/
Text
А.Н. Колмогоров
А.Ф. Семенович
Р.С. Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
■ ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
а + Ь= Ь + а (переместительный закон)
О + (ь + с) = (а + Ь) 4- С (сочетательный закон)
ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
(ху)а = х(усГ) (сочетательный занон)
хач-уа = (х+у)а (первый распределительный закон)
ха + хЬ=х(сз+Ь) (второй распределительный закон)
Оа = хО = О
А. Н. Колмогоров,
А. Ф. Семенович,
Р. С. Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ
КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Под редакцией
А. Н. КОЛМОГОРОВА
Допущено
Министерством просвещения СССР
Издание 3-е, доработанное
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1981
22. 151 я 72
К 60
Переработка учебного пособия
выполнена с участием А. М. Абрамова.
60601—176
103(03)—81
инф. письмо 4306020400
© Издательство «Просветление», 1Г>7П г.
© Издательство «Просвещение», 1981 г., с изменениями.
ОГЛАВЛЕНИЕ
6 класс
ГЛАВА I. НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
1. Что такое геометрическая фигура? 8
2. Основные понятия, принимаемые без определений 12
3. Величины и числа 13
4. Основные свойства расстояний . 14
5. Взаимное расположение трех точек на прямой.
Неравенство треугольника 18
6. Отрезок и луч 20
7. Координаты на прямой 23
8. Ломаная 26
9. Плоскость. Планиметрия 23
10. Область 33
11. Многоугольник 37
12. Полуплоскость. Угол 40
13. Взаимное расположение двух окружностей ... 44
14 ▼.Из истории геометрии 47
Дополнительные задачи к главе I ....... 50
ГЛАВА II. КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
§ 1. Конгруэнтность
15. Отображения фигур 54
16. Отображения, сохраняющие расстояния .... 59
17. Конгруэнтные фигуры . 63
18. Измерение углов 66
§ 2. Перемещения
19. Поворот 70
20. Центральная симметрия . • 75
3
21. Осевая симметрия 78
22. Построение треугольников 83
§ 3. Симметрия фигур
23. Оси симметрии окружности 89
24. Оси симметрии отрезка 91
25. Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника 94
26. Расстояние от точки до прямой. Свойство биссект¬
рисы угла 97
27 Симметричные фигуры 101
§ 4. Окружность
28. Угловая величина дуги окружности 105
29. Взаимное расположение прямой и окружности . . 107
30. Задачи на построение 110
Дополнительные задачи к главе II 114
7 класс
ГЛАВА III. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
§ 1. Параллельные прямые
31. Параллельность прямых и центральная симметрия 119
32. Аксиома параллельных 121
33 ▼. Неевклидова геометрия. Геометрия и физика 124
§ 2. Параллельный перенос
34. Отношение эквивалентности 127
35. Направления 129
36. Параллельный перенос 132
37. Углы между направлениями ... 137
38. Сумма углов многоугольника . . 139
Дополнительные задачи к главе III 142
ГЛАВА IV. МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники
39. Элементы, определяющие треугольник 146
40. Соотношения между сторонами и углами треуголь¬
ника 150
§ 2. Четырехугольники
41. Параллелограмм 153
42. Условие и заключение теоремы 156
43. Прямоугольник ... .... 162
44. Ромб 165
45. Квадрат . . .
46. Теорема Фалеса
47. Трапеция . . .
167
169
171
§ 3. Площади многоугольников
48. Общие сведения о площадях фигур 174
49. Площадь параллелограмма .... ... 178
50. Площадь треугольника 180
51. Площадь трапеции .... 183
52. Площадь многоугольника ... ... 184
Дополнительные задачи к главе IV 185
ГЛАВА V. ВЕКТОРЫ
53. Композиция перемещений . 191
54 ▼. Общий способ задания перемещений . . . 196
55. Что такое вектор? 197
56. Векторы и способы их задания 199
57. Противоположный вектор. Сумма векторов . . . 202
58. Законы сложения векторов. Вычитание векторов . 204
59. Умножение вектора на число 208
60. Законы умножения вектора на число 210
61. Координаты вектора . 213
Дополнительные задачи к главе V 217
ГЛАВА VI. ПОДОБИЕ
§ 1. Подобие и гомотетия
62. Подобные фигуры .... 219
63. Гомотетия ... .... 223
64. Свойства гомотетии .... . . 228
65. Пропорциональные отрезки . . .... 231
66 ▼. Преобразования подобия . . .... 234
§ 2. Подобные многоугольники
67. Признаки подобия треугольников 237
68. Теорема Пифагора 245
69. Подобные многоугольники 248
70. Измерительные работы 253
Дополнительные задачи к главе VI 259
8 класс
ГЛАЗА VII. ПОВОРОТЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Повороты и их композиции
71. Способы задания поворотов 262
72. Угловые величины. Их измерение в радианах 265
73. Композиция поворотов с общим центром . . . 267
5
§ 2. Тригонометрические функции
74. Синус и косинус 269
75. Некоторые тождества для функций синус и косинус. 273
76. Таблицы синусов и косинусов ... ... 275
77. Тангенс ... .... 278
78. Соотношения между сторонами и углами прямо¬
угольного треугольника 279
Дополнительные задачи к главе VII 283
ГЛАВА VIII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
§ 1. Теоремы косинусов и синусов
79. Теорема косинусоз 285
80. Формулы для вычисления площади треугольника . 288
81. Теорема синусов 290
§ 2. Некоторые применения подобия и формул тригонометрии
82. Применение подобия к решению задач .... 291
83. Измерительные работы . . 298
84 Решение треугольников ... . 299
Дополнительные задачи к главе VIII 302
ГЛАВА IX. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники и четырехугольники
85. Вписанный угол .... 305
86. Вписанные и описанные треугольники . 309
87 Вписанные и описанные четырехугольна I . . 312
§ 2. Правильные многоугольники
88. Построение правильных многоугольников .... 315
89. Формулы для вычисления стороны и площади пра¬
вильного многоугольника 317
§ 3. Длина окружности и площадь круга
90. Длина окружности 320
91. Площадь круга ... 325
Дополнительные задачи к главе IX 327
ГЛАВА X. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. Прямые и плоскости в пространстве
92. Расположение плоскостей в пространстве . . . 329
93. Параллельные прямые в пространстве . 331
94. Перпендикулярность прямой и плоскости . . . 333
§ 2. Многогранники
95. Прямая призма 335
96. Пирамида 338
97 ▼. Общие свойства объемов . . 342
§ 3. Фигуры вращения
98. Цилиндр 343
99. Конус 346
100. Шар 348
Дополнительные задачи к главе X 350
Задачи на повторение по курсу 6—8 классов . . . 352
Ответы и указания . • 331
Приложения
О логическом строении геометрии 373
Формулы геометрии 377
Язык теории множеств в геометрии 380
Формулы тригонометрии —
Греческий алфавит —
Перечень обозначений, встречающихся в учебнике . . 381
Предметный указатель . 3^2
6
КЛАСС
ГЛАВА
НАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
ГЕОМЕТРИИ
В первых пяти классах вы уже за¬
нимались геометрией, знакомились со
многими геометрическими фигурами и
их свойствами; вам известны некото¬
рые определения геометрических поня¬
тий и некоторые доказательства. Те¬
перь вы получаете специальную кни¬
гу, в которой излагаются первые раз¬
делы систематического курса геометрии.
Естественно, что в ней будет уделено
внимание и повторению уже известно¬
го материала. Но при этом почти все
известные вам понятия будут точно
определены, а некоторые предложения,
принятые ранее без обоснований, бу¬
дут доказаны. О том, как развивалась
геометрия и когда возник интерес к ло¬
гической строгости в изложении гео¬
метрии, вы можете прочесть в конце
первой главы.
1. Что такое геометрическая фигура!
1. Отрезки, окружности, треугольни¬
ки — все это известные вам геомет¬
рические фигуры. Вам знакомы так¬
же фигуры, изображенные на ри¬
сунке 1.
8
Что же такое «геометрическая фигура»? Начнем с при¬
мера.
Рассмотрим окружность, радиус которой 1,5 см (рис. 2). Она
состоит из всех точек плоскости, находящихся от центра О на
расстоянии 1,5 см. Например, | АО | = 1,5 см (эта запись чита¬
ется так: расстояние | АО | равно 1,5 сантиметра). Если точка
М не принадлежит этой окружности, то |ЛГО| =/= 1,5 см.
Радиус окружности, изображенной на рисунке 3, обозначен
через г. Для любой точки X этой окружности |ХО| = г. Если
точка М не принадлежит окружности, то |ЛГО| г.
Итак, любая окружность состоит из всех точек плоскости,
которые находятся от центра на расстоянии, равном ради¬
усу этой окружности. Поэтому и принимают следующее опреде¬
ление.
Определение. Множество точек плоскости, находящихся
на данном положительном расстоянии от данной точки этой
плоскости, называется окружностью.
Окружность с центром О и радиусом г будем обозначать так:
Окр (О, г).
Мы определили окружность как некоторое множество точек.
Каждая геометрическая фигура тоже множество точек. В гео¬
метрии принимают следующее определение понятия «геометри¬
ческая фигура».
А В
б)
Рис. 3
9
Рис. 4
Определение. Геометричес¬
кой фигурой называется любое мно¬
жество точек*.
2. Окружность определена как
множество точек, обладающих ука¬
занными свойствами. При определе¬
нии других геометрических фигур
поступают так же: указывают свой¬
ства точек, из которых состоит опре¬
деляемая фигура.
Дадим, например, определение
круга. Нетрудно заметить, что точ¬
ки круга радиуса г лежат в одной
плоскости и удалены от центра О на
расстояние, меньшее или равное г
(рис. 4).
Определение. Множество то¬
чек плоскости, расстояние от каж¬
дой из которых до данной точки
этой же плоскости не больше дан¬
ного положительного расстояния,
называется кругом.
Круг с центром О и радиусом г
будем обозначать так: Кр (О, г).
3. Вы знаете много предметов,
имеющих форму шара. Поверхность шара называется сферой.
Например, Земля приближенно имеет форму шара (рис. 5),
а ее поверхность можно считать сферой, точки которой нахо¬
дятся приблизительно на расстоянии 6400 км от ее центра.
Определение. Множество точек пространства, находя¬
щихся на данном положительном расстоянии от данной точки,
называется сферой.
Определения сферы и окружности очень похожи. Единствен¬
ное отличие состоит в том, что в определении окружности рас¬
сматриваются лишь точки, принадлежащие плоскости, а в опре¬
делении сферы — точки пространства.
В геометрии множество всех точек называют пространством.
Каждая геометрическая фигура есть подмножество простран¬
ства.
* Пустое множество также принято считать геометрической фигурой.
10
Вопросы и задачи
1°. 1) Назовите известные вам геометрические фигуры*.
2) Назовите какие-либо предметы, имеющие форму: а) пря¬
моугольного параллелепипеда; б) шара; в) цилиндра.
2. Постройте окружность с данными центром О и радиусом 4 см.
Отметьте на полученном рисунке (не пользуясь ни циркулем,
нм масштабной линейкой): 1) точки А, В и С такие, что
\ОА | < 4 см, |0В| < 4 см, |0С| < 4 см; 2) точки Б, Е и Р
такие, что 101) | = 4 см, |0Е| = 4 см, |0Г| = 4 см; 3) точ¬
ки Ь, М и N такие, что | ОЬ | 2> 4 см, |ОД/) >> 4 см,
|ОДГ| >> 4 см; 4) запишите с помощью знаков 6 и - : а) точ-
• ка А не принадлежит окружности (О, г); б) точка В принад¬
лежит окружности (О, г); в) точка Ь не принадлежит окруж¬
ности (О, г).
3°. 1) Принадлежит ли окружности ее центр?
2) Принадлежит ли кругу его центр?
4. Запишите с помощью знаков С и принадлежат иди не
принадлежат данному кругу точки, отмеченные на ри¬
сунке 4.
5. Даны точки А, В и С. Перечислите все геометрические фигу¬
ры, которые содержатся в фигуре: 1) {А, В}; 2) {Л, В, С},
6. Постройте окружность радиуса 3 см. Можно ли найти на этой
окружности такие точки М и Лт, для которых: 1) | МУ | = 2 см;
2) \МУ\ = 3 см; 3) \МУ\ = 6 см; 4) |МУ| = 7 см?
7°. Сколько существует окружностей данного радиуса г с задан¬
ным центром О: 1) на плоскости; 2) в пространстве?
8Э. Приближенно Землю можно считать шэром. 1) Назовите из¬
вестные вам из географии названия окружностей с центром
в центре Земли. 2) Назовите окружности, изображенные на
глобусе.
9*. Орбиты спутников Земли часто близки к круговым. Предпо¬
лагая, что спутники движутся по круговым орбитам с центром
в центре Земли, ответьте на следующие вопросы. 1) Можно
ли запустить 1000 спутников Земли так, чтобы их орбиты не
пересекались? 2) Можно ли вывести на разные орбиты два
спутника Земли так, чтобы их орбиты имели одинаковый ра¬
диус и не пересекались?
♦ Более сложные задачи отмечены звездочками. Задачи, номера которых
отмечены нуликом, рекомендуются для устного решения.
11
10. Постройте две окружности с общим центром О и радиуса¬
ми Г1 и г2 (7*1 <С г2). Выделите штриховкой фигуры, состоящие
из таких точек X, для которых: 1) |ОХ| г2; 2) |ОХ|
3) г{ |ОХ| г2.
2. Основные понятия, принимаемые без определений
В предыдущем пункте были даны определения окружности,
круга, сферы, геометрической фигуры. Рассмотрим, как строят¬
ся определения.
Определяя понятие «окружность», мы пользовались понятия¬
ми «множество», «точка», «плоскость», «расстояние». Вообще,
при определении любого понятия употребляются другие поня¬
тия, которые должны быть уже известны. Но нельзя дать опре¬
деления всем понятиям. Поэтому некоторые из них приходится
принимать без определений. Такие понятия называются основ¬
ными. Все другие понятия определяются.
В нашем курсе геометрии в качестве основных геометриче¬
ских понятий приняты следующие четыре понятия: 1) точка}
2) прямая} 3) плоскость} 4) расстояние от одной точки до
другой.
Кроме этих специально геометрических понятий, будем
пользоваться и некоторыми общематематическими понятиями.
Например, в пункте 1 мы уже воспользовались понятием «мно¬
жество» (оно относится к числу основных понятий всей матема¬
тики). В следующем пункте мы будем говорить о величинах и
числах, которые тоже являются общематематическими понятиями.
Вопросы и задачи
11°. Назовите несколько геометрических понятий, которым дают¬
ся определения.
12°. Назовите основные геометрические понятия, которые были
использованы при определении: 1) геометрической фигуры;
2) окружности; 3) круга.
13. Начертите смежные углы АОВ и ВОС. Какой фигурой являет¬
ся пересечение этих углов? объединение этих углов? Дайте
определение смежных углов.
14°. Сформулируйте определение вертикальных углов. Какие гео¬
метрические понятия используются в этом определении?
12
15°. Сформулируйте определение шара.
16- Какие фигуры можно получить как пересечение: 1) двух кру¬
гов; 2) двух окружностей; 3) окружности и круга?
17*. Фигура называется ограниченной, если существует круг, со¬
держащий эту фигуру. Являются ли ограниченными фигура¬
ми: точка, круг, отрезок, прямая, угол, треугольник, луч,
квадрат? Приведите другие примеры ограниченных и неогра¬
ниченных фигур.
3. Величины и числа
Вы уже знакомы с натуральными, целыми и дробными числами.
Встречались также и с различными величинами — длинами,
площадями, объемами.
Приведем два примера.
1) Расстояния между точками, длины отрезков, ломаных и
кривых линий — это величины одного и того же рода. Их выра¬
жают в сантиметрах, метрах, километрах и т. д.
2) Длительности промежутков времени тоже величины од¬
ного и того же рода. Их выражают в секундах, минутах, часах
и т. д.
Величины одного и того же рода можно сравнивать между
собой и складывать-.
1 м > 90 см,
3000 с < 1ч,
1 кг > 720 г,
350 м + 650 м = 1 км;
2 ч + 3 ч = 5 ч;
500 г + 500 г = 1 кг.
Но бессмысленно спрашивать, что больше — 1 метр или
1 час, и нельзя сложить 1 метр с 30 секундами. Длитель¬
ность промежутков времени и расстояния — величины разного
рода. Складывать и сравнивать величины разного рода
нельзя.
Величины можно умножать на положительные числа и нуль.
В результате умножения величины а на неотрицательное число
х получается величина Ъ = ха того же рода. Приведем несколь¬
ко примеров.
5 • 20 см = 100 см = 1 м,
0,01 • 20 см = 0,2 см = 2 мм,
0 • 20 см = 0 см.
13
Приняв какую-либо величину е за единицу измерения, мож¬
но с ее помощью измерить любую другую величину а того же
рода. В результате измерения получим, что а = хе, где х —
число. Это число х называется числовым значением величины а
при единице измерения е. Числовое значение величины зависит
от выбора единицы измерения. Если, например, длина комнаты
имеет числовое значение 5,6 при единице измерения в один метр
(е = 1 м), то эта же длина имеет числовое значение 560 при еди¬
нице измерения в один сантиметр (е = 1 см).
Пусть числовые значения величин а и Ь при одной и той же
единице измерения е равны х и у, т. е. а = хе, Ъ = уе. Если
Ъ ф о, то отношение — называют отношением величины а к Ь.
у
Вопросы и задачи
18°. Назовите известные вам единицы измерения длины, площади,
времени, массы.
<9. Расположите величины в порядке возрастания: 1) 2 м, 305 см,
24,2 дм, 2416 см; 2) 1050 кг, 1,5 т, 10,52 ц; 3) 90 мин,
3000 с, 2 ч.
20°. Составьте задачи, при решении которых необходимо: 1) срав¬
нивать величины; 2) складывать величины; 3) умножать ве¬
личины на числа.
21. Найдите числовое значение величины а = 3 см, если за еди¬
ницу измерения принят: 1) миллиметр; 2) метр; 3) километр.
22°. Как изменится числовое значение величины, если единицу
измерения ее: 1) уменьшить в 10 раз? 2) увеличить в 100 раз?
23. Найдите отношение следующих величин: 1) 2 км к 40 м;
2) 2 т к 50 кг; 3) 100 кв. м к 4 га; 4) 3 ч к 15 мин.
24. В одной морской миле 1,852 км. 1) Сколько километров в:
а) 3 милях; б) 12 милях; в) 200 милях? 2) Сколько миль
в 1 км?
25. В одной версте 1066,8 м. 1) Сколько километров содержат
а верст? 2) Сколько верст в 1 км?
4. Основные свойства расстояний
1. Вы уже умеете измерять расстояния. Каждым двум точкам
соответствует вполне определенная величина — расстояние от
одной точки до другой. Сформулируем свойства расстояний.
14
Расстояние от одной точки до другой
больше нуля, если эти точки различ¬
ны, и равно нулю, если они совпадают:
| АВ | > 0, если А =И= В, и | АВ | = О,
если А = В.
Расстояние от точки А до точки В
(рис. 6) равно 3 см. А каково расстояние
от точки В до точки А? Конечно, тоже
3 см.
• В
•С
2 I Для любых точек А и В расстояние
I от А до В равно расстоянию от В до А:
I \АВ\ = \ВА\.
Отметьте точки А, В, С. Измерьте
расстояния |АВ|, |АС|, |ВС| и сравните
сумму \АВ | + |ВС| с расстоянием |АС|.
Как бы вы ни выбирали точки А, В и С,
обнаружится, что расстояние \АС | мень¬
ше или равно сумме \АВ I + |ВС| (рис. 7).
3 I Для любых точек А, В, С расстояние
| но сумме расстояний | АВ | и | ВС |:
| |АС| \АВ\ 4- \ВС\.
Свойства 1, 2 и 3 принято называть основными свойствами
Д’
а)
Рис; 7
\АС\ меньше или рав-
А
в
с
6)
с в
расстояний.
2. Основные свойства расстояний практически можно про¬
верить лишь приближенно и на отдельных примерах. В геомет¬
рии считают, что они соблюдаются точно. В нашем курсе гео¬
метрии эти свойстза принимаются без доказательства.
С помощью основных свойств расстояний можно доказывать
другие предложения. Докажем, например, что
4 | для любых точек А, В, С расстояние | АС\ больше или равно
I разности расстояний | АВ | и | ВС | :
| |ЛС| \АВ\ — \ВС\.
Доказательство. По третьему свойству расстоя¬
ний имеем:
\АВ\ С |АС| + |ВС|.
Уменьшив обе части этого неравенства на |ВС|, получим:
т. е.
|АВ| - |ВС| < |АС|,
|АС| > |АВ| — |ВС|.П *
* Знак ■ означает, что доказательство закончено.
15
Предложение, истинность-
которого доказывается путем
р
Рис. 8
логических рассуждении на
основе принятых ранее пред-
ложении, называется теоре¬
мой. Предложение 4 в нашем курсе геометрии — теорема.
В пункте 2 уже объяснялось, что нельзя дать определения
всем геометрическим понятиям. Некоторые понятия необходимо
принять за основные. Таково же положение с геометрическими
предложениями. Чтобы начать их доказывать, необходимо иметь
какие-то предложения, на которые можно опираться при дока¬
зательствах. Эти основные предложения, принимаемые без до¬
казательства , называются аксиомами.
Например, в нашем курсе геометрии являются аксиомами
свойства расстояний. За аксиому принимается и предложение:
5 I 9ерез любые две точки проходит одна и только одна пря-
I мая *.
На основе этой аксиомы (ее называют аксиомой прямой)
можно доказать следующую теорему.
б| Теорема. Две прямые имеют не более одной общей точки.
Доказательство. Пусть даны две прямые а и Ь.
Предположим, что они имеют более одной общей точки — точки
М и N (рис. 8). Тогда через две точки М и N проходила бы не
одна, а две прямые — прямые а и Ь. Но это противоречит пред¬
ложению 5. ■
Вопросы и задачи
26. При измерении расстояний были получены следующие ре¬
зультаты: |ХУ| — 5 дм, |АВ| = 1 дм, |СЕ>| = 1 дм. 1) За¬
пишите эти результаты, если за единицу измерения принять:
а) метр; б) сантиметр. 2) Запишите числовые значения этих
расстояний, если за единицу измерения принять миллиметр.
27. Известно, что | АВ | =8 см, | ВС | =4 см. 1) Может ли при
этом условии расстояние |АС| оказаться равным: а) 20 см;
б) 4,5 см; в) 12 см; г) 4 см; д) 3 см; е) 6 см? 2) Укажите еще
какие-либо возможные значения расстояния |АС|.
* Другая формулировка аксиомы прямой приведена на странице 30. За¬
метим также, что, говоря далее «две ючки», «три прямые» и т. д., будем, как пра¬
вило, считать, что рассматриваемые точки, прямые и т. д. различны.
16
28.
29.
30.
Расстояние |АВ| равно 2 см. 1) Каким может быть расстоя-
' ние | АХ |, где X — произвольная точка окружности (В, 3 см)?
2) Существует ли такая точка С этой окружности, что точки
А, В и С лежат на одной прямой?
Ниже приведено несколько равенств и неравенств. Укажите
те из них, которые: 1) верны для любых точек X, У, 2; 2) для
любых X, У, 2 неверны; 3) верны для некоторых X, У, 2.
е) |У2| <0;
ж) |У2| >0;
з) |Х2| — |У2| > |ХУ|;
и) |ХУ| + |У2|<|Х2|;
к) |ХУ| =|УИ| = ]2Х\.
31°.
32°.
33°.
34.
35.
36*.
37*.
38*.
а) |ХИ|<|ХУЦ-|У2|;
б) | ХУ |< | 2Х\ + | 2У |;
в) \У2\>\ХУ\ + \Х2\-,
г) \Х2 |>| ХУ | + |У2|;
д) | ХУ| = | УХ|;
Запишите в принятых обозначениях: 1) точка М принадлежит
прямой АВ; 2) точка С не принадлежит прямой АВ.
Прочитайте следующие записи: 1) А С (ТР); 2) В (Т№
3) М$ (АВ); 4) N 6 (СП).
1) Сколько существует прямых, содержащих: а) одну данную
точку; б) две данные точки; в) три данные точки?
2) Сколько линий может проходить через две данные точки?
Могут ли две прямые иметь: 1) только одну общую точку;
2) только две общие точки? Ответ обоснуйте.
Сколько прямых определяются тремя точками? (Покажите
возможные случаи на рисунках.)
Покажите, что число точек попарного пересечения трех пря¬
мых может равняться 0,1, 2 или 3.
Сколько точек пересечения могут иметь четыре попарно
пересекающиеся прямые? Для каждого возможного случая
сделайте рисунок.
Докажите, что четыре точки
или шесть прямых (рис. 9).
Докажите, что для любых п
круг, которому принадлежат
могут определять одну, четыре
точек А), А2, .... А„ существует
все эти точки.
17
5. Взаимное расположение трех точек на прямой.
Неравенство треугольника
Отметив на прямой три точки, вы увидите, что одна из них
лежит между двумя другими. Например, точка В лежит между
точками А и С (рис. 10). Среди геометрических понятий, * * ко¬
торые выбраны за основные, нет понятия «лежать между».
Его можно определить, пользуясь понятиями «расстояние»
и «точка». Из рисунка 10 видно, что расстояние | АС | равно
сумме расстояний | АВ | и |ВС|. Это выполняется всегда, ес¬
ли точка В лежит между точками А и С. Дадим теперь опре¬
деление.
Определение. Точка X лежит между точками А и В,
если эти точки различны и | АХ1 + |ХВ\ = |ЛВ|*.
Рассматривая рисунки 10 и 11, естественно предположить,
что: 1) если три точки принадлежат одной прямой (рис. 10),
то одна из них лежит между двумя другими; 2) если три точки
не принадлежат одной прямой (рис. 11), то ни одна из них
не может лежать между двумя другими.
Эти два предложения мы примем без доказательства и сфор-
А В С
Л—|—’—:—|:—г
0 12 3 4 5 6 7
Рис. 10
мулирусм короче:
7 В три точки принадлежат одной
I прямой тогда и только тогда,
й когда одна из них лежит меж-
| ду двумя другими,
С помощью предложения 7
докажем следующую теорему.
8 | Теорема (неравенство тре-
| угольника). Для любых точек
в А, В и С, не принадлежа¬
ла щих одной прямой, расстояние
И |ЛС| меньше суммы расстоя-
Н ний | ЛВ| и |ВС|.
* В житейской практике выражение
«лежать между» употребляется и для трех
точек, не лежащих па одной прямой. Нап¬
ример, двигаясь по дороге, изображенной
па рисунке 12, мы скажем, что пункт В
лежит между пунктами А и Л, а пункт В
лежит между пунктами В и С, что не соот¬
ветствует принятому в геометрии опреде¬
лению.
18
Доказательство. Пусть точки Л, В и С не лежат
на одной прямой (см. рис. 11). По третьему свойству расстояний
1ЛС| | АВ | + ; ВС |, т. е. либо | АС | < | АВ | + |ВС|, либо
| АС\ = | АВ\ + \ВС\.
Но равенство | АС | = | АВ | + | ВС | выполняться не может.
В самом деле, это равенство означает, что точка В лежит между
точками Л и С. Но тогда (по предложению 7) точки Л, В и С при¬
надлежали бы одной прямой. Это противоречит условию. Итак,
\АС\ <\АВ\ + \ВС\. В
Вопросы и задачи
39°. Точка X лежит между точками Л и В. Верно ли, что точка X
лежит между точками В и Л?
40°. Верно ли, что если точка X не лежит между точками Л и В,
то эти три точки не лежат на одной прямой?
41°. Какие геометрические понятия использованы для определения
понятия «лежать между»?
42. Лежит ли одна из точек Л, В и С между двумя другими, если:
1)
| Л В | = 5 см,
| Л С | = 3 см,
|ВС| = 2 см;
2)
| ЛВ| = 4 см,
| ЛС| = 6 см,
|ВС| = 2 см;
3)
| АВ | = 5 см,
| ЛС| = 4 см,
|ВС| = 6 см?
Постройте эти точки.
43. Покажите на рисунках, как расположены три точки Р, О,
и Л, если: 1) |Р<Э| + |О«| = \РН\ ; 2) |РЛ| + |<ЭЛ| = |Р<2|;
3) \ВР\ = |Яб| - |Р0|.
44°. На рисунке 13 даны точки Л, В и С, лежащие на одной прямой.
Какие из записанных ниже равенств и неравенств верны:
1) | АВ\ + | ВС\ = | ЛС|;
2) |АС| + |АВ|>|ВС|;
3) |ВС| + |АС|>|АВ|; ? ,с
4) |АВ| + | ВС\> | АС|;
5) | АС | — | ЕС | > | АВ |; Рис- 13
6) | АС| — | АВ| = \БС\?
1) Могут ли для трех точек X, У и 2 быть верными равенства:
а) |ХУ| = 9 см,
\Х2\ = 3 см,
|У2| = 5 см;
б) |ХУ| = 12 см,
\Х2\ = 6 см,
|У2| = 6 см;
в) |ХУ| = 5 см,
\Х2\ = 18 см,
|У2| = 12 см;
г) |ХУ| = 7 см,
\Х2\ = 8 см,
|У2| = 12 см?
2) В каких из этих
случаев данные
точки лежат на одной
прямой?
19
Рис. 14
46. Расстояние от дома до школы 2 км, а от дома до станции5км.
1) Может ли расстояние от школы до станции равняться:
а) 2 км; б) 3 км; в) 6 км; г) 8 км? 2) Укажите наибольшее
и наименьшее из возможных расстояний от школы до станции.
(Сделайте для этих случаев рисунки.)
47*. На рисунке 14 указаны длины стержней, соединенных шарни¬
рами. 1) Для каждого из этих шарнирных механизмов укажите
наибольшее и наименьшее расстояния, на которые можно
раздвинуть концы А и В стержней. Покажите на рисунках
шарнирные механизмы в этих крайних положениях. 2) Может
ли расстояние | АВ | принимать все промежуточные значения
между найденными наибольшим и наименьшим расстоя¬
ниями?
6. Отрезок и луч
1. На рисунке 15, а изображен отрезок АВ. Этому отрезку при¬
надлежат точки А и В и все точки, лежащие между ними. Ни¬
какие другие точки отрезку АВ не принадлежат. Поэтому можно
дать следующее определение отрезка.
А В
* д) *
Рис. 15
Определение. Отрезком
АВ называется множество,
состоящее из двух точек А и В
и точек, лежащих между ними.
Точки А и В называются
концами отрезка АВ, а расстоя¬
ние | АВ \ — длиной отрезка АВ.
Точки отрезка, лежащие меж¬
ду его концами, называются
внутренними точками отрезка.
Например, точки X и М (см.
рис. 15, а) — внутренние точки
отрезка АВ.
20
Все точки, лежащие между
А и В, принадлежат прямой АВ
(предложение 7). Поэтому от¬
резок АД есть подмножество пря¬
мой АВ, т. е. [АВ] с= (АВ)
(рис. 15, б). Говорят также, что
прямая АВ содержит отре¬
зок АВ, или отрезок АВ ле¬
жит на прямой АВ.
2. Вы знаете, что каждая
точка произвольной прямой за¬
дает два луча с началом в этой
точке. Теперь разъясним смысл
понятия «луч», пользуясь толь¬
ко основными геометрическими
понятиями, а также понятиями,
ления.
р
м о
N й
Рис. 16
9 р
с
Рис. 17
д*—
Рис. 18
уже
получившими
опредс-
На горизонтальной прямой р (рис. 16) одни точки лежат
правее точки О, а другие —левее. Можно заметить, что если
одна из точек прямой р лежит правее, а другая — левее точки
О, то точка О лежит между ними. Например, точка О лежит меж¬
ду точками Ми Р и б и т. д. Вообще,
9 I любая точка О прямой р разбивает множество отличных от
I О точек этой прямой на два непустых подмножества, таких,
I что точка О лежит между любыми двумя точками, принад-
I лежащими разным подмножествам.
Объединение каждого из этих множеств с точкой О называ¬
ется лучом с началом О.
Чтобы задать луч, надо указать его начало и любую точку
этого луча, отличную от начала. Например, луч АВ (рис. 17)
можно назвать и лучом АС, и лучом АВ, и т. д. Поэтому на изо¬
бражении луча АВ точку В обычно не выделяют (рис. 18).
Луч с началом А, содержащий точку В, обозначают [АВ).
Луч АВ является подмножеством прямой АВ, т. е. [АВ) ст (АВ).
Вопросы и задачи
48. Пользуясь обозначениями Е и запишите, какие из указан^
них на рисунке 19 точек принадлежат и какие не принадле¬
жат отрезку АВ,
21
49°. Расстояние между точками
А и С равно 10 см. Принад-
А
оМ
Рис. 19
в в
лежит ли точка В отрезку
АС, если: 1) |АВ| = 7 см,
|ВС| =3 см; 2) |АВ|=2см,
|ВС| = 9 см; 3) IАВ| =
М А
в
= 6,5 см, | ВС | =3,5 см;
Рис. 20
1) |АВ| = 5
2) |АВ| =5
3) I АВ\ = 5
- 4) |АВ| = |ВС| ?
50°. Принадлежат ли точки А, В
и С одному отрезку, если:
см, | .АС | = 4 см, |ВС| = 6 см;
см, | АС | = 3 см, |^С| = 2 см;
см, | АС | = 7 см, | ВС | = 2 см?
51°. Могут ли два отрезка иметь: 1) только одну общую точку;
2) только две общие точки?
52. Даны различные точки А, В, С и В. Сколько имеется различ¬
ных отрезков, оба конца которых принадлежат фигуре,
состоящей из точек: 1) А, В и С; 2) А, В, С и В?
53. Точка X является внутренней точкой отрезка АВ. Докажите:
1) | АХ| < | АВ|; 2) | АВ| > |ВХ|.
54. 1) Сформулируйте определение середины отрезка.
2) На отрезке СВ длиной 18 см взята точка А, такая, что
| СА | = 4 см. Вычислите расстояние между серединами от¬
резков: а) СВ и СА; б) СВ и АВ; в) СА и АВ.
55. На рисунке 20 изображена прямая а с отмеченными на ней
точками М, А, В. Укажите на этом рисунке фигуру, состоя¬
щую из таких точек X, что: 1) точка А лежит между точка¬
ми М и X; 2) точка В лежит между точками М и X; 3) точка
X лежит между точками М и А.
56. Запишите в принятых обозначениях: 1) точка М принадлежит
лучу О А; 2) отрезок АВ является подмножеством луча АВ;
3) луч ОВ является подмножеством луча АВ; 4) отрезок СВ
является подмножеством прямой СВ.
57. 1) Какой фигурой является пересечение лучей АВ и ВА?
2) Покажите на рисунках, какой фигурой может быть: а) пе¬
ресечение двух лучей, лежащих на прямой; б) объединение
двух лучей, лежащих на прямой.
53. Даны два луча, АВ и ВА. Какой из этих лучей содержит
точку М, отличную от точек А и В, если известно, что:
1) | АВ\ + \ВМ\-| АМ\; 2) | МА | + | АВ | = | МВ
3) I АМ | + I ВМ | = I АВ |?
22
59*. Какие основные геометрические понятия были использованы
при определении: 1) отрезка; 2) луча?
60*. Докажите, что если две точки отрезка АВ принадлежат
отрезку СО, то эти отрезки лежат на одной прямой.
61*. Объясните, почему звенья выдвижной антенны приемника
лежат на одной прямой.
62**. Докажите, что если различные точки А и В, отличные от точ¬
ки О, принадлежат одному лучу с началом О, то либо точка
А лежит между точками О и В, либо точка В лежит между
точками О и А.
7. Координаты на прямой
1. При выбранной единице измерения расстояния выражаются
числами. Часто бывает удобно сами эти числа называть рас¬
стояниями.* Выберем, например, за единицу измерения рас¬
стояние | ОЕ | (рис. 21). Можно сказать, что расстояния |
I ХУ | и | У2^| равны соответственно 3, 4 и 5. (Отрезок ОЕ назы¬
вается единичным.)
2. Отметим на луче ОА произвольную точку М (рис. 22, а).
При выбранной единице измерения | ОЕ | длина отрезка ОМ выра¬
жается определенным числом: | ОМ\ = хм. Число хм есть коорди¬
ната точки М на луче ОА. Обратно, по заданному числу х
можно найти на луче ОА одну-единственную точку ЛГ, такую
Рис. 21
Рис. 22
♦ В задачах практического характера будем обязательно указывать едини¬
цы измерения расстояний (метр, сантиметр и т. д. в зависимости от характера
задачи).
23
что расстояние |ОМ| равно числу х. Сформулируем это важное
свойство луча.
10 | Для любого неотрицательного числа х на заданном луче су-
I ществует одна и только одна точка, расстояние от которой
| до начала луча равно х.
3. В 5 классе вы познакомились с координатами на прямой.
Для того чтобы ввести координаты на прямой р, выбираются
точка О этой прямой — начало координат и единичный отрезок
(отрезок ОЕ, рис. 22, б). Один из двух лучей с началом О (на
рис. 22, б этот луч отмечен стрелкой) называется положитель¬
ным, а другой — отрицательным. Тогда для каждой точки пря¬
мой р можно указать вполне определенное число, которое назы¬
вается координатой этой точки: начало координат (точка О)
имеет координату 0 (нуль); произвольная точка А положитель¬
ного луча имеет координату ха = | О А |, точка В отрицательно¬
го луча имеет координату хв =—|ОВ|. Например, хв = 1,
Ха = 5, хв = —3 (см. рис. 22).
Таким образом, каждой точке прямой р соответствует опре¬
деленное число — координата этой точки. Верно и обратное:
для любого числа х на координатной прямой существует одна
и только одна точка, имеющая координату х.
4. Зная координаты двух точек прямой, можно найти рас¬
стояние между ними.
11 | Т е о рем а. Расстояние между двумя точками координат-
I ной прямой равно модулю разности координат этих точек:
I |ЛВ| = \хв-хД |.
▼* Д оказательство. Рассмотрим три случая: 1) нача¬
ло координат О лежит между точками А и В; 2) точка А лежит
А
0 Е В
а)
В
0 Е А
а)
0 Е
А В
В)
А
В 0 Е
г)
Рис. 23
между точками О и В; 3) точка
В лежит между точками О и А.
Пусть точка О лежит между
точками А и В и хд <0 (рис.
23, а). Тогда хв > 0. В этом
случае
| АВ| = | АО| + | ОВ| =
= —хА + хв = хв — хА =
= |хв — хА |.
♦Значком V выделен необязатель¬
ный материал.
24
Если же хА > 0, то хв <0 (рис. 23, б) и
|АВ| = |АО| + | ОВ| — хА — хв = |*в — хА |.
Доказательство теоремы для второго и третьего случаев ана¬
логично (см. рис. 23, в и ?).▼
Вопросы и задачи
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
1) Постройте точки данной прямой р, удаленные от точки
А € р на расстояние: а) 1 см; б) 2 см.
2) Сколько существует на прямой р точек, удаленных от точ¬
ки А 6 р на данное расстояние с?
Отметьте на прямой пять точек — О, А, В, С, И. Введите на
этой прямой координаты и найдите координаты отмеченных
точек, пользуясь масштабной линейкой.
На координатной прямой отмечены точки А(—7), В(—5),
<7(1), 0(5). 1) Укажите расстояния от этих точек до начала
координат. 2) Вычислите расстояния |АВ|, |АС|, |АО|, |ВС|,
|ВО|, |СО|.
Найдите расстояние |АВ| при помощи масштабной линейки
с отломанным концом (рис. 24).
1) Вычислите длину отрезка, если координаты его концов
равны: а) 2 и —3; б) 3 и 10; в) —4 и —9; г) —7 и 15; д) —3, 7
и 7,3; е) 6,8 и —12.
2) Найдите координату середины отрезка АВ, если известны
координаты его концов: а) А (2), В(—3); б) А (3), В (10);
в) А (-4), В(—3).
Координаты точек А и В прямой равны соответственно
—7 и 9. Какие координаты может иметь точка С прямой АВ,
если известно, что: 1) точка С лежит между точками А и В;
2) точка С не лежит между точками А и В?
Координаты концов отрезка СВ равны соответственно 2 и 5.
Какими станут координаты концов отрезка СВ, если он пере¬
местится вдоль координатной прямой:
влево на 2 единицы;
вправо на 5 единиц;
влево на 5 единиц;
вправо на 3 единицы;
влево на а единиц;
вправо на а единиц?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Рис. 24
25
8. Ломаная
д)
Рис. 26
1. На рисунке 25 изображена лома¬
ная Л1А2АзА4Аб. Она является объ¬
единением отрезков А2Л3, А3А4,
Л4А5. Эти отрезки называют звеньями
ломаной.
Другие примеры ломаных приведе¬
ны на рисунке 26. Ломаные, изобра¬
женные на рисунках 26, а, в, г, прос¬
тые. Несоседние по порядку звенья
простой ломаной не имеют общих то¬
чек. Ломаные, изображенные на рисун¬
ках 26, б, 5, не являются простыми.
Простой ломаной А1А2 ... Ап (где
п > 2) называется объединение отрез¬
ков А1А2, А2А3, ..., Ап^Ап, среди ко¬
торых соседние по порядку не лежат
на одной прямой, а несоседние не име¬
ют общих точек.
Точки А1, А29 Ап называют вер¬
шинами, точки А1 и Ап называют кон¬
цами ломаной А1А2 ... Ап.
2. Сумма длин всех звеньев лома¬
ной называется ее длиной.
12|Теор е м а (о длине ломаной).
I Длина простой ломаной больше
I расстояния между ее концами.
Докажем эту теорему для лома¬
ных, состоящих из трех звеньев
(рис. 27).
Дано: А1А2А3А4 — простая ло¬
маная.
Доказать:
] >4<^4.21 + |А2А3| + |А3А4|> |А1А4|.
Доказательство. По треть¬
ему свойству расстояний (с. 15)
ММзИ- |а3а4|> (1)
Точки Ав Аг, А3 не лежат на одной
прямой (эти точки — концы соседних
26
в)
Рис. 28
д)
звеньев ломаной). По неравенству треугольника (п. 5)
^Аз! < \А<А2\ + ( А2А3|. (2)
Заменим в неравенстве (1) слагаемое | А1 А3| суммой (АрА^ +
+ |А2А3|, которая в силу неравенства (2) больше |А1А3|. При
такой замене левая часть неравенства (1) увеличится. Поэтому
I А1А21 + | А2А3| 4- | А3А4| > |А1А4|. я
Аналогично можно провести доказательство теоремы и для
ломаной с любым числом звеньев.
3. На рисунке 28 приведены примеры замкнутых ломаных.
Замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 28, а, в, г,
простые. Замкнутые ломаные, изображенные на рисунках 28, б
и 3, не простые.
Объединение простой ломаной А1А2 ... Ап (п > 2) и отрез¬
ка АпАх называется простой замкнутой ломаной, если сосед¬
ние (в круговом порядке) отрезки не лежат на одной прямой,
а несоседние не имеют общих точек.
Замечание. Говоря далее о ломаных, мы всегда бу¬
дем иметь в виду простые ломаные (замкнутее или незамк¬
нутые).
Вопросы и задачи
70°. На рисунке 29 изображены различ¬
ные фигуры, являющиеся объедине¬
ниями отрезков. Какие из них явля¬
ются простыми ломаными?
71. Отметьте в тетради точки так, как
показано на рисунке 30, и постройте
несколько простых ломаных, вер¬
шины которых находятся в этих
точках.
а) б) 6) г) д)
е> ж) 3) и) к)
РРРРН
л) м; н) о) п)
Рис. 29
27
и
М
С
б)
р
• ® •
А с в
а)
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 30
72°. Приведите примеры ломаных из ок¬
ружающей обстановки.
73. На модели куба покажите ломаные:
1) все звенья которых лежат в од¬
ной плоскости; 2) звенья которых
не лежат в одной плоскости.
74. Какое наименьшее число звеньев
может иметь ломаная, два звена
которой лежат на одной прямой?
Начертите такую ломаную.
75. Постройте ломаную АВСйЕ, выпол¬
ните необходимые измерения и вы¬
числите ее длину.
76. Звенья ломаной КРТМ имеют дли¬
ны: |/^Р| = 1 см, |РТ| = 2 см,
| ТМ | = 3 см. Может ли расстояние
| КМ | оказаться равным: 1) 0,5 см;
2) 6 см; 3) 1 см; 4) 7 см? (Построй¬
те такую ломаную, если это воз¬
можно.)
77. Какую длину может иметь отрезок
АВ, концы которого соединены ло¬
маной, имеющей звенья длиной:
1) 3 см, 2 см и 5,5 см; 2) 3 см, 4 см
и 5 см? (Ответ запишите в виде
двойного неравенства.)
78. Докажите, что длина ломаной АВС
меньше длины ломаной АМС
(рис. 31, а).
79. Докажите, что длина ломаной АВС
меньше длины ломаной АМТС
(рис. 31, б).
80. Докажите, что длина ломаной АМС
больше длины ломаной АТКС
(рис. зг).
28
81°. Какие из фигур, изображенных на рисунке 29, являются про¬
стыми замкнутыми ломаными?
82°. Какое наименьшее число звеньев может быть у замкнутой
ломаной?
83. Покажите, что точки М и Т, А и В можно соединить ломаной,
не пересекающей данную окружность (рис. 33). Можно ли
соединить такой ломаной точки А и Т; В и
84**. 1) Сколько существует двузвенных ломаных, вершинами ко¬
торых являются точки, изображенные на рисунке 30, а сто¬
ронами— отрезки с концами в этих точках?
2) Сколько таких трехзвенных ломаных?
85*. Дан квадрат АВСИ. 1) Покажите, что существуют 5 простых
замкнутых ломаных, все вершины которых — вершины этого
квадрата. 2) Покажите, что существуют 20 простых незамкну¬
тых ломаных, все вершины которых являются вершинами квад¬
рата АВСБ.
9. Плоскость. Планиметрия
Вы уже имеете представление о плоскости. В пространстве
много различных плоскостей. Например, грани куба (рис. 34)
лежат в шести различных плоскостях.
На рисунке 35 изображены некоторые «кривые» поверхнос¬
ти — сферическая, цилиндрическая и др. На любой из этих
поверхностей всегда найдутся такие две точки А и В, что прямая
АВ не будет полностью содержаться в этой поверхности. Для
Рис. 35
29
плоскости это не так (рис.
36). Плоскость обладает сле¬
дующим свойством:
131 прямая, проходящая че-
| рез любые две точки
I плоскости, содержится в
I этой плоскости.
Фигура называется плос¬
кой, если она является под¬
множеством некоторой плос¬
кости, т. е. «лежит в плоскос¬
ти». Например, окружность и
круг по определению являют¬
ся плоскими фигурами. Сфера
и шар — фигуры неплоские.
На рисунке 37 изобра¬
жен параллелепипед. Ло¬
маная АКНБ — плоская фи¬
гура, а ломаная АВСЕ — не¬
плоская.
Из приведенного выше свойства плоскости (предложение 13)
следует, что прямая — плоская фигура. Значит, и отрезок, и
луч тоже плоские фигуры.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства и взаимное
расположение фигур, лежащих в одной плоскости, называется
планиметрией*. Весь этот учебник (за исключением главы X
и части главы I) посвящен планиметрии. Далее будем счи¬
тать, что все рассматриваемые точки, прямые и другие фигуры
лежат в одной плоскости.
Замечание. С применением таких понятий теории мно¬
жеств, как «множество», «принадлежит», «пересечение», вы уже
знакомы. В геометрии употребляются и другие выражения. На¬
пример, если точка А принадлежит прямой р, то говорят: «точка А
лежит на прямой р» или: «прямая р проходит через точку А».
Выражения «лежит на», «проходит через» и т. п. надо уметь
формулировать на языке теории множеств и записывать с по¬
мощью знаков С с=, Например, аксиома прямой на язы¬
ке теории множеств формулируется так: для любых двух точек
плоскости существует прямая, их содержащая.
* От латинского р1апит (равнина, плоскость) и греческого ^етг1а (мерю).
30
Особо отметим принятое по традиции в
геометрии употребление глагола ♦пересе¬
каться». На рисунках 38,39, 40 изображе¬
ны пары отрезков, пересечение которых
состоит из одной точки. Но в геометрии
только в одном случае говорят, что эти от¬
резки пересекаются,— в том случае, ког¬
да эти отрезки имеют только одну об¬
щую внутреннюю точку (рис. 38).
Также считают, что:
1) отрезок и прямая пересекаются,
если прямая содержит одну и только од¬
ну внутреннюю точку отрезка (рис. 41);
2) прямые а и Ъ пересекаются, если
они имеют одну и только одну общую
точку (рис. 42).
Вопросы и задачи
86°. Назовите известные вам: 1) плоские
геометрические фигуры; 2) неплоские
геометрические фигуры.
87. Покажите на моделях: 1) ломаную, все
звенья которой расположены в одной
плоскости; 2) ломаную, не все звенья
которой расположены в одной пло¬
скости.
88. Покажите на моделях примеры плоских
поверхностей и поверхностей, не яв¬
ляющихся плоскими.
89. Даны три точки А, В и С, не лежащие
на одной прямой. Лежат ли в одной
плоскости: 1) прямые АВ, АС и ВС;
2) отрезки АВ, АС и ВС?
90. Укажите, какие из следующих предло¬
жений верны:
1) объединение двух отрезков есть
плоская фигура;
2) двузвенная ломаная есть плоская
фигура;
Рис. 39
Рис. 41
31
Рис. 44
3) трехзвенная ломаная есть пло¬
ская фигура;
4) трехзвенная замкнутая лома¬
ная есть плоская фигура;
5) четырехзвенная замкнутая ло¬
маная есть плоская фигура;
6) объединение двух лучей с об¬
щим началом есть плоская фигура;
7) объединение трех лучей с
общим началом есть плоская фи¬
гура-
Принадлежат или не принадле¬
жат указанные на рисунке 43
точки заданным прямым? Ответ
запишите в принятых обозначе¬
ниях.
1) Прочитайте записи:
а) А б [ВС]; е) [АВ) с= (СЛ>);
б) Мб [АВ); ж)[СР)с^[О);
в) К б (АР): з) {А, В} с [СР];
г) М[М^; и)[М^с^[ВД.
д) Р^ОР)-,
2) Пользуясь обозначениями, при¬
нятыми для отрезков, лучей, пря¬
мых, и знаками б за¬
пишите следующие предложения:
а) отрезок МЬ есть подмножест¬
во прямой ХУ;
б) отрезок АВ есть подмножество отрезка МЬ;
в) точка Ь принадлежит прямой ХУ;.
г) точка М не принадлежит отрезку АВ;
д) отрезок МВ есть подмножество луча МЛ;
е) луч АЬ есть подмножество луча МЬ;
ж) отрезок МВ не является подмножеством луча ВЛ.
93. На рисунке 44 изображены две пересекающиеся прямые р
и д с отмеченными на них точками. Запишите в принятых
обозначениях следующие предложения:
1) объединение лучей ВЕ и АС есть прямая р;
2) объединение лучей РА и АВ есть луч РА]
з) пересечение лучей РА и АВ есть луч АВ;
4) объединение отрезков ЕВ и АС есть отрезок ЕС;
32
5) пересечение отрезков ЕО«и АС есть отрезок АО;
6) пересечение лучей СО и АО есть отрезок АС.
94. На рисунке 45 изображена прямая а с отмеченными на ней
точками. Назовите следующие фигуры: 1) [КМ][|[ВМ];
2) [КМ] П [ВМ]; 3) [КВ] П [ВМ]; 4) [КВ) П [ВМ);
5) [КВ)П^В).
95. Покажите, выполнив соответствующий рисунок, что пересе¬
чением двух отрезков может быть: 1) пустое множество;
2) точка; 3) один из данных отрезков; 4) отрезок, отличный
от данных.
94. Покажите на рисунках, какой фигурой может быть объедине¬
ние двух отрезков, лежащих на одной прямой.
97. Может ли объединение двух различных кругов быть кру¬
гом?
98. Может ли пересечение двух различных кругов быть кругом?
99. Укажите ошибки в записях:
1) (АВ)с[СВ>); 2) [АВ]#(АВ); 3).[МЯ)С(М^;
4) А с (МА); 5) [РО] & [ОР]; 6) [АВ] {(СВ>).
100. 1) Начертите две фигуры, объединение которых — круг, а
пересечение — треугольник.
2) Начертите две фигуры, объединение которых — треуголь¬
ник, а пересечение — круг.
10. Область
Окружность разбивает множество не принадлежащих ей то¬
чек плоскости на два множества (рис. 46). Точки одного
из этих множеств находятся от центра на расстояниях, мень¬
ших радиуса окружности; точки дру¬
гого — на расстояниях, больших ее
радиуса.
Рассматривая рисунок 47, мож¬
но заметить, что каждое из этих мно¬
жеств обладает следующими двумя свой¬
ствами:
1) любые две точки множества мож¬
но соединить содержащейся в нем ло¬
маной или отрезком;
2 Заказ 354
33
Рис. 48
2) вместе с любой своей точкой
множество содержит хотя бы один круг
с центром в этой точке.
Любое множество точек, обладающее
этими двумя свойствами, называется
областью.
Множество точек М, для которых
|ОМ| < г, является областью. Ее на¬
зывают внутренней областью окруж¬
ности (О, г). Множество точек «АГ, для
которых |О.У| > г, также область.
Она называется внешней областью этой
окружности (см. рис. 46).
Итак, множество точек, не при¬
надлежащих окружности, можно пред¬
ставить в виде объединения двух обла¬
стей. Само же это объединение областью
не является: отрезок (или ломаная) с
концами А и В пересекает данную
окружность (рис. 48). Это же можно
сказать иначе:
окружность разбивает множество не принадлежащих ей то¬
чек плоскости на две области.
На рисунке 49 приведены другие примеры областей. Обра¬
тите внимание на то, что граница области (на рисунке границы
областей выделены штриховой линией) не содержится в обла¬
сти. Так, множество точек М плоскости (см. рис. 46), для кото¬
рых |ОМ| < г, есть область, но объединение этого множест¬
ва с его границей областью не является. В самом деле, для
круга не выполняется второе свойство области. Например,
точка А принадлежит кругу (О, г) (рис. 50), но не существует
круга с центром в точке А, который бы целиком лежал в дан¬
ном круге.
V Замечание. Определять геометрическую фигуру как
множество точек стали не так давно. В течение многих веков
геометры представляли себе дело иначе. Прямые или окруж¬
ности считали чем-то самостоятельным, не состоящим из точек.
Терминология, исходящая из таких представлений, сохраняется
по традиции и в настоящее время.
34
Вы могли убедиться в том, что под¬
ход к фигурам как к множествам точек
удобен. Он позволяет дать простые и
ясные определения окружности, круга,
отрезка, луча, простой ломаной, про¬
стой замкнутой ломаной, а также многих
других геометрических понятий.
Теоретико-множественный подход
иногда приводит к необходимости раз¬
личать фигуры, которые с более наивной
наглядной точки зрения неразличимы.
Как, например, различить на глаз
круг, ограниченный данной окружно¬
стью, и внутреннюю область этой ок¬
ружности или шар и внутреннюю об¬
ласть ограничивающей его сферы? Если
представить себе шар в виде апель¬
сина, то, чтобы представить себе
его внутреннюю область, потребуется
снять с него «кожуру», которая совсем
не имеет толщины.
Отвлечение от непосредственных
возможностей эксперимента харак¬
терно уже для первых шагов геомет¬
рии. Еще древнегреческие геометры
представляли прямую совсем не име¬
ющей толщины, но зато простирающей¬
ся в обе стороны неограниченно, а
точку — совсем не имеющей протяжен¬
ности. Только для этих идеальных
прямых и точек могут с полной точ¬
ностью соблюдаться такие геометриче¬
ские положения, как, например, аксио¬
ма прямой, в силу которой через две
точки проходит одна и только одна
прямая, у
а)
5)
Рис. 49
б)
Рис. 50
2*
35
Вопросы и задачи
101. 1) На сколько областей разбивают плоскость: а) две окруж¬
ности (рис. 51); б) три окружности (рис. 52)?
2)* На сколько областей могут разбивать плоскость: а) две
окружности; б) три окружности?
102. На сколько областей разбивают плоскость фигуры, которые
являются объединением лучей (рис. 53)?
103. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. На
сколько областей разбивает плоскость: 1) замкнутая ломаная
АВС; 2) объединение прямых АВ, ВС и АС?
104. Покажите, что фигуры, изображенные на рисунке 49, являют¬
ся областями.
105. 1) Объясните, почему не является областью: а) отрезок;
б) простая замкнутая ломаная; в) множество точек, не при¬
надлежащих внутренней области окружности.
2) Верно ли, что объединение внутренних областей любых
двух окружностей есть область?
106. На сколько областей могут разбивать плоскость: 1) две пря¬
мые; 2) три прямые?
Рис. 53
36
11. Многоугольник
1. Простая замкнутая ломаная раз¬
бивает множество не принадлежа¬
щих ей точек плоскости на две
области — внешнюю и внутреннюю
(одна из этих областей на рисунке 54
заштрихована). Внешняя область
характеризуется тем, что существует
прямая, все точки которой принад¬
лежат этой области; во внутренней
области таких прямых нет Дем. рис.
54). Сама ломаная не содержится
ни в одной из этих областей. Она
является их общей границей.
Определение. Объединение
простой замкнутой ломаной и ее
внутренней области называется мно¬
гие. 54
гоугольником.
Точки многоугольника, не принадлежащие его границе, на¬
зывают внутренними точками этого многоугольника, точки его
границы — граничными точками. Вершины ломаной, о которой
говорится в определении многоугольника, называют вершинами
многоугольника, а ее звенья — сторонами многоугольника. Сум¬
му длин всех сторон многоугольника называют его периметром.
По числу вершин (сторон) многоугольники делятся на тре¬
угольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д. При обо¬
значении многоугольника перечисляют его вершины в порядке
их следования. Например, четырехугольник, изображенный на
рисунке 55, можно обозначить АВСИ, ВСИА, СПАВ и т. д.
Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоуголь¬
ника, называется его диагональю. Например, отрезки АВ, СВ, •
ЕР — диагонали многоугольников (рис. 56).
37
6)
Рис. 58
2. Определение. Фигура называется выпуклой, если
она содержит любой отрезок, концы которого принадлежат
зтой фигуре.
Например, фигуры, изображенные на рисунках 57, а, г, 5,
выпуклые, а фигуры, изображенные на рисунках 57, б, в, е,
невыпуклые.
Любой треугольник является выпуклой фигурой. Много¬
угольники с числом сторон, большим трех, могут быть как вы¬
пуклыми, так и невыпуклыми (рис. 58).
Фигуру, состоящую из одной точки, и пустое множество тоже
считают выпуклыми фигурами.
Вопросы и задачи
107. Начертите треугольник, четырехугольник, пятиугольник. Вы¬
полните необходимые измерения и вычислите периметры
построенных многоугольников.
38
108°. Какая зависимость существует между числом п вершин и чис¬
лом р сторон многоугольника?
109. Верно ли, что любая ломаная разбивает плоскость на две об¬
ласти?
110. Сколько вершин может иметь многоугольник, если он яв¬
ляется пересечением: 1) двух углов; 2) двух треуголь¬
ников?
111*. Покажите на рисунках, какие фигуры могут быть пересече¬
нием двух треугольников.
112°. Назовите известные вам выпуклые фигуры.
113°.Является ли выпуклой фигурой: 1) отрезок; 2) луч; 3) фигу¬
ра, состоящая из трех точек?
114°. Является ли выпуклой фигурой: 1) треугольник; 2) четырех¬
угольник?
115°.Является ли выпуклой фигурой: 1) круговое кольцо (рис. 59, а);
2) круг без одной своей точки — центра круга; 3) плоскость
без одной своей точки; 4) полукруг (рис. 59, б)?
116. Может ли объединение двух кругов быть выпуклой фигу¬
рой?
117. Покажите на рисунках, что объединение двух выпуклых фигур
может быть как фигурой выпуклой, так и невыпуклой.
118*. Докажите, что пересечение двух выпуклых фигур есть фигу¬
ра выпуклая.
119. Начертите невыпуклый многоугольник и объясните, почему он
является невыпуклым.
120Ъ Какое наименьшее число вершин может
многоугольник; 2) невыпуклый много¬
угольник?
121. На какое наименьшее число треугольни¬
ков можно разбить выпуклый п-угольник
лучами, общее начало которых находится
в одной из вершин многоугольника
(п > 3)?
122. Верно ли, что любой многоугольник со¬
держит все свои диагонали?
123*. Существует ли многоугольник: 1) число
диагоналей которого равно числу его
сторон; 2) число диагоналей которого
больше числа его сторон?
иметь: 1) выпуклый
39
12. Полуплоскость. Угол
1. Произвольная прямая р разбивает
множество не принадлежащих ей то¬
чек плоскости на две области (рис. 60).
Точки А, В, С, например, принадле¬
жат одной области, а точки В, В, К —
другой.
Каждая из полученных областей
является выпуклой фигурой, так как
вместе с любыми двумя точками она
содержит и соединяющий их отрезок.
Например, отрезок ВВ содержится в
одной области. Итак,
14 I любая прямая разбивает множество не принадлежащих ей
| точек плоскости на две выпуклые области.
Если точки А и В принадлежат одной и той же области, огра¬
ниченной прямой р, то . существует соединяющий эти точки
отрезок или ломаная, которые не пересекают прямую р. Если
же точки принадлежат различным областям, то отрезок с кон¬
цами в этих точках (так же как и любая ломаная, их соеди¬
няющая) пересекает прямую р (см. рис. 60).
Определение. Объединение прямой р и одной из огра¬
ниченных ею областей называется полуплоскостью с границей р.
Полуплоскость с границей р принято обозначать так: [р, С),
где С — произвольная точка этой полуплоскости, не принадле¬
жащая прямой р.
2. Два луча с общим началом разбивают плоскость на две
области (рис. 61).
Определение. Объединение двух лучей с общим нача¬
лом и одной из ограниченных ими областей называется
углом.
Два луча О А и ОВ с общим нача¬
лом определяют два угла. Каждый из
них называется углом АОВ (или углом
ВО А) и обозначается А АОВ (А. ВО А).
Лучи О А и ОВ называются сторонами
угла АОВ, точка О — его вершиной.
Тот из двух углов, который хотят
рассматривать, на чертеже обычно
выделяют дугой.
40
в
Рис. 64
Если лучи О А и О В не лежат на одной прямой (рис. 62),
го один из углов со сторонами ОА и ОВ является выпуклым
углом, другой — невыпуклым. На рисунке 62 выпуклый угол
отмечен одной дугой, невыпуклый — двумя дугами.
Вы знаете, что угол называется развернутым, если его сто¬
роны составляют прямую
(рис. 63).
3. Пользуясь известными
вам геометрическими поня¬
тиями, а также понятиями
пересечения и объединения
фигур, можно определить не¬
которые другие фигуры.
Угол АОС, изображенный
на рисунке 64, является сум¬
мой углов АОВ и ВОС, Во¬
обще, объединение двух уг¬
лов, имеющих общую верши¬
ну, называется суммой этих
углов, если их пересечением
является луч.
Угол с вершиной в цент¬
ре окружности называется
ее центральным углом
(рис. 65, а). Пересечение круга
и его центрального угла назы¬
вается сектором (рис. 65, б).
Пересечение окружности и
ее центрального угла на¬
зывается дугой окружно¬
сти (рис. 65, в).
Два луча ОА и ОВ с об¬
щим началом в центре О
Рис. 65
41
а)
окружности определяют два цент¬
ральных угла. Две точки А и В
окружности определяют на ней две
дуги. Чтобы отличить эти ду¬
ги, на каждой из них отмечают
по промежуточной точке (отлич¬
ной от концов дуги) и говорят о ду¬
гах АСВ и АЬВ (рис. 66, а). Эти
дуги принято обозначать так: ^АСВ
и ^АЛВ.
Отрезок, соединяющий две точки
окружности, называется хордой этой
окружности. Хорда, проходящая че¬
рез центр окружности, называется
ее диаметром (рис. 66, б). Хорду
и диаметр окружности называют так¬
же хордой и диаметром круга, огра¬
ниченного этой окружностью.
Пересечение круга и полуплос¬
кости, граница которой содержит
хорду этого круга, называется сег¬
ментом (рис. 66, б).
Вопросы и задачи
124°. Укажите полуплоскости [т, А), [п, А), \т, В), [п, В)
(рис. 67).
125. В одной или в разных полуплоскостях с общей границей р ле¬
жат две точки А и В, если: 1) отрезок АВ не имеет с пря¬
мой р общих точек; 2) отрезок АВ имеет с прямой р
только одну общую точку, не совпадающую с концом от¬
резка; 3) точки А и В можно
соединить ломаной, не имеющей
общих точек с прямой р? (Для
каждого случая выполните ри¬
сунки.)
126. Даны две прямые т, п и две точ¬
ки А и В (см. рис. 67). Сде¬
лайте чертеж и отметьте штри-
42
ховкой пересечение и объединение полуплоскостей: а) рп,А)
и [л, А); б) [л, А) и [тп, В); в) [т, В) и [л, В).
127. Покажите, выполнив рисунки, какие можно получить фигуры
при пересечении: 1) двух полуплоскостей; 2) полуплоскости и
круга; 3) полуплоскости и окружности.
128. Даны прямая р и точка А (А$ р). Какой фигурой является
множество таких точек X плоскости, что отрезок АХ\ 1) имеет
общие точки с прямой р; 2) не имеет общих точек с этой
прямой?
129°. Является ли областью: 1) угол; 2) полуплоскость?
130°. Назовите геометрические понятия, которые были использо¬
ваны при определении: 1) угла; 2) центрального угла; 3) сек¬
тора; 4) сегмента.
131. (АВ) П (СВ) = О. По этому условию выполните рисунок и
запишите в принятых обозначениях образовавшиеся выпук¬
лые углы.
132°. Покажите на рисунке 68 объединение и пересечение углов:
1) АОВ и СОВ; 2) АОВ и АОС.
133. Установите, верны ли следующие предложения: 1) два угла,
сумма которых есть развернутый угол, являются смежными
углами; 2) два угла с общей вершиной, объединение сто¬
134.
прямые, являются вертикальными
каких полуплоскостей, заданных
1) каждый из вертикальных углов:
135.
136.
137.
рон которых есть две
углами.
Запишите, пересечением
на рисунке 67, является:
а) 211 и 213, б) 2_2 и 214; 2) каждый из смежных углов:
а) А1 и А2, б) /13 и А4.
Углы АОВ и ВОС имеют общую сторону ОВ. Верно ли, что
объединение этих углов является их суммой?
Пересечение двух углов — луч. Верно
этих углов — их сумма?
Сколько дуг и сколько центральных
углов определяют две прямые, про¬
ходящие через центр данной окруж¬
ности?
Концы отрезка КМ лежат на
нах угла АОВ. Для каких
АОВ будет выполняться
вание: 1) [МК] а Х_АОВ\
2) [МК] (^ А-АОВ!
ли, что объединение
сторо-
углов
требо-
138.
43
139*. Во внутренней области угла АОВ дана точка М. Какой фигу¬
рой является множество таких точек X, что отрезок МХ
имеет общую точку хотя бы с одной стороной угла?
13. Взаимное расположение двух окружностей
На рисунке 69, а изображены две окружности (Оь и) и (О2, г2).
Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются.
Сравнив расстояние Л между центрами О1 и О2 с радиусами
окружностей, заметим, что Л > п + г2.
3) г)
д) е)
Рис. 69
44
Представьте теперь, что первая окружность передвигается
так, что расстояние Л между центрами Ох и О2 уменьшается.
Когда расстояние между центрами станет равным сумме
радиусов (Л = Г1 + г2), окружности будут иметь только одну
общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются
внешним образом, а их общую точку называют точкой касания
(рис. 69, б).
При дальнейшем уменьшении расстояния Л окружности бу¬
дут пересекаться, т. е. иметь две общие точки (рис. 69, в). При
этом и — г2 < Л < и + (считаем п > г2).
В случае, когда к = — г2, окружности имеют лишь одну
общую точку — точку касания (рис. 69, г). Все точки окруж¬
ности меньшего радиуса, кроме точки касания, будут располо¬
жены во внутренней области окружности большего радиуса.
В этом случае говорят, что окружности касаются внутренним
образом.
При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами,
т. е. при условии к < г{ — г2 (рис. 69, 3), окружности не пересе¬
каются, т. е. не будут иметь общих точек, причем окружность
меньшего радиуса расположена во внутренней области окруж¬
ности большего радиуса. В частности, при к = 0 центры окруж¬
ностей совпадут (рис. 69, е). Окружности, имеющие общий центр,
называются концентрическими. Итак, в зависимости от соотно¬
шений между Г1, г2 и к
15 I две окружности могут не иметь общих точек, могут иметь
I одну или две общие точки.
Вопросы и задачи
140. Каково взаимное расположение двух окружностей, если
расстояние между их центрами 4 см, а радиусы соответст¬
венно равны: 1) 1 см и 3 см; 2) 3 см и 5 см; 3) 2 см и 1 см;
4) 3 см и 7 см; 5) 1 см и 4 см; 6) 4 см и 4 см?
141. Отметьте в тетради такие точки А и В, что | АВ | = 5 см.
Постройте точку X, если известно, что: 1) |АХ| = 3 см,
|ВХ| =4 см; 2) |АХ| =2 см, |ВХ| =3 см; 3) |АХ| =
= 6 см, |ВХ| = 1 см. Сколько таких точек можно построить
в каждом из этих случаев?
142. Начертите окружность (О, г) и постройте точки, принадлежа¬
щие этой окружности и находящиеся на данном расстоя¬
45
нии а: 1) от данной вне этой окружности точки М\ 2) от дан¬
ной на этой окружности точки В. Сколько таких точек можно
построить?
143. Постройте две окружности, каждая из которых проходит
через центр другой. 1) Сколько общих точек имеют эти окруж¬
ности? 2) Чему равно расстояние между их центрами?
144. Постройте точки, находящиеся на расстоянии а от данной
точки А и на расстоянии Ь от другой данной точки В. При
каком условии такие точки существуют?
145. Постройте окружность, которая касается данной окружно¬
сти (О, 2 см) в данной точке и имеет радиус, равный: 1) 1 см;
2) 2 см; 3) 3 см. Сколько окружностей можно построить
в каждом из этих случаев?
146. 1) Постройте окружность, которая касается данной окруж¬
ности (О, г) в данной на ней точке М. Сколько таких окруж¬
ностей можно построить?
2) Постройте окружность данного радиуса г, которая каса¬
ется данной окружности (01, Г|) в данной на ней точке М.
Сколько решений может иметь эта задача?
147. 1) Постройте окружность, которая проходит через данные
точки А и В (| АВ | = 2 см) и имеет радиус: а) 3 см; б) 4 см;
в) 1 см. Сколько окружностей можно построить в каждом
из этих случаев?
2) Постройте несколько центров окружностей, проходящих
через точки А и В. Какое можно высказать предположение
о множестве центров всех таких окружностей?
148. На прямой р даны точки А и В, | АВ | = й. 1) Сколько суще¬
ствует в каждой из полуплоскостей с границей р таких то¬
чек X, что | АХ| = а, | ВХ | = 2) В каком случае точка X:
а) принадлежит прямой р; б) не принадлежит прямой р?
Рис. 70
46
149*. Даны три окружности: Окр (01, Г1), Окр (Ог, г2), Окр (03, г3).
Выразите расстояния |0|02|, |О2О3| и |0103| через радиусы
И, Г2, г3 (рис. 70, а, б, в).
150**. Докажите, что если две окружности (01, Т\) и (Ог, Гг) касают¬
ся, то точка касания принадлежит прямой, проходящей че¬
рез центры этих окружностей.
151*. Постройте окружность, касающуюся двух данных концентри¬
ческих окружностей. Какой фигурой является множество
центров всех таких окружностей?
14 у. Из истории геометрии
1. Геометрия возникла из нужд практики. Большое число
правил для решения практически важных задач можно найти
уже в древнегреческих папирусах и древневавилонских клино¬
писных текстах. Древние египтяне умели вычислять площади
прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь круга
они считали равной площади квадрата со стороной диамет¬
ра. Это довольно точное приближение с ошибкой 0,6%. Наряду
с этим приводилось значительно более грубое приближение для
длины окружности, которую предлагалось считать равной ут¬
роенному диаметру (ошибка около 5%). Египтяне знали, что
треугольник, стороны которого пропорциональны числам 5, 4
и 3, имеет прямой угол. По-видимому, веревочный треугольник
с таким отношением сторон служил для разбивки прямых углов
на местности при делении полей (рис. 71). Вавилоняне в связи
с задачами астрономии умели измерять углы в градусах и ми¬
нутах.
Но все это были отдельные практически найденные рецепты,
иногда точные, а иногда лишь приближенные. Сами египтяне и
вавилоняне такого различия, по-видимому, не делали. Не было
ни точных определений, ни отчетливых доказательств.
2. Геометрия как наука систематическая, развивающаяся
при помощи строгих логических рассуж¬
дений, возникла в VI—III вв. до нашей
эры в Древней Греции. Что же позволило
греческим математикам построить строй¬
ное здание науки геометрии? Для этого
им пришлось понять, что при определе¬
нии и изучении геометрических фигур
47
следует отвлечься от некоторых свойств,
присущих окружающим нас реальным те¬
лам. Они решили заниматься свойствами
точек, совсем не имеющих размеров,
свойствами линий, совсем не имеющих
толщины, и т. д. Их не смутило то об¬
стоятельство, что «геометрическую точ¬
ку», не имеющую размеров, или прямую,
не имеющую толщины, нельзя увидеть и
«потрогать». Поговорим об этом не¬
сколько подробнее.
На практике люди имеют дело с те¬
лами, имеющими конечные размеры. Ку¬
сок оконного стекла — тело, имеющее
длину, ширину и толщину. Лишь отвле¬
каясь от его толщины, мы можем считать
его моделью геометрической поверхнос¬
ти (рис. 72). Кусок проволоки, конеч-
его поперечное сечение очень мало по срав¬
нению с длиной. Отвлекаясь от размеров поперечного сечения
проволоки, мы получаем представление о геометрической ли¬
нии (рис. 73). Лишь представив себе тело, все размеры которого
очень малы, и решившись совсем отвлечься от этих размеров,
приходим к понятию геометрической точки.
Из геометрических линий проще всего представить себе на¬
глядно отрезок, соединяющий две точки: достаточно натянуть
между этими точками шнурок, чтобы получить хорошую модель
отрезка. Отрезок можно продолжить в двух противоположных
направлениях. Лишь представив себе его уже продолженным
неограниченно, «до бесконечности», получаем наглядное пред¬
ставление о прямой. При этом мы отвлекаемся от того обстоя¬
тельства, что на практике такое продолжение отрезка «до бес¬
конечности» неосуществимо.
Мы видим, что геометрические понятия являются отвлечен¬
ными, или, как принято говорить, абстрактными понятиями
(абстракция — «отвлечение»). Реальные тела имеют не только
определенную форму и размеры, но и массу, могут быть сделаны
из железа, из дерева и т. д. Отвлекаясь от всех их свойств, кро¬
ме формы и размеров, приходят к представлению о геометриче¬
ском теле. Отвлекаясь от тех или иных размеров тел, приходят
к представлениям о геометрических поверхностях и линиях и,
48
наконец, к представлению о геометри¬
ческой точке. Но геометры нашего вре¬
мени предпочитают обратный путь:
линии, поверхности, тела и вообще гео¬
метрические фигуры они считают мно¬
жествами точек.
Можно спросить себя: для чего все
это делается? Зачем нужно это отвле¬
чение? Ответ заключается в том, что
только для абстрактных геометриче¬
ских фигур можно сформулировать
ряд простых и весьма важных предло¬
жений.
Например, в геометрии через лю¬
бые две отличные друг от друга точки
проходит одна и только одна прямая.
В чертежной практике через две дан¬
ные на чертеже точки одна определенная
=* *-
Рис. 74
Л
1
Г
Рис. 75
прямая проводится достаточно уверенно только в том случае,
когда точки расположены не слишком близко (рис. 74). А пред¬
ставьте себе, что в классе московской школы поместили одну
над другой по вертикали две точки на расстоянии 10 см (рис. 75).
С точки зрения геометрии соединяющая их прямая пройдет
сквозь Землю и выйдет на земную поверхность в определенной
точке. Практически мы не можем указать такую точку совер¬
шенно точно. Она будет находиться в южной части Тихого океа¬
на, но где именно, можно указать лишь приближенно.
3. Первый систематический курс геометрии (не дошедший
до нас) был написан Гиппократом Хиосским во второй половине
V в. до нашей эры. В III в. до нашей эры достижения древнегре¬
ческих геометров были объединены в знаменитом сочинении
Евклида «Начала».
Евклид стремился дать определения всем геометрическим
понятиям. Понятий, признанных основными и не подлежащих
определению, он совсем не выделяет. Естественно поэтому, что
как раз определения самых простых понятий у него иногда весь¬
ма расплывчаты. Показательны, например, определения: «ли¬
ния — длина без ширины», «прямая линия — такая, которая
одинаково расположена по отношению ко всем своим точкам».
Евклид перечисляет аксиомы, на которых он считает воз¬
можным обосновать всю геометрию. С современной точки
49
зрения некоторые его доказательства содержат пробелы. Совсем
безукоризненное «аксиоматическое» построение геометрии —
дело ученых конца XIX и начала XX в., когда разными автора¬
ми было дано несколько таких изложений геометрии, опираю¬
щихся на разные системы аксиом. (Одна из возможных сис¬
тем аксиом сформулирована в приложении на страницах 373,
374.)
Но шаг в этом направлении, сделанный Евклидом, был едва
ли не самым значительным.
Дополнительные задачи к главе I
152. В пунктах А, В и С находятся радиостанции местной связи;
| АВ | = 12 км, |ВС| = 15 км, | АС | = 21 км. Радиус уверен¬
ного приема станции, находящейся в пункте А, равен 9 км,
станции, находящейся в пункте В,—12 км, и станции в пункте
С— 18 км. Взяв масштаб (1 см — 3 км), изобразите на чертеже
зоны уверенного приема: 1) каждой станции; 2) двух стан¬
ций— А и В; 3) станций В и С; 4) всех трех станций; 5) хотя
бы одной станции.
153. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Покажите на
чертеже фигуру, состоящую из таких точек X, что: 1) | АХ| =
= |ВХ| = 0,5 см; 2) |АХ\ = |ВХ| = 1 см; 3) |АХ|<1,5см,
| ВХ | < 1,5 см; 4) | АХ | >* 1,5 см, | ВХ | > 1,5 см. Назовите
полученную фигуру.
154. Постройте пересекающиеся окружности (О1г Г1) и (Ог, г2), На
полученном рисунке покажите следующие фигуры:
1) Окр (Оь п) П Окр (О2, г2); 4) Кр (Оь и) 0 Кр (О2, г2);
2) Кр (Оь и) П Окр (О2, г2); 5) Окр (Оь г.) 0 Окр (О2, г2).
3) Кр (Оь г,) П Кр (О2, г2);
155. Покажите, что отношение двух величин не зависит от выбора
единицы измерения, т. е. если X) и х2 — числовые значения
величин а и Ь при единице измерения а у\ и у 2— числовые
значения этих же величин при единице измерения е2, то
Х| : х2 = у\ : 1/2.
156. Точка А лежит внутри круга (О, г), расстояние | О А | равно а.
Докажите, что круг (А, г — а) содержится в круге (О, г).
50
Рис. 77
157. На рисунке 76 изображена сеть дорог, соединяющих населен¬
ные пункты А, В, С, Б, Е, В и О, и указаны длины этих дорог
в километрах. Назовем «расстоянием» между двумя пунктами
длину кратчайшего пути между этими пунктами, проходящего
по сети дорог. 1) Найдите «расстояния»: а) |АВ|; б) |ВС| ;
в) | СБ |; г) |ОО|. 2) Проверьте, выполняются ли для этих
« расстояний» основные свойства расстояния? 3) Какие точки
лежат между точками А и В; А и Е; А и В?
158. Покажите, что пять точек могут определять 1, 5, 6, 8 или
10 прямых.
159. Точка С лежит между точками А и В, а точка X — между точ¬
ками А и С. Докажите, что точки А, В, С и X лежат на одной
прямой.
160. Точки А, В, С и О не лежат на одной прямой. Докажите, что
|АР| < |АВ| + |ВС| + |СР|.
161. На прямой р взяты точки А и В. Покажите на этой прямой
фигуру, состоящую из таких точек X, что: 1) |АХ| = |ВХ|;
2) |АХ| |АВ|; 3) |АХ| - |ВХ| = |АВ|; 4) |АХ| |ВХ|.
Назовите полученные фигуры.
162. 1) Приняв за начало координат точку О, луч ОС за положитель¬
ный, а отрезок ОЕ за единичный, найдите координаты точек
А, В, С и О (рис. 77). Найдите числовые значения расстояний
| АС|, |ВО|, |ОА | и |СО| при единице измерения |ОЕ|.
2) Найдите координаты точек О, В, С и О и числовые значе¬
ния расстояний | АС|, |ВО|, | О А | и | СО |, если принять точ¬
ку А за начало координат, луч АО за положительный, а от¬
резок АЕ — за единичный отрезок.
163. Найдите координату середины отрезка с концами А (х) и В (у).
164. На рисунке 78 изображены различные фигуры, являющиеся
объединением отрезков. Какие из этих фигур являются:
51
АБВГДЕЖИИКЛМНПП
РЕТУТХЦЧШЩЪЫЬЗЮЯ
Рис. 78
1) простыми ломаными; 2) простыми замкнутыми лома¬
ными?
165. Существует ли замкнутая ломаная, длины звеньев которой
равны: 1) 2 см, 3 см, 4 см, 10 см; 2) 3 см, 3 см, 4 см, 4 см;
3) 4 см, 5 см, 0,5 см? Ответ обоснуйте (постройте такую
ломаную, если это возможно).
166. 1) Покажите, что существует трехзвенная ломаная длиной За,
содержащая все вершины квадрата со стороной а. Докажите,
что число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
2) Покажите, что существует семизвенная ломаная длиной 7а,
содержащая все вершины куба с ребром а. Докажите, что
число звеньев и длину такой ломаной нельзя уменьшить.
167. Верно ли предложение: 1) объединение двух областей есть
область; 2) пересечение двух областей является областью?
168. Покажите, что любой выпуклый п-угольник можно получить
как пересечение п полуплоскостей.
169. 1) Докажите, что сумма длин диагоналей любого выпуклого
четырехугольника меньше его периметра, но больше полу¬
периметра. 2) Верно ли предложение 1) для любого невы¬
пуклого четырехугольника?
170. Докажите, что число диагоналей п-угольника равно ——.
2
171°. Какие геометрические понятия были использованы при опре¬
делении: 1) простой замкнутой ломаной; 2) многоугольника?
172. Начертите такие два треугольника, что их объединение —
четырехугольник, а пересечение — отрезок.
173°. Сформулируйте определение: 1) касающихся окружностей;
2) пересекающихся окружностей; 3) непересекающихся ок¬
ружностей; 4) концентрических окружностей.
174. Как расположены окружности (О|, Г\) и (Ог, Гг), если:
О
|О,О2| =5,
Г] = 2,
г2 = 3;
2)
10,02] = 7,
Г] = 3,
Г2 = 3;
3)
|О,О2| =7,
Г\ = 10,
Г2 = 3;
4)
|О,О2| =3,
г\ = 2,
г2= 5?
52
175°- На рисунке 79 изображено несколь¬
ко фигур. Их называют: 1) кольцо
(рис. 79, а); 2) восьмерка (рис. 79, б).
Сформулируйте определения этих
фигур.
