А. НЫСАНБАЕВ,
кандидат философских наук
МАТЕМАТИКА
И РЕЛИГИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «КАЗАХСТАН»
Алма-Ата — 1966

51+2
Н91
Брошюра А. Нысанбаева «Математика и
религия» является продолжением серии «Ученые
беседуют с верующими». В ней популярно рассказывается о
тех математических проблемах, вокруг которых и в
наши дни не утихают споры между прогрессивными
учеными и защитниками религии.
Книжка рассчитана на широкий круг читателей.

Я СОБИРАЮСЬ РАССКАЗАТЬ ВАМ
кое-что о математике. Конечно, на нескольких
десятках страниц всего о ней не расскажешь. Ведь корни
этой науки уходят в глубокую древность! С тех пор как
наши далекие предки стали отличать один предмет от
многих предметов, начали закладываться первые
кирпичики математики. За века человечество накопило
множество наблюдений, создало стройную
математическую науку.
Современная математика состоит из целого ряда
разделов (теория множеств, теория групп,
математическая логика, вычислительная математика, теория игр
и т. д.). Со временем этот аппарат будет изменяться как
по объему, так и по содержанию. Это закономерное
явление для научного познания в целом. Именно с
помощью математики ученые совершают крупные
открытия.
Математика проникает во все сферы нашей жизни.
Не только ученые-специалисты занимаются этой нау-
3

кой. Каждый школьник начиная с первого года
обучения знакомится с основами математики. Каждый
трудящийся человек, где бы он ни работал, так или иначе
связан с необходимостью применять математические
знания. Даже домохозяйки, старающиеся правильно
организовать экономику своей семьи, пользуются не
менее чем четырьмя правилами арифметики. Словом,
без знания основ математической науки в наше время
ни один человек просто не может обойтись.
Но эта брошюра не предназначена для обучения
читателей математике. Цель ее выражена уже в
названии. Автора могут спросить: а какое отношение
имеет математика к религии? Отвечаю: самое
непосредственное. Дело в том, что проповедники религии
всегда были яростными противниками математики.
Ведь чему учит религия? «Загадочного не ищи,
сокровенного не исследуй», «отрекись от познания, ибо
мудрость мира сего есть безумие перед господом»—вот
к чему зовут людей проповедники «слова божьего».
Если бы все люди на земле следовали этим призывам,
то мы и сегодня еще оставались бы на уровне
первобытных людей, а орудиями труда человека были бы
камень да палка. Но люди не отреклись от познания
мира, они неустанно исследовали сокровенные тайны
природы.
И каждый новый шаг науки увеличивал власть
человека над силами природы. Этому бы надо радоваться.
Но служители религиозного культа не радовались, так
4

как понимали, что перестанет человек верить в бога,
если будет ученым. Потому церковь на протяжений
всей своей истории препятствовала развитию науки,
подвергала жестоким гонениям ученых, в том числе
и математиков.
Вот в этой брошюре я и хочу рассказать вам,
дорогие читатели, о тех математических проблемах, вокруг
которых и в наши дни не угасают споры между
передовыми учеными и проповедниками религии и их
пособниками философами-идеалистами.
Ваши отзывы о брошюре и пожелания автору и
редакции присылайте в издательство «Казахстан» (Алма-
Ата, ул. Кирова, 122).
Автор.

ЧТО И КАК ИЗУЧАЕТ МАТЕМАТИКА
Математика — наука очень древняя и важная. Как
и другие науки, она имеет свой предмет и метод
исследования. Каков же предмет, объект математики? В чем
заключается сущность математического метода
исследования?
Математика — наука о пространственных формах
и количественных отношениях. Однако для того чтобы
«исследовать эти формы и отношения в чистом виде,
необходимо совершенно отделить их от их содержания,
оставить это последнее в стороне как нечто
безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные
измерений, линии, лишенные толщины и ширины, разные
а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины ...»!
Одна и та же функциональная зависимость y=f(x)
описывает качественно различные процессы.
Например, эта зависимость выражает изменение пути с изме-
1 Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М., 1957, стр. 37.
О

нением времени при постоянной скорости или
изменение величины силы с изменением ускорения тела при
постоянной массе, или изменение природы
химического элемента с изменением атомного веса и т. д.
Математика не стоит на одном месте, она
развивается, совершенствуется. Движущей силой развития
математики являются потребности практики,
естествознания и техники, а также потребности самой математики.
Если развивается математика и при этом возникают
многие совершенно новые области внутри самой
математики, то это означает, что расширяется предмет
математики как по охвату объектов, так и по содержанию
знания о них. В развитии математики имеются такие
этапы: 1) период зарождения математики; 2) период
элементарной математики ^ 3) период математики
переменных величин; 4) период современной математики.
Эти этапы взаимосвязаны, каждый последующий этап
является развитием и обобщением предыдущего. При
переходе от одного этапа к другому существенно
изменялось содержание математики.
В связи с развитием математики ее предмет
интенсивно расширяется. Например, в современной
математике имеется раздел, который называется
математической логикой. В нем рассматриваются не
количественные отношения, а формы и отношения
логического вывода. Точно также в современной
геометрии во многих случаях не рассматриваются
пространственные формы классической геометрии, а другие, им
7

подобные формы, например, /2-мерное пространство
пространство цветов, фазовое пространство и т. д.
Таким образом, если на первоначальном этапе развития
математические отношения и формы непосредственно
отражают материальный мир, то на более высоком
этапе развития математики выводятся новые
отношения и формы из уже известных, старых отношений и
форм. Так возникли мнимые числа (Ы), геометрия
Лобачевского и т. д.
Итак, математика есть наука о пространстденных
формах и количественных отношениях объективного
мира и им сходных формах и отношениях в
определенном отношении.
Для правильного понимания предмета математики
следует учитывать ее особенности. Математика
рассматривает форму, отвлекаясь от конкретного,
предметного содержания. Например, когда мы
подсчитываем количество стульев в комнате, нас интересует только
их число, но не форма, качество, цвет, нас интересует
только одно — хватит ли стульев, чтобы посадить
определенное количество людей. То же самое
происходит при подсчете любых других предметов. Таким
образом, отвлекаясь от самих предметов, мы получаем
их число. При необходимости выяснить емкость
какого-либо сосуда мы перестаем интересоваться
материалом, из которого изготовлен этот сосуд, нас интересует
только его форма. При вычислении расстояния между
населенными пунктами мы принимаем города за точ-
8

ки, от которых ведем отсчет; принимаем за прямую
линию натянутую веревку с целью измерить ее длину;
при этом нас не интересует ни ее толщина, ни
материал, из которого она изготовлена. Одним словом, в
математике используются символы предметов, но не сами
предметы, являющиеся объектами ее исследования и
действительно существующие в природе.
Вот это свойство математики—отвлекаться
(абстрагироваться) от несущественных свойств и связей
исследуемого объекта для выяснения его самых общих
свойств, связей и отношений и является первой и
чрезвычайно важной особенностью математики. В
абстрактности математики ее сила.
Абстрактность математики является средством
познания конкретного. Высокая степень абстрактности
математической науки нисколько не лишает ее
объективного содержания, а лишь затушевывает ее
происхождение из внешнего мира. Абстрактное — это
ступень к познанию конкретного.
Диалектический материализм признает единство,
взаимосвязь абстрактного и конкретного как в самой
жизни, так и в познании. Без абстрактного нет
конкретного, и наоборот, без конкретного нет абстрактного,
Процесс научного познания начинается от чувственно-
конкретного и двигается к абстрактному и от него — к
конкретному в человеческом мышлении.
Однако богословы и философы-идеалисты из
абстрактности математики делают в корне неправильные
9

выводы. Так, например, преувеличивая, абсолютизируя
эту особенность математики, немецкий
философ-идеалист И. Кант считал, что математика заимствована не
из опыта \ то есть не зависит от опытных данных.
Видный швейцарский математик и философ Г. Вейль
писал, что «математика, несомненно, априорна»2
(априорный — не зависящий от опыта). Английский
философ-позитивист А. Айер утверждает, что «чистая
математика не нуждается в опыте»3. Американский
философ К. Гемпель также заявляет, что «принципы
математики являются истинами априорными»4 и т. д.
Соотношение эмпирического (то есть достигнутого
путем опыта) и теоретического в содержании и
структуре математического знания существенно изменялось
в связи с развитием и переходом от низшего этапа к
высшему. Например, в период зарождения математики
связь между эмпирическими и теоретическими
уровнями была непосредственной и явной. Затем по мере
развития математики и усиления роли внутренней логики
самой математики эта связь становится неявной. Но
является ли это доказательством априорности,
независимости от опыта математики? Нисколько. Это показы-
1 И. Кант. Критика чистого разума. Петроград, 1915,
стр. 31.
2 Г. В е й л ь. О философии математики. ГТТИ, 1934, стр. 89.
3 «Вопросы философии», 1962, № 1, стр. 96.
4 «Американский математический ежемесячник», 1945,
№ 10, том 52, стр. 545.
10

вает лишь сложность связи эмпирического и
теоретического во все более развитом математическом
знании. Вот пример. Возьмем какой-нибудь кристалл.
При первом непосредственном знакомстве с ним мы
видим прямые ребра, плоские грани и правильную
форму, то есть для простого описания вполне
достаточно системы понятий элементарной (школьной
планиметрии и стереометрии) геометрии. Но мы хотим более
глубоко описать и объяснить сложную сущность
строения и структуры данного кристалла, и нам уже нужна
более отвлеченная, абстрактная теория.
Богословы, выискивая «связи» между религией и
математикой, утверждают, что, как геометрия
основывается на аксиомах, без доказательства принимаемых
на веру, так и религия — на вере в
сверхъестественное, на недоказуемых догматах. При этом
геометрические аксиомы они объявляют установленными богом.
Английский математик и философ Альфред Прейн-
сгейм в своей статье «Ценность и мнимая неценность
математики» (1914 г.) приводит такое высказывание
романтика Новалиса: «Жизнь богов есть математика.
Все посланцы богов должны быть математиками.
Чистая математика есть религия. Только одни
математики счастливы. Математик все знает»1. В современной
буржуазной философии широко распространены
выгодные религии утверждения о полной непознаваемости
«Новые идеи в математике», 1917, № 1, стр. 105—106.
11

сущности математики. Так, английский философ
Бертран Рассел заявлял, что «математика может быть
определена, как доктрина, в которой мы никогда не
знаем, ни о чем мы говорим, ни то, верно ли то, что мы
говорим»1.
Как видим, защитники религии доходят до
абсурда: рожденную человеческим опытом науку
объявляют непостижимой для человека.
Некоторые зарубежные математики,
абсолютизируя, преувеличивая абстрактность математики,
приходят к отрицанию математики как науки. Например,
английские математики Р. Буш и Ф. Мостеллер
заявляют: «Математику часто считают наукой, но это
ошибка. Наука имеет дело с миром опыта, между тем
как математика — это изучение соотношений между
неопределенными эмпирическими величинами»2. Но
мы уже видели, что математика «имеет дело» с миром
опытных данных. Отправляясь от них, она на
определенном этапе начинает развиваться относительно
самостоятельной Это важная закономерность развития
всякого обобщенного знания.
Следует отметить тот факт, что математика изучает
вполне определенные взаимоотношения опытных
величин (постоянных и переменных). Формой этой связи
служит математическое уравнение. Видоизменяя, обоб-
1 «Новые идеи в математике», стр. 83.
2 Р. Буш и Ф. Мостеллер. Стохастические модели
обучаемости. М., 1962, стр. 15.
12

щая это уравнение, мы можем получить другие
соотношения между переменными. Последнее уравнение
описывает более широкую область явлений, чем первое.
Методом распространения изученного закона
(уравнения) на неизученную область явлений служит
математическая гипотеза. Этот метод очень широко
применяется в современной физико-математической науке, и
сфера его применения будет расширяться в связи с
проникновением математики в другие области знания.
Например, законом движения электрона является
уравнение французского физика П. Дирака. Советский
физик Д. Д. Иваненко, добавляя новый, так называемый
нелинейный член в это уравнение, распространил его
на неизученную область явлений (движение спинорной
материи). Далее, известный немецкий физик В. Гейзен-
берг, сохраняя нелинейный член, вычеркнул член с
массой электрона. Так получилось более точное
уравнение движения спинорной материи.
Математика имеет и другие особенности:
непреложность математических выводов, широкий диапазон
применения математики в других науках 1.
Правильность материалистического понимания
природы математического знания и несостоятельность
религиозно-идеалистических утверждений подтверж-
1 Об этом подробно рассказано в интересной статье
«Математика» крупного советского ученого А. Д. Александрова в
«Философской энциклопедии».
13

