Курс гравиразведки. - Миронов В.С.

Author: Миронов В.С.

Tags: прикладная геология и геофизика геологические методы поисков и разведки интерпретация результатов физика геология

Year: 1980

Similar

Теоретические основы обработки геофизической информации

Разведочная геофизика

Поиски и разведка месторождений полезных ископаемых

Инженерная геология для строителей

Text

В. С. Миронов
КУРС
ГРАВИРАЗВЕДКИ
Издание второе,
переработанное и дополненное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов вузов,
обучающихся по специальности
«Геофизические методы поисков и разведки
месторождений полезных ископаемых»
Ленинград „Недра"
Ленинградское отделение
1980
УДК 550.831 (075.8)
Миронов В. С. Курс граииря аведки. 2-е изд., перераб. и доп.—Л.:
Недра, 1980. — 543 с.
В книге рассмотрены теоретические основы гравитационной разведки, свой-
ства гравитационно! о потенциала и его производных, гравитационное поле
Земли; изложены принципы измерения элементов гравитационного поля; опи-
саны гравиметрические приборы, методика и техника гравиметрических изме-
рений; лапы принципы и методы геологической интерпретации гравитационных
аномалий, способы разделения гравитационного поля на составляющие; приве-
дены примеры применения гравиметрического метода при геологическом карти-
ровании, поисках и р.т всдке различных полезных ископаемых.
При подготовке второго издания книги были по возможности учтены дости-
жения в приборостроении, методике измерений и интерпретации гравитационных
аномалий.
Киша является учебником для студентов вузов, обучающихся по специаль-
ности «Геофизические методы поискан и разведки месторождений полезных иско-
паемых». Она может быть использована также инженерно-техническими работ-
никами геологе-геофизических организаций, занимающихся гравиметрическими
исследованиями.
Табл. 29, ил. 213, список лит. 22 назв.
Рецензент — кафедра геофизических методов исследования земной коры
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
20804—306
М 043(01)—80
104—80 19W05000U ©
Издательство «Недра», 1980
j Л*2ЮЫв» ода* f(
ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В годы, прошедшие со времени первого изда-
ния «Курса гравиразведки» (1972 г.), продолжалось развитие как
техники и методики измерений гравитационного поля, так и мето-
дов геологической интерпретации гравитационных аномалий. Это
потребовало существенного пересмотра отдельных глав книги.
В частности, более детально изложены вопросы абсолютных изме-
рений силы тяжести методом свободного падения, выбора плот-
ности промежуточного слоя при редуцировании, применения
вероятностно-статистического аппарата при интерпретации
гравитационных аномалий.
Некоторые разделы подверглись сокращению. Это касается,
например, способов измерения вторых производных гравитацион-
ного потенциала. Полностью исключить этот вопрос было бы не-
целесообразно, несмотря на тот факт, что производство варио-
метрической аппаратуры практически прекращено. При совре-
менном уровне техники вполне возможно создание портативных
высокопроизводительных гравитационных градиентометров,
потребность в которых давно назрела. В ряде стран уже ведутся
разработки такой аппаратуры.
В новом издании книги автор сохранил стиль и последователь-
ность изложения первого издания как наиболее методически
оправданные и проверенные на практике. Были исправлены опе-
чатки и неточности и учтены замечания и пожелания, высказанные
в отзывах на предыдущее издание.
г
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Учебное пособие составлено на основе лек-
ций, читаемых автором на геологическом факультете Ленинград-
ского университета студентам-геофизикам в соответствии с про-
граммой курса «Гравиразведка», утвержденной для подготовки
геофизиков по специальности «Геофизические методы поисков
и разведки месторождений полезных ископаемых».
В книге автор стремился показать все стороны гравиразведки.
Книга состоит из четырех разделов, в которых изложены теория
гравитационного поля Земли, методы измерения силы тяжести
и вторых производных гравитационного потенциала, геологи-
ческое истолкование гравитационных аномалий и различные
аспекты применения гравиразведки в геологии.
Параллельно с лекциями проводятся лабораторные и практи-
ческие занятия, поэтому в книге дано довольно детальное описа-
ние гравнразведочной аппаратуры, настройки и наблюдений с ней,
практические приемы интерпретации гравитационных аномалий.
При составлении курса автор использовал существующие
учебники и учебные пособия по отдельным вопросам гравираз-
ведки, журнальные статьи и монографии.
Вполне естественно, что в книге, охватывающей все аспекты
гравиразведки, возможны отдельные упущения и ошибки. По-
этому автор заранее благодарен читателям за критические замеча-
ния, которые помогут улучшить содержание книги. Все замеча-
ния автор просит направлять по адресу: 199164, Ленинград,
В-164, Ленинградский государственный университет
им. А. А. Жданова, кафедра геофизических методов разведки
геологического факультета.
ВВЕДЕНИЕ
Гравиразведка — это сокращенное название
разведочной гравиметрии, или гравитационной (гравиметриче-
ской) разведки. Гравиразведка является одним из методов иссле-
дования геологического строения верхних частей Земли, поисков
и разведки полезных ископаемых. Она основана на изучении
свойств поля притяжения, источником которого являются массы
горных пород. На земной поверхности поле притяжения склады-
вается с полем центробежной силы, образуя поле силы тяжести,
или гравитационное поле. В разведочной гравиметрии приходится
использовать результаты измерений этого суммарного поля.
По объекту изучения гравиразведка является составной частью
более общей науки — разведочной геофизики, одной из приклад-
ных наук о Земле. По методу исследования (изучение физического
поля) гравиразведка является частью науки об измерении силы
тяжести — гравиметрии (от латинского gravitas — тяжесть и гре-
ческого ретресо — измеряю).
Следует отметить, что в настоящее время в понятие «грави-
метрия» вкладывают более широкий смысл: к гравиметрии относят
все вопросы научного и практического приложения результатов
измерения силы тяжести, используемых в различных отраслях
знания. В частности, оформилась как самостоятельная дисциплина
геодезическая гравиметрия, привлекающая результаты грави-
метрических измерений для исследования фигуры Земли.
Сила тяжести есть сила, с которой любое тело притягивается
к Земле. Начало экспериментальному изучению силы тяжести
было положено Г. Галилеем, проводившим опыты над падением
тел под действием силы тяжести. Он показал, что мерой силы
тяжести является ускорение, которое сила тяжести сообщает
свободно падающему телу. В 1590 г. Г. Галилей определил чис-
ленное значение ускорения свободного падения. В честь Г. Гали-
лея внесистемная единица ускорения (1 см в 1 с за 1 с) названа
гал.
В 1673 г. X. Гюйгенс установил, что сила тяжести может быть
определена из наблюдений за периодом качания маятника. Изме-
рени я силы тяжести того времени не отличались высокой точ-
ность ю и использовались в основном для оценки численного зна-
5
чоиия этой коштаи гы, поскольку прстполш алось, что сила тя-
жести па земной поверхности всюду нос гияпнл.
Первое свидетельство изменении i илы i и мч in с широтой было
получено в 1672 г. французским астрономом Ж. Рише, который
установил, что маятниковые часы отстают в низких широтах.
Правильное толкование этому факту дал II. Ньютон в 1687 г.
в третьем томе своего классического труда «Математические начала
натуральной философии». В этой работе И. Ньютон сформулиро-
вал закон всемирного тяготения и сделал попытку теоретически
определить фигуру Земли. Этим было положено начало грави-
метрии. Интерес к результатам измерения силы тяжести особенно
возрос со стороны астрономов и геодезистов после того, как
в 1743 г. А. Клеро показал возможность найти сжатие Земли по
гравиметрическим данным и вывел формулу изменения силы тя-
жести на земной поверхности.
Мысль о связи силы тяжести с внутренним строением Земли
впервые высказал М. В. Ломоносов. В 1753 г. он пытался постро-
ить прибор для регистрации вариаций силы тяжести во времени.
Развитию знаний о гравитационном поле способствовали ра-
боты К. Маклорена, П. Лапласа, А. Лежандра, С. Пуассона,
К- Гаусса, Д. Стокса, Д. Грина и других ученых, создавших
теорию потенциала физического поля, которая явилась теорети-
ческой основой не только гравиметрии, но и многих других отрас-
лей физики. Одновременно совершенствовались и методы измере-
ния силы тяжести. Усилиями Ф. Бесселя, X. Катера, Р. Штернека
маятники были превращены в приборы, позволяющие определять
силу тяжести с точностью до 10“8 ее значения.
В 1849 г. Д. Стокс доказал теорему, носящую теперь его имя,
которая позволяет находить фигуру Земли, используя только
гравиметрические наблюдения и не делая никаких предположений
относительно ее внутреннего строения. В 1887 г. па основе обобще-
ния гравиметрических измерений Ф. Гельмерт впервые вывел
формулу нормального распределения силы тяжести на земной
поверхности.
Создание в 1881 г. Р. Штернеком маятникового прибора для
относительных определений позволило перейти к массовым изме-
рениям силы тяжести, детальному изучению распределения ее
на земной поверхности. Накопленные сведения дали возможность
не только решать геодезические задачи, но и приступить к изуче-
нию внутреннего строения Земли. В 1872 г. И. И. Стебницкий
указал на связь уклонений отвеса в Восточном Закавказье с по-
гребенными массами, а в 1888 г. Ф. А. Слудский при изучении
гравитационной аномалии в районе Москвы определил глубину
залегания возмущающих масс, создающих эту аномалию.
Применению гравиметрии для решения геологических задач
способствовало изобретение венгерским физиком Р. Этвешем
в 1896 г. гравитационного вариометра, предназначенного для изме-
рения горизонтальных составляющих градиента силы тяжести
6
и кривизны уровенной поверхности. В 1902—1909 гг. Р. Этвеш
этим прибором выполнил первые измерения на Венгерской рав-
нине с геологической целью. Гравиметрические измерения для
геологии стали особенно широко применять после первой мировой
войны. В 1918 г. В. Швейдар использовал гравитационный варио-
метр для исследования солянокупольных структур в Германии,
с 1922 г. начинается применение вариометров в США.
В СССР внедрение гравиметрического метода разведки связано
с работами Особой комиссии по изучению Курской магнитной
аномалии, созданной в 1919 г. по инициативе В. И. Ленина.
Комиссия объединила ученых, которые стали основоположни-
ками разведочной геофизики в СССР: это — П. П. Лазарев,
П. М. Никифоров, А. А. Михайлов, Л. В. Сорокин, Г. А. Гамбур-
цев и др. С 1921 г. маятниковая и вариометрическая съемки про-
водились в районе КМА для поисков железистых кварцитов.
Положительные результаты работ способствовали широкому при-
менению гравиметрического метода и для решения других геоло-
гических задач.
В 1923 г. по инициативе геофизиков Горного института в Ле-
нинграде был организован первый в СССР научно-исследователь-
ский геофизический институт — Институт прикладной геофизики
(ИПГ), в котором работала группа гравиметристов под руковод-
ством Б. В. Нумерова: Н. Н. Михайлов, Н. Н. Самсонов, Н. Н. Че-
репанов, Э. Э. Фотиади и др. Научно-исследовательские работы
проводились как по конструированию гравиметрической аппара-
туры, так и по теории метода, истолкованию результатов наблюде-
ний, методике съемки.
Первые отечественные маятниковые приборы были созданы иод
руководством С. Е. Александрова в 1927 г. в Астрономическом
институте (Ленинград). В дальнейшем их разработкой занималась
группа Л. В. Сорокина в Государственном астрономическом ин-
ституте им. П. К- Штернберга (ГАИШ). Здесь же была разработана
маятниковая аппаратура для морских наблюдений, которые про-
водились на Черном, Каспийском, Охотском, Баренцевом и Япон-
ском морях.
Первые отечественные вариометры были созданы в ИПГ
в 1925 г. (П. Н. Никифоров). В дальнейшем они постоянно совер-
шенствовались. Начиная с 1935 г. был налажен серийный выпуск
гравитационных вариометров на заводе «Геологоразведка»
(М. Е. Абельский, С. А. Поддубный, С. К. Гирин). В 1955 г.
С. А. Поддубный разработал быстродействующий гравитационный
градиентометр, производительность которого была во много раз
выше, чем у вариометров.
Важное значение для упорядочения всех гравиметрических
исследований в СССР имело постановление Совета труда и обороны
от 20 сентября 1932 г. о проведении общегосударственной маятни-
ковой съемки. Этим постановлением определялась густота сети
(1 пункт на 1000 км2) и очередность районов съемки. К 1939 г.
7
г
была шкопчена маятниковая съемка европейской части СССР,
некоторых районов Западной Сибири и Средней Лани. Результаты
определений силы тяжести использовались для решения задач
региональной геологии, тектонического районирования геосинкли-
нальиых и платформенных областей (А. Д. Архангельский,
В. В. Федынский, Е. 11. Люстих и др.).
Первые работы по конструированию гравиметров были начаты
А. А. Михайловым в 1933 г. в ГАИШ. В Центральном научно-
исследовательском институте геодезии, аэросъемки и картогра-
фии (ЦНПИГАиК) М. С. Молоденский предложил конструкцию
металлического гравиметра, окончательная доводка которого была
завершена во Всесоюзном научно-исследовательском институте
геофизических методов разведки (ВНИИГеофизика) A. М. .Лозин-
ской, Л. В. Калишевой, П. И. Лукавченко, В. В. Федыиским и др.
В дальнейшем конструированием гравиметров занимались не-
сколько институтов: ВНИИГеофизика, Всесоюзный институт раз-
ведочной геофизики (ВИРГ). Институт физики Земли (ИФЗ АН
СССР).
В 1947 г. в ВИРГ был создан кварцевый гравиметр с жидко-
стной температурной компенсацией (С. А. Поддубный, Н. Н. Сам-
сонов), в 1950—1951 гг. во ВНИИГеофизике — кварцевый аста-
зированный гравиметр (К.. Е. Веселов, П. И. Лукавченко), на
основе которого завод «Геологоразведка» начал серийный выпуск
гравиметров ГАК.-ЗМ. Этот прибор послужил основой для раз-
работки целой серии более совершенных кварцевых гравиметров,
обладающих высокой точностью: ГАК-ПТ, ГАК-7Т и др.
К началу 50-х годов относятся работы по использованию
гравиметров для наблюдений на море. Создаются специальные
донные гравиметры (А. М. Лозинская, П. И. Лукавченко, В. В. Фе-
дынский, К- Е. Веселов), надводные приборы (К- Е. Веселов,
Е. И. Попов, Л. П. Смирнов и Др.), совершенствуется маятниковая
аппаратура для морских наблюдений (М. Е. Хейфец, С. Е. Алек-
сандров и др.). Проводятся также экспериментальные работы по
измерению силы тяжести с борта самолета (Ю. Д. Буланже,
Е. И. Попов, А. М. Лозинская и др.). Параллельно с совершен-
ствованием гравиметрической аппаратуры развивались методика
гравиметрических измерений с аппаратурой различных типов,
способы эталонирования, обработка результатов наблюдений.
Создание статических гравиметров позволило резко поднять
производительность и повысить точность измерений, что значи-
тельно расширило круг задач, решаемых гравиметрическим мето-
дом. Уже в 50-х годах стала возможной планомерная гравиметри-
ческая съемка масштаба 1 : 200 000. На отдельных площадях
проводится съемка масштаба 1 : 50 000 и крупнее. В перспективных
районах для поисков рудных тел выполняются гравиметрические
исследования в горных выработках (подземная гравиразведка).
Методы интерпретации гравитационных наблюдений и теорети-
ческие основы разведочной гравиметрии изложены в трудах
8
П. М. Никифорова, Б. В. Нумерова, Г. А. Гамбурцева, А. А. За-
морева, Н. Р. Малкина, Б. А. Андреева, А. К- Маловичко и дру-
гих ученых. На основе этих исследований решены задачи геологи-
ческого истолкования гравитационных аномалий. Назовем не-
которые из них.
Расчет гравитационного эффекта тел заданной формы, опре-
деление положения, формы и размеров тела по результатам грави-
метрических измерений рассматриваются в работах Г. А. Гамбур-
цева, Д. С. Микова, А. А. Непомнящих, О. Н. Шванка, А. А. Юнь-
кова, К- Ф. Тяпнина, А. К. Маловичко и др.
Разделение гравитационного эффекта нескольких тел, выра-
жение одних характеристик гравитационного поля через другие,
трансформации поля приводятся в трудах А. Н. Тихонова,
Ю. Д. Буланже, А. К- Маловичко, И. Г. Клушина, К. В. Гладкого,
Н. Р. Малкина, В. Н. Страхова, Б. А. Андреева и др.
Привлечению аппарата функций комплексного переменного
для интерпретации гравитационных аномалий посвящены ра-
боты С. В. Шалаева, В. Н. Страхова. Использование методов
интегральных преобразований, а также теории случайных функ-
ций рассматривается в работах К. В. Гладкого, И. Г. Клушина,
М. Г. Сербуленко, С. С. Серкерова, Л. А. Халфина и др.
В методику комплексной интерпретации результатов гравита-
ционных и других геофизических и геологических исследований
значительны?! вклад внесли А. Д. Архангельский, В. В. Федын-
ский, Ю. Н. Годин, Э. Э. Фотиади, Б. А. Андреев, С. И. Субботин
и др.
В настоящее время гравиразведка широко применяется при
решении самых разнообразных геологических задач, она является
одним из основных методов разведочной геофизики при реги-
ональных исследованиях, играет важную роль при поисках и
разведке различных полезных ископаемых. Особенно велико ее
значение при поисках месторождений нефти и газа, хромитов,
железных руд.
Дальнейшее развитие гравиразведки связано с совершенство-
ванием гравиметрической аппаратуры, повышением ее точности
и надежности, с автоматизацией процессов измерения и обработки
полученных материалов, созданием новых и улучшением уже
известных методов геологического истолкования гравитационных
аномалий, с рациональным комплексировапием разведочной грави-
метрии и других геофизических методов при решении конкретных
геологических задач.
f
Раздел I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
Глава 1
СИЛА ПРИТЯЖЕНИЯ И ЕЕ
ПОТЕНЦИАЛ
Сила притяжения
Сила тяжести g, распределение которой па
земной поверхности изучает гравиметрия, в каждой дайной точке
есть равнодействующая силы ньютонова притяжения F всей массы
Земли и центробежной силы С, вызванной вращением Земли
вокруг своей оси (рис. 1.1):
g = F + C. (1.1)
По сравнению с силон притяжения центробежная сила мала,
опа не связана с распределением масс в Земле и легко может быть
учтена. Основную компоненту силы тяжести составляет сила
притяжения, к рассмотрению которой мы и обратимся.
Согласно закону всемирного тяготения Ньютона две точечные
массы т и «Zj, расположенные на расстоянии г одна от другой,
взаимно притягиваются с силой
f = k (mm^r-), (1.2)
где k — гравитационная постоянная.
В системе СГС k = 6,673 10“8 см3/(г с2), в системе СИ k —
= 6,6720(41) 10 11 Н (м2/кг2) - - 6,6720(41) 10-11 м3/(кг с2), раз-
мерность dim k = LaM 1Т'2.
Сила притяжения, действующая на единичную массу, предста-
вляет собой напряженность поля притяжения и численно равна
ускорению, сообщаемому этой массе. Сила притяжения отличается
от ускорения только размерностью (размерность силы LMT~2,
размерность ускорения 7.Т'2). В точке с массой т, = 1 напряжен-
ность поля, обусловленного притяжением массы т, равна
F = k (т/г2).
(1-3)
10
Напряженность поля притяжения в
гравиметрии называют силой притяже-
ния или притяжением. Для краткости
термин «сила притяжения» сохраняется
и за ускорением, обусловленным силон
притяжения.
Сила притяжения представляет со-
бой вектор, направленный от притя-
гиваемой точки (с массой 1) к притя-
гивающей точке (массе).
Единица силы в системе СИ — нью-
тон [кг (м/с2)], в системе СГС—дина Р«с. 1.1. Силы тяжести g,
[г (см/с2) I; 1 дина = 10-Н. притяжения F и цептро-
п ' беж на я С.
В качестве единицы ускорения в
системе СИ принимается такое уско-
рение, которое получает масса 1 кг под действием силы 1 И, т. с.
[g] = 1 Н/1 кг — 1 м/с2.
Эту единицу на XV ассамблее Международного союза
геодезии и геофизики в 1971 г. было предложено называть
галилео (сокращенно G1 или Гл) в честь Г. Галилея, первым
измерившего ускорение свободного падения. Галилео—еди-
ница очень крупная: полное значение ускорения свободного па-
дения на Земле составляет 9,8 Гл. В гравиметрии более ши-
роко используется единица ускорения, называемая гал (также
в честь Г. Галилея). Гал—это ускорение, развиваемое массой
1 г под действием силы 1 дина: т. е. 1 гал 1 см/с2 10 2 Гл—
= 10 2 м/с2.
Для практических целей гал — единица также очень большая.
Поэтому обычно используют единицы более мелкие: миллигал
(мгал) и микрогал (мкгал); I мгал = 10-3 гал = 10® Гл =
= 10'® м/с2, 1 мкгал == 10’в гал = 10's мгал = 10“8 Гл =
= 10'8 м/с2.
Было предложено также применять единицу микрогалилео:
1 мкГл = Ю'в Гл = 10'* гал = 10'1 мгал = 1О'В м/с2.
В настоящее время наиболее широко распространенной еди-
ницей является миллигал. Но стандартом СЭВ 1052—78 его при-
менение допускается только до 1 января 1980 г. После этого срока
обязательной становится единица ускорения в системе СИ, т. е.
метр на секунду в квадрате. Чтобы облегчить сопоставление
материалов (карт, графиков), выраженных в разных единицах
(мгал, м/с2), примем за единицу измерения 10'® м/с2. Тогда
0,1 мгал = 0,1 • 10'® м/с2, 1 мгал = 110'® м/с2; 10 мгал = 10 X
X 10'® м/с2, т. е. первый сомножитель показывает значение уско-
рения в миллигалах.
Рассмотрим силу притяжения массы, распределенной в не-
котором объеме с плотностью а = о (|, ц, Q (рис. 1.2). Поместим
в точку В с координатами х, у, z массу, равную единице. В точке А
с координатами £, ц, £, находящейся в объеме v притягивающего
11
тела, выделим элементарную массу dm. Сила притяжения массы
dm в точке В
dF = k
dm
~r^~ ’
(1.4)
где
г- I х)'2 + (Г) - //) I ((, ?)-.
Проекции силы dF па оси ,v, у, г получим, умножив силу dF
на косинусы углов, которые образует вектор dF с осями координат:
dFx - dFcos(dF, x).-k j
dFtl = dF cos (dF, y) = k -%- ’ (1.5)
dF2 = dF cos (dF, z) = k !—. _L=_L. j
Сила притяжения F в точке В (х, у, z) всей массы, распределен-
ной в объеме v, может быть найдена интегрированием выражения
(1.4) по всему объему притягивающего тела. Аналогично получим
составляющие силы F по осям х, у, г:
F^k\^dm- F^k\^dnv, Fz^k\^-dni, (1.6)
ООО
где
dm — о di, dr\ di,.
Выражения (1.6) являются производными по х, у, z функции
U = k\(l/r)din, (1.7)
V
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием
функции U по координатам х, у, z:
= k $l=dLdm = Fx.
V
Рис. 1.2. Расположение притягива-
ющихся точек.
Аналогично могут быть полу-
чены две другие производные.
Таким образом,
Fx = dU/dx; Fy = dU/ду-
Fz = dU!dz. (1.8)
Функция U имеет то свойство,
что ее частные производные по
19
координатам притягиваемой точки рав-
ны составляющим силы притяжения
по ссответствующим осям координат.
Функции, обладающие таким свойством,
называются потенциальными. Функцию
U будем называть потенциалом при-
тяжения или гравитационным потен-
циалом. Выражение (1.7) определяет
потенциал притяжения масс, распре-
деленных внутри объема и, и является,
таким образом, объемным потенциа-
Рис. 1.3. Потенциал двой-
ного слоя.
лом.
Если допустить, что притягивающие массы расположены
только на поверхности 3 в виде слоя малой толщины h, то в этом
случае элементарная масса dm = о!г dS, где dS — элемент поверх-
ности 3. При этих условиях интеграл (1.7) примет вид
U = k [ о’(1/г) h dS.
s
Пусть при h -> 0 плотность о -> оо, но так, что
lim (о/г) = ц,
/1->0
где р есть конечная и непрерывная функция координат точки А
на поверхности 3. Тогда
U = k J р (l/г) dS.
s
Полученное выражение определяет потенциал простого слоя.
Функция [1 называется поверхностной плотностью простого слоя.
Пусть теперь на поверхности 3 распределен простой слой
с положительной поверхностной плотностью фр (рис. 1.3). На
расстоянии / по нормали от поверхности 5 расположена поверх-
ность 317 на которой распределен простой слой с поверхностной
плотностью —р так, что в точках этих слоев, находящихся на
одном отрезке нормали, плотности слоев равны по абсолютному
значению. Тогда сумма потенциалов двух простых слоев
U 4- = ( Р (1/г) dS - [ р (1/rJ dSr.
s s,
Имея в виду малость величины I по сравнению с расстояниями г
и можно считать dS dSt и
1 1 __ rt — г I cos <р _ / cos (п, г) _ д / 1 \ .
г гг ~ г Ci г2 — г2 ~ дп \ г ) '
Тогда
17 I и,.«J А 0.)^
13
Если теперь положить, что при I —> 0 произведение р/ стре-
мится к конечному, отличному от нуля пределу v, который назовем
плотностью двойного слоя, то получим потенциал двойного слоя:
S S
ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Для выяснения физического смысла потенциала притяжения
найдем его приращение dU при перемещении массы из точки В
с координатами х, у. z в точку В' с координатами х dx, у dy,
z + dz (рис. 1.4). Это приращение можно выразить через частные
производные от функции U:
dU = ^Ldx-\--^-dy-\-^-dz. (1.9)
дх 1 ду J 1 дг ' '
Обозначая косинусы углов, составленных направлением пере-
мещения s с координатными осями х, у, z, соответственно через
cos (s, х), cos (s, у), cos (s, z), а расстояние между точками В и В'
через ds, получаем
dx — ds cos (s, x);
dy = ds cos (.s, y);
dz ds COS (S, z).
(1.10)
Используя формулы (1.8) и (1.10), приводим выражение (1.9)
к виду
dU = ds [/•’, cos (s, x) Д Fy cos (s, y) -|- Fz cos (s, z)J.
Заменяя Fx, F,., Fz на F cos (F, x), F cos (F, y), F cos (F, z),
представляем
dU = F ds\cos(F, x)cos(s, x)-J-cos (F, //)cos(s, y) \
COS(/’, z)cos(s, z)|.
Рис. 1.4. Перемещение притягиваемой
точки в пространстве.
Так как выражение в квад-
ратных скобках равно cos (F, s),
получаем
dU — F cos (F, s) ds
или
dU = Fsds, (1.11)
где Fs — проекция силы притя-
жения на направление з.
14
Правая часть формулы (1.11) представляет собой произведение
силы Fs на путь ds, что равно работе. Таким образом, приращение
потенциала равно работе, которая производится действующей
силой для преодоления силы притяжения, создаваемой притяги-
вающей массой, при перемещении единичной массы из одной
точки в другую.
Отсюда следует, что
в
L/ = j F5 ds,
со
т. е. потенциал притяжения для некоторой точки В пространства
есть работа, которую совершают силы притяжения, обусловлен-
ные притягивающим телом, при перемещении под их действием
единичной массы из бесконечности в эту точку.
Уравнение (1.11) можно записать в виде
dU/ds = Fs. (1.12)
Таким образом, производная потенциальной функции по лю-
бому направлению равна составляющей силы по этому направле-
нию. Соотношения (1.8) являются частным случаем этого общего
свойства потенциальной функции.
Если направление s перпендикулярно к направлению силы F, то
cos(F, s) = 0; dU/ds = Fs = 0,
откуда
(У = с = const. (1-13)
Это выражение представляет собой уравнение эквипотенциаль-
ной (уровенной) поверхности, обладающей тем свойством, что
в любой ее точке сила притяжения направлена по нормали к этой
поверхности, а касательные составляющие силы равны нулю.
Значение силы на эквипотенциальной поверхности в общем случае
не является постоянным. Если направления s и F совпадают, то
cos (F, s) — 1 и
dUlds-=F. (1.14)
Величина ds в этом случае представляет собой расстояние
между двумя эквипотенциальными поверхностями U\ — с и U2 =
= с dU. Из формулы (1.14) следует, что расстояние между двумя
уровенными поверхностями обратно пропорционально действу-
ющей силе: если сила притяжения на участке уровенной поверх-
ности возрастает, то расстояние между поверхностями умень-
шается, и наоборот.
Поскольку приращение потенциала dU при переходе с одной
уровенной поверхности на другую постоянно и не зависит от
положения точки па этой поверхности, то приращение dU не
зависит от пути движения точки, а является функцией только
15
конечных точек перемещения. Отсюда следует, что приращение
потенциала dU по замкнутому контуру равно пулю.
Потенциал притяжения U является функцией, регулярной на
бесконечности, т. е.
liin (И/) -ЛМ, (1.15)
Z > Л»
где М — масса тела, создающего потенциал U.
При г -> с.о потенциал U обращается в нуль:
1- и f С dm J dm ,. М ...
Jim и ~ Iim — = lini ---------= um — — 0.
Г->ео Г>яо ** Г г Г Г >00 Г
Для доказательства равенства (1.15) запишем потенциал в точке
В, создаваемый по-разному распределенной массой М:
U k I (1/r) dm
V
— масса М распределена в объеме v;
L\ = k J (l/rj dm
V
— масса Л4 сосредоточена в точке объема v, ближайшей к точке В;
= k j" (1/га) dm
V
— масса M сосредоточена в точке объема V, наиболее удаленной
от точки В.
В этих формулах /у и га — соответственно расстояния от точки
В до ближайшей и самой удаленной от нее точек тела.
Тогда можно написать
V V V
или
k(M/r2)<U<k(M/ri).
Умножая это неравенство на г и переходя к пределу, получаем
lim (гД) Ш,
Г->оо
поскольку
lim (r/r2) lim (г/гх) ~ 1.
Г -> со Г~> сю
При рассмотрении основных свойств потенциальной функции
мы основывались только на общих выражениях (1.8) и (1.9),
справедливых для любых сил, имеющих потенциальную функцию,
16
Поэтому приведенные нами свойства справедливы не только для
сил притяжения, но и для всех других сил, для которых суще-
ствует потенциальная функция.
ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛА
ПРИТЯЖЕНИЯ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Первые производные потенциала притяжения U по х, у и z
есть проекции силы притяжения на эти оси. Выясним физический
смысл вторых производных потенциала силы притяжения. По-
скольку потенциал U есть функция трех независимых переменных,
то он имеет шесть вторых производных:
94J дги дЧУ дгЦ д2Ц д-Ц
дх2 ’ ду* ’ дг* ’ дх ду ’ ду дг ’ дх дг
пли
и.ы, иуу, игг, и ху, иуг, ихг.
Производные U„, Uxy, UyS) определяют форму уровенной
поверхности в данной точке (рис. 1.5). Возьмем на этой поверх-
ности точку О и примем ее за начало координат, ось z направим по
нормали к уровенной поверхности. В этом случае координатная
плоскость хОу будет касательной плоскостью к уровенной поверх-
ности в точке б. Если через нормаль к уровенной поверхности
провести ряд плоскостей, то получим несколько так называемых
нормальных сечений уровенной поверхности, каждое из которых
будет плоской кривой. Угол, составленный какой-либо из секу-
щих плоскостей с координатной плоскостью хОг, обозначим через
ф. В дифференциальной геометрии известно выражение кривизны
1/р<Р нормального сечения в данной точке:
1/рф = г cos2 ср -ф- 2s sin ф cos ф ф- I sin2 ф,
где г, s, t — соответственно производные д2г!дхъ, (Fz/dx ду, d'z'dty,
если уравнение поверхности задано в виде
z = f(x, </) 0-16)
В нашем случае уравнение эквипотенциальной поверхности
имеет вид
U (х, у, z) = const, (117)
поэтому его надо преобразовать.
Дифференцируем это уравнение дважды по х, считая z функ-
цией X и у.
dU , dU дг „
дх ’’ дг ' дх ~ J’
d4J , дЧ/ дг дЧ/ f дг у <9аг л
дх3 ' дх дг дх ' дг3 \ дх ) дг дх3 ' ’ • ’
Поскольку координатная плоскость хОу является касательной
к уровенной поверхности, в начале координат имеем
дг/дх = 0; дг/ду ^0; dU/dz^U^.
Из равенства (1.18) получаем
Аналогичным образом, дифференцируя выражение (1.17) по х
и у, находим
s = (1.20)
дх ду иг - v
Дифференцируя выражение (1.17) дважды но у, имеем
z = .су- = ~ 77? UylJ' ^’21^
Получив выражения для г, s и Л определим кривизну нормаль-
ного сечения
1/Р.р = — (1Д4) (^ЛЛ- cos2 <р ф- Uiy sin 2ф + sin2 <р). (1.22)
Положив ф = 0 или л/2, получим нормальные сечения, совпа-
дающие с координатными плоскостями хОг и уОг:
l/Pxz = -(l/(/z)(/AA; 1/Рг,г = -(1/Пг)(/да. (1.23)
Среди бесчисленного множества нормальных сечений, определя-
емых уравнением (1.22), имеются два особых сечения: с мини-
мальной и максимальной кривизной. Эти сечения называются
главными нормальными. Чтобы найти их азимуты, надо решить
уравнение
18
(1.27)
Для этого Дифференцируем правую часть уравнения (1.22),
приравниваем ее нулю и решаем относительно <р. Обозначим иско-
мое значение ф через <р0. После дифференцирования получаем
—Uхх sin 2<р0 Д 2(7ед cos 2ф0 Д- ULIy sin 2<p0 = 0; (1.25)
tg2cpe = -2t/A.,/t/A, (1.26)
где
Из выражения (1.26) находим два значения угла <р0> различа-
ющиеся на л/2, это ф0 н ф0 Д л/2. Определим, какое из этих
решений дает нормальное сечение с максимальной кривизной
и какое — с минимальной. Пусть углом <р0 определяется сечение
с максимальной кривизной. Радиус максимальной кривизны
обозначим ртач, а минимальной рт1п. Вычислим значения кривизн
1/ртах и 1/pmin- Для этого в уравнение (1.22) подставим последова-
тельно фс и Фо I’ л/2. Тогда
1 /Ртах - — (1 /Уг) (Uxx COS3 ф0 -)- Uia sin 2ф0 Д- Um sin2 ф0); j
1/Ptntn == (l/C72-)(C/irsin3ip0 -t/VJ/sin2<r0 I //„,cos2(p(1). I
Найдем разность кривизн:
!----—— = -rj- (—UXIC cos 2фа - Чиху sin 2<p0 Д- Uuy cos 2<p0),
Ртах P min u г
ИЛИ
1/pmax— l/prala = (l/L/2)(t/Acos2<p0 — 2ВД, sin 2ф0). (1.28)
Из равенства (1.26) имеем
—2t/^ = t/Atg2<p0.
Подставляя значение —2Uxy в формулу (1.28), получаем
U г (1 Ртах 1/pinln) ~ Ь 8вс2ф0, (1.29)
Последнее равенство позволяет выбрать угол <р0 соответству-
ющим образом. Действительно, если 1/ршах есть максимальная
кривизна нормального сечения, то разность 1/ргаах — l/pmln поло-
жительна и произведение Иг (1/рт„ — 1/р[П,п) также положительно.
Отсюда следует, что и произведение (7дзес2фо тоже положитель-
но, т. е. для ф0 нужно взять квадрант, в котором cos 2ф0 имеет тот-
же знак, чго и Йд.
Величина
R(1/Pmax 1/Ртт)
19
называется вектором разности кривизн или вектором кривизны
и характеризует уклонение данной уровенной поверхности от
сферической; для сферы R 0. Соответственно величины
1/д =/?cos2(|>0 и 2UXU /?sln2<|ll
называются составляющими вектора кривизны. Очевидно, что
R = ^Ul+ (2l/w)2 •
Таким образом, производные Uxx, Um и Ux!/ определяют раз-
ность кривизн главных нормальных сечений уровенной поверх-
ности и их азимуты.
Рассмотрим физический смысл трех остальных вторых произ-
водных потенциала силы притяжения.
Производная U„ может быть представлена следующим
образом:
,, _ д_ ( дЦ_\ _ дЦ^
~~ дг \ дг / ~ дг ’
Так как ось г направлена по нормали к уровенной поверхности,
то U22 есть производная силы притяжения по вертикали, она
называется вертикальной составляющей градиента силы при-
тяжения.
Две другие производные UXz и UUl могут быть представлены
следующим образом:
.._____д / dU \ дЦг ' ,,____д f dU \ dU2
хг дх \ дг ) дх ’ иг ду \ дг ) ~ ду ’
т. е. эти производные являются составляющими градиента силы
притяжения в горизонтальной плоскости.
Геометрическая сумма этих двух векторов равна вектору
dUJds, характеризующему значение и направление наибольшего
изменения силы притяжения в горизонтальной плоскости. Длина
вектора dUJds вычисляется из равенства
диг1д.^уи2хг + и2уг,
его азимут относительно оси х определяется углом а:
tga =UyjUx..
По известным значениям UX2 и U,J2 или dUJds можно найти
составляющую градиента силы притяжения по любому направле-
нию в горизонтальной плоскости, проецируя вектор dUJds на это
20
направление. Например, если требуется определить проекцию
градиента силы притяжения на прямую р с азимутом р, то
dUJd? = (dUг!ds) cos (р — а) — (dU2/ds) cos a cos (i Д-
Д (dUz/ds) sin а sin р = Uxz cos Р -j- U нг sin p.
Остановимся на размерности и единицах рассмотренных нами
элементов гравитационного поля.
Поскольку первые производные потенциала притяжения
есть ускорения, имеющие размерность LT~\ то размерность вторых
производных Т~*. Единицы вторых производных [(см/с2)/см и
(м/с2)/м] во всех системах совпадают и могут быть представлены
как 1/с2. Единица, равная 1 • 10’0 1/с2, названа этвеш (Э) по имени
венгерского физика Р. Этвеша, впервые построившего прибор для
определения вторых производных. Если ускорение меняется
линейно, то его изменение в 0,1 мгал (0,1 10 5 м/с2) на расстоянии
1 км соответствует 1 Э (1 • 10"9 1/с2).
ОБЩИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
ПРОИЗВОДНЫХ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ
Выражения производных гравитационного потенциала можно
получить из формулы (1.7), если задано расположение возмуща-
ющих масс относительно притягиваемой точки. В этом случае
потенциал притяжения в точке с прямоугольными координатами х,
у, z, лежащей вне тела V, определяется формулой
<т Д d n dt,
U(x, у, z)—k f-----------------------------775-.
J l(g-x)2 + (n-j/)24-U-2)2]1/2
(1.30)
В общем случае плотность тела о есть функция переменных
интегрирования rj, £. В гравиразведке обычно рассматривают
тела с постоянной плотностью. При этом условии сг выносят за
знак интеграла.
Для обозначения производных потенциала притяжения U
используют индексы, указывающие координаты, по которым ве-
дется дифференцирование. Дифференцируя равенство (1.30) по х,
у, z, получаем выражения для первых производных:
Ux (х, у, z) = ko j d£;
V
у, 2)=/га
V
U2(x, у, z)=ko
V
(1.31)
21
Повторное дифференцирование дает следующие выражения
для вторых производных:
., . , , г 2 (Е,— х)2 — (т) — у)2 — К — z)2 lt ,
Uxx (*. !/>?) = Ь J —---------------у,~-------------- dl dx\ <%,
V
,, , , , f 2(11—v)2 — (5 — x)2— (t—z)2 ,E ,
Ul/y (x, y, z) A<t j ——-U----lb_'------lb.—2_ rfg di] dZ, =
u
= feo-j[3(n-./)2 _^j^dT|dg.
V
u„ (x, у, z) = ka j *)a - (>1 -1/>2 _
V
Us(x, y, ?) = Uy!/(x, у, 2) — UXK(x, у, z) ==
= з/г(Т j di] t/?;
V
UX2 (.v, у, г) = d? dT]dS;
V
U,„ (x, у, г) = З/.’О j -(1".'^^-^ dg dn
V
Uxy (x, у, г) = 3/;a f dg di] dt,
(1.32)
где
r = У (I - x)2 + (Y| - уУ -НС - 2)2 .
22
Часто для вычислений бывает удобно начало координат по-
мещать в притягиваемую точку, т. е. полагать х — у = г = 0.
Тогда выражения (1.31) и (1.32) принимают вид
Uх (0, 0, 0) — ka j ~ d% dr) d£;
V
U„(0, 0, 0) = to j-^dgdr)dg;
V
Ux(0. 0, 0) = to [ -^-d^diidj;
(1.33)
Uxx(0, 0, 0)_^3to j’-^-dg dndS;
V
Uai(0, 0, 0) = 3toJ-^-dgdt]d£;
V
Uxy (0, 0, 0) = 3to j -|3- dg dr) dt;
V
c Ot2__712 _Y2
Uxx (0, 0, 0) = to J —L di- dn dS;
V
Um (0, 0, 0) = to J -n-—гУ~^2 d?= dn d^;
V
(0, o, 0) = ko [ dv, dg;
V
Us (0, 0, 0) = 3ko J dS dr) d?,
где
г = /^+ Ла + Г“-
23
Наряду с прямоугольной системой координат часто используют
вертикальную цилиндрическую систему г, а, связанную с прямо-
угольной соотношениями
5 — г cos а; 1] - г sin а; £ г;
d£r/i|d£- rdrdztla.
Взяв эти соотношения, получим следующие выражения для
первых и вторых производных потенциала:
t/, (0, 0, 0) Лю [ и r2 COS « II, — T^-r-dr az da; (г2+-г-)3'-
У Д0, 0, 0) = k0 i V r2 sill a * j j (л2 + г2)3/2 drdzda;
УДО, 0, 0) = H I’ (r2 Д. z2)3/2 d' dzda,
д,до, 0, 0) = H V r22cosa , , , (f2 । г2)5/2 W a?
(1.35)
t/,z(0, 0, 0) = 3toJ V r2z sin a , , , --в - dr dz da; (r + z*r2
У2г (0, 0, 0) = k<3 J V r(2z2-r2) . , , dr dz da;
гддо, 0, 0) = 3 A r r3 sin 2a , , , drdzda; J (r’ + г2)5у2 V
(7Л(0, 0, 0) = 3k<J Г r3 cos 2a , , , z, ox5/2 drdzda. J (г2 + г-)’/д
В горизонтальной цилиндрической системе координат, связан-
ной с прямоугольной соотношениями
g = р cos ф; п = у, £ = р Sin\p;
di, d i] dt, — p dp dy d<p,
24
выражения производных потенциала примут вид
(0, 0, 0) = ko | dP с1У с'<>
Uy (0, 0, 0) = ko ( dp dy dip;
иг (0, 0, 0) = ko J у-£—2 Ly dp dy dtp;
и.г (0, 0, 0) - J dpdr/dq;;
“ I (p +y)
Uyz(Q, 0, 0) = 3to f .dpdydy-,
J \P ~г У )
V
UZ2(Q, 0, Q) feg J pS t3 sin2a Ф -1Д- ^dpdydy-
J (p + у1)'»*
Uxy (0, 0, 0) = 3ko j ,P2^COS2^ dpdydv
~ (p +yj '
U* (0, 0/0) == 3ko J P^-^^-dpdydv.
(1.36)
При изучении гравитационного эффекта тел, размеры которых
по простиранию значительно больше их поперечных размеров,
можно считать, что гравитационное поле над серединой таких тел
почти равно полю тел, простирание которых бесконечно. Это пред-
положение существенно упрощает вычислительные операции,
незначительно снижая точность результата. Поэтому в грави-
разведке большое значение имеет понятие о двумерных телах,
т. е. отелах, простирающихся в одном измерении на бесконечность.
Форму двумерного тела целиком определяет его поперечное сече-
ние S. Двумерные тела можно рассматривать как цилиндрические,
полученные при движении образующей вдоль контура их попереч-
ного сечения.
Положим простирание двумерного тела параллельным оси у,
а плотность независимой от координаты ц. В этом случае основ-
ному свойству потенциала будет удовлетворять следующая функ-
ция, называемая логарифмическим потенциалом:
U(x, z)^ ko j J ln[(|-x)2 + (?^z)2]dg^. (1.37)
s
Чтобы показать, что эта функция является потенциалом при-
тяжения для двумерных тел, найдем значения составляющих Ux
и U2 силы притяжения по осям координат из формул (1.31). Для
25
этого необходимо проинтегрировать формулы (1.31) по г] в преде-
лах от —оо до Н-оо, что сведется к вычислению интеграла
/ = | (l/r3)dt]. (1.38)
-00
Взяв ряд простых интегралов, получим
у____________I________ ______________и —!/______________ | + “
’ (ё — лгГ2-F (С — г)г * [(5_х)2.|.(,|_!/)2 + (г_2П1/2 1.^'-
Учитывая это выражение, из формул (1.31) находим
Ux (х, z) = 2Z?cr J j
S
и ЛА 2) = 2*0 J j
3
(4 = 0.
(1.39)
Дифференцируя непосредственно выражение (1.37) по х и г,
можно убедиться в совпадении формул, полученных для Ux и 77.,
с уравнениями (1.39). Это доказывает, что выражение (1.37) яв-
ляется потенциалом притяжения в случае двумерных масс.
Дифференцируя повторно выражение (1.37) по координатам
притягиваемой точки, можно найти и вторые производные грави-
тационного потенциала двумерных тел:
Л,г (А г) = 4/го J j (£ х\& г) dl
S
Игг (х, z) = 7/л (а г) = 2/га [ j G ~ ~~ х)° dl d£;
s
(1-40)
где
-И?-2)*.
26
Помещая начало координат в притягиваемую точку, т. е. по-
лагая х = г = 0, и переходя к горизонтальной цилиндрической
системе координат, получаем
г r
I J I2 + i,2
s
£ dl dt
= 2А’о j" j cos ipclpdcp;
s
— 2ka | | sin <p dp dcp;
's
HMJ
s
£2-g2
<4(0, 0) =
ПД0, 0) = 2to [ f-sr™
s
ПЛ,(0, 0) = 4A’o J
*s
иг; (0, 0) = Уд (0, 0) = 2кв j j
s
= -2к а I [ -cos-~'-- dp d.ro.
J J P
s
sin 2<p . .
—dp dcp;
(141)
ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ
СФЕРИЧЕСКОГО СЛЭЯ И ШАРА
Преимущество введения понятия «потенциал притяжения» как
функции, первые производные которой по координатам притяги-
ваемой точки являются составляющими силы притяжения по соот-
ветствующим осям координат, заключается в обобщении наиболее
фундаментальных свойств поля, таких как работа, сила, ускоре-
ние, и в возможности единообразного аналитического подхода
к их рассмотрению. Подобный подход к анализу потенциальных
полей возможен во всех точках поля, за исключением так называ-
емых сингулярных, или особых точек (полюсов). Отсюда очевидна
важность изучения особых точек поля, определения их положения
и отграничения таких точек «сферой безопасности» от остальной
части пространства при выводе аналитических выражений. Ука-
занное положение можно проиллюстрировать, рассмотрев потен-
циал притяжения простейших тел: сферического слоя и шара
(рис. Г. 6).
Введем сферические координаты р, ср, X с началом в центре О
сферического слоя радиусом R, толщину которого примем бес-
конечно малой. Полярную ось направим так, чтобы она проходила
через притягиваемую точку В, находящуюся вне шарового слоя.
Потенциал притяжения в точке В (р, 0, 0) от элементарного объема
dm, сосредоточенного в точке А с координатами ср, к, R, имеет вид
dU = k (I /г) dm, (142)
где г — расстояние между точками А и В,
2?
Ufft.U.O)
Рис. 1.6. Потенциал притяжения сферического слоя и шара.
Потенциал от всего сферического слоя получим интегрирова-
нием выражения (1.42) по всей поверхности слоя:
U-^k J(l/r)d/n. (j 43j
Элементарную массу dm можно выразить как произведение
поверхностной плотности р на элемент dS сферической поверх-
ности. Так как
dS = У?3 sin (f'dcpdX,
то
dm = p/?3sin (pdipdk. (1-44)
Из рассмотрения треугольника ОАВ следует, что
г® = R2 р= - 2Rp cos <р, (1.45)
где р — расстояние притягиваемой точки В от центра сферы 0.
28
Подставляя выражение (1.44) в формулу (1.43) и полагая
поверхностную плотность р. постоянной, получаем
U = /?р j j (Иг/г) sin гр dip dk. (1.46)
о о
Интегрирование по к в пределах от 0 до 2л дает
U = 2лЛр [ (R2/r) sin срг/(р. (1.47)
О
Для вычисления этого интеграла перейдем от переменной
интегрирования ср к переменной г.
Из уравнения (1.45) находим
г dr = Rp sin ср dtp,
откуда
R2 sin ср dip = (rR/p) dr. (1-48)
Подставим это выражение в формулу (1.47):
Р+Л
(7==2лАр j (R/pjctr. (1-49)
l>-R
Вынося R/p за знак интеграла как постоянную и выполняя
интегрирование по г, получаем
U = 4л#р (Ra/p) = k (М/р), (1.50)
где М — масса сферического слоя.
Отсюда следует, что потенциал притяжения однородного сфе-
рического слоя во внешней по отношению к нему области равен
потенциалу притяжения материальной точки с массой, равной
массе сферического слоя, и помещенной в его центре.
Сила притяжения сферического слоя в точке В ввиду сим-
метрии слоя направлена по прямой ОВ, совпадающей с осью р.
Используя основное свойство потенциальной функции, из фор-
мулы (1.50) находим силу притяжения сферического слоя во внеш-
ней точке В:
F = _ ди/др = k (М/р2). (1.51)
Такой же формулой выражается сила притяжения материаль-
ной точки с массой М на расстоянии р. Таким образом, поле одно-
родного сферического слоя во внешнем пространстве идентично
полю его массы, сосредоточенной в центре слоя.
Для потенциала точки В', расположенной во внутренней
области сферического слоя, аналогичные рассуждения приводят
к той же формуле (1.49). Нижний предел интегрирования в этом
29
случае будет другим, так как расстояние внутренней точки В'
от полюса N равно ON — OB' — R — р, поэтому
R+P
U = 2л/<р | (R/p)dr, (1.52)
Д-Р
откуда
U = 4л/гр/?. (1.53)
Вводя опять массу сферического слоя М, получаем
U=k(M/R). (1.54)
Для сферического слоя данной массы и радиуса это выражение
постоянно и не зависит от положения притягиваемой внутренней
точки, которое определяется расстоянием р. Поскольку значение
потенциала внутри сферического слоя постоянно, то все его произ-
водные равны нулю, в том числе и производная
— dU/dfy = F = O, (1.55)
т. е. во внутренней области однородного сферического слоя сила
притяжения равна нулю.
Однородный сферический слой конечной толщины можно рас-
сматривать как сумму бесконечного числа бесконечно тонких
слоев. Поверхностную плотность р бесконечно тонкого стоя мощ-
ностью dR можно выразить через объемную плотность ст:
р, = оДД (1.56)
Тогда интегрирование по R выражения (1.50) в пределах от
радиуса R внешней поверхности до радиуса Rx внутренней поверх-
ности даст формулу потенциала сферического слоя, имеющего
конечную мощность (R RJ, во внешней области:
j R\lR =±nk ~(R3 - R^ = k-^-, (1.57)
P R, * P
где M — масса сферического слоя, равная (4/3)ло(/?3 — У??).
-^Формула (1,57) при Rx = 0 выражает потенциал однородного
шара
U^~nko-~. (1.58)
Идентичность выражений потенциала во внешней области для
слоев бесконечно малой и конечной мощности и шара определяет
идентичность и производных потенциала. Дифференцируя по р
выражения (1.57) и (1.58), получаем силу притяжения сфери-
ческого слоя конечной мощности
„ dU 4 , R3 —R® , М .. -о,
—(1.59)
30
и силу притяжения шара
r ди 4 , R3 . М сп,
Р------г—= гглка-г-~ k-г-. (1.60)
dp 3 р2 р2 ' '
Для всех трех рассмотренных случаев выражения потенциала
и силы притяжения получились совершенно одинаковыми. Таким
образом, во внешней области поле однородных сферических слоев
бесконечно малой и конечной мощности, а также однородного шара
эквивалентно полю сосредоточенных в их центре масс, равных
массам оболочек или шара. Этот же вывод распространяется и на
неоднородный сферический слой и неоднородный шар, если не-
однородность зависит только от радиуса и не меняется по другим
координатам.
Для нахождения потенциала притяжения во внутренней точке
шара В' (см. рис. 1.6) проведем через эту точку вторую концен-
трическую сферу, которая разделит всю массу на две части: слой
So, по отношению к которому точка В' является внутренней,
и слой St, по отношению к которому точка В'может быть принята
внешней. Потенциал U в точке В' равен сумме потенциалов Uu
слоя So и слоя Si!
и = иа+ии
На основе равенств (1.53) и (1.57), учитывая пределы интегри-
рования, находим
к
(Д = 4."ito j= 2nto (Л2 — р2); (1-61)
р
U\ = ~ л/<!у (р3 — Д3). (1.62)
Суммируя Uo и i/j, получаем
О'=Р9-|-^=|г/еа('3/?г-р2ф2^). (1.63)
Для шара = 0, откуда
U = nko (3№ — р2). (1.64)
Дифференцируя это выражение по р, получаем силу притяже-
ния внутри однородного шара:
F =------- — 4- л top = k 41g-, (1.65)
0р 3 ‘ р2 v 7
где Мр = (4/3) лор3 — масса внутренней по отношению к точке В'
части шара; заметим, что Мр меняется с изменением р.
Внутри шара, как следует из формулы (1.64), потенциал дости-
гает максимума: t/raax = 2nto/?2 при р = 0 (рис. 1.7). С увеличе-
нием р до R потенциал уменьшается до 2/3 максимального: U —
31
= (4/3) гг/’о7?2. Сила притяжения F в центре шара равна нулю.
С возрастанием р ее значение увеличивается пропорционально
расстоянию от центра шара и на поверхности его достигает
(4/3) nkoR. Потенциал и сила притяжения, рассчитанные для
внутренней области шара, на его границе совпадают с их значе-
ниями, определенными по формулам (1.58) и (1.60) для внешней
области шара. С удалением от сферы потенциал и сила притяжения
уменьшаются обратно пропорционально соответственно первой
и второй степени расстояния от центра шара. При р-»• оо функ-
ции U —> 0 и F —> 0.
Из приведенного анализа следует, что потенциал притяжения
однородного шара и его первые производные являются конечными
и непрерывными функциями во всем пространстве. По-иному ведут
себя вторые производные гравитационного потенциала. Диффе-
ренцируя выражение (1.58) по р дважды, найдем, что в точках
пространства вне сферы
= (1.66)
Др- 3 ра ' '
на поверхности сферы, когда точка приближается к сфере извне,
d-U/dtf = (8/3) л/гсг. (1.67)
Для точек внутри сферы вторую производную получаем, диф-
ференцируя дважды выражение (1.64):
д2£7/(Эр2 = ~ (4/3) л/г<т.
(1.68)
32
Это значение производной сохраняется и на поверхности сферы,
когда точка приближается к ней изнутри:
d2U/dp2 = — (4/3) nko. (1.69)
Сопоставляя равенства (1.67) и (1.69), находим, что вторая
производная потенциала притяжения при переходе через поверх-
ность шара терпит разрыв и изменяется скачком на +4лА<т (см.
рис. 1.7). Знак скачка берется в зависимости от направления дви-
жения: «плюс» при переходе из внутренней области во внешнюю
и «минус» при движении в обратном направлении. Это свойство
вторых производных потенциала притяжения является весьма
важным, и к нему мы неоднократно будем возвращаться.
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
Обращаясь к общим интегральным выражениям (1.32), обра-
зуем сумму вторых производных потенциала притяжения:
4^ + + = зи f - z)2 _ ± j dm.
cbr2 1 ду2 1 дг1 j L г5 г8, J
(1-70)
Легко видеть, что для точек, не занятых притягивающими
массами,
\U = дЧЛдх2 ) дЧЛду2 ф dW/dz2 = 0. (1.71)
Полученное выражение называется уравнением Лапласа.
Функции, удовлетворяющие в некоторой области уравнению
Лапласа и являющиеся непрерывными в данной области вместе
со своими первыми и вторыми производными, называются гармо-
ническими. Таким образом, потенциал притяжения является
гармонической функцией во всем пространстве, не занятом при-
тягивающими массами. Гармоническими функциями являются
и все его производные вне притягивающих масс, в чем можно
легко убедиться двукратным дифференцированием по х, у и z
выражений (1.31), (1.32) и последующим сложением полученных
результатов.
Если же притягиваемая точка лежит внутри притягивающего
тела, то разности (£ — х), (ц — у) и (£ — z), а также величина г
могут стремиться к нулю. Поэтому подынтегральное выражение
в пределе примет вид 0/0. Для раскрытия неопределенности опи-
шем вокруг притягиваемой точки сферу конечного, но настолько
малого радиуса, чтобы плотность о сферы можно было считать
постоянной. Естественно, что сфера должна целиком находиться
внутри тела. Тогда потенциал U можно представить в виде суммы:
9
В. С. Миронов
33
где Ut — потенциал притяжения всего тела, за исключением
выделенной сферы, во внутренней точке (центре сферы); U.2 —
потенциал выделенной сферы.
Поскольку г для Ut нигде не обращается в нуль, U2 — функ-
ция гармоническая и Д^ = 0.
Для определения функции Дб/2 образуем из выражения (1.64)
частные производные по координатам х, у, г, неявно входящим
в нее через р:
44 = ~ 4 лЛор 17 = ~ 4 л/гп
Проделав аналогичное дифференцирование по у и г и сравнив
результаты, увидим, что
дгиъ/дуг — d-lJ2l'dz~дгиг/д.кг = — (4/3) л/го.
Суммируя вторые производные и учитывая, что ДОj = 0,
находим
ДО., = Д U = —4л/.ю. (1.72)
Полученное выражение, связывающее вторые производные
потенциала притяжения внутри области притягивающих масс,
называется уравнением Пуассона. Приведенное выше уравнение
Лапласа является частным случаем уравнения Пуассона, когда
поле рассматривается вне области притягивающих масс.
Таким образом, потенциал притяжения и все его производные,
если они заданы в некоторой области пространства вне притяги-
вающих масс, являются гармоническими функциями во всем про-
странстве, не занятом притягивающими массами. В области же
притягивающих масс в некоторых точках или сама потенциальная
функция или ее производные теряют свою непрерывность, т. е.
не являются гармоническими. Эти точки, в которых потенциал
теряет свои гармонические свойства, называются особыми. В ча-
стности, для шара вне притягивающих масс потенциал притяже-
ния (1.58) и все его производные всюду непрерывны и удовлетво-
ряют уравнению Лапласа во всех точках пространства. Точка
р = 0 (центр шара) является для потенциала и всех его производ-
ных особой точкой.
Особые точки потенциала притяжения и его производных
могут располагаться как внутри притягивающего тела, так и на
его поверхности. В последнем случае они совпадают с геометри-
ческими особенностями поверхности притягивающего тела: точ-
ками излома границы тела или угловыми точками. Зная положе-
ние особых точек, в некоторых случаях можно определить гео-
метрические параметры притягивающего тела.
34
ФОРМУЛЫ ГРИНА
Для выяснения других важных свойств потенциальных функ-
ций нам придется использовать математический аппарат, при-
меняемый при изучении пространственных функций. Основу уче-
ния о пространственных функциях составляют преобразования
Грина — Остроградского интегралов, взятых по объему, в интег-
ралы по поверхности.
Рассмотрим две функции Р (В, р, £.) и Q (J, т), £), непрерывные
вместе с их первыми производными в объеме v и на ограничива-
ющей его поверхности S.
Имея в виду тождество
о 1п ар_\ _ дР_ п д^Р_
01 к4 д$) - pg ' д1 * dtp '
можно написать
V dQ др lt „ дР V V п дгР ,е
J pg ' ag ‘ ag I J aga f='
Bl 51
Распространяя интегрирование на весь объем и, получаем
51 ’ll Ь -п2 Z, 1г
Ь 'Hl Л1 U
£2 Ла
-J j J Q~d$<h]dL. (173)
5i я» 5,
Элемент dr\dt является проекцией на плоскость yOz двух эле-
ментов поверхности S, а именно dSY и dS2, которые из этой поверх-
ности вырезаются бесконечно тонкой призмой с основанием dr)d£
(рис. 1.8). Угол наклона элемента поверхности S к координатной
плоскости yOz равен углу между внешней нормалью к S и положи-
тельным направлением оси х, т. е. для dSt этот угол тупой, для
dS2 острый. Поэтому
drfdfe = —dS^ cos (nlt x) = dS2 cos (n2, x)
г
Рис. 1.8. К преобразованию объемного интеграла в интеграл по
поверхности.
2*
35
7l2 £й wB Ля ^2
Hi tl «! 11! tl
- J J (c -f-) L£,(/i1 -J(Q -S-) U..cos x) ds^+
’ll Cl S
+ f (Q4r)L,cos(,;b x^-
Поскольку интегрирование ведется no i] и g в пределах значе-
ний этих переменных, соответствующих контуру проекции по-
верхности S на плоскость yOz, два последних интеграла можно
объединить в один, который распространяется на всю поверх-
ность S:
J Q cos (га, x) dS.
Введем в формулу (1.73) элемент объема dv = dgdi]dg, тогда
г дР dQ , f OP , v ,с f д^Р 1 Z1 ~л\
| dg * dg J J Q ^v. (1 *^4)
v S v
Аналогичные равенства могут быть написаны для производных
по т] и g. Суммируя все эти равенства и учитывая, что
Q cos (га, х) + cos (га, У) + cos (ге> г)] = <? 4тГ’
получаем
(1-75)
д2Р . д2Р , д2Р \ ,
pga Н 5ll2 । )av-
.40.=
J К dg 5g 1 Si] 5i] 1 5g 5g /
V
S v
Меняя в равенстве (1.75) P и Q местами, находим
Г / дР 5Q , дР dQ , дР 5Q \ ,
J < 5g ’ 5g + 5i] ’ 5r] + 5g ’ 5g )-
д’] <Эт]
d*Q d*Q dsQ \ ,
+ 5т]2 1 /
(1-76)
S v
Приравниваем правые части формул (1.75) и (1.76)
для сокращения записи обозначение
\Р = дЧ>)д1* ф- iPP/drf + д2Р/д^,
ВВОДИМ
и
36
отсюда
[ (Р &.Q — Q АР) dv = [ [P(dQ/dn] — Q (дР/дп)] dS. (1.77)
р s
Уравнение'(1.77) называется формулой Грина. Следует от-
метить, что в этой формуле производная берется по направлению
внешней нормали к поверхности S. Нормаль восстановлена на
элементе dS, и значение производной относится к точке на этом
элементе.
При Q const
| bPdv - [ (dP/dti)dS.
з S
(1-78)
Положим в этой формуле Р = 1/г, где г — расстояние точки А
(с текущими координатами р, ? внутри объема п) от некоторой
постоянной точки В (х, у, z),
ra = (g-x)4 (р-^ + ^-г)2.
Легко убедиться, что сумма производных
/ 1 \ аг / 1 \ -О
\ г / г г / at2 к Г / ~
следовательно, функция 1/г гармоническая во всей области, за
исключением точки В. Если точка В лежит вне объема и, то функ-
ция Р непрерывна во всех точках А внутри объема v и на поверх-
ности S, так как г =/= 0. Применяя формулу (1.78) и учитывая,
что А 4 (1/г) = 0, получаем
ЩФ>='М-1-)*=0- <179>
S о
Если точка В лежит внутри объема V, то применять формулу
(1.78) нельзя, так как функция 1/г терпит разрыв на элементе dv,
где точка А совпадает с В. Для того чтобы вычислить левую часть
выражения (1.79), примем во внимание, что в этом случае
AL(_L)dS = — = — dor, (1.80)
(‘.«к
s s
где <p — угол, составленный направлением г и нормалью к поверх-
ности S; ш — телесный угол, под которым из точки В виден эле-
мент поверхности dS.
37
Рис. 1.9. К определению значения
функции во внутренней точке.
Интеграл (1.81) равен взятой
с обратным знаком сумме углов
видимости замкнутой поверхнос-
ти S из точки В. Независимо
от формы поверхности эта сумма
равна 4л:
1 ж (Г?3 = --•" ILS2>
Пусть точка В лежит на по-
верхности S. В этом случае сумма
углов видимости соответствует по-
верхности полусферы с единич-
ным радиусом, лежащей по одну
сторону от касательной плоскости, проведенной к поверхности S
в точке В:
Ш4)
S
dS = — 2л
(1.83)
Сведя воедино результаты (1.79), (1.82) и (1.83), получим
S
— 4л (точка В внутри поверхности S);
— 2л (точка В на поверхности S); (1.84)
О (точка В вне поверхности S).
Обратимся теперь к формуле Грина (1.77); положим в ней
Q = 1/г, что даст
J(™7—-Г4',)* = ([рЖ-(-г)--7-Ж-]'<3- <185>
V S
Если точка В лежит вне поверхности 5, то во всех внутренних
точках объема у функция 1/г удовлетворяет уравнению Лапласа,
так что
- J ± bpdv + J-L. ljS _ J рф (ф) (IS _ 0. (1.86)
v S S
Если точка В лежит внутри поверхности S (рис. 1.9), формула
Грина может быть применена к той части области v, равной и',
которая получается, если из объема v выделить сферу безопас-
ности S', включающую в себя точку В. Тогда, применяя формулу
Грина (1.77), можно написать
- J ф ЛР* - J Р± (ф) dS - j ф-^-<« +
v' S S
+ <187)
S' S'
38
Пусть поверхность сферы безопасности S', окружающая точку
В, стремится к нулю. Рассматриваемая область v' при этом при-
ближается к объему v и интеграл в левой части выражения (1.87)
стремится к пределу ) (1/г) A Pdv. Интеграл [ Р (dr 1/дп) dS
v S'
имеет предел 4лР (В), поскольку при уменьшении размеров
поверхности S' все значения Р на ней отличаются сколь угодно
мало от значения Р в точке В, т. е. от Р (В), и поэтому
Р £ (4-)- р <й> J £ (-г) "s - ы т. (1.88)
S' S'
Смена знака в выражении (1.88) по сравнению с равенством
(1.82) произошла потому, что нормаль направлена внутрь поверх-
ности S'.
Предел интеграла | (1/г)(дР/дп) dS равен нулю: так как эле-
s'
мент dS поверхности S' пропорционален г2, следовательно, каж-
дый элемент интеграла пропорционален г, и поэтому весь интеграл
равен нулю.
Соединяя все эти результаты, из формулы (1.87) получаем
_ JJ-4P*+J-L (1.89)
V S S
Для случая, когда точка В находится на поверхности S, учи-
тывая выражение (1.84), в правой части формулы (1.89) вместо 4л
следует поставить 2л. Тогда, комбинируя последний результат
с формулами (1.86) и (1.89), имеем
v S S
4лР(В) (точка В внутри поверхности S);
2лР (В) (точка В на поверхности S); (1.90)
О (точка В вне поверхности S).
Полученное выражение называется фундаментальной формулой
Грина. Она позволяет вычислять значение любой функции Р,
непрерывной вместе с ее производными внутри поверхности S
и на ней, если известны сумма вторых производных АР во всех
внутренних точках и значения Р и дР!дп на поверхности S.
Из равенства (1.90) следует, что каждый из входящих в него
интегралов представляет собой потенциал. Действительно,
| r^APdv можно рассматривать как объемный потенциал масс,
V
плотность которых в каждой точке А равна АР. Интеграл
39
| г ' (дР/дп) dS представляет собой потенциал простого слой,
