ОТДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
В. Ф. МИТКЕВИЧА
СОСТАВИЛ
П. Л. КАЛАНТАРОВ
СОДЕРЖА НИЕ
(Числа указывают параграфы)
Магнитное поле .......	1
Электрическое поле ..... 22
Электрический ток..........44
Электрическая цепь.......51
Магнитная цепь..........►	62
Электродинамика....... 68
Переменные токи........... . 80
Преходные режимы ....... 122
Переменный магнит, ноток. . . . 134
Движение электро-магнитной
энергии...................  139
Прохождение электричества
через газы я пустоту ..... 144
Указатель литературы * • • • . . 156
Отд. 2—1 Теоретические основы электротехники
2
ОТДЕЛ 2.
Теоретические основы электротехники.
Магнитное поле.
I.	Основные свойства магнитного ноля. Магнитному полю
может быть приписано некоторое направление, при чем как на-
правление поля, так и величина воздействия, оказываемого им
в этом направлении, могут меняться при •переходе от одной
точки поля к другой. Из этих опытных фактов следует, что
магнитное поле имеет векториальный характер и, следовательно,
каждая точка поля может быть однозначно сопряжена с вектором,
направление которого совпадает с направлением поля в данной
точке, а длина пропорциональна величине воздействия поля.
2.	Две гипотезы о природе магнитного поля. Первая гипо-
теза допускает существование двух невесомых
агентов — положительного (северного) и отрицательного
(южного) магннтизмов, способных действовать иа
расстоянии. Промежуточная среда по этой гипотезе никакой
существенной роли не играет. Вторая гипотеза отрицает воз-
можность каких либо действий на расстоянии и все явления
в магнитном поле рассматривает как результат дефор-
мированного состояния среды. В настоящее время
можно с уверенностью сказать, что первая гипотеза не соответ-
ствует истинной природе магнитного поля, и что о сущности по-
следнего мы можем составить правильное представление лишь
на основе второй гипотезы. Однако, первая гипотеза дает воз-
можность удобно и просто и столь же точно, как и вторая
описывать формально весьма большую область явлений, проис-
ходящих в магнитном поле. Поэтому методы и понятия, осно-
ванные на первой гипотезе, применяются весьма часто.
3.	Закон Кулона. По первой гипотезе явления, возникающие
в магнитном поле, можно мыслить как результат распределения
в пространстве ббльших или меньших количеств магнитнзма —
магнитных масс. Закон механического взаимодействия
магнитных масс, установленный Кулоном, выражается зависи-
мостью:
1 ПИПИ_
Т=“ V- Г* ’
3	Магнитное поле	Отд. 2—4
где/—механическая сила, направленная по прямой, соединяю-
щей точки, в которых расположены mi и /и2— гипотетические
магнитные массы, г—расстояние между ними, а р.— коэффи-
циент, характеризующий среду, в которой происходит взаимо-
действие, называемый магнитною проницаемостью. Так как маг-
нитную проницаемость пустоты в системе CGSM принимают
за единицу, то единицей магнитной массы в этой системе
является масса, -действующая в пустоте на равную себе
массу, расположенную на растоянии 1 ст, с силою, равною
1 дйне.	'
4.	Магнитная проницаемость является величиной, характе-
ризующей магнитные свойства вещества. Все физические тела
могут быть разделены на два класса: слабомагнитные тела
и сильномагнитные тела. Магнитная проницаемость первых
весьма близка к единице; при этом тела, у которых р < 1, на-
зываются диамагнитными, а те, у которых р.1,— пара-
магнитными. К сильномагнитным телам относятся те, маг-
нитная проницаемость которых значительно превосходит еди-
ницу. Они носят также название ферромагнитных, так
как к ним принадлежит железо и родственные ему кобальт
и ннккель.
5.	Магнитная сила. Магнитное поле обычно характеризуют
его механическими действиями, вводя понятие о магнитной
силе поля (напряжении магнитного поля). Под магнитной силой
(//) поля в данной точке понимают отнесенную к единице маг-
нитной массы механическую силу (/), с которой поле действо-
вало бы на положительную (северную) магнитную массу (т),
помещенную в рассматриваемую точку, при условии, что вне-
сение этой массы в поле не изменило бы его, т. е.:
Из предыдущего ясно, что И есть вектор, имеющий то же
направление, что и /, и что при т = 1 численно И равно /.
За единицу магнитной силы в системе CGSM принимают маг-
нитную силу поля, действующего на единицу магнитной массы
с силою, равной одной дине. Эта единица иосит название
гаусс.
6.	Силовые линии. Наиболее ясное представление о любом
магнитном поле можно получить при помощи графического
метода, использующего понятие о силовых линиях магнитного
поля. Силовой линией магнитного поля называется линия," каса-
тельная к которой в любой ее точке дает направление магнит-
ной силы в этой точке. Совокупность силовых линий дает нам
картину поля, позволяющую весьма просто определить напра-
вление магнитной силы в любой точке поля.
Отд. 2—7 Теоретические основы электротехники 4
7.	Однородное магнитное иоле. Однородным магнитным полем
называют поле, магнитная сила которого во всех точках его
одинакова по величине и направлению. Графически однородное
поле характеризуется системой параллельных прямых.
8.	Магнитный потенциал. Магнитная масса, помещенная
в магнитном поле, стремится двигаться под воздействием маг*
ннтной силы, и если она из точки А переместится по некого*
рому Пути, который, вообще, может и не совпадать с силовой
линией, в точку В, то поле совершит работу, равную
в
f т Н cos a dl,
А
где dl — элемент длины пути, а а — угол, составляемый магнит-
ной силой с направлением перемещения. Величину этой работы,
отнесенную к единице магнитной массы, т.-е.
в
f Н COS a dl
А
называют работой магнитной сильГили линейным инте-
гралом магнитной силы. В данном отделе рассматри-
ваются лишь магнитостатические поля, т.*е. такие, для которых
в
f И cos a dl
А
не зависит от формы пути и, следовательно, линейный инте-
грал магнитной силы, взятый по замкнутому контуру, равен
нулю, т.-е.
f Hcosadl— 0.
О
Работа магнитной силы при переносе магнитной массы
т — 1 нз данной точки поля А на бесконечно большое рас-
стояние, иначе говоря за пределы поля, т. е.
со
J Нcos a dl— UA
А •
называется магнитным потенциалом точки А. Магнит-
ный потенциал представляет собою однозначную, конечную
и непрерывную функцию координат точки. Если поле создано
распределенными в пространстве магнитными массами, то
5
Магнитное поле
Отд. 2—9
(принцип наложения), где rk — расстояние точки А от магнит-
ной массы mk . Разностью магнитных потенциалов двух точек А
и В называют
в
иА	Ив = UAB = f ff COS a dl.
Совокупность всех точек, имеющих равные потенциалы, назы-
вается поверхностью уровня. Поверхности уровня суть
поверхности замкнутые, не имеющие общих точек н пересе-
кающие все силовые линии под прямыми углами.
9. Градиент ноля. Так как в выражении
•	со
UA = f Hcosadl
А
нижний предел следует рассматривать как расстояние от (^неко-
торой постоянной точки, взятое по линии интегрирования, то
беря от обеих частей равенства производную по нижнему пре-
делу, имеем:
dUA „
——- На coS а>
т.-е. составляющая магнитной силы по некоторому направлению
равна убыли потенциала в этом направлении, рассчитанной на
единицу длины. Убыль потенциала имеет наибольшее значение
в направлении силовой линии, т. к. тогда cos а = 1. Величина
dUA
+ ~аГ’
взятая по силовой линии, называется градиентом потен-
циала (grad UА), и мы имеем:
gradUА ==•—НА.
10.	Магнитный момент и интенсивиесть намагничения. Если
магнитные массы распределены в некотором об'еме (о), то
величинуj) — - называют об'емной плотностью
магиитизма. При равномерном распределении масс по
об'ему р = Если магнитные массы распределены по неко-
торой поверхности (з), то величину в — называют п о-
рерхностной плотностью магнитном а. При равно*
Отд. 2—11 Теоретические основы электротехники 6
мерном распределении масс по поверхности а = При рас-
смотрении намагничения тел вводят понятие о магнитном моменте.
Для этого выделяют в рассматриваемом теле прямоугольный
параллелепипед, боковые грани которого параллельны силовым
линиям. Если количество магнитизма на каждом из оснований
будет т, а длина параллелепипеда /, то произведение М = ml
называется магнитным моментом выделенной части тела.
Интенсивностью намагничения (J) называется магнитный момент,
отнесенный к единице об'ема, т.-е. J ?= При неравномер-
ном намагничении, взяв элементарный параллелепипед об'ема
dv = ds • dl и обозначив его магнитный момент dm • dl через dM,
имеем: J =*	= о, т.-е. интенсивность на-
dv ds
магничения измеряется плотностью магни-
тизма на поверхностях, перпендикулярных
к силовым линиям. Интенсивность намагничения одно-
родного вещества зависит от величины магнитной силы и свя-
зана с ней соотношением:
Коэффициент х носит название магнитной восприим-
чивости и наравне с магнитной проницаемостью р характери-
зует магнитные свойства вещества.
II.	Теоремы Гаусса, Пуассона и Лапласа. Исходя из закона
Кулона, можно показать, что в однородной изотропной среде
для всякой замкнутой поверхности имеет место теорема Гаусса:
.. ,, о .	4 кт
Jf Н cos р ds = ~- >
где р — угол, составляемый внешней нормалью к поверхности
с направлением магнитной силы, а т — количество магнитизма,
находящегося внутри поверхности. Из теоремы Гаусса полу-
чается теорема Пуассона:
дНх j dHy dHz _______ 4 лр,
дх ду дг р
или:
дЧТ d4J_	d3U = __ 4iL
дх'1 + ду*	дг3 р
где р — об'емная плотность магнитизма в точке, определяемой
координатами х. у, г. Полагая р =: 0, получаем теорему Лапласа;
d3U d*U d3U
дх3 + дэ3 + dz* ~ °’
7
Магнитное поле
Отд. 2—12
или:
дН	dHv	дН	-
= °-
дх	ду	дг
Левая часть последнего уравнения носит название расхо-
ждения вектора Н {div if) и представляет собой предел
отношения числа линий вектора Н (силовых линий), выходящих
йз весьма малой поверхности к ограничиваемому ею об'ему при
стремлении последнего к нулю. Теорема Лапласа div Й = 0 вы-
ражает условие, так называемого, соленоидального на-
магничения.
Из теоремы Гаусса получаем пограничные условия для
магнитного потенциала:
dU dU
где п — нормаль к пограничной поверхности, проведенная
в сторону среды щ.
12.	Магнитная индукция и магнитный поток. Для однород-
ной изотропной среды из теоремы Гаусса получаем:
// у-Н cos р ds = 4 л т.
Левая часть этого равенства представляет собою поток вектора
(р./7) сквозь замкнутую поверхность S. Вектор (f*/У), в одно-
родной среде совпадающий по направлению с Н, jocht назва-
ние магнитной индукции (В), и мы имеем:
В —pH
и, следовательно:
ff Ё cos $ ds — 4 кт.
Это весьма важное соотношение показывает, что в однородной
среде поток магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность
зависит лишь от количества магнитизма, находящегося внутри
данной поверхности, и не зависит от среды. Указанное свойство
потока магнитной индукции, называемого также
магнитным потоком, не может быть доказано для
неоднородной среды, но, допуская, что это свойство присуще
магнитному потоку (Ф) независимо от рода и характера среды,
мы не встречаем противоречия с\опытом и поэтому для зам-
кнутой поверхности имеем всегда:
Ф — ff В cos fids = 4 л т.
Из последнего равенства имеем: of Ф = В cos Р ds, и прн
е/Ф
cos Р = 1 получаем В =	т.-е. магнитная индукция в данной
•тд. 2—13 Теоретические основы электротехники 8
точке равна плотности магнитного потока в этой точке. При равно-
Ф
мерном распределении потока по поверхности В = -$• и, обратно,
Ф = 55.
Из соотношения В = р- Н, где р. — число отвлеченное, сле-
дует, что Z? надлежит измерять так же, как и Н, гауссами.
13.	Трубки магнитной индунцнн н есневные свойства маг-
нитного потона. Установленный опытом факт отсутствия в при-
роде свободных магнитных масс привел Фарадея к заключению,
что явления, происходящие в магнитном поле, вызываются.
особой деформацией среды. Эту деформацию определяют
величиной и направлением магнитной индукции В в каждой
точке поля. При рассмотрении потока магнитной индукции вво-
дят понятие отрубках магнитной индукции, кото-
рые представляют собою трубчатые элементы об'ема, образуе-
мые проведением через все точки какого-либо замкнутого ког-
тура линий, совпадающих по направлению с вектором В. Из
определения трубки магнитной индукции следует, что поток
сквозь боковую поверхность ее равен нулю. Так как, с другой
стороны, вследствие отсутствия в природе свободных магнитных
масс, магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность,
рассчитанный по внешней нормали, также равен нулю, т.-е.
Ф = ff В cos р ds = 0, то поток, пронизывающий любое попе-
речное сечение трубки индукции есть величина постоянная.
Отсюда следует, что все трубки магнитной индукции непре-
рывны й замкнуты. Трубки, поток через поперечное сечение
которых Ф = ff Bcosfi ds = I, называются единичными
трубками, а оси их называются линиями магнитной
индукции, или просто магнитными линиями. В то
время как силовые линии магнитного поля—понятие геометри-
ческое, магнитные линии имеют физический смысл, являясь
осями тех деформаций в среде, которые воспринимаем, как
магнитное поле. Магнитной поток всегда можно рассматривать
рак совокупность единичных,трубок магнитной индукции и изме-
рять числом их, или, что то же, числом магнитных линий, про-
низ^ваюших рассматриваемую поверхность. Единица магнитного
потока носит название м д к с в е л л. Итак, основным свой-
ством магнитного потока и линий магнитной
индукции является их непрерывность и зам-
кнутость. Для об'яснения механических проявлений магнит-'
иого поля допускают, что вдоль трубок индукции существует
тажение. Это тяжение, рассчитанное на единицу поверхности,
нормальной к трубке, равно:
fx/f» ВН
Р-'	•
9	Магнитное поле	Отд. 2^-14
Для равновесия трубок необходимо допустить существование
бокового распора, который прн расчете его на еди-
?Н* ВН л
ницу поверхности должен равняться р — - g	. При
переходе из одной среды в другую трубки претерпевают п р е-
л о м л е н и е по закону:
tg\ =
Рз’
где и й3 — углы падения н преломления, а щ и р.3 — магнит-
ные проницаемости средин. Вследствие большой проницаемости
железа, магнитные линии даже при больших углах падения вы-
ходят из железа в воздух (ц = 1) почти нормально к поверх-
ности железа. Указанным свойством железа пользуются для
устройства магнитных экранов, имеющих целью защищать неко-
торую часть пространства от внешних магнитных полей. Окру-
жая защищаемую часть железным экраном, мы заставляем внеш-
ний поток перераспределиться так, что почти все его магнитные
линии пройдут по железу и поле внутри экрана будет весьма
значительно ослаблено. Если магнитная сила внешнего однород-
ного поля //0, то применяя экран в виде полого шара, внешний
радиус которого а внутренний — получим внутри шара
также однородное поле, магнитная сила которого Н, при чем
Но , . 2(р- 1ГГ. АУ]
Н ~1+	9 р. L А?!3 Г
Для полого весьма длинного цилиндра, ось которого перпеиди-
кулярна к Но, а внешний и внутренний радиусы равны и /?2,
имеем:
2^, .о*—1)* Г. 2?£1
н. ~1+ ' 4И L1- /??]
14.	Связь между В, Н и J. В среде, для которой ц®1,
В = Н. При р. ф 1 магнитную индукцию можно рассматривать
как результирующую деформацию, получающуюся от наложения
на основное поле той деформации, которую привносит само
Намагниченное тело, и можно показать, что
В — fi -г 4я У.
Деля обе части этого равенства на Н, получаем:
= 1 + 4лх.
В, Ни J совпадают по направлению лишь в однородных сре-
дицрх. При намагничении анизотропных тел Н и 4л J по напра-
влению не совпадают и суммировать их следует геометрически,
за исключением частного случая, когда намагничивание про-
изводится по одной из трех главных осей намагничения, взаимно
перпендикулярных между собой.
Отд. 2—15	Теоретические основы электротехники
10
15.	Намагничение тел в однородном поле. Рассматривая
намагничение тел с точки зрения первой гипотезы, необходимо
допустить появление на поверхности намагничиваемого тела
свободных магнитных масс. Эти массы создают собственное
поле Ht, налагающееся на основное Но и внутри тела напра-
вленное обратно ему. В результате намагничение
J — * (//о + Н^ < * Hq.
Поэтому Ht называют размагничивающей силой, а за
меруразмагничения принимают коэффициент размагни-
н
чения N = — JВводя этот коэффициент, получаем:
J~\+*N и 4ir + (p.-l)/V "о-
Частные случаи:
а)	Весьма тонкая и весьма большая пластина, поверхность
которой перпендикулярна, к Но:
Л' = 4тс; Д = Я0.
Ь)	Весьма длинный круговой цилиндр, ось которого пер-
пендикулярна к Но:
2 р.
Н = 2к;	8 = ^-^.
с)	Шар:
4	Зр
N -у тс; В =	+ 2 На.
d)	Эллипсоид вращения около наибольшей оси 2а, парал-
,	а	а2 — ЬгЛ 1
дельной Но, Ъ — с; Р — ~^ и ег = —— = 1 — —;
4тс Г Р , I	!—-----г А
и при р > 50
2	4тс
Д1^4тс (1 - г2) (In --== — 1) = -j-Пп 2р - 1).
V 1 — е-	Р
е)	Эллипсоид вращения около малой оси 2Ь, параллельной Н^
b ,	Л
а = с; р-~^- и е2 =—= 1— р\
11
Магнитное поле
Отд. 2—16.
4тс 1 _________________
N =	(1 — —V 1 — ег arc sin е) =
4тс Г р	1
= Г—^-з [1 -	arc cos р].
16.	Энергия магнитного поля. Энергия элемента об'ема
магнитного поля:
rfU7 = ptfldx dy dz = BH dx dy dz.
Энергия всего магнитного поля будет соответственно:
=	f f f ?H\dxdydz =
=	f f f BH dxdy dz,
где интегрирование произведено по всему об'ему, занимаемому
полем.
17.	Намагничение ферромагнитных тел. В то время как
магнитную проницаемость слабо-магнитных тел при данной тем-
пературе можно считать величиной постоян-
ной, магнитная проницаемость ферромагнит-
ных тел меняется с изменением индукции и
даже для одного и того же значения индук-
ции может быть различна в зависимости1 от
предыдущей магнитной истории ис-
следуемого образца. Для характеристики маг-
нитных свойств ферромагнитных тел обычно
пользуются основной кривой на
магничения, которая представляет со-
бою зависимость В—j(H), полученную для
тела, находившегося в нейтральном состоя-
нии, постепенным увеличением магнитной
силы от Н = 0 до И = //тнх -
Имея основную кривую О А (рис. 1), можно
зависимости \^=У(В) и	Исследование
легко найти
_ . ,	,	. ,	зависимости
У' =/(Н) показывает, что по мере увеличения магнитной силы
магнитная проницаемость сначала возрастает, а затем начинает
уменьшаться и стремится в пределе( при Н — со к. единице.
Магнитная восприимчивость х стремится соответственно к нулю,
а интенсивность намагничения J — к конечному пределу
Поэтому говорят, что при высоких индукциях ферромагнитные
тела насыщаются, при чем величину 4 л	иногда назы-
вают насыщением, Участок основной кривой, лежащий
Отд. 2—18	Теоретические основы электротехники
12
в области насыщения практически представляет собой прямую
линию.
Характер кривой р. =/(£9 аналогичен характеру кри-
вой р =/(//). Существует много попыток дать аналитическое
выражение для основной кривой намагничения, из которых
приведем следующие:
д==//+г+г^’
2)	Д =	----41177	;
аЛ-ЬН^-^
3)	5 = Л + (1+4каг-Ш);
4)	В = а Н-\- bi arc tgcx Н-\- b3 arc tgc3
5)	/Z = a1iJ+a3fi3 + a5^+...
В этих формулах a, b, c, d, bit b3, c3, alt a3, a3, — по-
стоянные, зависящие от свойств исследуемого образпа.
18.	Гистерезис. Весьма важной характеристикой ферромаг-
нитных тел является зависимость В	получаемая при
циклическом изменении Н от + Нтах до равной по абсолютной
величине и противоположной по знаку Hmin == — //тад. и затем
снова до + //тяд.. График этой зависимости (рис. 1) показывает
наличие в данном случае явления отставания изменений маг-
нитной индукции от изменений магнитной силы. Это явление
носит название магнитного гистерезиса, а график
B=f(fT), представляющий собою при установившемся цикли-
ческом процессе замкнутую кривую, называется соответственно
гистерезисной петлей. Из гистерезисной петли видно,
что при Н—0 магнитная индукция имеет конечное значение
В = Вг, называемое остаточной индукцией, что указывает
на стремление намагниченного тела удержать свое магнитное
состояние. Для доведения индукции до нуля необходимо дать
магвитной силе значение И = Нс, называемое коэрци-
тивной силой. Коэрцитивная сила зависит только от мате-
риала и достигнутой максимальной индукции и не зависит
от формы тела и может служить мерой способности вещества
удерживать магнитное состояние. При нормальном цикле обе
ветви петли, восходящая и нисходящая, симметричны относи-
тельно начала. Как показывает опыт, основная кривая намагни-
чения является геометрическим местом вершин нормальных
симметричных циклов, полученных прй различных Форма
[истерезисной цетли зависит от быстроту перемагничиваний
13
Магнитное поле
Отд. 2-19
и при увеличении числа циклов в секунду ординаты точек А и D
Несколько уменьшаются, кривая около вершин закругляется,
ветви отходят друг от друга и площадь ее увеличивается. Если
при циклическом процессе и численно не равны,
в частности если И не меняет знака, то соответствующие гнете'
резисные нетли несимметричны. Ивогда при рассмотрении намаг'
ничения ферромагнитных тел оказывается удобным ввести, кроме
В
понятия о нормальной магнитной проницаемости р. = -у > понятие
О дифференциальной магнитной проницаемости
АД
и о средней магнитной проницаемости
В max	& mln
<*Д — И —И • ;
“max “тт
Средняя магнитная проницаемость вводится обычно при
рассмотрении несимметричных циклов и представляет собою
тангенс угла среднего наклона гистерезисной петли к оси абцисс.
В пределе цд превращается в .
19.	Потери на гистерееис. Можно показать, что на изменение
магнитной индукции В в намагничиваемом теле и окружающей
его среде на аВ затрачивается работа
f JИ d В dx dy dz.
Магнитная сила при этом получает приращение dH и энергия
магнитного поля претерпевает изменение, величина которого
равна
dW, =
Разность dWx — dWi — dW превращается в тепло. Имеем
dW =	f f [ Hdb - -у d(ffB'] dx dy.dz.
При циклическом процессе H и В в начале и конце процесса
одни и те же; следовательно, в этом случае j'xKHB) = V и для
энергии, преобразованной в тепло, получаем
[f^dxdydz..
J J J(HdВ + В dH) dx dy dz.
Отд. 2—20 Теоретические основы электротехники 14
Таким образом, в единице об'ема равномерно намагничиваемого
тела количество энергии, преобразующейся в тепло за один цикл
U7 =
Отсюда следует, что площадь гистерезисной петли,
деленная на 4к, дает в эргах количество энер-
гии, превращающейся в тепло за один цикл
в одном кубическом сантиметре равномерно
намагничиваемого тела. Штейнметц для определения
потерь на гистерезис за один цикл предложил эмпирическую
‘|юр“у'у 
**	1 и max •
Эта зависимость применима при индукциях примерно от 1 000
до 12 000 гауссов. Другие исследователи нашли, что для раз-
личных материалов меняется не только коэффициент Штейи-
метца т), но н показатель колеблется в пределах 1,3~3,0. При
более высоких индукциях лучшие результаты дает формула:
Рихтером предложена еще более точная формула:
W = а Втах 4“ В^тая •
\
Указанные формулы применимы при симметричных циклах.
Для определения потери при несимметричных циклах Штейи-
метцом и Рихтером предложены следующие зависимости:
(Штейнметц).
, , , „ ч (Втап В пйп^
+ (е + dBmax) \	2	)
(Рихтер).
20.	Постоянные магниты. Тела, являющиеся самостоятель-
ными источниками магинтиого поля, т.-е. возбуждающие его
при отсутствии обмоток, обтекаемых электрическими токами,
называются постоянными магнитами. Искусственные
постоянные магниты приготовляют внесением твердых сталей
в сильные магнитные поля; происхождение естественных посто-
янных магнитов следует приписать, мощным грозовым разрядам.
Свойства постоянных магнитов могут быть об'яснеиы особой
ориентировкой внутримолекулярных токов. Обозначая постоянную
№ =
15	Магнитное поле	Отд. 2—21
интенсивность намагничения, ре зависящую внешних магнитных
сил, через Jp, имеем:
или
д=|х(/7 + ^).
Н есть магнитная сила, внешняя для данного элемента об'ема. Нр
называется внутренней магнитной силой магнита и для
данного магнита есть величина постоянная. Если изменения
магнитного состояния постоянного магнита производятся изме-
нением магнитного сопротивления его цепи, то ц величина
постоянная, независящая от В. Гистерезисная петля при этих
изменениях бесконечно узка, и процессы изменения магнитного
состояния можно считать обратимыми. Поэтому р. в этом случае
называется обратимо й магнитной проницаемостью и является
частным случаем средней проницаемости
D .____ О
__ ‘-’max “mln
^Д~ И —И  '
“ “max “min
Если постоянный магнит замкнуть накоротко, сведя
магнитное сопротивление внешней цепи к весьма малой вели-
чине, то Н — 0 н В получает максимальное возможное зна-
чение Втах =* 1>-Нр.
21.	Земное магнитное поле. Около земного шара повсюду
н во всякое время наблюдается существование магнитного поля,
называемого земным магнитным полем. Направление
магнитной силы Н земного поля определяется магнитным
наклонением i, т.-е. углом, образуемым этою силою с горизон-
тальной плоскостью, и магнитным склонением Z),
т.-е. острым углом, который составляет вертикальная плоскость,
проходящая через направление этой силы (магнитный меридиан)
с географическим меридианом. Полная магнитная сила может
быть разложена на две составляющих; горизонтальную
Н = Н cos I н вертикальную Z = Н Sin i. Величины Z,
D, Н, Н н Z называются элементами земного магнитного
поля. Наблюдением обычно определяют I, D и Н. Элементы
земного поля претерпевают изменения правильные н непра-
вильные. Последние, в частности, могут вызываться северным
сиянием и появлением солнечных пятен. Правильные изменения—
вековые, годовые и суточные—значительно меньше неправильных.
Вековые изменения i не превышают cfc 6' в год, а изменение Н
не превышает zfc 0,003 гауссов в год. Пбсле вековых наиболее
значительными изменениями являются суточные, прн этом Н
во многих местах достигает максимума около 5 ч. дня н мини-
мума около 10 ч. утра. Для Средней Европы Н лежит в пре-
делах 0,175 -г 0,225 гаусса, i около 60° 4- 70°, a D около СР 4- 20°.
Отд. 2—22 Теоретические основы электротехники 16
Электрическое поле.
22.	Основные свойства электрического поля. Электрическому
полю может быть приписано некоторое направление. Направле-
ние поля и величина воздействия, оказываемого им в этом на-
правлении, могут меняться при переходе от одной точки поля
к другой. Отсюда заключаем, что электрическое поле имеет
векториальный характер, н, следовательно, каждая точка поля
может быть сопряжена с вектором, направление которого
совпадает с направлением поля в данной точке, а длина про-
порциональна величине воздействия поля.
23.	Природа электрического полн. Для об'яснення и описа-
ния явлений, происходящих в электрическом поле, можно допу-
стить существование двух невесомых агентов—положительного
и отрицательного электричеств, способных действовать на рас-
стояний. Однако, представляется более вероятным, что в свобод-
ном, не связанном с материей состоянии может существовать
лишь отрицательное электричество, а положительную электрщ
зацию следует рассматривать, как результат отделения от тела
отрицательного электричества, откуда следует, что, прн .возни-
кновении электрического заряда какОго-лнбо знака, всегда одно-
временно возникает равный по величине заряд противополож-
ного знака. Отрицая возможность действия на расстоянии, все
явления в электрическом поле можно рассматривать, как резуль-
тат деформированного состояния среды, иызванного наличием
в ней некоторых количеств электричества.
24.	Закон Кулона и диэлектрическая постоянная. Закон меха-
нического взаимодействия количеств электричества,-установлен-
ный Кулоном, выражается зависимостью:
. V Уз
Т~ « г3 ’
где /— механическая сила, направленная по прямой, соединяю-
щей точки, в которых расположены qv и q^— взимодействую-
щие количества электричества, г—-расстояние между ними,
аг — коэффициент, характеризующий среду, в которой прои-
сходит взаимодействие. Этот коэффициент носит название
диэлектрической постоянной и для пустоты в си-
стеме CGSE принимается равным единице. За единицу коли-
чества электричества в этой системе принимают такое количе-
ства электричества, которое действует на равное себе и рас-
положенное на расстоянии 1 ст с силою, равною I дине.
В практической системе единиц единицей количества электри-
чества является кулон, равный ЗХ единиц CGSE.
25.	Элеитричесиая сила. Электрическое поле обычно харак-
теризуют его механическими действиями, вводя понятие об- эле
17	Электрическое поле	Отд. 2—26
ктрической силе поля (напряжении электрического поля). Под
электрической силой F поля в данной 'точке понимают
отнесенную к единице, положительного электричества механи-
ческую силу /, с которой поле действовало бы на количество
электричества q, помещенное в рассматриваемую точку, при
условии, что внесение последнего в поле не изменило бы его, т.-е.
Из предыдущего следует, что F есть Вектор,имеющий то же напра-
вление, что н /, и что при q = 1 сила F численно равна f.
За единицу электрической силы в системе COSE принимают
электрическую силу поля, действующую на единицу количества
электричества с силою, равною одной дине. В учении об элек-
трическом поле вводится так же, как и в учении о магнитном
поле, понятие о силовых линиях поля и об однородном поле
(см. § 6 н § 7).
26.	Потенциал и градиент потенциала в элеитричесиом поле.
Понятия об электрическом потенциале, разности
потенциалов, поверхностях уровня и гра-
диенте потенциала аналогичны соответствующим поня-
тиям в учении о магнитном поле (см. § 8 и § 9), а именно:
со
потенциал точки A: U. = f Feos a dl,
А
разность потенциалов точек А и В'.
в
UA — UB = UAB = J Feos a dl,
А
градиент потенциала в точке А:
dUA
£rad UA= +	= — Fa.
В настоящем отделе рассматриваются электростаки-
че с к и е поля, т.-е. такие, для которых
А
f Fcosndl
в
не зависит от формы пути, и, следовательно,
f Fcosadl — 0.
О
В этом случае электрический потенциал представляет собою
однозначную, конечную и непрерывную функцию координат
точки. Электрический потенциал земли обычно принимают
равным нулю. За единицу потенциала в системе CQSE прици-
2
Отдел 2.
Отд. 2—28 Теоретические основы электротехники 18
мают потенциал точки, перенося в которую из бесконечности
абсолютную электростатическую единицу количества электри-
чества, мы совершаем работу, равную одному эргу. В практи-
ческой системе единиц единицей потенциала служит вольт,
равный 3QQ единицы CGSE.
27.	Теоремы Гауйа, Пуассона и Лаиласа. Введя понятие
о поверхностной (а) и об'емной (р) плотности электричества,
подобно тому, как это было сделано в учении о магнитном
поле (см. § 10), можно, пользуясь законом Кулона, вывести
теорему Гаусса:
У* JFcos^ds = ~^--,
затем теорему Пуассона:	>
дРх dFv dFz 4кР
дх + ду + dz “ е
ИЛИ
&U	&U д*и 4^Р
дх2	ду2 + дг2 ~ е '
откуда при р = 0 получаем теорему Лапласа:
d2U d2U dPU
дх2 +-ЗУГ + dz2 -°-
Из теоремы Гаусса имеей пограничные условия для электриче-
ского потенциала:
dU dU
28.	Электрическое смещение. Для замкнутой поверхности
в однородной изотропной среде имеем на основании теоремы
Гаусса:
Jf	ds=q'
Максвелл допустил, что это равенство .справедливо для какой
*.Е
угодно среды, что вполне согласуется с опытом. Вектор ои
обозначил через D:
и назвал электрическим смещением. Таким образом,
имеем теорему Максвелла: электрическое смещение
сквозь любую замкнутую поверхность всегда
19	Электрическое поле	Отд. 2—29
равно количеству электричества, заключен-
ному внутри этой поверхности, или: -
// D cos $ ds —q.
Вектор D в, среде однородной и изотропной совпадает по
направлению с электрической силой. Из последнего равенства
dq
имеем dq = D cos 0 ds и при cos ₽ = 1 получаем D =	т.-е.
электрическое смещение в данной точке равно количеству элек-
тричества, рассчитанному на единицу поверхности, перпендику-
лярной к направлению смещения. Отсюда видим, что поверх-
ностная плотность электричества равнаэлек-
трическому смещению. Теорема Максвелла имеет весьма
важный физический смысл, а именно: из нее мы усматриваем,
что при внесении в замкнутую поверхность некоторого коли-
чества электричества внутри этой поверхности возникает дефор-
мация, характеризуемая- прохождением такого же количества
электричества сквозь эту поверхность изнутри наружу. Такое
деформированное состояние среды называется электриче-
ской поляризацией, а среду, электрически упругую,
т.-е. оказывающую противодействие этой деформации и по уда-
лении электрической силы приходящую в первоначальное состоя-
ние, называют диэлектриком. Электрическую поляризацию
в диэлектриках можно мыслить, как смещение на весьма малые
расстояния распределенных в среде электрических зарядов,
происходящее под влиянием электрической силы. Электрическая
поляризация определяется вполне по величине и направлению
вектором электрического смещения О.
