Ю.А.БАХТУРИН
ТОЖДЕСТВА
В АЛГЕБРАХ ЛИ
Ю. А. БАХТУРИН
ТОЖДЕСТВА
В АЛГЕБРАХ ЛИ
МОСКВА «НАУКА»
.	ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985
22.144
Б 30
УДК 512.9
Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли.—М.: Наука.
Главная редакция физико-математической литературы, 1985, 448 с.
В книге впервые в монографической форме дано систематиче-
ское изложение методов и результатов — от классических, до новей-
ших — теории алгебр Лис тождествами. Эта быстро развивающая-
ся область алгебры характерна активными поисками приложений
в других разделах математики: теории представлений, теории групп,
теории колец. Изложение таких приложений — также предмет
этой книги.
Для аспирантов и научных работников. Однако элементарное
введение, подробные доказательства теорем, специально подобранные
упражнения позволяют рекомендовать ее и студентам университе-
тов и пединститутов. Книга может служить основой для специальных
курсов и семинаров.
Рецензент
доктор физико-математических наук А. Ю, Ольшанский
1702030000-025
р	053(02)-85 2—84
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 108&
ПРЕДИСЛОВИЕ
Выполнение тех или иных тождеств является одним из
наиболее существенных свойств алгебраических систем.
«Хотя тождества представляют собой простейшие замкну-
тые высказывания логического языка, язык тождеств
все же достаточно богатый, чтобы на нем можно было вы-
ражать многие тонкие свойства систем и их классов»
(А. И. Мальцев [80]). Алгебры Ли с тождествами являлись
предметом исследования уже в самом начале развития тео-
рии этих алгебр более ста лет тому назад. Значительная
часть обычно изучаемых классов алгебр Ли выделяется
по признаку выполнения (либо невыполнения) некоторых
тождеств. Таковы классы разрешимых, нильпотентных,
свободных алгебр и некоторые другие. Новейшие исследо-
вания показывают, что простые алгебры Ли над алгебраи-
чески замкнутым полем определяются своими тождества-
ми с точностью до изоморфизма. Многие из классических
теорем теории алгебр Ли могут быть сформулированы на
языке тождеств. Разумеется, в случае таких теорем, как
теорема Энгеля, Ли и других, подобная переформулировка
является в известной мере формальной. Однако логика
развития алгебры привела к задачам, в которых сущест-
венно именно наличие тождества в алгебре Ли. К числу
наиболее важных примеров следует отнести цикл работ
А. И. Кострикина [56—58] по проблеме Бернсайда, где
один из основных моментов — изучение колец Ли с тож-
деством эйгелевости.
Именно ко времени написания этих работ (середина
50-х — начало 60-х годов) следует отнести начало изуче-
ния тождеств в алгебрах Ли. Фундаментом многих рас-
смотрений становятся работы А. И. Ширшова, доказав-
шего теорему о свободности подалгебр в свободных алгеб-
рах Ли и давшего исключительно полезные конструкции
линейных базисов в свободных алгебрах Ли [119, 122,
123]. Л. А. Бокуть изучал полинильпотентные алгебры
Ли[ 21]. В. Н. Латышев ввел в рассмотрение стандартные
!♦
ПРЕДИСЛОВИЕ
4
тождества в алгебрах Ли и исследовал специальные ал-
гебры Ли [70, 71]. А. Л. Шмелькин применил методы тео-
рии алгебр Ли для изучения многообразий групп [126].
Важное тождество энгелевости изучали также П. Кон
[149] и П. Хиггинс [156].
Следующий этап в развитии теории тождеств в алгеб-
рах Ли — изучение систем тождеств вне зависимости от
их конкретного вида, а также изучение многообразий ал-
гебр Ли, т. е. классов алгебр Ли, определенных системами
тождеств,— начался в конце 60-х — начале 70-х годов.
Этот этап был в значительной мере подготовлен развити-
ем теории многообразий групп. Поэтому сначала теория
многообразий алгебр Ли как бы «догоняла» теорию много-
образий групп. Так появился пример многообразия алгебр
Ли без конечного базиса тождеств над полем характери-
стики 2, была доказана свободность полугруппы много-
образий алгебр Ли над бесконечным полем относительно
операции умножения, получены многие другие аналоги
теоретико-групповых результатов в случае бесконечного
поля [185, 93, 9, И, 12].
Довольно скоро, однако, выявилось значительное свое-
образие теории многообразий алгебр Ли. Например,
в отличие от многообразий групп, в случае конечного
поля операция умножения многообразий алгебр Ли уже
не обязана быть ассоциативной [12]. Произведение конеч-
но базируемых многообразий алгебр Ли над бесконечным
полем всегда конечно базируемо [12]. По-иному ведут себя
многообразия алгебр Ли и прц рассмотрении решеток их
подмногообразий [117], и при нахождении их базисного
и аксиоматического рангов [138]. Эти и ряд других ре-
зультатов привели к тому, что проблематика и методы те-
ории многообразий алгебр Ли приобрели достаточно от-
четливые очертания и интересную специфику.
Предлагаемая читателю книга посвящается современ-
ному состоянию теории алгебр Ли с тождествами и неко-
торым применениям этой теории. Книга построена с
таким расчетом, чтобы первые ее главы были доступны чи-
тателю, знакомому лишь с университетским курсом выс-
шей алгебры. По мере возрастания номеров глав требо-
вания к знаниям и математическим навыкам читателя
также возрастают.
Книга состоит из восьми глав. В первой мы приводим
основные определения и теоремы общей теории алгебр
Ли, необходимые в дальнейшем. Специфика нашего из-
ЙЁЁДЙСЛОВЙЁ
5
ложения состоит в том, что мы стараемся, где возможно,
рассматривать алгебры Ли над коммутативным кольцом,
а не над полем, как это принято в большинстве книг.
Во второй главе изучаются некоторые аспекты теории сво-
бодных алгебр Ли, в частности вопросы о базисах и
подалгебрах. Кратко освещается теория свободного про-
изведения и ограниченной свободной алгебры Ли. Здесь
же появляется основной персонаж книги — алгебры Ли
с тождествами. В третьей главе продолжается изучение
аппарата теории. Мы рассматриваем действие симметри-
ческой и полной линейной групп на неассоциативных мно-
гочленах. Результаты этой теории применяются в даль-
нейшем лишь в небольшом объеме, однако новейшие ис-
следования показывают перспективность изложенной
в этой главе техники.
Четвертая глава посвящена наиболее традиционным
разделам теории многообразий алгебр Ли. Мы излагаем
результаты о полиоднородных многообразиях, об опера-
циях на многообразиях, о таком важном инварианте
многообразий, как базисный ранг, о подалгебрах свобод-
ных алгебр многообразий. В одном из разделов рассмат-
ривается введенная А. Л. Шмелькиным важная опера-
ция сплетения алгебр Ли. Пятая глава посвящена проб-
леме конечной базируемости многообразий. В первых раз-
делах главы вводится, изучается и применяется идущая
от Г. Хигмана техника вполне частично упорядоченных
множеств. Затем приводятся примеры многообразий и
алгебр Ли, не допускающих конечного базиса тождеств.
Наконец, описываются методы, с помощью которых в по-
следнее время доказана конечная базируемость тождеств,
конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем хара-
ктеристики нуль, а также любой алгебры, удовлетворяю-
щей всем тождествам алгебры матриц второго порядка
над полем характеристики нуль.
Шестая глава посвящена теории специальных алгебр
Ли — подалгебр ассоциативных алгебр с тождеством —
обширного класса алгебр Ли с тождествами, наследую-
щего, впрочем, многие свойства класса конечномерных
алгебр Ли. Мы детально изучаем тождества и структуру
таких алгебр, изучаем алгебры Ли, универсальная обер-
тывающая которых является ассоциативной алгеброй
с тождеством, наконец, применяем эти результаты к опи-
санию алгебр Ли, все неприводимые представления ко-
торых имеют конечную ограниченную степень.
6
ЙГЙДЙСЙОВЙЕ
В седьмой главе изучаются тождества конечных ко-
лец Ли и приводится решение проблемы А. И. Мальце-
ва о конечной базируемости их тождеств. Развитая при
этом техника дает возможность эффективно исследовать
различные вопросы, касающиеся тождеств в локально
конечных многообразиях алгебр Ли. Методы этой главы
нашли применение и при изучении других многообразий
неассоциативных алгебр.
Восьмая глава посвящена приложениям к теории
групп. Мы излагаем классические методы Ф. Холла,
В. Магнуса, Э. Витта, А. И. Мальцева, касающиеся
связей между свободными и нильпотентными группами
и алгебрами Ли. Изложена теория соответствия между
многообразиями групп и алгебр Ли и ее применения к изу-
чению свободных групп произведений многообразий.
Дается одно приложение оригинального метода Ю. П. Раз-
мыслова для решения различных задач теории много-
образий.
Отметим, что в данной книге охвачен не весь материал,
имеющийся в рассматриваемой области. Например, пра-
ктически за пределами книги остались важные резуль-
таты по проблеме энгелевости. Эта тема, как мы считаем,
заслуживает отдельной книги> Следует также отметить,
что некоторые аспекты теории алгебр Ли с тождествами
затрагивались в книге Р. Амайо и Я. Стьюарта [130],
а также в книге» автора [136], вышедшей на айглийском
языке. В настоящей книге мы существенно использовали
материал из [136]. В книге использовались научные
результаты многих авторов, однако имена А. Ю. Оль-
шанского, Ю. П. Размыслова и А. Л. Шмелькина следу-
ет выделить особо. Автор сердечно им благодарен.' Ав-
тор от души благодарит также коллектив кафедры выс-
шей алгебры Московского университета, с которой он
связан уже двадцать лет, сначала как студент и аспирант,
а затем как сотрудник. Автор искренне благодарен
М. В. Зайцеву, А. Ю. Ольшанскому и Ю. П. Размысло-
ву, внимательно прочитавшим отдельные части рукопи-
си этой кйиги.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
1.1. Основные определения
1.1.0. Кольца, модули, алгебры. Мы предполагаем,
что читатель знаком с основными определениями и стан-
дартными теоремами о главных алгебраических объек-
тах — группах, кольцах,модулях [59, 69, 73, 107, 108].
Отметим лишь, что мы не включаем в определение коль-
ца аксиому ассоциативности. Таким образом, кольцо R —
это непустое множество с операциями сложения и умно-
жения, причем относительно сложения R — абелева
группа, и обе операции связаны законами дистрибутив-
ности
х (у -Р z) = ху + xz, (x + y)z = xz + yz,
где х, у, z — произвольные элементы из R. Напротив, мы
несколько сужаем понятие модуля, рассматривая лишь
унитальные модули над кольцами с единицей. Таким об-
разом, левый (унитальный) модуль М над ассоциативным
кольцом Л с единицей 1 — это абелева группа, в которой
для любых % е Л и х ее М определен элемент Хх ЕЕ М,
причем выполняются законы
(X + р)х = Хх + (Хр)х= Х(рх),
X (х + у) = Хх + Ху, 1х = х,
где X, ц — произвольные элементы из Л, х, у — произвола
ные элементы из R. Кольцо R с дополнительной структу-
рой левого модуля над ассоциативно-коммутативным коль-
цом Л называется алгеброй над Л (или N-алгеброи), если
для любого X Е Л и любых х, у ЕЕ R
X (ху) = (Хх) у = х (Ху).
Все основные определения и теоремы теории колец допус-
кают очевидную переформулировку на языке алгебр. На-
пример, подалгебра S алгебры R над кольцом Л — это
подкольцо в Я, являющееся одновременно Л-подмодулем,
8	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
Понятие гомоморфизма алгебр определяется для алгебр
над фиксированным кольцом Л как гомоморфизм колец,
являющийся одновременно гомоморфизмом Л-модулей.
Если X — подмножество в алгебре R, то alg (X) — это
подалгебра, порожденная множеством X, a idR (X) — идеал
алгебры Д, порожденный этим множеством как идеал.
Если X == {ж}, пишем alg (х), idR (х). Приведем формули-
ровки двух шаблонных теорем, в которых приняты сле-
дующие обозначения. Если 2?х, Я2 — две Л-алгебры, то
Ri = Д2 означает, что Rr и Д2 изоморфны как Л-алгебры;
если S, Т — подмодули в Л-алгебре Я, то S + Т обозна-
чает Л-подмодуль в Я, состоящий из всех элементов вида
Теорема о гомоморфизме. Пусть <р —
сюръективный гомоморфизм А-алгебры Ri на А-алгебру
R2. Тогда ядро Кег <р этого гомоморфизма — идеал в Ry
и -flj/Ker ф R2.
Теорема об изоморфизмах. Пусть R —
некоторая А-алгебра, S, Т — ее идеалы и U — ее под-
алгебра.
1) Если S ZD Т, то SIT — идеал в факторалгебре
RIT и (R/T)/(S/T) R/S.
2) Пересечение S П U — идеал в U, сумма U + S —
подалгебра в R и Ut (S П U) (U + S)/S.
1.1.1.	Тождество антикоммутативности. Кольцо R
называется антиком му тативным, если квадрат любого
элемента из R равен нулю. Если я, у — произвольные эле-
менты такого кольца, то
О = (ж + у)2 = х2 + ху + ух + у2 = ху + ух.
Таким образом, в антикоммутативном кольце наряду с оп-
ределяющим его тождеством
я2 = 0	(1)
всегда выполняется тождество
ху = — ух.	(2)
Несложные примеры показывают, что тождество (1) не
является следствием тождества (2). Иными словами, су-
ществует кольцо 5, в котором для любых х, у (= S выпол-
няется (2), но для некоторого х ЕЕ S не выполняется (1) (см.
упражнение 1.12.1).
1.1.2.	Тождество Якоби. Кольцо Ли. Допустим, что
в некотором кольце R для любых трех элементов х, у, z
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
9
справедливо соотношение
я (yz) + у (zx) + z (ху) = 0.	(3)
В этом случае мы скажем, что в R выполняется тождество
Якоби. Левая часть равенства (3) называется якобианом
элементов х. у, z и обозначается J (ж, у. z).
Антик оммутативное кольцо, в котором выполняется
тождество Якоби, называется кольцом Ли. Если кольцо
Ли является алгеброй над коммутативным кольцом А, то
мы говорим, что дана алгебра Ли над А, или А-алгебра Ли.
1.1.3.	Другие классы колец. Кольцо R с тождеством
ассоциативности х (yz) = (xy)z. х. у, z ЕЕ R, называется
ассоциативным. Альтернативное кольцо R — это такое
кольцо, в котором любые два элемента порождают ассо-
циативное подкольцо. Коммутативное кольцо R — это
кольцо с тождеством ху = ух. х. yE^R. Коммутативное
кольцо R с тождеством (х*у)х = х2 (ух). х. у ЕЕ R назы-
вается йордановым кольцом.
1.1.4.	Правонормированнре произведение. Пусть R —
некоторое, не обязательно ассоциативное, кольцо, хг.
я2, . . ., xnEER. Определим правонормированное произве-
дение ххх2 . . . хп индукцией по п. полагая хгх2 . . . хп~
= х±(х2 . . . хп) при п 1. При п = 1 имеем просто хг.
Более того, полагаем х . . . ху = хту.
т
1.1.5.	Дифференцирование. Пусть R — некоторая А-
алгебра. Эндоморфизм S A-модуля R называется дифферен-
цированием алгебры R. если для любых х. у €= R справед-
ливо равенство
. S (ху) = 6 (ж) у + х8 (у).
1.1.6.	Расширение основного кольца. Пусть М — не-
которое коммутативное кольцо, содержащее А в каче-
стве подкольца, и единица в М та же, что и в А. Если R —
некоторая А-алгебра, то Rm = М 0д R — алгебра над
кольцом М. Говорят, что Rm получается из R расширением
основного кольца. В случае, если R — свободный А-мо-
дуль с базисом {еа | а Е /}, Rm — свободный М-модуль
С базисом {1 0 £а|а €= I}- Если^а^ = ЗсаЗ^> соф СЕ А, то
Y
(1 0 еа)(1 0 ер) = S сХр (1 ® ev).
Y
Так обстоит дело, например, в случае, когда А —г поле.
1.1.7.	Конечномерные алгебры. Пусть Я — некоторая
А-алгебра. Допустим, что A-модуль R имеет конечное
10	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
число порождающих, т. е. существует ех, . . гпё= R ta-
кие, что любой элемент х ЕЕ R имеет представление
х — Xitfi + • • • + ^пеп
при некоторых Хх, . .., Хп ЕЕ А. Тогда R называется ко-
нечномерной А-алгеброй. Более ограничительным является
требование конечной длины. Именно, допустим, что А-мо-
дуль R обладает неуплотняемым рядом
{0} = Ro CZ Я1 (Z . . . СЕ Rs = R
A-подмодулей, в котором Ri-x^Ri для любого i = 15
2, . . ., 5. Тогда 5 не зависит от выбора конкретного ряда
и называется длиной A-модуля R. Алгебра R над кольцом
А, имеющая конечную длину как A-модуль, называется
алгеброй конечной длины s. Мы пишем $ = /д (2?). Если
S — подалгебра в алгебре R конечной длины, то
1л (R) = Ia (S) + ZA (R/S).
Это соотношение позволяет при доказательстве теорем об
алгебрах конечной длины вести индукцию по длине ал-
гебры. Заметим, что в случае, когда А — поле, длина
алгебры — это ее размерность над А. Доказательства всех
утверждений данного пункта можно найти в ([73, стр. 125]).
1.2. Примеры алгебр Ли
1.2.1.	Алгебра Ли ассоциативной алгебры. Пусть А —
ассоциативная А-алгебра. Для любых ж, у £Е А положим
[ж, у] = ху — ух.
Полученный элемент алгебры А называется коммутатором
элементов хъу. Обозначим через [А] множество А с опс
рациями сложения и коммутирования. Покажем, что [А ] —
алгебра Ли. Во-первых, + и [ , ] связаны законами дис-
трибутивности. Действительно, если ж, у, ZE [А], то
[ж, (у + z)] = X (у + z) — (у + z) X = ху + XZ —
— ух —• ZX = {ху — ух) + {xz — zx) = [ж, у] + [х, z].
Аналогично, [(я + у), z] = [ж, z] + [у, z]. Если х €Е [А],
то [ж, х] = хх — хх = 0. Значит, [А] антикоммутативна.
Вычислим якобиан J (ж, у, z) относительно операции
[ , ] . Имеем
[ж, [у, z]] = [ж, yz — zy] = xyz — xzy — yzx + zyx.
1.2. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ЛИ
11
Совершая циклическую перестановку, получим
[у, к, хИ = yzx — yxz — zxy + %zy,
[z, [я, у]] = zxy — zyx — xyz + yxz.
Суммируем левые и правые части полученных равенств;
это дает J (ж, у, z) = 0. Наконец, если % А, я, у ЕЕ [А],
то
% [ж, у] = % (ху — ух) = (Кх) у — у (Кх) = [(Хж), у].
Аналогично, X [ж, у] = [ж, Ку]. Таким образом, [А] —
действительно алгебра Ли над кольцом А. Правонорми-
рованное произведение в кольце Ли [А ] будет называться
правонормированным коммутатором и записываться в ви-
де [я?!, ж2, . . ., яп], где хъ х2, . . хп е А. Мы будем пи-
сать также U, у] = [пя, у].
п
1.2.2.	Алгебра Ли эндоморфизмов A-модуля. Пусть
М — произвольный A-модуль. Символом Епс1д Ммы бу-
дем обозначать (ассоциативную) алгебру всех гомоморфиз-
мов A-модуля М в себя (иначе: А-эндоморфизмов). Если
ф, ф — два таких эндоморфизма, ЕЯ, К А, то, по
определению,
(<Р + ф) (х) = ф (х) + 4? (х),
(«ИО (х) = ф (4> (х)),
(Хф) (х) = %ф (х).
Алгебру Ли [Еп(1д М] ассоциативной алгебры Епйд М
принято обозначать gl (М, А). Если М— конечномерное
векторное пространство над полем А с базисом % =
= {ех, е2, . . еп}, то каждому эндоморфизму ср однознач-
но сопоставляется матрица Аф оператора <р в базисе %.
Отображение ф является изоморфизмом ассоциатив-
ной алгебры ЕпЦд М и алгебры Ап квадратных матриц
порядка п с коэффициентами из А относительно обычных
операций сложения и умножения матриц. Алгебра Ли
[Ап] обозначается через gl (п, А). Поскольку отображение^
Ф Аф, очевидно, сохраняет коммутатор двух элементов/
имеем изоморфизм алгебр Ли:
gl(M, A)^gl (n, A).
Важным примером алгебр Ли является алгебра Ли
si (и, А), состоящая из матриц X с нулевым следом. То,
что это множество замкнуто относительно операции комму-
12
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
тирования, вытекает из легко проверяемого равенства
tr (ХУ) = tr (УХ)
и очевидной линейности функции tr (след). Напомним, что
если X = (хц), 1	7 и, то
tr X = хн-
i=l
Другой пример — алгебра Ли so (п, А) кососиммет-
рических матриц порядка п над А, т. е. матриц X таких,
что X* = — X, где * обозначает переход к транспони-
рованной матрице. Действительно, по известным свойст-
вам операции транспонирования имеем
[X, У]* = (ХУ - УХ)* = (ХУ)* - (УХ)* =
= у*х* - Х*У* = УХ - ХУ = - [ХУ].
1.2.3.	Алгебра Ли дифференцирований. Пусть R —
некоторая алгебра над кольцом А. Обозначим через
Вегд(2?) подмножество в gl (R, А), состоящее из всех
дифференцирований алгебры R. Проверим, что ВегА(Д)—
подалгебра в gl (R, А). Пусть Д, 62 ЕЕ ВегАТ?,
^i, ж2е R, тогда [Sb S2] te#2) = («Д — 6Д) (xrx2) =
= Si (62 (жх) x2 + я Д (x2)) — 62 Д (xx) x2 + яД (x2)) =
= 6Д te) + 82 te) Site) + fii te) 82 te) + яДб2 te) —
— 6Д (xjx2 — 6X (х±) S2 (x2) — 62 (xt) 6X (x2) — Я16Д te)-
Приводя подобные члены, используя законы дистри-
бутивности и определение коммутатора, получим
Д, S2] (х±х2) = [6Х, S2] Д) х2 + х± [Sb 62] te).
Отсюда видно, что [61? б2]еЕВегАЯ. Очевидно также, что
BerA R является A-подмодулем в gl (R, А). Таким образом,
ВегАД— алгебра Ли. Она называется алгеброй Ли диф-
ференцирований Х-алгебры R. Важный частный случай —-
алгебра Ли Wn (А) дифференцирований кольца многочле-
нов A te> ^2» • • •» над полем А. Всякий элемент ал-
гебры Wn может быть записан в виде
6="Д’ +	+ • • • +•
где /х, /2, . . ., /п — некоторые многочлены от хг, я2, . . .
. . ., хп (образы элементов Xi при 6), а	•	•
д*	12
...»	---обычные частные производные,
п
i \
1.3. АЛГЕБРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ АЛГЕБРЫ ЛИ. ЦЕНТР 13
1.3. Алгебра дифференцировании алгебры Ли. Центр
1.3.1. Внутреннее дифференцирование. Пусть L —
некоторая алгебра Ли над кольцом Л, xEEL. Символом
ad х мы будем обозначать эндоморфизм Л-модуля L,
j значение которого на элементе у ЕЕ L определяется пра-
вилом
'	ad ж (у) = ху.
Проверим; что ad х — дифференцирование. Так как L
антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби
i J (^» Уч 2) = 0, получаем
1 ad х (yz) = х (yz) = — у (zx) — z (ху) =
= У (xz) + (xy) z = ad x (y) z + у ad x (z).
.	г
Дифференцирование ad x называется внутренним диффе-
ренцированием, определенным элементом х. Совокупность
1 всех внутренних дифференцирований алгебры L — тмгрг
множество ad L в алгебре Ли Оегд£ всех дифференциро-
ваний этой алгебры. Имеется естественное отображение
ad: L ->Der L, которое сопоставляет каждому элементу
х L определенное этим элементом внутреннее диффе-
ренцирование ad х.
1	.3.2. Теорема. Отображение ad: L -> Der L —
j гомоморфизм алгебр Ли. Образ ad L алгебры Ли L при этом
отображении — идеал в Der L.
Доказательство. То, цто ad — гомоморфизм
Л-модулей, очевидно. Проверим сохранение операции.
Пусть х, у, z е L. Тогда
I ad (ху) (г) =
=	(ху) z = — z (ху) = х (yz) + у (zx) = х (yz) — y(xz) =
= ad x ad у (z) — ad у ad x (z) = [ad x, ad y] (z).
Таким образом, ad (xy) = [ad x, ad у]. Значит, отобра-
жение ad — гомоморфизм алгебр Ли.
Докажем теперь, что ad L — идеал в Der L. Для этого
* вычислим [8, ad х], где 8 ЕЕ Der L,x Е L. Для произволь-
ного у ЕЕ L получаем
[6, ad х] (у) = (8 ad х — ad х 8) (у) =
=	8 (ху) — ad х (6 (у)) = (8(х)) (у) + х (6 (у)) — х (6 (у)) =
1	= (б (х))у = ad 6 (х) (у).
14	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
Таким образом, [б, ad ж] = ad б (х) е ad L. Значит,
ad L — идеал в Der L. Теорема доказана.
1.3.3. Центр алгебры Ли. Пусть L — некоторая А-
алгебра Ли. Множество Z (L) элементов ze£, таких, что
для любого х S L выполняется xz = 0, называется цент-
ром алгебры Ли L.
Следствие теоремы 1.3.2. Центр алгебры
Ли — идеал этой алгебры.
Доказательство. Непосредственно из опре-
деления центра и отображения ad следует, что для любой
алгебры Ли L имеем Z (L) = Ker ad. По теореме о гомо-
морфизме из 1.1.0 ядро гомоморфизма алгебр — идеал.
Следствий доказано.
Заметим также, что,.согласно теореме о гомоморфизме,
L/Z(L)^adL.
Важный вывод получается в случае, когда центр алгебры
Ли L равен нулю. В этом случае алгебра L изоморфна под-
алгебре алгебры вида [А], где А — некоторая ассоциа-
тивная алгебра (см. 1.2.1). Позднее мы увидим, что ана-
логичный факт имеет место для любых алгебр Ли, свобод-
ных над основным кольцом Л (см. 2.5.3). Алгебра Ли
называется абелевой, если она совпадает со своим центром.
В этом случае ху = 0 для любых х, у L.
1.4. Полупрямое произведение
1.4.1. Декартово произведение колец. Пусть (7?a)aei —
некоторое семейство алгебр над одним и тем же коль-
цом А. Декартово произведение
a=I
— это 1 алгебра, элементами которой является множество
функций /: / -> U Ra таких, что / (a) е= Ra.- Это множе-
ство превращается в А-алгебру, если для X е А, /, g ЕЕ R
мы определим функции X/, f + g, /g, полагая
(V) (a) = X/ (a), ,
(/ + §)(“) = / (a) + g (a),
(fg) (a) = f (<*) g (a),
где a — произвольный элемент множества индексов I.
Легко проверить, что при таком определении выполнены
1.4. ПОЛУПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
15
все аксиомы А-алгебры. Более того, декартово произведе-
ние колец с любым из свойств, упомянутых в пп. 1.1.1—
1.1.3, само обладает этим свойством. В частности, декар-
тово произведение Л-алгебр Ли само является алгеброй
Ли над Л. .
Гомоморфизм ла: R-*+Ra такой, что ла (/) = / (а),
называется проекцией алгебры R на компоненту Ra.
Подалгебра S декартова произведения R называется под-
декартовым произведением в Л, если для любого а ЕЕ /
имеем зха (5) = Яа*
1.4.2. Прямое произведение. Сохраним обозначения из
1.4.1. Пусть / ЕЕ R- Носителем supp / функции f назы-
вается множество элементов аЕ I таких, что / (а) Ф 0.
Подмножество S декартова произведения R семейства
Л-алгебр (7?а)аеь состоящее из функций / с конечным но-
сителем, является подалгеброй и называется прямым
произведением этого семейства алгебр. Прямое произведе-
ние обозначается так:
?= П R«-
ael
В случае, когда множество индексов I конечно, скажем,
/ = {1, 2, ..., п}, понятия декартова произведения и
прямого произведения‘совпадают, и мы пишем
R = П R>=Ri х Я2 х ... х Rn.
tel
Удобно представлять себе элементы из Я в виде векторов
с п компонентами (гх, г2, . . ., гп), где гг ЕЕ 2?<, i = 1,
2, . . ., п. Операции над векторами определены покомпо-
нентно. Аналогично понятию поддекартова произведения
определяется понятие подпрямого произведения.
1.4.3. Прямая сумма. Пусть S — некоторая алгебра и
S2, • • •» Sn — ее идеалы. Мы скажем, что S — прямая
сумма ненулевых идеалов *S2, . .., 5Л, если любой эле-
мент х из S допускает ровно одно представление в виде
х =	+ х2 + . . . + жп,	(1)
где Xt ЕЕ i = l,2, . . ., п. В этом случае мы пишем
5 =	® 52 ® ... • ® Sn. Если у — другой элемент из
S и
У = У1 + У2 + • • • + Уп
- — его представление, то
%У = *1У1 + Х2у2 + . . . + Хпуп	(2)
16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР Ли
— представление для элемента ху, а
\х = кхг + Хх2 + . . • + Ххп
— представление для элемента Хх, X ЕЕ А. Действитель-
но, если i ], то элемент xiyj лежит как в так и в Sj.
Из единственности представления (1) следует, что St р| Sj ==
= {0}. Значит, Xiyj = 0. Теперь
ху = {хх + х2 + ... + хп)(у! + у2 + ... + уп) =
= Х1У1 + Х2у2 + . . . + хпуп + 5 ХЩ = Х1У! + .. . + хпуп.
г^з
Поскольку Xiyi Е мы видим, что (2) — искомое пред-
ставление для ху. Проведенное рассуждение показывает,
что, сопоставляя элементу ($х, $2, . . ., $п) прямого произ-
ведения Si X S2 X . . . X Sn алгебр S2, . . ., Sn эле-
мент х =	+ . . . + прямой суммы S = Sx ф
ф S2 ф . . . ф Sn идеалов St, S2, . . ., Sn, мы получаем
изоморфизм этих алгебр
X S2 X ... X Sn = Sx ф S2 ф . . . ф Sn.
1.4.4. Определение полунрямого произведения алгебр
Ли. Пусть L и М -— две алгебры Ли над кольцом Л. До-
пустим, что <р — гомоморфизм алгебры Ли L в алгебру диф-
ференцирований ПегдМ алгебры М. Превратим множе-
ство N пар (х, ?/), х Е А, Е М, в алгебру, полагая
У1) +(«2» Ул) = (*i + У1 + Уг),
X (х, у) = (кх, Ху),
(«I» У1) («2» Ул) = («А, <Р (*1) (.Ул) — <Р М (»1) + У1Ул)- (3)
Понятно, что N будет A-модулем. Очевидно, что операция
умножения антикоммутативна. Проверим справедливость
тождества Якоби. Заметим, что якобиан — полилиней-
ная кососимметрическая функция своих аргументов. Бо-
лее того, (х, у) = (х, 0) + (0, у). Значит, равенство
J (u, р, w) = 0 достаточно проверить лишь в четырех
случаях:
(i)	и =	(хх,	0),	v	=	(х2, 0),	w	=	(х3, 0);
(и)	и =	(хх,	О),	v	=	(х2, 0),	w	=	(0,	у);
(iii)	и =	(х,	0),	v	=	(0, yj,	w	=	(0,	у2)\
(iv)	и =	(0, i/J,	v	=	(0, у2),	w	=	(0,	Уз).
В случае (i) J (и, у, w) = (J (х1? х2, х3), 0) = 0, так как
L — алгебра Ли. Аналогично, в случае (iv) J (и, v, w) =
= (0, J (ух, у2, уз)) = 0, так как М — алгебра Ли.
1.4. ПОЛУПРЯМОЙ ПРОИЗВЕДЕНИЙ
17
Случай (И). Имеем
и (vw) = (жх, 0)((ж2, 0) (О, у)) =t
= (хх, 0) (0, ф (ж2) (у)) = (0, ф (жх) ф (ж2) (у)),
v (wu) = (ж2, 0) ((0, у) (хи 0)) = (ж2, 0) (0, — ф («1) (у))=
.= (0, — ф (ж2) ф (xl) (у)),
w (uv) = (0, у) ((xlt 0) (ж2, 0)) = (0, у) (жхж2, 0) =
= (0, — ф (жхж2) (у)).
Таким образом,
J (и, у, w) =
= (0, ф (Жх) ф (ж2)(у) — ф (ж2) ф (Xj) (у) — ф (XjX2) (у)) =
= (0, ([ф (Xj), ф (ж2)1 — ф (хъ ж2)) (у)) = 0.
Справедливость последнего равенства вытекает из того,
что <р — гомоморфизм алгебр Ли и, значит,
ф (жхЖ2) = [ф (хх), ф (ж2)].
Случай (iii). Имеем
и (vw) = (х, 0) ((0, ух) (0, у2)) =
= (х, 0) (0, угу2) = (0, ф (х) (уху2)),
v (wu) = (0, ух) ((0, y2)'t(x, 0)) =
= (0, У1) (0, — ф (х) (у2)) = (0, — г/хф (х) (у2)),
w (uv) = (0, у2) ((ж, 0) (0, yj) =
= (0, у2) (0, Ф(ж)(г/х)) = (0, у2 (ф(ж)(ух)).
Таким образом,
J (и, v, w) —
= (0, ф (ж) (Рху2) — Ух (ф (ж) (у2)) + у2 (ф (ж) (Ух))) =
= (о, ф (ж) (У1У2) — Ух (ф (ж) (у2)) — (ф (ж) (Ух))у2) = 0.
Справедливость последнего равенства вытекает из того,
что для любого х L эндоморфизм <р (х) — дифференци-
рование алгебры М.
Итак, N — алгебра Ли над Л, называемая полупрямым
произведением алгебры Ли L на алгебру ЛиМ, отвечающим
гомоморфизму ф. Будем обозначать полученную алгебру
символом L Хф М или просто L X М, если ф известен.
Если ф — нулевое отображение, то получаем прямое про-
изведение алгебр LnM.
1.4.5. Расщепляемое расширение алгебр. Алгебра R
над кольцом А называется расширением алгебры S при
18
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЙЮ АЛГЕВР ЛИ
помощи алгебры Г, если в R имеется идеал S', такой, что
S » S' и R/S( = Т. Расширение R называется расщеп-
ляемым, если в R имеется подалгебра Т' такая, что Т' Q
Q 5' = {0} и R = Т' ф S". Ясно, что в этом случае
Т' Т. Действительно, по второй теореме об изоморфиз-
ме (см. 1.1.0)
Т R/S' = Г © S'/S'	ГIV П S' = Г/{0} = Г.
Заметим, что если алгебра Ли R является расщепляе-
мым расширением алгебры Ли S при помощи алгебры
Ли Т, то при подходящем гомоморфизме ф: Т —>DerAS
R^T Хф*5.
В самом деле, отождествим S и S", Г и Т' с помощью упо-
мянутых выше изоморфизмов. Тогда R = Т ф S. Для
любого х €= Т обозначим через <р (х) ограничение на идеал
S внутреннего дифференцирования ad х алгебры R.
Поскольку отображение ad — гомоморфизм, то же
самое можно сказать и о <р. Вычислим произведение
(#1 + У1) te + Уа) ДВУХ произвольных элементов из R:
te + У1) te + Уг) =	+ У1У2 =
= xrx2 + ad^ (у2) — adx2 (уг) + угу2 =
= хгх2 + <р te) (У2) “ <Р fe) (У1) + У1У2-
Проведенное вычисление доказывает, что отображение
(х, у) х +у из Т Хф S в R сохраняет операцию умно-
жения в этих алгебрах Ли. Поскольку сохранение суммы,
произведения на элемент из Л и биективность очевидны,
мы получаем искомый изоморфизм:
•
1.5.	Ряды идеалов в алгебрах Ли
1.5.1.	Произведение идеалов. Если R — некоторая А-
алгебра, S и Т — два ее подмножества, то произведение
ST определяется как A-подмодуль, порожденный всеми
произведениями вида ху, где х е S, у ЕЕ Т. В случае,
когда R — алгебра Ли или ассоциативная алгебра, произ-
ведение ST идеалов 5*и Т само является идеалом. Дей-
ствительно, любой элемент г из ST представим в виде
Г = «1У1 + . . . + Хтуп, где Xi е s, Vi е Т, i = 1, . . .
. . ., m, m — некоторое натуральное число. Поэтому до-
статочно показать, что для любых и ЕЕ R, х ЕЕ S, у ЕЕ Т
имеем и (ху), (ху) и ЕЕ ST. В случае ассоциативной алгеб-
ры эти произведения равны (их) у и х (уи) соответственно
(.5. РЯДЫ ИДЕАЛОВ В АЛГЕБРАХ ЛИ
19
и остается вспомнить, что S и Т — идеалы. В случае ал-
гебры Ли
—(ху) и = и (ху) = — х (уи) — у (их) = ху' + х'у,
где х = их ЕЕ S, у’ = — уи ЕЕ Т. Заметим, что для ал-
гебр Ли верно ST = TS.
1.5.2.	Нижний центральный ряд. Пусть L — алгебра
Ли над кольцом Л. Определим L", п = 1, 2, . . ., по индук-
ции, полагая L1 = L и Ln+1 — LnL. Согласно 1.5.1 мы
получим убывающий ряд идеалов алгебры
, L = L1 =?Z2 =? . . . =>Ln => Ln+1 => . . .
Он называется нижним центральным рядом алгебры L.
Этот ряд — частный случай убывающих центральных ря-
дов, которые определяются следующим образом. Ряд
Z/ = Zq =? Л2 — • • • ~	— bn+i =2 . . .
идеалов алгебры Ли L называется убывающим централь-
ным, если для любого натурального п 1 идеал LnILn^
алгебры ЫЬп+х лежит в центре этой алгебры. Это условие
эквивалентно тому, что LLn с Ln+1, п = 1, 2, . . . Ниж-
ний центральный ряд, очевидно, централен и обладает тем
свойством, что для любого убывающего центрального ряда
(Z/n)n>i имеем Ln э Ln. Действительно, Lt = L1, а
если Ln Ln, то Ln+1 LLn з LLn = Ln+1, что при
индукции доказывает наше утверждение.
1.5.3.	Ряд коммутантов. Путь снова L — алгебра Ли
над кольцом А. Определим Z/n), п = 0, 1, 2, . . ., по ин-
дукции, полагая = L и Z/<n+1> = IW Ип\ Согласно
1.5.1 мы получим убывающий ряд идеалов алгебры L
L ±= £(о) L(D ^ . . . => 2»	£(п+1) => . . .
Он называется рядом коммутантов алгебры L. Первый
коммутант IA1) называется просто коммутантом алгебры L.
Понятно, что L2 = Если L2 = {0}, то произведение
любых двух элементов алгебры L равно нулю, т. е. ал-
гебра Ли L является абелевой (см. 1.3.3), Ряд коммутан-
тов является разрешимым в следующем смысле. Пусть
L = Li э . . . =2 Ln ==> Zn+i ^2 . . .
— некоторый ряд идеалов алгебры Ли L такой, что
LnlLn+! — абелев идеал алгебры L/Ln+1 (это условие эк-
вивалентно тому, что LnLn cz Zn+1). Тогда этот ряд назы-
вается разрешимым. Понятно, что ряд коммутантов раз-
решимый, и если (£п)п>о — некоторый разрешимый ряд,
то Ln =2 L(n) для любого п > 0.
20
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
1.5.4.	Централизатор. Пусть L — алгебра Ли над
кольцом A, S, Т — два непустых подмножества в L.
Определим централизатор Cl (S, Т) как А-подмодуль
в L, порожденный всеми элементами х ЕЕ L такими, что
xS cz Т. Заметим, что если S, Т — идеалы в L, то Cl (S.T) —
тоже идеал в L, содержащий идеал Т. Действительно,
пусть sx £= Т для любого 5 е S. Тогда для любого^ £= L
имеем
5 (ху) = (sx) у + х (sy) = ty + xs' Т.
Здесь s' — sy — элемент из 5, так как S — идеал в L.
Далее, ty ЕЕ Т, так как Т — идеал в L и xs 9 ЕЕ Г, так как
х ge Cl (S, Т). Если Т — идеал, то аналогично проверяется,
что Cl(S> Т)— подалгебра в L. Если Т = {0}, то Cl (S,
Т) обозначается через Cl (S) и называется просто центра-
лизатором подмножества S в алгебре L. Если S = L,
то Cl (S) — это центр алгебры L (см. 1.3.3). Таким обра-
зом, CL (L) = Z (L).
Пред л ожени е. Допустим, что S, Т — идеалы
алгебры Ли L такие, что /д (SIT) = п. Тогда
1а (L!Cl(S, Т)) < п*.
Доказательство. Пусть EndA (S/T) — ал-
гебра А-эндоморфизмов А-модуля S/Т. Отображение
ad: х ad х индуцирует гомоморфизм (р: L ->№nAx(SIT)
такой, что для любого s ЕЕ S имеем
Ф (х) (s + Т) = xs 4- Т.
Ядром этого гомоморфизма является Cl (S, Т). Поэтому
LICl (S, Т) изоморфно A-подмодулю в Е = EndA (5, Т).
Остается показать, что I (Е)	п2. Удобнее для любых А-
модулей М, N длин т, п показать, что A-модуль Н =
— Нотд (М, N) гомоморфизмов из М в N имеет длину,
не большую чем тп. В самом деле, если т = п = 1,
то Н = М, если М ~ N, и Н = {0} в противном случае
(лемма Шура). Далее применим индукцию сначала по
длине модуля N, а затем по длине модуля М следующим
образом. Если Nr — подмодуль в N, то сопоставим гомо-
морфизму f ЕЕ Н гомоморфизм / ЕЕ Hom (М, N/NJ, та-
кой, что J (т) = / (т) + Nt. Получим гомоморфизм
а: Н ->Hbm (М, N/N^, ядром которого является
Hom (М, N^. Тогда
I (Н) <7 (Нот (М, Nr)) + I (Нот (М, N!Nr)).
1.6. МОДУЛИ
21
Далее, если Мг — подмодуль в М, то строим гомоморфизм
из Н в Нот (Ми N),.полагая образ гомоморфизма / е= Н
равным его сужению J на Мг. Ядро этого гомоморфизма
естественным образом отождествляется с подмодулем
в Нот (М1МЪ N), и применимо предположение индукции.
Из проведенного индуктивного процесса теперь видно,
что ZA (Н) тп. Предложение доказано.
1.5.5. Верхний центральный ряд. Определим возра-
стающий ряд идеалов Zn (L), п = 0, 1, 2, . . ., полагая
Zo (L) = {0} и Zn+1 (L) = С (L, Zn (L)). Согласно заме-
чанию в 1.5.4 для любого w > 0 Zn (L) — идеал в L и
Zx (L) = Z (L) есть центр алгебры L. Ряд идеалов
{0} = Zo (L) cZx(L)c . . .cZn (L) cZn+1 (L) S . . .
называется верхним центральным рядом алгебры Ли L.
Этот ряд является частным случаем возрастающего цент-
рального ряда, т. е. ряда
{0} = Lq о Li с . . . с Ln с Ln+1 с . . .
такого, что Lnvl/Ln лежит в центре алгебры L!Ln, п = 0,
1,2,... Более того, для любого возрастающего централь-
ного ряда (Z/n)n>o имеем Ln cz Zn (L). Действительно,
Lo — Zo (Z-f), и если	(— Zn (Zv), то cz Ln c__ Zn
следовательно, Ln+1 cz C (Zn (L), L) = Zn+1 (L).
1.6.	Модуля
1.6.1.	Представление алгебры Ли. Пусть L — алгебра
Ли над кольцом A, V — некоторый A-модуль. Рассмот-
рим ассоциативную алгебру Епс1д V всех эндоморфизмов
модуля V и соответствующую ей алгебру Ли gl (7) =
= gl (7, А) (см. 1.2.2). Любой гомоморфизм алгебр Ли
р: L -+gl (7) называется представлением алгебры Ли L
эндоморфизмами модуля 7.' Если ядро Кег р отображения р
равно нулю, то представление р называется точным. Ото-
бражение ad: L ->Der (L) cz gl (L) является гомоморфиз-
мом (см. 1.3.2), и ядром его является центр алгебры L.
Полученное таким образом представление называется
присоединенным представлением. Присоединенное* пред-
ставление является точным тогда и только тогда, когда
центр алгебры равен нулю.
Если р — представление А-алгебры L в А-модуле 7
и W — такой A-подмодуль в 7, что р (L) W cz Р7, то ото-
бражение ограничения р |ур: х р (х) |w задает представ-
22	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
ление о алгебры L в A-модуле W. Оно называется под-
представлением представления р. Можно определить
и представление т = p/о: L —> gl (V/W), если положить
т (х) (v + W) = р (x)v + W.
Из условия инвариантности подмодуля W (т. е. р (L) W cz
£ W) следует, что данное определение корректно. Таким
образом, получаем представление алгебры Ли L, называе-
мое факторпредставлением представления р по подпред-
ставлению а. Понятия подпредставления и факторпред-
ставления являются частными случаями понятия фактора
представления, которое можно с равным успехом опреде-
лить как подпредставление факторпредставления или как
факторпредставление подпредставления. Наконец, опре-
делим неприводимое представление как представление,
не имеющее подпредставлений, отличных от нулевого и
самого представления.
1.6.2.	Модуль над алгеброй Ли. Пусть L есть А-ал-
гебра Ли и V — некоторый A-модуль. Мы говорим, что V
является L-модулем, если существует А-билинейное ото-
бражение Lx V -> V, удовлетворяющее следующей ак-
сиоме (в записи которой х, у Е L, v Е V, yv — образ
пары (у, v) при данном билинейном отображении):
(ху) v = х (yv) — у (xv).	(1)
Пусть 7Х и V2 — два L-модуля. Отображение ср: Vi -> V2
называется гомоморфизмом L-модулей, если (р является
А-гомоморфизмом и для любого х Е L и любого v Е Vi
имеем Х(р (v) = <р (xv). Обобщая на случай L-модулей по-
нятие правонормированного произведения, мы будем пи-
сать gxg2 ... gnv вместо gx (g2 . . . (gnv) . . .), где gt, . . .
. . ., gn E L, а у — элемент L-модуля V.
Понятие L-модуля эквивалентно понятию представле-
ния алгебры Ли L. Действительно, если V — некоторый
L-модуль, то определим отображение р: L ->gl (7, А),
полагая для х Е L и v Е V: р (х) (v) = xv. В терминах
отображения р формула (1) приобретает вид
Р (*У) (Р) = Р (*) (Р (У) И) — Р (У) (Р (®) (0)-
Иными словами, для любых х, у Е L
Р (*У> = [р (х), р (у)]
в алгебре gl (V). Таким образом, р: L -+gl (V) — гомо-
морфизм, или представление алгебры Ли L в A-модуле V
i.e. модулй
23
(то, что р (х) яйлйется А-эндоморфизмом, вытекает из
билинейности отображения, задающего L-модуль). Об-
ращение проведенного рассуждения показывает, что
A-модуль представления р превращается в L-модуль, если
положить xv = р (х) v для любых х ЕЕ L, РЕ F.
Аналогично проделанному в 1.6.1, определяем поня-
тия подмодуля, фактормодуля и фактора L-модуля как
соответствующие понятиям подпредставления, фактор-
представления й фактора представления алгебры Ли L.
Таким образом, A-подмодуль W в L-модуле V называет-
ся L-подмодулем^ если LW cz W. При этом А-модуль
VIW превращается в L-модуль, если положить х (у +
+ W) = xv + W для любых х ЕЕ L, veV. Получается
L-фактормодуль VIW. Если U и W — L-подмодули
в L-модуле V, UEDW, то UIW называется L-фактором
L-модуля V. Если L-модуль V не имеет ненулевых под-
модулей, отличных от V, то он называется простым (не-
приводимым) L-модулем. Прямая сумма простых L-мо-
дулей называется полупростым (вполне приводимым)
L-модулем.
В случае, если L-модуль V определен с помощью пред-
ставления р: L->EndA V, мы будем говорить, что V —
модуль представления р. В случае присоединенного пред-
ставления ad мы видим,; что алгебра Ли L является
L-модулем относительно умножения слева. Мы называем
модуль присоединенного представления присоединенным
модулем. Подмодулями этого модуля являются идеалы
алгебры L. Если присоединенный L-модуль является про-
стым, то алгебра Ли L называется простой алгеброй Ли.
Если Н — подалгебра алгебры Ли L и V — некоторый
L-модуль, то V естественным образом является и /Г-моду-
лем. Итак, имея L-модуль 7, мы можем говорить об
LT-подмо дулях, LT-фактормо дулях и т. д. В частности, если
Н — подалгебра в L, то L является LT-модулем относи-
тельно умножения элементов из L на элементы из Н
слева. Таким образом, если Н — произвольная подалгеб-
ра в L, U и W — идеалы алгебры L, U W, то UIW яв-
ляется /L-модулем относительно действия
х (и + W) = хи + Ж,
где х ЕЕ Я, и Е: U. Наконец, если L CZ L4], где А — ас-
социативная алгебра, то (ассоциативное) умножение на
элементы из L слева превращает А в L-модуль: х о а =
= ха. Действительно, [ж, у] а = хуа — уха = х (уа) —
24
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
— у (ха). В этом случае мы говорим о (левом) регулярном
модуле (представлении). Понятно, что регулярный модуль
определен неоднозначно.
1.6.3.	Главный ряд. Заметим, что если V является
L-модулем, где L — алгебра Ли, то, построив соответст-
вующее представление р: L -> [End У] и взяв ассоциатив-
ную подалгебру А в End У, порожденную множеством
р (L), мы видим, что У является и 4-модулем. Более того,
внутри модуля У понятия L-подмодуля, L-фактормодуля
и т. д. тождественны понятиям 4-подмодуля, 4-фактор-
модуля и т. д. Таким образом, мы можем без каких-либо
изменений перевести на язык модулей над алгеброй Ли
результаты о модулях над ассоциативными кольцами, из-
ложенные во многих книгах (см., например, [73, гл. III,
IV, XVII]).
Наша терминология для алгебр Ли будет несколько
отличаться от традиционно используемой в ассоциатив-
ных алгебрах. Так, простой фактор W!Wf L-модуля У
мы будем называть главным фактором, а композиционный
ряд L-модуля У будем называть главным рядом. Главным
рядом алгебры Ли L называется главный ряд присоединен-
ного L-модуля L. Таким образом, главный ряд — это ряд,
в котором все факторы главные и который доходит от ну-
левой подалгебры до самой алгебры.
Теорема Жордана — Гёльдер а. Если
L-модулъ У имеет хотя бы один главны/й ряд
О = Уо С У2 С . . . С Уз = у
конечной длины, то любой другой главный ряд имеет ту
же длину. Если UIW — некоторый главный фактор L-
модуля, то для некоторого i = 1, . . ., $ имеем UIW =
= Vi/V^.
1.6.4.	Полупростой ряд. Пусть У — некоторый L-мо-
дуль. Назовем ряд
О = У0 CZ Ух CZ ... CZ У8 = У
полу простым, если для любого i = 1, . . ., $ модуль
VilVi-i является полупростым L-модулем. В этом и сле-
дующем пунктах мы изучим поведение главных и полу-
простых рядов при переходе к подалгебрам.
Теорема. Пусть L — некоторая алгебра Ли, М —
ее подалгебра, обладающие конечными главными рядами.
Рассмотрим главный ряд алгебры L вида
О = Lo (Z Lx CZ . .	. .(Z.Ln = L. (2)
1.6. МОДУЛИ
25
Тогда'.
(i)	Любой главный фактор алгебры L изоморфен некото-
рому фактору ряда (2).
(ii)	Любой главный фактор подалгебры М (как М-мо-
дуля) изоморфен некоторому М-фактору М-модуля
LJLi-} для подходящего i = 1, . . ., 5.
(iii)	Если М—идеал в Lu L обладает полупростым ря-
дом длины т как L-модуль, то и L/М обладает полу-
простым рядом длины, не превосходящей т.
Доказательство. Утверждение (i) есть пере-
формулировка теоремы из 1.6.3. Для доказательства ут-
верждения (ii) нужно применить процесс уплотнения
к ряду
{0} = МП£О е £ ... е М П bi-1
м n Lt с . . . с М П Ln = М.
Факторы этого ряда изоморфны как М-модули факторам
ряда (2). Действительно,
М П LJM П L^ = М П Lil(M П Li) П Li^
= М Q Li + Li-i/Z/i-i £ LilLi-^,
(iii	) Поскольку М лежит в аннуляторе L-модуля L/M,
то наличие полупростого ряда в алгебре Ли L/М равно-
сильно наличию полупростого ряда в L-модуле L/M.
Пусть
о == s0cz sx cz ... ,cz shl с: Sj(z ... с: sm = L
— произвольный полупростой ряд длины т в L-модуле L.
Рассмотрим ряд L-подмодулей в L/М вида
0 = М/М £	+ М/М Z . . . с 5И + М/м £
£ Sz + М/М £ . . . £ Sm + М/М = L/M.
Произвольный фактор этого ряда имеет вид
(Si + М/М)/ (Si-t + М/М) ^Si + M/Si-r + М =
= Si + (S^i + M)/Si-! + M Si/Si n (Si-! + M) =
= Si!Si-! + Si n M	(Si/Si-!)/(Si-! + Si n>)/Si-!.
Таким образом, рассматриваемый фактор изоморфен го-
моморфному образу полупростого L-модуля SJSi-! и,
согласно [73, гл. XVII], сам является полупростым L-
модулем. Теорема доказана.
1.6.5.	Теорема. Пусть L—алгебра Ли и V — про-
стой L-модуль конечной длины над основным кольцом А.
26
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
Пусть М — идеал алгебры L. Тогда любые два главных
фактора М-модуля V изоморфны.
Доказательство. Пусть W — некоторый ми-
нимальный М-подмодуль. Обозначим через Т максималь
ный М-подмодуль М-модуля V, все главные факторы ко-
торого изоморфны модулю W. Докажем, что Т является
и L-подмодулем. Доказываем от противного.г Допустим,
что х е= L таков, что хТС£ Т. Отображение t xt + Т,
t ЕЕ Т, является М-гомоморфизмом из Т в VIT. Действи-
тельно, для любого у G М получим
yt^ х (yt) + Т = у (xt) + (ху) t + Т = у (xt) + Т.
Последнее равенство вытекает из того, что ху вместе с у
лежит в идеале М, а МТ cz Т. Заметим, что образ М-
подмодуля Т при данном отображении равен множеству
'хТ + 77Т, так что хТ + TIT является М-подмодулем
в VIT. Далее, пусть SIT — минимальный ненулевой М-
подмодуль в хТ + Т/Т. Он существует в силу того, что
хТ + Т з хТ, а хТ Т. Так как хТ + Т/Т — гомо-
морфный образ модуля Т, то по теореме о гомоморфизме
и теореме 1.6.3 каждый его главный фактор, в том числе
и S/Т, изоморфен некоторому главному фактору М-
модуля Т. Значит, SIT W. Теперь в М-подмодуле S
модуля 7, содержащем модуль Т, есть ряд М-подмодулей
О = Г0С2 Т ЕЕ 8.