поверхностная плотность которого в каждой точке Л поверх-
ности 3 равна дР/дп. И, наконец, интеграл | Р(дг '/с)п) dS яв-
s
ляется потенциалом двойного слоя с плотностью Р.
Таким образом, всякая пространственная функция Р, удовлет-
воряющая поставленным выше условиям непрерывности, может
быть представлена как сумма потенциалов объемных масс, лежа-
щих внутри поверхности 3, и потенциалов простого и двойного
слоев, расположенных на этой поверхности.
ФОРМУЛЫ ГРИНА
ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Привлечение формулы Грина к изучению гармонических функ-
ций, к которым относится и потенциал притяжения, позволяет
выявить ряд важных свойств функций этого класса. Положим Р
в формулах (1.77), (1.78), (1.86) гармонической функцией (ДР =
= 0). Тогда непосредственно из условия (1.78) получим важную
формулу:
^(cW«)dS'=0, (1.91)
которая означает, что интеграл по замкнутой поверхности от
нормальной производной гармонической функции равен нулю,
т. е. значения нормальной производной функции Р, гармониче-
ской внутри поверхности 3, не могут быть заданы на ней произ-
вольно, а должны быть подчинены условию (1.91).
Из формулы (1.77) при условии, что обе функции Р и Q гармо-
нические внутри поверхности 3, получим
| [Р (dQ/dii) — Q (dP/dri)] dS = 0. (1-92)
Переходя к фундаментальной формуле Грина (1.90) и полагая
в ней ДР — 0, имеем
[ [pAZ-L^s =
Jr дп J on \ г /
S S’
4лР (В) (точка В внутри поверхности S);
—. 2лР(В) (точка В на поверхности 3); (1.93)
0 (точка В вне поверхности S).
Эта формула устанавливает, что значения функции Р, гармони-
ческой внутри поверхности 3, определяются в любой внутренней
40
точке В заданием значений самой функции и ее нормальной произ-
водной па поверхности 3.
Из формулы (1.93) легко получить известную теорему Гаусса
о среднем значении гармонической функции. Пусть 3 — поверх-
ность сферы радиусом R, тогда г = R и первый интеграл равен
нулю:
[ rl(dP/dn)dS R-1 [ (dP/dn)dS 0.
5 S
Для второго интеграла имеем
дг~1!дп = — cos ф/г = — R~\
так как направление нормали к поверхности сферы совпадает
с направлением R.
В результате из выражения (1.93) получаем
Р(В) ^[1/(4л/?2)] JPdS. (1.94)
s
Формула (1.94) выражает теорему Гаусса, согласно которой
значение гармонической функции во всякой внутренней точке В
равно интегральному среднему ее значений, взятых по поверх-
ности любой сферы, имеющей центр в точке В и лежащей целиком
внутри области и.
Положим в формуле Грина (1.90)
P = U,
где U — потенциал объемных масс, распределенных в объеме и.
Пусть о — объемная плотность; г — расстояние от точки В
до элемента поверхности S, ограничивающей объем и; тогда At/ =
= —4л/гст во всех точках объема и, и поскольку
— J г-1 At/ dv = 4nk j г-1о du — 4nU (В),
v °
то из формулы (1.90) следует
S S
0 (точка В внутри поверхности S);
— . —2лU (В) (точка В на поверхности 3); (1.95)
4nt/ (В) (точка В вне поверхности 3).
Для внешней точки В справедливо равенство
у(в> = -4гПФ-у-Г^(Ф)]‘в- 1'%)
§
4’
Это есть фундаментальная формула для потенциалов, показы-
вающая, что во всем пространстве, внешнем по отношению к по-
верхности' S, потенциал U определяется значениями самого по-
тенциала и его нормальной производной на поверхности S. По
своей структуре формула (1.96) аналогична формуле (1.93) для
гармонических функций во внутренней области. Для потенциаль-
ной функции важен один частный случай, не имеющий места для
гармонической функции, а именно, когда поверхность 5 есть по-
верхность уровня потенциала U. Пусть U — Uo на поверхности S.
В этом случае второй интеграл в формуле (1.96) приводится со-
гласно выражению (1.84) в зависимости от положения точки В
к следующему виду:
—4л(7а (точка В внутри поверхности S);
—2л7/() (точка В па поверхности S);
О (точка В вне поверхности S).
(1-97)
Подставляя этот результат в формулу (1.95), получаем
Uo (точка В внутри поверхности S);
Uu (точка В на поверхности S); .
U(В} (точка В вне поверхности 5).
(1.98)
Левая часть выражения представляет собой не что иное, как
потенциал простого слоя, если принять его поверхностную плот-
ность
р = — [ 1/(4л£)| (dU/dti).
(1-99)
Масса этого слоя равна всей массе М, заключенной внутри
уровенной поверхности 5, поскольку из формулы (1.78) следует:
| и dS = — [ 1/(4л£)| | (dU/дп)dS = j о dv = Л1. (1.100)
S Sv
Таким образом, мы получили следующий важный результат:
если распределить всю массу Л4, заключенную внутри уровенной
поверхности потенциала L/, на этой поверхности в виде простого
слоя так, чтобы плотность простого слоя была равна — [ 1/(4л/е) 1 X
X (dU/дп), то потенциал этого слоя во внешней точке будет иметь
то же значение, что и потенциал первоначального распределения
42
объемных масс внутри поверхности S. Такой слой называется
эквивалентным уровенным. Эквивалентное перераспределение масс
не изменяет внешнего поля. К этому надо добавить, что на внутрен-
ние точки эквивалентный слой не оказывает никакого действия,
поскольку при отсутствии масс внутри поверхности S функция U
будет гармонической внутри этой поверхности и постоянной.
Частный случай эквивалентного распределения мы уже рассма-
тривали: это эквивалентность сферического слоя и шара.
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА
Формула (1.93) используется при решении задачи Дирихле:
определении гармонической функции Р вне поверхности 3 по ее
значениям, заданным на этой поверхности. Аналогичная задача
определения функции Р по ее нормальной производной дР/дп,
заданной на поверхности S, называется задачей Неймана.
Для решения задачи Дирихле необходимо в формуле (1.93)
исключить интеграл, содержащий дР!дп. Для этого выражение
(1.92) для двух гармонических функций Р и Q сложим с форму-
лой (1.93):
(1Л01)
S S
Полагая здесь
-г+«-® £(-М-в)-£. <|102>
получаем равенство
Р(В) = -J- (Q^-dS--Д- [P~dS. (1.103)
v ' 4л J дп 4л J дп ' '
S S
Для исключения дР/дп положим, что на поверхности S функ-
ция Q = — 1/г, тогда функция G на этой поверхности обращается
в нуль. Вводимая при этом условии функция G называется функ-
цией Грина. Имея в виду это условие, записываем
Р (В) = — 11 /(4 л) J j Р (dG/dn) dS. (1.104)
Полученное выражение является формальным решением за-
дачи Дирихле. Нахождение же функции Грина для конкретных
поверхностей представляет трудную задачу, которая решена
только для сравнительно небольшого числа случаев. Для поверх-
ности сферы радиусом R с центром О (рис. 1.10, а) функция Грина
имеет вид
G = l/r-(/?/p)(l//'), (1.105)
43
где г = ВА-, г' = В'А, при этом В есть точка, для которой ищем
значение функции Р; В' — сопряженная точка, лежащая на про-
должении прямой ОВ, условие сопряженности определяется ра-
венством 7?2 = рр'; р и р' — расстояния точек В и В' до центра
сферы; точка А — текущая точка внутри сферы.
Чтобы убедиться в правильности формулы (1.105), необходимо
доказать, что ее правая часть на поверхности сферы обращается
в нуль. Обозначив а — расстояние ОА и ср — угол АОВ, напишем
равенства
г3 = а2 ' р8 — 2ар cos ср;
г’2 — а2 р'2 — 2ар' cos ср.
(1.106)
После замены р' па R2/p получим
г'2 = а2 ]- R4/p2 — 2а (R2/p) cos ср. (1.107)
44
(1.108)
Если текущая точка А лежит на поверхности сферы (а = R),
то из равенств (1.106) и (1.107) следует
га =. R2 р2 — 2/?pcos <р;
г'2 = (№/р2) (R2 ф- р2 — 2/?р cos ср).
Подставляя полученный результат в формулу (1.105), находим
G = 1/г — (R/p) (p/R) (1/г) = 0.
Таким образом, убеждаемся, что выбранное для функции
Грина G выражение на поверхности сферы обращается в нуль,
что и необходимо было проверить для решения поставленной
задачи.
Найдем нормальную производную функции Грина на поверх-
ности сферы. Поскольку на сфере направление нормали совпадает
с направлением радиуса, то
дп 0R \ г / ' р dR \ г / ' '
имея в виду уравнения (1.108), получаем
dG д / I \ dr R д / 1 \ дг’
дп дг \ г / dR Г р dr1 \ г' ) dR ~
1 / R — р cos <р \ R 1 R (р — R cos qp) _
— уг ~ -
_ R —р cos <р R2 _ р — Л cos ср I [ j q,
г3 р2 г'3 ‘ \ ‘ /
Поскольку на поверхности сферы G = 0, из выражения (1.105)
находим
1/г = /?/(рг').
Использовав это соотношение, выразим в равенстве (1.110)
расстояние г' через г. Тогда
dG/dn = (₽а - pa)/(Rr8). (1 111)
Подставляя это выражение в формулу (1.104), получаем ра-
венство
Р(Я) = [(/?2-р2)/(4л/?)1 \(P/ra)dS. (1.112)
s
Формула (1.112) называется интегралом Пуассона, она опре-
деляет значение функции, гармонической внутри сферы ради-
усом R в любой внутренней точке В, через ее значение на сфере.
Таким образом, интеграл Пуассона решает внутреннюю задачу
45
Дирихле. Совершенно аналогично решается и внешняя задача
Дирихле — определение функции, гармонической вне сферы. Со-
ответствующая формула для этого случая отличается только зна-
ком, поскольку нормаль, внешняя по отношению к сфере, яв-
ляется внутренней относительно наружного пространства.
При неограниченном увеличении радиуса сферы в пределе
получаем плоскость (рис. 1.10, б), которая разделяет пространство
на две части: сопряженные точки В и В' лежат симметрично отно-
сительно этой плоскости. В этом случае R <х>, а р -> R и со-
гласно равенству (1.105).
G = l/r-I/r'. (1.113)
На плоскости вследствие того, что G = 0, а также из условия
симметрии имеем г — г’.
На основании равенства (1.113) записываем
dG/dn = — (1 /г2) cos (г, п) ф- (1 /г'2) cos (г', «).
Учитывая, что на плоскости г = г' и угол (г, п) — л — (г', п),
получаем
дО/дп = —(2/г2) cos (г, /1). (1-114)
Пусть ось г совпадает с направлением нормали к плоскости.
Тогда
z/r = cos (г, /г);
окончательно
Р(В) = [2/(2л)] J(P/r3)dS. (1.115)
s
Эта формула дает решение задачи Дирихле для плоскости.
Чтобы определить гармоническую функцию Р вне поверх-
ности S по значениям ее нормальной производной на этой поверх-
ности (задача Неймана), необходимо в фундаментальной формуле
Грина (1.93) исключить Р, тогда функция Р (В) будет выражена
только через дР1дп. Для этого применим формулу (1.92) к двум
гармоническим функциям Р и Q и сложим ее почленно с выраже-
нием (1.93), полагая при этом
Q+l/r = /7, (1.Ц6)
тогда
Р(В) =4- [н^-dS--^- \p-^-dS. (1.117)
' ’ 4л J дп 4л J дп ' 7
Остановимся подробнее на втором интеграле. Согласно усло-
вию (1.116)
f dS - f dS + dS,
J дп J дп 1 J дп \ г ) ’
s s s
46
но
[ (dQ/dn) dS — 0,
s
так как Q — гармоническая функция;
| (дг^/дп) dS = — 4л,
s
поскольку г — расстояние внутренней точки, для которой ищем
значение Р (5), от элемента поверхности dS.
Таким образом,
| (дН/дп) dS = — 4л, (1.118)
s
что дает право положить дН!дп = с, подчинив постоянную с усло-
вию
j (дН/дп) dS = с | dS = — 4л.
s s
Но j dS представляет собой площадь поверхности S, так что
s
с -- —4л/В; поэтому имеем
дН/дп = — 4л/5. (1.119)
Функция Н, выводимая под этим условием, называется харак-
теристической функцией Неймана. По форме уравнение (1.116)
напоминает функцию Грина, но отличается от нее тем, что на
поверхности 3 задается не условие 6 = 0, как в функции Грина,
а постоянство нормальной производной: дН/дп = с.
Подставляя значение (1.119) в формулу (1.117), имеем
(1.120)
Это выражение дает формальное решение проблемы Неймана,
так как, каковы бы ни были значения функции Р на поверхности 3,
второй интеграл есть некоторая постоянная, так что можно поло-
жить
Р (В) = [1/(4л)1 [ Н (дР/дп) dS + с.
S
(1-121)
Следует подчеркнуть, что в случае внутренней задачи Ней-
мана значения функции Р (В) определяются по нормальной произ-
водной дР!дп только с точностью до постоянной. Эту постоянную
47
легко найти для сферы. Действительно, для сферы S = 4лД2
и по теореме о среднем (1.94)
[1/(4лД2)] \PdS = P(O),
S
тогда
Д(В) = [1/(4л)1 \ H(dP/dn)dS + P(O). (1.122)
5
Интегрирование выполняется по поверхности сферы, а Р (О)
есть значение функции Р в центре этой сферы.
Для внешней задачи Неймана постоянная определяется из
условия, что на бесконечности Р = 0.
Построение характеристической функции Неймана даже для
сравнительно простых поверхностей довольно затруднительно.
Рассмотрим задачу Неймана применительно к бесконечной пло-
скости. В этом случае надо определить в одном из полупространств
гармоническую функцию Р, регулярную на бесконечности, по ее
нормальной производной, заданной на плоскости. Можно легко
убедиться, что характеристическая функция Неймана имеет вид
//= 1/г-Ь 1/Л (1.123)
где г — расстояние от точки В до текущей точки на плоскости,
принадлежащей тому же полупространству, что и точка В; г' —
расстояние от текущей точки на плоскости до сопряженной точки
В' (см. рис. 1.10, б).
Действительно, 1/г' — функция, гармоническая в полупро-
странстве, не включающем сопряженную точку. Нормальная
производная от Н
дН/дп = — cos (г, n)/r2 — cos (/-', ri)/r'2;
в точках самой плоскости, где г — г' и cos (г, п) = —cos (г', п),
эта производная обращается в нуль; на бесконечности функция
И = 0. Для точек самой плоскости имеем
Н = 2/г
и из формулы (1.122) получаем решение задачи Неймана для бес-
конечной плоскости:
Р(В) = [1/(2л)] \(l/r)(dP/dn)dS. (1.124)
48
Глава 2
ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
СИЛЛ ТЯЖЕСТИ И ЕЕ ПОТЕНЦИАЛ
Материальная точка, расположенная
в Земле или на ее поверхности, испытывает воздействие силы
притяжения Земли и центробежной силы, вызванной вращением
Земли, а также силы притяжения других небесных тел. Совокуп-
ность этих сил представляет собой гравитационное поле Земли.
Мерой гравитационного поля является его напряженность (сила,
действующая на массу, равную единице), которая в гравиметрии
называется силой тяжести g.
Гравитационное поле Земли обычно рассматривают как поле
воздействия двух сил: силы притяжения и центробежной силы
Земли. Остальные силы (например, притяжение Луны и Солнца)
ввиду их малости не учитывают или изучают отдельно как времен-
ные изменения гравитационного поля Земли.
Общие свойства силы притяжения рассмотрены в главе 1.
Остановимся кратко на характеристике центробежной силы. Эта
сила возникает при вращательном движении массы вокруг не-
которой оси и направлена перпендикулярно к оси вращения.
Центробежная сила, действующая на единичную массу, численно
равна центробежному ускорению:
С — о2/р *= ®ар, (21)
где р — расстояние точки от оси вращения; v и со — линейная
и угловая скорости вращения точки.
Введем прямоугольную систему координат х, у, г с началом
в центре Земли, ось z направлена по оси вращения Земли. Центро-
бежная сила всегда параллельна плоскости хОу. Ее составляющие
по осям
Сх = С cos (р, х) = Л;
C„ = Ccos(p, у) = оА/; (2.2)
С.^0.
Центробежная сила (2.1) и ее составляющие (2.2) могут быть
представлены как частные производные функции
V = (со*/2) р2 = (соа/2) (.V2 Ь у2), (2.3)
которая называется потенциалом центробежной силы.
Продифференцировав дважды выражение (2.3), найдем
... dW . дгУ . д2У о 3 ..
АГ -х-й -1—5~-г 4- =* 2® , (2.4)
1 ')и ' dz* ' '
49
Сумма вторых производных потенциала центробежной силы не
равна нулю, следовательно, этот потенциал не является гармони-
ческой функцией. Потенциал центробежной силы и его производ-
ные непрерывны и конечны на конечном расстоянии от оси враще-
ния Земли.
Поскольку сила тяжести представляет собой геометрическую
сумму силы притяжения и центробежной силы, ее проекции на оси
координат могут быть выражены в виде
Wx = Ux-\-V/, Wy = Uy-\-Vy-, (2.5)
где
№ = £/-|-И (2.6)
— потенциал силы тяжести.
Сила тяжести может быть представлена как производная по
внешней нормали к уровенной поверхности
W = const, (2.7)
взятая с обратным знаком:
g = - dW/dn,
или
g = (2.8)
Меняя в формуле (2.7) значение постоянной, получаем различ-
ные уровенные поверхности. Одна из этих, поверхностей, а именно
та, которая совпадает с невозмущенной поверхностью воды
в океане, называется геоидом и принимается за фигуру Земли.
Понятие геоид (от греч. уц — Земля, 81600 — вид) было введено
в 1873 г. И. Листингом.
Геоид, совпадая на океанах со спокойной поверхностью воды,
продолжается под континентами так, что в любой его точке сила
тяжести направлена по нормали к геоиду. Положение геоида под
континентами можно наглядно представить, если мысленно про-
резать их сетью сообщающихся с океаном каналов, достаточно
узких, но без сил трения и капиллярности. Тогда вода океанов,
заполнив эти каналы, остановится на уровне, который и будет
соответствовать поверхности геоида.
Введение понятия геоид должно давать следующее после зем-
ного эллипсоида приближение к истинной фигуре Земли. Однако,
строго говоря, получается не совсем так. Первым приближением
фигуры Земли является сфера; вторым — эллипсоид вращения.
Переход от сферы к эллипсоиду (разница между полярной и эква-
ториальной полуосями около 20 км) значительно приблизил
аппроксимирующую поверхность к истинной поверхности Земли:
50
наибольшие отклонения в этом случае определяются рельефом
местности, т. е. они составляют обычно сотни метров и реже первые
километры. Поэтому следующее приближение должно было бы
учитывать именно эти отклонения истинной фигуры Земли от
идеальной. По современным данным геоид расходится с эллипсои-
дом на первые десятки метров (во всяком случае, не более чем на
100 м), т. е. уклонения геоида от истинной фигуры Земли являются
величинами того же порядка, что и у эллипсоида.
Таким образом, совпадая на океанах с физической поверхностью
Земли, геоид представляет собой следующее после эллипсоида
приближение к истинной фигуре Земли именно на океанах. Пере-
ход же от эллипсоида к геоиду на континентах не решает задачи
следующего приближения. К этому надо добавить, что геоид явля-
ется фигурой неправильной, т. е. в отличие от эллипсоида он не
может быть выражен аналитически, что исключает возможность
использования геоида при решении различных геодезических
задач. Но несмотря на все это, геоид имеет большое научное и
практическое значение. Относительно геоида определяют высоты
точек физической поверхности Земли. Поскольку геоид совпадает
с поверхностью невозмущенного океана, высоты над геоидом обычно
называют высотами над уровнем моря. Заметим, что измерить
высоты рельефа Земли над эллипсоидом непосредственно невоз-
можно. Можно только раздельно найти высоты геоида над эллип-
соидом и высоты физической поверхности Земли над геоидом.
Поэтому геоид как некоторое промежуточное звено позволяет
решать задачу определения истинной фигуры Земли.
Фигура Земли определяется силой тяжести, основной компонен-
той которой является сила притяжения, так как по сравнению
с ней влияние центробежной силы мало. Максимального значения
на поверхности Земли центробежная сила достигает па экваторе,
где она равна ®2а (а — радиус экватора), отношение этого значения
к силе тяжести gc на экваторе
q = M2a/gs. (2.9)
Подставляя сюда числовые значения ge, а и <о = 2л/86164
(в знаменателе число секунд в звездных сутках), получаем м‘“а =
= 3.4-10-2 м/с2; q = 1/288,4 = 0,00346883, т. е. q < 0,4%.
Центробежная сила, будучи перпендикулярной коси вращения
и направленной от центра Земли, уменьшает значение силы тяже-
сти на ы2а cos2 ср, где ср широта места. При движении от эква-
тора к полюсам центробежная сила уменьшается и на полюсах
становится равной нулю. Следовательно, сила тяжести на полюсе
на 1/288,4 больше силы тяжести на экваторе. Из-за формы Земли
сила тяжести на полюсе увеличивается еще на 1/549 своего значе-
ния (около 1,7-10 2 м/с2). Таким образом, суммарное изменение
силы тяжести на поверхности Земли составляет приблизительно
510’2 м/с2: от ge — 9,78 м/с2 на экваторе до gp = 9,83 м/с2 на
51
полюсе. Отношение разности силы тяжести на полюсе и экваторе
к силе тяжести на экваторе
h=fc-&)/£ = 1/189.
РАЗЛОЖЕНИЕ
ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ В РЯД
Точное значение потенциала силы тяжести
W = k j Г1 dm 4- (<о2/2) (х2 4 у2) (2.10)
определить невозможно, так как неизвестны расположение масс
в Земле и ее точная фигура. Поэтому ограничиваются приближен-
ным вычислением потенциала, которое выполняют при некоторых
допущениях.
Если предположить, что Земля представляет собой невращаю-
щийся шар с массой М и радиусом R, то выражение потенциала W
в точке на поверхности Земли принимает весьма простой вид:
W .. kM/R.
В целом форма Земли незначительно отклоняется от шара, и
поэтому можно для потенциала тяготения получить более конкрет-
ную, чем (2.10), формулу. Для этого подынтегральную функцию
1/г разложим в ряд и проинтегрируем его почленно, ограничивая
число членов сообразно с необходимой точностью. На основании
полученного в виде ряда уравнения для W найдем также в виде
ряда выражение для g. Сравнивая полученные таким образом ана-
литические значения g с наблюденными на земной поверхности,
можно найти коэффициенты этого ряда.
Расположим оси координат (рис. 2.1), как было указано выше
при выводе формулы (2.2). Обозначим расстояния от начала коор-
динат до точки А (£, т], £), где находится элемент массы dm, через
R и до точки В (х, у, г) через р, угол между радиусами-векторами р
и R — через у. Тогда можем написать
52
Разлагая это выражение в ряд по отношениям R/p, получаем
+ fC0SY I-4(7-)2(3cos2y-1) + '”ь(2-13)
Заметим, что коэффициенты при различных степенях R/p
в этом разложении есть так называемые сферические функции,
играющие важную роль во многих разделах математической фи-
зики, и в частности в теории потенциала. С использованием аппа-
рата сферических функций разложение (2.13) может быть записано
в виде
+ + + ••• I =
' Г' I- г Р J
= (2.14)
V Р +
где
Л(т)=1;
Pi (у) = cos у;
P,(y)-(l/2)(3cos2Y 1); (2J5)
Р3(у) = (1/2) (5 cos3 у — 3cosy)
— сферические функции первого рода с. одним аргументом у.
Все последующие члены разложения (2.14) могут быть найдены
по формуле
P«+i(Y) = ;7^^cosy/\(y)-^TP«-i(v). (2.16)
Теперь для потенциала силы тяжести W имеем следующее
выражение:
+-^c°sY + 4-(Ay‘!(3coS2v_i) + ...]f/m +
V
+ 4-“2(^ + '/‘л)- (2.17)
Можно показать, что полученный ряд абсолютно сходится, если
М/р < 1; при R/p > 1 ряд расходится. В случае R/p = 1 ряд
(2.17) сходится, за исключением точки, где cos у = 1 (если
cos2 у <7 1, ряд сходится везде!).
Интегрируем ряд (2.17) почленно:
= -у | dm + J R cos у dm +
~ | /?2 (3 cos2 у - 1) dm 4-----------Ь 4“ “2 ^2-18)
V
53
Интегрирование распространяется на весь объем Земли. Если
массу Земли обозначить /И, то первый член
(/л'р) | dm kM j>.
(219)
Для второго члена, имея в виду, что
cosy = (£х 4- Ez) (oR),
получаем
-4- f R cos у dm = -4- I '' dm
р2 J ' р“ J р
=р’ (х I =drn+у I iidm+2 Вdni)
k
р3
Интегралами типа Ed/гг определяются координаты центра
тяжести тела:
In — j Idm j | dm.
В нашем случае начало координат помещено в центре Земли,
следовательно, все три координаты центра тяжести должны быть
равны нулю, т. е. все три интеграла должны обращаться в нуль.
Поэтому
(/г/р2) | R cos у dm =0.
При интегрировании третьего члена уравнения (2.18) получим
J R'(3eos’v- l),to J [ +
При раскрытии скобки (£х (- г)у 4- |z) появятся интегралы
вида 2 | ±xv\y dm, 2 j Ex&dm, 2 | \\ijCzdm. Эти интегралы назы-
ваются в механике произведениями инерции. Они могут быть
превращены в нуль соответствующим выбором координатных
осей, которые должны совпадать с главными осями инерции.
В нашем случае ось z является одной из осей инерции, и поэтому
интегралы | ££dm и | rfcdm равны нулю. Чтобы выполнялось
условие | |i] dm = 0, надо оси х и у тоже совместить с главными
осями инерции. Так как при выборе системы координат направле-
ния осей Л' и у не были заданы, разместим их так, чтобы они совиа-
54
дали с главными осями инерции. В этом случае можно положить
| Ь] dm — 0. Теперь имеем
f г.2/о •’ / * f/о е2ха 4-T|V + t;2z3 02 \ j
2~г j R* (3 cos- v - 1) dm = — J (3-------p-----------R-) dm =
= ж [x21(3'2 ~ R1} dm+(3r|2 - R2) dm+z2f(,3?2 “ Ri} dm^ ’
(2.20)
Введем моменты инерции А, В и С относительно осей х, у, г.
Согласно изложенному выше это будут главные моменты инерции:
А = Jof-R2)^; B = J(|2 + ^)d/n; С = J (г + if)dm.
Подставляя эти обозначения в формулу (2.20), находим
(А/(2р3)] [ R2 (3 cos2 у - I) dm = [fe/(2p6) | |л-2 (С -ф В - 2Л) +
-Н/2(Л4 С-25) | г2(В + Л--2С)| =
— |&/(2р5)| |(3/2)(л2 —//2)(В — Л) (-
[(л-34 /г)/2 — z2] (2С — Л — В)}. (2.21)
Введем сферические координаты: геоцентрическую шпроту <р'
и долготу X, отсчитываемую от плоскости xOz, тогда
Л' = р cos <р' cos X; у = р cos q/ sin X; z = psintp'. (2.22)
Из равенства (2.21) имеем
[/г/(2р3)] | R3 (3 cos2 у — I) dm =
= [£/(2р8)| ((3/2) cos2 гр' cos 2Х (В - Л) +
+ (1-3sin2<p')[C-(Л-|-В)/21(. (2.23)
Теперь на основании формул (2.18), (2.19) и (2.23) можем напи-
сать выражение для потенциала силы тяжести
W = feM/p + [й/(2р3)| (1-3 sin2 ф') [С — (Л 4- В)/2] +
4 (3/4) (#/р3)(В — Л) cos2q/ cos 2X4- (1/2) cosp2cos2 q/. (2.24)
Эта формула является точной до малых второго порядка, если
за малую первого порядка считать сжатие Земли (~ 1/300). Ее
первый член представляет собой потенциал шара с массой, равной
массе Земли; второй, поскольку он зависит от широты, дает доба-
вочное действие экваториального вздутия Земли; третий, содержа-
щий долготу, учитывает неравномерное распределение масс по
долготе.
>D
Предположим, что Земля но внешней форме есть тело вращения,
близкое к шару. В этом случае оси х, у являются равноправными
и моменты инерции А и В равны между собой. Для сжатой у полю-
сов Земли С А и величина (С — А)/А мала (порядка сжатия
Земли). С учетом этого выражение потенциала W может быть
записано в более простом виде:
Г = kМ/р + (И2р3)] (С — Л) (1 — 3 sin3 Ф') ф-
-ф (1/2) со2р2 cos2 <р' (2.25)
или
(С —А) (I —3 sin2ср')
2р2тИ
। °>2P:1 1 .
+ >WC0S 'Р
(2.26)
ГЕОИД
Приравняв выражение (2.26) постоянной, получим уравнение
уровенных поверхностей, в число которых входит и геоид. Чтобы
получить уравнение геоида, необходимо соответствующим образом
выбрать постоянную. Для нахождения этой постоянной возьмем
какую-нибудь точку на геоиде и подставим координаты этой точки
в правую часть равенства (2.26). Пусть это будет точка пересечения
оси х с поверхностью геоида. Координаты этой точки ф' = О,
X = 0, р = а.
Подстановка всех величин в равенство (2.26) дает
const = (kM/a) 11 + (С - А)/(2а2М) + ю2а3/(2йЛ4)|. (2.27)
Таким образом, уравнение геоида имеет вид
kM_ Г, . (С —A) (1-3 sin2 ср') , coy 2 1 _
р [1 г 2р2Л1 2kM C0S J —
kM /. , С — А . ш2а2 \
— ~ V 1 + 2<AW + 2Ш /
или
с - — (1
2р2Л-1 И
3 sin2 ср')
। ь>У о ,1 /, С — А , со2а2 \ —1 ооч
+ 2Ш cos <₽ J (1 Ч- 2а*М + WW ) ‘ (2.28)
Введем для краткости следующие обозначения:
(С - Л)/(2п2Л4) = п; (o№/(kM) = q.
Равенство (2.28) представим в виде
1 I «(1- 3sinV) I -2y‘(/cos“'t'] х
X + « + (2.29)
56
Принимая во внимание, что все выводы мы делаем, сохраняя
лишь малые первого порядка, какими являются п и q, упростим
полученное выражение. В первом приближении р = а и вся правая
часть уравнения близка к единице. Так как отношения д2/ра и
р3/а8 умножаются на малые величины, то, заменяя эти отношения
единицей, делаем ошибку второго порядка. На этом же основании
во втором сомножителе сохраняем только главный член, перенося
остальные малые величины с обратным знаком в первый сомно-
житель. Тогда
р/а = 1 + п (1 — 3 sin2 ср') 4- (<//2) cos2 ср' — п — q/2.
Меняя cos3 q>' на 1 — sin2 ср', получаем уравнение геоида
р/д = 1 — (Зп + 9/2) sin2 ср'. (2.30)
Покажем теперь, что это есть выражение сфероида со сжатием
а = 3п+ q/2. (2.31)
Для этого напишем уравнение сфероида с полуосями а, а и Ь:
х2/аг -|- Уг/иг ф- z-/b2 ~= 1.
Сжатие этого сфероида а. — (а — Ь)/а. После замены координат
х, у, z координатами р, ср', К в соответствии с формулой (2.22)
уравнение сфероида примет вид
(р2 cos2 <р')/а2 4- (р2 sin2 <р')/й2 — 1. (2.32)
Подставив а (1 —а) вместо b в это уравнение, запишем отно-
шение
= (1 — а) (1 — 2а cos2 ср' 4~ cos2 ср') 1/2,
Разложив выражение во второй скобке в ряд и ограничившись
первой степенью а, вычислим
р/д = (1 — а) (1 ф- a cos2 ср') = 1 — а sin2 ср'. (2.33)
Сравнивая это равенство с уравнением (2.30), убеждаемся
в справедливости утверждения, что геоид очень близок (до малых
второго порядка) к сфероиду, сжатие которого определяется равен-
ством а — Зп 4- q!2. Этот вывод получен без каких-либо допуще-
ний относительно распределения плотности внутри Земли; пред-
полагается только, что Земля есть тело вращения, мало отличаю-
щееся от шара. Естественно, что вывод верен, если все массы
Земли находятся внутри геоида, так как только в этом случае
возможно разложение потенциала силы тяжести в ряд.
Более точное определение геоида представляет сложную проб-
лему, которая решается на основе геодезических и гравиметри-
ческих данных и по измерениям траекторий искусственных спут-
ников Земли.
57
СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
УРОВЕННОГО СФЕРОИДА (ГЕОИДА)
Из определения силы тяжести следует, что на уровенной
поверхности она направлена по нормали к этой поверхности.
Поэтому чтобы получить силу тяжести g, необходимо найти произ-
водную потенциала W по направлению внешней нормали п, т. е.
g = —dW/dn. Однако направление нормали в уравнение (2.26)
явно не входит, но в нем есть направление радиуса р к центру
Земли. Для геоида направления п и р близки. Угол между нор-
малью п и плоскостью экватора равен географической широте ср,
а угол между направлением радиуса р и плоскостью экватора равен
геоцентрической широте ср'. Поэтому угол между нормалью п и
радиусом р равен ср ср'. Таким образом, дифференцирование
по р дает не полное значение силы тяжести g, а его проекцию на
направление р, равную g cos (ср — ср'). Так как угол ср — ср'
меняется от нуля на экваторе и полюсах до 11,6' на широте 45°,
то cos (ср — ср') принимает соответственно значения 1 и 0,999995.
Следовательно, величина g cos (ср — ср') может отличаться от g
максимально на 0,000005 своего значения. Можно пренебречь такой
малой величиной, если учесть, что и выражение (2.26) является
приближенным. Учитывая, что р и g противоположны по направ-
лению, можем написать
g ш - - dW'/dp.
Дифференцируя по р выражение (2.26) и заменяя ср' на ср
ввиду их близости, имеем
S - р2 [1 4“ 2рШ ( 3sin Ф) /гМ СОа Фj • (2 34)
Чтобы получить формулу для g на поверхности геоида, надо
в это выражение поставить вместо р его значение из уравнения
(2.30). Тогда
g = (kM/a2) [1 + (3cz2/p2) n (1 - 3 sin2 ср) -
— (p3/o3) q cos2 cp| [ 1 — (3n -f- <//2) sin2 cp]~2. (2.35)
Заменяя в первой квадратной скобке отношение а/p единицей,
разлагая выражение во второй квадратной скобке в ряд и ограни-
чиваясь только членами первого порядка малости, получаем
g = (kM/a1) [1 Зп (1 — 3 sin2 ср) —
— q cos2 ср] [ 1 + 2 (Зп + 7/2) sin2 ср] =
= (kM/a2) [ 1 -}- Зп -- q + (2<? — Зп) sin2 ср]. (2.36)
Подставляя в это выражение согласно формуле (2.31)
Зп = а — <?/2,
58
находим
g >== (kM/a2) {1 + « — (3/2) q ф- [(5/2) q — a] sin2 ф}. (2.37)
Выражение
(fe/W/a2)[l+«-(3/2)^]-^ (2.38)
представляет силу тяжести при ср — 0, т. е. на экваторе; отсюда
g = ge 1(5/2) q - a] [ 1 (3/2) q | apsirPrp}.
Введем еще обозначение
P == (5/2) q - a. (2.39)
Тогда, поскольку p малая первого порядка, во второй квад-
ратной скобке предыдущего выражения можно оставить только
первый член — единицу,
Таким образом, окончательно получим
g = £<(! — Р sin2 ср). (2.40)
Формулы (2.39) и (2.40) составляют так называемую теорему
Клеро. Первая из них, формула (2.39), определяет сжатие уровен-
ного земного сфероида через q и р. Вторая, формула (2.40), дает
закон нормального распределения силы тяжести на поверхности
уровенного сфероида (геоида).
Полагая в формуле (2.40) широту ср — ±90°, получаем силу
тяжести на полюсе
откуда следует
Р = (gp - geVge-
Таким образом, Р есть относительный избыток силы тяжести
на полюсе по сравнению с силой тяжести на экваторе.
Определив силу тяжести в двух точках на земной поверхности
с широтами и ф2, можно составить два уравнения с двумя
неизвестными ge и Р:
gi = &(l + Psin2Ti);
^2 = ^(1 +р£1П2фа).
Решив эти уравнения, можно найти ge и р. Для более уверен-
ного определения этих величин решают систему не для двух, а для
многих пунктов (методом наименьших квадратов).
НОРМАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Уравнение (2.40) справедливо только до малых второго порядка.
Если продолжить разложение ряда, то можно составить более
полную формулу — до малых третьего и более высоких порядков.
59
Уравнения (2.39) и (2.40) получены при допущениях, что форма
Земли есть эллипсоид вращения с малым сжатием и что вне этого
эллипсоида нет никаких масс. Возможно также найти уравнения,
подобные (2.40), в предположении, что Земля есть трехосный
эллипсоид с малым экваториальным сжатием. В этом случае общую
формулу можно представить в виде
£ = &[1 +₽sin2(p-p1sin22<p4-
+ cos2 q> cos 2 (X — %0) — • • •], (2.41)
т. е. в уравнении появляются члены, зависящие от долготы.
Если принять фигуру Земли за сфероид, то можно вывести
точную формулу распределения силы тяжести на нем. Этот вывод
сделан итальянским геодезистом К- Сомильяна, его формула
имеет вид
g = (age cos2 ср 4- bgpsin2 tp) (a2 cos2 <p -|- b~ sin2 <p)-1/2. (2.42)
Если в правой части этого равенства сделать подстановку
— ё^ёс = Р; (fl — b)la = а и разложить эту часть в ряд до
малых третьего порядка, то получим
£ = &(1 +Рз1п2ф — рхз1п22ф), (2.43)
где
Р = (5/2) 7 — а — (17/14)7»; (Зг = (5/8) aq — (1/8) a2, (2.44)
т. е. пришли к формуле Клеро с членами второго порядка.
Численные значения коэффициентов, входящих в правую часть
уравнений (2.41) или (2.43), т. е. значения ge, р, Pj (и т. д.), находят
сравнением формулы (2.43) с результатами гравиметрических
измерений. При этом каждое наблюдение силы тяжести дает одно
приближенное уравнение для определения этих коэффициентов.
Чтобы найти достаточно точные значения коэффициентов, необ-
ходимо иметь большое число наблюдений силы тяжести, равно-
мерно распределенных по поверхности Земли. В этом случае будем
иметь столько уравнений, сколько было наблюдений. Систему
этих уравнений решают способом наименьших квадратов. В на-
стоящее время пункты измерения силы тяжести на поверхности
Земли распределены очень неравномерно. По этой причине, а также
для сокращения вычислительной работы берут сравнительно не-
большое число уравнений. Поверхность Земли делят на площадки
со стороной в несколько градусов и все наблюдения на одной пло-
щадке осредняют для одного уравнения.
Коэффициенты р и рх связаны со сжатием Земли, и поэтому
их можно найти другим путем. Например, принять за уровенную
поверхность сфероид с определенным сжатием, по которому и
вычислить коэффициенты р и р:; наблюденные же значения силы
60
тяжести используются для нахождения ge. Решая систему уравне-
ний, получают числовые значения коэффициентов ge, 0, 0j и т. д.
Подставляя эти значения в формулу (2.41) или (2.43), находят
закон распределения силы тяжести на уровенной поверхности —
сфероиде, причем каждому уравнению соответствует вполне опре-
деленный сфероид со своим сжатием. Теоретическое значение силы
тяжести, вычисленное по уравнениям с числовыми коэффициен-
тами, называется нормальной силой тяжести и обозначается у;
само уравнение называется формулой нормального распределения
силы тяжести. Значение силы тяжести, вычисленное для принятого
сфероида, обозначается у0.
Формулы нормального распределения силы тяжести выводи-
лись многими авторами (И. Д. Жонголович, Н. П. Грушинский,
У. Хейсканен, У. Уотила), но в настоящее время только две из
них применяются па практике при обработке гравиметрических
измерений. Это формула Гельмерта 1901—1909 гг. и формула
Кассиниса 1930 г., принятая как международная. Приведем
некоторые из формул.
Формула Гельмерта выведена на основе около 1600 относитель-
ных измерений силы тяжести, распределенных по 9 широтным
зонам, каждая из которых была разделена на 10-градусные трапе-
ции. Формула имеет вид
= 978,030 (1 + 0,005302 sin2 ср - 0,000007 sin2 2<р). (2.45)
Этому уравнению соответствует эллипсоид со сжатием а =
= 1/298,2. Формула Гельмерта получила широкое распростране-
ние. В частности, до настоящего времени она применяется в СССР,
хотя при современной гравиметрической изученности Земли эту
формулу надо считать устаревшей. Использование именно этой
формулы связано с тем, что соответствующий ей эллипсоид имеет
сжатие, близкое к сжатию эллипсоида Красовского (а = 1/298,3),
который принят в качестве поверхности относимости при геодези-
ческих работах и, по-видимому, хорошо представляет всю Землю
(по современным данным ее сжатие 1/298,26). Переход на новую
формулу потребует большой вычислительной работы. В настоящее
время в формулу Гельмерта вносят поправку (—14-Ю'5 м/с2) для
привязки к новой потсдамской системе.
В 1930 г. на Международном геодезическом конгрессе в Сток-
гольме была принята в качестве международной формула Кас-
синиса
То = 978,049 (1 4- 0,0052884 sin2 ср - 0,0000059 sin2 2<р). (2.46)
Она получена на основе формулы Сомильяна по размерам между-
народного эллипсоида, т. е. коэффициенты 0 и 0Х вычислены по
формуле (2.43) для сфероида со сжатием а = 1/297, а из гравимет-
рических данных найдено только значение ge.
В 1971 г. на XV ассамблее Международного союза геофизики и
геодезии в Москве была рекомендована новая формула нормального
61
распределения силы тяжести, соответствующая так называемой
референц-систсмс 1967 г.:
уц = 978,0318 (1 |- 0,0053024 sin2 ф - 0,0000059 sin2 2ф). (2.47)
Для перехода от формулы Кассиниса к системе 1967 г. следует
вносить поправку, равную (—17,2 Д- 13,6 sin2 ср) 10"6 м/с2.
Формула Жонголовича 1952 г. выведена на основе 26 000 опре-
делений силы тяжести, из которых около двух третей приходится
на территорию СССР. Вся поверхность Земли была разделена на
площадки, равные по площади трапеции у экватора 10X10°.
Таких площадок получилось 410, в 229 из них имелись гравиметри-
ческие наблюдения. Для каждой из площадок было определено
среднее значение силы тяжести. Гравитационное поле, представлен-
ное таким образом, разлагалось в ряд по сферическим функциям.
Этим путем были получены следующие формулы нормального зна-
чения силы тяжести:
для сфероида
То = 978,0573 (1 + 0,0052837sin2ср -0,0000059sin22ср); (2.48)
а = 1/296,6;
для трехосного эллипсоида
Т„ - 978,0573 [ 1 | 0,005268 sin2 ф -
— 0,0000059 sin2 2ф Д- 0,0000155 cos2 ф cos 2 (X Д- 6°)]; (2.49)
«пип = 1/298,0.
У. Хейсканеном было предложено несколько формул: в 1924,
1928, 1938 и 1957 г. При выводе последней формулы поверхность
Земли была разбита на площадки 5x5°, для каждой из которых
определялось среднее значение силы тяжести. Эта формула имеет
вид:
для эллипсоида вращения (а — 1/297,2)
То = 978,0497 (1 Д- 0,0052902 sin2 ф - 0,0000059 sin3 2ф); (2.50)
для трехосного эллипсоида
То = 978,0516 [ 1 Д- 0,0052910 sin2 ф - 0,0000059 sin2 2ф Д-
+ 0,0000106 cos2 ф cos 2 (ХД-6°)].
Приведем уравнения нормального распределения силы тяжести,
полученные в последнее время.
Формулы Уотилы 1959 г.:
для двухосной Земли
То = 978,0496 (1 Д- 0,0052934 sin2 ф - 0,0000059 sin2 2ф); (2.51)
а= 1/297,4;
62
для трехосной Земли
Vo = 978,0516 [ 1 + 0,00529097 sin2 <р - 0,0000059 sin2 2<₽ +
+ 0,0000106 cos2 ф cos 2 (X + 6,5°)]; (2.52)
формула Грушинского
% = 978,0531(1 4- 0,0052883 sin2 <р - 0,0000059 sin2 2<р); (2.53)
а = 1/297,0.
У. Уотилой и Н. П. Грушинским выведены формулы нормаль-
ного распределения силы тяжести раздельно для Северного и
Южного полушарий. При этом получено значительное расхождение
между направлением большой экваториальной оси: по данным
У. Уотилы в Северном полушарии Хо == 3,5° 3, в южном 79,0° В;
по данным Н. П. Грушинского соответственно 15° 3 и 25° В.
Наличие асимметрии Северного и Южного полушарий Земли ставит
под сомнение возможность трактовать ее фигуру как трехосный
эллипсоид. К этому еще следует добавить, что направление боль-
шой экваториальной оси определяется с большим разбросом
(±30° в зависимости от используемых данных). Вероятно, измене-
ние экваториального радиуса Земли следует рассматривать как
крупную волну геоида, имеющую разный ход в Северном и Южном
полушариях.
При выводе формул нормального распределения силы тяжести
некоторые авторы (У. Хейсканен, И. Д. Жонголович, В. Каула)
одновременно вычислили и построили карты отклонений геоида
от сфероида (рис. 2.2).
Как уже отмечалось, из многочисленных нормальных формул
в настоящее время широко используются только две: формула
Гельмерта 1901 —1909 гг. и международная формула Кассиниса
1930 г. Причем гравиметрические наблюдения в СССР и странах
СЭВ обрабатываются по формуле Гельмерта, а в большинстве
стран Европы и Америки — по формуле Кассиниса.
В табл. 2.1 приведены нормальные значения силы тяжести,
вычисленные по формуле Гельмерта па каждый градус широты.
Переход от одной нормальной формулы к другой выполняется
очень просто — внесением небольших поправок. В табл. 2.2 даны
поправки уОм — уог, которые надо прибавить к нормальным
значениям силы тяжести, определенным по формуле Гельмерта,
чтобы перейти к международной формуле.
С запуском искусственных спутников открылась возможность
изучения гравитационного поля Земли по наблюдениям за их
орбитами. Движение спутника в поле силы тяжести Земли зависит
от этого поля. Если бы гравитационное поле соответствовало полю
сферы, то движение спутников происходило бы по эллиптическим
траекториям в соответствии с законами Кеплера. Но поскольку
внешнее гравитационное поле Земли отличается от поля сферы,
63
Таблица 2.1
Значения нормальной силы тяжести по формуле
Гельмерта 1901—1909 гг.
ф. гра- дус у0, 10"2 м/с2 Ф, гра- дус То, Ю'2 м/с2 ф. гра- дус То, 10~2 м/с2 ф. гра- дус То, 10'2 м/с2
0 978,0300 23 978,8182 46 980,7064 69 982,5464
1 ,0315 24 ,8841 47 ,7968 70 ,6061
2 ,0362 25 ,9521 48 ,8870 71 ,6633
3 ,0441 26 979,0222 49 ,9768 72 ,7180
4 ,0551 27 ,0942 50 981,0663 73 ,7701
5 ,0692 28 ,1682 51 ,1552 74 ,8196
6 ,0864 29 ,2439 52 ,2435 75 ,8665
7 ,1066 30 ,3213 53 ,3310 76 9105
8 ,1299 31 ,4002 54 ,4178 77 9518
9 ,1563 32 ,4806 55 ,5034 78 ,9902
10 ,1855 33 ,5625 56 ,5882 79 983,0257
11 ,2178 34 ,6456 57 ,6716 80 ,0583
12 ,2530 35 ,7299 58 ,7538 81 ,0880
13 ,2910 36 ,8154 59 ,8346 82 .1146
14 ,3319 37 ,9018 60 ,9141 83 ,1381
15 ,3756 38 9891 61 ,9918 84 ,1585
16 ,4221 39 980,0772 62 982,0679 85 ,1759
17 ,4711 40 ,1659 63 ,1423 86 ,1901
18 ,5226 41 ,2552 64 ,2148 87 ,2013
19 ,5771 42 ,3450 65 ,2853 88 ,2092
20 ,6337 43 ,4351 66 ,3539 89 ,2139
21 ,6929 44 ,5254 67 ,4203 90 983,2155
22 978,7543 45 980,6159 68 982,4842
то эти отклонения вносят возмущения в орбиты спутников, вызы-
вая их периодические изменения. Изучение вариаций элементов
орбит позволяет решить обратную задачу — найти параметры
гравитационного поля Земли. Особенно надежно определяется
Таблица 2.2
Поправки для перехода от формулы Гельмерта
к международной формуле
Ф> гра- дус Том — Тог* 10’2 м/с3 (р, градус Той— То г, 10'2 м/с2 Ф, градус Том Тог> 10“3 м/с3
0 4-0,0190t 30 Н-0,01658 65 -}-О,О0881о
5 ,018% 35 ,0157п 70 ,0078й
10 ,01873 40 ,0146и 75 ,0070(|
15 ,01844 45 ,0135ц 80 ,00644
20 ,0180, 50 ,012412 85 ,0060,
25 4-0,01738 55 60 ,011212 -1-0,0100ц 90 -1-0,0058“
3 В. С. Миронов
65
Рис. 2.2. Карта превышений геоида Кау.ча над сфероидом (а = 1/298,24).
Изолинии даны в метрах.
сжатие Земли, которое составляет по этим данным 1/(298,25±0,01).
Можно вычислить и коэффициенты разложения силы тяжести
в ряд, т. е. в конечном счете получить представление о распре-
делении силы тяжести на земной поверхности.
Расхождение значений g,. и р по различным формулам объясня-
ется недостаточной гравиметрической изученностью Земли. На-
копление данных позволит вывести новую, более точную, нормаль-
ную формулу, которая будет принята в качестве международной.
НОРМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Чтобы получить нормальные значения вторых производных
потенциала силы тяжести, достаточно принять за форму Земли
сфероид. Расположим начало координат на поверхности сфероида,
ось г — по нормали вниз, ось х —-по меридиану на север, ось у —
на восток в плоскости первого вертикала. Поскольку главные
сечения земного сфероида совпадают с меридианом и первым верти-
калом, то <р0 = 0; при этом из формулы (1.26) следует, что (U7(„)0 =
= 0. Примем RM — радиус кривизны меридиана, RN — радиус
кривизны первого вертикала. Известно, что
RM •= д(1 - е2) (1 - e2sin«<p)“3/2;
Rn = а(1 — e2sin2<p)~1/2;
е'1 = (а2 — Ь2)/а2,
(2.54)
где а и b — экваториальная и полярная полуоси земного сфероида;
е — его эксцентриситет.
Нормальное значение силы тяжести на сфероиде обозначим у0.
Тогда
(^хл)и = — У»/^м>
(rA)o = T„(l/Z?M- \/Rn).
Поскольку AIV' = 2(оа, нормальное значение
(11ZJ,, 2о? + То(1^м+ 1<0-
Найдем нормальные значения для Wxz и WK. Имеем
dx — Rm dy — Rn cos q> dX,
где фиХ — широта и долгота рассматриваемой точки.
Тогда
.IVZ ’I _ dg _ 1 , dg . , __ dg __ ___1____ ^g
' X2i> дх RM <?<р ’ ' г'г'° ду ~ cos ф дх
(16
(2.55)
(2.56)
. (2.57)
Пусть для силы тяжести g ее нор-
мальное значение у0 определяется одной
из нормальных формул, при этом огра-
ничимся только двумя членами:
Yo-=£e(i +₽sin2q?).
Тогда
dgldq = дуо/дф = sin 2<р;
dgidl. == ду0/дк = 0.
Подставляя эти значения в равенст-
ва (2.57), имеем
(^)0=(^M)sin2cp; (Гуг)о = 0. (2.58)
Рис. 2.3. Нормальные зна-
чения вторых производных
потенциала силы тяжести.
Формулы (2.55), (2.56), (2.58) позволяют найти нормальные
значения вторых производных потенциала силы тяжести (10““ 1/с2)
на поверхности земного сфероида (рис. 2.3), если известны м2,
0, а и е:
(1Г,г)0 = 8,11 sin 2<р;
= 0;
(№д)о = 5,12 (1 cos 2ф) = 10,25 cos2<p;
(^Л = °;
(№„)u = 3085,5 (1 -|- 0,000711 cos 2q).
(2.59)
ИЗМЕНЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ВО ВРЕМЕНИ
Гравитационное поле Земли рассматривалось в предположении,
что сила тяжести постоянна во времени. Однако вполне очевидно,
что сила тяжести не может оставаться всегда постоянной как
вследствие геологических и геофизических процессов, протекаю-
щих в Земле и приводящих к перераспределению масс внутри нее,
так и по причине разного положения Земли относительно Луны и
Солнца, а также других небесных тел. Поэтому необходимо оценить
порядок изменения силы тяжести.
Колебания силы тяжести можно подразделить на периодиче-
ские, связанные с вращением Земли вокруг своей оси, вследствие
чего меняется положение точки наблюдения на Земле относительно
Луны, Солнца и других небесных тел, и непериодические (вековые),
обусловленные внутриземными геологическими и геофизическими
процессами.
Проблема медленных (вековых) вариаций силы тяжести явля-
ется одной из важнейших в современной гравиметрии, поскольку
она затрагивает интересы физики, метрологии, геодезии, геофизики
и геологии. В частности, без точного знания силы тяжести в точке
3* 67
измерения невозможно установить эталонные значения силы тока
и давления; региональные и локальные изменения силы тяжести
могут приводить к уклонению отвеса, а следовательно, вносить
искажения в координаты пунктов, определяемые астрономическим
путем, и в высоты точек при нивелировании.
На протяжении последних 15—20 лет было сделано немало
попыток экспериментально обнаружить вековые вариации силы
тяжести как регионального, так и локального характера. В боль-
шинстве случаев выявленные изменения силы тяжести (порядка
0,001 -10~5 м/с2 в год) лежат в пределах погрешностей измерений.
При сравнении гравиметрических карт, составленных в разные
годы, были обнаружены изменения силы тяжести до 0,1 10~5 м/с2
в год. Однако эти результаты, вероятно, нельзя однозначно связы-
вать только с вариациями силы тяжести. Даже сопоставление
повторных наблюдений на специально оборудованных полигонах
в жестко закрепленных точках через длительные интервалы вре-
мени представляет большие трудности. Повторные же гравиметри-
ческие съемки проводились, как правило, по разной сети.
В самое последнее время появились некоторые фактические
данные, как будто бы подтверждающие существование вековых
вариаций силы тяжести. При повторных наблюдениях на специаль-
ных полигонах выявлены изменения силы тяжести, которые не
могут быть целиком объяснены погрешностью измерений. Инте-
ресно отметить, что существует корреляция изменений силы тяже-
сти с тектоническими особенностями региона, хотя и весьма слабая.
А. Сакума в Севре (Франция), проводя высокоточные абсолют-
ные определения силы тяжести, установил ее увеличение со ско-
ростью до 0,015 10'5 м/с2 в год. Вероятно, изменения силы тяжести
могут иметь периодический характер с амплитудой 0,06-1 (Г м/с3
и полупериодом 3 года. Пока же бесспорен факт повышения силы
тяжести в этом пункте за 4 года на 0,06 -10-5 м/с2.
О существовании вековых вариаций силы тяжести можно гово-
рить на основе теоретических предположений и некоторых косвен-
ных наблюдений. Прежде всего следует отметить, что неотектони-
ческие движения вызывают значительные изменения высоты от-
дельных точек земной поверхности. Материалы повторных нивели-
ровок убедительно показывают, что в некоторых районах верти-
кальные перемещения земной поверхности могут достигать не-
скольких сантиметров в год. Изменение высоты точки наблюдения
на 1 м приводит к изменению силы тяжести на 0,2-1Сй5 м/с2, что
вполне достаточно для измерения современными гравиметриче-
скими приборами. Внутри Земли могут происходить медленные
перемещения масс и колебания их плотности, что должно созда-
вать заметные вариации силы тяжести. Действительно, если
в слое мощностью 100 км плотность изменится на 0,001 г/см3, то это
приведет к изменению силы тяжести на 4- Ю-5 м/с2. В настоящее
время проводятся экспериментальные наблюдения по выявлению
вековых вариаций силы тяжести.
68
Периодические колебания
силы тяжести в основном вы-
зываются изменением поло-
жения Земли относительно
Луны и в меньшей степени
Солнца. Эти колебания силы
тяжести называются лунно-
солнечными вариациями или
возмущениями силы тяжести.
Возникают вариации следую-
щим образом (будем считать,
что Земля является абсолют-
но твердым телом). Сила
притяжения небесного све-
тила действует на каждый
Рис. 2.4. К изменению периодических
вариаций силы тяжести во времени.
элемент массы Земли. Для точек,
обращенных к светилу, притяжение больше, чем на противополож-
ной стороне Земли. Результирующая сила притяжения приложена
к центру тяжести Земли и направлена к светилу. Считая, что
центр тяжести испытывает все время одинаковое притяжение,
в двух точках земной поверхности, для которых светило нахо-
дится в зените и надире, будем иметь максимальное уменьшение
силы тяжести. При суточном вращении Земли каждая точка земной
поверхности будет дважды находиться в условиях, когда сила
тяжести минимальна. Кроме того, поскольку движение светил
происходит не по круговым, а по эллиптическим орбитам, на
вариациях силы тяжести сказывается также разная удаленность
светила от Земли.
• В действительности Земля не является абсолютно твердым
телом, поэтому вследствие своей упругости при изменении силы
притяжения она испытывает деформации: все точки перемещаются
в направлении светила, при этом точка, для которой светило нахо-
дится в зените, перемещается больше других. В зените и надире
па земной поверхности образуются выпуклости, возникает так
называемая приливная волна: Земля растягивается в направлении
к светилу и сжимается в направлении, перпендикулярном к нему.
Таким образом, по Земле все время пробегает волна приливного
вздутия, т. е. Земля непрерывно пульсирует. Особенно ярко эти
пульсации проявляются в океанических приливах, возникающих
под действием Луны и Солнца.
Лунно-солнечные вариации силы тяжести для абсолютно твер-
дой Земли можно оценить следующим образом. Пусть С — небесное
светило (Луна, Солнце); В — точка наблюдения на поверхности
Земли; О — центр тяжести Земли (рис. 2.4). Введем следую-
щие обозначения: т — масса небесного светила; rt и г — рас-
стояния от светила до пункта наблюдений В и до центра
Земли соответственно; углы гу и z — зенитные расстояния све-
тила для пункта наблюдений и для центра Земли; R — радиус
Земли.
69
Вариация силы тяжести в точке В равна разности проекций
векторов притяжения светила в точке В и в центре Земли на на-
правление ОВ:
fig = (km/rf) cos Zi 4- (km/r2) cos z. (2.60)
Исключаем из этой формулы zt и rtI имея в виду, что
cos zx — г cos z — R;
rl =. r3 4- R2 — 2rR cos z\
COS Zx = (r COS Z — R) (r2 4* C0S г)-1/2|
тогда
fig — km j — (r cos z — R) (r2 4- R2 — 2rR cos z)~3/21 =
= Ы|— [ 1 - (1-2 — cosz +72-) ] +
4-^(1-2-0052-1--^) }.
Разлагая выражение в степени (—3/2) по биномиальному ряду,
пол учаем
6g = km[1 -( 1 4- 3 -у- cosz • • ) j 4-
+ -^-(! 4З-7-cosz 1----)}^Am-J-(l - 3cos2z),
при этом пренебрегаем членами с сомножителем R2lr2 и выше.
Следовательно,
f>g = km (R/r3) (1—3 cos2 z). (2.61)
Введем принятое в астрономии обозначение sin Р = R/r —
горизонтальный параллакс, т. е. угол, под которым со светила
виден земной радиус. Тогда, принимая во внимание, что среднее
значение силы тяжести для шарообразной Земли
g == kM/R2,
где М — масса Земли, получаем
6g g sin3 Р (т/М) (1—3 cos2z) (2-62)
или
fig— (3,2) g sin3 P-Rn/М) (cos 2z 4- 1/3). (2.63)
Эта формула может быть использована для оценки лунно-сол-
нечных вариаций силы тяжести. Определим числовое значение
70
коэффициента —(3/2) g sin3 P (mlM) для Луны и Солнца. Изве-
стно, что отношение масс mlM для Луны равно 0,01227, для Солнца
332 000. Параллакс Солнца в течение года меняется в пределах
8,65—9,95", его среднее значение 8,80". Полагая g — 982-10’2 м/с2,
для Солнца получаем
Sgc == — 0,03788 (cos 2z ф- 1/3). (2.64)
Для Луны параллакс в течение месяца изменяется в пределах
53,5—61,6', его среднее значение 57'. Для Луны имеем
8§л = — 0,08226 (cos 2z + 1/3). (2.65)
Из формул (2.62) и (2.63) следует, что максимальное возмущение
силы тяжести небесным светилом происходит при его положении
в зените (z = 0) или в надире (г = 180°), минимальное при г — 90
и 270°; при z = 54° 44' и 125° 16' возмущение равно нулю. Соответ-
ственно поправки 8g принимают значения: для Солнца 8gCTmx =
= +0,06-10-®, SgCmln = — 0,03-10-Б м/с2; для Луны б£Лтах =
- +0,16-10-®, б£ЛпПп - -0,08-10-® м/с2.
Таким образом, максимальное изменение силы тяжести, обуслов-
ленное притяжением Луны, составляет приблизительно 0,25-10-®,
Солнца 0,1 -10~в м/с2, т. е. их суммарное влияние может достигать
0,3-10-® м/с2.
Значения 6g вычислены при условии, что Земля является абсо-
лютно твердым телом. На самом деле она обладает некоторой
пластичностью и под влиянием притяжения Луны и Солнца дефор-
мируется. В упругой твердой оболочке Земли возникает приливная
волна, которая смещает точку наблюдения В от центра Земли и тем
самым увеличивает амплитуду вариаций силы тяжести приблизи-
тельно в 1,2 раза. Высокоточные гравиметрические наблюдения
в стационарных условиях показывают, что лунные суточные
вариации на 15—20% больше, чем вычисленные по вышеприведен-
ным формулам.
В настоящее время точность относительных определений силы
тяжести настолько высока, что требуется вводить поправки и за
лунно-солнечные вариации. Для определения их числовых значе-
ний необходимо рассчитать для данного момента времени зенитные
расстояния z Луны и Солнца:
cos z = cos <р cos Д -j-sin <р cos A cos {Т — а),
где ф — географическая широта пункта наблюдения; а — прямое
восхождение; А — склонение Луны (Солнца); Т — время наблю-
дения.
Значения а и А следует брать из астрономического ежегодника.
На рис. 2.5 приведены графики суточного изменения силы тяжести
в разные фазы Луны на пунктах с разной широтой. Для учета
лунных суточных вариаций составлены специальные таблицы,
по которым можно получить поправки 8g по известному на данный
момент зенитному расстоянию г. Кроме того, ЦНИИГАиК каждый
71
Рис. 2.5. Лунно-солнечные вариации силы тяжести.
год публикует специальные графики, рассчитанные для всех суток
года; по этим графикам можно определять поправки за лунно-
солнечные вариации силы тяжести.
Глава 3
РЕДУКЦИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ПОНЯТИЕ РЕДУКЦИЙ И ИХ ВИДЫ
Использование гравиметрических наблюде-
ний для геологических и геодезических целей предполагает сопо-
ставление и сравнение результатов этих наблюдений в границах
определенных территорий. Непосредственное сопоставление изме-
ренных значений силы тяжести оказывается невозможным, так
как наряду с неоднородным распределением масс в Земле, что и
является предметом исследований в гравиразведке, на силу тяже-
сти оказывают влияние географическое положение точек наблюде-
ний, их высота, окружающий рельеф.
Обычно представляют интерес не полные g, а только аномаль-
ные значения силы тяжести \g, которые получают, вычитая из
наблюденных g нормальные значения силы тяжести у в точках
измерения:
Ag ==£-?. (3.1)
Используя формулы (2.45)—(2.53), можно вычислить у0 — нор-
мальное значение силы тяжести некоторой идеальной Земли, пред-
72
ставляющей собой эллипсоид вращения с малым сжатием. По-
скольку в формулах для нормальных значений силы тяжести
учтено действие центробежной силы, которое не зависит от распре-
деления масс в Земле, а определяется лишь расстоянием до ее оси
вращения, то аномалии силы тяжести отражают только неоднород-
ное распределение масс и тождественно совпадают с аномалиями
притяжения.
Наблюденные значения силы тяжести g всегда относятся к фи-
зической поверхности Земли, на которой проведены измерения,
а нормальное значение у0 — к поверхности эллипсоида. Чтобы
получить аномалию силы тяжести, необходимо привести наблюден-
ное значение g к поверхности эллипсоида (обозначим приведенное
значение g,,) или же нормальное значение у0 — к физической
поверхности Земли. Эта операция осуществляется введением в зна-
чение силы тяжести некоторых поправок и называется редуциро-
ванием или приведением силы тяжести.
В принципе безразлично, редуцировать ли наблюденные значе-
ния силы тяжести па эллипсоид п определять аномалии на его
поверхности или же редуцировать нормальные значения на физи-
ческую поверхность Земли и вычислять аномалии на ней, т. е.
Ag = g-Y = £o-Yo- (3.2)
При геологических исследованиях редуцирование нормального
значения силы тяжести от поверхности эллипсоида к физической
поверхности Земли представляется более удобным, поскольку
аномальное гравитационное поле, отражающее распределение
масс внутри Земли, необходимо знать для реальной поверхности,
где проводились измерения, а не для поверхности эллипсоида.
При практическом осуществлении редуцирования используют
превышения земной поверхности относительно уровня моря (ге-
оида), а не относительно сфероида (нормального эллипсоида).
Поэтому величины g0 и у0 относятся к разным поверхностям, рас-
стояние между которыми равно превышению геоида над эллип-
соидом.
Аномалии силы тяжести, определенные таким образом, назы-
ваются смешанными в отличие от чистых аномалий, которые полу-
чают при сравнении наблюденных и нормальных значений, отне-
сенных к одной и той же поверхности. Амплитуда смешанных
аномалий зависит не только от плотностных неоднородностей
масс, ио и от превышений геоида над эллипсоидом. Выясним,
насколько отличаются смешанные аномалии от чистых, вычислен-
ных с учетом поправки за превышение геоида над эллипсоидом.
Пусть IF — нормальный потенциал силы тяжести, тогда уравне-
ние W = с дает уровенный сфероид, значение силы тяжести на
котором есть Yo- Если теперь действительный потенциал силы
тяжести приравнять постоянной с, то получим уравнение геоида,
сила тяжести на котором есть g0. Действительный потенциал силы
тяжести мало отличается от нормального, и его можно записать
73
в виде суммы W Т = с, где Т — аномальный (или возмущаю-
щий) потенциал, обусловленный плотностными неоднородностями
в Земле, Т величина малая по сравнению с W. Порядок малости Т
можно оценить исходя из следующих соображений. Пусть N —
расстояние между геоидом и сфероидом по нормали Тогда измене-
ние функции W при перемещении точки с поверхности эллипсоида
на поверхность геонда
(1W = Fs ds = с — (с -Т)=Т =
или
N - Т/у0.
(3.3)
Эта формула называется уравнением Брунса, она показывает,
что Т — величина одного порядка с N.
По современным данным (см. рис. 2.2) геоид отклоняется от
эллипсоида на несколько десятков метров, достигая максимального
расхождения в области Индийского океана. Поэтому, принимая,
как и раньше, за величину первого порядка малости отклонение
земного сфероида от шара (порядок сжатия сфероида), превышение
100 м можно отнести к малой второго порядка, т. е. потенциал Т
является величиной второго порядка малости по отношению к нор-
мальному потенциалу W.
Образуем аномалию силы тяжести
Г d(W + Т) I . Г (W •]
£° — L дп _|g+ L дп Js —
индексы g и s указывают на нормали к поверхности геоида и сфе-
роида.
Для приведения производных к одной поверхности (к сфероиду),
воспользовавшись разложением (dW/dri)s в ряд Тейлора, получим

