/
Text
М. Д. БОРИСОВ канд. техн. наук
РАСЧЕТ НА КРУЧЕНИЕ БАЛОЧНЫХ И РАМНЫХ СИСТЕМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПЛАНКАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ ПО СТРОИТЕЛЬСТВУ ЛЕНИНГРАД 1970
УДК 624.072.2/3.044
Научный редактор — канд. техн. наук С. Е. Шаволов
В книге приведены основные положения теории В. 3. Власова по расчету тонкостенных стержней открытого профиля. Изложены вопросы чистого и стесненного кручения тонкостенных стержней. Рассматривается стесненное кручение составных стержней на планках.
В книге использованы аналогии при расчетах на кручение систем из составных тонкостенных стержней на планках. В заключение приводится обзор методов расчета рамных конструкций.
Многочисленные примеры расчета и таблицы позволяют проектировщикам быстро производить расчеты эксцентрично нагруженных металлоконструкций.
Книга рассчитана на инженеров-проектиров* щиков.
З-2-б
158-69
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современные методы расчета тонкостенных стержней позволяют с большой точностью учитывать кручение их под действием эксцентричных поперечных и продольных нагрузок. Очень часто такое кручение чрезмерно увеличивает расчетные нормальные напряжения, которые можно значительно уменьшить, если в тонкостенных конструкциях вместо одиночных стержней применять составные стержни на планках.
В отличие от тонкостенных стержней составного сечения (клёпаных или сварных двутавров, швеллеров и т. п.) под термином «составные стержни на планках» следует понимать сквозные конструкции, образованные из двух или нескольких стержней прокатного профиля с помощью приваренных планок.
В книге излагается метод расчета на кручение балочных и рамных систем из экономически выгодных тонкостенных составных стержней на планках. Метод этот основывается на теории расчета одиночных тонкостенных стержней открытого профиля, предложенной В. 3. Власовым и развитой его последователями.
Трудам В. 3. Власова в этой области предшествовала работа немецкого ученого К. Вебера, который в 1926 г. доказал, что при стесненном кручении открытого тонкостенного стержня с неизменяемым контуром поперечного сечения центр кручения совпадает с центром изгиба.
В книге доказывается, что эта теорема К. Вебера справедлива и в том случае, когда условие неизменяемости контура поперечного сечения будет иметь место и при двух или нескольких ветвях составного сечения. Такая пространственная тонкостенная конструкция, лишенная планок, будет представлять собой основную расчетную систему.
Расширенная интерпретация теоремы К. Вебера позволяет применить при расчете на кручение такой основной системы теорию В. 3. Власова со всеми полезными выводами, расчетными формулами и графиками. Неизменяемость контура поперечных сечений основной системы, по теории В. 3. Власова, должна конструктивно обеспечиваться достаточно часто
1* 3
поставленными поперечными диафрагмами, не препятствующими депланациям поперечных сечений.
Для того чтобы рассчитать на кручение составные стержни на планках, надлежит учесть влияние на основную систему дополнительных связей, создаваемых приваренными парными планками.
В книге даются три варианта одного и того же метода решения этой задачи.
1. Возникшая благодаря планкам статическая неопределимость системы раскрывается методами строительной механики с учетом упругой податливости планок в своей плоскости и с учетом изгибно-крутильной характеристики основной системы, несмотря на ее малую величину.
2. Та же задача решается при условии абсолютной жесткости планок в своей плоскости и при условии равенства нулю изгибно-крутильной характеристики основной системы. При этих условиях имеет место наибольшая экономичность конструкций и чрезвычайно упрощается расчет, так как дифференциальное уравнение кручения тонкостенного составного стержня становится аналогичным дифференциальному уравнению поперечного изгиба балки. В книге на многих примерах доказывается, что этот второй вариант расчета, названный приближенным, по своей точности мало отличается от первого, а потому имеет полное право на практическое его использование.
Для удобства в приложении дается таблица приближенных готовых значений силовых и кинематических факторов для различных схем составных на планках стержней и при различном загружении их закручивающими нагрузками.
3. В третьем варианте статическая неопределимость, создаваемая планками, ликвидируется путем замены составного стержня на планках составным стержнем того же поперечного сечения, но без планок. Для этого крутильная жесткость заданного составного стержня и его изгибно-крутильная характеристика должны быть заменены на приведенные значения тех же факторов. И здесь при желании может быть учтена упругая работа планок в своей плоскости.
В основу всех трех вариантов положена теория В. 3. Власова, которая была экспериментально проверена в ЦНИПСе в 1938—1939 гг. Эти эксперименты, неоднократно опубликованные, описаны в книге Д. В. Бычкова [24]. Тогда были испытаны различные одиночные тонкостенные стержни открытого профиля и такие же стержни, усиленные планками и решетками. Поскольку эти способьь усиления вошли в практику, появился ряд работ, посвященных расчету таких стержней. Перечень указанных работ с их описанием приведен в той же книге Д. В. Бычкова [24].
4
В этих работах рассматриваются усиленные одиночные тонкостенные стержни, а не составные, и потому они не являются темой настоящей книги. Заметим только, что действующие и поныне рекомендации о местах приварки планок для усиления одиночных стержней открытого профиля в настоящее время следует считать неточными, так как на работу планок, кроме разности секториальных координат в точках их прикрепления, влияет еще и их положение относительно полюса главной секториальной эпюры, построенной для контура сечения.
Что же касается собственно тонкостенных составных стержней на планках, то расчету таких стержней посвящено сравнительно мало опубликованных работ. Их появлению способствовали работы А. А. Уманского [2], посвященные особому классу пространственных тонкостенных конструкций, названных им биконструкциями. Несколько позже была опубликована работа А. Р. Ржаницына, который исследовал плоский изгиб и эйлеровскую изгибную форму потери устойчивости простейших составных тонкостенных стержней на планках [11]. Однако в его работе отсутствует рассмотрение кручения составных стержней.
В 1948 г. была опубликована работа Г. Ю. Джанелидзе и Я. Г. Пановко. Эти авторы рассматривают простейший составной на планках стержень, неизменяемость контура сечения которого обеспечивается достаточно часто приваренными жесткими планками. Авторы исходят из того, что при кручении такого стержня ветви его совершают вынужденное вращение вокруг общей конструктивно заданной оси [15].
После выхода в свет труда В. 3. Власова [3] И. Е. Милейковский опубликовал свой метод расчета составных тонкостенных стержней на планках. Он использовал теорию расчета тонкостенных стержней открытого профиля В. 3. Власова в сочетании с вариационными методами строительной механики оболочек [21]. При этом И. Е. Милейковский заменяет планки, приваренные с промежутками равномерно распределенными связями по длине составного стержня с некоторой приведенной эквивалентной жесткостью. Аналитическая сложность этого метода долгое время мешала применению его в практических расчетах. Положение изменилось с появлением в настоящее время современной вычислительной техники, тем более, что метод И. Е. Милейковского позволяет составить алгоритм программы расчета на ЭВМ.
Почти одновременно в нескольких журнальных статьях автором настоящей книги был опубликован описанный в книге метод расчета составных на планках стержней, сущность которого в трех вариантах была выше изложена. Для этого метода безразлична любая сложность сечения составного стержня. При этом, если для первого варианта может
5
быть полезна вычислительная техника, то второй вариант метода совершенно в ней не нуждается, что иногда имеет решающее значение.
В 1958 г. был опубликован метод расчета спаренных тонкостенных стержней на планках, разработанный Р. М. Раппопорт [23], которая использовала в своей работе теорию расчета рам монотонного типа методом перемещении, при этом были сделаны допущения, что при всех деформациях составного стержня контур сечения каждой ветви в отдельности не изменяется и что сдвиги в серединных плоскостях каждой ветви равны нулю. Во всех узлах стержня, где приложены активные и реактивные закручивающие моменты, автор предусматривает наличие идеальных поперечных диафрагм для передачи этих моментов сразу всему составному сечению. Метод Р. М. Раппопорт, хотя и проще метода И. Е. Милейковского, но все-таки сложен *. Эта сложность признается самим автором, который рекомендует свой метод для проверки других, приближенных методов.
К числу приближенных методов, называемых ею элементарными, Р. М. Раппопорт относит и ранее упомянутый метод Г. Ю. Джанелидзе и Я. Г. Пановко. Р. М. Раппопорт считает, что элементарным методам присущи в основном два недостатка: во-первых, невозможность расчета на кручение составных стержней на планках при эксцентричном действии продольных сил и, во-вторых, из-за неучета упругих деформаций планок делаются незаметными перенапряжения в ветвях закручиваемого составного стержня. Что касается предлагаемого в книге метода, то даже второй вариант (приближенный) имеет полную возможность расчета на действие продольных сил, так как основная расчетная система всех трех вариантов имеет вполне определенную ось изгиба. Следовательно, обычным приведением нагрузки всегда можно определить бимомент, возникающий от действия эксцентричной продольной нагрузки, а значит, и рассчитать на кручение составной стержень на планках. Здесь, конечно, необходимы конструктивные меры, позволяющие считать узлы стержней, в которых приложены активные и реактивные продольные силы, жесткими дисками, обладающими жесткостью не только в своей плоскости, но и жесткостью в перпендикулярном направлении для передачи действия продольных сил сразу всему составному сечению. Метод Р. М. Раппопорт нуждается в применении вычислительной техники. Вычисление этим методом осложняется, если составное сечение не имеет осей симметрии, а количество ветвей в сечении будет более двух.
* Уравнения равновесия закрученного спаренного стержня с двумя осями симметрии в своем сечении образуют систему уравнений в конечных разностях восьмого порядка.
§
Метод этот не может быть применен, если ветви спаренного сечения имеют изменяемый контур своих сечений. Последнее замечание в равной мере относится и к методу И. Е. Милейковского.
Познакомиться с историей отечественной науки, посвященной расчетам тонкостенных стержней, можно обратившись к книге В. Д. Бычкова [24].
Предлагаемая книга является практическим пособием для расчетов балочных и рамных систем из тонкостенных стержней на планках при расчете их на кручение и совместный изгиб с кручением. Кроме этого, книга может оказаться полезной при составлении программы испытаний составных стержней на планках на все виды деформаций.
Книга предназначается для инженеров проектировщиков, научных работников и студентов старших курсов высших технических учебных заведений.
В книге приведено много примеров расчетов составных тонкостенных стержней из прокатных профилей, взятых из сортаментов, измененных впоследствии вновь изданными ГОСТами. Для сравнительной оценки новых расчетных приемов было выгодно воспользоваться конструкциями, ранее уже рассчитанными. При этом совершенно безразлично, из какого сортамента эти конструкции были запроектированы.
Более того, при составлении примеров расчетов имеется полная возможность задаваться любыми размерами и любой формой сечений ветвей, а также любыми упругими характеристиками материала тонкостенных стержней. Поэтому рекомендуемые в книге методы расчета являются полезными не только для проектирования конструкций промышленного строительства или машиностроения, но и для судостроения и проектирования авиаконструкций.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ТОНКОСТЕННЫЕ ОДНОПРОЛЕТНЫЕ И КОНСОЛЬНЫЕ БАЛКИ ИЗ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПЛАНКАХ
ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
s 1. ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ ОТКРЫТОГО И ЗАМКНУТОГО ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ
Тонкостенным стержнем принято называть стержень цилиндрической или призматической формы, все три измерения которого являются величинами различных порядков, т. е. длина бруса значительно преобладает над размерами контура поперечного сечения, а толщина элементов контура поперечного сечения очень мала. Тонкостенные стержни могут иметь поперечное сечение незамкнутое, или замкнутое.
Любую балку прокатного профиля можно назвать тонкостенным стержнем открытого поперечного сечения, а металлическую трубу — тонкостенным стержнем замкнутого сечения.
Предметом наших исследований являются тонкостенные сквозные составные стержни, которые образованы из двух
или нескольких прокатных профилей с помощью приваренных планок. Если в составном стержне имеетрис j ся только две ветви, то
и ’ такой стержень будем на¬
зывать спаренным. На рис. 1 показан пример спаренного тонкостенного стержня, состоящего из двух швеллеров.
Элементы изображенного составного стержня в местах расположения планок образуют участки стержня замкнутого поперечного сечения. В интервалах между участками замкнутого профиля находятся ветви открытого сечения.
§ 2. ЧИСТОЕ И СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Чистым кручением бруса принято называть тот случай закручивания бруса концевыми крутящими парами, когда все поперечные сечения свободны от нормальных напряжений и 8
закон распределения касательных напряжений (так называемых первичных, или сенвенановых) по всем поперечным сечениям одинаков.
Если брус не является цилиндром сплошного круглого или полого круглого сечения, то при его закручивании поперечные сечения не остаются плоскими. Происходит их искажение, называемое депланацией.
Чистое кручение открытых тонкостенных стержней возможно только при отсутствии препятствий к искажению поперечных сечений. В этих условиях продольные волокна стержня при кручении будут сохранять свою длину, а нормальные
напряжения в сечениях стержня не возникнут. Практически такая форма кручения не встречается. Однако как теоретическое, так и экспериментальное изучение чистого кручения представляется необходимым, поскольку этот вид кручения входит в качестве составной части в общий случай кручения. На рис. 2, а и 2, б показаны деформации при чистом кручении открытого тонкостенного полого цилиндра и стержня двутаврового профиля.
Все продольные волокна в обеих конструкциях остались прямыми и не изменили своей длины, но они изменили свое взаимное расположение. Депланации во всех поперечных сечениях одинаковы.
Другая форма кручения, которая сопровождается изгибом отдельных элементов стержня и появлением в поперечных сечениях нормальных напряжений, называется изгибным или стесненным кручением. Такой частный случай стесненного кручения показан на рис. 2, в.
При стесненном кручении внешний закручивающий момент уравновешивается моментами от усилий, создаваемых не
Рис 2,
только первичными касательными напряжениями, свойственными чистому кручению, но и вторичными, или изгибными касательными напряжениями, сопровождающими изгиб элементов стержня. Депланация уже не будет одинаковой для всех сечений стержня.
§ 3. ГИПОТЕЗЫ, ПОЛОЖЕННЫЕ В ОСНОВУ РАСЧЕТА ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Наиболее общую теорию расчета на кручение и совместный изгиб с кручением для открытых тонкостенных стержней дал проф. В. 3. Власов. В основу этой теории положены следующие гипотезы:
1) деформации сдвига срединной поверхности (проходящей посредине толщины стенки профиля) равны нулю;
2) контур поперечного сечения стержня не деформируется (вернее проекция контура сечения на поперечную плоскость, при деформации не изменяет своего вида).
В основу расчета замкнутых тонкостенных стержней принимают вторую гипотезу. Что же касается первой гипотезы, то здесь она не имеет места; считают, что деформации сдвига в средней поверхности замкнутого стержня отличны от нуля и связаны обычным законом Гука:
__ ди . dv х
У ds dz G 9
где G — модуль упругости при сдвиге; т — касательное напряжение.
§ 4. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ ОДИНОЧНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Каждый прямолинейный тонкостенный стержень открытого профиля можно мысленно расчленить продольными разрезами на несколько длинных полос прямоугольного сечения. Дальше мы увидим, что расчет на чистое кручение таких стержней сводится к расчету на кручение этих полос. Поэтому мы приводим краткие сведения из теории кручения пластинки прямоугольного сечения.
При малом значении толщины пластинки б по сравнению с шириной пластинки b точное решение дает следующее приближенное значение момента инерции при чистом кручении:
/d = i-63(-0,636)-.
При этом крутящий момент
Мкр = GJd®'.
10
Максимальное касательное напряжение определится из формулы
Мкрб кр max = *
Здесь 0' = — относительный угол закручивания, т. е.
угол взаимного поворота двух сечений, отстоящих друг от друга на единицу длины.
При чистом кручении эта величина постоянная, а вообще говоря, значение 0' характеризует депланацию сечения, что будет видно из дальнейшего.
Траектории и эпюры касательных напряжений в прямоугольном сечении скручиваемой пластинки изображены на рис. 3.
а) у
(С=
Ь
•-—:—ь-
7
б)
й
1
М
Г- ■u-LLLlXIiyj
Тгу
'Ч£. I Ж
Т
W
max Т?х Рис. 3
Из этих эпюр видно, что касательные напряжения %ZZl параллельные длинной стороне сечения, распределяются по толщине пластинки (вдоль оси у) по линейному закону и на значительном протяжении почти не зависят от х, а напряжения тZy имеют значительную величину только вблизи коротких сторон сечения пластинки. Таким образом, в восприятии крутящего момента играют основную роль напряжения тгх, а так
2 х
как плечо усилии от этих напряжении, равное у о, очень мало,
то максимальные напряжения т2Х очень большие. Этим и объясняется малое сопротивление скручиванию тонких пластинок.
Максимальное касательное напряжение, определямое выше приведенной формулой, возникает на середине длинной стороны прямоугольного сечения закручиваемой пластинки.
Многочисленные теоретические и экспериментальные исследования показали, что приведенные выше формулы приближенно верны и для других открытых тонкостенных профилей. Для профилей типа уголка, двутавра, швеллера и т. п.
11
момент инерции при чистом кручении определяется по формуле
. _ х* ьь3
d а AU 3 9
где b и б —высота и толщина прямоугольников, из которых составлено сечение стержня; а— опытный коэффициент, зависящий от формы сечения.
Наибольшая величина касательного напряжения получается по середине наружного края того элементарного прямоугольника, у которого наибольшее значение б
‘'кр шах '
кртах
“Td
(1)
причем здесь вводится без поправочного коэффициента а.
Таким образом, при чистом кручении мысленно отделенные полосы сложного профиля работают как бы независимо
одна от другой и каждая из них вое-
Е
rpaD
ESI
я принимает часть крутящего момента, J пропорциональную значению своего момента инерции при чистом кручении. В справедливости этого можно убедиться, если рассмотреть траектории п касательных напряжений в целых и разрезанных профилях (рис. 4).
Рис. 4 За исключением небольших обла¬
стей, где стенки соединяются с полками, касательные напряжения в обоих случаях тождественны. Небольшая неточность учитывается поправочным коэффициентом а.
Угол закручивания приconst вычисляется по формуле
0 = .
Мкр1
GJd 9
(2)
где I — длина стержня.
Теорию расчета на кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля наиболее полно изложил проф. А. А. Уманский. Если центр кручения замкнутого профиля находится в точке А, то элементарный закручивающий момент от касательных усилий, действующий на элементарном участке длиною ds, равен
dM = тб dsr, (3)
где г —плечо элементарного усилия тб ds относительно точки А;
т —касательное напряжение, которое считают равномерно распределенным по толщине стенки б.
12
Произведение rds равно удвоенной площади заштрихованного элементарного сектора; обозначим его через dco (рис. 5). Полный крутящий момент выразится интегралом
М
кр
= (J) тб dsr = (j) тб da = тб d® = т 6Q.
Здесь Q равно удвоенной площади, ограниченной средней линией контура сечения стержня. Символом обозначен интеграл, взятый по замкнутому контуру.
Рис. 5
Отсюда получаем
Afj
Т = -
кр
(4)
Так в практических расчетах определяется среднее касательное напряжение при чистом кручении замкнутого тонкостенного стержня. Последнее выражение известно под названием формулы Бредта.
§ 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ
Испытание металлических стержней на чистое кручение было произведено в лаборатории строительной механики ЦНИПСа на специально запроектированной и построенной установке. Описание этой установки и большой тщательно проведенной экспериментальной работы можно найти в книге Д. В. Бычкова [24]. Полученные результаты испытаний хорошо совпали с данными, опубликованными в свое время
А. Фепплем и сотрудниками Иллинойского университета. Испытаны были прямолинейные стержни прокатного профиля, сварные и клепанные, а также открытые профили, усиленные планками и ребрами жесткости. В результате проделанной работы было установлено, что при определении величины момента инерции при чистом кручении следует руководствоваться следующими положениями:
13
1. В качестве основной расчетной формулы надлежит принять формулу
/--«пт* <5>
2. Составные сечения следует разбить на простейшие элементы.
3. Для прокатных двутавров и швеллеров использовать данные, приведенные в сортаменте ГОСТов.
4. Для прокатных двутавров, швеллеров и уголков, действительные размеры которых не соответствуют ГОСТу, надо руководствоваться формулой (5) и принимать поправочный коэффициент а равным: для двутавров—1,2, для швеллеров— 1,12 и для уголков—1,0. При этом за толщину полок у двутавров и швеллеров принимать среднюю их величину.
5. Для сварных двутавровых балок при наличии ребер жесткости, приваренных к вертикальному и горизонтальным листам, принимать коэффициент ос=1,50.
6. Для клепаных двутавровых балок принимать поправочный коэффициент а равным: для балок без горизонтальных листов — 0,25, а для балок с горизонтальными листами — 0,50.
7. Для сварных тавровых профилей с приваренными к стенке и полке треугольными ребрами жесткости коэффициент а принимать равным 1,40.
8. Для профилей, составленных из прокатных двутавров, швеллеров или уголков, соединенных между собою не более, чем одним рядом заклепок или сварным швом по одной кромке, величину Jd рекомендуется определять по формуле
и = +Я + jT + ..., (6)
где ]\, Jd, /У1 —значения Jd для отдельных элементов, составляющих профиль; их следует брать из сортамента или определять указанными в предыдущих пунктах способами.
9. Одним из конструктивных мероприятий, увеличивающих в несколько раз жесткость профиля на кручение, является приварка или приклейка планок, причем последними наиболее целесообразно соединять точки профиля с наибольшей разностью секториальных координат (понятие «секториальная координата» будет пояснено ниже).
§ 6. ЧИСТОЕ КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ БЕЗ ПЛАНОК
Выше сообщалось, что практически не встречается чистое кручение одиночных тонкостенных стержней, а для экспериментального изучения такого кручения пришлось применять специальные машины. Заведомо можно сказать, что для составных тонкостенных стержней с приваренными планками, 14
чистое кручение невозможно. Однако теоретически можно представить себе чистое кручение тонкостенных составных стержней, если мы мысленно устраним планки, а взаимную связь между ветвями создадим с помощью достаточно часто приваренных поперечных диафрагм, идеально жестких в своей плоскости и в то же время идеально податливых из своей плоскости. Такие диафрагмы обеспечат неизменяемость контура поперечного сечения тонкостенного составного стержня и не будут препятствовать депланациям.
Две равные и противоположно направленные закручивающие пары, приложенные в плоскостях концевых идеальных диафрагм создадут чистое кручение составного стержня постоянного поперечного сечения. Приведенные выше соображения для чистого кручения открытых тонкостенных стержней, полностью могут быть здесь применены: ведь в этом случае нет необходимости мысленно предполагать расчленяющие продольные разрезы, так как они имеются в действительности. Следовательно, и здесь будем иметь для момента инерции чистого кручения составного стержня следующее выражение
Jd= Jld + Jld + Jlj] + . . . ,
где Jd, Jd, Jd1, ... — моменты инерции поперечного сечения при чистом кручении отдельно каждой ветви; наибольшее же касательное напряжение найдется по-прежнему по формуле (1),
§ 7. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ СТЕСНЕННОГО КРУЧЕНИЯ ОТКРЫТЫХ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ОДИНОЧНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Если закручиваемый стержень некруглого сечения встречает препятствие к свободному искажению поперечных сечений (депланациям), то в поперечных сечениях возникают нормальные напряжения и кручение носит название стесненного кручения. Препятствие депланациям может быть осуществлено различными способами. В частности, можно приварить к торцам жесткие из своей плоскости диски или заделать один конец стержня в стену, а к другому приложить закручивающий момент. Стесненное кручение возникает также и при изменении по длине стержня закручивающего момента или размеров поперечного сечения.
Деформация при стесненном кручении
На рис. 6, а изображено сечение срединной поверхности какого-нибудь тонкостенного профиля. Пунктиром показан тот же контур, который, оставаясь согласно второй гипотезе неизменным, повернулся на бесконечно малый угол dQ вокруг
15
пока неизвестного центра кручения А. Положительным углом закручивания будем считать угол поворота против часовой стрелки. Новое положение в пространстве какой-нибудь точки М обозначим через М\. Проекция полного перемещения ММ\ на касательную к контуру
dv = ММ2 = MMi cos р = AM d§ cos P = г rf0,
где г — перпендикуляр из центра кручения на касательную к контуру в точке М.
Это равенство вытекает из равенства углов, обозначенных через р, двух подобных прямоугольных треугольников ММХМ2 и АВМУ поскольку другие острые углы этих треугольников равны вследствие взаимной перпендикулярности сторон.
Рис. б
Проекцию полного перемещения на образующую стержня, характеризующую искажение сечения, обозначим через и, тогда du = MM3.
Согласно принятой гипотезе о равенстве нулю деформации сдвига в срединной поверхности имеем:
ds dz
Решив это уравнение относительно искомой функции и частным интегрированием по s, получим
s
и — — J r'ds + f (z),
о
где f(z) — произвольная функция, зависящая от z.
Произведение rds равно удвоенной площади элементарного треугольника (сектора), основанием которого служит элемент дуги контура ds, а вершиной является центр кручения А. Обозначим эту удвоенную площадь через Ло, тогда
rds = diо.
16
После подстановки будем иметь:
s
и= — в7 J d® + f(z) = — ©'со + f(z), о
где через" со мы обозначили удвоенную секториальную площадь для точки Му отсчитанную от начальной точки М0. На рис. 6,6 эта площадь ограничена радиусами-векторами /Ш0 и AM и контуром сечения.
Начало отсчета секториальных площадей (точку М0) всегда можно выбрать так, чтобы произвольная функция f(z) обратилась в нуль. Тогда и= —©'со, т. е. перемещения, возникающие при кручении вследствие депланации сечения стержня, изменяются по закону секториальных площадей и зависят от величины 0', которая является функцией координаты Z.
Нормальные и касательные напряжения при стесненном кручении
Будем считать, что по толщине сечения стержня нормальные напряжения распределяются равномерно. Что же касается закона распределения этих напряжений по контуру сечения, то его нетрудно установить. Пользуясь выведенной ранее формулой, берем частную производную от и по г, получаем относительное удлинение продольного волокна стержня:
ди (ни//--*
dz = “ ® ®.
Заметим, что при чистом кручении и = const, следовательно,
ди А л
_=0 и <хш = 0.
По закону Гука в линейном напряженном состоянии
(Тео = Ег = - £0"со. (7)
Эта формула показывает, что нормальные напряжения, возникающие при стесненном кручении, распределяются в сечении по закону секториальных площадей. В отличие от других нормальных напряжений (при растяжении, сжатии, изгибе) будем их называть секториальными и обозначать через Go).
Касательные напряжения в крайних точках сечения стерж* ня, боковая поверхность которого свободна от напряжений, всегда будут направлены по касательной к контуру. Вследствие же малой толщины стержня принимают, что по толщине стержня касательные напряжения меняются по линейному
2 М. Д. Борисов 17
закону, оставаясь направленными параллельно касательной к дуге контура (рис. 7,а).
