ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
ВЫПУСК 1
И. М. ГЕЛЬФАНД и Г. Е. ШИЛОВ
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
и
ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1959

1-1-5-4
АННОТАЦИЯ
Теория обобщенных функций — оформившаяся
в последние годы область функционального ана-
анализа; она возникла в связи с потребностями мате-
математической физики и позволила правильно поста-
поставить и разрешить ряд классических проблем
прикладного значения. В настоящем выпуске
рассматриваются главным образом основные
понятия теории обобщенных функций, действия
над обобщенными функциями и т. д. Первые
две главы представляют собой элементарное
введение в эту теорию. Третья глава не-
несколько труднее для чтения и содержит более
специальный материал. Выпуск рассчитан на науч-
научных работников в различных областях матема-
математики, физики и смежных наук, на аспирантов
и студентов (математиков и физиков) старших
курсов университетов. Он будет также интересен
и полезен для инженеров.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Предисловие ко второму изданию первого выпуска 11
Глава I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Основные и обобщенные функции 13
1. Вводные замечания A3). 2. Основные функции A4).
3. Обобщенные функции A5). 4. Локальные свойства обоб-
обобщенных функций A8). 5. Операции сложения и умноже-
умножения на число и на функцию B0). 6. Сдвиги, повороты и дру-
другие линейные преобразования в области независимых пе-
переменных B1). 7. Проблема регуляризации расходящихся
интегралов B4). 8. Предельный переход B7). 9. Комп-
Комплексные основные1 и обобщенные функции C0). 10. Другие
основные пространства C1).
§ 2. Дифференцирование и интегрирование обобщенных
функций . . , . 33
1. Основные определения C3). 2. Примеры для случая
функций одного независимого переменного C7). 3. При-
Примеры для случая функций нескольких независимых пере-
переменных D4). 4. Дифференцирование как непрерывная
операция D7). 5. Дельта-образные последователь-
последовательности E2). 6. Дифференциальные уравнения с обобщен-
обобщенными функциями E8). 7. Дифференцирование в прост-
пространстве S F3).
§ 3. Регуляризация функций со степенными особенностями 64
1. Постановка вопроса F4). 2. Обобщенные функции х^_
и х\ F8). 3. Четная и нечетная комбинации функций
х+ и х\ G2). 4. Неопределенные интегралы от функций
х | sgn х G6). 5. Нормировка функций
хх хх
хх+, хх_, \х\х, | .к |х sgn л: G8). 6. Обобщенные функции

ОГЛАВЛЕНИЕ
(х + Ю)х и (х — Ю)х (83). 7. Каноническая регуляриза-
регуляризация (85). 8. Регуляризация других интегралов (91). 9. Обоб-
Обобщенная функция г* (98). 10. Разложение функции гк на
плоские волны A02). 11. Однородные функции A07).
§ 4. Присоединенные функции 111
1. Присоединенные функцииA11). 2. Разложение функций*^
и х^_ в ряд Тейлора и ряд Лорана A13). 3. Разложение функ-
функций |х|*и \х\>- sgn х A19). 4. Функции (д:+Ю)^и {х—Ю)* A23).
5. Разложение функций {х -4- Ю)* и (х — Ш)х в ряд Тейлора
A27). 6. Разложение функции гх A29).
§ 5. Свертка обобщенных функций 131
1. Прямое произведение обобщенных функций A31).
2. Свертка обобщенных функций A34). 3. Ньютоновский
потенциал и фундаментальные решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений A39). 4. Интеграл Пуассона и фундамен-
фундаментальное решение задачи Коши A42). 5. Интегрирование и
дифференцирование произвольного порядка A48).
§ 6. Фундаментальные решения дифференциальных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами 157
1. Фундаментальные решения эллиптических уравне-
уравнений A57). 2. Фундаментальные решения однородных регу-
регулярных уравнений A65). 3. Фундаментальное решение
задачи Коши A70).
Добавление 1. Локальные свойства обобщенных функций. 180
1. Построение основных функций путем усреднения непре-
непрерывных A80). 2. Разложение единицы A82). 3. Локальные
свойства обобщенных функций A84). 4. Дифференциро-
Дифференцирование как локальная операция A86).
Добавление 2. Обобщенные функции, зависящие от пара-
параметра ...... 188
1. Непрерывные функции A88). 2. Дифференцируемые
функции A89). 3. Аналитические функции A91).
Глава II
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Преобразования Фурье основных функций ...... 194
1. Преобразования Фурье функций из пространства/(A94).
2. Пространство Z A96). 3. Случай нескольких перемен-
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ных A99). 4. Функционалы на пространстве ZB00). 5. Ана-
Аналитические функционалы B02). 6. Преобразования Фурье
функций пространства S B08).
§ 2. Преобразования Фурье обобщенных функций. Случай
одного переменного 209
I. Определение B09). 2. Примеры. B11). 3. Преобра-
Преобразования Фурье обобщенных функций хх+, х\, \х^,
|x|xsgn* B14). 4. Преобразования Фурье обобщенных
функций х+ In x+ и аналогичных B20). 5. Преобразование
Фурье обобщенной функции (ах^ -\-bx-\- сД B29). 6. Пре-
Преобразование Фурье аналитических функционалов B36).
§ 3. Преобразования Фурье обобщенных функций. Случай
нескольких переменных 238
1. Определения B38). 2. Преобразование Фурье прямого
произведения B40). 3. Преобразование Фурье обобщенной
функции гк B41). 4. Преобразование Фурье обобщенной
функции, сосредоточенной в ограниченной области B45).
5. Преобразование Фурье как предел последовательности
функций B49).
§ 4. Преобразования Фурье и дифференциальные уравне-
уравнения 249
1. Предварительные замечания B49). 2. Итерированное
уравнение Лапласа Ата = / B50). 3. Волновое уравнение
в нечетномерном пространстве B52). 4. Связь между
фундаментальным решением уравнения и фундаменталь-
фундаментальным решением задачи Юэши для него B53). 5. Классиче-
Классическое операционное исчисление B55).
Глава III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Обобщенные функции, сосредоточенные на гладкой
поверхности ..... ..... 259
1. Предварительные сведения о дифференциальных фор-
формах B65). 2. Форма со B72). 3. Обобщенная функция
5 (Я) B75). 4. Пример: вывод формулы Грина B79).
5. Формы и>к (<р) и обобщенные функции 8^ (Я) B81)..
6. Тождества для 8<*) (Я) B86). 7. Тождество для
"'^ ' - ' ~ B90). 8. Слои B92). 9. Обобщенные функции

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичной
формой . . : . 304
1. Определение функций Ъ™ (Я) и В^> (Я) C04). 2. Обоб-
Обобщенная функция Р*± C11). 3. Обобщенные функции <Р\
отвечающие квадратичным формам с комплексными коэф-
коэффициентами C32). 4. Обобщенные функции (Р+Ю)>- и
(Р — j0)J* C37). 5. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных уравнений C44). 6. Преобразования
Фурье функций (Р+ЮУ и (Р — Ю)к C49). 7. Обобщен-
Обобщенные функции, связанные с функциями Бесселя C52).
8. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 +
-jlp^L/O)*- и (c*-\-P — iO)k C54). 9. Преобразования
Фурье обобщенных функций (с2 + Р)х+ и (с* + Р)х_ C58).
„ (с
¦ 10. Преобразования Фурье обобщенных функций Т1
(с2 + Р)х_
и ., . .. при целых значениях X. Преобразования
Фурье обобщенной функции 8 (с2-(-Я) и ее произ-
производных C60).
§ 3. Однородные функции 367
1. Введение C67). 2. Положительные однородные функции
нескольких независимых переменных C69). 3. Обобщен-
Обобщенные однородные функции степени — п C77). 4. Обобщен-
Обобщенные однородные функции степени — п — т C85). 5. Обоб-
Обобщенная функция вида г*/, где / — обобщенная функция,
заданная на единичной сфере C86).
§ 4. Произвольные функции в степени X 389
1. Определение приводимых особых точек C89). 2. Иссле-
Исследование обобщенной функции Gk в случае, когда поверх-
поверхность G (хъ ..., хп) = 0 целиком состоит из точек 1-го
порядка C92). 3. Исследование обобщенной функции Gx
в случае, когда поверхность G (jclt ... , хп) = 0 состоит
из точек не выше 2-го порядка C96). 4. Обобщенная
функция Gk (хъ ..., хп) в общем случае D03). 5. Инте-
Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции <f по по-
поверхностям уровня G (хь ..., хп) = с D07).
Сводка основных определений и формул выпуска 1 ... 412
Сводная таблица преобразований Фурье 446
Добавление 457
Примечания и литературные указания 460
Алфавитный указатель . 464
Оглавление выпусков 2, 3, 4 471
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обобщенные функции получают сейчас все более широ-
широкое распространение в различных разделах математики.
В нестрогой форме обобщенные функции по существу уже
давно применялись физиками.
Важную роль в формировании теории обобщенных функ-
функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изуче-
изучением фундаментальных решений волновых уравнений рас-
рассмотрены расходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.
Мы не говорим здесь о более ранних математических рабо-
работах, в которых тоже можно было бы найти элементы бу-
будущей теории обобщенных функций.
Впервые обобщенные функции в явной и теперь обще-
общепринятой форме ввел С. Л. Соболев в 1936 г. Он применил
обобщенные функции к выяснению вопроса о единственности
решения задачи Коши для линейных гиперболических урав-
уравнений. ,
С другой стороны, к теории обобщенных функций
вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье
функций степенного роста. Эти преобразования Фурье
являются по существу обобщенными функциями и выступают
у С. Бохнера как формальные производные непрерывных
функций.
В 1950—1951 гг. появилась монография Л. Шварца
«Теория распределений». В этой книге Л. Шварц система-
систематизировал теорию обобщенных функций, связал воедино все
прежние подходы, привлек к ее обоснованию теорию
линейных топологических пространств и получил ряд суще-
существенных и далеко идущих результатов. После выхода
в свет «Теории распределений» обобщенные функции
необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приоб-
приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичной
формой . . .' . 304
1. Определение функций Ъ™ (Я) и &<*> (Я) C04). 2. Обоб-
Обобщенная функция Р\ C11). 3. Обобщенные функции <Р\
отвечающие квадратичным формам с комплексными коэф-
коэффициентами C32). 4. Обобщенные функции (Я+/0)* и
(Я — /ОI- C37). 5. Фундаментальные решения линейных
дифференциальных уравнений C44). 6. Преобразования
Фурье функций (Р+ЮI и (P — iO)^ C49). 7. Обобщен-
Обобщенные функции, связанные с функциями Бесселя C52).
8. Преобразования Фурье обобщенных функций (с2 -j-
_j_p _|_ /О)*- и (с2 -j- Я — Ю)х C54). 9. Преобразования
Фурье обобщенных функций (с2 + Р)к+ и (с* + Я)л_ C58).
¦ 10. Преобразования Фурье обобщенных функций
(с2 + Р)х_
и , , . при целых значениях X. Преобразования
Фурье обобщенной функции 8 (с2-)-Я) и ее произ-
производных C60).
§ 3. Однородные функции 367
1. Введение C67). 2. Положительные однородные функции
нескольких независимых переменных C69). 3. Обобщен-
Обобщенные однородные функции степени — п C77). 4. Обобщен-
Обобщенные однородные функции степени — п — т C85). 5. Обоб-
Обобщенная функция вида rlf, где / — обобщенная функция,
заданная на единичной сфере C86).
§ 4. Произвольные функции в степени X 389
1. Определение приводимых особых точек C89). 2. Иссле-
Исследование обобщенной функции G* в случае, когда поверх-
поверхность G (хъ .... хп) = 0 целиком состоит из точек 1-го
порядка C92). 3. Исследование обобщенной функции Gx
в случае, когда поверхность G (х-± хп) = 0 состоит
из точек не выше 2-го порядка C96). 4. Обобщенная
функция Gx (х1г ..., хп) В общем случае D03). 5. Инте-
Интегралы от бесконечно дифференцируемой функции <f по по-
поверхностям уровня G (хх хп) = с D07).
Сводка основных определений и формул выпуска 1 ... 412
Сводная таблица преобразований Фурье 446
Добавление 457
Примечания и литературные указания 460
Алфавитный указатель 464
Оглавление выпусков 2, 3, 4 471
ПРЕДИСЛОВИЕ
Обобщенные функции получают сейчас все более широ-
широкое распространение в различных разделах математики.
В нестрогой форме обобщенные функции по существу уже
давно применялись физиками.
Важную роль в формировании теории обобщенных функ-
функций сыграли работы Ж. Адамара, в которых в связи с изуче-
изучением фундаментальных решений волновых уравнений рас-
рассмотрены расходящиеся интегралы, а также работы М. Рисса.
Мы не говорим здесь о более ранних математических рабо-
работах, в которых тоже можно было бы найти элементы бу-
будущей теории обобщенных функций.
Впервые обобщенные функции в явной и теперь обще-
общепринятой форме ввел С. Л. Соболев в 1936 г. Он применил
обобщенные функции к выяснению вопроса о единственности
решения задачи Коши для линейных гиперболических урав-
уравнений. ,
С другой стороны, к теории обобщенных функций
вплотную подводит теория С. Бохнера преобразований Фурье
функций степенного роста. Эти преобразования Фурье
являются по существу обобщенными функциями и выступают
у С. Бохнера как формальные производные непрерывных
функций.
В 1950—1951 гг. появилась монография Л. Шварца
«Теория распределений». В этой книге Л. Шварц система-
систематизировал теорию обобщенных функций, связал воедино все
прежние подходы, привлек к ее обоснованию теорию
линейных топологических пространств и получил ряд суще-
существенных и далеко идущих результатов. После выхода
в свет «Теории распределений» обобщенные функции
необыкновенно быстро, буквально за два-три года, приоб-
приобрели чрезвычайно широкую популярность. Достаточно

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
указать хотя бы на тот факт, что количество математических
работ, в которых встречается дельта-функция, возросло во
много раз.
В выпусках этой серии будет дано систематическое изло-
изложение теории обобщенных функций и ряда примыкающих
к ней вопросов анализа. Авторы не ставили себе при этом
целью собрать весь материал, в котором в той или иной мере
участвуют обобщенные функции. С другой стороны, очзнь мно-
многие из рассматриваемых здесь проблем можно было бы тракто-
трактовать и без обобщенных функций. Однако пон^тае^б^^цен-
ной функции является удобным связующим звеном для ряда
вопросов анализа, . функи.шмльного^анадиза,те.ор™..диф-
функи.шмльного^анадиза,те.ор™..дифференциальных уравнений, теории^тщедсхавлений- локально
КАМлактшлх— групп-- Ли—и—теории—вероятностей^ Поэтому,
быть может, название «Обобщенные функции» для данной
серии выпусков по функциональному анализу является наи-
наиболее подходящим.
Перечислим вкратце содержание первых четырех выпус-
выпусков серии.
Первый выпуск посвящен в основном алгорифмическим
вопросам теории обобщенных функций. Его первые две
главы представляют собой элементарное введение в теорию
обобщенных функций. В этом выпуске читатель встретится
со многими приложениями обобщенных функций к различ-
различным вопросам анализа. В нескольких его местах теоремы
приведены без доказательств, со ссылками на второй выпуск.
Наряду с книгой Шварца в этом выпуске широко использо-
использована статья И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро «Однородные
функции» (УМН, 1955, № 3). 3. Я. Шапиро написала также
несколько пунктов для настоящего выпуска.
Во втором выпуске развиваются понятия, введенные в пер-
первом выпуске, обосновываются при помощи топологических
средств теоремы, приведенные в нем без доказательств, а также
строится и изучается большое количество конкретных про-
пространств обобщенных функций. Базой для всего этого
является изложение в главе I второго выпуска одного из наи-
наиболее элементарных и удобных для аналитиков разделов
общей теории линейных топологических пространств — тео-
теория счетно-нормированных пространств.
Третий выпуск посвящен некоторым приложениям обоб-
обобщенных функций к теории дифференциальных уравнений,
ПРЕДИСЛОВИЕ
а именно к построению классов единственности и классов
корректности решений задачи Коши для уравнений в част-
частных производных и к разложениям по собственным функ-
функциям дифференциальных операторов. Здесь системати-
систематически используются результаты, полученные во втором
выпуске.
В четвертом выпуске рассматриваются связанные с тео-
теорией обобщенных функций вопросы теории вероятностей
(обобщенные случайные процессы) и теории представлений
групп Ли. Объединяющими здесь являются вопросы гармо-
гармонического анализа (аналога теории интеграла Фурье) обоб-
обобщенных функций, в частности, вопросы представления поло-
положительно определенных функций. В этом же выпуске изла-
излагается играющая существенную роль в его построениях
теорема Л. Шварца о ядре.
Выпуски 1—3 написаны Г. Е. Шиловым и мною, вы-
выпуск 4— Н. Я. Виленкиным и мною.
В конце первого выпуска для ориентации читателя при-
приводится краткое оглавление выпусков 2—4. В конце каждого
следующего выпуска также будет дано оглавление написан-
написанных к этому времени остальных выпусков.
В разделе «Примечания и литературные указания» даются
исторические сведения, указания на первоисточники и библио-
библиография. По ходу же изложения никаких ссылок на перво-
первоисточники не делается; указания на учебную литературу
даются в подстрочных примечаниях.
Пятый выпуск, по-видимому, будет посвящен дальней-
дальнейшему развитию методов теории функций комплексного пере-
переменного в теории обобщенных функций. Уже в первом
выпуске намечено рассмотрение обобщенных функций как
функционалов над аналитическими функциями; в пятом
выпуске предполагается подробно развить эту точку зрения
и рассмотреть ее связь с работами Ж. Лерея.
Конечно, все это далеко не исчерпывает всех возмож-
возможностей применений обобщенных функций. Несомненно, чув-
чувствуется потребность в углублении связей с дифференциаль-
дифференциальными уравнениями (краевые задачи, уравнения с переменными
коэффициентами, ряд вопросов квазилинейных уравнений).
Кроме того, теория обобщенных функций является наиболее
удобной базой для построения общей теории представле-
представлений групп Ли и, в частности, общей теории сферических и

10
ПРЕДИСЛОВИЕ
обобщенных автоморфных функций. Мы надеемся, что эти
вопросы можно будет также впоследствии осветить.'
Авторы первого выпуска выражают признательность своим
сотрудникам и ученикам, в той или иной мере принимавшим
участие в создании этого выпуска, в особенности В. А. Боро-
Боровикову, Н. Я. Виленкину, М. И. Граеву и 3. Я. Шапиро*
Авторы благодарны также М. С. Аграновичу, который
отредактировал всю рукопись и внес в нее ряд улучшений.
И. М. Гельфанд
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ПЕРВОГО ВЫПУСКА
Во втором издании первого выпуска произведена неко-
некоторая перестановка материала для облегчения чтения. Две
первые главы «Определение и простейшие свойства обоб-
обобщенных функций» и «Преобразования Фурье обобщенных
функций» можно рекомендовать при первоначальном озна-
ознакомлении; они содержат стандартный минимум, который необ-
необходим всем математикам и физикам, имеющим дело с обоб-
обобщенными функциями.
План дальнейшего чтения зависит от интересов чита-
читателя. Читатели, интересующиеся алгорифмической стороной,
могут обращаться к главе III этого выпуска, которая по-
посвящена рассмотрению специальных классов обобщенных
функций: дельта-функций на поверхностях различного числа
измерений, обобщенных функций, связанных с многомерной
квадратичной формой (любой сигнатуры), однородных функ-
функций и функций, эквивалентных однородным, а также к на-
началу главы IV вып. 4, в которой рассмотрены однородные
обобщенные функции в комплексной области. Читателю,
интересующемуся общей теорией, мы рекомендуем после
первых двух глав этого выпуска перейти к чтению первых
трех глав вып. 2, которые содержат, в частности, необходи-
необходимые сведения из теории линейных топологических про-
пространств, и затем к главе I вып. 4, где описываются ядер-
ядерные пространства и меры в них. Читатели, желающие озна-
ознакомиться с применениями обобщенных функций к теории
уравнений в частных производных, могут обратиться к гла-
главам II и III вып. 3, просмотрев предварительно главы
о пространствах типа 5 и типа W (гл. IV вып. 2 и гл. I
вып. 3). Спектральной теории и ее применениям посвя-
посвящены глава IV вып. 3 и глава I вып. 4; они требуют

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
предварительного ознакомления с двумя первыми главами
вып. 2. Возможны и иные планы чтения; например, во-
вопросы, концентрирующиеся вокруг применений преобразо-
преобразования Фурье обобщенных функций, развиваются после главы II
вып. 1 в главах III и IV вып. 2, в первых трех главах
вып. 3, во второй и дальнейших главах вып. 4; как рабо-
работают обобщенные функции в теории представлений и пре-
преобразования Фурье на группах, рассказано в трех последних
главах вып. 4, для чтения которых достаточно знакомства
с первыми двумя главами вып. 1.
В конце первого выпуска для удобства пользования им
дана сводка основных определений и формул и сводная та-
таблица преобразований Фурье обобщенных функций.
Авторы
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Вводные замечания. Уже давно в физике употребляются
так называемые сингулярные функции, которые не могут
быть корректно определены в рамках классической теории
функций.
Простейшей сингулярной функцией является дельта-функ-
дельта-функция 8 (х — х0): она, по определению физиков, «равна нулю
всюду, кроме одной точки х0, в этой точке равна беско-
бесконечности и обладает интегралом, равным единице». Излишне
указывать, что эти условия несовместимы с точки зрения
классического определения функции и интеграла.
Но мы можем попробовать проанализировать понятие
сингулярной функции с тем, чтобы выявить действительное
его содержание.
Прежде всего мы замечаем, что при решении конкрет-
конкретных задач математической физики дельта-функции (и другие
• сингулярные функции) встречаются, как правило, только_на
\ промежуточных этадахкЛ окончательном ответе сингулярные
функции или вовсе отсутствуют или фигурируют под знаком
интеграла в произведении"с~какой^либо_ достаточно хорошей
фун^пирй Таким образом, нет прямой необходимости отве-
чать на вопрос, что такоё"~сй?гу'лярная функция сама ТГо
себе: нам достаточно ответить на вопрос, что означает,инте-
означает,интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей»
функции. Например, вместо того чтобы отвечать на вопрос,
что такое дельта-функция, нам достаточно указать, что для

12
ПРЕДИСЛОВИЕ
предварительного ознакомления с двумя первыми главами
вып. 2. Возможны и иные планы чтения; например, во-
вопросы, концентрирующиеся вокруг применений преобразо-
преобразования Ф}фье обобщенных функций, развиваются после главы II
вып. 1 в главах III и IV вып. 2, в первых трех главах
вып. 3, во второй и дальнейших главах вып. 4; как рабо-
работают обобщенные функции в теории представлений и пре-
преобразования Фурье на группах, рассказано в трех последних
главах вып. 4, для чтения которых достаточно знакомства
с первыми двумя главами вып. 1.
В конце первого выпуска для удобства пользования им
дана сводка основных определений и формул и сводная та-
таблица преобразований Фурье обобщенных функций.
Авторы.
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Вводные замечания. Уже давно в физике употребляются
так называемые сингулярные функции, которые не могут
быть корректно определены в рамках классической теории
функций.
Простейшей сингулярной функцией является дельта-функ-
дельта-функция Ь(х — х0): она, по определению физиков, «равна нулю
всюду, кроме одной точки х0, в этой точке равна беско-
бесконечности и обладает интегралом, равным единице». Излишне
указывать, что эти условия несовместимы с точки зрения
классического определения функции и интеграла.
Но мы можем попробовать проанализировать понятие
сингулярной функции с тем, чтобы выявить действительное
его содержание.
Прежде всего мы замечаем, что при решении конкрет-
конкретных задач математической физики дельта-функции (и другие
сингулярные функции) встречаются, как правило, только на
> промежуточных этяПг)У1.„в_о.кончательном отвеете сингулярные
фнкции...или вовсе ^тс^туствуют или фигурируют под знаком
^^у ур
интеграла в произведении^с какой-либо достаточно хорошей
функцией. Таким образом, нет прямой необходимости отве-
чать на вопрос, что такбе~"сй"нгулярная функция _сама__1ю
себе: нам достаточно ответить на вопрос,. что;: означает инте-
интеграл от произведения сингулярной функции и «хорошей»
функции. Например, вместо того" чтобы отвечать на вопрос,
что такое дельта-функция, нам достаточно указать, что для

14 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
любой достаточно хорошей функции <р(х) имеет место
равенство
J" 3 (х — х0) ср (х) dx = со (х0).
Иными словами, мы связываем ^_^аждой
функцией^^jii^npjiai^^jKOTQpbijELxTaBRT в соответствие этой
сйнгудярноЛ.функции икаждой «достаточно хорошей» функ-
функции некоторое вполне определенное число. Например, для
дельта-функции Ь(х — х0) число, которое ставится в соот-
соответствие каждой «достаточно хорошей» функции ср (х), есть
значение ср (х0).
Но если так, то мы можем и не задумываться больше
над смыслом понятия «сингулярная функция»: мы можем
теперь отождествить ^сингулярную функцию».. с-,тем функ-
функционалом, о котрром„_.конкретно идеи ..речь,- это и—-будет
вполне достаточным ej ргузеделение_м_ (при., условии, что.
точно указан. и тот,,.к ласе «достаточно хороших» „функций,
на котором задан этот функционал).
Обыкновенные интегрируемые функции, разумеется, также
укладываются в эту схему: для каждой такой функции f(x)
мы умеем ответить на вопрос, чему равен интеграл от про-
произведения / (х) на «хорошую функцию». Таким образом,
представление об обобщенных функциях как о функциона-
функционалах охватывает как «сингулярные», так и обыкновенные
функции.
Перейдем теперь к формулировке точных определений.
2. Основные функции. Прежде всего нужно задать
совокупность тех функций, которые мы называли условно
«достаточно хорошими», на которых будут действовать
в дальнейшем наши функционалы,
В качестве этой совокупности мы рассмотрим множе-
множество К всех вещественных функций ср (х) *), каждая из кото-
которых имеет непрерывные производные всех порядков и
*) Как правило, х = {хь лг2, ..., хп} Означает точку /г-мер-
ного пространства Rn. Читатель может при первом чтении пред-
представлять себе точку х на прямой.
3]
§ L ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
15
финитна, т. е. обращается в нуль вне некоторой ограни-
ограниченной области (своей для каждой из функций ср(х)).
Эти функции будем называть основными, а всю их сово-
совокупность К назовем основным пространством.
Основные функции можно складывать друг с другом и
умножать на вещественные числа, причем снова будут полу-
получаться основные функции; таким образом, совокупность К
есть линейное пространство.
Далее, мы будем говорить, что последовательность
?i (х)> ?2 (х)> • ¦ •• ?v(х), . . . основных функций стремится
к нулю в пространстве К, если все эти функции обра-
обращаются в нуль вне одной и той же ограниченной области
и равномерно сходятся к нулю (в обычном смысле) так же,
как и их производные любого порядка.
Примером основной функции, обращающейся в нуль при
г = | х | = У ^ х\^ а, может служить функция
(х, а) = > е
а?-г*
при г<^а,
при г ;> я.
1
О)
Последовательность функций <pv (х) = — <р (х, a) (v = 1, 2, )
стремится к нулю в пространстве /С Последовательность функций
1 / х \
<pv (х) = — <р I —, а\ (ч = 1, 2, ...) стремится к нулю равномерно
вместе со всеми производными, но не стремится к нулю в про-
пространстве /<¦, поскольку нет общей ограниченной области, вне
которой эти функции обращаются в нуль.
Существует много разнообразных основных функций. Например
(см. добавление 1 к этой главе, п. 1), для заданной финитной не-
непрерывной функции f(x) всегда можно указать как угодно близкую
к ней основную функцию <р (х), т. е. такую основную функцию, что
при всех х и заданном е > О
3. Обобщенные функции. Мы говорим, что нам задан
линейный непрерывный функционал f на пространстве К,
если указано правило, в силу которого с каждой основной
функцией ср (х) сопоставлено некоторое вещественное число
(/, ср), и при этом выполнены следующие условия:
а)>-для любых двух вещественных чисел аи а^ и любых
двух основных функций cpt (x), ср2 (х) имеет место равенство
(/. ai?i -Ь а2?2) = ai (/• Ti) + *2 (/. ^(свойство линей-1
н о с т и функционала /);

16 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
б) если последовательность основных функций ср!,
срг. • • •» ?v • • • стремится к нулю в пространстве К, то
последовательность чисел (/, ср,), (/, ср2). • • •. (/¦ ?>)> • • •
сходится к нулю (свойство непрерывности функ-
функционала /).
Например, пусть задана некоторая функция f(x), абсо-
абсолютно интегрируемая в каждой конечной области простран-
пространства Rn (такие функции будем в дальнейшем называть
локально интегрируемыми). С помощью этой функции мы
можем каждой основной функции ср(лг) поставить в соответ-
соответствие число
A)
= ff(x)9(x)dx,
где интегрирование фактически совершается по ограничен-
ограниченной области, вне которой функция <р(лг) обращается в нуль.
Легко проверить, что для функционала / условия а) и б)
выполнены; в частности, выполнение условия б) вытекает
из возможности перехода к пределу под знаком интеграла
в случае равномерной сходимости подынтегральных функ-
функций в ограниченной области.
Функционал вида A) есть весьма частный пример
линейного непрерывного функционала на пространстве К.
Легко можно указать и функционалы иного типа. Напри-
Например j функционал, который ставит в соответствие каждой
функции ср(.г) ее значение в точке лго = О, очевидно, линеен
и непрерывен. Но легко показать,' что он не может быть
представлен в виде A) ни при какой локально интегри-
интегрируемой функции f(x).
Действительно, предположим, что для некоторой локально
интегрируемой функции / (х) и любой основной функции ср (х)
имеет место равенство
В частности, для рассмотренной в предыдущем пункте функции
B)
а'~г*
(л:, а), равной е а'~г* при г<а и нулю при
J / (х) с? {х, a)dx = <? @, а) = е~К
3]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
17
Но при а->0 интеграл слева стремится к нулю, что противо-
противоречит равенству B).
Указанный функционал мы будем называть дельта-функ-
дельта-функцией в соответствии с установившейся терминологией (хотя и
не точной, поскольку дельта-функция не есть функция в клас-
классическом смысле слова) и обозначать через 5 (х); таким
образом,
Часто встречается также «сдвинутая» дельта-функция —-
функционал Ь (х — х0), определяемый равенством
ф(х — х0), ср (х) ) = <р (х0).
Обобщенной функцией мы будем теперь называть
каждый линейный непрерывный функционал, определенный
на основном пространстве К. Обобщенные функции, зада-
задаваемые формулами вида A), будем называть регулярными,
все остальные (в том числе дельта-функцию) — сингуляр-
сингулярными.
Регулярную обобщенную функцию /, действующую по
формуле *)
будем называть постоянной С. Например, обобщенная
функция единица действует по формуле
Можно показать (см. вып. 2, гл. II, § 1, п. 5), что
значения регулярного функционала на основных функциях
позволяют однозначно определить соответствующую функ-
функцию f(x) с точностью до ее значений на множестве меры
нуль. Это означает, что различным функциям f1 (x) и /2 (х)
соответствуют различные (т. е. имеющие различные зна-
значения на некоторых основных функциях) обобщенные функ-
функции. Поэтому всю совокупность обычных локально инте-
интегрируемых функций можно рассматривать как некоторую
часть совокупности всех обобщенных функций.
*) Условимся при интегрировании по всему пространству зна-
значок Rn у знака интеграла опускать.
2 Зак. 460. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов, вып. I

18 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[4
По этой же причине иногда удобно и для обобщенных
функций сохранить обозначение f(x), как для дельта-функ-
дельта-функции, хотя теперь уже нельзя говорить о значениях .обоб-
.обобщенной функции в отдельных точках (так что запись f(x0)
для обобщенной функции, вообще говоря, не имеет смысла).
Кроме того, вместо (/, ср) мы иногда будем писать
С f(x)'$(x)dx, хотя с точки зрения обычного анализа такая
запись не имеет, вообще говоря, смысла. Например, мы
будем иногда вместо Ф(х), <?(х)) писать ГЬ(х)ср(х)dx.
Таким образом, Г<5(лг) y(x)dx = ср @).
Совокупность всех обобщенных функций обозначим
через К'.
4. Локальные свойства обобщенных функций. Мы
уже знаем, что обобщенные функции не имеют значений
в отдельных точках. Нельзя, например, говорить, что обоб-
обобщенная функция / «равна нулю в точке лг0». Но высказы-
высказыванию «обобщенная функция / равна нулю в окрестности U
точки лг0» можно придать уже вполне четкий смысл: именно,
оно означает, что для каждой основной функции ср (х),
отличной от-нуля только в пределах окрестности U, имеет
место равенство (/, ср) = О.
Так, обобщенная функция /, отвечающая обычной функ-
функции f(x), равна нулю в окрестности U точки х0, если
в этой окрестности обращается в нуль (почти всюду) сама
функция f(x). Сингулярная обобщенная функция Ь(х — хг)
равна нулю в некоторой окрестности любой точки х0 Ф хх.
Условимся также говорить, что обобщенная функция /
равна нулю в открытой области О, если она равна нулю
в некоторой окрестности каждой точки этой области.
Можно доказать (см. добавление 1), что обобщенная
функция, равная нулю в окрестности любой точки, и в
целом равна нулю, т. е. для любой основной функ-
функции ср (х)
Если обобщенная функция / не равна нулю ни в какой
окрестности точки х0, то х0 называется существенной
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
19
точкой для функционала /. Так, например, на прямой
точка хо = О— существенная точка для функционала
у(х) = х2 (хотя в ней сама функция х2 обращается в нуль!).
Конечно, все остальные точки оси х также являются суще-
существенными для f(x) = x2. Совокупность всех существенных
точек называется носителем обобщенной функции /. Носи-
Носитель обобщенной функции /, отвечающей обычной непре-
непрерывной (или кусочно непрерывной) функции f(x), есть
замыкание множества, на котором f(x) Ф 0. Носитель
обобщенной функции 8 (х — х0) есть одна точка х0. Если
множество F содержит носитель функционала /, то гово-
говорят также, что функционал / сосредоточен на множе-
множестве F.
Название «существенные точки» оправдывается следую-
следующим свойством (которое будет доказано в п. 3 добавле-
добавления 1): если основная функция ср(лг) обращается в нуль
в некоторой окрестности носителя функционала /, то
(/. ср) = 0- Отсюда следует, что произвольное изменение
основной функции ср вне окрестности носителя обобщенной
функции / не влияет на значение величины (/, ср); действи-
действительно, указанное изменение равносильно добавлению к основ-
основной функции ср другой основной функции ф, равной нулю
в окрестности носителя функционала /, поэтому (/, ф) = 0
и, следовательно, (/, cp-j-ф) = (/, ср).
Теперь перейдем к локальному сравнению двух произ-
произвольных обобщенных функций. Будем говорить, что обоб-
обобщенные функции fug совпадают в открытой области О,
если разность / — g в этой области равна нулю. Можно
показать, что если / и g совпадают в окрестности каждой
точки, то они совпадают и в целом, т. е. (/, cp) = (g, ср)
при любой ср; отсюда следует-, что обобщенная функция /
однозначно определяется по своим локальным свойствам.
Более того, можно даже построить обобщенную функ-
функцию по заданным ее локальным значениям (добавление 1,
п. 3).
В частности, мы будем говорить, что обобщенная функ-
функция / регулярна в области G, если в этой области она
совпадает с некоторой обычной локально интегрируемой
функцией.
Например, дельта-функция о (х — лг0) вне точки х0 всюду
регулярна (и равна нулю).
2*

20 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Одна из важных проблем теории обобщенных функций
состоит в следующем: дана (обычная) функция f{x), вообще
не являющаяся локально интегрируемой, например — на
прямой. Существует ли обобщенная функция /, совпадаю-
совпадающая с / (х) во всех точках локальной интегрируемости f(x)?
Можно ли соответствие f{x)~*-f устроить таким образом,
чтобы обычные операции сложения, умножения на функ-
функцию, дифференцирования, которые мы определим ниже и
для обобщенных функций, сохранялись бы при этом соот-
соответствии? Ясно, что положительный ответ на подобные
вопросы весьма существенен: он приводит к включению
в схему обобщенных функций обычных функций, имеющих
неинтегрируемые особенности.
Ответы на эти вопросы имеются пока лишь частичные.
См. далее п. 7 § 1, а также § 3.
5. Операции сложения и умножения на число и на
функцию. Пусть даны две обобщенные функции fug;
определим их сумму f-\-g как функционал на простран-
пространстве К, действующий по формуле
(/ + ?. ?). = (/• ?) + (?• ?)•
Легко проверить, что определенный по этой формуле
функционал f-\-g снова является линейным непрерывным
функционалом. В, частности, если / и g—регулярные
функционалы, соответствующие функциям f(x) и g(x), то
f-\-g есть также регулярный функционал, соответствующий
функции f(x)-\-g(x). Это подтверждает естественность при-
принятого определения суммы обобщенных функций.
Произведение обобщенной функции f на число а опре-
определяется формулой
(а/, <р) = а(/, <р) = (/, окр).
Очевидно, что и этот функционал линеен и непрерывен.
Для регулярного функционала /, соответствующего локально
интегрируемой функции f (х), введенная операция отвечает
умножению функции f(x) на число а.
По-видимому, невозможно определить сколько-нибудь
естественным образом произведение любых двух обобщен-
обобщенных функций. Но вполне естественно определяется произ-
6]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
21
ведение любой обобщенной функции f на бесконечно диф-
дифференцируемую функцию а(х). Заметим вначале, что
произведение бесконечно дифференцируемой функции а (х)
на основную функцию ср (х) есть снова основная функция
ф (х) = а (х) ср (х); при этом если последовательность основ-
основных функций ср,(дг) стремится к нулю в пространстве К,
то последовательность произведений а (х) cpv (x) также стре-
стремится к нулю в пространстве К. Пусть теперь дана любая
обобщенная функция /; определим функционал af по формуле
(af, ср) = (/, аср).
Функционал af, очевидно, линеен. Он является также и
непрерывным функционалом: если cpv (х) -> 0, то, как было
указано, также и а (х) cpv (х) —>- 0, следовательно,
(af, cpv) = (/, acpv) -> 0.
Для регулярного функционала /, отвечающего локально
интегрируемой функции f(x), умножение на функцию а (х)
соответствует умножению функции /(х) на функцию а (х).
Действительно, мы имеем в этом случае
(af, ср) = (/, acp) = J7 (х) [а (х) ср (*)] dx =
= f[a(x)f(x)]<t(x)dx,
что и требуется.
6. Сдвиги, повороты и другие линейные преобразова-
преобразования в области независимых переменных. При h > 0 функ-
функция f(x — К) на оси называется в анализе сдвигом вправо
функции f (х) на величину h. Обратим внимание на то,
что операция, которая производится здесь с независимым
переменным, есть сдвиг влево на величину h — обратная опе-
операция по отношению к операции, произведенной с функцией.
Мы можем следующим образом обобщить эти построения
на случай функции п переменных. Пусть и означает неко-
некоторое невырожденное линейное преобразование я-мерного
пространства Rn и и~х есть обратное преобразование. Тогда
соответствующую операцию и в области функций /(х) мы
определим формулой
= /(и-1лг). A)

22 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Операцию и можно перенести и на обобщенные функции.
Заметим прежде всего, что вместе со всякой основной функ-
функцией ср (х) функция ср (их) также является основной. Далее,
выясним, какому равенству в функционалах отвечает равен-
равенство A). Считая, что f(x) локально интегрируема, и при-
применяя это равенство к основной функции ср(х), находим:
(af(x),
В полученном интеграле сделаем замену переменных а~1х=у,
т. е. х = ay, dx = \u\ dy, где | и| означает определитель
матрицы преобразования и. Мы получим:
(uf, ср) = 1 и | J / (у) ср (иу) dy = \u\(f (х), ср (их) ).
Это равенство приводит к определению операции и, которую
можно применять уже ко всем обобщенным функциям:
uf есть функционал, действующий по формуле
(uf, ср) =
ср(их)).
B)
Функционал uf можно также обозначить через f(u~1x)
(как для обычных функций), что часто делает формулы более
прозрачными. В силу нашего соглашения о символике (см.
конец п. 3) мы тогда вместо B) можем написать:
Cf(u-\x) f
u\ Jf(x) ср (ах) dx, B')
где / — любая обобщенная функция.
Особенно простая формула получается для унимодуляр-
ных преобразований ([и | = 1), в частности для поворотов:
(/ (и-*х), f(x)) = (uf. ср) = (/, ср (их)). C)
Примеры операций:
1. Сдвиг на вектор h: ux = x-\-k. Сдвиг обобщен-
обобщенной функции / на вектор h задается формулой
. (Uf, ср) = (/, ср (UX) ) = (/, ср (X + h) ).
Можно записать эту формулу также в виде
(f(x—h), ?) = (/. ?(
6]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
23
ff (X — К) ср (X) dX = ff (X) ср (X + ft) dX
или
(/ — обобщенная функция).
2. Отражение в начале координат: их =
Отражение обобщенной функции / задается формулой
(/ (— х), ср (х) ) = (uf, ср) = (/, ? (_ х) ),
или
— х.
3. Преобразование подобия: ах = а.х. Преобра-
Преобразование подобия обобщенной функции / задается формулой
(/ (и-1*), ср (х) ) == (uf, ср) == ап (/ (х), ср (ах)).
Обобщенная функция / называется, естественно, инва-
инвариантной относительно операции и, если uf = f.
Например, обобщенная функция может быть инвариант-
инвариантной относительно отражения в начале координат (т. е. удо-
удовлетворяющей уравнению (/, ср(—х)) = (/, ср)); ее естественно
называть центрально симметричной. Обобщенные функ-
функции, инвариантные относительно всех поворотов, мы будем
называть сферически симметричными. Примерами таковых
являются все регулярные функционалы, соответствующие
функциям, зависящим только от г = у^ Xj-, а также
8-функция. Функцию, инвариантную относительно сдвига на
вектор ft, будем называть периодической с периодом п.
Можно показать, что обобщенная функция, инвариантная
относительно всех сдвигов, есть постоянная (см. § 2, п. 6).
Обобщенная функция /(х), удовлетворяющая уравнению
при любом вещественном а > 0, называется, естественно,
однородной функцией степени X. Условие D) может быть
записано также в виде
или, что то же,
fix).

24 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Так, о (Xi хп) есть однородная функция степени
—п. Кроме того, разумеется, обычные однородные функции
(локально интегрируемые) являются однородными и как
обобщенные функции с той же степенью. Подробнее об
однородных обобщенных функциях мы будем говорить далее
в § 4 и затем в гл. III.
7. Проблема регуляризации расходящихся интегралов.
Пусть f(x) — функция, локально интегрируемая всюду, кроме
точки л:0, а в этой точке имеющая неинтегрируемую осо-
особенность (например, f(x) = — на оси). Тогда интеграл
(х) ср (х) dx, A)
где ср(х) — основная функция, вообще говоря, расходится.
Но он сходится, если ср (лг) равна нулю в окрестности
точки х0. Поставим вопрос, нельзя ли доопределить
возникающий при этом функционал, т. е. построить функ-
функционал f?.K', который на основные функции ср(лг), равные
нулю в окрестности точки х0, действует по формуле A).
Всякий такой функционал/ называется регуляризацией расхо-
расходящегося интеграла A) (или регуляризацией функции f (х)).
Так, для /(.*:)—— можно положить
X
dx
f
+ ОО
9 (х) — ср @)
dx
I
fix)
dx B)
с любыми а, Ь > 0.
Определение регуляризации можно дать и в несколько иной
форме: регуляризация функции fix) есть линейный непрерывный
функционал /, который совпадает с функцией fix) всюду вне
точки х0 (см. п. 4).
Действительно, если имеется функционал /, который для всех
основных функций ср (х), равных нулю в окрестности точки х0, за-
задается интегралом A), то / совпадает с функцией fix) в неко-
некоторой окрестности любой точки х^ Ф х0, а именно в окрестности,
не содержащей х0 ни внутри, ни на границе. С другой стороны,
если функционал / совпадает с функцией fix) всюду вне точки х0,
то для любой основной функции, равной нулю в окрестности точки х0,
имеет место формула A) и, следовательно, / определяет регуляри-
регуляризацию функции fix).
7]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
25
Приведем некоторые общие соображения, касающиеся
разрешимости проблемы регуляризации. Для простоты будем
считать, что jr0 —0.
1°. Если при некотором т > 0 функция f(x) ¦ гт ло-
локально интегрируема, то интеграл A) допускает регу-
регуляризацию.
Действительно, в этом случае мы можем построить ре-
регуляризацию / по формуле
-
= //(*){?(*)
дх™
-r)\dx C)
(из функции ср (х) вычитается столько членов ее ряда Тей-
Тейлора, чтобы остаток имел порядок выше гт). Функция
0A—г) равна единице при г< 1 и равна нулю при г > 1.
Очевидно, что интеграл C) сходится при любой основной
функции ср (х) и представляет собой линейный непрерывный
функционал. Если функция <р(х) равна нулю в окрестности
начала координат, то выражение C) превращается в
= f fix) <? (x)dx,
так что функционал / вне начала координат совпадает
с функцией fix).
Таким образом, в рассматриваемом случае проблема ре-
регуляризации имеет решение.
2°. Если /0 — частное решение проблемы регуляриза-
регуляризации интеграла A), то общее решение f получается при-
прибавлением к /0 любого функционала, сосредоточенного
в точке лго = О.
Действительно, пусть /0 — регуляризация, a g — функ-
функционал, сосредоточенный в этой точке. Тогда для основных
функций <р(х), равных нулю в окрестности точки лго = О,
(/о -\-g.f) = (/о. ?) -I- ig. 9) = (/о. ?).
так что и fo-\-g является регуляризацией. Обратно, если /0
и Д — две различные регуляризации, то для таких же ср (х)
(Л — /о. «р) = if и 9) — (/о. <р) = 0.
т. е. разность /х — /0 сосредоточена в точке х0 = 0,

26 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[7
Например, в случае /(дг) = — разность двух любых
регуляризации, определяемых формулой B), как легко вы-
вывести из самой этой формулы, есть просто СЬ(х), где С —
постоянный множитель.
Вопросом о выборе среди многочисленных регуляризации
данной функции естественной ее регуляризации мы
займемся позднее, в § 3.
3°. Если в некотором телесном угле с вершиной в начале
координат функция f (х) допускает оценку
f(x)>F(r),
1
D)
где F (г) возрастает при г ->- 0 быстрее любой степени — , то
интеграл A) не допускает регуляризации.
Для простоты будем считать, что телесный угол, о котором
идет речь, содержит область Н = (хх > 0, ..., хп > 0). В общем
случае доказательство проводится аналогично. Рассмотрим основную
функцию ср (х), неотрицательную, обращающуюся в нуль при | х \ >• 1
и обладающую интегралом, равным 1. Пусть, далее, е„ > 0—про-
0—произвольная последовательность чисел, стремящихся к 0 быстрее
любой степени — .
Функция 4л, (х), полученная из функции ev<p (vjc) смещением вдоль
биссектрисы Xi — ... = хп на отрезок , обращается в нуль вне
области Н и при достаточно большом v обращается в нуль вне
пересечения этой области с произвольно малым шаром с центром
в начале координат. Далее, последовательность функций ф-, (¦*)> как
легко видеть, при ч->-оо стремится к нулю в пространстве /? По-
Поэтому если бы существовал функционал /, регуляризирующий ин-
интеграл A), мы должны были бы иметь
(/. 40-^0. E)
Но так как в окрестности точки х = 0 функция фч (х) обращается
в нуль, а вне начала функционал / совпадает с функцией f(x),
удовлетворяющей неравенству D), то
F (г) ср
dx.
Интеграл от функции <р (чх) равен, очевидно, -jj- ; мы получаем,
таким образом, оценку
с6).
8]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
27
Числа е„ мы еще пока не фиксировали. Положим
¦?>•)¦
G)
1
так как F(r) возрастает быстрее любой степени—, то числа е„,
заданные по формуле G), стремятся к нулю быстрее любой сте-
степени —, что нам и нужно. Но тогда, как показывает неравенство F),
числа (/, фч) превосходят единицу и, следовательно, не стре-
стремятся к нулю в противоречие с соотношением E).
Поэтому в данном случае интеграл A) не может быть регу-
ляризован.
Замечание. Этот результат не означает, что в анализе
обобщенных функций вообще нужно отказаться от рассмотрения
функций с особенностями выше степенных. Мы рассматриваем
пока только основные функции специального вида (пространство Ю-
Во втором выпуске будут указаны иные пространства основных
функций; среди этих пространств всегда можно будет найти такие,
для которых будут иметь смысл, как функционалы, и функции
с как угодно сильными особенностями.
В заключение отметим, что определение регуляризации
аналогичным образом можно дать тогда, когда f(x) имеет
не одну, а несколько или даже счетное число изолирован-
изолированных особых точек, конечное в любом конечном интервале.
Такую функцию f(x) всегда можно представить в виде
суммы
где fk(x) имеет только одну особую точку (см. добавле-
добавление 1, п. 2); поэтому случай со счетным числом изолиро-
ваннных особенностей по существу не представляет ничего
нового.
8. Предельный переход. Последовательность обобщен-
обобщенных функций /ь /2, . . ., /v, .... по определению, сходится
к обобщенной функции /, если для любой основной функ-
функции ср (х)
lim C/v. ?) = (/¦ ?).
V ->¦ СО
Можно, разумеется, считать, что индекс v пробегает и не-
непрерывное множество значений; определение предельного
перехода при этом остается таким же.

28 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Аналогично ряд из обобщенных функций h1-\-h2-\- . . .
. . . -\-hv -j- . . . называется сходящимся к - обобщенной
функции g, если последовательность частичных сумм этого
ряда
сходится к обобщенной функции gs указанном выше смысле.
Легко проверить, что предел сходящейся последователь-
последовательности обобщенных функций определен однозначно.
Далее, операция предельного перехода линейна: если
/= Ит /„, а а — число (или бесконечно дифференцируемая
функция), то lira аД существует и равен a lim /v = а/; если
v ->-co v -з*аэ
/ = Иш /v, g=\img4, то lim (/v-j-g-4) существует и pa-
вен f-\-g.
Если локально интегрируемые функции /v (x) (v = 1, 2, . . .)
в каждой ограниченной области равномерно сходятся к ло-
локально интегрируемой функции / (х), то соответствующие
функционалы /„ сходятся к регулярному функционалу /.
Действительно, пусть ср (х) — некоторая основная функция
и О — та область, вне которой функция ср (х) равна нулю;
тогда, в силу известной теоремы о предельном переходе
под знаком интеграла,
9) = ff*
9
ff(x)9 (x) dx = (/, ср),
о
что и требуется.
Впрочем, требование равномерной сходимости функ-
функций fv(x) в каждой ограниченной области можно, конечно,
ослабить; возможность предельного перехода? под знаком
интеграла обеспечивается и менее сильными требованиями,
как, например:
а) Л (*)->/(*) почти всюду, |/„(*)! ограничены фикси-
фиксированной постоянной (или даже локально интегрируемой
функцией);
б) f^(x) ->f(x) монотонно возрастая или убывая, f(x)
локально интегрируема.
8]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
29
Пример. Последовательность регулярных функциона-
функционалов может иметь пределом сингулярный функционал. Так,
функционал
(/, ср) = lim j Цр dx
совпадает при х Ф 0 с обычной функцией —, не интегри-
руемой в любой окрестности начала координат, и потому
не является регулярным. Но из самого построения видно,
что этот функционал есть предел (при е —>- 0) регуляр-
регулярных функционалов, отвечающих функциям, равным — при
| х | > 8 и равным нулю при | х \ < е.
Вообще можно показать (это будет доказано во втором
выпуске), что каждый сингулярный функционал есть пре-
предел регулярных.
Легко проверить, что каждая обобщенная функция
есть предел обобщенных функций, сосредоточенных
в ограниченных множествах.
Рассмотрим для доказательства бесконечно дифференци-
дифференцируемую функцию ?•„ (х), равную единице в шаре|лг|<;^ и
нулю вне шара | х | ^ 2v. Для любой основной функции ср
очевидно, что g-vcp = cp, начиная с некоторого v. Отсюда сле-
следует, что для любого функционала / произведения g4f стре-
стремятся к /; действительно, для любой основной функции ев
мы имеем {g4f, ?) = (/¦ gvf) = (/> ?)> начиная с некоторого v_
т. е. условие (g"v/, ср) —> (/, ср) заведомо выполняется. Функ-
Функционал gvf, как легко видеть, равен нулю в области \х\ > 2v
и, следовательно, сосредоточен на ограниченном множестве
| х | ^ 2v. Итак, обобщенная функция / является пределом
обобщенных функций gvf, сосредоточенных на ограниченных
множествах, что и утверждалось.
Важным фактом является полнота пространства обобщенных
функций относительно введенной сходимости. Иными словами, если
последовательность функционалов /ь /2, ..., /v, ... такова, что
для каждой основной функции ср существует предел числовой по-
последовательности (/,„ ср), то этот предел определяет снова линей-
линейный непрерывный функционал на пространстве /С-
Доказательство этого предложения дано в добавлении в конце
этого выпуска.

30 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
9. Комплексные основные и обобщенные функции.
В предыдущем изложении предполагалось, что основные
функции ср (х) принимают только вещественные значения и
что значения функционалов (/, ср) также вещественны.
Можно определить и комплексные обобщенные функции.
Для этого мы перейдем от пространства вещественных
основных функций к пространству комплексных основных
(т. е. бесконечно дифференцируемых и финитных) функций
с прежним определением операций.
Комплексной обобщенной функцией мы будем теперь
называть всякий линейный непрерывный функционал на
этом новом пространстве, принимающий, возможно, и
комплексные значения.
Каждой комплекснозначной локально интегрируемой
функции f (х) мы поставим в соответствие функционал
где черта сверху означает переход к комплексно сопряжен-
сопряженной величине.
Обозначения для пространств комплексных основных и
обобщенных функций мы оставим прежние: К и К'.
Действия сложения и умножения на (комплексное) число
в пространстве комплексных обобщенных функций задаются
формулами
— — ' \ B)
(а/, ср) = а(/, <р) = (/, аср). )
Умножение на комплексную бесконечно дифференцируемую
функцию а (х) производится по формуле
(a(x)f, <p) = (/. a (*)?(*)).
C)
Каждой обобщенной функции / можно сопоставить ком-
комплексно сопряженную обобщенную функцию / по формуле
(/. ?) = (/. Т). D)
проверить, что для обычной функции /{*), рас-
рассматриваемой в качестве обобщенной, операция комплекс-
комплексного сопряжения отвечает переходу к обычной, комплексно
Ю]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
31
сопряженной функции. В дальнейшем мы будем, как пра-
правило, рассматривать вещественный случай. Впрочем, резуль-
результаты, полученные для вещественных обобщенных функций,
большей частью автоматически переносятся на комплексный
случай с очевидными изменениями, вытекающими из фор-
формул A) —D).
10. Другие основные пространства. Функционалы,
определенные на основном пространстве К, во многих слу-
случаях удобно распространять на более широкие пространства
функций и изучать уже на этих пространствах.
Одним из наиболее часто встречающихся в применениях
является пространство 5, образованное из таких бесконечно
дифференцируемых функций ср (х), которые при |лг|->оо
стремятся к нулю быстрее любой степени :—г, так же как
и их производные любого порядка (например, е~х). Та-
Таким образом, на оси —сю < х <С оо функции cp(.xr)?S
удовлетворяют неравенствам вида
(О
при любых k, <7 = 0, 1, 2, ...
Для случая нескольких независимых переменных л:,,
неравенства A) заменяются неравенствами
*!'... Хп-
= 0. 1. 2,
что можно символически записать в более простой форме:
где k =
kn), q — (qi qn), хъ =
Сходимость в пространстве 5 вводится следующим образом.
Последовательность cpv (x) называется сходящейся к функ-
функции cp(.v), если производные любого порядка от функции

32
ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ flO
tpv(AT) в любой ограниченной области равномерно сходятся
к соответствующей производной от функции ср (х) и в оценках
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
33:
|f,Wl<Ci, B)
постоянные Ckq можно- выбрать не зависящими от v. В.этом
случае предельная функция ер (х) также принадлежит к про-
пространству S, что вытекает из неравенства B) в результате
предельного перехода при v —* оо.
Очевидно, что каждая финитная бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция, т. е. основная функция из простран-
пространства К, принадлежит и к пространству S. Более того,
финитные функции образуют в пространстве S плотное
множество. Для доказательства построим функцию ev (д:) ? К,
равную единице в кубе | х}- | ^ v, равную нулю вне куба
\xj\-^.2v и такую, чтобы производные любого фиксиро-
фиксированного порядка у всех функций еу(х)(ч=1, 2, . . .) были
бы ограничены одним и тем же числом, не зависящим от v * ).
Если теперь ср(лг)— любая функция из пространства S,
то произведения <pv(x) = y(x)ev(x) финитны и, как легко
убедиться, сходятся к функции <p(jf) в пространстве 5, что
и утверждается.
Отметим еще, что если cpv, f?K и cpw —»- ср в /Г, то,
очевидно, f „ -> ср и в смысле сходимости в S; иными словами,
сходимость в пространстве К более сильная, чем сходи-
сходимость в пространстве S.
Совокупность линейных непрерывных функционалов на
пространстве S обозначается через S'. Очевидно, что каж-
каждый линейный непрерывный функционал на пространстве 5
есть тем самым и линейный непрерывный функционал на
пространстве К, так что S' с К'. Но, конечно, далеко не
все линейные непрерывные функционалы на К могут быть
распространены на пространство S. (Заметим, во всяком
случае, что если такое распространение для данного функ-
функционала / возможно, то оно единственно в силу плотности
К в S.) Однако на пространство 5 распространяются все
финитные функционалы (сосредоточенные в ограниченной
области), все регулярные функционалы, отвечающие функ-
*) Например, можно как угодно построить е1 (х) и затем по-
положить <?„ (х) = ех ( — |.
циям f(x), растущим не быстрее какой-нибудь степени [ х |
при J х | —>¦ оо, и некоторые другие.
Очевидно, что S' есть линейное пространство: если
/, g(zS', то &f-\-$g(zS' для любых чисел аир. Следова-
Следовательно, S' — линейное подпространство в пространстве К'.
В пространстве 5' можно определить сходимость ана-
аналогично тому, как это было сделано в К': будем говорить,
что последовательность функционалов /, из S' сходится
к функционалу / из S', если для любой функции <р(л:)?5
(Л. ?)->(/. ?).
Так как 5 содержит К, то ясно, что если /v, / принадле-
принадлежат S' и /v ->/ в S', то /„ —>-/в К'. Таким образом, простран-
пространство S' вложено в пространство К' вместе со своей сходи-
сходимостью.
Кроме пространства 5, существует много иных типов
основных пространств, определяемых разными типами усло-
условий убывания основных функций на бесконечности. Мы
будем рассматривать такие пространства во втором вы-
выпуске.
В этом выпуске пространства 5 и S' будут играть вто-
второстепенную роль. Как правило, мы будем рассматривать
пространства К и Л"; в тех случаях, когда нам понадо-
понадобятся другие пространства, это будет специально оговари-
оговариваться.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
1. Основные определения. Известно, что операция диф-
дифференцирования не всегда выполнима для обычных функ-
функций: существует большое количество функций, не имеющих
производных в обычном смысле слова. В противополож-
противоположность этому мы покажем, что обобщенные функции имеют
производные (и притом всех порядков), которые пред-
представляют собой также обобщенные функции.
Для того чтобы подойти к определению производной
обобщенной функции, 'рассмотрим вначале случай обычных
функций одного переменного.
Если функция /(х) непрерывна и обладает непрерывной
производной (в обычном смысле), то мы можем построить
3 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

34 ГЛ. Г. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
функционал
оо
'. ?)= ff(x)9(x)dx.
Интегрируя по частям и учитывая, что функция ср (лг)
обращается в нуль вне некоторого отрезка [а, Ь], мы полу-
получаем:
9) =
со
Q — ff(x) ?' (*) dx =
. A)
Это равенство мы и положим в основу общего опреде-
определения производной от обобщенной функции. Пусть / —
произвольный линейный непрерывный функционал на основ-
основном пространстве К. Тогда функционал g, заданный фор-
формулой
ig. ?) = (/• — <РО. B)
мы будем называть производной от функционала f и
обозначать через /' ила -?-,
В силу нашего соглашения о символике (§ 1, конец п. 3)
определение производной /' обобщенной функции / можно
записать очень наглядной формулой:
ff (х) ср (х) dx = — ff(x) ср' (х) dx.
(¦20
Чтобы убедиться в корректности определения производ-
производной, покажем, что функционал g также является линейным
непрерывным функционалом на основном пространстве К.
Проверим это утверждение.
Во-первых, функционал g определен на всех функциях
ср(х), поскольку — ср' (х) вместе с ср(лг) есть основная функ-
функция. Очевидно, что функционал g линеен. Остается прове-
проверить, что он непрерывен.
Пусть дана последовательность основных функций cpv (x)
(v= 1, 2, .. .), стремящаяся к нулю в пространстве К.
Тогда, согласно определению сходимости в пространстве К,
последовательность производных — ср^ (х) также стремится
1]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
35
к нулю в пространстве К. Поэтому, в силу непрерывности
функционала /,
• (g. ?j=(/. — ?о»о.
что и требуется.
Итак, каждая обобщенная функция / имеет производную.
Легко проверить, что выполняются обычные правила
дифференцирования: производная суммы равна сумме произ-
производных, и постоянный множитель выносится за знак произ-
производной.
Для произведения бесконечно дифференцируемой функ-
функции а(х) на обобщенную функцию / остается справедливой
классическая формула дифференцирования
f'. C)
Действительно, мы имеем:
((а/)', <р) = —(а/, «/) = — (/. оср') = _С/, (аср)' —а'ср) =
= — (/. («?)') 4- С/, а'9) = (/'• а?) + (*'/• 9) =
= (af, т)+ (*'/. ?) = (*/' + «'/. 9).
что и требуется.
Переходим теперь к случаю нескольких независимых
переменных. В этом случае мы можем определить для каждой
обобщенной функции / ее частные производные по каждому
из независимых переменных хи х2, ..., хп по формулам
вида
{ё )( ^) D)
ё-у »)"(/• ~^) С/=1- Я .).
Так же, как и выше, легко проверяется корректность
этого определения: если функционал / регулярен и соот-
соответствующая функция/(х,, х2, ..., хп) непрерывна и обла-
обладает непрерывной производной по переменному Xj, то
интегрирование по частям, как и выше, приводит нас к вы-
выводу, что функционал ^— есть функционал . типа функции
df {хъ ..., хп)
j
Поскольку результат дифференцирования обобщенной
функции есть с.нова обобщенная функция, мы можем про-
продолжать дифференцирование и определить производные
Щ j И Т
дх$ dxj дх/с
ЛЮбогО

¦щ
i
36 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, все обобщенные функции бесконечно
дифференцируемы.
В частности, каждая локально интегрируемая функция
имеет производные в обобщенном смысле всех порядков.
(При этом, если функция / имеет обычную производную,
то определяемый последней функционал не обязан совпа-
совпадать с производной от / в смысле обобщенных функций.)
Во втором выпуске (гл. II, § 4) будет доказана обрат-
обратная теорема: каждая обобщенная функция является про-
производной некоторого порядка в обобщенном смысле от
некоторой локально интегрируемой функции (и даже от
непрерывной функции), или, может быть, конечной сум-
суммой таких производных.
Смешанные производные обобщенных функций не зави-
зависят от порядка дифференцирования: так, например,
/
Действительно,
_
\дх«
дхх)
дх1дх9
9/
'
W
dxj — \ дхч dxt
Замечание. Можно определить производную обобщен-
обобщенной функции и как предел некоторого отношения — это
ближе к обычному определению производной. Ограничимся
для простоты случаем функций одного переменного.
Напомним, что для всякой обобщенной функции / можно
построить ее сдвиг, например на величину Ах, по формуле
(см. § 1, п. 6)
E)
Покажем теперь, что для всякой обобщенной функции суще-
существует предел (в смысле обобщенных функций) отношения
f(x+Ax)—f(x) F)
Ах
при Дл:->0, и этот предел совпадает с определенной выше
производной -J—. Действительно, применяя F) к основной
функции ср(х) и используя формулу E), находим:
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
37
Но отношение
Ах
имеет при Ддг—>0 своим
пределом основную функцию —ср' (х) в смысле сходимости,
установленной в пространстве К. Так как функционал /
непрерывен, то
где f — определенная выше производная обобщенной функ-
функции /. Таким образом, отношение "*~ *' ' действи-
действительно имеет пределом в пространстве К' функционал f (х),
что и утверждалось.
2. Примеры для случая функций одного независимого
переменного. Выше мы видели, что функционал /' соот-
соответствует функции /' (х), если функции f(x) и /'(х) не-
непрерывны. Нетрудно убедиться, что это верно и тогда,
когда f(x) непрерывна, а /' (х) только кусочно непрерывна
(и может отсутствовать в конечном числе точек). Действи-
Действительно, в этом случае остается справедливым равенство A)
предыдущего пункта.
Еще более общим условием, при котором сохраняется
равенство A) п. 1, является абсолютная непрерывность f(x),
которая, как известно, влечет существование f'(x) почти
всюду, локальную интегрируемость ее и выполнение формулы
интегрирования по частям, соответствующей равенству A) п. 1.
Перейдем к рассмотрению примеров.
Пример 1. Рассмотрим функцию
| 0 при х < О,
1 при х>0.
Отвечающий ей функционал будем также обозначать
через 0 (лг). Согласно общей формуле B) из п. 1, функцио-
функционал 6' (х) действует на основную функцию ср (х) так:
таким образом, в силу определения дельта-функции (§1, п. 3),

38 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[2
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
39
Аналогично, как легко проверить,
6'(* —Л) = 8(х —Л).
Пример 2. Пусть теперь f(x)—кусочно непрерывная
функция с кусочно непрерывной производной f (x), имеющая
в точках хи х2, ... разрывы 1-го рода со скачками hx, h2, . . .
(черт. 1). Производная f'(x) определена всюду, кроме
Черт. 1.
конечного числа точек. Найдем производную от ф у н к ц и о-
нала /, соответствующего функции f(x).
Введем функцию
Л О) = /(*) — 2 hk б (х — хк).
к
A)
Очевидно, что она всюду непрерывна и имеет, исключая
конечное число точек, производную, равную /' (х). Произ-
Производная от регулярного функционала fu соответствующего
функции fi(x), в силу сказанного в начале этого пункта,
совпадает с регулярным функционалом, определяемым функ-
функцией /' (х). Таким образом, дифференцируя равенство A),
мы находим:
/1 — / 4=1 nk ° (x
к
откуда
Итак, если f(x) — кусочно непрерывная функция с ку-
кусочно непрерывной производной, то при дифференцирова-
дифференцировании каждая точка разрыва 1-го рода хк функции f (х) со
скачком hk добавляет в .выражение производной слагаемое
Своеобразное положение возникает, когда дифферен-
дифференцированию подлежит обычная функция f(x), производная
которой Р (х) существует в обычном смысле, за исключением,
возможно, отдельных точек, но не является локально инте-
интегрируемой функцией (например, f(x) — \/ — или/(д:) =
= ln|jc|J. Здесь обобщенная функция р формально должна
быть задана интегралом
= ff(x)9(x)dx.
B)
Но этот интеграл, вообще говоря, расходится и тем самым
не определяет функционала.
В п. 4 добавления 1 будет показано, что искомый функ-
функционал р должен совпадать с функцией р (х) во всех точках,
где Р(х) локально интегрируема. Таким образом, искомый
функционал /' представляет собой одну из возможных
регуляризации (см. § 1, п. 7) интеграла B), а именно ре-
регуляризацию, определяемую формулой
со оэ
fp (х)9 (х) dx = (/', <р) = — (/, ?0 = — ff(x)9'(x)dx. C)
—оо . —со
В п. 7 § 1 мы видели, что регуляризация/ функции f(x) с не-
интегрируемыми особенностями в отдельных точках определена
(если она существует) лишь с точностью до прибавления произволь-
произвольного функционала, сосредоточенного в этих точках. Формула же C)
определяет одну конкретную регуляризацию. Можно показать, что
именно эта регуляризация является в известном смысле естествен-
естественной. Ср. § 3, пп. 1 и 7.
Желательно упростить формулу C) так, чтобы в окон-
окончательном результате фигурировала сама функция ср(дг),
а не ее производная. Такое упрощение часто удается про-
проделать, используя конкретный вид функции f(x) и соот-
соответственно преобразуя правую часть равенства C).
Пример 3. Найдем производную от обобщенной функции
Л
~\ Xх
при
при x>0,
Эта функция локально интегрируема, но ее производная
в обычном смысле \xk~i не является локально интегрируемой,

40 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
и мы приходим к задаче о регуляризации расходящегося
интеграла
D)
Согласно общему правилу дифференцирования обобщенной
функции,
оо со
( (*+)'. <р) = —(*+. ?')=— Г хХ ?' (х) dx=—\im Г х* <f'(x)dx.
о е^°.
Интегрируем по частям, полагая ср' (х) dx = da, xx = v,
и = ср (х) -(-С; мы получим:
+)', <р) = — Нт ^(?(дг
Первое слагаемое под знаком предела само имеет пре-
предел при е —> 0, и притом равный нулю, если С положить
равным —ср @). Будем считать, что С выбрано именно так;
тогда мы имеем:
со
( (хх+)'к ?) = lira / Xj^-i [<p (jc) — ? @)] dx =
г-^-0 е
оо
= /1? (*) — ср @)] Хх^-1 dx, E)
о
что и представляет собой искомое правило для придания
смысла расходящемуся интегралу D). Это правило, как мы
видим, в данном случае состоит в том, что функция ср(лт)
под знаком интеграла D) заменяется на ср(дг) — ср @), что
обеспечивает сходимость интеграла при х = 0 (и не нару-
нарушает его сходимости на бесконечности). Определяемую ра-
равенством E) обобщенную функцию естественно обозначить
через АЛГ+"; таким образом,
Функционал \х\ 1 уже не является регулярным. Но все же
при х Ф 0 он совпадает с регулярным функционалом: из
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
41
формулы E) ясно, что на основные функции ср (а:), отличные
от нуля только при х ф 0, он действует как обычная функ-
ция кх+ .
П р и м ер 4. Несколько сложнее подсчитывается произ-
производная от обобщенной функции
f 0 при х < 0,
In х+ = { . ^ „
[ In х при х > 0.
Здесь формальное дифференцирование
F)
приводит снова к расходящемуся интегралу. Этот расходя-
расходящийся интеграл уже не регуляризуется заменой ср (х)
на ср (дг) — ср @), так как полученный после этой замены
интеграл становится расходящимся на бесконечности.
Действуя по схеме предыдущего примера, мы получаем:
со
(Aплг+)', ср) = — Aплт+, ср') = — / In х ср' (л:) dx =
о
со р со -j
=— lim / In х ср' (х) dx = — lim In л: ср (х) |°°— / ^~dx =
е>0«' е->0 J X \
е *— в J
Г « j
— — Hm I — <р (е) In е — / ? dx .
6>o[ { X А
Выражение —ср(еIпе можно заменить более простым вы-
выражением — ср @) In e, поскольку разность между ними
[ср (е) — ср @) ] In e имеет пределом нуль. Далее, можно на-
написать:
1 со
где, как и выше,
9(ЛГ)
f 0
==| 1
при х < 0,
при дг>0.

42 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В результате мы получаем:
[2
оо
)', ?)=lim Л<*>
что и представляет собой искомое правило придания смысла
расходящемуся интегралу F). Мы видим, что оно обеспе-
обеспечивает сходимость интеграла при х = 0 и не нарушает его
сходимости на бесконечности.
Так же, как и в предыдущем примере, полученный
функционал не является регулярным в целом; при х > О
он совпадает с функцией —.
Пример 5. Найдем производную обобщенной функ-
функции In j лг |. Здесь мы встречаемся с необходимостью регу-
регуляризации расходящегося интеграла
(X)
dx.
Можно было бы получить правило регуляризации, комби-
комбинируя уже • известные правила для дифференцирования
обобщенных функций In х+ и In (—х)+. Но проще дать
прямое построение:
din] х\
dx
• ?(¦*)) = On I * |. —<р'(*)) =
ОО
= — j In I x j <p' (x) dx = — lim У In | x | cp' (x) dx =
= lim f H
\x\
dx.
Как известно, полученный предел называется главным
значением по Коши интеграла от -^ _ -' ; мы сохраним для
2]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
43
него обозначение / -—-dx. Соответствующую обобщенную
функцию мы будем обозначать —. Итак,
dln| jc| _1_
dx ~x"
Функционал — не регулярный, но совпадает с функцией —
всюду при х Ф 0.
Можно определить этот функционал также и другой
формулой, очевидным образом совпадающей по результату
с полученной выше, но содержащей только сходящийся
интеграл:
¦Ч"|*| \_ Г
-иг-- V-J
dx.
X
Пример 6. Найдем производную от обобщенной
функции ln(x-j-iO), определяемой равенством
ln(x-f-iO)= lim \n(x-\-ly).
2/-Э-+0
Записывая In (x -f- iy) в виде \n\x-\-iy\-\-i arg (x -}- iy)
и переходя к пределу, мы видим, что
In (x -f- ДО) = in | х | -f- йг б (— jt).
Согласно примеру 2, 9' (х) = 3 (х); так как б (х) -4-6 (—х) = 1,
то 0' (— х) = — S (х). Поэтому
= -A In | x |
iu -A 6 (— x) = 4 — /« 8
где обобщенная функция — определена в примере 5. Ср.
также ниже пример 4 в п. 4.
Пример 7. В заключение этого пункта построим
производные от дельта-функции. Мы имеем, очевидно,
(§' (JC _ h)t ?) = (8 (х _ н)г _ ?') = _ ?' (А)
и вообще
— Л), ?) =
(А) (Л = 1. 2. . . .).

44 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
или в символике, принятой в п. 3 § 1,
J S(fe) (х — h) cp (x) dx = (— 1)* cp(u) {h).
3. Примеры для случая функций нескольких незави-
независимых переменных. Отметим прежде всего, что для непре-
непрерывных функций /(х) с кусочно непрерывными частными
производными дифференцирование соответствующих регу-
регулярных функционалов приводит снова к регулярным функ-
функционалам, соответствующим указанным производным.
Пример 1. Пусть f(x) — функция с непрерывными
производными в области G, ограниченной кусочно-гладким
контуром Г, на плоскости хъ х2. Вне области О функция/(л:)
предполагается равной нулю; при переходе через границу Г
она испытывает скачок. Найдем функционал -=—.По общему
правилу для любой основной функции ср имеем:
Интегрируя по частям по переменному xt, находим:
*i. х2) 6jL^f^ dx, dxi = f{f (xv x2) cp (xu xz) fJ -
/
Cf
X
_ г
= /
*!. xz) cos
df(
где (ft, jc2) — угол в точке (xv x2) на границе Г области О
между внешней нормалью п и осью х2. Таким образом,
функционал -~- составляется из суммы регулярного функ-
ционала, соответствующего функции —^——, и сингуляр-
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
45
ного, отвечающего скачку функции /(хи х2) при переходе
через границу Г области О. Аналогичный результат имеет
место в пространстве любого числа измерений.
Известная формула Грина (Д — оператор Лапласа)
u xz)dx1dx2 =
с учетом равенства (Д/, ср) = (/, Дер) может быть истолкована
следующим образом: если f есть обобщенная функция,
совпадающая в области G с обычной локально интегри-
интегрируемой функцией f(xt, x2) и с нулем вне G, то обобщенная
функция Д/ есть сумма регулярного функционала, соот-
соответствующего функции &f(xlt x2) внутри G, и двух
сингулярных функционалов, отвечающих скачкам функ-
функций f и -^— при переходе через граничную линию. Анало-
Аналогичный результат имеет место в пространстве любого
числа измерений.
В гл. III (§ 1, п. 4) будет дан непосредственный вывод
такого рода соотношений, опирающийся на символику обоб-
обобщенных функций 8 (Р) и аналогичных ей.
Пример 2. Найдем в трехмерном пространстве резуль-
результат применения оператора Лапласа Д к регулярному функ-
функционалу, определяемому функцией — (г3 = х\ -f- x\ -j- x|) .
Заметим, что функция гармоническая в любой области,
не содержащей начала координат, так что выражение Д —
при г Ф 0 обращается в нуль (в обычном смысле). Рассма-
Рассматривая операцию Д в пространстве обобщенных функций,
мы находим:
К полученному интегралу применим формулу Грина (при-
(пример 1), беря в качестве области О шаровой слой е-4-сГ^

46 ГЛ. !. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
где а настолько велико, что вне шара г ^ а функция
тождественно равна нулю:
где ds есть элемент сферы г = е. Мы имеем, далее,
1
так как — вне шара г ^ е есть гармоническая функция;
где 5? (ср)—среднее значение функции <р (лг) на сфере
радиуса е. В пределе при е —* 0 мы находим Se (ср) —э- ср (О),
и, следовательно,
A \ Г Г Г л
Ау <р) = 1нп / / / —?<*«==—4те<р@)=—4те (8 (х),<р(х)).
Отсюда
А^ = —4тг5(л:). A)
Аналогичное вычисление при любом числе измерений «^>3
приводит к результату
где 2№ — поверхность сферы радиуса 1 в «-мерном про-
пространстве. При п = 2
Д1п — = —
*) Здесь у = О (х) Означает, что отношение -^- ограничено.
4]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ If ИНТЕГРИРОВАНИЙ
47
В дальнейшем (гл. III, § 3, п. 3) будут даны некоторые
общие правила для дифференцирования функций в случае
локально не интегрируемых производных. С помощью этих
правил формулы, подобные формуле A), можно будет полу-
получать автоматически, т. е. подсчетом Д— как суммы вторых
1
производных от —.
4. Дифференцирование как непрерывная операция.
Пусть дана последовательность обобщенных функций fu
/2, .... /„, .... сходящаяся к обобщенной функции /; мы
утверждаем, что последовательность производных ~- схо-
дится к производной -^—. Действительно, для любой основ-
ной функции ср(лт) имеем:
дх3-
)
что и требуется.
Аналогично ряд обобщенных функций h1 -\- /z2 -(-...
.. .-\-hv-\~ . . ., сходящийся к обобщенной функции g,
допускает почленное дифференцирование; иными словами,
имеет место равенство
В классическом анализе подобные'теоремы не имеют места:
сходящуюся последовательность дифференцируемых функ-
функций, вообще говоря, нельзя почленно дифференцировать.
Рассмотрим, например, последовательность функций /, (л:) =
= — sinvx на оси, равномерно сходящуюся к нулю; произ-
производные /' (л:) = cos vjc в классическом смысле ни к чему не
сходятся, в частности, не сходятся к производной от пре-
предельной функции. Но в нашем смысле функционалы /^ (х)
сходятся, и именно к нулю; это, помимо общих соображе-
соображений, получается и прямой выкладкой:
а а
{f1^, ср) = / cos vxcp (x) dx = — / sin vjc ср' (дг) dx —> 0,
-а

48 ГЛ. 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
где [—а, а]—отрезок, вне которого функция cp(je) равна
нулю. Более того, последовательности /" = — v sin чх,
f" =— v2cosvjc (v=l, 2, ...) и т. д. также сходятся
к нулю в нашем смысле.
Пример 1. Разложение периодической функ-
функции в ряд Фурье. Пусть fix)— периодическая (с перио-
периодом 2тс) локально интегрируемая функция и числа сп (коэф-
(коэффициенты Фурье) определены классическими формулами
Зге
cneinx имеет своей
Мы утверждаем, что ряд Фурье
—со
суммой (в смысле обобщенных функций) функцию f(x).
В самом деле, по хорошо известной теореме анализа *)
формально проинтегрированный ряд
-1
emx
равномерно сходится к абсолютно непрерывной функции F (х),
производная которой почти всюду совпадает с f(x). Диффе-
Дифференцируя почленно равенство
-I со
(*>=2 т^*"*+*<>*-+-2-ё-
находим /(х) = 2 cneinct!, что и требовалось.
— со сю
Пример 2. Любой ряд вида ^aneinx, коэффициенты
— со
которого возрастают при | п | —у оо не быстрее некоторой
степени и, является сходящимся в совокупности обоб-
обобщенных функций, так как он получается почленным диф-
ференцированием ряда
~~rh
einx> который заведомо рав-
номерно сходится при достаточно большом k.
*) А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, Гостехиздат, 1939,
2.621, стр. 33.
4]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
49
Пример 3. Хорошо известно, что ряд sin x -f-
-h Sirir, X-\~ S \ * ~\~ •-• сходится к функции f(x), равной
п~7х
при 0 < х << 2тг и продолженной с периодом 2тс на
всю ось, причем частичные суммы этого ряда равномерно
ограничены *). Таким образом, ряд сходится и в смысле
обобщенных функций (см. § 1, п. 8, а). Дифференцируя этот
ряд, находим следующие суммы:
со
cos х -f- cos 2х + ... + cos nx + ... = 2 + л 2 8 С*""^/!),
sin j: + 2 sin 2л: + ... -f- л sin лл: + ... == — -re ^ 8' (л: — 2лл), ^
— CO
CO
cos л: + 4 cos 2* -f ... -f- л3 cos nx -f ... =—ji^B'^j: — 2ъп)
Раскрывая в первой из этих формул косинусы по фор-
формуле Эйлера, мы получаем также равенство
S (х —
. B)
Применяя его к основной функции ср(дг) и используя тот
факт, что
СО '
§(х)е-™ЯAх — ^(— п.)**)
есть значение в точке —п преобразования Фурье функции
<p(jc), мы получаем равенство
*) Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального и инте-
интегрального исчисления, т. III (Гостехиздат, 1949), п. 664, стр. 539.
В дальнейших ссылках мы будем называть эту книгу кратко:
«Г. М. Фихтенгольц, Курс».
**) Так как einx — комплексная функция, то она применяется
к основной функции <р (х) по формуле A) п. 9 § 1.
4 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

50 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
которое называется формулой суммирования Пуассона *).
Оно доказано у нас для функций <р (х), принадлежащих
к пространству К; но с помощью предельного перехода его
можно перенести на более широкий класс функций, например
на функции у(х), абсолютно интегрируемые вместе со своей
производной.
Аналогично известное равенство **)
. cos 2x . cos Зх ,
cosx4 о 1 ч Н ¦
= — In
2 sin у
C)
позволяет вычислить путем дифференцирования новые тригоно-
тригонометрические суммы. Дифференцируя формально, находим:
1 х
sin х 4- sin 2х 4~ sin Зх 4~ • • • =-~ ctg •»-,
х V 1
1
sin x-j-4 Sin 2*4-9 sin 3x4-. • • = у (ctg- ~Y = -1
sin2y'
х
i COST
D)
Однако уже функция ctg--^- не является локально интегри-
интегрируемой и интеграл
со
¦J ср (х) dx,
вообще говоря, расходится. В п. 7 § 3 будут построены
обобщенные функции, отвечающие обычным функциям, стоя-
стоящим справа в D). При этом обобщенная функция, отве-
отвечающая обычной функции —, будет производной
1 х *
обобщенной функции -yctg--^- и т. д. Другими словами,
равенствам D) будет придан смысл с точки зрения теории
обобщенных функций.
*) См., например, Е. Титчмарш, Введение в теорию инте-
интегралов Фурье (Гостехиздат, 1948), стр. 82.
**) Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. III A949), п. 664, стр. 550.
4]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
51
Формулы A) и D) позволяют выделять особенности
у суммы тригонометрического ряда ^j (an cosnx-\-bn sin пх),
коэффициенты которого устроены, например, следующим
образом:
п
ограниченные
где ocj и Pi — постоянные, а {уи} и {8№}
последовательности чисел *).
Пример 4. Рассмотрим функционал /, определяемый
функцией
In х
при х > 0.
Как видно из определения, это предельные значения анали-
аналитической в верхней полуплоскости функции 1п(х4~гу) при
у—> 0. Проверим, что
In (х4~ Ю) = lira In (х 4- ly)
0
в смысле сходимости обобщенных функций. Действительно,
при фиксированном у >• О
In (х 4- iy) = \ In (я* 4-у2) 4- / arctg ?;
при у—*-0 эта функция стремится к 1п(х4-*'О), причем:
а) первое слагаемое —\п(хг-\-уг), монотонно убывая,
стремится к In | x | ;
б) второе слагаемое /arctg- — , оставаясь по модулю огра-
ничейным (числом тс), стремится к функции
1тс при х < О,
О при х > 0.
h (х) =
*) Ср. В. И..С мирнов, Курс высшей математики, т. II (Гостех-
(Гостехиздат, 1957), п. 158, стр. 461. В дальнейшем будем писать: «В. И. С м и р-
нов, Курс».