(3.5)
формуле пренебрежем
силой и примем потен-
При вычислении производных в этой
сжатием сфероида, а также центробежной
циал W равным потенциалу притяжения шара с массой М и ра-
диусом Д. При этих условиях имеем
ап ар2 \ р / р3
Ц/=/г—;
Р
др2 \ р / р3
откуда
— 9/, — 9 Д»
дп2 /s ~ R ’
74
где
7fl = AOW).
Тогда
/ dW \ / d\V \ . о N ,
\ дп ) s \ дп / s “ R ”'’0’
„ N / дТ \
go То— 2 R То - ( дп )е-
(3.6)
Заменяя в уравнении (3.6) расстояние N его выражением (3.3)
и опуская индекс g у производной, поскольку из-за малости
потенциала Т безразлично, на какой поверхности брать его произ-
водную, получаем
£0_?0 = -277Я-д7Ж (3.7)
Это основное дифференциальное уравнение, связывающее ано-
малию силы тяжести с возмущающим потенциалом Т. Второй член
в правой части уравнения представляет силу, развиваемую воз-
мущающим потенциалом, и дает чистую аномалию. Первый же
член учитывает тот факт, что нормальные значения g9 и отно-
сятся к разных поверхностям, и показывает изменение силы тяже-
сти при переходе с поверхности сфероида на геоид. Это слагаемое
уравнения (3.7) называется членом Брунса. Из формулы (3.6)
видно, что косвенное влияние возмущающего потенциала, опре-
деляемого этим членом, пропорционально N — превышению геоида
над сфероидом.
Для геологических целей важны аномалии, причиной которых
являются плотностные неоднородности. Но эти аномалии искажа-
ются влиянием изменения превышений геоида над сфероидом.
Однако поскольку превышения меняются плавжгндлггнеббльших
территории искажения практически постоянны, то при геологи-
ческой интерпретации ими пренебрегают. Если же рассматри-
ваются территории порядка континентов, следует вводить поправку
за искажающее действие отклонения геоида от сфероида, макси-
мальное значение которой может достигать 40-ИГ5 м/с2.
Несмотря на кажущуюся простоту, вопрос о редукциях еще не
получил окончательного решения; до сих пор существует несколько
способов редуцирования, предложенных разными авторами. Мы
ограничимся рассмотрением только наиболее распространенных
при решении геологических задач редукций. Обычно используют
следующие поправки и соответствующие этим поправкам или их
комбинациям редукции силы тяжести.
Поправка за высоту — так называется поправка, которую
необходимо внести в нормальную силу тяжести, чтобы получить
ее значение в точке наблюдения при условии, что между этой точ-
кой и уровнем моря нет никаких притягивающих масс, поскольку
нормальное гравитационное поле рассчитано для сфероида, вне
75
которого ист никаких масс. Эту поправку часто называют редук-
цией и свободном воздухе или редукцией Фая.
Поправка за промежуточный слой —так называется поправка
за притяжение масс, расположенных между точкой наблюдения и
уровнем моря, которая как бы удаляет действие этих масс. Эту
поправку, сложенную с поправкой за высоту, называют редукцией
Буге.
Поправка за влияние рельефа окружающей местности (топогра-
фическая поправка) — эта поправка применяется при наличии
в районе крупных, резко выраженных неровностей рельефа. Она
приводит наблюденное значение силы тяжести к такому случаю,
как если бы точка измерений находилась на равнинной местности.
Поправка за рельеф—третья поправка, учитываемая редукцией
Буге. Она используется и другими редукциями.
I Оправка Прея — эта поправка вводится для получения наблю-
денных значений силы тяжести на поверхности геоида без удаления
или какого-либо перемещения масс, расположенных между точкой
наблюдения и геоидом. Такая поправка необходима при морских
подводных гравиметрических измерениях, когда требуется пере-
нести значение силы тяжести па уровень моря с учетом масс, под
которыми проводились наблюдения.
Кроме перечисленных редукций существует много других,
применение которых основано па различных предположениях
о распределении масс и соответствующем учете их влияния. Смысл
этих редукций состоит в том, чтобы уменьшить или исключить
гравитационный эффект, создаваемый предполагаемым или извест-
ным распределением масс в Земле. Примером может служить
изостатическая редукция. Согласно теории изостазии (см. главу 17)
всякому избытку масс над поверхностью геоида соответствует
такой же недостаток масс непосредственно под избыточными
массами. Тогда, принимая ту или иную гипотезу распределения
масс в верхней части литосферы, можно вычислить, как изменится
в данной точке сила тяжести, если внешние'' массы распределить
под поверхностью геоида.
Применяя различные редукции, получаем различные по ампли-
туде аномалии силы тяжести. В зависимости от использованной
редукции аномалия приобретает соответствующее название, на-
пример аномалия в свободном воздухе, аномалия Буге и т. д. При
геологических исследованиях необходимо привлекать такую редук-
цию, которая освобождала бы аномальное значение силы тяжести
от влияния всех факторов, не связанных с геологическим строением
изучаемого района, и подчеркивала бы гравитационный эффект,
обусловленный плотностной неоднородностью пород. Этому тре-
бованию достаточно хорошо удовлетворяет редукция Буге, кото-
рую обычно и применяют при составлении гравиметрических карт,
используемых для геологической интерпретации. При резком
рельефе дневной поверхности обязательно учитывают топографи-
ческую поправку.
76
Совершенно иным должен быть подход к выбору редукции, если
гравиметрические данные используются для изучения фигуры
Земли. В этом случае необходимо применять такие редукции,
которые не нарушают основных условий теории фигуры Земл i,
в частности не изменяют ее массы. Этим условиям удовлетворяют
редукции в свободном воздухе и изостатическая. Редукция Буге
здесь совершенно неприменима, поскольку не соблюдается требо-
вание сохранить полную массу Земли.
ПОПРАВКА
ЗА ВЫСОТУ ТОЧКИ НАБЛЮДЕНИЯ
И РЕДУКЦИЯ в СВОБОДНОМ ВОЗДУХЕ
Редукция в свободном воздухе заключается в приведении нор-
мального значения силы тяжести к точке наблюдения в предполо-
жении, что между этой точкой и уровнем моря нет притягивающих
масс.
Положим, что сила тяжести g определена в точке В (рис. 3.1)
на высоте h над уровнем моря (геоида). Нормальное значение силы
тяжести на уровне моря в точке В', являющейся проекцией точки
В на геоид, есть у0. Значение у0 должно быть редуцировано в точку
В на высоте/г. Так как разность g— ус мала, ограничимся в выра-
жении (2.36) силы тяжести на геоиде только первым членом,
заменив при этом а средним радиусом Земли R:
y0^kM/R2. (3.8)
Это ограничение равносильно предположению, что Земля пред-
ставляет собой шар. Поскольку высота h мала по сравнению с ра-
диусом Земли R, то поправку можно определить, дифференцируя
выражение (3.8) по R. Затем, переходя к конечным приращениям,
заменяем АТ? на h. Таким образом получаем
dy0/dh = dy0/dR = — 2/гЛ4/А*3 =
=-2y0/R.
Поправку за высоту вычис-
ляем по формуле
6g = -(2Vo/R)/i. (3.9)
Полагая для всей Земли
нормальное поле у0 равным сред-
нему значению (980-10"2 м/с2) и
расстояние R равным среднему
радиусу (6371 км), получаем
6g = — (2y0/R)h= 0,3086/г;
(3.10)
высота h выражается в метрах;
поправка 6g — в 10~5 м/с2.
Рис. 3.1. Редукция в свободном воз-
духе.
77
Коэффициент (—2у0/Д) в формуле (3.9) представляет нормаль-
ное значение вертикальной составляющей W„ градиента силы
тяжести, т. е. ее нормальное изменение с высотой. Таким образом,
уменьшение силы тяжести с высотой составляет приблизительно
0,3-Ю'5 м/с2 на каждый метр.
Корректируя редукцией в свободном воздухе поле у0, получаем
нормальное значение силы тяжести в точке наблюдения на высотеА:
у = у0 — 0,3086ft.
После введения поправки за высоту аномалия силы тяжести
ЛЯсв.и = ?-Т = £Г-То-Ь 0,3086ft. (3.11)
Полученная таким образом аномалия AgCB. п называется анома-
лией в свободном воздухе или аномалией Фая.
При выводе формул мы пренебрегли действием масс, располо-
женных между точкой наблюдения и уровнем моря. Эти массы
увеличивают наблюденное значение силы тяжести g, и, как след-
ствие этого, растет разность g — у, т. е. растет аномалия, причем
это увеличение тем больше, чем больше ft. Таким образом, анома-
лии силы тяжести с поправкой за высоту зависят от высоты пункта
наблюдений. Этот эффект становится особенно заметным в горных
районах, где аномалии в долинах всегда меньше аномалий на
вершинах.
Зависимость аномалий в свободном воздухе от высоты делает их
малопригодными для использования в геологических целях,
поскольку «эффект высоты» может значительно превосходить дей-
ствие плотностных неоднородностей и при резком изменении рель-
ефа полностью их маскировать. Иная ситуация в равнинных обла-
стях, где превышения точек наблюдений незначительны и влияние
слоя пород, заключенного между поверхностью наблюдений н
геоидом, остается постоянным.
Для исключения влияния промежуточного слоя пород и выделе-
ния эффекта аномальных масс приходится вводить дополнительные
поправки.
ПОПРАВКА
ЗА ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ СЛОЙ
И РЕДУКЦИЯ БУГЕ
Влияние масс, расположенных между уровнем моря (геоида) и
точкой наблюдений, учитывается введением поправки за промежу-
точный слой. Предполагается, что действие масс между точкой
наблюдения и уровнем моря эквивалентно действию горизонталь-
ного бесконечно простирающегося во все стороны слоя, мощность
которого, равна высоте точки наблюдения над уровнем моря.
Притяжение этого слоя можно получить из общего выражени i
(1.31) для U г, если положить пределы интегрирования ±оо по
±оо по ц и 0, h по £.
78
Выполняя интегрирование в указанных пределах, находим
6g = 2nkah = 0,0419ст/г, (3.12)
где о — плотность пород промежуточного слоя.
Поскольку притяжение промежуточного слоя увеличивает
силу тяжести, наблюдаемую в точке В (см. рис. 3.1), то это притя-
жение вычитают. Сумму поправок за свободный воздух и проме-
жуточный слой учитывает редукция Буге. Аномалия силы тяжести
в редукции Буге
hg^g- уо -1-(0,3086 - 0,0419о)Л. (3.13)
По геологической эффективности аномалии в редукции Буге
имеют бесспорное преимущество перед аномалиями в свободном
воздухе. Поскольку в редукции Буге гравитационное действие
масс, расположенных между точкой наблюдений и уровнем моря,
устранено, то зависимость аномалий Буге от высоты пунктов изме-
рения значительно слабее, чем аномалий в свободном воздухе.
Обычно эта зависимость обратная, т. е. с увеличением высоты точки
наблюдения аномалия Буге уменьшается (в алгебраическом смы-
сле). Это связано с тем, что учитывая эффект промежуточных масс
как действие горизонтального слоя, мы вводим поправку несколько
большую, чем реальное влияние этих масс. Для более точного
учета промежуточных масс необходимо ввести еще поправку за
отклонение формы этих масс от плоского слоя (топографическую
поправку).
При вычислении аномалий в редукции Буге очень большое зна-
чение имеет плотность промежуточного слоя. Если эта плотность
сильно преуменьшена по сравнению со средней плотностью пород,
то аномалии Буге напоминают аномалии в свободном воздухе и
могут прямо коррелироваться с рельефом местности; при сильно
завышенной плотности наблюдается обратная корреляция.
При составлении сводных гравиметрических карт принята
единая плотность промежуточного слоя, равная 2,67 г/см3. Для
большей части земного шара это значение заведомо выше реаль-
ного, оно характеризует плотность верхней части кристаллической
земной коры, а также консолидированных палеозойских пород.
Для территории СССР с 1955 г. принята плотность промежуточного
слоя 2,3 г/сма. Для площадей, сложенных осадочными породами,
это значение ближе к реальному. Для отдельных районов необхо-
димо выбирать плотность промежуточного слоя, соответствующую
действительной.
РЕДУКЦИЯ ПРЕЯ
Цель этой редукции — привести на уровень геоида значения
силы тяжести, наблюденные па физической поверхности Земли, без
какого-либо перемещения масс. Такое редуцирование необходимо
79
осуществлять при измерениях силы тяжести под землей или под
водой.
Поправка Прея получается, если из поправки за свободный
воздух вычесть удвоенное действие промежуточного слоя, заклю-
ченного между точкой наблюдения и уровнем моря:
6^П = 0,3086/1-2-0,0419a/i. (3.14)
Эффект промежуточного слоя удваивают по следующим сообра-
жениям: находясь под точкой наблюдений, этот слои увеличивает
силу тяжести, а находясь сверху, когда точка перенесена на
уровень моря, уменьшает силу тяжести на ту же величину.
Следует отметить, что значение 2 0,0419пй совпадает с притяже-
нием однородным сферическим слоем точки, лежащей па его
поверхности. Поскольку действие такого слоя па внутреннюю
точку равно нулю, то редукция Прея, учитывая притяжение масс,
находящихся выше точки погружения, показывает изменение силы
тяжести при движении внутрь Земли.
Формула (3.14) может быть использована для определения сред-
ней плотности промежуточного слоя. Действительно, пусть извест-
ны значения силы тяжести на дневной поверхности и в шахте на
глубине Л. Тогда
о = (0,3086/1 - Ag)/(0,0838/0, (3.15)
где Ag — разность наблюденных значений силы тяжести на
поверхности и в шахте.
АНОМАЛИИ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА МОРЕ
На морях и океанах геоид совпадает с физической поверхностью
Земли. Если гравиметрические измерения на этих акваториях осу-
ществляются на уровне геоида, то разность наблюденного и нор-
мального значения силы тяжести Ag = g — у, представляет ано-
малию, эквивалентную аномалии в свободном воздухе.
При измерении силы тяжести на надводном судне прибор может
располагаться несколько выше или ниже уровня моря; на подвод-
ной лодке прибор может находиться на несколько десятков метров
ниже уровня моря; при установке гравиметра на дне глубина
точек наблюдения совпадает с глубиной моря. Если прибор нахо-
дится несколько выше уровня моря, то для приведения наблюден-
ных значений к уровню моря вводится поправка за высоту (редук-
ция в свободном воздухе). При выполнении измерений ниже уровня
моря вводится поправка Прея, учитывающая притяжение слоя
воды между точкой наблюдений и поверхностью моря. Аномалия
силы тяжести в этом случае вычисляется по формуле
Agc„. „ - g - у, - 0,3086/г 4- 0,0838<т„/г, (3.16)
где Л — глубина погружения (принимается положительной); —
плотность морской воды (1,0.3 г/см”).
80
Тогда аномалия Прея
А.?п — g — То - 0,222/г.
При изучении акваторий часто используют аномалию Буге,
которую получают из аномалии в свободном воздухе, добавляя
поправку за промежуточный слой, мощность которого равна
глубине моря в точке наблюдения, а плотность равна разности
между плотностью земной коры и морской воды. Таким образом,
эта поправка «засыпает» океаны массами, доводя плотность воды
до плотности земной коры.
Строго говоря, такая аномалия не является аномалией Буге,
которая должна исключать действие расположенных выше геоида
масс, представленных в виде плоского слоя. На океанах массы за
поверхность геоида не выступают и, следовательно, поправка за
промежуточный слой равна нулю, т. е. аномалии Буге на океанах
совпадают с аномалиями в свободном воздухе. Поэтому аномалии
Буге на акваториях можно называть так только условно.
Формулы для вычисления условных аномалий Буге имеют сле-
дующий вид;
при наблюдениях на надводном судне (выше уровня моря)
AgB = g - Vo 4.0,3086/in 4 0,0419 (ст - 1,03) Н,
где/гп высота прибора над уровнем моря; Н - глубина моря, м;
при наблюдениях ниже уровня моря
^.g- Vo - 0,222/i 4- 0,0419 (о - 1,03) Я;
при измерениях па дне моря, когда h = Н,
AgB = g - Vo - (0,265 - 0,0419а) Я,
где о — плотность земной коры; глубины h и Н принимаются
положительными.
При необходимости следует вводить поправку за влияние
рельефа морского дна. Эта поправка учитывает эффект избытка
(недостатка) масс выше (ниже) уровня, проходящего через проек-
цию точки наблюдения на дно моря.
ПОПРАВКА
ЗА ВЛИЯНИЕ РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ
Прежде всего необходимо заметить, что и понижения рельефа
(недостаток масс ниже точки наблюдения), и повышения релье ра
(избыток масс выше точки наблюдения) приводят к уменьшению
наблюденного значения силы тяжести. Действительно, массы,
расположенные выше точки наблюдения (рис. 3.2), создают верти-
кальную составляющую притяжения, направленную вверх, умень-
шая таким образом значение силы тяжести в этой точке. Недоста-
ток масс ниже горизонта также уменьшает силу тяжести. Таким
81
'-flTTl'1 образом, поправка за влияние релье-
лу фа дневной поверхности всегда по-
/i/'*' ложительна.
/'/' Чтобы рассчитать влияние релье-
--------------- фа, необходимо аппроксимировать
у/-------------его простыми геометрическими те-
х- лами, гравитационный эффект кото-
рых можно вычислить аналитически.
Обычно всю окружающую мест-
9 ность системой концентрических
Рис. 3.2. Влияние рельефа на окружностей с центром в точке на-
силу тяжести. 1 J
блюденпя и радиальных прямых де-
лят на ряд кольцевых секторов.
Действие реального рельефа в пределах каждого сектора заме-
няется действием криволинейной призмы с основанием, равным
кольцевому сектору, и высотой, равной средней высоте мест-
ности в пределах сектора. Влияние такой призмы можно опре-
делить аналитически. Просуммировав эффект всех секторов, по-
лучим поправку за влияние рельефа. Такую операцию осуществ-
ляют по всем секторам, исключая непосредственно прилегающие
к точке наблюдения, где для вычисления поправки используют
другие методы. Здесь прилегающий рельеф можно считать на-
клонной плоскостью, конической поверхностью и т. д.
Чтобы вывести уравнения для учета влияния рельефа, можно
использовать формулу для вертикальной составляющей притяже-
ния цилиндрического кольца в точке, расположенной на оси ци-
линдра (рис. 3.3). Взяв начало координат в этой точке, обратимся
к выражению (1.35) для функции U2 в вертикальных цилиндриче-
ских координатах. Вертикальную составляющую kg притяжения
цилиндрического кольца вычислим с помощью интеграла
2л га h
О Гг hl
(3.17)
где г, и г2 — радиусы внутренней и внешней цилиндри-
ческих поверхностей кольца; h и /гх — расстояния от точки
наблюдения до нижнего и верхнего оснований кольца.
Интегрирование удобнее выполнить сначала по а, затем
по г и г. После интегрирования по а и г получаем
h
Окончательно, после интегрирования по /1, находим
kg 2nku (j/*r'i ф- h2 — -1- hi j/"г; -ф /ij. (3.19)
82
При вычислении поправки
за влияние рельефа 1гх = О,
тогда
= 2пА’о r'i ф- li1 —
-И -]/Гг^+ /г2 + г2). (3.20)
Если цилиндрическое коль-
цо разделить вертикальными
плоскостями па п равных час-
тей, то притяжение каждого
кольцевого сектора, получен-
ного таким способом, будет в п
0
Рис. 3.3. К притяжению цилиндри-
ческого кольца.
раз меньше:
Again — (2зт/с<у/п) — Г т -j- /Г -ф- Гт — "j/"h -р rjn-j-ij, (3.21)
где гт и г,л+, — радиусы соседних окружностей.
Суммируя притяжение отдельных секторов, получаем поправку
за рельеф:
т Н
Xi Agnn.
Ill I
(3.22)
При малом значении отношения hl г можно упростить выражение
(3.21). Для этого его правую часть разложим по степеням отноше-
ний h/rm и h!rm+1 и ограничимся членами с (Л/r)2. При этих условиях
Л2
2г т 2r tn4j
И
Agnm^(nko/n)h*(llrm — l/rm+1).
(3.23)
В зоне, непосредственно прилегающей к точке наблюдения,
рельеф может быть представлен в виде наклонной плоскости.
В этом случае влияние кольцевых секторов можно выразить через
угол наклона плоскости 1 (рис. 3.4, а). Тогда исходное выражение
(3.17) следует интегрировать в пределах: по а от 0 до эх/2, по г
от 0 до R, по г от 0 до R tgi. После интегрирования по г и г полу-
чаем
П/2
Ag = 2hoR | (1 — cost) da. (3.24)
о
83
Рис. 3.4. К аппроксимации рельефа
ближней зоны наклонной плоскостью
(о), конусом (б), цилиндрическим
телом (в).
Для наклонной плоскости
tgi = tg /cos а.
После подстановки значения cost в формулу (3.24) получим
Л/2
Ag_2W j [1 — (1tg2/cos2a)—1/2] da (3,25)
о
или
Ag = 2/гсг/?
я/2
] (1 + tg27cos2a)~1/2 da
о
(3.26)
Интеграл, входящий в это выражение, можно представить
в следующем виде:
л/2 л/2
| (1 ф- tg2/cos2а)-1/2da = j (1 -ф tg2/ — tg2/sin2a)-1/2da =
о о
Л/2
= cas/ | (1 — sin2 /sin2a)~1/2 da. (3.27)
о
Это так называемый эллиптический интеграл первого рода,
неприводимый к элементарным функциям. Для его вычисления
подынтегральное выражение разлагают в ряд и затем почленно
84
интегрируют. Применяя этот способ к интегралу (3.27), получаем
ряд
Л/2
| (1 — sin21 sin2 а)-1/2 da =
о
= (л/2) 11 + (W sin2 / + |(1 -3)/(2 - 4)|2 sin41 Ц----------}. (3.28)
Значения этого интеграла табулированы по аргументу sin2 I.
Окончательно равенство (3.26) может быть записано в виде
Ag = nkoR ! 1 — cos [ 1 + (4") sin2 (o) sifl4 "b ’ ’ ’ ] j
(3.29)
или
Ag = л/?а/?(1 — cos/). (3.30)
При a = 2,0 г/см3 поправка
Ag = 0,0419/?(l - cos/). (3.31)
Когда рельеф центральной зоны аппроксимируют двумя полу-
плоскостями с углами наклона 7, и /2 вычислительная формула
(3.30) видоизменяется:
Ag = 0,0419/? (2-cos/t - cos/2). (3.32)
Если центральную зону рассматривают как конус, на вершине
которого располагается точка наблюдения (рис. 3.4, б), исходное
выражение (3.17) необходимо интегрировать в пределах: по г от 0
до /?, где 7? — радиус основания конуса; по z от г tg 1 до R tg 1,
где / — угол наклона образующей конуса. Тогда
2л R tg 1 к
Agf = AoJ J J
(I г tg 1 О
rz da dr dz
(г* -p z2)3/2
R R ig I
= 2rcfeo J— o- I dr = 2nJja/?tg I (1 — sin /). (3.33)
0 rig/
Если 1г — высота конуса, то формула примет вид
Ag = 2лАю/г (1 — sin 7). (3.34)
Когда центральную зону аппроксимируют цилиндром, из кото-
рого вынут конус (рис. 3.4, в), в выражении (3.33) пределы интегри-
рования no z будут 0 и 7? tg 7. В этом случае
Ag =^= 2лАю7? (1—cos/). (3.35)
85
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ПОПРАВКИ ЗА ВЛИЯНИЕ РЕЛЬЕФА
Чтобы практически применить выведенные выше формулы для
учета поправки за влияние рельефа местности, необходимо выбрать
соответствующие размеры радиусов г кольцевых зон и число секто-
ров на каждом кольце. На практике для ускорения вычисления
топопоправок применяют специальные таблицы и номограммы,
которые дают значение вертикальной составляющей притяжения
масс, заключенных в кольцах разных радиусов и разных высот.
Такого рода таблицы и номограммы составлены многими авторами
(Д. Ханфорд, 3. Хаммер, П. И. Лукавченко). Расчетные схемы
различаются только выбором радиусов г и числа секторов п, что
оказывает влияние на точность вычисления топопоправок.
В качестве примера рассмотрим таблицы и номограммы,
составленные П. И. Лукавченко. Таблицы и номограммы (рис. 3.5)
рассчитаны по формуле (3.21). По таблицам влияние рельефа можно
учитывать в радиусе до 30 км, а по номограммам — до 400 км.
150
5,м
1,0—
-7
7-
60-
.50
ЮЗ v22//l0:
too-
ls -
-15
90-
ijO- "S
0,8-'
07 -~3
6
6-.
0,6-
-4
0,5-.
35-t-6
30
28
26
-5 24--
7.2-
20-
18-
16-
-4
4-.
0.4--3
-3
40
L72 70
-fl
40
-4 30- _g
-7
14--3
-6
0,3-
-2
0,2
3-'
-2
12-'
-2
10-
20-.S
-4
V -
0,05-~
0-t-0
0-2
Зона 1
n 1
1-
04-0
2-10
2
6-~1
4-'
o^-o
10-20
3
6
2-
12
-1
8
s
20-50
4
8
r32
-3!
-30
-29
-28
-27
M 250- -
-15
3,0 Г2250lP[.22
-22"
'^450-
-20 .
-19
. ~'S400-
-17
-IB
-15.
'-13
T-z?
'-11300-
-10 -
.-9
-_8250-
--7
. 'b209
-5
~4
-3'S°-
-2
-.100-
l-o 0^4-0 o^-o
ЗОВ-
-21 i
20130-
-19
-13120-
-17
-46110-
-15 I
-14 100-
-a :
-12 go-
-25
--24
-23
-22
'-2!
-20
.-19
-18
-17
-'-16
'.-15
'.-14
'-13
-12
-11
-10
-9
'.'-8
'.'-7
:-6
--5
--3
+2
:'~1
. ^0
50-100 100-200
6
в
60
--И
~.-1O so-
50-
40
30
20
10-
-9
-8 70-
-7 :
-6 so-
-5
_-450
; -3 40
+ 2 30
I 20.
16
-14
-13™~1
-12
200-.
. -11
--_g2OO-
i50-. 8
. 7
-6.
150
-5
100-~4
-3
100
2
-21
.-20
'7/9450-7
.-10 -
'-17
'.-16 -
-'-!4 -
'-13 '
'_-l2350-
-11
-10 ' -
7_g300-_
8 --
7 --
250--
--5 •-
--5
-21
'-20
19
18
47
-16
45
44
43
42
41
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
4го°-.
з :
i’50-'
, tool
'лчг-:
50Д..1 .n
40- ' 50
20- o:
o^-o о
200-300 300-500 500-700 700-1000
7 8 9 10
is is ie 16
30
’ ' 80
a
о
-!
8
5
9
3
2
0
8
ю
Рис. 3.5. Фрагмент номограммы Лукавченко для вычисления поправок за влия-
ние рельефа на силу тяжести.
8G
Рис. 3.6. Палетки для вычисления влияния рельефа на силу тяжести.
В радиусе до 30 км вся местность представлена в виде 19 концентри-
ческих зон, каждая из которых разделена на несколько секторов.
В радиусе от 30 до 400 км содержится 8 кольцевых зон, также
состоящих из нескольких секторов. В радиусе больше 30 км вычис-
ление поправок проведено с учетом кривизны земной поверхности.
Номограммы представляют собой прямые вертикальные линии
с двумя шкалами: на левой нанесены высоты, на правой — топопоп-
равки. Каждая вертикальная линия соответствует одной зоне. Под
номограммами указаны внешний и внутренний радиусы зон, номера
зон и число отделений п в каждой из них. Поскольку' в зонах ради-
усом 30—400 км учтена кривизна земной поверхности, то поправки
здесь могут быть и положительными и отрицательными. Если пре-
вышения в зонах отрицательные, то поправки всегда положитель-
ные; если же превышения положительные, то поправки могут быть
и отрицательными и положительными. Поэтому для радиусов
30—400 км вычислены две номограммы: одна для отрицательных
превышений, другая для положительных.
Для определения средних превышений в секторах необходимо
иметь топографические карты различных масштабов. Для зон
в радиусе до 300 м нужны карты масштаба 1 : 1000—1 : 2000,
для зон до 30 км — 1 ; 10 000—1 : 50 000, а для зон больше
30 км — 1 : 100 000 и даже 1 : 500 000. Масштаб карты в общем
выбирают так, чтобы ширина узкой, внутренней, зоны в масштабе
была не менее 0,5 см. Для определения превышений на прозрачной
бумаге строят палетки в масштабе карты (на рис. 3.6 приведены
палетки для зон 4—6 и 15—18). Палетку накладывают центром на
точку, для которой надо вычислить топопоправку, и ориентируют
линией С—Ю по географическим координатным линиям карты. Для
каждого сектора палетки находят среднюю высоту сектора или'же
высоту в центральной точке сектора. По значению радиусов сек-
ира и его превышению относительно точки наблюдения определяют
87
поправку Ag для данного сектора. Сумма поправок по всем секто-
рам во всех зонах составляет топопоправку.
Определение топопоправки, как это можно видеть из описания
методики ее вычисления, является весьма трудоемким делом. Для
ускорения этой операции предложено несколько других способов,
отличающихся расположением зон и секторов и упрощением
исходной формулы, хотя существо всех способов одно и то же:
влияние действительного рельефа заменяется действием некоторых
правильных тел, которыми и аппроксимируется рельеф дневной
поверхности.
Так, в способе, предложенном Л. Д. Немцовым и А. И. При-
шивалко, рельеф представляется системой параллелепипедов
с квадратным основанием. Для этого поверхность разбивают на
квадраты различного размера. Точку наблюдений располагают
в центре начального квадрата. Этот квадрат окружен восьмью
квадратами такого же размера. Таким образом получается квадрат,
размер которого в 3 раза больше начального. К этому квадрату
в свою очередь примыкают восемь квадратов, размер каждого из
которых в 3 раза больше начального (и т. д.), т. е. в каждой после-
дующей зоне размер квадрата утраивается. Рельеф в пределах
начального квадрата аппроксимируют параболоидом четвертой
степени, действие остальных квадратов рассчитывают по формуле
вертикального параллелепипеда. Для определения топопоправки
составлены специальные таблицы и номограммы. Основным досто-
инством этого способа является возможность использовать однажды
снятые высоты для вычисления топопоправок в нескольких
пунктах.
Для уменьшения трудоемкости учета влияния рельефа без
снижения точности в ряде методов применяют разбивку местности
иа тела простой формы не «стандартную», а в зависимости от пове-
дения рельефа. Ограничимся здесь изложением метода, предло-
женного В. М. Березкиным и получившего довольно широкое
распространение. Чтобы ускорить определение поправки, В. М. Бе-
резкин рекомендует учитывать рельеф по его характерным точкам.
Этим уменьшается число необходимых превышений.
Сущность способа состоит в следующем. Если в исходной фор-
муле (3.17) выполнить интегрирование в пределах: по а от до
аи+1, по г от гт до rm+1, по г от 0 до h, то после интегрирования и
подстановки пределов по z получим
бп+1
= ЙО J J (1 - da dr. (3.36)
“n rm
Это выражение дает вертикальную составляющую притяжения
криволинейной призмы с основанием в виде криволинейной трапе-
ции. Полагая hlr малой величиной, упростим подынтегральное
88
Выражение, разложив его в ряд по степеням отношения h/r и огра-
ничившись только членами, содержащими ii-lr1. Тогда
&gam = (/гсг/2) j j (htyr2} dr da. (3,37)
При интегрировании по г положим, что с изменением радиуса
высота местности меняется по гиперболическому закону, т. е.
h = V (ZP/a2)/'2 — Ь2, (3.38)
где а и b — полуоси гиперболы.
Подставляя выражение (3.38) в равенство (3.37), получаем
&gnn ~ (ko/2) j I (b2/a2 — b2r2) dr da;
a,i 'rn
после интегрирования по г и а находим
Ag™ = Г(G1+i - rm) -I- b2 ( —’------Д) I (an+1 - a„). (3.39)
l и \ 'm+i rm / J
Для определения b2/a2 и b2 воспользуемся условиями, возни-
кающими на
границе участков интегрирования:
h\ = (b2l<r)rm - b1; )
й^+1-(г>'2/а2)г^+1_ b1. J
(3.40)
Решая эти уравнения относительно Ь2/а2 и Ь2, имеем
&_ = hn^—h2m .
а1 г- ____’
й‘2 r2 —h^r2
птг т-\~\
2 2
гт-\-1~гт
(3.41)
Подставив найденные значения b2/a2 и Ь2 в уравнение (3.39)
и положив одновременно, что ая+1 — ап = 2л/л, найдем
_ 2nko _ rm ,i — г,„ ( bm Am+1 \
Я 2 (rтц -|- rm) \ rm гm+1 J
Вводя обозначения
. 2
> = Гт+1 — Гт . р 2nkc _ пт
т 2 (Гщ-ц 4~ г,п) ’ т п гп1 ’
(3.42)
(3.43)
получаем
^gn,n = (Fm + Fm+1)Rm, (3.44)
что дает поправку за рельеф, представленный в виде одной криво-
линейной призмы.
89
При интегрировании вдо,'п. всего луча получим
rtl.
&g„= L Ag„,„ / а* ' . /Л) 1 '',('<> I -ь
-гЛЖ :- '<>) I ••• , Л.о. Н„ ,!>• (3.45)
Для определения функций Fm и А’,, составлена номограмма
(рис. 3.7), которая позволяет по h и г найти F,„ и В номо-
грамме приведены значения функций
74=Д„.4; 7т=Дл/4, (3.46)
что не изменяет общей поправки Ag;j, определяемой формулой
(3.45), которая в этом случае примет вид
&gn + Aj + F, (Д ' Д) Д • I Д1+1 U<„, I- Д,+1). (3.47)
Суммируя поправки по всем лучам, получаем поправку за
влияние рельефа
(3.48)
/1—0
Номограмма составлена для учета влияния рельефа в радиусе
30 км, число лучей 16, плотность о = 2 г/см3.
Практически топопоправку вычисляют следующим образом.
На прозрачной бумаге строят палетку, представляющую собой
16 лучей, проведенных из одной точки через равные углы. Центр
палетки накладывают на ту точку топографической карты, для
которой надо определить поправку. Вдоль каждого луча выбирают
характерные точки рельефа таким образом, чтобы они ограничи-
вали области, где изменение высот имеет более или менее одина-
ковый характер. Для этих точек устанавливают: гт — расстояние
до центра палетки, и h — превышение рельефа относительно цен-
тральной точки. По значениям гт и й с помощью номограммы на-
ходят функции Fm и Rm. Для определения Fm по горизонтальному
входу номограммы отмечают гт и по вертикальной шкале, направ-
ленной вверх, напротив h считывают значение функции Fm.
Для определения Rm по горизонтальному входу номограммы отме-
чают радиус г,п+1, а по вертикальной шкале, идущей вниз, на-
против гт считывают значение Rin. Определив все значения R,n
и F,lt, их подставляют в формулу (3.47). Следует отметить, что
для первых точек на радиусах всегда 7?0 = 2, поскольку г0 = 0.
Поэтому на номограмме нет значения Ro напротив rm+1 = 10.
Рассмотренный способ вычисления топопоправок дает некото-
рую экономию во времени, ио выбор характерных точек рельефа
субъективен и зависит от опыта вычислителя, что может ска-
заться на точности определения поправок.
90
/
FIO^m/c? h,M
8
0.6
0,5
0.4
14
-13
-12
-11
-10
1
- 16
-15
14
-13
т12
3
4
231
т126
10-
6
03 4-5
0,2- -4
в
-7
-6
-10
-в
-7
0,1-3 0,1-4 0,1-5 0.1-
-439
30- -422
-407
[394
г381
тЗВЗ--370
25-355^-358
-337 "
-323
-ЗЮ
-298
-348
-327
—317
л271
-253
-239
-226
20 26720-\-307
-276
-266
-255
-245
-237
-287
-277
267
!5- -20 >5- -215 >5- -235'5 257
-197
-165
-174
-163
204 )-226 \-247
-194
184
-174
-236
-7.16
-206 \226
-195 ,--215
r192
-169
-155
М3 Ю- -153 ю\/64 Ю-\-185 !5\-204
133 --143
56
45
35
1- 24
-22
-21
20
-18
т84
572
-61
-51
41
28
-27
-25
-23
-22
1.54
-144
-133
„„ „„ -122
92. 5 -102 5 -
-174
-163
-152
-140
- 727 5--141
113
97
79
56 1
-53
-50
-46
-43
-193
181
-168
- 155
-113 123 -133
--102 -113 -123
-92
5-62
-72
-61
-49
1-34
-32
-30
--26
-26
--103^-113
5 .
111 5-
98
-85
-69
48 I
46
-43
-40
-37
-126
-m
-88
-62
59
-55
52
-48
SO
- 78
-63
1-44 I
-42
-39
-37
-34
82
70
56
39
-37
42
31
-20
-19
-18
-17
-IS
--14 0,5- -16 R5- -20 «5- -24 05- -28 Off- -31
7/
-9
-6 0,1
Г
-18
-15
-12
-22
-19
- 75
-33
-30
-25
-21
18
—28
-24
20
-30
-26 -30
21
-35
-39
-34
28
-15
-13
-10 .... . _
7 0.1- ~9 0.1- -11 0.1- -12 0.1- -14 0,1- -15 0,1- -17 0,1- -20
25
10 20 30 50 70 100 150 200 250 300 400 500
10-