При этих допущениях касательные напряжения будут связаны со сдвигающими силами, действующими по направлению касательной к дуге контура (рис. 7,6) и с крутящими моментами (рис. 7, в).
а) 6) б)
Рис. 7
Первые из них, принимаемые равномерно распределенные ми по толщине стенок, называются секториальными касательными напряжениями и обозначаются через т0. Они сопутствуют секториальным нормальным напряжениям вследствие
изгиба отдельных элементов сечения. Вторые касательные (сен-венановы) напряжения связаны с крутящим моментом, и максимальные их значения определяются по формуле (1).
Для определения секториальных касательных напряжений выделим двумя поперечными и одним продольным сечением элемент профиля длиной dz и рассмотрим равновесие нормальных и касательных усилий, действующих на этот элемент (рис. 8).
18
Из уравнения проекций всех сил на направление образующей (ось z) будем иметь:
- J aadF + J (<ги +-г ■ dzdF+ xj>dz = b\
отс отс
тшб dz + j-.dzdF = 0.
F
1 отс
Подставив в это выражение значения из (7) и, поделив его на dzy получим
таб J (ndF = О,
F
1 отс
откуда
Е®"' Г
х<» = - ь- J dF-
F
1 отс
Здесь со dF — секториальный статический момент, вычисротс ленный для отсеченной части; обозначим его
через 5©тс.
Тогда
оОТС
т а = £©"'-.
Геометрические характеристики сечения тонкостенных стержней
Каждая точка контура сечения тонкостенного стержня характеризуется тремя координатами: двумя линейными х и у и одной секториальной со, измеряемой в см2 (рис. 6,6).
Для отсчета линейных координат, как известно, необходимо знать положение центра тяжести сечения С и положения главных центральных осей х и у. Для отсчета же секториальных координат, как мы видели выше, необходимо знать местоположение центра кручения А и начальной точки отсчета секториальных площадей М0, которую принято называть главной секториальной точкой сечения. Как уже упоминалось, К. Вебер доказал, что при стесненном кручении открытого тонкостенного стержня с неизменяемым контуром сечения центр кручения совпадает с центром изгиба, т. е. с точкой, через которую всегда проходит равнодействующая касательных сил, возникающих в сечении при деформации изгиба. Доказательство этого положения можно найти в книге Д. В. Бычкова [24].
Общеизвестными геометрическими характеристиками, связанными с линейными координатами сечения, являются
2* 19
статические моменты сечения и осевые моменты инерции сечения:
Sx= J ydF, Sy= J xdF; Jx = J y*dF и Jy J x2dF.
F F F F
В расчете тонкостенных стержней, помимо перечисленных, встречаются новые геометрические характеристики, связанные с секториальной координатой со, выраженные интегралами:
J cod/7, J со xdFy J со ydF и J со 2dF,
F F F F
Первый интеграл называют секториальным статическим моментом сечения и обозначают через S0 (измерение в см4).
Второй и третий интегралы называют секториально-линейными статическими моментами сечения и обозначают через Sax И Sy (измерение в смь).
И, наконец, четвертый интеграл называют секториальным моментом инерции сечения тонкостенного стержня и обозначают через /(о (измеряется в см6).
Отношение секториального момента инерции к наибольшей секториальной координате контура сечения (сотах) обозначают через и называют секториальным моментом сопротивления сечения (измеряется в см4).
Секториальный статический момент и секториальнолинейные статические моменты S03C и S0V, как видно из соответствующих формул, могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Секториальный же момент инерции— величина всегда положительная, так как координата со входит при его вычислении в квадрате.
Приведение внешних сил, действующих на стержень
Если стержень находится в условиях сложного сопротивления, то внешние силы следует разложить на составляющие и выделить компоненты, вызывающие только кручение. Эти компоненты могут быть сосредоточенными и распределенными по всей длине или по части длины стержня.
Преобразуя внешние силы, надлежит помнить, что сосредоточенная сила, действующая перпендикулярно к оси стержня и проходящая через центр изгиба, только изгибает тонкостенный стержень; при непересечении ею центра изгиба имеем изгиб совместно с кручением. Перенос внешней пары сил с моментом М из своей плоскости в параллельную плоскость, как известно, будет сопровождаться появлением дополнительного силового фактора, называемого бипарой. Плечом бипары е называют расстояние между этими двумя плоскостями 20
(рис. 9). Произведение момента на плечо е называют моментом бипары, или бимоментом, В. Таким образом, В = М*е.
Пара, действующая в плоскости, проходящей через ось изгиба, только изгибает стержень; бипара же только закручивает стержень.
Бимомент можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: вектора силы и вектора площади или вектора момента и вектора плеча. Знак бимомента будем считать положительным, если для наблюдателя, смотрящего вдоль плеча бипары, ближайшая к нему пара действует по часовой стрелке, и считать отрицательным в противном случае.
В. 3. Власовым было показано, что в случае приложения продольной силы N в какой-либо точке срединной поверхности открытого тонкостенного стержня с неизменяемым контуром сечения стержень будет находиться в условиях растяжения (сжатия), изгиба и кручения. Закручивание будет происходить благодаря бимоменту B = Nсо, где ю — секториальная координата точки приложения силы N.
Если продольная сила N будет приложена вне контура сечения стержня и передается ему при помощи жесткой тонкостенной консоли, прикрепленной к контуру, то значение закручивающего бимомента определится той же формулой fi = yVco, где под величиной со следует понимать секториальную координату точки приложения силы на консоли (считая консоль элементом контура сечения), отсчитанную относительно центра изгиба и главной секториальной точки. Это положение будет использовано нами дальше при расчете планок составных стержней.
На основании вышеизложенного следует, что сосредоточенная продольная сила, проходящая через точку сечения с нулевой секториальной координатой, закручивать стержень не будет.
Рис. 9
21
Пример 1. Консоль, выполненная из швеллера, полностью защемлена в сечении Л, а на свободном конце в центре тяжести сечения С имеет нагрузку Р, лежащую в плоскости поперечного сечения и наклоненную под углом а к главной центральной оси у.
Кроме того, в том же сечении приложена пара сил с моментом М, действующим в вертикальной главной плоскости, проходящей через ось у.
На рис. 10, а показана заданная нагрузка, а на рис. 10,5 — приведенная.
Раскладываем силу Р на две составляющие силы, действующие по осям х и у. Первая составляющая сила Р cos а
будет изгибать консоль в главной горизонтальной плоскости. В центре изгиба О прикладываем две противоположно направленные силы, параллельные и равные второй составляющей силе Р sin а. В результате имеем силу Р sin а, приложенную в центре изгиба, а потому изгибающую швеллер в вертикальной плоскости. Кроме того, появился закручивающий момент, действующий в поперечном свободном сечении консоли MS = P sin а*в, где е — расстояние между центром тяжести сечения и центром изгиба.
Заданная изгибающая пара с моментом М будет изгибать швеллер в вертикальной плоскости, если ее перенести параллельно самой себе в плоскость, проходящую через ось изгиба 00\. Но из-за этого переноса появится бипара с бимоментом В, равным М • е, который вызовет дополнительное закручивание швеллера *.
* См. приложение 2, п. 13.
22
ГЛАВА И
СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ
НА ПЛАНКАХ
§ 8. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ БЕЗ ПЛАНОК
Рассмотрим стесненное кручение составных тонкостенных стержней без планок, неизменяемость контура сечения которых обеспечивается приваренными поперек сечения идеальными диафрагмами. Эти диафрагмы совершенно жестки в своей плоскости и совершенно податливы из своей плоскости.
При кручении таких стержней все ветви стержня совершают одновременное кручение вокруг общего для всех ветвей центра кручения.
Координаты центра кручения и главной векториальной точки
В строительной механике одиночных тонкостенных стержней даются способы нахождения центра кручения при их стесненном кручении.
Посмотрим, как решается эта задача в данном случае. Возьмем простейший составной стержень, образованный из двух прокатных профилей, воспользуемся условиями статики.
Для элементарных усилий odF, возникших в поперечных сечениях при стесненном кручении стержня, должны удовлетворяться три условия для равновесия параллельных сил в пространстве:
2му = 0; 2м, = о и 2z = 0.
Это вытекает из того, что при нагрузке только крутящими парами равнодействующая внутренних сил в поперечном сечении должна приводиться только к крутящей паре.
Учитывая, что согласно ранее полученным формулам секториальные нормальные напряжения распределяются по сечению каждой ветви по закону секториальных площадей, определяемому эпюрой главных секториальных координат, указанные выше три условия можно переписать так:
J* хсо dF = 0; J r/co di7 = 0 и J со dF = 0.
F F F
Здесь суммируются интегралы, вычисленные отдельно по двум ветвям спаренного стержня. При этом ось z должна быть направлена вдоль стержня, а взаимно перпендикулярные
23
оси х и у могут занимать любое положение в нормальном поперечном сечении составного стержня.
Следует обратить внимание на то, что последнее условие статики будет справедливо еще и потому, что в каждой ветви
отдельно должно соблюдаться равенство J codF=0.
F
Последнее вытекает из граничных условий на краях сече* ния каждой ветви, где tw равны нулю в силу закона парности касательных напряжений.
Таким образом, в нашем распоряжении имеются, в сущности, четыре уравнения, поскольку последнее условие распадается на два отдельных равных нулю интеграла.
Этих уравнений достаточно для нахождения в самом общем случае двух координат полюса эпюры со, совмещенного с центром кручения, и координат двух начальных точек отсчетов секториальных площадей (по одной точке на контуре ка ждой ветви).
Если бы составной стержень имел не две, а три ветви, то появилось бы пятое уравнение в виде J ®dF=*Q для третьей
в
ветви и, следовательно, опять уравнений будет достаточно для нахождения двух координат центра кручения и трех главных секториальных точек.
Отсюда видно, что рассматриваемая задача решается при любом числе ветвей у составного стержня. Ниже будут даны примеры решения этой задачи.
Теорема о совпадении центра кручения с центром изгиба
Докажем, что и в спаренных стержнях центр кручения совпадает с центром изгиба стержня [14].
Как известно, центром изгиба называется точка, вокруг которой вращается равнодействующая внутренних касатель ных сил изгиба при изменении наклона внешней силы, действующей перпендикулярно к оси стержня.
Обозначим через q поток касательных напряжений (произведение величины касательного напряжения в какой-либо точке контура сечения на толщину стенки).
Пусть спаренный стержень (рис. 11, а) с неизменяемым контуром поперечного сечения испытывает простой изгиб (кручение исключается). При этом внешняя нагрузка передается сразу всему сечению (положим, при помощи идеальных поперечных диафрагм).
Для определения касательного потока в какой-либо точке Ь выделим из стержня элемент abed, как это показано на рисунке. Сторона ас — свободный край одной ветви; сторо*
24
ны ab и cd лежат в бесконечно близких поперечных сечениях стержня.
Из условия равновесия элемента при силах, действующих на границах выделенного элемента, имеем
Но из гипотезы Навье о плоскостном распределении напряжений следует, что
где ф'— производная девиации ветви при ее косом изгибе; у— кратчайшее расстояние точки контура до нейтральной оси.
В силу неизменяемости контура поперечного сечения при простом изгибе спаренного стержня обе ветви в общем случае будут испытывать косые изгибы, имея совершенно подобные параллельные изогнутые оси. Во всех общих сечениях нейтральные оси их будут параллельны, а девиации равны.
dN dz »
ь
а
dz
Рис. 11
Тогда из (27) имеем
ъ
а
Ft
отс
25
В таких условиях коэффициенты А\ должны быть одинаковыми для двух ветвей.
Рассмотрим спаренный стержень, изображенный на рис. 11,6, который получил изгиб относительно оси х, проходящей через центры тяжести ветвей. Начало координат выберем в центре тяжести сечения составного стержня. Точкой D обозначим искомый центр изгиба.
Составляем выражение моментов касательных усилий относительно точки D. Элементарный момент определяется по формуле
Для получения полного момента касательных усилий надо проинтегрировать последнее выражение отдельно по всему сечению каждой ветви и результаты сложить. На участке контура одной ветви длиной s будем иметь
Распространив интегрирование на всю площадь каждой ветви и сложив результаты, получим
Выражение, стоящее в круглых скобках, равно нулю, поскольку оно является статическим моментом сечения каждой ветви относительно оси, проходящей через свой центр тяжести.
Из самого определения центра изгиба следует, что полученное выражение должно равняться нулю. Сокращая общий для двух ветвей неравный нулю множитель Аи окончательно имеем
dM = rq ds. Обозначая rds через dco, будем иметь dM = q dto = Aid®
Интегрируя каждое слагаемое по частям, получим
М= - 2 J a>ydF = 0.
F
26
Теперь рассмотрим изгиб ветвей вокруг своих центральных осей у\ и у2, параллельных общей выбранной нами для всего сечения спаренного стержня оси у, перпендикулярной оси х. По-прежнему будем иметь:
q = A2 J xcdF и М = А2% со( J хс dF\— J (axcdF 1
I \f If J
(8)
Здесь через xc обозначены координаты X\ для точек контура одной ветви и координаты х2 — для точек контура другой ветви относительно своих центральных осей у\ и у2.
Выражение в круглых скобках обращается в нуль по указанной выше причине.
Приравнивая всё выражение (8) нулю и сокращая общий для двух ветвей неравный нулю множитель А2, получим
М=-% (охс dF = 0.
F
Нетрудно убедиться, что последнее равенство будет соблюдено, в том случае, если:
ja>xdF = 0 и J©rfF = 0,
F F
причем последнее должно быть отнесено к каждой ветви составного стержня отдельно.
Действительно, при переходе к общей для всего сечения оси у все абсциссы одной ветви увеличиваются на одну и ту же постоянную величину си а другой ветви уменьшаются на одну и ту же постоянную величину с2 (рис. 11). Следовательно, можно написать
J (ах dF = J со (х\ + с) dFi + J со (х2 — с2) dF2 =
F Fx F2
= J со*! dF\ + J (0*2 dF2 + cx J со dFx — c2 J со dF2 =
F2 Fi F2
= S J + ci J ®dFx — c2 J соdF2y
Fi
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы пришли к выводу, что точка D, являющаяся центром изгиба, удовлетворяет тем же условиям, которые определяют положение центра кручения спаренного стержня.
Поскольку положение центра изгиба спаренного стержня оказалось зависящим только от формы и размеров поперечного сеченця стержня, геометрическое место всех таких
27
центров по всей длине прямого стержня с постоянным сечением будет прямая линия, параллельная оси z. Называется эта прямая линией центров изгиба, или осью изгиба.
Докажем теперь, что в тонкостенных составных стержнях с неизменным контуром поперечного сечения совпадение оси кручения с осью изгиба будет иметь место при любом количестве ветвей.
Пусть взаимно перпендикулярные оси х и у проходят через центр тяжести всего составного сечения. Тогда координаты любой точки контура любой ветви относительно этих осей можно выразить через координаты собственных центральных осей *с и ус, параллельных осям х и у\ х = хс+с и у = ус + д (здесь с и д — координаты центра тяжести сечения ветвей относительно осей х и у).
Допустим, что все ветви получили изгиб относительно своих центральных осей хс, сохраняя при этом контур составного сечения неизменяемым. Тогда момент касательных усилий относительно точки D на участке контура одной ветви длиною s по-прежнему напишется так:
Распространив интегрирование на всю площадь всех ветвей, будем иметь
Выражение в круглых скобках заведомо равно нулю. Зачеркнув его и переходя к осям х и у, получим
Для того чтобы точка D являлась центром изгиба, выражение (10) следует приравнять нулю. Зачеркнув неравный нулю множитель Ль получим
s
(9)
Интегрируя (9) по частям, получим
о
М = А
М = А
(Ю)
28
Рассматривая изгиб всех ветвей вокруг своих центральных осей ус, параллельных общей оси у, будем иметь
Из последних двух уравнений видно, что для центра изгиба требуется соблюдение тех же условий, которые были установлены для центра кручения. Это доказывает совпадение оси кручения с осью изгиба.
Так как изгибающая нагрузка, проходящая через ось изгиба, не вызывает поворотов сечений в плоскостях, перпендикулярных продольной оси стержня, то по теореме о взаимности работ закручивающие пары не вызовут искривления оси изгиба. Это доказывает прямолинейность оси кручения прямых составных тонкостенных стержней при нагрузке их только закручивающими парами.
§ 9. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ГЛАВНЫХ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ПЛОЩАДЕЙ И ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕКТОРИАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИЙ ДЛЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ БЕЗ ПЛАНОК
Каждой точке сечения тонкостенного составного стержня с неизменяемым контуром сечения соответствует определенная секториальная площадь со. Поэтому секториальную площадь можно рассматривать как секториальную координату данной точки сечения.
Если для всех точек сечения мы определим секториальные координаты и отложим их в каком-либо масштабе перпендикулярно к средней линии контура рассматриваемого сечения стержня, то получим эпюру секториальных координат.
Эту эпюру построенную с полюсом в центре кручения и с начальной точкой, являющейся главной секториальной точкой, называют эпюрой главных секториальных координат, или просто эпюрой со.
За положительную секториальную площадь принимают площадь, описанную начальным радиусом-вектором при движении его против часовой стрелки.
Выполним построение эпюр со для нескольких примеров.
Составные стержни из прокатных профилей, имеющие в общем сечении не менее двух осей симметрии
В таких случаях положение полюса эпюры со не вызывает сомнения, так как центр кручения, совпадающий с центром изгиба, будет совпадать и с центром тяжести сечения, а следовательно, будет находиться на пересечении осей симметрии.
J codf — J C0A:dF =0. (11)
р F J
29
Так как ординаты эпюры со вычисляются как удвоенные площади, ограниченные контуром сечения и заключенные между начальным радиусом-вектором и конечным, проходящим через данную точку контура, то в рассматриваемых примерах эпюра со будет состоять из отрезков прямых линий, тем круче наклоненных к оси контура, чем больше расстояние оси контура до полюса.
Спаренный стержень из двух одинаковых двутавров
(рис. 12)
Для того чтобы были соблюдены последние два условия, вытекающие из статики, т. е. чтобы оба интеграла, вычисленные для каждой ветви отдельно, равнялись нулю со dF = oj,
следует начальный радиус-вектор для каждой ветви совместить с осью симметрии, соединяющей центры изгиба обеих ветвей. К этому же мы придем, если первоначально возьмем начало отсчетов в произвольной точке. На рис. 12 показана эпюра со для такого спаренного стержня.
Секториальный момент инерции сечения определим из формулы
/а = 2 J(o2rfF, (12)
F
где F — площадь поперечного сечения одного двутавра.
Вычислим вторую часть уравнения (12), пользуясь приемом, известным из строительной механики при вычислении
z
интеграла вида J ММ ds:
г 0 , 4Х l(adi , W2 ,
'о»--* 12 "Г 3 LI 2 “" 4 )
■ lwd\ * d\di \ I ad\ d\d2 \ j / cid\ d\d% \2
\2 4 /Л 2 4 )Г\ 2 T"]J
Здесь Jx-x — контурный момент инерции сечения одной ветви относительно оси х, при вычислении которого считают, что вся площадь элемента контура сосредоточена на оси элемента.
Это выражение преобразуем, имея в виду, что при а = О будем иметь
6 <>d2\dl
[/•U = ® 12 =
где /0О —секториальный момент инерции одной ветви при полюсе в центре кручения отдельной ветви.
30
Окончательно получаем
/со= 2 (/©о + я2/ * -*)• (13)
Этой формулой удобно пользоваться при вычислении секториальных моментов инерции для спаренных стержней, со¬
ставленных из одинаковых двутавров. Здесь появляется возможность использования готовых значений /со0 и Jx-X для одиночных балок, взяв их из справочников или ГОСТов, при составлении которых была учтена форма сечения двутавров, образованная из не строго правильных прямоугольников.
Пользуясь таблицами ГОСТа мы имеем значения для Jx-x как для осевых моментов инерции сечений, а не контурных, но ошибка от такой замены будет 0 того же порядка, что и погреш- Рис. 13
ность, происходящая из-за принятых упрощений в законах распределения касательных напряжений [19].
Напомним, что контурным моментом инерции линейного элемента относительно оси х— х (см. рис. 13) в отличие от экваториального момента инерции элемента, имеющего толщину 6, называют интеграл вида
i
Jx-x = b\ у* dl\
о
*В. П. Фармаковский. Расчет жестких рам. Стройиздат, М., 1932, стр. 17.
31
Интеграл этот вычисляется по формуле
6/
х-х = "з" (1 "I" У1У2 у!)•
(14)
Если данный отрезок линейного элемента пересекается осью х, то формула (14) примет вид
При перпендикулярном положении отрезка по отношению к оси х и прохождении этой оси через середину отрезка будем иметь
При горизонтальном положении отрезка
Спаренный стержень из двух одинаковых швеллеров с полками наружу (рис. 14, а)
Вычисляем
Преобразуем полученную формулу, выразив /<* через 7©0, где /со0 — секториальный момент инерции одного швеллера при полюсе в его центре изгиба.
Из формулы (15) при с=ха (ха — расстояние центра изгиба одного швеллера от стенки швеллера) будем иметь
1х-х = Ыу\
F
= 2с2/*-, + Ы\< (-£ - с) • (15)
[/•U = 2xlJx-x + 62dUi (4- - *а) = 2/е,.
-t-Xa
32
В формуле (16) можно заменить 622 через 4xaJx-x.
В справедливости такой замены можно убедиться, используя формулы из выражения (4):
_ 11 . 2dld2 . _ JХ-Х 12 2 И
60d,
22
do*
d '2 262d2 + б, -±
в!
сМ
-SS
cah
“Г
2 2
Ш
dti
Рис. 14
Таким образом, будем иметь 2/(о0 + 2/х__х (q 4/Хжха ( С + Яд)
= 2 [/сое + 1х-х (с - *а)2] = 2 [/«, + аЧх-х].
Итак, получена точно такая же формула, как и (13), для случая сечения из двух одинаковых двутавров.
3 М. Д. Борисов 33
Спаренная балка из двух одинаковых швеллеров полками внутрь (рис. 14,6)
Определим секториальный момент инерции составного сечения
После преобразований получим формулу (13). Величины /о)0, ха и Jx-x следует брать из ГОСТов.
Для рассмотренных трех случаев спаренных стержней мы в итоге получили одну и ту же формулу, в которой а всегда обозначает расстояние переноса центра кручения отдельной ветви в общий центр кручения спаренного сечения. Эту общую формулу для таких спаренных балок можно получить и другим способом.
Известно, что при переносе полюса в тонкостенных балках открытого профиля ординаты эпюры со можно вычислить по формуле
где со0 — ордината секториальной эпюры при полюсе в центре самостоятельного кручения одной ветви; а—абсцисса нового полюса в осях координат с центром в старом полюсе; b — ордината нового полюса в тех же осях;
К — некоторая постоянная величина.
В наших трех случаях перемещения полюса происходят по оси х9 поэтому Ь = 0. Кроме того, в наших условиях и К = 0. В последнем легко убедиться, учитывая, что значения со для точек контура, лежащих на оси х, в рассмотренных трех случаях всегда равны нулю. Действительно, имеем: 0 = 0 — а0 + + 0х + К.
Окончательно формулы при переходе к новому полюсу примут вид: со = соо — ау для левой ветви и со = соо + ау — для правой ветви.
Применяя эти формулы при вычислении в рассмотренных трех случаях, получаем
F
21
со = coq — а у + Ьх + К>
/со = 2 J со2 dF = J (со0 — ayf dF + J (со0 + ayf dF =
F F F
= 2 J со2 dF + 2 J а2у2 dF = 2 (/«, + a2Jx-x).
F
F
34
Таким образом, для всех трех случаев получена та же единая формула. Эта формула позволяет сделать вывод, что получает минимальное значение в спаренных стержнях из одинаковых двутавров и швеллеров, когда расстояние между двумя ветвями отвечает условию 2а = 0.
Рис. 15
Иначе говоря, [/Jmm получится тогда, когда общий центр кручения спаренного сечения совпадает с центрами кручения отдельных ветвей. Это видно из того, что член a2Jx-x в формуле (13) всегда положителен и обращается в нуль только при а = 0.
Более точное значение учитывающее изменение толщины полок двутавров и швеллеров, а также наличие 3* 35
закруглений по концам полок и в местах сопряжений их со стенкой, можно получить по формулам, приведенным в книге Д. В. Бычкова [24] (стр. 122—125).
Стержень, составленный из четырех одинаковых равнобоких уголков (рис. 15)
Для составных стержней, образованных из четырех одинаковых равнобоких уголков, расставленных на разные расстояния друг от друга, по двум схемам будем иметь
/ш = 4 J са2 dF = ЬаЧ3 = i a?d2F,
F
где F — площадь поперечного сечения всех четырех уголков.
При расположении уголков полками наружу или внутрь значения секториальных моментов инерции не меняются.
Рассмотреть этот пример было полезно, так как при проектировании металлических колонн, составленных из четырех уголков, нередко встречаются крутящие нагрузки.
Спаренные стержни, имеющие в общем сечении одну ось
симметрии
Спаренный стержень из двутавра и швеллера одинаковых номеров (рис. 16)
Для определения положения полюса эпюры со, который будет, очевидно, находиться на оси симметрии, надо опреде-
б)
У
с ш
8
ОСа
.Я?.-
Рис. 16
лить только одну координату ах или а2. Это можно сделать, составив и решив одно уравнение из условия J (oxdF = 0.
F
При этом направим оси координат, как это показано на 36
рис. 16, и поместим начало координат хотя бы в центре тяжести составного сечения.
Однако проще найти искомую точку как центр изгиба составного сечения. Для этого надо известное расстояние (ai + а2) разделить обратно пропорционально моментам инерций поперечных сечений ветвей, взятых относительно оси х. Тогда, пользуясь формулой переноса полюсов, получим
= J ®2 dF = I К.1 2<й0Ла\Ух + aii)dF 1 +
F Ff
+ J (C00,2 + 2(00,2a2.2 + °Ы) dF2.
F,
Сократив члены, равные нулю, получим
Лй = 2Ло0+2 О? J х -х-
Таким образом, надо сложить взятые из таблиц ГОСТов значения /(0С для одиночного двутавра и для одиночного швеллера и прибавить сумму произведений отдельных значений с_ж взятых из тех же таблиц, на квадраты соответствующих расстояний переносов полюсов.
Очевидно, что [/(Jmin будет по-прежнему иметь место при
[й\ +fl2]mln-
Спаренный стержень из двух одинаковых уголков полками наружу (рис. 17)
Пусть оси координат направлены так, как это показано на рис. 17. Для построения эпюры со необходимо знать координату Ь центра кручения спаренного стержня и координату е нулевых секториальных точек. Эти две координаты найдутся из совместного решения двух уравнений, отвечающих условиям:
J со dF = 0 и сол: dF = О,
F F
где F — площадь одного уголка.
