1 -1)
Каждая из этих составляющих может
быть представлена в комплексной форме
Fx = Fx е'\ Fy = Fy Л. (П1 -2)
Вектор
f “ fx + fy (П1 -3)
также может быть представлен через ком-
плексные составляющие
(Ш-4)
Однако в общем случае последнее вы-
ражение становится содержательным толь-
ко после перехода к мгновенным значениям
по отдельности для каждой составляющей;
при этом выражение (П1-4) фактически пе-
реходит в (П1-3)
f = Re (Fx e’at) ex + Re (Fy e’mt) ey. (П1 -5)
Для момента t=0
t(0) = F'xex + F'yey, (П1-6)
если полагать, что
Fk = F'k + iF"k. (П1-7)
Выражение (П1-6), так же как и
(П1-4), мало что говорит, так как в общем
случае с течением времени изменяются как
модуль, так и направление вектора f=f(/).
Действительно, в любой заданный мо-
мент времени угол а между осью х и век-
тором f определяется равенством
а = arctg- (fy!fx) =
= arctg
Fycos (at + tyy)
Fx cos ((dt + фх) *
(П1-8)
Существуют, однако, важные частные
случаи линейной и круговой поляризации.
Линейная поляризация. В случае сов-
падения фазовых углов фх —фу=ф про-
странственных составляющих (П1-2) угол
а=const, как это видно из (П1-8),
а = arctg (fy/fx) = arctg (Fy/Fx) (П1-9)
и результирующий вектор
F=(Fxex + Fyey) (П1-10)
или
f = (Fx + Fy Qy) cos (со/ + ф) =
-Feycosfcrf-W), (П1-11)
где р— а е/ — единичный
вектор, направленный под углом а к оси х.
Из последнего равенства очевидно, что
действующее (эффективное) значение ли-
нейно поляризованного вектора
'F^ = Fl-/~2,
если Fx и Fy, а следовательно, и F — ам-
плитудные значения. Заметим, что
= 7/ 2F0 и /7эф=77о, если Fx2=Fy2=^F02,
где Fq — амплитуда каждой из состав-
ляющих.
Круговая поляризация. Если комплекс-
ные составляющие совпадают по модулю.
Fl = F2v = Fl, (П1-12)
но смещены по фазе на л/2, т. е.
FX = FO, Fy=^jF0, (П1-13)
иначе говоря, если фх=ф и ф2/=фгрл/2 или
fx = F0 cos ((dt +ф),
fy = ±F0 sin ((dt 4- ф), (П1 -14)
то результирующий вектор
f (0 — fx ex H- fy Qy
остается постоянным по величине
If (01 = Fq (П1-15)
и вращается с угловой скоростью со от оси
х к оси у, образуя с осью х угол
а = ±з(со/ + ф). (П1-16)
336
Последний вывод непосредственно следует
из (П1-8), так как
Решение. В тех же координатах
sin (со/ ip)
cos (tot + ip)
= arctg[zt: tg(tot + ip)].
а — arctg
rot Е =
(П1-17)
1
--- ег
г г
д/дг
0
д/да 0
0 Kre~ia
В формуле (П1-16) знак «+» относится к
тому случаю, когда Fx — +jFy или FX = FO
и Fy=—iFb.
Надо заметить, что в момент /=0
в этом случае вектор образует с осью х
угол Ч-ip; в случае вращения в противопо-
ложную сторону [когда Fx =—jFy и а —
=—(coZ+ip)] результирующий вектор в мо-
мент t~0 образует с осью х угол—ip.
Эффективное значение в случае вра-
щающегося вектора равно Fo, т. е. его по-
стоянной величине.
Сопоставляя сказанное со случаем ли-
нейной поляризации (Ш-11), находим, что
эффективные значения совпадают при кру-
говой и линейной поляризации, если равны
модули составляющих F^Fy—pQ. При
этом, однако, амплитуда в случае линейной
поляризации bj/ 2 раз больше.
Пример Ш-1. Пусть в одном случае
Fx=Fy=Fo=lOQ, а в другом Fx = +jFy =
=Fo=lOO, т. е. Fy =—jF0 и FX=FO.
Найти для обоих случаев мгновенные
значения результирующего вектора, его
действующие и амплитудные значения.
Решение. В первом случае
fx — fy — fo — Fq cos tot = 100 cos tot
и
f = 100 V2 cos tot e/.
Таким образом, fm = 100 У 2; /?Эф = 100. Во
втором случае f«=F0 cos tot; fy=F0 sin tot
при Fo=lOO. Результирующий вектор имеет
постоянное значение
|Я=/ £ + ^ = Л>=100’
оно же равно и амплитудному и действую-
щему.
Вектор f вращается в положительную
сторону (от х к у) с угловой скоростью О).
Пример П1-2. Электрическое поле в ци-
линдрической системе координат г, a, z
Ё = Е2 = Кге~'1а\
Найти соответствующее магнитное по-
ле, исходя из второго уравнения Макс-
велла !.
1 Предполагается сравнительно низкая
частота (со), при которой длина волны X
много больше радиуса Гмакс. Сказанное
равносильно тому, что rot Н=/ш8оЕ«О.
= er (—]Ке~1а) — еа Ке~‘а =— /®В
ИЛИ
Вг = ~ е~>а; Ba = -jF e~ia.
to “co
Две составляющие вектора магнитного
ноля отличаются только по фазе на л/2
(умножение на — /); это соответствует
вращающемуся полю с постоянной величи-
ной вектора. Полученные выражения то-
ждественны (П1-13). В этом можно убе-
Рис. П1-1.
диться, переходя по известным формулам к
декартовым координатам.
Вх = Br cos а — Во sin а;
Ву = Br sin ос + Ва cos а
и пользуясь формулой Эйлера e/a=cosa+
+/ sin а при выполнении операций пере-
множения.
В результате этих действий получаем,
что Bx=Klto; Ву=—jK/to. Вращающееся
магнитное поле имеет амплитуду BG=Ktto
и вращается со скоростью со.
Разложение произвольного колебания
в плоскости х, у на два встречных враще-
ния. Это практически очень важный случай.
Пусть для положительно вращающегося
вектора его х-я и у-я составляющие равны
С=Сеп и —jC, тогда как для вектора,
вращающегося в противоположную сторо-
ну, те же составляющие D=Delc> и jD.
В присутствии двух встречно вращаю-
щихся полей х-я и у-я составляющие ре-
зультирующего поля соответственно равны:
FX = C + D и Fy = j(D — C). (П1-18)
Этот результат легко получить, обра-
щаясь к графическому изображению вра-
. 22—476
337
щающихся векторов С и D на комплексной
плоскости x+jy (рис. Ш-1),
С = сЛ/ = Се/М+т);
B==De-'w==jDe-'(“/ + e’.