•50- -03370- 0,11 I- 0,4015- -029 2r -022 25- -Q)8 3- -0,29 4- -Ц22
U^JSO- -08050- -05770- -0,73 I--057'5- -Ц50 2- -Ц46 3- -0,50
104-134 28- -Ц1 за- -108 50- too 70-0961- -0.8615 -QS7 2- -0.67$ -Ц67
104-1,5020--133 20-133 50--1,20 70--1J2 ’--',0 $-0912--0,86
Ю 4/64 20- ->53 30- -148 SO- -[33 70- -Ц4 1-->2015--[08
Ю ^-(64 20- ->,53 30- -[48 SO- -1,33 70- -$4 1--,^.
Ю1-т 20- [6435 -1,57^- -143 70- -Ifl 1 - 133
10-48120- -ЦО S4- - >64 SO- -[56 70- -[51
i,7250-1,64
10 L12-5W--1.7580--!,^
10 4-1,8720-->8130--1,77
104->90^->85
104-1,92
Рис. 3.7. Номограмма Березкина для определения функций Fm и R,n.
91
Рис. 3.8. К определению превы-
шений рельефа по аэрофото-
снимкам.
написать
В настоящее время разработаны
и совершенствуются методы опреде-
ления поправки за влияние рельефа
на основе материалов аэрофотосъем-
ки. Это направление представляется
весьма перспективным, поскольку от-
крывается возможность автоматиза-
ции учета влияния рельефа местности,
кроме того, отпадает необходимость
в трудоемких и дорогостоящих гео-
дезических работах. Сущность мето-
да заключается в следующем.
Пусть фотосъемка местности вы-
полнена с двух точек О, и 0.2, разне-
сенных по горизонтали па некоторое
расстояние (рис. 3.8). Относительно
некоторой точки At на земной по-
верхности высота съемки равна Я;
угол видимости отрезка 0х02 из точ-
ки Аг равен Ф1. Если отрезок О±О2 рассматривать из точки А2,
близкой к Аг и имеющей относительно нее превышение ЛЯ, то
угол видимости этого отрезка будет гр2 = Ф1 Лер (прираще-
ние Дер имеет знак «плюс», когда точка А.г выше Л]). Можно
(Я ± ДЯ)/Я = (<рх ± Дер)/Ф1
или
ДЯ = Я (Дер/Ф1) = К Дер.
Таким образом, по аэрофотоснимкам местности с двух точек
при известной высоте съемки, определив коэффициент Я и угол Дер,
можно найти превышение ДЯ. Определение К и Дер проводится
на стереометре. Для автоматизации этого процесса и вычисления
поправок за влияние рельефа местности сконструированы спе-
циальные приставки к стереометру, позволяющие получать не-
посредственно значения топопоправок. Опыт использования аэро-
фотоснимков показывает, что для определения топопоправок с по-
грешностью (0,02.-4-0,05)-10-а м/с2 при превышениях до 500 м
нужны аэрофотоснимки масштаба 1 : 14 000—1 : 35 000. Преиму-
щества этого метода особенно очевидны в горных областях.
При вычислении топопоправки важно правильно определить
границы области, в пределах которой следует учитывать влияние
рельефа. В большинстве случаев предельный (максимальный)
радиус выбирают, оценивая гравитационное влияние рельефа за
пределами области, для которой рассчитывают топопоправку. Для
этого можно воспользоваться формулой (3.23). Положив г,„+1 = оо,
п = 4, получим гравитационное действие секториального ква-
дранта, высота которого 1г, а радиусы гт и оо;
Д^« = (л^/4)№(), (3.49)
S2
Задаваясь значением Agy, как погрешностью определения
топопоправки и находя по топокарте средние превышения рельефа
1г относительно точки наблюдения, вычисляют радиус учета влия-
ния рельефа гт. Обычно считают этот радиус достаточным, если
суммарное действие рельефа за пределами принятой во внимание
области не превосходит погрешности измерения силы тяжести или
же меняется линейно от точки к точке в пределах участка съемки.
При практическом вычислении поправок за влияние рельефа
вся область, в которой учитывается это влияние, делится, как
правило, на три зоны: центральную, среднюю и дальнюю. В цен-
тральной зоне поправку вычисляют или по данным непосредствен-
ных измерений превышений рельефа на местности, или аппрокси-
мацией рельефа правильной геометрической фигурой (наклонная
плоскость, конус и т. п.). В средней зоне поправку определяют
одним из методов, разобранных выше. В пределах дальней зоны
поправка чаще всего плавно меняется от пункта к пункту и яв-
ляется функцией только высоты точек наблюдений. В этом случае
для учета влияния дальних зон можно применять различные
интерполяционные способы, предварительно определив корре-
ляционную зависимость поправки от высоты пункта наблюдений.
Раздел IS
МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Глава 4
ЗАДАЧИ И СПОСОБЫ
ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ЗНАЧЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ НАУКИ
Поведение силы тяжести па земной поверх-
ности начали изучать более двух веков назад. В настоящее время
на Земле ежегодно проводятся сотни тысяч новых определений
силы тяжести в различных условиях (на суше и море, в подземных
выработках и скважинах). Такое широкое распространение изме-
рений силы тяжести связано с использованием их для решения
ряда важнейших задач науки и практики, причем сфера прило-
жения определений силы тяжести все время расширяется вместе
с общим прогрессом науки и техники. Большинство определений
силы тяжести служит для изучения геологического строения иссле-
дуемых территорий, для поисков и разведки полезных ископаемых,
составляя основу разведочной гравиметрии — одного из методов
разведочной геофизики.
Знание распределения силы тяжести на земной поверхности
имеет огромное значение для геодезии, занимающейся изучением
фигуры Земли. Гравиметрические измерения являются неотъемле-
мой частью геодезических исследований. В частности, по грави-
метрическим данным найти сжатие Земли значительно проще,
чем по градусным измерениям.
Гравиметрические данные необходимо принимать во внимание
при запуске искусственных спутников Земли, поскольку для точ-
ного расчета орбит спутников надо знать распределение силы
тяжести на земной поверхности. С другой стороны, исследуя изме-
нения орбит спутников, получают богатый материал для изучения
гравитационного поля Земли.
Знание абсолютного значения силы тяжести играет важную
роль в метрологии, поскольку сила тяжести на экваторе g. яв-
94
ляется константой, необходимой при создании различных стан-
дартов и установлении единиц механических, магнитных и элек-
трических сил. Например, единица силы тока ампер определяется
как сила взаимодействия двух проводников определенной конфи-
гурации, возникающая при пропускании через них пеизменяю-
щегося тока. Сила взаимодействия проводников при этом уравно-
вешивается весом mg известной массы т.
Знание абсолютного значения силы тяжести хотя бы в одной
точке земной поверхности необходимо для приведения в единую
абсолютную систему всех гравиметрических измерений на земном
шаре, для изучения долгопериодических вариаций силы тяжести,
получения параметров формул ее нормального распределения.
Точное знание силы тяжести ge необходимо также для выражения
массы Земли в метрических единицах, что позволяет приводить
массы других небесных тел в таких же абсолютных единицах,
а не в относительных единицах массы Земли.
КЛАССИФИКАЦИЯ
МЕТОДОВ ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Для измерения силы тяжести принципиально могут быть ис-
пользованы разнообразные физические явления, которые зависят
от силы тяжести, например падение тела под действием силы
тяжести в пустоте, воздухе или жидкости, качание маятника,
поднятие жидкости в капиллярном сосуде, колебание струны,
растяжение пружины под действием груза. Однако, несмотря на
многообразие физических явлений, зависящих от силы тяжести,
только некоторые из них позволяют определить силу тяжести
с необходимой точностью.
Все существующие методы измерения силы тяжести могут быть
разделены на динамические и статические.
Динамическими называются такие методы, при которых на-
блюдается движение тела под действием силы тяжести, а непосред-
ственно измеряемой величиной является время, необходимое телу
для перехода из одного фиксированного положения в другое.
Статическими называются такие методы, при которых наблю-
дается изменение положения равновесия тела под действием силы
тяжести и некоторой силы, уравновешивающей ее, а непосред-
ственно измеряемой величиной является линейное или угловое
смещение тела с постоянной массой. Для уравновешивания силы
тяжести можно использовать силы различной природы. В настоя-
щее время в статических приборах уравновешивающей силой
служит упругое действие твердых тел (пружин, нитей, мембран
и т. д.).
При динамических методах измерения силы тяжести наиболее
часто используются следующие физические явления.
1. Колебания маятника, качающегося под действием силы
тяжести.
95
2. Колебания упругого маятника, качающегося под действием
силы тяжести и упругой силы, ей противодействующей.
3. Свободное падение тела.
4. Колебания струны, которая натянута подвешенной па ней
постоянной массой.
Измерения силы тяжести бывают абсолютными и относитель-
ными. При абсолютных измерениях определяют полное значение
силы тяжести в точке наблюдений. В этом случае кроме времени
измеряют линейные расстояния, например длину маятника или
путь, пройденный свободно падающим телом. При относительных
измерениях определяют не полное значение силы тяжести в точке
наблюдения, а приращение (разность) силы тяжести в данном
пункте относительно некоторого другого, исходного, значение
силы тяжести в котором обычно бывает известным.
Динамические методы определения силы тяжести могут быть
как абсолютными, так и относительными, статические — только
относительными.
Приборы, предназначенные для относительных определений
силы тяжести, называются гравиметрами. Гравиметры, в которых
использованы динамические принципы измерения силы тяжести,
называются динамическими; гравиметры, в которых использованы
статические принципы, — статическими.
Среди динамических методов получил широкое распростране-
ние на практике и господствовал в течение двух столетий маятни-
ковый метод, основанный на наблюдениях свободных колебаний
маятника. Другие динамические приборы (упругий маятник, струн-
ный гравиметр) появились в 30-х и 50-х годах нашего века.
Статические методы определения силы тяжести, хотя и были
предложены очень давно (первый гравиметр построил М. В. Ло-
моносов в 1753 г.), осуществились только в 30-х годах нашего сто-
летия. В настоящее время статические гравиметры являются
основными приборами для относительных определений силы
тяжести.
Глава 5
ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ОСНОВЫ МАЯТНИКОВОГО
МЕТОДА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Среди динамических методов измерения силы
тяжести главенствующее положение в течение длительного времени
занимал маятниковый метод, доведенный до высокой степени совер-
шенства. Маятником называется любое твердое тело, способное
96
совершать свободные колебательные
движения около горизонтальной оси.
Рассмотрим теорию колебаний мате-
матического маятника, представляюще-
го собой материальную точку М с
массой т, подвешенную на нерастяжи-
мой и невесовой нити ОМ длиной /
(рис. 5.1). Пусть маятник был откло-
нен от положения равновесия ОА на
угол а и начал совершать колебатель-
ное движение. В некоторый произволь-
ный момент времени t маятник зани-
мает положение ОМ, составляющее
угол <р с положением равновесия. Этот
угол называется углом элонгации. Си-
ла mg, действующая на точку М, мо-
жет быть разложена на две составляю-
щие: силу Р, действующую по направ-
лению ОМ, и перпендикулярную к ней
силу Q, направленную по касательной
к дуге AM.
ятник.
Первая составляющая уравновешивается сопротивлением точки
опоры О, вторая вызывает движение точки М в направлении
к точке А. Поскольку сила Q равна mg sin ф, то ускорение движе-
ния точки М есть g sin <р. С другой стороны, это ускорение равно
—l(d2q>/dt2), так как /<р есть путь, пройденный точкой М. Знак
минус указывает на уменьшение угла ф.
Дифференциальное уравнение движения маятника имеет вид
d2q!dt2 = — (§//) sin ф.
(5.1)
Умножив обе части уравнения на 2 (dq/dt) dt, после интегри-
рования по t получим
(d<p/di)2 == 2 (g/l) cos ф -ф с, (5.2)
где с — произвольная постоянная.
Чтобы найти с, обратимся к начальным условиям. В начале
движения при t = 0 маятник был отклонен на угол а и его скорость
была равна нулю, т. е.
Ф/=о =- (dcp/dt)^o — O. (5.3)
Подставив начальные условия (5.3) в уравнение (5.2), находим
с = — 2 (g//) cos а;
(dqldt)2 = 2 (g//) (COS q; — COS а). (5.4)
Уравнение (5.4) имеет физический смысл, если правая часть
положительна или равна нулю, т. е. когда cos <р > cos а. Это
возможно, если ф принимает значения в пределах от -фа до —а.
•I В. С- Миронов
97
Угол а соответствует максимальному отклонению маятника от
положения равновесия и называется амплитудой колебаний.
Время, необходимое маятнику для прохождения от одного край-
него положения -(-а до другого крайнего положения —а, назы-
вается периодом колебаний Т маятника.
Из уравнения (5.4) следует
dt — |/ l/(2g) (1/< cos<( — cosa)dcp. (5.5)
Интегрируя правую часть этого уравнения в пределах от —а
до -ра, имеем
Т Да
Т = j dt — f l/('2g) J ( 1/j cos cp — cos a) dip. (5.6)
о —a
Введя новую переменную sin (<p/2) - К sin ч|\ где A’ - sin (a/2),
после несложных преобразований получим
lt/2
Т = 2 |///g J (l/]/l — №sinsi|>)chp. (5.7)
о
Интеграл в выражении (5.7) нам уже встречался [см. формулу
(3.28)1, учитывая это, получаем
r=-nVTig{i -I- (4ysin2dr+(4^ysint-r+
I у 4 / & \ X» ' тг /
(2n — 1) 1
2n j
2 sin2"
a
~2
(5.8)
Если амплитуда колебаний маятника мала настолько, что ею
можно пренебречь, то равенство (5.8) при a = 0 примет вид
(5.9)
T = лУ l/g.
Это выражение можно получить также из дифференциального
уравнения движения маятника (5.J), положив в нем sin ср = ср.
Как следует из формулы (5.9), для малых амплитуд период
колебаний маятника не зависит от амплитуды. Это свойство маят-
ника называется изохронностью. При гравиметрических измере-
ниях амплитуда колебаний маятника не превышает 1°. Относи-
тельная погрешность измерений периода колебаний может быть
порядка 1-Ю-8. Тогда для второго и третьего членов формулы
(5.8) имеем соответственно 19-10"° и 8-10~10, т. е. второй член
формулы необходимо учитывать, а третьим и последующими
можно пренебречь, поскольку они малы. В этом случае период
колебаний маятника
Т = л I ///' 11 -т (1 /4) sin2 (a/2)]
(5.10)
98
или ввиду малости угла а
Т- л (1/16) сс2|. (5.11)
Практически осуществить математический маятник с необхо-
димой степенью точности невозможно. Поэтому при определениях
силы тяжести используют физический маятник.
ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Под физическим маятником понимается любое твердое тело,
свободно вращающееся вокруг горизонтальной оси (рис. 5.2).
Пусть ось вращения проходит через точку О и направлена пер-
пендикулярно к плоскости чертежа, т. е. совпадает с координат-
ной осью х; ось z направлена вертикально вниз; оси х и у — гори-
зонтальные. Центр тяжести маятника находится в точке С на
расстоянии а от оси вращения. Положением прямой ОС вполне
характеризуется положение маятника в любой момент времени.
Пусть угол, составленный прямой ОС с осью z, равен <р. Тогда
уравнение движения твердого тела вокруг неподвижной оси
можно записать так:
/Л (d2<f/dt“) = S МЛ., (5.12)
где /л. и М, — момент инерции и момент сил относительно оси
вращения х.
Сумма моментов действующих сил
У, Мк = — Mga sin ip, (5.13)
где М — масса тела.
Уравнение движения принимает вид
/г (d2if/dt2) = —Mga sin ср (5.14)
или
d8<p/dZ2 — {gU) sin ф, (5.15)
где
/ = 4/(оЛ4). (5.16)
Выражение (5.15) совпадает с диф-
ференциальным уравнением движения
математического маятника (5.1). От-
сюда следует, что физический маятник
колеблется по тем же законам, что
и математический, только роль дли-
ны / в физическом маятнике играет
величина 1гх/(аМ). Эта величина на-
певается приведенной длиной физи-
ческого маятника.
4*
Отложив от оси вращения О через центр тяжести С отрезок,
равный приведенной длине физического маятника, найдем точку О',
которая называется центром качания. Сконцентрировав в центре
качания всю массу физического маятника, получим математиче-
ский маятник с тем же периодом колебаний, что и у физического
маятника.
Центр качания находится внутри тела. Его положение необ-
ходимо знать, чтобы определить приведенную длину физического
маятника при абсолютных измерениях силы тяжести. Отыскание
центра качания основывается на свойстве взаимных точек О и О'.
Момент инерции 1Х относительно оси вращения может быть выра-
жен через момент инерции 10 относительно оси, параллельной
оси подвеса маятника и проходящей через его центр тяжести:
4 = 4 + ^. (5.17)
Подставив это значение в формулу (5.16), найдем приведенную
длину маятника
I = 10/(аМ) + а. (5.18)
В правой части формулы (5.18) оба слагаемых всегда положи-
тельны, и поэтому I > а, т. е. приведенная длина физического
маятника всегда больше расстояния от центра тяжести маятника
до оси подвеса.
Пусть маятник качается вокруг оси, параллельной прежней,
ио проходящей через центр качания О'. Приведенная длина маят-
ника /' в этом случае может быть отличной от I, так как опа отве-
чает другой оси подвеса. Расстояние от оси вращения, проходящей
через точку О', до центра тяжести есть I—а, тогда
/' = /0/[(/ - а) /И] + (/ - а).
Заменяя длину I ее выражением (5.18), имеем
I' = а ф /0/(аМ) = I, (5.19)
т. е. приведенная длина маятника сохранилась прежней.
Точки 0 и О' являются взаимными: если через одну из них
проходит ось вращения, то другая является центром качания,
и наоборот. Поскольку в обоих случаях приведенные длины маят-
ника одинаковы, должен быть одинаков и период его колебаний.
Таким образом, если задана ось подвеса маятника, можно
отыскать центр качания. Этот принцип положен в основу оборот-
ного маятника, имеющего две параллельные оси качания, проходя-
щие через взаимные точки. Эти оси являются ребрами призм, на
которых поочередно качается маятник. Если периоды колебаний
совпадают, то приведенная длина оборотного маятника может быть
получена непосредственным измерением расстояния между приз-
мами.
Для твердого тела приведенная длина /' меняется в зависимости
от расстояния оси подвеса до центра тяжести. Из всех возможных
100
параллельных осей подвеса найдем такое ее положение (расстоя-
ние а), при котором приведенная длина / является минимальной.
Полагая / функцией а и дифференцируя уравнение (5.18), имеем
dl/da = ~/0/(о2Л!)+ 1 — О,
откуда
a (5.20)
Подставив это значение а в формулу (5.18), получим
/ = 2а. (5.21)
Уравнения (5.20) и (5.21) определяют такое положение оси
подвеса для данного твердого тела, при котором его приведенная
длина, а следовательно, и период колебаний будут минимальными.
Отвечающий этим условиям маятник называется минимальным.
Преимущество минимального маятника состоит в том, что неболь-
шие изменения в положении оси подвеса не сказываются суще-
ственно на приведенной длине, а следовательно, и на периоде
колебаний.
АБСОЛЮТНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Абсолютное значение силы тяжести можно определить многими
методами. Наиболее часто применяют методы, основанные на
использовании оборотного маятника и свободного падения тела.
Первый оборотный маятник в виде металлического стержня
с укрепленными на его концах призматическими опорами скон-
струировал в 1818 г. X. Катер. Маятник мог качаться на каждой
из этих опор. Периоды качания на обеих опорах уравнивали, пе-
ремещая на стержне подвижный груз. По расстоянию между
призматическими опорами и периоду качания вычисляли значение
силы тяжести.
Более совершенную конструкцию оборотного маятника пред-
ложил Ф. Бессель, которая была осуществлена Репсолъдом
в 1864 г. В усовершенствованном виде такой маятник использо-
вался и в наше время для абсолютных определений силы тя-
жести. Ф. Бессель предложил и специальный метод наблюдений,
при котором можно не добиваться точного равенства периодов
качания маятника в двух положениях, а учитывать различие
в периодах введением соответствующих поправок. При этом сокра-
щается продолжительность наблюдений и отпадает необходимость
в регулировочных грузах.
Способ несовпадения периодов состоит в следующем. Пусть
выполнены наблюдения при двух положениях маятника с рас-
< гояпием I между осями и получены периоды 7\ и Т2, мало отли-
чающиеся от периода Т идеального маятника, для которого при-
веденная длина равна I. Тогда
7\ = л Vljg', Т2 = л,У12/§; T = n\'l/g. (5.22)
101
Из наблюдений известны 71( 7.., не известны /,, /2, /, Т. Состав-
ляя отношения из третьего и первого и третьего и второго выра-
жений (5.22) и возводя их в квадрат, имеем
r'/r'i ///,; T‘/t'; i/i,. (5.23)
Пусть расстояние от первой оси качания до центра тяжести
есть в,, а от второй осп а2, тогда
«1 + = I,
но
Zi = «j ф 1п/(вхМ)', 1г — а2 | /(|/(д2Л4).
Подставив эти выражения в формулу (5.23), исключив 10/М,
получим
Т2 (5.24)
Эта формула Бесселя решает поставленный вопрос. При Тг =
-= Т2 величина I = аг есть приведенная длина. Если же
Tj =4= Т2, то, чтобы определить 7, необходимо знать положение
центра тяжести маятника, т. е. и а2. Эти значения находят путем
специальных измерений.
При Oj = а2 знаменатель формулы (5.24) обращается в нуль.
Чтобы значение аг—а2 не было малой величиной, необходимо
сместить центр тяжести маятника к одному концу, при этом не
обязательно (и даже нежелательно) нарушать симметричную форму
маятника.
Точность определения абсолютного значения g зависит от точ-
ности найденных значений 7 и /. Логарифмируя и затем диффе-
ренцируя последнее из равенств (5.22), имеем
dglg = dlft-2dT/T
или, переходя к средним квадратическим погрешностям е, находим
(Ша ~ (2ег/7)2 + М)\ (5.25)
где 8Й, е7, с.-, — средние квадратические погрешности определе-
ния g, I и 7.
Современный уровень изготовления маятниковых приборов
позволяет рассчитывать на измерение g с погрешностью не больше
0,1-10~5 м/с2, т. е. относительная точность должна быть не ниже
11СГ7 (поскольку g 980-10~2 м/с2).
Приняв в выражении (5.25) принцип равных влияний, т. е.
эффект каждого слагаемого одинаковым, и относительную точ-
ность определения g равной 1• 10-7, найдем допустимую погреш-
ность периода 7 и приведенной длины /:
8Г = (1 /2 /2). 1(Н7 = 3,5-10-«7; е, = (1 /]/2) 1О’7/ =0,71 -10’7/.
Следовательно, если для определения силы тяжести исполь-
зуется секундный маятник (7 ^1 с, / «== 1 м), то погрешность
102
измерения периода 'Г не должна превышать 3,510-sc, а длины I
(1,071 мкм. Для более короткопериодного маятника, например
пол усеку иди ого (Т — 0,5 с, I = 0,25 м), допустимые погрешности
должны быть соответственно в 2 и в 4 раза меньше:
ег=1,8-10"8 с; щ =0,018 мкм.
Абсолютные определения силы тяжести проводились во многих
точках земного шара, но не все они обладают необходимой точ-
ностью.
Абсолютное значение силы тяжести необходимо знать хотя бы
в одной точке. В настоящее время таким пунктом является Потсдам-
ский геодезический институт. К этому пункту отнесены все гра-
виметрические съемки мира. Абсолютное значение силы тяжести
здесь было определено Ф. КюненомиФ. Фуртвенглером под руко-
водством Ф. Гельмерта в 1898—1904 гг. Наблюдения проводились
по пяти оборотным маятникам, изготовленным из тонкостенных
латунных трубок разных форм и массы. На основании 192 опре-
делений выведено абсолютное значение силы тяжести
g- — (981 274 ± 3).10“® м/с2.
Это значение силы тяжести было положено в основу мировой
гравиметрической системы, которая называется потсдамской.
В 1936 г. в Вашингтоне в Национальном бюро стандартов
США П. Хейлом и А. Куком, а в 1935—1938 гг. в Теддингтоне
(Англия) Д. Кларком проведены абсолютные определения силы
тяжести. Приведение их к Потсдаму показало, что они значи-
тельно расходятся и с ним и между собой: расхождение с Потсда-
мом составляет соответственно—17-КГ® и —13 10”5 м/с2.
Все рассмотренные определения силы тяжести сделаны одним
методом — методом оборотного маятника. При современном со-
стоянии техники точность этого метода не может быть повышена
из-за ряда трудно учитываемых факторов: удлинения маятника
под действием собственного веса, изгибов стержня и деформации
ножевых опор, стачивания ножей, сложности и неточности изме-
рения приведенной длины и др. Поэтому для определения абсо-
лютного значения силы тяжести желательно использовать прин-
ципиально другие методы, погрешности которых имеют иной, чем
для оборотного маятника, характер.
В настоящее время, когда измерение малых промежутков вре-
мени достигло точности 1 10"8—1-Ю-9, большое значение для
абсолютных определений силы тяжести приобретает метод свобод-
ного падения тела, или баллистический. Этот метод основан на
швисимости пути s, пройденного телом, от ускорения свободного
падения g и времени t:
s = g/2/2. (5.26)
103
Если бы удалое!, u iMepii и. расстояние s и время t от действи-
тельного начала движения, то силу тяжести можно было бы вы-
числить 110 формуле
g ---2s//2. (5.27)
Однако и начале движения при своем освобождении падающее
тело может получить небольшое дополнительное ускорение. По-
этому рас. niHiiiie s и время t нельзя отсчитывать от начального
момента; их значения следует измерять между точками, находя-
щимися на пути падения тела. Тогда
sz = -ф gi?/2, (5.28)
где ц, скорость тела в начале отсчета времени.
Отсюда следует, что при измерениях от произвольного начала
необходимо определить по крайней мере два значения пути 8г
и s2 и соответствующие им отрезки времени ф и /2. Тогда
2 (з2ф—ьт/2) 2 / s2 Sj X -j.
ё - ~ (5.29)
В СССР такие измерения были осуществлены в 1955—1966 гг.
в Ленинграде в Научно-исследовательском институте метрологии
И. Н. Агалецкнм, К. Н. Егоровым и А. И. Марциняком.
В 1958 г. работы по определению абсолютного значения силы
тяжести проводились в Париже Ш. Воле. Была применена кино-
съемка падающего жезла. Подобный метод использовал Г. Пре-
стон-Томас в Оттаве в Национальном исследовательском совете
Канады (1960 г.).
Основное влияние на точность силы тяжести, определенной
методом свободного падения тела, оказывает погрешность изме-
рения линейных расстояний. Вследствие структуры формулы
(5.29) относительная погрешность значения g в несколько раз
превышает относительную погрешность длины.
Влияние этого фактора можно исключить, если бросать тело
вертикально вверх и замечать время, за которое оно проходит
определенный участок пути при подъеме и при последующем
падении. Если s — длина этого участка; ф — интервал времени
между двумя пересечениями телом нижней границы участка;
/2 — то же для верхней границы участка, то сила тяжести
g -— 8s/(/j — /о). (5.30)
В этом случае относительная погрешность силы тяжести g
равна относительной погрешности длины Этот способ имеет и
другое преимущество: силы, действие которых на движение тела
пропорционально его скорости, не изменяют интервалов вре-
мени /j и /2. Именно к таким силам относится сопротивление воз-
духа, оставшегося в вакуумной камере.
Подобный метод определения силы тяжести был использован
А. Куком в Национальной физической лаборатории Теддингтона
104
Рис. 5.3. Схема установки для абсолютного определения силы тя-
жести (Национальная физическая лаборатория, Теддингтон).
и 1965 г. (рис. 5.3). Подброшенный катапультой 1 стеклянный шар 2
пролетает через два стеклянных блока 3, каждый из которых
имеет по две щели. Шар действует как линза, фокусируя свет
ламп 5, идущий от одной щели, на другую. Момент, когда шар
пролетает мимо щели, регистрируется светочувствительным ус-
тройством 4\ одновременно интерференционным способом изме-
ряется расстояние между блоками 3 путем сравнения с эталоном
длины 6.
Метод свободного падения усовершенствовал А. Сакума в Меж-
дународном бюро мер и весов в Париже. Он предложил вместо
105
Рис. 5.1. Принципиальная схема установки Сакумы.
шара подбрасывать рефлектор, имеющий форму прямого трех-
гранного угла, — уголковый отражатель (рис. 5.4). Расстояние
регистрируется с помощью лазерного интерферометра Майкель-
сона. Эталоном длины при измерениях пути служит расстояние
между парой фиксированных зеркал на концах кварцевой трубки,
которое контролируется интерференционным методом и выра-
жается через длину световой волны. Время регистрируется спе-
циальным электронным счетчиком.
Опорный луч, заданный импульсным источником белого 2
или монохроматического 1 света, падает на полупрозрачное
зеркало <?, которым делится на два пучка. Один из них, пройдя
через зеркало 3, отражается базисным фиксированным уголковым
отражателем 4 и падает на зеркало 5 или 6. Отразившись от них,
свет возвращается тем же путем на зеркало 3, откуда он направ-
ляется вверх на зеркало 7 и фотоумножитель 8, контролирующий
электронно-счетное устройство 9. Второй пучок света зеркалом 3
направляется вниз на движущийся уголковый отражатель 14,
от которого луч попадает па неподвижное зеркало 15 и затем возвра-
щается тем же путем на зеркало 7, фотоумножитель 8 и счет-
чик 9
106
Существует два положения движущегося уголкового отра-
жателя 14, при которых длина пути лучей, направленных зерка-
лом 3 вверх и вниз, одинакова. Это нижнее положение / (верхний
луч при этом должен отражаться от зеркала 6), и верхнее положе-
ние 11 (верхний луч отражается от зеркала 5). Расстояние между
этими положениями падающего отражателя равно точно половине
интервала I между зеркалами 5 и 6. Таким образом, интенсивные
вспышки белого света получаются при двух положениях подвиж-
ного уголкового отражателя.
Запуск импульсного источника 2 осуществляется монохрома-
тическим источником 1, свет которого распространяется тем же
путем, как и вспышки, с той лишь разницей, что он проходит через
зеркало 7, фильтр 10 и фотоумножитель 11. Когда уголковый отра-
жатель приближается к одному из двух положений, при котором
длины путей обоих лучей интерферометра равны, монохромати-
ческие интерференционные полосы создают на выходе фотоумно-
жителя 11 синусоидальный ток с частотой, зависящей от скорости
движущегося рефлектора. Этот сигнал принимается и усиливается
двумя контурами 12, настроенными на разные, по определенные
резонансные частоты. Когда рефлектор приближается к одному
из положений «равного расстояния», интенсивность монохромати-
ческого сигнала возрастает и он включает импульсный генера-
тор 13, который в свою очередь запускает импульсный источник
света как раз к моменту, когда вспышка вследствие интерферен-
ции белого света имеет максимальную интенсивность.
Следование луча к зеркалу или 5, или 6 обеспечивается отвер-
стием в зеркале 5 и двумя масками а и б. Отверстие в зеркале 5
может быть закрыто одной из этих масок. При наложении маски а
луч проходит через зеркало 5 и отражается от 6; при наложении
маски б луч отражается от кольца вокруг отверстия зеркала 5.
Механическая система с помощью мотора 16 меняет положение
масок, а также подключает электрические фильтры к соответ-
ственно настроенным контурам 12 для управления импульсным
генератором 13.
При работающей маске а вспышка происходит в тот момент,
когда уголковый отражатель проходит нижнее положение, а при
маске б — верхнее. Таким образом, получаются четыре последо-
вательные вспышки в моменты времени: Ту и 7'4 — в нижнем
положении при движении отражателя соответственно вверх и
вниз и работающей маске б; Т.2 и Т3 — в верхнем положении при
движении соответственно вверх и вниз и маске а. Время, необ-
ходимое для смены масок и включения электрических контуров,
составляет около 0,2 с. Интервал между зеркалами 5 и 6 (прибли-
зительно 1 м) измеряется с относительной точностью порядка
1 10-9 и контролируется перед и после каждого цикла. Счетное
устройство 9, запускаемое импульсами белого света через фото-
умножитель 8, определяет временные интервалы с погрешностью
0,5 10’а с.
107
Зная интервалы времени iL --- Ti — Т} и /а — Т3 — Т2 и
расстояние s = 1/2, значение силы тяжести вычисляем по фор-
муле (5.30). При точности определения расстояния и времени
порядка l-10"s погрешность абсолютного значения силы тяжести
составляет около 0,002- ИГ6 м/с2.
Небезынтересно отметить некоторые детали установки.
Подвижный уголковый отражатель состоит из трех взаимно
перпендикулярных зеркал, смонтированных на металлической
рамке. На этой же рамке укреплен идентичный второй комплект
зеркал так, что оптический центр отражателя располагается
в центре тяжести всего устройства. Этим исключается влияние
малых вращательных движений падающего отражателя. Чтобы
компенсировать действие микросейсм на результаты измерений,
всю установку монтируют на сейсмически стабилизированном
столе. В каждом из его углов находятся по два пьезоэлектрических
устройства, расположенных одно над другим; верхние вырабаты-
вают электрические сигналы при проявлении любых сил сейсми-
ческого происхождения; эти сигналы интегрируются и в противо-
фазе подаются на нижние пьезоустройства. В результате поверх-
ность стола перемещается так, что ликвидируются последствия
сейсмических движений основания.
Принцип свободного падения использован X. Фаллером и
Р. Хаммондом в Национальном бюро стандартов США для созда-
ния транспортабельной (масса около 1 т) установки для абсолют-
ных определений силы тяжести (рис. 5.5). В этой установке при-
менены свободно падающий уголковый отражатель и неон-гелие-
вый лазерный интерферометр.
Луч от лазера /, пройдя точечную диафрагму 2 и коллиматор 3,
падает на главное разделительное устройство 4, которое делит
его на две части: одна идет вверх на свободно падающий уголко-
вый отражатель 5, другая — на опорный уголковый отража-
тель 6. Интерференционная картина, образованная лучами, отра-
женными от падающего и опорного отражателей, представляет
Рис. 5.5. Схема установки
Фаллера—Хаммонда.
108
собой движущиеся полосы, которые регистрируются фотоумножи-
телем 7. Поскольку длина волны лазера хорошо известна, рас-
стояние, пройденное свободно падающим отражателем, опреде-
ляется числом интерференционных полос, зарегистрированных
в течение точно измеренного интервала времени. Электронный
счетчик определяет время между целым числом полос с точностью
до 1-10"9 с.
Первоначальная скорость падающего уголкового отражателя
неизвестна, поэтому измерения выполняются в течение двух вре-
менных интервалов tx и /2, а значение g определяется по формуле
(5.29), которая принимает вид
= Z [Л/а -ЛГХ _ к _________________Лй_\
й tl — \ ia tx ) ’
где A—длина волны лазерного луча; N± и Na — число полос,
сосчитанных за два временных интервала (интервалы имеют одно
и то же начало счета, причем обычно вдвое больше /2).
Измерения, выполненные на этой установке, показали, что
она обеспечивает определение силы тяжести с погрешностью
0,05 1(Г® м/с2. Для достижения такой точности требуется устра-
нить многие мешающие факторы. В частности, камера, где падает
уголковый отражатель, имеет высокий вакуум; приняты меры
для исключения электростатических и магнитных влияний.
Важно, чтобы луч, падающий на отражатель, был строго вертика-
лен. Это обеспечивается ртутным горизонтом 8: луч отражается
«сам на себя» и рассматривается в микроскоп 9. Для учета микро-
сейсм предусмотрен сейсмометр. Установка сконструирована таким
образом, что бросание уголкового отражателя выполняется авто-
матически; высота его падения 1 м. Выходные данные регистри-
руются цифропечатыо на ленте. Одно измерение состоит обычно
из серии в 50 падений и продолжается в течение 30 мин.
С этой установкой X. Фаллер и Р. Хаммонд провели определе-
ние абсолютного значения силы тяжести в целом ряда пунктов
Американского континента, в также в Севре и Теддингтоне. Их
результаты сходятся с данными А. Сакумы и А. Кука в пределах
0,1 - 1СГ5 м/с2.
В СССР работы по абсолютному определению силы тяжести
методом свободного падения с применением интерференционных
способов измерения расстояний были начаты в конце 60-х годов.
В Сибирском отделении АН СССР создан прибор со свободно
падающим уголковым отражателем, время падения около 0,5 .с,
высота 1,25 м. Одно измерение включает серию примерно из
200 циклов и длится около 40 мин. Погрешность определения
силы тяжести составляет 0,025- 10~s м/с2. Масса прибора около
600 кг, он может транспортироваться.
Разработка транспортабельных установок для абсолютных
определений силы тяжести методом свободного падения сделала
возможным создание сети абсолютных гравиметрических пунктов
109
Таблица 5.1
Абсолютные определении силы тяжести
Пункт .Автор Год Сила тяжести, 10'fi м/с2
наблюден- ная дн в потсдам- ской си- стеме g Rn—g
Потсдам Кюнен, Фурт- 1904 98 1 274,0 981 274,0 —
венглер Шуллер 1969 981 260,1 981 274,0 — 13,9
Вашингтон Кук, Хейли 1936 S80 088,6 980 105,0 — 16,4
Т ейт 1965 980 101,8 980 115,0 — 13,2
Тедди него н Кларк 1938 981 183,2 981 196,2 -13,0
Кук 1967 981 181,81 981 195,77 - 13,96
Фаллер 1969 981 181,86 981 195,76 -13,90
Ленинград Агалецкпй, Егоров, .Марциияк 1956 981 919,3 981 931,4 —12,1
Париж (Севр) Тулин 1958 980 927,7 980 940,5 — 12,8
Фаллер> 1969 980 925,96 980 939,86 — 13,90
Сакума 1970 980 925,93 980 939,87 — 13,94
Оттава Престон-Томас 1960 980 613,2 980 627,9 — 14,7
и введение поправки в потсдамскую систему (табл. 5.1). Совре-
менные измерения показали, что значение силы тяжести в мировом
исходном гравиметрическом пункте завышено на 14-10'6 м/с2; по
новейшим данным в Потсдаме g 981 260,1 • ИГ5 м/с5.
Результаты абсолютных измерений, выполненных X. Фалле-
ром, Р. Хаммондом, А. Сакумой, А. Куком, явились основой
для международной гравиметрической опорной сети 1GSN-71
(International gravity standartization net 1971). Эта сеть реко-
мендована к применению XV Генеральной ассамблеей Между-
народного союза геодезии и геофизики (Москва, 1971 г.).
Подавляющее большинство гравиметрических измерений, вы-
полненных во всем мире, являются относительными. Чтобы все
определения силы тяжести в различных частях земного шара
привести в единую, потсдамскую, систему, каждое государство
имеет один или несколько пунктов, которые служат исходными
для всех гравиметрических наблюдений в данной стране. Некото-
рые из этих исходных национальных пунктов непосредственно
связаны с Потсдамом.
Определение абсолютного значения силы тяжести с высокой
точностью имеет особо важное значение в метрологии при уста-
новлении разного рода эталонов. В геофизике, геодезии и гео-
логии обычно используются не абсолютные значения силы тя-
жести, а аномалии, получающиеся как разность наблюденного и
нормального значения. Важно следить, чтобы в формуле нор-
110
малыюго распределения значение ge было выражено в той же
исходной системе, что и наблюденное значение силы тяжести,
t В этом случае аномалии силы тяжести содержат постоянную
ошибку и не зависят от неточного значения силы тяжести в Пот-
сдаме. Однако это справедливо только в том случае, если постоян-
ная ошибка системы мала по сравнению с величинами, которые
в формуле нормального распределения принимаются за малые
первого порядка (в данном случае по сравнению с коэффициен-
том |3).
ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ МАЯТНИКОМ
Определение абсолютного значения силы тяжести весьма
сложно, требует длительного времени и для детального изучения
распределения силы тяжести на земной поверхности малопри-
годно. Поэтому уже в начале прошлого века для этой цели стали
применять относительный метод определения силы тяжести маят-
ником. Идея этого метода состоит в том, что на ряде пунктов
проводят наблюдения с одним и тем же маятником неизменной
приведенной длины и из этих наблюдений находят или отношение,
или разность силы тяжести в пунктах наблюдения.
Действительно, пусть мы имеем маятник с приведенной дли-
ной /, которая в общем случае нам не известна. Определим период
колебаний 7\ этого маятника в пункте с известным значением
силы тяжести gx. После этого найдем период колебаний Т3 маят-
ника в пункте с неизвестным значением силы тяжести Д.;. Если
приведенная длина маятника в процессе наблюдений осталась
неизменной, то можно написать
TL = я У l/gj\ 7'., . л ( l/g2. (5.31)
Возведя эти равенства в квадрат и почленно поделив, получим
gz/gi = Т~х/Т^ или g-> — g\ (5.32)
В этих формулах приведенная длина 1, трудно поддающаяся
определению, исключена, поскольку ее значение принято постоян-
ным. В этом состоит преимущество относительного способа опреде-
ления силы тяжести маятником перед абсолютным.
Основная формула относительных определений силы тяжести
маятником может быть переписана в более удобном для вычисле-
ний виде. Положим
| АТ = 71(1 | АТ/Л).
Тогда
& = &(! i АТ/Т,)-3;
ш
разложив выражение в круглых скобках в ряд по степеням
малого отношения кТ/1\, получим
g2 -gi = Ag = - 2gt (ЬТ/Ti) 4- 3fft (A 7 "Г'О • (5.33)
В большинстве случаев в правой части разложения можно
ограничиться только одним первым членом,
МАЯТНИКОВЫЕ ПРИБОРЫ
ДЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Первые маятниковые приборы для относительных измерений
силы тяжести были сконструированы и применены профессором
Дерптского университета Ф. Г. Парротом в 1829 г. Позднее (1881 г.)
они были усовершенствованы австрийским геодезистом Р. Штер-
неком. Вскоре после этого берлинский механик Штюкрат построил
четырехмаятниковый прибор, который в течение долгого времени
оставался основным инструментом для определения силы тяжести.
В дальнейшем были разработаны и созданы более совершенные
конструкции маятниковых приборов, улучшена методика наблю-
дений. К настоящему времени насчитывается более 30 конструк-
ций маятниковых приборов.
В 40-х—50-х годах, когда были созданы высокопроизводи-
тельные и точные гравиметры, являющиеся основными гравиме-
трическими приборами в настоящее время, использование маят-
ников в гравиметрической разведке полностью прекратилось.
Однако гравиметры еще не могут конкурировать с маятниками,
когда речь идет об измерении больших приращений силы тяжести
при создании сетей опорных пунктов пли об очень длительных
промежутках времени между повторными наблюдениями.
В эти же годы были разработаны маятниковые приборы вы-
сокой точности, что позволило применить их для создания эта-
лонных исходных пунктов при развитии опорных сетей. Совре-
менные методы регистрации периодов колебаний маятников,
использование кварцевых эталонов частоты для учета времени
дадут возможность в перспективе создать такие конструкции
маятниковых приборов, которые по производительности и точ-
ности не будут уступать гравиметрам. В то же время маятниковые
приборы не имеют недостатков, присущих всем гравиметрам,
а именно большого смещения нуль-пункта.
Маятники конструируют таким образом, чтобы выполнялось
основное требование—сохранение постоянства приведенной длины.
Каждый маятниковый прибор состоит из трех основных ча-
стей: маятников, штатива и счетчика (регистратора). В комплект
маятникового прибора входят также хронометр и радиоприемник.
Современный маятник (рис. 5.6) представляет собой стер-
жень 2, па верхнем конце которого укреплена головка (стремя) 3
И2
с ножом 4 из твердого материала (кварц или
агат) и зеркалом 5, на нижнем — чечевицеоб-
разный груз 1. По числу маятников приборы
делятся на двух-, четырех- и шестимаятни-
ковые.
Штатив прибора изготовлен в виде массив-
ной отливки и служит для подвески в нем
маятников. Штатив имеет площадки из твердого
материала (агат), на которые опираются ножи
маятников при качании; арретирующее устрой-
ство, поднимающее маятники с опорных пло-
щадок; пусковое устройство, обеспечивающее
запуск маятников с заданной амплитудой и
фазой; оптическое устройство(мостик), посред-
ством которого свет от регистратора попадает
на зеркала маятников и возвращается обратно
к регистратору. Штатив маятника сверху за-
крывается колпаком, предохраняющим маятник
от пыли, резких колебаний температуры и
давления.
Счетчик (регистратор) предназначен для
определения периода и амплитуды колебаний
маятников. Применяют три метода наблюдений
за периодом колебаний: визуальный, фотогра-
фический и фотоэлектронный с цифровой реги-
страцией. В соответствии с этим различается и
устройство счетчиков.
При визуальном наблюдении (метод сов-
падений) оператор в зрительную трубу следит
за положением световых бликов, посылаемых
хронометром к маятнику. Поскольку периоды
маятников несколько больше или меньше полусекунды, то поло-
жение блика все время меняется. Если блик в некоторый момент
времени находится на нити зрительной трубы, то он вновь вернет-
ся туда только по прошествии целого числа колебаний. Если это
заняло с секунд, то маятник совершил 2с — 1 колебаний в зави-
симости от того, больше или меньше полусекуиды его период.
Период колебаний маятника определяется формулой
Т = с/(2с + 1).
Рис. 5.6. Маятник.
(5.34)
Таким образом, метод совпадений является своеобразным но-
ниусом времени, повышающим точность определения периода коле-
баний. Естественно, что погрешность уменьшится в п раз, если
найти продолжительность не одного, а п интервалов.
Применение фоторегистрации повышает точность определения
периода колебаний маятника, но требует значительного времени
па обработку результатов наблюдений. В наиболее совершенных
Рис. 5.7. Комплект маятникового прибора ОВМ.
маятниковых приборах используются фотоэлектронные способы
определения периода и амплитуды колебания маятников.
В ЦНИИГАиК под руководством М. Е. Хейфеца сконструи-
рован высокоточный вакуумный двухмаятниковый прибор ОВМ
(рис. 5.7), специально предназначенный для создания сети опор-
ных гравиметрических пунктов.
В комплект прибора входят штатив 2 с подставкой 3 и двумя
маятниками, фотоэлектронный регистратор 4 колебаний маятника
и пульт управления 1.
В приборе использованы кварцево-металлические полусекунд-
пые маятники, стержень маятника изготовлен из плавленого
кварца, чечевица — из вольфрама, головка — из инвара. Преиму-
щество такого маятника перед цельнометаллическим заключается
в слабой зависимости периода колебаний от температуры. Чече-
вица прикреплена к кварцевому стержню в своем центре тяжести,
малое термическое расширение кварца не вызывает заметных
изменений приведенной длины маятника.
Маятниковый штатив герметизирован и имеет электрический
термостат. Арретирное устройство с корректором обеспечивает
одинаковую посадку маятниковых ножей на опорные площадки,
пусковое устройство — одновременный пуск маятников в противо-
фазе. При транспортировке маятники из штатива не вынимают,
в штативе имеется специальное зажимное устройство, исключа-
ющее перемещение маятников при перевозке. Управление всеми
операциями при наблюдениях с маятниковым прибором осуществ-
ляется с пульта управления через реверсивный двигатель.
Период колебания маятника определяют с помощью специаль-
ного фотоэлектронного регистратора (рис. 5.8). Луч света от
лампочки осветителя проходит через конденсор и собирается
в плоскости передающей диафрагмы, расположенной в фокусе
объектива 1. Из этого объектива выходит параллельный пучок
114
Пульт управления
Рис. 5.Я. Блок-схема маятникового прибора ОВМ.
света, который после нескольких отражений от зеркал маятников
п оптического мостика направляется в объектив 2. В фокальной
плоскости этого объектива расположена приемная диафрагма,
за которой находится фотоэлектронный умножитель ФЭУ. Прием-
ная диафрагма имеет три параллельные щели: центральную (для
измерения периода колебаний маятника) и две крайние (для опре-
деления амплитуды колебаний).
Многократное отражение луча света от зеркал маятников позво-
ляет уменьшить продолжительность светового импульса, пада-
ющего на ФЭУ, в п раз (п — число отражений луча от каждого
зеркала маятника). Световой импульс от маятника преобразуется
ФЭУ в электрический и поступает в формирующие каскады,
после которых импульс включает спусковое устройство, управ-
ляющее работой двух пересчетных схем. Одна из них служит для
измерения числа колебаний кварцевого генератора с частотой
100 кГц, а вторая фиксирует число колебаний маятника. После
некоторого наперед заданного четного числа колебаний маятника
счет прекращается. Период колебаний Т маятника получают деле-
нием числа колебаний Q кварцевого генератора, которое указы-
вается пересчетным устройством, на произведение известного
целого четного числа колебаний N и частоты со кварцевого гене-
ратора:
'Г — Q/(<o/V).
Амплитуду колебаний маятника определяют также фотоэлек-
। ровным способом, измеряя пересчетным устройством время пере-
мещения светового блика между двумя крайними щелями прием-
115
ной диафрагмы. Специальная шторка, которая срабатывает от
спускового устройства, перекрывает центральную щель, и им-
пульс от маятника проходит через крайние щели. Период колеба-
ний маятника определяют из наблюдений в течение 15 мин с по-
грешностью 2 1 ГГ8 с, что соответствует погрешности силы тя-
жести 0,1 10 5 м/с2.
В 1974 г. в ЦНИИГАиК создан новый маятниковый прибор для
высокоточных измерений, получивший название «Агат». При этом
были учтены недостатки маятникового комплекта ОВМ. Прибор
«Агат» сделан более компактным, в 3 раза снижена масса всего
комплекта, уменьшено потребление энергии питания, преду-
смотрена возможность работы на аккумуляторах, что позволяет
использовать прибор в полевых условиях. Погрешность опре-
деления периода маятников за 10 мин наблюдений составляет
1 10-8 с, что соответствует погрешности силы тяжести 0,06 X
X ИГ'1 м/с2.
ПОПРАВКИ
В НАБЛЮДЕННЫЙ ПЕРИОД КОЛЕБАНИЙ
МАЯТНИКА ДЛЯ УЧЕТА ВНЕШНИХ ВЛИЯНИЙ
Теория колебаний маятника разработана в предположении,
что маятник колеблется в пустоте, с постоянной амплитудой, на
твердом основании и т. д. В реальных же условиях наблюденный
период искажен действием различных внешних факторов: темпе-
ратурой, плотностью воздуха, неустойчивостью штатива. Чтобы
учесть искажающее действие внешних условий на период коле-
баний маятника, приходится вводить целый ряд поправок.
Для приведения полученного значения периода к бесконечно
малой амплитуде вводят поправку за амплитуду
Да = Т - —(T/4)sin2(a/2)^—(Т/16)а2. (5.35)
Изменения температуры сказываются на приведенной длине
маятника, а следовательно, и на периоде его колебаний. Поэтому
все наблюдения приводятся к одной температуре /0. Поправка
за температуру
А, /I (/- Q -АД/-/0)а + 4(4Ш), (5.36)
где А и Л, — статические, Л2 — динамический температурные
коэффициенты; dt/dh — часовой температурный градиент.
Температурные коэффициенты маятника определяют экспе-
риментально, наблюдая его колебания при постепенном умень-
шении или увеличении температуры. Чтобы ослабить влияние
температуры, маятники изготавливают из материалов с малым
коэффициентом линейного расширения (кварц, инвар) или при-
меняют термостатировапие.
Колебания маятника в воздухе осложняются потерей веса
в соответствии с законом Архимеда, изменением момента инерции,
116
вызванным прилипанием воздуха к маятнику, и Трением о воздух,
что увеличивает затухание маятника. Суммарное влияние этих
факторов учитывается эмпирической формулой
До =•- — BD - В' (5.37)
где В и В1 — барометрические коэффициенты, определяемые
экспериментально; D — плотность воздуха, определяемая но
показаниям барометра, психрометра и термометра.
Наблюденный период колебаний маятника измеряется в се-
кундах по хронометру или кварцевым часам. Поскольку любые
часы идут неточно, необходимо в наблюденный период ввести
поправку за суточный ход w хронометра:
Ч 115’77w-1C)'7’ <5’38)
Положив в этой формуле Т„ — 0,5 с, получим Дг -=w58wX
X ИГ7 с, т. е. для определения поправки с погрешностью до
1- 10 т с суточный ход хронометра надо знать до 0,02 с. Суточный
ход хронометра находят по радиосигналам точного времени, пере-
даваемым службой времени ведущих астрономических обсерва-
торий. При современных маятниковых наблюдениях вместо хроно-
метров используют термостатированные кварцевые часы. При
хорошем термостатировании (до 0,01° С) кварцевые часы в течение
длительного времени имеют ход менее 0,001 с в сутки, что прак-
тически исключает необходимость поправки за ход хронометра
и резко сокращает продолжительность наблюдений на пункте.
При колебаниях маятника верхняя часть штатива начинает
раскачиваться, что искажает наблюденный период колебаний.
Это явление называется сокачанием штатива. Для уменьшения
сокачания помещают в одной плоскости два одинаковых по длине
маятника и заставляют их раскачиваться с одинаковой амплитудой
в противофазе. Поскольку точно условие одинаковой длины не
выполняется, то оставшееся влияние сокачания штатива учиты-
вают введением поправки &та-
В современных маятниковых приборах для исключения по-
правки за сокачание штатива применяют особый метод наблюдении,
предложенный Ф. Венингом Мейнесом для маятников на неустой-
чивом основании (см. главу 8). Идея заключается в том, что на
одной подставке качаются в одной вертикальной плоскости два
практически изохронных маятника и фотопутем регистрируются
разности амплитуд и фаз этих маятников, свободные от возмуща-
ющих ускорений, действующих на штатив прибора. Этот метод
наилучшим образом исключает влияние сокачания штатива на
период колебаний маятника.
Все вычисленные поправки вносят в наблюденный период ко-
лебаний маятника и получают исправленный период
1 А/+ Ад А/д J (5.39)
117
Периоды определяют несколько раз и из исправленных пе-
риодов колебаний каждого маятника находят средний, который
используют для вычисления приращения силы тяжести по фор-
муле (5.33).
Маятниковые пункты, определенные в 1932—1945 гг., равно-
мерно размещены почти по всей территории СССР. В зависимости
от точности силы тяжести их относят к одному из трех классов:
с погрешностью (1 н-2)-10 5 м/с2 к первому классу, (2-~3)- 10“ м/с2
ко второму, (Зч-5)-10 8 м/с2 к третьему. Большинство маятнико-
вых пунктов, наблюденных до 1946 г., соответствует третьему
классу. В последующие годы по мере усовершенствования маят-
никовых приборов значительно повысилась точность определения
силы тяжести. В частности, кварцево-металлические маятниковые
приборы ЦНИИГАиК позволяют проводить измерения с погреш-
ностью, не превышающей 0,5 10 8 м/с2.
УПРУГИЙ МАЯТНИК
Кроме обычных маятников для определения силы тяжести при-
менялись упругие маятники, созданные в 30-х годах во Франции
Р. Леже и Ф. Хольвеком, а в СССР Г. И. Рудаковским и М. Е. Хей-
фецем.
Упругий маятник (рис. 5.9) представляет собой стержень,
обычно кварцевый, в нижний конец которого заделана плоская
пружина, изготовленная из элинвара. Если маятник под дей-
ствием силы тяжести и упругой силы пружины находится в равно-
весии, характеризуемом углом ср0, а затем, будучи отклоненным
от этого положения, начинает совершать колебательные движения,
то это движение можно описать уравнением
Рис. 5.9. Упругий
маятник.
/ (efep/d/2) — т (ср — ср0) + mgl sin ср, (5.40)
где 1 — момент инерции маятника; —т (ср —
— Фо) — момент упругой силы пружины; т —
постоянная упругости пружины; mgl sin ср —
момент силы тяжести.
Пренебрегая ср0 и принимая ввиду малости
угла sin ср яь ср, получаем
/ (d2cp/d(2) = —(т — mgl) ср. (5.41)
Уравнение (5.41) подобно уравнению движе-
ния обычного маятника. Поэтому период ко-
лебаний
7' = л У //(т — mgl); (5.42)
полагая H(jnl) = L, где L приведенная дли-
на упругого маятника, и т/(щ/) : с, получаем
Т — л ] Е/(с — g). (5.43)
118
Из этого уравнения следует, что период колебаний упругого
маятника определяется не полной величиной g, а разностью между
постоянной с и силой тяжести g. Значение с можно сделать весьма
близким к g, тем самым уменьшив требования к точности опреде-
ления периода. В сконструированных маятниках 1=6 см,
Т«3с, с — g^6,610-2 м/с2. Для измерения силы тяжести
с погрешностью 1 10~5 м/с2 период требуется найти с погреш-
ностью 2-10"4 с, что может быть обеспечено хорошим секундо-
мером в течение 10 мин.
По точности упругие маятники не уступали обычным маятни-
кам при значительно большей производительности, однако они
имели ряд существенных недостатков: сильную чувствительность
к наклону, очень быстрое затухание, изменение упругих свойств
пружины с течением времени. С появлением статических грави-
метров упругие маятники не применяются.
струнный гравиметры
К динамическим приборам для относительных определений
силы тяжести относятся струнные, или, как их иногда называют,
динамические, гравиметры. Идея струнного гравиметра была
впервые предложена в 30-х годах Л. И. Мандельштамом и
Г. П. Папалекси. Если подвесить массу на тонкой металлической
нити (струне), верхний конец которой закреплен неподвижно, то
натяжение струны, а следовательно, и период ее колебаний будут
зависеть от веса подвешенной массы, длины и веса струны. При
постоянных параметрах струны и груза изменения силы тяжести
проявляются в изменении частоты колебаний струны.
Первый макет действующего
струнного гравиметра был со-
здан в 1948 г, Р. Джильбертом
в Кембриджском институте гео-
дезии и геофизики. Испытания
проводились на подводной лод-
ке, при этом была получена
средняя квадратическая по-
грешность измерений2- 10-5м/с2.
В СССР несколько моделей
струнных гравиметров было
разработано во ВНИИГеофизи-
ке под руководством А. М. Ло-
зинской.
Рассмотрим схему струнного
гравиметра (рис. 5.10). Масса 1
подвешена на струне 2. Чтобы
можно было измерить частоту
колебаний струны, необходимо
сделать их незатухающими. Для
Рис. 5.10. Схема струнного гравиметра.
этого струна помещена между полюсами постоянного магнита 3 и
включена в колебательный контур с усилителем и положительной
обратной связью. Если на концы струны подать переменное напря-
жение, то струна начнет вибрировать. Изменение силы тяжести
регистрируется как изменение частоты генератора, что устанавли-
вается сравнением с частотой эталонного генератора. Чтобы обес-
печить необходимое демпфирование, массу делают из красной
меди в виде полого цилиндра и помещают ее между полюсами
магнита 4. От перемещения в горизонтальном направлении масса
удерживается тонкими горизонтальными нитями с малой упру-
гостью.
Частота колебаний идеально гибкой струны связана с силой
тяжести уравнением
! J_ 1 / HL = _L | ' (5 44)
1 ~ 21 V ?. 21 F п.$ ’ 1
где т — масса груза; I — длина, Z — линейная плотность, а —
объемная плотность, S — площадь поперечного сечения струны.
Логарифмируя и дифференцируя уравнение (5.44) по пере-
менным f и g, получаем связь изменения частоты с изменением
силы тяжести:
dg/g 2(d[/l). (5-45)
Отсюда следует, что для определения силы тяжести с погреш-
ностью 1-10”® м/с2 измерение частоты должно быть выполнено
с относительной точностью 0,5-10”6.
В струнном гравиметре ВНИИГеофизики в качестве струны
использована лента из бериллиевой бронзы сечением 0,25x0,05 мм
и длиной 50 мм; масса груза около 100 г, что дает частоту колеба-
ний струны около 1 кГц. Для определения силы тяжести с погреш-
ностью Г 10”® м/с2 частоту необходимо измерять до 5-10"4 Гц.
Приращение частоты !\f находят по счетчику фаз:
АМ{л^»1)/М. (5.46)
где п2 — zij — разность отсчетов; /2—4 — интервал времени счета.
Значение Af с допустимой погрешностью можно получить
за время менее 4 мин. При увеличении интервала времени счета
точность определения Д/ повышается.
Формула (5.44) справедлива только для идеально гибкой и ие-
растяжнмон струны. С учетом реальной жесткости струны в фор-
мулу вводится дополнительный множитель, при этом частота
колебаний струны повышается не более чем на 1—3%. Изменение
модуля упругости струны мало влияет на частоту ее колебаний,
поэтому действиетемпературы сказывается только на длине струны,
что является достоинством прибора. К достоинствам прибора надо
отнести также частотный выход результатов измерений, что
позволяет легко приспосабливать прибор для дистанционных
120
наблюдений, применять вычислительную технику. Некоторые
конструкции гравиметров разработаны для измерения силы тя-
жести па море и в буровых скважинах (см. главу 7).
Глава 6
СТАТИ Ч ЕС К И Е МЕТОДЫ
ИЗМЕРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О СТАТИЧЕСКИХ ГРАВИМЕТРАХ
Статические методы измерения приращений
силы тяжести в настоящее время распространены наиболее ши-
роко. На статическом принципе создано несколько десятков раз-
личных конструкций гравиметров, и по объему наблюдений силы
тяжести статические гравиметры практически вытеснили маят-
никовые приборы.
Современные статические гравиметры — это легкие, портатив-
ные приборы, позволяющие измерять приращение силы тяжести
с высокой точностью при большой производительности, что и обес-
печило их широкое применение в гравиразведке. Большинство
современных гравиметров способны определять приращения силы
тяжести с погрешностью (0,14-0,02)-КГ5 м/с2, а специальные
гравиметры до 0,001 -КГ5 м/с2.
Продолжительность наблюдения с гравиметром на пункте
составляет 3—5 мин, т. е. производительность в основном зависит
от расстояния между пунктами и средств транспортировки прибо-
ров. Самый процесс наблюдений с гравиметрами значительно
проще, чем с маятниками.
Небольшая масса гравиметров позволяет использовать их
в различных полевых условиях, в малодоступных и труднопро-
ходимых районах. Специальные конструкции гравиметров можно
опускать на дно моря или устанавливать на корабле для морских
наблюдений.
Но наряду с такими важными преимуществами перед маятни-
ковыми приборами, как точность, высокая производительность
и транспортабельность, гравиметры имеют и ряд недостатков.
Наиболее существенным из них является смещение нуль-пункта,
происходящее вследствие необратимых изменений в материале,
из которого изготовлена упругая система гравиметра. Смещение
нуль-пункта, присущее в большей или меньшей степени всем гра-
виметрам, приводит к непрерывному изменению показаний. Для
контроля за нуль-нунктом приходится выполнять повторные на-
блюдения и вводить поправки.
Измеренные гравиметрами значения силы тяжести выражаются
в делениях шкалы прибора. Для вычисления приращения силы
121
тяжести в тех или иных конкретных единицах (миллигалах;
метрах на секунду в квадрате) необходимо установить переводной
коэффициент, называемый ценой деления гравиметра. Операция
определения цены деления называется эталонированием и является
одним из наиболее ответственных и сложных исследований грави-
метра (при маятниковых наблюдениях такой проблемы не суще-
ствует). Требуемая точность цепы деления гравиметра зависит
от максимального значения измеряемой разности силы тяжести,
а также от заданной погрешности наблюдений. Например, если
требуется измерить разность силы тяжести 1000-КГ6 м/с2 с по-
грешностью до 0,1-1СГ5 м/с2, то точность цены деления грави-
метра должна быть не ниже Г 10~4. Эталонирование гравиметра
с такой точностью является очень сложной задачей и требует
специальных исследований и приспособлений. Часто ограничи-
ваются точностью 1-10“8, в этом случае ошибка составляет 0,1 X
X Ю”6 м/с2 при измерении разности силы тяжести 100- 10~5 м/с3.
В отличие от маятниковых приборов, диапазон измерений
с которыми не ограничен, гравиметрами можно определять при-
ращения силы тяжести, амплитуда которых зависит от конструк-
ции гравиметров и их точности. Некоторые типы гравиметров
обладают большим, практически не ограниченным диапазоном
(3-:- 5)10 2 м/с2. Такие гравиметры получили название геодезиче-
ских, так как именно для геодезических целей приходится изме-
рять очень большие приращения силы тяжести. Большинство
гравиметров, используемых в гравиразведочной практике, обла-
дает диапазоном непрерывного измерения силы тяжести (100—j—
4-200) • 10”5 м/с2. Некоторые специальные типы гравиметров имеют
диапазон всего до 10- 10~ь м/с2.
Несмотря на ряд бесспорных преимуществ гравиметров перед
маятниковыми приборами, заменить их полностью гравиметры
пока не могут. Маятниковые приборы используют для создания
равномерной сети гравиметрических пунктов на всей поверхности
Земли, для привязки к этой сети наблюдений с гравиметрами и
приведения их в единую абсолютную систему.
Разнообразные конструкции статических гравиметров могут
быть объединены в группы по ряду общих признаков. По роду
упругой силы, которая уравновешивает силу тяжести, различают
три группы гравиметров: газовые, жидкостные и механические.
Газовые гравиметры — приборы, в которых сила тяжести
уравновешивается упругостью газа, заключенного в ограничен-
ном объеме, или давлением атмосферного воздуха. В настоящее
время эта группа гравиметров не имеет практического применения
из-за низкой точности, так как упругость газа очень сильно за-
висит от температуры.
Жидкостные гравиметры — приборы, в которых уравновеши-
вающей силой выступают капиллярные силы жидкости. Грави-
метры этого типа также не получили широкого распростра-
нения.
122
Механические гравиметры — приборы, в которых сила тяже-
сти уравновешивается упругостью твердых тел: металлов или
кварца. В настоящее время используются приборы только этой
группы. Механические гравиметры в зависимости от материала
упругой системы делятся на две подгруппы: металлические (упру-
гая система из металла или специальных сплавов) и кварцевые
(система из плавленого кварца).
Все статические гравиметры, по сути дела, являются высоко-
точными пружинными весами, на которых взвешивается один
и тот же груз постоянной массы. Мерой изменения силы тяжести
служит деформация упругого элемента. Регистрация деформации
осуществляется либо путем непосредственного отсчета положения
деформированной системы с помощью укрепленного на ней
индекса, либо, что наиболее распространено, компенсационным
способом. В этом случае с помощью вспомогательных устройств
создается дополнительное усилие, компенсирующее изменение
веса постоянной массы гравиметра, и упругая система приводится
в одно и то же — нулевое — положение. Усилие компенсацион-
ного устройства является мерой изменения силы тяжести.
В Советском Союзе основные требования к гравиметрической
аппаратуре для наземных и морских относительных измерений
силы тяжести устанавливаются государственными стандартами
(ГОСТ 14009—68. Приборы для гравиметрических исследований.
Типы. Основные параметры и нормы точности. ГОСТ 13017—73.
Гравиметры наземные. Основные параметры. Технические требо-
вания).
Согласно стандартам гравиметры в зависимости от их назначе-
ния подразделяются на следующие типы.
1. Наземные — для измерения приращений силы тяжести на
суше.
2. Донные — для измерений на дне водоемов.
3. Морские надводные — для измерений с надводных судов.
4. Морские подводные — для измерений с подводных судов.
5. Аэрогравиметры — для измерений с самолетов.
6. Скважинные — для измерений в скважинах.
7. Специальные — для измерений вариаций силы тяжести,
для съемки с космических аппаратов и т. п.
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ,
ПРИМЕНЯЕМЫХ В ГРАВИМЕТРАХ
Главной частью любого гравиметра является его упругая, или
чувствительная, система, деформация которой под действием
веса груза служит мерой изменения силы тяжести. Упругая
система должна обладать высокой степенью постоянства упругих
свойств во времени, линейной зависимостью деформации от изме-
нения нагрузки и неизменностью упругих свойств при колебаниях
123
температуры. Для изготовления систем выбирают или специально
разрабатывают материалы, наилучшим образом удовлетворяющие
этим требованиям.
Применение упругих тел в механических гравиметрах основано
на законе Гука, согласно которому деформация упругого тела
пропорциональна напряжению. Однако закон Гука не полностью
описывает характер деформации тела под действием приложенного
к нему напряжения. Он является лишь первым приближением для
выражения действительной деформации тела, поскольку рассма-
тривает деформацию как чисто механическое движение, отвле-
каясь от физической природы упругих тел, их молекулярного
строения, влияния теплового движения и т. д.
По закону Гука деформация упругого тела (рис. 6.1) харак-
теризуется двумя коэффициентами пропорциональности: при рас-
тяжении и изгибе модулем Юнга Е
E(hL/L) -P^F/S,
а при кручении или сдвиге модулем сдвига G
GG = P = P/S,
где Р — нагрузка или напряжение, отнесенное к единице пло-
щади поперечного сечения; F — внешняя сила, приложенная
к телу; S — площадь поперечного сечения; L — первоначальная
длина; АЛ — удлинение при растяжении под действием напря-
жения, направленного по нормали к поперечному сечению; 0 —
угол сдвига, вызываемого касательным напряжением при кручении.
При определении механических характеристик материала со-
ставляют диаграмму деформации (рис. 6.2), на которой по оси
абсцисс откладывают относительное удлинение AL/L или угол
сдвига 0, а по оси ординат напряжение Р.
Рис. 6.1. Деформация упругого
тела.
Участок О А диаграммы со-
ответствует упругим обратимым
деформациям, удовлетворяющим
закону Гука. Напряжение,"при
котором прямая пропорциональ-
ность нарушается, называется
Рис. 6.2. Диаграмма дефор-
мации.
124
пределом пропорциональности (точка Р„).
На участке АВ деформация растет быст-
рее, чем на участке ОА, и носит частично
пластический характер. Наибольшее на-
пряжение, при котором с уменьшением
нагрузки еще не обнаруживается замет-
ной деформации, называется пределом
упругости (точка Ру). Практически пределы
упругости и пропорциональности не раз-
личаются между собой.
На участке ВС деформация растет поч-
Рис. 6.3. Упругое после-
действие.
ти без изменения нагрузки и носит целиком пластический харак-
тер. Материал начинает течь. На диаграмме образуется площадка,
почти параллельная оси абсцисс. Точка С характеризует поло-
жение, когда при постоянной нагрузке остаточная деформация
распространяется по всему объему тела, она называется пределом
текучести (точка Рт). Дальнейшее увеличение нагрузки вызывает
в материале способность вновь сопротивляться растяжению (или
сдвигу), но только до некоторого предела нагрузки. По достиже-
нии этого предела наступает разрыв (точка D). Нагрузка, дей-
ствующая в момент разрыва на единицу первоначальной площа-
ди поперечного сечения, называется пределом прочности или
временным сопротивлением R.
Экспериментальные исследования показывают, что закон Гука
справедлив только в некоторых пределах участка ОА, длина ко-
торого определяется точностью измерения. Упругие элементы
гравиметра могут работать удовлетворительно только в том слу-
чае, если они деформируются в пределах линейной зависимости
между деформацией и нагрузкой без следов остаточной деформации.
Остаточная деформация не должна превышать 1СГ8 от полной
деформации, что значительно меньше предела, который допускается
при проектировании многих других конструкций.
Каждый материал характеризуется своей диаграммой дефор-
мации. В частности, плавленый кварц имеет диаграмму, которая
обрывается, не дойдя до точки В, т. е. пределы прочности и упру-
гости практически совпадают. У металлов деформация суще-
ственно зависит от режима их термической и механической обра-
ботки. Применяя соответствующую технологию обработки метал-
лов, предел их упругости можно существенно повысить. Остаточ-
ная деформация снижается также с уменьшением нагрузки.
Полагают, что если напряжение не превосходит 20 % от предела
упругости, то остаточная деформация мала и на работу грави-
метра существенно не влияет.
Упругая деформация зависит от времени. Эта зависимость про-
является в упругом последействии, ползучести и упругом гисте-
резисе. Упругое последействие (рис. 6.3) состоит в том, что после
приложения внешней силы при постоянном напряжении Рг де-
формация принимает свое конечное значение не сразу, а прибли-
125
жается к нему асимптотически в течение некоторого времени.
При уменьшении напряжения от до Р2 новое значение деформа-
ции устанавливается также за некоторое время.
Для уменьшения упругого последействия пружины гравиме-
тров все время находятся в растянутом состоянии, близком к ра-
бочему. В металлических гравиметрах с арретирным устройством
пружина закрепляется в растянутом состоянии. В кварцевых
гравиметрах, где упругая система не арретируется, упругое после-
действие вызывает разную скорость смещения нуль-пункта в ста-
ционарных условиях и при транспортировке, когда упругий
элемент подвергается изменяющейся нагрузке. Как правило, при
транспортировке смещение нуль-пункта возрастает.
При измерении больших приращений силы тяжести, пере-
стройке диапазона измерений деформация пружины значительно
меняется. Упругое последействие проявляется в изменении пока-
заний гравиметра на одном и том же пункте в течение нескольких
минут. Поэтому при перестройке диапазона необходимо выждать
некоторое время, пока отсчет гравиметра не установится, т. е.
пока не будет достигнута окончательная деформация. Применяя
специальную термическую и механическую обработку металлов,
влияние упругого последействия можно уменьшить.
Ползучесть предсталяет собой процесс малой непрерывной
пластической деформации при длительно действующих постоян-
ных нагрузке и температуре. Ползучесть материала проявляется
начиная с некоторой температуры и увеличивается при повышении
температуры и нагрузки. Развитие ползучести в процессе работы
упругого элемента протекает в три этапа (рис. 6.4). Первый этап
(а) — скорость ползучести велика, но вследствие упрочения ма-
териала постепенно стабилизируется, принимая постоянное значе-
ние; второй этап (6) — скорость постоянна; третий этап (с) — из-за
разупрочения материала скорость возрастает и материал разру-
шается. Искусственным старением материала, подвергая его дей-
ствию повышенных температур и нагрузок, удается снизить пол-
зучесть до малых значений.
Упругий гистерезис состоит в том, что при повторяющихся
нагрузках и разгрузках деформаци
дый данный момент зависит не
только от действующей нагрузки,
но и от той, которая ей предшест-
вовала (рис. 6.5). При одной и
не строго одинакова и в каж-
Рис. 6.5. Упругий гистерезис.
126
той же нагрузке Р тело может иметь меньшую деформацию &LJL,
если до этого оно испытывало напряжение меньше Р, и большую
деформацию &.LJL, если предшествующее напряжение было
больше Р.
Все рассмотренные явления, выходящие за пределы действия
закона Гука, называются несовершенствами упругости. Источ-
ники их в настоящее время изучены еще недостаточно. Замечено,
что несовершенства упругости резко усиливаются при повышении
температуры. Именно температурные колебания являются тем
фактором, который оказывает на упругие системы гравиметров
наибольшее влияние. С изменением температуры изменяются раз-
меры и упругие свойства системы. Естественно, что влияние тем-
пературы надо уменьшить до значения, не превышающего чувстви-
тельности гравиметра. Решение этой задачи является одной из
сложнейших проблем как при изготовлении материала, так и при
конструировании самой системы гравиметра.
Изменение линейных размеров L тела при изменении темпе-
ратуры определяется коэффициентом линейного расширения мате-
риала а:
L = LO(1 Ч-а/),
где Lo — длина тела при I = 0° С.
Это равенство справедливо при малых изменениях темпера-
туры. При значительных перепадах температуры приходится
учитывать, что коэффициент а сам является функцией темпера-
туры: а а (0-
Модули упругости Е и G также зависят от температуры:
£ = £о(14-®0; G = G0(l-|-y/),
где е и у — температурные, или термоэластические, коэффициенты
модулей упругости первого и второго рода.
Коэффициенты 8 и у так же, как и а, являются функциями
температуры (табл. 6.1).
Таблица 6.1
Температурные коэффициенты материалов
Материал а, 10*в к, 10-« у, 10’“
Дюралюминий бронза фосфористая Сталь (разные марки) Киари плавленый Вольфрам "пшвар (разные сплавы) 1 luuopoKC 1 1 ч ичластик -(-23 + 17 + 10 : +12 +0,5 -1-4 -6 ч-+6 —583 —380 240+—280 + 120 —95 —40Ч-+20 —5++2 -5+0 —551 —411 —260-: -280 120 —06 —40 ч- -20 —Зч-+5 —4+0
127
Приведенные значения коэффициентов являются приближен-
ными, отражающими порядок указанных величин. Из таблицы
видно, что термоэластнческие коэффициенты значительно больше
коэффициента линейного расширения, они и определяют чувстви-
тельность гравиметра к температурным изменениям. Например,
если пружина изготовлена из материала с температурным коэф-
фициентом порядка 100-10"6, то при изменении температуры на
1° С показания гравиметра изменяются на 100- 10~6g, или на
100- 10 й м/с3. Чтобы избежать такого сильного влияния темпе-
ратуры, желательно иметь материалы с нулевыми или близкими
к пулю термоэластическимп коэффициентами.
Для изготовления упругих элементов металлических грави-
метров применяют специальные гравиметровые стали (элинвар,
изоэластик, ниворокс). Эти стали представляют собой железо-
никелевые сплавы, различающиеся между собой не столько со-
держанием железа и никеля, сколько малыми примесями других
элементов (например, бериллия), а также особенностями холодной
обработки и закалки. Эти сплавы менее подвержены упругому
последействию и ползучести. Но все железоникелевые сплавы
магнитны, поэтому изготовленные из них системы приходится
защищать от действия земного магнитного поля.
Кроме специальных гравиметровых сплавов упругие системы
изготавливают также из плавленого кварца. Плавленый кварц
имеет высокий предел упругости и прочности, обладает незначи-
тельным упругим последействием, немагнитен. Кварцевое стекло
сравнительно легко поддается обработке. Из него можно тянуть
тончайшие нити, навивать пружины и т. д. Однако плавленый
кварц обладает некоторыми существенными недостатками. У него
большой термоэластический коэффициент (-(-120- 10-е), который
к тому же сам является функцией температуры. Кроме того,
плавленый кварц с течением времени раскристаллизовывается,
что ухудшает его упругие свойства. Кварц отличается большей,
чем у сплавов, ползучестью, правда, достаточно постоянной
во времени.
Системы современных гравиметров изготавливают с пружинами
как из металла, так и из плавленого кварца. По точности измере-
ний нельзя определенно сказать, какой материал предпочтитель-
нее. В СССР наибольшее применение получили кварцевые грави-
метры.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
МЕХАНИЧЕСКИХ ГРАВИМЕТРОВ
Основной частью механического гравиметра является упругая
система. Деформация в упругой системе возникает под действием
веса груза или его момента, которые зависят от силы тяжести.
Приращение деформации упругого элемента и служит мерой изме-
нения силы тяжести.
128
Уравнение равновесия
При рассмотрении теории гравиметра будем полагать, что
система имеет только одну степень свободы и при изменении
силы тяжести масса может совершать или поступательное, или
вращательное перемещение.
Пусть х — деформация упругой системы, регистрируемая не-
которым индексом, связанным с перемещающейся массой. Тогда
момент массы упругой системы относительно оси вращения
М (х) = J г cos a dm,
V
где г — расстояние от оси вращения до элемента массы dm-,
а — угол, составленный направлением г с горизонтальной пло-
скостью.
Интегрирование распространяется на все массы системы.
Если значение g в объеме системы постоянно, момент силы тяже-
сти равен gM (х). Моменту силы тяжести противодействует мо-
мент W (х) внутренних упругих сил системы относительно оси вра-
щения. В общем случае упругая система может быть снабжена
дополнительными массами или пружинами для повышения чув-
ствительности к изменению силы тяжести, а также для настройки
гравиметра па рабочий диапазон измерений, приведения груза
в исходное (нулевое) положение и т. д. Поэтому момент W (х)
охватывает всю сумму моментов внутренних сил, возникающих
в результате деформации всех элементов упругой системы грави-
метра, т. е.
IF(x)^-S Wf(x).
i
Момент внешних сил, действующих на систему, в основном
определяется силой тяжести. Но кроме силы тяжести на упругую
систему могут оказывать действие магнитные и электрические поля
(если упругая система магнитна и способна электризоваться).
Поэтому в общем случае момент gM (х) определяется совокупным
действием всех внешних сил, действующих на систему:
ЯМ(х) = я£ М,.(х).
i
В момент измерения система гравиметра находится в состоянии
равновесия, т. е. сумма всех внешних и внутренних сил, действу-
ющих на систему, или сумма их моментов равна нулю. Тогда
уравнение равновесия системы с вращательным перемещением
массы можно записать в виде
gM(x) + F(x) = 0. (6.1)
В. С. Миронов
129
Для системы с поступательным перемещением массы вместо
моментов сил в уравнение равновесия войдут сами действующие
силы:
mg-\-fx—0, (6.2)
где т — перемещающаяся масса; х — полная деформация упру-
гой системы; / — жесткость упругой системы, зависящая от раз-
меров и упругости системы.
Упругая сила деформации и ее момент могут изменяться под
влиянием температуры i. Вес подвижного груза и его момент
зависят от температуры t, атмосферного давления р, угла наклона
системы |3. Поэтому в общем случае момент IF является функ-
цией аргументов х и I, а момент М — функцией аргументов х,
I, р и р. Тогда
gM (х, t, р, Р) + W (х, I) = 0. (6.3)
В дальнейшем изложении переменные, стоящие в скобках,
для краткости опускаются. Дифференцируя выражение (6.3) по
всем переменным, получаем основное уравнение упругой системы
гравиметра:
/ дМ J 0W \ dx . / о cW . ar \ dt . дМ dp
Ox r дх / dg b \Й dt а/ / dg ' g др ' dg
+ ё'4г'-4-~'1л',=о- (б-4)
1 s ар dg 1 ' '
Величина dx/dg характеризует изменение деформации упругой
системы в зависимости от приращения силы тяжести и называется
механической чувствительностью гравиметра; dgldt характеризует
влияние температуры на показания гравиметра и называется
температурным коэффициентом; dg/dp характеризует барометри-
ческий эффект гравиметра и называется барометрическим коэф-
фициентом; dg/dfi определяет зависимость показаний гравиметра
от угла наклона упругой системы.
Чувствительность гравиметра
Положив в основном уравнении t, р и |3 постоянными, получим
уравнение чувствительности гравиметра:
dg \& дх 1 дх / v '
Из этого уравнения следует, что чувствительность гравиметра
в общем случае зависит от х. Первым сомножителем является
масса или момент масс, а вторым — сумма производных по х
от силы тяжести и упругой силы или от моментов силы тяжести
п упругой силы, показывающих относительные скорости измене-
ния этих величин по сравнению с изменением х. Согласно урав-
130
нению равновесия моменты gM и W и их производные должны
иметь противоположные знаки. Очевидно, чем меньше второй
сомножитель (знаменатель) выражения (6.5) (сумма скоростей
изменения моментов силы тяжести и упругой силы), тем выше
чувствительность системы, т. е. чувствительность зависит от ха-
рактера изменения моментов М и W.
Рассмотрим гравиметр с поступательным перемещением массы.
Простейшей системой такого гравиметра является спиральная
пружина, работающая под действием груза на растяжение в пре-
делах пропорциональности. В этом случае, дифференцируя урав-
нение равновесия этой системы (6.2), имеем
dx/dg = — m/f = x/g, (6.6)
т. е. чувствительность гравиметра пропорциональна полной де-
формации х. Получить высокую чувствительность такой системы
можно либо увеличением массы, либо уменьшением жесткости
пружины, т. е. необходимы большие начальные деформации.
Однако такие деформации нежелательны, так как они ухудшают
работу упругого элемента. Поэтому в подобных системах достиг-
нуть высокой чувствительности нельзя. Такие системы называют
неастази рован иыми.
Положим теперь, что моменты W и М, а также их производные
по х меняются в зависимости от х. Как уже указывалось, dW/dx
и g (дМ/дх) определяют скорость изменения моментов упругой
силы и силы тяжести при вращательном перемещении масс или же
самих сил при поступательном перемещении масс. Когда сумма
производных, уменьшаясь с изменением х, стремится к нулю, то
чувствительность системы стремится к бесконечности. Построив
систему так, чтобы в некотором диапазоне изменения силы тя-
жести сумма g (дМ/дх) ф- dWIdx была близка к нулю, что озна-
чает почти одинаковую скорость изменения моментов силы тя-
жести и упругой силы при изменении деформации х, получим
систему с очень большой чувствительностью. Такую систему
называют астазированной.
Сущность операции астазирования состоит в уравнивании ско-
ростей изменения моментов силы тяжести и упругой силы на не-
котором участке изменения деформации х. Дегазирование поз-
воляет при небольших начальных деформациях упругого элемента
создать систему с высокой чувствительностью к приращению силы
тяжести. В узком диапазоне изменения силы тяжести астазиро-
ванная система становится эквивалентной неастазироваиной
с очень большой первоначальной деформацией.
Геометрически астазирование можно представить (рис. 6.6)
как уменьшение угла между касательными к кривым момента
силы тяжести уг = gM (х) и момента упругих сил уг = —W (х)
в точке их пересечения, соответствующей положению равновесия
системы. Сумма производных g (дМ/д.х) dW/dx представляет
собой сумму тангенсов углов наклона а касательных к оси х.
5* 131
Рис. 6.6. Изменение моментов чув-
ствительной системы гравиметра.
Чем меньше угол между касатель-
ными к кривым у, п тем боль-
ше чувствительность системы.
Если эти кривые только касаются
друг друга, то система находится
в положении неустойчивого рав-
новесия, Таким образом, астази-
рованная система должна харак-
теризоваться нелинейной зависи-
мостью хотя бы одной из сил
(или моментов сил) от изменения
деформации. Эти системы поэто-
му часто называют нелинейными.
Астазироваиие системы, т. е. достижение нелинейности функ-
ций gM (х) и IF (х), может быть выполнено различными способами:
особым расположением массы или пружины либо того и другого
вместе; введением дополнительных астазирующих масс, пружин;
созданием электрических или магнитных полей. В зависимости
от этого существуют многочисленные конструкции астазирован-
ных гравиметров.
Рассмотрим способы астазирования применительно к грави-
метрам вращательного типа, пользующимся наибольшим распро-
странением.
Астазироваиие массой
(гравитационное астазироваиие)
Рассмотрим систему в виде маятника, центр тяжести которого
находится выше оси вращения. Упругую силу, компенсирующую
момент силы тяжести, создает крутильная нить, являющаяся
осью вращения маятника (рис. 6.7, а).
В этом случае деформации х соответствует угол поворота а
и момент упругих сил пропорционален этому углу, т. е.
W = т (а -ф- а0),
где т — коэффициент пропорциональности; а0 — угол предвари-
тельного закручивания нити подвеса.
Момент силы тяжести
gM (а) = mgl,
где т — масса, I — плечо маятника.
132
Уравнение равновесия приобретает вид
mgl -ф т (а аи) = О,
а уравнение чувствительности
Д— — —ml (gm 4- 4 т') . (6.7)
dg \ - da. 1 / '
Очевидно, что большую чувствительность получим, когда
dllda < 0, а произведение gm (dl[da) близко к т. При этом условии
скорость изменения момента силы тяжести увеличивается, при-
ближаясь к скорости изменения момента упругих сил.
Было предложено несколько гравиметров, астазированных
массой. Однако на практике эти гравиметры широкого распростра-
нения не нашли из-за большой чувствительности системы к на-
клону. Заметим, что любая система гравиметра вращательного
типа при положении маятника выше оси вращения становится
системой, астазированной массой. Если центр тяжести маятника
расположен ниже осп вращения, то dt/da > 0 и приобрести высо-
кую чувствительность система не может.
Пусть dl/da 0, т. е. маятник находится в горизонтальном
положении. Для выполнения этого условия необходимо изменение
силы тяжести компенсировать какой-то дополнительной силой,
приводящей маятник в горизонтальное положение. Тогда момент
силы тяжести не зависит от а, в этом случае daldg = a0/g, т. е.
чувствительность системы пропорциональна полной деформации,
что соответствует неастазированной системе вращательного типа.
Такая система для получения высокой чувствительности требует
больших первоначальных деформаций.
Дегазирование пружиной
(упругое астазирование)
Рассмотрим систему, представляющую собой рычаг с массой,
удерживаемый в горизонтальном положении с помощью пружины
(рис. 6.7, б), т. е.
IE (a) = frbL,
где f — жесткость, ДТ — удлинение, г — плечо пружины.
Положим, что момент силы тяжести является постоянной вели-
чиной, т. е. при изменении силы тяжести изменение ее"момента
компенсируется некоторым дополнительным моментом. Тогда урав-
нение чувствительности имеет вид
\L (6.8)
dg \! da 1 * da / 7
Система будет астазированной, если f &.L (dr/da) > 0.
В этом случае
гд Г dr . г d М. п da
I -j------ fr —» 0 и -J---> оо.
' da 1 ' da dg
133
Лстазировапие массой достигалось введением отрицательной
величины dllda, что означало увеличение плеча силы тяжести
с увеличением g. При астазировании пружиной вводится положи-
тельная величина drlda, что означает уменьшение плеча упругой
силы с увеличением силы тяжести и, наоборот, увеличение плеча
упругой силы при уменьшении силы тяжести. Принцип астази-
рования пружиной используется во многих системах современных
гравиметров. При этом астазирующими элементами служат спе-
циальные дополнительные пружины или главная пружина, рас-
положенная определенным образом по отношению к рычагу маят-
ника.
Астазироваиие массой и пружиной
(гравитационно-упругое астазироваиие)
Рассмотрим систему, представляющую собой маятник с грузом,
удерживаемый пружиной так, что масса груза находится выше
оси вращения маятника (рис. 6.7, в). В этом случае уравнение
чувствительности
-^- = — + (6.9)
dg \5 da ' ' da ' 1 da / ' '
В этой формуле, третий член в скобках всегда отрицателен,
гак как отрицательна производная d MJda, (с уменьшением а
растет АЛ). Второй и первый члены могут быть и положительными
и отрицательными в зависимости от знака производной. Заметим,
что производная daJdg имеет смысл только тогда, когда она отри-
цательна. Если построить систему таким образом, чтобы сумма
первого и второго членов была положительной и по абсолютному
значению больше третьего члена на малую величину, то получим
систему с очень высокой чувствительностью. Для этого доста-
точно, чтобы производная dllda была отрицательна, a dr,'da. поло-
жительна. Эго означает, что с увеличением угла а плечо действия
пружины увеличивается, а плечо действия массы уменьшается.
Поэтому при увеличении а скорость изменения момента упругих
сил уменьшается, а скорость изменения момента силы тяжести
увеличивается, т. е. скорости сближаются.
Такой способ астазирования применен в гравиметрах, у кото-
рых центр тяжести масс расположен выше оси вращения и имеет
упругое астазирующее устройство.
Анализ чувствительности систем показывает, что для дости-
жения высокой механической чувствительности при небольших
размерах гравиметра астазированные системы имеют бесспорное
преимущество перед неастазированными. Это преимущество вы-
ражается в том, что высокая чувствительность в астазированных
системах обеспечивается при малой общей деформации упругого
элемента, что значительно улучшает его работу. Но в астазиро-
ванной системе смещение подвижного элемента зависит от изме-
нения силы тяжести нелинейно, что заставляет применять ком-
134
пенсационный метод измерения. В неастазированной системе эта
зависимость линейная в пределах всего диапазона измерений, но
для получения высокой чувствительности требуются большие де-
формации, что ухудшает механические свойства упругих элемен-
тов гравиметра.
Связь чувствительности системы
с периодом собственных колебаний
При сборке и регулировке гравиметра необходимо знать его
реальную чувствительность, так как при изготовлении отдельных
деталей гравиметра всегда существуют отклонения от заданных
расчетных параметров. О чувствительности гравиметра можно
судить по периоду собственных колебаний его упругой системы.
Найдем эту связь.
Для системы гравиметра с поступательным перемещением
массы собственные колебания системы вблизи положения равно-
весия описываются уравнением движения
+ = (6.10)
где т — масса подвешенного на пружине груза; х смещение
груза от положения равновесия; L — длина пружины; mg/L ~
— f — упругость пружины.
Решая это уравнение, находим период собственных колебаний
системы
Т = (6.11)
Чувствительность гравиметра
dx/dg = L/g;
подставляя это выражение в уравнение (6.11), имеем
Т — dx/dg или dx/dg"- Т2/п2. (6.12)
При вращательном перемещении массы уравнение собственных
колебаний системы около положения равновесия а = 0 имеет вид
= (“). ОМЗ)
где I — момент инерции системы относительно оси вращения;
а — угол отклонения системы от положения равновесия; УМ (а) —
сумма моментов внутренних и внешних сил, действующих на си-
стему и являющихся функцией угла а:
S М (а) = gM (а) + W (а). (6.14)
135
Поскольку упругая система гравиметра совершает малые ко-
лебания относительно положения равновесия, то £Л4 (а) можно
разложить в ряд по степеням малой величины а:
V1 V d У М («)
2,Л4 а = 2.Л4 («) -|-« +
terj а=0 ““ Ct - п
аг £ М (а)
Пренебрегая в разложении членами со степенью а выше первой
и имея в виду, что £/М (а)|а=о — 0> получаем уравнение движе-
ния в виде
, d3a ,
1 dt* ' “
(R.IG)
Решая это уравнение, находим период собственных колебаний
гравиметра вращательного типа
d^M(a) I
da rz=o
Имея в виду, что
‘‘ ЕМ = I dgM (а) , гЖ (а) \ _ dg I
da и_0 \, да ' da / ’ da |а=0 ’
получаем
-j /" / / rfa \ da Т3М ,
1 = п V лг(1г) ,,л" (bJ")
Если положить, что вся масса маятника гравиметра сосредо-
точена в центре тяжести, то
M = ml; I — nil2,
где I — расстояние от оси вращения до центра тяжести массы.
Тогда
if da . da 72 1 .п,
Т = л I/ —г~ I и -j— — -------г- (Ь. 19)
г dg dg л2 / v ’
Из формул (6.12) и (6.19) следует, что при увеличении периода
колебаний системы чувствительность растет пропорционально его
квадрату. Поскольку чувствительность у дегазированных систем
выше, то соответственно и период их колебаний значительно
больше, чем у пеастазированных.
Влияние температуры
При изменении температуры меняются упругие свойства,
длина плеч и рычагов системы. Все это приводит к нарушению
положения равновесия системы и, следовательно, к изменению
13G
показаний гравиметра. Изменение показаний при изменении
температуры на 1° С называется температурным коэффициентом
гравиметра.
Выражение температурного коэффициента получим из основ-
ного уравнения гравиметра (6.4), положив в нем производные
daddg, dp/dg, dfi/dg равными нулю, т. е. считая деформацию упру-
гой системы, давление воздуха и наклон прибора постоянными,
тогда
«ад
Зависимость моментов внешних и внутренних сил от темпера-
туры можно приближенно представить в следующем виде:
М = Л40(1 4-V+V); ^ = ^о(1(6.21)
где Л10 и Жо — моменты масс и упругих сил при некоторой исход-
ной температуре; t — изменение температуры от ее исходного
значения; и pj и р2 — соответственно линейные и квадра-
тичные эффективные температурные, коэффициенты упругой си-
стемы в целом, зависящие от коэффициентов линейного расшире-
и термоэластических коэффициентов материалов, из которых
изготовлены отдельные элементы упругой системы.
Дифференцируя уравнение (6.21) и подставляя результаты
в формулу (6.20), имеем
dg _ gM„ (А, + 2А2/) + Г0 (Pj + 2p.g/) /я оо>
dt м0(1 + Х^ + А3^)
Пренебрегая малыми величинами, содержащими произведения
вида и принимая во внимание, что IF0/Af0 — — g, получаем
выражение температурного коэффициента гравиметра
dg/dt = — g[(Хх — рх) 4- 2 (Х2 — р2) /]. (6.23)
Интегрируя это уравнение в интервале изменения темпера-
туры от до t2, определяем кажущееся приращение, силы тяжести,
регистрируемое гравиметром при изменении температуры на
Ы = 4 - tp.
bgii, = -g l(Xi - щ) Ai + (Xs - p2) Ai2|.
Температурное влияние на гравиметр зависит в основном от
линейного температурного члена — рх. Для большинства мате-
риалов, используемых в гравиметра?:, эффективный линейный
коэффициент определяется линейным термоэластическим коэф-
фициентом (см. табл. 6.1). Квадратичный температурный коэффи-
циент характеризует изменение температурного коэффициента
гравиметра с изменением температуры, т. е. нелинейность темпе-
ратурной характеристики. Его значение в основном зависит от
квадратичного термоэластического коэффициента упругого мате-
риала.
137
Из уравнения (6.23) следует, что для уменьшения температур-
ного коэффициента гравиметра необходимо подбирать материалы
с возможно малыми коэффициентами линейного расширения и
термоэластическими. Кроме того, можно найти такое сочетание
отдельных элементов упругой системы, чтобы сумма эффективных
коэффициентов л — р была близка к нулю; в этом случае темпе-
ратурный коэффициент гравиметра будет мал.
Чтобы ослабить температурное влияние, конструируют спе-
циальные термокомпенсационные устройства. При изменении тем-
пературы, нарушающем положение равновесия упругой системы,
эти устройства регулируют отдельные параметры системы таким
образом, что она возвращается в начальное положение равновесия.
Для этого необходимо, чтобы кажущееся изменение силы тяжести
А.щ, создаваемое температурным компенсатором при изменении
температуры, соответствовало уравнению
= bj 4- b2t2,
где Ьг и Ьг — некоторые эффективные коэффициенты температур-
ного компенсатора, зависящие от геометрических размеров ком-
пенсатора и температурных характеристик материала, из кото-
рого он изготовлен.
Для полной температурной компенсации необходимо, чтобы
— О,
т. е.
== —Ь^, Цз =: —
Конструкции термокомпенсационных устройств весьма разно-
образны. Во многих использован принцип биметаллических ком-
пенсаторов: два стержня из металлов с различными коэффициен-
тами линейного расширения, скрепленные с обоих концов, при
изменении температуры изгибаются. Помещая упругий элемент
гравиметра на одном из концов такой системы, можно создать
момент упругих сил, компенсирующий действие температуры.
В некоторых гравиметрах температурную компенсацию осуще-
ствляют, погружая упругую систему в жидкость, плотность кото-
рой изменяется с температурой. Тем самым создается выталкива-
ющая сила, действующая на массу системы. Можно использовать
в качестве упругих элементов несколько пружин с разными термо-
эластическими коэффициентами, подбирая их таким образом,
чтобы обеспечить нулевой температурный коэффициент системы
в целом.
Детальное устройство разных температурных компенсаторов
приведено при описании отдельных узлов гравиметров.
Теоретически с помощью термокомпенсационных устройств
температурный коэффициент гравиметров можно сделать равным
нулю. Однако добиться этого на практике весьма затруднительно
из-за ряда обстоятельств. Прежде всего, уравнять полностью
138
Рис. 6.8. Принципиальная схема элек-
трического термостата.
противодействующие влияния
при изменении температуры
удается только для ее некото-
рых определенных значений,
поскольку термомеханические
коэффициенты тел зависят от
температуры. Поэтому темпе-
ратурная компенсация осу-
ществляется только в пределах
некоторого интервала, внутри
которого находится температу-
ра полной компенсации. Кроме
того, при изменении температу-
ры разные части упругой си-
стемы в одно и то же время при-
нимают несколько разную тем-
пературу. Эта разница зависит
менения температуры, действия тепловых потоков внутри системы,
отношения коэффициентов теплоемкости и теплопередачи в отдель-
ных элементах и т. д. Для уменьшения разницы в температуре
от многих причин: скорости из-
отдельных частей чувствительная система гравиметра помещается
в специальные теплозащитные чехлы или устройства (например,
сосуд Дьюара), которые снижают скорость изменения темпера-
туры и обеспечивают более равномерное ее распределение по
всему объему системы гравиметра.
Наиболее полно влияние изменения температуры можно иск-
лючить, поместив упругую систему в термостат, внутри которого
поддерживается постоянная (до сотых и даже тысячных долей
градуса) температура. В настоящее время применяют только
электрические термостаты с одним или несколькими нагреватель-
ными слоями.
Электрический термостат (рис. 6.8) представляет собой тепло-
изолированный цилиндрический или прямоугольный сосуд, внутри
которого с помощью автоматического регулятора поддерживается
постоянная температура. Для этого применяют электромехани-
ческие регуляторы, состоящие из контактного термометра и элек-
тромагнитного реле.
Контактный термометр 1, включенный в цепь электромагнит-
ного реле 2, имеет два металлических контакта. Один постоянно
касается ртути в резервуаре термометра, другой впаян в капилляр
на такой высоте, что столбик ртути достигает его при определен-
ной температуре — температуре контактирования. Нагреватель-
ная обмотка 4 термостата соединена с аккумуляторной батареей 5
через контактный прерыватель 6. Пока столбик ртути не касается
контакта в капилляре, электрический ток течет только через
обмотку термостата и температура в термостате повышается. Как
только термометр нагреется до температуры контактирования,
цепь термометра замыкается и ток течет через обмотку реле.
139
Электромагнит размыкает цепь обмотки термостата, и термостат
начинает остывать. При остывании столбик ртути в термометре
опускается и размыкает цепь термометра, прерывая ток в обмотке
реле. Тогда якорь электромагнита опускается и замыкает цепь
обмотки термостата. Чтобы избежать образования нагара на кон-
тактах термометра и реле, через них пропускаются малые токи
и параллельно реле подключается искрогаситель 3. В некоторых
термостатах вместо электромеханических реле используют тран-
зисторы, а вместо термометров резисторы. Чтобы тепло не рас-
ходовалось очень быстро, сосуд с обогревательной обмоткой по-
мещен в теплозащитный кожух.
Наилучшим способом термостатирования является такой, когда
в термостате не одна, а несколько нагревательных обмоток,
обычно две-три, помещенных одна внутри другой. Каждая нагрева-
тельная обмотка имеет независимую терморегулировку; при этом
температура контактирования у каждого внутреннего термометра
должна быть на 2 -3‘ С выше, чем у внешнего термометра. Во
избежание тепловой инерции контактный термометр заделывают
в отверстие в нагревательном слое и обеспечивают хороший кон-
такт с этим слоем. Для нейтрализации действия магнитного поля,
вызванного током нагрева, обмотки термостатов наматываются
бифилярно.
Качество термостата характеризуется коэффициентом термоста-
тирования
Kt = А^н/А/В,
где — изменение наружной температуры; А/в — изменение
температуры внутри термостата.
Коэффициент термостатирования определяют эксперимен-
тально. Для этого гравиметру дают длительную отстойку при по-
стоянной внешней температуре. Измеряют температуру внутри
прибора и внешнюю. После этого внешнюю температуру изменяют
на 15—20° С ступенями по 3—5е С/ч. Отсчитывают температуру
внутри прибора и внешнюю. Строят график изменения темпера-
туры внутри прибора и внешней температуры во времени. По
отношению максимальных изменений температуры в приборе и
внешней температуры определяют коэффициент термостатирова-
ния. Из графика можно также определить сдвиг фаз — разницу
во времени между максимумами изменения внешней температуры
и температуры в приборе.
Как правило, двухступенчатые термостаты имеют коэффи-
циент термостатирования 150—-300, трехступенчатые 350—
500.
Для уменьшения температурных влияний даже термостатиро-
ванный гравиметр следует оберегать от резких колебаний тем-
пературы наружного воздуха. Для этого гравиметр помещают
в специальные теплоизоляционные контейнеры, в которых грави-
метры и транспортируют. Вынимают гравиметры только па корот-
ко
кое время для наблюдений. Измерения с термостатированным
гравиметром можно начинать только после того, как тепловой ре-
жим в нем установился. Для этого требуется не менее суток. Учи-
тывая это обстоятельство, нельзя отключать питание термостатов
при перерывах в наблюдениях даже в несколько дней, менять силу
тока и аккумуляторные батареи в процессе наблюдений. Для нор-
мальной работы термостатов необходимо, чтобы температура
внешнего термостата была на 5—6° С выше максимальной темпе-
ратуры окружающего воздуха.
Показателем установившегося температурного режима
является ритмичность работы внутреннего термостата, что отме-
чается по моментам включения и выключения контрольного ампер-
метра внутреннего термостата. При нормальной работе продол-
жительность нагрева и охлаждения внутреннего термостата
должна быть одинаковой. Это достигается настройкой термометров
внутреннего и внешнего термостатов на оптимальную разность
температур контактирования. Для экономичного расходования
энергии температуру термостатирования гравиметра устанавли-
вают применительно к температуре наружного воздуха в зависи-
мости от времени года и района работ.
Гравиметры без термостата имеют термометр для отсчета тем-
пературы системы. Вводятся соответствующие температурные
поправки, учитывающие влияние изменения температуры за время
наблюдений. Термометрами снабжаются и некоторые термостати-
рованные гравиметры. Однако исправить показания гравиметра
введением температурной поправки весьма затруднительно. Пре-
жде всего, показания термометра не отвечают действительной
температуре упругой системы, поскольку термометр и отдельные
части упругой системы имеют разную температуру. Эта разница
зависит от скорости изменения температуры и от ряда других
причин, не поддающихся учету. Практика наблюдений с грави-
метрами показала, что введение температурной поправки, как пра-
вило, ухудшает результаты наблюдений. Поэтому в настоящее
время температурные поправки не вводят, а изменения показаний
гравиметра учитывают общей поправкой за смещение нуль-
пункта прибора.
Температурный коэффициент нетермостатированных грави-
метров можно определить несколькими методами.
Метод петли является наиболее простым путем определения
температурного коэффициента и применяется, когда необходимо
найти приближенные значения коэффициента в некотором интер-
вале температур t2 — tr. Гравиметр нагревают до температуры t2
и затем начинают охлаждать до tt, с постоянной скоростью сни-
жения температуры. Затем снова нагревают прибор с тон же ско-
ростью, с которой он охлаждался. Как при нагревании, так и при
охлаждении прибора берут отсчеты температуры t и показаний
прибора s. На основе наблюдений строят кривую зависимости s
от I (рис. 6.9). Поскольку при одной и той же температуре имеется
141
Рис. 6.9. Определение температур-
ного коэффициента гравиметра
методом петли.
Рис. 6.10. Определение температур-
ного коэффициента гравиметра ме-
тодом двойной петли.
два наблюдения, то средняя кривая свободна от изменения нуль-
пункта. По ней и определяют температурный коэффициент.
Метод двойной петли позволяет установить температурный
коэффициент гравиметра более надежно, однако этот метод весьма
трудоемок и не. всегда может быть использован. Метод состоит
в следующем. Интервал температур t2 — tlt для которого надо
найти температурный коэффициент, разбивается на п более мел-
ких частей А/ так, что
Л
/а _ (1 = V
1=1
Гравиметр помещают в термокамеру, в которой поддержи-
вается температура /х и дают ему отстойку до тех пор, пока в пре-
делах чувствительности термометра температура внутри прибора
перестает изменяться. Снимают показание прибора sH
(рис. 6.10). Затем температуру в камере изменяют на А/х и вы-
держивают прибор при -у A tt, пока температура термометра
и упругой системы уравняется. Берут отсчет Затем по-
вторяют отсчет «А при температуре После этого снова изменяют
температуру на Д/х и после отстойки берут отсчет при
температуре /х -|- А/х. Таким образом получают двойную темпе-
ратурную петлю и на этом заканчивают определять изменения
Asj показаний гравиметра, соответствующие изменению темпера-
туры от /х до /j -|- Д/х. Отсчеты sn, s'llt s(1+M1, S/идп наносят
на график в функции времени Т. Разностями а — b и с — d опре-
деляются величины Asx, As[, т. е. изменение, показаний гравиметра
при изменении температуры от /х до -Г ^1- За окончательное
значение принимается величина
Ast = (Asi -|- As'i)/2.
После определения Asx по такой же программе находят As2,
As3 (и т. д.), соответствующие изменению температуры от /х -|- А/,
до 1г + \t1 -I- А/2 (и т. д.).
142
Определив все значения As,- последовательным суммированием
A/z и As,-, получают зависимость между показаниями гравиметрах
и его температурой t. Эту зависимость находят графически или
аналитически (способом наименьших квадратов).
Влияние атмосферного давления
Если упругая система гравиметра помещена не в герметичном
сосуде, то его показания изменяются с колебаниями атмосферного
давления. От атмосферного давления р зависит плотность воз-
духа р, а следовательно, и выталкивающая сила, действующая
по закону Архимеда на подвижные массы упругой системы грави-
метра. Изменение показаний гравиметра, связанное с ходом
атмосферного давления, называется барометрическим эффектом
и характеризуется барометрическим коэффициентом гравиметра.
Общее выражение для барометрического коэффициента можно
получить из формулы (6.4), положив неизменными деформацию х,
наклон р и температуру I:
/<р = М'1. (6.24)
с ар ь др
Барометрический эффект в гравиметре проявляется как кажу-
щееся изменение массы рабочего груза и, следовательно, момента
масс упругой системы. Каждая элементарная масса din упругой
системы при изменении плотности окружающей среды на вели-
чину dp испытывает по закону Архимеда кажущееся изменение
d (dm) — dp dv,
где dv — объем элементарной массы.
Кажущееся изменение момента масс всей системы
dM — dp р cos a dv — dpMa, (6.25)
V
где г — расстояние от оси вращения до объема dv; а — угол между
направлением г и горизонтальной плоскостью; Mv — | г cos adv —
V
объемный момент системы относительно оси вращения.
Поскольку система может быть изготовлена из материалов
с разной плотностью ст, введем эффективную плотность <Пф Упру-
гой системы, определяемую как отношение момента массы к мо-
менту объема:
ст5ф = М/М.с. (6.26)
Тогда из формул (6.25) и (6.26) имеем
dM/dp = Mv М/о?ф, (6.27)
143
Плотность воздуха определяется формулой
Р =
где р0 = 12,93- 1СГ4 г/см3 — плотность воздуха при температуре
0° С и нормальном давлении /?0 — Ю1 325 Па 1-105 Па; t — тем-
пература, °C.
Дифференцируя это выражение, находим
Др" = Ро [ Ро (1 -I- -273") ] ’ (6.28)
Подставив в формулу (6.24) величины (6.27) и (6.28), получим
барометрический коэффициент гравиметра
А.вз_^_^_,4.Л4-1=_(?_До_Гр/1 +
’’ dp ь др dp ь аэф L ' \ 273 / J
(6.29)
Барометрическую поправку найдем, взяв конечные значения
переменных,
Ag- -= Л'(, кр.
(6.30)
Из выражения (6.29) следует, что значение барометрического
коэффициента определяется плотностью материала массы упругой
системы, а именно: чем больше ее плотность, тем меньше баро-
метрический коэффициент, и наоборот. Например, для упругой
системы, изготовленной целиком из плавленого кварца (оэф —
= 2,2 г/см3), барометрический коэффициент в 10 раз больше (по
абсолютному значению), чем для системы из платины (<тЭф =
= 21,4 г/см3): соответственно —0,5-10"7 и — 0,05-10'7 м/с2 па
1 Па.
> Чтобы исключить влияние атмосферного давления, упругие
системы гравиметров помещают в герметически закрытые сосуды.
Есть гравиметры, у которых упругая система погружена в жид-
кость. Благодаря практической несжимаемости жидкости влияние
атмосферного давления на системы таких гравиметров ничтожно
мало. В гравиметрах вращательного типа барометрический эф-
фект можно свести практически к нулю барокомпенсатором
(рис. 6.11). Идея устройства и принцип действия барокомпенсатора
Рис. 6.11. Схема барометрической ком-
пенсации.
состоят в следующем. Полый
герметичный сосуд с малой
массой и большим объемом
располагают на конце рычага
упругой системы, противопо-
ложном грузу, на малом рас-
стоянии от оси вращения.
Очевидно, что объемный мо-
мент Л4-, всей системы будет
равен нулю при условии
144
равенства по абсолютному значению объемных моментов груза
и барокомпенсатора:
где гм и гк— плечи груза и барокомненсатора относительно осп
вращения.
В этом случае эффективная плотность oS(j, в выражении (6.26)
равна бесконечности и барометрический коэффициент Кр в фор-
муле (6.29) равен нулю.
Барокомпенсация осуществляется во многих гравиметрах
с вращательным перемещением массы, как астазированных, так
и неастазированных. Однако эта мера не может полностью за-
менить герметизацию системы, так как при быстром изменении
давления в негерметизированном корпусе возникает адиабати-
ческий температурный эффект, который вызывает изменение
показаний гравиметра. Адиабатический эффект становится за-
метным при транспортировке гравиметра на вертолете или само-
лете.
Наличие барометрического эффекта в гравиметрах послужило
предпосылкой для создания гравиметра-высотомера, позволя-
ющего одновременно измерять приращения силы тяжести и вы-
соты.
Влияние наклона гравиметра
При выводе основного уравнения гравиметра предполагалось,
что упругая система имеет одну степень свободы, т. е. может
вращаться только вокруг горизонтальной оси, а при малом на-
клоне оси упругой системы каждый ее элемент перемещается
в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. При горизон-
тальной оси вращения перемещение элементов упругой системы
происходит в вертикальной плоскости.
Пусть р — угол наклона оси вращения упругой системы отно-
сительно горизонтальной плоскости. В наклонном положении
на систему действует не весь момент масс, а его проекция на пло-
скость, в которой происходит движение упругой системы, т. е.
МAI0cosp, (6.31)
где Мо — момент масс при горизонтальном положении оси вра-
щения.
Дифференцируя это выражение, находим
dM/dfi = —Л40 sin р. (6.32)
Зависимость показаний гравиметра от наклона получим из
уравнения гравиметра (6.4), положив деформацию х, темпера-
туру t и давление р неизменными:
dg/d^-g~M-\ (6.33)
146
Подставив сюда два предыдущих выражения, найдем
dg/Jp = gtg(3. (6.34)
Разлагая в ряд tg (3 и интегрируя выражение (6.34), получаем
о о
A£ = gj'tg[W = gj(p-r4F3+ =
—НгО +тг+ ) t6-3S>
Пренебрегая членами в четвертой степени и выше, имеем кажу-
щееся изменение (уменьшение) силы тяжести при наклоне оси
вращения системы от горизонта:
A^ = -^F/2). (6.36)
Аналогичную зависимость получим при наклоне гравиметра
в вертикальной плоскости, перпендикулярной к оси вращения
системы. В этом случае угол р будет означать отклонение исход-
ного положения рычага упругой системы от горизонтальной пло-
скости.
Формула (6.36) является уравнением параболы, вершина кото-
рой соответствует точке = 0. Из этой формулы следует, что
минимальная чувствительность гравиметра к наклону наступает
при [> = 0, т. е. когда центр тяжести масс лежит в одной гори-
зонтальной плоскости с осью вращения. Эта формула применима
ко всем гравиметрам с поступательным или вращательным пере-
мещением массы, как астазированным, так и иеастазированным.
Условию минимальной чувствительности к наклону удовлетворяют
все гравиметры, за исключением астази рован ных массой и массой
и пружиной, так как для астазироваиия этими способами необхо-
димо, чтобы центр тяжести системы находился выше оси вра-
щения. Системы таких гравиметров обладают очень большой чув-
ствительностью к наклону, из-за чего они и не получили широкого
распространения.
Если исходное положение упругой системы гравиметра гори-
зонтально с точностью до Г (0 = 1/3438), то ошибка в показаниях
гравиметра составит 0,04 10"5 м/с2. В таких гравиметрах для
установки системы в горизонтальное положение используются
уровни 1—0,5'. Чувствительность этих уровней позволяет при-
вести прибор в горизонтальное положение с точностью 0,5' и
выше, ошибка показаний гравиметра составит менее 0,01 ИГ “м/с2.
Следует иметь в виду, что погрешность Ag возрастает пропорци-
онально квадрату угла наклона. Необходимо следить за тщатель-
ностью крепления уровней и периодически проверять их юсти-
ровку.
Гравиметр имеет два уровня, жестко скрепленных с корпусом,
в котором находится упругая система. В гравиметрах вращатель-
146
а
Рис. 6.12. Зависи-
мость отсчета гра-
виметра от на-
клона.
ного типа один уровень (поперечный) располо-
жен вдоль оси вращения системы, вдоль этого
же направления находятся два нивелировочных
винта гравиметра. Другой уровень (продоль-
ный) перпендикулярен к первому и регули-
руется третьим нивелировочным винтом. Цель
регулировки уровней заключается в том, чтобы
при горизонтальном положении оси вращения
системы и рычага маятника вывести пузырьки
уровней на середину.
Гравиметр устанавливают на прочное осно-
вание и при помощи нивелировочных винтов
выводят пузырьки на середину уровней. Затем
для юстировки поперечного уровня каждый из
двух нивелировочных винтов, расположенных
вдоль этого уровня, поворачивают на 1—2
полных оборота (в противоположных направлениях), наклоняя
гравиметр в одну сторону, п берут отсчет. После этого гравиметр
теми же винтами постепенно возвращают в исходное положение,
беря отсчеты через четверть или половину оборота винтов. При
уменьшении наклона отсчет гравиметра увеличивается. Возвра-
тив гравиметр в исходное положение, наклоняют его, используя
те же винты, в противоположную сторону и также снимают отсчеты.
Убывание отсчетов показывает, что вершина параболы уже
пройдена. Затем снова приводят гравиметр в исходное положение.
Не трогая гравиметр с места, обрабатывают наблюдения.
Строят график зависимости отсчетов s гравиметра от наклона,
выраженного в оборотах п винтов (рис. 6.12). По оси абсцисс
наносят число оборотов винтов, по оси ординат — средние значе-
ния из двух отсчетов (при прямом и обратном ходе). В результате
получают параболу. Абсцисса оси симметрии параболы указы-
вает, при каком положении установочных винтов ось вращения
упругой системы горизонтальна. Установив нивелировочные винты
в это положение, регулировочными винтами уровня выводят его
пузырек на середину. После того как отрегулирован поперечный
уровень, аналогичным способом регулируют продольный. В этом
случае вращают только третий винт. Далее поступают так же,
как и при регулировке поперечного уровня.
При относительных определениях силы тяжести небольшая
погрешность в регулировке уровней практически не играет роли,
так как ошибка в показаниях гравиметра на исходном пункте
и на определяемом почти равны по значению и одинаковы по знаку.
При вычислении приращений силы тяжести ими можно пренеб-
речь.
Пусть ошибка в регулировке уровня равна |3. На исходном
пункте, где сила тяжести glt ошибка показаний гравиметра