176.'_ Докажите, что множество точек кру¬
га (О, г), не принадлежащих окружно- рис< 79
сти (О, г), есть область.
177- На сколько областей могут разбивать плоскость: 1) прямая
и окружность; 2) луч и окружность?
178. Может ли пересечение двух углов быть фигурой: 1) выпук¬
лой; 2) невыпуклой?
179. 1) Найдите множество центров окружностей, касающихся
данной окружности (О, г) в данной точке А.
2) Постройте окружность данного радиуса г, которая каса¬
ется двух данных окружностей (О1, Г1) и (О2, Г2), если эти
окружности: а) не пересекаются, б) касаются, в) пересека¬
ются.
180. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответст¬
венно 4 см, 5 см и 6 см. Постройте три окружности, центры
которых находятся в вершинах треугольника АВС и каждая
из окружностей касается внешним образом двух других.
181. Окружности (Оь Г1), (О2, г2) и (О3, г3) имеют общую точку
касания М, первые две из этих окружностей имеют в этой
точке внутреннее касание. 1) Найдите расстояния |О1О2|,
|О2О3| и |О1О3|. 2) Докажите, что точки 01, О2, О3 и М лежат
на одной прямой.
ГЛАВА
КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР
И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
§ 1. Конгруэнтность
15. Отображения фигур
1. Из курса алгебры вы знакомы с
понятием отображения множества на
множество. Фигура — множество то¬
чек. Поэтому можно рассматривать
отображения одной фигуры на другую.
Пример 1. Пусть Ь и — две
Рис. 80
окружности с общим центром О
(рис. 80, а). Будем считать, что каждой
точке X первой окружности соответст¬
вует та точка второй, которая лежит
на луче ОХ. Например, точке А соот¬
ветствует точка А1, точке В — точка
В1 (это записывают так: А -> А1,
В -> во.
Итак, каждой точке первой ок¬
ружности соответствует одна точка
второй. При этом каждая точка второй
окружности поставлена в соответствие
некоторой точке первой окружности.
Множество всех точек, соответствую¬
щих точкам окружности В, — окруж¬
ность Вр Мы получили отображение
окружности Ь на окружность Хр
Обозначим это отображение бук¬
вой /. Точку второй окружности,
соответствующую точке X первой ок¬
ружности, называют образом точки X
при отображении / и пишут: «Х\ =
54
= / (X). Если фигура С — часть ок¬
ружности Ь, то фигуру С1, состоящую
из образов всех точек фигуры 6,
называют образом фигуры С при
отображении / и пишут: 6( = / (6).
Например, ^А{Х^ = / ( АХ), Ьх —
= / (Ь) (см. рис. 80, а).
П р и м е р 2. Зададим отображе¬
ние окружности (О, г) на ее диаметр
АВ (рис. 80, б). Каждой точке X ок¬
ружности поставим в соответствие
точку Х1 — точку пересечения прямой АВ и перпендикуляра,
проведенного через точку X к этой прямой (точку Х^ называют
основанием перпендикуляра). Тогда каждой точке окружности
соответствует одна точка отрезка АВ, (Например, точка А
отображается на себя, точка С отображается на точку Р
и т. д.) При этом каждая точка диаметра АВ является образов
хотя бы одной точки окружности. Значит, мы задали ото¬
бражение окружности на ее диаметр АВ. Образом окруж¬
ности при рассмотренном отображении является отрезок
АВ.
Между этими двумя примерами отображений есть важное
различие. В первом примере каждая точка окружности
является образом только одной точки окружности В. Поэтому
по точке Х^ можно найти точку X, для которой точка Х{ являет¬
ся образом при отображении /. Такое отображение называется
обратимым. Отображение одного множества на другое обра¬
тимо, если каждый элемент второго множества является обра¬
зом только одного элемента первого множества. Для любого
обратимого отображения имеется отображение, ему обратное.
Если — образ точки X при отображении /, то образ точки Х±
при отображении обратном /, — точка X. Например, ото¬
бражение обратное / (пример 1), задано на рисунке 81. Ото¬
бражение, заданное во втором примере, необратимо: точка Р
является образом двух различных точек С и Б (рис. 80, б).
Такое отображение не имеет обратного.
2. В приведенных двух примерах рассмотрены отображения
одной фигуры на другую. Рассмотрим теперь отображения,
при которых образом фигуры является она сама, т. е. отобра¬
жения фигуры на себя.
Пример 3. Любую фигуру, в том числе и плоскость,
55
можно отобразить на себя с по¬
мощью тождественного отобра¬
жения Е, при котором каждая
точка X этой фигуры отобража¬
ется на себя:
Е (X) = X.
Пример 4. Пусть С —
точка внутренней области ок¬
ружности (рис. 82, а), X — про¬
извольная точка этой окруж¬
ности. Образом точки X будем
считать вторую точку пересече¬
ния прямой СХ с этой окруж¬
ностью — точку Х{.
Получили отображение ок¬
ружности на себя. В самом де¬
ле, каждой точке окружности
соответствует единственная точ¬
ка этой же окружности (напри¬
мер, точке М соответствует точ¬
ка ЛГ1). И каждая точка окруж¬
Рис. 82
ности является* образом единственной точки этой же окружности
(например, точка есть образ точки X). Рассмотренное ото¬
бражение обратимо.
Пример 5. Введем координаты на прямой р и каждой
точке М (х) прямой р поставим в соответствие точку пря¬
мой р, которая имеет координату х + 2. Тогда каждая точка
прямой р отобразится на определенную точку этой же прямой р.
Например, точка А (3) отобразится на точку А{ (5), точка
В (—6) — на точку В1 (—4); начало координат О отобразится
на точку С (2). И каждая точка прямой будет образом некоторой
точки этой же прямой. Например, точка В (—6) является обра¬
зом точки К (—8) и т. д. Значит, имеем отображение прямой р
на себя. Это отображение тоже обратимо.
▼ Пример 6. Каждой точке X отрезка АВ (рис. 82, б)
поставим в соответствие основание перпендикуляра, проведен¬
ного через точку X к отрезку СР. При этом А -> А1, В -> Вв
М -> М{ и т. д. Каждая точка X отрезка АВ отобразится на
определенную точку Х{ отрезка СР. Но среди точек отрезка СР
56
есть такие точки, которые не являются образами точек отрезка
АВ при заданном отображении (обозначим его через /).
Итак, образы всех точек отрезка АВ составляют только
отрезок А1В1 (но не весь отрезок СБ\). Значит, / отображает
отрезок АВ на отрезок А^В^ Можно сказать также: «/ отобра¬
жает отрезок АВ в отрезок СВ», но нельзя говорить: «отрезок
АВ отображается на отрезок СВ». у
Вопросы и задачи
182. На рисунке 83 задано отображение / ломаной АХВСИ на
отрезок А[В1: каждой точке X ломаной соответствует та точ¬
ка отрезка, которая лежит на луче ОХ. Ответьте на следую¬
щие вопросы и запишите ответы в принятых обозначениях
(например, /(А) = А\, А->А\). 1) Какая точка является обра¬
зом точки А? точки X? точки В? 2) Какая точка ломаной отоб¬
ражается на точку М\1 на точку В1? на точку В1? 3) Образом
какой точки является точка А\1 точка Х1? точка С1? 4) Явля¬
ется ли отображение / обратимым?
183. На рисунке 84 задано отображение
квадрата АВСО на отрезок А\Б[:
каждой точке X квадрата соответ¬
ствует основание перпендикуляра,
проведенного через точку X к пря¬
мой А1Вь 1) На какую точку отрез¬
ка отображается точка С? точка В?
точка А? 2) Образом какой точки
является точка точка Р1? 3) Об¬
ратимо ли это отображение?
184. Постройте образы нескольких то¬
чек при отображении: 1) отрез¬
ка АВ на отрезок СВ (рис. 85, а),
если соответствующие точки отрез-
. ков лежат на лучах с началом М;
2) луча ОМ на луч ОN (рис. 85, б),
если соответствующие точки этих
лучей лежат на окружности с цент¬
ром О и О—>О; 3) замкнутой лома¬
ной АВС на окружность (О, г)
(рис. 85, в), если соответствующие
точки лежат на лучах с началом О.
4) Обратимы ли эти отображения?
Рис. 83
& М К
р<
Н
N
г
:—I
А Р, Н, Э,
Рис. 84
57
185. Две окружности касаются: 1) внеш¬
ним образом; 2) внутренним обра¬
зом. Покажите, выполнив рисунки,
как можно отобразить одну из этих
окружностей на другую.
186. На данной окружности отметьте
точку М. Укажите образ этой точки
при: 1) тождественном отображении
этой окружности; 2) симметрии
относительно центра окружности.
187. Задайте (выполнив рисунок) ото¬
бражение, отличное от тождествен¬
ного, при котором отображается на
себя: 1) отрезок АВ; 2) замкнутая
ломаная АВС; 3) квадрат АВСБ;
4) окружность (О, г).
188. При каких из указанных ниже отоб¬
ражений координатная прямая отоб¬
ражается на себя:
1) А (х) -> Аг (2х);
2) А(х)^А^
3)
4) А(х)^А1{х — 1);
5) +
6) А (х) А, (—х)?
189*. 1) Укажите при помощи стрелок
все отображения фигуры {А, В, С}
на себя (например, тождественное
отображение этой фигуры записы¬
вается так: В->В, С->С).
2) Для одного из этих отображений укажите обратное.
190. 1) На координатной плоскости задана фигура В (рис. 86, а).
Каждой точке Р(х, у) поставлена в соответствие точка:
а) Р'(3х, Зу); б) Р'(—2х, —2у). Постройте образы фигуры В
при этих отображениях.
2) На координатной плоскости задана окружность (рис. 86, б).
Каждой точке Р(х, у) окружности поставлена в соответствие
точка Р'(х, ~ у). Постройте образ данной окружности при
этом отображении.
58
16. Отображения, сохраняющие расстояния
1. Рассмотрим два примера отображений фигуры на фигуру.
Пример 1. Каждой точке X окружности (О, г) поставим
в соответствие точку пересечения луча ОХ с окружностью
(О, П) (рис. 87). Получим отоб¬
ражение первой окружности на
вторую. Измерив расстояние
между произвольными двумя
точками А и В первой окруж¬
ности и расстояние между их
образами А1 и Вь получим, что
эти расстояния различны. За¬
данное отображение не сохра¬
няет расстояний между точками.
Пример 2. Рассмотрим
два отрезка одинаковой длины—
ОМ и ОЛГ1 (рис. 88). Зададим от¬
ображение отрезка ОМ на отре¬
зок ОМр Для этого на прямых
ОМ и ОМ1 введем координаты,
выбрав общую единицу измере¬
ния, приняв за начало координат
точку О, а за положительные
лучи — лучи ОМ и ОМ\. Поста¬
вим в соответствие каждой точ¬
ке X отрезка ОМ точку Х^
Рис. 88
59
отрезка ОМЬ имеющую ту же координату, что и точка X. Полу¬
чим отображение отрезка ОМ на отрезок ОМ^. Для любых
двух точек А и В отрезка ОМ расстояние между образами А1
и В1 этих точек равно |АВ|.
V В самом деле, по теореме 11
| -АВ | = |хв — хА 1.
Но образы и В1 точек А и В имеют те же самые координаты,
что и точки А, В. Следовательно,
|Л1В1| = |хв, — хА1 | - \ хв — хА I = | АВ|. ▼
Если отображение фигуры В на фигуру 1ц таково, что рас¬
стояние между образами Л1 и В1 любых двух точек А и В фигу¬
ры В равно расстоянию |АВ|, то говорят, что это отображение
сохраняет расстоян ия.
2. Отображения, сохраняющие расстояния между точками,
обладают рядом свойств, которыми не обладают другие из рас¬
смотренных нами отображений. Так, мы видели, что если ото¬
бражение фигуры на фигуру не сохраняет расстояния, то обра¬
зом ломаной, например, может оказаться окружность, а не лома¬
ная (см. рис. 85, в), образом квадрата — не квадрат, а отрезок
(см. рис. 84). Напротив, при любом отображении, сохраняю¬
щем расстояния, каждая фигура отображается на фигуру того
же названия, т. е. образом отрезка является отрезок, образом
круга — круг, образом прямой — прямая и т. д.
Отображения, не сохраняющие расстояния, могут быть не¬
обратимыми (см. пример 2, п. 15). Для отображений, сохраняю¬
щих расстояния, имеет место следующая теорема.
16 Э Теорема. Отображения, сохраняющие расстояния, об-
| рати мы. Обратные к ним отображения тоже сохраняют рас-
| стояния.
▼ Доказательство. Пусть / — отображение, сохра¬
няющее расстояния, X и У — две различные точки и
1(Х) = /(У) = У в
Так как точки X и У различны, то ] XX| > 0 (по первому
свойству расстояний). Но | Х1У11 = | XX| (так как отображе¬
ние / сохраняет расстояния). Значит, | Х1У11 > 0, т. е. точки Х^
и У1 различны.
Итак, при отображении / две различные точки не могут
иметь один образ, т. е. это отображение обратимо и, значит,
имеет обратное отображение.
60
Отображение, обратное к Д тоже сохраняет расстояния.
В самом деле, если точки и — образы 'точек X и У при
отображении Д то при отображении, обратном к Д образами то¬
чек Х1 и У1 являются точки X и У соответственно. А так как /
сохраняет расстояния, то |ХУ| = |Х1У1|. у
Вопросы и задачи
191. На рисунках 89 и 90 заданы отображения ломаных на отре¬
зок. 1) Какие из этих отображений обратимы? 2) Выполняют¬
ся ли для этих отображений равенства: | АХ| = |А1Х1|,
| ХУ | = |Х1У] | ? 3) Сохраняются ли при этих отображениях
расстояния?
192. Задано отображение фи¬
гуры Ь на фигуру Ь\. Про¬
извольной точке X фигу¬
ры Ь соответствует сим¬
метричная ей относитель¬
но оси I точка фигуры Ь\
(рис. 91).
1) Назовите образы точек
А, В, С.
2) Образами каких точек
являются точки (2, Х\, КЗ
3) Какому отрезку соот¬
ветствует отрезок КМЗ
отрезок КХ\3
4) На какие фигуры отоб¬
ражаются: точки Р и В;
отрезок ВС; ломаная
РАВСЗ
5) Верно ли равенство
|ХР| = 1X10? Сохраня¬
ются ли при этом отобра¬
жении расстояния?
6) Покажите, что это ото¬
бражение обратимо. Ука¬
жите образы нескольких
точек и фигур при ото¬
бражении, обратном дан¬
ному.
61
193. На рисунке 92 задано отображение от¬
резка АВ на отрезок СО. 1) Какая точ¬
ка является образом точки У? На ка¬
кие фигуры отображаются отрезки
ХУ и АУ? 2) Образами каких фигур
являются отрезки БХ\ и СО? 3) Явля¬
ется ли рассматриваемое отображе¬
ние обратимым? 4) Сохраняются ли
при этом отображении расстояния?
194. Дан угол М01Ч. Каждой точке сто¬
роны ОМ соответствует та точка сто¬
роны О1У, которая лежит на окруж¬
ности с центром О; вершина угла
отображается на себя (см. рис. 85, б).
1) Отображение какой фигуры на ка¬
кую здесь задано? 2) На какой отрезок
отображается отрезок ОУ? Образом
какого отрезка является отрезок ОЛ?
3) Сохраняются ли при этом отобра¬
жении расстояния? 4) Покажите, что
это отображение обратимо. Укажите
образы нескольких точек и фигур
при отображении, обратном данному.
195. Каждой точке полуокружности соответствует точка ее диамет¬
ра (рис. 93). Точки А и В отображаются на себя. 1) Отображе¬
ние какой фигуры на какую здесь задано? 2) Обратимо ли это
отображение? 3) Сохраняются ли при этом отображении рас¬
стояния? (Проверьте измерением.)
196. Верны ли предложения: 1) любое обратимое отображение
сохраняет расстояния; 2) любое сохраняющее расстояния
отображение обратимо?
197*. 1) Укажите все сохраняющие расстояния отображения фигу¬
ры, состоящей из точек А, В и С на себя, если: а) | АВ| = 3,
|ВС| = 4, |АС| = 5; б) |АВ| = \ВС\ = 4, |АС| = 5;
в) |АВ\ = |ВС| = |АС| = 5.
2) Для каждого из найденных отббражений укажите отобра¬
жение, ему обратное.
198. Сохраняют ли расстояния следующие отображения коорди¬
натной прямой на себя: 1) Р (х)->Р'(2х); 2) Р (х)->Р'(—х);
3) Р (х)->Р'(х + 2); 4) Р(х)-^Р'(-х-3)?
17. Конгруэнтные фигуры
В младших классах вы говорили, что две фигуры равны,
если их можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
Так, например, фигуры и 1/2» Ъг и Ъз (рис. 94) равны.
Геометрическая фигура есть множество точек. Два множе¬
ства называются равными лишь в том случае, когда они состоят
из одних и тех же элементов или оба не имеют элементов. На¬
пример, множество М = {а, 7, 1, Ь} равно множеству М[ =
= {а, &, 1, 7}. Иначе говоря, равные множества — это одно
и то же множество. Но фигуры, изображенные на рисунке 94,
не являются равными множествами. Они не состоят из одних
и тех; же точек. Поэтому сказать, что такие фигуры «равны», было
бы неточно. Мы будем говорить, что эти фигуры конгруэнтны.
Дадим определение конгруэнтных фигур. Для этого выясним,
какими свойствами обладают фигуры, которые «можно наложить
друг на друга так, чтобы они совпали».
Пусть, например, треугольник АВС можно «наложить»
на треугольник так, чтобы они
Скопируем треугольник АВС на кальку,
на треугольник А^В^С^. Тогда копия
каждой точки X треугольника АВС
«совпадет» с определенной точкой
треугольника А^В^С^.
Значит, для каждой точки X тре¬
угольника АВС можно указать соот¬
ветствующую ей точку Х1 треуголь¬
ника АрВ1С1. Получаем отображение
треугольника АВС на треугольник
А1В1С1. Нетрудно заметить, что при
этом произвольные две точки М и N
треугольника АВС отображаются на
такие точки и треугольника
А1В1С1, что расстояния | ЛГ№| и | 1
равны. Итак, треугольник АВС можно
отобразить на треугольник А^В^С^ с
сохранением расстояний между точ¬
ками.
Следовательно, понятие «конгруэн¬
тные фигуры» можно определить с по¬
мощью понятия «отображение».
«совпали» (рис. 95).
Наложим эту кальку
63
Определение. Фигура конгруэнтна данной фигуре 1,
если Ь можно отобразить на нее с сохранением расстояний.
Если фигура конгруэнтна фигуре 1ч, то будем писать:
I/,.
Рассмотрим еще один пример конгруэнтных фигур. Как по¬
казано выше (пункт 16, пример 2), если длины отрезков ОМ и
ОьМг равны, то существует сохраняющее расстояния отобра¬
жение одного из этих отрезков на другой. Следовательно,
[ОхМх]^ [ОМЪ
В дальнейшем будем пользоваться следующими свойствами
отношения конгруэнтности фигур:
1) каждая фигура конгруэнтна себе (свойство рефлексив¬
ности):
Ь Ь',
2) если фигура Ъ2 конгруэнтна фигуре то и фигура 1ч
конгруэнтна фигуре Ь2 (свойство симметричности):
если Ь2 то I/! Ь2
(поэтому говорят, что две фигуры конгруэнтны друг другу,
не обращая внимания на порядок, в котором они названы);
3) две фигуры, конгруэнтные третьей, конгруэнтны (свой¬
ство транзитивности):
если = Ъ2 и Ь2 = то Ьх = Ь3.
Сказанное можно сформулировать короче:
17 Й отношение конгруэнтности фигур рефлексивно, симметрия-
■ но и транзитивно.
V Докажем первое свойство. Пусть Ь — некоторая фигура.
Каждой ее точке X поставим в соответствие эту же точку X.
Получим тождественное отображение фигуры Ъ на себя. Оно
сохраняет расстояния, так как для любых точек А и В имеет
место равенство |АВ| = |АВ|. Значит, Ь а* Ь.
Второе свойство конгруэнтности фигур непосредственно сле¬
дует из теоремы 16.
Объясним замысел доказательства третьего свойства. Если
фигура Ьх конгруэнтна фигуре Ь2, то копию фигуры Ьх можно
наложить на фигуру Ь2 (см. рис. 94). Затем эту же копию мож-
64
но наложить и на фигуру В3, так как Ь2 = Вз* Поэтому фигуру
1ц можно отобразить на фигуру Ь3 с сохранением расстояний,
т. е. Ь3. ▼
Вопросы и задачи
199°. Какие фигуры называются конгруэнтными?
200. Запишите в принятых обозначениях: 1) фигура Т конгруэнт¬
на фигуре Т\; 2) отрезок АВ конгруэнтен отрезку СВ;
3) луч АС конгруэнтен лучу ВВ.
201. Пусть отображение / сохраняет
расстояния и /(А) = Р, ЦВ) = С},
/(С) = В. 1) Найдите расстояния
|РС|Г |0Я|, \РН\, если |АВ| = 7,
| ВС | = 7, | АС | = 12. 2) Назовите
подмножества фигуры (Р, О, В}, кон¬
груэнтные фигурам {А, В}, {А, С},
{В, С}.
202°. Конгруэнтны ли две фигуры, сим¬
метричные относительно: 1) данной
прямой; 2) данной точки?
203. Какие из фигур, изображенных на
рисунке 96, конгруэнтны?
204. Начертите какую-либо фигуру и по¬
стройте фигуру, ей конгруэнтную.
(Для построения можно восполь¬
зоваться линейкой, циркулем, уголь¬
ником, калькой.)
205*. На рисунке 97 задано отображение
/ фигуры {С, В, Е} на фигуру
(А, В); |АВ| = |СО| = |ОЕ| =
= | СЕ |. Верно ли, что: 1) отображе¬
ние / сохраняет расстояния; 2) фи¬
гуры {С, В, Е} и {А, В} конгруэнт¬
ны; 3) фигуры {А, В} и {С, В},
{А, В} и {Е, С} конгруэнтны?
206°. Может ли фигура, состоящая из
двух точек, быть конгруэнтной фигу¬
ре, состоящей из трех точек?
а) в2
5)
6)
Рис. 96
3
Заказ 354
65
207. Отметьте на плоскости три точки А, В, С. Постройте при
помощи циркуля фигуру {О, Е, М}, конгруэнтную фигуре
{А, В, С}.
208*. Начертите два конгруэнтных треугольника АВС и А1В1С1
и отметьте точку X, принадлежащую первому из них. Построй¬
те образ точки X при каком-либо отображении первого тре¬
угольника на второй, сохраняющем расстояния.
209**. Начертите два конгруэнтных квадрата АВСО и КМРТ и от¬
метьте точку X, принадлежащую первому из них. 1) Постройте
образ точки X при сохраняющем расстояния отображении
первого квадрата на второй, если: а) А->К, В-+М; б) С->Р,
В->Т. 2) Сколько образов точки X может быть построено при
различных отображениях первого квадрата на второй с сохра¬
нением расстояний?
210*. Докажите, что два отрезка различной длины не конгруэнтны.
211*. Докажите, что две окружности различных радиусов не кон¬
груэнтны.
212*. Три точки А, В и С не лежат на одной прямой. Точки А1, В]
и С1 — различные точки одной прямой. Докажите, что фигуры
{А, В, С} и {А 1, В1, С\} не конгруэнтны.
18. Измерение углов
1. Вы уже умеете измерять углы в градусах. Рассмотрим не¬
которые свойства величин углов.
1) Как известно, каждый угол можно разделить пополам,
т. е. представить его в виде суммы двух конгруэнтных углов.
Углы можно делить и на большее число частей. Так, проведя
сначала биссектрису угла АОС, а затем биссектрисы углов АОВ
и ВОС, получим четыре конгруэнтных
угла, сумма которых — угол АОС
(рис. 98). Справедливо такое общее ут¬
верждение:
1811 любой угол можно разделить на п *
I конгруэнтных углов (п — произ-
|вольное натуральное число).
Разделим развернутый угол на 180
конгруэнтных углов. Величину каждо¬
го из этих углов называют градусом
(обозначается так: 1°). За величину уг¬
ла, являющегося суммой целого числа
к углов в один градус, принимают к°.
Например, величина развернутого уг¬
ла равна 180°.
Величины углов, не являющихся
суммой целого числа углов в один гра¬
дус, выражают через градусы прибли- рИс. 99
женно. При измерениях углов, требующих высокой точности (на¬
пример, в астрономии или навигации) пользуются и более мел¬
кими единицами измерения. Такими единицами являются одна
минута (1') и одна секунда (1"). Минутой называют — часть
* п(1
градуса. Минута — это величина каждого из 60 углов, получен¬
ных при делении угла в один градус на 60 конгруэнтных углов.
Разделив в свою очередь угол в одну минуту на 60 конгруэнт¬
ных углов, получим углы величиной в одну секунду:
1' = —. г, 1" = — . 1' = — . 1°.
60 60 3600
2) На рисунке 99 изображены конгруэнтные углы:
Х-АОВ А Б ЕР.
Измерив эти углы, мы получим, что они имеют одну и ту же
величину:
АОВ = ЛЕР.
Вообще,
182| два угла конгруэнтны тогда и только
I чины равны.
тогда, когда их вели-
3)
(рис.
Пусть угол АОС является суммой
100). Тогда:
АОС = АОВ + ВОС.
углов
АОВ и ВОС
3»
67
Справедливо предложение:
1831 величина суммы двух углов равна сумме величин этих
I углов.
4) Построим с помощью транспортира угол с данной сторо¬
ной, имеющий заданную величину а (на рис. 101, а а = 80°, на
рис. 101, б а = 230°). Очевидно, при любом значении а можно
построить два таких угла. Это утверждение'сформулируем сле¬
дующим образом:
181 от любого луча можно отложить два угла заданной ее-
I личины.
2. Прямым углом называется угол, конгруэнтный своему
смежному. Величину прямого угла часто обозначают буквой й.
Так как величины конгруэнтных углов равны, а сумма смежных
углов — развернутый угол, то 2й = 180° и, следовательно,
а = 90°.
При пересечении двух прямых образуются четыре выпуклых
угла (отличных от развернутого). Пусть один из этих углов
прямой (рис. 102). Тогда, как это легко проверить, и другие
три угла тоже прямые.
Если при пересечении двух прямых образуются четыре пря¬
мых угла, то такие прямые называются взаимно перпендикуляр¬
ными. Говорят также, что каждая из этих прямых есть перпен¬
дикуляр к другой. Для построения перпендикуляра к данной
прямой р, проходящего через данную точку О, пользуются чер¬
тежным угольником (рис. 103, а и б). Проводя такие построе¬
ния, можно наглядно убедиться в справедливости утверж¬
дения:
191 через любую точку плоскости проходит один и только один
I перпендикуляр к данной прямой.
68
А
—*
В
Рис. 104
этих углов: 1)
в гра-
единице измерения,
Вопросы и задачи
213°. Сформулируйте определение биссек¬
трисы угла.
214. При помощи транспортира и линейки
постройте углы, величины которых
равны: 1) 70°; 2) 110°; 3) 229°; 4) 330°.
215. Угол величины 45° разделили на п
конгруэнтных углов. Запишите величины
дусах; 2) в градусах и минутах; 3) при
равной д,, если п равно 2; 3; 6; 10.
216. Запишите следующие величины в порядке их возрастания:
67°42'; 0,75 й; 67°45".
217. Выполните указанные действия:
1) 45°30'45" + 44°29'15"; 2) 83с05'30" + 22°45'55";
3) 93°35'20" — 45°40'15"; 4) 102°43'15" — 50°50'30";
5) 3 • 20°15'30"; 6) 4 • 30°25'15"; 7) 144°50'22" : 3.
218. Докажите, опираясь на свойства величин углов:
1) сумма величин смежных углов равна 180°;
2) величины вертикальных углов равны.
219. При помощи транспортира измерьте величины всех выпук¬
лых углов, образовавшихся при пересечении двух прямых
(рис. 104). Сколько углов достаточно измерить, чтобы отве¬
тить на поставленный вопрос?
220. Начертите произвольный отрезок АВ. 1) Постройте с по¬
мощью транспортира треугольник АВС, если: а) А — 45°,
В = 75°; б) А = 30°, В = 60°. Измерьте угол С. 2) Сколько
различных треугольников можно построить по этим данным?
221. Постройте прямую, перпендикулярную к данной прямой а
и проходящую через данную точку В, если: 1) В^а; 2) В $ а.
222. Докажите, что если один из четырех выпуклых углов, об¬
разованных двумя пересекающимися прямыми, имеет вели¬
чину 90°, то и величины трех других углов равны 90°.
223. Докажите, что угол между биссектрисами двух смежных
углов равен 90°.
224°. Сформулируйте определения тупого и острого углов.
225. Как известно, азимутом (магнитным) данного направления
называется угол между осью магнитной стрелки и данным
направлением. Азимуты отсчитываются от направления на
север по часовой стрелке от 0° до 360°. Например, азимут
направления ОМ — острый угол в 70° (рис. 105, а).
69
На рисунке 105, б дана схематичная карта Подмосковья.
1) Определите азимуты направлений от Москвы на Загорск,
Клин, Воскресенск, Каширу, Серпухов, Крюково, Можайск.
2) Чтобы определить по карте маршрут перехода, необходи¬
мо найти азимуты каждого из направлений этого маршрута.
Сделайте это, используя карту Подмосковья, для маршрутов:
а) Кубинка — Малоярославец; б) Кубинка — Волоколамск;
в) Крюково — Пушкино; г) Барыбино — Подольск.
§ 2. Перемещения
19. Поворот
Нарисуем на листе бумаги какую-либо фигуру Б и отметим
точку О (рис. 106, а). Положим на лист бумаги лист кальки,
покрывающий фигуру Б и точку О. Проколем оба листа в точ¬
ке О булавкой. Скопируем на лист кальки фигуру Б и повернем
°) Рис. 106 6)
70
О
кальку вокруг точки О (рис. 106, б). Тогда копия фигуры Ь
займет на плоскости новое положение Говорят, что фигура
получается из фигуры Ь при помощи поворота вокруг цент¬
ра О. Каждой точке X фигуры Ь при этом повороте соответст¬
вует некоторая точка Х1 фигуры 1^, и каждая точка фигуры 1ц
является образом некоторой точки фигуры X. Получаем отобра¬
жение фигуры I/ на фигуру 1^.
Легко заметить, что при повороте кальки вокруг точки О
копии всех точек фигуры Ь перемещаются в одном и том же
направлении (все против часовой стрелки или по часовой стрел¬
ке) на угол одной и той же величины (эту величину называют
углом поворота). Иначе говоря, для любых двух точек X и У
фигуры Ъ и их образов Х^ и У4
ХОХ1 = УОУ! = а,
причем углы ХОХ1 и УОУ! отложены от лучей ОХ и ОУ соот¬
ветственно в одном и том же направлении (на рис. 107, а пока¬
зан поворот против часовой стрелки на 60°, а на рис. 107, б —
поворот на 60° по часовой стрелке).
При повороте с центром О на угол а фигура Ь отобразится
на ту же фигуру Г], что и при повороте вокруг точки О на угол
360° — а, но в противоположном направлении (рис. 108). Один
из углов а или 360° — а не превышает 180°. Таким образом,
любой поворот на угол, больший 180°, является поворотом
на угол, меньший 180°. Поэтому можно ограничиться рассмот¬
рением поворотов на углы, не превышающие 180°.
Итак, поворот фигуры задается указанием: 1) центра О,
2) угла поворота а (0° а < 180°) и 3) направления поворота.
Если центр О, угол а и направление поворота заданы,
то точка — образ точки X — строится так: от луча
ОХ в заданном направлении откладывается угол ХОА величи-
71
ны а (рис. 109) и на луче ОА нахо¬
дится точка Хи лежащая на расстоя¬
нии | ОХ\ от центра О.
Описанный способ получения образа
точки X применим к любой точке пло¬
скости. Что же получится, если за
фигуру Ь принять всю плоскость? Полу¬
чится отображение всей плоскости на се¬
бя, которое называют поворотом с цент¬
ром О на угол а в заданном направлении.
Действительно, каждая точка плос¬
кости будет иметь образ, полученный
указанным способом. И для любой точ¬
ки М\ плоскости “найдется такая точка М, образом которой
при этом повороте является Получить эту точку М очень
просто: надо построить образ точки при повороте вокруг
центра О на тот же угол а в направлении, противоположном
направлению данного поворота (см. рис. 109). Дадим теперь
определение поворота.
Определение. Поворотом с центром О на угол а
(0° а 180°) в заданном направлении называется отображе¬
ние плоскости на себя, при котором точка О отображается на
себя, а любая другая точка X —на такую точку Хц что:
1) расстояния |ОХ| и |ОХГ\ равны;
2) угол ХОХГ имеет величину а и отложен от луча ОХ в задан¬
ном направлении.
Поворотом на 0° считают тождественное отображение плос¬
кости.
Примем без доказательства следующее важное свойство по¬
ворота:
20 I пРи повороте расстояния сохраняются.
Наглядная убедительность этого предложения ясна из ска¬
занного в начале пункта. В самом деле, расстояния между ко¬
пиями произвольных точек X и У плоскости — точек Х\ и
У1 — при повороте кальки вокруг точки О, конечно, не меня¬
ются (см. рис. 106,6). Значит, | Х1У11 = | XV|.
Ранее было сказано (теорема 16), что отображение, сохра¬
няющее расстояния, имеет обратное. Отображение, обратное
повороту, есть поворот с тем же центром О и на тот же угол,
но в противоположном направлении.
12
Далее мы познакомимся с другими отображениями плоско¬
сти на себя, сохраняющими расстояния (в п. 21 рассматривается
осевая симметрия, а в п. 36 — параллельный перенос). В гео¬
метрии такие отображения плоскости играют важную роль и
поэтому получили специальное название — перемещения.
Определение. Отображение плоскости на себя, сохра¬
няющее расстояния, называется перемещением.
21 I Теорема. При перемещении любая фигура отображается
I на конгруэнтную ей фигуру.
Доказательство. При перемещении любая пара
точек Хи У фигуры В отображается на такую пару точек и
У1 фигуры (1/1 — образ фигуры I/), что | Х1У11 .= | ХУ\ (пере¬
мещение сохраняет расстояния!). Это и означает, что = Ь. ■
Вопросы и задачи
226. Заданы центр поворота О и точка М. Постройте образы точ¬
ки М при поворотах с центром О на углы 30°, 60°, 120°, 180°.
(Направление поворота — против часовой стрелки.)
227°. На какую фигуру отображается при повороте: 1) прямая, про¬
ходящая через центр поворота; 2) окружность, центр которой
совпадает с центром поворота; 3) угол с вершиной в центре
поворота?
228. 1) Постройте образ данного отрезка АВ при повороте вокруг
центра О на данный угол а.
2) Постройте образ данного угла АВС при повороте на дан¬
ный угол а вокруг данного центра О, лежащего вне угла.
229. Стороны АО и ВО треугольника АОВ конгруэнтны, АОВ = а.
Постройте образ этого треугольника при повороте вокруг
центра О: 1) на угол а в направлении против часовой стрелки;
2) на угол а в направлении по часовой стрелке; 3) на угол
а = 100° в направлении по часовой стрелке.
230. Постройте образ данного прямого угла при повороте во¬
круг вершины угла на 45° против часовой стрелки. Отметьте
штриховкой: 1) объединение данного и построенного углов;
2) пересечение этих углов.
231. Постройте несколько центров поворотов, при которых дан¬
ная точка А отобразится на другую данную точку В.
232. Какие фигуры, составленные из конгруэнтных полукругов
(рис. 110), при некотором нетождественном повороте отобра¬
жаются на себя?
233. Укажите центры и углы поворотов, при которых фигуры, изо-
73
а) 6)
6) г) д)
Рис. 110
е) ж)
•Е
Рис. 112
браженные на рисунке 111, а,
отображаются на себя.
234. Докажите, что многоугольник
А1А2А3А4А5А6А7А8 (рис. 1116)
при некоторых поворотах с цент¬
ром О отображается на себя.
Найдите углы этих поворотов.
235. Укажите пары конгруэнтных
отрезков и углов, изображен¬
ных на рисунке 111, 6.
236. Начертите несколько фигур,
каждая из которых при неко¬
тором нетождественном пово¬
роте отобразится на себя. Для
каждой из этих фигур укажите
центр поворота и возможные
углы поворота.
237*. Сколько существует переме¬
щений, отображающих одну
данную фигуру на другую дан¬
ную фигуру, если этими фигу¬
рами являются: 1) точки; 2) лу¬
чи; 3) прямые; 4) конгруэнт¬
ные окружности; 5) отрезки?
238. На лучах ОМ и О\М\ выбраны
такие точки А и А\, что |ОА | =
= |О1А1|. Докажите, что при
любом перемещении, отобра¬
жающем луч ОМ на луч О\МЬ
образ точки А — точка А^
239. Постройте образы точек А, В,
С, И, Е при перемещении, ото-
бражающем луч ОМ на луч
О1Л/1, а полуплоскость а на по¬
луплоскость а] (рис. 112).
74
240. Ниже заданы отображения плоскости. Покажите, что ни одно
из них не является перемещением.
1) /[(А) = В, = остальные точки плоскости отобра¬
жаются на себя (А В),
2) /2(0) = О, произвольная точка X плоскости отображается
на такую точку Х\ луча ОХ, что |ОХ11 = к | ОХ | (к — любое
положительное число, не равное единице).
3) Образом произвольной точки X плоскости является основа¬
ние перпендикуляра, проведенного из точки X к прямой р.
241. Приведите примеры фигур, для которых существует несколь¬
ко поворотов, отображающих эти фигуры на себя.
20. Центральная симметрия
При а #= 0° и а #= 180° существуют два поворота с заданным
центром О на угол а: один в направлении по часовой стрелке,
а другой — против часовой стрелки. Но при а = 0° такой по¬
ворот лишь один — это тождественное отображение плоскости.
Особый случай мы получим и при а = 180°. Существует
лишь один луч с началом О, образующий с данным лучом ОМ
угол 180°, — это луч ОЛГ1 прямой ОЛТ, противоположный лу¬
чу ОМ (рис. 113). На луче ОМ^ имеется лишь одна точка Х^
удаленная от О на расстояние |ОХ\. Следовательно, образ лю¬
бой точки плоскости при поворотах с центром О на угол 180°
не зависит от направления поворота, и, значит, существует
лишь один поворот с заданным центром на 180°.
Из построения видно (см. рис. 113), что образ произвольной
точки X плоскости при этом повороте — это такая точка Х^
что центр О — середина отрезка ХХ^. Как вы уже знаете, та¬
кие точки X и Х1 называют симметричными относительно точ¬
ки О. Поворот на 180° называется центральной симметрией.
Симметрию с центром О обозначают %0.
Рассмотрим свойства центральной симметрии.
22 | Центральная симметрия есть перемещение.
Справедливость этого свойства сразу следует из предложе¬
ния 20. Свойством 22 мы будем часто пользоваться при доказа¬
тельствах конгруэнтности фигур. Докажем, например, уже
известное вам предложение:
вертикальные углы конгруэнтны.
Как известно, вертикальные углы АОВ и СОБ (рис. 114)
симметричны относительно точки О,
75
точка X симметрична
Центральная симметрия яв¬
ляется перемещением и, зна¬
чит, отображает любую фигуру
на конгруэнтную ей фигуру.
Поэтому
ЛАОВ /_СОБ.Ъ
2211 Отображение, обратное цен-
I тральной симметрии, есть
■ та же центральная симмет¬
рия.
Доказательство.
Пусть X — произвольная точка
плоскости. Если точка Х^ сим¬
метрична X относительно центра
относительно той же точки О
О, то
(рис. 113). Поэтому при отображении, обратном симметрии ^0,
произвольная точка плоскости отображается на симметричную
ей относительно центра О точку. Это означает, что отображение,
обратное симметрии ^0, есть та же центральная симметрия %0. ■
2221 Любая прямая, проходящая через центр симметрии, ото-
| бражается при этой симметрии на себя.
Доказательство. Пусть центр О симметрии при¬
надлежит прямой р. Возьмем на прямой р любую другую точ¬
ку М. При симметрии %0 прямая ОМ отображается на прямую,
проходящую через образы точек О и М. Но О отображается
на себя, а М — на точку М1 прямой р (см. рис. 114). Поэто¬
му прямая р = (ОМ) отображается на прямую ОМ^ т. е. на
себя. ■
Фигура, которая при симметрии относительно некоторого
центра О отображается на себя, называется центрально-симмет¬
ричной (говорят также, что эта фигура имеет центр симмет¬
рии). Из доказанного только что предложения следует, что пря¬
мая — фигура центрально-симметричная.
Вопросы и задачи
242. Отметьте на плоскости точку О и точки А, В, С. 1) Постройте
точки М = 20(А), Р = Я^В), Б = 20 (С). 2) Укажите на этом
же рисунке точки 20 (М), 20 (Р), Я0(О), Ио(О).
243°. 1) Какая точка плоскости при центральной симметрии отобра¬
жается на себя?
76
2) Какие прямые при центральной симметрии отображаются
на себя?
3) Центральная симметрия задана парой соответствующих
точек: А—^А[. Как найти в этом случае центр симметрии?
244°. Какой фигурой является образ: 1) прямой АВ при симметрии
относительно точки О 6 (АВ); 2) луча ОС при симметрии от¬
носительно центра О; 3) угла АВС при симметрии относитель¬
но точки В?
245. 1) Постройте отрезок, симметричный отрезку АВ относитель¬
но данного центра О, если: а) О (Е (АВ); б) О $ (АВ).
2) Постройте прямую, симметричную данной прямой АВ от¬
носительно данного центра О $ (АВ).
3) Отметьте штриховкой образ данной полуплоскости с гра¬
ницей АВ при симметрии 2 , если: а) О Е (АВ); б) О $ (АВ).
246°. Какая фигура называется центрально-симметричной? Приве¬
дите примеры центрально-симметричных фигур.
247. 1) Имеет ли центр симметрии отрезок, прямая, луч, окруж¬
ность, объединение двух пересекающихся прямых?
2) Существуют ли треугольники (четырехугольники, пяти¬
угольники), имеющие центр симметрии?
3) Существуют ли фигуры, имеющие несколько центров сим¬
метрии?
248. Какие из фигур, изображенных на рисунке 110, имеют центр
симметрии?
249. Постройте фигуры, центрально-симметричные фигурам, дан¬
ным на рисунке 115. В каждом случае центр симметрии выбе¬
рите сами.
250. Образ треугольника Р(2В при симметрии 70—треугольник
АВС (рис. 116). 1) Найдите расстояния |фВ|, |АВ|, |фР|г
если известно, что | АС | =8, | НР | =6, |ВС| =6. 2) Какой
угол конгруэнтен углу АВС; углу ОКР? 3) Найдите расстояния
Рис. 115
77
|А0|, | N01 и |АР|, если известно, что | ОС | = 1, а точки М
и N — середины отрезков АС и ОР соответственно.
251. Даны прямая а и точка В $ а. Постройте несколько таких
точек Л/, что образ точки В при симметрии с центром М ле¬
жит на прямой а.
252. Найдите величины углов «1, аг, Р1 и рг, если а = 35°, р = 40°
(рис. 117).
253. Точка О — середина отрезка АА[. Пользуясь только цирку¬
лем, постройте образ точки В при симметрии 20 , если:
1) ВеЕААП; 2) В$ [АА1].
254*. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
255*. Докажите конгруэнтность: 1) двух окружностей равных ради¬
усов; 2) двух полуплоскостей, имеющих общую границу.
256*. Отрезки А[В[ и А2В2 имеют общую середину О. 1) Докажите
конгруэнтность отрезков А1А2 и В1В2, А1В2 и А2В1. 2) Дока¬
жите, что середины отрезков А1А2 и В1В2 лежат на одной
прямой с точкой О.
118
21. Осевая симметрия
1. Вы уже знаете, что две точки
X и Х{ называются симметрич¬
ными относительно прямой р9
если эта прямая перпендику¬
лярна отрезку XX1 и проходит
через его середину (рис. 118).
Будем также считать, что каж¬
дая точка прямой р симметрич¬
на самой себе относительно этой
прямой.
X
78
р
4
1
К
3 а
А
<1 ,
Ь
Рис. 119
>
(
<
в
5)
Определение. Симметрией с осью р называется отобра¬
жение плоскости на себя, при которохм каждая точка плоскости
отображается на точку, ей симметричную относительно прямой р.
Симметрию с осью р называют также осевой симметрией.
Обозначают осевые симметрии обычно буквой 5, а если нужно
указать и ось р симметрии, то пишут: 8р.
2. Рассмотрим свойства осевой симметрии.
23 [Осевая симметрия является перемещением.
Доказательства этого свойства мы не приводим. Его справед¬
ливость можно усмотреть из наглядных соображений. Для
этого представим себе плоскость в виде листа, изготовленного
из твердого материала (рис. 119). Тогда симметрию с осью р
можно представить как результат вращения в пространстве
этого листа вокруг прямой р на угол 180° (рис. 120). Очевидно,
что расстояния между точками плоскости при этом вращении
не меняются.
2311 Отображение, обратное осевой симметрии, есть та же осевая
| симметрия.
Доказательство. Пусть X — произвольная точка
плоскости. Если точка Х1 симметрична X относительно прямой
р, то точка X симметрична Х{ относительно этой же прямой
(см. рис. 118). Поэтому при отображении, обратном симметрии
Зр, произвольная точка плоскости отображается на симхметрич-
ную ей относительно прямой р точку. Это означает, что отобра¬
жение, обратное осевой симметрии, есть та же осевая симметрия.я
23:| При симметрии с осью р: а) любая прямая, перпендикуляр-
В ная оси симметрии, отображается на себя; б) полуплоскос-
I ти с границей р отображаются друг на друга.
7?
а
X
М
Рис. 121
Доказательство, а) Пусть
прямая а перпендикулярна оси р
(рис. 121). Если X — произвольная точ¬
ка прямой а, то точки Хи = 8р (X)
при симметрии 8р отображаются друг
на друга (по определению симметрич¬
ных точек). Следовательно, 8р (а)=а. ■
у б) Обозначим полуплоскости с гра¬
ницей р через а! и а2. Пусть X 6 а1
и X р (см. рис. 121). Если точка Х{
симметрична точке X относительно
прямой р, то прямая р проходит
через середину отрезка XXт. е. пересекает этот отрезок.
Следовательно, точка Х^ (образ точки X при симмет¬
рии 8р) принадлежит полуплоскости а2. Кроме того, каждая
точка М полуплоскости а2 является образом точки М1 =
= 8р (ЛГ), принадлежащей полуплоскости Поэтому
8Р (а4) = а2-Т
3. Задача. Построить при помощи циркуля точку, сим¬
метричную данной точке X относительно оси р.
Решение. Обозначим точку 8р (X) через Х^ Для по¬
строения Хь удобно воспользоваться свойствами осевой сим¬
метрии.
Отметим на прямой р две произвольные точки А и В
(рис. 122). Так как осевая симметрия сохраняет расстояния и
8р (А) = А, 8р (В) = В (по определению осевой симметрии),
то | АХ\ = | ЛХ1|, |ВХ| = |ВХ1|. Следовательно, точка Х{
должна лежать и на окружности с центром А радиуса | АХ\, и
на окружности с центром В радиуса | ВХ\. Эти окружности
пересекаются в двух точках (см. п. 13), одна из которых —
точка X. А так как точка Х^ должна принадлежать полупло¬
Рис. 122
скости, которая не содержит X, то
образом X является вторая точка
пересечения построенных окружнос¬
тей. Итак, для построения точки
1) отметить на прямой р две про¬
извольные точки А и В;
2) построить окружности с цент¬
рами А и В, проходящие через X.
80
Точка пересечения этих окружностей, отличная от точки X,
искомая. Очевидно, что построение выполнимо с помощью од¬
ного только циркуля. Задача решена.
Вопросы и задачи
257. Запишите в принятых обозначениях: 1) точка У симметрич¬
на точке X относительно прямой р; 2) отрезок АВ симмет¬
ричен отрезку СВ относительно прямой Л; 3) луч ОМ сим¬
метричен лучу О\М\ относительно прямой р; 4) фигура Ь
симметрична фигуре Ъ\ относительно прямой с.
258°. 1) Точка А симметрична точке А\ относительно оси I. Верно
ли, что точка А\ симметрична точке А относительно этой же
оси?
,2) Фигура Т симметрична фигуре Р относительно оси I. Вер¬
но ли, что фигура Р симметрична фигуре Т относительно
той же оси?
259°. Как расположена относительно оси а точка X, если:
1) 5а(Х) = Х; 2) 5а(Х) #= X?
260°. 1) Какие точки при осевой симметрии 8 р отображаются на
себя?
2) Какие прямые при осевой симметрии 8р отображаются
на себя?
261., 1) Осевая симметрия задана парой соответствующих точек:
8 (А) = В. Как построить ось этой симметрии?
2) Две пересекающиеся прямые а и Ь симметричны относи¬
тельно оси /. Как расположена относительно оси I точка О
пересечения этих прямых?
262. На рисунке 123 изображены различные фигуры. Постройте
образы этих фигур при симметрии 8а.
81
263. Фигуры, изображенные на рисунке 124 (квадрат, звезда, круг,
полуплоскость), отображаются на себя при некоторых осевых
симметриях. Укажите оси этих симметрий.
264. 1) Докажите конгруэнтность треугольников О№В и ОМА
(рис. 125).
2) Укажите пары конгруэнтных отрезков и углов, изображен¬
ных на рисунке 125.
26$. Четырехугольник
АВСИ симметричен относительно пря¬
мой АС. 1) Найдите длины сторон
ВС и АИ этого четырехугольника,
если | АВ | = 1 см, | СВ| = 2 см.
2) Найдите величины углов А1)С и
ВСБ, если СВА = а, ВСА = 0.
266*. Каждая точка Р (х, у) _ плоскости
отображается на точку: 1) Р1(—х, —у);
2) Р2(х, —у); 3) Рз(—х, у). Покажите,
что эти отображения являются переме¬
щениями.
267. На плоскости задана прямая I. Поль¬
зуясь только циркулем, постройте об¬
раз при симметрии 8^. 1) точки М
(М I); 2) окружности (О, г).
268. Дан отрезок АВ и две точки С и О та-
|СА| = |СВ| и |ОА| =
и В
пря-
в
с
9
относительно
цир-
пользуясь только
ли три данные точки
кие, что |С'А| = |С'25| и
= 1ИВ |. Докажите, что точки А
симметричны
мой СО.
269*. Как проверить,
кулем, лежат
на одной прямой?
270. Окружности (О, г) и (01, Г}) имеют
две общие точки А и В. Пользуясь
только циркулем, постройте окружно¬
сти, симметричные данным относи¬
тельно оси АВ.
271*. Данная окружность (О, г) пересекает
сторону ВА данного угла АВС в точ¬
ках М и Т. Пользуясь только циркулем,
постройте окружность, симметричную
данной относительно оси ВС.
82
272*. Во внутренней области прямого угла ВОЯ взята точка X
и построены точки Х\= 8 во (X) и Х2= 8О0 (X). Докажи¬
те, что точки Х\, О и Х2 лежат на одной прямой.
273**. Даны прямая р и две точки А и В, лежащие в одной полу¬
плоскости с границей р. Найдите на прямой р такую точку С,
для которой сумма расстояний |АС| и |СВ| будет наи¬
меньшей.
22. Построение треугольников
1. Рассмотрим произвольный треуголь¬
ник АВС. Сторону ВС и угол А тре¬
угольника АВС называют противолежа¬
щими друг другу. Противолежащими
являются также сторона АС и угол В,
сторона АВ и угол С (рис. 126). Углы А и
С называют прилежащими к стороне АС.
(Назовите углы, прилежащие к сторо¬
не АВ, к стороне ВС.)
Длины сторон треугольника АВС обо¬
значают обычно через а, &, с (а = \ВС |,
Ъ = | АС|, с = | АВ|). Для краткости эти
длины а, Ь, с называют также и сторона¬
ми треугольника АВС.
Величины углов ВАС, АВС и АСВ
часто обозначают через А, В и С или а,
Р и у соответственно. Для краткости их
называют также и углами треугольника.
Отрезок биссектрисы угла треуголь¬
ника от его вершины до противолежащей
стороны называется биссектрисой тре-
угольника. Отрезок, соединяющий вер¬
шину треугольника с серединой противо¬
лежащей стороны, называется медианой
треугольника. Отрезок, соединяющий вер¬
шину треугольника с основанием пер¬
пендикуляра, проведенного из этой вер¬
шины к прямой, содержащей противоле¬
жащую сторону, называется высотой
треугольника. На рисунках 127—129 с
изображены биссектриса медиана та
83
Рис. 130
медиан, высот треугольника
(но не основными).
и высота Л/треугольника АВС,
проведенные из вершины А.
Для краткости длину бис¬
сектрисы (медианы, высоты)
треугольника называют также
просто его биссектрисой (медиа¬
ной, высотой).
Длины сторон и величины
углов треугольника принято
называть его основными эле¬
ментами. У треугольника АВС
шесть основных элементов: а, &, с»
А, В, С. Длины биссектрис,
тоже называют его элементами
Длину отрезка (и величину угла) можно задать геометриче¬
ски, начертив конгруэнтный ему отрезок (угол). В задачах на
построение фигур так часто и поступают.
2. Решим несколько задач на построение.
Задача 1. Построить треугольник АВС по трем сторо¬
нам а, Ь и с (рис. 130, а).
Р е ш е н и е. 1) Построим отрезок АВ длины с (рис. 130, б).
2) Так как | АС | = Ъ и |ВС| = а, то С принадлежит пересе¬
чению окружностей (А, Ъ) и (В, а). Построим эти окружности
и обозначим одну из точек их пересечения через С.
3) Соединим точку С отрезками с точками А и В. Треуголь¬
ник АВС искомый.
Окружности (А, Ъ) и (В, а) будут пересекаться только тогда,
когда |а — Ь| < с < а 4- Ъ (см. пункт 13). Поэтому задача
имеет решение только в том случае, если | а — 6| < с < а + &.
Выбирая различные положения отрезка АВ на плоскости,
получим бесконечное множество треугольников, имеющих за¬
данные три стороны. Но все эти треугольники конгруэнтны.
Справедлив следующий признак конгруэнтности треуголь¬
ников:
241 если три стороны одного треугольника конгруэнтны трем
I сторонам другого треугольника, то такие треугольники кон-
I груэнтны.
Поэтому говорят, что решение задачи 1 с точностью до кон¬
груэнтности единственно.
84
3 а д а ч а 2. Построить угол
с заданной стороной О1Х1, кон¬
груэнтный данному углу ХОУ.
Решение. 1) Построим
окружности с центрами О и
радиуса г (рис. 131). Обозначим
точки их пересечения со сторо¬
нами угла ХОУ и лучом О1Х1
через А, В и А{.
2) Построим окружность с
центром А1 радиуса \АВ |. Обо¬
значим точки пересечения ок¬
ружностей с центрами О{ и А1
через В1 и В2.
3) Проведем лучи О1В1 и
О1В2- Углы А1О1В1 и А1О1В2
искомые (это следует из конгру¬
энтности треугольников ОАВ,
О^А1В^ и О1А1В2 по трем сто¬
ронам).
Задача 3. Построить
треугольник по двум сторонам
Ь, с и углу а между ними
(рис. 132, а).
Решение. 1) Проведем
произвольный луч АХ (рис.
132, б).
2) Построим угол ХАУ ве¬
личины а.
3) На луче АХ отложим от¬
резок АС длины Ь.
4) На луче АУ отложим от¬
резок АВ длины с.
5) Проведем отрезок ВС.
Треугольник АВС искомый.
Выбирая различные положе¬
ния луча АХ и выполняя описан¬
ное построение, мы получим
бесконечное множество тре¬
угольников. Но все эти треуголь-
. ники конгруэнтны. Справедлив
Рис. 131
85
ча 3 имеет с точностью до
следующий признак конгруэнт¬
ности треугольников:
25
если две стороны и угол
между ними одного тре¬
угольника конгруэнтны двум
сторонам и углу между ни¬
ми другого треугольника,
то такие треугольники кон¬
груэнтны.
Итак, все треугольники,
имеющие заданные две стороны
и угол между ними, конгруэнт¬
ны. Поэтому говорят, что зада-
конгруэнтности единственное ре¬
шение.
Задача 4. Построить треугольник по стороне а и двум
прилежащим к ней углам 0 и у (рис. 133, а).
Р е ш е н и е. 1) Построим отрезок ВС длины а (рис. 133, б).
2) Построим угол СВХ величины 0.
3) Построим угол ВСУ величины у, расположенный в той
же полуплоскости с границей ВС, что и угол СВХ.
Если лучи ВХ и СУ пересекутся, то построенный треуголь¬
ник искомый.
С точностью до конгруэнтности задача имеет одно реше¬
ние. Справедлив следующий признак конгруэнтности треуголь¬
ников:
261 если сторона и два прилежащих к ней угла одного треуголь-
■ ника конгруэнтны стороне и двум прилежащим к ней углам
I другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
Вопросы и задачи
274. 1) Постройте биссектрисы и медианы данного треугольника.
2) Постройте высоты данного треугольника: а) остроугольно¬
го; б) прямоугольного; в) тупоугольного.
275. Даны конгруэнтные треугольники АВС и БЕМ.
1) Известно, что [АВ] = [ОЕ], [АС] = [СМ]. Укажите углы
треугольника АВС, конгруэнтные углам О, Е и М.
2) Известно, что ДОЕВ ~ ДАВС, /_А, /_Е = / В, Ка¬
кие стороны этих треугольников конгруэнтны?
86
3) Докажите, что каждая биссектриса (медиана, высота)
треугольника АВС конгруэнтна некоторой биссектрисе (ме¬
диане, высоте) треугольника ВЕГ, конгруэнтного треуголь¬
нику АВС,
276. Можно ли построить треугольник, стороны которого равны:
1) 13 см, 2 дм, 8 см; 2) 1 м, 1 м, 0,5 см; 3) 45 см, 45 см, 1 м;
4) 1 дм, 5 см, 5 см?
277. Постройте треугольник по трем данным сторонам а, Ь и с,
если: 1) а = 4 см, Ь = 3 см, с = 2 см; 2) а = 4 см, Ь = 3 см,
с = 5 см; 3) а = 4 см, Ь = 3 см, с = 6 см.
278. Постройте треугольник по двум сторонам Ь, с и углу а, за¬
ключенному между ними, если: 1) Ъ = 5 см, с = 4 см, а=72°;
2) Ъ = 3 см, с = 4 см, а = 108°.
279. Постройте треугольник по стороне с и двум углам аир, при¬
лежащим к этой стороне, если: 1) с = 5 см, а = 30°, р = 50°;
2) с = 5 см, а = 100°, ₽ = 30°.
280. 1) Сколько можно построить тре¬
угольников, конгруэнтных данному
разностороннему треугольнику АВС,
при условии, что данный отре¬
зок будет их общей стороной?
2) Докажите, что любые два из таких
конгруэнтных треугольников симмет¬
ричны относительно некоторой оси.
281°. Из металлического прутка нужно
сделать деталь, имеющую форму
равнобедренного треугольника. Од¬
на из сторон треугольника долж¬
на иметь длину 250 см, а другая
100 см. Какой должна быть длина I
прутка, чтобы это можно было сде¬
лать?
282. Дано: |АВ| = \ВС\, \АБ\ = |ВС|
(рис. 134).
Доказать: 1) ДАВБ = ДСБВ;
2) (АС)-ЦВБ).
283. Дано: [ВС] ~ [АВ], ? =^2
(рис. 135).
Доказать: ДАВС = ДАВС.
284. Дано: [АВ) — биссектриса угла
ВАС, |АВ| = |АС| (рис. 136).
87
Доказать: 1) ДАВО ~ ДАОС;
2) (ВС)_1_(АВ).
285. Дано: \ВЕ\ = \ЕС\-, \АЕ\ = |ЕО|
(рис. 137).
Доказать: | СО | = | АВ|;
ВАЕ = СИЕ.
286. Дано: [ВС] [СА]; ДА ~ ДВ
(рис. 138).
Доказать: | АА{ | = |ВВ1|,
ДА^ ДВь
287*. Постройте треугольник по двум
сторонам и углу, лежащему против
одной из них, если:
1)
а = 6
см,
Ь = 4
СМ,
, а =
70°;
2)
а = 4
см,
Ъ = 6
см,
г « =
70°;
3)
а = 6
см,
Ь = 3
см,
- ₽ =
40°;
4)
Ь = 3,5 см
, с = 6,5
см, V
= 110°,
288*. Диагонали четырехугольника АВСБ
в точке пересечения О делятся по¬
полам. Докажите; 1) Д АОВ
~ ДООС; 2) ДАОО ДВОС;
3) каждая из диагоналей четырех¬
угольника делит его на два конгру¬
энтных треугольника.
289*. Длины всех сторон четырехуголь¬
ника АВСБ равны, его диагонали
пересекаются в точке О. Докажите,
что треугольники АОВ, ВОС, СОО
и ГЮА конгруэнтны.
290. По преданию, древнегреческий математик Фалес* первым
решил задачу о вычислении расстояния от берега до корабля.
Для этого он измерил расстояние | АВ| и угол АВС (рис. 139),
а затем, произведя на суше некоторые построения и измере¬
ния, вычислил расстояние |АС|. Какие построения и измере¬
ния мог провести Фалес для решения этой задачи? На чем
основывалось это решение?
♦ Фалес Милетский (639—548 гг. до н. э.) прославился также предсказа¬
нием солнечного затмения (585 г. до н. э.). По-видимому, открытия Фалеса
производили очень сильное впечатление на современников; его имя — первое
из имен ученых, известных и поныне.
88
§ 3. Симметрия фигур
23. Оси симметрии окружности
На рисунке 140 изображены фигу¬
ры (отрезок, окружность, треугольник,
квадрат), каждая из которых симмет¬
рична себе относительно некоторой
оси. О таких фигурах говорят, что они
имеют ось симметрии.
Существуют фигуры, имеющие не¬
сколько осей симметрии. Например,
квадрат, как мы докажем позднее, име¬
ет четыре оси симметрии (рис. 141).
Прямая имеет бесконечно много осей
симметрии. Во-первых, она сама яв¬
ляется своей осью симметрии. Во-вто¬
рых, осью симметрии этой прямой яв¬
ляется любая прямая, ей перпендику¬
лярная (рис. 142).
Докажем следующую теорему.
27|Те.ор ем а. Окружность симмет-
I рична относительно любой прямой,
| проходящей через ее центр.
Доказательство. Пусть
прямая р проходит через центр окруж¬
ности (О, г) (рис. 143). Осевая сим¬
метрия сохраняет расстояния (предло¬
жение 23). Но при любом отображении,
сохраняющем расстояния, окружность
отображается на окружность того же
радиуса. А так как при симметрии 8р
центр окружности (О, г) отображается
на себя (О 6 р), то и окружность (О, г)
отображается на себя, т. е. она симмет¬
рична относительно прямой р.И
Следствие. Точки пересечения
двух окружностей симметричны отно¬
сительно прямой, содержащей их
центры.
1
"1
1
1 ,
Рис. 142
89
В самом деле, пусть X и —точ¬
ки пересечения окружностей (О, г) и
(Оь п) (рис. 144). При симметрии 8р
каждая из окружностей (О, г) и (О<, п)
отображается на себя (теорема 27). Зна¬
чит, точки пересечения этих окруж¬
ностей при симметрии 8р отображаются
друг на друга, т. е. точки X и X^ сим¬
метричны относительно прямой р. ■
28 I Т е о р е м а. Диаметр, перпенди-
I кулярный хорде, делит ее и стя*
I гиваемые ею дуги пополам.
Доказательство. Пусть диа¬
метр МТУ перпендикулярен хорде АВ
(рис. 145). По определению осевой сим¬
метрии точка, симметричная точке А
относительно прямой лежит на
перпендикуляре к прямой МТУ, прохо¬
дящем через А. Кроме того, точка
8 мы (А) лежит на данной окружно¬
сти (О, г) (теорема 27). Но такой точкой
является только точка В. Следователь¬
но, 8мн (А) = В и 8мы (В) = А. По¬
этому прямая ЛЬУ является осью сим¬
метрии хорды АВ и каждой из дув
АМВ и АNВ. Значит, диаметр МN де¬
лит хорду АВ и эти дуги пополам. ■
Вопросы и задачи
291.
1) Сколько осей симметрии данной окружности проходит че¬
рез данную точку?
2) Сколько осей симметрии может иметь объединение двух
окружностей?
I292. Докажите, что диаметр окружности
есть наибольшая из хорд этой ок¬
ружности.
293. Центр окружности, пересекающей
стороны данного угла, лежит на бис¬
сектрисе этого угла (рис. 146). До¬
кажите конгруэнтность отрезков ОМ
и ОК, МN и КБ.
90
294. Окружности (01, Г]) и (Ог, Г2) пересекаются в точках А и В.
Докажите, что прямые О1О2 и АВ перпендикулярны.
295. Две окружности имеют общий центр, [АВ]—хорда окруж¬
ности меньшего радиуса, С и О — точки пересечения прямой
АВ с окружностью большего радиуса. Докажите: 1) | АС | =
= |ВО|; 2) |ВС| = |АО|.
296. Как разделить дугу данной окружности пополам?
297. Постройте хорду данной окружности, серединой которой явля¬
ется данная точка.
298. Докажите, что диаметр, который делит пополам хорду, не
проходящую через центр, перпендикулярен этой хорде.
299*. Докажите, что две хорды окружности, пересекающиеся в точ¬
ке, отличной от центра окружности, не могут обе делиться в
точке пересечения пополам.
300*. Фигура В является объединением двух окружностей. Дока¬
жите: 1) если фигура Ь имеет бесконечно много осей сим¬
метрии, то центры этих окружностей совпадают; 2) если
фигура Ь имеет в точности две оси симметрии, то радиусы
этих окружностей равны.
24. Оси симметрии отрезка
Рассмотрим оси симметрии отрезка. Каждый отрезок имеет
две оси симметрии. Одна из них — прямая, содержащая этот
отрезок, другая — серединный перпендикуляр к отрезку, т. е.
прямая, перпендикулярная этому отрезку* и проходящая через
его середину.
Действительно, прямая АВ является осью симметрии отрез¬
ка АВ, так как при симметрии Зав каждая точка отрезка АВ
отображается на себя.
Если р — серединный перпендикуляр отрезка АВ, то (по
определению симметричных точек) точки
А и В симметричны относительно пря- р-
мой р (рис. 147). Значит, серединный
перпендикуляр отрезка является его осью
симметрии.
А 1 ' в
♦ Говорят, что прямая (отрезок, луч) АВ
перпендикулярна отрезку (лучу) МУ, если (АВ) ±
± (МУ). Рис. 147
91
291 Теорема. Множество точек
I плоскости, равноудаленных О1
I концов отрезка, есть серединный
I перпендикуляр к этому отрезку.
Доказательство. 1) Сна¬
чала докажем, что если /точка плос¬
кости равноудалена от концов отрезка,
то она принадлежит серединному пер¬
пендикуляру этого отрезка.
На прямой АВ имеется единствен¬
ная точка, равноудаленная от точек
А и В, — это середина М отрезка АВ
(рис. 148). Она принадлежит середин¬
ному перпендикуляру отрезка АВ.
Рассмотрим теперь точку X, рав¬
ноудаленную от концов отрезка АВ
и отличную от М. Так как |АХ| =
= |ВХ| и | ЛГ А | = |ЛГВ|, то точки А
и В симметричны относительно пря¬
мой МХ (см. построение симметричных
точек, п. 21). Значит, прямая МХ есть
ось симметрии точек А и В, т. е. (МХ)—
серединный перпендикуляр отрез¬
ка АВ.
2) Теперь докажем обратное: если
точка принадлежит серединному пер¬
пендикуляру отрезка, то она равно¬
удалена от его концов.
Пусть р — серединный перпендику¬
ляр отрезка АВ, а У — произвольная
точка прямой р (рис. 149). Тогда точ¬
ки А и В симметричны относительно
прямой р. Поэтому отрезки А У и ВУ
симметричны друг другу относительно
оси р. Следовательно, |УА| = | УВ|,
т. е. точка У равноудалена от концов отрезка АВ.Я
Задача. С помощью линейки и циркуля построить сере-
динный перпендикуляр данного отрезка АВ.
Решение. Для построения серединного перпендикуляра
отрезка АВ достаточно найти две точки этого перпендикуляра.
Построим окружности с центрами А и В одного и того же радиу-
92
са, большего половины |АВ|. Эти
окружности пересекаются (п. 13). Точ¬
ки пересечения и М2 равноудалены
от концов отрезка АВ (рис. 150). Зна¬
чит, точки Л11 и М2 лежат на середин¬
ном перпендикуляре отрезка АВ, т. е.
прямая М{М2 искомая.
Рассмотренный способ построения
серединного перпендикуляра отрезка
применим и для построения середины
отрезка с помощью циркуля и линей¬
ки. Этим же способом можно восполь¬
зоваться и при построении перпендику¬
ляра к данной прямой р, проходящего
через данную точку М (рис. 151, 152).
Вопросы и задачи
301°. Сколько осей симметрии имеет:
1) отрезок; 2) луч; 3) прямая?
302. Постройте серединный перпендику-
1
1 1
Л
Ри
м 1в р
с. 152
ляр к данному отрезку АВ, выполняя вспомогательные по¬
строения: 1) в различных полуплоскостях; 2) в одной полу¬
плоскости с границей (АВ).
303. Постройте к данной прямой а перпендикуляр, проходящий
через точку М\ 1) лежащую на данной прямой; 2) не лежа¬
щую на данной прямой.
304. Даны прямая МТ и не принадлежащие ей точки А и В. По¬
стройте на этой прямой точку, равноудаленную от точек А и В.
Сколько решений может иметь задача?
305. 1) Постройте точки, принадлежащие данной окружности и
равноудаленные от данных точек А и В. Сколько таких точек
можно построить?
2) Найдите множество точек, принадлежащих кругу и равно¬
удаленных от данных точек А и В.
306. Постройте центр данной окружности, если на чертеже этот
центр не отмечен.
307. Найдите множество центров поворотов, при которых данная
точка А отображается на другую данную точку В.
308. Найдите множество вершин равнобедренных треугольников,
построенных на данном отрезке как на его основании.
93
• 3 309*. Стороны АВ и СП, а также углы А
и В четырехугольника АВСИ конгру-
, энтны. Докажите конгруэнтность углов
— в и с.
Рис. 153. 310. Даны две точки Л и В. Какую фигуру
образует множество таких точек X,
что: 1) |АХ| =И= | В X |; 2) | АХ | | ВХ |; 3) |АХ| < |ВХ|?
311**. Населенные пункты А и В расположены по одну сторону от
трассы железной дороги (рис. 153). В каком пункте этой трас¬
сы следует построить платформу С при условии, что: 1) рас¬
стояния |АС| и |ВС| должны быть равны; 2) сумма расстоя¬
ний |ЛС| и | ВС | должна быть наименьшей; 3) разность рас¬
стояний | АС | и | ВС | должна быть наибольшей?
25. Оси симметрии угла и равнобедренного треугольника
30|Теор е м а. Прямая, содержащая биссектрису угла, явля-
шется осью симметрии этого угла.
Доказательство. Обозначим через р прямую, со¬
держащую биссектрису ВМ угла АВС (рис. 154). Рассмотрим
симметрию 8р.
При этой симметрии луч ВМ отображается на себя, а угол
АВМ — на угол со стороной ВМ, лежащий в полуплоскости
а2 и конгруэнтный углу АВМ. Но АВМ = СВМ (по усло¬
вию луч ВМ — биссектриса угла АВС). В полуплоскости
а2 с границей ВМ существует един¬
ственный угол со стороной ВМ, кон¬
груэнтный данному углу (п. 18, предло¬
жение 184). Поэтому образом луча В А
при симметрии 8р является луч ВС, а об¬
разом луча ВС — луч В А. Следователь¬
но, угол АВС при симметрии 8р отобра¬
жается на себя.®
С помощью теоремы 30 легко обосно¬
вать построение биссектрисы угла, кото¬
рое сводится к построению оси симмет¬
рии данного угла (рис. 155).
Следствие 1. Прямая, содержа¬
щая биссектрису угла при вершине равно¬
бедренного треугольника, является осью
симметрии этого треугольника.
94
себя.®
конгруэнтны тог-
противолежащие
два предложения:
Доказательство. Обозначим
через р прямую, содержащую биссект¬
рису ВМ угла В при вершине равнобед¬
ренного треугольника АВС (рис. 156).
Пользуясь теоремой 30, получаем, что при
симметрии 8р образом луча ВА является
луч ВС, а образом луча ВС — луч ВА.
По условию | АВ | = |ВС|. Поэтому
8р (А) = С, 8р (С) = А.
Кроме того, по определению осевой
симметрии 8р (В) = В (так как В С р).
Следовательно, при симметрии 8р равно¬
бедренный треугольник АВС отображается . на
Следствие 2. Биссектриса угла при вершине равно¬
бедренного треугольника является также его медианой и высо¬
той (рис. 156).
31|Теор е м а. Две стороны треугольника
|да и только тогда, когда конгруэнтны
I им углы.
Доказательство. Надо доказать
1) если две стороны треугольника конгруэнтны, то конгру¬
энтны и противолежащие им углы; 2) если углы треугольни¬
ка конгруэнтны, то конгруэнтны и противолежащие этим углам
стороны.
Первое из этих предложений вытекает из следствия 1: углы
А и С симметричны относительно прямой ВМ (рис. 156) и,
следовательно, конгруэнтны.
Докажем второе предложение. Пусть углы А и С конгруэнт¬
ны (рис. 157). Проведем серединный перпендикуляр р к отрез¬
ку АС и рассмотрим симметрию 8р. При этой симметрии лучи
АС и СА, а также точки А п С отображаются друг на друга.
А так как по условию угол А конгруэн¬
тен углу С, то образом луча АВ при
симметрии 8р является луч СВ, а обра¬
зом луча СВ — луч АВ.
Точка В пересечения лучей АВ и СВ
отображается при симметрии 8р на точку
пересечения образов этих лучей, т. е. на
себя.
Следовательно, отрезки АВ и СВ сим¬
метричны и поэтому конгруэнтны.®
95
Вопросы и задачи
312. 1) Сколько осей симметрии может иметь угол?
2) Постройте при помощи циркуля и линейки биссектрису
данного угла.
313. Докажите, что разносторонний треугольник не имеет осей
симметрии.
314. Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник?
315. Докажите, что каждая биссектриса равностороннего треуголь¬
ника является также его медианой и высотой.
316. 1) Постройте равнобедренный треугольник, симметричный от¬
носительно данной прямой а.
2) Как можно построить равносторонний треугольник, осью
симметрии которого является данная прямая?
317. Докажите конгруэнтность: 1) медиан; 2) биссектрис; 3) вы¬
сот равнобедренного треугольника, проведенных к его боко-
вым сторонам.
318. Высота, проведенная из вершины равнобедренного треуголь¬
ника, отсекает от него треугольник, периметр которого 18 см.
Вычислите длину высоты, если периметр данного равнобед¬
ренного треугольника равен: 1) 24 см; 2) 30 см; 3) 20 см.
319. Найдите длины основания и боковой
Рис. 169
стороны равнобедренного треугольни¬
ка, если известно, что две его стороны
имеют длины: 1) 3 см и 7 см; 2) 20 см
и 10 см; 3) 7 см и 8 см.
320. Дано: |АВ| = |ВС|, ВАЛ=ВСЕ
(рис. 158).
Доказать: АВЛЕ равнобедренный.
321. Постройте равнобедренный треуголь¬
ник: 1) по основанию а и боковой сто¬
роне Ъ; 2) по боковой стороне Ь и вы¬
соте к, проведенной к основанию;
3) по основанию а и высоте Л, прове¬
денной к основанию.
322. Через внутреннюю точку данного угла
проведите прямую, отсекающую от
сторон этого угла конгруэнтные от¬
резки.
96
323. Докажите, что если все углы треугольника конгруэнтны, то
этот треугольник равносторонний.
324. Как можно воспользоваться шарнирным механизмом, имею¬
щим звенья равной длины (рис. 159), для построения: 1) бис¬
сектрисы данного угла; 2) середины данного отрезка; 3) цент¬
ра данной окружности?
325*. Докажите, что если треугольник отображается на себя при
некотором нетождественном повороте, то этот треугольник
равносторонний.
26. Расстояние от точки до прямой.
Свойство биссектрисы угла
Рассмотрим произвольные прямую р и точку А $ р. Осно¬
вание перпендикуляра, проведенного через точку А к прямой р,
называется проекцией точки А на прямую р. Например, точ¬
ки О, О1 и О2 — проекции точек А, А1 и А2 на прямую р (рис. 160).
Проекция любой точки, принадлежащей прямой р, на эту
прямую есть сама эта точка. Множество проекций всех точек
отрезка АВ на прямую р называется проекцией отрезка АВ на
эту прямую. Например, отрезок ОВ\ — проекция отрезка АВ
на прямую р.
Прямая, пересекающая прямую р
и не перпендикулярная ей, называет¬
ся наклонной к прямой р. На рисунке
161 прямая АО — перпендикуляр к
прямой р, а прямая АВ — наклонная
к прямой р. Иногда для краткости
отрезки АО и АВ называют соответст¬
I *
I
венно перпендикуляром и наклон¬
ной, проведенными из точки А к пря¬
мой
32
Р-
Теорема. Расстояние от точки
до ее проекции на прямую меньше
расстояния от этой точки до любой
другой точки данной прямой (крат¬
ко говорят: перпендикуляр короче
наклонной).
Дано: О — проекция точки А
на прямую р, В (р, В =^О (рис. 161).
Доказать: | АО! < |АВ|.
М I о р
V
Рис. 160
4 Заказ 3">4
97
А
Доказательство. В случае
А € Р теорема очевидна.
Пу^сть А $ р. Построим точку А1 =
= 8р (А) и проведем прямую ААр
Так как*В и В О, то В (! (АА1).
Тогда по неравенству треугольника
(п. 5) имеем:
1=0кр(0,г)
У
|АА1|< 1 АВ| + [ВА^. (1)
1 Осевая симметрия сохраняет рас¬
с.
стояния. Поэтому | АВ | = [А1В| и
| АО| = | А1О|. Значит, | АА1| = 2 | АО|
и неравенство (1) можно переписать в
виде:
2 | АО\ < 2 \АВ\.
Отсюда
IАО\< |АВ1.И
Рнс- 162 Итак, расстояние от точки А до ее
проекции на прямую р есть наименьшее из расстояний от точки
А до точек прямой р. Это расстояние называют расстоянием
от точки А до прямой р.
Вообще, если фигура В содержит точку В, самую близкую
из точек фигуры В к данной точке А, то расстояние | АВ| назы¬
вается расстоянием от точки А до фигуры Ь (рис. 162).
зз |т еорема. Множестве точек выпуклого угла, равноуда-
I ленных от его сторон, есть биссектриса этого угла.
Доказательство. 1) Докажем сначала, что если точ¬
ка М принадлежит биссектрисе СЖ угла АОВ, то она равноуда¬
лена от сторон ОА и ОВ (рис. 163), т. е. докажем равенство
расстояний МЕ и МЛ (точка Е — проекция точки М на пря¬
мую ОА, а точка В — проекция точки М на прямую ОВ). Для
этого достаточно доказать, что эти отрезки симметричны от¬
носительно прямой
Рассмотрим симметрию 3 с осью ОМ\ Так как точка М при¬
надлежит оси симметрии, то 5 (М) = М. При симметрии 5
луч О А отображается на луч ОВ (по условию [ОЛТ) — биссектри¬
са угла АОВ). Поэтому перпендикуляр МЕ к прямой О А отобра¬
жается на перпендикуляр МЛ к прямой ОВ, проходящий че¬
рез точку М. Образом точки пересечения луча ОА и прямой
98
ЕМ при симметрии 8 является точка пе¬
ресечения образов этих фигур, т. е.
8 (Е) = Б. Итак,
8 (М) = М, 8 (Я) = Л.
Значит, расстояния [МЕ[ и | МБ [
равны. Первая часть теоремы доказана.
2) Докажем теперь обратное: если точ¬
ка М выпуклого угла АОВ равноудалена
от сторон этого угла, то она принадле¬
жит его биссектрисе.
Обозначим проекции точки М на сто¬
роны угла АОВ через Е и Д (рис. 164).
По условию 1МЕ[ = |ЛГО|. Рассмотрим
треугольник МЕИ. Так как ]МЕ[ = |ЛГО|,
то этот треугольник равнобедренный и,
следовательно, МЕЬ = ЕБМ. А так как
ОЕМ = бВм = 90°, то ОБО = ОБЕ. Это
означает, что треугольник ОЕБ также
равнобедренный и | ОЕ | = | ОЛ |. Итак,
\ЕМ\ = | МЬ | (по условию),
I ОЕ | = | ОБ | (по доказанному).
Поэтому точки Е и 7) симметричны относительно оси ОМ
(см. п. 21) и углы АОМ и ВОМ, симметричные относительно
этой оси, конгруэнтны, т. е. луч ОМ — биссектриса угла АОВ. ■
Вопросы и задачи
326. 1) Постройте проекции вершин данного треугольника АВС
на прямые АВ, ВС и АС. (Рассмотрите различные случаи: тре¬
угольник АВС может быть остроугольным, прямоугольным
и тупоугольным.)
2) Постройте проекцию данного отрезка АВ на данную пря¬
мую а. (Рассмотрите различные случаи: отрезок АВ лежит
на прямой а, пересекает эту прямую и не имеет с ней общих
точек.)
327. 1) Могут ли два различных отрезка имечь одну и ту же проек¬
цию на данную прямую?
4*
99
Рис. 166
Рис. 168
О
2) Проекцией какой фигуры на данную
прямую может быть точка?
328. Дан отрезок АВ. Какой фигурой явля¬
ется множество, состоящее из таких
точек X, что проекция отрезка АХ
на прямую АВ — отрезок АВ?
329. Измерьте расстояния от точек А, В,
С, И: 1) до прямой а; 2) до луча М2У;
3) до отрезка РЯ (рис. 165).
330. Докажите, что наклонная, проведен¬
ная из данной точки к данной пря¬
мой, больше проекции наклонной на
эту прямую.
331. Докажите, что гипотенуза прямоуголь¬
ного треугольника больше его катета.
332*. Внутри треугольника АВС взята точ¬
ка М. Докажите, что сумма расстоя¬
ний от этой точки до вершин треуголь¬
ника больше суммы расстояний от этой
точки до сторон треугольника.
333. Какую фигуру образуют точки, каждая
из которых равноудалена от двух
пересекающихся прямых?
334. Пользуясь планом местности (рис. 166),
измерьте возможно точнее расстояния
от точек А, В и С до озера (масштаб
плана 1:10 000).
335. 1) Внутри угла дана точка М. Построй¬
те точки этого угла, равноудаленные
от сторон и отстоящие от точки М на
заданное расстояние г.
2) Постройте точки данного выпукло¬
го угла АВС, равноудаленные от его
сторон и от концов данного отрез¬
ка ЕВ (точки Е и Е лежат на различных
сторонах данного угла).
336*. Докажите, что расстояние от точки М
до окружности (О, г) равно |МА|
(рис. 167).
337. Двор имеет треугольную форму. Где
нужно вкопать столб для подвески
100
светильника, чтобы одинаково были
освещены углы двора?
338*. На рисунке 168 показан план мест¬
ности. Укажите кратчайший марш¬
рут, которым следует пройти от
пункта С до: 1) пруда; 2) рощи;
3) железнодорожной станции.
339. 1) Дано: |ОА| = |ОВ|, (ОМ)Л_(АВ)
(рис. 169). Доказать: | МА | = | МВ |.