даются всем ходом развития современной математики.
Переход от простого счета к машинной математике
является свидетельством этого. А всякие попытки
обожествить математику терпят крах. Математика, как
наука, является отражением определенной стороны
движущейся материи, то есть количественных
отношений и пространственных форм и им сходных форм it
отношений действительности.
Математический метод отличается от метода
других наук. Если основными методами естественных наук
служат научный эксперимент и наблюдение, то
эксперимент, как мы уже говорили, является лишь
исходным пунктом в математическом познании. Из
опытных данных математика восходит к стройной
теоретической системе и затем строит свои доказательства,
положения и теоремы, опираясь на теорию,
непосредственно не обращаясь к эксперименту и
наблюдению. Вместе с тем следует подчеркнуть
следующее. Во-первых, математический метод в известном
смысле носит всеобщий характер. Ведь математика в
той или иной степени применяется во всех других
науках, так как любой объект, взятый для исследования,
имеет количественную определенность. Во-вторых,
математический метод носит односторонний характер.
Знание о количественных отношениях не дает
исчерпывающих сведений о природе объективного мира, то
есть одними количественными свойствами не
охватываются изучаемые объекты.
14

Рассмотрим вкратце аксиоматический метод. В
математике существуют такие утверждения (аксиомы),
которые принимаются в рамках аксиоматической
теории за исходные без доказательства, а также
несколько исходных понятий — точка, прямая, плоскость,
принадлежность, множество и т. д. Из этих аксиом и
понятий логически получаются все другие теоремы и
следствия. Если все факты некоторой области знания
выводятся из конечного числа отобранных аксиом и
понятий, то эта область аксиоматизируется. Система
аксиом научной теории должна быть независимой,
полной и непротиворечивой. Таким образом, структура
пространства в математике описывается некоторым
ограниченным количеством исходных понятий и
положений, тогда как в ряде других наук такое описание
оказывается практически невозможным. Если для
естественных наук указание изучаемого объекта, который
описывается в теории, более или менее просто, то в
математике дело обстоит сложнее. Дело в том, что степень
опосредованности и абстрактности в математике более
высока, чем в других естественных науках. Для
правильного отражения количественных отношений и
пространственных форм действительности требуется
высокая абстракция. С переходом от менее высокого
уровня* окружающей нас объективной реальности к
более высокому уровню, например, с переходом от
макромира (мира больших тел) к микромиру (миру
элементарных частиц) совершается переход от менее вы-
15

сокого уровня математической абстракции к более
высокому.
Аксиоматический метод отнюдь не единственный в
математической науке. В ней применяются
специальные методы установления справедливости знания
(метод математического доказательства,
непротиворечивости, принцип соответствия и т. д.). Однако они не
исключают, а предполагают практику, как общий
критерий истины, и в конечном счете опираются на нее.
Они доказывают лишь многообразие сторон практики,
являющейся всеобщим критерием
научно-теоретического познания. С развитием и усилением абстрактности,
опосредованности математического знания изменяются
характер и форма проверки его истинности на
общественно-исторической практике. Внутренняя логика
развития, аксиоматическое построение содержания
современного, более развитого математического знания
приобретают огромное значение. В результате этого
расширяются объем и содержание практики.
Конкретное приложение и теоретическое значение
математических исследований являются направляющим фактором
развития всей науки в целом, математики в частности.
Об этом известный немецкий математик Ф. Клейн
писал так: «Чисто логические концепции должны
составить, так сказать, твердый скелет организма
математики, сообщающей ей устойчивость и достоверность. Но
самая жизнь математики, важнейшие наведения ее и
ее продуктивность относятся преимущественно к ее
16

приложениям, т. е. к взаимным отношениям ее
абстрактных объектов со всеми другими областями.
Изгнать приложение из математики — это то же, что
искать живое существо с одной только костной основой
без мускулов, нервов и сосудов»1.
1 Ф. К л е й н. Элементарная математика с точки зрения
высшей. М., 1935, т. 1, стр. 44.
2—556

О ЧИСЛАХ РЕАЛЬНЫХ И «БОЖЕСТВЕННЫХ»
Числа занимают важное место в познании и
преобразовании природы и общества. Например, великий
русский ученый, отец русской авиации Н. Е.
Жуковский с помощью комплексных чисел создал
замечательную теорию подъемной силы крыла самолета. В
наши дни, когда электронные вычислительные машины
стали активными помощниками ученых различных
отраслей знаний, возрастает роль двоичного
исчисления (0 и 1). Числа-карлики используются в познании
свойств и закономерностей мельчайших частиц
(электрон, позитрон, нейтрон, мезон и др.), а
числа-великаны — в познании специфических закономерностей
космических объектов. Сложные числа и величины
(тензор, вектор и др.) сыграли большую роль в создании
эйнштейновской теории относительности (физической
теории пространства и времени).
Числа на протяжении веков являлись объектом
борьбы материализма и религии. Рассмотрим
материалистическое и религиозное понимания чисел.
18

Материальной основой чисел служит окружающий
нас мир. Действительная история возникновения чисел
такова. Вначале числа были связаны с конкретным
содержанием предмета, например, «семь человек», «семь
палок» и т. д. Слово «семь» в этих контекстах имеет
различное содержание. Отвлекаясь от формы, размера,
цвета и других конкретных свойств, число семь
означает общее, присущее для всех считаемых предметов.
С развитием человеческих знаний об окружающем
мире такая примитивная форма счета оказалась
неудовлетворительной. Совершился переход от простого счета
(счет на пальцах) к измерению. Кроме натуральных
(целых) чисел, возникли дробные, отрицательные
и т. д. Отрицательные числа были введены как форма
выражения противоположно направленных отрезков,
долга и т. п. Числа возникли в процессе
непосредственной практической деятельности человека. «Как
понятие числа, так и понятие фигуры,— указывал Ф.
Энгельс,— заимствованы исключительно из внешнего
мира, а не возникла в голове из чистого мышления»1
(курсив мой.— А. #.).
Следовательно, числа являются результатом
длительного обобщения и развития на основе практики.
Числа в своем историческом развитии проходили ряд
этапов: натуральные, отрицательные, дробные,
рациональные, иррациональные, действительные, мнимые,
Ф. Энгельс. Анти-Дюринг. М., 1957, стр. 37.
2*
19

комплексные и т. д. В фундаменте всех чисел лежат
бесконечные натуральные числа (1, 2, 3, и т. д.).
Натуральные числа создаются не «из ничего», а
являются непосредственным отражением количественных
отношений действительности. Затем на основе известных
свойств и законов натуральных чисел закономерно
строятся отрицательные, дробные и т. д. Числа
являются отражением количественных отношений
объективного мира. Число — это чистейшее количественное
определение.
Над реальными числами можно произвести
операции (сложение и вычитание, умножение и деление,
извлечение корня и возведение в степень). Эти
операции отражают определенные отношения чисел. Каждое
число считается реальным в его отношении, в его
связи с другими числами, то есть оно занимает
определенное место в общей системе чисел. Но оно полно
качественных различий. Например, количественная
единица — основное число системы положительных
и отрицательных чисел. Благодаря последовательному
прибавлению к ней получаются все другие числа.
Единица может быть определена и как выражение всех
положительных, отрицательных и дробных степеней
единицы: 12 = 1; 11/2 = 1; 1~2 = 1 и т. д. Единица вместе
с тем есть выражение всякого числа в нулевой степени:
а° = 1 и т. д. и т. п. Таким образом, всякое число
качественно различно лишь в общей системе ^исел. В столь
простом числе, каким является единица, содержится
20

единство, взаимосвязь многообразного и
множественности. Отдельным числам не следует приписывать
какие-то чисто воображаемые, фантастические функции.
Для всех реальных чисел природа дает нам прообразы.
Однако еще в древности возникло и ложное,
религиозное толкование некоторых чисел. Богословы
приписывали числам таинственные, сверхъестественные
функции. Числовая мистика возникла в государстве
Халдее (626—538 гг. до н. э.), расположенном в
Вавилонии (современный Ирак). Каждому богу, по
представлениям древних вавилонян, соответствовало
определенное число: Син (бог луны) — 30, Бел (творец
вселенной) — 20, Мардук (бог планеты Юпитер) — 11 и
т. д. А числом 653 они обозначали вечность.
Древнегреческий математик и философ Пифагор
(около 580—500 гг. до н. э.) и его школа, сыгравшие
важную роль в развитии математики, занимались
исследованием теории музыки. Они нашли зависимость
высоты звукового тона от длины струны. Эту
зависимость они выразили в форме числовых отношений.
Пифагорейцы стремились найти ответы на многие
вопросы музыки через числовые отношения. Но, не понимая
действительной связи вещей, они стали считать число
сущностью всех материальных предметов, основой всех
предметов. В конечном итоге они пришли к выводу,
что именно число служит ключом для познания
космической «гармонии сфер». Пифагорейцы учили: «Бог
положил числа в основу мирового порядка. Бог — это
21

единство, а мир — множество и состоит из
противоположностей. То, что приводит противоположности к
единству и соединяет все в космос, есть гармония.
Гармония является божественной и заключается в
числовых отношениях. Кто до конца изучит эту
божественную числовую гармонию, сам станет божественным и
бессмертным». Пифагорейцы даже на вопрос «Что
такое друг?» отвечали языком чисел: «Друг — это
второе я, дружба — это отношение чисел 220 и 248».
Числовая мистика получила свое яркое выражение
и в учении древнегреческого философа-идеалиста
Платона (428/427—347 гг. до н. э.). Он тоже основанием
мира считал числа. В своей работе «Республика» он;
специально обсуждает вопрос о религиозном
воспитании людей с помощью арифметики и геометрии. Такую
концепцию пропагандировал и немецкий
философ-позитивист начала XX века Герман Коген,
раскритикованный В. И. Лениным в книге «Материализм и
эмпириокритицизм ».
Известный немецкий математик Л. Кронекер
писал: «Целое число создал господь бог, все остальное
дело трудов человеческих». Это чистейшее
обожествление происхождения целых чисел. Исследование
первоначальных этапов развития понятия числа
показывает, что целые числа были созданы людьми, что они,
как и «все остальное»,— дело рук человеческих.
Маркс в «Замечаниях на книгу А. Вагнера»
указывал, что отношение человека к природе с первого
22

этапа его существования выступает не как
теоретическое, а как практическое действие (трудовое) с целью ее
преобразования. Именно в процессе трудовой
деятельности людей было выработано число. К. Маркс дал
правильное, научное понимание происхождения числа.
Противоположное этому религиозное понимание числа
содержит элементы возрождения пифагорейской
концепции. На это обратил внимание известный
советский ученый, занимающийся историей математики,
А. П. Юшкевич в работе «История математики в
средние века» (М., 1961): «...произведение двух
правильных дробей, поскольку оно меньше каждого из
множителей, кажется противоречащим библейскому
«плодитесь и размножайтесь».
Сущность числовой мистики заключается в том, что
отдельным числам церковники приписывают
таинственные, сверхъестественные функции и признаки.
Немецкий идеалист-мистик Эккартгаузен (конец XVIII—
начало XIX века) в книге «Наука чисел, служащая
продолжением ключа к таинствам природы» дошел до
бредового утверждения, что «отрицательные числа —
это числа от дьявола».
Последователи христианства придают большое
значение числу 666. В библейской книге «Откровение
Иоанна богослова или Апокалипсис» это число было
названо «роковым»: «Здесь мудрость. Кто имеет ум,
тот сочти число зверя, ибо это число человеческое;
число его шестьсот шестьдесят шесть». Считая «Апокалип-
23

сие» книгой пророческой, верующие стремятся
расшифровать и объяснить с его помощью современные им
события. На протяжении веков в разных странах
христиане обозначали этим числом неугодных церкви
правителей. Между тем «тайна» этого числа была
разгадана Ф. Энгельсом. В своей работе «Книга
откровения»1 он убедительно доказал, что автор
«Апокалипсиса» зашифровал этим числом имя злейшего врага
христианства римского императора Нерона. Достаточно
вспомнить, что было время, когда цифры
обозначались буквами, и станет понятно, каким образом автору
«Откровения» удалось выразить в цифрах имя
императора- « антихриста ».
Пифагорейско-платоновская концепция
обожествления чисел находит сторонников и в наше время.
Наряду с астрологами, «предсказывающими»
будущее по звездам, в современном буржуазном обществе
процветают предсказатели судьбы с помощью «магии
чисел». Доктор философии и математики
Калифорнийского технологического института США Э. Белл в
своей книге «Магия чисел» сообщает, что в современной
американской радиокомпании имеются специалисты-
предсказатели, которые по «личным числам»
посетителей предсказывают их судьбу. За это «специалисты»
получают большие деньги.
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. О религии. М., 1955, стр.
159—164.
24

Современные христианские идеологи пытаются с
помощью науки, в том числе и математики, обосновать
«бытие бога».
В 1951 году папа Пий XII, выступая на общем
собрании папской академии наук с докладом
«Доказательства существования бога в свете достижений
современной науки», назвал истинными учеными только тех,
кто доказывает «на языке чисел, формул и
эксперимента бесконечную гармонию всемогущего бога».
Современная наука доказала бесконечность и
неисчерпаемость материи, она интенсивно проникает в
сложное строение изучаемых объектов. С помощью
математики сложных чисел и формул
современная наука доказывает ложность утверждения папы
Пия XII. Колоссальные достижения современного
знания доказывают только одно: никакого бога нет и
никогда не было.
Среди бытующих в наши дни числовых суеверий
имеется предрассудок, связанный с числом 13. Этот
предрассудок чрезвычайно распространен в
современных капиталистических странах. Например, при
нумерации домов, комнат в общежитиях и гостиницах, кают
на пассажирских пароходах, кресел в кинотеатрах
число 13 почти не употребляется. В Лондоне и других
крупных городах Англии трудно найти дом под
номером «13». Обычно для их нумерации используют
«12-а». Страшным и таинственным кажется число «13»
суеверным людям, когда за столом собираются 13 че-
25