147
а в определяемом пункте с силой тяжести g2 ошибка
^2-g2(P2/2).
В разности силы тяжести Ag = g2 — влияние неточности
установки уровня
Sg2-Sgi = Ag(fl2/2).
Вели Ag — 1000- 10 •г' м/с2, |> = 5', то
Ag-f- -- 1000- l()-s- 4-6 Лъ-У = = 0,001 • 10-й м/с2,
' ’ 2 2 \ 3438 / ’
что меньше погрешности измерений. Таким образом, регулировка
уровня с точностью 2—3 деления вполне достаточна, важно лишь
в течение рейса сохранять установку уровня постоянной. В про-
цессе полевых работ регулировку уровней необходимо периоди-
чески контролировать.
Влияние магнитного поля
Упругие системы гравиметров изготовляют из плавленого
кварца или на железоникелевых сплавах. Кварц —- немагнитный
материал, а железонпкелевые сплавы обладают некоторой магнит-
ностыо. Поэтому показания гравиметров с металлическими пру-
жинами зависят от влияния внешнего магнитного поля. Источ-
никами магнитного влияния являются магнитное поле Земли,
изменяющееся от пункта к пункту, а также местные магнитные
поля линий высоковольтных передач, электродвигателей и т. д.
Кроме того, пружины металлических гравиметров могут быть
случайно намагничены в процессе сборки и регулировки при
использовании намагниченного инструмента. При сборке таких
гравиметров металлические детали подвергают размагничиванию,
помещая их в сильное переменное постепенно убывающее магнит-
ное поле. От внешнего поля металлические упругие системы грави-
метров защищают специальными магнитными экранами из пер-
маллоя или армко-железа, что снижает его влияние в 5—10 раз.
Однако с течением времени упругая система все же намагничи-
вается. Поэтому металлические гравиметры необходимо пери-
одически проверять па магнитность и устранять ее.
Магнитное поле, действующее на систему, создает дополни-
тельный вращающий момент внешних сил, что искажает показа-
ния гравиметра. Эффект зависит от вертикальной Z и горизон-
тальной Н составляющих магнитного поля и азимута А, образу-
емого рычагом гравиметра с магнитным меридианом. Кажущееся
изменение силы тяжести SgM вследствие действия этих сил
A'/;//cos/l,
И8
где Kz и — вертикальный и горизонтальный магнитные коэф-
фициенты гравиметра.
Влияние горизонтальной составляющей Н обнаружить легко:
при наблюдении на одном и том же пункте отсчеты гравиметра
изменяются в зависимости от ориентировки прибора относительно
магнитного меридиана. Кривая зависимости отсчета от азимута А
представляет собой синусоиду, вершины которой соответствуют
положениям рычага, совпадающим с магнитным меридианом.
Амплитуда и знак синусоиды зависят от полярности и степени
намагниченности пружины.
Влияние внешнего магнитного поля и коэффициенты
и определяют, проводя наблюдения с гравиметром в кольцах
Гельмгольца. Установив кольца Гельмгольца горизонтально, на-
ходят влияние вертикальной составляющей Z. Расположив кольца
вертикально и меняя азимут колец, определяют влияние гори-
зонтальной составляющей Н. Напряженность h магнитного поля,
создаваемая кольцами Гельмгольца по линии, соединяющей
центры колец,
/I = 0,9/н//?,
где / — сила тока, проходящего через витки колец; и — число
витков; /? — радиус колец.
Сила тока должна быть такой, чтобы поле колец превышало
магнитное поле Земли в несколько раз. Постоянный ток пропу-
скают через кольца то в одном направлении, то в противополож-
ном. Берут два отсчета по гравиметру: s(+> — при положительном
направлении тока (условном), — при отрицательном. Магнит-
ные коэффициенты гравиметра