52 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Поэтому сходимость In (x-\-iy) —> In (jc —|— Ю) в смысле
обобщенных функций имеет место в силу условий, отме-
отмеченных в п. 8 § 1.
Производная от In | х |, как мы знаем, есть — (п. 2,
пример 5); производная от функции Н(х) равна — /tc8(jc)
(там же, пример 2). Таким образом, заново получается
результат примера б п. 2:
С другой стороны, в силу непрерывности операции диф-
дифференцирования,
in / v _i_ /| и —= игл mi г_1_1Шгт= мт
dx
= lim ± In
ах
2/->+0
Мы получаем интересную формулу:
J J__
-My ~~ х
lim
E)
которая имеет следующий смысл: для любой основной функ-
функции <рс*о
где интеграл справа нужно понимать в смысле главного
значения по Коши (см. п. 2, пример 5).
б. Дельта-образные последовательности. Можно мно-
многими способами строить последовательности регулярных
функционалов, сходящиеся к 8-функции. Для этого нужно
только, чтобы соответствующие функции/v(x), как говорят,
имели «дельта-образный вид».
Точно это выражается следующими условиями:
а) каково бы ни было М > 0, при I^I^M, |6|^Ж
величины
6
I и I
ограничены постоянной, не зависящей от a, b, v (зависящей
только от М);
5]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
53
б) при любых фиксированных а и Ъ, отличных от нуля,
иш ГЛ(^ = (° при а<КОиО<й<*'
v->-oo J (I при а < 0 < Ъ.
Пусть /v(x) — такая дельта-образная последовательность.
Рассмотрим последовательность первообразных функций
х
—i
Как легко получается из определения дельта-образной
последовательности, с возрастанием v функция Fv (x) имеет
пределом постоянную, равную нулю при х < 0, и постоян-
постоянную, равную единице при х > 0, и в то же время равномерно
(по v) ограничена в каждом промежутке. Отсюда следует, что
Черт. 2.
функции Fw(x) в смысле обобщенных функций имеют преде-
пределом функцию В(х), равную 0 при х < 0 и I при х > 0.
А тогда функции /v (х) = /^ (jc) имеют в смысле обобщенных
функций пределом функцию 6' (л:) = 8 (д:), что и требуется.
Пример I. Рассмотрим функцию
График ее показан на черт. 2. Равенство
-^ — arctg-fJ

54 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
при различных а и Ъ позволяет легко проверить, что при
е—>6 функции /е(л') образуют дельта-образную последова-
последовательность. Поэтому при е —> О
; >Ъ(Х). A)
Тот же результат получается, если вспомнить, что
1 т
1
тогда, в силу формулы E) предыдущего пункта,
X+U
как и выше.
Дифференцируя по х дельта-образную последователь-
последовательность, будем получать последовательности, сходящиеся
к производным от дельта-функции. Например, из соотно-
соотношения A) следует предельное соотношение
_2_
тс
?2J
B)
и т. д. На черт. 3 представлены функции, стоящие слева
в B).
Пример 2. Рассмотрим функцию
Покажем, что при t —*¦ 0 эта функция стремится к 5-функции.
Заметим прежде всего, что ft (x) > 0; поэтому при
любых а и Ъ
hi-
sc'
dx = 1 *).
*) Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. И A948), п. 455, стр.
624-625,
ш
5]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
55
Сделав замену —=^= =у> мы видим, что при а < 0 < b
VT
а
УТ
Г 1 Г
lim / ft (x) dx = lim —-7=- /
t -*¦ 0 J t-*-a 2 V тс J
a
Далее, для любого Ъ~^> О
оо ее
1 Г -— \ Г
iVrt J 2УтсГ ./
при
2^ 6
0, так что интегралы по любому промежутку
I \
i i
/ 1
i i
Черт. 3.
(Ь, схэ), Ъ > 0, стремятся к нулю. Аналогичный факт имеет
место для промежутков (— со, а), а <^ Q. Таким образом,

56 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
ft(x) есть дельта-образная последовательность, й, значит,
г-^->5(х). C)
Пример 3. Рассмотрим функцию
Л (х) = — —— @ < v < оо)
(черт 4). Покажем, что при v->oo эта функция стремится
к о-функции.
Далее, для любых b > а > О
f(x~)dx1
—1 Г
У
при
такая же картина, очевидно, имеет место для интеграла
от а до b при а<Ь< 0. Наконец, величина
о
1 /¦
sin
6v
t J
sin
-627' M" Фихтенгольц> КУРС> т- Н A948), п. 455, стр.
625-627
5]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
57
ограничена равномерно по а и b для всех v. Отсюда сле-
следует, что при v —> со функции /v (x) образуют дельта-образ-
дельта-образную последовательность, так что
,. 1 sin vjc .
к х W
Функция —sin ^
ТС X
D)
в свою очередь может быть пред-
ставлена как результат интегрирования функции -^— ё1^" по
параметру \ в пределах от — v до v. Поэтому наш
результат может быть сформулирован еще и так: имеет
место предельное соотношение в смысле сходимости в про-
пространстве К':
lim
E)
Слева стоит преобразование Фурье единицы. (По-
(Подробнее и с другой точки зрения о преобразовании Фурье
мы будем говорить в гл. II. Ср. замечание в конце § 3
гл. II.)
Дифференцируя по х полученное соотношение, мы при-
приходим к новым, еще более интересным равенствам:
lim
ч ->- со
Г
iim
V
Г
= 2те 5'
= 2тг 5" (х)
F)
G)
и т. д. Можно утверждать вообще, что для любой локально
интегрируемой функции f(x), растущей при |л:|—>оо
не быстрее некоторой степени \х\, существует в смысле
обобщенных функций преобразование Фурье —- предел выра-
выражения
при v —> оо. Действительно, запишем функцию /(?) в форме
), где /0 (?)—интегрируемая функция. Так как

ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
58 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБ [6
функция /о(?) обладает обычным преобразованием Фурье,
то существует предел
lim Г/о
V ->СЮ J
= g0 (х).
При этом сходимость равномерна по х в любой конечной
области; следовательно, сходимость имеет место в смысле
обобщенных функций. Применяя к обеим частям равенства
операцию [—^-\- 1J ¦ и используя непрерывность опера-
операции дифференцирования, заключаем, что существует предел
V
lim
V ->ОЭ
что и утверждалось.
6. Дифференциальные уравнения с обобщенными функ-
функциями. Операции, которые установлены для обобщенных
функций — дифференцирование, умножение на функцию,
сложение — позволяют строить дифференциальные выражения
вида
а0 (х) У") (х) + а, (х) y»-D (х
-• -\-ап(х)у(х) —
где ао(х), «1 (х) ап(х) — заданные бесконечно диф-
дифференцируемые функции, ay(x)nb(x) — обобщенные функ-
функции. Приравнивая такое выражение нулю, мы получаем
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение п-го
порядка относительно обобщенной функции у(х). Возникает
вопрос о том, как описывается совокупность всех решений
такого уравнения.
Рассмотрим сначала простейшее уравнение
dy-
dx
= 0.
Покажем, что это уравнение в классе обобщенных функ-
функций имеет своим общим решением у = С{ = const).
Уравнение A) эквивалентно уравнению
О'. <р) = (У. — <?') = Q
B)
1
61
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
59
для любой основной функции ср(лг). Но тем самым функ-
функционал у уже задан на совокупности Фо тех основных
функций, которые могут быть представлены как производ-
производные от других основных функций. Нам необходимо выяснить,
какими способами функционал у может быть распространен
с совокупности Фо на всё основное пространство К.
Легко проверить, что основная функция <?0(х) может
быть представлена как производная от некоторой основной
функции тогда и только тогда, когда выполняется условие
J ср0 (х) dx = 0.
C)
Действительно, если ср0 (х) = ср^ (х), то
0 (х) dx = cpt (x)
с другой стороны, при выполнении условия C) мы полагаем
и остается только проверить, что <?i(x) есть основная функ-
функция; но это очевидно, поскольку ерх (х) вместе с ср0 (х) бес-
бесконечно дифференцируема и, в силу условия C), финитна.
Пусть теперь срх (х) — фиксированная основная функция,
обладающая свойством
с»
— оо
Для любой основной функции ср (х) можно написать равен-
равенство
со
ср (х) = cpt (х) J ср (х) dx -Н ср0 (х),
—оо
где функция ср0 (х), очевидно, удовлетворяет условию C).

60
ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[6
Отсюда видно, что если задать значение искомого функцио-
функционала у на основной функции ср^х), то значение его на
любой функции ср(дг) будет однозначно определено:
(у. ?) = (У. ?i) • / 9 О) dx.
D)
— СО
Пусть, например, (у, f^^Ci — произвольное фиксирован-
фиксированное число. Тогда равенство D) дает
со оо
(у, <?)=Clf<f(x)dx=fC1<P(x)dx,
—оо —оо
т. е. обобщенная функция у есть постоянная Си что и
утверждалось. Мы видим, что дифференциальное уравне-
уравнение A) не имеет иных решений в классе обобщенных функ-
функций, кроме классических.
Пример. Покажем, что на прямой обобщенная функция /,
инвариантная относительно сдвигов, сводится к постоянной.
Мы имеем в этом случае
откуда
f(x)= llm
Д
по доказанному, f(x) = const, что и требуется.
Можно показать, что и любая однородная система урав-
уравнений вида
аУг ..I i _ .-. 1
dx ,
' E)
dy
а
у„
где аи, . . ., атт — бесконечно дифференцируемые функции
от х, также не имеет иных решений (ух, у2, .... ут) в обоб-
обобщенных функциях, кроме классических решений. Аналогично
обстоит дело для одного уравнения высшего порядка
у») + а, (х) Уге-Ч + . . . + ап (х) у == 0
с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, а также
для системы таких уравнений.
6]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
61
Наметим доказательство этих утверждений. Систему E) для
удобства запишем в векторном виде *)
-^ = Ау, А =||ву||.
Рассмотрим матрицу U = II и* (jc)|| фундаментальной системы
(обычных) решений системы E); известно, что матрица U обратима.
Перейдем от неизвестных у к неизвестным z по формуле у = Uz;
подставляя это выражение в систему E), получаем:
dU- , .. dz ЯТТ
—— z -\- U -J— = AUz
dx ' dx
dU
или, поскольку —— = AU,
Умножение на U~x приводит к системе распавшихся уравнений
dx ~ '
по доказанному, z = const, откуда следует.что у = Uz есть вектор,
являющийся линейкой комбинацией векторов фундаментальной
системы.
Остальные утверждения вытекают из доказанного, так как
любое уравнение высшего порядка и систему таких уравнений
можно заменить эквивалентной системой первого порядка.
Замечание. В отличие от рассмотренного- случая для
уравнений с особенностями в коэффициентах могут по-
появляться новые решения в обобщенных функциях, а также
могут исчезать классические решения.
Пример 1. Рассмотрим уравнение 1-го порядка
Его решение должно совпадать с постоянной как при х >¦ 0,
так и при х < 0. Отсюда следует, что это уравнение имеет
два линейно независимых решения:
Пример 2. Уравнение
— 2х3у' = у
*) См. Ф. Р. Г а и т м а х е р, Теория матриц, Гостехнздат, 1954,
стр. 371 и дальше.

62 гл. I. Простейшие свойства обобщенных функций [6
имеет единственное решение в обобщенных функциях:
у = 0.
Действительно, при х ф 0 обобщенное решение должно совпа-
1
дать с классическим решением у — Сех", где С ф О или С = 0.
Но первое невозможно, так как, согласно п. 7 § 1, интеграл
J е^ср (х) dx
не допускает регуляризации.
Существование первообразной. Рассмотрим
простейшее неоднородное уравнение
где / — данная обобщенная функция, a g—искомая.
Покажем, что уравнение F) при любой правой части f
имеет решение в классе обобщенных функций. Естественно
называть это решение первообразной или неопределенным
интегралом от обобщенной функции /:
g = ffdx.
Уравнение F) эквивалентно уравнению
(g. —?') = (/, ?)
для любой основной функции ср. Но тем самым функцио-
функционал g задан на любой основной функции ф, являющейся
производной от какой-либо другой основной функции ср,
т. е. он задан на многообразии Фо, рассмотренном в начале
этого пункта. Мы должны продолжить функционал g на
всё пространство К. Это можно осуществить, например,
так: рассмотрим основную функцию срг (х), для которой
. Г cpt (x) dx = 1, и снова представим любую основную функ-
цию ср в форме
—оэ
Где ср0 принадлежит Фо. Тем самым мы с каждой основной
6]
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
функцией ср однозначно сопоставим ее «проекцию» ср0 на
подпространство Фо. Полагаем теперь
(go. ?)=(?. ?о)- G)
Легко проверить, что построенный функционал g0 линеен
и непрерывен. Общее решение уравнения G) получается
прибавлением к найденному частному решению общего реше-
решения однородного уравнения, которым, в силу сказанного
в начале этого пункта, является gx = C = const.
Итак, все решения уравнения F) описываются формулой
где функционал ^0 задан формулой G).
Отыскание общего решения неоднородной системы
V = 1- 2
dx
(8)
где /г — обобщенные, a atj — обычные бесконечно дифферен-
дифференцируемые функции, сводится к решению уравнений вида F).
Действительно, если выполнить уже применявшуюся выше
подстановку y=Uz, где U — матрица фундаментальных решений
соответствующей однородной системы (/г- = 0), то мы получим
U-=— =/, или —¦ = U~xf. В этой системе неизвестные «раздели-
«разделились >: каждое ее уравнение имеет вид (б).
Наконец, неоднородное уравнение высшего порядка
ym)_|_aj/w-D 4- ... -\-amy=f. (9)
где a-i — бесконечно дифференцируемые функции, а / — про-
произвольная обобщенная функция, сводится к системе вида (8)
при помощи подстановки
Ух—У- Уг —
Следовательно, отыскание общего решения уравнения вида (9)
также сводится к решению уравнений вида F).
7. Дифференцирование з пространстве S. Мы ввели
в конце первого параграфа новое основное пространство 5.

64 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [.1
Это пространство состоит из бесконечно дифференцируемых
функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам вида
(к, д =
2, ...)•
Мы видели, что совокупность линейных непрерывных функ-
функционалов 5', определенных на пространстве S, есть под-
подпространство пространства К' линейных непрерывных функ-
функционалов на пространстве К.
Покажем, что операция дифференцирования не выводит
функционал f ? S' из этого подпространства. Ограничимся
для простоты случаем одного независимого переменного.
Заметим сначала, что для всякой функции ср (х) ? 5 ее про-
производная ср'(х) также лежит в 5 и из сходимости <pv->0
в 5 следует также сходимость ср' (х) —> 0 в S. Поэтому
функционал /', определенный по формуле
снова является линейным непрерывным функционалом на 5.
Но очевидно, что в пределах основного пространства К
он совпадает с производной функционала / в указанном
выше (п. 1) смысле. Иными словами, производная /' функ-
функционала /, понимаемая как функционал на К, распростра-
распространяется на пространство 5 вместе с функционалом /, что
и утверждалось. Распространение этого результата на выс-
высшие производные и на случай нескольких переменных не
требует особых пояснений.
Мы указали выше, что все регулярные функционалы, отвечаю-
отвечающие функциям степенного роста, распространяются с пространства К
на пространство S. Теперь мы видим, что тем же свойством обла-
обладают и производные таких функционалов. Во втором выпуске (гл. II,
§ 4) мы увидим, что всякий линейный непрерывный функционал
на 5 есть результат применения некоторой дифференциальной
операции к функции степенного роста.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
1. Постановка вопроса. Из функций, имеющих неин-
тегрируемые особенности в отдельных точках, наиболее"
важны функции со степенными особенностями, т. е. рас-
растущие при приближении х к особой точке х0 не быстрее
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
65
некоторой степени -; г. В этом параграфе для широ-
\х — х0 |
кого класса таких функций будут построены отвечающие
им обобщенные функции.
Напомним определение регуляризации, данное в п.. 7 § 1.
Регуляризацией интеграла
ff(x)<?(x)dx.
A)
или регуляризацией функции fix), имеющей, вообще говоря,
точки локальной неинтегрируемости, мы назвали функцио-
функционал /, который для основных функций <р(х), равных нулю
в окрестности особых точек функции fix), выражается
интегралом A). В п. 7 § 1 было показано, что функция
fix) со степенными особенностями (в точках, число которых
конечно в каждой конечной области) обладает регуляри-
регуляризацией. При этом регуляризация определена с точностью
до прибавления функционала, сосредоточенного в особых
точках функции fix).
С этой точки зрения содержание большей части этого
параграфа можно описать следующим образом. Для широ-
широкого класса функций одного переменного со степенными
особенностями будет указана регуляризация, естественная
л следующем смысле: сумме двух обычных функций отве-
отвечает сумма их регуляризации; обычной производной функ-
функции— производная ее регуляризации; произведению функции
на бесконечно дифференцируемую функцию h (дг) — произ-
произведение ее регуляризации на /z(x).
Но начнем мы с регуляризации конкретных, наиболее
важных функций, откладывая более общие определения
и полную проверку указанных свойств регуляризации до п. 7.
Примером функции со степенной особенностью может
служить функция
О при х <; О,
лг~а/а при х ;> 0.
Соответствующую ей обобщенную функцию мы фактически
уже построили в примере 3 п. 2 § 2:
B)
х
5 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

64 гл. I. простейшие свойства обобщенных функций [1
Это пространство состоит из бесконечно дифференцируемых
функций <f (х), удовлетворяющих неравенствам вида
l**<pti>(x)|<Cfcg (k, 9 = 0, 1, 2. ...)•
Мы видели, что совокупность линейных непрерывных функ-
функционалов Sr, определенных на пространстве 5, есть под-
подпространство пространства К' линейных непрерывных функ-
функционалов на пространстве К.
Покажем, что операция дифференцирования не выводит
функционал f^S' из этого подпространства. Ограничимся
для простоты случаем одного независимого переменного.
Заметим сначала, что для всякой функции ср (х) ? 5 ее про-
производная ср' (х) также лежит в 5 и из сходимости cpv —>- 0
в б1 следует также сходимость ср' (х) -> 0 в 5. Поэтому
функционал /', определенный по формуле
(/', <р) = _(/,?').
снова является линейным непрерывным функционалом на 5.
Но очевидно, что в пределах основного пространства К
он совпадает с производной функционала / в указанном
выше (п. 1) смысле. Иными словами, производная /' функ-
функционала /, понимаемая как функционал на К, распростра-
распространяется на пространство 5 вместе с функционалом /, что
и утверждалось. Распространение этого результата на выс-
высшие производные и на случай нескольких переменных не
требует особых пояснений.
Мы указали выше, что все регулярные функционалы, отвечаю-
отвечающие функциям степенного роста, распространяются с пространства К.
на пространство 5. Теперь мы видим, что тем же свойством обла-
обладают и производные таких функционалов. Во втором выпуске (гл. II,
§ 4) мы увидим, что всякий линейный непрерывный функционал
на 5 есть результат применения некоторой дифференциальной
операции к функции степенного роста.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
1. Постановка вопроса. Из функций, имеющих неин-
тегрируемые особенности в отдельных точках, наиболее*
важны функции со степенными особенностями, т. е. рас-
растущие при приближении х к особой точке х0 не быстрее
1]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ"
65
некоторой степени -, т-. В этом параграфе для широ-
\ X Xq |
кого класса таких функций будут построены отвечающие
им обобщенные функции.
Напомним определение регуляризации, данное в п.. 7 § 1.
регуляризацией интеграла
ff(x)<p(x)dx.
A)
или регуляризацией функции f(x), имеющей, вообще говоря,
точки локальной неинтегрируемости, мы назвали функцио-
функционал /, который для основных функций ср(лг), равных нулю
в окрестности особых точек функции f(x), выражается
интегралом A). В п. 7 § 1 было показано, что функция
f(x) со степенными особенностями (в точках, число которых
конечно в каждой конечной области) обладает регуляри-
регуляризацией. При этом регуляризация определена с точностью
до прибавления функционала, сосредоточенного в особых
точках функции /О).
С этой точки зрения содержание большей части этого
параграфа можно описать следующим образом. Для широ-
широкого класса функций одного переменного со степенными
особенностями будет указана регуляризация, естественная
в следующем смысле: сумме двух обычных функций отве-
отвечает сумма их регуляризации; обычной производной функ-
функции— производная ее регуляризации; произведению функции
на бесконечно дифференцируемую функцию h (x) — произ-
произведение ее регуляризации на h(x).
Но начнем мы с регуляризации конкретных, наиболее
важных функций, откладывая более общие определения
и полную проверку указанных свойств регуляризации до п. 7.
Примером функции со степенной особенностью может
служить функция
_3. г о при х<; о,
Х+ \ х-'/" при х > 0.
Соответствующую ей обобщенную функцию мы фактически
уже построили в примере 3 п. 2 § 2:
B)
5 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

66 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [1
При этом мы исходили из того, что обобщенная функция
—«- х+ должна быть производной обобщенной функции
х+ , т. е. регулярного функционала, определяемого обычной
функцией
ГО при х < О,
XT.4' = { ..
{ Х~ '* При X > 0;
В § 2 мы и на других примерах видели, что аналогичные
соображения часто позволяют построить обобщенную функ-
функцию, отвечающую данной обычной функции со степенной
особенностью.
Другой метод получения определений типа B)—это
метод аналитического продолэюения. Им мы и будем
преимущественно пользоваться. Прежде чем объяснить его
идею, введем следующее определение. Рассмотрим обобщен-
обобщенную функцию /х, зависящую от параметра X, пробегающего
открытую область Л в плоскости комплексного перемен-
переменного X. Эта обобщенная функция /х называется аналити-
аналитической функцией от X в области Л, если в этой области
аналйтичны все числовые функции (Д, <р) при любой основ-
основной функции ср.
Обобщенные аналитические функции от X по своим свой-
свойствам аналогичны обычным аналитическим функциям от X.
Так,- если определить производную -4г- функционала /х
по параметру X как предел
/х+дх f\
lim
ДХ->-0
ДА.
(в смысле п. 8 § 1), то можно утверждать, что обобщенная функ-
функция /х аналитична по X в области Л тогда и только тогда, когда
в каждой точке этой области существует производная -?.
Имеют также место аналоги классических теорем о разло-
разложениях в ряд Тейлора и в ряд Лорана, об аналитическом
продолжении и т. д.; они собраны в добавлении 2 к этой
главе.
Идея метода аналитического продолжения состоит в сле-
следующем. Пусть дана функция f\(x), которая локально
интегрируема, когда X пробегает некоторую область Л
в комплексной плоскости, и, вообще, не является таковой.
1]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
67
когда X находится вне области Л. Пусть, далее, при Х?Л
й любой основной функции ср(х) числовая функция (/х> ср)
аналитична в области Л и может быть аналитически про-
продолжена в некоторую более широкую область Лх, не зави-
зависящую от выбора ср (л-). Тогда с функцией Д, (лг) при
Xg^Aj—Л мы можем сопоставить функционал (Д., ср), по-
получаемый аналитическим продолжением функционала (/х, ср)
из области Л; иными словами, мы полагаем
f f\0 (х) с? (х) dx — анал. прод. f fk(x) <р (x)dx.
Например, чтобы определить обобщенную функцию х+ *,
мы рассматриваем функцию
0 при х <; 0,
хх при х > 0.
Для ReX>—1 она определяет регулярный функционал
C)
0.
Числовая функция C), очевидно, аналитична по X: она имеет
производную по X, равную
со
Г хх In xy(x)dx.
о
Правую часть формулы C) перепишем в виде
Первое слагаемое определено для ReX>—2, второе — для
любых X, третье — для X Ф—1. Следовательно, функцио-
функционал C) аналитически продолжается на область ReX>—2,

68 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
X Ф—1. В частности, при Х = —3/2 получаем:
\x-+s'\ ср(х)) =
1 °°
= / х~3/* [? (*) — <р @)] dx + J *-'/. ср (х) rfjc — 2? @). D)
Правая часть формулы D) совпадает с правой частью фор-
формулы B), так как вообще
оо
dx-
Разумеется, при ином вводе параметра аналитическое продол-
продолжение может привести к совершенно иному результату. Например,
при
— в/,
(см. § 2, п. 5).
Подчеркнем, что тот или иной метод, приводящий
к определениям типа B) или D), играет для нас второсте-
второстепенную, вспомогательную роль; он представляет собой
лишь средство, тогда как цель — это сами определения,
которые, как формулы B) или D), имеют смысл и вне вся-
всякой связи с этим методом.
2. Обобщенные функции х\ и x*L. Рассмотрим функ-
функцию х+, равную х при х>0 и 0 при х^О. Мы хотим
построить и изучить отвечающую ей обобщенную функцию.
Как уже сказано в предыдущем пункте, регулярный функ-
функционал
, ср)= j xxy(x)dx.
(i)
¦определяемый функцией х+ при Re X >¦—1, продолжается
на область ReX>—2, X ф—1 при помощи справедли-
2]
вого для
§ 3. регуляризация функций
—1 тождества
69;
оо
Г хх ср (х) dx =
B)
А именно, при ReX>—2, Хф—1 правая часть суще-
существует и определяет регуляризацию интеграла, стоящего
слева: если —2<ReX.-^—1, Хф—1 и если основная
функция равна нулю в окрестности начала, то справа остается
со
интеграл Г Xх ср (х) dx.
Аналогичным способом строится продолжение функцио-
функционала х+ на область ReX>—п—1,. Х=^=—1,
хх ср (х) dx —
2, ...,—п:
/
= f х^ [ср(х) — срСоу-хср'@) —... — -^
@)]
dx
C).
И здесь правая часть дает регуляризованное значение инте-
интеграла, стоящего слева. Тем самым обобщенная функция х+
определяется для всех X Ф —1, —2, . . .
В полосе —п—1 -<ReX.< —п формула C) может быть
преобразована к более простому виду:
== J хх [ср (х) — ср @) — хер' @)— ... —
^y{ ^п~х) @)] dx
D)

70 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
в силу того, что в этом случае при 1 <^ k <^ n
хх+к~^х = —-
1
E)
Формула C) показывает, что (лг+, ср) как функция от X
имеет полюсы 1-го порядка в точках Х = — 1, —2, ....
ср(&-!)@)
причем ее вычет в точке Х = — k равен
?(*-*)(())=(—
р()@)
¦. '. Так как
), ср(х)), то, следовательно, сам
функционал х+ имеет при X = — k полюс 1 -го порядка
с вычетом
(А—1I
(Л=1. 2, ...)•
Подсчитаем производную —г-^-. При ReX^>0 мы имеем
dx\ х_х ,
очевидное равенство -а-^- = Хх+ , т. е. (х+, ср' (х)) =
= —(Хлг+~х, ср(х)). Так как обе части последнего равенства
аналитически продолжаются в плоскость (с исключенными
точками —1, —2, . . .), то, в силу свойства единственности,
равенство будет справедливо и во всей плоскости. Таким
образом,
-' (Х^-1, -2, ...).
dx
„Х-1
Например, при —1 < X <; 0 мы имеем:
Эту формулу мы вывели иным путем в п. 2 § 2.
В § .4 будет построено разложение функции х+ в ряд
Тейлора в окрестности регулярной точки и в ряд Лорана в
окрестности полюса.
Перейдем теперь к построению и изучению обобщенной
функции, отвечающей функции
1*1
0
при
при
х<0,
21
Для Re X
ционал
§ 3. регуляризация функций 71
— 1 эта функция определяет регулярный функ-
х_, ?)= f\x\*<f(x)dx.
F)
Этот функционал можно продолжить в полуплоскость
ReX^—1 таким же образом, как х+. При этом проще
всего, заменив х на —х, представить (*_, ср) в виде
со
(хх_, ср (х)) = J х* ср (— х) dx = (дгх+, ср (— х)).
Это позволяет немедленно перенести все результаты, полу-
полученные для функционала хх+, на функционал Jci, заменив
s соответствующих формулах функцию ср(лг) на <р(—х)~
При этом фигурирующие в формулах выражения срШ(О)
заменятся на (—iy<p^(O).
В частности, мы видим, что обобщенная функция х\,
так же как и х\, существует и аналитична во всей пло-
плоскости X, за исключением точек Х = —1, —2, ...; в точке
Х== — k обобщенная функция xL имеет простой полюс с вы-
^-1) {х)
четом
(ft— 1)! *
Формула для регуляризованного значения интеграла
*., <р)
з полосе
п — 1
— п приводится к виду
со
(— х) — ср(О)-|-
-+- х ср' @) — — i—fi—^ <р(га- Ч (I
1 т 7 (л —1)! * ч
В § 4 будут приведены разложения функции х\ в ряд
Тейлора и ряд Лорана.

72 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
3. Четная и нечетная комбинации функций х+ и х~.
Обобщенная функция / называется четной, если
(/ (х), ?(—*)) = (/(х), ср (х)),
и нечетной, если
(f(x), ср(—*)) = _(/(*), ?(х)).
Из введенных в п. 2 обобщенных функций составим сле-
следующие четную и нечетную комбинации:
х sgn х = х\
х\.
Изучим особенности
х |х sgn х. Так как обобщенная функция
=— k полюс с вычетом
обобщенных
ная (J
функций
1*1
:ция д:+ имеет
o^-'Ux), a
A)
B)
|х и
при
функция
x'L
полюс с вычетом
1)!
... , то обобщенная функция
(R 1)!
| х |х имеет полюсы только при X ==—1, —3, —5, ...
..., —2/и—1, ... Вычет I х |х при X = —2т—1 равен
о 8Bw) (х)
Bm)!
функция
будем вместо |х|~ш писать х~ т.
Аналогично обобщенная функция
в точках Х=—2, —4, ..., —2т,
В точках Х =—2т (/и=1, 2, . . .) обобщенная
д: Iх определена; при этих X мы, естественно,
sgn лг имеет полюсы
. . с вычетом при
8(да1) (х^
Х = —2т, равным —2 » _ ' ' . ПриХ=—2/ге—1 (т—1,
2, . . .) обобщенная функция j;c)xsgnx определена, и мы
вместо | х |~2m~1sgn х будем писать x~2m~i. Таким обра-
образом, обобщенные функции х~п определены у нас для всех
л = 1, 2, ...
Дадим непосредственные определения обобщенных функ-
функций ) х |х и | х |х sgn х. Для этого воспользуемся регуляризо-
' со О
Jtxcp(X)<2jc и I | х |х ср (х) dx.
3] § 3. регуляризация функций . 73
т. е. формулами D) и G) п. 2: в полосе —п—\ <ReX<— n
— ср @) — ^ Т' @) — . . . —^-
Заменяя здесь п на 2т, складывая и вычитая, находим:
0
-2 [? @) + f ср" @) -h . . . + B^2)! Т(ЙИ-2) @)] } f/^; C)
СО
( | х |х sgn х, ср) = J лгх | ср О) — ср (— х) —
о
X9'@)+^-?w@)+ . . . + B^_1)!?BTO-1)(Q)j \dx.D)
—2да — 1 < Re X <
Первое разложение сходится при
< —2т + 1, второе — при — 2т — 2 < Re X < —2т.
3 частности,
, cp)=
(— x) —
- 2 [ср @) + 4J с?" @)
Ч со)=
—ср(—х) —

74 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
так что, например,
'-'¦ *>=./>
(— *) — 2y@)
dx.
G)
(8)
последнее выражение совпадает с главным значением по
Коши интеграла от -у ¦ ¦:
dx+
dx\
)
Приведем еще формулы дифференцирования обобщен-
обобщенных функций |хj и |jcjxsgnjc. Мы имеем:
I *
г~'
x>
В частности, при X = — n получаем:
d
dx
\ П — 1
Iх. do)
(И)
и
В § 4 будут приведены разложения функций | х,
|xsgnjc в ряд Тейлора и в ряд Лорана.
Заметим в заключение, что функционалы х+, xL, \x\x,
\xfsgnx при ReX>—1 как регулярные функционалы,
отвечающие функциям степенного роста, продолжаются на
пространство 5 бесконечно дифференцируемых функций ср(лг),
убывающих при j х j —> оо быстрее любой степени -—г- вместе
х
со всеми производными (§ 1, п. 10). Функционалы х+, ...
при прочих значениях X, полученные аналитическим продол-
продолжением предб1дущих, также продолжаются на простран-
пространство S; это следует как из самих формул аналитиче-
аналитического продолжения, так и из формул дифференцирова-
3]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
75
Х-1
ния -з— (х+\ = \х+ и замечания в конце § 2 о том, что
функционалы на 5 допускают дифференцирование. Поэтому
функционалы х+, . . . можно применять по обычным фор-
формулам не только к финитным функциям, но и ко всем
функциям пространства 5, например e~a^ и т. п.
Пример 1. Гамма-функция определяется интегралом
Г(Х) =
сходящимся при ReX>—1. Мы можем рассматривать
этот интеграл как результат применения функционала х^1
к основной функции, равной е~х при 0 ^ х < оо (такая
основная функция заведомо имеется в пространстве S).
Применяя регуляризационные формулы п. 2, получаем
выражение гамма-функции в области, где Re X ^—1:
при ReX> — п—1, Х=?—1, ..., —п,
2(— 0*^
при — п — 1 <ReX<l — п
Г (X) = j jcx-i L-» _ ^ (_ 1)* ^ dXm
Пример 2. Рассмотрим интеграл
со
С х\ [е-ах е-Ъх\ dx.
О
Заметим, что он является сходящимся при ReX>—2. Его
можно трактовать как результат применения функционала дг^
к основной функции е~ах—е~Ьх; поэтому
оо оо со
Г хх [е~ах — е~Ьх\ dx = J xxe-<^ dx — Г хке~Ьх dx.

7.6 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
где каждое из слагаемых справа также есть результат при-
применения функционала к соответствующей основной функции.
Но при Re X >—1 можно совершить замену переменной
ах = S, что дает
а
эта формула остается справедливой при всех" X в силу един-
единственности аналитического продолжения. В результате мы
получаем
При Re X >—2 эта формула дает величину сходящегося
интеграла в левой части. Любопытно, что мы получили ее
с помощью расходящихся интегралов. Можно было бы,
конечно, ее найти и обычными приемами (например, диф-
дифференцированием по параметрам а и Ь).
4. Неопределенные интегралы от функций х\, х\,
\\ , \х\ sgnх. Так как операция неопределенного инте-
интегрирования обратна к операции дифференцирования '(§ 2,
п. 6), то при \Ф —1, —2, . . .
\х\ ,
dx —
X
x ,
c_ dx = —
X + l
далее, при X Ф —1, —3, —5)
f I x Iх dx = -b:
-С2(к);
(А.)
П0-
и при li—2, —4, —6, ... (а также при Хф -,, ,1W-
скольку при X =:—1 у нас нет соответствующей формулы
для производной)
|Х+1
j \x\xsgnxdx^-fL-r+-Ci(k).
A
)
Функции Сх (к), . . ., СА (к) могут быть взяты произвольно.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
77
Пользуясь этой свободой выбора, мы можем найти и
\~г
результат неопределенного интегрирования х-1 = | х \г sgn x
предельным переходом. Первое слагаемое правой, части
формулы A) имеет при Х = —1 полюс с вычетом 1. По-
Положим С4(Х) = -}- С; тогда правая часть будет
допускать аналитическое продолжение в точку Х = —1 и
по непрерывности формула интегрирования сохранит свой
смысл. Таким образом,
х |х sgn х dx =
при X —» —1
Х+1
=ln
C;
и, следовательно,
J x-1dx = ln\x\-{-C.
B)
Можно сосчитать также и повторные интегралы от ука-
указанных функций. Так,
имеет вид
^-кратный интеграл от \х\
/¦•¦/
где Q\ (х) — произвольный полином от х степени < q.
Подынтегральная функция слева имеет полюсы в точках
I х \x+q (sgn х\%
Х = —1, —3, ... Функция
кроме них,
^^. Есте-
Есте(A -j- 1) ... КК~Г Ч)
имеет полюсы в точках Х = —2, —4, ..., J
ственно устранить последние за счет специального выбора
полинома Qx(x). Так как вычет первого слагаемого пра-
правой части при Х = —2k Bk < q) равен, очевидно,
—2А+1)(—2А +2) ....(—]»)
... (-2А
1-2к
{2k — 1)! {q — 2k)\

гл. i. Простейшие Свойства обобщенных функций [5
то для этого можно положить
т
0 =
Bk — 1)! (q — 2k)\ \~\-2k
(можно было бы еще добавить к Q\(x) произвольный поли-
полином от х степени < д, аналитически зависящий от X). Итак,
J'.. .J\x\xdx<i =
__ | х |x+g (sgn xf
11]
1
Tc=X
Bk—l)\(q—2k)\ X-j-2k'
D)
частности, двукратный интеграл записывается в виде
//I
¦ |Х+2
1
5. Нормировка функций х\, х\, \х\х, \x\xsgnx. Функ-
Функции х+, х_, \х\ , \х\ sgn х, как мы видели, имеют в Х-плос-
кости полюсы 1-го порядка. Естественно попытаться устра-.
нить их, разделив каждую из этих функций на обычную
функцию от X, имеющую полюсы 1-го порядка в тех же
точках. Такую функцию от X проще всего построить, при-
применив интересующую нас обобщенную функцию (х+ и т. д.)
к фиксированной основной функции <Ро(-*0- При этом мы
воспользуемся тем, что, как сказано в конце п. 3, функцио-
функционалы х+, лг_, | jc | , \х\ sgnх продолжаются на про-
пространство 5; это позволяет брать в качестве уо(х) функции
из 5.
Рассмотрим функцию
Она имеет полюсы в точках
(-1)
п — 1 %(п — 1
— 1, —2, ... с вычетом в точке — п, равным ^ f —.
Основная функция уо(х) должна быть такой, чтобы вычеты
функции (х+, фо(-*0) от X в точках —1, —2, ... были
отличными от нуля. Это значит, что у функции ср0(х) должны
быть отличны от нуля все производные при х == 0.
51
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В качестве такой функции <?0(х) естественно1 взять
что приводит к нормирующему знаменателю
Аналогично подбираем нормирующие Знаменатели для
обобщенных функций л:^., |#|х й [ х |х sgn x. Для функции х\
нужно функцию 9о(-*-) взять снова такой, чтобы ее произ-
производные при х = 0 были бы отличными от нуля; естественно
положить <ро(дг)=еа!, так что
О со
= J \x\x e^dx = С
Функция | х | имеет полюсы в точках —1, —3, .... и ее
B)
вычет в точке Х = —2т— 1 равен
(х)
;
B ,
б
; поэтому функ-
функцию <?0(х) следует выбрать так, чтобы ее четные произ-
производные при х = 0 были отличными от нуля. Естественно
положить 9о (¦*) — е~х*> так чт0 нормирующий знаменатель
приобретает вид
с
= 2 f
0
= f
Наконец, функция | х \ sgn x имеет полюсы в точках —2;
5Bш-1) /^.ч
—4, .... и ее вычет в точке —2т равен —2 —гк— ' .
Таким образом, функция ср0 (jc) должна быть выбрана с таким
расчетом, чтобы ее нечетные производные при х = 0 были
отличными от нуля. Можно принять для этого ср0 (л') = хе~^;
мы получим нормирующий знаменатель
» со
(\x\xsgnx, xe~a;3) = 2 f x^e-x*dx = Г

80 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Итак, мы можем построить целые функции от X:
Xх
sgn х
• НЧ1)'
Значения этих функций в особых точках числителя и зна-
знаменателя можно найти как отношение соответствующих
вычетов. Таким образом, мы получаем:
ВЫЧ. X,
Х=-п н
выч
Х= — П
. (х\,
П
(л:) („-1I
(„ _
A)
хх_
I1 (* + 1)
выч. хх
Х=-и
г(Ц^
выч. (хх_, е^Л
5("-1} (-*)
(п —1I
I} U), g88)
¦ — 1I
выч.
B)
_ B/я)!
выч.
\ е
Результат применения фз^нкционала 5Bда) (л;) к г жа равен
, л. Так как
-{-...=
'а> = ° Bгл)! '
то, очевидно,
(- \)
5] • § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Таким образом,
81
C)
Наконец,
| х Iх sgn jc
выч. | х | sgn
X=-2m
X 2wt
выч. ( | x |x sgn x, xe~x*)
X 2?»
6Bm-l) {x
B/b —1)!
2
Bот — 1)!
Результат применения функционала Ь^т~1\х) к
— (xe-**fm~l)\xo- Так как
равен
хе~
то, очевидно,
2! 3!
(т—1I
поэтому
jx sgn
-о Bm— 1)! '
= (- 1)"
—1)! '
1)!
— 1)!
Bт—1)!
D)
Х= — 2т
Формулы A) — D) можно было бы получить, и иначе ис-
используя известные вычеты гамма-функции в соответствующих
точках.
Формула дифференцирования по х для функционала
f\
J A-
хх
х+
проще, че,м для функционала хх+; действительно,
d d
f х —
dx J +
хх
+
Ъ1
„x-i
_ + ._ fX-l.
dx Г (к + 1) Г (X + 1) ~~ Г (К) — ' + '
E)
6 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

82 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [б
таким образом, дифференцирование функционала
fx = —
J + г
<*• +1)
равносильно уменьшению индекса X на 1. Аналогично для
функционала
получается следующая формула дифференцирования:
иными словами дифференцирование функционала
хх
F)
равносильно уменьшению индекса X на 1 с изменением
знака.
Функция
в функцию
1\ при ДиФФеРенцировании переходит
с индексом, на 1 меньшим, и с неко-
торым числовым множителем. При двукратном дифферен-
дифференцировании функция '*!* воспроизводится с индексом,
G)
на две единицы меньшим:
Формулу
— 1 \ 2X
(8)
можно было бы положить в основу аналитического про-
продолжения функции
6]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ
83
6. Обобщенные функции (х-\-Ю)х и (д: — «0L Опре-
Определим теперь новые обобщенные функции (дг-|-/О)х и (х.— ДО)Х.
В отличие от обобщенных функций хх+, л:1, \х\\ | х |*"sgn л:,
определенных в пп. 2 и 3, эти новые обобщенные функции
не будут нуждаться в нормировке: они будут целыми ана~
литическама функциями от X. Другие преимущества
обобщенных функций (х-\-Ю)х и (х — /0)х выяснятся в главе
о преобразованиях Фурье (гл. II).
Как известно, выражение (х-\-1уУ Определяется следую-
следующим образом:
__ е\ [in I x+iy \+i Arg
Возьмем здесь
ж
(—tz < argz< тг). Тогда (-хг-(-/у)х будет однозначной ана-
аналитической функцией комплексного переменного z = x~\-iy
в верхней полуплоскости у > 0 и точно так же (x-\-iy)x
будет однозначной аналитической функцией в нижней полу-
полуплоскости у <С 0. Нас будут интересовать предельные зна-
значения этих двух функций на вещественной прямой. Их
нетрудно сосчитать:
О)
f eiXK\x |x при х < 0,
} л:х при л: > 0;
(Л _ /0)х = lim
у^>—о
_|
|х при х
при х
о,
0.
B)
Эти функции определены при любом комплексном X.
Нашей задачей теперь будет сопоставить этим обычным
функциям обобщенные. Последние мы также обозначим
через (дг-(-/О)х и (х — Ю)х.
Используя функции лг+ и хх_, определенные в п. 2,
мы при ^
1 можем написать:
е дг_,
jc — гО) =д;
C)
D)

84 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Но отсюда видно, что при любом X Ф—1, —2, ... (обыч-
(обычным) функциям A) и B) можно сопоставить обобщенные
функции, написанные справа в C) и D) (см. п. 2). Тем
самым обобщенные функции (х-(-Ю)х и (х — /0)х опреде-
определяются для X ф —1, —2, . . .
Но если при Х =— п сравнить вычеты обобщенных
функций х+ и х\, (полученные в п. 2) то видно, что особен-
особенности слагаемых справа в C) и D) взаимно уничтожаются;
таким образом, обобщенные функции (лг-(-/О)х и (х — Ю)х •
целые функции переменного X. В § 4 мы получим, в частно-
частности, формулы
^ x~n- "(„I1*""' 8(я-1}(л:),
(х _ /0)-я =
. Отсутствие полюсов у обобщенных функций (д;_|_/0)х
и (х— /0)х можно пояснить еще и следующим образом.
Предположим, что основная функция cp(je) принадлежит
пространству S и аналитически продолжается в некоторую
окрестность вещественной оси. Рассмотрим интеграл
J z* cp {z\dz
= x-j- iy)
по линии Z.e, которая составляется из луча (— со, — е)
вещественной оси (е > 0), полуокружности радиуса s с цен-
центром в начале, лежащей в верхней полуплоскости (мы огра-
ограничимся рассмотрением (jc-f-fO)x), и луча (е, -(-со) веще-
вещественной оси. По теореме Коши, величина этого интеграла
не зависит от е. Так как на линии Z,e у подынтегральной
функции нет особенностей и ср (х) при | х | -» со убывает
быстрее любой степени х, то интеграл существует при
всех X и представляет собой, как легко видеть, аналитиче-
аналитическую функцию от X. При ReX>—1 эта функция, очевидно,
совпадает с функцией
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
85
таким образом, аналитическое продолжение последней не
имеет полюсов.
7. Каноническая регуляризация. В предыдущих пунк-
пунктах мы сопоставили ряду конкретных функций со степен-
степенными особенностями обобщенные функции (и тем самым
научились вычислять многие расходящиеся интегралы).
В этом пункте будет рассмотрено единое правило регуля-
регуляризации, которое годится для функций, образующих уже
довольно обширный подкласс в классе функций со сте-
степенными особенностями. Для удобства мы назовем эту
регуляризацию канонической и введем временно обозна-
обозначение
/ = к. p. f(x)
(/ — функционал, являющийся регуляризацией функции fix)).
Мы покажем, что эта каноническая регуляризация является
естественной в том смысле, что выполняются условия:
1°. к. p. [a1/1(x)-r-e2/2(Jf)]=a1 к. p. fi{x)-^-a2 к. р. /2(х).
2°. к. р. Ц/(*)]=^[к. Р. /(*)]•
Здесь слева -з производная от функции в обычном смысле,
а справа — производная от функционала.
3°. к. p. [h(x)f(x)]=h(x)-K. p. f(x)
для любой бесконечно дифференцируемой функции h (x).
Рассмотрим сначала функции, имеющие неинтегрируемую
особенность только в одной точке х = 0.
Ограничимся функциями, представимыми в виде конечных
сумм
/(*) = 2а(*)?4(*). A)
гл&Рг ix) — бесконечно дифференцируемая функция, а дг (х) —
одна из следующих функций: х+, х_, х~п, причем пара-
параметру X не разрешается принимать значения —1, —2, . . .
Всем указанным функциям сопоставлены в пп. 2 и 3 обоб-
.щенные функции, причем показано, что для этих обобщен-
обобщенных функций сохраняются естественные формулы диффе-
дифференцирования по х. Отметим, что операции сложения,
умножения на бесконечно дифференцируемую функцию

86 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7 I
и обычного дифференцирования не выводят за пределы
класса A).
Так как для обобщенных функций определены операции
умножения на бесконечно дифференцируемую функцию и
сложения (см. § 1), то мы сразу получим искомое правило
регуляризации функции f(x), подставив справа в A) вме-
вместо qi(x) соответствующие обобщенные функции.
Таким образом, канонической регуляризацией функций
х+, х_, х~п мы будем считать соответствующие обоб-
обобщенные функции, определенные в пп. 2 и 3, а кано-
каноническую регуляризацию функции f(x) определим фор-
формулой
к. p. /(jc)=2j»j(Jc)'K. p. qi(x). B)
Так как, в частности, |л;|о=1, то канонической регуля-
регуляризацией бесконечно дифференцируемой функции мы счи-
считаем отвечающий ей регулярный функционал.
Очевидно, что условия Iе и 3° выполняются. Проверим
условие 2°. Достаточно сделать это в случае одного сла-
слагаемого, т. е. когда
f(x)=p(x)q(x).
Для удобства обозначим символом -г- дифференцирование
в смысле обобщенных функций и штрихом обычное диф-
дифференцирование. Согласно формуле C) п. 1 § 2
шк. p.f(x)=p'(x)- к. p. q(x)-\-p(x)~K. p. q(x).
Но, как уже отмечено,
^K.p.q (х) = к. p. q' (х),
и, пользуясь условиями 1° и 3°, мы получаем:
_^к. р./(х) = к. p. [p/(x)q(x)-^-p(x)q'(x)]=K. p. /' (х).
Но возникает вопрос, однозначно ли наше определение ,
канонической регуляризации. Покажем, что это определе-
определение действительно однозначно. Для этого заметим, что,
разлагая бесконечно дифференцируемые функции fi(x) по
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
87
формуле Тейлора, мы можем представить /(-к) в виде ко-
конечной суммы:
где г$ (х) — снова одна из функций хх+, хХ-, х~п (только X
принимает, вообще говоря, другие значения), сг — уже
постоянные множители, a h (x) — локально интегрируемая
функция. Предположим, что в сумме 2 c%ri (x) «приведены
подобные члены» и оставлены лишь те г4 (х), у кото-
которых ReX.^—1, а остальные отнесены в h{x). Тогда
представление A') будет однозначным, так как разные
слагаемые имеют разные порядки при х-э-0. По фор-
формуле (!') естественно написать регуляризацию
к. р. г4(х) + А(х).
B')
Покажем, что регуляризации B) и B') совпадают; этим и
будет доказана однозначность нашего определения кано-
канонической регуляризации.
Достаточно предположить, что сумма в формуле A)
состоит из одного слагаемого p(x)q(x), так как не только
регуляризация B), но и регуляризация B') обладает свой-
свойством 1°. Рассмотрим случай, когда q(x) = x+; остальные
два случая рассматриваются аналогично. Пусть —т—2 <С
<ReX<—т — 1. Разложим р (х) по формуле Тейлора:
Р(*)=2,7Г
Нам надо показать, что для любой основной функции <?(х)
/ dx. C)
а-о

88 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
Для проверки этого равенства преобразуем его левую
часть:
(х\, р(х)<?(х)) =
х" \р <*) * <*) ~2л1а\р <*) т (*)Jw U-o№ =
о I L_/=o
что совпадает с правой частью равенства C).
Отметим, что мы могли бы положить формулу B')
в основу определения канонической регуляризации. В кон-
конкретных случаях можно пользоваться как формулой B),
так и формулой BГ).
Рассмотрим теперь случай, когда функция f(x) имеет
не одну, а несколько особенностей такого же вида, как
в A), или даже счетное число таких особенностей, но
конечное в любом конечном интервале. В этом случае мы
воспользуемся тем, что, как будет доказано в п. 2 доба-
добавления 1, единицу можно представить в виде
где функции ег(х) бесконечно дифференцируемы, причем
каждый интервал оси пересекается с носителями *) только
*) Носителем непрерывной функции е (х) называется замыка-
замыкание множества точек х, где е (х) ф 0 (см. § 1, п. 4).
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
89
конечного числа функций et (x) и в границах носителя одной
функции е^ (х) имеется только одна особая точка функции
f\x). Умножая последнее равенство на f(x), мы видим, что
можно исходить из представления
i
D)
х\,
где Qi(x)—сдвиги тех же функций х\, х\, х~п,
a Pi(x)—бесконечно дифференцируемые функции, такие, что
в пределах любого конечного интервала ряд D) оказывается
конечной суммой. Тогда мы снова можем положить
к. p. /(jc) =
к. р. дг(х),
т. е.
(к. p. f(x),
E)
= ^ (к. p. 4i (х), Pi (х) ср (х)); F)
г1
здесь уже ряд всегда будет конечным, так как основные
функции финитны. Операции сложения, умножения на
бесконечно дифференцируемую функцию и дифференциро-
дифференцирования снова не выводят за пределы класса D). Разумеется,
представление D) данной функции f(x), так же, как и пред-
представление A), не будет единственным; но можно показать,
что определение E) не зависит от выбора этого пред-
представления.
Свойства 1°—3° проверяются без труда.
Обозначение «к. p. f{x)s> в дальнейшем употребляться
не будет: мы условимся обозначать каноническую регуля-
регуляризацию функции f(x) — или, лучше сказать, обобщенную
функцию, отвечающую обычной функции f(x),—тем же
символом f(x), подобно тому как в пп. 2 и 3 это было
сразу принято для функций хх и др.
В частности, в соответствии с символикой, принятой
в п. 3 § 1, под записью f f(x) cp(x)dx, где f(x) — обыч-
обычная функция, допускающая каноническую регуляризацию,
мы будем понимать результат применения этой канониче-
канонической регуляризации к основной функции

90
ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
Пример. В п. 4 § 2 мы встретились с функцией
X —
Ctg y . Ее можно представить при j х | < ~ в виде
ctgf==,!!lii=?(?),
2 х X X '
sin ^-
где р (х)~ бесконечно дифференцируемая функция. Анало-
гично ctg-^ записывается в
окрестностях точек
X
/fe=±l, ±2, ... Мы видим, что ctg -х допускает кано-
каноническую регуляризацию. На основных функциях, отличных
от нуля лишь в малой окрестности нуля, эта регуляризация
записывается следующим образом:
х
_
ах —
ос
= /
В силу свойства 2° производной от этого функционала
будет каноническая регуляризация функции
d , х 11
_ctg_ = _ ^ _,
dx
т. е., в соответствии с определением х~2, функционал
выражаемый формулой
(снова в предположении, что <р (х) = 0 вне мало.й окрестности
нуля). Аналогично можно подсчитать следующие производ-
ные от обобщенной функции ctg -^.
8]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
91
8. Регуляризация ,других интегралов. В предыдущем
пункте было показано, что следует понимать с точки зре-
зрения теории обобщенных функций под (расходящимся в обыч-
обычном смысле) интегралом
J f(x)?(x)dx,
где f(x) — фиксированная функция с довольно общими сте-
степенными особенностями, а ср(х) — произвольная основ-
основная функция. В частности, фиксируя эту основную функ-
функцию, мы получаем способ вычисления конкретных расходя-
расходящихся интегралов.
Однако при этом остались в стороне уже такие простые,
Ь оо
но важные интегралы, как I xxdx и i xxdx (первый из этих
о о
интегралов расходится при ReX-^—1, второй — при всех X),
и многие другие. В этом пункте мы постараемся придать
таким интегралам естественный смысл.
Регуляризация в конечном промежутке.
В предыдущих пунктах мы рассматривали функционалы,
определяемые функциями х+, х_, х~п на полупрямой или
на всей прямой. Можно рассматривать функционалы,
определяемые интегралами по конечному отрезку, как,
например,
ь
<*&
&<«<*•
Мы взяли здесь отрезок 0 -^ х ^ b как наиболее типичный:
на нем имеется одна точка возможной расходимости, при-
причем концевая (х = 0). Случай отрезка а^х ^.Ь, на кото-
котором нет особых точек, не представляет интереса; если же
точка расходимости находится в середине отрезка, то мы
разобьем его на два отрезка так, что каждый из них будет
иметь точку расходимости на конце.
Итак, рассматриваем интеграл A). Он сходится при
ReX>—1 и представляет собой при этом аналитическую

92 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
функцию X. Совершая преобразование
ь
I х* <р (х) dx =
о
ь
=f х* [9 (х) — 9 @) - х ср' @) - ... -(Я*|!Г11I ?(та-Х) @)]
у B)
мы видим, что наш интеграл как функция от X аналити-
аналитически продолжается во всю плоскость X, за исключением
значений Х = — 1, —2, ..., —п, ..., где он имеет полюсы
1-го порядка. Формулу B) мы примем за определение
регуляризации стоящего слева интеграла при X Ф — 1, —2, . . .
Обозначим этот функционал через х\<х<ь-
В качестве <р(х) здесь можно фактически брать любую
бесконечно дифференцируемую при 0 <С х ^ b функцию, так
как такую функцию всегда можно продолжить за точки 0
и b так, чтобы получилась финитная бесконечно дифферен-
дифференцируемая функция.
Возьмем, в частности, ср (х) == 1 при Q^x^b. Мы
получим равенство
/
хх dx —
г+Т
C)
справедливое при всех X Ф—1, —2, ... Излишне указы-
указывать, что интеграл в левой части здесь понимается (при
ReX-^—1) не в обычном смысле, а как регуляризованный
по нашему правилу *).
Рассмотрим теперь любую функцию f(x) вида
/(*) =
хх р (х) при 0 < х <; Ь,
О при остальных х,
D)
*) В данном случае правая часть, а вместе с ней и левая имеют
единственную особенность при X = — 1.
8]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
где р (х) — бесконечно дифференцируемая функция. По ана-
аналогии с п. 7 мы рассмотрим регуляризацию функции f(x),
определяемую формулой
(per. / (х), ср (х)) = (^ < в < ь. Р (х) 9 (х) ). E)
Следующее замечание будет полезно в дальнейшем.
Справедливое при Re X ]> — 1 равенство
F)
где 0 < с < Ь, сохраняется при всех \Ф —1, —2,
если под первыми двумя интегралами понимать указан-
указанные выше регуляризации. Действительно, все три интеграла
допускают независимые аналитические продолжения в пол-
полную плоскость X с исключенными точками —1, —2, ...,
причем последний интеграл существует даже при всех X
в обычном смысле, и равенство F) сохраняется в силу тео-
теоремы единственности.
Теперь рассмотрим функцию f(x) со степенными осо-
особенностями в точках а и Ь, так что в окрестности точки а
имеет место представление
а в окрестности точки b — представление
где ра (х) и рь (х) — бесконечно дифференцируемые функ-
функции, первая — в интервале а^х<С.Ь, вторая :—в интер-
интервале а <С х ^Ь. Определим теперь регуляризацию функ-
функции f (х), т. е. интеграла
а
равенством
бо
//(*) <Р (х) dx =Jf(x) cp (x) dx +
а а с
где с — точка между а и Ь, а интегралы справа определены
как соответствующие регуляризации.
(x)dx.

94 ГЛ. t. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Результат прежде всего не зависит от выбора точки с.
Действительно, если с' > с — любая другая точка на
отрезке [а, Ь\, то, по сказанному выше,
с'
с'
/ /(*) ? (*) dx = f f(x) cp (x) dx+ f f(x)9 (x) dx.
e'
/с
с с
и, следовательно,
с' 6
Ь
f
о'
с'
что и требуется.
В качестве примера рассмотрим В-функцию Эйлера
В(Х, ^^
Этот интеграл сходится в обычном смысле при Re X > О,
Re [л > 0; по доказанному, он аналитически продолжается
во всю плоскость X и во всю плоскость [л, кроме значе~
ний Х = 0, —1, —2, .... и [1 = 0, —1, —2, ... Фор-
Формула регуляризации при ReX>—k, Re p, >—s имеет вид
Х5 (Л, U*J =
S-1
г! Г (а — /-) (г + X) ^ 2гН
(-l)T(X)
3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Регуляризация на бесконечности. Выше мы
придали смысл интегралу
ь
хх dx
о
при всех X Ф—1, понимая его как результат применения
функционала х\<а.<ъ к основной функции <рС*О> равной 1
в промежутке 0 <; х ^ Ь. Было бы желательно осмыслить
подобным образом интеграл по бесконечному промежутку
dx ф > 0).
Но у нас нет основной функции, равной 1 в промежутке
от Ъ до оо. Поэтому мы примем следующее условие. Мы
будем рассматривать класс К{Ь, оо) всех функций ср (лг),
каждая из которых определена и бесконечно дифференци-
дифференцируема при всех х^Ь и притом такова, что преобразова-
преобразование инверсии <р( — ) = (М-*0 переводит ее в основную функ-
функцию на интервале @, -т-j; точнее, в функцию, которая сов-
совпадает на этом интервале с некоторой основной функцией
пространства К. Тогда мы определяем функционал
со
f
(х) dx
формулой, отвечающей подстановке —=У'
оо Ь
J Xх <р (X) dX = f J/-*-2<p A
ь 6
причем получающийся интеграл, если нужно, понимается
в указанном выше регуляризованном смысле; он существует,
следовательно, при —X — 2Ф—1, —2, .... т. е. при
Хф—\, 0, +1, ...
Для функции F (х), определенной в промежутке [Ь, оо)
и имеющей вид F (х) = хх/(дг), где f(x) — функция класса

96 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
К(Ь, со), примем в качестве формулы регуляризации сле-
следующую формулу:
со со
(per. F, <р) = f F (х) <р (*) dx = f л* [f(x) <р (x)] dx.
= at - per. Fx -\-a2 • per. /=.
дг) /=" (л:)] = g (x) • per. /=" (дг)
Очевидно, что для функционала per. F, определенного
на функциях <р (х) класса К(Ь, со), выполнены условия:
per. [
per.
для любой бесконечно дифференцируемой функции g(x).
Перейдем теперь к самому общему случаю, когда функ-
функция F (х) имеет несколько (конечное число) степенных осо-
особенностей. Перенумеровав особенности в порядке возрастания
аргумента, для определенности, — оо < bt < . . . < bn < оо,
мы разложим ось на конечное число промежутков:
(.— со, at), (аъ
2, Ь2), . . ., (Ьп, а
, со),
на каждом из которых остается лишь по одной особой
точке на том или ином конце, в каждом из этих проме-
промежутков применим соответствующую формулу регуляризации
и сложим результаты. Так же как и выше, легко показать,
что общий результат не зависит от выбора промежуточных
точек ах ап.
Отметим, далее, что вместе с регуляризациями функ-
функции F (х) на каждом из этих промежутков полученная регу-
регуляризация на оси удовлетворяет условиям:
per. [а^г -\-a2F2] = сц • per. Fx -f-otg • per. F2,
per. \g(x) F (*)] =g(x) ¦ per. F (x)
(g(x) — бесконечно дифференцируемая функция).
Примеры.
1. Найдем J xx dx.
8]
§ 3. регуляризация функций
97
Как отмечено выше, при Ъ >¦ О
ь
С другой стороны,
оо
/аХ + 1
xxdx = — f^-r (\ф—1).
ь
Поэтому
со 6 оо
Г хх dx = J x^dx -\- J xx dx = 0 (к ф — 1).
0 0 6
Так как результат есть аналитическая функция ~к, то он
справедлив и в исключенной точке ). = —1.
2. Интеграл
при ReX>0, Re [л > 0 сходится в обычном смысле и, как
——у, совпадает с В(к, (а).
легко проверить подстановкой —
Поэтому его аналитическое продолжение совпадает с В (к,
при всех X, р. Ф —1, —2, . . .
3. Найдем
о
Разлагая подынтегральную функцию по формуле бинома
и применяя первое свойство канонической регуляризации,
находим:
— ру— пк—
в силу резз'льтата предыдущего примера.
7 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, иып. 1

98 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
Заметим, что при X = р., —-1 < X < 1 L интеграл /
сходится в обычном смысле; мы получаем, таким образом,
следующую «классическую» формулу
J
. — «X—
ft-0
9. Обобщенная функцияг\ Полагая г = ]/ х\-\- ... -+-хгп,
рассмотрим функционал гх, действующий по формуле
(г\ <р) =
О)
R.
которая имеет смысл при ReX>—п. В силу возможности
дифференцирования
функционал гх представляет собой аналитическую функцию
от X в области Re X > — п. Для Re X < — п функция гЛ ло-
локально неинтегрируема; мы определим функционал гх мето-
методом аналитического продолжения. Можно это сделать, обоб-
обобщая схему предыдущих пунктов (эта идея впоследствии
будет рассмотрена в применении к более широкому классу
функций вида Р1(х), где Р(х) — положительная однородная
функция; см. гл. III, § 3). Мы здесь используем более про-
простой прием, основанный на сведении функции гх к хх .
Переходя в интеграле A) к сферическим координатам,
приводим его к виду
(r\ <p) =
CO
Г Гх I Г ср (/-да) rfffl 1 Г"
о ( eJ /
где а?да — элемент единичной сферы Q. Внутренний интеграл
можно представить в форме
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
99
где Qn означает поверхность единичной сферы в «-мерном
пространстве, a Sv(г) есть среднее из значений функции <р(дг)
на сфере радиуса г. Итак, мы приходим к формуле
(r\ T) =
B)
Установим некоторые свойства функции Sv (r). Мы утвер-
утверждаем, что функция S9(r) (определенная при г^О) фи-
финитна, бесконечно дифференцируема и все ее производные
нечетного порядка обращаются в нуль при г = 0.
При достаточно большом г функция ср(дг) обращается
в нуль; поэтому и ее среднее Sv(r) обращается в нуль;
таким образом, 5? (г) — финитная функция.
Очевидно также, что Sv (г) бесконечно дифференцируема
при г > 0.
Чтобы убедиться в наличии всех производных у функ-
функции 59(г) и при г = 0, разложим функцию ср(лг) по фор-
формуле Тейлора. Тогда будем иметь:
•wo-
@)
Ясно, что каждое слагаемое подынтегральной суммы
(кроме остаточного члена), содержащее нечетное число мно-
множителей Xj, после интегрирования обращается в нуль. Сла-
Слагаемые подынтегральной суммы, содержащие четное число,
скажем 2т, множителей Xj, после интегрирования и сумми-
суммирования дадут член вида атг2т. Итак, мы получаем:
S9 (г) = ср @) + аГ- -h «2г4 + - • • + апг*ъ -+- о (г**) *). C)
Это выражение показывает, что при г — 0 функция 59 (г)
имеет производные до порядка 2k, причем нечетные произ-
производные равны нулю. Так как k можно взять произвольным,
то •$„(/¦) бесконечно дифференцируема при г = 0 и все ее
нечетные производные при г=0 обращаются в нуль.
*) у (х) = о (х) означает, что отношение ^- стремится к нулю.
7*

100 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[9
Отсюда следует, что функцию 5^ (г) можно рассматри-
рассматривать как четную основную функцию переменного г. Инте-
Интеграл B) в таком случае можно понимать как результат
применения функционала 2„л;^ (;х = X-j-« — 1) к основной
функции S9(x). Но мы хорошо знаем, что функция х+, ана-
аналитическая при Re;x>—1 (т. е. ReX> — га) допускает
аналитическое продолжение на всю плоскость \ь(к) с исклю-
исключенными точками }а = —1, —2, . . . (к — — га, —л + 1, . . .)>
в которых она имеет полюсы 1-го порядка; при этом вычет
в полюсе fi = — т(к — —га—т -J- 1) равен
(/га—1)! ~ (m — I)! -
Но так как нечетные производные функции Sf(x) обра-
обращаются в нуль при х — 6, то полюсов, отвечающих четным
значениям т, на самом деле нет. Остается серия полюсов,
отвечающих значениям от —1, 3, 5, ... или, что то же,
Х = — га, — га— 2, —га— 4, ...
Заметим, что вычет функции (r\ Sv(x)) при X ——га— 2k
(k = 0, I, . . .), как вытекает из вышесказанного, равен
), Я, (х))
SW @)
*" >
n B/fe)! " B/fe)!
В частности, в точке X = — га функция (гх, S?) имеет
полюс 1-го порядка с вычетом QnS9 @) = 2и<р @). Это озна-
означает, что обобщенная функция гх при Х =—га имеет полюс
1-го порядка с вычетом Qnb(x).
Величину S^ @) можно выразить непосредственно через функ-
функцию <р, минуя ее усреднение.
Для этого мы построим иное выражение вычета обобщенной
функции гх при X = — п — 2k. Воспользуемся формулой дифферен-
дифференцирования
Д (г*+2) = (X + 2) (X + п) г\
где Д—оператор Лапласа. (При ReX>0 эта формула доказывается
непосредственным подсчетом левой части, для остальных X она
остается справедливой в силу аналитического продолжения.) Итери-
Итерируя эту формулу, можно получить при любом целом k равенство
,= У
Г (X + 2) (X + 4) ... (X + 2А) (X + п) (Х+л + 2) ... (X + п + 2k— 2) '
Вычет функции г* при X = — п — 2k можно теперь сосчитать
как вычет правой части при этом значении X. Так как знаменатель
9]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
101
правой части при X = — п — 2k не обращается в нуль, то доста-
достаточно найти вычет числителя. Но для любой основной функции ср (х)
т. е. мы должны взять вычет функции (/-\ кку (х) ) при [х = — п.
Такой вычет мы выше вычислили для любой основной функции; он
равен значению этой основной функции в точке х = 0, умножен-
умноженному на Qn. В данном случае мы получаем значение вычета, равное
Qn ДАср @). Отсюда следует, что вычет функции (гх, ср) при X =— п — 2k
равен
* (О)а,(А"8DтМ)
(_2А —п
п)(—2А)...(—2) 2kk\ п
).. .(п + 2k — 2)'
E)
а вычет обобщенной функции г*- при том же X равен
E,
2kk\ п (п + 2) ... (п + 2k — 2)
Сравнивая величину E) с найденным выше выражением вычета D),
находим, что
—2)
F)
Этот результат дает возможность написать разложение Тей-
Тейлора для функции S9 (r):
@)
2)...
G)
(формула Пицетти*)).
Для дальнейшего нам удобно нормировать обобщенную
функцию гх так же, как это было сделано выше для сте-
степеней х на прямой. Для этого разделим гх на
Функция
*) Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической
физики, т. II, Гостехиздат, 1951, гл. IV, § 3.

