Text
                    МАТЕМАТИКА 6


ВБК 22.1*72 М34 Авторы: Н. Я. ВИЛЕНКИН, А. С. ЧЕСНОКОВ, С. И. ШВАРЦБУРД, В. И. ЖОХОВ Учебник получил премию на Всесоюзном конкурсе учебников по мате- матике для средней общеобразовательной школы Сведения о пользовании учебником № Фамилия и имя ученика Учебный год Состояние учебника В начале года В конце года 1 2 3 4 5 Математика: Учеб, для 6 кл. сред. шк./Н. Я. Виленкин, М34 А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, В. И. Жохов.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1994.— 256 с.: ил.— ISBN 5-90131-08-12.
Дорогие ребята! В учебнике для 6 класса, как и в учебнике для 5 класса, применяются различные условные обозначения. Напомним, что они означают: — вопросы к объяснительному тексту учебника. — упражнения для работы в классе по теме данного пункта. — упражнения для повторения ранее пройденного ма- териала. Некоторые из этих упражнений имеют допол- нительные номера: 1), 2), 3), 4) и т. д. Они предназначены для самостоятельной работы. При этом нечетные номера — это задания для 1-го варианта, а четные — для 2-го варианта. — упражнения для домашней работы. S В этой рубрике вы найдете рассказы об истории возникно- И1 вения и развития математики. Не зная прошлого развития науки, трудно понять ее настоящее. П| По тому, как человек говорит, можно судить о его куль- туре и развитии, об умении думать. Поэтому учитесь гово- рить правильно — в этом вам помогут примеры и пояснения данной рубрики. м Чтобы изучение математики было успешным, чтобы учить- ся было интересно, нужно быть внимательным, уметь хорошо и быстро запоминать, быть сообразительным, обладать сильной волей. Развить эти качества вам помогут специальные игры и упражнения этой рубрики.
Глава I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 1. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ 1. Делители и кратные 20 яблок можно разделить поровну между 4 ребятами. Каждый получит по 5 яблок. А если надо разделить (не раз- резая) 20 яблок между 6 ребятами, то каждый получит по 3 яб- лока, а еще 2 яблока останутся. Говорят, что число 4 является делителем числа 20, а число 6 не является делителем числа 20. Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Число 1 является делителем любого натурального числа. Пусть на столе лежат пачки, в каждой из которых по 8 пе- чений. Не раскрывая пачек, можно взять 8 печений, 16 печений, 24 печенья, а 18 печений так взять нельзя. Числа 8, 16, 24 де- лятся на 8, а 18 на 8 не делится. Говорят, что числа 8, 16, 24 кратны числу 8, а число 18 не кратно числу 8. Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Например, первые пять чисел, кратных 8, такие: 8, 16, 24, 32, 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число. ©Какое число называют делителем данного натурального числа? Какое число называют кратным натуральному числу а? Какое число является делителем любого натураль- ного числа? Какое число и кратно л, и является делителем л? 41Х 1. На сколько равных кучек можно разложить 36 орехов? 2. В каждой коробке лежат 6 чайных ложек. Можно ли, не вскрывая коробок, взять: а) 42 ложки; б) 49 ложек? 4
IB Следите за верным употреблением слов кратно и кратное (в значении существительного): кратно (какому числу?): — число пятнадцать кратно числу три (или пятнадцать д. п. кратно трем) д. п. кратное (какого числа?): — число пятнадцать — кратное числа три (или пятнадцать — кратное трех) р. п. р. п. — числа девять, двенадцать, пятнадцать — кратные трех р. п. Слово делитель употребляется с родительным падежом зависимого слова: — число шесть — делитель числа тридцать (шесть — р. п. делитель тридцати) р.п. — делители одиннадцати — числа один и одиннадцать р.п. Слова делится (без остатка) и кратно заменяют друг друга. — сорок пять делится на девять — сорок пять кратно девяти 3. Верно ли, что: а) б — делитель 46; б) 16 — делитель 8; в) 17 — делитель 162; г) 27 — кратное 3; д) 6 —кратное 12; е) 156 — кратное 13? 4. Является ли число 15 делителем 105? Является ли дели- телем числа 105 частное 105:15? 5. Выберите из чисел 15, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 те, которые являются: а) делителями 20; в) делителями 16 и кратными 4; б) кратными 4; г) кратными 3 и делителями 18. 6. Напишите все делители числа: а) 6; б) 18; в) 25; г) 19. 7. Напишите все двузначные числа, кратные числу: а) 8; б) 11; в) 48; г) 99. 5
8. Мальчику дали 90 к. и попросили купить на все деньги конфет одного сорта. В буфете продавали конфеты по 2 к., по б к. и по 11 к. за штуку. Какие конфеты мог купить мальчик? 9. Докажите, что число 70 625 кратно 217, а число 729 явля- ется делителем числа 225 261. 10. На координатном луче отмечено число а (рис. 1). От- метьте на этом луче четыре числа, кратных числу а. О а Рис. 1 11. Проверьте, что каждое из чисел 6, 28, 496 равно сумме всех его делителей, не считая самого числа. 12. Проверьте, что каждое из чисел 220 и 284 равно сумме де- лителей другого числа, не считая его самого. 13. Докажите, что произведение двух натуральных чисел кратно каждому из множителей. 14. На рисунке 2 изображен в натуральную величину один кадр фотопленки. Каких размеров по- лучится фотография при пятикрат- ном увеличении? Уместится ли изображение этого кадра при деся- тикратном увеличении на листе бумаги, размер которого 24 X 30 см? 15. Вычислите устно: а) 5 + 0,8; б) 0,76—0,3; в) 0,2-4; г) 6:10; 0,23 + 7; 2,54-2; 2,1-3; 0,8:2; 0,48 + 0,2; 0,82-0,02; 0,7-10; 2,1:7; 0,6+0,34; 0,63-0,6; 0,5-2; 0,5:10 2,7 +1,12; 0,8 —0,25; 0,25-4; 4,1:2. 16. Найдите пропущенные числа: •О 6
17. На координатном луче отмечены числа 1 и т (рис. 3). С помощью циркуля отметьте на луче числа: m+1; m —1; т+т. О 1 т t i-------------н- — --- ", _ Рже. 3 18. Даны три числовых выражения и три программы вы- числения их значений на микрокалькуляторе. Укажите, какая программа соответствует каждому из данных выражений. а) 16,2-0,8+1,4; б) 16,2+0,81,4; в) 16,2-(0,8+ 1,4). 19. Найдите неполное частное и остаток при делении: а) 243 на 16; б) 3629 на 12; в) 1075 на 29; г) 1632 на 51. 20. Найдите остаток от деления: а) 273 на 10; в) 3843 на 5; д) 100 на 3; б) 3785 на 2; г) 4236 на 5; е) 1000 на 9. 21. При делении числа а на число b получили неполное част- ное с и остаток г. С помощью форму- лы а = Ьс+г заполните пустые клетки таблицы. а 458 278 b 15 10 с 8 10 г 4 8 ЛлЛл» АЛЭ1 AAXJ«/A хххж ХХ5 |44|CJHV A DHV • а) 3,4 + 2,5; б) 5,7-1,3; в) 2,4-3; г) 3,5:7; 17,2 + 2,8; 8—3,4; 3,02-7; 8,4:4; 5,9 + 3,7; 12,3-1,8; 2,6-3,7; 60,8:1,9; 4,587 + 7,64; 10,273-5,49; 4,5-2,06; 20,52:3,8. 23. Решите задачу: 1) В первом мешке било 54,4 кг крупы, во втором — в 1,7 раза меньше, чем в первом, а в третьем — на 2,6 кг больше, чем во втором. Сколько килограммов крупы было в трех мешках вместе? 2) На первую машину погрузили 4,5 т картофеля, на вто- рую — в 1,4 раза больше, чем на первую, а на третью — на 7
1,6 т меньше, чем на вторую. Сколько тонн картофеля погру- зили на все три машины вместе? 24. Найдите все делители числа 30 и запишите их в по- рядке возрастания. 25. Выберите из чисел 14, 21, 31, 42, 51, 63, 68, 75 те, ко- торые: а) кратны 7; б) кратны 17; в) не кратны 8; г) не кратны 2. 26. Выполните деление с остатком: 385:13; 548:12; 3710:30. 27. Площадь первого поля 27,3 га. Площадь второго поля на 4,8 га меньше площади, первого, а площадь третьего поля в 1,6 раза больше площади второго. Чему равна площадь всех трех полей вместе? 28. Выполните действия: а) 18,36+0,64:0,8; в) 3,44:0,4 + 24,56; б) 80 11 —42 558:519; г) 684-245 — 675-246. 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2 Всякое натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить эту цифру 0. Например, 280 делится без остатка на 10, так как 280:10 = = 28. При делении же числа 283 на 10 получаем неполное частное 28 и остаток 3 (т. е. последнюю цифру записи этого числа). По- этому если последняя цифра в записи натурального числа от- лична от нуля, то это число не делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается цифрой О, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без ос- татка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре. Число 10 = 2-5. Поэтому число 10 делится без остатка и на 2, и на 5. Отсюда и любое число, запись которого оканчивает- ся цифрой 0, делится без остатка и на 5, и на 2. Например, 60=6-10 = 6-(2-5)=(6-2)-5 = 12-5, значит, 60:5 = 12. А из того, что 60=6-(5-2)=(6-5)-2 = 30-2, полу- чаем, что 60:2=30. Каждое число можно представить в виде суммы полных десятков и единиц, например: 246=240+6, 1435=1430 + 5. Так как полные десятки делятся на 5, то и все число делится
на б лишь в том случае, когда на б делится число единиц. Это возможно только тогда, когда в разряде единиц стоит цифра О или б. Если запись натурального числа оканчивается цифрами О или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится. Например, числа 870 и 875 делятся без остатка на 5, а числа 872 и 873 на 5 без остатка не делятся. Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными. Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 четны, а числа 1, 3, б, 7 и 9 нечетны. Поэтому и цифры 0, 2, 4, в, 8 называют четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными. Все полные десятки делятся на 2 без остатка (т. е. они чет- ны). Значит, любое натуральное число четно лишь в случае, когда в разряде единиц стоит четная цифра, и нечетно, когда в разряде единиц стоит нечетная цифра. Если запись натурального числа оканчивается четной циф- рой, то зто число четно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число нечетно. Например, числа 2, 60, 84, 96, 308 четные, а числа 3, 51, 85, 97, 509 нечетные. Как по записи натурального числа определить, делится оно без остатка на 10 или не делится на 10? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 5 или не делится на 5? Как по записи натурального числа узнать, делится оно без остатка на 2 или не делится на 2? 29. Запишите натуральные числа от 1 до 30 в порядке возрастания и подчеркните красным карандашом каждое второе число, а синим — каждое пятое. Какие числа окажутся подчеркнуты красным карандашом, какие — синим? Какие числа подчеркнуты обоими цветами? Назовите числа, не деля- щиеся ни на 2, ни на 5. 30. Назовите три числа, которые: а) делятся на 2; в) делятся на 2 и на 5; б) делятся на 5; г) не делятся ни на 2 и ни на 5. 31. Назовите: а) два четных числа, кратных 5; 9
б) два нечетных числа» кратных б; в) два четных числа» которые не делятся на б; г) два нечетных числа» которые не делятся на б. 32. Какие из чисел 200» 320» 3000» 60 000» 861, 76 640 делятся на 100? Какие из них делятся на 1000? Сформулируйте признаки делимости на 100, на 1000. 33. Напишите все трехзначные числа, в запись которых могут входить лишь цифры 0» 2, 5 и которые: а) делятся на 2; б) делятся на б. 84. Коля принес несколько коробок с яйцами, по 10 яиц в каждой коробке. Может ли быть» что он принес 32 яйца? 43 яйца? 60 яиц? 35. Толя купил 2 кг крупы. Может ли его покупка стоить 92 к.? 68 к? 87 к.? 36. Купили б кг хлеба. Может ли покупка стоить 92 к.? 90 к.? 76 к.? 37. Можно ли, используя только цифры 3 и 4» записать: а) число, которое делится на 10; в) число, кратное б; б) четное число; г) нечетное число? 38. Какие числа, кратные б, удовлетворяют неравенству: а) 64<х<78; б) 40б<х<4б0; в) 24<у<49; г) 1<у<30? 39. Вычислите устно: а) 17+0,3; б) 0,728-0,7; в) 0,2-5; г) 2,6:2; 0,05+25; 0,8—0,25; 4-2,5; 1,8:9; 0,37 + 2,03; 1 — 0,6; 0,5-20; 3,7:10; 3,84+0,2; 0,7-0,07; 0,24-1000; 5,3:0,1; 1,27 + 2,3; 3 — 0,85; 2,7-100; 6:0,3. 40. Какие различные натуральные числа надо кружки (рис. 4), чтобы произведение каждых двух вписать в чисел, по- мещенных в кружках» соединенных от- резком» равнялось 70? Подумайте» как можно назвать набор чисел» оказавших- ся в кружках. 41. Если к числу прибавить 4» то по- лученное число разделится без остатка на 6. Чему равен остаток от деления первого числа на 6? 42. На микрокалькуляторе по прог- рамме 12 + = получен результат 24. 10
Попробуйте объяснить, почему получилось такое число. По- думд^те, какие числа будут появляться на индикаторе после каждого нажатия клавиши -и= при выполнении программы: 8 + 43. Подтвердите примерами следующее свойство суммы: а) если каждое слагаемое кратно числу а, то и сумма кратна числу а; б) если только одно слагаемое суммы не кратно чис-. лу а, то сумма не кратна числу а. 44. Назовите наименьший и наибольший делители чис- ла 24. Назовите наименьшее кратное числу 24. Есть ли у этого числа наибольшее кратное? Назовите какое-нибудь число, крат- ное и 5 и 12. 45. Запишите все двузначные числа, являющиеся: а) делителями 100; в) делителями 100 и кратными 25. б) кратными 25; 46. Число Ъ является делителем числа а. Докажите, что част- ное от деления а на b также является делителем числа а. Проверьте это утверждение, если а=18, а Ь = 3. 47. Докажите, что: а) если а кратно 5, а 5 кратно с, то а кратно с; б) если а и Ь делятся на 6, то и а 4- Ъ делится на 6. 48. Какие из дробей -|-, -|-, , —-, ~, -|- являются пра- вильными и какие неправильными? 49. При каких натуральных значениях а дробь будет О правильной и при каких натуральных значениях b дробь —тт b-f-2 будет неправильной? 50. Решите уравнение: а) (х+2,3) 0,2=0,7; в) 4,2x4-8,4 = 14,7; б) (2,8—х):0,3=5; г) 0,39:х-0,1=0,16. 51. Решите задачу: 1) Я задумал число. Если его увеличить в 11 раз и резуль- тат уменьшить на 2,75, то получится 85,25. Какое число я за- думал? 2) Я задумал число. Если его увеличить на 9,2 и результат увеличить в 11 раз, то получится 110. Какое число я задумал? 11
®52. Найдите среди чисел 164,161,174,178,191, 315, 320, 346, 425, 475 числа: а) кратные 2; б) кратные 5; в) кратные 10; г) нечетные. 53. Напишите: а) все четные числа, большие 10 и меньшие 21; б) все нечетные числа, большие 12, но меньшие 23. 54. Напишите три четырехзначных числа, кратные 5. Т, - - - 5 8 13 18 5 4 125 384 55. Выберите из дробей ? g , 19 , 18 > 4 » g * 126 и 888 сначала все правильные дроби, а затем неправильные. 56. Решите уравнение: а) (4,9 —х): 1,2 = 3; б) 3,8 (х-0,2)=2,28. 57. Найдите значение выражения: а) (98-7 + 141):72; в) 7091 + 9663—(243 916+ 75 446):527:3; б) (357-348:6)-4; г) 8607+7605+(376012-83 314):414:7. 3. Признаки делимости на 9 и на 3 Узнаем, не выполняя деления, можно ли 846 яиц разло- жить в 9 корзин поровну. В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка и 6 единиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин одну сотню яиц, то в каждую корзину можно положить 11 яиц, а одно яйцо оста- нется. От восьми сотен останется 8 яиц. Если раскладывать поровну в 9 корзин один десяток яиц, то в каждую корзину надо положить одно яйцо и одно яйцо оста- нется. От четырех десятков останется 4 яйца. Не разложенными в корзины останутся 8 яиц от сотен, 4 яйца от десятков и еще 6 яиц: 8+4+6 = 18. Число 18 являет- ся суммой цифр числа 846. Так как 18 яиц можно разложить поровну в 9 корзин (по 2 яйца в каждую), то и все 846 яиц можно разложить поровну в 9 корзин. Это значит, что число 846 делится без остатка на 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Пример 1. Число 76 455 делится на 9, так как сумма его цифр: 7+6+4 + 5 + 5 = 27 — делится на 9. Пример 2. Число 51 634 не делится на 9, так как сумма его цифр: .5 + 1 + 6 + 3 + 4 = 19 — не делится на 9. 12
Так же обосновывается признак делимости на 3. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числу, не делится на 3, то и число не делится на 3. ДК Как по записи натурального числа узнать, делится оно на 9 или не делится на 9? Как по записи натурального числа узнать, делится оно на 3 или не делится на 3? 4VK 58. Какие из чисел 75 432, 2 772 825, 5 402 070 делятся на 3? Какие из них делятся на 9? 59. Запишите какие-нибудь три четырехзначных числа, ко- торые делятся на 9. 60. Какие цифры следует поставить вместо звездочек в записи 2*5, 46*, *14, чтобы получившиеся числа делились на 3? 61. Напишите три числа, записанные только с помощью: а) цифры 1, которые делятся на 3; б) цифры 6, которые делятся на 9. 62. Любое ли число, которое оканчивается цифрой 3, делит- ся на 3? 68. Мама принесла детям три одинаковых подарка. Может ли быть, что во всех этих подарках было 25 конфет? 75 конфет? 63 конфеты? 64. В каждом стойле коровника 9 коров. Может ли быть, что всего в коровнике 542 коровы? 288 коров? 65. Оля купила 9 пакетов молока. Может ли сдача, полу- ченная с двух рублей, равняться 60 к.? 56 к.? ебб. Вычислите устно: а) 6+0,1+0,04; б) 0,7—0,15; в) 0,3-5; г) 5:100; 7+0,05+0,8; 4—0,5; 4-0,5; 26:10; 8,4+0,007+0,06; 0,6—0,02; 50-0,02; 0,8:4; 19 + 1,02+0,18; 3 — 1,3; 2,9-10; 2:0,1; 2,01 + 1,3+0,09; 5—0,08; 31-0,01; 8:0,4. 67. Найдите пропущенные числа: 13
68. Подумайте, каким числом (четным или нечетным) яв- ляется: а) квадрат четного числа; б) квадрат нечетного числа; в) куб четного числа. 69. Длина прямоугольника 20 м, ширина — натуральное число метров. Верно ли, что значение площади (в квадрат- ных метрах): а) кратно 2; б) кратно 5; в) кратно 4; г) кратно 8? 70. Значение какого числового выражения можно вычис- лить на микрокалькуляторе по программе: а) 15,3 X 0,05 + 1,4 = б) 8,6 + 2,2 X 0,3 = 71. Верно ли утверждение: а) если каждое слагаемое не кратно числу а, то и сумма не крат- на числу а; б) если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и раз- ность кратна числу а? 72. Как быстро узнать, делятся ли на 2: а) суммы: 37 843 + 54 321; 48345+75634; 37244+52486; б) разности: 87 338 — 56 893; 153 847-112 353; 84 537-26 237? 73. Любое ли число, делящееся на 5, делится и на 10? 74. Всегда ли запись числа, делящегося на 5, оканчивается цифрой 5? Может ли число, не делящееся на 5, оканчиваться цифрой 5? 75. Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно: а) четно; б) нечетно? 76. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы полученное число делилось на 5: а) 378*; б) 25*5; в) 4*13? 77. Запишите 1-|-, 3-|~, 2~, и 9^ в виде неправиль- ных дробей. 78. Исключите целую часть из чисел: 18 25 17 12 18 15 7 ’ 3’ 2 ’ 2 ’ 9’4* 79. Решите уравнение: 1) 17п —11п-2п = 511; 3) 4*+6х-х = 21,6; 2) 23а —8а—13а = 33; 4) 1у-у + 3у = 61,2. 80. Вычислите: 0,5632:5,12 + 42,56:3,8-(11 -3,9:1,5). Вы- числения проверьте с помощью микрокалькулятора. 14
81. Какие из чисел 240,242,244,246, 248,250, 252 кратны 3? Какие из них делятся на 9? 82. В записи *723, 5*36, 111* вместо звездочки поставьте такие цифры, чтобы получившиеся числа делились на 9. 83. Представьте числа 1-J-, 3^-, 18-^-, 14-^ в виде не- 7 14 У 37 правильных дробей. „ 62 79 1356 238 84. Исключите целую часть из чисел: — , — , — . 85. Найдите значение выражения 4,7Л-|-5,3/г —0,83, если k=0,83; 8,3; 0,083. 86. Решите уравнение: а) х+Зх+5 = 17; в) 3,2^-2,7i/ = 0,6; б) 3,5х+2,2х=4,56; г) 3,7z —z = 0,54. 87. Найдите значение выражения (5,98 + 5,36): 2,8: (5 • 0,003 +15- 0,029). 4. Простые и составные числа Число 7 делится только на 1 и само на себя. Другими слова- ми, число 7 имеет только два делителя: 1 и 7. У числа 9 три делителя: 1, 3 и 9. Число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Такие числа, как 9 и 18, называют составными числами, а такие, как 7, — простыми числами. Натуральное число называют простым, если оно имеет толь- ко два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Число 1 имеет только один делитель: само это число. По- этому его не относят ни к составным, ни к простым числам. Первыми десятью простыми числами являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29. На форзаце учебника приведена таблица про- стых чисел от 2 до 997. Число 78 составное, потому что, кроме 1 и 78, оно делится, например, еще на 2. Так как 78:2 = 39, то 78=2*39. Говорят, что число 78 разложено на множители 2 и 39. Любое составное число можно разложить на два множителя, каждый из кото- рых больше 1. Простое число так разложить на множители нельзя. 15
©Какие натуральные числа называют простыми? Какие натуральные числа называют составными? Почему чис- ло 1 не является ни простым, ни составным? 88. Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31,26,100? 89. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на фор- заце учебника, определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561, 563, 863, 997 являются простыми, а какие составными. 90. Докажите, что числа 2968, 3600, 888888, 676 767 явля- ются составными. 91. Может ли произведение двух простых чисел быть: а) простым числом; б) составным числом? 92. Может ли площадь квадрата выражаться простым чис- лом, если длина его стороны выражается натуральным числом? 93. Известно, что число т делится на 9. Простым или сос- тавным является число т? 94. Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159. 95. Сколькими способами можно разложить на два множи- теля числа 18; 42; 55? Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считайте за один способ. 96. Верно ли, что все четные числа являются составными? 97. Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом? 98. Вычислите устно: а) 0,014-1,14-0,09; б) 8,14-2,994-1,01; 1,88+3,74-0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93; 15 — 2,3; в) 2,5-2,7-4; 0,3 — 0,29; 3,9-0,5-2; 7 — 0,2; 1,251,9-8; 6 — 2,75; 4.5,6-0,25; 16,4—4; 0,5-30-0,1; г) 1:10; 8,08:8; 9:100; 6,73:10; 0,7:0,01. 99. Найдите пропущенные числа, если а = 33; 42; 75: 100. Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1. 16
101. Выразите в виде десятичных дробей: 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%. 102. Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем (в кубических сантиметрах) этого параллелепипеда выражается числом: а) кратным 2; б) кратным 3; в) кратным 5? 103. Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число, делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6? 104. Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775, 21 112 221, 44 856, 555 444, 757 575, 835 743 те, которые: а) кратны 3; в) делятся без остатка на 3 и на 5; б) кратны 9; г) кратны 9 и 2. 105. Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? Верно ли, что если число делится на 6, то его запись оканчивается цифрой 6? 106. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5: а) 241»; б) 1734»; в) 43*5? 107. Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили у- стакана. Сколько граммов крупы насыпали в стакан? 108. Дочь пообещала: «Я схожу в булочную и вымою посуду». Можно ли обещание считать выполненным, если дочь: а) вымыла посуду, но не сходила в булочную; б) сходила в булочную и не вымыла посуду; в) и вымыла посуду, и схо- дила в булочную; в) не вымыла посуду и не была в булочной? Подумайте, в чем сходство этой задачи с задачей нахожде- ния решений неравенства 2<х<6 среди чисел 1; 3; 5; 7. 109. Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 яв- ляются составными. 110. С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153, 157, 187, 499, 550, 621, 881, 865 и 909 простые числа. 111. Запишите все делители числа 90. Выпишите из них те, которые являются простыми числами. 112. Разложите на два множителя всеми возможными спо- собами числа 30, 33, 42, 99. Способы, при которых произведе- ния отличаются только порядком множителей, считайте за один способ. А\ 17
113. Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной сто- роны составляет —• периметра. Найдите площадь прямоуголь- ника. J 114. Найдите значение выражения (15,964:5,2 —1,2) «0,1. 5. Разложение на простые множители Число 210 является произведением чисел 21 и 10. Значит, 210=21*10. Числа 21 и 10 составные. Их тоже можно пред- ставить в виде произведения: 21 = 3*7, 10=2*5. Получаем: 210=3*7*2*5. Теперь в произведении 3*7*2*5 все множи- тели — простые числа. Таким образом, число 210 разложено Число 210 можно разложить на простые множители иным способом: 210 = 30*7 = 10*3*7 = 5*2*3*7. Получились те же самые простые множители, только записанные в другом поряд- ке. Обычно записывают множители в порядке их возрастания: 210=2*3*57. Всякое составное число можно разложить на простые мно- жители. При любом способе получается одно и то же разложе- ние, если не учитывать порядка записи множителей. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости. Разложим, например, на простые множители число 756. Оно делится на 2, так как оканчивается четной цифрой 756:2=378. Проведем вертикальную черту и за- пишем слева от нее делимое 756, а справа дели- тель 2. Частное запишем под числом 756. Число 378 тоже делится на 2. При делении по- лучаем в частном 189. 189 не делится на 2, так как оканчивается нечетной цифрой. Но 189 делится на 3, так как сумма его цифр (14-84-9=18) делится на 3. Имеем 189:3 = 63. 6. Имеем 756 378 189 63 21 7 1 2 2 3 3 3 7 18
Число 63 также делится на 3. При делении получим чис- ло 21. Число 21 также делим на 3, причем получаем в частном простое число 7. При делении числа 7 на 7 получаем 1. Разложение на множители закончено. Значит, 756 = 2-2-3-3-3-7. Существуют ли составные числа, которые нельзя разло- жить на простые множители? Чем могут отличаться два разложения одного и того же числа на простые множители? ©115. Разложите на простые множители числа: а) 216; 162; 144; 512; 675; 1024; б) 60; 180; 220; 350; 400; 1200; 8000; в) 11; 1001; 1225; 21780; 45 630. 116. Напишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит: а) из двух одинаковых миожителей; б) из трех одинаковых множителей. 117. Запишите все двузначные числа, которые раскладыва- ются на два различных простых множителя, один из которых равен: а) 11; б) 13; в) 23; г) 47. 118. Выясните, делится ли число а на число Ь без остатка, если: а) а = 2-2-2-3-5-7 и д = 2-3-7; б) а = 3-3-5-5-11 и Ь = 3-3-5; в) а = 3-3-5-7-13 и Ь = 3-5-5-13; г) а = 2-3-3-7-7 и Ь = 21; д) а = 2-2-3-3-3-5-7 и Ь = 135; е) а=2-2-2-3-3«5-5*5 и 6 = 1000. В случае, когда а делится на 6, найдите частное. 119. Вычислите устно: а) 3,99+2,01; б) 0,7 — 0,06; в) 1,6:100; г) 0,4-0,31-25; 2,34-0, 007; 1 — 0,48; 5:10; 3,8-1,7 —2,8 1,7; 3,624-1,08; 2 — 1,02; 12:1000; 4,7-12,5-0,8; 3,064-1,94;. 0,65 — 0,5; 2,3:0,1; 3,1-3,7 4-3,1-6,3; 12,774-0,13; 0,8 — 0,25; 4:0,01; 49,34-0-49,3. 120. При каких натуральных значениях а произведение 23а является простым числом? 19
121. Существует ли прямоугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом? 122. Найдите по два простых делителя каждого из чисел: 64; 62; 148; 182; 8333; 5005. 128. Какие простые числа являются решениями неравенства 17<р<44? 124. Могут ли быть простыми числами координаты то- чек А, В, С и D (рис. 5), если р — простое число? 0 1 I—+ в) 2т+3Т’ г) 2-|—1-|-; '7 7 е>4т1-2п- 125. Представьте а) число 3 в виде дроби со знаменателем 5; б) число 1 со знаменателем 12. 126. Выполните действие: а) ^4--^; 1 17 “17 * б) ’ 9 9 * 127. Из 35 учащихся пятого класса 22 выписывают журнал «Юный натуралист*, 27 — газету «Пионерская правда», а 8 ученика не выписывают ни газету, ни журнал. Сколько уча- щихся выписывают газету и журнал? 128. а) Книга на 100% дороже альбома. На сколько процен- тов альбом дешевле книги? б) Масса гуся на 25% больше массы утки. На сколько про- центов масса утки меньше массы гуся? 129. Для какого числового выражения составлена програм- ма вычислений на микрокалькуляторе: а) 7,46 б) 10,2 130. Стороны треугольника 12 см, 17 см и х см. а) Составьте выражение для вычисления периметра этого треугольника, б) Подумайте, каким может быть значение х и каким быть не может. 20
131. Решите задачу: 1) Две бригады хлопкоробов собрали вместе 20,4 ц хлопка за день. При этом первая бригада собрала на 1,52 ц больше второй. Сколько центнеров хлопка собрала каждая бригада? 2) Два комбайнера убрали пшеницу с 64,2 га. Сколько гекта- ров убрал каждый комбайнер, если первый убрал на 2,8 га меньше, чем второй? 132. Найдите значение выражения: 1) (13-9,6:3,8) 0,3; 3) (1,3 2,8 + 1):0,8; 2) (16,1:4,6-8,07)0,2; 4) (3,7-2,3-5):0,8. М 183. На поверхности куба (рис. 6) найдите кратчайший путь: а) из точки А в точку С через точ- ку В; б) из точки А в точку С, который пересекал бы все боковые ребра куба, кроме ребра АС. ЖХ 134. Разложите на простые чиг множители числа: а> 54; 65; 99; 162; 10000; б) 1500; 7000; 3240; 4608. 135. Выполните действия: а) тг+т~Г: Т-(f—г): в> 4й + 8^ г) б15~2£- 136. Два тракториста вспахали 12,32 га земли, причем один из них вспахал в 1,2 раза меньше другого. Сколько гектаров земли вспахал каждый тракторист? 137. У покупателя было 22,3 р. В гастрономе он израсходо- вал в 6 раз меньше денег, чем в универмаге. Сколько денег израсходовал покупатель в универмаге, если у него оста- лось 1,3 р.? 138. Выполните действия: а) (424,2 — 98,4): 3,6 • 0,9 + 9,1; б) (96,6+98,6): 6,4 • 1,2—0,2. 6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа Задача. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты? 21
Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители чис- ла 48. Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Затем выпишем все делители числа 36. Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его назы- вают наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12—4) и 3 конфеты «Чебураш- ка» (36:12=3). Наибольшее натуральное число, на которое делятся без ос- татка числа а и Ь, называют наибольшим, общим делителем этих чисел. Найдем наибольший общий делитель чисел 24 и 36. Делителями 24 будут 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителями 35 будут 1, 5, 7, 35. Видим, что числа 24 и 35 имеют только один общий дели- тель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел. Разложим на миожители числа 48 и 36, получим: 48 = 2*2*2*2-3, 36 = 2*2*3 3. Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки). Остаются множители 2*2*3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трех и более. чисел. Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких на- туральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множи- тели; 2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3) найти произведение оставшихся множителей. Если все данные числа делятся на одно из них, го это число и является наибольшим общим делителем данных чисел. 22
Например, наибольшим общим делителем чисел 15, 45, 75 и 180 будет число 15, так как на него делятся все остальные числа: 45, 75 и 180. ©Какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел? Какие два числа называют взаимно простыми? Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел? Число а кратно числу Ь. Какое число яв- ляется наибольшим общим делителем чисел а и Ъ? ©139. Найдите все общие делители чисел: а) 18 и 60; б) 72, 96 и 120; в) 35 и 88. 140. Найдите разложение на простые множители наиболь- шего общего делителя чисел а и Ь, если: а) а = 2-2-3-3 и Ь = 2-3-3 5; б) а = 5-5-7-7-7 и Ь = 3-5-7-7. DB предложениях с сочетаниями общий делитель, наи- больший общий делитель числительные читают в роди- тельном падеже, если перед ними нет слова чисел, и в вини- тельном падеже в противном случае: — пять — общий делитель двадцати и тридцати р. п. р. п. — число пять — наибольший общий делитель чисел двадцать и двадцать пять в. п. в. п. 141. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 12 и 18; в) 675 и 825; д) 324, 111 и 432; б) 50 и 175; г) 7920 и 594; е) 320, 640 и 960. 142. Являются ли взаимно простыми числа: а) 35 и 40; б) 77 и 20; в) 10, 30, 41; г) 231 и 280? 143. Найдите среди чисел 9, 14, 15 и 27 три пары взаимно простых чисел. 144. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа. 145. Ребята получили на новогодней елке одинаковые по- дарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 ябло- ка. Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и сколько яблок было в каждом подарке? 23
146. Для поездки за город работникам завода было выделено несколько автобусов, с одинаковым числом мест в каждом автобусе. 424 человека поехали в лес, а 477 человек — на озеро. Все места в автобусах были заняты, и ни одного человека не осталось без места. Сколько автобусов было выделено и сколько пассажиров было в каждом автобусе? 147. Вычислите устно: а) 0,7 • 10 б) 5 : 10 в) 4—0,8 г) 0,94-0,06 Д) 1-0,7 : 2 • 0,2 : 0,8 : 0,3 • 5 — 0,3 + 2 : 10 -0,2 : 15 : 0,4 : 0,7 • 0,5 • 0,01 • 100 ? ? ? ? ? 148. С помощью рисунка 7 определите, являются ли числа о, Ъ и с простыми. 0 5 13 I-----1- |---н—।--------------1--------- ас ь Рис. 7 149. Существует ли куб, ребро которого выражается на- туральным числом и у которого: а) сумма длин всех'ребер выражается простым числом; б) площадь поверхности выражается простым числом? 150. Разложите на простые множители числа: а) 875; 2376; 5625; б) 2025; 3969; 13125. 151. Почему, если одно число можно разложить на два прос- тых множителя, а второе — на три простых множителя, то эти числа не равны? 152. Можно ли найти четыре различных простых числа, чтобы произведение двух из них равнялось произведению двух других? 153. Найдите значение выражения: а) (3 3 5 11):(3 11); в) (2-3-713):(3-7); б) (2-2-3 5-7):(2-3-7); г) (3-5 11 17 23):(3 11 17). 154. Сравните: V 3 5 11 8 V 1 2 5 \ л 2 о 1 а) 7 И 7 ; 6) is и 1з ? в) * з и 8 * г) 7 И 3 5 . 155. С помощью транспортира постройте /~АОВ=35° и Z.DEF = 140°. 24
156. Решите задачу: 1) Луч ОМ разделил развернутый- угол АОВ на два угла АОМ и МОВ. Угол АОМ в 3 раза больше угла МОВ. Чему равны углы АОМ и ВОМ? Постройте эти углы. 2) Луч ОК разделил развернутый угол COD на два угла СОК и KOD. Угол СОК в 4 раза меньше угла KOD. Чему равны углы СОК и KOD1 Постройте эти углы. 157. Решите задачу: 1) Рабочие отремонтировали дорогу длиной 820 м за три о дня. Во вторник они отремонтировали — этой дороги, а в сре- 5 2 ду — оставшейся части. Сколько метров дороги отремонтиро- О вали рабочие в четверг? 2) На ферме содержатся коровы, овцы и козы, всего 3400 жи- вотных. Овцы и козы вместе составляют ~ всех животных, а козы составляют общего числа овец и коз. Сколько на фер- ме коров, сколько овец и сколько коз? 158. Представьте в виде обыкновенной дроби числа 0,3; 3 17 0,13; 0,2 и в виде десятичной дроби числа —; 4—; 3—. о 2 . 20 159. Выполните действие, записав каждое число в виде десятичной дроби: а) -|-+4-; б> 14"+2^- Z О 4 ZO 160. Вы умеете представлять числа в виде произведения простых чисел. Попробуйте представить в виде суммы простых слагаемых числа 10, 36j 54, 15, 27 и 49 так, чтобы слагаемых было возможно меньше. Какие предложения о пред- ставлении чисел в виде суммы простых слагаемых вы можете высказать? ©161. Найдите наибольший общий делитель чисел а и Ь, если: а) а = 3-3-5-5-5-7, Ь = 3-5-511; б) а = 2-2-2-3-5-7, Ь = 31113. М! 162. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 585 и 360; б) 680 и 612; в) 60, 80 и 48; г) 195, 156 и 260. 163. Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые. 164. Сравните: а) ~ и б) 1-|- и в) пг и 24-- 9 9 О О О О 25
165. Постройте угол АОС, равный 130°. Проведите внутри угла АОС луч ОВ так, чтобы Z_BOC=40°. Измерьте угол АОВ. 166. В городе построен завод, на котором будут работать 840 рабочих следующих профессий: токари, слесари и фрезе- ровщики. При этом токарей будет втрое, а слесарей вдвое больше, чем фрезеровщиков. Сколько токарей нужно для завода? 167. В инкубатор заложили 1200 яиц. Из всех яиц вылу- 24 пились цыплята. При этом оказалось, что петушки составляют 2 — всех вылупившихся цыплят. Сколько петушков и сколько О курочек вылупилось из яиц? 168. Представьте в виде обыкновенной дроби: 0,6; 0,16; 0,25. 169. Представьте в виде десятичной дроби: A-.J_._L. 41_ 5 * 125 ' 20 * 2 * 170. Найдите значение выражения: а) 1,53-54—0,42 (512-491,2)+1,116; б) ((27,12 + 43,08) • 0,007 - 0,0314) • 100. 7. Наименьшее общее кратное Задача. Шаг Володи 75 см, а шаг Кати 60 см. На каком наименьшем расстоянии они оба сделают по целому числу шагов? Решение. Число сантиметров пути должно делиться без остатка и на 7 5, и на 60, т. е. оно должно быть кратным и 7 5, и 60. Выпишем числа, кратные 75. Получим: 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, 750, .... Затем выпишем числа, кратные 60. Получим: 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, .... Общими кратными чисел 75 и 60 будут числа 300, 600,... . Наименьшим из них является 300. Это число называют наименьшим общим кратным чисел 75 и 60. Значит, наименьшим расстоянием, на котором Володя и Ка- тя сделают целое число шагов, будет 300 см. Прй этом Володя сделает 4 шага (300:75 = 4), а Катя — 5 шагов (300:60=5). 26
Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и Ь на- зывают наименьшее натуральное число, которое кратно иа,иЬ. Наименьшее общее кратное чисел 75 и 60 можно найти и не выписывая подряд кратные этих чисел. Для этого разложим 75 и 60 на простые множители: 75=3*5*5, а 60=2*2*3*5. Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел, и добавим к ним недостающие множители 2 и 2 из разложения второго числа. Получаем пять множителей 2*2*3*5*5, произведение ко- торых равно 300. Это число является наименьшим общим кратным чисел 75 и 60. Так же находят наименьшее общее кратное для трех и бо- лее чисел. Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких нату- ральных чисел, надо: 1) разлохсить их на простые множи- тели; 2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел; 3) добавить к ним недостающие множители из раз- ложений остальных чисел; 4) найти произведение получивших- ся множителей. Зэмешпл, что если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и является наименьшим общим кратным данных чисел. Например, наименьшим общим кратным чисел 12, 15, 20 и 60 будет число 60, так как оно делится на все данные числа. © Какое число называют наименьшим общим кратным натуральных чисел а и 5? Как найти наименьшее общее кратное нескольких чисел? Какое число является наименьшим общим кратным чисел тип, если число т кратно числу п? 171. Найдите разложение на простые множители наи- меньшего общего кратного чисел а и Ь, если: а) а=3*5, 5=7*5; б) о=2*2*3*3*5, 5 = 2*2*3*7. 172. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и 5, если: а) а=2*2*3*5*5 и 5 = 2*3*3*3*5; б) а=3*3*7*7 и 5 = 2*3*3*5*7*7; в) а=2*2*5*5*11 и 5 = 2*2*3*5*11; г) п=2*5*5*7 и 5 = 2*2*5*5*7. 173. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 6 и 8; в) 72 и 99; д) 34, 51 и 68; б) 12 и 16; г) 396 и 180; е) 168, 231 и 60. 27
174. Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Най- дите наименьшее общее кратное.чисел 54 и 65. Равно ли оно про- изведению 54 и 65? Запишите какие-нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод. 175. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 45 и 135; б) 34 и 170. Равно ли оно одному из данных чисел? 176. Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого. 177. В портовом городе начинаются три туристских тепло- ходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй 20 су- ток и третий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание? 178. Вычислите устно: а) 0,75-0,7 б) 1-0,25 в) 0,9—0,09 г) 23,9-3,9 • 20 -2 : 9 • 0,15 -0,2 : 0,3 + 0,6 -0,8 : °*4 • 10 :0,1 ? ? ? ? 179. Каждую из дробей а о — и —, где а и О о Ь — натураль- ные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли а и б, b и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми? 180. Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби; а) —; б) — ; в) — ; г) — . 181. Какие из следующих утверждений верны: а) два чет- ных числа не могут быть взаимно простыми; б) четное и нечет- ное числа всегда взаимно простые; в) два различных простых числа всегда взаимно простые; г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми; д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые; е) последовательные натураль- ные числа всегда взаимно простые. 28
182. Найдите наибольший общий делитель чисел: а) 12 и 24; б) 6 и 9; в) 75 и 45; г) 81 и 243; д) 4725 и 7875. 188. Лист картона имеет форму прямоугольника, длина ко- торого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа? 184. Число т кратно 12. Докажите, что число т делится на 4. 185. Назовите все двузначные числа, записанные одинако- выми цифрами. Найдите наибольший общий делитель всех этих чисел. 186. Запишите в виде дроби частные: 3:7; 5:11; 23:34. 187. Запишите в виде частного дроби: ~~ ; 0,6; 0,13. 188. Запишите в виде обыкновенной дроби частные 18:7; 23:8; 16:5; 343:14 и выделите целые части. 189. Найдите среднее арифметическое чисел: 3,8; 4,2; 3,5; 4,1. 190. Среднее арифметическое двух чисел равно 54. Одно число в 2 раза больше другого. Найдите эти числа. 191. Решите задачу: 1) В цистерне было 38 т керосина. В первый день израс- ходовали в 2,4 раза больше керосина, чем во второй день. После этого в цистерне осталось 9,1 т керосина. Сколько тонн керо- сина израсходовано в первый день? 2) Утром на базе было 19 т муки. До обеда с базы выда- ли в 3,2 раза больше муки, чем после обеда. К вечеру на базе осталось 4,3 т муки. Сколько тонн муки выдали с базы до обеда? 192. По таблице простых чисел (см. форзац) подсчитайте, сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен (т. е. среди чисел от 1 до 100, от 101 до 200 и т. д.). Заметили ли вы какие-либо закономерности в расположении простых чи- сел? Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. Найдите в таблице все пары чисел-близнецов. Ка- кие из них самые большие? Сколько таких пар среди первых 500 натуральных чисел? среди чисел от 500 до 1000? Ученые до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел- близнецов. м 29