SZ — sz
2hz
S rj — s ,,
ПРИ Л = °-
Влияние горизонтальной составляющей магнитного поля Земли
может быть исключено достаточно полно в процессе полевых
наблюдений с гравиметром. Для этого прибор на всех пунктах
наблюдений с помощью буссоли устанавливают в одно и то же
положение относительно магнитного меридиана. Влияние гори-
зонтальной составляющей исключается также, если на каждом
пункте прибор ориентировать в двух противоположных ази-
мутах.
Совершенно иначе обстоит дело с влиянием вертикальной со-
ставляющей Z. Малое влияние горизонтальной составляющей Я
еще не гарантирует малого влияния вертикальной составля-
ющей Z. Как правило, поправки за влияние магнитного поля
Земли в отсчеты гравиметров не вводят, обычно стремятся раз-
магничиванием упругой системы и экранированием свести дей-
ствие магнитного поля к пренебрежимо малым значениям или
к нулю.
149
Регистрация малых перемещений
в гравиметрах
Измерение приращения силы тяжести гравиметром состоит
в измерении малых приращений деформации упругого элемента,
возникающих вследствие изменения веса постоянной массы, укре-
пленной на рычаге упругой системы. Процесс измерения малых
деформаций, как правило, складывается из двух основных действий.
1. Регистрация нулевого (исходного) положения подвижной
части упругой системы гравиметра.
2. Измерение приращения деформации упругого элемента при
возвращении упругой системы в исходное положение.
В процессе измерения эти два действия осуществляются одно-
временно с помощью специальных систем: регистрирующей и изме-
рительной. Необходимо заметить, что требования, предъявляемые
к указанным системам в отношении их точности и стабильности,
несравненно ниже требований к упругой системе гравиметра.
Действительно, при измерении силы тяжести с погрешностью
0,01 105 м/с2 относительная точность упругой системы достигает
порядка 1 10'8. ?1змеряемое приращение силы тяжести не может
быть больше чем 5- КГ2 м/с3 (разность силы тяжести между полю-
сом и экватором). Обычно же диапазон измерения силы тяжести
составляет (200 ч- 300)- 10”6 м/с2, в этом случае относительная
точность равна 1-1СГ4,
Характер регистрирующей системы гравиметра определяется
чувствительностью прибора и заданной точностью измерения силы
тяжести. В неастазированных гравиметрах с поступательным
перемещением массы деформация составляет приблизительно
0,1 мкм на 1-Ю"5 м/с2. Если требуется измерить силу тяжести
с погрешностью до 0,01- 10“° м/с2, то надо зарегистрировать поло-
жение подвижной части упругой системы до 0,001 мкм. В неаста-
зированных гравиметрах вращательного типа изменение угла
поворота при изменении силы тяжести на 110'5 м/с2 составляет
1—5", т. е. при той же погрешности 0,01- 10-6 м/с2 надо измерить
угол с точностью 0,01—0,05". Обеспечить такую точность весьма
трудно. В неастазированных гравиметрах регистрирующие си-
стемы отличаются высокой чувствительностью и сложностью.
В астазированных гравиметрах угловое перемещение массы во
много раз больше: на 1 10-Б м/с2 достигает 20—50". Поэтому реги-
стрировать положение равновесия в таких системах можно с мень-
шей точностью. Соответственно ослабляются требования и к реги-
стрирующей системе.
В зависимости от чувствительности упругой системы и заданной
точности измерений в гравиметрах используются и различные
регистрирующие системы: оптическая, электрическая, фотоэлек-
трическая.
Оптическая регистрация применяется во многих гравиметрах,
как астазированных, так и неастазированных. Система имеет или
150
Рис. 6.13. Оптические регистрирующие системы.
авто коллимационную зрительную трубу, или шкальный микро-
скоп с 200—600-кратным увеличением. При автоколлимационной
системе на подвижном рычаге упругой системы устанавливается
зеркало, по отклонению которого и судят о положении рычага
(рис. 6.13, а). Автоколлимационная зрительная труба имеет длин-
нофокусный объектив 3 и короткофокусный окуляр 1. В фокусе
объектива помещена пластинка 2 со шкалой, над которой рас-
положена осветительная призма 5. Шкала пластинки закрывается
призмой не полностью. Как правило, под призмой находится один
штриховой индекс. Свет лампочки 6, проходя через объектив,
проецирует этот индекс в виде параллельного пучка света. На его
пути расположено зеркало 4 рычага упругой системы, поэтому
изображение индекса попадает обратно на шкалу и в масштабе
1 : 1 изображается на самой шкале. Индекс и его изображение
совпадают. При отклонении рычага гравиметра изображение ин-
декса перемещается по шкале.
При регистрации исходного положения рычага зеркальное
изображение индекса с помощью измерительной системы все время
приводят в одно и то же положение относительно делений шкалы.
В некоторых автоколлимационных системах на станине упругой
системы установлено второе, неподвижное, зеркало. В окуляр
рассматривают два изображения штрихов: подвижное от зеркала
маятника гравиметра и неподвижное от неподвижного зеркала
станины. Положение неподвижного зеркала регулируют таким
образом, чтобы в исходном (нулевом) положении системы пло-
скости зеркал были параллельными. В этом случае подвижное
и неподвижное изображения штрихов в момент измерения совпа-
дают.
В некоторых гравиметрах вместо автоколлимационной системы
применяется шкальный микроскоп (рис. 6.13, б). Для этого на
подвижной части упругой системы устанавливается тонкий мате-
риальный указатель ~4 (кварцевая или металлическая нить диа-
151
метром 3—10 мкм), и его изображение рассматривается в микро-
скоп. При измерениях изображение индекса совмещают каждый
раз с определенным делением шкалы.
Оптическая регистрация позволяет увеличивать смещение до
1000 раз. В астазированных гравиметрах используется эта система
регистрации как наиболее простая в изготовлении и юстировке
н дающая приемлемую для астазированных систем точность. Для
цеастазированных систем оптический способ в большинстве слу-
чаев неприменим, поскольку его точность недостаточна для ре-
гистрации малых смещений в приборах этого типа.
Электрическая регистрация применяется в некоторых типах
гравиметров, особенно цеастазированных, когда необходимо уве-
личение в 104—10“ раз. Электрические регистрирующие устрой-
ства преобразуют поступательные движения подвижного груза
упругой системы в изменения электрического напряжения или
силы тока. Эти устройства называются ультрамикрометрами.
Конструкции их весьма многообразны. Довольно часто исполь-
зуются емкостные ультрамикрометры (рис. 6.14), в которых пере-
мещение подвижной части упругой системы приводит к изменению
емкости плоскопараллельного конденсатора, одна из обкладок
которого расположена па подвижной части упругой системы,
другая на корпусе гравиметра. Конденсатор 1 переменной емкости,
образованный подвижной и неподвижной обкладками, подстроеч-
ный конденсатор 2 и катушка индуктивности 3 составляют коле-
бательный контур, включенный в базовую цепь триода 5. В кол-
лекторную цепь включен колебательный контур 4. Оба колеба-
тельных контура индуктивно связаны между собой. В исходном
положении подвижной части гравиметра подстроечным конден-
сатором 2 можно добиться резонанса контуров. В этом случае
в коллекторной цепи сила тока резко падает. При смещении по-
движного груза гравиметра емкость конденсатора изменяется
и резонанс нарушается, сила тока в коллекторной цепи увеличи-
вается. Таким образом, изменение силы тока является показателем
перемещения подвижного груза гравиметра.
Фотоэлектрическая регистрация основана на использовании
эффекта фотоэлементов. В гравиметрах для фотоэлектрической
регистрации в основном применяют фотоэлементы с запорным
слоем и внешним фотоэффектом. Создаваемый фототок зависит
от температуры, источников освещения и ряда других внешних
факторов. Чтобы нейтрализовать внешние помехи, применяют
дифференциальные схемы включения фотоэлементов. Для этого
два фотоэлемента включают навстречу друг другу или же исполь-
зуют уже готовые дифференциальные фотоэлементы.
Регистрирующее устройство (рис. 6.15, а) действует следу-
ющим образом. Свет электрической лампочки 1 падает па щель 2.
Равномерно освещенная щель посредством объектива 3 и зеркала 4,
установленного на рычаге маятника, проецируется в масштабе
1:1 на два фотоэлемента 5, включенных дифференциально.
152
Рис. 6.14. Схема емкостного ультра-
микрометра.
Рис. 6.15. Фотоэлектрическая реги
стрирукицая система.
Фототоки, вызванные световыми потоками, текут навстречу друг
другу, и гальванометр 6 фиксирует лишь разностный ток. Если
в исходном (нулевом) положении рычага эта система отрегулиро-
вана так, что световые потоки, падающие на оба фотоэлемента,
равны (рис. 6.15, б), то в цепи гальванометра тока не будет. При
смещении рычага гравиметра вверх или вниз изображение щели
сдвигается, освещая большую площадь у одного фотоэлемента
и соответственно меньшую у другого, в цепи появляется разно-
стный фототок (рис. 6.15, в).
Электрические и,фотоэлектрические способы регистрации яв-
ляются более чувствительными по сравнению с оптическими. Опп
применяются в донных и скважинных гравиметрах, а также в гра-
виметрах, следящих за вариациями силы тяжести во времени,
т. е. в тех случаях, когда необходимо дистанционное управление
упругой системой гравиметра.
Измерительная система гравиметра
Приращение силы тяжести измеряется статическими грави-
метрами в большинстве случаев компенсационным методом —
возвращением подвижной части упругой системы в исходное (нуле-
вое) положение. Компенсирующий момент, возвращающий упру-
гую систему в исходное положение, является мерой приращения
силы тяжести. В разных типах гравиметров компенсирующий
момент создается разными способами: закручиванием подвеса
маятника, растяжением главной пружины, наклоном всей упругой
системы и т. д.
В большинстве современных приборов измерительное (ком-
пенсационное) устройство имеет обычно винтовую пружину с очень
153
Рис. 6.16. Схема метода возвратного
потенциала.
малой жесткостью. Натяжение
этой пружины и создает мо-
мент, являющийся мерой при-
ращения силы тяжести. Дефор-
мация пружины определяется
по делениям на головке мик-
рометрического винта.
Компенсировать изменение
силы тяжести можно также
электростатическим зарядом,
сообщаемым обкладкам конденсатора (рис. 6.16). Одна обклад-
ка 1 конденсатора закреплена неподвижно на раме прибора, дру-
гая 2 на подвижном рычаге упругой системы. Если па плас-
тины подать разность потенциалов V, то между ними возникает
сила притяжения
где s — диэлектрическая постоянная; S — площадь пластины;
d — расстояние между пластинами.
Приращение силы тяжести можно выразить через разности
потенциалов и У2, измеренные вольтметром на исходной и ря-
довой точках при начальном положении подвижной части упругой
системы гравиметра:
Ag = Cv(y?_ yj),
где cv — постоянная гравиметра, 10’5 м/с2 на 1 В2.
Конструктивно схема возвратного потенциала может быть
выполнена по-разному. Такие измерительные устройства исполь-
зуются в гравиметрах, требующих дистанционного управления.
В некоторых гравиметрах измерение и компенсация прираще-
ний силы тяжести осуществляются методом наклона. Идея этого
метода состоит в том, что рычаг упругой системы приводят в исход-
ное положение, наклоняя всю упругую систему вдоль рычага
маятника или вдоль оси вращения рычага. Если исходное поло-
жение рычага горизонтально при некотором значении силы тя-
жести g0, то, чтобы привести рычаг маятника в исходное поло-
жение в точках, где значение силы тяжести g = g0 -f- Ag, надо
наклонить прибор на угол а, определяемый соотношением
go = (£o+ Ag) cos а;
откуда
Ag = g0(seca — 1).
В этом случае мерой приращения силы тяжести является
наклон чувствительной системы гравиметра. Угол а измеряют
или по угломерному кругу, или тангенциальным методом с по-
154
мощью микрометрического винта. Следует заметить, что компен-
сация силы тяжести методом наклона чувствительной системы
вдоль оси вращения подвижного рычага может быть использована
во многих гравиметрах, теория которых допускает такой наклон.
И наконец, в случае непрерывной записи изменения силы тя-
жести применяется фотографическая или любая другая регистра-
ция на движущейся ленте положения подвижной части чувстви-
тельной системы.
Более детально измерительные устройства различных типов
рассмотрены при описании отдельных систем гравиметров.
Необходимо отметить, что при расчете и изготовлении измери-
тельной системы в ней предъявляются менее жесткие требования
в отношении стабильности, чем к чувствительному элементу.
Эти требования в основном определяются точностью и диапазоном
измерений приращения силы тяжести. Например, при диапазоне
100' 10 5 и погрешности измерений 0,01 ИГ5 м/с2 точность измери-
тельного устройства должна быть не хуже 110 !. Естественно, при
увеличении диапазона измерений требования к измерительным
устройствам повышаются.
Эталонирование гравиметров
Результаты измерений силы тяжести гравиметрами выра-
жаются в делениях шкалы измерительного устройства. Для того
чтобы перевести результаты измерений в единицы силы тяжести,
необходимо определить переводной коэффициент, или цену деле-
ния, гравиметра. Процесс определения цены деления отсчетного
устройства гравиметра называется эталонированием.
Эталонирование гравиметров может быть выполнено различ-
ными способами.
1. Наблюдение на пунктах с известным значением силы тя-
жести.
2. Наблюдение изменения показаний гравиметра при наклоне.
3. Навеска грузиков.
Наблюдения на двух или более пунктах с известным значением
силы тяжести позволяют вычислить цену деления гравиметра.
Пусть на пункте с силой тяжести получен отсчет slt на пункте
с силой тяжести g.: — отсчет s2. Тогда, если шкала гравиметра
линейна, имеем
gl = PSll gi =“ «2,
откуда
Ag = g2-^i = c(s2-s1);
с= Ag-/(s2 — Sj). (6.37)
Точность определения цены деления этим методом зависит
от погрешности эталонной разности Ag. Если цену деления надо
155
определить с относительной погрешностью 1 • КГ4, то эталонное
значение Ag должно быть измерено с той же погрешностью 1 • 10“4,
т. е. на приращении Ag = 500-10~® м/с2 ошибка не может превы-
шать 0,05- 1(ГВ м/с2. С уменьшением эталонного приращения про-
порционально увеличивается погрешность эталонирования.
Ошибка в цене деления входит как систематическая во все после-
дующие измерения приращений силы тяжести. Чтобы найти цену
деления для различных участков шкалы отсчетного устройства,
используют несколько пунктов со значениями силы тяжести,
попадающими в интервал измерения.
Способ эталонирования гравиметров на пунктах с известной
силой тяжести позволяет определять цену деления в условиях,
близких к тем, при которых гравиметр работает в поле. В то же
время этот способ является громоздким и сравнительно дорогим,
поскольку он связан со значительными транспортными расхо-
дами. Поэтому он применяется главным образом для независи-
мого контроля результатов эталонирования, выполненного другими
методами, или в тех случаях, когда нет возможности прибегнуть
к иным способам эталонирования.
Для эталонирования гравиметров описываемым методом обычно
используют специально созданные международные, националь-
ные, местные полигоны (базисы). Силу тяжести в пунктах полиго-
нов определяют по специальной программе с помощью высоко-
точных маятников и гравиметров с известной ценой деления
шкалы. Чтобы изменение силы тяжести между пунктами было ма-
ксимальным, их обычно располагают в меридиональном напра-
влении.
Наиболее крупным международным полигоном является Се-
веро-Американский, протягивающийся вдоль западного по-
бережья от Фербенкса (Аляска) до Мехико (Мексика). Этот базис
включает 33 пункта и имеет диапазон изменения силы тяжести
5129 1(Г® м/с2, относительная погрешность составляет 3,5-КГ4.
Западно-Европейский полигон Рим (Италия) — Гаммерфест (Нор-
вегия) имеет диапазон 2500-10”8 м/с2 при относительной погреш-
ности 3- КГ4. Ряд стран создали свои национальные полигоны
с различными приращениями силы тяжести. В нашей стране есть
полигоны с относительной погрешностью (1 <- 2)- КГ4 при раз-
ностях силы тяжести от 80- 1СГ6 до 1000- КГ5 м/с2 и 5- КГ8—1 • КГ4
при разностях (1000 3000)-КГ® м/с2. Большинство современных
гравиметров имеет диапазон измерений не более 100-10"® м/с2,
для их эталонирования пригодны полигоны с приращением силы
тяжести 200-10"® м/с2. Такие полигоны удобно создавать в горных
местностях, где наблюдается значительное изменение силы тя-
жести по высоте на коротких расстояниях.
Пункты наблюдений на эталонировочных полигонах закре-
пляют долговременными знаками (бетонными или каменными стол-
бами, плитами); к этим пунктам должен быть обеспечен хороший
подъезд.
156
Способ наклона более удобен и нашел широкое распростране-
ние в практике эталонирования гравиметров. В этом случае ис-
пользуется зависимость показаний гравиметра от наклона: при
наклоне гравиметра на угол |3 его показания изменяются так,
как будто сила тяжести уменьшилась на величину
Ag = g(₽2/2).
Изменения показаний гравиметра при наклоне выражаются
уравнением
— sj -- g(P72),
где «j и s0 — отсчеты при наклоне гравиметра па угол р и в исход-
ном положении.
Отсюда
В этом случае для достижения точности эталонирования
110"4 значение g в пункте эталонирования необходимо знать
приблизительно до 100- 10'6 м/с2. Действительно, рассматривая Ag
как эталонное значение силы тяжести, логарифмируя и дифферен-
цируя по независимым переменным Ag и g выражение (6.36),
находим
d hg/hg = dg/g.
Полагая d Ag!Ag == 1- IO'4, имеем dg — 100- 10'® м/с2. С такой
приближенностью значение силы тяжести известно всегда.
Найдя логарифмическую производную в формуле (6.36) по
независимым переменным Ag и р, получим
dAg/Ag = 2(dp/P),
т. е. относительная погрешность эталонной разности силы тяжести
прямо пропорциональна погрешности измерения угла р и обратно
пропорциональна значению самого угла. Кроме того, макси-
мально допустимая ошибка измерения угла р должна быть в 2
раза меньше погрешности эталонирования:
1 de ddg
р ~2 с~ Ag '
(6.39)
В табл. 6.2 приведены значения rfp/p, на которые надо ориен-
тироваться при расчете точности эталонирования. Значение g
принято равным 981-10'2 м/с2.
Максимально возможный наклон гравиметра определяется его
конструкцией и диапазоном измерения без перестройки. Боль-
шинство гравиметров имеет диапазон (100 200)-10'5 м/с2. Для
таких гравиметров, как видно из табл. 6.2, наклон возможен
только в пределах 1—1,5°. При этом требуется очень высокая
157
Таблица 6.2
Точность эталонирования методом наклона
р Ag, Ю““ м/с2 4^-, ЮЧ Ag ’ при dp = 0,5" (4p)max яри 4^-. i.io-i Ag
0° 10' 0 30 1 00 2 00 3 00 4 00 4 37 149 598 1345 2391 16,6 5,6 2,8 1,4 0 9 0,7 0,03" 0,09 0,18 0,36 0.54 0.72
точность измерения угла наклона. Чтобы обеспечить такую точ-
ность, наклон гравиметра осуществляется или на экзаменаторе
для исследования уровней, или же на специально изготовленной
наклономерной плите. Эта массивная плита стоит на трех винтах.
Один из винтов (которым задается наклон плиты) изготовляется
с возможно большей точностью. Если b — база плиты (расстояние
от винта до линии, проходящей через упоры двух других винтов),
h — шаг измерительного винта, то при повороте винта на один
оборот плита наклоняется на угол [3 = h/b. Если п — число пол-
ных оборотов микровинта, то
ля=g 4-=4- • -г w. (б-4°)
где
К = fc/2) (W
— постоянный коэффициент для данного пункта наблюдений
и данного микровинта.
Тогда цена деления
с =/c«7(so — s„). (6.41)
Углы наклона плиты можно измерять непосредственно в угло-
вых единицах, используя теодолит. Для этого на плите закре-
пляют зеркало, а теодолит снабжают автоколлиматором. Ось
трубы теодолита каждый раз устанавливают перпендикулярно
к зеркалу, совмещая горизонтальные линии сетки окуляра с их
отражением от зеркала. Углы наклона отсчитывают на вертикаль-
ном круге теодолита. При подготовке этой установки к работе
необходимо добиться, чтобы оси наклона плиты и теодолита были
параллельны. Такое положение будет достигнуто, когда при
наклоне плиты или трубы теодолита вертикальные линии сетки
окуляра все время совпадают с их отражениями от зеркала плиты.
Для эталонирования бестермостатных отечественных грави-
метров методом наклона в ИФЗ АН СССР разработана специаль-
на
пая установка УЭГП, где углы наклона гравиметра измеряют
с помощью теодолитного круга непосредственно в угловых еди-
ницах. Эта установка представляет собой вращающуюся вокруг
горизонтальной осн раму, выполненную в виде цилиндрического
кольца, в которой закрепляется гравиметр. На одной оси с рамой
размещен вертикальный круг теодолита для измерения углов
наклона гравиметра. Другая установка для эталонирования грави-
метров методом наклона (УЭГ-2) состоит из наклономерной плиты
с подставкой для гравиметра, двух накладных уровней для приве-
дения оси вращения плиты и подставки в горизонтальное положе-
ние и оптического теодолита. Углы наклона плиты и соответственно
чувствительной системы гравиметра измеряются автоколлима-
ционным способом по вертикальному кругу теодолита. Эти уста-
новки обеспечивают определение цены деления гравиметров с отно-
сительной погрешностью 11СГ4.
Чувствительность астазированных гравиметров при наклоне
вдоль маятника изменяется. При некотором угле наклона в сто-
рону поднятия рычага система приобретает бесконечно большую
чувствительность, и наоборот, при наклоне в сторону опускания
рычага система теряет чувствительность. В результате пропадает
возможность получить обе ветви параболы, что снижает точность
определения цены деления. Рекомендуется поэтому наклонять
гравиметр в поперечном к рычагу направлении, т. е. вдоль оси
вращения рычага. В этом случае чувствительность прибора ме-
няется незначительно и обе ветви параболы получаются во всем
рабочем диапазоне гравиметра.
Процесс наблюдений на наклономерной плите осуществляется
следующим образом. Гравиметр устанавливают на горизонталь-
ную плиту, ось вращения чувствительной системы совмещают
с направлением наклона плиты. При этом оба уровня гравиметра
должны быть тщательно выверены. После этого, взяв отсчет при
нулевом положении уровней, задают гравиметру наклон микро-
метренным винтом плиты и снова берут отсчет. Затем последова-
тельно увеличивают наклон. Достигнув максимального наклона
в одну сторону, сразу же задают максимальный наклон в противо-
положную сторону и выполняют наблюдения, последовательно
уменьшая наклон и приближаясь к исходному положению. При
такой методике среднее значение из отсчетов при наклоне в про-
тивоположные стороны свободно от влияния изменения нуль-
пункта, а также от ошибок в юстировке уровня, вдоль которого
наклоняют прибор. При эталонировании наклоном получают
систему уравнений, число которых равно числу углов наклона
в одну какую-либо сторону. Решая эту систему, находят цену
деления и ее погрешность.
Метод эталонирования гравиметров с помощью дополнитель-
ных грузиков состоит в том, что на одном и том же пункте к основ-
ному подвижному грузу чувствительной системы добавляют до-
полнительные грузики с известной массой и наблюдают изменение
159
показаний гравиметра. Если массе подвижной системы грави-
метра т соответствует отсчет slt то после добавления грузика с мас-
сой Ат происходит кажущееся изменение силы тяжести и отсчет
гравиметра становится з2. При добавлении грузика вес подвижной
массы увеличивается на g Am = Agm, т. е.
Ag = g (Am/m).
Ho Ag c (s2 — 8Х), следовательно,
с=—--------^L = -S.^L. (6.42)
s2 — st т as т
Этот метод эталонирования может быть использован только
в гравиметрах, имеющих специальные устройства для навешива-
ния дополнительных масс.
В некоторых гравиметрах при их эталонировании обнаружи-
вается нелинейность шкалы измерительной системы, т. е. отсчет s
гравиметра зависит от изменения силы тяжести нелинейно. Такую
зависимость можно представить в виде
gr = cos 4-qs2, (6.43)
где с0 — цена деления гравиметра для начала шкалы (з = 0);
сх — квадратичный член, учитывающий изменение цены деления
в рабочем диапазоне гравиметра.
Приращение силы тяжести, измеренное гравиметром между
двумя точками, в которых сила тяжести соответственно g,: и g0,
Agzii == gt — go = Co (sz — sn) 4- c1 (sj — So). (6.44)
В большинстве, случаев нелинейность отсчетной шкалы не-
велика и при измерении малых приращений ею можно пренебречь.
Для больших приращений и высокоточных наблюдений даже ма-
лую нелинейность следует учитывать.
Уравнение (6.44) можно преобразовать к виду
Agjo — sl (с0 Д- cxsz) s0 (c0 cxs0) = S[Csi s0ci0 (6.45)
или
Ag.-o =- co [ (sz p ~ (s« + ] = co (sfS — so»). (6.46)
Можно построить график зависимости цены деления шкалы csi
от отсчетах; и, используя этот график, вычислять Ag по формуле
(6.45) или же построить график поправок (ci/co) s* как функцию
отсчета sz и вычислять Ag по формуле (6.46) (рис. 6.17).
Выявить нелинейность шкалы измерительного устройства гра-
виметра можно несколькими способами.
При эталонировании гравиметра по наблюдениям па пунктах
с известными значениями силы тяжести или методом наклона,
160
Рис. 6.17. Зависимость цены деления csi и поправки за не-
линейность измерительной шкалы (cj/cg) s? гравиметра от от-
счета Sj.
измерив два приращения силы тяжести между тремя пунктами или
наклонив гравиметр на два угла от исходного положения, можно
составить следующие уравнения:
Agw = gi — go = Co(si - so)+ (si - So); I
, 2 2. (6.47)
Ag20 = g'l — go = Co (S9 — So) + Cl (®2 — So). J
Решив эти уравнения, определим с0, ct и отношение е\/с0, что
позволит составить графики или таблицы для csi- и (Cj/co) s®.
Если есть только два пункта с известной разностью силы тя-
жести между ними или гравиметр можно наклонить только на
один определенный угол, то нелинейность шкалы можно уста-
новить, проэталонировав гравиметр два раза, перестроив при
этом диапазон перед последующим эталонированием. В этом слу-
чае система уравнений (6.47) может быть записана так:
Agio = gi — go = Со (Si — So) + Cl (si — 4) =-
= Co (si — So) Cl (sj2 — So2), (6.48)
где Sj и s0 — отсчеты до перестройки диапазона; si и So — отсчеты
после перестройки диапазона.
Из уравнения (6.48) можно определить с^/с'о, а затем найти с0.
Нелинейность измерительной шкалы гравиметра можно также
выявить, беря отсчеты, соответствующие крайним положениям
индекса регистрирующей системы, каждый раз перестраивая
диапазон измерений.
При эталонировании гравиметров с помощью дополнительных
грузиков линейность шкалы отсчетного устройства проверяют,
несколько раз перестраивая диапазон измерений.
6
В. С. Миронов
161
Естественно, что точность определения нелинейности шкалы
может быть повышена, если проводить наблюдения па большем
числе пунктов или при большем числе наклонов гравиметра, не-
сколько раз перестраивая диапазон измерений, что позволит
составить большее число уравнений типа (6.47) и решить их мето-
дом наименьших квадратов.
Определив цену деления измерительной шкалы гравиметра
с высокой точностью, порядка 1 • 1СГ4, в некоторых гравиметрах
можно обнаружить зависимость цены от температуры. При не-
линейной шкале сначала необходимо ввести поправку за нелиней-
ность, а после этого исследовать температурную характеристику
шкалы.
Глава 7
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ ГРАВИМЕТРОВ
ГРАВИМЕТРЫ
С МЕТАЛЛИЧЕСКИМИ ПРУЖИНАМИ
В Советском Союзе и за рубежом было создано несколько кон-
струкций металлических гравиметров на основе различных прин-
ципов.
Гравиметры с плоской кольцевой пружиной
Идея первого отечественного металлического гравиметра, упру-
гим элементом которого служит кольцевая пружина, предложена
М. С. Молоденским в 1938 г. Им же разработана теория этого
гравиметра, конструкция которого послужила основой для соз-
дания нескольких различных типов гравиметров.
Гравиметр ГКМ, применявшийся при геологоразведочных работах в 40-х го-
дах, имеет следующий принцип устройства. Плоская элинварпая ленточная
пружина / постоянного сечения одним концом жестко крепится к станице 4,
а другим к рычагу 2 (рис. 7.1). Второй конец рычага подвешен к станине на двух
тонких металлических нитях. Под действием веса рычага и реакции нитей пру-
жина принимает форму кольца. При изменении силы тяжести меняется вес ры-
чага и он поднимается или опускается. Мерой изменения силы тяжести является
вертикальное смещение конца рычага, что регистрируется емкостным ультра-
микрометром. Измерения проводят компенсационным способом; при помощи
измерительной пружины <3, связанной одним концом с рычагом, а другим с микро-
метрическим винтом, рычаг приводят в постоянное исходное положение.
Прибор термостатирован. Диапазон измерений без перестройки (700-Г750) X
X 10~6 м/с2; погрешность измерений (0,5 0,7)-10’5 м/с2; масса прибора около
26 кг.
Гравиметр ГКА является улучшенной конструкцией гравиметра ГКМ, он
отличается более простым регистрирующим устройством, меньшими массой и
размерами, повышенной точностью наблюдений. Этот гравиметр использовался
ври гравиметрических съемках в 50-х и начале 60-х годов.
Основным упругим элементом гравиметра ГКА (рис. 7.2), как и ГКМ, яв-
ляется ленточная пружина 1, изогнутая в кольцо под действием изгибающего
162
Рис. 7.1. Схема гравиметра ГКМ.
Рис. 7.2. Схема гравиметра ГКА.
момента рычага 5 с грузом на конце. Осью вращения рычага служит скреплен-
ная с ним тонкая вольфрамовая нить 4. Концы нити заделаны в станине через
упругую связь. Ось вращения рычага находится в центре кольцевой пружины.
При изменении силы тяжести ^изменяется вес подвижного груза, что вызывает
угловое смещение рычага.
Чтобы увеличить это смещение, предусмотрено астазирующсс устройство,
состоящее из дегазирующей плоской пружины 2 и гибкой металлической нити 3.
Астазирующая пружина одним концом закреплена в раме прибора, другим
соединена нитью с отростком рычага. В пулевом, горизонтальном, положении ры-
чага нить проходит через его ось вращения и'момент астазирующей пружины
относительно оси вращения рычага равен нулю. При отклонении рычага от
горизонтального положения возникает добавочный момент астазирующей пру-
жины, приводящий к дополнительному смещению рычага, т. е. чувствительность
упругой системы к изменениям силы тяжести определяется не только деформа-
цией главной кольцевой пружины, но п натяжением астазирующей пружины
нее плечом. При выборе параметров астазирующего устройства исходят из угло-
вой чувствительности гравиметра (около 30" на 1-10~8 м/с2). Сила натяжения
астазирующей пружины должна быть равна весу рычага. В этом случае всю
нагрузку от рычага несет на себе астазирующая пружина, а ось вращения ста-
новится полностью разгруженной.
Измерения с гравиметром проводят компенсационным способом. Изменение
силы тяжести компенсируется натяжением пружины 6, один конец которой при-
креплен к подвижному концу рычага, другой к микрометрическому винту 8.
Для расширения интервала измерения с рычагом связана диапазонная пру-
жина 7. Регистрация пулевого положения рычага осуществляется оптической
автоколлнмационной системой.
Упругая система гравиметра помещена в двухступенчатый термостат. Диа-
пазон измерений около 150-Ю-5 м/с.2; погрешность (0,34-0,5)-10“5 м/с2; масса
прибора 13 кг.
Гравиметры
с горизонтальными винтовыми пружинами
Использовать горизонтальные винтовые пружины в качестве
упругого элемента гравиметра предложил А. Граф, на этом прин-
ципе он сконструировал несколько моделей неастазированных
гравиметров. В СССР на таком принципе разработаны астазиро-
ванные системы гравиметров.
Гравиметр GS-l 1 создан фирмой «Аскання Верке» (ФРГ) и в настоящее
время является единственным пеастазированным прибором, обеспечивающим
&
163
Рис. 7.3. Схема гравиметра GS-1I.
погрешность измерения силы тяжести не больше (0,024-0,05) -10'6 м/с2. Этот при-
бор известен также под названием гравиметра Графа.
Конструкция гравиметра GS-11 основана на принципе крутильных пру-
жинных весов (рис. 7.3). Две винтовые пружины 2, расположенные почти гори-
зонтально, натянуты и закручены так, что рычаг 1 с грузиком (маятник), укреп-
ленный между ними, находится в горизонтальном положении. Изменение силы
тяжести приводит к нарушению горизонтального положения маятника.
Измерения проводят компенсационным методом. При вращении головки 15
измерительного устройства изменяется натяжение измерительной пружины 17,
нижний конец которой соединен с маятником, а верхний — с подвижной карет-
кой 16, несущей стеклянную пластинку с делениями прецизионной шкалы.
Изменение положения прецизионной шкалы наблюдается в окуляр 13 но спе-
циальному индексу масштабной пластинки клинового микрометра. Нулевое по-
164
ложение рычага регистрируется фотоэлектрическим способом. Световой луч
от лампочки 11, пройдя через конденсор 12, щель 9 и объектив 7, падает на зер-
кало 4 рычага маятника и, отразившись от него, попадает на неподвижное
зеркало 6, расположенное напротив. От зеркала 6 луч снова идет на зеркало 4
и от него на два фотоэлемента 8, включенные по дифференциальной схеме. Раз-
ностный фототок подается на зеркальный гальванометр 10, показания кото-
рого могут быть отсчитаны по шкале. Зависимость между удлинением измери-
тельной пружины и показаниями зеркального гальванометра линейная. Поэтому
при измерениях нет необходимости устанавливать гальванометр точно на нуль.
Недалеко от центра тяжести маятника к рычагу прикреплена вторая пру-
жина, диапазонная, 19, предназначенная для изменения диапазона измерений.
Один оборот головки впита 18 диапазонной пружины соответствует изменению
силы тяжести на 200 -10~5 м/с2. Полный диапазон измерений без перестройки
(6004-800) -10“ 5 м/с2.
Для устранения влияний температуры на показания прибора применены
металлическая температурная компенсация и термостатирование. Для темпера-
турной компенсации использованы две слабые спиральные пружины, соосные
с главными и расположенные внутри их. Меняя натяжение этих пружин, под-
бирают необходимый температурный коэффициент. Термостат гравиметра двух-
ступенчатый, с электрическим подогревом. В зависимости от внешней темпера
туры внутри гравиметра может быть установлена температура 25, 35, 40, 45" С.
Постоянство температуры в термостате поддерживается до 0,01'" С.
Упругая система гравиметра герметизирована; на случай нарушения гер-
метизации имеется барокомпенсатор 8 (два полых цилиндра). Против магнит-
ных влияний предусмотрен пермаллоевый экран.
Гравиметр GS-11 имеет устройство, позволяющее контролировать цену деле-
ния и проверять линейность деформации измерительной пружины в полевых
условиях. Для этого на рычаге упругой системы сделаны два углубления, рас-
положенные на определенном расстоянии от оси вращения и одно от другого.
В одном из углублений помещен металлический шарик. Во время перевозок и
при небольших наклонах прибора шарик остается в лунке. Переместить шарик
из лунки можно только наклонив прибор на 90°. Перемещение шарика изменяет
момент массы на постоянную величину, которая соответствует кажущемуся из-
менению силы тяжести примерно на 200'10~5 м/с2.
Гравиметр GS-11 чувствителен к тряске и толчкам. Недопустимы также зна-
чительные наклоны прибора, при этом меняются показания гальванометра.
Поэтому эталонировать гравиметр методом наклона нельзя. При транспорти-
ровке гравиметра его упругую систему арретируют двумя рычагами 5 в поло-
жении, близком к положению равновесия.
Электропитание гравиметра осуществляется от двух аккумуляторов по 6 В.
Один служит для освещения фотоэлементов, другой — для работы термостатов
и подсветки шкалы гальванометра.
При наблюдениях гравиметр устанавливают на специальную треногу и ни-
велируют по уровням 14. Продолжительность наблюдений около 3 мип. Масса
прибора 20,5, треноги 7,3 кг. Смещение нуль-пункта гравиметра при изменении
внешней температуры на 10° С обычно не превышает 0,05-Ю"5 м/с2 за 1 ч.
Дальнейшим развитием конструкции прибора GS-11 являются гравиметры
GS-12, -15 и -16. К отличительным особенностям гравиметра GS-12 относится
принцип измерительной системы: вместо диапазонной пружины использован
комплект металлических шариков, которые с помощью специального устрой-
ства можно помещать на рычаг чувствительной системы. В гравиметре GS-I6
зеркальный гальванометр заменен стрелочным индикатором, фиксирующим го-
ризонтальное положение рычага системы, и расширен до 2000-Ю-5 м/с2 диапазон
измерений без перестройки. Погрешность наблюдений с указанными грави-
метрами составляет 0,02 -10“5 м/с2. При помощи дополнительного устройства (фо-
торегистрирующей приставки) этими гравиметрами можно непрерывно регистри-
ровать суточные вариации силы тяжести. В этом случае резко уменьшается сме-
щение нуль-пункта гравиметров и погрешность снижается до 0,001 • 10 ” м/с3.
Поэтому гравиметры GS находят широкое применение при регистрации вариа-
ций силы тяжести.
165
Гравиметр ГВП-2 представляет собой прибор, позволяющий
одновременно измерять приращение силы тяжести и разность
высот между пунктами наблюдений. Идея такого прибора была
высказана в 1944 г. В. В. Федынским. В гравиметрах, упругая
система которых не герметизирована, необходимо применять баро-
метрическую компенсацию, чтобы исключить влияние атмосфер-
ного давления на показания гравиметра. В. В. Федынский пред-
ложил построить гравиметр с двумя упругими системами: одна
полностью барометрически компенсирована, а другая, наоборот,
имеет очень большой барометрический коэффициент. Поскольку
системы обладают существенно разными эффективными плотно-
стями, то каждая дает свое измеренное значение Ag действитель’
ной разности силы тяжести. Это значение определяется действи"
тельным приращением силы тяжести Ag и ее кажущимся изме-
нением, вызванным изменением атмосферного давления:
Agx=Ag + ^ \р\
Ag2 = Ag 4- Ка Др,
(7.1)
где Ki и — барометрические коэффициенты упругих систем;
Ар — разность атмосферного давления в пунктах наблюдений.
Из уравнений (7.1) имеем
Ар = (Agi - Ags)/(KX - Kt). (7.2)
Одну из систем можно полностью барометрически скомпенси-
ровать, положив, например, К2 = 0. Тогда
Ap = (l/K1)(Ag1-Ai2) = (l/Kl)(Ai1-Ag);
А А ~ ('"’)
Ag = Ag2.
Из этих уравнений следует, что прибором, имеющим две упру-
гие системы с разными барометрическими коэффициентами, можно
измерить изменение атмосферного давления Ар и приращение
силы тяжести Ag.
Из теории барометрического нивелирования известно, что
разность высот ДН двух близко расположенных пунктов может
быть вычислена по формуле
А# = .4Др,
где А — барометрическая ступень, являющаяся функцией сред-
него давления и средней температуры в пунктах наблюдений.
Обозначив А!К\ через /<0 (высотный коэффициент гравиметра),
получим
АЯ = К0(Д£г-Д^. (7.4)
Высотный коэффициент гравиметра зависит не только от пара-
метров упругой системы, но и от давления и температуры воздуха.
186
Численные значения Ко определяют экспериментально на пунктах
с известным значением высот и силы тяжести либо в барокамере
при различном давлении. При этом должны быть известны темпе-
ратура и давление воздуха. Для перевычисления коэффициента /<0
к другим значениям давления и температуры используют формулу
/<о=л-о_рД1±1&., (7.5)
где Ко — высотный коэффициент прибора при р0 = 101 325 Па
«=. 1 • 105 Па и t = 0°С.
При конструировании гравиметра-высотомера, меняя объемный
момент рычага, надо выбрать оптимальные значения /<0, обеспечи-
вающие наилучшую точность определения силы тяжести. При
этом руководствуются следующими соображениями.
Конечным результатом гравиметрической съемки является
система значений силы тяжести g0, приведенных к уровню моря
с помощью поправки ЪН:
g9 = g+bH. (7.6)
Если применяется поправка Буге, то.
д = 0,3086 —0,0419а,
где о — плотность промежуточного слоя.
Разность Ago силы тяжести между любым пунктом наблюде-
ния и исходным пунктом, приведенная к исходному уровню высот,
может быть записана в виде
Ag0 = Ag+bAtf, (7.7)
или, заменяя АД его значением из уравнения (7.4), находим
Ag0 = д£ + (ДЯ1 - Ag) = (1 - WQ Ag + ькп Agv (7.8)
Обозначив средние квадратические погрешности измеренных
величин Ag0, Ag и Agx соответственно через е0, eg, еЛ/, напишем
?-'о’|/Г(1 —/Д\о)'(/?/<<,)’!•'>/. (7.9)
Если обе системы гравиметра имеют одинаковую точность,
т. е. — р.ц, то
е0 = вг V1-1 2НаЖ- 1). (7.10)
Из этого уравнения можно найти оптимальное значение высот-
ного коэффициента Ко, исходя из условия, что при одинаковой
средней квадратической погрешности обеих упругих систем по-
грешность определения разности силы тяжести Ag0, приведенной
к уровню моря, должна быть минимальной, т. е.
е0/Ей = K(l(W<o ~ J)= min. (7-И)
167
Дифференцируя это выражение по К„ и приравнивая произ-
водную нулю, получаем
d (gp/Eg) 2W„ — b _ у
dKQ ' /2&X0(&K0— 1) + 1
t. e.
^=1/(26).
Если при изготовлении гравиметра-высотомера соблюдено это
условие, т. е. выбрано оптимальное значение /<0 1/(2Ь), то
е0 — eg/]/2 = 0,78£. (7.12)
Уравнение (7.12) показывает, что при оптимальном высотном
коэффициенте гравиметра-высотомера погрешность приведенного
к уровню моря значения силы тяжести составляет 0,7 погрешности
измерений с обычным гравиметром, т. е. точность наблюдений
с гравиметром-высотомером равна точности наблюдений одно-
временно с двумя гравиметрами, которые, по существу, и заме-
няет гравиметр-высотомер.
При рассмотрении точности нами не принимались во внимание
погрешности самого барометрического нивелирования, возни-
кающие из-за изменения метеорологических условий. Эти погреш-
ности учитывают, применяя особую методику наблюдений или
данные барометрических станций.
Конструкция первого гравиметра-высотомера была разрабо-
тана В. В. Федынским и А. М. Лозинской в 1951 г. на базе грави-
метра ГК А.
Гравиметр ГВП-2 (рис. 7.4) является более совершенной моделью грави-
метра-высотомера. Он имеет две упругие системы: высотомерную а с большим
барометрическим коэффициентом и гравиметровую б, барометрически компен-
сированную.
Упругим элементом обеих систем являются две цилиндрические винтовые
горизонтально расположенные пружины 3, изготовленные из элинвара. Пру-
168
жины навиты навстречу другу другу и прикреплены одним концом к корпусу
прибора, а другим к рычагу системы. Рычаг 4 гравиметровой системы изготов-
лен из алюминия и имеет латунный грузик, зеркало 5 и барокомпенсатор 7.
Для повышения чувствительности системы к изменениям силы тяжести она аста-
зирована пружиной 2. При горизонтальном положении рычага пружина на-
ходится в плоскости его оси вращения, при отклонении рычага от этого положе-
ния пружина создает момент вращения.
Приращения силы тяжести измеряют компенсационным методом: на каждой
точке рычаг приводят в горизонтальное положение, изменяя натяжение измери-
тельной пружины /, соединенной с микрометром и рычагом упругой системы.
Регистрация положения рычага оптическая, автоколлимационная. Диапазон из-
мерений перестраивают, изменяя натяжение диапазонной пружины 6.
Упругая система гравиметра термокомпенсирована с помощью биметалличе-
ской пластины, соединенной с рычагом через тонкую пружину. При изменении
температуры биметаллическая пластина изгибается и натягивает пружину таким
образом, что компенсирует изменение момента главных пружин из-за изменения
температуры. Измерительная пружина соединена с рычагом через биметалличе-
скую пластину температурного компенсатора.
В высотомерной системе вместо латунного груза на конце рычага 4 укреп-
лен полый цилиндр 8, создающий большой объемный момент.
При транспортировке упругие системы гравиметра арретируют; для защиты
от магнитного поля имеется пермаллоевый экран. Для поддержания постоянной
температуры прибор помещают в электрический термостат и сосуд Дьюара, что
обеспечивает высокий коэффициент термостатирования.
Точность измерений определяется методикой работ, при коротких рейсах
погрешность силы тяжести составляет 0,2-10-5 м/с2, высоты 1,5 м; масса при-
бора 6,5 кг.
Гравиметр ГМТ-1, разработанный во ВНИИГеофизике, предназначен для
измерения больших приращений силы тяжести без перестройки [(10004-1500) X
X 10“5 м/с2]. Они применяются в основном при создании опорных гравиметри-
ческих сетей.
По устройству упругой системы гравиметр ГМТ-1 принципиально не от-
личается от гравиметра ГВП-2. Главные пружины гравиметра не цилиндриче-
ские, а навиты по поверхности параболоида вращения, что позволяет несколько
сократить размеры прибора и получить достаточную чувствительность при мень-
ших напряжениях в пружинах. Гравиметр ГМТ-1 герметизирован при атмо-
сферном давлении; на случай разгерметизации предусмотрена барометрическая
компенсация. Чувствительная система помещена в двухступенчатый термостат,
заключенный в сосуд Дьюара, и температурно компенсирована. Термостат на-
строен на температуру +45° С. Погрешность измерений (0,14-0,2) • 10~ 5 м/с2;
масса прибора 8 кг.
Гравиметр ГМТ-2 предназначен для детальных гравиметрических работ
и принципиально не отличается от гравиметра ГМТ-1. Диапазон измерений без
перестройки составляет около 150 -10‘5 м/с2; погрешность наблюдений 0,06 X
X ЦТ" м/с2.
КВАРЦЕВЫЕ ГРАВИМЕТРЫ
С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ КРУТИЛЬНОЙ НИТЬЮ
И ЖИДКОСТНОЙ ТЕМПЕРАТУРНОЙ
КОМПЕНСАЦИЕЙ
В 1940 г. в Датском геодезическом институте Г. Норгардом
был сконструирован кварцевый неастазированный гравиметр.
Гравиметр Норгарда послужил основой для создания несколь-
ких аналогичных конструкций гравиметров, широко применяв-
шихся при гравиметрических исследованиях в СССР.
Упругая система гравиметра Норгарда (рис. 7.5) представляет
собой тонкую кварцевую нить 6, натянутую на кварцевой раме 1
169
Рис. 7.5. Схема упругой системы гравиметра Норгарда,
и закрученную ла некоторый угол. К середине нити приварен
кварцевый рычаг (маятник) 5 с торцевым зеркалом 3 и металли-
ческим грузиком 4. Маятник удерживается силой закручивания
нити в положении, близком к горизонтальному. При изменении
силы тяжести изменяется момент веса маятника и, следовательно,
угол закручивания инти.
Приращение силы тяжести измеряется нулевым методом:
наклоняя кварцевую систему вдоль рычага маятника, задают
нити постоянный угол закручивания. Чтобы зафиксировать это
положение, к раме кварцевой системы прикреплено неподвижное
зеркало 2, которое параллельно подвижному зеркалу 3 при исход-
ном положении маятника. Угол наклона системы служит мерой
приращения силы тяжести.
Постоянный угол закручивания нити подвеса маятника ре-
гистрирует автоколлимационная система. Диапазон измерений
перестраивают, изменяя угол предварительного закручивания
нити. Для этого один ее конец приварен к штоку 7, вращающемуся
в подшипниках.
Для уменьшения температурного влияния кварцевая система
помещена в жидкость. Принцип жидкостной температурной ком-
пенсации состоит в следующем. При повышении температуры
жесткость кварца, в противоположность жесткости металлов, уве-
личивается приблизительно на 120-10"в 1/°С. Вследствие этого
первоначальный угол закручивания нити уменьшается, и рычаг
стремится подняться вверх. Но с ростом температуры умень-
шается плотность жидкости и, следовательно, ослабевает архи-
медова сила, выталкивающая рычаг. Поэтому момент веса рычага
увеличивается, и рычаг стремится опуститься вниз. Соответ-
ствующим подбором жидкости и размеров*'рычага можно достичь
полной температурной компенсации при определенной темпе-
ратуре.
По аналогичному принципу в СССР в 1945—1953 гг. было
создано несколько конструкций гравиметров. К ним относятся
гравиметры СН-3 (Всесоюзный институт разведочной геофизики).
ГАЭ (ИФЗ АН СССР), ГКОМ НИИГР (Научно-исследовательский
институт геофизических методов разведки), морские гравиметры
для определения силы тяжести с борта корабля (ИФЗ АН СССР,
ВНИИГеофизика).
170
При произвольном расположении рычага относительно гори-
зонтальной плоскости уравнение равновесия упругой системы
гравиметра Норгарда имеет следующий вид;