102 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
является, очевидно, целой аналитической функцией X. Зна-
Значение этой функции в особых точках числителя и знамена-
знаменателя можно найти как отношение соответствующих выче-
вычетов. Таким образом, мы получаем:
выч. /¦*
Х=— п-2к
/
ВЫЧ.
8 (х)
(х),
2kk\ п
BА)!
В частности, при k = 0 получаем:
2 г*
== 5 (х).
(n+2ft—2)
(8)
(9)
10. Разложение функции гх на плоские волны. Пусть
о) = ((о1> оJ, .... а)га)—точка единичной сферы в простран-
пространстве Rn. Пусть JReA>—1; построим обобщенную функ-
функцию /="х(">!*!+ ...-\-<опхп) по формуле
A)
I |~ .Л
V 2 j
Совершая поворот осей j/ = их, при котором точка со при-
приобретает координаты A, 0, .... 0) и полагая ф(У) =
= у(и-1у)~ср(х), мы преобразуем этот интеграл к виду
_ Г
B)
10]
§ • 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
103
Выражение в фигурных скобках есть некоторая функ-
функция <PoCvi)> бесконечно дифференцируемая и финитная, т. е.
основная функция переменного ух. Но в таком случае выра-
выражение B) может быть аналитически продолжено на все зна-
значения X; вместе с ним определяется для всех X и функцио-
функционал Fx (ш1х1 + • • • + ыпхп).
Легко видеть, что функционал /^("МчЧ" ••• -\~шпхп)
непрерывно зависит от точки о>. Действительно, вместе
с точкой о) непрерывно меняется подпространство, ортогональ-
ортогональное к вектору о), непрерывно меняется интеграл от функ-
функции ф (у) по этому подпространству и, следовательно, непре-
непрерывно меняется функция <Po(_yi); более того, она меняется
непрерывно в смысле сходимости в основном пространстве К.
Поэтому при каждом фиксированном X непрерывно ме-
меняется величина (F\(t»!^-j- . . . -\-а>пхп), <?(х)), что и озна-
означает непрерывность функционала Fx по параметру ш
(ср. § 1, п. 8).
Поэтому можно проинтегрировать функционал F\ no
параметру о>, пробегающему единичную сферу 2, т. е.
построить такой функционал Ох, что для любой основной
функции ср (х)
(Ох, ?(*))= /(/\,
(подробнее об интегрировании по параметру см. в доба-
добавлении 2).
Вычислим этот интеграл вначале для ReX;> —1. В этом
случае, как легко видеть,
ч*! 4- ... -Ь <*>пхп |
есть сферически симметричная функция от х1г х2 хп,
однородная степени X, и с точностью до множителя равная г\
Иными словами,
f | a>lXl -+-...+ «»„*„ Iх d<o = С (п, X) г\ C)
2
Чтобы найти значение постоянной С (а, X), положим хп = 1,

104 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
хх = х2— ... = хп_х — 0. Мы получим тогда *)
С(п, Х) =
У
2
Подставляя значение С (га, X) в формулу C) и деля на
тс \—2—)' полУчаем формулу
,.ч v _i_ i и j 2гх
основную для дальнейшего. Эта формула, установленная
для Re X >—1, остается справедливой и при остальных
значениях X в силу единственности аналитического продол-
продолжения (см. добавление 2). Она дает разложение функции
2г*
.. .—- на так называемые «плоские волны» и тем самым,
как будет показано ниже, часто позволяет сводить простран-
пространственные задачи к плоским и одномерным.
*) Для вычисления интеграла переходим к сферическим коор-
координатам 0J, 9а, , 9П_1. При этом
а>п = cos 0n-i. a dw = sinM~2 ®n-i ^<°п-ь
где da>n_1 — элемент поверхности сферы в (п—1)-мерном про-
пространстве. Интеграл приобретает вид
-2 в cos* 0 dQ ==
га—1
2* 2 Г
поскольку
ra-l
/ sin"-2 в
-1 в
Ю]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим частный случай этой формулы при Х
Если п нечетно, то по формуле C) п. 5
105
— п.
Х- -га
С другой стороны, по формуле (9) п. 9
= 2га8 (х1г х2, . . •, хп),
Х=-га
где 2га — площадь поверхности единичной сферы. Подста-
Подставив эти значения в формулу D) и разделив обе части равен-
равенства на Qn, получаем:
га-1
2
(л—
"J
В пространстве нечетного числа измерений
п-1
г /_«\ 1 -3-5 ... (л —2) •
Подставляя это значение Qn и упрощая коэффициент, нахо-
находим окончательную формулу:
га—1
lf .... хп) =
»• E)
Выведем теперь формулу, дающую разложение 5-функ-
ции на плоские волны в пространстве четного числа
измерений. Правая часть формулы D) по-прежнему при
Х= — п обратится в Qnb(xt дгга). С другой стороны,
при четном га
1
Х=— п
г --
ДГ"

106 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
где выражение х~п определено формулой E) п. 3. Под-
Подставляя эти значения в D), мы получаем, что при четном п
5 (xlt .... хп) =
1 Г. п
) «со.
Вспоминая, что &п =
четного п
Ь(х,
(т)
, мы получаем, что в случае
F)
Для пояснения формулы E) применим обе части равен-
равенства к функции ср (.*!, х2, ..., хп). Мы получим:
та-1
«КО. .... 0) =
. 0) = t=lLi: fdiO
-1
где <2а0 — элементарная площадка в плоскости ^шкх^= 0,
а -^ дифференцирование по направлению ортогонального
к ней вектора ш. Аналогично можно записать формулу F).
Положим для основной функции ср (л:)
2
где do$_ — элементарная площадка в плоскости 2и)АлгА;=:^
(величина этого интеграла зависит от направления век-
вектора ш). Очевидно, что <р (S) — бесконечно дифференцируе-
*) Случай четного /г можно было бы объединить со случаем
нечетного п в единой формуле
в силу определения функции (х — 10)~п (см. п. 6).
11] § 3. регуляризация функций
мая финитная функция. Согласно формуле E) п. 3
— ?) —2
107
(Гя. фE)) =
Теперь можно записать результат применения формулы F)
к основной функции ср (дг) в виде
Т @ 0) —
X
(-1)" (я-1I
>. (8)
Формулы G) и (8) дают решение так называемой про-
проблемы Радона о восстановлении функции ср(лг) (или ф(д:))
по известным её интегралам по гиперплоскостям (о>, х) = С.
11. Однородные функции. Рассмотрим теперь введенные
выше обобщенные функции jc+, x*L и др. еще с новой
точки зрения — именно, в аспекте понятия однородной
функции. Мы определили в § 1, п. 6 однородную обоб-
обобщенную функцию степени X уравнением
^/W, ' A)
или, что то же,
(fix). <pD)) =
для любой основной функции ср(лг) и любого положитель-
положительного а.
Установим некоторые простые свойства обобщенных
однородных функций.
1. Сумма двух однородных функций степени X есть
снова однородная функция той же степени X.
2. Произведение однородной обобщенной функции f
степени X на бесконечно дифференцируемую однородную
функцию а (х) степени fj. есть однородная обобщенная
функция степени ХЦ-jx.
Доказательства свойств 1 и 2 получаются непосредст-
непосредственно применением определения A),

108 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [11
3. Производная по Xj однородной обобщенной функ-
функции f степени X есть однородная обобщенная функция
степени X — 1.
Действительно, мы имеем:
4. Однородные функции различной степени линейно
независимы. Предположим, что имеет место равенство
Ci/i (*)+...+ cmfm (х) = 0,
где /ь(х)—однородная обобщенная функция степени Xfc,
причем все числа Xft различны. Согласно определению, при
любом положительном а и любой основной функции <р(х)
имеет место равенство
Ci«Xl(/i. ?) + с2ах>(Л. ?)+ ... +cmaxm(fmt cp)=rO.
Так как показатели Xfc по предположению различны, то
при любом k и при любой ср мы имеем с&(Д, <р) = 0. Если
/& ?= 0, то функцию <р(аг) можно взять так, чтобы было
(/а> ?) ?= 0; отсюда ск = 0 при каждом ?, что и требуется.
5. Пусть /х — однородная обобщенная функция сте-
степени X, аналитическая по X в области Л. Пусть, далее,
/х допускает аналитическое продолжение по X в более
широкую область А^А. Тогда функционал /х и в более
широкой области At остается однородным степени X.
Действительно, при любом фиксированном X и любой
основной функции ср(дг) в области Л выполняется равенство
(Л. <р(-^)) =
Справа и слева стоят аналитические в области Л функции
от X. В силу единственности аналитического продолжения,
они совпадают и в области Аи что нам и требуется.
Рассмотренная в предыдущих пунктах обобщенная
функция х+ при ReX>—1 является однородной функцией
степени X. Далее, мы знаем, что функция х\ допускает
П]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
109
литическое продолжение во всю плоскость X с исключен-
исключенными точками —1, —2, ... В силу свойства 5 функция Xх
является однородной функцией степени X при всех ком-
комплексных \Ф—1, —2 —п То же относится
к функции xL. Функции \х\\ |jc|xsgnAT, (х-\-Ю)\ (х — Ю)х,
как линейные комбинации функций х\. и х\, также одно-
однородные функции степени X; при этом каждая из них одно-
однородна в полной области своего существования: функция | л* |х
однородна при X Ф—1, —3, —5 функция | л: Jx sgn лг
однородна при X ф—2, —4 функции (лг + Д))х и
(х — Ю)х однородны при всех X без исключений. В част-
частности, обобщенная функция х~т однородна степени —т
при любом целом т. Имеется еще одна однородная функция
степени —от, именно S^-1) (x); действительно,
_ а-т+1 (g(m-l) (Xyf
Найдем все однородные обобщенные функции порядка X
на прямой. Согласно определению такие функции удовле-
удовлетворяют уравнению
/(а*) = ах/(.*) B)
при любом а > 0. Дифференцируя это соотношение по а и
полагая затем а=1, получаем:
xf'{x) = \f(x). C)
Найдем все решения этого уравнения. При х Ф 0 можно
интегрировать обычным образом; это приводит нас к вы-
выводу, что искомая обобщенная функция /(-*:) должна со-
совпадать с Сххх при х > 0 и С21 х |х при х < 0. Такого рода
обобщенные функции имеются уже у нас: это функции
Схх\ и С2х\ при X ф —п, п=\, 2, ... Предполагая, что
эти неравенства выполнены, рассмотрим обобщенную функ-
функцию fo{x)—f(x) — Ctxx+ — С2х\. Она вместе с каждым
слагаемым удовлетворяет уравнению B) и в то же время
равна нулю при х Ф 0. Таким образом, функция /р(-*0 со-
сосредоточена в одной точке.
Во втором выпуске будет доказана следующая теорема,
которую мы сейчас примем без доказательства. Если

110 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ fll
обобщенная функция /0 сосредоточена в одной точке,
скажем дг0 = 0, то она имеет вид
2
=0
с некоторым (конечным) т.
В силу этой теоремы мы имеем
т
2
- — jU^k
ck bili) ix) = 0.
Применяя свойство 4, получаем со = с1= ... =сот = 0, и,
следовательно,
есть общее решение поставленной задачи при ~кф—1, —2, . ..
Пусть теперь Х =—п есть целое отрицательное число.
Будем предполагать, что f (х)—четная функция при чет-
четном п и нечетная функция при нечетном п. При хфО функ-
функция f(x) должна совпадать с функцией Сх~п. Обобщенная
однородная функция, обладающая этим свойством, известна,
именно, Сх~п. Разность /0 (х) =/(х) — Сх~п, как и выше,
сосредоточена в точке х=0 и есть линейная комбинация
S-функции и ее производных. Снова применяя свойство 4,
получаем, что общее решение уравнения B) при X = — п
имеет вид
/(х) = Сх-п -\- C^n-V ix).
Во всех случаях получаются две линейно независимые одно-
однородные обобщенные функции порядка X.
В /t-мерном пространстве обобщенная функция гк при
Re X >• —п, очевидно, однородная функция степени Л. В силу
свойства 5 она остается однородной всюду, куда она ана-
аналитически продолжается, т. е. всюду в плоскости Л, кроме
точек А — — п, —п— 2, ... Функция &ixt хп) —
однородная функция степени —п, что можно получить как
непосредственно из ее определения, так и с помощью фор-
формулы (9) п. 9.
Используя однородность функций Ь(п~г)(х) и х~п, мы
можем преобразовать формулы разложения S-функции на
плоские волны (п. 10, формулы E) и F)) к аффинно-инва-
риантному виду. Рассмотрим произвольную поверхность S,
звездную относительно точки О; она получается из единичной
сферы умножением радиуса-вектора, идущего в точку
1]
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
111
(о = ((о1, .... (вге), на положительное число /(<•>). Положим
рк = /(ш) шА. В силу однородности функции З^71) (х) мы имеем
8(и-1)(рл+ • • • +рл) = [/(<¦»)]-" s(n-1} Ол-Ь • •+«„*«);
с другой стороны, произведение lf(<a)]nd(a есть элемент dS
поверхности S; поэтому при нечетном п имеет место равенство
= сп Jf «(»-i) ipl
-f- <«Л) d<» =
ds.
D)
Аналогично, при четном п
8(JClt xj = cn
E)
Формулы D) — E) имеют уже афинно-инвариантную запись.
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ*)
1. Присоединенные функции. Однородные функции,
как это следует из их определения, являются собственными
функциями оператора подобного преобразования и:
af(x) — 'f (ад:).
Действительно, если / (дг) — однородная функция степени X,
то
в/(*) = /(а*) ==<**/(*).
У произвольного линейного преобразования, наряду с собст-
собственной функцией /0, отвечающей данному собственному зна-
значению, имеются обычно так называемые присоединенные
функции различных порядков. Функции fu f2, . . ., fk,
называются присоединенными к собственной функции /0
преобразования и, если они удовлетворяют соотношениям:
и/о = «/о-
*) Этот параграф при первом чтении можно пропустить.

112 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
т. е. линейное преобразование и воспроизводит присоеди-
присоединенную функцию &-го порядка с точностью до присоеди-
присоединенной функции (k — 1)-го порядка.
Заметим при этом, что, как легко проверить, сумма при-
присоединенной функции k-то порядка и присоединенной функции
низшего порядка снова представляет собой присоеди-
присоединенную функцию k-то порядка. В конечномерном пространстве,
в базисе, состоящем из собственных и присоединенных век-
векторов линейного преобразования, матрица этого преобразо-
преобразования имеет жорданову нормальную форму. Присоединенные
векторы выбираются при этом так, чтобы постоянная b рав-
равнялась единице.
Возвращаясь к функциям и к оператору подобного пре-
преобразования в области независимых переменных, мы скажем,
что присоединенной функцией 1-го порядка степени. X
называется функция Д (х), которая для любого а > О удо-
удовлетворяет равенству
Д (ах) = о*Л (х) + h (а) /0 (х).
где /0(лг) — однородная функция степени X. Функция Л (а)
однозначно определяется из тождества
вытекающего из рассмотрения Д (афх). Деля обе части этого
тождества на ахрх, получаем, что функция А1(а) = —^ удо-
удовлетворяет уравнению
Как известно, единственным непрерывным решением этого
уравнения является логарифмическая функция. Учитывая еще,
что ЛA) —0, мы получаем:
h(a) = ax In a.
Окончательно мы будем называть /х(х) присоединенной
функцией 1-го порядка степени X, если для любого а ;> О
выполняется условие
Д (ах) = а*Л (х) -+- аЧп а/0 (х). A)
где /0(х)—однородная функция степени X. Например, 1п|лг|
есть присоединенная функция 1-го порядка нулевой степени,
так как для а > О
In \,olx | = In | х | -j- In a.
§ 4. ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ФУНКЦИЙ
Аналогично тому, как это было сделано для обобщенных
однородных функций, определим теперь обобщенные присо-
присоединенные функции. Обобщенная функция ft называется при-
присоединенной однородной функцией 1-го порядка степени X,
если для любого а > О
0, ср),
B)
где /0 — обобщенная однородная функция степени X. Вообще,
для любого k обобщенная функция fk называется присоеди-
присоединенной однородной функцией k-го порядка степени X, если
для всякого а > О
где /&_! — присоединенная функция (k—1)-го порядка.
Выясним теперь, что представляют собой присоединен-
присоединенные обобщенные функции различных порядков и произволь-
произвольной степени X. Для этого заметим, что если Д — обобщен-
обобщенная однородная функция степени X, дифференцируемая
по X, то ее производная по X будет присоединенной функ-
функцией 1-го порядка.
Действительно, продифференцировав по X тождество
имеем:
(Л. ?(-f)) =
х. е. -¦& присоединенная функция 1-го порядка. Анало-
CL К
гично производная по X от присоединенной функции k-ro
порядка есть присоединенная функция (A-(-l)-rb порядка.
2. Разложение функций дг+ и х- в ряд Тейлора и
ряд Лорана. Естественно, что при разложении однородных
функций х\ и им аналогичных в ряд Тейлора или ряд Ло-
Лорана получаются присоединенные функции.
Разложение функции х\ в окрестности регулярной
точки Хо в ряд Тейлора имеет вид
s^jc^ + CX — X0)xx+\nx+-\-^-(k—l0Jx+\nzx+-\- ... A)
8 Зак. 460. И. !Л. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

114 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
В этом разложении участвуют новые обобщенные функции
\^\ (/и = 1. 2. ...).
Здесь т-я функция является присоединенной функцией
т-го порядка. Явные определения этих функций можно
получить либо тем же путем, что и определения обобщен-
обобщенной функции х+, либо /га-кратным дифференцированием по X
формул C) и D) п. 2 § 3; так при Re X. >—я—1, Х'Ф — 1,
— 2, .... —я имеем:
1
(хх+\птх+, <р)=у х
^ (ft—l)!
1 Л = 1
при —ft — l<ReX<—п имеем:
B)
/ хх \пт х у (х) dx =
о
х
— <р @) — ... — ^^ ?(—i> @)] dx. C)
В окрестности полюса X = — п функция хх+ разлагается
в ряд Лорана с главной частью степени —1. Чтобы напи-
написать это разложение в явном виде, выделим из регуляри-
зованного значения интеграла
оо
/ хх ср (х) dx =
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
115
то слагаемое, которое перестает сходиться при
т. е. запишем этот интеграл в таком виде *):
оо 1
f xx?(x)dx = f '
o о
— п,
[tW_... - ^
Сумма интегралов в правой части этого равенства есть
правильная часть ряда Лорана, к которому мы вскоре при-
придем. Она представляет собой аналитическую функцию от X
в полосе |ReA-(-ft|<l. Мы обозначим этот функционал
через F_n(x+, X), Таким образом,
(F_n(x+, X), <p) =
_cp(O) —
- '^ ] «*¦
где 6 (х) — функция, равная Опри х<0 и 1 прих>0.
Иначе говоря, последнее слагаемое под знаком интеграла
принимается во внимание лишь при 0 <С лг ¦< 1, а при х > 1
заменяется нулем; таким образом, написанный интеграл
оказывается сходящимся и при х = 0, и при л = оо.
Особую роль играет значение этого функционала при
Х = — я, которое мы обозначим через лг+п, т. е. значение
при А = — п правильной части лорановского разложения
для х\ в окрестности Х = — я:
оо
*) Вместо J xx+n~1dx мы могли бы вычислить интеграл
1
оо
J х +п~г dx для любого а > 0. При этом пришлось бы paAia-
а
гать в ряд Тейлора ах+п и дальнейшие формулы стали бы более
громоздкими.

116 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Отсюда видно, что обобщенная функция xlj1 есть при-
присоединенная функция 1-го порядка степени —п. Этот функ-
функционал действует на основную функцию ср по формуле
о
D)
Подчеркнем, что обобщенная функция х+п не есть значе-
значение функции хк+ при X — — п; последняя функция при
X—> — п имеет полюс и, следовательно, при X = — п не
существует. Тем не менее, функционал х+п является неко-
некоторой регуляризацией обычной функции xlj1.
Отметим любопытную формулу дифференцирования функции х+п
по х. Мы имеем:
*' @)- ... -
со
~f х-п |> (х) - ср' @) - ... - ^^- Т*""" @)] dx.
Произведем в каждом из слагаемых интегрирование по частям;
в результате получим
(?-;•¦»)-
ъ@)- ... _ fjJV») @NA
@)
2]
Следовательно,
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
d ..-г.
-f
117
E)
Таким образом, хотя мы с обычной функцией х+п и сопоставили
обобщенную, нам пришлось при этом «пожертвовать» обычной фор-
формулой дифференцирования; регуляризация D) не есть каноническая
регуляризация функции х~п.
Полезны также производные по X функции F_n(x+, X)
при Х = — п. Мы обозначим их соответственно
. X)
Х-=—П
легко проверить, что явные определения этих обобщенных
функций получаются заменой в формуле E) х~п соответ-
соответственно на лг~п1плг, х~п\п2х и т. д.
Как мы видим, эти обобщенные функции суть присоеди-
присоединенные функции степени —ли порядков 2, 3, 4, ...
Теперь, после того как введены обобщенные функции
х+п, х+п\пх+, ..., мы можем выписать разложение в ряд
Лорана обобщенной функции лг+ в окрестности точки
Х = — п. Для этого функцию F_n(x+, X) нужно разложить
в ряд Тейлора, и мы получаем:
Тейлорово разложение функции лг^ в окрестности регу-
регулярного значения Хо имеет вид
xl_= хх2 -\-(к — Хо) xkl In л:_ -f- i- (X — ХоJ jcxi in» x_ -+- . . .
Здесь фигурируют новые обобщенные функции х\ 1п7с лг_
(&== 1, 2, ...,); й-я функция есть присоединенная функция
степени X и порядка k. Все они аналитичны по X при

118 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
X Ф—1, —2, ... и определяются в полосе —п—1 <
<ReX<—га формулами
со
(х\ In* х-, <р) = f лгх In*х [ср (— х) — <р @) -f-* ?' @) — . • •
о
¦¦¦ — ( („_Г); ?("-1} @)J dx. F)
Чтобы выписать разложение функции х\ в окрестности
полюса Х==— га в ряд Лорана, выделим и здесь слагаемое,
перестающее сходиться при Х=—п:
о 1
f x\cp(x)dx= f х*[9(— х)—
со
/*Х[ср(— X) —
+ (-
Сумма интегралов справа —это правильная часть искомого
ряда Лорана. Она аналитична при |ReX-J-ft|< 1. Обозна-
Обозначим этот функционал через F_n(x_, X). Таким образом,
(— х)-~<р(О)-Ь*<р'(О)—
Значение этой функции при X = — п., т. е. значение при
X = —п. правильной части лоранова разложения для лг_,
обозначим через xZn, так что
xZn = lim
3]
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
119
Эта обобщенная функция действует на основные функции ср
по формуле
(— x)
и является регуляризацией обычной функции xj*1. Подчерк-
Подчеркнем еще раз, что обобщенная функция xZn не есть значе-
значение аналитической обобщенной функции х\ при X = — я.
Производные по X функции F_n(x_, X) при Х = — я
обозначим соответственно
А
и •-• >¦- ¦> ¦> v~"n1n v-
л_ Ш Х_ ,
Явные определения этих обобщенных функций получаются
из формулы G) заменой х~п на х~п\пх, х~п\п2х, ...
Разложив аналитическую функцию F_n(x_, X) в ряд по
степеням Х-]-я, получаем ряд Лорана для функции хХ-:
х g(»-i) (^ -»_i_n_i_ ^ ~п
~ (л — 1)! (к-\- п) * ~ ' *¦ ^ ~ * ——г . . . \ )
В этом ряду коэффициент при (X-j-ft)^1 есть однород-
однородная функция степени —п, а. коэффициент при (к-\-п)т,
т = 0, 1, 2, ... есть присоединенная функция степени —a
и порядка т -\- 1.
3. Разложение функций |jc|x и | jc jx sgrn _tr. Выпишем
тейлоровы и лорановы разложения функций j х |х и | лг |х sgn х.
Мы получим их, естественно, комбинированием соответствую-
соответствующих разложений для функций хх+ и хХ-. При этом мы опять
введем ряд новых обобщенных функций.
Если Xq — регулярное значение для обобщенной функ-
функции | х Iх, то
1 . , ..
-|+ ••• A)

120 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Здесь введены новые обобщенные функции | х |Л \пк | х [;
k-я функция есть присоединенная функция степени X и по-
порядка k. Все они аналитичны по X при X Ф—1, —3, ...
и определяются при —2т — l<ReX<—2т-\-1 форму-
формулами
( | х |Чп*
со
|, <р)= /
S
—х) —
Аналогично, если Хд — регулярное значение обобщенной
функции | х |х sgn х, то тейлорово разложение этой функции
в окрестности точки Xq записывается в виде
| х |х sgn х = | х |х sgn л: -j- (X — Xq) | х |х" In | х | sgn jc -f-
-f-i-(X —X0J1xjxMn2|^|sgnx+ ... C)
Здесь | x \x In* j x | sgn x — новые обобщенные функции; k-я
из них—присоединенная функция степени X и порядка k.
Все они аналитичны по X при X =? —2, —4, ... и опреде-
определяются при —2т — 2 < Re X < —2т формулами
оо
х jx In* | х ] sgn х, <р) = / хх In* х | 9 (х) — <р (— х) —
?ср'" @)+ • • •
• D)
Если Хо = —2/ге — 1, так что Хд — полюс 1-го порядка
обобщенной функции | х \х, то разложение Лорана этой
функции в окрестности точки Хо записывается следующим
образом:
= 2
Bm)! X + 2m ¦
E)
Аналогично, если Хо=—2т (полюс 1-го порядка функции
| х Jx sgn х), то лораново разложение j x |x sgn x в окрестности
3] § 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
этой точки.имеет вид
| х |х sgn х = — 2
121
Bm —1)!
v~2m
—х-
F)
Z%m~l
Обобщенную функцию х+'"с i-j--v-*"" i мы будем обозна-
обозначать через \х\~%т~1. Результат ее применения к основной
функции <?(х) выражается формулой
(\х\-*т-\?) =
(— 2/и— 2 <ReX< — 2m), G)
где б (лг) имеет тот же смысл, что и выше.
2т
Z2m
Аналогично обобщенную функцию х+2т—xZ2m мы будем
обозначать через \х\~ шtgn х; она применяется к основной
функции ср(лг) по формуле
— ср(— х) —
(— 2т— 1 < ReX<—
1) (8)
и т. д. Окончательно требуемые лорановы разложения запи-
записываются в форме
= 2
(х)
Bт)! X + 2т +
-\-(к-\-2т^-1)\х\-2т-11п\х\-\- ...; (9)
У
Bт —1)!
-(Х-|~2/и)|хГзт1п|х| sgn х-!- ... A0)
I — 2т

122 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
В этих рядах первые коэффициенты §Bot)(jc) и Ь<-2"г~1) (х)
суть однородные функции степени соответственно —2т — 1
и —2т— 2, а следующие коэффициенты — присоединенные
функции той же степени и порядков 1, 2, 3, ...
В частности, полагая в равенстве E) т — 0, получаем
разложение функции \х\х в окрестности полюса Х = — 1:
A1)
При этом функционал [ х\~~1 определяется формулой
со
(\х\-\ <р)= f ?(*) + ?(-*)-2? @)8A-*) dx
X
dx,
A2)
где множитель 6A — x2) указывает, что слагаемое ср(О)
нужно учитывать только при |xK;i, а при |х|>1 заме-
заменить на нуль.
Введенные выше обобщенные функции
не являются значениями аналитических функций \х\* и
|*|xsgn.xr при соответствующих значениях X (—2т—1 и
—2т). В указанных точках функции \х\х и [ х\х sgn x имеют
полюсы 1-го порядка, и величины \х\~2ш~1 и x\~2msgnx
суть значения правильных частей соответствующих рядов
Лорана в этих полюсах.
Можно рассмотреть и обобщенные функции
-2т
X
х
-ат-1
'-2да
¦х-
легко 'убедиться, что первая из них совпадает с обобщен-
обобщенной функцией х~2т (значением | х \х в регулярной точке
Х =—2т), вторая — с обобщенной функцией х~2т~1.
4]
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
123
Мы ввели в п. 5 § 3 нормированные функции
Xх, х\ \х\х \х\х sgn х
A3)
Эти обобщенные функции уже не имеют особенностей. Раз-
Разлагая числители и знаменатели дробей A3) в ряды Тейлора
(или Лорана) и производя по обычным правилам деление
рядов, можно построить разложения полученных функций
в ряды Тейлора в окрестности любой точки X.
Разложение Г(Х-(-1) по степеням X
хорошо известно *); здесь ct = с = 0,505 ... — постоянная
Эйлера, а коэффициенты с2, с3, ... вычисляются по рекур-
рекуррентным формулам
В частности, при Х = 0 получается разложение
г (?l 4-1) i -f- cx+ ...
= б(лг)-(-ХAпд:+—c6(x)L- . . . A4)
4. Функции (лг-(-гО)х и (X—/0)х. Эти обобщенные
функции были введены в п. 6 § 3. Мы рассмотрим их здесь
более подробно. Указанные обобщенные функции для
ReX>—1 были определены как пределы выражений
(x-\-iy)x и (л- — 1у)х при у->-\-0; это привело нас к фор-
формулам
(х + /0)х = х\ + eix* х\, A)
(х — iOf = xx+ -f- e ~ ix*xx-. B).
Правые части формул A), B) допускают аналитическое
продолжение во всю плоскость X; этим аналитическим
*) И. М. Рыжик и И. С. Г*радштейн, Таблицы интегра-
интегралов, сумм, рядов и произведений (изд. 3-е, Гостехиздат, 1951),
стр. 331, формула F.321). В дальнейших ссылках на эту книгу будем
писать кратко: «И. М, Рыжик и И. С- Градщтейн, Таблицы*,

124 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
продолжением мы определяем для ReXw^—1 и левые части
равенств A), B). Мы уже заметили, что при аналитическом
продолжении правых частей особенности в точках Х =— 1,
—2, .. . исчезают; теперь мы найдем в этих точках и сами
значения функций (х-|-гО)х и (х — /0)х.
В п. 2 мы записывали лорановы разложения обобщен-
обобщенных функций хк и хх_ в окрестности точки Х = — п сле-
следующим образом:
х _
Х+ —
(п
¦ I)' (X + л)
~1) (х) ,
-п (*+.
(л —
C)
D)
Здесь F_n(x+, X) и F_n(x_, X)— правильные части рядов
Лорана; их значения при Х =—п обозначены в п. 2 соот-
соответственно через х+п и xZn.
Напишем еще
() = (_1)»[1 ± /(Х + «)тг+ ...]. E)
Подставляя выражения C)—E) в правые части формул A)
и B), сокращая члены с особенностями и переходя к пре-
пределу при Х-> — п., мы получаем:
(х ±tOyn = x-+
В п. 3 мы отмечали, что при четном п = 2т
I v- iA I
а при нечетном п = 2т-\-1
Таким образом, окончательно
= [ х I sgn
4] § 4. ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ФУНКЦИЙ
В частности, при п = 2
125
;г ... ^
—nzy
^(» (9)
Отметим, что, как видно из формул A) и B) при
X Ф—1, —2, ... и из формул F) и G) при Х = — п =
= — 1, —2
x-i
,x-i
±
A0)
(И)
Так как при дифференцировании индекс понижается на еди-
единицу, то формулы A0) и A1) можно было бы положить
в основу определения обобщенных функций (лг-]-Ю)х и
(х — Ю)х при Хф—1, —2, ... Например, (х-\- 10)~"/з
можно было бы определить как —2-т-(х-\-Ю)~1/2, где
-} дифференцирование в смысле обобщенных функций,
а (х-\- i0)~1/s — локально интегрируемая функция, опреде-
определенная формулой A) при Х = — у.
Формулы A0) и A1) указывают еще и на следующее
важное обстоятельство: при X Ф—1, —2, ...
lim (х-Н.У)х=(*-Н0)\ A2)
lim
->¦—о
A3)
8 смысле обобщенных функций. Действительно, для доста-
достаточно больших ReX это следует из самого определения этих
функций,а при дифференцировании в смысле обобщенных функ-
функций сходящаяся последовательность переходите сходящуюся.
В целых отрицательных точках —п функции (х-\-Ю)~п
и (х — Ю)~п можно также вводить при помощи дифферен-

126 гл. i. простейшие свойства Обобщённых функций [4
!n(jc4-*)= lim 1
производная которой равна
Acln(x + i0) = l-i
Отсюда и из формулы F) при п = \ мы видим, что
цирования. Напомним, что выше (§ 2, п. 2, пример 6)
была введена (локально интегрируемая) функция
zQ(—x), A4)
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
Аналогично A4) можно ввести
1п(дг — Ю)= lim ln(x4-0/)
у •> -о
Производная этой функции равна
т. е. в силу формулы G) при я= 1,
-?.in(* —/о) =
¦wO(
х —70 *
Таким образом, обобщенные функции (х + /0) * мы могли бы
определить формулами A6) и A9), а (х + Ю)~и в осталь-
остальных целых отрицательных точках — снова при помощИ'фор-
мул A0) и A1).
Так как предельные соотношения A4) и A7) имеют
место и в смысле обобщенных функции, то мы получаем,
что предельные соотношения A2) и A3) при всех X вы-
выполняются в смысле обобщенных функций.
Это позволяет, например, вместо формул (8) и (9)
написать:
Нт
?(¦*)
dx =
<@).
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
127
5. Разложение функций (х -\- iOI и (х — /0)х в
ряд Тейлора. Обобщенная функция (х~\-Ю)х как целая
функция параметра X при любом значении Xq разла-
разлагается в ряд Тейлора по степеням X — )Ч), сходящийся при
всех X:
(х -+- Ю)х = (х + Ю)Х° -+- (X — Хо) (jc -f- W)x» In (х + Ю) +
+ I (X — ХоJ (х + Ю)х" In2 (x-f- Ю) + .. . A)
Написанные в равенстве A) новые обобщенные функции
(x-\-i0) " In (x -j- Ю), . . . суть последовательные производные
по X от (х'-\-Ю)х при X —Xq. Явные выражения этих обоб-
обобщенных функций можно получить, если сравнить разло-
разложение A) с аналогичным разложением по степеням X — Xq
развернутого выражения
(х -+- Ю)х = х
xk_.
Мы имеем при этом для
—1, —2, . . .
— *о) х\ In х+ -h-i (Х — ХоJ
X (xl + (X —
f
B)
C)
D)
Сравнивая коэффициенты ряда A) и ряда, получаемого
подстановкой рядов C) и D) в формулу B), получаем,
заменяя снова Xq на X:
(х -j- /0)x In (х + Ю) =
(jc-f/0Ln8
= д:Х+ In2
+
In
ci In2 x_
х_ In *_
x_ In лг_, E)
— к2х\] F)
и т. д.
Эти формулы справедливы при X Ф—1, —2, ...
Разложение функции (х — /0)х в ряд Тейлора по степе-
степеням X — Хо имеет вид
(х — /0)х =^ (х — /0)х° 4- (X — Xq) (х — /0)х° in (л: — Ю) 4-
"+" у(Х—^ ^х -/0)п2 (х — Ю) +- • • •

128 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Мы обозначили здесь через
(х — Ю)Чп(* — /0), (х — /0)Чп2(х — /0). ...
последовательные производные по А целой функции (х — /0L
Таким же путем, как и выше, можно получить формулы
(х — Ю)х In (jc—Ю) = х\ \пх+—1ъе~1ых\ -\- e~aV_ In jc_, (8)
(х—Ю)Чп2(х—Ю)==
= х+ In2 х+ + в"**[xl In2 x_ — 2/irxx_ In *_ — ъ*х\]
(кф — \, —2, ...) (9)
И Т. Д.
Для получения соответствующих формул при \, равном
целому отрицательному числу — и, мы вместо формул C)
и D) рассмотрим соответствующие ряды Лорана:
.... (Ю)
X _ б*"-1) (дг)
-.., A1)
Умножая A 1) на A2) и складывая с A0), находим:
3 (л — 1)!
_1М ~Г
A2)
A3)
6] § 4. ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ФУНКЦИЙ
Таким образом, мы получаем:
)~п In (х + Ю) =
129
= (-1)"fa*=»+ (-l)"-1^
(х -f- /0) "n In2 (x + Ю) =
= (—1) I-g- (n_1)t
Н-2/те(— 1)и
~»In
(И)
A5)
и т. д.
Формулы A4) и A5), как следует из общих соображе-
соображений, представляют собой результаты предельного перехода
при Хд—>—п в формулах E) и F). Аналогично
(л: — Ю)~п In (jc — /О) = ( — 1)
П— 1 . „—
2 (я—1I
A6)
_3 s(n —1
5
( — l)n~\xZlnx_^-x-n\n2\x\. A7)
Читателю предоставляется самому определить, какие из
введенных функций однородные или присоединенные той или
иной степени и порядка.
6. Разложение функции гх. Обобщенная функция гх
была введена в п. 9 § 3 по формуле
\ ср) = JV ср (х) dx.
A)
пригодной при ReX>—п. Очевидно, что функция гх
при этих значениях X есть однородная функция степени X.
Мы преобразовали в п. 9 § 3 формулу A) к виду
где
9 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

130 гл. i. простейшие Свойства обобщенных функций {&
есть среднее значение основной функции <р(лг) = y(xL, .... хп)
на сфере радиуса г. Таким образом, (гх, ср) совпадает с ре-
результатом применения функционала 2пх+ (р = ~к-\-п—1)
к четной основной функции S4(r) и, следовательно аналити-
аналитически продолжается в плоскость X, за исключением лишь
точек Х= — п, —п—2, ... Очевидно, что при этом про-
продолжении гх остается однородной функцией степени X.
Разложение функции гх в ряд Тейлора или ряд Лорана
можно получить непосредственно из соответствующих раз-
разложений функции Qnx%. Например, ряд Тейлора в окрест-
окрестности регулярной точки Xq имеет вид
гх = Л> -f- (X — Хо) /*» lnr-f-i-(X — XqJ rMn2 r-}- ....
где под rx° \nk r понимается функционал, действующий по
формуле
(гх« 1пь г, ср) =
со
= Qnf *+«-i|n*r
- ср(О) -... ~
при — /те — # <CReXo<< — т — п-\-\.
Выпишем разложение функции гх в ряд Лорана в окрест-
окрестности точки Х = — п—2k. Это разложение, естественно,
совпадает с разложением в ряд Лорана для функции &пх%
в окрестности точки [а = —2k— 1 (п. 3), так что мы имеем:
X + п -f- 2ft ^ »
. . . B)
Здесь под г~'ш~п \пт г понимается функционал
(г-2к~п1птГг
=У г-»-* In» г [59 (г)— ср(О)— ...
'A— г)] dr. C)
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
131
Заметим, что /•-2A~re не есть значение обобщенной функ-
функции гх при Х=—2k—п (последняя функция имеет полюс
при этом значении X), а значение при Х = —2k — п глав-
главной части лоранова разложения гх.
В приведенных выше разложениях обобщенная функция
гх> \пк г является присоединенной функцией степени Xq и по-
порядка k, а г~2к-п1пт г — присоединенной функцией степени
—2k—п и порядка т.
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В классическом анализе часто используется операция
свертки двух функций f(x) и g(x):
A)
В анализе обобщенных функций аналогичная операция имеет,
пожалуй, еще более существенное значение.
Определение операции свертки в области обобщенных
функций опирается на понятие прямого произведения обоб-
обобщенных функций. Поэтому мы начинаем с описания прямых
произведений (п. 1). В остальных пунктах этого параграфа
будет введена и изучена операция свертки и будут указаны
примеры ее применения.
1. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть
даны обобщенная функция f(x), определенная на простран-
пространстве Хк основных функций от k независимых переменных
хи х2, .... хк, и обобщенная функция g(y), определенная
на пространстве Ym основных функций от т независимых
переменных _ylf y2, .... ут. С помощью этих обобщенных
функций мы определим обобщенную функцию h{z) на про-
пространстве Zn основных функций от п = k -\- m независимых
переменных z1 = x1, zz = x2,..., zh = xh, zlc+l=yx,
гк+2=У2> ¦'-, zn=ym. Для этого поступим следующим
образом. Основную функцию <р (дг) будем обозначать теперь
через ср(лг, у). Зафиксируем х и рассмотрим ср(лг, у) как
функцию только от у. Очевидно, это основная функция
в пространстве Ym. Применим к ней функционал g(y); в ре-
результате получим некоторую функцию ty (x). Эта функция

130 гл. i. простейшие Свойства обобщенных функций \В
есть среднее значение основной функции <р(лг) =cp(xit .... хп)
на сфере радиуса г. Таким образом, (г\ <р) совпадает с ре-
результатом применения функционала Qnx% (jj. == X -f-л — 1)
к четной основной функции S9(r) и, следовательно аналити-
аналитически продолжается в плоскость X, за исключением лишь
точек Х =—п, —п—2, ... Очевидно, что при этом про-
продолжении гх остается однородной функцией степени X.
Разложение функции гх в ряд Тейлора или ряд Лорана
можно получить непосредственно из соответствующих раз-
разложений функции Qnx%. Например, ряд Тейлора в окрест-
окрестности регулярной точки Xq имеет вид
r-t-i-(X —
где под rx° \nk r понимается функционал, действующий по
формуле
In* г, <р) =
{m-
при —т — п <ReX0< —та_й_^. i.
Выпишем разложение функции гх в ряд Лорана в окрест-
окрестности точки Х = — п—2k. Это разложение, естественно,
совпадает с разложением в ряд Лорана для функции &пх%
в окрестности точки ;а = —2k— 1 (п. 3), так что мы имеем:
B)
Здесь под г~21с—п\пт г понимается функционал
C)
1]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
131
Заметим, что г*-" не есть значение обобщенной функ-
функции гк при Х=—2k—п (последняя функция имеет полюс
при этом значении X), а значение при Х = —2k — п глав-
главной части лоранова разложения гх.
В приведенных выше разложениях обобщенная функция
гх« \пк г является присоединенной функцией степени Xq и по-
порядка k, а г~2к-п \пт г — присоединенной функцией степени
—2k — ft и порядка т.
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В классическом анализе часто используется операция
свертки двух функций f(x) и g(x):
A)
В анализе обобщенных функций аналогичная операция имеет,
пожалуй, еще более существенное значение.
Определение операции свертки в области обобщенных
функций опирается на понятие прямого произведения обоб-
обобщенных функций. Поэтому мы начинаем с описания прямых
произведений (п. 1). В остальных пунктах этого параграфа
будет введена и изучена операция свертки и будут указаны
примеры ее применения.
1. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть
даны обобщенная функция /(х), определенная-на простран-
пространстве Хк основных функций от k независимых переменных
хи х2. ..., хк, и обобщенная функция g(y), определенная
на пространстве Ym основных функций от т независимых
переменных у1г у%, .... ут. С помощью этих обобщенных
функций мы определим обобщенную функцию h(z) на про-
пространстве Zn основных функций от п = k-\-m независимых
переменных zx = хи z2 = х2, . . ., zk = хк, zk+l =yu
zk+2== Уг> •••. zn=ym. Для этого поступим следующим
образом. Основную функцию ср {х) будем обозначать теперь
через ср(лг, у). Зафиксируем х и рассмотрим <о(х, у) как
функцию только от у. Очевидно, это основная функция
в пространстве Ym. Применим к ней функционал g(y)\ в ре-
результате получим некоторую функцию ф (л;). Эта функция
9*

132 ГЛ. 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
бесконечно дифференцируема по х, так как
j, у) —^{х, у)
с у)
в силу того, что последовательность
, У)
<р (X +
— <р (ДГ, у)
^
'
сходится к д ' в смысле сходимости в пространстве Ym
и функционал g(y) непрерывен. Очевидно также, что функ-
функция ф(л^) финитна. Таким образом, ty(x) — основная функция
в пространстве Хк, и к ней можно применять функцио-
функционал f(x). Итак, выражение
(/(х), (g(y), <?(x, у))) B)
имеет смысл. Это некоторый функционал на пространстве Zn;
из непрерывности функционалов g(y) и f(x) можно вывести,
что этот функционал непрерывен *). Мы обозначим его
через h (z) =f(x) X g(y) и назовем прямим произведением
функционала f(x) на функционал g(y).
'*) Пусть последовательность функций <р,, (дг, у) стремится
к нулю в пространстве Zn; нам нужно показать, что числа
</(*). С*00. чЛх, у)))
стремятся к нулю. Для этого достаточно показать, что функции
«pv (х) = (g (у), <pv (дг, у)) остаются равными нулю вне одной и той же
ограниченной области и равномерно сходятся к нулю вместе со
всеми производными. Первое — Очевидно, поскольку «р.» (х, у) равны
нулю вне фиксированной области в пространстве переменных
Х\, ¦ • ¦. Ут- Допустим, что ф„ (х) не сходятся равномерно к нулю.
Это означает, что для некоторого е~>0 найдется последователь-
последовательность точек хк >, ..., х( ', ... такая, что
I -К (*-,) I = I (g (У), <PV (х„ у) ) | > е.
Но так как последовательность ср^ (х, у) равномерно сходится
к нулю вместе со всеми производными, то функции <р* (у) = <р (д: у)
сходятся к нулю, как основные функции в пространстве Ут. В силу
непрерывности функционала g (у) мы должны иметь
(g (У), «р* (У)) = (g (У), <р, (*,, У)) —0
в противоречие с предположением. Итак, фч (х) равномерно сво-
сводятся к нулю; аналогично доказывается равномерная сходимость
к нулю и всех производных этой последовательности, чем доказа-
доказательство и завершается.
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
133
Особенно просто выглядит прямое произведение в приме-
применении к основной функции <р (х, у), являющейся произведе-
произведением основных функций <?i(x) и <р2(У)- В этом случае,
согласно определению прямого произведения,
(f(x)Xg(y). ?i(*)?8Су)) = (/(*). (g(y). <pi(*)<feCy))) =
та). C)
Примеры. Прямое произведение 8 (дг) X 5 (у) есть 8 (х, у).
Прямое произведение 8 (д:) X 1 (у) есть функционал, действующий
по формуле E (дг) X 1 (у), <р (х, у))= J <р @, у) rfy.
Прямое произведение двух регулярных функционалов f(x)
и g(y) есть регулярный функционал, отвечающий функции f(x)g (у).
Носитель прямого произведения. Напомним,
что совокупность всех точек, из которых каждая обладает
тем свойством, что ни в какой ее окрестности обобщенная
функция / не равна нулю, мы назвали в п. 4 § 1 носителем
обобщенной функции /. Пусть нам известны носители F и О
функционалов / и g; спрашивается, как описать носитель
функционала h=fXg. Ответ следующий: носитель Н
функционала h есть прямое произведение F X О носите-
носителей fug; иначе говоря, совокупность Н состоит из тех и
только из тех пар (х, у), у которых первая координата х
принадлежит множеству F, а вторая у — множеству О.
Действительно, рассмотрим точку (л:0, у0), у которой
одна из координат — для определенности х0 — не принад-
принадлежит соответствующему носителю. Это означает, что функ-
функционал / обращается в нуль на всякой основной функции <р(х),
обращающейся в нуль вне некоторой фиксированной окрест-
окрестности U точки х0. Рассмотрим произвольную основную функ-
функцию ip(x, у), отличную от нуля только при x?U, и покажем,
что (/ X g, 9 (х, у)) = 0. Согласно определению,
(fXg. cp (*. у)) = (/ (у), (g(x), cp О, у) )) = (/ Су), 0) = 0;
следовательно, функционал fX.g обращается в нуль в окре-
окрестности точки (х0, у0).
С другой стороны, если х0 и у0 принадлежат к мно-
множествам F я О, то для любой окрестности точки (х0, у0),
очевидно, можно указать функцию, вида <?(x)ty(y), обра-
обращающуюся в нуль вне этой окрестности, на которой

134 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
функционал fXg имеет ненулевое значение. Тем самым
справедливость нашего утверждения установлена.
Коммутативность и ассоциативность. Имеют
место формулы
fix) X [g(y) X *(*)} = {/(х) X g(y)} X Л (z)
. J
D)
Для доказательства заметим, что поскольку в обеих частях
равенств стоят непрерывные функционалы, достаточно про-
проверить эти равенства на плотном множестве основных функ-
функций. Для проверки первого равенства мы возьмем плотное
V
множество функций вида 2 9j (¦*) % 00. гДе fj (*)• Ь (У)
(У=1, 2, .... v; v=l, 2, ...) — основные функции соот-
соответствующих переменных *). Мы будем иметь тогда
(/ (*) X g(J). 2 Ь (х) ф,- (у)) =
= 2 (/ (х) X g(y). Ь (¦*)ф,- (у)) = 2 (/ (х), ь (х)) (g(y), ф, (у))
и аналогично
(g(y)Xf(x), 2?у(*)фуСУ)) = 2(^(Л. Ф,О0 )(/(-*). Ь(х)),
что и требуется.
Для проверки второго равенства аналогичная выкладка
проводится с основными функциями вида 2 fj (•*¦) Ф^ (У) Xj С2)-
2. Свертка обобщенных функций. Если f(x) и g(x) —
две абсолютно интегрируемые функции на прямой и /г(лс) =
= / (х) -х- g(x) — их свертка, то выражение функционала,
*) Множество таких функций действительно плотно в про-
пространстве К.. Если, например, основная функция <j> (х, у) обращается
в нуль вне квадрата Q = { | л: [<; я, I^K а}, то для заданного
е = 1/^, пользуясь теоремой Вейерштрасса, мы построим много-
многочлен Pv (х, у), который в квадрате Q' = { | х К 2а, \ у |<! 2а}
отличается от <р (х, у) меньше чем на s вместе с производными до
порядка -t. Пусть, далее, Ъ (х) — фиксированная основная функция,
равная 1 при |д:|<;д и равная 0 при \х\~^2а. Тогда при ?->0
функции Р,, (х, у), b (x) b (у) стремятся к функции <р (х, у) в про-
пространстве /С-
2]
§ 5. свертка обобщенных функций
135
определяемого функцией (также абсолютно интегрируемой)
h(x), мы можем преобразовать следующим образом:
x — 5) d\ | cp (x) dx =
Иными словами, искомый результат есть результат приме-
применения функционала f(x)g(y), который можно считать прямым
произведением функций f(x) и g(y), к функции <р(х-\-у).
Естественно общее определение свертки любых обобщен-
обобщенных функций fug задать формулой
(/¦?. ?) = (/(*) Х^СУ). ?(*¦+•»)- A)
Но здесь следует иметь в виду, что ср (лг —|—З') — Уже не
финитная функция в пространстве переменных х, у и по-
поэтому формула A), вообще говоря, не имеет смысла.
Однако в довольно общих предположениях, которые мы
сейчас укажем, формула A) все же имеет смысл.
Как мы видели в предыдущем пункте, носитель прямого
произведения функционалов /(х) и g(y) есть прямое произ-
произведение носителей этих функционалов. Равенство A) будет
иметь смысл, если полоса | л: —|—j/1 -^ а, в которой заключен
носитель функции <?{х-\-у), имеет лишь ограниченное пере-
пересечение с носителем прямого произведения / X g- В этом
случае функцию <р (х -J-у) можно заменить 'в полосе | х -\-у ] ^ а
финитной функцией <?(х,у), не изменяя ее значений в точках
пересечения полосы с носителем функционала f X g> но
тогда уже определено значение
(JXg. ?(*. у))
и, как легко проверить, оно не зависит от выбора значений
функции ср(лг, у) вне указанного пересечения.
В частности, равенство A) имеет смысл в следующих
случаях:
а) один из функционалов f, g имеет ограниченный
носитель;
б) носители обоих функционалов /, g ограничены с одной
и той же стороны (например, /=0 при х <С a, g—Q
при у < д).

136 ГЛ. Ь ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Рассмотрим сначала случай а). Пусть, например,
f(x)—финитный функционал, т. е. имеющий ограничен-
ограниченный носитель, a g(y)—произвольный функционал. Тогда
(f*g. <?) = (/(x)~Xg(y), <?(x-\-y)) =
= (gO>). (/(*). <р(*-Ъ0)). B)
Функция (/ (x), f (x -\-y)) бесконечно дифференцируема
и обращается при достаточно больших )у\ в нуль, так как при
больших \у\ носители функции <р (х -\-у) и функционала f(x^
не пересекаются. Поэтому функция (/ (л:), <р (х -\-у)) — основ-
основная по у и применение к ней функционала g(y) имеет смысл.
Если, наоборот, g(y)— финитный функционал, а /(х)—
произвольный, то функция (/ (х), ср (jc —(— _у)) бесконечно
дифференцируема, но, вообще говоря, не финитна; но так
как функционал g(y) финитный, то возможная нефинитность
(/ (х), у(х-\-у)) не играет роли и результат B) по-преж-
по-прежнему имеет смысл.
Рассмотрим теперь случай б): предположим, что носи-
носители функционалов f(x) и g(y) ограничены, скажем, слева.
Рассмотрим функцию (/(х), <р (лг-\-у)). Как и ранее, это
бесконечно дифференцируемая функция от у. При доста-
достаточно больших положительных у носитель функции <р(х-\-у)
не пересекается с носителем функционала f(x); поэтому
при таких у функция (/(х), <$(х-\-у)) обращается в нуль.
Таким образом, функция (/(х), ц>(х~\-у)) имеет носитель,
ограниченный справа. Так как носитель функционала g(y)
по условию ограничен слева, то пересечение носителей
ограничено и правая часть формулы B) имеет смысл.
Таким образом, в указанных случаях а), б) свертка
функционалов /, g имеет смысл. В частности, всегда
определена свертка 3-х-/, Db*f, где D — любой дифферен-
дифференциальный оператор; это вытекает из того, что функционалы S,
Db сосредоточены в одной точке.
Найдем свертку 8*/. Согласно определению
<р) = (8(*)Х/О>). 9(х+У)) =
= (/W.(8D <р(*-Ку))) = С/О0. <рО0) = (/. <р)-
Таким образом, для любого функционала /
§*/ = /. ' C)
Аналогично
Db*f = Df. D)
2]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
137
В силу общих свойств прямого произведения функцио-
функционалов свертка функционалов коммутативна, по крайней
мере, в случаях а) и б):
Аналогично можно написать равенство, выражающее свой-
свойство ассоциативности:
предположив, что носители двух из трех функционалов /,
g, h ограничены с обеих сторон или что носители всех
трех функционалов ограничены с одной и той же стороны.
Выведем следующую формулу дифференцирования
свертки:
Df Df fD E)
В дальнейшем эта формула будет часто применяться.
Имеем:
(D(f*g), ?) = (/*?. ?>*<?).
где, например, D* = (—1LD, если D — однородный диффе-
дифференциальный оператор порядка v. Далее согласно опреде-
определению свертки,
(f*g. D*<?)=(g(y), (f(x), D*c?(x-\-y))) =
= (g(y)- (?>/(*). 9(x-\-y))) = (Df*g. cp),
откуда D(f*g)—Dfyrg, Далее, поскольку свертка ком-
коммутативна,
и тем самым формула E) установлена.
Установим полезную лемму о непрерывности свертки.
Лемма. Из fv—>f следует f4*g-*f*g при каждом
из следующих предположений:
а) все функционалы /„ сосредоточены на одном и том же
ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном мно-
множестве;
в) носители функционалов /„ и g ограничены с одной
и той же стороны и притом не зависящей от v кон-
константой.

138 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Доказательство. По
любой основной функции <р
определению свертки, для
F)
В случае а) функцию (g(x), <р(х-\-у)) можно заменить
основной функцией $(у), равной нулю вне области, в кото-
которой сосредоточены все функционалы /„ (у); поэтому
т. е.
f**g-*-f*g.
что и утверждалось.
В случае б) ф (_у) = (g (лг), <р (* + >)) есть основная функ-
функция; отсюда, так же как и выше, получаем требуемое.
В случае в), если для определенности предположить,
что носители функционалов fvng ограничены слева, то
функция ф (у) = (g(x), <р (х -f-у)) имеет ограниченный справа
носитель; ее можно заменить основной функцией, обращаю-
обращающейся в нуль вне области, в которой сосредоточены все
функционалы /„ (у); отсюда, как и выше, получаем требуемое.
Лемма доказана.
Следствие. Если функционал / — ft зависит от
параметра t и существует производная -gift *)> т0 фор-
формула
справедлива в каждом из следующих предположений:
а) функционалы ft сосредоточены на одном и том же
ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном мно-.
жестве;
в) носители функционалов ft и g ограничены с одной
и той же стороны и притом не зависящей от t кон-
константой.
*) Подробнее о дифференцировании по параметру мы будем
говорить в добавлении 2.
3]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
139
Доказательство легко приводится к доказательству леммы,
dft
если учесть, что производная -^ есть предел отношения
ft+м /*
при
0.
3. Ньютоновский потенциал и фундаментальные реше-
решения дифференциальных уравнений. Классическая формула
ньютоновского потенциала для распределения массы с ку-
кусочно гладкой финитной плотностью \ь (Xj, x2, х3) имеет
вид
U (jCi, Х2, Х3) =
= _J_ Г Г Г
4* J J J
b 6»,
— xtf + Fi — xtf + (ga —.
СО-
Известно, что u(xu x2, x3) — функция, обладающая произ-
производными до 2-го порядка и удовлетворяющая уравнению
Пуассона
Аи (хи хг, х3) = (I (хъ х2, х3).
Формулу A) можно записать в виде свертки
Здесь [л может быть' уже любой финитной обобщенной
функцией. При этом в общем случае и есть обобщенная
функция. Оказывается, что формула Пуассона имеет место
и в общем случае; действительно, вспоминая формулу
•Д— = — 4тс8 (§ 2, п. 3), мы можем написать:
Пусть теперь
B)
— любое линейное дифференциальное уравнение с постоян-
постоянными коэффициентами и произвольной обобщенной функцией jx
в правой части. Назовем фундаментальным решением

140 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
дифференциального уравнения B) функционал Е(х), удов-
удовлетворяющий уравнению
P(D)E=b
(функционал Е определен с точностью до решения однород-
однородного уравнения). Когда фундаментальное решение Е известно,
решение уравнения B) может быть записано в форме свертки
U = [А ¦#¦ Е,
если, например, [а — финитная обобщенная функция. Дей-
Действительно,
Р (?>) а = р. * Р (D) Е = F * § = jj..
Так, для оператора Лапласа в трехмерном пространстве
фундаментальным решением служит регулярный функцио-
функционал Е —— -—. В «-мерном пространстве фундаменталь-
фундаментальным решением для оператора Лапласа при п > 2 служит
регулярный функционал— _ 2 у —¦¦_-, где 2„—поверх-
2„—поверхность единичной сферы, а при п = 2 — регулярный функ-
функционал — ^— In —.
В качестве примера покажем еще, как строится фунда-
фундаментальное решение обыкновенного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами *):
—f— п^
C)
Пусть щ (х) ип (х) — фундаментальная система решений
однородного уравнения
а0 и{п) (х) -f- ах и{п~Х)(х) -\~ . . . -\-ап а (х) = 0. D)
Положим
_ [А (х) =ах их {х)-\-.. . + а„ ап (х) при х < 0,
и подберем постоянные at и р^- так, чтобы удовлетворялось
уравнение C). Поскольку дельта-функция является произ-
*) По существу, используется лишь наличие фундаментальной
системы решений, которое имеет место и для переменных коэффи-
коэффициентов— лишь бы только коэффициент а<) не обращался в нуль.
31
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
141
водной функции 6 (х), равной 1 при х > 0 и 0 при х < 0,
достаточно потребовать, чтобы в точке х = 0 выполнялись
условия:
А@) = В @), А' @) = В' @) , А{п~2) @) = В(п'2) @), )
Полагая at — pi = fi (г = 1, . . ., га), получаем для чисел
систему уравнений
TiB1@)-r-...-T-Tnen@)=0.
Tl
.. 4- т„
= о,
F)
Tl u<?-V @) -h . . . + Тя u%-V @) = 1 •
Эта система всегда разрешима, так как ее определитель
есть вронскиан фундаментальной системы решений их(х),...
. . ., ип (х) и, следовательно, нигде не равен нулю.
Таким образом, фундаментальное решение строится
с большим произволом: однозначно определяются только
разности fi- Этот произвол объясняется очень просто:
фундаментальное решение определено с точностью до при-
прибавления любого решения однородного уравнения D). Он
используется для построения функций Грина—фундамен-
Грина—фундаментальных решений, удовлетворяющих тем или иным гранич-
граничным условиям**).
Пример. Рассмотрим уравнение
Е"--=Ъ{х). G)
В этом случае можно взять «t = 1, и2 = лг, следовательно,
А (х) = al -f- а2х, B(jc) = pi-f-p2Jf.
Для ft = оц — р^ получаем значения
Таким образом,
Е = $1-{-%х-±-х+.
Это, разумеется, можно было сразу увидеть из уравнения G).
*) См., например. М. А. Н а й м а р к. Линейные дифферен-
дифференциальные операторы, Гостехяздат, 1954.

142 гл. г. простейшие свойства обобщённых функций D
В § 6, а также в § 2 гл. III мы построим фундамен-
фундаментальные решения для широкого класса уравнений в частных
производных.
4. Интеграл Пуассона и фундаментальное решение
задачи Коши. Классическая формула Пуассона в теории
теплопроводности имеет вид
A)
где а (?), скажем,—финитная интегрируемая функция. Из-
Известно *), что а (х, t) обладает производной по t и двумя
производными по л: и удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности
ди_д^
dt ~ dxi W
с начальным условием
и(х. O) =
C)
Функция а (х, t) выражает температуру точки х бесконеч-
бесконечного стержня в момент t, если известна начальная темпе-
температура [* (х) при ? = 0. Формулу A) можно записать в виде
свертки
и (х, 0 = |х (х) *-±=е~п . D)
Здесь в качестве [а можно взять уже любую финитную
обобщенную функцию. При этом в общем случае функция
и (х, t), определенная формулой D), есть, конечно, обоб-
обобщенная функция (зависящая от параметра t). Докажем, что
эта обобщенная функция снова удовлетворяет уравнению
теплопроводности B) с начальным условием C).
Прежде всего заметим, что при t >• 0 дифференцирова-
дифференцирование функции
v(x. t) = —^
'it
*) В. И. Смирнов, Курс, т. II, 1957, п. 204, стр. E06.
§ 5. СВЁРТКА ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
143
рассматриваемой как обобщенная функция, по х и по пара-
параметру t равносильно ее обычному дифференцированию по х
и t. В силу следствия из леммы о непрерывности свертки (п. 2)
¦г?¦*(*. о
и в силу формулы дифференцирования свертки (п. 2)
v.
Таким образом,
д
Но
^
dt
-?s Ьт^=-«~«^0.
так что [л*г> действительно является решением уравнения
теплопроводности.
1
С другой стороны, поскольку
4*
при
0
2 V л^
имеет пределом в смысле обобщенных функций дельта-функ-
дельта-функцию Ь(х) (см. § 2, п. 5, пример 2), мы имеем при ?—»¦ 0,
согласно лемме о непрерывности свертки (п. 2),
что и утверждалось.
Пусть теперь
да
— любое дифференциальное уравнение с постоянными коэф-
коэффициентами. Поставим задачу Коши: найти решение этого
уравнения (обобщенную функцию, зависящую от t как от
параметра), обращающееся при t = 0 в заданную обобщен-
обобщенную функцию ио(лг).
То частное решение задачи Коши, которое обращается
при t = 0 в 8 (х), называется фундаментальным решением
этой задачи и обозначается через E(x,t). Для уравнения

144 гл. I. простейшие свойства оёобщённЫх функций D
1 --
теплопроводности им является функция —-^=- в и . Если
известно фундаментальное решение, то решение задачи Коши
с начальным условием ио(х) — в предположении, что функ-
функционал Uq(x) финитен — можно выразить сверткой
и(х, t) = E(x, t)*uQ(x).
Действительно, мы имеем, с одной стороны, при t > О
А
с другой стороны,
lim а (х, t) = [ lim Е (х, t)\ ¦# и0 (х) = 8 (х) *¦ щ (х) = а0 (х),
to
что и утверждается.
Можно рассмотреть и более общий случай линейного
уравнения
р(д —\и(х Л—-О (Ъ
^\dl' dx)u(-x' l) — u (D)
некоторого, например т-го, порядка по t, также с постоян-
постоянными коэффициентами. Задача Коши здесь состоит в том,
чтобы найти решение и (х, t) уравнения E), удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям:
. ч du (х, 0) . ч dm~x ' - m
и(х, 0) = а0(х), \' ' = их(х) -
dt
F)
Фундаментальным решением уравнения E) называется
решение Е(х, t), удовлетворяющее начальным условиям
dE (х, 0)
Е (х, 0) = 0.
dt
:0
dtm
— а
о,
dtr
G)
§
4]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
145
Если обобщенная функция ит_1(х) финитна, то решение
задачи Коши для уравнения E) с начальными условиями
dt™-1
можно записать в виде
и (х, t) = E (х.
(8)
(9)
Эта формула годится и для любой ит_1(х), если финитно
фундаментальное решение Е(х, t).
Действительно, построенная функция и(х, f), с одной
стороны, есть решение уравнения E), поскольку дифферен-
дифференциальный оператор Р\-^7> ^—) можно отнести к Е(х, t);
далее, при t—>0 мы имеем:
и(х, t)-*E(x, 0) ?rttm_t (x) — 0,
ди(х, t)_dE{x, 0) „„ ,._п
dt
dt
Um-X (X) = Um_x (X).
dtm-l dtm~X
Пример. Рассмотрим уравнение струны
{ — со<х<ск>) A0)
и покажем, что фундаментальным решением задачи Коши
для этого уравнения служит функция
Е(х. t) =
y ПРИ
@ при | х | > t.
Действительно, при фиксированном t > 0 мы имеем:
Ю Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

146 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
а при фиксированном х, дифференцируя Е(х, t) по пара-
параметру t, находим:
-|8'(*- о.
A1)
так что уравнение A0) удовлетворяется.
Далее, устремляя в формуле A1) t к нулю, получаем:
дЕ (х, t)
dt
так что удовлетворяется и начальное условие, определяющее
фундаментальное решение задачи Коши (очевидно, что
сама Е(х, t) при t—>0 имеет пределом 0).
Отсюда получаем формулу решения задачи Коши для
уравнения струны A0) с начальными условиями
и(х. 0) = 0.
Согласно формуле (9) мы имеем (считая щ(х) локально
интегрируемой функцией)
оо
и (х, f) = E (х, t) * Bl (x) = j E E, /) ai(x — 5) d\ =
-co
t CB+t
l(x — Z)dZ=± f Bl
x-t
В данном случае фундаментальное решение Е(х, t) — финит-
финитная функция; поэтому свертка Е(х, t)* at (д;) существует
для любой обобщенной функции а^(х).
Теперь можно перейти к самому общему случаю, когда
заданы функции
и(х, O) = «o(x),
ди (х, 0)
dt
дт~1
dtm~l
и все они финитны (если финитно фундаментальное решение
Е(х, t), то последнее условие можно отбросить). Для этого
4]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
147
заметим, что если и—решение уравнения, удовлетворяющее
начальным условиям
^i^)=0 (Л = 0. 1.2..... т-2),
otK
то функция ах (х, t) = -кг удовлетворяет тому же уравне-
уравне-кг
нию и начальным условиям, в которых отличны от нуля
и afm-i • Вычитая из at(х. t)
д
только
решение и2(х, t), удовлетворяющее условиям
, 0) = Q (Л==0>1>2 да_2).
)_^да>-1и1 (дг, 0)
мы получим решение и3> У которого при ^ = 0 отлична
2
от нуля только производная
^
причем она равна
заданной функции am_2(jf). Аналогично при любом k^.m—1
можно получить решение, у которого при t = 0 из первых
т—1 производных по t отлична от нуля и равна заданной
. Сумма построен-
построенфункции
только производная
—^
ных частных решений дает решение общей задачи.
Решение задачи Коши для уравнения струны A0) при
общих начальных данных
а(х, О) = ао
= at (x)
A2)
получается по этому методу следующим образом. Находим
решение а1(х> t), отвечающее начальным условиям
«i(*. 0) = 0.
=uo(x).
10*

148 ГЛ. Г. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
По доказанному, оно имеет вид
x+t
¦§¦
x-t
Дифференцируя а1(х, t) no t, находим новое решение
-удовлетворяющее начальным условиям
. ЛЧ дщ (х, 0) „ .
и2(х, 0)= 1К^ } =ао(х),
дщ (х, 0) 1 \ди0 (х) ди0 (хI
dt — 2 1~Ш 5F~J~U-
Отсюда видно, что решением, отвечающим начальным усло-
условиям. A2), служит функция
x+t
x-t
Мы получили известную формулу Даламбера.
В дальнейшем (§ 6) аналогичными методами мы найдем
фундаментальные решения задачи Коши для широкого класса
уравнений в частных производных.
5. Интегрирование и дифференцирование произволь-
произвольного порядка. Хорошо известная формула Коши
X 5№-1
сводит вычисление я-кратной первообразной от функции
g(x), определенной при х^-0, к вычислению однократного
интеграла. Эта формула может быть записана в виде
где функции g(x) и л:*1 при
0 заменяются нулем.
5]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
149
Представляется естественным обобщить эту формулу на
случай любого показателя X и любой обобщенной функции gv
сосредоточенной на полуоси х ^-0, определив первообразную
порядка X от функции g как свертку
„X —
A)
Непосредственно эта формула действует при Re X > 0. Для
Xх-1
остальных значений X под „ -.. следует понимать обоб-
щенную функцию, построенную в п. 5 § 3; так как она
остается сосредоточенной на полупрямой лг^-О, то кор-
корректность определения свертки сохраняется. Удобно обо-
X—1
значить
Г (А)
Из равенства
= Фх, так что
B)
= 0. 1, 2, ...
(§ 3, п. 5) мы выводим, что
go (х) = g (х) *<&0 = g(x)*b (х) = g(x),
gx (x) = g(x) * Ф_х = g(x) * 8' (x) = g' (x)
и т. д.; таким образом, формула B) дает при различных
значениях X не только интегралы, но и все производные
функции g(x). В связи с этим мы условимся также говорить,
что свертка
есть производная порядка X обобщенной функции g и
обозначать это так:
или
Для функционалов Фх имеет место формула
Л
Л Т1 /. \ ~~^ ТТ
C)
C')

150 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Докажем сначала, что она верна при Re X > 0, Re u > 0
Так как
то требует доказательства лишь соотношение
Положим в левой части ? =
ведется к интегралу
?; тогда интеграл слева при-
прио
и нужное соотношение оказывается следствием известного
соотношения
в(х, Р) =
Для остальных X, jj. формула C) остается справедливой
в силу единственности аналитического продолжения.
Из формулы C) вытекает, что для любой обобщенной
функции g (сосредоточенной на полуоси х ~^- с)
(g*®d*% = g*(®x*%) = g*®x+!L- D)
При |а = — X отсюда видно, что дифференцирование и инте-
интегрирование одного и того же порядка — взаимно обратные опе-
операции. Далее, из формулы D) видно, что
E)
при любых
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
151
Отметим еще другие следствия формулы C). Заменяя
в ней X на —X, можем написать:
F)
F')
dxx \Г (ix) I Г (|л — X)"
В частности, при \х = 1 имеем:
dx х~х
dx
X о W =
Г(-Х+1) •
Если в формуле F) |i является целым отрицательным чис-
числом или нулем, [л = — k, то мы получаем, что
dxx
G)
С другой стороны, если [i. — Х = — k является целым отри-
отрицательным числом или нулем, то из формулы F) следует,
что
-fc-l
dxK \ V(\ — k)
(8)
Примеры. 1. Рассмотрим так называемое интеграль-
интегральное уравнение Абеля
r(l—a)J (X—Z)*
(9)
Здесь g — заданная, /—искомая функция.
В классической теории *) число а предполагается мень-
меньшим 1; это условие обеспечивает сходимость интеграла
в правой части. Однако мы в этом предположении не нуж-
нуждаемся, так как при любом а можем понимать правую часть
уравнения (9) как интеграл порядка Х = — ос —(— 1 от обоб-
обобщенной функции /, т. е. как свертку
?(*) = /(*)*Фх. (9')
Для получения выражения функции / через g нужно, оче-
- видно, применить к последней дифференцирование порядка X.
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. III, п. 592, стр. 290
(случай а = i/a).

152 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Таким образом, / (х) = —г g(x). Решение получается сверт-
свертел:*
кой с функционалом Ф_х:
g(x) Mr Ф_х = (/ (х) м- Фх) * Ф_х =/(*) * (Фх * Ф_х) =
= /(х)*8 =/(*). . A0)
Пусть, в частности, 0<а< 1; тогда Фх приводится
к обычной функции г а лг+" и уравнение (9') записы-
записывается в виде (9). В этом случае —\ = а—1 и функцио-
функционал Ф_х сингулярен, так что, вообще говоря, решение урав-
уравнения (9) не приводится к классической формуле. Если
дополнительно предположить, что функция g(x) дифферен-
дифференцируема, то запись решения в классической форме уже
возможна. Именно, мы имеем:
^2х-*Ю**. = ш
т. е.
Г(я>
Формула A1) для значения а = -^- и была фактически полу-
получена Абелем при решении уравнения (9).
2. Многие специальные функции могут быть выражены
как производные дробного порядка от элементарных функ-
функций. Для гипергеометрической функции *) существуют два
таких выражения. Гипергеометрическая функция F (а, C, у; х)
определяется при Re у ;> Re J3 ;> 0 и j jc j ¦< 1 как интеграл
следующего вида:
1
F(z, р, у; x) = »Jf? ,. />-'п_лт-Р-1,1
0, —1, —2, . . .)
При остальных значениях [3, у (у^и, —1, —2, ...
' х | < 1 она определяется как аналитическое продолже
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. II, 1948, п. 495,
793.
5]
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
153
ние, т. е. как регуляризация этого интеграла (см. § 3, п. 8).
Сделаем в этом интеграле подстановку w = tx. Мы получим:
F(a, p, т:*) =
эту формулу можно записать в следующем виде:
<„)
Таким образом, функция
>г
г
(Н)
г-1
изводной порядка р — Y от функции —
можно записать также в виде формулы
vT-1 ,-t-P-i jpP-i
" Mr "*"
F (a, p, у; х) является про-
rUi-x)-«
—ir^—^^. Это
¦ — ¦*):
г(т —P)
A5)
Другое выражение для гипергеометрической функции
в виде производной дробного порядка. получается, если
сделать в интеграле A2) подстановку w== "у ~Т . Мы
получаем, что
F(a, p, Т; х) =
. A6)
Иными словами,
Г(т)
F{pt, В,т;х)=
1 ^~ - (I7)
Г(т-Р) J
Сравнивая формулы A4) и A7), мы получаем известную
формулу
F(a. p, T; Jf)=(l—
а, т—^, Т; х). A8)

154 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Любопытные соотношения для гипергеометрической функ-
функции вытекают из равенства E), т. е. из формулы
A9)
производную порядка-8. Мы
F(а>
х)' B0)
Если изобразить это равенство в интегральной форме, то
мы получаем:
F(oc, р, у+ 8; х) =
*. Р. Т.
B1)
Эта формула верна при всех значениях а, [3, у, 5, если пони-
понимать интеграл в правой части равенства как регуляризован-
ное значение интеграла (§ 3, п. 8).
Представления A4) и A7) гипергеометрической функций
в виде производной дробного порядка позволяют установить
случаи, в которых эта функция является многочленом или же
многочленом, умноженным на A—х)р.
Пусть р — отрицательное целое число или нуль, C = — k.
Тогда |гтд 3(fe}() С
мает вид
уь, C = k.
3(fe}(x). Следовательно, формула A4) прини-
прини_ ху
B2)
51
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
155
Но функция*) A—х) * Ъ(К) (х) является линейной комбина-
комбинацией 5-функции и ее производных:
A _*)-• *«(*) = 2 (- D'CS Т~^р- *{к-г\х). B3)
По формуле G)
d;c_A_TL v ., Г(г + Т)
Внося выражение для A—х)~а Ь{к) (х) в формулу B2), вы-
полняя дифференцирование и сокращая на ^гт-у, мы полу-
получаем:
ев". -*• г. *) = ?(-
B4)
г=0
(при этом у не должно быть целым отрицательным числом
или нулем). Многочлен F (a,—п, ~[; х) называется много-
многочленом Якоби и обозначается 0(<х, —п, у; х). Из формул
A8) и B4) вытекает, что в случае, когда у — р является
целым отрицательным числом или нулем, у — Р= —«-.
гипергеометрическая функция принимает следующий вид:
Т; x) = (l—
—a, —п. Т;
Из равенства F(a, р, у; лт)=.Р(р, а, у; jc) вытекают ана-
аналогичные утверждения для случаев, когда а или у—а
являются целыми отрицательными числами или нулями.
Рассмотрим теперь .гипергеометрическую функцию как
функцию от у. Из равенства A4) видно, что эта функция
может иметь особенность, если у является целым отрица-
отрицательным числом или нулем. Функция Г(т) имеет при у = — п
полюс с вычетом -—~-. Если а или S также являются целыми
*) Очевидно, что такое произведение определено: так как
Ъ^ (х) сосредоточено в нуле, то A—х)~а можно заменить беско-
бесконечно дифференцируемой функцией равной A — х)~Л в окрест-
окрестности нуля.

156 гл. i. простейшие свойства обобщенных функций [5
отрицательными числами или нулями, например р= — т,
причем т < п, то, согласно сказанному выше, гипергеоме-
гипергеометрическая функция вырождается в многочлен. Если же это
условие не выполняется, то гипергеометрическая функция,
рассматриваемая как функция от -]-. имеет полюс с вычетом
\-\)пхп+х ? (^
п\
m dx^1 • B5)
Рассмотрим теперь бесселевы функции *) и покажем,
что функцию up/2Jp (У и) также можно представить произ-
производной дробного порядка от элементарной функции. Функ-
Функция Jp(z) имеет при Rep >¦ — -^ следующее интегральное
представление:
р-1
) 2
р-1
A—t2) 2 cos ztdt. B6)
Для остальных р этот интеграл можно понимать в регуля
ризованном смысле. Полагая здесь zt = w. мы полжем:
или
/
(z2~
, B7)
Это равенство можно записать в следующем виде:
2pVkup/2j
B9)
*) См. В. И. Смирнов, Курс, т. III, „. 2, 1951, гл. 6, § 2.
1]
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
157
Возьмем от обеих частей этого равенства производную
порядка —q—1; мы получим:
-P-Q.S
= 2
du
Р+Я.+1 I/
* 2
P+Q + l
J
г
C0)
Записывая это равенство в интегральной форме, мы находим:
p+q + l __ " _ _
" C1)
Подстановка и = х2, t; = jc2sin6 приводит формулу C1)
к виду
те
Jj)+g+i'
J Jp (x sin 6) sin^1 0 cos2**16 db. C2)
Этот интеграл называется интегралом Сонина, так как
Н. Я. Сонин доказал формулу C2) для целых/? я q, p ^. 0,
д>о.
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Фундаментальные решения эллиптических уравне-
уравнений. Пусть дан линейный дифференциальный оператор
з—. ..., д—) порядка 2т с постоянными коэффициен
ох1 охп/
тами. Обозначим через Lo его главную часть, т. е. часть,
содержащую только производные порядка 2т. Оператор L
называется эллиптическим, если при замене в Lo каждого
из дифференциалов -=—, • • •. -з— числами щ соп мы
OXi ОХп
получаем многочлен L0(<o,, . . ., шп), не обращающийся в нуль
при со = (ш1в ..., ш^) Ф 0.

158 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУЛКЦИЙ [1
Мы должны решить уравнение
L{dx~t' •••' д^)и(-х1 *«) = 8(*i хп). A)
Применим для этого следующий метод.
1°. Мы заменяем 8-функцию в правой части рассматри-
2гл
ваемого уравнения функцией ТТЛ—\ • которая равна
дельта-функции при Х==— п (§ 3, п. 9, (9)).
2гЛ
2°. Функцию -гт—i—г разлагаем на плоские волны.
»(И)
т. е. представляем ее, согласно формуле D) п. 10 § 3,
как среднее по всем направлениям w — (if>v .... соп) от функ-
функций вида С!»!^-!- ... Н-<оплг„(А и решаем уравнение для
правой части вида (солН- ... -+-ыпхп\х, что уже элемен-
элементарно.
Итак, заменяем уравнение A) уравнением
д д
)
из которого уравнение A) получается при Х =— п.
Представим теперь правую часть по формуле D) п. 10
§ 3 в виде
2гЛ
»р-7ГГ1Т /1 *л+•••+».*.,
Если найти решение v уравнения
n-l
зависящее только от S = со jf _
уравнения B) запишется в виде
и(хъ .... Ля)==
D)
ТО
1]
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
159
Решение уравнения D) сводится к решению обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения. Так как для функции
дхк
то, подставляя функцию v (?) в уравнение D), мы получим
обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2т:
Правая часть этого уравнения, помимо 5, зависит от X,
а коэффициенты слева зависят от щ, .... <оп. Следовательно,
решение v зависит от %, X и ш. Поэтому мы будем писать:
« = «юE, X).
Пусть G(?, со) есть фундаментальное решение уравне-
уравнения E), т. е. решение уравнения
Тогда
со
= ^ /*ОE —
ои.—г (Цй) -»
*„)= J*
(б)
G)
Чтобы получить искомое фундаментальное решение, нужно
положить в последних формулах Х = — п.
Особенно простой результат получится в случае нечет-
нечетного числа измерений. В этом случае
и, значит,
Ж— 1
G F, «)
ап—1
(8)

160
ГЛ. I.
ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, в случае нечетного числа измерений
фундаментальное решение эллиптического уравнения A)
может быть представлено в виде
(9)
Здесь ^ = щх1-\- ... -\-ыпхп, а О (?, ш) есть фундаменталь-
фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения
с левой частью b(wt-j^ ш«1гг)' Можно проверить, что
ет-1
(-1)
га-1
„ Bл)
1 • 3 ... (п — 2)
Строго говоря, существование свертки в формуле F) и воз-
возможность интегрирования в формуле G) нуждаются в обосновании.
Прямой путь для этого — получение формул для G (?, <ь) в явном
виде. Вместо этого мы здесь, обходя вопрос о существовании
свертки F), приведем другой способ получения функции иш CS\ щхЛ ,
не оставляющий сомнений в возможности ее интегрирования по
единичной сфере.
Заметим, что если обобщенная функция v E) непрерывно зави-
зависит от некоторых параметров, то ее производная любого порядка
по ? также непрерывно зависит от этих параметров (см. § 2). Далее,
если обобщенная функция v (?) является решением уравнения
Ц v E) = /(?) (Ц — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами), то производная w (?) = Jl является решением
уравнения L^ w (?) = —зМ« Отметим еще, что если обобщенные
функции vx (?) и Д (?) непрерывно зависят от параметра X и при
\ ф \0 (в окрестности точки Хо) v\(?) является решением уравне-
уравнения i^wx (?) ^=Д (S), то v^ (?) будет решением уравнения
Предположим сначала, что Re X > 0. Тогда правая часть урав-
уравнения E) — непрерывная функция от ?, и решение существует
в силу классических теорем существования. Далее, при Re X > 0
правая часть зависит непрерывно и от X, поэтому v непрерывно
зависит от X. Наконец, коэффициенты уравнения E), стоящие
в левой части, непрерывно зависят от <д (У, а>| — l\ причем модуль
старшего коэффициента L9 (coj, ..., <*>п), в силу эллиптичности
исходного уравнения, имеет положительный минимум. Следова-
Следовательно, v непрерывно зависит и от ш. В частности, v зависит от со
и X непрерывно в смысле обобщенных функций.
1]
§ б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 161
Заметим теперь, что при двукратном дифференцировании по ?
правая часть уравнения E) воспроизводится (с точностью до мно-
множителя 2Х) с индексом, на две единицы меньшим, если только
X ф 0. В силу предыдущих замечаний мы можем найти непрерывно
зависящее от ш решение уравнения E) при всех X многократным
дифференцированием решения ьф (?, X) для Re X > 0 и, если нужно,
предельным переходом.
В случае нечетного п нужно начать с дифференцирования
s'u) (Si ^) ПРИ ^ = 1. После двукратного дифференцирования полу-
получится с точностью до множителя функция Q (?, <о), так как правая
часть уравнения E) при X = —1 обращается с точностью до множи-
множителя в S E). Дальнейшим дифференцированием мы получим фор-
формулу (8).
В случае четного п мы определим решение vUi E, X) при малых
положительных X, затем дважды продифференцируем его по ?, раз-
разделим на X и устремим X к нулю. В результате получится решение
уравнения E), отвечающее значению X = —2. Дальнейшим диффе-
дифференцированием получим ош E, X) при X = —4, —б, ...
Разберем более подробно случай однородного эллипти-
эллиптического дифференциального оператора L(~L0). Обыкновен-
Обыкновенное дифференциальное уравнение E) в этом случае приобре-
приобретает вид
и, значит,
г-я 2 Г
Для того чтобы найти v (?), достаточно 2т раз проин-
проинтегрировать правую часть полученного уравнения. Как мы
показали в § 3, п. 4, результат следует считать равным
1
п-\
где
e2
— 1)! Bти — 2k)\ (X +
11 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. S

162 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, решение однородного эллиптического
уравнения
L д
*i дх
задается формулой
и (х, х.Л = —
X
т
X
В частности, при 1 = — п получается фундаментальное
решение однородного эллиптического дифференциального
уравнения порядка 2т.
Заметим, что так как интеграл по единичной сфере Q
/ п \
от каждого слагаемого в выражении QA 2 Щхк) является
\* /
многочленом степени меньше 2т и поэтому удовлетворяет
уравнению L\-=,—, ..., ^—}а = 0, то мы можем в фунда-
\OXi ОХп }
ментальное решение включить только то слагаемое этого
выражения, которое нужно, чтобы полученная функция не
имела полюса при X = — п, отбросив все остальные слагаемые.
Разберем более подробно вид фундаментального реше-
решения. При этом будем исследовать отдельно случай, когда
порядок уравнения не меньше размерности пространства,
т. е. 2т^п, и случай, когда 2т <С п. Рассмотрим сначала
первый случай 2т ^ п. Приходится различать еще случай
пространства нечетной размерности п и случай четного п.
При п нечетном и 2т > п предельный переход в формуле A0)
дает для фундаментального решения выражение
п-1
U(XU
(И)
Многочлен QX(S) здесь отброшен, так как для предельного
перехода он не нужен.
§ б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 163
В случае четного п и 2да^> п при Х = — п для полу-
получения конечного значения приходится добавлять к функции
X 2
то слагаемое многочлена Qx QS'
1
(X + 1) ... (X + 2т)
коэффициент которого содержит множитель .г—-—,
c2m—n
gT-l)lBW-n)l(X + n)- ПрИ ЭТОМ °УММа
а именно
(Х+ 1) ...
(п~\IBт— пI (Х
fm-n ,n | g .
' и МЫ полУчаем
при Х->—« стремится к —(п — 1)! B/и — п)
следующее выражение для фундаментального решения:
и (xv . . ., хп) = •
<-l)s
B7И —
X
х/
9
Заметим, что когда порядок уравнения не меньше раз-
размерности пространства, интегралы по сфере сходятся, и
функция Грина представляет собой обычную (необобщен-
(необобщенную) функцию от хи х2 хп, непрерывную в точке
xt =¦ хг = ... = хп == 0.
Перейдем к случаям, когда порядок уравнения меньше
размерности пространства Bт < л).
В этих случаях
iX+2m
(л—2т?г—1)!
для нечетного п и
,Х+2от
для четного д.
11*

164 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Отсюда для фундаментального решения получается при
нечетном п Bт < п) выражение
й (Xj, . . ., Хп) —
W-l
2
- W=V 8
-2т-1)
'
и при четном « Bда < «) выражение
(п-2т-1)!
^
Л
г»
dQ
A4)
Можно показать, что фундаментальное решение
и(хх хп), выраженное формулами A1) — A4), всегда
представляет собой обычную (не обобщенную) функцию,
притом обладающую следующими свойствами: при х Ф О
она аналитична, а в окрестности начала координат удовле-
удовлетворяет соотношению
О (г2т~п),
q
если п нечетно или
если п четно и 2т < п,
если п четн0 и
где
— V J>j
х\;
при этом в случае 2т >« функция
т в нач
Jj \; ри этом в случае 2т >« функция
и(хи ..., хп) имеет в начале координат непрерывные про-
производные до порядка 2т—п — 1.
Пример. Пусть U ± jL) = (+...+ \
\dxi дхп/ \dxi дхп)
есть от-я итерация оператора Лапласа. Многочлен
LQ(u>x, .... u)n) = B ш?) на единичной сфере Q обращается
в единицу. Интегралы (8), A0) и A1) можно вычислить
теперь по формуле C) и при 2т < п, а также при п не-
нечетном и 2т %. п мы получаем с точностью до коэффи-
коэффициента пропорциональности
21
§ б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
165
Если 2т^.п и п четно, то, переходя в интеграле A2)
к сферическим координатам, мы получаем:
Последнее слагаемое можно отбросить, так как оно является
решением однородного уравнения Дтй = 0.
2. Фундаментальные решения однородных регулярных
уравнений. Рассмотрим уравнение
где L — такой дифференциальный оператор, что если мы заме-
заменим в нем V— на o)j, то получим однородный полином степени
т*). Ми предположим, что конус L(<ai и>п) = 0 не имеет
особых точек (кроме начала координат), т. е. что при
L («! u)n) = 0 и ^ ш) Ф 0 градиент L (coj, .... шет) не
обращается в нуль. В этом случае уравнение L 1-^г—\ и — Ъ (х)
и сам оператор Мз~) будем называть регулярными.
В п. 1 мы рассмотрели эллиптический случай, когда т
четно и, что самое главное, ?(<»i и„) Ф 0 при
2 °>/ т^= 0. В общем случае тем же путем можно формально
прийти к выражению
а
1 хп) —
(<°i
B)
п
V
— элемент поверх-
где Q — единичная сфера ^
i = l
ности этой сферы, а функция fmn имеет следующие значе-
значения: если п четно и т~^п, то
C)
*) В п. 1 порядок оператора L обозначался через 2т.