ловек: одному из них якобы грозит смерть или
большое несчастье. «Чертовой дюжиной» назвали люди это
число и стали бояться созданного ими самими пугала.
Но ничего таинственного и тем более страшного
число 13 в себе не заключает. Происхождение лее свя-
занного с ним суеверия таково. В древности, до
изобретения цифр, для счета использовались буквы. В
частности, 13 обозначалось буквой М (мем). С этой же
буквы в древнееврейском языке начинаются такие
слова, как «мес» — мертвец и «мовес» — смерть. Так
число 13, обозначаемое этой буквой, приобрело в глазах
людей зловещий смысл.
Среди итальянских верующих имеют хождения
письма, которые называют «страшными». Они тоже
связаны с числовым суеверием. Письма эти
заканчиваются словами: «Кто получит это письмо, должен
переписать его 13 раз, разослать 13 знакомым. Кто
перепишет, через 13 дней будет счастливым, а кто не
сделает этого, того будут преследовать 13 несчастий..
Письмо должно 13 раз обойти весь мир. Кто цепь
порвет, тот умрет».
Подобного рода письма иногда появляются и в
почтовых ящиках граждан нашей страны. Пишут и
распространяют эти послания с единственной целью —
внушить мысль о том, что бог все-таки существует
и жизнь наша в его руках. А «устрашающая» приписка
в конце нужна для того, чтобы напугать получателя
письма и подчинить его своей воле. Сочинителями по-
26

добных писем являются обычно члены нелегальных
религиозных сект.
Встречаются люди, которые не начинают важных
для них дел 13 числа, считая, что все равно не будет
удачи. Выше уже говорилось об истории
возникновения суеверия, связанного с числом 13. Наукой
доказано, что ничего страшного в числе 13 нет, так же, как
любые другие числа не могут служить предвестниками
счастья. Случайные совпадения числа 13 с
несчастьями ни о чем не говорят. Люди живут, и в жизни их
встречаются и несчастья, которые могут произойти в
любой день, не обязательно 13 числа. Имеется
множество примеров, когда именно 13 число оказывается
наиболее удачным днем. Например, космический полет
А. Николаева и П. Поповича начался 13 числа, в
понедельник, и прошел не только чрезвычайно удачно
для космонавтов, но и принес новую славу советской
науке. Дважды Герой Советского Союза казахстанец
Талгат Бегельдинов решительно заявляет о нелепости
числовых примет. Свой первый боевой вылет он
совершил на самолете под номером 13. На самолете с таким
же номером он первым совершил полет с целью
разведки над Берлином в 1945 году, из которого он, отлично
выполнив задание, благополучно возвратился на свой
аэродром. Счастливым числом 13 было и для
крупнейшего математика Н. Г. Чеботарева (1894—1947 гг.).
Именно он впервые в истории математики решил
трудную и сложную 13 проблему Гильберта о сводимости
27

алгебраического уравнения п-oPl степени с
переменными коэффициентами к решению нескольких уравнений.
Среди некоторых людей бытует суеверие о
«счастливом билете» или «несчастливом билете». Номер
автобусного, трамвайного или троллейбусного билета
состоит из шестизначных чисел. Если сумма трех правых
цифр равна сумме трех левых цифр, то пассажир
считает себя счастливым. Если эти суммы не равны, то он
считает себя несчастливым. Люди, придерживающиеся
такого суеверия, вероятно, не знают, что равенство этих
сумм — явление чисто случайное, незакономерное и
никак не может служить предвестником счастья.
Счастье — категория этики. А числа — категория
математики, Они качественно различны. И отождествление
или сведение этих категорий друг к другу равносильно
отрицанию разницы между черным и белым. Поэтому
это числовое суеверие наивно, ложно и не имеет под
собой никакого реального основания.
Итак, числовые суеверные приметы — это лишь
пережиток прошлого в сознании людей. Нет и быть не
может каких-то «божественных», мистических чисел.
Любое число есть отражение количественных
закономерностей объективной действительности, никакого
иного значения числа не имеют. Здесь уместно
привести совершенно правильное утверждение известного
русского математика Т. Ф. Осшговского: «Я не знаю
никаких таинств в числах»,

ЧЕТВЕРТОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
И «ДОКАЗАТЕЛЬСТВО» СУЩЕСТВОВАНИЯ БОГА
Диалектический материализм учит, что
пространство и время есть объективные, реальные формы
существования движущейся материи. Их основные свойства
определяются закономерностями движения и
взаимодействия материальных предметов.
Под пространством в самом широком смысле этого
слова понимается порядок, отдаленность
(протяженность) предметов друг от друга. В свою очередь
протяженность означает свойство тела занимать
определенный объем (длина, ширина, высота). Протяженность
характеризует устойчивость существования и
расположения элементов в общей структуре. В природе нет
такой вещи, которая не имеет длины, ширины и высоты.
Значит, наше реальное пространство трехмерно. Это
важная особенность реального, материального
пространства. Трехмерность пространства означает, что
пространственное положение любой точки можно опреде-
29

лить заданием трех чисел х, у и г. Именно эта
особенность, то есть трехмерность, присуща реальному
пространству. Пространство носит вечный,
бесконечный и объективный (то есть не зависящий от нас)
характер.
Категория времени выражает длительность
существования материальных предметов и последовательность
их смены. Время необратимо. Оно тоже носит вечный,
объективный и бесконечный характер.
Еще раз отметим, что пространство и время —
формы существования движущейся материи. Никак
нельзя отделить движущуюся материю от пространства и
времени. «В мире нет ничего, кроме движущейся
материи,— указывал В. И. Ленин,— и движущаяся
материя не может двигаться иначе, как в пространстве и
во времени»1.
В современной математике (но не в природе!)
имеются многомерные, даже бесконечномерные
абстрактные пространства. Они обладают 4, 5, 6, 7, 8, ..., п (п-
мерное), оо (бесконечномерное) измерениями. Они
имеют большое применение как внутри самой
математики, так и в физике, химии, биологии, механике и в
других науках. Приведем один пример применения
пространства многих измерений в молекулярно-кинети-
ческой теории газов. Известно, что каждая
грамм-молекула газа содержит одинаковое число N (число Аво-
1 В. И. Ленин. Полное собр. соч., т. 18, стр. 181.
30

гадро, равное 6 • 1023 = 600 000 000 000 000 000 000 000)
молекул. Скорость движения и положение отдельной
молекулы определяется 6 координатами. Из-за этих
особенностей наиболее удобным пространством в моле-
кулярно-кинетической теории газов оказалось
пространство 36 • 1023 = 3 600 000 000 000 000 000 000 000
измерений. Значит, применение абстрактных пространств
с многими измерениями в различных областях знания
внутренне необходимо и допустимо.
Естественно, возникает такой вопрос: не
противоречит ли многомерное пространство в математике
трехмерности реального пространства в природе? В каком
соотношении находятся эти пространства? Реально ли
многомерное пространство, как трехмерное?
Оказывается, что введение многомерного пространства в
математику никогда не противоречило и не может
противоречить материальному трехмерному пространству.
Дело в том, что многомерное пространство не
существует в природе. Реальным пространством для
существования всех материальных предметов и людей служит
только одно единственное — трехмерное пространство.
Многомерное же пространство — это научная
абстракция, созданная со специальной целью и необходимая
для математических операций. Вместе с тем оно
отражает определенные стороны реального трехмерного
физического пространства, а именно пространственные
формы и отношения действительности. Поэтому
идеальное многомерное пространство представляет собой
31

средство и рабочий инструмент познания
действительности.
Современные философы-идеалисты и богословы по-
своему применяют идею о многомерном пространстве.
Например, английский астроном-идеалист Дж. Джемс
в своей книге «Новые основы науки» пишет: «Природа
ничего не знает о времени и пространстве в
отдельности ; она имеет дело только с четырехмерным
континуумом, в котором пространство и время слиты вместе в
единое целое, известное под названием
«пространство — время». Он пишет, что четвертое измерение (то
есть время) недоступно нашим ощущениям, и оно
будто бы является местом для размещения таинственных,
божественных сил. Среди многих многомерных
пространств защитники «бытия божия» берут пространство
четвертого измерения. Логика их рассуждений такова:
наряду с видимым материальным миром в трехмерном
пространстве существует невидимый, бестелесный мир
в пространстве четвертого измерения. Будто бы из
этого (последнего) пространства невидимый бог
воздействует, управляет и регулирует все происходящие
процессы в трехмерном пространстве. По мнению
богословов, получается раздвоение мира на
материальный, видимый, мир и нематериальный, невидимый,
мир. Такое утверждение высказывают современные
воинствующие адвентистские богословы К. Гейм и
Г. Тейхман. Концепция этих богословов хорошо
выражена в следующих словах. «Где живет бог? — спраши-
32

вает Ганс Тейхман.— Может быть, на Севере или на
Орионе? Быть может, его царство находится еще
дальше, позади видимых звезд?
... Но разве мы не сидим сегодня у огромных
телескопов, с помощью которых в состоянии проникнуть в
глубину, измеряемую сотнями миллионов световых
лет? Конечно, нигде там не обнаружены следы бога
или его царского тронного зала... Но с другой стороны,
это означает, что бог воистину не далее от каждого
из нас, так как душой и телом мы находимся в нем.
... Невидимый и в то же время присутствующий!
Таким образом, скорее будут разрушены взгляды людей,
утверждающих, что бога невозможно найти где-
либо...»1.
Для «научного обоснования» своего теоретического
построения Ганс Тейхман обращается к идее о
четвертом геометрическом измерении. Он считает, что двум
мирам должны соответствовать два пространства —
трехмерное и четырехмерное (три пространственные
координаты и время). По его мнению, последнее
пространство обладает такой же реальностью, как и
трехмерное. Затем «для более глубокого
естественно-научного обоснования» он ссылается на учение Ньютона об
«абсолютном времени» и «абсолютном пространстве».
Выдающийся английский физик Исаак Ньютон (1643—
1 Цит. по брошюре О. Антоновой «Четвертое измерение». М.,
1965, стр. 25.
3—556
33

1727 гг.) признавал объективность пространства и
времени. Однако он рассматривал их отдельно друг от
друга. Такая точка зрения Ньютона на пространство и
время глубоко ошибочна и противоречит их диалекти-
ко-материалистическому пониманию. Между тем Ганс
Тейхман тоже рассматривает пространство в отрыве от
движущейся материи. Эта позиция необходима ему
для доказательства, что будто бы существует какое-то
пространство, свободное от материи и являющееся
местом пребывания божества. Но нематериального,
пустого пространства в природе не существует, о чем с
большой убежденностью заявлял известный
английский физик М. Фарадей. Он писал: «Материя
присутствует везде, и нет промежуточного пространства,
не занятого ею».
Не существует в природе и так называемое
четырехмерное пространство, поскольку реальное,
материальное пространство трехмерно, поскольку время,
называемое четвертым измерением, не существует и не может
существовать отдельно от материи, а является лишь
формой существования материи, ибо мир существует
одновременно в пространстве и времени.
Создатель теории относительности А. Эйнштейн так
выразил свой взгляд на эту проблему: «Раньше
утверждали, что с исчезновением материи отдельно
остаются пространство и время. Теперь согласно этой теории
с исчезновением материи исчезнут пространство и
время». Именно в теории относительности замечательно
34

доказывается, что пространство и время неразрывно
связаны между собой и с движущейся материей.
В книге известного советского поэта Павла
Антокольского «Четвертое измерение» хорошо
показывается тема времени:
Прошло вчера. Приходит завтра.
Мне представляется порой,
Что время — славный мой соавтор,
Что время — главный мой герой.
Ганс Тейхман и его единомышленники всячески
стараются доказать существование бога в
пространстве четвертого измерения. Вместе с тем он указывает,
что «научное доказательство» полностью
соответствует данным современной физики. Он пишет: «Учение о
втором пространстве возникло в связи с успехами
новейшей математики и физики. В отличие от эвклидова
пространства оно имеет не три, а больше измерений.
Так как нам, смертным, со дня рождения даются
только трехмерные видимые формы, мы не можем понять
пространство с высшим измерением»1.
Во-первых, это высказывание Тейхмана является
грубой клеветой на науку и фальшивкой, так как
никакого второго пространства, отличного от реального,
трехмерного, наука не открывала и не может открыть
1 Высказывания К. Гейма и Г. Тейхмана заимствованы мной
из уже упоминавшейся работы О. Антоновой «Четвертое
измерение».
3*
35

того, чего на самом деле не существует. Во-вторых, в
этих утверждениях сектанта нет даже элементарной
логики. Он начинает свое рассуждение с
математической абстракции, а потом путем подмены понятий
приходит к реальному пространству. По сути дела он
отождествляет абстрактное, идеальное с
материальным, реальным, конкретным.
Четвертое измерение пространства — это
математическая абстракция и идеализация, отражающая
лишь отдельные пространственно-временные
отношения объективной действительности. Это, и только это
имеют в виду ученые, говоря о четвертом измерении.
Под пространством в математике понимают
вообще любую совокупность однородных объектов (явлений,
состояний, функций и т. д.), между которыми
выполняются отношения, подобные обычным
пространственным отношениям (непрерывность, расстояние и т. д.).
Оно — научная абстракция, а трехмерное
пространство — реальная, объективная форма существования
материи. Поэтому « доказательства» существования бога
в корне антинаучны. Они являются лишь грубой
спекуляцией на теории относительности Эйнштейна,
используемой богословами и философами-идеалистами
для обоснования различных
религиозно-идеалистических измышлений о потустороннем четырехмерном
пространстве. Никакой четырехмерной Вселенной нет,
как нет и быть не может пустого, нематериального
пространства четвертого измерения.