При этом
F = C + D.
(П1-19а)
(П1-196)
(П1-20)
Из графика очевидно, что х-я и у-я со-
ставляющие суммарного вектора соответст-
венно равны:
fx-~C cos (cat + у) + D cos (со/ + d) =
= Fx cos (art + фх). (П1-21а)
и
fy ~C sin (co/ + y) — D sin (co/ + d)=
= Fy cos (co/ + %). (П1-216)
Выражения Fx и Fy в (П1-18) служат
обычным комплексным представлением
только что записанных гармонических пе-
ременных fx и fy:
Fx = Fx (cos qx + / sin -фж);
^ = ^(cosi|>i, + /sin'<|>i,). (П1-21В)
Из системы уравнений (П1-18) одно-
- значно находятся
C=~(Fx+jFy) (П1-22а)
D = ~(Fx-jFy).
(П1-226)
Эллиптическое поле. Сумма векторов
двух встречно вращающихся полей С и D
в общем случае образует эллиптическое по-
ле. Это значит, что геометрическим местом
концов этого вектора служит эллипс. Боль-
шая и малая полуоси эллипса:
а = СD; b = C — D. (П1-23)
При этом большая полуось (а) с осью х
образует угол
ф = (у + 6) /2, (П1-24)
а малая полуось (Ь') ей ортогональна.
Сказанное проще всего доказать, пред-
ставляя векторы на комплексной плоскости,
как это сделано на рис. П1-1.
Очевидно, что вектор суммы F имеет
наибольшее значение, равное сумме моду-
лей векторов С и D; это и есть большая
полуось
/7макс = ^ = С + Р. (П1-25)
Модуль вектора F максимален, когда
- направления векторов С и D совпадают.
При этом векторы образуют с осью х угол
(у + б) /2 =ь пл.
После поворота каждого из векторов
на ±л/2 они оказываются антипараллель-
ны и модуль их суммы, т. е. вектора F, ока-
зывается наименьшим
Лшн = b = C-D. (П1-26)
Это и есть малая полуось.
Приведенные здесь формулы соответст-
вуют естественному предположению, что
С=| С |>D = | D\. Нетрудно применить те
же выводы и к общему случаю, когда С и
D — алгебраические величины и когда
|C<|D|.
Параметры эллипса можно выразить и
через декартовы составляющие и Fy.
Действительно, как следует из (П1-22),
С и D выражаются через Fx и Fy:
C=-~\Fx + jFy\-
D = ~\Fx-jFy\. (Ш-27>
Применяя к этим формулам чисто ана-
литические операции по (П1-21 в), легко
найти, что
2С= К F* + ^-2^^sing.
ИЛИ
С2= V [ Рх + - 2FX Fy sin Ф]; (П1 -28>
аналогично
D2= т + 2F* Fуsin ф] ’ (П1 ’29>
где <р=ф?/—фх — фазовый угол, на кото-
рый Fy опережает Fx. К тем же выражени-
ям приводят геометрические построения с
векторами Fx и Fy на комплексной плоско-
сти (рис. П1-2), оси которой никак не свя-
заны с пространственными осями х и у.
После того как найдены С и D, значе-
ния а и b находятся по (П1-23).
Угол поворота большой полуоси а от-
носительно оси х выражается прежней фор-
мулой (П1-24) при том, что по (П1-22)
V = arg (Fx 4- jFy) =
= arc tg
P"x + P'u
л у
f' — f"
‘ x 1 у
(П1-30а>
и
6= arg (Fx — jFy) =
= arc tg
(П1-306)
Определение параметров эллипса по
заданным Ех и Еу выполнено в примере
7-7.
Пример П1-3. Переменное магнитное по-
ле при частоте f=50 гц имеет составляю-
338
щие Вх=/0,3; £^=0,4; Bz=l,0, выражен-
ные в тесла. В магнитном поле со ско-
ростью (o=2nf=314 сек~1 вращается рам-
ка nS=0,2 м2 с осью вращения, параллель-
ной оси г. При этом ось z лежит в одной
плоскости с рамкой.
1) Найти амплитуду и частоту наве-
денной э. д. с. 2) Как изменятся найден-
ные величины, если изменить направление
вращения?
Решение 1. Можно разложить со-
ставляющие вектора, нормальные к оси, на
вращающиеся составляющие, пользуясь
формулами (П1-22). При этом составляю-
щая, вращение которой совпадает по на-
правлению с вращением рамки, не наводит
в ней э. д. с. Слагающая, встречно вращаю-
щаяся, в первом случае
Ь = (ВХ— }Ву)/(2. = — /0,05 тл.
Следовательно, максимальный поток, сцеп-
ленный с рамкой, 4rm = nSZ) = 0,01 вб. На-
веденная э. д. с. имеет частоту 2со; ее ам-
плитуда Эт=2соЧгт = 6,28 в (вектор поля
и рамка вращаются навстречу, поэтому их
относительная скорость удваивается).
2) При изменении направления враще-
ния вместо слагающей D по формуле
(П1-22а) следует определить
C = (JBx + jBy) /2 = /0,35.
Наведенная э. д. с. имеет ту же частоту
2со, и ее амплитуда Эт=44,0 в.
Примечание. Задачу можно ре-
шать, и не прибегая ни к каким разложе-
ниям, но выражая все векторы через их
мгновенные значения. При этом и площадь
вращающейся рамки можно представить
вёктором
nS (t) — 0,2 (cos со/ ех + sin со/ еу)
(при со>О).1 Вектор поля
В (/) = — 0,3 sin со/ ех + 0,4 cos со/ еу +
+ 1,0 cos со/ е2.
1 По предположению площадь рамки не
имеет z-й составляющей. Нетрудно решить
задачу и при наличии z-й составляющей
вектора S. Она остается постоянной при
вращении вокруг оси z.
Скалярное произведение этих векторов
определяет мгновенное значение потоко-
сцепления
Т = nSB = — 0,06 cos со/ sin со/ +
+ 0,08 cos со / sin со/ = 0,01 sin 2со/.
Производная от потокосцепления выра^
жает э. д. с.
э — — dW/dt = — 0,02 со cos 2со/.
Разумеется, ответ совпадает с ранее найл
денным.
Разложение трехмерных векторов с
комплексными составляющими. В случае
трех переменных составляющих Fx, Fy, Fz
можно найти три пары векторов, вращаю-
щихся встречно вокруг осей х, у, z. По-
добно векторам Си/), имеющим осью
вращения ось z, можно ввести векторы А
и В, М и N, полагая, что
F== А + В+М + NA-C+ D, (П1-31))
При этом аналогично (П1-22) можно пола-
гать, что
Л--|-(0 + 4 + /Л);
5 = (0 + ^“^2);
(/Л + о + ^г);
(ГН-32)
С'=2-<^+/Л + 0);
b = -^(Fx-jFy + O).