Уплотнив этот ряд до главного, мы получим ряд
О = То CZ Л CZ . . . CZ Тг = Т С S,
все факторы которого изоморфны М-модулю W. Снова
используя теорему 1.6.3, мы получим, что любой главный
фактор модуля S изоморфен модулю V7, что противоречит
выбору М-модуля Т. Итак, Т является ненулевым L-
нодмодулем в 7, значит, Т = 7, и теорема доказана.
1.6.6.	Модули и расширения. Если М — идеал ал-
гебры Ли L над кольцом Л, то М является подмодулем
присоединенного L-модуля. Если С = С£(М)^ и N —
любой идеал алгебры L, содержащийся в С, то М превра-
щается также и в Ь/А-модуль относительно действия
(х + N) о m — xm.
В частности, если М абелев, то М С, и, значит, М яв-
ляется модулем над факторалгеброй G = L/М относи-
тельно действия {х -j- М) р m = %m, Разумеется, расши-
i.e. моДулй
2^
рение абелева идеала М при помощи факторалгебры G =
= L/М не определено полностью структурой G-модуля
на М. Однако определяемость имеет место, если рассмат-
риваемое расширение является расщепляемым (см. 1.4.5).
Обратно, если М — произвольный G-модуль, то, превра-
тив М в абелеву алгебру Ли, мы можем построить расщеп-
ляемое расширение L алгебры М при помощи алгебры G
как множество пар (х, т), х G, т s М, с умножением
(i, т) (у. п) = (ху, хт — уп).	(3)
Сравнивая с формулой (3) из 1.4.4, мы видим, что L изо-
морфна полупрямому произведению G х ф М, где
(р (х) (т) — хт.
1.6.7.	Когомология алгебры Ли. Нерасщепляемые рас-
ширения. Пусть G — алгебра Ли над кольцом Л, М —
некоторый G-модуль. Обозначим через Cn(G, М) множе-
ство Л-полилинейных кососимметричных отображений из
G X . . . X G в М, п = 1, 2, . . . Элементы из Сп (G, М)
ч.—,  <
п
называются п-мерными коцепями со значениями в М.
Отображение д = дп*. (^(G, М) -> Cn+1 (G, М), задавае-
мое правилом w
(5/)(жъ ..., хп+1) =
= 3 (— 1)ж /(^j. «1, .... ж»,.... «j,, xn+1) 4-
i<j
+ S (— l)i+1 (Xi,... , Xi,.. . , xn), (4)
$1
называется оператором взятия кограницы. Индукцией по
п можно доказать, что да = О (см. упражнения 1.12.18—
21). Элемент f Ez С* (G, М) называется п-мерным коцик-
лом, если df — 0, и п-мерной кограницей, если найдется
коцепь g ЕЕ Cn-1 (G, М) такая, что / = dg. Множество п-
мерных коциклов обозначается через Zn (G, М), а множе-
ство n-мерных кограниц — через Вп (G, М). Из равен-
ства д2 = О следует, что Z'1 (G, М) 3 Вп (G, М). Фактор-
модуль ВТ1 (G, М) = Zn (G, М)!Вп (G, М) называется
модулем п-мерных когомологий алгебры Ли G со значениями
в G-модуле М. Если / — некоторый 2-коцикл, то можно
построить «стандартное» расширение L/ = (G, М, /) абе-
левой алгебры М при помощи G как Л-модуль G ф М
умножением
• (х + т)*(у + п) = ху + xn — ут + f (х, у).	(5)
28	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЁОРЙЮ АЛГЕБР ЛИ
При этом справедливость тождества антикоммутативности
вытекает из кососимметричности функции /. Проверку
равенства нулю якобиана J (u, v, w) (см. 1.4.4) достаточ-
но провести в случаях и = х, v = у, w = z и и = ж,
v = у, w = т (х, у, z Ez G, т ее М). Получаем
х (yz) = xf (у, z) + f (х, yz).
Совершая циклическую перестановку, используя тожде-
ство Якоби и (4), получаем
J (х, у. z) = xf (у, z) + yf (z, x) + zf (x, y) + / (x, yz)+
+ f (У, zx) + f (z, xy) = (df) (x, y, z) = 0.
Далее, J (x, y, m) — x*y*m-\-y*m*x-\-m*x*y =
= xym + yxm -J- m * (xy + f (x, y)) = xym — yxm — (xy) m —
= 0 в силу того, что М является G-модулем и абе-
левой алгеброй Ли. Итак, Lf — алгебра Ли. Понятно,
что М — абелев идеал в Lf и Ly / М = G. Если 2-коциклы
Д и /2 когомологичны (т. е. Д + В2 (G, М) = /2 +
В2 (G, Л/)), то расширение эквивалентно расши-
рению Lft в следующем смысле. Существует изоморфизм
(р:	»Z//2, делающий коммутативной диаграмму
M^Lb-^G
I41	(6)
Ц8 r Е2 _
M-+Lh-+G
Здесь рц» pi2 — тождественные вложения, а 8Х, е2 — есте-
ственные эпиморфизмы. (Требование коммутативности оз-
начает, что ФН1 = iMan = 82V-) Действительно, най-
дется 1-коцикл h такой, что
А	у) = h (®> у) +	(у) — Ук (х).	(7)
Положим <р (х т) = х -|- h (х) -|- т. С помощью (5)
легко проверяем, что ср — искомый гомоморфизм, делаю-
щий диаграмму (6) коммутативной. Обратно, если Lfi и
Lf2 эквивалентны, то из коммутативности диаграммы (6)
следует ф (х -|- т) = х -|- h (х) -|- тп, где h — линейное
отображение из G в М. Выписывая условие сохранения
произведения, получаем равенство (7). Значит, Д —/2 =
= dh. Таким образом, мы доказали вторую часть фор-
мулируемой ниже теоремы.
1.6.8.	Теорема. Пусть G — алгебра Ли над коль-
цом Л, М — некоторый G-модуль. Для любого расшире-
1.6.*М0ДУЛЙ
26
ния L абелевой алгебры М при помощи G с заданным дей-
ствием алгебры G на М и расщепляемого как Л.-модуль,
существует 2-коцикл f такой, что L Эквивалентно стан-
дартному расширению Lf. Два расширения и Lft
эквивалентны тогда и только тогда, когда коциклы Д и
f2 когомологичны. w
Доказательство. Для доказательства первой
части теоремы возьмем L в виде L = G ф М, где G s G
как Л-модуль. .Пусть х х — запись этого изоморфизма
из G в G на элементах. Тогда элемент / (х, у) = ху — Ту
лежит в М. Любой элемент а из L однозначно представим
в виде а = X 4- гп, где х ЕЕ G, тЕЕ М. Если Ъ = у п,
то имеем (см. 1.6.6)
(% 4- тп) (у 4- п) = ху 4- хп — ут =
= ху +xn — ym+f (х, у). (8)
•	- )
Поскольку в L выполнимы тождества антикоммутативно-
сти и Якоби, легко получаем, что /EZ2(G, М). Сопо-
ставляя (5) и (8), видим, что L эквивалентно Lf. Первая
часть теоремы доказана. Вторая была доказана ранее.
1.6.9.	Следствие. Пусть G — алгебра Ли над
полем Л, М — некоторый G-модуль. Любое расширение L
абелевой алгебры М при помощи G с заданным присоеди-
ненным действием на М расщепляемо тогда и только тог-
да, когда Н2 (G, М) = {0}.
Доказательство. В случае поля условие рас-
щепляемости расширения L Л-модулей может быть от-
брошено, что позволяет применить теорему 1.6.8 в этой
новой общности. Остается заметить, что расширение Ло
расщепляемо. Следствие доказано.
1.6.10.	Базис модуля над алгеброй Ли. Пусть G —
алгебра Ли с линейно упорядоченной системой порождаю-
щих Е над Л (в силу аксиомы Цермело всякое множество
можно вполнеч упорядочить). Рассмотрим G-модуль М,
порожденный непустым множеством Т. Во многих зада-
чах важно знать, каким множеством порождается М как
Л-модуль. Поскольку всякий модуль есть сумма цикли-
ческих (т. е. с одним порождающим элементом), мы огра-
ничимся именно случаем циклического модуля.
Предложение. Пусть М — циклический G-
модуль с порождающим элементом t, где G некоторая Л-
алгебра Ли с линейно упорядоченной системой Е порождаю-
% щих над Л. Тогда М порождается над Л элементом t
So
1*Л. 1. ЙВЕДЁНЙЕ В ТЁОРЙЮ АЙГЁВР ЛИ
вместе с множеством элементов вида
ег. . . ent(=E, ^ > . . . > en (п > 1).	(9)
Доказательство. Понятно, что М является
Л-оболочкой элемента t и всевозможных элементов вида
А • • •/т^» где А, . . .,fmEEE. Покажем, что Д . . .fmt
есть Л-комбинация элементов вида (9). Проведем индук-
цию по ап, а при данном т по числу инверсий в строке
(/п ...,/т)* Основание индукции очевидно. Допустим,
что в строке (A, . . .,fm) есть инверсия, т. е. Д <fi+\
для некоторого i. Имеем
fl* • *fifi+l • • *fml ~
= fl • * *fi+lfi* • *fmf fl* • • (fifi+1) • • *fm^*
Число инверсий в (A, . . ->Л+1>/ь • • *>fm) на 1 меньше,
чем в исходной строке, т. е. к А . . .	. . . fmt приме-
нимо предположение индукции. Кроме того, ftft+ъ есть
линейная комбинация элементов из Е. По дистрибутив-
ности, А . . . (fifi+1) . . . fmt есть Л-линейная комбинация
элементов, к которым также применимо предположение
индукции (на этот раз по т). Тем самым предложение до-
казано.
Важным частным случаем является случай свободного
G-модуля М со свободным порождающим множеством Т.
Имеется в виду такой G-модуль, что любое отображение
<р: T—>N, где N_— некоторый G-модуЛь, продолжается до
гомоморфизма ср: М —» N.
1.6.11. Теорема. Пусть А-алгебра Ли G является
свободным A-модулем с вполне упорядоченным базисом Е.
Тогда свободный модуль со свободным порождающим мно-
жеством Т существует, свободен над Л и его базисом над
Л является множество Т вместе с множеством всех эле-
ментов вида
^1^2 • • где t ЕЕЕ Т, е-^е^, • • е^ ЕЕЕ Е,
причем	n = 1, 2, . . .
Доказательство. Рассмотрим свободный Л-
модуль F с базисом из элементов вида Pt, где Р — неко-
торая (возможно, пустая) упорядоченная строка . вида
(ег, е2, . . ., еп) элементов из Е (т. е. et е2 > еп),
t ЕЕ Т. Для удобства ведения доказательства будем счи-
тать, что множество Е вполне упорядочено по убыванию.
Это позволяет вести обратную индукцию относительно
данной упорядоченности. Будем писать | Р 1 = п и е Р,
1.6. МОДУЛИ
31
если е ег. В этом случае Р' = еР, если Р' = (е, elt . . .
. . ., еп). Определим действие алгебры G на F индукцией
по | Р | и обратной индукцией по упорядоченности на
множестве Е. При этом будем требовать, чтобы получаю-
щийся элемент е* Pt был Л-комбинацией элементов вида
P't таких, что | Р' | <1 | Р | 4- 1. Если | Р | = 0, то
положим е * Pt = et. Если | Р | = п и е Р, то пола-
гаем е * (Pt) = (еР) t. В противном случае Р = etP', и
мы положим .
е * (Pt) — ех * (е * P't) + (eet) * P't. (10)
Правая часть равенства (10) определена в силу предполо-
жения индукции. Заметим, что из такого определения вы-
текает, что е * Pt = Pt + где Р — результат рас-
а
положения в порядке убывания элементов из {е} (J Р/
а | Ра |	| Р |. Покажем теперь, что введенное действие
превращает F в G-модуль, т. е. что выполняется равенство
(ef) * Pt = е * (f * Pt) — f * (e * Pt). (11)
Проведем индукцию по| P |. Поскольку (11) превращается
в 0 при е — f, считаем, что е /. Если е Р, то ко вто-
рому члену в правой части равенства (11) применимо пра-
вило (10) (с заменой Р на еР). Получаем —f*(ePt)=i
= е * (f * Pt) — (fe) * Pt, что и доказывает (11). Поэтому
считаем, что ег е > /. В этом случае, используя индук-
цию по | Р | и тождество Якоби, получим
(ef) * Pt= (ef) * er * P't= —er * (ef) * P't — e± (ef) * P't =
— —e± * e *f * P't 4- ei * f * e * P't 4- e (^i/) * P'f-h
4~ f (**i) * P t —ei * £ * / * P’t 4~ e± * f * e * P't 4-
|- e * (e<J) * P't — (exf) * e * P't 4-/ * (^i) * P't —(^i) *
* / * P't =
~ {—e1 * e */* P't 4- e * er * f * P't — (eeff ♦ / ♦ P'/)J 4“
4~ {^i * f * e * P't — / * * e * P't — (e±f) * e ♦ P't} 4-
4- {e * / * Pt -^f*e* Pt}.
Остается доказать, что члены в первой и второй скобках
нулевые. Для этого рассмотрим f*P't. Как отмечено
выше, / * P't — Pt 4- S P&t, где P составлено из элемен-
та,
тов множества Р (J {/}, а | Ра | I Р' I» В этом случае
32	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
*1 > Р и, согласно (10),
е * е1 * Pt = е * erPt — * е * Pt + (ее^ * Pt.
Соотношение е * * P^t == ег * е * Pat + (ее^ * Pat спра-
ведливо в силу индукции по | Р |. Значит, первая скобка
равна нулю. Аналогично, нулевой является и вторая скоб-
ка. В результате получаем (11). Таким образом, F яв-
ляется G-модулем. Видно, далее, что Pt = еге2 . . . ent.
Покажем теперь, что F — свободный G-модуль со свобод-
ным порождающим множеством Т. Действительно, если
N — произвольный G-модуль, а (р: Т —> N и Р =
= (*ь ^2» • • •» еп), то полагаем
Ф {Pt) = ^2 • • • 6пф {t)-
В силу (10) отображение <р — гомоморфизм, продолжаю-
щий отображение ср. Теорема полностью доказана.
1.7. Нильпотентные алгебры Ли
1.7.1. Эквивалентность различных определений ниль-
потентности. Мы используем обозначения и некоторые
результаты из раздела 1.5.
Теорема. Следующие условия на алгебру Ли L над
кольцом А эквивалентны (с — некоторое натуральное
число):
(i)	Lc ф {0},	= {0};
(ii)	Zc_! (L) L, Zc (L) = L;
(iii)	L обладает конечным центральным рядом длины с
и не обладает таким рядом длины с — 1;
(iv)	для любой расстановки скобок произведение с + 1
элемента алгебры L равно нулю, и при некоторой расста-
новке скобок произведение некоторых с элементов не равно
нулю*,
(v)	в L выполняется тождество
•^1*^2 • • • ^C+l
и не выполняется тождество
хгх2 . . . хс = 0.
Доказательство. Заметим вначале, что для
любых натуральных s и г справедливо включение L8Lr cz
С Ls+r. Действительно, заметим, что LfL1 = Ls+1 по опре-
делению нижнего центрального ряда. Проводя индукцию
1.7. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
33
по г, получаем
LSL™ = L8 (LTL1) (L8Lr) L1 + Lr (LfL1) =
= L^L1 + LrZ>+1 = Z?+r+1.
Здесь мы воспользовались тождеством Якоби, предполо-
жением индукции и определением членов нижнего цен-
трального ряда.
Для доказательства эквивалентности утверждений (i)—
(iii) достаточно Заметить, что если L обладает централь-
ным рядом длины с
L = L.^LrZ) . . . Z) 4 - {0},	(1)
то, согласно свойствам верхнего и нижнего центрального
рядов (см. 1.5.2 и 1.5.5), получаем, что для любого неот-
рицательного I имеем
и Zz(L)=>Lc_z.
Поэтому в этом случае LCH1 = {0} и Zc (L) = L. Выби-
рая в качестве ряда (1) соответственно нижний и верхний
центральные ряды, мы получаем все нужные нам импли-
кации (i) <=> (ii) (iii).
Докажем теперь, что из (i) следует (iv). Действитель-
но, докажем по индукции, что для любой расста-
новки скобок о и любых . . ., хм ЕЕ L выполняется
а = (хгх2. . . xi^q ЕЕ Ll+1. Основание индукции при I = 0
очевидно. Предполагая утверждение доказанным при
меньших значениях Z, заметим, что для некоторого $
имеем а = (xt. . . х$)х (xs+1 . . . xi+1)n, где т и л — некото-
рые расстановки скобок. По предположению индукции
(я* . . . х8)х ЕЕ L8, а (х8+1 . . . хм)п е Ll~s+1. Согласно
замечанию в начале доказательства а ЕЕ L8Ll~8Arl cz Ll+1,
Значит, предполагая (i) выполненным, получим, что для
любых хг, . . ., хс+1 и любой расстановки о имеем в L
(*^1 • • • ^с+1)а == 0.
Заметим теперь, что из определения с очевидностью сле-
дует, что для любого I идеал L1 является А-подмодулем,
порожденным всевозможными правонормированными
произведениями
xrx2. . . Xi, Xi ЕЕ L, i = 1, 2, . . ., I.
Поэтому, если хотя бы одно из произведений xv . .хс от-
лично от нуля, то Lc Ф {0}. Понятно, далее, что (iv) =>
=^> (v), a (v)	(i). Теорема доказана.
2 Ю. А. Бахтуриц
34	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
Алгебра Ли, удовлетворяющая эквивалентным усло-
виям теоремы 1.7.1, называется нильпотентной ступе-
ни с.
1.7.2. Подалгебра Фраттини. Пусть L — алгебра Ли
над кольцом Л. Подалгебра М алгебры L называется
максимальной, если М Ф L и из строгого включения М d
где — подалгебра в L, вытекает Мг = L.
Пусть {Ма | а ЕЕ 1} — (возможно, пустое) множество
максимальных подалгебр в L. Подалгебра Фраттини
Ф (L) определяется, как сама L, если I = 0, и как пере-
сечение
Ф(£)= П Ма
а*=1
если Z =/= 0. Элемент х ЕЕ L называется непорождающим,
если из того, что L порождается элементом х вместе с не-
которым подмножеством S следует, что L порождается
множеством S и без элемента х.
Теорема. Для произвольной алгебры L подалгебра
Фраттини Ф (L) совпадает с множеством непорождающих
элементов. Если L — нильпотентная алгебра, то Ф (L) —
это идеал алгебры L, содержащий коммутант L* алгеб-
ры L.
Доказательство. Пусть х е= L \ Ф (L).
Тогда существует максимальная подалгебра М, такая,
что х М. В силу максимальности L порождается эле-
ментом х вместе с множеством' М. Ясно, что L не порож-
дается множеством М, так как М — собственная подал-
гебра. Значит, х не является непорождающим. Обратно,
пусть х ЕЕ Ф (L) и 5 — некоторое подмножество, порож-
дающее алгебру L вместе с элементом х. Если множество
S не порождает алгебру L, то по лемме Цорна оно лежит
в некоторой подалгебре Т, которая является максималь-
ной среди подалгебр алгебры L, содержащих 5 и не
содержащих х. Тогда Т — максимальная подалгебра алгеб-
ры L. Действительно, если некоторая подалгебра Р со-
держит Т, то Р Z) {5, ж}, т. е. Р = L. Однако, по опреде-
лению, х ЕЕ Ф (£) d Т, откуда Т Z) {5, х}, т. е. Т = L.
Полученное противоречие говорит о том, что на самом деле
множество S порождает алгебру L, а значит, элемент х
является непорождающим.
Обратимся теперь к случаю нильпотентной алгебры L.
По первой части теоремы достаточно показать, что любой
элемент хЕ.1) является непорождающим» В данном слу:
1.7. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
35.
чае справедливо даже более сильное утверждение: все
подмножество L2 является нецорождающим. Действитель-
; но, пусть L порождается некоторым множеством S вместе
с ZA Индукцией по ступени нильпотентности алгебры L
докажем, что L порождается множеством S. Основание
индукции при с = 1 очевидно. Для проведения шага
индукции рассмотрим алгебру ЫЬС. Поскольку (L/Lc)2 ==
= L*ILC, то LIJjc порождается своим коммутантом вместе
с множеством смежных классов вида х 4- Lc, х ЕЕ S.
Используя индуктивное предположение, мы видим, что
алгебра L порождается множеством S |J Lc. Осталось
. заметить, что Lc лежит в подалгебре Г, порожденной
г множеством S. Действительно, так как Lc — идеал в L,
любой элемент х из L имеет вид х= t + с, где t 6= Т,
с ЕЕ Lc. Далее, Lc является Л-подмодулем, порожденным
элементами вида х±х2. . . хс. Если xt =	4- ciy где ЕЕ
ЕЕ Г, ci G Lc, то x^x2. . . x0 = ttt2. . Ле e T, откуда Lc CZ
С Г, т. e. T = L. Таким образом, S порождает L и без
I	L2. Для окончания доказательства осталось заметить, что
।	любая подалгебра алгебры L, содержащая L2, является
идеалом в L. Теорема доказана полностью.
I	1.7.3. Алгебры Ли нильпотентных эндоморфизмов.
' Если L — нильпотентная Л-алгебра Ли ступени ниль-
потентности с, то для любого х внутреннее дифференциро-
। вание ad х является нильпотентным, именно, (ad xf = 0.
I Вопрос о том, в каком случае из нильпотентности любого
I внутреннего дифференцирования вытекает нильпотент-
| ность всей алгебры, является одним из центральных
в теории алгебр Ли произвольной размерности. В случае
t алгебры Ли линейных операторов этот вопрос имеет
। прямое отношение к одновременному приведению совокуп-
ности линейных нильпотентных операторов к треуголь-
ному виду. Основным результатом для конечномерного
случая является следующий.
Теорема Энгеля. Пусть L — алгебра Ли
нильпотентных эндоморфизмов некоторого A-модуля V,
такая, что l& (L) <Z со. 'когда либо V = {0}, либо суще-
[ стеует ненулевой элемент vQ ЕЕ V такой, что х (р0) = 0
для любого х ЕЕ L.
Доказательство. Индукция по I (L) с оче-
‘видным основанием при I (L) = 0. Итак, пусть I (L) > 0
• и V =/= {0}. Заметим сначала, что для любого х ЕЕ L
эндоморфизм ad х нильпотентен. В самом деле, по усло-
i вию для некоторого натурального п имеем хп = 0. Пусть
2*
36
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
у — произвольный элемент из L. Тогда
, ♦	2п—1
(ad я)2”-1 (у) = У ^хгух2п~1-\ где PiGEA.
г=0
Для любого г, 0 i <1 2п — 1, либо i п, либо
2п — 1 — i п. Таким образом, каждый член суммы
в правой части равен нулю.
Докажем теперь, что если М — некоторая подалгебра
в L, то либо М = L, либо М является идеалом в некото-
рой подалгебре М' М такой, что М' М.
Для этого рассмотрим (см. 1.6.2) A-модуль ЫМ как
М-модуль относительно действия х (у + М) = 1х9 у] +
+ М, х GE М, у ЕЕ L. Пусть л: МEnd (ЫМ) — соот-
ветствующее представление. Тогда М = л (М) — алгебра
Ли эндоморфизмов модуля ЫМ. Если хп = 0, то
л (я)2^1 (у + М) = (ad я)2”'1 (у) + м = М.
Поэтому все л (я), х ЕЕ М,— нильпотентные эндоморфиз-
мы. Кроме того, I (М) < I (Ы. Значит, по предположению
индукции, существует у М такой, что л (х) (у + М) =
= М для любого х ЕЕ М. Иными словами, нами найден
элемент у М такой, что [у9 М] ее М. Положим теперь
М' — Ay + М. Из только что выведенного свойства эле-
мента у видно, что М' — подалгебра и что М — идеал
в М'.
Пусть теперь М — некоторая максимальная (отличная
от L) подалгебра в L. Тогда по только что доказанному
свойству М — идеал в L. Пусть у tfE М. Тогда L = Ау +
+ М. Рассмотрим A-подмодуль W в У, состоящий из эле-
ментов w таких, что xw => 0 для любого х ЕЕ М. По пред-
положению индукции W — ненулевой A-подмодуль. За-
метим, что LW ее W. В самом деле, если w е ТУ, то для
любого х ЕЕ М имеем
х (у (»)) = (ху) (w) = (ух) (w) + [х, у] (w) =* у (х (w)) = 0.
Здесь [ж, у] (w) = 0, так как М — идеал и, значит,
[ж, у] е М.
Для завершения доказательства осталось заметить, что
ограничение у эндоморфизма у на W нильпотентно и/
значит, для некоторого т имеем ут 0 и ут+1 = 0.
Пусть WqEEW таково, что ymwo = O. Положив г0 = ymwQ,
мы получим ненулевой элемент из V со свойством yvQ = 0
и Mv0 = {0} (так как е W). Значит, и Lv0 = {0},
и элемент и0 искомый. Теорема доказана.
1.7. НИЛЬПОТЕНТНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
37
1.7.4.	Следствие. Пусть L — алгебра конечной
длины над А и для любого х ЕЕ L внутреннее дифференци-
рование ad х' нильпотентно. Тогда L — нильпотентная
алгебра Ли.
Доказательство. Применим теорему Энгеля
к алгебре Ли ad L эндоморфизмов A-модуля L. По усло-
вию она состоит из нильпотентных элементов, и длина
I (ad L) конечна, так как ad L ~ LIZ (L). Значит, либо
L = {0}, либо в L имеется элемент и0 такой, что для лю-
бого х ЕЕ .L имеем xvQ = 0. Это показывает, что Zx (L) =
= Z (L) Ф {0}. Переходя к алгебре LIZX (L), мы найдем,
что либо L = Zx (L), либо Z2 (L) Ф Z-^L). Продолжая
данный процесс и учитывая, что I (L) < оо, мы получим,
что для некоторого натурального т член Zm (L) верхнего
центрального ряда алгебры L совпадает с L. Значит, L —
нильпотентная алгебра Ли (см. 1.7.1). Следствие дока-
зано.
1.7.5.	Приведение к треугольному виду. Рассмотрим
классический случай, когда А — поле и dimA Г< og.
В этом случае при фиксированном базисе пространства
с каждым элементом алгебры L CZ EndA V связывается
матрица.
Следствие. Пусть L — алгебру, нильпотентных
линейных операторов конечномерного векторного простран-
ства V над полем А. Тогда в некотором базисе матрицы
всех операторов имеют вид
0	«12	«13	• • .	>
0 0 «23 • • • «2п
о 0 0 ... ап_1п
000...	0
где atj е А.
Доказательство. Достаточно найти ба-
зис {е1? е2, . - ., еп} пространства V такой, что Let^
cz Аег ф . . . ф Aei-i, i = 2, . . ., и, и Lex = 0. Век-
тор ег находится прямым применением теоремы Энгеля.
Для нахождения остальных векторов следует перейти
к V/Aej^ и алгебре Ли линейных операторов этого простран-
ства, индуцированной алгеброй L. Следствие доказано.
1.7.6.	Достаточные условия нильпотентности. Следую-
щие две теоремы дают достаточные условия нильпотент-
ности алгебр Ли. Первая применима к алгебрам конечной
длины, вторая (см. 1.7.8) — к произвольным алгебрам
38
rrt. i. ёвёДёнйе в тёорйю алгёёр йи
Ли. В следствии 1.7.7 речь идет об идеале Фраттини
w (L) — так называют максимальный' идеал алгебры Ли
ь, содержащийся в подалгебре Фраттини Ф (L).
Теорема (Барнс). Пусть L — алгебра конечной
длины над кольцом Л, М, N — идеалы в L такие, что
N cz Ф (£) и MIN — нильпотентная алгебра Ли. Тогда
М — нильпотентная алгебра Ли.
Доказательство. По условию существует не-
отрицательное число с такое, что Mc+1 cz N. Рассмотрим
произвольный элемент х ЕЕ М и докажем, что ф =
= ad х — нильпотентный эндоморфизм алгебры L. Рас-
смотрим ряды Л-подмодулей
Im ср Im ср2 ^ . . . и Кег ф cz Кег ср2 с . . .
Поскольку L имеет конечную длину, найдется t, t с,
такое, что Im (p*+s = Im <р* и Ker <pf+s == Кег <р* для
любого $	0. Отсюда L = Кег <рг 4- Im фг, причем
Кег ф* — подалгебра. В самом деле, пусть у ЕЕ L. Тогда
найдется элемент z ЕЕ L такой, что <р* (у) = ф2< (z). Отсю-
да и = у — ф* (z) Кег фг, т. е. у = и + ф* (z) ЕЕ
€= Кег ф* -|- Im ф\ Далее, если и, у ЕЕ Кег фг, то
•	21
Ф2* (uv) =	о^ф* (и) ф2*"4 (и) = 0,
1—0
поскольку либо i t, либо 2t — iE^t. Поскольку Кег ф2< =
— Кег ф\ получаем ио ЕЕ Кег ф£.
Вспомнив, что t > с, мы видим, что Im ф* СЕ N СЕ
СЕ Ф (L). Таким образом,
L = Кег ф* + Ф (L).
В силу конечности длины Л-модуля L имеем Ф (L) —
= Лих + . . . + Лит, где . . ., ит — непорождаю-
щие элементы. Выбрасывая их один за другим и учитывая,
что Кег ф* — подалгебра, получим L = Кег фг. Значит,
ad х и тем более ad х — нильпотентный эндоморфизм
для любого х ЕЕ М. Применяя следствие теоремы Энгеля
1.7.4, видим, что М — нильпотентная алгебра Ли. Теоре-
ма доказана.
1.7.7.	Следствие. Пусть L — алгебра Ли конеч-
ной длины над Л, ф (L) — ее идеал Фраттини, т. е. наи-
больший идеал, содержащийся в Ф (L). Тогда ф (L) —
нильпотентная алгебра Ли.
Доказательство. Вытекает из 1.7.6, если по-
ложить М = N = ф (L).
Г.8. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
39
1.7.8.	Теорема. Пусть L — алгебра Ли над Л,
М — нильпотентный идеал такой, что L/M2 — ниль-
потентная алгебра Ли. Тогда L — нильпотентная алгебра.
Доказательство. Проведем индукцию по
ступени с нильпотентности алгебры М с очевидным
основанием при с = 1. Заметим, что Мс — идеал алгебры
L (см. 1.5.1). К алгебре ЫМС применимо предположение
индукции. Таким образом, существует натуральное d
такое, что (L/Mc)d+1 = {0}, т. е. Ld+1czMc. Поскольку
с 1, любой элемент а Мс имеет вид
a =Sznini» п^М.
i
Вычислим элемент a^d-i^2d-2 • • • х2х1а (произведение пра-
вонормированное). Применяя рравила дифференцирова-
ния, получим
x2d-i .. . x2Xja = S 3 (®i. • • •	• • • ^2d-i_srei)>
i
где ix	js, jx	Jgd—i-sj {?i, . . .j /1» • • •
• • » J2d-i-s} = {2d — 1, ...» 2, 1). Для любого i один
из сомножителей любого из слагаемых в правой части
имеет длину, превосходящую d, значит, лежит в Мс.
Поскольку другой сомножитель лежит в М, получаем,
что x^d-i . . . %2xia = 0. Таким образом, L нильпотентна
ступени, не превосходящей 3d — 1. Теорема доказана.
1.8.	Разрешимые алгебры Ли
Определим неассоциативный одночлен 6/ (хх, . . ., x^i)
индукцией по I, полагая 60 (х) = х и
бМ («г . .»г1+1) = 6, (хг, . . ., X2z) fiz (х2/+1, . .	a:2z+i).
1.8.1.	Тео рема. Следующие условия на алгебру Ли L
над кольцом Л эквивалентны.
(i)	Для некоторого целого 1^1	=/= {0}, а = {0}.
(ii)	В L имеется конечный разрешимый ряд идеалов
L = Lq ZD Lr ZD . . . ZD Lt = {0}
(m. e. такой, что LilLi+1 — абелева алгебра), и число
I — наименьшая длина таких рядов.
(iii)	В L имеется ряд подалгебр
£ =	. . . ZD {0},
40	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
где М\ cz Мг+1 и число I — наименьшая длина таких
рядов,
(iv)	В L тождественно выполняется соотношение
= 0,
а 5/-!	...» я2г-1) = 0 не является тождеством в L.
Доказательство. Как отмечено в 1.5.3, ряд
коммутантов обладает тем свойством, что для любого раз-
решимого ряда и любого n О. выполняется Ln LW.
Значит, (i) и (п) эквивалентны. Далее, если справедли-
во (iii), то, в-силу свойства М\ cz Mi+1, по индукции
£(n) cz Мь откуда LW = {0}. Значит, выполнено (i);
если Z/*”1) = {0}, то ряд коммутантов будет иметь мень-
шую длину, чем ряд в (iii), что невозможно. Таким обра-
зом, (i) и (iii) эквивалентны. Утверждение (iv) вытекает
из (i), так как индуктивное определение элементов
(хи . . ., x2i) показывает, что для любых v19 . . ., v2i G=
€= L элемент 6i (р1? . . ., v2i) лежитвИ^. Для доказатель-
ства обратного заметим, что LW как Л-модуль порождает-
ся элементами (рх, . . ., у20, vt е= L. Это утверждение
справедливо при I = 0. Предполагая его справедливым
для видим, что есть Л-оболочка элементов
6z-i (ух, . . ., у2/-1), рх, . . ., v2z-i е L. По определению
тогда является Л-оболочКой произведений таких эле-
ментов, равных элементам вида
6г_! (ии и21-г) 6г_! (v2i-i+1,. . . , Р2г) = §1 (Pi,v2i).
Таким образом, если выполнено (iv), то выполнено и (i).
Теорема доказана. Алгебра L, удовлетворяющая условиям
(i) — (iv), называется разрешимой ступени I.
1.8.2.	Примеры и свойства разрешимых алгебр > Л и.
(i) Наиболее характерным примером разрешимых алгебр
над кольцом Л являются алгебры Ли, состоящие из
(верхне)треугольных матриц над Л. Заметим, что комму-
тант L2 алгебры L такого вида состоит из нильтреугольных
матриц и является нильпотентным. Этот частный факт
является общим для конечномерных алгебр Ли над поЛем
Л характеристики нуль.
'(ii) Расширение (см. 1.4.5) разрешимой алгебры Ли
при помощи разрешимой само разрешимо; это с очевид-
ностью вытекает из 1.8.1 (iii). Если алгебра является рас-
ширением абелевой алгебры при помощи абелевой ? то она
1.8. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
41
называется метабелевой. Таким образом, метабелевы
алгебры — это, разрешимые алгебры ступени, не превос-
ходящей двух.
(iii) Подалгебра, факторалгебра разрешимой алгебры
Ли сами разрешимы. Декартово произведение семейства
разрешимых алгебр ограниченной ступени — разрешимая
алгебра. Эти свойства проще всего проверить с учетом
1.8.1 (iv).
1.8.3. Теорема Ли. Пусть р: L -> gl (У) — не-
приводимое представление конечномерной разрешимой
алгебры Ли линейными операторами конечномерного век-
торного пространства V над полем Л характеристики
нуль. Тогда р (L2) = {0}.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
алгебраически замкнутого поля Л и докажем, что тогда
dim V = 1. Проведем индукцию по dirn^L с очевидным ос-
нованием при dunxL = 0. Если dimxL > 0, то в L имеет-
ся идеал М такой, что dim М + 1 = dim L. Действитель-
но, в силу разрешимости L2 =/= L, а любое подпространство
М =2 L2 является в L идеалом. Согласно теореме 1.6.5
в ЛГ-модуле V имеется главный ряд
• О = 70 CZ Vi CZ . . . CZ cz Vt CZ . . . CZ Vn = 7,
каждый фактор которого Vi/V^ изоморфен простому М-
модулю Vv В силу предположения dim Vr = 1, и тогда
п <= dim V. Кроме того, для любого у ЕЕ М существует
элемент X (у) €= А, такой, что для любого i, 0 < i п,
и и ЕЕ V i имеем
Р (у) (» + Vi-t) = К (у) V 4- Vi-t.
ОтСлЭда, в частности,
tr р (у) = ПК (у).	(1)
Если I/ Е Ь2 Z М, то отсюда следует % (у) = 0. Дей-
ствительно, в этом случае р (у) есть линейная комбинация
коммутаторов линейных операторов, значит, tr р (у) = 0.
Остается применить равенство (1). Рассмотрим теперь М-
подмодуль 7', состоящий из всех векторов v таких, что
для любого у М имеем р (у) (и) = % (у) v. Этот подмо-'
дуль ненулевой, поскольку 7' ZD Vv Покажем, что
р (L) (7') CZ 7'. Пусть ЖЕ v е 7', у е М. Тогда
Р (у) Р (®) (0 = Р (») Р (у) (у) — Р (ХУ) (0 =
= р (х) (Л (у) v) — К (ху) (и) = К (у) р (х) (v).
42	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ё ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
Последний переход правомерен, поскольку ху ЕЕ L2 и
V ЕЕ V. В силу неприводимости V' = V. Если х0 таков,
что L = Лх0 ф М, то, взяв в 7' собственный вактор и0
для р (я0)> мы получим р (L) (Лу0) £Z Лу0. Отсюда Лр0 =
= V и dimA7 = 1.
Перейдем к случаю произвольного поля Л, и пусть
Л* — такое конечное расширение Галуа поля Л, в кото-
ром лежат все характеристические корни операторов из
р (L). Положим L* = Л* L. Тогда V* = Л* ®д V
естественным образом превращается в £*-модуль, причем
этот модуль полупростой1). В каждом простом слагаемом
этого модуля (L*)2 действует нулевым образом по первой
части доказательства..Значит, (L*)2 (7*) = {0}. Отсюда,
понятно, и р (L2) (7) = {0}. Теорема доказана.
1.8.4. Следствие. Любая конечномерная разре-
шимая алгебра Ли над полем характеристики 0 является
алгеброй с нильпотентным коммутантом.
Доказательство. Рассмотрим присоединен-
ный модуль L. Если
0 = Lq CZ М CZ . . . CZ Lm = L
— какой-либо главный ряд этого модуля, то, применяя
теорему к простым L-модулям	мы увидим, что L2
аннулирует все эти модули. Таким образом, для любого
х (= L2 имеем (ad х)т = 0. По следствию теоремы Энгеля
1.7.4L2 — нильпотентная алгебра Ли. Следствие доказано.
В упражнениях 1.12.32, 1.12.33 приводится пример,
показывающий, что утверждения 1.8.3 и 1.8.4 не перено-
сятся на случай бесконечномерных представлений и полей
ненулевой характеристики.
1.8.5. Следствие. Пусть L — разрешимая ал-
гебра Ли линейных операторов конечномерного векторного
пространства V над алгебраически замкнутым полем Л
характеристики нуль. Тогда в некотором базисе простран-
ства V матрицы всех операторов из L (верхнё)треу-
гольные.
г) Пусть Р7* — минимальный ненулевой L ♦-подмодуль в Vе,
Г — группа Галуа расширения Л*/Л. Так как подпространство
Р = 2 V ^7* устойчиво относительно всех автоморфизмов из Г
veT
и является £♦-подмодулем, существует /-подмодуль W в V такой,
что Р = Л* 0 17. Поскольку V — простой /-модуль, имеем W— 7,
Т. е. 7* — Р, значит, V* — сумма простых /♦-модулей.
1.8. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ	'43
Д ок азательство. Рассмотрим главный ряд
L-модуля V
{0} = Vo С с . . . CI Vn = V.
В силу первой части доказательства теоремы 1.8.3 для
любого i, 1 j n, dim VjVi^ = 1. Выберем базис
{ег, . . ., еп}в F такой, что = Аег ф V^. Тогда в этом
базисе матрицы всех операторов из //верхнетреугольные.
Следствие доказано.
1.8.6.	Энгелевы алгебры Ли. В этом и следующих
трех пунктах мы снова вернемся к алгебрам Ли, в кото-
рых все внутренние дифференцирования являются ниль-
потентными. Будем, называть такие алгебры энгелевыми.
Согласно следствию теоремы Энгеля (1.7.4) энгелева алгеб-
ра конечной длины над основным кольцом нильпотентна;
Мы приведем сначала пример бесконечномерной энгеле-
вой алгебры L, не являющейся нильпотентной над произ-
вольным кольцом Л. Для этого достаточно взять прямое
оо
произведение L= П/^, в котором для любого i =
ic=l
= 1, 2, . . ., n, . . . алгебра Lt есть алгебра Ли nti+1 (Л)
нильтреугольных матриц порядка i + 1. Тогда, как пока-
зывают прямые вычисления, nti+1 (А) — нильпотентная
алгебра Ли ступени в точности i. Значит, в прямом произ-
ведении L каждый элемент х определяет нильпотентное
внутреннее дифференцирование ad х. С другой стороны,
L не является нильпотентной, поскольку для любого с
в ней содержится подалгебра Z/c+i такая, что Lc+i =/= {0}.
Заметим, впрочем, что для любого с в L есть элемент хс
такой, что (ad x^f =# 0: таков, например, элемент е12 из
Lc ntc+1 (А). Поэтому интересно рассмотреть алгебры
Ли, в которых для некоторого фиксированного п выпол-
няется (ad х)п = 0 одновременно для всех х е L.
1.8.7.	Пример (Кон). Над любым кольцом А про-
стой аддитивной экспоненты р существует ненильпо-
тентная метабелева алгебра Ли L такая,что (ad х)?*1 = 0
для любого х ЕЕ L.
Пусть V обозначает свободный A-модуль, базисом ко-
торого является множество {е^ | /е= Zp}, где Zp — мно-
жество всех функций натурального аргумента со значе-
ниями в кольце вычетов Zp по модулю р. Для любого
натурального т обозначим через Sm эндоморфизм модуля
V, который на базисном элементе в/ принимает значение
1&	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
где
{/(i),	если
f(i) 4-1, если i = m,
Очевидно, что Sm6n = 8п^т Для любйх тп, п, и ЧТО 8Рп “
= 8 (где е — тождественный эндоморфизм модуля У).
Положим xt = 8} — 8, i = 1, 2, . . . Тогда
Х/Я, = (8i — 8) (6j- — 8) = 6i6j — Sf — S; 4- 8 =
= 6Д — 6; — Sf 4- 8 = (8; — 8) (8f — 8) = XjXf.
Таким образом, А-оболочка множества {xt | i е N} яв-
ляется абелевой алгеброй Ли L, а V является L-модулем.
Построим полупрямое произведение Т = L X У (при этом
У считается абелевой алгеброй Ли, см. 1.6.6). Покажем,
Что для любого t Ez Т справедливо (ad £)р+1 = 0. Заметим
сначала, что по формуле бинома Ньютона и в силу того, что
аддитивная экспонента кольца А равна р > 0, получим
х? = (б. - 8)Р = б? - ер = 0.
Иными словами, (ad Xi)p (ef) = 0 для всех i е N, f ЕЕ
е Zp. Итак, пусть = 3 as^s + S Р/^/- Для любого
s	/
и е Т имеем tu ЕЕ У, откуда (ad ef) (tu) = 0. "Таким об-
разом,
(ad t)^1 (и) (ad t)p(tu) = (ad 3 asxd)p (tu) =
= 3af(ad xs)p(tu) = 0.
s
Проверим теперь, что T не является нильпотентной алгеб-
рой Ли. Для этого обозначим через fm функцию, прини-
мающую значение 1 в точках 1, 2, . . ., ш и значение 0
в точках m 4" 1, m 4" 2, . . . Тогда
^m^m— 1 • • •	=	=/= 0.
Итак, Т — ненильпотентная алгебра Ли с условием
(ad х)**1 — 0 для всех х ЕЕ Т. Заметим, что Т — расшире-
ние абелева идеала при помощи абелевой факторалгебры,
т. е. метабелева алгебра Ли. Построение примера закон-
чено.
Интересно, что аналогичный пример в разрешимой ал-
гебре Ли с тождественным соотношением (ad х)п = 0
над полем характеристики 0 или р п уже невозможен.
1.8. РАЗРЕШИМЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
45
Для доказательства соответствующей теоремы нам пона-
добится одно вспомогательное, утверждение.
1.8.8.	Лемма. Пусть А — подгруппа аддитивной
группы ассоциативной алгебры В над Кип — натураль-
ное число такое, что для любого veeA имеем vn.= 0. '
Тогда для любых vr, v2, ...» vn ЕЕ А справедливо соотно-
шение
Va(i)Pq(2) • • • tf(j(n) = 0,	(1)
где Sn — симметрическая группа на множестве {1,2, . . .
Доказательство. Для произвольного набора
81? 82, • • •» еп- нулей и единиц рассмотрим элемент
а (е1? 82, . . ., 8П) = 8^! + 82р2 + . . . + 8ПРП. Так как
a (8t, 82, . . ., 8П)П = 0, то, обозначив левую часть в ра-
венстве (1) через w, мы получим
0 =	+ е2р2 + . . . + 8nvn)n =
=	+ 8^ + 8i82r2 + . . . + 8j82 . . . 8nU?,	(2)
где r0 — линейная, комбинация одночленов, в запись ко-
торых не входит z?t, 8!^ — линейная комбинация одночле-
нов, не вошедших в г0, в которые не входит также v2,
^i82r2 — линейная комбинация одночленов, не вошедших
в г0 + 8^, в которые не входит также г3, и т. д. Так как
равенство (2) справедливо при любых значениях коэффи-
циентов, то, полагая 8Х = 0, получим, что г0 = 0 при
любых 81, 82,..., 8П (ведь 81 не входит в запись элемен-
та г0)- Положив 81 = 1, мы получим соотношение, верное
при любых 82, . . ., 8П:
г'1 + е2г2 + . . . + 82. . . znw = 0,
где ri — это при 8Х = 1. Продолжая' сходным образом,
получим w = 0. Лемма доказана.
1.8.9. Теорема (Хиггинс). Пусть L —г разреши-
мое кольцо Ли ступени I, п — натуральное число такое,
что (ad#)n = O для любого х ЕЕ L. Допустим, что в ад-
дитивной группе кольца L нет элементов порядка, деля-
щего п\. Тогда кольцо L нильпотентно ступени с, где
Доказательство. Положим М — L2. По-
скольку подкольца Мг — идеалы в L для любого I ~
46
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
= 1, 2, . . фактор МЧМ1*1 естественным образом пре-
вращается в L-модуль относительно действия
х (т + Mi+1) = хт + Af1+1,
где х Е= L, тЕМ1. Заметим, что L* (Af1/Mi+1) =
= М (М*/М1+1) = {0} по определению нижнего централь- '
ного ряда. Таким образом, для любых х, у & £"имеем ।
ху (т + ЛГ’+1) = ух (т + Jfi+1).	3
Для завершения доказательства теоремы применим ин-
дукцию по ступени разрешимости I алгебры L. Поскольку I
алгебра М = L8 имеет ступень разрешимости I — 1, по |
’ nl—1 ______________________________________________1	1
предположению индукции, №'+1 = {0}, где с =—j—.	’
Чтобы применить лемму 1.8.8, положим Л = ad L, В =
= Епйд В. Тогда получим, что для любых xlt х2, . . .
. . ., хп е В
3 ad х0(1) ad	... ad жв(п) = 0.	j
a£Sn
Применяя левую часть этого равенства к Л/*, получим,
в частности
( 3 ad »ац) ad ®а(2)... ad хс(п)) ЛГ cz М*+1.
.	°-Sn
В силу отмеченной коммутативности действия алгебры В
в мЧм** получим	'	]
n! (ad хп ad хп^. . . ad xj М* с Мм.
Поскольку (ad х0) (L) QL2= М, имеем
(n!)c'(ad х^п... ad «1 ad х0)(£) с = {0}.
Используя предположение об отсутствии nl-кручения,
получаем
ad хС'п . . • ad хг ad xQ = 0.
Значит, L нильпотентна ступени, не превосходящей числа
,	. А	П1'’1 — 1 А П ~ 1
с П + 1 = П------з--k 1 ------г- .
1	п — 1	1	П — 1
Теорема доказана.	J
Условие на кручение в L может быть заменено усло-
виями на кольцо Л, если L — алгебра над Л. Например,
можно предполагать, что элемент пМ обратим в Л,
или что Л — поле характеристики нуль или р > п. Даль-
нейшие ведения об евдедевы^ алгебрах Ли см. в главе 8,	*
1.9.	теорйя.фгаттинй для алгебр конечной длины 47
1.9.	Теория Фраттини для алгебр конечной длины
1.9.1.	Пример. Напомним, что идеалом Фраттини
<р (L) Л-алгебры L называется максимальный идеал ал-
гебры L, содержащийся в подалгебре Фраттини Ф (L)
алгебры L (см. 1.7.7). Приведем пример алгебры Ли, в ко-
торой ф (L) Ф (L). Для этого рассмотрим поле Л =*
= Z2 вычетов по модулю 2 и трехмерную простую алгеб-
ру L над Л с базисом еи е2, е3 таким, что при i Ф j имеем
е.е^ = где {i, /, к} = {1, 2, 3} (если i = j, то, естест-
венно, 4 = 0). Поскольку = 0 для различных
j, 7, к, то J ек) = 0. Этого достаточно для проверки
тождества Якоби. Максимальные подалгебры в L двумер-
ны и порождаются над Л элементами вида ej +
где {ь 7,	= {!» 2, 3}. В каждой такой подалгебре ле-
жит а = ег + е2 + е3. Значит, Ф (L) = Л (ег + е2 + ез)«
Поскольку L — простая алгебра Ли и (р (L) С Ф (L), то '
Ф (L) = {0}. Таким образом, ф (L) =/= Ф (L).
Все же в случае разрешимых алгебр Ли L конечной
длины совпадение ф (L) = Ф (L) имеет место. Перед тем
как мы сформулируем соответствующую теорему Барнса,
отметим, что в разрешимой алгебре L любой минималь-
ный идеал М абелев. Действительно, поскольку М —
разрешимая алгебра Ли, для некоторого Z > 0 имеем
д/(*-1)	{0} и = {0}. Так как, согласно 1.5.1,
— идеал в L, имеем М = и М2 = (Л/(г-1))2 =
=	= {0}, что и требовалось.
1.9.2.	Теорема (Барнс). Пусть L — разрешимая
^.-алгебра Ли конечной длины. Тогда подалгебра Фрат-
тини Ф (L) — нильпотентный идеал в L.
Доказательство. Достаточно доказать, что
Ф (L) — идеал в L, и затем использовать 1.7.7. Индукция
по d = /д (L) с очевидным основанием при d = 1. Пусть
d > 1. Фиксируем минимальный идеал М в L и обозначим
через Фм пересечение всех максимальных подалгебр ал-
гебры L, содержащих М. Поскольку Ф {ЫМ) = Фм/М,
мы видим, что, по предположению индукции, Фм — идеал
в L. Таким образом, если М CZ Ф (£), наша теорема
доказана. Итак, допустим, что М Ф (L). Пусть N —
произвольная максимальная подалгебра в L такая, что
N М. Покажем, что L — М ® N. Достаточно показать,
что М' = М П N = {0}. В самом деле, если х ЕЕ Ь,
то х = т + п, для некоторых т ЕЕ М, tieN. Взяв
48
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
I/ Е АГ, получим
М Э ху = (т + п) у = 0 + пу s N.
Поскольку идеал М абелев, Cl (М)	М. Допустим сна-
чала, что С = Cl (М) #= М. Тогда для любой подалгеб-
ры N 5? М подалгебра CL (М) Q N является ненулевым
идеалом алгебры L, содержащимся в N. Это вытекает из
того, что L — М + N, з С Е) М. Пусть Си — некоторый
минимальный идеал алгебры L, содержащийся в CL (М) П
р| N. Тогда в любой максимальной подалгебре N есть
минимальный идеал (либо JU, либо Cn). Значит, Ф (L)
можно представить как пересечение идеалов вида Фм, где
М пробегает множество минимальных идеалов алгебры L.
Поэтому Ф (L) — идеал в L.
Рассмотрим, наконец, случай минимального идеала
М Ф (L) с условием Cl (М) = М. Покажем, что в этом
случае Ф (L) = {0}. Допустим противное, и пусть 0 =#
Ф х е Ф (L). Выберем максимальную подалгебру N М.
Тогда х ЕЕ N \ М, и для некоторого т ЕЕ М имеем хт Ф
Ф 0. Поскольку (ad тп)2 = 0, линейное отображение 1 +
+ ad т — автоморфизм алгебры L (обратный к нему 1 —
ad т). Положим х' = (1 + ad т) (х) = х + тх. Из опре-
деления понятно, что для любого автоморфизма а
алгебры L должно быть а (Ф (L)) = Ф (L). Значит,
х ЕЕ Ф (L), т. е. х' G JV. С другой стороны, для любого
т JU,
тх' = т'х + тп' (тпх) = тп'я, т.е. т' (х' — х) = 0.
Таким образом, х' — х Cl (М) Q N = {0}, откуда
х = х'. Однако в этом случае тх = 0, что противоречит
выбору элемента т. Таким образом, в этом случае
ф (L) = {0}. Теорема доказана.
1.9.3.	Разрешимый и нильпотентный радикалы.
Цоколь. Пусть// — алгебра Ли над кольцом Л. Наиболь-
ший разрешимый идеал алгебры L (если он существует)
называется разрешимым радикалом этой алгебры и обоз-
начается через S (L). Аналогично определяется и ниль-
потентный радикал N (L). Сумма Soc (L) всех минималь-
ных идеалов (являющаяся прямой суммой некоторых из
них) алгебры L называется ее цоколем. Сумма 50 (L)
всех абелевых минимальных идеалов алгебры L называется
ее абелевым цоколем. В оставшихся пунктах этого раздела
с помощью только что введенных понятий мы докажем
некоторые результаты о внутренней структуре алгебры
Ли конечной длины над произвольным кольцом А.
1.9. ТЕОРИЯ ФРАТТИНИ ДЛЯ АЛГЕБР КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ 49
1.9.4.	Предложение. Пусть L — алгебра Ли
конечной длины над Л. Тогда определенные в 1.9.3 радика-
лы N (L) и S (L) существуют и совпадают с суммами
всех. соответственно. нильпотентных и разрешимых идеа-
лов алгебры L. Более того. S (L/S (L)) — {0}.
Доказательство. Поскольку свойство разре-
шимости сохраняется при переходе к расширениям, сумма
U + V двух разрешимых идеалов С7, V разрешима. Дей-
ствительно,
• и + V/U V/U П V.
Поэтому U + V — расширение разрешимой алгебры U
при помощи разрешимой алгебры VLU р| V. В силу ко-
нечности длины сумма всех разрешимых идеалов является
ца самом деле суммой конечного числа разрешимых идеа-
лов и, следовательно, разрешима.
Пусть теперь U. V — два нильпотентных идеала алгеб-
ры L. Применим индукцию по сумме s ступеней нильпо-
тентности идеалов U и V с очевидным основанием при
5=1. При 5	1, например, Vе #= {0}, а Fc+1 = {0}.
Положим = U + V. М = U + Vе. Тогда идеал М
нильпотентенпо предположению индукции, факторалгебоа
Li = LJM^ = L-JU2 + UVC есть сумма идеалов U и V,
причем UVC = {t)}. Значит, Vе лежит в центре алгебры
Li, и LilVe изоморфна сумме идеалов U/U Q Vе и К/ус."
По предположению индукции LilVc — нильпотентная ал-
гебра. Значит, и ее центральное расширение Lr — ниль-
потентная алгебра. Применяя теорему 1.7.8, видим, что
и Lt = U + V — нильпотентная алгебра Ли. Далее до-
казательство завершается так же, как и в разрешимом слу-
чае. Предложение доказано.