О ПРИНЦИПЕ СООТВЕТСТВИЯ
В МАТЕМАТИКЕ
Религиозно-идеалистическая концепция строится
на основе веры в сверхъестественное и требует, чтобы
люди не искали внутренних закономерностей развития
познания, а довольствовались ссылкой на
«неисповедимую волю» бога. «Аллаху принадлежит власть над
небесами и землей. И Аллах над всякой вещью
мощен!» — говорится в Коране (3 сура, 186 (189) стих).
Подобные же утверждения вы найдете в Библии и в
«священных» книгах любой религии. Из них следует,
что и пытаться не надо выявлять причины и
закономерности возникновения и развития научного знания.
Такая позиция церковников и идеалистов понятна:
ведь истинная наука ведет к разоблачению самой
религии.
Современные философы-идеалисты ложно
толкуют и новые диалектико-познавательные принципы
построения и развития математического знания. И это
37

тоже понятно, так как эти принципы и новые научные
открытия можно правильно объяснить, лишь опираясь
на диалектический материализм.
В математике различные
религиозно-идеалистические спекуляции вызывает принцип соответствия.
Состоит он в следующем. Все явления окружающей
нас действительности связаны между собой и при
определенных условиях переходят друг в друга.
Совершенно обособленных явлений и предметов нет. Эта
закономерность отражена в научных теориях и понятиях,
которые в свою очередь тоже находятся во взаимосвязи
и при надлежащих условиях переходят друг в друга.
Принцип соответствия и является формой выражения
генетической связи между качественно различными
понятиями и теориями.
Он возник и стал применяться в начале XIX века в
математике, а в физике его начали сознательно
использовать лишь в начале XX века. На рубеже XIX и XX
веков произошло коренное изменение представлений о
физической картине мира. Это было началом
решительного пересмотра основ классической физики.
Старая классическая физика оказалась недостаточной для
описания и объяснения внутриатомных явлений.
Возникла совершенно новая физика, и казалось, что
между ней и классической физикой нет никакой связи.
Принципы, понятия и законы новой физики были
настолько специфичными, что представлялось, будто они
начисто отрицают старую физику. Привычная старая
38

физическая теория Ньютона сменилась непривычной
новой физической теорией.
Некоторая часть ученых стала видеть в новой
теории лишь пустые символы, знаки и чисто логические
конструкции, лишенные объективного содержания.
Возникло новое идеалистическое течение, которое
называется «физическим» идеализмом. Но идеализм в
физике не есть результат новых открытий (построение
электронной модели атома, открытие радиоактивности
и т. д.), а лишь продукт их неправильного понимания и
истолкования. Приверженцы ньютоновской физики не
понимали, что возникновение новой физики
подчеркивает силу научного, диалектического мышления,
которое основывается на признании подвижности,
противоречивости и гибкости понятий и теорий.
В 1913 году крупный датский физик Ни лье Бор
выдвинул совершенно новую физическую теорию
строения атома. В ней систематизировался, объяснялся
огромный фактический материал в области
спектроскопии (например, объяснение ряда важных спектральных
закономерностей атома водорода, истолкование
сериальных формул Бальмера, Пашена и т. д.), который
старая классическая физика не могла охватить и
объяснить. Несмотря на качественное различие между
старой и новой физикой, Н. Бор установил наличие
определенной связи между ними. Такое соответствие
между классической и новой теорией Бором было
названо «принципом соответствия». По этому поводу
39

крупнейший физик нашего времени Луи де Бройль
пишет: «... Бору удалось сформулировать удивительный
принцип соответствия, сыгравший важную и
благотворную роль в развитии квантовой теории»1.
Для нас важным является тот факт, что выход из
сферы классической теории в область качественно
других определенностей привел к открытию своеобразного
методологического принципа соответствия в его
первоначальной формулировке и показал неприменимость
классической физики к специфическому
микромиру. Теория Нильса Бора явилась, таким образом,
первым качественным скачком в познании
внутриатомных закономерностей. Новая теория не отбрасывала
старую теорию, а включила ее в себя как частный,
предельный случай. Выводы, формулы и уравнения
новой теории в той области действительности, где
справедлива старая теория, совпадают с выводами,
формулами и уравнениями старой. При ограничении
предметной области новой теории (с помощью
бесконечного убывания (0) или увеличения ( оо )
характеристического параметра) новая теория переходит в
старую. Такова связь между физическими теориями в их
поступательном развитии.
Таким образом, принцип соответствия означает
внутреннее соответствие между старой и новой теория-
1 Луи де Бройль. Революция в физике. М., 1965,
стр. 125.
40

ми и предельный переход качественно новой теории в
старую. Он помогает увидеть и предсказать
специфические стороны новой теории при ее построении на
основе старой теории. С его помощью можно перенести
знания из одной предметной области абстрактных
отношений и структур в другую, более общую область.
Например, рассмотрим переход от арифметики
вещественных чисел к арифметике комплексных. В
общем процессе развития понятия числа вещественному
числу отводится весьма важное место. Вещественные
числа включают рациональные, то есть совокупность
натуральных чисел (1, 2, 3 и т. д.), отрицательных (—1,
—2, —3 и т. д.), нуля (0), дробных чисел, и
иррациональные (они выражают длину отрезка,
несоизмеримого с единицей масштаба) числа. В области
вещественных чисел выполняются отношения «меньше»,
«больше» (то есть числа можно сравнивать между
собой).
Но вещественные числа не охватывают
всевозможные типы количественных отношений
действительности во всем их многообразии, потому что реальные
количественные отношения бесконечны вглубь и
неисчерпаемы по структуре, по свойствам, как сам
объективный мир. При помощи вещественных чисел мы
можем измерить любую длину. Однако более сложные
величины, например векторы (величины, обладающие
направлением) никак нельзя выразить лишь
вещественными числами. Возрастающие потребности практи-
41

ки (естествознания и техники), практики решения
алгебраических уравнений требовали дальнейшего
расширения и развития понятия числа. В самом деле,
неполное квадратное уравнение х2 + С = 0 (где С>0) в
множестве вещественных чисел не имеет
единственного решения. Тем не менее арифметика вещественных
чисел отражает специфическую область
количественных отношений объективного мира.
В 1831 году крупный немецкий математик Гаусс
построил совершенно новую систему чисел, так
называемые комплексные (а + в • i). В этой системе все
квадратные уравнения имеют решения в радикалах (то есть
в корнях —]/).
В связи с переходом от вещественных чисел к
комплексным соответственно переносятся необходимые
основные законы и свойства операций над
вещественными числами. Арифметика комплексных чисел
включает в себя, как частный, предельный случай,
вещественные и мнимые числа: например, если в-+09 то
комплексное число а + в • i переходит в вещественное;
если а->09 то получим систему чисто мнимых чисел
(то есть числа, имеющие вид в • i, где в — вещественное
число, a i — мнимая единица). Если вещественные
числа отражают лишь отношения скалярных величин
(величин, не обладающих направлением), то
комплексные выражают отношения не только скалярных, но и
векторных величин на плоскости. Поэтому арифметика
комплексных чисел является дальнейшим обобщением
42

и развитием арифметики вещественных чисел. В
множестве комплексных чисел не соблюдаются отношения
«меньше» и «больше».
Введение комплексных чисел, глубже и полнее
отражающих такие отношения объективного мира,
которые не входили в систему вещественных чисел,
ознаменовало прогресс всего математического познания.
Однако познание количественных отношений
объективного мира на этом не остановилось. Потребности
практики, а также самой математики, требовали более
глубокого обобщения и развития системы комплексных
чисел. В результате исключения закона
коммутативности 1 умножения из системы комплексных чисел в
1843 году известный ирландский математик и механик
В. Гамильтон построил новые числа как дальнейшее
обобщение комплексных чисел — кватернионы 2,
давшие начало современному векторному анализу. Это
означало возникновение нового этапа в развитии
учения о количественных отношениях. Так совершился
переход из одной области количественных отношений
в другую. При этом соответственно переносятся
необходимые знания из области комплексных чисел в
область кватернионов.
1 Закон коммутативности умножения выражается формулой:
А -В=В'Л, то есть при перестановке сомножителей произведение
не меняется.
2 Алгебраическая форма кватерниона: a + bi+cj + dk (то есть
четырехмерное комплексное число).
43

Одной из особенностей системы кватернионов, как
мы уже отметили, является некоммутативность
умножения чисел (то есть А • В ф В • А). Если с-+09 d->0y то
мы возвращаемся от арифметики кватернионов к
арифметике комплексных чисел.
Переход от вещественных чисел к комплексным, а
затем от комплексных к кватернионам означает
закономерный переход от одномерного (линейного)
многообразия к двумерным (плоскостным), от двумерного
(плоскостного) к четырехмерным (пространственным).
При этом изменяются структура и содержание старой
теории, то есть старая теория переходит в качественно
новую. Принцип соответствия всегда служит средством
построения элементов и структуры новой теории на
базе элементов и структуры старой теории; одна
теория в ее генетическом развитии служит
теоретико-познавательной основой возникновения и формирования
другой теории. Характерной особенностью этого
принципа, как мы видели, является предельный переход
новых теорий в старые при надлежащем значении
характеристического параметра. Например, новая квантовая
механика (механика движения элементарных частиц—
электрона, протона, нейтрона и др.) переходит в старую
классическую механику (механику движения больших
тел) в определенных условиях, когда квант действия
(характеристический параметр) стремится к нулю
(h ->(?). Характеристический параметр входит в
структуру новой теории и делает ее более специфичной, бо-
44

лее содержательной по сравнению со старой теорией в
поступательном развитии.
Анализ интенсивного развития математических
понятий и теорий в свете принципа соответствия
обнаруживает большую познавательную ценность последнего,
как необходимой и всеобщей закономерности развития
математического познация. Вся сила этого принципа
выявляется в период коренной перестройки
существующих теорий. Прогресс научного познания связан с
постоянным возникновением и разрешением
противоречий между старой теорией и новыми фактами вообще,
между старой и новой теориями в частности, с
постоянной ломкой одних понятий и теорий другими, более
содержательными. В конечном счете старые и новые
математические теории, как бы сильно они ни
отличались друг от друга, оказываются генетически
связанными и взаимно переходят друг в друга при
выполнении первоначальных (предельных) условий. Об этом
свидетельствует тот факт, что принцип соответствия
действует в различных областях математической
науки (в геометрии, теориях дифференциальных и
интегральных уравнений, функций, а также в понятиях
числа, метрики пространства и т. д.) и доказывает
связь принципа развития с принципом единства мира.
Например, геометрия Лобачевского и система ее
понятий качественно отличаются от геометрии Эвклида и
ее системы понятий. На первый взгляд кажется, что
между этими геометрическими системами не существу-
45

ет никакой связи. Но это впечатление обманчиво. Если
параметр К, специфичный для геометрии Лобачевского
(называемый радиусом кривизны пространства),
положить стремящимся к бесконечности (/( ->оо , или
предельный переход), то геометрия Лобачевского
(функциональное уравнение, устанавливающее
фундаментальную зависимость между угловыми и линейными
величинами, длина окружности, теорема Пифагора и
т. д.) перейдет в геометрию Эвклида. Словом,
геометрия Эвклида не сходит со сцены как нечто негодное, а
включается в геометрию Лобачевского в качестве
частного, предельного случая.
Одной из основных идей Лобачевского,
руководивших им при разработке новой геометрии, была идея
соответствия между качественно различными
теориями. Впоследствии эту идею он сознательно стремился
применить и в создании более общей механики и в
различных областях математической науки.
Дальнейшее бурное развитие геометрии шло на
основе этой важнейшей идеи Лобачевского. Так
возникли современные формы неэвклидовой геометрий Ри-
мана, Финслера, Вейля, Картана, теории
дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом,
теории обобщенных функций, а также математический
аппарат квантовой механики, общей теории
относительности и т. д.
Принцип соответствия в известном смысле
является выражением изоморфных отношений между мате-
46