Не останавливаясь подробнее на этом
разложении, отметим его неоднозначность
в смысле возможности замены одного из
вращений линейно поляризованной пульса-
цией по одной из осей.
В заключение ответим на один часто
возникающий вопрос — имеет ли физиче-
ский смысл разложение на вращающиеся
составляющие? Положительный ответ лег-
ко обосновать в той же мере, в какой обос-
новывают физический смысл разложения
на гармоники, возможностью выделения
одной из гармонических составляющих по-
средством фильтра.
Если, например, в поле, имеющее толь-
ко х-ю переменную составляющую напря-
женности магнитного поля, внести три
пробных шарика из ферритов, способных
по-разному реагировать на волны с правой
и левой круговыми поляризациями вокруг
оси х (первый шарик), оси у (второй ша-
рик) и оси z (третий шарик), то в соответ-
ствии с формулой (П1-32) реакцию в виде
гиромагнитного резонанса обнаружат толь-
ко второй и третий шарики, поскольку со-
ставляющие с осью вращения х при Fy =
=FZ = Q по формуле (П1-32) отсутствуют.
22*
339
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРОВОДЯЩИЙ ЦИЛИНДР
В ПОПЕРЕЧНОМ ПЕРЕМЕННОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Поставленная задача проще всего ре-
шается, если исходить из уравнений век-
торного потенциала
у2А=—pp0J
[см. уравнение (2-77а), § 2-6].
Если электрическое поле в проводящей
среде определяется только переменным
магнитным полем, то можно полагать
Е = — ja>A и J = оЁ = — /сооА.
Подставляя это выражение плотности тока
в правую часть равенства для у2А, получа-
ем уравнение для векторного потенциала в
проводящей среде
у2 А = jcoppo cfA.
Выбрав цилиндрическую систему коор-
динат и полагая вектор внешнего (посто-
роннего) поля BQ=const параллельным
плоскости а=0, находим, что векторный по-
тенциал внешнего поля имеет только z-ю
составляющую и выражается равенством
Aq — AOz — BQ г sin а, (П2-1)
в чем легко убедиться, вычисляя rot А в ци-
линдрической системе координат.
Возбуждаемые вихревые токи могут
иметь тоже лишь z-ю составляющую, по-
этому и полное значение векторного потен-
циала можно считать имеющим только 2-ю
составляющую. В применении к этой со-
ставляющей (как к одной из составляю-
щих декартовой системы) оператор у2 рав-
носилен лапласиану, поэтому можно напи-
сать, что
у24 = у2Аг, (П2-2)
где у2=/сорр0о'- Очевидно, что 0=0, для
внешней области (г>а), а следовательно,
в этой области равна нулю правая часть
(П2-2).
Раскрывая у2 в цилиндрических коор-
динатах, находим:
Y2A=y2Az =
1 д / дА \ 1 д2 А
— ---- ---- | г --| I --- ---- — л?2 Л
г дг \ дг / г2 да2
(П2-3)
Пробуем найти решение по методу Эй-
лера — Фурье, т. е. полагая
A = RL, (П2-4)
где R и L суть функции соответственно
только г и только а.
Для внешней области (г>а и у2=0)
после подстановки (П2-4) в (П2-3) и ум-
ножения всех членов равновесия на г2/А на-
ходим:
г д
R дг
1 д2 L
Таким образом, получено уравнение, в
котором переменные разделились. Так как
первое слагаемое зависит только от г, а
второе только от а, то каждое из них
должно быть равно постоянной:
R дг \ дг /
1 д2 L
L да2
(П2-6)
(П2-7)
здесь К=const.
Развертывая уравнение (П2-6), полу-
чаем:
d2R
dr2
1 dR R
+-----
г dr г2
(П2-8)
Это — однородное уравнение, в нем с по-
вышением порядка производной на п на
столько же понижается степень г в множи-
телях, стоящих перед каждым из слагае-
мых; его решение имеет вид:
R — crm. (П2-9)
Подставляя (П2-9) в (П2-8), приходим
к уравнению
[m (т — 1) + т — Д'] сгт-^ = 0; (П2-10)
его осмысленное решение:
т2—К = 0 или т — zt ]/"Д . (П2-11)
Для значений г, много больших, чем
радиус цилиндра, его возмущающее дейст-
вие стремится к нулю; следовательно, для
340
r^> а остается справедливым выражение
(П2-1). Поэтому из сопоставления (П2-9)
с (П2-1) заключаем, что положительный
показатель степени г в выражении для R
не может отличаться от показателя степе-
ни г в (П2-Г). Иначе говоря, из сопостав-
ления (П2-9) с (П2-1) находим
m = (П2-12)
или
R = С±Г + с2г~ (П2-13)
Наличие слагаемого с отрицательной
степенью не противоречит зависимости от
радиуса, представленной выражением
(П2-1), так как для больших г второе сла-
гаемое в (П2-13) стремится к нулю в той
же мере, что и возмущающее действие по-
ля цилиндра. После того как найдены зна-
чения т, а следовательно, по (П2-1Г) и
значение постоянной К—т2=1, сразу на-
ходится простое выражение для функции
угла. В самом деле, (П2-7) при Л=1 при-
нимает вид
d2L/da2=^L (П2-14)
и, следовательно,
L — Л\ cos а + Az2 sin а. (П2-15)
Сопоставление (П2-15) и (П2-1) с необхо-
димостью приводит к выводу, что
Л\=0.. (П2-16)
Поэтому из (П2-13) и (П2-15) в соответст-
вии с исходным предположением, что А =
—RL, находим для внешней области (ин?
деке е):
Ае = (Cr + Dr-1) sin а, (П2-17)
где С и D — постоянные. Значение первой
из них легко определяется из условия для
удаленных точек; из (П2-17) и (П2-1) при
Г —* ОО \\
Ае = Cr sin а — Во г sina, (П2-18)
следовательно, С = В0 и
Ае = (Ве г + Dr~9 sin а. (П2-19)
Вторая постоянная (D) определится из
граничных условий на поверхности цилин-
дра г=а. Эти условия могут формулиро-
ваться в соответствии с общими условия-
ми для магнитного поля:
1) непрерывность нормальных слагаю-
щих магнитной индукции на поверхности
раздела; в данном случае непрерывность
радиальной слагающей ВГг=Вте. Но это ус-'
ловие в применении к векторному потенци-
алу равносильно требованию непрерывно-
сти нормальной слагающей rot А;
2) непрерывность тангенциальных сла-
гающих напряженности магнитного поля
или в применении к векторному потенциалу
непрерывность тангенциальных слагающих
rot А, деленных на проницаемость соответ-
ствующей среды, т. е. в условиях задачи о
цилиндре при г=а
1.1.