166 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
если п четно и т < п, то
n
D)
если /> нечетно и
, то
(-1)
W-1
2
4 Bn)n~1 (от — л)!
если га нечетно и т < «, то
д..
E)
rt-1
2Bя)
„-1
F)
Но теперь интеграл B), вообще говоря, расходится,
поскольку на единичной сфере Q имеется в общем случае
многообразие Р, на котором L (шх, .... соп) = 0.
Однако, если оператор L регулярен и, следовательно,
многообразие Р не имеет особых точек, то интеграл B)
можно регуляризировать следующим образом:
a (xv ..., хп) =
Р
dQ = lim a. (xlt .... хп),
0
где
G)
Здесь через 2S обозначено множество тех точек на еди-
единичной сфере, для которых |^,(ш1, .... шет) | > г.
Нам надо прежде всего показать, что существует пре-
предел для обобщенной функции us, т. е. что для любой
финитной бесконечно дифференцируемой функции ср суще-
существует предел
х хп)).
2]
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
167
Заметим, что если /„,„B Х1шд определена' по одной
из формул C)—F), то (fma, ср) является бесконечно
дифференцируемой функцией от шг, ..... сои. Это прове-
проверяется простой заменой переменных в интеграле, выражаю-
выражающем {fmn, ?). переводящей зависимость от шг, . . ., а>п
в аргумент ср.
Обозначим (fmn B Х1шд- ср) через r(colt .... шта) и пока-
покажем, что существует предел
Чтобы доказать это, представим г(u>lt ..., о)ет) в виде
r=2ri> где функция rj(oI( ..., о)п) бесконечно диффе-
i=i
ренцируема и обращается в нуль вне достаточно малой
области Sj. Надо рассмотреть интегралы лишь для тех
функций ги для которых замыкание области Sj пересекается
с многообразием Р, где Ь((л1 шп) = 0. Таким образом,
можно предположить, что функция ^ (u>i, .... о>и), для кото-
-—-I
"'"а. Х
обращается в нуль вне достаточно малой окрестности
точки А, принадлежащей многообразию Р. В этой точке,
как и на всем многообразии Р, градиент L не обращается
в нуль. Поэтому в точке А одна из производных -х—•
(/=1,2, . . ., п) не обращается в нуль. Кроме того, в точке А
мы имеем 2 шг — 1 и хотя бы одна из координат со{ от-
отлична от нуля. Пусть для определенности g— ^Ои шет Ф 0.
Тогда в окрестности точки А на Р можно ввести систему
координат L, со2, ..., u>n-1. В этих координатах d2 выра-
выразится в виде
dQ=I(L, ш2, ...,

168 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
где /(/., ш2, .... юп_1) — гладкая функция. Следовательно,
L (<ог> .... ш
,. Г С r
= urn / ... /
auJ...au>n_1=
-со Ll?l>s I
v.
X
Так как интеграл / ^~— при г—э-0 стремится к глав-
1?|>«
ному значению по Коши, то существует предел
lim
а следовательно, и предел
hm / ~г —- ч == Пт (а., ср).
Мы доказали, что существует регуляризация по Коши
интеграла
9
По каждой регуляризации интеграла (8) мы можем
определить обобщенную функцию B)
а(хи .... Ая)_у ^ шя)
а
следующим образом:
где интеграл понимается в смысле нашей регуляризации.
21
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
169
Для наших целей годится любая регуляризация интеграла (8),
подчиняющаяся тому условию, что если функция г имеет вид
Г (Ш1 4>n)=L (и>±, ..., шп) п (<*>!, .. ., и>„),
где гиг! — бесконечно дифференцируемые функции, то
/г (о>1, .... <*>п) dQ Г
L±Jl ' П} = /
Две регуляризации, подчиняющиеся условию (9), отличаются друг
от друга на следующее выражение:
.... шга) d\x.,
A0)
где Р — снова многообразие нулей полинома L(mu..., шп) = 0 на
единичной сфере Q, а [л—некоторая мера на этом многообразии.
Действительно, так как для функции г, обращающейся в нуль
на многообразии Р, все регуляризации интеграла (8), подчиняю-
подчиняющиеся условию (9), дают один и тот же результат (поскольку
такую функцию можно представить в виде г = r^L), разница между
двумя регуляризациями не может зависеть ни от значений функ-
функции г (a>i, ..., шп) вне многообразия Р, ни от значений производных
ее на самом многообразии Р, а значит, имеет вид A0).
Покажем теперь, что две различные регуляризации интеграла B),
подчиняющиеся условию (9), отличаются друг от друга на решение
однородного уравнения
Действительно, разность между этими обобщенными функциями мы
можем по A0) представить в виде следующего функционала:
(хь ..., хп) = jfn
р
d?..
Применяя к полученному выражению оператор L, мы имеем:
и так как интегрирование идет по многообразию Р, где
L (<в1 а>п) = 0, последний интеграл обращается в нуль.
Нам осталось показать, что интеграл B) действительно
дает решение уравнения A). Для проверки этого факта
применим к интегралу B) дифференциальный оператор

170 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
). Мы будем иметь:
Используя формулы C) — F) для функции fmn, а также
формулы для разложения 3-функций на плоские волны
(§ 3), мы получаем: если п четно, то
если п нечетно, то
, / д д
п-1
Таким образом, если конус /-(со^ .... соет) не имеет осо-
особых точек, то формулы B) — (б) действительно выражают
решение уравнения L (~^— ) а = 8 (.г).
3. Фундаментальног решение задачи Коши. Рассмо-
Рассмотрим дифференциальное уравнение
д д д
порядка m по переменному t.
Несколько позже мы сформулируем ограничения, нало-
наложенные на это уравнение. Мы ставим себе целью построить
фундаментальное решение задачи Коши для этого уравнения
(см. § 5, п. 4). Иными словами, мы должны найти реше-
решение u(t, х), удовлетворяющее начальным условиям
3] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 171,
Решение задачи Коши для уравнения A) при произволь-
произвольном числе независимых переменных мы проведем сведением
к задаче Коши для двух независимых переменных. Относи-
Относительно уравнения A) сделаем следующее предположение:
дифференциальный оператор
д д д
C)
обладает тем свойством, что для уравнения
"> \~dt ' ~W)V(O==Z°
задача Коши корректна.
Перейдем теперь к разысканию фундаментального реше-
решения задачи Коши для уравнения A).
Учитывая, что
Ь (х) =
с, X
(§ 3, п. 9), рассмотрим это уравнение A)
"(¦*¦¦ &)«=°
при начальных данных
дт~1и
dt
Разложим
2/
га— 1
= 0, 1 да —2),
(=0
2гх
Q*
D)
по формуле
Будем искать решение уравнения A) с начальными усло-
условиями D), в которых правую часть последнего равенства

172 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
заменим выражением
1
п-1
•*• +«>„*„ |\
Если искать решение этой задачи в виде функции
иш (/, 5, X) = UiO (/. ш^! + . . . + шя*я. X),
то мы придем к следующей двумерной задаче: найти реше-
решение uw(t, 5, X) уравнения C)
d
при начальных условиях
V, б, )
dt*
1ЧЛЛ€, X)
(=0
(=0
= 0 (k = 0, 1, .... m —2),
та-l
E)
Искомое фундаментальное решение задачи Коши для
уравнения A) представляется в виде
xraa>n, _ я)
=juw (t, x^x -f- . .
Мы положили ^ = —я. поскольку именно при этом значе-
значеX ф ^ обращается в 4xt XJ.
j
нии X функция
М
М 2 j
*™„КЦИЯ' Й0>(Л S> Х) В свою очеРеДЬ выражается через
?Г„а ДГЗЛЬНОе Р6ШеНИе G-(/' $> задачи ?°ши Д^ урав-
уравнения C), а именно: ^
,. G)
31
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
173
Особенно простая формула получается в случае нечетного
числа измерений: в этом случае
«„С 5. — »)=
/. 5).
(8)
Таким образом, фундаментальное решение u(t, x) задачи
Коши для уравнения A) выражается через фундаментальное
решение Om(t, ?) задачи Коши для уравнения C) по формуле
1 г I /•
U{t' Х)= 2=1 ,WJ\ j °^Л~
К— оо
\ 2
Х=-п
(9)
в случае нечетного числа измерений получается более простая
формула:
u(t, х) =
(-D
И-1
2 I П —
га-1
. 2
(га —1)! а
J л»-1
(Ю)
Дифференцирование здесь нужно понимать как дифферен-
дифференцирование в смысле обобщенных функций, а интегрирова-
интегрирование— как интегрирование обобщенных функций, непрерывно
зависящих от параметра.
Подчеркнем, что указанные формулы справедливы для
всех уравнений, для которых корректна задача Коши, на-
например для любых параболических и гиперболических урав-
уравнений.
При желании обойти вопрос о существовании свертки в фор-
формуле G) и получить функцию г»ш ((, 5, — п) в такой форме, чтобы
была очевидной возможность ее интегрирования по единичной сфере,
следует провести рассуждения, аналогичные приведенным в п. 1
(мелким шрифтом). Мы не будем на этом останавливаться.
Решение задачи Коши для однородных ги-
гиперболических уравнений. Формулы Гер-
глотца — Петровского. Разберем более подробно слу-
случай гиперболического уравнения, не содержащего произ-
производных порядка < т.

174 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Однородный оператор Р (-|L, JL) = р (|, JL, ... , _|_)
называется гиперболическим, если при любых значениях
wL, .... шп, 2aV==l« Уравнение от-го порядка относи-
тельно v
О
имеет от вещественных и различных корней.
Мы имеем задачу
Р(Ж- ?) —О
при условиях
dt*
t=Q
= 0 (k = 0,1 да —2),
A1)
A2)
A3)
Как мы уже говорили, решение этой задачи сводится
к решению следующей одномерной задачи Коши:
при условиях
д*ию
= 0 (А = 0, 1 , от —2),
/ТО—1
га-1
2
A5)
Как легко проверить, уравнению A2) удовлетворяет всякая
функция /B ¦**<¦>*+ V)' Где ^i — какой'либ0 корень алге-
алгебраического уравнения A1). Все корни этого уравнения
вещественны и различны в силу гиперболичности уравне-
уравнения A2). Решение /B хкшк-\- vjt) представляет собой пло-
плоскую волну, распространяющуюся со скоростью —Vj.
Будем искать решение задачи Коши A4) — A5) в виде
суммы одинаковых плоских волн
т
2
п
2
A б)
3]
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
175
распространяющихся со скоростями Vj. Суммирование в фор-
формуле A6) ведется по всем корням уравнения A1). По на-
начальным условиям определяем Cj и / из уравнений
Отсюда
— Vj + 1) . . . (Vj — Vmj '
A7)
A8)
Для определения /(?) нужно ?га—1 раз проинтегриро-
проинтегрироs |\
вать | s |\ Мы получаем:
где
Гт-11
1 3 J
Qx © =
BЛ — 1)! (m — 2* — 1)! (X — 2k)
ft-i
(cp. § 3, n. 4).
Итак, в рассматриваемом случае решение задачи Коши A4)
и A5) найдено в явном виде:
х
Г
,Х+т-
где Cj определяются по формулам A8), а Q\(S) — по
формуле B0).

176 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ .[3
Решение исходной задачи Коши A2) и A3) получается
из B1) интегрированием по единичной сфере ш*-}- . . . -}-а)а = 1:
u(t, xlt .
хп; X) =
B2)
При Х = — п из этой формулы, как и раньше, получается
фундаментальное решение задачи Коши.
В формуле B2) интегрирование проводится по единичной
сфере. Выбор сферы в качестве поверхности интегрирования
является здесь по существу случайным; поэтому мы сейчас
преобразуем эту формулу к виду, более отвечающему
существу задачи.
В формуле B2) ию есть сумма т слагаемых, выражаемая
формулой B1). Рассмотрим у'-е слагаемое:
*i
!2
fsgn
¦4-
Сделаем в интеграле по единичной сфере 2 от этого
слагаемого замену переменных, а именно положим —^ = zj.
Мы стремимся к тому, чтобы заменить интегрирование по 2
интегрированием по поверхности P(l, Si, ..., Sn) =
^ Н (%lt .... ?та) = 0. При каждом фиксированном наборе
значений ш1 шп уравнение P(v, щ, . . ., шта) = 0 имеет а
различных корней Vj. Поскольку эти корни непрерывно
зависят от параметров <вг, мы можем при изменении шг
следить за одним корнем. Когда точка (ши . . ., шп) пробе-
пробегает единичную сферу 2, точка A, ?х, ..., ?и) описывает
некоторую компоненту поверхности РA, %х, ..., $та)=0.
Каждая компонента может быть двух типов: 1) при
переходе от (a>i, . . ., шта) к (— ш: — <ви) соответствую-
соответствующий корень Vj переходит в некоторый другой корень vk;
2) при таком переходе Vj переходит в себя. Компоненты
1-го типа назовем «овалами», компоненты 2-го типа — «не-
«непарными кусками». Можно доказать, что если уравнение —
четного порядка, то поверхность РA, Ъх, . . ., %п) — Ci*
состоит из -^- цвалов, а если т нечетно, то имеется т~
3]
§ 3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
177
овалов и один непарный кусок. Мы ограничимся разбором
первого случая (черт. 5); второй разбирается аналогично.
Таким образом, нужно учесть, что когда точка (а^ шта)
пробегает 2, точка A, \х, .... in) пробегает овал, отвечаю-
отвечающий двум различным корням Vj и vk. Поэтому, когда мы
Черт. 5.
сложим интегралы по 2, отвечающие разным слагаемым
в формуле B1), мы получим удвоенный интеграл по поверх-
поверхности Н(?х 5та)=0. Если обозначить через do эле-
элемент поверхности Н(?и ..., ^j) = 0, заключенный в телес-
телесном угле, опирающемся на dQ, и через ср — угол между
нормалями к площадкам da и dQ, то, очевидно,
COS ср | da
Коэффициент cj равен
Ci ~ (Vj — «!)••• (Vj — 0,-1) (^—^ч-1) • • • (Vj
vm) dP
dv
В силу однородности многочлена P(v, colt ..., a>n)
(так как Vj — корень уравнения P (v, a>1, . . ., cun) = 0);
12 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. ]

178 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
поэтому
[3
dv
дР
Заменяя шк на «Д и РA. ?,,... П
получаем: W
на
на
,jl — m
Далее,
и для любого J имеем:
m—2A:—1
Щ / (sSn vj)'
Подставляя значения cJt dQ и функции от У,
в формулу B2), мы получаем:
3
а (Л ^i,
п-1
г* 2 Г
ierx-"IS*k6» +
С4-1)
•X
sgn
+
B3)
Предельный переход при X—>—п дает нам формулы Гер-
глотца — Петровского для фундаментального решения задачи
Коши. При этом, если п. нечетно, полученная формула
3] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
имеет вид
179
-1
(-1)
х
2Bti)№-1(ot — п— 1)! Х
т—п— 1,
Я-0
B4)
где через со обозначено выражение
2i
*-i
\ /
Формы подобной структуры будут подвергнуты деталь-
детальному изучению в гл. III.
Многочлен Q ( ——=—=—= )
здесь при предельном пере-
переходе отброшен, так как интеграл от него равен нулю. При
четном п получается формула
и (xlt
2 (- \)п12
х
2ж)п(т — п— 1)!
w—та—1
X
О).
B5)
Когда порядок уравнения т меньше а—1, формулы
для фундаментального решения задачи Коши приобретают
вид: при нечетном п
ш
н=о
и при четном га
«(Xj, . . ., a:J =
ч 2
"(я—w)! /*
*)п J
чга—m+l
B6)
B7)
Используя аффинно-инвариантную запись разложения дельта-
функции на плоские волны (§ 3, п. 11, формулы D) и E)), и выби-
выбирая в качестве области интегрирования поверхность Н = 0, можно
было бы получить формулы B4)—B7) более прямым путем, не об-
обращаясь к интегрированию по единичной сфере.
12*

ДОБАВЛЕНИЕ 1
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Мы указывали в § 1, что обобщенные функции можно
задавать локально, т. е. на основных функциях, отличных
от нуля только в заданных произвольно малых окрестно-
окрестностях каждой точки.
В этом добавлении мы получим этот результат вместе
с другими, касающимися локальных свойств обобщенных
функций; такие результаты имеют многочисленные приме-
применения в теории.
Вначале мы вернемся к изучению пространства К основ-
основных функций. Мы покажем, что в числе основных функций
имеются такие, которые в заданных непересекающихся
ограниченных замкнутых множествах принимают заданные
постоянные значения. Наличие таких основных функций по-
позволит наиболее простым образом подойти к изучению
локальных свойств обобщенных функций.
1. Построение основных функций путем усреднения
непрерывных. Покажем, что для заданной (не обязательно
финитной) непрерывной функции f(x) можно построить
бесконечно дифференцируемые функции /8 (х) так, что
при S->0
равномерно в любой ограниченной области.
В качестве /5(х) возьмем усреднение функции/(х) вида
= С8 f
5
_5, 8)
A)
1] ДОБАВЛЕНИЕ 1 181
где <р(х, §)— функция, с которой мы встретились в п. 2 § 1:
О
при
при
*|<8,
*| > 8;
C5~~ J
Из выражения A) видно, что функция f(x) бесконечно
дифференцируема вместе с функцией ср(дг, §). Далее, мы
имеем:
/(*)—/,(*) =
(* —S. 8) Л —С„ f
|аг-6|<
— 5. 8)
las—e l<5
Так как f(x)—непрерывная функция х, то в любой фикси-
фиксированной ограниченной области для достаточно малого S
величина \f(x)—/(S)| при \х — $|<§ становится меньше
заданного е. Поэтому, выбирая S указанным образом, мы
получаем:
что и утверждается.
В частности, если функция f(x) финитна, то и fs(x)
финитна: /8 (дг) = 0 вме Ь-окрестности носителя функ-
функции f(x).
Если функция /(*) постоянна в шаре радиуса S с цент-
центром в точке х0:
то
Л Оо) —
при
f
\х — хо|<
S. 8) d5 =
Следовательно, если функция f(x) постоянна в области Q,
то /8(х) постоянна (и равна f(x)) в области G8, состоя-
состоящей из тех точек л: ^,GS которые содержатся в О вместе
с шаром радиуса 8.

182 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Отметим еще, что если значения функции f(x) всюду
заключены между 1 и 0, то этим же свойством обладает
и функция /8(х).
Покажем теперь, что если F— ограниченное замкну-
замкнутое множество и U — содерэюащая его открытая область,
то существует основная функция <?(х), равная 1 на F,
О вне U и заключенная между 1 и 0 в остальных точках.
Действительно, так как F ограничено, то оно содержится
в U вместе со своей s-окрестностыо при некотором s >• 0.
Обозначим через Ft замыкание -^--окрестности множества F,
через 11г открытую -«--окрестность множества F и через W
ее замкнутое дополнение до всего пространства Rn. Непре-
Непрерывная функция точки х
р (х, W) = min p (х, у)
положительна в области иг и на множестве Fl обладает
положительным минимумом (i. Функция
/(jO=min{lp(jc. W), 1 }
также непрерывна, равна нулю вне области Ut и единице
на множестве FL, а в остальных точках заключена между 0
и 1. В качестве искомой основной функции ср(лг) достаточно
взять /8(Д?) с 5 = -^-.
2. Разложение единицы. Пусть имеется некоторое счет-
счетное покрытие «-мерного пространства Rn открытыми огра-
ограниченными областями Uu U2, .... Um локально конеч-
конечное в том смысле, что каждая точка покрывается лишь
конечным числом множеств из совокупности Ult U2, . . .
..., Um, ...; требуется построить бесконечно дифферен-
дифференцируемые функции el(x), e2(x) ет(х)> ••• так, чтобы
выполнялись следующие условия:
а)
б)
в)
=О вне области Uk
(k—1, 2,
2]
ДОБАВЛЕНИЕ 1
183
Слева при каждом х, в силу б), отлично от нуля лишь
конечное число слагаемых. Совокупность функций {et(x)\
называется разложением единицы, точнее, разложением еди-
единицы, соответствующим покрытию {?/{}.
Конструкцию разложения единицы можно осуществить
следующим образом. Прежде всего можно указать открытые
области Vlt V2 Vm также образующие покрытие
всего пространства Rn и такие, что область Vh содержится
в области Uk вместе со своим замыканием Vk (k = 1, 2, . . .).
Действительно, пусть области Vlt .... Vk_1 уже построены
так, что VjdUj (у = 1, . . ., к — 1) и Vx, . . ., Vk_lf Uk,
Uk+1, . . . есть локально конечное покрытие пространства Rn.
Дополнение к области VtU . . . U ^s-iU ^fc+iU • • • есть зам-
замкнутое множество Fk, которое целиком покрывается об-
областью Uk. В качестве Vk можно взять любую из открытых
областей, содержащих Fk и содержащихся в Uk вместе со
своим замыканием, и т. д.
Так как множество Vk ограничено, то, в силу последнего
результата п. 1, существует бесконечно дифференцируемая
функция hk (х), всюду заключенная между 0 и 1, равная 1
в Vk и 0 вне Uk. Положим
. * (*) = 2 А* (ХУ>
эта функция существует при всех х и заведомо не меньше 1.
Теперь остается положить
е (х)= hk(-x^ (k = 1 2 )•
очевидно, что функции ек (х) удовлетворяют поставленным
требованиям.
Замечание. Пусть {^(лг)}—разложение единицы,
соответствующее (локально конечному) покрытию {Ui} про-
пространства Rn. Тогда для любой основной функции <?(х) мы
имеем: „
где
?i W = <Р (х) ег (х)
— основная функция, равная нулю вне области иг. При
этом число слагаемых справа в A) будет конечным, если

184 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
дополнительно предположить, что каждый шар |л;|^я пере-
пересекается лишь с конечным числом областей U^. Отметим
еще, что если функции <?v(x) стремятся к нулю при v—>¦ со
в пространстве К, то и каждая последовательность cpvi(x) =
= cpv (х) ег (х) стремится к нулю при v—> со в простран-
пространстве К.
Это замечание использовалось в предыдущих параграфах
и неоднократно будет нам полезно и в дальнейшем.
3. Локальные свойства обобщенных функций. В п. 4 § 1
мы ввели такое определение: обобщенная функция / равна
нулю в окрестности данной точки, если для всякой основной
функции ср, отличной от нуля только в пределах этой окрест-
окрестности, имеет место равенство (/, ср) = 0.
Далее, мы говорили, что обобщенная функция / равна
нулю в открытой области G, если она равна нулю в неко-
некоторой окрестности каждой точки области G. Это — типичное
локальное определение.
Можно дать и иное, нелокальное определение равенства
нулю обобщенной функции / в области G: обобщенная функ-
функция / равна нулю в области G, если для любой основной
функции ср, отличной от нуля только на множестве Q, со-
содержащемся в G вместе со своим замыканием, имеет место
равенство (/, ср) = 0.
Наметим доказательство эквивалентности этих определе-
определений. Достаточно проверить, что равенство нулю в смысле
нелокального определения вытекает из равенства нулю
в смысле локального определения (обратное очевидно). Допу-
Допустим, что обобщенная функция / равна нулю в области G
в смысле локального определения, и пусть ср(х)— основная
функция, отличная от нуля только на множестве Q, замы-
замыкание которого Q содержится в G. У каждой точки x?Q
можно найти, по условию, окрестность U, в которой функ-
функционал / равен нулю. Без ограничения общности можно
считать ее ограниченной. Совокупность этих окрестностей
образует покрытие множества Q, из которого, пользуясь
леммой Гейне — Бореля, мы можем выбрать счетное покры-
покрытие Uu Uz, ..., Uт, ..., обладающее тем свойством, что
каждый шар | х | ^ а пересекает лишь конечное число окрест-
окрестностей L/j. Согласно замечанию в конце п. 2 функцию ср (х)
о]
ДОБАВЛЕНИЕ 1
185
можно представить в виде (конечной) суммы основных
функций
где cpft(x) обращается в нуль вне Uk. Тогда, по условию,
(/, cpft) = 0, откуда и (/, ср) = 2 (/. ер*:) = 0, что и требуется.
Приведем очевидное, но весьма важное следствие этого
предложения: обобщенная функция /, равная нулю в окрест-
окрестности каждой точка, есть нулевая функция, т. е. для
любой основной функции ср
Отметим еще одно следствие: если основная функция ср (х)
равна нулю в некоторой окрестности U носителя F
обобщенной функции /, то (/, ср) = 0. Действительно, со-
согласно локальному определению, / = 0 вне F, и остается
сослаться на нелокальное определение.
Мы говорили, далее, что две обобщенные функции / и g
совпадают в окрестности точки х0, если их разность / — g
в окрестности этой точки равна нулю. Доказанное выше
предложение показывает, что обобщенные функции, совпа-
совпадающие в окрестности каждой точки, равны друг другу.
Таким образом, каждая обобщенная функция определена
однозначно своими локальными значениями.
Можно использовать это свойство для построения обоб-
обобщенной функции в целом, когда она задана локально.
А именно, предположим, что у каждой точки х0 имеется
окрестность U (х0), такая, что для всех основных функ-
функций ср(лс), обращающихся в нуль вне этой окрестности, заданы
числа (/, ср), линейно и непрерывно зависящие от ср. Пред-
Предположим, кроме того, что число (/, ср) при этом зависит
только от самой функции ср и не зависит от выбора точки д:0,
вне окрестности U (х0) которой ср (дг) равна нулю. Тогда
можно утверждать, что существует функционал на про-
пространстве К, совпадающий с функционалом f на тех ср (х),
на которых функционал f определен.
Для доказательства поступим следующим образом.
Окрестности U (х0) указанного вида, по условию, суще-
существуют у каждой точки и образуют, следовательно, покры-
покрытие пространства R. Без ограничения общности можно счи-
считать эти окрестности ограниченными. Как и выше, пользуясь

186 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
леммой Гейне — Бореля, из этого покрытия можно выбрать
счетное покрытие Uu .... Um, .... обладающее тем свой-
свойством, что каждый шар |лг|.<^« пересекает лишь конечное
число окрестностей ?Д. Согласно замечанию в п. 2 всякая
основная функция <р(х) представима в виде
A)
где <pi(x) — основная функция, равная нулю вне ?/$, причем
сумма на самом деле всегда конечна. Для всех слагаемых
определены значения функционала /. Положим, по опреде-
определению,
оо
(/.?) = 2 (/. ?i). B)
Мы получили, очевидно, линейный функционал на про-
пространстве основных функций. Он является и непрерывным
функционалом. Действительно, если последовательность
основных функций ср стремится к нулю в пространстве К,
то, как отмечено в п. 2, <?т(х)~*¦ О в К ПРИ каждом
фиксированном от. При этом сумма справа в A) содержит
фиксированное число слагаемых, поскольку носители функ-
функций ср заключены в фиксированном шаре. Поэтому и(/, <р)—>0.
Очевидно, что на основных функциях ср, равных нулю
вне окрестности Um, значения построенного функционала
совпадают со значениями исходного, так как в этом случае
все ср{ справа в A) равны нулю вне Um.
Отсюда следует, что определение функционала / не
зависит от выбора покрытия {Uj] с указанными выше свой-
свойствами: если {Vt}—другое покрытие с этими свойствами
и g—получаемый с его помощью функционал, то f = g
локально, а потому и в целом.
4. Дифференцирование как локальная операция. Мы
говорили, что обобщенная функция / равна нулю в окрест-
окрестности точки х0, если она обращается в нуль на всякой
основной функции, отличной от нуля только в пределах
этой окрестности. Покажем, что в этом случае а все про-
производные обобщенной функции f равны нулю в этой
окрестности. В самом деле, если основная функция ср от-
от4]
ДОБАВЛЕНИЕ 1
187
лична от нуля только в пределах окрестности U (х0), то
и все ее производные отличны от нуля только в пределах
этой окрестности; поэтому для любой такой функции
что и утверждается.
Отсюда следует, что функционалы, совпадающие в об-
области О, имеют в этой области и совпадающие произ-
производные любого порядка.
Пусть, например, функционал / в области G совпадает
с регулярным функционалом, соответствующим дифферен-
дифференцируемой функции f(x). Тогда -^— совпадает в области О
с регулярным функционалом, порожденным функцией ¦ Д .
Таким образом, даже для сингулярных обобщенных функций
там, где можно дифференцировать обычным образом,
мы получаем и обычные производные.
Другим выводом из сказанного является следующий факт:
если функционал f сосредоточен на множестве F, то его
производные -jr—, -ъ—4— « tn. д. также сосредоточены
¦ на множестве F.
Например, производные дельта-функции S (лг — х^ сосре-
сосредоточены в точке д;0 (что, впрочем, и непосредственно оче-
очевидно); любая производная от непрерывной функции, обра-
обращающейся в нуль вне замкнутого множества F, сосредото-
сосредоточена на этом множестве F.
Замечательно, что эти предложения допускают обращения:
1°. Всякая обобщенная функция, сосредоточенная
в одной точке х0, может быть представлена как (конеч-
(конечная) линейная комбинация функции 8 (дг — лг0) и ее про-
производных.
2°. Всякая обобщенная функция, сосредоточенная на
ограниченном замкнутом множестве F, может быть
представлена при любом г >• 0 как (конечная) линейная
комбинация производных от непрерывных функций, обра-
обращающихся в нуль вне е-окрестности множества F.
Доказательства утверждений 1°—2° будут даны во вто-
втором выпуске (гл. II, § 4).

188 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
ДОБАВЛЕНИЕ 2
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этом добавлении будут рассмотрены свойства обоб-
обобщенных функций, зависящих от параметра, в частности
свойства обобщенных функций, аналитически зависящих от
параметра. Эти свойства во многом аналогичны свойствам
обычных аналитических функций и доказываются по большей
части путем сведения к обычным функциям. Существенной
является теорема о полноте пространства обобщенных функ-
функций: если дана последовательность обобщенных функций Д,
/2 Д, .... такая, что каждая числовая последователь-
последовательность (Д, ср) имеет предел, то величина lim (Д, ср) = (/. ср)
определяет обобщенную функцию. Доказательство этой
теоремы дается в Добавлении, помещенном в конце этого
выпуска.
1. Непрерывные функции. Пусть каждому значению
вещественного или комплексного параметра X, пробегающего
некоторую область Л, поставлена в соответствие обобщен-
обобщенная функция Д. В соответствии с определением, данным
в п. 8 § 1, обобщенная функция / называется пределом Д
при X—»¦ Хо, если числовая функция (/х, ср) стремится к (/, ср)
при любом ср. Функция Д называется непрерывной по X
в области Л, если при любом Xq?A имеет место соотно-
соотношение До = lim /х.
Рассмотрим весьма важный вопрос о доопределении
обобщенной функции /х по непрерывности по параметру X.
Представим себе, что обобщенная функция /х определена
и непрерывна на множестве Л, имеющем предельную точку Хц,
в которой обобщенная функция /х заранее не задана. Спра-
Спрашивается, возможно ли доопределить обобщенную функцию /х
в точке Xq так, чтобы получилась обобщенная функция,
непрерывная на множестве Л-J-Xq.
Очевидно, что необходимым условием для возможности
такого доопределения является возможность доопределения
по непрерывности всех числовых функций (Д, ср) в точке Xq.
Это условие является и достаточным; действительно,
если для любой основной функции ср и любой последова-
последовательности \ —> Xq, Xv ? Л, существует предел последователь-
21
ДОБАВЛЕНИЕ 2.
189
ности чисел (/х„, ср), то, согласно теореме о полноте про-
пространства обобщенных функций, существует обобщенная
функция / = Д0, которая является пределом последователь-
последовательности /Xv. Обычным путем доказывается, что эта обобщенная
функция не зависит от выбора последовательности Xv —> Xq.
Заметим, далее, что производные (по х) обобщенной
функции Д, непрерывно зависящей от параметра X, также
непрерывно зависят от параметра X. Действительно, как мы
видели в п. 4 § 2, из Д,->/х0 следует
•/v
дхл
дх
Непрерывные по параметру обобщенные функции Д
можно интегрировать по этому параметру (ср. § 3, п. 10).
Пусть, например, функционал Д непрерывен по X на спрям-
спрямляемой кривой Г. Составим интегральную сумму
взяв разбиение кривой Г на п частей точками деления
Xq, Хх> . . ., Хп и выбрав произвольно точки Х^ на интер-
интервалах [X;_i, Xj]. При max | АХ^ | —>0 для любой основной
функции ср, в силу непрерывности выражения (Д, ср), суще-
существует предел выражений
<*..?) = 2 (Л;.?
не зависящий от способа разбиения Г и выбора промежу-
промежуточных точек Ху, равный интегралу от функции (Д, ср). Этот
предел определяет линейный непрерывный функционал на
пространстве основных функций; он называется интегралом
от обобщенной функции Д по кривой Г.
Разумеется, интегрировать можно не только по кривой,
но и по области любого числа измерений.
2. Дифференцируемые функции." В п. 1 § 3 было введено
определение: обобщенная функция g называется производной
от обобщенной функции Д по параметру X при Х^Х,,,

190 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
если
g=
х -> х4
Для существования производной -Q при Х = Х0 необхо-
необходимо и достаточно, чтобы все числовые функции (Д, ср)
были дифференцируемы по X при X = Xq. Необходимость
этого условия очевидна; проверим его достаточность. По
условию, для каждой ср и любой последовательности Xv —>¦ Xq
существует предел отношения
V А' ~) \JKo' ~J __( УХ -/Х1 >
Л Лд \ Л • Aq /
Но тогда, как было указано выше, обобщенная функ-
функция -?—^-, определенная при Х=^=Х0, может быть доопре-
делена по непрерывности и при Х = Х0; иными словами, су-
существует обобщенная функция, являющаяся пределом отно-
Л —Л
шения . . ° при X-^-Xq, что и утверждается.
Если Д имеет производную по X при любом Х?А, то
функция Д называется дифференцируемой по X в области А.
Аналогично определяются высшие производные по пара-
параметру и многократная дифференцируемость функций.
Легко проверить, что если функция Д дифференцируема
по X в области А, то и все производные Д по х диффе-
дифференцируемы по X и имеет место формула
-А- A)
ffk dxj JK dxj dX /л"
Действительно, для любой основной функции ср числовая
функция
дифференцируема по X и имеет производную
д It *Р\/*Л д^\(д д
fx имеет производную
Это означает, что функционал
по X и справедлива формула A), что и утверждается.
ДОБАВЛЕНИЕ 2
191
3. Аналитические функции. Если X — комплексный пара-
параметр, пробегающий открытую область А, то дифференци-
дифференцируемая в области А обобщенная функция Д называется ана-
аналитической функцией от X. В этом случае все числовые
функции (Д, ср) являются обычными аналитическими функ-
функциями от X в области Л. И обратно, если для обобщенной
функции Д все числовые функции (Д, ср) являются анали-
аналитическими функциями от X в области А, то и Д есть
аналитическая функция от X (ср. § 3, п. 1). В этом
случае в каждой точке X области А существуют все про-
производные зт-> ^>
и в окрестности точки
место разложение в ряд Тейлора
Л имеет
B)
Действительно, обобщенная функция -зт2 существует, так как
по условию при Х = Х0 существуют производные по X у всех
числовых функций (Д, ср); по такой же причине существуют
и все высшие производные -^-^.... Далее, для каждой
основной функции ср(лг) справедливо разложение Тейлора
обычной аналитической функции (Д, ср):
(Л- «р) =
- *о) гх (А. т)
+
Л —А
+ •¦¦ =
ах
*Л.
откуда следует справедливость разложения B).
Две аналитические функции Д и g\> определенные в об-
области Л и совпадающие на множестве значений X, имеющем
предельную точку внутри А, совпадают при всех значениях
Х?А. Действительно, для любой основной функции ср(х)
выражения (Д, ср) и (g-x, ср) совпадают в области А в силу

192 ГЛ.' I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
классической теоремы единственности для аналитических
функций.
На этом свойстве основан важный метод аналитического
продолжения функционала Д по параметру X. Допустим,
что функционал Д аналитичен в области Л. Предположим,
далее, что все числовые функции (Д, ср) допускают анали-
аналитическое продолжение в более широкую область Ax. Тогда
мы можем утверждать, что числа (/Xi, ср) при любом ^сАх
также задают линейный непрерывный функционал на про-
пространстве К. Действительно, аналитическое продолжение
в любую точку области Лх, как известно, всегда может быть
осуществлено при помощи конечного числа переразложений
в ряд Тейлора. Но каждый ряд Тейлора
(Л. ?) =
поскольку он сходится при любой основной функции ср
и поскольку радиус его круга сходимости определяется
конфигурацией областей Л и At и не зависит от ср, имеет
своей суммой в круге сходимости снова линейный непре-
непрерывный функционал, что нам и требуется. .
Очевидно, что производные (по х) аналитической обоб-
обобщенной функции Д суть также аналитические обобщенные
функции от X. Отметим, далее, что аналитическое продол-
продолжение сохраняет многие свойства функционала Д. Например,
если функционал Д в области Л инвариантен относительно
операции и, так что Д (их) = Д (х), то и его аналитическое
продолжение в область Aj инвариантно относительно этой
операции. Действительно, равенство •
(Л(«*). ?(*)) = (Л(*). ?(*)) = (Л(*). «PC»-1*)).
справедливое в области Л, в силу единственности аналити-
аналитического продолжения, остается справедливым и в области А1#
Так, например, сферически симметричные аналитические
функционалы имеют и сферически симметричные аналити-
аналитические продолжения.
Заметим в заключение, что аналитическое, продолжение
обобщенной функции, зависящей от параметра, так же, как
3]
ДОБАВЛЕНИЕ 2
193
и аналитическое продолжение обычной аналитической функ-
функции, может привести к функции с изолированными особен-
особенностями (полюсами или существенно особыми точками),
а также к многозначным функциям.
В окрестности изолированной особой точки Xq аналити-
аналитическая обобщенная функция Д допускает разложение в ряд
Лорана в классической форме
где сп(п = 0, ±1,^+2, . . .)—фиксированные (не завися-
зависящие от X) функционалы. Действительно, разложение в ряд
Лорана имеет место для каждой основной функции ср:
(Д. <р) = 2 с„ (?)(>— \>)w.
—оо
причем коэффициенты сп (ср) выражаются по формулам Коши
(—<>• *'¦ ±2- ¦¦¦>• Р)
где Г — контур в области аналитичности функции Д, заклю-
заключающий внутри себя точку Хо. Интеграл C) может быть
представлен в форме
J__ С (
2ni J \(X—
= — f (gx,
и, по доказанному, снова является линейным непрерывным
функционалом от ср. Мы можем положить поэтому сп (ср) =
= (сп> ?)• где сп — линейный непрерывный функционал.
Итак, А=
— Ло)"> что и утверждалось.

ГЛАВА II
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Преобразования Фурье функций из пространства К-
Начиная с этого момента, будем рассматривать простран-
пространство К комплексных основных функций (гл. I, § 1, п. 9)
и соответствующее комплексное пространство К' обобщен-
обобщенных функций.
Рассмотрим вначале случай одного переменного.
Пусть ср (х)— некоторая основная функция. Построим
ее преобразование Фурье:
ф(о)== f cp (x) eiax dx.
A)
Функцию ф(а) будем обозначать также символами ср (х) и
В действительности, поскольку <р (дг) — финитная функ-
функция, интеграл A) распространен на конечную область, на-
например — а <С х ^ а; поэтому функция ф (а) может быть
определена и для комплексных значений s==o-\-ix:
а а
ф(о + /х)= J cp (x) eisx dx = J 4(x)eiaxe-™dx. B)
-a -a
Так как интеграл B) допускает дифференцирование по
комплексному параметру s = a-\-iz, то ф (а -\- гЧ) — целая
аналитическая функция. Дифференцирование функции ср(х)
приводит к умножению ф (s) на —iS: действительно,
j cp' (jc) eixs dx = cp (x) eixs — J is cp (jf) е1Ж5 rfx= — is <b E).
1]
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 195
Продолжая дифференцирование, получим, далее, для
любого q = 0, 1, 2, ...
и вообще
F [Р
C)
D)
где Р (f) — любой многочлен с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Вместе с тем мы получаем оценку
(x) eixs dx
Таким образом, преобразование Фурье ty(s) каждой
основной функции ср(х), обращающейся в нуль при \х\^>а,
есть целая аналитическая функция переменного s = a-j-/x,
удовлетворяющая при каждом q = 0, 1, 2, ... неравен-
неравенству
|5-?фE)|<Сд^1^. E)
Мы утверждаем, что верно и обратное: всякая целая
функция fy(s), удовлетворяющая при каждом q неравен-
неравенству E), есть преобразование Фурье некоторой беско-.
нечно дифференцируемой функции ср(х), обращающейся
в нуль при | х | ^ а.
Функцию ср(х) мы, естественно, определим формулой
Используя формулу Коши, можно заменить интегриро-
интегрирование по вещественной оси интегрированием по параллель-
параллельной прямой:
со
13* Зак. 450. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

196
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
причем интеграл, в силу неравенства E), продолжает оста-
оставаться абсолютно сходящимся. Он продолжает оставаться
абсолютно сходящимся также при формальном дифферен-
дифференцировании подынтегрального выражения по х; поэтому функ-
функция ср (л:) бесконечно дифференцируема и
Пусть | х | > а; зададим некоторое число t > 0 и найдем т
из условия хх = — t\x\. Используя неравенство E) при
q — О и # = 2, находим:
Т(л:)|<1в
J 1 + М2 а~
Так как С не зависит от t, то, устремляя /к оо, находим,
что ср(х) = О. Таким образом, при |х|>а функция <р(х)
обращается в нуль. Итак, функция <р(л:) удовлетворяет всем
высказанным условиям. В силу известной теоремы об ин-
интеграле Фурье *) ее прео.бразование Фурье совпадает с функ-
функцией ф(а), что и требовалось.
Отметим еще одну полезную формулу: для любой основ-
основной функции ср {х)
FF [<р (х)] = 2тсф(— х). *
Действительно, если F [ср(х)] =ф (<з), то мы имеем:
F)
откуда
Г
ф (а) е
что и утверждается.
rfa == F [ф (а)] = 2-ircp (— х),
2. Пространство -2Т. Изучение преобразований Фурье
функций из пространства К, начатое в предыдущем пункте,
*) В. И. Смирнов, Курс, т. II, 1957, п. 160, стр. 467.
2]
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 197
естественно приводит к следующему определению. Введем
пространство Z всех целых функций ф(я), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам
|1<Сяв«И1 (9 = 0,1,2,...) A)
д зависят от функции ф), с очевид-
очевидлинейных операций — сложе-
сложе(где постоянные а и С
ным определением основных
ния и умножения на число.
Как показано в п. 1, преобразование Фурье устана-
устанавливает между пространствами К и Z взаимно одно-
однозначное соответствие. Очевидно, что это соот-
соответствие сохраняет указанные линейные
опера ц и и.
Отсюда следует, что каждой линейной операции, опре-
определенной в пространстве К, отвечает некоторая «двойст-
«двойственная» линейная операция, определенная в пространстве Z.
Так, например, операции дифференцирования в простран-
пространстве К соответствует, в силу формулы C) п. 1, операция
умножения на — is в пространстве Z. С другой стороны,
формула
ds
= I ixe%sxy(x)dx
показывает, что операции умножения на tx в простран-
пространстве К соответствует операция дифференцирования в про-
пространстве Z; повторяя эту операцию, приходим к формуле,
справедливой при любом q — Q, 1, 2, ...:
dsq
/4<р] =
B)
Из существования правой части следует существование
левой; поэтому в пространстве Z функции ф (s) можно не-
неограниченно дифференцировать, не выходя за пределы этого
пространства. Можно написать и несколько более общую
формулу:
р Ш F М = F
где P(t) — любой многочлен с постоянными коэффициентами.
Операции сдвига <р (х) —¦>- ср (х — К) в пространстве К
отвечает операция умножения на eish в пространстве Z;

198 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
действительно,
со
Fl<f(x — h)]= f е"х ср (х — К) dx =
[2
—оо
со
Обратно, операции умножения на eia3ft (при любом, может
быть и комплексном, К) в пространстве К отвечает опера-
операция сдвига в пространстве Z:
со
F [eixh у (х)] = J eixheiax <р (x) dx =
— со
со
В частности, мы видим, что в пределах пространства Z
функции ty(s) допускают всевозможные сдвиги.
Можно перенести в пространство Z и операцию пре-
предельного перехода, считая, что функции фч (s) стремятся
к нулю, если их образы cpv(x) стремятся к нулю в смысле,
установленном для пространства К. Впрочем, эту сходи-
сходимость в Z можно описать и внутренним образом. Именно,
последовательность tyv (s) стремится к нулю в Z, если, во-
первых, выполняются неравенства
I sq <К О) I < Cqea I ч
с постоянными Cq и а, не зависящими от v, и если эти функции
стремятся к нулю равномерно на каждом интервале оси а.
Отметим, что разложение в ряд Тейлора
с любым фиксированным (комплексным) h имеет место
в смысле указанной сходимости; это следует из справедли-
справедливости двойственной формулы
/7=0
в смысле сходимости в пространстве К.
3]
§ 1. .ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 199
3. Случай нескольких переменных. Наши построения
могут быть почти без изменений перенесены на случай п
независимых переменных. Преобразование Фурье основной
функции ср(х) = ср(х1, ..., хп) определяется по формуле
со со
= / • • • /
«*(вЛ+
dx,
dx
или, короче,
¦=/¦
A)
где через (х, в) обозначена величина ххах -\-. . .-\- хпап.
Вследствие финитности функции ср (х) функция ф может
быть распространена и на комплексные значения аргумента
х а
= J ср (х) е1
B)
Полученная функция ф(я), определенная теперь в «-мер-
«-мерном комплексном пространстве Сп, непрерывна и аиалитична
по каждому из аргументов sL, .... -sn. Если функция ср (х)
обращается в нуль при | хк | > ак (k = 1, 2, . . ., п), то ее
преобразование Фурье ф (s) допускает оценку
C)
Обратно, всякая целая функция ty(su ..., sn), удовле-
творяЮщая неравенству C), является преобразованием Фурье
основной функции ср (х1 ' хп), обращающейся в нуль
при | хк | > ак (k — 1, 2 п). (Доказательство проводится
так же, как и для одного переменного.) Имеют место фор-
формулы, аналогичные формулам D) п. 1 и C) п. 2:
P(-iSu ...,-isn)Fl«], E)
где Р — любой многочлен с постоянными коэффициентами.

200
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Пространство всех целых функций ф($), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенствам вида C), в котором естественным обра-
образом определены линейные операции — сложение и умноже-
умножение на число, по-прежнему, будем обозначать через Z.
Преобразование Фурье устанавливает между пространствами
К и Z взаимно однозначное соответствие с сохранением
линейных операций. Предельный переход в пространстве Z
определяется следующим образом: последовательность tyv(s)
(v=l, 2, . . .) называется сходящейся к нулю, если после-
последовательность соответствующих основных функций ср„ (х)
стремится к нулю в пространстве К. Внутренним образом
эта сходимость описывается так: выполняются неравенства
I *3 <К О) I <"Сявв« 'т< 1+ •• • +%1 V
с постоянными Cq и а, не зависящими от v, и функции ф* (а)
стремятся равномерно к нулю на каждом ограниченном
множестве вещественного пространства Rn.
4. Функционалы на пространстве Z. На пространстве Z,
как и на пространстве К, можно строить линейные непре-
непрерывные функционалы — обобщенные функции. Рассмотрим
снова случай одного независимого переменного. Регуляр-
Регулярными • функционалами мы и здесь будем называть функ-
функционалы, заданные выражениями вида
Функционалы вида
(g. 40
A)
B)
где L — некоторая линия, будем называть аналитическими
функционалами. Так, дельта-функция (8 (s — s0), <i>) = t]J(so)
(где s0 — уже произвольное комплексное число) есть не
регулярный, но аналитический функционал, поскольку, в силу
формулы Коши,
4]
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 201
где L — любой контур, заключающий внутри себя точку s0;
таким образом, b(s — s0) является аналитическим функциона-
функционалом, отвечающим функции ^ .
Совокупность всех обобщенных функций на простран-
пространстве Z обозначается через Z'. С обобщенными функциями
на пространстве Z можно производить операции, аналогич-
аналогичные операциям, введенным нами для обобщенных функций
на пространстве К. Ясно, что определения линейных опера-
операций— сложения и умножения на число, а также предель-
предельного перехода не содержат ничего нового. Умножение на
функцию h (s), формально определяемое равенством
= (#, Щ),
C)
теперь становится выполнимым уже для значительно более
узкого круга функций h (s). Действительно, для коррект-
корректности этого определения нужно, чтобы произведение функ-
функции h (s) на любую основную функцию ty(s) приводило
снова к основной функции. Функции h (s), обладающие
этим свойством, мы будем называть мультипликаторами
в Z. Функция Л (s) обладает этим свойством, если она сама
является целой аналитической функцией и удовлетворяет
неравенству вида | h (s) | 6 l
b, q и С.
Производная функционала
фуц ур
Се61 Tl (I ~\- \ s \)q при некоторых
' определяется формулой
— g (s)
можно определить ее и как предел отношения
Так же как и в пространстве К', обобщенные функции
g^Z' допускают неограниченное дифференцирование. Но,
в отличие от первых, обобщенные функции g? Z' не только
бесконечно дифференцируемы, но и аналитичны; это
означает, что для каждой
D)
где ряд слева сходится в смысле сходимости в простран-
пространстве Z', a g(s-\-h) — сдвиг функции g(s) на число h.

202 ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Действительно, для любой i>(s)fZ
[5
и ряд 2> 1 Ф^ E) сходится в смысле сходимости в Z,
как мы уже отмечали, к функции ф(я— 7z); таким образом,
Ф^. Ф00) =
что и требовалось.
Отметим, в частности, разложение
E)
9=0
справедливое при любом (комплексном) h; при этом сдви-
сдвинутая дельта-функция 8 (s -\-h) определяется равенством
(8 E-1-Л), <!>($)) = (8(s). фE —Л))==ф(—Л). F)
В случае нескольких независимых переменных простран-
пространство Z' строится аналогично. В нем, как и выше, опре-
определяются сложение, умножение на число, предельный переход
и умножение на функцию /z (s) = /z Ej, . . ., sn). Функция h (s)
будет мультипликатором в Z, если она непрерывна, аналитична
(т. е. аналитична по каждому sf при фиксированных 5lf ...
Si_i, si+1, . . .,- sn), и если
Аналогично предыдущему определяются частные производ-
производные функционала g^Z'. Каждый функционал из Z' не
только бесконечно дифференцируем, но и аналитичен, т. е.
допускает разложение в ряд Тейлора, сходящийся в смысле
сходимости в Z'.
5. Аналитические функционалы. В предыдущем пункте
мы назвали функционал g на пространстве Z аналитическим,
если он представлен в виде
(g> Ф) =
5]
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
203
где g(s)— некоторая функция, а Г — контур в комплексной
плоскости (мы сначала рассматриваем случай одного неза-
независимого переменного).
Согласно общим правилам теории аналитических функ-
функций, в случае, когда g(s) — аналитическая функция, контур Г
можно непрерывно деформировать без изменения величины
(g> Ф); ПРИ этом начало и конец контура должны оставаться
закрепленными и контур не должен переходить через осо-
особые точки функции g(s). Так, функционал единица
1E)= /l
может быть задан не только с помощью интегрирования
вдоль вещественной оси, но и с помощью интегрирования
вдоль любой линии, идущей из —оо и -}-оо в пределах
некоторой полосы |Ims|^C, например вдоль любой прямой,
параллельной вещественной оси. Такие линии, т. е. линии,
интегралы вдоль которых от любой основной функции <|>
равны, мы назовем эквивалентными. Если же мы будем
интегрировать i по какому-нибудь иному контуру Г, то
получим уже иной функционал. Например, если Г — зам-
замкнутый контур или петля, идущая в пределах полосы
| Im 51<1 С из —оо снова в —оо (или из -)-оо в -)-оо),
то получающийся функционал, очевидно, равен нулю. Такие
контуры, т. е. контуры, вдоль которых интегралы от любой
основной функции ф равны нулю, будем называть нулевыми
или обобщенными замкнутыми.
Рассмотрим функцию g(s) = —. Можно построить с ее
помощью два различных аналитических функционала:
Г_. Ф) =
г!
—co+ai
+00 — ai
ds (a>0),
В обоих случаях интегрирование ведется вдоль прямой,
параллельной вещественной оси и расположенной в первом

204
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
случае в верхней полуплоскости, а во втором—в нижней.
Оба эти функционала удовлетворяют уравнению
sg=l.
Разность между этими функционалами может быть при-
приведена к виду
ds
|s 1=1
с интегрированием, например, вдоль единичной окружности
по часовой стрелке. В силу формулы Коши
(g+— g_> Ф) = — 5
откуда
Функционал g0 = g+—g_ удовлетворяет, очевидно, урав-
уравнению _
sg0 = 0.
Рассмотрим общую дробно-рациональную функцию
( л — ЛАО!
Различные корни многочлена Q(s) обозначим через su .... sn.
Интегрирование по любой линии Г, эквивалентной веще-
вещественной оси, приводит к функционалу
(?• Ф) =
зависящему, вообще, от контура Г; всякий такой функционал
удовлетворяет уравнению
Интегрирование по любому нулевому контуру Го приводит
к функционалу
(?о> Ф) = f g(s)ty(s)ds.
Го
также зависящему от контура Го. Все эти функционалы
удовлетворяют уравнению
Qgo = о.
5] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 205
Например, если Го — контур, обходящий в положительном
направлении простой корень st многочлена Q(s), то
(go. Ф) = / g (s) Ф О) ds = Ък1 выч.8=8[^ (s) <J> (s)] = С (]»(Sl),
так что ^0 = CS(s — 5i). Если Го обходит /г-кратный
корень 5Х многочлена Q(s), то
(go. Ф) = 2*i BbI4-
(k— 1)!
e-i
Рассмотрим аналитические функционалы, связанные
с функцией
В силу равенства
| вь" | = eRe s" = el 8 Iй oos n8, где 6 = arg 5
плоскость комплексного переменного 5 можно разделить
на 2п равных секторов раствором в — каждый, так что
функция |es"| в этих секторах поочередно то экспонен-
экспоненциально возрастает, то экспоненциально убывает. Секторы
первого типа назовем «отрогами», секторы второго типа —
«долинами». Рассмотрим произвольный путь Tfc, ведущий
из оо в первой долине в оо какой-либо другой, например k-й,
долине {к = 2, ..., п). Для этого пути можно образовать
функционал
. Ф)=
причем интеграл заведомо сходится в силу экспоненциаль-
экспоненциального убывания |евП \ в обеих долинах и более медленного
возрастания основной функции <\>(s).
Мы получим таким образом п — 1 различных функцио-
функционалов, которые обозначим соответственно через ef1, .... ея™_1.
Все они удовлетворяют некоторому дифференциальному

206
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
уравнению 1-го порядка, которое легко получить следую-
следующим образом. Продифференцируем функционал е|от:
Это выражение проинтегрируем по частям; внеинтеграль-
ный член исчезнет (по причине сильного убывания функ-
функции е8™ в долинах), и мы получим:
Таким образом, функционалы в* удовлетворяют урав-
уравнению
A.
ds
— ns
.71-lpS"
Мы видим, что в области функционалов над простран-
пространством Z линейное однородное дифференциальное уравне-
уравнение 1-го порядка может иметь любое число линейно
независимых решений.
Большой интерес представляют также аналитические
функционалы в области нескольких переменных 5г, .... sn.
Здесь аналитические функционалы строятся по формулам
40=
где Г — некоторая Bга— 1)-мерная поверхность в 2«-мерном
пространстве п комплексных переменных sb . . ., sn.
В силу теоремы Пуанкаре *), обобщающей интеграль-
интегральную теорему Коши на аналитические функции п перемен-
переменных, поверхность Г может быть также произвольным обра-
образом деформирована (без изменения результата) при условии,
что ее граница фиксирована, а в процессе изменения Г не
переходит через особые точки» функции g(s).
*) См. Б. А. Фукс, Теория аналитических функций многид
комплексных переменных, 1948, стр. 299.
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 207
Будем называть поверхность Г эквивалентной вещест-
вещественной, если для любой основной функции
(интеграл справа — по всем вещественным переменным).
Примером поверхности, эквивалентной вещественной, служит
«лестница Хормандера»; геометрическое место всех точек
su .... sn, где s2 sn вещественны и при каждом вы-
выборе их значений st пробегает контур, эквивалентный
(в плоскости sx) вещественной оси. Функционал g, опреде-
определенный формулой
где Г — лестница Хормандера, на которой многочлен (или
целая функция) Р (s) не обращается в нуль, удовлетворяет
уравнению
Pg=l. A)
Во втором выпуске (гл. II, § 3, п. 3), будет показано, что для
всякого многочлена P(s) такую лестницу можно построить
и, следовательно, в пространстве 7J уравнение A) всегда
разрешимо. Будем называть, далее, поверхность Г кулевой
или обобщенной замкнутой, если для всякой основной
функции фE)
J <J> (s) ds = 0.
г
Примером нулевой поверхности может служить много-
многообразие, являющееся произведением нулевого контура в пло-
плоскости st на любую поверхность в пространстве остальных
переменных.
Для каждого многочлена Р (s), обратная величина кото-
которого р . ограничена на нулевом контуре Г, определяется
г (S)
функционал
Он является решением уравнения
B)

208
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[6
Замечание. Переходя в уравнениях A) и B) к преоб-
преобразованиям Фурье (см. ниже, § 2), мы получаем решения
уравнений
= 8(*) C)
(< ?)/=«.
D)
где под записью i-к- нужно понимать (г.—, ..., i ——V
ОХ \ OXi ОХп )
Таким образом, во втором выпуске мы сможем доказать, что
любое уравнение в частных производных с постоянными
коэффициентами обладает фундаментальным решением.
Мы используем в дальнейшем эти простые соображения
также для фактического построения решений подобных урав-
уравнений.
6. Преобразования Фурье функций пространства S. Мы
ввели в конце § 1 гл. I пространство 5 бесконечно диффе-
ренцирумых функций ср(х), удовлетворяющих неравенствам
| X LJ ср ух) | -^ L-fry. (^i)
Найдем класс функций, являющихся преобразованиями
Фурье функций класса S *). Каждая функция ср (х) ? 5 обла-
обладает, очевидно, классическим преобразованием Фурье
ф (а) = J ср (х) ei &¦ ") dx,
причем функция ф(а) бесконечно дифференцируема в силу
абсолютной сходимости интегралов
а) = J (ixf ср (х) е*(х'а) dx.
Так как функция (ix)q ср (д:) бесконечно дифференцируема
вместе с ср (х) и все ее производные являются абсолютно
интегрируемыми, то функция Dqty(a) стремится к нулю
быстрее любой степени ——. Таким образом, функция ф (а)
как функция переменных а = (а1 ап) обладает теми же
*) Излагаемые в этом абзаце соображения будут подробно
развиты в § 1 гл. III второго выпуска.
1] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 209
свойствами, что и функция ср (х) как функция переменных х.
Мы видим, что пространство 5 преобразованием Фурье
переводится в себя. Более того, так как такие же рас-
рассуждения проходят для обратного преобразования Фурье,
то преобразованием Фурье пространство 5 отображается на
себя, т. е. каждая функция ф(а)^5 имеет прообраз. Можно
проверить, что всякая сходящаяся в 5 последовательность
функций cpv (л*) переводится преобразованием Фурье в по-
последовательность функций ф„ (а), также сходящуюся в 5.
Из сказанного, в частности, следует, что каждый эле-
элемент ф(<з) пространства Z есть элемент пространства 5.
(Это можно получить и непосредственно: из определения
пространства Z следует, что всякая функция <j>(a)?Z бес-
бесконечно дифференцируема и стремится при |о|—>оо к нулю
быстрее любой степени -j—г-; далее, применяя для вычисле-
вычисления производных интегральную формулу Коши, мы можем
получить то же свойство для любой производной от ф(о).)
Кроме того, из сказанного вытекает, что если последова-
последовательность ф,(<з) функций из Z сходится в смысле сходи-
сходимости в Z, то она сходится и в смысле сходимости в 5.
Далее, поскольку пространство К вложено в пространство 5
плотно, его образ — пространство Z — также располагается
плотно в 5, так что любую функцию ф (о) ? 5 можно полу-
получить как предел (по сходимости в S) последовательности
функций ф„ (а) ? Z.
§ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИИ.
СЛУЧАЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
1. Определение. Поскольку между пространствами К
и Z существует взаимно однозначное соответствие с сохра-
сохранением линейных операций и сходимости, аналогичное соот-
соответствие можно установить и между линейными непрерывными
функционалами на этих пространствах. Мы установим это
соответствие так, чтобы на функционалах, отвечающих
абсолютно интегрируемым функциям, оно переходило бы
в соответствие между функцией и ее классическим пре-
преобразованием Фурье.
Вначале опять рассмотрим случай одного независимого
переменного.
14 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

210
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[1
Пусть /(х)— абсолютно интегрируемая функция и g(a) —
ее преобразование Фурье. Тогда для любой основной функ-
функции ср(х) и ее преобразования Фурье ф(а) имеет место
соотношение
которое называют обычно равенством Парсеваля; оно
остается справедливым и тогда, когда /(х) и ср(х), а сле-
следовательно, и их преобразования Фурье g(a) и ф(<з), лишь
интегрируемы в квадрате на оси. Равенство Парсеваля
показывает, что g(a) как обобщенная функция действует на
основную функцию по формуле
(g, ф) = 2тг(/, ср).
A)
В этой форме оно может служить определением обоб-
обобщенной функции g на пространстве Z при любой заданной
обобщенной функции / на пространстве К. Будем называть
функционал g, определенный равенством A), преобразо-
преобразованием Фурье функционала f и обозначать символами F [/]
или /.
Подчеркнем, что функционал F [/] действует уже не
в пространстве /С, а в двойственном пространстве Z.
Для преобразования Фурье обобщенных функций сохра-
сохраняются формулы дифференцирования обычных преобразо-
преобразований Фурье:
B)
C)
так что, в частности, умножению на ix в пространстве К'
соответствует дифференцирование в пространстве Zf и диф-
дифференцированию в пространстве К' отвечает умножение
на — is в пространстве Z.
2]
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 211
Для доказательства достаточно рассмотреть случай
\dx)==~dx ' ы имеем в этом случае
(F[ixf],
= (F [/], F [-/*?] ) = (F[/],-A F [<p]) = (^- F[/l, F [ср]),
что дает формулу B); аналогично устанавливается C).
Обратный оператор F определен на пространстве Z'
и переводит функционал g в функционал / по той же фор-
формуле A) (читаемой справа налево), так что
F~X\F\f\\ =/.
D)
Отметим еще, что формула FF [ср (х)] = 2тс ср (— х)
(§ 1, п. 1, формула F)) легко переносится на обобщенные
функции. Действительно, для функций ср, принадлежащих
пространству 5:
{FF If], FF [ср (х)]) =: 2тг (F [f], F [ср (х)]) = BтгJ (/, ср (х)).
Но слева вместо FF [ср (х)] можно подставить 2-пгср (— х).
Сокращая на 2тс и заменяя х на —х, мы получаем:
(FF[f],
т е.
= Bтг/, ср(—
= 2izf(— х),
E)
что и требуется.
2. Примеры. 1. Найдем F [Ь]. Согласно определению
со
(8, ?) = 2т, (Ь, ср) = 2тгср @) = j ф (a) da = A, ф),
— со
откуда
F[S] = 8=1, F^m^o. A)
14*

212 ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [2
2. Аналогично найдем F [I]:
со оо
(I, ^) = 2теA. ср) = 2тс j <t(x)dx = 2ic J <р(х) е-**-о dx =
откуда
= 1 = 2тс8,
1
2тс *
B)
3. Преобразование Фурье от многочлена.
Используя формулы B) — C) п. 1, находим:
F[P(x)] = F{P(x). 1] =
р \р (АЛ Ь (хI = Р (— to) 8 = Р (— /5) ¦ 1 = Р (— to). D)
L \dx ) J
В частности,
я Г8B™> f xYl = (— 1 ^OTs37re. j
E)
F [Ъ<-2т) (х)] = (— l)ms2m,
4. Дифференциальное уравнение (л.— 1)-го порядка
Пу(п-1) (д.) _ Ху (Х) F)
после преобразования Фурье переходит в уравнение
1-го порядка
(и=у).
G)
Так как уравнение (га—1)-го порядка F) имеет га—1
линейно независимых (обычных) решений, то и уравнение
1-го порядка G) имеет п—1 линейно независимых решений
в пространстве обобщенных функций над Z. Мы уже рас-
рассмотрели эти решения в п. 5 § 1.
5. Преобразование Фурье от показатель-
показательной функции еЬао. Воспользуемся тем, что ряд
лС/U/ ¦ ¦_¦¦ —¦
Ьпхл
»=0
2]
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 213
сходится в смысле сходимости в пространстве К'; это
позволит вычислить е6аз путем почленного применения опе-
оператора F к этому ряду. Мы получим (см. формулы E)—F)
п. 4 § 1)
Формула (8) позволяет легко получить преобразования
Фурье у часто встречающихся функций sinftx, cosbx, sh bx,
ch bx:
rgibx p—ibx~\
F [sin bx] = F [ 2^ J = iw [§ E — ft) — 8 E + ft)], (9)
F [cos ftjc] = F ]^ibX +^~гЪхJ = TC [8 (s — ft) _(- 5 E -f- ft)], A0)
[аба; p—bx -\
^ J =«[8(s—/ft) —8(s-f/ft)], A1)
F [ch ftx] = F [ еЬХ +2е~ЪХ J = тс [8 E — /ft) -1-8 E + /ft)]. A2)
6. Преобразование Фурье обобщенных
функций, продолжаемых на пространство 5.
Предположим, что функционал /, определенный первона-
первоначально на пространстве К, может быть распространен по
непрерывности на пространство 5 (см. гл. I, § 1, п. 10).
Покажем, что преобразование Фурье g=f функционала /
также распространяется (с пространства Z) на простран-
пространство 5.
Действительно, формула
(g, ф) = 2те(/. ср), <J> = 5p> A3)
определяет функционал g сразу на всех функциях ф,
являющихся преобразованиями Фурье функций ср; поскольку
ср пробегает все пространство 5, функция ф также пробе-
пробегает все пространство 5. Так как из сходимости к нулю
функций ^v(o)^<S следует сходимость к нулю их прообра-
прообразов cpv(x)^5 (обе в смысле пространства S), то получае-
получаемый функционал g непрерывен на 5. Действительно, если
.«К (о)-* 0, то (g, <|>v) = 2те(/. <pJ-».O.
Итак, формулой A3) определен непрерывный функ-
функционал g на 5. Но для (|> ? Z он совпадает, очевидно,

214
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
с преобразованием Фурье / функционала /, действующего на
пространстве К. Тем самым / распространяется с Z на 5,
что и требовалось.
В частности, преобразования Фурье периодических функ-
функций, финитных обобщенных функций и всех обычных функ-
функций степенного роста, а также их производных можно счи-
считать функционалами на 5. Таковы, например, обобщенные
—- - -
sgn х, которые мы подробно
<х
и
функции хх+, х1
рассмотрим в пункте 3.
7. Преобразование Фурье от периодиче-
периодической функции. Всякая периодическая (с периодом 2тс)
локально интегрируемая функция f(x), как мы видели
в п. 4 § 2 гл. I, представляется в виде суммы ряда Фурье
A4)
сходящегося в смысле обобщенных функций (даже в про-
пространстве S').
Применяя к равенству A4) преобразование Фурье по-
почленно (что законно в силу его непрерывности) и исполь-
используя результат примера 5, находим:
A5)
Таким образом, функционал f(x), рассматриваемый как эле-
элемент пространства S', сосредоточен на счетной последова-
последовательности точек п=0, ±1, ±2, ...
3. Преобразования Фурье обобщенных функций х+,
Х-, \х\х, \х\ sgnx. Подсчитаем преобразование Фурье
обобщенной функции хх+. Ограничимся сначала значениями X,
для которых —1 <С Re X < 0.
Рассмотрим выражение
F [х\е~%х\ = Г
= ( xxeisxdx
A)
для T = Ims>0, так что 0<args<7c. Этот интеграл за-
заведомо сходится. Когда T->-j-O, х±е~%х сходится к х\
3]" § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 215
в смысле обобщенных функций, поэтому преобразование
Фурье от х+е~*х стремится к искомому преобразованию
Фурье от х+.
Вычислим интеграл A) с помощью подстановки
isx = — S, isdx = — d%, x= —, dx = — —.
Мы получим при этом
где путь интегрирования L представляет собой луч, иду-
идущий из 0 в оо, с аргументом arg? = args — -^. Следова-
Следовательно,
ТС
Но в правой полуплоскости е~^ экспоненциально убывает.
Пользуясь теоремой Коши, получаем, что последний инте-
интеграл равен интегралу по полуоси 5 >¦ 0, т. е.
так что
Так как по предположению —1 <ReX<0, то и
— 1 <Re(—X—1)<0.
Совершая предельный переход при х-
чаем (см. гл. I, § 3, п. 6)
F [х\] = it "Г г (х _|_ 1) (о _j_ Ю)
• 0, мы полу-
-Х-1
B)
В силу единственности аналитического продолжения *) эта
формула верна при любом X Ф —1, —2, .. . Если разделить
*) Здесь (и часто дальше) используются следующие простые
соображения. Пусть Д и g\ — обобщенные функции, аналитически
зависящие от \ в области G, и пусть известно, что в меньшей
области С?! cz G обобщенная функция g\ является преобразованием

216
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
обе части равенства на Г (X —(— 1), мы получим справа
и слева целые функции от X, и следовательно, при всех
значениях X
-Х-1-
C)
Можно еще подставить в правую часть выражение
функции (а-(-*0) Х * (см. гл. I, § 3). Тогда получим при
ХфО, ±1, ±2 ....
F[x\] = lT(k-\-l)[etX~*'a+x-1 — e~lX^~oZx~1J; D)
при Х = « (й = 0, 1, 2, . . .)
)]• . E)
и т. д.
Аналогично можно подсчитать и преобразование Фурье
от хх_. Для этого нужно, предположив сначала, что
— l<ReX<0, вычислить F [хх_е~хх\, где х < 0, а затем
перейти к'пределу при т —>—0. При этом получается:
В частности,
о
х_е-*х\ — / |
-™ dx —
оо
*t = (—j) Г(Х+1).
:='Д. Первое означает, что чис-
Фурье обобщенной функции Д
ловые функции От X
(Л, 9) и (?х, 40,. (-Х-)
где ср и ф — основные функции, аналитичны в области G, а вто-
второе,— что в области Glt если ф = <р, функции (¦*-) связаны равен-
равенством ...
(g\, Ф) = 2я(Л, 9). ¦(**)¦
В силу единственности аналитического продолжения равенство (-SHf)
сохраняется в области G и, следовательно, в области G обобщенная-
функция gx также является преобразованием Фурье обобщенной
функции Д. - -. - - -
3] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 217
Отсюда для X Ф —1, —2, ......
— /0)
-Х-1
(8)
и при всех X
При Х=?0, ± 1, ±2 подставляя выражение (а—ДО)"*,
находим:
Ftx^^/rcXH-i)^^-1-^^]. (Ю)
При \ = п (« = 0, 1, 2, . . .) получаем:
»-1 — ZtcS<«) (о)].
F [л:™] = /"+1 [(—
Перейдем теперь к обобщенным функциям | х \х и
|x|^sgnjc. Складывая и вычитая формулы D) и A0), мы
находим: при X Ф 0, ± 1, ±2, . . .
\ A2)
A3)
Разделяя обе части равенства A2) на Г ( ~1 ) и приме-
применяя формулу удвоения для гамма-функции *), получаем сле-
следующую изящную формулу преобразования Фурье для целой
^ I iX
функции /х(х) = 2 " ]xl
"г ]x
F[fx(x)] =
x+i
| — \—1
(Ч)
A2')
ч~ *) Г. М. Ф ихтенг о л ь ц, Курс, т. 2, 1949, стр. 784.

218
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
C
Преобразуя аналогично формулу A3) и полагая
| х |х sgn х
находим
X+l
) 2
Аналогично, при \ — п (л. = 0, 1, 2,
A1) находим
F [\ х \п] = JP[xl]-\-F [х1.] = t
F[\x\n sgn x]=sF [x\\—F [xl] = /"+M(l-(—
В частности, для л. четного, га = 0, 2, ..., 2?
F [ J л: |2А: sgn х] = 2/(—
A3')
.) из формул E) и
], A4)
A5)
A6)
A7)
а для п нечетного, п = 1, 3, . . ., 2& -(- 1, ....
= 2т (—l)fc+1 SB&+1) (a), A8)
lo-8*-*. A9)
Обобщенные функции \х\х и |jc|xsgnjc сохраняют не-
непрерывность и при целых отрицательных X; первая — при
четных значениях Х = —2k — 2, вторая — при нечетных
значениях Х = —2k — 1 (й = 0, 1, 2, ...). Формулы пре-
преобразования Фурье для этих обобщенных функций полу-
получаются непосредственно из формул A2) и A3), если при-
применить к ним еще раз оператор F, использовать формулу
FF [f (х)] = 2тс f (—х) (§ 2, п. 1, формула E)) и в резуль-
результате заменить х на а и а на х. Мы получим, таким
образом,
F [х-*-Ц - (—1)*+* „.",„ | a p + i. B0)
I**] =
И2* Sgn a.
B1)
3] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 219
Таблица 1
п/п
13
14
Обобщенная функция
Ее преобразование Фурье
|* Iх (кф—1,—3,...)
x
=2
sgn х (кф—2,—4,...
хт
х-т
х-1
х-*
-1,—2,
2 (— /)»» л й<я») (а)
Ы sgn a
-ix
— е
?• _ ~~ Л^.
= le
in+lnl a-»-i 4- (— /)n ,tS
/a-l 4- 7t3 (a)
-X-l.
ав+х~^ = -й 2 X
ХГ(Х+1)(а-ЮГы*)
2ti ix-|- _x-1
2tc
*) Первое— при \ ф 0, ± 1,
Г (-
± 2, ...

220
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Мы видим, что эти формулы получаются из формул A2)
и A3) подстановкой Х = —2k— 2 и Х =—2k—1 соот-
соответственно.
Этим же приемом, применяя вторично оператор F
к формулам C) и (9) и заменяя —X—1 на X, можно по-
получить формулы преобразований Фурье для обобщенных
функций (х-\-Ю)х и (х — Ю)х:
B2)
Г( —
B3)
Полученные нами здесь формулы сведены в таблицу на
стр. 219.
4. Преобразования Фурье обобщенных функций лг+ln х+
и аналогичных *). Дифференцируя по X преобразования
Фурье, найденные в предыдущем пункте, мы получаем
новые формулы преобразований Фурье. Так, дифференци-
дифференцируя формулу B) предыдущего пункта, мы находим: при
А ф 1, 2, ...
F[x\\nx+\=ie
«7
A)
Аналогично, дифференцируя формулу (8) п. 3, находим,
что при X Ф—1, —2, ...
F [хх_1пх_] =
-i| T(X-h l^o-ZO)-"-
Г (X 4-1) (a — /О)"* In (a — /0)} . B)
*) При первом чтении можно этот пункт пропустить. Резуль-
Результаты его приведены в конце книги в сводной таблице преобразо-
преобразований Фурье.
4J § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 221
В частности, полагая Х=0, получаем:
— (о-НО) In (a-НО)};' C)
F[1nx_J = — 7|(ГA) —/|-J@ —ЮГ1 —
— (а — /О) In (a— Ю)}. D)
Складывая и вычитая формулы A) — B), находим:
— ie
+ ie-1^
ЮГ* In (a—70),
E)
[ | х |Мп | л: | sgn х] =
» + Ю) —
~Х
Г (X -(- 1) (а — Ю) ~Х In (а — гО).