®193. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 45; б) 30 и 40; в) 210 и 350; г) 20. 70 и 15. 194. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и Ь, если: а) а=55-7-13, Ь = 5-7-713; б) а = 504, 5 = 540. 195. Саша, Коля и Сережа собрали 51 стакан малины. Се- режа собрал в 2 раза больше малины, чем Саша, а Коля — на 3 стакана больше, чем Саша. Сколько стаканов малины собрал каждый из мальчиков? 196. Масса первых трех искусственных спутников Земли, запущенных в 1957—1958 гг.» была равна 1918,9 кг. Найдите массу каждого из этих спутников, если масса второго была боль- ше массы первого на 424,7 кг, а масса третьего — больше массы второго на 818,7 кг. 197. Решите уравнение: а) (х+36,1)-5,1 = 245,82; в) (*+ 24,3): 18,3 = 3,1; б) (т —0,67) 0,02 = 0,0152; г) (у — 15,7): 19,2 = 4,7. 198. Запишите в виде дроби частные 27:8; 72:8; 483:18; 1225:12 и выделите из них целые части. 199. Найдите среднее арифметическое чисел 5,24; 6,97; 8,56; 7,32 и 6,23. 200. Поезд шел 3 ч со скоростью 65,2 км/ч и 2 ч со ско- ростью 83,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за эти 5 часов. 201. Найдите значение выражения: а) 51 —(3,75:3 + 86,45:24,7)-2,4; б)(650000:3125-196,5)-3,14. НП и ф а г 6 р (VI в. до н. э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они называли совершенным числом. Напри- мер, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1+2 + 4 + 7 + 14) совер- шенные. Следующие совершенные числа 496, 8128, 33 550 336. Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое — 8128 — стало известно в I в. н. э. Пятое — 33 550 336 — было найдено в XV в. К 1983 г. было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли - нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число. Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представ- 30
лено в виде произведения простых чисел, т. е. простые чис- ла — это как бы кирпичики, из которых строятся остальные на- туральные числа. Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно — в одних час- тях ряда их больше, в других — меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются прос- тые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее самое большое простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н. э.) в своей книге «Начала», бывшей на протяже- нии двух тысяч лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т. е. за каждым простым числом есть еще большее простое число. Для отыскания простых чисел другой греческий математик того же времени — Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал единицу, которая не является ни простым, ни сос- тавным числом, затем вычеркивал через одно все числа, иду- щие после 2 (числа, кратные 2, т. е. 4, 6, 8 и т. д.). Первым оставшимся числом после 2 было 3. Далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (числа, кратные 3, т. е. 6, 9, 12 и т. д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа: 7 2 3 Jr 5 77 73 & & 2i Ж 31 X 47 4# 43 Я? Я0 Я? Я£ 53 # # Я 7 Я 4? 40 Ж 17 40 19 Яв Я0 27 Я0 29 & Я0 37 Я0 Я0 Я0 яг 47 яг J& яг яг яг яг 59 & Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на натянутом папирусе, а числа не вычеркивали, а выка- лывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эра- тосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от сос- тавных. 31
Пифагор Евклид Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. Таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин. I 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ С РАЗНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ 8. Основное свойство дроби Разделим круг на 4 равные части и 3 из них закрасим, а потом каждую четверть круга разделим еще на 5 равных частей (рис. 8). Тогда весь круг окажется разделенным на 4-5 = 20 частей, а в трех закрашенных четвертях круга будет 3 - 5 таких частей. Поэтому , т. е. f=М . Рис. 8 Это равенство можно записать и так: 15 15:5 __ 8 20 20:5 4 * Если числитель и знаменатель дроби умно- жить или разделить на одно и то же на- туральное число, то получится равная ей дробь. 32
Это свойство называют основным свойством дроби. „ 2 4 9 3 16 2 Например, —=— ; = О 1U 1О О о 1 Дее равные дроби являются различными записями одного и того же числа. ©Сформулируйте основное свойство дроби. Изменится ли дробь, если ее числитель и знаменатель умножить на 15, а потом разделить на 3? 0 202. Используя рисунок 9, объясните, почему равны дроби: 3 _ 9 . 3 _ 12 . 5 _ 10 5 15 ’ 4 16 ’ 7 “ 14 ' Рис. 9 D Равенство двух дробей можно читать разными способа- ми. Например, равенство можно прочитать так: — дробь три седьмых равна дроби девять двадцать первых и. п. д. п. — дроби три седьмых и девять двадцать первых равны — три седьмых равны девяти двадцать первым и. п. д. п. 203. По рисунку 10 объясните, почему равны дроби: j__j__i5 • б) —=А = зо . в) JL—JL=1‘L . г) = 4 12 60 ’ ' 2 12 — 60 ’ ' 4 12 60 ’ ' з 12 60 ’ Рис. 10 2 Зак. 607 33
204. Поясните с помощью часов, почему: _2__А —40 . бч 1_=_2_=2° . =1 =5£ з 12 60 * ’ 6 12 60 * ’ 6 12 60 ' 205. Начертите два отрезка АВ и CD длиной по 8 см. От- метьте цветным карандашом отрезка АВ и отрезка CD. Сравните с помощью циркуля цветные части отрезков АВ и CD. 206. Начертите координатный луч, приняв за единичный от- резок 18 клеток тетради. Отметьте на координатном луче точки . 12345678123 с координатами -, т, т, т, т, т> -, -, -, -, -, 4"» 4~» Какие из этих чисел изображаются на коор- 6 6 3 3 динатном луче одной и той же точкой? Запишите соответст- вующие равенства. 207. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби 1 3 25 39 Е тт — на 5. Напишите соответствующие равенства. 208. Разделите числитель и знаменатель каждой дроби —, —, —, — на 3. Запишите соответствующие равенства. 3 6 9 33 ~ 113 209. Сколько двенадцатых долей содержится в —, —, —, 5 2_^ 6*3 210. Объясните, почему верно равенство: х _4_=JL . 61 44 =11 ' 5 10 * 7 100 25 ’ 211. Запишите в виде обыкновенных дробей частные: 3:8; 12:32; 20:48; 5:12. Какие из полученных дробей равны? 212. Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было верным равенство: V 14 х , т а) 21 ” 3 ’ ) 18 =±-; в) И 9 * ’ 51 Ю1 со h II Дк 218. Вычислите устно: ™ а) 50 • 10 б) 300:60 в) 12 + 0,6 г) 1 — 0,4 д) 0,7—0,06 : 125 •40 : 3 -5 : 8 . 75 :50 —0,2 —0,5 • 10 -160 •19. • 2,5. : 5 : 0,4 ? ? ? ? ? 34
214. Какое число надо умножить на 3, чтобы получить: 3,3; 33,3; 6,6; 6,66; 0,99; 0,999? 215. Найдите значение выражения: а) 23 + 2,6; б) 0,324-1,1; в) (1,6 —0,7)2; г) (0,6 0,5 + 0,7)3. 216. На координатном луче (рис. 11) отмечены числа а и 3. Кратно ли число а трем? Отметьте на луче два общих кратных чисел а и 3. 0 За ।---1| ...----------------------------------------— Рис. 11 217. Найдите, использовав рисунок 12, координаты точек А, В, С и D. Есть ли среди этих точек такие, координаты которых — общие кратные чисел тип? Рис. 12 218. На сколько процентов увеличится площадь пря- моугольника, если его длину увеличить на 30%, а ширину — на 20%? 219. Составьте программу вычисления на микрокалькуля- торе значения выражения: а) 2,85-(3,27 —1,45); б) е .,3*6- 5,41 -f-b,59 rn 220. Найдите методом «решета Эратосфена» все прос- 113 тые числа среди первых ста натуральных чисел. 22L Разложите на простые множители числа: 1) 375; 8505; 41472; 2) 425; 4225; 8775. 222. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: 1) 2450 и 3500; 2) 792 и 2178. 223. Решите задачу: 1) Школьники во время каникул совершили велосипедный поход. Весь путь составил 79,2 км. Первые 48,6 км они двига- лись со скоростью 12,15 км/ч и сделали привал на 2,5 ч, а потом ехали со скоростью 15,3 км/ч. Сколько времени они были в по- ходе? 2) Отряд партизан, выполняя боевое задание, прошел 32,4 км. Первые 4,5 ч они шли по дороге со скоростью 5,2 км/ч и сделали привал на 1,6 ч, а остальное время они шли по бо- лотистой местности со скоростью 2,5 км/ч. Сколько времени партизаны затратили на весь переход? 2* 35
224. Составьте задачу по выражению у? + А • 226. Выполните действия: 8,12*0,25-1-3,24*0,25. 226. Выполните действия с помощью микрокалькулятора и округлите ответ до сотых: а) 2,835:0,225*4,537 — 32,929; б) (4,976+15,2473)*2,14- 5,0784. 227. Разделите числитель и знаменатель каждой из дро- бей 41 , 44 » 4? ♦ 44 на 9. Напишите соответствующие 27 36 63 72 равенства. 228. Начертите координатный луч, приняв за единичный от- резок длину 12 клеток тетради. Отметьте на луче точки с коорди- 3 1 5 2 9 4 » натами: Какие из этих чисел являются 4 о 12 о 12 б координатами одной и той же точки? 229. Сколько: а) шестых долей содержится в ~, 4-•4-»; 2 о о 2 б) пятнадцатых долей содержится в ~, 4- ? О О О О 280. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 36; б) 33 и 44; в) 378 и 441; г) 11 340 и 37 800. 231. Решите уравнение: а) 2,45* (т—8,8)=4,41; б) 7,54Л-3,6Л = 5,91. 9. Сокращение дробей Если числитель и знаменатель дроби ~ разделить на 5, то 2U Л - 3 „ Л 15 8 получится равная ей дробь —, т. е. —=-^-* Деление числителя и зноженогелл на их общий делитель, от- личный от единицы, называют сокращением дроби. о Дробь — сократить нельзя, так как числа 3 и 4 — взаимно 4 простые числа. Такую дробь называют несократимой. Наибольшее число, на которое можно сократить дробь,— это наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Например, наибольшим общим делителем чисел 150 и 225 36
является 75. Значит, дробь Щ можно сократить на 75, полу- Тот же ответ можно получить, сокращая дробь ~ последо- 225 вательно на общие делители чисел 150 и 225, используя для их 160 60 ю 2 нахождения признаки делимости: 225 75 15 3 Иногда удобно при сокращении дроби разложить числитель и знаменатель на несколько множителей, а потом уже со- кратить. Например, .б‘?0 = * Сократим на 3-3-5 и 136 3 3 гг « з получим — Дробь — несократимая, low 2 • 2 4 4 Что называют сокращением дроби? Какую дробь назы- вают несократимой? Q 232- Сократите дробь f, 1|, 283. Сократите дроби: V 22 126 75 24 125 100 198. 66 * 75 * 100 * 860* 1000 * 250* 126* 61 42 61 * * * * * * * * * * * * * 75 40 3 18 45 120 9 720 ’ 300 * 64 * 243 * 300 * 900 * 180 ’ 234. Сократите: я! 2 8 23 5-4 7-5 . gv 4-5 15 3 14-9 2-3 4-5 ’ 7-2 * 4-9 * 2-7 * °* 3-6 ’ 11-10 * 15-7 ’ 9-8 ‘ 285. Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби: 0,2; 0,8; 0,5; 0,15; 0,24; 0,35; 0,75; 0,05; 0,125; 0,025; 0,008; 0,375. 236. Какую часть часа составляют 45 мин, 12 мин, 15 мин, 40 мин, 35 мин? 237. Какую часть развернутого угла составляют 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°? 238. Какую часть килограмма составляют 125 г, 250 г, 750 г? 289. Выполните действие: a1_L + JL- L- м 011-9-5. а) 16 +15 * °' 20 20 * ' 4 8 3 8 ’ * V 12 У 12 ’ 37
. 240. Один рабочий изготовил 16 одинаковых деталей за 6 ч, а другой 24 такие же детали за 15 ч. Какой из них тратил на из- готовление одной детали больше времени и на сколько? 241. Из 20 м ткани сшили 8 одинаковых платьев для взрос- лых, а из 12 м сшили 8 детских платьев. Сколько метров ткани пошло на одно детское платье и сколько на одно платье для взрослых? 242. Применив распределительный закон, представьте чис- литель дроби в виде произведения, а затем сократите: 12 54-12-9 . 8-8-87 . v 14-5-14-2 . . 19-8-19-6 12-21 ’ °* 8-5 ’ В* 28 * f 38 243. Вычислите устно: а) 450 • 2 б) 364 + 116 в) 20 • 0,5 г) 4,8 : 2 Д) 3-0,4 -250 : 6 - 2,5 + 0,8 : 0,13 : 13 +70 1,5 : 0,4 • 0,1 • 7 -8 0,12 • 0,2 : 0,2 ? ? ? ? ? 244. Найдите пропущенные числа: а) 245. Найдите среди чисел 1, 3, 10, 12, 13, 15, 16, 39 пары взаимно простых чисел. 246. Найдите равные среди чисел: 2_; J_; 1; А ; I» ; J_ ; _L ; 2_ ; 0,5; Я J 0,4. 247. При каких натуральных значениях буквы равны дроби: a)f f; .) f и г) f 248. В бригаде 5 рабочих. Зарплата первого рабочего уве- личилась на 10%, второго — на 20%, третьего — на 30%, а у 38
четвертого и пятого осталась прежней. На сколько процентов в среднем выросла зарплата рабочего этой бригады, если раньше все они имели одинаковую зарплату? Н 249. Древнегреческих, а также древнеиндийских матема- тиков интересовали числа, которые соответствовали коли- честву точек, расположенных в виде некоторой геометрической фигуры — треугольника, квадрата и др. Такие числа называли фи- 9 • • • • гурными. Например, число 10 на- в ф • • • • зывали треугольным, число 16 — ••• • • • • квадратным (рис. 13). Такое пред- •••• ® ® э ® ставление помогало древним уче- 13 ным изучать свойства чисел. Ис- пользуя рисунок 13, попробуйте найти еще несколько треуголь- ных и квадратных чисел. Какими свойствами обладают эти числа? Подумайте, как можно находить треугольные и квад- ратные числа, используя ряд натуральных чисел. 250. Разделите числитель и знаменатель дроби: »> То ™ б: б> Яй ™ 6= »> Т «* г> ТГ, на 7- 251. Умножьте числитель и знаменатель дроби: а) на 7; б) — на 4; в) на 8; г) на 2. 7 7 7 а ’ 7 9 ' Ьу 252. Собственная скорость катера 12,8 км/ч. Скорость те- чения реки 1,7 км/ч. Найдите скорость катера по течению и против течения. 253. Скорость движения теплохода по течению реки 22,7 км/ч. Скорость течения 1,9 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода и его скорость против течения. 254. Бригада изготовила за 3 дня 6000 деталей при плане 5100 деталей. Причем в первый день была изготовлена треть всех выпущенных деталей, а во второй день плана. Сколько 5 деталей изготовила бригада в третий день? 255. Найдите значение выражения: «п+п-п' 3>2т-1т+8т; 4) +1-1-24-. 39
256. Решите задачу: 1) Путешественник проплыл протйв течения реки на мотор- ной лодке 3 ч. Обратно он вернулся на плоту. Сколько времени путешественник затратил на обратный путь, если собственная скорость лодки 24 км/ч, а скорость течения 3 км/ч? 2) Путешественник проплыл по реке на плоту 7 5 км за 25 ч. Обратно он вернулся на моторной лодке, собственная скорость которой 28 км/ч. Сколько времени затратил путешественник на обратный путь? 257. Сократите дроби: . 4 8 6 9 . -V 2 3 10 6 . > 15 88 2 50 То * 12 * 9 ’ 12 * 8 ’ 12 ’ 2 ’ 30 ’ ' 60 * 33 * 100 * 100 ‘ 258. Сократите: * 5-8 * 6-9 ’ 91016 259. Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби следующие десятичные дроби: 0,875; 0,75; 0,035. 260. Выполните действие и сократите результат: 11 6 . 5 I 2 ч о 7 1 . л 6 I о ) "12 — 12* 14 + 14 * В^18—^18’ Г^4Тб+^Тб* 261. Турист плыл на теплоходе сначала 1,2 ч по озеру, а затем 3,6 ч по реке, которая впадает в это озеро. Собственная скорость теплохода 22,4 км/ч, а скорость течения реки 1,7 км/ч. Найдите длину всего пути туриста на теплоходе. 262. За 4 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 12 р. 20 к. За 2 кг таких же конфет и 3 кг такого же печенья заплатили 8 р. 20 к. Сколько стоит 1 кг печенья? 263. Выполните действия: а) (867 000:2125 —396,4) *2,15; б) (26,16:6+ 2,6 1,4): 0,4-0,4. 10. Приведение дробей к общему знаменателю з Умножим числитель и знаменатель дроби — на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь , т. е. . Говорят, что О 4 О мы привели дробь к новому знаменателю 8. Дробь можно при- вести к любому знаменателю, кратному знаменателю данной дроби. 40
Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным мно- жителем. При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный мно- житель. Пример 1. Приведем дробь у- к знаменателю 35. Решение. Число 35 кратно 7, так как 35:7 = 5. Допол- нительным множителем является число 5. Умножим числитель „ее 2 2-5 10 и знаменатель данной дроби на 5, получим —==—=— . Любые две дроби можно привести к одному и тому же зна- менателю, или иначе к общему знаменателю. „ 2 Ю 4 12 Например, т= н и . Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знамена- телей). Обычно дроби приводят к наименьшему общему знамена- телю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей. Пример 2. Приведем к наименьшему общему знамена- , 3 5 телю дроби — и —. 4 6 Решение. Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 яв- ляется 12. Чтобы привести дробь -|- к знаменателю 12, надо умно- жить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 (12:4 = 3). Получим 4-=т4; = 4г . 4 4-3 12 Чтобы привести дробь к знаменателю 12, надо числитель О и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный мно- житель 2 (12:6=2). Получим 4-=44=^ • 6 6-2 12 Итак а -*-=^ итак, 4 12 » а в 12 ’ Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 41
2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель; 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. В более сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложе- ния на простые множители. Пример 3. Приведем дроби и наименьшему обще- 60 16 о му знаменателю. Решение. Разложим знаменатели данных дробей на простые множители: 60=2*2*3*5; 168 = 2*2*2-3*7. Найдем наименьший общий знаменатель: 2*2*2*3*5*7 = 840. Дополнительным множителем для дроби является произ- 60 ведение 2*7, т. е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840. Поэтому . 31 Для дроби таким же способом находим дополнительный 16о с - 31 31-5 155 множитель 5. Значит, • 16о 16о*0 o4U Итак 31=155 * 60 840 * 168 840 ’ К какому новому знаменателю можно привести данную дробь? Можно ли привести дробь у- к знаменателю 36? к знаменателю 25? Какое число называют дополнительным множителем? Как найти дополнительный множитель? Какое число может служить общим знаменателем двух дробей? Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю? 264. Приведите дробь: a) -j- к знаменателю 18; в) к знаменателю 78; 6 13 б) ~ к знаменателю 60; г) к знаменателю 51. 265. Выразите в минутах, а потом в шестидесятых долях часа: . 3 7 11 v 5 3 ч5 7 а) ТЧ и 15 Ч; б) т4 и 20 Ч; в> 12ЧИТЧ;г) 6-ЧИ20Ч- 42
266. Сколько содержится: а) восьмых в в) пятнадцатых в-^-; д) двадцатых в 4 5 о б) десятых в 4-; г) сотых в ; е) сотых в ? л о 4 ZO 267. Сократите дроби ~, а потом приведите 10 ZO 4U oZ их к знаменателю 24. 268. Можно ли привести к знаменателю 36 дроби: 3 * 9 * 12 ’ 5 * 7 * 45 г 269. Можно ли представить в виде десятичной дроби: 5 ’ 25 ’ 8 ’ 7 ’ 15 * 18 270. Запишите в виде десятичной дроби, приведя: а) 4-» — и 4- к знаменателю 10; '25 5 б) + 1 1 ' И к знаменателю 100; в) Т’ ’ 111 ’ 555 к знаменателю 1000. 271. Запишите в виде десятичной дроби: з 2 з 5 13 7 5 * 25 * 4 * 8 * 125 * 200 ‘ 272. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: а>т -1 9 г) 8 15 И И . Ж) И 12 * 30 н£; К) 98 и ; «т и п 9 д) 9 10 и з)И 12 ’ 20 9 . И 16 * х 13 Л) 750 7 . И 450 * в>75 " т ' 9 е) 13 И 12 И 13 . и) _8_ 18 * “1 33 77 Ml -12- М1 297 14 И 363 * Ф 273. Вычислите устно: а) 16 * 4 б) 95 : 5 в) 38 0,01 г) 0,6 : 3 Д) 2-1,2 + 11 + 56 : 1,9 • 1,5 • 0,5 : 15 : 25 • 50 + 2,9 : 0,1 • 17 • 27 • 0,3 : 0,8 + 0,9 + 18 + 29 -0,2 -1,3 : 0,7 ? ? ? ? ? 43
274. Найдите пропущенные числа, если х=0,8; ОД6; 0,06; 1: 275. На какое число надо умножить 24; 8; 16; 6; 12, чтобы получить 48? 276. С помощью транспортира разделите одну окружность на 6, а другую на 3 равные дуги. Постройте многоугольники, изображенные на рисунке 14. У каж- дого из этих многоугольников равны стороны и равны углы. Такие много- угольники называют правильными. Подумайте, является ли правильным многоугольником прямоугольник; квадрат. 277 Сокоатите- 75 150 140 ззо £41. сократите. до , 120, 210 , 4#5 . 278. Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя и сократите дробь: . 168 . 880 . . 3240 . v 2835 а) 180’ б) 1008 ’ в) втГ’ г) 7426 - 279. При каком значении х верно равенство: а) —= — ’ 85 7 б) = ' 6 48 65 х ’ 6_ = 80 ? х 85 280. Жук ползет вверх по стволу дерева (рис. 16) со скоростью 6 см/с. По тому же дереву ползет вниз гусени- ца. Сейчас она находится на 60 см ниже жука. С какой скоростью ползет гусеница, если через б с расстояние между ней и жуком будет 100 см? 44
281. Космический корабль «Вега-1» двигался к комете Гал- лея со скоростью 34 км/с, а сама комета двигалась ему на- встречу со скоростью 46 км/с. Какое расстояние было между ними за 15 мин до встречи?" 282. Сократите: 1) Ц17-156 ; 2) ' 15-17-4- 15 6 * ’ 8117 + 81-4 283. Найдите значение выражения: 1 \ А 4 । о 7 . r 1«1 о 7 . о\ 23 13 [ 5 .. 7 । 14 1 П 433+З33 ;2) 51в - 2Тв ; 3) 48 + 48 : 4) « + 284. Выполните действия и проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора: 1) 111 - ((0,9744:0,24 +1,02) • 2,5 - 2,75); 2) 200 - ((9,08 - 2,6828:0,38) • 8,5 + 0,84). 285. Приведите дробь: а) к знаменателю 24; в) к знаменателю 57; б 19 12 12 б) — к знаменателю 65; г) — к знаменателю 78. 1о 1о 286. Представьте в виде десятичной дроби: 4 _8_ 1 з 17 5 ’ 25 ’ 4 ’ 50 * 20 * 287. Сократите дроби . £ , а потом приведите об 40 100 оО их к знаменателю 60. 288. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: .5 1 . 3 5 v 7 2 .7 13 9 а) 7 и 2 * В) 26 И 39 * Д) 13 И 11 ’ Ж) 60 * 540 И 20 ’ 61 2- и X - Г1 £ и Ь е) 1 И £• 31 £1 X и 61 ' 20 “ 15 ’ '11 8 * е' 22 И 33 * 3' 105 ’ 95 И 63 ‘ 289. Из двух пунктов, расстояние между которыми 40 км, навстречу друг другу одновременно отправились пешеход и велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если известно, что они встретились через 2,5 ч после своего выхода. 290. Из двух пунктов, расстояние между которыми 210 км, вышли одновременно навстречу друг другу два электропоезда. Скорость одного из них на 5 км/ч больше скорости другого. Найдите скорость каждого электропоезда, если они встретились через 2 ч после своего выхода. 291. Выполните действия: а) 62,3+(50,1 - 3,3 • (96,96:9,6)) • 1,8; б) 51,6 + (70,2 - 4,4 • (7 3,73:7,3)) -1,6. 45
11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями Мы умеем сравнивать, складывать и вычитать дроби с оди- наковыми знаменателями. Чтобы сравнить (сложить или вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наимень- шему общему знаменателю; 2) сравнить (сложить или вычесть) полученные дроби. 2 3 Пример 1. Сравним дроби — и —. о О Решение. Приведем дроби к общему знаменателю 15. гт 2 2 Б 10 . 3 3-3 9 Получим 3—3.5 —15» 5— 5-3 — 15* Так как то 15 15 3 5 2 3 Пример 2. Найдем значение суммы —+-z-. о о 2 . 3 10 . 9 19 1 4 Решение. т+т=-+-=-=1-. 2 3 Пример 3. Найдем значение разности —-—. о О „ 2 3 10 9 1 Решение. Для сложения и вычитания дробей верны изученные ранее свойства этих действий. Они иногда помогают упрощать вы- числения. Пример 4. Найдем значение выражения 10 5 J_ . _7_ 51 ' 9 9 '51* Решение. Сгруппируем дроби, имеющие одинаковые зна- менатели: 1г+т+т+£=(1г+н) + (т+т) =п+т=т+т=1* 51 9 У О1 \ 51 51 / \ 9 У / 01 У о о Пример 5. Найдем значение выражения — 35 (-+-У \ 35 ' 5 / Решение. Используя свойство вычитания суммы из чис- ла, получим: 31 _ /17 . 1 \ 31 _ 17_L=H______L=_?___L=1 35 \ 35 ' 5 ) 35 35 5 35 5 5 5 5 ’ 46
©Как сравнить две дроби с разными знаменателями? Рас- скажите, как сложить дроби с разными знаменателями. Расскажите, как выполнить вычитание дробей с разными зна- менателями. 292. Сравните дроби: в)п«т; ОПри сравнении дробей первую из них читают в имени- тельном падеже, а вторую — в дательном либо добав- ляют слово дробь и не изменяют названия дробей. Например, запись — читают: 90 45 — четыре девяностых меньше шести сорок пятых — дробь четыре девяностых меньше дроби шесть сорок пятых 293. Что меньше: а) или ; б) или 11 ? 1о оО 14 21 294. Что больше: а) или ; б) 1^ или 11 ? 295. Расположите в порядке возрастания дроби: а)—, — ; 6)11, 296. Докажите неравенство: a) 123_>_L б) _36L<2_. в) _43_ ' 800 8 ’ f 600015’ ' 1575 630 297. Объясните, не приводя дроби к общему знаменателю, 1 1 2 2 4 4 » почему —, — >—, —. Сформулируйте правило □ • □ < о < сравнения двух дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями. Используя это правило, сравните: а)ти£; б)пит: 298. Запишите все дроби с числителем 2, большие, чем . 299. Сравните промежутки времени двумя способами: 1) выразив их в минутах и 2) приведя дроби к наименьшему общему знаменателю: а> ъ 4 й ч: б) it 4 и ч= в> тчитч:г) ^чи^4- 47
300. Запишите все дроби со знаменателем 5, большие, чем , и меньшие, чем . Отметьте эти дроби на координатном о о луче. 301. Рисунки занимают ~ книги, а таблицы книги. Что J. -1 занимает больше места в книге: рисунки или таблицы? 302. 20 шагов папы составляют 16 м, а 10 моих шагов 7 м. Чей шаг короче? 303. Через узкую трубу бассейн наполняется за 10 ч, а через широкую — за 4 ч. Какая труба дает меньше воды: широкая за 3 ч или узкая за 7 ч? 304. Трехметровое бревно распилили на 7 равных частей, а четырехметровое — на 10. Части какого бревна длиннее? 305. Миша, Юра и Нина решали в классе одну и ту же зада- 1 2 чу. Один из них затратил на решение — урока, другой — урока, о 9 4 а третий — урока. Какую часть урока затратил на эту задачу 15 каждый из них, если известно, что Нина решила задачу быстрее Миши, а Юра быстрее Нины? 300. Начертите координатный луч, приняв за единичный отрезок отрезок, длиной в 18 клеток тетради. Отметьте на этом луче точку Отложите вправо от точки А отрезок АС, равный — единичного отрезка. Найдите координату точки С. 1о Отложите от точки С влево отрезок CD, равный единичного отрезка. Найдите координату точки D. Как можно найти коор- динаты точек С и D, не выполняя построений? D Суммы и разности дробей можно читать разными спо- собами. Например: 2 3 ——|~—---сумма двух третьих и трех пятых 3 g - — к двум третьим прибавить три пятых — сумма дробей две третьих и три пятых 2 3 —-------из двух третьих вычесть три пятых 3 g 1 " 1 .... — разность дробей две третьих и три пятых 48
307. Выполните действие: » f+-h r»f+-h Ж>Т~Ь 6)f+-l-; Д) f+0; л)Х+Л; »>f+b е)Н> ">т-т’ 308. На координатном луче отмечены точки А 0-) и В (— ) (рис. 16). Отметьте на луче точку с координатами: \ т / О т п > '— 4....................... ► В А Рис. 16 309. Найдите значение выражения: ч 1 . 5 . а) 2 + 8 * Г) т- 3 . 14 * ж) т+т; х 5 , 10 . К) 42 + 63 * б) ’ 4 2 Д) Т- 5 . 12 * 3) ; ’ 21 15 * х 11 2 . Л) 21 35 * х 7 3 . 10 5 ’ е>Г2- 7 . 20 * 22 55 ’ М) 24 ^60 ’ 310. Замените десятичную дробь обыкновенной дробью и выполните действие: а) 0,5+4-; б) 4-+O.75; в) -0,4; г) 0,95-^. О О Ю л.£» 311. Замените обыкновенную дробь десятичной и выпол- ните действие: а) 2,15; б) 4—0,35. 20 4 312. Выполните действие ——h 4г »тгг+тВ? »4-44 4 50 25 ' 20 5 2 40 200 сначала в обыкновенных дробях, а потом в десятичных. 318 Выполните действия: •>й-(+++)> 314. Выполните действие: 7 . 11 . -v 19____8_ 20 ' 30 * °' 60 45 _5__|_17 48 "Г 36 16 45.’ г)£- 49
315. Найдите значение выражения: « f+i+i ‘ .> f+й -й ••« a (S +ь); « W++ '> +<+-+ •> (++)+ й+т)++ 316. Решите уравнение: •>'+гё-т++ ««-s-т-й- 317. Найдите значение выражения: «>т+°’7~Ь в) 4—г+°-в; б) 0,8—0,3—г) 4-+0,4—0,6. 5 9 318. Найдите значение выражения: о\ 1 I 1 I 3 5 . 5 I 2 . 1 . 6 ) 8 + 12 + 8 12 * 11 + 3 + 9 +11 * 319. Использовав свойство вычитания числа из суммы, най- дите значение выражения: а)(н+т)“Т2; б) (т+зк)-^- 320. Использовав свойство вычитания суммы из числа, найдите значение выражения: а) — — Р-+АЛ ; б) II - (2-4-^- Y ’ 16 \16 ~ 3 / ’ ' 24 \5~24/ 321. Найдите значение выражения если а=1; 10 1о 2; 5; 7. 322. Найдите значение выражения ~——, если х=4; 12 X 5; 6. 323. Петя играл в футбол ~ ч, а в волейбол -Л- ч. Что 10 10 больше заняло времени: игра в футбол или игра в волейбол — и на сколько? Сколько времени затратил Петя на обе игры? 324. Тракторист вспахал в первый час поля, во второй час поля и в третий час 4- поля. Какую часть поля вспахал О 4 тракторист за эти 3 ч? 50
з 325. В первый день асфальтом покрыли — км дороги, а во второй день — на 4- км больше, чем в первый день. Сколько километров дороги покрыли асфальтом за эти два дня? 3 5 326. Длина прямоугольника — м, а ширина на — м меньше 4 о длины. Найдите ширину прямоугольника и его периметр. 327. В палатку привезли ~ т моркови и т свеклы. К ве- 20 50 черу продали т привезенных овощей. Сколько тонн овощей 25 осталось? 328. За первый месяц завод выполнил годового плана, О а за второй — на ~ годового плана меньше. Какую часть годо- 24 вого плана выполнил завод за два месяца? 329. При покупке книги Ваня получил сдачу р. Сколько 4 он получил бы сдачи, если бы купил книгу, которая дороже <7 купленной на — р.? 330. Два поезда вышли одновременно из двух городов на- встречу друг другу. Каждый час они приближаются друг к дру- гу на всего расстояния между городами. Какую часть рас- стояния между городами проходил за час один из них, если другой проходил за час этого расстояния? 4 331. Из села в город одновременно вышли две автомашины: грузовая и легковая. Каждый час грузовая автомашина отста- «2 т. вала от легковой на — всего расстояния от села до города. Ка- 15 кую часть этого расстояния проходила грузовая автомашина за 1 ч, если легковая за 1 ч проходила этого расстояния? О 332. Один комбайн может убрать все поле за 6 дней, а другой — за 4 дня. Какую часть поля уберут оба комбайна за один день? 333. Один мотор израсходует полный бак бензина за 18 ч, а другой — за 12 ч. Какую часть полного бака израсходуют оба мотора, если первый будет работать 5 ч, а второй 7 ч? 51
334. Вычислите устно: ™ а) 12 • 8 б) 16 * 3 в) 1 : 2 г) 3,2 — 2 д) 3,54-2,5 + 14 : 12 • 0,6 • 5 : 20 : 11 • 13 + 6 : 0,1 • 12 • 15 4-38 : 0,7 : 1,5 -3 : 25 : 18 -3,4 • 0,01 • 0,5 ? ? ? ? ? 335. Найдите пропущенные числа: 336. Найдите значение выражения: а) 0,72 — 0,62; б) 33-17,5; в) 0,52-8; г) 2,6:0,Г. 337. Значение какого выражения можно вычислить на микрокалькуляторе по программе: Я 338. Древнегреческими учеными — последователями Пи- фагора открыты дружественные числа. Так они называ- ли два числа, каждое из которых равно сумме делителей дру- гого числа (не считая самого числа). Пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Проверьте, что эти числа действительно дружественные. 339. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: ч 5 „ 9 . 5 11 ) 8 И 16 ’ 6) 12 и 18 • 340. Сократите, а затем приведите к наименьшему общему знаменателю дроби: V 75 44 33 , ду 40 42 100 f 90 * 99 * 44 * ' 64 * 144 * 180 ’ 52
841. Запишите числа: а) 8-|-, 17-—, так, чтобы их дробная часть была пра- вильной дробью; б) 3-7-, 6-^ , 1177 в виде натуральных чисел. 342. Запишите в виде неправильной дроби дробную часть чисел 8-—-, 5-|-, 2 А, уменьшив целую часть на 1. 843. Решите задачу: 1) Из аэропорта вылетел самолет со скоростью 600 км/ч. Черев 0,6 ч вслед за ним вылетел другой самолет со скоростью 750 км/ч. Через сколько часов второй самолет после своего вылета будет впереди на 225 км? 2) С автовокзала вышел автобус со скоростью 60 км/ч. Черев 0,5 ч вслед за ним вышла легковая автомашина со ско- ростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего выезда легко- вая автомашина будет впереди автобуса на 45 км? 844. Решите задачу: 1) Пес бросился догонять своего хозяина, когда тот отошел от него на 1,8 км, и догнал его через 3 мин. С какой ско- ростью шел хозяин, если пес бежал со скоростью 0,7 км/мин? 2) Служебная собака бросилась догонять нарушителя гра- ницы, когда между ними было 1,8 км. С какой скоростью бежал нарушитель, если скорость собаки 19 км/ч и она догнала его через 0,2 ч? 846. Выполните действия .и проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора: 1) (28,3764- 35,99:5,9 - 3,45 • 2,8): 3,52; 2) (6,4 • 8,25- 32,3964- 35,51:5,8): 4,48. 346. Сравните дроби: V a) JL и ± . В) А и 11 . д) А и А. Ж) 87_ и а) т И 21 * 5 И 20 ’ Д' 9 и 16 * ' 115 175 * А и А. н А и 1®. . е) и -?- • 3) — и — . °' 5 и 16 * г' 7 и 28 * е' 12 и 18 * 3' 65 и 117 347. Выполните действие: » т+Ь »> т+т; ж>т+т? и>т-п’ в)т+т’г>т+т’ «)f-Ь 3> 1“т’ 53
„X 1 1 7 . „X 3 1 . „V 5 , 3 . . 23 3 . .fl 3 ) 8 +12 ’ 4 6 * H) 9 + 4 * °) 40 8 * 35 28 * 348. Один трактор может вспахать поле за 14 ч, а другой тот же участок за 8 ч. Какой трактор больше вспашет: первый за 7 ч или второй за 5 ч? 349. Автобус проходит расстояние от города до деревни за 8 ч, а легковая автомашина — за 6 ч. Кто из них пройдет боль- шее расстояние: автобус за 5 ч или легковая автомашина за 4 ч? 350. Слесарь может выполнить задание за 6 ч, а его ученик это же задание за 8 ч. Какую часть задания они могут выпол- нить вместе за 1 ч? 351. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Один из них за 1 ч проходит 4~ расстояния АВ, а другой расстояния АВ. На какую часть расстояния АВ они сближаются каждый час? 352. Периметр треугольника АВС равен м. Сторона АВ равна 44 м, сторона ВС на 44 м короче АВ. Найдите длину Ou ОО стороны АС. 353. В книге три рассказа. Наташа прочла первый рассказ за 4" ч, на чтение второго рассказа она потратила на 4- ч боль- о О 7 ше, а чтение третьего рассказа заняло на — ч меньше, чем 1 л чтение первого и второго рассказов вместе. Сколько времени ушло у Наташи на чтение всей книги? 354. На решение задачи и уравнения Митя затратил ч. О Сколько времени выполняла эту работу Оля, если на решение задачи она затратила на 4 ч меньше, а на решение уравне- ния — на 4“ ч больше, чем Митя? о 355. Выполните действия: 54
356. Найдите значение выражения: а) ^ + 0,34-± ; б) 1— 0,4-^. 357. Дорога из села в город проходит через рабочий по- селок. Из села в город вышла легковая автомашина со ско- ростью 1,5 км/мин. В то же самое время из рабочего поселка в город вышла грузовая автомашина со скоростью 1 км/мин. Через 20 мин легковая автомашина догнала грузовую. Найдите расстояние от деревни до рабочего поселка. 358. Теплоход «Ракета» идет по реке со скоростью 55 км/ч. Впереди теплохода идет баржа со скоростью 25 км/ч. Какое расстояние "будет между ними через 3 ч, если сейчас баржа впереди теплохода на 50 км? 359. С железнодорожной станции в 12 ч вышел скорый поезд со скоростью 70 км/ч. На 8 ч раньше с этой же станции был отправлен в том же направлении товарный поезд. В 16 ч скорый поезд догнал товарный. Найдите скорость товарного поезда. 360. Найдите значение выражения: а) 18,305:0,7 - 0,0368:0,4 + 0,492:1,2; б) (0,0288: 1,8+0Л +0,7*0,12) • 35,24; в) (15,964:5,2 —1,2) *0,1; г) (21,62*3,5 —52,08:8,4) *0,5. 361. Запишите числа: а) 7^, 8-Ц в виде натурального числа; о 37 б) 4-|~, 15^-, 8^7- так, чтобы их дробная часть была правиль- 3 7 4 ной дробью. 362. Запишите дробную часть чисел 2-|-, 7^|, 1-|- в виде У 1о У неправильной дроби, уменьшив целую часть этих чисел на 1. 12. Сложение и вычитание смешанных чисел Переместительное и сочетательное свойства сложения позво- ляют свести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей. 8 1 Пример 1. Найдем значение суммы 16—-+19—. о 4 55
. Решение. Приведем дробные части чисел к наименьшему общему знаменателю 8, затем представим смешанные числа в виде суммы их целой и дробной части: 16-|-=16+^; 19^=19-1=19+2 о о 4 о о Значит, 16-|-+19-^=1в+-|-+19+-г = о 4 о о =(1’6 + 19)+ (f+f) =35+^-=Зб|-. Пишут короче: 1б4-+194-=16-?-+19-?-=Зб4-- о 4 8 о о Пример 2. Найдем значение суммы 5-|—|- З-f-. 6 4 Решение. Сначала приводим дробные части данных чисел к наименьшему общему знаменателю 12, после отдельно складываем целые и дробные части: К |_ Q _ К А2. I о JL __ Q UL Q _1_ 5 6 4 5 12 12 ° 12 .12* Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дроб- ные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дроб- ных частей. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из згой дроби и при- бавить ее к полученной целой части. При вычитании смешанных чисел пользуются свойствами вычитания суммы из числа и вычитания числа из суммы. Пример 3. Найдем значение разности 5-^— 2 ~. - 9 о Решение. Приведем дробные части к наименьшему обще- му знаменателю 18 и представим данные числа в виде суммы целой и дробной части: 5-L-=511 =5+— ; 2—=2 —= 2+—. 9 18 18 ’ 6 18 ~ 18 По свойству вычитания суммы из числа имеем: б-Н2т=(бЧ1)-(2+й)= =5+M_2_A=(5_2)+(ll_JL)=3+ll=3U. 56
Пишут короче: 5-^—2-|-=5 -2 = 3 . *7 О 1О 1о 1О Если дробная часть уменьшаемого окажется меньше дроб- ной части вычитаемого, то надо превратить в дробь с тем же знаменателем одну единицу целой части уменьшаемого. 4 5 Пример 4. Найдем значение разности 3 —— 1 —. У о Решение. Приведем дробные части данных чисел к наи- меньшему общему знаменателю 18: о 4 _q 8 ф -а 5 _-а 15 318* 1 "б-- Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то уменьшаемое записываем так: з4-=3п==з+^=2-ы+^=2+^+^=2+^|=2^| • О п Q 4 л 5 о 26 -.15 1 11 Значит, 3 g 1 6 —2 lg 1 18 — 1 18 . Обычно пишут короче: 3-—1 —=3 —— 1 — =2 — —1 — =1— . 9 6 18 18 18 18 18 Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть; 2) отдельно выпол- нить вычитание целых частей и отдельно дробных частей. Расскажите, как сложить смешанные числа и на каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел. Расскажите, как выполнить вычитание смешанных чисел и на каких свойствах основано правило вычитания смешанных . чисел. 363. Выполните сложение: а>3т+5П: в>7т+1т; Д»7т+4! ж)7+8-|-; б»8т+2л: г>1т+2т; е>8-г+15; З’т+4т- 57
364. Выполните вычитание: а) 1—-у-; д) 5 —2-|-; И)1Л._Л- , 1П 1 .9. 4 8 ’ 12 ю ’ н> 10"2—414’ 6)2-f; e)6-5f; в) 6Л_11 . o)7f-6f; в)9_11; ж)8А-4; Л)5|._^; п)2А-111; r)7-l-L; 3)5i-i; Р)5-|~з4- 365. Найдите значение выражения: а>т-(1--п): ") 6£-(2 т+3 Г2)' д)(13-8^)+(17Х-1бХ); е) (бЗ-|—1-3-|-)—(13— ж> (1бт-2т)- (бт+6т)+ (10т-бт )•’ з) (20-19-1)+ (17 f-17 )+ (2-i—£ ). 366. Выполните действие: s)2,4 + l|; 6)3,7-2-1; 3)7-1—в,2; г) 9-1-1,8. •> 5 в 40 367. Решите уравнение: а)х+2£=5; в)Л-6-1=-1; д) 3 %-х=1 Х+1 -1; 6) 26f+a=30;r) ц2-х=3^; е) ,+X-f-X-X. 368. Найдите по формуле А = т—6 : а) значение А, если т = 6~; 84-; 11; 4 8 б) значение т, если А = 6 ; 3 ; О. 369. Школьный бассейн наполняется через первую трубу за 4 ч, а через вторую за 6 ч. Какую часть бассейна останется наполнить после совместной работы обеих труб в течение часа? 370. Новая машина может выкопать канаву за 8 ч, а ста- рая — за 12 ч. Новая машина работала 3 ч, а старая 5 ч. Какую часть канавы осталось выкопать? 58
7 371. От ленты длиной 8 м отрезали кусок длиной 3 — м. ZU Найдите длину оставшейся части. 11 5 372. Одна шахматная партия длилась — ч, а другая — ч. Сколько времени длилась третья партия, если на все три партии было затрачено 3 ч? 373. Когда от веревки отрезали кусок, то оставшаяся часть имела длину 2 м. Какой длины была бы оставшаяся часть, если 2 3 бы от веревки отрезали на — м меньше? на — м больше? 374. Запишите все числа, знаменатель дробной части ко- торых равен 12, большие 2 ~ и меньшие 3 . о 12 375. На координатном луче отмечена точка А ) (рис. 17). Отметьте на луче точки, координаты которых равны: а) 14-—; 6)2——; в) 24- —; г) 14-1—. п п п. п Рис. 17 376. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=3 м, б ВС = 2 4-м и АС = 2 м. 4 10 7 2 377. На одной машине 4 — т гоуза, а на другой на 1 — т 10 и меньше. Сколько тонн груза на двух машинах? 378. В одном ящике 5 кг винограда, что на 2 кг мень- ше, чем в другом ящике. Сколько килограммов винограда в двух ящиках? 379. На окраску окон израсходовали 2 кг краски. На окраску дверей пошло на 4 — кг меньше, чем на окраску пола. О Сколько всего израсходовали краски, если на окраску пола 19 пошло 10— кг? 59
380. Три колхозных звена вырастили горох на площади 19 72 га. Первое и второе звенья вырастили горох на площади 3 9 44 — га, а второе и третье — на площади 52 — га. Найдите 4 ZV площадь каждого участка. 381. На сахарный завод в понедельник привезли 212—- т вл свеклы, во вторник — на 297 т больше, чем в понедельник, а О в среду — на 114 т меньше, чем во вторник и понедельник 5 вместе. Из 7 т свеклы получается 1 т сахара. Сколько сахара получится из привезенной свеклы? 382. В трех бидонах 10 л молока. В первом и втором би- 3 1 доне было 6 — л, а во втором и третьем 5 — л молока. Сколько 4 о литров молока было в каждом бидоне? 383. Теплоход по течению реки проходит 33 км за 1 ч. О Скорость течения 2-|- км/ч. Найдите скорость теплохода против течения. 384. Скорость катера по течению реки 17 км/ч, а против А течения 12 км/ч. Какова скорость течения? 385. Федя и Вася шли навстречу друг другу. Каждый час о расстояние между ними уменьшалось на 8 — км. Найдите ско- О рость Феди, если скорость Васи 3 -j- км/ч. в 386. Первый велосипедист догонял второго, причем рас- стояние между ними уменьшалось каждый час на 2 -у- км. С ка- кой скоростью ехал первый велосипедист, если второй ехал со скоростью 12 км/ч? 387. Найдите значение выражения: а) 1 f+28+2 £+в f+^+4 f; a) 8f-(4-f-+2-|-); б) 5f-3,15+7^; г)(18^+3-|-)-7^. 60