29.	Фарадеевские трубки. Подобно понятию об единичных
трубках магнитной индукции (§ 13) можно ввести понятие об
едиичных трубках электрического смещения или, так называе-
мых, Фарадеевских трубках. Тогда оси этих трубок
можно рассматривать, как оси деформаций, возникающих в среде
при наличии в ней электрической поляризации. Для об,ясненияч
механических проявлений электрического поля необходимо допу-
стить, что вдоль трубок существует т я ж е н и е. Это тяжение,
рассчитанное на единицу Поверхности, нормальной к трубке,
равно:
в/72 FD
р~ 8к °= 2 '
Величина бокового распопа фарадеевских трубок, рас-
считанного на единицу поверхности, равна тяжению
е/73 FD
ркв~8Т------2~‘
Отд. 2—30	Теоретические основы электротехники 20
В то время, как трубки магнитной индукции всегда замкнуты,
фарадеевские трубки в электростатическом ноле всегда разом-
кнуты н на основаниях их имеются равные по величине н про-
тивоположные по знаку количества электричества, т, к. смещение
сквозь любое поперечное сечение трубки есть величина постоян-
ная. При переходе иг здной среды в другую трубкн пре-
терпевают преломление, и если на пограничной поверх-
ности нет электрических зарядов, то имеем:
tgb Ъ *
где и — углы падения н преломления, а е, и е2 — диэлек-
трические постоянные средин.
30.	Проводники и их свойства в электростатическом поле.
Кроме диэлектриков, существуют средины, в электрическом
смысле неупругие, т.-е. не оказывающие противодействия элек-
трической силе. Они носят название проводящих средин или
просто проводников. Состояние электрического равновесия
в проводниках возможно только при том условии, что электриче-
ская сила внутри проводника равна нулю, а на его поверхности—
нормальна к этой поверхности. Из первого условия следует,
что потенциал во всех точках проводника один и тот же, н что
об'емная плотность электричества равна нулю, т.-е. электричество
может находиться только на поверхности проводников. Все
выведенные выше формулы применимы к проводникам, если для
них положить s = и, иначе говоря, принять, что коэффи-
циент электрической упругости
Р 	4 тс
~D = Т~ = °-
Из указанных свойств проводящих средин следует, что элек-
трическая сила внутри полой проводящей поверхности, не содер;
жащей внутри себя электрических зарядов, равна иуЛю.
Этим свойством проводников пользуются для устройства
электрических экранов, применяемых для защиты
некоторой части пространства от внешних электрических полей.
Электрические экраны выполняются в виде сплошной или сетча-
той проводящей поверхности, окружающей защищаемую часть
пространства, н соединяются с землей.
31.	Распределение электричества, в простейших случаях.
а)	Проводящий шар радиуса Р с зарядом <j:
где а поверхностная плотность электричества.
21
Электрическое поле
Отд; 2—32
Ь)	Неограниченно длинный проводящий цилиндр радиуса /?:
Я
’~2rcj?Z*
где I—длина части цилиндра, весьма далекой от его концов,
a q — заряд на ней.
с)	Трехосный проводящий эллипсоид:
_ Я__________1_____________
’«j'z	4 гс аЬс / г> «» z» ’
/v + v+тг
d)	Весьма тонкая эллиптическая проводящая пластина:
Я	1_______
4гсдй /	# у,
е)	Поверхностная плотность на математическом острия бес-
конечно велика, а на физическом достигает весьма больших
значений. Поэтому на проводниках, снабженных острием, элек-
тричество устремляется к последним.
f)	Проводящая сфера в однородном поле:
3» •
где <? — угол между электрической силой поля F и радиусом,
проведенным'в данную точку.
g)	Если в однородное поле в среде «1 помещен шар из ди-
электрика с постоянною е2, то плотность электричества, которую
надо предположить на его поверхности, чтобы иметь возмож-
ность считать все пространство однородным и имеющим постоян-
ную
S«i(e3 — ч) .
° = ~ 47(^+210^^ *•
Электрическая сила однородного поля, образующегося пр» этом
внутри шара.	“
_ ’ Зе,
32.	Метод электрических изображений. Для решения различ-
ных задач электростатики часто применяют метод электрических
изображений, идея которого заключается в следующем. Имея
совокупность количеств электричества и проводя какую-нибудь
поверхность уровня U, мы делим нашу совокупность на две части,
лежащие по разные стороны от нее. В электрическом поле не
произойдет изменений при замене поверхности уровня совпа-
дающей с ней весьма тонкой проводящей поверхность». Теперь,
Отд. 2—32 Теоретические основы электротехники 22
желая рассматривать поле по одну из сторон поверхности
уровня, мы можем, задав этой поверхности потенциал U, отбро-
сить систему количеств электричества, лежащую по другую
сторону, н оперировать лишь с первой системой и поверх-
ностью U, поверхностная плотность на которой будет
s dU в
0 ~	4 я \dn = 4 л 'л'
Обратно, можно при рассмотрении системы количеств электри-
чества н некоторой проводящей поверхности заменять послед-
нюю новой системой количеств электричества такой, чтобы по-
верхность уровня, имеющая потенциал проводящей поверхности,
совпадала t этой поверхностью. Две такие системы называются
электрическими изображениями одна другой в
данной проводящей поверхности.
Электрическим изображением количества электричества q,
расположенного в точке А, в бесконечно большой проводящей
плоскости, соединенной с землей, будет — q, расположенное
в точке, являющейся зеркальным изображением точки А в дан-
ной плоскости. Поверхностная плотность на плоскости будет
е d
аг==— 2яг3 q'
где d—расстояние точки А от плоскости, а г—расстояние
точки плоскости от точки А. Электрическим изображением ко-
личества электричества q, расположенного в точке А на рас-
стоянии d от центра проводящей сферы радиуса»^, соединен-
ной с землей, в этой сфере будет q' --^-q, расположенное
на прямой, соединяющей А с центром сферы, в точке А', ле-
№
жащей между ними и удаленной от центра на • Точки А
и А' суть точки обратные, если за полюс обращения принять
центр сферы, а степень обращения взять равной У?2. Поверхно-
стная плотность на сфере в точке, находящейся на растояниии г
/ ‘	(Р — У?2 q
от точки А будет о ----д, — X • Если 4- q распфго-
q
жено внутри сферы, то о = — —X •
Если проводящая сфера радиуса У? имеет потенциал U, а на
расстояниях di, d*... . dn от ее центра расположены qt,
q* • • 
г	1 гч —R3
и	1	VI л 'v
23
Электрическое поле
Отд.- 2—33
33.	Конденсаторы. Электрическая емкость. Систему из двух
проводников, разделенных диэлектриком, называют электри-
ческим конденсатором, при чем проводники носят на-
звание обкладок конденсатора. Из предыдущего сле-
дует, что если на одной обкладке конденсатора, удаленного от
других проводящих тел, имеется количество электричества q,
то на другой обкладке будет находиться равное н противопо-
ложное по знаку количество электричества. Абсолютная вели-
чина q называется зарядом конденс.атора. Отношение
заряда конденсатора к абсолютной величине разности потен-
циалов — </2] на его обкладках нвзывается «электри-
ческой емкостью [С] конденсатора, т.-а имеем
Из определения емкости следует, что она характеризует спо-
собность конденсатора воспринимать больший или меньший за-
ряд н является величиной существенно Положительной. Емкость
Конденсатора зависит лишь от геометрической формы и разме-
ров обкладок и от природы разделяющего их диэлектрика. Еди-
ницей для измерений емкостей служит емкость конденсатора,
разность потенциалов на обкладках которого равна единице при
сообщении ему заряда, равного единице. В практической системе
CGSM единицей емкости является фарада, равная 9.1011
единиц CGSE, называемых сантиметрами.
34.	Последовательное и параляельное соединение конденсато-
ров. Если электрические поля последовательно соеди-
ненных конденсаторов не влияют друг на Друга, то все конден-
саторы имеют один и тот же заряд:
^ = C1,t/1 = C2t/2= . . . =СК . . . Сп и„,
где Ck и Uk — емкость и разность потенциалов на обкладках
конденсатора Обозначая разность потенциалов на зажимах
всей группы через б^прн чем U= 1^ + U2 +	... + Un
q
и называя отношений = Ca — эквивалентной емкостью
группы конденсаторов, имеем:
kss. п
J______L_ + _L+ 1 + .... +J_= V_L
с, сЛс2+Т7+ ' cn
н
Uk	Са
и	С* 
Отд. 2—35 Теоретические основы электротехники 24
При параллельном соединении конденсаторов разность
Потенциалов U иа обкладках всех. конденсаторов одинакова,
и мы имеем:
91 — CiU\ q^—CM', q$= C$U .,. . . qa =CnU.
Так как полный заряд всей группы
Я = 91 + Яг + • • • • + Яп •
то имеем:
л = «
С3 ='^Г = С1+ с2+.............+ с„ = 2 с*
35.	Емкость уединенных проводящих тел. Говоря об емкости
уединенного проводящего тела с зарядом q, предполагают, что
заряд (— q) распределен на бесконечно удаленной поверхности,
охватывающей данное тело и имеющей потенциал, равный нулю.
а)	Шар радиуса R в среде с диэлектричекой постоянной в;
С=е/?.
Ь)	Эллипсоид вращения около наибольшей Оси а; b — с
, o’ - &
че»= 	-t----:
г 2гае
1 — е
с)	Эллипсоид вращения около малой оси Ь', а = с и
arc sin е"
d)	Два соприкасающихся шара радиуса /?:
С =₽= 2е R М2.
е)	Весьма тонкий диск радиуса R:
r 2*2?
тс
f)	Круговой цилиндр радиуса R и длиною I при /»2?:
2/0-^
25
Электрическое поле
Отд. 2—36
36.	Еиместь конденсаторов.
а)	Плоский конденсатор, расстояние между обкладками ко-
торого d и поверхность каждой из которых S, если считать
поле равномерным:
С ~ 4кйГ
Ь)	Плоский конденсатор, между обкладками которого имеются
параллельные слои различных диэлектриков е1( е,........еп
толщиною dt, d2. . . ' dn:
grad Uk= —p— diU~----------------Tn
S*| st + s3 + ’ / ’ sn
т.-е. градиент имеет наибольшее значение в слое с наименьшей
диэлектрической постоянной.
с)	Два параллельных диска радиуса Д’, толщиною Ь, на
расстоянии d друг от друга, при Л?>> b и 2?» </:
•С » e/?ii I Г 1 4- щ +	, b r +
4</ г 4я |_	tP	d d J'
d)	Две длиивых параллельных ленты длиною I, шириною
Ъ, на расстоянии d друг от друга:
С= 0,0254 I № + е/. +	+ In кЬ + II
| d L d	d Jj
e)	Шаровой конденсатор, радиусы внешнего и внутреннего
концентрических шаров которого Д и /?3:
Q — g^?l Rj
Ri — Ri
f)	Две сферы радиусов /?t и /?3, расстояние между цен-
трами которых d, при чем d >> и d » /?2:
Q	Rj d
4* Rti) d—-	/?3
Отд. 2—36 Теоретические основы электротехники 26
g)	Две сферы одинакового радиуса R, расстояние между
поверхностями которых, взятое по линии центров, d, при
d/R < 0,1:
с - 4(* +4)V27M +4'«4+-»)
с точностью до 0,1%.
h)	Бесконечно большая плоскость и сфера радиуса R,
центр которой отстоит на расстоянии d от плоскости при
d >> R-.
i)	Цилиндрический конденсатор длиною I, радиусы внешней
и внутренней коаксиальных цилиндрических обкладок которого
/?1 и /?3:
<--%-
2,”4-
и градиент для точки, отстоящей от осн на расстоянии г
grad U = —У—,
Пп-^-
Ri
т.-е. имеет максимум у поверхности внутреннего цилиндра.
к)	Два эксцентрических цилиндра радиусов и R2 длиною
I, расположенных один внутри другого так, что осн их парал-
лельны и находятся на расстоянии d:
 е/
где А* =	(Я? - /?2а)» - 2йР (RJ + /?>2) -
1)	Два параллельных цилиндра радиусов Rr н R2 длиною /,
расположенных один вне другого, при расстоянии d между
осями:
С =
tl
‘21п
1_
Rs
d»-(/?i»+/?a2)+X2
где	d*-‘2d> (/?? + Rtf + (/?? - RW
Электрическое поле
Отд. 2—37
при d >> Rt и d >>
или, точнее:
fl
2ln*'
Ri.
с =___________-_________
2/« ( *
V?! &	)
ш) Бесконечно большая плоскость и цилиндр радиуса /?
и длиною I, ось которого параллельнд плоскости и находится
иа расстоянии d от нее:
2/яр + у^‘ + ^
или при I >> d» /?:
С =
е/
о,
2ln R
п) Конденсатор произвольной формы, растояние d между
обкладками которого мало по сравнению с их поверхно-
стями S:
Г _ г Г dS
J d '
По всем вышеприведенным формулам емкость получим
в абсол. эл.—/Ст. единицах (сантиметрах). Для перевода в микро-
фарады (p-F) нужно делить на 9 х 105.
37.	Соотношения между зарядами и потенциалами в системе
л проводников. Обычно, рассматривая систему п проводников,
вводят в рассмотрение и землю, потенциал которой принимают
равным нулю. Обозначая заряды проводников через qlt q2, q*
... qn и потенциалы через C/j, t/2 . . . U „и применяя принцип
наложения (см. § 8), найдем, что потенциал каждого провод-
ника может быть выражен в виде линейной функции зарядов,
а -именно:
t/j = au <7i + а13 </2 + • • • 4"°1л Яп
f/2 = а21 Я1 + а22 di + • • • 4~.а2л Яп
Un = 3Л1 Я\ + ал2 Яг + • • • • +ал« Яп .
Коэффициенты а носят название потенциальных коэф-
фициентов. Они всегда положительны и, кроме того, а*я“аЛА.
Отд. 2—38	Теоретические основы электротехники 28
Численное значение акп дает величину потенциала проводника
% при qn = 1 и отсутствии зарядов на других проводниках.
Из предыдущей системы можно получить систему линейных
зависимостей, определяющих заряды, а именно:
Яг — ?и Чз + • • • • +₽!« 4п
Яг — ?2i	+ р22 Ut + . . . . +?2л Чп
Яп ~ ₽л1 41 + р„2 ч2 + . . . +?„„ ип,
Коэффициенты $kk,, всегда положительные, представляют
собою емкость проводника 4? в данной Системе, когда все
остальные соединены с землей. Коэффициенты $кт = $mk
всегда отрицательны н носят название коэффициентов
электростатической индукции. Чаще вторую си-
стему приводят к виду:
Я1 — Си U + С12 (Ui — и$) + . . . . + Cln (i/t — 4п )
<7г — С21 (f/2 —	+ С22 U2 + . . . . + С2п (f/2 — Un)
Яп = cln (i/„ - 41} + Cin (4n - i/2) + . . . +cnn Un
Коэффициенты С всегда положительны и С^щ = Стк\ Скк
называют емкостью проводника £ по отношению
к земле, а Скт — частичной емкостью проводни-
ков I? и т. Между коэффициентами ₽ и С существуют зави-
симости:
7= Qi +	+...........+ скп
и
$km ~ Скт.
Коэффициенты »,? и С зависят от размеров и взаимного распо-
ложения всех проводников и земли н от рода диэлектрика.
Изменение положения одного из проводников # влечет за собою
изменение всех коэффициентов р н С и тех коэффициентов а,
в индекс которых входит
38.	Эноргнн электрического ноля. Энергия элемента объема
электрического поля:
е/73	РВ
dW =	— dx dy dz =* -я-- dx dy dz.
o7t	2 .
Энергия всего электрического поля будет соответственно:
-ЯЯ/
где интегрирование произведено по всему об’еМу, занимаемому
нолем.
е/73 dx dy dz — —Я У С J FD dx dy dz,
23
Электрическое поле
Отд. 2 39
39.	Энергия заряженного кенденсатора. Пусть конденсатор
емкостью С имеет заряд q при разности потенциалов U.
Тогда еиергия W, сосредоточенная в электрическом поле
между его обкладками, будет равна работе, затраченной на со-
здание этого поля: .
f4Udq= f^dq-
J	J С 2C 2	2
о.	о
40.	Энергия системы нязлектризеванных .проводящих тол.
Для энергии W системы проводящих тел имеем:
Wga = у <71 &1 + 7JT Яг U1 + • • • + 2 Яп ^п ’*=
Ашл
-4-2^-
ИЛИ
IF == W4 = -i- «и Я? + “is 9i Яг + • • • + “1П 91 Яп +
4—i-a22 9а3 + “аз 9з 9з + • • + “2л Яг Яп + • • • +-х- аппЯп>
л	£
^=^=4-₽lt	• • • +^« и'ип +
+ 4 ₽»	+ ?23 U2 иг + . . +P2n U3Un+ . • + 4 Р«Л 
И7= И7И = 2-Си l/i’+ CM-UJf V. • +Cln {Ux-Un )’+
+ 4	+ ^-2з'(^з — £Д)Г+ • • +Сгл (^4 — ^л )а + • • • +
+ —C„nUan.
’ 2 пп п
41.	Механические оияы в оногеяе наэлмггрнзйванных тел.
Введем при рассмотрении вопроса обобщенные координаты
И силы. Под обобщенными координатами будем понимать пара-
метры, определяющие положение элементов системы в про-
странстве, а под обобщенными силами будем понимать вели-
Отд. i—41 Теоретические основы электротехники 30
чины, которые по умножении на соответствующую обобщенную
координату дают работу. Так, напр., за обобщенные координаты
можно принимать линейные расстояния, углы поворота и т. д.
Обобщенными силами будут тогда соответственно служить меха-
нические силы, моменты вращения н г. д. Сообщим обобщен-
ной координате gt, определяющей положение системы в про-
странстве, весьма малое изменение 3^ . Обозначая механиче-
скую силу, сообщающую это изменение, через /i, получим,
что работа, совершаемая этой силой, будет lgt. Положим,
что заряды тел при этом не изменились (система изолиро-
вана). Тогда работа может быть произведена лишь за счет
энергия электрического поля системы, н мы* имеем:
lgt = 8Г-------=/	•
Отсюда для силы /z получаем:
, _ dW4.
Положим теперь, что за счет внешних источников энергии
потенциалы всех тел поддерживаются постоянными. Мы имели
Три выражения одной н той же величины W:	Wq н Wa .
Поэтому ' можем иапнсать + Wu —	— 0- Составляя
полное изменение (вариацию) этой суммы, найдем, что вслед-
ствие независимости друг от друга обобщенных координат gt ;
dgt dg.t
й
Л =-	.
dg/
Силы /, независимо от того, будут лн изменяться или оста-
ваться постоянными заряды или потенциалы, мы можем опре-
делять по любой из приведенных формул, так как эти силы
определяются состоянием системы в данный момент и не
могут зависеть от последующих состояний системы точно так же,
как они не зависят от ее предыдущих состояний. В том слу-
чае, когда постоянны заряды, система стре-
мится к у мен ьшению с вбей энёргнннпотенцна-
лов. Работа в этом случае совершается за счет энергии самой
системы. Когда же внешние источники энергии поддерживают
в системе потенциалы постоянными, то система
стремится к увеличенйю свбей энергии н за’ря-
31	Электрический ток	Отд. 2—42
до в..Работа механических сил равна в этом случае прираще-
нию энергии системы, н как то, так н другое происходит за
счет внешних источников энергии.
42.	Воздействие электрических полей иа диэлектрики. Опыт
показывает, что после сообщения заряда конденсатору с твер-
дым или жидким неоднородным диэлектриком разность потен-
циалов ла его обкладках убывает, стремясь к некоторому пре-
делу. Обратно, после разряда конденсатора на его обкладках
вновь появляется разность потенциалов, стремящаяся также
к некоторому пределу. Заряд, вызывающий эту разность, потен-
циалов, носит название остаточного) заряда и в одно-
родных диэлектриках не наблюдается. Явление остаточного за-
ряда об'ясняют диэлектрической вязкостью, т. е.дем
обстоятельством, что для установления смещения, соответствую-
щего данной электрической силе, необходимо некоторое время.
Диэлектрическая вязкость влечет за собою уменьшение емкости
конденсаторов в быстропеременных полях.
В связи с диэлектрической вязкостью стоит, повиднмому,
явление нагревания диэлектрика в быстропеременных электри-
ческих полях. Потерн на нагревание диэлектрика за один цикл
изменения электрической силы F могут быть приближенно
выражены в виде:
F*.
43.	Пробой диэлектрика. Деформация электрического смещения
может возрастать в диэлектриках лишь до известного предела,
при переходе за которой происходит разрывной разряд, и ди-
электрик разрушается, пробивается. Электрическую проч-
ность изолирующих материалов характеризуют поэтому про-
бивным градиентом силы поля, соответствующим
предельной величине смещения.
Электрический ток.
44.	Сила тока к плотность тока. Процесс перемещения
электричества носит название электрического тока и характери-
зуется силою тока (/^определяемой соотношением
/=^.
1 dt
где dq — количество электричества, протекшее за время dt через
поперечное сечение проводника или.диэлектрика. Плотно-
стью тока (у) называют силу тока,рассчитанную на единицу
площади поперечного сечения, т. е.
. di
d3
Отд. 2—45	Теоретические основы электротехники
32
45.	Ток проводпиновый, ток смещошм: и ток конвенционный.
Так как необходимым условием электрического равновесия
в проводнике является равенство потенциалов: во всех его
точках, то, принудительно поддерживая между двумя нлн не-
сколькими точками проводника некоторую разность потенциалов,
мы вызовем непрерывное перемещение электричества в провод-
нике, которое н называется проводниковым током.
Током смещения называют ток, образующийся в процессе
возникновения или изменения электрической поляризации, ди-
электриков, сопровождающейся, как указано выше, перемеще-
нием электричества. Плотность его
di __ d?q __ dD
J ~ ds dt ds ~~ di'
Кроме того» электрический ток может быть осуществлен пере-
носом в непроводящей среде электричества, связанного с дви-
жущимися материальными телами, а в некоторых случаях даже
несвязанного с материей, Такой ток переноса носит название
конвекционное оток а.
45.	Принцип эамккутости электрического тока. В тех случаях,
когда наблюдается перемещение электричества в незамкнутом
проводящем контуре, или в случае конвекционного ,тока, на
первый взгляд может казаться, что и электрический ток разо-
мкнут. Но, пользуясь-понятием о токе смещения, можно, исход»
из теоремы Максвелла
Pcos^ds — q,
показать, что полней ток сквозь замкнутую поверхность, т.-е
// j cos р ds =JS J\ cos fiids+ff J2 cos p2 ds+ff J3 cos ₽3 ds=.0,
где J> Ji, Ji и Jt — плотности токов иодного, проводииконого,
конвекционного и смещения, а 0,	02 н (З3 — углы, составляе-
мые направлением их с внешней нормалью к поверхности.
Т. е. электрический ток всегда замкнут, и в указанных выше
случаях токи проводниковый и конвенционный замыкаются
токами смещения.
47.	Электродвижущая сила, напряжение, раэнэсть потен-
циалов. Всякую причину, вызывающую электрический ток или
могущую его вызвать, называют электродвижущей
силой (э. д. с.). Для определения а.- д. с. или суммы в. д. с.,
действующих в данной замкнутой цепи, следует взять линейный
интеграл электрической силы вдоль всего замкнутого контура
этой цепи, т.-е. в этом случае
h^cq^adl.
33	Электрический ток	Отд, 2—4
Означенная сумма э. д. с. слагается из основных э. д. с., на-
правлением которых определяется направление тока в данвом
замкнутом контуре, и обратных э. д. с., противодействующих
основным. Основные э. д. с. совершают работу, преодолевая
электрические сопротивления отдельных участков контура и на-
ходящиеся в этих участках обратные э. д. с. Внешняя э. д. с.,
действующая на данном участке является, вообще говоря, частью
суммы основных э. д. с. Внешнюю э. д. с., действующую на
некотором участке цепи, часто называют электрическим
напряжением, или просто напряжением на концах
этого участка. В том случае, когда электрическая сила имеет
потенциал, напряжение на концах участка есть разность
потенциалов на его концах. Термин разность потенциалов,
применимый в электростатических полях без всяких ограничений,
применим н в цепях постоянного тока, если условиться контур
интегрирования выбирать так, чтобы он не пересекал источников
э. д. с. Из определения э. д. с. и напряжения следует, что они
измеряются в тех же единицах, что и разность потенциалов, т.-е.
в практической системе единиц — в вольтах.
48.	Термоэлектродвижущая сила. Будем называть термо-
парой цепь, составленную из двух разнородных металлов или
сплавов. Соединение их может быть произведено нажатием,
скруткой, свариванием или помощью спая. Зеебек нашел, что,
поддерживая н местах соединения различные температуры, мы
получим в цепи термопары электрический ток. Э. д. с., вызы-
вающую этот ток, называют термоэлектродви ж у щей
силой термопары. Магнус показал, что в однородной цепи
при любом распределении температуры не возникает э. д. с.
Точно так же ие возникает э. д. с. в разнородной цепи, если
все места спаев находятся при одной и той же температуре.
Величина э. д. с. термопары зависит от металлов, ее образую-
щих, и от температур мест соединения и не зависит от длины
звеньев, от способа их соединения и от распределения темпе-
ратуры по длине звена. Э. д. £. термопары может быть прибли-
женно выражена в виде:
\	z у
где tn — температура нейтральной точки, определенная
для каждой пары металлов и равная полусумме температур, при
которых (е)? обращается в нуль. Если температура одного спая
постоянна, то максимум будет тогда, ко?да температура
ч
другого спая станет равной . Э. д. с. термопары, соответ-
ствующая температурам ti и t2 в местах соединений, равна
Отдел 2.
3
втд. 2—48 Теоретические основы электротехники 34
сумме э. д. с., получающихся при температурах t2 и 8 и 9 и t2
если 8 лежит. между и t2, т.-е.
( еАв)^ = ( еАв)\ + ( еАв)$ •
При небольшой величине разности (/, —t2) имеем:1
( еАв)' = а (*i ~ *»)•
*«
Все металлу могут быть расположены в нижеприводимый
термоэлектрический ряд таким образом, что термо-
электрический ток, возникающий в замкнутой цепи, составлен/
вой из двух металлов этого ряда, имеет направление через более
нагретое соединение от металла, стоящего ближе к началу ряда,
к металлу, стоящему ближе к концу. По Гаикелю: — Na, К, Bi,
Ni, Со, Pd, Не, Pt, Аи, Си, Sn, Al, Pb, Zn, Ag, Cd, Fe,
Sb + ; до В. Томсону: — Bi, Ptlt Al, Sn, Pb, Pt2, Си, plit Zn,
Cd,Fe+-
Здесь Ptx, Pt2 и Pt2 — различные сорта платины. Ряды
неодинаковы, вследствие неодинаковой чистоты исследованных
металлов. Термоэлектрический ряд обладает следующим важным
свойством: э. д. с., возникающая в цепи, составленной из’ метал-
лов М и N, при температурах Л и <ф, равна алгебраической
сумме э. д. с., возникающих при тех же же температурах в от-
дельных цепях, образуемых металлами М и А, А и В, В и С,
С и N, т.-е.	’
( £mn)‘ "• ( eMAt, + ( елв) * + ( евс)' + ( £cnY 
Н	*>	*»	*1	ч
В тесной связи с термоэлектрическими явлениями находятся
явления Пельтье и В. Томсриа.
Явление Пельтье состоит в том, что, при прохождении
электрического тока через место соприкосновения двух различ-
ных металлов, в этоМ месте происходит, в зависимости от напра-
вления тока, поглощение или выделение тепла. Направление
тока, охлаждающего место соединения, одинаково с направле-
нием термоэлектрического тока, получающегося в той же цепи
при нагревании этого соединения. Количество выделяющегося
иди поглощаемого в месте соединения тепла пропорционально
времени и силе тока.
Явление В. Томсона заключается в том, что, ири про-
хождении электрического тока через однородный металлический
проводник, имеющий по своей длине неодинаковую температуру,
обнаруживается как бы перенос тепла при посредстве электри-
ческого тока. В медном проводнике этот перенос происходит по
направлению тока, в железиоМ И платиновом — по обратному
направлению. Количество тепла О), выделяющегося вследствие
35	Электрический ток	Отд, 2—49
явления Томсона за одну секунду на участке проводника,
разность температур концов которого равна 1°, пропорционально
силе тока и, за исключением одного железа, средней абсолют-
ной температуре участка, т.-е.
Q = а Т.
49.	3. д. с. соприкосновения. Вольта открыл, что при сопри-
косновении двух разнородных изолированных проводящих тел
на последних получаются равные и противоположные по знаку
количества электричества, следствием чего является возникно-
вение на этих телах разности потенциалов, зависящей лишь от
вещества тел, нх температуры и, в известной степени, от окру-
жающей эти тела атмосферы. Металлы и другие твердые про-
водники, не разлагающиеся на химически составные части при
прохождении по ним электрического тока могут быть располо-
жены в нижеследующий ряд Вольты, обладающий тем свой-
ством, что всякое тело при соприкосновении с любым из тел,
стоящих в этом ряду дальше, электризуется положительно, а при
соприкосновении с предшествующими телами электризуется
отрицательно: + Al, Zn, Sn, Cd, Pb, Sb, Bi, нейзильбер, латунь
Mg, Fe, сталь, Си, Ag, Au, уголь, Ur, Те, Pt, Pl—. Провод-
ники, располагающиеся в ряд Вольты, обладают следующим
важным свойством. Разность потенциалов, возникающая при
соприкосновения двух проводников, равна сумме разностей
потенциалов, возникающих при соприкосновении попарно всех
проводников, помещенных в ряде Вольты между двумя первыми,
т.-е., если между М н N помещены А, В и С, то:
UM-UN = (UM-Uа) + (UA -UB) +
+ (UB-UC) + (UC~UN).
Отсюда следует, что на концах цепи, составленной .из несколь-
ких металлов, ио имеющей оконечные звенья из одного веще-
ства, разность потенциалов равна нулю, если только все звенья
цепи имеют одну температуру.
Проводники, подвергающиеся разложению от действия
электрического тока и называемые электролитами, не
могут быть помещены в ряд Вольты. На концах цепи, в которую
входит хотя бы один электролит и несколько различных провод-
ников, располагающихся в ряд Вольты, при одинаковых оконеч-
ных звеньях' мы получаем разность потенциалов, отличающуюся
от нуля. Замыкая такую цепь, мы получим в ией электрический
ток. При этом во внутренней части цепи будет происходить
перемещение положительного электричества от точек с низшим
потенциалом к точкам с высшим потенциалом за счет химиче-
ских действий, возникающих при соприкосновении как разных
электролитов, так и электролитов и проводников, располагаю-
щихся в ряд Вольты. В данном случае мы будем иметь преобра
Отд. 2—50 Теоретические основы Электротехники 36
зоваиие химической энергии в эвергию электрическую. Рас-
смотренная цепь называется гальваническим или в о л ь-
таическим элементом. Э. д. с. такого элемента равна
разности потенциалов на зажимах его, при условии, что цепь
разомкнута и зажимы однородны.
Если составить элемент из одного электролита и двух оди-
наковых металлических оконечных звеньев, то э. д. С. такого
элемевта равна нулю. Однако, пропустив через этот элемент
некоторое количество электричества, мы можем обнаружить
возникновение в ием э. д. с., стремящейся вызвать внутри эле-
мента движение электричества в обратном направлении. Такая
э. д. с. носит название э. Д. с. электролитической
поляризации электродов. Она возникает и в том
случае, когда э, д. с, гальванического элемента не равна нулю;
условием ее возникновения является выделение на металлах,
соприкасающихся с электролитами, газообразных или твердых
продуктов разложения последних.
50.	Электромагнитная индукция. Фарадей установил, что,
если в силу каких-либо причин магнитные линии перерезывают
проводящий контур или сам этот контур перерезывает магнит-
ные линии, то в контуре возникает э. д. с., названная им э. д. с.
индукции, или индуктированной э. д. с. По закону,
данному Фарадеем, количество электричества [^],
протекшеепо цепи индуктированного тока,
прямо пропорционально числу перерезанных
этой цепью магнитных линий [/V], т. е.:
где г — сопротивление цепи. При этом числу N приписывают
энак [ + ], если линии входят в контур и знак [ —], если они
выходят из него. Отсюда, дифференцируя, получаем:
т.-е. э. д. с„ индуктируемая в некотором контуре,
не зависят нн от величины потока, ни от веще-
ства, формы и размеров проводящего контура.
Эта э. д. с. зависит исключительно от скорости
перерезывания контуром магнитны-х линий.
Знак [ — J показывает, что возникающая э. д. с. стремится вос-
препятствовать производимому перерезыванию. Максвелл для
замкнутого контура, ве претерпевающего ни-
каких изменений, нарушающих его непрерыв-
ность, привел закон индукции к виду;
ея*~ dt •
37	Электрический ток	Отд. 2—50
где Ф — полный поток, пронизывающий контур,
т.-е. число сцеплевнй реально существующего
потока с данным контуром. Из формулировки Макс-
велла следует, что при всяком изменении потока, пронизываю-
щего контур, в последнем индуктируется э. д. с., зависящая лишь
от скорости изменения потока и совершенно независящая от
того, каким образом производится это изменение, лишь бы кон-
тур оставался все время непрерывным. Знак [ — ] показывает,
что индуктированная э. д. с. стремится воспрепятствовать про-
изводимому изменению потока. Для замкнутого контура, непре-
рывность которого не нарушается, обе приведенные формули-
ровки закона индукции тождественны и всегда приводят к одному
результату, но, смотря по обстоятельствам, примевение одной
из них может оказаться более наглядным н удобным. Если кон-
тур состоит из w витков, то, полагая, что все ви^ки сцепля-
ются со всеми лвннямн магнитного потока, можно написать:
t/Ф
где Ф — реальный поток. Желая получить э. д. с. в вольтах,
следует полученный результат умножить на 1О~8. Из закона
индукции можно найти в. д. с., возникающую в прямолиней-
ном проводнике дливою I, перерезывающим магнитные линии
однородного поля со скоростью о, а именно:
е^В Iosina cos f3,
где В — Индукция, а — угол между проводником и направлением
поля, р — угол, между направлении движения н плоскостью,
перпендикулярной к направлению поля. Если
проводник расположен перпендикулярно к ли-	Лшгаш»
ниям поля и движется в плоскости перпендику- «к*	/
к к
лярной к магнитным линиям, то а = у н (3 = гр	\
а тогда:	\
е = ВI о.	. Л '
лас '*	—-
Направление индуктированной э. д. с. можно
определить по правилу трех пальцев правей руки, "ис‘ а”
данному Флемингом. Для облегчения запомина-
ния это правило по-русски, обычно, формулируют следующим
образом: если расположить большой, указатель-
ный н средний пальцы правой руки в виде
системы прямоугольных координат и дать пер-
вым д ву м па л ь ца м (начиная с большого) напра-
вление движения и потока (в алфавитном по-
рядке: Д, П), то средний палец укажет направле-
ние индуктированной э. д. с. (рнс. 2).