Вычислив первый интеграл, получим
/ bd\ ае2 \ Aafde)]-
b[aed2--T- + —) = б[ 2—-] ,
откуда
21 Ь\
Вычисляем второй интеграл, рассматривая его как статический момент контура с «погонным весом» соб и опуская всюду общий множитель 26:
[‘■W-/)-"] - aed2(a + %)-% + §4
2.2 2 j a aj а еаj
a? ed 1
= a2ed2 +
aed9
abdi
bd%
i i \ A2
e atdi + a?d2 + у adfj = —
abd\
b(
+ bd\ + - j • - j • 2 £ = 5 .
2ad + 2a2
Исключая из двух полученных выражений е, имеем
° 2 ( Ь \ л и -2 . 2 / 6 \ -э
Отсюда
(is)
d\ + 4 dxd2
Подставляя выражение (18) в (17), получим
А*4, Ц -Л
_ V + 4rf,d2 / 2<*1
(19)
2 (di + "Ь 2
Найдем зависимость между 6 и е:
3ad2 2d2 3 а 3 а
2 (4rfi + 4б?1 + 2б?2 22
Окончательно эпюра со будет иметь вид, изображенный на рис. 17,6.
Замечаем, что положение нулевых секториальных точек зависит только от размеров уголка и не меняется от расстояния между уголками. Пользуясь построенными эпюрами со, вычисляем по формуле (12), где F— площадь поперечного сечения одного уголка:
/ш = 6 j rf, [a2 (di — ef — а2 (dt — е)е + а2е2] +
+ d2 [aV - + f-\ = a26 (Зе% + -f e2d2 - 3ed\ + d]).
Подставляя вместо e его значение из (19), получим
, 2 2t\m\(Adl + d2) _ j3 _
J<* 3 a 6 [ 4 (4d + d2)2 4dt + d2 + “'J
' Ы\ - + 4d\ + d\d2 j a2d\F
-ja4
4d\ 4- 2 J 3 (4d\ + d2)
Здесь F — площадь поперечного сечения двух уголков. Для частного случая равнобоких уголков будем иметь
2 j . 3 , a2d2F
е к d, Ь - а, *
5 ’ 5 15 ■
Спаренный стержень из двух одинаковых уголков полками
внутрь (рис. 18)
Поступая аналогично предыдущему, после проделанных
о
вычислении получим е = d ■■. Здесь оказалось, что положение нулевых секториальных точек определяется по ранее полученной формуле для случая двух уголков с полками наружу и по-прежнему оно не зависит от расстояния между уголками.
39
Вычисляя координату Ъ центра кручения, получим прежнее ее значение, но с обратным знаком:
/,= _ 3ad'
(4d, 4- d?)
Это говорит о совпадении абсолютных значений координат центров кручения для рассмотренных двух случаев спаренных
стержней, но в то же время обратный знак перед формулой указывает на ошибочность нашего первоначального предположения о направлении этой координаты.
Таким образом, окончательно эпюра со будет иметь вид, показанный на рис. 18,6.
Сопоставление полученных эпюр со для спаренных стержней из двух уголков с полками наружу и внутрь говорит о равенстве секториальных моментов инерции для этих случаев.
40
A?F ,
Таким образом, также будем иметь /С0 = -41 + (здесь
F — площадь сечения двух уголков).
Для частного случая равнобоких уголков по-прежнему:
2 - - 3 F a2d2F
6 — g d\ и /ф .
Наблюдаемое в стержнях, спаренных из одинаковых уголков полками наружу или внутрь, постоянное положение нулевых секториальных точек, независимое от расстояния между уголками, позволяет сделать вывод о возможности всегда заменять в таких стержнях заданный внешний закручивающий момент парой сил. Одна из этих сил изгибает один уголок вверх, а другая изгибает другой уголок вниз (рис. 17, 18), причем силы эти лежат в плоскости вертикальных полок. Это ясно из того, что обе эпюры полученных секториальных площадей можно рассматривать как эпюры нормальных напряжений, возникающих в наших уголках от изгиба их указанными силами. Нейтральная ось при таком косом изгибе уголков обязательно будет проходить через точки контура профиля, совпадающие с нулевыми секториальными точками.
Изложенное вполне соответствует тому, что в спаренных стержнях с неизменяемым контуром поперечного сечения эпюру, нормальных напряжений, возникающих при стесненном кручении, всегда можно разложить на две эпюры, из которых одна отвечает изгибу ветвей в противоположные стороны, а другая отвечает нормальным напряжениям, возникающим при стесненном кручении отдельных ветвей вокруг их собственных центров изгиба. Но, так как известно, что при стесненном кручении отдельных уголков нормальные напряжения не возникают, то вторая составляющая эпюры в балках, спаренных из уголков, будет отсутствовать.
Спаренный стержень кругового профиля (рис. 19)
В. 3. Власов решает задачу построения эпюры со для тонзстенной трубы, имеющей разрез по прямой образующей. 1еизменяемость контура сечения, как всегда, обеспечивается идеальными диафрагмами. Мы решим такую же задачу при наличии двух разрезов по образующей, как угодно расположенных.
Оси координат расположим, как это показано на рис. 19. В данном составном сечении имеется ось симметрии, которая является одновременно и осью симметрии обеих ветвей. Используем это благоприятное обстоятельство, выбрав начала отсчетов секториальных площадей для той и другой ветви на оси симметрии.
41
Тогда заведомо будут удовлетворены три условия:
2 (oxdF = 0 и примененное к каждой ветви отдельно усло-
F
вие J (odF = 0; оставшееся последнее условие J* (oydF=*Q
F F
позволит найти единственную неизвестную координату полюса, обозначенную через а.
При положении полюса в центре круга для любого центрального угла ср секториальная площадь определяется через R2<р. При переносе же полюса в неизвестную пока точку А воспользуемся формулой переноса полюса со = соо — ау + Ьх +\ + К, которая в нашем случае обращается в следующую: со = со0 — ау (см. ранее решенные эпюры). Принимая во внимание, что для любой точки В правой ветви у = «= R sin ф, а левой ветви у = —R sin ф, будем иметь: для левой ветви
(оА = R2ф + aR sin ф,
Рис. 19
для правой ветви
<оА = R2ф — aR sin ф.
Отсюда получаем
+а
J юydF = J (/?2ф — а/? sin ф) • sin ф • rftp 4-
(я-а)
+ J (/?2ф + a sinф) • ( — sin ф) = 0
-(я-а)
откуда а — —2 R cos а.
При а = 90° а=0, обе ветви одинаковы, полюс находится в центре круга. При а=180° a=+2R. Когда имеется только один разрыв на левом конце диаметра, тогда полюс окажется с правой стороны на расстоянии 2 R, что отвечает решению
В. 3. Власова. При а = 0° а = —2/?, разрыв тоже один, но с другой стороны, соответственно и полюс перемещается на другую сторону. При а = 60° а = —R, т. е. полюс окажется на контуре,
42
Вычисление /© для такого спаренного стержня не представляет трудностей, так как /о, для одиночного стержня приведено в работе В. 3. Власова [3].
Спаренные стержни с антисимметричным сечением (рис. 20)
Рассмотрим стержень, составленный из двух одинаковых неравнобоких уголков.
Положение центра кручения в данном случае, очевидно, совпадает с центром тяжести и центром изгиба и позволяет
нам установить в этой же точке и полюс эпюры со. Для определения нулевых точек отсчета эпюры со зададимся любым значением отрезка с и построим эпюру со. Нетрудно видеть, что при любом значении с удовлетворяются следующие два условия статики:
J со* dF = 0 и f coy dF = 0.
F F
Отрезок с можно определить из условия J cod/7 = 0.
F
Вычисляем последний интеграл:
2ас + bd2 j * ас2 А _ a (d\ — с)2 А 2 й<2 + 2 9 0 “ 2 0в
Отсюда получим
2 / Ь \
Спаренные стержни, не имеющие осей симметрии в общем
сечении
Спаренный стержень из двух одинаковых уголков с полками в одну сторону (рис. 21)
Полюс эпюры со определится легко, как центр изгиба составного сечения. Очевидно, он будет находиться на линии горизонтальных полок посредине между вершинами уголков.
Координату е нулевой секториальной точки найдем из условия J cod/7 = 0:
F
a (di -е) - ае _ ае = 0; (d\ — 2е) d = 2ed2\
di = 2е (d\ + d2); e = 2 (d, + rf2) '
что отвечает ординате центра тяжести каждого уголка.
В правильности выбора полюса эпюры со легко убедиться, проверив соблюдение двух других обязательных условий:
2 J сох dF = 0 и (оу dF = 0.
F F
Последнее условие заведомо выполняется при любом положении горизонтальной оси х.
Проверим выполнение условия J a>xdF = 0*
F
Ось у направим вертикально посредине между вертикальными полками уголков, вычислим [ сох dF как сумму ста-
р
44
тических моментов контура уголков с «погонным весом» соб. <*xdF= 6[a№2.a_g]i .a_6aed2a + .j +
- • а — baed2ci —y-j - 6a \d\ — 2e (dt + 2)].
F
6 [a (d\ — e) — ae] d
' 2
Это выражение обращается в нуль, если вместо е подста-
d2
вить его значение 2 . Следовательно, правильность
расположения полюса эпюры со доказана.
Составим теперь выражение для
/а = 26 -у- [a2 (di — е)2 — а2е — е) + а2е2] + d2a2e21 =
= 26л2 — ed\ + е (d\ + 2)].
А
Заменив е на , получим
. пд 2К 4 . 1+)1
У® “ a L 3 2 (rfj + d2) 4 (dt + d2)2 J
= 26 a21"1 **
4 (dj + d2)
ba d\ (d + 4rf2)
6 (g?i + 2)
Для частного случая равнобоких уголков с полками в одну сторону будем иметь:
d т 5a2d2F
е 4 и Л» 24 ’
где F — площадь поперечного сечения двух уголков.
В самом общем случае, когда спаренный стержень составлен из ветвей любых профилей, используя вышеуказанные четыре уравнения, вытекающие из трех условий статики, мы всегда сможем определить две координаты центра изгиба составного сечения и две координаты двух главных секториальных точек на контурах ветвей.
В заключение отметим, что с помощью тех же условий статики так же просто можно строить эпюры со для одиночных тонкостенных стержней любого открытого профиля.
§ 10. ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫЕ ФАКТОРЫ, СВЯЗАННЫЕ С ДЕПЛАНАЦИЕЙ СЕЧЕНИЙ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ БЕЗ ПЛАНОК
Распространим понятие об изгибно-крутящих бимоментах на расчеты составных тонкостенных стержней с неизменяемым контуром сечения.
Элементарное усилие odF, возникшее в поперечном сечении составного стержня при его стесненном кручении,
46
помножим на соответствующую ему секториальную координату и проинтегрируем это произведение по всей площади каждой ветви, а затем просуммируем результаты по всем ветвям. Полученную величину обозначим через В0 и будем называть ее изгибно-крутящим бимоментом составного сечения:
в°>='Ei J а“(°dF• (2°)
F
Так как перемещения и, возникающие при депланации (искажении) сечения изменяются по закону секториальных
площадей со = — , то изгибно-крутящий бимомент можно
трактовать как работу продольных усилий odF на единичных перемещениях, распределенных по сечению составного стержня по закону секториальных площадей.
Подставив вместо его значение, получим
Ва = - J J £©"со2 dF = - Е" J] J ®2 dF=- EJaQ",
F F
где —секториальный момент инерции, вычисленный для всего сечения составного стержня.
Из теории В. 3. Власова известно, что бимомент является внутренним силовым фактором, статически уравновешенным, но его можно задать в виде внешней нагрузки.
В простейшем случае бимомент можно представить в виде момента бипары, т. е. произведения момента одной из пар на кратчайшие расстояния между плоскостями действия пар.
Но в виде бипары бимомент можно получить только при стесненном кручении одиночного двутавра, а в общем же случае ему нельзя дать простого наглядного представления. Даже при одиночном швеллере явление настолько усложняется, что простой интерпретации бимомента быть не может.
Ю. И. Ягн трактует бимомент как обобщенную силу, характеризующую степень развития самоуравновешенных нормальных сил, вызываемых переменностью депланаций сечений [22].
Бимомент измеряется в кГ • м2 или в кГ • см2, а в единицах СИ в н • м2. *
* В единицах СИ через н обозначена единица силы, называемая ньютоном и равная 1 кГ ““5- Поскольку 1 кГ =■ 1 кг • 9,81 -2" > то 1 асГ =
*= 9,81 н. В сопротивлении материалов приближенно (с погрешностью порядка 2%) принимают 1 кГ « 10 я, а потому для моментов сил можно считать 1 кГ • м « 10 н • м, а для бимоментов 1 кГ • м2 \0 н-м2 или
1 кГ • см2 » Ю-3 н • м2%
46
Кстати заметим, что при измерении напряжений и моду-
кГ _ iVJft
лей упругости можно считать, что 1 -г *
где через Л4я обозначена сила, называемая меганьютоном.
Секториальные нормальные напряжения можно выразить через бимомент по формулам:
• гг — Дротах _ £q>
ОQ) — ш — т > исо шах т 117»
где —секториальный момент сопротивления.
В самом общем случае действия сил на составной стержень формула для определения нормальных напряжений имеет вид:
N Мух Мху Всо©
® F J "* 7 ‘ 1 *
г Jy Jx J(0
где х и у— координаты рассматриваемой точки сечения относительно главных центральных осей сечения каждой ветви, а со — главная секториальная координата составного сечения в той же точке.
Ранее мы установили, что при стесненном кручении составного стержня в сечении его ветвей возникнут секториальные касательные напряжения и касательные напряжения при чистом кручении ткр. Первые после преобразования их в усилия приведутся к общему для всего стержня моменту, называемому изгибно-крутящим и обозначаемому через Mw.
Вторые касательные напряжения, соответствующие чистому кручению, приведутся к общему для всего стержня моменту чистого кручения Л1кр.
Алгебраическую сумму этих двух моментов обозначим через Ms и будем называть общим крутящим моментом. Измеряются эти моменты в кГ • см.
Изгибно-крутящий момент определим как сумму интегралов моментов элементарных секториальных касательных усилий относительно центра кручения, взятых по площади поперечных сечений всех ветвей.
Элементарный момент этих касательных усилий будет
йМф = тб dsr = тб dco.
Е'" С
После подстановки значения тю =—— I со dF имеем:
отс
= /Е" J a dF) da>; М0 = % Е'" J (со dF) dv>.
Интегрируя по частям, имеем
Аннулировав член, заведомо равный нулю, имеем окончательно
Ма = - Ев'" 2 J <о2 dF = - £в/>7а,
где /<*—секториальный момент инерции, вычисленный для всего сечения составного стержня.
Сопоставляя полученное выражение для Ма с ранее полученным для В0), замечаем между MQ и В дифференциальную dB®
"рг
Рис. 22
Подставив значение в формулу для тШ) имеем
J
= ■
м S0T( УУ10)°(0
так как
SOTC (О
СО rf/7.
Из последней формулы видно, что величина касательных напряжений в одном и том же сечении составного стержня
будет меняться по закону Sa = J codF. А это значит, что
о
имея со, построенную для заданного сечения составного стержня, всегда можно построить для этого стержня и эпюРУ *<0» которая будет интегральной по отношению к эпюре со Начинать построение эпюры tw надлежит с крайних точек контура сечений каждой ветви отдельно, где значения заведомо равны нулю.
Для примера возьмем сечение спаренного стержня из двух швеллеров полками внутрь. Эпюра со для такого стержня была изображена на рис. 22. Вычислим ординату эпюры Sш в левом верхнем углу составного сечения как площадь эпюры со на протяжении верхней полки левого швеллера, умноженную на толщину полки. Ордината tw в этой точке сечения будет равна:
I d\d2 \ d2b2 Mq [cdi +— •
48
Отложенные в каком-либо масштабе по нормали к контуру сечения ординаты эпюры т будут изменяться на всех участках контура по квадратным параболам, поскольку соот-
t
\jpr
.ШНПпчк
I
tw ■чщц
Рис. 23
ветствующие им ординаты эпюры to будут изменяться по закону прямых линий. Наибольшим и наименьшим ординатам эпюры тт будут отвечать нулевые значения ординат эпюры со.
Для нашего примера эпюра тщ изображена на рис. 22. В других случаях составных стержней, для которых ранее
4 М. Д. Борисов
были построены эпюры со, соответствующие им эпюры изображены на рис. 22—23.
На эпюрах стрелками показаны положительные направления потоков касательных напряжений в случае положительного значения М.
В общем случае действия сил на составной тонкостенный стержень касательные напряжения определятся по формуле
QyS°xTC Qxs™ Masz т = “М_ + __+_л7б-« <21>
где Qx и Qy — компоненты поперечной силы по главным центральным осям каждой ветви.
Следовало бы еще учесть влияние MKV> но дальше будет показано, что при расчетах составных стержней на планках значениями Мнр можно пренебрегать *.
§ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ
В каждом сечении закручиваемого составного стержня с неизменяемым контуром сечения общий крутящий момент должен быть равен внешнему закручивающему моменту.
Таким образом, мы имеем следующее уравнение равновесия:
Ms = М„ + Мкр = - £/*©'" + G Jd\ (22)
Дифференцируя это уравнение по г, получим
dM _
- EJae™ + G Jd" = -jf- = m (г). (23)
Выражение можно рассматривать как интенсивность
изменения общих крутящих моментов по длине стержня, обозначим его через т. Величина пг может быть переменной и зависеть от г. Для участков стержней, не загруженных крутящей нагрузкой, т = 0.
Полученное уравнение является дифференциальным уравнением линии углов закручивания составного тонкостенного стержня с неизменяемым контуром сечения, которое ничем не отличается от такого же уравнения для одиночных тонкостенных стержней.
В уравнении (23) EJw — секториальная жесткость составного сечения стержня, a GJ — жесткость его при чистом кручении.
* Примеры построения суммарных эпюр а и т при совместном изгибе и кручении даны на рис. 67 и 68 в примере расчета рамы.
50
Приняв = k2, после деления всего уравнения на EJ
tJ Q)
получим
©IV _ кЩ" = _ ™ .
Величина k является изгибно-крутильной характеристикой составного стержня, измеряется она в см1.
Из выражений для бимомента Вw имеем 0"= -=rf-, сле-
К
довательно 0IV =—ft—. Тогда можно написать дифферен-
со
циальное уравнение бимоментов
BZ - k2Ba = m. (24)
Решением дифференциального уравнения линии углов закручивания занимались А. А. Уманский, В. 3. Власов,
А. Н. Крылов, М. М. Филоненко-Бородич. Подробно об этом изложено у Д. В. Бычкова [24].
В полученных решениях уравнения (24) произвольные постоянные или начальные параметры легко определяются из условий и характера закрепления концов стержня, а именно:
1) если конец стержня свободен и ничем не стеснен, то в этом сечении отсутствуют нормальные напряжения и М8 = О, следовательно, = 0 (иначе говоря, 0" = О) и 4-AlKp = 0;
2) если конец не может закручиваться, но может искажаться, то 0 = 0 и 0" = О (так как £w = 0) ;
3) если заделка конца стержня полная, т. е. нет поворотов сечения и нет искажений, то 0 = 0 и 0' = О, иначе говоря, Л4кр = 0, так как искажения и=—со0' = О.
Решение дифференциального уравнения линий углов закручивания стержня позволяет получить аналитические выражения для этих углов в функции от координаты сечения г, считая ось z совпадающей с осью изгиба сечения с начальной точкой в левом конце стержня. После этого уже нетрудно найти и следующие три аналитические выражения искомых силовых факторов в функции от z, а именно: Мкр = GJd®'\
ва=- ъ%-(МкрУ- EJJ";
(Мкр)" = - Е/ав"'. (25)
Полученные зависимости удобно изображать графически в виде эпюр, построенных на продольной оси координат z и расположенных последовательно одна под другой. Последовательная дифференциальная зависимость выражений (25) графически отобразится в этих эпюрах. Максимальные и
4* 61
минимальные значения ординат в предыдущей эпюре будут иметь нулевые значения в последующей эпюре.
Для облегчения труда инженеров-проектировщиков Д. В. Бычков опубликовал таблицы уравнений линии углов закручивания и уравнений бимомеитов в тонкостенных одиночных стержнях от различных закручивающих нагрузок и при различных опорных закреплениях. Эти таблицы имеются в приложении к книге Д. В. Бычкова [24]. Имея эти эпюры, можно определить в любом сечении стержня все деформации и все напряжения. Следовательно, мы имеем все необходимое для полного расчета составного стержня.
В. 3. Власовым исследован вопрос закручивания тонкостенного одиночного стержня и при воздействии на стержень продольных сил. В этом случае для М будем иметь следующее выражение:
М = — jБo)©,/, — п (z) со = — Ba — ti(z) со,
где со — секториальная координата точки сечения, через которую проходит линия действия продольных сил n(z).
Отсюда видно, что для такого случая продольных сил
М(о == Вщ.
Дифференциальное уравнение линий углов закручивания для случая действия на тонкостенный стержень распределенных вдоль оси продольных сил будет иметь такой вид:
EJJdlv - GJdQ" + п' (z) со = 0.
Для удобства инженеров в ЦНИПСе были составлены таблицы готовых формул для углов закручивания и изгибнокрутящих силовых факторов при кручении одиночных тонкостенных стержней, находящихся под действием продольных сил [16].
Важно отметить, что для всех случаев закрепления опор стержня и для всех случаев нагрузок (включая и все продольные нагрузки) эпюра для Ms будет всегда получаться как суммарная от эпюр Мкр и
При составлении эпюры М8 следует иметь в виду, что ординаты этой эпюры не будут равны сумме ординат эпюр Мир и в том случае, если внешнее воздействие задано в виде поворота опорного сечения на какой-то угол закручивания.
Это видно из того, что появится еще один крутящий момент, связанный с этим углом закручивания формулой
Мкр = GJd'.
Обращаем внимание на то, что В. 3. Власов во всех своих трудах дает формулы и строит эпюры для суммарных значений крутящих моментов Ms (у него обозначенных через L).
52
Мы же предпочитаем определять аналитические выражения и строить эпюры для Мл, а эпюра Ms при необходимости всегда найдется как результат алгебраического сложения эпюр МКр и Mo. Делается это для того, чтобы все четыре выбранные нами эпюры находились бы в последовательной дифференциальной зависимости.
Внешний закручивающий момент М будем считать положительным, если для наблюдателя, смотрящего со стороны положительной продольной оси составного стержня (оси г), он закручивает стержень против движения часовой стрелки, и отрицательным — в противном случае.
За положительный угол закручивания 0 будем принимать поворот сечения составного стержня вокруг центра кручения против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной оси г.
Депланацию 0' будем считать положительной, если эта депланация соответствует положительному приращению угла закручивания 0.
Изгибно-крутящие бимоменты 5, возникающие в тонкостенном составном стержне, находящемся в условиях стесненного кручения, будем изображать в виде бипар, при этом за положительный бимомент будем принимать тот, который соответствует отрицательному приращению депланации 0', так как =—£7(00".
Положительным значением М будем считать то, которое отвечает положительному приращению бимомента.
§ 12. КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ЖЕСТКИХ ПЛАНКАХ
Рассмотрим кручение составных стержней из двух или нескольких открытых профилей с планками, приваренными плашмя через равные интервалы. Таким образом, в местах приварки планок образуются короткие участки замкнутого сечения. Благодаря принятому конструктивному решению замкнутые сечения имеют неизменяемые контуры. Планки настолько препятствуют депланациям, что практически в сечениях с планками депланации можно считать отсутствующими. Для того чтобы быть в этом уверенным, дальше будет изложен способ расчета на кручение составных стержней с учетом упругих деформаций планок в своих плоскостях.
Приняв планки идеально жесткими в своих плоскостях, будем считать составной стержень поделенным планками на участки с недепланируемыми и неизменяемыми концевыми сечениями. На основании ранее изложенного можем рассчитать такие отдельные участки на собственную крутильную нагрузку и на крутильные воздействия от примыкающих участков.
53
Эти расчеты позволят построить эпюры Мш, Вш Мкр, и в для каждого участка в отдельности, а потом эти эпюры нетрудно свести в общие для всей длины составного стержня.
Ниже приведены примеры расчета однопролетных спаренных и консольных составных балок.
Однопролетные спаренные балки
Пример 2. Расчет однопролетных спаренных балок рассмотрим на примере балки, изображенной на рис. 24.
Сечение стержня М=1кГ см
2,194 • 10-6 Рис. 24
Сечение балки задано из двух швеллеров № 20а полками внутрь при расстоянии между наружными гранями стенок, равном 20 см. Шестиметровый пролет разбит на три равные части приваренными парными жесткими планками, обозначенными на рисунке двумя короткими черточками. Опорные сечения балки лишены возможности закручиваться. В одной трети пролета приложен сосредоточенный закручивающий момент М=\кГ-см. Задача сводится к раздельному расчету трех участков с недепланируемыми концевыми сечениями. Левый участок находится под воздействием двух закручивающих моментов, приложенных на концах участка и напра¬
54
вленных в противоположные стороны. Каждый момент равен
о
-о-М. Остальные два участка закручиваются на концах мо-
о
ментами, равными по j-M. В запас прочности длину каждого
участка будем принимать равной 2 м, т. е. будем замерять его не в свету между планками, а между их осями. Такая задача для одиночных стержней рассмотрена В. 3. Власовым [3], и им получено следующее выражение для линии углов закручивания:
Lr г / 1 — ch k I kz \ I . kzl
e=G[-T--hk--(Ch-- l)+Z-Jsh-\- <26)
Здесь г — абсцисса рассматриваемого сечения.
В наших обозначениях формулу (26) следует переписать для левого участка в следующем виде:
Пользуясь установленными ранее зависимостями Мкр, Вw и М от 0, напишем для них следующие формулы:
мкр = GJd = [ 1 7ht/fe' • sh kz + 1 - ch kz] •
— M *
(M**Y = ПГ" [- • chkz - shH;
Ми = M [ —- skl • sh kz — ch kz j.
Эпюры 0, Мк p, В а и для всей балки схематично изо¬
бражены на рис. 24 после вычисления ординат по точкам, взятым через 100 см. Секториальные геометрические характеристики для швеллеров были взяты из ОСТа 2452, а прочие характеристики— из ГОСТа 17, 1933 г.
Эпюра со для спаренной балки показана рис. 25. Для спаренной балки были вычислены
/о = 2 (ЛоР + a2Jx) = 535 096 см6;
Jd — 17,96 см4; = ylL =0,003549 смК
Если в этом примере планки расставить в два раза чаще, т. е. через 1 м, то максимальное значение бимомента уменьшится в два раза, а наибольший угол закручивания уменьшится в четыре раза.