388. Вычислите устно: а) 70 : 5 б) 15 • 6 в) 1,44-5,6 г) 1:4 д) 4-3,4 • 7 -18 : 2 4-0,05 • 1,4 -18 : 12 -1,7 • 7 4-0,06 : 5 4-90 : 0,3 4-3,4 : 1,8 4-64 : 16 • 0,1 : 5 • 3 ? ? ? ? 389. Найдите пропущенные чис- ла: 390. Найдите натуральные зна- чения т, при которых верно не- равенство: а) — JL ' 13 52 ’ ’ в зо * б) Л<_2_. ' 85 17 ’ 391. На сколько процентов уве- личится объем куба, если длину каждого его ребра увеличить на 20%? 392. Почтовый самолет поднялся с аэродрома в 10 ч 40 мин утра, пробыл в полете 5 ч 15 мин, а на земле во время поса- док 1 ч 37 мин. Когда самолет вернулся на аэродром? Ш 393. Четырехугольник с равными сторонами называют ромбом (рис. 18). Подумайте, является ли ромб правиль- ным многоугольником. В чем сходство решения этой задачи с нахождением решений двойного неравенства 0<у< 10 среди чисел 0,12; 15; 2,7; 10,5? 61
г 394. Докажите переместительное и сочетательное свойства сложения для дробей с одинаковыми знаменателями на основе таких же свойств для натуральных чисел. 395. Выполните действие: 5 3 . . 3 , 1 . 2 . Л „ V 19 11 . 11 | 8 6 4’ 10 + 2 ’ 9 75 50 ’ И 14 21 * 2__L 1 • М 1 1 • \ 9 । 3 . 13 17 v 7 л 3 + 5 ’ 3 7 ’ е> 20 + 8 ’ 3) 50 75 ’ 15 °’ 396. В киоск для продажи поступили марки по 3 к., по 5 к. и по 10 к. Число марок каждого вида было одинаково. Какова стоимость всех марок по 5 к., если: а) общая стоимость всех марок 21 р. 60 к., б) стоимость всех марок по 10 к. больше стоимости всех марок по 3 к. на 6 р. 30 к.? 397. Выполните вычисления с помощью микрокалькулято- ра и результат округлите до тысячных: 3,281 • 0,57 -|- 4,356 - 0,278 —13,758:6,83. 398. Решите задачу: 1) Для борьбы с вредителями садов приготовляется из- вестково-серный отвар, состоящий из 6 частей серы, 3 частей негашеной извести и 50 частей воды (по массе). Сколько по- лучится килограммов отвара, если воды взять на 8,8 кг боль- ше, чем серы? 2) Для приготовления фарфора на 1 часть гипса берут 2 части песку и 25 частей глины (по массе). Сколько получится килограммов фарфора, если взять глины на 6,9 кг больше, чем песку? 399. Выполните действия: 1) 7225:85 + 64-2345-248 838:619; 2) 54-3465-9025:95 + 360272:712. 400. Выполните действие: а)91т+3П; г) 39-|-+12-|-; ж)4+з + б>1п + 2^; Д)36-|-+12^; з)81-+3. в>5т+41тг: е> 5т+т; 401. Найдите значение разности: в) 8-Х; B)4-3f; 62
r)7-|--5; e)6^-3f; 3) ief-4-|-; Д>«-44-|-: и) 1»£-в£. 402. Решите уравнение: a) l-*=A+i; б) t + l=-i-+4-; в) x+2i=6-l—1-I-. О lU У о о 4 о 402. Найдите значение выражения: в)3Л+Х_22.; в)вп_3Л_1Х; e>i+2T+2b r>3v- 1^+3т- 404. Один тракторист вспахал поля, а другой того же поля. Какую часть поля осталось вспахать? 406. Бочки горючего хватает для работы одного двига- теля на 7 ч, а другого на 5 ч. Какая часть горючего останется от полной бочки после 2 ч работы первого двигателя и 3 ч рабо- ты второго двигателя? 406. Для экспедиции, работающей в тайге, сбросили с вертолета упаковку с продуктами, которая упала на землю через 3 с. С какой высоты была сброшена эта упаковка, если в первую секунду она пролетела 4 — м, а в каждую следующую секунду она пролетела на 9 4- м больше, чем в предыдущую? D 407. Сколько времени пошло на изготовление детали, если ее обрабатывали на токарном станке 2 ч, на фрезерном станке 3 4- ч и на сверлильном станке 1 ч? О 15 408. Найдите значение выражения: а) 5,7 + 37-i-; б) 3-^ + 4,6-1 О Z Ю о 409. Из двух сел одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились через 1,6 ч. Расстояние между селами 12,3 км. Скорость одного пешехода 4,4 км/ч. Найдите скорость другого пешехода. 410. Для приготовления варенья из вишни на 3 части са- хара берут 2 части ягод (по массе). Сколько килограммов сахара-и сколько килограммов ягод надо взять, чтобы получить 10 кг варенья, если при варке его масса уменьшится в 1,5 раза? 63
411. Найдите значение выражения: а) (44,96 4-28,84: (13,7 —10,9)): 1,8; б) 102,816: (3,2-6,3)4-3,84. 412. Решите уравнение: а) (х—4,7)-7,3 = 38,69; в) 23,5 —(2,За 4-1,2а) = 19,3; б) (3,6-а)-5,8 = 14,5; г) 12,98 - (3,8х - 1,3х) = 11,23. Н Раздел математики, в котором изучаются свойства чисел и действий над ними, называют теорией чисел. Начало созданию теории чисел положили древнегреческие ученые Пифагор, Евклид, Эратосфен и другие. Некоторые проблемы теории чисел формулируются очень просто — их может понять любой шестиклассник. Но решение мтих проблем иногда настолько сложно, что на него уходят сто- летия, а на некоторые вопросы ответов нет до сих пор. Напри- мер, древнегреческим математикам была известна всего одна пара дружественных чисел — 220 и 284. И лишь в XVIII в. знаменитый математик, член Петербургской академии наук Леонард Эйлер нашел еще 65 пар дружественных чи- сел (одна из них 17 296 и 18 416). Однако до сих пор не известен общий способ нахождения пар дружественных чисел. Почти 250 лет назад член Петербургской академии наук Христиан Гольдбах высказал предположение, что любое нечет- ное число, большее 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Например: 21 = 34-7 4-И, 23 = 54-7 4-Нит. п. И. М. Виноградов 64
Доказать это предположение сумел лишь 200 лет спустя заме- чательный советский математик, академик Иван Матвее- вич Виноградов (1891—1983). Но утверждение «Любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел* (например: 28=11 + 17, 56 = 19+37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано. § 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ 13. Умножение дробей Задача 1. Метр ткани стоит р. Сколько рублей стоят 4 5 м ткани? Решение. Для решения задачи надо найти произведение 3 3 —•5. Но умножить — на натуральное число 5 — значит найти 4 4 3 сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно —: 3 ег З .3.3.3. 3 _3-ЬЗ-ЬЗ-ЬЗ-ЬЗ_3-5_ 15 _3 3 4 4~’"4"t"4’t"4'+'4 4 4 4 ° 4 ’ з Значит, 5 м ткани стоят 3 — р. 4 Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо ее чис- литель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Задача 2. Длина прямоугольника — дм, а ширина — дм о о (рис. 19). Чему равна площадь прямоугольника? Решение. Из рисунка видно, что данный прямоугольник можно получить так: разделить одну сторону квадрата со сто- роной 1 дм на 5 одинаковых частей и взять 4 такие части, а дру- гую сторону разделить на 3 одинаковые части и взять 2 такие части. При таком делении квадрат будет состоять из 15 равных частей, а прямоугольник будет состоять из 8 таких частей. Зна- чит, площадь прямоугольника равна — дм. Но мы знаем, что 15 площадь прямоугольника равна произведению длины и 3 Зак. 607 65
ширины. Поэтому считают, что число ~ получено от умноже- ния 4- на 5 3 Итак -L.-L=±l=±. ’ 5 3 53 15 ’ Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числи- телей и произведение знаменателей этих дробей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем. Обычно вначале обозначают произведение числителей и произведение знаменателей, затем производят сокращение и только потом выполняют умножение. В ответе, если это возмож- но, из дроби исключают целую часть. Например: 4 14 _414 _4-2 ___ 8 , 3 3 4 3-4 1 _ 1 7 ’ .5 7-5 — 5 ~ 5 5 ’ 8 * 15 8-15~2-5”10 ' Задача 3. Сколько километров проедет велосипедист за 1 —- ч, если будет двигаться со скоростью 9 км/ч? 12 о Решение. Так как пройденный путь равен произведению скорости и времени, то для решения задачи надо найти произ- п 3 л 5 ведение чисел 9 — и 1 — . о 12 Представим каждое из этих чисел в виде неправильной дроби: д^__48. 1 17 У 5 “ 5 ’ 1 12" 12 ’ Теперь воспользуемся правилом умножения дробей. По- лучим: q_L 1 5 _48 17 _ 4817 _ 417 __68 3 У 5 ‘1 12 — 5 * 12 5-12 5 5 ° 5 5 3 Таким образом, за 1 — ч велосипедист проедет 13 — км. Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем вос- пользоваться правилом умножения дробей. 66
С помощью умножения дробей решают такие же задачи, как и с помощью умножения натуральных чисел. 11 3 Задача 4.1кг муки стоит — р. Сколько стоят — кг муки? Решение. Такие задачи с натуральными числами или с десятичными дробями мы решали с помощью умножения. Ре- 11 3 33 шим и эту задачу умножением: — ♦ —= —- . zo 4 1(H) тж 3 33 оо Итак, — кг муки стоят —— р., т. е. 33 к. 4 100 Тот же ответ можно получить, если выразить данные чис- ла в десятичных дробях: ^ = 0,44 и -|-=0,75. 0,44-0,75 = 0,33, но 0,33 р. = 33 к. Умножение дробей обладает переместительным и сочета- тельным свойствами. Кроме того, для любого значения а: а-0 = 0а = 0; а-1 = 1-а = а. Например, 4-0 = 0, 9 5 5 ©Расскажите, как умножить дробь на натуральное число. Расскажите, как выполнить умножение двух дробей и как выполнить умножение смешанных чисел. Какими свойствами обладает действие умножения дробей? Запишите свойства нуля и единицы при умножении. 413. Выполните умножение: а> тг2: в> тг4°; д> 4-3°; ж> v1: о 10 z о 6)^12; г) -j-24; е) £--П; 1© О 11 &\J 414. Сторона квадрата м. Найдите периметр квадрата. о g 415. 1 кг крупы стоит — р. Сколько стоят 2 кг, 5 кг, 10 кг такой же крупы? 2 416. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=— м, 10 ВС больше АВ в 4 раза, а АС меньше ВС на уг м. 10 417. Выполните умножение: а) 4-4-2; б) ^ч-5; в) -^-ч-б; г) -^4-5. 0 Ю V 1 3 67
. О Произведение дробей, квадраты и кубы дробей читают так: з 16 —•— — три восьмых умножить на шестнадцать двадцать первых — произведение чисел три восьмых и шестнадцать двадцать первых — произведение трех восьмых и шестнадцати двад- цать первых. (f-)' — квадрат пяти седьмых — пять седьмых в квадрате —куб двух пятых — две пятых в кубе 5 418. Станок-автомат изготовляет одну деталь за — мин. За сколько минут станок изготовит 3 детали, 4 детали, 60 де- талей? 419. Выполните действие: . 3 5 .27. .23. . 12 9 . . /_4_V . 4 * 7 ’ Г) 5 * 11 ’ 5 * 2 ’ К) 25 ’ 16 ’ Ц 5 ) ’ 1 3 . . 1 4 . . 11 3 . . 14 34 . . /_2\3. б) 8 ’ 4 ’ Д) 2 * 9 ’ 3) 15 * 5 ’ Л) 17 ’ 63 ’ V 3 / ’ . 4 5 . . 11 8 . . 15 5 . . 17 13 . . / 1 \2 В) 7 ’ 6 ’ 12 ’ 9 ’ И) 16 ’ 9 ’ 26 ’ 18 ’ ПЧ 7 Г 420. Сторона квадрата м. Чему равна площадь квадрата? о з 421. Найдите объем куба, ребро которого — м. 4 3 1 422. 1 кг пряников стоит — р. Сколько стоят — кг, — кг, кг пряников? 5 3 423. Автомашина движется со скоростью — км/мин. Какое 4 расстояние пройдет автомашина за ~ мин, за мин? 424. Найдите значение выражения двумя спосо- бе
бами: по правилу умножения обыкновенных дробей и по пра- вилу умножения десятичных дробей. Сравните результаты. 1 3 425. Найдите произведение — и —. Проверьте результат, 2 4 представив эти числа в виде десятичных дробей. 426. Представьте первый множитель в виде обыкновенной 4 5 дроби и выполните умножение: а) 0,75*—; б) 0,8 427. Представьте первый множитель в виде десятичной 1 3 дроби и выполните умножение: а) ——0,3; б) —«6,4. и 2и 428. Выполните действия: a) б) 429. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны о з 25 — дм, — дм и — дм. Найдите его объем. 5 5 4 430. Представьте в виде произведения двух дробей число: . 1 3 v 9 а) т; б) —; в) г) 1-г. 431. Найдите значение выражения: 432. Выполните умножение: и)3-|-1^; н)0-1Х; б)4|-|-: е) K)lf.2f; о) B)lf-3f; Ж)31.4; O4-2f; 3)io.5f; 433. Найдите по формуле пути s = vt значение 8, если: a) v = 9 км/ч, t = 4-|-4; б) и = 3-|-м/мин, t=-|-мин. 434. Найдите по формуле объема прямоугольного паралле- лепипеда V=abc значение V, если а=4- дм, Ь = 2-|- дм, о 2 1 3 С = 1 — дм. 4 69
435. Найдите массу металлической детали, объем которой равен 3 дм3, если масса 1 дм3 этого металла равна 7 4~ кг. о 5 436. Два велосипедиста выехали одновременно из одного и того же пункта и двигались в одном и том же направлении. Скорость первого велосипедиста 12 -у- км/ч, а скорость второго в 1 4~ раза больше. Какое расстояние будет между ними через О 1^-4? 437. Маша и Вера вышли из двух сел навстречу друг другу. Маша шла со скоростью 3 км/ч, и ее скорость была в 1 раза меньше скорости Веры. Через 1 4- ч девочки встретились. Най- О дите расстояние между селами. 438. Для Турпохода было куплено 1 4- кг сыра и в 1 4~ раза 2 6 больше Колбасы. Стоимость 1 кг сыра 2 4- р., а колбасы 2 4~ Р- о 5 Сколько стоит вся покупка? 439. С первого поля, площадь которого 57 га, собирали с 1 га по 32 ц пшеницы, а со второго поля, площадь которого в 1 4~ раза больше площади первого поля, собирали по 36 -у- ц пшеницы с 1 га. Сколько всего центнеров пшеницы собрали с этих двух полей? 440. Найдите значение выражения: о б>(if)-2-H-h r>(1f+2T-2f)-(2i~ii)- 441. Вычислите устно: а) 14 + 49 б) 125 • 2 в) 0,5 • 8 г) 6 • 0,9 Д) 0,6 • 5 : 3 : 50 + 1,2 + 2,7 + 2,4 + 59 • 140 -2,5 -0,9 — 3 : 20 -196 : 3 : 8 : 0,8 ? ? ? ? 70
442. Найдите пропущенные числа: о) 443. Сумму данных дробей сложите с их разностью. Попро- буйте догадаться, как быстрее и проще получить ответ: а>ти^; б>тит- 444. Представьте дробь : о а) в виде разности двух дробей со знаменателем 3; 18; 21; б) в виде суммы двух дробей со знаменателем 3; 9; 12. 2 445. На координатном луче (рис. 20) отмечены дробь — ТТ А ( 1 \ и число а. Покажите, где расположены на луче точки А (— ), 2 Рис. 20 0 7 а ।----------1-------------------------------1------------- 446. Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 1 до 25: м 24 6 18 2 13 20 15 9 22 5 3 25 12 19 11 10 23 7 1 16 17 4 21 74 в 11 19 3 16 7 23 6 13 9 22 25 20 18 2 15 8 17 4 12 21 74 1 24 10 5 447. Найдите значение выражения: а>7т+5т:г) 20|~2f;«) (т+3т)-(1?+^): 6> вТ-1Т;Д) 39T-“f ;з) в) 8-2-+4-I-;е) llf+8f; 71
. 448. На складе было 8 -7- т зерна. Сколько зерна стало на 4 1 7 складе после того, как привезли 2 — т, а затем увезли 3 — т? О о 449. Сколько килограммов составляют: а) 1% центнера; б) 7% центнера; в) 2,5% центнера? 450. Сколько квадратных метров составляют: а) 1% гектара; в) 15% ара; б) 3,5% гектара; г) 0,07% квадратного километра? 451. Запишите, какую часть числа составляют: 1%, 3%, 15%, 25%, 10%, 20%, 50%. 452. Запишите в виде десятичной и в виде обыкновенной дроби: 35%, 48%, 75%, 110%, 125%. Образец записи: 5% = 0,05 = -А=А 1UU 453. Запишите в виде процентов: 0,7; 0,12; -f-; 4 5 25 Образец записи: ^- = 0,06 = 6%. 50 454. Решите задачу: 1) Задание рабочие выполнили за три дня. В первый день они сделали А всей работы, во второй день А всей работы. Ка- 5 3 кую часть всей работы они выполнили в третий день? 2) Поле было засеяно за три дня. В первый день была 1 3 засеяна — всего поля, во второй день — всего поля. Какая О О часть всего поля была засеяна в третий день? 455. Решите уравнение: 1) 2) 14^--// = 10^-. У О о О 456. Упростите выражение: 1) 3,7x+2,5$/+l,6x + 4,8i/; 2) 4,5m 4-1,9л + 3,2m + 4,3л. 457. Выполните умножение: . 9 5 v 40 14 v 3 . а> Io’T; г)Т’Т; Ж)1Г4; б) А. 20 ; д) A..Z1 ; з) 23—; ’ 25 21 * 37 85 ’ ' 46 ’ . 17 26 v 81 46 . . 5 оп В> 30’м ; е) ТГ5’81 ’ И) 13‘39; . \ п 14 г? 6 к) 5-2|; н) 21б 6 11 ; л) о) 2^-1^; 72
458. Найдите значение выражения: а) _2_т ©ели т=—; —; 2 —; 1 —; — ; ' S ’ 2’ 8’ 2’ 8’ 16’ 4 14.1 б) —х, если х= —; —; 4-j-. 459. Скорость улитки м/мин. Какое расстояние пропол- з з 5 о зет улитка за — ч; за — ч; за — ч? 4 о о 480. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, из- мерения которого равны м, м, м. 9 4 3 461. Масса 1 дм3 стали равна 7 кг. Найдите массу сталь- и ного куба, ребро которого 2 дм. А 482. Колесо делает 27 -f- оборота в минуту. Сколько оборо- 6 тов оно совершит за 3 мин; за 1 -у- мин; за -у- мин? 4 о 483. Выполните действия: 464. Выразите обыкновенной дробью: 26%, 45%, 80%, 90%. 485. Запишите в виде процентов: 0.23; 0,4; 0,07; 466. Моторная лодка догоняет плот. Сейчас расстояние между ними 35 км. Скорость плота 2,5 км/ч, а скорость мотор- ной лодки 9,5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через t часов, если 1=0,5; 3; 5? 487. Решите уравнение: а) 9,5х—(3,2x4-1,8х)4-3,75 = 6,9; б) 11,Зу-(9,7$/-0,8у)4-7,4 = 17. 488. Выполните действия: 7,72 • 2,25 - 4,06: (0,8244-1,176) -12,423 73
14. Нахождение дроби от числа Задача 1. Путешественник прошел за два дня 20 км. В первый день он прошел 4- этого расстояния. Сколько километ- ров прошел путешественник в первый день? Решение. Длина пути равна 20:4 = 6, т. е. б км, а длина О — пути равна 6*3 = 15, т. е. 15 км. Тот же ответ получится, 4 если 20 умножить на —, т. е. 20*-т-=^~-=5*3=15. 4 4 4 Ответ: 15 км. Задача 2. Огород занимает всего земельного участка. О о Картофель занимает — огорода. Какую часть всего земельного о участка занимает картофель? Решение. Изобразим весь земельный участок в виде прямоугольника ABCD (рис. 21). Из рисунка видно, что участок, Q занятый картофелем, занимает — земельного участка. Тот же 15 ответ можно получить, если умножить 4" на : 5 8 В первой задаче мы находили от 20, а во второй от . 4 о о Такие задачи называют задачами на нахождение дроби от числа и решают их с помощью умножения. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь. 74
Решим еще две задачи на нахождение дроби от числа. Задача 3. Путешественник прошел за два дня 20 км. В первый день он прошел 0,6 всего пути. Сколько километров прошел путешественник в первый день? Решение. Так как 0,6—» то для решения задачи надо умножить 20 на . Получим 20*-^-=-^р=12. Значит, в первый день путешественник прошел 12 км. Тот же ответ получится, если умножить 20 на 0,6. Имеем: 20*0,6 = 12. Задача 4. Огород занимает 8 га. 45% площади этого ого- рода занято картофелем. Сколько гектаров занято картофелем?.. Решение. Так как 45%=0,45, то для решения задачи надо умножить 8 на 0,45. Получим 8*0,45=3,6. Значит, картофелем занято 3,6 га. ©Сформулируйте правило нахождения дроби от числа. Рас- скажите, как найти несколько процентов от числа. ©469. На рисунке 22 изображен отрезок АВ, разделенный на 12 равных частей. Определите по рисунку, какую часть составляет: а) отрезок AM от отрезка АВ; г) отрезок AN от отрезка АВ; б) отрезок AM от отрезка АС; д) отрезок AN от отрезка АС; в) отрезок AM от отрезка AN; е) отрезок АС от отрезка АВ. |---1----1---1---1---1---1----1--И—< |---!----1 А М N С В Рис. 22 470. На рисунке 23 изображен квадрат ABCD, разделенный на 16 равных частей. Определите по рисунку, какую часть составляет: а) квадрат AEFP от квадрата ABCD; б) квадрат AEFP от квадрата AMNK; в) квадрат AMNK от квадрата A BCD. N F Рис. 23 75
471. Найдите: а) от 12; г) от —-; ж) 0,2 от 0,8; к) 35% от 12,6; 4 8 25 б) от 64; д) 0,4 от 30; з) 0,7 от 4,2; л) 42% от -J-; о 7 в) от 7Z ; е) 0,55 от 40; и) 30% от 50; м) 65% от 5 . о 1О 13 472. В книге 140 страниц. Алеша прочитал 0,8 этой книги. Сколько страниц прочитал Алеша? 473. В книге 140 страниц. Володя прочитал этой книги. О Сколько страниц прочитал Володя? . 474. В книге 140 страниц. Максим прочитал 80% этой кни- гй. Сколько страниц прочитал Максим? 475. Площадь одной комнаты 21 м, а площадь второй ком- з наты составляет — площади первой комнаты. Найдите пло- щадь двух комнат. 476. Брат и сестра купили книгу за 90 к. Брат заплатил 0,3 стоимости книги, а сестра — остальную сумму. Сколько ко- пеек Заплатила сестра за книгу? 477. Стол стоит 86,5 р. Стоимость стула составляет 0,2 сто- имости стола. Сколько стоят стол и 6 стульев? 478. У мальчика было 72 к. На -f- этих денег он купил О альбом, а на 0,25 оставшихся денег — карандаш. Сколько стоит карандаш? 479. Рабочий получил премию 102,8 р. и положил в Сбер- банк 75% премии. Сколько денег у него осталось? 480. Длина комнаты 6 м. Ширина составляет ~ длины, о высота составляет 0,6 ширины. Найдите площадь и объем этой комнаты. 481. Площадь огорода 0,04 га. Капустой засажено 0,8 ого- рода, а остальная часть — другими овощами. Сколько гекта- ров было засажено другими овощами? 482. Вклад в сберегательном банке каждый год увеличи- вается на 2%. В какую сумму превратится вклад в 7 50 р. через год? через два года? 483. По норме рабочий должен изготовить 45 деталей. Он выполнил норму на 120%. Сколько деталей изготовил рабочий? 76
484. Фотоаппарат стоил 60 р. Эта цена была снижена на 15%, а через некоторое время новая цена была снижена на 12%. Сколько стал стоить фотоаппарат после второго снижения? 486. В первый день Ира прочитала всей книги, во вто- рой 4- оставшейся части. Какую часть всей книги Ира про- читала во второй день? Какую часть книги Ира прочитала за два дня? 486., В овощную палатку привезли 8 -|- т картофеля. В пер- вый день продали 0,6 всего привезенного картофеля, а во второй день продали того количества, которое было продано в пер- вый день. Какая часть всего привезенного картофеля была продана во второй день? Сколько тонн картофеля было про- дано во второй день? 487. На автобазе были грузовые и легковые автомашины. Грузовые автомашины составляли — всех машин. — лег- ковых автомашин были «Волги», а остальные автомашины — «Москвичи». Какую часть всех машин автобазы составляли «Москвичи»? 488. До обеда путник прошел 0,75 намеченного пути, а после обеда он прошел пути, пройденного до обеда. Прошел 3 ли путник за день весь намеченный путь? 489. На ремонт тракторов в зимнее время было затрачено 39 дней, а на ремонт комбайнов — на 7 дней меньше. Время 7 ремонта прицепного инвентаря составило — того времени, кото- рое ушло на ремонт комбайнов. На сколько дней больше длился ремонт тракторов, чем ремонт прицепного инвентаря? 490. В первую неделю бригадой было выполнено 30% ме- сячной нормы, во вторую неделю 0,8 того, что было выполнено 2 в первую неделю, а в третью неделю — того, что выполнили о во вторую неделю. Сколько процентов месячной нормы осталось выполнить бригаде в четвертую неделю? 77
491. Найти несколько процентов от числа можно с по- мощью микрокалькулятора. Например, найти 32,5% от числа 6,24 можно по программе 6,24 рк 32,5 % действия по этой программе. Найдите с помощью микрокалькулятора: а) 0,5% от 18,24; 492. Вычислите устно: . Выполните б) 97% от 16,8. а) 100-89 б) 80 • 4 в) 0,7 • 0,7 г) 2,8 : 7 • 6 4-180 4-0,08 • 8 -12 : 25 -0,23 4-2,4 : 6 • 14 : 2 : 0,7 ? ? ? ? д) 0,72 : 0,9 4-3,2 : 5 • 0,7 ? 493. Найдите значение выражения: 494. К какому числу надо прибавить -—, чтобы получить о 1; ; 1—; 1^-? ’ 3 ’ 2 * в * 9 495. Найдите пропущенные числа: а) 496. Папа начинает работу в 7 ч 15 мин, а мама — в 9 ч. Когда заканчивает работу каждый из них, если рабочий день папы 8 ч 15 мин и перерыв на обед 1 ч, а рабочий день мамы з 7 ч и перерыв на обед — ч? Ш 497. Нужно срочно доставить 9 пакетов в пункты, указан- " ные на плане звездочкой (рис. 24). Посыльный, посмот- рев на план, быстро сообразил, как ему ехать. Он вручил паке- 78
ты, объехав пункты, ни разу не проезжая дважды одним и тем же путем. Какой маршрут выбрал посыльный? 498. Выполните действие: а>-г+-г: О 2-|—ж) V-5; «J2!-1-?-- о О 2 о О 4 о ‘>Н! д)8-1|; 499. Найдите значение выражения: v 1 .3 16 . з . 1 2 \ 16 . 2 .1. a> T’4~ 17 + (4T+1T)"2i+?r4T: «) (4-+-r)-(234— 500. Между какими последовательными натуральными чис- лами расположены числа 1 -5-, 3 , 4г, Z о i ZO 501. Найдите какие-нибудь три решения неравенства: а) х<1; б) 3<х<5; в) 4<х<5. 502. Скорость полета вороны 40 км/ч. Скорость полета скворца в 1 раза больше скорости вороны, а скорость голу- 5 > бя в 1 —- раза больше скорости скворца. Найдите скорость поле- та голубя. 503. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат со стороной 1,1 дм. Найдите высоту параллелепипеда, если его объем 2,42 дм3. 504. Решите задачу: 1) На 65 к. купили 19 марок по 3 к. и по 5 к. Сколько купили трехкопеечных и сколько пятикопеечных марок? 79
2) Колхоз купил для детского сада 36 трехколесных и двухколесных велосипедов. .У этих велосипедов 93 колеса. Сколько трехколесных и сколько двухколесных велосипедов было куплено? 505. Выполните действия и вычисления проверьте с по- мощью микрокалькулятора: 1) (0,6739+1,4261)-557,55:(16,7-2,9-42,13); 2) (1,3892 + 0,8108)• 537,84:(15,8 • 3,6 — 52,48); 3) 801,4 -(74- 525,35:7,9) • (64,4 - 6,88:8,6); 4) 702,3 - (59- 389,64:6,8)• (59,3 - 5,64:9,4). 506. Решите уравнение: 1) 165,64 —(а—12,5) = 160,54; 2) 278,74 —(6,5 —Ь) = 276,84. ® 507. Штангист тяжелого веса поднял штангу в 156 кг, а штангист легчайшего веса поднял штангу, масса которой составляет — массы первой. На сколько килограммов масса 1 о первой штанги больше массы второй штанги? 508. Сплав состоит из олова и сурьмы. Масса сурьмы в этом сплаве составляет — массы олова. Найдите массу спла- ва, если олова в нем 27,2 кг. 509. Бригада лесорубов получила задание заготовить 540 м3 дров. Это задание было выполнено на 120%. Сколько кубометров дров заготовила бригада лесорубов? 510. Учащиеся одной школы вырастили 4300 кроликов. 0,4 этих кроликов сдали государству. Сколько кроликов сда- ли учащиеся государству? 511. Сберегательный банк платит вкладчикам по срочным вкладам 3% годовых (т. е. вклад за один год увеличивает- ся на 3%). Сколько денег будет у вкладчика через год, если он положил на срочный вклад 550 р.? 512. С бахчи собрали 27 т арбузов. В столовую направи- ли этих арбузов, а остатка отвезли на рынок. Сколько тонн арбузов отвезли на рынок? 513. Лес, луг и пашня занимают 650 га. Из них лес за- нимает 20% всей земли, — оставшейся земли —г пашня. Сколь- 1 О ко гектаров занимает луг? 80
514. Колхоз за три дня продал государству 651 т зерна. В первый день было продано всего зерна, во второй 0,9 то- о 1 го, что было продано в первый день. Сколько тонн зерна было продано в третий день? 3 515. Школьники решили -у всех заработанных денег пере- 7 числить в детский сад, уу оставшихся денег израсходо- вать на покупку материалов для технического кружка, а осталь- ные деньги отложить для турпохода. Какую часть всех де- нег решено отложить на турпоход? Сколько денег было отло- жено на турпоход, если всего было заработано 588 р.? 516. Первая бригада прополола 30% всей площади, заня- той свеклой, вторая бригада прополола 80% того, что прополола первая бригада. Остальную площадь прополола третья бригада. Сколько процентов всей площади прополола третья бригада? 517. В трех ящиках было 76 кг вишни. Во втором ящике было в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем — на 8 кг больше вишни, чем в первом. Сколько килограммов вишни было в каждом ящике? 518. Выполните действия*. а) 27,36 0,1 -0,09; б) (54,23-3,2-54,13-3,2 + 0,68):0,2; в) (23,82 + 54,58)*(1,202 + 0,698) —2,1 (3,53- 1,89); г) 316 219 —(27 090:43+16 422:119). 519. Вырежьте из плотной бумаги фигуру, показанную на рисунке 25, и склейте фигуру, изображенную на рисунке 26. 81
Эти фигуры называют пирамидами. У пирамид боковые гра- ни — треугольники, а основание — многоугольник. Название пирамиды зависит от того, какой многоугольник является ее основанием. На рисунке 26, а изображена треугольная пира- мида, а на рисунке 26, б — четырехугольная. 15. Применение распределительного свойства умножения Распределительное свойство умножения относительно сло- жения и относительно вычитания позволяет упрощать вычис- ления. Пример 1. Найдем значение выражения --- Решение. /4—15 = 4-15-4-15 = 12-5 = 7. \ 5 3 / 5 3 Пример 2. Найдем значение произведения 2 4~ «7. 14 Решение. Представим вначале число 2 4г в виде суммы 14 его целой и дробной частей: 2 4г = 2 4—, а затем применим 14 14 распределительное свойство. Получим: 2n-7=(2+n)^=2-7+if7=14+f=14T- Чтобы у множить смешанное число на натуральное число, можно: 1) умножить целую часть на натуральное число; 2) ум- ножить дробную часть на это натуральное число; 3) сложить по- лученные результаты. Пример 3. Найдем значение выражения 5гт+1гт- 82
Решение. На основе распределительного свойства умно- жения представим эту сумму в виде произведения суммы _ 3 I , 5 2 5 —+1 V и числа — : О О I 5 _3_.1 _5_. ^_= / 5 1 . 2_=7. 2. 8 7*8 7 \ 8 ' 8 / 7 7 Используя распределительное свойство умножения, можно уп- 3 I 1 3.11.. рощать выражения вида и ° ° • © © i В простых случаях можно писать сразу: 2 . 1 — x-j--^-x = x — две третьих и одна третья х — это х; 3 3 7 5 2 — х—— х = —х — разность семи девятых х и пяти девя- У У У х — это две девятых х. Расскажите, как можно умножить4 смешанное число на натуральное число. 520. Найдите значение выражения: »)(W)-21: в>(т+п)-2* 6>(т2-т)-12: г>(п-£)-44- 521. Выполните умножение: а) б4--4; в) 3-?4-; Д) 4^-4; ж) 10-5-|-; и) 27-|~9; О 4 4 О V б) 9-1—2; г)6-1-1-; е) 2-1-8; з) 11-1-3; к) 12^-13. 522. Найдите значение выражения: a>(4f+5f)-6: д) 8тг4-г+8п-6т: б) (з^—е) 6 -2-7 -1—2 -1-6 ' \ 7 7 / 5 6 6 5 «)eA.24-2f.7f; г) (4-1Х.2 3)3f.3f+3-2-f. 83
. * 523. Упростите выражение: a)fx+fx; д) 3-i-z+-|-z; и) _|_с+Хс_2.с; 6)va-no: е)2т(-1т(: к) *—г*; ж) ^я+(^х~тж): л>п^+к»: Dfb-fo; 3)iln-(An+J_n); M)3.b + b. 524. Решите уравнение: a) ("l" х—4“)'15 = 8’ в) -|-x+-Z-x = 18; б) —-|-!/)-21 = 1; г) у- т + -^-т — ±-т = 7. \ ( о / 12 о 4 525. Шаг дяди Степы 1 м. Какое расстояние он пройдет, О если сделает 5 шагов; 12 шагов; 20 шагов; 24 шага? 526. Продолжительность жизни березы 150 лет. Сосна жи- вет в 2 раза больше березы. Мамонтово дерево живет в 5 раз о дольше сосны. Какова продолжительность жизни Мамонтова дерева? 527. Квартира состоит из двух комнат. Длина большей з комнаты 5 — м, а ширина 4 м. Длина меньшей комнаты 4 м, а ширина 3 м. На сколько площадь одной комнаты меньше площади другой? 528. Площадь поля а га. В первый день вспахали -1- поля, о Какая площадь осталась невспаханной? Найдите значение -получившегося выражения при a = 57; 234; 142 2 529. В первый день туристы прошли — всего пути, во второй день всего пути. Сколько километров пройдено за «э два дня, если весь путь п км? Составьте выражение для решения з задачи, упростите его и найдите значение при п=27; 36; 33 —. 530. Семья рабочего получила двухкомнатную квартиру общей площадью с м2. Одна комната составляла 0,36 общей 84
5 площади, а вторая составляла — площади первой комнаты. Че- б му равна площадь двух комнат вместе? Найдите значение полу- чившегося выражения при с = 50; 75. 531. У Вити было а р. За книгу он заплатил имевшихся у него денег, а за альбом 0,6 стоимости книги; Сколько денег осталось у Вити после покупки книги и альбома? Найдите зна- чение получившегося выражения при а = 1,2; 4-^. и 532. На складе было т кг гвоздей. Кладовщик в первый раз выдал 40% имевшихся гвоздей, во второй раз — 75% остат- ка. Сколько килограммов гвоздей осталось на складе? Найдите значение получившегося выражения при т = 1200; 300; 50. 533. Выполните действия: в(4-гх).(»_ва): ч •Н-"ГГ 534. Сравните выражения (в-6-г)-(6-3т)ив-6т-8-8т- 535. Найдите значение выражения: а) 2-|-а + Ь, если а=2^ , Ь = 3^ ; б) 8-|-(а+Ь), если а=2^-, 5 = 1^-. ф 536. Вычислите устно: а) 70 — 56 б) 900 : 150 в) 8 • 0,9 г) 4,2 : 0,6 д) 0,63 : 0,7 - 3 * 80 -5,4 • 0,8 + 3,1 + 14 + 240 + 3 + 0,4 : 8 : 4 : 18 : 16 : 10 : 0,1 ? ? ? ? ? 537. Выполните умножение устно: V 2 Л 8 11 . 3 5 7 9. q 1 и 1 к 1 « 1 a)TVn-l4: в) 3.—4~.5.—6~. 538. Вычислите: а) ; б) +-|-; в) (1—) . 85
539. От какого числа надо отнять —, чтобы получить 1; —; 4 8 А. 11 . I JL? 8 ’ 12 ’ 1 8 * 540. Подумайте, как из числа, записанного в центре (рис. 27), можно получить числа, записанные в кружках. Рис. 27 м 541. Москва основана в 1147 г., а С.-Петербург - в 1703 г. Сколько лет Москве и сколько лет С.-Петербургу? На сколько лет Москва старше С.-Петербурга? 542. Подсчитайте по модели, сколько граней, вершин, ребер у треугольной пирамиды; у четырехугольной пира- миды. Попробуйте догадаться, сколько граней, вершин, ребер у шестиугольной пирамиды. 543. Куплено 15 кг яблок. На приготовление варенья из- 2 расходовали — купленных яблок. Сколько килограммов яблок О было израсходовано на варенье? Сколько килограммов яблок осталось? 544. У мальчика было 60 к. На мороженое он истратил 25% этих денег. Сколько стоит мороженое? Сколько денег у него осталось? 545. В саду 30 плодовых деревьев. 0,6 всех деревьев — яблони. Сколько яблонь в саду? Сколько в саду других плодо- вых деревьев? 546. Турист прошел в первый день всего намеченного пу- 8 2 ти. Причем до обеда он прошел — пути, пройденного за этот О день. Какую часть всего намеченного пути прошел турист в пер- вый день до обеда? 86
547. В первый день со склада вывезли 40% имевшегося там угля. Во второй день было вывезено 75% остатка. Сколько процентов всего имевшегося на складе угля вывезли во второй день? Сколько процентов всего имевшегося там угля осталось? 548. В магазин привезли 658 кг персиков. В первый день продали всех персиков, а во второй день 0,3 оставшихся персиков. Сколько килограммов персиков продали во второй день? 549. Найдите значение выражения: о "> 154-1т+»я!т-- »(т)- 550. Выполните действия: 1) (3,52; 1,1 + 6,2) • (7,2 - 4,62:2,2); 2) (2,86:2,6—0,8) • (3,4 + 7,04:3,2). А 551. Выполните умножение: а) 7~2; в) 8^-5; д) 1«5 ZO о б) 5^-8; г) 5-3-1-; е) 9-|-9. 552. Найдите значение выражения: № СП | со 1 ЬЭ СП |1-1 СП г) 3 — -15 — — 3 — -2 — ; ’ 13 41 13 41 * «(Ч-Ч)84’ «> (2т+4‘г)’1П: в)8^-54- + зИ.52-; e)+(44-)- 553. Упростите и найдите значение выражения: а) Т°+м° при 0=4 П : в) -|-y+y—при у = 2-|-; "в"* в) т —~ т Н—— т при т = 2 —; 6 —; 15 4 12 2 4 1 „ I 3 _ 4 ТТТЧТВ V_ 1 Г) Т" Х Н-X X при х = 1 — , — . ' 3 4 9 * 23 46 554. Турист шел 3 ч со скоростью 4 -у- км/ч и 3 ч со ско- 4 ростью 4 4- км/ч. Сколько километров прошел турист за 4 эти 6 ч? 87
. 7 555. В первом ящике 12— кг сахара, а во втором в 2 раза больше. Сколько сахара будет во втором ящике, если в него положить еще 2 4- кг? 5 556. Олег решал уравнение в течение ч. Задачу он решал на ч дольше, чем уравнение. Сколько времени решал О он уравнение и сколько задачу? 557. На покупку бумаги Катя истратила имевшихся у нее денег, а на покупку красок 80% оставшихся денег. Сколько де- нег истратила Катя на покупку красок, если у нее было 1 р. 40 к.? 558. В первый день маслобойня переработала поступив- шего количества семян подсолнечника, во второй день 0,6 ос- татка. Сколько тонн семян подсолнечника переработала масло- бойня за эти два дня, если было привезено с т семян? Найдите значение получившегося выражения при с = 90; 63. 559. Фабрика выпустила т м ткани трех цветов: голубого, зеленого и черного. Ткань голубого цвета составляла 30% всей выпущенной ткани. Ткань зеленого цвета составляла 0,8 коли- чества ткани голубого цвета. Сколько метров ткани черного цвета выпустила фабрика? Найдите значение получившегося выражения при т = 5520; 22 000. 560. Найдите значение выражения: а) (3,75:1,25 —0,75): 1,5 + 0,75; б) (14 -12,725) • 12,4 - 2,6:(11,2 - 7,95). 16. Взаимно обратные числа V 8 15 . Если умножить — на — , то получится 1: 15 о 8 15 _8-15_-| 15* 8 ~ 15-8“ ’ 1 23 Точно так же 1 получится при умножении 7 на —, — 75 на — и т. д. 88
Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными. г» а 8 15 г» 1 Значит, взаимно обратными будут числа — и — , 7 и —, It) о i и . Числу 4" > где а #= 0 и b #= О, обратно число —. 75 23 Ь а Во b ob самом деле, ----= 1. b а Ьа 5 Пример 1. Найдем число, обратное числу 3 —. О 5 Решение. Запишем число 3 — в виде неправильной 6 дроби: Q 5 _3-6 + 5 _ 23 3 6 — 6 — 6 * Е А .Значит, обратным 3-^- будет число —. 6 23 Пример 2. Найдем значение произведения г» 5 3 7 Решение. — — 1Л < о 5 /3_ 7_\ 5 , 5 11 ‘ \ 7 * 3 / 11 1 11 * Значит, если число х сначала умножить на некоторое число а, а потом умножить на число, обратное а, то получим опять х. Какие числа называют взаимно обратными? Как записать число, обратное дроби -£-? Как записать число, обратное натуральному числу? Как записать число, обратное смешан- ному числу? 561. Будут ли взаимно обратными числа: a>7VH^; В) 0,2 и 5; д)Зуи2-|-; б) 48 и ; г) 2,5 и 0,4; е) 0 и 1? 562. Найдите число, обратное числу: а) ; б) 5; в) ; г) д) е) 7 il ; ж) 0,8; з) 1,25. 563. Найдите значение выражения: 1 77 5 6 . Q л 7 3 . 11 к л 12 а)1м’в-Т: «) 3,4 —-, а)^-5.6-н. 89
564. Решите уравнение: „V 8 V— 8 . Д) 19 Х 19 ’ № | 00 Н в) 0,8а = 1; г) 0,76 = 1; е) 565. Вычислите устно: а) 200-101 б) 200 • 5 в) 3 • 0,3 г) 0,45 : 9 д) 5,6 : 0,7 : 3 -130 4-4,1 -6 : 20 4-37 : 29 : 100 4-2,7 4-4,8 : 5 4-270 • 20 : 0,01 : 26 ? ? ? ? ? 566. Представьте в виде неправильной дроби: со ю (N 567. Найдите наименьшее и наибольшее значение выра- з ,1,22 жения — х, если х — 1; —; 1 —; —. 5 7 3 * 9 568. Верно ли выполнены вычисления: а) 16-2-|-= 16-24-16:2 = 324-8 = 40; б) 42«4 ~5~=42*44-42:3 = 168-|-14 = 182; О в) 72 -|-=72 —72:4 = 72 —18 = 54; Г) 84=84 — 84:6 = 84 —14 = 70? О Ответ объясните. 569. На озере находятся 7 островов, которые соединены между собой мостами так, как показано на рисунке 28. На какой остров должен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер должен снять этих людей? Почему нельзя доста- вить путешественников на остров А? 570. Выполните умножение: а) 3~5; в) д) 2^-6. 6)7-|—4; г) 1-|~3; м 90
571. Найдите значение выражения: a)J-.JL; в) 2— —; д) (———Уб. Л 4 9 ’ ’ 56’ ' \ 2 3 / -ч 1 о 1 . . / 1 . 2 \ 3 . б) 7 ’2 3 ’ Г) ( 5 15 /' 4 ’ 572. За три дня турист прошел 40 км. В первый день он прошел 40%, а во второй день 30% всего пути. Сколько кило- метров прошел турист за третий день? 573. Среднее арифметическое трех чисел равно 3,1. Найдите эти числа, если второе число больше первого на 0,9, а третье число больше первого в 2 раза. 574. Выполните действия: 1) (7,061:2,3-2,2) (4,2 +17,391:5,27); 2) (3,7 +14,058:6,39) • (23,641:4,7 - 4,6). 575. Найдите числа, обратные числам: а\ 10 . 12. 23. 11 . 43 . 10. 41. ' 27 ’ 59 ’ 98 ’ 122 ’ 315 ’ 3 ’ 8 * б) 1111 ; ~ ; 80; 100; 1; 0,5; 1,2. 576. Выполните действия: а>-П--8Т; В) 0,21-1-; д) (0,2+0,4) 1 Л о о б)1А-3+-! 0 0,8-i; 1о 7 О 577. Положили сушить 150 кг вишни. После сушки их масса уменьшилась на 80%. Сколько килограммов вишни полу- чилось после сушки? 578. Среднее арифметическое четырех чисел 2,75. Найдите эти числа, если второе больше первого в 1,5 раза, третье больше первого в 1,2 раза и, наконец, четвертое больше первого в 1,8 раза. 579. Найдите значение выражения: а) 208,57 -108,57: ((60,4 - 57,6) • (3,6 + 3,45)); б) 565,3 - 465,3:((1,25 + 5,8) • (55,8 - 49,2)). 17. Деление Задача. Площадь прямоугольника м2. Длина одной сто- з роны — м. Найдем длину другой стороны. 91
. Решение. Обозначим длину другой стороны через х м. По формуле площади прямоугольника должно выполняться ра- 3 5,.- 4 венство — х=—. Умножим обе части равенства на число —, обратное числу ™. Так как произведение -?-* 4- равно 1, то полу- чим, что х=~-~, или х = ^ . Таким образом, длина другой 20 стороны прямоугольника равна — м. В этой задаче мы нашли неизвестный множитель в произ- 3 5 ведении * По смыслу деления это число равно част- ному от деления числа — на число —. Видим, что это частное равно произведению делимого и числа, обратного делителю, т. е. 5 . з _ 5 4 _ 20 7 ’ 4 _ 7 ’ 3 _ 21' Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. 2 1 Пример 1. Разделим 2 — на 1 — . о 15 Решение. Представим сначала числа 2 и 1 ~ в виде не- Л « о 2 12 , 1 16 правильных дробей: 2 ; 1 уг =тг • 5 О 15 15 „ „ 2 1 12.16 12 15 12 15 3-3 9 о 1 Поэтому 2 —:1 —=—=—• — = =—=—=2 — . 5 15 5 15 5 16 5*16 4 4 4 Пример 2. Разделим у на 6. О Решение. Числом, обратным делителю, является , так как Значит, = • О о о О 4о ©Сформулируйте правило деления дробей. Как выполняется деление смешанных чисел? 580. Выполните деление: а) ТТ’ ) 5 ’"т"’ Д 5 *25 ’ 8 *3, 6>Т*Т; r)Ii*l2’ е)т:2; 3)5*т; 92
и) 8:4-; м) 4-4:14-; n)A:3J_. О Л 2 15 15 К>Т:Ь p)4f:3; л)3 4-.|; 0)10-4:2-1-; с) 1:1; т) 0:5i; ю У) 8-4:1; *>355:1И- D Частное двух дробей можно читать разными способами: 2 .11 —— две седьмых разделить на 7 14 1 И. п. одиннадцать четырнадцатых; в. п. — частное чисел две седьмых и в. п. одиннадцать четырнадцатых; в. п. — частное двух седьмых и р. п. одиннадцати четырнадцатых. р. п. 581. Представьте в виде дроби частное: a) : б) 4-:-£-; в) г) б:^-. п к о а к п j 582. Найдите по формуле площади прямоугольника S—ab значение: a ) S, если а==4-|- и Ь=-|-; б) а, если S=15 и Ь = 7-|-. 583. С какой скоростью должен передвигаться трактор, чтобы пройти 15 км за -|- ч; за ч? 584. За -7- кг сухарей заплатили -7- р. Сколько стоит 1 кг б 5 сухарей? Сколько сухарей можно купить на 1 р.? 585. Сумма двух чисел равна 12 -у-. Одно из них в 1 ра- за больше другого. Найдите эти числа. 93
586. Если задуманное число умножить на 2 и к произве- дению прибавить 1 уу-, то получится 8 . Найдите задуманное число. 587. Площадь прямоугольника м2. Найдите периметр 64 прямоугольника, если его ширина м. О 588. Длина и ширина прямоугольника соответственно рав- ны 5 м и 2 м. Найдите ширину другого прямоугольника, 5 8 длина которого 3 4- м, а площадь равна площади первого 5 прямоугольника. 589. Представьте делимое в виде обыкновенной дроби з 2 и выполните действие: а) 0,25:—; б) 0,6: — . 4 5 590. Представьте делимое в виде десятичной дроби и выполните действие: а) -^-:0,2; б) -^-:0,375. 25 8 591. Выполните действия: б ) 1L:JL.21 ; ’ 12 24 22 В) 7 16 8 4 V 13 1_. 13 . ' 14 *25 ‘25 ’ (4f:6i); е>(2т+1т)'1Т = 5921 Найдите значение выражения: a)(Xf0,25+|-):l^; б) 8:0,16 —36,4; в) 6,25-8^-3 у-:5,54-2,4-4^ ; 94
593. Решите уравнение: а) -|-х = 2-|-; ж) т + ^-т = ±-; б) ту=2^“т; 3) в) у-а+-|-=1; и) —z+—z—— z = 2 —; 7 5 '5 '315 2 г> 3f:ft=1f:2: к) Зт-(тх+т)=2т: Д) S'rlT=2T"T: л) (тх-т) Т=Т: e)fx+fx=2^: м)Аг+|_г_3 4 2 594. Коля и Митя нашли 64 гриба. Коля нашел в 1 — раза больше грибов, чем Митя. Сколько грибов нашел каждый? 595. Луч ОМ разделил угол СОК, равный 90°, на два угла СОМ и МОК. Угол СОМ больше угла МОК в 2 4- раза. Чему рав- 5 ны углы СОМ и МОК? Постройте эти углы с помощью тран- спортира. 596. Отец старше сына в 3 раза, а сын моложе отца на О 28 лет. Сколько лет отцу и сколько лет сыну? 597. За два дня турист прошел 26 км. Путь, пройденный в первый день, составлял пути, пройденного во второй день. Сколько километров прошел турист в каждый из этих дней? 598. Месячный заработок сына составил 75% заработка от- ца. Сколько заработал каждый из них, если вместе они зарабо- тали 350 р.? 599. Первый плотник сделал на 9 оконных рам меньше, чем второй. Сколько рам сделал каждый плотник, если число рам, сделанных первым плотником, составляет числа рам, сделан- ных вторым? 600. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 5 км. Ско- рость первого пешехода составляла скорости второго. Най- 3 дите скорости каждого пешехода, если они встретились через полчаса. 95