т (0о I- + g Hi ( 1
- -у-) /2j cos а = О,
(7.13)
где и ;л2 — масса кварцевого рычага и металлического грузика;
и /2 — расстояние от оси вращения до центра тяжести рычага
и грузика; 6, б( и 62 — плотность жидкости, кварца и грузика;
0О — угол предварительного закручивания нити подвеса рычага,
когда он лежит в горизонтальной плоскости; т — крутильная
жесткость нити подвеса; а — угол отклонения рычага от
горизонта.
Положительное направление отсчета углов совпадает с на-
правлением движения рычага от горизонтальной плоскости вверх.
Из уравнения равновесия (7.13), считая в нем все величины,
кроме g и а, постоянными, получаем уравнение чувствительности
системы к изменению силы тяжести
g [ 1 + + «) tg «I
При ос — О
= e0/g,
т. е. чувствительность системы пропорциональна полной дефор-
мации — полному углу закручивания 0О нити подвеса рычага.
Из уравнения (7.14) следует, что чувствительность зависит
от угла наклона рычага к горизонту и его знака. При уменьшении
угла (а < 0) маятник находится ниже горизонта, чувствитель-
ность системы уменьшается и при а = —л/2 имеем daJdg = 0.
При увеличении угла (« >0) маятник располагается выше го-
ризонта, чувствительность системы растет и при tg а —
= —1/(0о -г и) становится бесконечно большой. Таким образом,
система Норгарда относится к дегазированным нелинейным си-
стемам, но поскольку в рабочем диапазоне угла а чувствитель-
ность изменяется мало, эту систему часто называют неастазиро-
ванной, что не совсем верно.
Чтобы получить зависимость показаний гравиметра от темпе-
ратуры и уравнение термокомпенсации, введем следующие обо-
значения:
т = т0(1-|-р/); 6 = 60(14-?/),
где р — термоэластический коэффициент второго рода для кварца;
у — коэффициент объемного расширения жидкости.
171
Полагая остальные параметры системы при изменении тем-
пературы постоянными, находим температурный коэффициент
„ Гн _ .,х_________________________МФ + 6х/л-Л___________1 , ,
Л ТО, (б, _ бо) 6aW]Z] -|-(fi.,-60) /ТД J ' И-10-1
Если упругая система, в том числе и грузик, целиком изготов-
лена из кварца, то ее температурный коэффициент
dg
dt
(7-16)
При р 120-10-6, у «== 800-Ю-6 1/°С, 60 = 0,8, Sx = 2,2 г/см3
температурный коэффициент составит (240-г 250) • 10“6 м/с2 на 1° С.
Из уравнения (7.15) следует, что при заданной плотности
жидкости 60 и коэффициенте ее объемного расширения у с помощью
металлического грузика температурный коэффициент гравиметра
можно сделать равным нулю. Положив в уравнении (7.15) dgidt = 0
и разрешив его относительно т212/(т11)), получим уравнение, из
которого определим это отношение, обеспечивающее полную
температурную компенсацию упругой системы при заданных
значениях (3, у, 60, 61( 53:
т212 _ (Ф — 60) Р — А 62 /7 171
mdi (Ф-Ф1Р-7Ф Ф ' ( '
Отношение тг12/(тимеет следующие значения: для платины
(62 »=; 22 г/см3) 2,4; для серебра (б2 лэ 11 г/см3) 4; для латуни
(8.2 8 г/см3) 7, т. е. чем больше плотность материала грузика,
тем при меньшей его массе может быть достигнута полная темпе-
ратурная компенсация. Поэтому во всех гравиметрах с жидкостной
температурной компенсацией для изготовления грузиков при-
меняется платина. Она позволяет при малой общей массе маят-
ника, малой нагрузке на нить обеспечить достаточную температур-
ную компенсацию системы.
Температурный коэффициент объемного расширения у жид-
кости в свою очередь является функцией температуры, термоэла-
стический коэффициент [I значительно меньше и в меньшей сте-
пени зависит от температуры, поэтому при заданных значениях
всех величин, входящих в равенство (7.15), температурный коэф-
фициент равен нулю только при определенной температуре /,,.
При других температурах гравиметр имеет остаточный темпера-
турный коэффициент, в первом приближении выражающийся
кривой второго порядка. Для ослабления температурных влияний
упругие системы гравиметров помещают в термостат.
При компенсационном способе измерений методом наклона
можно написать уравнение для любой точки
—т0о — mgol — mgxl cosax = mg.,l cos а2 — mgnl cos a.,, (7.18)
гДе go — значение силы тяжести в точке, где рычаг находится
в горизонтальном положении при угле закручивания нити на
172
угол 0О; т — приведенная масса рычага в жидкости; I — при-
веденное расстояние от оси вращения до центра тяжести рычага.
Отсюда найдем
gn " go/cosa„
(7.19)
или
gn -go О I tg2 а,г)’/2.
Имея в виду относительный характер измерений с гравиметром,
из последнего уравнения находим
gr = gn - go = go (seca — 1). (7.20)
Разность значений gr в двух пунктах определяет приращение
силы тяжести между этими пунктами:
Ag = (gr)i - (gr)2=go(seca1 -seca2). (7.21)
Таким образом, для вычисления ,\g необходимо знать а и g0.
Угол а измеряют при наблюдениях с гравиметром, а g0 рассчи-
тывают, проводя измерения на пункте с известной силой тяжести.
Поскольку уравнение (7.21) справедливо при положительных и
отрицательных значениях а, прибор наклоняют в обе стороны,
тем самым уменьшая ошибки, возникающие из-за негоризонталь-
ности рычага в исходном положении.
Рассмотрим схему гравиметра Норгарда (рис. 7.6). Упругая
система (см. рис. 7.5) монтируется в металлической коробке
и заполняется термокомпенсационной жидкостью. На одной из
сторон коробки имеется окно, через
которое луч света попадает на си-
стему и возвращается обратно. Ко-
робка с упругой системой заклю-
чена внутри цилиндрического кор-
пуса гравиметра. Пространство меж-
ду корпусом гравиметра и коробкой
заполнено теплоизолирующим мате-
риалом. В верхней части корпуса
имеется цилиндрическая труба, в
которой смонтированы оптическая
система и опорные пластины микро-
метрического устройства. Цилиндри-
ческий корпус устанавливается в
наружном корпусе гравиметра на
два шарнка-шарнира и опирается
опорными пластинами на микромет-
рические винты.
Угол наклона чувствительной си-
стемы измеряется тангенциальным
способом: по расстоянию между кон-
ца ми ми крометр и ческ и х в и нтов. Св я з ь
Рис. 7.6. Схема гравиметра Нор-
гарда.
173
угла а с линейным переме-
щением микровинтов опре-
деляется формулой
ta(aJ-R) - tg^ + tgP =
']_tgatgp
== k+lm , (7.22)
где k— полоиина расстоя-
ния между спорными по-
верхностями; L— расстоя-
ние между осями враще-
ния цилиндра и микро-
метрических винтов; т -
Рис. 7.7. Схема гравиметра ГАЭ. отсчет ПО МИКрОВИНТу;
0 — угол между осевой
линией корпуса и линией, проходящей через внешнюю поверх-
ность опорной площадки.
Используя уравнения (7.20) и (7.22), получаем связь между gr
и отсчетом т по микрометрическому винту:
gr = Ст2 - Dm' - Em1 - Ftn\
(7.23)
где С, D, Е и F -— некоторые постоянные коэффициенты, выра-
жающиеся через k, L и gn.
Диапазон измерений с гравиметром без перестройки около
1500-10~5 м/с2. Перестраивают диапазон, изменяя предваритель-
ный угол закручивания нитей вращением штока кварцевой си-
стемы или совмещая другие штрихи подвижной и неподвижной
шкал. Погрешность измерений (0,1-4-0,2)-10'8 м/с2; масса прибора
15 кг.
Гравиметр СН-3, разработанный в 1948 г. в ВИРГ и довольно широко ис-
пользовавшийся при гравиметрических исследованиях в СССР, построен по
принципу системы Норгарда. В качестве термокомпенсационной жидкости в гра-
виметре СН-3 используется раствор спирта в воде. Соотношение составных ча-
стей определяет плотность раствора, а тем самым и момент силы тяжести рычага,
что позволяет перестраивать диапазон измерений. Гравиметр имеет двухступен-
чатый термостат, обеспечивающий независимость показаний от температуры.
В измерительной системе использован только один микрометрический винт и
набор калиброванных вкладышей.
Диапазон измерений без перестройки около 2500-10~5 м/с2; погрешность
(0,14-0,4)-10*5 м/с2; масса прибора 22, треноги 11 кг.
Гравиметр ГАЭ разработан в отделе гравиметрии Института физики
Земли АН СССР иод руководством Ю. Д. Буланже и предназначен для созда-
ния сетей опорных гравиметрических пунктов. Несколько серий этих при-
боров было изготовлено в 1953 и 1954 г. Прибор представляет собой усо-
вершенствованную и приспособленную для измерения больших разностей силы
тяжести модель гравиметра СН-3. Основным усовершенствованиям подверг-
лось измерительное устройство прибора. В гравиметре ГАЭ тангенциальный
метод заменен измерением непосредственно угла с помощью угломерного круга,
в качестве которого применен горизонтальный круг оптического теодолита
ОТ-02. В гравиметре этот круг установлен в вертикальной плоскости.
174
Наружный корпус гравиметра (рис. 7.7) представляет собой прямоуголь-
ный ящик, изготовленный из дюралюминия. На внутренних перегородках кор-
пуса соосно укреплены две полуоси / и 6, на которых вращается рама 7, жестко
связанная с подвижным корпусом 2 и угломерным кругом 8. Внутри прибора
установлен осветитель 5 угломерного круга. Через систему линз и призм изо-
бражение делений угломерного круга передается на оптический микрометр 4
и от него в отсчетный микроскоп 3. Поворот рамы относительно наружного кор-
пуса осуществляется специальным винтом (на рисунке не показан).
Процесс наблюдения сводится к установке прибора по уровням и измере-
нию угла раствора кварцевой системы по угломерному кругу. Точность отсчета
по угломерному кругу составляет 0,1". Средняя квадратическая погрешность
измерения угла раствора одним приемом при я = 2,5° равна 0,75". На каждом
пункте угол измеряют пятью приемами, снижая погрешность до 0,33", что соответ-
ствует погрешности приращения силы тяжести 0,07-10’6 м/с2.
Результаты полевых испытаний гравиметров ГАЭ показали, что эти при-
боры, обеспечивая достаточно высокую точность [средняя квадратическая по-
грешность наблюдений (0.2:- 0,3) • 10‘ 5 м/с21, обладают большой устойчивостью
параметров и не нуждаются в частом эталонировании. Для обработки наблю-
дений с гравиметрами ГАЭ разработаны специальные таблицы.
ГРАВИМЕТРЫ, ПОСТРОЕННЫЕ
ПО ПРИНЦИПУ ВЕРТИКАЛЬНОГО
СЕЙСМОГРАФА ГОЛИЦЫНА
В основу большинства конструкций современных гравиметров,
как кварцевых, так и металлических, положена идея вертикаль-
ного сейсмографа Голицына. В СССР на этом принципе созданы
кварцевые бестермостатные гпавиметры ГАК-ЗМ, -4М, -ПТ, -7Т,
-7Ш, ГНУ-KI, -К2, ГНШ-К, «Дельта», ВИРГ-61, ГАГ-2. В США
построены гравиметры «Атлас», «Уорден» (кварцевые), «Северная
Америка», «Вестерн», «Магнолия», Дакоста—Ромберга (металли-
ческие). В Канаде разработан гравиметр «Шарп». Особенно широ-
кое распространение получили кварцевые гравиметры, поскольку
в большинстве они являются бестермостатными приборами, об-
ладающими малыми массой и размерами, что позволяет исполь-
зовать их при работах в сложных и труднодоступных районах.
Идея приспособить вертикальный сейсмограф Голицына для
измерения приращения силы тяжести впервые была высказана
В. В. Нумеровой в 1935 г. Детальная разработка теории верти-
кального маятника была начата Л. Г. Шнирманом и продолжена
К. Е. Веселовым, П. И. Лукавчепко и др.
Идея вертикального сейсмографа Голицына состоит в следу-
ющем. На тонкой горизонтальной нити, являющейся осью враще-
ния, укреплен горизонтально расположенный рычаг с грузом на
конце (маятник). Маятник удерживается в горизонтальном поло-
жении силой натяжения главной пружины, нижний конец которой
прикреплен к маятнику, и силой закручивания осей подвеса
маятника. При изменении силы тяжести маятник с грузиком
на конце отклоняется от горизонтального положения, растягивая
главную пружину и закручивая нить подвеса до тех пор, пока
момент силы тяжести не будет уравновешен моментом главной
.пружины и моментом закручивания осей подвеса.
175
Рис. 7.8. Схема маятника Голицына.
При измерениях маятник
всегда приводится в горизон-
тальное положение введением
в систему дополнительного мо-
мента, компенсирующего изме-
нение момента силы тяжести и
являющегося, таким образом,
мерой приращения силы тяжес-
ти. Компенсирующий момент
может создаваться дополнитель-
ным растяжением или сжатием
главной пружины, закручива-
нием нити подвеса маятника
з
с помощью специальных
устройств либо непосредственным действием на маятник дополни-
тельных пружин. Для фиксации горизонтального (исходного)
положения маятника на нем устанавливается индекс. По пере-
мещению индекса можно судить об отклонении маятника от го-
ризонтальной плоскости. В частности, при оптическом (самом про-
стом) способе регистрации положения маятника изображение индек-
са рассматривают в микроскоп с большим увеличением и совмещают
его с одним из штрихов шкалы или сетки окуляра микроскопа.
Рассмотрим теорию вертикального сейсмографа Голицына как
чувствительной системы для измерения силы тяжести. Для этого
выведем уравнение равновесия системы, ее угловой чувствитель-
ности, оценим поведение системы при изменении температуры
и наклона.
Для вывода уравнения равновесия прямоугольную систему
координат расположим так, как показано на рис. 7.8. Начало
координат находится на оси вращения маятника, ось х проходит
через нижнюю точку крепления главной пружины в исходном
положении, ось у направлена вверх, ось z — вдоль нити подвеса
маятника. Предполагается, что вся система симметрична отно-
сительно плоскости хОу. Введем следующие обозначения: г —
расстояние от оси вращения маятника до нижней точки крепления
главной пружины; I — расстояние от оси вращения маятника до
его центра тяжести, при этом предполагается, что вся масса т
маятника сосредоточена в его центре тяжести; х, у и хг, — коор-
динаты верхней и нижней точек крепления главной пружины;
т и f — жесткость нити подвеса маятника и главной пружины;
d — плечо пружины; L и Lo —- полная и начальная длина пру-
жины; L — L„ --- AL — удлинение пружины; а — угол отклоне-
ния маятника от исходного положения; а0 — угол первоначаль-
ного закручивания нити подвеса маятника; |3 — угол отклонения
исходного положения маятника от горизонтальной плоскости,
т. е. наклон всего прибора.
За положительное направление отсчета углов примем направ-
ление против движения часовой стрелки. Отметим, что ось враще-
176
ния маятника горизонтальна.
Предполагается, что пружина и
нити работают в режиме закона
Гука, весточки крепления пру-
жин являются идеальными шар-
нирами, сами пружины неве-
сомы.
Если система находится в \
положении равновесия, то мо-
мент силы тяжести уравнове-
шивается суммой крутящего мо-
мента нити подвеса маятника и
момента главной пружины, т. е.
Mg = Л4Т -h Mf, (7.24)
где Мй = mgl cos (а + р) •—•
момент силы тяжести; Мх —
= т (а0 + а) — момент круче-
ния нити подвеса маятника;
х
М/ — fd AL — момент главной
пружины.
Полная длина пружины L
Рис. 7.9. Возможные способы располо-
жения главной пружины относительно
неподвижного маятника.
определяется расстоянием меж-
ду точками ее крепления с координатами (х, у) и (хъ у}), а плечо
пружины — расстоянием от оси вращения до линии оси пружины.
Тогда
AL = )Л(х - Л',)2 + (г/ — у,)1 - Lo-
Х1У~ У1Х
У(х~х^ у- (у- йЕ
(7.25)
(7.26)
Учитывая, что хх -= г cos а и yt — г sin а, и подставляя
выражения AL, d, лу и ух в формулу (7.24), получаем
mgl cos (а 4- Р) + г (а0 а) — fr (у cos а — х sin а) (1 — Lo/L) — О,
где.
(7-27)
L = |/ х2 -j- у2 -г г2 — 2г (х cos а у sin а).
Из уравнения (7.27) следует: если координатную систему
вместе с точками крепления главной пружины поворачивать
относительно оси вращения так, чтобы центр тяжести маятника
оставался неподвижным, то упругий момент системы изменяться
не будет. Таким образом, полученное уравнение равновесия
справедливо для любой системы маятника Голицына, независимо
от того, каким образом расположена главная пружина относи-
тельно горизонтальной плоскости (рис. 7.9).
177
Дифференцируя формулу (7.27) по g и а, находим уравнение
угловой чувствительности системы
= —ml cos (а + 0) Г т — mgl sin (а -ф 0) -ф
+ [г (у sin а -ф х cos а) 1--ф fr2 —(у cos а — х sin а)2 ] .
(7.28)
Поскольку за положительное направление отсчета углов при-
нято направление против часовой стрелки, то чувствительность
daldg имеет физический смысл, только когда она отрицательна,
т. е. всегда необходимо иметь знаменатель величиной положи-
тельной.
Рассмотрим влияние наклона гравиметра на его чувствитель-
ность. Поскольку сумма упругих моментов главной пружины
и нити подвеса маятника не зависит от наклона прибора, для крат-
кости обозначим ее в уравнении равновесия через Л1 (<х). Угол
наклона оси вращения маятника относительно горизонтальной
плоскости обозначим у. Уравнение равновесия принимает вид
mgl cos (а -ф 0) cos у -ф М (а) = 0. (7.29)
Введя для производной по а от упругого момента М (а) обо-
значение дМ («)/<?«, получим
— — —ml cos (а Р) cosy (а) ~ sin(“ 4~ Р) cos у j .
(7.30)
Если маятник гравиметра при измерениях приводится в исход-
ное положение, то а = 0. Когда исходное положение маятника
и ось вращения горизонтальны, 0 = у = 0 и чувствительность
(-у).“-4твг««Г-с.- <М‘>
Если гравиметр наклоняется только вдоль оси вращения
маятника, а сам маятник удерживается в исходном положении,
то а = 0 = 0 и чувствительность
_^ = C = C0cosY, (7.32)
т. е. изменение чувствительности системы при наклоне всего при-
бора вдоль оси вращения маятника незначительно.
Иначе меняется чувствительность при наклоне прибора вдоль
маятника (сс — у — 0). В этом случае
—/nZcOsp Г Л4(a) - mgl sin 0 = С. (7.33)
Из уравнений (7.31) и (7.33) найдем
C = Cocos0/(l + gCosin0). (7.34)
178
Дифференцируя уравнение (7.34)
по (3 и полагая (3 = 0, имеем
dC/dfi = — Cig. (7.35)
Из выражения (7.35) следует, что
изменение чувствительности при на-
клоне всего прибора вдоль маятника
пропорционально квадрату началь-
ной чувствительности, т. е. чувстви-
тельности при горизонтальном поло-
жении маятника и его оси вращения.
В зависимости от знака dfi чувстви-
тельность или возрастает (о!(3 >0),
или убывает ((7(3 < 0). Уравнение
зависимости изменения 'чувствитель-
ности от угла наклона прибора вдоль
маятника справедливо, если при на-
Ркс. 7.10. Зависимость чувстви-
тельности гравиметра от его на-
клоне гравиметра изменение его по- клона вдоль маятника,
казаний компенсируется, т. е. а=0.
Из уравнения (7.34) следует: если sin |3 — —\l(Ceg), то
dalcig = оо и система становится неустойчивой. Этот угол (3
можно назвать критическим. При нашем выборе направления
отсчета критический угол всегда положителен. Если прибор на-
клоняется так, что центр тяжести маятника поднимается выше
горизонта, чувствительность системы растет; при опускании
центра тяжести ниже горизонта чувствительность падает
(рис. 7.10).
При изменении силы тяжести или компенсирующей ее силы
маятник отклоняется от исходного положения. Рассмотрим про-
исходящее при этом изменение чувствительности. Положим в урав-
нениях равновесия (7.27) и чувствительности (7.28), что Lo — 0,
т = 0 и |3 = 0, т. е. главная пружина имеет нулевую начальную
длину, оси подвеса бесконечно тонки, исходное положение,
в которое приводится маятник, горизонтально. В этом случае
уравнения принимают вид
tngl cos ос == fr (у cos а — х sin а); (7.36)
da . ml cos а (7.37)
dg fr (у sin а х cos а) — tngl sin а
При а = 0 mgl => fry, 1 (da/dg)0 = —ml/(frx) = Co. | (7.38)
Из уравнений (7.36), (7.37) и (7.38) получим
-4— = — cos3 а — Со cos2 а. (7.39)
“s frx
179
Из этого выражения следует: если в системе с главной пружи-
ной нулевой длины и бесконечно тонкими нитями подвеса маятник
отклоняется от горизонтальной плоскости при изменении силы
тяжести или компенсирующей силы, то его чувствительность
изменяется пропорционально квадрату косинуса угла отклонения
и не зависит от направления наклона. В этом случае максималь-
ную чувствительность система имеет при горизонтальном положе-
нии маятника (а = 0). В любом положении в пределах —л/2 <
< а С +л/2 система имеет конечную чувствительность при усло-
вии, что в горизонтальном положении чувствительность конечна.
Физически это означает, что изменение производной по углу
от момента упругих сил компенсируется обратным по знаку и
почти равным по значению изменением производной от момента
силы тяжести.
Свойство упругих систем с пружинами нулевой длины мало
изменять чувствительность при отклонении маятника от исходного
положения, когда изменяется сила тяжести, является очень
важным и используется в ряде конструкций гравиметров. Физиче-
ский смысл пружины нулевой длины заключается в том, что в та-
кой пружине при отсутствии растягивающей силы концы пружины
совместились бы в одной точке, если бы соседние витки, опира-
ющиеся один на другой, не препятствовали этому.
Изготовление подобных пружин в настоящее время не пред-
ставляет затруднений. Для этого металлические пружины нави-
вают с предварительным натяжением, а затем к ним прикрепляют
нерастяжимые связки такой длины, чтобы при растяжении пру-
жина развивала силу F = fL. При изготовлении пружины нуле-
вой длины из кварца ее сначала навивают обычным образом,
а затем выворачивают, как чулок, и к ней приваривают кварцевые
стержни, равные длине пружины в ненагруженном состоянии.
Значительно большие технические трудности представляет изго-
товление осей подвеса маятника, имеющих малую жесткость.
В металлических гравиметрах применяют специальный способ
подвески маятника на оси вращения. В кварцевых гравиметрах
стараются сделать оси подвеса маятника как можно тоньше.
В случае, если жесткостью осей подвеса маятника пренебречь
нельзя, уравнение чувствительности упругой системы с пружиной
нулевой длины примет вид
da ml cos2 а
frx -p т cos a -J- т (a0 -p a) sin a
При изменении а чувствительность может стать бесконечно
большой, когда
frx + т cos a -j- т (a0 ~р a) sina = 0. (7.41)
При увеличении а слагаемое т cos а всегда повышает значение
чувствительности. Слагаемое т (а0 -р a) sin а характеризует часть
изменения момента силы тяжести, не уравновешенную главной
180
пружиной. Эта часть момента компенсируется силой закручива-
ния нити подвеса маятника. Слагаемое! (а0 + а) sin а может быть
или положительным, или отрицательным в зависимости от знака
угла а0. Если угол а0 положительный, т. е. крутящий момент
совпадает по направлению с моментом силы тяжести, то система
более чувствительна при отклонении маятника вниз. Если угол ап
отрицательный, т. е. крутящий момент совпадает по направлению
с моментом упругой силы главной пружины, то система более
чувствительна при отклонении маятника вверх.
Полагая в уравнении (7.40) углы а малыми, имеем
=------------. (7.42)
тоа 4“ та2 ~г т р frx
Из этого выражения следует, что при а0 = 0 любое отклоне-
ние маятника от горизонтального положения приводит к умень-
шению чувствительности, т. е. если система имеет конечную чув-
ствительность в горизонтальном положении, то она имеет конеч-
ную чувствительность и при отклонении маятника от горизонта.
При этом уменьшение чувствительности происходит тем быстрее,
чем больше жесткость оси подвеса маятника. Таким образом,
в системах с пружиной нулевой длины выгодно, чтобы начальный
угол закручивания нити подвеса был равным нулю.
Исследованием поведения чувствительности при изменении
силы тяжести и компенсирующей силы для пружин с ненулевой
начальной длиной при т = 0 было установлено следующее. Чув-
ствительность систем с пружиной положительной начальной длины
(£0 0) возрастает при уменьшении а, г. е. при наклоне маятника
ниже горизонтальной плоскости, и уменьшается при увеличении ос,
т. е. при наклоне маятника выше горизонта. Для систем с пружи-
ной отрицательной начальной длины (Lo < 0) чувствительность
возрастает при увеличении а (уменьшении силы тяжести). В обоих
случаях чувствительность становится бесконечно большой при
некотором значении угла а. Таким образом, начальная длина
главной пружины оказывает заметное влияние на свойства упру-
гой системы.
Из всех рассмотренных систем наибольшей устойчивостью
при изменении силы тяжести и компенсирующей силы обладает
система, главная пружина которой есть пружина нулевой длины.
Ее чувствительность при отклонениях маятника от исходного
горизонтального положения, связанных с изменением силы тя-
жести, практически не меняется, в то время как системы с положи-
тельной или отрицательной длиной главных пружин меняют свою
чувствительность (рис. 7.11). Начальная длина главной пружины
оказывает на чувствительность влияние, аналогичное влиянию
предварительного закручивания оси подвеса маятника: положи-
тельный угол закручивания действует на чувствительность так же,
как пружина положительной длины, отрицательный угол — как
пружина отрицательной длины.
181
Таким образом, предваритель-
ное закручивание оси подвеса
маятника и ненулевая начальная
длина пружины приводят к изме-
нению чувствительности системы
при изменении силы тяжести и
понижают ее устойчивость. Поэто-
му при использовании маятника
Голицына в качестве упругой си-
стемы гравиметра необходимо для
большей устойчивости брать глав-
ные пружины с нулевой длиной,
а также стремиться к тому, чтобы
угол предварительного закручива-
ния оси подвеса маятника был
близким к нулю. Упругая система
гравиметра, построенная по прин-
ципу маятника Голицына, является
наиболее целесообразной по срав-
нению с другими механическими
Рис 711 Изменение чувствитель-
ности гравиметра при отклонении
маятника горизонтального по-
ложения Для систем с Раз.,личной
начальной Длиной главной пру-
жины.
системами, в которых используются различные дополнительные
астазирую'щие устройства. Этим системам присущи недостатки
систем с начальной длиной главной пружины и начальным углом
закручивания нити подвеса маятника.
Казалось бы, влияние начальной длины пружины можно
скомпенсиРоваТЬ пРеДваРительиым закручиванием осей подвеса
маятника, например, применить пружины с отрицательной на-
чальной длиной, задать нитям подвеса положительный угол за-
кручивания и добиться таким образом хорошей устойчивости
системы при значительной толщине осей подвеса и ненулевой на-
чальной длине пружины. Однако такая взаимная компенсация
может быть осуществлена только в некоторых пределах, и полу-
чить устойчивую систему с высокой чувствительностью не удается.
Кроме того, введение взаимной компенсации вызывает дополни-
тельные деформации в главной пружине и осях подвеса, что ухуд-
шает механические свойства системы.
Из уравнений равновесия и чувствительности следует, что
показания гравиметра наиболее устойчивы, когда маятник го-
ризонтален. т. е. а = 0 и р = 0. Поэтому дальнейший анализ
этих уравнений будем проводить при условии, что маятник гори-
зонтален- Тогда, полагая в уравнениях (7.27) и (7.28) а = р = 0,
имеем
mgl -Гта0 = fry 1
(7.43)
_______Др________
V (х — г)2 + у2
— ml
dg
(7-44)
[K(x-r)2 + !/2P
182
При заданных параметрах системы и чувствительности решение
этих уравнений позволяет найти точку (х, у) крепления верхнего
конца главной пружины. Поскольку уравнения равновесия и
чувствительности есть уравнения соответственно четвертой и ше-
стой степени, то получить аналитическое выражение для х и у
невозможно. Решить эту систему можно только графическим
методом.
Исследуем решения системы для некоторых частных случаев.
Положим, что начальная длина пружины Lo = 0. Тогда уравне-
ния примут вид
mgl + та0 = fry,
da/dg — —tnl/(x + frx).
(7-45)
При горизонтальном положении маятника уравнение равнове-
сия в системе (7.45) есть уравнение прямой, параллельной оси х.
Это значит, что при перемещении верхней точки крепления пру-
жины по этой прямой равновесие системы не нарушается, но изме-
нение абииссы х сказывается на чувствительности. Перемещение
верхнего конца главной пружины в направлении, параллельном
оси у, без изменения х приводит к нарушению равновесия, но не
влияет па чувствительность системы. Таким образом, система
с пружиной нулевой длины обладает замечательным свойством:
ее чувствительность не зависит от координаты у, а положение
равновесия не зависит от координаты х. Это позволяет компенси-
ровать изменение силы тяжести дополнительным сжатием или
растяжением главной пружины. В большинстве систем грави-
метров с пружиной пулевой длины приращение силы тяжести
измеряют именно таким способом.
Точка пересечения кривых, представляющих собой решение
системы (7.45) и выражающих условия равновесия и чувствитель-
ности, дает положение верхнего конца главной пружины. Полагая
da/dg = со, находим х = —xl(fr), что определяет положение
точки крепления верхнего конца главной пружины, соответ-
ствующее бесконечно большой чувствительности. Полагая т = 0,
получаем
da/dg ——ml/(frx). (7.46)
В этом случае бесконечно большая чувствительность системы
наступает при х — 0. Уравнение равновесия в этом случае при-
нимает вид
У = mgUtfr).
(7.47)
Полагая в уравнении (7.46) da/dg — С — const и учитывая
уравнение (7.47), имеем
y=—Cgx, (7.48)
183
Это выражение есть уравнение прямой, проходящей через
начало координат. Когда т =±- 0, но а0 = 0, уравнение принимает
вид
У = -С§[х4-т/(/г)], (7.49)
т. е. в этом случае прямая изочувствительности проходит через
точку х — —x/(fr).
При возрастании чувствительности прямая (7.48) приближается
к оси у, а прямая (7.49) к линии —xl(fr) (рис. 7.12).
Из уравнений (7.48) и (7.49) следует, что ощутимая жесткость
оси подвеса при одном и том же значении х снижает чувстви-
тельность системы и для поддержания чувствительности на том же
уровне необходима дополнительная деформация главной пружины.
В случае, когда начальная длина главной пружины отлична
от нуля, Л. Г. Шнирман предложил для анализа поведения систем
использовать графический метод. Можно представить, что каждая
пружина конечной начальной длины состоит из двух частей:
из пружины нулевой длины, имеющей ту же жесткость, что и пру-
жина конечной длины, и жесткого нерастяжимого стержня с дли-
ной, равной первоначальной длине пружины. Условие равновесия
для фиктивной пружины с нулевой длиной выражается первым
уравнением системы (7.45): при перемещении верхнего конца
пружины вдоль прямой, параллельной оси х, равновесие не на-
рушается. При этом перемещении верхний конец стержня описы-
вает некоторую кривую, симметричную относительно прямой
х — г. Если Lo >0, эта кривая располагается выше прямой
Lo = 0 и выпуклостью вверх, а при Lo < 0 — ниже прямой
Ln = 0 и выпуклостью вниз (рис. 7.13). Для пружин сжатия
(Lo О L) кривые образуют петли под осью х.
Чтобы исследовать зависимость чувствительности от координат
точки крепления верхнего конца пружины, перепишем уравнение
чувствительности (7.44) в ином виде:
£)]J. (7'И)
где L1 — У(х — г)2 Ду3 — длина пружины при горизонтальном
положении маятника.
184
Используя уравнения (7.43) и (7.45), исключаем Lx из урав-
нения чувствительности:
.„/Г, I f..„ Уо I Л2 (У~ У»)3 I’1 /7 КМ
гЛх_+__--------__j , (7.51)
где уп— ордината крепления верхнего конца главной пружины,
если она имеет нулевую длину.
Далее, исключая из уравнения Lo и перенося начало координат
в точку крепления нижнего конца’главной пружины, т. е. полагая
х = X + г, при т = 0 имеем
[ml (da/dg) '+[г2]уя
+ /ЛАД(ХЫ)-0.
(7-52)
Это уравнение дает
связь координат верхней
точки крепления главной
пружины с ее угловой
чувствительностью. Меняя
значение da/dg, получаем
семейство кривых изочув-
ствительности. Нарис.7.14
приведены кривые изочув-
ствительпости для различ-
ных значений da/dg, а так-
же кривые возможного
перемещения верхней точ-
ки крепления главной
пружины без изменения
чувствительности для пру-
жин различной начальной
длины (кривые равнове-
Рис. 7.13. Кривые равновесия
упругой системы гравиметра для
пружин с различной начальной
длиной.
I- Ьу0Хуг ml (da/dg) 1 Х2у
Рис. 7.14. Кривые изочувствительности и рав-
новесия для пружин с различной начальной
длиной.
185
сия). Точки пересечения кривых изочувствительности и кривых
равновесия определяют положение верхней точки крепления глав-
ной пружины для системы с заданными параметрами /, г, ml,
Lo, da/dg. Все кривые изочувствительности пересекают ось х в
точках 0 и х — г.
Из уравнения (7.51) следует, что наличие жесткости т нити
подвеса смещает всю кривую изочувствительности влево на рас-
стояние TZ//(/77/0).
Полагая в уравнении (7.52) X — 0, т. е. х = г, получаем
du/dg^.— mlHfr*). (7.53)
Это уравнение показывает, что чувствительность системы
постоянна и изменение угла а пропорционально изменению силы
тяжести, т. е. система стала неастазированной. Линия изочув-
ствительпости неастазированной системы параллельна оси у
и только вблизи оси х образует петлю, симметричную относительно
оси абсцисс. Эта линия делит остальные кривые изочувствитель-
ности на две группы. Первая группа располагается слева от нее
в верхней полуплоскости и справа в нижней полуплоскости.
Чем дальше кривая этой группы отстоит от линии изочувствитель-
ности неастазированной системы, тем больше чувствительность.
Левая крайняя кривая соответствует бесконечно большой чув-
ствительности и служит границей, разделяющей области устой-
чивого и неустойчивого равновесия. Вторая группа кривых рас-
полагается справа от линии изочувствительности неастазирован-
ной системы в верхней полуплоскости и слева от нее в нижней
полуплоскости. В этой группе по мере удаления от делящей кри-
вой чувствительность уменьшается.
Таким образом, кривая изочувствительности неастазирован-
ной системы делит всю плоскость на две части, в одной из которых
чувствительность системы может быть только больше, чем чув-
ствительность неастазированной системы, в другой — только
меньше. Между линией чувствительности, соответствующей не-
астазированной системе, и линией чувствительности, для которой
da!dg — оо, располагается область чувствительности, большей,
чем чувствительность неастазированной системы, но практически
с той же самой полной деформацией главной пружины. Каждую
кривую изочувствительности делит на две части линия равнове-
сия, для которой Lo = 0. Отрезки кривых изочувствительности,
расположенные выше прямой Lo = 0, соответствуют главным
пружинам с положительной начальной длиной, а отрезки кривых,
лежащие ниже этой прямой, — пружинам с отрицательной на-
чальной длиной. Точки пересечения линий йзочувствительностн
с прямой Lo = 0 соответствуют системам с пружинами нулевой
начальной длины.
Свойство упругой системы изменять свою чувствительность
при перемещении верхней точки подвеса главной пружины ис-
пользуют при регулировке прибора и работе с ним. Действительно,
186
при оптическом способе регистрации горизонтального положения
маятника возможно перемещать начало отсчета, которое фикси-
рует это положение. Если при этом с помощью нивелировочных
винтов гравиметр отрегулировать на минимум чувствительности
к наклону, то изменение начала отсчета эквивалентно перемеще-
нию точки крепления главной пружины по дуге окружности ра-
диусом К х2 + у2. Из рис. 7.13 следует,-что при наклоне грави-
метра по часовой стрелке чувствительность системы уменьшается,
при наклоне против часовой стрелки увеличивается.
Таким образом, рассмотрев чувствительность системы грави-
метра, построенной по принципу вертикального сейсмографа
Голицына, можем сделать следующие основные выводы.
При наклоне гравиметра изменяются его показания и чувстви-
тельность. При этом изменение чувствительности пропорционально
квадрату начальной чувствительности и не зависит от параметров
системы. При наклоне маятника выше горизонта чувствительность
системы возрастает, при наклоне ниже горизонта уменьшается.
Переход маятника упругой системы под действием приращения
силы тяжести или компенсирующей силы в другое положение
приводит к изменению чувствительности. Это изменение мини-
мально в упругой системе с главной пружиной нулевой длины
и малой жесткостью оси подвеса маятника. В случае, когда длина
главной пружины и жесткость оси подвеса маятника равны нулю,
конечная чувствительность системы при горизонтальном положе-
нии маятника остается конечной при любом его положении.
Системы, у которых главные пружины имеют положительную
или отрицательную длину, а ось подвеса маятника — высокую
жесткость и большие предварительные углы закручивания, обла-
дают повышенной реакцией чувствительности на изменения силы
тяжести. В каждой такой системе существует положение маятника,
при котором его чувствительность бесконечно велика. Максималь-
ной устойчивостью обладают системы с главной пружиной нуле-
вой длины и малой жесткостью оси подвеса маятника. Устойчи-
вость систем с пружинами, длина которых отлична от нуля,
можно повысить, закручивая ось подвеса маятника, что компен-
сирует наличие начальной длины пружины. Вместе с тем повыше-
ние устойчивости таким способом вызывает дополнительные де-
формации упругих элементов системы, что нежелательно.
Наклон упругой системы (всего прибора) с одновременным при-
ведением маятника в горизонтальную плоскость при помощи
измерительного или диапазонного устройства изменяет чувстви-
тельность системы. Если верхняя точка крепления главной пру-
жины наклоняется в сторону маятника, чувствительность системы
уменьшается; при наклоне в сторону, противоположную маятнику,
чувствительность системы возрастает. При этом изменение чув-
ствительности тем сильнее, чем больше начальная длина главной
пружины.
187
При горизонтальном положении маятника чувствительность
системы в общем случае тем больше, чем меньше абсцисса точки
крепления верхнего конца главной пружины, и наоборот. Крити-
ческое значение абсциссы, при котором чувствительность системы
становится бесконечно большой, а также характер зависимости
чувствительности от координат верхней точки крепления главной
пружины определяются начальной длиной пружины, жесткостью
и начальным углом закручивания осн подвеса маятника. Наиболее
простая зависимость чувствительности от координат верхней
точки крепления главной пружины существует у систем с пружи-
нами нулевой длины. В этом случае кривые изочувствительности
и равновесия представляют собой прямые линии. Для пружин
с ненулевой начальной длиной кривые изочувствительности и рав-
новесия выражаются соответственно уравнениями шестого и чет-
вертого порядка.
Из всего изложенного следует, что системы с главными пружи-
нами нулевой длины обладают несомненными преимуществами
перед системами с главными пружинами конечной длины, отли-
чаясь большей устойчивостью, малой реакцией чувствительности
на изменения силы тяжести. В большинстве современных грави-
метров, построенных по принципу вертикального сейсмографа
Голицына, упругим элементом чувствительной системы служит
пружина нулевой длины.
Поскольку чувствительность системы к изменениям силы
тяжести меняется нелинейно, измерять приращение силы тяжести
углом отклонения маятника от горизонта, т. е. перемещением
по отсчетной шкале индекса, связанного с маятником, нельзя.
Приходится применять компенсационный метод.
В системах с пружиной нулевой длины приращения силы
тяжести компенсируются дополнительным ее растяжением или
сжатием, что достигается перемещением верхнего конца пружины.
Из уравнения равновесия (7.45) при а = 0 следует
dg/g = dy/y. (7.54)
При перемещении верхнего конца главной пружины по пря-
мой, параллельной оси у, чувствительность системы не изме-
няется, а приращение силы тяжести компенсируется приращением
длины пружины. При этом существует линейная связь между
смещением Аг/ верхнего конца главной пружины и приращением
Ag'. Чтобы осуществлять перемещение верхней точки крепления
главной пружины, применяют различные схемы измерительных
устройств, преобразующих движение микровинта в смещение
этой точки.
В кварцевых гравиметрах («Атлас», «Шарп», ВИРГ-61, «Уор-
ден») используется следующая конструкция измерительного уст-
ройства (рис. 7.15). Ось О' измерительной системы, расположен-
ная на перпендикуляре к оси у, проходящем через верхнюю точку
крепления главной пружины 3, закручивается под действием
188
натяжения измерительной пружи-
ны 1. Верхний конец главной пру-
жины приварен к тяге 2. Если рас-
стояние от верхней точки крепления
главной пружины до оси О' обо-
значить через Ь, то при изменении
угла закручивания измерительной
оси на dB ордината у изменится на
dy = bde. При большой жесткости
измерительной системы можно пре-
небречь весом деталей чувствитель-
Рис. 7.15. Схема измерительной
системы гравиметра.
ной системы и уравнение равновесия измерительной системы
примет вид
ти de — fud„ dLH,
где ти -— жесткость оси измерительной системы; /„ — жесткость,
с/„ — плечо, dL„ — удлинение измерительной пружины.
Тогда
dg = |/л/,/„Л/(т„/н/)| dE„. (7.55)
Эта формула позволяет рассчитать измерительную систему.
При малых углах df) и надлежащем выборе положения нижнего
шарнира измерительной пружины можно считать плечо du по-
стоянным, в этом случае получаем линейную шкалу отсчетного
устройства. Очевидно, что степень линейности шкалы тем выше,
чем меньше dO. При постоянном же значении dO наилучшая ли-
нейность шкалы достигается в случае, когда плечо измеритель-
ной пружины проходит через ее нижний шарнир.
В гравиметрах с металлическими пружинами конструкции
измерительных устройств весьма разнообразны, по принцип
сохраняется тот же.
Измерительные устройства, перемещающие верхнюю точку
крепления главной пружины, применяют только в гравиметрах,
где эта пружина имеет нулевую длину, так как только в этом слу-
чае существует линейная связь между приращением Ag и смеще-
нием А у верхнего конца главной пружины. В гравиметрах, глав-
ная пружина которых имеет ненулевую длину, компенсацию
изменений силы тяжести осуществляют закручиванием нитей
подвеса маятника с помощью измерительного устройства. Такой
способ применен в отечественных кварцевых гравиметрах типа
ГАК; естественно, что его можно использовать и в системах с ну-
левой длиной главной пружины.
Принцип конструкции этого измерительного устройства со-
стоит в следующем. Соосно с осью вращения маятника располо-
жена измерительная рамка, подвешенная на нитях. Изменяя силы
натяжения измерительной и диапазонной пружин, измерительную
рамку можно вращать. Поскольку при измерениях маятник всегда
приводится в горизонтальное положение, то при изменении угла
189
поворота измерительной рамки на dtp начальный угол закручива-
ния нитей подвеса маятника изменится на da(>. При этом значение
da0 должно равняться углу поворота измерительной рамки, взя-
тому с обратным знаком:
da0 == —d(p.
Пренебрегая весом измерительной рамки, а также учитывая,
что жесткость нитей подвеса измерительной рамки тн т, можем
написать условие равновесия измерительной системы:
М'Т— f«dadLa. (7.56)
Из уравнения равновесия системы (7.43) найдем связь между
изменением угла начального закручивания оси маятника и прира-
щением силы тяжести:
da0 — —(ml/т) dg. (7.57)
Тогда из уравнений (7.56) и (7.57) имеем
dg = 1А,4т/(тит/)] dL„. (7.58)
Поскольку измерительные пружины растягивают с помощью
измерительных микровинтов, то удлинение пружин dL.A в форму-
лах (7.55) и (7.58) можно выразить в оборотах микровинта:
dLn = s Ап,
где s — шаг винта; Ага — число оборотов винта.
Тогда формулы (7.55) и (7.58) примут вид
Ag — с Ага,
где с—цена деления гравиметра.
Для формулы (7.55)
с = bd.J ufr/(rnml)‘
для формулы (7.58)
[Ат 1(хит1).
Рассмотрим влияние температуры на показания гравиметра.
В первом приближении положим, что при изменении температуры
параметры упругой системы изменяются по следующему закону:
а = йо (1 Ч-[V 4~ iM2), (7.59)
где а — параметр упругой системы (длина, упругость пружины
и т. д.); рз — температурные коэффициенты параметра; I
температура, отсчитываемая от некоторой температуры 10, приня-
той за исходную.
Введем обозначения: и а2 — коэффициенты линейного
расширения материала пружины и рычага; у2 — термоэласти-
ческие коэффициенты первого рода материала пружины.
190
Имеем
gM = gtnl = gM0 (1 + aj + a./2);
IV == fd A.L = IVO (1 a^t -f- a2^s)s (1 4~ Yi^ + Тз^)>
(7.60)
где gM0 — mgl0 и Wo — f0d0/\L — моменты силы тяжести и упру-
гой силы при температуре t — t0.
Из уравнения (7.60) находим
g = (Г„М40) (1 + ait + a/)2 (1 + V1f + у./),
или с точностью до малых первого порядка
g — ССЖ) [1 + (Vi -I 2«i) t + (уа 4- 2аа) б2].
Температурный коэффициент гравиметра
dg/d/=g[Yi4-2a14-2(y24-2a.,)z'|. (7.61)
Зависимость показаний гравиметра от температуры нели-
нейна; для достижения полной температурной компенсации си-
стемы необходимо, чтобы температурный компенсатор работал
также в нелинейном режиме. Температурную компенсацию упру-
гой системы можно осуществить, создав дополнительный момент,
уравновешивающий кажущееся изменение силы тяжести, вызван-
ное изменением температуры. В системах с главными пружинами
нулевой длины термокомпенсационное устройство должно пере-
мещать верхнюю точку подвеса этой пружины по прямой, парал-
лельной оси у. В системах, использующих пружины конечной
длины, отличной от нуля, термокомпенсацию можно осуществить,
изменив угол а.о начального закручивания осей подвеса маятника.
Определим величины dy и da, соответствующие полной темпе-
ратурной компенсации системы.
Учитывая уравнения (7.54) и (7.61), можно написать
2/ = ["W(A/o)]ll ~(Yi I" aiK - (Y-j + оф2!. (7-62)
тогда
dy = — У [Yi + ai + 2 (Ya 4- “а) 4 (7.63)
так как
da0 = —• (m//x) dg,
то
da0 = — (mgl/т) [ух 4- 2aj 4~ 2 (y2 4- 2aa) /] dt. (7.64)
Температурный компенсатор можно построить таким образом,
чтобы при изменении температуры он смещал верхнюю точку креп-
191
ления главной пружины нулевой длины или закручивал нити
подвеса маятника на
dp = р (ех 4- 2e2l)dt, (7.65)
где р — геометрический параметр компенсатора, определяемый
его конструкцией и размерами; ех и е2 — эффективные температур-
ные коэффициенты параметра р.
Тогда для полной температурной компенсации необходимо,
чтобы
dp = ~-dy и dp —da,„
т. е.
( У (Vi + “1) = Pei>
I //(т2 + аг) =ре2;
j (mgl/r) (71 + 2ах) = pep,
I (mgZ/т) (уа + 2а2) = ре2
или
(Vi + 2®1)/(7з + 2аг) = Б1/Ег- (7-66)
Из уравнения (7.66) следует, что полная температурная ком-
пенсация возможна только при определенном соотношении ej/s2,
т. е. при соответствующем подборе материалов, которые имеют
температурные характеристики, удовлетворяющие этому урав-
нению. Практически не существует материалов, полностью удо-
влетворяющих уравнению (7.66). Например, для кварца
—700, для большинства металлов отношение ех/е3 имеет поло-
жительный знак и колеблется в пределах 1500—10 000. Поэтому,
применяя термокомпенсатор из этих материалов, можно убрагь
только линейную часть изменений показаний гравиметра, завися-
щих от температуры; полная температурная компенсация про-
изойдет только при одной температуре t0. При других температу-
рах гравиметр имеет остаточный температурный коэффициент,
изменяющийся по квадратичной параболе.
Очевидно, что для полной температурной компенсации необ-
ходимо, чтобы параметр р компенсатора был представлен суммой
не менее чем двух членов следующего вида:
р (1 + Ejt 4- М2) = 9(1 4- ~Г и(1 + + м2), (7.67)
где q и п — параметры компенсатора, определяемые его кон-
струкцией; оц, <т2 и A.J, Х2 — эффективные температурные коэф-
фициенты параметров q и п.
В этом случае
dp = [q (oj 4- 2о2/) 4- п (Xj 4- 2А2/)] dl\
I '/(7i + «i) = ^i + пХх;
I ^(7г4-«2) = рта4-пЬг,
192
Рис. 7.16. Схема температурного
компенсатора гравиметра ГАК-ЗМ.
и Va —0.15-10-° i/°C2.
откуда получаем условие полной
температурной компенсации:
(Vi -г + к2) =
= (qa1 + ф- пА2). (7.68)
Приведенные принципы темпе-
ратурной компенсации упругих
систем применяют, как правило,
в кварцевых гравиметрах, посколь-
ку кварц имеет весьма большой
термоэластический коэффициент
модуля упругости, зависящий от
температуры: yt ла +120-10-6 1/°С
В качестве примера температурного компенсатора, снимающего
линейную часть температурной зависимости упругой системы,
рассмотрим компенсатор гравиметра ГАК-ЗМ (рис. 7.16).
При изменении температуры металлическая нить АВ повора-
чивает рычаг СВ, который через тонкую нить CD вращает рамку OD
температурного компенсатора, расположенную соосно с измери-
тельной рамкой. Следствием поворота рамки компенсатора яв-
ляется поворот измерительной рамки и закручивание осей под-
веса маятника. Если жесткость измерительной и диапазонной
пружин мала по сравнению с жесткостью нитей подвеса компен-
сационной рамки, то углы поворота рамки температурного ком-
пенсатора и измерительной рамки практически одинаковы. Так
как маятник всегда приводят в одно и то же положение, то угол
закручивания его оси подвеса равен углу поворота термокомпен-
сационной рамки: da9 = df). Найдем связь между изменением
длины р металлической нити и углом поворота термокомпенса-
ционной рамки.
Из треугольника АВОа, полагая /. OtBA = я/2, находим
dtp — dp! с,
где dp — изменение длины нити АВ в зависимости от температуры.
Но
Р = Ро(1 + + е2^)>
откуда
следовательно,
dp = р0 (ех ф-2е2£) dt,
d<p ~-= (р0/с) (ty -|- 2е./) dt.
(7.69)
Здесь г, и е2 — коэффициенты линейного расширения мате-
риала нити. Полагая в четырехугольнике 0DC0A углы рх и р2
равными л/2, согласно теореме косинусов можно написать
d2 — е2 — ad. cos 6 — bd cos ср = 0,
7 В. С. Миронов
193
откуда
dB/Ар = — (6,’а) (sin ф/sin 0)
или
df) = —(b/a) dtp,
так как ср + 0 = л.
Подставляя значение dtp из формулы (7.69), имеем
rf0 = -^(Ex + 2f^H-
И тогда условие полной температурной компенсации
IVx + 2«i + 2 (у2 -(- 2а2) П (8х + 2е^’
ИЛИ
2а,) =
А7 о
ИЛИ
(Yi + 2а1)/(у8 + 2а3) = е1/е2. (7.70)
Температурная компенсация системы может быть осуществлена
полностью только для какой-то одной температуры; при других
температурах гравиметр имеет температурный коэффициент.
Для кварцевых гравиметров предложено много различных
схем термокомпенсаторов, работающих согласно уравнению
(7.67). Все конструкции термокомпенсирующих устройств могут
быть разделены на две группы. К первой относятся термокомпен-
саторы, в которых составляющие q и п геометрического параметра р
в зависимости от температуры изменяют свои характеристики не-
линейно, в полном соответствии с уравнением (7.67). Ко второй
группе относятся компенсаторы, у которых одна из составляющих
(например, q) геометрического параметра работает в линейном
режиме при изменении температуры, в то время как другая со-
ставляющая (в нашем случае /г) является нелинейной связью
между линейным температурным компенсатором и упругой систе-
мой гравиметра. В результате этого суммарное действие геометри-
ческого параметра р компенсатора также отвечает уравнению
(7.67).
В качестве примера температурного компенсатора первой
группы можно привести компенсатор, используемый в кварцевых
гравиметрах «Уорден», «Атлас», «Шарп», ВИРГ-61 (рис. 7.17).
Гибкий металлический стержень ОВ жестко закреплен в точке О
и шарнирно соединен с кварцевой тягой АВ в точке В, которая
является точкой крепления верхнего конца главной! пружины.
194