Пример 3. При загрузке такой спаренной балки не сосредоточенным закручивающим моментом, а сплошной рав-
65
Сечение стержня 20см
„ <кГ-см т* см
ЭпюраМи (к Г-см)
22839
Эпюра В
(иГ см2)
Эпюра Мкр (кГ'См)
Эпюра в
3J53
1+
1589 16170 161/0
22839
30340
0,75 2,06
Я70-Ю'6 Рис. 26
номерно распределенной закручивающей нагрузкой, конструктивно передаваемой сразу всему составному сечению по схеме рис. 26, задача сведется к расчетам отдельно крайних участков пролета и среднего участка. Левый крайний участок протяженностью 2м с недепланируемыми крайними сечениями будет иметь нагрузку, изображенную на рис. 27, а, средний участок будет загружен согласно рис. 27,6.
Для среднего участка имеется готовая формула линии углов закручивания одиночного стержня
Следовательно, для этого участка можно построить все четыре эпюры, изображенные схематично на рис. 26.
Что касается крайних участков, то готовых формул для их расчета нет. Однако можно разложить нагрузку участка на симметричную и кососимметричную, как это показано на рис. 28. Первая нагрузка повторит нагрузку среднего участка, а вторая рассмотрена нами в ранее решенном примере.
Необходимые нам эпюры Мир и 0 для крайних
участков получим путем сложения этих эпюр, построенных для двух составляющих нагрузок. Эти результативные эпюры после проделанной вычислительной работы схематично изображены на рис. 26.
На эпюрах разобранных примеров пунктиром показаны те же эпюры для случая спаренной балки, но без планок, где неизменяемость контура сечения обеспечивается идеальными диафрагмами.
Приведенные примеры убеждают нас в исключительной экономичности спаренных балок с планками.
* См. приложение 2, п. 21.
k'EJa 2
т k2z (/ — z)
Рис. 27
Рис. 28
67
В частности, для двутавровой балки № 60с длиною 6 ж, нагруженной сосредоточенным закручивающим моментом в одной трети пролета, будем иметь максимальный угол закручивания, почти равный полученному нами в рассмотренной выше балке, спаренной из двух швеллеров с планками через
2 м. При этом металла на спаренную балку потребуется в 2,5 раза меньше. Но полезная роль планок еще этим не ограничивается: они позволяют упростить расчет на кручение тонкостенных стержней, сводя все расчеты к весьма простым и привычным для инженера формулам поперечного изгиба, исключая необходимость иметь дело с дифференциальными уравнениями и гиперболическими функциями.
Объясняется это тем, что на участках между планками очертание эпюр ВQ весьма близко к прямолинейному. Если принять этй эпюры за идеальные прямые, точность расчетов почти не пострадает, но получится значительное упрощение благодаря тому, что эпюры углов закручивания делаются аналогичными эпюрам прогибов при поперечном изгибе, если только крутящую нагрузку условно считать изгибающей, а осевой момент инерции заменить секториальным моментом инерции сечения.
Соответственно выявляется аналогия эпюры В0 с эпюрой изгибающих моментов, а эпюры Мсо с эпюрой поперечных сил, причем эпюра Мш становится эпюрой суммарных крутящих моментов Ms, так как эпюра Мкр сводится к нулю. Эта аналогия объясняется тем, что изгибно-крутящий коэффициент k, входящий в дифференциальное уравнение кручения, обращается в нуль, после чего дифференциальное уравнение кручения тонкостенных стержней становится аналогичным дифференциальному уравнению поперечного изгиба.
О том, что эта аналогия свойственна так называемым идеальным тонкостенным стержням, давно известно. В таких стержнях все значения Jd обращаются в нуль благодаря нулевой толщине всех стенок и полок сечения.
Однако в одиночных стандартных прокатных профилях эту аналогию реализовать практически не удается, поскольку стенки и полки в прокатных профилях далеко не тонкие.
Иначе дело обстоит с составными тонкостенными стержнями, для которых коэффициент k всегда мал по причине значительной величины 7, входящей в знаменатель выражения для k. При этом может быть сделан сколь угодно большим, если только достаточно раздвинуть ветви составной балки. Помимо этого, большое значение для данной аналогии имеют планки, которыми стержни разбиваются на отдельные участки малой длины, так как с уменьшением длины участков уменьшаются ординаты эпюры М1ф. На рис. 29 показаны эпюры В(о и 0 для первого примера, решенные по вышеуказанной аналогии.
58
На рис. 30 представлены эпюры М9 и 0 для второго примера, где крутящая нагрузка задана равномерно распределенной.
Сравнивая полученные значения максимальных бимоментов, имеем расхождения для первого примера на 2,15%, а
для второго — на 2,17% в большую сторону, а для максимального угла закручивания расхождения будут тоже в большую сторону: для первого примера на 0,81%, а для второго — на 0,57%.
В рассмотренных примерах два швеллера почти касались друг друга своими полками. Если же раздвинуть эти ветви
59
Эпюра
Рис. 31
¥-
Эпюра Мк
,8 2
Ml3 MEJo
7
хотя бы еще немного, разница между результатами расчетов практически исчезнет.
Консольные составные балки
Пример 4. Рассмотрим консольную составную балку сначала без планок, но с идеальными диафрагмами.
На некотором расстоянии от конца консоли приложен сосредоточенный закручивающий момент М, действующий на все составное сечение. Опорное сечение не может закручиваться и искажаться. Эпюры для УИсо, Всо, Л4кр и 0 схематично показаны на рис. 31. На конце консоли,свободном от крутящей нагрузки, в сечениях будут иметь место нормальные и двух видов касательные напряжения, а сами сечения будут искажаться и закручиваться *.
Считая коэффициент k в составных балках равным нулю, эпюры примут вид, показанный на рис. 32. Обращение в нуль этого коэффициента в дифференциальном уравнении равносильно прене-
Рис. 33
* Подробное решение аналогичной задачи для одиночного тонкостенного стержня можно найти в «Сборнике задач по расчету тонкостенных конструкций». Редакция А. А. Умачского. Оборонгиз, 1941, стр. 60.
60
Зпюрав
ml4 ml3(Ll) 8£JU+ 6E3U
Рис. 34
Эпюра
тшти*
- L
—
\М1% 1 J
брежению сен-венановыми касательными напряжениями, поэтому эпюру Мкр можно аннулировать.
В данном случае мы видим, что на конце консоли, свободном от внешней закручивающей нагрузки отсутствуют все три вида напряжений, а эпюра 0 имеет вид прямой, касательной к эпюре 0 в точке приложения закручивающего момента, аналогично эпюре прогибов от сосредоточенной силы, условно приложенной вместо закручивающего момента.
Если в месте приложения сосредоточенного закручивающего момента будут приварены планки, исключающие в этом месте депланацию сечений, ЭпюраМкр то на основании той же аналогии эпюры примут Зпюрав вид, схематично показанный на рис. 33.
Свободный от крутящей нагрузки конец консоли повернется на общий для всего конца угол закручивания и не будет испытывать никаких напряжений и никаких депланаций.
При пользовании аналогией напоминаем, что равенство нулю депланаций соответствует равенству нулю девиаций.
Пример 5. На составной тонкостенной консоли имеется равномерно распределенная закручивающая нагрузка, не до* ходящая до свободного конца консоли, но конструктивно передаваемая всему составному сечению. Заделанное опорное сечение не поворачивается и не искажается.
Согласно ранее сказанному (см. стр. 58) по аналогии можно начертить эпюры Мкр и 0, показанные схема¬
тично на рис. 34. Так же, как в предыдущем примере, эпюра Ма будет являться эпюрой Ms, а эпюрой Мкр пренебрегаем.
Если мы примем те же условия, что и в примере 5, но добавим пару планок согласно рис. 35, то вид эпюр изменится. Схематично последние эпюры показаны на рис. 35.
61
Рис. 35
Приведенных примеров на кручение однопролетных и консольных балок достаточно для того, чтобы рассчитать такие составные балки на любую крутильную нагрузку.
В приложении 1 дается таблица приближенных формул, составленных на основании аналогии для расчета на кручение составных на планках однопролетных и консольных тонкостенных балок на различные крутильные нагрузки. Недепланируемые замкнутые планками участки условно считаем сконцентрированными в одном сечении, а расстояние между планками измеряем между их осями.
Расчет планок
Во всех рассмотренных примерах кручения тонкостенных составных балок с планками видно, что планки создают раз¬
ницу в бимоментах в сечениях по одну и другую стороны планок. Работу планок можно понять при рассмотрении деформаций, которым планка оказывает сопротивление. На рис. 36, а показан вид планки, приваренной к полкам двух швеллеров, из которых образована спаренная балка. На рис. 36, б схематично дана эпюра со для составного сечения этой балки. Де62
планация сечения, которая планками должна быть устранена, показана пунктиром в аксонометрии на рис. 36, в.
Сопротивляясь искажениям сечений, планки будут срезываться и изгибаться, как показано на рис. 36, г. Если планки разрезать посредине их длины в местах нулевых изгибающих моментов и приложить обобщенные силы среза Г, то эти силы смогут быть определены из условия устранения депланации в местах приварки планок.
Выше говорилось о крутильном воздействии на тонкостенный стержень продольных сил. В местах мысленных разрезов двух планок будем иметь четыре срезывающие силы, приложенные на концах приваренных консолей, которые пока будем считать идеально жесткими.
Согласно ранее сказанному о продольных силах каждая сила Т будет причиной возникновения бимомента, равного произведению силы Т на величину секториальной координаты, определенной в точке ее приложения, но при этом эпюра о) должна быть построена до конца жестких консолей, условно введенных вместо разрезанных планок.
На рис. 36,6 показаны ординаты на концах консолей соь о>2, соз и о)4. Двойная симметрия сечения в данном примере позволяет считать все эти ординаты по абсолютному значению равными. То же можно сказать про силы среза Т. Остается только приравнять получившуюся скачкообразную разницу в эпюрах бимоментов величине бимоментов, создаваемых силами 7\ чтобы определить эти силы.
ВТ* - Я£ев = 47©,
где о) — абсолютное значение ординат о)Ь 0)2, о)3 и 0)4.
Здесь все четыре бимомента сложатся, так как одновременно с переменой знака ординаты меняется направление силы Т.
В самом общем случае, когда сечения спаренной балки не имеют осей симметрии, силы среза попарно будут различны: для одной планки — Ти а для другой — Г2.
Из правила построения эпюры ю вытекает, что в любом месте мысленного разреза планок сумма абсолютных значений ординат о)11 -Ь о)21 и 10)31 + 10)41 попарно сохраняют свое значение и легко определяются из эпюры о).
Исходя из этого, силы и Г2 найдутся из совместного решения двух уравнений:
в£рав - ВТ = г, ( (011 + I ©21) + Г2 (I (031 + I со4 );
Т1 __ 1 coi + 0)21 Т2 со31 + со41
При расчете планки следует еще учесть касательные напряжения, возникающие при кручении замкнутого контура,
63
который образуется на участках спаренной балки в местах приварки соединительных планок.
На рис. 37 показаны потоки таких касательных напряжений для примера спаренной балки, составленной из двух швеллеров полками внутрь. Использовать в данном случае теорию расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля
А. А. Уманского, вряд ли будет целесообразно по причине малой протяженности таких участков. Поэтому решать эту задачу будем приближенно, используя гидродинамическую аналогию Кельвина [1].
Г идродинамическая аналогия, как известно, заключается
89,674
£,=0,75см
х
со1 - -ш2=cjfb)4 = 176,4 см2
Рнс. 37
Рис. 38
в том, что функции касательных напряжений с математической точки зрения эквивалентны функциям потока при плоском течении идеальной несжимаемой жидкости, циркулирующей в сосуде, имеющем то же сечение, что и стержень, подвергающийся кручению.
В нашем примере
xzy 1 = т* А-
Кроме того, из уравнения статики
М = xZJC63ab + тгу6 ab.
При написании последнего уравнения мы пренебрегли касательными напряжениями в полках швеллеров, поскольку потоки этих напряжений идут в двух противоположных направлениях. Совместное решение приведенных двух уравнений дает
м м
%zk 2аЬ6, и ТгУ “ 2аЬЬх ' что не противоречит формуле Бредта.
64
Момент, изгибающий планку в ее плоскости, равен
где с— расчетная длина планки.
При одновременном изгибе спаренных стержней и их кручении напряжения, возникающие в планках, накладываются друг на друга. Таким образом, при изгибе спаренной балки симметричного сечения в главной плоскости, параллельной плоскостям планок, в последних возникнут нормальные и касательные напряжения благодаря работе планок как коротких элементов безраскосной фермы.
Решение этой задачи плоского изгиба дают А. Р. Ржаницын [11] и Р. М. Раппопорт [23].
Пример 6. Требуется рассчитать планки для спаренной балки, приведенной на рис. 24, при внешнем закручивающем моменте, равном 500 кГ • м.
На рис. 38 изображена эпюра со с ординатами, доведенными до середины длины планок. Абсолютное значение этих ординат составляет 176,4 см2.
На эпюрах BL0 (рис. 24) видно, что наиболее нагруженными будут планки, приваренные на левой опоре и в третьем слева сечении. В этих местах скачок в значениях бимоментов равен 65,01 кГ • см2.
Учитывая, что эпюры В(0 построены для внешнего закручивающего момента, равного 1 кГ • см, сила, перерезывающая планку, будет равна:
50 000-65,01
Т = -—л — = —F77r"T— = 4610 кГ.
4со 4 • 176,4
Принимаем следующие размеры планок: ширина 15 см, олщина 1,2 см.
Считая расчетную длину планки равной 14 см, будем яеть величину изгибающего момента в корне планок, равную:
Тс 4610*14 0 0 07Л г
М = -у = —2 = 32 270 кГсм;
М 32 270,6 17 кГ
tfmax- w it2. 152 - см2 •
Этому отвечает
_ 3Q _ 3,4610 _ 00/ кГ
Tmax 2F 2 • 15 • 1,2 d см2 •
Вычислим касательные напряжения, возникающие в планках от кручения замкнутого планками контура сечения.
М _ 50 000 _-1 г кГ
tzx-Txz- 2abbi 2-18,9-21,2-1,2 см2'
Расчетное значение касательных напряжений Трас, = 384+ 51,5 = 435,5 75г.
5 М. Д. Борисов
65
Зная, что наибольшую выгоду при расчете составных стержней дают идеально жесткие планки, экономить на размерах планок не следует.
Расчет на кручение составных тонкостенных балок без гипотезы -о неизменяемости контура сечения на участках между жесткими планками
Для расчета на кручение одиночного тонкостенного стерж ня любого открытого профиля по теории В. 3. Власова н< обходимым условием является неизменяемость контура пс перечных сечений по всей длине стержня. Для этого предла гается конструктивно обеспечить такой стержень достаточны количеством идеальных поперечных диафрагм, жестких своей плоскости и совершенно податливых в направлении про дольной оси стержня, чтобы не препятствовать депланациям.
В. 3. Власов доказал, что для прокатных профилей, таких, как двутавры и швеллеры, никаких диафрагм не требуется, так как при кручении проекция контура их сечений на плоскость, перпендикулярную их оси, практически не изме няется [7].
Посмотрим, можно ли применять теорию Власова для рас чета составных тонкостенных стержней без диафрагм в ин тервалах между планками.
Получить ответ на этот вопрос можно было бы, продела контрольный расчет составных стержней одним из сущег вующих способов, не использующих гипотез неизменяемое контура составного сечения. Обзор таких способов расч дается в предисловии. Но* приближенно можно решить задачу используя простой прием, изложенный в нижепр! денном примере.
Пример 7. Рассмотрим кручение стержня, спаренн из двух двутавров с помощью жестких планок. На каж; участке между планками одно неизменяемое и недепланир мое концевое сечение повернется относительно другого кого же концевого сечения на угол 0 так, как это показ, на рис. 39.
При этом опорные сечения каждой отдельной ветви, кроме поворота вокруг своей оси на тот же угол 0, совершают ли нейное перемещение в противоположные стороны.
Учитывая малую величину угла поворота и пренебрегая малыми величинами высшего порядка, линейное перемещение по окружности заменим перемещением по касательной кругу. Тогда можно написать, что линейное перемещение
г) = аб.
В нашем случае центр кручения совпадает с центром т*
66
жести общего сечения и обе ветви будут находиться в аналогичных условиях деформаций и напряжений.
Зададимся схемой балки и размером сечения, как это показано на рис. 40. Опорные сечения лишены возможности засручиваться.
Через каждую третью часть пролета приварены жесткие ланки. Двутавры №27а раздвинуты на 40 см (ОСТ 10016—39).
Обозначим внешний закручивающий момент, приложений в одной трети пролета, через М, момент, крутящий
Сечение стер жня
Рис. 40
.ельно одну ветвь через Мв, а силу, изгибающую ветвь — >ез R. Тогда для левого крайнего участка можно написать *а уравнения:
т) = а- 2MB + 2Ra = jM.
Решив совместно эти уравнения, найдем значения Мв и R и рассчитаем по теории Власова отдельно ветви сечения, не связывая себя неизменяемостью контура общего сечения спаренного стержня.
Для решения этих уравнений воспользуемся известными висимостями:
RI3
11 12Е!х ’
ф _ / 2 + kl sh kl - 2 ch kl \ 1 M *
\ k sh kl J " GJd
* Таблица X в приложении к работе [13].
67
Секториальные геометрические характеристики для двутавра возьмем из ОСТа 2451, а прочие — из ГОСТа 10016—39
jfflTlI 76,68
74,68 [Р*
0 - X
iX
7*,«9
76,68 ЦК
б)
diu
би
6a6<j+6l
(рис. 41,а). Для спаренного стержня будем иметь: Jd — 33,644 см4; Ja = 52 987 см6;
k = V'тй = 0>01656 см': /fe = 200 • 0,001 556 = 3,11
1Х = 6550 см4; Wx - 486 смК
68
После подстановки численных значений эти зависимости
будут иметь вид:
RI3 2003 О -ЛЯ. Л7 1 n-6D.
12EJX 12*2 100 ООО • 6 550 * 48-47-10 /?,
0 = 0,4111 • Мв = goo 000 • 33,644 * в = ,055 * Пе¬
решив уравнения, получаем:
0 = 0,0388-10"6М и /? = 0,016Af.
Следовательно МВ = 0,0127М
Каждая ветвь будет закручиваться на угол 0 крутящим моментом М и изгибаться силой R на величину прогиба т].
Определим наибольшее нормальное напряжение в опорном сечении ветви при этой сложной деформации.
Пользуясь таблицами приложения X из [13], определяем бимомент в опорном сечении ветви (момент выражен в кГсм):
В0 = 0,2945Шв = 0,2945 . 200 . 0,0127М = 0,748Af.
Наибольшее нормальное напряжение от кручения
= В°(0max. _ 0,748-768М = Ш82 1()-бм
J 0 oZ Уо /
Наибольшее напряжение от изгиба D J_
Ми 2 0,016-100 QOQ7 1П-6Л/Г
(Т„ = 1Г = -г- = 185— = 3297 - 10 М.
Суммарное наибольшее нормальное напряжение по рис. 40,6 получится следующее:
сГтах = (Ю82 + 3297). 10-6М = 4379 • 10_6Af.
Для сравнения решим эту же задачу нашим способом, считая контур составного сечения неизменяемым на всем протяжении балки между жесткими планками, для которого на рис. 41, в построена эпюра со.
Вычисляем секториальные геометрические характеристики составного стержня:
jd = 2 . 33,644 = 67,288 см4; /со = 5 345 970 см6;
■■ 0,002 117 см-1; Ik = 200 • 0,002 117 = 0,4234.
Пользуясь таблицей X из [13], получаем:
е-0.01644 М-0,040718 ■ КГ°М;
В0 = 0,4918Ш, = 0,4918 • 200 М = 65,57М;
_ ©тах-о _ 333 • 65,57М ллсм 1 i>f
шах ” /л 6 345 970 М*
60
Сравнив ранее вычисленный угол закручивания с полученным, имеем
Л 0,0407 - 0,0388 t лл л ал/
Д9= 00407 Ю0 = 4(6%.
Разница в наибольших нормальных напряжениях получилась равной
А 4379- 4084 1ЛЛ а
Л° = 4379 Ю0 = 6,7%.
Столь незначительная разница в результатах расчетов, не имеющая практического значения, делается еще меньшей, если увеличивать расстояние между ветвями или уменьшать интервалы между планками.
Если взять в рассмотренном примере сечение из двутавров № 20а, расставленных на 20 см, разница в наибольших углах закручивания получится равной 3,1%. При раздвижке ветвей на 40 см эта разницы делается практически незаметной.
Изложенным способом всегда можно решить вопрос о практической приемлемости запроектированного интервала между планками и при необходимости сблизить планки или раздвинуть ветви *.
§ 13. РАСЧЕТ НА КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ С УЧЕТОМ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ ПЛАНОК В СВОЕЙ плоскости
Для решения вопроса о возможности в практических расчетах на кручение пренебрегать упругими деформациями планок в своих плоскостях важно уметь рассчитать составные стержни с учетом упругой работы соединительных планок. Ставя перед собой такую задачу, следует прежде всего обратить внимание на то, что упругие деформации планок не являются единственной причиной, нарушающей полную достоверность гипотезы недепланируемости замкнутых планками участков составного стержня. Дело еще и в том, что эти замкнутые участки, рассматриваемые отдельно, в свою очередь депланируют при кручении. Поэтому вопрос усложняется из-за взаимодействия депланаций замкнутых и открытых участков и из-за несовпадения в общих случаях осей кручения этих участков.
Предлагаемый метод расчета на кручение составных тонкостенных стержней с учетом упругой работы соединительных планок исходит из предположения полного отсутствия собственных депланаций в замкнутых планками участках стерж-
* Р. М. Раппопорт доказала, что в промежуточных, поперечных сечениях стержней замкнутых планками нет надобности вводить диафрагмы для сохранения неизменяемости контура составного сечения, если только в крайних узлах стержня такие диафрагмы имеются [23].
70
ня при их самостоятельном кручении. Такое допущение оправдывается, во-первых, тем, что замкнутые тонкостенные неизменяемые контуры в некоторых случаях при кручении вообще не депланируют, а во-вторых, этими депланациями в нашей задаче можно практически пренебречь по причине их весьма малой величины по сравнению с депланациями открытых участков составного стержня.
Поскольку депланации замкнутых участков при их самостоятельном кручении принимаются нами равными нулю, упругие соединительные планки будут испытывать в своих плоскостях деформации сдвига и изгиба в большей или меньшей степени в зависимости от своей жесткости и в зависимости от разности бимоментов, возникающих в сечениях по обе стороны планок в одном замкнутом контуре. При этом разница в бимоментах, в свою очередь, будет зависить от
Т, -О, — f
т-СР-
—СР—_
Х-—CF--I-
Рис. 42
жесткости планок. Такая расчетная задача является многократно статически неопределимой, и для ее решения мы воспользуемся методом сил. За основную систему примем составной стержень с мысленно перерезанными планками в местах нулевых значений изгибающих моментов. Чтобы такой стержень с перерезанными планками не перестал быть составным, одновременно предположим наличие в нем достаточно часто приваренных диафрагм, т. е. поперечных идеально тонких пластинок, нисколько не препятствующих депланациям, но в то же время сохраняющих неизменяемым контур поперечного составного сечения на всем протяжении стержня. В местах разреза планок приложим парные силы сдвига, направленные вдоль продольной оси стержня и действующие в разные стороны на концах перерезанных планок.
Разрезав планки спаренного стержня, будем иметь в каждом таком участке обобщенную неизвестную силу, состоящую из четырех сил сдвига 7\- (рис. 42). Величина бимомента, который создается одновременным действием этих сил, определится как сумма произведений величины сил на ординаты эпюры секториальных площадей, взятых в точках их приложений.
Эпюра эта должна быть предварительно построена для контура сечения спаренного стержня и распространена на перерезанные элементы планок.
71
Таким образом, лишними неизвестными в нашей системе будут упомянутые бимоменты. Число этих неизвестных бимоментов будет отвечать числу раскрытых замкнутых участков стержня.
Предварительно выясним влияние упругих деформаций планок на депланации основной системы. На рис. 43 показано поперечное сечение спаренного стержня основной системы, составленного из двух одинаковых двутавров, до и после депланации. Контур одной ветви abcdef после депланации займет положение a\b\C\d\e\f\. Если в этом же сечении проходит
ось соединительных планок, то свободные концы одной планки, разрезанной посередине в точке ky переместятся в точки k\ и k4y а свободные концы другой планки, разрезанной в точке /, перемесятся в точки 1\ и /4. Вводимые четыре силы сдвига Т при идеально жестких планках будут иметь своим назначением перемещение концов k\ и k4 обратно в точку , а концов h и Ц — обратно в точку /. Тем самым депланация сечения будет ликвидирована.
Иначе будет обстоять дело при упругих планках. Вследствие деформаций планок в своих плоскостях концы разрезанных планок под влиянием сил Т коснутся друг друга, не ликвидировав полностью депланацию сечения. Путь, который проделают точки приложения сил Г, сложится из двух участков щ и ип, показанных на рис. 43. Первые участки uh отвечают частично ликвидированной депланации, а участки иП1 равные упругим линейным деформациям концов перерезанных планок, будут являться причиной непогашенной части депланации. При этом сечение правой ветви займет положение 02222/2, а ось планки, прежде прямолинейная, будет изо¬
72
гнута по упругой кривой ka,2. Аналогичную деформацию, но в зеркальном изображении получит другая ветвь.
Мерой деплантации данного сечения тонкостенного стержня с неизменяемым контуром сечения является первая производная от выражения для углов закручивания, взятая по абсциссе поперечного сечения. Это вытекает из известной зависимости
где 0' —первая производная;
гг—искажение в данной точке контура, т. е. линейное перемещение этой точки вдоль продольной оси стержня при его кручении;
0 —ордината эпюры секториальных площадей для той же точки контура.
Меру непогашенной части депланации будем оценивать по зависимости
где (Dfe — ордината эпюры секториальных площадей в точке k планки;
ип— линейное перемещение точки k планки под влиянием силы сдвига Т и связанного с ним изгибающего планку момента М.
Непогашенную депланацию будем считать постоянной на всем протяжении участка, замкнутого планками, подобно тому как в случае с идеально жесткими планками такую депланацию принимают равной нулю на всей длине замкнутого участка. Следствием этого при упругих планках в эпюре углов закручивания будем иметь на протяжении замкнутых участков наклонные прямые, касательные к примыкающим кривым элементам эпюры. Учитывая изложенное и полагая интервалы между планками и сами планки одинаковыми, сосредоточим работу каждой пары планок в одном сечении, совпадающем с осью планок, и будем сначала решать задачу, выключив из длины стержня замкнутые участки. Величина линейного перемещения точки k планок определится по формуле строительной механики
где г\ — коэффициент, учитывающий неравномерность касательных напряжений по сечению планки, в прямоугольных сечениях равный 1,2.