--rot А. = ;-rot А ; (П2-20)
1 а е
rot2 Af = —rot2 Ае. (П2-21
Ц i Не
Имея в виду, что A~AZ, из выраженш
для различных составляющих ротора в ци-
линдрических координатах, получаем при
г=а;
условие 1
дAil да = дАе/да\ (П2-22)
условие 2
— dAJdr = — дАе/дг. (П2-23)
Hi Р'е
Обратимся к решению основного урав-
нения (П2-2) для внутренней области
(у2 4= 0), принимая во внимание необходи-
мость удовлетворить условиям (П2-22),
(П2-23). Применяя прежний метод, най-
дем после разделения переменных, что те-
перь
г д I dR\
—- — r-т1- -г2у2 = /С (П2-24)
R dr \ dr I
и по-прежнему
д2 л/0а2 =— К.
Так как в правых частях равенств (П2-22)
и (П2-23) зависимость от а выражается
множителями cos а и sin а, то со всей не-
обходимостью только такого же рода за-
висимость от а должна характеризовать
левые части равенств. Но это требование
означает, что константа К должна сохра-
нить прежнее значение №=1, так же как
и сама функция L,
Таким образом, предварительные сооб-
ражения о граничных условиях позволяют
определить единственное значение /С, что
облегчает решение уравнения (П2-24).
После приведения в (П2-24) коэффи-
циента при высшей производной к 1 это
уравнение принимает вид:
+ -^+р-4>=°. (П2-25)
dr2 т dr \ г2 )
После деления всех членов равенства на
—у2 и перехода к новой переменной
=—у2г2 или
I = Г К—/[фо =х]^ —j
уравнение (П2-25) принимает вид известно^
го уравнения Бесселя первого порядка:
d2R 1 dR I 1 \
(П2-26)
Решение этого уравнения (см. § 6-3)':
+ (П2-27)
При |£| -* 0 функция Ji стремится к
нулю, вторая Yi напротив, неограниченно
возрастает. Это заставляет принять посто-
янную С2 равной нулю. Действительно, если
бы А на оси принимало бесконечное значе-
ние, то бесконечно большим становился бы
магнитный поток, сцепленный с любым кон-
341
туром интегрирования, одна из сторон ко-
торого совпадает с осью цилиндра, а ос-
тальные лежат в плоскости а—±л/2. Но
при конечном внешнем поле поток, сцеп-
ленный с любым конечным контуром, ра-
зумеется, должен оставаться конечным.
После всего сказанного решение для
внутренней области (г <а) можно пред-
ставить равенством
Переход от вектора А к векторам В и
Е легко осуществить по основным уравне-
ниям электродинамики
B=rotA и Ё = —/соА. (П2-34)
Так, для внешней области (r>a) по
(П2-34) и (П2-17) находим при X=XZ:
Лг-= FJi (§) sin а. (П2-28)
Обращаясь к уравнениям (П2-22) и
(П2-23), выражающим граничные условия,
находим из (П2-19) и (П2-28) (после со-
кращения одинаковых множителей) для по-
верхности цилиндра
FJi (Ь) = Во а + D^1. (П2-29)
ИЛИ, полагая Це = 1 И = р (ИЛИ р = Цг/ре),
F
Ц
• I \
= — Во I 1 —--------- sin a;
\ Й0г2 /
г да
. I \
= Во ( 1 -4- —:-1 cos а.
\ Bq^J
2-35)
(П2-36.)
. dl dr k=ia
— Bq ---D(Z 2.
(П2-30)
Из теории цилиндрических функций из-
вестно, что
4JX(g)
di
Jo (l)~
Ji(g)
I
Полученные выражения для составляющих
В имеют ту же структуру, что и соответст-
венные выражения для цилиндра с прони-
цаемостью р, во внешнем статическом по-
перечном поле Во,
Ва
поэтому условие, выражаемое уравнением
(П2-30), окончательно принимает та-
кой вид:
В г — Bq
I —-------- sin a;
4. а2(Р~ И
' (И + 1) г\
cos a.
(П2-37)
(П2-38)
— V—/юнио<7 ро(Ы —
Р L
Ji(|g) 1
la J
= В0~£>а~2. (П2-ЗГ)
Совместное решение (П2-31) и (П2-29),
в которых
la = aV^— f(op,p0o ,
позволяет найти значение постоянных интег-
рирования
В = Во ----------—-----------
(И- 1) Jl(b) + la Jo (la)
(П2-32)
(n+njagj-^Jo^).
D = Bn -----------------a •
(p-l)Jl(U + ^Jo (la)
(П2-33)
Таким образом, задача полностью ре-
шена.
Эти формулы были выведены в гл. 4; здесь
они повторены для наглядности сравнения
с (П2-35) и (П2-36). Из их сопоставления
легко найти, что цилиндр в переменном
поле создает такое же внешнее поле, как
если бы в нем не возникало вихревых то-
ков, но его проницаемость имела эквива-
лентное значение
Ji(^)
Р'Э — Ц •
Р laJo(la)-Jl(ga)
Подстановка этой эквивалентной про-
ницаемости в уравнения (П2-37), (П2-38)
приводит к (П2-35), (П2-36).
Сплошной круглый ротор в асинхронной
машине. Только что найденные решения для
круглого цилиндра во внешнем поперечном
поле позволяют легко найти поле в асин-
хронной машине со сплошным круглым ро-
тором. Общий вид решения основного урав-
нения (П2-2) остается прежним, однакс
вместо условия при г оо , определивше-
го внешнее поле, теперь внешнее поле за-
дается условиями на внешней поверхности
воздушного зазора.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
О ДИВЕРГЕНЦИИ ВЕКТОРОВ
НАПРЯЖЕННОСТИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ (Е)
И ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА (А)
1. Как неоднократно отмечалось (на-
пример в § 2-6) выбор представления век-
торного потенциала определен с точностью
до безвихревой составляющей функции Ап,
имеющей rotAn=0; при этом он может
иметь любое значение дивергенции. Так об-
стоит дело, когда векторный потенциал оп-
ределяется только тем, что его ротор равен
вектору магнитной индукции (rotA=B).
Однако в переменном поле тот же вектор-
ный потенциал входит в выражение напря-
женности электрического поля
Е = — grad ф — dA/dt. (ПЗ-1)
Приписывая величине дивергенции А зна-
чения, отличные от указанных в § 2-6, т. е.
div А = — dy/dt,
мы должны изменять принятое нами опре-
деление скалярного потенциала ф, с тем
чтобы дивергенция вектора электрического
'поля тождественно совпадала с выраже-
нием
1 д2ф
divE = —v2<p —— — = р/е0. (ПЗ-2)
С2 ОТ2
Подробнее см. [Л. 2-1, вып. 6, гл. 18, § 6].