Отд. 2—51	Теоретические основы злектротехника
38
Электрическая цель.
SI.	Закон Ома. Законом Ома определяется сила тока в ли-
нейной проводящей иеразветвленной цепи, разность потенциа-
лов на концах которой равна Ui — U2, прн чем в этой ценя
могут существовать э. д. силы, сумму которых назовем 2 е. По
закону Ома имеем:
I/,— f/a + Se
I— г 
Для замкнутой цепи U\ — Ui — 0, и, соответственно,
Знаменатель г, называемый электрическим сопро-
тивлением цепи, зависит от природы вещества проводника,
его геометрических размеров и формы и может быть выражен
Г1 dl
в виде г= / р -у, где dl — элемент длины проводника, S—его
о
поперечное .сечение, ар — коэффициент, характеризующий при-
роду вещества проводника и называемый сопротивляе-
мостью, иди удельным сопротивлением. Если
сечение однородного проводника по всей длине одинаково, то
г = р —у' Если проводник может быть разбнт на п однород-
ных частей, имеющих по всей длине одно сечение, то
Л = л
k=i
Закон Ома применим и для проводников не линейных, если
поперечные сечения являются поверхностями уровня. Если по-
следнее не имеет места/ то, применяя закон Ома, под сопроти-
влением такого однородного проводника следует подразумевать
сопротивление линейного проводника, в котором при разности
потенциалов, равной наблюдаемой на концах данного провод-
ника, получается сила тока, одинаковая с существующей в дей-
ствительности. Единицей сопротивления служит сопротивление
проводника, в котором при разности потенциалов на концах,
равной единице, сила тока равна также единице. В практической
системе единица сопротивления носит название о м. Величина,
обратная сопротивлению Г, называется проводимостью,
g=*/r- Единица проводимости в практической системе носит
название с и м е и с *). Аналогично вводится понятие об у дель-
') Иногда атов единице дуцсвмгаают вмэыяге МЬо (ко), .
39
Электрическая цепь
Отд. 2-52
ной проводимости г, величине, обратной удельному со-
противлению р и связанной с ним соотношением 7 = 1/р. Из
соотношения г = р -у следует, что в практической системе
единиц удельное сопротивление измеряется в омах, умноженных
на сантиметры, а удельная проводимость’—в сименсах, деленных
на сантиметры.
S2.	Классификация твердых и жидких проводников. Твердые
н жидкие проводники могут быть разбиты на четыре класса:
1) металлические проводники, 2) электролитические, 3) пиро-
электрические, 4) изоляторы. Металлические провод-
ники характеризуются тем, что при прохождении по ним
электрического тока происходит преобразование электрической
энергии только в тепло, хотя косвенно могут получаться и другие
виды энергии. Удельное сопротивление проводников I класса
колеблется в пределах от 1,6 • 10-0 2 X cm до 100 • 10-6 2 X ст.
С повышением температуры сопротивление проводников I класса,
за редкими исключениями, повышается н может быть предста-
влено в виде:
Pt =Ро[1 4- at + bfi\>
где р0 —удельное сопротивление при 0° С. Для Небольших
интервалов температуры можно пользоваться зависимостью:
Pt =Ро[1 + Д/]-
Для химически чистых металлов коэффициент а, называемый
электрическим температурным коэффициен-
том, весьма близок к 273  Поэтому для них имеем:
Pt = V + 273
= РоЛ
т.-е. удельное сопротивление металлов прямо Пропорционально
абсолютной температуре. Опыты Kammerling-Onnes’a подтвер-
дили, что при Т = О сопротивление металлических проводников
падает до нуля. У сплавов температурный коэффициент значи-
тельно меньше и зависимость р =/ (?) обычно' сложна, при чем
иногда встречаются участки с отрицательным температурным
коэффициентом. Из металлов ненормально высоким температур-
ным коэффициентом выделяется железо. Между электропровод-
ностью проводников 1 класса и их теплопроводностью суще-
ствует тесная связь, устанавливаемая законом Видемана и Франца::
при данной температуре отношение теплопро-
водностикэлектропроводности для различных'
металлов есть величина постоянная, и законом
Лоренца: отношение Теплопроводности к элект-
ропроводности пропорционально абсолютной
отд. 2—53	Теоретические основы электротехники 40
температуре. На сопротивление проводников I класса,
кроме температуры, оказывают влияние также и другие факторы,
как, напр., магнитное поле, что резко выражено у висмута
Проводники II класса — электролиты—харак-
теризуются тем, что прохождение по ним электрического тока
всегда сопровождается химическими действиями. Ко II классу
относятся растворы солей, кислот и оснований, а также рас-
плавленные соли металлов. Большинство электролитов при за-.
твердевании приобретают свойства проводников IV класса—пре-
вращаются в изоляторы. На удельное сопротивление электроли-
тов сильное влияние оказывает концентрация, с увеличением
которой сопротивление обычно падает, но иногда, достигнув
минимума, вновь начинает возрастать. Увеличение температуры
ведет к уменьшению внутреннего трения и, соответственно,
к уменьшению удельного сопротивления. Следовательно, электро-
литы обладают отрицательным электрическим температурным
коэффициентом. Зависимость удельного сопротивления от тем-
пературы обычно дается для них в форме
[l+a(f-18o)J,
гДе Рта — удельное сопротивление прн 18° С.
Третий кл.асс составляют проводники пиро-
электрические, характеризуемые тем, что при изменении
температуры они в некоторых пределах имеют положительный
температурный коэффициент, в некоторых—отрицательный. Пер-
вый участок отчетливо наблюдается не всегда, но интервал тем-
ператур, в котором температурный коэффициент отрицателен и
по абсолютному значению очень велик, имеется у всех провод-
ников III класса. К III классу принадлежат многие соли, окиси
металлов, соединения металлов с серой, силикаты, стекло, огне-
упорные материалы, смеси проводников с непроводниками. •
Четвертый класс составляют проводники, имеющие
в обычных температурных условиях столь высокое удельное
сопротивление, что практически они не могут быть использо-
ваны для проведения электрического тока, а, наоборот, служат
для ограничения его пути, почему и называются изолято-
рами. Изоляторы большею частью имеют отрицательный тем-
пературный коэффициент.
S3.	Распространение постоянного электрического тока в про*
водниках двух и трех измерений. Применяя к каждому элементу
об'ема проводящего однородного и изотропного тела положение
Ома о том, что количество электричества, проходящего в эле-
мент времени сквозь элемент поверхности по направлению
нормали к ней выражается через
dU
dq = —т ds-ffidt,
41	Электрическая цепь	Отд. 2—53
можно показать, что для каждой точки тела, за исключением
об'ема, занимаемого питающими электродами, удовлетворяется
уравнение
&U	д’-U d'U
дхг	ду' + dz* = '
Если тело окружено непроводящей средой, то для всех точек
поверхности
Кроме того, на поверхности электродов имеем условие, что
полное количество электричества, вступающее в единицу вре-
мени через поверхность электродов в тело, равно силе тока
в электроде. Из приведенных условий можно определить урав-
нения поверхностей уровня. Линии тока, дающие напра-
вления, по которым происходит движение электричества в теле,
определятся тогда, как линии, пересекающие поверхности уровня
под прямыми углами. Плотности тока определяются из соотно-
шения J = — у -^г, Где л' — нормаль к поверхности уровня.
Если проводящее тело состоит из разнородных частей, то для
всех точек поверхности раздела имеет место условие:
d£/t	dU2 „
Т1 dn	dn -0,
где л—нормаль к поверхности, направленная в часть тела с ур
Кроме того, для точек, весьма близких к поверхности раздела,
но лежащих по разные стороны ее,
Ut — U2 = const.
Из двух последних равенств получаем закон преломления
линий тока
tgh 71
71 ’
В случае безграничного тела с находящимися внутри него
шаровыми электродами радиуса 2?в, весьма малого по сравнению
с расстоянием d между ними, имеем:
где и — расстояние данной точки от электродов. Потен-
циалы электродов можно принять равными
,, i 1	„ i 1
U*~ 4ч И	4«т Ro •
Отд. 2--53	Теоретические оемоме ыекЗротехники	42
Отсюда сопротивление бесконечно большого тела
r= 2 (t/i — 6/2)= 2п^9-
В случае весьма тонкой бесконечно большой пластины толщи-
ною b имеем:
Uz= с~~ъ^Б 1п7Ъ‘
где С — произвольная постоянная, a fa и fa — расстояния
электродов от точки, потенциал в которой и. Уравнением
поверхностей уровня будет =» const, т.-е. они представляют
собою круги, эксцентрично охватывающие электроды, линии же
тока будут дуги окружностей, соединяющих центры электродов.
Для круглой пластины, на краю которой расположены электроды,
линии тока также будут дугами окружностей.
Следующие два случая имеют практическое значение.
а)	Сопротивление столба жидкости высотою Л между двумя
цилиндрическими коаксиальными электродами радиусов и 7?а
(/?!>&):
1 , fa
r-2^htn~^‘ х
b)	Сопротивление жидкости, находящейся в полом непро-
водящем цилиндре, радиусы которого и fa (/?i>/?2) и огра-
ниченной плоскими электродами, расположенными по радиусам
под утлом 9 друг к другу, прн глубине жидкости Л:
9
Г = л/ '
Следующие формулы дают величину переходных сопро-
тивлений заземляющих электродов для случая неограниченной
среды с электропроводностью у.
а)	Шар, радиуса R:
Ъ)	Круглая пластина радиуса R.
с)	Цилиндр, радиус основания которого fa а длина I:
1 , I
Г~ toetf Ь R •
43	Электрическая цепь	Отд. 2—54
d)	Прямоугольная пластина со сторонами а и па, при чем
л>1:	_
1	1 + л+ А
Г1==:	Я1.+ л — Уд
где
А=(1+Л)8—51.'
54.	Законы Кирхгофа. Задачи о распределении тока в раз-
ветвленных цепях решаются при помощи двух законов Кирхгофа.
Первый закон гласит, что алгебраическая сумма всех
токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.-е.:
Sj=O,
если токи направленные к узлу, считать положительными, а
направленные от узла—отрицательными. Физический смысл этого
закона состоит в том, что в узле не может происходить ни нако-
пления, ни убыли электричества. Второй закон гласит, что
во всяком замкнутом контуре алгебраическая
сумма произведений сил токов на сопротив-
ления соответствующих частей контура равна
алгебраической сумме всех электродвижущих
сил, заключающихся в контуре, т.-е.:
S ir =* S е.
При этом, обходя контур, следует считать токи н э. д. силы
положительными, если их направление совпадает с направле-
нием обхода. Иногда произведения из сил токов на сопротивления,
взятые со знаком (—) и представляющие собою падения напря-
жения на отдельных участках цепи, рассматривают, как обратные
электродвижущие силы и тогда пишут второй закон Кирхгофа
в форме:
2г = 0.
Законы Кирхгофа дают возможность получить систему линейных
уравнений, достаточную для решения вопроса о распределении
токов в сколь угодно сложной цепи. При этом для получения
независимых уравнений необходимо, пользуясь вторым законом,
выбирать контуры обхода так/ чтобы они отличались от пре-
дыдущих контуров хотя бы одним новым элементом.
55.	Принцип наложения и принцип взаимности. Решение
идач о распределении токов в сложных цепях иногда может
быть упрощено, если воспользоваться принципом наложения
или принципом взаимности. Принцип наложения основан
на том, что сила: тока в любой части сложной цепи является
линейной функцией электродвижущих сил, действующих в этой
цепи, что следует из законов Кирхгофа, н гласит, что Сйла
Отд. 2—56 Теоретические основы электротехники 44
тока в любой части цепи равна алгебраической
сумме всех сил токов, которые существо-
вали бы в этой же части цепи, если каждая
э. д. с. действовала бы по очереди отдельно,
в предположении, что все остальные в это
время равны нулю.
Принцип взаимности, установленный Максвеллом
на основании заковов Кирхгофа, гласит, что, если при неко-
торой разности потенциалов U на концах
ветви АЙ сила тока в ветви CD будет/, то при
той же разности потенциалов U на концах
ветви CD в ветви АВ установится ток той же
силы I.
56.	Последовательное и параллельное соединение. После-
довательным соединением источников э. д. с. и при-
емников называется соединение, при котором конец одного
соединяется с началом другого и т. д. При последовательном
соединении имеем:
+ • • • “ / П 4- / Гз + . . •==/(Л4-7'а4- •	• )
Отношение —у- называется эквивалентным сопро-
тивлением (га) всей цепи.
Величина, обратная эквивалентному сопротивлению, называется
эквивалентной проводимостью:
1
= — •
'а
При последовательном соединении
ж 6 + + • • . = S г, ga =	j .
Рассматривая действие п одинаковых последовательно соеди-
ненных источников с электродвижущей силой е и внутренним
сопротивлением г в цепи с внешним сопротивлением f, имеем:
пг+г1 *
Параллельным соединением источников э. д. с.
или приемников называется соединение, при котором начала
всех источников э. д. с. или, соответственно, приемников соеди-
няются вместе точно так же, как и концы. При параллельном
соединении приемников имеем:
* ~ А + /з + h + < , • =* U.q) (gj + •••)<
45
Электрическая цепь
Отд. 2—57
где I—сила тока в нёразВетвленной части цепи, a UA— UB —
разность потенциалов узлов разветвления. Отсюда получаем
для параллельного соединения приемников:
1 1
ga =^+^з + • • -=^;
При параллельном соединении п одинаковых источников э. д. с.
имеем:
57.	Работа, совершаемая в цепи электрического тека. Обоз-
начая через dq количество электричества, протекающее в эле-
мент времени dt через поперечное сечение неразветвленной
цепи, разность потенциалов на концах которой UA— UB, из опре-
деления' потенциала получим, что работа, совершенная в этой
цепи внешними источниками э. д. с. за время dt, будет:
dW= Щ -U3)dq = l — U3) dt.
Если в рассматриваемой части цепи, сопротивление которой
назовем г, нет источников э. д. с., то dW—Prdt и вся энергия,
подведевная к ней извне, выделится в виде тепла в данной части
лепи . Если в данной части цепи имеются э. д. с., совпадающие
по направлению с внешней э. д. с., то dW = Prdt—i'iedt,
т.-е. внешние источники э. д. с. доставляют лишь часть энергии,
превращающейся в тепло на данном участке цепи. Если в рас-
сматриваемой части цепи имеются обратные э. д. с. термического,
химического или механического происхождения, то dW=
= i-rdt + i S cdt, т.-е. на данном участке цепи за счет работы
внешних источников э. д. с. происходит не только выделение
тепла в количестве./’гЛ, но н преодолеваются обратные э. д.
т.-е. производится работа химическая, термическая или механи-
ческая, или же запасается энергия в электрическом или электро-
магнитном поле. За единицу работы в практической системе
принимается джоуль, равный 10’ эргов и называемый иногда
ватт-секуидой.
58.	Закон Джоуля-Ленца. Из изложенного в предыдущем
параграфе непосредственно следует закон Джоуля-Ленца: коли-
чество тепла Q, выделяемого постоянным
током в однородном проводнике, пропорцио-
нально квадрату силы тока, сопротивлению
проводника и времени, в течение которого
проходит ток по проводнику, т.-е.
О - A Prt,
Отд. 2—59	Теоретические основы электротехники
46
где А — механический эквивалент тепла. Если Q выражать
в малых калориях, то пользуясь практической системой единиц,
имеем Q = 0,24РгЛ Если Q выражать в джоулях, то
(й, — и3)3
А=1 и Q = Prf = (Ц - UJ it »  ; - f t.
59.	Мощность в цепи электрического тока. Мощность, расхо-
дуемая в цепи электрического тока
dW	da
p = ~dF~ Ш	Ш ~
Если в цепи нет источников э. д. с., то имеем
Р = i (Ui - *4) = Pr = (Ut -
Единицей мощности и практической системе служит ватт,
равный 10’ эргов в секунду или 1 джоулю в секунду. Иногда
ватт называют вольт-ампером.
60.	Передача энергии постоянным тоном. Рассмотрим про-
стейший случай передачи энергий от источника постоянной
э. д. с. е к приемнику с сопротивлением г3, при чем сумму
внутреннего сопротивления источника э. д. с. и проводов, под-
водящих ток к приемнику, назовем rt. Тогда
е
r\ + rt’
мощность, доставляемая источником э. д. с.
е3
Ро — ei — ~~i । „ .,
'1 т* it
напряжение на зажимах приемника
,г •	ert
мощность в приемнике
коэффициент полезного действия передачи
„___Р? Ъ
>о ri + ri
Из выражения для Р3 имеем, что максимум Р3 будет при r3 = rit
но тогда коэффициент полезного действия т] = 5СР/0. Максимум »;
будет при холостом ходе, т.-е. при г3 = ео, а минимум при
коротком замыкании, т.-е. при г3 = 0.
61.	Электролиз. Законы Фарадея. При прохождении электри-
ческого тока постоянного направления через химически сложные
проводящие жидкости, Через расплавленные соли металлов и даже
47
Магнитная цель
Отд. 2—62
иногда через химически сложные твердые тела происходит рас-
падение этих тел на составные части, наблюдаемое на поверх-
ностях соприкосновения их с электродами. Фарадей назвал это
явление электролизом, а составные части, на которые
распадается электролит — ионами. Продукт электролиза, отла-
гающийся на положительном электроде— а и о д е он назвал
анионом, а отлагающийся на отрицательном электроде —
катоде назвал катионом. Весьма часто, однако, вследствие
вторичных реакций на электродах получаются не ионы электро-
лита, ио иные химические образования. Фарадей установил два
закона электролиза, из которых первый гласит, что весовое
количество вещества, разложенного при про-
хождении тока, а следовательно, и не совы е
количества выделившихся на электродах
ионов, пропорциональны количеству электри-
чества, ifрот'екшему через электролит; второй
зако^ состоит в том, что при одном и том же коли-
честве электричества, прошедшем через раз-
личные электролиты, весовые количества вы де-
fl и в ш и х е я ионов пропорциональны их хими-
ческим эквивалентам. Оба закона Фарадея могут быть
выражены одним равенством:
М«« С i t,
где М—весовое количество выделившегося вещества, А — егс
атомный вес и п — валентность. Если М выражено в граммах,
а / в амперах, то С = 0,00001036 и — 96500 кулонам. Так
как при химических реакциях одно вещество замещает другое
I	А
в количестве пропорциональном химическому эквиваленту то
приведенное равенство справедливо и при наличии вторичных
реакций. Весовое количество вещества, выделяемое при прохо-
ждении через электролит одного кулона, т. е. 0,00001036 — — »
называется электрохимическим экэивалеитом
этого вещества.
Магнитная цепь.
62.	Магнитное поле и электрический тоа. Как показывает
опыт, процесс электрического тока всегда сопряжен с возник-
новением в окружающей среде магнитного поля, и последнее
является единственным существенным признаком электрического
тока. Известно, одиако, что магнитное поле наблюдается около
постоянных магнитов, естественных или искусственных, проис-
хождение или получение которых основано на явлении остаток-
Отд. 2—63 Теоретические основы электротехники 48
ной индукции. Для об'яснения явления намагничения ферро-
магнитных тел была предложена Вебером и развита Юингом
теория, согласно которой эти тела состоят нз групп молеку-
лярных магнитов, могущих вращаться около своих осей и при
наличии внешней магнитной силы стремящихся установиться
по ее направлению. Еще раньше Ампер, установивший эквива-
лентность элементарного магнита и весьма малого замкнутого
тока, плоскость которого перпендикулярна к оси магнита, ввел
с той-же целью предположение о наличии в ферромагнитных
телах внутренних молекулярных токов. Этот взгляд находит
себе подтверждение в современной теории строения вещества.
Впоследствии гипотеза Ампера была развита Ланжевеном и
Вейсом, теория которых дает возможность об'яснения явлений
намагничения не только ферромагнитных, но и пара- и диамаг-
нитных тел. На основе указанных взглядов мы приходим к весьма
важному заключению, что не только электрический
ток всегда связан с магнитным полем, ио и
обратно, магнитное поле всегда связано с
электрическим током. Поэтому иа магнитное
поле и на электрический ток следует смо-
треть, как на две стороны единого физиче-
ского процесса.
63.	Обобщенный закон Био-Савара. Связь между магнитным
полем и сопряженным с ним электрическим током дается обоб-
щенным законом Био-Савара, гласящим, что линейный
интеграл магнитной силы по замкнутому
контуру равен
4 тс S I = 4 тс /,
где Ъ1 = 1 — полный ток сквозь контур, т.-е. алгебраическая
сумма сил всех токов, пронизывающих контур интегрирования,
а именно:
f Н cos adl = 4tcS/ = 4tc/
или	о
f Н cos a dl = f Jcosfi ds,
Q
где интеграл правой части взят по поверхности, ограниченной
контуром, по которому взят интеграл левой части, a J—плот-
ность тока. При этом предполагается, что контур интегрирования
охватывает пронизывающий его ток лишь один раз, если же
ток охватывается контуром интегрирования п раз в одном
направлении, то
f И cos a dl = fa п I.
о
Из этого замечания и определения магнитного^потенциала сле-
дует, что последний в магнитном поле тока является, много-
значной функцией и может быть представлен в виде
£7= £70 — 4тсл/,
41)
Магнитная цепь
Отд. 2—64
еде л: показывает, сколько раз мы обошли вокруг тока в поло-
жительном направлении линий сил. Направление магнитной
силы и силы тока связаны между собой правилом правого
винта- (штопора). Из изложенного следует, что замкнутые линии
магнитного поля, всегда существующего в среде, окружающей
электрический ток, охватывают атот последний, и что мерой
электрического тока может служить линейный интеграл маг-
нитной силы, взятый по замкнутому контуру, охватывающему ток.
64.	Магнитное пене алэнтричеекого тона в частных случаях.
а)	Магнитные линии уединенного прямолинейного тока пред-
ставляют собой концентрические окружности, центры которых
лежат на оси тока. Магнитна» сила для точки, лежащей
вне провода на расстоянии а от его оси, в этом случае будет
н — 4~Z Л-'
а ~	“ а ’
где I выражена в абсолютных электромагнитных единицах
А б со л ютной э ле ктром а гн итной един ицей си л ы
тока называется сила тока, который, проходя
по бесконечно длинному уединенному прямо-
линейному проводнику, создает магнитное
nojje силою два гаусса на расстоянии одного
сантиметра от оси проводника. Практическая еди-
ница еилы'ток® ампер равна одной десятой абсолютной
электромагнитной единицы.
Ь)	Для точек, лежащих внутри уединенного провода (круглый
сплошной цилийдр радиуса на расстоянии а от оси провода
Н'а~
На
& •
с)	В случае кругового тока, радиус которого /?, имеем для
точки, лежащей на оси на расстоянии I от самого тока:
р .
и для центра круга
Нл- % 
d)	В случае узкой и бесконечно длинной катушки (соле-
ноида) с равномерно распределенной по ее длине обмоткой
внутри катушки
Н = 4 it wv I,
где wv—число витков на сантиметр длины. Для соленоида
конечной длины, представляющего собой круговой цилиндр
радиуса #и длиною 2/для точки, лежащей на оси соленоида на
Отдел 2.	.
Отд.: 2—65 Теоретические основы электротехники
50
расстоянии с от центра, составляющая магнитной силы по оси
будет
g. Г — с	____~ / 4~ £	. 1
г= ЯИ/1/ 1р(/-с)’ + Ф + J ’
В центре такого соленоида
4гс ц/д//
Нх “ \/р + &
& на основаниях
4 я Wjil
х ~ у/4/* + Я* ‘
е) В кольцевой обмотке из w витков, расположенных непо-
средственно рядом друг с другом, магнитные линии имеют
форму концентрических окружностей с центром на оси кольца
и для точек, находящихся на расстоянии Д? от последней, ,
При этом магнитная сила во всех трчках вне кольца равна нулю,
f) В случае плоской катушки или
Нг небольшого соленоида с числом вИТ-
X ков w, в точках, удаленных от ка-
\ тушки (рис. 3):
‘/A	2wia cos f
U \	нг =------------->
iviacost
----------= ---------------------гз— .	= °.
Рис. 3.	где а —площадь витка.
g) В случае прямоугольной рамы со сторонами 2а и 2Ь
в центре прямоугольника:
„	4/\/ д8 +
Н аЬ
, 65.,Закон иагнитной цепи. Рассматривая трубку магнитной
индукции достаточно малого сечения для того, чтобы можно
было считать индукцию равномерно распределенной по сечению,
в среде с магнитной проницаемостью р, имеем:
tp = Bs = 9 Hs,
где tp — магнитный поток сквозь трубку сечения з. Отсюда,
обозначая через dl элемент длины магнитной трубки ц инге-
51	Магнитная цепь	Отд. 2—6S
грируя . вдоль ее между произвольными сечениями А и В,
получим:
в
f Hdl
А
А V-5
. Это и есть закон магнитной цепи для трубки индук-
ции, весьма сходный с законом Ома.. По аналогии с последним
числитель правой части называют маг им то движущей
силой, действующей иа участке АВ, а знаменатель — ма-
гнитным/сопротивлением (R) данного участка трубки1).
Примеря этот закон ко всему замкнутому контуру трубки,
имеем:	.
m_J0Hdl _ 4к/ _4к/
? Г dl = Г dl R '
л ps io v-s
где /—алгебраическая сумма сил всех токов, сцепляющихся
с контуром трубки. Если поток связан с катушкой нз и> вит-
ков, сила тока в которой I, и если все трубки сцепляются со
всеми витками катушки, то обозначая поток, представляющий
собою совокупность всех п трубок, через (Ф), получим:
п
2., ,Г 1	1	, I 1 4те«,/
'PA=/4’t^/[ Rj + R3 + • • + R ]= в >
к = 1
если положить
Aon
22 1/r*=r-
к - 1
Й. в этом случае называется магнитным сопротивлением всей
магнитной цепи. В тех случаях, когда все трубки тождественны,
имеем.
11	1
Ri	Rn
и
1 п ” . 1
R " Ri ~ . dl — . dl ’
•»о р$ Jq pS
где S = ns сечение всего потока.
*) в отличие от электрического совротивлеяия обозначаем жирным пря-
мым R.
Отд. 2—66 Теоретические оеноеы мектротехники 52
В некоторых случаях оковывается вемюжяым разбить ма-
гнитную цепь на участки, такие, что по всей длине участка
можно считать свойства среды н сечение потока неизменными.
Тогда, обозначая длину этих участков через lt, l3 получим:
azaz—*
1*1 S1 1	1 •	•
Последняя зависимость носит название формулы Гопкии-
сонов. Выражая силу тока в амперах, имеем:
0,4х и> t
ф 5JP	г—
Обычно 0,4 я относят в знаменатель, вводя
R*	lk	1к
«	0,4« Р» > *	Р* $к
Тогда
wi	'
н да/ = ФХГА=,^82Яг .
Здесь магнитодвижущая сила, необходимая для проведенияпотока
Ф по всей длине магнитной цепи, выражена в ампервит-
ках (Л1Г) нее можно подсчитать* зная длину каждого
участка и определяя число ампервитков на сантиметр длины
Ф
пути (а» = 0,8 Hk) поиндукции5А на этом участке из
кривых	или B^f(aw)^f(№H).
66.	Рассеянна магнитного потока. При расчете магнитных
цепей надо учитывать то обстоятельство, что даже при приме-
нении для магнитной цепи материалов р высокой магнитной
проницаемостью, последние окружены всегда средой, для
которой р.^1, а не равна нулю, н что поэтому обычно часть
магнитного потока уклоняется от предназначаемого пути и замы-
кается хотя бы, например, через воздух. В таких случаях весь
поток Фт может быть разбит на две части: полезный нотой
Фв f проходящий по предназначаемому пути, и поток рассеяния
, уклоняющийся от этого пути. Отношение полного потока
к полезному называется к о э фф и ци ентом рассеяния (а)
и мы имеем: 4	4
Ф	Ф
т , । а ,
о = “ф” «1 т •’аг" >1 •
^я
53
Ваектродишышва	Отд. 2—67
67.	Сложны* магнитны* цепи. В том случае, когда магнит-
ная цепь имеет разветвления, то расчет ее производится на
основании законов, подобных законам Кирхгофа для электри-
ческой цепи, а именно: I) И каждом сечении цепи
алгебраическая сумма потокоп равна нулю,
т.-е. 2ФЛ = 0, если потоки, приходящие к сечению и уходя-
щие от него, брать соответственно с разными внаками,
н Щ* любом замкнутом контуре магнитной
цепи сумма магнитодвижущих сил, действую-
щих в этом контуре, равна нулю, если произведения
из потопов на матнитные сопротивления соответствующих участ-
ков, взятые со знаком минус, считать за обратные магнито-
движущие силы.
Электродинамика.
68.	Энергия алмггродииамической системы. Электродинами-
ческой системой называют систему из любого числа как угодно
расположенных проводящих контуров, обтекаемых электриче-
скими ‘токами. Энергией (Г) этой системы называют энергию
Магнитного {толя, связанного с ней. Имеем
7>тг= fHBdv
f р Я J

где интегрирование распространено по всему об'ему, занимае-
мому нолем.
Рассмотрим случай двух контуров с токами it и /2. Пред-
положим сначала, что /2 == 0 и назовем магнитную силу в не-
которой точке при данных условиях ПотОк Ф1( связанный
при этих условиях с первым контуром, можем разбить на две
части: Фп и Ф]2, из которых Фп не пронизывает второго кон-
тура, а Ф12 целиком пронизывает его. Так как из закона ма-
гнитной цепи известно, что потоки пропорциональны связанным
с ними токам, то имеем:
Ф1 = Фи Ф12 =	4 + ri3 А — L-u 4 + ЛАз 4 — ^-1 4>
/ 1	1 \	, 4я „ 4it
где £i = 4ir(-»-+»- ; £ц= о « Л/12 = „— называются
,	\ "11	К|2/	Иц	"13
коэффициентами индукции. Аналогично, полагая ^ = 0,
найдем в той же точке магнитную силу Н3 и, кроме того,
можем написать:
Ф2 = Ф$з + Ф*1 = Ajj If + Mji 4 — Lj if.
Отд. 2—68	Теоретические основы электротехники 54
Пусть Йх и Й2 составляют угол а. Тогда, обозначая магнитную
силу при одновременном существовании 4 н 1а через Й
имеем для рассматриваемой точки
№ = Н? + Я? + 2Ht Н2 cos а
н
Г=-^[/ р Hidv.+ f рЯа! do + 2 !^HiHacosa4v\.
Пользуясь принципом наложения потоков, справедливом
при постоянстве магнитной проницаемости среды, последнее
выражение мы можем привести, к виду:
7'= Тп 4- Гм‘+ 7м,
где
7ц — ~2 Ф1 4 — "2’^ 149>’ Т'м =2 Фа *а — 2 ^”а
Ту = Ф13 7а = Л/12 /j 7а = Ф21 7i = A4ai 71 /а = 2 Фи 7а Фз^.
Из последнего выражения следует, что Мп — Мц. Коэффи-
циенты Л71з = Л/з1 называются коэф фи циентами взаим-
ной иидукцнн контуров 1 и 2. При наличии только двух
контуров значок (1, 2) можно отбросить. Коэффициенты Lr hL2
называются коэффициентами самоиндукции, потоки
Ф1=7,171 и Ф3 = 7,а/а —потоками самоиндукции
и поток , Фи 4- Ф1з — М (4 +7а) —потоком взаимной
индукции. При одновременном существовании 4 и 7а с кон-
турами 1 и 2 будут сцепляться соответственно потоки:
. Ф-, = Ф2 -f- Фз1 — Li li + М ia,
*з = Фа 4- Фи = Z,a 7а + Af /1.
Теперь выражение для Т мы можем написать в виде:
Т' = — [Ф1 4 + Фи 4 + Фм 71 + Фз 7з) =
- i- ям» + 4	/»2+л1/‘,а+4-£s
Распространяя вышесказанное на случай п контуров, полу-
чим:
r=_L4'i4+ 4-*,4+...-+4Л
=	(^1 Ь3 + 7.2 73* + ..... 4- 7,п’7П!) +•
+ ^4з h 4 4-Л4з4 4+ • • • . +А/П_1Л 7П_1/П.
55
Электродинамика
Отд. 2—69
В дальнейшем мы будем пользоваться последним выраже-
нием для Т и, обозначая его через Те . будем называть э л е к-
трокииетической энергией электродинамической
системы. Подчеркнем, что коэффициенты L зависят только от
геометрической формы, размеров контуров и магнитной прони-
цаемости среды, а* коэффициенты М, кроме того, От взаимного
расположения контуров.	’
69.	Вторая форма уравнений Лагранжа, Вторая форма урав-
нений Лагранжа чрезвычайно облегчает исследование любых
кинетических процессов, избавляя от необходимости пользо-
ваться обязательно геометрическими координатами. В уравне-
ния Лагранжа во второй их форке входят кинетическая
энергия, обобщенные координаты иобобщен-
н ы е силы. Под обобщенными координатами (#) понимаются
любые физические величины, определяющие состояние системы
в кинетическом процессе. Обобщенными силами (К) являются
тогда величины, произведения которых иа изменения соответ-
ствующих координат дают в результате работу, совершаемую
при этих изменениях. Если система имеет п степеней свободы,
то ее состояние определяется п независимыми обобщенными
координатами и соответственно имеем п уравнений, определяю-
щих п обобщенный сил, а именно:
V' = d дТ _ дТ
dt dki'
d дТ _дТ
3 dt д%3'
_ id7	дТ
л л dt д?п	д*,/
где — обобщенные скорости, т.-е. производные от обобщен-
ных коордииатп по времени.
Максвелл, римеиивщий уравнения Лагранжа для изучения
процесса электрического тока,—процесса несомненно кинетиче-
ского характера, выбрал в качестве обобщенных координат,
характеризующих этот процесс, количества электричества, про-
текшие через поперечные сечения проводящих контуров системы,
считая от некоторого начального момента. Тогда обобщенными
скоростями будут силы токов, а обобщенными силами- соответ-
ствующие электродвижущие силы. Электрические координаты,
скорости и э. д. с. мы будем обозначать соответственно через
<7, I и е. При желании -одновременно рассмотреть и механиче-
ские силы в ,системе, мы будем вводить геометрические коор-
динаты g и соответствующие' скорости (или прй определении
(Ид. 2—70	Теоретические основы электротехники 56
крану intiiwT моментов—углы поворота в и углевые скорости 8').