1.9.5.	Лемма. Пусть L—некоторая К-алгебра Ли, М—
подалгебра в L. К — идеал алгебры, содержащийся в Ф (М).
Тогда К £ Ф (L).
Доказательство. Допустим, что К (X Ф (Z).
Тогда для некоторой максимальной подалгебры Р алгебры
L имеем Р + К = L. Используя закон модулярности, мы
получим Р Q М + К = М. Поскольку К cz Ф (М). видим
что М = Р П М, wNtyw К cz М = Р М <^ Р. Это
противоречит тому, что Р -4- К = L. Лемма доказана.
1.9.6.	Лемма. Пусть L — алгебра Ли конечной
длины над Л, идеал Фраттини <р (L) которой равен нулю.
М — абелев идеал в L. Тогда существует дополнение к
М в L. т. е. подалгебра К такая, что L = М ф К.
50	ГЛ. 1. ВЁЕДЁНЙЕ В ТЁОРЙЮ АЛГЁВР ЛЙ
Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через К Мини-
мальную подалгебру алгебры L со свойством L = М +
4- К. Рассмотрим М П К. Это — идеал алгебры L (см.
аналогичное утверждение в 1.9.2). Если М К cz ф
то по лемме 1.9.5 М(~}К^Ф(Ь). Так как М Q К—
идеал, то на самом деле М р| К cz ф (L) = {0}. Таким обра-
зом, можно считать, что М Q К Q2 Ф (К), В этом слу-
чае К есть максимальная подалгебра Р такая, что
К = М К + Р. В этом случае
L = M + K= M+(Mf]K + P) =
= {м + м п к) + р = м + р,
что противоречит минимальности выбора подалгебры К
относительно Свойства L = М + К. Таким образом, L =
= М ф К, и К есть искомое дополнение.
1.9.7.	Теорема (Тауэрс). Пусть L — алгебра Ли
конечной длины над Л, Ф (L) = Ф, ф (L) = ф, N (L) = N.
Тогда ф (Zz/ф) = {0}, а также
(i)	Ф П N = ф => 7V2; .
(ii)	N (L/ф) = TV/ф = So (L/ф);
(iii)	Идеал Л7ф дополняем в L/q, т. е. для некоторой
подалгебры M/q имеем Ыу = TV/ф ® Mlq.
Доказательство. Тривиальность идеала Фрат-
тини ф (L/ф) алгебры L/ф — непосредственное следствие
определения. Для доказательства утверждения (i) напом-
ним (см. 1.7.2), что для нильпотентной алгебры Ли N
ее коммутант содержится в ее подалгебре Фраттини. Зна-
чит, №с ф (N). Поскольку N2 — идеал в L, по лемме
1.9.5 №^Ф(£) = Ф. Далее, по следствию 1.7.7 теоре-
мы Барнса ф cz Ф Q N. Положим Фх = Ф р| W и по-
кажем, что Фх = ф. Если Фг — идеал в L, то, по опреде-
лению, ф Фх и ф = Фх. Допустим, что Фг — не идеал
в L. Тогда ЬФХ Ф. Пусть Р — максимальная подал-
гебра в L такая, что Р ЬФХ. Поскольку £ФХ cz TV,
имеем L = N 4- Р. Из этого равенства вытекает, что
ЬФ± = (N + Р) Фх с N2 4- Р Ф (L) 4- Р о Р.
Полученное включение ЬФХ cz Р противоречит выбору
подалгебры Р. Значит, Фх — обязательно идеал в L,
а тогда ф == Фх. Таким образом, утверждение (i) полно-
стью доказано.
Первое равенство в (И) следует из теоремы 1.7.7. Дей-
ствительно, если 57ф — нильпотентный идеал в L/ф, то
по этой теореме S — нильпотентный идеал в L, т. е.
1.10. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ	51
S с N и S/q cz Л7<р. Отсюда N (L/ф) TV/ср. Обратное
включение очевидно. Далее, очевидно, что So =
= 50 (L/<p) cz N (L/q). Пусть теперь Р/ф — дополнение
к So в L/ф, существующее по лемме 1.9.6. Тогда L/ф =
= So ф М/ф. Из модулярного закона вытекает, что N/q> =
= So ф (М/ф П /V/ф). Поскольку N2 cz ф (см. (i)),
M/q П N/q — абелев идеал в L/ф. Такой идеал, однако,
должен быть либо нулевым, либо иметь ненулевое пере-
сечение с S0=S0 (L/ф). Дело в том, что So (L/ф), по опре-
делению, есть сумма всех минимальных абелевых идеа-
лов алгебры L/ф, а в М/ф р| А//ф, если этот идеал нену-
левой, должен содержаться минимальный абелев идеал.
Итак, М/ф р| N/q> = {0} и N/q = So.
Утверждение (iii) вытекает из леммы 1.9.6. Факти-
чески мы доказали его в предыдущем абзаце. Теорема до-
казана.
1.10. Градуированные алгебры
1.10.1. Определение градуированной алгебры. Пусть
R — некоторая алгебра над коммутативным кольцом Л
с единицей, Е — некоторая коммутативная полугруппа.
Мы скажем, что система Л-подмодулей {R% | £ Е S} за-
дает ^-градуировку алгебры Я, если
(i) Я = ф R$ (ii) R^Rn с	(1)
US
Обычно в роли Е будут фигурировать полугруппа нату-
ральных чисел с операцией сложения, или группа целых
чисел по сложению, или группа вычетов Zm по модулю т.
Возможны, разумеется, и случаи других полугрупп.
Ненулевой элемент г Е называется однородным
степени £. Допустим, далее, что Е — линейно упорядо-
ченная полугруппа, т. е. на Е имеется линейный порядок
такой, что из £ т) следует £ ф £ <^ ц ф £ для лю-
бого £ Е S. Пусть г — произвольный элемент из R та-
кой, что
^• = ^4-^4-...+^, где &<&<... <ti,
то r%f называется старшим членом элемента г, а — млад-
шим членом этого элемента.
1.10.2. Примеры, (i) Кольцо многочленов R —
а:2, . . ., z,J является N'-градуированным, где N' = N (J
U {0} CZ Z, причем для любого « СЕ N' подмодуль Rn
есть Л-ободочка одночленов степени и.
52	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
(ii) Алгебра Ли X = Wn обладает Z-градуировкой,
в которой £к = {0} при к < — 2, есть А-оболочка
дифференцирований вида /	, где / — однородный мно-
гочлен степени $.
(iii) А-алгебра R с 22-градуировкой R = RQ ф Rr
называется супералгеброй Ли, если в ней выполняются
тождества
+ (— 1)а₽ Х^Ха = 0,
(Х^у) = ((хахр) у) + (- 1)«р (а:р (хау)),
где ха е Ra, хр G Яр, у ?= R- Таким образом, RQ — это
алгебра Ли, Rr — это Я0-модуль, а умножение индуци-
рует симметрическое билинейное отображение из Rt в Яо
такое, что
а (Ьс) + Ъ (ас) ф a (cb) = 0,
(ga) b + a (gb) = g (ab),
где g ЕЕ Rq, а, Ъ, с ЕЕ R^
1.10.3. Однородные подалгебры. Аддитивная подгруп-
па S градуированной алгебры R с полугруппой индексов
Е называется однородной, если
5=е(5п^).
Иными словами, вместе с любым г —	ле-
жащим в S, его компоненты г^., 1 = 1, . . ., t, также ле-
жат в S. Допустим теперь, что' S — однородный идеал.
Тогда, положив *5$ = S р| R%, £ ЕЕ S, мы получим
я/5= © я^/ ®	е (Rt/St).
US US	us
Тем самым факторалгебра R/S наделяется структурой
S-градуированной алгебры, причем ее однородная компо-
нента (R/S)% является образом компоненты R% и изоморфна
A-модулю R^/S^. Например, если R — супералгебра
Ли, то можно говорить о факторсупералгебре Ли по одно-
родному идеалу S.
1.10.4. Фильтрации. Пусть снова S —.линейно упо-
рядоченная коммутативная полугруппа. Мы скажем, что
семейство {Р* | £ ЕЕ S} A-подмодулей в А-алгебре Р
задает (возрастающую) фильтрацию, если: (i) Р = U Р%-
US ’
(ii) из | т) следует Р^ cl Р^; (iii) Р^Р^ cz Р^+П;
1.10. ГРАДУИРОВАННЫЕ АЛГЕБРЫ
53
(iv) Q Р* = {0}. Аналогично определяется убывающая
фильтрация. ЕслиР — фильтрованная алгебрцс возрастаю-
щей фильтрацией, как выше, то можно определить градуи-
рованную алгебру R = gr Р, ассоциированную с Р. Для
любого £ Е S определим A-модуль gr^ Р, полагая gr^P =
= Р^РЪ, vjip pl = J рл. Тогда A-модуль gr Р = ф-gr^P
п<£	£её
превращается в а-градуированную А-алгебру, если для
однородных элементов а = х% -j- Р^, Ъ = уц -|- Рп поло-
жить	_
аЪ = ху 4- P«+TL
! Если Q — некоторый A-подмодуль в Р, то А-оболочка
элементов вида gr х = х ф Р^, где х Е Р* П (?, являет-
ся, очевидно, однородным подмодулем в gr Р. Если Q —
подалгебра, то и gr Q — подалгебра. Наконец, если R =
= ф Rl — градуированная алгебра, то, положив R5> =
I = ф мы превратим R в фильтрованную алгебру. По-
нятно, что gr^/? = /?£. Это позволяет отождествить gr R
с R. Тогда, если Q есть A-подмодуль в Я, то grQ — так-
же A-подмодуль в /?, но уже однородный. Можно сказать,
что gr Q является А-оболо^кой множества старших членов
элементов из Q-.
Лемма. Пусть А — поле. Q — подпространство в
R. grQ — линейная оболочка старших членов элементов из
Q. Если Е вполне упорядочено и dim LIQ = т < оо,
то и dim L/gr Q — т.
Доказательство. Заметим, что если Q R.
то обязательно найдется индекс £ такой, что gr^Q R%.
Действительно, допустим противное. Пусть г Е R — од-
нородный элемент минимальной степени ц такой, что
г Q, Поскольку grn Q = Rn. найдется q G Q такой,
что г — q Е Ф R%. По предположению R% cz Q для всех
Поэтому г — qEzQ. т. е. г Е Q. Противоречие.
Пусть теперь подпространство С R% таково, что
R% = Е% ф gr^ Q. Если Е = ф Е^. то R — Е ф gr Q.
)
Из доказанного ранее ясно, что и R = Q -|- Е. Допустим,
что Q р Е =/= {0}. Пусть q — элемент наименьшей степе-
ни £, лежащий в Q р Е. Тогда gr q Е gr^ П grg Е =
= gr&(? П Е^ = {0}. Противоречие. Значит, R = Q ф
ф Е. Теперь понятно, что dim R/Q = dim R/gr Q =
= dim E. Лемма доказана.
54	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
1.11. Ограниченные алгебры Ли (р-алгебры Ли)
1.11.1. Пример. Пусть Л — кольцо аддитивной экспо-
ненты р, где р — простое число (например, Л — поле
характеристики р > 0). Рассмотрим ассоциативную ал-
гебру А и алгебру Ли [Л]. Операция возведения элемента
х G А в степень р обладает следующими свойствами:
(1)	(Кх)р = Крхр, X е Л, х е А;
(2)	ad жр = (adz)p, хЕЕА;
(3)	(х + 1/)р = хр + Z/P + Sj Si (х, у), где 1st (ж, у) —
коэффициент при Г-1 в многочлене ad (tx 4- у)р-1 (ж) Е
ЕЛ [/], ж, у Е4.
Свойство (1) очевидно. Для доказательства свойства (2)
для любых ж, а Е А положим 1Х (а) = ха, гх (а) = аж.
Тогда lx, rx Е EndA А и ljy = rylx для любых ж, у Е А.
Далее, зАх = 1х— гх. Применяя формулу бинома Нью-
тона, получим
р-1	/р\ .
(ad ж)р _ (lx - гх)р = (Zx)p - (гх)р +	1)Ц J =
= (!х)р — (rx)p = lxP — rxP=ad жр
В этих выкладках использовано, что для любого 1 = 1,...
..., р — 1 коэффициент ) — .!(ppJ_ q| -Делится на р. Для
доказательства свойства (3) рассмотрим в кольце много-
членов А [1] следующее равенство с неопределенными
коэффициентами:
р-i	«
(/Ж + у)р = tPxP 4- ур 4- 3 fist (ж, у).
t=»l
Взяв производную по t от обеих частей этого равенства,
мы получим
р—1|	р—ij
Sj 4- уУ X (tx 4- y)p-1-i = Sj [it^Si («» у).
i®=0’
Рассмотрим теперь ad (tx +y)p~1 (x). Как и при доказа-
тельстве свойства (2), мы получим
ad + yjp-1 = (ltx+y — rtx+y)p^ =
= S(-i)4p7
i=0	'	1	/
Для завершения доказательства осталось заметить, что
l.ii.	ОГРАНИЧЕННЫЙ АЛГЁЁРЫ ЛИ (^-АлГЁЁЁЁ! ЛИ) 55
для любого i = 0,1,.. .,р — 1 имеем^ ~	= (— l)T(mod р).
Это соотношение индукцией по i легко выводится из извест-
ного рекуррентного соотношения для чисел сочетаний
(Х'7‘) + О
Заметим, что если х, у 6Е [4], то элемент st (х, у) е
ЕЕ alg (ж, у). Эти соображения делают корректным следую-
щее определение.	'
1.11.2.	Определение р-алгебры Ли. Алгебра Ли L над
кольцом А простой аддитивной экспоненты р > 0 с допол-
нительной унарной операцией х •-> хр, удовлетворяющей
аксиомам (1), (2), (3), называется ограниченной, или р-алгеб-
рой Ли. Любой A-подмодуль М в L, замкнутый относитель-
но операций умножения и возведения в степень р, назы-
вается р-подалгеброй. Аналогично определяется р-идеал.
Факторалгебра по p-идеалу естественным образом пре-
вращается в р-алгебру Ли. Наименьшая р-подалгебра р-ал-
гебры L, содержащая подмножество X этой алгебры, на-
зывается его р-оболочкой и обозначается через algp (X).
Символ хрГ обозначает (жрГ“1)р.
1.11.3.	Предложение. Пусть L — некоторая
р-алгебра Ли и М — ее подалгебра Ли (т. е., возможно,
не р-алгебра Ли), которая как A-подмодуль порождена
некоторым множеством X. Если Р = algp (М) — наи-
меньшая р-подалгебра, содержащая М, то Р является
А-оболочкой множества Y, состоящего из элементов хрГ,
х (= X, г = 0, 1, 2, . . ..
Доказательство. Достаточно показать, что
М—множество A-комбинаций вида
'	Х]ХР 4" %2#2 + • • • “Ь ^$#8 »
^2, • • • > СЕЕ А, хъ х% •. . xs Е— X,
где гх, г2, . . ., г8 — неотрицательные числа, образует
р-подалгебру в L. Это действительно так: если х, у ЕЕ X,
то
x?uypv = (ad х)Ри (yPv) = — (ad x)vu~* (yv°x) =
=^"(ad xjp^fad (x).
Полученный элемент лежит в М, ‘значит, выражается в ви-
де A-комбинации элементов множества X. Используя толь-
ко что доказанное и проводя индукцию по числу s 1,
56	ЕЛ. 1. ЬВЕДЁНИЁ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
заметим, что
(А,]#! 4" %2#2 + • • • “F М? s)p =
= «r,+1 +	+ ... + +
р—1
4“ 2j Si (A»l#l , %2^2 “Ь • • • “Ь ^sxP S)*
i«=l
Все. члены st суммы являются произведениями в смысле
алгебры Ли, значит, по доказанному, лежат в М. Пред-
ложение доказано.
1.11.4.	Примеры, (i) Если R — некоторая Л-алгебра,
char А = р > 0, то ее алгебра Ли Бегд (R) является р-ал-
геброй, так как для любого дифференцирования S: R —» R
отображение 8Р (в обычном смысле) — также дифферен-
цирование.
(ii) Алгебра si (n, A), char А = р 0, является р-
подалгеброй в алгебре Ап матриц относительно обычного
возведения в степень р.
(iii) Любая A-алгебра Ли, вложимая в алгебру Ли [А]
ассоциативной A-алгебры А над кольцом Л характери-
стики р 0, вложима также и в р-алгебру Ли. Это —
непосредственное следствие предложения 1.11.3.
1.12.	Упражнения
1.12.1.	Любое коммутативное кольцо, в котором х + х = О,
удовлетворяет тождеству (2) из 1.1.1. Привести пример такого коль-
ца, в котором выполняется (2), но не выполняется (1).
’ 1.12.2. В любом антикоммутативном кольце R якобиан J (х,
у, z) — кососимметрическая функция своих аргументов. В частно-
сти, для любых х, у е R имеем J (х, у, х) = J (х, х, у) — J (у, х,
х) = 0.
1.12.3.	Пусть А — коммутативное кольцо без делителей нуля,
I — его идеал. Тогда А-модуль / может быть наделен лишь нулевой
структурой А-алгебры Ли.
1.12.4.	Пусть А — коммутативная алгебра, 6 — ее дифферен-
цированно. Положим {а, Ь} = аб (Ь) — Ьб (а). Тогда А превращает-
ся в ацгебру Ли.
1.12.5.	Доказать, что если б — нильпотентное дифференци-
рование алгебры G, то е6 = 1 +	“ автоморфизм алгебры G.
п—1
1.12.6.	-Найти центр алгебры gl (п, А).
1.12.7.	С точностью до изоморфизма найти все полупрямые про-
изведения одномерной алгебры над полем на одномерную. Описать
все двумерные алгебры Ли над полем.
1.12.8.	Доказать, что для любых трех идеалов А, В, С алгебры
Ли L выполняется включение (АВ)С CZ (ВС) А + (С А) В.
1.12. УПРАЖНЕНИЯ
57
1.12.9.	Привести пример алгебры Ли со строго убывающим
нижним центральным рядом и конечным верхним центральным
рядом.
1.12.10.	Идеал Р алгебры G называется первичным, если из ус-
ловия НК С Р, Н, К < G, следует, что либо Н CZ Р, либо К CZ р.
Доказать, что’ это условие в случае алгебр Ли эквивалентно такому:
для любых a, b е G из a-idL (Ь) CZ Р следует или а е Р или b е Р.
1.12.11.	Пусть центр алгебры Ли G над полем имеет конечную
коразмерность. Доказать, что коммутант алгебры G конечномерен.
1.12.12.	Пусть G — алгебра Ли над полем с конечным числом
порождающих. .Допустим, что dim G? < оо. Доказать, что тогда
dim GlZ (G) <00. Верно ли это для алгебр, не имеющих конечного
числа порождающих?
1.12.13.	Пусть V, W — два G-модуля, где G— алгебра Ли над
кольцом А, Нотл(7, W) — модуль А-эндоморфизмов из V в IV.
Положим (gf) v = gf (г?) — f (gv), g e G, f e HomA (7, W), v e V.
Доказать, что тем самым Ношл(7, W) становится G-модулем.
Гомоморфизм / является G-инвариантом (т. е. G/= {0}) в том и толь-
ко том случае, когда он является гомоморфизмом G-модулей.
1.12.14.	Пусть V есть G-модуль, где G — алгебра Ли над коль-
цом А, (7) — пространство билинейных функций на 7 со значе-
ниями в А. Положим (gb) (v, w) = b (gv, w) + b (v, gu). Доказать,
что (7) превращается в G-модуль. Показать, что если G конечно-
мерна над полем А, то функция / (gx, g2) = tr (ad Si ad g2) на при-
соединенном G-модуле G является инвариантной, т. e. G/= {0}.
1.12.15.	Найти главные факторы алгебры gl (2, А) над полем А
произвольной характеристики.
1.12.16.	Пусть G = si (2, A), char А = 0, Я = АА, где h =
=diag {1; —1}Является ли G полупростым Я-модулем относительно
присоединенного действия?
1.12.17.	Пусть А = Л2 — алгебра матриц второго порядка над
A, char А = 0, L с [A), L = si (2, А). Разложим, ли левый регу-
лярный L-модуль А в прямую сумму простых L-модулей?
1.12.18.	Примем обозначения из 1.6.7. Пусть Тп (G, М) — про-
странство А-полилинейных отображений из G в М. Для g е G
и / €= Тп (G, М) определим (0 (g) /) (хъ . . ., хп) = g (/ (хи . . .
n
. . ., хп)) — 2J / (х1ч • • •>	• • •» Показать, что 0 — пред-
1=1
ставление алгебры Ли G и что Сп (G, М) устойчиво относительно
0 (G).
1.12.19	(см. 1.12.18). Для любого х е G определим i (х):
Сп (G, М) G”"1 (G, М), полагая (i (х) /) (х1ч . . ., хп_г) =
— f (х, xt, . . .,	Показать, что i (х)2 =0' и 0 (х) i (у) —
i (у) 0 (х) = i (ху).
1.12.20	(см. 1.12.19). Индукцией по размерности коцепей по-
казать, что для любого х е G справедливы равенства
’ di (х) + i (х) д = 0 (у),	00 (у) = 0 (у) О.
1.12.21	(см. 1.12.20). Показать, что д* перестановочно с i (х)
для любого х & G. Применяя индукцию по размерности коцепей?
вывести отсюда, что д2 = 0,
58	ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ АЛГЕБР ЛИ
1.12.22.	Пусть G — алгебра Ли, V — некоторый G-модуль,
Vе = {у | Gv = {0}}. Доказать, что Я0 (С, V) Vе.
1.12.23.	Рассмотрим £как присоединенный G-модуль. Доказать,
что Я1 (G, G) Der G/ad G.
1.12.24.	Пусть G = Ал © Ab, M — Nv, ab — 0, GM = {0}.
Найти Я2(в, M).
1.12.25.	Пусть G — нильпотентная алгебра Ли над кольцом А,
N — нетривиальный идеал в G, Z (G) — центр алгебры G. Доказать,
что N Cl Z (G) Ф {0}.
1.12.26.	Пусть Ng (Н) = {g | gH С Я} - нормализатор под-
алгебры Я в алгебре G. Показать, что NG (Я) — подалгебра, Я —
идеал в NG (Я). Если G — нильпотентная алгебра над кольцом А
и Я =f= G, то Ng (Я) =/= Я.
1.12.27.	Пусть G — конечно порожденное нильпотентное коль-
цо Ли. Показать, что любое его подкольцо также является конечно
порожденным.
1.12.28.	Пусть G — конечно порожденное нильпотентное коль-
цо Ли. Допустим, что | Z (G) | < оо. Доказать, что тогда и | G | < оо.
1.12.29.	Пусть G — конечное нильпотентное кольцо Ли, адап-
тивная группа которого является абелевой р-группой, где р — не-
которое простое число. Доказать, что Ф (G) = G2 + pG,
1.12.30.	Пусть G — локально нильпотентная простая алгебра
Ли над кольцом А. Доказать, что G — простой Л-модуль.
1.12.31.	* Пусть G — двумерная метабелева алгебра Ли с бази-
сом я, у, причем [я, #] = у, V = A R] — кольцо многочленов над
полем А. Превратим V в G-модуль, полагая xf = tf (/), yf = f (t — 1).
Доказать, что V — неприводимый точный G-модуль в случае, когда
А — поле характеристики нуль.
1.12.32.	Пусть G — как в предыдущей задаче, А — поле ха-
рактеристики р 3> 0, V — пространство над А с базисом {ej, ...
. . ер}. Положим xei = eit_v 1 < i < р, хер — er, yej = (/* — 1) е;,
1	< р. Показать, что V — точный неприводимый G-модуль.
1.12.33.	Использовать конструкцию полупрямого произведе-
ния и результат предыдущей задачи для построения конечномерной
разрешимой алгебры Лив над полем характеристики р > 0 такой,
что G2 — ненильпотентная алгебра.
1.12.34.	Доказать, что метабелева алгебра с тождеством (ad х)п=
= 0 нильпотентна ступени не выше п (char А = 0).
1.12.35.	Алгебра с тождеством (ad#)a= 0 нильпотентна сту-
пени 3. Указание. Доказать сначала, что в любой алгебре Ли
справедливо тождество
3*^4 I *^'2*^'3^'4*^1 I Х3Х4Х& —J-” X^X-^XtfX^ —• 0.
1.12.36.	Алгебра Ли с тождеством (ad х)2 = 0 над кольцом А,
в котором элемент 3 обратим, нильпотентна ступени 2.
1.12.37.	Является ли нильпотентной алгебра Ли с тождеством
(ad х)2 = ad xf
1	.'12.38. Пусть G— метабелева алгебра Ли линейных операто-
ров векторного пространства V над полем A, char А = 0. Допустим,
что существует натуральное к такое, что g*v = 0; тогда G — ниль-
потентная алгебра.
1,12.39.	Доказать, что если L — алгебра Ли, М — нильпотент-
ный идеал в L и G = ЫМ2 — энгедева алгебра Ли, то L — энгрлрвл
алгебра Лц,
1.13. ЙОММЁЙТАРЙЙ
59
1.12.40.	Превратить трехмерную неабелеву нильпотентную ал-
гебру Ли в р-алгебру. Сколько попарно неизоморфных структур р-
алгебры имеется на этой алгебре? Привести пример нильпотентной
алгебры Ли над полем характеристики р >> 0, которую нельзя пре-
вратить в р-алгебру.
1.12.41.	Описать структуры р-алгебр Ли на двумерных алгеб-
рах Ли над полем Л характеристики р > 0.
1.12.42.	Провести проверку утверждений из п. 1.11.4.
1.12.43.	Можно ли алгебру простых кососимметрических матриц
превратить в р-алгебру Ли?
1.12.44.	Доказать, что любую алгебру Ли L можно вложить в не-
которую алгебру L такую, что идеал М алгебры L является идеалом
алгебры L тогда и только тогда, когда М — характеристический иде-
ал, т. е. выдерживает все дифференцирования алгебры L.
1.13.	Комментарий
Большую часть этой главы составляют классические резуль-
таты, обычно включаемые во все книги по алгебрам Ли. Основное
отличие состоит в том, что мы старались рассматривать алгебры
над произвольным коммутативным кольцом. С другой стороны, мы
не рассмотрели теорию полупростых алгебр Ли над полем характе-
ристики нуль. Лишь в разделе 6.2 мы дадим (в чисто утилитарных
целях) сводку некоторых результатов этой важной части теории
алгебр Ли. Впрочем, все недостающие ему сведения по этому во-
просу читатель может почерпнуть из ряда книг таких, как став-
шие уже классическими книги Н. Бурбаки [23, 24], Н. Джекобсо-
на [38], Ж.-П. Серра [106], а также книг И. Капланского [49],
М. М. Постникова [96], М. Гото и Ф. Гроссханса [36]. Перечислим
также несколько книг по алгебрам Ли на английском языке: [153,
158, 178, 188, 189]. Несколько эскизно нами изложена теория
расширений алгебр Ли в разделе 1.6. Для большей детальности
следует обратиться к книгам [38, 110]. Теория Фраттини, необхо-
димая нам в основном для изучения тождеств в конечных,алгебрах
Ли, основана на журнальной литературе [141, 142, 180]. Не появ-
лялись ранее в книгах и пример П. Кона 1.8.7 и теорема П. Хиг-
гинса 1.8.9. Их источник — статьи [149 и 156].
Г л а в a 2
СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
2.1.	Алгебры Ли с тождествами
2.1.1.	Неассоциативные многочлены. Пусть X =
= {хг, х2, . . ., хп, . . .} — некоторое счетное множество,
которое мы будем называть множеством переменных.
Неассоциативный одночлен степени 1 — это любой элемент
множества X. Если п — натуральное число, то неассо-
циативный одночлен степени п — это любое произведение
вида (и) (у) такое, что и — неассоциативный одночлен
степени A, a v — неассоциативный одночлен степени п — к.
По индукции определены неассоциативные одночлены лю-
бой натуральной степени. Условимся не писать скобок
в выражении (и) (у) вокруг и (или г), если и (соответственно
v) — одночлен степени 1. Неассоциативный многочлен /
над кольцом Л есть любая конечная формальная линейная
комбинация неассоциативных одночленов с коэффициента-
ми из Л. Если в запись многочлена / входят лишь пере-
менные хъ я2, . . ., яп, а а2, . . ., ап — элементы не-
которой Л-алгебры R, то /(«ц а2, . . ., ап) — элемент
алгебры Д, получающийся в результате применения по-
следовательности вычислений, указанной в записи много-
члена /, к элементам ах, а2, . . ., ап, стоящим на месте пе-
ременных хг, х2, . . ., хп.
2.1.2.	Алгебры с тождеством (PI-алгебры). Допустим,
что F — некоторый класс Л-алгебриД ЕЕ F. Мы скажем,
что Д — алгебра класса F с тождеством (или Р1-алгебра),
если существует неассоциативный многочлен такой, что
для любых Oj, а2, . . ., ап е= Д имеем / (a1?.a2, . . ., ап) =
= 0, но в то же время существует алгебра S Е F и элемен-
ты &х, Ь2, . . ., bn е S такие, что / (Ь1У Ь2, . . ., Ьп) 0.
Выражение/ (xt, х2ч . . ., хп) = 0 в этом случае называет-
ся тождеством- алгебры Д в классе F. Так, взяв в качест-
ве F класс коммутативных, антикоммутативных, ассоциа-
тивных, альтернативных, Йордановых алгебр или алгебр
Ли, мы придем к понятию коммутативной, антикоммута-
тивной и т/д. алгебры с тождеством. Следует отметить, что
2.1. АЛГЕБРЫ ЛИ С ТОЖДЕСТВАМИ	61
любое кольцо Ли является алгеброй с тождеством в классе
всех антикоммутативных колец, так как существуют анти-
коммутативные кольца, в которых не выполняется тожде-
ство Якоби (например, кольцо многочленов Z2 Ы). Тер-
мин Vl-алгебра (polynomial identity algebra) применим, как
правило, к ассоциативным алгебрам.
2.1.3.	Алгебры Ли с тождествами. Примеры, (i) Любая
абелева алгебра является алгеброй Ли с тождеством. Соот-
ветствующий неассоциативный многочлен — это f (х, у) =
= ху.
(ii)	Любая нильпотентная алгебра Ли — это алгебра
с тождеством (см. 1.7.1). Нетривиальность тождества ххх2...
. . . хс+1 = 0 в классе алгебр Ли следует, например, из
существования нильпотентных алгебр Ли ступени с +1.
(iii)	Разрешимые алгебры Ли ступени I — алгебры Ли
с тождеством (х19 х2, . . ., x2i) = 0 (см. 1.8.1). Нетри-
виальность этого тождества вытекает из существования
алгебр L с L2 == L: таковы, например, все простые не-
абелевы алгебры.
(iv)	Рассмотрим неассоциативный многочлен вида
Sn (#1» • • • > #П+1) == 3 ₽G^G(l)*^<r(2) • • • Хо(п)Хп+1, (1)
aesn
где Sn — симметрическая группа степени п, 8а = 1,
I если перестановка о четная, и 8а = —1, если а нечетная.
Тогда, если L — произвольная алгебра . размерности,
меньшей п, то sn (х19 . . ., xn+i) = 0 тождество в L. Вы-
полнимость тождества видна из того, что если Е =
= {е19. . ., en~i) — некоторое Л-порождающее множество
для L, то любое значение sn (х19 . . ., xnil) является ли-
нейной комбинацией значений на элементах множества
Е. Поскольку при этом среди значений переменных
х19 . . ., хп будут обязательно два равных, из кососим-
метричности выражения вытекает, что оно равно нулю.
Для доказательства нетривиальности тождества рассмот-
рим алгебру gl (п -|-1, Л) и подставим
1	Хп+1 ~ ^11? Хп ~ ^21> ^П-1 = ^32» • • •> X} = ^п+1, п>
где еи — матричные единицы. Тогда из правила перемшь
жения матричных единиц видно, что единственное ненуле-
вое слагаемое в правой части равенства (1) получается при
о = 1 и равно en+i х. Значит, (1) — не тождество в gl (п
+ 1, Л).	’ •
62	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ	I
(v)	Пусть Wm — алгебра Ли дифференцирований кольца
Л[х1?. . ., хт] (см. 1.2.3). Для любого т — 1, 2, ... — это
алгебра Ли с тождеством. Мы покажем, что (1) — тожде-
ство в Wm при п — т2 ~^-2т +2. Напомним (см. 1.10.2),
что Wm = Ж-i ф 20ф 21ф ... —градуированная алгебра и
т
^£$9 в том и только том случае, когда для
любого i — 1, . . ., т либо = 0, либо deg/f = $	1.
Если sn (х19 . . ., хп11) = 0 — не тождество, то в силу
линейности по всем аргументам найдутся однородные
и19 . . ., ип+1 такие, что и = sn (и19 . . ., ип+1)	0. Тогда
и ЕЕ 2S. Если s 0, то, например, Д =# 0, и. найдется /
такое, что -|^-=#0. Тогда
Г д 1 dfA д , д ,	, д . А
[^7’“]	+ 8i~d^ + •••+ 8т'дГ^'
С другой стороны, по правилам дифференцирования произ-
ведения	
Г 9	1	([ д	3	\	,
йГ > В ~ М •йГ' ♦»!,•••> “п+1 ) -Г...
L 3	J	\L з	J	>
... 4-sn(iii, . .., Г^, B„J) • (2)
\	L j J J
Значит, одно из слагаемых в (2) отлично от нуля и имеет
степень, строго меньшую чем 5. Заметим, далее, что
dim 2-х = т, а (1) кососимметрично по всем аргументам,
кроме Xn+i- Поэтому при подстановке элементов базиса под-
пространства <2-1 в (1) не более т 4- 1 аргумента могут
принять значения в 2-1. Поскольку в результате должен
получиться элемент из 2-1, не более т аргументов могуг
принять значения из базиса подпространства ф 2/. Получа-
<>о
ется, что кососимметрические аргументы в количестве не ме-
нее п — (2тп-|- 1)= тп24~ 1 должны принять значения в 20.
Так как dim <20 ~ т29 то после подстановки должен по-
лучиться нуль. Наше утверждение доказано.	।
(vi)	Допустим, что L — подалгебра в алгебре Ли вида j
L4] (см. 1.2.1), где А — ассоциативная PI-алгебра. Тогда	|
L — алгебра Ли с тождеством. Действительно, согласно	<
[39, гл. X] найдется натуральное число п такое, что если |
/ = 0 — тождество в ассоциативной алгебре Ап квадрат-
ных матриц, то при подходящем I > 0 f = 0 — тожде- ?
2.2. СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА ЛИ	63
ство в А. Поскольку [AJ — алгебра Ли размерности
п2, в ней выполняется тождество
5п»+1 (^i> • • •»	^п»+г) ~ 0.
Значит, в А выполняется
($na+i (#1» • • •»	^пЧг)) ~ 0.
Как и в доказательстве теоремы 1.7.3, отсюда вытекает
(ad (^i, • .	#n*+2))2Z 1 — 0.
Итак, в L выполняется тождество
(ad	• • •» ^п’+г))2^1 (^п2+з) — 0.
Проверка того, что это — нетривиальное тождество, уже до-
статочно сложна. Проще всего это сделать с использованием
развитой теории свободных алгебр Ли, к которой мы и пере-
ходим, начиная со следующего раздела. Заметим, что дру-
гой подход к только что доказанному результату можно
найти в разделе 6.3.
2.2.	Свободная алгебра Ли
2.2.1’	. Свободный группоид. Пусть X — некоторое непу-
стое множество, Г = Г (X) — совокупность всех неассо-
циативных одночленов от переменных, составляющих
множество X. Множество Г(Х)— это множество с опера-
цией * приписывания одночленов, т. е. для u, v = Г (X)
их произведение есть (и) (у) (как и в 2.1.1, мы не окружаем
скобками сомножители первой степени), Мы будем назы-
вать множество с операцией группоидом. Группоид Г(Х)
является свободным в следующем смысле.
Предложение. Пусть G — некоторый группоид.
Для любого отображения (р: X —> G существует единст-
венный гомоморфизм ф: Г (X) —> G такой, что ф |х = ф.
Доказательство. Отображение ф опреде-
ляется индукцией по степени одночленов. Для одночленов
степени 1, т. е. элементов х ЕЕ X, полагаемф (х) = ф (х).
Если же w == (и) (г), то полагаем ф (со) = ф (и) ф (у) (в правой
части — умножение в группоиде G). Все требуемые свойства
отображения ф очевидны. Предложение доказано.
2.2.2.	Полистепень. Если G— группоид натуральных
чисел Ы с операцией сложения, то отображение х »-> 1
для всех х ее X поднимается до гомоморфизма d: Г (X) —>
N, Очевидно, что d (и) есть степень одночлена г,
64	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Пусть теперь G = Zx — множество функций из X в Z-
Положим (а + р) (х) — а (х) + р (х). Для любого х ЕЕ
ЕЕ X обозначим через ах функцию такую, что ах (х) = 1
и ах (у) = 0 при у #= х. Отображение х ах для всех
х е X продолжается до гомоморфизма т: Г (X) —» Zx.
Назовем функцию т (у) полистепенью одночлена v. На-
пример,
d (((ху)у) (ху)) = 5, т (((ху) у) (ху)) = 2ах + Зау.
Для натурального п обозначим через Гп (X) (или про-
сто Гп) множество одночленов v ЕЕ Г (X), для которых
d (у) = п. Для любого а ЕЕ Zx обозначим через Га (X)
(или просто Га) множество одночленов РЕ Г (X), для ко-
торых т (у) = а. Ясно, что Га (X)	0 тогда и только
тогда, когда а — функция с конечным носителем supp а,
где
supp а = {х е X | а (я) =/= 0),
причем для всех х ЕЕ supp а имеем а (х)	0. Множество
всех таких функций мы обозначим буквой Ф. Для любой
функции а ЕЕ Ф определим число | а I = 3 а (х). Таким
х&Х
образом,
Г(Х)= и г„(Х), Г(Х)= и Га(-Х), гп= и га,
п=э1	а=Ф	|а|=п
причем объединение во всех случаях непересекающееся.
2.2.3.	Свободная алгебра. Пусть Л — коммутативное
кольцо с единицей, X — непустое множество, Г = Г (X) —
свободный группоид над X. Обозначим через F (X) сво-
бодный Л-модуль, базисом которого является множе-
ство Г. Если /, g^F(X), то/= g = S lV-
пег	ver
Определим умножение * в F (X) так, чтобы выполнялись
все аксиомы Л-алгебры, а также чтобы произведение эле-
ментов из Г CZ F (X) было равно произведению элементов
в Г. Ясно, что это можно сделать лишь одним способом:
f*g = з Хииг (и)(V).
u,ver
Следующее предложение аналогично доказанному в 2.2.1.
Предложение. Пусть R — произвольная А-ал-
гебра и ф — произвольное отображение из X в R. Тогда
оно единственным образом продолжается до гомоморфизма
<р; F (X) —» R такого ? что* <р |х = у.
2.2. СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА ЛИ	65
Пусть теперь п — натуральное число и а — функция
из Ф (см. 2.2.2). Обозначим через Fn = Fn (X) Л-оболоч-
ку множества Гп (X), а через Fa = Fa (X) Л-оболочку
множества Га (X).' Элементы H3.Fn называются однород-
ными степени а элементы из Fa — полиоднородными
полистепени а. Если а*(х) — 0 или 1 для всех z Е X, то
элементы из Fa называются полилинейными относитель-
но переменных из X' — supp а. Имеем прямые разложе-
ния
Г(Х)= ф Fft(X), F(X)= ф Fa(X). (1)
п»1	аеФ
Следует отметить, что для любого a Е Ф Л-подмодуль
Fa (X) имеет конечный ранг. Далее, для любых натураль-
ных п, т и для любых а, (3 Е Ф имеем
Fn * Pm — Рп+т,	F& * F$C^ Fа+р.
2.2.4.	Свободная алгебра Ли. При любом гомоморфиз-
ме из F (X) в произвольную алгебру Ли в нуль пере-
ходят элементы f * / и J (/, g, h) = f * (g *h)
+ g* (h * /) + h * (/ * g), где /, g, ft E F (X). Пусть I —
наименьший идеал в F, содержащий все указанные элемен-
ты. Факторалгебра L (X) = F (Х)П называется свобод-
ной алгеброй Ли с множеством X свободных порождаю-
щих. Произведение в L (X) будет обозначаться приписы-
ванием с расстановкой скобок вокруг сомножителей.
Если G — произвольная алгебра Ли, то, как мы знаем, лю-
бое отображение ср: X —> G продолжается до гомоморфизма
ф: F (X) —» 6г, причем К = Ker qE 7. По первой теореме
о гомоморфизме существует гомоморфизм <р: L (X) ==
= F(X)//->G, ядро которого равно КП. В частности,
если G — абелева алгебра, являющаяся свободным Л-мо-
дулем с*базисом X, то .подходящий ф отображает Л-под-
модуль, порожденный всеми классами х -|- Z, х ЕЕ X,
на свободный Л-модуль, порожденный множеством X,
причем так, что х ф I х. Это позволяет отождествить
множество X с его образом в F (Х)П и утверждать, что
ЛХ — свободный Л-подмодуль в L (X). Приняв такое ус-
ловие, получаем следующее утверждение.
Предл о ж е н и е. Пусть G — произвольная А-ал-
зебра Ли и <р — произвольное отображение из X в G. Тогда
оно единственным способом продолжается до гомоморфизма
ф: L (X) G такого, что Ф |х = Ф-
3 Ю. А. Бахтурпн
66	гл. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
2.2.5.	Предложение. Идеал I —- однородный
в смысле разложений (1) идеал алгебры F (X).
Доказательство. Нужно показать, что
/= ®(/п^п) и
п=1	-ае.Ф
Поскольку оба случая аналогичны, докажем справедли-
вость второго разложения. Итак, нужно показать, что если
a = SMa Д где т (/а) = а, то и /а ЕЕ I. По определе-
а
нию идеала I любой его элемент имеет вид Л-линейной ком-
бинации произведений вида
U-^ 4s ... * U§ 4s f 4s f 4s	4s ... 4s Uf
И
i>x ♦ . . . ♦	♦ J (f, g, h) * vp+i * ... * vq,
при некоторой расстановке скобок, причем щ, Vj можно
считать одночленами. Поскольку одночлены полиодно-
родны, а произведение полиоднородных элементов поли-
однородно, достаточно рассмотреть случай, когда а —
это элемент вида J (f, g, h) и / * /. Заметим, что если
/ = S Wa, g = S h = ЗМу, где /a, hv — поли-
однородные, TO
J (/, g, h) = 3 A«|ipVv J (fa, gfi, hy),
где элементы J (fa, gp, Ay) GE /’a+p+y П I- Далее, если
/ = S W“i’ T0
1=1
t	t
f *f —	^04^0^/04 * /aj = 3 ^04^04 * /04 “F
“F SI ^a^aj (/04* /aj + /04 * fa^)*
i<j
Здесь fa. * fai S F^ П I- Кроме того,
/оц * /aj “F /aj * /04 ~
— (/a| “F /aj) * (fat + /aj) — /04 * /04 /aj * /aj ЕЕ I П Fa.+a^.
Значит, и для элемента /*/наше утверждение доказано.
Итак, I — однородный идеал. Предложение доказано. .
Положим Ln (X) = Fn (X) 4- Ш и La (X) = Fa (X) +
+ ПЦ n EE N, a e Ф. В силу однородности идеала I ви-
2.2. СВОБОДНАЯ АЛГЕБРА ЛИ	67
дим (см. 1.10.3), что!
L(X)= ф Ln(X) и L(X) = Ф La(X).
п=»1	аеФ
Элементы из Ln (X) называются однородными степени п,
а элементы из La (X) — полиоднородными полистепени а.
Если для любого х имеем а (х) = 0 или 1, то элементы из
La (X) — полилинейные многочлены от переменных, вхо-
дящих в supp а.
Впоследствии (см. 2.3.5) мы увидим, что все модули
La (X) и Ln (X) — свободные Л-модули.
2.2.6.	Свободная ассоциативная алгебра. Пусть А —
коммутативное кольцо с 1, X — непустое множество,
W (X) — множество ассоциативных слов в алфавите X
с операцией приписывания. Пустое слово обозначается
через 1 и играет роль единицы в полугруппе W (X). Че-
рез А (X) обозначим свободный A-модуль, базисом кото-
рого является W (X). Введем операцию умножения эле-
ментов в А (X) по дистрибутивности, используя опера-
цию умножения в W (X). Полученная алгебра называется
свободной ассоциативной алгеброй с 1 и множеством X
свободных порождающих.
Предложение. Для любой ассоциативной алгеб-
ры S с единицей 1 и любого отображения ip: X —> S суще-
ствует единственный гомоморфизм <р: А (X) —> S такой,
что ф (1) = 1 и Ф |х = ф.
Доказательство очевидно.
Аналогично проделанному в 2.2.3, мы получаем раз-
ложения
IF(X)=U ^n(X), TF(X) = U Wa(X),
п=о	аеФ
А (X) = ф Д. (X),	А (X) = Ф Ла (X),
п=о	а(=Ф
и вводим понятия однородных, по л иоднородных и поли-
линейных элементов (единственное отличие состоит в по-
явлении компонент Wo (X) = {1}иА0 (X) = А1).
2.2.7.	Тождества. Приведенные в этом разделе пос-
троения позволяют определить тождество в А-алгебрах
Ли (см. раздел 2.1) как соотношение вида f = 0, где / —
ненулевой элемент произвольной свободной алгебры Ли
L (X) над А. Это тождество выполняется в алгебре Ли G
в том и только том случае, когда при любом гомоморфизме
3*
68
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
я: L {X) G имеем л (/) = 0. Нетривиальность тождества
f = 0 следует из того, что	(X). Аналогично, с по-
мощью алгебры А (X) определяется понятие тождества
в ассоциативных алгебрах с единицей. Тождество g = 0 —
следствие тождества f = 0, если оно выполняется во всех
алгебрах, в которых выполняется / = 0. Тождества / = 0 и
g = 0 эквивалентны, если каждое из них — следствие
другого. Мы скажем, что / = 0 полилинейно, полиоднород-
но, однородно, если таковым является элемент /.
Если V — некоторое подмножество в L (Х)> G — про-
извольная алгебра Ли, то V (б?) есть наименьший идеал
алгебры G, содержащий все элементы л (v), где л — произ-
вольный гомоморфизм из L (X) в G, a v ЕЕ V. Если 7*= 0,
то, понятно, V (G) = {0}. Идеал V (G) называется вер-
бальным идеалом, отвечающим множеству неассоциатив-
ных многочленов V. Алгебра G/V (G) удовлетворяет всем
тождествам v = 0, где v ЕЕ V. Идеал V (L (У)) есть со-
вокупность всех следствий системы тождеств {v = 0 | v е
G= У}, зависящих от переменных из множества У. Ана-
логично определяется вербальный идеал ассоциативных
алгебр, часто называемый идеалом тождеств или Г-идеа-
лом.
2.3.	Базисы свободной алгебры Ли
2,3.1.	Определение базисного семейства. Пусть X —
некоторое непустое множество, Г = Г (X)свободный
группоид над X (см. 2.2.1). Мы назовем базисным семейст-
вом любое подмножество R = R (X) cz Г (X) = Г с ли-
нейной упорядоченностью <1, которое удовлетворяет сле-
дующим условиям.
Rl. X^R.
R2. Элемент w = и * v лежит в R тогда и' только
тогда, когда:
(i) и, и ЕЕ R, (И) и < v,
(iii)	если р =	* г2, то u > vt.
R3. и * v > и.
Обозначим Rn = R р| Гп (X), Ra — R Q Га (X), где nEEN,
а G Ф (см. 2.2.2).
Пример базисного семейства может быть получен так.
Положим R1 == X и введем на R1 произвольным образом
полную упорядоченность. Определим множества Rn,
п=2,3,..., по индукции, включая в Rn+1 множество
Rn и одночлены степени п + 1 из RnRn, удовлетворяю-
2.3. БАЗИСЫ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ	0<)
щие условиям (ii), (iii). Дополним упорядоченность на
Rn до упорядоченности на Дп+1 произвольно, но так, что
для любого и ЕЕ Дп41 р Гп+1 и v СЕ Rn имеем и и.
оо
Положим R = U Rn. Базисное семейство такого вида
71=1
называется семейством Холла.
Основной результат настоящего раздела состоит в том,
что образ любого базисного семейства при естественном
гомоморфизме из Г (X) в L (X) (см. 2.2.1) является бази-
сом свободного A-модуля L (X). Обозначим этот гомомор-
физм буквой 8. Итак, для любого и ЕЕ Г (X) элемент
8 (и) лежит в L (X). Согласно нашему условию, если
х ЕЕ X, то 8 (х) — это просто х. Одночлены вида 8 (и),
где и ЕЕ Д, мы будем называть базисными. Будем считать,
что 8 (и)	8 (р), если и V.
2.3.2.	Лемма. Пусть R — базисное семейство
в Г (X). Тогда для любого а ЕЕ Ф имеем La — As (Да).
Доказательство. Заметим, что для любого
а Е Ф справедливо La = As (Га). Проведем индукцию
по' | а |. Если | а | = 1, то Ra = Га, и все доказано.
Пусть 11 а |	1. Любой элемент из La есть линейная ком-
бинация элементов w вида w = uv, где и ЕЕ L$, v Е:
и Р + у = а. По индукции элементы и и v представимы
в виде линейной комбинации базисных одночленов. Рас-
крывая произведение uv по дистрибутивности, можно
считать, что одночлены и, v уже базисные. Применяя за-
кон „антикоммутативности, получаем, что любой элемент
из La представим в виде линейной комбинации элементов
w вида w = uv, где и ЕЕ 8 (Др), v ЕЕ с (Ду), р + у = а,
причем и < v. Индукцией по | у | покажем, что w являет-
ся линейной комбинацией базисных одночленов =
= ^1, . . ., ws = usps, причем Wi u, i — 1, 2, . . ., s.
Основание индукции очевидно. Если | у | = 1, то для
w = uv выполнено R2 (так как v неразложим в произ-
ведение), т. е. ш GE 8 (Д). Кроме того, согласно R3, w и.
Итак, допустим, что | у | > 2. Тогда v = vrv2, где
vi < ^2- Если и то zp GE 8 (Д), и все доказано. До-
пустим/ что и < v±. Применяя тождество Якоби, получим
W = и (рхР2) = — рх (р2и) — v2 (uvr) = vr (uv2) — V^UVj).
По индуктивному предположению одночлены uv2 и uvr
(и < ух < v2) представимы в виде линейной комбинации
базисных одночленов и' таких, что и и. Таким образом,
мы представили одночлен w = uv в виде линейной комби-
70
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
нации элементов вида vxu' и p2u', где р1? р2, и' > и* Зна-
чит, vxu' и и2и' ЕЕ 8 (Га) \ {ии}. В свою очередь, скажем,
если I?! < и', а и = щц2 и vx < их, то аналогичным прие-
мом мы сможем выразить элемент vxur в виде линейной
комбинации элементов вида ир^ и u2vx таких, что иъ ии
и2 > yi> т- е- через одночлены из. множества г (Га) \
\ {ии, ихи'}. Этот процесс не может продолжаться не-
ограниченно, так как Га — конечное множество. Поэтому
на некотором этапе все одночлены, через которые выра-
жаются одночлены предыдущего этапа, должны быть ба-
зисными. Более того, на каждом шаге одночлен w = up,
и < р, представляется как линейная комбинация одно-
членов Wi = UtVf таких, что иь Vi^> и. Если теперь wt
оказывается базисным, то в силу R3:	> щ и, что
и требовалось. Лемма доказана.
2.3.3.	Канонический гомоморфизм из L (X) в А (X).
Пусть А (X) — свободная ассоциативная алгебра с мно-
жеством X свободных порождающих (см. 2.2.6). Будем
смотреть на А (X) как на алгебру Ли [Л (X)] относитель-
но операции коммутирования (см. 1.2.1). В силу свой-
ства универсальности свободной алгебры Ли (предложе-
ние из 2.2.4) тождественное отображение i: X -> X про-
должается до гомоморфизма Г: L (X) -> [Л (X)]. Мы
увидим позже, что I — вложение, иными словами, что
множество X порождает в [Л (X)] свободную алгебру Ли
относительно операции коммутирования. Сначала йы до-
кажем одно утверждение, которое будет полезно и в Дру-
гих разделах.
2.3.4.	Предложение. Пусть В — подалгебра Ли
в [С], где С — ассоциативная А-алгебра с 1. Допустим,
что В является А-оболочкой вполне упорядоченного мно-
жества Е се В, а С как ассоциативная алгебра порождена
1 и множеством В. Тогда С является А-оболочкой 1 и
множества упорядоченных произведений вида
^1^2 • • • где ех е2
^2» • • •»	^9
n = 1, 2, ...
Доказательство. Превратим С в В-модуль
относительно умножения слева (см. конец п. 1.6.2). Тогда
С — циклический В-модуль, порожденный элементом 1.
Остается применить 1.6.10. Предложение доказано.
В конкретном случае, когда В = Г (L (X)), С =
= Л (X), Е = Ге (В (X)), мы получаем такое утверждение.
2.3. БАЗИСЫ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
71
Следствие. Для любого аЕФ, а =/= О, A-под-
модуль Аа (X) является А-оболочкой множества упорядо-
ченных произведений вида
wrw2 . . . ws, где wi == I (uf),	> . . . > u8,
uiE£ (7?аа.)> ах + . . . + а8 = а. (1)
Доказательство. Непосредственное приме-
нение леммы 2.3.2, предложения 2.3.4 и определения А-
подмодуля Аа (X) (см. 2.2.6).
2.3.5.	Расстановка скобок на словах. Мы знаем, что
по определению (см. 2.2.6) A-модуль Аа (X) есть линей-
ная оболочка всевозможных ассоциативных одночленов
хгх2 . . . хп таких, что т (хгх2 . . . хп) = а, (2)
причем элементы (2) образуют базис свободного А-модуля.
Покажем, что для любого а Е Ф, а =/= 0, число элемен-
тов вида (1) и (2) — одно и то же.
Лемма. На любом ассоциативном одночлене можно
единственным способом расставить квадратные скобки
так, что получится элемент вида (1).
Доказательство. Индукция по длине п слова
w = хгх2 . . . хп с очевидным основанием при п = 1. Мы
будем называть (1) правильной расстановкой скобок на w.
(i)	Существование расстановки. Рас-
смотрим w' = хгх2 . . . хп-ъ По предположению индукции
на w' можно расставить скобки так, что получится эле-
мент вида W]W2 . . . ws, где wt = I (u$), ut EE e (R), i =
= 1, 2, . . ., s, ur^ u2^ . . . > us. Если xn us, to
полагаем ws+1 = Ге (xn) = xn и w1w2 . . . wsws+1 — эле-
мент из A (X) такой, что иг и2	us us+1,
и этот элемент получается расстановкой скобок на w.
Допустим теперь, что us<xn и р — наименьшее из на-
туральных чисел таких, что ир (ир+1 (ир{.2 (.. . (usxn).. .)))—
базисный одночлен, т. е. ир < ир+1 (ир+2 (. . .(usxn) . . .)).