Изложенным здесь подчеркивается, что
равенство
— V2(p = р/8о (ПЗ-З)
справедливо только для квазистатического
режима. Напротив, равенство (ПЗ-2) оста-
ется справедливым в любых условиях.
, 2. Необходимы дополнительные разъяс-
нения к выражению напряженности элект-
рического поля, наблюдаемого при движе-
нии в магнитном поле 1.
Е = — grad ф + vXB. (ПЗ-4)
Представим себе для конкретности, что рас-
сматривается поле двупроводной линии при
' движении наблюдателя в направлении, па-
раллельном проводам (v=vz, см. рис. 5-8).
Поскольку vJ_B и В±Е, легко найти, что
дополнительные слагающие напряженности
поля
Е'=vxB (ПЗ-5)
1 При наличии ускорения (dv/dt =£ 0)
могут потребоваться новые уточнения.
окажутся в точности параллельны векто-
рам поля Е:р=—grad ф. Но наличие такого
поля требует и дополнительного заряда на
проводах, поскольку теорема Гаусса
&0§EdS=§ pdV остается справедливой. Ин-
тересно, что выражение этого дополнитель-
ного заряда, в точности соответствующего
выводам теории относительности, непосред-
ственно содержится в выражении «лорен-
цовой силы» (ПЗ-5); как ни странно, на это
долго не обращали внимания! • Возьмем ди-
вергенцию от вектора Е'
div Е' =div (v XВ). (ПЗ-6)
Она легко находится по известной формуле
div (а ХЬ) = b rot а — a rot b.
Применяя ее к (ПЗ-6) при = const
и при том, что rotB=p,0J, находим, что
div Е' = р'/е0 = — vpo-E (ПЗ-7)
Таким образом, оказывается, что внутри
проводников J^O с точки зрения движуще-
гося наблюдателя содержится электриче-
ский заряд, плотность которого
р'= — vJ/c2, (ПЗ-8)
или
т' = — vz iz/c2, (ПЗ-9)
если перейти от плотности тока к току, и от
объемной плотности заряда р'к линейной т7.
Плотность заряда изменяется при том,
что сами заряды остаются неизменными —
их величина не зависит от скорости отно-
сительно наблюдателя. Но в определение
плотности входит длина провода £, которая
зависит от скорости наблюдателя L=
=LqV^ 1—v2/c2 при этом для положитель-
ных и отрицательных зарядов длина изме-
няется различно, так как отрицательные и
положительные заряды в среднем движутся
в противоположные стороны, если плот-
ность тока отлична от нуля [Л. 2-1, вып. 5,
гл. 13, § 6].
Приведенный здесь результат и многие
другие релятивистские соотношения содер-
жатся в уравнениях Максвелла, поэтому
естественно, что Эйнштейн пришел к теории
относительности именно через электродина-
мику.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ТАБЛИЦЫ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
ОТ АРГУМЕНТА Г
Достаточно подробные таблицы содер-
жатся в книгах Двайта [Л. 4-46] и Янке
Эмде [Л. 4-4в].
Следует, однако, обратить внимание на
то, что, кроме указанных в тексте книги ви-
дов функций, часто даются их другие ли-
нейные комбинации. Введение в уравнение
подобных функций приводит только к иным
значениям постоянных. В приводимых ни-
же примерах показано как определяются
постоянные при введении различных функ-
ций.
При пользовании таблицами следует
иметь в виду следующие соотношения:
для функций первого и второго рода
J„(g) = Conp. Jn(g*)
Yn(g) = Conp.Yn(g*), (П4-1)
где g
рода
*=х j, но для функций третьего
(функции Ганкеля)
H<1)(g*)=Conp. 42>(g)
Н<2> (f)-Conp. Н<’>(?)• (П4-2)
Последние соотношения следуют из (П4-1)
в сочетании с определением ганкелевских
функций (см. § 6-3).
Число а в табл. П4-1 показывает зна-
чение аргумента (угла) в долях прямого
угла. Так при а=0,228 аргумент функции
равен 20°31,12" или 0,358 радиан.
Такой же смысл имеет число b в
табл. П4-4.
Таблица П4-1
X Jo(E) JiU) 0,5ио(е)/Л1(^)=Л Za • 90°
ReJ0 Im Jo ReJi [ ImJi A 1 a
0,0 0,2 +1 ,о 1,000 0 4-0,010 0 4-0,071 0 —0,070 1,0000 1,0001 0,0000 +0,0032
0,4 0,6 0,8 1,000 0,040 0,144 0,138 1,0003 0,0128
0,998 0,090 0,221 0,209 1,0017 0,0287
0,994 0,160 0,304 0,260 1,0054 0,0507
1,0 0,984 0,250 0,396 0,308 1,0128 0,0786
1 *2 0,968 0,359 0,495 0,343 1,0265 0,1116
1 »4 0,940 0,487 0,605 0,364 1,0481 0,1486
1,6 0,898 0,633 0,726 0,366 1,0800 0,1882
Г,8 0,837 0,795 0,857 0,346 1,1239 0,228
2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 0,752 0,972 0,997 0,300 1,1804 0,267
0,638 1,161 1,142 0,223 1,250 0,302
0,489 1,357 1,300 —0,110 1,331 0,334
0,300 1,557 1,450 4-0,043 1,422 0,360
4-0,0651 1,753 1,591 0,240 1,521 0,381
3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 —0,221 1,938 1,733 0,487 1,625 0,398
0,564 2,102 1,846 0,788 1,733 0,411
0,968 2,233 1,930 1,142 1,842 0,420
1,435 2,320 1,970 1,560 1,952 0,427