2) Дано: |ОА| > |ОВ|, (ОМ)ЦАВ)
(рис. 169). Доказать: | МА | = | МВ |.
Рис. 170
27 Симметричные фигуры
Окружность, отрезок, угол и равнобедренный треугольник име¬
ют оси симметрии. Существуют ли другие перемещения, кроме
осевой симметрии, отображающие эти фигуры на себя?
1) Любое перемещение, отображающее на себя окружность
(О, г), является либо осевой симметрией, ось которой проходит
через центр О (рис. 171), либо поворотом с центром О на произ¬
вольный угол (в частности, таким перемещением является
симметрия с центром О и тождественное отображение Е). Заме¬
тим, что и поворотов, и осевых симметрий, отображающих
окружность на себя, бесконечно много.
2) Существуют 4 перемещения,
отображающие на себя отрезок АВ
(рис. 172): две осевые симметрии — от¬
носительно прямой АВ и серединного
перпендикуляра к отрезку АВ, а так¬
же симметрия с центром в середине
данного отрезка и тождественное ото¬
бражение.
3) Как показано в пункте 25, лю¬
бой угол имеет одну ось симметрии.
Других перемещений, отображающих
угол на себя (за исключением тождест¬
венного отображения), не существует*.
4) Равнобедренный треугольник
имеет хотя бы одну ось симметрии
* Это верно для углов, не являющихся
развернутыми.
101
Рис. 173
(п. 25). Если этот треугольник не яв¬
ляется равносторонним, то сущест¬
вует единственное нетождественное
перемещение, отображающее данный
треугольник на себя. Это перемеще¬
ние — симметрия, ось которой содер¬
жит биссектрису угла при вершине
равнобедренного треугольника.
Равносторонний треугольник име¬
ет три оси симметрии — это середин¬
ные перпендикуляры к сторонам это¬
го треугольника (рис. 173). Поворо¬
ты с центром в точке пересечения
серединных перпендикуляров на уг¬
лы 0е и 120° (в направлении по ча¬
совой стрелке и против) также ото¬
бражают равносторонний треуголь¬
ник на себя.
Если фигура отображается на
себя при повороте с центром О на
угол , то говорят, что эта фи-
п
гура обладает симметрией враще¬
ния порядка п, а точка О называется
центром вращения порядка п. Мож¬
но сказать, что равносторонний тре¬
угольник обладает симметрией вра¬
щения порядка 3, а отрезок —
Рис. 176
Рис. 178
Рис. 177
102
симметрией вращения порядка 2.
Пятиконечная звезда (рис. 174)
обладает симметрией вращения поряд¬
ка 5 (докажите это), а фигура, изобра¬
женная на рисунке 175, имеет сим¬
метрию вращения порядка 4, однако эта
фигура не имеет осей симметрии.
Как и многие другие математичес¬
кие понятия, понятие симметрии фигур
цоявилось в результате наблюдений
над объектами окружающего мира.
Например, рассматривая изображения
растений и живых организмов
(эти изображения можно считать пло¬
скими фигурами), легко убедить-
-ся, что многие из них с большой
степенью точности обладают той или
иной симметрией. Так, лист клена (рис.
176) обладает осевой симметрией. Раз¬
личными видами симметрии обладают
цветы (рис. 177, а, б), многие живые
организмы — морские звезды (рис. 178),
бабочки (рис. 179). Симметрией вра¬
щения порядка 6 и осевыми симмет¬
риями обладают снежинки (рис. 180).
С симметрией мы часто встречаем¬
ся в искусстве, технике, быту. Напри¬
мер, симметричны фасады многих зда¬
ний (рис. 181) и их виды сверху. Сим¬
метричны узоры на коврах, узоры бор¬
Рис. 180
дюров, многие виды механизмов, например колесо или шесте¬
ренка.
Вопросы и задачи
340°. Какими симметриями обладают фигуры, изображенные на
рисунке 182?
341. Постройте фигуру, имеющую центр вращения пятого порядка.
342. Постройте фигуру, которая не имеет осей симметрии и обла¬
дает симметрией вращения порядка 6.
103
6)
343. Приведите несколько примеров живых
организмов и растений, обладающих
какой-либо симметрией.
344°. Приведите несколько примеров сим¬
метричных фигур, встречающихся в
архитектуре, технике, быту.
345. Вырежьте ножницами какой-либо узор
на сложенном вдвое листе бумаги.
Разверните лист. Покажите ось сим¬
метрии и симметричные относительно
этой оси фигуры.
346. На рисунке 183 изображен узор, полу¬
ченный при перегибании листа бумаги
и вырезании фигуры. Попробуйте
изготовить этот узор самостоя¬
тельно.
347. Постройте какую-либо симметричную
красивую фигуру, состоящую из отрез¬
ков и дуг окружностей.
348. Восстановите изображение фигуры Ь,
если известно, что точка О является
центром вращения этой фигуры шесто¬
го порядка и сохранилась часть изо¬
бражения этой фигуры (рис. 184).
349. От луча ОАХ откладываются уг¬
лы Ах0А1, А^ОАъ, ...,Ап_х ОАп, вели-
360: _
чины которых равны . Фигу-
9
д)
Рис. 182
104
ра Ь\ — произвольное под¬
множество угла А\ОА^, фи¬
гуры 1/2, Ъп—образы
фигуры Ь[ при поворотах
с центром О на различные
360э
углы, кратные . Докажи¬
те
те, что объединение фигур
1/1, 1/2, — фигура, обла¬
дающая симметрией враще¬
ния порядка п. (На рис. 185
выполнено построение для
п = 8.)
§ 4. Окружность
28. Угловая величина дуги окружности
34 |Т ео р е м а. Два центральных угла окружности конгруэнт-
I ны тогда и только тогда, когда конгруэнтны соответствую-
I щие им дуги.
Для того чтобы доказать эту теорему, надо доказать два
предложения: 1) если два центральных угла окружности конгру¬
энтны, то конгруэнтны и соответствующие им дуги; 2) если
конгруэнтны две дуги окружности, то конгруэнтны и соответст¬
вующие им центральные углы. Докажем первое из этих предло¬
жений (второе примем без доказательства).
Доказательство. Обоз¬
начим точки пересечения сторон дан¬
ных центральных углов с окружно¬
стью (О, г) через А<, и Л2, В2
(рис. 186). Имеем:
А}0А2 — А^ОВ} В}ОА29
В^ОВ2 - В^6а2 + А2ОВ2.
Но А10В1 — А2ОВ2 (по условию).
Поэтому А10А2 = В1ОВ2 = а.
Рис. 186
105
Рассмотрим поворот с центром О на угол а. При этом пово¬
роте точка О, а значит и окружность (О, г) отображаются на
себя, угол А1ОВ1 — на угол А2ОВ2 (величины этих углов рав¬
ны). Отсюда следует, что образом дуги А1В1 является дуга А2В2.
А так как поворот есть перемещение, то о А1В1 ^<уА2В2.Ш
Определение. Угловой величиной дуги окружности на¬
зывается величина соответствующего ей центрального угла этой
окружности.
Угловая величина дуги АВ обозначается так: АВ.
Как известно, два угла конгруэнтны тогда и только тогда,
когда равны их величины (п. 18). Отсюда и из теоремы 34 полу¬
чаем:
две дуги окружности конгруэнтны тогда и только тогда,
когда угловые величины этих дуг равны.
Вопросы и задачи
350. Как разделить окружность на четыре конгруэнтные дуги?
351. С помощью циркуля (способом проб) разделите данную ок¬
ружность: 1) на семь конгруэнтных дуг; 2) на пять конгруэнт¬
ных дуг.
352. Дана окружность (О, г). Пользуясь одной линейкой, построй¬
те: 1) хорду этой окружности, конгруэнтную данной хорде АВ
той же окружности; 2) дугу окружности (О, г), конгруэнтную
данной дуге этой окружности.
353. Две окружности имеют общий центр О; [АВ] —хорда окруж¬
ности большего радиуса, пересекающая вторую окружность
в точках С и В. Докажите, что Х_АОС = Х-ВОИ.
354. Сколько градусов содержат центральные углы, соответству¬
ющие дуге АВ, которая составляет: 1) 2) 3) ; 4)
5 6 10 16
часть окружности? Запишите с помощью обозначений угло¬
вую величину дуги АВ в каждом из этих случаев.
355. Разделите окружность на четыре дуги, угловые величины
которых пропорциональны числам 1, 4, 8 и 11. В каком от¬
ношении находятся величины центральных углов, соответ¬
ствующих этим дугам?
356. Окружность разделена двумя точками на две дуги. Какова
угловая величина каждой из этих дуг, если: 1) угловая вели¬
чина одной из них на 30° больше угловой величины дру¬
106
гой; 2) угловые величины этих дуг пропорциональны чис¬
лам 1 и 3?
357. 1) Постройте равносторонний треугольник, вершины которо¬
го лежат на данной окружности.
2) Постройте с помощью линейки и транспортира правиль¬
ную пятиконечную звезду.
358. 1) Какова угловая величина дуги, которую описывает конец
часовой стрелки: а) за 2 ч; б) за 1 ч 30 мин; в) за 15 мин?
2) Сколько минут содержит угол, на который поворачивается
минутная стрелка за 1 мин?
359. 1) Докажите, что две дуги окружности конгруэнтны тогда и
только тогда, когда конгруэнтны стягивающие их хорды
(предполагается, что величины обеих дуг либо не превышают
180э, либо больше 180г).
2) Докажите, что две дуги, лежащие на различных окружно¬
стях равных радиусов, конгруэнтны тогда и только тогда, ког¬
да их угловые величины равны.
360. На окружности даны три точки А, С и П. Постройте при помо¬
щи циркуля дугу АВ, конгруэнтную дуге СП.
361. Разделите дугу окружности пополам, если центр этой окруж¬
ности недоступен.
362*. Какую фигуру образует: 1) множество середин хорд данной
окружности, перпендикулярных данному диаметру этой ок¬
ружности; 2) множество середин хорд данной окружности,
имеющих длину а (а < г)?
363. 1) Хорда делит окружность на две дуги, угловые величины
которых пропорциональны числам 4 и 5. Под каким углом
видна эта хорда из центра окружности?
2) Под каким углом была бы видна из центра Земли дуга
экватора длиной: а) 1 км; б) 2 м? Длину экватора принять
за 40 000 км.
29. Взаимное расположение прямой и окружности
Различные случаи взаимного расположения прямой и ок¬
ружности показаны на рисунках 187, а, б, в. Прямая, имеющая
с окружностью только одну общую точку, называется касатель¬
ной к этой окружности, а их общая точка — точкой касания.
Если прямая и окружность имеют две общие точки, то говорят,
что прямая и окружность пересекаются.
107
а) 5) в)
Рис. 187
Для того чтобы ответить на вопрос, сколько общих точек
имеют данные прямая р и окружность (О, г), требуется срав¬
нить расстояние к от центра О окружности до прямой р с радиу¬
сом г этой окружности.
Возможны три случая: 1) к > г; 2) к = г; 3) к < г. Рас¬
смотрим эти случаи.
1) Если расстояние от центра окружности до прямой боль¬
ше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют об¬
щих точек.
В самом деле, если к > г (см. рис. 187, а), то ближайшая
к центру О точка прямой р (а значит, и любая точка этой пря¬
мой!) не может принадлежать окружности (О, г), так как она
находится от центра на расстоянии, большем г. ■
2) Если расстояние от центра окружности до прямой рав¬
но радиусу окружности, то прямая и окружность имеют одну
и только одну общую точку.
В самом деле, если к = г (см. рис. 187, б), то ближайшая
к центру О точка прямой р находится на расстоянии, равном
радиусу окружности, и, значит, принадлежит окружности.
Все остальные точки прямой р находятся от центра О на расстоя¬
нии, большем радиуса окружности, и, следовательно, окруж¬
ности не принадлежат. ■
3) Если расстояние от центра окружности до прямой
меньше радиуса окружности (к < г), то прямая и окружность
имеют ровно две общие точки (рис. 187, в).
Доказательство этого утверждения сложно, поэтому мы
его опускаем. Итак,
35 I окружность и прямая могут не иметь общих точек, иметь
I одну или две общие точки.
Докажем теоремы о касательной к окружности.
108
36
Теорема. 1) Если прямая пер¬
пендикулярна к радиусу окружно¬
сти и проходит через его конец, ле¬
жащий на окружности, то она
касается этой окружности.
2) Если прямая касается окружно¬
сти, то она перпендикулярна ра¬
диусу этой окружности, проведен¬
ному в точке касания.
Первая часть теоремы уже доказа¬
на. Действительно, в этом случае
(рис. 188) расстояние Л от центра
окружности (О, г) до прямой р равно
радиусу г. Поэтому, как показано вы¬
ше, прямая р и окружность (О, г)
имеют единственную общую точку. Это
и означает, что прямая р — касатель¬
ная к окружности (О, г).
Докажем вторую часть теоремы.
Дано: р — касательная^ к окружности (О, г) в точке А.
Доказать: р _|_ (ОА) (рис. 189).
Доказательство. Допустим, что прямые р и ОА
не перпендикулярны и [ОВ] — перпендикуляр к р. Тогда по
теореме 32 расстояние от точки О до прямой р равно |ОВ|.
Так как по предположению А^=В, то | ОВ | < |ОА|, т. е. к <
< г. Но, как показано выше, в этом случае прямая р пересе¬
кает окружность (О, г). Получили противоречие с условием:
р касается окружности (О, г). Значит, наше допущение невер¬
но и р ± (ОА). ■
Вопросы и задачи
364°. Даны окружность (О, г) и прямая а. Каково взаимное распо¬
ложение этих фигур, если известно, что расстояние от точки О
до прямой а: 1) больше г; 2) меньше г; 3) равно г?
365. На сторонах данного угла АОВ постройте точки, находящиеся
на данном расстоянии а: 1) от вершины угла; 2) от точки М,
лежащей во внутренней области угла АОВ.
366. Постройте окружность данного радиуса г, которая касается
данной прямой а в данной на ней точке М.
109
367. Постройте касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку этой окружности.
368. 1) Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.
2) Постройте окружность, которая касается сторон данного
угла, причем одной из них в данной точке.
369. Найдите множество центров окружностей, касающихся сто¬
рон данного угла.
370. Две окружности касаются друг друга в точке А. Существует
ли прямая, касающаяся обеих этих окружностей и проходя¬
щая через А?
371. Постройте окружность, касающуюся всех сторон данного
треугольника.
372. Известно, что | АО |—наименьшее из всех расстояний от
точки А до точек прямой р(А $ р). Докажите: (АО) 1 р.
30. Задачи на построение
Вы уже решали довольно много задач на построение — задачи
на построение треугольников по заданным элементам, задачи на
построение образа данной фигуры при осевой симметрии, фигу¬
ры, центрально-симметричной данной, и т. д. Решение этих за¬
дач, как правило, начиналось сразу с построения.
Однако при решении более сложных задач на построение сра¬
зу найти требуемое построение трудно. Предварительно проводят
анализ задачи. Предполагают задачу уже решенной и составля¬
ют предположительный чертеж взаимного расположения данных
элементов (точек, прямых, окружностей и т. п.) и искомых. На
этом чертеже пытаются найти вспомогательные элементы, кото¬
рые могли бы помочь построению искомых, а сами могли бы
быть построены при помощи данных. В случае успеха такого
анализа задачи ее решение становится очевидным. В виде пер¬
вого примера рассмотрим задачу.
Задача 1. Построить прямоугольный треугольник по ги¬
потенузе и катету.
Решение. Проведем анализ. Предположим, что треуголь¬
ник, удовлетворяющий условиям задачи, построен (рис. 190).
Отметим на полученном чертеже элементы, данные в условии.
Рассматривая полученный рисунок, мы видим, что вершины
В и С можно построить, отложив отрезок ВС заданной длины а.
Третья вершина А: 1) лежит на перпендикуляре к прямой ВС,
проходящем через С, и 2) находится от точки В на расстоянии,
равном длине отрезка АВ, т. е. лежит на окружности (В, с).
110
Отсюда следует, что для решения
задачи (рис. 191) достаточно построить:
1) отрезок ВС длины а;
2) пернендикуляр р к прямой ВС,
проходящий через точку С;
3) окружность (В, с);
4) точку А пересечения этой окруж¬
ности с прямой р.
Треугольник, вершинами которого
являются точки А, В, С, искомый.
Треугольник, удовлетворяющий ус¬
ловиям задачи, существует лишь при
условии с > а (объясните почему). При
этом условии задача имеет решение.
Это решение (с точностью до конгру¬
энтности) единственно. Справедлив сле¬
дующий признак конгруэнтности пря¬
моугольных треугольников:
37
если гипотенуза и катет одного
прямоугольного треугольника кон¬
груэнтны гипотенузе и катету дру¬
гого треугольника, то такие прямо¬
угольные треугольники конгру¬
энтны.
Задача 2. Построить касатель¬
ную к данной окружности, проходящую
через данную точку.
Решение. Данная точка А мо¬
жет: 1) принадлежать внутренней облас¬
ти данной окружности (О, г) (| О А | <
< г); 2) лежать на окружности (О, г)
(| О А | = г) и, наконец, 3) лежать во
внешней области данной окружности
(| О А | > г). Рассмотрим эти три слу¬
чая отдельно.
1) | ОА\ < г (рис. 192, а). В этом слу¬
чае расстояние от центра О окружности
до любой прямой, проходящей через точ¬
ку А, меньше радиуса г (перпендикуляр
короче наклонной!). Значит, любая пря-
Рис. 192
111
мая, проходящая через данную точку А,
пересекает данную окружность (п. 28).
В этом случае искомой касательной не
существует.
2) |О-4| = г (рис. 192, б). В этом слу¬
чае точка А лежит на окружности (О, г).
По теореме 36 искомая касательная долж¬
на быть перпендикулярна прямой ОА.
Но существует единственная прямая,
проходящая через точку А и перпенди¬
кулярная прямой ОА. Значит, в рассматриваемом случае реше¬
ние единственно. Для построения касательной достаточно про¬
вести прямую ОА и построить прямую р, перпендикуляр¬
ную прямой ОА и проходящую через точку А. Прямая р —
искомая.
3) | 0-41 > г (рис. 193, а). Проведем анализ. Допустим, что
искомая касательная АМ построена. Отложим на прямой ОМ
отрезок МВ длины г (рис. 193, а). Тогда точки О и В симметрич¬
ны относительно прямой АМ. В самом деле, (ОМ) ± (АМ)
(теорема 36,2). Кроме того, по построению |ОЛ/|— |ВМ|. Поэто¬
му отрезки АО и АВ симметричны относительно прямой АМ и,
следовательно, | О А | = |-4В|. Тем самым мы показали: а) точ¬
ка В принадлежит и окружности (О, 2г), и окружности (А, | О А |);
б) точка касания М — середина отрезка ОВ — принадлежит
окружности (О, г) и прямой ОВ. Построив точку М искомой
касательной, нетрудно построить и саму касательную: достаточ¬
но провести прямую АМ. Теперь можно перейти к построению.
Построим окружности (О, 2г) и (А, | О А |) (рис. 193, б). Эти
112
окружности имеют две общие точки (п. 13). Обозначим их через
В1 и В2. Проведя прямые ОВ{ и ОВ2, найдем точки пересечения
этих прямых с окружностью (О, г) — точки ЛГ1 и ЛГ2. Прямые
АМь АМ2 — касательные к окружности (О, г).
Таким образом, в этом случае задача имеет два решения:
из точки, лежащей во внешней области окружности, можно про¬
вести две касательные к этой окружности. Отрезки АМ{ и АМ2
этих касательных конгруэнтны. В самом деле, при симметрии с
осью О А точка А отображается на себя, точки касания и М2
отображаются друг на друга (см. рис. 193, в).
Вопросы и задачи
373. Постройте прямоугольный треугольник: 1) по гипотенузе с и
катету Ь; 2) по катетам а и 6; 3) по катету а и прилежащему
острому углу |3; 4) по гипотенузе с и острому углу а; 5) по
катету а и высоте к, проведенной к гипотенузе.
374. Постройте равнобедренный треугольник: 1) по боковой
стороне Ъ и высоте Л, проведенной к этой стороне; 2) по ос¬
нованию а и высоте к, проведенной к одной из боковых сторон.
375°. Сколько касательных, проходящих через данную точку А,
можно провести к данной окружности (О, г)?
376. Постройте касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку.
377*. Какую фигуру образует множество точек, для любой из ко¬
торых касательные, проведенные к данной окружности, име¬
ют одну и ту же длину а?
378. Постройте окружность, которая отсекает от сторон данного
угла отрезки длины а.
379*. Даны окружность (О, г) и прямая а — касательная к этой ок¬
ружности. Постройте окружность, которая касается: 1) дан¬
ной окружности и данной прямой в данной на этой прямой
точке М] 2) данной прямой и данной окружности в данной
на этой окружности точке М.
380*. Две окружности (01, и (О2, г2) касаются внешним обра¬
зом. 1) Найдите такую точку М, что касательные, проведен¬
ные из нее к данным окружностям, имеют равные длины.
2) Какую фигуру образует множество точек М, таких, что
касательные к данным окружностям, проведенные из этих
точек, имеют равные длины?
113
Дополнительные задачи к главе II
381. Фигура Ь состоит из всех точек полуокружности с центром О,
за исключением точек А и В (рис. 194). Произвольной точке X
этой фигуры поставлена в соответствие точка Х\ прямой р,
лежащая на луче ОХ. Проверьте, что тем самым задано ото¬
бражение фигуры Ь на прямую р. Обратимо ли это отобра¬
жение?
382.
383.
Приведите примеры обратимых отображений фигуры на фи¬
гуру, при которых расстояния между точками: 1) сохраня¬
ются; 2) не сохраняются.
Фигура Ь состоит из точек А, В, С и Б; | АВ | = | ВС | =
= |СР| = |АР|. 1) Покажите, что существуют четыре ото¬
бражения этой фигуры на себя, сохраняющих расстояния.
2) Для одного
ему обратное.
и
из
СБ
384.
Отрезки АВ
385.
386.
этих отображений укажите отображение,
имеют одинаковую длину. Приведите при¬
мер отображения отрезка АВ на от¬
резок СБ: 1) сохраняющего расстоя¬
ния; 2) не сохраняющего расстояния.
В морской практике принято опреде¬
лять направления в румбах. Румб —
это угол между направлением оси
магнитной стрелки и выбранным на¬
правлением. Румбы отсчитываются как
от северного, так и от южного кон¬
ца магнитной стрелки от 0° до 90°.
При этом указывается, какой из че¬
тырех четвертей — СВ, ЮВ, ЮЗ, СЗ —
принадлежит угол (рис. 195, а). Напри¬
мер, для направления I румб равен
СВ 45°, а для направления III румб ра¬
вен ЮВ 60°.
На схеме (рис. 195, б) стрелками пока¬
заны направления движения кораблей
в некотором районе. Определите эти
направления в румбах.
Докажите: 1) любые два луча конгру¬
энтны; 2) любые две прямые конгру¬
энтны; 3) любые две полуплоскости
конгруэнтны.
.114
387. Ученику требуется начертить в тетради фигуру, конгруэнт¬
ную фигуре, изображенной на картинке. Как это можно сде¬
лать?
388°. Какие фигуры, изображенные на рисунке 78, имеют: 1) центр
симметрии; 2) ось симметрии?
389. Точки О1 и Ог, принадлежащие фигуре Ъ, являются центрами
симметрии этой фигуры; расстояние |0[02| равно 1. Дока¬
жите, что существуют такие две точки фигуры В, расстояние
между которыми равно: а) 2; б) 3; в) 1 000 000.
390. Известно, что при некотором перемещении точка А отобра¬
зилась на точку точка В — на точку В1. Как можно по¬
строить образ точки X при этом перемещении, если:
1) X С (АВ); 2) X ЦАВ)1
391. 1) Докажите, что отрезок имеет только один центр сим¬
метрии.
2) Докажите, что окружность имеет только один центр сим¬
метрии.
392. Докажите, что фигура, являющаяся объединением двух кру¬
гов равных радиусов, имеет центр симметрии. Имеет ли центр
симметрии пересечение этих кругов?
393. Каждой точке Р(х, у) плоскости поставлена в соответствие
точка: 1) -у-1); 2) Р'(х, 1 - у); 3) Р'(1-х.у).
Покажите, что каждое из этих отображений является переме¬
щением.
394. Дан угол АОВ и точка М внутри этого угла. Постройте точки
Л/1 — 5 ло (М) и = 8 В0(М[). Докажите, что величина
угла М\ОМ2 не зависит от положения точки М.
395. Сколько осей симметрии может иметь фигура, если она явля¬
ется объединением: 1) окружности и точки; 2) окружности
и прямой?
396. Две точки А\ и Аг симметричны относительно оси р. Построй¬
те с помощью одной линейки точку, симметричную данной
точке В относительно прямой р, если известно, что В $ (А1А2).
397. Даны взаимно перпендикулярные прямые а и Ъ, пересекаю¬
щиеся в точке О, и точка М, не лежащая ни на одной из этих
прямых. Постройте точки М[=8а(М)1 М2 = 8Ь(М[)1 М3 =
= За (М2) и т. д. Сколько различных точек при этом будет
построено?
398. Докажите, что при любом повороте с центром О окруж¬
ность (О, г) отображается на себя.
115
а)
399. Дан угол в 54°. С помощью циркуля и
линейки разделите его на три конгру¬
энтных угла.
400. Дан угол в 17°. Как можно при помо¬
щи циркуля и линейки построить угол:
1) 10°; 2) 22°; 3) 11 °?
401. Постройте объединение фигуры, за¬
штрихованной на рисунке 196, и фигу¬
ры, являющейся образом этой фигу¬
ры при повороте на 45° вокруг центра
данной окружности в направлениях
по часовой стрелке и против.
402. Постройте центр и угол поворота, если
даны точки А и А\ (образ А при
этом повороте) и известно, что центр
поворота принадлежит данной пря¬
мой а.
403. Даны две концентрические окруж¬
ности (рис. 197). Докажите, что рассто¬
яние между ними равно |АВ|*.
404. Как можно найти расстояние между
двумя окружностями, изображенными
на рисунках 198, а, 61
405. Какой фигурой может быть множество
точек, равноудаленных от сторон угла?
406. Точка М равноудалена от сторон угла
АОВ, Следует ли из этого, что точ¬
ка М лежит на биссектрисе этого угла?
(Сделайте рисунок и покажите на нем
возможные положения точки М.)
407. Постройте фигуру, которая является
объединением данной фигуры (рис. 199)
и фигуры, ей симметричной относи¬
тельно оси 5.
408. Для нахождения центра детали, имею¬
щей форму круга, применяется при¬
бор, который называется центроиска-
телем. 1) Объясните, как можно найти
* Расстоянием между фигурами и Ь2 на¬
зывается наименьшее из расстояний |ХУ|, где
х е ь» у е ь2.
116
центр круга при помощи центроиска-
теля, изображенного на рисунке 200, а.
(Вершина прямого угла находится в
середине отрезка АВ.) 2) Объясните,
как можно воспользоваться этим при¬
бором для построения биссектрисы
данного угла.
409. -Объясните, почему механизм из трех
звеньев, изображенный на рисунке
200, б, будет жестким (т. е. не шарнир¬
ным) даже в том случае, когда все три
его звена соединены шарнирами.
410. Докажите, что если диаметр делит ду¬
гу, стягиваемую хордой, пополам, то
он перпендикулярен этой хорде.
411. Докажите, что сумма высот любого
треугольника меньше его периметра.
412. Докажите, что сумма медиан любого
треугольника меньше его периметра,
но больше полупериметра.
413. 1) Внутри треугольника АВС взята
точка М. Докажите, что периметр тре¬
угольника АМВ меньше периметра
треугольника АСВ.
2) Докажите, что расстояние между
любыми двумя вершинами замкнутой
ломаной не больше половины суммы
О
длин ее звеньев. рис 2оо
414. Найдите расстояние от точки А, лежа¬
щей внутри окружности (О, г), до этой окружности.
415. 1) Докажите, что если через концы хорды данной окружно¬
сти провести перпендикулярные ей хорды, то их длины
будут равны.
2) Можно ли через точку, лежащую во внутренней области
окружности, провести три хорды равной длины?
416. Постройте прямоугольный треугольник, если даны его катет
и отрезок, длина которого равна сумме длин другого катета
и гипотенузы.
417. 1) Внутри острого угла взята точка М. Постройте треугольник
КЪМ, имеющий возможно меньший периметр, вершины
К и Ь которого лежат на сторонах данного угла.
117
2) Даны прямая а и точки А С а, а. Постройте на пря¬
мой а такую точку X, что сумма расстояний | АХ | и | ХВ |
равна длине данного отрезка.
418. Через данную точку А, лежащую во внутренней области
окружности (О, г), проведите хорду наименьшей длины.
419. 1) Постройте четырехугольник АВСБ по четырем сторонам
так, чтобы луч АС был биссектрисой угла А.
2) Луч АС является биссектрисой угла А четырехугольника
АВСВ; периметры треугольников АСВ и АСИ равны. Дока¬
жите, что эти треугольники конгруэнтны.
420. 1) Из точки М проведены касательные к окружности (О, г);
точки касания — А1 и А2. Докажите: а) (А1А2) _1_ (МО);
б) ЛАХМО^ ЛА2МО.
2) Точки А и В принадлежат прямой I, а точки Р и (2 располо¬
жены вне этой прямой. Найдите на прямой I такую точку X,
что фХВ = 2АХР. (Рассмотрите два случая: точки Р и (2 ле¬
жат по одну сторону от прямой I и по разные стороны от этой
прямой.)
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
§ 1. Параллельные прямые
31. Параллельность прямых
и центральная симметрия
1. Определение. Прямые а и Ь
называются параллельными, если они
лежат в одной плоскости и не име¬
ют общей точки или совпадают.
По определению любая прямая а
параллельна себе: а || а. Из определе¬
ния сразу следует, что если а || &, то и
Ь || а.
38 |Т еор е м а (о центрально-симме-
I тричных прямых). Если две прямые
I центрально-симметричны, то они
| параллельны.
Дано: Ь = 20 (а).
Доказать: а || Ъ.
Доказательство. Предпо¬
ложим противное: прямые а и & не па¬
раллельны. Это значит, что они раз¬
личны и имеют общую точку С (рис. 201).
Эта точка С не может совпадать с цент¬
ром симметрии О, так как тогда прямые
а и Ъ отобразились бы при симметрии 20
каждая на себя, а не друг на друга.
Обозначим через С\ образ точки С
при симметрии 2о • Точки С и С1 раз¬
личны, так как С О. Точка С по пред¬
положению принадлежит прямым а и
Ь. Поэтому ее образ принадлежит
7
НЛАСС
|\
I \
I \
I I
Рис. 201
о
ь
а
119
образам этих прямых, т. е. прямым Ъ и а. Получаем, что две
различные прямые а и Ъ имеют две общие точки С и что про¬
тиворечит аксиоме прямой. Следовательно, предположение, что
прямые а и Ь не параллельны, неверно. Значит, а ]| Ъ. ■
Следствие. Через любую точку проходит хотя бы
одна прямая, параллельная данной прямой.
Доказательство. Пусть даны прямая р и точка А.
Возможны два случая:
1) А 6 Р- В этом случае искомой прямой является прямая р.
2) А р. Отметим на прямой р точку С и найдем середину О
отрезка АС (рис. 202). Обозначим через # образ прямой р при
симметрии 20. По теореме 38 прямые р и д параллельны.
Прямая состоит из всех точек, симметричных точкам пря¬
мой р относительно точки О. Поэтому она содержит, в частнос¬
ти, и точку А, симметричную С. Значит, — искомая прямая. ■
2. Теорема о центрально-симметрич-
л"
/ \
/ \
/ \
ь
а
Р
Рис. 203
ных прямых является одним из призна¬
ков параллельности прямых. Докажем те¬
перь другой признак параллельности пря¬
мых.
39 I Т е о р е м а. Если две прямые пер-
I пендикулярны, одной и той же пря-
| мой, то эти прямые параллельны.
Дано: а ± р, Ъ ± р, а Ф Ъ.
Доказать: а || Ъ.
Доказательство. Предполо¬
жим, что прямые а и Ъ пересекаются в
точке М (рис. 203). Тогда через точку М
проходят два перпендикуляра к прямой р,
что противоречит предложению 19. Зна¬
чит, наше допущение неверно. Пря¬
мые а и Ъ параллельны. ■
Вопросы и задачи
421е. Назовите различные случаи взаимно¬
го расположения двух прямых на
плоскости.
422°. Верно ли, что любые две прямые
пространства либо параллельны, либо
пересекаются?
120
423°. 1) Какие прямые (отрезки) при центральной симметрии
отображаются на себя?
2) Могут ли две различные центрально-симметричные пря¬
мые иметь общую точку?
424°. Каково взаимное расположение прямых а и Ь, если:
1) а = 20(Ь); 2) а = 20(а) и Ъ = 20
425. 1) Постройте прямую, симметричную данной прямой а от¬
носительно данного центра 0(0$ а).
2) Постройте прямую, параллельную данной прямой а и про¬
ходящую через данную точку. Какими инструментами можно
это сделать?
426. Даны треугольник АВС и точка М. Постройте прямые, про¬
ходящие через точку М и параллельные прямым АВ, ВС и АС.
427. Постройте четырехугольник, противоположные стороны кото¬
рого попарно параллельны.
428°. Прямые а и Ь касаются окружности в диаметрально противо¬
положных точках М и Т. Каково взаимное расположение этих
прямых?
429. Каково взаимное расположение прямых а и Ь, а и с, Ь и с,
если: 1) аЛ_с, ЬЛ_с; 2) а! Ь, с_1_ Ь; 3) а _1_ Ь, с _1_ а?
430. Какие прямые при осевой симметрии 8р отображаются на
параллельные им прямые?
431. Все углы четырехугольника прямые. Докажите, что его про¬
тивоположные стороны попарно параллельны.
32. Аксиома параллельных
1. Мы доказали, что через любую точку можно провести хотя
бы одну прямую, параллельную данной прямой. Сколько на
самом деле существует таких прямых? Мы знаем, что их не ме¬
нее одной. Примем без доказательства следующее предложение.
40 I А ксиома параллельных. Через данную точку прохо-
I дит не более одной прямой, параллельной данной прямой.
Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает и другую.
Доказательство. Пусть а\\Ъ ъ с[\а = А (рис. 204).
Если бы прямая с не пересекала прямую Ъ, то через точку А
проходили бы две прямые (а и с), параллельные прямой Ь. Это
противоречит аксиоме параллельных. Значит, прямая с пересе¬
кает прямую Ь. ■
121
Рис. 204
Рис. 205
С
Рис. 206
Следствие 2. Перпендикуляр и
наклонная к одной и той же прямой
пересекаются.
Доказательство. Пусть пря¬
мая а — перпендикуляр, а прямая Ъ —
наклонная к прямой с (рис. 205). Через
точку В пересечения прямых Ь и с про¬
ведем перпендикуляр р к прямой с. Тог¬
да прямая р параллельна прямой а (п. 31).
Значит, прямая Ь не может быть парал¬
лельна прямой а, так как в противном
случае через точку В проходили бы две
прямые (Ь и р), параллельные прямой а,
что противоречит аксиоме параллельных.
Итак, прямые а и & пересекаются. ■
Следствие 3. Если прямые а и Ь
параллельны прямой с, то прямые а и Ь
параллельны.
Доказательство. Допустим
противное: прямые а и Ъ не параллельны,
т. е. пересекаются в некоторой точке Р
(рис. 206). Тогда через точку Р будут
проходить две прямые (а и 5), параллель¬
ные прямой с. Но это противоречит акси¬
оме параллельных, и, следовательно, наше
предположение неверно. Поэтому а || Ь. ■
2. В пункте 3 была доказана теоре¬
ма о параллельности центрально-симмет¬
ричных прямых. Верно и обратное пред¬
ложение.
41 I Теор е м а. Если две прямые парал-
I лельны, то они центрально-симме-
| тричны.
Доказательство. Пусть а || Ъ.
Докажем, что существует точка О, отно¬
сительно которой эти прямые симметрич¬
ны.
Возьмем на прямых а и Ь по одной точ¬
ке — А и А1 (рис. 207). Обозначим середи¬
ну отрезка АА1 через О.
122
При симметрии %о точка А отобразится на точку прямая
а отобразится на прямую 2о (а), проходящую через точку А{
Я параллельную (по теореме 38) прямой а. По аксиоме парал¬
лельных такая прямая единственна. Но по условию Ь || а и,
кроме того, А1 С Значит, образом прямой а при симметрии
%о может быть только прямая Ъ. Итак, (<0 = Ъ, т. е. прямые
а и Ь центрально-симметричны. ■
Вопросы и задачи
432. Докажите, что через любую точку плоскости проходит одна
и только одна прямая, параллельная данной прямой.
433. Можно ли провести прямую, параллельную каждой из пере¬
секающихся прямых а и
434. Даны прямые а, Ь и с. Верно ли, что: 1) а || а; 2) если а || Ь,
то Ъ || а\ 3) если а || Ъ и а || с, то Ь || с; 4) если а Л_ Ъ и Ь _1_ с,
то а±с; 5) если а пересекает Ь и Ь пересекает с, то прямые
а и с пересекаются?
435. Обладает ли отношение параллельности, заданное на множе¬
стве прямых, свойствами рефлексивности, симметричности и
транзитивности?
436. Даны прямые а, Ь и с. Каково взаимное расположение пря¬
мых а и с, если а || Ь и прямая Ь пересекает прямую с?
437. Докажите, что прямая, перпендикулярная одной из сторон
острого угла, пересекает вторую его сторону.
438. Прямые а и Ь параллельны, а прямая с
пересекает их (рис. 208). Докажите*:
а) 7 = 3; б) 7 = 8; в) 6 = 7; г) 3 = 5;
д) 4 = 6; е) 7 = 2; ж) 5 = 8; з) 2 = +
и) 2 + 8 = 180°; к) 7 +7 = 180°.
439. Две прямые а и Ь пересечены пря¬
мой с (рис. 208). Докажите, что а || Ь,
если:
а) 7 = 8; б) 5 = 8; в) 4 + 5 = 180°;
г) 6 = 7; д) 7 + 7= 180°.
* Такие углы, как 1 и 8, 7 и 2, ..., принято на¬
зывать соответственными углами. Углы 2 и 4, 8 и 5
называют внутренними накрест лежащими при па¬
раллельных а и Ь и секущей с.
123
а—
Рис. 211
440. На рисунке 209 показаны способы
построения параллельных прямых
при помощи: 1) угольника и линей¬
ки; 2) рейсшины. Объясните, поче¬
му построенные прямые парал¬
лельны.
441. Сколько центров симметрии имеет
фигура, являющаяся: 1) объедине¬
нием двух параллельных прямых;
2) объединением трех прямых, две
из которых параллельны; 3) объеди¬
нением двух прямых.
442. Противоположные стороны четы¬
рехугольника АВСР попарно парал¬
лельны. Найдите величины углов и
длины сторон этого четырехуголь¬
ника, если А = 30э, | АВ | — 2 см,
| ВС | = 4 см.
33 у. Неевклидова геометрия.
Геометрия и физика
Пользуясь уже известными вам пред¬
ложениями геометрии, можно дока¬
зать, что принятую нами аксиому па¬
раллельных А («через данную точку
проходит не более одной прямой, парал¬
лельной данной прямой») можно заме¬
нить другими утверждениями, равно¬
сильными аксиоме А. {Равносильность
утверждений Р и (} означает: из Р выте¬
кает С}, а из вытекает Р.) Например,
в качестве такого утверждения мо¬
жет быть принято предложение «пер¬
пендикуляр и наклонная пересекают¬
ся» или более точно: «если прямая а
перпендикулярна прямой с, а прямая
Ъ пересекает прямую с, но ей не пер¬
пендикулярна, то прямые а и Ъ пере¬
секаются» (рис. 210, а).
Сам Евклид принимал в качестве
аксиомы параллельных такое предложе-
124
ние: «Если прямая падает на две прямые и образует внутрен¬
ние односторонние углы, в сумме меньшие двух прямых, то при
неограниченном продолжении этих двух прямых они пересекутся
с той стороны, где углы меньше двух прямых» (рис. 210, б).
Многим математикам, работавшим после Евклида, аксиома
параллельных в том или ином ее виде казалась с наглядной
точки зрения недостаточно убедительной. Поэтому было потра¬
чено много усилий на ее доказательство. Но все предлагаемые
доказательства оказывались несостоятельными.
Для дальнейшего развития науки особенно плодотворными
оказались попытки доказать аксиому параллельных «от про¬
тивного», или, как говорят иначе, «приведением к абсурду».
Допускали отрицающее А предложение В («допускали против¬
ное»): если точка Р не лежит на прямой а, то через Р проходят
по крайней мере две прямые Ь и с, параллельные прямой а
(рис. 211).
Из этого допущения извлекали многочисленные следствия
в надежде прийти к противоречию: если бы такое противоречие
появилось, то «противоположное допущение» было бы неверно и
предложение А было бы доказано.
Но противоречия никак не удавалось обнаружить. Вместо
этого получалась длинная цепь предложений, часто отличных
от тех, которые имеются в евклидовой геометрии, но которые
тем не менее складывались в стройную теорию. Например, из
аксиомы А вытекает, что сумма углов треугольника равна 2(1
(см. доказательство в п. 38), а из В следовало, что эта сумма
всегда меньше 2(1, причем разность Д =2(1 — К — В, — Ь
пропорциональна площади 5 треугольника КЬВл Д = к8, где
к — некоторая положительная константа.
Особенно полно такую, по его словам, «воображаемую гео¬
метрию» развил русский математик Николай Иванович Лоба¬
чевский (1792—1856). Он впервые открыто высказал убежде¬
ние, что геометрия эта непротиворечива и потому с чисто логи¬
ческой точки зрения равноправна евклидовой. Несколько позже
Лобачевского (но независимо от него) опубликовал аналогичную
работу венгерский математик Янош Бойяй (1802—1860).
В XIX в. были построены и другие системы геометрии, от¬
личные от евклидовой. Например, в геометрии Римана (1820—
1864) совсем нет параллельных. В этой геометрии два перпен¬
дикуляра к прямой непременно пересекаются (рис. 212). При¬
веденное в нашем учебнике доказательство невозможности та-
125
кого положения вещей (см. п. 31) не дейст¬
вует в геометрии Римана.
С созданием новых геометрий, отличных
от евклидовой, получил более полное осве¬
щение вопрос об отношении геометрии,
развиваемой чисто логически из опреде¬
ленных допущений (аксиом), к свойствам
окружающего нас реального пространства.
В пункте 14 уже было сказано, что в геометрии мы приписы¬
ваем геометрическим фигурам свойства, которые в применении
к реальным телам наблюдаем только приближенно. Геометрия
представляет собой математическую модель реальных простран¬
ственных отношений. Модель эта правильна в том смысле, что
она с хорошим приближением отражает свойства доступной
нам части реального пространства.
Ц С развитием науки и измерительной техники оказалось, что
выводы евклидовой геометрии остаются правильными со зна¬
чительно большей точностью, чем это могли проверить на прак¬
тике ученые прошлых времен. Например, К. Ф. Гаусс (1777—
1855), одновременно с Лобачевским пришедший к мысли о воз¬
можности неевклидовой геометрии, измерил с большой точ¬
ностью углы треугольника, образованного вершинами трех
немецких гор, и, сложив, эти углы, не обнаружил значимого
отклонения от 2б/.
Но современная физика не абсолютизирует пригодность ев¬
клидовой геометрии в очень больших космических масштабах
или в очень малых масштабах элементарных частиц. В обоих
случаях остается возможность, что данные физики окажутся
в лучшем согласии с какой-либо геометрией, отличной от евкли¬
довой.
Вопросы и задачи
443. Докажите равносильность предложений А и В:
(В) если прямая а перпендикулярна прямой с, а прямая Ь
пересекает прямую с, но ей не перпендикулярна, то пря¬
мые а и Ь пересекаются;
(А) через любую точку проходит не более одной прямой,
параллельной данной прямой.
444. 1) Приведите примеры теорем, при доказательстве которых
используется аксиома параллельных.
126
2) Приведите примеры теорем, доказательства которых не
опираются на аксиому параллельных.
445**. Докажите, не опираясь на аксиому параллельных, что угол,
смежный с углом А треугольника АВС, больше каждого из
углов В и С.
§ 2. Параллельный перенос
34. Отношение эквивалентности
Вы знакомы с понятием отношения между элементами множе¬
ства. Известны, например, отношения параллельности и перпен¬
дикулярности между прямыми, отношение конгруэнтности меж¬
ду фигурами. В алгебре вы познакомились с отношениями не¬
равенства (строгого и нестрогого) между числами. Вы знаете
также, как употребляются знаки перечисленных отношений:
а || Ь, а ± Ь, X, =* Х2, х < у, х < у.
Утверждение, что предметы х и у связаны некоторым отно¬
шением А, записывают так: хВу. В рассмотренных выше при¬
мерах отношением В было отношение параллельности, перпен¬
дикулярности, конгруэнтности, строгого и нестрогого нера¬
венства.
Как в алгебре, так и в геометрии вы встречались со следую¬
щими свойствами отношений.
1) Отношение В рефлексивно на множестве ЛГ, если для
любого х из М выполняется условие: хВх.
2) Отношение В симметрично, если из хВу следует, что
уВх (т. е. если хну связаны отношением В, то у и х тоже связа¬
ны этим отношением).
3) Отношение В транзитивно, если из хВу и уВг следует,
что хВг.
Отношение может обладать или только одним из этих
свойств, или двумя из них, или же всеми тремя свойствами
(или не обладать ни одним из них). Проверьте следующую таб¬
лицу, где знак «+» означает, что отношение обладает указан¬
ным свойством, а знак «—» означает, что оно этим свойством
не обладает.
I =
±
<
Рефлексивность . . .
+
+
+
Симметричность . . .
+
+
+
—
—
Транзитивность . . .
+
—
+
+
+
127
Среди рассмотренных отношений име¬
ются два, которые обладают всеми тремя
свойствами: рефлексивностью, симметрич¬
ностью и транзитивностью. Таковы отноше¬
ния параллельности и конгруэнтности. От¬
ношения, обладающие свойствами рефлек¬
сивности, симметричности и транзитивности,
называются отношениями эквивалентности.
▼ Если множество М каким-либо способом разбито на попарно
не пересекающиеся классы, то отношение *х и у принадлежат
одному и тому же классу» есть отношение эквивалентности.
Верно и обратное: если между элементами множества М за¬
дано отношение эквивалентности, то множество М разбивается
на попарно не пересекающиеся классы эквивалентных элемен¬
тов, т. е. отношение эквивалентности для элементов х и у будет
выполняться в том и только в том случае, когда х и у принадле¬
жат одному и тому же классу. Это формулируют и иначе: каж¬
дое заданное на множестве М отношение эквивалентности опре¬
деляет разбиение множества М на классы эквивалентности.
Например, отношение параллельности между прямыми пло¬
скости определяет разбиение множества всех прямых плоскости
на классы. Каждый из этих классов состоит из прямых, парал¬
лельных друг другу (рис. 213). Эти классы — пучки параллель¬
ных прямых. Другой пример таких классов — направления,
которые будут определены в следующем пункте, у
Вопросы и задачи
446°. Является ли отношение конгруэнтности, заданное на множест¬
ве отрезков, отношением эквивалентности?
447. Заданы отношения: 1) многоугольники Ъ и имеют одина¬
ковую площадь; 2) отрезки х и у симметричны относительно
данного центра О; 3) прямые а и Ь имеют общую точку.
Ответьте на следующие вопросы: является ли данное отноше¬
ние рефлексивным, симметричным или транзитивным отноше¬
нием? Является ли оно отношением эквивалентности?
448. Задайте несколько отношений эквивалентности.
449. Ученик сформулировал определение параллельных прямых
следующим образом: «Прямые а и Ь параллельны, если они
лежат в одной плоскости и не имеют общих точек». Верно ли,
что при таком определении отношение параллельности пря¬
мых является отношением эквивалентности?
128
35. Направления
С понятием «направление» вы уже
встречались. Однако оно не было разъ¬
яснено. Сделаем это сейчас. Начнем с
того, что разъясним смысл выражений
«два луча одинаково направлены» (или
короче — «сонаправлены») и «два лу¬
ча противоположно направлены».
а) Пусть лучи АВ и СВ лежат на раз¬
личных параллельных прямых*. Проведя
через точки А и С прямую, получим две
полуплоскости с границей АС. Если лучи
АВ и СВ лежат в одной из этих полупло¬
скостей, то они называются сонаправ-
ленными (рис. 214, а). Если лучи АВ и СВ
лежат в разных полуплоскостях, то они а с в
противоположно направлены (рис. 214, б). О
б) Пусть лучи АВ и СВ лежат на одной а)
прямой. Эти лучи называются сонаправ- о с А в
ленными, если один из них содержится в * *
другом (рис. 215, а). Если же ни один из & А С 2
лучей АВ и СВ не содержится в другом,
то они называются противоположно на¬
правленными (рис. 215, б). Рис* 215
Сонаправленность лучей АВ и СВ
обозначим так: [АВ) И [СВ). Если лучи АВ и СВ противопо¬
ложно направлены, то будем писать: [АВ) || [СВ).
Рассматривая рисунок 216, а, можно заметить, что отноше¬
ние сонаправленности лучей обладает свойствами рефлексив¬
ности, симметричности и транзитивности:
1) [А.В.) Н [А^О;
2) если [АрВ,) И [А2В2), то [А2В2) || [А^);
3) если [А1В1) [А2В2) и [А2В2) || [А3В3), то
[А^О Н [А3В3).
Значит, отношение сонаправленности лучей есть отношение
эквивалентности.
Любой луч определяет множество сонаправленных с ним
лучей (рис. 216, б). Говорят, что все эти лучи задают одно и
♦ Если лучи (отрезки) АВ и СИ лежат на параллельных прямых, то будем
говорить, что эти лучи (отрезки) параллельны.
5 Заказ 354
129
то же направление*. Направ¬
ление можно задавать с помощью
одного луча и говорить о нап¬
равлении этого луча.
42
Теорема (о симмет¬
ричности противоположно
направленных лучей). Два
противоположно направлен¬
ных луна симметричны от¬
носительно середины отрез¬
ка, соединяющего их на¬
чала.
Рис. 217
Доказательство. Рас¬
смотрим противоположно на¬
правленные лучи АВ и А1В1,
не лежащие на одной прямой
(рис. 217). Пусть точка О — се¬
редина отрезка АА{.
При симметрии с центром О
точка А отображается на точ¬
ку А*. Прямая АВ отображает¬
ся на прямую, проходящую че¬
рез точку А1 и параллельную
(теорема 39) прямой АВ, т. е. на
прямую А1В1. Полуплоскость а
(см. рис. 217) отображается на
полуплоскость а1в Поэтому луч
АВ отображается на луч прямой
Л1В1, с началом в точке А19 ле¬
жащий в полуплоскости Но
этим условиям удовлетворяет
лишь луч Значит, луч
АВ отображается при симмет¬
рии с центром О на луч А1В1.
Если прямые АВ и А{В{ совпадают, доказательство анало¬
гично. ■
Верно и такое утверждение: два центрально-симметричных
луча противоположно направлены.
♦ Понятйю, направления можно дать и явное определение: множество лу¬
чей, каждый из которых сонаправлен с одним и тем же лучом, называется на¬
правлением.
130
Вопросы и задачи
450°. Прямые АВ и СИ параллельны. 1) Ка¬
кие лучи, изображенные на рисун¬
ке 218, сонаправлены? 2) Какие лучи
противоположно направлены?
451°. Дан луч АВ. 1) Сколько различных
лучей, сонаправленных с лучом АВ,
имеют свое начало в данной точке М?
2) Сколько существует лучей, противоположно направлен¬
ных лучу АВ и имеющих свое начало в данной точке М?
452. 1) Постройте два сонаправленных луча МА и КВ: а) не лежа¬
щих на одной прямой; б) лежащих на одной прямой.
2) Постройте два противоположно направленных луча МС
и КБ: а) не лежащих на одной прямой; б) лежащих на одной
прямой.
3) Запишите с помощью принятых обозначений: лучи МА
и КВ сонаправлены, лучи МС и К1) противоположно направ¬
лены.
453. 1) Сонаправленные лучи АВ и СО лежат на одной прямой.
Какой фигурой может быть: а) объединение этих лучей;
б) их пересечение?
2) Противоположно направленные лучи АМ и ВО лежат на
одной прямой. Какой фигурой может быть: а) объединение
этих лучей; б) их пересечение?
Покажите возможные случаи на рисунках и запишите ответы
в принятых обозначениях.
454°. Сколько существует лучей, сонаправленных с данным лучом?
455. Сколько различных направлений можно задать лучами, кото¬
рые: 1) лежат на данной прямой; 2) лежат на двух данных пе¬
ресекающихся прямых; 3) содержат стороны данного тре¬
угольника?
456°. Является ли отношение противоположной направленности
отношением рефлексивным, симметричным и транзитивным
на множестве лучей плоскости?
457. Дан луч ОМ. Постройте луч, центрально-симметричный лучу
ОМ относительно центра Р: 1) лежащего на прямой ОМ;
2) не лежащего на прямой ОМ.
458. 1) Докажите, что два противоположно направленных луча,
лежащих на одной прямой, центрально-симметричны. Как
найти центр симметрии этих лучей?
5*
131
2) Докажите, что при центральной симметрии каждый луч
плоскости отображается на противоположно направленный
луч. у
459*. 1) Сколько пар параллельных сторон может иметь: а) выпук¬
лый четырехугольник; б) выпуклый пятиугольник; в) выпук¬
лый шестиугольник?
2) Может ли многоугольник с нечетным числом сторон иметь
центр симметрии?
36. Параллельный перенос
1. Вы уже знакомы с такими перемещениями, как осевая сим¬
метрия и поворот (в частности, центральная симметрия). Сей¬
час рассмотрим еще один вид перемещений — параллельный пе¬
ренос.
Отметим на плоскости две точки А и (рис. 219). Проведем
луч ААр Он задает на плоскости некоторое направление. Пусть
X — произвольная точка плоскости. Построим луч ХМ задан¬
ного направления и отложим на нем отрезок XXI длины |ЛА1|.
Точке X поставим в соответствие точку Х^ Тогда каждой точ¬
ке X плоскости будет соответствовать определенная точка и
каждая точка У1 плоскости будет образом некоторой точки У.
Получим отображение плоскости на себя — параллельный пе¬
ренос.
Определение. Параллельным переносом называется ото¬
бражение плоскости на себя, при котором каждая точка X
отображается на такую точку Хи что:
1) луч XX1 имеет заданное направление;
2) отрезок XXх имеет заданную длину.
Направление луча XX называют направлением параллель¬
ного переноса. Параллельный перенос обычно обозначают бук¬
вой Т. Тождественное отображение Е плоскости на себя по
определению также считают параллельным переносом. Этот
параллельный перенос не имеет направления.
Чтобы задать параллельный перенос, достаточно задать ка¬
кую-либо точку плоскости и ее образ. Действительно, если
образом точки А при параллельном переносе Т является точ¬
ка А1, то эти точки определяют и направление параллельного пе¬
реноса, и расстояние |АА1|. Тогда для любой точки X можно
построить ее образ Х^ — Т (X) (см. рис. 219). . ...
2. Сформулируем два свойства параллельных переносов.
132
43 I Параллельный перенос является
I перемещением.
▼ Доказательство. Пусть А
и В — две произвольные точки пло¬
скости; и В1 — их образы при па¬
раллельном переносе (рис. 220). Надо
доказать, что 1Д1В11 = |АВ|.
Обозначим через О середину отрез¬
ка АВ[. По определению параллельно¬
го переноса расстояния 1АЛ.!! и |ВВ1|
равны, а лучи АА{ и ВВ1 сонаправле-
ны. Поэтому лучи АА1 и Впротиво¬
положно направлены и, следователь¬
но, симметричны относительно точки
О (теорема 42).
При симметрии 20 точка А отобра¬
жается на точку В1, а луч В{В — на
луч АА1. Точка В луча В4В отобразит¬
ся на ту точку луча АА^ которая на¬
ходится от точки А на расстоянии
| В1В|, т. е. на точку А{ (так как | АА{ | =
--= | В1В |). Таким образом, точки А и В
при симметрии 20 отображаются на
точки В1 и А1 соответственно. По теоре¬
ме 221 I АВ\ = | А1В1 |.у
Из этого свойства следует, что при
параллельном переносе каждая фигу¬
ра отображается на конгруэнтную ей
фигуру.
44
Образом прямой при параллельном
переносе является параллельная ей
прямая (рис. 221, а), а образом
луча — сонаправленный ему луч
(рис. 221, б).
V Доказательство. Так
как параллельный перенос есть пере¬
мещение, то образом прямой р яв
ляется некоторая прямая (см. п. 16).
Докажем, что р{ || р.
Выберем на прямой р две про¬
извольные точки А и В (рис. 222).
133
Обозначим их образы при параллельном переносе через А1 и
Вр Тогда В1 и являются образами точек А и В соответст¬
венно при симметрии относительно середины О отрезка АВ^
(см. предыдущее доказательство). Следовательно, (р) = р{.
При центральной симметрии любая прямая отображается
на параллельную ей прямую (п. 31), а луч — на противополож¬
но направленный луч. Поэтому прямые и р параллельны, а
лучи АВ и В1А1 противоположно направлены. Но так как
[АВ) [В1А1), получаем: [АВ) [А1В0. у
Если требуется построить образ фигуры при параллельном
переносе., отображающем данную точку А на другую данную
точку Аь то можно избежать откладывания отрезков заданной
длины. Второе свойство параллельного переноса позволяет
свести построение к проведению параллельных прямых (это
особенно удобно при пользовании рейсшиной или угольником,
скользящим вдоль линейки). На рисунке 223 показано, как
строится образ точки X, не лежащей на прямой ААН а на ри¬
сунке 224 построен образ точки X, принадлежащей прямой АА1
(сначала строится образ точки В, не принадлежащей пря¬
мой АА1).
3. С помощью свойств параллельного переноса докажем
следующую теорему.
45|Теор ема (о параллельных отрезках).Отрезки двух парал-
I лелъных прямых, заключенные между двумя другими па-
К раллельными прямыми, конгруэнтны.
Дано: (АВ) || (СВ), (АС) || (ВВ) (рис. 225).
Доказать: [АВ] [СВ].
Доказательство. Рассмотрим параллельный пере¬
нос Т, отображающий точку А на точку С. При этом переносе
прямая АВ отображается на параллельную ей прямую, прохо¬
дящую через точку С, т. е. на прямую СВ. Прямая ВВ отобра¬
жается на себя.
Образом точки В (точки пересечения
прямых АВ и ВЛ) при параллельном пе¬
реносе является точка 2) (точка пере¬
сечения прямых СЛ и ВЛ). Итак,
Т (А) = С, Т (В) = Л. Значит, при пере¬
носе . Т отрезок АВ отображается на от¬
резок СЛ. Следовательно, эти отрезки
конгруэнтны. ■
Следствие. Точки одной из двух
параллельных прямых находятся на одном
и том же расстоянии от другой из них
(рис. 226).
Это расстояние называется расстояни¬
ем между данными параллельными пря¬
мыми.
4. Сформулируем еще одну теорему.
46 I Т е о р е м а. Любое перемещение, которое каждый луч отоб-
I ражает на сонаправленный ему луч, является параллель-
I ным переносом.
V Доказательство. Пусть перемещение Е отобража¬
ет любой луч на сонаправленный ему луч. Возьмем на плоско¬
сти произвольную точку А и обозначим через А{ ее образ при
перемещении Е: А^ = Е (А).
Выберем произвольную точку X, отличную от А (рис. 227).
По условию теоремы перемещение Е отображает луч АХ на со¬
направленный ему луч с началом в точке А г, образ точки X —
такая точка Х^ этого луча, что |АХ| = |А1Х1| (Е — переме¬
щение).
Итак, если X, = Е (X), то [АХ) Н СА^) и | АХ\ = | АьХ\|.
Поэтому при переносе, отображающем точку А на X, точка
А! отображается на точку Х{.
Следовательно,
|АА1| = |ХЛ’1| (теорема 43),
ЕАА1) И [ХХ1) (теорема 44).
По определению переноса это означает, что перемещение Е —
параллельный перенос.
В начале проведенного рассуждения мы предположили, что
А{ =^= А. Доказательство теоремы в случае А1 = А проведите са¬
мостоятельно. ▼
135
Вопросы и задачи
460°. Можно ли задать параллельный перенос указанием: 1) его
направления; 2) расстояния от точки до ее образа при этом
переносе?
461. Даны точки А, В и С. Постройте образ точки С при парал¬
лельном переносе, отображающем: 1) точку А на В; 2) точ¬
ку В на А. Рассмотрите два случая: а) А {(ВС); 6) А $ (ВС).
462. Дайте обоснование построений, приведенных на рисунках
223 и 224.
463. Задайте параллельный перенос и постройте образы при этом
переносе: 1) отрезка; 2) луча; 3) прямой; 4) окружности;
5) треугольника; 6) угла.
464°. При каком условии существует параллельный перенос, отобра¬
жающий один из отрезков на другой?
465. Существует ли параллельный перенос, при котором: 1) одна
сторона треугольника отображается на его другую сторону;
2) одна из сторон квадрата отображается на его другую
сторону?
466°. Приведите примеры фигур, которые можно отобразить на
себя с помощью параллельного переноса.
467*.Дан треугольник АВС. 1) Постройте сначала &А\В\С\ —
образ этого треугольника при переносе Т\ (известно,
что Т\ (А) = В), а затем ДА2В2С2 — образ полученного тре¬
угольника при переносе отображающем В на С. 2) Дока¬
жите, что треугольники АВС и А2В2С2 конгруэнтны. 3) Суще¬
ствует ли параллельный перенос, отображающий треугольник
АВС на треугольник А2В2С2?
468. 1) Даны две параллельные прямые а и Ь. Сколько существу¬
ет параллельных переносов, отображающих одну из этих
прямых на другую?
2) Даны два сонаправленных луча. Сколько существует па¬
раллельных переносов, отображающих один из этих лучей
на другой?
469°. При каких перемещениях каждый луч отображается: 1) на
противоположно направленный луч; 2) на сонаправленный
луч; 3) на себя?
470°. 1) При некотором перемещении луч АВ отображается на
сонаправленный ему луч СИ. Следует ли из этого, чтф такое
перемещение есть параллельный перенос?
136
2) При некотором перемещении луч
АВ отображается на противоположно
направленный ему луч СИ. Следует ли
из этого, что такое перемещение есть
центральная симметрия?
471. Докажите, что сумма расстояний от
точки, лежащей в полосе между дан¬
ными параллельными прямыми, до
этих прямых величина постоян-
.В
Рис. 228
ная.
472. Докажите, что параллельный перенос, отображающий точ¬
ку А на В, отображает прямую АВ на себя.
473. 1) На стороне О А острого угла АОВ постройте точку, расстоя¬
ние от которой до другой стороны равно т (т — 1,5 см; 2 см).
2) Постройте окружность данного радиуса, которая касается
сторон данного угла.
474. Найдите множество точек плоскости, удаленных от данной
прямой р на данное расстояние а.
475**. Населенные пункты А и В расположены по разные стороны
от реки с параллельными берегами (рис. 228). Как нужно рас¬
положить перпендикулярный берегам мост, чтобы получить
кратчайшую дорогу из А в В?
476°. Назовите перемещения, при которых каждая прямая отобра¬
жается на параллельную ей прямую.
477. Верно ли предложение: если перемещение Р каждую пря¬
мую плоскости отображает на параллельную ей прямую, то
Р — параллельный перенос?
478*. Докажите, что перемещение, отображающее каждый луч
плоскости на противоположно направленный ему луч, явля¬
ется центральной симметрией.
37. Углы между направлениями
Возьмем два направления. Произволь¬
ная точка О плоскости является началом
одного луча ОА первого и одного лу¬
ча ОВ второго направления (рис. 229).
Отметим какую-нибудь другую точку О1
и лучи О1А1 и ОАВ1 тех же направлений.
Рассмотрим параллельный перенос, при
котором точка О отображается на точку
О
Рис. 229
137
Ор Образом луча О А при этом переносе является сонаправленный
ему луч (п. 36) с началом в точке т. е. луч а образом
луча О В — луч О1В1в Поэтому выпуклый угол АОВ отображается
на выпуклый угол А^О^В^ и, следовательно, АОВ = А^О^В^.
Итак, какую бы точку О плоскости мы ни взяли, величина
выпуклого угла, образованного лучами О А и О В двух данных
направлений, окажется одной и той же. Эту величину называют
углом между направлениями. Считают также, что каждое направ¬
ление образует с самим собой угол в 0°.
Отметим, что проведенное выше рассуждение приводит к вы¬
воду: два выпуклых угла с соответственно сонаправленными сто¬
ронами конгруэнтны.
Обратите внимание, что углом между направлениями назва¬
на величина, а не фигура. Два луча ОА и ОВ образуют два угла
АОВ. Углом между лучами ОА и ОВ называют величину выпук¬
лого угла АОВ. Угол между направлениями равен углу между
любыми лучами этих направлений, если лучи имеют общее начало.
Вопросы и задачи
479°. На рисунке 230 даны две параллельные прямые, пересечен¬
ные третьей прямой. Укажите углы, стороны которых со-
направлены.
480. Дан угол АОВ. Постройте угол, стороны которого сонаправ-
лены (противоположно направлены) сторонам угла АОВ, а
вершина находится в данной точке М\ 1) лежащей на сторо¬
не угла; 2) не лежащей на стороне угла.
481. Точка В лежит между точками А и С. Найдите угол между
направлениями, которые заданы лучами: 1) [АВ) и [ВС);
2) [АВ) и [СВ).
482. Проведите лучи АВ и СВ и постройте угол с вершиной в дан¬
ной точке М, величина которого равна углу между направле¬
ниями этих лучей.
483. Докажите, что два выпуклых угла, сто¬
роны которых противоположно на¬
правлены, конгруэнтны.
484. Даны два выпуклых угла, две стороны
которых сонаправлены, а две другие —
противоположно направлены. Докажи¬
те, что сумма величин этих углов рав¬
на 180°.
138
485°. Чему равен угол между направления¬
ми: 1) на юг и на запад; 2) на юг и на
север; 3) на восток и на юго-восток?
486. 1) На рисунке 231 укажите все углы,
величины которых равны а, (АС) || (ГЕ),
2) Найдите угол между направления¬
ми, заданными лучами: а) ВС и ЯЕ;
6) ВС и БЕ; в) ВА и ВЯ; г) ВВ и ЯЕ,
487*. Докажите конгруэнтность двух острых
(тупых) углов, стороны которых взаим-
Рис. 231
но перпендикулярны.
38. Сумма углов многоугольника
Пусть [АВ] и [АВ] — стороны выпуклого многоугольника
(рис. 232). Лучи АВ и АЕ образуют два угла. Тот из них, в ко¬
тором содержится данный многоугольник, называется углом
этого многоугольника. Угол, смежный с углом многоугольника,
например угол ВАС, называют его внешним углом*.
Докажем сначала теорему о сумме углов треугольника.
47 | Т е о р е м а. Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: А1, А 2, АЗ—углы тре¬
угольника АВС.
Доказать: 1 + 2 + 3 = 180°.
Доказательство. Проведем
через вершину С прямую параллель¬
ную прямой АВ. Продолжим стороны АС
и ВС (рис. 233).
Лучи АЕ и СВ, а также лучи АВ и СN
сонаправлены. Из сонаправленности этих
лучей следует, что 1 =4 (п. 37).
Аналогично доказывается, что 3 = 6.
Так как углы 2 и 5 вертикальные, то
2=5. Значит,
1+24-3 = 4 + 5 + 6.
* Для краткости деличины углов многоугольни¬
ка (и величины его внешних углов) также называют
углами (внешними углами) многоугольника.
139
Рис. 237
Но углы 4, 5 и 6 в сумме составляют
развернутый угол МСИ. Поэтому
Т+2ЧГ_ 180=. ■
Следствие 1. Если один из углов
треугольника прямой или тупой, то два
другие — острые.
Следствие 2. Каждый угол рав¬
ностороннего треугольника равен 60".
Следствие 3. Внешний угол тре¬
угольника равен сумме двух углов тре¬
угольника, не смежных с ним (рис. 234).
Доказательство. По свойст¬
ву смежных углов ВСБ + С = 180°.
По теореме о сумме углов треуголь¬
ника (А + В) + С = 180э.
В равных суммах вторые слагаемые
(С) равны. Значит, ВСБ = А + В. ■
48 | Теор ем а. Сумма углов выпуклого
| п-угольника равна 2(1 (п—2).
Доказательство. Возьмем
какую-либо точку О внутри данного
п-угольника (рис. 235) и соединим точку О
отрезками с его вершинами. Все эти отрез¬
ки содержатся в данном многоугольнике,
так как он выпуклый. Поэтому такие от¬
резки разобьют многоугольник на п тре¬
угольников с общей вершиной О.
Сумма всех углов полученных тре¬
угольников равна 2(1п (имеется п треуголь¬
ников, сумма углов каждого из них рав¬
на 2(1). Значит, сумма углов многоуголь¬
ника и углов с вершиной О равна 2(1п.
Сумма углов с вершиной О равна 4й.
Следовательно, чтобы найти сумму углов
выпуклого п-угольника, достаточно из
2(1п вычесть 4(1, т. е. эта сумма равна
2й(п—2). ■ ’’
В частности, сумма углов четырех¬
угольника равна 4(1.
140
49 I Теор ем а. Сумма внешних углов выпуклого много-
I угольника, взятых по одному при каждой вершине,
I равна 4 Л,
Доказательство. Построим при каждой вершине
многоугольника по одному внешнему углу (рис. 236). Сум¬
ма каждого угла многоугольника и смежного с ним равна 2<2.
Сумма всех углов многоугольника и всех его внешних уг¬
лов (по одному при вершине) равна 2дп. Поэтому сумма внеш¬
них углов выпуклого п-угольника равна 2йп — 2(1 (и — 2), т. е.
равна 4(1. ■
Замечание. Теорема о сумме углов многоугольника
верна и для невыпуклых многоугольников. Например, сумма
углов невыпуклого пятиугольника (рис. 237) равна сумме всех
углов трех треугольников, т. е. 6(1. Но 6(1 = 2(1 (и — 2) при
п = 5.
Вопросы и задачи
488. Вычислите величины углов треугольника, если известно, что
они пропорциональны числам: 1) 1, 2, 3; 2) 3, 7, 8; 3) 1, 1, 3.
489. Докажите, что если два угла одного треугольника соответ¬
ственно конгруэнтны двум углам другого треугольника, то
и третьи их углы конгруэнтны.
490. Через вершины треугольника АВС проведены прямые, па¬
раллельные противоположным сторонам. Найдите углы тре¬
угольника, образованного этими прямыми, если А = 25°,
В = 68°.
491. Укажите аксиомы и теоремы, которые применялись при до¬
казательстве теоремы о сумме углов треугольника.
492. Может ли внешний угол треугольника быть меньше его внут¬
реннего угла?
493. 1) Дайте определения тупоугольного, прямоугольного и
остроугольного треугольников.
2) Установите вид треугольника (по углам), если один из его
углов: а) равен сумме двух других углов; б) больше ее;
в) меньше ее.
494. Какой вид имеет треугольник, если сумма любых двух углов
его больше 90°?
141
м
КС I
Рис. 238
497. Докажите, что
495*. Два угла треугольника равны 60° и 72°.
Вычислите меньшие из углов, обра¬
зованных двумя прямыми, содержащи¬
ми: 1) высоты треугольника; 2) бис¬
сектрисы треугольника.
496. Внешний угол равнобедренного тре¬
угольника равен 100°. Вычислите углы
этого треугольника,
треугольник не может иметь два острых
внешних угла.
498. Какой вид имеет треугольник, если один из его внешних
углов: 1) острый; 2) равен внутреннему углу?
499. Дано: (МТУ) || (КЬ) (рис. 238). Доказать: АВС = №В + ВСЬ.
500. Найдите сумму углов: 1) десятиугольника; 2) двенадцати¬
угольника; 3) тридцатиугольника; 4) 96-угольника.
501. Сколько сторон имеет многоугольник, если сумма его углов
равна: 1) 1080°; 2) 1620°; 3) 3960°; 4) 1800°?
502. Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый угол
этого многоугольника равен: 1) 144°; 2) 150°; 3) 170°; 4) 171°?
503. Докажите, что не существует многоугольника, у которого:
1) больше четырех прямых внешних углов; 2) больше трех
тупых внешних углов.
504. Может ли сумма углов многоугольника равняться: 1) 9180°;
2) 3600°; 3) 2040°; 4) 11с/; 5) 18с/?
505*. Придумайте доказательство, отличное от имеющегося в пунк¬
те 38: 1) теоремы о сумме углов треугольника; 2) теоремы
о сумме углов выпуклого многоугольника.
Дополнительные задачи к главе III
506. Известно, что образ прямой а при симметрии 20 — прямая Ь.
Докажите, что %0(Ь) = а.
507. Сколько центров симметрии может иметь фигура, являющая¬
ся объединением: 1) двух прямых; 2) трех прямых?
508. При столярных и плотничьих работах для разметки параллель¬
ных прямых и срезов под данным углом употребляется малка
(в прорези одной деревянной планки шарнирно прикреплена
вторая планка, рис. 239, а). Объясните, на чем основано при¬
менение малки.
.142
509. При столярных работах для разметки на поверхности бруска
прямой, параллельной краю бруска, применяется рейсмус.
При движении рейсмуса вдоль края бруска металлическая
игла намечает прямую, параллельную краю бруска (рис. 239, б).
Объясните, на чем основано применение рейсмуса.
510. Найдите множество точек, удаленных на данное расстояние а
от: 1) отрезка; 2) луча.
511. Постройте прямую, параллельную данной прямой и высекаю-
512.
513.
514.
515.
щую на двух данных окружностях хорды одинаковой длины.
Населенные пункты А и В разделены двумя реками (рис. 240,
считаем, что берега рек параллельны). Как нужно располо¬
жить перпендикулярные берегам мосты, чтобы получить крат¬
чайшую дорогу из А в В?
Постройте окружность данного радиу¬
са, касающуюся двух пересекающихся
прямых. Сколько решений имеет за¬
дача?
Даны угол АОВ и прямая, пересекаю¬
щая стороны данного угла. Постройте
отрезок данной длины, концы кото¬
рого лежат на сторонах данного уг¬
ла и который параллелен данной
прямой.
Как изменится сумма всех углов мно¬
гоугольника АВСВ, если от него «от¬
резать»:!) треугольник ЕАЕ (рис. 241);
2) четырехугольник АВКЕ (рис. 242)?
Найдите число сторон многоугольника,
сумма углов которого равна сумме
всех его внешних углов.
516.
143
517. Сколько сторон имеет многоугольник,
если все его внешние углы тупые?
518. Вычислите сумму всех острых углов
пятиконечной звезды (рис. 243).
519. Имеет ли объединение двух конгруэнт¬
ных дуг окружности ось симметрии?
520. Какое множество точек образуют се¬
редины всех хорд данной окружно¬
сти: 1) параллельных данной прямой;
2) перпендикулярных данной прямой?
521. Диаметр данной окружности — сторона равностороннего тре¬
угольника. 1) Найдите угловые величины дуг, на которые
стороны треугольника рассекают полуокружность. 2) Дока¬
жите, что расстояние между точками пересечения сторон тре¬
угольника с окружностью равно радиусу этой окружности.
522. Постройте касательную к данной дуге АВ в данной на
ней точке С, не находя центра окружности, содержащей эту
Дугу-
523. Из одной точки проведены к данной окружности две каса¬
тельные. Найдите угловые величины дуг, на которые делят
окружность точки касания, если величина угла между каса¬
тельными равна: 1) 100°; 2) 90°; 3) 60°.
524. Полосой называется непустое пересечение двух полуплоско¬
стей с различными параллельными границами, отличное от
прямой и полуплоскости.
1) Сколько осей симметрии имеет полоса?
2) Имеет ли полоса центр симметрии? Какую фигуру обра¬
зует множество всех центров симметрии полосы?
3) Существуют ли параллельные переносы, при которых по¬
лоса отображается на себя?
525. 1) Даны две параллельные прямые и точка, принадлежащая
полосе, образованной этими прямыми. Постройте окружность,
касающуюся данных прямых и проходящую через данную
точку.
2) Постройте окружность, которая касается двух данных па¬
раллельных прямых и окружности, расположенной между
ними.
526. 1) Постройте окружность данного радиуса, проходящую че¬
рез данную точку и касающуюся данной прямой.
2) Постройте окружность данного радиуса, касающуюся дан¬
ной окружности и данной прямой.
144
527. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы одна из
его вершин находилась в данной точке, другая — на данной
е прямой, а третья — на данной окружности.
528. Докажите, что если непустая фигура при некотором (нетож¬
дественном) параллельном переносе отображается на себя,
то эта фигура — неограниченная (определение ограниченной
фигуры см. на с. 13).
529. Представив себе лист клетчатой бумаги бесконечным, полу¬
чим фигуру, являющуюся объединением бесконечного мно¬
жества «горизонтальных» и «вертикальных» прямых. При ка¬
ких перемещениях эта фигура отображается на себя?
530. Фигуры 1/1 и Ьг имеют общий центр симметрии. Докажите,
что пересечение и объединение этих фигур также являются
центрально-симметричными фигурами.
531„ 1) Докажите, что если прямые а и Ъ являются осями симмет¬
рии фигуры, то прямая, симметричная а относительно прямой
Ъ, тоже является осью симметрии этой фигуры.
2) Докажите, что если точки А и В — центры симметрии фи¬
гуры Ь, то и точка С, симметричная точке В относительно А,
тоже является центром симметрии этой фигуры.
ГЛАВА
МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники
39. Элементы, определяющие
треугольник
Рис. 244
Рис. 246
1. Стороны а = |ВС|, Ъ = | С А |, с =
— |АВ| и углы а = С АВ, Р = АВС,
у = ВСА* треугольника (рис. 244) на¬
зывают основными элементами тре¬
угольника.
Вы уже решали задачи на построе¬
ние треугольника по трем его основным
элементам (п. 22). Были рассмотрены
три задачи.
Задача 1. Построить треуголь¬
ник по стороне а и двум прилежащим
к ней углам Р и у (рис. 245).
Задача 2. Построить треуголь¬
ник по двум сторонам а, Ъ и углу у меж¬
ду ними (рис. 246).
Задача 3. Построить треуголь¬
ник по трем его сторонам а, Ъ, с
(рис. 247).
Как известно, в этих случаях три
элемента определяют треугольник с
точностью до конгруэнтности. Напри¬
мер, любые треугольники с данными
элементами а, р, у конгруэнтны. По-
* Напомним, что для краткости длины сто¬
рон и величины углов многоугольника называют
просто его сторонами и углами.
146
этому говорят, что каждая из задач
1—3 имеет не более одного решения.
^ Выясним теперь, при каких усло¬
виях эти задачи имеют решение.
Первая задача имеет решение, если
сумма данных углов 0 и у меньше 180\
▼ Действительно, проведем луч СК, со-
направленный лучу ВМ (рис. 248). Тогда
КСИ = 0 (см. п. 37), КСВ + 0 = 180°
(углы КСВ и КСВ — смежные), у + 0 < 180° (по условию).
Значит, КСВ > у, и поэтому луч отличен от луча СК.
Прямая С1Х, пересекающая одну из параллельных прямых
СК, пересекает и вторую — ВМ (следствие 1 из аксиомы парал¬
лельных). Точка пересечения прямых С\У и ВМ лежит в полу¬
плоскости, содержащей лучи ВМ и СК, так как луч лежит
внутри угла КСВ. Итак, лучи ВМ и С\У пересекаются, и, зна¬
чит, третья вершина искомого треугольника может быть по¬
строена. Следовательно, если Р + у < 180°, то задача имеет
решение. ▼
Вторая задача имеет решение, если у < 180°.
Третья задача имеет решение при условии | а — Ъ | < с <
< а + Ъ (при выполнении этого условия окружности (А, Ь) и
(В, а) имеют общие точки, не лежащие на прямой АВ, см. п. 13).
2. Рассматривая всевозможные тройки основных элементов,
можно сформулировать еще три задачи на построение треуголь¬
ника по его основным элементам.
Задача 4. Построить треугольник по двум сторонам а,
Ь и углу а, противолежащему одной из них (рис. 249, а).
147
Решение.
вершины искомого
а.
искомого треугольника АВС остается по-
вершину. Эта вершина должна лежать на
Построим сначала две
треугольника. Для этого на луче АХ построим отрезок АС
(рис. 249, б): | АС\ = Ъ, а затем от луча АХ отложим угол ХАТ,
такой, что ХАТ =
Для построения
строить его третью
луче АТ (так как ТАХ = а) и на окружности (С, а) (так как
1 СВ | = а). Построив эту окружность, найдем ее точки пере¬
сечения с лучом АТ. Возможны три случая.
1) Окружность (С, а) пересекает луч АТ в двух точках —
В{ и В2 (см. рис. 249, б). В этом случае задача имеет два реше¬
ния (треугольники АВ^ и АВ2С не конгруэнтны).
2) Окружность (С, а) может иметь с лучом АТ только одну
общую точку В (рис. 250, а, б). Задача имеет одно решение.
3) Окружность (С, а) может не иметь общих точек с лучом
АТ (рис. 250, в). В этом случае задача не имеет решений.
Задача 5. Построить треугольник по стороне а, приле¬
жащему к ней углу 0 и противолежаще¬
му ей углу а (рис. 251).
Так как В = 180°— а — 0, то реше¬
ние этой задачи сводится к первой зада¬
че. Поэтому задача 5 имеет не более одно¬
го решения. Решение существует, если
а + 0 < 180е.
Задача 6. Построить треугольник
по трем его углам а, 0 и у.
Из теоремы о сумме углов треуголь¬
ника видно, что задача
ко в случае а + 0 + у = 180°. Если это
условие выполнено, то задача имеет бес¬
разрешима толь-
148
конечно много решений: одна из сторон может быть задана
произвольно (рис. 252).
Другие тройки основных элементов не приводят к новым
задачам. Например, задача на построение треугольника по эле¬
ментам Ъ, а и Р уже рассмотрена (задача 5): даны сторона,
прилежащий к ней угол и угол, ей противолежащий.
Вопросы и задачи
532°- Какие тройки основных элементов определяют треугольник?
533. Длины двух сторон некоторого треугольника равны а и д. Ка¬
кую длину может иметь его третья сторона?
534°. Величина одного из углов некоторого треугольника равна а.
Какую величину может иметь один из других углов этого тре¬
угольника?
535. Даны пары основных элементов треугольника: 1) а, Ъ] 2) Ъ, А;
3) А, С; 4) Ь, с. Укажите еще какой-либо его основной элемент,
чтобы полученная тройка элементов определяла треугольник.
536. Постройте треугольник: 1) по стороне 2 см, прилежащему
к ней углу 40° и противолежащему ей углу 60°; 2) по сторо¬
нам 4 см и 5 см и углу, противолежащему большей из этих
сторон, равному 40°; 3) по сторонам 4,5 см и 5 см и углу, про¬
тиволежащему одной из этих сторон, равному 120°; 4) по
сторонам 4 см и 5 см и углу, противолежащему одной из
этих сторон, равному 90°.
537. Постройте треугольник: 1) по данной стороне, прилежаще¬
му к ней и противолежащему ей углам; 2) по двум сторо¬
нам и углу, противолежащему одной из них.
538. Постройте треугольник: 1) по высоте, проведенной к осно¬
ванию, и двум боковым сторонам; 2) по стороне а, высоте ка
и медиане та] 3) по стороне Ъ, высоте ка и медиане пга .
539*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются
биссектрисами?