Полная кинетическая энергия системы Т •» Тт + Tmt + Т, ,
где Тт — зависит только от геометрически* координат и ско-
ростей, Г^ — зависит т геометрических координат и скоростей
и от электрических скоростей, 7Л — зависит Только от геоме-
трических координат и электрических скоростей. Тm и гСоот-
ветствующие силы изучаются рвдаональной мехаиикпй, Т^-^-ипи-
чтожно мало и практически можетбыть принято равней Нулю.
Поэтому -мы рассмотрим только Те и связанные с ее существо-
ванием обобщенные силы.
70.	Электродвижущая спла самоиндукции. Рассмотрим оди-
нокий контур с током / и коэффициентом самоиндукции L.
Пусть к контуру приложена в. д. с. Ло часть которой tr идет
на преодоление активного сопротивления (электрического
трения). Имеем:
ea-ir- at д1 dlf
„	дТ. л
или, так -как Т. не зависит от а н —-Z- = 0, то
е	дд
d дТ.	. , d дТ.
WST " ‘"-"+-3-ТГ
е0— ir =
Т.-е. приложенная э. д. с. преодолевает, кроме активного
сопротивления, еще некоторую о б р а т« у ю реактивную
э. д. с. Обозначая последнюю через е s, имеем:
_ d dTt d д (jfLP) _ d (Li)
e* dt dl dt dl ~~ dt
dT,
Здесь Li играет роль количества движения в алек-
О1
трокинетическом процессе и представляет собой полный маг-
нитный поток, сцепляющийся с контуром, т. к. Li — Ф; е3 есть
та э. д. с, которая, как известно, индуктируется в контуре
в силу закона электромагнитной индукции Фарадея при всяком
изменении потока, связанного с контуром. Т. к. в данном слу-
чае весь э тот поток определяется током и самом рассматривае-
мом контуре, то он называется потоком самонндук-
ции, a es — э. д. с. самоиндукции. Э. д. с. самоиндук-
ции в общем случае будет:
d(L) ,ttdd Ld
dT^-U'-d —
S7
Электродинамика
Отд. 2-71
Если
L  consk, го es = — L •
Если	/
1	dL
t = const, то еа = — i —ft--
71. Коэффициент саыепндукцпп. Коэффициент самоиндукции
является аналогом массы в механической системе и характери-
зует собою электромагнитную инерцию контура. Он может быть
определяем следующими тре^я методами:
Ф
== у — статический коэфф, самоиндукции.
е, d®
La—------— = —— — динамический коэфф, самоиндукции
“ dijdt dt •
IT
L = —— энергетический коэфф, самоиндукции.
В тех случаях, когда 'магнитная проницаемость среды
постоянна: L^= L^= Lg . При переменной магнитной про-
ницаемости ф Ьл ф L е . Статический коэффициент само-
индукции есть коэффициент пропорциональности между потоком
самоиндукции, сцепляющимся с контуром, и силой тока в послед-
нем. Численно он равен потоку самоиндукции, сцепляющемуся
с контуром, когда по последнему проходит ток силою, равной
единице. Динамический коэффициент самоиндукции есть коэф-
фициент пропорциональности между э. д. с. самоиндукции,
Возникающей в контуре, н скоростью изменения силы тока
в последнем. Численно он равен э. д. с. самоиндукции, возни-
кающей и контуре, когда сила тока в последнем равномерно
изменяется со скоростью, равной единице силы тока в еди-
ницу времени; В практической системе CGSM за единицу
коэффициента самоиндукции принимают генри, т.-е. коэффи-
циент самоиндукции неизменяемой цепи, в которой возникает
э. д. с. самоиндукции, равная 1 вольту, при равномерном изме-
нении силы тока в цепи со скоростью один ампер в одну
секунду. 1 генри равен 10® абс. 9л.-магн. единиц (сантиметров).
72. Коэффпцпепты саиопндукцпп раэяичяых поитурев.
В дальнейшем даются коэффициенты самоиндукции контуров
для случая р —const. Тогда наиболее общим выражением
коэффициента самоиндукции любогр замкнутого контура будет
cos л
L = y-J f dli dl2,
Отд. 2—72 Теоретические основы электротехники
58
где dli и tf/s — элементы длины контура, а иг—угол и .рас-
стояние между ними, а интегрирование производится по всему
замкнутому контуру. ’
а)	Прямолинейный провод длиною I, радиус круглого сече-
ния г, магнитная проницаемость материала провода р, обратный
провод—земля; при постоянном токе
/	2/ р\
Ао = 2/ \ln — -1 +
То же при переменном токе низкой частоты <#, полагая
£ = р, f ш 5, где s — сеченне провода:
н, если £ > 2, то	__
£-£.-4(1-/^-).
То же при переменном токе высокой частоты:
Последняя формула дает также L при постоянном токе
для тонкостенного трубчатого провода.
Ь)	То же, но провод прямоугольного сечения Й\Л
и р = 1:
, Г, 2/	1	0,2235 (Л + й)1
L — 21 [/л h + b + 2 + j ]
и, если Л »Й, то
£ = 2/(to-у-+4)-
с) Два параллельных прямолинейных провода круглого
сечения радиуса г, при расстоянии между осями d для постоян-
ного тока:
/ d р d\
L0 = 4l (/л 7 + т-~)
и, если р = 1 и I » d, то
/ d 1 \
£0 = 4 / (^/л г 4 )'
Для переменного тока, полагая ^ = рк<ол, где 5 — сечеиие
провода, имеем:
£ = 4/(/л4~-Т+Д)’
59	Электродинамика	Отд. 2~72
тде для низкой частоты
для высокой частоты
для очень высокой частоты
Д = 0.
Если радиусы сечения неодинаковы (rt ф Zj), то при ц= 1
и I >> d
£-“(2мД+1)'-
d). Концентрический кабель, радиус внутреннего провода rt
радиусы внешнего г2 .и г3 (г3 < г3):
г = I Го Л .	2г*4	2з_	1
L 1L2 ,п п + (г,’ - г3*)! 1п ъ	Г3* - Г2* J ’
или, если поперечные сечения проводов равны, то
и приближенно
£=z[2/”$+4+t(^) -тт(тг) + А(тг) ]•
е) Две параллельных полосы прямоугольного сечения ft X Л
расстояние между внутренними поверхностями которых
£ = z[2^2 + -~y/n(ft + 2ft+d)-
/	. d \з	/ d \2
— 4^1+ J /л(Л + й-|_</) + 2J ln(h d) —
-4/л(Л+й)]
и, если, d 0, то
L =8/х 1ц
если, кроме того, h > > Ь, то
8/ft
L— h + b'
Отд. 2—72 Теоретические основы алектротехники 60
f) Круглое кольцо радиуса 7? из провода круглого сечения
радиуса г.
L = 4* R [(1 + In ^-0,0083 ~ -1,75]
и, если г, то для постоянного тока и переменного тока
низкой частоты:
L 4х £ [ In ~ — 1,75 ] ;
для переменного тока высокой частоты
Г 8R 1
L^4i<.R]jn-~- 2].
* g) Круглое кольцо радиуса % из очень тонкой ленты
шириною Ь:
К1 й3 \	8J?	16’	1
1+ '32 7?) 1п + 728 ^Г“в>5]-
Умножив приведенное значение на а/2, получим для одно-
слойной спирали из наложенных вплотную и/ витков тонкой
ленты, при чем ^—полная ширина спирали.
h) Прямоугольный контур со сторонами а и b мз провода
круглого сечения радиуса п
, Л Г ,	I ь ,
““ L л r(a + в3 + 63) П- г(д-[-У
— с (a + b) + 2	+ »’ + 2г] ,
где Для постоянного тока
c = 2--J-;
для переменного тока низкой частоты
и. и.#3 /	13	\
a=2 — -^-+ qq V“"180^)’
для переменного тока высокой частоты
о
с = 2~ 4 У £;
для переменного тока очень высокой частоты
Г==2,
ПрИЧ iM !(= pjonrz3
61	Электродинамика	Отд. 2—72
1) Прямоугольный контур со сторонами а и b из. провода
прямоугольного сечения а X Р! Р == 1
, Л ,	2д0	,
Г Л (а + ₽) («+	+
lab	a + b ,______
+ь 1п (нлн*+~’~2~+2vW^+
4*0,447 (а 4-p)J.
к)	Квадратный контур со стороной а из провода прямо-
угольного сечения a xfc
[а	в *4* В Л
/л -й-ft + 0,2235	4- 0,726 .
й т г	Л	J
1)	Тороид прямоугольного сечения высотою А, внешний
радиус к.1, внутренний—ftt; число витков—а?, магнитная про-
ницаемость сердечника р; ось вращения параллельна А:
ft3
m)	Тороид круглого сечения радиуса г, средний радиус
тороида /?:	1
L = 4«раД (ft —у/Т^—'г3).
п) Цилиндрическая катушка с равномерно навитой обмоткой
из и/ витков. Радиус цилиндра ft, длина I, толщина обмотки
мала по сравнению с /:
Для длинной катушет:
, -_;(^«0аГ. 8 R ,1 R* 1^*1
L ~Г L1" Зя’ Т + J IT ~ т F.1 •
Для коротких катушек:
Г f 1 р 1 Р\ 8ft
L =^&Kftufi I 2	4--gg- ~j^r — -jsj-} la —p- —
_V 64 ft3 766 ft3)]-
о)	Плоская круглая катушка, внешний радиус ft3, внутрен-
ний—ftt; высота А «(ftt 4~ ft^i число витков ш.
Для широких катушек (с малым отверстием):
L =	[з,485- (б,581п-&+ 4,54)	4-
\П2 — 1\1Г L	\	*\1	) /V2
4 0,740-^-] .
<v2 J
Отд. 2—73	Теоретические основы электротехники 62
_ .	Ri — Ri
Для узких катушек, полагая с =	’
(	4 . В\
L = 1tz (fa + /?а) ш*ТА 1П—-yj,
где
с* Пс4	43г2 С4
л == 1 + 24 + 2880 ’ В~ 1	144 “ 75 ’
р)	Круглое кольцо радиуса R круглого сечения радиуса г
из w витков проволоки:
L =	[ In (1 + 8^}- 1J5 - 0,0083.
q)	Коэффициент самоиндукции круглых катушек различной
формы, начиная от длинных цилиндрических и кончая плоскими,
можно с точностью до нескольких процентов определять по сле-
дующей эмпирической формуле:
/ D\n
L=1iO,lufiD\-p \ ,
при чем для
0<Z)<P л = 0,667,
для
P<D<3P п = 0,5,
Где D — средний диаметр катушки, а У3 —периметр площади
сечения, обмотки.
Все формулы приведены, если не оговорено особо/ для
постоянного тока, т.-е. без учета неравномерного распределения
тока по сечению проводов, имеющего место при прохождении
переменного тока (см. § 137), и дают коэффициенты самоин-
дукции в абс. эл.-магн. единицах (сантиметрах); для перевода
в генри значения L следует умножить на 10—9.
73.	Э. fl. с. взаимной ппдукцпп. Рассмотрим два контура
с токами и коэффициентами самоиндукций Lt и-£3 и коэф-
фициентом взаимной индукции М. В этом случае
Tt —~2	*h "2'У-зУа-
Реактивная э. д. с., возникающая во втором контуре, будет:
d ЭТе	d(bh + Afa)	dV3
ез~~ dt di ~ dt =s~ dt ~
</Фа </Ф1а
“ • * dt ~ dt •
63
Электродинамика
Ота. 2- 74
Т.-е. э. д. с. е3 состоит из двух слагаемых:
</Фа
— at
— известной нам э. д. с. самоиндукции, и
аГФи
емг~ — dt —~dt •
v
т.-е. э. д. с., зависящей от изменения взаимного расположения
контуров и от изменения силы тока, Иначе говоря, эта э. д. с.
является результатом Взаимодействия рассматриваемого второго
контура с первым, почему она'и называется э. д. с. взаимной
индукции. Также и в первом контуре, при изменения взаим-
ного расположения контуров и силы тока во втором, возникает
э. я. с. взаимоиндукции
</Фз1 сЦЛМД
----dt ~~ dt ’
В общем случае э. д. с. взаимной индукции будет (во втором
контуре):
</(J/A) „di, ,dM
еМ2-~ dt	'— м dt — h dt ’
dL
Если	M—const, то еМ2 = —
""	dM
Если	i3—const, to eM2 — — i,	•
74.	Коэффициент взаимной ппдукцкп. Коэффициент взаимной
индукции может быть определяем тремя методами:
., Фц	н . .
Mst = —ц- — статический коэффициент.
‘M2	я
Md=^—dijdt	— ~~dt,—Динамический коэффициент
Г12
Mt —	---энергетический коэффициент.
Если магнитная проницаемость среды постоянна, то
в противном случае
Статический коэффициент взаимной индукции есть коэф-
фициент пропорциональности между потоком взаимной индукции
и током в одном из контуров, когда в другом нет тока. Численно
он равен потоку взаимной индукции, сцепляющемуся с одним
Отд. 2—75 Теоретические оенаеы электротехники 64
из контуров, когда в другом сила тока рав*а< единице. Динами-
ческий коэффициент взаимной индукции есть коэффициент
пропорциональности между э. д. с. взаимной индукции, возни-
кающей в контуре, и скоростью изменения силы тока в другом
контуре. Численно он равен э. д. с. взаимной ИНДУКЦИИ, возни-
кающей в контуре, когда сила тока во втором контуре равно-
мерно изменяется со скоростью, равной единице силы тока
в единицу времени. Коэффициент взаимной индукции измеряется
в абсолютной системе COSM также, как и коэффициент.самоин-
дукции, в сантиметрах, а в практической системе CGSM еди-
ницей служит генри, равный 10» сантиметров.
Все сказанное выше относительно коэффициента взаимной
индукции, потоков взаимной .индукции и э. д. с. взаимной индук-
ции для двух контуров легко распространяется аналогичным
образом на случай скольких угодно контуров.
75.	Коэффициенты взаимной индукции различных иоц1уров.
Нижеследующие, формулы дают М к сантиметрах; для перевода
в генрн нужно умножить на 10—«.Магнитную проницаемость р
считаем постоянной. Наиболее общим выражением для М19, будет:
Л/1а =? М = fif0 fo dlx dli,
где dlt и сПз элементы длин двух различных замкнутых конту-
ров, а и г—угол и расстояние между ними, а интегрирование
производится по двумя замкнутым контурам.
а)	Два круглых витка радиусов и fa, плоскости которых
параллельны и центры расположены на расстоянии d на прямой
перпендикулярной к их плоскостям. Полагая fa — fa = с, имеем
3^ + с’	1 [о , ‘
~ 32flj3 “ • * •	+	+ 16/?!» -
б <Рс — с3	I
~ 487?,3 +•••]•
Эта формула пригодна для контуров, радиусы которых не
сильно разнятся и при малом расстоянии друг от друга.
Более простая, но менее точная формула:
Для двух витков одного радиуса У? имеем:
„ «Л I, , 3	,	1
=	|1 + -jg-	. . . J —
Г 1 <аР , I
~|2- 16
65	Электродинамика	Отд. 2—7
Ь)	Два параллельных провода круглого сечення длиною
на расстоянии d друг от друга:
м-2/Г ш (+-ДГ?
1	d	111
или при l»d
М — 21 [/«-j?-1 + 4]-
с)	Две параллельных прямоугольных полосы длиною I на
расстоянии d друг от друга:
м=и [/л 4-4
<р 1 / <р \
где In А = —р- to d -|- у	— ~p~j 7» (#* + ?) +
2d	3
+ -у— arc tg l/d—-у .
d)	Два равных прямоугольных контура со сторонами а н Ь,
на расстоянии d друг от друга, при чем равные стороны обоих
параллельны:
м ДпЛа + \'~аГ+^}\' b3 + d^ _____.	_____
м-41°d	Vb'+d*
+<*+*»+*+d+b ln	1.
+ a' + lfli-d^d J
e)	Две двухпроводных линии (1,2) н (3,4) длиною I. Прямые
провода 1 и 3, обратные 2 и 4:
М = 2/Х/Л^-,
”13 '24
где г — расстояние между осями проводов, соответствующих
индексам. 'М = 0, если обе линии расположены так, что в се-
чении линий прямая, соединяющая оси проводов одной линии,
перпендикулярна к прямой, которая соединяет оси проводов
другой линии, и проходит через середину ее.
76.	Кеэффициент евнзи. Коэффициенты Li н £2 и коэффи-
циент взаимной индукции М связаны соотношением:
Отношение:
t м
называется коэффициентом связи контуров п е р«
вого и второго.
5
Отдел 2.
Отд. 2—77	Теоретические основы электротехники 66
77.	Электромагнитная енла. Механические силы, возникаю-
щие в электродинамической системе, вследствие происходящих
в ней электромагнитных процессов, называются электромагнит-
ными силами. Обозначим обобщенную геометрическую коорди-
нату через g, а ее производную по времени Через g*. Тогда
электромагнитная снда (Fe ), возникающая внутри системы и воз-
действующая на изменение координаты g, будет равна и про-
тивоположна по знаку соответствующей внешней силе, вхо-
дящей в уравнения Лагранжа, а именно:
<7;____d дТе
F dg~ dt dg' '
Так как Те = S -у Lk ik 3 -|- S Mik 1( не зависит от гео-
дТе
метрических обобщенных скоростей, то ^~^г~ = 0 и оконча-
тельно:
Fe dg '
а)	Один контур: Те = -у A Z2
о _ дТ‘ _ 1 , dL
dg 2 1 dg *
В частности, для двухпроводной линии
и сила Fe по направлению перпендикулярному к оси проводов
будет:
Те	X dL	14/	п
dg	2 ' da	2 Р а	2а1Ч>
и на единицу длины провода:
, Fe _ о / ДИН .	\
je = —j—— 2 аР I "7м-' если 1 — в збс. эл-‘ма**н. ед. j.
Ь)	Два контура:
те =-^- Li ii2 + Mil + 4rZ'a 'a*
F = L,A+lti
fe— dg 2 h dg dg 2 dg •
6?
Электродинамика
Отд. 2—77
Если при движении системы, соответствующему измене-
нию координаты g, каждый из контуров движется как твердое
тело, то Z.J и £а не зависят от g и
dM
dg •
с) Любое число контуров:
Рассмотрим электромагнитную силу, действующую на первый
контур, вследствие присутствия всех остальных. Ее составляю-
щая в направлении ОХ определяется выражением:
d^lkAflk
F‘ ~il dx
Всю силу мы получим, если выберем за ось ОХ направле-
ние равнодействующей всех сил взаимодействия между первым
контуром н любым из остальных. Так как S ik Mitt есть поток
взаимной индукции, сцепляющийся с первым контуром и опре-
деляемый токами во всех остальных контурах, кроме первого,
то, обозначая его через , имеем:

dx '
В этом виде формула пригодна для определения Fe в том
случае, когда известен поток Ф1М, но неизвестны ни силы
токов его определяющие, ни соответствующие коэффициенты
взаимной индукции, что, например, имеет место в случае, когда
поток Фш связан с постоянным магнитом.
d) Провод, расположенный во внешнем магнитном поле.
Когда затруднительно определить внешний поток, связанный
с контуром, то следует вычислять электромагнитную силу из
элементарных сил, действующих на отдельные элементы кон-
тура. Обозначая элемент контура через dl, силу тока в нем I,
магнитную индукцию поля через В и угол, составляемый эле-
ментом dl и вектором В через ft, имеем для элементарной силы:
4?Ф В sin Я dldx .
dFe =	= I------------— IBsin^dl.
Если
H- = 1, to dF, = IH sin& dl.
Отд. 2—78 Теоретические основы электротехники 68
Для определения электромагнитной силы, действующей на
конечный участок АВ провода, имеем:
в
Fe = J iBsinb di.
A
Если поле однородно, то для прямолинейного провода
Fe =В i I sin ».
Если, кроме того, провод перпендикулярен к линиям снл внеш-
него поля, то sin 9 = 1 и
Fe — вп
И при (1=1
Ft— НН.
Направление силы определяется по правилу
трех пальцев левой руки: большой палец —
движение, указательный — поле, средний —ток
(см. рис. 4).
78. Графический метод определения электромагнитной силы.
Из выражения для электромагнитной силы в случае взаимодей-
ствия двух контуров
Р,
-а
~~dg
следует весьма простой графический метод определения силы
взаимодействия между двумя контурами. Построив график
зависимости М =f(g), полученный расчетом илн непосредствен-
ным измерением, и проводя касательные к этой кривой, мы опре-
dM
делим соответствующие значения как тангенсы углов
наклона касательных к оси абсцисс. Умножая эти значения на
Zi 4. получим силу Fe .стремящуюся изменить координату, g при
данном значении последней.
79.	Работа электромагнитной силы. Из выражения
„ дТе d Те	л _ х
г. —	— -5 е. следует, что работа силы F. будет:
dg dg
dk — Fedg = dg Te,
где dg Те есть частный дифференциал от Те, взятый по пе-
ременной g в предположении, что силы токов в системе по-
стоянны. Из этого выражения следует, что если в системе
силы токов поддерживаются постоянными, то работа электро-
69	Переменные токи	Отд. 2—80
магнитной силы равна приращению электрокинетической энер-
гии системы. В этом случае источники энергии, поддерживаю-
щие силы токов постоянными, должны доставить системе коли-
чество энергии:
dA' = dA-\-dg 1, ^2dA=2dg Те^2Fedg,
т.-е. в два раза больше, чем работа, совершенная силой Fe ,
прн чем вторая половина идёт на увеличение электрокинетиче-
ской энергии системы (теорема В. Томсона). На основании
выражения для dA говорят, что если в системе силы токов
поддерживаются постоянными, то в ней стремятся возникнуть
такие движения, в результате которых должна возрасти элек-
трокинетическая энергия системы. В частности, если имеем
один контур, то Те = ~ LP, и при i = const контур стремится
к увеличению коэффициента самоиндукции L. Если рассматри-
вать всю систему, как один контур и один внешний по отноше-
нию к нему поток Ф1Л1, эквивалентный в отношении электро-
магнитных воздействий всем остальным контурам, то, если
контур жесткий и l=consP.
dA = Fedg=id<t>1M.
На основании этого выражения говорят, что если сила тока
в контуре поддерживается постоянной, то контур стремится
схватить наибольший внешний для него поток.
В заключение заметим, что если в системе остаются посто-
янными потоки, то работа электромагнитных сил совершается за
счет запаса энергии, заключающегося в самой системе. Движения,
возникающие в системе при этих условиях, имеют такой ха-
рактер, что в результате их энергия системы стремится умень-
шиться. Но электромагнитные силы, возникающие в системе,
вполне правильно определяются данными выше выражениями
как при постоянстве сил токов, так и при постоянстве потоков
и даже в том случае, когда изменяются и те и другие, т. к силы
эти не могут зависеть от будущих состояний системы, точно
так же, как они не зависят от ее предыдущих Состояний.
Переменные токи. -
80.	Определении. В широком смысле под переменными
токами (или э. д. с.) понимают токи (э. д. с.), направление или
величина которых изменяются с течением времени. В более
узком смысле переменными токами (э. д. с.) называют токи
(э. д. с.), являющиеся периодическими функциями
времени, т.-е. такие, для которых имеет место соотношение:
/=/(/)=/(г-НТ),
Отд. 2—81 Теоретяяяские основы электротехники 70
где % — любое целое число. Промежуток времени Т, в течение
которого ток (э. д. с.) претерпевает один полный цикл измене-
ний, ватем повторяющихся, называют периодом переменного
тока (э. д. с), а число периодов в секунду ч = -у- называют
частотой переменного тока (э. д. с). Значение переменного
тока (э. д. с.), соответствующее какому-либо моменту времени
называется мгновенным значением переменного .тока
(э. д. с.). Для мгновенных значений переменных токов и э. д. с.
справедливы все ваконы, установленные для цепей постоян-
ного тока.
81.	Действующие и средние значения и средняя иощность.
Простейшим случаем переменного тока (э. д. с.) является сину-
соидально изменяющийся ток (э. д. с.), который аналитически
выражается так:
i = Im sin(J^rt — ф ) = Im sin (bnt— ф) =
— lmsln (®?-ф),
2~
при чем ш = 2лч = —jt называется круговой или угло-
вой частотой. Графически iov.Imsin(wt— ф) может быть
Рис. 6.
Рис. 5.
представлен в декартовых координатах в виде синусоиды (рис. 5,
максимальная ордината которой, называемая амплитудой,
равна 1п , а начало сдвинуто по оси абсцисс на угол ф в поло-
жительную сторону, если по оси абсцисс откладывать-шД или на
Ф	z
если откладывать t. Угол (<ot— ф) называется фазным
углом или'фазой, а угол ф называется начальной
фазой.
Иногда прибегают также к изображению токов и э. Д. с.
в полярных координатах. Сииусоида в полярных координатах
представляется окружностью (рнс. 6), обходимой за полный
71	Переменные токи.	Отд. 2—82
период два раза. Диаметр этой окружности равен амплитуде
и составляет с осью угол	
Действующим значением переменного тока (э. д. с.) любой
формы называют	____________
/ = j/Ц*- f ТР dt.
о
Для синусоидального тока
Среднее значение синусоидального тога (э. д. с) за целый
1 Ст
период, т.-е. -у / i dt равно нулю, но можно ввести п о н я-
о
тие а среднем значении за положительную
полуволну, которое и называется средним значением пере-
менного синусоидального тока (э. д. с.). Тогда J)
т
2 С	2
^med ~ Т J s^n dt = л 1т = 0,637 1т ,
О
Мгновенная мощность, доставляемая цепи переменного тока,
в которой действует э. д. с. е, будет р = el. Средняя мощность
(Р) переменного тока равна отношению работы ва один полный
период к продолжительности периода, а именно:
Г 1 ГТ
pdt— -yr J el dt.
о	о
Если э. д. с. и ток синусоидальны, то, обозначая'разность ИХ
начальных фаз через <р = фв —ф; , получим:
Р = Ет sin (“* — Фе ) X Im sin (<»t -г- tyi)c(t=.
О
Pm 1т	...
= —j— cos <f== El cos 'i-
82.	Сложение синусоидальных теков (э. д. о.) и векторные
диаграииы. Так как сложение синусоидальных функций одного
периода дает в результате также синусоидальную функцию
того же периода, то в результате сложения синусоидальных

*) Илдеес med от латииекого слова medlue—средвжЯ.
Отд. 2—83 Теоретическое основы электротехники 72
токов (э. д. с.) одной частоты всегда получается синусоидальный
ток (э. д. с.) той же частоты, амплитуда н начальная фаза которого
вполне определяется амплитудами и начальными фазами слагае-
мых. Сложение и вычитание синусоидальных токов (э. д. с.)
удобнее всего производить, пользуясь векторными диа-
граммами. Возьмем прямоугольную систему координат
(рис. 7) и будем отсчитывать фазные углы от оси ON в напра-
влении против часовой стрелки. Тогда, желая изобразить ток
(э. д. 1^.) = Im sin (<>? — <р), проведем из начала О под отсчи-
танным в отрицательную сторону углом <р к оси ON вектор ОА,
длина которого равна 1т (в некотором масштабе) и предполо-
жим, что вектор вращается около на-
чала против часовой стрелки с угловой
скоростью <о. Проекция его на ось ОМ
будет давать соответствующее данному
моменту времени мгновенное значение
тона I = Im sin (<>/ — <р). Так как, с од-
ной стороны, мгновенное значение сум-
мы токов есть сумма их мгновенных
значений, а с другой, сумма проекций
нескольких векторов на одну ось равна
проекции их геометрической суммы
на ту же ось, то вектор, изображаю-
щий сумму нескольких переменных
Рис. 7.	токов (э. д. с), есть геометрическая
сумма векторов, изображающих суммируемые токи. Длина этого
вектора дает амплитуду суммарного тока (э. д. с.), а угол, соста-
вляемый с осью ON, дает его начальную фазу. Если нас не
интересуют мгновенные значения токов (э. д. с.), то мы можем,
уменьшив масштаб в ^2* Раз> перейти к изображению векто-
рами действующих значений, и, если угловая частота интересую-
щих нас величин одна и та же, отбросить предположение
о врашенни векторов, т.-е. считать диаграмму неподвижной,
так как для сумм и разностей действующих значений суще-
ственно только взаимное расположение векторов, вполне опре-
деляемое разностями их начальных фаз.
83.	Цепь переменного тема с коэффициентом самоиндукции
L, сопротивлением г и емкостью С. Пусть в цепи действует
э. д. с. е = Ет sin <»t. Тогда, по закону Ома,
1 /	, dl
~ г \е	L dt
JO
с)
н е Ет sin —	-\-ri 4- J idt,
73
Переменные токи
Отд. 2—83
h i , ui , 1	_
нли:	г ^г + тг = шЕт cos at •
Установившийся режим тока определяется частным реше-
нием этого дифференциального уравнения, решение же его без
последнего члена дает режим свободных колебаний, с течением
времени затухающий, который будет рассмотрен особо (§ 132).
Частное решение дает для тока установившегося режима:
Ет
i = ----- .	sin (ш/ — ср) = Im sin — ср),
V +
где
ср = arctg----------
есть разность фаз э. д. с. и тока.
^7
Отношение действующих значений -j- называют полным
сопротивлением (г) цепи переменному току, и мы имеем:
Сопротивление г  назовем активным сопротивле-
нием1). Величину	обозначим буквой х и назовем
реактивным сопротивлением 1), так как оно обусловлено реак-
цией самоиндукции н емкости, при чем <»L = xL будем назы-
1
вать индуктивным, а^= хс-емкос!ным сопро-
тивлением. Итак, имеем:
/ = z - \/гг + х* tg ср = cos <р = у; sin ср = у.
Когда цепь не обладает самоиндукцией (L = 0) и в ней
нет конденсаторов (С = со), то ср == 0 н ток совпадает по фазе
С э. д. с. Если С = со, но L ф 0, то ср > 0 н ток отстает по
'фазе от э. д. с. Если С имеет конечное значение, a L — 0; то
<р < 0, и ток упреждает по фазе э. д. с? Если г = 0, но
*) Термины активное и реактивное по отношению к сопротивлению при-
менены нами взамен распространенных терминов ваттное и безваттное, ноте-
рые не Желательны, как свивавные е наименованием единицы измерения,
а не с физическим понятием,
Отд. 2—84 Теоретические осноеы алектротехнйки 74
, 1
— — ф 0, то ток находится в квадратуре с э. д. с„ так
как <р = X ~2~.
64. Треугольники а. д. о. и соиротившинй. Из основного
di	о
уравнения e-ir^L-^ ~q —er-\- eL-\- с c следует, что
внешняя э. д. с. идет на преодоление активного сопротивления,
обратной э. д. с. самоиндушии и напряжения на обкладках
конденсатора. Подставляя
I- Im sln(a>t — <р), получим, ЧТО'
находится в фазе с током, eL упре -
" ГС
ждает силу тока на-у-, а ес отстает
на -тр Векторная диаграмма для
этого случая дана на рис. 8а, при
чем О. Прямоугольный тре-
угольник со сторонами Е, 1г, 1х
называется треугольником э. д. с.,
при чем главные составляющие э.
д. с.,—находящаяся в фазе с током.
(/г) и находящаяся в квадратуре
(/х), — называются соответственно
активной (ЕА — Ir ~ Е cosy) и ре-
активной (ER — lx — Е sin %) со-
ставляющими э. д. с., и мы имеем
Ё = ЁА + Ёр . Активную соста-
вляющую в. д. с. мы можем опре-
делять, как проекцию вектора э. д. с. на вектор тока. Из выраже-
ния для средней мощности, называемой также активной
мощностью, видно, что:
Р — Elcos-t = Еа1 — Рг .
Разделив длины сторон треугольника э. д. сил на величину /,
мы получим треугольник сопротивлений, подобный
треугольнику э. д. сил; сторонами его служат г, г и х. Зная г
и х и строя треугольник сопротивлений так, чтобы г совпало
ГС
с I, а х положительное упреждало 1 на , мы найдем г, по
направлению которого пойдет вектор э. д. с.
85.	Треугольники тона и проводимостей. Вектор тока может
быть также разложен на две составляющих: одну, совпадающую
с вектором э. д. с., и другую, перпендикулярную к вектору
J5	Переменные токи	Отд. 2—86
э.	д. с. (рис. 8Ь). Первая составляющая, т.-е. проекция вектора
тока на вектор э. д. с., называется активной (/л), а вторая—
реактивной (/^).' Имеем: ,
Г	X
ZA = Zcos у == Е—^~ и /^ = / sln<t = Е-^-'
„ ,	Г X
Коэффициенты	называются соответственно актив-
ной проводимостью (g) и реактивной проводи-
мостью (Ь), и мы имеем
IA = / cos <р = Eg н IR = / sin <р —ЕЬ.
Кроме того, вводят понятие о полной проводимости
v = у/ ^4-й2 = -j- =	•
"Прямоугольный треугольник со сторонами /, Eg, ЕЬ называется
треугольником тока, н мы имеем:
/ = /л+/Л-
Разделив длины сторон треугольника тока на величину Е, мы
получим подобный ему треугольник проводимостей
со сторонами у, g, b. Зная g и b и строя треугольник прово-
димостей так, чтобы g совпало с Е, а b положительное отста-
вало от Е на найдем у, по направлению которой пойдет
вектор тока. Из выражения для средней мощности имеем:
P — EI cos <р == Е/а = £Pg.
86.	Основные соотношения. Итак, имеем следующие основные
соотношения:
Г . х	1	г	b л b
g=^;b = -H, У~ —; cos ср = у; sin<f = ~; tg<f = --
 g b 1	г . x	x
r = y;x=y;z = y; cos<f = —; sj«cp = —;
E--/z; I- -Ey, E=EA-\-ER, ) = iA + /R.
Ea = E cos <p = /г; Er — Esin y = Ix\ /А = I cos cp = Eg\
lR— Istny — Eb.
P = Е/cosy = Pr = E*g = IEa = ElA.
Только полное сопротивление и полная проводимость обратны
друг Другу, а сопротивление и проводимость активные, а также
и реактивные не суть величины обратные друг другу.
Отд. 2—87 Теоретические основы электротехники 76
87.	Задача о пвсмдоватвльнви соадииеннн припнмкав
(A, Xi; га, х3;. • : . гп,х„)
решается при помощи второго закона Кирхгофа, который для
цепей переменного тока применительно к действующим значе-
ниям может быть формулирован так: геометрическая
сумма векторов э. д. с., действующих по замкну-
тому контуру, равна нулю, если падения напря-
жения считать за обратные э. д. с.