По этой формуле можно сначала определить величину перемещения от силы Т= 1 и от соответствующего этой силе
и
со
к
а
73
изгибающего момента. Такое линейное перемещение планки обозначим через иу и назовем упругой характеристикой планки. Тогда полное линейное перемещение планки
Для частного случая, изображенного на рис. 37, когда сечение спаренного стержня имеет две оси симметрии и все планки одинаковы, все четыре силы сдвига Т несомненно будут равны по абсолютному значению, но две силы будут иметь одно направление, а другие две силы — обратное. Поскольку ординаты эпюры секториальных площадей меняют свои знаки одновременно с переменной направления оси Г, то суммарный бимомент, возникающий в сечении i от действия этих четырех сил, определяется по формуле
Подставляя полученные выражения в формулу (27), получим
Рассматривая в сечении i влияние бимомента Bit получим выражение для депланации, состоящее из двух частей—действительной и непогашенной, за счет упругих деформаций планки:
Физический смысл канонических уравнений метода сил в данном случае заключается в том, что в рассматриваемом сечении основной системы алгебраическая сумма депланаций от крутильной нагрузки и всех неизвестных бимоментов равняется непогашенной части депланации с обратным знаком.
Учитывая изложенное, канонические уравнения напишем так:
Иц — Т Му,
В* = 47>*.
©32м + -Sl©3i + 232 + Вз\ ©33 -+
©ism + -Si Г ©II4
+ В2®'12 + Взе\з+ ... +ВЛ = 0;
+ . . . + ВпЗп = 0
74
Здесь в'2м —депланация в сечении i от всех заданных крутильных нагрузок;
Bsts — депланация в сечении i от неизвестного бимомента BSl приложенного в сечении s;
0/s — единичная депланация в сечении i, т. е. возникшая от единичного бимомента, приложенного в сечении s.
Свободные члены этих уравнений определятся из расчета основной системы при любой крутильной нагрузке способом, изложенным ранее. Что касается коэффициентов при неизвестных бимоментах, то для их вычисления необходимо уметь строить эпюры углов закручивания и депланаций от действия сосредоточенного единичного бимомента, приложенного в любом сечении стержня. Этот вопрос рассмотрен Д. В. Бычковым для одиночного тонкостенного стержня открытого профиля. Принимая во внимание, что дифференциальное уравнение стесненного кручения составных тонкостенных стержней с неизменяемым контуром поперечного сечения по своей форме ничем не отличается от такого уравнения одиночного стержня открытого профиля, вполне возможно использовать в нашей задаче все выводы и таблицы готовых формул Д. В. Бычкова [24].
Решив систему канонических уравнений и просуммировав все интересующие нас эпюры, построенные для основной системы от влияния заданной внешней крутильной нагрузки и от влияния всех найденных неизвестных сосредоточенных бимоментов, получим исчерпывающее решение нашей задачи.
Определив все неизвестные бимоменты, найдем все значения сил Т по формуле (24), а зная силы сдвига, найдем и сопутствующие им изгибающие моменты. Формула, определяющая сила Г, в данном случае ничем не отличается от такой же формулы для случая абсолютно жестких планок, но только величины искомых бимоментов и значения сил Т будут здесь меньше при прочих равных условиях.
Разберем теперь самый общий случай, когда сечения спаренного стержня совершенно произвольны. Предварительно строим эпюру секториальных площадей и распространяем ее очертания на консоли мысленно разрезанных планок в местах нулевых изгибающих моментов. В отличие от ранее рассмотренных случаев, когда в силу симметрии сечения нулевые изгибающие планку моменты приходились на середине свободной длины планок, теперь необходимо определить место нулевых моментов. Для этого изучим деформацию еще неразрезанных планок при кручении спаренного стержня. Рассмотрим нижнюю планку, показанную на рис. 44.
75
Пользуясь изображенной эпюрой секториальных площадей, определим относительное линейное смещение концов планки и их углы поворотов, измеренные в плоскости планки.
Для относительного линейного смещения концов свободной длины планки будем иметь выражение:
A h = uc — иь.
Используя зависимость 0' = —получим
Ah = ис — иь — (со* - ®с)
Приравняв значения тангенсов углов самим углам вследствие их малой величины, определим углы поворотов концевых сечений планки, измеренные в плоскости планки:
иь — и ид — и
Ф ь = —2 cosp и Ф, = — cosy,
что можно переписать так:
Grt — СОь С0„ — СО-
Фъ = 1cos Р и Фс= —1 cos Y*
и 2 из
Имея вычисленными А Л, и фс, легко определим значения изгибающих моментов в концевых сечениях планки Мс и
Мь и тем самым найдем положение нулевого изгибающего момента.
Из строительной механики известно, что
EJ
Отсюда, сокращая на общие множители, имеем
/л . о \ 6 Д/г
Мс МсХФ + Aft (4<Р« + 2ф Т
МЬ Мьгф + М6 Дй (4фй + 2фс) + 6 ЛЛ
I
На рис. 45 показаны деформации оси планки и соответствующая им результативная эпюра изгибающих моментов.
В примере, изображенном на рис. 44, для нижней планки имеет место равенство углов р и у. Расматривая верхнюю планку, видим, что нулевая точка эпюры изгибающих моментов будет расположена посредине планки по причине равенства углов поворота концевых сечений планки.
Когда вместо Л/i, ср и срг подставим выведенные для них значения через ординаты эпюры секториальных площадей и зачеркнем в числителе и знаменателе общий множитель 0', то получим искомое отношение отрезков 5 и £, выраженное только через размеры элементов и секториальные координаты точек контура составного сечения.
Разрезав планки в местах нулевых значений изгибающих моментов и приложив в местах разреза две пары сил сдвига, в общем случае будем иметь на концах разрезанных планок четыре различных значения ординат эпюры секториальных площадей и четыре различные упругие характеристики.
Для бимомента, воспринимаемого в данном случае двумя планками, будет иметь место следующее выражение:
Bi = T в®! + Т всо2 + Т „со3 + Т но4,
где Гв —обобщенные силы сдвига верхней планки;
Гн —то же, нижней планки.
Если из решения канонических уравнений будет найдена величина Ви то для определения сил Тв и Ти необходимо иметь еще одно уравнение, которое найдется из зависимости
иу, __ иу2 Тниуя Тнuyt
з"
II
®
1
и2
«3 _
01
со2
ю< —
Перепишем это
так:
Ув®1 7,0©2
Тнсо3
Гнш4
А
1
JL
<4
®4
и и и и
Ух У 2
иУ.
иу<
(04 СО] ©2 С03
ТвСО 1 + Тв(2 + Тнсо 4- ТНС04
—— Н — Ч — Н —
иУI иУ, “У,
Bi
2 2 9 2
ПУ\ иУг Uyz ПУк
Последнее выражение позволяет написать канонические уравнения метода сил для кручения спаренных стержней
77
самого произвольного вида составного сечения в таком виде:
Из решения этой системы уравнений найдутся все неизвестные бимоменты, воспринимаемые планками в замкнутых планками сечениях, а это, в свою очередь, позволит определить силы Тв и Тн и сопутствующие им изгибающие моменты в каждой паре планок.
Применяя изложенный метод к расчету на кручение спаренных стержней, следует иметь в виду возможные упрощения, аналогичные используемым при расчете этим методом рамных систем.
Решение различных численных примеров позволит установить размеры сечения соединительных планок, при которых практически можно пренебречь упругой их работой, считая планки идеально жесткими. При этом чрезвычайно упрощается расчет спаренных стержней на кручение и становится возможным пользоваться готовыми формулами, предусмотренными для различных случаев крутильных нагрузок *, а главное— при этом потребность металла на изготовление самих стержней получается минимальной.
Выполнив вычисление, можно, в частности, утверждать, что для стержня, спаренного из двух двутавров № 20а при длине стержня 6 м и планках в третях пролета из полос шириной 200 мм, толщиной 20 мм и при крутильной нагрузке 480 кГм, приложенной в одной трети пролета, практически
* См. приложение 1.
с
Ч У 4 /
-Ь Бз©23 + . . . + В/г®2м == 0;
78
можно считать сечения с планками недепланируемыми, если стенки двутавров расставлены не более, чем на 40 см.
Изложенный метод расчета на кручение спаренных стержней с учетом упругой податливости планок может быть распространен и на тонкостенные стержни, составленные из нескольких ветвей, если только соединительные планки будут
приварены так, что в местах их приварки будут образовываться замкнутые контуры. Применяя изложенный метод, можно определить бимоменты, компенсирующие работу всех планок данного сечения. Для этого потребуется в главные перемещения канонических уравнений ввести добавочный член такого вида:
1
где р — число планок в одном замкнутом планками контуре.
Определив бимоменты, всегда можно найти все силы среза в р планках, используя пропорциональность между и и со одних и тех же точек общего сечения.
79
Для частного случая квадратного составного сечения из четырех одинаковых равнобоких уголков будем иметь добавочный член главного перемещения канонических уравнений,
о “у т Bi
равный
Изложенное позволяет сделать вывод в части рационального расположения планок в составном сечении спаренного стержня. Следует считать ошибочным суждение о степени работы планки по разности ординат эпюры секториальных площадей в точках профиля, соединяемых планками. О большей или меньшей напряженности планки следует судить по разности ординат эпюры со в точках нулевых изгибающих планки моментов после распространения этой эпюры на консоли планок, перерезанных в этих точках.
Таким образом, верхняя планка сечения (рис. 46, а) работает, хотя и соединяет точки профиля с нулевыми ординатами секториальной эпюры.
Ошибочно думать, что верхняя планка не работает, если ось ее проходит через полюс эпюры со. В этом убеждает нас рис. 46, б.
Пример неработающих верхних планок приведен на рис. 46, в, г.
Пр и мер 8. Требуется рассчитать на кручение стержень, спаренный из двух двутавров № 20а, расставленных на 40 см, с учетом упругих деформаций приваренных соединительных планок. Расстояние между опорами стержня — 6 м. Опорные
м-48000 и Г см Сечение стержня
и /Е
3* 1
/ —
“ 30см
V V
7,
_ т ем _'
- 180 см
180см _
/ —J
40см
. .'600см
Рис. 47
сечения лишены возможности поворачиваться вокруг продольной оси стержня. На опорах и в третях пролета приварены поперечные диафрагмы и парные планки шириной 20 см, толщиной 20 мм. В одной трети пролета приложен закручивающий момент М = 480 кГм (рис. 47).
Эпюра секториальных площадей составного сечения представлена на рис. 48.
Секториальный момент инерции составного сечения определим, пользуясь ОСТами 10017—32 и 2451 по формуле (13):
/с = 2 (13 121 + 202 • 2 370) = 1 922 240 см\
где /со0 — секториальный момент инерции одного двутавра в случае его отдельного кручения, равный 13121 см6\
80
Jx-x— момент инерции одного двутавра относительно оси ху равный 2370 см4.
Определим упругую изгибно-крутильную характеристику:
и ш / / 840 ООО • 29,62 ппо л по q о п — 1
k=V IT. =У 2 240 000-1 922 210 =0’°02 403 83 °* *
где G — модуль сдвига;
g
Е\ = « _ 2 модуль продольной упругости, принимаемый
1 jj,
В. 3. Власовым с поправкой при расчете на кручение тонкостенных стержней. Здесь jj,— коэффициент Пуассона.
Перерезав все планки посредине их длины и сохранив диафрагмы для неизменяемости контура составного сечения, которые нисколько не препятствуют депланациям, мы получим расчетную основную систему, представленную на рис. 49, а. Здесь из пролета стержня удалены участки, замкнутые планками. Через Ви В2, В3 и В4 обозначены искомые бимоменты, воспринимаемые упругими планками, для определения которых составим следующую систему канонических уравнений:
©ш + В\ ©н + 2®12 53013 + 4®м = 0;
®2М + Sl®21 + В2 ©22 + 3®23 + 4©24 =
®ЗМ + Bl31 + 2©32 + Вз ©33 + 4®34 = 0»
©4М + 1©41 + В2®42 + /?3©43 + 4 ©44 + "2j =
б М. Д. Борисов 81
Упругая характеристика перерезанных планок
ТТ
с (ММ
иУ J (г/ +11 GF
ds =
153
3•2 - 106• = 1,2-
1333
15
= 0,9576- 10
8,4- 105.40 Здесь для сечений планок имеем
F = 2 . 20 = 40 см2.
-6 см кГ
/== 220!_= 1333 СМА
12
Поправочный коэффициент канонических уравнений, учитывающий упругую работу планок,
0,9576 • 10"
= 1,71886- 10"
1
4а>1 4 • 375,22
а увеличенный в 106-/г2£’/(0 раз он будет 1,718 86- 10-12. 106 • 0,002 403 832 • 2 • 106
кГсм'
1 922 240 =
= 42,766 см-1
В целях упрощения вычислительной работы разобьем заданную внешнюю нагрузку на прямо- и кососимметричную согласно рис. 49, б, в. При прямосимметричной нагрузке В \ = —ВА и В2 = = —Вз, а для кососимметричной нагрузки Bi = B4 и В2 = В3. Поэтому при решении задачи отдельно для каждой из этих нагрузок нам понадобится решать каждый раз только два уравнения с двумя неизвестными, что значительно проще. После алгебраического сложения результатов получим окончательный ответ.
Вычисляем свободные члены канонических уравнений. Для случая одного сосредоточенного закручивающего момента, приложенного в пролете стержня, имеем готовую формулу для углов закручивания:
для левого участка
k*EJ \R I sh kl / ’
82
©„= -
для правого участка
e»=-iAj[fv-z)-w-shk-l-z)Y'
Взяв первые производные по z этих выражений и заменив
I 2
а через и b — через у/, получим для левой половины прямосимметричной крутильной нагрузки:
е' - _ _JL_ f 1 _ . ch ).
2k2EJ(0 V 3 sh kl СП RZJ ’
2k2EJa
1 shk-!r
' ch k(l — z)
sh kl
Для правой половины прямосимметричной нагрузки в полученных формулах надлежит заменить а через у/ и J че1 ,
рез чг1.
3
Тогда:
ch kz ,
Для правой половины кососимметричной нагрузки в последних формулах перед значением -у- надлежит переменить
знак на обратный.
Пользуясь пятизначными математическими таблицами Б. И. Сегала и К. А. Семендяева [25], вычислим входящие в наши формулы значения гиперболических функций:
sh kl = sh 0,002 403 83 . 540 = 1,694 54; sh k •§ / = sh 0,002 403 83 . 360 = 0,977 512;
sh * -§- / = sh 0,002 403 83 • 180 = 0,446 319; sh 0 = 0; ch£/ = 1,96762; ch*-/ = 1,398 40;
chfcy/= 1,09508; ch0=l.
* См. приложение 2, п. 15.
6* 83
Проделав вычисления, сможем построить эпюры деплана„ I dS \
ции I --1 в нашей основной системе от прямо- и кососимметричных нагрузок. Эпюры с ординатами, увеличенными в k2EJ раз, изображены на рис. 50.
Для определения коэффициентов при неизвестных бимоментах в канонических уравнениях будем прикладывать к основной системе единичные бимоменты последовательно во всех четырех интересующих нас сечениях.
а)
Эпюров*
б)
дпюра 6Т
Иг 2 (
0,0399512М \2 /?(
V * .
V
0fi798768M 1 0,004Э7265МГ
, / V
0,0393312 М
V S
/
\Д00497265М 4
1 + F
0,0993005М 180см
/* \
180см
(i00993003Mm
180см
Эпюра вг
Эпюра в9
Рис. 60
Единичный бимомент приложен в сечении 1 Углы закручивания определяем по формуле
Г/ —2 sh k(l-z)l*
* k2EJtо L / sh kl J *
Для депланаций будем иметь
с/ _ Г 1 k ch k(l — z)l
= k*EJa L / Sh kl J •
Выполнив вычисления, построим эпюру депланаций, изображенную на рис. 51, а. Все ординаты эпюры увеличены в k2EJa* 106 раз.
Единичный бимомент приложен в сечении 2 Имеем выражения для 02: левый участок
а k2EJa 11 sh kl sn RZ\ ’ правый участок
«к—«fit [±г—лт-л* »-*)]"
* См. приложепме 2, п. 19.
** См. приложение 2, п. 18.
84
Соответственно получим: для левого участка
©' = -
Во
1
fc ch 6 у I sh kl
• ch kz
\
для правого участка
©;=
Во
1 kchTl
sh kl
ch kl
-4
Выполнив вычисления, получим эпюру, изображенную на рис. 51,6, все ординаты которой увеличены в k2EJ• 106 раз.
Пользуясь принципом взаимности перемещений, можно обойтись без рассмотрения случаев воздействия на основную систему единичных бимоментов в сечениях 3 и 4.
Напишем канонические уравнения, умножив все члены их на общий множитель k2EJ • 106; затем подставим вместо М его значение — 48 000 кГ»см и заменим соответственно В3 и В4 на Bi и В2.
Для прямосимметричной нагрузки
- 3834,09 • 106 + (939,358 + 42,766) Вх + 131,884£2 +
+ 298,399В2 + 433,278В = 0;
- 1916,965- 106+ 131,884 + (320,5 + 42,766) В2 +
+ 150,695Б2 + 298,399! = 0.
Й5
Для кососимметричной нагрузки - 476,642* 106 + (939,358 + 42,766) В, + 181,884В2-
- 298,399В2 - 433,278В, = 0; + 238,687 • 106 + 131,884В! + (320,5 + 42,766) В2 -
- 150,695В2 - 298,399В! = 0.
Из решения первой системы уравнений имеем В1= - В4= + 2,113 . 106 кГ- см2
и
В2 = - В, = + 1,960 - 106 кГ • см2.
Из решения второй системы уравнений
Bj = В4 = +0,692 • 106кГ-см2 и В2 = В3= -0,581 . 10*кГ-см2.
В итоге имеем значения искомых бимоментов для заданной крутильной нагрузки:
Bj = (2,113 + 0,692) • 106 = + 2,805 . 106 кГ • см2;
В2 = ( 1,960-0,581)- 106= + 1,379- 106 кГ • см2;
В3= - (1,960 + 0,581). 106= - 2,541 . 106 кГ - см2;
В4= - (2,113-0,692) • 106= - 1,421 • 106 кГ - см2.
Построим эпюру бимоментов для спаренного стержня с приваренными упругими соединительными планками путем сложения эпюр бимоментов, построенных для основной системы, отдельно от воздействия заданной крутильной нагрузки и всех порознь найденных лишних неизвестных.
1) Закручивающий момент Л1 = 48 000 кГ • см приложен
в -у пролета.
Так как BCD = —EJ0", то используя ранее написанные выражения для 0а и ©£, получим:
shk I
Ва = k sh kl ' shfe;
Bb = k shkl sh (/ — z).
Выполнив вычисления, получим эпюру бимоментов, изображенную на рис. 52.
2) Бимомент Bi = +2,805- 106 кГ*см2 приложен в составном сечении 1.
Используя ранее написанные выражения для такого случая, получим:
n n sh k (/ - z)
BBi—•
86
После вычисления по этой формуле ординат в интересующих нас сечениях получим эпюру бимоментов, показанную на рис. 53, а.
3) Бимомент В2 = + 1,379 • 10° кГ • см2 приложен в составном сечении 3.
Зная выражение для ©', напишем следующие выражения для бимоментов в левом и правом участках:
chkj I Ва=В2 shfe/ -Sh kz;
ch kl
B» B2h kl • shk(l-z).
Вычисление ординат эпюры в четырех точках позволит получить эпюру бимоментов, изображенную на рис. 53,6.
Рис. 52
4) Бимомент В — —2,541 • \06 кГ • см2 приложен в составном сечении 3.
Аналогично предыдущему будем иметь:
chT
Ва= — В3 - sh kl • sh kz;
ch k 1
Bb=B*--shki sh k(l-z).
Эпюра бимоментов по вычисленным ординатам приведена на рис. 53, в.
5) Бимомент В4 = —1,421 • 10бкГ‘ см2 приложен в составном сечении 4.
Из эпюры для 0' получим
D _ D sh kz
в В*1Ш-
Искомая эпюра будет иметь вид, показанный на рис. 53, г.
Суммируя все полученные эпюры бимоментов, найдем искомую эпюру Вw для спаренного стержня с планками (рис. 54, а). На рисунке показаны нулевые ординаты на
37
Эпюра Вц у
г)
Эпюра BQ
.—-%=-2MWsnM‘
Я
1 г
q
j —?
/0,936-10s 1,421-Ю6
0,374-10 6
0,820- 10s
+
1 2 180см
J
180см
Г*
Bf-1,421-10 кГ-см* 180см
Рис. 53
я
Рис. 54
протяжении участков, замкнутых планками, что вытекает из сделанных нами расчетных предпосылок.
На этом рисунке пунктиром обозначена эпюра бимоментов для такого же примера, но при идеально жестких планках. Значения этих бимоментов определены из решения тех же канонических уравнений, но в которых аннулирована поправка, учитывающая упругие свойства планок.
Теперь построим эпюру углов закручивания для спаренного стержня с упругими планками путем суммирования эпюр, построенных для основной системы отдельно от всех силовых воздействий. Эти отдельные выражения для линий углов закручивания были нами ранее написаны. Подставим в эти выражения соответственно заданную крутильную нагрузку и найденные бимоменты. Для сечения 2 будем иметь
02= — 4232- 106.
На рис. 54, б в соответствующих местах ранее изображенных эпюр вписаны эпюры углов закручивания замкнутых участков. Вследствие принятого нами постоянства величины 0' на замкнутых планками участках необходимо вчертить наклонные прямые, касательные к кривой эпюры 0.
Угол наклона этих прямых участков нам известен, он выражается депланацией в местах приварки планок: в сечении 1
©I - - Bi Аг= - 2,805- 10®. 1,71886- 10"12 =
4<4
= - 4,815- 10_6 см1-
в сечении 2
©2= - В2Аг = - 1,379- 106 • 1,71886- 101а =
н
= - 2,372- 106 см
в сечении 3
©3= - Вз-% = 2,541 • 106. 1,71886. 1012 = 4,375 - 10“6 см1;
в сечении 4
©4 = - Ва-\= 1,421 • 10е - 1,71886- 1012 = 2,441 • 106 см\ 4со
Отсюда можно определить углы закручивания спаренного стержня с упругими планками:
в конце первого замкнутого участка
©юсм= — 4,815. иг6. 10= - 48,15- 10_б;
89
в середине второго замкнутого участка
©гое «,= -(4232- 1 (Г6+ 48,15- 1(Г0 + 2,372- 10'6. 10) =
= - 4304 • 106.
Максимальный угол закручивания окажется в сечении, несколько смещенном к середине пролета стержня.
Как видим, учет этих дополнительных углов закручивания изменяет прежде вычисленный угол в сечении 2 всего на
■ 100= 1,79».
На рис. 54,6 пунктиром показана эпюра углов закручивания стержней с идеально жесткими планками, при которых закручиваемый составной стержень становится наиболее прочным и экономичным.
Считая результаты, полученные при учете упругих деформаций планок, относительно точными и сравнивая их с результатами, полученными при расчете стержней с жесткими планками, замечаем, что расхождение в значениях бимомента составляет 1,0%, а в значениях наибольших углов закручивания— 16,7%. Увеличивая сечение планок, можно сделать эти расхождения совершенно незначительными. Это позволяет в практических расчетах пренебрегать упругой работой планок и тем самым весьма облегчать расчет на кручение составных стержней на планках.
Отметим, что в таком случае целесообразно пользоваться приложенными в конце книги таблицами приближенных расчетных формул для составных стержней с жесткими планками при различной крутильной нагрузке*.
Решим этот же пример по этим таблицам, в которых для надежности расчетов длина открытых участков измеряется между осями планок.
Для сечения, в котором приложен сосредоточенный закручивающий момент, будем иметь
Ва = - = -48000-200 = _ 3)2. Ю« кГ.см2,
что больше точного ответа на 9,4%-
Для угла закручивания будем иметь
МР -«OOO.SW = — 4955. ю-6,
тах 18£/ю 18*2 240 000 • 1 922 240
что больше точного ответа на 15%.
Для вычисления в опасном сечении рассматриваемого составного стержня расчетных значений напряжений и
* См. приложение 1, п. 3.
90
воспользуемся известными формулами:
В сортах 2,924» 10J *234,5 •
® “ /со ” 1 922 240 00/ см2 ’
2-48 000-5 092 _ кГ
г = ” ш == =121 Т(0 /соб 3-1 922 240 -0,7 см2 ‘
Здесь 5шТС = j a>dF = 5092 см*, что отвечает наиболь-
F
1 отс
тему значению S©TC на середине высоты двутавра. Напряжениями ткр пренебрегаем за малостью их значений. По этой причине
,, ,, 2-48 000 г
Ма = Ms = -7—3 кГ • см.
§ 14. ПРИВЕДЕННАЯ КРУТИЛЬНАЯ ЖЕСТКОСТЬ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА УПРУГИХ ПЛАНКАХ
Подобно тому как для одиночных тонкостенных стержней, усиленных планками, вычисляют приведенную крутильную жесткость, то же самое можно проделать и с составными стержнями на упругих планках. Знание приведенных значений крутильной жесткости и изгибно-крутильной характеристики позволяет пользоваться при расчетах таких стержней формулами, выведенными для одиночных открытых профилей, если только заменить этих формулах значения GJd и k на приведенные значения GJd и k.
Вывод формул для приведенной крутильной жесткости составных тонкостенных стержней с упругими планками
Рассмотрим кручение стержня двумя закручивающими моментами, приложенными на его концах. Стержень спарен из
Рис. 55
двух одинаковых двутавров с помощью приваренных на равных расстояниях парных планок согласно схеме, приведенной на рис. 55. При этом приняты конструктивные меры для неизменяемости контура сечения, не препятствующие депланациям.
01
Закручивающие моменты передаются сразу всему поперечному составному сечению с помощью идеальных поперечных диафрагм. Будем считать, что упругая работа каждой пары планок сосредоточена в одном сечении, совпадающем с осью планок. Все геометрические и секториальные характеристики спаренного стержня и упругая характеристика планок, перерезанных посредине их длины, нам известны. Планки разделили всю длину стержня на п равных частей.
Сечение стержня А лишено возможности поворачиваться вокруг продольной оси стержня, но может беспрепятственно депланировать. Сечение С свободно во всех отношениях.
Определим полный угол закручивания такого стержня с учетом упругой работы соединительных планок. Общее решение такой задачи методом сил было дано выше.
Основная система с перерезанными планками будет находиться в состоянии чистого кручения благодаря отсутствию препятствий для депланаций на всем протяжении стержня.