1,967 2,345 1,960 2,030 2,060 0,433
344
Продолжение табл. П4-1
J,(£) 0,5Uo(£)A(£) = A Z.a • 90°
ReJe ReJ, ImJi A \ 1 a
4,0 —2,563 +2,293 +1,869 +2,564 2,168 +0,437
4>2 3.219 2,142 1,692 3 142 2,273 0,440
4,4 3,928 1,873 1,395 3,780 2,378 0,442
4,6 4,68: 1,461 0,972 4,45 2,480 0,445
4,8 5,45 0,884 +0,395 5,12 2,58 0,447
5,0 6,23 +0,116 —0,360 5,80 2,68 0,449
5,2 6,98 —0,866 1,312 6,45 2,78 0,451
5,4 7,67 2,085 2,440 7,01 2,88 0,452
5,6 8,25 3,560 3,89 7,46 2,98 0,454
5,8 8,66 5,31 5,54 7,79 3,08 0,456
6,0 8,86 7,33 7,46 7,88 3,18 0,457
6,5 7,87 13,61 3,43 0,461
7,0 —3,63 21,24 20,37 +2,32 3,68 0,464
7,5 +5,45 29,12 3,93 0,467
8,0 20,97 35,02 32,51 —21,67 4,18 0,469
8,5 43,9 35,3 4,43 0,471
9,0 73,9 24,7 —20,72 72,05 4,68 0,473
10,0 +59,48 131,9 5,18 0,476
Таблица П4-2
X Fs(5)=ReZ-j J,(5)= =~+ReJ‘<E> F<(S)=lm Z-i Ji(5)= x F3(5)=Re/-j =-^ReJ»U) Fi(e)=im/'-/j,(e)=
0,0 0 0 2,4 +0,839 —0,994
4,2 +0,00050 —0,100 2,6 1,055 0,994
4,4 0,00400 0,200 2,8 1,299 0,959
0,6 0,01350 0,300
0,8 0,0320 0,399 3,0 1,570 0,880
1,0 0,0624 0,497 3,5 2,336 —0,435
1,2 0,1078 0,593
1,4 0,1709 0,686 4,0 3,135 +0,491
1,6 0,2545 0,773 4,5 3,756 2,053
1,8 0,361 0,851
5,0 3,845 4,35
2,0 0,493 0,917 5,5 2,91 7,37
2,0 0,652 0,966
Таблица П4-3
H<2)(5)
ReH<2> Im Re H<2) Im H<2>
0 +0,5 -j-oo — oo + °°
0,2 0,483 1,103 2,116 2,316
0,4 0,448 0,676 0,919 1,198
0,6 0,406 0,441 0,499 0,812
0,8 0,361 0,288 0,283 0;606
1,0 0,315 0,182 0,1541 0,471
1,2 0,271 0,1075 0,0721 0,373
1,4 0,230 0,0542 —0,0186 0,297
1,6 0,1926 +0,0166 +0,0161 0,237
1,8 0,1588 —0,00936 0,0380 0,187
345
Продолжение табл. П4-3
X н^2) (Е) Н](2) (Е)
Re Н^2> 1m Н<2) Re н|2> Im н|2)
2,0 +0,1289 —0,0265 +0,0510 +0,147
2,2 0,1026 0,0371 0,0575 0,1136
2,4 0,0804 0,0429 0,0596 0,0863
2,6 0,0614 0,0946 0,0586 0,0641
2,8 0,0455 0,0447 0,0555 0,0461
3,0 0,0326 0,0427 0,0511 0,0318
3,2 0,0220 - 0,0394 0,0460 0,0205
3,4 0,0137 0,0356 0,0405 0,0116
3,6 0,00715 0,0314 0,0351 0,0005
3,8 +0,00215 0,0272 0,0298 +0,0001
4,0 —0,00140 0,0230 0,0250 —0,00341
• 4,2 0,00394 0,0192 0,0205 0,00577
4,4 0,00562 0,0156 0,0165 0,00724
4,6 0,00661 0,0125 0,0130 0,00801
4,8 0,00701 0,0097 0,0099 0,00825
5,0 0,00712 0,0073 0,0074 0,00811
5,2 0,00689 0,0053 0,0052 0,00769
5,4 0,00646 0,0037 0,00350 0,00710
5,6 0,00589 0,0023 0,00211 0,00640
5,8 0,00526 0,0012 0,00101 0,00565
6,0 0,00459 0,0034 0,00018 0,00489
Таблица П4-4
X (е)=В ^-90° X Н^2)(Е)/Н<2>(Е) ^В.Ф-90» X н^2)(Е)/н1(2> (£)=В +-90°
В ь в Ъ В ь
0 0 —0,5 2,4 0,868 —0,927 5,8 0,941 —0,965
0,2 0,384 0,734 2,6 0,877 0,932
0,4 0,537 0,789 2,8 0,885 0,936 6,0 0,943 0,966
0,6 0,629 0,824 6,5 0,947 0,969
0,8 0,690 0,849 3,0 3,2 0,892 0,898 0,939 0,942 7,0 0,951 0,971
1,0 0,735 0,867 3,4 0,903 0,945 7,5 0,954 0,973
1,2 0,768 0,881 3,6 0,909 0,948 8,0 0,957 0,974
1,4 0,794 0,893 3,8 0,913 0,950 8,5 0,959 0,975
1,6 0,814 0,902 4,0 0,917
1,8 0,832 0,910 0,952 9,0 0,962 0,977
2,0 4,4 0,924 0,956 9,5 0,964 0,978
0,846 0,917 4,8 0,930 0,959
2,2 0,858 0,922 5,2 0,935 0,962 10,0 0,965 0,979
Таблица П4-5
X Ft (6) =Re-|/*__y н<2> (£)= =-^ReHo2) F,(E)=Im/_/ H<2)(t)= X F1(E)=Re/_/H<2)(E).^ =-^.ReH(2)(E) F2(o=inip<__/-Hp)(e)= =-^1тНо2)(г>
0 0 +°° 1,0 +0,224 +0,442
0,2 +0,1419 3,134 1,2 0,213 0,315
0,4 0,1970 1,497 1,4 0,197 0,223
0,6 0,222 0,927 1,6 0,179 0,156
0,8 0,229 0,629 1,8 0,159 0,106
346
Продолжение табл. П4-Ь
X F1(E)=Reyr_J-H<2>(E)= р2(Е)^1т|л_/Н<2>(е)= =-^М2)«) 1 F+)==Re (Н)= - dx М2)+ Р2(е)=1т)Л„ун^2) (£) = =~+тНо2)<Е)
2,0 +0,140 +0,0679 3,4 +0,0369 —0,0204
2,2 0,121 0,0397 3,6 0,0283 0,0213
2,4 0,103 0,0189 3,8 0,0212 0,0210
2,6 0,0867 +0,0039 4,0 0,0152 0,0200
2,8 0,0719 —0,0066 4,5 +0,0049 0,0158
3,0 0,0586 0,0137 5,0 —0,00052 0,0109
3,2 0,0470 0,0181 5,5 0,00283 0,0007
Таблица П4-6
X
ReH<+ ReHp ImHp
0 + 1,5 —ос + оо —о©
0,2 1,517 1,083 2,258 2,457
0,4 1,552 0,596 1,207 1,475
0,6 1,590 —0,261 0,942 1,231
0,8 1,627 +0,131 0,891 1,126
1,0 1,653 0,317 0,846 1,087
1,2 1,665 0,610 1,062 1,059
1,4 1,650 0,919 1,229 1,025
1,6 1,603 1,249 1,436 0,969
1,8 1,515 1,599 1,676 0,879
2,0 1,375 1,930 1,943 0,747
2,2 1,173 2,360 2,227 0,560
2,4 0,898 2,756 2,540 —0,306
2,6 0,539 3,16 2,841 +0,022
2,8 +0,085 3,55 3,127 0,434
3,0 —0,475 3,92 3,415 0,944
3,2 1,150 4,24 3,64 1,556
3,4 1,950 4,50 3,82 2,26
3,6 2,877 4,67 3,90 3,12
3,8 3,936 4,72 3,89 4,06
HS1)(g)=2J0(g)^c Р(§), Нр(§)=2+ (£)-н<2Ш
поэтому при х>4 поэтому при х>-4
H^>(g)^2J0(g)
347
Пример П4-1. По медной трубке
(рис. 646, а) проходит переменный ток I.