Обозначая напряжения на зажимах всей цепи через Е, имеем:
Ё = Ёх Ё?	. + Ё„ =
= £ia+ Ё1!г+ Ё2А + Ё21(+ . . -+ЁпА + ЁпК,
и так как активные составляющие так же, как и реактивные
суммируются алгебраически, ибо первые совпадают по напра-
влению с вектором тока, а вторые находятся с ним в квадра-
туре, то:
Eia+• • • ЕпА = /	+ • • •+гл)==
= Krk = Ira.
= Ёщ+ • • * + Ё„р = /(X1 + ••• + хп) —
=	= /хэ .
Отсюда следует, что алгебраическая сумма активных сопро-
тивлений trk является эквивалентным активным
сопротивлением га всей цепи, а алгебраическая сумма
реактивных сопротивлений является эквивалентным
реактивным сопротивлением ха, а потому
, Е Е	хэ Ъхк
\/ г% + х% .*»	Гз ^Гк
В то время как. активные и реактивные сопро-
тивления прн последовательном соединении
суммируются алгебраически, полные сопро-
тивления суммируется геометрически.
При последовательном соединении эквива-
лентный коэффициент самоиндукции La = T,Lk
а для эквивалентной емкости имеем
Переменные токи.
Отд. 2---С8
88.	Задача о параллельном соеднноннн прнонников
(£1> ёъ t>i,. • . .gn,bn)
решается при помощи первого закона Кирхгофа, который для
цепей переменного тока применительно к действующим значе-
ниям формулируется так: геометрическая сумма
векторов токов, сходящихся в одном узле,
равна нулю, если считать токи, направленные
к узлу, положительными, а токи, направлен-
ные от него, отрицательными, или наоборот.
Обозначая силу тока в иеразветвленной части цепи через /,
имеем:
/ = /1 + 4 + - • +4 = Лл+4/?+ 4л+^+ • - + 4л + 4/?
н так как активные составляющие так же, как и реактивные
суммируются алгебраически, ибо первые совпадают по напра-
влению с вектором напряжения иа зажимах цепи, а вторые
находятся с ним в квадратуре, то:
fA	— ^а+!2а+ •  •+/лл = ^(^1 + - •
 • +lnR — ^(^1+ • • -+\)-
Отсюда следует, что алгебраическая сумма активных проводи-
мостей- %gk всей цепи является эквивалентной актив-
ной проводимостью а алгебраическая сумма реактив-
ных проводимостей Zbk является эквивалентной реактив-
ной проводимостью^ а потому
„	/	/	.	b, *bk
Vg* + b*	” e<t
В то время, как активные и реактивные прово-
димости при параллельном соединении сум-
мируются алгебраически, полные проводи-
мости суммируются геометрически.
При параллельном соединении эквива-
лентная емкость С3— ХС4, а для- эквивалентного
коэффициента самоиндукции имеем:
89. Диаграммы Беделл-Крсхора. Первая группа этих диаграмм
позволяет по Е, г и х определить для дайной цепи / и у по
величине и направлению. Откладываем по оси ON векторы Ё
” DA == ~ , а по оси ОМ вектор ОВ = — (в отрицательном
Отд. 2—90 Теоретичикм основы электротехники 78
направлении дли Х> 0). Проводя ОС J. АВ, получим вектор
1=ОС. Точку С можно определить как -пересечение окруж-
ностей, построенных на ОА и ОБ, как на диаметрах. Прн х = const
и г — sar1) конец вектора / скользит по полуокружности ОСВ,
а прн Г == Const и х — РОГ—по полуокружносТЙ ОСА. Разделив
Рее. 9.
длины Всех отрезков на величину Е, получим диаграмму для
1 1 '
~ , г н у, обладающую геми же свойствами, что и предыдущая.
Вторая группа диаграмм Беделл-Крехора позволяет по I, g
и b определить для данной цепи Е и г. Откладываем по осн ON
векторы 1 и ОА — —, а по оси ОМ вектор ~ОВ = -j* (в положи-
тельном направлении для 6>0). Проводя ОС_1_АВ, найдем
вектор £ = ОС. При b — const и g=var конец вектора £
скользит по полуокружности ОСВ, а при
и* 0 g — const и b — var — по полуокружности
» ОСА. Разделив длины всех отрезков на ве-
л лчину I, получим диаграмму для —, и
 г, обладающую свойствами предыдущей.
90. Диаграмма С. Томпсона, Для опреде-
ления сопротивления za , эквивалентного па-
раллельно^ включенным zt-H л2, строим от-
резки О А и О В (рис. 10), изображающие эти
“	сопротивления, и проводим через середины
'р,<	отрезков перпендикуляры. Затем восставляем
в точке О перпендикуляры к АО н1УВ и на
Рис. iv. пересечении их с двумя первыми находим С
и D. Проводим из центров С и D окружности через О и А и
через О и В. Точка пересечения их п определяет конец za-
‘1 Уш от аатааского слова variabiUs, что иачат перемокли*.
Переменные токи
Отд. 2-91
Если Zf — const, a zg: меняется так, что cos <р2 = const, то
конец zt скользит по окружности С.	*
91. Рыонанс. Когда, несмотря на наличие в некоторой части
цепи индуктивных и емкостных сопротивлений, сила тока, про-
ходящего по этой части цепи, совпадает по фазе с напряжением
на ее концах, то, говорят, что в этой части цепи осуществлены
условия р е з о н а н с а..
а) При последовательном соединении для этого
необходимо,чтобы Xj_— хс = 0. Приданных! и С мы можем,
Изменяя частоту, достигнуть условий резонанса. Обозначим
угловую частоту, прн которой осуществляется резонанс,
через «о. Тогда
“о£—^С=° и “0 = ^?
или	1
2k^~LC"
При частоте «0 полное сопро-
тивление нашей цепи будет иметь
минимум. При этом напряжения
на отдельных участках цепи мо-
гут значительно превышать на-
пряжение на зажимах всей цепи.
Вследствие этого резонанс прн
последовательном соединении на-
зывают резонансом на-
пряжений. Падение напря-
жения в индуктивном сопротив-
лении при резонансе будет равно
падению- в емкостном, а именно:
Рис. 11.
кривой резонанса. Ее уравнение,
(О
если положить — = vi
1
г:
= р, будет:
и
• ‘V+A-ir
При т) <1 — ток упреждающий; при ц = 1, <р = 0; при 1 —
ток отстающий. Кривая тем острее, чем меньше р, т.-е. чем
меньше При данных L и С активное сопротивление цепи (рис. 11).
Отд. 2—92 Теоретические основы электротехники 80
Кривыми резонанса называют иногда также кривые:
* /=/(£),/=/(С),/(С).
Ь) При параллельном с ое дин е н и и условием ре-
зонанса является Л=Л£-|-дс=0. Резонансная угловая
частота ш0 определяется условием
-^-<»оС = 0, т.-е. “о=у^.
При угловой частоте ш0 полная проводимость цепи имеет ми-
нимум у0 ~ g. При этом силы токов в отдельных ветвях цепи
могут значительно превышать силу тока в иеразветвленной
части. Вследствие этого резонанс при параллельном соединении
называют резонансом токов. При резонансе имеем:
I с _ 4 _ 1 . / ~С
/ “ 1 ~ g У L>
откуда видйо, что при постоянных L и С резонанс будет тем
резче выражен, чем меньше активная проводимость цепи.
При чисто последовательном и чисто параллельном соеди-
нении имеем только одну резонансную частоту, а в сложных
цепях может быть несколько резонансных частот.
92.	Символический метод. Задачи о распределении перемен-
ного тока в сложных цепях решаются при помощи двух законов
Кирхгофа. Иногда оказывается удобным воспользоваться прин-
ципом наложения или прииципом взаимности
(см. § 55).
Во всех этих случаях расчеты значительно упрощаются при
применении символического метода, прибегающего к изобра-
жению переменных электрических величин комплексными чис-
лами. Любое комплексное число может быть представлено в трех
видах:
а + bj =	= A (COS a -l-J Sin а),
где J — у/ — 1, а е—основание натуральных логарифмов.
А = у/V+35
называется модулем комплекса, а
b
а = arctg —
— его аргументом.
Возьмем прямоугольную систему осей и примем ось ON
за ось вещественных количеств, а ось ОМ — за ось мнимых.
Тогда каждому комплексному числу соответствует одна опре-
деленная точка нашей комплексной п л о-с к о с т и. С дру-
гой стороны, каждая точка этой плоскости вполне определяет
81
Переменные токи
Отд. 2—92
вектор, проведенный в эту точку из начала. Поэтому каждый
вектор может быть символически изображен комплексным числом,
определяемым положением
конца вектора, когда качало
его лежит в начале коорди-
нат. Вее операции над век-
торами могут быть сведены
к операциям над изображаю-
щими их комплексами. Будем
обозначать векторы боль-,
шимн буквами с точкой над
ней или под Ией, а чи-
сленное значение вектора
будем называть тензором
вектора.
Сложение векторов сводится к сложению изображающих их
комплексов:
Ai =Hi-|-_/6f, As = fla4-JZ>2;
А ~	4- А2 = (в2 -|- в2) -f- J (Ьл &2).
Умножение вектора на вещественное число:
Д = Ае/“; дА=АдеЛ,
что дает вектор, совпадающий по направлению с исходным
и имеющий тензор в а раз больший.
'Умножение Вектора на мнимое число:
я	(	, «
А = АеЛ; JbA = ^~ bA= Abi’ \	,”2*
я
что дает вектор, повернутый на угол в положительную сто-
рону и имеющий тензор в b раз больший.
Умножение вектора на комплекс (н е вектор):
А = А (a-j-Jb) А = V a3+ba X X А ==
= A + е> (в + -Г
или, если положить
тог
. Д ^A^fc + H
что дает вектор, повернутый на угол ф — drctg В положи-
тельную сторону и имеющий тензор в \/ o’-f-ft’ раз больший.
Отдел 2.
6
Отд. '2—92 Теоретические основы электротехники
82
Деление приводит к повороту вектора на угол, соответствующий
аргументу комплекса, в отрицательную сторону.
Частное от деления двух векторов, представляющих вели-
чины, угловая скорость которых одинакова:
Д1 = Д1ЕУа1; А3 = Д3еу°2; -ф- = -Ф- е ^(“1 “ “г),
Д3
что дает комплексное число (н е вектор), аргумент которого
есть разность фаз векторов н А3.
Производная по времени от вектора неизменной длины, угло-
вая скорость вращения которого ш, т.-е. для которого а = iof -}- pi:
Д=Ае/а, =/шД =--шДеу\а 2
ТС
что дает вектор, повернутый на -g- в положительную сторону
тензор которого в со раз больше.
Интеграл вектора неизменной длины, угловая скорость
которого <о, т.-е. для которого а = <ot Ц- р:
Изображая условно переменные токи и э. д. с. векторами,
мы можем символически изображать их и соответствующими
векторам комплексами и все операции, установленные для
векторов, заменить соответствующими операциями над компле-
ксами. Пусть э. д. с. будет Ё = EzJa и ток /= ZeJP. Тогда
а — р = ср будет разность фаз э. д. с. и тока. Найдем отно-
Ё 1
шения—г- н
называемые соответственно комплексом пол-
ного сопротивления (Z) н комплексом полной
проводимости (У). Имеем:
Ё Е t	.
Z=~r- = -j- e-'V = Z(COS ср -L-J Sin cp) = Г + JX = Ze '? ,
У=-4 = -4е— У'-?=у> (COS cp —J Sin cp) ~g—Jb =y>e — y<0 ,
т.-е. комплексы Z и У очень просто составляются по пара-
метрам цепи г, х, g и Ь, при чем надо принимать во внимание
знаки х и Ь. Из определения Z и У следует, что они обратны
друг к другу, т.-е. Zy = 1 и
83	Переменные токи	Отд. 2—93
93.	Основные иконы нрн нрннененнн символического метода
формулируются так:
Закон Ома: комплекс силы тока в цепи равен комплексу
». д. с, действующей в цепи, деленной на комплекс полного
сопротивления цепи.
Первый закон Кирхгофа; в каждой точке цепи
алгебраическая сумма всех вещественных составляющих токов
равна нулю так же, как и сумма всех их мнимых составляющих,
т.-е. если
4 =	™ s4 = o и =
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма
всех вещественных составляющих э. д. с., действующих по
замкнутому контуру, равна нулю так же, как и алгебраическая
сумма их мнимых составляющих, т.-е. если
Ек~'к+.&к>
то:
= 0 н St'j = 0.
Эквивалентное полное сопротивление последовательно сое-
диненных приемников будет:
z» — ^к = ^к Л-J^Xk >
и эквивалентная полная проводимость параллельно"согдиненных
приемников:
У,=2У* = 2^Л&4.
Приводим комплексы Z для простейших цепей;
—wwv—||~- m-a/wvv*^QQ0000a^| г L *	“• Z Т шС ’ |£ z=r+>(“£-^)’ 4- jf-wL „ r-Ji^C
Отд. 2—94 Теоретическое основы электротехники 84'
Следует помнить, что сопротинленйя и провиди-
мо стн, которые мы считаем неизменяющимйся во времени,
не суть векторы, и изображение их направленными Отрез-
ками— чистая условность, не имеющая простого  физического
смысла.	'
94,	Мощность в цепи перененнегб тока. Мгновеннаямощность
в цепи при	‘
е — Emsinu>t н / =/тs/л— <?)
будет:	, -		-
Р = $1=Т EmImSln tat sin (<at — <?)=EI [COS <f> — COS (2®t -rr <f>),
т.-е. мощность претерпевает колебания около своего среднего
значения P^Elcos^ с частотою 2®, т.-е. с частотою в два
раза большей, чем частота э. д, с. и тока, при чем
Р , — (l_____?—н р ='Л I.—2—^Р
min COS у] ^тах 1 ‘ COS'?)
При <? = 0:
Pmln = ® и Ртах — ^EL.
_	я
При <р = zfc -у:
Pmin ~ и Ртах ~
р
Отношение -----------называется степенью уравно-
' ‘тах
вешеиности системы; для рассматриваемой нами однофазной
<р
системы # = —
Мощность можно представить в виде
р — Е1 cos <? (1 — cos Ъа1) — El sin <? sin Iwt.
Первая часть колеблется с двойной частотой около ее
среднего значения P = EIcos<?, среднее же значение вто-
рой части, изменяющейся также с двойной частотой, всегда
равно нулю. El cos <?=Р называется средней или актив-
ной мощностью и служит мерой скорости рассеяния
в цепи энергии, превращаемой из электромагнитной энергии
в другие виды энергии. Она равна нулю лишь тогда, когда
cos 9 = 0, т.-е. когда равно нулю активное сопротивление цепи.
Е/ sin <f — называется реактивной мощностью н слу-
жит мерой скорости поступления энергии от источника э. д. с.,
идущей на поддержание магнитных н влектрических полей
и возвращаемой ими обратно. Она равна нулю Лишь при cos <? = 1,
т.-е. когда реактивное сопротивление цепи равно нулю, т.-е.
S5
Переменные токи
Отд. 2—94
Рао. 13.
или при отсутствии электрических и магнитных полей в приемни-
ках или, в случае резонанса, когда эти поля взаимно поддерживают
друг друга за счет энергии, запасенной в иих в процессе уста-
новления режима. Величина Е1 — \/(Е1 соз^)2^(Е1$1гГу)* назы-
вается кажущейся мощностью.ВеличинаэТасущественна
для электромагнитных устройств, питающих цепи переменного
тока, так как один из факто-
ров. Еопределяет магнит-
ную аддукцию устройства и
степень напряженности изо-
ляции, а другой / — опреде-
ляет тёпло, развивающееся
В проводниках данного устрой-
ства. В то время, как ак-
тивную мощность всегда вы-
ражают в ваттах, реактивную
н кажущуюся принято вы-
ражать в вольт-амперах, что
можно рассматривать как чи-
стую условность, если „ватг“
н „Вольт-ампер* Считать од-
ной и той же единицей.
При = 0 все ординаты
кривой р ==/ (i) положи-
, тельны (рис. 13а), энергия
все время поступает от источ-
ника э, д. с. в цепь. При
± энергия поступает
от источника э. д. с. лишь
на поддержание полей, н ко-
личество ее, поступившее за
четверть Периода, целиком
возвращается источнику э. д.с.
в течение следующей четверти;
ft
(рис. 13b) симметрична относительно осн общ ее. ПриО<[<у]<^-
на процесс непрерывного поступления энергии от источника
эд. с. к приемникам, имеющий место прн <р = 0, накладывается
Процесс колебания энергии между источником э. д. с и полями
приемников, имеющий, место при ?	• Поэтому в те мо-
менты, когда мощность, возвращаемая полями источнику э. Д- с.
'будет .превосходить мощность, рассеиваемую в цепи, ординаты
кривой р =-=/(/) будут отрицательны, и часть ее лежит под осью
абиисс (рис. 13 с.).
кривая р — /(() в этом случае
Отд. 2—95 Теоретические основы электротехники 86
Итак имеем:
активная мощность РА = Elrosy = Iir=-E1g=P *)»
реактивная мощность P# = El sin ? = /£ =
кажущаяся мощность Рк — EI = /^ = &у,
при чем Р% = Pi Р%.
То обстоятельство, что мощность имеет частоту в два раза
большую, чем частота э. д. с. и тока, не позволяет нам при
пользовании символическим методом получить ее непосредствен-
ным перемножением комплексов э. д. с. и тока. Однако, искус-
ственно это сделать можно, умножая комплекс 3. д. с. на ком-
плекс, сопряженный с комплексом тока, или нао-
борот. Так, пусть имеем:
тогда для получения Р умножаем Е на /' = Is ~Уа2
р = ЁР = EsJai X /е ~у«2 = Els '(“i ~ “г) =
. = El [cos (Oj — a3) + J sin (=4 — a3)] = EI COS <f + JEI Sin tp,
где <p = (Xj — a3.
Вещественная часть полученного комплекса дает активную, ко-
эффициент при мнимой — реактивную, а модуль ' комплекса —
кажущуюся мощность
95.	Умножение и обращение кривых. Задача исследования
Цепи переменного тока при постоянстве некоторых из характе-
ризующих ее величин и закономерном изменении других наи-
более наглядно решается нахождением геометрических мест
коицон векторов, изображающих изменяющиеся величины. При
нахождении этих геометрических мест приходится прибегать
к умножению и обращению кривых.
Так как умножение векторов на комплекс As!“ дает век-
тор длиною в А раз больший и повернутый на угол а в по-
ложительную сторону, то при умножении геометрического-места
векторов на комплекс получается подобное геометрическое место,
повернутое на угол а в положительную сторону, т.-е. опрямые,
проведенные к соответственным точкам из начала векторов,
составляют угол а. При делении на комплекс ДеУа поворот на
угода должен быть произведен в отрицательную сторону. Для
умножения прямой на комплекс достаточно умножить на него
любой Вектор, принадлежащий к этому геометрическому месту
и составляющий угол 0 с исходной прямой, а затем провести
к вновь полученному вектору прямую под уголом 0. Ддя умно-
жения окружности на комплекс достаточно умюкить на негр
*) Индеец А можем опустить
87
Переменные токи
Отд. 2—S5
центр окружности и описать из нового центра окружность радиу-
сом, равным произведению радиуса основной окружности на
модуль комплекса. Операция умножения на вещественное число
значительно проще, т. к. угол поворота а в этом случае равен нулю.
Векторами, обратными друг другу относительно полюса
обращения О, называются векторы, концы которых А и В лежат
на прямой, проходящей через полюс О, и. произведение длин
которых АО X О В равно постоянной величине О, называемой
степенью обращения. Геометрические места концов
векторов ОА и ОВ при выполнении указанных условий назы-
ваются взаимно обратными кривыми. Операция обра-1
щения вполне определяется, если даны полюс обращения и- сте-
пень обращения. Обращение прямой, проходящей через полюс,
дает прямую, совпадающую с исходной. Обращение прямой
АВ (рис. 14а), непреходящей через полюс О, дает окруж
ность, проходящую через полюс, центр которой С лежит на
перпендикуляре OD к обращаемой прямой. Обращение окруж-
ности, проходящей через полюс, дает соответственно прямую,
не проходящую через полюс и перпендикулярную к прямой,
соединяющей центр окружности с‘полюсом. Обращение'окруж-:
ности С (рис. 14b), не проходящей через полюс О, дает окруж-
ность Ci, также не проходящую через полюс, при чем центры’
обеих окружностей лежат на прямой ОССи проходящей через
полюс. Если две кривые имеют об!цую точку А, то кривые,,
обратные данным, имеют общую точку А', обратную точке А.
Если две кривые пересекаются под некоторым углом, то и кри-
вые, нм обратные, пересекаются под тем же углом. ~ . . .
Обращение в комплексной, плоскости, с. чем-, и имеют дело,
при применении обращения к теории переменных токов, несколько
сложнее, а именно: пусть дана степень обращения О а вектор
ОА = Де Тогда обратный ему вектор
Отд. 2—96 Теоретические основы электротехники 88
т.-е. прямой и обратный вектор не совпадают уже по направлению,
а располагаются в разных квадрантах под углом а к оси. ве-
щественных, т.-е. представляют один зеркальное изображение
Другого в оси вещественных. Поэтому операции обращения
в комплексной плоскости распадается на две*, нормальное обра-
щение кривой и нахождение ее зеркального изображения С\
(рис. 14b) в оси вещественных, или же, что то же: нахожде-
ние зеркального изображения основной кривой в оси веществен-
ных и нормальное обращение этого изображения.
96.	Применение умножении и обращении кривых и ценим
переменного тока. Из равенств Ё — IZ — Izi Ja н I — ЁУ —
Ёув ~ следует, что, имея кривую тока / в цепи с сопротивле-
нием мы найдем кривую напряжения Ё на зажимах цепи
с сопротивлением Z, умножая кривую 7 на комплекс Z или
деля ее на комплекс У, и, обратно, имея кривую Ё н умножая
ее на У или деля на Z, найдем кривую 1. Если масштаба, д. с.
Уст = п вольт и масштаб тока Уст = т ампер, то отношение
длины вектора э. д. с. к длине вектора тока будет уже не Z,
aZ1”.
п
Пусть на некотором участке Е = const и дана кривая Z
сопротивления этого участка. .Расположим Ё по оси веществен-
ных. Тогда Ё —	= Е = const н 7 = ЕУ = Е, т. е. найдя
кривую проводимости У, обратную кривой Z, и умйожив ее на
вещественное Пиело. В, мы найдем кривую тока 7.
Если масштаб сопротивления Уст — q омов и масштаб проводи-:
Мости Уст = р сименсов, то необходимо взять степень обра-
щения <}==—. Для того, чтобы, кривые У и / совпали' мае-.’
штаб тока должен быть взят Уст — Ер ампер. Если на неко-
тором участке 7 — const и дана кривая проводимости У .этого
участка, то, располагая ’ вектор тока по оси вещественных и
обращая кривую У (при степени обращения	мы най-
дем аналогично предыдущему кривую Z. Если масштаб Е будет
B&ft’ УСт = Iq- вольт, то кривые Z й Ё совпадут.
г97.ВекТериые уравнения. Иногда представляется удобным
для Нахождения геометрического места концов интересующего
нас вектора, не производить промежуточных геометрических
операций умножения и обращениями заменить их аналитическими’
операциями. В этом случае удобно .пользоваться представлением
геометрических мест при помощи векторных уравнений. Т. к.
законы Кирхгофа дают лИЙейнЫе Алгебраические зависимости
89
Переменные токи
Отд. 2—97
между-э. д. с. й токами, то всегда можно выразить интересуют
щий нас вектор Vj (э. д. с. или тока) через вектор У3 (э. д. с.
или тока), предполагаемый Постоянным, в виде V\ = SV3, где
S — комплексный коэффициент, зависящий от параметров цепи.
При изменении одного из параметров цепи, напр. £, вектор V
может быть представлен в виде дробной рациональной функции
этого вещественного параметра с комплексными коэффициентами
Ль Ci, Di н т. д.
А ^1 ^"i" • • 
. . . Ла +	4~+.• • •.
Если А = Ае& й B = Bt^, то уравнение V =
представляет прямую, проходящую через конец А парал-
лельно В н составляющую угол (₽ — а) с осью вещественных.
Если Л = 0, то прямая ^ проходит через начало координат.
Если 0 = 0, то прямая V параллельна оси вещественных.
Если .₽ = ~, то прямая V параллельна оси мнимых.
Если А —- А е?а,В = Ве^ и С = С , то уравнение
V —  Л—— Представляет окружность, проходящую при
В + ФС ,	;
% = оо через начало и при £ = 0 через конец вектора ОК =
= А = -А, е7(«-?) - Центр окружности лежит на пересечении
В В
перпендикуляра через середину ОК с лучом, проведеинцм из
начала под углом —(t—к лучу ОК. При у == ^ ок-
ружность превращается в прямую,
совпадающую с ОК При В=0 окруж-
ность превращается в прямую под „
углом (о —у) к оси вещественных.
v *	А+1&
Уравнение V = ——Ч- пред-
C + *D	\
ставляет окружность (рисунок 15),
непроходящую через начало и определяемую Положением
концов' двух векторов (JL — -4- — ~ J - Е). и
^.ав	и. лу.чом, (на, котором лежит е^
v С
Ит»
Ряо. 16.
Отд. 2—98 Теоретические основы электротехники 90
центр), проведенных из L и составляющим угол — 0 — y)J
с прямой LK. При а = р получаем окружность, проходящую
через начало. При у = 8 получаем прямую, непроходящую через.
начало.
Ь F
Если а = р = у, то уравнение V = д frB с даег
эллипс при В3 — 4 АС < 0, параболу — при В3 — 4 АС = 0 и
гиперболу—при В3 —4АС>0. Если D =0, то кривые прохо-
дят через начало.
98.	Передача энергии переменный током от источника с по-
стоянной э. д. с. и приемнику с постоянным сдвигом фаз. Обо-
значим полное суммарное сопротивление источника э. д. с. и
линии передачи через Z1=z1e =
= + Jxu и будем считать его по-
/jf стоянным. Полное сопротивление
приемника назовем Z3 = z3 е у^3 =
=	при чем созъ = const.
Силу тока в цепи назовем /, э. д. с.
источника Ео, падение напряжения
в линии Et и напряжение иа зажи-
мах приемника Е2. Тогда иэ вектор
ной диаграммы (рис. 16) получаем

где /А = есть сила тока корот-
кого замыкания, получающегося
в линии при z3 = 0. Приведенное урав-
нение, дает зависимость E3—J (/)
/ Е3 I
и координатах (у—, J пред-
ставляет собой семейство эллипсов
(рис. 17). Угол <р может меняться в
ТС	ТС
пределах -у. Ss <р > - у Когда	Рн0 17
cos (<pi — у3) > 0, то кривая лежит между
прямой; получающейся при cos (?! — <?3)=1 и окружностью,
получающейся при ccs (<pt — <р3) = 0. Когда ф3 < <pt - ty
то кривая лежит вне окружности и"'Д может быть больше 'Е/
91
Переменные токи
Отд. 2—99
«2 *•1/0 Y2
Полезная мощность Р2 » '—?——» . „-----------------------
г1 Н- Z2 Н~ 2^1 z2 COS ('fi —<?3)
Имеет максимум при zt = z3, при чем Et = Е2, и коэффициент
н	соз<?2
полезного действия
мум имеем при
ника компенсирует
самоиндукцию ге-
нератора и линии
_	ЕЪ
Тогда Лиае ~
н т) = 50%.
Круговая диаг-
рамма при Е—const
и cos<fj =» const
строится следую-
щим образом (ри-
сунок 18). ^распо-
лагаем по оси веще-
ственных. Строим
зеркальное изобра-
жение кривой пол-
ного сопротивления
всей цепи Z = Zi -f-
Z3, для чего откла-
дываем нз начала
постоянное по вели-
чине и направлению Zi, и через конец его проводим прямую Z3,
составляющую угол ?3 с осью вещественных; Эта прямая при
отсчете от начала координат дает Z = Zi 4- Z3. Обращая пря-
мую Z3, получим кривую Ун/, которая будет окружностью,
проходящей через начало координат; центр окружности лежит
на перпендикуляре из начала координат к,прямой Z. Умножая
кривую 1 на комплекс Zt = гх е , найдем кривую Ё1г i^tnp
которой лежит на луче, составляющем с диаметром круга I угол
sji, и которая проходит через конец Ео (при коротком замыкаьии,
когда Z3 = 0)h через начало (при холостом ходе, когда а3=оо).
Так как Ёо = Et Ё2, то поворачивая эту окружность на 1-80°
вокруг оси, проходящей через середину Ё& найдем окруж-
ность Ё2.
99.	Линии потерь н иощиоетей. Если постоянно активное сопро-
тивление Пасти цепи, кривая тока в которой. ecjiipyr.iait ^p-
стоянна активная прбВодимдсть части цецй.падсНИ? напряжения
Отд. 2—99 Теоретические основы электротехники
9?
на зажимах ..которой есть круг, то полуполяра этого круга отно-
сительно начала есть линия потерь^ т.-е. такая , линия, опуская
перпендикуляр ва которую из любой точки круга, мы полу-
чаем в определённоммасштабе, одинаковом для всех точек,
величину мощности, теряемой в этой'части цепи. Полуполяра
есть прямая, параллельная поляре и проходящая через середину
расстояния от полюса до поляры. Если полюс О вне круга
С (рис. 19а), то поляра есть прямая АА, соединяющая, точки
касания касательных, проведенных к кругу из полюса. О.
Если полюс О внутри круга (рис. 19b), то проводим через, по-
люс О перпендикуляр BBi к прямой СО, соединяющей полюс
с центром И в точках В и Bt пересечения последнего с кругом
строим касательные BD и BJ). Поляра AXj проходит через
Рие. 19.
точку D пересечения касательных с прямой DOC, соединяющей
Венгр и полюс, и перпендикулярна к последней. Если полюс на
круге, та и поляра н полуполяра совпадают с касательной
к кругу, проходящей через полюс. Масштаб потерь .в ли-
нии irdm* я потерь в ответвлении Igdri1, где т и лмасштаб
тока и масштаб э. д. с., a d— расстояние от полюса до центра.
Если дана кривая тока в цепи, напряжение на зажимах
которой постоянно и расположено по оси вещественных, или
дана кривая напряжения' на зажимах цепи, ток в .‘которой
постоянен и раснблджён:по оси вещёствёинйх, то"ось мнимых,
независимо от формы кривей, есть лияйя подведенной - к цей и
мощности. Величину подведенной мощности получаем, опуская
перпендикуляр на эту линию из любой точки кривой и умножая
длину его на т Е в первом и на л 7 во втором случае. Имея
прямую потерь и прямую подведенной мощности Ро, молрщ по-
строить прямуюполезной мощности/3!, пользуясь для определения
ее положения, точкойпересечепия двух, первых пряцых и точ-
камп хблсютрко тома .и короткого замыкания, в. которых полезная
мощность Обращается в руль.' Масштаб мощности Р3 будет
93
Переменные тона
Отд. 2 100
при этом в (sina0:sina2) раз больше масштаба для Ро, если
<х0 и <>2—углы, составляемый линией потерь с линиями Ро и Р3.
Если же, проводя из данной точки кривой прямую, парал-
лельную линии потерь, измерять Ра и Р2 отрезками этой
прямой, взятыми от длиной точки до линий Ра и Р2, то мас-
штаб для Ра и Р2 будет один и тот же и может быть найден
из геометрических соотношений.
: .Имея две прямые мощности и прямую потерь, можем по-
строить линию коэффициента полезного действия, т.-е отдачи.
Для этого проводим между линией потерь и линией полезной
мощности прямую, параллельную линии подведенной мощности
(рис. 19). Разделив этот отрезок на 100 равных частей и поста-
вив пометку 1ОО°7о у линии потерь, мы можем определять от-
дачу, проводя из любой точки кривой тока, или соответственно
э. д. с., прямую через общую точку линий мощностей, по от-
метке, засекаемой на линии ^отдачи. ‘
100.	Обобщонная цепь переменного тока. Обобщенной ценыр
переменного Тока Называют цепь, схема которой дана на рис. 20.
К исследованию этой цепи можно свё- '
ста ряд процессов передачи и преоб- / Z,
разоваиня энергии.в устройствах, пере- ——i—ТПРОТГ—
меиного тока. Можно показать, что при 4 (о
Ug = const и при постоянстве угла	, и
сдвига в приемнике имеют место кру- *	^4
говые диаграммы для lg, lr и Ur и
могут быть построены „прямые линии
потерь и мощностей, а также линии	.
отдачи для всех участков цепи. Харак-	Рк0‘
верным свойством обобщенной цепи является то, что любой
режима нагрузки может быть получей наложением соответствую-
щих режимов холостого хода (индекс о) и короткого
замыкания (индекс %). Режимом холостого хода, соответ-
ствующим режиму нагрузки (t/z, Ir), называется
режим, прй котором в случае разомкнутой внешней цепи Uro =
*= Ur. Режимом короткого замыкания, соответствующим
режиму'нагрузки (Ur, Ir), называется режим, при ко-
тором в случае короткозамкнутой внешней цепи 1^— 1Г- Для
обобщенной цени между Ug , ig, Ur , lr существуют линейные
зависимости:
ug = sour + zir,
,g = yur+sklr.
где	-
О ГД. 2^101 Теоретические основы электротехники 94
=&?==
=(i + yaz3).
‘г
П, и этом коэффициенты So, Sk , Z, У связаны зависимостью:
sos*-zy=.i.
Ьвэдя эквивалентную полную проводимость
холостого хода
У У
v а___________а
Уо~1+уа21- So
и эквивалентное полное сопротивление ко-
роткого замыкания
z3
Z* ~Z1 + i-4-yaZ3
Z2
Z1 + sk
получим
(l-yoZft)SoSA=l.
Из основных уравнения видно, что
~ Щд + Ugk И Ig == ?gg Igk,
т.-е., что принцип
наложения холосто-
го хода и короткого
замыкания справед-
лив. При симметрии
схемы, т. - е. при
Zi = Z3, имеем
S,, = .
101.	Цепные схе-
мы. Цепными схе-
мами называются
схемы, составлен-
ные из последова-.
тельно соединен-
ных п ячеек типа Т
(рис. 21а) или типа П (рис. 216). В дальнейшем рассмотрим
только однородные схемы, т.-е. случай,, когда все ячейки оди-
наковы и симметричны. Элементы ячейки Z и У могут, го >5ще
говоря, быть сколь угодно Сложными.