Введя в сечения с перерезанными планками сосредоточенные бимоменты, компенсирующие перерезанные планки, и принимая эти бимоменты за лишние неизвестные, напишем канонические уравнения метода сил:
©ш + В\ I®и 4- + 2©i2 + Вз©1з 4- ... + Впы = 0;
©2Л1 + fil©21 + В2 ©22 4- 2 j 3©23 4- . . . + Вп®2п 0j
©яМ 4- Bi0„i 4- В2©я2 4- Вз©/гЭ 4- ... 4- Вп (®пп 4- j = 0-
В канонических уравнениях приняты следующие обозначения:
©ш — депланация в сечении i от заданной крутильной нагрузки;
В5©— депланация в сечении i от неизвестного бимомента В5, приложенного в сечении s;
— единичная депланация в сечении i (от единичного бимомента, приложенного в сечении 5);
-- — добавочный член главных перемещений, учитывающий 4®1
упругую работу планок, в котором иу — упругая характеристика планки, т. е. величина линейного перемещения перерезанного конца планки от единичной силы, приложенной здесь и направленной вдоль оси стержня;
99
<о*. — секториальная координата эпюры о составного сечения, продолженной до свободных концов перерезанных планок;
Физический смысл этих канонических уравнений состоит в том, что в данном сечении основной системы алгебраическая сумма депланаций от воздействия крутильной нагрузки и всех неизвестных бимоментов равна непогашенной части депланации с обратным знаком. Эта непогашенная депланация возникает вследствие упругой податливости планок под влиянием разности бимоментов с двух сторон замкнутого планками сечения составного стержня.
Вычислим свободные члены канонических уравнений. Считая начало координат в точке А и учитывая, что закручивающий момент задан отрицательным, для углов закручивания
будем иметь 0г = — • г.
Взяв первую производную по z от этого выражения, по-
П/ м
лучим 0'=—qjj, постоянную величину, что характерно
для чистого кручения как спаренных, так и одиночных тонкостенных стержней открытого профиля.
Определим теперь единичные перемещения. Для углов закручивания имеем следующие выражения, взятые из таблиц, помещенных в приложении к [24].
При i<s
chk(l.2klA.shk(lLLL)i
GJd shkl sn*\ 2 n Г’
следовательно,
5- Л
-a-ir—
При i>s
Здесь bs— единичный бимомент, приложенный
в сечениях s;
2П" ' *) и — расстояния рассматриваемых сече
ний от начала координат оси z\
I и s — номера этих сечений.
* См. приложение 2, п. 5.
98
Зная свободные члены и единичные перемещения, напишем канонические уравнения в общем виде. Для сечения i каноническое уравнение можно записать так:
м
GJa Д Н
Докажем, что в нашей задаче для всех канонических уравнений имеет место равенство сумм
s=*n
2 ek
Рассмотрим хотя бы первые два уравнения. В первом уравнении, пользуясь ранее приведенными выражениями для для всех слагаемых, будем иметь
_ kl
S== 1
Во втором уравнении для всех слагаемых будем иметь
5-1 5=1
Поскольку единичные бимоменты Bi и В2 равны, требуется доказать следующее равенство:
ch— s=an
ctl 2п v „и I. (t 2s-1
sh kl
5 — 1
- Ш
2n Vi i. «. h 2s-1
Sch4('--Tji-')-shv-
sh kl
5=1
Сначала докажем, что
sn
sh kl
S*2sh
kl_ • 2 n
Аналитически гиперболические функции определяются следующим образом:
ех + ех . ех -ех
ch х = о и sh х = о »
где е — основание Неперовых логарифмов, 94
Поэтому можно написать так:
S=tl S = n / 9о_ l\ s = tl / о- 1\
S*= 1 5=1 5=1
Отсюда видно, что искомая сумма членов ряда может быть вычислена как общая сумма членов двух геометрических прогрессий.
Если обозначить первые члены геометрических прогрессий через а, а знаменатель прогрессий через qn, то для суммы
п 1 — ап
членов таких прогрессий будем иметь S = а -.
1 1 4
В наших обозначениях для первой прогрессии имеем:
а
следовательно,
/ 9с_1\ / ,
1 -fe/ •
5=1 1-е"
После умножения числителя и знаменателя последнего
kL_
выражения иа е2п, получим
1 ki \-ekl 1 е“/г/-1
Ye —ПТ или —ЦТ*
е2"-* 2,1 е2“-е 2/1
Для суммы такого же числа членов второй прогрессии получим аналогичное выражение, заменив значение k на —6, т. е. будем иметь
1 ekl-\
2 _Ы_
Следовательно,
sh kl
что эквивалентно значению -
о u kl '
2 sh -х—
2« 95
Теперь уже нетрудно доказать ранее написанное равенство:
ъ —
sh kl
s= 1
Ш
s= 1
sh kl
Подставив вместо суммы членов ряда его значение
sh kl
получим:
о и ki
2 sh тр2 п
. kl , 3£/ ch -jr— ch-77— ,,
2лг 2лг « kl
— sh— или
‘л 1 kl ъ и kl п
2 sh тг- 2 sh —
2м 2м
1 3kl л kl о и kl 1 kl
ch -s ch о— = 2 sh sh 7Г-.
2м 2м м 2м
Это равенство справедливо, так как отвечает известной формуле для разности гиперболических функций. Подобным образом можно было бы доказать, что для всех канонических
s=n
уравнений соблюдается постоянство выражения 2 =
s = 1
= const. В таком случае все искомые бимоменты должны быть равны. Действительно, положив все искомые бимоменты равными, мы найдем их общее значение из любого канонического уравнения по формуле
М
В ■
Так как полученное значение бимомента удовлетворяет все канонические уравнения, равенство искомых бимоментов, доказано.
Определим искомый бимомент хотя бы из первого канонического уравнения, которое после замены членов имеющегося ряда его значением имеет вид
М Bk kl _ Uy
• cth — + В —V = 0.
Jd 96
GJa ' 2GJd 2n ’ 4co?
Отсюда получаем
fi = - Ш
kl Uu
kcihir+-rT-QJ‘i
2 n 2щ
Вычислим теперь угол закручивания в сечении С стержня. Пользуясь таблицей готовых формул (приложение 2), получим в основной системе:
от заданной крутильной нагрузки М
0,= -
GJd
• -г, следовательно, 0/ =* — -qjj *;
от найденного бимомента, приложенного в с е ч е н и и 5, для всех сечений правее
0г Bs
Г ch k(l- 2S 1 •/) .
L ШГ sh*ar-chA(z _. /)+ 1_
GJd
Следовательно, 0/ =* -qq независимо от места приложения бимомента.
Таким образом, при числе участков, разбитых планками, равном п, для нашей статической неопределимой системы имеем
Ф Ml . пВ Ml Л 2 п
I — ТТЛ 7777 = ТТЛ / 1
GJd GJd GJd I kl Uy
1 kl cth + —V • GJdl
2 n 2a
c Ml
Если приравнять последнее выражение величине
GJd
где через GJd обозначена приведенная крутильная жесткость,
то
GJd=GJd( 1 + в f \-С/Л1+т).
kl cth — + —V • GJat - 2/t
2 n 2w \
Здесь
2 n
m = —
kl uu
kl cth + -V • GJdl - 2n
2 n 2(0 %
В случае идеально жестких планок будем иметь
2 п
т= kl '•
«cth --2»
* См. приложение 2, п. 3.
7 М. Д. Борисов 97
При большей раздвижке ветвей /(1)= и k = \/= О,
kl
выражение kl cth--в пределе становится равным 2п. Получаем т = 2п'2п * что Равно бесконечности при любом числе
интервалов между парными планками. При идеально гибких планках или при числе их п = 0 коэффициент т обращается в 0.
Имея формулу приведенной- крутильной жесткости для спаренного тонкостенного стержня, можно воспользоваться готовыми решениями для одиночных стержней открытого про-* филя. Для этого потребуется предварительно вычислить крутильную жесткость спаренного стержня без планок (с мысленно введенными поперечными диафрагмами), умножить ее на коэффициент (1+ т) и вместо секториальной жесткости одиночных открытых профилей принять секториальную жесткость составного сечения, вычисленную соответственно эпюре секториальных площадей.
Полученные таким образом величины изгибно-крутильных факторов являются приближенными, но для некоторых сечений спаренных стержней с планками выражают их истинное значение. Выведенное нами выражение приведенной крутильной жесткости для тонкостенных стержней с планками, спаренных из двух двутавров, может быть распространено на спаренные стержни с сечением любого вида. Из ранее изложенного вытекает, что в таком случае мы будем иметь следующую формулу для коэффициента т:
т = 2п :
kl cth- + 2GJd f—j 5——5 г \ - 2n
2« a I со? 1
— + + —+ —
u„ u„ u„ u1t
У i Vi Уз Уа
Для стержня, составленного из какого угодно числа ветвей получим
m = 2n:fe/ cth- + 2G/dX
2п
х г
I
\ а?Л (<s>\ <»\\ , ( <4р-1 . Ю2Р N
Ч uvJ \иУг uvj Wp-i
— 2 пу
где р — число планок в замкнутом планками сечении.
Для частного случая стержня (квадратное сечение) с упругими планками, составленного из четырех одинаковых уголков, будем иметь
2 п
т=—в •
Так как всякий тонкостенный стержень открытого профиля является частным случаем стержня составного сечения, в котором все разрывы контура слились в один разрыв, то вполне возможно применить полученный вывод и к случаю П-образного профиля, усиленного планками.
что в точности совпадает с формулой М. И. Длугача [17, 18]. Теоретическое решение, данное М. И. Длугачем, хорошо совпало с результатами опытов, проделанных в ЦНИПСе и описанных в книге Д. В. Бычкова и А. К. Мрощинского [6].
Пример 9. При тех же данных, что приведены в примере 8, определим в первой трети пролета угол закручивания, учитывая упругие деформации соединительных планок (эпюра секториальных площадей составного сечения была представлена ранее на рис. 47).
Определим крутильную жесткость стержня без планок, но с идеальными поперечными диафрагмами
CJd = 840 ООО • 2 • 14,81 = 24,897 • 106 кГ • см2,
где О — модуль сдвига, равный 840 000 кГ/см2\
Jd — момент инерции при чистом кручении стержня, спаренного из двух двутавров № 20а (для каждого из них значение этого момента инерции можно взять из ОСТ 2451).
Рассчитаем заданный стержень изложенным приближенным способом, считая длину стержня уменьшенной на ширину всех планок, так как крутильные деформации замкнутых планками участков во много раз меньше деформаций открытых участков при прочих равных условиях.
Для определения приведенной крутильной жесткости вычислим коэффициент т = -п — .
В данном случае п = 3, a cth-—- = 02з04 '»
Тогда
2 п
2 240 000 • 1 922 240
840 000.29,62
= 0,002 403 83 cm-1;
7<d = 2 (/c, + a2Jx-x) = 2 (13 121 + 202 X 2 370) = 1 922 242 cm6;
7* 99
/о»0 — секториальный момент инерции одного двутавра;
1ХХ — момент инерции одного двутавра относительно главной центральной горизонтальной оси его сечения;
/ — 540 см\
иу — упругая характеристика перерезанных планок
*ПЛ
2
Г / ММ тт \
иУ “ J [ EJX + 11 OF ) “
„ I 1 О — П 1 С\®
3-2. 106- 1333 A,z 8,4• 105 • 40 •
Для сечений планок имеем:
2 • 203
12
1333 см4 и F = 2 • 20 = 40 см2;
o)k — секториальная координата на конце перерезанной планкн, равная 373 см2.
Подставляя численные значения, получим
2j_3 0,00 240 383 • 540 + '8,4' 1 °5 ’ 29,62 ' 540 - 2 ' 3
— - 5 Л Q Qy
6,0931 +0,0462-6 0,1393
Отсюда приведенная крутильная жесткость GJd - G/rf(l + m) = 24,897 • 106(1 + 43,07) = 1095,47-106 кГ-см*.
Приведенная изгибно-крутильная характеристика
г i/‘OJd 1095,47-10е ПП1КПК -I
k У EJ(i) 2 240 000-1922 240 °>°1595 СМ .
Для определения угла закручивания в заданном сечении воспользуемся готовой формулой для одиночных стержней открытого профиля, взятой из приложения к книге Д. В. Бычкова [24]:
е-—-sh**!-
kGJd \t Z sh kl sn/?zJ
48 000 / 0,015 95 • 360 . of1
0,015 95-1095,47 • 10e *\ 540
sh 0,015 95 • 360 -илтслс, tom*
sh 0,015 95 • 540 S" 0,U15 95 18U' *
* См. приложение 2, п. 15.
100
Пользуясь математическими таблицами Б. И. Сегала и К. А. Семендяева, находим значения гиперболических функций:
sh 0,015 96 . 180 = sh 2,871 = 8,799; sh 0,015 95 • 360 = sh 5,742 = 155,842; shO,01595 • 540 = sh8,613 = 2751,4.
Отсюда имеем:
0 = - TIjTioT • (1.914 - 0,498) = - 3900 • 106.
величина которого на 9,3% отличается в меньшую сторону от результата, полученного при решении этой же задачи более точным способом.
Необходимо отметить, что решение этой же задачи по приближенным формулам дает лучшие результаты.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
БАЛОЧНЫЕ И РАМНЫЕ СИСТЕМЫ ИЗ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПЛАНКАХ
ГЛАВА III
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИИ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПЛАНКАХ
§ 15. ОДНОПРОЛЕТНЫЕ СОСТАВНЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ БАЛКИ
С консолями
В отличие от однопролетных монолитных балок, где консоли не лишают балок статической определимости, в закручиваемых одиночных тонкостенных однопролетных балках для определения в консолях и в пролете напряжений и деформаций требуется составление дополнительного уравнения для каждой консоли. Эти дополнительные уравнения, написанные из условия непрерывности депланаций в опорных сечениях, примыкающих к консолям, позволят определить бимоменты в этих сечениях. Эти уравнения имеют вид
0' =ж 0'
'-'лев '-'прав*
Решим эту задачу на примере (рис. 56).
Опорные сечения рассматриваемого одиночного тонкостенного стержня не могут закручиваться, но могут свободно депланировать.
Введем условно шарнир для депланации в сечении 2 и приложим по сторонам шарнира два равных и противоположных по знаку бимомента В2.
Пользуясь таблицами ЦНИПСА, запишем уравнения линии углов закручивания для отдельных загружений рассматриваемого примера в пролете 1\ и на консоли /2. Взяв первые производные от этих уравнений, получим на опоре 2 значения депланации ©лев и вправ, которые и приравняем.*
Будем иметь следующее уравнение:
В2 J B2k 1 ch k\l\ _ _ B2k2 ch k2l2 M
I kE/ф sh k\l\ kEJ kEIta
* См. приложение 2, пп. 3, 7, 20.
102
После умножения всего уравнения на kEJg>2 и замены вы-
knEj02 Уd (2)
ражения —5 на равное ему получим
Г k\EJtox Jd (i)
2d(2) (2)i ch k\l\ B2k2 ch
Jd(i)l\ Jd (1) sh k\l\ sh k2h
Отсюда можно вычислить искомый бимомент В2.
Посмотрим, чему будет в пределе равен этот бимомент, если k\ и k2 будут стремиться к нулю.
I. /г2 ch /222 »• ch k2h • 1 + sh k2l% 1
Jim—7—7—f—= lim :—тт f— = -7-.
fc2-»0 8h k2*2 *2-»0 2 СП Ae2/2 /2
Соответственно
Ы (2)k\ ch /ej/j Jd (1) (ch fcj/i + /ej/j sh /1) Л/(г)
/</(i)ShWi Д (DhWi = 777’
следовательно,
_ I Jd(2) d (2) 1 \
2 ( 73 / 7 / 1 7— / =
\ Jd (i)h Jd (i)M h /
откуда
B2 = Ml2.
Мы получили значение искомого бимомента, совершенно независящее от конструкции и крутильных нагрузок пролета стержня, подобно тому как вычисляется изгибающий момент
в опорном сечении консоли однопролетной балки. Таким об¬
разом, отпала необходимость иметь дополнительное уравнение и вводить шарниры для депланации. Этого и следовало ожидать, учитывая то, что дифференциальное уравнение кручения составных балок аналогично дифференциальному уравнению поперечного (плоского) изгиба. Пользуясь этой аналогией, вычертим эпюры и 0 для составного стержня
без планок, причем неизменяемость контура его сечения обеспечим достаточно часто приваренными диафрагмами (рис. 57).
В опорных сечениях составного стержня и в месте приложения закручивающего момента тоже следует предусмотреть
юз
идеальные диафрагмы для передачи закручивающих моментов сразу всему составному сечению. Таким способом легко начертить эпюры для любых крутильных нагрузок, приложенных на консолях составных стержней.
Из эпюры Мw (она же эпюра М8) можно определить реактивные закручивающие моменты на опорах стержня
= и аг2 ■= - ШЬ+Ы.
п 1\
Следовательно, в тонкостенном составном стержне без планок при = 0 и при опорах, совершенно не мешающих депланациям сечения, незначительный закручивающий момент на конце консоли может создать большой закручивающий момент на консольной опоре аналогично закону рычага.
Если в рассмотренном примере на консольной опоре будут приварены жесткие планки, исключающие депланацию, то работа закручиваемой консоли ничем не будет отличаться от работы отдельно заделанных в стену консолей. При этом пролетный участок балки не будет испытывать никаких деформаций.
Рассмотрим пример составной тонкостенной однопролетной балки с консолями при крутильной нагрузке в пролете. Пусть посредине пролета приложен сосредоточенный закручивающий момент. Планки отсутствуют, но, конечно, в опорных сечениях и в месте приложения закручивающего момента имеются диафрагмы. Схематично эпюры показаны на рис. 58, а.
При наличии жестких планок на опорах для такого же примера эпюры будут иметь вид, показанный на рис. 58, в. Благодаря принятой аналогии эпюрами М1ф следует пренебрегать.
Из рис. 58, б видно, что не загруженные крутильной нагрузкой консоли не будут испытывать никаких напряжений и
104
деформаций. Это так же будет иметь место при любой крутильной нагрузке, размещенной в пролете. Следовательно, расчет на кручение однопролетных тонкостенных составных балок с консолями при наличии на опорах соединительных планок следует производить раздельно для пролетов и консолей.
§ 16. НЕРАЗРЕЗНЫЕ СОСТАВНЫЕ ТОНКОСТЕННЫЕ БАЛКИ
Расчет на кручение одиночных неразрезных многопролетных тонкостенных балок, опоры которых не могут закручиваться, но могут депланировать, получил исчерпывающее решение после доказательства теоремы о трех бимоментах.
Уравнение трех бимоментов в общем виде
Bn-\lnSn +
Bn (InTn“Ь 1п+\Г/1+1) "Ь
“Ь Вn+ltn+\Sn+\ =
пф. прав г)ф. лев
— — J\n А/г+1 .
Здесь величины sn, sn+i, гп и гп+\ зависят от величины пролетов 1п и /п+1 и изгибно-крутильной характеристики k.
При расчете составных стержней без планок с достаточно раздвинутыми ветвями и при любой раздвижке ветвей составных стержней с планками коэффициент k можно считать равным нулю. Тогда это уравнение имеет вид, аналогичный уравнению трех моментов:
+ 2вп (/„ + /„+,) + Вп+,1п+1 = - 6 (/?*•прав + RtГ).
Учитывая экономическую выгоду составных стержней с планками по сравнению с составными тонкостенными стержнями без планок (но с диафрагмами), будем рассматривать только неразрезные многопролетные составные тонкостенные балки с планками.
Предположим, что на каждой опоре неразрезной составной тонкостенной балки приварены достаточно жесткие планки, образующие замкнутые недепланируемые сечения. Помимо этих планок, в каждом пролете могут быть размещены еще
105
планки. Но и первые планки уже значительно упрощают расчетную задачу, сводящуюся к расчету на закручивающую нагрузку в отдельности каждого пролета с недепланируемыми и незакручиваемыми опорными сечениями. Таким образом,
Рис. 59
построенные попролетно эпюры М©, В® и 0 потом сводятся в общие эпюры, окончательные для всей неразрезной балки.
Согласно изложенному в предыдущем параграфе, наличие консолей тоже не внесет ничего нового. В пояснение изложенного решим два примера.
Пример 10. Двухпролетная с равными пролетами тонкостенная составная на планках неразрезная балка, нагружена двумя равными сосредоточенными закручивающими парами посредине пролетов. Пары действуют в разные стороны (см. рис. 59,а).
Построение эпюр при использовании аналогии не встречает затруднений. Из эпюр видно, что реактивный закручи¬
106
вающий опорный момент на средней опоре равен нулю, а крайние реактивные закручивающие моменты направлены в противоположные стороны и каждый из них равен половине заданного момента. Планки на средней опоре срезаются в два раза сильнее, чем на крайних опорах.
Пример 11. Условие то же, что и в предыдущем примере, но сосредоточенные моменты имеют одинаковые направления (см. рис. 59,6).
Из эпюр видно, что реактивный закручивающий момент на средней опоре численно равен каждому из заданных моментов, а крайние реактивные закручивающие моменты в два раза меньше. Соединительные планки на средней опоре не работают. В результате этого весь расчет на кручение неразрезных спаренных балок с планками сводится к определению угла закручивания, наибольшего из всех найденных при решениях однопролетных балок, а также к определению наибольшего уступа в эпюре В после сведения эпюр в общую для всей балки и к определению реактивных закручивающих моментов, которые тоже определятся величиной уступов в сводной эпюре Мш.
§ 17. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ СИЛ
Рамы из тонкостенных стержней, работающие на пространственную нагрузку, встречаются в стальных каркасах зданий, в нагруженных металлоконструкциях, вагоностроении, краностроении и авиастроении.
Трудами Б. Н. Горбунова, А. И. Стрельбицкой [5, 8, 9, 13] и Д. В. Бычкова [12] разработана теория расчета рам и даны приближенные методы их расчета. В результате этого появилась возможность избежать ненужного расхода металла из-за ранее применявшихся грубых методов расчета и удалось точнее находить опасные места в элементах таких конструкций.
Однако можно получить еще большую экономию металла с одновременным упрощением расчета рам, если их проектировать из тонкостенных составных элементов.
Из работ [5, 8, 9, 12, 13] известно, что расчет рам из одиночных тонкостенных стержней открытого профиля по сравнению с расчетом рам из сплошных стержней отличается следующими особенностями:
при кручении стержней рамы в их сечениях возникают не только моменты, но и бимоменты, изменяющиеся по длине стержней;
общие крутящие моменты необходимо вычислять относительно осей центров кручения, которые могут и не совпадать с осями центров тяжести сечений;
107
в общих случаях и те и другие оси не лежат в одних плоскостях и не пересекаются в углах рамы; от получающихся в силу этого эксцентриситетов возникают дополнительные изгибающие и закручивающие моменты, которые приходится учитывать особо;
после разрезов и вставки шарниров, обращающих раму в основную систему, кроме лишних неизвестных в виде моментов, продольных и поперечных сил, появляются лишние неизвестные в виде бимоментов.
Таким образом, всякий расчет рамы методом сил из одиночных тонкостенных стержней сводится к следующим операциям:
1) выбирается основная система;
2) устанавливаются число лишних неизвестных и их характер;
3) строятся эпюры изгибающих и общих крутящих моментов, поперечных и продольных сил и бимоментов от заданной нагрузки и от лишних неизвестных;
4) в соответствии с числом и характером лишних неизвестных составляются канонические уравнения метода сил и вычисляются все свободные члены и коэффициенты при неизвестных в этих уравнениях;
5) эпюры силовых факторов от внешней нагрузки и найденных лишних неизвестных суммируются для получения окончательных результатов.
При выборе основной системы следует помнить, что наиболее удачной основной системой будет такая, в которой возможно большее число побочных коэффициентов канонических уравнений обращается в нули. Все приемы, известные из курса строительной механики, позволяющие рационально выбрать основную систему, будут здесь вполне применимы. К этим приемам следует отнести использование симметрии системы, группировку неизвестных, введение упругих центров и т. п. Заметим, что при расчете рам на кручение из тонкостенных стержней никогда нельзя иметь основную систему, статически определимую, так как любая основная система всегда будет континуально статически неопределимой, т. е. будет иметь бесконечно большое число лишних неизвестных. Это понятно из того, что в каждом сечении тонкостенных стержней при стесненном кручении возникает бимомент, который в общем случае не может быть найден из уравнений статики. Поэтому при выборе основной системы для рам из тонкостенных стержней приходится останавливаться не на статически определимой, а на такой, которая позволяет иметь отдельные элементы, уже ранее решенные и проверенные с точки зрения их геометрической неизменяемости. Такими элементами являются однопролетные и консольные стержни, для которых уже составлены готовые формулы изгибно-крутиль108
ных кинематических и силовых факторов, опубликованные в [5, 8, 9, 12, 13].
Д. В. Бычков дает подробное решение рамных конструкций, составленных из тонкостенных прямолинейных элементов открытого профиля, ограничивая их форму условиями так называемых плоских рам [12, 24]. Условия эти сводятся к следующему:
1) продольные оси, проходящие через центры тяжести сечений всех стержней рамы, лежат в одной плоскости, в которой одновременно лежит и одна из главных центральных осей всех поперечных сечений стержней;
2) продольные оси, проходящие через центры изгиба поперечных сечений всех стержней рамы, также лежат в одной плоскости, называемой плоскостью рамы;
3) в узлах рамы депланация 0' концов всех сходящихся стержней должна быть одинакова. Для этого требуется, чтобы продольные линии, проходящие через секториальные нулевые точки соответствующих элементов контура всех стержней узла, сходились бы в одной точке и чтобы углы наклона эпюры со для соответствующих элементов контура были равны между собой;
4) опоры рамы устроены так, нто от нагрузки, действующей в плоскости рамы, все усиления и деформации получаются параллельными плоскости рамы.
Следует заметить, что простейшие рамы, элементы которых работают на кручение (рамы под заводское оборудование, под балконы, эркеры и т. д.), обычно удовлетворяют перечисленным условиям, предъявляемым к плоским рамам.
При расчете рам более общего вида следует обращаться к трудам Б. Н. Горбунова и А. И. Стрельбицкой, которые учитывают различную депланацию концов сходящихся в узле стержней и различные эксцентриситеты, возникающие благодаря произвольному положению в пространстве осей центров тяжести и осей центров изгиба.
Рассматривая рамы из тонкостенных составных стержней, ограничим их форму условиями, принятыми Д. Б. Бычковым для плоских рам. При этом составные стержни будут иметь в своем сечении две оси симметрии и будут образованы из двух ветвей, лежащих своими осями в плоскости рамы.
Подобно тому как поступает В. 3. Власов, и в данном случае для неизменяемости контура составного сечения предположим, что имеется достаточное число приваренных поперечных диафрагм, идеально жестких в своей плоскости и совершенно не препятствующих депланациям составного тонкостенного стержня. Планки же будем считать пока отсутствующими.