601. Мотоциклист стал догонять велосипедиста, когда з между ними было 33 км, и догнал его через — ч. Известно, что скорость велосипедиста составляла ~- скорости мотоциклиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста. 602. За 8 м сукна и 7 ~ м сатина заплатили 225 р. Сколько стоит 1 м сатина и сколько стоит 1 м сукна, если за сук- но заплатили в 14 раз больше, чем за сатин? 603. За 32 м ткани и 20 м клеенки заплатили 80 р. Стой- 2 мость ткани составила — стоимости клеенки. Что дороже: 1 м о ткани или 1 м клеенки? На' сколько рублей? 604. Турист 3 ч шел пешком со скоростью 5 км/ч, а далее 4 ч он ехал на поезде, скорость которого в 12 раз больше. Оставшийся путь турист проехал на автобусе за 8 ч. С какой средней скоростью двигался турист за время путешествия, если 4 л скорость автобуса составляла — скорости поезда? О 605. Вычислите устно: а) 184-112 б) 700 : 14 в) 0,64 : 0,8 г) 3,6 • 0,1 д) 1 — 0,44 : 8 • 9 • 9 : 0,6 : 0,7 -4-45 + 90 + 2,8 + 3,6 • 0,5 : 3 : 18 : 100 : 1,4 -0,12 ? ? ? ? ? 13 1 606. Найдите число, обратное дроби: —; —; 1-г-; 0,7. 2 о о Сравните данное число и ему обратное. 607. Существует ли число: а) обратное самому себе; б) не имеющее обратного? 608. Не выполняя умножения, сравните: а) 3.2- и 3; б) 1А.|-и-|-; в) и f; гФТ1и1' Ш 609. Кроме неравенств со знаками > и <, которые назы- вают строгими, используют нестрогие неравенства, для ко- торых введены знаки (больше или равно) и (меньше или равно). Неравенства 3<4и5С5 верные, так как одно из усло- вий выполнено: 3 меньше, чем 4; 5 равно 5. 96
Подумайте, какие натуральные числа являются решениями неравенства: а) х^4; б) 5С*С9; в) 3<х^5. 610. Найдите число, обратное числу: а) 4-; б) 4; в) 3^-; г) 0,8; д) 1,4. 611. Докажите, что числа а и b взаимно обратны, если: а) а = 0,5, Ь = 2; б) а=1,25, b=4s в) а = 0,15, Ь = 6-|-. 5 о 612. Выполните деление и результат округлите до сотых: а) 3,2:0,7; б) 14,28:3,6; в) 175:23; г) 0,00677:1,3. 613. Округлите числа: а) 0,479; 1,071; 2,750; 4,4981 до десятых; б) 0,0825; 0,8537; 1,3576; 4,57003 до тысячных. 614. Баян стоил 106 р. Сколько стал стоить баян после снижения его цены на 15%? 615. Решите задачу: 1) Из 250 лошадей-было 30 вороных, а 0,7 всех лошадей были серыми. Кроме вороных и серых, были лишь лошади ры- жей масти. Сколько было лошадей рыжей масти? 2) Купили 120 тюбиков клея. Из них в 30 тюбиках был рези- новый клей, а в 0,4 остальных тюбиков был казеиновый клей. Кроме резинового и казеинового клея, был куплен и силикат- ный клей. Сколько тюбиков силикатного клея было куплено? 616. Решите уравнение: 1) (0,2х + 0,4х)-3,5 = 6,3; 3) (х—0,2х):0,4 = 1,6; 2) (0,7х— 0,2х) 6,4 = 9,6; 4) (0,4х + х):0,7 = 1,6. 617. Выполните деление: б)Т:П: 0^:9; е) 7:3; з) 8f :1 Я ; к) :12f. 618. Найдите значение выражения: а) 7-|-:48; б) ц2-:А-:4^;в) 1 f-2 f:l f; г) f.f:l|-. 619. Выполните действия: •1 т;т+!т 4 Зак. 607 97
620. Решите уравнение: а) (х-в)-!—2s б) 2 i-x 2^=2-’-. О Одо 621. Сколько оборотов сделает колесо на расстоянии 48 м, если длина окружности колеса равна -~г м; м; 4~ м? 26 4 5 2 2 622. За — ч мотоциклист проехал 20 — км. С какой ско- 3 б ростью ехал мотоциклист? 623. На изготовлейие 16 одинаковых деталей требуется 6-^-ч. Сколько времени занимает изготовление одной детали? О 624. В двух сосудах 35 л жидкости. Известно, что в одном сосуде жидкости в 1 раза меньше, чем в другом. Сколько О жидкости в каждом сосуде? 625. В двух пачках 156 тетрадей. Число тетрадей в одной пачке составляет числа тетрадей другой пачки. Сколько тетрадей в каждой пачке? 626. Стоимость зимнего пальто на 84 р. больше стоимости летнего пальто. Сколько стоит каждое пальто, если стоимость летнего пальто составляет 60% стоимости зимнего? 627. Два катера движутся навстречу друг другу. Сейчас 7 между ними 25 км. Скорость одного из них составляет — ско- О f рости другого. Найдите скорость каждого катера, если известно, 5 что они встретятся через — ч. 628. Турист ехал на автобусе 1ч и на поезде 4 ч. о 15 Всего этими видами транспорта турист проехал 456 км. При з этом на автобусе он проехал — того пути, который он проехал на поезде. С какой скоростью турист ехал на автобусе и с какой — на поезде? 629. Выполните деление и округлите ответ до тысячных: а) 1,765:1,3; б) 5,394:23; в) 2,6:11,2. 98
630. Вычислите: а) 74:100-0,4:10-1-17,8:1000; б) 0,35 • 10 + 0,0237 • 100 - 0,00087 1000; в) 37-0,01 —0,2-0,14-8,9-0,001; г) 0,7:0,14- 0,0474:0,01 — 0,00174:0,001. 18. Нахождение числа по его дроби 2 Задача 1. Расчистили от снега — катка, что составляет 5 800 м2. Найдите площадь всего катка. Решение. Обозначим площадь катка через х м2. По усло- вию — этой площади равны 800 м2, т. е. -^-х=800. 5 о Значит, х = 800:=800--|-= 2000. Площадь катка рав- на 2000 м2. Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. Задача 2. Пшеницей засеяно 2400 га, что составляет 0,8 всего поля. Найдите площадь всего поля. Решение. Так как 2400:0,8 = 24 000:8 = 3000, то пло- щадь всего поля равна 3000 га. Задача 3. Увеличив производительность труда на 7%, ра- бочий сделал за этот же срок на 98 деталей больше, чем наме- чалось по плану. Сколько деталей рабочий должен был сделать по плану? Решение. Так как 7% = 0,07, а 98:0,07 = 1400, то рабочий по плану должен был сделать 1400 деталей. ©Сформулируйте правило нахождения числа по данному значению его дроби. Расскажите, как найти число по дан- ному значению его процентов. 631. Девочка прошла на лыжах 300 м, что составляло всей дистанции. Какова длина дистанции? О 632. Свая возвышается над водой на 1,5 м, что состав- ляет длины всей сваи. Какова длина всей сваи? 4' 99
633. На элеватор отправили 211,2 т зерна, что составляет 0,88 зерна, намолоченного за день. Сколько зерна намолотили за день? 634. За рационализаторское предложение инженер получил сверх месячного оклада 68,4 р., что составляет 18% этого оклада. Чему равен месячный оклад инженера? 635. Масса вяленой рыбы составляет 55% массы свежей рыбы. Сколько нужно взять свежей рыбы, чтобы получить 231 кг вяленой? п 636. Масса винограда в первом ящике составляет — массы винограда во втором ящике. Сколько килограммов винограда было в двух ящиках, если в первом ящике был 21 кг винограда? з 637. Продано — полученных магазином лыж, после чего О осталось 120 пар лыж. Сколько пар лыж было получено ма- газином? 638. При сушке картофель теряет 85,7% своей массы. Сколько надо взять сырого картофеля, чтобы получить 71,5 т сушеного? 639. Вкладчик Сбербанка внес некоторую сумму на сроч- ный вклад, и через год у него на сберкнижке было 576 р. 80 к. Какова была сумма вклада, если по срочным вкладам Сбер- банк платит 3% годовых? 640. В первый день туристы прошли намеченного пути, 24 а во второй день 0,8 того, что прошли в первый день. Как велик намеченный путь, если во второй день туристы прошли 24 км? 641. Ученик сначала прочитал 75 страниц, а потом еще несколько страниц. Их количество составило 40% от прочи- танного в первый раз. Сколько страниц в книге, если всего з прочитано — книги? 4 642. Велосипедист сначала проехал 12 км, а потом еще 4 3 несколько километров, что составило — от первого отрезка пути. После этого ему осталось проехать всего пути. Какова длина всего пути? 100
3 1 643. — от числа 12 составляет — неизвестного числа. Най- о 4 дите это число. 644. 35% от 128,1 составляет 49% неизвестного числа. Найдите это число. 645. В киоске в первый день продано 40% всех тетрадей, во второй день 53% всех тетрадей, а в третий день — остальные 847 тетрадей. Сколько тетрадей продал киоск за три дня? 646. Овощная база в первый день отпустила 40% всего имев- шегося картофеля, во второй день 60% остатка, а в третий день — остальные 72 т. Сколько тонн картофеля было на базе? 647. Трое рабочих изготовили некоторое число деталей. Первый рабочий изготовил 0,3 всех деталей, второй 0,6 остат- ка, а третий — остальные 84 детали. Сколько всего деталей изготовили рабочие? Q 648. В первый день тракторная бригада вспахала — участ- О ка, во второй день +- остатка, а в третий день — остальные О 216 га. Определите площадь участка. 649. Автомобиль прошел в первый час ~ всего пути, во Q второй час — оставшегося пути, а в третий час остальной путь. О Известно, что в третий час он прошел на 40 км меньше, чем во второй час. Сколько километров прошел автомобиль за эти 3 ч? 650. Находить число по заданному значению его процентов можно с помощью микрокалькулятора. Например, найти число, 2,4% которого составляют 7,68, можно по следующей програм- ме: 7,68 -г 2,4 % . Выполните вычисления. Найдите с помощью микрокалькулятора: а) число, 12,7% которого равны 4,5212; б) число, 8,52% которого равны 3,0246. ф 651. Вычислите устно: а) 162 — 127 б) 900 : 150 в) 1,5 • 6 г) 7 — 2,1 д) 3,6+ 3,2 : 7 -70 : 1,8 . : 7 : 0,2 • 19 -312 • 0,12 • 1,4 -33,5 + 15 : 18 +0,44 + 0,02 ’ 9 ? ? ? ? ? 101
652. Не выполняя деления, сравните: a)9:f И9; б) 6:-|- и 6; в) и £ ; г) 1 X; X и 1 X. 653. Во сколько раз меньше своего обратного число: 1_. А- 1 5’3’6 ; 0,3? 654. Придумайте число, которое меньше своего обратного в 4 раза; в 9 раз. 655. Разделите устно центральное число на число в кружоч- ках: а) 656. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см пона- добится для настилки пола в комнате, длина которой 5,6 м, а ширина 4,4 м. Решите задачу двумя способами. М 657. Найдите правило размещения чисел в полукругах и вставьте недостающие числа (рис. 29). Рис. 29 658. Выполните деление: ’ 8 *16 ’ '9’9’ б)-Ь-з-: з)1 Х;2; О £t о \ 2 . 5 . _ 2 В) 3 • 7 ’ и) ; r>T-f; д)Х:5; «)2f:lX; е) Х;4; м)3|8:в1 11 Ли о 102
3 1 659. За — ч велосипедист проехал 7 — км. Сколько кило- D & метров проедет велосипедист за 2 ч, если будет ехать с такой же скоростью? 660. За ч пешеход прошел 1 км. Сколько километров 3 2 пройдет пешеход за 2 ч, если будет идти с такой же ско- ростью? aat гу т л, 360 2500 540 . .. 1700 661. Сократите дробь: 1) —; 2) —; 3) —; 4) —. 662. Найдите значение выражения: 1) 2-|-:2-|~1-|-; 3) 1-1-2-1-:7-1-; о . «> 3 л \ о 2 , гч 1 2 2)2~ Тз-3Т: 4)3г’гт- 663. Выполните действия: 1) 10,1+9,9-107,1:3,5:6,8-4,8; 2) 12,3 + 7,7187,2:4,5:6,4-3,4. 664. Из бочки вылили находившегося там керосина. Сколько литров керосина было в бочке, если из нее вылили 84 л? 665. При покупке в кредит цветного телевизора было уп- лачено наличными 234 р., что составляет 36% стоимости теле- визора. Сколько стоит телевизор? 666. Рабочий получил путевку в санаторий со скидкой 70% и уплатил за нее 42 р. Сколько стоит путевка в санаторий? 2 667. Столб, врытый в землю на — своей длины, возвыша- 13 ется над землей на 5 м. Найдите всю длину столба. 668. Токарь, выточив на станке 145 деталей, перевыполнил план на 16%. Сколько деталей надо было выточить по плану? 669. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка АС и СВ. Длина отрезка АС составляет 0,65 длины отрезка СВ. Найдите длины отрезков СВ и АВ, если АС = 3,9 см. 670. Лыжная дистанция разбита на три участка. Длина пер- вого участка составляет 0,48 длины всей дистанции, длина второго участка составляет — длины йервого участка. Какова 103
. длина всей дистанции, если длина второго участка 5 км? Ка- кова длина третьего участка? 671. Из полной бочки взяли 14,4 кг квашеной капусты и б тт Л затем еще — этого количества. После этого в бочке осталось 4- находившейся там ранее квашеной капусты. Сколько кило- О граммов квашеной капусты было в полной бочке? 672. Когда Костя прошел 0,3 всего пути от дома до школы, ему еще осталось пройти до середины пути 150 м. Какой длины путь от дома Кости до школы? 673. Три группы школьников посадили деревья вдоль до- роги. Первая группа посадила 35% всех имевшихся деревьев, вторая - 60 % оставшихся деревьев, а третья группа - остальные 104 дерева. Сколько всего деревьев посадили? 674. В цеху имелись токарные, фрезерные и шлифовальные 5 станки. Токарные станки составляли — всех этих станков. Чис- ло шлифовальных станков составляло числа токарных стан- 5 ков. Сколько всего станков этих видов было в цеху, если фрезер- ных станков было на 8 меньше, чем токарных? 675. Выполните действия: а) (1,704:0,8 — 1,73)-7,16 — 2,64; б) 227,36;(865,6 — 20,8• 40,5)-8,38 + 1,12; в) (0,9464:(3,5 0,13)+ 3,92) 0,18; г) 275,4: (22,74 + 9,66) • (937,7 - 30,6 • 30,5). 19. Дробные выражения Так как дробь равна частному 2:3, то и частное от деления одного выражения на другое можно записать с по- мощью черты. Например, выражение (41,3 —4,4):(15,3 + 33,9) можно записать так: 41 ’3 4,4 . Выполнив указанные действия, lOju t оо,У найдем значение этого выражения: 0,75, или Частное двух чисел или выражений, в котором знак деле- ния обозначен чертой, называют дробным выражением. 104
Например, 51 , - - — дробные выра- о»& ♦ O»Z 19о — U,о Л -у- и Ли жения. Выражение, стоящее над чертой, называют числителем, а вы- ражение, стоящее под чертой,— знаменателем дробного вы- ражения. Числителем и знаменателем дробного выражения могут быть любые числа, а также числовые или буквенные выражения. С дробными выражениями можно выполнять действия по тем же правилам, что и с обыкновенными дробями. з4 Пример 1. Найдем значение выражения ——. 4 Решение. Умножив числитель и знаменатель этого дроб- ного выражения на 6, получим: 2 3 * * 2 6 21 1 1А. 3 3 Пример 2. Найдем т» 16,4 1 3 Решение. --1 — 1,4 4 16,4 1 3 произведение и 1 —. 1,4 4 16,4 7 __ 16,4-7 _4,1 _41 _20 к 1,4 ‘ 4 1,4-4 0,2 2 ’ 2 3 Пример 3. Найдем сумму —+ — Решение. з _4 + 3 _ 7 _70 _5 1,4 1,4 1,4 14 При сложении дробных выражений удобнее сначала пред- ставить их в виде обыкновенных дробей, а потом уже выполнять сложение: 2 . 3 _ 20 . 30 _ 20 . 15 _ 35 __ 5 0,7 ' 1,4 — 7 ' 14 7'7 7 е ® Какое выражение называют дробным? Как называют вы- ражение, находящееся над чертой? под чертой? 676. Назовите числитель и знаменатель выражения: а) 2^ ' 3,6 4 4 б) 5’1-24 В) 7,45-3,2 v М—3ft ' 4ab 105
677. Напишите дробное выражение, числитель которого За —2Ь, а знаменатель 678. Запишите в виде дробного выражения частное: (3,8 • 4,5 - 0,7): (6,3:2,1 - 2,6). Найдите значение этого выражения. 679. Найдите значение выражения: 1 — , 3,2 . , 3 . а) 12,8 ’ Г) 1 ’ fil 1>2 • 6 6) 0,15 ’ з 8’4 . V 2 682 68310 . в> м ’ Д) 4 : 1 5 5-i- 8,4-2у-12,1 е) 3 ’ 1,25-4-1,1 ’ 1 5 , 2,4.12,6-3,5 . 111 Ж) 6,3.4,8-31,5 ’ 2y-i y-i- , 1,7-4,92-7,2 . К) 3 2 . 5 ’ 4,8-0,82-5,1 ’ d 5 4 3 ? 7 680. Выполните действие: а) 0,68-2-; г) 0,121:11; ж) 5,6:3-!-; к) 4 2 1,0 4,5 6)3,212:f; Д) 43,75.^; з) lof-6,3; л) |£+1£; в) |-24,6; е)1|.8,4; и) 21.4,2; м) 681. Выполните действия: 4-1.8-1 4-:О,О7 4________5____е 2-:0,49.2-|- О о 0,2-6,2:0,31—-0,9 6 2 + 1 —0,22:0,01 В) г) 12’75-^8 1 у-2,04:20 fl,75-4 + 1.75:1 Y1 4 \ 5 /7 /17 1 (ГО"0’325 h'W 682. Найдите значение выражения g—Ь если: а) а = 24-+14-; б) а =1,8 (1-0,6). 7 5 683. Найдите значение выражения » если: а) х = 18,1-10,7 и у = 35-23,8; б) х = 10-|—1и z/=ll —+9-^—± 6 2 5 1 3 15 106
684. Найти с помощью микрокалькулятора значение вы- 5,4 — 3,275 ражения * можно по программе: 5,4 - 3,275 + 3,4 + 12,5 = 3,995 0,675 2,4 - 0,022 по таиой "Р°П>амме: 0,675 X 2,4 — 0,022 +-. 3,995 ** значение выражения Выполните вычисления по этим программам. Постройте программу нахождения и выполните по . 3,2 1,05 . 0,6 11,2 ’ значения выражения ней вычисления: х 2,185:43,7 + 1,05 . ' 0,44 12,5 ’ V (4,2-2,7): 0,003 ' 2,125:1,7 61 6,076 °' 0,85:3,4 + 1,92 Д| 685. Вычислите устно: а) ? 686. 270-214 б) 100:25 в) 6-1,2 г) 1-0,79 Д) 9-4,6 : 28 •15 : 8 : 0,3 : 1,5 • 37 :120 • 10 + 5,3 • 1,7 + 26 •180 : 5 ; 1,5 + 4,9 ? ? ? ? ? На координатном луче отмечены числа а и Ъ (рис. 30). „ f1 , .1 . ли указать на луче точку с координатой а.— ’, о:—; Z о Можно о:т? Рже. 30 ь 687. Вычислите: 2 11 688. Найдите произведение дробей — и —- и произведение 3 7 дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите это свойство в общем виде (с помощью бук- венных выражений). 689. Найдите наибольшее и наименьшее значения выра- жения 1 4~:х, если х— 1; 4-; 2 4-; 4-. 3 9 о 3 107
690. Составьте задачу по уравнению: a)x.3^-|-; 6)ll+f=lf; в)2Х:в=Х. Л\ 691. Ваня и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня думает, что его часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они отстают на 15 мин. А Таня думает, что ее часы отстают на 15 мин, хотя они на самом деле спешат на 10 мин. Что произойдет, если каждый из них, полагаясь на свои часы, будет стремиться прийти за 5 мин до отхода поезда? 2 692. Возраст Сережи составляет — возраста отца. Сереже 12 лет. Сколько лет отцу? 693. Комбайнер за 1 ч скосил пшеницу с площади 3 га, что составляет 15% того, что он скосил за день. Какую площадь ско- сил комбайнер за день? 694. 25% всех деревьев сада составляют груши, осталь- ные 150 деревьев — яблони. Сколько грушевых деревьев в саду? 695. Площадь 60 га составляет 0,75 площади поля. Чему равна площадь поля? 696. Найдите число, если: '25 а) 0,9 его равны 1 —; б) — его равны 3,5; в) 35% его равны 49. 697. Участок земли, площадь которого 6 а, составляет 2 3 л — сада, а площадь сада составляет — всего приусадебного О < участка. Чему равна площадь всего приусадебного участка? 698. За фрукты заплатили 2 р. 10 к., что составляет 30% стоимости всей покупки. Стоимость покупки составляет 25% де- нег, имевшихся у покупателя. Сколько денег было у покупа- теля? 699. Решите задачу: 1) В книге 240 страниц. В субботу мальчик прочитал 7,5% всей книги, а в воскресенье — на 12 страниц больше. Сколько страниц ему осталось прочитать? 2) Для птицефермы заготовили 2600 т корма. В первый ме- сяц было израсходовано 8,5% корма, а во второй месяц — на 30 т больше. Сколько тонн корма осталось? 108
700. Найдите значение выражения: а) 2,56 • 0,44 • 2,25 3,2 0,12 0,6 ; д) 11,7:1 ж) в) 5,72.^-; + .21.2А в) 8,4:2 f; е)-4 66 / ; з) о -= • 1 — • — 12 -£-3 А__4 Д .4 J_ 5 4 11 8 2 7 11 — 3 18 28,8:13 4+6,6:4- 7 3 4в:2-26 з 701. Никита истратил — своих денег на покупку книги и —- своих денег на покупку альбома. Сколько денег было у Ни- 14 киты, если альбом дешевле книги на 7 к.? 702. Поезд проходит расстояние между городами за 6 ч со скоростью 68 км/ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать 4- этого расстояния со скоростью 17 км/ч? О 703. Получили сплав из куска меди объемом 15 см3 и кус- ка цинка объемом 10 см3. Какова масса 1 см3 сплава, если мас- са 1 см3 меди 8,9 г, а масса 1 см3 цинка 7,1 г? Полученный результат округлите до десятых долей грамма. 704. Кухня в 10 м2 составляет 0,4 всех нежилых помеще- ний квартиры. Площадь нежилых помещений составляет — площади всей квартиры. Найдите площадь всей квартиры. м 705. Вырежьте из плотной бумаги фигуры, изображенные на рисунке 31, и склейте фигуры, изображенные на рисун- 109
a) 5) Рис. 32 ке 32. Эти фигуры называют приз- мами. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, а верх- нее и нижнее основания — равные многоугольники. На рисунке 32, а изображена треугольная призма, а на рисунке 32, б — четырехуголь- ная. Каждый прямоугольный па- раллелепипед — это четырехуголь- ная призма. НВ самых древних дошедших до нас письменных источ- никах — вавилонских глиняных табличках и египетских папирусах встречаются не только натуральные числа, но и дроби. Дроби были нужны, чтобы выразить результат измерения длины, массы, площади в случаях, когда единица измерения не укладывалась в измеряемой величине целое число раз. Тогда вводили новую, меньшую единицу измерения. На- звания этих новых единиц измерения и стали первыми назва- ниями дробей. Например, дробь — до сих пор называют «поло- вина»; у римлян слово «унция» сначала было названием две- надцатой доли единицы массы, но потом унция стала обозна- чать одну двенадцатую долю любой величины (говорили: «Семь унций пути», т. е. семь двенадцатых пути). В Древнем Вавилоне, как вы знаете, дроби были шестидесяте- ричными, т. е. записывались, например, в виде 4; 52; 03. Это означало: 4Ч- —4-—„. И сейчас, когда мы пишем 3 ч 21 мин 1 60 602 47 с, то, по сути дела, записываем доли часа в шестидесятерич- 21 47 47 ной системе счисления: 21 мин=— ч, 47 с = —г ч=—- ч. 60 60 3600 1 2 У египтян были особые знаки для дробей — и — и общий 2 3 способ записи для долей (т. е. дробей с числителем 1). Все остальные дроби они записывали в виде суммы долей. ттЛ 7 _ 1 . 1 5 _ 1 . 1 7 _ 14 1.1 Например. 12 3 + 4 » 24 8 +12 ’ 13 26 2 ^~2б ’ (Подумайте, как можно быстро находить такую сумму.) 110
Запись дробей с помощью числителя и знаменателя появи- лась в Древней Греции, только греки знаменатель записывали сверху, а числитель — снизу. Дроби в привычном для нас виде впервые стали записывать индусы около 1500 лет назад, но они не использовали черту между числителем и знаменателем. Черта дроби стала общеупотребительной лишь с XVI в. В старину применяли в основном обыкновенные дроби. Это объяснялось различными соотношениями между единицами измерения: они делились и на 12, и на 16, и на 40 частей. Но потом было замечено, что самыми удобными для вычислений являются десятичные дроби. С XVII—XVIII в. они получили всеобщее распространение, особенно после создания и введения в большинстве стран метрической системы мер. § 4. Отношения и пропорции 20. Отношения Задача 1. От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали? Решение. Сначала узнаем, какую часть всего куска мате- рии составляет 1 м. Так как в куске 5 м, то он составляет 1 2 — куска. Значит, 2 м составляют — всего куска материи. Тот 5 о же ответ можно получить, разделив 2 на 5. Действительно, о 2:5=—* Ответ можно также записать в виде десятичной О дроби или в процентах: -^-=0,4 = 40%. О Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Отно- шение показывает, во сколько раз первое число больше второго или какую часть первое число составляет от второго. Если две величины измерены одной и той же единицей изме- рения, то отношение их значений называют также отношением этих величин (отношением длин, отношением масс, отношением площадей и т. д.). Задача 2. Длина железной дороги 360 км. Электрифи- цировано 240 км этой дороги. Какая часть дороги электри- фицирована? Во сколько раз вся дорога длиннее ее электрифи- цированной части? 111
Решение. Чтобы найти, какая часть дороги электрифици- рована, берем отношение 240:360. Записываем это отношение в виде дроби и сокращаем ее на 120. Получим 240:360=|^ = 360 2 2 =—. Значит, электрифицировано — всей дороги. 3 3 Чтобы узнать, во сколько раз вся дорога длиннее своей электрифицированной части, берем отношение 360:240. Запи- сываем его в виде дроби и сокращаем эту дробь на 120. Полу- чим 360:240=^77=-77-= 1 4-= 1,5. Значит, вся дорога в 1,5 240 2 2 раза длиннее ее электрифицированной части. 2 3 Числа — и — взаимно обратны, поэтому и отношения 2 к 3 о 2 . и 3 к 2 также называют взаимно обратными. Если величины измерены разными единицами измерения, то для нахождения их отношения надо предварительно перейти к одной единице измерения. Задача 3. Масса станка 9,6 ц, а масса электромотора 36 кг. Найдите отношение массы электромотора к массе станка. Решение. Выразим массу станка в килограммах. Полу- чим 9,6 ц = 960 кг. Значит, отношение массы электромотора к массе станка равно ^7=^7 = 0,0375. 960 80 Итак, масса электромотора составляет 0,0375 массы станка. Этот ответ можно выразить в процентах: 0,0375 = 3,75%. Значит, масса электромотора составляет 3,75% массы станка. ©Что называют отношением двух чисел? Что показывает от- ношение двух чисел? Как узнать, какую часть число а сос- тавляет от числа 5? Как узнать, сколько процентов одно число составляет от другого? 706. Найдите отношение: а) 124 к 3; в) 12,3 к 3; д) 0,25 к 0,55; ж) 6-|- к 8,2; 6 б) 6 к 20; г) 9,1 к 0,07; е) 8 к || ; з) 1,35 к 5-|-. 1о 13 8 707. Проволока разрезана на два куска. Первый кусок имеет длину 9 м, а второй 14,4 м. Найдите, какую часть всей про- волоки составляет первый кусок; второй кусок. Какую часть первый кусок составляет от длины второго куска? 112
В Возможны разные способы использования термина от- ношение в речи. Читая выражение 35:27, можно сказать: — отношение числа тридцать пять к числу двадцать семь р. п. в. п. д. п. в. п. — отношение чисел тридцать пять и двадцать семь р. п. в. п. в. п. — отношение тридцати пяти к двадцати семи р. п. д. п. 708. Внутри угла АОС проведен луч ОВ так, что Z_AOB = =.56° и Z- ВОС = 40°. Какую часть угла АОС составляет угол АОВ\ угол ВОС? Выполните построение этих углов с помощью транспортира. 709. Площадь прямоугольника 22,05 дм2. Длина этого пря- моугольника 10,5 дм. Найдите отношение длины прямоуголь- ника к его ширине. Что показывает это отношение? Запишите отношение, обратное полученному отношению. Что будет по- казывать это отношение? 2 710. Отношение а к b равно —. Найдите обратное отноше- ние. Чему будет равно отношение m к п, если отношение п к m равно 1,25? 711. Сплав из свинца и олова содержит 1,52 кг свинца и 0,7 6 кг олова. В каком отношении взяты свинец и олово? Какую часть сплава (по массе) составляет олово и какую часть свинец? 712. Какую часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20 мин, если продолжительность урока 45 мин? 713. В классе 36 учащихся. Из них 15 мальчиков, а осталь- ные девочки. Какую часть учащихся составляют мальчики, а какую девочки? Чему равно отношение числа девочек к числу мальчиков и что оно показывает? 714. Два колхоза построили дорогу. Первый колхоз постро- 5 ил — дороги, второй — остальную часть. Во сколько раз часть дороги, построенная первым колхозом, больше, чем часть доро- ги, построенная вторым? 113
715. Расстояние от села до города автомашина прошла за 3 ч. В первый час она прошла четверть всего расстояния, во вто- рой час треть всего расстояния. Во сколько раз расстояние, прой- денное в третий час, больше расстояния, пройденного во второй час? Какую часть расстояние, пройденное в первый час, состав- ляет от расстояния, пройденного в третий час? 716. Молоко разлили в три бидона. В первый налили 0,1 всего молока, во второй 0,3 всего молока, а в третий 0,6 всего молока. Что показывает отношение: а) 0,1 к 0,3; б) 0,1 к 0,6; в) 0,3 к 0,6; г) (0,34 0,1) к 0,6? 717. В классе 40 учащихся. 8 учащихся учатся на «5». Сколько процентов учащихся класса составляют отличники? 718. Из 250 семян погибли 10. Найдите процент всхожести семян. 719. В связи с повышением разряда рабочий стал вместо 240 р. получать 300 р. На сколько процентов повысилась зарплата рабочего? 720. По коэффициенту трудового участия (КТУ) заработок между тремя рабочими распределили следующим образом: первому — 40% всех денег, второму — 35% всех денег, а третьему — остальные 25%. Определите, округлив результаты до десятых, сколько процентов составляли деньги, полученные: а) первым рабочим, от денег, полученных двумя другими; б) вторым рабочим, от денег, полученных двумя другими; в) первым рабочим, от денег, полученных вторым; г) вторым рабочим, от денег, полученных первым; д) третьим рабочим, от денег, полученных первым. 721. Имеющиеся деньги брат и сестра распределили так, что сестра получила в 3 раза больше, чем брат. Определите: а) какую часть денег получила сестра и какую брат; б) сколько процентов всех денег получила сестра и сколько брат; в) какую часть деньги брата составляют от денег сестры. 722. Известно, что сумма углов любого треугольника равна 180°. В треугольнике АВС найдите А А, если: a) ZB=75°; ZC = 80°; б) А А больше АВ на 20° и меньше АС на 40°; 2 1 в) АВ составляет а АС составляет — суммы всех углов 0 О треугольника; г) АА составляет АВ и Z.C = 70°. О 114
723. Что показывает отношение: а) пути, пройденного авто- машиной, ко времени ее движения; б) числа деталей, изготов- ленных станком-автоматом, ко времени его работы; в) стоимости купленных яблок к их массе; г) объема прямоугольного парал- лелепипеда к площади его основания? 724. Найти, сколько процентов число 9,729 составляет от числа 84,6, можно с помощью микрокалькулятора по программе 9.729 ~ % — . Выполните по этой програм- ме вычисления. С помощью микрокалькулятора: а) найдите, сколько про- центов составляет 0,0912 от 36,48 и 13,524 от 16,8; б) решите задачу: «Из 327 га вспахано 225 га. Сколько процентов земли вспахано? Сколько процентов земли осталось вспахать?» Ответ округлите до десятых долей процента. 725. Вычислите устно: а) 16 • 10 б) 800 : 25 в) 7 : 5 г) 0,5 : 20 Д) 4-2,8 + 190 • 30 -0,2 -1,8 • 7 -200 -510 • 6 : 4,1 : 0,42 : 5 : 10 + 3,8 + 5,2 • 0,01 • 7 • 2 : 5 : 1,2 + 3,3 ? ? ? ? ? 726. Найдите пропущенные числа: а) 727. На сколько надо увеличить знаменатель дроби • 1 Z 77 » Л » 4*» чтобы получить дробь 4- ? 1 ( о 4 728. Выразите в процентах числа: 0,2; 0,15; f; f; f; 1; 3. 115
729. Половина от половины числа равна половине. Найдите это число. м 730. Кто быстрее? Найдите в таблице последовательно все числа от 26 до 50: 42 47 34 29 43 50 28 39 48 35 40 33 36 26 30 49 44 31 36 46 32 37 45 41 27 37 30 47 46 44 42 33 27 36 39 34 48 50 31 43 28 41 38 49 26 45 32 29 40 35 731. Найдите значение выражения: 1 — +1 — В> Vs 3'; = 6>Т:0-7’ Г)-ПТГГ: е>^' 1 2 4 2 732. На покупку овощей и фруктов истрачено — из имев- о з шихся 18 р. Стоимость фруктов составляла — стоимости всей покупки. Сколько денег истрачено на покупку фруктов? 733. На окраску окон и дверей было истрачено 3,2 кг белил, 5 что составляет — всех белил, истраченных на ремонт. А на ре- О монт было истрачено 4- всех купленных белил. Сколько кило- 5 граммов белил было куплено? 734. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если: 1) его ширина 2,5 см и составляет высоты, а длина в 3,4 раза О больше высоты; 2) его высота 3,5 см и составляет 0,7 ширины, а длина в 2,4 раза больше ширины. ® 735. Двое мальчиков бросали баскетбольный мяч в кор- зину. Один мальчик из 20 бросков имел 13 попаданий, а другой из 26 бросков имел 15 попаданий. Найдите для каждого 116
мальчика, какую часть составляли попадания от числа бросков. Чей результат лучше? 786. Крутизной лестницы называют отношение высоты сту- пеньки к ее глубине. Чему равна крутизна лестницы, если высо- та ступеньки 18 см, а глубина 30 см? 737. Автобус в первый час прошел 30 км, во второй 24 км, а в третий 42 км. Какую часть всего пути прошел автобус в каждый час? Какую часть пути, оставшуюся после первого часа движения, прошел автобус во второй час и какую в третий час? 738. Для варенья на 3,6 кг ягод было взято 4,2 кг сахар- ного песку. В каком отношении по массе были взяты ягоды и сахарный песок? 789. В сосуд налили 240 г воды и положили 10 г соли. Най- дите процентное содержание соли в растворе. Через некоторое время 50 г воды испарилось. Какое теперь стало процентное со- держание соли в растворе? 740. Комбайнер намолотил 76 т зерна, превысив задание на 12 т. На сколько процентов комбайнер перевыполнил задание? 741. На складе были пшеница, овес и кукуруза, причем пше- ница составляла 64%, овес 16% всего количества зерна. В то- варный состав загрузили всю пшеницу и всю кукурузу. Какой процент погруженного зерна составляла пшеница? Какой про- цент погруженного зерна составляла бы пшеница, если вместо кукурузы погрузили бы овес? 742. Длина прямоугольника а см, а ширина b см. Длина другого прямоугольника т см, а ширина п см. Найдите от- ношение площади первого прямоугольника к площади второго. Найдите значение получившегося выражения, если: а) о=9, Ь = 2, т = 8, п=3; б) а=6,4, Ь=0,2, т = 3,2, л=0,5. 743. Найдите значение выражения: (2,34-5,8)3 у (4,9—2,3): у 0,21 ♦ 1,25 . 13,6-11,1 ’ б) 4 4-2,25-0,8 О 1О_____________ 2,781 7,825 2,06 3,13 ' 117
21. Пропорции Отношения 3,6:1,2 и 6,3:2,1 равны, так как значения част- ных равны 3. Поэтому можно записать равенство 3,6:1,2 = а О. о 1 3,6 6,3 = 6,3:2,1. или—=—. Равенство двух отношений называют пропорцией. С помощью букв пропорцию записывают так: a'.b = c'.d или -=-£-. Эти записи читают так: ♦ Отношение а к Ь равно b а отношению ска» или «а так относится к о, как с относится к а». В пропорции —=—, или а:6=с:</, Средние ь d |----1 числа and называют крайними члена- П • h = С * (1 МЯ' а числа и с — средними членами I *______ । пропорции. В дальнейшем будем счи- 1----кппйние тать, что все члены пропорции отличны от нуля: а#=0, Ь=#0, с#=0, d=^Q. „ 3,6 6,3 В пропорции р^-== найдем произведение ее крайних и произведение ее средних членов. Получим 3,6-2,1 = 7,56; 1,2-6,3 = 7,56. Значит, 3,6-2,1 = 1,2-6,3. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. Верно и обратное утверждение: если произведение крайних членов равно произведению средних чле- нов пропорции, то пропорция верна. Это свойство называют основным свойством пропорции. Пропорция 20:16 = 5:4 верна, так как 20-4 = 16-5 = 80. Поменяем местами в этой пропорции средние члены. Получим новую пропорцию: 20:5 = 16:4. Она тоже верна, так как при такой перестановке произведение крайних и произведение сред- них членов не изменилось. Эти произведения не изменятся, если в пропорции 20:5 = 16:4 поменять местами крайние члены. Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны. Используя основное свойство пропорции, можно найти ее неизвестный член, если все остальные члены известны. Пример 1. Найдем в пропорции 0,5 '.а = 2:13 неизвестный средний член а. 118
Решение. Используя основное свойство пропорции, по- лучим а • 2 — 0,5 • 13. Отсюда а — °-’5 *3 ; а = 3,25. Пример 2. Решим уравнение 8,735 = оу-. 3Т Решение. Используя основное свойство пропорции, полу- чим 8,75-0,75 = 3-|—х. .Отсюда х=3—-~7-5 . Представим 3 -|- 3Т в виде десятичной дроби 3,75 и сократим выражение на 0,75, 8 75 имеем х—-2—; х = 1,75. 5 ©Что такое пропорция? Как называются числа х и у в про- порции х :а = b: у? Как называются числа т и п в пропор- ции а: т = п: Ь? Сформулируйте основное свойство пропорции. Какие перестановки членов пропорции снова приводят к верным пропорциям? Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-нибудь средний ее член с одним из крайних? Приведите пример. Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Про- верьте ваш ответ на пропорции 3:4 = 9:12. 0744. Запишите пропорцию: а) 5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2; 1 2 б) 0,9 так относится к —, как 45 относится к 16 —; о ’О в) отношение к 0,1 равно отношению 14 к 4,9. Проверьте полученные пропорции, определяя отношения чисел. 745. Из каких отношений 0,6:5; 4,2:7; -у-:6,25 можно сос- 4 тавить верную пропорцию? 746. Прочитайте пропорции и проверьте, верные ли они, используя основное свойство пропорции: a) 4-J-:3-i-=36:26; г) Qi1.?5 • 2 4 ' 0,6 0,18 ’ б) 3:7,5=2-|-:6-1-; д) Z 4 о О в) 2-L:9 = l:39; е) >=-^. 119
747. Решите уравнение: a) у: 51,6 = 11,2:34,4; г) 5-|-:3f=5i-:x; ч 12,3 7х , Д) ~6----‘it’ е) »:3V=4+2^; ж) -1-ж:5=1б:0,8; з) 0,2:(х—2)=-|-:2-|-; и) 2 4~- 0,24 = 1 -к* +0,06). 3 У 748. Переставив средние или крайние члены пропорции, сос- тавьте три новые верные пропорции из пропорции: а) 5:15=4:12; 6) в) V,O fl п 749. Используя верное равенство 4-9=0,2-180, составьте четыре верные пропорции. 750. Вычислите устно: а) 15 • 10 б) 900 : 15 в) 1 : 4 г) 1,4+ 3,6 д) з - 1,6 + 350 • 9 -0,1 : 0,25 -1,2 : 25 + 260 • 6 • 0,14 : 1,8 • 20 : 16 : 4,5 — 2,7 -0,2 -150 • 20 + 0,38 • 7,3 • 0,4 ? ? ? ? ? 751. Какой знак действия надо подставить вместо ♦, чтобы получилось верное равенство: a) 6) 2*1—в) -.-=т; г) 0,3-?=7’ 752. Найдите отношение величин: а) 1,5 м и 30 см; б) 1 кг и 250 г; в) 1 ч и 15 мин; г) 50 см2 и 1 дм2. 753. числа равны ~ этого числа. Какое это число? 754. Какое число надо прибавить к числителю и знамена- 7 3 телю дроби —, чтобы получить дробь — ? Ш 755. Какие из фигур (рис. 33) являются развертками: а) четырехугольной призмы; б) треугольной призмы; в) треугольной пирамиды? 120
Рис. 33 756. Из ружья сделано 50 выстрелов, при этом 5 пуль проле- тели мимо цели. Определите процент попаданий. 757. Угол А равен 30°, а угол В равен 50°. Какую часть угол А составляет от угла В? Во сколько раз угол В больше уг- ла А? 758. Бригаде было дано задание собрать 280 ц винограда. Она собрала 350 ц. На сколько процентов бригада перевыпол- нила задание? На сколько процентов бригада выполнила за- дание? 759. В парке посадили клены и дубы, причем на каж- дые 4 клена приходится один дуб. Сколько процентов от всех посаженных деревьев составляют клены? Сколько всего поса- дили деревьев в парке, если кленов посадили 480? ®760. Верна ли пропорция: а) 2,04:0,6 = 2,72:0,8; б) 0,0112:0,28 = 0,204:0,51? 761. Решите уравнение: а) 2-1-fc =4-1-1в) </:-!— ' 3 2 9 ' 9 5 8 4 6)8 —m = 3—-1 —; г) z:—= 3—:—. ' 2 3 11 ’ 7 14 9 9 762. Из 225 кг руды получили 34,2 кг меди. Каково процент- ное содержание меди в руде? 763. Через 2 ч после выхода со станции А тепловоз увеличил скорость на 12 км/ч и через 5 ч после начала движения прибыл в пункт назначения В. Какова была скорость тепловоза в начале пути, если расстояние от А до В равно 261 км? 121
2 764. Если к у неизвестного числа прибавить 0,8, то полу- чится 1,2. Найдите неизвестное число. 766. Выполните действия: а) (з,2:4 + 4-|-:3,2 )-4,8; б) (385,7:0,19 - 30) • 0,2 - (35,7 • 3,29 + 2,547). 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Если станок с числовым программным управлением за 2 ч изготовляет 28 деталей, то за вдвое большее время, т. е. за 4 ч он изготовит вдвое больше таких деталей, т. е. 28*2 = 56 дета- лей. Во сколько раз больше времени будет работать станок, во столько раз больше деталей он изготовит. Значит, равны отношения 4:2 и 56:28. Следовательно, верна пропорция 4:2 = 56:28. Такие величины, как время работы станка и число изготовленных деталей, называют прямо пропорциональными величинами. Дее величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны. Пусть путь из города А в город В поезд со скоростью 40 км/ч проходит за 12 ч. Если скорость движения увеличить вдвое, •т. е. сделать ее равной 80 км/ч, то на этот же путь поезд затратит вдвое меньше времени, т. е. 6 ч. Во сколько раз уве- личится скорость движения, во столько же раз уменьшится время движения. В этом случае отношение 80:40 будет равно не отношению 6:12, а обратному отношению 12:6. Следователь- но, верна пропорция 80:40=12:6. Такие величины, как ско- рость и время, называют обратно пропорциональными величинами. Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соот- ветствующих значений другой величины. 122
Не всякие две величины являются прямо пропорциональны- ми или обратно пропорциональными. Например, рост ребенка увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста рост ребенка не удваивается. Задачи на пропорциональные величины можно решить с помощью пропорции. Задача 1. За 3,2 кг товара заплатили 11,52 р. Сколько следует заплатить за 1,5 кг этого товара? Решение. Запишем кратко условие задачи в виде табли- цы, обозначив буквой х стоимость (в рублях) 1,5 кг этого товара. Запись будет иметь следующий вид: Количество Стоимость товара товара I покупка 3,2 кг I 11,52 р. II покупка и 1,5 кг | х р. Зависимость между количеством товара и стоимостью по- купки прямо пропорциональная, так как если купить товара в несколько раз больше, то и стоимость покупки увеличится во столько же раз. Условно обозначим такую зависимость одинаково направленными стрелками. о 3,2 11,52 Запишем пропорцию: -гЧ- = —-—. 1,0 X Теперь найдем неизвестный член пропорции: Ответ: 5,4 р. Задача 2. Два прямоугольника имеют одинаковую пло- щадь. Длина первого прямоугольника 3,6 м, а ширина 2,4 м. Длина второго прямоугольника 4,8 м. Найдите ширину второго прямоугольника. Решение. Обозначив буквой х ширину (в метрах) вто- рого прямоугольника, запишем кратко условие задачи: Длина Ширина I прямоугольник | 3,6 м 2,4 м II прямоугольник | 4,8 м х м Зависимость между шириной и длиной при одном и том же значении площади прямоугольника обратно пропорциональ- 123