Внутренний и наружный радиусы трубки
Г1 и г2.
Аргументы бесселевых функций
g = Г V(Bjioa К— / = X V— j ,
51 и ^2 — их значения при г=Г1 и г=г2.
Уравнение электрического поля записа-
но в таком виде
£s=a0H<2>(g) + &0J0(g). (а)
Определить значение постоянных, полагая,
что можно пользоваться функциями
нр (g) = --^-H<2> (g)
и
d
Ji © = - Л/ . (б)
содержащимися в таблицах.
Решение. Из второго уравнения Макс-
велла находим, что
а /соро dr
= 1
/сор0 dr
Выполняя дифференцирование и принимая
во внимание (б), находим, что
^-H = a0Hp(g) + 60J1(g1). (г)
В случае поставленной задачи гранич-
ные условия легко формулируются для на-
пряженности магнитного поля: она равна
нулю на внутренней поверхности трубки, и
равна //2лг2 на наружной, т. е.
Н = 0 при г = гг, Н = 1/2лг2 при г=г2. (д)
где
^ = H<2>(g1)J1(g2)-H<2)(g2)J1(g1),
т. е. определитель из коэффициентов (е).
Пример П4-2. Для условий предыдуще-
го примера требуется определить постоян-
ные интегрирования, исходя из того же
уравнения (а), но предполагая, что в рас-
поряжении имеются таблицы, в которых не
содержатся функции первого рода, т. е_
Н$2)и Ji (В), а вместо них даны
F1 = Re /- j Н<2> (g) = - Re Н<2> (g);
F2 = Im H<2> (g) =- -£ Im H<2> (g);
г__________________ d
Fs = Re Г- / (g) = - — Re Jo (g);
r__ d
F4 = Im /-/J, (g)=-~ Im Je (g).
ax
См. выше табл. П4-2 и П4-5.
Решение. Применяя к уравнению (а)
предыдущего примера второе уравнение
Максвелла, находим, что
я = я =
/<оро dr
1 dx_dE
/соро dr dx
или
— Hj соро/о — <2qF12 “Ь ^0^34 >
где
Г12 = Fi + /Р2 и FS4 = Fs 4- /F4.
Далее из условий, формулированных в (д)
и (е) предыдущего примера аналогичным
путем находим
При этом получаем два уравнения
Оо = - Р-*- F34 (gx), ьо = F12 (gj).
aoHp^ + ^JJgJ^O,
+ <е)
где для данного примера
Р2 =
где Р2— £27/2зтг| о .
. У(ор.р/о
2лг2
Решая полученную систему уравнений,
находим
Oo = -^J1(g1). 6о=^-Н<2) (gj). (ж)
D = F12 (£i) F34 (£2) — F12 (£2) F34 (gi).
Полезно путем непосредственного вычисле-
ния убедиться, что результаты расчета в
этом и предыдущем примерах приводят
к одинаковым числовым значениям.
348
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
/
1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Разложение вектора
А = ех Ах + еу Ау + ez Az,
А=егЛг + е0 Ла +егЛг,
А = eR Лд + ее Ле + еа Аа .
2. ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
д(р
V<P(W) =
V W) = ШР + <PV*h
V (АВ) = АХ(уХВ) + (Ау?) В -|-
+ BX(VXA) + (BV) А,
Скалярное произведение
С = АВ — Ах Вх —J— Ау Ву Az Bz — ВА,
С = АВ cos (А, В).
Векторное произведение
С=АХВ=
еу е2
Л* &у ^2
Ех Еу Вг
= ~ВХА,
C = XBsin(A,B); С ± А; С ± В.
Двойное векторное произведение
АХ(ВХС) = В (АС) — С) (АВ).
где
д д д
(Av) = Ax + дг •
v (<pF) = (pvF + FV<P,
V (Ах В) = В (v X А) — A (v ХВ),
div rot F = 0, rot grad ф = 0,
VX(9F) = фvXF —FXV9,
VX(AXB)=(Bv) A — (Ay) В +
+ AvB — BvA,
rot rot F = grad div F — v2F-
350
ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
3. ПРОСТЕЙШИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Координаты Орты Элементы длины Формулы связи с декартовыми
Декартовы х, у, z (рис. По-1) ех> ez dx, dy, dz —
Цилиндрические г, a, z (рис. По-2) о Ф 9 Ф dr, rda, dz х = г cos а у — г sin а Z — Z
Сферические R, 0 , а (рис. П5-3) е/? > ео > еа dR, RdO, RslnQda х — R sin 0 cos а у — R sin 0 sin а z = R cos 0
Продолжение приложения В
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Операция Символиче- ская запись Декартовы координаты x, yt z Цилиндрические координаты г, a, z Сферические координаты R, 0, а
grad ф VT дф , дф дф ex ~T~ + е? "Т- дх ду dz дф 1 дф дф бг + е - + е2 дг г да dz дф 1 дф 1 дф дЯ R дО е<х Я sin 0 да
div F, VF dFx dFn dFz дх ду dz 1 д_ (rFr) 1 д_Р« d_Fz г дг ' г да' дг 1 9 (R^) 1 О (sin 6F9) R2 dR R sin 0 50 ' , 1 Mg ~’~/?sin0 да
rot F V X F сх еу ez дх ду dz Fx Fy Fz 1 1 — ег е« — ег д д д дг да dz F rFa F r a z 1 1 1 /?2sin9 CF 7?sin0e° R &a д д d dR д9 да Fr RF$ 7?sin0Fa
div grad ср ОО СЛ И*"* Дф=^2ф д2ф д2ф д2ф дх2 ду2 "1" dz2 1 д / дф \ 1 д2ф д2ф г дг \ дг / г2 да2 dz2 1 1 _дГ 5ф\ R dR2 + R2 sin 0 50 v'” ° 50 ) 1 52<p /?2 sin20 да2 +
ЛИТЕРАТУРА
1. Книги по теоретическим основам
электротехники
1-1. Л. Р. Нейман, К. С. Демир-
чян, Теоретические основы электротехни-
ки, т. 1 и 2, изд-во «Энергия», 1966.
1-2. А. В. Нету ши л, К. М. Поли-
ванов, Основы электротехники, ч. 3, Тео-
рия электромагнитного поля, ГЭИ, 1956.
1-3. к. ш и м о н и, Теоретическая элек-
тротехника, изд-во «Мир», 1964.