Выше было доказано, что дифференциальное уравнение стесненного кручения такого составного тонкостенного стержня
109
ничем не отличается от дифференциального уравнения для одиночного тонкостенного стержня открытого профиля, только в нем момент инерции при чистом кручении Jd равен сумме этих величин, вычисленных для поперечных сечений отдельных ветвей стержня, а секториальный момент инерции определяется обычным путем, исходя из эпюры главных секториальных площадей, построенной для всего составного сечения при полюсе в центре кручения этого стержня. Это позволяет использовать при расчетах рам готовые решения, найденные для одиночных тонкостенных стержней открытого профиля. В частности, таблицы изгибно-крутильных деформаций прямых тонкостенных стержней [24] вполне годятся для данного случая.
Таким образом, для рассмотренной Д. В. Бычковым многопролетной в двух направлениях плоской рамы, изображенной в аксонометрии на рис. 60, а в случае конструирования ее из составных стержней может быть принята основная система, показанная на рис. 60, б. Эта основная система получена путем шести разрезов и .введения двенадцати шарниров, обеспечивающих сечениям возможность депланировать и обозначенных на рис. 60, б двумя кружками.
Эти шарниры поставлены в местах примыкания к основным стержням консолей, образовавшихся в результате сделанных разрезов. Такая основная система состоит из элементов, для которых имеются готовые формулы изгибно-крутильных кинематических и силовых факторов. В каждом сделанном разрезе тонкостенного составного стержня с неизменяемым контуром сечения, находящегося в условиях пространственной работы, влияние одной части рамы на другую в общем случае следует заменить семью силовыми факторами: продольной силой Nt поперечными силами Qx и Qy, общим крутящим моментом Ms, изгибающими моментами Мх и Му и, наконец, бимоментом В. При этом сила N действует вдоль оси центров тяжести составного поперечного сечения, поперечные силы и изгибающие моменты определяются относительно главных центральных осей составного сечения. Общий крутящий момент Ms определяется относительно оси изгиба составного стержня. Бимомент В действует на все составные сечения.
Интересуясь расчетом рамы только на кручение, расчет рамы в своей плоскости выделим в самостоятельную операцию, и тогда после исключения N, Qx и Му будем иметь в каждом разрезе четыре неизвестных силовых компонента. Следовательно, учитывая, помимо разрезов, еще двенадцать введенных шарниров, в канонических уравнениях метода сил будем иметь всего для данного примера 36 лишних неизвестных. Как видим, задача такой рамы ничем не осложняется при конструировании ее элементов из тонкостенных стержней,
но
составленных из нескольких вегвей с помощью идеальных поперечных диафрагм. Но в то же время составные стержни, не увеличивйШРвщадь своего сечения, могут значительно увеличцватсекториальный момент инерции сечения приувеличрдаРтинтервалов меду ветвями. Эти соображения убе38й№Йьно говорят -П£Й1ьзу экономичности рамных конструкций из составных тбнкостенных стержней, так как элементы рамы одновременно работают на изгиб и кручение.
Главная’жё польза, получаемая от раздвижки ветвей, заключается в резком увеличении значения J по сравнению с Jdt что позволяет считать равной нулю изгибно-крутильную характеристику k составного стержня, благодаря чему чрезвычайно упрощается расчет.
При определении перемещений в основных системах из тонкостенных стержней Д. В. Бычков использует так называемые идеальные тонкостенные стержни, в которых Jd = 0 и, следовательно, k = 0. Для этого он в основной системе мысленно делает бесконечно частые поперечные надрезы профиля прокатной балки, оставляя толщины стенок и полок идеально тонкими. При составных тонкостенных стержнях с неизменяемым контуром составного сечения даже сравнительно небольшая раздвижку вей сопровождае2£'“сто]ь значитель11ым<-шЧением значения
в знаменатель выражения для , что величиной k практически можно пренебречь, не прибегая к условным поперечным надрезам стенок и полок. С учетом изложенного в § 15 расчет рам очень упрощается, так как эпюры бимоментов от крутильных нагрузок легко строятся методами, аналогичными при построении эпюр изгибающих моментов, а также и потому, что нет надобности вводить шарниры в местах примыкания консолей для беспрепятственной депланации. Следовательно, число лишних неизвестных уменьшается на 12. Основная система будет уже статически определимой, обычно принимаемой для рам со стержнями монолитного сечения. В частном случае данного примера такая система показана на рис. 60, в.
Выяснив преимущества, которые дают нам в рамных конструкциях составные тонкостенные стержни с идеальными
111
Рис. 60
поперечными диафрагмами, следует веерки признать, что далеко не всегда конструктивно возможно создавать раздвижкой ветвей достаточно большие знатемрриаьных моментов инерций составных сечений. Кроме" учесть, что сопряжения составныхнсщкостенных стё[Ш8йг перечными диафрагмами являются зн1РЧ№ррельно менее вьТЙЗЩ ными, чем сопряжения с помощью приваренных плашмй3 соединительных планок, образующих замкнуты контуры поперечных сечений стержня. При таких планках >аже малые интервалы между ветвями дают возможность использовать аналогию формул стесненного кручения с формулами--поперечного плоского изгиба, а главное, такие планки резко приближают работу составных стержней к работе тонкостенных стержней замкнутого сечения.
Если плоские рамы образованы из тонкостенных стержней составного сечения с соединительными планками, то, желая рассчитать раму с учетом упругой работы планок, придется добавить лишние неизвестные в виде бимоментов, воспринимаемых комплектом планок в местах образования ими замкнутых контуров. Таким образом, при расчете рамы, изображенной на рис. 60, в к 24 лишним неизвестным добавится еще столько неизвестных, сколько у нас будет замкнутых планками контуров. Расчет, следовательно, возможен, но очень осложняется, хотя резко увеличивается экономичность конструкции. Избежать этого осложнения, сохранив прежнее число лишних неизвестных, можно, если все составные стержни с упругими планками заменить стержнями с приведенными значениями крутильной жесткости GJd и с приведенными изгибно-крутильными характеристиками k.
—’ЙзложеннШ- бЯРсоб устранения осложнений в рамных расчетах не является единственны ЙГ йТйтЩшим.
Ранее было установлено, что наибольпЕЙтч экономичность конструкций из составных тонкостенных стержнеиТИМРУчении достигается в случае приварки жестких планок, при1ГгоЙ“ чрезвычайно упрощается расчет, так как в рассмотренном на рис. 60, в примере, число лишних неизвестных будет попрежнему 24. Отсюда следует сделать вывод, что в рамных металлоконструкциях рационально проектировать составные тонкостенные стержни с достаточно мощными соединительными планками. Незначительный расход материала на более мощные планки дает значительную экономию металла в самих стержнях и попутно сводит расчет рамы к исключительно простым операциям, особенно при пользовании таблицами приближенных расчетных формул *. Соединительные планки, конечно, следует располагать во всех узлах рамы, что полезно и по конструктивным соображениям. Если эти планки при¬
* См. приложение 1.
112
нимать достаточно жесткими, то исключаются всякие депланации сходящихся в рамном узле элементов.
Отсюда вытекает и еще одно полезное свойство таких рам, так как исчезает ограничение, необходимое для категории плоских рам и заключающееся в обязательном подборе сечений элементов, сходящихся в узле так, чтобы их депланации всегда были равны. Больше того, имеется полная возможность изменять сечение при переходе от одного стержня к другому, даже проектируя одни стержни составными, а другие — одиночными, если это окажется экономически выгодным.
В таких рамных системах депланации возникают только в сечениях на участках между соединительными планками, и бимоменты могут быть найдены по значению закручивающих моментов на концах каждого такого участка и крутильной нагрузки на его протяжении. Расчет рамы, таким обра¬
зом, сводится к нахождению в замкнутых планками сечениях величин МХу Qy и Ms. При этом число лишних неизвестных уменьшается на 25%. Таким образом, в примере рамы на рис. 60,в число лишних неизвестных уменьшается с 24 до 18, но для этого надо образовать основную систему, разрезав рамы по сечениям, замкнутым планками. Для пояснения изложенного рассмотрим пример расчета рамы из составных стержней с жесткими планками.
Пример 12. Рассчитаем горизонтальную Г-образную раму, защемленную на опорах против поперечного изгиба, закручивания и депланаций. Размер рамы и характер нагрузки указаны на рис. 61, а. Элементы рам составного сечения, согласно рис. 61, состоят из двух швеллеров № 33а, расставленных на 30 сму с парными соединительными планками из швеллеров № 20а в третях пролетов. Предполагается, что приняты конструктивные меры для передачи закручивающей нагрузки сразу всему составному сечению стержня. Основную систему
8 М. Д. Борисов ПЗ
получим, разрезав раму в узле А, как это показано на рис. 62,6.
Действие удаленных связей заменим тремя неизвестными обобщенными силами: двумя моментами xt и хг вокруг осей первого и второго стержней и поперечной силой *3, действующей перпендикулярно плоскости рамы.
Заданную эксцентрично приложенную нагрузку разложим на две составляющие нагрузки: равномерно распределенную, действующую по оси изгиба составного стержня и обозначенную через q, и равномерно распределенную крутящую нагрузку qe, обозначенную через т.
Расчеты рамы выполним раздельно на обе составляющие нагрузки.
Строим эпюры бимоментов и изгибающих моментов в основной системе от перечисленных обобщенных неизвестных
единичных сил и заданной нагрузки. Учитывая, что углы закручивания на участках замкнутых планками весьма малы и что депланация на этих участках равна нулю, эпюры бимоментов будем строить только на участках в интервале между планками и изображать их в горизонтальной плоскости, отмечая частой штриховкой. Эпюры изгибающих моментов построим в вертикальной плоскости (редкая штриховка). Моменты представим в виде векторов с двумя стрелками, направленных вдоль геометрических осей, вокруг которых они действуют.
На рис. 63 построены единичные эпюры от лишних неизвестных и изображены эпюры бимоментов и изгибающих моментов от заданной нагрузки q и погонного закручивающего момента m = qe. Эпюры бимоментов от сосредоточенных закручивающих моментов и равномерно распределенной погонной закручивающей нагрузки строятся аналогично эпюрам изгибающих моментов от сосредоточенных сил и равномерно распределенной нагрузки, считая, что в этой аналогии неде* планируемые сечения лишены возможности получать девиацию. При этом закручивающая нагрузка, приходящаяся на выключенные замкнутые участки, учитывается как сосредоточенная в стыке примыкающих интервалов.
Поясним построение эпюры бимоментов на оси стержня AD от погонной закручивающей нагрузки т. На рис. 64, а даны схемы действительной и фиктивной нагрузок. Строим
114
обычным способом эпюры изгибающих моментов сначала от фиктивной вертикальной равномерно распределенной нагрузки q = my а потом от фиктивных сосредоточенных сил Рф, добавляя в обоих случаях нагрузку в виде изгибающих моментов, на обязанности которых лежит ликвидация девиаций в третях пролета консольной балки. Значение этих изгибающих моментов легко вычисляется. Величина фиктивных сил Рф определится, исходя из размеров планок по формуле:
п /' 20
Рф = т12 44Q-.
Построенные эпюры изгибающих моментов изображены на рис. 63, б. После сложения этих эпюр получим нужную эпюру бимоментов, изображенную на рис. 63, г.
Для сечения, составленного из двух швеллеров № 33а, расставленных на 30 сму эпюра главных секториальных площадей представлена на рис. 62. Величину осевого момента инерции берем из ОСТа 10017—39, а секториального — из ОСТа 2452 и вычисляем по формуле (12).
Итак имеем: /г*=2 • 8076,8= 16 153,6 см4; /,, = 4911 930 cmqi
Канонические уравнения метода сил напишутся так:
Aj + *212 *313 =
2 L Р *121 *222 *323 =
3 Y.P XAl *232 *333 =
Общая формула для определения перемещения, известная под названием формулы Мора, в системах из тонкостенных стержней при принятой гипотезе равенства нулю деформаций сдвига в средней поверхности стержней в общем случае принимает вид:
Л V Г NkNi г мьм* .
ki 2j J EF Z + J EJX ' +
r M'iMf г М£РЛ1/Р vi r BkB:
+ U ET‘dz+W ' 0/'dz+SJ El‘dz' <28)
где с индексом i обозначены продольные силы, изгибающие моменты и бимоменты, возникающие в элементах рамы от соответствующей искомому перемещению обобщенной единичной силы [12]. В решаемой задаче в соответствии с характером заданной нагрузки первое и третье слагаемые отсутствуют, а четвертое — обращается в нуль, так как ранее было установлено, что величины Л/1ф в составных стержнях на планках следует принимать равными нулю.
Таким образом, формула (28) упрощается:
Afci = 2 J EJx • dz + -Щ- • dz. (29)
Пользуясь (29), вычисляем коэффициенты канонических уравнений, увеличенные в раз; при этом видим, что
строить эпюры сен-венановых крутящих моментов не понадобилось:
l\l\ 2
£/«6ч = 6 6-6*2 ’ 1Пб”77 ' 2 =
(/О3 Jn З4°3 = -W + 77-/2= ТоГ+ 304,08 - 500 = 0,515 97 - 106;
EJ(i)bt2 = EJ ,„621 = 0;
/ /2 5002
£/а613 = EJa631 = -j- • -J- = 304,08 — = 38,01 • 106;
Л, qll 5003 „ ,
Ир = 7J • ТТ = “ 304,08 — • q = -6334,9 • 10У;
/ (l'Y 4403
£/«Да = if- • h + -1- = 304,08 • 400 + -jgg- = 0,910 37 • 106;
116
J I2 4002
EJJ23 = EJJ32 = . j- = 304,08— = 24,326 • 106;
/53 + 97 + 203 + 247 + 353 + 397 \ m(4)4
= — ( 2376 ) 108 “ — 17,18 r*
£■/0,633 = 77 * T + 77 • -J = • (4003 + 5003) = 19 157 • 106;
/. 4 Щ 304.08 w
Ip jx ' Я • 3.2 • 4 8 X
X 5004<7 = - 2,3756 • 106 • 10y,
Напишем канонические уравнения отдельно только для нагрузки q и отдельно только для нагрузки т.
Для q:
-6334,9- 1067 -f- jc, • 0,516 97 • 106 + *338,01 . 106 = 0;
0 + *20,910 37 • 106 + *324,326. 106 = 0;
— 2,3756 • 106. 106 + x,38,01 . 106 + *224 . 326 . 106 +
+ *3- 19 157 • 106 = 0;
После совместного решения этих уравнений получим:
Х\ =* + 3324,9q\ х2= — 3247,5 и х3 = + 121,53*7.
Для т:
О + ,515 97 • 106 + *238,01 . 106 = 0;
- 197- 18* 106m + *20,910 37- 106 + *324,326 . 106 = 0;
О + *,38,01 • 106 + *224,326 • 106 + *319 157- 106 = 0.
В результате решения этой системы уравнений имеем:
*1 = 24,712 т\ *2=225,56 т и *3 = —0,33546 т.
Полученные окончательные эпюры бимоментов и изгибающих моментов от нагрузки q построены на рис. 65, а. Полученные окончательные эпюры бимоментов и изгибающих моментов от нагрузки т построены на рис. 65,6.
В правильности построенных окончательных эпюр мы убе? ждаемся после проверки, которая заключается во взаимном интегрировании этих эпюр с соответствующими единичными эпюрами. В результате такой проверки мы получили нули.
117
Физический смысл такой проверки состоит в неразрывности деформации в разрезанном сечении рамы.
Найдем наибольшее нормальное напряжение в опасном сечении
Мтах . (дСРщах max W
60 910? + 143,02т . (238 150? + 15 807т) 361 2-489,5 4 911 930
= 62,20<7 + 0,1462т + 17,5?+ 1,162т = 79,70?+ 1,3082т;
кГ кГ
при <7=12 —и m = qe= 12 • 25 = 30 — •см будем иметь см см
<W = 79,70 -12+1,3082 • 300 = 956 + 392 = 1348 Д*-.
Та же рама, составленная из одиночных стержней, решена в книге Бычкова [24]. Для заданной нагрузки такую раму при-
118
дется сконструировать из двутавров № 60а. В опасном сечении будем иметь
6 300? + 147т . (4 460? + 19 700т) 251,22 <W 2 800 1 349 900
= 22,5(7 + 0,83(7 + 0,0525m + 3,66 т = 23,33*7 + 3,7125m =
= 23,33» 12 + 3,71 -300 = 280+ 1113= 1393
СМ2
Сравнивая полученные результаты, убеждаемся в экономичности рамы из составных тонкостенных стержней на планках, на которую требуется с учетом веса планок всего 874 кг стали, в то время как на раму из одиночных стержней расходуется 1180 кг. Экономия составляет примерно 26%.
Столь значительное облегчение конструкций в рассмотренном примере расчета рамы после замены одиночных тонкостенных стержней составными тонкостенными стержнями на планках, естественно, вызывает беспокойство о возможной потере рамой необходимой жесткости. Поэтому вычислим вертикальные перемещения точки А рамы от заданной нагрузки по формуле (28).
Для этого требуется построить эпюру изгибающих моментов на элементах рамы от вертикальной единичной силы, приложенной в точке А.
При построении единичной эпюры воспользуемся упрощением, известным из строительной механики, обратив раму в статически определимую систему путем устранения опоры D. Тогда единичная эпюра будет иметь вид, изображенный на рис. 66.
Таким образом, искомое перемещение у найдется после взаимного интегрирования этой единичной эпюры с прямолинейными окончательными эпюрами изгибающих моментов, построенных на том же элементе рамы АС от нагрузок q пт и после суммирования результатов такого интегрирования.
Sr ММП /? Г 2 - 45 264? 3324,5?
J ТгТГ *dz “ ’2£Т7 [ 3 3 1“
225,56т 2 • 91,34т Л , ч 1\
+ 3 § J = (29068<7+ 14,28т) 2-.
После подстановки численных значений получим
У - 2■ 2IOOOW' 16 154 (29068 *12+14,28 - 300) = 0,83 С.И,
что, полагаем, допустимо*.
* Здесь не было учтено увеличение осевых моментов инерции сечений на участках, усиленных планками. В действительности прогиб будет меньше.
119
Рис. 65
Рис. 66
33 см
286
[UU 111HTI11 в
ZL
1 «.л.
Ш
Для полного представления о распределении напряжений в опасном сечении рамы из спаренных стержней на рис. 67 показаны эпюры нормальных напряжений и сопутствующие им касательные напряжения, возникающие отдельно от изгиба и кручения, и суммарные. Для сравнения на рис. 68 показаны такие же эпюры для того же опасного сечения и той же нагрузки в такой же раме, но образованной из одиночных двутавров.
Напомним, что при составных стержнях на планках благодаря тому, что Мкр = 0, значения равны общему крутящему моменту MSl обозначенному в решенном примере для одного стержня через Х\ и для другого — через х2.
§ 18. РАСЧЕТ РАМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
При расчете рам из одиночных тонкостенных элементов по методу перемещений неизвестными являются три линейных, три угловых перемещения узлов и депланация узла. Следовательно, в общем случае для каждого узла рамы потребуется составить семь уравнений. Мы будем учитывать только нагрузки, действующие перпендикулярно к плоскости рам, так как расчет плоской рамы на нагрузки, действующие в ее плоскости, ничем не отличается от обычного расчета рамы. Тогда число неизвестных перемещений каждого узла плоской рамы из тонкостенных элементов уменьшится до четырех. Будут иметь место одно линейное перемещение из плоскости рамы, два угловых перемещения вокруг непараллельных осей, лежащих в плоскости рамы, и депланация узла.
Напомним, что одним из условий, обязательных для так называемых плоских рам из тонкостенных стержней, является равенство депланаций концов всех сходящихся в узле стержней. Эту депланацию и называют депланацией узла.
Для расчета таких рам методом перемещений необходимо на каждый узел наложить связи, закрепляющие его от перечисленных выше перемещений. Таким образом, основная система заданной рамы получается в виде однопролетных балок с заделанными концами.
Не повторяя здесь все о преимуществах рамных систем из составных тонкостенных элементов, упомянем только об одном, наиболее для нас сейчас важном, а именно — о возможности считать депланации равными нулю в сечениях, замкнутых приваренными соединительными планками.
Учитывая, что в каждом узле рамы всегда по конструктивным соображениям приварены соединительные планки, в каждом узле следует исключить четвертое неизвестное перемещение, заведомо равное нулю, сокращая тем самым число канонических уравнений на 25%. Что касается бимоментов, возникающих в сечениях составных стержней на участках 122
между соединительными планками, то их легко можно будет найти по значению общих крутящих моментов на концах каждого участка и по крутильной нагрузке участка.
Расчет рамы, таким образом, сводится к нахождению в узловых сечениях, замкнутых планками, двух угловых и одного линейного перемещений. Подробности расчета будут показаны на примере рамы из составных стержней с жесткими планками, решенном в предыдущем параграфе методом сил. Оба метода, очевидно, приведут нас к одинаковым результатам.
Пример 13. Рассчитаем горизонтальную Г-образную раму, имеющую на опорах полное защемление, препятствующее поперечному изгибу, закручиванию и депланациям. Размеры рамы и характер нагрузки показаны в аксонометрии на рис. 69, а. Элементы рамы согласно рис. 62 составлены из
двух швеллеров № 33а с помощью приваренных парных соединительных планок из швеллеров № 20а, помещенных в узлах рамы и третях пролетов.
Основная система образована из заданной, как это показано на рис. 69,6, путем лишения возможности узла А иметь линейные перемещения из плоскости рамы, а также иметь вращение вокруг осей АС и AD.
Для заданного составного сечения была построена эпюра главных секториальных площадей, показанная на рис. 62, и были определены значения Jx и /© (см. стр. 116).
Вычисляем относительные погонные жесткости — обычные и секториальные для обоих элементов рамы. При вычислении секториальных погонных жесткостей будем уменьшать длины элементов на размер участков, занятых планками по ранее указанной причине (см. рис. 64).
D
4
Рис. 69
EJ о
3
2 « 106 - 4 911 930 340 = 8,6681 . 1010 кГ-см3;
9*
123
6,6981 • 106 кГ • см9;
8,0768 • 107 кГ • см. 6,4614 • 107 кГ • см.
Поскольку составляющая заданной нагрузки, действующая в плоскости рамы, равна нулю, вводить дополнительные связи, запрещающие другие возможные перемещения, нет необходимости. Таким образом, будем иметь три неизвестные величины:
01 — поворот узла А вокруг оси АС;
02 — поворот узла А вокруг оси AD;
А —линейное перемещение узла А в направлении, перпендикулярном плоскости рамы-
Эти неизвестные найдутся из трех канонических уравнений метода деформаций:
rni + г122 + г13А + г j £ р = 0;
Г21®1 Г22®2 Г23 Г2 Е р = 0»
г3101 + Г3202 + гззЛ + гз £р = °-
Физический смысл первого и второго уравнения состоит в том, что реактивные моменты введенной связи в узле Л, запрещающие вращение вокруг оси АС и AD, соответственно равны* нулю, а физический смысл третьего уравнения заключается в равенстве нулю вертикальной реакции, введенной в узле А опорной связи в направлении, перпендикулярном плоскости рамы.
Для определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений метода перемещений на рис. 70 построены эпюры бимоментов В и изгибающих моментов МХ1 возникающих в основной системе от перечисленных единичных перемещений закрепленного узла Л и от заданной нагрузки. Эпюры бимоментов заштрихованы частой штриховкой и начерчены в горизонтальной плоскости, а эпюры изгибающих моментов заштрихованы редкой штриховкой и начерчены в вертикальной плоскости.
Поясним построение эпюр. От поворота жесткого узла А вокруг оси АС на единичный угол 0=1 в стержне AD возникают изгибающие моменты, эпюра которых показана на 124
Е/о _ 2* 10*. 4911 930
t2“= 4 «о
3 3
EJX 2-10». 16 153,6
tlx U 400
. _ EJX _ 2-10е-16 153,6
hx U 500
рис. 70, а. Одновременно стержень АС будет закручиваться, и, следовательно, по всей его длине возникают бимоменты, эпюра которых показана на том же рисунке. В правильности этой эпюры можно убедиться, обратившись к таблицам [24]. Пользуясь этими таблицами, следует учесть, что для тонкостенных составных стержней коэффициент изгибно-крутильной характеристики следует считать равным нулю вследствие
весьма большого значения секториального момента инерции и влияния соединительных планок. Если стержень с концевыми сечениями, лишенными возможности депланировать, получит закручивание одного своего конца относительно другого на единичный угол, то на всем его протяжении возникнут бимоменты, эпюра которых показана на рис. 71.
В данном случае стержень АС состоит из трех одинаковых участков с защемленными от депланации концами, поэтому поворот одного конца стержня Л С на единичный угол будет эквивалентен повороту каждого участка на угол, равный 7з. Следовательно, на концах каждого участка возникает
125
бимомент, равный
В© =
Применять формулы, составленные для одиночных тонкостенных стержней, к составным стержням имеем право, так как ранее было доказано, что дифференциальное уравнение
стесненного кручения тонкостенного стержня полностью справедливо и для составных тонкостенных стержней, если последние сконструированы так, что контур их составного сечения можно считать неизменяемым.
Проверим теперь правильность построения эпюр изгибающих моментов и бимоментов на основной системе от заданной нагрузки, показанной на рис. 70, г. Заданная нагрузка является равномерно распределенной, эксцентрично расположенной по отношению оси центров изгиба стержня AD. Разложим эту нагрузку на равномерно распределенную той же интенсивности q> расположенную в плоскости, проходящей через ось центров изгиба, и на равномерно распределенную с закручивающей погонной интенсивностью m = qey где е — эксцентриситет заданной нагрузки.
Первая составляющая нагрузка дает эпюру изгибающих моментов в основной системе в виде\вадратной параболы с
ql\
опорными моментами, равными —вторая же составляющая нагрузка является причиной возникновения бимоментов на этом же стержне. Используя доказанную ранее аналогию стесненного кручения составных стержней с плоским изгибом, можно построить искомую эпюру бимоментов как эпюру изгибающих моментов от фиктивной равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = m на балке AD, у которой сечения, замкнутые планками, не могут испытывать девиации.
Замкнутые участки исключаем из длины балки AD, но закручивающую нагрузку, лежащую на этих участках, учтем как сосредоточенную и приложим ее в соответствующих сечениях укороченного стержня.
Действительная и фиктивная схема нагрузок балки AD показаны на рис. 72.
126
ДО
в--!-
3
Значение фиктивной сосредоточенной силы найдем исходя из заданных размеров планок:
, 20 т12
РФ = ml2 -Щ = “22“ •
Пользуясь методами сопротивления материалов, получим искомую эпюру бимоментов на среднем участке в виде квадратной параболы (рис. 73).