222 Гл. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
В частности, при Х = 0 имеем:
{4
~1
— i(а -+-Ю)~1 In (а + Ю) +1 О
F[\n\x\sgnx\ =
In (а — /0), G)
—'-|](с» —/О) —
— / (a -+- /О) In (а + Ю) — / (о
¦10). (8)
Предельный переход X —>—2k в формуле E) и
Х-> — 2/г—1 в формуле F) позволяет найти выражения
F [х~2к In | х| ] и F [х-2*-1 In | х | ]. Мы найдем эти выраже-
выражения ниже несколько иным путем.
Преобразования Фурье обобщенных функций х+п, xZn,
х+п\пх+, xlwlnx_ могут быть найдены с помощью рядов
Лорана функций х+ и xl в окрестности значения X = — п.
Как мы помним, разложение Лорана функции х+ в окре-
окрестности значения Х = — п имеет вид
х _(-l)tt-l8(n-l)W
Почленное применение преобразования Фурье приводит
к разложению
Поэтому, разлагая по степеням Х-(-п функцию
(9)
A0)
и приравнивая коэффициенты получающегося ряда соответ-
соответствующим коэффициентам ряда (9), мы найдем выражения
преобразований Фурье от xZn,- х+и1пх+, ... Заметим, что
е 2 и (a-j-/O)~x~ —целые функции, а Г(Х-)-1) имеет
при Х = —1 полюс 1-го порядка; следовательно, искомое
4] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 223
разложение функции A0) по степеням X-f-ra может быть
получено как произведение ряда Тейлора функции (з~)-гО)~х~1
и ряда Лорана функции
г\-
Первый из этих рядов имеет вид
(а _|_ /0)~Х = а" — (X + п) о" In (a -f Ю) +
а второй мы запишем в форме
A1)
A2)
Коэффициенты а(% а^, . . . можно вычислить явно; ниже
приведены их значения. Перемножая ряды A1) и A2),
находим:
1п
_|_ (X + п) [ai'V-1 — a^a" In (a -f- /0) -j-
+ 1 a^la*-1 In2 (a + Ю)] + .. . A3)
Приравнивая коэффициенты разложений (9) и A3), полу-
получаем:
F [*;"] = а^а"-1 — a^la"-1 In (a+ Ю). (I4)
F U;w In x+l = ai^a* — aj1^" In (a -+- /0) -+-
+ 1-a^a" In» (a+ Ю). A5)
Аналогичные вычисления проводятся для определения
образований Фурье обобщенных фун
и т. д. Исходим из разложения Лорана
преобразований Фурье обобщенных функций xZn, xZ In X-

гл. п. преобразования фурье [4
к которому применяем почленно преобразование Фурье
Поскольку
... A6)
мы можем получить интересующие нас формулы разложе-
разложением последней функции по степеням (Х-}-я) и приравни-
приравниванием соответствующих коэффициентов получающегося ряда
и ряда A6). Мы имеем:
.... A7)
откуда
A8)
F [*!] = ^L о" + [aJV - ft^a-1 In (a - Ю)] +-
ri) [bPa*-1 - *ie)o-1 In (a _ /0)] +
n-1ln*(o—/0)+ ... A9)
Приравнивая коэффициенты в A6) и A9), получаем:
F [xZn] = bPa11-1 — b^'1 In (a - Ю), B0)
F [xZn In x_] = ftfo"-1 — i'V In (a — Ю) +
+ i*E1an-1ln2(a —Ю), B1)
Найдем теперь преобразования Фурье обобщенных функций:
\x\-n, I л Г" sgn
и UP In
х|sgn х.
Разложим функцию \ х\ в ряд Тейлора в окрестности точки
X = — 2k:
\ х \х-= х-2к -+- (X + 2Л) х-а* In | jc Ц-
4] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 225
Применим почленно преобразование Фурье:
F[\x\x] = F [x-2k]-\-(X~\-2k) F [х-2кIn | х |] 4- • • • B2)
С другой стороны, имеем:
Положим
Эта функция при Х = —2k регулярна, так что
С (X) = <f) + (X + 2k) с?*) 4- ...
Далее, в окрестности точки X == — 2/г
B3)
B4)
I-X-1
= | a I2* — (X 4- 2k) | a I2* In | a | -1- ... B5)
Перемножая разложения B4) и B5) и сравнивая результат
с разложением B2), находим:
a|«*-1 B6)
(ср. выше формулу B0) п. 3),
F [х-2к In | х |] =
*-1 — 42fc> | a |»*-» In | a |. B7)
Продолжив разложения B2), B4) и B5), можно было бы
аналогично найти F [х~2к In21 х |] и т. д.
Аналогично разложим | л; |х sgn x в окрестности точки
X = — 2Л — 1:
*-4n |x|4- •••
Применяя почленно преобразование Фурье, получаем:
F [ | х |Х sgn x] =
= /Чх-8*] 4- (^ + 2А: 4- 1) ^ [х-2*-1 In | х | 3 4- • ¦ • B8)
С другой стороны,
F [ { х |х sgn х] = i-D (X) | а | ~x-1 sgn a,
Хл "" ' *). B9)
где
15 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

226
М. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ
[4
sgn a = |
|3&
sgn a —
Разложим функции D(X) и |а| sgn a по степеням Х +
+ 2*4-1:
+ )+ .... C0)
| а | In | ajsg-n a + . . .
C1)
Перемножая C0) и C1) и сравнивая с B8), находим:
р [x-2fc-i] _ /rfBfc+i) | 0 |2ft sgn 0 C2)
(ср. формулу B1) n. 3),
F[x-"-1 Ы\х\ } = idfc+1) | a f< sgn a- id$k+l) | a ]3* In | a | sgn a
C3)
и т. д.
Теперь нам нужно подсчитать преобразования Фурье
обобщенных функций |х|~га и |л'|~га1п|х| при нечетных п
и преобразования Фурье обобщенных функций |jc|~nsgnj<;
и j х\~пЫ | х | sgn х при четных п. Мы найдем эти пре-
преобразования Фурье тем же путем, только в отличие от пре-
предыдущего вместо рядов Тейлора воспользуемся рядами
Лорана.
Разложим функцию | х |х в ряд Лорана в окрестности
значения Х^—2/г—1:
¦1п|лг|+ ...
| 4- . . . C4)
••• C5)
Применим почленно преобразование Фурье:
i F ffi^V *Л1 1
Bk)! X + 2k
X
С другой стороны, перемножая разложения
4] § 2. обобщенные функции одного переменного 227
| a |"Х-1 = a2fc — (X + 2/2 4- 1) a2* In | a | 4-
+ 1(Х-Ь2й-г-1Jа^ In2|a|4- ..., C6)
получаем:
4_ (X 4- 2k 4- 1) [сОЛ+Чо8* — c@2fc+%2fc In I a | 4-
Следовательно,
/=•[ I x Г2*] =
4--1 c^+r)a2ft In2 | a | J 4- ... C7)
In | a |,
C8)
— c_i a In I a | -)- -o- c_i a Jn^la], (оУ)
Аналогичные вычисления производим с обобщенной функ-
функцией | х |х sgn х в окрестности значения Х = —2k:
x
- 2
In |xjsgnjc 4- ...,
1 |x Г" sgn ,] +
-±-(k-\-2k)F[\x\-2kln\x\sgnx]+- . .. D0)
С другой стороны, перемножая разложения
| a |-x~1 sgn о = а2* — (X + 2ft) a2* In | a | +
|, D1)
D2)
15*

228 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
находим:
D (X) | о Г* sgn о=^ о*
+ (X + 2k) [df *H"*-1 - 42V*-1 1п | а Ц-
D3)
Сравнивая D0) и D3), получаем формулы:
F [ | х Г 2& sgn х] = /d^V* - г^а3*
f [|x|~2ftln[x| sgnx] =
_ M?*H*-i _ ^V*-1 In I a | +|
1 In j а |,
ходе вычислений мы ввели следующие функции:
,(я)
В(к) = — ,
'г(х-ь 1) = .-^
'(Х-г-я)-|- ....
Заметим, что 5(Х) = Л(Х) при вещественных X, т. е. В (к)
получается из А (к) заменой / на — /. Далее, С(Х) = Л(Х)-(-
-\- В (к), т. е. С (к) = 2 Re А (к) при вещественных X, а D (X) =
= Л(Х) — В (к), т. е. D (X) = 2г Im Л (X) при вещественных X.
5] § 2. обобщенные функции одного переменного 229
Значения а^, о^ и а[п) мы приведем без вывода:
а<»> =
В частности,
5. Преобразование Фурье обобщенной функции
}-&лг-}-с)^. Рассмотрим функцию (ах2 -\-Ьх-{- с)х+, рав-
равную (ах2-}-?х-}-с)хпри тех х, при которых ах2-}-?х-|-с>0,
и равную нулю при остальных, х. Соответствующая обоб-
обобщенная функция определяется равенством
(х))= J
A)
при тех X, при которых интеграл существует, а при дру-
других X — как аналитическое продолжение этого интеграла.
Область, в которой ах2-\-Ьх -\-с > 0, если она суще-
существует, может иметь один из следующих видов:
1) интервал a < д: < Р;
2) вся прямая;
3) лучи х < а и х > р (а < Р);
4) вся прямая за исключением одной точки х = а.

230
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Линейным преобразованием переменного х (сдвигом и
растяжением) можно свести функцию (ахг-\-Ьх -\- с)*_ к одному
из следующих типов: в случае 1) к A—х2)^; в случае 2)
к (I-\-Х2)\ = (I-{-Х2)х; в случае 3) к (л:2 — 1)^; в слу-
чае 4) к х+. Последний случай нас интересовать не будет,
так как функция х+ и ее преобразование Фурье изучены
выше.
В первом случае интеграл
1
/A— x2)l9(x)dx
-1
сходится при ReX>>—1; при других X его регуляризация
(аналитическое продолжение) получается по формулам, ука-
указанным в § 3 гл. I. При этом выясняется, что обобщенная
функция A—х^)х аналитична всюду, за исключением точек
Х =—1, —2 —k, ..... в которых она имеет полюсы;
вычет в полюсе Х = — k равен
8 A
мулой
— 1I
Здесь
х2) — обобщенная функция, определяемая фор-
форt^lL Ч (х + 1)].
2кхк
(х - 1) -
Аналогично обобщенная функция A-|-х2)\ определен-
определенная сходящимся при Re X < — интегралом
со
f
аналитична при всех X, а обобщенная функция (х2—1)х ,
определенная как сумма сходящихся при — l<ReX< —
интегралов
-1 ' оо
J A — Х2)Х ср (X) dX -\- f A — X2f cp (X) ах,
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 231
аналитична при \ф—1, —2, ... и имеет в точке Х = — k
—-. Здесь о ~ (х2—1) —
(l) (X
полюс с вычетом ^ —-гт ^
обобщенная функция, определяемая формулой
S^V— 1) =(- 1)*-?*~чA —х*) =
В связи с приведенными определениями дадим общее опре-
определение обобщенных функций Ь(/(х)) и 8W(/(jc)).
Пусть сначала/(х) — бесконечно дифференцируемая функция,
имеющая единственный и притом простой корень при х = х0, при-
причем f (xQ) >¦ 0. Сделаем в интеграле
J
(О dt = ср @)
(I)
подстановку t=f(x). Формула (I) перепишется в виде
& (/(¦*)) <р (/С*))/' (*)<*¦* = <? @);
J
положив ср (/ (х)) /' (х) = ф (Jf), получим:
Если /'(хо)<^О, то чтобы слева интегрирование производилось
в сторону возрастания х, надо поставить перед интегралом знак
минус; таким образом, в общем случае
b(f(x))<b(x)dx =
I/'
Эти наводящие соображения делают естественным следующее
определение. Пусть /(•*)—дифференцируемая функция, имеющая
один и притом простой корень х = х0. Обобщенная функция В (f (х) )
есть функционал, определяемый формулой (II), где ф (л:) — любая
основная функция.
Пусть теперь / (х) имеет произвольное число простых корней.
В этом случае естественно определить о(/(д:)) формулой

232
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
где суммирование производится по всем корням уравнения / (х) = 0;
можно переписать ее в виде
Например, 8 (sin х) = 2 ° (х — кпУ
п
Определение bW(f(x)) легко получить из (IV) формальным
дифференцированием. Дифференцируя формулу (IV) один раз,
получим:
&( )
На /' (х) можно разделить, так как /' (х) в точках х = хп не
обращается в нуль:
Продолжая дифференцирование, приходим к следующему опре-
определению:
Найдем преобразования Фурье обобщенных функций
A — х2)х+, A-)~х2)^, (х2—!)+• Эти преобразования Фурье
при тех X, при которых соответствующие интегралы схо-
сходятся, выражаются через бесселевы функции; в силу един-
единственности аналитического продолжения эти выражения
сохраняются и при других X. Интересно, что при целых
значениях параметра X удается выразить эти преобразова-
преобразования Фурье через элементарные функции и через производ-
производные от S-функции. Тем самым устанавливаются связи между
бесселевыми функциями, с одной стороны, и производными
от S-функции, с другой.
Мы начнем с вывода преобразования Фурье обобщен-
обобщенной функции A—л;2)\ При ReX>—1 имеет место фор-
формула *)
/(I-
*) И. М. Рыжик и
стр. 345, формула 6.413, 3.
B)
И. С. Г рад штейн, Таблицы, 1951,
5]
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 233
Функция, стоящая справа, а следовательно и функция
слева, аналитична при всех X, кроме Х = —1, —2, ...;
в этих точках рассматриваемое выражение имеет простые
полюсы.
Таким образом, преобразование Фурье обобщенной
функции A —х2)\ выражается формулой
(s), B')
оно существует при всех \ф—1, —2, ...
Вычет написанного выражения при Х = — п равен
<-
C)
Этот вычет можно выразить и иначе. Для этого раз-
разделим обе части равенства B) на Г(Х-|-1) и найдем предел
при Х-> — п. Так как
Hm
то
о-
D)
Последний интеграл, как нетрудно подсчитать, равен
I АП-1
г.2п-1
~>п—1
(sds)
cos s
Это и есть второе выражение вычета при Х = — п.
При целых Х = я>0 легко получается формула
E)
F)"
Для доказательства этой формулы заметим, что она спра-.
ведлива при п=^0. Пусть формула F) справедлива для
некоторого п. Применяя к обеим частям равенства F)

234
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
оператор 2 —-т- и интегрируя по частям, можно убедиться
в справедливости этой формулы и при п-\-\.
Из полученных формул легко вывести выражение бесселевой
функции полуцелого аргумента через элементарные функции. Сра-
Сравнивая формулы C) — E), находим:
/~ о п
J 1 (*) = У — (s)
-у йп
~г
I cos s \
(sds)"-1 \ s )•
G)
Указанное выражение применимо, если индекс бесселевой функции
отрицателен. Чтобы найти выражение бесселевой функции с поло-
положительным полуцелым индексом через элементарные функции,
положим в формуле B) X = п:
1
i
(8)
Сравнивая F) и (8), находим
Таким образом, мы доказали, что как при отрицательных, так и
при положительных полуцелых значениях г функция Jr (x) выра-'
жается через элементарные функции.
Рассмотрим теперь функцию A-\-х2)х, Преобразование
Фурье этой функции при ReX<0 равно *)
Формула (9) сохраняется при всех X. При целых неотрица-
неотрицательных \=п искомое преобразование Фурье легко нахо-
находится непосредственно: функция A-\-х2)х является много-
многочленом A-\-х2)п, а функция \s\ 2K i(l$|) имеет
*) И. М. Рыжик и И. С. Г рад штейн, Таблицы, 1951,
стр. 281, формула 5.116, 1.
5] § 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО 235
полюс. Преобразование Фурье функции A-(-л:2)п, как мы
Отсюда следует, что
lim
Наконец, рассмотрим преобразование Фурье обобщенной
функции (х2—1)^;. Оно равно
— 1 со
Г (х2 — 1)х eisx dx-]- j (x2 — 1)Лeisx dx =
-co 1
CO
==2 f {x2— if cos sxdx. A1)
1
Но при — 1 < ReX < 0 имеет место равенство *)
x2 — \f cos sx dx = —'
Отсюда следует, что для всех Х^=—1, —2, ... преобразо-
преобразование Фурье обобщенной функции {х2—1)* равно
со
l)xcos5x dx —
-х--2
X
X
'X 2
A3)
*) Там же, стр. 347, формула 6.422.

236
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[6
Особенно просто . подсчитывается преобразование Фурье
функции (х2 — \)п (я = 0, 1, 2, . . .)• В этом случае
со
2 I (х2 — 1 )п
i
со
= f (x2—
cos sx dx =
— х2)пе™*dx =
—1
A4)
Таким образом, преобразование Фурье функции (jc2 — 1)+
равно
A5)
6. Преобразование Фурье аналитических функциона-
функционалов. Рассмотрим аналитический функционал в пространстве Z
A)
Контур интегрирования Г предполагается конечным или
бесконечным, но заведомо таким, вдоль которого функция
g(s)exb абсолютно интегрируема при любом веществен-
вещественном Ь. Мы утверждаем, что функционал g является пре-
преобразованием Фурье регулярного функционала над простран-
пространством К, определенного функцией
B)
Прежде всего заметим, что функция f(x) определена
формулой B) для всех х в силу предположения о кон-
контуре Г. Пусть (?(х)—основная функция, преобразованием
б]
§ 2. обобщённые функции Одного переменного 237
Фурье которой служит функция ^(s); тогда, подставляя
в формулу A) выражение ф($) через ср(дг), мы находим:
J
СО
f ср (х) | f g (s) e™ ds 1 dx
co (-Г j
где f(x) определена формулой B), что и утверждается.
Пусть, например, Г есть ограниченный замкнутый кон-
контур, внутри которого имеется изолированная особая точка s0
функции g(s). В этом случае функция f(x), согласно тео-
теореме, о вычетах, имеет вид
~is* dx =
.8=8о \g(s)
Пример. Рассмотрим аналитический функционал
C)
с интегрированием по мнимой оси (или по любому
эквивалентному пути). По доказанному, функционал g
есть преобразование Фурье функции /, определяемой
равенством
i со
1 /* —

238
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Этот интеграл легко вычисляется. Заменим в нем 5 на /т,
он перейдет тогда в интеграл
- Л
- л
— СО
2я «/ . 1^2^
Таким образом, аналитический функционал C) является
преобразованием Фурье функции
Обращая этот результат, получаем, что преобразованием
Фурье функции еа служит аналитический функционал,
определяемый функцией /]/2тг е в и контуром (—г со, /со).
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1. Определения. Преобразование Фурье функционала /,
действующего на пространстве К основных функций ср (х)
от нескольких независимых переменных jc = (jc1, .... хп),
определяется как функционал g на пространстве Z основ-
основных функций ty(s), s=(slt .... sn), действующий по фор-
формуле
(g-, ф) = Bтт:)та (/, ср), A)
где ф = <р есть преобразование Фурье функции ф(х). Функ-
Функционал g линеен и непрерывен; он обозначается через / или
F [/]. Результаты § 2 переносятся на этот случай без осо-
особых изменений. Формулы B)—C) п. 1 приобретают
следующий вид: если Р — многочлен от п переменных
lj § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 239
с постоянными коэффициентами, то
C)
Обратный оператор F действует в пространстве Z'
и переводит его в пространство К' по формуле
D)
Если f(x) — функция, обладающая преобразованием Фурье
в классическом смысле, то функционал / есть регулярный
функционал, соответствующий преобразованию Фурье функ-
функции /О).
Из сингулярных функционалов простейшим является
дельта-функция: для нее имеют место формулы
аналогичные формулам B) п. 2 § 2.
Формула преобразования Фурье от многочлена полу-
получается комбинированием формул B) и E):
= F[P(Xl, ..., хп)\] =
Выясним, как выглядит преобразование Фурье от обоб-
обобщенной функции /, к которой применена некоторая опера-
операция а линейного преобразования независимых переменных
(гл. I, § 1, п. 6). Для основной функции <р(х) мы имеем,
полагая а~1х = у, х — чу, dx=\a\ dy:
F [ср (и-1*)] = Г <р (и-^х) е1 (°'х) dx — | а \ Г ср (у) ei (°-«») dy —
=,| а ] Г ср (у) е1 (и'°' УЫу = \а\ ср (и'о),
т. е. преобразованию а~г в области переменных х
отвечает сопряженное преобразование и' в области

240
ГЛ. 11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[2
переменных о и умножение результата на \и\. Далее для
обобщенной функции / мы будем иметь, обозначая, как
всегда, ф (а) = F [<р (х)]:
(F[f(ux)], 1
]. F [<р («'а)] ).
Обозначая, далее, g"(a) = F [/ (х)], §¦„ (а) = F [<р (их)], мы
получаем:
откуда
Таким образом, преобразованию f(x)->f(ux) в простран-
пространстве обобщенных функций отвечает преобразование
g(p)-> | и | g"(V~1C) б пространстве преобразований Фурье.
В частности, если обобщенная функция / инвариантна
относительно преобразования и, так что f (ux)=f (х), то
ее преобразование Фурье инвариантно относительно преоб-
преобразования и'~г и умножения на \и\, так что | а\ g {u'~1o) =
= g-(a). Например, если обобщенная функция / сферически
симметрична, т. е. для каждого поворота и мы имеем
f(ux) = f(x), то и ее преобразование Фурьг сферически
симметрично, поскольку для поворота выполняются соотно-
соотнои| = 1.
шения и'~г = и,
2. Преобразование Фурье прямого произведения.
Пусть f(x) и g(y)^— данные обобщенные функции соот-
соответственно, по переменным х=(х1з. . ., хк) и у = (уи ..., ут),
и /(?), g("n) — их преобразования Фурье. Тогда преобразо-
преобразование Фурье прямого произведения f(x)g(y) (по всем
переменным) выражается по формуле
т. е. равно прямому произведению преобразований Фурье
функционалов fug. Для доказательства достаточно (см.
гл. I, § 4, п. 1) проверить требуемое равенство на основ-
3] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 241
п
ных функциях <р(х, у) вида 2 9j (х) Ь О0> мы имеем в этом
случае
^ /хg. 2?А) =
(/. ?,•) (^ ^)=2 G.
= Gх g. 2 9jЬ) = (Jxg.l
что и утверждается.
Примеры. 1. Если / (х) = Ь (х), то наша формула
приводится к виду
В частности,
[S (х) X 1 О)] = 1 E) X B*Г В (т,).
Иными словами, преобразование Фурье характеристической
функции подпространства Ry есть характеристическая функ-
функция подпространства /??, умноженная на Bir)TO.
2. Построим преобразование Фурье функции f(x, у)
двух переменных, равной 1 при х > 0, _у > 0 и равной О
при остальных значениях х, у. Эта функция есть произведе-
произведение (и, следовательно, прямое произведение) функций 9 (х)
и 9 (у). Отсюда в соответствии с формулой F) п. 3 § 2
получаем:
f&y) =Н^)х Чу) = М E) -+- tr1] х М (ч) + 'ч].
3. Преобразование Фурье обобщенной функции гх.
Обобщенная функция гх, согласно п. 9 § 3 гл. I, определена
при X. =5^=—п, —п — 2, ... и сферически симметрична.
Поэтому ее преобразование Фурье gK(?) есть также сфе-
сферически симметричная обобщенная функция. Интеграл Фурье
gk (о) = С
Ч1
гЧ
) dx
сходится при —п << Re >. << 0 и представляет собой сфери-
чески симметричную функцию, т. е. функцию от р ==у 2°J'
16 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

242 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [3
Далее, при любом t > О
gk (to) = С г V (fo> хЫх = С rxel <»• te> dx\
совершая преобразование координат tx = y, x = t~1y,
dx = t~ndy, r=\x\ = t~1\y\, мы получаем:
gk (to) = Г j у \x t-x-nel (»• v) dy = t-x~ngk (a).
Это означает, что gx(G) есть однородная функция сте-
степени — X — п. Поэтому она имеет вид gx (о) = Схр-Х~п.
Вычислим постоянную Сх. Для этого используем формулу
г2
(gv ({Л = Bте)ге(лх, ср), в которой положим*) <р(д;) = ?
011
¦и
)a
и мы получим:
J
= Bтг)эт J
dx.
Интегралы справа и слева вычисляются переходом к сфе-
сферическим координатам; при этом можно разделить на пло-
площадь единичной сферы с обеих сторон и заменить интегралы
однократными, записывая рп~1 dp вместо do и rre-1 dr
вместо dx. Получившиеся выражения вычисляются теперь
с помощью гамма-функции:
г
2J'
г _*п _ _¦*
*) Мы пользуемся формулой F\_e 2J = У2ке 2 (л = 1). _ -
И. М. Рыжик и И. С. Г рад штейн, Таблицы, 1951, стр. 281,
См.
формула 5.119.
3] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 243
Отсюда находим:
R)
и, следовательно,
B)
Это равенство, выведенное для — п < Re X. < 0, остается
справедливым в полной области существования аналитиче-
аналитической функции л\ т. е. при всех ~к Ф—п, —п—2, . . .
(в исключенных точках функция гх имеет полюсы).
Разделяя формулу B) на г( "~^п ), приходим к следую-
следующей простой формуле преобразования Фурье для целой
функции /х(г) =
2
п А+и
)т 2^~
ч •
I 2
B0
Разложение функции г1 в ряд Тейлора или Лорана при-
приводит к новым формулам преобразований Фурье.
Мы знаем из п. 6 § 4 гл. I, что в окрестности регулярной
точки Xq
Отсюда
_ Хд) гх° 1п г -(- 1 (X —
— Хо) F [r*. In г] + у (Х-
*о In2
>о 1П2г] + . . . C)
С другой стороны, разлагая функцию гх = Схр-Х~ге в окрест-
окрестности точки Хц в ряд Тейлора, мы получим:
In р
" In p] +
Эт 1п3 р] +...
D)
16*

244
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[3
Сравнивая коэффициенты в разложениях D) и C), получаем:
F [/° In г] = СхсР-х°-ге -+- Сх#-*-п In p. E)
F [гх° 1па г] = <&,-*•-" + 2С;оР-х-эт In р 4- СхоР-х°-ге In3 p F)
и т. д.
В окрестности особой точки Х = — п — 2т
1 +а + а
где коэффициенты а_!, а0, аг,... имеют выражения (гл. I, § 4,
п. 6)
Bm)V , flo = 2nr-»»-™. лг = 2Я/-*»-» In г, ...;
(8)
применяя к обеим частям равенства G) почленно преобра-
преобразование Фурье, находим:
B/и)! X 4-я 4-2/и ' и l J^
4-2эт^4-«4-2/и)/г[л-2«-'»1пл3 4-... (9)
С другой стороны, в окрестности этой же точки
_^__+ cj.+*»4_c(«+«™) (Х-Х_«4-2/гаL- • ¦ • J X
in
X (y с^+
) 4- (X 4- « 4- 2да) х
in р 4- 4эт+27Я)р2™) 4- • • • (Ю)
Приравнивая соответствующие коэффициенты разложений A0)
и (8), получаем:
г)] = с(п+
Qn F [r-2n-m ] = с(п+
F [Г~3яг-ге 1п г] = -1 с(п
in p 4- с(п+27Я>р2те8
в» inap 4-
га)р27Я In p 4~
4] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 245
Здесь числовые коэффициенты с&+2т\ c(.n+2™) и т. д. суть
коэффициенты разложения в ряд Лорана функции СхA)
в окрестности >. = — п — 2т.
4. Преобразование Фурье обобщенной функции, сосре-
сосредоточенной в ограниченной области. Покажем, что пре-
преобразование Фурье всякой обобщенной функции /, сосредо-
сосредоточенной в ограниченной области, есть функционал типа
следующей функции от а:
(/(JC). **<».«)).
Понимать это выражение нужно следующим образом: функ-
функция е1 (ж' а> заменяется основной функцией ср0 (х), равной ег &• а>
в той области, где сосредоточен функционал /, и обращаю-
обращающейся в нуль вне достаточно большой области; затем к ней
применяется функционал /:
Полученное при этом число не зависит от выбора функ-
функции <Ро(-*0 с указанными свойствами (см. добавление 1
к гл. I, п. 3). Мы должны проверить, что справедливо
равенство
для любой основной функции <р(-*0 и ее преобразования
Фурье ф (а). Но
(/. Т) = (/. Щ
Если мы внесем теперь функционал / под знак интеграла,
то наше утверждение будет доказано:
Нам остается поэтому проверить законность внесения функцио-
функционала / под знак интеграла. Покажем сначала, что это справедливо
для интеграла по ограниченной области:
f, f 41
д
== / 4- («) (У.
а

246
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[4
Интеграл по ограниченной области G есть предел интегральных
сумм
4] § 3. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 247
сфере Ua радиуса а с центром в начале координат:
(8 (л — а), <р) = j cp (x) dx.
Суммы sN (х) стремятся к интегралу по области G равномерно
в каждой ограниченной области изменения х, так же как и любые
их производные по х. Поэтому, превращая их обычным способом
в основные функции (умножением на фиксированную основную
функцию, равную 1 в окрестности носителя /), мы получим после-
последовательность, сходящуюся в пространстве К. Отсюда следует, что
. *л-) = 2
t,
имеет пределом
Но, с другой стороны, (/, sN) есть интегральная сумма для непре-
непрерывной функции от ст
она имеет пределом интеграл от этой функции. Таким образом,
равенство A) для ограниченной области G установлено.
Далее, интеграл по всему пространству есть предел интегралов
по ограниченным областям:
J
== lim
Г
a | < N
Функции от х, стоящие под знаком предела, сходятся к своему
пределу, т. е. к левой части, снова равномерно вместе со всеми
производными в каждой ограниченной области изменения перемен-
переменного х, и таким же образом можно считать, что эта сходимость
есть сходимость в пространстве К- Поэтому
//, Г ф (а)
I J
a\ = lim
J
= lim
JV->-co
Г
(a)
im ff, С ф (а) е
V |a|<JV
rfa,
что и требуется.
В качестве примера найдем преобразование Фурье от
сингулярной обобщенной функции Ъ(г—а), отвечающей
однородному распределению массы с плотностью 1 по
Функция 8 (л — а) сосредоточена в ограниченной области;
по доказанному, ее преобразование Фурье есть функция
F [8 (л — а)] — (8 (г — a), ei <«• ">) = Г е1 <¦*• °> <2л\
СЕ
Переходя к сферическим координатам (л = | х | = а, р = | а |,
б — угол между векторами х и а), находим:
р [§ (Л #)] — Г giap cos 6an-l Sjnw-1 6 rf9 rf(U =г
тс
cos 8 sin"-1
где rfo) — элемент поверхности сферы в (и — 2)-мерном под-
подпространстве, ортогональном к вектору р.
Как известно, полученный интеграл выражается через
бесселевы функции *):
F[8(r — a)l = fl»-iQf,_1(ap) 3 Jn_3 (ар) =
B)
При « нечетном, лг = 2/те —}— 3, бесселеву функцию можно
выразить через тригонометрические функции (§ 2, п. 6,
формула G'))
Ji (z) =
¦иг
sin z,
d
*) И. М. Рыжик и И. G. Г р а д ш т е й н, Таблицы, 1951,
стр. 165, формула 3.227,3 (положить х'= cos 0).

248 ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Таким образом, при я —2/ra-j-3 мы имеем:
[4
В частности, при п^Ъ, т = О
F[8(r —а)] =
(ар) =
— л~„ sln Pg
. C,
D)
С другой стороны, при любом п = 2т-\-Ъ можно исполь-
использовать известную формулу *)
=v~zJi(z)=^?SIn*•
Заменим в B) аргумент ар на z; тогда мы получим:
~
а
и по формуле E)
или, произведя обратную подстановку ,z = ap, dz — pda,
Г F fs с )i Q
Так как преобразование Фурье совершается по перемен
ным х, а дифференцирование — по параметру а, то
В результате получается интересная формула
d \то 8 (г — а} 1 Л _ /~Т sin
~ "
Р
F)
*) И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы, 1951,
стр. 359, формула 6.482,3.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
249
5. Преобразование Фурье как предел последователь-
последовательности функций. Метод, изложенный в п. 4, может помочь
и при разыскании преобразований Фурье произвольных
обобщенных функций (не обязательно финитных).
Пусть / — произвольная обобщенная функция. Как мы
знаем (гл. I, § 1, п. 8), функционал / можно представить
как предел функционалов /,, каждый из которых сосредо-
сосредоточен в ограниченной области. Преобразование Фурье
функционала /„, по доказанному, есть функция gv (s). Так
как оператор Фурье переводит сходящуюся последователь-
последовательность функционалов снова в сходящуюся последователь-
последовательность, то можно получить искомое преобразование Фурье
функционала / как предел (по сходимости в Z') последо-
последовательности функций g4 (s) при v —> со.
В частности, для любой (обычной) функции f(x) (как
угодно быстро растущей) преобразование Фурье может быть
определено как предел (в смысле сходимости в Z') после-
последовательности обычных функций
ил. V.1/
Если функция f(x) имеет рост не выше степенного и
определяет тем самым функционал на пространстве 5, то
интеграл A) сходится к преобразованию Фурье функции f(x)
также в смысле сходимости, установленной для простран-
пространства S' (т. е. на всех основных функциях ф(а)^5). В част-
частности, функционалы gv(o) сходятся'к своему пределу g(a)
на всех финитных бесконечно дифференцируемых функциях
в смысле сходимости в пространстве К'. Мы встречались
уже с такими фактами в примерах, приведенных в гл. I,
§ 2, п. 5. .
§ 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
1. Предварительные замечания. Преобразование Фурье
в его классической форме является одним из важных ме-
методов при решении задач, относящихся к дифференциальным
уравнениям. Но область применимости метода преобразова-
преобразования Фурье ограничивалась, в основном, классом интегрируе-
интегрируемых во всем пространстве функций или их степеней. Ис-
Использование преобразования Фурье в комплексной плоскости

250
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[2
позволило включить в область применимости метода Фурье
и функции экспоненциального роста, но с Обязательным
условием равенства этих функций нулю при отрицательных
значениях аргумента. Это относится и к преобразованию
Лапласа *), которое представляет собой модификацию пре-
преобразования Фурье. В двустороннем преобразовании Ла-
Лапласа, которое положено в основу известной книги Ван-дер-
Поля **), допустимым функциям разрешается при экспонен-
экспоненциальном росте в сторону х —*-j-oo быть отличными от
нуля при х << 0, но с экспоненциальным убыванием, обеспе-
обеспечивающим наличие полосы существования преобразования
Лапласа в комплексной плоскости. Другой изящный метод
построения операционного исчисления предложен Я. Мику-
синским ***); этот метод (развитый пока что только для
функций одного переменного) позволяет рассматривать функ-
функции произвольного роста в сторону х-+-\-оо, равные нулю
при отрицательных х.
Метод преобразований Фурье обобщенных функций, изла-
излагаемый в этой книге, не требует никаких предположений
относительно характера роста рассматриваемых функций как
при х—>-)-оо, так и при х —э оо и годится для функции
любого числа переменных. Поэтому естественно, что этот
метод, в частности, позволяет решать все типы задач, к ко-
которым можно применять классические преобразования Фурье
и Лапласа или метод Микусинского, а также и многие за-
задачи, которые недоступны для этих методов.
Мы ограничимся в этом выпуске рассмотрением только
некоторых простых примеров.
2. Итерированное уравнение Лапласа Ата —f. Реше-
Решение этого уравнения будет найдено, когда будет известно
фундаментальное решение Е по формуле u=f*E. Фунда-
Фундаментальное решение есть решение уравнения
ЬтЕ = Ъ(х). - A)
Будем искать фундаментальное решение в пространстве К'.
*) См., например, X. Карслоу и Д. Егер, Операционные
методы в прикладной математике; ИЛ, 1948.
**) Б. В а н-д е р-П ольиХ. Бреммер, Операционное исчис-
исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1952.
***) Ян Микусинский, Операторное исчисление, ИЛ, 1956.
2]
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
251
После преобразования Фурье, примененного к уравнению A),
мы получим:
(— l)m92mV = 1 (р2 — 2 «?). B)
где V означает преобразование Фурье функции Е. Вопрос,
следовательно, упирается в решение уравнения B).
Если 2т < п, то решением служит (локально интегри-
д—• Далее, если значение п = —2от<0
( .
руемая) функция
не есть полюс аналитической функции рх (гл. I, § 3, п. 9) —
напомним, что полюсы функции рх расположены в точках
— п, —п — 2 —то решением является функцио-
нал (—1OЯр-2»г) что получается предельным переходом из
равенства р2отрх — р2т+х при X —>—2т.
Пусть, наконец, Х =— 2т является полюсом аналити-
аналитической функции рх. Рассмотрим разложение функции рх
в окрестности этой точки в ряд Лорана:
\-\-2m
-j- а0 4- «1 (X -+- 2т) -}-...,
C)
где а_г, а0, аъ ... —обобщенные функции (гл. I, § 4, п. 6).
Умножим это равенство почленно на функцию ргт и пе-
перейдем затем к пределу при X—> — 2т. Левая часть имеет
пределом, так же как и выше, единицу. В правой части все
члены, начиная с третьего, в пределе обратятся в нуль; вто-
второй член р2та0 остается постоянным, первый при р2та_х Ф 0
должен был бы иметь пределом бесконечность, но так как
это противоречило бы полученному предельному соотноше-
соотношению, где все остальные члены конечны, то мы делаем вы-
вывод, что р27Иа_1 = 0 и, следовательно,
Итак, решением уравнения (—l)mp2mV^= 1 оказывается
в данном случае (—1)от«0. Г]*е ао — значение правильной
части ряда Лорана C) при X = —2т *). В первом и во вто-
втором случаях результатом обратного преобразования Фурье
в соответствии с формулой B) п. 3 § 3 является функция
*) Этот коэффициент есть обобщенная функция Qni—п-ът^ \\о
явное его выражение здесь не будет играть роли.

252
ГЛ. Н. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[3
~п- В третьем случае в соответствии с формулой E)
п. 3 § 3 решением служит функция
дг2.т-п 1П г _|_ Вг2т~п.
Но второе слагаемое в данном случае излишне, так как
оператором А оно переводится в нуль. Поэтому фунда-
фундаментальное решение Е во всех случаях может быть запи-
записано в виде
E(x) =
Cr2m~n\nr, если 2т >« и п четное,
Qrzm-n B остальных случаях.
3. Волновое уравнение в нечетномерном пространстве.
Частными решениями волнового уравнения
A)
являются бегущие волны
e-i [(а, X) + pi] (р __ I о I __
\г It
из которых мы будем комбинировать любое решение в форме
Решение ы(дг, ^) должно быть определено из начальных
условий, которые мы возьмем (ср. п. 4 § 5 гл. I) в форме
«С*. о) = о.
B)
Первое из этих условий приводит к уравнению
/ f^i (о) + »Г2 (в)] е~* (ст' ^ rfa = О
и удовлетворяется, если W2(a)== — Ч?\(а)^^тЧР"(а). так что
/ ^ () i I" e> sin p^ da^F~l [W (о) sin p^]. C)
4] § 4. дифференциальные уравнения
Второе начальное условие приводится к виду
253
или
Отсюда
и, следовательно, по формуле C)
Но обратное преобразование Фурье от
sin
мы уже
знаем: согласно формуле F) п. 4 § 3 при « =
-1 [sin РП_/" 71 1
Для решения задачи Коши с заданной начальной функцией
?" ^—L —д*) мы получаем формулу
и(х л_-,/л1
и(х. t)—y 2
— ЛГ% l (
где Mt[f) означает среднее от функции /(л: — ?) по сфере
В частности, при п = 3, /га = О
Обычным способом спуска можно получить решение вол-
волнового уравнения и в четномерном пространстве *).
4. Связь между фундаментальным решением уравне-
уравнения и фундаментальным решением задачи Коши для него.
Фундаментальное решение уравнения
ди
~di~~l
*)См. Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математиче-
математической физики, т. II, 1951, гл. VI, § 5, п. 2, стр. 372.

254
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
согласно определению, есть обобщенная функция Е(х, t)
(из пространства К'), удовлетворяющая уравнению
дЕ (х, t) п I д
Г1 Р
V дх) Е (х> 0 = 8 (*• О.
B)
Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения
есть обобщенная функция и(х, t), определенная при ?^0
на основных функциях у(х) (зависящая от t как от пара-
параметра), удовлетворяющая уравнению B) и обращающаяся
в S (лг) при ^ = 0.
Зная обобщенную функцию и(х, t), можно построить фун-
фундаментальное решение Е(х, t); именно, справедлива теорема:
Пусть известно фундаментальное решение и (х, t)
задачи Коши для уравнения C). Положим
,о=[ °
I и(х,
при
при
0,
D)
Тогда Е(х, f) есть фундаментальное решение уравнения A).
Определение D) требует еще некоторых пояснений при
t ~^>> 0. Мы должны ведь определить обобщенную функцию
над основными функциями, зависящими от х и t, а и (х, t)
определена как обобщенная функция над функциями от х
и зависит от t как от параметра. Мы придаем функции и (х, t)
следующий смысл как обобщенной функции над основными
функциями <р(х, t)'.
(и(х, 0.
. t), cp(x, t))dt.
Под знаком интеграла и(х, t) при фиксированном t приме-
применяется к основной функции <р(х, t) как функции от х при
том же значении t; результат есть финитная функция по t,
и интегрирование по t допустимо.
Покажем, что полученная обобщенная функция Е (х, t)
есть решение уравнения B). Достаточно показать, что удо-
удовлетворяется двойственное уравнение (полученное из B) пре-
преобразованием Фурье по л и t). Считая, что координаты
51
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
255
хи .... хп переходят при преобразовании Фурье в коор-
координаты alt .... ап, а координата t — в координату о0, полу-
получаем двойственное уравнение в форме ¦
Oq)=1.
E)
Совершим преобразование Фурье функционала Е (х, t),
определенного формулами D) сначала только по координа-
координатам х при фиксированном t. Обозначая результат этого
преобразования через v (a, t), получаем из C):
о (a, 0 = 0 (t<0),
о (о, 0)=1 (/ = 0),
^V(a, t)—P(a)v(a, t) = 0
F)
Производная -г., понимаемая в обычном смысле, может
быть заменена на производную в смысле обобщенных функ-
функций, если добавить скачок функции г>(а, t) при ? = 0, рав-
равный нулю (гл. I, § 2, п. 2, пример 2); поэтому уравне-
уравнения F) могут быть заменены уравнением
±v(a, t)—P(a)v(o, 0— 8(о) = 0.
где -п — символ производной от обобщенной функции v(a, t).
Совершая преобразование Фурье по t, приходим к уравнению
'— ia0V(a, G0) — P(a)V(G, o0)=l,
что и требуется.
5. Классическое операционное исчисление. В класси-
классическом операционном исчислении рассматриваются дифферен-
дифференциальные уравнения и системы вида
ди (х, О _
dt ~'
при t y> 0 с некоторыми начальными (для ? = 0) и гранич-
граничными условиями (в области изменения х)..При помощи пре-
преобразования Лапласа по t задача сводится к дифференциаль-
дифференциальному уравнению только по х (или к алгебраической задаче
в случае обыкновенных уравнений).

256
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
Рассмотрим эти задачи с точки зрения теории обобщен-
обобщенных функций. Введем обобщенную функцию U{x, t) (обоб-
(обобщенную по переменной t, зависящую от х как от параметра),
равную и{х, t) при f>0 и нулю при t < 0. Так как при
переходе от значений t < 0 к значениям t > 0 функция
и {х, t) испытывает скачок, равный заданному значению
и {х, 0), то
dU {x, t) ди{х, t)
dt ~~ dt
¦и{х, 0)8@.
Поэтому U {x, t) удовлетворяет уравнению (системе)
A)
Совершая преобразование Фурье по t и обозначая новую
переменную через р = рх-\-ip2, получаем уравнение
B)
= P^V(x. р)-\-а(х, О)
Для корректных задач полученное уравнение с учетом гра-
граничных условий по х имеет единственное решение V {х, р),
которое представляет собой аналитическую функцию от р
(в случае обыкновенного уравнения — даже рациональную
функцию от р), обладающую некоторыми особенностями
(возможно, неоднозначную). Имея функцию V (х, р), можно
построить семейство аналитических функционалов вида
(У. y) =
C)
где Г — любой фиксированный контур, минующий особен-
особенности функции V{x, p) и эквивалентный вещественной оси,
т. е. обладающий тем свойством, что
для любой основной функции ф($). В частности, годится
любая прямая, параллельная вещественной s-оси, не прохо-
проходящая через особые точки функции V (х, р).
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
257
Каждый из этих функционалов определяет решение урав-
уравнения B), а обратное преобразование Фурье такого функ-
функционала— решение уравнения A). Только это решение,
вообще говоря, не обращается в нуль при t <C 0.
Выделить аналитический функционал C), обратное пре-
преобразование Фурье которого обращается в нуль при t < 0,
в общем случае представляется затруднительным.
Предположим, что функция V (х, р) обладает сле-
следующими специальными свойствами:
а) выше прямой Im p=p^ функция V (х, р) не имеет
особых точек;
б) в указанной области функция V (х, р) обладает
интегрируемой мажорантой W (р^):
со
I V (х, р) |< W (Pl), f W (Pl) dpx < oo.
Тогда аналитический функционал
(У. ф)=
V(x,
есть преобразование Фурье обобщенной {даже обычной)
функции и{х, t), обращающейся в нуль при t << 0 и удо-
удовлетворяющей уравнению {системе) A).
Условия этой теоремы есть обычные условия существо-
существования обращения преобразования Лапласа. Преобразование
Фурье функционала V записывается по формуле B) п. 5 § 2:
u{x, t)=~ f V{x, p)e-*P*dp.
i
Равенство нулю функции и{х, t) для t < 0 вытекает при
этом из оценки
со
\и(х, ок^-ел* f<W{Pl)dPl,
—со
если устремить р2 к -j- oo.
17 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

258
ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
Пусть, далее, дана функция Vt(x, p), которая может
быть представлена в форме
= Q(p)V(x, p),
D)
где V (х, р) обладает указанными выше свойствами, a Q (р) —
некоторый многочлен.
Уравнение D) эквивалентно уравнению
где ut(x, t) и u(x, t) — обратные преобразования Фурье
функций V1(x, р) и V(х, р); мы видим, что и в этом слу-
случае Vt(x, p) есть преобразование Фурье функционала, со-
сосредоточенного на полуоси t ~^> 0.
ГЛАВА III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ
НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Простейшим примером обобщенной функции, сосредото-
сосредоточенной на поверхности, является обобщенная функция
(/.?)= //(¦*)?(*)*>.
A)
где 5 — данная поверхность, do— ее элемент, f(x) — фикси-
фиксированная функция, а ср (х) — любая основная функция*).
Несколько более сложный пример получается, если заме-
заменить подынтегральную функцию выражением, содержащим
производные функции у(х).
В этом параграфе мы определим и изучим другие важ-
важные функционалы, сосредоточенные на поверхности раз-
размерности < п, лежащей в «-мерном пространстве. Для слу-
случая п = 1, как мы знаем, функционалами, сосредоточенными
в точке, являются дельта-функция и ее производные. Более
того, как будет доказано во втором выпуске, всякий функ-
функционал, сосредоточенный в одной точке, является линейной
комбинацией дельта-функции и ее производных. В случае
«> 1, когда поверхность 5 (п—1)-мерна и задается урав-
уравнением
Р(х, *„) = 0, B)
*) В этой главе основные функции предполагаются финит-
финитными и бесконечно дифференцируемыми, т. е. рассматривается
только пространство К.
17*

258
ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЁ
Пусть, далее, дана функция V^x, p), которая может
быть представлена в форме
V^x, p) = Q(p)V(x, p), D)
где V (х, р) обладает указанными выше свойствами, a Q (р) —
некоторый многочлен.
Уравнение D) эквивалентно уравнению
0.
где ut(x, t) и и(х, t) — обратные преобразования Фурье
функций Vt(x, p) и V(х, р); мы видим, что и в этом слу-
случае Vt(x, p) есть преобразование Фурье функционала, со-
сосредоточенного на полуоси t ~^- 0.
ГЛАВА III
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СОСРЕДОТОЧЕННЫЕ
НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Простейшим примером обобщенной функции, сосредото-
сосредоточенной на поверхности, является обобщенная функция
(f.?) = f/(*)<? (х) do.
A)
где 5 — данная поверхность, da — ее элемент, f(x) — фикси-
фиксированная функция, а ср (х) — любая основная функция *).
Несколько более сложный пример получается, если заме-
заменить подынтегральную функцию выражением, содержащим
производные функции ср(дг).
В этом параграфе мы определим и изучим другие важ-
важные функционалы, сосредоточенные на поверхности раз-
размерности < п, лежащей в «-мерном пространстве. Для слу-
случая л=1, как мы знаем, функционалами, сосредоточенными
в точке, являются дельта-функция и ее производные. Более
того, как будет доказано во втором выпуске, всякий функ-
функционал, сосредоточенный в одной точке, является линейной
комбинацией дельта-функции и ее производных. В случае
п > 1, когда поверхность 5 (п—1)-мерна и задается урав-
уравнением
Р(хи .... хп) = 0, B)
*) В этой главе основные функции предполагаются финит-
финитными и бесконечно дифференцируемыми, т. е. рассматривается
только пространство К.
17*

260 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
аналогичную роль играют обобщенные функции, которые
мы обозначим через S(P), S'(P) и т. д.; о них и будет
идти речь.
Если Р === хи т. е. если 5 есть гиперплоскость лгх = 0,
естественно считать, что *)
(8 (xj, ср (х) ) = J 8 (xt) ср (х) dx =
= Л/ 8 ^ 9 ^ ' ' "' Хп) dXl] dXz ' ' ' dXn =
= J ср @, х2 хп) dx2 . . . rfx№,
т. е. естественно определить обобщенную функцию 8 (хг)
равенством **)
S
ср
= J ср @,
. dxn. C)
По такой же причине обобщенную функцию §(ft) (дгО есте-
естественно определить формулой
J Sw (*х) ср (х) dx = (— 1)* J cpW @, *2 *J dx2... dxn.
D)
Пусть теперь P(xl,..., xn) — произвольная достаточно
гладкая функция, такая, что при Р = 0
gradP ф 0
E)
(т. е. на поверхности Р = 0 нет особых точек). Тогда можно
определить обобщенную функцию 8(Р) следующим образом.
В достаточно малой окрестности U произвольной точки
поверхности Р = 0 мы можем ввести новые координаты так,
чтобы поверхность Р = 0 стала одной из координатных
*) Мы пользуемся символикой, установленной в конце п. 3
§ 1 гл. I.
**) Тем самым мы принимаем, что 5 (хх) есть прямое произведе-
произведение 5 (хх) X 1 (-^2. • • •> хп)' r#e 8 (xi) — дельта-функция на пря-
прямой xi, a I (jc2, ..., хп) — функция От переменных лг2 хп,
тождественно равная единице (см. гл. 1, § 5, п. 1).
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 261
поверхностей. Для этого мы положим Р = аг и остальные
координаты и2, • ¦ ., ип выберем произвольно, но так, чтобы
якобиан Dy\ переменных хи ..., хп по переменным
ии .... ип был отличен от нуля (это всегда можно сделать
благодаря условию grad Р ф 0 при Р = 0). Не ограничивая
общности, можно считать, что основная функция ср (х)
отлична от нуля лишь в пределах окрестности U *). Про-
Произведем в «интеграле» | 8 (Р) ср dx, который мы хотим
определить, замену переменных:
J Ь (Р) ср {х) dx =
О ф (и) da.
где
= <р(^ -к*) и Ф = <
/Э
F)
Отсюда видно, что обобщенную функцию о (Р) следует
определить формулой
(8 (Р), ср) = J 8 (Р) срй* = J ф @, и2, . . ., ип) du2... dun. G)
Последний интеграл берется по поверхности Р = 0; это
и дает основание говорить, что функционал S(P) сосредо-
сосредоточен на поверхности Р = 0.
Аналогично естественно положить
(8)
где функция ф (ы) определена формулой F) и интеграл
справа в (8) снова берется по поверхности Р.= 0.
Чтобы эти формулы имели смысл, заведомо достаточно
предположить, что функция Р (х) имеет непрерывные произ-
производные до порядка k -\- 1.
На первый ззгляд кажется, что определения F) и G)
существенно зависят от выбора системы координат. На
(Р), ср) = J 8(*) (Р) ср rfjc =
. «2
*) См. добавление 1 к гл. I, п. 2.

262 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
самом деле это не так: мы покажем, что обобщенные функ-
функции 8 (Р), Ъ' (Р), . . . однозначно определяются функцией Р.
Наиболее удобно дать их определения в инвариантной
форме, в которой специальные координаты щ, .... ип
вообще не участвуют, и при этом вести рассуждения, поль-
пользуясь так называемой теорией дифференциальных форм.
Те читатели, которые хотят обойтись без дифференциаль-
дифференциальных форм, могут пользоваться готовыми формулами; мы
перечислим их несколько ниже. Однако аппарат дифферен-
дифференциальных форм чрезвычайно удобен, и мы его в этом па-
параграфе будем систематически применять. Необходимый
минимум сведений о дифференциальных формах излагается
в п. 1.
Под знаком интеграла справа в G), если вернуться
к старым координатам и обозначениям функций, стоит ли-
линейная комбинация функции <р(х) и ее производных с за-
зависящими от х коэффициентами. В п. 7 мы покажем, что
всякий функционал / вида
выражается через о (Р), V (Р) и т. д. следующим образом:
A0)
. 9) = 2 / bj (х) 8<Л (Я) ср dx.
В записи A0) только k-\-l произвольных функций, тогда
как в записи (9) их гораздо больше. Запись (9) обладает
тем преимуществом, что она однозначна: если / = 0, то
Ь0(х) =; ... = ?ft(jc) = O, тогда как о коэффициентах
Qi,...i (x) этого сказать нельзя.
Приведем теперь перечень формул, которые мы позднее
докажем. В этих формулах функцию Р надо считать имею-
имеющей большую гладкость, чем мы выше предположили; чтобы
не отвлекаться, мы сразу предположим Р бесконечно диф-
дифференцируемой.
Обозначим через б (Р) характеристическую функцию
области Р^> 0:
при Р< О,
при Р>-0,
A1)
§ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 263
A2)
Тогда справедливо равенство
в'(Я) = 8 (Я).
которое надо понимать в следующем смысле:
дР
A2')
Далее, справедлива формула «дифференцирования 8№) (Р)
как сложной функции»:
дхл
= 0. 1.2. ...)•
A3)
Справедливы также следующие тождества, связывающие
обобщенную функцию 5 (Р) с ее производными:
PS (Я) = о,
PS' (Я) 4- 8 (Р) = 0,
Я8(*) (Р) + k Ъ(к~1) (Р) = 0,
A4)
A5)
A6)
A7)
Если поверхности Я = 0 и Q = 0 (функция Q обладает
теми же свойствами, что и Р) не пересекаются, то
8(PQ)==,p-18(Q) + Q-1S(P). A8)
В частности, если функция а (х) не обращается в нуль, то
A9)
Отсюда можно вывести, что
8<*> (аР) = а
8<*> (Р). •
B0)
Сказанное выше относится к функционалам, сосредото-
сосредоточенным на (п — 1)-мерной поверхности в «-мерном простран-
пространстве. Пусть .теперь поверхность 5 имеет меньшее число
измерений. Предположим, что она задается уравнениями
Pi(*i *я)= 0 Рк(хг хп) = 0, B1)

264 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Р\ Рь. — достаточно гладкие функции, причем по-
поверхности Pi(x) = 0 0"=1, k) образуют «правильную
сетку», т. е. в окрестности каждой точки поверхности 5
можно принять ЛОО. •••• Рк(х) за первые k координат
«1 «ft. а остальные координаты ик+и .... ип выбрать
так, чтобы якобиан D (* \ был отличен от нуля. В этом
случае мы аналогично предыдущему можем определить
обобщенную функцию 8 (Р1з Рк) и ее производные
дтЬ(Ри...,Рк)
——— -——. А именно, если мы хотим, чтобы выполня-
1 К
лось тождество
=/¦¦
«l ujdu^ . . . dun,
где
B2)
то мы должны положить
== / ф @, .... О, flft+1I .... «J oTuft+1 . . . dun; B3)
по таким же мотивам следует положить
,да1+... +«kb(Pi__
X
¦••+¦*
, .-.„о,
duk+1 .. . dun. B4)
В п. 9 мы покажем, что и эти определения не зависят
от специального выбора системы координат. Для этих обоб-
обобщенных функций справедливы следующие тождества:
дЬ(Ръ...,Рк)
р—
i=i
1] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 265
(«теорема о дифференцировании сложной функции»);
РгЪ(Ръ .... Рк) = 0, B6)
PiPj^iPx Р*) = 0. B7)
= 0, B8)
а также тождества, получаемые формальным дифференци-
дифференцированием последних.
1. Предварительные сведения о дифференциальных
формах *). Дифференциальной формой fe-ro порядка
в «-мерной области с координатами хг, ..., хп называется
выражение вида
О)
dxik>
где суммирование проводится по всем сочетаниям п индек-
индексов по ft. Функции а-ъ...*. k (х) предполагаются бесконечно
дифференцируемыми функциями координат. При этом две
формы &-го порядка считаются равными, если они перехо-
переходят друг в друга путем преобразования произведений диф-
дифференциалов по формуле
: dxx dXj = — dxj dXi A)
и приведения подобных членов.
Это условие, в частности, показывает, что каждый член
формы, содержащий два одноименных дифференциала,
равен нулю. Кроме того, пользуясь этим правилом, можно,
если угодно, записать любую форму «в каноническом виде» —-
так, чтобы в каждом члене индексы шли в возрастающем
порядке.
Будем называть форму финитной, если все ее коэф-
коэффициенты являются финитными функциями.
*) Теория дифференциальных форм не понадобится нам в макси-
максимальной общности; поэтому всюду, где можно, мы в целях нагляд-
наглядности вносим упрощения. Читателю, желающему подробнее озна-
ознакомиться с затронутыми в этом пункте понятиями, можно обратиться,
например, к книге: П. К. Р а ш е в с к и й, Геометрическая теория
уравнений с частными производными, Гостехиздат, 1947, или к книге:
Ж. де Р а м, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956,

266
ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[1
Внешним произведением форм 2йг, ... i)t{x)dxil . .. dxt
и 2 fy>... jm (x) dx^ ... dXjm называется форма порядка k -\-m,
полученная в результате формально алгебраического пере-
перемножения данных форм; результат этот можно, разумеется,
дальше упростить, используя правило A) и приводя подоб-
подобные члены *).
Из этого определения, в частности, вытекает, что анти-
антикоммутативный закон справедлив и для произведения любых
форм первого порядка а = ^ aj(х) dxj и р = ~S\ bk (х) dxk;
действительно,
= 2
j, ft
dxj dxk— — 2 aj
j, ft
j = — [За.
Выведем формулу преобразования дифференциальной
формы при бесконечно дифференцируемом преобразовании
координат хг = хг(х'х, ,.., х'п\. Мы имеем:
dx'
dx' .
Jk
. dx'. •
3k
Слагаемые полученной суммы, содержащие два одинако-
одинаковых дифференциала, обращаются в нуль. Слагаемые, со-
содержащие одинаковые по составу группы из различных
дифференциалов, можно объединить, используя правило
d.Xjdx'k = —dx'kdx'.\ после этого коэффициентом при члене
dx'. . .. dx'. , где j1 <i J2 <C ... <//?> как легко проверить,
'» •'к
станет якобиан
D
х.
х.
*) Естественно, что коэффициенты а$
f и by-
предпо-
предполагаются перестановочными между собой и с дифференциалами.
1] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 267
Таким образом, мы получаем:
2 aU... ikdxi,... dxik =
4<...<ik
= 2 а' . dx. . . . dx'. , B)
где
<•¦¦
<•¦¦*=
x' ... x'.
3 J
\--- hr
C)
В частности, для формы re-го порядка, которая всегда
приводится к одному члену, мы имеем:
xi ¦ ¦ ¦ xn
. .. dx'.
n
D)
Заметим, что по этой формуле преобразуются подынте-
подынтегральные выражения при замене переменных в кратном
интеграле. Можно, следовательно, при такой замене поль-
пользоваться техникой дифференциальных форм. Например, для
двойного интеграла, если х = ср (и, v), у = ф (и, v), то
v-dv,
dx = ?'udu-+-?'vd<vI dy = yud
dx dy = (cp^ — cf/<l/) rftt dw.
Внешний дифференциал дифференциальной формы
определяется как дифференциальная форма порядка k -f-1
d*= s Ы.а'дъ'кdx*)d***¦•• ^^ <5)
где, разумеется, снова можно произвести упрощения, поль-
пользуясь правилом dXi dxj = — dxj dx{.
Например, внешний дифференциал формы нулевого
порядка, под которой мы понимаем просто скалярную функ-
функцию а(х), есть обычный дифференциал, т, е, форма 1-го

268 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
порядка /j-^^—dXj (коэффициенты ее образуют градиент
скаляра а{х)). Внешний дифференциал формы 1-го порядка
^iai{x)dxi есть форма 2-го порядка:
<3
(если коэффициентам формы 2 аг ^хг сопоставить вектор
a=^{a,i\, то коэффициентам внешнего дифференциала будет
соответствовать ротор вектора а). Дифференциал формы
(п — 1)-го порядка
.. dxn
есть форма п-го порядка:
Пользуясь правилом A), нетрудно проверить, что для
любой формы а
dd<x=O. F)
Рассмотрим вопрос об интегрировании дифференциаль-
дифференциальных форм по областям и многообразиям.
Примем, что форма п-ro порядка <х = a(x)dxy ... dxn
интегрируется по «-мерной области G пространства Rn
по обычным правилам многомерного интегрирования.
Теперь мы хотим определить интеграл от формы
k-то порядка по ^-мерной области. Предварительно скажем
несколько слов об ориентации областей и поверхностей.
Если в некоторой окрестности V (любого числа изме-
измерений т) задана локальная система координат их, .... ит,
то говорят, что этим определяется ориентация окрест-
окрестности V. Та же ориентация определяется любой другой
локальной системой координат vlt . . ., vm, переход от кото-
которых к аг, . . ., ит выражается функциями с положи-
положительным якобианом. Возможна еще противоположная
ориентация V. Она определяется любой локальной системой
координат wu . . ., wm, переход от которых к иъ . . ., ит
выражается функциями с отрицательным якобианом.
Область или поверхность Г (т измерений) называется
ориентируемой, если в окрестностях всех ее точек можно
1] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 269
определить ориентации согласованным образом, т. е. так,
чтобы координаты, действующие в пересекающихся окрест-
окрестностях, определяли в пересечении одну и ту же ориентацию.
Неориентируемые поверхности (например, лист Мёбиуса) мы
не будем рассматривать.
Пусть некоторая m-мерная окрестность U содержится
в (т-\-1)-мерной окрестности V и разделяет последнюю
на две части: одну из этих частей будем считать внут-
внутренней, а другую внешней. Допустим, что система коор-
координат wu . . ., wm в U может быть дополнена до системы
координат w0, wl wm в V. Тогда мы условимся говорить,
что соответствующая ориентация V отвечает положи-
положительному направлению нормали, если w0 возрастает
во внешнюю сторону от U; в противном случае мы будем
говорить, что ориентация V отвечает отрицательному
направлению нормали.
Определим теперь интеграл от формы a fe-ro порядка
по ^-мерной (k -<; п) ориентируемой области Г. Предпо-
Предположим эту область замкнутой, ограниченной и достаточно
гладкой. Разобьем Г на куски ГЧ1), ..., Г(т), в каждом
из которых можно ввести локальные координаты, и введем
эти координаты согласованным образом. Тем самым на Г
определится одна из двух возможных ориентации. Приведем
форму а в каждом куске Г^) к выбранным в нем локальным
координатам ии .... ик. Если форма а была задана в «-мер-
«-мерной области, содержащей область Г, то локальные коор-
координаты «!,..., ип нужно выбирать так, чтобы п — k
из них, например ик+1, ..., ип, обращались в нуль на Г;
тогда duk+1 = O, .... dun=O на Г, так что форма а при-
приводится к виду
а = а (йх, . . ., iik) du^ . . . du7,.
Проинтегрируем в этих координатах форму а обычным
образом по каждому куску F(i> и сложим результаты.
Нетрудно понять, что определенное так значение инте-
интеграла j а не зависит от разбиения области Г на кз'ски
г
и от выбора локальных координат в каждом куске, отве-
отвечающих фиксированной ориентации: достаточно вспомнить,

270 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
что при переходе к новым координатам и[ и'к форма а
приобретает вид
o = a(ai(ej. .... а'к), ..., ик(а[, .... и'к) ) X
Однако, если мы во всех кусках Г(*> перейдем к ло-
локальным координатам, отвечающим противоположной ориен-
ориентации, то величина интеграла Г а изменит знак, так как
г
_ ( ах ... и/с \
в этом случае якобианы D \ г / отрицательны.
\и1 ¦¦• ак)
Таким образом, Г а определен однозначно с точностью
до знака, а знак, в свою очередь, однозначно определен
ориентацией области Г.
Формула Гаусса — Остроградского. Пусть
форма а порядка п — 1 задана в некоторой ограничен-
ограниченной я-мерной области О с кусочно-гладкой границей Г.
Предположим ориентацию области О отвечающей положи-
положительному направлению нормали к границе Г. Через da, как
и1 выше, обозначим внешний дифференциал формы а, Тогда
справедлива формула
fda= /a,
в г
(J)
называемая формулой Гаусса — Остроградского. Если
ориентация G отвечает отрицательному направлению
нормали, то перед одним из интегралов нужно поставить
минус.
Для примера рассмотрим форму а 2-го порядка в трех-
трехмерном пространстве. В координатах хи х2, хг она запи-
записывается в виде
а — ах dx2 dx3 -f- a2
а ее дифференциал — в виде
дал , да?
dxx -j- a3 dxx dx2,
lj § 1- ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 271
и формула Гаусса — Остроградского приобретает вид
/ [ах dx2 dx3 -f- a2 dx3 dxx -\- a3 dxx dx2] =
!дпл , dan
=J (dx\
в котором она обычно и приводится в курсах анализа.
Обобщением формулы Гаусса — Остроградского является
формула С т о к с а *). Она записывается в той же форме
в г
только здесь уже О есть ^-мерная ограниченная область
(k<.n), а а — форма (k—1)-го порядка; ориентация
области О по-прежнему предполагается отвечающей поло-
положительному направлению нормали к границе Г.
Примером может служить классическая формула Стокса.
В трехмерном пространстве в координатах хх, х2, х3 форма
a 1-го порядка записывается в виде
а — ах dxx -j- a2 dx2 -j- a3 dx3,
а ее дифференциал — в виде
хя ' дхх
следовательно, формула Стокса приобретает вид
Яда* да
д^-ш
(9)
где О — двумерная ограниченная область, а Г — ограничи-
ограничивающая ее кривая.
*) См. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ,
1956, где эта формула приведена ¦ в терминах, близких к здесь
используемым.

272 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
2. Форма й). Рассмотрим теперь поверхность S, опре-
определяемую уравнением Р (хи х2 хп) = 0, где функция Р (х)
(дР дР )
бесконечно дифференцируема и gradP = <5—, ••• , 5—f
не обращается в нуль на поверхности 5 (так что отсут-
отсутствуют особые точки).
В этом пункте мы изучим важную для дальнейшего
специальную дифференциальную форму ш порядка п—1,
инвариантно связанную с поверхностью Р = 0, точнее, одно-
однозначно определенную функцией Р на поверхности Р = 0.
Эта форма определяется уравнением
dP-u = dv, A)
где dv = dx = dxt . . . dxn, a dP — дифференциал функции Р.
Прежде всего проверим, что при сделанных выше пред-
предположениях такая форма ш действительно существует
в некоторой п-мерной области, содержащей поверхность S.
В самом деле, при этих предположениях в окрестности
любой точки поверхности можно ввести локальную систему
координат ии . . ., ип так, что одной из этих координат,
например и3-, будет величина Р(х), причем формулы перехода
от координат хи . . ., хп к координатам их, и2, .... ип будут
задаваться бесконечно дифференцируемыми функциями с поло-
положительным якобианом D(x\. В этих координатах мы имеем
dv = D ( )duy . . . duj_1dP duj+i . . . dun и, следовательно,
можно положить
. . dun.
B)
дР
Таким образом, существование формы ш доказано.
Если, в частности, в окрестности данной точки ^— Ф О,
то в качестве координат иъ . . ., ип можно взять
их — хи . . ., Uj = P, .... ип = хп;
тогда
х )
дР
2] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 273
и форма ш, определенная по формуле B), принимает вид
f_i dxx... dxj-i dxj+l... dxn
,
C)
Теперь рассмотрим вопрос о единственности формы ш.
Вообще говоря, форма ш не определяется уравнением A)
однозначно; очевидно, что наравне с некоторой формой ш,
удовлетворяющей уравнению A), можно рассматривать и
любую форму вида ш-(-^. гДе Т — любая форма, «ортого-
«ортогональная» к форме dP, т. е. удовлетворяющая условию
dP • f = 0. Покажем, что всякая форма "{, ортогональная
к форме dP, имеет вид
где а — некоторая форма (п — 2)-го порядка. Действи-
Действительно, в координатах их — Р, и2, .... ип дифференциальную
форму т» как и любую форму О—1)-го порядка, можно
записать в виде
.. .dun-\~g2dPdu3. . .
.. .-+-gndPduz.. .dun_u
где коэффициенты gu gz, .... gn — функции от координат.
Равенство dP • f = 0 приводит к соотношению g1 = 0. Вы-
Вынося dP за скобки из остальных слагаемых, приходим
к справедливости утверждения.
Отметим (это замечание несколько ниже нам понадо-
понадобится), что, как видно из доказательства, если форма f
финитна, то а также финитна.
Из доказанного следует, в частности, что на самой
поверхности 5 форма f тождественно равна нулю (так
как dP=Q), и следовательно, на самой поверхности
Р == 0 форма ш определена функцией Р однозначно.
Выясним геометрический смысл формы т. Рассмотрим
поверхности 5 и Sh, определенные соответственно уравне-
уравнениями Р = 0 и P = h при малом h (черт. 6). Выберем эле-
элементарную площадку da на поверхности 5 и перенесем
ее с помощью координатных линий alt . . ., Uj_u Uj+1, .... ап
на поверхность Sh. При этом получится фигура П, имею-
имеющая некоторый объем dv. Форма ш, согласно определению,
есть отношение dv к dP~h. Таким образом, форма ш
18 Зак. 460. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов, вып. 1

274 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ \2
есть скорость изменения элементарного объема dv no
отношению к изменению величины Р.
На этой модели легко объясняется инвариантность
формы ш на поверхности S. Действительно, при замене
системы координат ии ..., Uj_u Uj+U ..., ип на новую
изменяется наклон фигуры П по отношению к поверх-
поверхности 5; но основание ее не меняется, не меняется и ее
высота, определяемая расстоянием до поверхности Sh, не
Черт. 6.
меняется, следовательно, и ее объем, откуда следует, что
не меняется и ш = ^- Таким образом, форма ш не зави-
зависит от выбора остальных координат их uj-i> uj+i ип.
Однако форма ш зависит, разумеется, от выбора функ-
функции Р, определяющей уравнением Р = 0 поверхность S.
'Посмотрим, как должна измениться форма ш, если вместо
уравнения Р = 0 рассмотреть уравнение P^szaP = 0
с отличной от нуля функцией а(х). Мы имеем здесь вдоль
поверхности 5 равенство dP1 = adP, откуда следует, что
соответствующая форма
О),
dv
dP,
1
: — Ш.
Заметим еще, что в том случае, когда функция Р(х)
есть евклидово расстояние точки х от поверхности Р — 0
(или отличается от этого расстояния на малую высшего
порядка), форма ш на 5 совпадает с евклидовым элемен-
элементом da поверхности S.
3) § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 275
3. Обобщенная функция Ь (Р). Теперь переходим
к нашему основному определению. Поставим в соответствие
каждой основной функции ф(->0 число
P=0
">•
Мы получим, очевидно, линейный непрерывный функ-
функционал на основном пространстве. Обозначим этот функ-
функционал через S(P), т. е. положим
A)
р=о
Из сказанного выше следует, что функционал Ь (Р) не
зависит от специального выбора формы ш, а зависит
лишь от функции Р(х).
Чтобы убедиться в совпадении этого определения с опре-
определением §(Р), данным в начале этого параграфа, доста-
достаточно заметить, что в координатах их = Р, и2, ..., ип по
формуле B) п. 2
/ v-\
\du2 . . . du»,.
= D^ J
Примеры. 1. Прежде всего рассмотрим обобщенную
функцию" S(^i), которая в начале этого параграфа была
исходным пунктом для общего определения 8(Р). Уравне-
Уравнение Хх = 0 определяет координатную гиперплоскость; форма
ш в этом случае выражается в виде
ш = dx2 . ¦ ¦ dxn,
и поэтому
O'l) <р (¦*) dx= C (xL), <p) = Jcp @, х2,. . . ,хп) dx2. . . dxa. B)
2. Рассмотрим функцию o(a1.v1-f- ... -{-сспхп), где
2
2
ai=l. Уравнение
= 0
определяет гиперплоскость, проходящую через начало коор-
координат ортогонально к единичному вектору а. *
Если ввести координаты

276 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ f3
и притом так, чтобы матрица перехода была ортогональ-
ортогональной (поворот осей), то форму со можно задать в виде
произведения du2 • ¦ ¦ dun. Поэтому
E(«
)= J ydu2. . .dun= J cp
2 2
, C)
где da — евклидов элемент гиперплоскости ^laixi = Q.
3. Подсчитаем обобщенную функцию Ъ(ху— с) в дву-
двумерном пространстве. Уравнение ху— с = 0 определяет
гиперболу*). В координатах ul = x, и2 — ху— с мы полу-
получаем по формуле C) п. 2 ш = , и следовательно,
(Ъ(ху — с), у(х
4. Построим обобщенную функцию 8 (г — с), где
г2 = 2-*?» с^> 0- Уравнение г — с=0 определяет сферу Ос
радиуса с. Так как Р = г — с есть евклидово расстояние
от поверхности сферы, то при г = с форма ш совпадает
с евклидовым элементом поверхности сферы dOc, так что **)
(8(г —с), ?) = /8(г — c)(pdjf= JcprfO,, E)
и следовательно, 8 (г— с) можно охарактеризовать как
функционал, соответствующий массе, равномерно распре-
распределенной по сфере г = с с плотностью единица.
Та же сфера радиуса с задается уравнением г2 — с2=0.
Найдем выражение 8 (г2 — с2). Положим а1 = г2 — с2,
и2=91 a«=0j»-i» гДе 9i> •••> 9»-i—те же углы,
что и в обычных сферических координатах. Мы получим:
1 .~ 1
(8 (г2 —
= У S (г2
— 1 Г
о
F)
*? ^СЛИ с ^ °- По поводу случая с = 0 см. § 4, п 2.
*) См. ниже пример 4 в п. 5.
3] § 1, ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 277
Обобщенная функция 8 (Я) естественно возникает при
дифференцировании характеристической функции б (Р)
области Р^>0, т. е. функции, равной 1 при Р(х)^-0 и
0 при Р (х) < 0:
Р>0
Утверждается, что имеет место формула
в'(/>) = 8(Р). G)
которую надо понимать в том смысле, что для каждого
j=l. 2 п
Для доказательства формулы G) проверим сначала, что
при фиксированном j функционалы в правой и левой частях
равенства G') совпадают в окрестности любой точки по-
дР
верхности Р = 0, где ^—; Ф 0 (вне этой поверхности они
оба равны нулю). Для этого применим правую и левую части
к основной функции <p(.r), отличной от нуля лишь в малой
окрестности такой точки.
Левая часть преобразуется к виду
Р>0
а правая—к виду
Р=0
Предположим сначала, что область Р ^> 0 ограничена.
Тогда мы применим к этой области и к форме (п—1)-го
порядка, стоящей под знаком интеграла справа, формулу
Гаусса — Остроградского. В число координат мы включим
саму величину Р; тогда, учитывая, что в данном случае
эта величина увеличивается в направлении внутрь этой
области, мы получаем:
дР

278
ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Считая основную функцию ?(*) отличной от нуля лишь
в достаточно малой окрестности точки поверхности Р = 0
форму под знаком интеграла справа можно вычислить
в координатах их = х, и х р
В этих координатах ' } п п'
ш = r—iy-1 dXl'-- dxi~idxJ+i ¦¦•dxn
} dP_
dxj
и, следовательно,
d ( У Щ Ш) = (~1)^ d (? Xl
=?/*•••dx"-
Вне указанной области равенство
, / дР \ д<? ,
d ( ф -д— ш I = д-1- dx
также имеет место, так как там ср (х) ^ 0. Отсюда
дР
dxn) =
J
J
Р=О
j
Р>0
« т)»
правая
Левая часть этого равенства есть
Таким образом, в рассматриваемом случае
равенство G') доказано.
Если область Р^-0 не ограничена, то мы заменим ее
пересечением Gr с достаточно большим шаром | х | ^ R,
вне которого функция у(х) заведомо обращается в нуль.
Если Гд—граница Gn, то формула Гаусса — Остроград-
Остроградского дает
Г дР Г д? ,
но так как вне шара \х\
то справедливо и равенство
дР
функция <р (л-) равна нулю,
Р>0
которое нам и требуется,
4] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 279
Пусть теперь х — любая точка поверхности Р = 0. Мы
можем построить здесь новую систему координат
Zj= 2 ajkxkU— Ь 2 п) так, чтобы -щ- Ф 0 при всех./.
Тогда по доказанному в окрестности данной точки будут
справедливы все соотношения
<?8(Р) _<?PX/m (g)
С другой стороны, мы имеем:
д
J з
Умножая равенство (8) на ajk и складывая по J, находи*г,
что в окрестности данной точки
дхк
= 2
дР - ,т
и -з— о (Р)
совпадают
Таким образом, функционалы —^ и -^—
в окрестности любой точки поверхности Р = 0. Но тогда
это равные функционалы, что и завершает доказательство.
Иногда удобно рассматривать обобщенные вектор-
функции,, т. е. векторы /==(Л /„), где составляю-
составляющие /а fn — обобщенные функции. Две вектор-функ-
вектор-функции /=(/t /„) и g—(glt . . ., gn) считаются равными,
если fi = gx, . .., fn = gn. Если положить для любой обоб-
обобщенной функции g
G")
то формулу G') можно записать в виде
grad б (Р) = .8 (Р) grad P.
В следующем пункте эта формула будет использована
для простого вывода формулы Грина.
4. Пример: вывод формулы Грина. В предыдущем
пункте мы упомянули о возможности рассматривать
обобщенные вектор-функции, т. е. векторы/=(/х fn),
составляющие /j которых — обобщенные функции.