540*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются
высотами?
541*. Постройте треугольник по двум боковым сторонам и разности
углов при основании.
149
40. Соотношения между сторонами и углами треугольника
50 I Т еорема. 1) Против большей стороны треугольника'
I лежит больший угол.
и 2) Против большего угла треугольника лежит большая
I сторона.
1) Дано: | ВС | > | АВ | (рис. 253).
Доказать: А > С.
Доказательство. Отложим на стороне ВС отрезок
ВИ, конгруэнтный отрезку АВ. Так как по условию | ВС | >
> | АВ|, то точка И — внутренняя точка отрезка ВС. Соединим
точки А и В) отрезком. Треугольник АВИ равнобедренный.
Поэтому ВАИ = ВИА. По следствию 3 теоремы 47 ВИА = С +
+ И АС. Значит ВИА > С и
ваЬ > с.
Но угол ВАЛ составляет часть угла А. Поэтому
А > С. ■
2) Д а н о: А > С.
Доказать: | ВС | > |АВ|.
Доказательство. Длина отрезка АВ не может быть
больше длины отрезка ВС, так как в этом случае по предыдущей
теореме С > А, что противоречит условию.
Длина отрезка АВ не может быть и равной длине отрезка
ВС, так как треугольник АВС был бы равнобедренным и вели¬
чины углов А и С были бы равны.
Итак, длина отрезка АВ не больше и не равна длине отрез¬
ка ВС. Значит, она меньше длины отрезка ВС. Поэтому
|ВС| > |АВ|. ■
Задача. Доказать, что катет
прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30°, равен половине гипо¬
тенузы.
Доказательство. Построим
треугольник АСИ, симметричный тре¬
угольнику АВС относительно оси АС, и
150
рассмотрим треугольник АВЛ (рис. 254).
Все углы этого треугольника конгруэнт¬
ны, и поэтому он равносторонний.
Значит, |АВ| = |ВВ|. Но | ВС | = \ЛС\
(по построению). Следовательно,
I АВ| = | ВБ | = 2 | ВС].
Отсюда
|ВС| = 1 |АВ|. ■
Вопросы и задачи
542°. Какая сторона является наибольшей в
тупоугольном треугольнике?
543. Докажите, что против наименьшей из
сторон треугольника всегда лежит
острый угол.
544. В треугольнике АВС сторона АВ наи¬
большая. Какие углы этого треуголь¬
ника острые? Каким может быть угол С?
545. Каким должен быть угол а при вер¬
шине равнобедренного треугольника,
чтобы длина его боковой стороны
была: 1) меньше длины основания;
2) больше длины основания?
546. Дано:, А1 = А2, АЗ = А4 (рис. 255).
Доказать: 1) АВ = АВ; 2) [ВС]
[АВ].
547. Постройте равнобедренный треуголь¬
ник: 1) по основанию и высоте, прове¬
денной к боковой стороне; 2) по осно¬
ванию и углу при вершине.
548. Дано: [АВ] [ВС], [ВВ] [ВЕ],
[ВО] А [АС] (рис. 256). Укажите кон¬
груэнтные треугольники.
549. Дано: ДАВС равносторонний, [ВВ] =
[СЕ] (рис. 257). Какого вида тре¬
угольник БЕАЗ
550. Докажите, что если катет прямоугольт
ного треугольника равен половине
Рис. 255
151
Рис. 258
гипотенузы, то один из его углов ра¬
вен 30°.
551. Найдите расстояния |ВБ|, |АБ|,
и | АВ | (рис. 258), если известно, что
|АС) = Ь, |ВС| = а, ВАС = 30°.
552. Разделите с помощью циркуля и линейки
прямой угол на три конгруэнтных угла.
553*. Даны шесть множеств: множество А[ со¬
стоит из разносторонних треугольников,
А2 — из равнобедренных, Аз — из равно¬
сторонних треугольников, Л4 — из остро¬
угольных, — из тупоугольных, Ав — из
прямоугольных треугольников. Укажите
пары этих множеств, пересечение кото¬
рых пусто.
§ 2. Четырехугольники
Четырехугольники могут быть выпуклыми
(рис. 259) и невыпуклыми (рис. 260). Разо¬
бьем множество выпуклых четырехугольни¬
ков на непересекающиеся подмножества по
числу пар параллельных сторон:
1) четырехугольники, имеющие по две
пары параллельных сторон (рис. 261, а);
2) четырехугольники, имеющие толь¬
ко по одной паре параллельных сторон
(рис. 261, б);
3) четырехугольники, у которых нет
параллельных сторон (рис. 261, в).
Свойства четырехугольников рассмат¬
риваются ниже.
152
41. Параллелограмм
Определение. Четырехугольник,
имеющий две пары параллельных сто¬
рон, называется параллелограммом.
На рисунке 262 изображен параллело¬
грамм АВСВ. Отрезки и
перпендикулярные его противоположным
сторонам, называются высотами парал¬
лелограмма.
51 |Теор ем а. Середина диагонали па-
I раллелограмма является его цент-
| роле симметрии.
Доказательство. Пусть точ¬
ка О — середина диагонали АС параллело¬
грамма АВСВ (рис. 263), тогда точки А и С
Рис. 263
симметричны относительно О.
При симметрии с центром О прямая АВ отображается на
параллельную ей прямую (п. 31), проходящую через точку
С, т. е. на прямую СВ (по определению параллелограмма
{АВ) || (СВ)). Прямая СВ при этой симметрии отображается
на прямую АВ.
Следовательно, при симметрии 20 образами прямых АВ и
СВ являются соответственно прямые СВ и АВ. Точка В — точ¬
ка пересечения прямых АВ и СВ. Поэтому ее образ при симмет¬
рии 7,0 есть пересечение образов прямых АВ и СВ, т. е. точка В\
(В) = В.
Итак, при симметрии с центром О вершины А, В, С, В отоб¬
ражаются соответственно на вершины С, В, А, В.
Значит, и параллелограмм АВСВ при симметрии 20 ото¬
бражается на себя, следовательно, середина диагонали парал¬
лелограмма (точка О) есть центр симметрии этого параллело¬
грамма. ■
Следствие 1. Противоположные стороны параллело¬
грамма попарно конгруэнтны.
Следствие 2. Противоположные углы параллелограм¬
ма попарно конгруэнтны.
Следствие 3. Сумма углов, прилежащих к одной сторо¬
не параллелограмма, равна 2(1.
Доказательство. А + В + С+ В=4й (п. 83).
А = С, В = В (следствие 2). Значит, А + В = 2(1. ■
153
2) Может ли
прямым?
Следствие 4. Диагонали парал¬
лелограмма делятся точкой их пересече¬
ния пополам.
Доказательство. Вершины
А и С (а также В и Л) центрально-сим¬
метричны относительно точки О (рис. 264).
Значит, отрезки АО и СО, ВО и ОО
конгруэнтны, т. е. точка О — середина
диагоналей АС и ВО. ■
Вопросы и задачи
554. 1) Могут ли все углы параллелограмма
быть острыми?
только один из углов параллелограмма быть
555. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами
углы в 30° и 50°. Вычислите все углы этого параллелограмма.
556. 1) Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на
два конгруэнтных треугольника.
2) Докажите, что вершины А и С параллелограмма АВСБ
равноудалены от прямой ВИ.
557. 1) Параллелограмм одной из его диагоналей делится на два
треугольника, периметр каждого из них 6 см. Вычислите дли¬
ну этой диагонали, если периметр параллелограмма равен 7 см.
2) Параллелограмм, периметр которого равен 50 см, разде¬
лен диагоналями на четыре треугольника. Разность перимет¬
ров двух из этих треугольников равна 5 см. Вычислите сторо¬
ны параллелограмма.
558. Стороны параллелограмма равны 3 см и 5 см. Может ли диа¬
гональ этого параллелограмма равняться: 1) 10 см; 2) 8 см;
3) 4 см?
559. Существует ли параллелограмм, две диагонали и сторона ко¬
торого равны соответственно: 1) 4 см, 10 см и 6 см; 2) 8 см,
10 см и 9 см; 3) 8 см, 10 см и 10 см?
560. 1) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит пе¬
ресекаемую ею сторону на отрезки в 4 см и 5 см. Вычислите
периметр этого параллелограмма.
2) Длины сторон параллелограмма равны 3 см и 5 см.
На какие отрезки делит большую сторону биссектриса острого
угла этого параллелограмма?
.154
561. Докажите, что биссектрисы двух про¬
тивоположных углов параллелограм¬
ма параллельны.
562*. При пересечении биссектрис углов па¬
раллелограмма образовался четырех¬
угольник. Докажите: 1) этот четырех¬
угольник является параллелограм¬
мом; 2) все углы этого четырехуголь¬
ника прямые.
563. Дано (рис. 265): АВСГ) — параллело¬
грамм, |АМ| = |С7У|. Доказать:
МВ2УВ — параллелограмм.
564. Дано: АВС1) — параллелограмм,
\АМ\ = |СЛГ| (рис. 266).
Доказать: МВНБ—параллелограмм.
565. Постройте параллелограмм, если да¬
ны: 1) две стороны и угол между ни¬
ми; 2) диагонали и угол между ними;
3) сторона, диагональ и угол между
диагоналями; 4) две высоты, прове¬
денные из одной вершины, и сторона.
566. Постройте треугольник по двум сторо¬
нам и медиане, проведенной к третьей
стороне.
567**. Постройте центр симметрии паралле¬
лограмма, вершины которого недо¬
ступны.
568. Какими элементами может быть задан
В С
Л В
А
параллелограмм?
569*. Дано: АВСВ — параллелограмм, [АВ] = [АГ] = [СйС] = [С7У]
(рис. 267). Доказать: Г, Г, N, К—вершины параллелограмма.
570. Дано: АВСИ — параллелограмм, [АМ] _1_ [ВВ], [С2У] _1_ [ВВ]
(рис. 268). Доказать: 1) [АМ] [СЛГ]; 2) [ВЛ?] [ОМ];
3) АМХЖ — параллелограмм.
571. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки
параллелограмма до прямых, на которых лежат его стороны,
постоянна для данного параллелограмма. Чему она равна?
572*. Постройте параллелограмм: 1) по острому углу и двум вы¬
сотам; 2) по высоте и двум диагоналям.
155
42. Условие и заключение теоремы
1. Часто теоремы формулируют в виде условных предложений,
т. е. предложений вида «Если то ...». Напомним, напри¬
мер, теорему (см. п. 31):
«Если, прямые р и ц центрально-симметричны, то они парал¬
лельные (1).
Обозначим через А и В предложения:
«Прямые р и у центрально-симметричны» (А),
«Прямые р и у параллельны» (В).
Предложения А и В — это предложения с переменными
(р и д), и сами по себе они не истинны и не ложны. Все зависит
от того, какие значения придать переменным. Но предложе¬
ние (1) верно (оно доказано в пункте 31). В этом предложении
утверждается, что при любых значениях переменных (прямых
р <и у), для которых верно предложение А, верно и предложе¬
ние В.
Предложение (1) можно кратко записать в виде:
А => В
(читается: из А следует В; стрелка здесь — знак следования,
с употреблением которого вы уже познакомились в курсе ал¬
гебры).
В условном предложении А => В предложение А называется
условием, а предложение В — заключением.
Рассмотрим теперь предложение
В => А,
где заключение В теоремы (1) превратилось в условие, а усло¬
вие А теоремы (1) — в заключение. Подробно оно формулиру¬
ется так:
Если прямые р и д параллельны, то они центрально-симмет¬
ричны (1').
Предложение (1') также верно (см. п. 32). Эту теорему назы¬
вают теоремой, обратной к теореме 1.
Вообще, предложением, обратным к предложению Р =>
называется предложение Р.
В нашем случае предложение, обратное к теореме вида
Р => (}, оказалось верным. Это не всегда так, как показывает
следующий пример. Рассмотрим предложение: 3
Если углы вертикальные, то они конгруэнтны. (2)
156
Здесь условием является предложение
«Углы вертикальные» (С),
- а заключением — предложение
«Углы конгруэнтны» (Б).
Предложение С => Б, как вы знаете,
истинно, но обратное предложение (если
углы конгруэнтны, то они вертикальные)
ложно. Действительно, легко указать
конгруэнтные углы, не являющиеся вер¬
тикальными (рис. 269).
2. В тех случаях, когда верны оба
условных предложения Р => и => Р,
говорят, что условия Р и 9 равносильны, и пишут: Р
(читается: «Р равносильно <3» или «Р верно тогда и только
тогда, когда верно <3»; двойная стрелка здесь — знак равно¬
сильности предложений).
В рассмотренном выше первом примере предложения А и В
равносильны. Предложения С и Б не равносильны: из С сле¬
дует Б, но из Б не следует С.
Предложения «Четырехугольник АВСБ есть параллело¬
грамм» (Е) и «Противоположные стороны четырехугольника
АВСИ конгруэнтны и параллельны» (Г) равносильны. Дейст¬
вительно, как показано в предыдущем пункте, Е => Е. Дока¬
жем обратное.
52|Теор ем а. Если две противоположные стороны четырех-
I угольника конгруэнтны и параллельны, то такой четырех-
I угольник есть параллелограмм.
Доказательство. Пусть стороны ВС и АО четы¬
рехугольника АВСБ (рис. 270) конгруэнтны и параллельны;
точка О — середина диагонали АС. Тогда точки А и С симмет¬
ричны относительно точки О. Так как по условию (ВС) || (АО),
то лучи СВ и АО противоположно направлены и, значит, сим¬
метричны относительно О. Но |ВС| = |АО|. Следовательно,
при симметрии %о точки В и В отобразятся друг на друга.
Мы видим, что отрезки АВ и СО симметричны относительно
центра О и поэтому параллельны. Итак, противоположные
стороны четырехугольника АВСИ попарно параллельны
((ВС) || (АО) по условию, (АВ) || (СР) по доказанному), т. е.
этот четырехугольник есть параллелограмм. ■
Теорему 52 часто называют признаком параллелограмма.
Докажем другой признак параллелограмма.
157
53 I Теор ем а. Если противоположные
I стороны четырехугольника попарно
I конгруэнтны, то этот четырехуголь-
| ник есть параллелограмм.
Доказательство. Пусть | АВ | —
= I СЛ | и |ВС| = |АП | (рис. 271). Про¬
ведем диагональ АС и обозначим ее
середину через О. При симметрии точки А и С отображаются
друг на друга (О — середина [АС]). Найдем образ точки В.
Центральная симметрия сохраняет расстояния. Поэтому точ¬
ка В отображается при симметрии на такую точку В', что
| АВ | = | СВ' |, | СВ | = | АВ' |-и В' =# В. Но этим условиям удов¬
летворяет только точка В. Значит, В' = (В) = Л. Анало¬
гично получаем, что (В) = В. Итак, прямые АВ и СВ,
АВ и ВС центрально-симметричны и поэтому параллельны
(теорема 39). Следовательно, четырехугольник АВС Л — па¬
раллелограмм.■
Отметим, что предложение, обратное теореме 53, также верно
(см. следствие 1 теоремы 51, доказанной в п. 41).
▼ 3. Отношения следования и равносильности предложения
словами выражают многими способами; некоторые из них ука¬
заны в следующей таблице:
' а) если верно Р, то верно и (},
В случае Р => говорят:
б) есть следствие Р,
в) Р есть достаточное условие для С},
г) <3 есть необходимое условие для Р.
а) предложения Р и равносиль¬
ны,
В случае Р говорят:
б) Р верно тогда и только тогда,
когда верно
в) Р есть необходимое и достаточ¬
ное условие для
Здесь для вас новы обороты речи со словами «достаточно» и
«необходимо». Иногда эти слова путают одно с другим, хотя,
казалось бы, их смысл ясен.
Пусть верно предложение: из Р следует (}. Тогда: а) для
того чтобы утверждать, что верно <3, достаточно знать, что
158
верно Р; б) если известно, что верно предложение Р, то обяза¬
тельно (с необходимостью) выполняется и условие С}.
'• Так, например, теорему 52 можно сформулировать иначе:
для того чтобы четырехугольник являлся параллелограммом,
достаточно, чтобы его противоположные стороны были попар¬
но конгруэнтны. Так как верна и обратная теорема (для того
чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо,
чтобы его противоположные стороны были конгруэнтны), спра¬
ведлива теорема:
для того чтобы четырехугольник был параллелограммом,
необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны
были попарно конгруэнтны. ▼
Вопросы и задачи
573. Сформулируйте в виде условного предложения: 1) теорему
«параллельные прямые центрально-симметричны»; 2) тео¬
рему о симметричности противоположно направленных
лучей^
574°. Какие предложения называются взаимно-обратными?
575°. Сформулируйте предложения, обратные данным, и устано¬
вите, какие из них истинны, а какие ложны. 1) Если четырех¬
угольник— параллелограмм, то сумма его углов, прилежащих
к одной стороне, равна 180°. 2) Если два угла центрально¬
симметричны, то они конгруэнтны. 3) Если точка равноуда¬
лена от концов отрезка, то она лежит на его серединном
перпендикуляре. 4) Если точка лежит на биссектрисе угла,
то она равноудалена от сторон этого угла. 5) Если две точки
симметричны относительно некоторой прямой, то они равно¬
удалены от этой прямой. 6) Если прямая является осью сим¬
метрии круга, то она проходит через центр этого круга.
7) Если прямая является осью симметрии отрезка, то она
проходит через середину этого отрезка.
576°. 1) Приведите примеры двух истинных взаимно-обратных
предложений.
2) Сформулируйте два взаимно-обратных предложения, одно
из которых истинно, а другое — ложно.
577. Приведите примеры теорем, в формулировке которых
встречаются слова «тогда и только тогда».
159
578. Верны ли предложения: 1) прямые а и Ь параллельны тогда
и только тогда, когда они центрально-симметричны; 2) две
фигуры конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует
поворот, отображающий одну из них на другую; 3) различ¬
ные прямые а и Ъ перпендикулярны тогда и только тогда,
когда 8а(Ь) = Ь; 4) диаметр перпендикулярен хорде, не
проходящей через центр окружности, тогда и только тогда,
когда он проходит через середину хорды?
579. Верно ли предложение: выпуклый четырехугольник является
параллелограммом, если: 1) две противоположные стороны
его конгруэнтны; 2) две противоположные стороны его па¬
раллельны; 3) диагонали точкой их пересечения делятся попо¬
лам; 4) сумма углов, прилежащих к одной из его сторон,
равна 180°; 5) две его противоположные стороны центрально¬
симметричны; 6) диагонали его конгруэнтны?
580. Постройте параллелограмм по двум сторонам и диагонали.
581. Верны ли следующие предложения: 1) чтобы углы были
смежными, достаточно, чтобы две их стороны были проти¬
воположными лучами; 2) чтобы треугольник был прямо¬
угольным, достаточно, чтобы сумма двух его углов была
равна 90°; 3) чтобы четырехугольник был параллелограм¬
мом, достаточно, чтобы его диагонали делились в точке их
пересечения пополам; 4) чтобы два угла были конгруэнтны,
достаточно, чтобы они были вертикальными?
582. 1) Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы
точка была равноудалена от сторон угла.
2) Проверьте, является ли найденное вами условие необхо¬
димым.
583. Сформулируйте некоторые известные вам теоремы с по¬
мощью понятий необходимости и достаточности.
584. Верны ли следующие предложения: 1) чтобы углы были
смежными, необходимо, чтобы две их стороны были проти¬
воположными лучами; 2) чтобы треугольник был прямо¬
угольным, необходимо, чтобы он имел два острых угла;
3) чтобы четырехугольник был параллелограммом, необхо¬
димо, чтобы его диагонали были конгруэнтны; 4) чтобы два
угла были конгруэнтны, необходимо, чтобы они были верти¬
кальными?
585. Укажите условия, необходимые для того, чтобы: 1) четы¬
рехугольник был параллелограммом; 2) два луча были со-
160
направлены; 3) два треугольника были конгруэнтны; 4) тре¬
угольник был равносторонним.
586. Сформулируйте необходимое и достаточное условие для
того, чтобы: 1) некоторая точка X плоскости была равно¬
удалена от двух данных точек А и В; 2) прямые а и Ь были
параллельны.
587°. Какие из перечисленных ниже предложений верны: 1) что¬
бы треугольник был равносторонним, необходимо и доста¬
точно, чтобы два угла его были конгруэнтны; 2) чтобы четы¬
рехугольник был параллелограммом, необходимо и доста¬
точно, чтобы его противоположные углы были попарно кон¬
груэнтны; 3) чтобы точка была равноудалена от двух данных
точек А и В, необходимо и достаточно, чтобы она делила
отрезок АВ пополам; 4) чтобы два конгруэнтных отрезка
были центрально-симметричны, необходимо и достаточно,
чтобы они были параллельны?
588. Укажите несколько необходимых и достаточных условий
для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом.
589. Какие слова — «достаточно», «необходимо», «необходимо и
достаточно» — можно поставить вместо многоточия в следу¬
ющих предложениях, чтобы получить верные предложения:
1) чтобы произведение двух чисел равнялось нулю..., чтобы
каждое из них равнялось нулю; 2) чтобы сумма двух целых
чисел была четным числом..., чтобы каждое из слагаемых
было четным; 3) чтобы четырехугольник был параллело¬
граммом..., чтобы две стороны его были параллельны; 4) что¬
бы два четырехугольника были конгруэнтны..., чтобы соответ¬
ствующие стороны их были равны?
590**. Рассмотрите шесть условий:
1) [АВ] || [СВ]; 3) \АВ\ = |СВ|; 5) А = С;
2) [ВС] || [АВ]; 4) |ВС| = |АВ|; 6) В = В.
Покажите, что: а) каждое из этих условий необходимо для
того, чтобы четырехугольник АВСБ был параллелограммом;
б) ни одно из этих условий не является достаточным для
того, чтобы четырехугольник АВСБ был параллелограммом;
в) объединяя их попарно, получим девять необходимых и
достаточных условий для того, чтобы четырехугольник АВСИ
был параллелограммом.
6
Заказ 354
161
43. Прямоугольник
В младших классах прямоугольник определяли как четырех¬
угольник, все углы которого прямые. Следовательно, понятие
«прямоугольник» было определено с помощью понятий «четы¬
рехугольник» и «прямой угол».
Одному и тому же понятию можно дать различные определе¬
ния. Например, прямоугольник можно определить как частный
вид параллелограмма с помощью понятий «параллелограмм» и
«прямой угол».
Определение. Параллелограмм, у которого все углы
прямые, называется прямоугольником.
Оказывается, в определении прямоугольника через понятие
«параллелограмм» не обязательно указывать, что все четыре
угла параллелограмма должны быть прямыми. Можно дать
более «экономное» определение.
Действительно, если один из углов параллелограмма АВСВ,
например угол А, прямой (рис. 272), то и три остальные угла
прямые: угол В прямой, так как А + В = 180°, угол С прямой,
так как В С = 180° (п. 41). Но тогда и угол Р прямой. По¬
этому определение прямоугольника можно сформулировать и
так: параллелограмм, имеющий прямой угол, называется прямо¬
угольником.
Так как прямоугольник является частным видом параллелог¬
рамма, то он обладает всеми свойствами параллелограмма (п. 41).
Кроме того, прямоугольник обладает и другими свойствами.
54 I Теор ем а. Серединный перпендикуляр к стороне прямо-
I угольника является его осью симметрии.
Дано: АВСЛ — прямоугольник, [АМ] [ЛГР], (ММ) ±
± (АР) (рис. 273).
Доказать: (ММ) — ось симметрии прямоугольни¬
ка АВСБ.
Доказательство. Рассмотрим осевую симметрию
8ми. Из условия следует, что точки А и Р симметричны отно¬
сительно оси ММ.
Но прямая ММ является также серединным перпендикуля¬
ром отрезка ВС. В самом деле:
(ВС) || (АР) (по условию),
поэтому (ВС) ± (ММ).
162
Кроме того, |В#| = \АМ\ и \ИС\ =
= | МИ | (теорема 45). А так как ]АМ] =
= |ЛГВ|, то \ВИ\ = |М7|.
Следовательно, точки В и С сим¬
метричны относительно оси NN.
Итак, при симметрии с осью М1У
А —> В, В —> С, С —> В, В —> А.
Поэтому и прямоугольник АВСЛ отобра¬
жается на себя. Значит, прямая ЛГУ
есть ось симметрии прямоугольника
АВСВ.Н
Следствие! Прямоугольник име¬
ет две оси симметрии.
Следствие 2. Диагонали прямо¬
угольника конгруэнтны.
Доказательство. Точки В и
В симметричны точкам А и С относитель¬
но оси (рис. 274). Значит, отрезки
АС и ВВ симметричны относительно
оси МИ. Поэтому [ВВ].И
с
Вопросы и задачи
59! Покажите, что четырехугольник, имеющий два прямых
угла, не обязательно является прямоугольником.
592. Укажите перемещения, при которых прямоугольник отобра¬
жается на себя.
593. Даны два конгруэнтных прямоугольника. Сколько сущест¬
вует различных перемещений, при которых один из них
отображается на другой?
594. 1) Можно ли построить четырехугольник, не являющийся
прямоугольником, диагонали которого были бы конгруэнтны
между собой?
2) Докажите, что параллелограмм, диагонали которого кон¬
груэнтны, является прямоугольником.
595. Укажите свойства, которыми обладает прямоугольник, но
не обладает параллелограмм, не являющийся прямоуголь¬
ником.
6*
163
596. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит пересе¬
каемую ею сторону на отрезки равной длины. Найдите пе¬
риметр этого прямоугольника, если длина меньшей стороны
прямоугольника 15 см.
597. Периметр прямоугольника равен 12 см. Найдите сумму рас¬
стояний от произвольной внутренней точки прямоугольника
до его сторон.
598. Постройте прямоугольник: 1) по двум сторонам, имеющим
общую вершину; 2) по стороне и диагонали; 3) по диагона¬
ли и углу между диагоналями; 4) по диагонали и сумме
прилежащих сторон.
599. 1) Докажите, что медиана прямоугольного треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2) Сформулируйте и докажите обратную теорему.
600. Какой фигурой является множество вершин прямых углов
всех прямоугольных треугольников с данной гипотену¬
зой АВ?
601. Как найти на прямой I такую точку С, что угол АСВ—прямой
(А и В — данные точки)?
602*. Постройте прямоугольник, все вершины которого лежат на
данной окружности, причем две из них — в данных точках.
603. Объясните, на чем основано устрой¬
ство центроискателя, изображенного
на рисунке 275.
604*. Пользуясь только чертежным уголь¬
ником: 1) постройте оси симметрии
двух данных точек; 2) разделите
ный отрезок пополам; 3) удвойте
ный отрезок.
605*. Из вершин А и В треугольника
дан-
дан-
АВС
проведены высоты. Докажите, что вер¬
шины А, В и основания построенных
высот принадлежат одной окружности.
Где находится центр этой окружности?
Чему равен ее радиус?
606*. Точка А лежит вне данного круга
(рис. 276), [ВС]—диаметр. С по¬
мощью одной линейки постройте пер¬
пендикуляр к прямой ВС, проходящий
через А.
164
44. Ромб
Определение. Параллелограмм,
все стороны которого конгруэнтны, на¬
зывается ромбом.
Кроме общих свойств параллело¬
грамма (см. п. 41), ромб обладает и
другими свойствами.
55|Т еорема. Прямая, содержащая диагональ ромба, явля-
I ется его осью симметрии.
Доказательство. Рассмотрим симметрию 8 ас
(рис. 277). Точки А и С при этой симметрии отображаются на себя
(эти точки лежат на оси), а точки В и Л — друг на друга, так
как они равноудалены от точек А и С на одно и то же рас¬
стояние.
Итак, при симметрии относительно оси АС
А -> А, В -> В, С -> С, И -> В.
Следовательно, при симметрии 8ас ромб АВСБ отобража¬
ется на себя.И
Следствие 1. Диагонали ромба делят его углы пополам.
Следствие 2. Диагонали ромба взаимно перпендику¬
лярны.
Доказательство. Ось симметрии перпендикулярна
прямой, соединяющей точки, симметричные относительно этой
оси. Значит, (АС)± (&&).■
Вопросы и задачи
607. Докажите: 1) четырехугольник, у которого все стороны кон¬
груэнтны, является ромбом; 2) параллелограмм, у которого
две смежные стороны конгруэнтны, есть ромб.
608. Докажите, что четырехугольник АВСБ, для которого пря¬
мые АС и ВВ являются осями симметрии,— ромб.
609. Докажите, что параллелограмм является ромбом тогда и
только тогда, когда его диагонали взаимно перпендику¬
лярны.
610. Верны ли предложения: 1) четырехугольник является ром¬
бом тогда и только тогда, когда его диагональ делит проти¬
воположные углы пополам; 2) параллелограмм является ром¬
165
бом тогда и только тогда, когда он имеет ось симметрии,
проходящую через противоположные вершины; 3) четырех¬
угольник является ромбом тогда и только тогда, когда его
диагонали взаимно перпендикулярны?
611. 1) Какие свойства ромба следуют из существования у него:
а) осей симметрии; б) центра симметрии?
2) Укажите перемещения, при которых ромб отображается
на себя.
612°. 1) Какие определения можно дать ромбу?
2) Сколькими элементами определяется ромб? Укажите та¬
кие элементы.
613. 1) Вычислите периметр ромба, один из углов которого ра¬
вен 60°, а длина меньшей диагонали 8 см.
2) Может ли длина стороны ромба равняться половине дли¬
ны его диагонали?
3) Может ли диагональ ромба быть: а) перпендикулярна его
стороне; б) конгруэнтна его стороне?
614. Существует ли точка, равноудаленная: 1) от всех вершин
ромба; 2) от всех сторон ромба?
615. Докажите, что если все стороны параллелограмма конгру¬
энтны, то конгруэнтны и его высоты, проведенные из одной
вершины. Сформулируйте обратное предложение. Верно ли
оно?
616. Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по диагона¬
лям; 3) по стороне и углу; 4) по диагонали и углу; 5) по диа¬
гонали и высоте.
617. Сторона ромба АВСБ равна 2 см, В =120° (рис. 278).
1) Найдите расстояния |АМ|, | МБ |, | ВБ|. 2) Докажите, что
треугольник МВN равносторонний.
618. 1) Как проверить, является ли вырезанный из картона четы¬
рехугольник ромбом?
2) Швея выкроила из материи четырехугольник, который
должен быть ромбом. Как проверить правильность изготовле-
В С
А М В
Рис. 278
ния выкройки (не пользуясь никакими
инструментами?
619*. С помощью одной двусторонней ли¬
нейки (т. е. линейки с двумя парал¬
лельными краями) постройте: 1) ось
симметрии двух данных точек А и В
(ширина линейки меньше |АВ|);
2) биссектрису угла; 3) прямую,
166
перпендикулярную данной прямой.
620*. Точки М2, Мз, М4 — середины
сторон ромба АВСБ (рис. 279).
1) Докажите, что четырехугольник
Л/1Л/2Л/3М4 — прямоугольник. 2) Дока¬
жите, что точки В и И лежат на од¬
ной прямой с серединами отрезков
а) МгМ2 и М3М4; б) М|М3 и М2М4.
45. Квадрат
Определение. Квадратом называ¬
ется прямоугольник, у которого все сто¬
роны конгруэнтны.
Из определений квадрата и ромба
следует, что квадрат (рис. 280) являет¬
ся ромбом, у которого все углы прямые. Так
как квадрат является и параллелограм¬
мом, и прямоугольником, и ромбом, то
он обладает всеми их свойствами. В част¬
ности, серединные перпендикуляры к сто¬
ронам квадрата и прямые, содержащие диа¬
гонали квадрата, являются его осями
симметрии (рис. 281). Следовательно, име¬
ются четыре осевые симметрии, отобра¬
жающие квадрат на себя.
Существуют и другие перемещения,
отображающие квадрат на себя. Это
повороты вокруг центра квадрата на
углы 0°, 180° и 90° (в направлениях по
часовой стрелке и против часовой
стрелки).
—,—и
Рис. 280
—’—п
Вопросы и задачи
621°. Дайте определение квадрата с помощью понятия: 1) «парал¬
лелограмм»; 2) «ромб»; 3) «четырехугольник».
622. Докажите: 1) ромб, у которого один из углов прямой, явля¬
ется квадратом; 2) прямоугольник, у которого две смежные
67
стороны конгруэнтны, является квадратом; 3) четырехуголь¬
ник, у которого все стороны конгруэнтны и один из углов пря¬
мой, является квадратом.
623°. Какими особыми свойствами обладает квадрат по сравнению:
1) с прямоугольником, не являющимся квадратом; 2) с ром¬
бом, не являющимся квадратом?
624°. Длина проекции одной из сторон квадрата на его диагональ
равна Ь. Найдите длину диагонали.
625. Постройте квадрат: 1) по его стороне; 2) по его диагонали.
626*. Два конгруэнтных квадрата имеют общую сторону. Укажите
все такие перемещения, которые отображают один из этих
квадратов на другой.
627. Верны ли предложения: 1) если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны и конгруэнтны, то такой четы¬
рехугольник— квадрат; 2) если диагонали четырехугольника
628.
взаимно перпендикулярны и точкой их пересечения делятся
пополам, то такой четырехугольник — квадрат?
Как проверить (не производя измерений), является ли вы¬
резанный из бумаги или ткани четырехугольник квадратом?
629. 1) Через вершины В и П квадрата
АВСБ проведены параллельные пря¬
мые, пересекающие стороны АП и ВС
соответственно в точках Р и Е. Дока¬
жите: а) |ВГ| = |ПЕ|; б) ДАВР
ДОЕС; в) отрезок РЕ делится диа¬
гональю АС пополам.
2) Дано: АВС1) — квадрат, | АЕ| —
= |ВГ| = \СК\ = |ПП| (рис. 282). До¬
казать: ЕРКЪ — квадрат.
3) Дано: АВСБ — квадрат, |АЕ| =
= |СР| (рис. 283). Доказать: ВЕБР —
ромб.
630*. Постройте квадрат: 1) по двум дан¬
ным вершинам; 2) по серединам двух
противоположных сторон; 3) по сере¬
динам двух прилежащих сторон; 4) по
центру и двум точкам на одной из
сторон.
168
46. Теорема Фалеса
56
Теорема (Фалеса). Если на одной стороне угла от¬
ложить последовательно несколько конгруэнтных отрезков
и через их концы провести параллельные прямые, пересе¬
кающие вторую сторону угла, то они отсекут на второй сто¬
роне угла отрезки, конгруэнтные между собой.
Доказательство. Рассмотрим на стороне ОХ угла
ХОУ два отрезка АВ и ВС (рис. 284). Пусть [АВ] = [ВС] и
(АА1) || (ВВО 1| (ССО. Через точки А и В проведем прямые, па¬
раллельные прямой ОУ. Точки их пересечения с прямыми ВВ1
и СС1 обозначим через М и N.
Заметим, что [АВ] [ВС] (по условию). Углы ВАМ и
СВ^ АВМ и ВСN тоже конгруэнтны (п. 37). Следовательно,
конгруэнтны треугольники ВАМ и ВСН и поэтому [АМ]^[В^7].
Четырехугольники АМВ^А^ и В^ЖЛ — параллелограммы
(по построению). Поэтому [АЛТ] ~ [А1В1] и [В1У’] = [В1С1]
(п. 41). Учитывая конгруэнтность отрезков АМ и ВаУ, получа¬
ем: [А<В1] = [В1С1]. Точно так же доказывается, что [А1В1] =
= [С^!] Ц Т. Д. ■
Задача. Разделить данный отрезок ОА на пять конгру¬
энтных отрезков.
Решение. Проведем через точку О луч ОМ (рис. 285)
и отложим на нем последовательно пять конгруэнтных отрез¬
ков:
[ОВ!] [виз2] ... ~ [В4вб].
Проведем прямую АВ3 и через точки Вв В2, В3, В4 прямые,
параллельные этой прямой. По теореме Фалеса эти прямые
разделят отрезок О А на пять конгруэнтных отрезков.
169
Определение. Средней линией
треугольника называется отрезок, соеди¬
няющий середины двух сторон треуголь¬
ника.
57 I Т е о р е м а. Средняя линия тре-
I угольника параллельна третьей его
I стороне, а длина ее равна половине
I длины этой стороны.
Дано: АВС — треугольник, |АО| = |-ОВ|, \ВЕ | = \ЕС\
(рис. 286).
Доказать: 1) [ЛЯ] || [АС1; 2) \БЕ | = - |АС|.
2
Доказательство. 1) Через точку Р проведем пря¬
мую, параллельную стороне АС. Эта прямая (по теореме Фале¬
са) разделит отрезок ВС пополам, т. е. пройдет через точку Е.
Значит, [2)Е] — средняя линия треугольника АВС. По построе¬
нию [РР] II [АС].
2) Проведем (ЕЕ) || (АВ). По теореме Фалеса прямая ЕЕ
разделит отрезок АС пополам: |АР| = \ЕС | = — \АС |.
2
Но [РЕ] = [АР] (АИЕЕ — параллелограмм).
Следовательно, |РЕ| = — |АС|.И
2
Вопросы и задачи
631. Разделите данный отрезок: 1) на три конгруэнтных отрезка;
2) на четыре конгруэнтных отрезка.
632. Данный отрезок разделите на два отрезка, длины которых
пропорциональны числам: 1) 1, 2; 2) 2, 3.
633. Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС
на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют
проекции медиан этого треугольника на ту же прямую?
634. Одна из сторон треугольника разделена на шесть конгруэнт¬
ных отрезков. Как разделить (возможно более простым спо¬
собом) две другие стороны этого треугольника: 1) на два
конгруэнтных отрезка; 2) на три конгруэнтных отрезка?
635. Докажите, что если на каждой стороне угла последователь¬
но отложить отрезки равной длины и через соответствующие
концы отрезков, считая от вершины, провести прямые, то
эти прямые параллельны.
170
636. 1)° Найдите периметр треугольника,
вершины которого — середины сторон
данного треугольника, имеющего пе¬
риметр р.
2) Длины диагоналей данного четырех¬
угольника тип. Найдите периметр че¬
тырехугольника, вершины которого —
середины сторон данного четырех¬
угольника. Вычислите этот периметр,
если т = 3 дм и п = 8 см.
В
а а
Рис. 287
637*. Каждая из сторон треугольника АВС разделена на три кон¬
груэнтных отрезка, и точки деления соединены отрезками
(рис. 287). Найдите периметр образовавшейся на этом
рисунке звездочки, если периметр треугольника АВС
равен р.
638**. Докажите, что три медианы треугольника проходят через
одну точку, делящую каждую из медиан в отношении 2:1
(считая от вершины).
639. Постройте треугольник, если заданы середины его сторон.
640. Внутри угла АВС дана точка О. Проведите через точку О
прямую так, чтобы отрезок ее, отсекаемый сторонами угла:
1) делился в точке О пополам; 2) делился в точке О в отно¬
шении 1 : 2.
641. Докажите, что каждый треугольник можно разрезать на две
части, из которых можно составить параллелограмм.
642*. Докажите, что вершины треугольника находятся на равном
расстоянии от прямой, на которой лежит средняя линия это¬
го треугольника.
643.* Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Покажите на
рисунке, как будет расположена прямая, равноудаленная от
этих точек. Сколько существует таких прямых?
644*. Как можно воспользоваться свойствами средней линии тре¬
угольника для измерения на местности расстояния между
двумя пунктами, разделенными препятствием?
47. Трапеция
Определение. Четырехугольник, две стороны которого
параллельны, а две другие не параллельны, называется тра¬
пецией.
171
Е ь н
Рис. 288
Рис. 289
Параллельные стороны трапеции на¬
зываются ее основаниями, а непараллель¬
ные — боковыми сторонами (рис. 288, а).
Боковые стороны трапеции могут ока¬
заться конгруэнтными, тогда трапеция
называется равнобедренной (рис. 288, б).
Трапецию, один из углов которой пря¬
мой, называют прямоугольной (рис. 288, в).
Любой отрезок МИ (рис. 288, а), пер¬
пендикулярный основаниям трапеции, на¬
зывается ее высотой. Отрезок, соединяю¬
щий середины боковых сторон трапеции,
называется средней линией трапеции.
58 I Т е о р е м а. Средняя линия трапе-
I ции параллельна основаниям, а длина
| ее равна полусумме длин оснований.
Дано: АВСИ — трапеция, [АО] ||
|| [ВС], \АН\ = \НВ\, \СЕ\ = \ЕЯ\
(рис. 289).
Доказать: 1) [ЯЕ] || [АО];
2) |ЯЕ| = |ЛВ| +1сс1 .
Доказательство. 1) Прове¬
дем через середину Н стороны АВ пря¬
мую НК, параллельную основаниям АО и
ВС. Она (по теореме Фалеса) пройдет через середину отрезка СО,
т. е. через точку Е. Следовательно, средняя линия НЕ трапеции
параллельна ее основаниям. Первая часть теоремы доказана.
2) Проведем диагональ ВО и обозначим точку ее пересечения
со средней линией через М. Тогда точка М — середина отрезка
ВО (по теореме Фалеса), а отрезки МН и МЕ — средние линии
треугольников АВИ и ВСИ. Следовательно,
|МЯ| = - |ВС|, \МН\ = 1 |АО|,
2 2
|Я^| = \МЕ\ + |МЯ| = -|ВС| + - 1АО| = -(|ВС| + |АО |). ■
2 2 2
Вопросы и задачи
645. Докажите, что у трапеции не может быть: 1) трех прямых уг¬
лов; 2) трех острых углов.
172
646. Докажите, что перпендикуляр, проведенный к основанию
равнобедренной трапеции через его середину, является осью
симметрии этой трапеции.
647. Докажите, что в равнобедренной трапеции конгруэнтны:
1) диагонали; 2) углы при основании.
648. Сколько элементов определяют трапецию?
649. Постройте трапецию АВСИ ([АО] || [ВС]) по следующим
элементам:
1) | АВ | = 12 см,
2) |АВ| = 10 см,
3) |АВ| = 12 см,
4) |АВ| = а,
| АВ | = 6 см, | СО | = 8 см и А = 35°;
| АВ| = 5 см, |СО| = 6 см и |ВО| =8 см;
| ВС | = 2,8 см, В = 35° и А = 40°;
|ВС| = &, |АС| = с и IАВI = а.
650. Докажите: 1) сумма боковых сторон трапеции больше разно¬
сти оснований; 2) сумма диагоналей трапеции больше суммы
оснований; 3) разность оснований больше разности боковых
сторон; 4) диагонали трапеции точкой их пересечения не де¬
лятся пополам.
651. Постройте равнобедренную трапецию АВСБ ([АВ] || [ВС])
по следующим элементам: 1) | АВ|, | АВ |, А; 2) |АВ|,
|ВС|, |АВ|; 3) |АВ|, |АВ|, |АС|; 4) |АВ|, |ВС| и вы¬
соте к.
652. Докажите: 1) если углы при основании трапеции конгруэнт¬
ны, то трапеция равнобедренная; 2) если диагонали конгру¬
энтны, то трапеция равнобедренная.
653. Дан четырехугольник. Середины его сторон последовательно
соединены отрезками. Определите вид полученного четырех¬
угольника, если данный четырехугольник: 1) не трапеция и
не параллелограмм; 2) трапеция; 3) параллелограмм (от¬
личный от ромба и прямоугольника); 4) прямоугольник
(отличный от квадрата); 5) ромб (отличный от квадрата);
6) квадрат.
654. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной
трапеции, делит большее основание на части, имеющие длины
5 см и 2 см. Вычислите среднюю линию этой трапеции.
655. 1) Длина средней линии трапеции равна 10 см. Одна из диа¬
гоналей делит ее на два отрезка, разность длин которых рав¬
на 2 см. Вычислите длины оснований этой трапеции.
2) Длины оснований трапеции равны 4 см и 10 см. Найдите
длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой
трапеции одна из ее диагоналей.
173
656- 1) Основания трапеции имеют длины 8,2 и 14,2 см. Найдите
расстояние между серединами диагоналей.
2) Меньшее основание трапеции имеет длину 6,2 см, расстоя¬
ние между серединами диагоналей равно 4 см. Найдите длину
большего основания.
657*. Как разрезать трапецию: 1) на две части, чтобы из них мож¬
но было сложить параллелограмм; 2) на две части, чтобы
из них можно было сложить треугольник; 3) на три части,
чтобы из них можно было сложить прямоугольник?
658*. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения
диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения
продолжений боковых сторон, перпендикулярна основаниям
трапеции и делит их пополам.
§ 3. Площади многоугольников
48. Общие сведения о площадях фигур
1. В 5 классе вы уже пользовались формулами для вычисления
площадей некоторых фигур — прямоугольника, треугольника,
круга. В этом параграфе мы приведем более подробные сведения
.о площадях.
За единицу измерения площадей принимают площадь квад¬
рата, сторона которого равна единице длины. Например, за
единицу измерения площадей можно принять площадь квадра¬
та, длина стороны которого 1 м (1 см, 1 км). Площадь такого
квадрата называют квадратным метром (квадратным сантимет¬
ром, квадратным километром).
Площади являются величинами, и, как все величины одного
и того же рода, их можно складывать между собой и умножать
на положительные числа (п. 3). При сложении двух площадей
и умножении площади на число получаются площади.
Площади будем обозначать заглавной латинской буквой 5.
Единицу измерения длин обозначим е, а площадь квадрата со
стороной длины е обозначим е2 и примем за единицу измерения
площадей.
Любую площадь 8 можно выразить через единицу измере¬
ния площадей в виде 5 = Ае2, где к — числовой множитель.
Это число к — числовое значение площади 5 при единице изме¬
рения е2. Пусть, например, за единицу измерения площадей
принят квадратный сантиметр (т. е. е2 = 1 см2). Тогда площадь
174
5 = 5 см2 имеет числовое значение 5 при единице измере¬
ния 1 см2.
Если две площади $1 и $2 выражены через общую единицу
измерения е2 в виде
81 = ае2, 82 = Ье2,
то отношение 51 : 82 равно отношению числовых значений а и Ь:
51 : 52 = а : Ь.
В следующих пунктах этого параграфа мы научимся нахо¬
дить площади различных многоугольников, опираясь на основ¬
ные свойства площадей, которые примем без доказательства:
1) конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
2) если многоугольник составлен из неперекрывающихся
многоугольников, то его площадь равна сумме площадей
этих многоугольников.
Предложение «многоугольник Р составлен из неперекрываю¬
щихся многоугольников» означает, что: а) Р является объедине¬
нием этих многоугольников и б) никакие два из этих много¬
угольников не имеют общих внутренних точек. Примеры таких
разбиений многоугольников приведены на рисунке 290.
2. Применим свойства 1 и 2 к выводу формулы площади
прямоугольника. Рассмотрим случай, когда основание и высота
прямоугольника равны целому числу единиц длины е:
а = те, Л = пе.
В этом случае прямоугольник составляется из тп квадратов
со стороной е (рис. 291). Эти квадраты конгруэнтны и, следова¬
тельно (по свойству 1), имеют одну и ту же площадь е2. Тогда
(по свойству 2) искомая площадь 5 равна:
5 = типе2.
Рис. 290
Рис. 291
175
Вычисляя по обычным прави¬
лам алгебры, имеем:
ак = (те) (пе) = тпе2 = 8.
Вообще, разумно условиться,
что длины а и Ъ можно «умножать»
друг на друга, получая при этом
площадь. В данном случае это «про¬
изведение» равно площади прямо¬
угольника с основанием а и высо¬
той к. Например, принято писать:
5 см • 7 см = 35 см2.
Полученная выше формула пло¬
щади прямоугольника верна не
только для целых, но и для всех
положительных а и Л. Обычно ее
записывают короче:
8 = ак.
Из этой формулы сразу следует,
что площадь квадрата равна квад¬
рату его стороны, 5 = а2.
3. По первому свойству площадей любых два конгруэнтных
многоугольника имеют равные площади, т. е. равновелики.
Обратное неверно: два равновеликих многоугольника не обяза¬
тельно конгруэнтны. Например, квадрат со стороной 2 см
и прямоугольник со сторонами 1 см и 4 см (рис. 292) равнове¬
лики (площадь каждой из этих фигур равна 4 см2), но не конг¬
руэнтны.
4. Измеряя площади при помощи палетки, вы уже познако¬
мились с тем, как можно оценивать с недостатком и избытком
площадь фигуры, имеющей криволинейную границу. На ри¬
сунке 293 в круге помещается полностью 120 квадратов пло¬
щади е2. Объединение же всех 172 квадратов на этом рисунке
полностью содержит круг. Поэтому для площади 5 данного
круга имеем неравенства:
120е2 <8 < 172е2.
Приближенно можно принять:
5
В действительности эта площадь равна лг2 « 154е2.
176
Вопросы и задачи
659. Практическая работа. 1) Произведите необходимые
измерения и вычислите площадь участка прямоугольной
формы. 2) Произведите необходимые измерения и вычисли¬
те площадь поверхности пластинки прямоугольной формы.
660. Практическая работа. Вырежьте из бумаги два кон¬
груэнтных прямоугольных треугольника и сложите из них:
1) равнобедренный треугольник; 2) прямоугольник; 3) па¬
раллелограмм, отличный от прямоугольника. Почему пло¬
щади всех получившихся фигур равны?
661. 1) Вычислите площадь поля в гектарах, если поле имеет
форму прямоугольника с размерами: а) 2 км X 1 км;
б) 500 м X 500 м; в) 100 м X 150 м; г) 0,8 км X 1,2 км.
2) Известно, что периметр прямоугольника, каждая из сто¬
рон которого измеряется целым числом сантиметров, равен
12 см. Вычислите площадь этого прямоугольника. В каком
случае площадь прямоугольника будет наибольшей?
662. Основание прямоугольника в два раза больше его высоты.
Покажите на рисунке: 1) как разрезать этот прямоугольник
на две части так, чтобы из них можно было составить прямо¬
угольный треугольник; 2) как разрезать его на две части
так, чтобы из них можно было составить равнобедренный
треугольник; 3) как разрезать его на три части так, чтобы из
них можно было составить квадрат.
663. Участок земли имеет площадь 100 га. Найдите числовое зна¬
чение этой площади, если за единицу измерения принять:
1) квадратный километр; 2) квадратный метр; 3) ар.
664. Как изменится площадь прямоугольника, если: 1) основание
и высоту его увеличить в два раза; 2) основание и высоту
уменьшить в три раза; 3) основание увеличить в четыре ра¬
за, а высоту уменьшить в четыре раза; 4) основание увели¬
чить в шесть раз, а высоту уменьшить в два раза?
665. Длина комнаты 5,4 м, а ширина 4,2 м. В комнате два окна
шириной 1,2 м и высотой 1,6 м. Освещенность комнаты счи¬
тается нормальной, если площадь (световая площадь) окон
составляет 20% от площади пола. Нормально ли освещение
комнаты?
666. Практическая работа. Произведите необходимые из¬
мерения и вычислите световую площадь своего класса. Вычис-
177
лите отношение световой площади к
площади пола и выразите его в про¬
центах.
667. Дано: Е, Е, К и Ъ — середины сторон
квадрата АВСИ (рис. 294). Сравните
площадь четырехугольника М1У0Р с
площадью квадрата АВСИ.
668*. Дано: АВСБ — квадрат (рис. 295), Е,
Г, К, Е, М, N. О и Р — точки, деля¬
щие каждую сторону на три равные
е
0)
II
О
Рис. 296
части. Докажите, что площадь четырех¬
2
— площади
угольника равна
квадрата АВСЕ.
669*. Докажите, что площадь квадрата,
построенного на катете равнобедрен¬
ного прямоугольного треугольника,
вдвое больше площади квадрата,
построенного на высоте, проведенной
к гипотенузе.
670*. Постройте квадрат, площадь которого
в два раза больше площади данного
квадрата.
671*. Пользуясь формулой 8 = лг2, про¬
верьте, насколько хорошо приближе¬
ние 5 = 146е2 для площади круга, вы¬
численной по рисунку 293.
672**. Докажите, опираясь на свойства пло¬
щадей, что при любых положительных
рациональных числах р и д прямо¬
угольник с основанием а = ре и вы¬
сотой Ь = де имеет площадь рде~.
Указание. См. рисунок 296, где р = * I
49. Площадь параллелограмма
59 I Т е о р е м а. Площадь параллелограмма равна произве-
I дению его основания на высоту.
Дано: а — основание параллелограмма АВС Б, к — его
высота.
178
О) 6) в)
Рис. 297
Д о к а з а т ь: 8 = ак.
Доказательство. В случае, когда один из углов
параллелограмма прямой, теорема уже доказана (в этом случае
параллелограмм является прямоугольником). Пусть один из
двух углов (например, угол А, рис. 297). прилежащих к осно¬
ванию АБ параллелограмма АВСВ, острый.
Проведем через вершины В и С перпендикуляры к прямой
АР. Получим прямоугольник ВСРЕ, вершины Р и Е которого
лежат на луче АР. Точка Р при этом всегда лежит вне отрезка
АР. В положении точки Е могут встретиться три различных
случая (рис. 297, а, б, в). Во всех случаях
8АВ СЕ = ®ДВ.?В + 8 ИСЕ = 8ВСЕЕ + 8АВЕ‘ (*)
Но Д БСР = Д АВЕ. Значит,
8о:е = ® ДВЕ*
Поэтому из равенства (1) следует, что
8 АВСО = 8ВСЕЕ'
Но 8ВГЕЕ ’ \ВЕ\‘
Поэтому
8авсо = |ВС|-|ВР|=|АР|-|ВЕ| = а • к.
Итак, 8ав^о = °** и
Вопросы и задачи
673. Постройте параллелограмм, произведите необходимые изме¬
рения и вычислите его площадь.
674. Стороны параллелограмма равны 4,2 см и 5,6 см. Высота, про¬
веденная к большей стороне, равна 3,3 см. Вычислите пло¬
щадь и вторую высоту этого параллелограмма.
179
675. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см, одна из вы¬
сот равна 6 см. Вычислите площадь и вторую высоту паралле¬
лограмма. Сколько решений имеет задача?
676. Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см. Одна из вы¬
сот равна 9 см. Вычислите вторую высоту параллелограмма.
Сколько решений имеет задача?
677. Постройте параллелограмм, отличный от прямоугольника,
и покажите, как его разрезать на части так, чтобы из них мож¬
но было сложить прямоугольник.
678. Докажите, что прямая, проходящая через центр симметрии
параллелограмма, разбивает его на две равновеликие части.
679. Площадь параллелограмма равна 24 см2. Точка пересечения
его диагоналей удалена от прямых, на которых лежат сторо¬
ны, на 2 см и 3 см. Вычислите периметр этого параллело¬
грамма.
680. Постройте два неконгруэнтных равновеликих параллелограм¬
ма с общей стороной.
681. Постройте ромб. Выполните необходимые измерения и вычис¬
лите его площадь.
682. 1) Выведите формулу, выражающую площадь <8 ромба через
его диагонали т и п.
2) Выведите формулу для вычисления площади 8 квадрата
по его диагонали с.
683. 1) Вычислите площадь ромба, диагонали которого имеют
длины: а) 2,5 дм и 3,6 дм; б) 8,8 м и 9,5 м.
2) Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 6,2 см,
а один из углов равен 30°.
684. Вычислите диагонали ромба, если известно, что их длины
пропорциональны числам 2 и 3, а площадь ромба равна 12 см2.
685*. Найдите площадь 8 параллелограмма, периметр которого
равен тп, а точка пересечения диагоналей находится на рас¬
стоянии I от каждой из его сторон.
50. Площадь треугольника
601 т е о рема. Площадь треугольника равна половине про-
I изведения его основания на высоту.
Дано: а — основание треугольника АВС, Л — его высота
(рис. 298).
тт о
Доказать: 8ЛВС =
180
Доказательство. Проведем
через вершины В и С прямые, парал¬
лельные сторонам АС и АВ. Получим
параллелограмм АВИС, который состо¬
ит из двух треугольников — ДАВС и
А ВИС. Диагональ параллелограмма де¬
лит его на два конгруэнтных треуголь¬
ника, и поэтому площадь каждого из
этих треугольников равна половине пло¬
щади параллелограмма АВБС. Так как
^АВйС = Т0
■
Формулу для вычисления площади
треугольника можно прочитать иначе:
площадь треугольника равна произведе¬
нию его средней линии на высоту.
Следствие. Площадь прямоуголь¬
ного треугольника равна половине произ¬
ведения его катетов.
Задача. Построить прямоугольник, равновеликий дан¬
ному треугольнику и имеющий с ним общее основание.
Решение. Пусть дан треугольник АВС (рис. 299). Его
площадь равна половине произведения основания на высоту,
или, иначе, произведению основания на половину высоты. А
площадь прямоугольника равна произведению его основания на
высоту. Значит, если взять прямоугольник с основанием, рав¬
ным основанию треугольника, и с высотой, равной половине вы¬
соты треугольника, то он и будет равновелик треугольнику.
Отсюда ясно построение искомого прямоугольника (рис. 299).
Вопросы и задачи
686. Две стороны треугольника равны 18 см и 24 см. Высота, про¬
веденная к первой из них, равна 22 см. Вычислите площадь
треугольника и высоту, проведенную ко второй данной сто¬
роне.
687. Вычислите площадь остроугольного треугольника, если его
высота, проведенная к основанию, равна 6 см, а проекции
боковых сторон на это основание равны 12 см и 4 см.
688. Какую фигуру образуют вершины равновеликих треугольни¬
ков, имеющих общее основание АВ?
181
Рис. 300
692*. Дайте несколько
689. Как можно разрезать треугольник на
три части так, чтобы из них можно
было сложить прямоугольник, имею¬
щий то же основание, что и данный
треугольник?
690. Докажите, что диагонали параллело¬
грамма разбивают его на четыре
равновеликих треугольника.
691. Постройте параллелограмм, равнове¬
ликий данному треугольнику.
различных доказательств теоремы о площади
треугольника.
693. Найдите зависимость между площадью 5 данного треуголь¬
ника и площадью 81 треугольника, отсеченного от него любой
из средних линий.
694*. Дан треугольник, площадь которого равна 6 см2. Стороны
его разделены пополам, и точки деления последовательно
соединены отрезками. Стороны получившегося треугольника
вновь разделены пополам, и также построен треугольник.
Вычислите площадь последнего треугольника.
695. Практическая работа. Вычислите площадь, занятую
школьным садом и огородом (рис. 300). Произведите необхо¬
димые построения и измерения. Масштаб 1 : 5000.
696. Выведите формулу для вычисления площади равнобедрен¬
ного прямоугольного треугольника по его гипотенузе с.
697. Вычислите площадь четырехугольника, диагонали которого
взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см.
698*. Выпуклый четырехугольник АВСБ называется дельтоидом,
если | АВ | = | ВС | и |АВ| = | ВС |. Выведите формулу,
выражающую площадь дельтоида через его диагонали тип.
699. Треугольник и параллелограмм имеют равные основания и вы¬
соты. Как относятся их площади?
700. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 3 см. Какой
может быть его площадь?
701*. Какой вид должен иметь треугольник со сторонами а и 6,
чтобы его площадь была наибольшей? Вычислите площадь
такого треугольника.
702*. 1) Какой из всех параллелограммов с диагоналями, равными
4 см и 8 см, имеет наибольшую площадь? Вычислите ее.
2) Какой из всех параллелограммов со сторонами, равными
4 см и 8 см, имеет наибольшую площадь? Вычислите ее.
182
Рис. 301
51. Площадь трапеции
61|Теор ем а. Площадь трапеции рав-
I на произведению полусуммы ее ос-
I нований на высоту.
Дано: АВСИ — трапеция, а и с — ее
основания, Л — высота (рис. 301).
Доказать: 8АВСО =
Доказательство. Проведя диагональ ЛС9 получим
два треугольника. Примем за основание треугольника АВС от¬
резок АВ9 а за основание треугольника АСВ — отрезок СВ.
Высоты этих треугольников равны высоте трапеции й. Поэтому
с с —СЛ
& АВС ~ 2 ’ °ДСО “ 2 *
Тогда площадь трапеции (по
равна:
о _ аЛ с\
*ЭАВСО~ 2 2’
второму свойству площадей)
_ а 4-е
АВСй ~ 2
Й.
Следствие. Площадь
средней линии на высоту.
трапеции равна произведению
5
Вопросы и задачи
703. Вычислите площадь трапеции, основания которой 12 см и
16 см, а высота 15 см.
704. Вычислите площадь трапеции, большее основание которой
38 см, высота 14 см, а проекции боковых сторон на основание
равны высоте трапеции.
705. Докажите, что площадь трапеции, диагонали которой взаимно
перпендикулярны, равна половине произведения длин диаго¬
налей.
706. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 3,6 дм,
6 дм. Вычислите площадь этой трапеции.
707. Докажите, что прямая, проходящая через середину средней
линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапе¬
цию на две равновеликие части.
708. Покажите, как можно разделить трапецию прямыми на п рав¬
новеликих частей (п = 3; 4).
183
709. Вычислите площадь прямоугольной трапеции, основания ко¬
торой равны 2 см и 4 см, а один из углов 45°.
710. Вычислите площадь равнобедренной трапеции, основания ко¬
торой равны 5 см и 7 см, а один из углов при основании ра¬
вен 45°.
711. Вычислите площадь трапеции, основания которой равны 9 см
и 7 см, а одна из боковых сторон образует с основанием угол
в 30° и равна 8 см.
712*. Дана трапеция. Постройте равновеликие ей: 1) параллело¬
грамм (отличный от прямоугольника); 2) прямоугольник.
52. Площадь многоугольника
Чтобы вычислить площадь многоугольника, можно разбить
его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек,
и найти сумму их площадей. Такое разбиение выпуклого
д)
многоугольника можно осуществить,
проведя, например, диагонали из од¬
ной его вершины (рис. 302, а). Иногда
удобно пользоваться другими разбиения¬
ми (рис. 302, б, в).
Вопросы и задачи
713. Выполните необходимые измерения и
вычислите площади фигур, изобра¬
женных на рисунке 303.
714. Практическая работа. 1) Про¬
изведите необходимые построения и
измерения и вычислите площадь уча¬
стка земли, изображенного на плане
(рис. 304, а). 2) Пользуясь палеткой,
вычислите площадь озера (рис. 304, б).
Найдите ту же площадь приближенно,
заменив контур озера многоугольни¬
ком. 3) Вычислите площадь «живого
сечения реки»* (рис. 304, в).
* «Живое сечение реки» — вертикальное се¬
чение, плоскость которого перпендикулярна бе¬
регам реки.
184
Рис. 303
715. Выполните необходимые построения
и измерения и по полученным данным
вычислите площадь четырехугольника
(рис. 305), если никакие построения и
измерения внутри этого четырех¬
угольника проводить нельзя.
716. Практическая работа. Разметь¬
те на местности участок земли, имею¬
щий форму многоугольника, произве¬
дите необходимые измерения и вы¬
числите площадь этого участка.
717. Постройте треугольник, равновеликий
данному четырехугольнику.
Масштаб 1:1000
5)
Масштай 1:1000
Дополнительные задачи к главе IV
718. Существует ли треугольник, сумма
любых двух углов которого меньше
120°?
719. Постройте треугольник, если известны
его периметр, угол при основании и
высота, проведенная к этому осно¬
ванию.
720. Можно ли произвольный треугольник
разрезать на два остроугольных тре¬
угольника?
721. Может ли треугольник иметь более
трех осей симметрии?
6)
Рис. 304
185
722. Постройте треугольник по основанию а и высотам к\ и къ,
проведенным к боковым сторонам.
723. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами
в трех данных точках?
724. Постройте трапецию по ее основаниям а и Ь и двум диагона¬
лям тип.
725. Постройте четырехугольник, если даны его стороны а, Ь, с, Л
и диагональ I.
Рис. 306
726. Постройте четырехугольник, если даны
его диагонали тип, угол а между ни¬
ми и сторона а, лежащая против этого
угла.
727. Существует ли многоугольник, число
диагоналей которого: 1) в два раза
больше числа сторон; 2) в два раза
меньше числа сторон; 3) в три раза
меньше числа сторон?
728. Укажите несколько условий, достаточ¬
ных для того, чтобы четырехугольник
являлся: 1) прямоугольником; 2) тра¬
пецией.
729. Какой вид имеет четырехугольник,
если проекции его сторон на каждую
из диагоналей конгруэнтны?
730. Пользуясь данными, указанными на
рисунках (конгруэнтные отрезки отме¬
чены одинаковым числом черточек,
параллельные прямые отмечены оди¬
наково направленными стрелками), до-
кажите, что:
1)
2)
3)
\РС |
_1 (рис.
306);
I ВЯ | = \НР\ = х
\НР\ \РС\
(рис 307);
\СР | _ _1
| СВ I ~ 3
(рис. 308).
731. Постройте квадрат: 1) по сумме диаго¬
нали и стороны; 2) по разности диаго¬
нали и стороны.
186
732. Постройте равновеликие: 1) прямо¬
угольники; 2) ромб и прямоугольник
(отличные от квадрата).
733. Покажите на чертеже, как можно
разрезать прямоугольник со сторо¬
нами 6 см и 2 см на две части так,
чтобы из них можно было составить
прямоугольник со сторонами 3 см и
4 см.
734. Разрежьте квадрат на части, из кото¬
рых можно составить квадратную
рамку.
735. Данную фигуру (рис. 309) разрежьте
на части так, чтобы из них можно было
составить квадратную рамку.
736. Каждая из сторон квадрата КЪММ
разделена на два отрезка длиной а
и Ъ и выполнены построения, указан¬
ные на рисунке 310. Докажите, что
площадь заштрихованного квадрата
(рис. 310, а) равна сумме площадей
двух заштрихованных квадратов
(рис. 310, б).
737. Найдите площадь четырехугольника,
вершинами которого являются середи¬
ны сторон данного выпуклого четырех¬
угольника, имеющего площадь 8.
738. 100 выпуклых четырехугольников име¬
ют общие середины сторон. Докажите,
что эти четырехугольники равнове¬
лики.
739. Одна из сторон параллелограмма
равна а, другая Ь. Какие значения мо¬
жет принимать площадь 5 этого парал¬
лелограмма?
740. Выведите формулу для вычисления
площади фигуры, изображенной на
рисунке 311, если известно, что (АВ) ||
II (ЯЕ) || (СР), |АВ| = |ЯЕ|, |АР| =
= \РЕ\ и (СР)Л_(АЕ).
I. М
К Л/
в)
Рис. 311
187
741. Докажите, что площадь фигуры, изображенной на рисунке
312, равна у (|232>| • | СК | + |АЕ| • |О#|) (известно, что
(ВО) || (АЕ) и (СК)Л. (АЕ)У
742. Дано: АВСБ— параллелограмм, Е С [ВО], (КЬ)\\(ВС),
(ЛШ)\\(АВ) (рис. 313).
Доказать: АКЕN нЕМСЪ — параллелограммы; 8АКЕх=8ЕМСЬ.
743. Участок земли имеет форму параллелограмма. Покажите на
рисунке, как можно разбить его на два участка так, чтобы их
площади были пропорциональны числам 3, 4, а линия деления
была бы параллельна основанию.
744. Через вершину ромба проведите две прямые, делящие ромб
на три равновеликие части.
Рис. 313
745. Через вершину параллелограмма про¬
ведите прямые, разбивающие этот па¬
раллелограмм на: 1) 4; 2) 5 равнове¬
ликих частей.
746. Постройте треугольник, равновеликий
данному параллелограмму.
747. Диагонали равнобедренной трапеции
АВСБ ((АБ) || (ВС)) пересекаются в
точке О. Докажите, что треугольники
АВО и СБО конгруэнтны.
748. От участка земли, имеющего форму
трапеции, нужно отделить треуголь¬
ный участок так, чтобы его площадь
была равна площади оставшейся ча¬
сти. Как это можно сделать?
Участок земли, имеющий форму тра¬
пеции, требуется разделить на четыре
равновеликие части, каждая из кото¬
рых должна быть трапецией. Как это
можно сделать?
Дано: АВСБ — трапеция, | СК | —
= \КБ\, (КЕ)Л_(АВ) (рис. 314).
Доказать: 1) 8 Авк = у8 Ав:о;
2) 8лвсо=\АВ\ • |ЕХ|.
Найдите множество вершин парал¬
лелограммов, равновеликих данному
параллелограмму АВСБ и имеющих
общее основание длины а.
188
751. Через данную точку проведите пря¬
мую, рассекающую данный паралле¬
лограмм на две равновеликие части.
753. Какие значения может принимать пло¬
щадь параллелограмма, если его диа¬
гонали равны тп и п*
754. Какие значения может принимать пло¬
щадь ромба, если: 1) его сторона
равна а; 2) высота равна М
755. Через точку пересечения двух окруж¬
ностей проведите прямую так, чтобы
756.
757.
758.
759.
отрезки, отсекаемые на этой прямой
окружностями, были конгруэнтны.
Найдите площадь фигуры, которая
является объединением равносторон¬
него треугольника, имеющего пло¬
щадь 8, и его образа при повороте на
60° вокруг центра этого треугольника.
Площадь равнобедренного треуголь¬
ника равна 8. Найдите площадь фигу¬
ры, которая является пересечением
этого треугольника и его образа при
симметрии относительно оси, парал¬
лельной основанию и делящей высо¬
ту, проведенную к этому основанию,
в отношении 1 :2, считая от осно¬
вания.
Окружность касается трех сторон тре¬
угольника АВС (рис. 315), |ВС| = а,
| С А | = Ь, | АВ | = с. Выразите длины
х, у, 2 через а, Ь, с.
отрезков касательных
Внутри равностороннего треугольника взята точка М. Дока¬
жите, что сумма расстояний от точки М до сторон треугольни¬
ка есть величина постоянная, не зависящая от положения
точки М.
760. Через точку Е, расположенную внутри угла ВАС, проведите
прямую так, чтобы она отсекала от угла ВАС треугольник
наименьшей площади.
761. Через точку Е (рис. 316) проведите прямую так, чтобы она
имела общие точки с параллельными лучами ВА и СВ и отсе¬
кала бы фигуру наименьшей площади.
189
762.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты такие точки
\АМ\ |АЛГ| , _ |ВС|
М и N1 что — 1 = 1 = к. Докажите, что отношениец^~
' 111
тоже равно Л, если к принимает значение: 1) —; 2) —; 3) —;
763.
4) — (р и д— натуральные числа).
Докажите, что множество всех вершин прямоугольников,
имеющих общую диагональ, есть окружность, для которой
эта диагональ является диаметром.
764. Постройте окружность данного радиуса Я, которая касается
данной прямой I и данной окружности (О, г).
765. Через данную точку М проведите прямую, которая находит¬
ся на данном расстоянии I: 1) от данной точки А; 2) от данной
окружности.
766. Отрезок данной длины движется так, что концы его скользят
по сторонам прямого угла. При каком положении этого от¬
резка площадь отсекаемого им треугольника будет наиболь¬
шей?
767. На рисунке 317 изображено шарнирное устройство: одна из
сторон параллелограмма СОММ — сторона СР — неподвижно
закреплена, а к стороне МN жестко прикреплена горизон¬
тальная планка АВ. Объясните, почему при всех возможных
положениях стороны NМ планка АВ будет сохранять горизон¬
тальное положение.
768. Найдите множество середин отрезков данной длины а, концы
которых принадлежат сторонам данного прямого угла.
769. На бильярдном столе прямоугольной формы лежат два шара.
Укажите несколько направлений ударов, при которых первый
шар попадет во второй (положение шаров выберите само¬
стоятельно).
г
ГЛАВА
ВЕКТОРЫ
53. Композиция перемещений
1. Проведем на плоскости две взаимно
перпендикулярные прямые х и у. От¬
метим произвольную точку М плос¬
кости и построим ее образ при сим¬
метрии с осью х (рис. 318). Затем по¬
строим точку М2 — образ точки М{ при
симметрии с осью у. Точке М поставим
в соответствие точку М2. Любой дру¬
гой точке плоскости поставим в соот¬
ветствие точку, полученную в резуль¬
тате аналогичного построения. Таким
образом, последовательно выполняя
симметрии Зх и 8у, получаем новое
отображение плоскости на себя. Что
это за отображение?
Обратимся к рисунку 318. Углы
1 и 2 симметричны относительно оси х,
а углы 3 и 4 — относительно оси у.
Поэтому 1 = 2, 3 = 4. Так как пря¬
мые х и у перпендикулярны, то 24-3 =
= 90°. Значит,! + 2 + 3 4- 4 = 180°,
т. е. угол МОМ2 развернутый. Сле¬
довательно, точки ЛГ, О и М2 лежат на
одной прямой.
Отрезки МО и Мф симметричны
относительно оси х, а отрезки М^О и
191
М2О— относительно оси у. Поэтому |ЛГО| = |М1О|, |ЛГ1О| =
= | ЛГ2О| и, следовательно, | МО | = |М2О|. Таким образом,
отрезок ММ2 делится точкой О пополам, т. е. точки М и М2
симметричны относительно точки О.
Итак, в результате последовательного выполнения осевых
симметрий 8Х и 8у получаем новое отображение — центральную
симметрию %0.
Результат последовательного выполнения отображений на¬
зывают композицией этих отображений. Значит, композицией
двух осевых симметрий с перпендикулярными осями х и у
является центральная симметрия с центром в точке пересечения
этих осей.
Композицию симметрий 8Х и 8у записывают так: 8у о 8Х.
Обратите внимание на порядок: отображение, которое выполня¬
ется первым, пишется справа. Например, предложение ♦ком¬
позиция 8Х и 8у есть записывают следующим образом:
2. Рассмотрим другой пример — композицию осевой симмет¬
рии 8р и этой же осевой симметрии 8р. Найдем образ произволь¬
ной точки М при композиции 8р э 8р. Для этого надо найти
точку ЛГ1 = 8р (ЛГ), а затем точку М2 = 8р (М^. Точка М2
и будет образом точки М при композиции 8р о 8р (рис. 319).
Но 8р (ЛГ4) = ЛГ, т. е. любая точка М при композиции
8р о 8р отображается на себя. Следовательно, 8р о 8р = Е
(Е — тождественное отображение плоскости).
В рассмотренных случаях композиция перемещений оказа¬
лась перемещением не случайно. Справедлива такая теорема:
62^ Т е о р е м а. Композиция перемещения есть перемещение.
▼ Доказательство. Рассмотрим перемещения Е± и
Е2. По определению перемещений и и Е2 отображают плос¬
кость на себя. Значит, и в резуль¬
тате их последовательного выполне¬
ния (т. е. при композиции Е2 о Е
образом плоскости является сама
р эта плоскость. Поэтому остается до-
казать, что Е2 о Е^ сохраняет рас¬
стояния.
Рис. 319
Пусть А и В — произвольные
точки плоскости. Обозначим их об¬
разы при перемещении Е1 через
и В1. Образы точек и при
192
перемещении Г\ обозначим через А2 и
В2. Тогда точки А2 и В2 — образы точек
А и В при композиции Р^Р^.
При перемещении расстояния сохра¬
няются, поэтому | А.В. | - | АВ \ и | А2В 21 =
= | А1В! |. Следовательно, | Л2В2| = | АВ|,
т. е. композиция Р2 ° сохраняет рас¬
стояния. ▼
3. Из доказанной теоремы следует,
что композиция параллельных перено¬
сов есть перемещение. Выясним, каким
видом перемещений является эта компо¬
зиция.
Рис. 320
Возьмем две произвольные точки М
и N. Построим их образы М2 и при
композиции переносов Т. и Т > (рис. 320)*
М. = Т. (М), N. =-- Т. (ТУ), М2 = Т2 (М.)> N. = Т2 №.).
Тогда
М2 = (Т1° Т.) (М) и ТУ2 = (Т2 о 7\) (ТУ).
Рассматривая рисунок 320, можно заметить, что лучи ММ2
и ТУТУ2 сонаправлены, а расстояния |ММ2| и |ТУТУ2| равны.
Поэтому можно предположить, что композицией параллель¬
ных переносов Т. и Т2 является перенос, отображающий точку
М на М2. Это предположение оказывается верным.
622|Теор ем а. Композиция параллельных переносов есть па-
В раллельный перенос.
▼ Доказательство. Рассмотрим произтольный луч Л
плоскости. Пусть к. = Т. (к) и к2 = Т2 (к.) (рис. 321). Тогда
луч к2 — образ луча к при композиции Т2 о Т..
Так как при параллельных переносах каждый луч отобра¬
жается на сонаправленный ему луч, то
МН и Л2 н Л1-
* Так как перенос можно задать указанием про¬
извольной точки А плоскости и ее образа В, то на
рисунке удобно задавать рассматриваемый перенос
направленным отрезком (стрелкой) АВ. Именно так
заданы переносы на рисунке 320. Понятно, что пе¬
ренос может быть задан направленным отрезком с
началом в любой точке плоскости.
3 <1 К 3 ° 1
193
л/
Рис. 322
теореме 62 является
В силу транзитивности отношения со-
направленности лучей (п. 35) получаем,
что й2 || й. Итак, композиция перено¬
сов Т2 ° ^1 отображает каждый луч плос¬
кости на сонаправленный ему луч и по
перемещением. Но перемещение, облада¬
ющее таким свойством, есть параллельный перенос (см. п. 36).
Значит, композиция параллельных переносов есть параллель¬
ный перенос. V
Чтобы задать параллельный перенос Т2 ° достаточно ука¬
зать образ произвольной точки М при этом переносе. Поэтому,
езяв произвольную точку М плоскости и построив ее образ
М2 = (Т2 ° (М), получим, что Т2 о — перенос, отобра¬
жающий точку М на М2 (рис. 322).
ЕЛ
I
ЕЬ
"1
т
д,
Рис. 323
ж м
* N
а
Ь
Вопросы и задачи
770. На рисунке 323 показано
построение образа 1/2 фи¬
гуры В при композиции
двух осевых симметрий 8п
и 8 т (п _!_ т). 1) Разъясните,
как выполнено это построе¬
ние. 2) Назовите вид пере¬
мещения, при котором фи¬
гура Ь отображается на фи¬
гуру Ь2,
771. Даны две параллельные
прямые т и п и две точки
А и В. 1) Постройте точки
А\ = 8т(А), А2 = 8п(А1)1
В, = 5;, (В), В2 = $„ (В,).
2) Каким перемещением яв¬
ляется композиция:
а) 8т о Зп; 6) 8„ о 8т1
Указание. Сравните:
1) расстояния |АА21 и
| ВВ21; 2) направления лу¬
чей АА2 и ВВ2.
771. На рисунках 324, 325, 326
показано построение об-
194
/
\ !
7
а
ь
‘-г
Рис. 326
раза Ьг фигуры Ъ при
композиции двух осевых
симметрий 8а и 8Ь с па¬
раллельными осями а и Ь.
1) Разъясните, как выпол¬
нено это построение. 2) На¬
зовите вид перемещения,
при котором фигура Ь
отображается на фигу¬
ру Ь2.
773. Выполняется ли переместительный закон для композиции двух
симметрий с параллельными осями?
774. На рисунке 327 показано построение образа Ь2 фигуры Ь при
композиции двух центральных симметрий с различными цент¬
рами О\ и О2. 1) Каким перемещением является композиция:
а) го, ° 2ог> 2о, ° 2о) 2) ВеРно ли- что 2о2° 2о,=2о, ° 2о?
775°. Пусть Р\ — произвольное перемещение, Г2 — перемещение,
обратное Р\. Найдите композицию: 1) Р\ ° Р1] 2) Г2 о Р\.
776°. Назовите перемещение, обратное: 1) осевой симметрии:
2) центральной симметрии; 3) повороту.
777. Задайте параллельные переносы Т\ и Т2, композиция которых
является тождественным отображением плоскости на себя:
Т2 ° Т[ = Е.
776. Приведите примеры композиций трех перемещений, которые
являются тождественным отображением плоскости.
779. 1) Каким перемещением является композиция 20° 8а, если
Оба?
2) Верно ли, что 8а <> %0 = 2 0 © 8а(0 б а)?
780. 1) Покажите, что квадрат АВСИ (рис. 328) отображается на
себя при композициях поворота Н с центром О на угол 90° по
и. пи
о,’
п
Рис. 327
7*
195
Л
У
Л/2
■ II
в 11 *
часовой стрелке и симметрии 8а;
поворота Я и симметрии 8Ь. Каки¬
ми перемещениями являются эти ком¬
позиции?
2) Покажите, что равносторонний
треугольник АВС (рис. 329) отобра¬
жается на себя при композиции пе¬
ремещений 8п о 8т. Каким пере¬
мещением является эта композиция?
Выполняется ли для этой композиции
переместительный закон?
781*. 1) Докажите, что композиция двух
центральных симметрий есть парал¬
лельный перенос (рис. 330).
2) Докажите, что композиция двух
осевых симметрий 8Х © 8у с пере¬
секающимися осями есть поворот Я,
где центр поворота — точка О
пересечения осей симметрии, а
угол поворота а равен удвоенной
величине угла между осями х и у
(рис. 331).
3) Докажите, что композиция двух
осевых симметрий 8Х ° 8у с парал¬
лельными осями есть параллельный
перенос (рис. 332).
782. Скользящей симметрией называет¬
ся композиция осевой симметрии
и параллельного переноса в направ¬
лении, параллельном оси симмет¬
рии. Задайте скользящую симмет¬
рию и постройте образ данного тре¬
угольника АВС при этом переме¬
щении. 54
54 ▼. Общий способ задания
перемещений
Задача. Даны два луча О{А} и О2А2.
Найти перемещение, которое отобража¬
ет луч О1А1 на луч О2А2.
Рис. 332
196
Решение. Рассмотрим
параллельный перенос Т, ото¬
бражающий точку О1 на точку
О2 (рис. 333). Пусть луч О2А'—
образ луча при этом пе¬
реносе. Ясно, что существует
поворот К (на угол А2О2А' с
центром О2), отображающий
луч О2А' на луч О2А2. Компо¬
зиция = Е о Т и является
искомым перемещением (см.
рис. 333, а).
Но существует и другое пе¬
ремещение, отображающее луч
О1АХ на луч О2А2. В самом де¬
ле, осевая симметрия 5 с осью
О2А2 отображает луч О2А2
на себя. Поэтому перемещение Р2 = 8 о отличное от пере¬
мещения Р\9 тоже является решением задачи (см. рис. 333, б).
Можно доказать, что других перемещений, отображающих
луч О1А1 на луч О2А2, кроме этих двух, нет.
Пусть (Х1 — полуплоскость с границей О^А^ Рассмотрен¬
ные два перемещения Р^ и Р2 отличаются друг от друга тем,
что они отображают полуплоскость на разные полуплоскости
а2 и а2 с границей О2А2. Справедлива такая теорема:
63 I Для любой пары лучей О[Аи О2А2 и примыкающих к ним
I полуплоскостей и а2 существует единственное перемеще-
яние, отображающее луч на луч О2А2, а полуплоскость
| на полуплоскость а2 *
Итак, перемещение полностью задается указанием образов
одной точки, лучом с началом в этой точке и примыкающей к
нему полуплоскости*.
55. Что такое вектор!
На этот вопрос нельзя дать очень простой ответ. Дело в
том, что в геометрии и в физике векторами называют весьма
различные вещи. Но у объектов, которые называют в школьной
геометрии и в физике векторами, есть много общего — это объ¬
екты, которые можно задавать при помощи указания их направ¬
ления и абсолютной величины (модуля).
* В прилагаемой в конце учебника системе аксиом этот факт принимается
за аксиому.
197
Г'
с
Е
' г
Рис. 335
1) Первым примером могут служить
направленные отрезка. На рисунке 334
изображено несколько таких отрезков с
общим началом. Каждый из них полностью
определяется указанием его направления
и его длины.
2) В физике сила, приложенная к
данной точке (рис. 335), тоже полнос¬
тью определяется своим направлением и
модулем, измеряемым в ньютонах.