Тогда неассоциативный одночлен
ир — Up (ир+1 (ир+2 (• • • (UsXn) •••)))
удовлетворяет всем требованиям из R1 и R2, т. е. ир ЕЕ
С е (7?). Положим wp = Г (ир). Элемент
WiW2 . . .	(при р=/=1) или (при р = 1)
получается расстановкой скобок на w и при р =/= 1 имеем
72
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Up-x Up. Таким образом, желаемая правильная расста-
новка скобок получена.
(ii)	Единственность расстановки.
Мы рассматриваем расстановку скобок на слове w =
= хгх2 ... хп. Допустим, что имеется две расстановки
wrw2 . . . ips и	- w'r- Одночлены и8 и и'г такие, что
I (us) = w?s и Г (ur) = w'r, согласно условию R2 единствен-
ным образом представляются в виде
us = ах (а2 (...(а,«п) . . .)) и bt(b2(. . . (Ътхп) . . .)),
где а2 > • • . > Qi и Ъг Ь2	Ьт — элементы
из 8 (7?). Если Т (az) = (bj) — bj, i=i, . . ., Z, j — 1, . . .
. . ., m, to u\w2 . . . ws-x<iiG2. . . и w'xW2 . . . w'r-x ЬХЪ2 • • .
. . . bm — правильные расстановки скобок на w’ —
= Хх. . . хп-х- Для того чтобы убедиться в этом, достаточно
показать, что	и Ur-i^bx. Но это так вследст-
вие того, что	(свойство R3). Аналогично,
Uy-x^ ur Ьг. В силу единственности правильной рас-
становки скобок на wf имеем
= р1? . . Ul = bm = vf.	(3)
Заметим, однако, что’£ = тп, исходя из того, что как эле-
мент ап тай и элемент Ьг в ряду (3) равных базисных од-
ночленов определяются как самый левый одночлен vp =
= i (vp) указанного ряда, для которого vp (рр+1 (. . .
. . . (vtXn) ...)) — базисный одночлен. Значит, I = т,
s = г и Wx = w'x, . . ., ws-x = Ws-г <h = b19 . . .,	= fcz.
Отсюда и w8 = ws. Лемма полностью доказана.
2.3.6.	Теорема. Для любого непустого множествах
и произвольного коммутативного кольца А с единицей
свободная алгебра Ли L (X) является свободным Х-моду-
лем, базисом которого может служить совокупность всех
базисных одночленов, определенных произвольным базис-
ным семейством R (X).
Доказательство. В свободном А-модуле
Аа (X) имеется базис из всевозможных одночленов вида
(2), а также система * порождающих элементов вида (1).
Согласно лемме из 2.3.5 число элементов вида (1) в Аа
равно числу элементов в указанном базисе< Отсюда сле-
дует, что множество одночленов вида (1) — также базис.
Действительно, пусть число элементов в обоих множе-
ствах равно числу q. Обозначим элементы базиса через
. . ., aq, а элементы вида (1) — через . . ., bg. Пусть
2.3. БАЗИСЫ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ	73
S = (оо), Т = (тц) — две квадратные матрицы порядка q
такие, что
q	q
j^=l	j=l
Тогда
q	q q
ai ==>	== zLl 51
j—1	j=l 7c—1
Поскольку {a1? . . aq} — базис, имеем Заитл’ =
т. e. ST — единичйая матрица Iq порядка q. В этом слу-
чае det *S-det T = 1. Пусть f — матрица из алгебраи-
ческих дополнений к элементам транспонированной
матрицы Т. Тогда ТТ = ТТ — det T-Iq. Получаем
Т (ST) Т = TIqT = det TIq. Отсюда TS det T =
= det T • Iq. Умножая обе части на det S, видим, что
TS = Iq. Допустим теперь, что . ., bq не составляют
базиса, т. е. при некоторых %х, Х2, . . ,ДдЕ А, где хотя
бы одно отлично от нуля, имеем + %262 + • • •
. . . + Kqbq = 0. Переходя к матричной записи, видим,
что (%!, %2, . . ., Kq) Т = 0. Умножая на S справа, полу-
чим (%1? %2, . . ., Хд) TS = 0. Так как TS = Iq, то =
— %2 = ...== Хд — 0.
Итак, элементы вида (1) образуют базис в Аа- В силу
прямого разложения А = ф Аа всевозможные элементы
а
Г (ux) I (u2) ... I (us), где ux > u2> . .. > us, ut z (/?),
независимы над А. В частности, независима над А и подси-
стема этой системы, состоящая из произведений длины
5 = 1; таким образом, элементы вида Г (и), где и ЕЕ е (7?),
линейно независимы над А. Значит, порожденный этими
элементами свободный A-подмодуль в А (X) изоморфен
A-подмодулю L (см. лемму 2.3.2). Теорема доказана.
Следствие. Подалгебра Ли алгебры [А (X)], по-
рожденная множеством X относительно операции комму-
тирования, является свободной алгеброй Ли со свободным
порождающим множеством X.
2.3.7.	Базис Холла. Частный случай описанного выше
базиса получается заменой свойства R3 из 2.3.1 на более
сильное свойство
R3'. Если d (и) d (и), то и v.
Такой базис называется базисом Холла свободной алгебры
74
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Ли. Выпишем часть одного из базисов Холла свободной
алгебры Ли L (я, z/), до степени 6 включительно (мы пред-
полагаем расстановку скобок правонормированной):
х < у < ху < х2у < уху < х3у < ух2у < у2ху < х*у <
< уз?у < у2х2у < у3ху < (ху) (х2у) < (ху) (уху) < х3у <
< ух*у < у2а?у < у^у < у*ху < (ху) (х3у) <
< ^у) (ух2у) < (ху) (у2ху) < (х2у) (уху) < . . .
2.3.8.	Базис Ширшова. Пусть X — вполне упорядо-
ченное множество, W (X) — полугруппа слов с лексико-
графической упорядоченностью. Таким образом, мы счи-
таем, что ж1гг2 ... xs > х'гх2 . . . хг, если не существует
такого неотрицательного р, что xs_p < хг_р и #s-p+i =
= £г-р+ь . ... xs = хг. Например, если хг < х2 < х%. то
z2x3	Назовем (ассоциативное) слово
aEEW (X) правильным, если из а = ага2. а =f= alt а2
следует, что а^>а2аг. Сопоставим каждому неассоциатив-
ному одночлену w Г (X) слово w е= W (X), получаю-
щееся опусканием скобок на w. Рассмотрим множество R
неассоциативных одночленов, построенное по следующим
признакам:
Rl. X е Я.
R2. Элемент вида w — и * идежит в R тогда и только
тогда, когда:
(i) u, v ЕЕ R; (И) й < г?;
(iii) если v = vt * v2. то u >
Теорема (Ширшов). Образ множества R при есте-
ственном отображении из Г(Х) в ЦХ) (см. 2.3.1) есть
базис свободного A-модуля L (X).
Доказательств о._ Достаточно показать, что
отношение w1<Zw2^w1<Z w2 есть полная упорядочен-
ность на множестве R. причем выполняется условие R3 из
2.3.1. Для доказательства первого утверждения доста-
точно заметить, что одночлен w^R однозначно опреде-
ляется (правильным) словом w. Для этого проведем индук-
цию по степени одночлена w. Пусть w == ахф. где хг —
наименьшая из букв алфавита X в данной записи, причем
Ъ не содержит х±. Ясно, что Ь =/= 1, более того, Ъ = хф’
для некоторой буквы х2 >> хг. Одночлен (х^ входит
сомножителем в одночлен w. Действительно, в противном
2.3. БАЗИСЫ СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ	75
случае в w будет сомножитель вида (и/ * жх) * (z2 * w").
Однако w' * xt ЕЕ Л, т. е. w' * хт — это просто xv По
свойству R2 тогда хг я2, что невозможно. Присоединим
к алфавиту X слово у = хгх2 с сохранением порядка.
Тогда, заменив в w каждое вхождение одночлена (#i#2)
на у, получим из w одночлен wr меньшей степени в алфа-
вите хг, у, х2, . . . Заметим, что — правильное слово,
притом меньшей длины, значит, по предположению ин-
дукции, оно однозначно определяется одночленом юг.
Аналогичное рассуждение показывает, что любое правиль-
ное слово а имеет вид a =w, где w ЕЕ R. Докажем теперь
выполнимость условия R3. Итак, пусть u, v ЕЕ R. Дока-
жем, что й uv. Допустим противное, т. е. что U	uv.
Если й' не является правым подсловом в Uv, то vU	йг?,
что невозможно, так как Uv — правильное слово. Далее,
й не является правым подсловом в F, так как й v.
Значит, U = pv для некоторого р GE W (X), р Ф 1.
Имеем pv Uv, откуда р U = pv. Снова, как и прежде,
U = qp для подходящего q ЕЕ W (X). Далее, U = qp =
= pv vp. Отсюда q^>v. Применяя это неравенство
и то, что длины слов q, v совпадают, получаем U = qp
> P9>pv = й. Полученное противоречие показывает,
что предположение U Uv неверно. Теорема доказана.
Выпишем элементы базиса R в случае алгебры
L (х, у) в степенях до шестой включительно:
« < эРу	эРу< эРу < (эРу) (ху) < (эРу) (ху) <^ху<.
<(эРу) У < (х3у) у < (ху)((зРу) у) < (х*у) у < ((х*у)(ху)) у <
< (ху) У < ((эРу) У)У< (эРу) у < ((ху)((ху) у)) у <
< ((ху) у)у< (((эРу) у)у)у< (((ху) у)у)у<
< ((((ху) у) у)у)у < У-
Последнее утверждениэ этого пункта легко доказы-
вается индукцией по степени базисного одночлена.
Предложение. Рассмотрим L (X) как под-
алгебру Ли в [А (X)]. Пусть и = & (ш) — базисный одно-
член, w ЕЕ R- Запишем и как линейную комбинацию ас-
социативных слов. Тогда старший член этой линейной
комбинации относительно лексикографического порядка
равен w.
76	гл. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
2.4. Подалгебры свободных алгебр Ли
2.4.1. Пример. Согласно известной теореме Нильсе-
на — Шрайера из теории групп, любая подгруппа сво-
бодной группы сама свободна. Этот результат не имеет
полного аналога в теории алгебр Ли. Например, пусть
L ({я, у}) — свободное кольцо Ли, т. е. алгебра над коль-
цом целых чисел. Обозначим через Н подкольцо, порож-
денное элементами 2ж, у, ху. Запишем:
Li — Li ф L2 ф • •. ф Ln ф*.. , Нi = Н
Поскольку Н порождается однородными элементами,
Н = Hi ф Н2 ф . . . Ф Нп ф. . .
Здесь Hi = <2х> ф <^>,‘ Н2 = <я#>. Если Н2 — ком-
мутант, то (H2)i = {0}, (Я2)2 = <2од>, . . . Допустим, что
Н — свободное кольцо Ли. Тогда HIH2 — свободная
абелева группа. Однако в HIH2 есть ненулевой элемент
ху + Я2, порядок которого равен 2. Противоречие.
Таким образом, подкольцо Н не является свободным.
Заметим, что если Н порождается системой элементов
из АХ, которую можно включить в базис этого свободного
Л-модуля, то Н — свободная подалгебра. Это можно
вывести из следующего вспомогательного утверждения.
Лемма. Пусть L (X) — свободная алгебра Ли над
кольцом Л, Y — некоторый базцс свободного А-модуля
АХ. Тогда Y — свободное порождающее множество для
L (X).
Доказательство. Пусть (р — такой Л-авто-
морфизм свободного модуля АХ = ЛУ, при котором
базис X переходит в базис У, а ф — обратный автоморфизм.
Тогда ограничения Ф |х и ф |х продолжаются до гомо-
морфизмов ф, ф: L (X) -+L (X). Имеем
(ф Ф) |лх = ф|лх • Ф|лх = ф|лх • Ф |лх = фф |лх = 1 лх-
Аналогично, (фф)|дх =. 1дх- Значит, фф = фф = 1l<^.
Таким образом, ф — автоморфизм алгебры Ли, переводя-
щий X в У. Так как X — свободное порождающее мно-
жество, то же самое верно и для У. Лемма доказана.
2.4.2. Порождающие множества для некоторых идеа-
лов. В этом пункте мы докажем одно предложение и вы-
ведем из него следствия о свободности некоторых подал-
гебр в свободных алгебрах Ли над произвольным кольцом.
2.4. ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР ЛИ	77
В следующем пункте будет доказана теорема о t сво-
бодное™ однородных подалгебр над кольцом, все проек-
тивные модули которого свободны. Затем в качестве
следствии мы докажем известные теоремы А. И. Шир-
шова и Э. Витта, относящиеся к случаю поля и кольца
целых чисел.
Итак,, пусть X — непустое множество, Г = Г (X) -т
свободный группоид над X, S — левый идеал в Г, т. е.
для любого и е Г, v ЕЕ S имеем и * v ЕЕ 3. Допустим,
что 7? — некоторое базисное семейство со следующим
свойством. Если и EER \ 3, a v ЕЕR П 3, то и <1 V.
Элемент w ЕЕ 3 называется S-приводимым, если .он пред-
ставим в виде w = u*v, где uEES, veeS. В^противном
случае элемент w ЕЕ S называется S-неприводимым.
В следующем предложении мы будем отождествлять
элементы из Г (X) с их каноническими образами в L (X).
Предложение. Пусть S — левый идеал
в Г (X), Y — множество S-неприводимых элементов из
R р| 3 (R — как выше). Тогда Л-подмодуль М свобод-
ной А-алгебры Ли L (X), порожденный нйд А множеством
R П 3, является свободной алгеброй Ли с множеством
свободных порождающих Y.
Доказательство. Пусть У' — множество,
находящееся в биективном соответствии 0 с множеством У,
Р: У' —> У. рассмотрим Г' ® Г (У'), и пусть р: Г (У') —>
—> Г (У) продолжение отображения р до изоморфизма
группоидов. Будем строить базисное семейство R'
в Г' == Г (У') следующим образом. Положим R± = У' и,
используя р“\ перенесем на У' линейную упорядочен-
ность множества У (являющегося подмножеством вполне
упорядоченного множества R). Допустим, что нами уже
построены множества R[, R2, . . ., Rm-i так, что р (Ri) ЕЁ
CZ R П 3. Пусть множество Rx J #2 U • • • U Rm-i
линейно упорядочено, причем РI <	»	>	—гомомор-
физм. упорядоченных множеств. Построим Rm как мно-
жество произведений и * V, где и 6= Rv V €= Rm-t,
и и р, и если v = * р2, то u > рх. Покажем, что
0 (Rm) CZ R п В самом деле, "0 (и), 0 (р) е R П И
'0(u}<_0(p). JEcnii V — рх * v2, рх, р2 е 0-1 (S), то
0 (р) == 0 (рх) * 0 (р2), и по индукции и рх, т. е. 0 (и) >
0 (рх). Таким образой, w s R Л Если иг нераздф’-
78
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
жим, то veY'. Образом множества Y' является У,
значит, если Р (и) =	* ip2, то wt е R \ 8, a
ЕЕ R Q_8. Однако Р (и) ЕЕ Я ("] 8, значит, р (и) > Wf,
откуда р (и * v) — снова элемент из R. Перенесем теперь
на Й1 (J й2 (J • • • U Ят упорядоченность множества
Р (Й1 U й2 (J • • • U^m)- Полагая Я' = U Rm. мы по-
т=1
лучим подмножество одночленов в Г' с некоторой упоря-
доченностью, для которого выполнены условия (R1),
(R2), (R3) из 2.3.1. Таким образом,k Я' — базис свобод-
ного Л-модуля L (У'). Образ алгебры L (У') при гомо-
морфизме р, индуцированном отображением р, есть под-
алгебра Н алгебры L (X). Эта подалгебра совпадает
с Л (R Q 8) в силу того, что S — идеал в Г. Элементы
множества Я', являющегося базисом свободного Л-мо-
дуля Z/, инъективно переходят в элементы, принадле-
жащие Л-базису R модуля L (X). Это говорит о том, что
Р: L (У') —> Н есть изоморфизм свободной алгебры Ли
L (У') и подалгебры Л (R f) 5), при котором р (У') =
= У. Значит, У — свободное порождающее множество
подалгебры Л (Я Q S). Предложение доказано.
Следствие; Пусть L (X) — свободная алгебра
Ли над произвольным кольцом Л.
(i) Допустим, что X = X' (J X". X' X" = 0,
X' 0. Пусть также R"—базисное семейство для
L (X"). Тогда идеал Т алгебры L. порожденной множеством
X'. является свободной алгеброй Ли со свободным порож-
дающим множеством, состоящим из элементов множества
X' и произвольных правонормированных произведений
вида
им . . . Vs-t xs. где xs X'.
Vi >	. . > vs-!. Vt e R". (1)
(ii) Коммутант L (X)2 при | X |	1 является сво-
бодной алгеброй Ли. свободное порождающее множество
которой состоит из правонормированных произведений
хгх2 . . . xs-ixs. где хг ЕЕ X
и xt х2	xs-i	2. j (2)
Доказательство. В обоих случаях требуется
подобрать идеал S. а затем применить предложение.
2.4. ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР ЛИ
79
(i) Пусть S — множество одночленов и из Г (X),
лежащих в Га (X), где а — произвольная функция из Ф
такая, что а (X') =/= 0. Ясно, что S двусторонний идеал
в Г (X). Будем строить базисное семейство, как в 2.3.1.
Как отмечалось при этом построении, в определении упо-
рядоченности на Р = 7?! (J R* U • • • U имеется
определенный произвол. Мы введем упорядоченность
в три этапа. Сначала потребуем, чтобы для любого
и ЕЕ Р Г\ S и v G= Р \ S выполнялось и v. Затем,
чтобы для любых u, v е Р таких, что uv G= Р, выполня-
лось , и uv. После этого дополним упорядоченность до
линейной. При этом второй этап лишь дополняет первый,
так как, если один из членов пары u, uv лежит в S, а дру-
гой там не лежит, то обязательно и S, uv €= 5, так что
со
по первому пункту и < uv. Положим R — (J Ri- Теперь
R" == R П Г (X") — базисное семейство в L (Хп) и не-
приводимые элементы множества R П S имеют вид {1).
(ii) В этом случае нужно положить S = Г \ Г1?
а в качестве R взять любой базис Холла. Тогда неприво-
димые элементы из R f] S — это в точности элементы
множества (2), а Л (R Q S) = L*. Следствие доказано.
2.4.3. Теорема. Пусть Л — коммутативное
кольцо, над которым любой проективный г) модуль свободен.
Допустим, что свободная алгебра Ли L = L (X) над Л
наделена некоторой ^-градуировкой, в которой X однородно
и Н — однородная в смысле этой градуировки подалгебра
такая, что Н — прямое слагаемое К-модуля L. Тогда
Н — свободная алгебра Ли с однородным множеством
свободных порождающих.
Доказательство. По условию L= ф Lt,
t=*i
где Lt — однородная компонента с номером t, t = 1, 2,...
По условию Н = ф Ht, где Ht = Н П Lt, t = 1,2,...,
и для некоторого Л-подмодуля К имеем L = К ф Н.
Модули Н, К проективны и, значит, свободны. Далее,
К L/Н = ф Отсюда все LJHt — проективные,
значит, свободные. Таким образом, найдутся Л-под-
модули Lt такие, что Lt =* Ht Q) Lt, причем Ht, Lt
свободные Л-модули, t = 1, 2, . . . Мы представим под-
алгебру Н как пересечение убывающей последо-
х) Проективных модулем называется прямое слагаемое сво-
бодного.
80	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
вательности подалгебр Я<8), 5=0, 1,2, ...» Я<°> = L и
Я(8) = ф . . . ф Яв ф Ls+1 ф /754-2 Ф •••	(^)
при 5=1, 2, ... Допустим, что мы построили одно-
родные множества 5=1,2,..., такие, что	—
свободное порождающее множество для и	=
^B^p[Lt=B^r\ Z=l, 2,. . .,5 — 1. Тогда В = U В?}-'
t=i
однородное свободное порождающее множество для Я.
Действительно, пусть R — некоторое базисное семейство
одночленов от элементов множества В. Любая линейная
зависимость между одночленами множества R есть ли-
нейная зависимость между базисными одночленами из
базисного семейства подходящего подмножества В<&.
Однако это множество свободное порождающее для
я(8) , и получено противоречие. Итак, R—базис Л-модуля,
им порожденного. Снова, как и в доказательстве пред-
ложения в 2.4.2, естественное отображение из L (В)
в подалгебру, порожденную множеством Я,— изоморфизм.
Очевидно, что Я = alg (/?), т. е. Я — свободная алгебра
Ли со свободным порождающим множеством В.
Таким образом, нам нужно построить свободное по-
рождающее множество для Я<®> как в (3), включающее
однородные свободные порождающие для Я^-1) степени,
не превосходящей 5—1 относительно имеющейся в L
градуировки. В этом случае можно рассматривать случай
подалгебры Я такой, что Ht = Lt для всех t, кроме
t =’s, а при t = 5 имеем Lt = Ht ф Lt. Положим
Xt = Х*р| Li, t = 1, 2, . . .; нужно построить свободное
порождающее однородное множество Y для Я так, чтобы
Yr =	. . ., У5-1 = Xs-* (равенство однородных ком-
понент). Пусть G — однородная подалгебра в L, порож-
денная множеством Хх (J Х2 J . . . (J Xs-i. Поскольку.
X — свободное порождающее множество, Ls = ЛХ8 ф
фё?3. Ясно, что Gsc^Hs. Применяя закон модулярности,
* получим Н8 = (AXS Р| Н8) ф G8. Далее,
AXS/AXS П Н8 ЛХ8 + HJH8 АХв ф Gs/Hs
~~LSIН8 === Ls-
Поскольку Ls — проективный A-модуль, для подходя-
щего Ls dL8 имеем AX8 = (AXS Р| Н8) ® L$. Таким
образом, в свободном A-модуле ЛХ8 можно выбрать
базис Zs = Z's \J Z"s, где AX3 Q H8 = AZS' и L3 = AZS.
2.4. ПОДАЛГЕБРЫ СВОБОДНЫХ АЛГЕБР ЛИ	81
Полагая Zf = Xt при t Ф s, получим новый базис
Z= U в свободном Л-модуле АХ. Лемма из 2.4.1
позволяет перейти к новому свободному однородному
порождающему множеству Z алгебры L (X). Для этого
множества имеем: AZS = (AZS Q Н8) ф AZS и AZS р|
Г) Hs = AZs. Забывая о сделанном переходе, будем счи-
тать, что это свойство выполняется уже для самого мно-
жества X. Таким образом, Xs = Xs (J Xs и AXS p| Hs =
= AXS, Ls = AXS. Обозначим через S множество одно-
членов w группоида Г (X), не лежащих в Xs, Ясно,-что
S — идеал, причем для линейной комбинации оболочки
Т множества S выполняются условия первой части след-
ствия из 2.4.2. Свободным порождающим множеством Y
для Т будет тогда X \ Xs и совокупность произведений
(1), каждое из которых лежит в ф Lj. Поскольку Т = Н,
то мы нашли для Н свободное порождающее множество Y
такое, что Yt = Xt для всех i = 1, 2, . . ., 5 — 1. Тем
самым теорема доказана.
Условия теоремы выполняются для области главных
идеалов (в частности, произвольного поля), кольца мно-
гочленов от конечного числа переменных над полем и
в других случаях. В некоторых случаях возможно отка-
заться от ограничений на подалгебру или несколько
' ослабить их.
2.4.4.	Теорема (Ширшов). Пусть Н — ненуле-
вая подалгебра свободной алгебры L (X) над полем А. Тогда
Н — свободная алгебра Ли.
Доказательство. Рассмотрим естественную
градуировку алгебры L — L (X) (т. е. степенями отно-
сительно множества X). Тогда (см. 1.10.4) произвольной
подалгебре Н мы можем сопоставить однородную подал-
гебру gr Я, порожденную старшими частями элементов,
входящих в Н. Поскольку А — поле, по теореме 2.4.3
подалгебра gr Н — свободная алгебра Ли с некоторым
однородным порождающим свободным множеством
'I gr Y для подходящего Y cz Н, причем естественное ото-
бражение Y —> gr У, сопоставляющее каждому элементу
I его старшую часть, биективно. Очевидно, что У — сво-
бодное порождающее множество для alg (У), подалгебры,
I порожденной множеством У. Действительно, указанное
I отображение У -*-gr У индуцирует А-эндоморфизм из
82	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
alg (Y) в gr (Я), при котором базисное семейство R (У)
переходит в базисное семейство R (gr У). Это же сообра- ‘
жение показывает, что ЛЯ (У) = Я, т. е. что alg (У) =
= Я. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобится такое следствие.
Следствие. Пусть L — свободная алгебра Ли 1
над полем Л и Я — собственный ненулевой идеал в L.
Тогда Я — свободная алгебра Ли бесконечного ранга»
Доказательство. Поскольку Я =/= L, су-
ществует х ЕЕ L \ Я. Рассмотрим G = Я ф Ах. По-
скольку G2 CZ Я, свободное порождающее множество У ;
для G можно выбрать с учетом леммы из 2.4.1 так, чтобы
х G= У, а У \ {х} Я. Используя первую част^ след- 1
ствия 2.4.2, мы найдем, что в свободное порождающее
множество для Я входят все произведения
(ad#)8(y), 5 = 0, 1, 2, ..., уеУ\{л:}.
В силу инвариантности ранга свободной алгебры Ли
(см. упражнение 2.8.18) алгебра Я не может быть порож* j
дена конечным множеством. Следствие доказано.	j
2.4.5.	Теорема (Витт). Пусть L — свободное 1
кольцо Ли и Я его однородное подкольцо. Если абелева	]
группа ЫН является свободной абелевой, то Я — свобод-	1
ное кольцо Ли.
Доказательство. Взяв, как и в 2.4.4, есте-
ственную градуировку кольца L (X) и отметив, что из
условия вытекает, что Я — прямое слагаемое в абелевой
группе L (X), мы получим возможность применить теоре-
му 2.4.3. То, что любой проективный модуль над Z
свободен, вытекает из теоремы о свободности подгруппы
свободной абелевой группы. Теорема доказана.	*
2.5.	Универсальная обертывающая алгебра
2.5.1.	Определение. Пусть G — алгебра Ли над ком-
мутативным кольцом Л с единицей 1. Ассоциативная
алгебра U = U (G) с 1 называется универсальной оберты-
вающей для G, если
(i)	существует (канонический) гомоморфизм алгебр Ли
е: G-> [Я];
(ii)	для любой ассоциативной алгебры В с единицей 1
и любого гомоморфизма ср: G —» [Я] существует единст-
венный гомоморфизм ф: U —> В ассоциативных алгебр
с единицей такой, что фе = ф.
2.5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА 83
То, что ф — гомоморфизм ассоциативных алгебр с 1,
означает ф (1) = 1.
Из определения вытекает, что алгебра U (G) един-
ственна с точностью до изоморфизма. Сущест-
вование доказывается следующим образом. Пред-
ставим алгебру G в виде G = L (X)/R, где L (X)— неко-
торая свободная алгебра Ли и R — ее идеал (2.2.4). Тогда
из свойства универсальности для свободных алгебр Ли
и свободных ассоциативных алгебр (см. 2.2.4 и 2.2.6)
следует, что А (X) — универсальная обертывающая для
L (X), и канонический гомоморфизм i: L (X) -> [А (X)] —
это гомоморфизм, продолжающий тождественное отобра-
жение множества X. Пусть S — наименьший двусторон-
ний идеал алгебры А (X), содержащий i (Я). Тогда
U = A (X)/S — универсальная обертывающая для G.
Для нахождения канонического гомоморфизма следует
положить 8 = jiainJ1, где лх: L (X) (X)IR и л2:
А (X) ~+А (X)/S — канонические отображения алгебры
на факторалгебру. Читателю предлагается самостоятель-
но проверить корректность определения, а также выпол-
нимость условия (ii).
2.5.2.	Базис для обертывающей алгебры. Пусть G —
подалгебра в алгебре Ли вида [В], где В — ассоциативная
алгебра. Мы скажем, что В — обертывающая для 6?,
если В порождается множеством G как ассоциативная
алгебра. Как показано в 2.3.4, порождающее множество
для обертывающей алгебры В алгебры Ли G может быть
составлено из упорядоченных одночленов
^1^2 • • • ^П»	^П>	(О
где ЕЕ Е -— элементы линейно упорядоченного базиса Е
алгебры G. Уточнением этого факта является такое утвер-
ждение:
Лемма. Пусть Л — коммутативное кольцо с* 1,
над которым все проективные модули свободные. Допустим,
что А — ассоциативная А-алгебра, порожденная своей
подалгеброй Ли L. Пусть Е и F — два линейно упорядочен-
ных базиса свободного A-модуля L. Если множество Se
упорядоченных одночленов вида (1) является базисом сво-
бодного A-модуля А, то аналогично построенное множест-
во Sp — также базис свободного A-модуля А.
Доказательство. Для краткости элементы
вида dxd2 ..	где D — некоторое подмножество
из L, мы будем называть D-одночленами степени t.
84	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Пусть At есть Л-подмодуль в А, порожденный всеми ^-од-
ночленами степени, не превосходящей t. Тогда А =± |J At.
По модулю At-! подмодуль At порождается упорядочен-
ными 2?-одночленами степени t. Для доказательства леммы
достаточно показать, что образы упорядоченных F-одно-
членов в AtIAt-! образуют базис этого свободного Л-мо-
дуля. Более того, достаточно рассматривать лишь /’'-од-
ночлены, где F' — конечйое подмножество в F. Пусть
Е' — конечное подмножество в Е такое, что АЕ' ZD F',
a F" — конечное подмножество в F, содержащее F' и
такое, что AF" ZD АЕ'. Тогда AF" = AF' ф Т, где Т-—
свободный Л-подмодуль. Используя модулярный за-
кон, получим АЕ' = АЕ' Q (Л/'*ф Т) = AF' ф (АЕ' Q
П Т). Подмодуль АЕ' Г) Т является прямым слагаемым
свободного модуля АЕ', значит, сам свободен. Пусть
Е" — объединение множества F' и базиса для АЕ' р) Т.
Тогда АЕ" = АЕ'. Отсюда | Е' | = | Е" | (см. 2.3.6).
Совпадают и числа упорядоченных Е'~ и ^"-одночленов
степени t (мы вводим на Е" упорядоченность, продолжаю-
щую упорядоченность на F'). Как и в заключительной
части теоремы 2.3.6, мы можем сделать вывод, что образы
упорядоченных E''-одночленов степени t в AJAt-!
Л-независимы. Так как F'-одночлены содержатся среди
/Г-одночленов, то наше утверждение доказано.
2.5.3.	Теорема Пуанкар е—Б и р к г о ф а-^-
Витта. Пусть G — алгебра Ли над коммутативным
кольцом А с единицей, U (G)— универсальная обертываю-
щая алгебра для G. Если G — свободный A-модуль и Е —
линейно упорядоченный базис для G, то каноническое ото-
бражение г: 6? -> U (G) инъективно и U (G) — свободный
A-модуль, базис которого составляют 1 и все одночлены
вида
’e(ei)e(e2) . . . е(еп), > е2 > . . . > е„, и > 1. ,(2)
Первое доказательство. Сначала рас-
смотрим случай G = L (X), £ = г (Я) — совокупность
базисных одночленов. Тогда А (X) = А-1ф Ап (X) и,
П>1
согласно доказательству теоремы 2.3.6, упорядоченные
Е-одночлены и 1 образуют базис в А (X). Бели F — другой
линейно упорядоченный базис для L .= L (X), то такой же
вывод получается с использованием только что доказан-
ной леммы из 2.5.2. Обратим внймание читателя на то,
2.5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА 85
что мы воспользовались леммой, в которой требуется,
чтобы все проективные модули над Л были свободными.
В 2.5.5 мы дадим другое доказательство, свободное от
данного ограничения. Продолжим первое доказательство.
Пусть теперь G — произвольная алгебра Ли, свободная,
как Л-модуль. Представим G в виде G = L (X)IR и, ис-
пользуя следствие из 2.3.6, отождествим алгебру L —
= L (X) с ее каноническим образом в А (X). Тогда
U (G) = А (X)/S, где S — двусторонний идеал алгебры
А = А (X), порожденный лиевским идеалом R. По-
скольку G — свободный Л-модуль, то Л-модуль L пред-
ставим в виде L = G' ф Я, где G' = G. По предположе-
нию о кольце видим, что R — свободный Л-модуль.
Пусть Е' — базис в 6?', образ которого при естественном
гомоморфизме л; L -> L/R совпадает с Е. Пусть Е" —
Л-базис для R. Мы введем на Е'\\Е" линейную упорядо-
ченность так, что е' е" для е' ЕЕ Е\ е" Е" и что
л |е' — изоморфизм упорядоченных множеств< Тогда по
первой части доказательства 1 и упорядоченные (Е' U
U Е")-одночлены
/ /	/ гг Ч	п	г _ -п/	" __ Т?п
^1^2* • •	,
е; > . . . > е; > Й > ej, (3)
образуют базис в А (X) как в свободном Л-модуле. Заме-
тим, что подмодуль в Л-(Х), порожденный одночленами
из (3), для которых I > 0, является двусторонним идеа-
лом в А (X). Этот идеал содержится в S, и, значит, сов-
падает с S. Переходя к образам, мы получим, что утвер-
ждение о базисе в U (G) справедливо. Поскольку из него
вытекает, что образы элементов из Е Л-независимы, мы
получаем, что ф инъективно. Теорема доказана.
В 6.2.1 будет приведен пример алгебры Ли, для
которой каноническое отображение не является инъек-
тивным.
2.5.4.	Фильтрация на U (6г). Обозначим через Z7n,
п 1, Л-подмодуль в t7 (G), равный Л-оболочке G-одно-
членов степени d,	и, и 1. Положим £7° = Л-1
ж t/-i = {0}. Тогда trt7m с Un+m,	и
(C7n)n>-i — фильтрация на Л-алгебре U. Образуем гра-
дуированный Л модуль
grt7(G) = 5 Un^!Un
n==—1
и обычным образом (см. 1.10.4) превратим его в алгебру,
86
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
полагая
(g + СТ""1) (h + и*-1) = gh+ Un™-\ g^un, h(= U”1.
Алгебра gr U (G) порождается элементами g + СТ0’
g E G. Имеем
(gi + CT°)(g2 + CT°) = glg2 + CT1 = g2gx + (gb g2] + CT1 =
- = gzgi + u1,
так как [gi, g2] ЕбС СТ1. Таким образом, gr CT (G) —
коммутативная алгебра.
Предложе нши е. Примем условия теоремы 2.5.3.
Тогда тождественное отображение Е-+Е продолжается
до изоморфизма кольца многочленов A LZ?] и алгебры
gr U (G).
Поскольку gr СТ (G) — коммутативная алгебра, такой
гомоморфизм существует. Он сюръективен, так как
gr СТ (G) порождается элементами е + СТ0, е е Е. Инъек-
тивность отображения вытекает из теоремы 2.5.3.
2.5.5.	6г-модули и СГ((?)-модули. Пусть G—алгебра
Ли нбд А и М — некоторый G-модуль. Тогда М является
и СТ (GJ-модулем, причем ограничение действия на М
алгебры СТ (G) на подалгебру G совпадает с исходным дей-
ствием алгебры G. Действительно, пусть р: G-> gl (М) —
соответствующее представление алгебрыG в М (см. 1.6.2).
Обозначим через А обертывающую ассоциативную алгеб-
ру множества 1 U р (G) линейных операторов A-модуля М.
Тогда, по определению универсальной обертывающей ал-
гебры (см. 2.5.1), существует единственный гомоморфизм
ф: СТ (G) -> А, продолжающий отображение р и перево-
дящий 1 в 1. Значит, М является и СТ (GJ-модулем с ука-
занным ограничением на G. Разумеется, верно и обратное:
любой СТ (С)-модуль естественным образом является и
G-модулем. При указанном соответствии легко видеть, что
совпадают понятия подмодуля, фактормодуля, прямой
суммы модулей относительно G и СТ (G). Таким образом,
универсальная обертывающая алгебра для алгебры Ли
является аналогом групповой алгебры для группы.
Второе доказательство теоремы
2.5.3. Рассмотрим свободный циклический G-модуль М
со свободным порождающим t (см. 1.6.10)). Согласно
предыдущим замечаниям он является и циклическим
СТ (С)-модулем. Значит, отображение 1 t продол-
жается до эпиморфизма СТ (GJ-модулей из СТ (G) на СТ (G)-
модуль М. При этом эпиморфизме элементы множества (2)
2.5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА Ь7
переходят в элементы е±е2 ... ent (ei > е2 > .. . > еп). Со-
гласно 1.6.11 эти элементы Л-свободны. Значит, и мно-
жество (2) Л-свободно. То, что оно порождает U (G),
следует из того, что t 1 также продолжается до эпи-
морфизма из М в U (G). Теорема доказана..
2.5.6.	Дифференцирования свободной алгебры Ли.
Пусть L = L (X) — свободная алгебра Ли, S: X -> L —
произвольное отображение множества X в L. Покажем,
что оно однозначно продолжается до дифференцирования
S ЕЕ Der L. Удобно рассматривать L (X) вложенной
в А (X) (см. следствие теоремы 2.3.6). Если мы найдем
6 GE Der Л (X) такое, что S = S, то 6 = 6 будет
искомым дифференцированием. Поскольку базис в А (X)
составляют 1 и всевозможные слова от переменных из
X, то полагаем 6 (1) = 0 и
S (хгх2 . . .хп) =
= S fo) х2 ... хп + х±8 (х2) х3 ... Хь +.. .
. . . х^х2 ... 8 (хп).
Очевидная проверка индукцией по п показывает, что S —
дифференцирование алгебры А (X). Однозначность диф-
ференцирования S ясна из того, что L (X) порождается
множеством X.
В частном случае, когда S = 1^, мы получаем диффе-
ренцирование S такое, что S (ш) = d (w) w, если w —
однородный многочлен степени d (w). Дифференцирование
S может быть получено из 6 Е Der А (X), как в преды-
дущем абзаце. Однако его можно получить и как ограни-
чение другого отображения л: А (X) -> А (X), которое
задается на однородных элементах так: л (1) = О,
л (а^) = хг и л (Х]Х2 . . . хп) = [xlt х2, . . ., хп]. Очевид-
но,__что л: А (X) -> L (X). Чтобы показать, что л|ь<х) =
= S, достаточно доказать, что л |L(X) — дифференциро-
вание алгебры L (X). Поскольку л |х = 1х, отсюда
получим л |l(x) = S. Для доказательства рассмотрим при-
соединенный Z-модуль L (X) (см. 1.6.1). Так как А (X) —
универсальная обертывающая для L (X), то L (X) ста-
новится А (Х)-модулем. Обозначим знаком * действие
алгебры А (X) на L (X). Если и ЕЕ L (X), v s L (X),
то и* v = (adu)(p) = [и, г]. Рассмотрим л (afc), а, Ъ —
однородные элементы из А (X), b 1. Можно записать
88	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
л (ab) = а * л (Ь). Тогда для u, v GE L (X) получим
л ([и, р]) = л (uv) — л (vu) = и * л (р) — v * л (и) =
= [и, л (у)] — [v, л (и)] = [л (и), у] + 1и, Л (р)].
Таким образом, л |l(x) — действительно дифференциро-
вание, т. е. л|ь(х> = S. Доказанное нами утверждение
легко переформулировать следующим образом..
Критерий Ш п е х т а - Вефера. Пусть
А (X) — свободная ассоциативная алгебра над полем А.
характеристики нуль, L (X) — ее свободная подалгебра
Ли, порожденная множеством X относительно операции
коммутирования. Однородный элемент w Е= А (X) сте-
пени тг 1 лежит в L (X) тогда и только тогда, когда
л (w) = nw.
Доказательство. Если л (w) = nw, то
w = — л (w) е L (X). Обратно, если w ЕЕ L (X), то,
как мы показали, л (w) = S (w) — nw, как было отмечено
выше. Утверждение доказано.
2.5.7.	Инъективные модули. Пусть R — некоторое
кольцо, Q — левый Я-модуль. Мы скажем, что Q — инъек-
тивный Л-модуль, если для произвольного Я-модуля М
и его подмодуля N любой Я-гомоморфизм ср: N -> Q
продолжается до гомоморфизма ф:	Q. В частности,
если G — алгебра Ли над кольцом Л, J? = U (G) — ее
универсальная обертывающая алгебра, то мы приходим
к понятию инъективного G-модуля, где G —алгебра Ли.
Следующее утверждение хорошо известно, и его дока-
зательство может быть найдено в ряде книг (например,
[68, 69]).
Предложение. Всякий R-модуль может быть
изоморфно вложен в инъективный R-модуль.
Основной целью настоящего пункта является эскиз
доказательства следующего результата.
Теорема. Пусть алгебра Ли L над кольцом Л
является расширением абелевой алгебры М при помощи
факторалгебры G, причем М — инъективный G-модуль.
Если G — свободный A-модуль, то L — расщепляемое
расширение.
Доказательство. Согласно 1.6.9 достаточно
доказать, что Я2 (G, М) =0. Пусть U = U (G). Рассмот-
рим (7-модуль F == U ®д Е (G), где Е (G) — внешняя ал-
гебра свободного A-модуля G (см. [73, стр. 473]). Базисом
2.5. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА -	89
алгебры Е (G) над Л являются 1 и всевозможные тензоры
вида
е = ех Д е2 Д . . . Д ек, ех < е2 < . . . < ек, (1)
где е19 . . ., ек — элементы вполне упорядоченного базиса
свободного Л-модуля G. Эти же элементы (точнее, тензоры
вида 1 (х) е) составляют базис свободного {/-модуля F.
Обозначим через Ек Л-оболочку тензоров вида (1)
при фиксированном к. Пусть Fk = U 0 Ек. Тогда косо-
симметрические функции /: G X . . . X G -> М могут
iT
быть отождествлены с {/-гомоморфизмами из F_k в М:
именно, функции / сопоставляется гомоморфизм f такой,
что f (е) = / (ех, . . ., ек), eEE. Определим теперь
{/-гомоморфизм Sfc: Fk-^F^1. полагая
6Д1®е1Д... Д^) =
fr
= 3 (- l)i+40 е1Д • • • ДД. •. Д^ +
+ 10 3 (-1ДЧбр^]Ле1Д...Д;1Д...
. ..Л^.Д. .. Л
Здесь знак ' показывает, что* стоящий под ним элемент
слеДует пропустить. В этом случае, как нетрудно видеть,
формула (4) из 1.6.7 для взятия кограницы приобретает
вид (dk_J) (е19 . . ., ек) = / (8ке) (здесь для облегчения
последующих рассуждений мы явно выписываем индексы
при операторах д и S). Важным свойством последователь-
ности
• • •	• - Д-^0
является то, что она точна, т. е. для любого к, к ~ 0, 1,...,
имеем Ker = Im 6^+1. Эта последовательность на-
зывается свободной резольвентой для {/-модуля FQ.
Утверждение о точности доказывается весьма сложными
вычислениями (см. [110]). В силу отмеченного выше
отождествления / <-> / A-мерных коцепей с {/-гомоморфиз-
мами из Fk в М, достаточно показать, что последователь-
ность
.. . -> Ношу (Д_ь М)-- Ноши (Д, М) -4-
-» Ноши (Д+1, М) -»...
90
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
является точной. Мы уже отмечали в 1.6.7, что при к 1
Imdk-i = В* (G, М) с Z* (G, М) = Кег д*.
Покажем обратное включение. Пусть / €= Кег дк. Это
означает, что для любого х ЕЕ	выполняется
J (8^+1х) = 0. Поскольку Im 6^+1 = Ker 6fc, отображе-
ние f о б^1 есть корректно определенный CZ-гомомор-
физм подмодуля Im б& cz: F^-i в М.- По свойству инъек-
тивного модуля оно продолжается до {/-гомоморфизма
g:	причем g |Tm6fr = / о бД Таким образом,
для любого у е F* получаем g (б&1/) = J (у). Вспоминая
свойство биекции f м- /, получаем d^g = /, т. е.
Вк (G, М) = Zk (G, М) при к > 1. Значит, Нк (G, М)= {0}.
Теорема доказана.
2.6.	Свободное произведение
2.6.1.	Задание алгебр порождающими и определяю-
щими соотношениями. Пусть X — некоторое непустое
множество, L (X) — свободная алгебра Ли со свободным
порождающим множеством X, R — некоторое (возможно,
пустое) подмножество в L (X). Символом (X | R) мы будем
обозначать факторалгебру G = L/S алгебры L = L (X)
по S = idiX-R), т- е- по наименьшему идеалу S алгебры L,
содержащему множество R. Если X = {хг, я2, . . .},
R = {г1? г2, . . то вместо (X | R) будем также писать
(#1, я2, . . . |	= 0, г2 = 0, . . .). Будем говорить, что
алгебра G задана порождающим множеством X и множест-
вом определяющих соотношений {г = 0 | ге= R}. Напри-
мер, алгебра G матриц вида р) | а, Р €Е л| может быть
задана как (хг, х2 | хгх2 = 0). Алгебра G2 матриц вида
{(о о) ’ Р М может быть задана как (xt, х2 | xtx2 =
= х2). Алгебра G называется конечно порожденной
(соответственно конечно заданной или конечно определен-
ной), если G обладает заданием, в котором | X | < оо
(соответственно | R | <С оо или | X |, | R | < оо). Сво-
бодная алгебра Ли L (X) обладает заданием L (X) =
= (X I 0).
Лемма. Пусть G = (X | R) и Н -— некоторая ал-
гебра Ли над А. Рассмотрим отображение (р: X -> Н
такое, что для любого г = г (хг, х2, . . ., хп) из R имеем
2.6. СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ	91
г (<р (^х), (р (я2), • • • Л (яп)) = 0- Отображение ф (w (xi,...
...» хп) + S) = w (ф (^i), . . ., ф (хп)) есть корректно
заданный единственный гомоморфизм из G в Н такой,
что ф (х + S) = ф (х) для любого х Е X.
Доказательство. Эта лемма — очевидное
следствие свойства универсальности свободной алгебры
Ли (см. 2.2.3) и данного выше определения.
2.6.2.	Свободное произведение алгебр Ли. Пусть
(Ga)aei — семейство алгебр Ли над Л, обладающих зада-
ниями Ga = (Ха I Ra), ГДе ДЛЯ Любых a =/= р, Ха п Хр =
= 0. Положим X = U Ха, R = U Яа. Тогда алгебра
a	a
Ли G = (X | R) называется свободным произведением
семейства алгебр Ли (Ga)aei и обозначается G = П*ба.
ае!
Если / ={1,2,.. ., п}, то пишем просто G = Gt * G2* ...
. . . *Gn. Заметим, что, согласно лемме из 2.6.1, для лю-
бого а имеется гомоморфизм ia: Ga G, продолжающий
тождественное вложение множества Ха в X.
Предложение. Пусть Н — некоторая алгеб-
ра Ли и (^a}(x^i — семейство гомоморфизмов фа: Ga
Тогда найдется в точности один гомоморфизм ф: G -+Н
такой, что ф1а = фа.
Доказательство. Пусть ea: L (Ха) -+Ga —
естественный гомоморфизм из L (Ха) в Ga. Тогда 7?acz
cz Кег фа8а. Определим ф: L (X) -+Н, полагая ф (яа) =
= фа^а для всех а е /• Это отображение продолжается
до гомоморфизма ф: L (X) -*~Н, причем Кег ф =2 Ra для
любого a Е Z. Значит, Кег ф 2 Л и Кег ф S, где S —
.наименьший идеал алгебры L (X), содержащий множество
R. Это позволяет (см. лемму из 2.6.1) представить ф в виде
произведения ф = ф8, где е — естественный гомоморфизм
8: L (X) -+G. Теперь понятно, что ф — искомый гомомор-
физм. Его единственность следует из того, что G порож-
дается своими подалгебрами ia (Ga).
Следствие. Для любого а отображение ’ ia —
изоморфизм, т. е. ia (Ga) — изоморфный экземпляр алгебры
Ga в G.
Доказательство. Достаточно взять Н = Ga,
Фр = О для всех р =/= а, фа = 1са. Следствие доказано.
Доказанные утверждения позволяют определить про-
изведение G= Ц Ga как единственную с точностью
ael
92	гл. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
до изоморфизма алгебру Ли, содержащую для любого а
подалгебру Ga такую, что произвольное семейство гомео-
морфизмов <ра: Ga а ЕЕ /, единственным образом
продолжается до гомоморфизма ср: G —^Н такого, что
Ф |са6 = фа.
2.	.3. Универсальная обертывающая алгебра свобод-
ного произведения алгебр Ли. Пусть (7?a)aei — некото-
рое семейство ассоциативных Л-алгебр с (непересекающи-
мися) базисами (Ba)aei- Пусть F — свободный Л-модуль.
с базисом В, состоящим из всевозможных слов вида
£Е Pap OCf 0&гч1л ~ 1» 2, . . ., в. (1)
Определим операцию в F на элементах базиса следующим
образом. Пусть = brb2 . . . bs, w2= b^ . . . b'r. Если
as ¥=“ Pi> то полагаем о w2 = В противном случае,
т. е. при as = 0i — а, имеем	^ЕЕЛ.
Положим
W\ о	• • • bs-ibj&s. .. br.
i
Каждый член суммы есть Л-кратное элемента вида (1)
Читатель без труда проверит ассоциативность данной
операции. Таким образом, F — ассоциативная Л-алгебра?
называемая свободным произведение н F = П*Яа се-
мейства алгебр (7?a)aei- Если теперь (t7a)asi — семейство
универсальных обертывающих для некоторого семейства
алгебр Ли (6га)а(=ь являющихся свободными Л-мо дулями;
то для любого a Е / определим Ra как ассоциативную
подалгебру в Ua, порожденную множеством Ga. Таким
образом, Ua = Л-1 ф Ra- Положим С7=Л-1 ф П Ra-.
ael
Предложение. Алгебра U является универ-
сальной обертывающей для свободного произведения алгебр
Ли G = П Ga (для любого a Ga— свободный А-модуль).
Доказательство. Пусть 8а — естественное
вложение алгебры Ga в Ua (фактически в 7?а). По пред-
ложению из 2.6.2 семейство вложений (8a)aei продол-
жается до гомоморфизма е: G -> [27]. Допустим теперь, что
ф — гомоморфизм из G в алгебру Ли вида [Р], где Р —
некоторая ассоциативная Л-алгебра с 1. Пусть ia:
Ga ->*G — вложение из следствия в 2.6.2. Тогда ф1а
есть гомоморфизм из Ga в [Р]. По определению существует
гомоморфизм фа: Ua -+Р такой, что фа8а = ф1а, причем
-2.6. СВОБОДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
93
фа (1) = 1. Семейство отображений (фа)а<е/ естественным
образом продолжается до гомоморфизма ассоциативных
алгебр ф: U -> Р, переводящего 1 в 1 (достаточно положить
ф (1) = 1 и ф (и?) = фа1 (Ьх) . . . фа5 (Д), где w — эле-
мент вида (1)). Гомоморфизм ф — искомый. Действитель-
но, гомоморфизм фе обладает тем свойством, что ф81а ==
= фа8а == <pta для любого а. В силу единственности го-
моморфизма ф (предложение из 2.6.2) фе = ф. Предложе-
ние доказано.
2.6.4.	Базис . свободного произведения. Пусть все
алгебры Ga, a GE свободные Л-модули с базисами
Еа = {eap | Р ЕЕ Д}- Допустим, что все множества
Д, а ЕЕ Д и само I вполне упорядочены. Положим
Е = (J Ел и упорядочим элементы множества Е,
aCI
полагая еа$	если либо а а', либо а = а'
и тогда р Р'. Пусть R = R (Е) — множество всех
базисных одночленов от Е в смысле А. И. Ширшова (см.
2.3.8). Назовем одночлен w из R особым, если соответст-
вующее ассоциативное слово w не содержит подслов вида
eaieaj при I у. Обозначим через Rs множество образов
особых одночленов в G = Ц Ga.
ael
Теорема (Лиршов). Множество Rs — базис
свободного произведения G= Ц Ga.
ael
Доказательство. Заметим, что, согласно
предложению из 2.6.3, базис в U (6?) образован элемен-
тами 1 и всевозможными произведениями вида
€ati • • •	• • • еа2г • • •	5^ Д ЕЕ Д
(2)
j . . . > /,	г, . . ., п	7П,
а$ aj+i, i = 1, . . ., t.
Пусть е: G -+U — естественный гомоморфизм из G
в [27]. Рассмотрим w ЕЕ Rs- Запишем элемент е (w) в виде
линейной комбинации базисных одночленов (2) алгебры
U. Пусть w — лексикографически старший член этой
линейной комбинации. Заметим, что слово w может быть
получено и так. Рассмотрим w как элемент свободной ас-
социативной алгебры А (Е), запишем его через базисные
слова этой алгебры. Согласно предложению из 2.3.8 лек-
сикографически старший член этой линейной комбинации
94	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
равен w — результату опускания скобок на ы. При есте-
ственном отображении из А (Е) на U элемент w перехо-
дит в w, так как w не содержит подслов вида еаге^,
i < у. В силу линейной независимости слов w для раз-
личных одночленов w Ez R имеем линейную независимость
слов w, а значит, и особых одночленов — элементов мно-
жества Rs.	*
Докажем теперь, что особые одночлены образуют
базис в G. Достаточно доказать, что е (R) лежит в линей-
ной оболочке особых одночленов. Пусть w — элемент
из R. Допустим, что в w есть подслово ea^aj, i <С/.
Проведем индукцию по степени, а внутри фиксированной
степени — по лексикографическому порядку. В этом
случае в w есть сомножитель вида
. . . w^e^) eaj,	(3)
где wt	w2 wt eai (возможно, что t = 0).
Производя дифференцирование в (3) и используя пред-
ложение из 2.3.8, мы увидим, что одночлен е (w) есть
линейная комбинация одночлена е (и/)» гДе w' получается
из w заменой одночлена (3) на
wt . . . w2w1eaieaj	(4)
и базисных одночленов, строго меньших, чем е (w). По-
скольку в образе множителя (4) можно заменить
на произведение в Ga:	— 3 cijeak, cij £= А, мыполу-
k
чаем возможность сделать индуктивный переход. Теорема
доказана.
2.6.5.	Подалгебры свободного произведения. Вопрос
о том, не устроены ли подалгебры свободного произведе-
ния алгебр Ли аналогично самому произведению (как
это имеет место для свободных произведений групп —
теорема А. Г. Куроша [67, стр. 211]), получил отрица-
тельный ответ водной работе А. И. Ширшова [120]. Полное
решение этого вопроса дано Г. П. Кукиным, описавшим
эти подалгебры в терминах порождающих и определяю-
щих соотношений [65]. Нередко такие подалгебры явля-
ются свободными. Один из примеров такого сорта, необ-
ходимый нам в дальнейшем, приводится в этом пункте.
Предложение. Пусть L — свободная алгебра
Ли, G — произвольная алгебра Ли над кольцом А, сво-
бодная как A-модуль, F = L * G — их свободное произ-
2.7. СВОБОДНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 95
ведение. Тогда идеал J = id^L, порожденный в F подал-
геброй L,— свободная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть {xt | i ЕЕ /} — сво-
бодное порождающее множество для L и {еа| а ЕЕ М} —
базис для G над Л, причем множество М вполне упорядо-
чено. Покажем, что в качестве свободного порождающего
множества^для / можно взять множество одночленов вида
ва^. . . еапхь ах, а2, . . ., ап е М, i Е /,
Я1> . . . > ап, п > 0. (5)
Для доказательства рассмотрим свободную алгебру Ли L,
свободно порожденную множеством пар вида (тп, а^), где
т — одночлен из канонического базиса для U (G) (см.