280 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Обобщенные вектор-функции можно считать функцио-
функционалами над основными вектор-функциями: если /= (Ju . . ., /п),
ф = (фхф) то мы .полагаем
(/.
-±
A)
Например, если g— обобщенная функция, ф — основная
функция, то мы можем записать функционал kg (Д — опе-
оператор Лапласа) по формуле
(Д^г, <!>) = — (gradg-, gradtj»), B)
где gradg- — обобщенная вектор-функция (з-^- <Г/'
a graaui — основная вектор-функция з-1-» •••» л~^)«
\ох1 охп)
В предыду
\ох1 ох
В предыдущем пункте была доказана формула
grad В(Р) = Ь (Р) grad P.
C)
()
Пользуясь ею, мы сейчас дадим простой вывод формулы
Грина.
Заметим, что если ^ — обобщенная, a h(x) — беско-
бесконечно дифференцируемая функция, то, как обычно,
grad (Jig) = g-grad h -f- h grad g.
Пусть u(x) — произвольная бесконечно дифференцируе-
дифференцируемая функция; рассмотрим результат применения к основ-
основной функции у(х) функционала А[ав(Р)]. Используя
векторную форму записи, мы преобразуем это выражение
следующим образом:
(Д[я0 (/>)], Т)= — (grad [и 9 (Р)], gradcp)^ .
= — (и grad 9 (Р), grad f) — (б (Р) grad и, grad ср) =
= — (и S (Я) grad Я, grad ср) — (б (Р) grad и, grad ср).
Вспоминая определение функционалов 8 (Р) и 6 (Я), мы
можем написать:
D)
= — Г (grad и, gradcp)rfjc— j и • (gradP, grad ср) со.
5] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 281
Это и есть формула Грина в обобщенной записи. В том
случае, когда Р(х) есть с точностью до малых высшего
порядка расстояние от точки х до поверхности Р — 0 и,
следовательно, gradP есть единичный нормальный вектор,
(gradP, gradcp) будет нормальной производной функции ср,
а ш сведется к евклидовому элементу da поверхности Р = 0.
В этом случае формула D) переходит в обычную:
> = — f (grad и, grad ср) dx — J и ^
P>0 ^=0
E)
P>0
Мы доказали ее для бесконечно дифференцируемых функ-
функций и и ср; но теперь предельным переходом ее можно
распространить на функции и и ср, имеющие производные
только того порядка, который требуется самой формулой.
б. Формы й)& (ср) и обобщенные функции 8<&) (Я). Важ-
Важную роль играют и производные функционала Ь(Р) по
аргументу Р. Чтобы дать их инвариантные определения,
мы введем, кроме формы ш, еще серию дифференциальных
форм (п—1)-го порядка, шо(ср), ш1(ср), .... зависящих от
функции Я и от основной функции ср (х); эти формы опре-
определяются уравнениями
<°о(?) = ?-«>, A)
rfo>0 (?) = dP ¦ щ (ср), B)
C)
где d — внешний дифференциал.
Существование этих форм в некоторой области, со-
содержащей поверхность Р = 0, легко проверяется в коор-
координатах их^Р, и2 ип. Действительно, вспоминая, что
diu . . . du~
и полагая
= «pi(tf)'" мы можем написать уравнение

282 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
откуда видно, что можно положить
Далее, таким же образом имеем уравнение
и можно положить
и т. д.; вообще,
i D
\и
du2
. dan
• • dan, D)
где ср! (и) = ср (х).
В отличие от формы ш эти новые формы уже не опре-
определены однозначно функцией Р (х) (и основной функ-
функцией cp(jc)) даже на поверхности Р=0. Но для нас важно
лишь то, что интеграл от формы шй(ср) по поверхности
Р=0 определен однозначно. Чтобы убедиться в этом,
мы сейчас проверим, что если форма шй(ср) удовлетворяет
тому же уравнению, что и шк (ср), то
ш&
== da -f- p
E)
где а и C — некоторые финитные формы соответственно
(п — 1)-го и (п — 2)-го порядков. Сначала поясним, почему
отсюда следует однозначность интеграла. На поверхно-
поверхности Р=0 второе слагаемое обращается в нуль, так что
шл — Щ = da.
По теореме Стокса
где Г — граница поверхности Р=0. Но поверхность Р
либо замкнута — и тогда границы вообще нет,—либо ухо-
5] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 283
дит в бесконечность; во втором случае Га—0 по той при-
г
чине, что форма а финитна.
Соотношение E) мы докажем по индукции. Напомним,
что, как было показано в п. 2, если некоторая форма -у
ортогональна к dP, то она имеет вид
где Yi — форма (п — 2)-го порядка, причем если форма
финитна, то форма fi также финитна. Отсюда для k =
сразу следует, что
шо
где р финитна, поскольку финитны формы ш0 и ш0, содер-
содержащие множителем основную функцию ср. Предположим
теперь, что соотношение E) выполнено с финитными фор-
формами аи р и сделаем переход от ft к k-\-\. Для этого про-
продифференцируем равенство E); мы получим:
dub — dшй = d$ dP,
так как дифференциал дифференциала формы равен нулю.
По определению форм шА+1 и ш&+1,
— ш&+1 — (—I)
)""' ^) = 0.
Следовательно,
и остается установить, что форма f финитна. Для этого
нужно, согласно сказанному выше, проверить финитность
форм шй+1 и <«ift+1. Но она видна из их определения (из ра-
равенств A) — C) ).
Таким образом, интеграл от формы <о&(ср) по поверх-
поверхности Р = 0, действительно, однозначно определяется функ-
функциями Р(х) и ср (л). Положим, по определению,
= (—1)& /«>&(?) (Л = 0, U 2, ...). F)

284 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Что это определение обобщенных функций о(&)(Я) совпадает
с их определением, данным в начале этого параграфа, видно
из формулы D).
Примеры. 1. В случае Р(х) = хх = 0 мы имеем по
формуле D)
2. Подсчитаем 5(&) (а^-f- .... -\-а.пхп), где 2а?= *•
Совершая такой же поворот координатных осей, как в при-
примере 2 п. 3, находим:
шй (ср) =
и
dul
. . . du.
(8)
где дифференцирование справа производится по направле-
направлению, ортогональному к гиперплоскости
2 aixi = 0
(в сторону увеличения суммы 2aix»)' а ^
гиперплоскости.
3. Найдем 5(А)(ху — с). Перейдем, как в примере 3 п. 3,
к координатам и1 = х, и2 = ху — с. Так как
элемент этой
то
d(x
«1
dux
5] § Г. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 285
(х, —)
4. Построим S()(r — с), г2 = 2
координаты u1 = r, u2=Qu ..., un
натах легко подсчитывается, что
. (9)
?- Введем сферические
Qn_1. В этих коорди-
коордигде rf2 — элемент единичной сферы г = I; отсюда
(On
и т. д., вообще,
так что
- с) ? dx =
A0)
где Ос — сфера г — с = 0 и dOc — ее евклидов элемент.
5. Наконец, чтобы подсчитать 5(&)(г2 — с2), перейдем'
к координатам Ml==r2 — с2, щ — Ъ^ а»'=би_1; мы
получим:
откуда
о_
и, следовательно,
2rdr
dOo. A2)

286
ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
6. Тождества для S(fc) (P). Покажем, что обобщенную
функцию 8(&)(Р) можно дифференцировать как сложную
функцию:
Щ (ft==0- 1.2,...). (О
Для доказательства достаточно проверить, так же как
и в п. 3, что при фиксированном j функционалы в правой
и левой частях совпадают в окрестности любой точки по-
поверхности P—Q, где -^—Ф 0.
Для этого применим правую и левую части к основной
функции ср(-?), отличной от нуля только в малой окрестности
такой точки, приняв за координаты в этой окрестности
«i = *i ut = P ап=хп. Тогда D^ = ~,
В ( J — лр> и форма шй принимает вид
j^ dxJ+1 ... dxn.
Функционал в правой части равенства A) действует по формуле
=(-l)*+1 /
J
¦ Р-о
xJ-i dx:
Функционал в левой части равенства A) действует по формуле
D )
J dPk t ~dp~ J axi •
=o \ dxj /'
_, dxj+1 . . . dxn
6] § 1. обобщенные функций на гладкой поверхности 287
Поэтому нам достаточно показать, что имеет место равен-
равенство
дк
дРк+1~~'дР*\~дР~
B)
Для ft = 0 оно, очевидно, справедливо, так как
ср(->с1, .... Xj(P), ..., хп) и, следовательно,
д<? дР
~др~
Отсюда сразу следует равенство B) для любого k, так как
дк+\ _ Л*_ /ду\
дрк+х дРк\др)'
Итак, равенство функционалов в правой и левой частях
формулы A) доказано в окрестности любой точки поверх-
дР
ности Р — 0, где -д— Ф 0; как мы видели выше, этого до-
с* до-
достаточно для справедливости самой формулы A).
Покажем теперь, что имеют место следующие тождества,
связывающие значения функции S (Р) в ее производных:
РЬ(Р) = О,
о-к
Р о-к) (Р) -|- k Ъ{к~1) (Р) = 0,
{к~1)
C)
D)
E)
F)
Первое из этих тождеств очевидно, так как интеграл
произведения Р<р по поверхности Р —0 равен нулю. Диф-
Дифференцируя это тождество по Xj и используя формулу A),
находим:

288 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
дР
так как при некотором j заведомо -т— Ф О, то можно со-
uJCл
дР
кратить на -^—, и мы получим второе тождество*).
Продолжая аналогично, можно доказать справедливость
остальных тождеств.
Пример. Обобщенная функция 5(&)(r2 — f) как реше-
решение волнового уравнения в нечетно мерном пространстве.
Вычислим результат применения волнового оператора А — ~
к обобщенной функции §(ft)(r3 — t2). Имеем:
д
д*
дх)
д*
dx'i
_ ^2) _ 2
t2),
г2 — t2) -+- 4x2j
t2),
+ 4 (r2 — /2) 5(&+2) (r2 — t2) -f- 4^2 5(ft+2) (r2 — t2),
что, в силу формулы F), приводится к виду
= [2ft — 4 (k + 2)]
С другой стороны, аналогично
^_ g(&) (Г2 _ ^2) _ _ 2
2 —
(r2 — t2),
*) Вообще, справедливо следующее утверждение: ^сли имеют
место равенства aj (x) f=0,j=l,2,...,m, причем функции aj (x)
не имеют общих (для всех j) корней на замкнутом множестве F,
где сосредоточен функционал f, то / = 0. Действительно, у каж-
каждой точки х0 множества F можно указать окрестность U, где не-
некоторая из функций | aj (x) | больше положительной постоянной,
например функция ах (х). Тогда для любой основной функции <р (х),
отличной от нуля только в пределах окрестности U, можно написать
<р (х) = ?| (х) <\> (х), где ф (х) — новая основная функция. Мы имеем
(/. 9) — (/. ai Ф) = («]/> Ф) = 0, т. е. функционал / равен нулю
в окрестности точки х0. Таким образом, / равен нулю в окрестно-
окрестности любой точки. Отсюда / = 0.
6] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 289
откуда
V -^— 8(&) О2 — t2) —
дх'5
dt2
Последнее выражение при & =
= Bft — 4k — 6) S(ft+1) (r2 — F).
обращается в нуль.
Итак, если п нечетно и k = —^— > то обобщенная функ-
функция W*)(r2 — t2) есть решение волнового уравнения
-&) —о-
В частности, при п = Ъ решением волнового уравнения
является обобщенная функция 5 (г2 — t2).
Выясним, каким начальным условиям- отвечает найден-
найденное решение. По формуле A1) п. 5,
'. __ t2), ср (х)) = Ц^ [ (-^Т yr»-2 dQ. G)
r—t
При
ft = 2& 4- 3
подынтегральная функция принимает вид
(д \*
2гдг ) У* +1'
Каждая операция -~- снижает показатель у г» на две
единицы. После k таких операций, примененных к произ-
произведению фГ2*+1, получится сумма слагаемых, каждое из
которых содержит г самое большее в первой степени.
Полагая r=^=t и устремляя t к нулю, получаем:
lim №(r2 — ?2) = 0. (8)
Далее, мы имеем:
dt
(г2 — t2) —
19 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г, Е. Шилов, вып. 1

290 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. [7
В выражении подынтегральной функции имеется только
один член, содержащий г в отрицательной степени; как
легко вычислить, он равен
B*+ 1I1 у (х)
2к+1 г '
Поэтому, полагая r = t и устремляя t к нулю, мы полу-
получаем в пределе
(9)
dt
где Qn есть поверхность единичной сферы. Как известно,
_п 2к+3
окончательно мы получаем:
A0)
т. е. решение
и(х, t) = b™(r*-
удовлетворяет начальным условиям
дй {? 0)
и(х, 0) = 0,
= (— 1)*
(И)
Таким образом, с точностью до числового множителя
обобщенная функция и(х, t) дает фундаментальное решение
задачи Коши для волнового уравнения (ср. гл. I, § 4, п. 4).
7. Тождества для 8(А) (а (дг) Р). Рассмотрим функции
Р (х) и Q(jc), для которых соответствующие поверхности
Р = 0 и Q = 0, так же как и раньше, не имеют особых
точек и, кроме того, не пересекаются, так что поверхность
PQ=0 также не имеет особых точек. Тогда имеет место
формула
A)
S (PQ) = Р-\Ъ (Q) + Q S (Р).
7] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 291
Для доказательства обозначим через сор форму, отве-
отвечающую уравнению Р = 0, через ш^ — форму, отвечающую
уравнению Q = 0, и через со — форму, отвечающую уравне-
уравнению PQ = 0. Эти формы удовлетворяют уравнениям
сор dP = dv на поверхности Р = 0, B)
auQdQ = dv на поверхности Q=0, C)
ю (Р dQ -\- Q dP) = dv на обеих поверхностях. D)
Сравнивая B) с D) и замечая, что на поверхности Р = 0
уравнение D) превращается в уравнение
coQ dP = dv,
¦»-!
мы видим, что to = Q юр; аналогично, на поверхности
Q=0 мы имеем со = Р~1со Поэтому
(b(PQ), <р)= /cpco-f- Jcpu)= JcpQ-^H-
р=о g=o P=o
1 1), cp),
что и утверждается.
В частности, если функция a (x) вообще не обращается
в нуль, то
Ь{аР) = а-1Ь(Р). E)
Новые интересные формулы получаются при дифференци-
дифференцировании равенства E). В частности, дифференцируя его по Xj,
получаем:
щ
щ
Подставляя, согласно формуле D) п. 6, вместо 8' (аР) вели-
величину — а~1Ь(аР) = — а~2Ъ(Р) и сокращая, находим:
F)
Аналогично для любого k и любой функции а(х)
19*

292 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Пример.
8<*> (г2 - с") = 8« [(г +• О (г - с)] = (г + с)-*-^ (г - О.
G)
Эга формула означает, что для любой основной функции <р
J Ь(к) (г3 — с2) ср (х) dx = J(r-\- с)"*"^ (г — с) <р (*) dx
Конечно, сравнивая формулы A0) и A1) п. 5, это тож-
тождество было трудно усмотреть. При k = 0 оно принимает
вид
это было видно уже из формул E) и F) п. 3.
8. Слои. Функционал вида p. (jc) S( -1) (Р), или
X= /«W ((Хер),
A)
называется k-кратным слоем на поверхности Р =. 0.
В частности, простой слой (k=l) отвечает формуле
((х8 (Р), ср) = J р,срсо = J соо (р,ср);
двойной слой (k = 2) отвечает формуле
B)
C)
/
р=о
Функция |х (л:), фигурирующая во всех этих формулах, назы-
называется плотностью соответствующего слоя.
Приведенное определение было бы некорректным, если бы
оно зависело от формы записи уравнения поверхности Р = 0.
Но в действительности тот факт, что данный функционал /
есть слой &-го порядка, не зависит от вида уравнения
поверхности Р = 0 и при переходе от записи Р== 0 к записи
а (х) Р=0, где а(х) — функция, не обращающаяся в нуль,
9] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 293
меняется только выражение функции (х (jc). Действительно,
по формуле A7)
(А} (аР) = A (*) а~* (х) Ъ^ (Р) = jx, (*) S^ (P),
что и утверждалось.
Покажем, что каждый функционал f вида
. <р)=
может быть представлен как сумма некоторых слоев
различных порядков. Как вытекает из сказанного, при этом
можно использовать какую-либо специальную форму записи
уравнения поверхности Р = 0; предположим, что в этом
уравнении функция Р(х) означает расстояние точки х от
поверхности Р = 0 и, следовательно, форма совпадает
с евклидовым элементом do. Тогда мы имеем:
р=о
= E (Р), ^ ^
J
aj (х) 8 (Р), ср) =
где
Таким образом,
д«8
что и утверждалось.
9. Обобщенные функции 8 (Рх /М и
В предыдущих пунктах этого параграфа были рассмотрены
обобщенные функции, связанные с (п — 1)-мерной поверх-
поверхностью Р=0. В. этом пункте мы будем рассматривать

294 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
обобщенные функции, связанные с поверхностью S мень-
меньшего числа измерений и определяемой уже не одним, а к
уравнениями:
Рх(хх, .... хп) = 0, Р2(хх хм) = 0, ... )
..../>*(*!. ....*„) = 0. / A)
При этом мы будем предполагать, что:
1) функции Pi бесконечно дифференцируемы;
2) семейство поверхностей Рг (хх, х2 хп) — ?4
(/= 1, . . ., k) образует «правильную сетку», т. е. в окрест-
окрестности каждой точки поверхности 5 можно принять за ло-
локальную систему координат переменные «i = Pi(x1, .. ., хп)
(/= 1, . .., А) и некоторые дополнительные переменные
/х\
ик+1, .... ип, так что в этой окрестности якобиан Dy ) >0.
Рассмотрим элемент объема в Rn
dv = dxx . . . dxn
как дифференциальную форму га-го порядка в этом про-
пространстве и представим эту форму в виде произведения
дифференциальных форм первого порядка dPx . . . dPk на
некоторую форму ш порядка га — к:
B)
= dPx... dPkсо.
Очевидно, что если такая форма со существует, то она
определена неоднозначно. Действительно, если к некоторой
форме со, определенной равенством B), добавить форму
к
^, где <хг — любые дифференциальные формы по-
г-1
к
рядка п — k—1, то полученная форма со -4-2 a%dP% также
будет удовлетворять равенству B), так как произведение
dPidPi равно нулю.
Чтобы доказать существование формы со, мы просто
выпишем ее в переменных хх хп. В этих переменных
элемент объема dv = dxx . . . dxn. Формы dP^ имеют вид
9] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 295
и, как легко проверить (ср. формулы B) и C) п. 1),
<"<¦¦¦ dP"=, < ,Л «
В силу предположений, сделанных о функциях Р^ (хи .... хп),
в матрице
/dPt дРх\
дх.
дх„
дР* т % щдРК
дхг ' ' ' дхп/
имеется хотя бы один минор й-го порядка, отличный от
тождественного нуля. Допустим, что в рассматриваемой
области отличен от нуля минор из производных по пер-
первым к переменным хх, . . ., хк:
г... Рк
D{ "
D)
Тогда можно положить
dxk+1 ... dxn
Xk
так как при умножении на эту форму все слагаемые справа
в C), кроме
(Рх . . . Рк \
D )dxx...dxk,
\хх . . . хк J
дадут нуль из-за наличия хотя бы двух одинаковых диффе-
дифференциалов, а
111 -И. = dхл ... dxn = dv.
f- xk
Аналогично, если, для каких-то tx < /2 < . . . < ik
Pi--Pk'
ix • • • XikJ
D

296 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
то можно положить
'=(-i)'i+-:
..pk\
)
D0
где j\ < . . . < yM_fc и j^ Ф j\ при любых р. Ф v. Итак, суще-
существование формы со доказано.
Более симметричный (но не всегда наиболее удобный
для вычислений) вид формы со получится, если в некоторой
малой области выбрать в качестве переменных их =
= Р\ (хх хп), .... ик = Рк (хх xn) и какие угодно
дополнительные переменные ик+1 ип, достаточно•глад-
fx\
кие и такие, что D( ) > 0. В этих переменных элемент
объема имеет вид
dux . . . dun.
Формы 1-го порядка dPx при этом совпадают просто
с дифференциалами переменных dut (/= 1, ...,?) и инте-
интересующую нас форму со можно положить равной
.. dun. E)
Докажем простую лемму из теории дифференциальных
форм, которая нужна для определения обобщенной функ-
функции 8 (Л Рк).
Лемма. Если ~(— форма порядка п — k, такая, что
ее произведение на k независимых дифференциалов
dPx . . . dPk равно нулю, то существуют формы. ах, .... ак,
такие, что
При этом под дифференциалами понимаются внешние
дифференциалы форм нулевого порядка (т. е. функций)
Pl Pk, а независимость дифференциалов означает, что
dPx ... dPk,Ф 0.'
9] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 297
Форма &-го порядка в левой части этого неравенства
в переменных хи . . ., хп имеет вид
дРх дР? дРк
Поэтому неравенство dPx . . . dPk Ф 0 означает, что матрица
дР-
из производных -^- (/= 1, 2 k\ j=\, 2, .... га)
имеет ранг к. Отсюда следует, что функции РЛ Рк
могут быть выбраны за первые k координат в простран-
пространстве Rn локально.
Для доказательства леммы перейдем к указанным выше
локальным переменным щ = Рг(хх хп) (/= 1 k),
ик+х,
ип. Дифференциальная форма т в этих перемен-
переменных может состоять, во-первых, из слагаемых, содержащих
дифференциалы dux, . . ., duk и, во-вторых, из слагаемого
qduk+x.. . . dun, не содержащего таких дифференциалов.
Мы имеем:
dut . . . duk-\ = q dux . . . dun = 0
по условию леммы. Так как все дифференциалы dui неза-
независимы и их произведение не может быть равно нулю, то
отсюда следует, что #==0. Следовательно, форма -j- состоит
только из слагаемых, содержащих хотя бы один диффе-
дифференциал <2«г (/= 1 к). А значит, т можно (вообще
говоря, различными способами) представить в виде
1 = axdux-{-. ..-\~<x1(duk,
что и требовалось доказать.
Определим теперь обобщенную функцию S (Рх Рк)
равенством
(S (Рх, .... Р1с), ср (хх хп)) = J ерш, F)
s
где. ш — форма, о которой шла речь выше, а 5 — поверх-
поверхность A).

298 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
Из формулы E) видно, что это определение совпадает
с определением, данным в начале этого параграфа.
Легко показать, что это определение не зависит от выбора
формы со. В самом деле, пусть dv = dPx . . . dPkw~
= dPt .. . dPk со. Покажем, что | ср (со — со) = 0 для любой
основной функции ф(х). Согласно доказанной лемме
со — <a = a1dP1-\- ... -\-akdPk, т. е. формы со и со во всем
пространстве могут отличаться только на форму вида
aidPi~\~ ••• -\-v-TtdPk, где at — формы порядка п — k — 1.
Очевидно, что вдоль поверхности Pl = Q, . . ., Рк = 0 эта
форма равна нулю, т. е. обобщенная функция 8 (Plt.... Ph)
определена функциями Рх, .... Рк однозначно.
Нужно иметь в виду, что форма ш и функционал
S(PX, ..., Рк) изменяются вместе с изменением уравнений,
описывающих поверхность 5. Выясним, как изменяется
форма со при переходе от уравнений Р1==0, ..., Рк—0
поверхности 5 к уравнениям Qt — О Qk = 0, где
к
Qj(х) = 5] «<i 00 Л 00 (J = 1, 2 Л).
и матрица из бесконечно дифференцируемых функций а^(х)
обратима. (Очевидно, что вторая система уравнений описы-
описывает ту же поверхность, что и первая система.) Для этого
выпишем уравнения, определяющие исходную форму со и
преобразованную со:
dPx dP2. . . dPk со = dv;
dQx... dQk ш = (S ait dPt) . . .
ifc dpi) 2 = dv.
Раскрывая скобки и преобразуя коэффициенты по пра-
правилу dPidPj = — dPjdPf, мы видим, что второе уравнение
приводится к следующему:
Отсюда
. . . dPk со = dv.
со
со.
Это и есть искомая формула преобразования формы со.
Соответствующая обобщенная функция 8 (Qu . , ., Qk) связана
9] § 1. обобщенные функции на гладкой поверхности 299
с обобщенной функцией 8 (Ри .... Рк) равенством
Определим теперь производные обобщенной функции
8 (Pt Рк) по аргументам Pit т. е. обобщенные функ-
Л7?1* /Г} р v
ции \ ъ '' *' . Эти обобщенные функции будут опре-
® * \ • • • Ол fc
/С
делены как интегралы по поверхности 5 (Рх = 0 Рк = 0)
от некоторых дифференциальных форм ш^...^, зависящих
от функций Ру Рк и от основной функции ср (хи .... хп)
с ее производными до порядка т включительно.
Обозначим форму срсо через соОо...о(<р) (здесь со — форма,
определенная выше равенством dv = dPx dP2 • • • dPk со).
Чтобы определить, например, форму со10...0(?) (интеграл
от которой по S даст нам значение обобщенной функции
0 ^ '' „"'——\ мы возьмем форму (п—1)-го порядка
dP2 . • ¦ dPk(x>oo...o(<?),
продифференцируем ее и представим полученную форму
и-го порядка в виде
d(dP2. ..
Возможность такой операции легко доказывается в локаль-
локальной системе координат. В самом деле, в координатах
щ = Р{(х1, . . ., хп) (/= 1 к), ик+1 ип, если обо-
обозначить функцию ср(д;1(«1 ип) хп(их ип))
через 9i(«i, ..., «M)z=cpi(«). мы получим:
G)
">оо ... о (?) = <?D ( и^ duk+1 . . . dun,
dPo .. . dPk шоо ... о (?) = <?D ( хи j du2 ... duk,
. . . dan.
Аналогичным образом можно увеличить на единицу любой
из k индексов формы coqo ... о(?)• Вообще, если предположить,

300 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
что у нас имеется форма <оал... «fc(?). To чтобы увеличить
на единицу у-й индекс, мы умножим нашу форму слева на
все dPi, за исключением dPj, продифференцируем ее и пред-
представим в виде
d (dP, . . . dPt_x dPj+x ...dPk ша1... afc (cp) ) =
1l ...dPk «v ..., a.r aj+1 Vv (8)
Таким образом определяются формы a>aj... а (ср) для любых
целых неотрицательных значений индексов.
Очевидно, что если уже исходная форма соОо...о(<р)
была определена неоднозначно, то формы waj... а (ср) и
подавно могут быть определены разными способами.
Покажем, что формы ш^... а (ср), определенные индук-
индуктивно, начиная с соОо... о(<р). равенствами вида (8), при лю-
любых а1з . . ., ак могут отличаться только на форму вида
d+^P
где dx— дифференциал от некоторой формы т порядка
п—к—1, а plt ..., pfc — произвольные формы порядка
п.—к— 1. При этом как форма т, так и формы р, pA
финитны, т. е. каждая из этих форм равна тождественному
нулю вне некоторого ограниченного множества.
Доказательство этого утверждения будем вести по индук-
индукции. Как следует из доказанной выше леммы, во всем про-
пространстве
о)оо... о — a>oo...o = $idPl-\- ... -\-%dPk
для любых двух форм, определяющих Ь(Ри .... Рк). Так
как, во-первых, обе формы и>оо...о(ср) и со00... 0(ср) содержат
множителем финитную функцию ср(^ хп) и, во-вто-
во-вторых, дифференциалы dPx dPk линейно независимы,
то, очевидно, все формы C, pft, входящие в правую
часть равенства, финитны. Предположим теперь, что раз-
разность любых двух форм с индексами аи .... ак можно
во всем пространстве представить в виде
«Ч,...,«Л — ««„..., «fc = *c-bMpi-b ••• +МП> (9)
где т, pt, .... pfc — финитные формы, и покажем, что при
увеличении одного из индексов (для определенности—пер-
9] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 301
вого) на единицу это свойство сохраняется. Для доказа-
доказательства умножим обе части равенства (9) на dPz . . . dPk
и продифференцируем его. Так как d (dPi)~d(di) = 0, то
мы получим:
d [dP2 ..., dPk(u>ai... ajt— ш«,... а]с)] =
... dPk • @4+1, „, ttft— waj+li et,...,aj) =
Отсюда
dPtdP2 . ..
и по лемме

«j,
ak
причем, в силу финитности форм сав +1, «,. - и шв1+1,«%,...,«,,
/С К
и формы р1( формы fi» ..., Yfc также финитны. Это и тре-
требовалось доказать.
Рассмотрим теперь равенство (9), справедливое, по до-
доказанному, для любых значений индексов аи .... ак на
поверхности S. На этой поверхности dPx =...== dPk = 0,
а форма rfx равна некоторой форме dx* (внешнему диф-
дифференциалу финитной формы х*, полученной из формы х
проектированием на многообразие S). Таким образом, на
поверхности S
«к
- со.
где dx* — дифференциал финитной формы х*.
Определим теперь обобщенную функцию
дтЬ(Ръ
следующим равенством:
дтЬ(Ръ ...,
A0)
Из формул типа G) видно, что это определение совпа-
совпадает с соответствующим определением, данным в начале
этого параграфа. Это определение не зависит от выбора

302 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
формы со»,,..., aft. Действительно, если <оа1,..., ttfc и ша1 „л —
две формы, полученные из о>оо...о последовательными умно-
умножениями, дифференцированиями и делениями, то, по дока-
доказанному.
— / «
Ч,
По теореме Стокса
S Г
где Г — граница поверхности 5. Но, в силу предположе-
предположений, сделанных о функциях Pi(xu .... хп) A=1, .... k).
поверхность S или замкнута, или уходит в бесконечность.
В обоих случаях интеграл Г t* = 0, так как форма х* фи-
г
нитна, и следовательно,
s s
дтЬ (Р PiA
Тем самым обобщенная функция v i> • • •.—k> определена
дР*1 ... dPak
1 k
функциями Рх Pk на поверхности Рх = 0, . .., Pn = 0
однозначно.
Для обобщенных функций 8(Я1 Pk) и'
имеют место следующие теоремы:
1. Обобщенные функции S(Pt Pk) и <3?"& ^f1' '''' ffc)
1 А;
можно дифференцировать как сложные функции:
Здесь производные обобщенных функций по координатам х-
определяются, как обычно, а именно: рдинатам х3
9] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 303
2. Для обобщенных функций Ь (Ри .... Рк) и их про-
производных имеют место следующие тождества:
а также все тождества, получаемые из этих формальным
дифференцированием по Ри .... Рк. Например, последо-
последовательно дифференцируя первое тождество по Рг, получаем:
т
= 0.
Дифференцировать можно по любому набору переменных:
например, дифференцируя второе тождество по Pt и Pj,
получаем:
Доказательства этих фактов проводятся аналогично тому,
как это выше делалось для §'(Р), и мы их опускаем.
В заключение заметим, что аналогично предыдущему,
можно определить т-кратный слой как функционал вида
a == (ax, . . ., ak), | a [ = ax -\- . . . -\-ak,
где
1 . . . dPft
В частности, простой слой отвечает формуле
= J
)
1; .... Pk) cp (x) dJf = J
... о

304 гл. lit. специальные типы обобщённых функций fl
Снова можно доказать, что каждый функционал / вида
. 9) =
где do — элемент поверхности S, представим в виде суммы
некоторых слоев различных порядков.
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ
С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ
В этом параграфе будут рассмотрены различные обоб-
обобщенные функции, связанные с невырожденной недефинитной
квадратичной формой. В пп. 1 и 2 строится конкретная регу-
регуляризация некоторых интегралов без использования предель-
предельных переходов из комплексной области. В остальных пунк-
пунктах этого параграфа широко применяется метод, основанный
на выходе в комплексную область.
Более простым является комплексный метод и при пер-
первом знакомстве мы рекомендуем начать чтение прямо с п. 3,
просмотрев предварительно пп. 1—2, которые содержат ряд
полезных сведений о дельта-функциях от квадратичной формы.
1. Определение функций 81*° (Р) и 8f * (Р). В § 1 были
определены обобщенные функции Ьк (Р) для случая такой
бесконечно дифференцируемой функции Р (х1 хп), что
поверхность P(xlt .... хп) = 0 не имеет особых точек.
Если теперь
Р (Х±, . . . , XfJ = Xi —|— . . . —f— Xp Хр-|-1 • • ¦ Xp+q A)
(р~\- q = n), то поверхность Р (хх, ..., хп) — 0 предста-
представляет собой конус с особой точкой (вершиной) в начале
координат.
В этом случае функцию 8 \Р) можно определить сле-
следующим образом. Так как единственная особенность конуса
Р = 0 находится в начале координат, то для функций ср,
равных нулю в окрестности начала координат, (8(fc)(P), cp)
фактически было определено в § 1:
>*(?)• B)
р-о
1] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 305
Если же ср — произвольная финитная бесконечно диффе-
дифференцируемая функция, то интеграл B) может расходиться.
Тогда мы определим (§(fc)(P), cp) как регуляризованное зна-
значение интеграла B).
Этот план здесь и будет проводиться; однако мы про-
проведем его элементарно, не опираясь на содержащееся в § 1
определение Г cofc(cp).
р-о
Итак, пусть сначала функция ср (х) обращается в нуль
в некоторой окрестности начала координат. После удаления
этой окрестности поверхность Р = 0 уже не имеет особых
точек. Следовательно, в любой достаточно малой окрест-
окрестности произвольной точки поверхности Р = 0 можно ввести
новые координаты иг = Р, и2 ип с якобианом D ( х ) > 0.
Тогда, согласно определению функции 8(fc)(P), данному в § 1,
имеем:
¦¦¦""-
где интеграл берется по поверхности Р = 0. Это определе-
определение не зависит от выбора системы координат иъ .... ап.
В самом деле, как было показано в § 1, написанное выраже-
выражение (&<*) (Р), <р) совпадает с (—1)* I шк (tp), а потому не зависит
Р=о
от выбора системы координат.
Напишем явное выражение для (8^(Р), ср), выбрав коор-
координаты «!, ..., ип специальным образом.
Будем предполагать, что р > 1 и д>1; случай, когда р
или q равно 1, мы рассмотрим особо в конце этого пункта.
Введем биполярные координаты, положив
где
Элемент объема в этих координатах задается формулой
dx = r^s4'1 dr ds d9Jp) d&q), F)
20 Зак. 460. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов, вып. I

304 гл. lit. специальные типы Обобщённых функций [1
Снова можно доказать, что каждый функционал / вида
= f 2
А / ,-)•
д.*-?' ... дх3п 1
l n /
где da — элемент поверхности 5, представим в виде суммы
некоторых слоев различных порядков.
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ
С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ
В этом параграфе будут рассмотрены различные обоб-
обобщенные функции, связанные с невырожденной недефинитной
квадратичной формой. В пп. 1 и 2 строится конкретная регу-
регуляризация некоторых интегралов без использования предель-
предельных переходов из комплексной области. В остальных пунк-
пунктах этого параграфа широко применяется метод, основанный
на выходе в комплексную область.
Более простым является комплексный метод и при пер-
первом знакомстве мы рекомендуем начать чтение прямо с п. 3,
просмотрев предварительно пп. 1—2, которые содержат ряд
полезных сведений о дельта-функциях от квадратичной формы.
1. Определение функций 8(ifc) (Р) и 8^й) (/>). В § 1 были
определены обобщенные функции Ьк (Р) для случая такой
бесконечно дифференцируемой функции Р (х1 хп), что
поверхность Р(xlt .... хп) = 0 не имеет особых точек.
Если теперь
Р (.ХГ^, • • • , ^п) == Х\ —\— • • • ~т~ Хр —— Хр+1 ¦ • = Xp-^-q A)
(p-j_qr = «), то поверхность Р(хи .... хп) — 0 предста-
представляет собой конус с особой точкой (вершиной) в начале
координат.
В этом случае функцию 8* \Р) можно определить сле-
следующим образом. Так как единственная особенность конуса
Р = 0 находится в начале координат, то для функций ср,
равных нулю в окрестности начала координат, (8(fc)(P), ср)
фактически было определено в § 1:
" '*(?)• B)
р=о
I] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 305
Если же ср — произвольная финитная бесконечно диффе-
дифференцируемая функция, то интеграл B) может расходиться.
Тогда мы определим (8^ }(Р), ср) как регуляризованное зна-
значение интеграла B).
Этот план здесь и будет проводиться; однако мы про-
проведем его элементарно, не опираясь на содержащееся в § 1
определение Г шк (ср).
Итак, пусть сначала функция ср (х) обращается в нуль
в некоторой окрестности начала координат. После удаления
этой окрестности поверхность Р = 0 уже не имеет особых
точек. Следовательно, в любой достаточно малой окрест-
окрестности произвольной точки поверхности Р==0 можно ввести
новые координаты а1 = Р, и2 ипс якобианом d( х ) > 0.
Тогда, согласно определению функции о( (Р), данному в § 1,
имеем:
^du2 ... dan, C)
где интеграл берется по поверхности Р = 0. Это определе-
определение не зависит от выбора системы координат иъ . . ., ип.
В самом деле, как было показано в § 1, написанное выраже-
выражение (fi№ (р); <р) совпадает с (—1)к I шк (ср), а потому не зависит
от выбора системы координат.
Напишем явное выражение для (8(ft)(P), ср), выбрав коор-
координаты иг ип специальным образом.
Будем предполагать, что р ]> 1 и q ~^> 1; случай, когда р
или q равно 1, мы рассмотрим особо в конце этого пункта.
Введем биполярные координаты, положив
Xi = ГОI, .... Хр = ГШр, Xp + i = Stop+i, . . . , Хр+ц = SU)p + q, D)
где
r==y x\-\- ... -\-х*р, s = у хр+1 ¦+-... -\-хр+г E)
Элемент объема в этих координатах задается формулой
dx = rp'lsq~l drdsdQ{p)dQ(q\ F)
20 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

306 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [i
где dQ(p) (dQ(q)) обозначает элемент поверхности сферы еди-
единичного радиуса в р-мерном (соответственно g-мерном) про-
пространстве. При этом мы имеем:
Примем теперь за новую систему координат в простран-
пространстве переменные Р, г и биполярные координаты со^. Выра-
Выражение F) для элемента объема принимает в этих коорди-
координатах вид
P)
*'1
dP dr dQip) dQ(q\
Согласно определению C) имеем:
Переходя от Р к переменному я = ]/V2 — Р и замечая, что
4
(8)
(9)
Если теперь положить
ф(г, s) = J* ср dQ(]}) dQ(q\
то формула (8) принимает вид
При выборе новой системы координат в пространстве
вместо координаты г можно было бы взять координату s.
Тогда мы пришли бы к эквивалентному выражению
j] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 307
При сделанном с самого начала предположении, что
функция равна нулю в некоторой окрестности начала коор-
координат, интегралы A0) и A0') сходятся при любом k. Однако,
+ 2
если
(р — 1)-Ь(Я — 2) > 2k, r.e.k<
то эти инте-
интегралы сходятся и для любой финитной функции ср(дг). Поэтому
при к < - 9 любую из формул A0) и A0') можно
принять за определение функции 8(fc)(P). Если же
k>P + l~2 . то мы определим (sifc) (Р), ср) и (§Bfc) (Р), ср) как
регуляризованные значения интегралов A0) и A0') в смысле,
который несколько ниже будет уточнен.
Таким образом, при р~^>1, q > 1 обобщенные функ~
ции 8ifc)(P) и &2fc) (JP) мы определяем по формулам
(П,
ф (г, s) обозначает интеграл от функции, ср по поверх'
\ % <l l + + % 2 3
ности х\ -\- . . . -\-х^ = гл,
ный на rp~ls^~x. Написанные здесь интегралы сходятся
и совпадают при
Если же
- v. P + q — 2
«^ 2 ,
то 5ти интегралы следует понимать в смысле регуля*
ризованных значений.
Укажем, что мы будем понимать под регуляризованными
значениями интегралов A1) и A1'). Заметим сначала, что функ-
функция ф(г, s), определенная формулой (9), является финитной
бесконечно дифференцируемой функцией от г2 и s2.. Делая
теперь формально в интеграле A1) замену переменных
и,
= v и полагая
= tyl(u, v),
20*

308 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
будем иметь:
JP-2
, 2
В силу сделанного замечания фх(а, г>) является финитной
бесконечно дифференцируемой функцией от и и г». Но тогда
дк
где снова *F(a)— финитная бесконечно дифференцируемая
функция. Таким образом,
(8?>(Р). т)=4/«
г+з
Регуляризация таких интегралов рассматривалась в § 3
гл. I. Правая часть формулы A2) есть значение 4-(й+> 1^(и))
при Х= —t-i-—2—&, где и+ —функция, равная ах при и > 0
и 0 при и ^ 0. Регуляризацией этой функции служит
обобщенная функция и+, которая при X
получается аналитическим продолжением и\
Re X >—1. При Х==—1,—2, ... эта аналитическая обоб-
обобщенная функция имеет простые полюсы; обобщенную функ-
функцию и+п (п=\, 2, . . .) мы определили как свободный член
разложения Лорана функции и+ в окрестности точки Х = —п.
Таким образом, если размерность п= р -\~q простран-
пространства— нечетное число, то регуляризация интеграла A2)
определяется как аналитическое продолжение функции.
и\
1, —2, ...
из области
8 точку \= Р~ТЧ—2—А (по формулам, указанным в § 3
гл. I), а если размерность п пространства четна, то
— как свободный член разложения функции /(X) в ряд
рЛ-ч
Лорана в окрестности точки X:
— 2 — k.
1] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 309
Аналогичным образом определяется регуляризация инте-
интеграла AГ)- Обобщенные функции 8^ (Р) и Ь^ (Р) могут,
вообще говоря, и не совпадать. В п. 3 будет показано, что
в случае нечетномерного пространства эти функции всегда
совпадают, а в случае четномерного пространства размерности п
при &>y— 1 разность 8AАг) (Р) —Ь^] (Р) есть обобщенная
функция, сосредоточенная в вершине конуса Р = 0. Кроме
того, в п. 3 будет дано иное, более естественное опреде-
определение однородных функций, сосредоточенных на поверх-
поверхности конуса Р = 0.
Отметим, что из определения функций 8ifc)(P) и
вытекает непосредственно следующее соотношение:
До сих пор мы предполагали, что jt» > 1 и д>1, Слу-
Случай, когда р или ^ равно 1, является особым, поскольку
в этом случае теряет смысл переход к биполярным коор-
координатам. Приведем определение функций &i (P) и 82 (P)
для этого случая.
Пусть сначала p = q=l, т. е. Р = х2—у2. Выбирая
тогда в качестве локальных координат переменные Р и х,
мы получим по аналогии'с формулой A0) следующее опре-
опре^ ()
деление функции
х2
р
у2):
+ оо
где интегрирование ведется по паре прямых х2—_у2 =
Следовательно,
№>Хх*-у*). 9) =
+ оо
_ f( д
J \2yd
+со
П
J \
g, у)]
J
у*-- х
Интегралы понимаются здесь в смысле регуляризованных
значений (здесь снова нетрудно воспользоваться результа-
результатами § 3 гл. I),

310 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
В частности, имеем:
+оо
5i(*2— У). ?)= /
23T
V (¦*, У)
,-J'
т. е.
A3)
Аналогично, если р=1, но <7 = га— 1 > 1. то функ-
функции §i (Р) и S^(P) определяются по формулам
+ СО
-о
&1-«*
где фС*^, s) есть интеграл функции ср по поверхности
хх = const, x|-f- ... -f-x^ = 52, деленный на s^-1.
Если же # = 1, но р = га — 1 > 1. то функции Ъ?} (P)
и Sa -* (Z3) определяются по формулам
+оо
№ (Р), ,)-(-
„, A5)
где
га) есть интеграл функции 9 по поверхности
i~xn-i — r2> хц~ const, деленный на rv~l. Все
2]
§ 2. функции, связанные с квадратичной формой 311
написанные интегралы следует понимать в смысле регуля-
ризованных значений *).
2. Обобщенная функция
. Пусть снова
(i)
= «). Определим обобщенную функцию Рх+, . где
— комплексное число, по формуле
B)
Р> О
где х = (х1 д:п) и dx = dx1 ... eLicn. При R
интеграл B) сходится и представляет собой аналитическую
функцию от X. Продолжая аналитически эту функцию на
область ReX^O, мы определим функционал (Р+, ср) для
других X.
Будем искать полюсы функционала (Р+, ср). Для этого
перейдем в интеграле B) к биполярным координатам
где
г -__ Т/"д-2 I # д ^ I дЛГ ? _- Т/"х2 I ^ I ДГ2 **). D)
Тогда интеграл B) перепишется в виде
hz-^drdsdQ^dQ®, E)
= J (г* —
p > о
*) Отметим, что в случае, когда р=\ или <? = 1, можно иногда
не усреднять функции <р по сферическим поверхностям. Формулы
A4') и A5') можно также представить в следующем виде: если
р = 1, то
где интегрирование ведется по поверхности конуса Р = 0; если же
9=1, то
где снова интегрирование ведется по поверхности конуса Р = 0.
**) Для простоты, мы предполагаем всюду дальше, что р^>\
и q ]> 1. Однако все получаемые результаты остаются справедли-
справедливыми и в специальном случае, когда р = 1 или # = 1.

312 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
где dQ(p)(с?2C)) — элемент поверхности сферы единичного
радиуса в /?-мерном (соответственно, ^-мерном) простран-
пространстве. Полагая теперь, как и в п. 1,
ф(г, 5) = f9dQ(p)d&(q\
F)
получим:
оо г
(р\, <р)= J J (г2 _ s2)x ф (г, s)rP-lsi~ldsdr. G)
о о
Поскольку основная функция ср(лг) финитна и бесконечно
дифференцируема, функция ф(г, s), определенная по фор-
формуле F), финитна и бесконечно дифференцируема по г2
и s2. Сделав в интеграле G) замену переменных и = г2,
•у = s2 и положив
получим:
ф(г, 5) = ф1(в, V).
оо м
(Рх+, ср) = 1у у (и —«Li(«. «)в"
J J
о о
(8)
а-а
2 ^ da. (9)
Наконец, заменой переменной v^^ut мы приведем инте
грал (9) к виду
со
-jJ и
6
X I
-1 Л а-3
duj(l—tL а ф^и, /B)d/. (Ю)
Из формулы A0) следует, что функционал (/-*+, ср) имеет
две серии полюсов. Первая серия состоит из полюсов
функции
1 Г g~2
Ф(Х, «)=^У A—/)х/ 3 фДм, /a)d/.
о
A1)
Подобно функции (лг+, ср). рассмотренной в § 3 гл. I, эта
функция регулярна при всех значениях X, за исключением
точек
Л 1 , ^, . . . , К, • • • ,
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 313
в которых она имеет простые полюсы. При этом
выч. Ф (X, и) = i—?
х-—ft
/ft-i
Следовательно, выч. Ф (X, и) представляет собой функ-
X— к
ционал, сосредоточенный на поверхности конуса Р = 0.
С другой стороны, если Ф (X, и) — регулярная функция,
то интеграл
со p+q
{Р\, ?) = J и+^~~' Ф (X, u)du A3)
о
может иметь еще полюсы в точках
, п
п
2"
, • • ., 2 /с, . . .,
где ra=p-f-<7 — размерность пространства. При этом
выч. (Р+, ср) = —
¦Т-*
k\ дик
___ .^__ /2, И
2
• (Н)
Таким образом, выч. (Р+. ф) есть функционал, сосре-
доточенный в вершине конуса.
Итак, имеется две серии особых точек функционала
(Р\. «Р):
Х== — 1, —2 —А:, ... A5)
X '!_ Ч 1 " и . /ic/ч
выч. (Р+. 9) в особой точке X есть функционал, со-
сосредоточенный на поверхности конуса Р = 0, если X
принадлежит первой серии, и в вершине конуса Р = 0,
если X принадлежит второй серии особых точек. В слу-
случае, когда X принадлежит одновременно обеим сериям,
картина естественно может усложниться.
Разберем теперь подробно все случаи в отдельности.
Случай 1. Особая точка Х = —k принадлежит
первой серии особых точек, но не принадлежит второй

314 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[2
серии. Это имеет место всегда, когда размерность про-
пространства n=p-\-q — нечетное число, а также в случае
четномерного пространства, если Х> Ц-.
Представим функцию A1) в окрестности точки Х= — k
в виде
ф(^ «) = ТТХ+Ф^' и). A6)
где Ф0(и)= выч. Ф(Х, k), а функция Ф^Х, а) регулярна
\- к
в окрестности точки Х = — k. Подставляя это выражение
в формулу A3), мы получаем:
Х+*±*-1
Фо
оо
A7)
При сделанном предположении относительно X интегралы
в формуле A7) являются регулярными функциями в окре-
окрестности точки Х = — k. Следовательно, функция (Р+, ср)
имеет в этой точке полюс первого порядка, причем
ОО Д I Q
выч. {Р\, ср) = Г и"Л+~2~ Фо (и) du.
где интеграл при k
следует понимать в смысле
регуляризованного значения. Подставляя сюда выражение A2)
для Фо (и) = выч. Ф (X, и), мы получаем:
X:—л •
выч.
X: к
^-1 г
q~2
. A8)
Итак, выч. Р+ есть обобщенная функция, сосредоточен-
ная на конусе P=Q.
2]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 315
Установим связь этой функции с определенной в п. 1
функцией Sf}(P).
Заметим, что если положить to. = v, то
g-а
,-ь*
Следовательно, формула A8) может быть переписана в виде
_
где при k^ -~- интеграл следует понимать в смысле ре-
регуляризованного значения. С другой стороны, согласно
определению, данному в п. 1,
п
где снова при k^>-^- интеграл понимается в смысле регу-
регуляризованного значения. Но в случае, когда размерность
n = p-\-q пространства — нечетное число, регуляризация
написанного интеграла определяется методом аналитического
продолжения. Следовательно,
х=-ь ' " " \К~1I '
Итак, в точке \ = — k (k = —1, —2, . . .) в случае,
когда пространство имеет нечетную размерность п,
а также в случае, когда размерность пространства
п — четное число и k <С -к-, обобщенная функция Р+
имеет простой полюс с вычетом
выч. Р% =
A9)

316 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Полученный результат не является неожиданным. В самом
деле, еще в гл. I мы установили, что
Из формулы A9) вытекает, что в случае нечетномер-
ного пространства, а также в случае четномерного
пространства при k < -^- функция 8AS:~1)(P) полностью
определяется заданием квадратичной формы Р.
В п. 1 было отмечено, что функция о^ (Р) может быть опре-
определена формулой
причем написанный интеграл сходится при
п — 2
л —2
а при
ег0 следует понимать в смысле регуляризованного зна-
значения. Следовательно,
В частности, имеем:
р=о
х=—
где dz — элемент поверхности конуса Р = 0.
Случай 2. Особая точка ~К принадлежит второй
серии особых точек, но не принадлежит первой серии.
Это имеет место, когда
= к-— k (k = 0, 1, 2, . . .),
причем размерность пространства п — нечетное число.
В этом случае функция Ф (к, и) регулярна в окрест-
окрестности точки Х = ц k, а потому функция (Р\, <р) =
со
/Х+?—1
и а Ф (X, и) du имеет в этой точке простой полюс
о
с вычетом
со га
выч. (Р\, ср)= выч- f а а Ф( ?г— k> tijdu,
= - К X = - 1С *
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 317
откуда
B0)
выч.
Таким образом, выч. (р\, ср) есть функционал, сосредо-
точенный в начале координат.
Выразим значение этого функционала непосредственно
через производные функции ср (х) в начале координат.
При Х=—^ формула B0) дает
выч
. (Р\, ср) = ф(-|, О).
Используя выражение A1) для функции Ф (X, и), получаем:
выч (P-i-, ср) = —г I A—f) ^t 2 dt фг @, 0).
~~2
Но
Если/? — четное число, то W—y+lj = oo. а потому
выч. (Р\, ср) = О. B1)
Пусть теперь /? нечетно, а д1 четно. Согласно опреде-
определениям (8) и F) имеем:
откуда
^О, 0) = 2,2а ср(О),
где 2р и Qg обозначают площади поверхностей единичных
сфер в пространствах соответствующих размерностей..

318 гл. m. специальные типы обобщенных функций
Следовательно,
[2
т. е.
выч. Р+=
B2)
Как известно, площадь поверхности 2S сферы единичного
радиуса в s-мерном пространстве выражается формулой
'D)"
Подставляя в B2) выражения для 2^ и 2^, мы получим
после элементарных преобразований
1 ?L
выч. Px.=-tl
(т)
¦«D
B3)
Чтобы найти вычеты функции Р+ при Х = — -^—k, где
к=\, 2, ..., рассмотрим однородный дифференциальный
оператор
1'~^[дх1 дхп)'
т. е.
p+q
Как показывает непосредственный подсчет,
LPx+l = 2 (\ -f. I) BX. -f- л)Р\
где и=4
B5)
2]
§ 2. функций, Связанные с квадратичной формой 319
С другой стороны, для любой финитной бесконечно
дифференцируемой функции ср(х) справедлива формула
x+1
J [ср (LPX+1) — Px
= 0 *).
B6)
Подставляя в формулу B6) выражение B5) для LP ,
получаем:
1
Р>о
f
у) Р>о
т. е.
B7)
Применив формулу B7) k раз, будем иметь:
Следовательно,
выч. (Рх+, ср)
B8)
2»(X
~
X
Но
выч.
п _
X выч. (Рг+\ L\). B9)
= выч. (Р\ /Лр)„
*) В самом деле, если ReA>»0, то по формуле Грина этот
интеграл сводится к интегралу по поверхности Р = 0. Но так как
на этой поверхности функция px+l и ее частные производные
обращаются r нуль, то интеграл равен нулю. В силу единственности
аналитического продолжения формула B6) остается справедливой
и при Re X < 0.

т
320 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ. ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Поэтому, если р — четное число, то этот вычет со-
согласно B1) равен нулю. Если же р — нечетное число, то,
согласно B3), имеем:
._ (-1
,2 ^3
выч.
Подставляя это выражение в формулу B9) и учитывая, что
(Ь(х), Lfecp) = (Lfe8 (x), <p),
мы получим после элементарного преобразования коэффи-
коэффициента
q n
выч
¦ (^ ф) =
(x), cp).
Итак, если размерность пространства — нечетное
число, то в случае, когда р — нечетное, a q — четное число,
обобщенная функция Р+ имеет в точках Х = k
(k = О, 1, . . .) простые полюсы с вычетами
выч. Р1 =
X
X
C0)
Если же, наоборот, р — четное, a q — нечетное число,
то функция Р\ в этих точках регулярна.
Случай 3. Точка \ принадлежит одновременно двум
сериям особых точек. Это имеет место в случае четномер-
ного пространства для всех
1 п
к -гг-
2
2] § 2. функции, связанные С квадратичной формой 321
Как и в случае 1, мы представим сперва выражение для
{Р\, ?) в виде
•-?r-t-« о
XI p+q-1
а а
«. C1)
где Фо (и) == выч. Ф (X, и), а Фх (X, и) есть функция, регу-
лярная в окрестности точки Х =
k. В силу сделан-
сделанлр р ^
ного предположения каждый из стоящих в формуле C1)
интегралов может иметь в точке Х = ^ k простой
полюс.
Поэтому функция {Р\, ср) может иметь в точке
Х = п* — ^ полюс кратности 2.
В окрестности точки Х = ^ — k функция Рх+ может
быть разложена, таким образом, в ряд Лорана:
6-2
Р\
Будем искать коэффициенты
Прежде всего, в силу C1),
выч.
^
этого разложения.
. C2)
Таким образом, обобщенная функция с^ сосредоточена
в вершине конуса Р = 0.
Выразим непосредственно функцию с&\ через производ-
производные функции S(x). Прежде всего при й = 0 формула C2)
дает
(:«?,.== Фо@).
21 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

322 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
При этом, согласно определению,
фо («) = \
Отсюда получаем:
X~f О
(а, tu) dt.
I=:T^@' °> выч- /*A~'
X— » О
4-2
= фа @, 0) выч. -
В силу известного соотношения для гамма-функции
ГA— х)Т(х) = ——
4 ' v J sin six
имеем:
Так как, с другой стороны,
lim
sln (—
то
выч.
Таким образом,
выч.
Шг (f)
[2
где 2j, и g щ
падиуса, мы получаем:
2] § 2. функций, связанные с квадратичной формой 323
Учитывая теперь, что
фг@, 0) = apQa <р @).
где Qp и Qg — площади поверхностей сфер единичного
м пплучяем:
Если /? — четное число, то с^а=0, так как sin^- = 0;
следовательно, когда р и q — четные числа, функция Р+
имеет при Х = ^ лишь простой полюс. Если же р и
^ — нечетные числа, то формула C4) дает нам, поскольку
sin
. C4)
г ?
и
т. е. гара нечетных р и q
_
C5)
Применяя теперь формулу B8) и повторяя дословно соот-
соответствующие выкладки, проведенные для случая 2, мы уста-
установим, что при четных р и q с(-*\=0, т. е. функция Р+
имеет в точке Х = — — k лишь простой полюс. Если оке
р и q — нечетные числа, то
9-1
X
X
дх1+ч1
л-). C6)
21*

324 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Определим теперь функции с?\. Из формулы C1) имеем:
со
0(Л, ср) = f в-*-»Ф0 (и) da -+-
о
о
иХ+^~1фА— ~ — k, ujdu. C7)
выч.
х—!_ft о
При этом первый из интегралов в формуле C7) следует
понимать как свободный член лорановского разложения
функции
в окрестности точки Х = ^ —k. Значение этого интеграла
есть функционал, сосредоточенный на поверхности Р = 0,
который мы сейчас определим. Поскольку
Фо (и) = выч. Ф (X, и),
Х=-А
мы заключаем на основании формулы A2):
Л ,..,.. (-D3 <52
tl
Отсюда
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 325
С другой стороны, согласно определению, данному в п. 1,
1 7 ^+fe-1
= т / -^
2
При этом регуляризация интеграла была там определена
в точности так же, как и регуляризация интеграла
. Следовательно,
!
C8)
Из формулы C8) вытекает, в частности, что в случае
четномерного пространства при k ~^> -я- функция Ь[С~1'(Р)
полностью определяется заданием квадратичной формы Р.
Рассмотрим теперь второй член в формуле C7). Имеем:
.ч. f и**'1<1>,{— j— к, u)da =
выч
k\
C9)
Определяемый этим членом функционал сосредоточен, сле-
следовательно, в вершине конуса Р = 0.
Итак,
D0)
где а^) — обобщенная функция, сосредоточенная в вершине
конуса Я=0 и выражающаяся с помощью функционала C9):
(о(*>. ср) = -
D1)

326 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Найдем явное выражение функции a(fc) через производ-
производные функции Ь(х). Рассмотрим сперва случай k=0. Со-
Согласно формуле D1)
сР) = Ф1(—|-, о).
Но Ф^—у, Oj есть свободный член лорановского раз-
разложения функции Ф(Х, 0) в окрестности точки Х = -.
Имеем:
1
1 Г а"а
Ф(Х, 0) = i / A—i
4Г
—-.
sin
а также
Используя соотношение ГA—х)Т(х) =
sin тъх
выражения для Qp, Qq, мы можем переписать эту формулу
в виде
г4г(-
Если /? и ^ — четные числа, то стоящая здесь функция ре-
регулярна при А — ^-. Следовательно, Ф!! ~-, 0j =
0ТКУда
Если же р и ^
полюс в точке
нечетные числа, то функция Ф(Х, 0) имеет
= — -^-. В этом случае
= Ф1(_|, о)=-х?(О).
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 327
где у. есть свободный член лорановского разложения функ-
п
it2 в окрестности точки Х =
ции
sin rik
= — -^-. Элементарные вычисления, которые мы опустим,
приводят к следующему выражению для коэффициента х:
т. е.
, _ Ч- 1)
где пси-функция
определяется по формуле
Подставляя полученные выражения для функции «(°)
в формулу D0), для fe = 0 получим:
2 1
D3)
¦' ГШ
причем 6z=(—IJ, если р и д — четные числа, и
3+1
е = (—1K -
числа.
если
и
— нечетные
*) Значения пси-функции ф {х) при целых и полуцелых значе-
значениях аргумента выражаются следующими формулами:
—1 '
где С—постоянная Эйлера (см. И. М. Рыжик и И. С. Град-
штейн, Таблицы, раздел 6.35).

328 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Наконец, чтобы найти cW для произвольного k, можно
снова воспользоваться «понижающей» формулой B8). Мы
получим:
JP,Q
. D4)
При этом числовой коэффициент Ьр q равен (—IJ, когда
р и q — четные числа.
Выражение для функции a<fc) можно получить также из
следующих соображений. Так как с^\ = выч. Р\ есть
х--?-*
2
однородная функция степени —п — 2k, то это же спра-
справедливо и для функции а.(ьК Но функция а<&) сосредоточена
в начале координат, а потому она имеет вид *)
где Qzk — однородный многочлен степени 2k.
С другой стороны, функция a(ft), так же как и функция Рх+
при любом значении X, инвариантна относительно линейных
преобразований, сохраняющих квадратичную форму:
Р {Хг, .... Хр+<1) = Х\ -у- . . . -}- Хр Хр+1 ... X
Следовательно, и оператор
д
дх
P+q-
дол-
жен быть инвариантен относительно таких преобразований.
Единственным оператором, удовлетворяющим этим требо-
требованиям, является оператор
Таким образом,
дх
P+q
/'
дх
¦p + q
*) Во втором выпуске (гл. II, § 4) будет доказано, что обоб-
обобщенная функция, сосредоточенная в одной точке, представляет
собой линейную комбинацию 5-функции и ее производных.
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 329
Коэффициент cjctP,q может быть найден из выражения D1),
если в это выражение подставить какую-нибудь фиксиро-
фиксированную функцию.
Возьмем функцию <р, имеющую вблизи начала координат
следующий вид:
Тогда, как показывают выражения F) и (8), функция ^ (a, to)
имеет в окрестности точки а = 0 вид
4»! (в. tu) = QpQqu*(l~ О*.
Следовательно, согласно формуле A1),
Ф(Х, u) = U f (l-t)x ^)
)x+k t^dtQpQq
т. е.
Ф(Х, «) =
Функция Фх( ^- — k, a\, через которую выражается
(а(&), ср), есть свободный член лорановского разложения
функции Ф (X, а) в окрестности точки X = = k.
Рассмотрим для определенности случай, когда р и
q — нечетные числа. Так как коэффициенты лорановского
разложения функции
в окрестности
Х = y- — k совпадают с коэффициентами лоранов-
Г(Х+1)гШ
ского разложения функции —,—:—-—-—^- в окрестности
Г Х4-^-
= -4. то

330 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
* определяется формулой D2). Формула D1)
2+1 п
дасЛа!
С другой стороны,
Согласно формуле B5), применяемой k раз,
Сравнивая выражения D5) и D6), получим:
g+i
с - <- ^ 3
D6)
?-1
где р п q — нечетные числа.
Таким образом, коэффициент bpq в формуле D4) для
случая, когда р и q— нечетные числа, имеет вид
(—1)
= '
q+l
2
Итак, если размерность пространства п — четное
число, причем р и q —также четные числа, то функ-
функция Рх+ имеет в точке Х =— -^ k (& —0, 1, ..^про-
..^простой полюс с вычетом
выч. Р+ =
(-
Г ( — ¦
р+ч
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 331
Если же р и q —- нечетные числа, то в точке X =
= — ~ — k функция Рх+ имеет полюс кратности 2.
Коэффициенты с^\ и с^{ разложения функции Рк+ в ряд
Лорана
в окрестности точки \ =
лами
= ^- — k выражаются форму-
форму_ (-D * *
Vе 8 (х)
(-D
да
\ ч
2**!Г(»+*)
Г' (х)
где $(х) — пси-функция: ф(-хг) = г (JC) •
Наряду с функцией Р+ можно определить также функ-
функцию Р\ согласно формуле
D7)
—Р>о
Все сказанное выше по поводу функции Р+ остается
справедливым и для функции Р_; следует лишь поменять
ролями числа р и q. При этом в написанных выше фор-
формулах §1*°(Р) заменится на §f}(— Р) = (— 1)к $] (Р).

332 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
3. Обобщенные функции S^x, отвечающие квадратич-
квадратичным формам с комплексными коэффициентами. До сих
пор мы рассматривали исключительно квадратичные формы
с вещественными коэффициентами. В этом пункте мы рас-
рассмотрим пространство всех квадратичных форм
^ 2
Srsxrxs
A)
с комплексными коэффициентами.
Нашей задачей является определение обобщенной функ-
функции 3^, где X — комплексное число. Однако в общем слу-
случае &х не будет однозначной аналитической функцией от X.
Поэтому в пространстве всех квадратичных форм
мы выделим «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм
с положительно определенной мнимой частью и опре-
определим для них функцию е7*х. А именно, если квадратичная
форма <^° принадлежит этой «полуплоскости», то положим
является однозначной
где О < arg еР < тс. Такая функция
аналитической функцией от X.
Сопоставим теперь функции 3^х обобщенную функцию
= f
P dx, B)
где интегрирование ведется по всему пространству. Инте-
Интеграл B) сходится при ReX>0 и является в этой полупло-
полуплоскости аналитической функцией от X. Продолжая аналити-
аналитически эту функцию, мы определим функционал C*х, <р) для
других значений X.
Для квадратичных форм 3й с положительно определен-
определенной мнимой частью мы найдем теперь особые точки функ-
функций 3*х и вычислим вычеты этих функций в особых точках.
Вычисления можно существенно упростить за счет приема,
которым мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.
Обобщенная функция 3>х аналитически зависит не только
от X, но и от коэффициентов квадратичной формы 3°. Тем
31
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 333
самым 3^х является аналитической функцией в верхней
«полуплоскости» всех квадратичных форм вида 3^ = Рх -\-ip2<
где Р2 есть положительно определенная форма. Следова-
Следовательно, Зах однозначно определяется своими значениями на
«мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм
вида 3a = iP2, где Р2 — положительно определенная форма.
Поэтому нам достаточно рассмотреть случай обобщенных
функций вида (iP2)x. Но для этого случая задача была уже
решена в § 3 гл. I, ибо положительно определенную форму Р2
можно всегда невырожденным линейным преобразованием
привести к сумме квадратов.
п
Итак, пусть сначала форма <&" — 2 grsxrxs принадлежит
г, s-=l
«мнимой полуоси». Это значит, что gr8=iars(r, 5=1 п),
п
где ars — вещественные числа, и форма 2 arsxrxs положи-
r, s-l
тельно определена. Тогда
Линейным преобразованием ^=2 агах'а мы можем привести
п
форму 2 arsxrxs к виду r2—xi2-b ••• ~\~х'п- Якобиан
Г, 8 — \
этого преобразования есть ^ где | a \ —дискриминант
п
квадратичной формы 2 arsxrxa:
г, s=l
\а\ =
Таким образом,
ап
%
или
У с-ои1
Гг^ср
dx'.
C)

334 гл. m. специальные типы обобщенных функций
гз
где | g\—дискриминант квадратичной формы &*, а У( t)n\g
донимается в смысле арифметического значения [(—t)n\g
есть вещественное положительное число].
Функционал (г2*, <р) был уже рассмотрен в п. 9 § 3 гл. I.
Согласно приведенным там формулам единственными осо-
особенностями этого функционала, а следовательно и функцио-
функцио^°, ср), являются простые полюсы в точках Х = —,
^' '••' ПРИ этом
нала
n
~2
выч. rzx =
г 4
Следовательно,
хпг п
* *2
выч.
D)
Найдем вычеты функции #"* в других особых точках.
Для этого сопоставим форме <&* дифференциальный оператор
-2
*
где коэффициенты g™ определяются из соотношений
8 = 1
{brt=\ при r = t и 8? = 0 при гфг). Таким образом,
матрица |jg-rs|| коэффициентов оператора L^ является
обратной к матрице Ц^Ц квадратичной формы. Имеем тогда
В справедливости этого соотношения можно убедиться не-
непосредственной проверкой. Применяя это соотношение k раз,
получаем:
3] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 335
откуда
Следовательно,
выч. <^° —
F)
X
1 П 7
X выч.
откуда, применяя формулу D), получаем:
ВЫЧ. еГЛ=-
Г ^
G)
Формула G) получена в предположении, что квадратич-
квадратичная форма #" принадлежит «мнимой полуоси». Полученное
выражение необходимо теперь аналитически продолжить
в «верхнюю полуплоскость» всех квадратичных форм
с?" = Pl-\-iP2 с положительно определенной мнимой частью.
Но аналитическое продолжение оператора Lg, известно,
поскольку его коэффициенты аналитически выражаются
через коэффициенты квадратичной формы е7*. Остается
невыясненным лишь, как продолжить на всю «верхнкИо
полуплоскость» функцию У(—On|g"l- Следовательно, за-
задача будет полностью решена, если мы сумеем определить
У(—Onlif| как однозначную аналитическую функцию
в «верхней полуплоскости» квадратичных форм.
Для этого снова представим форму #" в виде
где Рх и Р2 — квадратичные формы с вещественными коэф-
коэффициентами, причем форма Рг положительно определена.

336 гл. иг. Специальные типы обобщенных функций [3
Существует невырожденное линейное преобразование
s=l
с вещественными коэффициентами, приводящее формы Рг
и Рг к виду:
Вещественные коэффициенты \1г . . ., а„ формы Рг не за-
зависят от специального выбора такого преобразования и
являются, таким образом, инвариантами самой квадратичной
формы &'. Имеем:
где \Ь\ — определитель матрицы
(—0я1 *l = |*I2O —
Положим тогда
а потому
A —КО-
— 0я ki =
1 1\ 2 /Q\
^№") > \Р)
где значения квадратных корней определяются формулой
_ L L
Yz = \z\* e*aTg*, — TC<arg^<TC.
Функция, определяемая формулой (8), будет искомой одно-
однозначной аналитической функцией в «верхней полуплоскости»
комплексных квадратичных форм с положительно опреде-
определенной мнимой частью.
Итак, если
2
Г, 8=1
-^произвольная квадратичная форма с полоокителъно опре-
определенной мнимой частью, то обобщенная функция <^х
является регулярной аналитической функцией от X всюду.
за исключением точек\ = —^~, —-^-—1, ..., —-^- — k,...s
4] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 337
в которых эта функция имеет простые полюсы. При
этом
выч.
¦кпг п
"Т~ _"а
8-1
д% )
/
(9)
\g\ — дискриминант квадратичной формы S? и функ-
функция ]/"(—i)n\g\ определяется формулой (8).
Аналогичным образом можно рассмотреть «нижнюю полу-
полуплоскость» квадратичных форм с отрицательно определенной
мнимой частью.
Если форма
г, s-=i
принадлежат «нижней полуплоскости-», то обобщенная
функция S°x также является регулярной аналитической
функцией от \ всюду, за исключением точек \= — -^-,
— -?¦ — 1,..., — -^- — &,..., в которых эта функция
имеет простые полюсы. При этом
i n \ Те
¦кпг п
5~~ _'3
выч. <^х =
дхгдх„
\r, s=l
(9')
где снова \g\ есть дискриминант формы &* и V~in\g\
выражается формулой, аналогичной формуле (8):
4. Обобщенные функции (Р-\-Щх и (Р — /0)х. Исполь-
Используя результаты п. 3, мы можем теперь изучить любую
вещественную квадратичную форму в степени X.
22 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

338 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Пусть
р=
2
Г, 8 = 1
невырожденная квадратичная форма с вещественными коэф-
коэффициентами. Тогда, по аналогии с функциями (лг-|-/О)х и
(х — /0)\ рассмотренными в § 3 гл. I, мы определим обоб-
обобщенные функции (Р -\- @)х и (Р — /0)х.
Для этого рассмотрим квадратичную форму
где Р' — положительно определенная форма (с веществен-
вещественными коэффициентами). Нетрудно показать, что когда коэф-
коэффициенты квадратичной формы Р' стремятся к нулю, обоб-
обобщенная функция (P-\-iP')x стремится к вполне определенному
пределу. Этот предел мы и обозначим через (P-f-/O)x.
Действительно, это утверждение очевидно при ReX>0,
ибо в этом случае предельный переход можно производить
под знаком интеграла f^axcfdx. С другой стороны, в силу
соотношения F) п. 3
«За 1
оно остается справедливым и во всех точках регулярности
функции S^x*)
Аналогично, обобщенную функцию (Р — ДО)Х мы опре-
определим как предел обобщенной функции (Р— iP')x, где Р' —
положительно определенная форма, когда коэффициенты
формы Р' стремятся к нулю.
Из определения обобщенных функций (Р -\- Ю)х и (Р — Юу-
вытекает, что они являются аналитическими функциями от X
всюду, за исключением точек
X —— — п 1
2' ~~ '
п
~2
*) Мы не останавливаемся на специальном случае, когда
X — целое отрицательное число, не принадлежащее серии особых
точек функции ^°\ Отметим, не проводя доказательства, что в этих
точках функция (Р -|- Ю)х не имеет особенностей.
4]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 339
Нетрудно убедиться также, применяя соотношение F)
п 3, что в указанных точках эти функции имеют простые
полюсы, причем
выч. (Р-Н0)х= нш выч. (P-\-tP%
выч. (Р — Ю)х= lim
выч.
1 п ¦
х-__.
' — IP').
Чтобы отыскать эти вычеты, достаточно поэтому найти
предельные значения функций "|Л(— l)n\g\ и V>|g-|, где
|„| дискриминант соответствующей комплексной квадра-
квадратичной формы Р ± iP', когда Р' обращается в нуль.
Не нарушая общности, можно предполагать, что форма Р'
имеет вид
P' = e(*»-T-...-T-O, e>0.
Тогда выражение для V(—l)n\g\ можно представить в виде
Yl—l)n\g\ =(s —ЛО2 ...(s —iXJ2,
где X .. Хп — собственные значения матрицы формы Р.
Предположим," что форма Р имеет в каноническом пред-
представлении р положительных и q отрицательных квадратов.
Тогда при е ->¦ 0 получаем:
р я.
lira V{—l
т. е.
lim V(—
Wl
гпе Д —дискриминант вещественной квадратичной формы Р.
Применяя теперь формулу (9) п. 3 для выч. <^х. получаем:
x=-f-&
выч.
Х- ---к
Ь(х). A)
22*

340 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Аналогично, имеем:
выч. (Р — *0)х =
8 О).
Г, S=-l
Таким образом, вычетами функций (P-\~iOi)x и (Р — /0)х
в точках Х = ^-, ———1 '——k, ...являются
обобщенные функции, сосредоточенные в вершине конуса
Р=0.
Функции (Р-|-Ю)х и (Р — /0)х выражаются следующим
образом через обобщенные функции Рх+ и Pi, определен-
определенные в п. 2:
(Р + iOf = Р+ -f- е*м Pi, B)
^/^ b\j) — * ~\- —Г"" * • \^ )
В самом деле, при ReX > 0 функционалам (Р+, ср) и (pi, ср)
соответствуют функции
о,
0,
*. = [ °
когда Р >. 0,
когда Р -< 0;
когда Р >¦ 0.
когда Р <; 0.
В этом случае соотношения B) и B') вытекают непосред-
непосредственно из определения функций (Р-|-/0)х и (Р — /0)х-. Но
тогда, в силу единственности аналитического продолжения,
формулы B) и B') остаются справедливыми и при других
значениях X.
Отметим попутно, что в силу соотношений B) и B/),
при Х=0, 1, 2, ... функции (Р-Н0)\ (Р —/0)х и РХ сов-
совпадают.
Установим теперь на основании формул B) и B') связь
между вычетами функций Р+ и Pi при Х = — -|—6
4] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 341
,? __ о, 1, .. .). Лорановские разложения этих функций
в окрестности точки Х = =- — ft имеют вид:
Pi=
-т-....
Согласно B) и B')
10)\
— 2/ sin
2/ sin
C)
Отсюда, используя выражения A) и A') для вычетов
функций (Р-|-гО)х и (Р — г'0)\ получаем: если размерность
пространства п — нечетное число, а также если
п — четное число up, q — четные числа, то с_2 = с'_а =0;
если же р и q—нечетные числа, то
9-1 п ,
где
LP= "S\ gra -A 1 Эти же результаты были уже по-
лв ОХу О Xq
1
Г, 8^1
лучены другим методом в п. 2.
Далее, из соотношения B) имеем:
выч
х = ~"а
откуда
выч.
. (Р-\-ЮУ= выч. Р++- выч. ежиР-,

342 гл. ш. специальные типы обобщенных функций [4
Подставляя сюда выражения для выч. (P-\-iQ)x и c'J^K
х—2~
получаем: если размерность пространства п — нечеткое
число, а также если п — четное число и р, д — четные
числа, то
выч. .
Х--П-*
выч. Рх_ =
D)
же р и q — нечетные числа, то
выч. Р\ -f- e
2+*)"
Х--?--*
выч. Pi = 0.
E)
Отметим, кроме того, что если п— нечетное число,
а также если п— четное число и k <С -к-> т0> согласно
формуле B),
выч. Р+-К—4)& выч. Рх_= выч. (Р-М0)* = 0. F)
Х=& Xft Xfc
Будем предполагать с этого момента, что квадратичная
форма Р имеет канонический вид:
р+1
... X
p+q-
В п. 2 были найдены явные выражения для вычетов функ-
функций Р\ и Pi через обобщенные функции 8(ift)(P), §(i&)(—Р) —
= (—1) §2 \Р) и 8(х). Подстановка этих выражений в ра-
равенства D), E) и F) дает:
где
4] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 343
и ср< qfk = 0, если размерность пространства п — нечетное
ср<
число, а также если п — четное число и k < — — 1; в осталь-
остальных случаях коэффициент ср> ?> к может быть легко под-
подсчитан на основании формул п. 2.
Итак, если размерность пространства п — нечетное
число, а также если п — четное число и к<С~~ 1, по
Si (Р) = §2 (Р). Если же п — четное число, то при
k >- -^ — 1 разность S(i&) (Р) — §2&) (Р) есть обобщенная
функция, сосредоточенная в вершине конуса Р = 0.
Согласно общей теории, которая будет рассмотрена в § 4,
более естественные определения однородных обобщенных функций,
сосредоточенных на поверхности Р — 0, состоят в следующем (см.
ниже, стр. 410):
W Р+) = (—1)& k\ выч. Р\
Х й1 "*"
и аналогично
k\ ВЫЧ. Pi.
l
В случае нечетномерного пространства, а также в случае чет-
номерного пространства размерности п при k<^-= 1, имеем:
= «(*) (Р), &(&) (Р_) = «<*> (— Р);
в случае же четномерного пространства при k^--= 1 разности
и &<7:) (Р) — »№> (— Р)
являются обобщенными функциями, сосредоточенными в вершине
конуса Р = 0.
В силу соотношений D) — F), вала р и q являются одновре-
одновременно четными числами и k ;> -^ — 1. "">
<; п
п
(х);
во всех оке остальных случаях

344 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
5. Фундаментальные решения линейных дифферен-
дифференциальных уравнений. Используем результаты, полученные
в пп. 3 и 4, для отыскания фундаментальных решений
уравнений
Wa = f(x), A)
где L — однородный линейный дифференциальный оператор
вида
вида
L. =^
и k—1. 2, ...
Напомним, что фундаментальным решением уравнения A)
называется такая обобщенная функция К, что
ЬкК = Ь(х). B)
К уравнению A) при k=l приводится, в частности,
любое линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами, содержащее только старшие
производные. Это уравнение обычно называют ультрагипер-
ультрагиперболическим. При р или q, равных нулю, оно превращается
в уравнение Лапласа, а при р или q, равных 1,—в волно-
волновое уравнение.
Решение уравнения B) естественно искать в виде одно-
однородной функции, поскольку оператор L и стоящая в правой
части функция 8 (х) однородны (либо присоединенной к одно-
однородной; см. определение в § 1). Так как после 2&-кратного
дифференцирования функции К получается функция 8 (х),
имеющая степень однородности — я, где п = р -\- q — раз-
размерность пространства, то степень однородности функции К
должна быть равна —n-\-2k.
С другой стороны, уравнение B) инвариантно относи-
относительно линейных преобразований, сохраняющих форму
^-2 v-2
*»
р+1
Xp+q-
Решение этого уравнения будем строить в виде
В п. 4 были рассмотрены однородные обобщенные функ-
функции от Р: (P-j-/O)^ и (Р— /0)\ При Х = — "J-f-^ эти
функции имеют нужную степень однородности —п-\-2k.
ц
5]
§ 2. функции, связанные с квадратичной формой 345
Мы покажем сейчас, что за исключением случая, когда
размерность п пространства — четкое число и &^-^,
.--=-+*
7Ъ
2
каждая из функций (P-f-iO) 2 "л и (Р—Ю) 2 т" является,
с точностью до постоянного множителя, фундаменталь-
фундаментальным решением уравнения Vеи =f(x).
Воспользуемся соотношением, установленным в пп. 3 и 4:
к- О)
=4*(Х+1)...(Х
Отсюда при
L*(P-\-l'
= ту получаем:
п
~Т+
= 4*(l —¦§-) ...(
— 1)!выч. (P-f'0)x. D)
х—?
Отсюда видно, что если размерность п пространства —
четное число и k ^- -~-, то правая часть равенства D)
обращается в нуль, и мы получаем:
т. е. функция (P-j-iO) 2 является решением однород-
однородного уравнения, соответствующего уравнению A).
Во всех же остальных случаях, подставляя в D) выра-
выражение для выч. (Р-р-Ю)х, получаем:
х--
-?)(*-о»

346 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Следовательно, функция
[5
, = r—n*
( 2
является фундаментальным решением уравнения Lku =/(х).
Таким образом, за исключением случая, когда размер-
размерность п пространства — четкое число ц А!>4, функция
E)
аналогично, функция
Кг=(—1)к
п
. 2
-Ю)
(б')
( )
являются фундаментальными решениями уравнения
— f(x). Если оке п — четное число и к^--^-, то функ-
-—+k
аия(Р-\-Ю) 2
, .., =(P—«0) 2 является решением соот-
соответствующего однородного уравнения Lku — 0.
Заметим, что фундаментальные решения К\ и Кг ком-
комплексно сопряжены.
Формулы E) и E') представляют собой наиболее удобное
задание фундаментальных решений уравнения Lku = f(x).
Можно было бы искать вещественные фундаментальные реше-
решения этого уравнения, комбинируя вещественные и мнимые
части функций К± и /С2. Однако в зависимости от того,
четна или нечетна размерность пространства п, а также
четны или нечетны числа р и q, формулы для вещественных
фундаментальных решений уравнения Lku =f(x) оказываются
при этом существенно различными.
Формулы для фундаментальных решений Кх и К2 урав-
уравнения Lka = f(x) можно преобразовать, выразив эти функции
непосредственно через обобщенные функции Р\ и РХ-.
5] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 347
Воспользуемся для этого формулами п. 4, выражающими
функции (Р-\-Ю)х и (Р — Ю)х через функции Р+ и Р\. Если
размерность пространства п нечетна, то функции Р\ и Р\
регулярны при Х = — — -\-k, и мы получаем:
F)
Если же п. — четное число и k<^-^-, то функции Р\
и Р_ имеют в точке X — ^--\-k простые полюсы с вычетами
выч.
—Г+
-
= (— I)
(-1)'
ВЫЧ. Р- =
= --?-+&
:f-*-o,
2 и Р2 свободные члены лора-
Обозначая через Р+ _д р
новских разложений функций Рх+ и РХ- в окрестности точки
X — — ^--\-k, получаем:
G)
Из формул F) и G) вытекает, в частности, что функ-
функции К\ и Кг линейно независимы. Обобщенная функция К\ — Кг
является при этом решением однородного уравнения Lku — 0,

348 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Рассмотрим, наконец, особый случай, когда размерность
пространства п — четное число и k^^-. Разлагая функцию
(P-{-iO)x+k в ряд Тэйлора в окрестности точки Х== — -^-,
имеем
Подставляя это разложение в равенство C) и сравнивая
затем коэффициенты при X-f--^- в левой и в правой частях
этого равенства, получаем:
= 4*(— 1)» '(-|
—1)!выч.(Р 4-/0L
Подставляя сюда выражение для выч. (Р-\-Ю)х, мы уста-
х_ п
Х___Т
новим, что в случае пространства четной размерности п
фундаментальным решением уравнения Lku — f(x) при
' ^ -к- является присоединенная функция
*
Аналогично, другим фундаментальным решением уравне
ния Lku = f(x) является в этом случае функция
п
-о-а*
(Я—/0) "+*1п(Р —/0).
Отметим, что формулы для фундаментальных решений
уравнения Lku=f(x) сохраняют смысл и в том случае.
б] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 349
когда L—произвольный линейный однородный дифферен-
дифференциальный оператор 2-го порядка
п
Л
Г, 8 = 1
дхгдх8 '
В этом случае под Р следует понимать квадратичную форму
вида
Г, S —1
п
где 2 grstf* — &r(r> t=l, . ., п). В выражении для коэф-
s=l
фициента при (P-\-iQ) 3 ' и (Р — /0) 3 при этом доба-
добавится в качестве множителя |/^|Д|, где Д — дискриминант
квадратичной формы Р.
Например, фундаментальными решениями уравнения
u = f(xu х2, х3)
являются функции
6. Преобразования Фурье функций (Р-{-гО)х и (Р—/0)х.
Для отыскания преобразований Фурье функций (Р-)-/0)х и
(Р—/0)х применим идею аналитического продолжения по
коэффициентам квадратичной формы, развитую нами в п. 3.
Пусть
I A)
—квадратичная форма с комплексными коэффициентами, при-
причем Im S° есть положительно определенная форма, т. е. Im as>0
(s = 1, . . ., п). Обобщенная ' функция <^°х, а потому и ее
преобразование Фурье #"х, являются аналитическими функ-
функциями от at ara в области Im as > 0 (s^l, ..., п).