Рис. 7.17. Схема нелинейного темпера- Рис. 7.18. Схема нелинейного темпера*
турного компенсатора. турного компенсатора гравиметра
ГАК-7Т.
Тяга АВ может вращаться на нитях, проходящих через точку А.
Вследствие разницы коэффициентов линейного расширения ме-
талла и кварца при изменении температуры изменяется угол <р
и точка В перемещается по дуге. Можно показать, что такой
компенсатор работает в соответствии с формулой (7.66), т. е.
компенсируется только линейная часть температурной харак-
теристики.
Чтобы в этой системе геометрический параметр зависел от
температуры нелинейно, оси подвеса тяги АВ делают достаточно
жесткими и предварительно закручивают. В этом случае металли-
ческий стержень приобретает некоторый прогиб. Теперь при из-
менении температуры изменяются не только линейные размеры
температурного компенсатора, но и упругие силы в стержне ОВ
н в нитях подвеса. Перемещение точки В по дуге определяется
размерами компенсатора и амплитудой предварительного прогиба
металлического стержня, т. е. компенсатор работает согласно
уравнению (7.67).
В кварцевых гравиметрах типа ГАК применяют компенсаторы
второй группы, т. е. имеющие нелинейную связь, преобразу-
ющую линейные изменения длины металлической нити (термо-
компенсатор ГАК.-ЗМ) в нелинейные изменения угла закручива-
ния нитей подвеса маятника. Было предложено и осуществлено
несколько схем таких термокомпенсаторов.
В гравиметрах ГАК-7Т используется принцип нелинейной
связи между подвижной рамкой и рычагом линейного темпера-
турного компенсатора (рис. 7.18). Металлическая нить 1 в зави-
симости от температуры изменяет свою длину, что приводит
к повороту рычага 2, который через прогнутую с помощью пру-
жины 3 нить 4 поворачивает подвижную рамку 5 температурного
компенсатора. Кроме того, с поворотом рычага 2 распрямляется
нить 4, поэтому угол поворота рамки меньше, чем при прямой
нити 4. Чем больше прогнутость нити, тем, очевидно, больше ее
распрямление при повороте рычага и тем больше отношение угла
поворота рычага к углу поворота подвижной рамки. При измене-
нии температуры меняется прогиб нити, а следовательно, и отно-
7* 193
шенне углов, т. е. связь между углами поворота рычага и подвиж-
ной рамки нелинейная. Дальше компенсирующий момент пере-
дается обычным путем: подвижная рамка компенсатора повора-
чивает измерительную рамку, которая и закручивает оси подвеса
маятника.
Из приведенных примеров следует, что температурная компен-
сация систем, построенных по принципу вертикального сейсмо-
графа Голицына, возможна как теоретически, так и практически.
При этом может быть осуществлена компенсация не только линей-
ной, но и нелинейной части температурной характеристики.
Вместе с тем, как уже отмечалось, при резких изменениях тем-
пературы полная температурная компенсация не обеспечивается.
Для результативной работы термокомпенсаторов необходимо,
чтобы все части гравиметра воспринимали изменение температуры
одновременно, что может быть только при хорошей теплоизоля-
ции упругой системы.
Кварцевые астазированные гравиметры, построенные по прин-
ципу вертикального сейсмографа Голицына, в настоящее время
являются наиболее широко распространенными приборами при
гравиметрических исследованиях. Все эти приборы имеют одни
и те же рабочие узлы и различаются в основном только конструк-
цией этих узлов. Упругую систему кварцевых гравиметров изго-
товляют целиком из плавленого кварца, за исключением плати-
нового грузика на конце рычага и металлической нити темпера-
турного компенсатора.
Кварцевая упругая система заключена в металлический кор-
пус, обеспечивающий герметизацию системы. Этот корпус помещен
в сосуд Дьюара, который в свою очередь вставлен в теплоизоли-
рующий контейнер, представляющий собой легкий металлический
цилиндр с нивелировочными винтами, на дне и стенках которого
проложен слой теплоизолирующего материала. В корпусе гра-
виметра монтируются осветитель, микроскоп регистрирующей
системы и измерительное микрометрическое устройство. Наруж-
ный контейнер, в котором прибор транспортируется, обеспечивает
необходимую теплоизоляцию и предохраняет гравиметр от рез-
ких толчков и ударов. Все кварцевые гравиметры имеют довольно
сложные системы температурной компенсации.
Первый отечественный кварцевый астазированный гравиметр
ГАК-ЗМ был создан в 1953 г. К- Е. Веселовым во ВНИИГеофизике.
В дальнейшем на его основе были разработаны гравиметры типа
ГАК: ГАК-ПТ, -ПТМ, -7Н, -7Т, -7Ш, ГНУ-KI, -К2, «Дельта-2».
Эти гравиметры являются малогабаритными бестермостатными
приборами, обеспечивающими достаточно высокую точность на-
блюдений: в зависимости от применяемой методики и типа при-
бора средняя квадратическая погрешность наблюдений составляет
(0,03-0,08) ДО-5 м/с2.
Гравиметр ГАК-7Т (согласно ГОСТ 13017—73 этот прибор называется
ГНУ-К2, т. е. гравиметр наземный узкодиапазонный кварцевый второго класса
196
Рис. 7.19. Схема упругой системы гравиметра ГАК-7Т.
точности) является типичным представителем перечисленной группы приборов.
Рассмотрим принципиальную схему его упругой системы (рис. 7.19).
Горизонтально расположенный маятник 13 с платиновым грузиком на
конце удерживается в равновесии силой упругости главной пружины 18 отри-
цательной длины, диапазонной пружины 2 и силой закручивания нити подвеса 21
маятника. Главная пружина верхним концом прикреплена неподвижно к основ-
ной раме 3 системы, нижним — к отростку 19 маятника. Нижний конец диапазон-
ной пружины 2 также прикреплен к отростку 20 маятника, а верхний — к диа-
пазонному микровинту 1.
Измерительная система гравиметра имеет рамку 17, вращающуюся на нитях.
К этой рамке прикреплены оси подвеса маятника. Измерительная рамка имеет
стержень 16, к которому приварен нижний конец измерительной пружины 4,
верхний ее конец соединен с измерительным микровинтом 5. Силу тяжести из-
меряют компенсационным способом, дополнительно закручивая оси подвеса
маятника. При изменении силы тяжести маятник отклоняется от горизонталь-
ного положения на некоторый угол. Вращением микрометрического винта 5
изменяют натяжение измерительной пружины 4 и тем самым поворачивают из-
мерительную рамку 17, которая в свою очередь изменяет угол закручивания
нитей подвеса 21 маятника, приводя его в исходное положение. Мерой прира-
щения силы тяжести являются обороты счетчика микрометрического устройства.
Диапазон измерительного устройства (604-150)-10“6 м/с2. Перестраивают диа-
пазон измерений, изменяя натяжение диапазонной пружины 2.
Регистрация положения маятника оптическая. На конце маятника установ-
лен тонкий кварцевый стерженек (индекс) 11, расположенный между призмами 10
и 12. Изображение индекса рассматривают в микроскоп 9. В фокальной пло-
скости окуляра 8 микроскопа имеется шкала 7, позволяющая качественно
судить о характере изменения силы тяжести.
197
Рис. 7.20. Общий вид
гравиметра ГАК-7Т.
В устройство для температурной компенсации
входит металлическая нить 6', ее верхний конец при-
креплен к основной раме системы, а нижний к рыча-
гу 15, который может вращаться на нитях 14. Второй
конец этого рычага соединен тонкой кварцевой нитью
22 с подвижной рамкой 23 температурного компенса-
тора. Нить 22 изогнута и оттягивается пружинкой 24.
Нити подвеса измерительной рамки, рамки температур-
ного компенсатора и маятника расположены соосно.
При изменении температуры металлическая нить 6 по-
ворачивает рычаг 15, который, находясь все время
под действием силы закручивания нитей подвеса,
натягивает или отпускает изогнутую кварцевую нить
22, поворачивая рамку 23, и тем самым закручивает
нити подвеса маятника, возвращая его в исходное
положение. Благодаря прогнутости нити связь углов
поворота рычага и рамки нелинейная, что обеспе-
чивает температурную компенсацию линейной и не-
линейной частей температурной характеристики си-
стемы.
Гравиметр ГАК-7Т (рис. 7.20) состоит из собствен-
но гравиметра и внешнего теплоизолирующего контей-
нера. Собственно гравиметр, или средняя часть
(рис. 7.21), включает корпус кварцевой системы, теп-
лозащитный столб и верхнюю панель.
Цилиндрический корпус 11 кварцевой системы имеет на боковой поверх-
ности резьбу. На нее навинчивается стопорное кольцо 7, прижимающее защит-
ный стакан 5 к надетой на корпус резиновой прокладке 8, обеспечивая гермети-
зацию кварцевой системы. Для увеличения теплоемкости корпуса на защитный
стакан сверху надевается еще один стакан 6. Корпус системы имеет четыре от-
верстия: два для оптической системы, по одному для измерительного и диапазон-
ного устройств. На нижней поверхности корпуса вделаны стойка 26 для крепле-
ния кварцевой системы, три стойки 24 для защиты системы при вскрытии и
сборке, держатели объектива 22 микроскопа и призм 23, 25 осветителя. Гермети-
зация осветителя и микроскопа осуществляется при помощи резиновых колец
и плоскопараллельных круглых стекол. В боковую поверхность корпуса ввин-
чен вакуумный кран.
Теплозащитный столб служит пробкой, закрывающей сверху сосуд Дьюара
в теплоизолирующем контейнере, и представляет собой текстолитовый полый
цилиндр 18, нижний конец которого крепится к корпусу кварцевой системы,
а верхний — к панели 1. Внутри цилиндра расположены трубки осветителя,
микроскопа, диапазонного и измерительного устройств. Пространство между
трубками и стенками цилиндра заполнено теплоизолирующим материалом.
Верхняя панель выполнена в виде диска из текстолита. На ней размещены
отсчетное устройство 20 измерительной системы, держатель 21 окуляра микро-
скопа 28, осветитель 27, продольный 19 и поперечный уровни.
Измерительное устройство имеет микрометрическую гайку 16, ввинченную
в корпус кварцевой системы; в эту гайку в свою очередь ввинчен микрометриче-
ский винт 15. При вращении микрометрического винта его поступательное дви-
жение через шарик 14 передается движущемуся во втулке 10 измерительного
устройства штоку 13, к которому прикреплен верхний конец измерительной
пружины. Чтобы исключить люфт, на втулку надета люфтовыбирающая пру-
жина 12, верхний конец которой упирается в головку штока. Для герметизации
подвижного сочленения измерительной системы использован сильфон 9, ниж-
ний конец которого скреплен с подвижным штоком, верхний — с корпусом квар-
цевой системы. Микрометрический винт стержнем 17 соединен с отсчетным уст-
ройством 20, представляющим собой лимб с нониусом.
В диапазонном устройстве подвижный шток 4 перемещается поступательно
при вращении гаек 2 и 3\ одна из них опускает шток при завинчивании, другая
поднимает его. После регулировки диапазона измерений гайки плотно закреп-
198
Рис. 7.21. Разрез средней части гравиметра ГАК-7Т.
ляют шток. Поворачивают гайки специальными диапазонными ключами через
отверстие в верхней панели гравиметра.
Гравиметр ГАК-7Ш (согласно ГОСТ 13017—73 его номенклатура ГНШ-К,
т. е. гравиметр наземный широкодиапазонный кварцевый) является прибором
геодезического типа. В отличие от гравиметра ГАК-7Т он имеет два измери-
тельных микрометрических устройства: обычное, позволяющее измерять прира-
щения силы тяжести в диапазоне (804-100) 10“5 м/с2 с погрешностью до 0,06 X
X 10’6 м/с2, и диапазонное, позволяющее измерять приращения (10004-1500) X
X 10-5 м/с2 с погрешностью (0,24-0,3)• 10"5 м/с2. Для этого к измерительной
рамке приварена вторая измерительная — диапазонная — пружина с большей
жесткостью, верхний конец которой прикреплен к микрометрическому винту.
Внешне гравиметр ГАК-7Ш отличается от гравиметра ГАК-7Т только наличием
второго отсчетного устройства.
Гравиметры ГРК-1, ГРК.-2 не отличаются принципиально от гравиметра
ГАК-7Т.
Гравиметры ГАК-ПТ, ГАК-ПТМ, «Дельта-2» имеют свои особенности в уст-
ройстве упругой системы и корпуса. В упругой системе нет температурного ком-
199
Рис. 7.22. Принципиальная схе-
ма чувствительной системы
гравиметров «Уорден», ВИРГ-61,
«Шарп».
пепсатора нелинейной части температурной
характеристики. Вместо изогнутой кварце-
вой нити, оттягиваемой пружиной, здесь при-
менена прямая нить, поэтому компенсируется
только линейная часть температурного влия-
ния. Диапазонная пружина крепится не к
маятнику, а к измерительной рамке. Погреш-
ность наблюдений составляет (0,054-0,15) X
X10*“ м/с2.
Гравиметры «Уорден» (США), ВИРГ-61
(СССР), «Шарп» (Канада) являются наиболее
совершенными бестермостатными приборами
среди многочисленных конструкций кварце-
вых астазированных гравиметров. Перечи-
сленные гравиметры имеют сходное устрой-
ство, небольшую массу и в зависимости от
применяемой методики позволяют достигнуть
высокой точности: погрешность наблюдений
(0,024-0,06)-КГ5 м/с2.
Основной особенностью этих гравимет-
ров является конструкция чувствительной
кварцевой системы (рис. 7.22).
Горизонтально расположенный маятник
11 с платиновым грузиком на конце подвешен
на двух тонких нитях 7, являющихся осями
вращения маятника. Маятник удерживается
в горизонтальном положении главной квар-
цевой пружиной 6 нулевой длины. При из-
менении силы тяжести маятник отклоняется
от горизонтального положения на некоторый
угол. Приращение силы тяжести измеряют
компенсационным методом. Маятник приво-
дят в горизонтальное положение, дополнительно растягивая или сжимая глав-
ную пружину с помощью измерительного устройства, перемещающего верхний
конец этой пружины.
Измерительное устройство состоит из жесткой кварцевой «фермы» 10, из-
мерительной рамки 15 и диапазонной 12 и измерительной 14 пружин. К верхнему
концу фермы прикреплен верхний конец главной пружины. Нижние концы
диапазонной и измерительной пружин приварены к отросткам измерительной
рамки, а их верхние концы соответственно к диапазонному и измерительному
микровинтам 13. Основание «фермы» вращается относительно горизонтальной
кварцевой оси измерительной системы. Измерительная рамка также может вра-
щаться относительно этой оси, т. е. измерительная рамка и «ферма» соосны.
При вращении микровинтов изменяется натяжение измерительной и диапазонной
пружин, измерительная рамка поворачивается, вызывая закручивание осей
измерительной системы, что в свою очередь приводит к повороту «фермы». Верх-
ний конец «фермы» перемещает верхнюю точку крепления главной пружины,
тем самым удлиняя или укорачивая ее. Перемещение происходит по линии, пер-
пендикулярной к прямой, соединяющей ось вращения маятника и нижнюю
точку крепления пружины при горизонтальном положении маятника. Измери-
тельной пружиной можно скомпенсировать изменение силы тяжести (804-100) X
X КГ--1 м/с2, диапазонной до 5000-10"5 м/с2. Число оборотов микрометрического
винта измеряется счетчиком и является мерой приращения силы тяжести.
Для регистрации горизонтального положения маятника на его оси враще-
ния установлен вертикальный стержень 5, па конце которого приварен тонкий
кварцевый волосок (индекс) 3, параллельный оси вращения. Индекс освещается
лампочкой 8 через призму 4 и рассматривается в микроскоп 2 с 600—800-крат-
ным увеличением. Микроскоп имеет окулярную шкалу 1 для оценки изменения
силы тяжести. В гравиметре «Шарп» отсчетный индекс расположен не па верти-
кальном стержне, а на конце маятника, как у гравиметра типа ГЛК; окуляр
200
Рис. 7.23. Общий вид гравиметра
ГАГ-2.
микроскопа укреплен в эксцентричной втулке. Это позволяет вращением втулки
я окуляра перемещать окулярную шкалу параллельно самой себе, тем самым из-
меняя исходное положение маятника и, следовательно, чувствительность грави-
метра к изменению силы тяжести.
Температурная компенсация чувствительной системы осуществляется с по-
мощью термокомпенсатора. На оси измерительной системы укреплена рамка
температурного компенсатора, жестко скрепленная с измерительной рамкой.
Рамка компенсатора имеет отросток, в который заварен один конец тонкого
вольфрамового стержня 9. Другой конец стержня шарнирно прикреплен к верх-
нему концу измерительной «фермы». Вольфрамовый стержень под действием
упругих сил закручивания измерительных нитей имеет некоторый предвари-
тельный изгиб. Различие в термоупругих свойствах кварца и вольфрама при-
водит к тому, что при изменении температуры «ферма» поворачивается вокруг
оси вращения и таким образом смещает верхний конец главной пружины. Изме-
няя положение точки, в которой закрепляется нижний конец вольфрамового
стержня, и расстояние этой точки до оси вращения «фермы», можно добиться
очень пологой параболической зависимости показаний гравиметра от темпера-
туры — до 0,02 -10'5 м/с2 на 1° С2 и меньше.
Упругая кварцевая система гравиметров находится в герметичном корпусе
при пониженном давлении. Корпус системы для защиты от резких колебаний
внешней температуры помещен в сосуд Дьюара, укрепленный в теплозащитном
контейнере. '
Корпуса гравиметров различаются несущественными деталями. В грави-
метрах «Уорден» и ВИРГ-61 обороты микрометрического винта отсчитываются
на цилиндрическом лимбе, в гравиметре
«Шарп» — на специальном многоразряд-
ном счетчике. Нивелировочные уровни в
гравиметрах «Уорден» и ВИРГ-61 рас-
положены на нижней стороне панели
прибора, в гравиметре «Шарп» — на кор-
пусе кварцевой системы.
Существуют две основные модели гра-
виметра «Уорден»: стандартная с диа-
пазоном около 80-10" ° м/с2 и геодезическая
для измерения больших приращений силы
тяжести. В геодезической модели диапа-
зонное устройство имеет специальный
градуированный лимб, устанавливаемый
на место диапазонного ключа. По этому
лимбу можно отсчитать доли оборота диа-
пазонного винта. Погрешность измерения
приращений силы тяжести с использо-
ванием геодезического лимба составляет
около (0,14-0,2) • 10" 5 м/с2. Отдельные мо-
дели гравиметров «Уорден» имеют элек-
трический термостат.
Геодезический астазированный трави
метр ГАГ-2 (согласно ГОСТ 13017—73
этот прибор относится к типу ГНШ-К1 —
гравиметр наземный широкодиапазонный
кварцевый первого класса точности)
(рис. 7.23) разработан Ю. Д. Буланже
(ИФЗ АН СССР) и С. А. Поддубным
(ВИРГ). Этот гравиметр предназначен для
относительных высокоточных измерений
силы тяжести при развитии опорных гра-
виметрических сетей 1-го и 2-го классов
точности, создании гравиметрических по-
лигонов, мелкомасштабных региональных
исследованиях и работе в горных облас-
201
тях. В приборе использована квар-
цевая система гравиметра ВИРГ-61.
Приращения силы тяжести измеряют-
ся компенсационным способом — на-
клоном оси вращения маятника чув-
ствительной системы, т. е. по принципу
измерений гравиметр ГАГ-2 близок к
гравиметрам Норгарда, СН-3, ГАЭ, в
которых, однако, чувствительная си-
стема наклоняется вдоль маятника, а
не вдоль оси его вращения.
Упругая система гравиметра по-
мещена в герметичный корпус и двух-
ступенчатый термостат. Угол наклона
оси вращения маятника измеряется в
угловой мере специальным угломер-
ным устройством, и поэтому теорети-
чески гравиметр не требует эталони-
рования. Диапазон измерения в сторону увеличения силы тяжести не ограничен,
в сторону уменьшения — зависит от начального угла наклона системы, мини-
мальное предельное значение которого равно нулю.
Полный диапазон измерений без перестройки угла наклона состав-
ляет 4000-Ю-5 м/с2. Погрешность наблюдений при измерении приращений силы
тяжести до 1000- 1(Гй м/с2 не более 0,1-10-6 м/с2, выше 1000-Ю-6 м/с2—до
0,15-10-5 м/с2; масса гравиметра около 25 кг.
Металлические гравиметры, основанные на принципе маятника Голицына,
представлены несколькими зарубежными моделями: «Северная Америка», «Ве-
стерн», «Магнолия», гравиметрами Хейланда и Дакоста — Ромберга. Среди
них наибольшим распространением пользуются гравиметры «Северная Америка»
и Лакоста — Ромберга.
Гравиметр «Северная Америка» применялся в СССР. Рассмотрим схему упру-
гой системы этого гравиметра (рис. 7.24).
Легкий алюминиевый рычаг 6 с грузиком 8 на одном конце и барокомпенса-
тором 3 на другом удерживается в горизонтальном положении наклонно рас-
положенной главной пружиной 10 нулевой длины, изготовленной из специаль-
ного сплава изоэластик. Осью вращения рычага служит шарнир 4, состоящий из
Рис. 7.25. Схема гравиметра Лакоста—Ромберга.
202
двух тонких вольфрамовых проволочек, прикрепленных одним концом к рычагу,
другим к плоским пружинам 5. Ось вращения рычага можно перемещать в вер-
тикальном направлении микрометрическим винтом /, при движении которого на-
тягиваются или ослабляются пружинки 2, благодаря чему смещаются концы
плоских пружин 5. Пружина 9, непосредственно связанная с рычагом, служит для
изменения диапазона измерений. Горизонтальное положение рычага регистри-
руется оптическим способом. Па рычаге укреплена тонкая горизонтальная
нить 7, изображение которой рассматривают в 150-кратный микроскоп.
Отличительной особенностью гравиметра «Северная Америка» является
очень высокая механическая чувствительность и, как следствие, большой период
собственных колебаний системы (до 20—25 с), поэтому гравиметр слабо реагирует
на помехи микросейсмического происхождения.
Упругая система гравиметра не герметизирована. Для защиты ее от влия-
ния температуры служит двухступенчатый термостат. Погрешность наблюдений
(0,014-0,05)-10-5 м/с2.
Гравиметр Лакоста—Ромберга мало отличается от гравиметра «Северная
Америка» за исключением конструкции некоторых узлов: термостатов, микро-
метрических и регистрирующих устройств. В этом гравиметре (рис. 7.25) гсполь-
зована оригинальная система 1 для преобразования движения микрометрического
винта 2 в малые перемещения верхней точки подвеса главной пружины. Реги-
стрирующая система 3 фотоэлектрическая. Гравиметр характеризуется очень
малым смещением нуль-пункта-—не более 1-Ю-5 м/с2 в месяц; погрешность
наблюдений (0,014-0,03)•10'5 м/с2.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ
КОНСТРУКЦИИ ГРАВИМЕТРОВ
С ДИСТАНЦИОННЫМ УПРАВЛЕНИЕМ
Рассмотренные выше конструкции гравиметров пригодны
только в таких условиях, когда оператор может находиться рядом
с прибором, в частности при наземных наблюдениях. Кроме
измерений на суше большой интерес представляют определения
силы тяжести в скважинах и на дне морей. В этом случае при-
ходится управлять гравиметром на расстоянии. Для таких на-
блюдений разработаны специальные гравиметры: донные и сква-
жинные.
Донные гравиметры
Так называются приборы, предназначенные для измерения
силы тяжести на дне водных бассейнов. Это потребовало применить
дистанционное управление упругой системой и предусмотреть
устройства для спуска и установки прибора на дне и для подъема
его па борт корабля.
Для наблюдений на дне гравиметр помещают в карданный
подвес, обеспечивающий автоматическую нивелировку прибора.
Карданный подвес закреплен внутри водонепроницаемой камеры
(скафандра), которую на тросе опускают с борта корабля на дно.
Скафандр имеет треногу, которой устанавливается на дно. Все
операции по измерению силы тяжести осуществляются с помощью
телемеханических устройств, управляемых электрическими им-
пульсами. На борту корабля расположен пульт управления,
соединенный специальным кабелем с упругой системой грави-
203
Метра. Все донные гравиметры созданы на базе гравиметров для
наблюдений на суше.
Донными гравиметрами сила тяжести также измеряется ком-
пенсационным методом, т. е. система приводится в одно и то же
положение равновесия. Изменение силы тяжести компенсируют
упругие силы пружин в микрометрических устройствах, приво-
димых в движение электродвигателями, или электростатические
силы (метод возвратного потенциала).
В СССР первые измерения силы тяжести донными гравиме-
трами были проведены в 1949 г. Для этого были приспособлены
гравиметры ГКМ и ГКА, а затем был создан специальный донный
гравиметр ДГПЕ на базе гравиметра ГКА. В дальнейшем кон-
струкции донных гравиметров разрабатывались на основе квар-
цевых астазированных приборов типа ГАК- Создано несколько
моделей донных гравиметров: КДГ-П, -III, ГАК-7ДТ (ГДК),
КДГ-ЭМТ, различающихся в основном способами измерения
и компенсации приращений силы тяжести. В гравиметрах КДГ-П
и -III приращение силы тяжести измеряется методом возвратного
потенциала, в гравиметрах ГАК-7ДТ и КДГ-ЭМТ — с помощью
измерительной пружины, растяжение которой осуществляется
микровинтом, вращаемым электродвигателем. Регистрация изме-
нения силы тяжести во всех моделях фотоэлектрическая.
Гравиметр ГАК-7ДТ (ГДК) имеет следующую принципиальную схему
(рис. 7.26). Фоторегистрирующее устройство состоит из лампочки осветителя 16,
конденсорных линз 15, зеркала 12 на рычаге маятника, разделительной призмы 14,
фотоэлементов 13, индикаторного гальванометра 9, миллиамперметра 8 и рео-
стата 7 накала лампочки. Свет лампочки, отражаясь от зеркала маятника, в виде
узкой полосы попадает на грани призмы. При горизонтальном положении ры-
Гравиметр Пульт управления
Рис. 7.26. Схема донного гравиметра ГАК-7ДТ.
201
чага маятника эта полоса делится призмой на две равные части и разностный ток
в цепи фотоэлементов равен нулю. При отклонении рычага от горизонтальной
плоскости происходит перераспределение светового потока и в цепи фотоэле-
ментов появляется ток, регистрируемый гальванометром 9.
Для компенсации приращений силы тяжести шток микрометрического вин-
та 17 жестко связан с ползунком многосборотного потенциометра 3, преобразую-
щего обороты микрометрического винта в изменение сопротивления. Оно изме-
ряется мостовой схемой, включающей в себя потенциометр 3, такой же измери-
тельный потенциометр 5 со счетчиком оборотов 4 и гальванометр 6 (в гравиметре
КДГ-ЭМТ измерительный потенциометр 5 заменен декадником). Микрометриче-
ский винт вращается через редуктор 1 электродвигателем 2. Скорость враще-
ния регулируется резистором 10, направление — переключателем 11.
Измеряется приращение силы тяжести следующим образом. Изменение силы
тяжести вызывает отклонение рычага маятника от исходного положения. Стрелка
гальванометра 9 также отходит от нуля. Включая электродвигатель 2, возвра-
щают стрелку в нулевое положение. После этого потенциометром 5 измеряют со-
противление потенциометра 3, снимают показания счетчика оборотов 4. Электро-
двигатель и потенциометр 3 размещены на верхней панели собственно грави-
метра. Остальные контрольно-измерительные приборы находятся на пульте
управления.
Упругая система гравиметра герметизирована и помещена в сосуд Дьюара,
укрепленный в теплозащитном корпусе прибора. Гравиметр устанавливают в ска-
фандр и тоже герметизируют. Скафандр имеет форму цилиндра с приваренным
сферическим дном и съемной крышкой. Внутри скафандра укреплен карданный
подвес, в который и помещают гравиметр, для контроля за подвесом в крышке
скафандра имеется отверстие. Для улучшения теплоизоляции внутренняя
полость скафандра выложена слоем войлока или поролона. Все ручки управле-
ния подвижной системой гравиметра и приборы контроля смонтированы на
специальном пульте.
Погрешность измерений (0,104-0,15)-1(Г5 м/с2; масса прибора со скафандром
около 120 кг.
Гравиметр ГМТД разработан во ВНИИГеофизике на базе металлического
гравиметра ГМТ-1. В приборе использована телевизионная установка, с помощью
которой наблюдаются положение отсчетного индекса, шкала микрометрического
винта и положение уровней. Погрешность измерений 0,1 -10 5 м/с2; масса прибора
со скафандром 250 кг.
В США на базе гравиметра с металлическими пружинами
созданы донные гравиметры «Северная Америка», Лакоста—Ром-
берга и др.
Донные гравиметры, как и гравиметры для измерений на
суше, требуют эталонирования отсчетного устройства. Поскольку
с донными гравиметрами можно проводить наблюдения и на
суше, то эталонирование донных гравиметров аналогично этало-
нированию наземных приборов. В донных гравиметрах необ-
ходимо также регулировать карданный подвес.
Скважинные гравиметры
Измеряя силу тяжести в буровых скважинах на различной
глубине, можно определить среднее значение плотности пород,
заключенных между точками наблюдений, в их естественном
залегании, что обеспечивает более достоверную геологическую
интерпретацию наземной гравиметрической съемки. Кроме того,
измерения силы тяжести в скважинах дают материал для вычис-
ления упругих констант пород (волновое сопротивление, модуль
205
Юнга, коэффициент Пуассона и т. д.), позволяют коррелировать
разрезы скважин.
Создание скважинного гравиметра потребовало преодоления
ряда технических трудностей. Прежде всего, точность наблюдений
должна быть достаточно высокой. Например, чтобы определить
плотность пород с погрешностью 0,02 г/см3 в интервале между
точками наблюдений 10 м, необходимо, как следует из формулы
(3.15), добиться погрешности единичного наблюдения силы тя-
жести порядка 0,01 • 10-s м/с2. Скважинный гравиметр должен
иметь большой рабочий диапазон (500-10'8 м/с2 и более) и на-
дежно действовать при многократном повышении давления и тем-
пературы. Значительные трудности возникают в связи с тем, что
размеры гравиметра ограничены диаметром и углом наклона
скважин.
Скважинный гравиметр ГСК-110 создан во ВНИИГеофизике на базе донного
гравиметра ГДК. Корпусу кварцевой системы придана форма снаряда. Корпус
помещен в карданный подвес и вместе с ним в сосуд Дыоара. Этот сосуд заполнен
минеральным маслом, которое одновременно является теплоизолятором и увели-
чивает затухание собственных колебаний корпуса. Сосуд Дыоара в свою очередь
заключен в цилиндрическую стальную трубу, в верхней части которой имеется
специальный разъем для присоединения проводов телеуправления гравиметром
к семижильному каротажному кабелю и пульту управления. Спускают и под-
нимают гравиметр каротажной лебедкой со специальным коллектором.
Рис. 7.27. Схема чувствительной
системы струнного скважинного
гравиметра.
Рис. 7.28. Схема скважин-
ного блока гравиметра.
206
Рис. 7.29. Блок-схема струнного скважинного гравиметра.
Гравиметр работает при температуре до 100° С и глубине скважины до 2500 м.
Диапазон измерения силы тяжести без перестройки (2004-250)-10"6 м/с2, погреш-
ность 0,3-10"“ м/с2. Внешний диаметр скважинного блока ПО мм, масса прибора
60 кг, пульта управления 10 кг.
Струнный скважинный гравиметр высокой точности разработан в США
фирмой ЭССО. Чувствительная система гравиметра (рис. 7.27) состоит из воль-
фрамовой струны / диаметром 25 мкм, длиной 5 см, на которой подвешен плати-
новый груз 3 массой около 1 г. Груз прикреплен к рычагу 4, вращающемуся на
вольфрамовых нитях 5. Такая конструкция ограничивает горизонтальные дви-
жения массы и демпфирует нежелательные гармоники колебаний струны. Около
центральной части струны расположен постоянный магнит 2, создающий поле
0,38 Тл. Металлическая рама 6 чувствительной системы имеет в середине стеклян-
ный изолятор 7. Это позволяет независимо подсоединять каждый конец струны
в электрическую цепь и передавать сигнал, индуцированный вибрацией струны,
в цепь генератора. При заданных размерах струны и массы основная гармоника
колебаний струны 625 Гц.
Струпа, магнит и остальные механические элементы чувствительной си-
стемы помещены в металлический контейнер 3 (рис. 7.28), к которому присоеди-
нен насос, обеспечивающий высокий вакуум. Для самоиивелирования чувстви-
тельной системы контейнер подвешен на металлической нити 2. Верхний конец
нити прикреплен к амортизирующим пружинам / для предохранения чувстви-
тельной системы от вибраций. Подвеска обеспечивает нивелирование при откло-
нении ствола скважины от вертикали до 4,5'. В нижней части контейнера имеется
ар