Дейстбитепьмая схема т *0*
С£ 500 см
Фиктибная схема
s
3
У
440сп
Рис. 72
Фиктивная схема нагрузок левого крайнего участка показана на рис. 74, а ниже этой схемы на том же рисунке изображены составляющие эпюры и окончательная эпюра бимоментов, соответствующие схеме фиктивной нагрузки.
з
D I 12 106
ж.
гч
т(й)г
216
Рис. 73
Правый крайний участок будет иметь эпюру бимоментов, очевидно, зеркально изображенную по отношению к только что построенной. Таким образом, искомая эпюра бимоментов на стержне AD будет иметь вид согласно рис. 75.
Вычисляем коэффициенты и свободные члены канонических уравнений
Г\ 1 =
4*ito
ДО
4-8,6681 • 1010 12 844
-4 • 6,4614 • 107 = 28,545* 107 см.
127
Этот коэффициент, как известно, имеет значение момента, удерживающего раму при единичном повороте узла А вокруг оси АС. Как видно из рис. 69, а, этот момент складывается из момента, изгибающего стержень AD и равного 4i2x, и момента, закручивающего стержень АС. Последний момент равен
7\Г > в чем легко убедиться, если учесть, что каждый уча-
(т)
1\
сток стержня Л С, обозначенный через будет закручиваться
А
%
г
V
/
Li
3
■р=(р**тг)
Зпюра В от Р
в'ГСТТТТттг чцццщ
/*»)*
Ч<р\3/_ т[1\)г 3 = ?7
tllw
Эпюра В от Цф
Ъ3т(1'г)г
594
Суммарная зпюра В
Рис. 74
на третью часть единичного угла закручивания. В таком случае опорный закручивающий момент в узле А определяется по таблицам, приведенным в работе Д. В. Бычкова [24]:
ri2 — >21 — 0;
Ы2х 6-6,4614. Ю7 1/vq
Па >*з1 5qq 7 • 7537 • 10 см]
128
riZp = ?“TT = 2’0833, I04
4«2а_ 4 . 4-6,6981-IQ10 ,
2 + ™U 21511
+ 4 • 8,0768 • 107 = 33,5527 . 107 cm;
6ilx 6- 8,0768 • 107 1Ci 11cr 1ЛЧ
r32=--[f-= 4oo = 12 *415 - 10s cm;
r2 £ p “ = 2,5 • 102m;
I2iix I 12t2.r _ 12 • 8,0768 ■ 107 , 12 - 6,4614. 107
Гзэ = /f 4 4002 50°2 =
= (6,0576 + 3,0815)103 = 9- 1391 . 103 cm;
/■зЕя-Т—26’‘10V
Решаем канонические уравнения раздельно сначала на нагрузку q, а потом на равномерное закручивание с моментной интенсивностью т.
Система канонических уравнений, написанная для нагрузки 9, имеет вид:
28,545 • Ю7©, + 7,7537 . 105Д + 2,0833 • I04q = 0;
33,553- 107©2 — 12,115 • 105Д + 0 = 0;
7,7535. Ю5©!- 12,115. 105©2 + 9,1391 . 103Д + 2,5. 102<? = 0. Решая эти уравнения, находим:
©, = 0,12464. 10-3<7;
02 = — 0,262 69. 103q\
А - - 0,072 752<7.
Напишем систему канонических уравнений для второй, части нагрузкй, поделив все члены на 105:
2854,5©, + 7,7537А = 0;
3355,3©2 - 12,115Д + 0,0026т = 0;
7,7537©, - 12,115©2 + 0,091 391А = 0.
Корнями этих уравнений будут:
©, = 0,92309- 106т;
©2= - 1,9726- 106m;
Д - - 339,81 • 10_6m
129
4
Для построения окончательных эпюр бимоментов и изгибающих моментов сложим эпюры от заданной нагрузки и полученных значений лишних неизвестных. Таким образом, для разных сечений рамы от нагрузки q будем иметь
MD= - 2t2,0, —. Д + =
2-6,4614. 107. 0,124 64. Ю-3?-
6-6,4614.107 (-0,072 752?) 25 - lO4 .... 1Л4
500 "" 12 “ 6,114 *10 q.
Рис. 76
В той же точке от нагрузки q бимомент BD = --(-0,26269- 10_3<7) =
, + 6.Ь.2 69101 _ + 239935(?>
Мс=-2/и02 + %-А =
= 8,0768 • 107 ( + 2 • 0,262 69 - 103 - 6'°’) q = - 45 707?.
в = _ 6f,ae, _ _ 6-8,6681. Ю10- 0,12464.103(у _ j90942
* l\ 340 4’
МАс = “ 4/,,0j + • A = 8,0768 ■ 107 X
X (4 • 0,26269 • 10-3- 6-°y2) q = 3279,2q. Млр = 6,4614 - 107(-4-0,124 64 - 103 + -0,°oo752)?-
--q = 329Qq.
Bac = _ 0, = _ 6 - 8,6681-10'°-0,12464-IQ"3 = _ Bad = _ % 02 = 6• 6.6981-IQ10-0,26269-10-3 ц = 23g
1'2 440
130
Окончательная эпюра изгибающих моментов и бимоментов от нагрузки q такая же, как на рис. 65а.
Для построения окончательных эпюр бимоментов и изгибающих моментов от второй части нагрузки в виде равномерно распределенной закручивающей моментной интенсивности т вычисляем ординаты этих эпюр для узловых сечений рамы:
MD = — 2/2дг01 — А =
- - 6-4617. 107 (2. 0,923 09- 106-6 339,8g0()10 6)m =
= - 6,4617(1,846 18-4,07772) 10m = 144,19m.
ee2(2o) 43m (Q2 + 6 • 6,6981 • 1010.1,9726 • 10-6m
B° ?2 * 594 = 440
+ 1801,7m + 14014m = 15815m.
Mc = - 2AA+'ip A - 8,0768 • 107 X
„ /n , n,nc in-6 6 • 339,81 • 10“6m \ non.
X 12 • 1,9726 • 10 m 1 = — 93,04m.
B -6flm0, . -6.8,6681 -IQ10-0,923 09• 106 щ , 1Ш
l\
6 i,.
MAC - - 4iixS2 + A = 8,0768 • Ю7 X
X (4 • 1,9726 • 10"6 - m = 225,606m.
о = _ = - 6-8,6681-IQ10-0,92309. 10-« m=_
°AC l\ 1 340
MAD = - 4/2A - A = 6,4614 • 107 X
X (- 4 • 0,923 09 • 10-6 + 6‘ 335qo ' '°6) m = 24,900m.
6/,„ _ 43m (1'Л2 6 • 6,6981 • Ю10 • 1,9726 • 106
«.n= 2 = m —
AD l' 594 440
*2
43 • 4402
594
m = (1801,73 — 14015) m = - 12213m.
Окончательная эпюра изгибающих моментов и бимоментов от моментной закручивающей нагрузки интенсивностью т строится так же, как это показано на рис. 65, б.
Результаты расчетов рамы методом сил и методом перемещений получились очень близкими.
131
Сравнивая методы сил и перемещений при расчетах рам из составных тонкостенных элементов, видим, что при равном количестве канонических уравнений метод перемещений требует меньшей затраты труда. Поэтому, прежде всего, следует выяснить, при каком методе число уравнений будет меньшим, а затем в случае равенства числа уравнений следует остановиться на методе перемещений.
Рассмотрение этих двух методов, являющихся основными для расчета рамных систем, вполне устанавливает полезность конструирования рам из составных стержней и одновременно свидетельствует о значительном облегчении при этом труда инженера-проектировщика.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Ограниченный объем книги не позволяет заниматься темами, непредусмотренными принятой для книги программой. Тем не менее желательно коснуться вопроса расчета на устойчивость сжатых составных стержней на планках, так как при деформации тонкостенных одиночных стержней открытого профиля плоская потеря устойчивости иногда сопровождается изгибно-крутильной деформацией.
Общее исследование устойчивости одиночных тонкостенных стержней открытого профиля было сделано В. 3. Власовым. Краткое изложение его работы с пояснениями и решениями примеров дает Ю. И. Ягн [22].
К сожалению, перенести изложенные ими методы непосредственно на расчет составных стержней на планках нельзя, так как эти стержни являются пространственными конструкциями, образованными из чередующихся продольных элементов то открытого, то замкнутого профилей.
Однако, если мы заменим составные стержни на планках приведенными, пользуясь указанным в книге методом, то появляется возможность получить некоторые полезные выводы, имеющие прямое отношение к устойчивости составных стержней на планках.
Так, известно, что центрально сжатый тонкостенный стержень открытого профиля, имеющий в своем сечении не менее двух осей симметрии, при потере устойчивости имеет три самостоятельных уравнения равновесия:
£/*t]iv + Pti" = 0;
Е1™ + Р1” = 0;
Eljd™ _ GJdQ" - Рг20" = 0.
Здесь у\ и £ — смещения точек линии центров изгиба по направлениям, параллельным главным центральным осям инерции поперечного сечения стержня
По первым двум уравнениям можно исследовать продольный изгиб в обеих главных плоскостях стержня. Конечно, он будет происходить в плоскости наименьшей жесткости в соответствии с решением Эйлера. Но остается еще возможность возникновения чисто крутильной формы потери устойчивости, определяемой третьим уравнением, поскольку в него входит только угол закручивания.
Здесь необходимо отметить, что эта чисто крутильная форма потери устойчивости без общего изгиба в одиночных тонкостенных стержнях открытого профиля наблюдается только при сравнительно небольшой длине стержня. С увеличением же длины получается обычный продольный изгиб. Кроме того, при многих видах сечений чисто крутильная форма потери устойчивости оказывается совсем невозможной, о чем свидетельствуют мнимые значения длин, при которых критическая сила, вычисленная для продольного изгиба, оказывается меньше критической силы, отвечающей чисто крутильной форме потери устойчивости *.
Поэтому Ю. И. Ягн справедливо делает вывод, что крутильная форма потери устойчивости должна рассматриваться как явление редкое.
Обращаясь к составным стержням на планках, имеющим в своем сечении две оси симметрии, после замены их приведенными, приходим к заключению, что чисто крутильная форма потери устойчивости для них вообще невозможна, так как указанные выше мнимые значения длин для них будут явлением постоянным по причине очень большого значения / в составных стержнях.
Единственно возможная эйлеровская изгибная форма потери устойчивости таких стержней на планках исследована А. Р. Ржанициным [11].
Что же касается потери устойчивости составных стержней на планках в самых общих случаях, то эта задача еще ожидает своего решения.
В книге изложены все три варианта предлагаемого метода расчета на кручение тонкостенных составных стержней на планках и даны примеры этих расчетов.
Аналитическая простота метода делается исключительной во втором варианте метода (приближенном), который отличается от первого варианта (основного) только тем, что не учитывается упругая деформация планок в своей плоскости, и коэффициент изгибно-крутильной характеристики составного сечения принимается равным нулю. При этом важно отметить, что по точности получаемых результатов этот приближенный вариант метода очень мало отличается от основного
* См. решение задачи № 32 [22].
134
первого варианта, что убедительно говорит в пользу возможности использования его в расчетах.
В книге доказывается, что составной на планках стержень получается наиболее прочным, а следовательно, и экономичным в случае идеально жестких планок.
Поэтому имеет смысл не жалеть небольшого расхода металла на более мощные планки для того, чтобы получить существенную экономию металла на ветвях составного стержня. Из этих соображений в приведенном примере расчета рамы были приняты планки из швеллеров. Кстати, такой узел уже не нуждается в диафрагме. Интересно отметить, что подобные конструктивные меры одновременно повышают точность приближенного варианта.
Приближенный метод расчета составных тонкостенных стержней на планках неоднократно применялся в расчетах проектного института ГИПИ-4. Приведем несколько примеров расчетов ГИПИ-4 на совместные изгиб с кручением металлических конструкций, осуществленных в натуре и испытанных в течение многих лет эксплуатации:
1. Металлическая конструкция, поддерживающая главный вал трансмиссий на Челябинском лакокрасочном заводе. Эта конструкция состояла из двух швеллеров, охватывающих ряд железобетонных колонн, расставленных через 6 м. Через каждые 2 м швеллеры были спарены приваренными снизу планками, а сверху — швеллерами, имеющими односторонние консоли, на концах которых помещались опоры вала. Помимо расчета на прочность, требовалось обеспечить предельный прогиб вала, составляющий 1/3000 пролета между колоннами.
Выполнить расчет спаренной балки на изгиб и на кручение по приближенным формулам было очень просто *. Построенная по этому расчету конструкция была испытана и принята в эксплуатацию.
2. На Ленинградском лакокрасочном заводе местной промышленности обрушилась металлическая эстакада для материальных трубопроводов. Причиной аварии были неучтенные закручивающие моменты, возникшие при монтаже конструкции. Пролетная часть эстакады была выполнена из двух швеллеров, спаренных в третях пролета снизу приваренными планками, а сверху — приваренными швеллерами с симметричными консолями, несущими трубопроводы. Сделать расчет по изложенному методу не составляло труда.
3. По приближенным формулам были рассчитаны и построены пролетные части эстакад, несущих материальные трубопроводы на Днепропетровском лакокрасочном заводе, на Ленинградском литопонном заводе имени Воровского, на Ленинградском химическом заводе имени Менделеева и др. Во
* См. приложение 1, п. 6.
135
всех случаях пролетные части эстакад проектировались из двух швеллеров, спаренных планками, причем верхние планки заменялись приваренными плашмя кусками швеллеров, имеющими небольшие консоли, позволяющие разместить все нужные трубопроводы. Такие фасонные планки обеспечивали передачу крутящих моментов сразу всему составному сечению стержня позволяли считать контур составного сечения неизменяемым и увеличивали жесткость планок в своей плоскости.
В заключение следует отметить простоту изложенного в книге метода расчета тонкостенных прямолинейных составных стержней на планках. Предложенный метод облегчает труд инженера-проектировщика, а также способствует внедрению в практику проектирования экономически выгодных конструкций.
Приложение /
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА НА КРУЧЕНИЕ СОСТАВНЫХ БАЛОК
Ко
п/п
Схема закручивающей нагрузки
*о>
на левой опоре
1
1
P
1
21 V
7
1
Ml
4
Ml3
24В/а
Ml
8
Ml3 96 EJ,(
М
31
1
<
1.
1
/ я ,
1
1
i
1
1
у
M
1
AMI
Ml
3
3 Ml 8
2M13 2 7EJ*
Ml3 18 EJa
Ml3 \QBJa
M Ml
ЧГ
M\
"ТГ
5m/2
5m/2 24
Ml3
12
m/4
24E/ffl
m/4
48£/„
10 М. Д. Борнео»
137
Продолжение приложЛ
138
Продолжение прилож<1
№
п/п
Схема закручивающей нагрузки
Я®
на левой опоре
17
¥
Ml
4
Ml3 48 EJa
18
Ml
6
M/3
108£/ft1
19
m/2
3
m/4
24£/fI1
20
(к(си i
L , £
t77 f I'-
_
Я-\ \ V \ ■
ЯгН
L
5m/2
24
m/4 96 EJa
21
4m/2
27
216£/„
22
I ,Sj
S3
J
ml (L - /) 2
ml(L-l)* ml1
12ЯЛ* 24£/„
23
m/2
8
m/4
80ЯЛ,
24
ЬддЯИ
5m/2
24
7m/4 240£7*
Примечания:
1. Опорные сечения не могут поворачиваться вокруг продольных осей.
2. Двумя черточками обозначены жесткие планки.
10*
139
УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ УГЛОВ ЗАКРУЧИВАНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ОТ РАЗЛИЧНЫХ ЗАКРУЧИВАЮЩИХ НАГРУЗОК И ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ОПОРНЫХ ЗАКРЕПЛЕНИЯХ
«М
О)
а
*
ч
и
>»
* Я
*5
к*
а ►*
ч а
N
I
dr
о
N <М
I
N
N
•о*
3
s £ц
в
ф
I"
А
ы
л
«ъ»
J3
а
I
«г*
в
1 1 1—
3
3
«££
II
Ф
II
<N
Ф
3
II
Ф
ь
3
<n
Ф
Cn
*
*
Cs
Cn
J
*
140
'o'
1
"q
1
I
2e
-C
w'
-C
СЛ)
-£c
N '
43
43
*ce 1
О
3
а
3
43 •
</)
OQ
3a
OQ
«*)
CM
J*
oq i
<
II
II
C*
П
Ф
<x>
Ф
Gj
с?»
га
э
CN
J*
и
ф
«оС
л
с/)
+
*i
X!
со
I
N
X!
О
+
м \са
I
»-л
N
3*
3
сц
II
<х>
и
VA
U
К
Л
о
N
•**
ja
о
а
N
I
I
'а
J*
X!
CO
+
*»*
J*
4S
CO
*i
<3
J*
s95
eo
J*
J*
X
о
3
СЦ
CO
II
Cl
<x>
bii
J*
43
со
+
*S
N
J*
о
3
5
m
-Ы
fl
Ф
141
142
143
Продолжение прилож.
vo я со
а
SS
О)
X
О
Л <N
3
ь-»
СЧ
«о
«1*
II
ф
Инь
о
II
Ф
%N
<>
оН
Л
Нчй
1
з
1
К
см
JC
СО
•
N
*1*
5е
<М
J3
+
со
CNJ
1
1
N
ч*
3g<N
<М
1
"
XS
«аг
а
СО
J3
с/з
тр
Ф
N
•*
N
XI
СЛ
»-«*
***
XI
со
I
5гк
•*
CNJ
N
(М
Tf
•*
XJ
5i<N
со
1
XJ
СО
<М
1
•»ч>
<м
1
_ 1
«аг
3<N
sh
XJ
а
-
L.
Se
3
СЧ
сч
*ai
н
сч
ф
Ннь
«а С\
Y
N
*й>
х:
•ее
J3
а
5г
сГ <М
I
I
5»
JS
0
1
*1*
+
N
Зе
II
Ф
*!
ИМ
144
*il<N
+
3g<N
I
3g<N
•С
(Л
I
<N
J3
xi
о
ecs
kl
2
5
J5
J3
(Л
1
C/3
1
1
1
5e
x:
J3
о
О
s«
3<N
(M
J*
л -s
f 1
3
3
4
K'»
£
3*
II 1
1
ф Ф
•*-
'■‘Km *-
О
II
Ф
Wi
<M
+
+
3e<N
XJ
0
1
3<N
Xi
N
J*
a
Xi
о
•8
Г*сч
•**
I
J*
JC
N
•*
xi
C/3
N
I
J3
c/3
(M
OQ
3
СЧ
ем
•*
II
Ф
II
<£
II
ф
<N
•V.1CSI
V
l«M
00
<M
I
H+-
a
js
3<n
x:
C/3
1
I
kl
2
xi
xs
(/3
о
CS
л
1
+
3w
N
1
kl ch
II
Ф
§
145
Продолжение прилож.
Л ИТЕРЛТУРА
1. Ф. Блейх. Стальные сооружения. М., Госстройиздат, 1938, т. 1, стр. 113.
2. А. А. У м а н с к и й. Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций. М., Оборонгиз, 1939, стр. 17.
3. В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни. М., Госстройиздат, 1940, стр. 56, 78.
4. А. А. У м а н с к и й. Сборник задач по расчету тонкостенных конструкций. М., Оборонгиз, 1941, стр. 50.
5. Б. Н. Горбунов. Расчет пространственных рам из тонкостенных стержней. «Прикладная математика и механика», 1943.
6. Д. В. Бычков и А. К. М р о щ и н с к и й. Кручение металлических балок. М., Стройиздат, 1944.
7. С. П. Тимошенко. Устойчивость систем. Статья В. 3. Власова. М., Стройиздат, 1946, стр. 439.
8. Б. Н. Горбунов и А. И. Стрельбицкая. Приближенные методы расчета вагонных рам из тонкостенных стержней. М., Машгиз, 1946.
9. Б. Н. Горбунов и А. И. Стрельбицкая. Расчет вагонных рам из тонкостенных профилей. Изд. АН УССР, К., 1947.
10. А. А. У м а н с к и й. Пространственные системы. М., Стройиздат, 1948.
11. А. Р. Ржаницын. Теория составных стержней строительных конструкций. М., Стройиздат, 1948.
12. Д. В. Бычков. Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных элементов. М., Стройиздат, 1948.
13. Б. Н. Горбунов и А. И. Стрельбицкая. Теория рам из тонкостенных стержней. М-Л., Гостехиздат, 1948, стр. 31.
14. М. Д. Борисов. Расчет на кручение спаренных планками тонкостенных стержней. Автореф. дисс. на соиск. уч. степ. канд. тех. наук. 1948.
15. Г. Ю. Джанелидзе и Я. Г. П а н о в к о. Статика упругих тонкостенных стержней. М., Гостехиздат, 1948.
16. ЦНИПС. Труды лаборатории строительной механики. М., 1949.
17. М. И. Д л у г а ч. Крутильная жесткость тонкостенного стержня, усиленного решеткой. Сб. трудов ин-та. Изд. АН УССР, № 11, 1949.
18. М. И. Д л у г а ч. О расчете тонкостенных стержней, усиленных решеткой или планками. Сб. статей по расчету пространственных конструкций под ред. А. А. Уманского. Вып. 1, М., Машгиз, 1950.
19. С. Д. Пономарев и др. Основы современных методов расчета на прочность в машиностроении. М., Машгиз, 1950, стр. 281.
20. Б. Н. Горбунов и А. И. Стрельбицкая. Расчет прочности тонкостенных стержневых систем. В сб.: «Расчет пространственных конструкций». М., Машгиз, 1950.
147
21. И. Е. Милейковский. Расчет составных стержней методами строительной механики оболочек. В сб.: «Экспериментальные и теоретические исследования тонкостенных пространственных конструкций». Под ред. В. 3. Власова. ЦНИПС, М., Госстройиздат, 1952.
22. Ю. И. Я г н. Изгибно-крутильные деформации тонкостенных стержней открытого профиля. М., изд-во тех.-теорет. лит., 1952.
23. Р. М. Раппопорт. Статика тонкостенных стержней, составленных из ветвей, соединенных планками. В сб.: «Расчет пространственных конструкций». Вып. IV. М., Госстройиздат, 1958.
24. Д. В. Б ы ч к о в. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М., Госстройиздат, 1962.
25. Б. И. Сегал и К. А. Семендяев. Пятизначные математические таблицы. М., Физматгиз, 1950.
26. С. Weber. Ubertragung des Drehmoments in Balken mit doppelflanschigem Querschnitt. «Zeitschrift fur Angenandte Mathematik und Mechanik». 1924, Bd. 4; 1926, Bd. 6.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Часть первая. Тонкостенные однопролетные и консольные балки из составных стержней на планках
Глава I. Основные положения 8
§ I. Тонкостенные стержни открытого и замкнутого поперечных
сечений —
§ 2. Чистое и стесненное кручение тонкостенных стержней . . —
§ 3. Гипотезы, положенные в основу расчета открытых и замкнутых тонкостенных стержней 10
§ 4. Краткие сведения из теории чистого кручения одиночных
тонкостенных стержней —
§ 5. Экспериментальная проверка чистого кручения .... 13
§ 6. Чистое кручение составных стержней без планок .... 14
§ 7. Краткие сведения из теории стесненного кручения открытых прямолинейных одиночных тонкостенных стержней 15
Глава II. Стесненное кручение составных стержней на планках . . 23
§ 8. Стесненное кручение составных тонкостенных стержней без
планок —
§ 9. Построение эпюр главных секториальных площадей и вычисление секториальных моментов инерции для составных
стержней без планок 29
§ 10. Изгибно-крутильные факторы, связанные с депланацией сечений составных стержней без планок 45
§ 11. Дифференциальное уравнение равновесия 50
§ 12. Кручение составных тонкостенных стержней на жестких
планках 53
§ 13. Расчет на кручение составных тонкостенных стержней с учетом упругих деформаций планок в своей плоскости . . 70
§ 14. Приведенная крутильная жесткость составных тонкостенных стержней на упругих планках 91
149
Часть вторая. Балочные и рамныг системы из составных тонкостенных стержней на планках
Глава III. Расчет конструкций из тонкостенных стержней на планках 102
§ 15. Однопролетные составные тонкостенные балки с консолями —
§ 16. Неразрезные составные тонкостенные балки 105
§ 17. Расчет рам методом сил .' 107
§ 18. Расчет рам методом перемещений 122
Заключение 133
Приложения 137
Литература 147
На инженеров-проектировщиков, изыскателей и научных работников, занимающихся расчетом и проектированием сооружений, рассчитана выпускаемая ЛО Стройиздата книга канд. техн. наук Н. Д. Красникова «Динамические свойства грунтов и методы их определения».
Автор кратко анализирует основные расчетные модели грунтов, применяемые в динамике оснований и фундаментов, подробно рассматривает различные методы исследования деформационных свойств грунтов, которые используются при расчете сооружений на динамические нагрузки.
Объем книги 15 л. Ориентир, цена 1 руб. 05 коп.
(Тем. план 1970 г. N° 108)
Изыскателей и инженеров, занимающихся проектированием, строительством и эксплуатацией гидротехнических сооружений, заинтересует книга канд. техн. наук В. Н. Ренгача «Шпунтовые стенки (расчет и проектирование)», которая излагает вопросы исследования, расчета и проектирования шпунтовых стенок в СССР и за рубежом; в ней приводятся новейшие результаты, полученные автором на основе выполненных им натурных экспериментов, анализ существующих методов расчета, а также рассматривается метод Блюма — Ломейера и предлагается иллюстрированная примерами методика расчета активного деления грунта с использованием ЭЦВМ.
Объем книги 7 л. Ориентир, цена 50 коп.
(Тем. план 1970 г. N° 97)
Товарищи!
Книги Стройиздата можно заказать заранее, до выхода в свет. Это гарантирует своевременное получение книги, экономит время и оказывает помощь Издательству в правильном определении тиража.
Предварительные заказы принимают магазины местных книготоргов,
Модест Дмитриевич Борисов
РАСЧЕТ НА КРУЧЕНИЕ БАЛОЧНЫХ И РАМНЫХ СИСТЕМ ИЗ ТОНКОСТЕННЫХ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ НА ПЛАНКАХ
Стройиздат, Ленинградское отделение Ленинград, пл. Островского, 6
Редактор издательства М. Е. Васильева Технический редактор О. В. Сперанская Корректоры Е. Е. А н т о и е в и ч, С. Л. Ч а р е к о в
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Измайловский проспект, 29.
Сдано в набор 1/IX 1969 г. Формат бумаги 60х90/1в № 2. Изд. № 1204Л Ti
Подписано к печати 5/II 1970 г. 2. Бум. л. 4,76. Печ. л. 9,5
Тираж 6000 Заказ № 307. U
М-13102
Уч.-изд. л. 8,97 Цена 54 коп.