ная, так как если увеличить длину прямоугольника в несколько раз, то надо ширину во столько же раз уменьшить. Условно обозначим такую зависимость противоположно направленными стрелками. п 3,6 х Запишем пропорцию: Теперь найдем неизвестный член пропорции: „ -.3,6-2,4 _ 1 я х-“£в----1>8- Ответ: 1,8 м. ©Какие величины называют прямо пропорциональными? Что можно сказать об отношениях соответствующих зна- чений таких величин? Приведите примеры прямо пропорцио- нальных величин. Какие величины называют обратно про- порциональными? Что можно сказать об отношениях соот- ветствующих значений таких величин? Приведите примеры обратно пропорциональных величин. Приведите примеры вели- чин, у которых зависимость не является ни прямо, ни обратно пропорциональной. 766. Определите, является ли прямой пропорциональной, обратной пропорциональной, или не является пропорцио- нальной зависимость между величинами: а) путем, пройден- ным автомашиной с постоянной скоростью, и временем ее движения; б) стоимостью товара, купленного по одной цене, и его количеством; в) площадью квадрата и длиной его стороны; г) массой стального бруска и его объемом; д) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда некоторую работу, и временем выполнения этой рабо- ты; е) стоимостью товара и его количеством, купленным на определенную сумму, денег; ж) возрастом человека и размером его обуви; з) объемом куба и длиной его ребра; и) периметром квадрата и длиной его стороны; к) дробью и ее знаменателем, если числитель не изменяется; л) дробью и ее числителем, если знаменатель не изменяется. Задачи 767—778 решите, составив пропорцию. 767. Стальной шарик объемом 6 см3 имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см3? 768. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получится из 7 кг хлопкового семени? 124
769. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 210 мин. За какое время 7 бульдозеров расчистят эту площадку? 770. Для перевозки груза потребовалось 24 машины грузо- подъемностью 7,5 т. Сколько нужно машин грузоподъемностью 4,5 т, чтобы перевезти тот же груз? 771. Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 200 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дали всходы (процент всхожести)? 772. Во время воскресника по озеленению города на улице посадили липы. Принялось 95% всех посаженных лип. Сколько посадили лип, если принялось 57 лип? 773. В лыжной секции занимаются 80 учащихся. Среди них 32 девочки. Какой процент участников секции составляют де- вочки и какой мальчики? 774. Колхоз по плану должен засеять 980 га кукурузой. Но план выполнили на 115%. Сколько гектаров кукурузы посеял колхоз? 775. За 8 месяцев рабочий выполнил 96% годового плана. Сколько процентов годового плана выполнит рабочий за 12 ме- сяцев, если будет работать с той же производительностью? 776. За три дня было убрано 16,5% всей свеклы. Сколько потребуется дней, чтобы убрать 60,5% всей свеклы, если рабо- тать с той же производительностью? 777. В железной руде на 7 частей железа приходится 3 части примесей. Сколько тонн примесей в руде, которая содержит 73,5 т железа? 778. Для приготовления борща на каждые 100 г мяса надо взять 60 г свеклы. Сколько свеклы надо взять на 650 г мяса? 779. Вычислите устно: а) 800 : 16 б) 309+541 в) 5 — 3,4 г) 2,5+ 3,5 д) 7,5 : 25 • 7 -360 • 4 : 1,5 • 1,6 -80 : 70 + 2,7 • 0,125 +0,2 : 30 • 30 : 13 + 4 : 0,17 _ * 15 : 21 • 0,03. : 0,03 -0,1 ? ? ? ? ? 780. Представьте в виде суммы двух дробей с числителем 1 - , 5 8 9 4 13 каждую из следующих дробей: —, —, — , —, — . 125
781. Из чисел 3, 7, 9 и 21 составьте две верные пропорции. 782. Средние члены пропорции 6 и 10. Какими могут быть крайние члены? Приведите примеры. 783. При каком значении х верна пропорция: a) б) —=—; в) ; г) ^-=А; д) i-=-L? 7 4 х ’ 7 4 9’ 76 18 ’ ’ х 5 * А7 х х 784. Найдите отношение: а) 2 мин к 10 с; в) 0,1 кг к 0,1 г; д) 3 дм3 к 0,6 м3. б) 0,3 м2 к 0,1 дм2; г) 4 ч к 1 сут; 785. Где на координатном луче должно быть расположено число с, чтобы была верна пропорция (рис. 34)? о а 0 a b d ।-------1 .—...-и-------1-------1--------1-------1--- Рис. 34 м 786. Развивайте свою память! Закройте таблицу листом бумаги. На несколько секунд откройте первую строку и за- тем, вновь закрыв ее, постарайтесь повторить или записать три числа этой строки. Если вы верно воспроизвели все числа, пе- реходите ко второй строке таблицы. Если в какой-либо строке допущена ошибка, сами напишите несколько наборов из такого же, как в строке, количества двузначных чисел и тренируйтесь в их запоминании. Если вы можете без ошибок воспроизвести не менее пяти двузначных чисел, у вас хорошая память. 787. Решите уравнение а) 4,5:(3х) = 4:28; б) (2х):9 = 2-|-:5-1-; в) 1,25:0,4 = 1,35:(0,Зх); г) 1-^-:1=(2ж):-|-. О о 788. Можно ли составить верную пропорцию из следующих чисел: а) 15; 14; 8 и 75; б) f; f; 1 f; 1 ± 1 789. Из равенства произведений 3-24 = 8-9 составьте три верные пропорции. 126
790. Длина отрезка АВ равна 8 дм, а длина отрезка CD рав- на 2 см. Найдите отношение длин отрезков АВ и CD. Какую часть длины отрезка АВ составляет длина отрезка CD? 791. Путевка в санаторий стоит 460 р. Профсоюз оплачи- вает 70% стоимости путевки. Сколько за путевку заплатит от- дыхающий? 792. Найдите значение выражения: 3 — 4-2 —-— . 8Т 12 8». 12 0,8-1,8 7,3 —0,4-8,5 ’ ' 1 i 1 * 12 + 215 Т 793. Решите задачу: 1) При обработке детали из отливки массой 40 кг в отходы ушло 3,2 кг. Какой процент составляет масса детали от массы отливки? 2) При сортировке зерна из 1750 кг в отходы ушло 105 кг. Какой процент зерна остался? 794. Найдите значение выражения: 1) 6,0008:2,64,23 0,4; 2) 2,91-1,24-12,6288:3,6. 4|к 795. Из 20 кг яблок получается 16 кг яблочного пюре. Сколько яблочного пюре получится из 45 кг яблок? 796. Трое маляров могут закончить работу за 5 дней. Для ускорения работы добавили еще двух маляров. За какое время они закончат работу, считая, что все маляры будут работать с одинаковой производительностью? 797. За 2,5 кг баранины заплатили 4,75 р. Сколько барани- ны можно купить по той же цене на 6,65 р.? 798. В сахарной свекле содержится 18,5% сахара. Сколько сахара содержится в 38,5 т сахарной свеклы? Ответ округлите до десятых долей тонны. 799. В семенах подсолнечника нового сорта содержится 49,5% масла. Сколько килограммов таких семян надо взять, чтобы в них содержалось 29,7 кг масла? 800. В 80 кг картофеля содержится 14 кг крахмала. Най- дите процентное содержание крахмала в таком картофеле. 801. В семенах льна содержится 47% масла. Сколько мас- ла содержится в 80 кг семян льна? 802. Рис содержит 75% крахмала, а ячмень 60%. Сколько надо взять ячменя, чтобы в нем содержалось столько же крах- мала, сколько его содержится в 5 кг риса? 127
803. Найдите значение выражения: а) 203,81:(141 -136,42) + 38,4:0,75; б) 96:7,5-f-288,51:(80 — 76,74). 23. Масштаб Участки земной поверхности изображают на бумаге в умень- шенном виде. Например, отрезок 1000 м изображают на карте (рис. 35) отрезком в 1 см. Так как 1000 м = 100 000 см, то каж- М 1: 100000 Ряс. 35 дый отрезок на карте в 100 000 раз меньше соответствующего отрезка на местности. Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. В рассмотренном нами примере масштаб карты равен 1:100 000 = = £^q00- • Говорят, что карта сде- лана в масштабе одна стотысячная. Задача 1. Длина отрезка на карте 3 см. Найдем длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб кар- ты 1:1 000 000. Решение. Обозначим длину отрезка на местности (в сан- тиметрах) буквой х и найдем отношение длины отрезка на карте к длине отрезка на местности: 3:х, которое и будет равно масштабу карты. Значит, 3: х = 1:1 000 000. Решив уравнение, получим х = 3 ♦ 1 000 000 = 3 000 000. Но 3 000 000 см = 30 000 м = 30 км. Ответ: длина отрезка на местности 30 км. Задача 2. Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1:100 000? Решение. Обозначим длину (в километрах) отрезка на карте буквой х и составим пропорцию: х: 4,5 = 1:100 000. Решив уравнение, получим х=4,5:100 000 = 0,000045. Но 0,000045 км = 0,045 м = 4,5 см. Ответ: длина отрезка на карте 4,5 см. 128
Что называют масштабом карты? Чему равен масштаб wF чертежа, если на нем детали увеличены в 5 раз? уменьше- ны в 50 раз? ©804. Определите по карте (рис. 36) расстояние от опушки леса (точка А) до точки пересечения дороги с рекой. Масштаб карты 1:100 000. 805. Расстояние между городами А и В на карте равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности, если масштаб карты ; * . к 1 000 000 806. Длина железной дороги Москва - Петербург прибли- женно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, приме- нив масштаб 1:10 000 000. 807. Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масш- табе одна десятимиллионная? 808. На рисунке 37 дан план квартиры в масштабе 1:100. Определите по плану, какие размеры имеют кухня, ванная и комнаты и какова их площадь в действительности. 809. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответству- ет расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте расстояние между ними 12,6 см? 810. Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе: а) 1:10 000 000; б) 1:2 000 000? Рис. 36 5 Зак. 607 129
811. Отрезок на местности длиной 3 км изображен на кар- те отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающе- го отрезок 10 км? Какой отрезок на местности изображает от- резок на карте длиной 1,8 см? 812. Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:5, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 1:3? в масштабе 2:1? а 813. Вычислите устно: а) 370-1-230 б) 720 : 18 в) 7,2 : 2,4 г) 6 — 4,5 Д) 8 • 1,2 : 50 4-280 -0,6 •0,4 + 0,4 * 30 : 16 : 0,12 : 1,2 • 0,01 -1-340 • 50 • 0,125 • 7 : 0,5 : 14 : 125 + 7,5 + 0,8 : 0,1 ? ? ? ? ? 814. Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби , чтобы получить дробь 4- ? 47 9 816. Составьте три пропорции, используя верное равенство: а) 18:2=54:6; в) 2,8-45=6,3-20; б) 4,5:1,5 = 1,26:0,42; г) 3,9 0,14 = 0,6 0,91. 816. Две трети от двух третьих числа равны двум третьим. Какое это число? 817. Сколько гектаров в 1 м2? Сколько часов в 1 с? Сколь- ко литров в 1 см3? 818. Известно, что объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы такой же высоты и с таким же основа- нием (рис. 38). Вычислите объем четырехугольной пирамиды, м „ 2 в основании которой прямоугольник со сторонами — дм и 0 — дм, а высота равна 5 дм. 130
819. За 4 одинаковые коробки цветных карандашей запла- тили 4,4 р. Сколько стоят 12 таких коробок карандашей? 820. Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 ч со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если будет лететь со скоростью 100 км/ч? 821. Начертите окружность и постройте два ее радиуса, угол между которыми 120°. Закрасьте часть круга между эти- ми радиусами. Какая часть круга окажется закрашенной и какая часть круга останется незакрашенной? 822. Решите задачу: 1) Сумма двух чисел 7,2, причем большего числа равна 3 меньшему числу. Найдите эти числа. 2) Разность двух чисел 1,5, причем большего числа равна меньшему числу. Найдите эти числа. 823. Решите уравнение: 3± 2-8 14 _ х . 15 _ 1.5 1 2 1 -1’5 ’ 3 4 2 ’ 2Т Зт 4|Ь 824. Найдите с помощью карты расстояние от Москвы до Киева. 825. Измерьте длину и ширину своей комнаты. Начертите в тетради план этой комнаты в масштабе 1:100. 826. Расстояние на местности в 20 м изображено на плане отрезком 1 см. Определите масштаб плана. 827. Длина дома на плане 25 см. Чему равна длина дома на местности, если план сделан в масштабе 1:300? 828. Расстояние между городами на местности равно 1300 км. Каким отрезком будет изображено это расстояние на карте, масштаб которой 1:10 000 000? 829. Длина детали на чертеже,? сделанном в масштабе 1:3, равна 2,4 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 2:1? 830. Найдите значение выражения: 10П:12 1 а>-^6т 2 22 244 ' 1 .. ..8 6ТЛ 4-9 5 131
24. Длина окружности и площадь круга Возьмем круглый стакан, поставим на лист бумаги и обведем его карандашом. На бумаге получится окружность. Если «опоясать» стакан ниткой, а потом распрямить ее, то длина нитки будет приближенно равна длине нарисованной окруж- ности (рис. 39). 2пг Рве. 39 Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диа- метра. Поэтому для всех окружностей отношение длины ок- ружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом. Его обозначают греческой буквой л (читается: «пи»). Если обозначить длину окружности буквой С, а длину диаметра бук- вой d, то C’.d = n. Поэтому С— nd. Так как диаметр окружности вдвое больше ее радиуса, то длина окружности с радиусом г равна 2лг. Получили другую формулу длины окружности: С = 2лг. Подсчеты показали, что с точностью до десятитысячных л»3,1416. Если значение л округлить до сотых, то получим значение 3,14. Примерно такую же точность дает значение 22 л« —. В старших классах будет рас- сказано, как проводились такие под- счеты. На рисунке 40 изображены круг и два квадрата ABCD и EFKM. Ра- диус круга равен г, поэтому длина стороны квадрата' ABCD равна 2г, а его площадь 4г2. Площадь треуголь- ника EOF вдвое меньше площади квадрата AEOF, поэтому площадь 132
EFKM вдвое меньше площади квадрата ABCD, т. е. равна 2г2. Площадь круга S больше площади квадрата EFKM, но меньше площади квадрата ABCD: 2r2cSc4r2. Примерно площадь круга равна Зг2. Можно доказать, что 8 = лг2. ©Напишите формулы для нахождения длины окружности по длине ее диаметра и по длине ее радиуса. Пропор- циональна ли длина окружности длине ее радиуса? Напишите формулу площади круга. Пропорциональна ли площадь круга длине его радиуса? ©831. Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см; 4,7 дм; 18,5 м. Число л округлите до сотых. О Формулы длины окружности и площади круга чита- ются так: C = nd — цэ равно пи дэ; С = 2лг — цэ равно двум пи эр; S = лг2 — эс равно пи эр квадрат. Выражение л»3,14 читают: пи приближенно равно трем целым четырнадцати сотым 832. Чему равна длина окружности, если ее радиус равен 22 1,54 м; 5,67 дм? Значение числа л возьмите равным —. 833. Диаметр долгоиграющей пластинки равен 50 см. Най- дите длину окружности этой пластинки. Число л округлите до десятых. 834. Выполните необходимые измерения ^**в*>(. и найдите длину половины окружности, f X изображенной на рисунке 41. / \ 835. Определите диаметр окружности, ес- * • ли ее длина равна 56,52 дм; 37,68 см р*0- 41 (л «3,14). 836. Колесо на расстоянии 380 м сделало 150 оборотов. Найдите диаметр колеса. Результат округлите до сотых метра (л «3,14). 133
. 837. Измерьте радиус и вычислите площадь каждого круга на рисунке 42. С. Рис. 42 0 / 838. Окружность арены цирка имеет длину 40,8 м. Найдите диаметр и площадь арены (л«3). 839. Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6,12 м, длина минутной стрелки 3,27 м. Найдите площадь циферблата. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час? Ответы округлите до сотых долей метра. 840. Выполните измерения и вычислите площадь каждой за- штрихованной фигуры на рисунке 43. 841. По рисунку 44 найдите площадь пятиугольника OABCD. Сравните ее с площадью четверти круга, радиус OD которого равен 5 см. 134
842. Вычислите устно: а) 500-1-310 б) 910 : 13 в) 1,5 • 0,6 г) 6,8 4-2,2 Д) 5-3,6 : 90 * 8 + 2,5 : 6 • 4 • 60 -80 : 1,7 4-3 : 14 -120 : 160 -0,6 • 0,2 : 0,02 : 14 • 350 : 0,2 : 1,8 4-0,7 ? ? ?. ? ? 843. Какой знак действия надо поставить вместо *, чтобы получилось верное равенство: ч 1 2 11 ч 6 1 1 ча а) — в) — *1—= 0,16 ' 3 5 15 ’ ' 35 . 14 б)— ♦ — = — ; г)1—*2—=3-^-? ' 7 21 49 7 3 3 9 29 844. Некоторое число вычли из числителя дроби — и приба- о У вили к ее знаменателю. Получили дробь . Найдите это число. 845. Масштаб карты 1:100 000. Заполните таблицу: Расстояние между пунктами на карте ✓ 4 см 16 мм Расстояние между пунктами на местности 1 км 5,5 км 800 м 846. Запишите масштаб карты, если отрезок на местности в 1 км изображается на карте отрезком 10 см. 847. Запишите масштаб рисунка, если он изображает фигу- ру, увеличивая ее в 50 раз. 848. Решите задачу, составив пропорцию: 1) В 2,5 кг баранины содержится 0,4 кг белков. Сколько килограммов белков содержится в 3,2 кг баранины? 2) В 6,5 кг свинины содержится 2,6 кг жиров. Сколько жи- ров содержится в 10,5 кг такой свинины? 849. Вычислите: 1) 32-1-|-; 3) (3,1)3 + 2,75; 5) (ly)^3; 2) 2-|-:23; 4) 26 —(2.1)2; 6) (2-j-)3; (-| )’• 135
850. На рисунке 45 изображен план двухкомнатной квар- тиры в масштабе 1:200. Узнайте по рисунку сумму площадей двух жилых комнат (I и II) и узнайте по плану, какую площадь занимают остальные помещения этой квартиры. 4|Ь 851. С помощью тонкой нити измерьте длину какой- нибудь окружности (на стакане, ведре, тарелке), измерьте длину диаметра. Найдите отношение длины окружности к длине диаметра и сравните полученный результат с числом л. 852. Найдите длину окружности, если ее радиус равен 36 см; 0,44 см; 125 км. (Число л округлите до сотых.) 853. Диаметр колеса тепловоза равен 180 см. За 2,5 мин колесо сделало 500 оборотов. С какой скоростью идет теп- ловоз? 854. Выполните измерения и вычислите площадь каждой заштрихованной фигуры (рис. 46). 855. Рабочий выполнил работы за 9 ч. За какое времй он О 7 выполнит — работы, если будет работать с той же производи- тельностью? 856. Ведро вмещает 6 л бензина. В такое же ведро вместо бензина налито равное (по массе) количество дегтя. Сколько литров дегтя налито в ведро, если масса 1 л бензина 0,8 кг, а масса 1 л дегтя 1,2 кг? 857i Найдите неизвестный член пропорции: а» 3Т:*=6Т:1Т: в)4т:*=8т-2т: б>7т:2т=3т:»; г> 6Т:3Т=3Т:г/' 136
25. Шар Футбольный мяч, глобус, арбуз дают нам представление о шаре. Все точки поверхности шара одинаково удалены от центра шара. Отрезок, соединяющий точку поверхности шара с центром, называют радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки поверхности шара и проходящий через центр шара, называют диаметром шара. Диаметр шара равен двум радиу- сам. Поверхность шара называют сферой. ©Что называется радиусом шара? диаметром шара? Что такое сфера? 0 858. Диаметр земного шара приближенно равен 12,7 тыс. км. Скольким тысячам километров равен радиус и длина экватора Земли? (Число тысяч округлите до десятых.) 859. Один из самых больших глобусов Земли был изготовлен в 1889 г. для Парижской всемирной выставки. Его диаметр был 12,7 м. В каком масштабе этот глобус изображал Землю? Какова длина экватора и меридианов на этом глобусе? 860. Площадь поверхности Луны приближенно равна 38 млн. км2, что составляет 0,075 площади поверхности Земли. Найдите площадь поверхности Земли. (Результат округлите до миллионов квадратных километров.) 861. Диаметр планеты Меркурий приближенно равен 5 тыс. км. Диаметр планеты Венера в 2,48 раз больше, а диаметр планеты Марс составляет диаметра планеты Венера. Най- дите диаметр планеты Венера и планеты Марс. 862. Вычислите устно: а) 3204-180 б) 630 : 90 в) 3,5 4-4,5 г) 0,5 • 1,8 : 20 • 60 •: 10 -0,15 • 6 4-180 -0,3 : 0,3 -80 : 15 • 17 4-5,5 • 13 • 25 4-2,5 : 1,6 ? ? ? ? 863. Масштаб плана 1:1000. На плане изображен круглый бассейн. Определите диаметр бассейна и его площадь, если на плане радиус бассейна 1 см. 137
864. Заполните таблицу: г 1 ч0,5 d 3 С л 5л 1 S л 16л 1 м 865. Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 расставьте в клетки так, чтобы равенства были верными: 866. Длина окружности 1,2 м. Чему равна длина другой окружности, у которой диаметр в 2 раза больше диаметра первой окружности? 867. Найдите площадь круга, у которого радиус 8 см. Найдите площадь второго круга, у которого радиус составля- з ет -j- радиуса первого круга. 868. Решите задачу: 1) В -двух строительных бригадах 88 человек. В первой 2 бригаде в 2 — раза меньше людей, чем во второй. Сколько чело- о век в каждой бригаде? 2) На двух животноводческих фермах работают 26 человек. На первой ферме работают в 1 4- раза больше людей, чем на О второй. Сколько человек работают на каждой ферме? 869. Найдите значение выражения*. D лж+1гд;-^х'еслих=5тг: 2) + У = 1±. © 870. Длина экватора Луны примерно равна 10,9 тыс. км. Чему равен диаметр Луны? (Результат округлите до сотен километров.) 871. Длина окружности 3,5 дм. Чему равна длина второй 138
5 окружности, у которой диаметр составляет — диаметра первой окружности? 872. Найдите площадь круга, у которого диаметр равен 12 см. Найдите площадь круга, у которого диаметр в 2 раза меньше диаметра первого круга. 873. Для перевозки картофеля выделили две автомашины. На первую машину погрузили в 1,2 раза больше картофеля, чем на вторую. Сколько тонн картофеля погрузили на каждую авто- машину, если на вторую погрузили на 0,9 т меньше, чем на первую? 874. Найдите значение выражения: а) 150,88: (3,2 • 2,3) - 60,27: (4,1 • 1,4); б) 592,92:(2,7-7,2)-102,48:(6,1 • 1,6). Н Слово «пропорция» (от латинского proportio) означа- ет «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой». Учение об отношениях и пропорциях особенно успешно раз- вивалось в IV в. до н. э. в Древней Греции, славившейся про- изведениями искусства, архитектуры, развитыми ремеслами. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке. Теория отношений и пропорций была подробно изложена в «Началах» Евклида (III в. до н. э.), там, в частности, приводится и доказательство основного свойства пропорции. С глубокой древности люди пользовались различными ры- чагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т. д.— при- меры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом 139
усилии, определяется пропорцией —=-7-, где Мит — массы т I грузов, a L и I — «плечи» рычага. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре оз- начает соблюдение определенных соотношений между разме- рами отдельных частей растения, скульптуры, здания и явля- ется непременным условием правильного и красивого изображе- ния предмета. Золотым сечением и даже «божест- венной пропорцией» называли мате- К матики древности и средневековья де- I ление отрезка, при котором длина С Д всего отрезка так относится к длине 47________________его большей части, как длина боль- шей части к меньшей. На рисунке 47 точка С pfijiwr отрезок АВ в отношении золотого сечения. Это отношение приближенно равно 0,618»-|~. Золотое сечение О чаще всёго применяется в произведениях искусства, архи- тектуре, встречается в природе. На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского, разделенная в таком отношении (точка С делит отрезок AD, точка В делит отрезок АС). Красивейшее произведение древнегреческой архитектуры — Парфенон — построено в V в. до н. э. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. 140
A Окружающие нас предметы также часто дают примеры зо- лотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют от- ношение ширины и длины, близкое к- числу 0,618. Рассматривая расположение листьев на общем стебле растений, можно заметить, чтр между каждыми двумя парами листьев (А и С) третья расположена в месте золотого сечения (точка В).
Глава II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 5. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА 26. Координаты на прямой Точка О на прямой АВ (рис. 48) разбивает эту прямую на два дополнительных луча О А и ОВ. Выберем единичный отре- зок и примем точку О за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из лучей задается ее координатой. Чтобы от- личить друг от друга координаты на этих лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «4- », а перед координатами на другом луче знак « — ». -4 -3 -2 -1 0 + 7 + 2 + 3 + 4 —< । । । J* 1 1 ^~в Рис. 48 Числа со знаком «4- » перед ними называют положитель- ными. Пишут: -|-1, 4-5, 4--?~» +2 4-» 4-3,6 — и читают: о 4 «Плюс один», «Плюс пять», «Плюс две третьих», «Плюс две це- лых одна четвертая», «Плюс три целых шесть десятых» (рис. 49). -5 -3,6 -2± -7-| 0 + f + 7 + 2^ +3,6 +5 —|------1 I ! -Ь 1 । । -I-------------------1 । > В А С Рис. 49 Числа со знаком «—» перед ними называют отрицатель- ными. Пишут: —1, —5, —|-, —2-|-, —3,6 — и читают: «Минус один», «Минус пять», «Минус две третьих», «Минус две це- лых одна четвертая», «Минус три целых шесть десятых» (рис. 49). Для краткости записи обычно опускают знак «4~ * перед 142
положительными числами и вместо +7 пишут 7. Поэтому + 7 = 7, + 2-^—=2-|—, 4-6,3 = 6,3, т. е. +7 и 7 — это одно о «5 и то же число, только по-разному обозначенное. Начало отсчета (или начало координат) — точка О изобра- жает 0 (нуль). Само число 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от от- рицательных. Прямые могут находиться в различных положе- ниях. Поэтому дополнительные лучи могут идти не только влево и вправо, но, например, вверх и вниз. Если прямая расположена горизонтально, то обычно положительными считают координаты точек, рас- положенных справа от точки О, а отрицательными — координаты точек, расположенных слева от точки О (см. рис. 49). Если прямая расположена вертикаль- но, то положительными считают координаты точек, находящихся выше точки О, а отрицательными — то- чек, находящихся ниже точки О (рис. 50). Положи- тельное направление отмечают стрелкой. Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на пря- мой, называют координатой згой точки. Рис. 50 Точка А на рисунках 49 и 50 имеет координату — 2 точ- ка В — координату — 3,6, а точка С — координату 3,6. Пишут: А ( — 2 В (- 3,6), С (3,6). С координатной прямой мы встречаемся на уроках истории («линия времени»). Шкалу с положительными и отрицатель- ными числами и нулем имеют термометры. Начало отсчета соответствует температуре таяния льда 0 °C. При 100 °C заки- пает вода. ©Что такое координатная прямая? Что называют координа- той точки на прямой? Какими числами являются коорди- наты точек на горизонтальной прямой, расположенных: а) справа от начала координат; б) слева от начала координат? Какую координату имеет начало координат? Какими числами 143
Рис. 51 обозначают координаты точек на вертикальной прямой, расположен- ных: а) выше начала координат; б) ниже начала координат? 0 875. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу дерева вверх и вниз (рис. 51). Покажите, где будет находиться белка, если она удалится от дупла на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот вопрос? Покажите на рисунке, где окажется белка, если она будет находиться: а) выше дупла на 2 м; б) ниже дупла на 3 м; в) ниже дупла на 1,5 м; г) выше дупла на 2,5 м. 876. Поезд вышел со станции Петропавловск (рис. 52) и идет со скоростью 90 км/ч. В какой город придет поезд через 3 ч? Где будет находиться поезд: а) через 10 ч, если он идет в Новосибирск; б) через 5 ч, если он идет в Челябинск? 877. Из пионерского лагеря (рис. 53) выходит отряд пионе- ров и движется по шоссе. Покажите, где будет находиться отряд: а) через 3 ч, если он идет со скоростью 3 км/ч; б) че- рез 2 ч, если он идет со скоростью 4 км/ч. Что еще надо знать, чтобы на каждый вопрос был только один ответ? 878. Находясь в походе, туристы оставили пакеты в пунк- тах К, М и Р (см. рис. 53). Где по отношению к лагерю на- ходятся эти пункты? 144
879. Проведите горизонтальную прямую и отметьте на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки А, В, С и К, если извест- но, что: а) А правее О на 6 клеток; б) В левее О на 5,5 клетки; в) С правее О на 7 -у- клетки; г) К левее О на 2 клетки. 880. Измерьте в сантиметрах расстояние от точки О (рис. 54) до точек С и Р. Где на прямой находится каждая из этих точек по отношению к точке О? С 0 Р. Рис. 54 881. Запишите координаты точек О, А, В, С, В, Р, К, М и Е (рис. 55). Начало отсчета — точка О. -10 12 Е МКР АО Рис. 55 В С D ’ 882. Изобразите на координатной прямой точки А (1), В (8,3), С ( — 6), 0(6), М (-2,4), К (2,4). 883. Треугольный флажок находится в точке с координа- той — 2, а прямоугольный — в точке с координатой + 2 (рис. 56). Отметьте и обозначьте начало отсчета и единичный отрезок. Запишите координаты точек В, С и D. Рис. 56 КЯ Названия знаков + и — при числе во всех случаях по падежам не склоняют. Например: 10 — а равно минус десяти х = +1,3 — икс равен плюс одной целой трем десятым —15 левее —7 — минус пятнадцать левее минус семи 145
884. Отметьте на координатной прямой точку, имеющую ко- ординату х, если х=—7; 3,3; —5,2; —1; 2; —1,8; о Л 885. Изобразите точкой на координатной прямой число а, если: а) а= — 6; 4-3; -5; -8; 4-10; 4-9; 4-7; -7; б) а=2; -1; 3; -5; 4; о О 886. Найдите по шкале (рис. 57) высоты гор и глубины морей и океанов. Метры 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 О -1000 -2000 -3000 -4000 -5000 -6000 -7000 -8000 -9000 -10000 -11000 -12000 Рис. 57 887. На координатной прямой изображены точки А (— 2) и В (7). Найдите расстояние между точками А и В в единичных отрезках. 888. Назовите какие-нибудь три числа, расположенные на координатной прямой: а) правее числа 11; б) левее числа —8; в) левее числа —820; г) правее числа —78. 889. Установите на демонстрационном термометре столбик так, чтобы термометр показывал температуру: —12 °C, —11 °C, — 7 °C, 4-3 °C, -8,5 °C, 4-7,3 °C. 146
890. На здании Московского уни- верситета установлен термометр со стрелкой (рис. 58). Какую температу- ру показывает этот термометр? 891. Из чисел -1,2; -—; 0; 5 4 6; —3 —; 7,2; —10 и 8 выпишите 8 сначала все отрицательные, а потом все положительные числа. 892. Вычислите устно: а) 5 • 1,4 б) 10 : 4 в) 9-3,2 г) 2,3+ 5,7 д) 6 : 12 -3,2 — 1,2 + 0,5 : 5 • 1,6 : 0,2 • 6 : 9 -0,7 -0,35 • 0,4 + 1,2 • 0,3 • 1,1 + 0,15 + 2,4 : 18 : 0,01 + 0,01 :4 ? ? ? ? ? 893. Сколько натуральных чисел расположено на коорди- натном луче между числами: а) 0 и 8; б) 17,5 и 26; в) 2у и 9 Ь г) 116 и 117? 894. Какое из чисел — правильная дробь или дробь, ей об- ратная,— на координатном луче расположено ближе к еди- нице? 895. Древнегреческий ученый Аристотель родился в 384 г., а умер в 322 г. Пифагор родился в 570 г. и умер в 500 г. Исто- рик Плутарх родился в 46 г., умер в 127 г. Кто из этих ученых родился раньше? Сколько лет прожил каждый из них? 896. Площадь поверхности планеты Меркурий равна 75 млн. км2 и составляет Ц- площади поверхности планеты Венера. Найдите площадь поверхности планеты Венера. 897. Вычислите устно: а) 0,5-1-; в) з,15. (4Л_3Х); 6) 3 4-.(0,6+ 0,4); Г) (7,8-7 4-).2 4-. 898. Найдите значение выражения: а) 0,3 + (0,3)2 + (0,3)3; j__ /jx2 /j_х2 /jx3 б) 0,5 —(0,5)2 —(0,5)3; В) 3 V з / ’ г) \ 2 ) \ 2 ) ' 147
м .899. Из цифр 7, 8, 3 и 5 составьте четыре различных числа, оканчивающиеся цифрой 7 и кратные 3. 900. На рисунке 59, а изображен цилиндр. Сверху и снизу цилиндр ограничен кругами, которые называются основа- ниями цилиндра. Развертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник. На рисунке 59, б изображена развертка поверх- ности цилиндра. Попробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра, если его высота 5 см, а радиус оснований 2 см. а) 901. Решите задачу: 1) Бабушка купила 6 бубликов, 4 булочки по той же цене, что и бублики, и батон за 0,13 р. За все она заплатила 0,73 р. Сколько стоит одна булочка или один бублик? 2) Дедушка купил внуку 7 тетрадей в клетку и по той же цене О тетрадей в линейку. Дедушка купил еще ручку за 0,35 р. За все он заплатил 0,61 р. Сколько стоит одна тетрадь? 3) Для работников завода построен дом на 240 квартир. 2 Трехкомнатные квартиры составляют 15% всех квартир и — О числа однокомнатных квартир. Остальные квартиры двухком- натные.. Сколько в доме двухкомнатных квартир? 4) На лодочной станции было 150 лодок. Трехместные лодки 7 составляли 14% всех лодок и — числа пятиместных лодок. о 148
Остальные лодки были четырех местные. Сколько четырехмест- ных лодок было на станции? ® 902. Где по отношению к узлу веревки находится каждая птица (рис. 60)? (Сторона клетки 1 дм.) Рис. во 903. Начертите в тетради горизонтальную прямую и отметь- те на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки M,N,P и К, если: а) М правее О на 14 клеток; б) N левее О на 15 клеток; в) Р левее О на 9 клеток; г) К правее О на 2 клетки. Напишите координаты точек М, N, Р и К, если единичный отрезок равен: а) одной клетке тетради; б) двум клеткам тетради. 904. Отметьте на координатной прямой точки М (— 4), N (3), Р (-8,5), К (7,5), С (-6), Т (6). 905. Приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради, начертите координатную прямую и отметьте на ней точки *(т)> с<-°’5)’ D(-11)- Е(т)’ г(1т)’ А(~г)- в(-г)>к(-т)’м(1’5’- 906. Начертите шкалу температур от — 60 °C до 60 °C, при- няв отрезок длиной 1 см за 10 °C. Отметьте на этой шкале точку замерзания ртути (— 39 °C), нормальную температуру челове- ческого тела (37 °C), точку замерзания бензина (— 60 °C), точ- ку кипения ацетона (56 °C), точку замерзания глицерина (-20 °C). 907. Через реку построен мост длиной 234 м. Он имеет пять пролетов, четыре из которых имеют одинаковую длину, а пятый на 14 м длиннее каждого из остальных. Какова длина каждого пролета моста? 908. Экскурсантов можно посадить в лодки или по 4 чело- века, или по 6 человек. В том недругом случае свободных мест 149
не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 40, но меньше 50? 909. Пионеры за три дня собрали 560 кг семян различных деревьев. В первый день они собрали 35% всех собранных 7 семян, что составляло — количества семян, собранных во вто- О рой день. Сколько килограммов семян было собрано в третий день? 27. Противоположные числа Точки с координатами 5 и —5 (рис. 61) одинаково удалены от точки О и находятся по разные стороны от нее. Чтобы попасть из точки О в эти точки, надо пройти одинаковые рас- стояния, но в противоположных направлениях. Числа 5 и —5 называются противоположными числами: 5 противополож- но — 5, а —5 противоположно 5. Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами. Например, противоположными числами будут 8 и —8, так как число 8 = -|- 8, значит, числа 8 и — 8 отличаются только знаками. Противоположными числами так- же будут 2,6 и —2,6; — и Рис. 61 Для каждого числа есть только одно противоположное ему число. Число 0 противоположно самому себе. Число, противоположное числу а, обозначают —а. Если а— —7,8, то — а = 7,8; если а = 8,3, то —а = —8,3; если а = 0, то — а = 0. Запись « — ( —15)» означает число, противоположное числу —15. Так как число, противоположное числу —15, равно 15, то —( — 15)= 15. Вообще — ( — а)=а. Натуральные числа, противоположные им числа и нуль на- зывают целыми числами. 150
©Какие числа называют противоположными? Число b про- тивоположно числу а. Какое число противоположно чис- лу Ь? Какое число противоположно нулю? Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа? Какие числа называют целыми? 910. Найдите числа, противоположные числам: -276; 124; -321; 62; 9; -1; 1; -7,8; -9; 0,5; -у-; 1 4 ’ 4 — ; — 3 — 8 ’ 9 911. Поставьте вместо ♦ такое число, чтобы получилось верное равенство: а) -(-80)=*; в) -(-247)=.; д)-(—^)=*; 6)3,5=-*; г) 3,2= — *; е) 7 £-= — *. О Выражение —( — а) можно читать разными способами: — число, противоположное числу минус а — минус минус а Например, предложение «Если k = — 7, то — k— — ( — 7)» можно прочитать так: — если ка равно минус семи, то минус ка равно числу, про- тивоположному минус семи — минус ка равно минус минус семи 912. Найдите значение выражения: а) — т, если т—— 8; —16; —13; б) k, если -Л = 27; -35; 7,1; -6,9; 80; -90; у-; ; 3-|-; в) —( — с), если с = 41; —3,6; 0; — 2-^- ; Ои У 913. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 62). -3 3 --» ♦ I I 1-1 |ч—!>" t I............. I I I | В С А Рис. 62 151
914. Каким числом является —х, если х: а) отрицательное; б) нуль; в) положительное? 915. Заполните пустые места в таблице и отметьте на коор- динатной прямой точки, имеющие своими координатами числа полученной таблицы. X 3 5 0 -6 — X 4 — 2 — 1 916. Решите уравнение: а) — х = 607; б) — а = 30,4; в) -у= — 3 . 917. Какие целые числа расположены на координатной пря- мой между числами: а) —8 и -5; г) -3,6 и 4,2; ж) — 7-|- и О О б) -3 и 0; д) 4 5 И 3; з) -11 и -3^-? в) —2 и 2; е) ! 2 4- и 5 О з , 7 ’ • ф918 а) -з Вычислите •т 6)6 +т 3_ 7 устно: 1 3 -1! : 4 в) т . 2 * 7 2 3 +4- : 5 те | ю + : 9 ? ? ? 919. Между какими целыми числами на координатной пря- мой расположено число: 2,6; —3: 0; — 6-4; —0,8? О 920. Найдите числа, которые на координатной прямой на- ходятся на расстоянии: а) 6 единиц от числа —9; б) 10 единиц от числа 4; в) 10 единиц от числа —4; г) 100 единиц от числа 0. 921. Начертите координатную прямую, приняв за единич- ный отрезок длину 4 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки а( —|-), В(0,5), С (-1,75), ^(1-^)* F (2,25). 152
Н 922. Отметьте на «линии времени» следующие события из истории математики: а) Книга «Начала» была написа- на Евклидом в III в. до н. э. б) Теория чисел зародилась в Древ- ней Греции в VI в. до н. э. в) Десятичные дроби появились в Ки- тае в III в. г) Теория отношений и пропорций была разработана в Древней Греции в IV в. до н. э. д) Позиционная десятичная система счисления распространилась в странах Востока в IX в. Сколько веков назад произошли эти события? Сравните «линию времени» и координатную прямую. 923. Укажите пары взаимно обратных чисел: 4 ; 1,1; 5; 2 — ; 0,2; — . 7 3 ’ ’ ’ 11 924, Витя купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если известно, что он купил: а) на 0,7 кг больше Вити; б) на 0,9 кг меньше Вити; в) в 3 раза больше Вити; г) в 1,2 раза меньше Вити; з д) — того, что купил Витя; О 5 е) — того, что купил Витя; ж) 0,5 того, что купил Витя; з) 20% того, что купил Витя; и) 120% того, что купил Витя; к) на 20% больше того, что купил Витя? 925. Решите задачу: 1) Кирпичный завод должен был изготовить для строи- тельства Дворца культуры 270 тыс. штук кирпича. В первую 4 неделю он изготовил — задания, во вторую неделю он изготовил на 10% больше, чем в первую неделю. Сколько тысяч штук кир- пича осталось изготовить заводу? 2) Колхоз продал государству за три дня 434 т зерна. В пер- „10 выи день он продал — этого количества, во второй день — 01 на 10% меньше, чем в первый день, а в третий день — остальное зерно. Сколько тонн зерна продал колхоз в третий день? 926. Ноты отличаются по длительности их звучания. Зна- ком О обозначают целую, ноту вдвое короче — половин- ную— J, четвертую—J , восьмую— , шестнадца-
тую — J4 . Проверьте равенство длительностей: а) о = j JJ ; б) J = Найдите недостающую ноту: 927. Какие числа противоположны числам: V 124; -124; 3-|-; 0,6; -2,85; -1; 0? 928. Запишите все натуральные числа, меньшие 5, и числа, им противоположные. 929. Найдите значение: 2 а) т, если — т = —; в) k, если — fe=—0,2; О , \ к 2 Л Л о 1 . г) — п, если п—— 5—. б) — с, если с = 2 -—; ' 7 О 930. Во второй день со склада выдали в 2 раза больше про- волоки, чем в первый день, а в третий день в 3 раза больше, чем в первый. Сколько килограммов проволоки выдали в эти три дня, если в первый день выдали на 30 кг меньше, чем в третий? 931. В колхозе на поливных землях собирали с гектара 60,8 ц пшеницы. Замена старого сорта пшеницы новым дает прибавку урожая на 25%. Сколько теперь пшеницы собирает колхоз с 23 га поливного поля? 932. Составьте по каждой схеме уравнение и решите его: 933. Найдите значение выражения: а) 8>45; б) (и’81+,8;1Л> 0-02-+з,з5. 9:11,25
28. Модуль числа Расстояние точки М (— 6) от начала отсчета О равно 6 еди- ничным отрезкам (рис. 63). Число 6 называют модулем числа -6. Пишут: |—61 = 6. М(-6) О В(5) 6 единиц, 5 единиц Рис. 63 Модулем, числа, а называют расстояние (в единичных от- резках) от начала координат до точки А (а). Модуль числа 5 равен 5, так как точка В (5) удалена от начала отсчета на 5 единичных отрезков. Пишут: |5|=5. । Модуль числам равен 0, так как точка с координатой 0 со- впадает с началом отсчета О, т. е. удалена от нее на 0 единич- ных отрезков (см. рис. 63). Пишут: |0|=0. Модуль числа не может быть отрицательным. Для положи- тельного числа и нуля он равен самому числу, а для отри- цательного — противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули: | —а| = |а|. Например, |7|=7; |-|-| =-|-; 11,51=1,5; |0| =0; | - 7| =7; | —1-| =f-; 1-1,51=1,5. Что называют модулем числа? Как обозначают модуль числа? Как найти модуль положительного числа или нуля? Как найти модуль отрицательного числа? Может ли мо- дуль какого-нибудь числа быть отрицательным числом? © 934. Найдите модуль каждого из чисел: 81, 1,3; —5,2; 8 5 9 -г-; —— 2—; — 52; 0. Напишите соответствующие У < Zo равенства. 935. Найдите значение выражения |х|, если х= —12,3; 12,3; -66; 83; --1-; 3^-; -б||. 155
936. Найдите расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчета до каждой из точек: А (3,7), В ( — 7,8), С ( — 200), D (315,6), Е(0), F к(4-|-). 937. Найдите значение выражения: а) 1 —81 — | —51; ж) |28,51|: 1-2,31; б) | —Ю| -1-151; э) 10,11 -1 — Ю|; в) |240|:|—80|; и) 1-1-1- -l-+h г) 1-7101-Ы-2901; К) 1-2 + 1 • 1 п 1 ’ д) 1-2,31 + 13,71; л) 1+1- е) |-4,7|-|-1,9|; м) I- + I 1 d+l- Ц Выражения, содержащие модули, читают так: I — g _1_| =9-1-модуль минус девяти целых одной треть- ей равен девяти целым одной третьей 938. Точка А лежит от начала отсчета влево на 5,8 едини- цы, а точка В — вправо на 9,8 единицы. Чему равна координата каждой точки? Чему равен модуль каждой координаты? 939. Найдите: а) отрицательное число, модуль которого равен 25; 7,4; б) положительное число, модуль которого равен 12; 1; ; 3,2. 940. Напишите все числа, имеющие модуль: а) 26; 6) в) 3^-; г) 0; д) 5,7. 941. Известно, что |о|=7. Чему равен | —а|? 942. Из двух чисел выберите то, у которого модуль больше: а) -5,87 и -7,82; в) -700,1 и 0,24; д) -- б) -2,75 и 0; г) —2-|-и 3-|-; е)-^-и—±-. 943. Среди чисел —( — 7); —3; -|-; —7; 3; —у- укажите пары: а) противоположных чисел; б) обратных чисел.