350 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
Для отыскания ^ достаточно поэтому рассмотреть случай,
когда все коэффициенты as — мнимые числа: a.s — ibs, причем
^s > 0 (s=l, .... га). Но в этом случае
После соответствующей замены переменных получаем:
где /* = *»4- ... +х*п.
Преобразование Фурье обобщенной функции гх было
вычислено в п. 3 § 3 гл. II. Используя полученную там
формулу, имеем:
ИЛИ
r
Y— ta
_ /«„ r (
— X) \аг anj
2\ -*•—3"
B)
В силу единственности аналитического продолжения,
формула B) остается справедливой для произвольной квад-
квадратичной формы вида A) с положительно определенной
мнимой частью; при этом значения квадратных корней
1 1
выражаются формулой V z =
_ J-iargs
Заметим, что
квадратичная форма ——(- ... +— имеет отрицательно
определенную мнимую часть.
Пусть теперь
6] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 351
Выполняя в формуле B) предельный переход, мы получим
при ах= ... =ар=1, ар+1= ... =
Г(-Х)
(Q— Ю)
п
Т
и аналогично
F[(P — /0)М =
X)
(Q4-/0)
C)
C0
Применяя формулы A4) п. 3, получаем также после эле-
элементарных преобразований коэффициентов:
р\ =
X ?
х
X
2/ L?
fjX
' —^a (Q
-х-
-1
D)
D0
Отметим, что формулы преобразований Фурье, полученные
здесь, остаются справедливыми и для случая, когда Р—про-
Р—произвольная вещественная невырожденная квадратичная форма
2 ga?a?
а, C = 1 Р Р
В этом случае под Q следует понимать сопряженную квадра-
квадратичную форму
п
где 2 ^аз^"Рт ~К (а, т = 1 /г.). Кроме того, во все
ii=i
формулы следует добавить справа в качестве дополнитель-
дополнительного сомножителя , где Д — дискриминант квадра-
квадратичной формы Р.

-т
352 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
7. Обобщенные функции, связанные с функциями Бес-
Бесселя. Рассмотрим класс обобщенных функций вида<^°х/(<^Д),
где f(z, X)— целая функция от z и X, а &" — комплексная
квадратичная форма с положительно определенной мнимой
частью. Эти обобщенные функции при ReX>>0 опреде-
определяются равенством
(х)) =
. X) <р (х)
A)
Очевидно, что ^xf(^, X) при ReX>—1 является аналити-
аналитической функцией от X. С помощью аналитического продол-
продолжения мы определяем обобщенную функцию SP^ffJF, X) и
для других значений X. Аналогично определяются функ-
функции ^Чп*^"/^. X).
Нетрудно показать (исходя, например, из разложения
функции f(z, X) в степенной ряд по z), что для любой
вещественной квадратичной формы Р существует предел
i0, Х) = lim
Р,->0
i. X), B)
где Pt—положительно определенная квадратичная форма.
Совершенно аналогично определяется для любой веще-
вещественной квадратичной формы Р обобщенная функция
— tO, X).
Очевидно, что если форма Р положительно определена, то
Я). х) = Р*/(Р. X).
Кроме того, так как для всех целых положительных значе-
значений га справедливо равенство
то
(Р -(- /0)п = (Р — toy* = Р",
/(Я-НО, Х)=/(Р —/О, Х) = /(Р, X).
Выразим теперь обобщенные функции (Р-(-/0)х/(Я, X)
и (Р — iO)xf(P, X) через аргументы Р+ и Р_. Для этого мы
заметим, что, как показано в п. 4,
= Рх+ -j-
(Р
7] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 353
Так как
Р\/(Р, Х) = РХ+/(Р+, X) и PX-f(P. Х) = РХ_/(Р_, X),
то отсюда следует, что
(Р-Н0O(Р. Х) = рх+/(Р+, Х) + ^РХ_/(Р_, X) (з)
и
(Р —/0)х/(Р. Х) = РХ+/(Р+, Х) + е-итеРх_/(Р_, X). D)
Определенный нами класс обобщенных функций доста-
достаточно широк. К нему принадлежат, в частности, такие
L --
обобщенные функции, как &*JX{&*'") и ^ *А(&\ г^
jx(z) — бесселева функция. В этом легко убедиться, рас-
рассматривая разложение
/
E)
бесселевой функции в степенной ряд.
Наряду с функцией Jx(z) мы будем рассматривать функ
ции Nx(z), Нф(г), Нф{г). Ix(z), Kx(z), которые при неце
лых значениях X определяются формулами:
^ & = li [cos X*h {Z) ~ J-* (Z)]'
_
= e 2 Jx(iz),
Значения этих функций при целых значениях X определяются
с помощью предельного перехода по X.
23 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Dbin. I

354 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[8
Разложения функций Nx(z'h), Н{ (z1*), H[\z'*), /x(z''%
/Cx (У1'3) в степенной ряд при нецелых значениях X легко полу-
получаются из разложения E) функции Jx (z). При этом оказывается,
что эти функции принадлежат к рассматриваемому нами
классу функций, что позволяет ввести такие обобщенные
х
функции, как Kx[(.P-hi0yl (P-\-tQ)~
и т. д.
8. Преобразования Фурье обобщенных функций
(c2-\-.P-\-i0)x и (c2-{-P — i0)K Мы видели уже в п. 6 § 2
гл. II, что преобразования Фурье обобщенных функций
(х2—1)х, A—х2)х, (l-f-.r2)x выражаются через бесселевы
функции. В этом и следующем пунктах мы покажем, что
то же самое имеет место и для преобразований Фурье обоб-
обобщенных функций (ся-\-Ру-+ и (сг-\-Р)\_, являющихся «-мер-.
ным'И аналогами обобщенных функций (х2 — 1)х, A — х2)х,
A+*2)х-
Начнем с рассмотрения обобщенной функции (с2-\-Р)х
для положительно определенных квадратичных форм Р. Пре-
Преобразование Фурье обобщенной функции (с2~\-РI при
ReX<— — задается интегралом
F [(с2 + Р)х] = J (с2 + Р)х ei <¦*- в> dx.
A)
где (дг, 5) = xisl -J- . . . -f- xnsn.
Рассмотрим сначала случай, когда форма Р имеет кано-
п
нический вид 2 х\- Очевидно, что в этом случае обобщен-
обобщенная функция F 1(с2-\-Р)х] зависит только от \s\ — длины
вектора s. Поэтому, не теряя общности, мы можем считать,
что вектор s имеет вид s=(js|, 0, 0, .... 0), и, следова-
следовательно, интеграл A) имеет вид
l'a\dx,
где ReX< —-к-.
8] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 355
Для вычисления интеграла B) перейдем к полярным
координатам. Проинтегрировав по углам ср2, .... сри-1 и при-
1
няв во внимание, что 2W^1==- у . , мы получим, что
Г()
интеграл B) равен
—,и—1
^ f f(c2-\-/-2)
2—;° °
Но известно, что
- feiru
/?
2 \x+1 cY
—
Поэтому интеграл B) равен при Re X <; — — следующему
выражению:
(с2 -\-1 х l2^ е™< |5' dx =
j
Г(-Х)
C)
При остальных значениях X справедливость формулы C)
устанавливается с помощью аналитического продолжения
по X.
Чтобы получить формулу для преобразования Фурье
любой положительно определенной квадратичной формы,
запишем равенство C) в виде
[
{с2
х \2I е1 (*. *) dx —
Г(-Х)
D)
23*

356 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
(дискриминант Д квадратичной формы |л"|2 = 2 х\ равен
единице ). При преобразовании координат, переводящем
п
форму |дг|2 в форму Р= 2 gkrxkxr> выражение
к, г=1
остается инвариантным, а квадрат длины вектора s из
п
сопряженного пространства принимает вид 2
n
к, r=l
Q= 2 5*/'5л5г —квадратичная форма, двойственная форме
й, г=1
п
P = ^j gkrsksr ) • Поэтому при таком преобразовании коор-
й, /-=1 /
динат равенство D) переходит в равенство
/¦
1 (— А)
Q
Полученный результат можно сформулировать следующим
образом.
Пусть Р — положительно определенная квадратичная
форма, a Q — двойственная ей форма. Тогда преобразо-
преобразование Фурье обобщенной функции (с2-\-Р)х равно
E)
где Д — дискриминант формы Р.
Пусть теперь Р — произвольная вещественная квадра-
квадратичная форма. В этом случае мы будем рассматривать обоб-
обобщенные функции (с2-f-P + *'0)x и (с2-\-Р — Ю)\ определяе-
определяемые соответственно равенствами
(c2-\-P-\-i0)x=\im(c2-irP^rieP1)x F)
(с2-{-Р
= lim (с2 -\-Р
е->0
G)
8]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 357
где s >• 0, а Ях — положительно определенная квадратичная
форма. Существование пределов F) и G) при с = 0 было
доказано в п. 4, а существование их при с Ф 0 следует из
отсутствия особых точек на поверхности с2-{-Р := 0.
Если квадратичная форма & изменяется в «верхней полу-
полуплоскости», то двойственная ей форма Q изменяется
в «нижней полуплоскости». Поэтому в силу единственности
аналитического продолжения из формулы E) следует, что
_ Л+х Г II
2я) с2 Кп Lc(Q — /0JJ
2+Х
г(-х)Уд I
(Q — Ю) а
(8)
Через У^Д в формуле (8) обозначено аналитическое про-
продолжение ветви этой функции, принимающей положитель-
положительные значения для положительно определенных квадратичных
i
форм *). Отметим, что |/гД = |/г|Д| е 2 , если каноническое
представление формы Р имеет q отрицательных членов.
Аналогично доказывается, что
Кп
—/0)x] =
(9)
_qi
В этом случае имеет место равенство угД = |/г|Д| е а, где
q — число отрицательных членов в каноническом предста-
представлении формы Р.
Выразим теперь обобщенные функции F [(с2-{-Р-\~ iQ)x]
и F[(c2-±-P — iO)x] через обобщенные функции Q+ и Q_.
Используя разложение Kx(z) в степенной ряд и формулу D)
*) Аналогичное аналитическое продолжение было подробно рас-
смотренно в п. 3, и мы не проводим соответствующих рассмотрений
в этом месте.

358 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
из п. 7, мы получаем после несложных преобразований:
К
L Q1
4--
• 9
//A)
A0)
Г(-Х)У|Д
Формулы A0) и A1) значительно упрощаются, если
форма Р знакоопределена: если Р — положительно опре-
определенная форма, то в квадратных скобках остаются лишь
первые слагаемые, а если Р — отрицательно определенная
форма, то лишь вторые слагаемые.
9. Преобразования Фурье обобщенных функций
(с2-{-Р)х+ и (с2-{-Р)\. Рассмотрим теперь обобщенные фун-
функции (с2-\-Р)х+ и (с2-\-Р)х_. Они являются линейными ком-
комбинациями обобщенных функций (c2-{-P-\-i0)x и (с2 -\-Р — '10)К
Поэтому их преобразования Фурье являются линейными
комбинациями преобразований Фурье обобщенных функций
(с2 + Р + iQ)x и (с2-\~Р — '0)\ а именно:
~/0)x]} A)
I
2 sin \п
B)
9]
§ 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 359
Подставим в эти формулы вместо F {(с2 -\-Р -(- /0)х] и
F [(с2-{-Р — Ю)х] выражения (8) и (9) из п. 8. Мы получим:
п п п
X
У1Д| i
(„ [с (Q-/O)?j
—е
(Q —
(Q
C)
X
X
• Г(С2
1
D)
Можно выразить обобщенные функции —и
F\(c*+PL . (Х+ }
• г /^ i }ч через обобщенные функции Q+ и Q1. Для
этого надо подставить в формулы A) и B) вместо
F [(с2 Н- Р Н- ВД и F[(c2H-P — ВД выражения A0) и A1)
из п. 8. При этом мы получаем
X
У|д
X
К
2 sin X 4- 4г
X
X
Q1
Ql
¦ E)

360 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
Через р в этой формуле обозначено число положитель-
положительных членов в каноническом представлении формы Р,р -\- д — п.
F[(c* + P)x_]
Формула для —г n -l 1) получается из формулы для
—р/^_1_ }ч заменой sin(X-|--§-)TC на—sin у тс и sin ~- на
— sin (X-|--f-)TC- Она имеет вид
к
sin
2 sin
sin —¦¦
F)
Если в формулах C) и D) положить с = 0, то эти фор-
формулы перейдут в выведенные в п. 6 формулы E) и F) для
Рх+ и Рх_. Частными случаями этих формул являются уста-
установленные в п. 6 § 2 гл. II формулы для преобразований
Фурье обобщенных функций A—д:2)\ A -f-jc2)x, (л;2—1)х.
10. Преобразования Фурье обобщенных функций
при ^елых значениях X. Преобразо-
Преобразои
n-j-n и Т(Х-\-1)
вания Фурье обобщенной функции Ь{с2-\-Р) и ее произ-
производных. Выведенные в п. 9 формулы преобразований Фурье
(с» + Р)\ (с2 + Р)\
обобщенных функций г ^ и г ^ . ^ требуют дрпол-
10] § 2. функции, связанные с квадратичной формсй 361
нительного исследования при целых значениях X. Это свя-
связано с тем, что обобщенные функции
U«?+/O)aJ Kn [c(Q-iOJ\
кп Lc «? + *>)
(Q + гОJ Va ' (Q — /0
имеют полюсы при целых значениях X.
Обобщенная функция
следующим разложением:
[с (Q + Ю)?]
(Q + /0)
определяется
^
%+>¦
¦X
X
_m=0
-У
(r
• A)
Но согласно п. 4 обобщенная функция (Q + tO)x имеет
при Х== 2- — & полюс с вычетом *)
выч.
х=-!-*
1
*) Дискриминант формы Q равен -д-, где Д — дискриминант
формы Р.

362 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
Поэтому обобщенная функция
(Q +
ИМееТ
. = s, s >• 0 полюс с вычетом
Кп Lc(Q-hiO)*
выч.
Lmo(x), B)
т—0
где положено
& дхг dxt
Г, С=1
(при вычислении вычета мы воспользовались известным соот-
ношением Г(л)ГA —х) = - ).
Найдем теперь правильную часть обобщенной функции
при \ — s. Это легко сделать, если п —¦
нечетное число. В этом случае правильная часть обобщен-
ной функции
при X = s является суммой
«?
10] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 363
двух, слагаемых. Первое из них выражается рядом A) при
X=s, в котором под (Q-f-j'O) 2 при т ^ s понимается
значение правильной части обобщенной функции (Q —J— /0)х
при Х = — s „--{-т. Второе слагаемое имеет вид
где
т=о
(_!)*» ( с\-т-1 d
(I)"'
Эту правильную часть мы обозначим через •
Несколько сложнее обстоит дело при четных значениях п *).
В этом случае определим обобщенную функцию
Кп
iO)
aJ
*) Разложение A), определяющее обобщенную функцию
Ки.ч Lc@+.iO)"J
, теряет при этом смысл.
(Q

364 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
как сумму двух слагаемых, из которых одно опять равно
2 ат$т> а второе есть сумма ряда
т=0
<-.)*"(.
2+5
2 ~ V a
@ 4-
n
та ¦5"+*
/сЧ
Ы
<-!)»(«-1I/ с
2 \2
=i ^y+s —/nj
n ,\
/ с
Ю)т, C)
где у — постоянная Эйлера, а Лт= V—.
Как и выше, здесь под (Q-{-iO) m, т~^>-^, понимается
правильная часть обобщенной функции (Q-(- Щх приХ =— т.
Г. I]
*я U@4-«)aJ
Обобщенная функция
равна значению пра-
пра^
вильной части обобщенной функции
к2 (г
при X = s.
Рассмотрим теперь обобщенную функцию
К [с Q Ю '
(Q + /0)8 ^2 >
при целых отрицательных значениях X, Х = — s. В этом
10] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 365
1 ¦
Кп
случае она равна
1 /та
(
(О + «>)
1 /та \
Т ( ~S)
Кп
, где при нечетном зна-
определяется
1 /П
7 ^
чении п обобщенная функция -
@ 4-ЙI
рядом A), а при четном значении п — рядом C).
Аналогичные утверждения справедливы и для функции
Г 1
Кп Ь (Q — й)
—^ —- с той лишь разницей, что вычет этой
функции при X = s равен
Г Т
кп U(o — щ .
выч.
(О —
2 2
-гг) е
-2т
Amm\ (s—
E)
Мы можем теперь перейти к рассмотрению обобщенных
р Г(С2 _|_ p-f 1 р Г(с24- Р)\.]
функций —г пл- П и —г ал. п ПРИ целых значениях X.
Если Х = — s, где 5 — целое положительное число, то левая
часть равенства C) из п. 9 обращается в &^~1)(с24- Р)-
Поэтому из формулы C) п. 9 следует, что
та п . та
X
- (—-Л
1_ /та
,?
(¦"О
F)

- i
366 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В частности, имеет место формула
[10
Via г
X
п -
(Q -
¦ G)
Рассмотрим теперь целые положительные значения s.
Имеет место формула
*та
_?l_
X —s
-4-....
где через сх обозначен вычет обобщенной функции
Кп [с (Q + Ю)"J
(Q -f l°)i к J
в точке X = s, а невыписанные члены стремятся к нулю
при X —у s. Аналогично,
Кп
"(О —«))aVa ; @-
где сг — вычет обобщенной функции
в точке X = s.
И
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
367
Подставляя эти разложения в формулы C) и D) из п. 9
и переходя к пределу при X—>-s, мы получаем:
п та , та
X
>*]
X
¦ Кп le (Q +
•Ч
(О
х
X
X
С„ U(Q —Ю)а| /с» Le@ + »JJ
(Q-iO
— т}\
(9)
Из формул (8) и (9) следует, что
/я=0
— /и) !
A0)
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
1, Введение. Мы встречались уже с различными типами
обобщенных однородных функций в главе I (§ 3—4),
а также в § 2 этой главы. В этом параграфе мы рассмотрим
произвольные обобщенные однородные функции любой степени
в «-мерном пространстве.
Напомним, что обобщенная функция /(х) — /(хи . . ., хп)
называется однородной функцией степени X, если при
любом а >¦ 0
/(се*!. .. ., оаги)=ах/(*1» ¦••. хп) A)

366 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ .[10
В частности, имеет место формула
X
«? —
— (——l ^
1 /П
Рассмотрим теперь целые положительные значения
Имеет место формула
Kn
fO)
»J
X —s
где через сх обозначен вычет обобщенной функции
*»
в точке X==s, а невыписанные члены стремятся к нулю
при X—>s. Аналогично,
К
п [c(Q-iOJ\
~ X —s ~t"
(О —
где с2 — вычет обобщенной функции
К
(Q
в точке X = S.
1]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
367
Подставляя эти разложения в формулы C) и D) из п. 9
и переходя к пределу при X—>s, мы получаем:
X
X
(О-
(8)
Г E+1)
X
(<?+й>)"
Н-B«)" 2
—2/ге
Из формул (8) и (9) следует, что
/7Z—0
4шт! (s — т) !
A0)
§ 3„ ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение. Мы встречались уже с различными типами
обобщенных однородных функций в главе I (§ 3—4),
а также в § 2 этой главы. В этом параграфе мы рассмотрим
произвольные обобщенные однородные функции любой степени
в я-мерном пространстве.
Напомним, что обобщенная функция f(x) = f(xt, .. ., х„)
называется однородной функцией степени X, если при
любом а > 0
.*., хп) A)

368 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
или, что то же,
[1
/> *(* Хп))- B)
В частности, обычной непрерывной при х Ф О однород-
однородной функции /(х) степени X с Re X >—л соответствует
обобщенная функция
= ff{x)<?(x)dx,
которая также является однородной функцией степени X.
Если же /(х) обычная однородная функция степени X
с Re X ^ — п, то ее особенность в начале координат не
интегрируема, и вопрос о том, можно ли этой функции
сопоставить ее регуляризацию, которая была бы также одно-
однородной функцией степени X, требует специального рассмо-
рассмотрения. Подчеркивая это, мы будем называть такую (обыч-
(обычную) функцию /(х) формально однородной.
Нам понадобится в дальнейшем следующее свойство,
характеризующее обобщенные однородные функции степени X.
Для того чтобы обобщенная функция f была одно-
однородной степени X, необходимо и достаточно, чтобы она
удовлетворяла уравнению Эйлера
I»
ZiXi'dx~i =
C)
Доказательство. Заметим прежде всего, что в при-
применении к любой основной функции ср (х) это уравнение
записывается в виде
т. е.
D)
Пусть обобщенная функция /—однородная степени X:
^)) = ях+и(/. «pto xj).
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
369
Продифференцируем это равенство по а. При этом слева,
как нетрудно проверить, операция дифференцирования пе-
переносится на основную функцию, и мы получаем:
1(/, «ре*,, .... хп)\
Остается положить а=1, чтобы прийти к равенству D).
Обратно, пусть обобщенная функция / удовлетворяет
уравнению D). Рассмотрим дробь
Л+п
при й > 0. Дифференцируя ее по а, из условия D) полу-
получаем, что производная равна нулю. Значит,
Л+п
= const =
!¦•••. *п))
a" ' '" 1
т. е. / — однородная функция степени X.
2. Положительные однородные функции нескольких
независимых переменных. Рассмотрим непрерывную одно-
однородную функцию первой степени от хх, х2, ..., хп, поло-
положительную во всем пространстве, за исключением начала
координат; например, г = У х\-\- х\ -\- ... -\-Хп или во-
вообще Р2т (хг, х2, ..., хи), где Р(хг, х2, ..., хп)— поло-
положительно определенная форма степени 2т. Обозначим эту
функцию через /(xt, х2, ..., хп) и для Re X > — п рас-
рассмотрим обобщенную функцию
(X), ср (X) ) = J> (X) ср (X) dx.
A)
Здесь ср (х) = ср (хг, х2, .... х„), как обычно, — основная
(т. е. финитная бесконечно дифференцируемая) функция.
Легко проверить, что для тех X, для которых интеграл схо-
сходится, формула A) определяет однородную обобщенную функ-
функцию степени X, аналитически зависящую от X. Покажем,
что обобщенная функция /х допускает аналитическое
24 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

370 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[2
продолжение во всю плоскость комплексного перемен-
переменного X, за исключением точек Х =— п, ...,—п— k, ....
в которых /х может иметь простые полюсы.
Полученная обобщенная функция является регуляризован-
ным значением интеграла \ fxydx (см. гл. I, § 1, п. 7), и
так как регуляризованное значение интеграла при Х> — п.
совпадает с обычным интегралом, то мы сохраним для регу-
ляризованного значения интеграла обозначение Гf\dx.
Для доказательства сформулированного утверждения выбе-
выберем в «-мерном пространстве произвольную область G
с гладкой границей Г, содержащую начало координат, и
представим интеграл A), где ReX >—п, в виде
(Л ?) = J> (*) [<Р (х) — <р @) ] dx -Ь
° +/ /*(*)?(*)<**+ ?«))//*(*)** B)
R-a а
(R — О — дополнение к области О). Преобразуем Гfx{x)dx.
Так как /х(х)— однородная функция степени X, то
и, следовательно,
п
a 7c=i о
Проинтегрировав по частям по соответствующей переменной
каждое слагаемое правой части, получим, что правая часть
формулы C) может быть представлена в виде
1 Г
-у- / /Л (х) [х^ dx2 . . . dxn — х2 dxx dx3 . . . dxn -|- . . .
г n
... ±xndxt ... dx^l— T
(Г — граница области О) и, значит,
в
n~ ... ± xndx1. ..dx^j]. D)
2]
§ 3- ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
371
а
Подставляя найденное значение / fx(x) dx в формулу B),
мы получаем:
(Л <Р) = J> W t? W — <р @) ]
а
+ / /^ (х) ср
R-a
n—... ±xndxl...dxn_1].E)
Так как /х (х) — однородная функция степени X, а <р (х) — ^ @)
имеет при х = 0 нуль 1-го порядка, то первый интеграл
правой части сходится для ReX>—п—1. Второй и тре-
третий интегралы сходятся для всех X, так как при интегри-
интегрировании исключена окрестность начала и <р (х) финитна.
Таким образом, правая часть формулы E) имеет смысл
при ReX> — п—1 и представляет собой аналитическую
функцию X, первый полюс которой зависит от размерности
пространства, а именно находится в точке Х= — п.
Формула B) дает, следовательно, явный вид аналити-
аналитического продолжения обобщенной функции j fx(x)<?(x)dx
на область ReX> — п — 1, X Ф—п. Прежде чем перейти
к- дальнейшему аналитическому продолжению функции, изу-
изучим более подробно важный для дальнейшего вычет при
Х== — п. Вычет I /x (x) <p (x) dx в точке Х = — п, как это
видно из формулы E), равен
<р@)/-
dxn —
± хп
dxn-
п-х
F)
Будем в дальнейшем дифференциальную форму
хх dx2 . . . dxn — х2 dx^ dx3 . . . dxn -(-... ± xra dxx. . . dxn_x
коротко обозначать ш. Легко проверить, что если а — эле-
1 Г
мент поверхности, то — /со есть ооъем конуса с верши-
ной в начале координат, опирающегося на площадку а.
Предположим, что поверхность Г задается уравнением Р (х) = 1,
где Р (х) — вспомогательная однородная функция размерности 1,
24*

372 гл. т. специальные типы обобщенных функций [2
и покажем, что тогда форма <о связана с поверхностью Р (х) — 1=0
в смысле п. 2 § 1. Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить,
что в точках поверхности Г
dP • ш = dxx ... dxn.
Подставим сюда dP = ^— dxt +...-(- ^— dxn и выражение
ОХХ ОХ
формы ш. Используя правила
получаем слева
( дР
/) и dXidxt = 0,
дР
Р \ .
- xnj dxt .
По формуле Эйлера величина, стоящая в скобках, есть просто Р
и остается воспользоваться тем, что Р = 1 на поверхности Г.
Вычет функции Г/Х(х) ср(х) dx при Х = —п запишется
коротко в виде
Выражение G), будучи вычетом аналитической функции,
не зависит от выбора поверхности Г *). Следовательно,
/ fn°( определяется значениями функции f~n (х) в любой
г
окрестности начала координат.
Мы назовем величину / нш вычетом (обычной одно-
J I (х)
родной степени — п) функции f~n (x) в начале коорди-
координат. (Подчеркнем, что он не совпадает с вычетом анали-
аналитической обобщенной функции /х в точке X = — п: послед-
8 (;с).) Отметим, что если вычет функции
ний равен
fn{x)
/ (х) в начале координат равен нулю, то аналитическая
обобщенная функция /х(х) не имеет полюса при Х = — п;
в силу предложения 4 из п. 1 формула E) определяет тогда
при X = — п однородную обобщенную функцию степени — п.
Это обстоятельство мы будем иметь в виду в следующем
пункте этого параграфа.
Вычет однородной функции степени — п имеет простой
геометрический смысл. Действительно, выберем в качестве
*) Мы предоставляем читателю доказать это непосредственно
2]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
373
замкнутой поверхности Г поверхность уровня /(х)—1.
Тогда вычет перепишется в виде Г са. Поскольку Г са есть
г <т
/г-кратный объем конуса, опирающегося на площадку а,
мы получаем, что вычет функции f~n (х), т. е. Г " равен
г
nV, где V — объем области /(х)<! 1.
Перейдем теперь к дальнейшему аналитическому про-
продолжению интеграла. Тем же самым способом, что и ранее,
вычитая из ^ (х) и Добавляя дальнейшие члены ее ряда Тей-
Тейлора, можно получить формулу, аналогичную E) и даю-
дающую аналитическое продолжение нашей обобщенной функции
в полуплоскость ReX>—п — k — 1. Для этого нужно
только преобразовать интегралы вида
(*)*? ••• xlndx.
подобно тому как это сделано для
ffx(x)dx.
в интегралы по поверхности Г, ограничивающей G, поль-
пользуясь однородностью функции /х (х) x"i . . . хпп. Окончатель-
Окончательная формула будет иметь следующий вид:
-@) —
1
*-....-V»-
|@)
• +*п=к
dx 4-
f
ш=0
ml (к
m)
@)
X
X /V'
г
X*»

374 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[2
Из этой формулы следует, что Г/х (х) <р (х) dx предста-
представляет собой аналитическую функцию для ReX> — п — k — 1,
\ф—п, —п—1 —п— k (при Х =— п — k — 1
перестает сходиться первый интеграл). В точках Х =— п—т
(т = 0, 1 k) J fx(x)<?(x)dx имеет простые полюсы,
вычеты которых очевидны из последнего слагаемого фор-
формулы (8). А именно, вычет обобщенной функции /х (х) при
X — — п— т равен
(-1)"
дт 5 (х)
1 • •• ЛП
(9)
Таким образом, для обобщенной функции /х (х) справедливы,
например, соотношения:
Нт
я)
i = 8 (х) j -
J i
Нт
дЪ(х)
дхп
И Т. Д.
С х^ ... х„п
Интеграл / ~п+т ¦м не зависит от выбора поверх-
поверхности Г. Если принять за Г поверхность /(jc)=l, то мы
получим для этого интеграла выражение Г xf . . . х^п со, рав-
ное с точностью до множителя одному из моментов т-го
порядка области, ограниченной поверхностью /= 1.
Это доказывается следующим образом. Рассмотрим момент
области /<^ 1, равный интегралу
/= f x?...x*»dx.
2)
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
375
Введем в области /<! 1 новые координаты и± =/, и3 ип с яко-
якобианом D ( )Ф 0. В этих координатах
= D I )
dx
dut
... dun.
Обозначим
... dun;
на поверхности /=1 эта форма совпадает с рассматриваемой
в тексте. Запишем интеграл / в виде
— С С х ха"
dc.
О /=?
Очевидно, что внутренний интеграл есть однородная функция аргу-
аргумента с степени ах -\- ... -f- ап — п -\- 1. Значит,
f=c
так что
/ am
*? ... xnn<» J са*+---+ап
/=1 0
Г^ x-ndx 1 /V. ХЯпш
I X,' . . . Х„ UX — j — pr- / Ai . . . Xn a).
Таким образом, вычет обобщенной аналитической функ-
функции fx (х) в точке X = — п — т представляет собой
линейный дифференциальный оператор т-го порядка от
Ь (х) с постоянными коэффициентами. Коэффициенты
с точностью до множителя, не зависящего от f, равны
всевозможным моментам т-го порядка области, ограни-
ограниченной поверхностью /— 1.
Интегралы
/
п+т
(X)
мы аналогично предыдущему назовем вычетами (обычной
однородной степени — п — т) функции f~n~m (x). Вычет
обобщенной аналитической функции fx(x) в точке Х =

376
ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
— —n — m равен их линейной комбинации с коэффициен-
-1)ш дтЪ (х)
тами
ml
Если все вычеты обычной одно-
родной функции f~n"m (x) равны нулю, то по формуле (8)
при к== — п— т ей отвечает обобщенная однородная
функция степени —п—т. Это обстоятельство мы будем
иметь в виду в п. 5 этого параграфа.
Для вычисления обобщенной функции fx при Re X <— п
можно дать вместо формулы (8) более удобную и сим-
симметричную формулу. Для этого заметим, что при Re к <
<—п — k интегралы вида
A0)
R-Q
сходятся. Граница области R — О есть та же поверхность Г
(граница О) с противоположной ориентацией, и поэтому,
преобразуя интеграл A0) в поверхностный, мы получим:
(х)
Заменяя, таким образом, в формуле (8) поверхностные
интегралы по Г интегралами по области R — О и объединяя
затем все интегралы в один, мы получим для регуляризо-
ванного значения интеграла представление
ffx (х) ср (х) dx = У"/* (х) [ср (х) — ср @) — ...
—-I V ra' dV0) -| ^
... ^| ^j xi ... xn» — ах, (i i)
справедливое в полосе — « — & — 1 <ReX< — я — fe.
Заметим, что если Ф (х)—произвольная обычная одно-
однородная функция степени X (не обязательно знакоположи-
знакоположительная), имеющая особенность только в начале координат,
и —п — k—l<ReX<—п — k, то формула A1) приме-
применима для регуляризации интеграла
J Ф (х) ср (х) dx.
3]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
377
Получаемый при этом функционал представляет собой
однородную обобщенную функцию степени X. Таким обра-
образом, всякой формально однородной (обычной) функции Ф (х)
степени X при X Ф—п — k отвечает по формуле A1) обоб-
обобщенная однородная функция той же степени, являющаяся
регуляризацией функции Ф (х). Так как однородную функ-
функцию любой степени, имеющую особенность только в начале
координат, можно определить, задав произвольно ее значе-
значения на любой замкнутой поверхности Г, пересекающейся
только в одной точке с каждым выходящим из начала
координат лучом, мы можем сказать, что всякой непрерыв-
непрерывной функции на замкнутой поверхности Г отвечает
обобщенная однородная функция степени X при X Ф — п — k.
3. Обобщенные однородные функции степени—п. Рас-
Рассмотрим (обычную) формально однородную функцию Ф (х) н=
== Ф {хъ х2 xw), не обязательно знакоположительную,
степени — п, с особенностью (т. е. с точкой локальной
неинтегрируемости) только в начале координат. Чтобы
определить соответствующую обобщенную функцию и тем
самым регуляризовать расходящийся интеграл
J Ф (х) ср (х) dx,
выберем произвольную область О, содержащую начало
координат, и положим
== J Ф (х) [ср (х) — ср @)] dx -+- / Ф (х) ср (х) dx. A)
в
R-O
Определенное таким образом регуляризованное значение
интеграла
С Ф (х) ср (х) dx
зависит, естественно, от выбора области G. Обозначим
полученную обобщенную функцию символом Ф |о и выясним,
что происходит с этой функцией при замене области G
другой областью Qt. Непосредственно очевидно, что заменяя

378 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[3
G на Ot с: О, мы получим значение функционала, отли-
отличающееся на
<р@) J Ф(х)Лх
g—g1
от исходного. Таким образом,
ф 1о — ф U = S (*) / ф (*) dx. B)
о-а,
Так как из формулы B) следует, что разность обобщенных
функций Ф|е и Ф lOi есть однородная обобщенная функция
порядка — п, то однородность или неоднородность обоб-
обобщенной функции, определенной формулой A), не зависит
от выбора области G.
Теперь нас интересует вопрос, когда обобщенная
функция, определенная формулой A), будет однородной,
степени —п, т. е когда выполняется условие
|)) = (Ф. «Р).
Прежде чем проводить вычисление, сравним формулу A)
этого пункта • с формулой E) п. 2. Если в первую из этих
формул подставить" Ф=/~п, где f(x)—положительная
однородная функция первой степени, то получится формула
E) п. 2, в которой интеграл Г/~п(х)са, т. е. вычет функ-
г
ции/~п(х), заменен нулем. С другой стороны, обращение
в нуль этого вычета необходимо и достаточно для того,
чтобы обобщенная аналитическая функция /х (лг) не имела
полюса при Х = — п, т. е., как мы отмечали в п. 2, для
того, чтобы формула E) п. 2 определяла при Х = — п
обобщенную однородную функцию степени —п.
Сейчас мы покажем, что в общем случае для того,
чтобы обобщенная функция A) была однородной степени — п,
необходимо и достаточно аналогичное условие.
Сделав в интеграле
f
R-Q
3]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
379
замену переменных — = хк и обозначив через aG область,
получаемую из области G подобным преобразованием с коэф-
коэффициентом ее, будем иметь:
/
R-Q
= [ф (х) [<р (х)-ч @)] dx-\-f Ф (х) <р (х) dx+cp @)f Ф (х) dx.
О R-G Q-«Q
Очевидно, что для однородности обобщенной функции
Г Ф (х) <р (х) dx необходимо и достаточно, чтобы
Г Ф (х) dx = 0
Q-aQ
для любого а.
Преобразуем это условие. Для этого введем в области
G — аО систему координат р, их, .... ип_х, где р=1 и
р = сс — уравнения поверхностей Г и аГ соответственно,
а аи и2, .... ип_г координаты на поверхностях р = const.
Обозначим хк — рх'к. Тогда
dx,
хх х2
хп
= р*-1 dP (x[ dx'%
'^— x^dx[ dx'a...dx'n-\- ...
±x'ndx[...
где дифференциальная форма u> рассматривается на поверх-
поверхности р = 1. С другой стороны, Ф (х) = р~га Ф (х'). Поэтому
а
f Ф (x)dx = J -р §Ф (х) и =_1п а f Ф (х) оз. C)
О-аО 1 Г Г
Таким образом, необходимое и достаточное условие
того, чтобы регуляризованное значение A) интеграла от
формально однородной функции Ф (ха, ..., х„), т. е.
обобщенная функция Ф |о, представляло собой однородную
обобщенную функцию степени — п, состоит в следующем
J ф о) = 0„ D)

380 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Если это условие не выполнено, то функция Ф \о является
не однородной, а присоединенной обобщенной функцией.
Интеграл в формуле D) мы будем называть вычетом
функции Ф (х) относительно начала координат (это —-
обобщение определения, данного в п. 3). Таким образом,
для того чтобы обобщенная функция A) была однородной,
степени —п, необходимо и достаточно, чтобы вычет
функции Ф (х) относительно начала координат равнялся
нулю.
Дифференцирование однородных функций
степени —п-\-\. Мы неоднократно встречались уже
в гл. I с такой ситуацией, когда обычная локально инте-
интегрируемая функция / имеет всюду, за исключением отдельных
точек, обычную производную, но эта производная уже не
является локально интегрируемой функцией (так что пра-
правильнее называть ее формальной производной). При этом
нам недоставало автоматизма при подсчете производных
в обобщенном смысле от функции /, и каждый раз прихо-
приходилось проводить специальные рассмотрения. Например, в п. 3
§ 2 гл. I при подсчете оператора Лапласа от — в трехмер-
трехмерном пространстве по существу пришлось повторить обычное
классическое рассуждение с вырезанием окрестности нуля
и применением формулы Грина. Такой автоматизм в извест-
известной степени вносится следующей формулой, которую мы
сейчас докажем. Пусть Ф — обычная локально интегри-
интегрируемая функция степени —п-\-\. Тогда
дФ
dx
. . . dxn.
E)
дФ
Здесь слева ^ производная функции Ф в смысле обоб-
обобщенных функций, а справа (з—) обозначает обобщен-
\OXiJ | q
ную функцию, построенную по формальной, т. е. обыч-
обычной, производной функции Ф; Г — граница области G.
3] § 3. однородные функции
Действительно, мы имеем:
381
h. ¦¦¦' xn) \r dxx ... dxn =
— — J Ф (xlt xn)
a
t, . . ., xj —
— I
R-G
4» • ¦ • • хп)
— <Р@ 0)] <**!...<**„—
ду(О,...,О) . .
ax ах
Здесь R — G — дополнение к области G.
Произведя теперь интегрирование по частям, мы полу-
получаем функционал ((-||-)jG. ?)• а контурные интегралы
по поверхности Г сократятся, кроме интеграла
... dxn.
Тем самым формула E) доказана. Так как ее левая часть
от области G не зависит, то не зависит и правая. В послед-
последнем можно убедиться непосредственно, что предоставляется
читателю.
Примеры.
1. Докажем формулу
F)
Мы имеем:
Это верно как в смысле обычных, так и в смысле обоб-
2х
щенных функций, поскольку функция ^а. .
интегрируема. Теперь по формуле E) получаем:
eiu-e локально

382 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Аналогично
-*L\n{x*-\-y*) = \
Складывая обе формулы, мы получаем:
у й?лг
Выбрав в качестве кривой Г окружность с центром в на-
/X fify V й?ЛГ г>
ia-L-V2— =
г
Это и доказывает формулу F). Из нее следует, что в двумерном
пространстве
Д1п— = 2тг8(х, у)
2. Подсчитаем А (—•) в трехмерном пространстве
(г2 = х2 -{-у2 -\-z2). Один раз можно продифференцировать
в обычном смысле:
а 1 х д J_ у_ jL_L___
дх г
' ду г
Формальные производные правых частей равны соответ-
соответственно
гъ ' г'° ' г& '
их сумма равна нулю. Применяя трижды формулу E) и
складывая результаты, находим:
д* , di , д2 \ 1 « . ч С' xdydz'—ydxdz^r zdxdy
* в/ '
Выбирая в качестве Г сферу и переходя к полярным коор-
координатам, получаем, что интеграл справа равен —4тс. Таким
образом, в трехмерном пространстве
, у, z).
G)
3]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
383
Аналогичным способом нетрудно подсчитать А( w_a )вга-мер-
ном пространстве (я^З) и получить формулу, приведенную
в п. 3 § 2 гл. I.
Поясним теперь несколько в ином плане, почему обра-
обращение вычета обычной однородной функции Ф (х) степени —- п
в нуль есть условие однородности соответствующей обоб-
обобщенной функции, а также роль понятия вычета.
Так как Ф {хх хп>) — формально однородная функция
степени —п, то, согласно уравнению Эйлера,
А:=1
дФ
= — вФ,
или в дивергентной форме
Это равенство является формальным, т. е. удовлетворяется
во всех точках, кроме начала координат, где Ф имеет осо-
особенность. С другой стороны, как мы знаем из п. 1, урав-
уравнение Эйлера, понимаемое в смысле обобщенных функций,
характеризует однородные обобщенные функции соответ-
соответствующей степени.
Покажем, что если понимать хкФ как обобщенные функ-
функции, то имеет место равенство
дхк
= с Ь (х),
(8)
где с-—вычет функции Ф. Действительно, по формуле E)
мы имеем:
д (хкФ) _
\ дхк
..., х„)
. . . dxk_x dxk+1 . . . dx,

384 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[3
Суммируя по k, мы получаем:
Sd (хкФ) _ /VI д (хкФ) \
длгь ( ^J dXfc )
-НС*!, ....
G
">.
—-5 — = О, мы и приходим к формуле (о).
А:
Следовательно, если с = Г Фса =? 0, то однородность
г
функции Ф (х) в начале координат нарушается. Если
Ф (х) — потенциал некоторого поля, то это нарушение одно-
однородности — свидетельство наличия в особой точке источни-
источников, зарядов и т. п.
Мы показали, что условие, при котором формально
однородная функция Ф (х) степени —п определяет одно-
однородную обобщенную функцию (регуляризованное значение
у*
интеграла I Фср^х), состоит в том, чтобы вычет Ф (х)
в начале координат равнялся нулю.
У знакоположительной функции Ф (х), очевидно, вычет
не обращается в нуль; поэтому знакоположительная одно-
однородная функция степени —п не может определять однород-
однородной обобщенной функции. Так, на прямой обобщенная функ-
функция ¦—г (см. гл. I, § 3) неоднородна. На плоскости обоб-
I эс \
(ее qJ, действующая
¦—г
I эс \
щенная функция
по формуле
, 3
(точнее, ^
«2
в R-в
неоднородна; в то же время обобщенная функция . ^ а 2,
определенная аналогичной формулой:
G
/;
\
R-в
I
4]
§ 3. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ
однородна, так как вычет обычной функции
нулю (по соображениям симметрии).
385
равен
4. Обобщенные однородные функции степени — п — т.
Пусть теперь Ф (х^ хп) —¦ обычная однородная функция
степени — п — т, где т—натуральное число. Зададим
снова произвольную область G, содержащую начало коор-
координат, и определим регуляризованное значение интеграла
Г Ф (х) <? (х) dx по формуле
f<b(x)<p(x)dx= /*Ф(х)[<р(х) — <р@)— ...
1 VI а, а дт<р @)~1, . Г ф,
&1 ЛИЯ Л v*1 Лу П I e/ I
vj_ ...V
R-G
Для однородности обобщенной функции, определенной
равенством A), необходимо и достаточно выполнение условий
J
Ф
= 0 (at+
an= m)
для любого a или, что то же самое (см. пл= 3 и 4), условий
J Ф (х) <' ... х'пп со = 0 (в1-Ь • • • +о» = »»). B)
г
Интегралы слева в B) мы назовем аналогично преды-
предыдущему вычетами обычной однородной функции Ф(х) сте-
степени п — т.
Таким образом, для того чтобы обычной однородной
функции Ф (х) целого порядка —п — т отвечала по фор-
формуле A) однородная обобщенная функция степени — п — т,
необходимо и достаточно, чтобы все вычеты этой функ-
функции были равны нулю.
Чтобы пояснить этот результат, сравним формулу A)
с формулой (8) п. 3. Если в первую из этих формул
25 Зак 460. И. М. Гельфанд и Г, Е, Шилов, вып. 1

386 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ . ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[5
подставить Ф (х) = /'
1 (л:), где / (л:) — положительная
однородная функция степени 1, то получится формула (8) п. 3,
в которой интегралы \ f~n~m (x) xaxL ... х^п\о, т.е. вычеты
г
функции f~nm (х), заменены нулями. С другой стороны,
равенство нулю этих вычетов необходимо и достаточно для
того, чтобы обобщенная аналитическая функция /л (х) не
имела полюса при Х =— п — т, т. е. чтобы формула (8)
определяла при Х =—п — т однородную обобщенную
функцию степени — п — т. Если хотя бы один из вычетов
f~n~m(x) отличен от нуля, то регуляризация A) интеграла
ff-n-k(x)<?(x)dx
дает уже присоединенную однородную функцию степени
— п — т.
Заметим, что для целых значений X <J —¦ п, кроме обобщенных
однородных функций, определяемых обычными функциями, нам
известны еще однородные обобщенные функции, не связанные ни
с какими обычными • функциями, а именно 8 (лг) и ее производные.
Производные А-го порядка от 8 (х) представляют собой однородные
обобщенные функции степени —п — к. Число различных производ-
производных &-го порядка в точности равно числу условий B). В этом смысле
общий запас однородных функций степени — п — т оказывается,
как и для произвольной нецелой степени X, совпадающим с запа-
запасом непрерывных функций на замкнутой поверхности Г, охваты-
охватывающей начало координат.
б. Обобщенная функция вида rxf, где f— обобщенная
функция, заданная на единичной сфере. Всякую обычную
однородную функцию размерности X можно представить
в виде
Ф (хи .... хп) = Ф (/¦«!, гш2, . , ., гш„) = rxf(uu
A)
где /0»i, • ¦ ¦, <%) — некоторая функция, заданная на единич-
единичной сфере 2: 2(В?=1- Пусть для простоты ReX>— п.
Соответствующий регулярный функционал можно предста-
5] § 3. однородные функции 387
вить в виде
(Ф (хи .... хп), <р (х1( .... xj) = J Ф<р dxx ... dxn =
где <?(xu ..., xn) — любая основная функция (из К), а
! ш„) <р (/¦«>!, .... гсй„)<22.
Здесь, как обычно, dQ — элемент поверхности на единичной
сфере 2.
Пусть теперь f(wlt .... <оп) — произвольная обобщенная
функция, заданная на сфере Q. Тогда мы можем опреде-
определить обобщенную функцию
по формуле
где
(*1> • • •. *„) = а*/К. • • •. О
(Фх> <?) =
= (/. <?(rwlt
B)
C)
D)
Функция а (г) финитна и бесконечно дифференцируема, ибо
<р (го»!, . . ., гшп) финитна и бесконечно дифференцируема
по г. Бесконечная дифференцируемость видна, например,
из того, что
rwn)
дг
И Т. Д.
Из формулы B) видно, что функционал ФЛ является
при X Ф — п, —п—1, ... аналитической функцией X;
в точках Х = — п, —п— 1, . . . он имеет простые полюсы.
25*

388 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ E
Определим вычет этой аналитической функции при
Х = — п. Мы имеем:
о
1 со
= f rx+n~l(в(г) — u@))dr-\-f
... гшя) )dr =
1и (г) rfr=
lu(r) dr
В полученном выражении первый и второй интегралы регу-
регулярны при Re X >—п—1. Поэтому при Х =— п вычет
(Фх> ср) равен
а@) = с<р@).
где с = (/, 1) — значение функционала / на основной функции,
равной единице на единичной сфере Q. Таким образом, вычет
обобщенной функции Фх при Х = — п равен с Ь (хг хп).
Легко показать, что если обобщенная функция / также
аналитически зависит от X, / = /л, и если эта аналитическая
функция регулярна при Х =— п, то обобщенная функция
Фх = rxfx при X = — п имеет вычет, равный с_и 8 (хг, .... хп),
где с_п = (/х, 1) при Х=—п. Определим теперь вычет
обобщенной функции Фх = гх/ (шг о>и) при X = — п — k.
Вычет числовой аналитической функции (Фх, ср) при X =
= ~n — k равен
Но
г=-0
Поэтому
V¦
¦d*-i
— Т@,..., 0)(/,
о».
1]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
389
Так как функционал f(mu ..., и№) определен на поверхно-
поверхности г=1, где Wj = Xj, мы получаем, что вычет функцио-
функционала Фх при Х = — « — k равен
/
где
Sc^.-S-l
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
В СТЕПЕНИ Я
1. Определение приводимых особых точек. Пусть
G(xx хп) — произвольная бесконечно дифференцируе-
дифференцируемая функция. В этом параграфе мы рассмотрим обобщенную
функцию Gx(xt хп), т. е. изучим функционал
@х. <р) =
г хп)
fx . . . dxn A)
как аналитическую функцию от X. Особые точки этой ана-
аналитической функции тесно связаны с характером поверх-
поверхности G(x1, ..., хп) = 0. Мы не будем заниматься случаем,
когда поверхность О {хи . . ., х„) = 0 произвольна, а огра-
ограничимся наиболее существенным во всех приложениях слу-
случаем, когда эта поверхность состоит лишь из точек, которые
мы назовем приводимыми.
Функция G (Xj xn) называется эквивалентной одно-
однородной функции в окрестности некоторой точки М,
если в этой окрестности существует локальная система
координат ?1( . . ., ?я, в которой функция О (xv . . ., хп)
превращается в однородную функцию. Ясно, что мы можем
определить функцию, эквивалентную однородной, не только
в аффинном пространстве, но и на любом аналитическом
многообразии, например на сфере.
Определение приводимой точки поверхности мы дадим
индуктивно по числу измерений пространства или поверх-
поверхности. Предположим, что для поверхности в пространстве
или на поверхности меньше чем п измерений приводимые

390 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[1
точки определены. Точку М поверхности G{xx л:и) = 0
мы будем называть приводимой, если:
1) в некоторой окрестности точки М функция О (хг хп)
эквивалентна однородной функции;
2) пересечение поверхности О (jq х„) = 0 с доста-
достаточно малой сферой с центром в М дает поверхность, каж-
каждая точка которой приводима на этой сфере.
Для функции G(x) на прямой второе требование, есте-
естественно, отпадает. В этом случае точка х0, для которой
О(лго) = 0, называется приводимой, если в окрестности х0
существует такая обратимая бесконечно дифференцируемая
функция % = Х(х), Х(хо) = 0, что
В окрестности приводимой точки М можно ввести ло-
локальные координаты 5Ь ..., $„, в которых функция О пре-
превратится в однородную функцию от 5j, ..., $„ степени т.
Если при этом локальные координаты можно выбрать
так, чтобы функция G зависела от k переменных, и нельзя
выбрать так, чтобы она зависела от меньшего числа пере-
переменных, то точка М называется точкой k-го порядка а
степени т.
Таким образом, каждой точке поверхности мы можем
отнести два числа: порядок k и степень т этой точки.
В частности, если на поверхности G = 0 grad G Ф 0, то каж-
каждая точка этой поверхности будет точкой 1-го порядка и
первой степени. Действительно, в окрестности любой такой
точки можно выбрать в качестве одной из координат саму
функцию G (jrlt .... хп) = ^и какие угодно другие коорди-
координаты ?2» • • • > Ьп. Ясно, что в этой системе координат
функция О(хг, .... хп) превращается в bv, т. е. в однород-
однородную функцию первой степени от одной переменной. Значит,
обыкновенная точка поверхности есть точка 1-го порядка
и первой степени. Если поверхность G — 0, например, в трех-
трехмерном пространстве состоит из трех координатных пло-
плоскостей [G = jc^jc|jc^1, то начало координат является точкой
3-го порядка, координатные оси состоят из точек 2-го по-
порядка, а все остальные точки на координатных плоскостях
суть точки 1-го порядка. Мы предоставляем читателю найти
степени каждой из этих особых точек.
1]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
391
Ввиду того, что изучение интеграла A) в общем случае
может вызвать у читателя затруднения, мы предварительно
в п. 2 рассмотрим случаи, когда поверхность G = 0 со-
состоит только из точек 1-го порядка, в п. 3 рассмотрим
случай, когда на поверхности G —О имеются особые точки
не выше 2-го порядка, и только в п. 4 рассмотрим общий
случай.
В этом пункте нам понадобится теорема, которую мы
приведем без доказательства.
Пусть G (xlt . . ., хп) — многочлен. Если поверхность
G = 0 состоит лишь из приводимых точек, то она раз-
разлагается на конечное число связных компонент, каждая
из которых состоит из точек одного и того же порядка
и одной и той оке степени. А именно, на поверхности
G = 0 имеется конечное число точек п-vo порядка, конеч-
конечное число линий (п—1)-го порядка и т. д., наконец, ко-
конечное число (п—1)-мерных компонент 1-го порядка.
Так как в окрестности точки 1-го порядка можно вве-
ввести локальные координаты, в которых наша функция G
зависит от одного переменного, в окрестности точки 2-го
порядка в соответствующих локальных координатах функ-
функция G зависит от двух переменных и т. д., то рассмотре-
рассмотрение функций с приводимыми точками 1-го порядка сводится
к изучению обобщенных функций от одной независимой пе-
переменной, рассмотрение функции с приводимыми точками
2-го порядка — к изучению обобщенных функций двух неза-
независимых переменных и т. д.
В заключение этого пункта заметим, что, как показано
в п. 2 добавления 1 к гл. I, если имеется покрытие про-
пространства счетной системой открытых областей Dit такое,
что каждый шар пересекается только с конечным числом
этих областей, то любая основная функция ср (х) предста-
вима в виде конечной суммы ср(х) = 2TiC*0 основных
функций <р4, где ср4 равна нулю вне Dit Поэтому там, где
это нам понадобится, мы можем считать, что функция
ср (хг хп) отлична от нуля только в сколь угодно ма-
малой окрестности интересующей нас точки.
Изучение интеграла.A), зависящего от одного комплекс-
комплексного параметра, проводится путем рассмотрения вспомо-
вспомогательной функции двух комплексных переменных. Этот
прием для простейшего случая изложен в п. 3.

392 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
2. Исследование обобщенной функции Gx в случае,
когда поверхность G(xu ..., хп) = 0 целиком состоит
из точек 1-го порядка. Пусть G (хг хп)— бесконечно
дифференцируемая функция, для которой поверхность G = О
ограничена и состоит из приводимых точек 1-го порядка.
Рассмотрим функционал, зависящий от X:
l ... dxn. B)
G>0
При Re X > 0 этот интеграл сходится и представляет
собой аналитическую функцию X. Покажем, что обобщенная
функция Ох представляет собой мероморфную функцию X.
Каждой связной компоненте многообразия О = 0, состоя-
состоящей из точек степени I, отвечает последовательность
простых полюсов
. i г п
Л — —у, —у, —у, . .
C)
В частности, если на поверхности G = 0 вообще нет
особых точек, то Gx имеет полюсы только в точках
К — 1, 2, . .., П, ...
Для доказательства этого утверждения выберем произ-
произвольную точку М поверхности G = 0. В силу сделанного
выше замечания без ограничения общности можно предпо-
предполагать, что ср (хи .... хп) = 0 вне фиксированной малой
окрестности D точки М. Обозначим через Dx пересечение
области D с областью G ^> 0. Тогда
(Gx, ср) = Г .. . Г Gx (xt хп) ср (хи .... хп) dxt . . . dxn=
G>0
Так как М — точка 1-го порядка (и.степени /), то мы
можем ввести в области Dl систему координат, в которой
2]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
393
О (хи .... хп) = %\, а остальные п.— 1 координат ?2, .... $w
выбраны произвольными беконечно диффгренцируемыми
функциями от хх, . . ., хп с единственным ограничением,
чтобы в Dx выполнялось условие
хх . . . х
В новых координатах
j . . . J
Gx
j . . . dxn =
A
Положим
D)
где интеграл вычисляется по пересечению области Dx с по-
поверхностью G (Xj хп) = ?! = const. Функция ф (?г) —
финитная бесконечно дифференцируемая функция от ?х,
определенная в области Dv С помощью этой функции (ОЛ, ср)
перепишется в виде
оо
E)
Вспоминая результаты п. 2 § 3 гл. I о полюсах и вы-
оо
четах функционала I Xх ty(x)dx, мы получаем, что каждой
о
точке М 1-го порядка и степени / многообразия G = 0
отвечает последовательность полюсов обобщенной функции
, _1_ 2. ^L
¦ — / ' i ' •• •• i

394 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[2
При этом вычет интеграла E) при Х/ = — п, т. е. при
Х = j-, просто выражается через функцию ф из фор-
ф(«-Ц (о)
мулы D): он равен . ^., .
Найдем теперь вычеты 0х,
Вычет {0х, ср) при Х== — — равен <f@), т. е.
/¦¦ •
где <рх (Sx, .... 5„) = =р Oi *„). Обозначим через ю диф-
дифференциальную форму, стоящую множителем при <рх в ин-
интеграле D):
... х
Тогда вычет можно записать в виде
.... Хп) ш.
Но
F)
G)
о»,
и если положить
1
rfT (у хЛ — Р(х х\
то мы будем иметь:
dv = dP (в.
Вспоминая определение обобщенной функции 3(Р), данное
в п. 3 § 1 гл. III, мы видим, что вычет G) есть не что
иное, как (§ (Р), ср). Таким образом, вычет Gx при Х = — -?-
равен Ь
2]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ
395
Найдем дальнейшие вычеты. При этом мы воспользуемся
тем, что функцию
можно дифференцировать под знаком интеграла. Вычет
— k — 1
@х, ср) при X = •
равен
¦¦•«»¦
Вспоминая определения и формулы п. 5 § 1 гл. III, мы
видим, что вычет (Gx, ср) при Х = равен
-L
Таким образом, вычет обобщенной функции Gx при
Х = ^У— равен
(—1)*.
k\
(от).
(9)
В силу замечания, сделанного в п. 1, мы можем теперь
считать основную функцию ср (jq xn) отличной от
нуля в любой конечной области. При этом, подсчитывая
вычет при Х = —у—, в формула (8) нужно интегрировать
по тем компонентам поверхности G = 0, которые состоят
из точек степени /. Разумеется, если X принадлежит более
чем одной последовательности вида C), то вычет в точке X
получается сложением значений, относящихся к соответ-
соответствующим /,

396 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[3
Отметим, что в случае, когда поверхность О = 0 состоит
из точек 1-го порядка и степени /, аналитическая функция 0х
имеет полюсы при тех же X, что и обобщенная функция
одного переменного (хг)х+ (см. § 3 гл. I). Вычет (хг)х+ при
Л ^ZI= '
X =
равен
k\
равен
д
(<?т).
а вычет Ол при
Таким образом, случай.
когда поверхность G (х1( . . ., х.п) = 0 состоит из точек
1-го порядка, полностью аналогичен случаю одной незави-
независимой переменной.
3. Исследование обобщенной функции ??Л в случае,
когда поверхность G(xx, .... хп) = 0 состоит из точек
не выше 2-го порядка. Предположим теперь, что поверх-
поверхность G(xu .... хп) = 0 состоит из приводимых точек не
выше 2-го порядка. Каждая достаточно малая окрестность
точки 1-го порядка этой поверхности порождает у обоб-
обобщенной функции Gx(xx xn), действующей по формуле
@\ <р) = f . . . f
.... xn) <p (xu . . ., xn)
dx
G>0
последовательность полюсов, рассмотренную в п. 2. Нам
осталось, следовательно, выяснить, как влияют на поведе-
поведение этого функционала, как функции от X, приводимые точки.
2-го порядка (это, естественно, особые точки поверхности
О(хи .... хп) = 0).
Мы докажем, что окрестность каждой точка М 2-го
порядка и степени т порождает у обобщенной функции
Gx(xlt ..., хп) последовательность полюсов
2
т
3
т
k
т
A)
При этом сколь угодно малая окрестность точка 2-го
порядка, вообще говоря, содержит точки 1-го порядка
и, может быть, различных степеней. Если какое-либо
значение \ = Х0 принадлежит одновременно последова-
последовательности A) и одной или нескольким последователь-
3}
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 397
ностям, относящимся к точкам 1-го порядка, попадаю-
попадающим в любую окрестность точки М, т. е. точкам 1-го
порядка, инцидентным точке М, то при Х = Х0 обобщен-
обобщенная функция Gx(xu ..., хп) имеет полюс 2-го порядка.
Для доказательства возьмем в интеграле
f
в>о.
функцию ср отличной от нуля только в малой окрестности
точки М и выберем локальную систему координат ?х, . . ., %п
в этой окрестности. Так как М — точка 2-го порядка, то
эту локальную систему координат можно выбрать так, что
функция О в новых координатах обращается в однородную
функцию Р от переменных ^ и ?2, и мы приходим, таким
образом, к задаче об изучении функционалов
f
где
*&. у
''' Х
1 • * • П
хп). Положим
B)
Тогда интеграл B) превращается в интеграл
C)
D)
Р>0
где P(?i, ?2) — однородная функция двух переменных сте-
степени т, а ф (Slf У — основная функция, отличная от нуля
только в малой окрестности начала координат.
Итак, аналогично тому, как изучение Gx в окрестности
точки 1-го порядка сводится к изучению однородных функ-
функций от одной независимой переменной, изучение Gx в окрест-
окрестности точки 2-го порядка сводится !к изучению произволь-
произвольных однородных функций от двух переменных.
Приводимая точка 2-го порядка кривой Р (?lf ?2) = Q
есть изолированная особая точка кривой или точка пересечения

398 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
ветвей с различными касательными (черт. 7). Для иссле-
исследования интеграла D) при тех значениях X, при кото-
которых обеспечена сходимость, перейдем к полярной системе
координат (г, и) *) и, пользуясь однородностью, запишем
Я.
Р>0
со
(G\ <р) = J rXm+1dr fPx(%i> УФ(^1. 5г)^а, E)
о
где ^1 = г5'1, ?2 = г^2. %к — ^к(а) — координаты точки на кри-
кривой г = const.
Черт. 7.
Рассмотрим теперь вспомогательный функционал, зави-
зависящий от двух не связанных между собой комплексных
параметров X и jx:
/х, rW = f r» dr f P^ ?. 52) Ф (?i. У da. F)
Очевидно, что при ji = Xm-{-l интеграл F) обращается
в E), и нам достаточно исследовать /х. р. [ф]- Имеет место
следующая лемма:
Пусть заданы мероморфная функция двух комплексных,
переменных F (X, (г) а две последовательности чисел
Xj, A2, . . . , Ли, . • . , \l )
1*1. 1*2. • • V Pn (8)
*) Вместо полярной системы координат можно взять любую
криволинейную систему, в которой координатные линии г = const
охватывают начало координат.
3]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 399
Пусть F (X, (j.) имеет как функция от X при любом
фиксированном ji Ф рп простые полюсы в точках после-
последовательности G), причем в лорановском разложении
в окрестности каждого такого полюса
коэффициенты с_1((х), co(ji), ... являются мероморф-
ными функциями от р, имеющими простые полюсы в точ-
точках последовательности (8).
Тогда аналитическая функция от одной переменной
F(k, X) имеет полюсы в точках обеих последовательно-
последовательностей G) и (8). Если при этом значение \, принадлежит
одновременно обеим последовательностям, то при X = Хд
F (X, X) имеет полюс 2-го порядка с коэффициентом при
1
¦¦v- ¦, .- в лорановском разложении, равным вычету при
(А — Ло)-5
ji = Xq коэффициента c_1(ji).
Доказательство леммы непосредственно вытекает из раз-
разложения функции F (X, ji) в ряд Лорана по двум перемен-
переменным в окрестности точки (кп, ^те).
Найдем теперь полюсы функции двух комплексных пере-
переменных, задаваемой интегралом F). Обозначим интеграл
по du в этой формуле через А (г), т. е. положим
У du (9)
(через Г обозначена та часть кривой г=1, на которой
^4?i. ?г) > 0)- Особые точки по X функции /(г) могут воз-
возникнуть лишь от тех точек Nv N2, ... на кривой, в кото-
которых Р (?i, ?2) обращается в нуль. Но эти точки кривой
P(?lt ?2) = 0 приводимы на линии интегрирования Г*). Пусть
Ыг — одна из таких точек.
Ее приводимость на кривой Г означает просто, что
в окрестности Ыг на Г можно ввести локальную коорди-
координату ?, в которой Р однородно и, значит, имеет вид $г*.
*) Можно доказать, что если поверхность F(x)=0 приводима
в л-мерном пространстве, причем функция F зависит, скажем,
только от первых двух координат хь х%, то линия F (х) = 0 на
плоскости также приводима.

400 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Предполагая, что функция ф отлична от нуля только
в окрестности точки Л^, мы сводим изучение особенностей
/х (г) к изучению особенностей интегралов | ?лг $х (г, ?) ds,
где ф2 (г, ?) = ф (?i, ?г).
Но особенности такого интеграла нам хорошо известны
из § 3 гл. I. А именно, такой интеграл имеет простые
полюсы в точках
, 1_ 2_ _&_
Таким образом, мы получаем, что интеграл (9), т. е.
функция А (г), имеет простые полюсы в точках последова-
последовательностей
1 2 k
_
к
A0)
где 1г — степени точек нулевого порядка, инцидентных
исследуемой точке М, т. е. на плоскости — степени точек
ветвей кривой, проходящих через точку М (см. черт. 7).
Функция двух комплексных переменных F) запишется
через рассмотренную функцию Л (г) следующим образом:
= r*fx{r)dr.
(И)
Применяя к интегралу A1) снова результаты § 3 гл. I,
мы получаем, что /х, ^[ф] при фиксированном X, не принад-
принадлежащем ни одной из последовательностей A0), аналити-
аналитически продолжается во всю плоскость комплексного пере-
переменного (г, за исключением точек
ji — — 1, 2., . . ., к 11 . • .,
в которых эта функция имеет простые полюсы. Полагая
р = ~Кт -\-1 и применяя лемму, мы получаем отсюда, что
интеграл
f r^+\dr J
da =
[ф]
имеет полюсы в точках последовательностей A0)
J_ __ 2_ fe + 1
к ^=
31
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ >.
401
и в точках последовательности
т
т
т
A2)
Если Х = \о принадлежит одновременно последователь-
последовательности A2) и одной из последовательностей A0), то в точке
Х = Х0 рассматриваемый интеграл имеет, вообще говоря,
полюс 2-го порядка.
Так как в локальной системе координат
в >O
u .... хп) <р (хг, .... хп) dxx ... dxn =
= f f
Р >0
со
= J г*т+Ыг I Рх(^, 4r
0
то сформулированная в начале этого пункта теорема доказана.
Определим вычеты обобщенной функции Gx (xlt . . ., хп)
в ее простых полюсах.
k -4- 1
Пусть сначала Хо = у-— есть полюс функции
Ох(х1, . . ., хп), возникающий благодаря обращению функции
G(xx, .... хп) в нуль в точках 1-го порядка. Выше, в п. 2,
мы показали, что вычет (G\ cp) в таком полюсе равен инте-
1 Г
гралу тг / i»j(!f), где шк (ср)—дифференциальные формы,
определенные в окрестности любой точки 1-го порядка по-
поверхности G (xv .... хп) — 0. Если участок поверхности, по
которому интегрируется wk (ее), граничит с точками 2-го по-
порядка поверхности G (хх, ..., хп) = 0, то i «^ (cp) может
оказаться расходящимся. Вычет равен в этом случае регуля-
ризованному значению соответствующего интеграла *).
*) Так как рассматриваемый полюс ~К0 простой, то существует
lim (X — Хо) Г ... Г Gx (хь ..., хп) у (х1г ..., хп) dxx ... dxn.
л^л» G>oJ
1 f
Регуляризованное значение ~rf f шк (?) можно определить, напри-
например, как этот предел.
26 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

402 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ {3
Рассмотрим теперь простой полюс X<j = —, возни-
возникающий у обобщенной функции Ох(х1г ..., хп) из-за обра-
обращения функции G (xv ..., хп) в нуль в точках 2-го по-
порядка. Интеграл
J ... J Gx (#! хп) <р (jct xw) dxt . . . dxn
мы представили в окрестности точки 2-го порядка как
со
Г rXOT+Vx (r) dr, где Д (г) = С Рх (flf 12) ф (rfb r?a) da,
о г
Р (|1( ^ — значение функции G (хг, . . ., хп) в локальных
координатах,
а срх (^, . . ., ?„) ^ <р (JCj, . . ., xw). Для тех значений X,
для которых интеграл расходится, функция Д(г) равна
регуляризованному значению интеграла (аналитическому про-
продолжению по X функции Д (г) от положительных значений X).
со
/k-\- Г
гХте+1Д(г) dr при Х = Х0 = 2—
7/1
равен ?j .
Продифференцируем функцию Д, (г) по г под знаком
интеграла (это допустимо при положительных X, следова-
следовательно, допустимо и в регуляризованном значении инте-
интеграла) и положим г = 0. Мы получим тогда для вычета
обобщенной функции Gx (хг хп) при Xq = •
т
вы-
выражение
_L
д\@, 0)
/iti
к+2
@. 0)
J 'c+2
A3)
4]
§ 4. произвольные функции в степени X
403
В § 1 мы получили формулу для вычетов аналитической
обобщенной функции f\ где /—положительная однород-
однородная функция первой степени (см. формулу (8) п. 3 § 1).
Сравнивая полученное выражение с этой формулой, мы
видим, что вычет обобщенной функции Gx (xlt .... х^) за-
записывается в локальных координатах аналогично вычету
положительной однородной функции, с той разницей, что
интеграл по кривой Г понимается как регуляризованное
значение интеграла (для функции, положительной в окрест-
окрестности точки 2-го порядка, этот интеграл всегда сходится).
4. Обобщенная функция Gx (xu . . ., хп) в общем слу-
случае. Перейдем к обобщенным функциям Gx (хг, . . ., хп),
для которых поверхность О (хх, .... хп) = 0 состоит из
приводимых особых точек произвольного порядка от 1-го
до «-го включительно.
Предположим для простоты, что G(xt, ..., х^) есть
многочлен. Мы докажем следующую теорему.
Обобщенная функция Gx (х±, . . ., х„), определенная
равенством
@х, ср) = f . . . J
..., хп) сР (xlf . . ., х.п) dx, ... dxn
G>0
для Re X > 0 а как аналитическое продолжение этого
интеграла для остальных X, есть мероморфная функция
от X, полюсы которой лежат на конечном числе ариф-
арифметических прогрессий. Каждой связной компоненте
поверхности G (хг, . . ., х^) = 0, состоящей аз точек
порядка г и степени т {см. п. 1), отвечает множество
полюсов функционала GA[cp], расположенных в точках
г
т
г+1
т
т
A)
При этом, если имеются две, три и т. д. последователь-
последовательные инцидгнтные друг другу связные компоненты поверх-
поверхности G = 0, состоящие из точек различных порядков,
и значение X = Хд принадлежит двум, трем и т. д. после-
последовательностям A), отвечающим этим компонентам, то
в точке Х = Хо обобщенная функция Gx(xx, .... хп) имеет
полюс 2-го, 3-го и т. д. порядков.
26*

404 гл. ш. специальные типы обобщенных функций
dxn
B)
1, нам
Предположим, что полюсы по X интеграла
J ... Jg^ (хг, .... хп) <р (хх xn)dx1 .
G> 0
возникающие благодаря точкам порядка <
известны. Тогда достаточно исследовать интеграл B) по
сколь угодно малой окрестности точки М п-го порядка.
Введем в этой окрестности локальную систему коорди-
координат ^ \п, в которой Р (S; U = G Oi. хп) —
однородная функция степени т, и предположим, что
<р (xv . . ., хп) = 0 вне этой окрестности. Интеграл B)
обратится тогда в интеграл
О)
D
где
ф(?„
xn)D
с об-
обa D — пересечение окрестности, в которой ухф
ластью P(?i, .... ?„) > 0.
При тех X, для которых интеграл C) сходится, перей-
перейдем к сферическим координатам. В силу однородности
Р (&i. • • •. О получим
со
D)
где область Г есть пересечение единичной сферы с об-
областью Р (?х, . . ., гп) > 0, (?х Ci) — точка на Г, ^ = гГл,
rf2 — элемент площади поверхности сферы.
Интеграл по Г есть интеграл по {п—1)-мерной сфере,
на которой поверхность Р ($lf . . ., %п) = 0, по предполо-
предположению, имеет только приводимые точки и притом не выше
(и—1)-го порядка.
Согласно предположению нам известны также полюсы
этого интеграла и их кратности.
Вводя снова, как в п. 3, функционал, зависящий от двух
комплексных параметров:
Ix ZjctQ, E)
4] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 405
и обозначая внутренний интеграл по Г через /х (г):
Л00= fPHli fw)<M?i. •... tn)dQ. F)
мы придем к ситуации, рассмотренной в п. 3. А именно,
при фиксированном рФ — п функционал htV.[tyi\ имеет
полюсы по X на конечном числе последовательностей и при
фиксированном X, не принадлежащем ни одной из этих
последовательностей, Л, ^[fi] имеет полюсы при ji = —1,
—2 —и, ... Единственное отличие от рассмотренного
в п. 3 случая, когда поверхность О (х1 хп) = 0 со-
состоит из точек не выше 2-го порядка, заключается в том,
что благодаря индукции полюсы по X могут быть не только
простыми, но и кратными.
Легко проверить, что лемма, сформулированная в п. 3,
распространяется и на этот случай.
Полагая ji = Xm-}-ft — 1, мы получаем, что интеграл
D
G>0
i- • • • ¦ xn) 9 (xi xn) dxx . . . dxn,
кроме полюсов по X, тех же, что у функции /х(г) (возни-
(возникающих из-за точек поверхности G (jq хи) = 0, имею-
имеющих порядок меньше чем п), имеет полюсы в точках по-
последовательности
n
m
т
т
G)
При этом если в точке Х = Х0 функция /х(г) имеет полюс
кратности р и Хо принадлежит последовательности G), то
обобщенная функция Gx (хь . . ., хп) имеет в точке X = \,
полюс кратности />¦+-!. Тем самым наша теорема доказана.