Так как в обоих этих случаях кроме
направления и модуля надо задавать на¬
чальную точку (точку приложения силы),
то говорят, что направленные отрезки и
силы являются «приложенными» или «за¬
крепленными» векторами.
3) Примером «свободных» векторов мо¬
гут служить параллельные переносы, так
как каждый параллельный перенос пол¬
ностью определяется своим направлением
и общим расстоянием, на которое он перемещает любую точку
плоскости. Это расстояние и есть модуль переноса. (На ри¬
сунке 336 все направленные отрезки задают один и тот же
параллельный перенос.)
▼ В физике примером свободного вектора может служить ско¬
рость поступательного движения твердого тела.
На рисунке 337 изображен подъемный кран, движущийся
по рельсам прямолинейно. Все его точки имеют одну и ту же
Рис. 337
198
скорость. Изображением этой скорости можно считать любую
из стрелок, указанных на рисунке, независимо от начальных
точек (точек приложения) этих стрелок. Поэтому говорят,
что скорость всего крана при таком движении есть свободный,
вектор.
Позднее вы познакомитесь в курсе физики и с другими при¬
мерами векторов, или, как говорят, «векторных величин».у
56. Векторы и способы их задания
В соответствии со сказанным в предыдущем пункте парал¬
лельные переносы в нашем курсе получают и другое название —
их называют векторами и обозначают строчными буквами со
стрелкой: а, &, с, ..., х, ... Тождественное отображение пло¬
скости (параллельный перенос на нулевое расстояние) называют
нулевым вектором и обозначают 0.
Как уже говорилось, параллельные переносы (векторы)
удобно изображать с помощью направленных отрезков. Если
различные направленные отрезки АВ, СБ, ХУ, ... (рис. 338)
задают один и тот же вектор, то пишут:
а = АВ = СО = ХУ = ...
Все это разные обозначения одного и того же вектора. Точ¬
но так же О, АА, ВВ, ... — разные обозначения нулевого
вектора.
Рассмотрим пример. На рисунке 339 изображен паралле¬
лограмм АВСО. Векторы АВ и ВС равны, так как направлен¬
ные отрезки АВ и О С задают один и тот же параллельный.
перенос. Векторы ВС и О А не равны:
щий В на С, не совпадает с переносом,
А, так как их направления различны.
Расстояние | АВ | называют длиной
вектора а = АВ и обозначают | АВ | или
I а |. Направление, заданное лучом АВ,
называют направлением вектора АВ.
Нулевой вектор не имеет направления.
Векторы АВ и СР называют сона-
правленными, если сонаправлены лу¬
чи АВ и СО (рис. 340). Если же лу¬
чи АВ и СО противоположно направ-
перенос, отображаю-
отображающим О на
19?
В
В
с
Рис. 340
лены, то и векторы АВ, СВ> называют
противоположно направленными (рис. 341).
Ненулевые векторы а и Ъ называются
коллинеарными, если их направления
совпадают или противоположны. Ну¬
левой вектор считается коллинеарным
любому вектору.
Если известно одно из изображений
вектора а — направленный отрезок АВ
(рис. 342), то легко построить и любой
другой направленный отрезок, задающий
тот же вектор и имеющий заданное на¬
чало X. Для этого по определению
параллельного переноса надо построить
луч ХМ, сонаправленный лучу АВ,
и отложить на нем отрезок ХУ длины
| АВ|. Направленный отрезок ХУ — ис¬
комый. Построение направленного от¬
резка ХУ, такого, что ХУ = а, называ¬
ют откладыванием вектора а от точки X.
Вопросы и задачи
783. 1) Укажите способы задания вектора.
2) Заданы точки А, В, С, М и N. По¬
стройте образы этих точек при парал¬
лельных переносах: а) МЮ; б) N^1.
784. Запишите все переносы, которые вершину
грамма АВСЭ отображают на вершину этого
А параллело-
же параллело¬
грамма.
785°. Какие из векторов, заданных на рисунке 343: 1) равны;
2) одинаково направлены; 3) противоположно направлены;
4) коллинеарны?
786. Сколько существует переносов, которые отображают: 1) вер¬
шину параллелограмма АВСЪ на точку пересечения его диа¬
гоналей; 2) точку пересечения диагоналей этого параллело¬
грамма на его вершину?
787. Сколько различных векторов задают упорядоченные пары,
составленные из вершин параллелограмма АВСЫ
200
4,
-4 -
,0
//
(0
1
-V-
Л-
1 1
V _ /\
- /
/
1
5
’Т
1 А
7 1 1
и
V
* V
Р
я"
Л
1
Рис. 343
а! 5)
Рис. 344
788. Диагонали параллелограм¬
ма АВСБ пересекаются
в точке О. 1) Какие упо¬
рядоченные пары, состав¬
ленные из точек А, В, С,
В и О, задают один и тот
же вектор? 2) Сколько
различных векторов за¬
даются упорядоченными
парами, составленными
из этих точек?
789. Перенос отображает точ¬
ку (0, 0) на точку (—2, 2).
На какие точки отобра¬
жает этот перенос точ¬
ки А (3, 2), В(-3, 2),
С(1, 1), В(5, 4), Е(1, -1),
Е(-5, -4)?
790. Один и тот же или раз¬
личные векторы опреде¬
ляют следующие упоря¬
доченные пары точек
координатной плоскости:
1) (2, 3), (3, 2) и (3, 2),
(2, 3); 2) (2, 3), (3, 2) и
(—2, 3), (-3, 2); 3) (2, 3),
(3, 2) и (0, 0), (1, -1)?
791. Задайте вектор а и от¬
метьте точки К, И, М. Отложите вектор а от каждой из этих
точек.
792. На рисунках 344, а и б изображены: 1) трапеция АВСБ;
2) куб АвСОА1В|С1Р|. Сколько различных векторов зада-
АСЕ
Рис. 345
ют упорядоченные пары точек, составленные из вер¬
шин этих фигур?
793. Известно, что АВ=СБ и А=/=В. Докажите, что: 1) (АВ) || (СВ);
2) |АВ| = |СВ|.
794. От произвольно выбранной точки О плоскости отложите век¬
торы, противоположные векторам АВ, Н8, Рф, ЕР и КЬ
(см. рис. 343).
795. Докажите, что если АВ = СВ, то АС = ВВ.
201
796*. Точки О, А и В различны. Докажите, что равенство ОА = ВО
справедливо тогда и только тогда, когда точка О является
серединой отрезка АВ.
797*. На рисунке 345 изображена ломаная со звеньями равной
длины и прямыми углами между смежными звеньями. Пред¬
ставьте себе, что эта ломаная простирается неограниченно
вправо и влево. Докажите, что такая фигура отображается
на себя при переносах ВБ и АЕ.
57. Противоположный вектор. Сумма векторов
При отображении, обратном параллельному переносу а
(рис. 346), все точки плоскости перемещаются в одном и том же
направлении, противоположном направлению переноса а, на
одно и то же расстояние. Это означает, что отображение, обрат-
Рис. 346
ное переносу, есть перенос, и поэтому
его тоже можно назвать вектором. Поль¬
зуясь словом «вектор», говорят также, что
этот вектор противоположен вектору а, и
обозначают его —а. Например, вектор,
противоположный вектору АВ, есть век¬
тор ВА:
—АВ = ВА.
Перенос с, являющийся композицией
переносов а и 6, называют также суммой
векторов а и Ъ. При этом вместо знака
композиции употребляют знак суммы и
пишут: с = а + Ь (вместо записи с =Ь о а).
Например, сумма любого вектора а и
противоположного ему вектора —а равна
нулевому вектору:
а + (—а) = 0.
В пункте 53 было показано, как мож¬
но задать композицию данных перено-
202
В ь с
Рис. 348
эк-
а
а
7
а
9
1
■Е
як
’М
кь
1
~а
ъ
\
ь
-4)
б)
3)1
г)
5)1
1
Рис. 349
сов (рис. 347). Это правило мы можем теперь сформулиро¬
вать так: чтобы отложить сумму векторов а + Ъ от точки А,
достаточно отложить 1) от точки А вектор а = АВ и 2) от
точки В вектор Ъ — ВС. Тогда а + Ь — АС.
Записав векторы а и Ъ иначе (а = АВ.Ь = ВС), получаем
правило треугольника, по которому находится сумма век¬
торов:
АВ + ВС = АС.
Вопросы и задачи
798э. На рисунке 348 укажите векторы а + Ь, с с1, Ь + с. / + Л.
799.
800.
801.
802.
Суммой каких двух векторов, заданных на рисунке 348, явля¬
ется вектор /, вектор с, вектор АБ1
Даны векторы а и Ь (рис. 349). Найдите вектор а + Ь.
Диагонали параллелограмма АВСБ пересекаются в точке О.
Верны ли равенства: 1) АВ + АБ = АС; 2) АВ + ВР = ВС;
3) ОС + ОВ = АО + ВО; 4}АС + ВА = СВ; 5)ОР + ОВ=,
= ОА-\-ОС; 6) ВВ + АС = АЛ + ВС?
От произвольной точки О отложите
Найдите суммы
векторы а и Ъ (рис. 350).
а + Ь и Ъ + о.
а
Ь
203
а
Рис. 351
Рис. 352
А I- В
Рис. 354
803. Даны три вектора а, Ь, с (рис. 351). Най¬
дите суммы (а + Ь) + с и а + (Ь + с).
804. Даны точки А (-1, 2), В (2, 3), С(1, 1) и
/)(3, 5). 1) От начала координат отло¬
жите сумму векторов АВ и СВ. 2) Най¬
дите суммы векторов: а) АВ + ВС;
б) АВ + ВС- в) АС + ВБ- г) АВ + ВС.
835. Радиусы ОА, ОВ и ОС окружности (О, г)
образуют углы в 120°. 1) От точки О от¬
ложите векторы: х = АО + ОВ, у =
= ОВ + ОС, 2-=0С + 0А, ~1 = (ОА +
+ ОВ) + ОС. 2) Выразите через г длины
векторов х, у, 2 и I.
006. От точки О отложите векторы:
1) (ОА+ОВ) + ОС; 2) ОА + (ОВ + ОС)
(рис. 352).
307. Найдите суммы векторов:
1) (ОВ + ОС); 2) (ОО + ОА);
3) (АС + ОВ) (рис. 353).
808. Задайте три вектора а, Ъ, с, таких, что:
1) (а + &) + <Г= Ь; 2) (а+1) + с^0.
809. На рисунке 354 изображен квадрат;
(СВ) || (ВО). Докажите:
1) АС + СЕ = АЛ + ВС;
2) (АО + ОО) + ОС = АС;
3) (ОА + ОС) + (ОВ + ОО) = 0;
4) (АВ + 5С) + СО = АВ + СВ;
5) АС + ВА = ВС.
в с
58. Законы сложения векторов.
Вычитание векторов
6411 Сочетательный закон:
О (а ±Ь) + с = а + (Ъ + с).
Доказательство. Отложим век¬
тор а от некоторой точки А: а = АВ. Век¬
204
тор Ъ отложим от точки В, а век¬
тор с —от точки С (рис. 355): Ь = ВС,
с = СВ. Пользуясь правилом треу¬
гольника, получим:
а Ъ —АС,
(а + Ь) + с = АС +СЪ = АВ',
Ь + с = ВВ,
а + (Ъ+с)=АВ+ВВ = АВ.
Следовательно,
(а + 6) + с = а + (Ь + с). ■
Так как суммы векторов («+&) +
4- с и а + (Ь + с) равны, то их мож¬
но записывать без скобок:
(а + Ъ) + с = а + (Ь + с) = а + ~Ь + "с.
6Д2| Переместительный закон: а + Ь = Ь + а.
Доказательство. Проведем доказательство для
случая неколлинеарных векторов а и Ъ (рис. 356). При от¬
кладывании их от точки А (а = АВ, Ъ=АВ) получим, что точ¬
ки А, В и В не лежат на одной прямой. Построим четвертую
вершину С параллелограмма со сторонами АВ и АВ. Имеем:
а = АВ = ВС, Ь = АВ = ВС. По правилу треугольника
а + Ъ = АВ + ВС = АС,
Ъ + а = АВ + ВС = АС,
откуда и следует, что
а + Ъ = Ъ + а.*И
Доказанное свойство позволяет выполнять сложение двух
неколлинеарных векторов а и Ъ по «правилу параллелограммам:
векторы а и Ь откладываются от одной точки А (рис. 356) и
* В случае коллинеарных векторов требуется другое доказательство (см.
задачу 826).
205
строится параллелограмм со сторонами
АВ и АО. Тогда АС = а + Ь.
64з| Закон поглощения нулевого векто-
| ~ _
|ра: а + 0 = а.
Доказательство. Отложим
вектор а от произвольной точки А:
а = АВ. Тогда
а + О = АВ+ВВ=АВ = а. ■
Рассмотрим теперь вычитание векторов. Для любых двух
векторов аиЬ существует вектор с, сумма которого с вектором
Ъ есть вектор а. Такой вектор называется разностью векторов
а и Ъ.
Разность векторов а и Ъ (обозначается а — Ь) равна вектору
а + (—Ь): а — Ь = а (—Ь).
Докажем это, опираясь на законы сложения векторов.
Применяя сочетательный закон, свойство противоположных
векторов ((—Ъ) + Ъ = 0) и закон поглощения нулевого векто¬
ра, получим: (а + (—Ь)) + Ь = а + ((—Ь) + Ь) = а + 0 = а. ■
Если векторы а и Ъ отложены от одной точки О (рис. 357),
то для нахождения разности а — Ь удобно пользоваться таким
правилом: О А — О В = В А.
Вопросы и задачи
810. Найдите сумму векторов а и Ь по правилу параллелограмма
и по правилу треугольника (рис. 349, а, б, д).
811. Докажите сочетательный закон сложения векторов, пользуясь
рисунком 358.
812*. Докажите, что для любых перемещений Г1, ?2 и Гз (^з 0 °
о = Р3 о(Р2 оР[).
813. А, В, С, Б и Е — произвольные точки плоскости. 1) Выразите
через векторы а = АВ, Ь = ВС, с = СБ, (1 = БЕ векторы
АБ, ВБ и АС. 2) Выразите через а, Ь, с, (1 векторы АБ, ВБ,
ЕА, ВС, СЕ.
814. Докажите: 1) АВ + ВС + СА = б; 2) АВ+ ВС + БА =Ъс-,
3) АВ + ВБ + ВС + БВ = АС.
206
815.
816.
817.
318.
819.
820.
821.
Найдите векторы: 1) АВ + ЕВ;
2) XV+ РЦ + КЗ;
3) дт+М^+ПЗ (см. рис. 343).
На рисунке 359 изображен параллело¬
грамм АВСЛ, (СЕ) || (ВЛ). Докажите:
1) АС + ВО = АЛ + ВС;
2) ~АВ +~ВС + СЛ = ~АВ + С,Е;
3) АС -|- ВЛ + СВ = ЛВ + СЕ + ВС.
На рисунке 360 заданы векторы
АВ = а, ВС = Ъ, СЛ = й. Выразите век¬
торы СА, ЛВ и ЛА через а, Ь и й.
От произвольно выбранных
плоскости отложите векторы
Ъ — а и —а — Ь (векторы а и Ъ
на рис. 349).
точек
заданы
а — Ъ,
Задайте векторы а и Ь и найдите векто¬
ры: 1) а— Ь; 2) Ь — а; 3) — а— Ъ.
В каком случае выполняются равенства:
1) а— Ь = Ь — а; 2) а— Ъ = — а—
Отметьте точки А, В, С, О и отложите
от точки О векторы: 1) АС — АВ;
2) АЛ — АС; 3)ЛВ — ЛА;
4) АВ + СА+ВС; 5) АВ-СЛ + СА.
822. Выразите через векторы а, Ъ и (1 векторы: 1) ЛС; 2) ЛВ;
3) СА; 4) ВА (рис. 360).
823. Упростите выражение: 1) (АВ 4- АС) +
+(ВА + СВ); 2) АВ — ЛВ — С А — ЛА; 3) (АВ - ВС) -
-(СП + АЛ) + (СВ - С Л).
824*. От пристани к противоположному берегу реки отправляется
катер со скоростью 40 км/ч. Скорость течения реки 5 км/ч.
В каком направлении (покажите его на рисунке) следует
плыть катеру, чтобы приплыть в ближайшую точку противопо¬
ложного берега реки?
207
825. Груз спускается на парашюте со скоростью 3 м/с. Ветром
его относит в сторону со скоростью 2 м/с. Под каким углом
к вертикали будет спускаться груз при этих условиях? (Угол
найти построением.)
826**. Докажите: если оекторы а и Ъ коллинеарны (рис. 361), то
а-\- Ъ = Ь -|- а.
59. Умножение вектора на число
1. Зададим какой-либо вектор а и найдем сумму а + а + а
(рис. 362). Такую сумму естественно обозначить За и назвать
произведением вектора а на число 3. Длина вектора За равна
длине вектора а, умноженной на число 3. Направление вектора
За совпадает с направлением вектора а.
Произведением вектора а на число —1 естественно назвать
вектор —а, противоположный вектору а (рис. 363). Про¬
изведением вектора а на отрицательное число, например на —3,
естественно
считать такой вектор АМ, длина которого равна
Рис. 363
а
-За
1 н——
М А
Рис. 364
а
-а
произведению |—3| • |а|, а направ¬
ление противоположно направлению
вектора а (рис. 364). Сформулиру¬
ем общее определение.
Определение. Произведением
ненулевого вектора а на число х =# О
называется вектор, длина которого
равна произведению длины вектора
а на модуль числа х, а направление
совпадает с направлением вектора
а при х > 0 и противоположно напра¬
влению а при х < 0.
Произведение вектора а на число
х обозначается через ха (числовой
множитель пишется слева). По оп¬
ределению
\ха\ = |х| • \а\.
208
Выше не рассмотрены случаи а = 0 и х = 0. Для этих слу¬
чаев принимаются дополнительные определения:
х • 0 = 0 для любого числа х,
О • а = 0 для любого вектора а.
65 I Т е о р е м а, Ненулевые векторы а и Ь коллинеарны
I тогда и только тогда, когда существует такое число х,
I что Ь = ха.
Доказательство. 1) Докажем сначала, что если су¬
ществует такое число х, что Ь = ха, то векторы а и Ъ коллине¬
арны. Но это очевидно; по определению произведения вектора
на число векторы а и ха имеют либо одинаковые (если х > 0),
либо противоположные (если х < 0) направления.
2) Докажем теперь обратное утверждение: если ненудрвые
векторы а и Ъ коллинеарны, то существует число х, такое, что
Ъ = ха.
По определению коллинеарных векторов направления век¬
торов а и Ъ либо совпадают, либо противоположны. Если векто-
—* 1►
ры а и Ъ направлены одинаково, то Ъ = ха при х = . Если
же направления векторов а и Ь противоположны, то Ь =ха
при х = —
1Ы
|а|
Вопросы и задачи
827. Задан вектор е = ОЕ. Найдите вектор а, если 1) а — 2е;
2) а = 5е; 3) а = 0,5е; 4) а = —3,5е; 5) а *= 4е + Зе.
-► 2
828. Дан вектор а. Найдите векторы 2а, —За, —1,5а, — а.
-> -► 3
829. При каких значениях числа к векторы а(а=/=0) и ка: 1) со-
направлены; 2) противоположно направлены; 3) равны?
830. При каких значениях числа к верны соотношения:
1) |/?с| < |с|; 2) |Ас| > |с|; 3) \кс\ = |с|, где с —ненуле¬
вой вектор?
831. Задайте векторы а и Ъ и найдите векторы:
1) а — Ь; 2)а-~Ь-, 3) 2а — ЗЬ.
’ 2 3 '
209
832. Укажите, при каких значениях числа
к вектор йс + с (с #= 0): 1) имеет
то же направление, что и вектор с;
2) имеет направление, противополож¬
ное направлению вектора с; 3) равен
нулевому вектору.
833. На рисунке 365 задано несколько векторов. Какие из этих
векторов коллинеарны, какие неколлинеарны?
834. Даны точки 0(0), А (0,5) и В(—1). Найдите такое число х, что
1) ОА = хОВ- 2) ОВ = хОА; 3) ВА = хОА;
4) ВА = хВО; 5) ОВ = хВА; 6) АО = хВА.
835*. Верно ли утверждение: любые два вектора а и Ь коллинеар¬
ны тогда и только тогда, когда существует такое число х,
что Ь — ха?
836*. Докажите, что если ненулевые векторы а и Ъ коллинеарны,
то число х такое, что Ь = ха, единственно.
837*. Докажите, что три точки А, В и С принадлежат одной прямой
тогда и только тогда, когда существует число к, для которо¬
го АВ = кАС.
60. Законы умножения вектора на число
Определив сумму векторов и произведение вектора на
число, мы определили тем самым две операции — сложение век¬
торов (любым двум векторам соответствует третий вектор —
их сумма) и умножение вектора на число (любым вектору а и
числу х соответствует вектор ха). Основные законы сложения
векторов были сформулированы выше (п. 57). Перечислим те¬
перь основные законы умножения вектора на число.
661
662
663
664
(ху)а = х(уа) (сочетательный закон).
ха-{-уа= (х-[-у)а (первый распределительный закон).
ха + хЬ = х(а + Ъ) (второй распределительный закон).
х 0 = 0 • а = б.
V а) Свойство 664 непосредственно вытекает из определения
умножения вектора на число.
б) Сочетательный закон. Предположим сначала, что
а =/= 0, х 0, у 0. Чтобы доказать равенство векторов (ху) а
и х (уа), достаточно доказать, что они имеют одну и ту же
длину и общее направление. Равенство их длин доказывается
простой выкладкой:
|(ху)а| = |ху| |а| = |х| |у| |а|,
|х (уа)1 = Iх| Iуа| = |х| |у| |а|.
Направления этих векторов также совпадают. В самом деле,
векторы (ху) а и х (уа) имеют направление вектора а (если х
и у имеют одинаковые знаки) или направление, противополож¬
ное вектору а (если знаки х и у различны).
Если же а = 0 (или х = 0, или же у = 0), то
(ху) а = 0 и х (уа) = 0.
в) Первый распределительный закон.
Если а = 0, то
х0 + уО = 0 + 0 = 0, (х + у) 0 = 0.
Поэтому хО + = (х + у) О = 0.
Если х = 0 или у = 0, доказательство также очевидно.
Будем считать теперь, что а^О, Для то¬
го чтобы доказать равенство векторов (х + у) а и ха 4- уа,
докажем, что и длины, и направления этих векторов совпадают.
Возможны два случая: 1) числа х и у одного знака, 2) числа
х и у имеют разные знаки. Докажем утверждение для перво¬
го случая (второй разбирается аналогично).
Так как х и у — одного знака, длина вектора (х + у) а
равна |х + у| • |а|:
|(х +$0а| = |х +у| |а|. (1)
Найдем длину вектора ха + уа. Она равна (х + у) |а| (если
х > 0 и у > 0) или (—х — у) | а | (если х < 0 и у < 0). Отсю¬
да следует, что
[ха+уа1 = |х + у| • |а|.
(2)
211
-а
-а
ха у (Г
х'а + уа’
а)
Уа (х±у}'а (х+у} а
хсГ + уа’
5) в) 2)'
Рис. 366
а
Сравнивая (1) и (2), получаем: длины векторов (ха + уа) и
(х + у) а равны.
Рассмотрим теперь направления векторов ха + уа и
(х + у) а- Если х > 0 и у > 0, то направление вектора ха + уя
совпадает с направлением вектора а (рис. 366, а). Если же
х < 0 и у < 0, то вектор ха + уа сонаправлен с вектором —а
(рис. 366, б). Но это же можно сказать и о векторе (х + у) а
(рис. 366, в, г). Значит, направления векторов ха 4~ уа и
(х + У) а совпадают.
Так как выше мы показали, что и длины этих векторов оди¬
наковы, то векторы ха + уа и (х + у) а равны.
г) Второй распределительный закон имеет очень большое
значение: на нем основано все изложение следующей главы, пос¬
вященной подобию фигур. Для доказательства рассмотрим
несколько случаев.
1- й случай, х — натуральное число.
По определению произведения вектора на число и определе¬
нию суммы векторов имеем:
ха 4~ хЬ = (а 4~ а -ф-... а) 4- (Ь 4" Ъ 4- ... 4~ б).
х раз х раз
Применяя сочетательный и переместительный законы сложения
векторов, получим:
ха 4- хЬ =■ (а 4~ б) 4~ (а 4~ б) 4~ 4~ (я 4" б) = х (а 4~ б).
х раз
2- й случай, х = —, где п — натуральное число.
п
Так как распределительный закон для натурального х и
сочетательный закон умножения уже доказаны, мы можем на¬
писать:
212
а + "п = П П ( ~ =
Но равенство
/1 ■* 1 -*\ -* -*
п I а — Ь ] = а -р 6
\ п п )
1 -► 1 -* 1 -► ->
и означает, что векторы — а -| Ъ и — (а + 6) совпадают.
п п п
1 1 —1 —► —
Следовательно, — а -| Ь = — (а + Ъ).
п п п
3- й случай, х — любое рациональное неотрицательное число:
х = —, где тип — натуральные числа, или х = 0. Поль-
71
зуясь тем, что при х = т и х = — закон верен, получим:
п
ха хЬ = т. + т^-Ь^ = т^—а + — Ь—
= т — (а 4-1) = — (а 4-1).
п п
При х = 0 имеем:
0а + 0&=0+0=б = 0(а +1).
4- й случай, х — рациональное отрицательное число.
Заметим вначале, что произведение (—1) • а есть не что
иное, как вектор—а, противоположный вектору а. Легко про¬
верить, что (—а) + (—Ъ) есть вектор, противоположный век¬
тору а + Ъ (проверьте!). Поэтому
(-1) а + (-1)6 = - (а + Ъ) = (-1) (а + ~Ь).
Если —х — любое рациональное отрицательное число, то
х = (—1) | х и, пользуясь доказанным выше, см. пункт 3, по¬
лучаем: ха + хЪ = (—1) |х| • а + (—1) |х| • Ъ = (—1) X
X (|х| а + |х| Ъ) = (—1) |х| (<Г+ 6) = X (а + &).
Распределительный закон верен и в случае действительного
числового множителя, не являющегося рациональным. Не вла¬
дея теорией таких чисел, вы не можете это докаэ&гь. Но нагляд¬
ный смысл этого утверждения прост. Любое действительное
число х с любой заданной точностью может быть заменено при¬
ближенным рациональным числом х0. Для х0 равенство
х0 а + х0 6 х0 (а + 6)
доказано. Естественно, что равенство, «приближенно верное»
при любой степени приближения, верно и для х.^
213
Вопросы и задачи
838. Какие законы действий над векторами выражаются равенст¬
вами:
1)&4-о = ^ 2) с + а = а + с]
3) (;+й) + Ь = ?+(й + &);
4) Ос = кО; 5) Ос = 0; 6) (з{) Ь = з (1Ь); 7) за 4- 1а = (з + I) а;
8) зЬ + зс = з (Ь 4- с)?
839. Упростите выражения (назовите законы действий над векто¬
рами, которые при этом вы применяете):
1) За 4- (-Ь) - 2а + ЗЬ; 2) -2 (2,5а + 0 Л) + 3 -'о + 5а;
3) 3 (5а + 2Ь) + 4 (-За 4- Ь);
4) | ((За - 2Ъ) + 5а) - |(6а - 9Ь).
61. Координаты вектора
Вектор, длина которого принята за единицу измерения длин,
называют единичным. Обозначим через I и у единичные векторы,
отложенные от точки О в положительных направлениях на осях
х и у прямоугольной системы координат (рис. 367). Рассмотрим
произвольный вектор с = ОС. Проведем через точку С прямые
ССХ и ССу, параллельные соответственно осям у и х. Векторы
ОС х = сх и I, а также ОСу = су и у коллинеарны. Следователь¬
но, по теореме 65 существуют такие числа сх и су, что сх = сх I
и су = суу.
По правилу параллелограмма имеем: ОС = сх + су*
Значит, с = сх1 + 1*
Если вектор с представлен в виде
сх1 + суу, то говорят, что вектор с
разложен по векторам * иу. Векторысх=
= сх1 и су = су ] называются составля¬
ющими вектора с по осям х и у. Коэф¬
фициенты сх и су разложения вектора
с по единичным векторам / и у называ¬
214
ются координатами вектора с в данной системе координат*.
Задача. Доказать*. 1) каждая координата суммы векто¬
ров а и Ь равна сумме соответствующих координат этих век¬
торов*, 2) каждая координата произведения вектора а на число
к равна произведению соответствующей координаты этого век¬
тора на число к.
▼ Доказательство. Пусть
а = ахъ + ау], Ь = ЪХ1 + Ъ^.
Пользуясь законами сложения векторов и умножения век¬
тора на число, получим:
а + & = (аЛ7 + ау7) + (Ъ^ + Ьу7) =
= (яЛ + Ъх) I + (ау + Ъу) ].
Значит, координаты вектора а + Ъ равны ах + Ьх и ау-{-Ъу,
что и требовалось доказать.
Легко доказать и второе предложение:
к (ах7 + аД) = (ках) 1 + (кау) ▼
Вопросы и задачи
840. Разложите по векторам е^ и в2 векторы (рис. 368): ОА, ОВ,
ОС, ОА + ОВ, ОВ + ОС, ОС + ОА, ОА+ОВ + ОС.
841. На координатной плоскости даны
точки А(1, 2), В (5, 6), С (7, 8) и
И (5, 12). 1) Разложите векторы АВ и
СП по единичным векторам I и ].
2) Найдите координаты векторов АВ
и СП. Указание. Задачу рекоменду¬
ется решать на клетчатой бумаге.
842. На координатной плоскости даны точ¬
ки А (6, 2), В (2, 5) и С (10, 11). По-
* Обратите внимание: обозначения составляющих сх и су вектора с по осям
—►
координат отличаются от обозначений соответствующих координат вектора с
только стрелками (составляющая вектора — вектор, а координата — число).
Заметим также, что числа сх и су — уже известные вам координаты точки С*
215
845.
847.
843.
844.
850.
стройте составляющие векторов АВ и
ВС по осям х и у.
Может ли: 1) составляющая ненулево¬
го вектора равняться 0; 2) обе состав¬
ляющие
ся ОК
а = Зе,
ненулевого вектора
равнять-
Ь = —2е. Запишите
векторь: За, 5Ь, а 4- Ь,
На одной из сторон угла отложены
векторы О А = а, АВ = 2а. Через точ¬
ки А и В проведены две параллель¬
ные прямые, пересекающие вторую
сторону угла в точках С и И (рис. 369).
Известно, что ОС = Ь. 1) Выразите
через вектор Ь векторы СО и ОО.
2) Выразите через векторы а и Ь век¬
торы АС, ВО, АВ и СВ.
Дано: \АМ\ = \МВ\, \МЕ\ = | ЕС |,
(МН) II (АР) (рис. 370).
Доказать:
Разложите
аЬ = ь
(рис. 371),
|ВГ| - |МС| = - |ВС|.
хе
в виде
2а + 3&.
ВН = НР = РС.
по векторам АВ = а и
векторы АМ, МН, АР
если \АН\ = |НО|,
1 1
4
С84С*.Дано: |АО| = | ОС |, |ВВ| = | ВО |
(рис. 372). Доказать: | ВС | — ЗВМ.
849*. Дано АВСИ — параллелограмм,
| ОН | = | НИ | (рис. 373). Доказать:
СР = 2РИ.
Разложите по векторам а и Ь векторы
ВО, АС, ВН, АН, АР (см. рис. 373),
где а = АВ, Ь = АИ.
216
Дополнительные задачи к главе V
851.
852.
853.
854.
855.
856.
857.
858.
859.
860.
Упростите выражение: 1) АВ 4- ВМ + МК; 2) (АВ + МВ) 4-
4- ВС 4- ОМ; 3) МВ + АС + ВМ; 4) —ОА — ОС + ОВ — СО.
На плоскости даны точки М и N. Докажите, что сумма
Л/2У 4- МХ 4- Х& не зависит от выбора точки X.
Докажите, что для любых векторов х и у:
1) П*| — 1у1К1* + уК!*14-|у;;
2) ||х| —1у|| <|х —У|<|х|—|у|.
Даны векторы х, у, г. Отложите от данной точки векторы:
1) х + у — г; 2)^ (х — у) + ± (у — г) — у х;
3) (х 4- у) -4(у + г) + у; 4) 5 (х*- у у) 4~ 2 (у - 2х) 4-1;
5) 3(х + 2б)-2(г + 3у)-2(х + у).
Решите уравнения относительно вектора х: 1)а + 5х = х;
2) ±(а-2х) + 3(х-±а) = а; 3) 2(а4-^)-3(д-1) =
= а — Ъ.
Докажите, что если АС = 2АВ, то точка В — середина отрез¬
ка АС.
Дан параллелограмм АВСО, точка О — его центр. Докажите,
что РА + РВ + РС + РВ = 4РО, где Р — произвольная точ¬
ка плоскости.
Какой вид имеет четырехугольник АВСИ, если известно, что:
1) АВ = ВС; 2) векторы АО и ВС коллинеарны?
Точка М — середина отрезка АВ, О — произвольная точка
плоскости. Докажите, что ОМ = — (ОА + ОВ).
А
1) Точка М принадлежит отрезку АВ, |АЛ/| : |МВ\ =2:1.
Докажите, что ОМ~-ОА-\-—ОВ (О — произвольная точка
3 3
плоскости).
2) Докажите с помощью векторов теорему: медианы тре¬
угольника пересекаются в одной точке, причем точка пересе¬
чения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от
вершины.
217
861. Докажите с помощью векторов теорему о средней линии тре¬
угольника.
862. Отложите от точки (1, 0) вектор а, если известны его коорди¬
наты: 1) (2, 4); 2) (3, -4); 3) (—2, -3); 4) (-4, 2).
863. В координатной плоскости ХОТ задайте векторы а и Ь.
1) Найдите составляющие этих векторов по осям координат.
2) Найдите составляющие векторов а + Ъ и а — 6 по осям
координат. 3) Докажите, что составляющая суммы (разности)
векторов равна сумме (разности) соответствующих состав¬
ляющих этих векторов по той же оси.
864. Докажите единственность разложения векторов по двум не¬
коллинеарным векторам I] и вг.
865. Точки А и В симметричны относительно точки О. Докажите,
что МВ = 2МО — МА, где М—произвольная точка плос¬
кости.
866. Докажите с помощью векторов, что % Ог° = 2О2О1.
867. Докажите, что отрезок АВ — множество таких точек X плос¬
кости, что ОХ = кОА + (1—к)ОВ, где 0 к 1 (О —
произвольная точка плоскости).
868. 1) Докажите, что прямая АВ — множество таких точек
X плоскости, что ОХ = кОА + (1 — к)ОВ, где к В, а О —
произвольная точка плоскости.
2) Докажите, что луч АВ состоит из таких точек X плоскости,
что ОХ = кОВ + (1 — к)ОА, где к > 0.
869. Фигура Ъ состоит из всех точек координатной плоскости,
имеющих координаты (т, п), где т и п — целые числа. Дока¬
жите, что перенос а отображает фигуру Ъ на себя тогда и
только тогда, когда а = к[1 + А2Л где к\ и Аг—целые числа.
ГЛАВА
ПОДОБИЕ
§ 1. Подобие и гомотетия
62. Подобные фигуры
К понятию конгруэнтности фигур мы
пришли, рассматривая предметы оди¬
наковой формы и размеров. Однако
часто встречаются предметы одина¬
ковой формы, но разных размеров. Та¬
ковы корабль и его модель, карты,
выполненные в разных масштабах
(рис. 374, 375), фотоснимки, напеча¬
танные с одного негатива при разных
увеличениях, и т. п. Все это примеры
подобных фигур.
Рассмотрим еще один пример. На
рисунках 376 и 377 изображены два
треугольника — А АВС и ДА1В1С1.
Отношение длин сторон второго тре¬
угольника к длинам соответствующих
сторон первого равно двум:
| АА\ = 1 | = | АХС} | = 2
|АВ| |ВС| |АС |
Мы увидим вскоре, что существует
отображение первого треугольника на
второй, при котором любые точки X
и У треугольника АВС (а не только
его вершины) отображаются на такие
точки и У1, что
1X^1 = 2 |ХУ|.
219
33 34 35 36
33 34 • 35 36
Рис. 374
В этом случае говорят, что при таком отображении расстояния
изменяются в одном и том же отношении к = 2, а треуголь¬
ник А подобен треугольнику АВС, причем коэффициент
подобия равен двум.
Определение. Фигура подобна данной фигуре Ь, если
Ь можно отобразить на нее так, что при этом расстояния изме¬
няются в одном и том же отношении к.
Это число к называют коэффициентом подобия.
Если фигура подобна фигуре то пишут Ъ2 040 или
к
(когда хотят указать коэффициент подобия к) 1/2^1^.
2
Например, запись ДА4В1С1 ДАВС означает, что тре¬
угольник АВС можно отобразить на треугольник А^Сд так,
что |Х1У1| =2 | ХУ|, где Х1 и У1 — образы произвольных то¬
чек X и У треугольника АВС (см. рис. 376 и 377).
Из определения подобных фигур сразу следует, что кон¬
груэнтные фигуры подобны (коэффициент подобия равен
единице). Рассмотрим другие свойства отношения подобия
фигур.
1) (Рефлексивность.) Каждая фигура подобна себе (коэф¬
фициент подобия равен единице).
220
36
35
33
Рис. 375
2) (Симметричность.) Если фигура Ь2 подобна фигуре с
коэффициентом подобия к3 то фигура подобна с коэффи¬
циентом—:
к
у Доказательство. Так как фигура подобна фи¬
гуре Г1, то существует такое отображение / фигуры на фигуру
1г2» что если X и У — произвольные две точки фигуры а
точки и У1 — их образы, то | Х1У11 = к |ХУ|. Расстояние
| не равно нулю, так как | ХУ| ОиА 0. Следователь¬
но, Х1 У1, т. е. любые две точки фигуры I/! при отображении /
переходят в различные точки фигуры Е2. Поэтому отображение /
обратимо. При обратном ему отображении расстояния изменя¬
ются в — раз. В самом деле, если |/ (X) /(У)| = к |ХУ|, то
к
|ХУ| = 1 |/(Х)/(У)|. ▼
к
8
Рис. 376
Рис. 377
С
221
3) (Транзитивность.) Если фигура Ь1 подобна фигуре Ь
с коэффициентом к^, а фигура Е2 подобна фигуре Е{ с коэффи¬
циентом к2, пго фигура 1>2 подобна фигуре Ь с коэффициентом
к = к1к2.
к^ к* к^к^
(А ОЭ Е, Е, со Е]) => -^2 ОЭ Е.
▼ Доказательство. Пусть А и В — две произвольные
точки фигуры -Е. Так как Е1 со Е, то существует отображение
Л фигуры I/ на фигуру такое, что
14^1 = к, |АВ|
(А1 и В1 — образы точек А и В при отображении Л)-
/?2
Так как Е2 сю Ьь то существует такое отображение /2 фи¬
гуры 1/1 на фигуру 1/2, что
| А223 2 I = ^2
(А2 и В2 — образы точек А1 и В^ при отображении /2)-
Рассмотрим композицию /2 и Л — отображение /2 ° Л- При
этом отображении фигура I/ отображается на фигуру 1/2« Кроме
того,
|А2В2| = к2 | АрВ^ - к2 (к, | АВ|) = Ы, | АВ|.
Значит, фигура 1/2 подобна фигуре I/, причем коэффициент
подобия равен к1к2. ▼
Итак,
67 | отношение подобия фигур рефлексивно, симметрично и тран-
I зитивно.
Вопросы и задачи
870э. Приведите примеры подобных фигур.
871°. Подобны ли любые две конгруэнтные фигуры?
872. 1) Конгруэнтны ли любые две подобные фигуры? При каком
условии подобные фигуры конгруэнтны?
2) Постройте какие-нибудь две подобные, но не конгруэнт¬
ные фигуры.
к к
873. О двух фигурах Ь1 и Ь2 известно, что Ь1 со 1/2 и Ь2 сю Е\. Мож¬
но ли по этим данным найти значение к!
874. 1) План одного и того же земельного участка начерчен в
двух видах: первый план имеет масштаб 1 : 100, а второй —
222
1 : 1 000. Чему равны коэффициенты подобия этих планов?
2) Макет плотины выполнен в натуральной величины.
Затем с этого макета сделали второй, уменьшив его размеры
в четыре раза. Каков коэффициент подобия плотины и второ¬
го макета плотины?
875. 1) Расстояние между Москвой и Ленинградом по железной
дороге равно приблизительно 650 км. Какой масштаб надо
выбрать, чтобы изображение железной дороги поместилось
на листе тетради?
2) Найдите расстояние между Джанкоем и Севастополем,
Севастополем и Симферополем (см. рис. 374), если масш¬
таб равен 1 : 5 000 000.
876. Дана фигура, состоящая из трех точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой. Постройте фигуру, подобную данной, с
коэффициентом подобия, равным: Г) 3; 2) ~.
877. Зададим следующее отображение прямой а на прямую Ь:
каждой точке Р(х) прямой а поставим в соответствие точ¬
ку Р\(кх) прямой Ъ (к — постоянное число). Докажите, что
при этом отображении расстояния между точками изменяют¬
ся в отношении | к |.
878. Известно, что при отображении отрезка АВ на отрезок А\В\
расстояния изменяются в одном и том же отношении 3.
Постройте образ точки X отрезка АВ при этом отображении.
879*. Докажите: окружности (О, г) и (О, 2г) подобны с коэффици¬
ентом 2. Указание. Поставьте в соответствие каждой точ¬
ке X окружности (О, г) точку Х[ окружности (О, 2г), такую,
что точки О, X и Х\ лежат на одном луче с началом О.
880*. Докажите подобие любых двух: 1) треугольников; 2) квадра¬
тов, если отношение их сторон равно двум.
881. Любая прямая подобна сама себе с любым коэффициентом
подобия к > 0. Укажите другие фигуры, обладающие этим
свойством.
63. Гомотетия
В предыдущем пункте было дано определение подобных фи¬
гур. Рассмотрим теперь один из способов построения таких
фигур. Как, например, построить многоугольник, подобный
данному многоугольнику АВСБЕ с коэффициентом подобия
к = 2?
223
Возьмем произвольную точку О (рис. 378) и отложим от нее
векторы ОА] = 2ОА, ОВ{ = 2ОВ и т. д. Многоугольник
как вы убедитесь в дальнейшем, и будет искомым.
При этом построении мы воспользовались отображением
X -> X], при котором каждая вершина многоугольника отобра¬
жалась на определенную точку плоскости по указанному пра¬
вилу.
Если каждой точке X плоскости (а не только точкам много¬
угольника АВС БЕ) поставить в соответствие такую точку Х^
что 0X1 — 20 X. то получим отображение плоскости на себя.
На рисунках 379—381 приведены примеры отображений
плоскости на себя, при которых каждая точка X плоскости
отображается на такую точку Х^ что 0X1 = кОХ (к = 3,
к = к = —2).
2
Задача построения фигуры, подобной данной, привела к
новому отображению плоскости на себя, которое называют
гомотетией.
Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом
к О называется отображение плоскости на себя, при которо.м
образом произвольной точки X является такая точка Хц что
ОХ. = кОХ.
Гомотетию с центром О и коэффициентом к обозначают
224
Рис. 381
Говоря о гомотетиях с каким-либо определенным центром,
букву О в обозначении опускают. Если речь идет о какой-
либо одной гомотетии, ее обозначают просто буквой Н.
Отметим два частных случая. При гомотетии с коэффициен¬
том 1 каждая точка отображается на себя. Значит, тождествен¬
ное отображение может рассматриваться как гомотетия с лю¬
бым центром и коэффициентом к = 1.
При гомотетии с центром О и коэффициентом — 1* каждая
точка X отображается на точку Х^ для которой ОХ^ = —ОХ9
т. е. на точку, центрально-симметричную точке X. Значит,
гомотетия с коэффициентом —1 есть центральная симметрия!
^0 1 = 20-
По определению гомотетии с центром О и коэффициентом к
точка О отображается на такую точку что ОО1 = кОО = 0.
Значит, = О, т. е. при гомотетии ее центр отображается
на себя.
* Обратите внимание на то, что коэффициент гомотетии может быть и от¬
рицательным числом, в то время как коэффициент подобия фигур — число
положительное.
8 Заказ 354
225
Непосредственно из определения следует также, что если
к > 0, то точки X и Х1 = Н (X) лежат на прямой ОХ по
одну сторону от центра гомотетии (при к > 0 векторы ОХ
и 0X1 = кОХ сонаправлены, рис. 382).
Если к < 0, то точки X и Х4 = Н (X) лежат на прямой
ОХ по разные стороны от центра гомотетии (при к < 0 век¬
торы ОХ и 0X1 = к ОХ противоположно направлены,
рис. 383).
68 I Т е о р ем а. Отображение, обратное гомотетии с коэффици-
I ентом к, есть гомотетия с тем же центром и коэффициен-
I том —.
I к
Доказательство. Пусть
н*о (X) = Х1.
По определению гомотетии
0X1 = к ОХ.
Из этого равенства следует:
ох = - ох,
к 1
а это означает, что
2
х = нок (Х^.а
Из теоремы 68 следует: если фигура гомотетична фигуре Ь
с коэффициентом к (т. е. существует такая гомотетия Но, что
Нк0(Ь) = то фигура Ь гомотетична фигуре с коэффици-
1
ентом —.
к
225
Вопросы и задачи
882°. Как построить точку, гомотетичную данной точке X, если
даны центр О и коэффициент к гомотетии?
883. Отметьте на плоскости точки О, А, В и С.
1) Постройте точки А\, В\ и С\ такие, что: а) ОА[ = ЗОА;
б) ОВ, = —2ОВ; в) ОС, =- ОС.
3
1 1 1
2) Постройте точки А2 = Но3 (А), В2 = (В), С2 = Но3 (С).
884°. Найдите значение А, при котором: 1) гомотетия являет-
ся перемещением; 2) Н°(Х) = (X).
885. Найдите коэффициенты ки къ, кз, к^ к$, если известно,
что А1 = Н^(А), В1 = Н^(В), С. = Н^(С)9 (О),
Е1 = Нк0>(Е) (рис. 384).
886. Известно, что фигура Ь\ — образ фигуры Ъ при гомотетии
Можно ли получить фигуру Ъ как образ фигуры Ь\ при
некоторой гомотетии? Найдите центр и коэффициент этой
гомотетии.
887. Как расположены точки А и А[ = Нк (А) относительно
центра гомотетии Н° , если: 1) к > 0; 2) к < 0; 3) 0 < А<1;
4) к> 1?
888. Укажите центры и коэффициенты гомотетий, обратных гомо-
_1_
тетиям Н2, Н“3, Нс2 ,
889. Постройте фигуру, гомотетичную: 1) данной окружности;
2) данному отрезку; 3) треугольнику; 4) четырехугольнику
(центр и коэффициент гомотетии выберите самостоятельно).
890*. Докажите, что любая гомотетия является обратимым отоб¬
ражением плоскости на себя.
891*. Покажите, что композиция двух гомотетий Нк' и Нк с
общим центром есть гомотетия с тем же центром и коэф¬
фициентом А1А2.
892**. Из результата задачи 891 вытекает,
что композиция гомотетий с общим
центром переместительна. Покажите
на примере, что, вообще говоря, для
гомотетий с произвольными центра¬
ми это не так. Рис. 384
Щ.1 Щ 1-Ш-Ц
-П.В^.е.О ВА АЛД Е_
[1 1 Г II II Г I I 11
8*
227
64. Свойства гомотетии
691| Гомотетичные фигуры подобны*.
Доказательство. Обозначим через и У1 образы
произвольных точек X и У при гомотетии Но. По определению
гомотетии 0X1 = кОХ, ОУ1 = кОУ (рис. 385). Для любых трех
точек О, Хь У1
х7У1 = ОУ1 — 0X1.
Значит,
Х?У1 = ОУ1 — 0X1 = кОУ — кОХ = к (ОУ — ОХ)=*ХУ.
По определению умножения вектора на число |Х1У1| =
= |й| |ХУ|. Следовательно, при гомотетии с коэффициентом к
расстояния между точками изменяются в одном и том же отно¬
шении \к |. А это и означает, что каждая фигура при гомотетии
отображается на подобную ей фигуру. ■
692
При гомотетии с положительным коэффициентом каж¬
дый луч отображается на сонаправленный с ним луч
(рис. 386, а). При гомотетии с отрицательным коэффи¬
циентом каждый луч отображается на противоположно
направленный с ним луч (рис. 386, б).
69з| При гомотетии любая прямая отображается на парал-
I лельную ей прямую, отрезок— на параллельный ему отре-
I зок, угол — на конгруэнтный ему угол.
* Отметим, что из этого свойства вытекает, что многоугольники А1В1С1В1В1
и АВСБЕ, рассмотренные в пункте 62, действительно подобны.
228
Эти свойства мы принимаем без доказательства.
6941 Если три точки О, А и А1 принадлежат одной прямой,
I то существует единственная гомотетия с центром О,
I отображающая точку А на
Доказательство. Для задания гомотетии доста¬
точно задать ее центр и коэффициент. По условию центр изве¬
стен — это точка О. Найдем коэффициент гомотетии с центром
О, отображающей точку А на Ар
По определению гомотетии ОА1 = кОА. Этим равенством
число к определяется однозначно. В самом деле, |А| = •
Если О лежит между точками А и А19 то к = — I—Если же точ-
| ОА 1
ки А и А! принадлежат одному лучу с началом О, то к = 1' . ■
|ОА|
Итак, для задания гомотетии достаточно указать ее центр,
произвольную точку А и ее образ Ар Теперь рассмотрим, как
строится образ произвольной точки плоскости при таком спо¬
собе задания гомотетии.
Пусть точка В — произвольная точка плоскости, не при¬
надлежащая прямой ОА (рис. 387, а). Проведем прямые ОВ и
АВ. Затем построим прямую А1ЛГ, параллельную прямой АВ.
Точка В1 = (А12И) П (ОВ) — образ точки В при гомотетии Н.
Действительно, образ точки В при гомотетии Н — некото¬
рая точка прямой ОВ (так как эта прямая при гомотетии Н отоб¬
ражается на себя). Кроме того, прямая АВ отображается на
прямую, ей параллельную (свойство 633) и проходящую через
точку (так как Н (А) = А1). Поэтому точка Н (В) принадле¬
жит и прямой ОВ, и прямой А1М, т. е. Н (В) = Вр
Рис. 387
229
В случае, когда точка В принадлежит прямой ОА, построе¬
ние приведено на рисунке 387, б. (Сначала строится образ
точки С $ (ОА).)
Вопросы и задачи
893°. Как изменяются (увеличиваются или уменьшаются) расстоя¬
ния между точками при гомотетии, если: 1) |А| > 1,
2) \к\ < 1; 3) \к\ = 1?
894. Можно ли найти центр гомотетии, если известны: 1) только
одна пара соответствующих точек; 2) две пары соответствую¬
щих точек, не лежащих на одной прямой?
895°. 1) В каких случаях расстояния между точками при гомотетии
не изменяются?
2) Сохраняется ли при гомотетии параллельность прямых?
896°. Каков коэффициент подобия фигур Е1 и Е, если Ь\ гомо¬
тетична Ь с коэффициентом гомотетии: 1) 2,5; 2) —3;
3) т?
897. Лучи ОА и О\А\ гомотетичны. Каково взаимное расположе¬
ние прямых О А и О1А1? Где может находиться центр и каков
коэффициент гомотетии, отображающей луч ОА на луч О[А1,
если эти лучи: 1) противоположно направлены; 2) одинако¬
во направлены?
898°. Могут ли быть гомотетичными: 1) две пересекающиеся пря¬
мые; 2) два луча, лежащие на пересекающихся прямых;
3) два луча, не лежащие на одной прямой?
899. Верны ли предложения: 1) если фигуры подобны, то они
гомотетичны; 2) если фигура Е конгруэнтна фигуре Е] и фи¬
гура Е1 гомотетична фигуре Ег, то фигура Е подобна фигу¬
ре Ег; 3) если фигура Е гомотетична фигуре Е( и фигура Е1
конгруэнтна фигуре Ег, то фигура Е подобна фигуре Е2?
900. Гомотетичны ли фигуры Е и Ъ\ (рис. 388)? Если эти фигуры
гомотетичны, укажите центр и коэффициент гомотетии,
230
отображающей Ь на Ь\. Если такой гомотетии не существует,
приведите доказательство.
901- Постройте центр гомотетии Н по данным точкам X и У,
Х1==Н(Х) и У1=-Н(У).
902*. Докажите: при гомотетии с положительным коэффициентом
каждый луч отображается на сонаправленный луч.
903**. Докажите, что композиция двух гомотетий есть либо гомо¬
тетия, либо параллельный перенос.
65. Пропорциональные отрезки
Отрезки АВ и СБ называются пропорциональными отрезкам А1В1
и С 11)1, если пропорциональны их длины:
\АВ\ [А.В.1
\св\
70|Теор ем а. Параллельные прямые, пересекающие сторо-
I ны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки.
Дано: (ААО || (ВВО (рис. 389).
Доказать: ‘| ОА{ | : | О А | = | ОВ{ | : |ОВ|.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию с цент¬
ром О, при которой точка А отображается на точку В. При этой
гомотетии прямая ОА{ отображается на себя, а прямая АА1 —
на параллельную ей прямую, проходящую через точку В, т. е.
на прямую ВВ1 (по условию (АЛ О || (ВВО). Поэтому образ
точки А1 — точка Вр Но при гомотетии с коэффициентом к
расстояния между точками изменяются в отношении |*|.
Значит,
IОВ| = |*| • |ОА| и |ОВ!| = |*| • |ОА1|,
откуда
\ОВ\ : |ОА\ = |ОВ,] : |ОА.1
и
ЮАИ : | ОА\ = | ОВ!| : | ОВ |. ■
(1)
Следствие 1. Если (АА1) || (ВВ4),
то | ОА1| : | О А | = | А^В^ | : | АВ | (см.
рис. 389).
Доказательство. Из равен¬
ства (1) следует:
<03,1 _ х = \ов\ __ х
\ОЛ1\ | ОА |
231
н
Рис. 391
лельно прямой АС.
Отсюда
\ов1\-\оа1\ _ |ОВ|-|ОЛ|
|ОАГ| |ОА|
\А1В1\ _ \АВ\
|ОА| \ОА\‘
Из последней пропорции получаем, что
|ОА11 __ \А1В1\ и
|ОЛ| |АВ|"
Следствие 2. Прямая, парал¬
лельная стороне треугольника и пересе¬
кающая две другие его стороны, отсекает
от него треугольник, стороны которого
пропорциональны сторонам данного тре-
/ I СВ | \АВ |
угольника (рис. 390):’ * 1 = ’ 1 ].
* \СБ\ \СН\ [РЯ |
Задача. Даны отрезки, длины ко¬
торых а, Ь, с. Построить отрезок длины х,
чтобы выполнялась пропорция а : Ъ =
= с : х (такой отрезок называют четвер¬
тым пропорциональным к трем данным).
Решение. Для построения иско¬
мого отрезка на сторонах угла (рис. 391)
отложим отрезки О А, О В и ОС такие,
что |ОА| = а, |ОВ| = Ъ, \ОС| = с. Че¬
рез точку В проведем прямую ВН парал-
Получим отрезок ОХ, отсекаемый прямой
ВН на луче ОС. Отрезок ОХ искомый (докажите это).
905.
Вопросы и задачи
904. Даны два отрезка: |АС| = 6 см и | ВЛ | = 12 см. 1) Найдите
отношение длин этих отрезков. 2) Изменится ли отношение
длин взятых отрезков, если длины их будут выражены в деци¬
метрах (в миллиметрах)?
Данный отрезок АВ разделите в данном отношении т : п.
Рассмотрите случаи: 1) т и п заданы отрезками; 2) т и п
заданы числами, например: т = 5, п = 3.
Точка М делит отрезок АВ в отношении ' . 1) Най-
I АМ I | ВМ I _ о
дите отношения-■ и | • Ч Вычислите длины отрезков
АМ и МВ, если длина отрезка АВ равна 9 см.
906.
232
907. Отрезок разделен на две части в от¬
ношении 3:8. Меньшая его часть ко¬
роче большей на 3,5 см. Найдите дли¬
ну каждой части отрезка.
908. Вычислите длину отрезка БМ
(рис. 392, а), если известно, что
(АС) || (ОМ), = |, |АС| = 9 см.
909. Прямые а и Ь пересечены тремя па¬
раллельными прямыми (рис. 392, б).
Вычислите длины отрезков ЛЕ и ЕЕ,
если |АВ| = 1 см, | ВС | = 2 см,
| ЛЕ| = 6 см.
910. 1) Известны стороны треугольника
АВС*. | АВ\ = 6 см, | ВС | = 8 см,
| АС | = 9 см. Через точку М прове¬
дена прямая М1У, параллельная сто¬
роне ВС (рис. 392, в). Вычислите:
а) стороны треугольника АМ1У, если
|АМ| = 4 см; б) отношение перимет¬
ров треугольников АММ и АВС, если
\АМ\ : \МВ\ =2:3.
2) Стороны треугольника АВС извест¬
ны: |АВ| = 4 см, | ВС | =6 см,
| АС | = 8 см. Через точку М стороны
АВ(|АМ| =3 см) проведены пря¬
мые, параллельные сторонам АС и
ВС (рис. 392, г). Вычислите: а) пери¬
метр треугольника АМ№, б) периметр
треугольника МВК.
911. Сторона АВ треугольника АВС делит¬
ся точкой Л на два отрезка: |АЛ| =
= 8 см и | ЛВ | = 4 см. Найдите отно¬
шение расстояний от точек Л и В до
стороны АС этого треугольника.
912. Стороны угла СОИ пересечены пря¬
мыми а и & (рис. 393). Параллельны
ли эти прямые, если:
1) |ОА| =4 см, |АС| = 2 см,
|ОВ| =3 см, |ОЛ| =4,5 см;
6)
233
2) 10В| = 4 см, |ОА | = 2 см, |ВО| = 2 см, |АС| = 1 см;
3) |0С| = 6 см, | О А | = 4 см, |ВП| = 1,5 см, |ОО| = 3,5 см?
913. Даны три отрезка а, Ь, с. Постройте отрезок:
1)х = -; 2)х=—; 3)х = -.
с Ь а
914*. Докажите, что биссектриса ВВ внутреннего угла треугольни¬
ка АВС делит противоположную сторону на отрезки, пропор¬
циональные сторонам ВС и ВА треугольника.
915*. Докажите, что точка пересечения биссектрисы угла разно¬
стороннего треугольника с его стороной лежит между точ¬
ками пересечения с этой стороной высоты и медианы тре¬
угольника.
66 V- Преобразования подобия
Вы уже знакомы с композицией перемещений (п. 54). Можно
рассматривать и композиции отображений плоскости на себя,
не являющихся перемещениями. Рассмотрим, например, гомо¬
тетию Но и поворот В с центром А}, переводящий точку В1
в В2 (рис. 394). Образами точек А, В, С, ... при гомотетии Но
являются соответственно точки Аь Вь С19 ... Точки Аь В2,
С2, ... — образы точек Вь С^ ... при повороте Л. Тогда
образами точек А, В, С, ... при композиции В о Но будут
соответственно точки Аь В2, С2, ...
При гомотетии Но расстояния между точками изменяются
в отношении |Л|. При повороте расстояния сохраняются. Зна¬
чит, при композиции гомотетии Но и поворота В расстояния
между точками изменяются в отношении \к |. Однако такая ком¬
позиция не является гомотетией, так как она отображает пря¬
мую АВ на непараллельную ей прямую А1В2.
234
Итак, существуют отображения плоскости на себя, отлич¬
ные от гомотетии, при которых расстояния между теплея ми из¬
меняются в одном и том же отношении.
Определение. Отображение плоскости на себя, при ко¬
тором расстояния между любыми двумя точками изменяются
в одном и том же отношении к > 0, называется преобразова¬
нием подобия.
Число к называется коэффициентом преобразования подобия.
Частными видами преобразований подобия являются пере¬
мещения (к = 1) и гомотетии (п. 63).
Этот вид преобразования подобия характеризуется тем,
что любая прямая, содержащая точку и ее образ, проходит через
одну и ту же точку плоскости — центр гомотетии.
Преобразование подобия отображает любую фигуру Ь на
подобную ей фигуру В самом деле, при этом преобразовании
расстояния между любыми двумя точками фигуры Ь изменяются
в отношении к (к — коэффициент преобразования подобия).
Верно и обратное: если фигура подобна фигуре В, то су-
шествует, преобразование подобия, отображающее фигуру Ь
на фигуру 1^.
Поэтому можно дать другое определение подобных фигур.
Фигура подобна фигуре В, если существует преобразова¬
ние подобия, отображающее фигуру В на фигуру В^
Рассмотрим некоторые свойства преобразований подобия.
7111 Преобразование подобия с коэффициентом к обратимо, при-
I чем обратное отображение есть преобразование подобия
|с коэффициентом^.
Доказательство. Пусть А и В — различные точки
плоскости, А1 и В1 — их образы. Тогда |А1ВЛ = к |АВ\ =/= 0.
Следовательно, А1 =/= В{ и потому преобразование подобия
обратимо и, значит, имеет обратное. При обратном преобразо¬
вании точки А1 и В1 отображаются на точки А и В. Но | АВ | =
= — |А1В1|. Значит, это обратное отображение есть преобра-
к
зование подобия с коэффициентом—. ■
к
712| Композиция двух преобразований подобия Р\ и Р2 с коэф-
■ фициентами к^ и к2 есть также преобразование подобия
I с коэффициентом к = к^к2.
Доказательство. При преобразовании рас¬
стояния изменяются в отношении к^ > 0, а при преобразова¬
235
нии Р2 — в отношении к2 > 0. Значит, при композиции Р2 ° Р{
расстояния изменяются в отношении к = А(А2 и, следо¬
вательно, Р2 о Р1 есть преобразование подобия с коэффи¬
циентом к = кхк2. ■
В частности, композиция гомотетии с коэффициентом к
и перемещения есть преобразование подобия с коэффициентом,
равным |к\.
Оказывается, для последнего предложения верно и обратное:
721 каждое преобразование подобия есть композиция переме-
| щения и гомотетии.
Доказательство. Пусть Р — произвольное пре¬
образование подобия с коэффициентом к. Рассмотрим компози¬
цию преобразования Р и гомотетии Н с коэффициентом — и
к
произвольным центром О. Тогда отображение Н о р плоскости
на себя является преобразованием подобия с коэффициен¬
том А • — = 1, т. е. НоР есть некоторое перемещение Р.
к
Итак,
Н □ Р = Р.
Поскольку отображения Н о Р и Р совпадают, то совпадают
и композиции Н' о (Н о Р) и Н' о Р (где Н' — отображение,
обратное Я), т. е.
Я' □ (Я □ Р) = Я' о Р.
Отсюда
(Я'о Я) о Р = Я' о р,
Е о Р = Н' о р,
Р = Я' о р.
Но отображение плоскости на себя, обратное гомотетии Я*’
есть гомотетия Нк.
Следовательно, Р = Я* о Р. Итак, произвольное преобра¬
зование подобия с коэффициентом к мы представили в виде
композиции перемещения и гомотетии с коэффициентом к.
Утверждение доказано. ■
Вопросы и задачи
916°. Верно ли, что соответствующие углы подобных фигур кон¬
груэнтны?
917. Назовите такие фигуры, которые подобны самим себе при
любом коэффициенте подобия.
236
918. Назовите несколько фигур, гомотетич¬
ных самим себе при любом коэффициен¬
те гомотетии.
919. Верно ли, что если два угла подобны, то
они и конгруэнтны?
920. Даны два конгруэнтных квадрата. По¬
стройте третий квадрат, конгруэнтный
одному из данных и гомотетичный дру¬
гому.
921. Равнобедренный треугольник АВС по¬
добен равнобедренному треугольнику А1В1С1 с коэффициен¬
том подобия 2
треугольник на
щения?
922. Прямоугольный
(рис. 395). Как можно отобразить второй
первый при помощи гомотетии и переме-
треугольник АВС подобен треугольнику
А1В1С1 с коэффициентом подобия 2. Отобразите первый
треугольник на второй при помощи композиции гомотетии
с центром С и перемещения.
923. Отобразите квадрат АВСИ на квадрат ЕЕТН с вершинами
в серединах сторон квадрата АВСР при помощи гомотетии
и перемещения.
924. Может ли быть композиция Р 0 Нк0 перемещением (Р—пре¬
образование подобия)?
925. Может ли композиция преобразования подобия и переме¬
щения быть перемещением?
§ 2. Подобные многоугольники
67. Признаки подобия треугольников
73|Теор е м а . Если три стороны одного треугольника пропор-
I циональны трем сторонам другого треугольника, то такие
I треугольники подобны.
Дано: 1^5(1: |АВ| = |ВА1 : |ВС| = | АА1 : |АС\.
Доказать: ео ААВС (рис. 396).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим гомотетию Но с
произвольным центром О и коэффициентом к = |А1В11 : |АВ|.
Эта гомотетия отобразит треугольник АВС на подобный ему
треугольник А0В0С0 (рис. 396):
237
Рис. 396
ДА0В0С0 оэ ДАВС, (1)
причем
|А0В0| = * |АВ|, |ВОСО|=Й |ВС|, |А0С0| =к |АС|. (2)
По условию
|А1В1| = ЯАВ|, |.В1С1| =* |ВС|, 1^0*1 =Л |АС|. (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
14^1 = |А0В0|, 1ВА1 = |В0С0|, 1А.СЛ = |А0С0|. (4)
Поэтому
^А1В^1 ДА0В0С0, (5)
а так как конгруэнтные фигуры подобны, можно записать:
ДА.В.С, ео ДЛ0В0С0. (6)
Но ДА0В0С0 00 ДАВС, и, следовательно, в силу транзи¬
тивности отношения подобия фигур
Д-41В1С1 со ДАВС. ■
74 I Теорема. Если две стороны одного треугольника пропор-
I циональны двум сторонам другого треугольника и углы
I между этими сторонами конгруэнтны, то такие треугольна-
I ки подобны.
▼ Дано: | А1В11: | АВ \ = | В±С± |: | ВС|, В^ = В" (рис. 397).
Доказать: сю ДАВС.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Но с
произвольным центром О и коэффициентом к = |А1В1| : |АВ|.
Эта гомотетия отобразит треугольник АВС на подобный ему
треугольник А0В0С0:
ДА0В0С0 сю ДАВС, (1)
238
причем
|А0В0| = й |АВ|, I В0С0| = к |ВС|, Во = В. (2)
По условию
|А,В,| = * |АВ|, |В,С,| =к |ВС|, В, = В. (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
|А,В,| = |Л0В0|, 15,0,1 = |В0С0|, Во = В,. (4)
Из равенств (4) вытекает:
ДА,В,С, ДА0В0С0,
а так как конгруэнтные фигуры подобны, то
ДА0В0С0. (5)
Из соотношений (5) и (1) в силу транзитивности отношения
подобия фигур следует, что
сю Д АВС. ▼
75] Теорема. Если два угла одного треугольника конгруэнт-
| ны двум, углам другого треугольника, то такие треугольники
I подобны.
▼ Дано: А1 = А, В1 = В.
Доказать: Д АВС (рис. 398).
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Но
с произвольным центром О и коэффициентом к = ^В^ : | АВ|.
Эта гомотетия отобразит треугольник АВС на треугольник
АВД, (Рис« 398). Значит,
ДА0В0С0 сю ДАВС, (1)
причем
IА0В0| = к |АВ| и Ао = А, Во = В (2)
(так как при гомотетии величина угла сохраняется, см. п. 63).
239
Кроме того, по построению и условию
|А1В1| =* |АВ|, А, = А, В1 = В. (3)
Из равенств (2) и (3) следует:
1^,1 =|А0В0|, А, = Ао, = Во. (4)
Поэтому
ЛА^С. ~ ЛА0В0С0 (5)
и, значит,
ЛА1В,С1 ЛА0В0С0. (6)
Из соотношений (6) и (1) в силу свойства транзитивности
отношения подобия фигур следует, что
ЛА1В1С1 ЛАВС. ▼
Вопросы и задачи
•26°. Подобны ли любые два равносторонних треугольника?
927. В разностороннем треугольнике проведены его средние ли¬
нии. Среди всех образовавшихся треугольников укажите по¬
добные.
928°. Что можно сказать о соответственных углах подобных тре¬
угольников? Назовите по рисунку 398 пары соответственных
углов подобных треугольников АВС и А1В|С|.
929. Подобны ли два треугольника, если их стороны имеют длины:
1) 4 см, 5 см, 6 см и 8 мм, 10 мм, 12 мм;
2) 3 см, 4 см, 6 см и 9 см, 15 см, 18 см;
3) 1 дм, 2 дм, 2 дм и 1 дм, 1 дм, 0,5 дм?
930. 1) Стороны одного треугольника 4 дм, 3,6 дм и 1,5 дм. Вы¬
числите стороны другого треугольника, подобного данному,
если отношение их соответственных сторон равно 1,6.
240
2) Стороны данного треугольника
8 см, 6 см и 5 см. Меньшая сторона
второго треугольника, подобного
данному, 2,5 см. Вычислите другие
стороны второго треугольника.
931. 1) Стороны данного треугольника
3.5 см, 4 см, 8 мм. Большая сторона
второго треугольника, подобного дан¬
ному, 6 см. Вычислите стороны вто¬
рого треугольника.
2) Стороны треугольника 12,6 м,
16.5 м и 18,0 м. Вычислите стороны
треугольника, подобного данному,
если меньшая сторона этого тре¬
угольника конгруэнтна большей сто¬
роне данного треугольника.
932. Известно, что |АВ| = 16,2 см,
|ВС| = 24,3 см и |АС| = 32,7 см.
Вычислите стороны треугольника
А1В]С1 подобного данному, если
сторона А\В\ этого треугольника со¬
ответствует стороне АВ первого тре¬
угольника и: 1) больше этой стороны
на 10,8 см; 2) меньше этой стороны
на 5,4 см.
933. 1) Сформулируйте признаки подобия
равнобедренных треугольников.
2) Сформулируйте признаки подобия
прямоугольных треугольников.
934. Подобны ли прямоугольные тре¬
угольники, если в одном из них име¬
ется угол в 42°, а в другом — угол
в 48°?
935. На рисунке 399, а, б, в, г параллель¬
ные прямые показаны одинаково на¬
правленными стрелками. Найдите на
этих рисунках подобные треугольни¬
ки и объясните, почему они подобны.
936. По данным рисунка 400, а, б, в, г
найдите подобные треугольники и
объясните, почему они подобны.
а)
5)
б)
241
а)
5)
б)
г)
Рис. 400
937. Используя рисунок 401, где (АС) Ц
|| (А1С1) || (А2С2), напишите пропорции,
начинающиеся с отношений:
| АС1 . 9 | АВ|.
} |Л2В|’
4) 1ВСК 5) |ЛЛ1
\с2с.\ и^Г
938. Прямая, параллельная стороне данно¬
го треугольника АВС, делит другую
сторону в отношении 1 : 5 (считая от
вершины). Вычислите длины сторон от¬
сеченного треугольника, если длины
сторон данного треугольника равны:
1) 9 см, 12 см, 18 см; 2) 15 см, 21 см,
24 см.
939. Подобны ли равнобедренные треуголь¬
ники, если они имеют: 1) конгруэнтные
тупые углы; 2) по прямому углу; 3) кон¬
груэнтные острые углы?
940. Из вершины прямого угла данного
треугольника проведена высота. Сколь¬
ко пар подобных треугольников обра¬
зовалось на этом чертеже?
941*. Можно ли любой остроугольный или
тупоугольный треугольник, не имею¬
щий равных сторон, рассечь прямой,
проходящей через вершину, на два по¬
добных треугольника?
942. Подобны ли два треугольника, если все
их средние линии соответственно про¬
порциональны?
943. На одной из сторон данного угла А от¬
ложены отрезки | АВ | = 5 см и
|АС| = 16 см. На другой стороне
этого же угла отложены отрезки
| АО| = 8 см и | АР | = 10 см. По¬
добны ли треугольники АСВ и АВР1
Ответ обоснуйте.
944. Стороны угла АОВ пересечены двумя
параллельными прямыми СБ и С1О1
242
Рис. 401
(рис. 402) так, что |ОС| =
= 8 см, |СС1| = 6 см,
|ОР| = 12 см. Вычислите
|РР1| и |С1О1|, если
|СР| =9 см.
•45. На стороне АС треуголь¬
ника АВС дана точка О
такая, что АВБ = АСВ. Вы¬
числите длины сторон тре¬
угольника АВР, если:
1) |АВ| =8 см, |ВС| =
= 12 см, |АС| = 18 см;
2) |АВ| = 12 см, |ВС| =
= 5 см, |АС\ — 13 см.
•46. Чтобы определить на мест¬
ности расстояние между
двумя точками А и В, из
которых точка В недоступ¬
на, можно выполнить по¬
строение, план которого по¬
казан на рисунке 403. Опре¬
делите расстояние |АВ|,
если | АС| =150 м, [РГ] II
|| [АВ], |РГ| = 16 м и
|СР|=30м.
947. На рисунке 404 показано,
как можно определить ши¬
рину реки |АР|, построив
на местности два подобных
треугольника — ДАВС и
Рис. 403
Рис. 404
243
ДЛУЕС. Определите |АО |, если |ВС| = 50 м, |ГС| = 16 м
и |ОС| = 17 м.
948. Наблюдатель, находящийся в точке А (рис. 405), видит конец
шеста точку С и верхнюю точку О мачты расположенными
на одной прямой. Какова высота мачты, если |АГ| =60 м,
| АВ | = 6 м и | ВС | = 3 м?
949. Практическая работа. Измерьте высоту какого-либо
сооружения (моста, высокого здания, телевизионной вышки
и т. п.), находящегося в окрестностях школы.
950. Выполните на местности измерительные работы по опреде¬
лению расстояния между двумя точками, одна из которых
недоступна.
951. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух
соответственных сторон равно отношению двух соответст¬
венных: 1) высот; 2) биссектрис; 3) медиан.
952. Выполняются ли свойства рефлексивности, симметричности
и транзитивности для отношения: 1) гомотетичности фигур;
2) подобия фигур?
953. Длина основания треугольника АВС равна а. Прямая, про¬
веденная параллельно основанию, делит боковую сторону в
отношении тп : п (считая от вершины). Выразите через а, тп
и п длину отрезка этой прямой, заключенного между сторо¬
нами треугольника. Вычислите длину этого отрезка, если:
3 5
1) а = 25 см, т : п =— ; 2) а = 4,8 см, т : л = —;
3) а = 12,6 см, т : п = 0,75.
68. Теорема Пифагора
Докажем очень важную теорему, позволяющую по двум
сторонам прямоугольного треугольника вычислить третью.
76 | Т е о р е м а (Пифагора). Квадрат гипотенузы прямоуголь-
I кого треугольника равен сумме квадратов его катетов:
I с2 = а2 + Ь2.
Для доказательства нам понадобится следующее предложе¬
ние: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проек¬
цию этого катета на гипотенузу. В обозначениях рисунка 406, а:
а2 = с • ас. (1)
Треугольники АВС и СБВ (рис. 406, а) подобны, так как
углы С и 2) прямые, а угол В — общий. Поэтому с : а = а : ас,
откуда по свойству пропорций вытекает справедливость (1).
244
По соотношению (1) имеем: а2 = с • ас, Ь2 = с • Ьс.
Складывая эти два равенства, получаем:
а2 + Ъ2 = с (ас + Ьс) = с2. ■
Теорема Пифагора имеет -много применений. Докажем, на¬
пример, следующее предложение:
77|Теорема. Расстояние между точками А(х\, у\) и В(х2, уг)
| координатной плоскости вычисляется по формуле:
|ЛВ| = У (хг — «О2 4- (у2 — уд2.
Пусть прямая АВ не параллельна ни одной из осей коорди¬
нат. Тогда Х1 х2 и у1 =/= у2. Проведем через точки А и В
прямые, параллельные осям координат (рис. 406, б). Получим
прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора
имеем: | АВ | = / |АС|2 +|ВС|2.
Из прямоугольников АСВХ Ах и ВСАуВу находим, что
|АС|= |ДГВЛ.|, | ВС | = |АуВу|. По теореме 11 |АЛ.ВЛ| = |х2—Х}|,
|АуВу| = |у2 — У1|. Следовательно,
|АВ | = У ]х2 — X! |2 + |у2 — у112 = У (х2 — хО2 + (у 2 — У1)2-
Справедливость теоремы 77 в случае = х2 или — у2
очевидна. ■
Вопросы и задачи
При решении задач на зависимости между элементами прямоуголь¬
ного треугольника будем пользоваться обозначениями, приведен¬
ными на рисунке 406, а.
954. Докажите: 1) Л = —; 2) — =—\ 3) й2 = ас • Ъс.
с о>с Ъс
955. Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу
на отрезки, длины которых: 1) 2 см и 3 см; 2) 15 мм и 24 мм.
Вычислите: а) длину этой высоты, б) длины катетов.
956. Дано: ас = 3 см, Ьс = 2 см. Вычислите с, а, Ь, й.
245
5)
957. Выразите Ъс и а, через
а и 6.
958. Биссектриса прямого угла
делит гипотенузу в отноше¬
нии р : д. В каком отноше¬
нии делит гипотенузу осно¬
вание проведенной к ней
высоты?
959. Постройте отрезок х, если:
1) х=|/а5; 2) х = ]Л2Ьс;
3)х=/^’ где а, Ь-
данные отрезки.
960. Сформулируйте и докажите
(предположив противное)
теорему, обратную теореме
Пифагора.
961. 1) В прямоугольном тре¬
угольнике АВС а = 38 см,
6=16 см. Вычислите пло¬
щадь каждого из заштри¬
хованных прямоугольников
(рис. 407, а, б, в).
2) В прямоугольном тре¬
угольнике АВС а = 36 см,
с = 45 см. Вычислите пло¬
щадь заштрихованных тре¬
угольников (рис. 408).
962. Стороны треугольника про¬
порциональны числам 13, 12
и 5. Докажите, что такой
треугольник прямоугольный.
б)
Рис. 407
Рис. 408
963. Вычислите стороны ромба,
С\
г
если его диагонали равны
4,6 см и 6,4 см.
14
964.
Выразите площадь равно¬
стороннего треугольника
А \г^
Е
через его сторону а.
965.
Внутри круга дана точка.
Какая из всех хорд круга,
Рис. 409
проходящих через эту точ¬
966.
ку, имеет наименьшую длину
и какая — наибольшую?
В окружности радиуса г проведена хорда
. 1) Найдите
ее рас-
стояние от центра окружности, если длина хорды равна а.
Произведите вычисления, если: а) г =14 см, а = 8 см;
б) г = 8 см, а = 14 см. 2) Выразите длину хорды через ее
расстояние А от центра.
967. Радиус круга равен 25 см. В этом круге проведены две па¬
раллельные хорды длиной 14 см и 4 см. Вычислите расстоя¬
ние между хордами.
968. Вычислите расстояния |АС|, | АЕ | и | СЕ | (рис. 409).
969. Вычислите расстояния от начала координат до точек:
1) (0; 15); 2) (18, 0); 3) (3; 4); 4) (5; 12).
970. Вычислите расстояние между двумя точками координатной
плоскости: 1) А (0, 0), В (2; 4); 2) А (1; 3), В (2; 4); 3) А (—1; 2),
В (4; -3).
971. Из точки А, находящейся вне прямой 2И27, проведены к этой
прямой две наклонные. Одна из них имеет длину 13 см, а ее
проекция на эту прямую равна 5 см. Вычислите длину вто¬
рой наклонной и ее проекцию на прямую 2И2У, если эта
наклонная составляет с прямой угол: 1) в 30°; 2) в 45°.
972. Дано: а = 9 см, 6= 12 см. Вычислите: с, Л, ас, Ьс.
973. Дано: а= 12 см, с= 13 см. Вычислите: &, А, ас , Ьс.
974. Вычислите катеты прямоугольного треугольника, если бис¬
сектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки А и I.
Проведите вычисления при & =12сми/ = 5 см.
975. Две окружности радиусов 3 см и 5 см касаются внешним об¬
разом. Вычислите длину отрезка их внешней общей каса¬
тельной, заключенной между точками касания.
976. К окружности (О, г) проведена из точки М касательная. Най¬
дите формулу, выражающую зависимость между расстоя¬
ниями |О2И|, | МА | = т (А — точка касания) и радиусом г.
247
977. Расстояние между центрами окружностей радиусов 6 см
и 2 см равно 10 см. Вычислите длину: 1) отрезка общей внеш¬
ней касательной; 2) отрезка общей внутренней каса¬
тельной.
978. Докажите, что в одном круге (или в конгруэнтных кругах):
1) хорды равной длины равноудалены от центра; 2) из двух
неконгруэнтных хорд хорда большей длины ближе к центру.
979. Каждая из двух конгруэнтных окружностей радиуса г прохо¬
дит через центр другой. Выразите через г длину их общей
хорды.
980. Две конгруэнтные и взаимно перпендикулярные хорды ок¬
ружности точкой их пересечения делятся каждая на отрез¬
ки в 10 мм и 16 мм. Вычислите радиус окружности.
981. Могут ли длины всех сторон прямоугольного треугольника
выражаться: 1) четными числами; 2) нечетными?
69. Подобные многоугольники
1. В пункте 66 было доказано,
что два треугольника подобны,
если стороны одного из них
пропорциональны сторонам дру¬
гого. В случае многоугольников
с числом сторон, большим трех,
пропорциональности их соот¬
ветственных сторон уже недо¬
статочно для подобия этих мно¬
гоугольников. Например, квад¬
рат не подобен ромбу, один из
углов которого острый, хотя
их стороны пропорциональны
(рис. 410).
Недостаточно для подобия
многоугольников и равенства их
соответственных углов. Напри¬
мер, квадрат не подобен пря¬
моугольнику, не все стороны
которого конгруэнтны.
Достаточное условие подобия
двух многоугольников сфор¬
248
мулировано в следующей теореме, которую приведем без до¬
казательства.
78 | Теор с ма. Если стороны одного многоугольника соответст-
I венно пропорциональны сторонам другого многоугольника и
I соответственные углы этих многоугольников конгруэнтны,
| то такие многоугольники подобны.
2. Докажем теорему о периметрах подобных многоуголь¬
ников.
79|Теор ем а. Отношение периметров подобных многоуголь-
I ников равно коэффициенту подобия этих многоугольников.
Доказательство. Так как многоугольники подоб¬
ны (рис. 411), то
= к |АВ|, |В1С1| = к |ВС|, ..., |31А1| = к | ЕА\.
Сложив почленно эти равенства, находим:
|А1В1| + |В1С1| 4- ... 4" 1^1-411 =
= к (|АВ| 4- |ВС| 4- ... 4- \ЕА\),
т. е. Рг = кР, где и Р — периметры данных многоуголь*
ников.
Итак Рг : Р = к. ■
3. Рассмотрим отношение площадей подобных фигур.
Пусть прямоугольник имеет стороны в 5 см и 3 см. Его пло¬
щадь равна:
8 = 5 • 3 см2 = 15 см2.
Если другой прямоугольник подобен первому с коэффициен¬
том подобия к, то его стороны равны 5к см и Зк см, а площадь
51 равна:
8{ = 5к • Зк см2 = к2 - 15 см2 = к28.
Мы видим, что отношение площадей 81 и 5 равно квадрату
коэффициента подобия.
80|Теор ем а. Отношение площадей подобных многоугольна-
I ков равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала подоб-
к
ные треугольники. Если А А^В^С^ <» А АВС, то существует
отображение ААВС на АА1В1С1, при котором расстояния
между точками изменяются в к раз. Образ высоты СВ тре¬
угольника АВС при этом отображении — высота С1В1
(рис. 412).