944. Вычислите устно: а) 1— б) 2-f в)||:8 • 2 : 13 • 17 . 3 • 9 -12- 7 8 -If : 13 : 2 ? ? 945. Какое из чисел на координатной прямой расположено правее: —2или —1; —били —7; 0или —4,2; —Пили —15? 946. На рисунке 64, а изображен конус. Основание ко- нуса — круг, а развертка боковой поверхности — сектор (см. рис. 64, б). Вычислите площадь поверхности конуса, если радиус еТо основания 3 см, а развертка боковой поверхности — сектор с прямым углом, радиус этого сектора 12 см. Есть ли в 947. Найдите значение k, если — k равно —3,5; 6,8; 948. Решите уравнение: а) — //=—8,75; б) — р=—. о 949. Нина истратила в магазине 4,8 р. Сколько денег истра- тила Оля, если известно, что Нина истратила: а) на 0,3 р. больше Оли; б) на 0,5 р. меньше Оли; в) в 2 раза больше Оли; г) в 1,5 раза меньше Оли; \ 3 ~ д) — того, что истратила Оля: 4 е) — того, что истратила Оля; 3 157
ж) 0,2 того, что истратила Оля; и) на 25% больше того, что истратила Оля; з) 25% того, что истратила к) 125% того, что истратила Оля; Оля? 950. Найдите значение выражения: 1) + если лп = 0,6~+0,35:^ и а = 3,4-2,3-5,32; 2а За 3 16 2) + если п = 1,8•-?—1-0,4:^- и х= 12,68-2,7-3,4. 951. Отметьте на координатной прямой числа, модули ко- торых равны 3; 8; 1; 3,5; 5-|-. 952. Из двух чисел выберите то, у которого больше модуль: а) -45,1 и 8,31; г) -13,8 и -13,7; ж) --1- и б/—45,3 и 57,8; д)-2-|-иЗу; з) и — -|-. в) 76,9 и —57,1; е) 2-|-и -5^-; 953. Площадь первого поля составляет у площади второго поля. Чему равна площадь второго поля, если площадь первого 12,6 га? 954. Премия Иванова составляет 75% премии Сергеева. Че- му равна премия Сергеева, если премия Иванова 73,2 р.? 5 955. Скорость грузовика составила — скорости легковой автомашины. Найдите скорость легковой автомашины, если скорость грузовика на 22 км/ч меньше скорости легковой автомашины. 956. Урожайность хлопка на первом поле на 12,5% меньше урожайности хлопка на втором поле. Какова урожайность хлоп- ка на первом поле, если на втором поле она равна 28 ц с гектара? « 36 1,5 4-3,6-85 11,88 957. Найдите значение выражения -----------------г-д-тт • 1,0 U,11 29. Сравнение чисел Вчера в комнате термометр показывал 18 °C, а се- годня показывает 21 °C. Вчера в комнате было холоднее, чем се- годня. Число 18 меньше числа 21. Можно записать: 18<21. 158
Вчера на улице термометр показывал —15 °C, а сегодня он показывает — 9 °C. Вчера было холоднее, чем сегодня. Поэтому считают, что —15 меньше —9. Пишут: —15 <—9. Вчера на улице термометр показывал —10 °C, а сегодня он показывает 5 °C. Вчера было холоднее, чем сегодня. Число —10 меньше числа 5. Пишут: —10 <5. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль кото- рого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа. Например, — 7,5 <3, так как число —7,5 отрицательное, а число 3 положительное; —15 <С — 9, так как числа —15 и — 9 отрицательные и модуль —15 больше модуля —9, т. е. |-15|>| —9|. На горизонтальной координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. На рисунке. 65 видим, что точка В (6) лежит правее точки А ( — 10), а точка А ( — 10) лежит правее точки С ( — 15). -15 -10 0 б " I™ * 1 I '< 'I I I -I - I I 1-4 I I 1-1 I I ♦) 114 4 и ! » С А 0 В Рис. 65 Какое число больше: положительное или отрицательное? Какое из двух отрицательных чисел считают большим, чем другое? А какое из них меньшим? Какое из чисел больше: отрицательное или 0? Какое из чисел меньше: положительное или 0? Как расположены на координатной прямой точки А (а) и В(Ь), если а меньше-5? если 0 больше Ь? © 958. Отметьте на прямой числа 0; 1; —3; —5; 8; —7; —2; —10 и 3. Сравните: а) 0 и 3; б) 0 и — 5; в) 8 и 0; г) — 7 и 0; д) — 2 и 3; е) —7 и 1; ж) 1 и —10; з) 3 и —3; и) 1 и 8; к) —5 и —3; л) —5 и —10; м) —2 и —5. D Неравенства, составленные из положительных и отри- цательных чисел, читают так: 6 > — 4 — шесть больше минус четырех — 8 < — 1 — минус восемь меньше минус единицы 159
959. В Ростове и Воронеже измеряли температуру 1, 6, 11, 16, 21 и 26 декабря в 12 ч дня. Результаты (в градусах Цельсия) указаны в таблице. Сравните температуру в Ростове и Воронеже в одно и то же время. Число декабря 1 6 11 16 21 26 Температура в Ростове, °C 9,2 3,5 -2,6 -3,1 - 7,8 -19 Температура в Воронеже, °C 6,4 0 0 - 1,5 -3,6 -21 960. Поставьте вместо * знак < или знак >• так, чтобы получилось верное неравенство: а) 8,9 *9,2; г) —5,5*—7,2; б) —240*3,2; д) —96,9*—90,3; в) 4,5 *—800; е) —1000*0; Ж) -f з) -2-I-* —4-|“- О Z 961. Пользуясь таблицей, назовите города сначала в поряд- ке возрастания их высоты над уровнем Мирового океана, а затем в порядке убывания. Название города Высота над уровнем Мирового океана, м Название города Высота над уровнем Мирового океана, м Москва 150 Ереван 1100 С.-Петербург 5 Мехико 2240 Астрахань -25 Париж 130 962. Сравните числа и результат запишите в виде нера- венства : \ 2 3 чг»2о3 . „ 2 г>5 а)“1КиТ: г)-2 —иЗт; ж)—2 —и—3 —; б)3и-г; д)__и__; з) -5 - и -5 . 160
963. Между какими соседними целыми числами заключено число: а) -2,73; б) -9,5; в) -0,63; г) 0,87; д) -1^-; е) -б||? Ответ запишите в виде двойного неравенства. 964. Известно, что х и у — положительные числа, а т и п — отрицательные. Сравните: а) 0 и zz; г) 0 и — zn; ж) — т и и; к) — |zra| и т\ б) у и 0; д) х и m; з) — х и у\ л) х и |х|; в) —х и 0; е) п и х; и) |zn| и т; м) х и |—х|. 965. Запишите в виде неравенства предложение: а) —4,3 — отрицательное число; б) 27,1 — положительное число; в) а — отрицательное число; г) b — положительное число. Ф 966. Белка сидит на дереве в точке М (4), а дятел — в точ- ке N (— 3). Какое расстояние от дятла до белки? Кто из них дальше от дупла, если дупло принято за начало отсчета? 967. На улице температура а °C, а в квартире b °C. На сколько градусов температура в квартире выше, чем на улице? Решите задачу при: а) а = 12, Ь = 20; б) а = — 11, Ь = 19. 968. Какие числа имеют модуль, равный 2; 1,7; 5-|-; 0; 1; -(-4)? 969. Определите координаты точек В, С и D, если А (zn) (рис. 66). _________________________________о_______т______________ Рис. 66 D С 0 А В 970. В старинной задаче имеются такие сведения: «Один ку- пец имел 730 рублей и был должен другому 380 рублей. Вто- рой купец имел 970 рублей и был должен первому 460 рублей». Сколько денег останется у каждого купца после взаимных рас- четов? Попробуйте сформулировать задачу, используя понятие отрицательного числа. 971. При каких значениях а верно равенство а-}- |а| =0 и при каких неверно? 972. Возраст Москвы около 850 лет, Новгорода 1100 лет, Рима 2700 лет, Александрии 2300 лет, Киева более 1400 лет. В каком веке возник каждый из городов? 6 Зак. 607 161
973. Найдите значение: а) 1*1 — \уI, если х — —64,1, у — —7,6; б) |х| + \у\, если х= — 54,5, f/ = 52,8. 974. Определите, у какого из двух чисел модуль больше: а) —3,815 и —3,823; в) А и 0,28; 15 ко 4 7 м1 975. Из рисунка 67 видно, что куб можно составить из шести одинаковых четырехуголь- ных пирамид, у которых верши- на О, а основаниями служат грани куба. Найдите объем пирамиды, если ребро куба 1,2 см. Найдите ребро куба, если объем одной пира- 1 з МИДЫ -у- СМ, Рже. 67 976. Найдите неизвестный член пропорции: 1) 3,5 :х = 0,8:2,4; 2) 6,8:2,5 = х: 1,5. 977. Решите задачу: 1) Для приготовления компота смешали 2,5 кг яблок, 2 кг груш и 0,5 кг вишен. Найдите процентное содержание каждого вида фруктов, взятых для приготовления компота. 2) Смешали 0,16 кг грузинского, 0,52 кг азербайджанского и 0,12 кг индийского чая. Найдите процентное содержание каждого вида чая в полученной смеси. 978. Вычислите: 1) 61,71’.((14,42-13,74)-1,5)4-63,163:7,61; 2) 73,32: ((15,41 —14,76)-1,6)+55,186:6,73. Проверьте результат вычислений с помощью микрокальку- лятора. ® 979. Поставьте вместо ♦ знак >• или < так, чтобы получи- лось верное неравенство: а) — 3542* —2763; г) -1,16* -1-4; 5 6) -65,43* -65,39; д) 4 3 . ♦ —г-; 5 4 ’ в) -4-* -0,7; 5 е) -0,8+• О 162
980. Какие цифры можно написать вместо *, чтобы полу- чилось верное неравенство: а) — 384К-384*; г) —999,* >-999,1; б) —5 *83 >-5183; Д)— в) -*5,44>-25,44; е) -^->-А-? о 4 981. Расположите числа 2,8; 0,5; 0; —1; —1,1; 0,1 и —1,6: а) в порядке возрастания; б) в порядке убывания. 982. За контрольную работу 12 человек получили «5», 20 че- ловек — *4», а остальные 8 человек — «3». Сколько процентов всех учащихся получили «5», сколько — «4» и сколько — «3»? 983. Найдите неизвестный член пропорции -^~:3,1 =х:9,3. (4,4-4,15 + 1 ):34 984. Вычислите: А________15 60/ з (з А — 2,75 ^:0,2 —2 А 30. Изменение величин Температура может как повышаться, так' и понижаться. Пусть, например, утром температура воздуха была 3 °C, в сере- дине дня 9 °C, а вечером 7 °C. За первую половину дня темпера- тура повысилась на 6 °C, а за вторую половину дня понизи- лась на 2 °C. Повышение температуры выражают положитель- ными числами, а понижение,— отрицательными. Так, если температура повысилась на 6 °C, то говорят, что ее изменение равно 6 °C или 6 °C, если понизилась на 2 °C, то говорят, что ее изменение равно — 2 °C. Длина пружины может как увеличиваться, так и умень- шаться. Увеличение длины пружины будем выражать поло- жительными числами, а уменьшение — отрицательными. Точка на координатной прямой может перемещаться влево или вправо по этой прямой. Перемещение точки вправо обозна- чают положительными числами, а перемещение влево — отрицательными (рис. 68). Ряс. 68 । ~5 । +4 । -2 0 3 7 I I id I ' —-------------------*--- СОА В 6 163
Таким образом, увеличение любой величины можно выра- зить положительными числами, а уменьшение — отрицатель- ными. В каком случае изменение температуры положительно, а в каком случае отрицательно? Что значит отрицательное изменение длины пружины? Что означает положительное пере- мещение точки по координатной прямой и что означает отри- цательное перемещение точки по этой прямой? Каким числом выражается перемещение точки на координатной прямой влево и каким вправо? 0985. Объясните смысл предложения: а) изменение температуры равно t °C, если t = 28; —30; -8; 4,5; -1,7; б) изменение длины пружины равно х миллиметрам, если х = = —10; 12; —9; — 4. 986. Изменение температуры равно m градусам. Чему рав- но т, если температура: а) понизилась на 6 °C; б) повысилась на 3,6 °C; в) повысилась на 60 °C; г) понизилась на 3,4 °C? 987. Изменение длины пружины равно с мм. Чему равно с, если длина пружины: а) увеличилась на 6 мм; б) уменьшилась на 5 мм; в) уменьши- лась на 23 мм; г) увеличилась на 18 мм? 988. Прочитайте показания термометров, изображенных на рисунке 69. Какую температуру будет показывать каждый из этих термо- метров, если температура изменится: а) на — 1 °C; б) на 1 °C; в) на 2 °C; г) на —2 °C? 989. Отметьте на координатной прямой точку А (2). Ука- жите: а) точку В, в которую перейдет точка А при перемеще- нии на —6; б) точку С, в которую перейдет точка А при перемеще- нии на 6; в) точку D, в которую перейдет точка А при перемещении на —7; г) точку Е, в которую перейдет точка А при перемещении на 3. Назовите координаты точек В, С, D и Е. 164
990. На сколько единиц переместилась точка Р (4) по коор- динатной прямой, если она попала в точку К (— 2)? А если она попала в точку Т (6)? ф 991. Среди чисел 1,6; — 2-|-; 0; — ( — 12; —19 ука- жите числа: а) положительные; б) отрицательные; в) непо- ложительные; г) неотрицательные; д) не являющиеся ни поло- жительными, ни отрицательными. 992. Верно ли неравенство: а >5; d<a\ Ъ':>с\ а>с; d>b (рис. 70)? с b Oda ----1---1---------1—-—--- < ---- » Рис. 70 165
Mi 993. На рисунке 71 под цифрой 1 показан вид фигуры спе- реди, а под цифрой 2 — вид сверху. Какая это фигура? 994. Сравните числа: а) 0 и 800; г) --^и —ж) -3,11 и -3,1; б) -45 и -20; д) -4’5 и 2’4’ 3) и “ 18 ’ в) -68 и 0; е) -~|~и ; О 1D 995. Какие целые числа заключены между числами: а) -4,8 и 2,85; в) —5,3 и -1,2; д) — в^-и — 3-|~; 7 о б) -3,11 и 3,1; г)-2|-и34-; е) -З^-и -^-? • О 4 4 996. Назовите какое-нибудь число, которое: 3 2- а) меньше —, но больше —; 5 о б) меньше —, но больше —; 7 7 в) меньше 0,17, но больше 0,16. 997. Из всего собранного зерна пшеница составляла 80%, причем 70% этой пшеницы была пшеница твердых сортов. Сколько тонн зерна было собрано, если твердой пшеницы было собрано 560 т? 998. Площадь прямоугольника 11,7 дм2, ширина этого пря- моугольника 2,6 дм. Все его стороны увеличили на 0,2 дм. Найдите площадь нового прямоугольника. ® 999. В воскресенье утром температура воздуха была — 2 °C. Какой стала температура воздуха в понедельник, если за сутки она изменилась: а) на —5 °C; б) на 3 °C; в) на 2 °C? - 166
1000. Отметьте на координатной прямой точку С (— 4). Ука- жите точку В, в которую перейдет точка С при перемещении по координатной прямой на — 3, и точку D, в которую перейдет точка С при перемещении на 4-9. 1001. Отметьте на координатной прямой точку М (— 4). Пос- ле перемещения по координатной прямой она попала в точ- ку С (3). Чему равно перемещение? 1002. Имелась пачка бумаги. На перепечатывание одной ру- з копией израсходовали — пачки. На перепечатывание другой О рукописи ушло 0,8 остатка. Сколько листов бумаги было в пач- ке, если после перепечатывания этих двух рукописей в ней осталось 40 листов? 1003. Найдите значение выражения: а) (8,744-0,66:13,2 —3,79) 0,31; б) (9,68—0,77:15,44-0,87)-4,2. Н Отрицательные числа появились значительно позже на- туральных чисел и обыкновенных дробей. Первые сведе- ния об отрицательных числах встречаются у китайских мате- матиков во II в. до н. э. Положительные числа тогда толкова- лись как имущество, а отрицательные — как долг, недостача. Но ни египтяне, ни вавилоняне, ни древние греки отрица- тельных чисел не знали. Лишь в VII в. индийские математики начали широко использовать отрицательные числа, но относи- лись к ним с некоторым недоверием. В Европе отрицательными числа- ми начали пользоваться с XII— XIII вв., но до XVI в., как и в древ- ности, они понимались как долги, большинство ученых считали их «ложными» в отличие от положи- тельных чисел — «истинных». Признанию отрицательных чисел способствовали работы французско- го математика, физика и философа Рене Декарта (1596—1650). Он предложил геометрическое истол- кование положительных и отрица- тельных чисел — ввел координат- ную прямую (1637 г.). Р. Декарт 167
. Окончательное и всеобщее признание как действительно су- ществующие отрицательные числа получили лишь в первой половине XVIII в. Тогда же утвердилось и современное обозна- чение для отрицательных чисел. $ 6. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 31. Сложение чисел с помощью координатной прямой Пусть температура воздуха равна 8 °C. Если она изменится на 3 °C (т. е. повысится на 3 °C), то она станет равной 11 °C (рис. 72): 8-]-3 = 11. Таким образом, температура стала равной сумме первоначального значения и изменения. 168
Пусть температура воздуха равна 8 °C. Если она изменится на — 3 °C (т. е. понизится на 3 °C), то она станет равной 5 °C (рис. 73). Будем и в этом случае записывать результат в виде суммы первоначального значения и изменения: 8-|-( — 3)=5. На рисунке 74 показано сложение числа 8 с числами 3 и — 3 на координатной прямой. Рис. 74 1 и 0 5 6 11 0 ВАС Прибавить к числу а число b — значит изменить число а на b единиц. Любое число от прибавления положительного числа увели- чивается, а от прибавления отрицательного числа уменьшается. Пример 1. НАйдем сумму — 7 и 4. Решение. На рисунке 7 5 видно, что при перемещении точ- ки А (— 7) на 4 единицы, т. е. на 4 единицы вправо, она перехо-' дит в точку В( —3). Значит, ( —7)4-4 = 3. Рис. 75 +4 г -7 -3 О I । I I । ....................... । । । > /I ВО Пример 2. Найдем сумму чисел — 2 и — 4. Решение. На рисунке 76 видно, что при перемещении точки А (— 2) на — 4 единицы, т. е. на 4 единицы влево, она переходит в точку С ( — 6). Значит, ( — 2) +( — 4)=—6. Рис. 76 -4 -б -2 ---Ь—I---1--1---1--1-1—1----1 1 I I---1--------„ С---------------А-----------О Пример 3. Найдем сумму чисел 4 и — 4. Решение. На рисунке 77 видно, что при перемещении точки А (4) на 4 единицы влево она переходит в начало коор- динат 0(0). Значит, 4-Ь( —4) = 0. Рже. 77 । -4। О 4 --1--I I | — I-Н——I---1 I ----* I---н—н--- О " А 169
. Сумма двух противоположных чисел равна нулю: а + ( —а) = 0. Пример 4. Найдем сумму чисел —5 и О. Решение. Прибавить к числу — 5 число 0 — значит из- менить число —5 на 0. Другими словами, оставить число —5 без изменения. Поэтому ( —5) + 0=—5. От прибавления нуля число не изменяется: а + 0=а. ©Что значит прибавить к числу а число Ь? К числу а приба- вили число Ь; как изменится число а, если b положитель- ное, если b отрицательное, если Ь = 0? Чему равна сумма про- тивоположных чисел? Запишите вывод в виде равенства, со- держащего букву. © 1004. Найдите с помощью координатной прямой сумму чисел: а) —1 и 2; в) —3 и 6; д) — 5 и 6; ж) —и 3 3 б) 3 и —4; г) 1 и —5; е) — 3 и — 2; з) — 1-^-и — 3 о О Сумму, в которую входят отрицательные числа, читают так: ( — 4)+ ( — 6) — сумма минус четырех и минус шести — к минус четырем прибавить минус шесть 1005. Выполните сложение чисел: 4 и О; О и —3; —5 и 0; —3 и 3; 7 и —7. 1006. Найдите значение выражения: а) (-3,94-3,9) + (-9,1); б) 0+(4,8 + (-4,8)). 1007. На координатной прямой отмечены числа а и а + 1 (рис. 78). Изобразите на этой же прямой числа а+ 2; а + ( — 3); <* + ( — 4,5); а+ (— а а+1 1111--------к—<---1---11--н— ..............► Рис. 78 170
1006. На координатной прямой точке А соответствует число а + 4, а точке В — число а+(— 4). Какое число соответствует середине отрезка АВ? 1000. Температура воздуха была — 2 °C. Какой стала темпе- ратура воздуха, когда она изменилась на 3 °C; на 1 °C; на 2 °C; на — 3 °C; на 5 °C; на — 4 °C? Сложение чисел выполняйте с помощью координатной прямой. 1010. Вычислите устно: W а) 3 : 6 б) 0,4 • 4 в) 2 : г) 1 *8 +5,2 — 1,8 —2 —— • 2L 4 ' 4 -0,18 : 6 ? ? ? ? 1011. Назовите координаты точек A, Kt С, D, М и В (рис. 79). (7 , / А К С D М 'В Рис. 79 1012. Какие числа на координатной прямой удалены: а) от числа 4 на 5 единиц; б) от числа —1 на 3 единицы; в) от числа —6 на 4 единицы? 1013. Сколько целых чисел расположено между числами -50,5 и 50,5? 1014. Может ли быть положительным, отрицательным, ну- лем выражение: а) —а; б) —(—а)? 1015. Найдите сумму: I —7| + 1—3|; | — 2,31 + I — 0,81; I 3 I । I 2 1 I 31.1 11 I ~т1 + I ~т1; I _Т1 + I _Т1 • 1016. Сравните числа: 1017. 78% всех выстрелов попало в цель. Сколько было сделано выстрелов, если в цель попало 156 пуль? 1018. От провода длиной 13 м отрезали 30% его длины. Сколько метров провода осталось? 171
1019. Из 15 срезанных цветов 9 завяло. Сколько процентов срезанных цветов завяло? 1020. Стенной шкаф имеет высоту 1,8 м. Его глубина сос- тавляет 30% высоты, а ширина 250% глубины. Найдите объем шкафа. 1021. Выполните действия: 1) 61,7 • 52,1 — 43,6 • ((119,624-218,48): 13,8); 2) 73,2 • 48,3 - 37,4 • ((166,02 + 219,38): 16,4). Ш 1022. На рисунке показаны две башни Московского Крем- ля — Арсенальная и Тайницкая. Рассмотрите форму от- дельных их частей: использованы ли архитекторами известные вам фигуры — призма, цилиндр, пирамида, конус? Проверьте, нет ли элементов, размеры которых находятся в отношении золотого сечения. 172
© 1023. Найдите с помощью координатной прямой сумму чисел: а) —4 и 5; в) —6 и д) 8 и — 8; ж) Ои — 3; б) 3 и —2; г) —7 и 0; е) —6 и —5; з) — 1 и —8. 1024. В пятых классах школы 80 человек. Из них отличники составляют 21,25%. В шестых классах 90 человек. Отличники составляют 20%. В Ряс. 80 каких классах больше отличников и на 1025. Найдите объём прямоугольно- го параллелепипеда, длина которого 21 см, а ширина составляет длины и 30% высоты. 1026. Найдите значение выражения: а) (203 — 20,809 — 1504-83,079): :(1,3472 4-1,1528); б) 30,3 (124,9—(48,96:6,8 4-36,04): 9,2). 32. Сложение отрицательных чисел Пусть температура воздуха была рав- на — 6 °C, а потом она изменилась на — 3 °C (т. е. понизилась на 3 °C). Тогда она станет равной — 64-(—3) градусам (рис. 80). Чтобы сложить числа —би — 3 с помощью координатной прямой, надо точку А ( — 6) переместить влево на 3 единичных отрезка (рис. 81). По- лучим точку В (— 9). Значит, — 64- 4-(—3)=— 9. Но 9 = 64*3, причем 6=|-6|, а 3=|-3|. -J Ряс. 81 -9 -6 0 J । 1 -и I I I-----------1----1--------> 1 ' > В А 0 173
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак t—». Например, — 8,7 4-( —3,5) = — (8,7-f-3,5)= —12,2; -2т+(-3т)=-(2т+3т)= = -(2т + 3т) = -5V Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел. Может ли при сложении отрицательных чисел получить- ся нуль? отрицательное число? © 1027. Число —2 изменили на —5. С какой стороны от начала отсчета расположено полученное число? Чему рав- но его расстояние от начала отсчета? Чему равна сумма чи- сел — 2 и —5? 1028. В первую половину ночи температура изменилась на — 5 °C, во вторую — на — 4 °C. На сколько градусов изменилась температура за ночь? 1029. Выполните сложение: а) — 35+(—9); д) -1,6+(-4,7); и) б) -7+1-14); е) -5,6 + (-2,4); к) —|-+( —у)( в) -17+(-8); ж) -8,8+(-4,2); л) -1-|-+(-2-j-); г) -5 + (-238): з) -1,75+ (-8,25); м) -5^+(-З^Л 1030. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы полу- чилось верное неравенство: а) -17+(-31)*-17; б) -22+(-35)* — 35. 1031. Найдите значение выражения x-j-у+( —16), если: а) х=—17, f/=-29; б) х = -9,1, г/= — 7,4; в)х=-3^, У=-2$. 1032. Найдите значение выражения: а) (- 0,251 + (- 0,37)) + (- 0,2 4- (- 0,152)); 6)(-3f+(-41-))+(-lf+(-2^)). 174
ф 1033. Вычислите устно: а) 2 : 4 б) 6 • 0,6 в) • 3 +1,2 — 1,2 : 0,4 : 0,1 . 0,3 9 9 _l i_ 3 6 . i * 2 3 7 1 • + ® I сл ~ 1 со ? ? 1034. Расположите числа —15; —8,8; 3; ——; —5,5; 5 7 2 3 2 —; —10 — ; 0; —10 — ; —8,2; 1 в порядке убывания, о 7 < 1035. Известно, что х и у — положительные числа. Срав- ните: а) 0 и х; в) — х и у, д) |х| и — х; ж) —хи |у|; б) —у и 0; г) у и —х; е) |у| и у, з) |—х| и —у. 1036. При каких значениях т верно неравенство: а) т> — т; б) — т>т\ в) т>т^т? 1037. На координатной прямой отмечены точки А (х)иВ(1/). Найдите координату середины С отрезка АВ, если: а) х = 4, z/ = 8; б) х=—2, у— — 4; в) х= —3, у=5. 1038. Объем цилиндра равен произведению площади од- ного его основания и высоты. Объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра с такими же основанием и высотой (рис. 82). Вычислите объем цилиндра и объем конуса, у которых высоты по 12 см и радиусы оснований по 2 см. м Ряс. 82 1039. Выполните действия: 1) ((169,68:5-|—229-|-+9,7 )• 22,5; 2) ((253,26:6,3 - 31,7) • 8 7 Y 32 . V 5 5/ 5 175
1040. Выполните сложение: а) -46+(-18); д) -5,8+(-1,8); и) -Х+/_5 ). б) -8 + (-12); е) -3,74 + (-1,74); к) в) -144 + (-56); ж) —1-+(—L); л) -1|-+(-2,8); г) —6,4+(—3,6); з) —f-+(—|-); м) _1_1_+(_2,25). 1041. Найдите значение выражения: a)(-3,25+(-lf))+(-lf+(-lf)); 1042. Сплавили кусок меди, объем которого 15 см3, и кусок цинка, объем которого 10 см3. Какова масса 1 см3 спла- ва, если масса 1 см3 меди 8,9 г, а масса 1 см3 цинка 7,1 г? Результат округлите до десятых долей грамма. 1043. В бассейн налили 1400 м3 во- ды, что составляет 35% объема всего бассейна. Чему равен объем всего бас- сейна? 1044. Решите уравнение: а) -|-х4--|-х=3,2; б) Ах—-^х=0,51; 1Z 1О в) х—0,2х=^-. 15 * 33. Сложение чисел с разными знаками Если температура воздуха была рав- на 9 °C, а потом она изменилась на — 6 °C (т. е. понизилась на 6 °C), то она стала равной 9+(— 6) градусам (рис. 83). 176
Чтобы сложить числа 9 и — 6 с помощью координатной прямой, надо точку А (9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В(3). Рис. 84 0 Н* 1 3 9 0 В А Значит, 9-|-( — 6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей сла- гаемых 9 и —6. Действительно, 131 = 3 и 191 — | —61 — = 9-6 = 3. Если та же температура воздуха 9 °C изменилась на —12 °C (т. е. понизи- лась на 12 °C), то она стала равной 9-Ь( —12) градусам (рис. 85). Сложив числа 9 и —12 с помощью координат- ной прямой (рис. 86), получим 9 -f- + ( —12)= —3. Число —3 имеет тот же знак, что и слагаемое —12, а его модуль равен разности модулей слагаемых —12 и 9. Действительно, | — 31 = 3 и | — 121 — — 1—91=12 — 9 = 3. Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший; 2) поста- вить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Обычно сначала определяют и за- писывают знак суммы, а потом находят разность модулей. Н--1—|—<-----1——ч--1——I--h В О Рис. 86 Рис. 85 ----------------1 9 t I I " г > А 177
Например: 1) 6,1+(-4,2)= +(6,1-4,2) = 1,9, или короче 6,1+( — 4,2) = 6,1 — 4,2 = 1,9; 2) -3-|-+4-5-=4-|— 3|=1|; 3) 2,7+(-3,4)=-(3,4 — 2,7)= -0,7; нажимать клавиши: 4> -8t+2t=_(8t-2t)=_(8i|-2’^)=-6^- 5 о \ 5 о / \ 15 15 / 15 При сложении положительных и отрицательных чисел мож- но использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрицатель- ное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» /—/ . На- пример, чтобы ввести число —56,81, надо последовательно 5,6, • , 8 , 1 , /—/ . Опера- ции над числами любого знака выполняются на микрокальку- ляторе так же, как над положительными числами. Например, сумму —6,1+ 3,8 вычисляют по программе 6 1 /—/ +3 • 8 = . Короче эту програм- 1 8 му пишут так: —6,1 4- 3,8 = . © Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет от- рицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число? Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками. Как ввести в мик- рокалькулятор отрицательное число? 01045. Число 6 изменили на —10. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 6 и —10? 1046. Число 10 изменили на —6. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоя- нии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма 10 и -6? 178
1047. Число —10 изменили на 3. С какой стороны от на- чала отсчета расположено получившееся число? На каком рас- стоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сум- ма — 10 и 3? 1048. Число —10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчета расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчета оно находится? Чему равна сумма —10 и 15? 1049. В первую половину дня температура изменилась на — 4 °C, а во вторую — на + 12 °C. На сколько градусов изме- нилась температура в течение дня? 1050. Выполните сложение: а) 26+(—6); И)А+(_Л_); н) -3i+2-l-; б) -70+50; 9 ) 9 ' в) -17+30; «)т+(-т)= o)-t+5IS = г) 80+( —120); 6 8 4 . 5 . д) -6,3+ 7,8; л> —Г+Т; п)2Т+(-3п); е) —9 + 10,2; 4.2 \e4iZ к 4 \ ж) 1+(—0,39); м) р) 5Т+ \ 5Т/' з) 0,3+ (-1,2); 1051. Прибавьте: а) к сумме —би —12 число 20; б) к числу 2,6 сумму —1,8 и 5,2; в) к сумме —10 и —1,3 сумму 5 и 8,7; г) к сумме 11 и —6,5 сумму —3,2 и —6. 1052. Какое из чисел 8; 7,1; —7,1; —7; —0,5 является корнем уравнения —6 + х = —13,1? 1053. Угадайте корень уравнения и выполните проверку: а) * + ( —3)=-11; в) т + ( —12) = 2; б) —5+у=15; г) 3 4-и =—10. 1054. Найдите значение выражения: a)(f+(-0,5))+(-li); в) -3.7 + (-5Я+3X); 6>(°>6+т)+(-2п); г’т+(-1’7+т)- 1055. Выполните действия с помощью микрокалькулятора: а) — 3,2579 + ( —12,308); г) -3,85644-(-0,8397)+ 7,84; б) 7,8547 +(-9,239); д) -0,083 +(-6,378) +3,9834; в) —0,00154 + 0,0837; е) -0,0085+ 0,00354 +(-0,00921). 179
1056. Найдите значение суммы: а) -15 4-(-38); б) -2,3 4-(-3,9); в) Д) -0,25+ (_Х); е) Ж) -0,2+(-Х); 3)f+l+(-f); и) -12+(-10-11). 1057. Найдите значение выражения: а) —1,2+( —1,3+(—1,4)); б) (-3-|-+(-2i ))+(-3 !-)• 1058. Сколько целых чисел расположено между числами: а) 0 и 24; б) —12 и —3; в) -20 и 7? 1059. Представьте число —10 в виде суммы двух отрица- тельных слагаемых так, чтобы: а) оба слагаемых были целыми числами; б) оба слагаемых были десятичными дробями; в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью. 1060. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами: а) 0 и а; б) —а и а; в) —а и 0; м 1061. Радиусы географических параллелей земной поверхно- сти, на которых расположены го- рода Афины и Москва, соответст- венно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин? 1062. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков: г) а и —За? а) на 0,8 га больше другого; б) на 0,2 га меньше другого; в) в 3 раза больше другого; г) в 1,5 раза меньше другого; \ 2 д) составляет — другого; О е) составляет 0,2 другого; . ж) составляет 60% другого; з) составляет 140% другого» 180
1063. Решите задачу: 1) В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза боль- ше, чем во второй, а в четвертый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день? 2) Заработок отца в месяц равен 280 р. Стипендия дочери в 4 раза меньше. Сколько зарабатывает в месяц мать, если в семье 4 человека, младший сын — школьник и на каждого при- ходится в среднем 135 р.? 1064. Выполните действия: 1) (2,35 + 4,65)-5,3:(40— 2,9); 2) (7,63^-5,13)0,4:(3,17 + 6,83). 1065. Выполните сложение: а) 17 + (-5); б) -2Ц-19; в) -8+(-43); г) -15+(-18); д) -0,5 + 6; е) -2,4+(-3,2); ж) 6,1+(-8,3); з) —3,84 + 4,16 \ 2.5 и) К) -f+f; л> т+("п)’ м) -1+ + н) -2 + 1 + 4 о)3.+(-if); п> ++(- + ) Р) -5f+4,5. О 1066. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чисел: 10; —8; —6,8; —— 3-^-;1-|~. 1067. Найдите значение а + 5, если: а) а= —1,6, 5 = 3,2; б) а= -2,6, 5 = 1,9; в) а= Ь=--. о 4 1068. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. 2 квар- тиры имели жилую площадь по 22,8 м2, 3 квартиры — по 16,2 м2, 2 квартиры — по 34 м2. Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м2 жилой площади? 1069. В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число Q цистерн составляло — числа платформ. Сколько вагонов каж- 5 дого вида было в составе поезда? 3 5 15 5 1070. Найдите значение выражения -f- . 5:0,5 — 9,36 181
34. Вычитание Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое. Чтобы найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число, противоположное известному слагаемому. Например, 8 + 3 = 11, и потому 11—8 = 3. Но 11 + ( — 8) тоже равно 3. Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшае- мому прибавить число, противоположное вычитаемому: а-Ь=а-\-( — Ь). Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вы- читания, можно рассматривать как сумму. Например, —18 —14= —18 + ( —14); — 8 + 6 — /?=—8 + + 6 + (— А). Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое боль- ше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вы- читаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю. Задача. Чему равна длина отрезка АВ, если А (— 5) и В (9)? Решение. Длина отрезка АВ показывает, на сколько единичных отрезков надо переместить вправо точку А, чтобы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к чис- лу — 5, чтобы получилось число 9. Поэтому если обозначить длину отрезка АВ буквой х, то —5 + х = 9. Отсюда х = 9 — ( — 5); х = 14. . Значит, длина отрезка равна 14 единичным отрезкам. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. ©Что означает вычитание отрицательных чисел? Каким действием можно заменить вычитание числа а из числа Ь? Ответ запишите в виде соответствующего буквенного равенства. Как найти длину отрезка на координатной прямой? 01071. За день температура воздуха изменилась на —12 °C и к вечеру стала равна — 8 °C. Какой была температура утром? 182
1072. Температура воздуха утром была 5 °C, а к вечеру она стала равной — 2 °C. На сколько градусов изменилась темпера- тура воздуха за день? 1073. Вчера термометр показывал х °C, сегодня температура понизилась на 12 °C. Какую температуру показывает термо- метр сегодня, если х=25; 12; 6; 0? Решите задачу двумя спосо- бами: сложением и вычитанием. 1074. Проверьте равенство а —( —Ь)=а-|-Ь, если: а) а =18, 5 = 16; б) а= —2,3, Ъ= —0,5; в) а = 44, 5 = — 7; г) а =—4,8, 5 = 3,9; д) а=-~, ь=|-; О Разность, в которую входят отрицательные числа, чи- тают так: ( — 7)—( — 12) — разность минус семи и минус двенадцати — из минус семи вычесть минус двенадцать — от минус семи отнять минус двенадцать 1075. Выполните вычитание: а) Ю-(-З); ж) 2,5-8,5; и) 12 \ 12 /’ б) в) 12-(-14); — 21—( — 19); з) 0-( —40,6); и) 0-64,8; о) П) ___4 2_ , 9 3 ’ 15 \ 15 /’ г) 9-(-9); к) — 7,62—(—7,62); р) __1_ (-1- V 15 \ 15/ д) -1,4-1,4; л) -0,21-0; с) -1-L- J-; 8 4 ’ е) — 5,6—( — 3,1); м) -3 4—0,75; 4 т) 1 JL_ 2 — . 11 22 а) 1076. Решите уравнение и выполните — 2+х=4,3; в) 5-х=1,7; проверку: д) 2+й=-т: б) 8,14-у=-6; г) 4-У=-2-|-; о е) г + 0,4=-1-|-' О 183
1077. Представьте в виде суммы разность: а) —28 —( — 32); в) 50 —(—24); д) — 30—р; б) —46 — 30; г) х — 80; е) 6 —(—а). 1078. Назовите каждое слагаемое в сумме: а) —84-х; в) —т — 25; д) — п4-9 —fe; б) г — 6; г) 10 — а + у; е) ^а — Ь — с. 1079. Составьте сумму из следующих слагаемых: а) — х; —у; —4,8; в) р; —20; 6; —Л; 10,3; б) 1,5; —а; 5; —с; г) —7,6; m; — тг, —t; —I. 1080. Найдите значение выражения: а) (62 —28) —40; ж) (14,5-85)4-55,5; б) -504-(37 4- 30); з) (-2,14-3,7)4-4,4; в) -6-(-8-20); и) (-1-|~2-1-) + 2,5; г) -7-1-124-13)! к) (-4f+Sn)-1T: д) 4,1—(-1.84-2,5); л) -2 -|— (-3 2-1-); е) (-3,24-60)-0,8; м) -3,15-(-4-|-4-3 1081. Найдите расстояние между точками А (а) и В (5), если: а) а = 2, 5 = 8; в) а=—1, 5 = 6; д) а = 3,2, 5=—4,7; б) а=— 3, 5= —5; г) а = 5, 5=—4; е) а=—8,1, 5=—2,5. 1082. Выполните сложение: W a) 3,8 4- (-8,9); в) д) -1^-+т = о О О О б) -3,4 4-2,5; г) 1-|-|-(—|-); е) 44- (-3 1083. Найдите значение выражения: а) 3,75 + ( — 2,11)4-1,36; б) — 4,274-(-3,11)4-( —0,62). 1084. Найдите число, противоположное — 7,2; -2-^-; 3,85. 1085. Решите уравнение: а) — х = 3,5; г) — т= — 6-|-4-5-|-; б) -р=—|-; д) - fe = 114-( -12^3); в) -х=-7,24-9; е) -</=-134-(-8-М. 1086. Между какими соседними целыми числами располо- жено число: — 21; 2-J-; — у- ; —7,2; — О VII о 184
1087. Запишите все целые числа, модули которых: а) меньше 4; б) больше 4 и меньше 10. 1088. Может ли сумма двух чисел быть меньше: а) одного из слагаемых; б) каждого из слагаемых? Приведите примеры. 1089. Высота конуса 24 см, а площадь основания 15 см2. Какой высоты должен быть цилиндр с такой же площадью основания, чтобы его объем был равен объему конуса (рис. 88)? Нет ли в задаче лишних данных? м 1090. На пришкольном участке было собрано 360 кг овощей. Картофеля было собрано в 5 раз больше, чем свеклы, а капус- ты — на 80 кг больше, чем свеклы. Сколько килограммов каждой культуры было собрано? 1091. Решите задачу: 1) В трех ящиках 21 кг гвоздей. В первом ящике в 1 — раза больше гвоздей, чем во втором. Масса гвоздей третьего ящика составляет -у- массы гвоздей второго ящика. Сколько килограм- мов гвоздей было в каждом ящике? 2) . В овощеводческом совхозе помидоры, огурцы и морковь занимали 560 га. Посевы моркови составляли площади, „ 7 занятой под огурцами, а под огурцами занято — площади, О отведенной под помидоры. Как велика площадь, занятая в отдельности помидорами, огурцами и морковью? 1092. Выполните действия: 1) 40,1 — 4,06 (29,58:3,48) + 8,112:0,78; 2) 50,2 - 3,04 (45,22:4,76) + 9,202:0,86. 185
1093. Выполните действие: а) 26-(-5); б) —4 +(-18); и) —5— 12 \ 12/ н) 4—0,7; 5 о в) 14 —( — 18); к) -3^- (-14); о) -£-(-0,4); г) 10-7; 2 \ 4 / д) 4,7-8,1; л) 2-|—3 —; п) -3,2-2^-; е) -3,3+ 9,6; 3 9 ч ж) 7-(-4,9); м) -1-+—; р) 7,8-8-i-. 4 з) —5 —( — 2,9); 8 4 1094. Найдите значение выражения (а+Ь) — с, если: а) а = 2,6, Ь= —1,4, с = 2,1; б) а=Ь=— 2,4, с =—3,9. 1095. Отметьте на координатной прямой точки А (— 4) и В (9). Найдите расстояние между точками А и В в единичных отрезках. 1096. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками: а) А (-7) и В (-3); в) р(-{) и к(1); б) М (2,3) и N (-4,2); г) С (-2 и D (1 -|-). 1097. Найдите значение выражения: а) 24—( — 13) —( — 12); г) 4,7-(-2)-(-1,5); б) —33 —16—( — 11); д) 1-2—1-1-+1А; *7 О Ю в) -4,3-5,4-2,6; е) —7^ + 4-|—1,2. 1о о 1098. Заполните пустые места таблицы: Команды «Звезда» «Орел» «Трактор» «Сокол» «Чайка» Число забитых мячей 49 37 21 6 Число пропущенных мячей 28 23 35 Разность забитых и пропущенных мячей 33 — 6 — 22 1099. Для учащихся было куплено 70 билетов в кукольный театр. В партер было куплено билетов в 1,5 раза больше, чем на 186
балкон и бельэтаж вместе. Число билетов на балкон составило 0,4 от числа билетов на бельэтаж. Сколько билетов каждого вида было куплено? 1100. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок сос- тавило 30% от числа советских марок. Сколько иностранных и сколько советских марок было в альбоме? 1101. В доме 300 квартир. Однокомнатные квартиры состав- ляют 28% всех квартир дома, а остальные квартиры — двух- комнатные и трехкомнатные, причем двухкомнатных квартир в 1,7 раза больше, чем трехкомнатных. Сколько квартир каж- дого вида в доме? Н Складывать и вычитать отрицательные числа научились древнекитайские ученые еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа — как «долги». Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал правила сложения и вычитания: «Сумма двух имуществ есть имущество», «Сумма двух долгов есть долг», «Сумма имущест- ва и долга равна их разности» и т. д. Попробуйте перевести эти древнеиндийские правила на современный язык. § 7. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 35. Умножение Задача 1. Фабрика выпускает в день 200 мужских костю- мов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход ткани на один костюм изменился на 0,4 м2. На сколько изме- нился расход ткани на костюмы за день? Решение. Расход ткани на каждый костюм увеличился на 0,4 м2. Поэтому, чтобы решить задачу, надо умножить 0,4 на 200. Получим 0,4 • 200 = 80. Значит, расход ткани на костю- мы за день увеличился на 80 м2, иными словами, изменился на 80 м2. Задача 2. Фабрика выпускает в день 200 мужских костю- мов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход 187
ткани на один костюм изменился на —0,4 м2. На сколько изменился расход ткани на костюмы за день? Решение. Расход ткани на каждый костюм уменьшился на 0,4 м2. Поэтому расход ткани на костюмы за день умень- шился на 80 м2 (0,4-200 = 80). Это значит, что расход ткани на костюмы за день изменился на —80 м2. Таким образом, произведение —0,4 и 200 равно —80, т. е. -0,4-200= — (0,4-200)=— 80. Считают, что и 200-( —0,4)=—(200-0,4)=—80. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед получен- ным числом знак к — ». Например, (—1,2)-0,3= —(1,2-0,3)= —0,36; 1,2-(-0,3)= -(1,2-0,3)= -0,36. Сравнивая эти два произведения с произведением 1,2-0,3 = =0,36, можно заметить, что при изменении знака любого мно- жителя знак произведения меняется, а его модуль остается тем же. Если же меняются знаки обоих множителей, то произведение меняет знак дважды и в результате знак произведения не ме- няется : 8 • 1,1 = 8,8; (— 8) • 1,1 = — 8,8; (— 8)• (—1,1)=—(—8,8) = = 8,8. Видим, что произведение отрицательных чисел есть число положительное. Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо пере- множить их модули. Например, (— 3,2) • (— 9) = | — 3,21 • | — 91 = 3,2 • 9 = 28,8. Обычно пишут короче: (— 3,2) • (— 9) = 3,2 • 9 = 28,8. Так как (— 3) • 2 = — (3 • 2), то можно первый множитель писать без скобок, т. е. (— 3) • 2 = — 3 • 2. ©Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками. Как перемножаются два отрицательных числа? ©1102. Уровень воды в реке изменяется каждые сутки на а дм. Как изменится уровень воды в реке за 3 суток, если а = 4; —3? 1103. При увеличении температуры воздуха на 1 °C столбик ртути в термометре поднимается на 3 мм. На сколько изменится высота столбика ртути, если температура воздуха изменится: а) на 15 °C; б) на —12 °C? 188
1104. Турист движется по шоссе со скоростью v км/ч. Сейчас он находится в точке 0 (рис. 89). Если он движется в положительном направлении, то его скорость считают поло- жительной, а в отрицательном направлении — отрицательной. Значение £ = —4 означает «4 ч тому назад». Где будет находиться турист через t ч? Решите задачу при следующих значениях букв: а) и = 5, £ = 4; б) v=— 5, £ = 4; в) и = 5, t=— 4; г) v=—5, t = — 4. -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 км Рис. 89 1105. Выполните умножение: а) -5-6; ж) 0,7 (-8); н) 1,2-(-14); б) 9-( —3); з) -0,5-6; о) -20,5 (-46); в) — 8-( —7); и) 12-( —0,2); п) —8,8-302; г) -1011; к) -0,6 (-0,9); р) -9,8-(-50,6); Д) _Ц.(_12); л) — 2,5-0,4; с) —17,5 (-17,4): е) -1,45 0; м) 0-( —1,1); т) 3,08-(-4,05). 1106. Найдите -1; 3; 5; -30. значение выражения — 421/, если i/=0; О Произведение, в которое входят отрицательные числа, читают так: 2,4 • (— 0,5) — произведение двух целых четырех десятых и минус нуля целых пяти десятых — две целых четыре десятых умножить на минус нуль целых пять десятых — 20 z/ — минус двадцать игрек — произведение минус двадцати и игрек 189
1107. Найдите значение произведения: а) “ГР г) -Зт (_7"): ж> -3-?-1,2; 6>А-(-г); «>1т(-бт> з)1,8-(-if); в>«)-3тв-Ь и)-2^.(-6,25). 1108. Поставьте вместо ♦ знак <С или > так, чтобы полу- чилось верное равенство: а) -68-9*0; в) 7,3-( — 8) * 7,3; д) — 8-|-*0; б) — 4,5-( —45)*0; г) 7,3-(-8) *-8; е) __1_. 1109. Выполните умножение и сделайте вывод: а) 1-( —3,9); б) (-1) 7,4; в) -65-(-1); г) -1-7,4. 1110. Запишите в виде произведения сумму: а) х + х + х + х + х + х; в) — 2у — 2у — 2у; б) —а —а —а —а; г) 5х + 5х + 5х + 5х + 5х. 1111. Найдите значение выражения: a) х + 4 + х + 4 + х + 4, если х = 9,1; б) a — 1-J-a — 1 + a — 1 + a — 1, если a =—2,1. 1112. Догадайтесь, чему равен корень уравнения, и выпол- ните проверку: а) —8-х = 72; б) —4-х=—40; в) 6-у=—54; г) -6-у = 66. 1113. Найдите значение выражения: а) 3-( —2)+( —3)-( —4)—( —5)-7; б) (-18 + 23-164-9).(-18); в) ( — 4,5+ 3,8)-(2,01-3,81); г) (2,8-3,9) (-4,3-2,6); д) — 4,5-0,1+( —3,7)-( —2,1) —( —5,4)-( —0,2); е) (2,3 - (-1,8) -1,4 • (- 0,8)) - (-1,5); ж) -3,8-( —1,5)-(-1,2)-0,5 — 6,5; з) — 2,321 • (— 3,2 + 2,3 - 4,8 + 6,7) —1,579. 1114. Выполните действия: 1 \ 15 / \ 23 К \ 7 14 21 ) 14 ' 8 ’ б> 11т-г-4^-п= д) (4т-2’2)-(-£)-3’05: в) 22,5-24. (X-X); е) (-0,25—5-+-1-).(-0,2)+3,9. \ *7 О / \ Z / 190
1115. Найдите значение: а) х2, если х=—6; —0,3; —0,7; —1-|-; 2-^-; б) у3, если у= — 3; —0,1; —0,1; — 1-^-; 1-|-. О Z <5 1116. Выполните действие: а) 3,7-4,8; г) -L_l|; б) -5,2-4,7; д) — 1-Ь—1-1-; о О в) —5,6 —( — 3,8); е) ——L У \ О 1117. Сравните: а) |—3,5 + 2,9| и 1—3,51 + 12,91; б) |—8,7-0,7| и 1-8,71 + 1-0,71. 1118. Вычислите устно: 1119. Представьте число —12 в виде разности: а) двух поло- жительных чисел; б) двух отрицательных чисел; в) отрицатель- ного и положительного чисел. 1120. Может ли быть верным равенство а— Ъ = Ь — а? Приведите примеры. Найдите условие, при котором данное ра- венство верно. 1121. Может ли разность двух чисел быть больше их суммы? 1122. Подберите такие отрицательные значения х и у, чтобы значение выражения х — у было равно: а) —10; б) 2,5; в) 0; г) —^-; д) 1; е) 0,1. 1123. Выполните действия: а) 3,78-(2,56-2,97); б) -6,19+(-1,5 + 5,19). 191
1124. Решите уравнение: а) х 4-3,2 = 1,8; в) 3,7 —х=—2,3; б) 4,8 — х = 5,6; г) х — 3,9 = — 2,7. 1125. Альбом дороже книги на 1,2 р. Сколько стоит книга и сколько стоит альбом, если известно, что: а) альбом дороже книги в 1,5 раза; б) книга в 1,6 раза дешевле альбома; в) цена книги составляет — цены альбома; 5 г) цена книги составляет 0,4 цены альбома; д) цена книги составляет 80% цены альбома? 1126. Найдите значение выражения:- ^114Аз1 2,1 2 2,6 7 11 4>8' 8 +3,9 d 4 . „ч 5,1 & 3 4,5 15 26 0,8 - 20,44:2,8 ’ 10,26:3,8+1,4-12 ' 4|Ь 1127. Найдите значение произведения: а) -24-36; д) -4,3-5,1; и) -1-(-1); б) —48-( —15); е) — 2,7-(-6,4); к) (-3)2; в) 33-( — 11); ж) —1-( —3,84); л) (-2,5)2; г) 1,6 (-2,5); з) -7,2-0; м) (-0,2)3. 1128. Выполните умножение: а) Т- (-5т): в)3,6-(-f); д) -2,8. (-1Х); б) -4+- (-1+): г) — -1—4,2; е) -2-1-0,125. 1129. Найдите значение выражения: а) 38.(-3)-(-24).(-4) + (-16)-(-30); б) (-2,84-6,1— 3,44-6,2)-( — 3,4); в) (4,3-7,8)-(-5,64-8,3); r)(-3f+2f)-(-8f+7v): Д> 1f-(-f)-(-2T)-1f : е> f-(-15,3-24,3.f). ИЗО. В среду привезли на 4,8 т больше сена, чем во вторник. Сколько тонн сена привезли за эти два дня, если во вторник привезли в 1,4 раза меньше, чем в среду? 1131. Первое число 60. Второе число составляет 80% перво- го, а третье число составляет 50% суммы первого и второго. Найдите среднее арифметическое этих чисел. 1132. Среднее арифметическое двух чисел равно 12,32. Одно из них составляет треть от другого. Найдите каждое число. 192