2.5.3), a i G= I. Построим гомоморфизм g дё из G
в Der Л, Положим
t	t
dg {(т, х^) =	^i)> если gm = 5j в U (G).
5=1	'	3=1
Согласно 2.5.6 отображение dg свободных порождающих
алгебры L однозначно продолжается до дифференцирова-
ния dg алгебры L. Действие отображения dg на первую
компоненту свободного порождающего (тп, xt) есть огра-
ничение регулярного представления (см. конец п. 2.5.5)
алгебры Ли G в U (G). Поэтому g dg, а значит, и
g dg ЕЕ Der L — гомоморфизмы алгебр Ли. Построим
полупрямое произведение iS=Gxi, отвечающее гомо-
морфизму g dg (см. 1.4.4). По предложению из
2.6.2 существует гомоморфизм %: F ->S, продолжающий
тождественное отображение из G в G и отображение
Xi (1, х^ из L в L. При отображении % образы алимен-
тов (5) суть, свободные порождающие подалгебры L, зна-
чит, система этих элементов есть свободное порождающее
множество для той подалгебры, которую оно порождает.
Понятно, однако, что J порождается G-подмодулями,
образующими которых являются элементы xt. По лемме
из 1.6.10 образующими таких модулей над А являются
именно элементы вида (5). Предложение доказано.
2.7.	Свободные ограниченные алгебры Ли
2.7.1.	Определение и реализация. Если А — поле ха-
рактеристики р 0 и X — непустое множество, то
свободная ограниченная алгебра (р-алгебра) Ли Lp (X)
определяется как р-алгебра Ли, порожденная множеством
96	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
X, такая, что любое отображение ф: X ->G, где
G—р-алгебра Ли, продолжается до р-гомоморфизма
<р: Lp (X) -+G (основные определения ом. в 1.11).
Предложен и е. Пусть А = А (X) — свободная
ассоциативная алгебра над А со свободным порождающим
множеством X, L = L (X) — свободная алгебра Ли, по-
рожденная множеством X в А относительно операции
коммутирования. Если R — некоторый базис линейного
пространства L, то множество
Иг = {wpt\ R, t = 0, 1, . . .}
линейно независимо и является базисом р-алгебры Ли
Lp (X), являющейся свободной р-алёеброй.
Доказательство. Множество Rt является
частью базиса алгебры А (X) по теореме Пуанкаре—
Биркгофа—Витта (см. 2.5.3) и, следовательно, линейно
независимо. По предложению 1.11.3 линейная оболочка
множества Rt есть р-алгебра Ли, порожденная множест-
вом X. Любой элемент а из Lp (X) имеет вид
t	t	*
а, = XiiTi ‘ + kzWz ’ + •••+ W S •
Если ср: X ->7V, где N — некоторая р-алгебра, то ф
продолжается до гомоморфизма алгебр Ли <рх: L (X) ->
N. Положим
ф (а) = Х1ф1 (zti)p 1 -|- Х2Ф1 (Ц’ъ)*** -{- • • • + (ws)p *•
Используя тождества из 1.11.1, легко проверить, что ф —
гомоморфизм р-алгебр Ли. Предложение доказано.
Элементы множества Rr называются p-базисными одно-
членами.
Характерная черта свободных р-алгебр Ли — это на-
следование ряда свойств как свободных групп, так и сво-
бодных алгебр Ли. Например, для свободных р-алгебр
Ли верна не только теорема А. И. Ширшова (см. 2.4.4)
.о свободности подалгебр, но и андлог формулы Шрайера
для вычисления ранга свободной подалгебры через ее
коразмерность и ранг алгебры. Мы переходим к изложе-
нию этих результатов.
В силу доказанного предложения мы будем использо-
вать для Lp (X) всю систему понятий, введенных в случае
- алгебр А (X) и L (X).
2.7.2.	Элементарные преобразования. Пусть S =
— {% | а е 1} — некоторое подмножество в свободной
2.7. СВОБОДНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 97
р-алгебре Lp (X). Элементарное преобразование множества
S — это отображение со: S ->LP (X) такое, что со (%) =
= sa для всех а Е /, кроме одного, скажем 0, со («р) =
= Xsp + w	где A, =/= 0, A, e A, a1? . . ., a, =/=
P И IZ? (Ха.. . • Яон) e Lp («!, X2, . . .).
Лемма. Элементарные преобразования свободного
порождающего множества индуцируют автоморфизмы
алгебры Lp (X).
Доказательство. Если со — элементарное
преобразование, как выше, то со' такое, что со' (sa) = sa
И со' ($р) = АГ1^ — (Sap • . ., $af) В КОМПОЗИЦИИ С (0
даёт тождественное преобразование множества 3. В слу-
чае, когда 3 = X, пусть Фи ®' — соответствующие_эндо-
морфизмы алгебры Lp (X). Тогда эндоморфизмы ехо' и
со'со являются тождественными отображениями на множе-
стве X. Значит, coco' = со'со = 1ьр(х), т. е. со — автомор-
физм. Лемма доказана.
2.7.3.	Понятие р-приведенного множества. Множе-
ство Т элементов ив Lp (X) называется р-приведенным, если
для любого / е= Т однородная компонента J наибольшей
степени (старший член) элемента / не лежит в p-подал-
гебре, порожденной старщими членами остальных эле-
ментов этого множества.
Лемма. Любая р-подалгебра В свободной р-алгебры
Ли Lp (X) обладает р-приведенным порождающим мно-
жеством Т.
Доказательство. Будем строить Т в виде
оо
объединения Т — J Tj, где Tj состоит из элементов сте-
j=0
пени / или пусто. Положим TQ~ 0. Действуя по индук-
ции, допустим, что То, Тъ . . ., Т} уже определены. Пусть
St — совокупность элементов степени, не превосходящей
i + 1 в подалгебре, порожденной множеством TQ |J
U U • • • U Lf. Тогда в качестве 7\+1 возьмем макси-
мальное подмножество элементов алгебры В, имеющих
степень i + 1, линейно независимое по модулю подпро-
странства 3f. Понятно, что В порождается полученным
в результате проведенного построения множеством Т.
Пусть теперь f ЕЕ Т получен на (£ + 1)-м шаге описанно-
го процесса. Допустим, что J — элемент подалгебры С,
порожденной старшими членами остальных элементов
множества Т. В силу однородности подалгебры Сг на
самом деле J лежит в подалгебре, порожденной старшими
4 Ю. А. Бахтурин
98
ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
<4-1
членами элементов из U Т $. Тогда
j=o
J = aJi + • • • + <4h + (А+ь • • м /в)»
где Л, • • •> А 7\+1» /fc+ь • • •> А £= U ТПереходя
к соотношению между элементами, получим
/ = ai/i + • • • + ajfc + w (/ft+i, . .	/8) + g, (1)
где g — элемент, степень которого не превосходит i. Из
равенства (1) видно, что g ЕЕ В, значит, g ЕЕ 5\*. Таким
образом, мы вступили в противоречие с определением мно-
жества Ti+1. Значит, Т есть р-приведенное множество, и
лемма доказана.
2.7.4.	Теорема (Витт). Пусть Л — поле простой
характеристики р, Lp (X) —- свободная р-алгебра Ли над
Л, Н — ее произвольная р-подалгебра. Тогда Н — свобод-
ная р-алгебра Ли.
Доказательство. Как и в теореме 2.4.4, огра-
ничимся лишь случаем, когда Н — однородная подал-
гебра. Тогда, используя 2.7.3, найдем в Н р-приведенное
однородное порождающее подмножество Т. Любое соот-
ношение между элементами множества Т есть соотноше-
ние между элементами конечного подмножества. Поэтому
можно ограничиться случаем, когда X — конечное мно-
жество, a Т — его конечное приведенное подмножество.
Пусть {Д, . . ., fi] = Tt. Элементы из Тг линейно неза-
висимы и имеют степень 1. Отсюда, конечно, | X [ > I.
Отображение (р:	Д, . . ., xt *-+ fh хг (i I) пред-
ставляется в виде произведения элементарных преобразо-
ваний. Поэтому, согласно 2.7.2, достаточно доказать, что
Ф (Т) (по-прежнему р-приведенное множество) является
свободным порождающим для порожденной им р-подал-
гебры ф (Н). Итак, мы можем считать, что cz X.
Поскольку случаи Т cz X и Т{ = X тривиальны, бу-
дем считать, что найдется элемент xz+1 Т, входящий
в запись элементов множества Т. В этом случае Т являет-
ся подмножеством р-идеала Z, порожденного множеством
(X \ {Яш}) U М+i}- Заметим, что I — свободная р-
алгебра Ли со свободным порождающим множеством
Xi = {ж?+1, Хмха I а ф I + 1, 0 < s < р}.
Доказательство этого факта вполне аналогично доказа-
тельству следствия из 2.4.2. То, что I порождается
2.7. СВОБОДНЫЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 99
множеством Хъ следует из тождества (2) п. 1.11.1. То,
что Xt — свободное р-порождающее множество, вытекает
из линейной независимости построенных на Xt р-базис-
ных одночленов. Действительно, обычные базисные одно-
члены от Хг (за исключением #Г+1) входят как подмноже-
ство множества базисных одночленов от элементов мно-
жества (1) упомянутого следствия при X" = {xi+1}- Из их
линейной независимости вытекает, что Хх порождает
свободную подалгебру относительно операций алгебры
Ли и p-свободную алгебру Ли относительно операций р-
алгебры Ли. В силу однородности идеала I, Т — по-преж-
нему р-приведенное множество в свободной р-алгебре Ли I.
Поскольку Xi+1 входит в запись элементов множества
Т, то переписывание на свободных порождающих множе-
ства Хг ведет к уменьшению* суммы степеней элементов
из Т. Индукцией по этому параметру найдем, что Т по-
рождает свободную р-подалгебру. Теорема доказана.
В случае р-алгебр Ли (в отличие от случая алгебр Ли,
см. 2.4.4) подалгебра конечной коразмерности в конечно
порожденной р-алгебре имеет конечное число порождаю-
щих. Точное значение ранга свободной р-подалгебры
(аналог теоретико-групповой формулы Шрайера) следую-
щее.
2.7.5.	Теорема. Пусть В — подалгебра свободной
р-алгебры Ли (X) ранга п, т. е. | X | = п. Если
dim ЫВ = j<Z оо, то В — свободная р-алгебра Ли ранга
N (n, j) = р} (п — 1) + 1.
Доказательство. Обозначим через В р-подал-
гебру, порожденную старшими членами элементов из В.
Поскольку р-приведенное множество Т порождающих для
В получается взятием старших членов элементов р-при-
веденного множества Т порождающих для В, то в силу
доказательства теоремы 2.7.4 ранг алгебры В равен
рангу алгебры В. Для окончательного перехода к случаю
однородных подалгебр напомним, что dim Lp (Х)/В =
= dim Lp (Х)/В (см. 1.10.4). Итак, можно считать, что
В — однородная р-подалгебра, а Т — однородное множе-
ство. Как и в доказательстве теоремы 2.7.4, можно счи-
тать, что элементы степени 1 множества Т составляют
собственную часть множества X. Если xt+1 Т, то мож-
но перейти к р-идеалу /, порожденному множеством
(X \ {#ш}) U {хм}- Этот идеал является свободной
р-алгеброй Ли ранга р (п — 1) + 1. Далее, dim ИВ =
100	гл. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
= j — 1. Применяя предположение индукции по /, полу*
чаем, что В — свободная алгебра ранга
N (п (р - 1) + 1, j - 1) = (р\п - 1)) + 1 =
= р*(п - 1) + 1 = N (п, 7)е
Теорема доказана.
Следствие. Пусть В — такая р-подалгебра ко-
нечно порожденной р-алгебры Ли Л, что dim (А/В) < оо.
Тогда В — конечно порожденная р-алгебра Ли.
Доказательство. Достаточно представить А
в виде факторалгебры подходящей свободной р-алгебры
Ly (X) конечного ранга и взять полный прообраз для В
в Lp (X). Следствие доказано.
2.8.	Упражнения
2.8.1.	Показать, что в алгебре gl (п, А) не выполняется ника-
кое тождество степени, меньшей 2п.
2.8.2.	Показать, что в алгебре не выполняется никакое
тождество степени, меньшей или равной 4.
2.8.3.	Пусть / (zi, . . zm) — полилинейный ассоциативный
многочлен, G — алгебра Ли над кольцом А. Определим Л-подмо-
дуль Gf как множество элементов х е G таких, что для любых
я?1, . . хт г G имеем / (ad^, . . ., ad хт) (х) = 0. Доказать, что
Gf — идеал в G.
2.8.4.	Допустим, что алгебра с тождеством v (х19 . . хп) s 0
разрешима, / — как в 2.8.3. Если алгебра с тождеством / (ad xlt...
. . ., ad хт) (х) = 0 разрешима, то и алгебра Ли о тождеством
/ (ad «1,..ad хт) v (хт+1, . . хт+пу = 0 разрешима.
2.8.5.	Вывести рекуррентную формулу для числа ап расста-
новок скобок на слове длины и. Найти ап при п — 1, . . ., 10.
2.8.6.	То же, что и в предыдущей задаче, для свободного ком-
мутативного группоида.
2.8.7.	Являются ли градуированными свободная альтернатив-
ная и свободная Йорданова алгебры?
2.8.8.	Пусть а, Ь — элементы свободной алгебры Ли над полем
А такие, что ab = 0. Тогда а л Ъ пропорциональны.
2.8.9.	В свободной алгебре Ли L — L (яг1, х2) найти свободное
порождающее множество для подалгебры Н такой, что:
(i)	Н = Ln\
(ii)	Н = (£n)m;
(iii)	Я = id£ (х* — ад).
2.8.10.	Пусть
Л = (ж, у | (ad я)2(у) = (ad у)*(х) = 0),
= (ж, у | (ads)2(p) = (ad у)\х) = 0),
= (*, 1/1 (ad я)3(у) = (ad у)*(х) = 0).
Выяснить, какие из этих алгебр над полем нильпотентны, разре-
шимы.
2.9. КОММЕНТАРИЙ
101
2.8.11.	Пусть Lx, L2 — две алгебры Ли над полем А, Ф =
~ LX*L2 — их свободное произведение, <р — естественный гомо-
морфизм из Ф в D = Lx х L2, продолжающий тождественное
отображение алгебр Lx и L2. Показать, что ядро С гомоморфизма
<р (декартова подалгебра) — свободная алгебра Ли со свободным
порождающим множеством S вида е± . . . ея/х . . . fmen+v где
ij — произвольные элементы упорядоченных базисов алгебр
L2, «!>...>«„> еп+1, л > . . . > /То) m > 1, п > 0.
Указание. Рассмотреть свободную алгебру L (5). Принимая
во внимание базисы Ширшова в L (5) и Ф, доказать, что тождест-
венное отображение множества S продолжается до изоморфизма
из L (5) в Ф.
2.8.12.	Пусть Lx, L2 — конечномерные алгебры Ли над полем
А. Доказать, что алгебра Ф = Lx * L2 — финитно аппроксими-
руема (см. 6.6.6).
2.8.13.	Пусть Li и L2 — нильпотентные алгебры Ли над полем
А. Доказать, что свободное произведение Ф = Lx # L2- ниль-
потентно аппроксимируемая алгебра (см. 6.6.8).
2.8.14.	Пусть и, v — два элемента свободного произведения
Ф = Li * L2 алгебр Ли Lx и L2. Если uv = 0, то и, v — элементы
одной из подалгебр Lx, L2, либо u, v пропорцинальны.
2.8.15.	Никакая алгебра Ли не может быть одновременно сво-
бодным и прямым произведением нетривиальных подалгебр.
2.8.16.	Провести доказательство теоремы А. И. Ширшова
о подалгебрах свободной алгебры Ли над полем, используя схему
из 2.7.
2.8.17.	Найти свободное порождающее множество для’р-идеа-
ла I свободной р-алгебры Lp (х1ч х2), порожденного множеством
хр
2.8.18.	Пусть X, Y — два непустых множества таких, что
L (X) L (У). Доказать, что | X | = | Y |.
2.8.19.	Пусть L — свободная алгебра Ли счетного ранга.
Доказать, что для любого с алгебра Der L содержит нильпотент-
ную подалгебру ступени ровно с.
2.8.20.	Вложить трехмерную нильпотентную алгебру L =
= Ах ф Ai/ ф Az с центром Az и факторалгеброй G = L/Az в ал-
гебру Ли вида L = G А М так, чтобы М f] L = Az, М — абелев
идеал в L. Можно ли L выбрать нильпотентной?
2.9.	Комментарий
Истоки теории свободной алгебры Ли лежат в работах Ф. Хол-
ла [155], В. Магнуса [172, 173] и Э. Витта [191], посвященных
изучению свободных групп. В явном виде построение базиса сво-
бодной алгебры Ли (базиса Холла) приведено в работе М. Холла
[154]. Теорема о подалгебрах свободной алгебры Ли была доказана
А. И. Ширшовым [123] и Э. Виттом [190]. А. И. Ширшов дал раз-
личные конструкции базисов свободных алгебр Ли [122, 119].
В настоящее время появились базисы, не входящие в общую схему
А. И. Ширшова, например состоящие из правонормированных
одночленов [62]. Этой теме посвящен отдельный выпуск серии
Lecture Notes in Mathematics [186]. Следует отметить результат
102	ГЛ. 2. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Г. П. Кукина [66], доказавшего теорему о том, что пересечение
конечно порожденных подалгебр в свободной алгебре Ли — снова
свободная алгебра Ли конечного ранга. Понятие свободного про-
изведения введено и изучено А. И. Ширшовым [120]. На самом
деле в этой работе построен базис свободного произведения с объе-
диненной подалгеброй. Эта конструкция была затем тщательно
изучена Г. П. Кукиным [65]. За пределами настоящей книги ока-
зался раздел, связанный с изучением алгебр Ли, заданных в тер-
минах порождающих и определяющих соотношений. Много ярких
результатов получено в этой области алгебраистами школы
А. И. Ширшова. В частности, получено отрицательное решение про-
блемы равенства элементов как в классе всех алгебр Ли, так и
в различных классах разрешимых алгебр Ли (см. [22, 64, 61]).
Дополнительные сведения, относящиеся к инъективным модулям и
к вопросу о расщепимости расширения с инъективным ядром,
можно найти в [69 и 110]. Теорема о подалгебрах свободных огра-
ниченных алгебр Ли принадлежит Э. Витту [190]. В своем изло-
жении мы следуем статье Г. П. Кукина [63]. Ему же принадлежит
теорема 2.7.5.
Г лав а 3
ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА
СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
3.1.	Введение
3.1.1.	Алгебра L (JT) как GL (F)- и ^-модуль. Пусть
L = L (X) — свободная алгебра Ли со свободным по-
рождающим множеством X над кольцом Л, V = ЛХ —
(свободный) подмодуль, порожденный подмножеством X
в L, G = GL (V) — группа автоморфизмов этого Л-мо-
дуля. Отображение х »-> g (ж), х е X, g Еб, продол-
жается, до автоморфизма алгебры L (X). Таким образом,
L (X) превращается в G-модуль. Для наших целей важно,
что для любой Л-алгебры Р совокупность Т элементов
t^L (X) таких, что/=0 в Р, -G-подмодуль в L. Изучение
G-модульной структуры значительно облегчается тем, что
оо
L = ф L'n и что подмодули Ln G-инвариантны. Если
ш = | X | < оо, то мы имеем дело с Л-модулями конеч-
ного ранга, в частности, если Л — поле, с конечномерны-
ми модулями над классической группой GL (иг, Л).
Традиционный подход к изучению однородных степени п
представлений — через изучение представлений симме-
трической группы 5Л. Эти представления хорошо изучены
в случае, когда Л — поле характеристики нуль. Как мы
увидим в будущей главе, в этом случае идеал тождеств Т
произвольной алгебры всегда является однородным. По-
этому определение однородной структуры G-модулей
Ln (X) до известной степени адекватно изучению тождеств
от m = | X | переменных. В случае, если мы ограничи-
ваемся однородными тождествами фиксированной степени
п от m переменных, задача определения G-подмодулей
в Ln (X) полностью эквивалентна задаче об определении
всех систем тождеств с точностью до эквивалентности.
Особый случай,*1 когда ш = п — это, случай полилиней-
ных тождеств. В этом случае достаточно определить 5П-
модульную структуру в Рп — пространстве полилиней-
ных многочленов из Ln (X), где симметрическая группа Sn
естественным образом рассматривается как подгруппа
в GL (и, Л)*
104 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ Л И
Остаток настоящего раздела мы посвятим выводу J
формулы Витта, касающейся размерности пространства |
Ln (X). В разделе 3.2 настоящей главы мы познакомимся	I
с техникой диаграмм Юнга — основной при описании не-	f
приводимых представлений группы Sn. Здесь основное
поле имеет характеристику нуль. Затем в разделе 3.3	।
мы перейдем к изучению фробениусовых алгебр, что не-
обходимо как для нахождения однородных представлений *
группы GL (7), так и для других целей в главах 7 и 8.
В заключительном разделе 3.4 мы изучаем функтор Ln
в категории GL (7)-мо дулей над широким классом ко-
лец Л. В случае, когда Л — поле, мы приходим к форму-
ле кратностей неприводимых GL (7)-подмодулей в i
в GL (7)-модуле Ln (7). В этом разделе мы уже вынужде-
ны потребовать от читателя большего знакомства с теори-
ей представлений.
3.1.2.	Функция Мёбиуса. Определим • функцию
р: N ->{—1, 0, 1}, полагая р (1) = 1, р (п) = 0, если п
делится на квадрат, не равный единице, и р (и) = (—1)\
если п — рг. . . где ръ . , ., р^ —- различные простые
числа. Полученная таким образом функция называется
функцией Мёбиуса. Из определения вытекает, что при *
п =	. . . Pfcfc > 2
к
5>и-£(,‘)(-1)'=о, а)
d|n	t~0
где Pi, . . ., как и выше,— попарно различные про-
стые числа.
Формула обращения Мёбиуса. Пусть
f,g — две функции натурального аргумента. Если	«
/(«) = ^£(™)> то =
т\п	т\п
Доказывая формулу индукцией по п с основанием при
п = 1, мы запишем
f(n) = g(п) +
тп|п р|т
т^п
Тогда, положив т | р = S, получим
g(n) = /(n)— 3 S H(S)/(P)-
Pin .] n
P^n6 Iy
й^—
V
3.1. ВВЕДЕНИЕ
105
Применяя соотношение (1), получим
g («)=и (1) / («) + К и (у-) /(р)=У, и (у-)/(р).
р|п	р|п
р^п
Понятно, что эта формула равносильна доказываемой.
Пример. Пусть р \п) — сумма первообразных ком-
плексных корней степени п из единицы, 5 (п) — сумма
всех корней степени п. Тогда, очевидно, s(n)= 3 p(m).
m|n
По доказанной формуле р (п) =	Однако
т\п
s (к) = 0, если 1, и $ (1) = 1. Поэтому р (п) = р, (п).
3.1.3.	Формула Витта. Как мы уже знаем (см. 2.3.5),
свободная алгебра Ли L (X} является свободным модулем
над основным кольцом Л. Более того, L (X) = ф Ln (X)
П=1
и все Ln (X) — свободные Л-модули. Если X — конеч-
ное множество, то Ln (X) — свободный Л-модуль конеч-
ного ранга. В э^ом пункте мы вычислим ранг свободного
Л-модуля, если |Х | = d. Поскольку определение базис-
ных одночленов, составляющих базис в L (X), не зависит
от основного кольца, мы проведем все вычисления в слу-
чае, когда Л — поле. Обозначим через ld (п) ранг
(в конкретном случае — размерность) Л-модуля Ln (X),
I X I = d.
Теорема.
т\п
Доказательство. Пусть iz?2, . . .} — одна-
родный базис в L (X). причем степень одночлена равно
di. Как мы знаем из 2.3, алгебра L (X) вложена в А (X) и
в качестве базиса пространства Ап (X) можно взять лю-
бую из выписанных ниже систем:
1)	множество всех слов длины п от элементов множе-
ства X; очевидно, их количество равно d”;
2)	множество всех произведений вида
.. . w?,
где ei — неотрицательные целые числа, — базисные
одночлены алгебры L (X), п =	+ . . . + e94d^t +
106 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
Таким образом, d” можно представить как число ко-
s
печных наборов (elt . . ., es) таких, что п= •
г=1
Эти замечания доказывают, что коэффициенты сте-
пенных рядов
00 1 1
(0 = П "3 и В (t) = i — dt
i=i 1 — *
совпадают. Действительно,
n-V=n(1+^+?di+--1
i=i i * i=i
И
1 —dt =1 + dt»+ + • • •
Далее, число степеней df, равных т, это и есть ld (т).
Поэтому
оо
п______!____=_____!___
11 ..	1—dt
т—1 V1 1 )
Логарифмируя обе части (законность этой операции более
детально обсуждается в гл. 8), получим
оо
£-£zd(TO)^v=^'_i_dv.
m, v	n=l
Отсюда
mv=n
Таким образом,
dn= У1
mln
Для завершения доказательства остается применить фор-
мулу Мёбиуса из 3.1.2. Теорема доказана.
3.2.	Представления симметрической группы
3.2.1.	Необходимые сведения. При изложении теории
неприводимых представлений симметрической группы мы
будем пользоваться следующими фундаментальными фак-
тами, доказательство которых можно найти в главах 7,
3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
107
8,	9 учебника А. И. Кострикина [59] и главах II, III,
IV учебного пособия Л. А. Скорнякова [107]. Пусть Sn —
симметрическая группа на множестве символов {1, 2, . . .
. . ., п} и А = ASn— ее групповая алгебра над алгеб-
раическим замкнутым полем А характеристики нуль.
Тогда:
(i)	Каждый конечномерный А-модуль полупрост, т. е.
разлагается в прямую сумму неприводимых левых А-
модулей.
(ii)	Алгебра А распадается в прямую сумму; А =
= 8ГА ф 82А ф . . ф е^А двусторонних идеалов е^А,
i = 1, 2, . . ., г, где г — число классов сопряженных
элементов группы Sn. Каждый неприводимый 5п-модуль
изоморфен некоторому минимальному левому идеалу
алгебры А, содержащемуся в одном и только одном идеа-
ле efA. Центральные элементы обладают свойством
8i = 8Z, т. е. являются идемпотентами. Каждый мини-
мальный односторонний идеал также порожден идемпо-
тентом.
(iii)	Классы сопряженных элементов группы Sn на-
ходятся во взаимно однозначном соответствии с разбие-
ниями числа п, имеющими вид
п = п± + и2 4- . . . + nfc, где > п2 > . . . > nk,
причем указанному разбиению отвечает класс любой пере-
становки вида
О’ = О’^О’2 • . . Gfc,
где а2, . . ., ок — независимые циклы длин пх, п2, . . .
. . ., пк.
Таким образом, согласно этим утверждениям, классы
изоморфизма неприводимых 5п-модулей находятся в би-
ективном соответствии с разбиениями числа п, как в (iii).
Наша цель — указать явный вид и размерность простого
модуля, отвечающего заданному разбиению. При этом,
мы увидим, все возникающие идемпотенты будут лежать
уже в Q5n. Тем самым вся излагаемая теория справедли-
ва над любым полем А характеристики нуль.
3.2.2.	Построение идемпотента. Сопоставим разбиению
d = {ni> • • •» Их n2	пк, числа п диа-
грамму из к строк, причем строка с номером i содержит
щ клеток. Например, если d = {5, 3, 1, 1} — разбиение
108 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
числа 10, то ему соответствует диаграмма
ITTY
которую мы также обозначим через d и будем называть
диаграммой Юнга, отвечающей разбиению d. Если т 5П,
то через %d мы обозначим таблицу Юнга, т. е. диаграмму,
заполненную числами от 1 до п следующим образом.
Рассмотрим числа т (1), .. ., т (п) и поместим их в клетки
диаграммы по порядку сверху вниз и слева направо. На-
пример, если d — как выше, а
_/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ '
Т— \2 1 10 7 6 4 5 3 9 8/’
to
При т = 1 пишем %d = d. Таким образом, d — это не
только диаграмма, но и таблица с тривиальной расстанов-
кой чисел. В результате мы получаем действие т (od) =
= (то) d группы Sn на множестве всех таблиц, отвечаю-
щих любой фиксированной диаграмме d. Ддя фиксирован- i
ной таблицы rd пусть С = CXd — подгруппа, состоящая
из перестановок, оставляющих на месте множества симво-
лов, принадлежащих каждому фиксированному столбцу.
Аналогично, R = RXd есть подгруппа, оставляющая на
месте множества символов, стоящих в каждой фиксирован- |
ной строке. Положим
&xd == 3
PGR
oec
Элемент ex& отличен от нуля, так как С П R = {1},
а в этом случае ро = р'<з' тогда и только тогда, когда
р=р', б=з'. Мы покажем, что левые идеалы AeXd являются ,
минимальными и что левые 5п-модули A eXd и А еХ'& изоморф -
ны тогда и только тогда, когда d = d'. Тем самым мы по-
лучим полный набор классов изоморфизма неприводимых
5п-мо дулей.
3.2.3.	Лемма. Элемент у €= Sn представим в виде	<
у per, р 65 R-fa а е CXd> тогда и только тогда, когда	’
3.2 .ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
10У
любые два символа из одной строки диаграммы таблицы
xd лежат в равных строках таблицы yxd.
Доказательство. Пусть а, Ь — два символа
из одной строки таблицы тй, и у = ро. Тогда а и Ъ лежат
в одной строке диаграммы ртй. Далее,
yxd = рр^р^ртй = рор“1ртй.
Ясно, что если о е CXd, то pop-1 s CpXd- Поэтому а, Ь,
лежавшие в разных столбцах диаграммы' ртй, так и
остаются в разных столбцах диаграммы yxd, что и требо-
валось.	4 .
Обратно, пусть любые два символа из одной строки
таблицы nd лежат в одной строке таблицы yxd. Отсюда
следует, что все символы первого столбца таблицы yxd
лежат в разных строках таблицы xd. Значит, существует
перестановка рх ЕЕ Rxd такая, что все эти символы при-
надлежат первому столбцу таблицы pfrd. Повторяя этот
прием с оставшимися столбцами, мы найдем р ЕЕ Rxd
такую, что все множества элементов столбцов таблиц
ртй и yxd совпадают. Тогда для некоторой перестановки
а' ЕЕ CpTd получим ут = а'рт. Но CQXd = рС^р"1, отку-
да о' = pop"1, о ЕЕ CXd^ Тогда ут = рот и у = ро, р ЕЕ
е Rxd, о ЕЕ CXd- Лемма доказана.
3.2.4.	Введем лексикографическую упорядоченность
на множестве всех разбиений (и диаграмм). Таким обра-
зом,
d = {nn n2, . . ., nk} {n{, n^, . . ., ni} = d',
если для первого 5, для которого ns^ns, имеем ns^>ns.
Лемма. Пусть d> d'. Тогда для любых т, т' имеем
eX'd^xd = 0.	OF.
Доказательство. Покажем, что найдутся два
символа, лежащих в одной строке таблицы xd и в одном
столбце таблицы x'd'. Если это не так, то п± символов из
первой строки таблицы xd лежат в разных столбцах
(всего ихп^) таблицы x’df. Таким образом,	откуда
= п{. Заменяя (т') на (п'т'), где о' ЕЕ CVd', мы получим
таблицу o'x'd', первая строка которой совпадает с первой
строкой таблицы xd, и по-прежнему все символы из оди-
наковых строк таблицы xd лежат в разных столбцах таб-
лицы о'т'й'. Тем же свойством будут обладать и таблицы,
получаемые из данных двух отбрасыванием первой стро-
ки. Применяя индукцию по числу строк с очевидным ос-
нованием, получим, что k = I и	,
, ,	Противоречие,
110 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
Итак, пусть а, b — два символа из одной строки таб-
лицы тй и одного столбца таблицы x'd'. Положим л =
= (a, b) ЕЕ Sn. Тогда л е RXd, л е СХ'&. Заметим, что
если р Е~ RXdy (J ЕЕ ^x'd'» ТО p^xd == &Xd И #x'dz & ==
= e^x'd'- В этом случае
£X'd'&Xd — €X'd'1l Ifl&xd •—	&Х' d'^xd*
Отсюда eX'd>eXd = 0. Лемма доказана.
3.2.5.	Лемма. Пусть элемент и ЕЕ А таков, что
рхо = 8ах для всех р е Rxd и о ЕЕ- CXd- Тогда к = reXd,
где г е Л.
Доказательство. Представим х в видех = 21 ау?’
vt=sn
ОуЕ Л. Тогда для любых р е Rxdi о ЕЕ CXd
* = еор-1ха-1 = ео S «V (р-1?0'1) = ео S «рх<Л-
v	%
Значит, для всех р е /?х<ъ a €= CXd
Оу --- СдЛруа.
(1)
При у, равном тождественной перестановке 1, получим
ttpa = Satti, О ЕЕ Cxd. Допустим, ЧТО у pa, р Е RXd,
о ЕЕ CXd- По лемме 3.2.3 найдутся символы а, Ъ, лежащие
в одной строке таблицы xd и одном столбце таблицы
yxd. Рассмотрим л = (tt, b) е Sn. Тогда л е Rxd, л G
ЕЕ CyXd и, значит, л = убу-1 при подходящем S ЕЕ CXd.
По формуле (1)
tty — Sfittjty^—1 = Sj^tty = -tty.
Значит, tty = 0, и лемма доказана.
Следствие. 4d = y^xd, где у — ненулевое ра-
циональное число.
Доказательство. Как уже отмечалось,
pexd exd и exd(f = Exj^xd, где р ЕЕ Rxd, (f ЕЕ Cxd* Тогда
2	2
P^trfCT — P^xd^xd^ — Sa^xd*
По лемме eXd = yeXd, где у — целый коэффициент при 1
в еха. Покажем, что у =/= 0. Для этого рассмотрим линей-
ный оператор (р: А -» А такой, что (р (х) = xeXd- Найдем
след этого оператора tr <р в естественном базисе = 1,
о2, . . ., оп! алгебры А. Если eXd = а^ + . . ., то
^z^xd = • • • +	+ • • • Значит, tr q> = а^п\. Более
того, ttx = 1, так как ох = 1 входит в запись элемента
eXd с коэффициентом 1. Заметим, что Аех& — линейная
3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ 1Ц
оболочка элементов вида peTd, р, ЕЕ Sn. Поэтому преобра-
зованием с рациональными коэффициентами можно перей-
ти к новому базису vlf . . vn!, в котором первые т
элементов рх, . . ., vm образуют базис идеала AeTd-
Ясно, что т > 1. Вычислим tr ф в новом базисе. Посколь-
ку для любого к G Aexd выполняется %exd = ух и так
как Aexd — левый идеал в А, получаем tr ф = ту. Зна-
чит, ту == п\ и у =/= 0. Следствие доказано.
3.2.6.	Теорема. .Для любого разбиения d и любой
таблицы %d левый идеал Aexd — минимальный левый идеал
алгебры А = Л Sn. Два 8п-модуля Aexd и AeX'd* изо-
морфны тогда и только тогда, когда d = d'. Любой про-
стой 8п-модуль М изоморфен некоторому Aexd.
Доказательство. Положим е = y~rexd (см.
3.2.5). Тогда е* = е. Покажем, что каждый идеал Ае =
= Aexd минимальный. Допустив противоположное, мы
сможем разложить Ае в прямую сумму идеалов вида
Аех ф Ае2. Действительно, по теореме Машке Ае =
= Ах ф А2. Пусть ^ЕАх и е2ЕЕА2 таковы, что е =
=	+ ^2- Тогда ех = ае, откуда ехе = ех. Аналогично,
е2е 5= е2. Из этих равенств и е = е2 = е (ех + е2) = еех ф
+ ее2 следует, что ех = еех и е2 = ее2. Поэтому ехе2 =
= ех (е — ех) = ех — ef ЕЕ Аех. Ясно и что ехе2 ЕЕ Ае2.
Тогда ехе2 = 0. В результате мы нашли ненулевые эле-
менты а = еехе и Ь — ее2е в кольце еАе такие, что ab ==
= ехе2 — 0. Заметим, что D = еАе = exdAexd — тело.
Действительно, пусть х = exduexd — ненулевой элемент
из D; тогда для любых р е RXd, о ЕЕ Cxd получим
рхо = pexduexdo = exduexdsG = 8аж. В силу 3.2.5 х =
= Xexd, где X Е Л. Значит, D = AeTd = Ле, т. е. D
изоморфно Л. Противоречие. Таким образом, Aexd —
минимальный левый идеал в А, т. е. простой 5п-модуль.
Докажем, что если d Ф df, то Aexd и Aex*d* не изоморф-
ны. Пусть (р — такой изоморфизм из Aexd в Аетмч при-
чем d <Z d’. Тогда ф (exd) = а и, так как exd — рацио-
нальное кратное идемпотента, Ae^d' = Aexda, в частно-
сти eX'd' = bexda. Далее, eT,d' =	= ybexdae^d^
Покажем, что exdaeX'd’ = 0, что приведет к противоре-
чию. Достаточно рассмотреть случай, когда а 8п.
Тогда e^aex’d'O^-a = exdeaXfd^a. Однако по лемме 3.2.4
^Td^ar'd* = 0. Теорема доказана.
3.2.7.	Разложение алгебры А8п. Доказанная теорема
дает полное описание классов изоморфизма простых 5Л-мо-
112 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
дулей над любым полем Л характеристики нуль. Опи-
сание минимальных левых идеалов алгебры ASn, разу-
меется, сложнее. Мы покажем здесь, что можно выбрать
множество Y таблиц Юнга xd таких, что
ASn = Ф ASneXd»	(2)
Назовем таблицу Юнга xd стандартной, если в каждой
ее строке и в каждом ее столбце элементы расположены
в порядке возрастания. Скажем, что xd x'd, если стро-
ка (т (1), . . ., т (п)) лексикографически больше, чем
(т' (1), . . ., х' (п)), т. е. первое ненулевое число в ряду
чисел х (i) — х' (i), i = 1, . . ., п, положительное. Пусть
— число стандартных таблиц вида xd. Следующее ут-
верждение вполне аналогично лемме из 3.2.4.
Лемма. Пусть xd, x'd принадлежат множеству Y
стандартных таблиц. Если xd x'd, то eX'd^d = 0.
Доказательство. Используя доказательство
леммы 3.2.4, видим, что достаточно найти пару символов
в одной строке таблицы xd и одном столбце таблицы x'd.
Пусть (к, I) — номер первой клетки, по которой разли-
чаются таблицы xd и x'd, причем в xd это место занято
числом s, а в x'd — числом t, s t. Найдем место (u, v)
числа t в xd. В силу стандартности к:^и, Z v. Посколь-
ку (&» 0 — первое место, где стоят различные числа в таб-
лицах, то обязательно и к, I. В этом случае эле-
мент г в клетке с номером (и, I) в обеих таблицах один и
тот же. Таким образом, числа з, г находятся в одной стро-
ке таблицы xd и одном столбце таблицы x'd. Лемма дока-
зана.
Теорема. Групповая алгебра ASn симметрической
группы Sn над полем А характеристики нуль разлагается
в прямую сумму минимальных левых идеалов, порожденных
идемпотентами eX(t, отвечающими стандартным табли-
цам Юнга.
Доказательство. Согласно 3.3.1 (ii) достаточ-
но доказать, что = n! = | Sn | и что сумма в (2)
прямая. На самом деле, ввиду 3.2.6 достаточно доказать,
что сумма
ASneXld + • • • + ASneXlcd
по всем стандартным таблицам, отвечающим одной и той
же диаграмме Юнга d, прямая. Будем считать, что
Txd > . . . > Если
+ a2eXid + ... -|~ а^е^а — 0,
3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ИЗ
то, умножив на eX}cd слева, получим = 0. Посколь-
ку ex}id — ненулевое кратное идемпотента, имеем akexkd =
= 0. Продолжая действовать таким же образом, получим
требуемое. Что касается равенства ^bd=n\, то здесь
d
мы отсылаем читателя к упражнениям (см. 3.5.4). Теоре-
ма доказана.
Заметим, что, согласно доказанному, число bd стан-
дартных таблиц Юнга, отвечающих данной диаграмме d
равно размерности единственного простого 5п-модуля
отвечающего диаграмме d.
3.2.8.	Некоторые формулы. В этом пункте мы без
доказательства приведем формулы для размерности bd и
характера %d неприводимого 5п-модуля, отвечающего
таблице d, а также приведем алгоритм Ричардсона —
Литтлвуда разложения тензорного произведения непри-
водимых модулей.
Итак, пусть d — некоторая диаграмма Юнга, отве-
чающая разбиению числа п, п =	+ п2 -|- . . . -|- пк,
пх > п2 . . . > Клетке (£, /) на пересечении строки
с номером i и столбца с номером j мы сопоставим крюк
hdj, состоящий из части i-й строки диаграммы правее
клетки, из части /-го столбца ниже клетки и самой клетки.
Число клеток | hij | в крюке hij называется его длиной.
В этом случае формула для размерности bd приобретает
вид
bd —
п\
П 1^1 ••
(i,
(1)
Для нахождения характера %d модуля, отвечающего диа-
грамме d, определим край rfj диаграммы, соответствующий
крюку hij как множество клеток правее и ниже клеток
крюка, а также клеток самого крюка hij, кроме клетки
(Z, /). Наконец, ножкой lij крюка h*j мы назовем часть
столбца с номером /, входящего в hij, за вычетом клетки
с номером (Z, /). Длина ножки обозначается через | Zfj |.
Заметим, что если из некоторой диаграммы выбросить
край диаграммы, соответствующий некоторому крюку,
то снова получится диаграмма. Рекуррентная формула
для Xd (л), л е Sn, такова. Пусть в разложении в про-
изведение независимых циклов перестановки л есть
114 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
цикл длины к. Обозначим через л* элемент из 5п-ь по-
лученный вычеркиванием упомянутого цикла длины к
(и перенумерацией символов, если нужно). Тогда
Xd(Jt)= 3 (—1)1гУ'х Vii(n*). (2)
i» J
l*ip=*
Пусть теперь d и е — две диаграммы степени т и п,
М и N — неприводимые 5т- и 5п-модули, отвечающие
этим диаграммам. Рассмотрим Sm и Sn как подгруппы
в Sm+n перестановок, действующих на множествах сим-
волов {1, . . ., тп}, {т + 1, . . ., т + п}. Тогда Н =
= SmSn — подгруппа в Sm+n, изоморфная их прямому
произведению. Превратим пространство Р = М 0 N
в Я-модуль, полагая (от) (х ® у) = о (х) ® т (i/), если
о s Sm, те 8п, х ЕЕ М, у GE N. Затем рассмотрим ин-
дуцированный 5т+п-модуль Q = A5m+n ®АН Р. В силу
теоремы Машке Q разлагается в прямую сумму неприво-
димых 5т+п-модулей. Для нахождения соответствующих
диаграмм Юнга используется следующее правило Ри-
чардсона — Литтлвуда.
(i) Добавим к диаграмме d клетки из первой строки
диаграммы е таким образом, чтобы в полученной в резуль-
тате этой процедуры диаграмме Юнга ни один из столбцов
не содержал двух новых клеток.
(ii) Затем применим ту же процедуру ко второй, тре-
тьей, и т. д. строкам диаграммы е. При этом, если клетка
(Z, у) диаграммы е прибавляется к некоторой строке диа-
граммы d, то клетка (i + 1, 7) прибавляется к строке диа-
граммы d со строго большим номером.
Формально этот процесс описывается так. Если (Z, 7) ->
->(&, Z), (iijji) ->(&i, Zi) (где -> означает «ставится на
место»), то должно выполняться
(а)	если	i =	7	Д,	то к
(б)	если	t =	j	<	7*1?	к =	кг,	то	Z < Zr;
(в)	если	i —	7	<	Д,	к <	кг,	то	Z	Zx;
(г)	если	i <	7	=	Д,	то к	<	кг.
В результате применения указанной процедуры все-
возможными способами получаются все диаграммы, от-
вечающие неприводимым *?т+п-модулям, в прямую
сумму которых раскладывается 5т+п-модуль Q.
3.3. ФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ НАД НИМИ Ц5
3.3. Фробениусовы алгебры и модули над ними
3.3.1.	Определение и примеры. Конечномерная ассо-
циативная алгебра R с 1 над полем Л называется фро-
бениусовой, если на R существует невырожденная билиней-
ная ассоциативная форма / со значениями в Л. Требова-
ние ассоциативности означает, что для любых я, у, z е=
G= R имеем
/ {ху, Z) = / (х, yz).
Заметим, что это требование эквивалентно требованию
существования линейной функции (р такой, что ядро
Кег ф не содержит ненулевых правых и левых идеалов
алгебры R. Действительно, если R — фробениусова ал-
гебра относительно билинейной функции /, то определим
ф: R -> Л, полагая ф (х) = / (ж, 1), х s R- Если. для
некоторого левого идеала I имеем ф (/) = {0}, то для не-
нулевого х ЕЕ I и любого у ЕЕ R получим
0 = ф (ух) = f (ух, 1) = / {у, х),
т. е. х лежит в правом ядре формы. Аналогично, в Кег ф
нет и правых идеалов. Обратно, если R обладает линейной
формой, в ядре которой нет ненулевых левых и правых
идеалов, то положим / (ж, у) = ф (ху). Если х лежит,
скажем, в левом ядре формы /, то {0} = / (ж, R) —
= ф (xR), откуда xR = {0}, т. е. х = 0.
П римеры. а) Конечномерная алгебра с монолитом,
т. е. ненулевым двусторонним идеалом, содержащимся
в любом ненулевом двустороннем идеале.
б)	Групповая алгебра конечной группы над полем
характеристики нуль. В этом случае в качестве функции
/ следует взять такую. Если х= У agg, у=
g^G	g<=.G
то xy = f(x,y)-l + 3 Ygg-
g^l
3.3.2.	Теорема. Пусть M — свободный модуль
конечного ранга над фробениусовой алгеброй R. Тогда М —
инъективный модуль г).
Доказательство. Достаточно показать, что
правый Я-модуль R является инъективным. Заметим сна-
х) Определение инъективного модуля дано в 2.5.7. Читатель без
труда докажет, что оно эквивалентно тому, что любой R-модуль 7V,
содержащий М, расщепляется, т. е. для подходящего Л-подмодуля
Q имеем N == М Ф Q.
116 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
чала, что этот модуль изоморфен правому Я-модулю
R* Л-линейных функций на левом Я-модуле R со зна-
чениями в Л. Действительно, определим отображение
0: R -+R*, полагая . 0 (ж) (у) = f (ж, у). Если теперь
z Е Я, то 0 (xz) (у) = / (xz, у) ~ f (х. yz) = 0 (х) (yz) =
= (0 (х) z) (у), т. е. 0 — гомоморфизм правых Я-модулей.
Покажем теперь, что если рассмотреть R как левый
Я-модуль, то Я* — правый инъективный модуль. Итак,
допустим, что Р — некоторый левый Я-модуль, в котором
в качестве подмодуля содержится Я-модуль Я*. Перей-
дем к левому Я-модулю Р* и обозначим1 через (Я*)1
аннулятор подмодуля Я* в Р*, т. е. множество всех
функций ф из Р* в Л таких, что ф (Я*) = {0}. Ограниче-
ние функции (р: Р Л на Я* задает гомоморфизм из Р*
в (Я*)* и изоморфизм
р*/(Я*)± ^ (Я*)* ^Я.
Поскольку Я — свободный левый Я-модуль, видим, что
(Я*)1 — прямое слагаемое модуля Р*, т. е. для подходя*
щего Я-подмодуля N (=R) имеем Р* = (Я*)1 ф N.
Переходя к аннуляторам и используя их обычные свой-
ства, получим
{0} = (Р*)± = (Я*)1± П = я* П 7V-L,
Р = 01 = (Я*1 П N)± == Я* + Л-к
Таким образом,
Р = Я* ф ДГ1.
Значит, модуль Я* инъективен, и теорема доказана.
3'3.3. Симметрические фробениусовы алгебры. Фробе-
ниусова алгебра Я над полем Л называется симметриче-
ской^ если задающая ее форма / является симметрической.
Например, групповая алгебра конечной группы над полем
является симметрической. Соответствующая форма была
указана в примере б) п. 3.3.1.
Пусть М — некоторый правый Я-модуль и С =
= Епс1дЛГ — алгебра его Я-эндоморфизмов. Таким обра-
зом, Л-эндоморфизм <р: М ->М лежит в С в том и только
том случае, когда для любого г ЕЕ R и х ЕЕ М имеем
<р(ат) = (р (ж)*г. Нас будет интересовать алгебра С и
структура С-модуля М. Пусть М* = Ношд (М, Л) —
левый Я-модуль Л-линейных форм на М со значениями
в Л. Если 0	М*, г Я, х ЕЕ М, то (г0) (х) = 0 (хг).
Определим Я-билинейное отображение т: М X М* -+R
3.3. ФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ НАД НИМИ Ц7
следующим образом. Поскольку функция /: R X R -> Л
является невырожденной, найдутся базисы {хъ . . ., хп] и
{У1, • • •» Уп} в R такие, что / fo, у^) = Sl7 (символ Кро-
некера). Положим
п
т(х,1|))= 3 ^(хх{)уг.
г—1
Д-би линейность этой функции вытекает из следующих
соображений. Пусть aEER. Из ассоциативности функции/
вытекает, что если А' = (а^-) и А” = (а^) — матрицы
умножения на а слева в базисе {хъ . . ., жп} и справа
в базисе {у1? . . ., уп} соответственно, то /А' = Л". По-
этому
п	п п
т (ха, ф) = S Ф (xaxi) yt= % S Ф (a'si®®s) ?/i =
г=1	г=1 к=1
п п	пп
= 3 S Ф анз/i = 3 3 Ф (®®k)	=
г=1	fc=l i=i
п
= 3 Ф (®®s) (у»а) = т (х, ф) а.
к=1
Аналогично проверяется и равенство т (ж, аф) = от (ж,ф).
Отображение т невырожденно. Допустим, например, что
т (ж, ф) = О для всех х е М. Ввиду линейной независи-
мости элементов {уъ . . ., уп} получаем, что ф (xR) =
= {0}. В частности, ф (х) = 0 для всех ж, т. е. ф = 0.
Поскольку отображение т Д-билинейно, линейная оболоч-
ка множества т (М, М*) — двусторонний идеал в Д,
называемый ядром Rm модуля М. Правый Д-модуль М
называется х-регулярным, если RM — кольцо с единицей.
Заметим, что если R — групповая алгебра конечной
группы над полем характеристики нуль, то любой дву-
сторонний идеал этой алгебры есть прямая сумма простых
колец с 1, порожденных центральными идемпотентами (см.
[107, стр. 182]). Значит, в этом случае любой модуль
т-регулярен.
3.3.4.	Лемма (двойное централизаторное свойство).
Пусть М есть х-регулярный модуль над симметрической
алгеброй R, С = End^M, и D = EndcAf. Тогда для лю-
бого f ЕЕ D существует г ЕЕ R такой, что f (х) = хг
для всех х ЕЕ М.
Доказательство. Определим эндоморфизм
ФО х (ф ЕЕ М*, х е М), полагая, для любого у Ez М
(Ф □ ®) W,=	Ф>-
118 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
В силу 72-билинейности отображения т получим (г ЕЕ 72)
(Ф □ *) (У) = (yr, Ф) =	(у, ф) г = ((ф □ ж) (у)) г.
Значит, фО ж е С. По условию / е Endc (717), значит,
хх (f (у), Ф) = (Ф □ *) (/ (У)) = f {хх (у, ф)).
Пусть е = S т (ж®, ф®) — единичный элемент идеала Rm.
i
Положим г = 2т (/ (ж?), \|э?) е= RM. Тогда
уг = з ут (/ (ж®), ф{) = / (3 ут (ж®, ф®)) = / (уе) = / (у). .
i	i
Здесь равенство у& = у справедливо в силу невырожден-
ности отображения т. Действительно,
т (уе — у, Ф) = т (уе, ф) — т (у, ф) ==
= т (у, ф) е — т (у, х|?) = О,
так как е — единица в 72м, а х (у, ф) ЕЕ Rm Для всех у,
ф. Лемма доказана.
3.3.5.	Подмодули в М и идеалы в Им. Если ТУ есть
С-цодмодуль в т-регулярном 72-модуле М, то в силу
72-билинейности отображения т множество т (N, М*) —
левый идеал алгебры R, содержащийся в 72м- Если I —
левый идеал в 72м, то MI — левый С-подмодуль в М.
Заметим, что в тех же обозначениях
I = т (MI, М*) и N sMx (N, 717*).
Действительно, х (MI, М*) с; т (717, М*) I £ I, так как
7 — левый идеал. Кроме того, если хЕМ, у ЕЕ N, то
хх (у, ф) = (ф Q ж) (у) — так как Ф О х е С, a N
есть С-подмодуль.
Лемма. Если N — прямое слагаемое С-модуля М,
то в Rm есть идемпотент е такой, что х (N, М*) = Re,
и тогда Мх (N, М*) = N. Обратно, если е — идемпотент
из Rm, I = Re, то MI = Me — прямое слагаемое С-моду-
ля М и х (MI, М*) = I.
Доказательство. Пусть п GE Endc (М) —
проекция модуля М на N. Согласно лемме 3.3.4 л (ж) =
= же, где е = (л (ж?)» Ф?) S х (N, 717*). Если а =
=	(У«» Ф«) — произвольный элемент из х (N, 717*), у; ЕЕ
е N, то
ае = St (yte, фг) = а,
3.3. ФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ НАД НИМИ Ц9
так как уге ==. л; (</$) = Значит, т (А\ М*) = Re и е2 =
= е. Если х 7V, то х = хе е Мх (АГ, М*). Ввиду отме-
ченного выше N = Мх (TV, М*). Обратно, пусть I = Re.
где е — идемпотент. Тогда MI = MRe = Me и М =
= Me ® М (1 — е). туць Me и М (1 — е) есть С-подмоду-
ли в М. Пусть теперь г е I. Тогда
г — er = 5/г (я?г, гр?) ЕЕ т (MI. М*),
и, как и прежде, получаем I = т (MI. ЛР). Лемма дока-
зана.
Для формулировки основной теоремы о регулярных
модулях над симметрическими алгебрами напомним, что
идемпотент е называется примитивным, если он не пред-
ставим в виде е = ег + е2. где ег. е2 — идемпотенты и
^1^2	^2^1	•
3.3.6.	Теорема. Пусть М — правый х-регуляр-
ный R-модуль над симметрической фробениусовой алгеб-
рой R. Предположим, что ядро Rm — полупростой Rm~mo-
дуль. Пусть С = End/? (М). Тогда*.
(i)	Отображение Re Me (е2 = е.е ЕЕ Rm) есть биек-
ция множества левых идеалов кольца Rm на множество
всех С-подмодулей в М\
(ii)	модуль Me простой тогда и только тогда, когда
е — примитивный идемпотент в Rm',
(iii)	С-модуль М полупрост.
Доказательство. В силу полупростоты, каж-
дый левый идеал алгебры Rm имеет вид Re. где е — ър&иг
потент, т. е. е2 = е. и применение леммы 3.3.5 дает взаим-
ную однозначность соответствия между прямыми слагае-
мыми С-модуля М и подмодулями 7?м-модуля Rm- Пусть
теперь е — примитивный идемпотент. Рассмотрим Me.