матическими теориями. Понятие изоморфизм 1 имеет
фундаментальное значение в современном
естествознании, особенно в современной математике и
кибернетике. Он является важнейшей особенностью
математической теории. Например, геометрия исследует не одну
систему объектов, а возможные системы объектов,
которые сходны в определенном отношении. Примером
изоморфизма служит принцип двойственности на
плоскости в проективной геометрии. Здесь роль
изоморфного отношения играет принадлежность точки и
прямой. А именно: точка лежит на прямой, прямая
проходит через точку. Между точками плоскости и
прямой можно установить взаимно однозначное
соответствие, которое дает возможность определить изо*
морфизм между этими объектами. При замене точки
на прямой соответствующая теорема моментально
распространяется на изоморфную систему объектов. Если
мы доказали справедливость одной теоремы, то
справедливость второй теоремы, изоморфной первой,
доказывать нет никакой необходимости. Основными
характерными признаками для определения понятия
изоморфизма является взаимно однозначное соответствие
между элементами и их отношениями двух систем
объектов или двух теорий. Изоморфизм структур
математических теорий означает сходное строение их сис-
1 Изоморфизм — сходство форм отражаемых предметов и
явлений.
47

тем понятий. Структура новой математической теории
в ее развитии не отвергает структуры старой
математической теории как нечто негодное, а включает в себя
как одно подчиненное, ограниченное и относительно
верное звено. При наложении определенных
ограничительных (предельных) условий структура новой теории
закономерно перейдет в структуру прежней теории.
Выведение одних, более сложных структур из других,
менее сложных в их интенсивном развитии
показывает рациональную связь между ними; в этом процессе
развития принцип соответствия упорядочивает
качественно различные математические теории в форме
последовательного включения (и подчинения) старых
теорий в новые. Он показывает изоморфное соответствие
между старой и новой математической теориями, то
есть тождество между этими математическими
теориями достигается с точностью до изоморфизма. Все
это показывает необходимость применения
соотношения элементов и структуры и изоморфизма для
анализа понятия соответствия, как одной из форм
диалектической связи между теориями. В рамках
марксистско-ленинской теории познания
раскрываются материалистическое содержание и сущность
принципа соответствия. Этот принцип является
выражением связи в развитии математических теорий, именно
он выступает как общая закономерность
поступательного движения от одной относительной истины к
другой, более глубокой.
48

В буржуазной литературе диалектический характер
развития математических теорий нередко отрицается.
Некоторые современные философы-идеалисты,
извращенно трактуя природу научных теорий и понятий, а
также абсолютизируя активность математического
мышления, отрывают математику от закономерностей
и связей материального мира. Так, доктор философии
и математики Э. Белл, говоря о возникновении новой
математической теории, о переходе математических
систем и исчислений от одного этапа к другому,
утверждает, будто «математик по своему желанию
изобретает постулаты, на которых он основывает свои
математические системы». Возводя произвольность и
субъективность в принцип построения научной теории,
современный австрийский физик и философ-идеалист
М. Шлик заявляет, что построение «всякой
дедуктивной науки означает просто игру символами». Но
именно принцип соответствия, как объективная
закономерность развития математического знания, опровергает
подобные измышления идеалистически настроенных
математиков. Не следует забывать, что действие
принципа соответствия обусловлено единством
математического мышления и объективной реальности.
Построение всякой новой математической теории не
произвольное, не условное соглашение между некоторыми
учеными, но является необходимым результатом
причинно обусловленного математического мышления,
результатом подчиненности окружающего нас объектив-
4—556
49

ного мира и математической теории одним и тем же
законам.
Принцип соответствия, как всеобщая
закономерность развития математических понятий и теорий, при
построении новой теории предъявляет вполне
определенные объективные требования, благодаря чему
каждый, кто создает научную теорию, не может по своему
желанию и произволу конструировать всякие
постулаты, на которых он будет воздвигать аксиоматические
системы. Он должен, по справедливому замечанию
профессора И. В. Кузнецова, «приспособить свои новые
теоретические построения не только к ранее известным
и вновь найденным фактам, но и к тому, что оставила
ему классическая теория, даже если новая теория
предстает перед нами как нечто совершенно
противоположное классической». Принцип соответствия
фактически означает, что выбор постулатов преследует
цели познания объективной необходимости, что
относительная свобода при построении математических
систем означает лишь познанную необходимость, что
переход от одной математической системы к другой
вполне закономерен и диалектичен.
Некоторые физики, стоящие на идеалистических
позициях, принцип соответствия рассматривают даже
как «мистический в основе, но приводящий во многих
случаях к правильным результатам». Между тем, как
мы уже говорили, правильная научная теория,
построенная с помощью принципа соответствия, и объектив-
50

ный мир подчинены одним и тем же законам, и
потому они не должны противоречить друг другу в своих
выводах. Переход от старой теории к новой и
соответствие результатов новой теории практике
продиктованы логикой развивающегося объективного мира.
Поэтому в принципе соответствия нет ничего
сверхъестественного, мистического и загадочного. Его действие и
гносеологическая функция объяснимы с точки зрения
диалектики объективной, абсолютной и относительной
истины. В конце этого раздела мы на этом вкратце
остановимся.
Что же явилось причиной суждений о
загадочности принципа соответствия в математике? Дело в том,
что этот принцип необъясним с точки зрения физико-
математической науки. В рамках этих наук он
остается непонятным. Именно поэтому Н. Бор, В. Гейзен-
берг и некоторые другие физики-теоретики не смогли
рациональным образом объяснить действие принципа
соответствия, вскрыть его методологическое значение.
Несмотря на это, вначале возникнув стихийно,
впоследствии он был широко и совершенно сознательно
применен в развитии физико-математических теорий,
что привело к фундаментальным результатам, хорошо
согласующимся с опытными данными. В дальнейшем
этот принцип был даже назван Нильсом Бором
«волшебной палочкой».
Обнаружение того факта, что развитие математики
подчиняется принципу соответствия, имеет важное
4*
51

значение для анализа соотношения объективной,
абсолютной и относительной истины в математике. Ленин
в своих «Философских тетрадях» неоднократно
подчеркивает, что объективная истина есть
конкретно-исторический процесс перехода от одного уровня к другому,
более глубокому. Формой выражения истины, как
процесса, служит историческая смена научных понятий
и теорий в их поступательном развитии. В процессе
смены менее общей, менее содержательной теории
более общими, более содержательными происходит
постоянное разрешение и возникновение противоречий
между старой формой и новым содержанием, теорией
и практикой. Смена менее общих понятий и теорий
более общими, включающими в качестве частного,
предельного случая предыдущие,— закономерный,
противоречивый и скачкообразный процесс. Именно в этом
процессе абсолютная истина складывается из частных,
относительных истин, процесс накопления зерен
абсолютной истины приобретает сложный, иерархический
и многопорядковый характер. Принцип соответствия
формулирует условия взаимосвязи и взаимоперехода
относительных истин друг в друга в их генетическом
развитии. В нем содержится та важная мысль, что в
относительном есть абсолютное, что между
относительной и абсолютной истиной нет непроходимой
пропасти. Противоречивое единство относительной и
абсолютной истин характеризует внутреннюю сущность
истины в современной математике. Только в их диалекти-
52-

ческой совокупности, в их взаимосвязи и
взаимопереходах реализуется объективная истина. Все это
совершается лишь в динамическом процессе, в интенсивном
развитии.
Принцип соответствия предполагает, с одной
стороны, качественное многообразие математических
теорий, описывающих многообразные количественные
отношения и пространственные формы действительности,
с другой — их единство, тождество и относительную
самостоятельность. Каждый уровень математического
познания имеет объективную ценность, и по мере
движения ко все более глубокой сущности и
закономерности функционирования и развития абстрактных
структур и отношений менее низкий уровень
последовательно включается в более высокий, но с тем условием,
что при наложении предельных условий последний
должен закономерно перейти к первому. Принцип
соответствия открывает математическому познанию
дорогу к абсолютной истине через установление частных,
относительных истин. Он несовместим с религиозно-
метафизическим представлением о «конечной истине в
последней инстанции», а также с неопозитивистским
представлением о произвольности, условности и
субъективности построения математических теорий. Он не
содержит ничего божественного, мистического.
Таким образом, важное значение принципа
соответствия в развитии математического знания состоит
и в том, что он дает возможность раскрыть познава-
53

тельные корни идеализма в математике и вести
аргументированную критику его теоретических основ.
Теоретической основой идеализма в математике как раз
и является субъективно-идеалистическая философия.
Трудность в объяснении новых опытных данных,
невозможность объяснения новых фактов в рамках
существующей теории или ошибочное истолкование
опытных данных служат теоретической основой
идеализма в современной науке. Философский же идеализм
есть, по образному выражению В. И. Ленина,
«чистейшая философия поповщины»1. Хотя по форме они
различны, но по содержанию и конечной цели одинаковы.
Характерной особенностью современного идеализма
является стремление примирить науку и религию.
Однако попытки эти обречены на провал. Марксистско-
ленинская философия категорически признает
единственность истины. Поскольку существует одна
действительность, постольку и ее отражение должно быть
единственным. Отражением объективной
действительности является объективная истина.
В противовес марксизму философы-идеалисты
пропагандируют ложную теорию двойственной истины
в целях примирения науки и религии. Например,
известный современный американский философ и физик
П. Бриджмен в книге «Размышления физика»
заявляет, что «имеются различные виды истины, такие, как
1 В. И. Л е н и н. Поли. собр. соч., т. 18, стр. 240.
54

теологическая (богословская.— А. Н.) истина и
научная истина».
Наука и религия не могут сосуществовать, они
несовместимы, диаметрально противоположны. Наука
является отражением свойств и закономерностей
окружающего нас мира, а религия основана на
фантастическом, искаженном представлении о
действительности. И если религия принижает роль человеческого
мышления и ослабляет его творческую деятельность,
то наука, в том числе и математическая, развивает
мыслительные способности человека, вооружает его
знаниями законов природы и общества, активизирует
его творческую деятельность.
В буржуазной научной литературе встречаются
ошибки и другого рода. Например, швейцарский
философ и математик Ф. Гонсет в статье «Действительность
и математическая истина» приходит к ложному
выводу, что «всякая математическая истина вечна и
неизменна». На самом же деле это не так. Как показывает
принцип соответствия, математические истины
развиваются, уточняются и обогащаются. Никакая
математическая теория не может охватить количественные
отношения и пространственные формы во всем их
многообразии. Она может постоянно приближаться к ним,
создавая все более и более общие теоретические
представления, содержащие предыдущие, менее общие.
В свете принципа соответствия математическая истина
является гибкой, бесконечной и закономерно развиваю-
55

щейся от одного уровня к другому, более глубокому.
При этом история математического познания не
является хаотической, механической сменой одних теорий
другими, а представляет собой единый, цельный,
последовательный и закономерный процесс
проникновения в более глубокую сущность и закономерность
количественных отношений и пространственных форм
объективного мира.
Принцип соответствия служит подтверждением
диалектико-материалистического понимания соотношения
объективной, абсолютной и относительной истины в
области развивающегося математического знания.
Следует подчеркнуть, что он не означает простого
расширения существующих понятий, но выражает развитие
позн&ния от сущности более низкого порядка к
сущности более высокого порядка, которое одновременно
приводит к качественному изменению как объема, так
и содержания старых понятий. Это и является
реализацией диалектико-материалистического учения об
истине в развитии современной математики.
Одностороннее метафизическое истолкование
данных математической науки используют в целях
«доказательства» бытия божия различные представители
современной религиозно-идеалистической философии,
под влияние которых нередко попадают буржуазные
ученые. Отрицая единство, взаимосвязь математики
и философии, они заявляют, что математики должны
заниматься своей математикой и незачем им касаться
56

философских проблем. Так рассуждает, например,
современный крупный французский математик А. Лебег.
Он пишет: «Математики должны направлять свои
размышления, так сказать, внутрь математики, где они
обладают высоким уровнем понимания, вместо того,
чтобы устанавливать связь между математикой и
философией». В заключении своей книги «Об измерении
величин» он повторяет: «На мой взгляд, математик,
поскольку он математик, не должен заботиться о
философии...». Это неверно. Даже если А. Лебег имеет в виду
лишь взаимоотношения математики с буржуазной
философией, то и в этом случае он не прав, так как
каждый честный ученый должен средствами своей науки
бороться против мракобесия и искажения истины, а
стало быть, должен неустанно опровергать те
положения и аргументы, на которых основывается
современная, буржуазная философия, опирающаяся на религию,
идеализм и метафизику. Позиция стороннего
наблюдателя истинному ученому не к лицу. Но заблуждения
А. Лебега глубже, чем это может показаться сначала.
Они проистекают из ложного представления, будто
«вопросы, которыми должен заниматься математик,
не имеют ни эстетического, ни общечеловеческого
интереса». По его мнению, математика занимается
изучением чисто абстрактных логических конструкций, не
имеющих ничего общего с действительностью. Если бы
дело обстояло так, то тогда «вопросы, которыми
должен заниматься математик», не имели бы ни эстетиче-
57

ского, ни общечеловеческого интереса. Но ведь на
самом-то деле все обстоит иначе. Математика
применяется при изучении законов движущейся материи,
исследуемые с помощью математики отношения и формы
встречаются и в естествознании, и в обществознании.
Знания же о них имеют огромный общечеловеческий,
теоретический и практический интерес. Между
математикой и философией нет никаких жестких граней;
они взаимно способствуют прогрессу друг друга.
Например, проблему обоснования математики никак
нельзя решить лишь средствами одной математики.
Это сложная философская проблема, и решается
она в рамках философии. Методология (философия) —
компас для ученого, без которого невозможен
никакой прогресс современного математического
познания. Все специфические закономерности математики
можно анализировать и правильно понимать, лишь
опираясь на знание законов и категорий
диалектического материализма. Поэтому совместные усилия
как математиков, так и философов-материалистов
позволяют научно решать сложные проблемы
обоснования современной математики, наметить в общих
чертах правильное -направление в области исследования
абстрактных структур и законов их функционирования
и развития. Содружество философии и математики
дает возможность понять смысл и значение новейших
открытий для прогресса, а также вести борьбу
против различных религиозно-идеалистических
псевдопостроений.

МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС
Характерной особенностью современного научного
познания является все большее возрастание роли и
значения математических методов не только в физике, но
и в других естественных и общественных науках. Роль
математики в современной жизни становится все
более важной. С помощью математических методов
ученые открывают и устанавливают совершенно новые
закономерности во многих областях современного
научного знания.
Что означает математизация научного знания?
Какие функции она выполняет?
Математизацией называется процесс
взаимодействия, взаимопроникновения и взаимосближения
абстрактных математических структур с другими
научными структурами в рамках определенных систем
понятий в их поступательном развитии. При этом
взаимодействие математической структуры с другими
научными структурами в конечном счете приводит к
59

качественному изменению как самой математической
структуры, так и других научных структур.
Появляются совершенно новые структуры на стыках наук. В
результате взаимодействия математической структуры
с другими (экономическими, биологическими,
лингвистическими, социологическими и т. д.) структурами
происходят одновременно синтез и расчленение.
Например, проникновение математической структуры в
физическую привело к возникновению математической
физики. В свою очередь последняя оказала
стимулирующее влияние как на математику, так и на физику.
Математика — язык современной физики.
Математизация — внутренняя потребность
развития нематематических наук. Поэтому математическая
структура имеет большую познавательную ценность,
позволяя устанавливать единство структур различных
наук. Все это дает возможность рассматривать
проблему математизации научного знания с особой стороны,
со стороны соотношения математической структуры с
другими научными структурами. С этой точки зрения
болгарский ученый Любомир Илиев в своей статье
«О проникновении математики в другие науки»
совершенно правильно рассматривает пути проникновения
математических методов в другие науки. Он
подчеркивает, что с помощью широкого употребления в них
математического аппарата, использования
математических результатов и методов в технических науках,
создания таких новых комплексных дисциплин, как
60

кибернетика, электронная вычислительная техника и
т. д., осуществляется интенсивное проникновение
математической структуры в другие науки. По образному
выражению К. Маркса, «наука только тогда достигнет
совершенства, когда ей удается пользоваться
математикой».
Для осуществления этого на первый план
выдвигаются новые области математического знания —
математическая логика, теория алгоритмов и автоматов,
общая теория алгебраических систем, теория структур,
вероятностные и статистические методы, теория игр
и т. д. С помощью этих развитых математических
аппаратов ученые открывают новые планеты, новые виды
движущейся материи «на кончике пера». Этот процесс
с точки зрения материализма, атеизма закономерен, а
с точки зрения религиозно-идеалистической концепции
произволен и сверхъестественен. На примере
математизации научного знания видна огромная сила и мощь
математики и математических методов в частности,
науки вообще и бессилие религиозной идеологии,
основанной на извращенном толковании явлений природы
и общества.
Особенностью современной математизации
физического знания является использование наиболее
развитых и абстрактных методов математики, таких,
например, как метод тензорного анализа, теории групп,
теории поля, неэвклидовой геометрии, функционального
анализа, теории вероятностей, теории абстрактно мате-
61

матических пространств й т. д. Способность
математики отражать закономерности как космического
масштаба, так и микромира (то есть мира элементарных
частиц) удивляла физиков всех времен.
Примером успешного применения математического
метода в развитии физического знания служит
эйнштейновская теория тяготения. Для ее создания он
использовал теорию так называемых искривленных
пространств. Выдающееся достижение нынешнего
столетия — квантовая механика — было построено Шре-
дингером и независимо от него Гейзенбергом в
известной степени с помощью математической интуиции. Все
это показывает ложность утверждения о
единственности, вечности и божественности классической
механики.
Современная физика необычайно быстрыми
темпами проникает во внутреннюю структуру элементарных
частиц. Последовательными этапами развития этой
отрасли знания являются молекулы, атомы,
электронные оболочки, атомные ядра, элементарные частицы и
гипотетические кварки. Согласно новой гипотезе о
кварках семейство элементарных частиц должно
составлять 198 частиц! Переход от корпускулярно-волно-
вого дуализма к омеге-минус — гиперону и от
последнего к гипотетическим кваркам осуществляется с
помощью математических методов. Электронный
микроскоп позволил с большой точностью и увеличением в
2 000 000 раз фотографировать расположение атомов в
62

структуре молекул. Все это показывает силу
экспериментальных и теоретических методов физического
мышления.
Рассмотрим метод математической гипотезы. Под
математической гипотезой понимается перенесение
эмпирического уравнения на новую предметную область.
Это перенесение осуществляется через изменения,
обобщения исходного уравнения путем введения в него
нового члена, отбрасывания старого или изменения
физического смысла какого-либо параметра. Следует
подчеркнуть, что вся эта процедура не носит
механического характера. Это творческий процесс, и
математическая гипотеза является формой развития физического
знания. Например, путем введения нелинейного члена
в уравнение Дирака о движении электрона, как мы
уже говорили, известному советскому физику Д. Д.
Иваненко удалось найти первое обобщенное уравнение
движения спинорной материи. Более точное уравнение
этого движения было найдено В. Гейзенбергом путем
сохранения нелинейного члена и отбрасывания члена с
массой электрона. Таких примеров можно привести
довольно много. Рассмотренный нами принцип
соответствия является регулятивным принципом
математической гипотезы. На примере применения математической
гипотезы хорошо видна сила математического
мышления в процессе развития физики.
По мере развития математизации научного знания
современная наука, становясь^ все более гибкой и под-
63

вижной, успешно проникает, с одной стороны, в
структуру элементарных частиц, с другой —в структуру
Вселенной, космической материи. Усиление
математизации знания связано с качественным изменением
роли самих математических методов в общей системе
научных методов. Математика с ее абстрактными
понятиями, теориями и методами проникает во все сферы
современного знания.
На различных ступенях развития познания
математизация знания проходила по-разному. Поворотным
пунктом в ней является возникновение переменной
величины и машинной математики. Именно в результате
математизации физического знания, являющейся
крупным успехом для всего естествознания, стало
возможным построение релятивистской и квантовой механики.
Как математизация физики, так и математизация
биологии, химии требует построения качественно
новых теорий по сравнению с классическими.
Современный математический аппарат, например биологии,
очень недостаточен для познания структуры сложных
биологических явлений.
В настоящее время большое распространение
получает математическое моделирование жизненных
процессов, которое состоит в воспроизведении и
отображении определенных свойств живого. Биологический
объект существенным образом отличается от
физического. Поэтому в современной биологии применяется
специфичный математический аппарат, так сказать,
64

математика живого. Сейчас на наших глазах
возникают и плодотворно применяются новые разделы
математики живого, например, теория информации, теория
самоорганизующихся систем, теория автоматического
регулирования, теория игр и т. д.
В наши дни трудно встретить такую область
человеческой деятельности, где бы в той или иной степени
не применялась математика. В военном деле и спорте,
в торговле и живописи, в поэзии и медицине, в
промышленности и сельском хозяйстве совершенно
невозможно обойтись без математики. С помощью
математики ученый-астроном подсчитывает расположение
(координату) неизвестной планеты, инженер
рассчитывает прочность, упругость и устойчивость созданных
технических конструкций, геодезист определяет
направление железной дороги через реки и горные
массивы и т. д.
Именно математические методы вместе с
физическими дали возможность ученым раскрыть секреты
мира атома, в результате чего были найдены пути его
мирного использования. Чудом двадцатого столетия
являются искусственный спутник Земли, выход
человека в космос и осуществление мягкой посадки
автоматической станции «Луна-9» на Луну. Эти громадные
события, имеющие большое атеистическое значение, не
могли бы произойти без современных электронных
вычислительных машин, высчитывающих с большой
точностью и скоростью орбиту полета. Именно математи-
5-556
65

ческая наука помогает расшифровать загадки древних
рукописей и точно предсказывать погоду на несколько
дней вперед.
О значении математики для медицины еще 8
декабря 1862 года известный русский медик ГГ. А.
Кропоткин в письме к брату писал: «Я говорил одному
доктору, что до тех пор медицина будет ощупью
бродить в потемках, пока не коснется ее математика».
Ныне сбывается мечта замечательного врача П. А.
Кропоткина. Электронные машины надежно ставят
диагноз. Сейчас изучается возможность применения
математических диагностических машин даже при
противоречивых признаках состояния здоровья пациентов.
Автоматизированы многие процессы хирургической
операции с помощью этих машин.
Крупный советский математик, лауреат Ленинской
премии академик Андрей Николаевич Колмогоров
исследовал в поэзии проблему взаимоотношения запаса
слов с рифмой. В результате было найдено, какое
количество слов дает возможность получить те или иные
сочетания рифм. На основании этого исследования
была создана математическая теория стиха. Так точная
наука математика становится помощницей в изучении
поэтического творчества.
Раскрытие механизмов наследственности — очень
важная проблема современной биологической науки.
Она также решается в значительной степени благодаря
применению математики и кибернетики. Решение этой
66

проблемы позволит человеку управлять
наследственными процессами и на этой основе создавать новые виды
растений и животных с наперед заданными и
нужными людям свойствами.
Математика большую роль играет в познании
экономических явлений. Например, известные советские
математики Л. В. Канторович, А. Я. Хинчин и их
ученики с помощью динамического программирования,
исследования операций и т. д. решают задачи
наивыгоднейшего планирования, экономного раскроя
материала, рационализации перевозок, организации и
планирования производства и строительных работ. Все это
показывает силу математической абстракции.
Тем не менее многие философы-идеалисты
утверждают, что никакое предложение любой математической
теории не доказывает ничего относительно явлений,
имеющих место в действительности (например,
шведский математик Г. Крамер, английский философ
А. Айер, австрийский философ и логик Л. Витгенштейн
и др.). Группа французских математиков,
выступающая под псевдонимом Н. Бурбаки, считает, что
взаимосвязь математики с другими науками носит случайный,
скрытый характер. Философы-идеалисты принижают
или преувеличивают роль математики в жизни,
зачастую пытаются использовать данные математики для
обоснования религиозных догм. Так, Ф. Франк в своей
книге «Истина — относительна или абсолютна»
вопреки очевидности утверждает, будто каждый шаг в про-
5*
67

грессе науки означает шаг в познании того, как «бог
управляет миром». В действительности же каждый
шаг научного прогресса с несомненностью доказывает
только то, что мир развивается по своим собственным
законам и совершенно не нуждается ни в каком
сверхъестественном «творце и управителе».
Неправильное понимание математизации
физического знания и его относительности послужило
причиной возникновения «физического» идеализма.
«Материя исчезла — остались одни уравнения»,— заявляют
идеалисты. На самом же деле, как показал Ленин,
математизация физического знания еще раз
доказала жизненность диалектического мышления.
Развитие математики усиливает взаимосвязь и
единство сильно расчлененного современного научного
знания, обогащает и углубляет формы отражения
действительности. Математизация научного знания
содействует правильному пониманию природы и общества,
ускорению научно-технического прогресса. Математика
внутренне связана с физической реальностью. С
изменением объекта исследования физической реальности
изменяется и соответствующая математика. Например,
геометрия классической механики совершенно
отличается от геометрии релятивистской механики. Тем не
менее как между этими геометриями, так и между
классической и релятивистской механиками
существуют связь и взаимный переход в форме принципа
соответствия. Кроме того, для построения современной об-
68

щей физической теории в частности, современной
естественнонаучной теории вообще, переходящей в
пределе в исходную, понадобится и будет создан
совершенно новый математический аппарат, переходящий в
пределе в исходный. И математика имеет большое
значение для возникновения и формирования новой
физической теории, так как служит средством, рабочим
инструментом ученого, создающего новую научную
теорию.
По мере дальнейшей математизации наук будет
осуществляться все большее совершенствование
современного научного знания, создаваться более полное
отражение диалектического единства количества и
качества в понятиях. Расширение же границы
человеческого познания неизбежно приведет к устранению
ложных представлений о природе и обществе.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРЕДВИДЕНИЕ
И РЕЛИГИОЗНЫЕ ПРОРОЧЕСТВА
Диалектический материализм считает, что все
предметы и явления объективного мира постоянно
находятся во взаимной и тесной связи, взаимной
обусловленности друг с другом.
Некоторые из этих связей приобретают
повторяющийся и устойчивый характер. Формой выражения
таких связей являются законы естественных и
общественных наук. Следует отметить, что повторяемость
тоже имеет относительный характер. Если бы в процессе
развития мира происходила абсолютная, полная
повторяемость, то она приводила бы к одним и тем же
результатам и всякое движение вперед не существовало
бы. Повторяется лишь общее и существенное, в чем
выражается самая глубокая сущность предметов и
явлений. По меткому замечанию В. И. Ленина, закон есть
остающееся, прочное в явлении.
Предвидение возможно лишь на основе познания
законов развития природы и общества. Возможность
70