36. Деление Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел: по данному произведению и од- ному из множителей находят второй множитель. Например, разделить —12 на — 4 — это значит найти такое число ху что — 4«х = —12. Сначала найдем знак числа х. Так как при умножении —4 на х получилось отрицательное чис- ло — 12, то множители — 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х — положительное число. Теперь найдем модуль чис- ла х. Так как модуль произведения равен произведению мо- дулей множителей, то | —12| = | —4| • |х|. Отсюда |х| = = |—12|:|—4|. Но так как х — положительное число, то х = | х |. Значит, х = 3. Пишут: (—12):(— 4)= | —12|: | —4| =3, или короче: ( —12):( —4)=12:4 = 3. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Например, —4,5: ( — 1,5)=4,5:1,5 = 3; ___2_. / 2 _5_=_б_ 3 *\ 5 / 3 * 5 ~ 3 ’ 4 “ 6 * Разделить — 24 на 4 — это значит найти такое число х, что 4-х=—24. При умножении 4 на х получилось отрица- тельное число —24, значит, множители 4 и х должны иметь разные знаки. Поэтому х — отрицательное число. При этом должно выполняться равенство 141 • | х | = | — 241. Отсюда I х | = | — 241:141 = 24:4 = 6. Значит, х — отрицательное число с модулем 6, т. е. х = — 6. Итак, — 24:4 = — 6. Рассуждая таким же образом, получим, что 24:(—4)= — 6. При делении чисел с разными знаками, надо: 1) раз- делить модуль делимого на модуль делителя; 2) поставить перед полученным числом знак ♦—». Обычно вначале определяют и записывают знак частного, а потом уже находят модуль частного. Например, 3,6:(— 3) = — (3,6:3) = —1,2; /____з_= _ _ ZJL =_______L \ 8 7*4 \ 8 * 4 7 \ 8 * 3 7 2 ’ При делении нуля на любое число, не равное нулю, получа- ется нуль. Jlpjnm» на нуль нельзя! 7 Зак. 607 193
©Сформулируйте правило деления отрицательного числа на отрицательное. Сформулируйте правило, деления чи- сел, имеющих разные знаки. Чему равно частное 0:а, где а=/=0? 1133. Верно ли выполнено деление: а) —36:2=—18; в) 2,7:(-1)=2,7; б) 60:( —1,5)= —4; г) -7,5:(-5)=1,5? 1134. Найдите частное: а) -38:19; б) 45:( —15); в) — 36:( —6); г) 270:(-9); д) — 5,1:(—17); е) 650: ( — 1,3); ж) —4,4:4; з) —8,6: ( — 4,3); и) 48,1:(-48,1); к) -950:9,5; л) -5,42:(-27,1); м) 10,01:(-1,3). D Частное, в которое входят отрицательные числа, читают так: — 54:(— 2,7) — частное минус пятидесяти четырех и минус двух целых семи десятых — минус пятьдесят четыре разделить на минус две целых семь десятых (— 6m):(— 3) — частное минус шести эм и минус трех — минус шесть эм разделить на минус три Равенство, содержащее отрицательные числа, читают так: 2 4 —— х = —Yf — минус две седьмых икс равны минус четы- рем одиннадцатым 1135. Выполните деление: а) — 5:( —3); б) -7:5; в) 4:( —18); г) — 8:(—3); ") 4-2:(-2т): о) —2-:(—0,8); О п) -5,2:1-!-; 5 ₽)3.2:(-т)- 194
1136. Выполните действия: а) -4-(-5)-(-30):6; д) (-8 + 32):(-6)-7; б) 15:( —15)—( —24):8; е) -21+НЗ-4 + 5):(-2); в) — 8 ( — 3 + 12):36 + 2; ж) — 6-4 — 64:( — 3,34-1,7); г) 2,3«(—6 —4):5; з) (-6+6,4-10):(-8) (-3). 1137. Найдите значение выражения: a) (3m4-6m):9, если т= —12; —5,96; б) (5,2а—5,25): 5,2, если а=— 27, Ь=— 3,64. 1138. Чему равно частное: а) 87х и 87; г) —41с и с; б) — 3,7Л и 3,7; д) — 1,9х и х? в) 9m и т; 1139. Решите уравнение и выполните проверку: а) -х-4^-100; б) 3 ( —х)=-27; в) —0,li/ = 33; г) ±-х= = -1. 1140. Решите уравнение: х 3 9.-х 4 8.x 5 ~ 1 13 . а) 5 Х 10 ’ б> 7 У 21 ’ ) 9Х 1 27 ’ г) —|-у+5=2-|-. О V 1141. Я задумал число, умножил его на 5, а затем из про- изведения вычел 2,7. В результате получил —21,7. Какое число я задумал? 1142. Найдите значение выражения: п) 64 . б)^*. ; е) 0,72: (-i); “‘А ’ в)-Ь4_; ж) — 0,75:1 —; -i-L ' —4,2 ’ ’ 17 , v 1 3 -13 2 К) ----• г) “в5 ’ ’> -2>8:4Т: 21 О • л О 1143. Найдите неизвестный член пропорции: 7 195
1144. Вычислите устно: 1145. При каких значениях множителей произведение ху равно нулю? не равно нулю? 1146. В каких случаях может быть верно равенство: а) х = х2\ б) х=х3; в) х2 = х3? 1147. Проверьте на примерах справедливость равенства |ab| = |а| • | Ь|. Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значениях а и Ь. 1148. Вычислите: а) -17-5; г) — 0,20,3; ж) —1,3 ( —5); в)2Т’(_т): е) (-3)3; и) (-o.3-o.2M-6). 1149. Представьте числа 9; 16 и 25 в виде произведения двух равных множителей. Сколькими способами можно это сделать? 1150. Найдите значение выражения: а) - 2,3 • 0,14- 35 • (- 0,01) - (- 2,1) • (- 0,2); б) (4,8-7,34-2,1-2,74-3,1).(-183). 1151. На рисунке 90 показана карта мира с часовыми поя- сами. Определите с ее помощью: а) поясное время в Сверд- ловске и во Владивостоке, если в Москве полночь; б) поясное время в Лондоне, Токио, Нью-Йорке и Дели, если в Москве 11ч утра. Составьте сами и решите несколько задач на опреде- ление поясного времени. 1152. Костя и Вера вышли одновременно из одного и того же пункта в одном и том же направлении. Костя идет со ско- ростью а км/ч, а Вера — со скоростью b км/ч. Какое расстояние м 196
будет между ними через t ч? Составьте формулу для решения задачи, обозначив искомое расстояние (в километрах) буквой з и зная, что а>Ь. Найдите по формуле: 1 I a) з, если а = 4,2, 5 = 3,6, О б) о, если 8 = 2,2, 5 = 3,2, t = 4~*» 4 в) 5, если s=0,3, а = 5,4, г) t, если 8 = 1,2, о = 5,1, 5 = 3,3. 1153. Решите предыдущую задачу, заменив в ней слова «в одном и том же направлении» на слова «в противоположных направлениях». Найдите по полученной формуле: а) 8, если а = 4,2, 5 = 3,6, О б) о, если s = 2,2, 5 = 3,2, t=-i-; 4 в) 5, если 8 = 1,5, а = 5,4, г) t, если 8 = 5,6, о = 5,1, 5 = 3,3. 1154. При каких целых значениях х верно неравенство: а) —3,2<х<1,8; б) -5-L<x<-L; в) -0,3<х<4? о 4 197
1155. Вычислите с помощью микрокалькулятора: а) —3,82’0,375-3,8275; б) 4,15 (-1,236)+3,0994. 1156. Выполните деление: Va) 57:(—19); д) — 86,2:(—0,1); и) -11-; (-1X); б) -123:41; е) -51,34:(-1,7); к) -0,12: (-1) в) —147:(—7); ж) -l-f-:£; л)0,1:(—^); г) 14,31:(—2,7); з) ^-:(-1^-): м) —£:1,6. 1157. Решите уравнение: а) — 6,32х = 60,04; г) —|-х=-|-; б) у:(-3,08) =-4,5; д) -2,4-(-т)=—0,24; в) 8,37 (-у) = 20,088; е) -|-*=-0»24. О 1158. Найдите значение выражения: а) (48-57):0,9; д) 3,2:(-0,4 0,2); б) ( — 84,2 —15,8):(—0,01); е) -4,9:(-0,2 0,3-0,1); в) ( — 24,6+13,8):2,7; ж) 1 A; г) 643,2:(-87,3+ 85,7); з) (-0,2+-|-):3,2. 1159. Из города одновременно в одном и том же направле- нии выехали два мотоциклиста. Скорость первого из них была больше скорости второго и составляла 72 км/ч. Через 25 мин расстояние между мотоциклистами было равно 5 км. Найдите скорость второго мотоциклиста. 1160. Найдите значение выражения -^^-:-^-+-^^~1 ~. 5*1 3 о,5 4 _7 9_2 1161. Решите уравнением) т =|4; б) -—=—%—. — 1,4 0,0 X п 1 37. Рациональные числа Число, которое можно записать в виде отношения где а — целое число, ап — натуральное число, называют рацио- нальным числом. 198
Любое целое число а является рациональным числом, так как его можно записать в виде Например, — 3=~у^; 2=-у-; 0=-у-. Рациональным числом будет и любая отрицательная дробь, 2 — 2 так как, например, —— можно записать так: -т—. 0 0 2 2 Числа 0,23; 2-у-; —3,513; —4 — тоже рациональные чис- Л оо 23 «2 16 . Q к-.« 3513 . ,2 —22 ла, так как 0,23=—; 2 —; 3,513=—; -4^-=—. Сумма, разность и произведение рациональных чисел тоже рациональные числа. Например: __2 3 -144-9 -5 , 3 7 21 21 * J>__3 5 — 6 —1 . 8 4 8 8 * __3 2 1 -33 8 5 40 ’ Если делитель отличен от нуля, то частное двух рацио- нальных чисел тоже рациональное число. Например: -0,5:—-—=--------------j-. Вы уже умеете выражать некоторые обыкно- 7 125 венные дроби в виде десятичных дробей. ___70 0,28 Например, =0,28, так как 7:25=0,28. ” 200 25 -- Не все обыкновенные дроби можно пред- ставить в виде десятичной дроби. 1 |3 Например, если будем делить 1 на 3, то ______10 0,33... о получим сначала нуль целых, потом три деся- тых, а далее при делении все время будут — g повторяться остаток 1 и в частном цифра 3. -у Деление никогда не кончится. Значит, дробь нельзя предста- 0 вить в виде десятичной дроби. Но если разрешить писать беско- нечные десятичные дроби, то -|-=0,333... 0 199
Деля 5 на 11, получим, что = 0,454545... 5 111________ 50 0,4545... 44 “50 55 “5 В записях 0,333... и 0,4545... одна или несколько цифр начинают повторяться бесконечно много раз. Такие записи на- зывают периодическими дробями. Вместо 0,333... пишут 0,(3), а вместо 0,4545... пишут 0,(45). Любое рациональное число можно записать либо в виде де- сятичной дроби (в частности, целого числа), либо в виде пе- риодической дроби. Для дроби -^-=0,333... число 0,3 является приближенным О значением до десятых с недостатком: 0,3 <4~. Число 0,4 яв- о ляется приближенным значением этой дроби до десятых с из- бытком: <0,4. Таким образом, 0,3<4~<0,4. О о Если число = 0,4545... округлить до десятых, то по- лучим ^-«0,45, а если округлить до тысячных, то 0,455. Какие числа называют рациональными? Покажите, что любое целое число является рациональным числом. По- кажите, что любая десятичная дробь является рациональным числом. Какими числами являются сумма, .разность, произве- дение рациональных чисел? Всегда ли частное двух рациональ- ных чисел является рациональным числом? Какая запись чис- ла называется периодической дробью? 1162. Представьте в виде -у (где а — целое число, а п — натуральное число) следующие числа: 2у-; 4; 0,35; 1,23; 1; 0; -1; —|-; -3,18; ; -Зу. 200
1163. Представьте в виде — (где а — целое число, ап — п натуральное число): v _ . 5.3 3 9 4 5 л е о 1 а) суммы --+п; 0,5-3,1; 6) произведения (—|-); -3-1-0,9; -2-|-~; в) частные 4-:(—£-); 0,27:0,9; -0,26:(-0,13); —1-:0,6. о \ 9 / Выражение у- можно прочитать разными способами: — частное икс и игрек: — дробь с числителем икс и знаменателем игрек — дробь; икс, деленный на игрек Бесконечные десятичные дроби читают так: 0,666... — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так далее 0,(6) — ноль целых и шесть в периоде 2,5333... — две целых пять тысяч триста тридцать три де- сятитысячных и так далее 2,5(3) — две целых пять десятых и три в периоде 1164. Выразите в виде десятичной или периодической дро- л 5 7 13 .7 27 „5 -.9 7 би числа-,-,5-, 4-.-. 3-.1-,-. т/> - w з 17 18 14 7 23 5 7 1165. Какие из дробей 5 ♦ 24 ’ 35 ’ 35 ’ 200 ’ 40 ’ 9 ’ 18 ’ — , — можно представить в виде десятичной дроби? 24 64 1166. Проверьте, что: а) 0,222... = -^; в) 0,818181...=^- ; д) 0,4666... = -?- ; 9 11 15 б) 5,(6)=5 -|-; г) 0,(06); е) 2,8(12)=21||. 1167. Для дробей и -|- найдите десятичные прибли- жения с недостатком и с избытком: а) до десятых; б) до сотых. Запишите ответ в виде двойного неравенства. 1168. Выразите дроби , уу- , 1 в виде прибли- женного значения десятичной дроби до сотых. 201
1169. Вычислите устно: 1170. Одинаковы ли знаки чисел х и у, если верно нера- венство: а) ху<0; б) ху>0; в) ху<—3; г) ху>5? 1171. При каких значениях т верно равенство: a) |m|=m; г) т=\— ml; ж) т-\- |т| = 2т; б) |т| = — т; д) т= — т; з) m—\ml=2m? в) —т= I — т\; е) m-|-|m|=0; 1172. Может ли быть верным равенство а:Ь = Ь:а? Как до- казать, что утверждение «Равенство а; Ь= Ь;а верно при любых значениях а и 5» несправедливо? 1173. Отметьте на координатной прямой точки с целыми координатами: а) модуль которых больше 3 и меньше 7,1; 2 б) кратными двум, модуль которых больше 5 и меньше 10 —. 1174. Выполните деление: а) —50:( —5); д) -3,6:1,8; ж) — б) 4:( —5); в) -3:7; е) — г) 2,4: ( — 6); 1175. Можно ли привести дробь к знаменателю 20; 24; 45; 75; 80; 100; 1000? 1176. Можно ли привести к знаменателю 60 дроби: 2_. J_. _L . 1 ? 4 * 7 ’ 12 ’ 22 1177. Можно ли представить в виде десятичной дроби числа 1 2 3 1 3 3’5*7*8* 25*7г 202
1178. Можно ли привести к знаменателю 100 дробь , если пг = 2; 25; 3; 4? 1179. Найдите значение выражения: 1) -2,79:3,1-1-24,24:2,4; 4) (1 — 1,31,6) ( — 3,2); 2) 2,07:( — 2,3)4-13,13:1,3; 5) (4— 3) (1 — 1,5-1,4)-(—2,8); 6) дь 1180. Представьте в виде (где а — целое, ап — нату- ральное число): а) сумму —и сумму 3,9 —4,7; У 1о , 22 3 б) произведение ——Л — и произведение — 5,6* ( —1»2); в) частное —7,5:(—0,25) и частное —0,8:(—0,6). 1181. Проверьте, что а) 0,444...=-|-; б) 0,3(5)=. 1182. Выразите дроби у- 1? , в виде приближенного 12 22 1D значения десятичной дроби, округлив результат до тысячных. 1183. Два мальчика идут навстречу друг другу. Сейчас меж- о ду ними 12 км. Скорость одного из них составляет — скорости 3 другого. Найдите скорость движения каждого мальчика, если известно, что они встретятся через 1,5 ч. 1184. Найдите значение выражения: а) ( — 0,8-1,2+ 1,06):( — 0,5); б) (-30,15:15 + 0,91)(-2,4). 38. Свойства действий с рациональными числами Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а, b и с — любые рациональные числа, то а + Ь = Ь + а, а+(Ь + с) = (а + Ь) + с. Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противопо- ложных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + ( —а)=0. 203
Умножение рациональных чисел тоже обладает перемести- тельным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с — любые рациональные^числа, то ab — ba, a (bc)-(ab') с. Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произ- ведение числа на обратное ему число равно 1. Значит, для лю- бого рационального числа а имеем: а-1=а. а«—=1, если а^О. а Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем: а -0 = 0. Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю: если а«Ь = 0, то либо а = 0, либо b = 0 (может случиться, что и а=0, и b = 0). Умножение рациональных чисел обладает и распредели- тельным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а, b и с имеем: (а+Ь)*с = ас+Ьс. £4 Перечислите свойства сложения рациональных чисел. Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком случае произведение двух чисел равно нулю? ©1185. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения а+Ь=Ь+а и проверьте его при: а) о = 0,7, Ь = 1,2; б) а=-3-|-, Ь=-1-|-. 1186. Сформулируйте словами сочетательное свойство сло- жения a + (5 + c) = (a +Ь) + с и проверьте его при: а) a =—0,7, Ь=—0,3 и с = 1,2; б) « = -11, 1187. Сложив отдельно положительные и отдельно отри- цательные числа, найдите значение выражения: а) —17 + 834-49 —27 —364-28; б) 2,15 - 3,81 - 5,76 + 3,27 + 5,48 - 4,3 3; в) 4f+2T-5f-3T~2f; г) 0,8—5-+О.З--1-+0,4. о о 2 204
1188. Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выражения: а) 387-243 — 753 — 3874-243; б) — 6,37 + 2,4 — 3,2 + 6,37 — 2,4; в>34-+2т-5т-3т-21= г) 0,5 + 21—3,3-2,8-4-+3,3. 5 2 1189. Упростите выражение: а) х + 8 — х — 22; в) а — тп + 7 — 8 + т; б) — х—а+12+а —12; г) 6,1 — * + 2,8 + р—8,8 + * — р. 1190. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите зна- чение выражения: а) 7,8 + 3 4—2,8 — 3 — ; в) 4--— — 3— — 3 — + 1—; ' ' 8 * 8 7 14 12 14 °12Т 14 б) 4Т“3Т~9,5+5-i-; Г) 31—0,8-2^-4-2,5+0,34-1^. 1191. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при: а) а=—0,3, 5 = 0,4; б) а=-2± b= — 4-J-. О 6 1192. Сформулируйте словами сочетательное свойство умно- жения а(Ьс)=(а5)с и проверьте его при: а) а = 0,2, Ь = -0,5, с = 3,2; б) а= —Ь = -14"» с= —!"• О 4 D 1193. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите зна- чение выражения: а) — 2-( —50)-6-12; д) -3-L. (-1 -|-).(-3).(-7); б) 11-( —4)-( —7)-25; 4 в) — 0,2-0,8-( — 5)-( —1,25); е) -0,2-2 -|-(-0,5). ( ). 1194. Какое получится число (положительное или отрица- тельное), если перемножить: а) одно отрицательное число и два положительных числа; б) два отрицательных и одно положительное число; в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел; г) 20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод. 205
. 1195. Определите знак произведения: а) — 2-( —3)«( —9)«( —1,3)-14-( —2,7)-( —2,9); б) 4 (-11).(-12).(-13) (-15) (-17).80 90. 1196. Решите уравнение, использовав свойство произведе- ния, равного нулю: а) 4(х-5)=0; в) 1,5(41-х)=0; д) (х-1) (х-2) = 0; б) -8 (2,6 + х) = 0; г) (Зх-6)-2,4 = 0; е) (х + 3) (х + 4) = 0. 1197. Сформулируйте словами распределительное свойство умножения (а-|-Ь)«с=ас4-Ьс и проверьте его при: а) а=0,2, Ь= —0,3,с= —0,5; б) а=-у-, Ь= —|-,с=-1-|-. 1198. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите зна- чение выражения: В) _^.0,8+0,3.(_^); «•)(--1—j-)-(-28)- а) 0,3’(—0,6)—(—0,7)«( —0,6); б)8.(_|.)+7.(_|.); 1199. Вычислите устно: 1200. Найдите сумму всех целых чисел: а) от —6 до 7; б) от —18 до 17; в) от —22 до 20. 1201. Решите уравнение: а) |х|=5,2; б) |а| = -3у; в) |у|=0. 1202. Придумайте такие значения х и у, при которых верно соотношение: а) —=1; б) —=0; в) — =-1; г) —>0; д) —>1; е) —<1. У У У У У У 1203. Найдите наибольшее значение выражения: а) — |х|; б) 2—|х|; в) — |х —1|; г) —(х —I)2. 206
м 1204. Решать некоторые математические задачи помогают специальные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стрелок .(рис. 91)г.Такие схемы называют графами, точки называют вершинами гр&фа, а дуги — ребрами гр&фа. Решите с помощью графов задачу: а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».) б) Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные ребра графа означают «я — сестра», а сплошные — «я брат».) 1205. Вычислите: а) 2-^-4; в) 0,5-(-4); ж)-|—5-|-; б) (б-г) 8:(—0,4); е) з) 0,25-^-. 1206. Сравните: а) 23 и З2; б) (-2)3 и (-3)2; в) I3 и I2; г) (-1)3 и (-1)2. 1207. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц. 1208. Решите задачу: 1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между .ни- ми 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклис- та, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста че- 2 рез — ч. <5 207
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между 5 ними 18 км. Скорость автобуса составляет — скорости легковой О автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автома- шины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через -|- ч. 1209. Найдите значение выражения: 1) (0,7 245:0,23 - 2,45) • 0,18 + 0,07 4; 2) (0,8925:0,17 - 4,65) • 0,17 +0,098; 3) (-2,8+3,7- 4,8) 1,5:0,9; 4) (5,7 —6,6 —1,9)* 2,1:(—0,49). Проверьте ваши вычисления с помощью микрокальку- лятора. ®1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите зна- чение выражения: а) -24+(-16)+( —10) + 23 + 17; б) 36 + 72 + 24-36-72-24; в) -3,4 —7,7+ 4,2-8,9+ 3,5; г) — 3,9 + 8,6 + 4,7 + 3,9 — 4,7; д)4т-3т-5т+1т-5т+2т' е) ef-5f-4f+5-|-+4f_6f. 1211. Упростите выражение: а) —Зб + тп + 24; в) 5,7 —7,7 + а; д) —0,375 + *; о б) п + 42 — 13; г) —0,44 + х —0,22; е) т+-|—-|-. У О 1212. Найдите значение выражения: а) — 5-( —1,2)-( —7); в) Х f • (-f); б) -12,5-2,4-(-8)-(-5); г) -0.7-4,5-10. 1213. Выполните действия: а) 0,8-( — 0,3) —0,6 «( — 0,3); г) 23,7 - 2-|-(- 5,3); »> -i.M-M (-i); > •i(f-f)-2»- 208
1214. Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание? 1215. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — на 25% меньше. Сколько литров бензина в сред- нем расходовалось на каждые 10 км пути? 1216. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипе- диста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м? 1217. Выполните действия: а) - 4,8 • 3,7 - 2,9 • 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 1,9; б) -14,31:5,3 — 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 • 0,8; в) 3,5 • 0,23 — 3,5 • (— 0,64) + 0,87 • (- 2,5). НС рациональными числами люди, как вы знаете, знакоми- лись постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (от- деляющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке назва- ния только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа* (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа- оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много». Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появи- лось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем ВавилЬне появляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число. Величайший древнегреческий математик и физик Архи- мед (287—212 гт. до н. э.) придумал способ описания гро- мадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем рас- стояние от Земли до Солнца. 209
. Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математи- ками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа. При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях вели- чин, да и в других похожих случаях люди встретились с не- обходимостью ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби». Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в 1585 г. голландский математик и инженер Симон Стевйн. Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время 'такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для поло- жительных и отрицательных чисел «имущество — долг» при- водило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущест- ва» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»? .Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, прави- ла умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Дио- фантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляе- мое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибав- ляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а- р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении). Было установлено, что свойства действий над отрицатель- ными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойст- вом). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными. В дальнейшем в математике появились новые числа — ир- рациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в стар- ших классах. 210
$ 8. РЕД1ЕНИЕ УРАВНЕНИИ 39. Раскрытие скобок Выражение а+(Ь + с) можно записать без скобок: ®-|-(Ь + с)=а + Ь + с. Эту операцию называют раскрытием ско- бок. Пример 1. Раскроем скобки в выражении « + ( — Ь + с). Решение. а+( — Ь+с) = а + (( — Ь) + с)=а + ( — Ь)-\-с = а — Ь-^-с. Если перед скобками стоит знак « + *, то можно опустить скобки и этот знак * + *, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком « + *. Пример 2. Найдем значение выражения -2,87+ (2,87-7,639). Решение. Раскрывая скобки, получим - 2,87 + (2,87 - 7,639) = — — 2,87 + 2,87 — 7,639 = 0 — 7,639 = — 7,639. Чтобы найти значение выражения — (— 9 + 5), надо сложить числа —9 и 5 и найти число, противоположное полученной сумме: — ( —9 + 5)= —( —4) = 4. То же значение можно получить по-другому: вначале за- писать числа, противоположные данным слагаемым (т. е. из- менить их знаки), а потом сложить: 9 + ( — 5) = 4. Таким об- разом, —( —9 + 5) = 9 —5 = 4. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит, — (а + Ь) = — а — th Пример 3. Найдем значение выражения 16 —(10 —18 +12). Решение. 16—(10 —18 + 12) = 16 + ( —(10 —18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак *—*, надо заменить этот знак на « + *, поменяв знаки всех сла- гаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки. 211
. Пример 4. Найдем значение выражения 9,36—(9,36 —5,48). Решение. 9,36—(9,36 - 5,48) = 9,36 + (— 9,36 + 5,48) = = 9,36 — 9,36 + 5,48 = 0-|- 5,48 = 5,48. Раскрытие скобок и применение переместительного и соче- тательного свойств сложения позволяют упрощать вычисления. Пример 5. Найдем значение выражения ( —4 —20)+(6+13)—(7—8) —5. Решение. Сначала раскроем скобки, а потом найдем от- дельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех отри- цательных чисел и, наконец, сложим полученные результаты: (_4-20)+(6-|-13)-(7-8)-5 = = -4 — 20-|-6-|-13-7-|-8-5 = = (6 + 13 + 8)+(-4-20-7-5)= 27-36=-9. Пример 6. Найдем значение выражения -3-Г+2Т—1Т- Решение. Сначала представим каждое слагаемое в виде суммы их целой и дробной частей, затем раскроем скобки, потом сложим отдельно целые и отдельно дробные части и, наконец, сложим полученные результаты: -з-г+2т-1т=- (3+т)+ (2+т)- (1+т)= —3-f+2+f-l-f=(-3+2-l)+ (-f+f-f)= =-2+-10+9-g=-2+^=-2-f=-2f. ©Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак « + » ? Как можно найти значение выражения, противоположное сумме нескольких чисел? Как раскрыть скобки, перед кото- рыми стоит знак « — »? 1218. Раскройте скобки: ® а) 3,4+(2,6+ 8,3); в) m+(n — Л); б) 4,57+(2,6—4,57); г) с+(-а+Ь). 1219. Найдите значение выражения: а) -(-5,75 + 3,24); б) -(6,38-2,47); в) -(—|— 212
1220. Раскройте скобки: а) 85 + (7,8 + 98); г) -(80- б) (4,7 —17) + 7,5; д) -а + в) 64—(90 + 100); е) с+( — 1221. Раскройте скобки —16)+84; ж) а—(b — k— п); (т— 2,6); з) —(а —5 + с);- а — Ь); и) (т — п)—(р — Л). и найдите значение выражения: а) 5,4+(3,7-5,4); б) - 8,79+(-1,76+8,79); в) 3,4+(2,9 —3,4+ 4,1); г) (4,67 —3,94)+(3,94-3,67 д) 7,2—(3,2 —5,9); е) (4,8 + 2,75)—(4,8 —3,25); л) (8 f-7f)+(2,25-2f); м) 3,15+(|—2,15); ж) -6,9—(4,21-10,9); з) (3,72-5,43)—(4,57 + 3,22 » + (W> «++(++)^ !); »> 4т-(2т+1т)= р)(711-3,2)-(2А + 1,8). 1222. Упростите выражение: а) 0,4+(т -22); б) (6-х)+-|-; в) —0,16+(4,06 —т); г) (1б-а)-20^; д) р+(1,4—р); е) —а+(а—1,1); ж) Т— (т-т): з) — 8,3 — (—х—8,3); и) т —(п + т); к) — (п —х)—х; л) р + ( —т + Л —р); м) — а —(т —а + р); н) —(тп —а) —(Л + а); о) т + (Л—а — т)\ п) т — (а + т) — ( — а — т)\ р) а —(а—5). 1223. Напишите сумму двух выражений и упростите ее: а) — 4 — т и тп + 6,4; б) 1,1+а и —26—а; в) а+ 13 и —13+ Ь; г) а+Ь и р —5; д) —т-\-п и —k— п; е) т — п и п — т. 1224. Напишите разность двух выражений и упростите ее: а) —3+а и а + 60,1; б) 3,2 — п и —п+1 4"» в) тп + п и Л + пг; г) —а + d и 5 —а; д) — р — а и k —а; е) т — а и — а-\-т — Ь. 213
1225. Решите уравнение: а) 7,2—(6,2—х) = 2,2; г) (х+3) —17= — 20; б) -5 + (а-25)=-4; д) -(10-Ь) + 23,5= -40,4; в) ; е) (т+п)“п=0’8- 1226. Решите с помощью уравнения задачу: а) На одной полке 42 книги, а на другой 34. Со второй полки сняли несколько книг, а с первой — столько, сколько ос- талось на второй. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг сняли со второй полки? б) В первом классе 42 ученика, во втором на 3 ученика меньше, чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в этих трех классах 125 учеников? 1227. Найдите значение выражения: -бзт>+3тЬг>-5т+т^ ж>3т-2т-11-; б> 3£-4£; д)2^+зА_6а; з)5х_2^_4|. в) -3-1— 1А; е)31-8± + 11; 1229. Найдите наибольшее значение выражения: а) 157 —х, если х = 68; —19; 0,17; — 5-|-; б) —ЗОх, если х=0,2; —0,7; 8; -2-^-; в) х:(—0,5), если х=12,5; —3,5; — 1-у; 6. 214
м 1230. Укажите 4 последовательных целых числа, если: а) меньшее из них равно —12; в) меньшее из них равно л; б) большее из них равно —18; г) большее из них равно k. 1231. Найдите координаты середины отрезка, если коорди- наты его концов равны: а) -3 и 5; б) -6 и 1; в) -2,5 и 1,5; г) -8 и —1-|-. 1232. Каким числом будет значение выражения x-j-y, если: а) х>0, у>0; в) х>0, у<0; д) х>0, у=0; б) х<0, у<0; г) х=0, у<0; е) х=0, у=0? 1233. Решите с помощью графа задачу: «Вера, Нина, Оля и Люба надели платья разных цветов (красное, синее, бе- лое, голубое). На вопрос, кто из них в каком платье, три девоч- ки ответили: 1) Оля — в синем, Люба — в белом; 2) Оля — в красном, Нина — в синем; 8) Вера — в синем, Люба в голубом. В каждом ответе только одна часть верна, а остальные нет. Какого цвета платье надела каждая девочка?» 1234. Найдите значение выражения: а) 35-8+14-35+8-14; г) —1-(-3,2)-1 •|~(-10); б) -|-+0,4—1-+0,6; з в , 3 7 1 \ 3 3 д>~-+~ь А--)’ ’ з • 7 • 2 ’ е) (Л+-1-).(-35). 1235. Представьте: • v < 3 1 о 1 . л в - 3 . а) в виде десятичных дробей: -г-; -т-; 3 —-; 4-—; 1 —; О 4 Z ZO 4 б) в виде обыкновенных дробей: 1,2; 3,25; 0,75; 1,125. 1236. Найдите неизвестный член пропорции: 1) 44-:7|-=х:12; 2) 6-1-:«=6-|-:4,1. 4 О Z O 1237. Решите уравнение: 1) -2(3,1х—1)+3(1,2х+1)= —14,5; 2) — 5 (4,2y-f-l) + 4 (1,4у —2)= — 20,7. 1238. Раскройте скобки и найдите значение выражения: а) 8,757—(7,8—1,043); г) (2-|-+1-|-)- (1 А+±.); б) 3,96+(2,375 — 3,96); Д) — (2,77—7(о,23-4-|-); в> т+ (т-т)’ е) " (f +1’37)- (-2'87-т)- 215
1Z4U. гешите уравнение: а) 8,4-(х-7,2)=8,6; б) —1,3 4-(х—4,8)=—7,1; в) 3,3—(х —6,7) = 100; . 1239. Упростите выражение: а) 0,2—(х—3,3); в) 2,9—(х-6,7); д) с-(а+с); б) m-(3,5 + m); г>9~(8-|—*): е) (m+n)-(n—т). г) д)1Т~ (*+т)=1-Ь 1241. Найдите значение выражения: 1 2__о ____1 JL • в) 4 —__2 —___1 — • 1 15 2 10 1 6 * ' 4 35 2 14 1 10 * «2^-4т+1п’ г)1т+2т-5т- 1242. Решите задачу, составив пропорцию: о а) Затрачивая на изготовление каждой детали — ч, бригада 0 выпускала за смену 540 деталей. Сколько деталей будет вы- пускать за смену бригада, если на изготовление каждой детали з будут затрачивать — ч? На сколько процентов повысится 5 при этом производительность труда? б) Масса 15 л керосина 12,3 кг. Какова масса 35 л керосина? в) Из 0,3 т свежих яблок получается 57 кг сушеных. Сколько сушеных яблок получится из 5,5 т свежих? 1243. Решите уравнение: а) 4,8:1,5 = 1,8: (-j-x); б) 4 -|-:(2х)=1,3:3. 40. Коэффициент Переместительное и сочетательное свойства умножения позволяют упрощать выражения. Пример 1. Упростим выражение 0,3а-( — 0,7 b). Решение. Это выражение является произведением четы- рех множителей: 0,3-а«( — 0,7)• Ь. Сгруппировав отдельно чис- ловые и отдельно буквенные множители, получим: 0,3a(-0,7b) = 0,3a(-0,7)«b = = (0,3 • (- 0,7)) • (а • Ь) = - 0,2 lab. 216
Число —0,21 называют коэффициентом в полученном вы- ражении. Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффици- ентом (или просто коэффициентом). Коэффициент обычно пишут перед буквенными множите- лями. Коэффициентом такого выражения, как а или ab, считают 1, так как а = 1*а; ab = l-ab. При умножении —1 на любое число а получается чис- ло — а: — 1’0= —а. Поэтому числовым коэффициентом выражения —а считают число —1. Пример 2. Найдем коэффициент выражения — а*( —Ь). Решение. Так как — а • (— Ь) = ab, то, значит, коэффи- циентом выражения —а*( —Ь) является 1. ©Что называют числовым коэффициентом выражения? Чему равен коэффициент выражения ах? А выражения —ах? 1244. Упростите выражение: а) — 8,3*10*х; б) 4*( —6,5)*т; в) х-( —1,6) *2,2; г) —3,2*а*( —3); Д) ~а.(-3); е) « cf-l-LY 5 \ 4 / Ж) -1Л-.т.А; о о з) 0,8.t.(i). 1245. Найдите коэффициент произведения: a) 8m*7; ж) —с*( —Ь); б) — 4*( —12х); 2 /_3 \ В) —2р-(—1,4); з)Т5тЧ— п)’ 2 /-7 и) —2,5m*( —3); г) з а'\ 8 Ь)\ 8 /’ к) —0,11х*( —2m); д) 6с*( —7); л) — 2,7аЬ*( —1); е) — m-п; м) — 1—m)*( —1 1246. Определите знак коэффициента: a) -a*(-b)*(-c)*(-d); в) — 5а*6Ь*( —0,3с); б) — За*( —2Ь)*Зс*( —4); г) Яг m*0,3n*(-5p)* (-1-И. Z \ о / 217
1247. Упростите выражение и подчеркните коэффициент: а) —Зш-(—86); ж) -|-а.(—66)- (—— б) 5а-(—66); 3 \ 8 / в) — 2с-(—0,46); з) (-1-|-б)-(-0,5).(-4е); г) 4-( —2х)-(3у); ' д) —0,5-( —3n)-(0,2m); и) -g-т- п).2-. е) -0,6-5с-(-20); 1249. На координатной прямой (рис. 92) отмечены числа а и Ь. Определите знак произведения ab. Ь 0 а I । . » а 1 2 b ч—н- ч----i- а) б) b -2 -1 а -1а 1 b । ill » «.। । । ф г) Рис. 92 1250. Найдите произведение всех целых чисел: а) от —6 до —1; в) модуль которых меньше 10; б) от — 12 до 1; г) модуль которых больше 3 и меньше 5,6. 1251. Каким числом будет произведение ху, если: а) х>0, у>0; в) х>0, у<0; д) х<0, у=0; б) х<0, i/<0; г) х=0, у<0; е) х —0, у=0? 1252. Найдите наименьшее целое положительное и наиболь- шее целое отрицательное решение неравенства: а) |х|>4; б) |х-3|>5; в) |х|>3-|-. 1253. Найдите значение выражения: а) (3,2-5)-(3,2+ 7); б) (|~ 1,2)- (-1,8 + -|-). 218
1254. Вычислите: -1+4-; -2+4-; з-^-; i-4-J -2^-5-2-f-. 1 7 4 7 3 7 7 1255. Найдите значение выражения: а) — (m +n)+(fe +т)—(А — 0,13), если п — —2,13; б) (c + d + й) —(с + Л —15,3), если d= —14,7. 1256. Напишите сумму двух выражений и упростите ее: а) о + Ьир-Ь; б)— zn+n и — k — п. 1257. Напишите разность двух выражений и упростите ее: а) — а + 5 и Ь — а\ б) —4— т к 6,4 — т. 1258. Найдите значение выражения: 1) -2,6 (3-3,8)+ 4,2 (4-2,7); 2) -1,212:0,4 + 2,9 (2-4,3). 4|Ь 1259. Упростите выражение и коэффициент: подчеркните его числовой а) -а-( — 7); б) b-(-4m); в) Зад-2; г) — тп-( — 5); д) 2а •( —ЗЬ); е)Та + с’ и) f о. (_ЛЬ).АС; Ж) —~д; К) о о < У 3) 7 5 1260. Выполните действия: а) -13,6-(-7,2 + 313,2:8,7); в) -9,396:2,7-0,2 1,7; б) -16,3«( — 8,3 + 212,8:7,6); г) —0,8-1,6-14,911:3,7. 1261. Решите уравнение: а) 1-|-:3,75 = 4х:15; б) -2-:13=ix:4-l-. z о 0 1262. Из 3,2 кг ржаной муки получается 4,48 кг хлеба. Сколько муки расходует хлебозавод на выпечку 28 т хлеба? 1263. 8 каменщиков сложили стены дома за 42 дня. Сколько нужно каменщиков, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней? 1264. Выполнив план на 25%, трактористы вспахали 144 га. Сколько земли нужно вспахать, чтобы выполнить 65% плана? 41. Подобные слагаемые Распределительное свойство умножения (а + д)-с=ас + Ьс справедливо для любых чисел а, b и с. Замену выражения (а+ 5)-с выражением ас+дс или вы- ражения с -(а + 5) выражением са + сд также называют рас- крытием скобок. 219
Пример 1. Раскроем скобки в выражении — 3-(а —2Ь). Решение. Умножим —3 на каждое из слагаемых а и — 2Ь. Получим —3-(а —2Ь)= —3«a-f-( —3)*( —2Ь)= — За 4-66. Пример 2. Упростим выражение 2т — Чт -f- 3m. Решение. В данном выражении все слагаемые имеют об- щий множитель т. Значит, по распределительному свойству ум- ножения 2m —7m 4-3m = т «(2 —74-3). В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых. Она равна — 2. Поэтому 2m — 7m4-3m= — 2m. В выражении 2 m —7 m 4-3m все слагаемые имеют общую буквенную часть и отличаются друг от друга только коэффи- циентами. Такие слагаемые называют подобными. Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, назы- вают подобными слагаемыми. Подобные слагаемые могут отличаться только коэффициен- тами. Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные слагае- мые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Пример 3. Приведем подобные слагаемые в выражении 5a 4-я — 2a. Решение. В данной сумме все слагаемые подобны, так как у них одинаковая буквенная часть а. Сложим коэффициен- ты: 54-1 — 2 — 4. Значит, 5a4-a — 2a = 4a. ©Какие слагаемые называют подобными? Чем могут отли- чаться друг от друга подобные слагаемые? На основа- нии какого свойства умножения выполняют приведение (сложение) подобных слагаемых? © 1265. Раскройте скобки: а) (а-Ь4-с)-8; д) (Зт-2*4-1)-(-3); б) — 5*(т — п — Л); в) а-(Ь — т4-л); г) —а-(6Ь-Зс4-4); е) — 2а*(Ь4-2с —Зт); ж) ( — 2а 4-36 4-5с) «4т; з) —а«(3т4-6—л). 1266. Выполните действия, применив распределительное свойство умножения: а) 9-134-9-7; д) 1,5-134-1,5-7; з)1-2-.-2__L.A- б) 27-19—17-19; е) 0,9-0,8-0,8-0,8; 19 4 *® 4 ’ в) 8-114-ie.il; ± А и) 2X«4f-2|..4f. г) 9-17 —3-17; ’ 3 * 7 "Г з ‘ 7 9 220
1267. Сложите подобные слагаемые: а) — 9х4-7х—5х4-2х; б) 5а — 6а 4-2а — 10а; в) llp-f-2p4-20p—7р; г) -3,85 — 54-3,854-5; д) а+6,2а—6,5а—а; е) -18л-12л 4-7,3л 4-6,5л; Ж) Тт+Тт~Тт~Тт; з) Та~Г°+Та_^а: и) 54-0,45 —|-5—1-5. 5 2 О Выражения вида 7х—Зх4-6х—4х читают так: — сумма семи икс, минус трех икс, шести икс и минус четырех икс — семь икс минус три икс плюс шесть икс минус че- тыре икс 1268. Выполните приведение подобных слагаемых: а) 10а 4-5 —105—а; е) — 6а 4- 5а — х 4- 4; б) — 8у4-7х4-6у4-7х; ж) 23х—234-404-4*; в) -8x4-5,2а 4-3x4-5а; з) — а4-*4-1»1° — 1,3х; г) 5а 4-7а — 9,2m 4-15m; и) —12р4-354-3,2р—2,35; д) — х ——у—-х4-—у; к) 0,5а——5——а—-Ь. 7 9 У 14 ' 3 ’ 3 5 3 1269. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 7*(2х—3)4-4*(3х—2); б) — 2«(454-8)—3»(55 —1); в) _8.(2-2у)4-4.(3-4у); г) (Зх-11)-2 —5-(4 —Зх); д) (8а-1).(-6)4-(За-7).(-2); е) —0,5( —2x4-4)—(10 —х); « (т-й)^ з) 5-(-|-х-0,7)-3-0-х-О,2). 1270. Найдите значение выражения: а) 4х —2а4-6х —За4-4а, если х= — 0,15, а=0,03; б) —6,3m4-8 — 3,2m — 5, если т—— 2; ——0,4. О 1271. Решите уравнение: а) 3«(2х4-8)-(5х4-2)=0; в) 8-(3-2х)4-5«(Зх4-5)=9. б) -3.(3j/4-4)4-4.(2j/-l)=0; 221
1272. Килограмм картофеля стоит 20 к., а килограмм ка- пусты 14 к. Картофеля купили на 3 кг больше, чем капусты. За все заплатили 1 р. 62 к. Сколько купили килограммов карто- феля и сколько капусты? 1273. Турист шел 3 ч пешком и 4 ч ехал на велосипеде. Всего он проделал путь в 62 км. С какой скоростью он шел пеш- ком, если пешком он шел медленнее на 5 км/ч, чем ехал на велосипеде? 1274. Вычислите устно: а) 34-90 б) -23 — 29 в) -14 • (-7) г) 45-90 :(-14) : (-13) : (-2) : (-15) •(-15) -(-17) — 2 • • (-17) + 39 -32 : 17 — 49 ? ? ? ? 1275. Чему равна сумма тысячи слагаемых, каждое из ко- торых равно —1? Чему равно произведение тысячи множите- лей, каждый из которых равен —1? 1276. Найдите значение выражения 1-3 + 5-7_|_9-И+ „. + 97-99. 1277. Решите устно уравнение: а) * + 4=0; в) m + m + m = 3m; б) а + 3=а-1; г) (у-3)(у +1)=0. 1278. Выполните умножение: а) 0,2--~—б~; в) 2,51-1-4+; 6)3,5-18++; г)+1 + 1+». 1279. Чему равен коэффициент в каждом из выражений: — 3m; m/г; — am; — p«( —Л); —7-0-7-b; 0,2b-4c; 5 о 4 -3a(-0,2b)? 1280. Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода 440 км. Каким должен быть масштаб карты, чтобы на ней это расстоя- ние имело длину 8,8 см? 1281. Какой длины отрезком изображается на карте рас- стояние 35 км, если масштаб карты 1 : 100 000? 1282. Расстояние от Киева до Одессы изображается на кар- те, масштаб которой 1 : 10 000 000, отрезком 6,5 см. Опреде- лите это расстояние на местности. 222
1283. Прямоугольник на плане, масштаб которого 2 : 5, имеет длину 38 мм, а ширину 26 мм. Найдите площадь этого прямоугольника й натуре. 1284. Отрезок на плане, масштаб которого 2 : 7, изобра- жается отрезком 4,2 см. Какой длины будет этот отрезок на плане, сделанном в масштабе 5 : 3? 1285. Решите задачу: 1) Комбайнер перевыполнил план на 15% и убрал зерновые на площади 230 га. Сколько гектаров по плану должен убрать комбайнер? 2) Бригада плотников израсходовала на ремонт здания 4,2 м3 досок. При этом она сэкономила 16% выделенных для ремонта досок. Сколько кубических метров досок было выделе- но на ремонт здания? 1286. Найдите значение выражения: 1) —3,4-7,1— 3,6-6,8+ 9,7-8,6; 2) -4,1-8,34-2,5-7,9-3,9-4,2. А\ 1287. Решите с помощью графа задачу: «Марина, Лариса, Жанна и Катя умеют играть на разных инструментах (пиа- нино, виолончели, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают иностранные языки (английский, французский, немецкий, испанский), но каждая только один. Известно: 1) девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански; 2) Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка; 3) Марина не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает ни немецкого, ни английского языка; 4) девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолон- чели; 5) Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке. Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?» ® 1288. Раскройте скобки: а) (х4-у —2)-3; г) (2х—у + 3)-(—2); б) 4-(т~п—р); д) (3m —2л+р)-( —1); в) — 8-(а — Ь—с); е) (а4-5— Ъ—с)-т. 1289. Найдите значение выражения, применив распредели- тельное свойство умножения: а) 9-157 + 9.143; г) <.2+2 2 ; е) 12>9 3 _п>3 3 О 0 о о о о б) 3,5-2,4-3,5-1,4; , к 1 4__2__1 1 1 . в) 4,75.3,2 + 3,2.3,25; д/ 1 з 14 1Т~* 223
. 1290. Приведите подобные слагаемые: a) 3m 4-2m 4-4m; з) 4а —6а —2а+12—11; б) -|-а+-|-а—I-0; в) 0,95-1,ЗЬ+0,7Ь; г) х —0,2х —0,7х; И) fa + fb-1-а-Хб; к) у-*— \ 1 1 1 Д) m—— m—— т; 1Z 4 о л) 0,2т—|—4т+-|-; е) с—0,8с—|-с—£-с; ж) 0,3а —0,25 —0,7а+ 0,25; м) 2-О4--1-С—|-о4-|“с- ш 0 ш 0 1291. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: а) 5т — (3m 4-5)-f-(2m — 4); б) — 5 (х 4-3)4-4 (х—2)—6 (2x4-1); в) 0,2 (6х —5) —4 (0,2х — 2); г) 0,4 (1,5$/ +3)- 2,5 (3- 0,6$/); л) Те“(гс“Тс); •> Нт'-*)-‘(>т‘+Н ж) (1,8m-5,4)—|-(2,lm—4,2); з) 4(0-3y-0,6)-4(0.4»-0,8). О 4 1292. Решите уравнение: а) 3 (jr—5)—2 (у—4)=8; в) -|-(Зх-6)-^-(7х-21)=9; б) -5 (6-х)—4х = 18; г) 5,4 (Зу-2)-7,2 (2у-3)=1,2. 1293. Купили один стол и 6 стульев за 67 р. Стул дешевле стола на 18 р. Сколько стоит стул и сколько стоит стол? 1294. В трех классах 119 учащихся. В первом классе учащихся на 4 человека больше, чем во втором, и на 3 человека меньше, чем в третьем классе. Сколько учащихся в каждом классе? 1295. Определите масштаб карты, если расстояние между двумя пунктами на местности 750 м, а на карте 25 мм. 1296. Какой длины отрезком изображается на карте рас- стояние 6,5 км, если масштаб карты 1: 25 000? 1297. На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Какова дли- на этого отрезка на местности, если масштаб карты 1 : 150 000? 224
42. Решение уравнений Пример 1. Решим уравнение 4-(х4-5) = 12. Решение. По правилу отыскания неизвестного множите- ля имеем х4-5 = 12:4, т. е. х4-5 = 3. Это же уравнение можно получить, разделив обе части данного уравнения на 4 или умно- жив обе части на —. Теперь легко найти значение х. Имеем 4 х = 3 —5, или х = — 2. Число — 2 является корнем уравнения х 4- 5 = 3 и уравнения 4-(х4-5)=12, так как -24-5 = 3 и 4-(-24-5)=12. Корки уравнения не изменяются, если его обе части умно- жить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Пример 2. Решим уравнение 2x4-5 = 17. Решение. По правилу отыскания неизвестного слагаемого имеем 2х=17 — 5, т. е. 2х=12. Уравнения 2x4-5 = 17 и 2х= 17 — 5 имеют один и тот же корень 6, так как 2*64-5 = 17 и 2-6 = 17 — 5. Уравнение 2х=17 —5 можно записать так: 2х= 17 + ( —5). Видим, что корень уравнения 2x4-5=17 не изменяется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения в правую, из- менив его знак на противоположный. Пример 3. Решим уравнение 5х = 2х4-6 (рис. 93). Рис. 93 Решение. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х (сни- мем с обеих чашек весов по две буханки хлеба). Получим 5х — 2х = 2х —2x4-6. Но 2х — 2х = 0, значит, 5х —2х = 6. Это уравнение можно получить из данного, если слагаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив его знак на проти- воположный. Решая дальше уравнение 5х —2х = 6, получим Зх = 6 и х = 2. Число 2 есть корень уравнения 5х — 2х = 6 и уравнения 5х = 2х4-6, так как 5-2 —2-2=6 и 5-2 = 2-24-6. 8 Зак. 607 225
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь сла- гаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при зтом его знак. Пример 4. Решим уравнение -|-х4- 12=х. Решение. Умножим левую и правую части уравнения на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффициента. Получим х 4- 36 = Зх. Перенесем с противоположными знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагаемое Зх из правой части в левую: х — Зх= — 36. Упростим левую часть уравнения: — 2х= —36. Теперь разделим обе части уравнения на —2, получим х = 18. Число 18 является корнем данного уравнения -|-х-|-12 = х, О так как верно равенство 18 4-12 = 18. Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные уравнения к виду ах=Ъ, где а=/=0. Уравнение, которое можно привести к такому виду с по- мощью переноса слагаемых и приведения подобных слагаемых, называют линейным уравнением с одним неизвестным. ©Обе части уравнения умножили на число, не равное 0. Изменились ли корни данного уравнения? Обе части уравнения разделили на одно и то же число, отличное от нуля. Изменились ли корни данного уравнения? Сформулируйте пра- вило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую. Какие уравнения называют линейными? © 1298. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое, которое не содержит неизвестного: а) 8x4-5,9 = 7x4-20; б) 6х-8=-5х—1,6. 1299. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие неизвестное, а в правой — не содержащие неиз- вестное: а) 151/-8=—6у4-4,6; б) — 16z 4-U = 2z —1. 1300. Решите уравнение: а) 6х- 12 = 5x4-4; б) —9а + 8=—10а —2; в) 7m4-l=8m4-9; г) — 12л —3 = 11л —3; д) 4 4-25</= 6 4-24у; е) ll-5z = 12-6z; ж) 4*4-7=-34-5* з) 6 —2с = 8 —Зс. 226
D Уравнения вида —7i/-f-9=— By— 3 читают так: — сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми игрек и минус трех. Корень этого уравнения — число минус двенадцать. 1301. С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же число освободитесь от дробных чисел и решите уравнение: а) -|-х + 3=-|-х+‘5; в) -^-х4-|-х-|-5 = х; б) ^-У~~у + 2=±-У-3', г) 0,2х4-2,3 = 0,7х —3,2. 1302. Решите уравнение и выполните проверку: а) — 40-( — 7x-f-5)= —1600; в) 2,1 (4-6у)=-42; б) (-20Х-50)-2 = 100; г) -3 (2-15х)=-6. 1303. Найдите корень уравнения: а) 0,5х4-3 = 0,2х; д) -|-fe — 12,5=-|-fe—; б) —0,4а —14 = 0,За; е) 4,7 — 8z = 4,9 — 10z; в) 2х-6-^=-|-х4-7-|-; ж) 7,3а = 1,6а; г) 6,9—9п=-5п — 33,1; з) —19t=llt. 1304. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции: *~3 7 . 5 2,5 . . г + 7 2х —3 . v 0,2 __ 0,7 ) 6 3 * ) 2х + 3 4,5 ’ В) 3 5 ’ х + 3 х —2 ‘ 1305. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну. Сколько молока было в каждом бидоне? 1306. Длина отрезка АВ на 2 см больше, чем длина отрез- ка CD. Если длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD увеличить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину отрезка АВ. 1307. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если известно, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч. 1308. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем на вторую. Если бы на первую автомашину по- грузили в 1,2 раза больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автомашинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую автомашину?