Если W — ненулевой С-подмодуль в Me. то по лемме 3.3.5
Re = х (Me. М*) Z3 т (N. М*).
Так как в силу примитивности идемпотента е идеал Re =
= Rm^ минимальный и т (N. ЛР) =/= {0}, то Re = т (N.
М*). Снова из 3.3.5 вытекает, что Мх (N. ЛР) = Me CZ
CZ N- Поэтому Me — простой модуль. Из полупростоты
Дм-модуля RM вытекает, что =	где все е~
i
примитивные идемпотенты. Отсюда М = % Mei9 где подмо-
дули Met минимальные. Значит, М — полупростой мо-
дуль, и каждый его подмодуль является прямым слагае-
мым в М. Поэтому доказаны все три пункта теоремы.
120 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
3.3.7.	Предложение. В условиях теоремы 3.3.6
левые идеалы 1Г = Ret и 12 = Re2 в Rm являются R-изо-
морфными тогда и только тогда, когда соответствующие
им С-модули Мег и Ме2 являются С-изоморфными. Для
любого примитивного идемпотента е алгебры R либо
Me = {0}, либо Me — простой С-модулъ.
Доказательство. Если a: Rex -»Re2 есть
Я-изоморфизм, р — обратное ему отображение, то a (ej =
= а, р (е2) = Ь. Определим а: Ме± —> Ме2, jj: Ме2 -»
—> Мег, полагая
a (xei) = хега, р (уе2) = уе2Ь, где у ЕЕ М.
Непосредственная проверка показывает, что аир —
взаимно обратные линейные отображения. Ясно, что они
являются С-гомоморфизмами. Обратно, если у есть С-изо-
морфиз из Ме± в Ме2, S — обратное ему отображение,
то
у: 3* (*;> Фг) 3^ (Т (*«), ФО
и	_	,	, ,
6: 3* фг) н>- Зт (6 (жг), фг)
— корректно определенные взаимно обратные Я-гомомор-
физмы. Для доказательства корректности следует заметить,
что если Jr == 0, xt ЕЕ Мег, е М*, то
0 = т(3>т (хг, фг)) = Зтг (Ф| □ М) {xt) =
= 3(Ф« □ М) у (жО = З^т (Y (*i)»
Теперь, если е =	(я?» ф?} — единичный элемент в Ям»
то
3 Т (ТСМ’ Фг) = 3 Т (т fa), Ф{) е =
=3 т («® 3 * (т («О» ^i) > Ф?)=°-
j i
Проверка остальных свойств оставляется читателю.
Для доказательства второй части возьмем единицу 8 ==
=	(я?» 'Ф?) в Ям- Как отмечалось выше (см. 3.3.4), хе =
= х для всех х ЕЕ М. Пусть S = Аппя М. Тогда для лю-
бого s GE S П RM имеем s = es = 3* (ж?> Ф?) 5 =
ф?) = 0. Однако ге — er Е 5 П Ям Для любого г Ez R.
Значит, 8 — центральный идемпотент алгебры Я. Тогда,
поскольку 8 = ее + (1 — е) е, где ее и (1 — е) е — взаим-
но ортогональные идемпотенты, для любого примитивного
идемпотента е либо е = ее, либо е = (1 — е) е. В первом
3.3. ФРОБЕНИУСОВЫ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ НАД НИМИ 121
случае, согласно 3.3.6, Me — простой G-модуль, во вто-
ром Me = Мг (1 — е) е = {0}, что и требовалось. Пред-
ложение доказано.
3.3.8.	Операторы симметризации. Пусть V вектор-
ное пространство размерности т над полем Л, G =
= GL (V) — группа обратимых линейных операторов про-
странства 7. Рассмотрим n-ю тензорную степень Тп (7)
пространства 7. Тогда Тп (7) является G-модулем относи-
тельно действия g (Pi 0 . . . 0 vm) = gvt 0 . . . 0 gvm.
Определим все неприводимые G-подмодули пространства
Тп (7). Для этого мы превратим Тп (7) в 5п-модуль, по-
лагая для о ЕЕ Sn и 0 . . . 0 vn
•(^1 ®	® Vn) а = ра(1) 0 . . . 0 ра(П).
Тогда Тп (7) становится и Я-модулем, где R = A.Sn. Эле-
менты 2 ааа» рассматриваемые как линейные операто-
aesn
ры пространства Тп (7), называются операторами симмет-
ризации в Тп (7). Пусть G — образ группы G в
Еп(1л (Тп (7)). Тогда в силу определения G cz С =
= EndjR (7\ (7)).
Лемма. Кольцо С является линейной оболочкой
множества G.
Доказательство. Будем обозначать буквами
/,/,... мультииндексы вида I = (ix, i2, . . ., in), 1
Тогда базис в Тп (7) состоит из
элементов ej = eix 0 ei% 0 . . . 0 eiw где {et, е2, . . .
• • •» ет} — базис в 7. Для а е Sn и мультииндекса I
определим О'/ = (ij, . . ., im) — (£<j(i>,	• • •» io (n))*
Для доказательства леммы достаточно показать, что лю-
бая линейная функция на G, равная нулю на всех элемен-
тах из G, обращается в нуль на всех элементах из С. Пусть
у Е С. Тогда у (е7) = X yuej, у и е А. Для с Е Sn
имеем
S Уо1, ojeoj - У = У (ejo) = у (еД о = 2j yueaJ.
Поэтому для любого о е Sn выполняется yGi,Gj = у и.
Рассмотрим g ЕЕ G, тогда этот элемент определяет линей-
ный оператор у8 ЕЕ С такой, что
У1J ==:	• • • Sjnint
где (gtj) — матрица невырожденного линейного операто-
ра g в базисе . . ., ет}. Пусть теперь <р — линейная
122 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
функция на С, равная нулю на элементах у®. Тогда
Ф (?) =	аи €= А, и сумма распро страняется
на все индексы (I, J) такие, что (о/, oJ) = (/, J). Имеем
о = Ф (?г) = S augj^gj^ ...g	(1)
I, J	Jn n
где (go) — невырожденная матрица. Правая часть ра-
венства (1) есть значение многочлена Р (хи,	хтт)
при xi} = gi}, причем Р имеет вид
£
Р (#11» #12» • • •» $тт) = 3 ₽*ш ...•	• • #гпщП»
и в силу условия уи == yGit 0J для любого (Т Е
коэффициент fc12..icmm есть просто кратное любого
из коэффициентов аи такого, что среди пар (Д, Д), (Д,
Д), • • •» (/n> Д) пара (i, /) встречается кц раз,
. . ., т. Согласно условию в кольце многочленов Л [azn,
#12» . . ., #mml
Р (хц) det (хо) = 0.	(2)
Действительно, если (g^) — набор значений для хц та-
кой, что det (gtj) 0, то по условию Р (gtj) = 0. Если
же det (gtj) = 0, то и при этом наборе значений (2) об-
ращается в тождество. Поскольку det (хц) — ненулевой
многочлен, а в кольце многочленов нет делителей
нуля, Р (хц) = 0, т. е. для любого набора йи, Л12, . . .
. . ., ктт имеем	= 0. Значит, и все коэф-'
фициенты аи равны нулю. Таким образом, <р — нулевая
функция, и лемма доказана.
3.3.9.	Теорема. Пусть V — линейное простран-
ство над полем Л характеристики нуль, G *= GL (У),
Тп (У) = У 0... 0 У — тензорная степень G-модуля У.
п
Тогда Тп (У) — полупростой G-модуль, причем любой
простой подмодуль изоморфен подмодулю вида Тп (У)
где %d — таблица Юнга степени п. Простые подмодули
Тп (?) ^%d и Тп (У) являются G-изоморфными тогда
и только тогда, когда d = d'. Для любой таблицы %d мо-
дуль Тп (У) exd отличен от нуля в том и только том слу-
чае, когда число строк в диаграмме d не превосходит чис-
ла т = dim У.
Доказательство. Согласно лемме 3.3.8 G-под-
модули в Тп (У) •— это С-подмодули, где С == End/? У,
R = Л*$п. Поскольку групповая алгебра R = Л5П для
3.4. СТРУКТУРА GL (Г)-МОДУЛЯ Ln (V)	123
Sn над полем характеристики нуль является симметриче-
ской фробениусовой (см. пример из 3.3.16)), то все утверж-
дения теоремы, за исключением утверждения о числе строк,
получаются непосредственным применением теоремы 3.3.6
и предложения 3.3.7. Допустим теперь, что высота lL
первого столбца в диаграмме d больше тп. Тогда для лю-
бого тензора ej тензор ej exd есть тензор степени п, косо-
симметричный по Zt аргументам на тп-мерном пространст-
ве. Ясно, что он равен нулю. Если 1г тп, то возьмем
тензор р = (<?х 0 . . . 0 ег,) 0 (ех 0 . . . 0 е1г) ® .
... 0 (ех 0 ... 0 eZt), где Zj, Z2, . . ., lt — высоты столб-
цов диаграммы d. Тогда, Ьчевидно,
ped = cr (<?х Л . . . Л ei.) 0 (ех Д . . . Д eZs) 0 . . .
• • • ® («г Л • • • Л ^4),
где Д — знак внешнего произведения, с = | Cd | — поря-
док подгруппы, оставляющей на месте столбцы табли-
цы d, г = | 2?d| — порядок подгруппы, оставляющей на
месте строки таблицы Id. Понятно, что ped ¥= 0. Взяв
вместо р тензор рт, получим тот же результат и для eTd-
Теорема доказана.
3.3.10.	Формула для размерностей. Дадим без до-
казательства формулу для размерностей неприводимых
GL (У)-подмодулей в Тп (7). Согласно 3.3.9 любой
простой GL (7)-подмодуль имеет вид Vd = Тп (7) ed.
Тогда он может быть представлен в виде
7d = Тп (7) ed= Тп (7) ASned = Тп (7) ®двп ASned =
— Тп (7) ®ASnTd.
где Td — это 5п-подмодуль, отвечающий диаграмме
K>Hrad. Если % =	— характер этого модуля, то мы будем
вписать также Td = Тх и Vd = 7Х. Если d = {пх, п2, . . .
. ., пг}, пх п2 :>...> пг, пх + п2 4- . . . + пг = п
и Vd = Тп (7) ed, dim 7 = тп, то
3.4.	Структура ОЬ(Р)-модуля £n(F)
3.4.0.	; Предварительные сведения. Категория $ есть
класс объектов Л, В, С, ... и множеств морфизмов
Нот (Л, В), где Л, В — произвольная пара объектов.
При этом, если р ЕЕ Нот (Л, В), что записывается р:
124 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
А —» Я, a v ЕЕ Нот (В, С), то определено произведение —
морфизм vp, GE Hom (А, С). Произведение морфизмов ас-
социативно (если определены сомножители) и в каждом
Нот (А, А) есть единица — морфизм 1а такой, что |х1а =
= р, Iav = v, если р ЕЕ Нот (А, В), v GE Нот (С, А).
В нашем случае роль $ будет играть совокупность
всех модулей над фиксированным кольцом Я, а роль
Нот (А, В) — множество Я-гомоморфизмов из А в В.
Отображение	называется ковариантным
функтором, если для любого объекта А е S' (А) —
объект из и для любого морфизма р: А —» В F (р) —
морфизм f (р): S' (А) -» S: (В). При этом, если р =
= рхр2, ТО S (р) = # (Pl) f (р2) И F (1а) = 1^(А)« Если
F (р): f (В) f (А) и F (pip2) = F (р2) (pi), то
S' — контравариантный функтор.
Пусть S' и $ — два ковариантных функтора из
в ^2- Функторный морфизм /: S' —> & — это семейство
морфизмов f (А): f (А) —> 3? (Л), Ае со следую-
щим условием. Если р е Нот (А, В) — морфизм кате-
гории то коммутативна следующая диаграмма:
$(А)^$(А)
М f(B) I
&(B)-U$(B)
Требование коммутативности означает, что $ (р) / (Л) =
= /(ЯИ(р)- В случае контравариантных функторов
вертикальные стрелки в диаграмме переворачиваются.
Наконец, если f (А) — изоморфизм (морфизм, имеющий
правый и левый обратный) для любого А, то / называется
изоморфизмом функторов.
ЗЛ.1. Функторы Ln и Сп. Пусть А — коммута-
тивное кольцо с единицей, V — некоторый Л-модуль,
Т (7) = ф Тп(У) — тензорная алгебра Л-модуля 7,
п=0
Z(F) =	— Л-алгебра Ли, порожденная подмоду-
П=1
лем V относительно операции коммутирования и градуиро-
ванная степенями элементов. Если V — свободный Л-модуль
с базисом X, то Т (7) А (X), L (V) L (X), Тп (7)
Ап (X), Ln (7) Ln (X). Очевидно, что Ln — функ-
тор из категории Л-модулей в себя.
3.4. СТРУКТУРА GL (Г)-МОДУЛЯ Ln (V)
125
Предположим теперь, что кольцо Л содержит 1/п и пер-
вообразный корень 8 степени п из 1. Пусть Г — цикличе-
ская группа порядка п с порождающей т, действующей
на Тп (7) справа по правилу
(#1 ®	®	® *п) Х = ^2 ® Х3 ®	® Х1-
Превратим также Л в Г-бимодуль, полагая
т (%) = е"1!, Хт = 8% (% е Л).
Обозначим через Л8 полученный] Г-бимодуль, через ЛГ
групповое кольцо группы Г и положим
Сп (7) = Тп (7) ®ЛГ Лс.,
Тогда, понятно, Сп — также функтор в категории Л-мо-
дулей. Как отмечалось выше, Тп (7) есть GL (7)-модуль,
a Ln (7) — его подмодуль. Понятным образом структу-
рой GL (7)-модуля наделен и Л-модуль Сп (7).
Мы будем стремиться в настоящем разделе к доказа-
тельству того, что функторы Ln и Сп изоморфны над лю-
бым кольцом Л, содержащим 1/и и первообразный корень
8 степени п из единицы (см. 3.4.5). Такое кольцо есть ал-
гебра над Z [1/п, е], поэтому достаточно построить морфиз-
мы функторов ln: Ln Сп, сп: Сп -» Ln, определенные
над Z Н/п, 8]. Начнем с такого результата.
3.4.2.	Лемма. Пусть Л — поле характеристики
нуль, содержащее 8, dim 7 < оо. Тогда dim Ln (7) =
= dim Сп (7).
Доказательство. В силу классического кано-
нического изоморфизма
Тп (7) ®лгЛ8 = Нотлг (Л8, Тп (7))
мы можем отождествить пространство Сп (7) с подпрост-
ранством, состоящим из всех элементов v е Тп (7) та-
ких, что ут = 8У. Тлгда Сп (7) порождается элементами
вида г)
хнхЪ • • • xin + *xinxh • • • xin-i + • • • + ^1хъхч • • • XinXij
причем такой элемент равен нулю, если (хц . . . xin) =
=	. xin при 1 < k < n (xt — элементы базиса про-
странства 7). Нетрудно убедиться в том, что множество
х) Для упрощения записи в дальнейшем мы заменяем значок ®
на приписывание.
126f )j ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
таких ненулевых элементов находится во взаимно одно-
значном соответствии с множеством правильных ассоциа-
тивных слов в смысле А. И. Ширшова (см. 2.3.8). Дейст-
вительно, среди циклических перестановок любого слова
xit . . . xin есть правильное в том и только том случае,
когда это слово не равно своей циклической перестановке.
Теперь, поскольку число правильных ассоциативных слов
степени п (от фиксированного конечного множества пере-
менных) равно dim Ln (У), наша лемма доказана.
3.4.3.	Операторы и сп. Как мы знаем из п. 3.3.8,
A-модуль Тп (7) наделен структурой правого 5п-модуля.
Выберем в А5П два идемпотента сп и 1п со следующим
свойством: сп1п = 1п и 1псп = сп. Тогда будет справедли-
во следующее утверждение.
Лемма. Если сп, 1п ЕЕ А5П таковы, что Сп = сп,
In = Zn, ~ Zn zz Zncn = сп, то Tn (7) сп и Тn(7) Zn
изоморфные A-модули. Если А—поле и dim 7 < оо,
то Тп (7) сп и Тп (7) 1п — изоморфные (УЪ(У)-модули.
Доказательство. Пусть^ w ЕЕ Тп (7) сп, тог-
да w = исп, и ЕЕ Тп (7). Имеем
(zz?Zn) сп = исп1псп — исп = исп = ш.
Если w е Тп (7) 1п, то w = uln, и Тп (7). Тогда
(wcn) zn = ulncnln = uln — uln = w.
Значит, на А-подмодулях Tn (7) сп и Тп (7) 1п отображе-
ния 1п и сп действуют взаимно обратно. Далее, если
dim 7 < оо, то, как отмечалось в п. 3.3.9, GL (7) лежит
в централизаторе правого действия группы Sn на Тп (7).
Поэтому Тп (7) 1п и Тп (7) сп — изоморфные GL (^-мо-
дули. Лемма доказана.
п—1
Положим сп — — у1, Тогда, как отмечалось в
г=0
лемме 3.4.2, Сп (7) = Тп (7) сп. То, что сп — идемпотент,
проверяется непосредственным вычислением в групповом
кольце А циклической группы <т>. Определение
и проверка свойств элемента 1п (мы введем его несколько
позже) более сложные. Если о — перестановка вида
/1 2 . . . п \
V1 ?2 ... In /
то определим числа ind о и def о (индекс и дефект) как
3.4. СТРУКТУРА ОЬ(У)-МОДУЛЯ Ln(V)	127
остатки от деления на п чисел
. S И I (к I > ik+1 (1 < к < п)} |
соответственно (все связанное с этими величинами будет
рассматриваться по модулю п). Как обычно, | М | означа-
ет мощность множества Af, 1п х полагаем равным in+2
приравниваем к i2 и т. д. Если т = (1 2 . . . п), то спра-
ведливы следующие соотношения (по модулю п):
(i)	def от = def о;
(ii)	ind (5%г = irid о — i def о;
(iii)	ind т\г = ind о — i;
(iv)	def o = l тогда и только тогда, когда о = т\
Свойство (i) справедливо по определению. Для доказа-
тельства свойства (ii) достаточно в силу (i) показать, что
ind (от) = ind о — def о. Запишем
„ = (< 2  “ )_(>	 "V
\ 71 /2 ... /п/	\12 *3 h/
Тогда
ind (от) =	&= S к = 3 (^ — 1) =
*fc+i>*fc+2
= ind о — def о
. Для доказательства iii, как и выше, достаточно показать,
что ind то = ind о — 1. Запишем:
__/1 2 ... п\ / 1	2	... п \
\ 71 /2 fn)	vi + i fe + l ••• г’п + 1/
Тогда
ind то = к= S	3 к + (т —1)>
где im = п. В то же время
indo= 3 & = S к-\-т.
i^n
Значит, ind то = ind о — 1, что и требовалось. Нако-
нец, (iv) следует из определения.
Теперь определим элемент 1п из Л5п,гполагая
V Ц eind<,G-
asS„
Проверим, что In = In, а также что 1псп = сп и сп4, = 1п.
128 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНО 1 АЛГЕБРЫ ЛИ
Будем использовать соотношения (i) — (iv). Начнем
с последнего равенства:
сп1п - -^г Е s-i4inda^ = У, e-1+ind^p =
о, г	р, г
=i-Ee"ndpp=z-
р.»
Далее,
1псп = -^г У,	У 8-*+,ndP^’p =
о, i	р, г
п—1
= JL e-i+indp+idef рр _ J? gindp	gi(defр-1) j р.
р, i	р	1=0
Внутренняя сумма равна нулю для всех р, кроме тех, для
которых def р = 1. В последнем случае она равна п. Ис-
пользуя свойство (iv), получаем (нужно использовать
свойство (iii)), что
1пСп = 4" У, eindTV = Сп.
[/г=1
Наконец, Zn = In^n = (рп^п) ~ (/п^п)	=	= Аг*
3.4.4.	Предложение. Тп (У) In = Ln (F).
Доказательство. Обозначим через на-
бор Жо(1) . . . »<i(n). Тогда действие оператора 1п на . . .
. . . Хп е Тп (У) может быть записано формулой
О
Распространим действие этого оператора на произвольные
наборы (Ui, u2, . . ., un) однородных элементов щ ЕЕ
E?mi (V),	> 1. Для этого сначала введем обобщен-
/1 2 ... п\
ный индекс элемента 0=1^ /2 . _ / I:
п
indor= 3	+ • • • + mt(modm), m= mi-
i=1
Если все тп/ = 1, то определение индекса совпадает с при-
веденным ранее. Положим UG =	• • • ^о(п) и
gind gjj
(Ul, »2» • • • » Hn) ln —	д __
'*n i<fc<n
3.4. СТРУКТУРА GL (У)-МОДУЛЯ Ln (V)	129
Если все mt равны 1, то
П (1 —	= П (1 — е*) = П, (2)
к=1	к=1
поэтому (хх, Х2, . . ., Хп) 1п =	. Хп1п.
Заметим, что
(иь . . иь uf+1, . . ип) 1п — (U1» • • • » ^+1»	. . .
• • ч ^n)	~ (^1> • • ч [^1, Wf+iL • • ч ^п) ^п-1* (3)
Пусть Аа и Во — коэффициенты при С7а в первом и вто-
ром слагаемых левой части равенства (3) соответственно.
Если i и i + 1 не стоят в а рядом, то Аа = Ва. Поэтому
во всех одночленах в левой части равенства (3) щ и ui+1
стоят рядом. Остается вычислить Ла — BG для случая,
когда, для некоторого Z, a(Z) = Z, о (Z -|-1) = Z +1. Имеем
pind о
д ___В —______________-________________
°	° П (1 _ema(D+-+W(lt))
Kfc<n
elnd «+(»!„(!)+...+mo(0)	g1nda	(1 — em®(D+-+ma(Z))
IJ 0 _8m<x(l)+ -+ma(fc)) — П _8т<т(1)+--+т<т(/с))
Kfc<n	l<fc<n
_	8inda'
— П (1—eWa'(i)+’*,+WaW) ’
ia<n
k^l
f / 1	... Z —1 Z + l ... n \ rr
r«ea=U(l) ... O(Z-1) 0(41) ... o(n))- Получается
в точности коэффициент при Мац). . .	ui+1]. .. u0(n) в пра-
вой части. Доказанное соотношение позволяет утверждать,
что если щ ЕЕ Lm (У) и = т, то (ub и2, ...» ик) 1к =
== (щи2 ... uk) 1т. Действительно, в силу линейности можно
считать, что щ — коммутаторный одночлен. Если к = т,
то получаем равенство (2). В противном случае найдется
щ = [у, w\ и (un . . ., [р, ipJ, . . ., uk) lk = (ux, . . .
. . v, w, . . ., uk) lk+1 — (Ui, . . ., ip, v, . .uk) Zfc+l.
Используя индукцию вниз по к (с основанием при к = т),
получаем
(ih, . . ч (у,	. . ., uk) lk = (ui. . . vw . . . uk) lm —
— (ux . . . wv . . . uk) lm = (Ui . . . [p, id . . . uk) lm.
При к = 1 видим, что uln = u.
5 Ю. А. Бахтурин
130 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
Итак, Ln (V) CZ Тп (У) 1п. Остается показать, что лю-
бой элемент вида
(Ж1®2... хп) in=А- У,eind	(4)
oesn
лежит в Ln (V). Достаточно ограничиться случаем, когда
dim V = п< оо. Заметим, что, согласно 3.4.2, в случае
поля dim Сп (V) = dim Ln (У). Кроме того, Сп (У) =
= Тп (У) сп = Тп (У) ln Z) Ln (У). Поэтому, опять-таки
в случае поля, Тп (У) ln = Ln (У). Рассмотрим поле Л' =
= Q (е). Тогда элемент (4) есть элемент Ли над Л'. Ис-
пользуя критерий Шпехта — Вефера (см. 2.5.6), видим,
что (4) инвариантен относительно отображения <рп:
ХгХ2. . . хп f/n [х2, . . ., [«n-i, «»] . . . ]]. Тогда
(XiX2. .. жп) /п = 4" eind ®<pn (Х„).
О
Это равенство содержит лишь коэффициенты из Z [1/п, е],
поэтому имеет место и над произвольным кольцом Л, со-
держащим 1/п и е. Итак, Тп (У) ln CZ Ln (У). Оконча-
тельно, Тп (У) ln = Ln (У), и предложение доказано.
3.4.5.	Т е о р е м а. Пусть Л — коммутативное коль-
цо с 1, содержащее элемент 1/п и первообразный корень в
степени п из 1. Тогда функторы Ln и Сп из категории
Л-модулей в себя изоморфны. Если Л — поле и dinf У <
< оо, то Ln (У) и Сп (У) — изоморфные С/Ъ(У)-модули.
Доказательство. Как отмечено в 3.4.1,
Тп (Ю сп = Сп (Ю- В предложении 3.4.4 доказано, что
Тп (Ю In = Ln (У). Согласно лемме из п. 3.4.1 умноже-
ние на сп переводит Тп (У) 1п в Тп (У) сп, причем эти отоб-
ражения взаимно обратны и в случае, когда Л — поле,
а У конечномерно, являются GL (У)-изоморфизмами. Тео-
рема доказана.
3.4.6.	Закон взаимности Фробениуса. Кроме приве-
денных в 3.2.1 понятий нам понадобятся еще некоторые
факты из теории представлений конечных групп. Мы бу-
дем пользоваться понятиями характера представления,
скалярного произведения характеров и связанными с ни-
ми простейшими теоремами (все это можно найти в учеб-
нике А. И. Кострикина [59, гл. 8, § 4]). Более того, нам
понадобится так называемый закон взаимности Фробе-
ниуса. Его формулировка такова. Пусть Н — подгруппа
группы G, У — некоторый простой Я-модуль. Образуем
3.4. СТРУКТУРА вЬ(У)’МОДУЛЯ Ln (V)	<31
индуцированный G-модуль
Ve = AG0AHV.
Пусть Т — некоторый простой G-модуль, m (Т, 7G) —
кратность вхождения G-подмодуля Т в G-модуль 7G,
m (7, Т) — кратность вхождения Я-модуля V в Я-мо-
дуль Т.
Теорема. Пусть Л — поле характеристики нуль,
тогда
т (Г, 7G) = т (7, Т).
Доказательство можно найти в книге С. Ленга [73,
гл. XVIII, §§ 6, 7].
3.4.7.	Функтор Ln в случае поля характеристики нуль.
Как отмечалось в 3.2.10, если Т7 — неприводимый левый
5п-модуль с характером %, то GL (7)-модуль 7Х =
= Тп (7) ®А8П 7% либо нулевой (если в соответствующей
диаграмме Юнга более m строк, m = dim 7), либо непри-
водимый, причем все неприводимые представления груп-
пы G = GL (7) могут быть получены этим способом (име-
ются в виду представления в Тп (7)). Пусть Г — подгруп-
па в Sn, порожденная циклом т длины п. Обозначим через
m (7Х, Ln (7)) кратность неприводимого представления
7Х в GL (7)-разложении G-модуля Ln (7), являющегося
подмодулем полупростого модуля Та (7). Через m (Л8, Тх)
обозначим кратность Т-модуля Л8 в Г-модуле Тх (огра-
ничение действия группы Sn на подгруппу Г = <т> CZ *$п).
Предложение.
1 V"1 * * * * * * В	——
m (Vх» Ln (V)) = m (Л8, Т%) = — р (d) % (г d).
d\n
Доказательство. Согласно лемме из 3.4.3
Ln (7) Сп (7) Тп (7) ®лг Ле
= Тп (7) 0Л8П (Л5П ®дг Ле),
m (7Х, Ln (7)) = m (7Х, Сп (7)) = m (7\, ASn ®лг Л8).
В соответствии с законом взаимности Фробениуса (см.
3.4.6) кратность неприводимого представления Тх в инду-
цированном модуле А5Л (х)дг Л8 равна кратности пред-
ставления Л8 в ограничении представления Тх на под-
5*
132 гл. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБР Ы ЛИ
группу Г. Таким образом,
m (Тх, Л8п ®лг Ае) = т (Ае, Ту) = У, (т«).	(5)
<=0
Если наибольшие общие делители (и, i) и (п, /) совпадают,
то тг и т7 имеют одинаковую цикловую структуру и, следо-
вательно, сопряжены в группе Sn. Значит, для них % (тг) =
= % (г7), что позволяет переписать (5) в виде
4- У,	»"х(’d)=4-Ц( £ «<“)5(<т,‘)-
Согласно примеру из 3.1.2 сумма всех первообразных кор-
ней степени d из единицы равна р (d). Поэтому оконча-
тельно получаем
т (Vу, Ln (У)) = 4 £ И (4г) % (А
d|n
что, очевидно, эквивалентно равенству из формулировки
предложения. Доказательство закончено.
Следствие. т (7Х, Ln (7)) (dim Т%)/<р (и). В
частности, симметрическая и внешняя степень GL (7)-
модуля V не входят в разложение GL (У)-модуля Ln(V)
при п^> 2.
Доказательство. Поскольку любое неприво-
димое представление группы Г определено над Л и имеет
вид т »-> ег, разлагается в прямую сумму модулей вида
Лег. Согласно предложению, т (Ле, 7\) не зависит от
выбора первообразного корня 8 из 1. Поэтому
п—1
dim Тх = 2	Т%)	(А-е*’ Т%)==
г=0	(г, п)=1
= ф(и)т(7х,4(Р)),
что и доказывает первую половину следствия. Да-
лее заметим, что симметрическая степень соответствует
идемпотенту е± — а» а внешняя — идемпотенту
a£Sn
-е2 =—г \ 8аа, т. е. двум одномерным представлениям
aes»
группы Sn. Из доказанного неравенства получаем, что крат-
3.4. СТРУКТУРА GL (У)-МОДУЛЯ Ln (V)	133
ность любого из этих представлений не превосходит чис-
ла 1/<р (п), т. е. равна нулю при 2. Следствие доказано.
3.4.8. Теорема. При п Ф 4, 6 всякое неприводи-
мое представление группы GL (7), входящее в разложение
GL (У)-модуля Тп (7) и отличное от внешней и симмет-
рической степени пространства V, входит также в раз-
ложение GL (У)-модуля Ln (У).
Доказательство. Исходя из равенства т (7%,
Ln (V)) — т (Ле, Тх), Достаточно установить, что непри-
водимое представление Т = Т% симметрической группы
Sn содержит точное неприводимое представление под-
группы Г = <т> во всех случаях, кроме следующих: (i)
dim Т = 1; (ii) Т отвечает диаграмме
п = 4;
(iii) Т отвечает диаграмме d=
, п= 6. Для доказатель-
ства рассмотрим два случая:
а)	п = ра, где р — простое число. В этом случае,
если Т не содержит точного неприводимого представления
подгруппы Т = <т> порядка ра, то <тра-1> всегда перехо-
дит в 1. Следовательно, Т — не точное представление.
Однако при п Ф 4 в Sn нет нетривиальных нормальных
подгрупп, кроме Ап. Поэтому при п #= 4 мы приходим
к случаю (i). При п = 4, используя предложение из 3.4.7
и то, что V4 лежит в ядре двумерного представления, от-
вечающего диаграмме из случая (ii), получаем m (7Х,
Ln (7)) = 0.
б)	Пусть теперь п = dq, где q = ра, (g, d) = 1. Пере-
становка Td распадается в произведение независимых цик-
лов длины ра: т4 == TtT2 . . . rd, причем эти циклы т17 т2, . .
. . ., xd циклически переставляются внутренним автомор-
физмом группы Sn, индуцируемым перестановкой Td. Пусть
G = <т2> X <т2> X ... X <Td> С~ Sn. Ограничение пред-
ставления Т на G распадается в прямую сумму одномер-
ных представлений. По крайней мере одно из них явля-
ется точным на подгруппе <rd> (она имеет порядок ра).
Пусть % — характер, a t — базис пространства этого пред-
ставлеяия. Тогда % (тА.) = Й = 1, а % (т*) =	.
...£* = £ — первообразный корень степени q из 1.
Переходом от характера % к подходящему характеру xG:
134 ГЛ. 3. ОДНОРОДНАЯ СТРУКТУРА СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ
а *-*- % (сНао) (о ЕЕ Sn) можно добиться того, что
(11....Id) -	-	• • • ’	• • • > Em)> (6)
где =# 1/ при i Ф j и по-прежнему ... %т — перво-
образный корень степени q из 1. Действительно, для лю-
бой перестановки (Zx, i2l . . ., id) индексов (1,2,..., d)
найдется перестановка Ох ЕЕ Sn такая, что иГ1^^ =
Если т 1, то характеры хг<?\ & = 0, l,...,d — 1,
являются попарно различными. Действительно,
rf* (it) = 1 (v-qkXiT,qk) = х (tj+s) = gj+fc.
В этом случае наборы собственных значений операторов
тп . . ., vd на подпространствах <0>, <т9 (0>, . . .
..., (т9^-1) (0> попарно различные. Значит, система эле-
ментов т94 (t) линейно независима. Пусть е — первообраз-
ный корень степени d. Тогда вектор
и = t + е-Ч9 (0 + . . . +	(0
ненулевой и т9 (и) = ги. Поскольку Td (и) = gu, где
£— первообразный корень степени q из 1, видим, что
и — собственный вектор для т, причем собственное зна-
чение — первообразный корень степени qd = п из 1. Ос-
тается рассмотреть случай, когда в равенстве (6) т ?= 1,
т. е. все . ., Id равны Тогда gd = £. Заметим, что
если г1т . . ., rd — числа, взаимно простые с д, то можно
подобрать перестановку р такую, что р-1гЧр = т$л, т. е.
Хр (тг) — j = 1, . . d. Далее, если q 3, то числа
гк можно подобрать так, что хотя бы два из них несрав-
нимы по модулю g, а хр (rd) = X frd)- В самом деле, если
q Ф 2а, то полагаем гг = —2, г2 = 4, гк =1 при к 2;
если q За, то полагаем т\ = —1, г2 = 3, rk = 1 при
к 2. Тргда
Хр (т4) = Т1 . . . Td—= I - X (Td).
Это возвращает нас к случаю, когда т > 1.
В результате проведенных рассуждений остается слу-
чай п = 6. Он разбирается прямыми вычислениями с по-,
мощью предложения из 3.4.7 и формул из 3.2.8. Теорема
доказана.
3.6. КОММЕНТАРИЙ
135
3.5.	Упражнения
3.5.1.	При каких п модуль Тп (V) — точный А5п-модуль?
3.5.2.	Найти кратности неприводимых компонент в L9 (P)f
где dim V = п при различных значениях п.
3.5.3.	Пусть G конечная группа и V — неприводимое пред-
ставление этой группы над полем С комплексных чисел. По лемме
Шура ^ghg^hr1 = Х-1, где % е С. Найти 1.
3.5.4.	Пусть — число стандартных таблиц порядка п
с диаграммой Юнга d. Доказать, что
d
У'к а з а н и е. Пусть, d = (znx, . . mr),	mri
— (mi> • • •, mi — 1? . . mrh dt = (тпг, . . ., mi + 1, . . тп,.),
b = b? — число стандартных, таблиц с диаграммой d*, если
mi > и 0 в противном случае; аналогично определяется Ь*.
Доказать, что Ъ =	. 4- (п + 1) Ъ = b[ + . . . + &*+1,
(bt)7 = Ь. Применить индукцию по п для завершения доказательства.
3.6.	Комментарий
Первые три раздела настоящей главы являются классическими
и могут быть найдены в других книгах [23, 26, 37, 68]. Применения
развитой здесь теории к изучению тождеств пока сравнительно
немногочисленны (см. (42, 152, 28—31] и некоторые другие). Не-
сомненно, однако, что число таких применений будет неуклонно
расти. Результаты раздела 3.4 принадлежат А. А. Клячко [54].
Формулы для размерностей неприводимых компонент взяты из
книг А. Кербера [162] и Г. Вейля [26].
Глава 4
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.1.	Тождества и многообразия
4.1.1.	Определение многообразия. Пусть Л — некото-
рое коммутативное кольцо с 1. Класс алгебр Ли V над
кольцом Л называется многообразием, если существует
некоторая совокупность тождеств {и = 0 | v ее V}, где
V — некоторое множество неассоциативных многочленов,
такая, что алгебра G лежит в V тогда и только тогда, ког-
да в G выполняются все тождества данной совокупности.
Заметим, что множество V можно рассматривать как под-
множество фиксированной свободной алгебры Ли L (X),
где X = {хг, х2, . . ., хп, . . .} — некоторое счетное мно-
жество переменных. Это с очевидностью вытекает из того,
что левая часть каждого отдельного тождества зависит
лишь от конечного числа переменных. Совокупность эле-
ментов % кольца А таких, что 'кх = 0 — тождество много-
образия V, является идеалом в А и обозначается через
Ann F. Многообразие называется нетривиальным, если
Ann V =/= А. В противном случае в F выполняется тож-
дество х = 0, и оно состоит лишь из нулевой алгебры.
Если F — некоторое многообразие алгебр Ли и V —
произвольное множество неассоциативных многочленов,
определяющее F, то понятно, что вербальный идеал V (G)
(см. 2.2.7) произвольной алгебры G зависит не от V, а лишь
от F. Мы будем писать F (G) = V (G). Полученный идеал
называется вербальным, отвечающим многообразию ал-
гебр Ли F (или множеству V неассоциативных многочле-
нов).
4.1.2.	Свободная алгебра многообразия. Пусть F —
некоторое многообразие, определенное системой неассо-
циативных многочленов V. Для любого непустого мно-
жества Y обозначим через L (У) свободную алгебру Ли
с множеством У свободных порождающих. Рассмотрим
вербальный идеал V (L (У)) алгебры L (У). Тогда, понят-
но, L (У)/Р (L (У)) е F. Более того, если л — любой
гомоморфизм из L (У) в алгебру из F, то V (L (У)) С2
4.1. ТОЖДЕСТВА И МНОГООБРАЗИЯ	137
cz Кег л. Таким образом, алгебра
L (У, V) = L {Y)IV (L (У))
обладает следующим свойством универсальности (см.
2.2.4).
Предложение. Для любого отображения ф
из У в алгебру GeV существует единственный гомомор-
физм ф: L (У, F) -> G, продолжающий отображение ф.
Мы называем алгебру £(У, F) свободной алгеброй
многообразия F со свободным порождающим множеством
У. При этом удобно отождествлять множество У с его об-
разом в L (У, F).
Из предложения вытекает, что если множества У и Z
находятся в биективном соответствии, то L (У, F)
{Z, V). Верно и обратное (см. 4.1.3). Другое,очевидное
следствие этого предложения состоит в том, что любое
соотношение между свободными порождающими свободной
алгебры многообразия является тождеством в этом мно-
гообразии.
4.1.3.	Предложение. Если F — нетривиальное
многообразие алгебр Ли над кольцом А и Y, Z — два не-
пустых множества, то L (У, F) L (Z, F) в том и толь-
ко том случае, когда Y и Z имеют одинаковую мощность.
Доказательство. Достаточность отмечена
выше. Для доказательства необходимости рассмотрим
максимальный идеал М кольца Л, содержащий Ann F,
и определим U cz L ({#!, ж2}) как множество одночленов
Л#!, КееМ, ТогдафакторалгебраЛ(У, V)IU (L (У, F))
изоморфна алгебре (Л/М) У, a L (Z, V)IU (L (Z, F))
(Л/М) Z. Однако (Л/М) У и (Л/М) Z — это векторные
пространства над полем Л/М с базисами У и Z. Остается
применить известный из теории векторных пространств
факт о равномощности любых двух базисов одного и того
же векторного пространства. Предложение доказано.
Это предложение позволяет для любых кардинальных
чисел ш говорить о свободных алгебрах многообразия
ранга ш. Такая алгебра обозначается через L (m, F).
4.1.4.	Не представляет труда убедиться в том, что лю-
бое многообразие F над Л является классом алгебр Ли
над Л, замкнутым относительно взятия подалгебр, фактор-
алгебр и декартовых произведений алгебр из F. Справед-
ливость обратного утверждается в теореме Биркгофа.
Доказательство этой теоремы дает другой способ построе-
ния свободной алгебры многообразия.
138
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
Теорема (Биркгоф). Непустой класс К алгебр Ли
является многообразием в том и только том случае, когда
он замкнут относительно взятия подалгебр, гомоморфных
образов и декартовых произведений (все алгебры рассмат-
риваются над фиксированным кольцом Л).
Доказательство. Обозначим через V мно-
жество всех неассоциативных многочленов v ЕЕ L ({х±,
х2, . • м хпч • • •}) таких, что тождество v = 0 выполняет-
ся в каждой алгебре класса К. Допустим, что G — некото-
рая алгебра такая, что V (G) = {0}. Для доказательства
теоремы достаточно показать, что G К.
Представим алгебру G в виде факторалгебры подхо-
дящей свободной алгебры L (У). Тогда G изоморфна и
и факторалгебре свободной алгебры L (У, V) =
= L (У)/У (У) многообразия F. Покажем, что L (У, V) &
е J5C. Пусть Р — произвольное множество в К, опреде-
ляющее ту же систему тождеств, что и К. Обозначим че-
рез Q множество всех гомоморфных образов алгебры L =
= L (У) в Р, а через Y — множество всех эпиморфизмов
из L (У) на алгебры из Q. Образуем декартово произведе-
ние
7?= Ц ф(£).
Обозначим через fy, у ЕЕ Y, элемент из R такой, что
fy (Ф) = Ф (У)- Пусть S = alg {fy\ у G У}. Тогда подал-
гебра S является гомоморфным образом алгебры L (У)
при гомоморфизме %, продолжающем отображение %:
y-^fy. Покажем, что V (L (У)) Кег 7- Действительно,
если w £= Кег %, то ф (w) = 0 при любом гомоморфизме
из L (У) в алгебру из Р. Значит, тождество w= 0 выпол-
няется в каждой алгебре из К. Взяв запись w' многочлена
w на переменных хг, х2, . . ., хп, . . ., мы получим и/ е=
е V. Процесс возвращения к переменным множества У
как раз и показывает, что w €Е V (L (У)). Таким образом,
V (L (У)) Кег Согласно второй части теоремы о го-
моморфизме (см. 1.1.0) мы видим, что L (У, V) — гомо-
морфный образ алгебры S. В силу условий на класс К
алгебра L (У, F) лежит в J5T. Таким образом, К = V,
и теорема доказана.
Если с самого начала предполагать, что К = V, то
алгебра S L (У, F) есть конструкция свободной ал-
гебры многообразия F со свободным порождающим мно-
жеством У. Введем одно обозначение. Если М — некото-
рый класс алгебр Ли над А, то F = var (М) — наимень-
4.1. ТОЖДЕСТВА И МНОГООБРАЗИЯ	139
шее многообразие алгебр Ли над Л, содержащее класс
М. Будем еще говорить, что V порождено алгебрами из
класса М, или просто классом М. Если М состоит из од-
ной алгебры бг, то пишем V = var (6?) (а не var ({(?})).
Отметим, что любое многообразие порождается своей сво-
бодной алгеброй счетного ранга, равно как и множеством
всех своих свободных алгебр конечного ранга.
4.1.5.	Теорема. Многообразие V = var G, по-
рожденное конечной алгеброй G, локально конечно. Иными
словами, любая конечно порожденная алгебра из V конечна.
Доказательство. Применим конструкцию пре-
дыдущей теоремы к случаю, когда класс Р состоит из одной
алгебры G. Если Y конечно, то из конечности алгебры G
следует, что Q, а вместе с ним и Y конечны. В этом случае
конечно и декартово произведение R и его подалгебра S,
изоморфная алгебре L (У, F). Поскольку любая конечно
порожденная алгебра А €Е V представима в виде гомоморф-
ного образа свободной алгебры L (У, V) с конечным по-
рождающим множеством У, мы видим, что А конечна.
Теорема доказана.
4.1.6.	Примеры многообразий. Обозначения. Фикси-
руем основное кольцо Л.
(i)	Многообразие, определенное тождеством х = 0, со-
стоит лишь из одной нулевой алгебры. Мы назовем это
тривиальное многообразие единичным и обозначим через JE.
(ii)	Если М — собственный идеал в Л, то Ом — мно-
гообразие, определенное всеми тождествами вида =
~ 0, где X е М.
(iii)	Многообразие А состоит из всех абелевых алгебр
Ли над Л; оно определено тождеством хгх2 = 0.
(iv)	Многообразие 2УС, состоящее из всех нильпотент-
ных алгебр Ли, ступени, не превосходящей с, определено
тождеством хгх2 . . . хс+1 = 0 (см. 2.1.3).
(v)	Многообразие 8г, состоящее из всех разрешимых
алгебр Ли над Л ступени, не превосходящей I, определено
тождеством {хг, х2, . . ., х^) = 0 (см. 2.1.3).
(vi)	Если U и F — два многообразия, то U р| F —
также многообразие. Напротив, теоретико-множественное
объединение многообразий, как правило, многообразием
не является. Поэтому символом U (J F мы обозначаем
многообразие, порожденное всеми алгебрами из 17 и F.
Таким образом, мы получаем новые примеры многообра-
зий, называемые пересечением и объединением многообра-
зий <7 и F.
140
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.2.	Полиоднородные многообразия.
Процесс линеаризации
4.2.0.	Многообразие V называется полиоднородным,
если соответствующий ему идеал тождеств (вербальный
идеал V (L) свободной алгебры счетного ранга L) является
полиоднородным. Иными словами, если v = 0 — тождест-
во многообразия F, и v =	— полиоднородное разло-
а
жение элемента v ЕЕ L, то для любого а тождество иа = 0
также выполняется в V. Мы вскоре увидим, что полиодно-
родными являются все многообразия над бесконечными
полями. С другой стороны, любое многообразие, порож-
денное конечной нильпотентной алгеброй, не является
полиодйородным. Для изучения полиоднородных много-
образий имеется несколько стандартных приемов. Один
из них — так называемый процесс линеаризации. Он яв-
ляется существом доказательства следующей теоремы.
> [4.2.1. Теорема. Всякое нетривиальное тождество
имеет нетривиальное полилинейное следствие.
Доказательство. Рассмотрим нетривиальное
тождество
v fo, я2, . . .,	0»	(1)
где v («1, z2, . .	х8) — ненулевой элемент подалгебры
свободной алгебры Ли L fa, . . ., хп, . . .), порожденной
множеством fa, х2, . . ., xs}. Многочлен v является линей-г
ной комбинацией своих полиоднородных компонент (см.
2.2.3):
У = S	(2)
а
где т (ра) = а ЕЕ Ф. Если (я2,. . ., xs) = v (0, х2, . . .
. . ., #s) =/= 0, то (ж2, . . ., xs) = 0 есть нетривиальное
следствие тождества (1), и можно применить индукцию
с очевидным основанием при $ = 1. Такое же рассуждение
показывает, что для любого а, такого, что га Ф 0 в (2)
имеем а (xf) > 1, i = 1, 2, . . ., s. Выберем функцию Р е
ЕЕ Ф такую, что для некоторого i число Р fa) самое боль-
шое среди чисел a fa), где / = 1, 2, . . ., з, а а ЕЕ Ф та-
ково, что va ф 0 в (2). Без ограничения общности будем
считать, что р — наибольшее среди чисел а (#>•).
Рассмотрим многочлен
(^в+1? жз+2» ^2» • • •> Х^) = V fa+1 -j- Хз+2, Х2, . . ., Х9) —-
Р (^3+1» ^2» • • •» «п)	(•£«+$>	• • •>	(3)
4.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
141
Тождество w (xs+1, яв+2, #2» ...» xs) = 0 является следст-
вием тождества (1). С другой стороны, очевидно, что если
то т (жт), ?(ж3+2) < ₽ («1), a Y (ж2), .. у (xs) < р (хг).
Это позволяет провести индукцию по числу переменных
для которых при некоторых а имеем р (zj = а (#/), а за-
тем по самому р (х^. Остается заметить, что при каждом
шаге по формуле (3) из ненулевого элемента (1) получает-
ся ненулевой элемент w. Мы помним, что р fo) > 1 для
некоторого Р ЕЕ Ф. Мы представим L (X) как подалгебру
в А (X) (см. 2.3.7). Для различных a ЕЕ Ф элементы
(*^s+i > *^з+2 » Ж2, . . ., £s) = Va C^s+l 4“ *^з4-2» *^2 > • • •» •£«)
Ра (Я'з+Ъ *^2> • • •» *^з)	(*^s+2> *^2» • •	*^s)
Л-независимые. Поэтому достаточно показать, что w°>	0.
Пусть ассоциативный одночлен	. а^х&ц
входит в запись элемента Рр, % ЕЕ Л, % Ф 0, Zi + /2+ • • •
. . . -|-Zt = р fo). Из этого одночлена и только из не-
го может получиться одночлен вида а^х^х^Х а^х^ • • *
. . .	в/, входящий с некоторым коэффициентом
в запись (в алгебре А (X)) многочлена w (xe+i, zs+2,
х2, . . ., xs). Этот коэффициент равен, таким образом,
элементу %, т. е. отличен от нуля. Поскольку различные
ассоциативные одночлены образуют базис в алгебре
А (X), мы видим, что многочлен w ненулевой. Теорема до-
казана.
4.2.2.	Теорема. Пусть Л — бесконечное поле. Тогда
любое тождество р = 0 эквивалентно системе {w =
= 0 | w ЕЕ W} полиоднородных тождеств.
Доказательство. Представим р в виде р = ра»
аеФ
и пусть Pi= У ра» i = 1, 2, . . ., d. Тогда р = р0 +
а(ач)=п
+ Pi + . . . + Pd. Выберем d + 1 попарно различных эле-
ментов Хо, Лх, . . ., из Л и рассмотрим элементы
v(ktxv я2, . . ., х3) = р0 + Xfpx + %|Р2 + . . . + Xfpd, (4)
i = 0, 1, . . ., d.
Тогда все элементы вида (4) лежат в линейном пространстве
р (L (X)). Однако система равенств (4) может быть раз-
142
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
решена относительно vQ, vv . . vd, так как ее определи-
тель — это определитель Вандермонда det (X?), О 1,
/ d. Итак, v0,	. ., vd ЕЕ v (L (X)), причем очевидно
и обратное. Многочлены р0,	. ., vd однородны по пере-
менной xv Проводя индукцию по числу переменных в
записи многочлена и, мы получим утверждение теоремы.
Следствие. Над бесконечным полем любое много-
образие полиоднородно.
Доказательство. В процессе доказательств
теоремы мы показали, что вместе со всяким элементом v
таким, что v == 0, имеем иа == О, где — произвольная
полиоднородная компонента элемента и. Это доказывает
следствие.
В случае поля характеристики нуль имеет место более
сильный результат.
4.2.3.	Теорема. Над полем характеристики нуль
любое тождество эквивалентно системе полилинейных
тождеств.
Доказательство. Используя теорему 4.2.2, будем
считать, что исходное тождество является полиоднородным.
Пусть это тождество имеет вид v (хх, я2, . . ., xs) = О,
т (v) = а. Процесс линеаризации теоремы 4.2.1 есть спо-
соб последовательного получения полилинейного следствия
из v = 0. Если мы покажем, что каждый шаг этого про-
цесса обратим, то наша теорема будет доказана. Однако
если в равенстве (3) заменить rrs+i и я8+2 на хх, то получим',
что верно равенство
^1»	• • •» *s)
= v (2х1, я2, . . ., х8) — 2v (xt, rr2, . . ., х8).
В силу полиоднородности
v (2^, я2, . . ., х8) = 2dv (ж1, х2, . . ., х8),
где a (rq) = d^> 1. Поэтому
и (#1» #2» » • • 9 %$) === "Ztf I" (^*1»	• • • 9 Я'в)*
6л - и
Теорема доказана.
Эквивалентом только что доказанной теоремы над
бесконечным полем характеристики р 0 является такой
результат.
4.2А.	Теорема. Над бесконечным полем Л харак-
теристику, р 0 любое тождество v яи 0 эквивалентно
4.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
143
системе полиоднородных тождеств вида w = 0, w ЕЕ
ЕЕ L& (х19 я2, . . ., яп, . . .), причем a (xt) = О, или
а	i = 1, 2, . . .
Доказательство. Мы можем считать в силу
4.2.2, что v — v (х^ я2, . . , xs) — полиоднородный мно-
гочлен. Если а = т (v) удовлетворяет заключению теоремы,
то доказательство закончено. Поэтому без ограничения
общности можно считать, что а (1) = к, где А: не явля-
ется степенью числа р. Поскольку поле бесконечно, най-
дется X ЕЕ А такое, что(1 4- К)к 1 + V. Действительно,
многочлен
к—1
i=l 4
является ненулевым: например, ненулевым является
/ к \
коэффициент » где & = Рт<Ь (р, Q) = 1- Остается
взять %, не являющееся корнем многочлена / (t). Теперь
применим переход, аналогичный формуле (3), и определим
w (01, 02, *2, . - -,х8) = v + Ху2, я2, . . ., х$) —
— v (у1? х2, . . ., xs) — и(ку2, х2, . . ., х8). (3')
Переход от v = 0 к w = 0 обратим, так как w (х^ х1Л
я2, • • м xs) = ((1 + X)fc — 1 — Xv) v (яр х2, . . ., х8). Вы-
деляя в w однородные части по уъ у2, мы получаем возмож-
ность применить индукцию по количеству индексов i
таких, что a (i) = к, а затем и по к. Теорема доказана.
Заметим, что не всякое многообразие над бесконечным
полем может быть задано системой полилинейных тождеств.
Например, это можно сказать о многообразии, определен-
ном тождеством (ad я)р+1 = 0, р = char А.
4.2.5.	Частичная и полная линеаризации. Пусть G —
алгебра Ли над полем А, Е = (еа)а=и — базис этой ал-
беры. Для проверки выполнимости тождества v — v (х^...
. . ., х8) = 0 в алгебре G в случае, когда v — полилиней-
ный многочлен, достаточно вычислять значение многочлена
v на элементах множества Е. Если мы хотим подобным же
образом упростить процедуру проверки в случае произ-
вольного тождества, нам следует подставлять скалярные
кратные элементов базиса во всевозможные следствия
тождества v = 0, имеющие вид v (у и -J- . . . 4- 0ia,
021 + • • • 4- 02b, • • •> 081 4- • • • 4- 0зс), где все' уи —
различные переменные/. С точностью до эквивалентности
144
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
тождество такого вида может быть получено, исходя из
v = 0, конечным числом переходов вида (3). При этом
подстановка элементов в v (у1 + У 2, х2-> • • •» #s) равносиль-
на подстановке в v (хг, х2, . . ., zs) и w (у1? у2, ж2, . .	х8).
Заметим, что «новый» многочлен w (t/1? у2, х2, . . ., хп)
в результате описанного «элементарного» шага получается
лишь в том случае, если в записи многочлена v в виде ли-
нейной комбинации базисных одночленов с ненулевыми
коэффициентами есть одночлен, степень которого относи-
тельно xt не' меньше 2. Таким образом, для того чтобы
проверить тождество v = 0 в G путем подстановки ска-
лярных кратных базисных элементов, достаточно вместо
v взять наименьшую (конечную) систему X (v) всех нену-
левых многочленов, замкнутую относительно применения
перехода (3) и содержащую v. Мы будем называть этот
переход линеаризацией тождества v = 0. Тождества вида
w = 0, где w — элемент системы X (р), называются ли-
неаризациями тождества и = 0, причем те из них, для
которых w — полилинейный многочлен, называются пол-
ными линеаризациями, а остальные — частичными. Не-
трудно видеть, что полная линеаризация единственна с
точностью до эквивалентности.