1-4. A. Friihling, Cours d’electricite,
t. 1 2, Dunod, Paris, 1966.
1-5. В. А. Г о в о р к о в, С. Д. Купа-
лян, Теория электромагнитного поля в уп-
ражнениях и задачах, изд-во «Высшая
школа», 1963.
1-6. Задачник по теоретическим осно-
вам электротехники, ред. К. А. Круг,
В., Ю. Ломоносов, М. А. Перекалин,
К- М. Поливанов, ГЭИ, 1948.
2. Книги по физике и электродинамике
2-1. Р. Фейнман, Р. Лейтон,
М. С э н д с, Фейнмановские лекции по фи-
зике, Выпуски 1—9, изд-во «Мир», 1965—
1968.
2-2. Л. Д. Ландау, Е. М. Лиф-
шиц, Теоретическая физика, Гос. изд-во
технике-теорет. литературы, 1957 и след.
Разделы электродинамики изложены в
томе: Электродинамика сплошных сред, а
также в томе: Теория поля.
2-3. И. Е. Тамм, Основы теории элек-
тричества. Много изданий. В тексте ссыл-
ки относятся к изданию 1954 г. (Гос. изд-во
технике-теоретической литературы).
2-4. Я. И. Френкель, Электродина-
мика, т. 1 и 2, ОНТИ, Гос. технико-теорети-
ческое издательство, 1934 и 1935.
2-5. В. С м а й т, Электростатика и
электродинамика, Изд-во иностранной лите-
ратуры, Москва, 1954.
2-6. Дж. А. Стрэттон, Теория элек-
тромагнетизма, Гос. изд-во технико-теорети-
ческой литературы, Москва, 1948.
2-7. Г. П. X а р н в е л л, Физические ос-
новы электротехники, пер. с англ, под ред.
К. М. Поливанова, ГЭИ, 1950.
3. Отдельные вопросы теории
электромагнитного поля
3-1. а) Г. И. Скан а в и, Физика ди-
электриков, т. 1 и 2. Гос. изд-во физ.-мат.
лит., 1949, 1958.
б) А. Р. X и п п е л ь, Диэлектрики
и волны, Изд-во иностранной литературы,
1960.
в) Г. Фрёлих, Теория диэлект-
риков, Изд-во иностранной литературы.
1960.
3-2. В. К. Аркадьев, Избранные тру-
ды, АН СССР, 1961.
3-3. а) С. В. В о н с о в с к и й, Я. С. Ш и р,
Ферромагнетизм, Гос. изд-во технико-теоре-
тической литературы, 1948.
б) Е. С. Б о р о в и к, А. С., М и л ь-
н е р, Лекции по магнетизму, Харьков, изд.
Харьковского университета, 1966. .
3-4. К. М. Поливанов, Ферромагне-
тики, Госэнергоиздат, 1957.
3-5. Л. И. Р а б к и н, Высокочастотные
ферромагнетики, Физматгиз, 1960.
3-6. а) А. Г. Гуревич, Ферриты на
сверхвысоких частотах, Физматгиз, 1960.
б’) Б. Лакс, К. Баттон, Сверх-
высокочастотные ферриты и ферромагнети-
ки, изд-во «Мир», 1965.
3-7. а) И. М. Кирк о, Магнитная гид-
родинамика расплавленного металла, изд-во
«Энергия», 1964.
б) Магнитные и магнитогидродина-
мические опоры. Обзор, сост. В. Б. Метлин,
«Энергия», 1968.
3-8. Д. Шенберг, Сверхпроводи-
мость, Изд-во иностранной литературы,
1955.
3-9. И. В. Лебедев, Техника и при-
боры сверхвысоких частот, т. 1 и 2, Гос-
энергоиздат, 1961, и изд-во «Энергия», 1965.
3-10. Л. А. Арцимович, Элементар-
ная физика плазмы, Госатомиздат, 1963.
3-11. a’) F. Brown, Magnetostatic
Principles in Ferromagnetism, edit. E. P.
Wohlfarth, Amsterdam, 1963.
6) F. Brown, Micromagnetics,
New York — London, 1963.
3-12. Magnetismus. Struktur und Eigen-
schaften magnetischer Festkorper, Leipzig,
1967.
3-13. Ч. Уэрт, P. Томсон, Физика
твердого тела, Перев. с англ, под ред.
С. В. Тябликова, изд-во «Мир», • 1966.
3-14. А. Н. Morri she, The physical
principles of magnetism, 1965, Wally ser. on
the Science and Technology of Materials,
N. Y., London, 1965.
4. Математические руководства
4-1. а) Г. А. Гринберг, Избранные
вопросы математической теории электриче-
ских и магнитных явлений. Изд-во АН
СССР, 1948.
б) Г. Бухгольц, Расчет элект-
рических и магнитных полей, Изд-во иност-
ранной литературы, 1961.
4-2. О. В. Т о з о н и, Расчет электро-
магнитных полей на вычислительных маши-
нах, изд-во «Техшка», Киев, 1968.
4-3. а) А. А н г о, Математика для
электро- и радиоинженеров, изд-во «Нау-
ка», 1965.
б’) Современная математика для
инженеров, ред. Э. Ф. Беккенбах, Изд.-во
иностранной литературы, 1958.
в) Ф. М. Морс, Г. Ф е ш б а х,
Методы теоретической физики, Изд-во
иностранной литературы, 1958.
г) Э. Маделунг, Математиче-
ский аппарат физики, Физматгиз, 1961.
4-4. а) Н. М. Рыжик, И. С. Г р а д -
штейн, Таблицы интегралов сумм, рядов
и произведений, Гос. изд-во технико-теоре-
тической литературы, (3-е изд.), 1951.
б) Г. Б. Д в а й т, Таблицы интег-
ралов и другие математические формУлы»
Гос. изд-во иностранной литературы, 1948.
Есть другие издания.
в') Е. Янке, Ф. Э м д е, Таблицы
функций с формулами и кривыми, Физмат-
гиз, 1959
Опечатки
Стра- ница Столбец Строка Напечатано Должно быть
52 правый 4 сверху ~ у юро
(OpQit
74 Рис. , 2-27,а Стрелки в нижней части рисунка должны быть направлены в противоположную сторону
122 Левый 4 снизу (у В — о3) —и2)
152 левый формула (4-1206) L0-=ReP* X Е = Р X E - L Lo =s= 4- Re Р* X Ё = Р* X
L = РЕ sin т| е2; X Ё = РЕ sin 1] ег;
формула (4-1216) . Lo ~ ReM* X В. Lo = “-ReM* X В.
153; правый 24 сверху L == FRe М* X В0} Lo Re М* X Во t
Ж левый 14 сверху ВН < Л/Rs ВН < AR^
332 правый 15 сверху /S*' •
Зек. 476