95	Переменные токи	Отд. 2-101
9
Для цепи п ячеек типа Т имеем следующие уравнения
в конечных разностях:
<4-1-*4 = 4-(4+4-1).
4-1 4i = У	„-1 ~~ —2~ ^n—i) •
Для цепи п ячеек типа П имеем соответственно:
4-1-4 = -г(^ + ^-1).
^4-1 — йп—zл—1 — —у	•
Решение для обоих случаев будет:
Un = Ug cosh tn — 1gZc sinh t n,
. г
ln = lgcosh tn — ~g~ sinh tn,
где
t i __	zy
sinh ~2~ = V ZY; cosh т.= 1 Ц-~
/ z / TV
Z. = y/ -+1/ 1-4- -=+ — для ячеек типа T.
с т У г '4
/	1
Z. »'I/ -7- . —__	— для ячеек типа П.
г у />+¥
Полагая, что, так называемая, постоянная р а с п р о-
странения т = a -\-Jb, получим:
йп = у [(^+Zc Ig) t-an (cos bn-J sin bn) +
-4- (Ug — Zc rg) e+ a" (cos bn j sin bn)}.
ln = -227 Wg + zc rg> t-™ (cos bn —JSin bn) —
— (Ug — Zc 7g) e+an (cosbn + J sin bn)].
Отсюда видим, что Un и /п можно рассматривать как результат
наложения двух волн, идущих навстречу друг другу.. Первые
волны, идущие от генератора, называются главными, а вто-
рые, идущие от приемного конца—о тражеииыми. Если афО,
Отд. 2—101 Теоретические оснолы электротехники 96
то амплитуды волн по мере распространения их затухают.
Коэффициенты а и b называют соответственно коэффи-
циентами затухания и фазы. Пусть последняя л-ая
ячейка замкнута на сопротивление Zn.Toraa Un — lnZn, и имеем:
Ug Zn cosh tn -\-Zc sinh tn
%i-~ [g~ cosh tn -\-Zn[Zc sinh tn'
Для того, чтобы ZL = Zn, необходимо й достаточно, чтобы
Zn — Zc \ Zc называется характеристикой данной цепной
схемы и, как мы только что видели, оно обладает замечательным
свойством,, а именно: ток генератора Ig будет одинаков как
при замыкании последнего непосредственно" на Zc , так н при
замыкания на Zc через цепную схему из любого числа одно-
родных ячеек с характеристикой Zc. В этом случае отраженная
волна исчезает, так как Ug = ZcIg, й Тогда:
Un = Ug = Ug	(cos bn — J Sin bn).
/д = /g е-тИ = /g t~fln (cos bn —J sin bn).
Второй случай, когда исчезает отраженная волна, будет при
бесконечно длинной схеме (п = со), так как
Um {ZL)n^Zc,
Цепные схемы с надлежаще подобранными элементами
могут быть применены в качестве э л е к т р и ч е с к и х ф и л ь-
тров или сит, пропускающих К приемнику лишь опреде-
ленный диапазон частот. Рассмотрим несколько таких схем,
предполагая, что потери в них отсутствуют, т.-е. что Z и У
чнсТо мнимые числа. Совокупность частот, пропускаемых без
затухания, назовем зоной прозрачности.. Условием,
определяющим эту зову, будет а == 0, что равносильно условию:
4- 1 > cosh т > — 1.
Для выполнения этого необходимо и Достаточно, чтобы Z и У
были разного характера (т.-е. Z—индуктивное, У—емкостное,
или наоборот), и чтобы модули их удовлетворяли неравенству:
Оба последних условия можно заменить одним: для равенства
затухания нулю необходимо и достаточно, чтобы характери-
стика Zc, называемая’ при отсутствии потерь волновым
сопротивлением, была чисто вещественным числом.
Отд. 2—101
97
Переменные токи.
а)	Для схемы рис. 22а имеем:
2 ~ 2 ’ Zc ~ у С
Z—jvL-,
1____
~^ЬС'
~ 4 .
L
a)
c*
Рис. 22.
41 г
Z----®c:
^LC
cosh т = 1 — —2
•	2
Прн-|-1>со$Л тф —1,т.-е.при0<ш< т-г^,
у LC
коэффициент затухания а — 0, b ф 0, так как
т—чисто мнимоечисло.При—1> соей	—со,
2
т.-е. прн -С ш 00 > коэффициент, фа-
зы b — я, а а ф 0, т.-е. данная схема пропу-
скает без затухания низкие частоты от нуля
до резонансной частоты ячейки
2
/Тс*
Ь)	Для схемы рис. 22b имеем:
Z~ 1	.
С / * ’
У l~4»»LC
Z J
2-------2<oL •
w0 =
eoshx^l-^LC'
При -4-1 > cosh т > — 1д т.-е. при	® < оо,
2у LC
коэффициент затухания д = 0, а йфО, так как т—чисто мнимое
число. При — 1 ;> cosh т > — оо, т.-е. при 0 < ® < s/TC’
коэффициент фазы Ъ — к, а афО. Следовательно, данная схема
пропускает без затухания все частоты более высокие, чем резо-
нансная частота ячейки
1
2y/~LC ’
с) Для схемы рнс. 22с имеем:
7_,( 1 u V у J -
Z—у	щС J, 2	2®Z. ’
1 — «UC	b , , ®»£C-1
®2C (L + 4Z/) -1 ; cosh T -1 + 2®зД'С '
<0q —
z.
Отдел 2.
7
ОТд. 2—102 Теоретические основы электротехники 98
При -f-1 > cosh т > — 1, т.-е. при
1 1
V/7C(£4-4Z.') С / LC ’
а == 0, b ф 0, и мы имеем полосу прозрачности. Для частот
1 1
>>TC(L + bL')	/ LC
затухание не равно нулю. Отметим, что фильтр работает наи-
лучшим образом прн замыкании иа сопротивление, равное
характеристике Zc. Но в виду того, что характеристика сама
является функцией частоты, то необходимо брать достаточно
большое число ячеек, чтобы приблизиться к условиям отсут-
ствия отраженной' волны.
Цепные схемы обладают подобно обобшевиой схеме тем
свойством, что любой режим нагрузки может быть получен
наложением соответствующих режимов холостого хода н корот-
кого замыкания. Характеристика схемы и постоянная распро-
странения могут быть также определены по данным опытов
холостого хода и короткого замыкания.	,
102. Линии е распределенными постоянными. Рассматривая
процесс установившегося переменного тока в однородных линиях
с распределенными постоянными, будем обозначать через г, g,
L и С соответственно активные сопротивление и проводимость,
коэффициент самоиндукции и емкость на единицу длины линии.
Тогда для точки, отстоящей иа расстоянии х от начала линии,
имеем:
ди . , , di di , „ ди
~ дх =ri + L dt ’ ~ дх =^« + с dt •
Назовем вектор тока / и вектор напряжения U. Тогда
dU .  . &U .	.	.
—	— (г 4-у®^) 1> ^х3 —(r
d/	 dW
~"dx^(s +-/<оС> и ’ ~b& = +-/“£> fe +>Q I.
Отсюда окончательно получаем:
(j~(Jg cosh ix — Ig Zc sinh ix,
.	•	Uz .
I = Ig cosh 'X~ z sinh ~x,
где	_________________
t — J(r	(g +/“C)	a +Jb,
99	Переменные токи	Отд. 2—102
при чем
а = j/у	- <^LC + J (г*+ №)W+ «?(?)] ‘
/Т	; -—	.
у («>3£С - rg+ у/ (r!4«№) (g* 4- ш2Са) ]
И
7 -1Л+К
е “ g+J<°c
или
U — у- [(#£ 4- igZc ) е~“* (cos bx —jsin bx) 4-
+ (Ug — ig Ze ) е“* (cos bx +Jsin foe)].
i = 2^7	+ ig zc)e-<JC (cos bx —j sin bx) —
— (Ug — IgZc) e0*(cosbx+Jsinbx)].
Отсюда видим, что, во-первых, U и / для данного момента вре-
мени синусоидально распределены вдоль линии и, во-вторых,
U н / могут быть представлены как результат наложе-
ния двух в о л и, ра с п р о с тр а и я ю ш их с я навстречу
ш
друг другу со скоростью п = у, где <о — угловая
„	,	2т:
частота напряжения генератора. Длина волны А =	•
Волны, идущие от начала линии к концу, называются глав-
ными, а идущие в обратном направлении—отраженными.
Множители е.~ах показывают, что амплитуды волн изменяются
по мере их продвижения. Коэффициенты т, а, b и Ze назы-
ваются соответственно: постоянная распространения,
коэффициент затухания, коэффициент фазы
и характеристика линии. Отсчитывая расстояния х
от конца линии и имея на конце линии U=Ur и 1 — 1г
получим:
U = Ur cosh хх 4- ir Zc sinh tx,
• 
I=If cosh tjc 4 у sinh xx.
[замкнута на
(j — линия
Отд. 2—103 Теоретические основы электротехники 100
103. Линия баз потерь. В случае (см. § 102), когда г = 0.
и g = 0, имеем:
._	2к	X 1
а = 0; b = u>y/LC; Х =—7=;; v = ~T~~rfri'
<0 v ДС	‘ V i-C
Для воздушных линий 1' = ЗхЮ10 cmt sec, т.-е. равно ско-
• •	• • • I./ ~L
рости света. При этом Zc у называют обычно волно-
вым сопротивлением. Имеем теперь:
- U — Ur'cos bx-\-J Ir Zc sin bx.
. .
l = lr cos bx 4- J -g— sin bx.
Рассмотрим частные случаи:
a)	lrZc — Ur9 т.-е. lr £
неиндуктивное сопротивление, равное волновому,
пряжения и тока в этом случае постоянны вдоль
I*L lflrC
—2— = —т.-е. имеем резонанс.
Ь)	1Г — 0—холостой ход линии; тогда:
. .	. ог
U =U cos bx; 1= jsin bx.
Вдоль линии устанавливаются стоячие волны напряжения и тока,
сдвинутые на четверть волны. Пучности напряжений и Узлы
тока при х = 0,	, X . . . ; узлы напряжения и пучности
X 3	.
тока при х =	, -j- X . . .
с)	Ur = 0—короткое замыкание линии; тогда:
U ~J Ir Zc sin bx; I = lr cos bx.
вдоль линии устанавливаются опять стоячие волны, сдвинутые
на четверть волны, ио при х = 0 имеем узел напряжения
и пучность тока.
d)	<рг = -у — чисто, реактивная нагрузка, вектор J lr Zc
совпадает по фазе lJr, и .снова имеем стоячие волны.
Величина на-
всей линии
101	Переменные токи	Отд. 2—104
Общшй условием образования стоячих волн будет
Pr = Ur Ir cos <fr =* 0.
Так как в линии нет потерь, то это значит, что в линию совсем
не отдается мощности. Если же или в линии, или в приемнике
происходит рассеяние энергии, то волны должны распростра-
няться, так как только в процессе их движения может происхо
дить перенос от генератора йеобходимой энергии.
104.	Линия е потерями. Будем отсчитывать х в линии
с распределенными постоянными от начала линии-
а)	Рассмотрим бескоиечиодлиниую линию,
т,-е. такую, при которой можно пренебречь отраженной волной,
идущей от приемного конца. Тогда:
U = Ug ^~ах {cosh bx -\-J sinh bx)',
I — I g e~ax (cosh bx —J sinh bx),
и для Zc = z имеем:
/~r2	<»343	1	,	— c»>C
V 'gi «,2с3 ’ ? = Tarcts ^LG^-j-g 
Те же соотношения получаются в том замечательном случае,
когда конечная линия замкнута на сопротивление, равное
по модулю и аргументу характеристике линии Zc .
b)	Линия с сопротивлением и емкостью.
При £ — 0 и 4 = 0 имеем:
а = Ь—
Затухание повышается с увеличением частоты, что и ограни-
чивает применение кабелей для передачи речи.
с)	П у п и н и з и р о ван н а я или крарупнзиро-
ванная линия. Для Повышенных частот можно приближено
положить:	____
. - 1 Г ,ЛС .,<41
а ~ 2 к У 4 + g У С J ‘
4 г
Минимум затухания будет при	. Обычно для дости-
V- S -
жения этих условий нужно увеличивать 4, что достигается;
пупинизацие й—включением в линию реактивных катушек—
или крарупнзацией — обвиванием кабеля лентой из мате-
риала с высокой магнитной проницаемостью.
Отд. 2—105 Теоретические основы электротехники 102
d)	Неискажающая линия. Пусть для линии выпол-
£ г „
нено условие: -т=г = — . Тогда:
zc = y^х=(г +/“>£)уГ—
a = r\ —j— = gy ~q^'< Ь — юу/LC.
В этом случае затухание не зависит от частоты и поэтому
такая линия называется неискажающей.
105.	Определение Постоииных и схема замещении. Постоянные
линии (длиною /) могут быть определены по методу холостого
хода и короткого замыкания. Пусть проводимость холостого хода
будет Уо, а сопротивление короткого замыкания Zk . Тогда
_____	Г7~	/~Г~ > ‘Р*-?0
tangh ?l=^Y0Zk; Zc = !/*- = [/—е 2 * * * *
'To “ Уо
л 2/57^ *+*
17°"^----------
\/ (1 — Уо Zk У 4- 4 у0 zk sitfl
То +т*
2

1 +Уо*к - 2 cos .?°+Л*.
Линию с распределенными постоянными можно рассматривав
как предельный случай цепной схемы (Т или П) при беско-
нечно большом числе ячеек. Действительно, тогда от постоянной
1 .____
распространения т = 2 arc sinh -t^-yZY ъ характеристик
мы придем к
Т = /ТУ= /(г+/ и L)(g +>С)
и
Zc = |/—= / Г+7 <° L •
( V х V «+/“ с
юз
Переменные токи
Отд. 2—106
Одиако, часто с достаточной точностью линия может быть, за-
щищена одной Т или П ячейкой, при чем элементы их опре-
деляются так:
d) для Т ячейки:
7	1	( Р	>
= ~2~ ш L) РУ—	LC +_/(<» Lg —}—<«» Сг)]|
I Р	1
У = Kg + J <“ С) |1 + g- [rf-«4C+/(«Lf-hCr)lj
Ь) для П ячейки:
( Р	1
Z = Kr + J К) р+~б [rg-^LC+MaLg+vCry
У 1	( Р	1
~2 — ~2~ l(g~YJ,s‘ С — 12	Сг)]|
(Об. Классификация наеинуеаидалышх переменных таков и
э. д. с. Периодический переменный ток (э. д. с.), не являющийся
чисто синусоидальным, всегда может быть по теореме Фурье
представлен в виде бесконечного ряда:
‘ = А + Аж s‘n (ш * +.4’1) +
+ /2т sin (2 ® t + <Ь) +.... Ikm sin (А ® t + фА) 4-..,
при чем 1а называется постоянной составляющей,
/1я(5/п(<о/+Ф1) — основной волной, Ikmsin(^<ot-\-^k )
— высшей гармоникой порядка 4>. Коэффициенты
/о, /1я1, /2т, ... Iknl... не зависят 6т выбора начала отсчета вре-
мени. Иногда удобнее пользоваться рядом:
А = /04- Blm sin <°t 4- В2т sin 2<ot 4-... 4- Bkm sin	4-...
+	coS “^+ ^-2m ^0S2a>t -j-... +CAm COS ф»#4:..”!
при чем
4« =	+ C2ftm; Sin <PA =	; cos К -pL .
‘km ' ‘km
Для разложения периодических функций в ряд Фурье суще-
ствуют аналитические н графические методы, а также особые
приборы — гармонические анализаторы.
Если 4 — 0, то ток (э. д. с.) называется чисто пере-
1 РТ
м е н н ы м током и тогда — / idt — среднее значение за
Т oJ.
полный период — равен нулю. В противном случае
1	/*г
-+ / idt^I9.
* oJ
ОгД. 2—107 Теоретические основы электротехники
104
Если, /в настолько велико, что I не меняет своего знака, то ток
называют пульс и р у ю щ и м. Переменный ток называют
симметричным, если, сдвинув одну из полуволн иа поло-
вину периода, получим зеркальное изображение другой полу-
волны в осн времен, т.-е. если / (t)	Ц/’ ^7 4- Это ус-
ловие выполняется тогда, и только тогда, когда
/о = А — •••• — ^24 ~ 0’
т.-е. при отсутствии постоянной
f \	составляющей и четных гармоник.
-I------\------г-	Как следует из определения, тер-
\	/\.	/	мни «симметричная кривая" не тре-
\._у/	бует соблюдения симметрии отно-
Рис. 23.	сителыю оси ординат.
187. Зависимость между иееияусвидальиой а. р. е. и таком.
Так как уравнение
e = rl+L-ar + -^J tdt
— линейное уравнение, то, представляя э. д. с. е в виде ряда
Фурье в =	, получим:
Zck^rЦ, +L-sL^J Як dt,
где' ek удовлетворяет уравнению
ek-rlk-]-L^-+^f lkdt.
Следовательно, если э. д. с. несииусоидальна, то ток, обусло-
вливаемый ею в цепи, равен алгебраической сумме токов, обу-
словленных отдельными гармониками, при чем постоянную соста-
вляющую считаем за гармонику нулевого порядка. Поэтому
получаем для тока:
I--	4-	—=^—— sin (®Г 4- Ф1 — fi) 4-
+ —	 Егт......... sin (2<о/ -Hs ~ <Рз) +... 4-
/ ^4-(2<о2-2^сУ
4- — , km . 1	+ 'Н ) 4- —
105	Переменные токи	Отд. 2—108
или
«=/0-|-7im S/л (<“t-|-— <f>i) +
4" 4m sin (2<°/ + Фз —• Уз) + ••• + 4m sin	+ Фа — ?А )> •
где
/	^Ат	^Ат
‘km — —-----------------------— >
|/ ^ + ^(e£_-Jry
при чем
. ^шЛ”ф^С . хк
<tk = arc tg----—— = arc tg -у- •
Из выражения для силы тока видим, что кривая i будет
подобна кривой е лишь при условии L — 0 и ^-==0, т.-е. при
отсутствии в цепи самоиндукции и конденсаторов. Если в цепи
только-£- = 0, то zk возрастает с порядком ф и кривая тока .
приближается к синусоидальной форме. Если только L = О,
то zk убывает с возрастанием порядка фи/ искажается. Т.-е.
в кривой тока самоиндукция тушит высшие гармоники, а емкость
их усиливает. Если L ф 0 и ф 0, то возможно, что будет
осуществлено равенство ф®£— ^С" ~	® эт0^ слУчае Д’151
гармоники ф соблюдено условие резонанса: она может быть резко
выражена в кривой / и может вызвать перенапряжения на
отдельных участках цепи.
108.	Действующие значения и мощность. Т. к. действующие
значения силы тока и э. д. с. гармоники порядка ф равны их
максимальным значениям, деленным на .Ло то имеем К = — •
V ’	* ZA
Действующие значения иесииусоидальных силы тока и э. д. с.
определяются так:
'-/“Г Г”*
о
£=/fTfidt
9
Отд. 2—109 Теоретические основы электротехники
106
откуда получаем:
‘= //о2+А2 + /3г + --
£=v^o’ + fi2+ £? + •...
Действующие значения удобно определять из кривых, дан-
ных в полярных координатах. Действительно, для симметричных
кривых площадь кривой, соответствующей полупериоду,
/я /*	тс /*г	те	Г ос
у г/(®/)= -2Т- / Pdt=^P и /= у ±L.
о	о
Для несимметричных кривых _____________
/= 1/~ •$> ~Ь	,
Г тс
где Si и S2 — площади двух несовпадающих кривых, изобража-
ющих полный цикл изменения тока или э. д. с.
Средняя мощность определяется так:
1 /'7
Р = —р~ J ei dt,
О
откуда получаем:
Р —	“F-^iA dos 'fi + EiI^cos cp3-Ь....= Ро*Ь PiЧ- Pi-I-—•
где Ро, Pi.... — средние мощности отдельных гармоник. Можно
также выражать мощность и через эквивалентные активные
сопротивление и проводимость, а именно:
Отношение
называется коэффициентом мощности или коэффи-
циентом активности. Для чисто синусоидального тока Д"л =cos ср,
поэтому иногда и прн несинусоидальных токах /(Л называют
косинусом ср, хотя в данном случае ср — угол фиктивный н
говорить о сдвиге фаз кривых, которые не являются друг другу
подобными, нельзя.
Иногда при рассмотрении несинусоидальных токов и э. д. с.
сложные кривые заменяют эквивалентными синусои-
дами, т.-е. синусоидами основной частоты, действующие значе-
ния которых равны действующим значением сложных кривых.
Эти синусоиды сдвигают на угол срэ = arc cos К.а-
109.	Оценка периодических кривых. Прн рассмотрения сим-
метричных переменных э. д. сил (токов) вводят следующие коэффи-
циенты;
107
Переменные токи
Отд. 2—100
а) коэффициент формы кривой:
т.-е. отношение действующего значения к среднему за положи-
тельную полуволну;
в) коэффициент амплитуды:
'А~ Е '
т.-е. отношение максимальной ординаты к действующему зна-
чению;
с) коэффициент искажения:
f -%
JD — Е>
Рис. 24.
т.-е. отношение действующих значений основной волны и всей
кривой. Коэффициенты fE *fA приведены для некоторых форм
в таблице (стр. 108).
Так как получение строго синусоидальных кривых э. д. с.
и тока весьма затруднительно, то в технике вводят понятие
о практически синусоидальной форМ'е кривой.
Форма кривой считается
практически синусоидаль-
ной, если ни одна из ее
ординат а не отличается
от .соответствующей орди-
наты 01, выделенной из
кривой основной волны
более, чем на 5°/0 от ампли-
туды последней Aim. Для
выделения основной вол-
ны должны быть исполь-
зованы не менее, чем 12 точек исследуемой кривой. Для кривых,
симметричных не только относительно оси времен, но симмет-
ричных и относительно своей максимальной ординаты, ампли-
туда основной волны может быть определена аналитически по
фор"у“ „
Aim-----------------------
3
где ав — наибольшее значение ординаты исследуемой кривой,
at и аа — значения ординат, отстоящих от ординаты а3 на
1	2
12 н 12 периода.
ОтД. 2—110 Теоретические основы электротехники 108
110.	Причины^ вызывающие мважевие кривых тон». При.
действии синусоидальной э. д. с. в цепи будет существовать
синусоидальный ток той же частЬты -лишь при условии по-
стоянства параметров цепи: г, L и С. £сли эти параметры пре-
терпевают изменения, зависящие или от силы тока или от на-
пряжений, или же вызываемые каким-либо другим путем, то
кривая силы тока искажается. Обычной причиной искажения
служит наличие в цепях железа, обладающего изменяющейся
магнитной проницаемостью, что влечет за собой периодические
измеиеиия коэффициентов индукции (L и М).
109
Переменные токи
Отд. 2-111
III.	Свойства цепей с переменными параметрами. Если
в цепи действует, э. д. с., ие имеющая постоянной составляющей,
то при отсутствии в цепи скользящих контактов и изменяющих
активных сопротивлений, кривая тока также ие может иметь
постоянной составляющей, даже при наличии изменяющихся
реактивных сопротивлений. Наличие последних может повести
лишь к появлению высших гармоник, а при некоторых условиях
и субгармоиик, при чем ток основной частоты может быть за-
глушен. Такого рода устройства применяются для статического
преобразования частоты. Введение в цепь периодически из-
меняющихся активных сопротивлений может иметь результатом
появление постоянной составляющей в кривой тока при отсут-
ствии ее в кривой э. д. с. Подобные устройства применяются
для выпрямления переменных токов.
В то время, как для цепи с постоянными параметрами гра-
фик зависимости между Е и / в прямоугольных координатах,
так называемая, характеристика цепи, будет прямая
линия, при зависимости параметров цепи от силы тока или
напряжения пропорциональность между Е и / нарушается и ха-
рактеристика искривляется. При некоторых условиях
одна и та же сил а тока в цепи может устанавли-
ваться при нескольких различных напряже-
ниях и наоборот.
Явление резонанса в таких цепях сильно осложняется.
В частности, в цепях с насыщенным железом, т.-е. при L = var
и С= const, условие резонанса ш2£С=1 дает бесконечное
множество резонансных частот. Кривая /=/(<!>) при Е = const
может принять такой вид, что одной частоте будут отвечать
несколько различных значений тока.
112.	Действующие значения сопротивлений и проводимостей.
При несинусоидальиых токах и э. д. с., и даже при синусоидаль-
ных, если цепь сложна, вводят понятие о действующих сопро-
тивлениях и проводимостях, определяемых выражениями:
Р	Е	/------
г= p't Z — f ’> х — у f2
Р	I	/—-----’
gz=-p', у = ё'>	у2—^1,
где 1,Ен Р суть соответствующие действующие значения силы
тока, э. д. с. и среднее значения мощности, определяемые по
показаниям измерительных приборов.
В дальнейшем с этими коэффициентами оперируют, как
с эквивалентными сопротивлениями и проводимостями и, в част-
ности, применяют их Для построения векторных диаграмм.
Строго говоря, это допустимо лишь Яри синусоидальных тока:!
и э. д. с., но н при несинусокдальных в обычных случаях
практики,' когда искажение кривых сравнительно невеЛикц
Отд. 2—113 Теоретические основы электротехники
НО
такое построение дает достаточно точные результаты. Отметим,
что . действующие активные сопротивление и проводимость
больше, чем определенные на постоянном токе, так как в цепях
переменного тока всегда имеются добавочные, потерн на токи
Фуко, вследствие поверхностного эффекта, на гистерезис и т. д.'
113.	МиоТефазныа системы. Многофазными называются си-
стемы, в которых одновременно действуют несколько э. д. с.
одной частоты, сдвинутых по фазе друг относительно друга.
Система называется симметричной, если она состоит
нз т э. д. с., равных по величине н сдвинутых друг относительно
2те
друга на угол—. В противном случае система называется не-
симметричной. Для э. д. сил симметричной /п-фазной системы
имеем:
et = Ет sin Ет
et = Ет sin - J) = Eme' ~ ^)
(	2it\ c j[ a>t—
e3 = Em sin \.<°t—2—} = Emz V
[2it~] p	.1 <o/ _ im _ i) — I
<о/ - (ОТ — 1)—j == Em	m |
k~m
и, следовательно, сумма всех э. д. с. системы ek о.
к _ i
Л = /я
Если нагрузка всех фаз одинакова, то и ek = о. Мгновенная
А = 1
мощность системы равна сумме мгновенных мощностей отдельных
А = т к — т
фаз, т.-е. р =r = ek ik . Отсюда следует, что и
А = 1 А = 1
средняя мощность системы равна сумме средних мощностей
к = т
отдельных фаз, т.-е. Р —	. Если система симметрична
А «з 1
и фазы одинаково нагружены, то мгновенная мощность системы
не зависит от времени и равна средней мощности одной нз
раз, умноженной на число фаз. Системы, мгновенная мощность
которых не зависит от времени» называются уравновешен*
Ш	Переменные токи	Отд. 2—114
н ы м и. Уравновешенной может быть н несимметричная система,
наир., несимметричная двухфазная система
[ Eziu>t,	”2
при одинаковой нагрузке фаз уравновешена.
114.	Связанные системы. Если цепи, в которых действуют
э. д. с. многофазной системы, электрически связаны, то система
называется связанной, в противном случае система назы-
вается несвязанной. Существует два основных способа свя-
зывания: соединение многоугольником, при котором конец
одной фазы соединяется с началом другой, н звездой, при
котором начала или концы всех фаз соединяются в одну общую
точку, называемую нейтральной или нулевой. При-
меняются также и комбинации этих способов соединения.
Приемники могут соединяться также и многоугольником н зве-
здой, независимо от того, как связавы обмотки питающего
устройства. При соединении, звездой и обмоток 'Питающего
устройства и приемников иногда соединяют нейтральнее точки
тех н других при помощи провода, называемого нейтраль-
ным, или нулевым. Это делается для уменьшения диссим-
метрии напряжений, которая может возникнуть при неодина-
ковой нагрузке фаз. Напряжения между проводами соседних
фаз, идущими от питающего устройства к приемникам, назы-
ваются линейными, междуфазовымн или сопряжен-
ными напряжениями, а токи в этих проводах — линей-
ными токами. Символически задачи о многофазных систе-
мах решаются так же, как н задачи об однофазной системе.
При решении с помощью векторных диаграмм вопросов,
относящихся к связанным системам, сопрягают каждую точку
цепи с определенной точкой плоскости, в зависимости от вели-
чины н фазы напряжения, существующего между нею и некото-
рой произвольной точкой цепи. Это и составляет сущность
топографического метода, позволяющего находить
вектор напряжения между двумя точками цепи простым соеди-
нением этих точек прямой линией.
115.	Соединение многоугольником. Если система симметрична,
то топографической диаграммой для соединения многоуголь-
ником будет правильный многоугольник. Линейные напряжения
будут равны фазным, а для линейного тока, являющегося геоме-
трической разностью токов соседних фаз, при одинаковой нагрузке
фаз имеем:
Ц ~<Цр siny.
При т — 3 линейный ток Ц — /р\/ 3.
При т = 6 линейный ток It = 1р.
Отд. 2—116 Теоретические основы электротехники 11
.Мощность при тех же условиях симметрии будет;
р = р = т Ер Ip cos <р =--h cos <р.
2 sin —
tn
При m = 3 мощность p — P = 3Ep lp cos <p = /3 Et Ц cos <p.
При m = 6 мощность p = P = &Ep Ip cos <p = 6£z It cosy.
При соединении многоугольником сумма всех линейных
токов, независимо от формы кривой, равна в каждый момент
нулю; Если фазные э. д. с. несннусоидальны, то прн соеди-
нении /п-фазной системы многоугольником сумма э. д. с„ дей-
ствующих по замкнутому контуру, не будет равна нулю, так как
гармоники порядков, кратных от, будут совпадать по. фазе во всех
обмотках. В результате, даже прн разомкнутой внешней цепи
в многоугольнике будет циркулировать ток.
f 16. Соединение звездой. Если система симметрична, то топо-
графической диаграммой для соединения звездой будет пра-
вильная звезда. Линейные токи будут равны фазным, а для
линейных напряжений, являющихся геометрической разностью
напряжений соседних фаз, при одинаковой нагрузке фаз, имеем:
El = 2Epsin~.
При т = 3 линейное напряжение Et = \4з Ер.
При т = 6 линейное напряжение Et = Ер.
Мощность при тех же условиях симметрии будет:
о = Р = т Ер 1р cosy ™ .к"El 1л cos ?.
2 sin —
tn
Прн т = 3 мощность р = Р = ЗЕр lp cos = \f3 Е{ It cos<%.
При tn = 6 мощность p = P = &Ep Ip cos <p = 6ZTz Ц cos <p.
Эти результаты совпадают с полученными и для соединения
многоугольником. Если существует нейтральный провод, то сила
тока в нем
k = т
k— 1
При одинаковой нагрузке всех фаз з0 = 0. При соединении
звездой сумма всех линейных напряжений, независимо от формы
кривой, равна нулю в каждый момент. В симметричных /л-фазных
системах, соединенных звездой, в линейных напряжениях отсут-
1’13	Переменные токи . Отд. 2—117
ствуют гармоники порядков, кратных т, совпадающие по фазе
в фазных напряжениях. Поэтому отношение Et ^Ер может быть
те
больше 2 sin — ’ Наличие?- Гармоник ведет к тому, что даже
при полной симметрии в нейтральном проводе будет существо-
вать ток высших гармоник порядков, крат-
ных т, совпадающие по фазе во всех т	1
фазах. -	ДЧ
117. Преобразование треугольника в экви- . Xj/Xz.
валентную звезду. Если нагрузка фаз трех-	\
фазной системы неодинакова, а приемники
соединены треугольником, то для расчетов
удобно преобразовать треугольник в эквива-	1“
лснтную звезду. Треугольник й звезда будут - рио. «
эквивалентны, если полное согфотнвление	•
между двумя любыми вершинами будет одинаково в обоих
случаях Эквивалентность будет соблюдена при выполнении со-
отношений:
_________7з1 Zjl _	_ ^12 ^23_____е
1	Z12 4* ^23 4~ Z3l ’	4	Z12 4“ Z33 4" ^31 ’
7^23^31
3	Z12 4*	4* ^31
Обратно, можно заменить звезду эквивалентном треугольником,
для чего проводимость плеча (2,3) следует взять равной:
у К Уз .
У23= у1+уа+уз
118. Нееиммотричная нагрузиа трехфазиой сметами, Йусть
генератор и приемники соединены звездой н имеется нейтральный
провод. Обозначим напряжение между нейтральными точками
их О' н О через й0 = О'О.
Тогда
и°~ У^Уз+Уз+Уо
Далее находим напряжения в фазах приемника — 0$),
(l)2 — Utt), (7/3 — 1/0) и токи в фазах А = (Z7j — По) У1г и т. д.
Пусть теперь нейтральный провод отсутствует. Тогда:
... ^мУз-^йП U^Y. + ^Y, .
^зо- у1+уа+у3 - у1+уз + у3
Если Yt=Yv=Ya, то точка О лежит в центре тяжести
треугольника.
Отдел 2.	_
Отд. $—11,9 Теоретические основы электротехники 114
Если = <р2 = <р3 и У, = const, У3 = const, но У3 — par, то
/7 =
Uso	( У, \ ’
(У1 + Уа)(1+«-^^)
т.-е. нулёвай точка перемещается по прямой, так как коэффи-
циент при £ вещественное число.	',
Если У! = const, У1 = const, У3 = Пйг, но <р3 = const, то
/7	^31 У1~Ь
(У1+Уа)(1+^ У/^ у,)
т.-е. нулевая точка' перемещается по окружности.
I HL Разложение несимметричней трехфазией системы иа две
симметричных. С. L. Fortescue показал, что всякая несимметричная
ти-фазяая система, для которой?
может быть разложена на две симметричных /тг-фазных системы,
имеющих разные амплитуды. При этом система с большей
амплитудой (Еа) имеет тот же порядок следования фаз во вре-
мен#, что н исходная, а система с меньшей амплитудой (^ )
имеет обратный порядок следования фаз во времени. Обе эти
системы в общем случае сдвинуты иа угол а одна относительно
другой. Пусть нам даиа система (Ё1, Е3, Ё3). Положим:
^з = 4як+^и1	.
< . • А • , » • , , «г-
Ealt > 3	+/ 8 
£3 = Ёю = Аа1 е - /2-Т- + с +' 2 -Т- •
ZT-	_  2Г.