В случае бесконечного поля, используя проведенное
рассуждение, процесс выделения полиоднородных частей
4.2.2, а также 4.2.4, мы получаем такой результат.
4.2.6.	Т е орема. Пусть L = L (хг, х2, . . ., хп, . . .),,
V — многообразие алгебр Ли над бесконечным полем харак-
теристики р > 0, заданное тождеством v = 0. Тог-
да существует конечное полиоднородное множество W =
~	. . ., wm} CZ L такое, что:
(i)	{wt = 0, . . ., wm = 0} эквивалентно v = 0.
(ii)	Алгебра G с базисом E (cm. 4.2.5) лежит в V тогда
и только тогда, когда W обращается в нуль на элемен-
тах из Е.
(iii)	Степень однородности каждого многочлена из
W по любой переменной Xj являгтся степенью числа р.
4.2.7.	Некоторые дополнительные определения. Под-
алгебра Н алгебры G над кольцом Л называется характе-
ристической, если она выдерживает все дифференцирова-
ния алгебры G, т. е. для любых S Ez Der G и h €= H вы-
полняется S (h) £= H. Таковы, например, вербальные под-
алгебры V в случае, когда Л — поле характеристики нуль.
Действительно, в этом случае достаточно рассмотреть
действие дифференцирования S на полилинейный много-
4.2, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
145
i член v (х1? . .,^)£ F:
п
6	(v(®l, . . . , Х„ . . . , Хп)) = 3 V (Ж1, . . . , S (Х|), ..., хп).
4=1
I Видно, что и правая часть (точнее, каждое слагаемое) ле-
жит в V.
I	Далее, подалгебра Н в G называется инвариантной
(вполне инвариантной), если она выдерживает все автомор-
физмы (соответственно все эндоморфизмы) алгебры G.
Всякая вербальная подалгебра является инвариантной
и даже вполне инвариантной. Обратное неверно. Напри-
мер, одномерная подалгебра Н = alg (ху) в свободной
j	алгебре L2 = L2 (х, у) выдерживает все автоморфизмы,
;	но, разумеется, не является вербальной. Ниже (см.
4.2.9)	мы покажем, что в случае бесконечного поля и беско-
нечного числа порождающих элементов инвариантная под-
алгебра свободной алгебры Ли является вербальным идеа-
ч лом. Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.
4.2.8.	Лемма. Пусть L — свободная алгебра Ли
над кольцом Л с бесконечным свободным порождающим
множеством X. Для любого хЕХ обозначим через (рх
эндоморфизм алгебры L, продолжающий отображение
х 0, у у (у Ф х) элементов множества X. Если инва-
j риантная подалгебра М с; L выдерживает все (рж, то она
| вполне инвариантна.
i	Доказательство. Пусть w = w (хх, х2, . . .
П . . ., zm) и (р — эндоморфизм алгебры L, переводящий Xi
в Vi (х13 . . ., Хп), I = 1,2, . . ., т. Рассмотрим автомор-
I физм со алгебры L, заданный правилом со (xt) = Xn+i +
!	• + Vi (xx, . . Xn), 1< m, ®	= Xj, l<j<
I < n; <o (у) = у, у G= X \ {xt, x2, . . xm+n}. Биектив-
i ность отображения co следует из того, что мы можем постро-
ить обратное к со отображение, тождественное на элемен-
тах множества X. Вычислим со (w):
<Л (w) = W («п+1 + vx (хи . . Хп), «п+2 4-
.+ V2 («х, . . .,Хп), . . «п+т + Vm (Xlt . .	«„)).
,, Элемент <в (и?) лежит в М. По условию леммы тогда и эле-
мент
<Р*п+1<Рхп+2 • • • Фхп+т (®	=
= W (vx («х, . . Хп), V2 («х, . . .,Хп), . . .
j	• • •> vm (^ii • • ч ®п))
лежит в М. Лемма доказана.
146
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.2.9.	Теорема. L = L (X) — свободная алгебра Ли
над кольцом Л с бесконечным множеством X свободных
порождающих и М — инвариантная подалгебра. Тогда
М — вполне инвариантная подалгебра. Если М — полиод-
нородная инвариантная подалгебра, то М — вербальный
идеал.
Доказательство. Сначала покажем, что М —
вполне инвариантная подалгебра. Для этого применим
лемму 4.2.8. Пусть х ЕЕ X и фх означает то же, что и в
этой лемме. Зафиксируем и ЕЕ М и представим его в виде
и = Uq их + . . . + и8, и8 Ф 0, где щ однороден сте-
пени i относительно х. Индукцией по s с очевидным осно-
ванием при s = 0 докажем, что <рх (и) ЕЕ М,. Пусть 5 >
> 0, и допустим, что и не зависит от z Е X. Рассмотрим
автоморфизмы 0Х и 02 алгебры L, индуцированные отобра-
жениями x*-+z, z*->xt!lx*-+-x-{-z, z соответственно
(при этом 0^ (у) = у, если у Ф х, z, t = 1, 2). Согласно
нашему предположению, элемент v = и + 0Х (и) —
— 0а (и) лежит в М. Как и в 4.2.1, степень этого элемента
по х строго меньше 5. Поскольку фх (02 (и)) = 0г (и), по-
лучаем М Э Фх (у) = <Рх (и) + 0Х (и) — 0Х (и) = фх (и).
В силу произвольности элемента х по лемме 4.2.8 М —
вполне инвариантная подалгебра.
Допустим теперь, что М — полиоднородная подалгебра.
Зафиксируем полиоднородный многочлен v (хг, х2, . • •
. . Хп) е М, и пусть хп+1 Е Х \ {#!, . . ., хп}. Достау
точно показать, что xn+1v (хх, . . ., хп) е= М. Рассмотрим
элемент
W — V (х± -|- Хп+±Х^, Х2 4" ^п+1^2» • • •»	4“ *n+l*n) М. (1)
Нетрудно понять, что сумма всех одночленов, входящих в
запись элемента (1), содержащих жп+1 в первой степени,—
это жп+1У (хх,.. ., хп). Пользуясь полиоднородностью под-
алгебры М, видим, что жп+1У (ях, . . ., хп) ЕЕ М. Теперь,
пользуясь тем, что М — вполне инвариантная подалгебра,
получаем, что М замкнута относительно умножения на
любые элементы из L. Пусть теперь V равно множеству
неассоциативных многочленов, составляющих М. Тогда
из доказанного очевидно, что М = V (L). Теорема дока-
зана.
4.2.10.	Свободная алгебра полиоднородного многообра-
зия. Напомним (4.1.1), что свободная алгебра L (X, F)
многообразия алгебр Ли V со свободным порождающим
множеством X определяется как факторалгебра свободной
4.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
147
алгебры L^L (X) по вербальному идеалу V = F (L).
Очевидно такое утверждение.
Предложение. Пусть F — полиоднородное мно-
гообразие алгебр Ли над кольцом A, G = L (X, F) — сво-
бодная алгебра многообразия V со свободным порождаю-
щим множеством X. Тогда G — алгебра Ли, градуирован-
ная подпространствами Gn = Ln + F(L)/F(L), п = 1,
2, . . . В частности,
П^={0}.
п=1
Важным применением является следующее.
4.2.11.	Теорема. Пусть G = L (Y, V) — свободная
алгебра полиоднородного многообразия V алгебр Ли над по-
лем A, Z — подмножество eG, линейно независимое по мо-
дулю коммутанта G2 и Н — подалгебра в G, порожденная
множеством Z. Тогда Н — L (Z, V).	<Q^
Доказательство. Пусть X — множество той
же мощности, что и Z, ф — биекция множества X на Z и
Ф — гомоморфизм из L (X, V) на Н, продолжающий это
отображение. Если Кег ф=/= {0}, то найдутся . ., хт€Е
GF Х_и zt = ф (х±), . . ., zm = ф (хт) такие, что ограниче-
ние ф: L (хг, . . ., хт, V) —» alg (zx, . . ., zm) является не-
инъективным. Это позволяет ограничиться случаем, когда
Z = {zv • • •» zm} — конечное множество. При этом можно,
очевидно, считать, что и множество Y == {уг, . . ., уп} ко-
нечное (при переходе к подалгебре коммутант лишь умень-
шается и условия теоремы сохраняются). Имеем п =
= dim G/G2 т. Переставляя, если нужно, элементы
множества Y местами, можно считать, что множество
Z' = {z1, . . ., zm, ут+1, . . ., уп} линейно независимо по
модулю G2. Пусть Я' = alg Z'. Отображение уг zt, . . .
• • • > Ут ут+1 ут+1, . . уп^ уп продолжается до
гомоморфизма %: G —> G. Для завершения доказательства
Теоремы достаточно показать, что Кег % = {0}. Допустим,
со
от противного, что 0 Ф v е Ker X- Поскольку П Gn =
= {0} (см. 4.2.10), найдется п^2 такое, что Gn.
Далее, так как х (Gn) cz Gn, гомоморфизм х индуцирует
гомоморфизм х: G/Gn —»GIGn. Заметим, однако, что
G/Gn — нильпотентная алгебра и образ множества Z' в
этой алгебре порождает ее по модулю коммутанта (GIGF}2 —
= G*IG\ Поэтому (см. 1.7,2) х — сюръекция конечномер-
148
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ного пространства G!Gn на себя. Значит, % — изоморфизм
и % (у + 6?п) = 0- Таким образом, v ЕЕ Gn, что противоре-
чит сделанному ранее допущению. Итак, х — инъектив-
ный гомоморфизм, откуда
Н = ь\%2^Ь(У1,. . ,,ут, V).
Теорема доказана.
Следствие. Свободная алгебра многообразия ал-
гебр Ли над бесконечным полем свободно порождается лю-
бым своим порождающим множеством, линейно незави-
симым по модулю ее коммутанта.
Заметим, что теорема 4.2.11 с некоторыми изменениями
в формулировке может быть доказана и для случая ко-
лец (см. упражнение 4.10.11). Однако недостаточно по-
требовать, чтобы множество Z было Л-свободно по моду-
лю G.
4.2.12.	Независимые системы тождеств. Система тож-
деств = 0 | i ЕЕ 1} называется независимой, если
никакое из тождеств этой системы не является следствием
всех остальных. Любое многообразие, которое может
быть определено конечной системой тождеств . . .
. . ., Хп) = 0, . . ., vm (х1ч . . ., Хп) = 0, может быть за-
дано и независимой системой тождеств. Действительно, оно
может быть задано одним тождеством и(х±, . . ., хтп) =
= 0, где
U (Хр . . Хтп) =	Хп) 4- . . .
• • • + и2 (жп+1» • • ч ^Зп) + • • • + Vm (#(т-1)п+Ь • • ч ^тп)'
Разумеется, система, состоящая из одного тождества, яв-
ляется независимой. Вопрос о том, всякое ли многообра-
зие алгебр Ли над коммутативным кольцом Л с 1 задается
независимой системой тождеств, является открытым. Сле-
дующая теорема дает положительный ответ в случае полиод-
нородных многообразий над полем. Перед ее формулировкой
дадим определение нормального неассоциативного много-
члена как линейной комбинации одночленов, в запись каж-
дого из которых входят одни и те же переменные. Любая
система тождеств, очевидно, эквивалентна системе нор-
мальных тождеств, т. е. тождеств вида v = 0, где v —
нормальный многочлен.
4.2ЛЗ.	Теорема. Всякое полиоднороднюе многообра-
зие V над полем Л может быть задано независимой системой
тождеств.
4.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
149
Доказательство. Согласно предположению,
вербальный идеал V = V (L), где L — свободная алгебра
счетного ранга, является полиоднородным. В частности,
положив Vn’ = V П Ln, получим У = У1фУгф...
• • • Ф Vn ф ... Заметим, что в силу замечания о нормаль-
ных тождествах, система тождеств {и = 0 | v е= V*} экви-
валентна подсистеме, зависящей лишь от переменных
{х^ . . ., хп}. Однако совокупность левых частей этой
подсистемы есть конечномерное подпространство Vn в
Vn. Взяв базис {рх„ . . ., vm} в Vn и применив прием, как
в 4.2.12, мы увидим, что система {v = 0 | v ЕЕ Уп} экви-
валентна одному подходящему тождеству wn = 0. Теперь
построим последовательность натуральных чисел Лх,
&2, • • •»	• • • такую, что = 0 | i = 1, 2, . . .} —
система тождеств, эквивалентная системе {у = 0 | v ЕЕ
ЕЕ У} и являющаяся независимой. Последовательность
строится индукцией по т. В качестве к± берем наименьшее
натуральное число такое, что У^ =/= {0}. Предполагая
последовательность к2, . . кт^ уже построенной,
рассмотрим систему многочленов . . ., m^w_x, и пусть
кт — такое наименьшее натуральное число, что У^ш не
лежит в вербальном идеале, порожденном этой системой.
Если такого кт не существует, то построение считается за-
вершенным на предыдущем шаге. Покажем теперь, что
система W тождеств вида W =	= 0|иг = 1,2,...}
является независимой. Для этого индукцией по т по-
кажем, что никакое тождество не следует из совокупности
остальных. В самом деле == 0 есть тождество строго
меньшей степени, чем все остальные. Поэтому основание
индукции очевидно. Допустим, что = 0 следует из
остальных. По тем же соображениям, — 0 следует
из подсистемы = 0, . . ., ^л-т_х s 0. Значит, w^m ле-
жит в вербальном идеале, порожденном многочленами
. . ., ^ш_х- Там же должны лежать и все w такие, что
w = 0 — следствие из = 0. Согласно определению
тождеств wn = 0 и подпространство У^т лежит в упомя-
нутом вербальном идеале. Получилось противоречие с по-
строением последовательности Ах, к2, . . ., к^ . . . По
построению последовательности также видно, что систе-
ма тождеств {wicm = 0 | иг = 1, 2,...} эквивалентна ис-
ходной. Теорема доказана.
150	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.3.	Произведение многообразий
4.3.1.	Определение и описание тождеств произведения.
Для двух данных классов U, V алгебр над кольцом Л их
произведение UV определено следующим образом. Ал-
гебра G лежит в ГР в том и только том случае, когда в G
имеется идеал Н ЕЕ U такой, что G/Н ЕЕ Р. Если Г и V —-
многообразия, то из теоремы Биркгофа (см. 4.1.4) вытекает,
что UV —также многообразие. Проверим, например, его
замкнутость относительно подалгебр. Пусть F — подал-
гебра алгебры G ЕЕ ГР. Тогда FН — идеал в F, при-
чем F П И £ Н, следовательно, F f) Н СЕ Г. Далее, по
теореме об изоморфизме 1.1.0 FIF Q Н F 4- Н!Н CZ
CZ G/H G Р. Значит, F/F Q Н Р, откуда F е ГР.
Еще проще проверяется замкнутость относительно фактор-
алгебр и декартовых произведений.
Переходя к тождествам произведения ГР, мы рассмот-
рим свободную алгебру Ли L счетного ранга. Пусть V =
= Р (L), Р — U (7). Заметим, что Р — не обязательно
идеал в L. Пусть Р = idL (Р). ТогдаР =JJJV) (L). Дей-
ствительно, алгебра LIP имеет идеал VIР, очевидно, ле-
жащий в Г, a LIV ЕЕ Р. С другой стороны, понятно, что
Р лежит в ядре любого гомоморфизма из L в алгебру мно-
гообразия ГР. Если мы теперь образуем произведения
(ГР)1Р и Г (PFF), то приведенное соображение указыва-
ет (и это подтверждено примером над полем Z2 [12]),
что произведение многообразий над кольцом А не обяза-
тельно ассоциативно. В то же время, если А — бесконеч-
ное поле, ассоциативность выполняется. Обозначим через
v (А) группоид всех многообразий алгебр Ли над кольцом
А относительно введенной операции умножения.
Предложение. Пусть А — бесконечное поле.
Тогда у (А) полугруппа с 0 u 1.
Доказательство. Пусть L — свободная ал-
гебра счетного ранга. Найдем идеал тождеств многообра-
зий (ГР) W и Г (PIF). Заметим, что подалгебра Р =
= Г (Р (Z/)) (см. начало пункта), очевидно, устойчива
относительно автоморфизмов алгебры//. По теореме4.2.9
Р является вербальной подалгеброй в L, т. е. Р == Р
и Р — идеал тождеств произведения ГР. Теперь понят-
но, что идеалом тождеств как для (ГР) IP, так и для
Г (PFF) является подалгебра Г (Р (W (L))). Для окон-
чания доказательства отметим, что нулем в полугруп-
пе р (А) является многообразие О всех алгебр Ли над Л,
4.3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ	151
а единицей — многообразие J£, состоящее из одной нуле-
вой алгебры. Предложение доказано.
Основной в настоящем разделе является теорема 4.3.7
о том, что в случае бесконечного поля полугруппа v (Л)—
свободная полугруппа с 0 и 1. При этом нам будут нужны
некоторые вспомогательные утверждения, справедливые
и при менее, ограничительных предположениях. Назовем
число N — N (F) нормой ненулевого многообразия F,
если N есть наименьшая степень младших членов многочле-
нов v ЕЕ L (ж1, я2, . . ., хт, . . .) таких, что v = 0 — тож-
дество многообразия F. Понятно, что норма любого соб-
ственного нетривиального многообразия над полем (т. е.
отличного от 0 и 1) строго больше 1. Кроме того, вид
идеала тождеств Р многообразия 17F (см. начало пунк-
та) показывает, что N (W) Н (17), Н (F). Таким об-
разом, имеем следующее
4.3.2.	Предложение. Над произвольным полем Л
каждое собственное нетривиальное многообразие разлага-
ется в произведение неразложимых нетривиальных мно-
гообразий.
Теперь докажем так называемую теорему о монотон-
ности, важную не только в контексте настоящего раздела.
4.3.3.	Теорема. Пусть L = L (X) — неабелева сво*
бодная алгебра Ли над полем Л, F — ненулевое могообра-
зие, Н, К — идеалы в L. Если F (К) cz F (Я), то К g Н.
Доказательство. Допустим, что условия тео-
ремы выполнены, но К Н. Найдется элемент кЕ К\
\ Н. Положим Кг = К П Н + ЛА:, Lx = Kr + Н. Тог-
да, поскольку, разумеется, Н Ф {0}, алгебра Ъх — неабе-
лева свободная алгебра Ли (см. теорему 2.4.4). Далее,
F (A\) cl V (К) cz V (Н) и по-прежнему Kr & Н. Таким
образом, можно считать, что с самого начала L = К +
+ Ни dim ЫН — 1. В L можно выбрать свободное по-
рождающее множество вида Z = {ж} (J Z', где Z' cz Н.
Действительно, пусть х Н. Тогда для любого у €= X
существует ау е Л такое, что у — аух ЕЕ Н. Отображе-
ние х х, у у — аух (у х) имеет обратное. Значит, оно
продолжается до автоморфизма алгебры 7, и в качестве
Z' можно взять множество {у — аух | у ЕЕ X \ {я}}.
Возьмем теперь у ЕЕ Z' и положим ф (х) — х, <р (у) = у,
Ф (з)	0 (з Е Z \ {х^ у}). Отображение ф продолжает-
ся до гомоморфизма <р: L —» L ({я, у}). Имеем: <р (L) =
= Ф(Л) + ф(Я),_ У(ф(Я)) = ф (У (Я))Сф(7(Я)) =
= V (ф (Я)), dim ф (1/)/ф (Я) = 1. Проведенное рассужде-
152
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ние показывает, что мы можем ограничиться случаем сво-
бодной алгебры L с двумя свободными порождающими ж,
у, обладающей идеалами К, Н такими, что L = К + Я,
Н = idb ({1/}). Как и прежде, V (К) cz V (Н).
Применяя рассуждения из доказательства теоремы
4.2.1, мы найдем многочлен v ЕЕ F (L<») (Loo = L (жг,
^2» • • • » хп-> • • • ))> младший член которого полилинеен
и имеет степень d = N (F). Обозначим эту младшую сте-
пень через w(xt, х2, . . xd). Используя следствие из
2.4.2, выберем свободное порождающее множество Т в
подалгебре Н в виде tq = (ad x)q (у), q = 0, 1, 2, .•. .
Поскольку у ЕЕ Н, найдется элемент кг ЕЕ L2 такой, что
к = х + кг Е= К. Рассмотрим значение многочлена v на
элементах идеала К, имеющее вид
v (к, ktv kt3, . . ., kttf-a).	(1)
Младший член этого элемента как многочлена от ж, j и
как многочлена от Т имеет вид
W (я, xt^ xt3, . .	Z2d_3) = w (x, t2,	. . ., Z2(j-2)	(2)
(если, конечно, (2) отлично от нуля). Поскольку элемент
(1) лежит в V (Я) = V (L (Г)), этот элемент является ли-
нейной комбинацией элементов вида и (£х, £2, . . ., tp),
где и = 0 — тождество в F. По определению нормы мно-
гообразия (см. 4.3.1) степень младшего члена элемента
(1) относительно Т строго меньше числа d, так как всякий
однородный элемент, степень которого не меньше d отно-
сительно Г, должен иметь степень, не меньшую d относи-
тельно у.
Остается показать, что (2) — ненулевой элемент в
L. Представим w (хх, х2, . . ., xd) в виде линейной комби-
нации линейно назависимых одночленов вида х^. . . Xid_T xt
(см. 4.8.1). Тогда (2) есть линейная комбинация одночленов
вида
^2гх-2 • • • ^21^-2^ ==	^21г-2 • • • ^2i(j-.X“2^2i^-l*
Полученные одночлены — полилинейные относительно
множества Т и могут быть линейно зависимыми, лишь если
у них совпадают индексы id. Однако рассуждение, аналогич-
ное только что примененному, показывает, что одночлены
с совпадающими индексами id линейно зависимы лишь в слу-
чае совпадения индексов . . ., id-i- Поскольку w (х^ . . .
. . ., xd) был ненулевым многочленом, то же самое верно
4.3. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГООБРАЗИЙ	153
для элемента (2). Таким образом, элемент (1) из V (К)
не лежит в V (Н). Противоречие. Теорема доказана.
4.3.4.	Следствие. Пусть Л — бесконечное поле,
Н — идеал свободной алгебры L счетного ранга и U, V —
два ненулевых многообразия алгебр Ли над Л. Тогда из
равенства U (L) = V (Н) следует, что существует мно-
гообразие W такое, что Н = W (L) и U = VW.
Доказательство. Пусть ф — автоморфизм ал-
гебры L. Тогда
V (ф (Я)) = ф (Г (Я)) = ф (Я (£)) = и (ф (L)) =
= U (L) = F (¥).
По теореме ф (Н) = Н. Применяя 4.2.9, видим, что Н —
вербальный идеал видаЯ = W (L), где W — подходящее
многообразие. Получаем U (L) = V (W (L)). Поскольку
L — свободная алгебра счетного ранга, получаем ТТ =
= VW. Следствие доказано.
4.3.5.	Предложение. Пусть Н и К — идеалы
свободной алгебры Ли счетного ранга над произвольным
полем A, U,V -— два многообразия. Если U (Я)сг V (Я),
то либо U V, либо К Н.
Доказательство. Допустим, что KgH. Как
и в начале доказательства теоремы 4.3.3 можно считать,
что L = Я + К = L (Z), . dim ЫН = 1, Z = {х} (J
(J {Z'}, Я = idb (Z'). В силу того, что любой нетривиаль-
ный идеал свободной алгебры Ли бесконечно порожден,
множество Z бесконечно. В К имеется элемент к = х-\-
4- h, h Ez. Н. Обозначим через Zx конечное подмножество
в Z' такое, что к GE alg ({ж} J Zx) и Z2 = Z' \ Zx. Пока-
жем, что Я как подалгебра обладает свободным порождаю-
щим множеством вида
Р = {Л,	| z е Zx, z' ЕЕ Z2, t, и — 0, 1, 2, . . .}.
Действительно, по следствию из 2.4.2 Я свободно порож-
дается множеством Q = {x*z \ х Z', t = 0, 1, 2, . . .}.
Заметим, что элементы множества Р и Q поэлементно
совпадают по модулю подпространства Я. Поскольку
со
n Ln — {0}, мы можем применить теорему 4.2.9, в силу
которой Р.является свободным порождающим множеством
для подалгебры Ях = alg (Р). Остается показать,
что Ях = Я. Индукцией по и докажем, что xwz' ЕЕ Ях,
если z' ЕЕ Z2. Основание индукции при и = 0 очевидно.
154
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
Если U О, ТО
kuz' — (х -f- h)uz' = хиzr +	3 x^hmi... xlPhmvz\ (3)
nii+...+т^^о
Поскольку fee alg ({x} |J Zr), to fe лежит в подалгебре,
порожденной элементами x*z, z е= Их, t — 0, 1, 2, . . .
Далее, применяя правила дифференцирования (умножение
на ж), мы увидим, что сумма в (3) есть на самом деле ли-
нейная комбинация произведений вида xrz, z е г =
= 0, 1, . . ., и x*zr, z' ее Z2, s = 0, 1, . . ., и — 1. При-
менив предположение индукции, получаем, что xuz' е
е Hi- Итак, Р — действительно свободное порождаю-
щее множество для Н. Пусть Н' = alg {kuzf | z' е Z2,
u = l, 2,...}с;Я. Поскольку Н' порождается частью
свободного порождающего множества Р для Н, то сущест-
вует проекция л: Н —> И'. При этом, если х е V (Н) П
ИЯ',тол (х) = же Яи л (ж)ел(Г (Я)) = V (л (Я)) =
= V (Я'). Таким образом, х Е V (Н') и, значит, F (Я ) =
= V (Н) р| Я'. В этом случае
Я (Я') £ и (К) П Я' с V (Я) П Н' = V (Я').
Поскольку Я' — свободная алгебра Ли счетного ранга,
17 Э F. Предложение доказано.
4.3.6.	Следствие. Пусть Н и К — ненулевые идеа-
лы свободной алгебры Ли счетного*ранга над бесконечным
полем	— два многообразия над А, причем V (К) =
= F (Я). Тогда существует многообразие W такое, что
либо Я = W (Я) и Я = VW, либо К = W (И) и V =
= UW.
Доказательство. В силу 4.3.5, если ни один
из идеалов Я, К не содержится в другом, то Я = F.
По теореме 4.3.3 тогда и Я = К, так что в качестве W
нужно взять JE. Если, например, HQK, то, используя
4.3.4 и то, что ненулевой идеал свободной алгебры Ли
счетного ранга имеет счетный ранг, получаем, что Я =
= W (К) nV = VIV для подходящего многообразия Ж.
Следствие доказано.
4.3.7.	Теорема. Пусть у (А) — полугруппа много-
образий над бесконечным полем А. Тогда v (А) — свобод-
ная полугруппа cQui, причем ее свободные порождающие —
неразложимые многообразия.
Доказательство. Согласно 4.3.2 каждое не-
тривиальное многообразие разлагается в произведение
неразложимых нетривиальных. Согласно 4.3.1 v (А) —
ЬЛ. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИИ
155
полугруппа. Остается показать, что если . . ., 17г,
Ft, . . Fe — неразложимые многообразия и .
. . . Ur = V1 . . . Fs,тог-s и 7ц . . .,Ur = Г8.
Итак, допустим, что
<7Д72 . . . Ur = FXF2 . . . Fs.
В силу неразложимости г, s 2. Обозначим Ц\ —
= U2 • • • J7r, Ft = F2. . . Fs. Если L = Loo, то полу-
чаем U\ (Ui (L)) = Fx (Fx (L)). Применяя 4.3.6, находим
многообразие IF такое, что, например, U'x (L) = W (V r (L))
и U1 = VrW. Из первого равенства U'x = WVi Посколь-
ку Ux — неразложимой, получаем W = JEJ, т. е. Ux =
= Vx и U'x	Доказательство завершается индук-
цией по г.
4.3.8.	Неразложимые многообразия. Весьма сложным
является вопрос об описании порождающих элементов полу-
группы v(Л), т. е. неразложимых многообразии. Контину-
альность числа многообразий над любым полем характерис-
тики р 0 (см. 5.4.4) или над любым несчетным полем ха-
рактеристики нуль (см. 4.8.4) показывает, что в основном
этот вопрос эквивалентен вопросу об описании всех мно-
гообразий. Конечно, неразложимым является любое ниль-
потентное многообразие, также многообразие, порожденное
простой алгеброй Ли. Определим коммутатор W= [17, F]
двух многообразий над кольцом Л как многообразие
такое, что W (L) = U (L) F (L) (если рассматривать
L(X) вложенной в А (X), то ЯГ (L) = [17 (L), F (L)], откуда
и пошло название). Коммутатор двух различных неразло-
жимых многообразий, как правило,— неразложимое мно-
гообразие (см. [47], а также упражнение 4.10.14).
4.4.	Теоремы о вложении
4.4.1.	Сплетение. Пусть F — многообразие алгебр Ли
над коммутативным кольцом А с 1, А — алгебра Ли из
F, G — произвольная алгебра Ли над А. Алгебра Ли
W над А называется F-сплетением алгебр А и G, если вы-
полняются следующие условия:
(i)	W = alg (A, G).
(ii)	Пусть К — idw (А) — идеал, порожденный в W
подалгебра А; тогда К ЕЕ F.
(iii)	Если ср: А —> С, гр: G —> С — гомоморфизмы из
А и G в А-алгебру Ли С такие, что
(а) С = alg (ср (А), гр (G)), б) S = idc (<р (А)) ЕЕ F,
156	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
то существует единственный гомоморфизм %: W —* С та-
кой, что X 1а = ф, X 1g = Ф- Мы будем обозначать F-cпле-
тение алгебр А и б, как выше, символом A wry G.
Для построения сплетения (мы будем опускать пристав-
ку F, если многообразие F фиксировано) мы рассмотрим
свободное произведение Р = А * G (см. 2.6). Пусть
Q — идеал, порожденный алгеброй А, V — наименьший
идеал алгебры Р, содержащий вербальный идеал F (Q).
Тогда W = PIV. Все свойства вытекают из свойств уни-
версальности для свободного произведения и определе-
ния вербальной подалгебры.
4.4.2.	Предложение. Пусть W = A wryG. Тог-
да W — полупрямое произведение подалгебры G на идеал
К = idvr (А). Если F — полиоднородное многообразие, G
свободна как A-модуль, и алгебра А является V-сво-
бодной, то К — также V-свободная алгебра.
Доказательство. В только что приведенной
конструкции сплетения К является образом идеала Q =
= idp (А), где Р = А * G. Поскольку Q есть, таким об-
разом, ядро естественного гомоморфизма из Р на G, по-
нятно, что^рб = {0}. Наконец, если F — полиоднород-
ное многообразие и А = L (X, V) есть F-свободная ал-
гебра, то W — A wfy G может быть построено, исходя из
А = L (X) = L, где L — свободная алгебра Ли с тем же
свободным порождающим множеством, что и А. Положим
F = L * би J — idpL. В силу однородности Г = F (J) —
идеал в алгебре F (см.. 4.2.9). Пусть W — F/V. Поскольку
любой гомоморфизм (р алгебры А = LIVt (L) поднимается
до гомоморфизма ф алгебры L такого, что <р = фе, где
е — естественный гомоморфизм из L в А, а любой гомомор-
физм ф из L в алгебру из V пропускается через алгебру
А = LIV (L), без труда проверяются свойства (i) — (iii)
определения сплетения W = A wry б для алгебры W.
Теперь К — idy^A JIV (J). В силу предложения 2.6.5
видим, что К есть F-свободная алгебра, причем в качестве
ее свободного порождающего множества можно взять
систему элементов вида
ехе2. . .esx, е± е2 > . . . > es, et е Е, х ЕЕ X, $	0,
где Е — некоторый вполне упорядоченный базис алгеб-
ры б. Предложение доказано.
4.4.3.	Лемма. Пусть А — абелев идеал алгебры Ли
v В над кольцом A, G = В/A, G — свободный А-модулъ. Тог-
да В изоморфна подалгебре (также обозначаемой через В)
4.4. ТЕОРЕМЫ О ВЛОЖЕНИИ
157
полупрямого произведения S — G X. С, где С — некото-
рая абелева алгебра Ли. причем С П В = А.
Доказательство. Согласно 1.6.6 А естествен-
ным образом превращается в G-модуль. Представим В в
виде расширения (G, A.f) (см. 1.6.7). Если U — универ-
сальная обертывающая для G, то А является и левым
G-модулем. Пусть С — инъективная оболочка (7-модуля
А (см. 2.5.7). Построим расширение S = (G, С, /). Это
возможно, поскольку значения функции / лежат в подал-
гебре А. вложенной в С. Понятно, что	причем
В Р| С = А. Поскольку С — инъективный модуль, рас-
ширение S расщепляется (см. 2.5.7). Значит, S можно рас-
сматривать как полупрямое произведение G / С, что и
требовалось. Лемма доказана.
Теперь мы можем перейти к основным результатам на-
стоящего раздела. Мы будем обозначать Л-сплетение сим-
волом wr (а не wfa).
4.4.4.	Теорема. Пусть' М — идеал абсолютно сво-
бодной алгебры Ли. L = L ({хг | I ЕЕ I}) над кольцом Л,
А — свободная абелева алгебра Ли со свободным порождаю-
щим множеством {аг | i ЕЕ L/M — свободный Х-мо-
дуль. Пусть g — образ элемента g ЕЕ L в ЫМ. Тогда
отображение (р (а^) =	+ at. i ЕЕ I. индуцирует изо-
морфное вложение <р: ЫМ2 —> A wr [ЫМ),
_ Доказательство. Будем обозначать образы
элементов в ЫМ2 теми же буквами. Отображение <р
продолжается до гомоморфизма <р: L —>W = A wr (ЫМ).
Очевидно, что Кег (р П М2. Поэтому существует и отобра-
жение <р: ЫМ2 —> W. точно так же действующее на эле-
ментах Xi. Допустим теперь, что Кег ф^={0}. Применим к
ЫМ2 лемму 4.4.3. В качестве А возьмем М/М2, в качестве
В — ЫМ2. Тогда G = ЫМ. По упомянутой лемме ЫМ2
изоморфна подалгебре в подходящем полупрямом произ-
ведении S = ЫМ X С. Обозначим этот изоморфизм бук-
вой р. Пусть р (xt) == Xi Ci (i Е I). По определению
сплетения 4.4.1 тождественное отображение из ЫМ в
ЫМ и отображение ct (iEEl) продолжаются до го-
моморфизма ф: W — A wr (ЫМ) —» S = ЫМ X Та-
ким образом, имеем коммутативную диаграмму
S
158 '	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
Поскольку р, — мономорфизм и р = /фф, то и ф — моно-
морфизм. Теорема доказана.
4А.5. Следствие. Пусть Л — произвольное кольцо.
М = L ({xt | i е= /},. А2) — свободная алгебра многооб-
разия А2 всех метабелевых алгебр Ли над Л со свободным
порождающим множеством {xt | i ЕЕ I}. Обозначим через
А свободную абелеву алгебру Ли с базисом {yt. iEEl},
R — AAyi \ i ЕЕ Г\ — кольцо многочленов. P — свободный
R-модуль с. базисом {zt | i ЕЕ I}. Тогда отображение xt ь->
Уг + zi продолжается до мономорфизма алгебры М
в полупрямое произведение S = А Р.
4.4.6.	Теорема. Пусть V —• полиоднородное мно-
гообразие алгебр Ли над полем Л, L = L {{xi | i ЕЕ /}) —
свободная алгебра Ли над Л со свободным порождающим мно-
жеством {xi | i ЕЕ Z}, М — идеал в L. А — L {{yt | i ЕЕ
ЕЕ /}, F). Пусть g — образ элемента g ЕЕ L в ЫМ. Тогда
отображение xt + Уг (i ЕЕ I) продолжается до моно-
морфизма LIV {М) —> A wtf {ЫМ).
Доказательство. Как и в 4.4.4, существует
гомоморфизм ф: LIV {М) —» A wtf {ЫМ). продолжающий
отображение ф: xt —> + yt. Нужно показать, что ф —
мономорфизм. В силу наших предположений F {М) cz М2.
поэтому, используя .обозначения из доказательства теоре-
мы 4.4.4, имеем коммутативную диаграмму естественных
отображений
L/V (М) Л A wtf (ЫМ)
ЫМ* Л (Al A*) wr (ЫМ)
Согласно 4.4.4 отображение <р в нижней строке инъективно.
Если допустить, что ф неинъективен, то найдется элемент
g ЕЕ М/Г {М) такой, что ф {g) = 0. Однако MIV {М) —
свободная алгебра полиоднородного многообразия V. При
отображении ф она отображается в свободную алгебру К
многообразия V (см. 4.4.2), где К = idy? A. W =
= A wff {ЫМ). Из явного вида свободных порождаю-
щих для К мы выводим, что при отображении % идеал К
переходит на Кг = id^ (АМ2),гдеИ\ = (AM2) wr {ЫМ).
Однако при фе факторалгебра М/М2 отображается в Кг
инъективно. Следовательно, ф — инъективное отображе-
ние алгебры M/V {М) в К по модулю коммутантов этих
алгебр. В силу теоремы 4.2.11 ф {MIV {М)) является
F-свободной алгеброй, свободно порожденной своими эле-
4.5.	СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ТОЖДЕСТВА 159
ментами, линейно независимыми по модулю коммутанта
алгебры К. Значит, ф — мономорфизм. Теорема доказана.
4.4.7.	Следствие. Пустьи, V — два многообразия
алгебр Ли над полем А, причем U полиоднородно. Тогда
свободная алгебра L({xt | I ее /}, UV) произведения много-
образий U, V изоморфна подалгебре U-сплетения
L ({У1 И е /}, V) wrcr L ({Zi \ i ЕЕ I}, F),
порожденной элементами i/f + ^, i ЕЕ
4.5.	Свободные алгебры многообразий. Тождества
4.5.1.	Базисный ранг многообразия. Пусть F — некото-
рое многообразие над кольцом А. Как легко вывести из
теоремы Биркгофа (см. 4.1.4), F порождается своей свобод-
ной алгеброй Leo (F) счетного ранга. В ряде случаев F
может быть порождено и свободной алгеброй некоторого
конечного ранга г. Минимальное такое положительное
число г называется базисным рангом многообразия F и обоз-
начается через гь (F). Например, гъ (J.) = 1, гь (О) =
= 2. Первое равенство очевидно, второе следует из того,
что свободная алгебра ранга 2 обладает свободными под-
алгебрами счетного ранга. Если F не порождается свобод-
ной алгеброй никакого конечного ранга (а значит, и ни-
каким набором алгебр с ограниченным числом порождаю-
щих элементов), то говорим, что F — многообразие
бесконечного базисного ранга, и пишем гъ (F) = оо.
4.5.2.	Теорема. F — нильпотентное многообразие
ступени не выше с (т. е. F cz Агс) над произвольным
кольцом А. Тогда rb (F) с.
Доказательство. Поскольку любое многооб-
разие порождается всеми своими свободными -алгебрами
конечного ранга, достаточно показать, что Gn == L (п, F),
п с, является подалгеброй конечной степени алгебры
Gc = L (с, F). Пусть J — множество возрастающих по-
следовательностей вида а = (тг, т2, . . ., дпА), 1 mt
i = 1, . . ., с,	Рассмотрим прямую степень GJC*
Пусть х1? . . . ,,хс — свободные порождающие алгебры
(?с, и допустим, что элементы . . ., tn ЕЕ Gl имеют
вид
(а) = х$, если mt ее а, и ts (а) = 0, если з а.
Покажем, что Gn = alg ({Z1? . . ., tn}). Допустим, что
/ (Ух» • • •» Уп) — неассоциативный многочлен такой, что
160	гл. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
f Gi, • • • , tn) = 0. Нужно доказать, что / (у^ . . уп) =
=з 0 — тождество в F. С самого начала можно считать,
что / имеет степень, не превосходящую с. Если a G /,
то определим ла как проекцию алгебры L (у. ., уп),
при которой ла (Утг) = y™v если mt а, и ла (у3) = 0,
если $ а. Тогда понятно, что / (уь . . ., уп) =
s 3 ^а^а/ (Ун • • •, Уп)Да А. Таким образом, выполни-
мость тождества / (у19 . . ., уп) = 0 эквивалентна выпол-
нимости системы тождеств ла/ (уг, . . ., уп) = 0 для всех
а ЕЕ J- Однако если / (^, . . ., tn) — 0, то f (£х, . . .
. . ., tn) (а) = 0 для всех а. Отсюда для любого а,
/ Gi (а)), • • •, tn(a)) — 0. Заменив в полученном равенст-
ве Xi на Угп., I = 1, . . ., с, мы получим в точности
W (Уи • • •, Уп) = 0- Эта замена корректна, так как
х19 . . ., xG — свободные порождающие в Gc. Значит,
f (уъ . . ., уп) = 0 — тождествов F и alg ({^, . . ., 4>}) =
L (п, V). Теорема доказана.
Теперь мы перейдем к примерам многообразий беско-
нечного базисного ранга.
4.5.3.	Предложение. Над произвольным коммута-
тивным кольцом А с 1 базисный ранг многообразия F —
=	с, d, е 1, бесконечен.
Доказательство. Пусть п — произвольное
натуральное число, п 2. Покажем, что в Gn = L (n, F)
выполняется тождество, которое нетривиально в F. Пусть
р = dim L (n, ATe), q == р + с + 1. Положим
/ («!, . . Xg, ylt . . yq, Z) = ((Z^y’Ti). . . ((zeyq)dXq),
(1)
где черточки означают, что по совокупности переменных
хъ . . ., xq ведется альтернирование. Выберем базис в ал-
гебре Gn так, чтобы все его элементы, за исключением не-
которых р штук, лежали в 6г„+1< Тогда, в силу по ли линей-
ности и кососимметричности многочлена (1) по ж1? . . .
. . ., xq, при вычислении значения этого многочлена на
алгебре Gn достаточно вместо хг, . . , xq подставлять на-
боры различных элементов выбранного базиса. При этом
в каждом из q\ слагаемых не меньше с + 1 сомножителей
примет значение в (Gn+1)d+1. Поскольку ((G£+1)d+1)c+1 =
— {0}, получаем, что в алгебре Gn выполняется тождество
/ (ж1? . . ., xq, уг, . . ., yq, z) = 0. Покажем теперь, что
(1) — нетривиальный элемент в алгебре G = L ({х1? . . .
4.5. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ТОЖДЕСТВА 161
• • •» У1ч • • • »	z), Для этого заметим, что из
предложения 2.4.2 нетрудно вывести, что Ge+1 есть сво-
бодная алгебра многообразия NcNdl свободными по-
рождающими которой являются всевозможные право-
нормированные базисные одночлены длины, не меньшей
чем г + 1. Выбрав обычный базис Холла (см. 2.3.6) на
порождающем множестве {х^ xq, уyq, z} с
упорядоченностью хг > . . . xq уг . j> yq z,
мы увидим, что каждый одночлен /а суммы (1) есть (с точ-
ностью до знака) произведение порождающих алгебры
ge+1. Если положить Ut = zeyi, Vij = XjZeyi, i, 7 = 1,...
. . ., q, to
/а =	*a(l)) • • • ((?eyq)d ХО(Я)) =
~ zb (M1 ^1, a(l)) • • • (K« vq, o(qYh (2)
где a — перестановка из Sq. Соотношение между свобод-
ными порождающими, как мы знаем, есть тождество в сво-
бодной алгебре многообразия. Поскольку для различных
о одночлены fG оказываются записанными на различных
свободных порождающих свободной алгебры Ge+1, мы ви-
дим, что в NcNd выполняется тождество
g = (<4i) • • . (<Ч9) s 0.	(3)
На самом деле это тождество не выполняется даже в ANd.
Для проверки достаточно взять полупрямое произведе-
ние S = Р X М свободной нильпотентной алгебры Р
ступени d со свободными порождающими а19 . . ., aq на
свободный циклический P-модуль М с порождающим
элементом Ъ (см. 1.6.10). Тогда подставим at вместо
i = 1, . . ., q — 1, aq вместо . . ., uq и b вместо vqq.
Получим элемент
(a^ 3ai)... (aq (aq 1fc).	(4)
Поскольку элементы а^а19 . . ., а^ая^19 aq линейно неза-
висимы в Р, по теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта
(см. 2.5.3) элемент	. . . (a^~raq-^ a^1 ненулевой в
U (Р), а тогда (4) ненулевой в S. Предложение доказано.
4.5.4.	Предложение. Над произвольным комму-
тативным кольцом А с 1 базисный ранг многообразия
V = NcNd9 с > 1, d > 2, бесконечен. .
Доказательство. Пусть п — произвольное
натуральное число, п 2. Покажем, что в Gn = L (n, V)
выполняется тождество, которое нетривиально в V. Пусть
6 Ю. А. Бахтурин
162	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
р = dim L (п, 2Vd-i), Я = Р + с + 1. Положим
/ (#1? • • •» %q-> У1» • • •» Уд) == (^1У1) • • • (^дУд)»	(5)
где черточки обозначают, что по х19 . . ., xq ведется аль-
тернирование. Тогда, выбрав базис в Gn аналогично то-
му, как это сделано в 4.5.3, мы увидим, что при под-
становке в f вместо х19 . . ., xq базисных элементов алгебры
6?п, по меньшей мере с + 1 сомножитель в каждом члене
суммы (5) примет значение в Gn- Значит, / (х19 . . ., xq,
• • •» Уд) = 0 — тождество в Gn. Для проверки того,
что это — нетривиальное тождество, рассмотрим полу-
прямое произведение S = G X М свободной нильпотент-
ной алгебры G ступени d со свободными порождающими
«1, . . ., aq, bi,..., bq-i на свободный циклический G-
модуль с порождающим элементом с. Рассмотрим сле-
дующее значение элемента (5) в 5:
g = (aibi)(a26a) . . . (aq-ibq-^aqc).	(6)
Достаточно показать, что и = (а^Ь^а^). . . («д—ib^-i) aq—
ненулевой элемент в U (G). Однако в силу d 2 мно-
жество элементов вида {«£&/ И, / = 1, . . ., q — 1} ли-
нейно независимо, причем можно считать, что atbj
акЬь если / I. Поэтому в силу теоремы Пуанкаре —
Биркгофа — Витта (см. 2.5.3) элемент и есть линейная
комбинация с коэффициентами ± 1 различных элементов
базиса алгебры U (G). Значит, (6) — ненулевой элемент
в S. Поскольку S ЕЕ ANd cz — У, f = 0 не явля-
ется тождеством в F, и базисный ранг многообразия
V = бесконечен. Предложение доказано.
Для формулировки основной теоремы определим мно-
гообразие полинилъпотентных агебр Ли, отвечающих
последовательности (сь . . ., ц) натуральных чисел, ct
> 1, как класс алгебр Ли G над А, обладающих конеч-
ным рядом идеалов вида
G = Z) G2 Z) . . . Z) Gt Z) Gt+1 = {0},
где для любого i = 1, 2, . . ., t факторалгебра Gi/Gt+i
нильпотентна ступени, не превосходящей числа ct. По-
нятно, что этот класс, он обозначается Р (сь . . ct),
является многообразием и совпадает с произведением
многообразий . ^С1.
4.5.5.	Теорема. Над произвольным коммутатив-
ным кольцом А с 1 любое многообразие Р (с1? . . ., ct) всех
полинилъпотентных алгебр Ли, отвечающих последовав
4.5. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ТОЖДЕСТВА 163
тельности (сх, . . cj, имеет бесконечный базисный ранг,
за исключением, возможно, случаев t = i и t = 2,	= 1.
Доказательство. Заметим, что если V — мно-
гообразие бесконечного базисного ранга, то для произволь-
ного с i многообразие также имеет бесконечный
базисный ранг. Действительно, если f (х19 . . ., хт) =0 —
нетривиальное тождество алгебры L (п, V), то
[/ (#i, . . ., Хт) . . . / (х± , . . ., Хт1) Хт\1 = 0	(7)
— нетривиальное тождество алгебры L (п, j№cF). Его
выполнимость в алгебре L(n, 3\.F) очевидна. Его нетри-
виальность, как и в 4.5.3, 4.5.4, доказывается путем рас-
смотрения полупрямого произведения свободной алгебры
G многообразия V, имеющей ранг (с + 1)т, на свободный
циклический G-модуль М с порождающим ят+ х. При этом
следует полагать, что свободное порождающее множество
для G — это {я*, . . ., х^1}. В этом случае левая часть
тождества (7) есть элемент полупрямого произведения
S = G X М Е 2VCF, отличный от нуля, так как / (rrj,...
. . . ,	• • 4	• • •»	очевидно,— ненулевой эле-
мент алгебры U (G).
Сделанное замечание очевидным образом сводит до-
казательство теоремы к уже доказанным предложениям
4.5.3 и 4.5.4. Теорема доказана.
4.5.6.	Исключительные случаи. Как доказано выше
(см. 4.5.2), базисный ранг многообразия^ конечен и не
превосходит с. Что касается многообразия то его
базисный ранг может быть как конечным, так и бесконеч-
ным в зависимости от основного кольца Л. Исчерпываю-
щего ответа на вопрос о точном значении базисного ран-
га многообразия ~NCA пока нет. Поэтому мы ограничимся
примерами.
Пример 1. Пусть Л — конечное поле из q = р™
элементов, где р — простое число. Тогда гъ (А2) = оо.
Действительно, в этом случае в G = L (п, А2) выпол-
няется тождество
«М* • • • &*У1Уг s 0,	(8)
где волны над буквами означают симметрирование, a s =
= п (р — 1) +1. Его нетривиальность очевидна, так как
коммутативный многочлен / =	••• х8 отличен от
нуля в Л [хь х2, . . ., a?sl. Тождество обращается в нуль
6*
164
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
на G, поскольку / обращается в нуль при любой подста-
новке вместо хх, . . . , х3 элементов линейной оболочки
элементов хх, . . ., хп. Дело в том, что над полем Л мно-
гочлен / полилинеен. Если же мы подставляем в / элемен-
ты хг, . . ., хп вместо хг, . . ., х3, то хотя бы один из
х19.. •, хп будет подставлен вместо t^p переменных. Ясно,
что при приведении подобных членов после подстановки
коэффициент при каждом одночлене будет делиться на И,
т. е. равен нулю в поле Л.
Пример 2. Пусть Л — бесконечное поле, с — нату-
ральное число, с 1. Тогда гъ (NCA) с + 1.
Поскольку алгебра треугольных матриц порядка
с + 1 G == t (с + 1, Л) порождается с + 1 элементом,
достаточно показать, что NeA порождается алгеброй G.
Одновременно этим будет показано, что все тождества
алгебры верхнетреугольных матриц следуют из одного
тождества:
(Х1Х2) . • • (#20+1^204 2) = 0.
Для доказательства рассмотрим поле Л рациональных
функций от переменных xai, Уаь а = 1, 2,.. . , i = 1, 2,...
• . . ,с. Пусть G = t (с + 1, Л). В силу бесконечности
поля Л тождества алгебры G имеют полиоднородный ба-
зис. Значит, G = G ®дЛ лежит в многообразии, порож-
денном алгеброй G. Покажем, что свободная алгебра
Loo (№СА) счетного ранга многообразия лежит в G.
Для этого рассмотрим матрицы
(*al	^al	0	...	0	0	\
0	^a2	^(Х2	• • •	0	j
..........................L	a= 1, 2, . . .,
0	0	• • •	*ас	У ас J
0	0	0	...	0	0	/
и покажем, что Д» (^СА) alg ({ua | a = 1, 2,. . .}).
Пусть В = Л [хаь U&i'i a, Р = 1, 2, . . ., п, i= 1, 2,...
. . . , с] — кольцо многочленов, G — алгебра Ли верхне-
треугольных матриц над R порядка с + 1. Мы рассмот-
рим Л^-сплетение W = F wr^ В, где F — свободная
нильпотентная алгебра Ли ступени с со свободными по-
рождающими уи . ..2 уп, а В — свободная абелева алгебра
4.5. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ТОЖДЕСТВА 165
Ли с порождающим множеством zlf . . zn. Отобразим
4x1
^7X2

О
О	0	...	О	ч
0	0	ур2	...	0	\
0	0	0	•••	Урс I
.0	0	о	...	6	/
а, р = 1, . . п. По определению сплетения это отобра-
жение продолжается до гомоморфизма из W в алгебру
G. Достаточно проверить, что образы элементов вида
. Zatyh OCi > (Z2 > . . . > az, a = 1, . . n,
порождают свободную нильпотентную алгебру Ли сту-
пени с. Такому элементу соответствует матрица с элемен-
тами (Яед	• • (^а^1 —;	(^ах2 ^оцз)* • •
• • • (Жа*2	^а^з) Ур2» • • •» #axc« • • ^а^сУрс в ПОЗИЦИЯХ (1, 2),
(2, 3), .	(с, с + 1) и нулями в остальных позициях. Сде-
лав переход к новым порождающим кольца R вида Xai =
= Xai — ^a,i+l G = 1» • • •> c — 1)> ^ac = #ac, МОЖНО СЧИ-
тать, что мы имеем дело с матрицами вида
0 *ati • • • *azl^i	0	• • •	°
°	°	*^a12 * * * *az2y02	* * *	0
0	0	0	*aic • • • xatCy^c
k 0	0	0	0
(9)
Достаточно доказать, что такие матрицы порождают сво-
бодную нильпотентную алгебру ступени с в ассоциатив-
ном смысле. Применение индукции по с показывает,
что достаточно рассмотреть одночлены от элементов (9)
166
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
степени ровно с. Нетрудно понять, что
Произведение нескольких таких матриц, являющихся
образами элементов Zxjfo» ...» %асУ$с, будет матрицей
вида (10), у которой в правом верхнем углу стоит элемент
хА{хУ^1^А^,У^ • • • % А сУ& с*
V V
Понятно, что все такие одночлены линейно независимы.
Таким образом, используя индукцию по с, получаем, что
“ф: W -> G — вложение.
Для завершения доказательства отметим, что G =
= t(c + 1, Л) 0A^£var (t (с + 1, Л)). По теореме 4.4.6
алгебра L (га, 2VC J.) вложена в W, как выше, при любом
натуральном га, значит, ‘NCA<^ var t (с + 1, Л). Алгебра
t (с + 1, Л) порождается с + 1 элементом. Таким обра-
зом, гь (1ГеА) С с 4- 1.
4.6.	Свободные алгебры многообразий. Подалгебры
4.6.1.	Определение шрайерова многообразия. Много-
образие А-алгебр называется шрайеровым, если любая
подалгебра Н свободной алгебры L(X, V) сама является
свободной в этом же многообразии, т. е. для подходящего
Y имеем Н (У, V). Это название происходит от зна-
менитой теоремы Нильсена — Шрайера о свободности
подгрупп свободной группы. Согласно теореме 2.4.4,
4.6.	СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ПОДАЛГЕБРЫ 167
если Л — поле, то любая подалгебра (абсолютно) свобод-
ной алгебры Ли сама свободна. Таким образом, многооб-
разие О/, заданное тождествами кс == 0,	/, является
шрайеровым, если идеал I — максимальный. С другой
стороны, если идеал I таков, что A/I — область главных
идеалов (т. е. кольцо главных идеалов без делителей
нуля), то Ai — многообразие, заданное тождествами
ху = 0 и кс = 0 для всех 1 е Д является шрайеровым.
Действительно, в этом случае подалгебра свободной ал-
гебры многообразия Aj есть просто подмодуль свобод-
ного AZf-модуля. Однако над областью главных идеалов
подмодуль свободного модуля сам свободен (см., напри-
мер, [73, гл. XV]), что и доказывает наше утверждение.