406 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
Мы определили, при каких значениях X имеются полюсы
у обобщенной функции
J . .. J
(jq хп) dxx . . . dxn.
Для простейшего случая однородной неотрицательной
функции G мы в § 1 видели, что с самых разных точек
зрения естественно ввести понятие вычетов формально одно-
однородной функции, которые характеризовали бы особенности
этой функции в начале координат, подобно тому как вычет
аналитической функции характеризует ее изолированную
особую точку. Для произвольной рассмотренной здесь
функции О{хх, .... хп) с приводимыми особенностями мы
можем аналогичным образом определить вычеты, связанные
с функцией G.
А именно, если D есть максимальная связная компонента
многообразия G = 0 порядка г и степени т, то под выче-
г+к
том функции G т (хи .... хп) относительно этой ком-
компоненты можно понимать обобщенную функцию (функцио-
(функционал), являющуюся вычетом по X аналитической функции
г -\- k
(Xt, ..., Xjj) При X=:
В частности, если G (xu
т
—однородная функция
п+к
степени т, то такой вычет G
(хи
хп) в начале
координат равен линейной комбинации производных й-го
порядка от 8-функции с коэффициентами, равными инте-
интегралам по замкнутой поверхности, окружающей начало
координат.
Если G (хх, .... хп) — произвольная функция, имеющая
в начале координат приводимую особую точку (га — 1)-го
п+7с
порядка и степени т, то вычет функции G т (х1, . . ., хп)
относительно этой точки также равен линейной комбинации
производных от 8-функции не выше й-го порядка с коэф-
коэффициентами, определяемыми по функции G. Аналогично
можно определить вычет не только относительно точки,
но и относительно любой связной компоненты многообра-
многообразия G = 0 степени т и порядка г.
5]
§4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
407
5. Интегралы от бесконечно дифференцируемой функ-
функции ср по поверхностям уровня G(xlt ..., хп) = с. Сде-
Сделаем из полученных результатов вывод о поведении интегра-
интегралов от функции ср (д;1, . . ., хп) по поверхностям уровня
многочлена G(хи .... хп). Мы ограничимся случаем, когда
поверхность G(xx, ..., хп) = 0 состоит только из приводи-
приводимых точек, а поверхность G = c при с>0 не имеет особых
точек, и рассмотрим интегралы
(с) = / ? (-^1
О),
A)
G=c
где со — форма на поверхности G (хх хп) = с, опреде-
определенная равенством dv= dG ш. Имеет место очевидное то-
тождество (по X):
J
= J ...
G>0
xn)dxt. . .dxn.
B)
Выше мы установили, что интеграл, стоящий в правой
(и следовательно, в левой) части равенства, есть мероморф-
ная функция X и определили ее полюсы в зависимости от
характера особенностей поверхности G(хи .... хп) = 0.
Так как поведение функции /(с) при c>s>0 не
со
влияет на особенности интеграла I I(c)cxdc, то, зная эти
о
особенности, мы можем, наоборот, написать асимптотическое
разложение функции /(с) при малых значениях с.
А именно, можно показать, что если расположить по-
со
люсы функции F (X), задаваемой интегралом Г /(с) сх dc и
о
его аналитическим продолжением, в порядке их убывания
в последовательность
— Х1г —Х2, . . ., — X*. . . . @
Х2
и обозначить кратность й-го полюса через тк, то функ-
функция / (с) при малых с имеет следующее асимптотическое

408 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
разложение:
со mJs
Нетрудно убедиться в том, что каждое слагаемое справа
со
дает в интеграле Г / (с) сх dc /га-кратный полюс (см. гл. I,
о
§ 3). Коэффициент akt m при этом равен коэффициенту
ПРИ ^т в разложении Лорана для F (к) в окрестности
. Вспоминая
точки X = — Хй, умноженному на . __. i\i
определение функции 8 (G), мы можем переписать интеграл
I (с) в виде:
/(с)=
с), ?).
Отсюда следует, что, имея асимптотическое разложение I(с)
в ряд по степеням с, мы имеем тем самым разложение
(Ъ (G — с), <р) по степеням с. Из формулы C) получается,
таким образом, асимптотическое разложение 8 (G — с) при
малых с.
Примеры. 1. Пусть G (х, у) = ху. Тогда первый
полюс обобщенной функции (ху)х, определенной интегралом
Г j (ху)х<?(х, y)dx dy, будет при Х=—1. Разложение
интеграла Г С (ху)ху(х, у) dx dy по степеням X —|— 1 имеет
ссу>0
ил
Я(ху)х да (х, у) dx dy =
вид
[со
— оо
5] § 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X 409
Интеграл I (с) = Г ср {х, у) ш *) допускает, следовательно,
а>у=с
асимптотическое разложение:
= -2Т@. 0Iпс+
где многоточием заменены члены, стремящиеся к нулю при
с^О.
В соответствии со сказанным выше можно получить
отсюда разложение по степеням с обобщенной функции
8 (ху — с). Оно будет иметь следующий вид:
Г Г
o(C). D)
2. G = х2-{-у2-\~ z2—t2. В этом случае интеграл
-\-у2-\-z2 — ?2)x<p(jc, у, z, t)dv имеет при Х=— 1
(?>0
простой полюс с вычетом 8 (х2-\-у2-\-z2 — t2) и при \==—2
полюс 2-го порядка, в окрестности которого этот интеграл
допускает следующее разложение:
О. тЛ, = _|
. р. О, 0I-
А ОО
Г У @, 0) - у (г, г) dr_ Г ср (г, г) dr [
P-J-
*) При этом, как указывалось выше, можно получить ш = —
со
dx
или ш = , т. е. рассмотреть интеграл
J :
y)dy
или
-J
ср (X, у)

410 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Поэтому 8 (G— с) мы можем теперь представить в виде:
% z'
где G =s х2-\-у2 ^-z* — t2.
Многоточие здесь заменяет члены порядка о (с), а под
8'(G) понимается расходящийся интеграл Г шх, регуляризо-
ванный так, как указано в фигурных скобках.
Вообще, если G — функция, для которой поверхность
G = 0 имеет только приводимые особенности, то разло-
разложение обобщенной функции 8 (G— с) при малых с может
служить для определения обобщенных функций §(G), 8' (G)
и т. д. в тех случаях, когда интегралы от соответствующих
дифференциальных форм расходятся.
А именно, если
оо тк
8(G — c)= 2 2 Г, cV'in™-^,
ft—I m=l
где rftjOT — обобщенные функции, такие, что
(flfr,m — коэффициенты разложения интеграла /(с)= Г?"»
по степеням с и In с (см. формулу C)), то через 8 (G) мы
обозначим свободный член этого разложения, через 8' (G)—
взятый с обратным знаком коэффициент при первой сте-
степени с и т. д. В частности, формула D) перепишется в виде
Ь(ху — с) = — 2 1ncS(x, у)-{-Ъ(х. у)-\- .... D')
так что *)
*) Эта формула не могла быть получена в § 1, так как там
при выводе формулы
(*)
поверхности Р. = 0 и Q — 0 предполагались непересекающимися.
Однако когда они пересекаются «правильно», т. е. так, что можно
взять систему координат иъ ..., ип, где ыг = Р и и2 = О. то фор-
формула (*) легко выводится при помощи этих самых координат из
формулы F).
5]
§ 4. ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕНИ X
411
В случае, когда поверхность G = 0 не имеет особых
точек, такое определение, естественно, совпадает с данным
выше. Действительно, в этом случае интеграл Г Gx <p dv
а > о
имеет только простые полюсы Х = —1, —2, .... —k, ...
и вычет его при Х = — k равен (Г~ \ 8№~х) (G), поэтому
— 1) •
8(G — c) =
Из формулы D) можно сделать интересный вывод. Продиффе-
Продифференцируем равенство D) по с:
Умножив на — си устремив его к нулю, получим:
с Ъ' (ху — с) -> 2 S (jc, у).
Аналогично, дважды продифференцировав по с равенство E)
и умножив его после этого на с, мы при стремлении с к нулю
получим
5 ( Ъ
С S"
— ^ _ С)
Если применить эти формулы к основной функции ср, то мы смо-
сможем вычислить значение функции ср в начале координат, зная ее
интегралы по гиперболам ху = с или гиперболоидам х2 -{- у2 +
+ 2-2 — П = с.

СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
И ФОРМУЛ ВЫПУСКА 1
Глава I, § 1
1. Основная функция—бесконечно дифференцируемая
функция ср(х)=ср(х1, ..., хп), равная нулю вне ограничен-
ограниченной области «-мерного пространства Rn.
2. Основное пространство К—совокупность всех основ-
основных функций. Линейные операции в К определяются обыч-
обычным образом. Последовательность cpv (x) ? К называется схо-
сходящейся к нулю, если функции cpv (x) стремятся к нулю
равномерно вместе со всеми производными и обращаются
в нуль вне одной и той же ограниченной области.
3. Обобщенная функция— линейный непрерывный функ-
функционал на пространстве К..
4. Регулярная обобщенная функция — функционал на К
вида
(/. ?) = //(*)?(*)<**.
где /(х) — локально интегрируемая функция.
5. Остальные обобщенные функции называются сингу-
сингулярными.
6. 0 (х) — функция, равная 1 при х > 0 и 0 при х<0
(я=1).
7. Дельта-функция 8(х — х0) — сингулярный функцио-
функционал, действующий по формуле
(Ь(х — х0), <р О) ) = <р О0).
«
8. Функционал f(x) называется равным нулю в области G,
если (/, ср) = 0 для всякой основной функции, равной нулю
в такой области Ох, что G и Gx покрывают все Rn.
Сводка основных определений и формул вып. \ 413
9. Носитель функционала / — замкнутое множество, на
дополнении которого функционал / равен нулю.
10. Последовательность /v обобщенных функций назы-
называется сходящейся к обобщенной функции /, если для
любой ср ? К
lim (/„ ?) = (/, ср).
v->-co
11. Для комплексных основных и обобщенных функций
действия производятся по правилам
Функционал / типа функции f (х) определяется по формуле
12. Обобщенная функция /, комплексно сопряженная
к данной /, определяется формулой
(/. ?) = (/. ?)•
13. Пространство 5 состоит из бесконечно-дифференци-
бесконечно-дифференцируемых функций 9(лг), удовлетворяющих неравенствам
\xk ?iq4x)\<Ckq (я=1; К q=0, 1, 2, . . .)
или, для нескольких переменных,
^, + ...+<7„ .
Л
хпп
dxQl
их1 ...
(*!, .... qn = 0, 1. 2, ...)
с соответствующей сходимостью.
Глава I, § 2
1. Производная обобщенной функции / по аргументу
определяется равенством
2.
3.

414 Сводка основных определений и формул вып. I
где
\х\
4. А гП_^ =— (га— 2Jга 8 (х), где Qn — поверхность
единичной сферы в га-мерном пространстве (га > 2).
A In у = — 2тс 8 (х) (га = 2).
5. Если последовательность обобщенных функций /„
имеет предел /, то последовательность -^- имеет предел
со
б. 2jcosnx
со
— тс 2 8' (х — 2тсга).
—со
; -j- ... -\-e~ix -\-e~2ix
CO
9. 2 sin rax
ct?
при 8->0.
1
12 l Sm^
ъ х
11. ^ ../-—g « —> о (л;) при ? —>¦ 0.
> S (x) при v —> схэ.
Глава I, § 3
1. Обобщенная функция х+ задается следующими фор-
формулами: при Re X ;> — 1
(х^+, ср)== JV (p(x)dx; A)
о
Сводка основных определений.й формул вып. 1 415
при ReX> — га— 1, л Ф —1, —2, . . ., -—л,
? @) - л ср' @)- . . . - ^^у«,(»-«@)]
B)
при — га — 1 <ReX< — га
Jf. C)
Эта обобщенная функция при х > 0 созпадает с обычной
функцией хх, при х <С 0 равна нулю. Она аналитична при
всех X, за исключением точек \ = —1, —2, ... —п, ...,
в которых она имеет полюсы 1-го порядка.
Формула дифференцирования по х:
— 1, -2, ..Л
D)
2. Обобщенная функция х^_ задается формулами: при
Re X >.— 1
0 со
(хх_, <р) = f | х |* ср (х) dx = j xx cp (— х) dx; E)
-со О
при ReX> — га—1, X Ф—1, —2, ..., —га,
(хх_, ?) =
(— х) —
@)
F)

41б сводка основных определений и формул вып. 1
при — га — 1 < Re X <[ — га
(xi, <?) =
— х) — ср @) + х ?' @)
G)
Эта обобщенная функция при х < 0 совпадает с | х |х, при
х>0— с нулем. Она аналитична при всех X, за исключе-
исключением точек Х =— 1, —2, .... —га в которых она
имеет полюсы 1-го порядка.
Формула дифференцирования по х:
^xi^-Xxi (кф—1, —2, ...).
(8)
3. Обобщенная функция [xjA задается формулами: при
ReX>—1
со
(|х|\ ср)= f\x\\(x)dx =
(—x)]dx; (9)
при Re X > — 2т —I, \ф—\, — 3, .... — 2т -f- 1,
i
|х|\ ?) =
о
(|х|\
@)
A0)
при — 2m — 1 < Re X < — 2m -\- 1
Сводка основных определений и формул вып. 1 417
Она совпадает при х Ф О с обычной функцией |х|\ Эта
обобщенная функция имеет особенности (полюсы 1-го по-
порядка) при X = —-1, —3 —2т — 1, ...
При Х==—2т мы пишем | х \~~2т = х~2т, так что
оо
(д-йп, ср) = f х-*™ |<р (х) + ср (— х) — 2 [ср @) 4-
2!
В частности,
4. Обобщенная функция [x|xsgnx задается следующими
формулами: при Re X ]> —2
оо
( | х |х sgn х, <р) = J | х |х sgn х ср (х) dx =
— со
ОО
= JV [? (*) — ?(—*)]<**;
A4)
при
Re X > — 2т — 2, X =? —2, —4, . . ., — 2/ю,
х р sgn
v-3
1
х, ср) = / ^ {ср (х) — ср (— х) — 2 [х ср' @)
m-1
ф BЙ)
{2k
+ 2);
при — 2т — 2 < Re X < —2m
со
(|x|xsgnx, ?)==/ ^{ср(х)^-ср(—х) —2[хср'
27 Зак. 480. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

418 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
Она совпадает при jc^O с обычной функцией |x)xsgnx.
Эта обобщенная функция имеет особенности (полюсы 1-го
порядка) при X = —2, —4, .... —2т, . . . При X = —2т — 1
мы пишем \x\~2m~lsgnx —х~2т~1, так что
оо
(х-2т~К <р) = J х-*™-11? (х) — ср (—х) — 2 Гд: ср' @) +
о
Ф<2™-> @)]} dx. A7)
Ж «Г @) + ... 4- -??
В частности,
A8)
5. ^-кратный неопределенный интеграл от \х\х можно
записать в виде
| X |X+g (Sgn xf
(A. + 1) .,. (A. + q)
а-гТе
Bk — 1)! (q — 2k)\ X. + 2/fe '
6. Обобщенные функции
sgn
А+1\ '
\-T-)
являются целыми функциями по X.
В частности, при X —> — п
B0)
B1)
B2)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 419
при X -> — 2т — 1
V 2
и при X -> — 2/га
| JC |Х
Sgn X (— 1
—1I
Bтге—1)!
B3)
B4)
7. Функции 1п(д;-)-1'0) и In (х — Ю) определяются сле-
следующим образом:
In (x -f- iO) = lim In (x + ly) = In [ x |4- /те 9 (— x), B5)
In (л; — Ю)— lim In (x — ly) = In | x\ — m 0 (— дг), B6)
где
лами:
при х < О,
при х > О.
8. Функции (х4-'0)х и (х — Ю)х определяются форму-
<0,
= lim
(x — Ю)х = lim (x — lyY =
при х
при j:>0;
при x < 0,
B7)
B8)
xx при x > 0.
Эти функции существуют при любом комплексном X и опре-
определяют регулярные функционалы при Re X > — 1. Соответ-
Соответствующие обобщенные функции строятся следующим обра-
образом. При Х=^—1. —2, ...
(x + /0)x = ;t+-4-?ix*xx_, B9)
+- e-ix«x!, C0)
(х — Ю)Л =
функции х
лами A) —C) и E)—G). При Х = — п, л=1, 2, . ..,
x-tiV). —х - („_!)! W» 1°^
(х _ /о)1 = х~п 4- ^„^"Г 8(я} (*>' <32^
27*
где обобщенные функции х+ и Xх. определены форму-

форму420 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. i
где обобщенная функция х~п определена формулой A2)
или A7). Таким образом, обобщенные функции (х-\-Ю)х и
(х— Ю)х определены при всех X. Это целые аналитические
функции от X.
Соотношения
(x-)-iO)x= lim (x-\-iy)x,
(х— j0)x = lim'(л: — ly)x
выполняются как в обычном смысле, так и в смысле обоб-
обобщенных функций.
Формулы дифференцирования
'~l 0<ф0), ]
C3)
dx
d ,
1
C4)
9. Обобщенная функция гх при ReX>— га задается
формулами
(г\ Ч)= f rx9(x)dx = Qn
C5)
Rn
где Qn—поверхность единичной сферы га-мерного простран-
пространства, 59(г) — среднее из значений функции ср по сфере ра-
радиуса г.
Эта обобщенная функция аналитически продолжается
во всю плоскость X с исключенными точками Х = — га,
— га — 2, —га — 4, ..., в которых она обладает полюсами
1-го порядка.
10. Обобщенная функция
целая аналити-
№)
ческая по X. При Х = — п она обращается в о (х), при
Х= — га — 2k — в
2Шп(п-\-2) ... (л + 2/% — 2) *
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 421
11. Формула разложения гх на плоские волны:
та-1 / П _!_ 1\ = 2 /> 4- п\ * C')
Частные случаи: при п нечетном
та— 1
)
при га четном
а также при любом га
8 (*> = (-^7)^
„xjrfo; C8)
Глава I, § 4
1. Обобщенная функция х\ lnmx+ (X ^=—I1,
определяется по следующим формулам: при Re X
—2, . . .)
— 1
(I)
при ReX> — га— 1, X ф —1, —2 —га,
(х+ In"» JC+, 9) =
1
— J хх \птх Гер (х) — ср @) — х ср' @) — .
B)

422 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
при — п — 1 <С Re X < — п
2. Формула дифференцирования по X:
х\ = х\
C)
D)
Разложение функции х+ в ряд Тейлора в окрестности регу-
регулярного значения Х^
^lnjc+-|—i(X — ХоJ д;^ In2 x++ ... E)
3. Обобщенная функция х+" определяется формулой
(*) — ср @) — х «/ @) — ...
¦ • ¦ - (tSI ?(n-2) @) - Gг=Т)| ?(n-1} @)9 A - *)]<**; F)
эта обобщенная функция совпадает с функцией х~п при
х > 0 и равна нулю при х < 0. Она не является зна-
значением определенной выше функции х+ при Х =— п.
4. Обобщенные функции x+nlnmx+ задаются формулами
(x;"ln™x+I ?) =
СО
= Г х-та lnw х Гер (х) — со @) — х ср' @) — . ..
о
- х)] dx-
5. В окрестности полюса Х = — п разложение х+ в ряд
Лорана имеет вид
Xj
(л — 1)! l+n
C)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 423
6. Обобщенная функция x^_lnmx_ (X Ф—1, —2, . . .)
определяется по следующим формулам: при Re X >—1
о
(хх_ In™ х_. <р) = Г | х\х\пт | х | ср(х) dx =
—со
ОО
= Г Xх lnw х ср (— х ) dx;
(9)
при ReX> — п—1, X ф—1, —2, ..., —п,
1
при —п—l<CReX<[ — п.
ОО
(xl In х™, ср) = J xx In» х Гер (— х) — ср @) 4- х ср' @) — ...
7. Формула дифференцирования по X:
(Х=? —1, —2, . . .). A2)
дт х х ,
у- — v In"* v
Разложение функции Xх. в ряд Тейлора в окрестности
регулярного значения Хо:
Х^- ^Ло I (\ "\ \ ^^-о 1*1^ 1 (\ ^ \^ ^^о 1„2 v 1 /1 Q\
— = Х_ —|— ^Л KqJ Х_ Ш Х_ —j ^г \К Ло^ Х_ Шл Х_—)— ... ^1 О^
8. Обобщенная функция xZn определяется формулой
ОО
(xln, <р) = / л-та [? (— х) — ср @) Н- х ср' @) — . . .
о
... — (— l)n-1 („^1у у^-Ц @)9 A — хI dx; A4)

424 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
эта обобщенная функция совпадает с обычной функ-
функцией |х|~п при х<0 и с нулем при х > 0. Но она не
является значением определенной выше аналитической
функции xL при Х =— п.
9. Обобщенные функции xlnlnmx_ задаются формулами
оо
(х1та1п™х_, <?) = J х-*Ч
• • • — (—1 Г
@) в A -х)] dx. A5)
10. В окрестности полюса Х =— п разложение хх_ в ряд
Лорана имеет вид
xi «rlWJ.
(л—1)! Л + л
xln Н- (X + п) xZn In х_ 4-
A6)
11. Функционал | х |х lnfc | х |определяется по формулам, ана-
аналогичным (9)— A1) стр. 416, с заменой всюду Xх на xxlnftx.
В окрестности регулярной точки Xq разложение функ-
функции | х )х в ряд Тейлора имеет вид
Г Г—>-о) ! х \х° In | х 1 + ^j (X-XoJ| лг|хЧп2|х|+...
A7)
В окрестности полюса Хо =—2т — 1 разложение функ-
функции |л:|х в ряд Лорана имеет вид
|д;-|х-
1
B/и)! X.-J-2;ra +
-2да-1
где при —2/и — 2 < Re X < —2т
\x\-*M-1 = x?m-l + xZl
I. i-2m-l,_ui ..I ,-2jra—1 .& ,
... A8)
A9)
:x_; A9a)
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 425
в частности,
@)9A— x)]}dx. B0)
Обобщенная функция | х j~2m-1 совпадает с обычной функ-
функцией
при
12. Обобщенная функция | х |х sgn x ln*[ jc | определяется
по формулам, аналогичным A4) — A6) стр. 417, с заменой
всюду хх на хх lnft x.
В окрестности регулярной точки Хо разложение функции
| х |х sgn х в ряд Тейлора имеет вид
| х f sgn x = | х jx° sgn x + (X — Xo) | x Iх» In | x | sgn x +
— X0J|x|x4n|x|sgnx+ ...
B1)
В окрестности полюса Xq = — 2m разложение функции
| x |x sgn x в ряд Лорана имеет вид
B2)
B3)
B3a)
\x\xsgnx = -2-(^_-iy
где при — 2/и — 1 < Re X < — 2/и -|~ 1
частности,
x | аот sgn x, 9) ••=
v-3
— ?(-x) —2[xcp'@) +
B4)
Подчеркнем, что \х\~*т~1 не есть значение |х| при
-2/и — 1 и что J х \~2т sgn х не есть значение | х | sgn x
при Х =

426 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. I
Обобщенная функция \х\ 2msgnx совпадает при х Ф О
с обычной функцией | х \~3msgn x.
13. Производные по X обобщенных функций (х -f- iO)x и
(х — /0)л обозначаются соответственно через
(х -\- гО)х In (jc 4- '0) и (*-И0)Чп(л: —/0);
это целые функции от X, которые выражаются формулами:
(х + Ю)х In (х + *0) =
In х+ 4- йге4***- -|- eix«x\ In х_
/0)л In (х — Ю) =
c+ In х+ — iize-iXlcxX- 4- e~ix"*i In х-
при Хф—п,
*! при Х=-«;
B5)
при
п.
(-if 1/iujc_*4-(—I)* ^
2" (/г — 1I
~n In |*| приХ=—п.
B6)
14. В окрестности полюса Х = — п — 2k функция гк
разлагается в ряд Лорана
Г~
-га-2,
-га-2й1пг4- ... B7)
Здесь функционалы 5B&) (г), г~п~2 , г~п~2к [пт г применяются
к функциям S9 (r) по формулам:
(S(aft) (r), 5, (г) ) =
B3)
п-*\ S, (г) ) =
(г) - т @) - . . .
9с —
и In™ г [<>, (г)-?@)-...
Щ!
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 427
Величина Sfk\O) выражается непосредственно через
функцию ср (jc) и ее производные по формуле
C1)
2Kkln(n + 2) ... (ra + :
Глава I, § 5
2)'
1. Прямым произведением f(x)X.g(y) функционалов
f (х) и g(y) называется функционал в пространстве основных
функций <р (х, _у), действующий по формуле
X «-(у),
= (/ (х),
<р
2. Сверткой f(x)*g(x) функционалов / и g называется
функционал в пространстве основных функций <р (д;), дей-
действующий по формуле
(/ *#.?) = (/ (х), (^(у), т (х + j/)) ).
Свертка определена при выполнении одного из следующих
условий:
а) один из функционалов /, g имеет ограниченный
носитель;
б) носители обоих функционалов ограничены с одной
и той же стороны.
При выполнении этих условий свертка коммутативна
и ассоциативна.
3. b*f = f для любого /.
6. Из Д—»•/ следует fv*g->f*g при каждом из сле-
следующих предположений:
а) все функционалы /„ сосредоточены на одном и том
оке ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном мно-
множестве;
в) носители функционалов /„ и g ограничены с одной
и той же стороны и притом не зависящей от v кон-
константой.

428 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
7. Фундаментальным решением уравнения
A)
называется обобщенная функция Е(х), удовлетворяющая
условию
Решение уравнения A) может быть выражено по формуле
и — Е * g
при условии существования этой свертки. См. также гл. I,
§ 6, пп. 1—3, гл. II, п. 8, гл. III, § 2, п. 5.
8. Фундаментальным решением задачи Коша для
уравнения
называется обобщенная функция E(x,t), зависящая непре-
непрерывно от параметра t, являющаяся при t >¦ О решением
уравнения B) и обращающаяся в Ь (х) при t—> 0.
Решение уравнения B) с начальным условием и (х, 0) =
= ио(х) может быть представлено в форме
а (х, t) = E (х, f) * и0 (х),
при условии существования этой свертки.
9. Фундаментальным решением задачи Коми для
уравнения
{
т-го порядка по t называется обобщенная функция Е(х, t),
зависящая непрерывно от параметра t, являющаяся при t >¦ 0
решением уравнения C) и обладающая свойствами
lim E (x, t) = 0, lim
=0. ...
, . ., lim
am—2
dt
• = 0, lim
т~1
E (*, t)
dt
= 8D
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 429
Решение уравнения C) с начальными условиями
и(х0)^ди{х1О)==: __ _ дт~2 и (х, 0) _ Q>
дт~1 и(х,Щ „
а
может быть представлено в форме
и (х, t) = E (x, t) #¦ ит_х (х)
при условии существования этой свертки. См. также гл. I,
§ 6, пп. 4—5, гл. II, п. 8, гл. III, § 1 п. 6.
10. Интеграл порядка X от обобщенной функции g(x),
равной нулю при х < 0 {п = 1), определяется формулой
х
Х-1
При ReX<0 эта формула определяет производную от g(x)
порядка — X.
11. Гипергеометрическая функция
— txYa dt
удовлетворяет уравнению
(а, В, т, х) =
Г(т)
или
ГП
г (т — Р)
12. Бесселева функция Jx{\^и) связана с элементарными
функциями следующей формулой дробного дифференцирова-
ния:
du

430 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
Глава I, § 6
1. Фундаментальное решение эллиптического уравнения
Р (-з— ) Е (х) = 8 (х) может быть записано в форме
где
n) d2,
0E —-ч, <D)h|xdij. A)
причем G(?, о>) есть решение уравнения
При п нечетном выражение A) приводится к виду (? = (о1х1 -)-•••
га-1
Р { v-Л ( *)
К—1
iijj (/^J I • О ... (/Z /) 05
2. Если Р (д- j — однородный многочлен от -^—¦ степени т,
\ОХ) OXj
то ?(х) имеет вид
? (х)= Ь J. / ев Xl-{-...-{~<onxnl
B/и ~^> п, п нечетно);
П-2
(-1)
2п)пBт — пI
Р (Ш1 со„)
п, п четно);
Bт < п, п нечетно);
(—IK (/г — 2т— 1)!
B*)*
.. «в»)
Bга < /г, п четно).
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 431
3. Указанные формулы остаются справедливыми и для
однородных операторов Р {*-)> У которых grad Р (ев) не об-
обращается в нуль при Р(о)) = 0, ев =? 0; но интегралы в этих
формулах понимаются как регуляризованные (в смысле
главного значения по Коши).
4. Фундаментальное решение задачи Коши для урав-
нения Р [-5i> д~)::=" имеет вид
где Gw(t,l) — фундаментальное решение задачи Коши для
уравнения
D(d d d\ t
В частности, при п нечетном
Qnn 2 (л—1)!
5. Если Р1-ТГ, з—) — однородный гиперболический мно-
многочлен порядка т, то и (х, ^) принимает вид
п+1
(-D 2
и (х, t) =
х /
— п— 1)!
X
п — 1, я нечетно);
i—n—i
+
¦ п — 1, п четно);

432 Сводка основных определений и формул вып. 1
П+1
и{х, *) =
(-1)
\ra-l
ra+2
(/га < п — 1, п нечетно);
•2
= (-1) 3~(/г-/га)! Г
(Z7t)ra J
(т < /г — 1, /г четно).
Глава II
1. Преобразование Фурье основной функции <р (л:)
Ф E) = / ? (-0 ^г (a:iSl+ '"¦ +av?n) dJCi • • . dxn
есть целая аналитическая функция комплексных переменных
s1 = o1-r-/x1, .... s.n = on-[-гхп; она удовлетворяет неравен-
неравенствам
где { | х,- | <1 a,j)—область, вне которой основная функция
у(х) обращается в нуль.
2. Совокупность всех функций ф(з) указанного вида на-
называется пространством Z. Последовательность ф, (s) ^ Z
называется сходящейся к нулю в Z, если их прообразы
Фурье cpv (•*:)?/С сходятся к нулю в К.
3. Преобразованием Фурье обобщенной функции /, т. е.
функционала, действующего на пространстве К, называется
функционал g=F(f), определенный на пространстве Z и
действующий по формуле
где ф (s) ^ Z есть преобразование Фурье основной функции
4. Дифференцирование и умножение на независимое
переменное при преобразовании Фурье:
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 433
5. Преобразование Фурье прямого произведения:
F[fXg] = F[f]XF [gl
6. Преобразование Фурье функционала, сосредоточенного
в ограниченной области, есть функционал типа функции
7. F[S] = S.
8. Если и(х, f) есть фундаментальное решение задачи
Коши для уравнения -^ — PHj-\u = 0, то
и(х, t) при t > О,
0 при г<0
удовлетворяет уравнению
9. Преобразования Фурье конкретных обобщенных функ-
ций даны ниже в сводной таблице (стр. 446—456).
Глава III, § 1
1. Форма Л ере я со на поверхности Р (xlt ..., х„).— п<
определяется равенством
dP • ш — dx1 . . . dxn\
дР
в точках, где -s— Ф 0, ее можно представить в виде
О JC А
_ •_! dXj... dxj-tdxj+j ... dxn
<•> — ( U ^
2. Функционал 8 (Р) определяется по формуле
). «Р) =
3. 9 (Р) есть характеристическая функция области
(i)^.O. Имеет место формула дифференцирования
0' (Р) = S (Р),
28 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

-434 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
.иными словами,
4. Формы со^ . . ., сой, . . . задаются условиями:
Интеграл от формы coft (cp) по поверхности Р = 0 определен
однозначно.
5. Имеют место равенства
Р 8 (Р) = О,
P8'/(P) + 2 8(P) = O,
P8(ft)(P) + yfe8(fc)(P) = O,
6. Фундаментальное решение задачи Коши для волнового
уравнения (Д — ^-)м = 0 при /г —2& + 3 имеет вид
7. Если поверхности Р=0 и Q = 0 не имеют общих
точек, то
8 (PQ) = Р8 (Q) + Q 8(Р).
8. Если с (х) не обращается в нуль, то
9. На поверхности Pi = P2
рея со определяется из условия
dPx .. . dPk • со =
.. =Рк = 0 форма Ле-
. . . dxn.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 43?
1 ... РЛ
В частности, если якобиан D[ }Ф 0, можно по-
дожить
... dxn
10. Обобщенная функция 8 (Рх Рк) определяется:
формулой
(8 (Рх Pa). <p(*i *n))= J ?•»•
Р,-...-Р4-о
11.. Форма a)ai...ay+1,...aft(<p) определяется через форму
о)«, ...^. ...«Й(Т) уравнением
¦,--») =
1 . . . rfPft <Ов1 ... a
¦•¦Рк)
12. Обобщенная функция
венством
определяется ра~
Р1= ...=Р,=О
13. Имеют место равенства
г = 1
. Pi8(P1, .... Pfc) = 0,
PiPjbiP,, .... Рй) = 0,
P1P2 ...РА3(Л. .... Pfe) = 0,
и равенства, получаемые из указанных формальным диффе
ренцированием по Ри . . ., Рк.
28*

436 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
Глава Ш, § 2
1. Обозначения
г Х1^- •¦• ^Гхр хр+1
^ 1 ' * ' • I m m
дх\
-h •••
,n=p-\rq — размерность пространства; р, q > 0.
2. Определение обобщенных функций 1^ (Р), В^ (Р),
), 8(Й)(Р_). Р\, Рх_, (Я_|_;о)\ (P—iof.
2.1. При /» > 1. 9 > 1
(Р), ?) = 1
О
со
х(и,
тде через ^i(w, г>) обозначен интеграл от функции <р по
поверхности jcr» Н— ••• "Ь-«| = и. ^|+ +JC! = *'
.деленный на и 2 г» 2 .
Написанные интегралы сходятся при k < -^— 1; при
k^> -^ — 1 они понимаются в смысле регуляризованных зна-
значений в соответствии с § 3 гл. 1.
Аналогичным образом определяются 8ift)(P) и 8^ft)(P)
-в исключительных случаях, когда р = 1 или <7=1.
2.2. (Р\, <р)= fp\dXl ... dxn;
Р>0
(РХ_, ср)= ji-pf(?dXl ... rfXn.
Р < 0
Эти интегралы сходятся при ReX^>0 и представляют собой
аналитические функции от X; при ReA<^0 они понимаются
в смысле аналитических продолжений по X.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 437
2.3. о(й)(Р,) = (—
выч. Р\.
х=—к— 1
выч. Рк-.
2.4. (Р + iOf = Р+ -+- eTCUP-,
(Р _ Ю)" = Р"+ -(- e~nixPt.
3. Особые точки функций Р+, Рх_, ( + ) ( ?
3.1. /?—четное, q — нечетное число. Функция Р\ имеет
простые полюсы в точках Х = —1, —2, .... —k, ...;
Ю)\ (Р — Ю?.
выч. РХ =
3.2. р — нечетное, q — четное число. Функция Р% имеет
простые полюсы в точках Х = —1, —2, ..., —k
1 П П Л П ,
а также в точках а. = ^, <с — 1, .... fj й> •••»
выч.
А^ -~~ ft
вы, rt_
? П
8 (jex хп).
3.3. /? и q — четные числа. Функция Р+ имеет простые
полюсы в точках Х=—1, —2; .... —k, ...;
^L, если *<¦»;
ВЫЧ. P+ =
x—5-
?+*-!
3.4. /> и q — нечетные числа. Функция Р+ имеет простые
полюсы в точках Х = —1, —2, —3 —(у— 1J;
в точках Х = — -к-, g- — 1, ..., ^ — ^« • • • эта
имеет полюсы кратности 2.
29 Зак, 460, И. М. Гельфанд и Г, Е. Шилов, вып. S

438 Сводка основных определений и формул вып. t
При k<^
В окрестности X = ^ —
+¦?+*)
•+
где
-(*)
с1
\ I ...»
g+i n
3.5. При переходе от Р\ к Pi. следует в 3.1—3.4 по-
поменять ролями индексы р и q, а также заменить L на —L
и 8ift-4(P) на Ъ[*-1>(—р).
3.6. Функции (Р-)-г'0)х и (Р — ДО)Х имеют особенностями
лишь простые полюсы в точках Х = — -^-, —-^-—1, ...
— - — k
выч.
= выч. (Р— /0)х =
= ™ Л;
L Ъ(хи xn).
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 439
4. Связь между функциями §ift)(P), S^P), S(ft)(P+)
(й)
и
4.1. 8(xft)(—-P) = (—l)ft8
4.2. ^сяй »— нечетное, а также если п четное и.
<
1.
8(!й) (Р) = §^> (Р) =
/г — четное и k~^-^ 1, то
8f) (Р) _
где cp,q,k и cp>q,7c — числовые коэффициенты.
4.3. Если р и q—четные числа и k
(_ 1 f b(k) (PJ —
(-1K
хп).
-^- — 1,
и .... xn),
во всех остальных случаях
8<ft>(P_)=(—1)*8<*>(Я+).
5. Фундаментальное решение К дифференциального
уравнения Lku = f(x).
5.1. Если п — нечетное число, то
e* Г 4f-
4k(k— l)!na
= (— О
7
:? )
29*

440 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
5.2. Если п—- четное число и &<—, то
.-;+* „-?+*
где Р 2 и Р_а обозначают свободные члены лоранов-
ских разложений функций Р+ и PL в окрестности точки
п
5.3. Если п — четное число и А>^-, то
= С—
п
In
6. Формулы пп. 3, 5 остаются справедливыми для
произвольной невырожденной квадратичной формы
В этом случае
а, 3=1
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 441
где коэффициенты g*P определяются из условий
(8«= 1 при т::=а. §1=0 при 1 Ф а).
В формулы п. 3 нужно при этом добавить справа
А |.
в качестве множителя —^==, а в формулы п. 5 добавить
У I Д|
где Д — дискриминант квадратичной формы Р.
7. Преобразования Фурье функций, перечисленных
в пп. 1—6, приведены в сводной таблице преобразований
Фурье (ниже).
Глава III, § 3
1. Обобщенная функция / (хх хп) называется одно-
однородной функцией степени \, если для любой основной
функции ср (х) и а > 0
2. Если f(xu .... хп) положительная непрерывная одно-
однородная функция 1-й степени, то обобщенная функция
(A <?) =
определенная этим интегралом при ReX>—п, может быть
аналитически продолжена во всю плоскость X, за исключе-
исключением точек Х== — п, —п—1 —п — k где она
имеет простые полюсы. Аналитическое продолжение р
в область ReX> —п — k — 1 задается формулой
= / /Х
G
— <Р @) — •••
1
<Ар@) 1
1 •¦•0Хп J
R-G
ш=о
ml (Х+л+ти)
@)
Л...дхап
х п г

442 СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1
где О — область, содержащая начало координат, Г — ее
граница, а со—дифференциальная форма
лгх dx2 •.. dxn — х2 dxx dx3 . .. dxn -f- . • •
•••-t-(-lf+1xndx1...dxn_1.
В полосе —n — k — l<ReX<—n — k эта же формула
может быть записана в виде
(А ?) = //*00
[?(*) — т@)— ...
Вычет функции fk в точке А — — п — k равен
(-1)* у дк 5
В частности, в точке Х=—/г он равен
3. По произвольной формально однородной функции Ф (х)
степени — п и области О, содержащей начало координат,
строится обобщенная функция
локально совпадающая с Ф(л;) всюду, кроме нуля. Зта
обобщенная функция Ф'|в однородна степени—г/г тогда и
только тогда, когда
где Г — граница области С? и ш — дифференциальная форма,
указанная выше.
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 443
4. По произвольной формально однородной функции Ф (х)
степени—п—т и области О, содержащей начало коорди-
координат, строится обобщенная функция
ф|в=
_L
2. а.—т
+ / Ф (*) <р
(*) —<р @) — ...
. o.j-m-1
локально совпадающая с Ф (х) всюду, кроме нуля. Эта
обобщенная функция однородна степени — п—т тогда и
только тогда, когда выполняются условия
= O B «* =
5. Однородная функция Ф степени — л+1 может быть
продифференцирована (как обобщенная функция) по формуле
дФ
4 (—D^'
X
i хп)х
j_x dxJ+1 . . . dxn,
причем результат не зависит от выбора области G.
Глава III, § 4
1. Функция G(x) = G(xu ..., х„) называется эквива-
эквивалентной однородной функции в окрестности точки М,
если в этой окрестности существует локальная система
координат ?lt ..., \п, в которой функция G (х) становится
однородной функцией.

444 сводка основных определений и формул вып. 1
2. Индуктивное определение приводимой точка. Точка х0
на вещественной оси называется приводимой (относительно
функции G (х), О(д;0) = 0), если О (х) в окрестности точки х0
эквивалентна однородной функции.
Точка М на поверхности О(хи . . ., хп) = 0 называется
приводимой, если в некоторой окрестности точки М функ-
функция G эквивалентна однородной функции и пересечение
поверхности О = 0 со всякой достаточно малой сферой
с центром в точке М дает поверхность, каждая точка кото-
которой приводима на этой сфере.
3. Если локальные координаты в окрестности точки М
можно выбрать так, чтобы однородная функция G степени т
зависела от k переменных и нельзя выбрать так, чтобы она
зависела от k — 1 переменных, то точка М называется
точкой k-го порядка и степени т.
4. Предположим, что поверхность 0 = 0 состоит лишь
из приводимых точек. Функционал, определяемый сходя-
сходящимся при ReX>0 интегралом
.... х„) <р (хи
... dxn,
G>0
представляет собою аналитическую функцию от X. Эта ана-
аналитическая функция может быть продолжена во всю пло-
плоскость X как мероморфная функция, полюсы которой лежат
на конечном числе арифметических прогрессий. Именно,
каждой связной компоненте поверхности О — 0, состоящей
из точек порядка г и степени т, отвечает серия полюсов
_г_ г + 1 г + k
т
——, . . . Если имеется
в точках ,
т т т
несколько вложенных друг в друга связных компонент,
состоящих из точек различных порядков, и значение Х = Хо
принадлежит нескольким сериям, отвечающим этим компо-
компонентам, то кратность полюса в точке \ соответственно
увеличивается.
В частности, если на поверхности 0 = 0 нет особых
точек (т. е. все ее точки—приводимые порядка 1 и сте-
степени I), то полюсы функции (Ох, <р) исчерпываются серией
— 1, —2 —п.
5. Предположим, что поверхность 0 = 0 состоит только
из приводимых точек, а поверхность G = c при с>0 не
СВОДКА ОСНОВНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ФОРМУЛ ВЫП. 1 445
имеет особых точек. Пусть, далее, форма со определена
равенством dG • со = dv. Для интеграла
/(с)=
= (S@ — с), ср)
G-c
имеет место асимптотическое разложение
где 0> —Xi >—Х2 >».. .—полюсы функции (О\ ср), mh—крат-
mh—кратность полюса в точке Xfe и акт есть коэффициент при
О- + ^к)
в разложении Лорана для (О\ ср) в окрестности полюса — Xfe,
i
умноженный на
——\\\ •
6. В частности,
(су = с —со
= -2сР@. O)lnc+
где многоточие заменяет члены, стремящиеся к нулю при
с —> 0. Эквивалентная формула
Ь(ху — с) = — 2 8(*. ^Iпс
7. Для G = х*-+-у2-\-z* — t2
? (О) + о (с).

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
I. Функции одного переменного
с
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Обобщенная функция J
Обычная интегрируемая
функция f(x)
о(х)
1
Многочлен Р (х)
В*2*) (х)
аBт»+1) / „\
sin bx
cos 6jc
ch bx
a?
1 v iX л __/ i о \
| Л | ^Л =jt= 1 ? О, „ . . )
Преобразование Фурье F [f]
OO
F[f]= ff{x)e>*°dx
—oo
1
2*»<«)
(-l)-c2'»
2ic 5 (s — ib)
— tTz[b(s-\-b) — b(s — b)]
к [3 (s + 6) -f- 5 (s — 6)]
я [S (s — /6) — В (s + /6)
ic [5 (s — /6) + В (s + /6)]
Аналитический функционал
/ |/*2it e a (интегрирование по
мнимой оси)
_2sin^r(X+l)|a,-^
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 447
Прод олжение
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Обобщенная функция
-- \x\x
r A-r
to
l-*|xsgn x
(Кф-2, -4,...
Г\ 2
лг Л+ (Х=И= —1, -2,.
*) Второе — при X
/
1\
)
nx
••)
-)
Ф0
Преобразование Фурье F [f
2/ COS -
le 2 Г (X
= /Г(Х-
/п+ 'л! с
rf
± 1, ±2,
f Г(Х
2 (— /)
1С
(я —
/л
г-П-1_
±3,.
Х+1
i/"o~ 2 2 | о
"* т(
,-Х-1
to| >*
-bl)|ff|-X"l8gnff
г,^ _х_
г /1 —
та r(***) {/t\
sgn a
-я | а |
+ »,-.-_
f (— 1)п я »(»)
¦-.-ftV
••
'sgn,
J

448 СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Продолжение
25
26
Обобщенная
функция /
(х
{х — Ю)л
Преобразование Фурье Z7 [/]
гХ-
2
В дальнейших формулах 27—38 введены следующие обо-
обозначения:
iX-
„(»)
= j~i + 4та>+ <) (X + «)+...,
-te
2 cos -? Г (к + 1) = =—=i + 4n) + 4n) (X + ri).
Коэффициенты а^[, aft1*,... имеют следующие значения:
яП— 1
п- 1 = (п — 1)! ;
( П— I
(п) _ in~ У 1
Д1 "(я-1I Slip
jk 8
сводили таблица преобразований ф^рьё 449
Продолжение
Обобщенная
функция /
Преобразование Фурье F\f]
В частности,
27
28
29
30
31
32
33
(я —1)!
(п) 2(—I)" . 1Ч я
I -«"I
х\ In дг+
-1, —2,...)
¦}_ In лг_
-1, -2,...)
In jc+
1ПЛГ
le
||
42ffl+Vm — сB™ + %3™ In I
r(
_ Г (X + 1) (a + /0)~x~1 In (a + /0) |
-te
— Г (X + 1) (s — /0)-х~1 In (а — /0) j
)
— (a — /0)-Mn(a — /0)] j
х^ — ю)
— Г (\ + 1) (a — /О)-* In (a —70) |

450 СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Продолжение
34
35
36
37
38
39
40
41
Обобщенная
функция /
| X JX In | X \ Sgn X
х in | х \
х-**-Чп\х\
\х\ т In |ж|
(Х^-1, -2"!"...)
A -f- л:?)^
Преобразование
— Г (A-f-1) (a-f-Ю)-
-гх|.г
-4- /^ J I "F' / 1 i 1 \
(^ iC < 1 X 1 Л —j— 1 1 —
— Г(Х + 1)(*-
сх w | а | m с0 г
z42w+1)'2msgna— id<§
с1 о с0 а
, 1
2У^ /|а
Г (— X) \ 2
л. 1Л ' " 11 У 7ь
COS зг( X -(- —- J,
I)-'-
а
2"
а
"
Г
—л
~?
¦"¦('¦
Фурье /=• [/]
1/V—4— 11 I \Q~f~l\Jf
х-11п(а+/0)} +
-^r(i + 1,jx
X (а — iO)~x~x-
/0)~х~11п(а —/0)
ге) | а j2"*-1 ln| а 1
m + l)s2mIn|s|sgn
raln| а| +
1
*J ! (а)
2/<_л_±Aа|)
1
Л^ 1 (|а|) =
~x""
1
( а1)~Ух + 1Aа|
¦*"т)
1—
1
а
)
СВОДнАЙ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЁ 451
Продолжение
Обобщенная
функция /
Преобразование Фурье F [/]
42
2. Функции нескольких переменных
1
Многочлен
Л С)=-
B-)и в (.„.....я)
г I --^
В формулах 6—9 используется функция
~~2 Г
Сх—2к^~пк
с~1
К4)
в правой части выписано ее лорановское разложение в окрестности точки
Х= — п—2т. Кроме того,
есть поверхность единичной сферы в n-мерном пространстве.
(Х#-л, -л-2,....)
гК 1ц2 г
{\ф-п, -п-% ...)
о r-in-m
дк
dC,
* р-Х—n+2_*p-X-nIn p + Cx?-x~n 1пз р
c
,ц

452
Сводная таблица преобразований фурьё-
Продолжение
к
ез
%
%
10
11
12
Обобщенная
функция /
Ь(г — а) (л>1)
То же при л=3
/ d Y^o (г— а)
\ada' a
Преобразование Фурье F [/]
п та
а
. sin яр
Р
я l/"^ sin яр
а«г < Р-
Обозначения в дальнейших формулах 13—25 см. выше, в разделе
«Сводка основных определений и формул», стр. 436, пп. 1—2.
13
14
15
16
(Р 1 ;г\\Х
\Г ~\- l\JJ
(Р — ;о)х
Рх+
Р\
--<?»— X п
1 ,. а ОП4-2Х »ГЛ . »Vn .m 3
Г/_Х) Ч + ~ J (Q — «О)
1С . П
е 2"^*- ж Г1Х+— 1 _х ——
г(_х) («+'°)
2»+»*а Г(Х + 1)г(х+^)х
Г-|(|. + Х). -x-f
X ^-Le (Q-гО)
<(|+х). -х--^1
-в (Q+iO) J
_2И + »-те» г(ХН-1)г(х + -^)х
X -^- U a (Q- /0) 3 _
-в (Q-fiO) J
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 453
Продолжение
I
с"
17
1 /
18
Обобщенная
функция /
(С2+ Р + гО)Л
(С2 + Р - гО)Х
Преобразование Фурье F [/]
Г т1
JL+X ^n U(Q-fO) J
2Х+1(у-27)Пс2 -+Х
Г(-Х)У"Д Ит+0
(Q-fO)aV2
хч-—+i — -^х+4
„ т 2 2 2 2
2 я е С
Г(-Х)У|Д|
/1\ / 1 \ _
X
* ,W ^A) га^^
Х + ? я/ ~Л~2
Г -2-1
2i+x ^n , Lc(Q + ;o) J
2x+1(V2^)nc2 7+ _
г(-х)УТ -Mf + \)
2 V а ¦ '
(Q + «)
га »г дтсг п
^+-3 + 1 -а V X+"S
2 тг е с
г (— х) УГдТ
X
\ „Li) я»' „Ui)"
Л +" W ~ 9
L Q+ Q-
1

454
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Продолжение
СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ 455
Продолжение
с
с
%
%
19
Обобщенная
функция /
(с" + Р) +
Г(Х + 1)
Преобразование Фурье F [/]
п п п
2 га с2
vm
X
... L
(О+ЮL
2.1п(л+А)я
X
Г *1
g ч *\l + xU(Q-*0JJ
а / те ^
41
Q+Ю) J
;, « 1 П 1 П -L-
2 " ти С
TUT
X
/ 1 \
1 2 т(*+-) '
Г / * \
я Q4(^l) '
+ sin
2 i-Гх^
2 V" ' 9/
Q_ J
. i
с
"в"
1
20
Обобщен-
Обобщенная
функция /
(ta + />)_
Г(Х+1)
X (С + Я)
л
2
'X
Преобразование Фурье
п п п
Ы с
У |д |
q-rzi Kn Lc
~2~ "? +
X
sin ^
ГС
2~ Т +
(Q-
(Q+;oJJ
. п VQ+
)
Л+ 2
•2-t-
/ nLii)
дк Х + 2
Sln 2 1 /"
П
r
п п
(Q-iO)
_ е
L
ЮL
2
2 /
¦ (Q —
1 / п
"а"
№
1С
Q
i
-)
|_s
,4
-)
n
Д |
f)'
]
U(Q
J_ /
(Q + гоJ ч
и
- x
и
-

456 СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ
Проб олжение
22
23
24
25
Обобщен-
Обобщенная
функ-
функция /
(S+1)
Преобразование Фурье F [/]
Via j
i ^n Lc(Q-;o)"
24» ^ <
 2
(Q-iO)
(
2 V 2
[c{Q + iQ)j]
п п , п
1
Г i] Г
2 2
(<?-»)'
+ B*)
п я .re
8+ТГ T-1?
i-2 к с
7B=0
„TC;; A"n Lc (Q-
V ? + S
от)!
6 (л:),
(Q +1
4тоот1 (j — m)!
ДОБАВЛЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ ПРОСТРАНСТВА
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Мы указывали в гл. I (§ 1, п. 8), что пространство
обобщенных функций является полным относительно введен-
введенной там сходимости; иначе говоря, если последовательность
функционалов fv /2, ...,/„,... такова, что для каждой
основной функции ср существует предел числовой после-
последовательности (/„, ср), то этот предел /(ср)= lim (/„, ср)
снова задает линейный непрерывный функционал на про-
пространстве К. В настоящем Добавлении это предложение
будет доказано.
Тот факт, что функционал /(ср) линеен, весьма прост:
Существенно доказать непрерывность функционала /(ср)>
Пусть послгдовательность основных функций cps стремится
к нулю в пространстве К; мы должны показать, что /(<pv)—> 0.
Допустим противное. Тогда, перейдя, если нужно, к не-
некоторой подпоследовательности, можно считать, что |/(<pv)|^-
>с>0.
Сходимость последовательности cpv к нулю в простран-
пространстве К означает, что все функции cpv (x) равны нулю вне
ограниченной области и стремятся к нулю равномерно в Rn,
так же как- и их производные любых порядков. Еще раз
перейдя к подпоследовательности, можем полагать, что
= 0,
v).
30 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

458
ДОБАВЛЕНИЕ
Положим t|'v=2vcpv; тогда функции ф„ также будут стре-
стремиться к нулю в пространстве К, а в то же время /(ф„) —> оо.
Теперь будем строить некоторую подпоследовательность /^
и некоторую подпоследовательность ф^ следующим образом.
Выберем сначала ф^ так, чтобы иметь |/Л|Л|> 1. По-
Поскольку (/„, ф)—>-/(ф)> выберем дальше /[ так, чтобы иметь
(Л.Ф0>1-
Пусть /'., ф' (У=1, 2 v—1) построены. Возьмем
в качестве ф^ элемент последовательности ф„ с настолько
большим номером, что
к/;. «Ю
= 0, 1 V—1);
9-1
(а)
(б)
Первое возможно, потому что функции ф„ стремятся
к нулю в пространстве К, и, следовательно, для любой
обобщенной функции /0 мы имеем (/0> ф„)—»-0. Второе воз-
возможно потому, что /(t|»v)-»oo. Так как (/„, ф)-^-/(ф)> то
выберем /^ из последовательности /, с таким расчетом,
чтобы иметь
v-1
2
Таким образом, построение
неограниченно. Положим далее
j/ и f'v можно продолжить
По построению, ряд в правой части сходится в про-
пространстве К и, следовательно, его сумма ф есть элемент /С.
Далее
v-1
(/;. ф)=2(/;. «й+(/:.*;
ДОБАВЛЕНИЕ
Но в силу (б') и того, что
459
получаем
т. е. при v -> со также ^, ф) —»• оо. Но это противоречит
соотношению lim (/[, ф) = /(ф)
v->- оо
Отсюда следует, что /(ср„)—>¦ 0, и непрерывность пре-
предельного функционала / доказана.
30*

ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
В этой книге затрагивались вопросы классического анализа,
имеющие в большинстве своем достаточно длинную историю.
Поэтому ссылки, которые мы приводим ниже, во многих случаях
приблизительны или условны. Например, понятие регуляризации
расходящихся интегралов мы связываем с именами Ж. Адамара
и М. Рисса, хотя оно встречалось уже у Коши (при определении
Г-функции вне области сходимости интеграла), и, несомненно,
еще Эйлер пользовался в своих вычислениях близкими сообра-
соображениями.
К § 1 гл. I. Понятие обобщенной функции, как функционала
над некоторым пространством функций, было сформулировано
С. Л. Соболевым [20]. В той форме, которую мы приводим, оно
было предложено М. Шварцем [14].
К § 2 гл. 1. Содержание этого параграфа заимствовано в основ-
основном из книги Л. Шварца [14].
К § 3—4 гл. 1. Идея регуляризации расходящихся интегралов
для применения к задачам дифференциальных уравнений восходит
к Ж. Адамару [8]. М. Риссу [13] принадлежит общий метод регуля-
регуляризации путем аналитического продолжения (см. также Л. Шварц [ 14]).
Приведенный в этом параграфе материал является расширением
и переработкой соответствующего материала из статьи И. М. Гель-
фанда и 3. Я. Шапиро [16]. Новым по сравнению с этой статьей
является введение и систематическое использование функционалов
(х + Ю)х и (х — Ю)\ а также постановка проблемы о канонической
регуляризации и ее решение для функций одного переменного.
В классе функций двух (и более) переменных с особенностями
не выше степенных проблема канонической регуляризации уже не
разрешима; как обнаружили В. Грушин и Р. Исмагилов, даже
функциям а : (здесь а (х, у) — бесконечно дифференцируемая
функция) невозможно сопоставить функционалы так, чтобы выпол-
выполнялись условия канонической регуляризации. В более узких клас-
классах функций нескольких переменных каноническая регуляризация
возможна; В. Паламодов нашел несколько таких классов. Напри-
Например, каноническая регуляризация возможна в классе функций
¦ ' ^ , если расстояние между корнями каждого из многочленов
Р (х, у), лежащими в верхней полуплоскости, и его корнями, лежа-
ПРИМЕЧЛНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
461
щими в нижней полуплоскости, остается в каждой ограниченной
области на оси х больше положительной постоянной.
Задача о разложении дельта-функции на плоские волны (п. 11)
в классической формулировке (вычисление значения функции
в точке по известным интегралам этой функции по гиперплоскостям)
была поставлена Радоном в 1917 г. и решена Ф. Джоном [10]
и другими авторами; отметим по этому поводу заметку А. Хача-
турова [22].
К § 5 гл. I. Содержание этого параграфа заимствовано в основ-
основном из книги Л. Шварца [14]. В разработке последних примеров
п. 5 принимал участие Н. Я. Виленкин.
• К § 6 гл. 1. Содержание пп. 1 и 3 взято из статьи И. М. Гель-
фанда и 3. Я- Шапиро [16]. Результаты п. 1 близким методом
получены Ф. Джоном [10], результаты п. 3 независимо и приблизи-
приблизительно одновременно найдены Р. Курантом и А. Лаксом [4].
Впервые формула общего решения гиперболического уравнения
с постоянными коэффициентами была дана Герглотцем [9] и
И. Г. Петровским [19] для тех случаев, когда она могла быть
выражена в классических терминах теории функций, т. е. для
уравнений достаточно высокого порядка (»*>• п-\-1). Гиперболи-
Гиперболические уравнения с постоянными коэффициентами были исследо-
исследованы в важных работах Л. Гординга [7], с помощью метода Рисса,
и Лерея [Н], с помощью общего преобразования Лапласа. Пункт 2
написан В. А. Боровиковым* по Собственным результатам [24].
К Добавлению 1. Содержание этого Добавления заимствовано
из книги Л. Шварца [14].
К гл. II. Определение преобразования Фурье функций степен-
степенного роста, как обобщенных функций, принадлежит Л. Шварцу [14].
Другое определение аппарата преобразований Фурье таких функ-
функций имелось у С. Бохнера [1] и Т. Карлемана [3]. Приведенной
в § 2 и § 3 определение преобразования Фурье функции произ-
произвольного порядка роста принадлежит И. М. Гельфанду и Г. Е. Ши-
Шилову [17]. В статье [17] дано более общее определение, о котором
будет идти речь в гл. III второго выпуска. Пространство Z было
введено И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым [17] (под обозначе-
обозначением Z1) "*), а также одновременно и независимо Б. Мальгран-
жем [12] и Л. Эренпрейсом [5]. Текст § 2, п. 6 принадлежит
Н. Я- Виленкину и 3. Я- Шапиро.
К § 1 гл. 111. Определение дифференциальных форм »_;(У^>0),
функционала 8 (Р) и его производных принадлежит И. М. Гельфанду
и 3. Я. Шапиро [16]. Форма а>0 введена впервые Ж. Лереем [11J.
Пункт 9 заимствован из статьи 3. Я. Шапиро [23].
К § 2 гл. III. Изучение полюсов и вычетов квадратичной формы
в степени X для случая, когда в квадратичной форме имеется не
больше одного минуса, было проведено М. Риссом [13] и явилось
у него основой для исследования решений волнового уравнения.
Исследование квадратичной формы в общем случае для целей
*) Более подробное изложение методов, основанных на исполь-
использовании пространства Z, и связей с аналитическими функционалами
Фантаппи и работами Лерея составит содержание пятого выпуска.

462
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
теории представлений провели И. М. Гельфанд и М. И. Граев [15].
Фундаментальные решения ультрагиперболических уравнений /,ы=5
построены впервые И. Фурэ-Брюа [6]; в приведенной здесь форме
они указаны 3. Я. Шапиро; для /,*ы = 8 публикуются здесь впервые.
Пункты 1, 2 следуют работам М. Рисса [13] и И. М. Гельфанда
и М. И. Граева [15]. Идея, положенная в основу пп. 3—10 —про-
—продолжение в комплексную область — принадлежит И. М. Гельфанду.
Она изложена в п. 3. Результаты пп. 4—6 принадлежат И. М. Гель-
Гельфанду и М. И. Граеву, а пп. 7—10 Н. Я. Виленкину, И. М. Гель-
Гельфанду и 3. Я- Шапиро. Соответствующие пункты написаны авто-
авторами полученных результатов.
К § 3 гл. III. Результаты этого параграфа взяты в основном
из статьи И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро [16]. Пункт б написан
В. А. Боровиковым.
К § 4 гл. III. Материал этого параграфа в основном взят из
статьи И. М. Гельфанда и 3. Я. Шапиро [16]. М. В. Федорюк по-
построил Р* для любого многочлена от двух переменных с одним
нулем в начале координат.
К Добавлению. Приведенное в Добавлении доказательство пол-
полноты пространства К! предложено М. С. Бродским.
БИБ ЛИО ГР АФ ИЯ
[1] В осп пег S., Vorlesungen Qber Fouriersche Integrate. Leip-
Leipzig, 1932.
[2] Bureau F., Divergent integrals and partial differential
equations, Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), 143—202.
[3] С a r 1 e m a n Т., L'integral de Fourier et questions qui s'y
rattachent. Uppsala, 1944.
[4] С о u r a n t R. and Lax A., Remarks on Cauchy's problem
for hyperbolic partial differential equations with constant coefficients
in several independent variables, Comm. Pure Appl. Math. 8 A955), n°4.
[5] Ehrenpreis L., Solution of some problems of division,
Amer. J. Math. 76 A954), № 4, 883—903.
[6] Foures-BruhatY., Solution elementajre d'equations ultra-
hyperboliques, J. Math. Pures Appl. 35 A956), n° 3, 277—288.
[7] О a r d i n g L., Linear hyperbolic partial differential equa-
equations with constant coefficients, Acta Math. 85 A950), 1—62.
[8] H a d a m a r d J., Le probleme de Cauchy et les equations
eux derivees partielles lineaires hyperboliques, Paris, 1932..
ШН e r g 1 о t z G., Ober die Integration Iinearer, partieller Dif-
gleichungen mit konstanten Koeffizienten, Ber. Verh. Sachs.
Acad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. KU vol. 78,1926, pp. 93—126,287—318;
vol 80, 1928, pp. 60—144; Abh. Math. Sem. Univ. Gamburg, vol. 6,
1928, pp. 189—197.
[10] John F., Bestimmung einer Funktion aus ihren Integralen
fiber gewisse Mannigfaltigkeiten. Math. Annalen, vol. 100 A934),
488—520; The fundamental solution of linear elliptic differential equa-
equations with analityc coefficients, Comm. pure and appl. math., vol. 3
ПРИМЕЧАНИЯ И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
463
A950), 273—304; см. также его книгу Plane waves and spherical means,
applied to partial differential equations. New York, 1955.
[11] Leray J., Les solutions elementaires d'une equation aux
derivees partielles a coefficients constants, Comptes Rendus Acad. Sci.
Paris 234 A952), 1112—1115. См. также его книгу Hyperbolic differen-
differential equations, New York, 1955.
[12] Malgrange В., Equations aux derivees partielles a coef-
coefficients constants, 1. Comptes Rendus Acad. Sci., 237 A953), № 25,
1620—1622.
[13] R i e s z M., L'integrate de Riemann-Liouville et le probleme
de Cauchy, Acta Math. 81 A949), 1—223.
[14] Schwartz L., Theorie des distributions 1, II, Paris, 1950—51.
[15] Гельфанд .И. М. и Граев М. И., Аналог формулы
Планшереля для классических групп, Труды Моск. матем. о-ва 4
A955), 375—404.
[16] Гельфанд И. М. и Шапиро 3. Я., Однородные функ-
функции и их приложения, Успехи матем. наук 10 A955), № 3, 3—70.
[17] Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Преобразования
Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности реше-
решения задачи Коши, Успехи матем. наук 8 A953), № 4, 3—51.
[18] Микусинский Я., Операторное нечисление, ИЛ, М.,
1956.
[19] Петровский И. Г., On the diffusion of waves and the
lacunas for hyperbolic equations. Матем. сб., № 17 E9), A945),
289—370.
[20] Соболев С. Л., Methode nouvelle & resoudre le probleme
de Cauchy pour les equations Iineaires hyperboliques normales, Матем.
сб., № 1 D3), A936), 39—72.
[21] Соболев С. Л., Некоторые применения функциональ-
функционального анализа в математической физике, Изд-во ЛГУ, Ленинград,
1950.
[22] Хачатуров А. А., Определение значения меры для
области л-мерного пространства по ее значениям для всех полу-
полупространств. Успехи матем. наук, 9 A954) № з F1), 205—212.
[23] Шапиро 3-Я., Об одном классе обобщенных функций,
Успехи матем. наук, 13 A958), № 3 (81), 205—212.
[24] Боровиков В. А., Фундаментальные решения линей-
линейного уравнения в частных производных с постоянными коэффициен-
коэффициентами, ДАН СССР, 119, № 3; Диссертация, МГУ, 1958.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля интегральное уравнение
151
Аналитические функционалы 202
, преобразование Фурье 236
Аналитического продолжения ме-
метод 64, 192
Аналитическое продолжение од-
однородной функции 109
Асимптотическое разложение для
/(с) 407
В (лгу — с) 409
. Ъ(х* + у*+г* — Р—с)
410
Бесселевы функции 156, 234
Бета-функция 94
Внешнее произведение диффе-
дифференциальных форм 266
Внешний дифференциал диффе-
дифференциальной формы 267
Волновое уравнение в нечетно-
мерном пространстве 252
Гамма-функция 75
•, регуляризационные фор-
формулы 75
Гаусса — Остроградского фор-
формула 270
Герглотца — Петровского фор-
формулы 173
Гиперболический оператор 174
Гиперболическое уравнение 173
— —, решение для него задачи
Коши 174
Гипергеометрические функции
152
Грина формула 45, 279
Даламбера формула 148
Двойной слой 292
Дельта-образные последователь-
последовательности 52
Дельта-функция 13, 17
, преобразование Фурье 211,
, производная 43
, разложение на плоские
волны 105, 111
сдвинутая 17
Дифференциальная форма ¦ 17,
265
, внешний дифференциал 267
, интегрирование 268
<о 272
(ой (ср) 281
»«,...«fc<?> 299
— —, финитная 265
Дифференциальное уравнение
с обобщенными функциями 58
Дифференциальные формы,
внешнее произведение 248
, равенство их 247
Дифференцирование как локаль-
локальная операция 186
— однородной функции 109
— преобразования Фурье 210,
239
— произвольного порядка 148
— свертки 137
— функционала по параметру 66,
190
Дробного порядка интеграл 149
производная 149
Единицы разложение 182
Единственность формы ш 273
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
465
Интеграл Сонина 157
Интегральное уравнение Абеля
1о 1
Интегрирование дифференциаль-
дифференциальной формы 268
— обобщенной функции по па-
параметру 189
— произвольного порядка 148
Итерированное уравнение Ла-
Лапласа 250
Каноническая регуляризация 85
— — в конечном промежутке 91
на бесконечности 95
— —, однозначность 86
^-кратный слой 292
Комплексные обобщенные функ-
функции 30
Лапласа итерированное уравне-
уравнение 250
¦— оператор 45
от — 45
г
— преобразование 250
Линии, эквивалентные веще-
вещественной оси 203
Локально интегрируемая функ-
функция 16
Локальное определение равен-
равенства
— — —• нулю обобщенной функ-
функции 18, 184 двух обобщенных
функций 19, 185
Локальные свойства обобщенных
функций 18, 19, 184, 185
Лорановское разложение обоб-
обобщенной функции, зависящей
от параметра 193
Метод аналитического продолже-
продолжения 64, 192
Многочлен Якоби 155
Мультипликатор 201
Непарные куски 176
Непрерывность функции по па-
параметру 188
Нечетная обобщенная функция
Носитель обобщенной функции
1У
— прямого произведения обоб-
обобщенных функций 133
Нулевая поверхность 187
Нулевой контур 203
Ньютоновский потенциал 139
Обобщенная вектор-функция 277
— функция 17
— —, аналитическая по пара-
параметру 66, 191
-— —, бесконечная дифференци-
руемость 36
— —, дифференцируемая по па-
параметру 189
единица 17
— — —, преобразование Фурье
212, 239
, зависящая от параметра
66, 188
— —, инвариантная относи-
относительно операции 23
комплексная 30
— —, непрерывная по параметру
188
нечетная 72
, носитель 19
однородная степени X 23,
107
, первообразная 62
— — периодическая 23
¦ —, ряд Фурье 48
постоянная 17
, преобразование Фурье 210,
238
— —, произведение на беско-
бесконечно дифференцируемую
функцию 21
число 20
производная 34
— как предел отношения
36
— по параметру 66, 189
равная нулю 18
— — регулярная 17 .
— — — в области 19
— —, сдвиги, повороты и другие
линейные преобразования 21
— — сингулярная 17

466
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Обобщенная вектор-функция
сосредоточенная на мно-
множестве 19
, существенные точки 19
сферически симметричная
23
6 (х) 37
центрально симметричная
23
четная 72
—, преобразование Фурье
216
, производная 37
В {х) 13, 17
— , преобразование Фурье
211, 239
— — —, производная 43
¦— , разложение на плоские
волны 105, 111
сдвинутая 17
х\ 68
, каноническая регуля-
регуляризация 85
— , лорановское разложе-
разложение 117
• , неопределенный инте-
интеграл 76
, нормировка 78
— , полюсы и вычеты в них
70
— — —, преобразование Фурье
215
, производная 39
— , тейлоровское разложе-
разложение 113
х^_ 70
—, каноническая регуля-
регуляризация 85
, лорановское разложе-
разложение 119
— , неопределенный инте-
интеграл 76
— , нормировка 79
—, полюсы и вычеты в них
71
, преобразование Фурье
217
— — —, тейлоровское разложе-
разложение 117
(х + Юу 83, 123
Обобщенная вектор-функция
четная дифференцирование 125
как целая функция 84
, преобразование Фурье
— — —, тейлоровское разложе-
разложение 127
(х — /0)* 83, 123
— , дифференцирование 125
как целая функция 84
, преобразование Фурье
219
, тейлоровское разложе-
разложение 127
| х |* 72
, каноническая регуля-
регуляризация 85
—, лорановское разложе-
разложение 120
— — —, неопределенный инте-
интеграл 76
, нормировка 79
—, ^-кратный интеграл 77
—, полюсы и вычеты в них
72
— — —, преобразование Фурье
217
, тейлоровское разложе-
разложение 119
| Ar^sgn х 72
— , каноническая регуляри-
регуляризация 85
— — —, лорановское разложе-
разложение 121
, неопределенный инте-
интеграл 76
, нормировка 79
— , полюсы и вычеты в них
72
, преобразование Фурье
217
, тейлоровское разложе-
разложение 120
х—>" 74
, преобразование Фурье
218
|д.|-2ш-1 121
— — —, преобразование Фурье
227
— |^r2msgn^r 121
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
467
Обобщенная вектор-функция
преобразование Фурье 228
х* \пХ Ц4
, преобразование Фурье
219
хх_\пх_ 117
, преобразование Фурье
219
In лг+ 41
, преобразование Фурье
221
, производная 42
| х |Чп | х | 120"
, преобразование Фурье
221
| х |Мп | х | sgn х 120
—, преобразование Фурье
221
In | .к | 42
— , преобразование Фурье
222
, производная 43
¦— — In X-, преобразование
Фурье 221
х-2т\п\х\ 424
¦— , преобразование Фурье
225
х~2т-1\п\х\ 425
, преобразование Фурье
226
I „ |-2от-1 i_ I „ г 191
- ¦— I Л, I 111 | Л I LZ.X.
¦— — —, преобразование Фурье
227
. \х \~2т In | х | sgn x 121
— — —, преобразование Фурье
228
лг-га1плг+ 117
— — —, преобразование Фурье
228
— — х
115
— — —, преобразование Фурье
223
, формула дифференци-
дифференцирования 116
— — х
118
Обобщенная вектор-функция
х~п In х 119
—, преобразование Фурье
224 ,
х
Г А + П 8°
— , тейлоровское разложе-
разложение 123
, формула дифференци-
дифференцирования 81
хх
г ~ 80
—, формула дифференци-
дифференцирования 81
80
Ч)
, формула дифференци-
дифференцирования 81
\х Iхsgnх
т
In (х + Ю) 43
—, производная 43
In (x — Ю) 126
, производная 126
(х -(- Ю)* In (x + Ю) 127
(х — Ю)* In (х — Ю) 128
(х 4- Ю)"га In (х 4- i0) 129
(Х — Ю)~п In (x — Ю) 129
(ах* 4- Ьх 4- с)\ 229
, преобразование Фурье
229
5 (/(*)) 231
5 (*)(/ (*)) 232
гх 98
, лорановское разложе-
разложение 130
—• г\ нормировка 101
—, полюсы и вычеты 100
, разложение на плоские
волны 102
, преобразование Фурье
224
, преобразование Фурье
243
— —, тейлоровское разложе-
разложение 130

468
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Обобщенная вектор-функция Обобщенная вектоо-функиия
rlf 331 "
6(Р) 262
Ь(г — а) 246, 276
— , преобразование Фурье
247
8(г2_а2) 276
• ji о _l УТ~ ¦ ее преобразова-
преобразование Фурье при целом >. 367
8<s> (c2-f p), преобразова-
преобразование Ф 365
— — как решение волнового
уравнения 288
— В (Р) 261, 275
о* (Р) 261, 281
о(Р2 Рп) 264, 293
—, производные 293
Ю 307
() 307
Р\ 311
—, ее особые точки 313
, ее преобразование
Фурье 351
— —, ее разложение Лорана
315
р\ 331
• —, ее преобразование
Фурье 351
— —, ее разложение Лорана
341
(/> .|. Ю)\ 338
—, ее преобразование
Фурье 351
, особые точки 338
(Р — Ю)Х 338
—, особые точки 338
¦, преобразование Фурье
351
&\ 332
— —, особые точки 336
В<*> (Р+) 343
8<*> (р ) 343
РУ(Р, I) 352
(Р± Ю)У(Р, I) 352
(с2 + Р ± Щх 356
— —, преобразование Фурье
357
(с2+Р)\
г(х + 1) ' ее пРеобРаз°"
( + )
вание Фурье 359
(f p
ние Фурье 365
G*(*i, .... хп) 389
Обобщенные функции, диффе-
дифференцирование сходящейся по-
последовательности их 47
, прямое произведение 131
, свертка 134
•— —, совпадающие в области 19,
185
, сумма 20
, сходимость 27
Обратное преобразование Фурье
211
Овалы 176
Однозначность формы со 258
Однородные функции 107, 367
положительные 369
, вычеты 372
Оператор гиперболический 174
— эллиптический 157
Операционное исчисление 255
Ориентация поверхности 268
Основные функции 15
— •—, преобразования Фурье 194
сферическое среднее 99
Особенности тригонометриче-
тригонометрического ряда 51
Остроградского — Гаусса фор-
формула 270
Парсеваля равенство 210
Первообразная обобщенной
функции 62
Пицетти формула 101
Плотность слоя 252
Поверхность нулевая 207
—, эквивалентная вещественной
207
Полнота пространства обобщен-
обобщенных функций 29, 188, 457
Потенциал Ньютона 139
Преобразование подобия 23
— Фурье 194
— — многочлена 212, 239
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
469
Преобразование Фурье обобщен-
обобщенной функции 210, 238
обратное 211
основной функции 194
периодической функции 214
показательной функции 212
Приводимые особые точки 407
Присоединенные функции 111
Произведение обобщенной функ-
функции на бесконечно дифферен-
дифференцируемую функцию 21
• число 20
Производная дробного порядка
148
— обобщенной функции 34
— по параметру 66, 189
Простой слой 202
Пространство К. 15
¦ , предельный переход в нем
15
, преобразование Фурье 197
— К 1«
— S 31
— —, предельный переход в нем
31
— —, преобразование Фурье 208
— S' 32
— Z 196
-— —, предельный перехсд в нем
198, 200
— Z' 201
Прямое произведение обобщен-
обобщенных функций 132
, коммутативность и
ассоциативность 134
—, носитель 133
, преобразование Фу-
Фурье 240
Пуассона формула 142
суммирования 50
Равенство дифференциальных
форм 265
— обобщенных функций локаль-
локальное 19, 185
— Парсгваля 210
Разложение единицы 182
— на плоские еолны дельта-
функции 105, 111
г\ 102
Регуляризация каноническая 85
в конечном промежутке 91
— -— на бесконечности 95
— расходящегося интеграла 2, 65
— функции 24
Регулярные уравнения, фунда-
фундаментальные решения для них
165
— функционалы 17
на пространстве Z 200
Ряд Фурье периодической функ-
функции 48
Свертка обобщенных функций
134
, непрерывность 137
— -, формула дифференци-
дифференцирования 137
Сдвиг функции 21
— — в пространствах К. и Z'
197
Сингулярная функция 13
Слей двойной 292
— ^-кратный 292, 303
— простой 292, 304
Сонина интеграл 157
Стокса формула 271
Существенные точки 18
Сферически симметричная функ-
функция 23
Сферическое среднее 99
Сходимость последовательности
обобщенных функций 27
—' — основных функций 15, 31
— ряда обобщенных функций 28
Тейлора ряд для обобщенной
функции, зависящей от пара-
параметра 192
Точка поверхности приводимая
&-го порядка степени т 390
Ультрагиперболическое уравне-
уравнение 334
Финитные функции 15
— функционалы 29
Форма дифференциальная 266
Формально однородная функция
Збй

470
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула Гаусса — Остроград-
Остроградского 270
— Герглотца — Петровского 173
— Грина 45, 280
— Даламбера 148
— Пицетти 101
— Пуассона 142
— Стокса 271
Фундаментальное решение диф-
дифференциального vnanHOHna
139
уравнения
— второго порядка 346
обыкновенного 140
— — однородного 161
регулярного 165
— — ультрагиперболиче-
ультрагиперболического 344
— итерированного 346
эллиптического 157
задачи Коши 142
для уравнения ги-
гиперболического однородного
173
Фундаментальное решение диф-
дифференциального уравнения для
уравнения струны 145
Функционал линейный и непре-
непрерывный 15
— на пространстве К. 15
S 32
Z 200
Функция обобщенная 17
— основная 15
-, эквивалентная
389
однородной
Четная обобщенная функция 72
Эллиптический оператор 157
однородный 161
, фундаментальное реше-
решение 161
, фундаментальное решение
157
Якоби многочлен 155
ОГЛАВЛЕНИЕ ВЫПУСКОВ 2, 3, 4
ВЫПУСК 2
Пространства основных и обобщенных функций
Глава I. Линейные топологические пространства.
Глава И. Основные и обобщенные функции.
Глава III. Преобразования Фурье основных и обоб-
обобщенных функций.
Глава IV. Пространства типа S.
ВЫПУСК 3
Некоторые вопросы теории дифференциальных
уравнений
Глава I. Пространства типа W.
Глава П. Классы единственности решения задачи
Коши.
Глава III. Классы корректности решения задачи
Коши.
Глава IV. Разложения по обобщенным собственным
- функциям.
ВЫПУСК 4
Глава I. Ядерные пространства. Теорема о ядре.
Меры в линейных топологических пространствах.
Глава II. Положительные и положительно опреде-
определенные функционалы.
Глава III. Обобщенные случайные процессы.
Глава IV. Обобщенные функции и представления
групп Ли.
Глава V. Интеграл Фурье на группе Лоренца.
Глава VI. Функции на однородных пространствах,
связанных с группой Лоренца, и их разложения в ана-
аналог интеграла Фурье.