249
Имеем:
в
|А1В1| = к |АВ|,
10^1 = к |С.0|.
Отсюда
(Ь\1=|(*|АВ|).(*|СЛ|) =
= А2(||АВ|.|СР|) = Л25Д,
5 : 5А = А2.
Д1 д
Рис. 413
доказанному выше получим:
Найдем теперь площадь
Для треугольников теоре¬
ма доказана.
2) Теперь рассмотрим про¬
извольные подобные много¬
угольники Ь и Ьр Пусть мно¬
гоугольник Ь разбит на тре¬
угольники Дь А2» •••» Дя
(см. рис. 413, где п = 4). Так
к
как Ь <» то существует ото¬
бражение многоугольника Ь
на 2г1, при котором расстоя¬
ния между точками изменяют¬
ся в к раз. Обозначив образ
треугольника Дт при этом
отображении через Д/Л, по
5Дт = *25Дт.
многоугольника 1а'.
8 (1а) = 5Д; + 5Д; + ... + 5Д' = *25Д1 + к28л +
+ <3д, + + - + ЯЛп) = (Ь).
Итак, 3 (Л,) : 3 (Ь) = к2. ■
Вопросы и задачи
982°. Верно ли, что: 1) любые два конгруэнтных многоугольника
подобны; 2) все квадраты подобны?
983. Верны ли предложения: 1) параллелограммы с соответствен¬
но равными углами подобны; 2) любые два ромба подобны?
250
984.
985.
986.
987.
Могут ли два подобных, но
не конгруэнтных многоуголь¬
ника иметь: 1) по конгруэнт¬
ной стороне; 2) равные пери¬
метры?
Постройте равносторонний
треугольник и проведите пря¬
мую, параллельную одной из
сторон, так, чтобы коэффици¬
ент подобия данного и отсе-
113
ченного треугольника был равен: 1) — ; 2) —; 3) —.
2 3 4
Постройте два подобных прямоугольника с коэффициентом
подобия, равным: 1) 0,3; 2) 3.
Постройте два подобных ромба с коэффициентом подобия,
2
равным: 1) 0,5; 2) —.
О
0
988*.В прямоугольнике АВСЛ |АВ|=а и |ВС| = Ь (а>Ъ).
Отрезок ЕЕ проведен так, что полученный прямоугольник
ВСЕЕ подобен данному. Найдите стороны прямоугольни¬
ка А1УЕЕ. Произведите вычисления для случаев: 1) а = 8 см,
6 = 6 см; 2) а = 6,4 см, Ъ = 4,8 см.
989. В ящик плотно сложены коробки, имеющие форму прямо¬
угольного параллелепипеда. (На рис. 414 показан вид свер¬
ху.) Подобны ли показанные на этом рисунке малые прямо¬
угольники прямоугольнику АВСО1
990. Разрежьте тетрадный лист бумаги на несколько конгруэнтных
частей прямоугольной формы так, чтобы полученные после
разрезания малые прямоугольники были подобны взятому
листу.
991. Наименьшие стороны двух подобных многоугольников отно¬
сятся как 2 : 5. Вычислите периметр большего из этих много¬
угольников, если периметр меньшего из них 42 см.
992. Стороны одного треугольника 1,2 м, 2,4 м и 3 м. Периметр
подобного ему треугольника 11 м. Вычислите стороны вто¬
рого треугольника.
993. Отношение периметров двух треугольников равно 0,625.
Стороны меньшего из этих треугольников 4 дм, 5 дм, 7 дм.
Вычислите стороны большего треугольника.
994. В двух подобных многоугольниках меньшие стороны 35 см и
21 см, а разность их периметров 40 см. Вычислите периметр
каждого многоугольника.
251
995. Найдите отношение площадей двух квадратов, если отно¬
шение сторон этих квадратов равно: 1) 2:3; 2) ]Л2 •
3) 1 : 1,5; 4) к : I.
996. Как относятся стороны двух квадратов, если отношение пло¬
щадей этих квадратов равно: 1)4:9; 2) 3 : 4; 3) 0,5 : 2;
4) р : д?
997. Как изменится площадь многоугольника, если каждая из его
сторон: 1) увеличится в п раз; 2) уменьшится в к раз (а ве¬
личины углов не изменятся)?
998. Одна из сторон треугольника разделена на три конгруэнт¬
ные части, и через точки деления проведены прямые, па¬
раллельные другой стороне. Найдите отношения площади
данного треугольника к площадям треугольников, отсечен¬
ных построенными прямыми.
999. Как прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см рассечь прямой
на два подобных прямоугольника?
1000. Стороны параллелограмма имеют длины а и Ъ. Постройте
прямую, отсекающую от данного параллелограмма подоб¬
ный ему параллелограмм.
1001. 1) Докажите, что два выпуклых четырехугольника конгру¬
энтны, если у них имеется одна пара равных соответственных
углов и все соответственные стороны равны.
2) Сформулируйте условие подобия выпуклых четырех¬
угольников.
1002. Соответствующие стороны двух подобных многоугольников
а
относятся как —
ъ
. Площадь первого многоугольника равна
8.
Найдите площадь второго многоугольника. Произведите вы¬
числения при 8 = 24 см2 для случаев, когда:
2) ^- = 0,5;
О
- = 41 — = -
Ь уз’ ' Ь 5'
1003. Периметры двух подобных многоугольников относятся как
3 : 5. Площадь большего многоугольника равна 40 м2. Вы¬
числите площадь второго многоугольника.
1004. Постройте квадрат, площадь которого равна: 1) четвертой
части площади данного квадрата; 2) половине его площади.
1005. Площади двух подобных треугольников равны 8) и 82. Осно¬
вание первого из них а\. Найдите высоту первого, основание
и высоту второго треугольника. Вычислите при 81 = 64 см2,
82 = 24 см2, а\ = 4 см.
252
70. Измерительные работы
1. Поперечный масштаб. Численным масштабом называют от¬
ношение расстояний между двумя любыми точками на чертеже
(плане, карте) к расстоянию между соответствующими им точ¬
ками в натуре. Если, например, расстояние на карте между
точками А{ и В1 равно 1 см, а расстояние между соответствую¬
щими им точками А и В на местности равно 10 км, то численный
масштаб этой карты равен | А^! : |АВ| = 1 см : 1 000 000 см =
= 1 : 1 000 000.
Значит, численный масштаб — это коэффициент подобия
участка на местности и его изображения на карте.
Линейный масштаб — это отрезок с нанесенными на него
делениями и надписью, указывающей, какой отрезок соответ¬
ствует каждому делению в натуре. На рисунке 415 изображен
линейный масштаб, соответствующий численному масштабу
1 : 1 000 000.
Для определения расстояния между двумя пунктами А и В
по карте нужно одну ножку измерительного циркуля поста¬
вить в точку А, другую — в В. Затем, не меняя раствора цир¬
куля, следует поставить его ножки так, чтобы одна из них на¬
ходилась справа от 0 на каком-нибудь крупном делении, а
другая — слева от 0 на мелком делении (или в самой точке 0).
Тогда по линейному масштабу можно определить расстояние
между пунктами А и В в натуре.
Для увеличения точности измерений расстояний по карте
(или плану) используют поперечный масштаб (рис. 416).
В линейном масштабе левый крайний отрезок (масштабная
единица или основание масштаба) делится на 10 равных частей.
Чтобы измерять отрезки с точностью до сотых частей масштаб¬
ной единицы, строят прямоугольник АВСИ (рис. 416, а) и
на его основании АВ наносят линейный масштаб. Боковые
стороны прямоугольника делят на 10 конгруэнтных частей и
проводят через точки деления отрезки, параллельные (АВ).
На стороне ВС откладывают последовательно масштабную
1:10ОО 000
10 О Ю 20 30 ^0 50 км
Ц-Ш111111 ■■ I I I ■ ■ ■ I
Рис. 415
253
единицу и полученные точки соединяют с соответствующими
делениями линейного масштаба АВ. Отрезок ИЕ делят на 10
равных частей и обозначают, как на рисунке (отметки 0, 1,
2, 3, ... сдвинуты на одну влево по сравнению с соответствую¬
щими отметками на отрезке ОА). Точки отрезков ОЕ и АО с
одинаковыми отметками соединяют отрезками. Поперечный
масштаб готов.
Рассмотрим треугольник ОЕО, изобразив его для удобства
отдельно (рис. 416, б). Параллельные прямые отсекают от него
подобные треугольники. Из подобия треугольников следует,
что|А1В1| : |0Д| = 1 : 10, |А2В2\: |0В| =2 : 10, \А3В3\-.\0Е\ =
= 3 : 10, ..., | А9В9| : |0В| = 9 : 10.
Следовательно, расстояние |А1В11 равно 0,01 масштабной
единицы, |А2В2| —0,02 масштабной единицы и т. д.
Используют поперечный масштаб следующим образом. Раст¬
вор циркуля, перенесенный с карты, накладывают так, чтобы
острия обеих ножек находились на одной горизонтали, причем
одно острие — в точке пересечения горизонтали с вертикалью,
правее прямой ОЕ (на рис. 416 — в точке 2\Г), а другое — на
этой же горизонтали, левее прямой ОЕ (в точке М). Получили:
^М\ = |М?1+ |(?Р| + \РМ\. Но |ЛГв| = 3, |Р0| = 0,08,
\РМ\ = 0,4.
Следовательно, |Л'Л/| = 3,48 масштабной единицы.
2. Определение высоты предмета, а) Для определения высоты
предмета (например, дерева) ставят на некотором расстоянии
254
от него шест (по отвесу) с вра¬
щающейся планкой (рис. 417).
Планку направляют на верх¬
нюю точку предмета (дерева),
как показано на рисунке. Да¬
лее отмечают на поверхности
земли точку В. Получаются
пары точек А и С та¬
кие, что треугольники А1С1В
и АСВ подобны. Отношения
|А1С1|:|АС|и |ВС1|:|ВС| рав¬
ны коэффициенту гомотетии. От¬
резки ВС1 и ВС измеряют, длина
отрезка АС известна. Тогда из
пропорции |А!С1| : |АС] =
= |ВС1| : |ВС|находят:
1111 |ВС I 1 *
3. Съемка плана земельного
участка. Мензула представля¬
ет собой квадратную доску
(планшет), помещенную на шта¬
тиве (рис. 418). На планшет
кнопками прикрепляется лист
бумаги. Если нужно снять план
земельного участка, имеющего
форму многоугольника (рис.
419), то внутри его выбирают
точку О, из которой видны все
вершины этого многоугольни¬
ка. Над точкой О устанавливают
(с помощью уровней) мензулу
так, чтобы мензульная доска
была в горизонтальном поло¬
жении. Далее на планшете от¬
мечают точку Ои соответствую¬
щую выбранной точке О на
местности.
С помощью алидады или трех¬
гранной масштабной линейки
255
\ /
через точку Ох, проводят лучи
в направлениях на вехи, поста¬
вленные в вершинах много¬
угольника, план которого сни¬
мается. Измерив расстояния от
точки О до вершин многоуголь¬
ника, откладывают их в выбран¬
ном масштабе на соответст¬
вующих лучах, вычерченных
на планшете. Получают точки
А1, Вх, Сх, (рис. 419), соот¬
ветствующие вершинам данного
на местности многоугольника.
Многоугольники АВСИ и
подобны. Коэффици¬
ент подобия равен выбранному
масштабу.
Интересна с точки зрения
геометрии возможность при по¬
мощи мензулы снимать планы
почти без измерения расстоя¬
ний на местности. Достаточно
измерить одно расстояние —
базис.
Пусть, например, измерив на
местности базис АВ (рис. 420),
мы нанесли его в надлежащем
масштабе на планшете в виде
отрезка А\В^ и хотим нанести
на планшет положение вех С,
В и Е. Для этого ставим мензу¬
лу в точке А, ориентируем план¬
шет так, чтобы луч АьВу прохо¬
дил через точку В, и визируем
вехи С, Р, В, проводя на план¬
шете из точки А1 соответствую¬
щие лучи (рис. 421). Потом пе¬
реносим мензулу в точку В,
ориентируем планшет так, чтобы
луч В1А1 проходил через точку А
(рис. 422), и визируем вновь
256
№
и
Рис. 424 Рис. 425
вехи С, I), Е. На рисунке 422 видно, как в результате полу¬
чаются на планшете изображения точек С, 2), Е.
▼ Существует еще много приемов съемки без измерения на
местности расстояний, кроме измерения базиса. С ними ин¬
тересно ознакомиться на практике. Рассмотрим одну из возни¬
кающих здесь задач. Пусть мы нанесли на плане точки А, В
и С (рис. 423), причем точка С нанесена засечками из точек А
и В, подойти же к ней нельзя. Веха, поставленная в точке 2),
видна, из точки В, но не видна из точки А. Поставив мензулу
в точку В, мы ориентируем ее так, чтобы луч В{А1 проходил
через точку А, и проводим на планшете прямую х = (В 12))
(рис. 424). Перенеся мензулу в точку 2), можно найти ее поло¬
жение «засечками на себя», как это показано на рисунке 425.
Сначала ориентируют планшет так, чтобы нанесенная ранее
прямая х проходила через точку В на местности, а затем про¬
водят прямую у = (СС1). Пересечение прямых х и у даст
на планшете изображение 2)1 точки 2), в которой мы находимся.
Выполнив на местности измерения базиса и соответствую¬
щих углов, можно находить площади участков, воспользовав¬
шись для этого известными формулами площади треуголь¬
ника. ▼
4. Пантограф. Для построения фигуры, гомотетичной данной,
служит прибор пантограф (рис. 426).
Возьмем параллелограмм АВСИ (рис. 427), сторонами ко¬
торого служат металлические стержни, скрепленные шарнирно.
На продолжении стержня ВС в точке Е закрепим острие ка¬
рандаша. В точке Г пересечения АЕ и С2) на стержне С2) укре¬
пим иглу с тупым концом.
9 Заказ 354
257
I
Теперь будем изменять положение нашего шарнирного
параллелограмма АВСБ9 не меняя положения вершины А.
Докажем, что точки А, Р и Е будут оставаться на одной
прямой. Пусть АВ1С^О\ — новое положение параллелограмма
АВСИ.
ЛАВЕ ЛРСЕ,
откуда
|АВ\ : |СВ| = |ВЕ\ : \СЕ\ = | АЕ\ : |ЕЕ|, (1)
ЛАВ^Е^ ЛР1С7±Е1,
откуда
| АВИ : = 13^1 : \С<ЕА = \АЕ,\г 1ЗД|. (2)
Но
\В,Е1\ = \ВЕ\, 1СММ = \СЕ\, 1АВИ = | АВ|, (3)
так как эти отрезки меняют только положение, а не длину. По¬
этому из соотношения (2) получаем: | АВ \: |С1Е1| = | ВЕ |: | СЕ\.
Сравнивая это соотношение с (1), заключаем, что | СР | = | СХР^ |.
Отсюда следует, что точка
точки Р и, значит, точки А,
Рис. 427
! является новым положением
и Е при изменении положения
параллелограмма АВСЬ оста¬
ются на одной прямой.
На основании (1) и (2), учи¬
тывая равенства (3), находим
также, что | АЕь |: | Р1Ег | = | АЕ |:
:|ЕЕ|, откуда | АВИ : 1АРИ =
= | АЕ\ : |АЕ|.
Поэтому точкам Р и. Р1 со¬
ответствуют при гомотетии с
центром А точки Е и Ер Коэф¬
фициентом этой гомотетии явля¬
ется отношение | ВЕ | : | ЕС |.
258
Таким образом, если острием иглы обводить контур неко¬
торой фигуры, то острие карандаша нарисует контур фигуры,
гомотетичной данной.
Дополнительные задачи к главе VI
1006. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику
АВС, сторона которого, соответствующая стороне ВС, кон¬
груэнтна данному отрезку.
1007. Постройте треугольник по данному углу, отношению сторон,
образующих этот угол, и данной: 1) медиане, проведенной
к третьей стороне; 2) высоте, проведенной к третьей сто¬
роне.
1008. Постройте треугольник по двум данным углам и высоте, про¬
веденной из вершины третьего угла.
1009. Постройте прямоугольный треугольник: 1) по данному отно¬
шению его катетов и гипотенузе; 2) по данному катету, отно¬
шению второго катета к гипотенузе; 3) по высоте, проведен¬
ной к гипотенузе, и отношению катетов.
1010. На каждом из оснований трапеции АВСБ построены вне тра¬
пеции равносторонние треугольники. Докажите, что прямая,
соединяющая вершины треугольников, не лежащие на осно¬
ваниях трапеции, проходит через точку пересечения диагона¬
лей трапеции.
1011. На каждом из оснований трапеции АВСИ построены вне тра¬
пеции квадраты. Докажите, что эти квадраты гомотетичны,
причем центр гомотетии — точка пересечения диагоналей
трапеции.
1012. На рисунке 428 изображен сегмент. 1) Выразите формулой
зависимость между I — длиной хорды, к— «стрелкой» (вы¬
сотой) сегмента и г — радиусом. 2) Вычислите радиус, если
7 = 8 см, Л = 3 см.
1013. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограм¬
ма равна сумме квадратов его сторон.
1014. Найдите величины углов равнобедрен¬
ного треугольника, если известно, что
биссектриса угла при его основании
отсекает треугольник, подобный дан¬
ному.
1015. Диагонали четырехугольника перпен¬
дикулярны. Докажите, что сумма
9*
259
к г
I
г!
Ч-“Н“ ■■
.. Л 1 1
> 77
-^-н- -
ГТТГ ■
'к
.X?
±:±^т:
Ю 5 0
10
20 50
40 •
50
60
10.
а)
0. Р
Рис. 429
квадратов противоположных его сто¬
рон равна сумме квадратов двух дру¬
гих его сторон.
1016. Докажите, что разность квадратов
двух сторон треугольника равна раз¬
ности квадратов их проекций на
третью сторону.
1017. Четырехугольник АВСИ—прямоуголь¬
ник, О — произвольная точка плоско¬
сти. Докажите: | О А |2 + | ОС |2 =
= |ОВ|2+ |ОО|2.
1018. Постройте отрезок длины х, если:
1) х = |/а2_|_ ^2. 2) х =Уа2 — Ъ2\
где а и Ъ — длины данных отрезков
(а > &).
1019. Докажите, что разность квадратов рас¬
стояний от точек перпендикуляра к от¬
резку АВ до концов этого отрезка
есть величина постоянная.
1020. Найдите множество точек, сумма квад¬
ратов расстояний от которых до кон¬
цов данного отрезка постоянна.
1021. Какую фигуру образуют середины хорд данной окружности,
конгруэнтных данному отрезку? Постройте эту фигуру, если
дана окружность и одна из хорд.
1022. Постройте отрезок длины х: 1) х =; 2) х = —~~&-
а + с с
(а, д, с — длины данных отрезков).
1023. На рисунке 429, а изображены масштабная линейка с санти¬
метровыми делениями и поперечным масштабом. 1) Объ¬
ясните, почему такая линейка позволяет измерять расстоя¬
260
ния с точностью до 0,1 мм. 2) Найдите по этому рисунку
расстояния |Е?|, | АВ |, | СО | и |^О| с точностью до 0,1 мм.
1024. На рисунке 429,6 изображен пропорциональный (делитель¬
ный) циркуль, позволяющий делить отрезки на конгруэнт¬
ные части и выполнять построения подобных фигур. Объяс¬
ните, на чем основано устройство такого циркуля.
1025. Какими тремя последовательными натуральными числами
могут выражаться стороны прямоугольного треугольника?
1026. Может ли композиция двух гомотетий быть перемещением?
1027. Приведите пример фигуры, которая подобна себе с любым
коэффициентом подобия к = 2П, где п — целое число, но
не подобна себе ни при каком другом коэффициенте.
00
ГЛАВА N/41
ПОВОРОТЫ
КЛАСС
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
X,
Рис. 430
§ 1. Повороты и их композиции
71. Способы задания поворотов
Вы уже знаете (п. 19), что поворот
определяется заданием:
а) его центра О,
б) угла поворота а,
в) направления поворота.
Угол поворота а при этом считает¬
ся заключенным в пределах
0° < а < 180°.
Поворот на 0° — это тождественное
отображение плоскости:
Е (X) = X.
Для любого центра О повороты на
180° в обоих направлениях совпадают
и являются центральной симметрией
относительно центра поворота.
Мы познакомимся теперь с другой
системой задания поворотов, преиму¬
щества которой выяснятся постепенно.
Выберем какое-либо направление
поворота в качестве положительного,
а противоположное направление будем
считать отрицательным. Положитпель*
ним обычно считают направление по¬
ворота против часовой стрелки. На¬
пример, поворот на 80° против часо¬
вой стрелки будем называть поворотом
на 80°, поворот же на 80° по часовой
стрелке — поворотом на минус 80°
262
(рис. 430). При таком соглашении поворот полностью опреде¬
ляется заданием: 1) центра О; 2) угла поворота а (—180°^
< а < 180°).
Угол поворота теперь считается направленной величиной,
числовое значение которой может быть как положительны^
так и отрицательным или нулем. Поворот с центром О на угол а
обозначается Я®. Например, повороты, указанные на рисун¬
ке 430 стрелками, обозначаются и Л~80°.
Удобно, однако, рассматривать повороты и на углы, лежа¬
щие вне пределов от —180° до 180°. На рисунке 431 показано,
почему поворот на —20° совпадает с поворотом на 340°:
Д340° = Д-20э
Поворот мы рассматриваем теперь как результат вращения.
Чтобы наглядно представить себе вращение, положите на лист
бумаги лист кальки и проколите оба листа булавкой в некото¬
рой точке О. На листе бумаги заранее начертите какую-либо
фигуру. Скопируйте эту фигуру на кальку и после этого вра¬
щайте кальку вокруг точки О. Точка О будет оставаться непод¬
вижной, любая же другая отмеченная на кальке точка будет
двигаться по окружности. Если вначале она занимала на пло¬
скости положение X, то после вращения на 340° против часо¬
вой стрелки она займет положение Х1 (рис. 431). Тот же резуль¬
тат получится и при вращении по часовой стрелке на 20°. Поэ¬
тому мы и считаем, что записи Я3400 и В~20’ являются просто
разными обозначениями одного и того же поворота. Тот же
поворот можно получить при помощи вращения бесконечным
числом способов. В самом деле, в результате вращения на 360°
по часовой стрелке (или против часовой стрелки) все нанесен¬
ные на кальку точки возвращаются на прежние места, поэтому
поворот на 340° можно получить и в результате вращения на
углы: —20° + 360° = 340°, —20° + 360° ■ 2 = 700° — 20°—
_360° = —380°, —20° — 360° • 2 = —740°, ...
Вообще, поворот получается в результате вращения не
только на угол а, но и на угол а + 360° - и, где п — любое
целое число.
Итак, если 0 = а + 360° • п (п — целое, и —180° а
180°), то поворотом на угол 0 называется поворот (По-
* Рассматривая повороты с каким-либо одним заданным центром, можно
опустить обозначение центра: вместо писать просто Ла.
263
ворот на угол а, где —180° а 180°, был определен ра¬
нее.) Например,
120°
9
Б1200°
120э+360°-3
^-1200°
— Д“12°О~360°‘3
120°
Рассматривая приведенные выше примеры поворотов на
определенный угол, мы рассуждали так, как это принято в
физике при изучении вращательного движения. В курсе гео¬
метрии мы не исследуем движения (процесса, проходящего во
времени), а интересуемся только перемещениями. Но исполь¬
зованные нами представления из области кинематики (раздел
механики, занимающийся описанием различных видов движе¬
ния) помогают понять определение и свойства поворотов.
Вопросы и задачи
1028. Отметьте на листе бумаги центр поворота О и некоторую
точку М. Найдите образ точки М при повороте на следую¬
щие углы: 1) 35°; 2) 70°; 3) 125°; 4) 160°; 5) —145°;
6) —110°.
1029. Два наблюдателя, стоящие по разные стороны от велосипе¬
да, заметили, что колеса этого велосипеда вращаются в на¬
правлении по часовой стрелке. Может ли это быть?
1030°. На рисунке 432 стрелкой показано направление вращения
одной из шестерен. Какие из шестерен будут при этом вра¬
щаться в положительном и какие — в отрицательном направ¬
лении?
1031. Точка М отображается на точку М{ при повороте вокруг
центра О: 1) на 40°; 2) на 70°; 3) на 130°. Укажите другие
значения углов поворота, при которых точка М отображает-
Рис. 432
ся на эту же точку М[.
1032. Точка М отображается на
точку М\ при повороте во¬
круг центра О: 1) на —130°;
2) на —40°; 3) на —90°.
Укажите другие значения
углов поворота, при кото¬
рых точка М отображается
на эту же точку.
264
1033. Представьте в виде —180°^ 180°) следующие по¬
вороты: 1) я380°; 2) Л750 ; 3) Л1460; 4) Я“27°э; 5) В2000’?
6) В1080°; 7) Я220°;
1034. Запишите с использованием обозначения Ла(—180°
^180°) повороты на угол: 1) 660°; 2) —570°; 3) —1000°;
4) 890°; 5) 740°; 6) 1100°; 7) 1500°.
1035. При каких значениях числа к справедлива запись:
1) в3 = Д0+36(Р.*. 2) = дЗ + 180’.Л?
72. Угловые величины. Их измерение в радианах
1. В предыдущем пункте мы рассматривали новый вид угловых
величин — углы поворота. Как и другие угловые величины,
углы поворота можно измерять в градусах. Градусная мера
угла поворота может равняться любому действительному числу.
Вспомним все виды угловых величин, с которыми имели дело.
1) Величина угла а (геометрической фигуры) заключена в
пределах 0° < а < 360°.
2) Угол а между направлениями лежит в пределах
0° < а < 180°.
3) Угол а между прямыми лежит в пределах 0° а 90°.
(Углом между пересекающимися прямыми называется величи¬
на меньшего из углов, образуемых этими прямыми; угол между
параллельными прямыми считается равным 0°.)
4) Угловая величина а дуги окружности может принимать
значения 0° < а < 360°.
5) Вращательное движение в физике характеризуется лю¬
быми угловыми величинами, принимающими любые действи¬
тельные значения, т. е. — оо < а < оо.
Таково же положение с поворотами в геометрии. Однако
здесь имеется важное различие. Например, вращения на 50°
и на 410° как физические процессы различны. Но в результате
они дают один и тот же поворот
Д50э = Д4Ю°.
2. Вы знакомы с различными единицами измерения угло¬
вых величин: это градус, минута, секунда, прямой угол
(а = 90°). При измерении угловой величины дуги за еди¬
ницу измерения принимается угловая величина дуги, длина
которой равна радиусу. Эта единица измерения угловых ве¬
личин называется радианом.
265
Чтобы выразить радиан в градусах, вспомним формулу дли¬
ны окружности радиуса Я:
С = 2лЛ. (1)
Длина дуги в один градус равна: В, а длина дуги
в а градусов равна:
2= — аВ. (2)
Дугу длины I = В мы получим, если в формуле (2) поло-
180 тт
жим а = —. Поэтому радиан выражается в градусах по
Л
формуле
1 рад = (3)
Приближенно 1 радиан равен 57°18'.
Из формулы (3) получаем выражение градуса в радианах:
1° = РИД- (4)
Приближенно 1° равен 0,01745 радиан.
Формула для длины дуги при радианном измерении угло¬
вой величины дуги принимает особенно простой вид: длина I
дуги окружности радиуса В в х радиан равна *:
I = хВ. (5)
Радианное измерение угловых величин оказывается во многих
вопросах математики и физики особенно удобным.
В следующей таблице указаны числовые значения вели¬
чин некоторых углов, если за единицу измерения приняты гра¬
дус, прямой угол, радиан.
Еди ни цы
измерения
Числовые
значения величин углов
Градус
30
45
90
180
270
360
Прямой угол
1
3
1
2
1
2
3
4
л
л
л
3
Радиан
—
л
— л
2л
6
4
2
2
* Заметьте, что эта формула проще формулы (2).
266
Вопросы и задачи
1036. Радиус окружности равен 10 см. Вычислите длину дуги, угло¬
вая величина которой равна: 1) 45°; 2) 18°.
1037. Вычислите длину дуги окружности, радиус которой равен
50 см, если: а) угловая величина этой дуги в градусах рав¬
на 144°; б) угловая величина дуги в радианах равна 0,1.
1038. Найдите радианную меру дуги, угловая величина которой
равна: а) 1°; б) 45°; в) 75°; г) 225°.
1039. Найдите угловую величину дуги в градусах, если ее радиан¬
ная мера равна: 1)1; 2) 0,1; 3) 0,3; 4) —; 5) -^л; 6) —;
_ 3 3 9
7)
’ 12
1040. В морской практике углы между направлениями измеряют¬
ся в румбах. При таких измерениях окружность делится на
32 румба. Вычислите: 1) сколько градусов в одном румбе;
2) сколько румбов в одном градусе.
73. Композиция поворотов с общим центром
г)
Рис. 433
Рассмотрим повороты Л20° и Л30° с общим
центром О. В результате последователь¬
ного их выполнения получится поворот
вокруг точки О на 50°. Например, точ¬
ка А (рис. 433, а) при повороте Л20° ото¬
бразится на точку Ль а при повороте
Я30° точка -41 отобразится на точку
А2: А1 = Я20° (А); А2 = Я30’ (АО. Зна¬
чит, Я30 (Я20 (А)) = Я50°(А).
267
Рис. 435
Напомним, что результат последовательного выполнения двух
отображений / и ё обозначается ё°/ и называется композицией
отображений /и ё (п. 54). В нашем примере композиция поворотов
/?20° и Я30° оказалась поворотом Я50 , т. е. Я30’оВ20° =
_ д20°+30°= д50°
Вообще, при любых углах поворота а и Р:
о = .н“+э.
Например,
В130’о Л80’= В80’+13°э= Я210’= Д~150’(рис. 433, б),
Б220’о ЯИО’=Я1И°+ИО’=ЯЗИ°=Е (рис. 433, в),
Д-8°’о В50’ = д50’+(-80’) = д-30’ (рис> 433>
д-5,0’ о д-780’ = д-780’+(-510’> = д-1290’ = д-2Ю> = д,50> (рис< 433,
Так как всегда а + 0 = 0 -|- а, то о =
= Вао 7?р, т. е. композиция поворотов с общим центром пере-
местительна: Лр о = Ца о
▼ В случае различных центров это не так. Например, при
композиции двух центральных симметрий 20^ = Л1^0’ и
2п = В180° получаются различные перемещения (рис.
434, 435): _ -
1 2о, ° 20, = ^°1°2. ° 2о. = 20/>1’ 2о, 0 2о, 2ох 0 20,' ▼
Вопросы и задачи
1041. Найдите угол а(—180° 180°) поворота, являющегося
композицией поворотов с общим центром на: 1) 25° и —60°;
2) -35° и 180°; 3) 70° и 20°; 4) 245° и 135°; 5) -170° и -20°;
6) 90° и 45°.
268
ч
1042. Найдите все значения а, для которых: Д70’ о Ца = Л30’;
2) Я70° о В.а = Л35 ; 3) Я70 о Ца = Л70’; 4) В70° о = Е“,
5) Ва о Я90° = Б80’; 6) Ка о В"200 = Л180’; 7) Ва о В7 = Пя.
1043. Каким перемещением является композиция двух цент¬
ральных симметрий с общим центром
1044. Найдите поворот, для которого Лх(Яа(Х)) = X, где X —
любая точка плоскости (короче: В? = Е). Сколько ре¬
шений имеет задача?
1045. Композицией каких трех поворотов на один и тот же угол а
является поворот на 90°?
1046. Композицией каких двух поворотов на один и тот же
угол а является поворот на 180°?
1047. Сколько существует различных поворотов (с общим цент¬
ром), для которых о Ва о Ва = Е*
1048°. Обладает ли композиция поворотов с общим центром свой¬
ством сочетательности?
1049. При каких значениях к (и любых а и 0) верно равенство:
1) _В“ о в? == д«+0+*-360’. 2) = доч-З+ывг?
1050**. Найдите такое наименьшее число и, что композицией п по¬
воротов на 19° является поворот: 1) на 10°; 2) на 20°.
§ 2. Тригонометрические функции
74. Синус и косинус
Окружность с центром в начале координат и радиусом, рав¬
ным 1, будем называть единичной окружностью.
Отметим на единичной окружности
точку Ро (1, 0). При повороте Латочка
Ро отображается на точку Ра, которая
тоже принадлежит единичной окружнос¬
ти (рис. 436).
Поставим в соответствие каждому углу
а определенное число уа — ординату точ¬
ки Ра. Эту ординату называют синусом
угла а и обозначают 81п а, т. е. г/а = 81па.
Тем самым мы определили функцию, на¬
Рис. 436
зываемую синусом.
269
Областью определения функции 81п (читается: синус) явля¬
ется все множество угловых величин. А областью значений —
промежуток [—1, 1], так как ординаты точек Ра, лежащих на
единичной окружности, могут принимать значения от —1 до 1.
Аналогично поставим в соответствие каждому углу а абс¬
циссу ха точки Ра. Эту абсциссу называют косинусом угла а
и обозначают соз а, т. е. ха= соз а. Получим функцию, назы¬
ваемую косинусом. Областью определения функции соз (чита¬
ется: косинус) является все множество угловых величин, а
областью значений — промежуток [—1, 1].
2. На рисунках 437 и 438 показаны значения функций 81П
и соз для данных на этом рисунке углов. При увеличении угла а
от 0° до 90° значения функции зт увеличиваются от 0 до 1,
а значения функции соз уменьшаются от 1 до 0.
На тех же рисунках показаны графики функций зт и соз
для углов, принадлежащих промежутку [—180°, 180°]. При
любом целом п поворот на угол 0 = а + 360° • п совпадает с
поворотом на угол а. Поэтому Ра_|_3б0э.л = Ра при любом целом
п. Значит, *а4_з60о.л = ха, */а+360о.п = Уа» т. е.
8Ш (а + 360° • п) = зт а,
соз (а + 360° • и) = сое а.
270
Любой угол 0 можно представить в виде 0 = а + 360° • п9
где п — целое число, а а находится в пределах —180° <1 а
180°. Поэтому достаточно изучить поведение функций зт
и соз на промежутке [—180°, 180°].
Равенства (1) означают, что функции зги и соз ♦периодиче¬
ские» с «периодом» 360°. Подробнее вы займетесь свойствами
периодичности тригонометрических функций в 9 классе. Нали¬
чие у синуса и косинуса периода в 360° позволяет представить
себе, как выглядят графики этих функций и за пределами проме¬
жутка [—180°, 180°] (рис. 439 и 440).
Вопросы и задачи
1051. Постройте окружность, уравнение которой х* 1 2 34~ у2 = 4.
1) Лежат ли на этой окружности точки: а) А (2, 0); б) В (1, 1);
в) С (—2, 0); г) О(—1, 1)? 2) Запишите координаты каких-
либо четырех точек, лежащих на этой окружности.
1052. Какие координаты будет иметь точка, симметричная точка
М(0,8; 0,6) относительно: 1) начала координат; 2) оси у;
3) оси х?
1053. На окружности, уравнение которой х24-у2=1, дана точ¬
ка 2И(Х1, {/(). Постройте эту окружность и укажите возмож-
271
ное положение точки М, если известно, что: 1) Х1 = 0,3;
2) У\ = 0,3; 3) х{ = уг, 4) х{ = —у{} 5) | х{ | = 0,5;
6) |У|| =0,5.
1054. Укажите координаты точки единичной окружности: 1)
2) ^1б0°’ 3) «Р—доЗ 4) Р_180з 5) Р270 ; 6) Р_2;(р.
1055. Чему равны синус и косинус следующих углов: 1) 90°; 2) 180°;
3) -90°; 4) —180°; 5) 270°; 6) —270°?
1056. Существует ли такой угол а, для которого: 1) зт а = 0;
4 3 5
2) зт а = — 1; 3) зт а = ; 4) зта=—; 5) зта = ;
5 2 6
6) зт а = —2? Постройте этот угол, если он сущест¬
вует.
1057. Определите знак синуса угла: 1) 122°; 2) 90°30'; 3) —103°;
4) 270°; 5) 450°; 6) -725°; 7) 1100°.
1058. На миллиметровой бумаге постройте окружность единично¬
го радиуса, отметьте на ней точки: Р20 » Р453 Р60=;
Найдите значения зт 20°; зт45°; зт60э; зт80°.
1059. Запишите в порядке возрастания: зт 20°; зт 45°; зт 90э;
зт 30°; зт 60°; зт 70°.
1060. Существует ли угол а, для которого: 1) соз а =—1;
2 5 11
2) соз а = 0; 3) соз а = соз а = ; 5) соз а = —;
3 4 12
6) соз а = —2? Постройте этот угол, если он существует.
1061. Определите знак косинуса угла: 1) 170°; 2) —91°; 3) 0°20';
4) 290°; 5) -640°; 6) 530°; 7) 3660°.
1062. На миллиметровой бумаге постройте окружность единично¬
го радиуса, отметьте на ней точки Р20 ; Р45г; ^80э
и найдите значения соз 20°; соз 45°; соз 60°; соз 80°.
1063. Запишите в порядке возрастания: соз 20°; соз 45°; соз 90°;
соз 30°; соз 60°; соз 70°.
1064. Существует ли угол а, для которого: 1) зт а = соз а;
2) зт а = —соз а?
1065. Отложите на координатной плоскости вектор ОА, коорди¬
наты которого равны: 1) (1, 0); 2) (0, 1); 3) (—1, 0);
4) (—1, 1); 5) (1, —1); 6) (1, 1). Найдите величину угла,
образованного вектором ОА с положительным направле¬
нием оси х.
1066. Отложите от начала координат вектор, имеющий коор¬
динаты: а) 0^; б) (0, 5); в) (2, —2); г) (—3, 2); д) (4, 3).
1067. Отметьте на координатной плоскости хОу точки М, А,
212
В, С и найдите составляющие векторов ОМ, ОА, ОВ, ОС по
осям х и у.
1068. Координаты вектора а равны 3 и —4. Постройте состав¬
ляющие вектора а по осям координат.
1069. Даны составляющие вектора а по осям координат: ал =
= —21, ау — Зу. Постройте вектор а.
1070. Выразите координаты вектора через тригонометрические
функции угла а, образованного этим вектором с положи¬
тельным направлением оси х, если даны координаты этого
вектора: 1) (0, 2); 2) (2, 0); 3) (—4) (2, -2); 5) (1, 1).
75. Некоторые тождества для функций синус и косинус
Если точка Ра единичной окружности не лежит на осях коор¬
динат, то точки Ра, О и О (проекция точки Ра на ось х) являются
вершинами прямоугольного треугольника (рис. 441). По тео¬
реме Пифагора получаем:
+ Уа = 1,
51п2а + соз2а = 1.
(1)
В случае, когда точка Р лежит на одной из осей координат
(ха = 0, уа = ±1 или уа = 0, ха = ±1), координаты точки
Ра также удовлетворяют соотношению (1).
Перейдем к выводу других формул. Заметим сначала, что
точка Р180о_а является образом точки Ра при симметрии от¬
носительно оси у (рис. 442). Поэтому ординаты этих точек сов¬
падают, а их абсциссы противоположны:
Х180э-а — Ха’
273
Значит,
соз (180° — а) — —соз а,
81п (180° — а) = З1п а.
Точки Ра и Р_а симметричны отно¬
сительно оси х (рис. 443). Поэтому,
(п. 73)
Х—а = Ха>
У-а, = -У«.'
Следовательно,
соз (—а) = соз а,
81П (—а) = —81п а.
(3)
При повороте на 90° (рис. 444),
точка Ра отображается на точку Р90о+а.
Поэтому (см. рис. 444)
Ж90°+а = Уа.'
Удо°+а. ~ Ха
Значит,
соз (90° + а) — —зш а, ...
V*)
зш (90° + а) = соз а.
Точки Ра и Р90о_а симметричны от¬
носительно оси 1У содержащей биссек¬
трису угла хОу (рис. 445). Поэтому
Х90'-а Уа*
У^—а ~ Ха.'
Значит,
соз (90° — а) = 81П а,
зш (90° — а) = сое а.
(5)
274
Замечание. Из первой формулы (5) вытекает, что гра¬
фик функции 81п получается из графика функции соз параллель¬
ным переносом вдоль оси а вправо на расстояние, соответствую¬
щее углу 90° (рис. 446).
Вопросы и задачи
1071. Вычислите значение соз а, если: 1) зт а = 0,6, 0° < а < 90’;
2) 81п а = 0,96, 90° < а < 180°; 3) зш а = 0,8, 0°< а < 90э;
4) зт а = —, 90° < а < 180°; 5) зт а 0° < а < 180°.
3 2
1072. Вычислите значение 81п а, если: 1) сое а = —, 0° < а < 90°;
2) соз а = —0,5, 90° < а < 180°; 3) соз а = 0,6, 0°<а<90’;
4) соз а = —4. 90°< а <180°; 5) соз а =1^1, 0°<а<180°.
3 2
1073. Упростите выражение: 1) 1 —соз2 а; 2)зт2 а — 1; 3) С08~—;
1—81п2а
4) зт2 а + соз2 а — 1; 5) 2 81п2 а + соз2 а — 1; 6) 81П а X
X (1 — соз2 а); 7) 2 — зт2 а — соз2 а; 8) (1 — 81п а) (1 + 81п а).
1074. Выразите через значение тригонометрической функции
положительного угла, меньшего 90°: 1) 81п 100°; 2) зш 160°;
3) соз 170°; 4) зш 95°16'; 5) з1п 103°45'; 6) соз 124°15'.
1075. Выразите через значения тригонометрических функ¬
ций положительных углов, меньших 90°: 1) 81п(—70°);
2) соз (-70°); 3) зш(—20°); 4) соз (—20°); 5) зт(-45о);
6) соз (—45°).
1076*. Докажите, что: 1) зт (а + 180°) = —зт а; 2) соз(а+180°)=
= —соз а; 3) (соз а — зт а) (соз а + зт а) = 1 — 2 81П2 а;
4) зт (90° — а) соз (180° — а) = —соз2 а;
5) соз (90° — а) зт (180° — а) = зт2 а.
76. Таблицы синусов и косинусов
Значения синусов и косинусов углов а, где 0° а 90°, на¬
ходят по таблицам. В школе употребляются четырехзначные
математические таблицы.
Заметим сначала, что равенства
зт (90° — а) = соз а,
соз (90° — а) = 81п а,
275
известные из пункта 75, позволяют находить значения синусов
и косинусов, пользуясь лишь одной таблицей.
Рассмотрим примеры нахождения значений синуса и косину¬
са по их аргументам.
Синусы
А
О'
6'
12х
18х
24х
00
о
36х
42х
48х
54х
60х
1'
2х
3'
70°
0,9397
9403
9409
9415
9421
9426
9432
9438
9444
9449
0,9455
19°
1
2
3
71°
9455
9461
9466
9472
9478
9483
9489
9494
9500
9505
9511
18°
1
2
3
72°
9511
9516
9521
9527
9532
9537
9542
9548
9553
9558
9563
17°
1
2
3
73е
9563
9568
9573
9578
9583
9588
9593
9598
9603
9608
9613
16°
1
2
2
74°
9613
9617
9622
9627
9632
9636
9641
9646
9650
9655
9659
15°
1
2
2
60'
54х
48х
42х
36х
о
00
24х
18х
12х
6х
0х
А
Iх
2х
3х
Косинусы
Пример 1. Найти зш 70°36'.
Находим число градусов в крайнем левом столбце таблицы,
число минут — в верхней части таблицы. На пересечении соот¬
ветствующей строки и столбца находим искомое число:
зш 70°36' = 0,9432*.
Пример 2. Найти зш 74°55'.
В таблице находим синус угла, ближайшего к данному:
зш 74°54' = 0,9655. Затем в столбцах поправок (в правой сторо¬
не таблицы) находим поправку на 1'. Эта поправка равна 0,0001.
Учитывая, что при возрастании угла от 0° до 90° синус так¬
же возрастает, найденную поправку прибавляем. Таким об¬
разом,
зш 74°55' = 0,9655 + 0,0001 = 0,9656.
Пример 3. Найти соз 16°12'.
Число градусов ищем в правой стороне таблицы (в столб¬
це А^, число минут — в нижней строке таблицы. На пере¬
* В записях табличных данных вместо знака приближенного равенства
(=г) обычно пишут знак равенства (=).
276
сечении соответствующих строки и столбца находим искомое
число:
соз 16°12' = 0,9603.
П ример 4. Найти соз 18* э50'.
По таблицам находим значение косинуса угла, ближайшего
к данному: соз 18°48' = 0,9466. В столбце поправок находим
поправку на 2'. Эта поправка равна 0,0002. Учитывая, что при
возрастании аргумента от 0° до 90° значения косинуса убывают»
найденную поправку надо вычесть. Поэтому
соз 18°50' = 0,9464.
По этим таблицам можно решать и задачи, обратные рас¬
смотренным: по данным значениям синуса и косинуса некото¬
рого угла находить этот угол.
Пользуясь формулой 2 из пункта 74 и формулами 2—5 из
пункта 75, нахождение синуса (косинуса) любого угла можно
свести к нахождению синуса или косинуса угла, лежащего в
пределах от 0° до 90°.
Примеры.
1) зт (—72°) =± —зт 72° = —0,9511;
2) соз (—108°) = соз (90° + 18°) - —зт 18° = —0,3090;
3) зт 430° = зт (360° + 70°) = зт 70° = 0,9397;
4) соз 550° = соз (2 • 360° — 170°) = соз (—170°) =
= соз (180° — 10°) = —соз 10° = —0,9848.
Вопросы и задачи
1077. Найдите по таблицам значения синусов и косинусов следую¬
щих углов: 1) 40°; 2) 14°36'; 3) 25°54'; 4) 40°56'; 5) 80°03';
6) 89°50'; 7) 0°54'; 8)105°; 9)160°; 10)170°; 11) -40°;
12) —110°; 13) -1000°; 14) 1100°.
1078. Найдите по таблицам величину острого угла х, зная синус
или косинус этого угла: 1) зт х = 0,0175; 2) зт х = 0,5015;
3) зт х = 0,5814; 4) соз х = 0,0670; 5) соз х = 0,5673;
6) соз х = 0,9047.
1079. Вычислите без помощи таблиц: 1) зт 30° + соз 60°;
2) зт 90° — зт 180°; 3) зт 90° + соз 90°; 4) зт (—180°) +
+ соз (-90°).
277
77. Тангенс
1. Отношение называется тангенсом угла а и обознача-
соз а
ется а.
Функция определена для тех углов а, для которых соз аФ
#= 0. На промежутке [—180°, 180°] имеются два угла, для ко¬
торых соз а = 0, — это углы 90° и —90°. Следовательно, а
не определен при а = 90° и а = —90°.
Значения функции а для углов а от 0° до 90° даны в че¬
тырехзначных математических таблицах. Описание таблиц «Тан¬
генсы» содержится в объяснительном тексте к ним.
▼ На рисунке 447 показано
для углов а, если —90° < а
( как строится график тангенса
< 90°. В силу подобия треуголь¬
ников ОЕС} а и ОМаРа имеем:
| = I Р<*Ма\ = 81п_а = .
| ОЕ | | ОЛГа | соз а
Но | ОЕ | = 1, и, следователь¬
но, |Е0а| = 16 ▼
2. Рассмотрим прямую /,
проходящую через начало ко¬
ординат (рис. 448). Ее уравне¬
ние: у = кх. Коэффициент к на¬
зывается угловым коэффициен¬
том этой прямой.
Пусть М — произвольная
точка прямой I. Ее координаты
равны: х = |ОМ\ соз а и у =
= |О2И| 51п а. Координаты то¬
чки М удовлетворяют уравне¬
нию этой прямой. Поэтому
|ОМ\ зт а = к | ОМ\ соз а.
Отсюда
. з1п а
* = .
соз а
т. е.
к = а.
278
Прямые с уравнениями у = Лхиу=Ах4-Ь параллельны
(см. рис. 448), так как их угловые коэффициенты равны. Верно
и обратное: если угловые коэффициенты двух прямых равны,' то
эти прямые параллельны.
Вопросы и задачи
1080. 1) Вычислите без помощи таблиц: а) 45°; б) 4$ (—45°);
в) 16 0°; г) 1$ 30°; д) 60°; е) 1$ 180°.
2) Не прибегая к таблицам, укажите наименьшее положи¬
тельное значение а, при котором: а) 1ё а=1; б) а = —1.
1081. Докажите, что: 1) а) = —I# а; 2) 1 + 1ё2 а = —-—.
соз2 а
1082. Найдите по таблицам значения тангенса угла: 1) 5°; 2) 25°;
3) 35°42'; 4) 46°56'; 5) 80°03'; 6) 89°50'.
1083. Найдите по таблицам острый угол х, если: 1) 1% х = 0,3227;
2) 1ё х = 0,7846; 3) х = 1,4632; 4) х=6,152; 5) 12 х=
= 17,89; 6) 1ё х= 156,3.
1084. 1) Найдите угловой коэффициент прямой: а) 2х — у-]-3 = 0;
б) 4х + 4у — 5 = 0; в) у = 5х — 7; г) у = х; д) у = 5.
2) Параллельны ли прямые, заданные уравнениями: а) 4x4“
4- 4у = 5; и у = х 4- 1; б) 4х 4- 4у = 5 и у = — 2 — х?
3) Постройте прямую, уравнение которой: а) х=2; б) у = 3;
в) у = 0,5х; г) у = х; д) у = —х; е) 2х + Зг/ = 0.
78. Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с катетами
а, Ъ и гипотенузой с. Выберем прямоугольную систему коорди¬
нат так, как показано на рисунке 449. Пусть Р — точка пере¬
сечения луча АВ с единичной окруж¬
ностью, Рх и Ру — проекции этой
точки на оси координат. Тогда по
определению синуса и косинуса
|ОРХ| = соз А, | ОРу | = 81п А. Из
подобия треугольников АРРХ и АВС
получаем:
а
с
\РРХ\
| АР1
279
= соз А.
Отсюда:
> Ъ | АРХ | созА
~с ~\АР\ “ 1
а
Ь ‘
Треугольник, как вы знаете, определяется тремя элемента¬
ми. В прямоугольном треугольнике один элемент — прямой
угол — всегда известен. Поэтому прямоугольный треугольник
определяется двумя другими основными элементами, из которых
хотя бы один является его стороной.
Выпишем некоторые из формул, связывающие элементы пря¬
моугольного треугольника:
А + В = 90°;
а2 + Ь2 = С2.
(1)
(2)
• а . п Ь
81п А = —, 81п В = —;
с с
(3)
Ь п а
соз А = —, соз В = —;
с с
(4)
(5)
Формулы 3—5 можно прочитать так:
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отно¬
шению противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от¬
ношению прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен
отношению противолежащего катета к прилежащему.
Решим несколько задач на вычисление элементов прямо¬
угольного треугольника пр двум его известным элементам.
Задача 1. Дано*. а, Ъ. Требуется найти: А, В, с.
1) А = (формула 5); величину угла А находим из
таблиц.
2) В = 90° — А (формула 1).
3) с = (формула 3).
81П А
Задача 2. Дано: а, с. Требуется найти: А, В, Ь.
1) 81п А = — (формула 3); величину угла А находим из
с
таблиц.
280
2) В = 90° — А (формула 1).
3) Ь = с 81п В (формула 3).
Задача 3. Дано-, а, А. Требуется найти: В, Ь, с.
1) В = 90° — А (формула 1).
2) Ь = а В (формула 5).
3) с = —(формула 3).
81П А
Задача 4. Дано*, а, В. Требуется найти*. А, Ъ, с.
1) А = 90° — В
2) Ь = а 1$ В
(формула 1).
(формула 5).
3) с = —(формула
81П А
Задача 5. Дано*, с, А.
1) В = 90° — А (формула
2) а = с зш А
(формула
3).
Требуется найти*. В, а, Ъ.
1).
3).
3) Ь = с соз А
(формула 4).
Вопросы и задачи
1085. Формулу а = Ы&А можно прочитать так: катет прямо¬
угольного треугольника равен другому катету, умноженно¬
му на тангенс угла, противолежащего первому катету. Про¬
читайте формулы: 1) Ь = с соз А; 2) а = с зш А;
81П А СОЗ А
1086. Найдите, не прибегая к таблицам, значения: 1) зш 30°;
2) 81П 45°; 3) зш 60°; 4) з1п 90°; 5) соз 45°; 6) соз 60°;
7) 1$ 30°; 8) 45°; 9) 60°.
1087. Постройте прямоугольный треугольник. Выполните необхо¬
димые измерения и вычислите значения тригонометрических
функций его углов.
1088. Вычислите неизвестные стороны и углы прямоугольных тре¬
угольников по следующим данным:
1) по двум катетам:
а) а = 2,61, 6 = 3,80; б) а =13,6, 6 = 8,23;
в) а = 4,35, 6 = 1,45; г) а = 156, 6 = 133;
281
2) по гипотенузе и катету:
а) с = 65, а = 63; б) с = 6,97, а = 5,28;
в) с =113, Ь=112; г) с = 0,140, Ь = 0,1;
3) по катету и противолежащему ему углу:
а) а = 63,7, А = 85°25'; б) а = 18,0, А = 17°;
в) Ъ = 1,74, В = 24°05/; г) Ь = 2,95, В = 25°36';
4) по катету и прилежащему к нему углу:
а) а = 6,37, В = 29°42'; б) а = 380, В = 34°29';
в) Ь = 528, А = 49°15'; г) Ъ = 3,92, А = 65°14';
5) по гипотенузе и острому углу:
а) с = 4,67, А = 65°15'; б) с = 62,8, А = 23°32';
в) с = 0,798, В = 45°30'; г) с = 9,42, В = 68°04'.
1089. Найдите расстояние от наблюдателя, находящегося на вы¬
соте 30 м, до автомашины, которая видна наблюдателю под
углом 20° (рис. 450).
1090. Пользуясь рисунком 451, объясните, как можно опреде¬
лить угол подъема а дороги, зная пройденное по дороге
расстояние I и высоту подъема А.
1091. Найдите угол подъема шоссейной дороги, если на расстоя¬
нии 200 м высота подъема соста¬
вила 6 м.
1092. Горная железная дорога на од¬
ном из перегонов поднимается на
1 м на каждые 60 м пути. Найдите
угол подъема дороги на этом уча¬
стке.
282
1093. На какую высоту к поднялся пешеход, прошедший I км по
прямой дороге, поднимающейся под углом а к горизонту?
Вычислите Л, если: 1) 7= 1,5 км, а = 4°30'; 2)а = 3 км,
а = 8°18'.
1094. Насыпь, поперечное сечение которой представляет собой
равнобедренную трапецию, имеет у основания ширину 12 м.
Высота насыпи 3 м. Какова ширина верхней части насыпи,
если угол откоса равен 39°?
Дополнительные задачи к главе VII
Композицией какого наименьшего числа поворотов на 70°
является поворот на 10°?
При каких значениях к\
1) = Ва+90°’*; 2) Ва = да+45°’*?
При каких значениях А:
1) о л4 = Да+3+45°./?; 2) тга о = да4-3+60°.^
1) На единичной окружности найдите такие точки Ра,
1^2" . 1 1
для которых а) зш а =; б) зт а = у; в) соза = —;
ч 1
г) соз а .
2
2) В каждом из этих случаев (см. задачу 1): а) укажите наи¬
меньшие положительные значения а; б) запишите все мно¬
жество углов поворотов, соответствующих точкам Ра .
1) Какие значения может принимать
б) соз х + 0,5; в) З1п2 х + соз2 х?
2) Какие из следующих равенств воз-
ч 2}^ тп
можны: а) соз а = - , , б) 81па^=
' т-\-п
, 1 ч т2 4- л2
= т -|— ; в) соз а = —!— , где т
т т2 — п2
и п — положительные числа?
1100. Укажите знак разности:
1) зш 31 ° — зт 30°; 2) зт 26° —
— зт27°; 3) соз 30° — соз 31°;
4) соз 27° — соз 26°. Л
1101. При каких значениях к:
1) зт а = зт
2) соз а = соз^а + у*)?
1095.
1096.
1097.
1098.
1099.
сумма: а) 81п х + 1;
233
1102. Докажите, что если А, В и С — углы треугольника, то:
1) зш А = 81П (В + С); 2) соз А = —соз (В + С).
1103. Чтобы измерить высоту объекта, основание которого до¬
ступно, измеряют базис | АС | и угол а прямоугольного тре¬
угольника А[ВС\ (рис. 452). Докажите, что Н = | АС\ 1&а + Лг
где к — высота угломерного инструмента.
1104. В момент времени, когда высота солнца .равна а, измери¬
ли длину тени от мачты. Она оказалась равной а м. Выра¬
зите через а и а высоту мачты. Вычислите высоту мачты,
если: 1) а = 15 м, а = 47°; 2) а = 18 м, а = 43°30'.
ГЛАВА
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
§ 1. Теоремы косинусов и синусов
79. Теорема косинусов
В конце предыдущей главы были полу¬
чены соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника.
Перейдем к изучению соотношений
между сторонами и углами произволь¬
ного треугольника.
81
Теорема (косинусов). Квадрат
стороны треугольника равен сум¬
ме квадратов двух других сторон
без удвоенного произведения этих
сторон на косинус угла между ни¬
ми:
а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс сое А.
Доказательство. Угол А
треугольника АВС может быть ост¬
рым, тупым или прямым. Рассмотрим
каждый из этих случаев.
1) Угол А острый. Проекция верши¬
ны С (обозначим ее через Л) на сторо¬
ну АВ может занимать три положения.
Точка 2) может лежать: а) между точ¬
ками А и В (рис. 453, а); б) по одну
сторону с точкой В от точки А
(рис. 453, б), и, наконец, в) точка I)
может совпасть с точкой В (рис. 453, в).
Обозначив проекции отрезков АС
285
Рис. 453
и ВС на сторону АВ через Ъс и ас, а высоту СБ через кс, в
случаях а) и б) по теореме Пифагора получим:
а2 = Л2 + а2, (1)
Л2 = 62 — 52. (2)
Эти равенства справедливы и в случае в) (ас =0, Ье = с).
Выразим а2 через Ьс и с. Заметим, что ас равно либо с — Ъс
(см. рис. 453, а), либо Ъс — с (см. рис. 453, б), либо 0 (см. рис.
453, в). Но в каждом из этих случаев
а? = (с — ъс)г = с2 — 2сЬс + Ь2. (3)
Подставляя выражение Л2 (см. (2)) и а2 (см. (3)) в равенство
(1), получим:
а2 = Ь2 — Ь2 + с2 — 2сЬс+ Ъ2 = Ь2 + с2 — 2сЬс.
Но Ъс = Ъ соз А. Следовательно,
а2 = Ь2 + с2 — 2Ъс соз А.
2) Угол А тупой (рис. 454). Проведем через вершину С
перпендикуляр СИ к прямой АВ п рассмотрим прямоугольные
треугольники ВСБ и АСИ. По теореме Пифагора получаем:
а2 = к2 + а2, (4)
к2 = Ъ2 — Ъ2. (5)
Выразим а2 через Ьс и с:
а2с = (Ъс + с)2 = Ь2 + 2сЪс + с2. (6)
Подставим выражение к2 (см. (5)) и а2 (см. (6)) в равенст¬
во (4):
а2 = к2 4- а2 = (Ь2 — Ь2) 4- (Ь2 4~ 2с6е4" ®2) ~
= Ъ2 4- 2сЬс 4- с2.
286
Но Ьс = Ь соз (180° — А) = —Ь соз А.
Поэтому а* 2 3 4 = Ъ2 + с2 — 2Ьс соз А.
3) Угол А прямой (рис. 455). В этом
случае соз А = 0. Пользуясь теоремой
Пифагора, получаем:
а2 = Ь2 + с2 = Ь2 + с2 — 2Ъс соз А. И
Формула
а2 = Ъ2 + с2 — 2Ьс соз а (7)
позволяет вычислять длину одной из сто¬
рон треугольника поданным длинам двух
других сторон и величине угла, лежащего
против неизвестной стороны.
Рис. 455
С помощью теоремы косинусов можно также по данным
сторонам треугольника найти его утлы. В самом деле, из ра¬
венства (7) следует:
соз а =
Ь2 + с2 — а2
2Ьс '
Вопросы и задачи
1105. Запишите, пользуясь теоремой косинусов, квадрат сторо¬
ны с треугольника АВС, если: 1) у = 60°; 2) у = 30°;
3) у = 45°.
1106. Пользуясь формулой а2 = Ь2 + с2 — 2Ъс соз а, исследуйте
как изменяется сторона а при возрастании угла а от 0° до
180° (при постоянных значениях Ь и с).
1107. При каких значениях угла а квадрат стороны треугольника,
лежащей против этого угла: 1) меньше суммы квадратов
двух других сторон; 2) равен сумме квадратов двух других
сторон; 3) больше суммы квадратов двух других сторон?
1108. Не вычисляя величины углов треугольника, укажите вид
каждого из треугольников (относительно углов), если его
стороны равны: 1) 7; 8; 12; 2) 0,3; 0,4; 0,5; 3) 15; 15; 15;
4) 8; 10; 12.
1109. Вычислите неизвестную сторону треугольника АВС по сле¬
дующим данным: 1)а = 7, 6=10, у = 56°29'; 2) а = 2,
с = 3, р = 123°17'; 3) Ь = 0,4, с = 1,2, а = 23°28\
287
1110. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограм¬
ма равна сумме квадратов его сторон.
1111. Вычислите больший из углов треугольника АВС, если:
1) а = 3, Ъ = 4, с = 6; 2) а = 40, Ъ = 13, с = 37; 3) а = 13,
Ь = 5, с = 12; 4) а = 19, Ь = 80, с = 63.
1112. Выразите диагонали параллелограмма через стороны а,
Ъ и его угол а и вычислите их при: 1) а = 12 дм, 6=15 дм,
а = 52°; 2) а = 3,5 дм, Ъ = 3,5 дм, а = 100°.
80. Формулы для вычисления площади треугольника
Одна из формул для нахождения площади треугольника извест¬
на: 8 = —. Выведем другую формулу.
2
82 |Т е о р е м а. Площадь треугольника равна половине произ-
I ведения двух его сторон на синус угла между ними:.
8 = — Ьс 81п а.
2
Доказательство. Обозначим высоту СИ треуголь¬
ника АВС через кс (см. рис. 453). Выразим кс через сторону Ъ и
синус угла а. Для этого надо рассмотреть несколько случаев.
Но во всех этих случаях кс = 6 зт а:
кс = 6 зш а (см. рис. 453, а, 6),
кс = Ъ 81п (180° — а) = 6 81п а (см. рис. 454),
кс = 6 = Ъ зш а (а = 90°) (см. рис. 455).
Подставляя в формулу
5 = -<Лс
2 с
выражение кс, получим:
8 = — Ьс зт а. ■
2
▼ Древнегреческий математик Герои Александрийский (I в.
н. э.) получил замечательную формулу для вычисления пло¬
щади треугольника по его трем сторонам:
5 = Кр(Р — а) (Р — Ь) (Р — с),
где р — половина периметра треугольника.
Дадим вывод этой формулы.
288
Пусть а, Ь, с — стороны треугольника, а а, ₽, у — величи¬
ны его углов. Обозначим через р полупериметр этого треуголь¬
ника:
а -I- Ь -I- с
Р =—! —•
2
По теореме косинусов
Ь2 -|- са — а2
соз а = —!.
2Ьс
Из формулы 8 = —Ьс зш а находим:
2
25
81П а = —.
Ьс
Подставляя найденные выражения 81п а и соз а в формулу
зш2 а + соз2 а = 1, получим:
/28 \2 /^2 4-С2 — д2 \2_ 1
\Ьс) 2Ьс ) ~
Отсюда, применяя формулу разности квадратов, имеем:
4Ь2с2 — (Ь2 с2 — в2)2 + е)2 — о2) (°2 — (Р — СУ)
~ 16 _ 13 ~
_ а -г 6 + с _ Ь с — а _ а + Ь — с . а }-с—Ь __
2 2 2 2
= р(р — а)(р — Ь) —
з = Кр (р — а)(р — Ь) (р — с). т
Вопросы и задачи
1113. Пользуясь формулой 8 = у аЬ 81П у, исследуйте, как
будет изменяться площадь треугольника АВС при возра¬
стании у от 0° до 180° (а и Ъ постоянны). При каком значении
у площадь треугольника АВС будет наибольшей?
1114. Вычислите площадь равнобедренного треугольника, боко¬
вая сторона которого равна 10 м, а угол при вершине равен
75°20'.
1115. Вычислите площадь треугольника АВС, если: 1) а =125 м,
Ь = 160 м, у = 52°; 2) Ъ = 20 см, с = 35 см, а = 79°06'.
10 Заказ 354
289
1116. Докажите, что площадь параллелограмма равна произведе¬
нию длин его смежных сторон на синус угла между ними.
1117*. 1) Докажите, что площадь параллелограмма равна полови¬
не произведения его диагоналей на синус угла между ними.
2) Вычислите площадь параллелограмма, если известны его
диагонали (1\ и йг и угол а между ними: а) (1\ = 10, с?2 = 15,
а = 57°; б) = 12, (12 = 42, а = 49°.
1118. Вычислите площадь ромба: 1) по его стороне а = 7,5 см и
острому углу а = 22°10/; 2) по его диагонали т = 4,5 см и
углу а = 150°, лежащему против этой диагонали.
1119*. По формуле Герона вычислите площадь треугольника, если
его стороны равны 32 см, 18 см и 22 см.
81. Теорема синусов .
831 Т е о р е м а. Стороны треугольника пропорциональны си-
I ну сам противоположных углов.
Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС
со сторонами а, &, с и углами а, 0, у.
По теореме 82 из предыдущего пункта
8 = 2. Ьс зт а = — ас 81п В = — аЪ 81П у.
2 2 2
Отсюда
Ьс 81п а = ас зт 0 и ас 81п 0 = аЪ 81п у.
Значит, Ъ 81п а = а зт 0 и с зт 0 = 6 зт у, а так как синус
каждого из углов а, 0, у не равен нулю, то
а Ь Ь с
= и = .
81П а 81П 0 81П 0 81П V
Следовательно,
а Ь с
= —Г = -7 • ■
81П а 81П 0 81П у
Теорема синусов позволяет по двум данным сторонам и углу,
лежащему против одной из них (или по стороне и двум углам),
вычислять остальные элементы треугольника.
Вопросы и задачи
1120. Вычислите стороны и углы треугольника, если:
1) а = 109, 0 = 33°24', у = 66°59,,«
2) с = 16, а = 143°08', 0 = 22°37';
290
3) а = 20, 6=13, а = 67°23';
4) а = 37, с = 59, у = 23°20'.
1121. Выведите формулу, по которой может быть вычислен один
из неизвестных элементов треугольника АВС, если извест¬
ны элементы: 1) а, Ь и у; 2) а, 6 и а; 3) а, 6 и с.
1122. Диагональ параллелограмма длиной т образует со сторо¬
нами этого параллелограмма углы а и 0. Выразите длины
сторон параллелограмма через т, а и ₽.
1123. Две силы Р к О, приложены к материальной точке. Угол
между их направлениями а. Найдите величину равнодейст¬
вующей.
1124. Вычислите составляющие силы Р= 5,2 Н, если эти составля¬
ющие перпендикулярны друг другу и одна из них составляет
с направлением силы Р угол а = 46°.
1125*. Докажите: площадь четырехугольника равна половине про¬
изведения его диагоналей на синус угла между ними.
§ 2. Некоторые применения
подобия и формул
тригонометрии
82. Применение подобия
к решению задач
1. Во многих задачах на постро¬
ение данные в условии задачи
можно разбить на две такие груп¬
пы, что одна определяет форму,
а другая — размеры искомой
фигуры.
Для решения таких задач сна¬
чала строят фигуру, подобную
искомой. Затем, используя сведе¬
ния о размерах, строят искомую
фигуру. Рассмотрим примеры.
Задача 1. Построить
треугольник АВС по углам а
и 0 и биссектрисе 1С (рис. 456, а).
Решение. Проведем ана¬
лиз. Предположим, что задача
решена и треугольник АВС
(рис. 456, б) искомый.
1с
10*
291
Углы а и Р определяют множество тре¬
угольников, подобных искомому треуголь¬
нику АВС. Если, например, через произ¬
вольную точку А1 луча С А провести пря¬
мую А1В1 параллельно стороне АВ, то
получим один из треугольников (Д А^В^С),
подобных искомому, так как А^ = а, В^ =
= р. Такой треугольник построить можно,
взяв сторону А1В1 произвольной длины.
Заметим теперь, что треугольник А^ВгС
подобен искомому треугольнику, но его
биссектриса не равна 1С. Поэтому для ре¬
шения задачи остается построить тре¬
угольник, подобный треугольнику А^В^С
и имеющий биссектрису 1С. Для этого
достаточно построить отрезок СБ длины 1С
и через точку Б провести прямую, парал¬
лельную прямой
Выполнив указанные построения (рис. 456, в), получим тре-
Этот треугольник искомый. В самом деле, сто-
и Аг соответственно сонаправлены. Поэтому
угольник АВС.
роны углов А
(п. 37)
А А1 = а.
Аналогично
В = В,= |3.
Кроме того, по построению луч СВ — биссектриса угла С
треугольника АВС, причем |СТ)| — 1С.
Задача 2. В данный остроугольный треугольник вписать
квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две
другие — на боковых сторонах этого треугольника.
Решение. Проведем анализ. Допустим, что искомый
квадрат построен (рис. 457, а). Тогда квадрат, гомоте¬
тичный искомому (с центром гомотетии в точке А), построить
нетрудно: проведем прямую перпендикулярную прямой
АС, и построим квадрат со стороной М0ЛГ().
Две вершины построенного квадрата лежат на стороне АС,
а третья вершина — на боковой стороне АВ треугольника АВС.
Остается построить квадрат, который обладает этими же свой¬
292
ствами и, кроме того, его четвертая вершина лежит на стороне
ВС. Этим требованиям удовлетворяет квадрат с вершиной в
точке Р (см. рис. 457, а).
Перейдем к построению. Построим квадрат со стороной
и проведем через точку Ро и вершину А прямую АР0. Эта пря¬
мая пересечет сторону ВС в некоторой точке Р. Построим пря¬
моугольник РИМС}. Этот прямоугольник является квадратом
(он гомотетичен квадрату М0^Р0в0), две его вершины лежат
на основании, а две другие — на боковых сторонах этого тре¬
угольника. Следовательно, квадрат искомый.
Эту задачу можно решить и другим способом.
Обозначим длину стороны искомого квадрата через х, дли¬
ну основания данного треугольника через Ь и длину соответ¬
ствующей высоты через й. Из подобия треугольников АВС
и NВР (рис. 457, б) получаем:
А — к
х к — х
Выполнив преобразования, находим:
Ъ + к _ Ь
к X
Отрезок, длина которого равна х, может быть найден по¬
строением четвертого пропорционального (см. п. 65).
Составленное уравнение позволило нам найти неизвестную
величину, что и привело к решению задачи. Этот метод решения
задач на построение называется алгебраическим методом.
Задача 3. К двум данным окружностям построить общую
касательную.
V Решение. Пусть даны две окружности различных ра¬
диусов, расположенные, как показано на рисунке 458. Заметим,
что эти окружности гомотетичны и центр гомотетии лежит на
прямой ООр Действительно, проведем радиусы этих окружно¬
стей ОА, О^А1 и О1Л2, лежащие на параллельных прямых. При
гомотетии, переводящей окружность (О, г) в окружность (Оь г4),
точка О отображается на точку а прямая ОА — на па¬
раллельную ей прямую О\А\. Точка пересечения окружности
(О, г) и прямой О А при этой гомотетии отображается на точку
пересечения их образов. Отсюда получаем, что при этой гомо¬
тетии точка А отображается на точку А1 или А2. Поэтому центр
гомотетии, отображающей окружность (О,г) на окружность (О^гО,
293
лежит и на прямой ОО1, и на прямой АА1 (или АА2). Следова¬
тельно, центр Р (или О) этой гомотетии может быть построен —
это точка пересечения прямых ОО^ и АА1 (или прямых ОО1
и АА2).
Заметим теперь, что прямая, проходящая через точку Р (или
в), при гомотетии с центром Р (или О) отображается на себя, а
окружность (О, г) — на окружность (Ох, п). Следовательно, каса¬
тельная, проведенная из точки Р к одной из данных окружно¬
стей, является касательной и к другой окружности, т. е. яв¬
ляется их общей касательной. Таким образом, решение задачи
свелось к построению касательной к одной из данных окруж¬
ностей из точки Р (или из точки О). Это построение уже извест¬
но (п. 30).
В зависимости от взаимного расположения данных окруж¬
ностей и их радиусов задача может иметь четыре решения (две
внутренние и две внешние касательные, рис. 458), три, два,
одно решение или ни одного. ▼
2. Рассмотрим пример решения задачи на доказательство.
Задача 4. Доказать, что медианы треугольника пере-
секаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, счи¬
тая от вершины*.
Доказательство. Разделим медиану АА1 в отно¬
шении 2:1 и точку деления обозначим через М, т. е.
1АМ1 : 1ЛГА11 =2:1 (рис. 459). Тогда достаточно доказать,
* Точка пересечения медиан треугольника называется его центром тяжести.
294
является парал-
имеющий вдвое
Отсюда следует, что образ отрезка АВ
что М [ВВ1], М € ЕСС^], и выполня¬
ется равенство:
| АМ| _ \ВМ\ _ \СМ\ _ _2
| ЛГАХ | “ \МВг\ ~ | | “ 1*
Рассмотрим гомотетию Н~^5.
Образом точки А при этой гомотетии
является точка А^
Образом отрезка АВ
лельный ему отрезок,
меньшую длину (п. 63).
совпадает со средней линией А1В1 треугольника АВС (по¬
скольку лучи АВ и А1В1 противоположно направлены). Сле¬
довательно, образом точки В является точка В4. Поэто¬
му АГ е ЕВВ^ и \ ВМ\ : \МВ1\ =2:1.
Рассуждая аналогично, получаем, что образом стороны АС
является средняя линия А1С1 и потому М С [СС1] и
\СМ\ : \МС{\ =2:1. ■
Вопросы и задачи
1126. Постройте треугольник, подобный данному, площадь кото¬
рого составляет: 1) половину площади данного треуголь¬
ника; 2) четвертую часть площади данного треугольника.
1127. Постройте ромб по данному отношению диагоналей и дан¬
ной стороне.
1128. Постройте параллелограмм по отношению диагоналей, углу
между диагоналями и стороне.
1129. Постройте трапецию: 1) по двум углам, прилежащим к од¬
ному основанию, этому основанию и отношению его к вы¬
соте; 2) по отношению ее оснований, двум углам при одном
из этих оснований и высоте.
ИЗО. В данный равносторонний треугольник впишите другой
равносторонний треугольник так, чтобы стороны его были
перпендикулярны сторонам данного треугольника.
1131. В данный треугольник впишите прямоугольный равнобедрен¬
ный треугольник так, чтобы вершины его лежали на сторонах
данного.
1132. В данный ромб впишите квадрат, вершины которого лежат
на сторонах ромба.
295
1133*. В данный сегмент впишите прямоугольник с данным отно¬
шением сторон т : п так, чтобы две вершины прямоуголь¬
ника лежали на хорде, а две другие — на дуге сегмента.
1134. В данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на радиусах, а две другие — на дуге сектора.
1135. В данный треугольник впишите прямоугольник с данным
отношением сторон так, чтобы две вершины прямоугольни¬
ка лежали на боковых сторонах треугольника, а две дру¬
гие— на его основании.
1136. Постройте треугольник, подобный данному, и такой, что
его вершины лежат на сторонах данного треугольника.
1137*. Найдите множество точек, отношение расстояний которых
до сторон данного выпуклого угла равно т : и.
1138*. Найдите множество точек, делящих в данном отношении
отрезки прямых, параллельных данной прямой и заключен¬
ные между сторонами данного угла.
1139*. Через точку внутри угла проведите прямую так, чтобы от¬
резок прямой, отсекаемый сторонами угла, делился этой точ¬
кой в данном отношении.
1140. В данный угол впишите окружность, проходящую через дан¬
ную внутри угла точку.
1141. В окружности (О, г) проведена хорда. Проведите два радиуса
этой окружности так, чтобы они делили эту хорду на три
конгруэнтных отрезка.
1142. Постройте общие касательные к двум данным окружностям
разных радиусов, если эти окружности: 1) не имеют общих
точек; 2) имеют внешнее касание; 3) пересекаются.
1143. На рисунке 460 изображен измерительный прибор, позво¬
ляющий с точностью до 0,1 мм измерять толщину раз¬
личных изделий. Разъясните устройство этого прибора.
1144. На рисунке 461 изображен измерительный прибор, по¬
зволяющий определять величину зазора между двумя
стенками детали, внутренний диаметр трубок и т. д. Объ-
Рис. 460
296
1145.
1146.
1147.
ясните, на чем основано устройство этого
прибора.
На рисунках 462 и 463 показано, как можно
отрезок АВ разделить в данном отношении
т : п (внутренним и внешним образом).
Объясните этот способ.
На рисунке 464 показано, как можно разде¬
лить на равные части различные бруски,
планки, используя для этого разграфлен¬
ную доску. 1) Укажите, на основании какой
теоремы геометрии можно установить спра¬
ведливость этого приема. 2) Покажите, как
можно при помощи этого устройства разде¬
лить данный брусок АВ в отношении 1 : 2;
1:3; 2:3.
На рисунке 465 показано, как можно разде¬
лить ширину доски на равные части, ис¬
пользуя линейку с имеющимися на ней
Рис. 461
равными делениями. Из какой теоремы геометрии следует
справедливость такого приема? Как можно, пользуясь такой
линейкой, разделить ширину доски в отношении 2:1; 3:1;
3:2; 1:4?
Рис. 462
Рис. 464
297
1148. Разметьте на местности участок, имеющий форму много¬
угольника. Снимите план этого участка в выбранном масш¬
табе и определите по плану площадь участка.
83. Измерительные работы
1. Измерение высоты предмета. Пусть требуется измерить
высоту предмета, основание которого недоступно (рис. 466).
Воспользуемся следующим приемом. На прямой, проходящей
через основание М предмета ВМ, выберем две точки Ао и Со.
Измеряем базис | АоСо | = Ъ и углы ВАИ = а и ВСИ = 0
(А 6 (СП), (СП) || (АоСо)).
По теореме синусов из треугольника АВС имеем:
АВ| =
| АС | 81П 0
81П В
Ъ 81П Р
81п (а — Р)
Из прямоугольного треугольника АВБ имеем: | ВВ | =
= I АВ| 81п а.
Следовательно, | ВРI = ь 81П а • в1п Р .
' 1 81п (а — Р)
А так как | ВМ | = |ВР| + Л, то
\вм\= &81па81пР +Й.
81п (а — Р)
2. Измерение расстояния до недоступной точки. Расстояние
от точки А до недоступной точки В на местности можно найти,
пользуясь признаками конгруэнтности треугольников. Проще
это сделать, если воспользоваться признаками подобия тре¬
угольников или формулами тригонометрии.
Для этого на местности выбирают точку С, измеряют отре¬
зок АС и углы А и С (рис.
в каком-нибудь масштабе
467). Затем на листе бумаги строят
отрезок А1С1 и АА1 = АА,
АС1 = АС. Получают А А1В1СР
По второму признаку подо¬
бия ААВС^> АА1В1С! (п. 67).
Поэтому | АВ | : |А1В1| =
= |АС| : |А1С1|. Из этой пропор¬
ции находим | АВ|:
I АВ I = 1 ЛС1 ’ 1 Л1В> 1.
1 1 ИА1
298
Для измерения расстояния | АВ |
можно применить и иной способ.
Измерив расстояние | АС | =
= Ь и углы ВАС — а, ВС А = у
(см. рис. 467), находим (по тео¬
реме синусов):
|АВ| ==1.ас18»»Т =
81П В
Ь 81П у
Ь 81П у
81п (180°— (а + у)) 81п (а + у)
Вопросы и задачи
1149.
На рисунке 468 изображен
четырехугольник АВС1) и
указаны длина его стороны
|АВ|=а, величины углов
А, ВИА. ВБС, СВЪ. Най¬
дите расстояние | ВС |.
По одну сторону реки отмечены две точки А и В. Вычислите
расстояние между точками С и В, находящимися по другую
1150.
сторону реки, если | АВ | = а = 3784 м, ВАС = а =87°25'г
ВАВ = р = 47°32', АВС = 6 = 46°34', АВВ = у = 84°35'.
1151. Практическая работа. Выполните на местности одну
из измерительных работ (измерение высоты предмета, осно¬
вание которого недоступно, измерение расстояния до недо¬
ступной точки и т. п.).
84 ▼ • Решение треугольников
В пункте 78 были рассмотрены задачи на построение тре¬
угольников по трем элементам. Теперь мы рассмотрим эти же
задачи с вычислительной точки зрения. По трем элементам
треугольника будем вычислять оставшиеся три.
у Задача 1. Дано: а, Ь, у. Требуется вычислить с, а, р.
Решение.
с2 = а2 + Ъ2 — 2аЬ соз у;
^2 _1_ с2 а2
а2 = &2 + с2 — 2Ьс сое а, поэтому сое а = ;
2Ьс
р = 180° — (а 4- у).
299
Пример 1. Вычислить длины сторон и величины углов
треугольника: если а = 49,4; Ь = 26,4; у — 47’20'.
Решение.
с2 = (49,4)2 + (26,4)2 — 2 • 49,4 • 26,4 • 0,6778 = 1369,
с = 1^1369 = 37,0;
697 + 1369 — 2440
2 • 26,4 37,0
374
1954
угол а тупой, по таблицам находим угол 180° — а.
180° — а = 79°, а = 180° — 79° = 101°.
Р = 180° — (101° + 47’20') = 31’40'.
Задача 2. Дано: а, р, у. Требуется вычислить Ь, с, а.
Решение.
а Ь
81п а 81п Р 9
а = 180 — (Р + у);
к а 81п а с „ а 81п у
7 — » * С = •
81п а 81п а 81п у 81п а
Пример 2. Вычислить длины сторон и величины углов
треугольника, если а = 17,4, Р = 44°30', у = 64°.
Решение.
а = 180° — (44°30' + 64°) = 71°30';
, 17,4-0,7009 17,4 • 0,8988 к
Ъ = :12,9; с = — » 16,5.
0,9483 0,9483
Задача 3. Дано: а, д, с. Требуется вычислить а, р, у.
Р
е ш е н и е.
а2 = Ь2 4- с2 — 2Ьссоза, поэтому соз а =
&2 + С2 _ О2
2Ьс
П
если
Р
ример
а = 24,
е ш е н и
а Ь . о Ь 81п а
= , отсюда 81п р =
81П а 81П Р
у = 180° — (а + Р).
3. Вычислить величины
Ъ = 13, с = 15.
углов
треугольника,
угол
169 + 225 — 576 182 7 п л
2-13-15 390 15
тупой, следовательно, а = 180° — 62’11' = 117’49'
13 • 81П 117 49' 13 • 81п62 11' _ 13 • 0,8845 ~ д 47дд
24 ~ ’
соа а =
81П Р
24
24
а
а
е
Р = 28’37'.
у = 180’ — (117’49' + 28’37') = 180° — 146’26' = 33°34'.
300
7 3 а д а ч а 4. Дано: а, 6, а. Требуется найти Р, у и с.
Напомним, что еще в пункте 22 мы обнаружили, что соот¬
ветствующая задача на построение может с точностью до кон¬
груэнтности иметь одно или два решения или же совсем не иметь
решений. Естественно, что это обстоятельство надо учитывать
при вычислениях.
Решение.
а ъ . л Ъ 81п а
= , поэтому 81пр = .