Умножая 2-ое уравнение на е+7 j ’ а 3-ье на е 7 з и скла-
дывая с первым, найдем:
2ft .	2ft
3 Ёа1	e+^~S~
. 2«	' а-
Умножая 2-ое уравнение нд г"~} з , а 3-ье иае+7 в и
складывая с первым, найдем:
, . 2“
== Ei -f- Ёа е, а Ё3 с з  ’
115
Пере.ч^ннЫе moiCU
Отд. 2—119
£а1 и Ebi Определяют вполне обе симметричные системы
И могут быть найдены построением (рис. 26), повторяющим гра-
фически указанные выше аналитические операции. А именно,
как следует из аналитического выражения, полученного для
вектора 3£в(, мы можем его построить, повернув векторы Et
. 2л -	2я
вд угол 4-"з" н Ез на угол —-д-~, и сложив два вновь полу-
ченных вектора вектором Et (см. рис. 26а). Аналогично, для
получения вектора 3E6t Нужно повернуть векторы Ё? на
2 л	.	' , 2т.
угол----j- и Ез на угол -f- -g- и сложить >л вновь полученных
вектсфв с вектором Ej (см. рис. 26b).
Таким образом, вопросы, отно-
сящиеся к несимметричным много-
фазным системам, сводятся к рас-
смотрению двух симметричных си-
стем и решенйе получается нало-
жением результатов, полученный
в отдельности для каждой из соста-
вляющих систем. Указанное разло-
жение применимо и к несимметрич-
ной звезде токов, удовлетворяющей
k = т
условию 1ц = 0.
При Симметричной звезде напряжений и несимметричной
«везде токов степень ассиммйтрии системы можно характеризо-
вать отношением /о / 1ц.
Отд. 2—120 Теоретические основы электротехники 116
(20. Двухфазная еиствяа. Двухфазной системой называют
Обычно несимметричную систему, состоящую из двух э. д. с.
равной величины, сдвинутых по фазе на угол-j* . Эта система
имела широкое распространение в С. Щ. А, а в настоящее
время находит применение только для питания электрических
печей, при чем обе э. д. с. связываются и от Общей точки
выводится третий нейтральный провод. При одинаковой нагрузке
фаз линейное напряжение между крайними проводами =
=V2^. а сила тока в нейтральном проводе /о = у/21р.
При этих условиях мощность Р = 2Ер Ip cos <р = Е( /0 Cos ф.
121. Преобразование многофазных систем. Для суждения
о возможности рационального преобразования многофазных
систем прн помощи статических схем весьма важна степень
уравновешенности преобразуемых систем. Из уравновешенной
системы moikho всегда получить системы
у,	и уравновешенные н неуравновешенные.
'S g-----	. Преобразование неуравновешенных систем
|	||	в уравновешенные требует включения
|	81 в схему устройств, могущих аккумулиро-
I оо ссоо-----Г ватв в се®е 9неРгию> т.-е.. влечет за со-
। бой' или применение больших еамоиндук-
е'	-—	__ ций или больших емкостей, следствием
чего является низкий коэффициент мощ-
ности преобразующей схемы, который по
существу и характеризует способность
последней к аккумулированию' (времен-
ному) энергии. Применение активных со-
\	- противлений для нелей преобразования
• энергии влечет за собой низкий коэффи-
циент полезного действия схемы. В частно-
сти, преобразование однофазной системы
применяется лишь тогда, когда преобразуемая
мощность невелика, напр., для питания измерительных приборов
и реле.
Преобразование уравновешенных'систем наоборот, широко
применяется и при весьма больших мощностях, ири чем наиболее
часто преобразуют трехфазную в шестифазную и трехфазную
в несимметричную двухфазную, и обратно. На рис. 27 приве-
дена схема Скотта для- преобразования трехфазной системы
в несимметричную двухфазную (и обратно) при помощи двух
трансформаторов и-соответствующая диаграмма. Чрезвычайно
просто выполняется преобразование однофазной системы в сим-
метричную двухфазную.- - Для этого- достаточно расщепить
обмотку, в которой создается э. д. с. однофазной системы, на
две одинаковые части. Тогда две э. д. с., действующие ОТ точки

Рис. 27.
в трехфазную
<117	Переходные режимы	Отд. 2—122
расщепления и концам получившихся двух обмоток, будут
равны по величине и сдвинуты по фазе на угол л. Если рас-
щепление фактически не выполнено, а только выведена средняя
точка однофазной обмотки, то получается связанная сим-
метричная двухфазная система. На таком расще-
плений фазы и основано преобразование трехфазной системы
в шестифазную. Так, для получения шестифазвой звезды из
трехфазной несвязанной системы достаточно соединить вместе
средние точки трех обмоток трехфазной системы, а от концов
их вывести шесть проводов.
Переходные, или неустановившиеея режимы
и электрических цепях.
122.	Процесс установления Тона. Если параметры, опреде-
ляющие режим установившегося в цепи тока, получают новые
’значения, то переход к новому режиму совершается не мгно-
венно, т. к. энергии электрических н магнитных полей системы
должны получить также новые значения, на что требуется время.
Во время переходного режима на ток установившегося режима
накладывается ток преходящего режима, иногда называемый
свободным током. В дальнейшем рассматриваются цепи
с сосредоточенными постоянными, т.-е. относительно медленно
протекающие процессы, при которых считают, что сила тока
в данный момент имеет одно и тоже значение во всех точках
неразветвленной цепи. Постоянные цепей г, Lh С будем считать
неизменяющимися во время переходного процесса. Если е —
действующая в цепи э. д. с., то имеем е —f J
где /— линейная функция тока и его интеграла и производной по
времени. Выражая ток неустановившегося режима ({*), как сумму
тока установившегося режима (ist) и преходящего (J&), имеем:
*=/1(	fistdt )>+/а ( itr' }
а так как установившийся ток удовлетворяет уравнению
e==f(ist’
го ток преходящего режима определится из уравнения без по-
следнего члена:
Ал)=о-
Постоянные интегрирования определяются из начальных условии
при t = 0, т.-е. в момент начала переходного режима, и одним
ИЗ этих условий будет
Стд. 2—123 Теоретические основы электротехники 118
123.	Рмряд конденсатора на актмноа емдэтнвлтше. Имеем:
1 t*	(fa 1
riir + -C-J 1*#=^ или
и 4- -L-1 — 0, или	х —L. и — О,
dt rC	dt гС и +, ’
’ г и________t	. *.ф
откуда Z= —~ »	гС и и — Uo е гС
если через UQ обозначить напряжение иа обкладках конде!*-
сатора в момент t = 0.
124.	Ток в.цвпис г к L. «fd прекращении действия а. д. с.
Имеем:	-
= 0 и / = /ее-~
еСЛИ Через /о обозначим силу тока в цепи в момент прекра-
щения действия э. д. с. (t = 0).
125.	Разряд конденсатора в цепи с г и L. Имеем:
rt(r + *	f itr^t^O
ИЛИ		г	d4 -+	1 a 0
	dt1 "г	£	dt т	
и	" ТГ t dt» 1	г L	&tr J dt "*	£C^ °
или	d4J	, г	dU	i 1	// n
	dt3	г L	dt	+ £C U a
Положим -гуд- = тогда корни характеристического уравнений
“W"	Ги__,
Обозначим через EZ0 напряжение на обкладках конденсатора
в момент t — 0, и рассмотрим Следующие случаи.
1	,/17
1 случай: 8* >	или г > 2 у -q-•
Т1 - f't
ио е
LC
83 LC
IIS	Переходные режимы	Отд. 2—125
Имеем гиперапериоднческий разряд: ток возра-
стает от нуля до максимума при t— и затем убывает,
ассимптотически приближаясь к нулю.
1	i/'T'.
2	елунай: с^^-^ или гя=2р "с~*
Т1 = Та = — 8,. '
llr = Atte " 8Г + А2Г W	“ 8А
Имеем апериодический разряд: ток возрастает от
нуля до максимума при t — 1/8 и затем убывает, ассимптоти-
чески приближаясь к нулю.
..... 1 . _ _/„
3 случай: 83<	, или г < 2 |/ -i=r. Полагая
— 83 = ш3, имеем: у = —8
,	, (— 8 +/ш/ . , (—8—i<o)t	, —it ,
ltr=Ait	-f-43e	5=/oe sin <»t =
: 8^ Sin <at
_8f
sin (lot -f- <|»),
и
где
== шД е
„ Ц>
tr е
2 шД	ш
<|» = arc tg —р-= arctg--
Имеем затухающий колебательный разряд,
характеризуемый следующими величинами:
Коэффициент затухания 8 == r/2L
Частота колебании
- V LC — 8’ ” 4 ~ 2я - 2я 1
2к
— м
Период колебаний Т =
Декремент колебания, т.-е. отношение двух после-
довательных амплитуд одного знака,
А =
Отд. 2—125 Теоретические осно вы электротехники - 1J6
Логарифмический декремент затухания/
» = /лД= 8Т.
Отношение энергии, остающейся в контуре в конце полу-
периода, к энергии, имевшейся в начале полупе^иоДа, будет:
1 e Q	’.‘’''111'"'
—= е ” . Отношение Энергии, расходуемой за полупериод,
к энергии, имевшейся в контуре в начале полупериода,
Д-1
будет —— „ —-—
Эффект тока
Г°°	г°°	-8/	/о"3
' J ~ J (А 8 Sin “О3 — 48 (83 -f- и3)’
о	о
Первая, наибольшая амплитуда тока
_______	6	ш
/"7=г* — —i- arc tg —г—
1	ш
достигается в момент t=------arctg-s-
U>	° О
Время, иеобходвмое для- того, чтобы амплитуда тока упала
, А , t In р
art начального значения /0 до -j- будет tp = -g—, чему со-
1пр
ответствует число периодов чр = —g-‘
Энергия——, имевшаяся в конденсаторе в начале процесса,
рассеивается. Если в секунду происходит п зарядов и разрядов
конденсатора, то мощность Колебаний Р — nCU%.
При г=0 колебание ие затухает, так как энергия ие рас-
сеивается. Некоторые приведенные выше соотношения упро-
щаются при г — 0, и эти упрощения дают также достаточную сте-
пень приближения и при г ф 0, если только 83«, или
г«2/£/С‘.
А именно, имеем:
Период собственных незатухающих колебаний
'^LC — формула В. Томсона,
121
Переходные режимы
Отд. 2-126
н соответствующие частоты <о0
1
/ZC

Г С*
Логарифмический декремент & *=1Т^~г 1/	—-----= т.гшС.
V L <aL
Так как электромагнитные колебания распространяются со
скоростью света с = 3 X 1010 cm/sec, то, вводя длину волны К,
имеем:	____
\т = сТ^ сГо - 2it X з X 1010 y/Zq
где L и С выражены в единицах какой-нибудь одной системы.
Эта формула-получает весьма удобный вид, если L и С выра-
жать в сантиметрах:
= 2те у/Lcm Ccm .
„	„ и 3 х 101’	3 X IO» з х IO®
Частота колебании v = —?-----= —?------= —г--------•
Kcm	кт	Kkm
1 ^-ст l"Q 1 Fq
Логарифмический декремент 0 = “ТкйХ—j—~i 642—Z----------'
126.	Колебания связанных систем. Пусть даны два кон-
тура,—(rt; £t; Ci) и (г3; £3; С3), индуктивно связанные, при
чем коэффициент взаимной индукции их М и коэффициент
М
связи = у/277Г" ^Ри иаличии колебательного процесса в од-
ном из них будет существовать колебательный процесс и в дру-
гом, при чем оба эти процесса протекают значительно слож-
нее, чем в одиноком контуре и определяются системой урав-
нений:
zf/i .	dU\
n4 + Zi-^--+-=	/i==—Ci-^r
г34 4-£3-^--]-Л/-^- —i/3 = 0; /3=—C3~^r.
Общее решение данной системы весьма сложно, и мы огра-
ничимся указанием результатов для случаев, когда возникаю-
щие процессы имеют колебательный характер, при чем будем
предполагать, что затухания контуров невелики, и частоты соб-
ственных колебаний близки друг к другу.
Результаты исследования показывают, что, вообще, в свя-
занных контурах имеют место два колебания с различными
частотами н затуханиями, которые с достаточной точностью
Отд. 2-126 Теоретические основы злектротехники 12$
определяются следующими выражениями:
(61	62) ш'2 — (6t	4“ 63 ш2)	2« 6'
----------------------г~г--------- И »' = —р
ш '*
6»
>'2
2(1-^)
(81 -|- 62) ®’2 — (6] <1>2 -|-	<“1)
2л о"
2 2 и — ш"
о>7 toS	ш
(1 —	о»"2 — ...?..2
V ' ®"2
Если, кроме того, цепи настроены, и = ш2 = ш, т.-е. суще-
ствует изохронизм, то
О)	СО
.... - И <*>* = , 
& -4~ 8g	-I-	<0*
Более точные зависимости подучим в этом случае, заменив £на
*>-/»•-(^Л
Если в цепях преобладает затухание над связью, т.-е.
/»1 — &Д2
( — 24— ) :> #*, то можно считать, что (прн очень малой связи)
два колебания мало отличаются друг от друга, и полагать <о' =
= w" = ш. Логарифмические декременты для этого случая бу дут
Г =	*2j-
В тех случаях, когда «'фо/' получается биение колеба-
ний. Действительно, наложение двух колебаний с частотами «'
и «" можно рассматривать, как одно колебание, происходящее
123
Переходные режимы
Отд. 2—127
ш -н W
с частотой —2—и имеющее переменную фазу и амплитуду,
— <о'
при чемЧастота изменения последиёй будет 2— При изох-
ронизме биения наиболее резко выражены, н число их в секунду
будет:
ш" — ш’ a»] J 1	1	\ а»
127.	Включение цени (г, L} иод постеянное напряжение L.
di
Имеем: ri -f- L = U, откуда
t = ist + tfr— ~r~	« л = —p £ 1 — s 1 J|
 V .
т.-е. ток возрастает от нуля, ассимптотически приближаясь к ——
128.	Включение цепи (г, С) под постеянное напряжение U.
1 г	di 1
Имеем: rt-y-Q- I ldt= U, откуда	=° и
» = (rf + k = ° + ^
U
т.-е. ток убывает от начальной величины —— • ассимптотически
приближаясь к нулю.
129.	Включение цепи (г, L, С) пед постоянное напряжение U.
Имеем: riLj' idt=U, откуда
I — ht + itr = ° + hr •
Если напряжение на зажимах конденсатора при t = 0 будет
Uo, то решение будет аналогично полученному в § 125, только
вместо Йо надлежит поставить U -f- U^.
130.	Включение цепи (г, L) псд переменное напряжение.
di
Имеем: rt+£-^-= Um sin («>t -f- ф), откуда
= + itr —	s in (wt + Ф — <f)~— sinity — ?)* —	’
Отд. 2—131 Теоретические основы электротехники 124
Ток устанавливается сразу, если ф — <р = 0 или я, так как
тогда iotr = О. Наибольшего значения той переходного режима
/= (^ +достигает при ф = О или л. Это значение будет
/ж[ 1 +81Я? *	(?+”)]< 2 1т.
131.	Включение цепи (г, С) под переменнее напряженно.
Имеем: ri -J-	idt=U^ sin (<u/ + ф), откуда i = isi,	tjr =
= H?Lsln(«>t +Ф — <p) — ^’r-grcos (Ф — <p)e ~~rc '
Наибольшее значение ток в момент включения (f = 0) будет
л	1
иметь, если у — —j-. Это значение будет lm CQS т.-е. может ч
значительно превзойти !т . Максимальное напряжение иа об-
кладках конденсатора будет (при малом -^г), если ф = — ср,
но и тогда оно ие превысить двойного напряжения при уста-
 повившемся режиме.
132.	Включение цепи (г, L, С) под переменнее напряжение.
di \ Г
Имеем: ri L -щ-	-q- / idt — Um sin ф), откуда
i=ist+Jtr = ~ Sin (cuf + ф — cp) 4-
— 0^
, иm e	Г 1
+ C0S stn +
+sin (ф ~?) sin (mot ~arctg
если ш0 = у j-q — 52 вещественно, что и представляет
наибольший интерес. В этом случае на ток установившегося
режима налагаются два сдвинутых по фазе затухающих коле-
банвя с частотой собственных колебаний контура а>о. Условием
для максимальных амплитуд при переходном режиме будет
л Зср
ф — -у-)—• Если> что обычно и имеет место, «р и,
125
Переходные режимы
Отд. 2—198
яроме того, г мало, то if й и ф — ? = 0. Тогда амплитуда
тока может подучить весьма большое значение, Приблизительно
«о	“о Um
равное /т *= —но напряжение на зажимах конден-
сатора не может превзойти двойной амплитуды установившегося
режима. Если, Наоборот, «о»«>0 и г мало, то <р = —д-
и фот — у = —у. Амплитуда тока тогда не может превзойти
двойной амплитуды установившегося режима, но напряжение
на зажимах конденсатора Может достигнуть весьма большого
(D
значения, приблизительно в раз превосходящего амплитуду
при установившемся режиме. Если, наконец, имеем случай
резонанса, то.ша LC = 1 и <р = б. Собственные колебания тогда
почти не зависят от момента включения и направлены противо-
положно вынужденным^ почему в цепи не возникает ни сверх-
токов, ни перенапряженвй.
133.	Оператор Хивизайда н теорема Хивнзайда. Составление
и решение уравнений, к которым приходят при исследований
переходных режимов в цепях с постоянными параметрами
(г, L, С и т. д.), значительно упрощается^ если условиться опе-
рацию взятия производной по времени обозначать сим-
волически через х и принять, что
dn „ f 1
dt = ~r
и т. д. Например, для цепи (г, L, С), в которой действует
постоянная э. д. с. Е, мы имели ранее:
Символически же напишем:
ir+tLi+ Е> или E=i
Отношение вынуждающей силы к исследуемой величине
называется оператором Хивизайда и обозначается через N. В на-
шем случае
' - Е •~ • 1
N = ~/~“,= г + тЕ +
Отд. 2—134 Теоретические основы электротехники 1^6
Операторы для различных цепей составляются так Же, как
в ранее изложенном символическом методе' составлялось отно-
шение заданной величины к искомой (а нашем.частном случае,
как полное сопротивление), лишь вместоуш ставнм у. Приравнивая
оператор N нулю, находим кории характеристично!# уравнения.
Если в момент времени t = 0 в системе начинает действо-
вать постоянная электродвижущая сила Е, тб нзйййеййё иссле-
дуемой величины (/) может быть выражено по теореме, Хиви-
зайда так:
Е
1 ~ Wy^d
Е*К
>, dN
В нашем случае N = г 4- yL -ф- -^-, и при у = 0 имеем
(Mj = a = о°- Корни Ti и та находим, полагая N =0, откуда
Т ~ Ть Та • • • Т»
1 г3
у
dN ,	1 I rfaV]	| dN1 n] ,
\ dy yC H U dy J — a |_T j — — 2J «.Л
T = Ti	T — Ta
Следовательно, имеем:
E EJ'*	eJ^	£S—S^ [se—/«*<]
* co + 2у	2/ «bqZ,	(oq£
что мы имели н ранее.
Для напряжения на обкладках конденсатора U мы получим
а данном случае оператор
Nn = т3£С + тСг+1.
К. W. Wagner показах, что теорему можно распространить
н на случай гармонической э. д. силы е ~ Ет S/я (<»Т Ц-ф).
Тогда имеем:
Е гЛ“'+Ф)
е tytW
~^т______
. dN
- Jtt>^ dy JT = Ti;Ta •
• т«
Переменный магнитный поток.
№. Основное свойство. Под переменным магнитным пото-
ком будем понимать периодически- изменяющийся поток. Так
как прн всяком изменении потока, согласно закона злектромаг-
127 Переменный магнитный поток Отд. 2—135
ниткой индукции, гв плоскостях, перпендикулярных к направле-
нию потока Возникают э. д. с., то периодические изменения
потока влекут за собой появление периодически изменяющихся
э. д. с. той же частоты.
135.	Тони Фуко. Если в области, занимаемой переменным
магнитным полем, находятся проводящие тела, то в них под
действием индуктированных э. д. с. возникают переменные элек-
трические токи, называемые токами Фуко. Тепло, выделяемое
по закону ДжОуля-Ленца токами Фуко в проводящих телах, на-
зывается потерями на т о к ц Фуко. Так как действующие
значения э. д. с., вызывающей токи Фуко, пропорциональны
частоте и максимальной индукции, то потери на токи Фуко
пропорциональны квадрату частоты н квадрату максимальной
индукции.
Для цилиндрического стержня с диаметром D (в ст), ось
которого параллельна направлению потока, принимая, что
индукция В (в гауссах) распределена по сечению равномерно,
имеем для теряемой мощности (в ваттах): 
pf = v7^22”52» 10-18 v*
где/Е—коэффициент формы кривой э. д. с., р —удельное
электрическое сопротивление (в 2 х ст) и V — об'ем (н ст*).
Для листа, толщиною Д, плоскость которого параллельна на-
правлению потока, имеем при тех же условиях и обозначениях:
4
Л = v7£vW2?2“ 10 к
Токи Фуко направлены так, что они стремятся ослабить
основное, вызвавшее их появление магнитное поле. Это раз-
магничивающее влияние наиболее сильно в центральных частях
сечения проводящего тела и равно нулю на периферии. В ре-
зультате . магнитная индукция распределяется по сечению нерав-
номерно: она, имея нормальное значение на периферии, осла-
блена в центральных частях сечения, которые экранируются
токами Фуко. Неравномерность распределения магнитной индук-
ции увеличивается с, увеличением угловой частоты «>, магнитной
проницаемости р н удельной электропроводности и при том же
магнитном патоке ведет к увеличению потерь на токи Фуко.
Для , листа толщиною. Д, плоскость которого параллельна потоку,
имеем отношение магнитной индукции в точках, отстоящих на х
от осн листа, к индукции, и точках на поверхности (х = Д/2):
sx cash 2J}x COS tyx
у cosh kd + cos %d ’
где = /2и®р 7, при чем,т выражено в абс. эл.-м. едшщцах.
Отд. 2—136 Теоретически* основы электротехники 128

«4
;а;
'к:
•а:
$
“Л
Рис. 28;
136.	Цепь поременноге магнитнеге потека. Рассмотрим цепь,
представленную на рис. 28 и состоящую нз железного сердеч-
ника, первичной обмотки с током Д
и вторичной обмотдн, обладающей
только активным сопротивлением г2."
Обозначим через <р и т 4- мгновенные
значения магнитного потока и магнито-
движущей силы первичной обмотки.
Тогда, если магнитное сопротивление
сердечника будет R:
<f R =® 4л (Д t»i 4- Д на.) = m 4- 4л Д к/2; 0 = Д г2 4- о/а
4nw| <7®	_ 4л 0*1
----—— и, обозначая--------£== д,
Га dt	гг
Отсюда получаем: <рЯ = т -
имеем т = <pR К 
Получилось уравнение, аналогичное уравнению, связываю-
щему э. д. с. и ток в цепи с сопротивлением и самоиндукцией;
Если т = Мт Sin <ot, то для установившегося режима получим:
Мт
и-и
где arctg ф — w/f/R.- Отсюда следует, что в данном случае по-
ток не совпадает по фазе с магнитодвижущей силой, создавае-
мой, первичной обмоткой, а отстает от иее на угол ф, тем боль-
ший, чем больше частота ш и коэффициент Д’, который увели-
чивается с уменьшением сопротивления вторичной обмотки га.
При короткозамкнутой вторичной обмотке г2 = 0, /С=со и
ф = л/2.
Так как токн Фуко подобны токам, возникающим во вто-
ричной обмотке, то их наличие ведет также к сдвигу между
Миф, 'тем большему, чем больше электропроводность сер-
дечника. Коэффициент/Схарактеризует инерцию магнитной цепи,
и Токи Фуко можно рассматривать, как проявление этой энергии.
137.	Поверхностный аффект (скин-эффект). При прохожде-
нии по проводникам! переменного тока вокруг и внутри них
образуется переменное магнитное поле. Магнитные липни
Этого переменного магнитного потока, пересекая тело njpo-
водника, индуктируют в нем по закону Фарадея обратные
э. д с., различные для различных точек проводника. А именно,
эти э. д. с. будут больше в средней части сечеиия проводника
и наименьшие значения имеют для точек, расположенных на
периферии, так как магнитные линии, проходящие внутри са-
мого проводника, возникая и исчезая, Не пересекают ег'о поверх-
129	Переменный магнитный поток Отд. 2—137
нести. Неравенство обратных э. д. с- ведет к неравномерному
распределению плотности тока по сечению. Наибольшая плот-
ность тока будет, на периферии и наименьшая в центральных
частях сечения. Аналитическое рассмотрение вопроса приводит
к уравнениям, решающимся в Бесселевых функциях Тах на пр.,
для цилиндрического проводника, если обозначить плотность
тока через J, а расстояние точки от центра сечения через х,
имеем:
L#__z JL
dx3 + х dx ~~4,1 w dt '
Явление поверхностного эффекта выражается тем резче,
чем больше будут частота т переменного тока, магнитная про-
ницаемость {л, удельная электропроводность у и поперечное
сечение провода. С поверхностным эффектом при-
ходится считаться: а) при высокой частоте,
Ь) при низкой частоте, но высокой магнитной
проницаемости провода, и с) при низкой час-
тоте, но большом сечении провода. Неравномерное
распределение тока по сечению провода влечет за собою' при
той же силе тока через все сечение увеличение потерь на
Джоулево тепло, т.-е. вызывает увеличение активного сопроти-
вления, а также уменьшение коэффициента самоиндукции,
вследствие ослабления магнитного поля внутри провода. Отно-
шение активного сопротивления г к сопротивлению при постоян-
ном токе г0 назовем а, а действующий коэффициент самоиндук-
ции—Л'. Тогда для пластины небольшой толщины Д, полагая
& где 7 Удельная электропроводность В абс. эл.-магн.
единицах, имеем:
____г sinh 2#Д -}- sin £Д
- “ ~ r0 ~ cosh —cos ’
При ^<1,	+ —рю-; при £Д 3= 3> “ = ДО-
Для прямолинейного цилиндрического уединенного провода
диаметром d, полагая —у V vpy =	имеем:
м 4Z»8	11*и
если £<1,4, то “=’+~з-—45 +-^q-;
1	3
если £>1, то “=« + —+ б4^
U э*
если £ « Ъ то “27^ 1------jp
если	то =5-	f>4
9
Отд. 2—138. Теоретические основы Электротехники 130-
Hospitalier дал следующую таблицу для круглых проводов
из чистой меди:
^=180	320	500	720	980’	1280
а = 1,0258	1,0805	1,1747	1,3180	1,4920	1,6778
'ИР = 1620	2000	2880	5120	8000	18000	32000
а = 1,8628	2,0430	2,3937	3,0956	3,7940	5&Т31	7,3250
Явление поверхностного эффекта осложняется присутствием
обратного провода й при достаточной близости последнего ток
идет, главным образом, по сторонам проводов, обращенным друг
к другу; активное сопротивление возрастает еще более (до вели-
чины г’), и имеем:
г'	Г v4 у* у8 I
Т=Х“+*‘Р'Я + ~2Г + 288 + 25601
„ fliy 59у4 353у* , 3551 у8]
6’	90	ЙЙб + 358400]’
d
где у = ~ и а - расстояние между проводами.
При большой величине £ имеем:
_________________
го	cos 8	’
о .	, d
где » = arcsin —tjr-
138.	Вращающееся магнитное пом. Взяв плоскую катушку
и питая ее переменным током, мы получим в пространстве маг-
нитный поток, пульсирующий с частотою переменного Тока.
В центре катушки магнитная индукция будет направлена пер-
пендикулярно плоскости катушки. Имея многофазную систему,
можно получить прн помощи статического устройства вращаю-
щийся в пространстве магнитный поток. Для этого достаточно
взять т катушек и пропустить по иим переменные токн одной
и той же частоты, сдвинутые по фазе вл угол 2тфп один отно-
сительно другого, и расположить катушки в плоскостях, сдви-
нутых в пространстве также на угол 2rJm одна относительно
другой, прн чем центры их должны быть совмещены. Тогда,
если силы токов во всех катушках равны, мы найдем, что индук-
ция в их общем центре не зависит от времен и и равна -^~В0,
если Во~ индукция, создаваемая отдельной катушкой. Угол, со-
ставляемый с осью отсчета, времен вектором индукции будет
в этом случае линейной функцией времени и вращение магнит-
ного потока будет происходить ..равномерно с частотою, равною
частоте питающего тока, и, такйм образом, мы получим круговое
вращающееся поле. Если Индукции, создаваемые каждой из ка-
131 Движение электромагнитной энергии Отд. 2—139
тушек в ее центре, не будут равны, то в результате получится
эллиптическое вращающееся поле, которое имеет также место,
если пространственные сдвиги катушек не равны сдвигам токов,
Протекающих по ним, во времени.
Так как, с другой стороны,
в .г-4.+'-' + 4.
то пульсирующий поток можно рассматривать, как результат
наложения двух магнитных потоков половинной амплитуды, вра-
щающихся в противоположные стороны с угловой скоростью,
равной угдовой частоте пульсирующего потока.
Движение электромагнитной энергии.
139.	Основные уравнения электромагнитного поля. Электро-
магнитным полем называется пространство, в котором одно
временно обнаруживаются электрическое и магнитное поле,
как необходимо сопровождающие друг друга проявления еди-
ного физического процесса. Электромагнитное
поле есть процесс непрерывно распространяю-
щийся, органически связанный с непрерывным
движением энергии—энергии электромагнитного
поля.
Электромагнитное поле в каждой точке его
вполне определяется векторами: электрической
силы F, магнитной силы И н свойствами среды,
при чем F н И суть функции координат точки
(х, у, г) и времени ((). Возьмем прямоугольные
Рис. 29.
___________г-	: оси координат,
расположенные, как показано на рис. 29. Проекции F, Н, плотно-
сти тока J и магнитной индукции В на оси будем обозначать теми
же буквами с индексами, соответствующими оси. Тогда, как пока-
зал Максвелл, исходя из законов м. д. с. и э. д. с. для замкнутых
контуров, а именно:
J НCOS a dl = J,
r°	d<t>
J Fcosadl= — ~~ft->
для любой точки (x, у, z) электромагнитного поля можно полу-
чить две системы уравнений:
dHz	<№v	= 4it Jx }		dFy _	dBx
dy	dz		dy	dz	dt
дНх	дНг		dFx		
dz	dx		dz	dx	dt
dtiy	dHx		dFy	_ dFx ___	
dx	dy		du	dy	dt
Отд. 2—139 Теоретические основы электротехники 132
При с = const и |i = const эти системы приводятся к следую-
щему виду, если Н и р. выражать н абс. эл.-магн. системе единиц,
a F, s и р — в абс. эл.-ст. системе, и отношение единицы коли-
чества электричества в первой к единице количества электриче-
ства во второй обозначить через С-
дНх	дНу		 4тс	Fx	+4-	dFx
ду	дг	С	Р		dt •
дИх	дНг		 4к		4- 8	dFy
dz	. дх	с	Р	+ с	dt ’
дНу	дНх	_ 4*	Fz	-4- 8	dpz .
дх	ду	С	Р	+ с	dt ’
dFz	dFv	_ P	dHx
dy	dz	.	c	dt '
dFx	dFz		P	dfiy
dz	dx	c	dt ’
dFy	dFx	_ P	dHz
dx	dy	c	dt '
где р, е и р. суть соответственно: удельное сопротивление,
диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость среды,
в которой находится точка (х, у, z). Эти две группы уравнений
носят название уравнений Максвелла. Отметим, что
F t	dF \ db
ср и 4 ice dt ~ с dt
представляют собою соответственно плотности токов проводи-
мости и смещения. В идеальном диэлектрике, для которого
F
₽ = оо--7Г=0-
Применяя обозначения векториального анализа, обе группы
уравнений Максвелла можно изобразить двумя уравнениями:
, 	. е dF	, . Р dH
curlH = ~F + — -^ н curl F =’
Из уравнений Максвелла следует, что всякое изменение Н во
времени влечет за собою изменение в пространственном распре-
делении F и, обратно, всякое изменение F во времени обусло-
вливает изменение в пространственном распределении Н.
133
Движение электромагнитной энергии Отд. 2—140
140.	Петой электренагнитной энергии. Вектор Пойнтннга. Исходя
из уравнений Макснелла, можно показать, что для некоторого
об'ема V электромагнитного поля, ограниченного поверхностью S
существует зависимость:
/ ^~dV+4rf ^ + ^)dv=f ncos^ds.
Здесь первый член левой части представляет собою мощность,
расходуемую на Джоулево. тепло в об'еме V, второй член —
мощность, идущую на изменение энергии электромагнитного
поля в об'еме V, а правая часть есть поток некоторого вектора L
сквозь поверхность S, ограничивающую об'ем V, рассчитанный
по внутренней нормали к ней. Вектор П называется вектором
Пойнтннга, который ввел его н показал, что вектор П равен
векторному произведению векторов электрической и магнитной
с
силы, умноженному на , т.-е.
/7„	-S-.
Отсюда следует, что тензор вектора П
П = FH Sin 8,
где 8 — угол между Л и Н, и что П направлен перпендикулярно
к плоскости, в которой лежат F и Н так, что вращая рукоятку
правого винта от F к Н, мы получим направление П (см. рнс. 30).
Поток вектора Пойнтннга сквозь замкну-
тую поверхность дает, таким образом, всю мощ- ip
Рис. 30.
Ч
ность, входящую в процессе распространения
электромагнитного поля в об‘ем, ограниченный
этой поверхностью. Направление вектора Пойн-
тинга определяет направление движения потока
энергии в электромагнитном поле.