1309. Мама получила премию. На покупку пальто было израсходовано всей премии, а на покупку туфель премии 9 о и еще осталось 75 р. Какую премию получила мама? 1310. Мебельный гарнитур состоял из стенки, дивана и сто- „ з ла со стульями. Стоимость стенки составляла — стоимости 4 3 всего гарнитура, а стоимость дивана — стоимости стенки. Стол со стульями стоил 160 р. Сколько стоил весь гарнитур? 1311. Три завода получили заказ на изготовление моторов. 5 Первый завод выполнил 0,56 всего заказа, второй — того, что выполнил первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов. Сколько всего моторов изготовили все три завода? 1312. Веревку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите длину каждого куска веревки. 1813. За 2,5 кг конфет было заплачено 5,5 р. Сколько де- нег надо доплатить, чтобы купить 2,9 кг таких конфет? 1314. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально? f|| 1315. Вычислите устно: а) 8-70 б) -194-100 в) —18 — 46 г) — 15 • 6 -19 : (-3) : 16 : 9 : 3 -13 -77 • (-13) • (-2) 4-6 :(-3) -260 ? ? ? ? 1316. При каких значениях а верно неравенство: а) а< — а\ б) —а<а; в) —а>а? 1317. Приведите подобные слагаемые: к a) 9,5m + 3m; г) — т — т\ ж) — 4х — х-]-3; б) 65 — 5; д) 1,2|/-{-3,6у — 0,7у; з) 7х — бу — 2х + 8у. . 2 .4.2 1 в) а — — а; е) —а+—а — — а; 1318. Упростите выражение: а) 2х—(*+1); б) п4-2(3п —1). 1319. Расфасовочная машина может всю привезенную про- дукцию обработать за 20 ч. Определите: а) какую часть всей
продукции она обработает за 1 ч; б) сколько процентов всей продукции она обработает за 1 ч; в) какую часть всей про- дукции она обработает за 8 ч; г) сколько процентов всей продук- ции она обработает за 9 ч. 1320. За какое время все свекловичное поле уберет убо- рочная машина, если известно, что она за 1 ч убирает: а) 5% всего поля; б) всего поля; в) 0,4 всего поля? 1321. За какое время израсходует двигатель весь бензин из бака, если он: а) за 3 ч расходует 12% всего бензина; б) за 3 ч расходует всего бензина; в) за 6 ч расходует 0,24 всего 15 бензина? 1322. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения: 1) 5-(7р-2)-7-(5у + 2) равно -24; 2) 4«(8a-f-3)—8«(4a — 3) равно 36. 1323. Найдите значение выражения: 1) (503,44:12,4 - 225,36:7,2)• (1,6905:0,49); 2) (971,1:23,4 - 211,14:6,9)• (6,5704:0,86). 1324. Древнегреческая задача. — Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы. — Вот сколько,— ответил Пифагор,— половина изучает математику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в размышлении, и, кроме того, есть еще три женщины. © 1325. Решите уравнение и выполните проверку: а) — 20(х —13)=—220; г) (2,8 —0,1х)-3,7 = 7,4; б) (30 —7х). 8 = 352; д) (Зх—1,2)-7 = 10,5; В>1^-Т=4-: 1326. Решите уравнение: а) —27х + 220=—5х; ж) — 4-( — z + 7)=z + 17; б) 7а=— 310-ЬЗа; з) с — 32=(с + 8)-( — 7); в) —2х + 16 = 5х—19; и) 12 — 2-(* + 3)=26; г) 25 —ЗЬ = 9 —5Ь; к) — 5(За + 1)—11= —16; д) 3 + Hf/ = 203 + p; Л) -3,2п + 4,8=-2.(1,2п4-2,4); е) 3 (4х-8) = 3х — 6; м) -5«(0,8z-l,2)= -z + 7,2. 1327. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от боль- шего числа отнять 54, а к меньшему прибавить 72, то по- лучатся равные результаты. Чему равны эти числа? м 229
1328. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутыл- ки (рис. 94). Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира выпила Галя? 1329. У Миши и Коли было поровну денег. Когда Миша купил себе книгу, а Коля альбом, который в 1,4 раза дешевле книги, то у Миши осталось 20 к., а у Коли 40 к. Сколько стоит альбом, сколько стоит книга и сколько денег было у каждого мальчика? 1330. На одной полке было в 3 раза больше книг, чем на другой. Когда с одной полки сняли 8 книг, а на другую по- ложили 32 книги, то на полках стало книг поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? 1331. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой боч- 1 2 ки взяли —, а из второй бочки — бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну. Сколько литров бензина было в каж- дой бочке первоначально? 1332. Решите уравнение, используя основное свойство про- V 4,6 8,4 3 2 порции: а> 7+^Г=з7Т5Т: 6) —Г=---------“Г- *+-3 Х-‘-8 1333. Смешали индийский и грузинский чай. Индийский чай составил 30% всей смеси. Если в эту смесь добавить еще 120 г индийского чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколь- ко граммов индийского чая было в смеси первоначально? 1334. Поезд шел 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколь- ко надо увеличить скорость поезда, чтобы пройти это расстоя- ние за 2,8 ч? 1335. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за 1 мин? за 3 мин? 230
П Среди задач, которые с давних времен приходилось решать людям, много было похожих, однотипных: вычисление площадей участков, нахождение объемов фигур определенной формы, деление доходов, вычисление стоимости товара, изме- рение массы с помощью различных единиц и другие. Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах раскрывалось, как найти неизвестную величину через данные числа для группы похожих задач. Так возникла Алгебра — один из разделов математики, в котором вначале в основном рассматривалось решение различных уравнений. Некоторые алгебраические понятия и общие приемы ре- шения задач знали уже в Древнем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад. Большой вклад в создание алгебры внес вы- дающийся древнегреческий математик Диофант (III в.), ко- торого по праву называют «отцом алгебры». Диофант умел решать очень сложные уравнения, применял для неизвестных буквенные обозначения, ввел специальный символ для вычита- ния, использовал сокращения слов. В начале нашей эры греческая наука и культура пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии мате- матики достигли индийские ученые. С V по XII в. ими было сделано много открытий, значительно обогатились начала ал- гебры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — ара- А ль-Хорезм и ф. Виет 231
бы, узбеки, персы, таджики и другие народы. И в IX—XV в. мировым центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много ученых-математиков. Их труды в дальнейшем ока- зали большое влияние на развитие науки в Европе. В 826 г. арабский ученый а л ь-Х о р е з м й написал книгу «Китаб аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-джебр» — восполнение: так аль-Хорезми назы- вал перенос отрицательных слагаемых из одной части уравне- ния в другую с переменой знака. В дальнейшем большой вклад в развитие алгебры внесли европейские ученые Франсуа Виет (1640—1603) и Рене Декарт, которые ввели в алгебру буквы и разработали правила действий с буквенными выраже- ниями. § 9. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ 43. Перпендикулярные прямые Две прямые, образующие при пере- сечении прямые углы, называют пер- пендикулярными (рис. 95). Пишут: AB.LMN. Эту запись читают: «Прямая АВ перпендикулярна прямой MN*. Если AB.LMN, то MNЛ. АВ. Для построения перпендикулярных прямых угольник (рис. 97). транспортир используют (рис. 96) чертежный тре- пли Рис. 96 Рис. 97
Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных пря- мых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами) (рис. 98). Рис. 98 a) ty ©Какие прямые называют перпендикулярными? Какие от- резки и какие лучи называют перпендикулярными? С помощью каких чертежных инструментов строят перпенди- кулярные прямые? 01336. Постройте с помощью транспортира две перпенди- кулярные прямые. 1337. Определите сначала на глаз, а потом проверьте с помощью чертежного треугольника, какие пары прямых на ри- сунке 99 перпендикулярны. 1338. Начертите прямую МР и отметьте точку А, не лежа- щую на этой прямой. Проведите с помощью чертежного тре- угольника через точку А прямую, перпендикулярную прямой МР. Сколько прямых, перпендикулярных МР, можно провести через точку А? 1339. Начертите в тетради прямую АВ и отметьте точку М так, как показано на рисунке 100. Проведите через точку М перпендикуляр к прямой АВ. 233
Рис. 101 1340. Какие из отрезков, изо- браженных на рисунке 101, перпен- дикулярны? 1341. Начертите прямой угол. Отметьте на сторонах угла по од- ной точке и проведите через них прямые, перпендикулярные сторо- нам угла. Отметьте точку пересе- чения этих прямых. Что за четырех- угольник получился на чертеже? Ф 1342. Найдите корень уравнения: а) 2х—б=х+2; в) 0,5у —0,6=5=0,11/4-0,2; б) T*+t=Vx; г) TZ=TZ~T 1343. Сумма трех последовательных целых чисел равна нулю. Какие это числа? м 1344. Расставьте числа 1, —2, 3, — 4, 5, —6, 7, —8, 9 в клетках квадрата (рис. 102) так, чтобы их произведения по всем горизонталям, вертикалям и диагона- лям были положительны. 1345. Трое ребят нашли в лесу 200 гри- бов. Никита нашел 40% всех грибов, Олег числа грибов, которые нашел Ники- 4 та, Дима нашел остальные грибы. Сколько грибов нашел Дима? 1346. От куска провода отрезали 50%, а потом еще 20% остатка. После этого осталось 60 м провода. Сколько метров провода было в куске первоначально? 1347. Старинная задача. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке? 1348. Найдите значение выражения: 1) 3 4,9 7 '5,1 (9 —1,5):25 2) (8,5-4,7): 38 -14:(-2) О ®1349. Перечертите рисунок 103 в тетрадь. Проведите через точки М и Р прямые, перпендикулярные прямой I. 234
a) 6) 6) Ряс. 103 1350. Начертите два перпендикулярных отрезка АВ и MN так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались. 1351. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались; в) имели общее начало. 1352. Цена на яблоки была такой же, как и цена на гру- ши. Через некоторое время цену на яблоки снизили на 20 к., а цену на груши — на 10 к. При этом б кг яблок стали стоить столько, сколько 5 кг груш. Какой была цена на яблоки пер- воначально? 1353. Выполните действия: а) 12+ 7,8-(8,1-8,4); б) -в — 4,5 (5,2 — 10,6); в) 18,2: (- 9,1) • 0,7 - 3,4 • (- 2,3): 17; г) -16,4:( — 8,2) •( —0,6) +5,2-3,8:(-19). 44. Параллельные прямые Две различные прямые могут либо пересекаться в одной точке, либо не пе- Ч. ресекаться. Две непересекающиеся пря- ч. лсые на плоскости называют парад- дельными. Пишут: AB||Af2V. Эту запись читают: «Прямая АВ параллельна пря- мой MN». Если AB\\MN, то MN\\AB (рис. 104). Рис. 104 235
Рве. 107 Рве. 109 Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, на- зывают параллельными отрезками (лучами) (рис. 105, 106). Прямые m и п на рисунке 107 перпендикулярны прямой I. Они параллельны друг другу. Если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Поэтому противоположные стороны любого прямоугольника параллельны (рис. 108). Они образуют прямые углы с двумя другими сторонами этого прямоугольника. На рисунке 109 показано, как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую п, параллельную прямой ш. Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной пря- мой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. ©Какие прямые называют параллельными? Какие отрезки называют параллельными? На плоскости проведена пря- мая и отмечена точка, не лежащая на этой прямой. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через эту точку? Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой? 236
1354. Начертите пять параллельных друг другу прямых. 1355. Начертите прямую I и отметьте точки М и К вне этой прямой. Проведите через точки М и К прямые, параллельные прямой I. 1356. Начертите треугольник и проведите через каждую вершину прямую, параллельную противоположной стороне. 1357. Найдите с помощью ли- нейки и треугольника все пары па- раллельных прямых, изображен- ных на рисунке 110. 1358. Начертите прямую т и отметьте на ней три точки А, В и С. Через эти точки проведите пря- мые, перпендикулярные прямой т. Отметьте на этих прямых парал- лельные отрезки. 1359. Постройте угол АОВ, равный 35°. Отметьте точку М на стороне ОА и точку N на стороне ОВ. Проведите через точку М прямую, перпендикулярную стороне ОВ, а через точку N прямую, перпендикулярную стороне О А, 1380. Решите уравнение: а) Зх-5=х+7; 6) f х=±-х + 1; в) f=f! г) . 1331. Приведите подобные слагаемые: х—74-2х—5х-|-1. 1362. Вычислите: 0,4 з з 12 1363. Что больше: а или 2а? а или •—? А 1864. некоторого числа равны этого числа. Какое это < о число? 1365. До конца суток осталось -д- того времени, которое прошло от начала суток. Который сейчас час? 1366. Из пятидесяти звеньев составлена цепь. Найдите длину этой цепи, если просвет каждого звена 16 мм, а тол- щина 4 мм (рис. 111). л\ Рже. Ill 16 237
1367. Выполните действия: 1) 45,09:1,5—(242,5-2 4 2) ( 6,05: ^ - 2,8 -|-) • 0,3 +1,6 • 0,1875. 4|Ь 1368. Перечертите рисунок 112 в тетрадь. Проведите через точку К прямую: а) параллельную прямой а; б) пер- 1369. Начертите угол АВС, равный 75°. На стороне В А от- метьте точку М и проведите через нее две прямые, одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна стороне ВС. 1370. В лаборатории стояли 26 столов с ящиками. В одних столах было по 3-ящика, а в других — по 4 ящика. Сколько было столов с тремя ящиками и сколько было столов с четырьмя ящиками, если общее число всех ящиков равно 91? 1371. По норме рабочий должен изготовить 72 детали, а он изготовил 90 деталей. На сколько процентов рабочий выполнил норму и на сколько процентов он перевыполнил норму? 1372. На земельного участка разбит сад. сада зани- 7 4 мают яблони. Какую площадь занимают яблони, если пло- щадь земельного участка 1 -у- га? 4 1373. Найдите значение выражения: б)(7-8т)-2-5-15:(т-т): в) (204,42:40,5 - 3,2 • 1,2) • 6 -|-+ 7:2 . Z о 238
45. Координатная плоскость Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя чис- лами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду (см. рис. на форзаце). При этом места (3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом № 8в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду. Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две пер- пендикулярные координатные прямые х и у, которые пере- секаются в начале отсчета — точке О (рис. 113). Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — на- чалом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Пусть М — некоторая точка плоскости. Проведем через нее прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и пря- мую МВ, перпендикулярную координатной прямой у. Так как точка А имеет координату 6, а точка В — координату — 5, то положение точки М определяется парой чисел (6; — 5). Эту пару чисел называют координатами точки М. Число 6 называют абс- циссой точки М, а число —5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а координат- ную прямую у — осью ординат. Точку М с абсциссой 6 и ординатой —5 обозначают так: М(6; —5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — ее ординату. Если переставить коорди- наты местами, то получится другая точка N( — б; 6), кото- рая показана на рисунке 113. 239
Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината. Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами. На рисунке 114 показано, как попасть в точку С с координатами (—4; —3): сначала надо пройти по оси х от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом на 3 единицы вниз. В географии положение точек на земной поверхности то- же определяют двумя числами — географическими координа- тами: широтой и долготой. ©Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у, образующие систему координат на плоскости? Как называют каждую из этих прямых? Как называют точку пере- сечения этих прямых? Как называют пару чисел, определяю- щих положение точки на плоскости? Как называют первое число? второе число? Расскажите, как найти абсциссу и ор- динату точки на координатной плоскости. Расскажите, как построить точку по ее координатам. ©1374. По рисунку 115 определите, сколько клеток надо пройти слева направо и сколько снизу вверх, чтобы по- пасть из точки О в точки М, К, Р и N. м Л р к О Рис. 115 1 Хебер £ / £ ( >в чкк 1 Запад / •7^ ОС то к 5 КМ Юг Рис. 116 1375. Шестиклассники участвовали в спортивной игре. Сна- чала звено было в точке О (рис. 116). Командир звена полу- чил приказ: «Идите на восток 5 км, а затем на север 4 км». 240
Назовите координаты точки В, в которую должно попасть это звено. Сформулируйте приказы для других звеньев, которые должны попасть из точки О в точки С, D, Е, К, М, N. Назо- вите координаты этих точек. 1376. Возьмите географическую карту и назовите широту и долготу городов: Москвы, Киева, Алма-Аты. 1377. Постройте координатные прямые х и у и отметьте точки А (2; 8), В(3;-4), С (-4; 5), В(-3; -7), В(0;5), О Запись М (—-2; 7) читают так: — точка эм с абсциссой минус два и ординатой семь — точка эм с координатами минус два и семь — координаты точки эм — пара чисел минус два и семь 1379. У каких точек на координатной плоскости абсцисса равна нулю? У каких точек равна нулю ордината? Какая точка имеет координаты (0; 0)? 1380. Где расположены на координатной плоскости точки, абсцисса которых равна 4? А где расположены точки, ордината которых равна —1? 1381. Изобразите на координатной плоскости точки А (-2; —2), В( —1; -1), С(0; 0), D(l; 1), Е(2; 2). Проверьте с помощью линейки, лежат ли эти точки на одной прямой и лежит ли на этой прямой точка М ( — 5; 5). 241
1382. Постройте на координатной плоскости четырехуголь- ник ABCD, если А(—10;—2), В (-2;—2), С(—2; — 6), В(—10; —6). Является ли он прямоугольником? квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырехугольника, если еди- ничный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и най- дите координаты точки Е пересечения этих отрезков. 1383. Постройте треугольник ОВС, где О (0; 0), В (4; 6), С(1;6). 1384. На миллиметровой бумаге (рис. 118) отмечены точки A, Bt С, D, Е, F, К и М. Найдите их координаты. 1385. В координатной плоскости проведена линия (рис. 119). Найдите на этой линии точку: а) абсцисса которой равна 2; 1,7; —1,2; б) ордината которой равна 1,8; 2,1; —1,6; —2,5; —3,2. 1386. Даны точки А (1; 3), В (-1; 4), С (7; -5), D (0; 6). Ка- кие из этих точек расположены: а) выше оси абсцисс; б) левее оси ординат? 242
1387. Вычислите устно: а) —2,8 —3,2 б) 1,4-8,2 в) 0,8-7 г) -10 + 1,8 : 1,2 : 3,4 — 1,9 : 0,41 • 1,6 • 0,5 : 3 + 5,4 + 8,5 + 0,8 • 0,2 • 0,5 ? ? ? ? 1388. Что больше: : к или х2? х2 или х3? Л\ м 1389. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые боль- ше 4- и меньше 1. 9 1390. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае получили остаток 18, а во втором слу- чае — остаток 4. Найдите делитель. 1391. Из корзины взяли 6 яблок, затем треть остатка и еще 6 яблок. После этого в корзине осталась половина первоначаль- ного числа яблок. Сколько яблок было в корзине? 1392. Попробуйте найти простой способ для вычисления значения выражения 1 । 1 1 1___। 1 । 1 । । 1 । 1 । 1 П ' 2.3 ' 3-4 ' 4.5Г5.6Г 6.7Т7-8 Г8-9 410 ' 1393. Начертите какой-нибудь треугольник АВС. Через вер- шину С проведите прямую Z, параллельную стороне АВ, и пря- мую /и, перпендикулярную стороне АВ. 1394. Найдите длину окружности, радиус которой 7 см, 0,7 см, 0,14 см, приняв л»-у. 1395. Найдите радиус окружности, длина которой 6,28 мм, 3,14 см, 0,0628 м, приняв л «3,14. 1396. Вычислите: ( —0,4)2; (—0,1)3; (0,6)2; (0,2)3; -|-+4,2; 2 4~+3,75. 5 4 1397. Найдите объем и площадь поверхности куба, ребро которого равно: а) 4 см; б) 0,2 м. 1398. Решите уравнение: 1) 0,8(9 + 2х) = 0,5(2 — Зх); 2) 0,5-(х + 3) = 0,8(10— х). 1399. Решите задачу: 1) На заводе производится смена оборудования. После того как 51 станок заменили новыми, осталось заменить еще 83% станков. Сколько всего станков на заводе надо заменить новы- ми? 243
2) Купили пачку бумаги. После того как израсходовали 30 листов, осталось 85% пачки. Сколько листов бумаги было в пачке? 1400. Решите уравнение: 1) (13,4 — у) • 4,3 - 20,05 = 78,05 + 6,7у; 2) (16,2 — х) • 3,2 - 50,08 = — 8,12— б,1х. ©1401. Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек А (—6; 2), В (— 4; 6), С (1; 1), D (2; — 5), В (8; -1) и М (-5; -5), N(-l; 7), К (8; 4). Найдите коорди- наты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK. 1402. Постройте четырехугольник ABCDE по координатам его вершин А( — 8; 6), В (6; 5), С (1; —3), D( — 7; 1). Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD. 1403. Отметьте на координатной плоскости точки М (0; 5), N (8; 1), С (2; 2), D ( —6; —2). Найдите координаты точки пере- сечения прямых MN и CD. На какой из этих прямых лежит точка К (0; 1)? 1404. Постройте треугольник АВК по координатам его вершин А ( — 2; —2), В(1; 5), К (6; —2). Найдите координаты точки пересечения стороны АК с осью ординат. 1406. Решите уравнение: а) -3,7 (2,5х-7,6)= -3,66-|-2,1х; б) 0,4-(у — 0,6)=0,5-(у-0,8)+0,08. 1406. Отметьте точку М и проведите через нее две прямые т и I так, чтобы они образовали угол, равный 62°. 1407. Постройте угол COD, равный 50°. Через точку М, ле- жащую на стороне OD, проведите прямую т, параллельную стороне ОС, а через точку К, лежащую на стороне ОС, прове- дите прямую п, параллельную стороне OD. Измерьте транспор- тиром углы, образовавшиеся при пересечении прямых тип. 1408. Найдите значение выражения: а) — 3,8 *(4—4,9)+13,4.(3—2,8); б) —3,636:0,6+ 2,6 .(5 —1,1). 46. Столбчатые диаграммы В селе 90 домов. Из них 15 под железной крышей, а 45 под шиферной и 30 под черепичной. Число домов каждого вида изображено на круговой диаграмме (рис. 120). По-другому 244
эти числа можно изобразить с помощью столбчатой диаграммы (рис. 121). Для этого надо нарисовать три столбика, высота ко- торых соответствует количеству домов каждого вида. Пусть высота первого столбика 15 мм, второго 45 мм, третьего 30 мм. Если бы каждый дом изображался столбиком в 2 мм, то высоты всех трех столбиков на рисунке увеличились бы в 2 раза. © 1409. В селе 22 двухэтажных дома, а остальные 68 — одноэтажные. Постройте круговую и столбчатую диаграм- мы (один дом — 2 мм). 1410. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую массы первых десяти космических кораблей серии «Венера». Названием год запуска Венера-1 1961 Венера-2 1965 Венера-8 1965 Венера-4 1967 Венера-5 1969 Масса, кг 643,5 963 960 1106 ИЗО Название и год запуска Венера-6 1969 Венера-7 1970 Венера-8 1972 Венера-9 1975 Венера-10 1975 Масса, кг ИЗО 1180 1184 4986 5033 1411. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным: а) наибольшая глубина озера Байкал 1620 м, Онежского озера 127 м, озера Иссык-Куль 668 м, Ладожского озера 225 м; б) расстояние до Солнца от планеты Меркурий « 58 млн. км, от 245
планеты Венера ж108 млн. км, от планеты Земля ж150 млн. км, от планеты Марс «228 млн. км. Ф1412. Отметьте на координатной плоскости точки А (- 2; 4), В (- 4; - 5), С (8; 0), D (- 4; 4). Найдите коорди- наты точки пересечения прямых АВ и CD. 1413. На координатной плоскости отмечены точки А (2; 3), г) левее оси ординат; д) на оси абсцисс; е) на оси ординат? В(-3;4), С (-5; 6), D (3; -4), Е (0; -5), К(0;3), N(-2;0), М (5; 0). Какие из этих точек расположены: а) выше оси абсцисс; б) ниже оси абсцисс; в) правее оси ординат: 1414. Вычислите: (f+f)-16= 12т:2т~6: T-f+f-f• 1415. Раскройте скобки: ~(4 + 12х); (-7— 4 \ 4 / о 1416. Из делителя вычли — его. Как изменится частное? 5 1417. Какой цифрой оканчивается разность 1-2 3 4-...-26-27-1-3-5-7 ....25-27? Ш1418. Запишите в виде двойного неравенства условия, которым подчиняются: а) абсциссы любой точки фигуры; б) ординаты любой точки фигуры (рис. 122). 1419. см3 вещества имеют массу г. Найдите массу о 9 1 см3 этого вещества. Найдите объем этого вещества, если его масса равна 1 г. 1420. Найдите значение выражения: 1) (1,75--у—1,75:14,5 —4,5; 2) ^2,75--^- —2,75:4-^-)-2,7 —2,7. \ 11 о / ®1421. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным: а) площадь КНР равна 9,6 млн. км2, площадь Индии - 3,3 млн. км2 и площадь США - 9,4 млн. км2; б) длина Днепра 2,2 тыс. км, Дона 1,9 тыс. км, Днестра 1,4 тыс. км, Печоры 1,8 тыс. км, Волги 3,5 тыс. км. 246
Рис. 122 1422. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем в другой. Когда из второй пачки переложили в первую 5 тетра- дей, то во второй стало в 3 раза меньше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей было в каждой пачке первоначально? 1423. Для оклейки стен обоями на 1 м2 требуется: обоев 0,25 рулона, крахмала 0,09 кг, клея 0,01 кг, газетной бумаги 0,07 кг. Сколько материалов потребуется для оклейки обоями комнаты, если площадь всех ее стен вместе с окнами и две- рями 35,3 м2, а площадь окон и дверей равна 10,2 м2? Ответ округлите с избытком до десятых долей килограммов и до це- лых рулонов. 1424. Найдите значение выражения: а) (1,6+154,66:70,3):!,9-0,3; в) (о,3-^г )-2|-:1,4; \ / I О б) (89,54:2,2+3,3):1,1 + 0,9; г) (1,08——0,25:4-. \ 25/7 3
Заключение Математика — самая древняя из наук, она была и остается необходимой людям. Слово «математика» греческого проис- хождения. Оно означает «наука», «размышление». В древности часто полученные знания, открытия старались сохранить в тайне. Например, в школе Пифагора запрещено было делиться своими знаниями с непифагорейцами. За нарушение этого правила один из учеников, требовавший свободного обмена знаниями,— Гиппас был изгнан из школы. Сторонников Гип- паса стали называть математиками, т. е. приверженцами науки. Все без исключения начинают изучать основы математики уже с первых классов школы, потому что эта наука нужна всем, особенно сейчас, когда математика проникла во все отрасли знаний — физику и химию, науки о языке и медицину, астро- номию и биологию и т. д. Математики учат вычислительные машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать плотины электростанций. Математика необходима в любой профессии, какую бы вы ни выбрали для себя. Но кроме того, вы могли заметить: это и очень интересная и увлекательная наука. Любите ее. Если вы и не станете математиками, знания пригодятся вам и на Земле, и в космосе. С седьмого класса вы начинаете более глубоко изучать два раздела — два предмета: алгебру и геометрию. Желаем вам успехов и радости открытий в необозримом море — математике!
ОТВЕТЫ Глава I 23. 1) 121 кг; 2) 15,5 т. 27. 85,8 га. 28. а) 19,16; б) 798; в) 33,16; г) 1530. 50. а) 1,2; б) 1,3; в) 1,5; г) 1,5. 51. 1) 8; 2) 0,8. 57. а) 11; б) 1196; в) 16 552; г) 16 313. 79. 1) 127,75; 2) 16,5; 3) 2,4; 4) 6,8. 80. 2,91. 86. а) 3; б) 0,8; в) 1,2; г) 0,2. 87. 9. 113. 270 дм2. 114. 0,187. 131. 1) 10,96 ц; 9,44 ц; 2) 30,7 га; 33,5 га. 132. 1) 3,15; 2) 0,086; 3) 5,8; 4) 11,7. 136. 5,6 га; 6,72 га. 137. 18 р. 138. а) 90,55; б) 36,4. 156. 1) 45°; 135°; 2) 36°; 144°. 157. 1) 164 м; 2) 1600; 1400; 400. 166. 420. 170. а) 75; б) 46. 191. 1) 20,4 т; 2) 3 т. 195. 12; 15; 24. 196. 83,6 кг; 508,3 кг; 1327 кг. 197. а) 12,1; б) 1,43; в) 32,43; г) 105,94. 201. а) 39,6; б) 36,11. 223. 1) 8,5 ч; 2) 9,7 ч. 225. 2,84. 226. а) 24,24; б) 38,20. 231. а) 10,6; б) 1,5. 248. На 12%. 254. 1960. 256. 1) 21 ч; 2) 3 ч. 261. 101,4 км. 262.1,4 р. 263. а) 24,94; б) 19,6. 280. 2 м/с. 11 2 281. 72 000 км. 282. 1) ; 2) — . 284.1) 101,05; 2) 181,99. 289. 3,2 км/ч; 12,8 км/ч. 290. 55 км/ч, 50 км. 291. а) 92,486; б) 92,816. 343. 1) Через 3,5 ч; 2) через 5 ч. 344. 1) 0,1 км/мин; 2) 10 км/ч. 345. 1) 7,05; 2) 6,05. 352. м. 353.. 1^ ч. ZU 1 354. 43 мин. 355. а) ; б) || ; в) ; г) у. 356. а) 0,3; б) . 357. 10 км. 358. 40 км. 359. 40 км/ч. 360. а) 26,468; б) 3,524; в) 0,187; г) 34,735. 391. На 72,8%. 397.1,067. 398. 1) 11,8 кг; 2) 8,4 кг. 399.1) 149 763; 2) 187 521. 403. а) 1-|-; б) 5-|-; в) 2у; г) 6. 404. . 405. 406. 44^ м. 407. 6 ч 29 мин. 408. а) 1,6; б) 6,4. 409. 3,8 км/ч. 410. 9 кг; 6 кг. 411. а) 30,7; б) 8,94. 412. а) 10; б) 1,1; в) 1,2; г) 0,7. 448. 7 т. 454. 463. а) 4 ; б) А ; в) 2-^-; 0 6; д) 0,5; е) 4 ; ж) 4 ; з) 4 • 466. 35 - 7t; о Z У 4 7 4 31,5 м; 14 м; 0. 467. а) 0,7; б) 4. 468. 2,917. 499. а) 5-|-; б) 5^. 502. 56 км/ч. 503. 2 дм. 504. 1) 15 и 4; 2) 21 и 15. 505. 1) 185,85; 2) 268,92; 3) 324,4; 4) 602,51. 506.1) 17,6; 2) 4,6. 507. На 48 кг. 508. 32 кг. 509. 648 м3. 511. 566,5 р. 512. 18 т. 513 200 га. 514. 252 т. 515. ; 140 р. 516. 46%. 517. 17 кг; 34 кг; 25 кг. 518. а) 2,646; б) 5; в) 145,516; г) 315 451. 547. 45%; 15%. 548. 141 кг. 549. а) ; б) 1 А ; в) 47 ; г) 13-1; Д) 5 е) ZU 4о 1U 7 04 об 249
550. 1) 47,94; 2) 1.68. 552. a) 7 4 ; б) 27; в) 63; г) 43; д) 10; е) . 554. 27 км. О л 555. 27 у кг. 556. ~ ч. 557. 80 к. 558. у с; 70 т; 49 т. 559. 0,46m; 2539,2 м; 10120 м. 560. а) 2,25; б) 15,01. 572. 12 км. 573. 2,1; 3; 4,2. 574. 1) 6,525; 2) 2,537. 577. 30 кг. 578. 2; 3; 2,4; 8,6. 579. а) 203,07; б) 555,3. 2 7 615. 1) 45; 2) 54. 616. 1) 3; 2) 3; 3) 0.8: 4) 0.8. 618. а) 12; б) 14; в) 2 ; г) — . «5 10 619. а) 1 ; б) 3; в) у ; г) 10; д) 1|; е) 3. 620. а) 13; б) 2. 624. 15 л, 20 л. 625. 72; 84. 626. 126 р., 210 р. 627. 28 км/ч; 32 км/ч. 628. 54 км/ч; 90 км/ч. 630. а) 0,7178; б) 5; в) 0,3589; г) 10. 662. 1) 1 у ; 2) ; 3) у; 4) у . 668. 1) 49,8; 2) 58,95. 670. 25 км; 8 км. 671. 54,4 кг. 672. 750 м. 673. 400. 674. 88. 675. а) 0,224; б) 83,244; в) 1,08; г) 37,4. 697. 21 а. 698. 28 р. 699.1) 192; 2) 2128 т. 700. а) 11; б) 1,56; в) 3,6; г) 7,7; д) 6,3; е) 3; ж) 1; з) 16. 701. 98 к. 702. 3 ч. 703. 8,2 г. 704. 90 м3. 732. 9 р. 733. 6,4 кг. 734. 1) 136 см3; 2) 210 см3. 739. 4%; 5%. 740. 18,75%. 741. 76 ^%; 80%. 743. а) 9; б) 30; 1 Я 1 в) 0,105; г) 3,85. 761. a) 2-J-; б) £ ; в) 2; г) 1 763. 45 км/ч. 764. 1,4. • 17 л 765. а) 11,04; б) 280. 787. а) 10,5; б) 2; в) 1,44; г) 0,4. 792. а) 1 у; б) 2. 793. 1) 92%; 2) 94%. 794. 1) 4; 2) 7. 795. 36 кг. 796. 3 дня. 797. 3,5 кг. 798. 7,1 т. 799. 60 кг. 800. 17,5%. 801. 37,6 кг. 802. 6,25 кг. 803. а) 95,7; б) 101,3. 820. 15 мин. 822. 1) 5,4 и 1,8; 2) 2 и 0,5. 823. 1) 2,55; 2) 2,25. 829. 14,4 см. 880. а) 2; б) 6 . 848. 1) 0,512 кг; 2) 4,2 кг. 849. 1) 10,5; О 2) ; 8) 32,541; 4) 21,59; 5) 18; 6) 128. 853. «67,8 км/ч. 855. 14 ч. 856. 4 л. О 2 117 11 857. а) у ; б) 1 у ; в) 1 у ; г) 1 у . 868.1) 24; 64; 2) 14; 12. 869. 1) у ; 2) — . 871. 2,5 дм. 872. «113 см3; «28,3 см3. 873. 5,4 т; 4,5 т. 874. а) 10; б) 20. Глава II 901.1) 6 к; 2) 2 к; 3) 150; 4) 105.907. Четыре по 44 м и 58 м. 908. 48.909.140 кг. 925. 1) 18 тыс.; 2) 168 т. 930. 90 кг. 981. 1748 ц. 932. а) 3; б) 2. 933. а) 0,05; б) 3,85. 955. 77 км/ч. 956. 24,5 ц. 957. 308. 976. 1) 10,5; 2) 4,08. 977. 1) 50%, 40%, 10%; 2) 20%, 65%, 15%. 978. 1) 68,8; 2) 78,7. 982. 30%, 50%, 20%. 983. 2 у . 984. 0,4. 997. 1000 т. 998.13,16 дм3.1002. 500.1003. а) 1,55; б) 44,1. 1020. 1,3122 м3.1021. 1) 2146,37; 2) 2656,66. 1024. В шестых классах на 1 че- ловека. 1025. 5670 см3. 1026. а) 46,108; б) 3642,06. 1089. 1) 1804,5; 2) 2624,3. о 1042. 8,2 г. 1044. а) 2,88; б) 3,4; в) . 1068. 1) 350 км; 2) 190 р. 1064. 1) 1; 3 о 2) 0,1. 1068. 35,4 м3. 1069. 15; 18; 9. 1070. 14 у. 1090. 40 кг, 200 кг, 120 кг. 250
1091. 1) 12 кг, 7 кг, 2 кг; 2) 280 га, 245 га, 35 га. 1092. 1) 15,99; 2) 32,02. 1099. 42; 20; 8. 1100. 255; 850. 1101. 80; 84; 138. 1128. 1) i» 2) о 9 1129. а) 270; б) -20,74; в) - 9,45; д) у; е) 2; з) -24. 1180. 28,8 т. 1131. 54. 1132. 18,48; 6,16. 1150. а) —1; б) 0. 1155. а) -5,26; б) —2,03. 1158. а) —10; б) 10 000; в) -4; г) —402; д) —40; е) 30,625; ж) —8,5; з) . 1159. 60 км/ч. 1160. 2. 1161. а) -10,6; б) -2,5. 1179. 1) 9,2; 2) 9,2; 3) 3,08; 4) 3,456; 5) -у ; 6) -у. 1183. 8,2 км/ч; 4,8 км/ч. 1184. а) -0,2; б) 2,84. 1208. 1) 13,5 км/ч; 48,6 км/ч; 2) 45 км/ч; 72 км/ч. 1209. 1) 0,2; 2) 0,2; 3) -6,5; 4) 12. 1259. а) -0,06; б) ; в) -А-; г) 20; д) -37; е) -7. 1214. На 128%, на 28%. 1215. 1,5 л. 1216. 6 км/ч. 1217. а) -44,99; б) —8,97; в) 0,87. 1286. 1) 8; 2) 3,9. 1237. 1) 7,5; 2) 0,5. 1240. а) 7; б) -1; в) -90; г) -А; Д) —L 124Е ®) “24; б> —в) 4; г> Z о о ио 91) 1242. а) 600; на 11 —%; б) 28,7 кг; в) 1045 кг. 1243. а) 4,5; б) 5.1258. 1) 7,54; 2) -9,7. 1260. а) -391,68; б) -321,11; в) -3,82; г) -5,31. 1261. аХ1,75; б) 0,5.1262. 20 т. 1263.12.1264. 374,4 га. 1285.1) 200 га; 2) 5 м3.1286.1) 34,8; 2) -30,66.1292. а) 15; б) 43; в) -5; г) -5 у. 1293. 7 р; 25 р. 1294. 40; 38; 43. 1295. 1:30 000. 1296. 26 см. 1297. 18,9 км. 1323. 1) 32,085; 2) 83,276. 1824. 28. 1827. 162; 36. 1328. 250 г. 1829. 50 к.; 70 к.; 90 к. 1330. 60; 20. 1331. 375 л; 350 л. 1332. а) 2,5; б) 3.1333.132 г. 1334. На 16,1 км/ч. 1335. ; О ' 1345. 100. 1346. 150 м. 1347. 7; 12. 1348. 1) 10; 2) 10. 1352. 70 к. 1353. а) 9,66; б) 18,3; в) -0,94; г) -2,24. 1367. 1) 29,06; 2) 60,3. 1370. 9; 9 1 16. 1371. На 125%, на 25%. 1372. га. 1373. а) 1 — ; б) 19; в) 10,8. 1891. 80. 1398. 1) —2; 2) 5. 1399. 1) 300; 2) 200. 1400. 1) -3,68; 2) -5,2. 1405. а) 2,8; б) 0,8.1408. а) 6,1; б) 4,08. 1422. 100; 40. 14^3. 7 рулонов; 2,3 кг; 0,3 кг; 1,8 кг. 1424. а) 1,7; б) 40,9; в) у; г) 1.
Приложения I. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ А Абсцисса точки 239 Алгебра 231 В Вычитание дробей 46 — отрицательных и положительных чисел 182 — смешанных чисел 57 Г Граф 207 д Деление дробей 92 — отрицательных и положительных чисел 193 — См .'Xаааих чисел 92 Делитель 4 Диаграмма круговая 244 — столбчатая 245 Длина окружности 132 Дополнительный множитель 41 Дробю* выраже НПО 104 Дробь несократимая 36 — периодическая 200 3 ЗнаманЖТвЛЬ общий 41 ---наименьший 41 Золотое сечение 140 К Конус 157 Координата точки на плоскости 239 ------прямой 143 Координатная плоскость 239 — прямая 143 Коэффициент 217 Кратное 4 Л Линейное уравнение 226 М Масштаб 128 Модуль числа 155 Н Наибольший общий делитель 22 Наименьшее общее кратное 26 Нахождение дроби числа 74 — нескольких процентов числа 75, 77 — процентного отношения 112, 115 — числа по его дроби 99 ---------процентам 99, 101 Неравенство нестрогое 96 — строгое 96 О Ордината точки 239 Основное свойство дроби 32 252
----пропорции 118 Ось абсцисс 239 — ординат 239 Отношение 111 Отношения взаимно обратные 112 П Параллельные лучи 236 — отрезки 236 — прямые 235 Перпендикулярные лучи 233 — отрезки 233 — прямые 232 Пирамида 82 Площадь круга 133 Подобные слагаемые 220 Приведение дроби к новому знамена- телю 40 Призма 110 Признаки делимости на 2,5 и 10 8 -------8,9 12 Пропорциональная зависимость пря- мая 122 ----обратная 122 Пропорция 118 —, крайние члены 118 —, средние члены 118 Р Разложение на множители 15 ----простые множители 18 Раскрытие скобок 211, 220 Решение уравнений 225 С Свойства действий с рациональными числами 203, 204 Система координат на плоскости 239 Сложение дробей 46 — отрицательных и положительных чисел 169, 173, 177 — подобных слагаемых 220 — смешанных чисел 56 Сокращение дроби 36 Сравнение дробей 46 — отрицательных и положительных чисел 159 Сфера 137 У Умножение дробей 66 — отрицательных и положительных чисел 188 — смешанных чисел 66, 82 ц Цилиндр 148 Цифры нечетные 9 — четные 9 Ч Числа близнецы 29 — взаимно-обратные 89 — взаимно-простые 22 — дружественные 52 — нечетные 9 — отрицательные 142 — положительные 142 — простые 15 — противоположные 150 — рациональные 198 — совершенные 30 — составные 15 — фигурные 39 — целые 150 — четные 9 Ш Шар 137 Шара диаметр 137 — радиус 137
II. СКЛОНЕНИЕ ЧИСЛИТЕЛЬНЫХ Количественные числительные по типу склонения можно разделить на пять групп: 1 — 4 5—20, 30 50—80 40, 90, 100 И. четыре шестнадцать восемьдесят сорок сто Р. четырех шестнадцати восьмидесяти сорока ста Д. четырем шестнадцати восьмидесяти сорока ста В. как И. или Р. шестнадцать восемьдесят сорок сто Т. четырьмя шестнадцатью восьмьюдесятью сорока ста П. о четырех о шестнадцати о восьмидесяти о сорока о ста В составных количественных 200—900 числительных склоняются все части: И. триста девятьсот пятьсот семьдесят три Р. трехсот девятисот пятисот семидесяти трех Д. тремстам В. триста Т. тремястами П. о трехстах девятистам девятьсот девятьюстами о девятистах пятистам семидесяти трем / пятьсот семьдесят три пятьюстами семьюдесятью тремя о пятистах семидесяти трех Порядковые числительные В составных порядковых числительных склоняется только последнее слово: И. двадцать пятый Р. двадцать пятого Д. двадцать пятому В. как И. или Р. Т. двадцать пятым П. о двадцать пятом четыреста тридцать шестой четыреста тридцать шестого четыреста тридцать шестому как И. или Р. четыреста тридцать шестым о четыреста тридцать шестом Дробные числительные В состав дробных числительных входят количественные и порядковые числительные. При склонении дробных числительных изменяются все их части: И. две целых тридцать семь сто семьдесят девятых Р. двух целых тридцати семи сто семьдесят девятых Д. двум целым тридцати семи сто семьдесят девятым В. как И. 2-51 179 Т. двумя целыми тридцатью семью сто семьдесят девятыми П. о двух целых тридцати семи сто семьдесят девятых И. ноль (нуль) целых двести девяносто семь тысячных 0,297 Р. нуля целых двухсот девяноста семи тысячных Д. нулю целых двумстам девяноста семи тысячным В. как И. Т. нулем целых двумястами девяноста семью тысячными П. о нуле целых двухстах девяноста семи тысячных
ОГЛАВЛЕНИЕ Дорогие ребята! ........... .............. 3 Глава I. Обыкновенные дроби. § 1. Делимость чисел. 1. Делители и кратные........................................ 4 2. Признаки делимости на 10, на 5 н на 2..................... 8 3. Признаки делимости на 9 и на 3.......................... 12 4. Простые и составные числа.........................'..... 16 5. Разложение на простые множители ..........................18 6. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа . ё . . 21 7. Наименьшее общее кратное..................................26 § 2. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. 8. Основное свойство дроби...................................32 9. Сокращение дробей.........................................36 10. Приведение дробей к общему знаменателю...................40 11. Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями 46 12. Сложение и вычитание смешанных чисел ....................55 § 3. Умножение и деление обыкновенных дробей. 13. Умножение дробей.........................................65 14. Нахождение дроби от числа............................... 74 15. Применение распределительного свойства умножения.........82 16. Взаимно обратные числа...................................88 17. Деление..................................................91 18. Нахождение числа по его дроби............................99 19. Дробные выражения.......................................104 § 4. Отношения и пропорции. 20. Отношения...............................................111 21. Пропорции...................................... • . Ц8 22. Прямая и обратная пропорциональные зависимости..........122 23. Масштаб.................................................128 24. Длина окружности и площадь круга.........132 25. Шар.....................................................137 Глава II. Рациональные числа. § 5. Положительные и отрицательные числа. 26. Координаты на прямой....................................142 27. Противоположные числа...................................150 28. Модуль числа...................................... . 155 29. Сравнение чисел.........................................158 30. Изменение величин.......................................163 § 6. Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел. 31. Сложение чисел с помощью координатной прямой............168 2ftft
32. Сложение отрицательных чисел..............................173 33. Сложение чисел с разными знаками..........................176 34. Вычитание.................................................182 § 7. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел. 35. Умножение ................................................187 36. Деление...................................................193 37. Рациональные числа ...................................... 198 38. Свойства действий с рациональными числами.................203 § 8. Решение уравнений. 39. Раскрытие скобок........................................ 211 40. Коэффициент............................................. 216 41. Подобные слагаемые........................................219 42. Решение уравнений.........................................225 § 9. Координаты на плоскости. 43. Перпендикулярные прямые...................................232 44. Параллельные прямые.......................................235 45. Координатная плоскость..................................• 239 46. Столбчатые диаграммы.......................................244 Заключение..................................................... 248 Ответы......................................................... 249 Приложения.....................................................252 I. Предметный указатель.........................................— II. Склонение числительных.....................................254 Учебное издание Виленкин Наум Яковлевич Чхжжив Александр (ч>«ев<>мч Шварцбурд Семен Исаакович Жохов Владимир Иванович МАТЕМАТИКА Учебник для 6 класса средней школы Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова Редактор Н. И. Никитина Младшие редакторы О. В. Агапова, Е. В. Казакова Художники В. В. Костин, О. Л. Корнилова Художественный редактор Ю. В. Пахомов Технический редактор Н. А. Киселёва Редактор карт М. Г. Дзидзигури Корректоры И. А. Корогодина, Г. И. Мосякина Подписано к печати 29.07.94. Формат 60x88 1/1б. Гарнитура школьная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16. Тираж 5000 экз. Заказ № 607. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Комитета Российской Федерации по печати. 127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Комитета Российской Федерации по печати. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (до 997)