б1п а 61П р а
Приходится различать три случая:
1) Ь 81п а > а; 2) Ь 81П а = а\ 3) Ъ 81П а < а.
1) В первом случае решений нет (81п Р не может быть боль¬
ше единицы).
2) Во втором случае р = 90°, у = 90° — а, с = Ъ соз а.
Решение единственно.
3) Пусть Ъ 81п а < а. Тогда существуют два угла, синусы
Ь 81п а „
которых равны — один из этих углов острый, а другой
а
тупой. Приходится различать два случая:
3') а Ъ\ 3") а < Ъ.
3') Если а то а р (теорема 50), а так как у треуголь¬
ника не может быть двух тупых углов, то Р — острый угол и
решение единственно.
3") Если а < &, то существуют два угла Р1 и р2 (Р2 = 180°—Р0,
синусы которых равны &51па-.
а
В этом случае задача имеет два решения:
Тх = 180э —а —1\,
а 81П У! .
С1 — . »
81п а
у2 = 180° — а — р2,
а 81п у2
^2 —
81па
П р и м е р 4 (а &). Вычислить длину стороны и вели¬
чины углов треугольника, если а = 12, Ъ = 10, а = 40 .
Решение.
81П р =
10 81п 40°
12
5 - 0,6428
6
= 0,5357,
так как 12 > 10, то р = 32°23';
у = 180° — 40° — 32°23' = 107 37';
с =
12 • 81П 107 37'
0,6428
= 17,8.
301
п р и м е р 5. (а < Ь). Вычислить длину стороны и вели¬
чины углов треугольника, если а — 3, Ь — 5, р = 6°19'.
Решение.
81П р = — 8ш6019' = - • 0,11 = 0,1833;
3 з
р., = 169’27'.
у2 = 180° — а — р2= 4’14'.
3 • 81п4 14'
0Д1
= 2,01.
так как 3 < 5, то р4 = 10’33',
Ь = 180° — а — р4 = 163’08',
Вопросы и задачи
1152. Решите треугольник по двум сторонам и углу, заключенному
между ними, если:
1)а = 28, с = 42,
2) а = 13,
3) с = 143,
4) а = 325,
Ь = 20,
Ь = 260,
с = 728,
Р = 124°;
? = 75’01';
а = 82’07';
Р = 97’53'.
1153. Решите треугольник по стороне и двум углам, если:
1) а = 13, а = 52’08', р = 67’23';
2) & = 8,5, а = 81°12', р = 24°11'.
1154. Решите треугольник по трем сторонам, если:
1) а = 37, 6=13, с = 40;
2) а = 44, Ь = 37, с = 15.
1155. Решите треугольник по двум сторонам и углу, лежащему
против одной из них, если:
1) а = 34, Ь = 93, А = 14’15';
2) с = 24, Ь = 83, С = 26’45'.
1156. Решите треугольник по стороне и двум углам, если:
1) а = 4, р = 24’57', у = 57’30';
2) а = 37, р = 86’03', у = 50’56'.
Дополнительные задачи к главе VIII
1157. Диагональ прямоугольника равна т, угол между диагоналя¬
ми а. При каком значении а площадь прямоугольника наи¬
большая?
302
1158.
1159.
1160.
1161.
1162.
АВС, если
2) а = 40,
материаль-
друг к другу. Определите ве-
Диагонали параллелограмма равны тп и п, угол между диа¬
гоналями а. При каком значении а площадь этого параллело¬
грамма будет наибольшей? Какой вид имеет параллелограмм
в этом случае?
Вычислите наибольший из углов треугольника
даны три его стороны: 1) а = 3, Ь = 4, с = 6;
Ь = 13, с = 37; 3) а = 16, Ъ = 12, с = 20.
Две силы Р = 100 Н и в = 200 Н приложены к
ной точке под углом а = 50°
личину равнодействующей К и углы, которые она составляет
с направлениями Р и С.
В равнобедренный треугольник АВС
вписаны два квадрата (рис. 469). Ос¬
нование ВС треугольника равно а,
величина угла А равна а. 1) Найдите
отношение площадей вписанных квад¬
ратов. 2) Произведите вычисления,
е,сли: а) а = 60°; б) а = 45°.
В треугольник, основание которого
равно а, а высота, проведенная к
основанию, равна к, вписан прямо¬
угольный равнобедренный треуголь¬
ник так, что гипотенуза параллельна
основанию треугольника, а вершина
прямого угла лежит на этом основа¬
нии. Найдите площадь вписанного тре¬
угольника. Вычислите эту площадь,
если а = 30 см, к = 10 см.
1163. В данный параллелограмм впишите
ромб так, чтобы стороны ромба
были параллельны диагоналям па¬
раллелограмма, а вершины ромба
лежали на сторонах параллело-
грамма.
1164. В треугольник АВС вписан квадрат
(рис. 470). Найдите площадь квадра¬
та, если |АС| =а и высота образу¬
ет с боковыми сторонами углы а
и р. Вычислите эту площадь, если:
1) а = 6 см, а = 30°, Р = 40°;
2) а = 4,5 см, а = 70°, ₽ = 20°.
сэ
Рис. 471
303
1165. На рисунке 471 изображен план участка, выполненный в
масштабе: 1 : 1000. Произведите необходимые измерения
и вычислите площадь участка.
1166. Докажите, что для любого треугольника справедливо со¬
отношение а = Ь соз С с соз В.
1167. Докажите, что для любого треугольника
, 111
а : Ъ : с = — : — : —.
Ъ
1168. Постройте треугольник, если известны три его высоты.
1169. В данный сектор впишите прямоугольник с данным отноше¬
нием сторон т : п (т — 2, п = 3).
ГЛАВА
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ
МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1. Треугольники
и четырехугольники
85. Вписанный угол
1. Выпуклый угол, вершина которого
принадлежит окружности, а стороны
пересекают ее, называется вписанным
углом. Например, угол АВС (рис.
472) вписанный. Он опирается на
дугу АС.
84 (Теорем а. Величина вписанного
I угла равна половине угловой вели-
I чины дуги, на которую он опи-
I рается.
Доказательство. Рассмот¬
рим три случая расположения центра
окружности относительно данного впи¬
санного угла.
1) Центр окружности лежит на
стороне вписанного угла (рис. 473, а).
Вы знаете, что величина центрально¬
го угла равна угловой величине со¬
ответствующей ему дуги (п. 28). Про¬
ведем отрезок ОА и рассмотрим цен¬
тральный угол АОС. Он является внеш¬
ним углом треугольника ВО А. По
свойству внешнего угла треугольника
АОС = ОВА + ОАВ.
Но ОВА = ОАВ, так как треугольник
АОВ равнобедренный (| О В | = | О А | =В),
а углы ОБА и ОАВ — углы при осно¬
вании равнобедренного треугольника.
Следовательно,
АОС = 2АВС.
По свойству
(1)
центрального угла (п. 28)
Из равенств
АОС = АС. (2)
(1) и (2) следует, что
АВС = АС-
Для первого
2) Центр окружности лежит внут¬
ри вписанного угла (рис. 473, б). Про¬
ведя луч ВО, представим данный угол
в виде суммы двух углов — АВИ и
БВС.
случая теорема доказана.
АвЬ = АВО + БВС.
Общая сторона В2) этих углов проходит
через центр окружности. '
Значит, по доказанному
АВО=-^АО, ОВС = ^СС.
Отсюда
АВС = АВБ + Б ВС =
= - АО + -БС = - АС.
2 2 2
Теорема доказана и для второго случая.
Центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 473, в).
Для этого случая доказательство проведите самостоятельно.
Следствие. Вписанный угол, опирающийся на диаметр,
прямой.
2. Рассмотрим задачу на построение отрезка, среднего геомет¬
рического между двумя данными отрезками.
Определение. Отрезок х называется средним гео¬
метрическим (или средним пропорциональным) между отрезка¬
ми т и п, если выполняется равенство т : х = х : п.
Задача. Построить отрезок, средний геометрический меж¬
ду двумя данными отрезками тип (рис. 474, а).
306
Решение. Мы знаем, что высота т
прямоугольного треугольника, проведен¬
ная к гипотенузе, разбивает этот тре¬
угольник на два подобных треугольника
(пункт 68). Это свойство прямоугольно¬
го треугольника позволяет найти ре¬
шение.
В самом деле, рассмотрим прямоуголь¬
ный треугольник АВС и проведем его
высоту СВ (рис. 474, б). Тогда:
/\ВСБ дСАВ.
Следовательно,
|В^| = \СР\
\СР\ |АВ|‘
Таким образом, высота прямоуголь¬
ного треугольника является средним
геометрическим между полученными от¬
резками гипотенузы. Отсюда вытекает,
что для решения задачи достаточно по¬
строить прямоугольный треугольник по
его гипотенузе с = т + и, зная при этом,
что его высота должна пройти через об¬
щую точку отрезков тип. Выполним
это построение.
1. На произвольной прямой отложим
п
а)
6}
отрезок АВ, равный сумме данных отрезков т и п. Обозна¬
чим общую точку данных отрезков через В (рис. 474, в).
2. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную пря¬
мой АВ.
3. На отрезке АВ как на диаметре построим окружность.
Обозначим через С одну из точек пересечения этой окружности
с построенной прямой.
4. Рассмотрим треугольник, вершинами которого являются
точки А, С и В. Этот треугольник прямоугольный (угол С
вписанный, опирающийся на диаметр). Его высота к является
средним геометрическим между данными отрезками тип.
Решение единственно. Всякий другой треугольник, отвеча¬
ющий заданным условиям, например треугольник АВС^ (см.
рис. 474, в), конгруэнтен треугольнику АВС и высоты этих
треугольников равны.
307
Вопросы и задачи
1170. Окружность разделена на пять конгруэнтных дуг:
<уАВ = \уВС = Сй = <уВЕ = <уЕА. Вычислите величины
вписанных в эту окружность углов ВАС, ВАБ, ВАЕ, САЕ
и БАЕ.
1171. Хорда АВ делит окружность на две дуги АМВ и АТВ.
Вычислите величины вписанных в эту окружность углов
АМВ и АТВ, если: 1) АМВ : АТВ = 2:3; 2) АМВ : АТВ =
= 4:5.
1172. Углы АМС и АТС вписаны в одну и ту же окружность. Что
можно сказать о величинах этих углов?
1173. Центральный угол на 35° больше вписанного угла, опираю¬
щегося на ту же дугу. Вычислите величину каждого из этих
углов.
1174. Хорда делит окружность на две дуги. Под какими углами
видна хорда из точек окружности, если угловые величины
этих дуг относятся как: 1) 5:4; 2) 7:3?
1175. 1) Постройте центр данной окружности с помощью одного
чертежного угольника.
2) Конгруэнтные углы АВС и АБС опираются на отрезок АС,
и их вершины лежат по одну сторону от прямой АС. Дока¬
жите, что точки А, В, С и О принадлежат одной окруж¬
ности.
1176. Постройте отрезок, средний геометрический между двумя
данными отрезками пг и п.
1177. Постройте прямоугольный треугольник, если известно, что
его высота, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки
в 2 см и 3 см.
1178*. Дана прямая а и точка Г), лежащая вне этой прямой. На
прямой а даны отрезок АВ и точка М—середина этого
отрезка. Через точку I) проведите прямую, параллельную
прямой а, пользуясь только линейкой, не имеющей делений.
1179. Докажите, что величина угла, образованного касательной и
хордой, имеющими общую точку на окружности, равна
половине угловой величины дуги, лежащей внутри этого угла.
1180*. Докажите, что величина угла между двумя касательными
к окружности, проведенными через одну точку, равна полу¬
разности угловых величин дуг, заключенных между его сто¬
ронами.
308
1181*. Докажите, что величина угла с вершиной внутри круга рав¬
на полусумме угловых величин двух дуг, из которых одна
заключена между сторонами этого угла, а другая — между
продолжениями сторон.
1182*. Докажите, что величина угла между двумя секущими, пере¬
секающимися вне круга, равна полуразности угловых вели¬
чин большей и меньшей дуг, заключенных между его сто¬
ронами.
86. Вписанные и описанные треугольники
1. Многоугольник, все вершины которого принадлежат ок¬
ружности, называется вписанным в эту окружность, а окруж¬
ность — описанной около этого многоугольника (рис. 475).
851 Теор ем а. Около любого треугольника можно описать ок-
I ружность, и притом только одну. Центр этой окружности —
I точка пересечения серединных перпендикуляров к сторо-
| нам треугольника.
Доказательство. 1) Центр О окружности, опи¬
санной около треугольника АВС, должен быть удален от всех
вершин треугольника на одно и то же расстояние В (рис. 476).
Значит, в частности, должно выполняться
равенство | О А | = |ОВ|. Поэтому точка О
должна принадлежать серединному перпен¬
дикуляру к отрезку АВ. Так как | О А | =
= 10(71, то центр Одолжен принадлежать
серединному перпендикуляру к отрезку
АС. Указанные серединные перпендикуляры
пересекаются. Их точка пересечения О рав¬
ноудалена от всех вершин треугольника и,
значит, является центром описанной окруж¬
ности. 2) Точка О принадлежит также и
серединному перпендикуляру к отрезку ВС,
так как | О В | = 10С\. Значит, серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке — центре описан¬
ной окружности. ■
Центр окружности, описанной около
треугольника, лежит внутри его, если он
остроугольный (рис. 477, а), и вне — если
309
тупоугольный (рис. 477, б). Центр окружности, описанной
около прямоугольного треугольника, является серединой его
гипотенузы (рис. 477, в).
2. Многоугольник, все стороны которого касаются окруж¬
ности, называется описанным около этой окружности, а ок¬
ружность — вписанной в этот многоугольник (рис. 478).
86|Т е о рема. Во всякий треугольник можно вписать ок-
I ружность, и притом только одну. Центр этой окружности —
| точка пересечения биссектрис треугольника.
Доказательство. 1) Центр окружности, вписанной
в данный треугольник, должен быть равноудален от всех его
сторон (рис. 479). Поэтому он должен быть равноудален от
сторон АВ и АС, а также от сторон АВ и ВС. Значит, центр
принадлежит биссектрисе угла А, а также биссектрисе угла В.
Указанные биссектрисы пересекаются. Их точка пересечения
равноудалена от всех сторон треугольника и, значит, являет¬
ся центром вписанной окружности. 2) Обозначим точку пере¬
сечения биссектрис АР и ВЕ через О. Она удалена от всех
Рис. 478
310
сторон треугольника на одно и то же расстояние. Поэтому точ¬
ка О принадлежит и биссектрисе угла С. Значит, биссектрисы
углов треугольника пересекаются в одной точке. ■
Вопросы и задачи
1183. 1) В данный треугольник впишите окружность.
2) Постройте окружность, описанную около данного тре¬
угольника.
1184. 1) В данную окружность впишите равносторонний тре¬
угольник.
2) Около данного равностороннего треугольника опишите
окружность.
1185. Вычислите радиус окружности, описанной около прямоуголь¬
ного треугольника, если отношение его катетов равно 0,8,
а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см.
1186. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 см и 16 см.
Вычислите радиус: 1) вписанной в него окружности; 2) опи¬
санной окружности.
1187. Вычислите радиус окружности, вписанной в равносторонний
треугольник, высота которого й (й = 1 см; 2,5 см).
1188. Докажите, что сумма диаметров вписанной и описанной око¬
ло прямоугольного треугольника окружностей равна сумме
его катетов.
1189. Какой вид имеет треугольник, если: 1) центры вписанной и
описанной около него окружности совпадают; 2) центр опи¬
санной окружности лежит на его стороне; 3) центр вписанной
окружности лежит на одной из его высот; 4) центр описан¬
ной окружности лежит на одной из его высот или на продол¬
жении высоты?
1190*. Постройте окружность, касающуюся трех данных прямых,
попарно пересекающихся и не проходящих через одну
точку.
1191**. Впишите в данную окружность треугольник, подобный дан¬
ному.
1192. Докажите, что площадь треугольника равна произведению
его полупериметра на радиус вписанной окружности.
1193*. Докажите, что радиус Н окружности, описанной около тре¬
угольника, может быть вычислен по формулам:
1) П = 2) Л = —.
7 2КС 45
311
87 ▼ . Вписанные и описанные четырехугольники
В пункте 86 было доказано, что око¬
ло любого треугольника можно опи¬
сать окружность и в каждый треуголь¬
ник можно вписать окружность. Для
четырехугольников эти свойства не вы¬
полняются. Конечно, четырехугольни¬
ки, около которых можно описать ок¬
ружность, существуют (рис. 480, а).
Но не каждый четырехугольник можно
вписать в окружность (рис. 480, б)
и не каждый четырехугольник описан¬
ный (рис. 480, в).
87 I Т е о р е м а. Сумма противополож-
I ных углов вписанного четырех-
I угольника равна 2Л.
Доказательство. Пусть че¬
тырехугольник АВСБ вписан в окруж¬
ность (О, г). Тогда по теореме о вписан¬
ном угле
А = -ВСО, С= — В>АВ (рис. 481).
2 2
Следовательно,
А +С = - ВСЪ + - .О АВ =
2 2
= ^(всЬ+Вав).
Но объединение дуг ВСБ и Л АВ есть
окружность. Следовательно, сумма ве¬
личин углов А и С равна угловой ве¬
личине полуокружности, т. е.
А + С=2й. ■
Итак, для того чтобы около четы¬
рехугольника можно было описать ок¬
ружность, необходимо, чтобы сумма его
противоположных углов была равна 2й.
Это условие и достаточно для того,
чтобы четырехугольник был вписанным.
Докажем это.
312
88
можно описать
т в о. Рассмот-
АВСБ, у кото-
|Т е о р е м а. Если сумма двух
противоположных углов четырех¬
угольника равна 2(1, то около этого
четырехугольника
окружность.
Доказательс
рим четырехугольник
рого сумма углов В и Р равна 2й:
В + Ь = 2(1.
Проведем через вершины А, В п С
четырехугольника окружность. Для
доказательства теоремы необходимо по¬
казать, что четвертая вершина Р не
может лежать внутри этой окружности
или вне ее.
Допустим, что точка Р лежит внутри
окружности (рис. 482, а). Тогда
В + Р = 2(1 (по условию теоремы),
В + Е — 2(1 (по теореме 87).
Отсюда следует: Р = Р, что
возможно (внешний угол треугольника
ЕБС не может быть конгруэнтным его
внутреннему углу Е). Значит, допуще¬
ние неверно: точка Р не может лежать
внутри построенной окружности.
Аналогично доказывается, что вер¬
шина Р не может лежать и вне этой
окружности (рис. 482, б).
Итак, вершина Р не может лежать
ни внутри окружности, ни вне ее. Сле¬
довательно, точка Р должна лежать на
этой окружности, т. е. около четырехугольника АВС И можно
описать окружность. ■
89 |Т е о р е м а. Суммы противоположных сторон описанного
1 четырехугольника равны.
Доказательство. Пусть стороны четырехугольника
АВСИ касаются окружности (О, г) соответственно в точках ЛГ,
Р, (?, N (рис. 483). Тогда по свойству касательных, проведенных
из одной точки (п. 30), имеем:
I А2И| = \А1*\, |ВМ| = |ВР|, \С<Э\ = |СР|, =|#Ж
Сложив эти равенства почленно, получим:
|АВ| + |СВ| = |АО| + IВС\. ■
Итак, необходимое условие того, чтобы в четырехугольник
можно было вписать окружность, получено. Оказывается, что
для выпуклых четырехугольников это условие и достаточно.
90 (Теорем а. Если суммы противоположных сторон вы-
| пуклого четырехугольника равны, то в этот четырехуголь-
| ник можно вписать окружность.
Вопросы и задачи
1194. Постройте квадрат: 1) вписанный в данную окружность;
2) описанный около данной окружности; 3) по радиусу опи¬
санной окружности; 4) по радиусу вписанной окружности.
1195. Можно ли описать окружность около четырехугольника
АВСБ, углы которого соответственно равны: 1) 90°, 90°, 60°,
120°; 2) 70°, 130°, 110°, 50°; 3) 45°, 75°, 135°, 105°?
1196. Можно ли описать окружность около четырехугольника
АВСБ, углы которого относятся как числа: 1)2, 3, 4, 3;
2) 7, 2, 4, 5?
1197. Докажите: 1) любая трапеция, вписанная в окружность,
равнобедренная; 2) любой параллелограмм, вписанный в ок¬
ружность,— прямоугольник; 3) любой ромб, вписанный в ок¬
ружность,— квадрат.
1198. Можно ли вписать окружность в четырехугольник, стороны
которого, взятые последовательно, относятся как числа:
1) 2, 2, 3, 3; 2) 2, 5, 3, 4; 3) 3, 5, 3, 1?
1199. Постройте прямоугольник по радиусу описанной около него
окружности и углу между диагоналями.
1200. Постройте ромб по радиусу вписанной в него окружности
и стороне.
1201*. Впишите в данную окружность прямоугольник, подобный
данному.
1202*. Общая хорда двух пересекающихся окружностей длиной тп
служит для одной из них стороной равностороннего вписан¬
ного треугольника, а для другой — стороной вписанного квад¬
рата. Вычислите расстояние между центрами окружностей,
если т = 2 см.
314
§ 2. Правильные многоугольники
88. Построение правильных многоугольников
1. Разделим окружность на п (п > 2) конгруэнтных дуг. Это
можно сделать, построив последовательно центральные углы,
360°
величина каждого из которых равна -— (рис. 484). Соединим по-
п
следовательно точки деления хордами. Получим «-угольник,
вписанный в эту окружность. При повороте вокруг цент-
3600 « -
ра окружности на угол а = построенный «-угольник отоб-
п
ражается на себя. Значит, все
стороны полученного «-уголь¬
ника и все его углы конгруэнтны.
Определение. Многоугольник, у
которого все стороны конгруэнтны и
все углы конгруэнтны, называется пра¬
вильным.
Правильный многоугольник можно
построить и таким образом. • Раз¬
делим окружность на п конгруэнт¬
ных дуг (« >2). Через точки деления
проведем касательные к этой окруж¬
ности (рис. 485). Образованный при
этом многоугольник (его вершинами
служат точки пересечения касательных,
проведенных через соседние точки де¬
ления) будет правильным.
2. Вы знаете, что около правильно¬
го треугольника и около квадрата (пра¬
вильного четырехугольника) можно
описать окружность. Оказывается, это
верно для любого правильного много¬
угольника.
91|Теор ем а. Около всякого пра-
I вильного многоугольника можно
I описать окружность.
Доказательство. Построим
биссектрисы двух соседних углов А
и В этого многоугольника (рис. 486).
Они пересекутся, так как 1+2 < 2й.
315
Точку О пересечения этих биссектрис
соединим отрезками с остальными вер¬
шинами данного многоугольника.
Так как углы А и В конгруэнтны,
то конгруэнтны и их половины: /_2.
Значит, треугольник АОВ равнобедрен¬
ный и [ОА] [ОВ].
Рассмотрим треугольники АОВ и ВОС.
Отрезок ОВ — их общая сторона, [АВ] =
= [ВС] (по условию), /_2 = /_3 ([ВО) —
биссектриса угла В). Следовательно, ДАОВ = АВОС, откуда
[ОВ] [ОС]. Итак, [ОА] [ОВ] = [ОС]. Рассматривая теперь
треугольники АОВ и СОО> АОВ и ИОЕ и т. д., приходим
к выводу:
[ОА| = |ОВ| = | ОС| = ... = |ОВ|.
Отсюда следует, что все вершины данного многоугольника
лежат на окружности с центром О. ■
3. Докажем, что во всякий правильный многоугольник
можно вписать окружность.
92 ВТеорема. Во всякий правильный многоугольник можно
I вписать окружность.
Доказательство. Проведем через центр О окруж¬
ности, описанной около правильного п-угольника АВС ... М,
перпендикуляры к его сторонам (рис. 487). Обозначим их ос¬
нования через А1, Вь Св ..., При повороте вокруг центра О
на угол многоугольник и окружность (О, г) отображаются
п
на себя (объясните почему). Поэтому точка А1 отобразится на
точку В1, точка В1 — на точку С1 и т. д. Точка отобразится
на точку Ар Следовательно, | ОА^ | = |ОВ1| = | ОС^ = ... =
= 1ОМ11 и, значит, точки Аь Вв Сь ..., М1 лежат на одной
окружности с центром О, А так как по построению (ОАО ±
X (АВ), (ОВО _1_ (ВС), ..., то любая сторона данного много¬
угольника касается этой окружности. ■
Центры вписанной и описанной около правильного много¬
угольника окружностей — одна и та же точка. Эта точка (ее
называют также центром правильного многоугольника) явля¬
ется центром поворотов, отображающих этот правильный мно¬
гоугольник на себя.
316
Отрезок ОА1 (см. рис. 487) перпендикуляра, проведенного
из центра правильного многоугольника к его стороне, называ¬
ется апофемой правильного многоугольника (апофема является
радиусом вписанной окружности).
Вопросы и задачи
1203. Вычислите: 1) внутренние, 2) внешние углы правильного
п-угольника (п — 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12).
1204. Найдите число сторон правильного многоугольника, если
1) его угол равен: а) 135°; б) 150°; в) 140°; 2) его внешний
угол равен: а) 36°; б) 24°; в) 60°.
1205. Докажите, что центральный угол правильного многоуголь¬
ника конгруэнтен его внешнему углу.
1206. Постройте правильный п-угольник по стороне (п = 5, 6, 8).
1207. Впишите в данную окружность правильный п-угольник (п = 3,
4, 6, 8, 12).
1208. Опишите около данной окружности правильный п-угольник
(п = 3, 4, 6, 8).
1209*. При каких перемещениях отображается на себя: 1) правиль¬
ный пятиугольник; 2) правильный шестиугольник?
1210*. 1) Сколько осей симметрии имеет правильный п-угольник?
2) Сколько существует поворотов, отображающих на себя
правильный п-угольник?
3) Каждый ли правильный многоугольник имеет центр сим¬
метрии?
89. Формулы для вычисления стороны и площади
правильного многоугольника
Сторона ап правильного п-угольника находится по формуле
ап = 2К §1п ,
п
где К — радиус описанной около этого
п-угольника окружности.
В самом деле, пусть [АВ] — сторона
правильного п-угольника, вписанного в ок¬
ружность радиуса В (рис. 488), и (ОМ) _1_
± (АВ). Тогда
1 1 360° 180°
ЛОМ - 2ЛОВ--г
317
Рис. 489
93
Из прямоугольного треугольника АОМ:
| АМ\ = |ЛО| 81п АОЛ/ = В 81п —.
Но | АВ1 = 2 | АМ
Итак, ап = 2В 8ш ■
п
Следствие 1. а6 = Я.
Действительно,
а6 = 2Н 81п = 2В 81п 30' = 2Е • — — Л.
6 2
Следствие 2.
а4 = 2В 81П = 2В 81п 45° = В У 2.
Следствие 3. ал = В И3.
а3 = 2В 81п — = 2В 81п 60э = В И 3.
3
Теорема. Площадь правильного
многоугольника равна половине про¬
изведения его периметра на радиус
вписанной окружности.
8 = —Рг,
2
где Р — периметр многоугольника, аг — радиус вписанной в
него окружности.
Доказательство. Разобьем правильный п-угольник
на п треугольников, соединяя отрезками вершины п-угольника
с центром вписанной окружности (рис. 489). Эти треугольники
конгруэнтны. Площадь каждого из них равна ±апг> гДе ап —
сторона правильного п-угольника.
Площадь 8 многоугольника равна — апг • п, но апп = Р.
2
Следовательно, 5 = Рг. ■
94 | Т е о р е м а. Площадь 8п правильного п-угольника равна:
I О 1 02 • 360
I 5П = —пЯг81п ,
где В — радиус описанной окружности.
Доказательство (рис. 490).
о 1
ьаов = |ОА{-1ОВ| • 81п АОВ.
318
**хЛ>** 360°
Но | О А | = | ОВ | = Я, АОВ = . Поэтому
п
о 1 п2 . 360°
8дпн = — Я* 2 * * * б) 81п
А0В 2 п
Так как правильный 72-угольник является объединением не-
перекрывающихся треугольников, конгруэнтных треугольнику
АОВ, то
Вопросы и задачи
1211. 1) Выразите радиус окружности, описанной около правильно¬
го п-угольника, через сторону ап этого многоугольника, если
п равно: а) 3; б) 4; в) 6.
2) Выразите сторону а п правильного 72-угольника через ра¬
диус г вписанной окружности, если 72 равно: а) 3; б) 4; в) 6.
1212. Выразите радиус г вписанной окружности через радиус В
описанной около правильного 72-угольника окружности.
1213. 1) Из заготовки цилиндрической формы выточен болт с квад¬
ратной головкой наибольших размеров. Каково расстояние
между противоположными гранями этой головки, если диа¬
метр заготовки равен: а) 20 мм; б) 8 мм?
2) Из заготовки, имеющей форму правильной шестиуголь¬
ной призмы, изготовлен цилиндр наибольшего диаметра. Вы¬
числите диаметр цилиндра, если расстояние между противо¬
положными боковыми ребрами заготовки равно: а) 16 мм;
б) 12 мм.
1214. В окружность радиуса 6 см вписан правильный треугольник,
на стороне которого построен квадрат. Вычислите радиус ок¬
ружности, описанной около этого квадрата.
1215*. При каких значениях п сторона правильного л-угольника:
1) больше радиуса описанной окружности; 2) равна радиусу
описанной окружности; 3) меньше радиуса описанной окруж¬
ности?
1216*. 1) Три конгруэнтные окружности, касающиеся между собой
попарно, касаются внешним образом окружности радиуса Я.
Вычислите радиусы этих окружностей, если Я = 2 см.
2) Докажите, что для любой окружности (О, Я) при любом
319
п > 2 можно построить п окружностей радиуса г, каждая из
которых касается двух окружностей радиуса г и окружности
(О, В). Выразите г через /?.
1217*. Выразите через сторону ап наименьшую диагональ правиль¬
ного п-угольника. Вычислите эту диагональ, если:
1) ап = 1 см, п = 5; 2) ап = 5 см, п = 6.
1218*. Через середины двух смежных сторон квадрата, вписанного
в окружность радиуса В, проведена хорда. Какова длина
этой хорды, если:
1) В = 2 см; 2) Л = 3 см?
1219. Вычислите площадь правильного п-угольника, вписанного
в окружность радиуса Л = 8 см, если:
1) п = 3; 2) п = 4; 3) п — 5.
1220. Вычислите площадь правильного п-угольника, описанного
около окружности радиуса г = 4 см, если: 1) п = 3;
2) п = 4; 3) п = 5.
1221.
многоугольников
этих многоуголь-
1222.
Стороны двух правильных одноименных
равны а и Ь. Как относятся: 1) периметры
ников; 2) площади многоугольников?
В окружность вписаны и около нее описаны правильные
п-угольники. Вычислите для п = 3, 4, 6 отношение: 1) их пе¬
риметров; 2) их площадей.
1223*. Докажите, что площадь правильного п-угольника, вписанного
в окружность радиуса Л, может быть вычислена по формуле
О * 1 П О 18 0° „
Ьп = — соз ——, где Рп — периметр многоугольника.
1224. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник,
если стороны его равны: 1) 3 см, 4 см, 5 см; 2) 10 см,
6 см, 5 см.
§ 3. Длина окружности и площадь круга
90. Длина окружности
1. В пункте 8 было дано определение длины ломаной. Строгое
определение длины произвольной кривой линии основано на
понятии предела числовой последовательности, которое изу¬
чается в курсе алгебры и начал анализа 9 класса. Однако вы
знакомы с формулами длины окружности:
С = 2лЯ = л2)
320
и длины I дуги окружности в а градусов:
1 & а п
I = л В = л — Л.
180 360
Вы знакомы и с приближенным значени¬
ем числа «пи»:
л « 3,14159.
Сейчас будет рассказано, как можно
оценить это число «пи» с любой наперед
заданной точностью, исходя из прос¬
того допущения (рис. 491): длина
окружности больше периметра любого вписанного в нее мно¬
гоугольника и меньше периметра любого описанного вокруг нее
многоугольника.
Рассмотрим окружность диаметра I) = 1. Ее длина равна л.
Обозначим периметр вписанного в такую окружность правиль¬
ного п-угольника через рл, а периметр описанного — через дп.
Тогда по сделанному допущению
Рп < л < <7Л-
Вот результаты вычислений, способ которых объяснен ниже:
п |
1
6
3,00000
3,46414
12
3,10595
3,21554
24
3,13301
3,16005
48
3,13475
3,14665
96
3,14134
3,14284
Уже неравенства р96 < л < ?9в позволяют оценить число
«пи» с довольно большой точностью. Именно при помощи
96-угольников Архимед (II в. до н. э.) получил свои оценки:
3- < л < 3-.
71 7
▼ 2. В приведенной выше таблице даны значения рп и
для номеров п вида
п = 3 • 2т, (1)
где т = 1, 2, 3, 4, 5.
Объясним, как вычисляются рп и дп для этой таблицы.
(При этом будем пользоваться формулами (3) и (4), вывод кото¬
II Заказ 354
321
рых дан ниже отдельно, чтобы не затруднять объяснение дета¬
лями вычислений.)
1) Ясно, что
р„ = п • а„, $„ = п • Ьп, (2)
где ап — сторона правильного вписанного и-угольника, а Ъп —
описанного. Значит, задача вычисления рп и сводится к вы¬
числению ап и Ъ{1.
2) Для вычисления ап используем формулу удвоениях -
°2п=IV2 ~ (3)
где а2п — сторона правильного вписанного 2п-угольника.
Сторона а6 правильного вписанного шестиугольника равна
радиусу. Поэтому при В = 1
1
По формуле удвоения (3) далее последовательно вычисляются
#12, #24» #48 И ^96*
3) По ап вычисляются Ъп при помощи формулы
^п — ап ’ ап* (4)
Теперь по формулам (2) вычисляются значения
для таблицы.
Из формулы (4) получаем:
Рп __ пап _ап X
~ ~ Г “ 1/ 1—#2
дп пЬп Ьп V п
Рп и
(5)
Увеличивая п, можно сделать ап сколь угодно малым, а
]Л1 — а\ сколь угодно близким к единице. Так как рп и явля¬
ются нижней и верхней оценкой для числа
«пи», то это и значит, что при помощи не¬
равенств
Рп < л < <1п
число «пи» оценивается при достаточно
большом п со сколь угодно большой точ¬
ностью.
3. Докажем теперь формулу (3).
Пусть [АВ] — сторона правильного
п-угольника, вписанного в окружность
(О, В) (рис. 492). Проведем перпендику¬
322
ляр ОС к прямой АВ. Дуга АВ делится в
точке С пополам (п. 23). Поэтому хорда АС
есть сторона правильного вписанного
2п-угольника.
Выразим ее длину а2п = | АС | через
длину стороны ап = | АВ | данного ^-уголь¬
ника и радиус В описанной окружности.
Из треугольника АСй по теореме
косинусов находим:
I АС\2 = | ОА |2 + \ОС\2 — 2 | ОА | • |ОС| соз АОС. (6)
Из прямоугольного треугольника АОВ имеем: 10 А | соз АОС =
= 10-01. Кроме того, | О А | = |0С| = В. Поэтому равенство (6)
примет вид:
IАС\2 = 2В2 — 2В |ОВ|. (7)
По теореме Пифагора из треугольника АОО находим:
|0Д| = /|АО|г-|АО|а=
Подставляя значение |ОО| в равенство (7), получим:
а
2В2 — 2В
2л
(8)
Если рассматривать окружность диаметра .0=1, то форму¬
ла удвоения (8) примет вид формулы (3), которой мы и восполь¬
зовались выше.
4. Докажем формулу (4).
Пусть ал= | АВ | —сторона правильного п-угольника, впи¬
санного в окружность (О, В) (рис. 493). Через Ъп = | СБ | обо¬
значим сторону правильного п-угольника, описанного около
этой окружности.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ОМС и ОМА.
Они подобны. Поэтому |Ж7| : | МА| = |0Л'| : |02И|,
т. е.
: -=П: |ОЛ/ I.
2 2
11*
323
Но
\ОМ |= ц-К —
Поэтому
Отсюда
Если рассматривать окружность диаметра В = 1, то форму¬
ла (9) примет вид формулы (4), которой мы и воспользовались
при объяснении метода вычисления рп и для] заполнения
таблицы. ▼
Вопросы и задачи
1225. Как изменится длина окружности, если: 1) радиус увели¬
чится в п раз; 2) радиус уменьшится в п раз?
1226. Вычислите длину окружности, если радиус ее равен:
1) 12,5 см; 2) 6 дм.
1227. Вычислите радиус окружности, длина которой равна:
1) 78,5 см; 2) 12,56 дм.
1228. Чтобы найти толщину дерева (диаметр), можно измерить его
обхват (длину окружности). Вычислите толщину дерева, об¬
хват которого равен: 1) 2 м; 2) 1,5 м.
1229. Сторона равностороннего треугольника равна 3 см. Вычис¬
лите длину окружности: 1) вписанной в этот треугольник;
2) описанной около него.
1230. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислите длину окружности:
1) вписанной в него; 2) описанной около него.
1231. Постройте окружность, длина которой равна: 1) 12 см;
2) 18 см (построение приближенно).
1232. Минутная стрелка Кремлевских курантов имеет длину 3,6 м.
Какова длина дуги, которую описывает конец стрелки в те¬
чение: 1) 5 мин; 2) 1 ч?
1233. Вычислите длину дуги окружности радиуса г = 5, если угло¬
вая величина дуги равна: 1) 30°; 2) 40°; 3) —.
5
1234*. Выведите формулу, выражающую зависимость между раз¬
ностью длин двух окружностей, ограничивающих кольцо,
и толщиной кольца.
324
1235. Радиусы двух концентрических окружностей равны 10 см
и 26 см. Вычислите длину отрезка наибольшей длины, все
точки которого принадлежат этому кольцу.
1236. Вычислите длину дуги земного экватора величиной в 1 мин
(радиус земного экватора приближенно равен 6400 км).
1237. Две дуги разных окружностей имеют одну и ту же длину.
Вычислите отношение радиусов этих дуг, если угловая ве¬
личина одной из них 25°, а другой — 45°.
91. Площадь круга
Сравнивая площади 8п вписанных в круг правильных мно¬
гоугольников, можно заметить, что при возрастании числа их
сторон площади увеличиваются, оставаясь при этом меньше
площади круга (рис. 494, а). Площади 8п описанных около
этого же круга правильных многоугольников при возрастании
числа их сторон уменьшаются, но остаются больше площади
этого круга (рис. 494, б). Вычисляя площади правильных впи¬
санных (описанных) многоугольников, можно находить при¬
ближенные значения площади круга с не¬
достатком (с избытком).
Площадь правильного п-угольника рав¬
на половине произведения его периметра
на радиус вписанной в него окружности
(п. 89). При возрастании числа его сторон
периметр Р стремится к длине окружности
2лЯ, а площадь 8п — к площади круга
5кр. Поэтому
8К_ = - • 2л7? • К - л_В2.
кр 2
Итак,
5,<Р = яЛ2.
Площадь сектора, дуга которого содер¬
жит 1°, равна — площади круга. Поэтому
360
площадь сектора, дуга которого содер¬
жит а градусов, находится по формуле:
о лЯ2а
Рис. 494
325
Вопросы и задачи
1238. Вычислите площадь круга, диаметр которого равен:
1) 4 см; 2) 10 м.
1239. Как изменится площадь круга и длина его окружности, если:
1) диаметр уменьшить в четыре раза; в п раз; 2) радиус
увеличить в три раза; в п раз?
1240. Выразите площадь круга через длину его окружности.
1241. Вычислите площадь сечения провода, если его диаметр ра¬
вен: 1) 3 мм; 2) 0,2 мм.
1242. Произведите необходимые измерения и вычислите площа¬
ди фигур, изображенных на рисунке 495 (масштаб
а) 5)
в) г)
Ф е)
1 : 10).
1243. Вычислите площадь поперечного се¬
чения дерева, если его обхват (длина
окружности) равен: 1) 88 см; 2) 5 дм.
1244. Из квадратного листа жести выре¬
зали круг наибольшей площади. Ка¬
кая часть листа ушла в отходы?
1245. Вычислите площадь сектора, радиус
г которого равен 6 см, а величина
угла равна: 1) 24°; 2) 30°; 3)^-.
5
1246. Постройте круг, площадь которого
была бы равна: 1) 4 см2; 2) 16 м2 (по¬
строение приближенно).
1247*. Вычислите радиус окружности, ко¬
торая делит круг радиуса г на две
равновеликие фигуры — кольцо и
круг.
1248. Докажите, что сумма площадей
полукругов, построенных на ка¬
Рис. 495
тетах прямоугольного треугольника,
как на диаметрах, равна площади
полукруга, построенного на гипоте¬
нузе.
1249*. Докажите, что сумма площадей двух
заштрихованных луночек (рис. 496)
равна площади прямоугольного тре¬
угольника.
326
Дополнительные задачи к главе IX
1250.
1251.
1252.
1253.
1254.
1255.
1256.
1257.
1258.
1259.
1260.
1261.
Две окружности с центрами в точках О и О\ пересекаются
в точках А и В. Через точку А проведены диаметры этих
окружностей АА\ и АВ\. Докажите, что точки А\, В и В} ле¬
жат на одной прямой.
Постройте фигуру, состоящую из точек, из которых данный
отрезок АВ виден под данным углом а.
Докажите, что из всех треугольников: 1) имеющих общее ос¬
нование и равные углы при вершине, наибольшую площадь
имеет равнобедренный треугольник; 2) вписанных в данную
окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний
треугольник.
Докажите, что из всех четырехугольников, вписанных в дан¬
ную окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
Угловая величина дуги сегмента равна 120°, а длина этой
дуги равна I. Вычислите длину окружности, вписанной в этот
сегмент.
Докажите, что площадь любого описанного многоугольника
1
равна —
А
Рг, где Р — периметр этого многоугольника, аг —
радиус вписанной окружности.
Докажите, что » где ° и &— длины
данных
отрезков.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку
В проведена произвольная прямая, пересекающая данные
окружности в точках X и У. Докажите, что угол ХАУ не за¬
висит от выбора этой прямой.
Постройте треугольник, вписанный в данную окружность, ес¬
ли известны точки пересечения с окружностью продолжений
биссектрисы, медианы и высоты треугольника, проведенных
из одной и той же вершины.
Проведены два диаметра окружности. Постройте хорду,
которая делится этими диаметрами на три конгруэнтных
отрезка.
Докажите, что площадь кольца равна площади круга, диа¬
метр которого — хорда окружности (01, и), касающаяся
окружности (О2, г2). (Окружности (01, Г1) и (О2, г2) ограничи¬
вают данное кольцо, п > г2.)
Даны прямая АВ и две окружности (О, г) и (01, Г1). Прове¬
дите к данным окружностям секущую, параллельную (АВ),
327
так, чтобы сумма длин хорд этих окружностей равнялась р.
1262. Постройте треугольник по стороне а, углу а и высоте Ла.
1263. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого
лежат на трех данных параллельных прямых.
1264. Постройте квадрат, если даны точки А, В, С и Л, лежащие
на его сторонах (по одной на каждой стороне).
1265. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с
углом В при вершине, равным 36°. Из точки А проведена
биссектриса угла А, пересекающая окружность в точке О.
Докажите, что отрезок ВЛ — сторона правильного пятиуголь¬
ника, вписанного в эту окружность.
1266. Пользуясь только циркулем и линейкой, в данную окруж¬
ность впишите правильный десятиугольник.
1267. Около правильного многоугольника со стороной а описана
окружность, в многоугольник вписана другая окружность.
Вычислите площадь образовавшегося кольца.
1268. Правильный многоугольник вращается вокруг своего цент¬
ра. При каких значениях угла поворота а этот п-угольник
совмещается с самим собой?
1269. Точка О лежит на серединном перпендикуляре к отрезку
АВ. При вращении плоскости вокруг центра О отрезок АВ
заметает кольцо с центром О. Докажите, что площадь коль¬
ца не зависит от расстояния от точки О до прямой АВ.
ГЛАВА
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ СТЕРЕОМЕТРИИ
В этой главе приведены некоторые
сведения из стереометрии — той час¬
ти геометрии, в которой изучаются и
неплоские фигуры.
§ 1. Прямые и плоскости
в пространстве
92. Расположение плоскостей
в пространстве
Вы знаете, что любые две отличные
друг от друга точки пространства опре¬
деляют одну и только одну содержащую
их прямую. А как определить положе¬
ние плоскости в пространстве?
На рисунке 497 видно, что плоско¬
стей, содержащих две данные точки А
и В, много. Взяв одну из этих плоско¬
стей, все остальные можно получить
из нее вращением вокруг оси АВ.
Чтобы выделить какую-либо из них,
надо фиксировать еще одну точку С,
не лежащую на оси АВ. Эти наблюде¬
ния убеждают в справедливости сле¬
дующих предложений:
95 I три не лежащие на одной прямой
I точки пространства определяют од-
I ну и только одну содержащую их
I плоскость;
329
'6
Рис. 498
Рис. 499
96] прямая и не принадлежащая ей точка определяют одну и
I только одну содержащую их плоскость.
Рассмотрим теперь взаимное расположение двух плоскостей
в пространстве. Плоскости пола и потолка класса дают на¬
глядное представление о параллельных плоскостях. Плоскость
пола и плоскость стены дают представление о пересекающихся
плоскостях. Их пересечение — прямая.
Определение. Плоскости аир называются параллель¬
ными, если они не имеют общих точек или совпадают.
Сформулируем теперь основное предложение о возможных
случаях расположения двух плоскостей:
97 I две плоскости или параллельны, или пересекаются по пря-
I мой (рис. 498).
Отношение параллельности плоскостей обозначается тем же
знаком, что и отношение параллельности прямых (||). Подобно
отношению параллельности прямых оно транзитивно:
две плоскости, параллельные третьей, параллельны меж¬
ду собой (рис. 499).
▼ Из определения параллельных плос¬
костей следует, что отношение параллель¬
ности между плоскостями симметрично
и рефлексивно. Таким образом, отно¬
шение параллельности между плоскостями
является отношением эквивалентности.
Поэтому все множество плоскостей
пространства разбивается на пучки па¬
раллельных плоскостей: любые две плос¬
кости одного пучка параллельны друг
другу, а плоскости из разных пучков не
параллельны. ▼
330
Отметим следующее предложение:
если две плоскости параллельны, а третья им не параллельна9
то эта третья плоскость пересекает две первые по двум парал¬
лельным прямым (рис. 500).
Вопросы и задачи
1270. Почему штативы фотоаппаратов, геодезических приборов
имеют три опорные ножки? Почему стол, имеющий четыре
ножки, не всегда устойчив?
1271. Можно ли утверждать, что плоский выпуклый многоуголь¬
ник лежит в данной плоскости, если известно, что этой плос¬
кости принадлежит: 1) одна его точка; 2) две его точки;
3) три его точки; 4) три вершины многоугольника?
1272. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая не мо¬
гут иметь более одной общей точки.
1273*. Докажите, что через две пересекающиеся прямые прохо¬
дит одна и только одна плоскость.
1274. Две прямые одной плоскости параллельны двум прямым
другой плоскости. Верно ли, что такие плоскости всегда па¬
раллельны? Воспользуйтесь моделью.
1275. Две пересекающиеся плоскости пересечены третьей плос¬
костью. Могут ли линии пересечения этих плоскостей быть:
1) параллельными; 2) непараллельными; 3) непересекающи-
мися и непараллельными? Рассмотрите модели.
93. Параллельные прямые в пространстве
Определение параллельных прямых вам хорошо знакомо: пря¬
мые а и Ъ называются параллельными, если они лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек или же совпадают.
Для прямых, лежащих в одной плоскости, бы¬
ла доказана транзитивность отношения параллель- а
ности (см. п. 32). Свойство транзитивности верно
и для прямых в пространстве (рис. 501):
991 две прямые, параллельные третьей, парал-
I ле льны между собой,
▼ Так как, кроме того, отношение параллельности
прямых симметрично и рефлексивно, то это отно-
с
Ь
шение есть отношение эквивалентности.
Рис.
601
331
Рис. 503
Множество всех прямых, па¬
раллельных какой-либо одной
прямой в пространстве, называ¬
ется связкой* параллельных пря¬
мых, Множество всех прямых
пространства разбивается на
связки параллельных. Из курса
черчения вы знакомы с употреб¬
лением связок параллельных
прямых при параллельном про¬
ектировании фигур пространст¬
ва на плоскость (рис. 502).▼
Вопросы и задачи
1276°. Укажите несколько приме¬
ров параллельных прямых
из окружающей обстанов¬
ки. Приведите примеры
прямых, которые не пере¬
секаются, но и не параллель¬
ны. (Такие прямые называ¬
ются скрещивающимися.)
1277°. Верно ли предложение:
если две прямые в прост¬
ранстве не пересекаются,
то они параллельны?
1278°. Может ли прямая быть па¬
раллельна: 1) только одно¬
му ребру куба; 2) только
двум; 3) только трем?
1279°. На рисунке 503 изображен
прямоугольный параллеле¬
пипед. Назовите прямые
связки параллельных, со¬
держащих ребра этого па¬
раллелепипеда.
♦ Слово «связка* употребляется
для отличия от «пучков» параллельных
прямых на плоскости.
332
94. Перпендикулярность прямой
и плоскости
1. Рассмотрим прямую О А (рис. 504).
В каждой плоскости, проходящей через
эту прямую, проведем к ней через точ¬
ку О перпендикуляр. Оказывается, что
все эти перпендикуляры лежат в одной
плоскости. Наглядно в этом легко убе¬
диться на модели, изображенной на
рисунке 505.
Определение. Прямая перпен¬
дикулярна плоскости, если она пересе¬
кает плоскость в какой-либо точке и пер¬
пендикулярна всем лежащим в этой
плоскости прямым, проходящим через
эту точку.
Перечислим основные свойства от¬
ношения перпендикулярности между
прямой и плоскостью.
1001 Через любую точку пространства
I проходит одна и только одна пря-
шмая, перпендикулярная данной
I плоскости.
Все прямые, перпендикулярные
данной плоскости, параллельны между
собой (рис. 506).
Ю1|^ерез каждую точку пространства
I проходит одна и только одна пло-
I скость, перпендикулярная данной
I прямой.
Две плоскости, перпендикулярные
данной прямой, параллельны между
собой (рис. 507).
▼ Прямые, перпендикулярные дан¬
ной плоскости, образуют связку па-
Рпс. гсз
раллельных прямых.
Из последних двух предложений вытекает, что плоскости,
перпендикулярные данной прямой, образуют пучок параллель¬
ных плоскостей. ▼
2. Расстояние между полом и потолком комнаты измеря¬
ется вдоль какой-либо вертикальной прямой.
333
Этот способ основан на следующих геометрических фактах:
1021 прямая, перпендикулярная плоскости а, перпендикулярна
л любой другой плоскости, параллельной а;
1031 длины отрезков, отсекаемых двумя параллельными плос-
I костями на их общих перпендикулярах, равны.
Например, на рисунке 508 | АВ | = | А<В1| = |А2В2|.
Длина отрезка, отсекаемого двумя параллельными плоско¬
стями а и 0 на любом их общем перпендикуляре, есть расстоя¬
ние между этими плоскостями.
Вопросы и задачи
1280°. Покажите на моделях из окружающей обстановки перпен¬
дикуляры к одной и той же плоскости. Что можно сказать
о взаимном расположении этих перпендикуляров?
1281°. Прямые АВ и СО перпендикулярны плоскости а. Существу¬
ет ли плоскость, содержащая эти прямые?
1282°. Как расположены две плоскости, перпендикулярные одной
и той же прямой?
1283°. По рисунку прямоугольного параллелепипеда (см. рис. 503)
укажите: 1) грани, перпендикулярные ребру: а) ААг, б) АВ;
в) В1С1,* 2) ребра, перпендикулярные грани ОСС1О1.
1284°. На рисунке 509 изображена треугольная пирамида; углы
ОСА, йСВ, АСВ прямые. Каким ребрам перпендикулярны
грани АСО, ИСВ, АСВ, АИВ1
1285°. Верны ли следующие предложения: 1) прямая перпендику-
лярна плоскости, если она перпендикулярна двум различ¬
ным прямым, лежащим в этой плоскости; 2) две прямые,
перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны?
1286. 1) Как на практике (с помощью отвеса) можно проверить
вертикальность установки столба?
2) Как с помощью уровня может быть проверена горизон¬
тальность установки подставки для прибора?
Ребро куба равно а. Чему равно рас¬
стояние от одной из
1) до его граней; 2)
вершин?
Диагональ основания
Чему равно расстояние между проти¬
воположными гранями куба?
Измерьте расстояние между проти¬
воположными стенами класса.
1287.
1288.
1289.
вершин куба:
до других его
куба равна а.
334
§ 2. Многогранники
95. Прямая призма
1. На рисунке 510 изображена прямая пятиугольная призма.
На ее примере познакомимся с тем, как получают другие пря¬
мые призмы (рис. 511).
Рассмотрим две параллельные плоскости и на одной из них
возьмем многоугольник АВСБЕ. Через его вершины проведем
прямые, перпендикулярные плоскости. Эти прямые пересекут
вторую плоскость в точках А19 С19 и Е19 Можно доказать,
что многоугольники АВСБЕ и А1В1С1Р1Е1 конгруэнтны. Они
называются основаниями призмы. В силу предложений 100 и 103
отрезки АА1, ВВ^9 СС^9 и ЕЕ^ конгруэнтны. Эти отрезки на¬
зываются боковыми ребрами призмы. Высотой призмы называ¬
ется отрезок, заключенный между ее основаниями и перпенди¬
кулярный им. (Высотой призмы называют и длину этого от¬
резка.)
Можно также доказать, что четырехугольники АВВ^А^
ВСС^В^ ЕЕЕ±й1 и ЕАА^^ являются прямоугольни¬
ками. Это боковые грани прямой призмы. Боковые грани и
основания призмы называются ее гранями. Стороны граней на¬
зывают ребрами призмы, а концы ребер — ее вершинами.
Прямая призма, в основании которой лежит параллело¬
грамм, называется прямым параллелепипедом. Если же в ос¬
новании прямой призмы лежит прямоугольник, то она называ¬
ется прямоугольным параллелепипедом (рис. 512). Прямоуголь¬
ный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между
собой, называется кубом. Длины трех ребер прямоугольного
параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измере-
ниями этого параллелепипеда.
335
1
1
7
1
1
)
/
/
с
/ь
а
Рис. 512
Задание. Постройте на листе бумаги два симметрич¬
ных относительно оси многоугольника (на рис. 513 по¬
строены пятиугольники), так, чтобы одна сторона многоуголь¬
ника была параллельна прямой ММ. Затем постройте прямо¬
угольники, как на рисунке: | АВ2| = I АВ |, |В2С2| = I ВС |,
|С2Р2| = |СР|, |В2В2| = |-ОЕ|. В результате вы получите
развертку прямой пятиугольной призмы. Если согнуть ее
надлежащим образом по сторонам прямоугольников, то полу¬
чится поверхность прямой пятиугольной призмы.
2. Площадь боковой поверхности призмы есть сумма пло¬
щадей прямоугольников, являющихся ее боковыми гранями.
Обозначим через к высоту призмы и через а, Ь, ..., / — стороны
основания (рис. 514). Так как боковые грани прямой призмы —
прямоугольники, площадь боковой поверхности прямой
призмы равна:
56ок = яй 4“ йй + ••• + /к — (а + Ъ + ... + /) к = Р • й,
где Р — периметр основания призмы.
Итак,
^бок Рк.
Площадь боковой поверхности прямой приз¬
мы равна произведению периметра основания
призмы на ее высоту.
Площадь поверхности* прямой призмы
равна сумме площади боковой поверхности и
удвоенной площади основания:
^нр *^бок “I” 25>осн.
* Иногда вместо слов «площадь поверхности призмы»
гоьорят «полная поверхность призмы».
336
3. В младших классах вы уже вычисляли объем прямоуголь¬
ного параллелепипеда по формуле
V = аЪс, (1)
где а, Ь и с — соответственно длина, ширина и высота парал¬
лелепипеда. Формулу (1) можно записать в виде
V = 8к (2)
(8 = аЬ — площадь основания, й — высота призмы). Формула
(2) верна для любой прямой призмы.
Объем прямой призмы равен произведению площади ее основа¬
ния на высоту.
Вопросы и задачи
1290. 1) Начертите треугольную и четырехугольную призмы.
2) Начертите развертку правильной треугольной призмы.
1291°. 1) Сколько граней имеет неочиненный шестигранный ка¬
рандаш?
2) Какой многоугольник служит основанием призмы, имею¬
щей п граней?
1292°. Какова зависимость между числом боковых граней прямой
призмы и числом сторон ее основания?
1293. Какое наименьшее число граней (ребер, вершин) может
иметь прямая призма?
1294°. Какими фигурами являются грани прямого параллелепипе¬
да, все измерения которого равны?
1295. 1) Существует ли призма, число ребер которой равно: а) 8;
б) 15; в) 13; г) 12?
2) Сколько вершин, граней и ребер имеет п-угольная
призма?
1296. Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре¬
угольник с катетами 5 см и 6 см. Высота призмы 8 см. Вы¬
числите площадь поверхности и
объем призмы.
1297. Основанием прямой призмы
служит ромб с диагоналями
6 см и 8 см, высота призмы
12 см. Вычислите площадь бо¬
ковой поверхности и объем
призмы.
1298. На рисунке 515 изображен са¬
рай с двускатной крышей, дли-
337
I/
А а в
Рис. 516
Рис. 518
Рис. 517
на которого 12 м. Остальные размеры указаны на рисунке.
Вычислите: 1) площадь кровли сарая; 2) емкость чердачно¬
го помещения; 3) емкость всего сарая.
1299. Найдите расстояние от вершины А до вершины С\ прямо¬
угольного параллелепипеда, зная его измерения а = 3 м,
Ь = 4 м и с = 5 м (рис. 516).
1300. Практическая работа. Сделайте развертку прямой
призмы, основание которой — прямоугольный треугольник
с катетами 3 см и 4 см, а высота равна 4 см. Согните и склей¬
те ее так, чтобы получилась модель призмы (сообразите,
где нужно оставить выступы для склеивания).
1301. Практическая работа. Возьмите модель прямой тре¬
угольной призмы. Выполните необходимые измерения и вы¬
числите площадь поверхности призмы.
1302*. Выполните необходимые измерения и вычислите по двум
ортогональным проекциям прямой треугольной призмы на
горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 517): 1) пло¬
щади боковых граней; 2) площадь основания.
1303. Из листа картона, размеры которого 240 мм X 160 мм, вы¬
резали по углам квадраты со стороной 40 мм и из получив¬
шейся фигуры (рис. 518), загнув края, склеили открытую
сверху коробку. Вычислите площадь дна, площадь всех бо¬
ковых стенок этой коробки и ее объем.
96. Пирамида
1. На рисунке 519 изображены пирамиды. Как можно полу¬
чить пирамиду? Возьмем какой-нибудь многоугольник АВС ...
Вне плоскости этого многоугольника возьмем точку 8
(рис. 520, а). Соединим ее отрезками со всеми вершинам#
338
многоугольника (рис. 520, б). Треугольники 8АВ, 8ВС и т. д.
называются боковыми гранями пирамиды, многоугольник
АВС ... —называется основанием, а точка 5 — вершиной пира¬
миды.
Поверхность пирамиды состоит из многоугольника (основа¬
ния пирамиды) и треугольников (боковых граней). В зависи¬
мости от вида многоугольника, лежащего в основании пира¬
миды, различают треугольные, четырехугольные, пятиуголь¬
ные и т. д. пирамиды.
Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, про¬
веденного через вершину пирамиды к плоскости ее основания
(концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основа¬
ние перпендикуляра). Отрезок 80 (рис. 521) — высота пира¬
миды. (Высотой пирамиды называют и длину этого отрезка.)
Пирамида называется правильной, если основанием ее яв¬
ляется правильный многоугольник, а вершина проектируется
в центр основания. Высота боковой грани правильной пирами¬
ды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой
пирамиды. Например, отрезки 8М и (рис. 522) — апофемы.
Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны между собой.
339
Прямые призмы и пирамиды являются
частными видами многогранников. Другие
примеры многогранников приведены на
рисунке 523. Поверхность каждого из
многогранников состоит из многоуголь¬
ников.
2. Площадь одной боковой грани пра¬
вильной п-угольной пирамиды равна
•~ал ^бок» гДе ап — сторона основания,
Лбок — апофема пирамиды. Так как все
боковые грани правильной пирамиды кон¬
груэнтны, то площадь боковой поверхности пирамиды равна*.
уайбокп = ^ =
’ 2 ’
где Р — периметр основания пирамиды.
Итак,
®бок
бок*
Если известна апофема Лос„ основания пирамиды, то по¬
верхность правильной пирамиды находится по формуле:
«пир = = | Р (Лбок + Йос).
Объем любой пирамиды равен одной трети произведения пло¬
щади ее основания на высоту*.
Рис. 523
340
Вопросы и задачи
1304. Начертите треугольную и четырехугольную пирамиды.
1305. Сколько ребер и сколько граней имеет п-угольная пира¬
мида?
1306. Вычислите площадь поверхности и объем каждой из правиль¬
ных пирамид, изображенных на рисунке 524.
1307. Вычислите объем правильной: 1) треугольной; 2) четырех¬
угольной; 3) шестиугольной пирамиды, сторона основания
которой равна а и высота к (а = 15 см, к = 20 см).
1308. Выразите объем правильной четырехугольной пирамиды че¬
рез ее боковое ребро Ь и радиус В окружности, описанной
около основания.
1309. Выразите площадь поверхности и объем правильной четы¬
рехугольной пирамиды через ее высоту к и радиус г вписан¬
ной в основание окружности.
1310. На модели треугольной пирамиды выполните необходимые
измерения и вычислите площади ее боковых граней, пло¬
щадь основания и объем этой пирамиды.
1311. На модели четырехугольной пирамиды, в основании которой
лежит прямоугольник, выполните необходимые измерения и
вычислите площади боковых граней, площадь основания и
объем этой пирамиды.
1312. Начертите развертку треугольной пирамиды, в основании ко¬
торой лежит равносторонний треугольник, а все боковые
ребра имеют одну и ту же длину. Изготовьте из этой раз¬
вертки модель пирамиды.
б)
341.
97 ▼- Общие свойства объемов
Познакомимся с постановкой задачи измерения объемов (срав¬
ните эту задачу с задачей измерения площадей, см. п. 49).
Единицей измерения объема будем считать объем куба с дли¬
ной ребра е, где е — единица измерения длины. Этот объем обо¬
значается е3. Любой объем V выражается через эту единицу из¬
мерения в виде V = о • е3, где о — числовое значение объема V
при данной единице измерения е3. В дальнейшем, считая еди¬
ницу измерения выбранной, будем говорить о числовых зна¬
чениях объемов. Задача состоит в том, чтобы каждому много¬
граннику (а по возможности и некоторым другим фигурам)
поставить в соответствие определенное число V (Е) > 0, обла¬
дающее такими свойствами:
1) если фигуры Ь1иЬ2 конгруэнтны, то их объемы равны:
V СЕО = V (Х2);
2) если многогранник Е является объединением много¬
гранников и не имеющих общих внутренних точек, то
342
объем многогранника Ь равен сумме объемов многогранни¬
ков и •
У(Ъ) = V (X,) + V (Ь2);
3) если фигура Ъ есть часть фигуры Ь1(т.е. подмножество
Ьг), то объем фигуры Б не превышает объема фигуры
У(Б) < V (Ь,);
4) объем куба Е с длиной ребра е равен единице:
V (Е) = 1.
Можно доказать, что при заданной единице длины е эта зада¬
ча для многогранников имеет одно-ед инственное решение. Только
одним-единственным образом можно каждому многогранни¬
ку Ь поставить в соответствие числа V (Б) с соблюдением тре¬
бований 1—4. Покажем это для прямоугольного параллелепипе¬
да, длина, ширина и высота которого выражаются рациональ¬
ными числами а, 6, с. Приведя числовые значения длины,
ширины и высоты параллелепипеда к общему знаменате¬
лю п, запишем их в виде
Этот параллелепипед составлен из т = рцг кубов с ребром—е
(на рис. 525 р = 10, ц = 11, г = 9).
Так как куб с ребром е составляется
из п3 таких кубов, числовое значение
объема каждого из них есть 1 : п3.
Следовательно, числовое значение
объема всего параллелепипеда есть
V = рцг — = — • — • — = а - Ъ • с.
п3 п п п
§ 3. Фигуры вращения
98. Цилиндр
Наглядное представление о цилиндре
можно получить, вращая прямоуголь¬
ник вокруг одной из его сторон
(рис. 526). Основания цилиндра — кон¬
груэнтные между собой круги. Боковая
поверхность — кривая поверхность, на¬
зываемая цилиндрической (рис. 527).
Рис. 527
343
Если развернуть боковую поверх¬
ность цилиндра, то получится пря¬
моугольник, длина основания кото¬
рого равна длине окружности осно¬
вания цилиндра, а высота — высоте
цилиндра. Следовательно, развертка
цилиндра состоит из прямоугольника
и двух кругов (рис. 528).
Зная радиус основания цилинд¬
ра и его высоту, можно вычислить
площадь поверхности цилиндра.
Заметим, что площадь основания
равна л/?2, площадь обоих основа¬
ний 2л/?2.
Площадь боковой поверхности
цилиндра равна площади прямоуголь¬
ника, основание которого равно 2л/?,
а высота к, т. е. равна
2л/? • Л.
Следовательно, площадь поверхности цилиндра равна:
5ЦИЛ = 2л/?2 + 2л/?А = 2л/? (/? + А).
Объем цилиндра равен
произведению площади его основания
на высоту:
Уцил = 5А = л/?2А.
▼ Доказательство этой формулы дается в 10 классе. На при¬
мере цилиндра покажем, как оценивать с любой требуемой точ¬
ностью объем произвольной фигуры. На рисунке 529 показано,
что цилиндр с диаметром основания и высотой е помещается
полностью в объединении 88 х 10 = 880 кубов с ребром е : 10 и
содержит в себе объединение 60 • 10 = 600 непересекающихся
таких же кубов. Поэтому числовое значение объема этого ци¬
линдра заключено в пределах:
0,6
= «00 < V < — = 0,88.
1000 1000
Выбирая кубы с ребром е : п (при достаточно большом и), мож¬
но было бы оценить объем взятого цилиндра со сколь угодно
большой ТОЧНОСТЬЮ. ▼
344
Вопросы и задачи
1313. 1) Как изменится площадь боковой поверхности цилиндра,
если: а) высоту его увеличить в два раза; б) радиус его ос¬
нования увеличить в три раза?
2) Как изменится объем цилиндра, если? а) высоту его уве¬
личить в два раза; б) радиус его основания увеличить в три
раза?
1314. Начертите развертку цилиндра, размеры которого выбери¬
те сами.
1315. Вычислите площадь поверхности и объем цилиндра по сле¬
дующим данным: 1) диаметр основания равен 12 см, высота
3,5 см; 2) радиус основания 18 см, высота 2,5 дм.
1316. Выразите объем цилиндра через его высоту к и длину С ок¬
ружности основания.
1317. Вычислите объем резервуара, имеющего цилиндрическую
форму, если: 1) его высота равна 8 м, а длина окружности
основания 30 м; 2) радиус окружности его основания равен
3,5 м, а высота равна диаметру основания.
345
1318*. Сравните объемы трех цилиндров: два из них получаются
вращением прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг
каждой из двух смежных сторон, а третий — вращением
квадрата, периметр которого равен периметру этого прямо¬
угольника, вокруг стороны.
1319. На модели цилиндра проведите необходимые измерения и
вычислите: 1) площадь боковой поверхности; 2) площадь
поверхности; 3) объем модели.
99. Конус
Наглядное представление о конусе можно получить, вращая
прямоугольный треугольник вокруг одного из его катетов
(рис. 530). Катет 80 при этом будет высотой конуса. Второй
катет ОА описывает круг, который называется основанием ко-
3
Рис. 530
3
нуса. Гипотенуза 8А описывает боковую
поверхность конуса. Отрезок ЗА называ¬
ется образующей конуса.
Развертка конуса состоит из сектора,
радиус которого есть [ЗА |, и круга, ле¬
жащего в основании конуса (рис. 531).
Площадь боковой поверхности конуса,
равная площади сектора ЗАВ, находит¬
ся по формуле
~ _ лГ2а
Обок. кои - 300 э
где Ь — длина образующей ЗА, а — ве¬
личина (в градусах) угла А8В.
Дуга АВ имеет длину (см. п. 93).
1 = ^.
180
Поэтому
кон
лБа
180
— =1—.
2 2
Но длина I дуги АВ есть длина ок¬
ружности основания конуса. Если ра¬
диус основания конуса В, то I = 2лЯ
и, следовательно,
346
5
бок. кон
I - = 2пН ■ - = лНЪ,
2 2
^бок.кон Л-Н2/.
Площадь поверхности конуса равна 5б0к +
+ 50С1(, и, значит,
5к0ч - Ш + л/?2 = лВ (Ь + /?),
51<0:1 = лй (Я + Ь).
Объем конуса равен одной трети
произведения площади его основания на
высоту.
Формула объема конуса выглядит почти так же, как форму¬
ла объема пирамиды. Это не удивительно, так как конус похож
на пирамиду с основанием в виде правильного многоугольника
с достаточно большим числом сторон (рис. 532).
Вопросы и задачи
1320. Как изменится площадь боковой поверхности конуса, если:
1) длина его образующей увеличится в три раза; 2) радиус
его основания уменьшится в три раза?
1321. Постройте развертку конуса, размеры которого выберите
сами.
1322. Может ли длина образующей конуса равняться: 1) его высо¬
те; 2) радиусу окружности основания? Ответ обоснуйте.
1323. Вычислите высоту конуса, если его образующая 13 см, диа¬
метр основания 10 см.
1324. Вычислите площадь поверхности и объем конуса по следую¬
щим данным: 1) образующая равна 1,6 дм и радиус основа¬
ния 4 см; 2) образующая равна 15 см и высота 10 см; 3) вы¬
сота равна 2,4 дм, а радиус основания 15 см.
1325. Прямоугольный треугольник с катетами 40 см и 20 см вра¬
щается вокруг большего из катетов. Вычислите объем и пло¬
щадь поверхности полученного при вращении конуса.
1326. Как изменится объем конуса, если: 1) его высота увеличится
в п раз, а радиус окружности основания не изменится; 2) ра¬
диус окружности основания увеличится в п раз, а высота не
изменится?
347
1327. Вычислите объем вырытой в земле конической воронки,
образующая которой равна 2 м, а длина окружности 8 м.
1328. Практическая работа. На моделях правильной пи¬
рамиды, цилиндра, конуса произведите необходимые изме¬
рения и вычислите площади поверхностей и объемы этих тел.
100. Шар
Множество точек пространства, находящихся от данной точки
О на расстоянии, не большем данного расстояния г (г >0), на¬
зывается шаром с центром О радиуса г.
Наглядное представление о шаре можно получить, вращая
полукруг вокруг его диаметра (рис. 533). Отрезок, соединяю¬
щий две точки поверхности шара (сферы) и проходящий че¬
рез его центр, называется диаметром шара.
В сечении шара любой плоскостью получается круг (рис. 534).
Если секущая плоскость проходит через центр шара, то в
сечении получается круг, радиус которого равен радиусу
шара. Такой круг называется большим кругом. Окружнос¬
тями больших кругов на глобусе, например, являются эк¬
ватор и меридианы,
Боковые поверхности конуса и ци¬
линдра — кривые поверхности. Но их
можно, «разгибая», превратить в плоские
(т. е. положить на плоскость, развернуть).
Поверхность шара, оказывается, никаким
«разгибанием» нельзя сделать плоской.
Поэтому формулу для площади шара не¬
возможно найти, пользуясь разверткой.
Эта формула (как и формула объема ша¬
ра) будет выведена в 10 классе, а пока
мы воспользуемся готовыми результатами.
Площадь поверхности шара равна
учетверенной площади большого круга*.
8.Л = 4лЯ2 или 5Ш = л2)2,
где В — радиус шара, И — диаметр шара.
Объем шара вычисляется по формуле*.
= |лЯ’.
348
Вопросы и задачи
1329. Полукруг, радиус которого равен г, вращается вокруг свое¬
го диаметра. 1) Выразите через г площадь поверхности и
объем шара, полученного при этом вращении. 2) Вычислите
площадь поверхности и объем этого шара, если г равно:
а) 4 см; б) 2,5 см; в) 16,8 мм; г) 1 дм.
1330. Вычислите площадь поверхности и объем шара, диаметр ко¬
торого равен д, если: 1) д = 0,5 м; 2) д = 8 м.
1331. Практическая работа. Вычислите объем и площадь
поверхности детали или специально изготовленной модели,
имеющей форму шара, выполнив предварительно необхо¬
димые измерения.
1332. Найдите отношение объемов двух шаров, радиусы которых
Г\ и Г2. Вычислите это отношение, если: 1) Г\ = 5 см, Гг =
= 3 см; 2) Л = 6,8 см; Гг = 1,6 см.
1333. Как относятся площади поверхностей двух шаров, радиусы
которых Г1 и Г2? Вычислите это отношение при: 1) Г\ = 7 см,
Г2 = 5 см; 2) Г1 = 5,4 см, Гг = 0,7 см.
1334. Как относятся радиусы двух шаров, если отношение объе¬
мов этих шаров равно: 1) 1:8; 2) 8:27; 3) 3:5; 4) 0,8?
1335. Принимая, что Земля имеет форму шара с радиусом 6400 км,
вычислите: 1) сколько квадратных километров занимает пло¬
щадь поверхности Земли; 2) сколько квадратных километров
Земли занимает суша, если она составляет около 30%
всей поверхности Земли; 3) чему равна длина земного
экватора.
1336. Вычислите массы шаров диаметром 10 см, изготовленных из
свинца, стали, меди, алюминия. (Необходимые для решения
задачи дополнительные данные найдите в справочнике.)
1337. Сколько дробинок диаметром 2 мм можно изготовить
из 1 кг свинца?
1338. Медный цилиндр, диаметр основания и высота которого
равны 8 см, переплавлен в шар. Каков диаметр полученного
шара?
1339. Шар вложен в цилиндрическую коробку так, что он каса¬
ется цилиндрической поверхности, дна и крышки этой
коробки. Вычислите: 1) объем шара и объем цилиндриче¬
ской коробки; 2) площадь поверхности шара и площадь
полной поверхности цилиндрической коробки, если известно,
что диаметр дна коробки равен 18 см.
349
1340. Вычислите объем и площадь поверх¬
ности полушара радиуса г, если:
1) г = 12 м; 2) г = 7 м.
1341. Резервуар, наибольшая глубина кото¬
рого равна 4 м, имеет форму по¬
лушара. Какова вместимость этого
резервуара?
1342. Найдите объем детали, осевое сече¬
ние которой имеет форму полушара
с приставленным в центральной части
большого круга цилиндром (рис. 535).
Дополнительные задачи к главе X
1343. Ребро куба имеет длину а. Найдите длину кратчайшего пути
по граням куба из точки А в С\ (рис. 536). Сколько имеется
таких путей?
1344. Покажите, что куб можно разрезать на три четырехугольные
пирамиды.
1345. Вообразите, что лучи света перпендикулярны экрану. Какой
может быть тень: 1) прямоугольника (отличного от квадра¬
та); 2) квадрата; 3) куба?
1346. Представьте себе, что вы смотрите на куб вдоль его диаго¬
нали. Нарисуйте, что вы увидите (для проверки возьмите мо¬
дель куба и посмотрите на нее вдоль диагонали).
1347. Боковые грани деревянного куба с ребром 10 см покрыли
краской, а затем этот куб разрезали на кубики с ребром
2 см. Сколько получилось кубиков: 1) с двумя окрашенными
гранями; 2) с одной окрашенной гранью; 3) не имеющих ок¬
рашенных граней?
1348. Решите предыдущую задачу при условии, что окрашены все
грани куба.
1349. Какие размеры может иметь прямо¬
угольный лист бумаги, если известно,
что из него можно вырезать разверт¬
ку куба с ребром 4 см?
1350. Какие из данных фигур (рис. 537) яв¬
ляются развертками куба?
1351. Какие из данных на рисунке 538 фи¬
гур являются развертками прямо¬
угольного параллелепипеда?
1352. Открытый бак, имеющий форму ку-
350
1 2
4
9
9
10
Рис. 537
11
7
ба с ребром а, стоит на плоскости, наклоненной под углом а
к горизонту (рис. 539). Какой наибольший объем воды может
вместить бак в таком положении? Вычислите этот объем,
если: 1) а = 1,5 м, а = 30°; 2) а = 1,5 м, а = 10°.
1353. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, боко¬
вое ребро которой равно тп, а плоские углы при вершине
пирамиды прямые.
1354. Вычислите объемы и площади поверхностей геометрических
6
5
Рис. 538
1
351
тел, представляющих собой комбина¬
цию: 1) двух конусов (рис. 540, а);
2) цилиндра и двух конусов
(рис. 540, б), 3) цилиндра и двух по¬
лушаров (рис. 540, в); 4) конуса и по¬
лушара (рис. 540, г). Необходимые
размеры указаны на чертеже.
1355. 1) Вычислите массу дюралюминие¬
вого пустотелого шара, внешний
диаметр которого равен 2 м, а тол¬
щина стенок 3 см (плотность дюра¬
люминия 2,8 г/см).
2) Утонет ли такой пустотелый шар
(см. задачу 1355, 1)), если его по¬
грузить в воду? А если внутри шара
находится груз в 200 кг?'
1356. Диаметр Луны составляет 0,25 диа¬
метра Земли. Вычислите: 1) какую
часть площади поверхности Земли со¬
ставляет площадь поверхности Луны;
2) какую часть объема Земли состав¬
ляет объем Луны.
Задачи на повторение по курсу 6—8 классов
1357. Начертите две фигуры, объединение
которых — треугольник, а пересече¬
ние — отрезок.
1358. Начертите два треугольника, пересе¬
чение которых: 1) пустое множество,
2) точка, 3) отрезок, 4) треугольник,
5) четырехугольник, 6) пятиугольник,
7) шестиугольник.
1359. Сколько вершин может иметь много¬
угольник, являющийся объединением
двух квадратов?
1360. В озеро впадает река (рис. 541). По реке и озеру курсирует
моторная лодка. Скорость ее больше скорости течения реки.
На озере течения нет. «Расстояния» между пунктами на бе¬
регах реки и озера будем оценивать по времени, необходи¬
мому для того, чтобы моторная лодка пришла из одного
352
пункта в другой. Какие из свойств
расстояний (1, 2 и 3) будут выполнять¬
ся для такого выбора «расстояния»
при любом выборе пунктов А, В и С
на берегах реки и озера? Что можно
сказать о таком «расстоянии», если Л
пункты выбираются только на берегу
озера?
1361. Точка М принадлежит треугольнику АВС. Докажите, что
сумма расстояний точки М до вершин треугольника больше
его полупериметра, но меньше периметра.
1362. В плоскости даны две точки А и В. Какой фигурой является
множество таких точек М этой плоскости, для которых:
1) \МА\ < \МВ\; 2) \МА\ > \МВ\; 3) \МА\ = \МВ\*
1363. Дан угол АВС. Какой фигурой является множество таких
точек М этого угла, для которых: 1) расстояние от точки М
до стороны ВА больше расстояния точки М до стороны ВС;
2) расстояния от точки М до сторон угла не равны?
1364. В выпуклом четырехугольнике найдите точку, сумма расстоя¬
ний которой от вершин четырехугольника наименьшая.
1365. Внутри выпуклого многоугольника, все стороны которого
конгруэнтны, взята точка М. Докажите, что сумма расстоя¬
ний от точки М до прямых, на которых лежат стороны мно¬
гоугольника, не зависит от положения точки М.
1366. Постройте равносторонний треугольник, вершины которого
лежат на трех данных прямых.
1367. Дайте определения следующих фигур как пересечений двух
или трех других известных вам фигур: 1) треугольника; 2) па¬
раллелограмма; 3) прямоугольника; 4) ромба; 5) квадрата;
6) трапеции.
1368. Докажите, что: 1) у любого выпуклого четырехугольника,
имеющего ось симметрии, точка пересечения диагоналей ле¬
жит на этой оси; 2) у любого четырехугольника, имеющего
центр симметрии, этот центр совпадает с точкой пересечения
диагоналей.
1369. Какой вид имеет выпуклый четырехугольник, если: 1) сере¬
динные перпендикуляры к его противоположным сторонам
совпадают; 2) биссектрисы его противоположных углов ле¬
жат на одной прямой?
1370. Луч АС — биссектриса угла А четырехугольника АВСВ,
В = I). Докажите, что /ХАВС = /ХАИС.
| 2 Заказ 354
353
1371. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма про¬
ведены две прямые, пересекающие противоположные сто¬
роны параллелограмма. Докажите, что полученные че¬
тыре точки пересечения являются вершинами параллело-.
грамма.
1372. Докажите, что два отрезка, концами которых соответствен¬
но являются середины противоположных сторон и середины
диагоналей четырехугольника АВСР, пересекаются и де-’
лятся точкой пересечения пополам.
1373. Докажите, что площадь треугольника, две стороны которо¬
го равны т и л, не больше 0,5 тп.
1374. Докажите, что площадь четырехугольника АВСИ не больше
0,25 (|АВ| + |СВ|)(|ВС| + |ВВ|).
1375. Докажите теорему, обратную теореме Фалеса.
1376. Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 4 см, а
один из углов равен: 1) 80°; 2) 30°.
1377. Длины сторон параллелограмма, отличного от прямоуголь¬
ника, равны 4 см и 10 см. На отрезки какой длины делит
сторону параллелограмма биссектриса: 1) его острого угла;
2) его тупого угла?
1378. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его
на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая
делит боковые стороны треугольника?
1379. Дана трапеция с основаниями а и Ь. Выразите через а и Ь
длину отрезка, параллельного основаниям и проходящего
через точку пересечения диагоналей.
1380. Постройте прямую, на которой две данные окружности вы¬
секают хорды данной длины.
1381. Докажите, что средние линии четырехугольника в точке сво¬
его пересечения делятся пополам.
1382. Докажите, что наибольшая из площадей треугольников, впи¬
санных в окружность радиуса г, равна —.
4
1383. Докажите, что наибольшая из площадей четырехугольников,
вписанных в окружность радиуса г, равна 2г2.
1384. Данный отрезок разделите на две части в отношении 1 :]Л2^
(Воспользуйтесь тем, что отношение квадратов катетов рав¬
но отношению их проекций на гипотенузу.)
1385. Проведите прямую, параллельную одной из сторон данного
треугольника, так, чтобы площадь треугольника делилась,
этой прямой пополам.
354
1386. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника пост¬
роены правильные треугольники. Докажите, что площадь
треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме пло¬
щадей треугольников, построенных на катетах.
1387. На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника как
на сходственных сторонах построены подобные многоуголь¬
ники. Докажите, что площадь многоугольника, построенного
на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, по¬
строенных на катетах.
1388. Постройте квадрат, равновеликий данному треугольнику.
1389. В плоскости а даны две точки А и В. Какой фигурой явля¬
ется множество проекций точки А на прямые, проходящие
через точку В и лежащие в плоскости а?
1390. Какой фигурой является множество середин хорд данной
окружности, проходящих через данную точку?
1391. Дана окружность (О, г), которая касается двух параллель¬
ных прямых. Через точку М этой окружности проведена
к ней третья касательная, которая пересекает две первые
прямые в точках А и В. Докажите, что: 1) произведение
| МА | • | МВ | не зависит от выбора точки М\ 2) это произ¬
ведение не изменится, если две параллельные касательные
заменить двумя другими параллельными касательными.