141.	Плоеная нолна. Рассмотрим случай одно-
родной среды, для которой р — со. Пусть соста-
вляющие электрической и магнитной сил не за-
висят от х и у н являются только функциями z
условиях Fz = const и Hz= const. Положим, кроме того,
и t. Прн этих
Fv — 0, что влечет за собою Нх = const. Все эти условия сво-
дятся к тому, что переменная составляющая электрической силы
направлена по осн ОХ; переменная составляющая магнитной
Отд. 2—141 Теоретические основы электротехники 134
силы будет при этом направлена по оси ОУ. Тогда система
основных уравнений сведется к уравнениям:
(PF, _ d2Fx	(РНу = дНу
с1 d? dz1 " с2 ~dP = dz1 *
общие интегралы которых суть:
"у
где Z, Л, /з н Л —* функции, характер которых зависит от
условий возникновения электромагнитного поля н от условий
на поверхностях, ограничивающих рассматриваемую однородную
среду. Вид решений показывает, что как Fx, так н Ну каждая
является результатом наложения двух волн, распространяющихся
в противоположных направлениях вдоль оси OZ со скоростями
с
i=. Если, в частности, электромагнитное поле поро-
ге
V
ждается некоторым гармоническим колебательным процессом, то
функции /j, /2, /з и /4, а также Fx и Ну суть гармонические
функции времени. При этом в любой точке в направлении
распространения электромагнитной волны электрическая сила F
и магнитная сила Н находятся в одной и той же фазе. В част-
ном случае, когда электромагнитное поле продвигается вперед
в одном направлении со скоростью и = /=, функции /2 и
у/ |ЛЗ
равны нулю. В случае наличия отражения имеет место интер-
ференция падающей и отраженной электромагнитных волн. Если
т.-е. энергия электрического и магнитного полей равны друг
другу. Вектор Пойнтинга в случае плоской волны совпадает
с направлением распространения ее (осью OZ) и тензор его:
п = cFx sini = . сЕх:Ну =	--^- =
4it	4it /рье 4к - 4тс •
где о =	— скорость распространения волны, а ф1—
энергия единицы об'ема электромагнитного поля.
>33 Движение электромагнитной энергии Отд. 2 -142
142.	Электромагнитное поле элементарного вибратора. Герц
дал решение уравнений Максвелла для случая возбуждения
электромагнитного поля вибратором, представляющим собою
систему находящихся на весьма малом расстоянии (И друг от
друга двух электрических зарядов -р q и — q, совершающих
колебания около середины dl. Такой элементарный вибратор —
диполь — характеризуется его моментом qdl. Пусть Ось
вибратора (4/) расположена по оси OZ. Тогда для точки (х, у, х),
находящейся на расстоянии г = ^хз^.уз-^гз от центра вц-
4-	С
братора, имеем, положив /= = о:
=
=
Рг =
/4 =
xz	Г	3/	3/	f	|
г3	L	г8	+	ГО	+	о2	J	,
уг	Г	3/	3/	f	1
г3	L	г2	'	го	Т	»2	J	,
2 Г / l z	, 3/ , /'1
Г2 |_ Г V J Г3 [ Г2 ГО I” V3J j
ZZ] ,/ZZ
i* [ rv + v2 J v I* ,
„_____lll.zi .az:
nv — r2 l rv ~r v2 J у p  ,
"<=°-
Здесь f и f — первая и вторая производные по времени от
функций/=/ — "7/' ЭТНХ УРавнений следует, что линии
электрического и магнитного полей лежат во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях: первые в плоскостях, проходящих через
ось вибратора (OZ),т.-е. в меридианальиых.плоскостях, вторые—
в плоскостях, перпендикулярных к осн вибратора. При этом Н
перпендикулярно к г и, следовательно, направлено по касатель-
ной к сфере, описанной из центра диполя, радиусом г, F не
перпендикулярно к г и поэтому не касательно к указанной
сфере. Если вн&ратор совершает гармонические незатухающие
колебания с угловой частотой ш, то
1	•	( г \	1	( 2кг \
f =• —7- qdl sin ш (t — —7-J — -7- qdl sin — -j— j ,
где л = vT — длина волны, т. к. v =	— есть скорость
У I13
распространения волны, а Т—период колебания вибратора.
Отд. 2—142 Теоретические основы электротехники
136
Рассмотрим поле вблизи вибратора, т.-е. при г«— , что
к '
соответствует г«-2^. В этом случае Fx, Fy и Fz суть
z qdl
производные со знаком минус от функции —^д—, взятые соответ- .
ственно по х, у и z, т.-е. электрическая сила вблизи вибратора
имеет потенциал и равна электрической силе поля диполя
с моментом qdl. Магнитная сила вблизи вибратора равна ма-
гнитной силе, определяемой по закону Био-Савара для элемента
тока i dl = <о q dl cos <o t. Так как в этом случае магнитная сила
1Г
отстает по фазе от электрической силы на -у, то средняя
мощность за период будет нуль. Отсюда следует, что вблизи
вибратора излучением можно пренебрегать. Рассмотрим поле
вдали от вибратора, т.-е. при г » ——, что соответствует
к
В втом случае
Sin 9 f
г V2
sinb
г
е
P 4
я Н =
где ft—угол, составляемый г с осью 0Z, при чем совпадающие
по фазе F и Н взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости,
перпендикулярной к Г (сферическая волна). Вектор Пойнтиига П
будет при этом направлен от диполя по радиусу. Величина его

sin2$ f2
V P л® п4
н вся мощность, излучаемая вибратором будет:
„	2 с
р = ~ -5Г|/Т/Ч
Для случая, когда вибратор совершает гармонические колебания
в среде, для которой р = 1 и « = 1, имеем:
2	/	. 2лг \
Р = и f=qdl sin [ <at ~ —J,
f 2лг \
2 (qdl)2 a>4 sin2 ( <ot —
Откуда P =-------------------------------
и среднее значение P за период:
о _ (qdl)2 чЛ 16тс*с (qdl)2
Fmed	=• зм
137 Прохождение эл-ва через газы и пуетоту	Отд.2—143
Для тока / в вибраторе имеем:
2л с q CoS <ot
i—a>q cos <ot =-----------•
откуда действующее значение тока в вибраторе:
/ = -у- у/~2 л cq.
Введем понятие о сопротивлении излучения (А?), как
о частном от деления средней излучаемой мощности на квадрат
действующего значения силы тока в вибраторе. Тогда
R =	=	эл.-ст. единиц,
„ 80 к2 (Д)2
и	/? = ——р---- омов.
Эти значения для 7? справедливы при dl«X.
В заключение параграфа укажем, что при рассмотрении
мы пренебрегли отраженной волной, которая дается частным
решением / (* + v) •
143.	Скорость распространения эаентромагиитиых волн. Для
скорости распространения как в случае плоской волны, так
с
и в случае сферической мы получили V = -^=, где р и е вы-
ражены соответствено в абс. эл.-магн. и абс. эл.-стат. системах
единиц. Исследования в области электрических измерений пока-
зали, что С имеет размерность скорости и равно 3 X Ю10 cmjsec.
Для случая пустоты р = 1 и s = 1 и тогда
о — с = 3 X Ю10 cm/sec,
т.-е. скорость распространения электромагнитных волн в пустоте
равна скорости распространения света в пустоте. Это обстоятель-
ство привело Москвелла к заключению, что свет представляет
собою электромагнитные колебания, что затем вполне подтвер-
дилось.
Прохождение электричества через газы и пустоту.
144.	Элеитрои. Опыт показывает, что ие может быть сколь
угодно малых электрических зарядов и что наименьшим заря-
дом, который встречается в природе, является заряд, связанный
с одним водородным ионом и равный е = 4,774.10 —10 абс. эл.-ст.
единиц или 15,91.10—20 кулоиа, и все другие заряды кратны ука-
Отд. 2—145 Теоретические основы электротехники 138
занному. Это и послужило основанием для учения об атомном,
строении электричества, при чем атом отрицательного электриче-
ства получил название электрона. В то время, как поло-
жительное электричество встречается лишь в связанном с мате-
рией состоянии, отрицательное электричество — электрон — суще-
ствует и наблюдается и в свободном, не связанном с материей
состоянии. Свободный электрон, движущийся со скоростью ма-
лой по сравнению со скоростью света с = 3 х 1010 cm/sec, обла-
дает массой электромагнитного происхождения, равной од =
= 9,03.10-28 и составляющей приблизительно массы атома
водорода, равной 1,650.10 ~ 24 g. Удельный заряд электрона — =
.	кулона
= 1,769.108 велик по сравнению с удельным зарядом
Г ОаММ	)
_ кулонов _
иона водорода, равным 96 500 „  » Если электрон обла-
грамм
дает скоростью о, близкой к скорости света с, то его масса
145.	Движение электрона в электрическом пеле. Пусть даны
в системе COSE: заряд электрона е, его масса т, начальная
скорость п0 и сила поля F. На электрон действует сила — еР,
и движение электрона подобно движению тела с массою т
в заданном поле тяготения. Если электрическое поле однородно и
векторы F и v0 не параллельны, то электрон будет двигаться пр
параболе. Если/" и иа параллельны, то движение прямолинейное
с постоянным ускорением и при переходе электрона из точки
с потенциалом Uo в точку с потенциалом U, имеем:
у т (р1 - »20) = е (U — UQ),
и при и0 = 0 получаем для скорости v:
р = |/2^(£/-£/о).
Если (U — Ua) выражать в вольтах, то для и в fynlsec:
v = 600 y/U-Ua.
Скорости электронов часто условно выражают в воль-
тах, понимая под этим скорости, приобретаемые электроном
при прохождении разности потенциалов, равной данному числу
вольтов.
139 Прохождение эл-ва через газы и пустоту Отд. 2—146
146.	Движение элеитраиа в магнитном поле На электрон дей-
ствуег сила — » И sin (о,Й), перпендикулярная к V и Н, где е
дано в абс. эл.-ст. единицах, а Н — в абс. эл.-магн. единицах,
при этом, если /У горизонтально, то прн горизонтальном Движе-
нии электрона справо налево сила направлена вниз. Так как сила
всегда перпендикулярна к направлению движения, ю электрон
движется равномерно. Для радиуса кривизны траектории R имеем:
_ у т с
е Hsin(v,H)
Если то электрон движется по окружности радиуса
—	Если угол (vjrf) =а, то этот угол не меняется, и путь,
пройденный электроном по направлению Н за время, t будет
равен о teas <х, а проекция траектории на плоскость, перпенди-
vmcsinai
кулярную п, будет окружность радиуса д’ = —т. - е.
траектория будет винтовой линией, при чем время полного
_	2-птс
оборота Т —	, т.-е. не зависит от скорости.
Для движения электрона в случае одновременного существо-
вания электрического и магнитного полей, однородных и взаимно
перпендикулярных, полагая, что v0 = 0, п направлено цо оси
Z, F—по оси У, траектория лежит в плоскости ХОУ, и имеем:
&*х
т dt1 ~
еР , еЛ
е + с dt
д*у еНдх
т дР----с dt'
147.	Магнитное поле электрона. Если мы примем, что элек-
трон эквивалентен шару радиуса а, по поверхности которого
равномерно распределен заряд е, то при прямолинейном движе
нии электрона со скоростью и, при чем v «С, около него су-
ществует магнитное поле, сила которого в точке (г, <f, ф)
еи sin <f>
Энергия этого поля будет:
е*о2 1	2е2.
За£? - 2 °2 Здс2 •
2е2
т.-е. электромагнитная масса электрона т =	• Отсюда
можно определить радиус электрона: а = 2х 10“13 ст.
Отд. 2—148 Теоретические основы электротехники 140
148.	Строение атома. По современным воззрениям нейтраль-
ные (в электрическом отношении) атомы всех элементов имеют
строение, аналогичное строению солнечной системы. В центре
атома находится положительно заряженное ядро; вокруг этого
ядра вращаются по круговым или эллиптическим, орбитам элек-
троны. Число этих внешних или планетарных электронов у ней-
трального. атома равно порядковому номеру элемента в таблице
Менделеева. Кроме внешних электронов, имеются электроны
внутренние, расположенные весьма близко от центра атома
и поэтому чрезвычайно крепко связанные с ядром. Полное
число внешних и внутренних электронов равно атомному весу
элемента. Ядро имеет положительный заряд, равный номеру эле-
мента и состоит из положительных зарядов, связанных с, мате-
рией. — протонов и внутренних электронов. Число притонов
р»вно атомному весу элемента. Вся материальная масса атома
сосредоточена в ядре. Отделение внутренних электронов от
ядра представляет чрезвычайные трудности и влечет за- собой
превращение одних элементов в другие. Отделение внешних
электронов от атома или Присоединение к системе атома новых
внешних электронов может происходить при некоторых условиях
без особых затруднений и не влечет за собой изменения при-
роды атома. Орбиты внешних электронов не произвольны, но
подчинены особым законам и образуют ряд групп, находящихся
на различных расстояниях от центра. У благородных газов все
группы заполнены н такие системы наиболее устойчивы.
Пусть заряд ядра будет Ne, где N — порядковый номер
элемента. Заряд электрона равен — е, масса электрона т и его
скорость V. Тогда, если радиус орбиты, которую мы примем
за окружность, будет а, имеют место соотношения:
mv2 Ne2	mu2 Ne2
a ~ a3 '	2 ~ 2a'
Полная энергия электрона W состоит нз его потенциальной
энергии Wp и кинетической энергии Wc :
w WP wc а 2 2а
т.-е. энергия зависит от радиуса орбиты.
При переходе, в силу каких-либо причин, на новую орбиту
Л^2
радиуса а', которой соответствует энергия W = — ~<2а' ’
должно выделиться количество энергии:
W - W
Ne2 1 \
“ 2 \а'~ а)'
14} Прохождение эл-ва через газы и пустоту Отд. 2—149
Это выделение энергии происходит в виде электромагнит-
ного излучения, частота которого будет:
W- W'
v~ Л ’
где Л—постоянная П л а и к а, равная 6,547.10—2? ergxsec.
149.	Ионизация. Электрон, не связанный с атомом, называют
-свободным электроном. Процесс присоединения к ней-
тральной системе атома свободных электронов нлн процесс от-
деления их от нейтральной системы, а также процесс расцепле-
ния нейтральной молекулы на две материальных, противоположно
заряженных частицы называют ионизацией. Атом или часть
молекулы, присоединивший один или несколько электронов, назы-
вают отрицательным ионом; атом или часть молекулы,
от которого отщеплен один нлн несколько внешних электронов,
называют положительным ионом.
150.	Факторы, вызывающие ионизацию. Для ^отщепления
внешнего электрона от атома, необходимо сообщить электрону
некоторое количество энергии, что можно сделать: а) воздей-
ствием света или, вообще, электромагнитной волны, Ь) при по-
мощи повышения температуры, с) ударом свободного электрона
или иона. Работа, необходимая для отщепления электрона от
атома газа, может быть выражена в виде е, при чем и{ назы-
вают ионизирующим потенциалом или ионизи-
рующим напряжением. При излучении электронов из
твердых тел, эту работу выражают в виде у г и называют
влек тронным сродством и выражают также в вольтах.
а) Освещение газов и твердых тел лучами света вызывает
ионизацию. Это явление называют фотоэлектрическим
Эффектом, а появляющиеся при этом свободные электроны —
фотоэлектронами. Такое же действие может оказать любая
Электромагнитная волна, если частота ее такова, что уй > Ute
(илн <ре). Если чН^и{е (илн уе), то избыток энергии идет на
сообщение электронам начальной скорости.
. Ь) Раскаленные металлы и окиси их излучают электроны,
Называемые термоионами. Это явление анологично яэленню
Испарения, и интенсивность его быстро возрастает с повыше-
нием температуры. Если все электроны, излучающееся с по-
верхности тела, будут уходить от него, то мы получим, так
называемый, ток насыщения (/s ) с поверхности тела
Ричардсон показал, что:
Где S — поверхность тела, Т — его абсолютная температура,
Л и b — постоянные, зависящие от природы тела.
Отд. 2—151 Теоретические основы Электротехники 142
с) При столкновении свободного электрона или движуще-
гося иоиа с нейтральным атомом иа систему атома может быть
оказано то или другое воздействие, в зависимости от живой силы
электрона или иона, т.-е. в зависимости от пройденной ими раз-
ности потенциалов. Если скорость электрона или иона мала, то
он упруго отравится; если скорость электронов или >ионов по-
вышать, то они при достижении ими величины Ue — воз б у ж-
дающего потенциала будут в состоянии перебросить
один из электронов на внешнюю орбиту. Такое возбужден-
ное состояние атома неустойчиво, и электрон вернется на
свою первоначальную орбиту, отдав полученную им энергию
в виде излучения определенной длины волны. Если скорость
свободных электронов или ионов достигнет величины * Ut —
и он из и р у ю ще го п оте н цн а л а, то они уже могут вы-
бить один из планетарных электронов и ионизируют, таким об-
разом, атом газа (и о н и з а ц и я .у д а р о м). Оба образовавшихся
иона,—положительный и отрицательный, придут под воздействием
электрического поля в движение и сами смогут ионизировать
другие атомы. Если свободный электрон или ион встречает воз-
бужденный атом, то для ионизации его достаточна меньшая
скорость. Однако, далеко не всякое столкновение ведет
к ионизации. Явление ионизации имеет место также и при ударе
электронов и ионов о поверхность твердого или жидкого тела.
154.	Чисто-электронный разряд. При весьма большом вакууме,
порядка 10“8 тт Hg, электрический ток может быть осуще-
ствлен лишь при Наличии в пространстве между электродами
достаточного количества свободных электронов, излучаемых
электродами под влиянием высокой температуры или под воз-
действием электромагнитных волн. Прн отсутствии напряжения
между электродами сила тока, возникающего за счет начальной
скорости электронов, весьма мала. При напряжениях От нуля
до Соответствующего току насыщения сила тока, как показал
Лангмьюр, может быть выражена в виде /=
Если сила тока не достигла величины тока насыщения, то
у катода скопляются электроны, образуется отрицательный
объемный заряд, препятствующий излучению новых электронов.
152.	Тихий разряд. Явление электрического разряда сильно
осложняется, если В пространстне между электродами имеется
газ, так как В этом случае обычно происходит ионизация уда-
ром, служащая источником свободных электронов и положитель-
ных иоиов. В зависимости от степени разрежения, формы эле-
тродов н расстояния между ними разряд имеет тот или иной вид.
При разрежениях порядка нескольких тт Hg (Гейслрровы
трубки) разряд образуется при напряжениях около 1000 -4-10000 V.
У катода имеется светящаяся оболочка, затем темное (Круксово)
143 Прохождение эл-ta через газы и пустоту. Отд. 2—158
узкое пространство, далее следует область отрицательного све-
чения, Фарадеево темное пространство и положительный свето-
вой столб, иногда делящийся на слои (страты). Падение напря-
жения вдоль пути разряда происходит неравномерно. Наиболее
резкое падение наблюдается у катода й затем у анода. В тем-
ных полосах ионы разгоняются, в светлых происходит ионизация,
сопровождаемая свечением. По мере повышения степени разре-
жения, напряжение, необходимое для образования разряда, по-
вышается, и, вместе с тем, развивается об‘ем, занимаемый
Круксовым темным пространством. Прн больших разрежениях,
порядка 0,014- 0,001 тт Hg, для установления разряда <»тре-
буются напряжения около 100 и более. При этом Круксово
пространство заполняет всю трубку, а из катода исходит пучок
катодных лучей, движущихся перпендикулярно к поверх-
ности катода (независимо от положения анода) со скоростью
1 т I	,
от Jo до -j- скорости света и представляющих собою поток элек-
тронов. Тихий’ разряд в воздухе при атмосферном давлении при
расстоянии между электродами в несколько сантиметров начи-
нается при напряжениях в несколько тысяч вольтов и может
быть еще прн отсутствии свечения электродов обнаружен по
легкому шипению и образованию озона. Прн дальнейшем
повышении напряжения электроды начинают светиться. Тихий
разряд есть разряд непрерывный, характеризующийся малой
силой тока при значительных напряжениях.
153.	Искра. Искрой или разрывным разрядом называют раз-
ряд короткой продолжительности, сопровождающийся световым
и звуковым эффектом. Искра представляет собою самопро-
извольный электрический разряд, т.-е. разряд, зависящий
только от определенного состояния газа, и наступающий при
переходе напряжения за известный предел, называемый искро-
вым потенциалом. Искра является переходной формой
разряда между тихим разрядом й вольтовой дугой, в которую
искра всегда и превращается, если мощность источника напря-
жения оказывается достаточной. Посторонние ионизирующие
факторы, как напр., высокая температура электродов, освещение
•искрового промежутка ультрафиолетовыми лучами и т. д. не
являются необходимыми для возникновения искры, но наличие
их, конечно, понижает искровой потенциал. Величина искрового
потенциала зависит от многих факторов, как-то: формы элек-
тродов, природы газа, его давления н т. д.
Пашен установил, что искровой потенциал пропорционален
произведению из давления (р) на расстояние между электродами
(d), т.-е. что Ud — %p<k
154.	Вольтова дуга на постоянном токе. Дуговой разряд
представляет собой непрерывное течение электричества и внешне
отличается от тихого разряда значительно большей силой тока
Отд. 2—154 Теоретические основы электротехники
144
и малым падением напряжения. Внутреннее различие состоит
в том, что при дуговом разряде ток почти исключительно осуще-
ствляется мощным потоком электронов, выделенных катодом
под действием высокой температуры и движущихся к аноду
под действием электрической силы. Поэтому необходимейшим
условием для возникновения и существования дуги является вы-
сокая температура катода. Дугу можно зажечь, сведя электроды
или пропустив искру. В дальнейшем высокая температура ка-
тода поддерживается ионной бомбардировкой. Электроны выде-
ляют всю свою кинетическую эь ргию на аноде, который, вслед-
ствие этого, обычно накаляется. Вследствие высоких температур,
с чествующих на электродах и между ними, происходит испаре-
ние вещества электродов. Электронный поток ионизирует эти
пары; вторичные электроны присоединяются к общему элек-
тронному потоку, а положительные ионы направляются к катоду.
Скорость положительных ионов, вследствие их большой массы,
мала, и поэтому ионный ток составляет лишь незначительную
часть общего тока. В случае угольных электродов в воздухе,
вследствие испарения материальных частиц с анода и осаждения
их на катоде, а также в связи с действием кислорода воздуха,
на первом образуется кратер, а второй заостряется. В про-
межутке между электродами можно различить внутреннюю
фиолетовую часть, где и сосредоточено прохождение тока,
и красноватый ореол, где происходят газовые реакции и сгора-
ние вещества электродов. При угольных электродах у дуги,
горящей в воздухе при атмосферном давлениии температура
анода достигает 3500 -г- 4000° С, а кратера — 2500 -т- 3500° С.
Закону Ома дуга, как и другие виды разряда в газах, не под-
чиняется. Падение напряжения в дуге состоит из трех частей: па-
дение в газовом промежутке, падение у катода и падение у анода,
обычно большее, чем у катода. Сумма падений напряжения
у обоих электродов дает наименьшее напряжение при
котором возможно устойчивое существование дуги. Прн обыч-
ных условиях имеем:
электроды из: С Аи Pt Ag Ра Са Со Nt Fe
(вольты): 38,88 20,82 24,2914,1921,64 21,3820,7817,1415,53.
При постоянной силе тока в дуге напряжение есть возра-
стающая линейная функция длины дуги. При постоянной длине
дуги характеристика дуги в координатах (/,U) показывает, что
при уменьшении напряжения сила тока возрастает, иначе говоря,
дуга имеет падающую характеристику. Для выражения зависи-
мости между длиной дуги (/), силой тока / в ней и напряже-
нием U были предложены, между прочим^ следующие зависи-
мости:
c + dl
U— а + Ы+ —у— (Айртон),
145 Прохождение эл-ва через газы и пустоту Отд. 2—155
b(l-Vc)
U = а 4- —(Штейнметц),
с 4- dl
U= а + W + “—, (Ноттиигэм)
где а, Ь, с, d, — коэффициенты, характеризующие материал эле-
ктродов.
В последней формуле, пригодной при длине дуги 7> 15 тт,
показатель п зависит от вещества электродов и пропорционален
абсолютной температуре плавления или испарения их. Из вида
dU^
характеристики дуги следует, что -щ- < О, между тем как для
устойчивости режима электрической цепи необходимо > V.
Поэтому последовательно с дугой необходимо включать такое
dU
сопротивление г, чтобы 4* Г было больше нуля, или
dU
r>-~dT-
Формула Ayrton в частных случаях принимает следующий
вид:
11,7+ 10,57
чистый уголь в воздухе: U = 38,9 4- 2,1 7 + --j----->
10,7 4-15,2 7
медь „	„ U = 21,4 4- 3,01 + —’	.
9,44-15,0 7
железо, ,	77= 15,54-2,5 7 +
155.	Вольтова дуга на переменном тоне. При питании дуги
переменным током в случае однородных электродов разница во
внешнем виде электродов исчезает. Форма кривых напряжения
н тока сильно искажается и кривые, хотя и проходят одновре-
менно через нуль, но не подобны друг другу, почему коэффи-
циент мощности в цепи с дугой всегда меньше единицы. Факт
периодического прохождения силы тока через нуль имеет суще-
ственное значение, в особенности при металлических электродах,
обладающих высокой теплопроводностью. Оказывается, что элек-
троды могут успеть настолько охладиться, что тот из них, кото-
рый должен в следующий полупериод служит катодом, не излу-
чает достаточного количества электронов, и дуга не может под-
держиваться. Поэтому при металлических электродах для под-
держания дуги иа переменном токе необходимы значительно
большие напряжения, чем на постоянном. При разнородных
электродах происходит нарушение симметрии кривой тоне, так
как одни из электродов будет охлаждаться быстрее другого
и в тот полупериод, когда он будет служить катодом, через
Отдал 2.
10
Отд.2—156 JeopemtttetKtte основы электротехники 146
цепь протечет меньшее количество электричества, чем в преды-
дущий полупериод. Можно подобрать такие электроды (иапр.,
медь — уголь, графит — ртуть), что одно направление тока будет
совсем задержано, т.-е. переменный ток будет выпрямлен.
Характеристика дуги в координатах I и U на переменном токе
называется динамической н отличие от получаемой на по-
стоянном токе — статической. Динамическая характери-
стика, дающая одновременные значения I и U, весьма сложна.
Она показывает, что напряжение зависит ие только от рты
тока в данный момент, но и от предыдущей истории дуги.
Когда сила тока возрастает, то напряжение для данной силы
тока, вообще говоря, больше, чем при убывании тока.
Переходные процессы в цепях, имеющих в качестве одного
из элементов вольтову дугу, протекают весьма сложно, вслед-
ствие непостоянства ее сопротивления, а так как, кроме того,
du
может принимать значения, меньшие нуля, то в таких цепях
облегчается возникновение не только затухающих колебаний, ио
и незатухающих, и даже нарастающих.
156.	Указатель литературы.
1.	Ф. Бе де ль и А. Крехор. — Переменные токи. —
СПБ, 1911 (перев.).
2.	И. И. Боргман. — Основания учения об электрических
и магнитных явлениях.— Петроград, т. I и 11,1914—1916.
3.	А. А. Воронов. — Переменные электрические токи. —
Петроград, 1915.
4.	Н. Р. К е м п б е л л. — Современная электрическая тео-
рия. — СПБ, 1912.
5.	К. А. Круг. — Основы электротехники.—Москва, 1926.
6.	В. Ф. М и т к е в и ч. — Физические основы электро-
техники.— Лигр., 1928.	-	J
7.	А. А. Петровский. — Научные основания беспро-
волочной телеграфии.—СПБ., 1913. '
8.	Дж. Дж. Томсон, — Начала математической теории
электричества и магнетизма. — СПБ, 1901 (перев.).
9.	Г. Ферра рис. — Научные основания электротех-
ники.— Киев, 1904 (перев.).
10.	О. Д. Хвольсои. — Курс физики.— Берлин, 1923 г.
(Госиздат)
И.	И. А. Черданцев. — Электромагнитные колебания
и волны.—Москва, 1925.
12.	И. А. Черданцев. — Теория переменных токов.—
Москва — Лигр. 1927.	А
13.	В. В. Шулейкин. — Электричество и магнетизм.—
Москва, 1926.
14.	А. А. Эйхеивальд. — Теоретическая физика; т, L
Теория поля. — Москва— Лигр., 1926.
147	Указатель литературы Отд. 2—156
15.	А. А. Эйхен вальд.— Электричество.—Москва —
Лигр., 1927.
16.	Электрические колебания и волны.—Под ред. В. К. Ле-
бединского. СПБ, 1910—1911, вып. I—VI.
17.	М. Abraham. — Theorie der Elektrizitat.— Leipzig -
Berlin, Bd. I, II, 1923.
18.	H. В a r k h a u s e n. — Das Problem der Schwingungser-
zeugung. — Leipzig, 1907.
19.	G. В e n i s c h k e. — Die wissenschaftliche Grundlagen
der Elektrotechnik. — Berlin, 1922.
20.	J. Biermans.— Ueberstrome in Hochspannungsanla-
gen. — Berlin, 1926.
21.	O. Bloch. — Die Ortskurwen der graphischen Wechsel-
stromtechnik. — Ziirich, 1917.
22.	E. Cohn. — Das elektromagnetische Feld.—Berlin, 1927.
23.	J. L. la Cour & O. S. В r a g s t a d t. — Theorie der
Wechselstrotne. — Berlin, 1923.
24.	A. Fraenkel. — Theorie der WechselstrSme. — Ber-
lin, 1921.
25.	G. Ferraris. — Wissenschaftliche Grundlagen der
Elektrotechnik. — Leipzig, 1901.
26.	H. G 6 r g e s. — Grundziige der Elektrotechnik. — Leip-
zig, 1901.
27.	Gtinter-Schulze. — Elektrische Gleichrichter und
Ventile. — Munchen, 1924.
28.	Handbuch der Physik. — Изд. H. Geiger, Kiel
& Karl Scheel, Berlin-Dahlem. T. XIV, XV, XVI, 1927 г.; t. XVL 1926.
29.	A. Hagenba ch. — Der elektrische Lichtbogen. — Leip-
zig, 1924.
30.	H. von Helmholtz. — Vorlesungen fiber Elektrodyna-
mik nnd Theorie des Magnetismus. — Leipzig, 1907.
31.	W. Hort. — Technische Schwingungslehre.—Berlin, 1922.
32.	A. Hund.— Hochfrequenztjiesstechnik. — Berlin, 1922.
33.	E. К i 111 e r. — Allgemeine Elektrotechnik. — Band. II:
Einffihrung in die Wechselstromtechnrk. Transformatoren. Unter
Mitwirkung von W. Petersen. — Stuttgart, 1909.
34.	F. Ollendorf. — Die Grundlagen der Hochfrequenz-
technik. — Berlin, 1926.
35.	E. О r 1 i c h. — Kapazitat und Induktivitat. — Braun-
schweig, 1909.
36.	E. О r 1 i c h. — Theorie der Wechselstrotne. — Leipzig, 1912.
37.	M. Planck. — Einffihrung in die Theorie der Elektri-
zitat und des Magnetismus. — Leipzig, 1922.
38.	R. Riidenberg. — Elektrische Schaltvorgange. — Ber-
lin, 1926.
39.	K. W. W a g n e r.—Elektromagnetische Ausgleichsvorgange
in Frelleitungen und Kabeln. — Leipzig, 1908.
40.	L. Bloch. — Precis d'61ectricit6 th6orique. — Paris, 1919
10*
Отд. 2—156 Теоретические Ъсновы электротехники 148
“41	. Н. В о u a s s е. — Cours de magnetisme et d’61ectricit6. —
Paris. Изд. Ch. Delagrave.
42.	Ё. Gerard. — Lefons sur I’^lectriciU. — Paris, 1910.
43.	P. Janet. — Lejons d’£lectrotechnique g£n£rale. —
Paris, 1908—1912.
44.	H. Pell at. — Cours d’&ectricity.— Paris, 1901—1908.
45.	E. P i e r a r d. — Principes d’yiectrotechnique. T. 1. Theories
g6n6rales. —Paris, 1924.
46.	A. P о i и с a г У. — Electricity et optique. — Paris,1890.
47.	E. Bennet & H.M. Crothers. — Jntroductory Elec-
trodynamics for Engineers. — New-York, 1926.
48.	H. I. Van d e г В i j 1. — The' Thermoionic Vacuum
Tube. — New-York, London, 1920.
49.	N. R. Campbell. — Modern Electrical Theory. — Cam-
bridge, 1913.
50.	I. R. С a г с о n. — Electric Circuit Theory and the Opera-
tional Calculus. — New-York, 1926.
51.	L. Cohen. — Formulae and Tables for the Calculation
of Alternating Current Problems. — New-York, 1913.
52.	A. T. Dover. — The Theory and Practice of Alternating
Currents —London, 1926.
53.	J. A. Fleming. — Alternating Cunent Transformers.
London, 1889.
54.	0. Heaviside. — Electrical Papers. — London, 1892.
55.	O. Heaviside. — Electromagnetic Theory. — London,
t. I — 1893, t. II — 1899, t. Ill — 1912.
56.	J. H. J e a n s. — The Mathematical Theory of Electricity
and Magnetism. — Cambridge, 1915.
57.	V. К a r a p e t о f f. — The Magnetic Circnit. — New-
York, 1911.
58.	V. К a r a p e t о f f. — The Electric Circuit. — New-
York, 1912.
59.	А. К. К e и n e 1 у . — The Application of Hyperbolic
Functions to Electrical Engineering Problems. — New-York, 1925.
60,	С. E. Magnusson. — Alternating Currents. — New-
York, 1926.
61.	С. E. Magnusson.— Electric Trancients. — New-
York, 1927.
62.	J. C. Maxwell. — A Treatise on Electricity and Magne-
tism. — Oxford, 1904.
63.	W. H. N о 11 a g e. — The Calculation and Measurement
of Inductance and Capacity.—London, 1916.
64.	Pierce. — Electric Waves and Oscillations.
65.	J. H. Pointing & J. J. Thomson. — A Text-Book
of Physics. — London, 1920.
66.	O. W. Richardson. — The Emission of Electricity
from Hot Bodies. — London, 1916.
149	Указатель литературы Отд. 2—156
67.	Е. В. Rosa & A. W. Grover. — Mutual and Self
Induction. — Washington, 1911.
68.	A. Russel. — A Treatise on the Theory of Alternating
Currents. — Cambridge, т. I—-1914, т. II—1916.
69.	С. P. S t e i n m e t z. — Theory and Calculation of Tran-
cient Electric Phenomena and Oscillations. — New-York, 1909.
70.	С. P. S t e i n m et z.—Theory and Calculation of Alter-
nating Cunent Phenomena. — New-York, 1916.
71.	С. P. Steinmetz. — The Electric Circuit. — New-
York, 1917.
72.	J. J. Thomson. — Recent Researches in Electricity and
Magnetism. — Oxford, 1893.
73.	J. J. Thomson. — Elements of the Mathematical Theory
of Electricity and Magnetism. — Cambridge, 1904.
74.	J. J. Thomson. — Conduction of Electricity through
Gases. — Cambridge, 1906.
75.	A. G. Webster. — The Theory of Electricity and Magne-
tism. — London, 1897.