предвидения будущего имеет большое теоретическое и
практическое значение. Так, изучив законы развития
общества, основоположники марксизма сумели не
только предвидеть, что на смену капитализму придет
социализм, но и указали, что именно пролетариат явится
силой, способной построить новое общество, свободное
от эксплуатации человека человеком. Это научное
предвидение блестяще подтвердилось в октябре 1917 года в
нашей стране.
Знание законов развития природы дает
возможность ученым делать удивительные открытия. Наука
знает сотни примеров такого рода.
Взять хотя бы астрономию. В 1771 году английский
астроном В. Гершель открыл планету Уран, ни разу не
видев ее. Но он знал законы всемирного тяготения,
массу Солнца и всех известных планет, и это помогло ему
вычислить и определить орбиту движения неизвестной
дотоле планеты. В 1783 году петербургский академик
астроном А. Лексель на основе сложных
математических вычислений и формул установил факт отклонения
орбиты планеты Уран. Он пришел к выводу, что эти
отклонения обусловлены притяжением какого-то
неведомого небесного тела, расположенного далеко за
орбитой Урана, то есть еще дальше от Солнца. Начиная с
этого момента астрономы стали с помощью приборов
искать эту планету. И нашли. Сначала независимо друг
от друга французский астроном Леверье и английский
астроном Адаме вычислили ее точное расположение,
71

массу, объем и орбиту. А несколько позже, 23 сентября
1846 года, берлинский астроном И. Галле увидел в
телескоп эту планету и назвал ее Нептуном. Таким же
путем была открыта в 1930 году планета Плутон.
Современная астрономическая наука рассчитывает на
сотни лет вперед время солнечных и лунных затмений
с точностью до часа. Например, установлено, что
следующее полное затмение Солнца в Москве будет видно
16 октября 2126 года около 11 часов дня.
Замечательным примером научного предвидения в
области химической науки служит открытие
периодического закона в 1869 году великим русским ученым
Д. И. Менделеевым. Ф. Энгельс это открытие считал
научным подвигом. До 1860 года химикам были
известны лишь 63 элемента. Нахождение строгой научной
систематики всех известных и неизвестных химических
элементов было чрезвычайно сложным делом. Но
Д. И. Менделеев оказался мастером научного
предвидения. В результате творческого поиска и длительного
исследования Д. И. Менделееву удалось открыть
известный ныне всякому школьнику периодический закон.
Согласно этому закону свойства элементов находятся
в периодической зависимости от величины их атомного
веса. Опираясь на эту важную характеристику,
Д. И. Менделеев расположил все известные ему
химические элементы по возрастающему атомному весу. При
этом некоторые клетки в таблице оказались пустыми—
их должны были занять названия элементов, в то вре-
72

мя еще не открытых (четырех), но предсказанных
великим русским химиком еще в 1869 году.
Правильность открытого Менделеевым закона
подтвердилась серией последующих открытий. Так, в 1875
году французский ученый Лекок де Буабодран
спектральным методом нашел новый элемент, который он
назвал галлием. Однако француз ошибся в
определении атомного веса нового элемента. Д. И. Менделеев
указал своему коллеге на ошибку. И, произведя
вычисления заново, французский ученый убедился в правоте
Д. И. Менделеева. В 1880 году был найден второй
элемент — скандий. Затем в 1886 году немецкий химик
К. Винклер открыл третий элемент — германий.
Процесс заполнения клеток таблицы Д. И. Менделеева
шел особенно стремительно в последние три
десятилетия нашего века. Чтобы убедиться в этом, достаточно
посмотреть на таблицу элементов, которой
пользовались, положим, в 1935 году, и сравнить ее с таблицей,
по которой изучают периодический закон нынешние
школьники.
Так блестяще подтвердилась точность научного
предвидения великого русского ученого.
Сходным путем развивается научное предвидение в
области физических явлений. Многие элементарные
частицы были предсказаны чисто математическим
путем. Например, задолго до экспериментального
подтверждения известный французский физик-теоретик
Поль Дирак, изучая закономерности движения элек-
73

трона, в 1928 году предсказал существование частицы,
равной по массе электрону, но противоположной ему по
заряду. Частица эта — позитрон — была открыта
экспериментальным путем в 1932 году. Существование
другой частицы, равной по массе электрону, но не
имеющей никакого электрического заряда, в 1933 году
было предсказано итальянским физиком Э. Ферми.
Несколько лет назад в опытах на ядерных реакторах эта
частица была экспериментально открыта и названа
нейтрино (то есть маленькая нейтральная, нейтрончик).
Нейтрон, антипротон, антинейтрон были также
сначала предсказаны теоретически, а потом открыты с
помощью эксперимента. Известный физик Максвелл на
основе решения дифференциальных уравнений
установил существование электромагнитных волн.
Теоретически предсказанная частица омега-минус недавно была
открыта экспериментально. Физики-теоретики путем
вычислений установили, что падающий свет должен
оказывать давление на тело. А крупный русский физик
П. Н. Лебедев подтвердил это предвидение опытным
путем. Значение этого открытия чрезвычайно велико.
Известный русский математик-революционер
Н. И. Лобачевский доказал существование многих
геометрий, отличных от эвклидовой геометрии. Крупный
математик Гаусс предвидел существование
комплексных чисел. Таких примеров очень много как в самой
математике, так и в других науках. Все они с
очевидностью доказывают одно — величие и мощь человече-
74

ского разума, неисчерпаемость его возможностей в
познании природы. Знание действительных законов
природы дает человеку средства для изменения облика
Земли, для проникновения в космос.
Детски наивными в свете научных знаний
представляются религиозные измышления о происхождении
мира и жизни на Земле. Чего стоят, например,
утверждения Библии и Корана о том, что бог сотворил небо
и землю, весь животный и растительный мир в течение
шести дней. Каждый школьник нынче знает, что
растения не могут существовать без солнечного света. В
Библии же говорится, что Солнце было создано богом
позже, чем растения (см. Библию, кн. Бытие, гл. 1, ст. 11 —
18). На протяжении веков религия насильственно
поддерживала ложное представление о том, что Земля
плоская и неподвижная. Джордано Бруно был
церковью на костре, Коперник и Галилей подверглись
жестоким преследованиям за несогласие с
религиозным взглядом на мироздание. «А все-таки она
вертится!» — сказал Галилей, претерпев все наказания,
примененные к нему защитниками церкви.
И все-таки наука победила. Преодолевая яростное
сопротивление религии, она неуклонно продвигалась
вперед. И знаком ее могущества, неопровержимости ее
доводов служит нынче то, что церковь вынуждена
приспосабливаться, прилаживаться к науке, уверять,
будто религия никогда не была враждебной науке,
лицемерно заверять, что религия и наука служат одной
75

цели. Но что бы ни говорили проповедники «слова
божьего», «нет ничего более противоположного,— как
говорит крупный советский математик академик
С. Л. Соболев,— чем точная и ясная математическая
мысль и религиозные предрассудки». И не только
математическая мысль, добавим мы. Любая истинная
наука, основанная на точном знании законов развития
природы и общества, каждым своим открытием,
каждым своим шагом вперед наносит удар за ударом по
религии, разоблачает лживость, ненаучность
религиозных легенд и пророчеств.
Вера в религиозные пророчества, представляющие
собой пережитки прошлого в сознании некоторых
людей, совершенно нетипична для нашей советской
действительности.
Однако в капиталистическом мире, где трудящиеся
жестоко эксплуатируются, где рабочие и крестьяне
живут под постоянной угрозой безработицы и голодной
смерти, где империалисты посредством гонки
вооружений и раздувания военного психоза лишают людей
надежды на будущее, пышным цветом распускаются
религиозные предрассудки. На этой почве получают
возможность благоденствовать всевозможные гадатели
и предсказатели, обогащающиеся за счет легковерия
замученных постоянными тревогами людей.
Так, в настоящее время в США имеется около
30 000 предсказателей. Американцы расходуют на них
около 125 000 000 долларов в год. С помощью этих
76

«предсказателей» американцам внушают, будто «небо»
является свидетелем неизбежности третьей мировой
войны и т. д.1
Важнейшим вопросом современной эпохи является
вопрос о войне и мире. Буржуазные социологи
пытаются на основе математики убедить людей в
неизбежности новой уничтожительнои войны. Так, американский
социолог Р. П. Кэттел в журнале «Обзор науки» за
1955 год в статье «Формула предсказывает войну»
пишет: «Россия склонна к войне сейчас, либо будет
склонна к войне в ближайшем будущем». Для
«доказательства» он сочинил формулу:
Р = OfiOFl + 0,19f 2 + 0,06^3,
где Р — возможность войны, F1 — культурное
давление, F2 — трудолюбие и способность вести войну, ^3 —
зрелость культуры. Далее Кэттел пишет: «Россия
относительно поздно вступает на путь индустриализации...
Мы можем ожидать, что у нее возникнет большая
необходимость в агрессии против других стран и
появится более настойчивое требование политической
экспансии, чем это характерно для большинства других
стран»2.
1 Об этом подробно рассказано в книге Г. А. Гурева
«Научные предвидения и религиозные предрассудки». М., 1958.
2 Критике современной американской социологии посвящена
интересная работа советского ученого Э. В. Кальметьева
«Фетишизация числа» (М., 1962).
6—556
77

Ложность измышлений ученого слуги
империализма очевидна. Хорошо известно, что наше
социалистическое государство постоянно защищает мир во всем
мире. Это генеральная линия внешней политики нашего
государства на протяжении всей истории его развития.
Советское государство с первого дня своего
существования выступает за мир, за мирное решение
международных проблем. Наглядным подтверждением
миролюбивой политики нашей страны являются
недавно состоявшиеся в Ташкенте мирные переговоры глав
правительств Индии и Пакистана. Всем известно, что
эти переговоры состоялись по инициативе Советского
Союза, что положительные результаты их были
достигнуты благодаря активному содействию нашего
правительства.
Мы не будем перечислять здесь все документы и
факты, неопровержимо свидетельствующие о политике
нашего государства, неизменно направленной на
достижение мира во всем мире, на предотвращение войн.
Они хорошо известны всем, кто читает газеты, слушает
радио. Только подчеркнем: как же велика ненависть
империалистов к коммунистическому миру, как велико
их стремление развязать войну, чтобы уничтожить
ненавистный им коммунизм, если они используют в
качестве льстивой служанки науку, чтобы подтасовать
факты, ввести в заблуждение свой народ. Но как бы ни
изощрялись лжеученые слуги империализма, им не
опровергнуть правду, не повернуть вспять историю.
78

А чего стоят подобные мнимонаучные фокусы, мы
уже знаем. Широко известен факт, что у бесноватого
фюрера Гитлера имелся штатный предсказатель,
который, боясь физической расправы, лживо предрекал
Гитлеру победу. Чем закончилась авантюра
фашистского главаря, известно каждому. Такова цена
«пророчествам», основанным на искажении науки.
Математическая наука разоблачает суеверия,
основанные на религии. Возьмем, к примеру, известное
поверье о так называемых падающих звездах. Верующие
люди считают, что, когда с неба падает звезда, в это
время на земле будто умирает человек и душа его
возносится к богу. Простое математическое вычисление и
современная наука опровергают это суеверие. Что
представляют собой «падающие звезды»? Это мелкие
метеоры, которые влетают из космического пространства
в земную атмосферу и сгорают в ней. По современным
данным, ежесекундно в воздушную оболочку Земли
вторгается в среднем 600 заметных невооруженным
глазом метеоров. Следовательно, за год общее число их
составляет около 19 миллиардов. Население же нашей
планеты насчитывает всего около 3 миллиардов
человек. Представьте себе, что было бы, если эта
религиозная сказка о «падающих звездах» оказалась верной:
каждый из нас должен был бы ежегодно умирать не
менее шести раз! Так же выглядят при проверке
наукой и другие религиозные «пророчества». Кто из
верующих людей не слышал о «конце света»? Ведь
6*
79

проповедники религии для устрашения своей «паствы»
назначали «конец света» много раз в прошлые века и в
нашем, двадцатом веке. Но их предсказания не
осуществились. И не осуществятся по той простой причине,
что нет у мира начала, не будет у него и конца, потому
что Вселенная вечна. А всевозможные «пророчества» —
не более чем лживые измышления, необходимые
эксплуататорам для подчинения и одурманивания
трудящихся.
Научное предвидение же жизненно и конкретно,
так как оно основано на диалектическом
материализме, на знании объективных законов развития природы
и общества. На основе научных предвидений как в
области естествознания, так и в области общественных
наук становится реально возможным ускорение темпов
общественного прогресса вообще, научно-технического
прогресса в частности. Роль научного предвидения в
период развернутого строительства коммунизма все
более возрастает.