1392. Через точку М, лежащую вне данной окружности (О, г), про¬
ведены к этой окружности секущие. Какой фигурой является
множество середин всех образовавшихся хорд?
1393. Докажите, что: 1) продолжения боковых сторон трапеции
и прямая, проходящая через середины ее оснований, пере¬
секаются в одной точке; 2) прямая, проходящая через точку
пересечения продолжений боковых сторон трапеции и точку
пересечения ее диагоналей, проходит через середины осно¬
ваний.
1394. Докажите теорему: если через точку, взятую внутри круга,
проведены какая-нибудь хорда и диаметр, то произведение
длин отрезков хорды равно произведению длин отрезков
диаметра.
1395. Докажите, что произведение длин отрезков хорд, проходя¬
щих через точку, взятую внутри данной окружности, посто¬
янно для всех хорд.
1396. Из точки, лежащей вне окружности, проведены к ней каса¬
тельная и секущая. Докажите, что квадрат касательной ра¬
вен произведению всей секущей на ее внешнюю часть.
12*
355
1397.
1398.
1399.
1400.
1401.
1402.
1403.
1404.
1405.
1406.
1407.
1408.
1409.
1410.
356
Найдите множество точек, равноудаленных от двух данных
прямых, если эти прямые: 1) параллельные; 2) пересекаю¬
щиеся.
Найдите множество точек, находящихся на данном расстоя¬
нии а: 1) от данного угла; 2) от границы данного квадрата.
Найдите множество точек, находящихся на данном расстоя¬
нии: 1) от данной окружности; 2) от данного круга.
Проведите прямую, перпендикулярную основанию треуголь¬
ника, так, чтобы площадь треугольника делилась этой прямой
пополам.
Даны параллелограмм АВС1) и произвольная точка О.
Докажите, что О А + ОС = ОВ + ОБ.
Что можно сказать о векторах а и Ъ, если для них выпол¬
няются следующие равенства:
1) | а 4- Ь | = | а — Ь |; 2) |а + Ь| = |а| + |6|;
3) \а + Ь\ = |а| - \Ь\; 4) \а-Ь\ = \а\ + |Ь|?
Докажите, что в параллелограмме АВСИ найдется единст¬
венная такая точка О, что ОА + ОВ + ОС + ОБ = 0.
Дан правильный шестиугольник АВСБЕР. Докажите, что
АВ + АС + АЕ + АР = 2АЬ.
Точка О является точкой пересечения медиан треугольника
АВС. Докажите, что О А + ОВ + ОС = 0.
Постройте треугольник: 1) по двум углам и радиусу вписан¬
ной окружности; 2) по двум его углам и периметру.
В данный треугольник впишите треугольник, ему подобный,
так, чтобы вершины построенного треугольника лежали на
сторонах данного (на каждой стороне по одной).
Сколько центров гомотетии имеют: 1) два конгруэнтных кру¬
га; 2) два неконгруэнтных круга? (К ответам дайте соответ¬
ствующие рисунки.)
Докажите, что отношение длины стороны треугольника к си¬
нусу противолежащего угла равно длине диаметра описан¬
ной около треугольника окружности.
Какие из названных ниже отношений являются отношениями
эквивалентности: 1) конгруэнтность фигур; 2) подобие фи¬
гур; 3) гомотетичность фигур; 4) перпендикулярность пря¬
мых; 5) параллельность прямых; 6) сонаправленность лучей;
7) противоположная направленность лучей; 8) коллинеар¬
ность двух векторов?
1411. Противоположные стороны шестиугольника АВСОЕР попар¬
но параллельны и равны. Какую часть площади этого шести¬
угольника составляет площадь треугольника АСЕ1
1412. В круге радиуса В проведены две параллельные хорды, каж
дая из которых стягивает дугу в а радиан. Вычислите площадь
части круга, заключенную между этими хордами.
1413. Площадь равностороннего треугольника, вписанного в круг,
равна а2. Выразите через а радиус круга.
1414. В угол 60° вписаны две окружности, касающиеся сторон угла
и друг друга. Вычислите отношение их радиусов.
1415. По данным, приведенным ниже, вычислите: 1) какую часть
площади поверхности Земли составляет площадь поверхно¬
сти каждой из планет (если принять, что планеты имеют фор¬
му шара и за единицу измерения диаметра планет принят
диаметр Земли), 2) какую часть объема Земли составляет
объем каждой из планет.
1. Меркурий
0,39
5. Сатурн . . . .
9,4
2. Венера . .
. .
0,97
6. Уран
4,2
3. Марс . . .
0,53
7. Нептун . . . .
3,9
4. Юпитер
11,26
8. Плутон . . . .
1
1416. Укажите отображения, при которых полуплоскость отобра¬
жается на себя.
1417. Какими перемещениями отображается на себя: 1) фигура,
являющаяся объединением двух конгруэнтных кругов;
2) правильный п-угольник?
1418. Какими перемещениями может быть отображена на себя
плоскость, из которой «выколоты»: 1) точка; 2) две точки?
1419. 1) Каким перемещением может быть композиция двух цент¬
ральных симметрий?
2) Каким отображением может быть композиция двух гомо¬
тетий?
1420. Укажите перемещения, при которых: 1) прямая отобража¬
ется на себя, а полуплоскости с границей р отображаются
друг на друга; 2) одна и только одна точка плоскости ото¬
бражается на себя; 3) не существует ни одной точки плоско¬
сти, отображающейся на себя.
1421. Укажите известные вам отображения плоскости на себя, при
которых каждая прямая отображается на параллельную ей
прямую.
1422. Докажите, что любое перемещение плоскости является ли¬
бо поворотом, либо переносом, либо скользящей симмет¬
рией (см. задачу 782).
357
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава I. Начальные понятия геометрии
3. 1) Не принадлежит; 2) принадлежит. 5. 1) (А), {В}, {А, В}, 0. 6. Можно
в случаях 1), 2), 3). 7. 1) Одна; 2) бесконечное множество. 8. 1) Экватор, ме¬
ридианы. 9. 1) Можно; 2) нельзя. 12. 1) Точка; 2), 3) точка, расстояние и
плоскость. 17. Ограниченными фигурами являются точка, круг, отрезок, тре¬
угольник и квадрат. 21. 1) 30. 22. 1) Увеличится в 10 раз; 2) уменьшится в
100 раз, 23. 1) 50; 4) 12. 24. 1) а) 5,556 км; б) 22,224 км; в) 370,4 км.
2) —0,540 мили. 25. 1) 1,0668 а км; 2) 0,937 версты. 26. 1) а) | ХУ | = 0,5 м;
| АВ | = 0,7 м; | СО |= 0,1 м. 27. Может в случаях б), в), г), е). Указание.
Воспользуйтесь предложениями 3 и 4. 28. 1) 1 см | АХ | 5 см. 2) Суще¬
ствуют две такие точки. 29. Равенства или неравенства всегда верны в случаях
а), б), д); в случаях г), е), з) всегда неверны; в других случаях могут быть как
верными, так и неверными. 32. 2) Бесконечное множество. 33. 1) Могут;
2) не могут. 34. Одна или три. 36. Могут иметь: одну, четыре или шесть
точек пересечения. 38. Указание. Центром такого круга может служить
любая из данных точек. 39. Верно. 40. Неверно. 42. 1), 2) Да. 45. 1) Могут в слу¬
чаях б), г). 46. 1) а), г) — не может; 2) наименьшее расстояние — 3 км, наиболь¬
шее — 7 км. 47. 1) Наибольшее значение | АВ | равно 8. Наименьшее значение
| АВ \ равно: а) 2; б) 5; в) 1. 49. ВС I АС\ в случаях 1) и 3); в случае 2) В^ I АС];
в случае 4) В С [АС] лишь при условии | АВ |=| ВС |= 5 см. 50. Принадле¬
жат в случаях 2) и 3). 52. 1) Три; 2) шесть. 53. Указание. Воспользуй¬
тесь равенством | АХ | + | ВХ | = | АВ |. 54. 1) Можно, например, дать такое
определение: серединой отрезка называется точка этого отрезка, равноудален¬
ная от его концов. 2) а) 7 см; б) 2 см; в) 9 см. 57. 1) [АВ) [] [ВА) = [АВ];
2) а) лучом, отрезком, точкой или пустым множеством. 58. 1) Луч АВ; 2) луч
ВА; 3) точка М принадлежит и лучу АВ, и лучу ВА. 59. 1) Точка и расстоя¬
ние; 2) прямая, точка и расстояние. 60. Указание. Воспользуйтесь пред¬
ложением 5. 62. Указание. Воспользуйтесь предложениями 7 и 9. 65.
1) | АО | = 7, | ВО | = 5; 2) | АВ | = 2. 67. 1) а) 5; 2) а)—0,5. 68. 1) —7 <
< хс < 9; 2) хс < —7 или хс > 9. 69. 5) (2 — а) и (5 — а); 6) (2 + а) и
(5 + а). 74. Четыре. 76. Может в случаях 1) и 3). 77. 1) 0,5 см < |АВ| <
< 10,5 ем; 2) 0 см < | АВ | < 12 см. 82. Три. 89. 1), 2) Да. 90. Предложения
2) , 4) и 6) верны; предложения 1), 3), 5) и 7) не верны. 92. 2) б) [АВ] (А/Л);
г) М [АВ|. 97. Да. 98. Да. 101. 1) а) На три области; б) на шесть областей.
2) а) На три или четыре области, б) на 4, 5, 6, 7 или 8 областей. 102. Данные
358
лучи разбивают плоскость на три области (рис. 63, а), на две области (рис. 53,
б), на четыре области (рис. 53, в), на одну область (рис. 53, г). 105. 1) Не выпол¬
няется второе свойство области. 2) Неверно (если, например, две окружности
не имеют общих точек и ни одна из них не лежит внутри другой, го объединение
их внутренних областей областью не является). 106. 1) На три или четыре об*
ласти, 2) на четыре, шесть или семь областей. 113. 1), 2) Да; 3) нет. 114. 1) Да;
2) не обязательно. 115. Полукруг — фигура выпуклая. 116. Может. 118. Ука¬
зание. Воспользуйтесь определениями пересечения множеств и выпуклой
фигуры. 120. 1) Три; 2) четыре. 121. п — 2. 122. Нет. 123. 1) Существует, это
пятиугольник. 125. В случаях 1) и 3) точки А и В лежат в одной полуплоскости;
в случае 2) — в разных полуплоскостях. 128. 1) Полуплоскость с границей р,
не содержащая точки А; 2) та из областей с границей р, которая содержит точ¬
ку А. 133. 1) Да. 136. Не всегда. 137. 12 дуг и 12 центральных углов. 138. 1)
Для выпуклого угла АОВ\ 2) для невыпуклого угла АОВ. 139. Угол со сторона¬
ми ОА и ОВ, отличный от данного. 140. 1) Имеют внешнее касание; 2), 5) и 6)
пересекаются; 3) не пересекаются; 4) имеют внутреннее касание. 142. 1) Две,
одну или ни одной точки. 143. 1) Две. 144. Задача имеет решение, если | а — Ь
| АВ|^ а + Ь, и не имеет решений, если | АВ|> а + Ь или | АВ| < | а — Ь |в
145. В случаях 1) и 3) — две окружности, в случае 2) — одну. 146. 1) Бесконеч¬
ное множество. 2) Одно или два решения. 148. Если | а — б| < | АВ| < а + д,
то в каждой из полуплоскостей с границей р существует одна точка X (X р),
удовлетворяющая поставленным условиям. Если | АВ | = | а — или | АВ|==
= а + Ь, то точка X принадлежит прямой р. Если | АВ |> а + Ь или | АВ| <
< | а — Ь |, то тогда таких точек не существует. 149. | О2О3 | = г2 — г3,
I ОХО3| = 71 + 7-3 (рис. 70, а); | ОХО2\ = гх + г2, | О2О3| = г2 + г3, | ОкО2\ =
= П + т-з (рис. 70, б); | ОХО2| = и — г2, | О2О3| = г2 + г3, | О1О3| = гх — г3
(рис. 70, в). 150. Указание. Воспользуйтесь предложением 7 и условием
касания окружностей. 151. Окружность ^О, —2^, где О — общий центр
данных окружностей, и г2 — их радиусы. 153. 1) 0; 2) точка; 3) пересечение
внутренних областей окружностей (А; 1,5 см) и (В; 1,5 см); 4) пересечение внеш¬
них областей окружностей (А; 1,5 см) и (В; 1,5 см). 155. Указани е. Если
а = ххех и ех = Ле2, то а = (^хх)е2. 157. 3) Точки В и С лежат между А и В. 158.
Указание. Рассмотрите различные случаи: на одной прямой лежат пять
точек, четыре точки и т. д. 160. Указание. Воспользуйтесь неравенством
треугольника. 161. Искомой фигурой является: 1) точка; 2) отрезок; 3) и 4) луч.
165. 1) и 3) Не существует; 2) существует. 167. 1) Неверно; 2) неверно. 169. 1)
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 171. 1) Точка,
прямая, отрезок; 2) простая замкнутая ломаная, внутренняя область простой
замкнутой ломаной. 173. 1) Две окружности называются касающимися, если
их пересечение — точка. 174. 1) Окружности касаются внешним образом.
175. 2) Объединение двух окружностей, касающихся внешним образом, на¬
зывается восьмеркой. 177. 1) На три или четыре. 181. 1) | О1О2\ = | гх — г2|,
I О2О3| = | г2 ± г3|, | ОХО31 = | гх ± г3|.
Глава II. Конгруэнтность фигур и перемещения
182. 1) / (А) = Ах; 2) В-> Ях; 4) да. 183. 1) С Ъх\ 2) например, /(К) =
= Ях, / (В) = Ях. Множес1во точек, образами которых является точка Яь —
з:9
отрезок КР. 3) Нет. 184. 4) Да. 188. Координатная прямая отображается на
себя при отображениях: 1); 2); 4); 6). 189. Указание. 1) Существует
шесть отображений фигуры {А, В, С} на себя. 2) Например, отображение,
обратное отображению А->В, В->СиС->А, таково: А ->■ С, С -> В, В -> А.
191. 1) Отображение, заданное на рисунке 89, обратимо; отображение, за¬
данное на рисунке 90, необратимо. 2) Не выполняются. 192. 1) Точки К,
М, В. 2) Образами точек Р, X, А. 3) Отрезку АВ, отрезку АХ. 4) На точку в,
на отрезок ЛГЯ, на ломаную фКМВ. 5) Да. 6) Например, при отображении,
обратном данному, образом отрезка Кф является отрезок РА, точки К — точка А,
ломаной ЦКМК — ломаная РАВС. 193. 1) Точка У\; на отрезки ХхУ\ и
2) Отрезков АХ и АВ. 3) Да. 4) Нет. 194. 1) Отображение луча ОМ на луч О№
2) На отрезок ОУХ, отрезка О А. 3) Да. 195. 1) Отображение полуокружности на
ее диаметр. 2) Да. 3) Не сохраняются. 196. 1) Нет. 2) Да (см. теорему 16). 197.
Указание. 1) В случае а) существует одно такое отображение (тож¬
дественное); в случае б) два, а в случае в) шесть. 198. Расстояния со¬
храняются при отображениях 2), 3), 4). 200. 2) [АВ]^ 201. 1)
| Рф | = 7. 202. Конгруэнтны. 205. 1), 2) Неверно, 3) верно. 206. Не
может. 208. Указание. Пусть [АВ] -> [А^]. Тогда при помощи
циркуля можно построить точку Хх треугольника АуВ^С^ для которой | А^! =
= |АХ|, (В^^ = | ВХ |. 209. 1) См. указание к предыдущей задаче. 2) В за¬
висимости от выбора точки X может быть построено восемь, четыре или одна
точка, являющиеся ее образом. 210. Указание. На отрезке меньшей дли¬
ны нельзя найти две точки, расстояние между которыми равно длине большего
отрезка. 212. Указание. Для решения задачи предположите, что суще¬
ствует отображение, сохраняющее расстояния, воспользуйтесь свойствами это¬
го отображения и предложением 7. В результате будет получено противоречие
с условием. 213. Биссектрисой угла называется луч с началом в вершине
этого угла, делящий его на два конгруэнтных угла. 215. — • 45° = 22,5° =
= 22°30' = —; — • 45° = 7,5° = 7°30' = —. 217. 1) 90°; 2) 105°51'25";
4 6 12
3) 47с55'05"; 4) 51°52'45"; 5) 60°46'30"; 6) 121°41'; 7) =48°16'48''. 219. Доста-
точно измерить один угол. 220. 2) Два треугольника. 222. Указание.
Сумма величин смежных углов равна 180°. 227. 2) На себя. 3) На угол, кон¬
груэнтный данному. 232. Фигуры, изображенные на рисунке 110, а, б, г, е.
233. В случае квадрата углы поворотов равны 0°, 180° и 90° (в направлении по
часовой стрелке и против). Центр поворота — точка Н. 237. 1) 3), 4) Бесконечное
множество; 2) два; 5) четыре (если длины отрезков равны) или ни одного (если
их длины различны). 238. Указание. Воспользуйтесь определением пере¬
мещения и предложением 10. 239. Указание. Воспользуйтесь определе¬
нием перемещения и результатом задачи 238. 240. 1) Указание. Если
| АС| | СВ|, то | АС| =/= |/г(А)(С)|. 241. Например, прямая и плоскость.
243. 1) Центр симметрии. 244. 1) Прямая АВ; 2) луч, противоположный лу¬
чу ОС; 3) угол, вертикальный с углом АВС. 247. 1) Прямая имеет бесконечно
много центров симметрии; луч не имеет центра симметрии; у отрезка и объеди¬
нения двух пересекающихся прямых один центр симметрии. 2) Указание.
Многоугольник с нечетным числом сторон не имеет центра симметрии. 3) Суще¬
ствуют. 248. Фигуры, изображенные на рисунке 110, а, б иг. 250. 1) | фЯ| = 6,
| АВ| = 6, | ЗР| = 8. 2) 2 АВС /ЗЯР. 3) | АО| = 9, [ 2УС| = 6, | АР| =
360
— 18. 252. р! — — 105°, Р2 — 40°, а2 — 35°. 255. Указание. Пока¬
жите, что данные фигуры центрально-симметричны. 256. Указание. Рас¬
смотрите симметрию с центром О. 257. 2) [ЛВ] = 8Л (|СР]). 258. 1) Верно.
259. 2) X а. 260. 2) Прямые, перпендикулярные оси р, а также сама пря¬
мая р. 261. 2) О С /. 272. У Казани е. Угол ХхОХ2 развернутый.
273. У казание. Рассмотрите точку, симметричную точке А относительно
прямой р. 276. 1), 2) Можно. 280. 1) Четыре треугольника. 281. Не меньше
600 см. 282—286. Указание. Воспользуйтесь признаками конгруэнтно¬
сти треугольников. 288. Указание. Четырехугольник АВС И симметричен
относительно центра О. 289. Указание. Рассмотрите симметрии отно¬
сительно прямых АС и ВВ. 291. 1) Одна или бесконечно много. 2) Одну, две
или бесконечно много. 293. Указание. Рассмотрите симметрию относи¬
тельно прямой, содержащей биссектрису данного угла. 294. Указание.
Рассмотрите симметрию относительно прямой ОХО2. 297. Указание. Вос¬
пользуйтесь теоремой 28. 298. Указание. Проведите прямую, проходящую
через центр окружности и перпендикулярную данной хорде. 299. Указание.
Воспользуйтесь результатом задачи 298. 300. Указание. 1)В результате
допущения, что центры окружностей различны, получается противоречие с
условием. 301. 1) Две; 2) одну; 3) бесконечно много. 304. Возможны такие слу¬
чаи: искомая точка единственна, множество решений — данная прямая МТ,
задача не имеет решений. 307. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
308. Серединный перпендикуляр к данному отрезку за исключением сере¬
дины этого отрезка. 310. 1) Множество точек плоскости, не принадлежащих
серединному перпендикуляру к данному отрезку АВ. 314. Три. 318. 1) 6 см;
2) 3 см; 3) 8 см. 327. 1) Могут. 328. Прямая, перпендикулярная прямой АВ
и проходящая через точку В. 331. Указание. Воспользуйтесь теоремой
32. 333. Таким множеством является объединение двух пересекающихся
прямых, содержащих биссектрисы углов, образованных данными пря¬
мыми. 336. Указание. Докажите, что для любой точки N =И= М окружности
|ЛГ№| > )МА|. 337. Указание. Воспользуйтесь свойствами серединного
перпендикуляра к отрезку. 341. Указание. Постройте угол в 72е. По¬
стройте произвольную фигуру, содержащуюся в этом угле, и образы этой фи¬
гуры при поворотах вокруг вершины построенного угла на углы в 72° и 144°
по часовой стрелке и против. 348. Указание. Искомая фигура обладает
симметрией вращения порядка 6, поэтому, чтобы восстановить ее изображение,
достаточно знать часть этой фигуры, содержащуюся в угле 60° с вершиной О.
т
349. Указание. При повороте с центром О на угол 360 • — фигура
п
отображается на фигуру Ьпх+1, Ь2— на Ьт+2 и т« Д« 352. Указание. Вос¬
пользуйтесь свойствами центральной симметрии. 353. Указание. Прове¬
дите прямую р, перпендикулярную прямой АВ и проходящую через общий центр
окружностей. Затем рассмотрите симметрию 8р. 354. 1) АВ = 72°. 356. 1) 165°,
195°. 358. 1) а) 60°. 2) 360 мин. 362. 2) Окружность. 363. 1) 160°. 2) а) 0,054';
б) 0,0648". 366. Указание. Воспользуйтесь теоремой 36. 375. Ука¬
зание. Рассмотрите различные случаи: 1) А лежит во внутренней области
окружности; 2) А Е Окр (О, г); 3) А лежит во внешней области окружности.
380. 2) Прямая, которая касается окружностей в их общей точке, исключая
эту точку касания. 381. Отображение обратимо. 387. Можете воспользоваться
361
калькой и копировальной бумагой; только копировальной бумагой. 383. 1) Фи¬
гуры «Ж», «И», «Н», «О», «X». 389. Указание. Точка О3 = 20 (О2) при¬
надлежит фигуре Ь и \О2ОЛ | = 2. 390. Указание. Если Ху — образ точ¬
ки X, то |Лч = |АХ|, АХА | = |ВХ|. 391. Указание. 1) При любом
перемещении, отображающем отрезок на себя, концы этого отрезка «отобража¬
ются на -его концы. 2) При перемещениях., отображающих на себя окружность,
ее центр отображается ыа себя. 392. Указание. Рассмотрите симметрию,
центр которой — середина отрезка ОуО2 (1О{ и <О2 — центры данных кругов).
394. Указание. Л^ОМ» = 2АОВ. 395. 1) Одну или бесконечно много;
2) одну или две. 397. Будет построено четыре точки (считая М), 399. Указа¬
ние. 54° = 90° — 36°, 18°= 54° : 3 = 36° : 2. 400. Указание, а) 17°Х
X 11 = 187°, 10° = 17° — 7°. 406. Указание. Рассмотрите различные
случаи: данный угол может быть острым, прямым, тупым, развернутым или
большим развернутого. 409. Указание. Выясните, сколько решений
имеет задача на построение треугольника или четырехугольника, если из¬
вестны длины его сторон. 412. Указание. Воспользуйтесь предложения¬
ми 4 и 8. 413. 1) Указание. Продолжите отрезок АМ до пересечения со
стороной ВС и воспользуйтесь неравенством треугольника. 417. 1) Указа¬
ние. Рассмотрите образы точки М при симметриях относительно прямых, со¬
держащих стороны данного угла.
Глава III. Параллельность и параллельный перепое
422. Нет; прямые могут не лежать в одной плоскости. 423. 1) Прямые, прохо¬
дящие через центр симметрии; отрезки, имеющие центр симметрии своей сере¬
диной. 424. 1) а || Ь. 2) Прямые а и Ь либо пересекаются, либо совпадают.
428. а || Ь. 430. Прямые, перпендикулярные или параллельные прямой р.
431. Указание. Воспользуйтесь признаком параллельности прямых.
433. Нет. 434. 1), 2), 3) Да. 436. Прямые а и с пересекаются. 438, 439. Ука¬
зание. Рассмотрите симметрию Ио, где О — середина отрезка прямой с,
заключенного между прямыми а и Ъ. 440. Указание. Воспользуйтесь
результатом задачи 439. 441. 1) Бесконечное множество; 2) ни одного, один
или бесконечное множество. 442. В = П = 150°, С = 30°, | А2)|= 4 см, | С.О| —
= 2 см. 446. Да. 449. При таком определении отношение параллельности не
рефлексивно. 451. 1), 2) Один. 453. 1) Лучом. 2) а) Прямой АВ или подмножест¬
вом этой прямой, состоящим из точек, не являющихся внутренними точками
отрезка АВ\ б) отрезком, точкой или пустым множеством. 454. Бесконечное
множество. 455. 1) Два; 2) четыре; 3) шесть. 456. Нет: свойства рефлексивности
и транзитивности не выполняются. 459. 1) а), б) Ни одной, одну или две; в) ни
одной, одну, две или три. 2) Нет. 460. 1), 2) Нет. 464. Если отрезки параллельны
и конгруэнтны. 465. 1) Нет; 2) да. 467. 2) Указание. Воспользуйтесь тео¬
ремой 43 и транзитивностью отношения конгруэнтности. 3) Да. 468. 1) Бесконеч¬
ное множество; 2) один. 469. 1) При центральной симметрии; 2) только при парал¬
лельном переносе; 3) при тождественном отображении. 470. 1) Нет. Например,
при симметрии луч АВ отображается ыа оонаправленный луч. 2) Нет.
476. Центральная симметрия и параллельный перенос. 477. Нет. 481. 1) 0°;
2) 180°. 483. У Казани е. Рассмотрите центральную симметрию, отображающую
вершину первого угла на вершину второго. 485. 1) 90°; 2) 180°; 3) 45°. 488. 1) 30°,
362
60°, 90°; 2) 30°, 70°, 80°; 3) 36°, 36°, 103°. 490. 25°, 68° и 87°. 491. Аксиома парал¬
лельных, теорема о конгруэнтности зглэв с сонаправленными сторонами и свой¬
ство величины суммы углов. 493. 1) Треугольник, все углы которого острые,
называется остроугольным. 2> а) Прямоугольный; 6) тупоугольный. 494. Остро¬
угольный. 495. 1) 48°, 60°, 72°. 496. 50?, 50°, 80? или 80°, 80°, 20°. 498. 1) Тупо¬
угольный; 2) прямоугольный. 500. 1) 164; 2) 204; 3) 564; 4) 1884. 501. 1) Восемь;
2) одиннадцать; 3) двадцать четыре; 4) двенадцать. 502. 1) Десять; 2) двенадцать;
3) тридцать шесть; 4) сорок. 504. 1), 2)» 5)- Да. 3), 4) Нет. 507. 1) Один или бес¬
конечное множество. 515. В обоих случаях увеличится на 24. 516. Шесть. 517.
Три. 518. 24. 519. Да. 52® 1) Диаметр», перпендикулярный данной прямой
(концы диаметра не принадлежат искомому множеству). 521. 1) 60°, 60°, 60°.
523. 1) 280° и 80°. 524. 1) Бесконечное множество. 2) Имеет; множество центров
образует прямую». 3) Да. 527. Указание. Рассмотрите образ данной
прямой при повороте вокруг данной точки на угол в 60°. 530. Указание.
Воспользуйтесь тем, что образ объединения (пересечения) фигур и
при перемещении — объединение (пересечение) образов этих фигур.
Глава IV. Многоугольники
533. Больше | а — Ь|, но меньше а + Ь. 535. 2) В9 С или с. 539. Треугольник рав¬
носторонний. 540. Треугольник равносторонний. 541. Указание. Построй¬
те вспомогательный треугольник по двум боковым сторонам и углу меж¬
ду ними, равному разности углов при основании искомого треугольника. 543.
Указание. Предположение, что против меньшей стороны лежит тупой или
прямой угол, приводит к противоречию. 544. Углы А и В острые, С > 60°.
545. 1) 60° < а < 180°; 2) 0° < а < 60°. 551. \ВЯ\ = 553. А1 А2 =
^>1 п ^з = ^з П = ^з п ^6 = -^4 П А> = А1Г1 Ас = 0. 554. 1), 2) Нет.
555. 80е и 100°. 557. 1) 2,5 см; 2) 15 см и 10 см. 558. 1), 2) Нет; 3) да. 559. 1) Да;
2), 3) нет. 560. 1) 28 см или 26 см; 2) 3 см и 2 см. 561. Эги биссектрисы симмет¬
ричны относительно центра симметрии параллелограмма. 562. Указание.
1) Воспользуйтесь результатом задачи 551. 2) Воспользуйтесь следствием 3
теоремы 51. 568. Например, двумя диагоналями и стороной. 56®. У казаки е.
Рассмотрите центральную симметрию, отображающую параллелограмм АВСВ
на себя. 575* Истинны предложения, обратные предложениям 3 и 6. 579. 1),
2) , 4), 6) Нет; 3), 5) да. 581. 1) Нет; 2), 3), 4). да. 584. 1), 2} Да; 3), 4) нет. 585.
2) Например, существует параллельный перенос, отображающий один луч
на другой; 4) угол треугольника равен 60°. 586. 1) Точка X принадлежит сере¬
динному перпендикуляру к отрезку АВ\ 2) существует такая точка О, что (а) —
= Ъ. 587. Верны предложения 2 и 4. 589. 1), 2) Достаточно; 3), 4) необходимо.
593. Если стороны каждого из этих прямоугольников не равны» то существует
4 перемещения. 594. 1) Да. 595. Например, «диагонали конгруэнтны». 596.
90 см. 597. 6 см. 599. 1) Указание. Достройте прямоугольный треугольник
до прямоугольника. 600. Окружность (за исключением тачек А и В). 601—603.
Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 600. 606. Указание.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке. 610. 1), 3) Нет; 2) да. 613.
1) 32 см; 2) нет; 3) а) нет, б) да. 614. 1} Нет, если только угол ромба не является
прямым; 2) да. 617. | АМ\ = 1 см,|.МВ| = 1 см, | ВВ| = 2 см. 623. 1) Например,
363
диагонали квадрата перпендикулярны. 626. Указание. Существует 8 пе¬
ремещений. 627. 1), 2) Нет. 629. Указание. Можно рассмотреть пе¬
ремещение, отображающее квадрат АВСЛ на себя. 630. 4) Указание.
Существуют повороты, отображающие квадрат на себя. 633. 1 см, 8 см и 7 см.
636. 2) т + п; 38 см. 637. Периметр звездочки равен р. 640. Указание.
Через точку 2) проведите прямую, параллельную стороне угла. 653. Получен¬
ный четырехугольник является: 1), 2), 3) параллелограммом; 4) ромбом;
5) прямоугольником; 6) квадратом. 654. 5 см. 655. 1) 12 см и 8 см; 2) 5 см и
2 см. 656. 1) 3 см; 2) 14,2 см. 661. 2) Площадь прямоугольника равна 5 см2,
8 см2 или 9 см2. 663. 1) 1; 2) 1 000 000; 3) 10 000. 664. 1) Увеличится в 4 раза;
2) уменьшится в 9 раз; 3) не изменится. 665. Нет. 670. Ук а з а н и е. Стороной ис¬
комого квадрата является диагональ данного. 674. 18,48 см2; 4,4 см. 675. 48 см2
или 60 см2 или 7,5 см. 676. 7,2 см. 679. 20 см. 682. 1) 5 = 683. 2) 19,22 см2.
т1
684. 4 см и 6 см. 685. 8 = —. 686. 99 см2, 16,5 см. 687. 48 см2. 688. Объединение
2
8 с2
двух прямых, параллельных прямой АВ. 693. 8Х = —. 694. 37,5 мм2. 696. 8 = —.
тп
697. 24 см2. 698. 8 = —. 699. 1) 1 : 2. 700. Площадь
треугольника меньше или
аЬ
равна 6 см2. 701. 8= —. 702. 1) Ромб. 2) Прямоугольник. 703. 210 см2. 704. 336 см2.
706. 10,8 дм2. 709. 6 см2. 710. 6 см2. 711. 32 см2. 718. Нет. 719. Указание.
Постройте вспомогательный треугольник, сторона которого равна периметру,
а высота — высоте искомого треугольника. 720. Нет. 727. 1), 2) Да; 3) нет.
п (п — 3)
Указание. Число диагоналей п-угольника равно . 729. Такой
4 2
четырехугольник — ромб. 756. — 8. 757. — 8. 758. г=
3 3
а 4- Ь — с
» х =
2
ь 4- с — а
2 ’
у= . 759. У казан и е. Соедините точку М с вершинами данного
2
треугольника. 760. Отрезок искомой прямой, заключенный между сторонами
угла, должен делиться точкой Е пополам. 761. Указание. Искомая прямая
должна проходить через точки С и Е. 766. Площадь отсекаемого треугольника
максимальна, если отрезок перпендикулярен биссектрисе данного угла.
Глава V. Векторы
771. 2) Параллельным переносом. 773. Нет. 774. 1) Параллельным переносом.
2) Нет. 776. 1) 8р; 2) . 779. 1) 8Ь (Ь 1 а, О 6 Ь). 786. 1) Четыре. 787. Девять.
788. 2) Тринадцать. 790. 1), 2) Векторы различны; 3) один и тот же вектор. 792.
2) Двадцать семь. 795. Указание. Рассмотрите два случая: точки А, В,
С и Л лежат на одной прямой или нет. 801. Верны равенства 1), 2), 3), 5) и 6).
805. 2) | х| = |у| = |7| = г, |7| = 0. 813. 1) АЛ = а 4- ~Ь 4-7, ВЛ = Ь + 7,
АС = а + Ь. 820. 2) а = 0. 829. 1) к > 0; 2) к < 0; 3) к = 1. 830. 1) |/?|< 1;
364
2) |Л| > 1; 3) |*| = 1. 832. 1) к > —1; 3) к = —1. 834. 1) х = ——; 3) х=3.
2
835. Нет. 836. Указание. Если хга = х^а, то — дга)а = 0. Так как
а =/= 0, то = х2. 840. ОА = 2ег+ 4^, ОА + ОВ = 6ег + 9^. 843. 1) Да;
2) нет. 845. 2) ВЛ = 35 — За. 851. 3) АС. 853. Указание. Воспользуйтесь
свойствами расстояний. 855. 2) х = а. 857. Указание. Воспользуйтесь
правилом параллелограмма. 858. 1) Четырехугольник АВС И — параллелограмм;
2) четырехугольник АВСВ — параллелограмм или трапеция. 859. Указа¬
ние. Воспользуйтесь правилом параллелограмма и свойством диагоналей
параллелограмма. 860. 2) Указание. Сначала покажите, что если О —
| О АI —> 1 —> _> —>
точка медианы ААГ и ——— =2, то РО = — (РА + РВ + РС), где Р —
I 0^11 3
произвольная точка плоскости. 861. Указание. Пусть Е и Р — середины
сторон АВ и АС треугольника АВС. Докажите, что ЕР = — ВС. 864. Ука¬
зание. Если х = х1е1 -|- уге2 и х = х2ег + У2е2» то *1 = х2» У1 = Уъ- 866. Ука¬
зание. Докажите, что если Х2 = (Ео^ о ) X, то ХХ2 = 2О1О2.
Глава VI. Подобие
872. 1) Нет. 874. 1) Второй план подобен первому с коэффициентом 1/10.
877. Указание. Воспользуйтесь формулой | АВ | = | хА — хв |.
880. Указ а н и е. Воспользуйтесь теоремой о средней линии треугольника.
881. Луч, полуплоскость, угол. 891. Указание. Воспользуйтесь опреде¬
лением гомотетии. 892. Указание. Рассмотрите композицию двух цент¬
ральных симметрий с различными центрами. 897. Центр ф — любая точка пря¬
мой ООР за исключением точек и О. 898. 1), 2) Нет; 3) могут. 899. 1) Нет.
1 2
904. 1) | АС\ : | ВР>| = 1 : 2; 2) нет. 906. 1) —, —; 2) 3 см, 6 см. 907. 2,1 см;
3 3
5,6 см. 908. 6 см. 909. 2 см, 4 см. 910. 1) а) 6 см, —5,3 см. 911. 2 : 3. 914. Ука¬
зание. Рассмотрите подобные треугольники АВИ и АР1С, где — точка
пересечения прямой АВ с прямой, проходящей через С и параллельной ВВ.
1
916. Да. 919. Да. 924. Да, если коэффициент подобия Р равен ~. 925. Да, если
I А1
Р сохраняет расстояния. 929. 1), 3) Подобны; 2) не подобны. 930. 1) 6,4 дм;
5,76 дм; 2,4 дм или 2,5 дм, 2,25 дм, 0,9375 дм; 2) 4 см, 3 см. 931. 1) 5,25 см; 1, 2 см;
2) 18 м; —23,6 м; —25,7 м. 932. 1) 27 см; 40,5 см; 54,5 см; 2) 10,8 см; 16,2 см;
21,8 см. 934. Подобны. 938. 1) 3 см, 2 см, 1,5 см; 2) 4 см, 3,5 см, 2,5 см. 939. 1),
2) Подобны; 3) подобны лишь в том случае, если оба угла взяты при вершинах
треугольников или при их основаниях. 940. Три пары. 941. Нельзя. 942.
добны. 944. 9 см; 15,75 см. 945. 1) 8 см, —5,3 см, —3,6 см; 2) 12
та
^11,1 см. 946. —80 м. 947. —36 м. 948. —30 м. 953. —;
т 4- п
2) 1,5 см; 3) 5,4 см. 956. с = 5 см, а = 1^15 см, Ь — 10 см,
а2 Ь2
см,
1)
= 4,6
По¬
ем,
7,5
см;
см.
957. ас— -у==-, Ъс = ^=у2- 958- Р2'- У2- 962. Указание. Воспользуй-
к = /6
365
тесь теоремой, обратной теореме Пифагора. 963. ^хЗ,9 см. 964. 5 = .
4
966. 1) к = — \ 2) а = 2 /г3 — Л3. 067, =48,9 см или =0,9 см
2
909. 1) 15; 2) 18; 3) 5; 4) 13. 970. 1) 2 /5; 2) /2; 3) 5 Уг2. 971. 1) 24 см, =21 см;
2) 2^17 см, 12 см. 972. 1) с = 15 см; ае = 5,4 см, Ъс = 9,6 сот, к = 7,2 см.
к(к+1) I (к+1)
973. Ь = 5 см, вс — 11,1 см, к ~ 4,6 см; Ьс~ 1,9 см. 974. , у — -;
=6,5 см, =15,7 см. 975. =7,7 см. 976. |ОМ| = / т3 + г3. 977. 1) =9,2 см;
2) 6 см. 980. —13,3 мм. 981. 1) Могут; 2) не могут. 983. Не верны. 984.
1) Могут; 2) не могут. 988. 6, ; 1) 6 см; 3,5 см; 2) 4,8 см; 2,8 см. 989. Не
а
подобны. 992. 2 м, 4 м, 5 м. 993. 6,4 дм, 8 дм, 11,2 дм. 994. 60 см, 1С0 см.
995. 1) 4 : 9; 4) к2 : ?. 996. 3) 1 : 2; 4) /р : 997. 1) Возрастет в п2 раз.
Ь28 23.
2) Уменьшится в к2 раз. 998. 9 : 1; 9 : 4. 1002. —; 4) —66,7 см2. 1005. Л. — —,
а2
а2
а./З, о 2К3.82
а2 = —у-у А2 = . 32 см; —2,5 см; — 19,6 см. 1010. Указание.
V ^1 а1
Докажите гомотегичносгь построенных равносторонних
сительно точки пересечения диагоналей трапеции. 1012.
треугольников отно-
1) 1/2 = 2гй — А2,
4
/2 , к
откуда г = Н —; 2) —4,2 см. 1015. Указание.
8А 2
длин сторон многоугольников через квадраты длин отрезков их диагоналей.
Выразите квадраты
Глава VII. Повороты и тригонометрические функции
1026. Для одного наблюдателя направление вращения будег положительным,
для другого — отрицательным. 1030. Первая и третья шестерни вращаются в
отрицательном направлении, вторая шестерня — в положительном. 1031.
1) 40° + 360°п; 3) 130° + 360% где п Е Ю32. 1) —130° + 360% где пЕ 2.
1033. 1) Я20’; 2) Я39’; 3) Я20'; 4) Я90’; 5) Я-160’; 6) Я0’; 7) Я_140\ 1034. 1) Я-60';
2) Я150 ; 3) Я80’; 4) Я170’; 5) Я20’; 6) Я20’; 7) Я69°. 1035. 1) При любых целых
значениях к', 2) при любых четных значениях к. 1036. 1) =7,85 см. 2) =3,14 см.
1037. а) =125,6 см; б) 5 см. 1038. и) =0,01745; б) =0,785; в) =1,309;
г) =3,927. 1039. 1) =57°18'; 2) =5°44'; 3) =17°12'; 4) 60°; 5) 120°;
6) 20°; 7) 15°. 1040. 1) 11,25°; 2) =0,09. 1041. 1) Я-60’ о Я25° = Я-35 1
2) Я180’ о Я-35’ = Я| ,5>; 3) Я20’ о Я70’ = Я90’; 4) Я135’ о Я245° = Я380’ = Я20 ;
5) Я-20’ о Я-170’ = Я“’90> = Я170\ 6) Я45’ о Я90’ = Я,35°. 1042. 1) —40° +
+ ЛгЗбО0; 2) —35° 4- *360°; 3) *330°; 4) —70° + *360°; 5) —10° + *360°; 6) 20°+
+ (2А + 1) 180° (где к — любое целое число). 1043. Тождественным ото¬
бражением плоскости на себя. 1044. а = к 180° (к Е Задача имеет бесконечное
множество решений. 1045. 1) о Ца □ = Я90 , если а = 30° + 120сА
.(к Е2). 1046. Яа о Яа = Я180’, если а = 90° + 180е* (к 6 2). 1047. Я120 * (к 6 2).
366
1048. Указание. Следует показать, что (Ва о /?Р) . в^ = Ва о (В^ о В7).
1049. 1) При к Е 2) при любых четных значениях к. 1050. Указа-
н и е. 1) В19°-190 = в100*360’10 = Я10°; 2) в19°-20=В20О+360°= В20°. 1052. 1) (—0.8;
—0,6); 2) (—0,8; 0,6); 3) (0,8; —0,6). 1054. 1) (0, 1); 2) (—1; 0); 3) (0, —1);
4) (-1, 0); 5) (0, -1); 6) (0, 1). 1055. зхп 90° = 1, соз 90е = 0; з1п (-90°) =
= —1, сое (—90°) = 0; 81п 180° = 0, соз 180° = —1; з1п 270° = —1, соз 270° =••
= 0; в!п (—270°) = 1. 1056. 1), 2), 3), 5) Углы а, соответствующие указанным
значениям з1п а, существуют (точки Ра на единичной окружности могут быть
построены). 1057. 1), 2), 5), 7) Положителен; 3), 4), 6) отрицателен.
1059. 81п 20° < 81П 30° < 81п 45° < з1п 60° < 81п 70° < вгп 90°. 1060. 1), 2), 3),
5) Углы, соответствующие указанным значениям соз а, существуют. 1061. 3), 4),
5), 7) Положителен; 1), 2), 6) отрицателен. 1063. соз 90° < соз 70° < соз 60° <
< соз 45* < соз 30° < соз 20°. 1064. Да, существуют. Например: 1) а = 45°;
2) а = 135°. 1070. 1) х = 2 соз 90°, у = 2 в!п 90°; 2) х = 2 соз 0°; у = 2 з!п 0°;
3) х = 1А сов 135°, у = 81П 135°; 4) х = 2 /2 соа (— 45°), у=2 /2 з1п(—45)°;
5) х =/1соз 45°, у = /2 81п 45°. 1071. 1)0,8; 2) —0,28; 3) 0,6;
4) — 2 К2 = —0,943; 5) ±121 =± 0,707. 1072. 1) 1К2 = 0,943; 2)
3 2 3 2
= 0,866; 3) 0,8; 4) ЕА = 0,745; 5) ЕА = 0,707. 1073. 1) 81п2 а; 2) — соз2 а;
3) 1 (если а 90° + 180°А, к Е 2); 4) 0; 5) 81п2 а; 6) зхп3 а; 7) 1; 8) сов2 а.
1074. 1) з1п 100° = соз 10° = з1п 80°; 2) з!п 160° = соз 70° = з1п 20°;
3) соз 170° = —соз 10° = — 81п 80°; 4) з!п 95°16' = згп 84°44' = соз5°16';
5) 51п 103°45' = з1п 76°15' = соз 13°45'; 6) соз 124°15' = —соз 55°45' =
= —81п 34 15'. 1075. 1) зш (—700 = —81п 70э = —соз 20°; 2) соз(—70°) =□
= соз 70° = 81П 20°; 3) 81п (—20°) = —з1п 2С° = —соз 70°; 4) соз (—20°) =
= соз 20° = 51п 70°; 5) з!п (—45е) = —З1п 45° = —соз 45°; 6) соз (—45°) ==
= соз 45° = з1п 45°. 1080. 2) а) а = 45°; б) а = 135°. 1081. Указание.
Воспользуйтесь свойствами функций згп а и соз а. 1084. 1) а) 2; б) —1; в) 5;
г) 1; д) 0. 1088.
а
Ъ
с
А
в
1 а
2,61
3,80
4,61
34°29'
55°31'
б
13,6
8,23
15,9
58°49'
31°11'
в
4,35
1,45
4,59
71°23'
18°37'
г
156
133
205
49°33'
40°27'
2 а
63
16
65
75°45'
14°15'
б
5,28
4,55
6,97
49°15'
40°45'
в
15
112
113
7°36'
82°24'
г
0,098
0,100
0,140
44°25'
45°35'
367
Продолжение
а
Ь
с
А
в
3 а
63,7
5,11
63,9
85°25'
4°35'
б
18,0
58,9
61,6
17°
73°
в
3,89
1.74
4,26
65°55'
24°05'
г
6,16
2,95
6,83
64°24'
25°36'
4 а
6,37
3,63
7,33
60°18х
29°42'
б
380
261
461
55°31'
34°29'
в
613
528
809
49°15'
40°45'
г
8,49
3,92
9,35
65°14'
24°46'
5 а
4,24
1,95
4,67
65°15'
24°45'
б
25,1
57,6
62,8
23°32'
66°28'
в
0,559
0,569
0,798
44°30х
45°30'
г
3,52
8,74
9,42
21°56'
68°04'
1099. =88 м. 1091. =1°43'. 1092. =0°57'. 1093. I 81п «; 1) ~ 118 м; 2) ж 433 м.
1094. =4,6 м. 1095. 31. 1096. 1) к = 4п; 2) к = 8п (п 6 2). 1097. 1) к =-8л;
2) к = 6п (п € 2). 1093. 2) а) 45°; 30°; 60°; 120°;
б) 45° + 360°л,
30° + 360°га,
60° + 360°п,
120° + 360°п,
1099. 1) а) 0 < 81п х + 1 < 2; б)
135° + 360°л;
150° + 360°п;
—60° + 360°п;
—120° + 360°л (п е г).
—0,5 соя х + 0,5 ^1,5; в) э1п2 х +
-|- сое2 х — 1; 2) равенство а) возможно. 1101. Например: 1), 2) к = 4п, где
п 6 2. 1104. а а. 1) = 16 м; 2) = 17 м.
Глава VIII. Метрические соотношения в треугольнике
1105. 1) с2 = а2 -т Ьг — аЬ; 2) с2 = а2 + Ь2 — аЪ У3; 3) с2 = а2 + Ь2 — У2аЬ.
1106. При возрастании угла а от 0° до 90° значение а возрастает, так как сова
при этом убывает, оставаясь положительным. При дальнейшем возрастании
угла а от 90° до 180° значения сое а убывают от 0 до —1. Следовательно, значе¬
ние а при этом продолжает возрастать. 1109. 1) с ~ 8,5; 2) Ь ~ 4,4; 3) а — 0,8.
1111. 1) ^117°17'; 2) ^93°42'. 1112. 1) ^24,3 дм и ^12,1 дм; 2) — 5,4 дм;
х^4,5 дм. 1113. При возрастании угла у от 0° до 90° площадь треугольника
возрастает. При дальнейшем возрастании угла у от 90° до 180° площадь тре¬
угольника убывает. Наибольшее значение площади получим при у = 90°.
1114. 48,4 м2.1115. 1) — 7880 м2; 2) 344 см2.1118. 1) 21,2 см2; 2) ~ 2,7 см2.
1119. — 190,5 см2. 1120. 1) Ь 61; с 102, а = 79°37'; 2) а 39; Ъ ~ 25,
368
У = 14°15'; 3) Р = 36°52'; у = 75°45'; с « 21; 4) а = 14°23'; Р = 142°17';
, _ тэта тзшР
Ь = 91,3.1122. —. — •• •■- и ———. 1124. = 3,6Ы; = 3,7 Н. 1149. | ВС|=
ат (а + р) 81п (а + Р)
а з1п а з1п Рг
= ;—; , д . .—-—. Замечание. Решением этой задачи
в1п (0ц рх) ат (а + Р)
можно воспользоваться при вычислении расстояния до недоступных точек на
местности. (В рассмотренном случае, если точка С невидима из точки В, рас¬
стояние между точками В и С не может быть найдено измерением.)
1150. 1СВ1 = а 1/ зт2 у 81п2 6 зтузшбсоз(а-Р)
Г зш2 (Р + у) ет2(а + 6) 81п(а + Р)вт(Р+у) •
Указания. 1) При решении задачи применяются теоремы косинусов и си¬
нусов. 2) При проведении вычислений следует учитывать, что значения углов
р + у, а + 6, а — р уже известны. 1152. 1) Ь ~ 62,1; а 21°55'; у ~ 34°05';
с яг 20,8; Р = 67°51'; а = 37°08'; 3) а = 279; у = 30°30'; р=67°23';
Ь = 837; а = 22°37'; у ~ 59°30'. 1153. 1) Ь = 15; с = 14; у = 60°29';
а = 20,5; с = 20; у = 74°37'. 1154. 1) а = 67°23'; Р = 18°55'; у ~ 93°42';
а = 107°57'; р = 53°08'; у = 18°55'. 1157. а = 90°. 1158. а = 90°, ромб.
1160. Л = 275 Н; 16°; 34°. 1161. 1) 4 (I + а)2.
2)
4)
2)
2)
1159. 1) =117°19'.
а2А2
1162. 36 см2.
(а + 2А)2
Глава IX. Вписанные н описанные многоугольники
1170. 1) 36°; 72°; 108°; 72°; 36°. 1171. 1) 108° и 72°; 2) 100° и 80°. 1172. АМС =
= АТС или АМС + АТС =180°. 1173. 35° и 70°. 1174. 1) 100° или 80 ;
А
2) 54° или 126°. 1185. 12,3 см. 1186. 1) 4 см; 2) 10 см. 1187. —. 1189. 1) Тре-
3
угольник равносторонний; 2) треугольник прямоугольный; 3), 4) треугольник
равнобедренный. 1190. Указание. Задача имеет 4 решения. 1195. 2), 3) Мож-
но. 1196. 1) Можно. 1198. 1), 3) Можно. 1202. — (3 ± /З). 1203. 1), 2) 60°,
6
120°; 90°, 90°; 108°, 72э; 120°, 60°; 135°, 45°; 144°, 36°; 150°, 30°. 1204. 1) а) 8;
б) 12; в) 9; 2) а) 10; б) 15; в) 6. 1210. 1) п осей симметрии; 2) п поворотов
(включая тождественный); 3) центр симметрии имеют только правильные мно¬
гоугольники с четным числом сторон. 1211. 1) а) ; б) 0,1 ; в) ав;
3 2
2) а) 2г /3; б) 2г; в) 2г IX. 1212. г= В соз —. 1213. 1) а) ® 14,1 мм;
3 п
б) ~ 5,7 мм. 2) а) ~ 13,8 мм; б) ~ 10,4 мм. 1214. 3 р^б см ~ 7,3 см. 1215. 1) При
180°
■Й81П П 180°
п < 6; 2) при п = 6; 3) при п > 6.1216. 2) г = 1217. 2а п соз »
180 л
1 — 81П
п
1) 1,62 см; 2) 8,66 см. 1218. В КЗ; 1) = 3,46 см; 2) »5,20 см. 1219.
180’
а) = 83 см2; б) 128 см2; в) =152 см2. 1220. 8 = пг2 ; а) =83,1 см-;
369
« » а а* 1 У*2 Уз 113
б) 64 см2; в) - 68,1 см2. 1221. 1)т; 2) -. 1222. 1) - ГА; 2) у.
Ь Ь2 222 424
1226. 1) — 78,5 см; 2) — 37,7 дм. 1227. 1) ~ 12,5 см; 2) ^2 дм. 1228. 1) 64 см;
2) ^48 см. 1229. 1) =5,4 см; 2) — 10,9 см. 1230. 1) 12,6 см; 2) — 17,8 см.
1232. 1) ~ 1,9 м; 2) 22,6 м. 1233. 1) ~ 2,62; 2) — 3,49; 3) л. 1234. (\ — С2 =
= 2л/, где С\ — длина внешней окружности, С2 — длина внутренней окруж¬
ности, I — толщина кольца. 1235. 48 см. 1236. ~ 1,85 км. 1237. 1,8.
1238. 1) 12,6 см2; 2) — 78,5 м2. 1239. 1) Уменьшится в 16 раз (в п2 раз);
уменьшится в 4 раза (в п раз); 2) увеличится в 9 раз (в п2 раз), увеличится в
С2
3 раза (в п раз). 1240. —. 1241. 1) 7,1 мм2; 2) 0,03 мм2. 1243. 1) —616 см2;
4л
2) 2,0 дм2. 1244. « 0,21. 1245. 1) ж 7,5 см2; 2) — 9,4 см2; 3) 11,3 см2.
1250. Указание. Надо доказать, что А1ВВ1 = 180°. 1251. Указание.
Искомое множество точек — две дуги, общей хордой которых является данный
отрезок. Чтобы построить каждую из этих дуг, достаточно найти хотя бы одну
из ее точек, отличную от точек А и В. 1265. Указание. Следует дока¬
зать, что хорда ВЛ стягивает дугу ВР, угловая величина которой равна 72°.
Глава X. Начальные сведения из стереометрии
1270. Три различные точки всегда лежат в одной плоскости. Этим объясняется
устойчивость «треножников», возможная неустойчивость стола и других
устройств, имеющих четыре опорные точки. 1271. 1), 2), 3) Нельзя; 4) можно.
1272. Указание. Доказательство ведется методом от противного.
1273. Указание. Для доказательства возьмите две точки на одной из
данных прямых и одну точку на второй прямой. Докажите, что проходящая че¬
рез эти точки плоскость единственна и что она содержит обе данные прямые.
1277. Высказывание неверное. 1278. Нет. Указание. Если прямая парал¬
лельна одному из ребер куба, то она параллельна и еще трем другим его ребрам.
1281. Прямые АВ и С Г) параллельны. Следовательно, существует плоскость,
проходящая через эти прямые. 1282. Плоскости параллельны. 1285. Не всегда.
1287. 1) 0 или а. 2) а, а )^2, а X3. 1288. а . 1291. 1) 8. 2) Многоугольник,
имеющий п — 2 стороны. 1293. Пять граней, девять ребер, шесть вершин.
1295. 1) б) Существует (пятиугольная призма); а), в) не существует. 1296. 5 —
~ 180,5 см2, V = 120 см3. 1297. Зб0Л = 240 сма, V = 288 см3. 1298. 1) 114 м2;
2) —125 м3; 3) —413 м3. 1299. —7,1 м. 1303. 128 см2; 192 см2; 512 см2. 1305. 2п
. а2 А 1/И а2 А а2 к 1^а” 2Я2 г
ребер, п 4- 1 граней. 1307. 1) - я ? а ; 2) —; 3) °г .. 1308. /б2 — Л2.
12 2 2 3
4
1309. 5 = 4г (г + /Л2 + г2); V = — г2*. 1315. 1) = 358 см1; = 396 см3;
3
. С2Л
2) =: 48,6 дм2; ж 25,4 дм3. 1316. . 1318. Ух = 600 п см3; V, = 360л см3;
4л
Уз = 512л см3; У2 < У3 < У1. 1322. Не может. (Рассмотрите соответствующий
прямоугольный треугольник.) 1323. 12 см. 1324. 1) 5 ~ 251 см2, У = 260 см3;
370
2) 8 = 920 см2, V = 1204 см2; 3) 8 = 20,4 дм; V = 5,7 дм2. 1325. V = 16 755 см3,
3 = 4067 см2. 1327. = 2,6 м3. 132». 2) а) = 201 см2, = 268 см3; б) ~ 78,5 см2»
=65,4 см3; в) = 3550 мм2, = 19 860 мм3; г) = 12,6 дм2, = 4,2 дм3. 1330. 1) 8 =
г?
=0,79 м2, V = 0,065 м3; 2) 8 = 201 м2, V = 268 м3. 1332. —; 1) = 4,63;
Г2
1 2
2) = 76,77. 1333. —; 1) = 1,96; 2) = 59,5. 1334. 1) —; 2) —; 3) = 0,843;
»2 2 3
4) = 0,928.1235. 1) = 5,10 • 103км2; 2) = 1,5 • 108км2; 3)40 • 10е м. 1337. Око^о
1750 дробинок. 1338. =9,2 см. 1339. 1) ~ 3050 см3, = 4580 см3; 2) = 1020 см2,
= 1530 см2.1340. 1) = 3619 ы3, = 1357 м2; 2) = 718 м3, =462 м2. 1341. = 134 м3.
а3
1347. 1) 20; 2) 60; 3) 45. 1348. 1) 36; 2) 54; 3) 27. 1352. — (2 — 18 а).
2
1356. 1) 1; 2) —.
18 64
Задачи на повторение по курсу 6—8 классов
1360. Свойства 1 и 3 выполняются. Свойство 2 не выполняется. 1362. 1) Об¬
ласть, содержащая точку А, границей которой является серединный
перпендикуляр к отрезку АВ. 2) Область, содержащая точку В, гра¬
ницей которой является серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 3) Се¬
рединный перпендикуляр к отрезку АВ. 1363. 1) Этим свойством обладают
точки утла ВВС, не лежащие на луче ВР, где [ВР) — биссектриса данною
угла. 2) Все точки данного угла, не лежащие на его биссектрисе. П р и-
м е ч а н и е. Рассматриваются только утлы, меньшие развернутого. 1369.1)Пря-
г 2аЪ
моугольник. 2) Ромб. 1377. 1), 2) 4 см и 6 см. 1378. 1 : ()^2 — 1). 1379. -.
а + о
1380. У казанке. Пусть длины данных хорд равны а и Ь. Расстояние между
центрами данных окружностей |О1О2|. Задача решается методом параллель-
а Ь
кого переноса и имеет решение, если | О1О21 “—• 1382. Указание.
Решение задачи сводится к доказательству того, что указанный вписанный
треугольник является равносторонним. 1383. Указание. Решение сво¬
дится к доказательству того, что указанный вписанный четырехугольник —
квадрат. 1386. Указание. Доказательство основано на теореме Пифагора
и теореме об отношении площадей подобных многоугольников. 1387. Ука¬
зание. Доказательство следует из теоремы Пифагора и из того, что площади
многоугольников относятся как квадраты сторон. 1389. Окружность, постро¬
енная на отрезке АВ как на диаметре. 1390. 1) Окружность (если данная точка
не центр данной окружности). 1391. Указание. Во всех случаях это про¬
изведение равно г2. 1392. Дуга окружности, построенной на отрезке ОМ как га
диаметре, расположенная во внутренней области данной окружности (О, г).
1398. 2) У к а з а н и е. Пусть сторона квадрата равна а и данное расстояние т.
а а а
Рассмотрите случаи: 1) т = —; 2) т < —; 3) т > —. (В последнем случаэ
2 2 2
искомые точки не содержатся во внутренней области данного квадрата.)
371
1399. Пусть радиус окружности равен г и данное расстояние т Ф 0. 1) а) Две
окружности, концентрические с данной (если т < г), б) Окружность, концентри*
ческая с данной (если т > г), в) Окружность, концентрическая с данной и
одна точка — центр окружности (если т = г). 2) Окружность, концентриче¬
ская с окружностью (О, г), радиус которой равен т + г. 1402. Для каждо¬
го случая верны следующие высказывания: 1) а) хотя бы один из векто¬
ров нулевой; б) направления векторов а и Ь взаимно перпендикулярны; 2) а) хо¬
тя бы один вектор нулевой; б) направления векторов совпадают; 3) а) век-
—► —>•
тор Ь нулевой; б) оба вектора нулевые; в) векторы а и Ъ противоположно на¬
правлены, причем | а| > |д|; 4) а) хотя бы один вектор нулевой; б) векторы а
п Ъ противоположно направлены. 1406. 1) Указание. Сначала по данным
двум углам строится треугольник, подобный искомому. Центр вписанной в
этот треугольник окружности принимается за центр гомотетии, и выполняется
построение искомого треугольника по заданному радиусу вписанной в него
окружности. 2) Указание. Для построения можно применить гомоте¬
тию. 1407. Указание. Около данного треугольника описать треугольник,
ему подобный, так, чтобы каждой из сторон описанного треугольника принад¬
лежала только одна вершина данного треугольника. В общем случае задача
имеет бесконечное множество решений. 1411. —. 1412. Я2 (л — а + 81П а).
2а 4 г —
1413. —/3. 1414. 3.
3
1415. Указание.
При решении рекомендуется
применять логарифмическую линейку. При этом учесть, что площади поверх¬
ностей двух шаров относятся как квадраты их диаметров и объемы — как кубы
диаметров. 1416. Тождественное отображение, параллельные переносы,
осевые симметрии, гомотетии. 1417. 1) Центральной симметрией, двумя осевы¬
ми симметриями, тождественным отображением. 2) Поворотами на угол
360°
а = А, где к — целое число, п осевыми симметриями. 1418. 1) Поворотами
п
на угол а (—180° < а < 180°); с центром в «выколотой» точке; осевыми симмет¬
риями относительно осей, проходящих через «выколотую» точку. 2) Централь¬
ной симметрией с центром в середине отрезка, концами которого являются «вы¬
колотые» точки; двумя осевыми симметриями; тождественным отображением.
ПРИЛОЖЕНИЯ
О логическом строении геометрии
Логически строгий курс геометрии строится следующим об¬
разом:
1. Перечисляются основные геометрические понятия, ко¬
торые вводятся без определений.
2. При их помощи даются определения всех остальных гео¬
метрических понятий.
3. Формулируются аксиомы.
,4. На основе аксиом и определений все дальнейшие гео¬
метрические предложения доказываются.
В применении к планиметрии первые два пункта этой про¬
граммы в основном выполнены. Были названы три основных
понятия планиметрии: «точка», «прямая», «расстояние». Боль¬
шинству понятий, рассматриваемых далее в курсе планимет¬
рии («окружность», «круг», «отрезок», «луч» и т. д.), были даны
определения. Отметим, что при изложении планиметрии имеют
в виду какую-либо одну плоскость. Рассматриваются только
принадлежащие ей точки. Поэтому по определению плоскость
есть множество всех рассматриваемых точек*.
Существенный пробел в отчетливости определений допущен
в п. 18, где вводится понятие «величина угла». Смысл этого по¬
нятия здесь лишь поясняется на простейших примерах. Сле¬
довало бы точно определить смысл равенства АОВ =■ а° (при
любом действительном числе а, лежащем в пределах 0 < а <
< 360).
Но в 6 классе было бы невозможно это сделать, так как пер¬
вые представления о действительных числах даются только в
♦ В стереометрии понятие ♦плоскость» появится в качестве одного из ос¬
новных понятий.
373
7 классе. Но и независимо от этого затруднения строгое изло¬
жение теории измерения углов неизбежно очень громоздко*.
Для выполнения третьего пункта программы следует пере¬
числить аксиомы, на основе которых можно построить логиче¬
ски строгое изложение планиметрии. Этот список приводится
далее. Следует только заметить, что при построении плани¬
метрии пользуются также правилами логики и свойствами мно¬
жеств как известными. После того как в одной из аксиом
будет сказано, что расстояние от точки до точки есть неотрица¬
тельное действительное число, пользуются также изучаемы¬
ми в алгебре свойствами действительных чисел.
Полное осуществление четвертого пункта программы по¬
требовало бы последовательного, без пропусков, доказатель¬
ства на основе аксиом всех геометрических истин, с которыми
вы познакомились по учебнику. Это заняло бы много места.
Все логически строгие курсы элементарной геометрии доволь¬
но трудны для изучения. Поэтому нам пришлась без доказа¬
тельства принять еще ряд предложений, которые могли бы
быть доказаны как теоремы на основе сформулированных ниже
двенадцати аксиом. Предлагаемая система аксиом лишь одна
из возможных. Она соответствует принятой в нашем учебнике
системе изложения. Двенадцать аксиом этой системы разделе¬
ны на пять групп.
I. Аксиомы принадлежности
А к с и о м а 11. Каждая прямая есть множество точек.
Аксиома 12. Для любых двух точек существует одна
и только одна содержащая их прямая.
Аксиома 13. Существует хотя бы одна прямая; каждой
прямой принадлежит хотя бы одна точка.
II. Аксиомы расстояния
Расстояния между точками мы будем считать числами. С прак¬
тической точки зрения это значит, что мы уже выбрали единицу
измерения расстояний.
♦ В некоторых учебниках в обход этой трудности понятие «величина угла»
причисляется к числу основных геометрических понятий, как это сделано в на¬
шем учебнике в применении к понятию расстояния.
374
Аксиома 111.
Аксиома П2.
Аксиома II3.
Любым точкам А и В поставлено в соответ¬
ствие неотрицательное действительное чис¬
ло |АВ|, называемое расстоянием от точ¬
ки А до точки В. Расстояние 1АВ | равно
нулю тогда и только тогда, когда точки А
и В совпадают.
Расстояние от точки А до точки В равно
расстоянию от В до точки А: |АВ | = |ВА|.
Для любых точек А, В и С расстояние от А
до С не больше суммы расстоянии от А до В
и от В до С: |АС| \АВ | + |ВС|.
III. Аксиомы «вредна
Аксиома III1. Три точки принадлежат одной прямой тогда
и только тогда, когда одна из них лежит
между двумя другими.
Аксиома III2. Любая точка О прямой р разбивает множе¬
ство отличных от О точек прямой р на два
непустых подмножества так, что точка О
лежит между любыми двумя точками, при¬
надлежащими разным подмножествам.
Аксиома III3. Для любого неотрицательного действитель¬
ного числа а на заданном луче с началом О
существует одна и только одна точка, рас¬
стояние от которой до начала О равно числу а.
Аксиома Ш4. Любая прямая разбивает множество не при¬
надлежащих ей точек плоскости на две
непустые выпуклые области.
IV. Аксиома подвижности
Аксиома IV. Для любой пары лучей 0{А{ и О2А2 и
примыкающих к ним полуплоскостей и
а2 существует единственное перемещение,
отображающее луч О1А1 на луч О2А2, а по¬
луплоскость 0С1 на полуплоскость а2.
V. Аксиома параллельных
Аксиома V. Через любую точку А плоскости р проходит
не более одной прямой, параллельной дан¬
ной прямой р.
375
Замечания. 1. В формулировки аксиом вошли, помимо
основных понятий, такие геометрические понятия: «лежать меж¬
ду», «луч», «область», «полуплоскость», «перемещение», «парал¬
лельные прямые». Напомним, что эти понятия были определены
в пунктах 4, 6, 10, 12, 19 и 31 соответственно.
2. Аксиомы расстояния П1_3 сохраняются без изменений
в стереометрии (геометрии пространства). Сохраняются они и
в некоторых «неевклидовых» геометриях, например в геометрии
Лобачевского, о которой говорится в п. 33. Из задачи 157 вы
можете получить первое представление о том, что свойства
П1_з сохраняются и для некоторых других «расстояний». В
современной математике любое множество, на котором опреде¬
лено «расстояние» со свойствами П^з, называют «метрическим
пространством». Существует целая теория таких «пространств».
3. Содержание всех приведенных выше двенадцати аксиом
вы найдете в тексте учебника в виде принятых без доказательст¬
ва допущений. Различие состоит в том, что в основном тексте
учебника таких допущений значительно больше. Например, при¬
няты без доказательства такие предложения: а) при повороте
расстояния сохраняются, т. е. поворот есть перемещение (пред¬
ложение 20), при осевой симметрии расстояния сохраняются, т. е.
осевая симметрия есть перемещение (предложение 23). Эти пред¬
ложения можно было бы доказать при помощи аксиомы подвиж¬
ности. Но и обратно, приняв эти предложения без доказательст¬
ва, можно доказать аксиому подвижности в качестве теоремы.
О такой условности различия между аксиомой и теоремой было
уже сказано в п. 33, где сообщалось о том, что аксиому парал¬
лельности V можно заменить постулатом Евклида.
4. Первые одиннадцать аксиом выполняются и в геометрии
Лобачевского. Чтобы получить полную систему аксиом пла¬
ниметрии Лобачевского, надо аксиому V заменить на следую¬
щую:
V*. Через точку, не лежащую на прямой, проходят по
крайней мере две прямые, параллельные этой прямой.
5. В заключение напомним пример, показывающий возмож¬
ность различного выбора аксиом: аксиому параллельных V
можно заменить на постулат Евклида, сформулированный в
п. 33.
376
Формулы геометрии
(всюду 8 обозначает площадь, V — объем).
Название формул
Формулы
Обозначения
Площадь прямоуголь¬
ника
8 = аЬ
а, Ь — длины сторон
Площадь квадрата
8 = а2
а — длина стороны
Площадь параллело¬
грамма и ромба
8 = ак
а — длина основания,
к — высота, проведенная
к этому основанию
Площадь треуголь¬
ника
ак
8 = —
2
а — длина основания,
к — высота, проведенная
к этому основанию
Формула Г’ерона (пло¬
щадь треугольника)
р — полупериметр,
а,Ь, с — длины сторон
8 =У р(р — а)(р—Ь)(р — с)
Площадь треуголь¬
ника
аЪ
8 = — 81П у
2 г
а, Ь — длины сторон,
у — величина угла
между сторона¬
ми а и Ь
Площадь прямоуголь¬
ного треугольника
II
а, Ь — длины катетов
Теорема косинусов
с2 = а2 + Ь2 — 2аЪ соз у
а, Ъ, с— длины сторон
треугольника,
у — величина угла,
лежащего против
стороны с
Теорема синусов
а Ь с
81П а 81П Р 81П у
а, Ъ, с— длины сторон,
а, р, у— величины уг¬
лов треуголь¬
ника
Сумма углов тре¬
угольника
А + В Н- С = 180°
А, В, С — величины уг¬
лов треуголь¬
ника
Площадь трапеции
л а Ь
8 = —— к
2
а, Ъ— длины оснований,
к — высота
377
Продолжение
Площадь трапеции
(другой вид формулы)
8 = сЛ
с — длина средней ли¬
нии,
к — высота
Площадь правильно¬
го многоугольника
8 = -гР
2
г — радиус вписанной
в многоугольник
окружности,
Р — периметр
Стороны правильных
многоугольников
180°
ап = 2Я зт
п
а3— В /з,
а4 = /? К2,
а0 = Я
ап — длина стороны,
Я — радиус описанной
окружности,
п — число сторон мно¬
гоугольника
Уравнение окружно¬
сти с центром в начале
координат
X2 + у2 = Д2
Я — радиус окружности
Длина окружности
С = лХ>,
С = 2лЯ
С — длина окружности,
«О — диаметр,
Я — радиус
Длина дуги окруж¬
ности
лЛа
~ 180
1 — длина дуги,
Я — радиус,
а — угловая величина
дуги
Площадь круга
8 = лЯ2,
л О2
8 =
4
Я — радиус,
— диаметр
Площадь сектора
лЛ2а
8 =
360
Я — радиус круга,
а — угловая величина
дуги
Площадь поверхно¬
сти куба
5 = 6а2
8 — площадь поверхно¬
сти,
а — длина ребра куба
Объем куба
V = а3
а—длина ребра куба
Объем прямоугольно¬
го параллелепипеда
V = аЬс
а, Ь, с — измерения па¬
раллелепипеда
378
Продолжение
Площадь боковой по¬
верхности параллеле¬
пипеда
56ок = РА
5бок— площадь боковой
поверхности,
Р — периметр основа¬
ния,
к — высота
Площадь боковой по¬
верхности правильной
призмы
56ок = Рк
Р — периметр основа¬
ния,
к — высота
Объем параллелепи¬
педа, призмы
V = 5оснА
8осн — площадь основа¬
ния,
к — высота
Площадь боковой по¬
верхности цилиндра
56ок = 2яЛЛ
Н — радиус основания,
к — высота
Площадь поверхности
цилиндра
5 = 2 л 7? (Л + В.)
8 — площадь поверхно¬
сти,
11 — радиус основания
к — высота
Площадь боковой по¬
верхности правильной
пирамиды
1
8Ггл = —Рт
бок 2
Р — периметр основа¬
ния,
т — апофема (высота
боковой грани)
Объем пирамиды
1
V = — 8 к
3 осн
8 — площадь основа¬
ния,
к — высота
Площадь боковой по¬
верхности конуса
5б0к =
Я — радиус основания,
Л — длина образующей
Площадь поверхности
конуса
3 = яП (Ь + В)
В — радиус основания,
Ь — длина образующей
Объем конуса
1
V = —л.Р2к
3
Я — радиус основания,
к — высота
Площадь поверхно¬
сти шара
5 = 4 л/?2,
5 = яП2
Я — радиус,
I) — диаметр
Объем шара
4
V = — лЯ3,
3
V = — лГ3
6
И — радиус,
О — диаметр
379
Язык теории множеств в геометрии
На языке теории
множеств
На языке геометрии
В обозначе¬
ниях
1. Точка X принадлежит пря¬
мой АВ, или прямая АВ
содержит точку X.
Точка X лежит на прямой
АВ, или прямая АВ прохо¬
дит через точку X,
X 6 (АВ)
2. Точка X не принадлежит
прямой АВ, или прямая
АВ не содержит точку X,
Точка X не лежит на пря¬
мой АВ, или точка X лежит
вне прямой АВ, или пря¬
мая АВ не проходит через
точку X.
X [ {АВ)
3. Точка X принадлежит от¬
резку АВ.
Точка X лежит на отрезке
АВ.
X С [АВ]
4. Точка X не принадлежит
отрезку АВ.
Точка X лежит вне отрез¬
ка АВ, или точка X не
лежит на отрезке АВ.
X [ [АВ]
5. Отрезок АВ есть подмно¬
жество прямой *р.
Отрезок АВ лежит на пря¬
мой р.
[АВ] ср
6. Отрезок АВ не является
подмножеством прямой р.
Отрезок АВ не лежит на
прямой р.
[АВ]с^р
Формулы тригонометрии
1) 81п2 а + соз2 а = 1;
6) зги (90° + а)
= соа а;
2) 81п (180° — а) = 81п
а; 7) соз (90° + а)
= —81п а;
3) соз (180° — а) — —соз а; 8) 81п (90° — а)
= соз а;
4) 81п (—а) = —81п а;
9) соз (90° — а)
= 81п а;
5) соз (—а) = соз а;
10) а = —.
сов а
Греческий алфавит
Буквы
Название букв
Буквы
Название букв
Аа
альфа
Ыу
НЮ
В|3
бета
1—1
ее
КСИ
Гу
гамма
Оо
омикрон
Дб
дельта
Пл
пи
Ес
эпсилон
Рр
ро
2С
дзэта
сигма
Нт]
эта
Тг
тау
еоо
тета
Гс
ипсилон
I!
йота
Фф
фи
Кх
каппа
XX
хи
АХ
ламбда
Уф
пси
М|1
мю
Яо)
омега
380
Перечень обозначений, встречающихся в учебнике
(АВ)
[АВ)
[АВ]
|АВ|
Д АВС
Окр (О, г)
Кр (О, г)
— прямая АВ.
— луч АВ.
— отрезок АВ.
— расстояние от точки А до точки В.
— треугольник АВС.
— - окружность с центром О и радиусом г.
— круг с центром О и радиусом г.
/ АВС, — угол АВС, угол В.
АВС, В
— величина угла АВС, величина угла В.
чу АВС,'О АГ.— дуга АВС, дуга АВ.
АВС, АВ
[Р. Л)
1
II
— угловая величина дуги АВС, дуги АВ.
— полуплоскость с границей р, содержащая точку А.
— знак перпендикулярности прямых (лучей отрезков).
— знак параллельности прямых (лучей, отрезков).
— знак конгруэнтности фигур.
Е
г0
т
И
и
— тождественное отображение плоскости на себя.
— симметрия с осью р.
— поворот с центром О и углом поворота а.
— симметрия с центром О.
— параллельный перенос.
— знак сонаправленности лучей (векторов).
— знак противоположной направленности лучей (векторов).
а, АВ
— вектор а, вектор АВ.
|а|, 1 АВ|
— длина вектора а, длина вектора АВ.
—►
0
— нулевой вектор.
— гомотетия с центром О и коэффициентом к.
оо
— знак подобия фигур.
о
8авс
5 (В)
V
е
— знак композиции отображений.
— площадь треугольника.
— площадь фигуры Ь.
— объем.
— знак принадлежности элемента данному множеству.
— знак отрицания принадлежности элемента данному множеству.
с
ф
0
и
п
=>
— знак включения одного множества в другое данное множество.
— знак отрицания включения одного данного множества в другое.
— пустое множество.
— знак объединения множеств.
— знак пересечения множеств.
— следует.
— равносильны (эквивалентны).
381
Предметный указатель
Аксиома
16
Луч
21
— параллельности
121
Медиана треугольника
83
— прямой
16
Между (лежать)
18
Аксиомы планиметрии
373
Многоугольник
37
Апофема пирамиды
339
— вписанный
309
Биссектриса треугольника
83
— описанный
309
— угла
66
— правильный
315
Вектор
198
Наклонная
97
— нулевой
199
Направление
130
Векторы коллинеарные
200
Необходимое условие
158
Величина угла
66
Неравенство треугольника
18
Внешняя область многоуголь¬
Объем
342
ника
37
Окружность
9
окружности
34
— вписанная
309
Внутренняя область много¬
— описанная
309
угольника
37
Оси симметрии
79
— — окружности
34
Откладывание вектора
198
Высота параллелограмма
153
Отношение рефлексивное
127
— пирамиды
339
— симметричное
127
— призмы
335
— транзитивное
127
— трапеции
172
— эквивалентности
128
— треугольника
83
Отображение
54
Гомотетия
224
— обратимое
55
Градус
66
— обратное
55
Грань пирамиды
339
— тождественное
56
— призмы
335
Отрезок
20
Диагональ
37
Параллелепипед
335
Диаметр
42
— прямой
335
Длина дуги
266
— прямоугольный
335
— ломаной
26
Параллелограмм
153
— окружности
320
Параллельные прямые
119
Достаточное условие
158
Параллельный перенос
132
Дуга
41
Перемещение
73
Касательная к окружности
107
Перпендикулярные прямые
68
Квадрат
167
Пирамида
338
Композиция перемещений
192
Площадь
174
Конус
346
Поворот
71
Координаты вектора
213
Полуплоскость
40
— на прямой
23
Построение биссектрисы угла
155
Косинус
270
— касательной к окружности
111
Коэффициент гомотетии
224
— образа точки при гомотетии
223
— подобия
220
осевой симметрии
80
Круг
10
параллельном
Куб
335
переносе 132,
134
Ломаная
26
повороте
71
— простая
26
центральной
замкнутая
27
симметрии
75
382
Построение окружности,
вписанной в треугольник 310
описанной около тре¬
угольника 310
— параллельных прямых 119
— перпендикуляра к прямой 93
— серединного перпендику¬
ляра отрезка 92
— среднего пропорциональ¬
ного отрезка 307
— угла, конгруэнтного дан¬
ному 85
— четвертого пропорцио¬
нального отрезка 232
Преобразование подобия 234
Призма прямая 335
Признаки конгруэнтности
треугольников 83
— параллельности прямых 120
— подобия треугольников 237
Проекция (точки, отрезка) на
прямую 97
Произведение вектора на
число 207
Пропорциональные отрезки 231
Пространство 10
Противоположно направленные
лучи 129
Прямая 12
Прямоугольник 162
Радиус (круга, окружности) 9,10
Развертка конуса 344
— призмы 336
— цилиндра 344
Расстояние 12
— от точки до фигуры 98
Ромб 165
Свойства объема 340
— площади 175
Сегмент 42
Сектор 41
Симметрия осевая 78
— центральная 75
Синус 270
Сложение векторов 205
Сомаправленные лучи 129
Средняя линия трапеции 172
треугольника 170
Сумма векторов 202
Сфера 20
Тангенс 278
Теорема 16
— косинусов 285
— обратная 156
— Пифагора 245
— синусов 290
— Фалеса 169
Трапеция 171
— равнобедренная 172
Треугольник вписанный 309
— описанный 310
Угловой коэффициент
прямой 278
Угол 40
— внешний (многоугольника) 139
— вписанный 305
— выпуклый 41
— между направлениями 137
— — прямыми 265
— поворота 71
— прямой 68
— развернутый 41
— треугольника 139
— центральный 41
Умножение вектора на число 208
Уравнение прямой 278
Фигура 10
— выпуклая 38
— невыпуклая 38
— симметричная 101
— — относительно оси 89
— — — центра 76
Фигуры гомотетичные 226
— конгруэнтные 64
— подобные 218
— равновеликие 176
Хорда 42
Центр (круга, окружности) 9, 10
— гомотетии 224
— поворота 71
— симметрии 75
Цилиндр 343
Четырехугольник 152
— вписанный 312
— описанный 313
Шар 348
333
СВЕДЕНИЯ О ПОЛЬЗОВАНИИ УЧЕБНИКОМ
№
Фамилия и имя
ученика
Учеб¬
ный
год
Состояние учебника
в начале
года
в конце
года
1
2
3
4 '
5
Андрей Николаевич Колмогоров
Александр Федорович Семенович
Ростислав Семенович Черкасов
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие для 6—8 классов средней школы
Спец, редактор Г. Г. Маслова. Редакторы Т. А. Бурмистрова и С. В. Пазельс-
кий. Художник С. С. Водчиц. Художественный редактор Е. Н. Карасик. Тех¬
нический редактор Н. А. Биркина. Корректоры Т. А. Кузнецова, Н. И. Нови¬
кова
ИБ № 5586
Сдано в набор 21.03.80. Подписало к печати 14.08.80. бОхЭО1/!». Бум. кн.-жур. № 2. Гари. шк. и жури,
рубл. Печать высокая. Усл. печ. л. 244-0,25 форзацы. Уч.-йзд. л; 20,884-0,44' форзацы"Тираж
3 500 000 экз. Заказ 354. Цена 35 коп.
Ордена Трудового Красного знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета
РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной ро¬
щи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Рос гл а в по л игра фпро
ма Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Саратов, ул. Чернышевского, 59.
СООТНОШЕНИЯ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
л П л Н А
51пА = — , созА = —, 1аА =
с с
А А А
= с $1пА = с со$В , а=ЫдА
СООТНОШЕНИЯ
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Ь с
—^—= — - ——(теорема синусов)
5!ПА 51пВ 5ГпС
9,9 о П1 л (теорема
С - Ь + С — 2Ьс СО$А косинусов)
5 = 0,5аЬ 5шС
ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУННЦИЙ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
ЛАТИНСКИЙ АЛФАВИТ
Печатные
буквы
Рукопис -
ные бунвы
Название
бунв
Печатные
буквы
Ру полис¬
ные буквы
Название
букв
А
В
С
Е
Г
с
К к
А
I 1
X
игрек
ПЭ
бэ
О с1
м
це
дэ
эф
же
(ни)
Р
О
В
3
т
V
IV
«У
дубль-вэ