БОРЬБА ПЕРЕДОВЫХ УЧЕНЫХ-МАТЕМАТИКОВ
ПРОТИВ МИСТИКИ И РЕЛИГИИ
С момента возникновения математической науки
церковники и идеалисты вели упорное преследование
передовых ее представителей. Еще в начале V века
служители Христа зверски расправились с первой
талантливой женщиной-математиком Гипатией из
Александрии. Философ, астроном и геометр Гипатия,
человек огромной эрудиции, была убита, потому что ее
научные труды подрывали веру в сверхъестественное.
Но жертва ее не напрасна. Память о ней сохранили
благодарные потомки 1. Поэт Петр Флор посвятил ей
свои стихи:
Когда я смотрю на тебя, я обожаю науки,
Я поклоняюсь им, созерцая жилище звездной девы,
Ибо на небе твои дела, блаженная Гипатия,
Светлая звезда мудрого учения.
1 Подробнее смотрите интересную работу Е. М. Чистяковой
«Математика и религия». Краснодарское книжное изд-во, 19£2,
стр. 20—21.
81

В разоблачении ислама большую роль сыграл
известный таджикский математик и поэт XI века Омар
Хайям. Он решительным образом осудил идеологию
ислама. Омар Хайям писал, что мусульманство, как и
любая другая форма религии, тормозит развитие науки
и прогресса. За атеистические взгляды Омар Хайям
подвергался гонениям со стороны служителей ислама.
«Мы были свидетелями гибели ученых, от которых
осталась малочисленная, но многострадальная кучка
людей,— писал он.— Суровости судьбы в эти времена
препятствуют им отдаться совершенствованию и
углублению своей науки. Большая часть из тех, что в
настоящее время имеет вид ученых, одевает истину ложью, не
выходя в науке за пределы подделки и лицемерия, и
используют то количество знания, которым они
обладают, только для низменных плотских целей. И если
они встречают человека, отличающегося тем, что он
ищет истину и любит правду, старается отвергнуть
ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и
обмана, они делают его предметом своего презрения и
насмешек».
Омар Хайям, как поэт, математик и астроном,
признавал объективность, бесконечность Вселенной и
вечность окружающего мира.
В мрачные годы господства средневековой
схоластики Омар Хайям вел борьбу против религиозных
предрассудков, отвергал учение о бессмертии души,
загробной жизни и т. д. Он разоблачал ложные догматы
82

Корана о сотворении мира богом и о зависимости
людей от воли бога.
Омар Хайям — великий ученый-математик* Он
впервые дал научное определение предмета алгебры,
написал труд по теории параллельных линий, нашел
способы решения алгебраических уравнений третьей
степени, применил алгебраические методы в
исследовании геометрии.
Другим крупнейшим среднеазиатским критиком
ортодоксального ислама был таджикский математик,
астроном, химик и врач Абу-Али-Ибн-Сина, известный
также под именем Авиценна. Велико научное значение
его комментария и дополнения к «Началам» Эвклида
и работы «Даниш-намэ» («Книга знания»). Ибн-Сина,
распространяя философское и научное наследие
античного мыслителя Аристотеля среди арабов, а через них—
в европейских странах, резко выступал против
высказываний мусульманских богословов о божественном
управлении Вселенной. Не бог создал человека и
управляет им, а человек создал бога. Так говорил
Авиценна. Он считал мир вечным, материю несотворимой.
Выступая против догм Корана, он требовал
невмешательства религии в науку. В своих сатирических
стихотворениях великий ученый и поэт Востока так
характеризует богословов:
Ослейшего спроси — он скажет: «Я велик!»
А если у кого ослиных нет ушей,
Тот для ословства — явный еретик.
83

В борьбе против религиозного мировоззрения
важную роль сыграли передовые прогрессивные русские
математики Л. Эйлер, А. А. Марков, Н. И.
Лобачевский, Т. Ф. Осиповский, М. В. Остроградский,
И. М. Первушин, П. Л. Чебышев и другие.
Академик Леонард Эйлер (1707—1783 гг.) был
замечательным математиком и механиком. В возрасте 26
лет он занял пост академика Петербургской академии
и в течение 31 года неустанно трудился, развивая
математическую науку. Перу Эйлера принадлежит 886
работ. Крупный французский математик и механик
конца XVIII и начала XIX века Лаплас писал:
«Читайте, читайте Эйлера, он учитель для нас всех».
Работы Л. Эйлера имеют большое атеистическое значение.
Николай Иванович Лобачевский (1792—1856 гг.)
принадлежит к числу выдающихся русских
мыслителей-материалистов. Он боролся против мистики и
идеализма. Именно материалистическое миропонимание
помогло ему создать новую неэвклидову геометрию.
Исходным пунктом его теории служит объективный
мир. Открыв новое геометрическое учение о
пространстве, он опроверг религиозно-идеалистическую
трактовку пространства. Он утверждал, что «все
математические начала, которые стремятся вывести из самого
разума, независимо от вещей мира, остаются
бесполезными для математики». В своей работе «О важнейших
предметах воспитания» Лобачевский подчеркивал
важную роль математики в формировании материалисти-
84

ческого мировозрения у юношества. Не случайно
проблема воспитания так интересовала ученого. Еще
будучи студентом, он испытал на себе, как уродуют
молодежь обучение ц воспитание, основанные на
религии.
Попечитель Казанского учебного округа мистик
Магницкий требовал, чтобы занятия со студентами
велись на основе религиозных книг. Под давлением
Магницкого один из профессоров математики давал такое
определение гипотенузы: «Гипотенуза в
прямоугольном треугольнике есть символ сретения (встречи.—
А. Н.) правды и мира, правосудия и любви, через
ходатая бога и человека, соединившего горнее с дольнем,
небесное с земным». Способный юноша Лобачевский не
признавал за религией права вмешиваться в развитие
научной мысли, поэтому педагоги, следовавшие
указаниям своего богобоязненного начальства, отзывались о
Лобачевском, как о человеке, который «в значительной
степени явил признаки безбожия». Став ученым,
Лобачевский продолжал выступать против религии. Он
развил свою теорию о параллельных линиях.
Геометрическое учение Лобачевского не укладывалось в рамки
эвклидовой геометрии и подрывало основу религиозной
идеалистической концепции миропонимания. Мистики
Магницкий, Уваров, Карнеев и другие объявили его
учение ересью, а самого Лобачевского—сумасшедшим.
При его жизни неэвклидова геометрия не получила
всеобщего признания.
85

После положительного отзыва крупного немецкого
математика Гаусса все математики мира взялись за
работу Лобачевского. Вышли ее переводы на
европейские языки. Дальнейшим развитием идей
Лобачевского занимались многие математики (советские
математики — покойный В. Ф. Каган, П. С. Александров,
А. П. Норден, Н. В. Ефимов, А. Д. Александров и
другие, итальянский математик Бельтрами, немецкие
математики Клейн, Риман, Гильберт, французский
математик Пуанкаре).
Геометрия Лобачевского значительно облегчила
создание теории относительности А. Эйнштейном.
Выдающимся русским математиком-атеистом был
и Тимофей Федорович Осиповский (1765—1832 гг.). Он
смело выступил против мистика Карла Эккартгаузена.
По глубокому убеждению Т. Ф. Осиповского,
математика не имеет ничего общего с религией. Являясь
атеистом, он был уверен в возможности
материалистического объяснения всех явлений природы. Профессор
философии, идеалист по взглядам, Дудрович писал:
«Он (Осиповский.— А. Н.) при публичном испытании
студентов из философии, бывшем в июне месяце сего
1820 года, в присутствии профессора протоиерея
Афанасия Могилевского, адъюнктов Куницкого и Робуша
и многих посторонних посетителей, из злобы против
внушаемого мною юношеству благочестия, не
устыдился громко утверждать: что бог не живет». Церковники
яро ненавидели Осиповского и прилагали немало уси-
86

лий, чтобы отстранить его от работы. Но труды
Т. Ф. Осиповского не пропали даром.
Его ученик, ставший крупным математиком,
Михаил Васильевич Остроградский писал: «Я был
полным материалистом и атеистом, признал только то,
что можно осязать, вымерять, свесить». Академик
М. В. Остроградский считал, что наука по своей
природе противоположна религии. «Следует верить лишь в
доказанные вещи,— писал он.— Но мы не можем
доказать существование высшего существа, таким
образом, мы не можем верить в бога».
Выдающийся русский математик-материалист,
академик Андрей Андреевич Марков (1856—1922 гг.) в
труде «Исчисление вероятностей» выступил против
профессора П. А. Некрасова, ярого приверженца
религиозно-идеалистического использования теории
вероятностей в процессе преподавания математики. В 1912
году А. А. Марков послал в Святейший синод (высший
орган управления православной церковью) заявление,
в котором он написал следующее: «Честь имею
покорнейше просить Святейший синод об отлучении меня от
церкви. Надеюсь, что достаточным основанием для
отлучения может служить ссылка на мою книгу
«Исчисление вероятностей», где ясно выражено мое
отрицательное отношение к сказаниям, лежащим в основании
«еврейской и христианской религии». Надо было
обладать не только честностью, но и большой
смелостью, чтобы в период разгула реакции открыто отверг-
87

нуть религию и церковь, принадлежность к которой
в царской России считалась признаком политической
благонадежности и верноподданических чувств.
Непримиримую борьбу против мистики и религии в
математической науке вели и такие русские
математики, как В. А. Стеклов, В. Я. Буняковский, С. В.
Ковалевская, А. Н. Крылов, Б. К, Модзалевский.
В октябре 1917 года свершилась пролетарская
революция. Одним из ее завоеваний явилось отделение
церкви от государства и школы от церкви. Служители
культа потеряли право преследовать людей за неверие
в бога. Но и в наши дни есть еще немало людей,
считающих бога творцом всего сущего и властелином
жизни и смерти. Религиозность некоторых граждан нашей
страны является пережитком прошлого в их сознании.
Именно поэтому так важно участие ученых в научно-
атеистической пропаганде. Советские математики
средствами своей науки неустанно разоблачают ложные
положения христианской и других религий. Среди
активных пропагандистов научно-атеистического
мировоззрения и такие крупные математики, как А. Н.
Колмогоров, А. Д. Александров, П. С. Александров,
С. Л. Соболев, П. С. Новиков, Л. С. Понтрягин. Они
основательно опровергают доводы буржуазных
философов-идеалистов, безуспешно пытающихся доказать,
будто корни математической науки находятся не в
мире реальных вещей, а лишь в мышлении, что не законы
предметной действительности находят отражение в ма-
88

тематических понятиях и теориях, а наоборот, будто
математика приписывает свои законы внешнему миру.
Диалектика, единственно возможная методология
истинно научного познания, показывает
несостоятельность подобных идеалистических измышлений и
неопровержимо доказывает объективный характер
математики. Предметом математической науки являются
реальные количественные отношения и
пространственные формы объективной действительности, а также на
их основе возникающие наиболее высокие уровни
абстракции. Словом, математика изучает закономерности
абстрактных структур, количественных отношений и
пространственных форм.
С помощью математики ученые совершают
чудесные открытия, подрывающие основы религиозного
мировоззрения. Поэтому не случайно на протяжении всей
истории богословы противодействовали развитию
математики. Но тщетны их старания. Каждый день мы
получаем вести о победном шествии науки. Опираясь на
науку, советские люди пролагают путь в космическое
пространство, опираясь на науку, мы строим в нашей
стране коммунистическое общество.

РЕКОМЕНДУЕМ ПРОЧИТАТЬ
Антонова О. Четвертое измерение. М., 1965.
Горбачев Н. Мистика вместо истины. «Наука и жизнь»,
1961, № 1.
Д е п м а н И. Рассказы о математике. М., 1959.
Курсанов Г. А. Бесконечность и вечность Вселенной.
М., 1961.
Пясковский Б. Математика против религиозных
предрассудков. «Наука и религия», 1960, № 5.
Чистяков Б. Математики и астрономы против религии.
Минск, 1961.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Я собираюсь рассказать вам 3
Что и как изучает математика 6
О числах реальных и «божественных» 18
Четвертое геометрическое измерение и «доказательство»
существования бога 29
О принципе соответствия в математике . . . .37
Математика вокруг нас 59
Математическое предвидение и религиозные пророчества . . 70
Борьба передовых ученых-математиков против мистики и
религии 81
Рекомендуем прочитать 90

Нысанбаев А.
Математика и религия. Алма-Ата, «Казахстан», 1966.
Абдумалик Нысанбаев
МАТЕМАТИКА И РЕЛИГИЯ
Редактор В. Яковлева. Техн. редактор М. Злобин.
Худож. ред. В. Ткаченко. Обложка художника А. Островского.
Корректор Г. Голубева.
Сдано в набор 3/III-1966 г. Подписано к печати 24/V 1966 г.
Формат 70X108V32—2,875 = 4,025 п. л. (3,3 уч.-изд. л.).
УГ03325. Тираж 9400. Цена 10 коп.
Издательство «Казахстан», г. Алма-Ата, ул. Кирова, 122.
Заказ № 556. Полиграфкомбинат Главполиграфпрома Госкомитета
Совета Министров Казахской ССР но печати, г. Алма-Ата, ул. Пастера, 39