Разумеется, шрайеровым является и многообразие JE7,
состоящее лишь из нулевой алгебры. Основной целью
настоящего раздела является доказательство того, что
приведенными примерами исчерпывается совокупность
всех шрайеровых многообразий.
Заметим, что если V — шрайерово многообразие и
Ann V — аннулятор многообразия V (см. 4.1.1), то фак-
тор-кольцо А — А/Ann F — кольцо без делителей нуля.
Действительно, свободная алгебра ранга 1 в V — это и
есть рассматриваемое кольцо А, а его подалгебры — ле-
вые идеалы кольца А. По условию все эти ненулевые
идеалы изоморфны самому А. Значит, А — кольцо без
делителей нуля. Понятно, что для наших целей достаточно
рассматривать многообразие V именно над А. Поэтому в
дальнейшем будем считать, что Ann V = {0} и что основ-
ное кольцо А не имеет делителей нуля. Напомним еще
(см. 4.3.1), что N (V) — норма многообразия V.
4.6.2.	Лемма. Если V =/= О — шрайерово многооб-
разие, то N (V)	3.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть L — свободная ал-
гебра счетного ранга. Если V — вербальный идеал в L,
отвечающий многообразию V такому, что N (F) = г, то
найдется элемент g х2, . . ., хг), младший член кото-
рого имеет степень г. Используя процедуру линеаризации
4.2.1, можно считать, что младший член полилинеен.
Пусть теперь V — шрайерово многообразие и N (F) = г.
Тогда найдется v = v (хг, ...» V П (Ь2)г“1 с
младшим членом степени 2г — 1. Действительно, возьмем
g (хъ х2, . . ., хг), как выше, и заменим в нем хг на хгхг,
х2 на х2хг+и . . ., xr-i на х^х^-^ хг на a^r-i. Используем
168
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
базисы (см., например, 4.7) из одночленов вида
^0(1)^а(2) • • • ^G(r-l)^r И ^Т(1)^Т(2) • • • ^r(2r-2)^2T-l
в пространствах полилинейных многочленов от х1ч . . ., хг
и хъ . . . ., х2г-1- Тогда одночлен ха(1)Жа(2) . . . x^-iyZr пе"
реходит при такой подстановке в
(^Q(l)#Q(l)+r-l)(#Q(2)#a(2)+r--l) • • • (^a(r-l)^Q(r-l)4r-l)^2r-l«
Раскрывая скобки, мы увидим, что при различных о
получаются различные ненулевые элементы второго из
указанных базисов. Поэтому младший член полученного
многочлена действительно имеет степень 2г — 1. Очевид-
но, что он лежит в (£2)г~1.
Теперь допустим, что N (F) > 3. Выберем элемент
v = V р| (L2)7*-1, степень младшего члена которого равна
2г — 1. Тогда при подходящем и(хъ . . ., жт) ее Ь7”1 най-
дутся уъ . . ., ут ЕЕ L2, такие, что v (х1? .•. ., х^-^) =
= и (уъ . . ., ут). Пусть {hr, Л2, . . .,	. . .} — некото-
рое множество элементов из L2, порождающее L2 но мо-
дулю V. Тогда yt = ft (Ль . . ., hs) + vt, vt FE V, i = 1, ...
. . ., m, и далее v (xr, . . ., z2r-i) = и (/х (h19 . . ., hs) +
+	fm . . ., hs) + vm) = и (/i (*!, . . ., hs), . . .
. . fm (&i, • • hs}) + »' (xr, . . ., X*) = w (hr, . . .
. . hs) + v' (x19 . . ., хк). Здесь степень младшего члена
элемента v' (х19 . . ., хк) не меньше чем г + (г — 2)2 =
= Зг — 4 > 2г — 1 при г 3. Так как hlt . . ., hs f=
ЕЕ L2, то степень младшего члена элемента w (хг, . . ., xs)
должна быть строго меньше г. Рассмотрим теперь свобод-
ную алгебру счетного ранга в F. Тогда L2/7 — также сво-
бодная алгебра в F. Если {hr, . . ., hs, . . .} свободно
порождает алгебру L2 по модулю идеала У, то найдется
многочлен w (хг, . . ., х^, младший член которого имеет
по предыдущему степень, строго меньшую числа г,
причем w (fe1? . . ., hs) = 0. Таким образом, w (хг, . . .
. . ., xs) = 0 обращается в верное равенство на свобод-
ном порождающем множестве алгебры Ь2/У, значит (см.
4.1.2), является тождеством в F. Получилось противоре-
чие с тем, что N (F) = г. Лемма доказана.
4.6.3.	Предложение. Если Л — бесконечное
кольцо, a F — шрайерово многообразие с нетривиальным
тождеством степени, большей 1, то F — абелево мно-
гообразие.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что y = v1 +
+ v2 + . . . +	— неассоциативный многочлен такой,
4.6.СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ПОДАЛГЕБРЫ 169
что v = 0 — указанное в условии нетривиальное тож-
дество многообразия F, a d(yk) = к. В силу бесконечности
кольца Л, применение процедуры выделения однородных
компонент (4.2.2) показывает, что найдутся Хх, Х2, . . .
. . . , Xn ЕЕ Л такие, что Х^ = 0, . . ., Хпип = 0 — тож-
дества многообразия F. В силу леммы 4.6.2 мы можем
предполагать, что 7V(F)^3. Если JV(F) = 3, то в F
есть тождество
Х^ЯрЕз +	= 0.
Если р #= 0, то, подставив хг вместо х3, получим рххгг2 =
= 0. - Если х%х2 = 0 не является тождеством в F, то
Ах[х2 есть F-свободная алгебра ранга 1, значит, в F имеет
место тождество ря = 0, что противоречит нашему пред-
положению о тривиальности аннулятора (см. конец
п. 4.5.1). Итак, в F выполняется тождество хха:2 = 0.4
В этом случае подалгебра, порожденная элементами xt
и х±х2, абелева, значит, имеет ранг 1. Если w (хъ х2) —
порождающий этой алгебры, то xt — “h'w (хг, х2) ЕЕ V и
^2 ““	^2) £Е F. Отсюда понятно, что N (V)	2.
Противоречие.
Если же N (F) = 2, то разделение тождества на поли-
однородные компоненты показывает, что F — абелево
многообразие. Предложение доказано.
4.6.4.	Лемма. Пусть F — многообразие алгебр Ли
над конечным полем А и N (V)	3. Если Н есть V-сво-
бодная алгебра конечного ранга, то Н/Н^ — конечно-
мерная алгебра.
Доказательство. Мы перейдем к многообра-
зию F р| А2. Тогда его норма также равна трем, и можно
считать, что Н& — {0}. Как и в предыдущей доказатель-
стве, видим, что в идеале V есть элемент вида
*1*2 + / (*1, *2),
где степень одночленов из / строго больше трех. Заменив
элемент х2 на х±х2, получим
x3iX2 +	+ . . . + |а*™о:2 Е F + L<2>.	(1)
Это показывает, что каждый элемент из Н/Н^ является
линейной комбинацией правонормированных одночленов от
свободных порождающих, причем каждый порождающий
входит в ограниченной степени (меньшей числа т из (1)).
Лемма доказана.
170	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.6.5.	Предложение. Норма шрайерова мно-
гообразия над конечным полем Л не превосходит двух*
Доказательство. Допустим, что N (F) > 2.
Пусть F — подалгебра в L, порожденная двумя элементами
х = хг и у = ж2. Обозначим через S идеал в F, порож-
денный элементом у. Идеал S как алгебра Ли порожден
элементами z0 = у и zj = х*у, j По предположению
алгебра Я== S 4- V/V свободна в многообразии F. Ранг
этой алгебры равен dim (Я/Я2). Но НИР S + V/S2 +
+ У. Поскольку 52ZD и в силу леммы 4.6.4 dim Н/Н2
dim (F + V/F2 + У) < оо. Пусть п — максимальное
число такое, что z0,	. . ., zn линейно независимы по
модулю S2 + У. Тогда ранг алгебры Н равен в точности
п + 1. Обозначим через элементы + У, i = 0,1,. ..
. . . , тг, алгебры Н/V. Пусть До, . . ., hn — свободные
порождающие алгебры Н такие, что hi ЕЕ zt 4~ Н2. Так
как N (F) = 3, то у2х + f (ж, у) е V, где / (ж, у) е L4.
Рассмотрев, если нужно, многочлен (х 4- у)2у + / (у, х 4-
4- у) — х2у — f (у, х), можно считать, что каждый одно-
член в / (х, у) имеет степень по у, не меньшую 2. Поскольку
S F2, запишем / (х, у) = f (z0,	. . ., zm), где m —
некоторое натуральное число. Многочлен /' (z0,	.
. . ., zm) не имеет линейной части и представим в виде
/ («0» г1» • • ч zm)
— 81 (z(h zli • • •» zm) "Ь 82 (г0? zl> • • ч zm)>
где Si (zo, *i, . . ., zm) — линейная комбинация одночле-
нов степени 2 от z0,	. . ., zm, a g2 (z0, zu . . ., zm) ==
== f (zo, zu • • •» zrn) — 81 (*o, *i, . .., zm). Заметим, что
в записи многочлена gr (z0, zx, . . ., zm) нет одночлена
zQzv Так как N (F) = 3, то по модулю идеала S2 + V
элементы Zi, 1^>п, являются линейными комбинациями
лишь элементов z2, я3, . . ., zn. Отсюда выводится соотно-
шение
ZOZ1 + /1 (zo, . • Zn) + /а (z0,. . Zn) e V,
где fi есть линейная комбинация одночленов степени 2 по
«о, %»...» zn> кроме zozx, а /2 является линейной ком-
бинацией одночленов, степень которых не меньше 3.
В алгебре Н получим равенство
/1 (2о, • • • ’ zn) /2 (z0> • • • » zn) 0.
Подставив вместо элементов их выражение через kh
i = 1, . . ., w, мы получим
Н“ /1 (^01 • • •> ^п) “Ь /з (Ао, • • м ^п) — О, (2)
4.6. СВОБОДНЫЕ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЙ. ПОДАЛГЕБРЫ 171
где /з — линейная комбинация одночленов степени не
меньше трех относительно fe0, . . ., hn. Соотношение (2) —
тождество многообразия F, что противоречит равенству
N (F) = 3. Предложение доказано.
4.6.6.	Предложение. Пусть V — шрайерово
многообразие алгебр Ли над конечным полем Л, и допус-
тим. что N (F) = 2. Тогда V = А.
Доказательство. Пусть L — абсолютно сво-
бодная алгебра Ли со свободными поррщдающими х. у. z.
Обозначим через S подалгебру, порожденную множеством
{х. у. xz. yz}. Предположим вначале, что это множество
линейно зависимо по модулю идеала S2 + V. Тогда для
подходящего неассоциативного многочлена и (х±. х2. х3.
я4) имеем
Kxz + pyz + и (#> У» xz, У2) £=
где один из коэффициентов %, р, скажем X, отличен от
нуля. Подставив 0 вместо у. получим
xz + g (х, xz) е V.
где g (х19 х2) — подходящий многочлен из коммутанта
свободной алгебры Ли счетного ранга. Заменив х на ху.
получим, что g (ху. (ху) z) (= L&>. и тогда (ху) z е V +
+ £<2>. Таким образом, L3 cz V + Так как N (V) =
= 2, то L2 + V = L3 + V. Значит, L2 = V + D&. т.ге.
либо L2 cz V и V = А. либо L2 + Р/Р — свободная ал-
гебра многообразия V. совпадающая со своим коммутан-
том L(2) + V/V. Последняя возможность неосуществима,
значит, V = А.
Предположим теперь, что х. у. yz. xz линейно неза-
висимы по модулю идеала S2 + V. Тогда ранг алгебры
S + Р/Р равен четырем. Но ху + / (я, у) S Р» где f (хъ
х^ — многочлен из куба свободной алгебры счетного
ранга. Отсюда, умножив на z справа, получим
(xz) у + X (yz) + / (х. у) z ЕЕ V.
Иными словами, найдется многочлен g (х±. х2. х3. х4) из
куба свободной алгебры Ли такой, что
(xz) у + x(yz) + g (х. у. xz. yz) е V. (3)
причем g (х. у. xz. yz) линеен по z. Отобразив хг i-> xz.
х2 У» я, ^4 ’* yz> мы получим эпиморфизм из L (хъ
^2, ^3, х^ на S + V/V. По лемме 4.6.4 он является изо-
морфизмом по модулю идеала V + Тогда, используя
172	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
(3), получим
Х!Х2 + «3X4 + g (х3, Х2, Xlt Xt) е V + L<2>.
Подставив нули вместо х3 и а:4, придем к соотношению
+ g' (®х» *2) G V + L<2\
•
где многочлен g' линеен norrp Отсюда g' (я, yz) ее I/2\ t. e-
x (yz) e= V + L(2\ Отсюда L3 CZ V + L<2) и, как и преж-
де,. L2 = V + L<2>. Снова получаем V = А. Предложе
ние доказано.
4.6.7.	Теорема. Любое шрайерово многообразие ал-
гебр Ли над кольцом А задается либо системой тождеств
Хх = 0, X ЕЕ Д I — максимальный идеал кольца Л, либо
системой тождеств ху = 0, Хх = О, X ЕЕ /, где идеал
J таков, что A/J — кольцо главных идеалов без делителей
нуля, либо тождеством х == 0.
Доказательство. Как отмечалось в конце
п. 4.6.1, мы можем считать, что Ann F = 0. В этом случае
нужно доказать, что Л — область главных идеалов, а
если V неабелево, то Л — поле. По лемме 4.6.2 для шрай-
ерова многообразия V имеем N (F)	3. Если Л конечно,
то, как мы уже знаем, Л не имеет делителей нуля, значит,
является полем. В этом случае при N (F) = 2, 3 следует
воспользоваться предложениями 4.6.5 и 4.6.6. В случае
N (F) = 1, очевидно, получается одноэлементное мно-
гообразие.
Если Л бесконечно, то в силу предложения 4.5.3 мы
знаем, что F — либо многообразие всех алгебр Ли над
Л, либо абелево многообразие. Допустим в первом слу-
чае, что в Л есть необратимый элемент X. Тогда следует в
свободной алгебре L (х, у) рассмотреть подалгебру Н,
порожденную элементами Хх, у, ху. Аналогично примеру
из 2.4.1 мы показываем, что подалгебра Н не является
свободной. Полученное противоречие показывает, что в Л
все ненулевые элементы обратимы, т. е. Л — поле, как и
требовалось. Во втором случае, как мы видели в конце
п. 4.6.1, любой идеал кольца Л должен быть изоморфен
самому кольцу, т. е. Л — кольцо главных идеалов.
Принимая во внимание сказанное в п. 4.6.1, мы ви-
дим, что теорема полностью доказана.
4.7. МЕТАБЕЛЕВЫ МНОГООБРАЗИЯ
173
4.7.	Метабелевы многообразия
В этом небольшом разделе мы остановимся на одном из
простейших классов многообразий — разрешимых сту-
пени 2, или метабелевых многообразиях. Их решетка под-
дается полному описанию в случае, когда основное коль-
цо Л — бесконечное поле. В частности, она оказывается
дистрибутивной, т. е. для любых трех многообразий X, Г,
Z имеем (X |J Y) Q Z = (X Q Z) (J (Y р Z) и (X р
Р Y) U Z = (X р Z) р (Y IJ Z) (эти тождества экви-
валентны друг другу). Ситуация значительно усложняет-
ся, если Л — конечное поле.
4.7.1.	Базис свободной метабелевой алгебры. Пусть
М (X) = L (X, А2) — свободная метабелева алгебра Ли
над коммутативным кольцом Л с 1. Поскольку М (X)
L (X)/L (Х)<2\ то базис для этой алгебры может быть
выбран с использованием 2.4.2, где находится система
свободных порождающих для коммутанта свободной ал-
гебры Ли. Базис состоит из элементов множества X, а
также всевозможных одночленов вида
XtX^ . . . Xk-iXji,	(1)
где ж, >	> . . . > Xk-i < хк, к 2.
4.7.2.	Теорема. Пусть V — разрешимое многооб-
разие над бесконечным полем Л. Если A2 то V —
локально нильпотентное многообразие.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что
V — энгелево многообразие, т. е. что выполняется тож-
дество (ad x)k = 0 для подходящего натурального к.
Действительно, в этом случае доказательство легко за-
вершается индукцией по ступени разрешимости многооб-
разия следующим образом. Пусть G— алгебра из V с
образующими а1? . . ., ап. Коммутант как подалгебра
порождается элементами вида
aiia£ • • • a^is+1ais+2’	(2)
где i2	h is+i <С ^+2- Показатели ог-
раничены числом к сверху в силу тождества (ad х)к = 0.
Поэтому ненулевых элементов (2) лишь конечное число.
Значит; G2 — конечно порожденная алгебра. Поскольку
ступень разрешимости алгебры G2 строго меньше ступени
разрешимости алгебры G, к ней применимо предположе-
ние индукции, в силу которого алгебра G2 нильпотентная,
174	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
следовательно, конечномерная. В итоге получаем, что ал-
гебра G конечномерна,/значит, по следствию теоремы
Энгеля 1.7.4 G — нильпотентная алгебра, что и тре-
буется.
Для доказательства справедливости тождества (ad х)к =
s 0 при подходящем к мы рассмотрим свободную алгебру
L счетного ранга в многообразии 42 Q 7 со свободным
порождающим множеством {х1? я2, . . ., хь . . .}. По-
скольку L — собственная факторалгебра алгебры М (хг,
х2, . . ., хг, • • •)» в £ выполняется (нормальное) тож-
дество вида
S—1	t	f
5j a^i1... Xi ... x*Xi = 0.
i=l
Степени переменных в каждом одночлене одинаковые
в1 силу того, что над бесконечным полем можно пере-
ходить от тождества Н его полиоднородным компонен-
там. Если =# 0, то подставим хг = х, х2 = х3 = . . .
... = х3 = у. Получим тождество вида хиу°х ~ 0.
Подставив х + у вместо у и приравняв к нулю компо-
ненту степени 1 по у, получим — х^^ух = xu+vy = 0.
Остается положить к = и + у, и тогда (ad х)к = 0
в V ПЛ2. В свободной алгебре £ = L ({я, у}, V), полу-
чим x^yEEL^. Однако элемент из £<2> может быть одно-
родным степени 1 по одной из двух переменных (в данном
случае у), лишь если он равен нулю. Таким образом,'
(ad х)к = 0 — тождество в F. Теорема доказана.
4.7.3.	Следствие. Пусть Л — поле характери-
стики нуль, V — разрешимое многообразие над Л такое,
что V Л2. Тогда V — нильпотентное многообразие..
Если при этом V сзЛ2, то найдется натуральное с та-
кое, что V = П ^2- В частности, решетка X (Л2)
подмногообразий многообразия Л2 — цепь.
Доказательство. Как мы видели в доказатель-
стве теоремы, из тождества степени d + 1 в многообразии
V Q Л2 вытекает тождество (ad z)d = 0. Согласно теореме
Хиггинса 1.8.9, следствием этого тождества для метабе-
левых алгебр является тождество нильпотентности сту-
пени d. Значит, 7 0 42с 7V~d Q Л2. Взяв с равным ми-
нимальной степени тождеств в V П 42, не выполняющихся
в Л2, получим, что V И Л2 = 27“с П ^2. Если V сг Л2,
то следствие доказано. В противном случае проведем
индукцию по ступени разрешимости многообразия V.
Е$ли то G2 имеет меньшую ступень разрешимостиs
4.7. МЕТАБЕЛЕВЦ МНОГООБРАЗИЯ	175
т. е. G2 — нильпотентная алгебра. Алгебра G/(G2)2 G=
е F р А2 также нильпотентна. По теореме 1.7.8 тогда и
G — нильпотентная алгебра. Следствие- доказано.
Для простоты формулировки последней теоремы в этом
разделе придадим смысл выражению
Л — Х-± Х% . . . Xfi—j Хп
в свободной метабелевой алгебре М {хъ я2, . . ., хи), п0~
лагая
__	J*n—1
а — хп Х1 . . . Хп-1 Хп.
ЬЛА. Теорема. Пусть А — бесконечное поле ха-
рактеристики р > 0. Тогда всякое собственное метабелево
многообразие V может быть задано внутри А2 конечной
системой тождеств вида
af'xf*... xlnxv^ =- 0 (fci > k3 > ... > kn = кпП > 0)
И	n
3 х^'...х^тх^+1...х^х^+1~0	(4)
(&i	> km k 0, p | n — m + 1).
Решетка этих многообразий дистрибутивна.
Доказательство. Применим теорему 4.2.6.
Согласно этой теореме любое тождество эквивалентно
системе полиоднородных тождеств, в каждое из которых
все переменные входят в p-степенях. Применяя базис
Холла 2.3.6 относительно упорядоченности xt > х2 > . . .
. . . > ^n+i, мы запишем произвольное тождество в виде
JL	^1—1	^п+1
S а{Д = 0, где А4 = х? ... zf .. . х% х^+1 ,	(5)
=1
i
где можно считать, что /q >	> . . . > &п > кп+1 . По-
кажем сначала, что достаточно рассматривать случай,
когда для любого t, kt = кп+1, если только =^= 0. Дей-
ствительно, допустим, например, что к = кп >> fcn+1 = I
и Оп Ф 0. Представим р* в виде
р» = pfc-1 (р _ 1) pt-2 (р _ 1) 4- . ф .
... + рг+1 (р — 1) + Р1Р
р	к—1—1 р—1
и подставим В (5) S Ук-l, г +	3 Угэ вместо хп.
г=1	1=2 3—1
176	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
Рассмотрим следствие тождества (5), однородное степени
р*-1 поуп, . .	степенирк~2 по р21, . . ., у^ р_ь . . . ,
степени р1 по ук-щ, • Ук-Цр- Посмотрим, что при этом
получается из слагаемых Ai суммы (5). Если i #= п, то
коэффициент при искомом следствии есть число
S = p‘|/(pk-1!)₽-1(pk-2!)P-1 . . . (р,!)р.
Напомним, что степень N простого числа р, делящего
вычисляется по формуле
,"=Ш + НН + -'
где [а] — целая часть числа а. Таким образом, числитель
дроби S делится на pN, где N = рк~г + рк~2 + . . . + 1,
а знаменатель — на рм, где М = (рк~2 + ... + 1)(р — 1)4-
+ . . . + (р1-1 + . . . + 1)р = N - (* - I) < N.' Зна-
чит, S = 0 в Л. При i = п мы получаем следствие в виде
VI VJ 73	D	Р^1	Рк~^- pl pk~j Р^
где Bj8 — Xi ... xn-i уп ... Ук-i, рУз& #n+i*
r=l S	.	(6)
Коэффициент Cj при j к — l равен нулю, a #= 0.
Действительно,
ct = (/ - l)!/(p'c-1!)p_1 . . .	— 1)! . . . (Pz!)p.
Числитель дроби делится на степень, числа р, равную
N — к, для знаменателя соответствующее число равно
N — 2к 4- I 4- 7, откуда и следует требуемое. Итак, (6)'
принимает вид
р
ЗВн., = 0,	(6')
S=1	р' J
где каждый одночлен имеет вид . . . ук-1,з&п+1- С дру-
гой стороны, очевидно, что из (6) следует тождество
А„ == 0 (нужно приравнять все </ys). Таким образом, (5)
п—1
эквивалентно тождеству (6') вместе с 2 А = 0. Очевид-
4=1
ная индукция по числу ненулевых коэффициентов в (5)
позволяет считать, что в (5) уже к; = kn+lt как только
0.
В этом случае после, возможно, перенумерации пере-
менных мы запишем левую часть тождества (5) в виде
/= 2 а4Лг.
г=гп4-1
4.8. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА
177
Рассмотрим автоморфизм алгебры М (X), переставляю-
щий яп+1 и Xi местами и оставляющей остальные перемен-
ные на месте, i = т + 1, . . п. Тогда (Л^) = —Aif
%i (Aj) = —Ai + Aj (i =/= j). Таким образом,
Ъ (/) = Mi + . . . + (—ax — a2 — ... — a^Ai + . . .
. . . 4” (x^An.
Используя само (5), получим в V систему тождеств вида
(ах + . . . + 2а$ + . . . + апМг = О,
i = т + 1, . . ., п. (7)
Если для некоторого I коэффициент в (7) отличен от нуля,
то Ai = 0 — тождество в V, что эквивалентно тождеству
(5) и имеет вид (3). В противном случае (7) есть система
уравнений относительно коэффициентов с определителем
п ~ т + 1 (непосредственный подсчет). Если р не делит
(п — т + 1), то получаем противоречие. Если р | (п —
— т + 1), то система имеет ранг п — т, & базисом прост-
ранства решений является вектор (1, 1, . . ., 1), и мы при-
ходим к тождеству (4). Конечность системы тождеств (3) и
(4), задающих F, вытекает из конечности ’базиса тож-
деств любого метабелева многообразия над нётеровым
кольцом Л, что будет доказано в 5.3.1. Утверждение о
дистрибутивности решетки доказывается непосредствен-
ным (но довольно тяжелым) подсчетом (см. [13]), и мы
его здесь не приводим. Теорема доказана.
4.8.	Диаграммы Юнга и/тождества
4.8.1.	Модуль Рте. Пусть X = {х±, . . ., хп}, L =
= L (X) — свободная алгебра Ли со свободным порож-
дающим множеством X. Обозначим через Рп Л-подмо-
дуль в L (X), состоящий из полилинейных многочленов
степени п.
Лемма. В качестве базиса свободного A-модуля Рп
можно взять совокупность правонормированных одночленов
вида
•£<5(1)^0(2) • • •	(1)
где в пробегает множество всех перестановок символов
{1, 2, . . ., п - 1}.
Доказательство. Используя индукцию по
п, можно считать, что одночлен w из Рп имеет вид w =
= uvxnr где vxn — правонормированный одночлен. Если
178	гл. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
d (и) =1, то w — уже нужного вида. Иначе и = uxu2.
Тогда w =	— и2и^хп. Применим индукцию к
и2ихп и и^хп, а затем, если нужно, повторим аналогичное
преобразование. В конце концов получится нужное пред-
ставление. Что касается однозначности представления
элемента через одночлены вида (1), то она доказывается
тем же приемом, что и в 2.1.3 для случая стандартного
тождества. Лемма доказана.
Итак, dim Рп = (п — 1)!. Превратим^ теперь Рп в
^-модулЬд полагая
О ° f(xi> . . хп) (хат, . .	ха{П)), 0(=Sn,
f (^-1» • • •» Хп) РП-
Если /, g е Рп> то очевидно, что тождество g = 0 —
следствие из / = 0 в том и только том случае, когда
g G= ASnf. Отсюда вытекает, что неэквивалентных систем
полилинейных тождеств степени п ровно столько, сколько
различных А5п-подмодулей в Рп. По лемме любой эле-
мент из Рп является линейной комбинацией одночленов
вида (1). Значит, любой из них, например, хгх2 . . . хй,
можно выбрать за порождающий элемент циклического
А5п-модуля Рп. Таким образом, Рп является фактор-
модулем регулярного ^-модуля ASn при гомоморфизме
л, переводящем 1 в хгх2 . . . хп. Внутренняя характери-
зация модуля Рп может быть получена с помощью резуль-
татов главы 3.
Пользуясь обозначениями из 3.4, при т = п положим
Dn (X) == ASn ®дг Ас. Модуль Dn (X) является ограни-
чением Сп (X) на полилинейные компоненты элементов из
Тп (X). Проводя те же рассуждения, что и в доказатель-
стве предложения 3.4.1, мы увидим, что Рп есть А-модуль,
изоморфный модулю Dn (X). Разумеется, Dn (X) не ин-
вариантен относительно действия группы GL (У), однако
он инвариантен относительно действия ее подгруппы Sn.
Таким образом,
Рп^. ASn 0дг Ае	(2)
— изоморфизм 5п-модулей. Формула (2) позволяет при-
менить к Рп все формулы кратностей, выведенные в 3.4
для Ln (X).
Особенно прозрачной становится структура ^-модуля
Рп в случае, когда А — поле характеристики нуль.
В этом случае (см. 3.2.7) 1=3 Y^d» где yXd е A*Sn,
т, d
4.8. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА
179
а элементы eXd определены в 3.2.2. Здесь exdex>d' = 0 при
Групповое кольцо А = ASn как левый 5п-мо- ’
дуль представимо в виде
=— 25 Aexdi
X, d
причем ЛеТС1 AeX’d' в том и только том случае, когда
d == d'. Применяя упомянутый выше гомоморфизм л,
получаем
Рп == 3 AfXd> fxd === &xd ° (#1#2 • • • *^n)*	(3)
x, d
В силу простоты 5п-модулей AeXd модуль Afx& либо ну-
левой, либо простой. Разумеется, в (3) можно отбросить
часть слагаемых так, чтобы равенство сохранилось, но
сумма уже была прямой. Резюмируя сказанное выше, мы
получаем такой результат:
4.8.2.	Теорема. Пусть Л — поле характеристики
нуль. Тогда Sn-моду ль Рп распадается в прямую сумму
простых 8п-подмодулей вида ASnfXd = Л8пеха, соответ-
ствующих таблицам Юнга вида xd. Если d*£ d', то
A8nfXd ASnfX'd'- Любая система полилинейных тож-
деств степени п эквивалентна системе тождеств вида
{fXd = 0 | xd GE Т}, где Т — некоторое множество таб-
лиц Юнга степени п. При п Ф 4, 6 в разложение 8п-мо-
дуля Рп входят простые компоненты, отвечающие каждой
диаграмме Юнга степени п, за исключением тех, которые
отвечают разбиениям п — 1 + . . . + 1 и п = п {эти
диаграммы отбрасываются при всех п > 2).
4.8.3.	Многочлены /td и gx&t Напомним, что если
xd — некоторая таблица Юнга, то RXd — это подгруппа
в Sn, оставляющая на месте символы строк из xd, a CXd —
подгруппа, оставляющая на месте символы столбцов из
xd. Элементы ех& и fXd тогда имеют вид
e%d = 25 6(трО> fxd =- S ео^ра(1) • * • ^ра(п)*
0&RXd	P^Hxd
p^Cxd	G^exd
Если в многочлене fXd отождествить между собой пере-
менные, номера которых принадлежат одной и той же
строке таблицы xd и поделить на порядок подгруппы RXd,
то получится многочлен gTd, зависящий лишь от т пе-
ременных, где т — число строк в диаграмме d. Понят-
но, что = 0 — следствие тождества fXd = 0. Верно и
обратнеет тац пак? очевидно, = 0 есть полная линеа-
180
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ризация (см. 4.2.5) тождества gxd = 0. Особенно просто
выглядит gTd для тривиальной таблицы d (см. 3.2.2).
В этом случае, если Z1? Z2, . . ., lk — высоты столбцов с
номерами 1, 2, . . ., к = пх, то gxd получается правонор-
мированной расстановкой скобок на произведении ассо-
циативных стандартных многочленов
stl (х1У . . Хц) Sit (xlt . .	Ж(2) . . . Stk (хг, . . Xik),
где, как и прежде,
sm (^1» • • • ’ хт) = S e0#(J(l) • • •
4.8.4.	Структура модуля Рп при малых и. (i) п == 3.
Здесь dim Р3 = 2, и возможна лишь диаграмма
pl- z
По формуле (1) из 3.2.8 размерность bd соответствующего
53-модуля равна 2 и gd = (хгх2 —	= 2	0.
Таким образом, х^х2 = 0 — единственное с точностью до
эквивалентности нетривиальное тождество степени 3.
Разумеется, хгх2х3 = 0 — эквивалентное ему тождество.
(ii)	п = 4. Здесь dim Р4 = 6. Возможные типы диа-
грамм таковы
<4=	,
Размерности соответствующих модулей bdl = b^ = 3,
bi, = 2. Взяв таблицы
—
мы получим gxdi = 2х%х2	0, gdsi = s3 (ad xr, ad x2,
ad x3)xr 0. Ясно, что диаграмме d2 не соответствует
ненулевая простая компонента из Р4 (это следует и из
теоремы 3.4.8). Таким образом, Р4 = Afxdi ф Afa, AfXdt &
& Afd*. Заметим, что Afdz = А/, где / = (ххх^х3х^ —
левая часть тождества метабелевости. Это следует из того,
что Af — ненулевой подмодуль, А/ =# Р4, так как А2
ненильпотентно. Кроме того, базис свободной метабелевой
4.8. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА	181
алгебры (см. 4.6.1) показывает, что gXdx = 0 не является
тождеством в А2. Значит, Af = Л/^.
(iii)	п = 5. Здесь dim Р5 = 24. Возможные типы диа-
грамм — следующие:

Размерности соответствующих модулей таковы:
Ъл$= bd, = 4, bd, = bdt = 5, fed, = 6.
Согласно 4.7.2 все соответствующие модули входят в
разложение для Рб. Имеем 24 = 4 + 5 + 6 + 5 + 4.
Соответствующие тождества получаются расстановкой
чисел в указанных диаграммах:
-r.tf,	= 2а:‘а:2;
^3^3—

Я
11
2 5

г
1
11
па
11
3
gx3d9 = xxs3 (ad хх, ad х2, ad х3) хх,
gd4 = 2s3 (ad xx, ad x2, ad x3) xxx2\

t5rf5=flf5=
gd9 = 54 (ad + ad x2, ad az3, ad x4) xx
Нетривиальность каждого из этих тождеств получается
с помощью обычного базиса Холла свободной алгебры Ли.
Например,
gdf, — (Х]Х^(ХзХ±) Хх (х1Х3)(х2Х4)х1 + (ххХ^)(х2Хз)хх +
+ (х3Ж4)(зд)гС1 — (х^Цх^Х! + (х^зХх^Х!.
Если считать самой большой буквой, а остальные пере-
менные упорядочить в порядке возрастания индексов, то
любой из одночленов в этом разложении базисный. На-
пример, {х2хз)(ххх^хх = (х2хз)(ххх^х^. Таким образом,
182	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
gdb ф 0. Аналогично проверяется, что и остальные
gT.d. отличны от нуля. Итак,
Ръ ~ Afx^ ф AfXzd2 ф Afx^ ф Af^ ф A/dj.
Поскольку все эти модули попарно неизоморфны, любой
подмодуль есть прямая сумма некоторых из выписанных
подмодулей. Значит, любая система однородных тождеств
_ степени 5 эквивалентна ровно одной системе вида
{gxd = 0|rde Т},
где Т cz {ТА» T2d2, тз^3» d4, ^5}. Всего имеется 31 много-
образие. Различные интерпретации этих тождеств см. в
упражнениях.
(iv)	п = 6. В этом случае dim Рв = 120. Возможные
разбиения числа 6, отвечающие неприводимым компонен-
там 5в-модуля Ре» согласно 3.4.8, имеют вид dr = {5,
1}, d2 = {4, 2}, d3 = {4,1,1}, = {3, 3), db = {3, 2, 1},
de = {3, 1, 1, 1}, d7 = {2, 2, 1, 1}, d8 = {2, 1, 1, 1, 1}.
Размерности соответствующих 5в-модулей равны bdt =7
= bd, — 5, bd, = bd7 = 9, bd, = bd, = 10, bd, = 5,
bd, = 16. Поскольку сумма этих чисел строго меньше
числа 120, в разложении 5в -модуля Ре имеются изоморф-
ные компоненты (на самом деле кратность равна 3 в слу-
чае d5 и 2 в случаях d3 и d7). Это соображение позволяет
получить такой результат.
П р е д л о ж е н и е. Мощность множества много-
образий алгебр Ли над Полем А характеристики нуль не
меньше мощности поля А.
.Доказательство. Пусть V\ и V2 — два раз-
личных изоморфных 5п-подмодуля в Рп, 0^= Д Е и
/2 — образ элемента Д при изоморфизме модуля Vt на У2.
Тогда для различных %, р £= А, + Х/2 = 0 и Д + р/2 =
= 0 — неэквивалентные тождества. Действительно, если
это не так, то найдется а ЕЕ А = А5П, такой, что, нап-
ример, + р/2 = а (/г + %/2). Поскольку Vx и V2 обра-
зуют прямую сумму, 0 = aft —	= —а^2 Д- р/2. От-
сюда (а — 1)/х = 0. В силу изоморфизма Да — 1)/2 = О,
т. е. 0 = —a \f2 + р/2 = (—+ р) А* Отсюда % = р.
Взяв теперь п = 6, видим, что такие и V2 существуют,
и проведенное рассуждение реализуемо. Тем самым пред-
ложение доказано.
с - 4.8.5. Решетки многообразий. Пусть F — некоторое
многообразие. Совокупность X (F) его подмногообразий
образует решетку относительно операций объединения и
4.3. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА	183
пересечения. Полное описание решетки подмногообразий
известно лишь в очень небольшом числе случаев. В 4.7.3
мы видели, что решетка X (Л2) метабелевых многообразий
над полем характеристики нуль является цепью. В случае
бесконечного поля в 4.7.4 упоминалось, что X (J2) —
дистрибутивная решетка. Отметим, что свойство дистри-
бутивностиГвыполняется весьма редко. В случае поля
характеристики нуль вопрос о дистрибутивности решетки
X (V) тесно связан с вопросом о структуре 5п-модулей
Рп (F), определяемых так. Согласно 4.8.1 для любого
и > 1 Рп является полупростым 5п-модулем. Он распа-
дается в прямую сумму Рп == Рп (F) ф Р'п (F), где
/ ЕЕ Рп (F) тогда и только тогда, когда / = 0 — тожде-
ство в V. Модуль Рп (F) определен однозначно с точно-
стью до изоморфизма.
Предложение. Решетка X (F) дистрибутивна
тогда и только тогда, когда для любого п модуль Рп (F)
не содержит различных изоморфных подмодулей.
Доказательство. Действительно, если при
некотором п в Рп (V) имеются два изоморфных ^-под-
модуля и V2, то, следуя обозначениям доказательства
предложения из п. 4.8.4, мы возьмем в качестве JT под-
многообразие, выделяемое в F тождеством f± = 0, в ка-
честве Y — подмногообразие, выделяемое! тождеством
/2 = 0, а в качестве Z — подмногообразие, выделяе-
мое тождеством/х +/2 = 0. Тогда X Q Y будет выделять-
ся двумя тождествами /х = 0, /а = 0 и -Xf) F cz Z, т. е.
(X П YJIJZ = Z. С другой стороны, в X |J Z тождества
степени п имеют вид g = 0, где g е f| А (/х + /а) =
= {0}. Аналогично и в Y(JZ нет тождеств степени п. Зна-
чит, в (X [J Z) П (F|JZ) нет тождеств степени п, т. е.
(X U ZYNY U Z)^ (X[~]Y) (J Z. Таким образом, ре-
шетка X (F) недистрибутивна.
Обратно, если для любого п модуль Рп (F) распада-
ется в прямую сумму попарно неизоморфных 5п-модулей,
то вопрос о дистрибутивности решетки X (F) сводится
к вопросу о совпадении полилинейных тождеств любой дан-
ной степени в (X (JZ) р| (Y (J Z) и (JTQF) Q Z. Если
Хп, Уп, Zn — совокупности левых частей полилинейных
тождеств степени п для X, Y, Z соответственно, то речь
идет о равенстве для 5п-подмодулей (Xn р| Zn) + (Уп П
П Zn) и (Хп + Уп) Q Zn. В силу нашего предположения
о Рп (F) каждый ^-подмодуль есть просто прямая сум-
184
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ма входящих в него простых 5п-подмодулей. Значит, все
сводится к объединению и пересечению в решетке подмно-
жеств множества простых 5п-подмодулей в Рп (F). По-
скольку решетка подмножеств каждого множества дис-
трибутивна, то же можно сказать и о решетке подмодулей,
а значит, и о X (F). Предложение доказано.
Следствие. Решетка X (jV5) дистрибутивна, а
X (Л^в) недистрибутивна.
Доказательство. Для имеем Рп (N —
— Рп при п 5 и Рп (jV5) = {0} при п 6. Применяя
результаты п. 4.8.4, видим, что X (А^) — дистрибутивная
решетка. Для имеем (2V6) = Р6. Снова, применяя
результаты п. 4.8.4, видим, что X (ЗГв) — недистрибутив-
ная решетка. Следствие доказано.
4.8.6.	Центрально метабелевы многообразия алгебр
Ли. В настоящее время полное описание (и дистрибутив-
ность) решетки X (F) получено для двух ненильпотент-
ных многообразий Fx и F2, определенных тождествами
шестой степени. Первое, Fx = Л^П^Л, задается тож-
дествами (ж1гг2) (#3^4) я5Яв = 0 и (^1^2^з) хьхъх* ~ 0. Вто-
рое, V2=[E, [Е, Л2]],задается тождеством хгх2 (х3х^)хьх3=
= 0. В качестве иллюстрации покажем, например, что
подмногообразие С = [Е. А2] cz F2, имеет дистрибутив-
ную решетку подмногообразий. Алгебры многообразия С
называются центрально метабелевыми. Если G ЕЕ С, то
второй коммутант 6?(2> лежит в центре алгебры 6?: 6г<2> G=
= {0}. Оценим dim Рп (С). Для этого заметим, что С за-
дается тождеством хх (х2х3) х4х5 = 0. Из него, очевидно,
вытекает
(х&Яз) (х^хь) = — (зд) (ХгХ&ъ).	(1)
Пусть L = L(X. С). Тождество (1) позволяет любой по-
лилинейный элемент из переписать в виде линейной
комбинации произведений вида
&ltxit) . Xi^Xn, где п >	> i2, i3 > . . . > i„_i.
Число таких одночленов, очевидно, равно
= -^-1)2(п~2) . Поскольку Рп (С)^Рп (42) ф (Рп (С) П
П IX3)), то с учетом базиса в Рп (Л2) (см. 4.7.1) видим, что
dim Рп(С) <п — 1 + (ге~1)/” ~2) = п(п .
Z	&
4.8. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА	185
Рассмотрим диаграммы dx, d2, d3, отвечающие разложение
ям п = (п — 1) + 1, п — (п — 2) + 2, п = (п — 2) +
+ 1+1. Размерности соответствующих модулей равны
л п(п— 3) (п — 1)(п — 2) „
соответственно п — 1, —и *-------. Соответству-
ющие тождества — это gr = (ad x)n~x (у), g2 = (ху) (хп~3у),
ёз — (xix2) (*Г%) — (х1хз) (Я1”3я2)- Используя (1) и ли-
неаризацию тождества g2 = 0 по у, мы видим, что оба эти
тождества! (g2 = 0 для п нечетного, a g3 = 0 для п четно-
го) эквивалентны тождеству (ху) (xn~3z)' = 0. Используя
пример из 6.6.7, видим, что g± = 0 и (ху) (xn~3z) = 0 не
являются тождествами в С. Сравнивая размерности, ви-
дим, что Рп (С) = AfXldl ф Af^d* при подходящих тп т2
и четном п и Рп (С) = AfXldi ф AfXsds при подходящих
тх, т3и нечетном п. Используя предложение из п. 4.8.5,
видим, что справедливо следующее утверждение.
Теорема. Пусть Л — поле характеристики нуль,
С — многообразие центрально метабелевых алгебр над Л.
Тогда решетка X (С) дистрибутивна.
Отметим, что открытым остается следующий трудный
вопрос: описать все многообразия алгебр Ли над полем
характеристики нуль, решетка подмногообразий которых
является дистрибутивной.
4.8.7.	Числовые ряды, связанные с многообразиями.
Пусть V — некоторое полиоднородное многообразие над
полем А. Пусть сп = dim Рп (F) (см. 4.8.5). Числовой
оо
ряд с (V, t) = S «п*” называется рядом коразмерно-
п=1	«
сшей многообразия V. Скорость его роста есть характе-
ристика решетки X (F). Если найдется действительное
число к такое, что для всех достаточно больших п выпол-
няется сп < пк, то говорят, что рост многообразия F по-
линомиальный. В противном случае, если найдется действи-
тельное d такое, что для всех достаточно больших п име-
ем сп < dn, то говорят, что рост многообразия F не выше
экспоненциального. Согласно рассмотрениям из п. 4.8.6
рост многообразия всех центрально метабелевых алгебр .
полиномиальный: сп < п2. Вообще известно, что любое
многообразие с полиномиальным ростом лежит в ИГСА
для подходящего с (см. [87]). С помощью теоремы 5.5.5
мы видим, что многообразие с полиномиальным ростом об-
ладает конечным базисом тождеств. С другой стороны,
существуют многообразия со сверхэкспоненциальным
186
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ростом. Таково многообразие (см. 126]). Читатель
без труда вычислит порядок роста числа сп для этого мно-
гообразия. Действительно, с использованием результа-
тов из п. 2.4.2 мы видим, что линейно независима система
одночленов вида
(я^а) . . . (xikxjk) (xhxhxh),
Л	/2	7*ь	^2	<	*з,	h	<	71»	•	•	•» < 7\>
01» . . ., ik, /i, . . ., /fe,	Z1?	Z2»	^з}	=	{!»	•	•	•»
Видно, что число этих одночленов имеет вид
2 /2к + 3\ (2к\ !2к — 2\	/ 2 \	_
\	3 ) \ 2 ) \ 2 /	\ 2 /
----1_ (2/с-|-3)(2fc +2) (2А+ !)-&.
Понятно, что рост этого числа сверхэкспоненциальный.
Другая, близкая, характеристика многообразия, точ-
нее, его относительно свободных алгебр конечного ран-
га,— ряди Гильберта, имеющие вид
n=l
где b^m ~ dim Ln (m, V). Более детальная характери-
зация— ряд вида
' я (F, tx,..., tm) = 3 М?(1) •.. 4(w),
а
где Ьа == dim — размерность полиоднородной компо-
ненты свободной алгебры многообразия V ранга тп, отве-
чающей полистепени а. Здесь одним из центральных воп-
росов является вопрос о рациональности этих рядов, т. е.
вопрос о возможности их представления в виде частного
двух многочленов. Из формулы Витта (см. 3.1.3) видно,
что ряд (О, t) не является рациональным ни для ка-
кого тп 2.
В качестве примера найдем ряд Гильберта Нт (t) =
= Нт (А®, 0- Для этого заметим сначала, что Рп (А*)
есть неприводимый 5п-модуль, отвечающий диаграмме
Действительно, по формулам из 3.2.8 bd = п — 1. Как.
мы знаем (см. 4.7.1), dim Рп (А2) = п — 1. Кроме того,
4.8. ДИАГРАММЫ ЮНГА И ТОЖДЕСТВА
187
если
trfd-gl1!”-2! -Ш .1,
п
то “2"#Td = £i ^2, что входит в^базис алгебры М (ж1? ж2).
Отсюда и из совпадения кратностей неприводимых мо-
дулей, отвечающих одинаковым диаграммам Юнга в Рп
и Ln(m, 4), следует, что Ln (тп, А2) — также неприводимый
GL (тп, Л)-^одуль. Его размерность может быть вы-
числена по формуле из 3.3.10. В этой формуле ряд чисел
(пх, п2, . . ., nm) приобретает вид (п — 1, 1, 0, * . ., 0).
Если тп > 2, п > 2, то получаем
ь(п) j»(n) И + m — 2	m — 1 n m — 2 ^(n)
Om — ^m—1	л *	н ==	n ^m-1'
1 m — 1	m — 2	m — 2
Считая, ЧТО 6m И bm связаны той же формулой, мы полу-
чим рекуррентную формулу для рядов Вт (t) таких, что
Нт (t) = 1 + t + Нт (t):
Вт ®	(Е (« + 1) ь^п + (т - 3) Вт-Г (О) =
П8=Ю
= ((Е Ь^^П+1У + - 3)(о) =
= щ~2 W) “Ь (т 3) Я т-1 (0) ~
= В w_! (t) -f- ^*—2 В(2)
При т = 2 имеем b2n) = п — 1; положим также Ь2г) =
= 0 и Ь20) = —1. Получим
^(o=E(w~1)fn==E(”+1)in_2Efn=
п=0	п=0	п*»0
Непосредственные вычисления по индукции с использо-
ванием рекуррентного соотношения (2) показывают, что
’ 3 Нт W = 1 + 1 +	’
*	т = 2,3,...
188	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
В, С. Дренски показал, что для любого многообра-
зия F с полиномиальным ростом и для любого т ряд
Нт (V, t) — рациональный. Более сложные вычисления,
связанные с рядом Гильберта в многообразии, порожден-
ном алгеброй Ли si (2, Л), проведены в работе [152].
4.8.8.	Переход от к Рте+1. Допустим, что некоторое
многообразие F определено тождеством fxd = 0, где d —
некоторая диаграмма Юнга степени п. Тогда Рк (F)=
= Рк при к < n, Рп (F) Рп1Т, где Т = Afxd. Струк-
тура модулей Р* (F) при к > п неизвестна. Однако с по-
мощью правила Ричардсона — Литтлвуда некоторая ин-
формация может быть получена при к = п + 1. Дело в
том, что 5п+1-модуль U следствий из тождества /Td = 0
порожден элементами следующего вида: если fxd =
= f (х1ч . . хп), то в качестве такого элемента можно
взять /' = f (хх, . . ., Хп-^ хп+1хп). Запишем fxd в виде
fxd == 51 ^a*£(j(i) » • •
aeSn-l
Тогда
/ = 3 a<pE(j(i) • • •
<resn_i
Рассмотрим ^-i-подмодули, порожденные этими элемен-
тами в Рп и Рп+1. Очевидно, что они изоморфны. Пусть тот
модуль, которому они изоморфны — это некоторый мо-
дуль Q. Поскольку Т и U порождаются рассматриваемы-
ми подмодулями как Sn и 5п+1-модули, то как Г, так и U
являются фактор-модулями индуцированных модулей
Л5П ®ASn_x<? и А5п+10 ASn_x Q. Более того, видно, что под-
группа S2 = <(п, п + 1)> действует в U знакопеременно,
т. е. в соответствии с диаграммой р]- Отсюда возника-
ет процедура выяснения того, какие диаграммы Юнга
могут соответствовать простым компонентам модуля
следствий U. Нужно сначала, используя правило Ричард-
сона — Литтлвуда, посмотреть, какие простые *Sn_j-Mo-
дули могут входить в разложение ^-модуля Т, а затем
с помощью этого же правила посмотреть, что из них может
быть получено в степени п + 1.
Например, из тождества энгелевости степени тг, п 5,
не следует стандартное тождество степени п + 1. Дей-
ствительно, первое соответствует диаграмме dx, второе —
4.9. КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ
189
^2» ГДО
Понятно, что при описанном алгоритме длина пер-
вой строки может уменьшиться не более чем на 1. По-
этому d2 не соответствует никакой простой компоненте,
диаграмма которой получается описанным способом.
4.9.	Квазимногообразия
4.9.1.	Фильтрованное произведение. Пусть I — не-
которое множество, (7) — решетка всех его подмно-
жеств. Подмножество f ЕЕ (7) называется фильтром.
если оно является подрешеткой в З5 (7), т. е. для любых
Л,	имеем А р\ В ЕЕ f и A (J В ЕЕ и, кроме
того, если С ЕЕ . a D С. то D Е^- Фильтр называ-
ется ультрафильтром, если он является собственным
фильтром, т. е. отличным от (7), и не содержится стро-
го ни в каком собственном фильтре. Рассмотрим теперь
семейство алгебр (Ga)aei. Пусть Cf = П<?а — декарто-
во произведение этого семейства. Рассмотрим идеал Н&.
состоящий из функций / таких, что множество {а | / (а) =
= 0} нулей функции / лежит в &. Проверка того, что это
идеал, оставляется читателю. Факторалгебра G& = GIH&
называется фильтрованным произведением семейства ал-
гебра (6?a)ae5r относительно фильтра f. Если f — уль-
трафильтр, то получаем понятие ультрапроизведения.
Фильтр называется главным, если он состоит из всех под-
множеств, содержащих некоторое* фиксированное J (обо-
значается f = (/)). Понятно, что бг^ = П бга. В слу-
чае конечного множества любой фильтр главный, поэтому
понятие фильтрованного произведения существенно имен-
но в случае бесконечных семейств алгебр.
4.9.2.	Квазитождества и квазимногообразия. Формула
вида
fl (х1ч • • •> хп) ~	• • • &fm (^1, • • хп) 0 ==>
/т+1 (#1» • • •, хп) =0, (1)
190
ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
где /х, . . ., fm+1 — некоторые неассоциативные многочле-
ны, называется квазитождеством. Скажем, что квазитож-
дество (1) выполняется в алгебре G (не обязательно ал-
гебре Ли), если оно истинно при подстановке любых эле-
ментов из G вместо хг, . . ., хп. Разумеется, тождество —
частный случай квазитождества. Чтобы получить нетри-
виальный пример, достаточно заметить, что в свободной
алгебре Ли справедливо квазитождество
х (ХУ) = 0 ==> ху = 0.
Квазимногообразие алгебр (алгебр Ли, ассоциативных
алгебр и т. д.) есть класс алгебр, удовлетворяющих фик-
сированной системе квазитождеств. Квазимногообразие,
определенное квазитождествами некоторого класса &
алгебр, обозначается через qvar(^) (или qvar (6?), если
= {<?}).
Важной характеризацией квазимногообразия как
класса алгебр, подобной теореме Биркгофа (см. 4.1.4),
является следующая теорема А. И. Мальцева (см. [80]).
4.9.3.	Теорема. Непустой абстрактный х) класс
К алгебр (над коммутативным кольцом А) является ква-
зимногообразием тогда и только тогда, когда К замкнут
относительно перехода к подалгебрам и фильтрованным
произведениям.
Теория квазимногообразий алгебр Ли еще не разрабо-
тана, хотя, конечно, ряд результатов может быть перепет
сен из теории групп по аналогии.
4.10.	Упражнения
4.10.1.	Если в многообразии V все алгебры разрешимые, то
для некоторого I имеем V CZ Sj.
4.10.2.	Если в многообразии V над бесконечным полем А
ограничены ступени нильпотентности всех конечномерных алгебр,
то для подходящего с имеем V CZ
4.10.3.	Любое тождество степени 5 в алгебре — следствие
тождества s4 (ad хх, ad х2, ad я3, ad я4) хъ = 0. Неизвестно, спра-*
ведливо ли это утверждение для тождеств произвольной степени.
4.10.4.	Доказать, что свободная метабелева алгебра М (х, у) =
= L (х, y)!(L (ж, у))(2) не является конечно определенной.
4.10.5.	Доказать, что центр V-св ободной алгебры счетного
ранга является вербальным идеалом. Привести пример'алгебры Ли,
в’которой центр не является вербальным идеалом.
4.10.6.	Пусть L — свободная алгебра Ли, М — ее идеал.
Доказать, что любая нильпотентная подалгебра в ЫМ2 либо одно-
мерна, либо лежит в М/М2.
х) Класс алгебр называется абстрактным, если он замкнут от-
носительно перехода к изоморфным алгебрам.
4.10. УПРАЖНЕНИЯ
191
4.10.7.	Доказать, что центр свободной алгебры нетривиального
произведения многообразий над полем характеристики нуль равен
нулю.
4.10.8.	Пусть А = {аи . .	В = {&х, . . Ьп} — абе-
левы алгебры, W = A wr В, М — подалгебра в W, порожден-
ная элементами ггц = ai + i = 1, . . ., п. Элемент с = b 4-
п
+ ЗЛ • • *’ Ъп)а{ сплетения W лежит в М тогда и только тогда,
i—1
когда	п
W-Л) ъ. = ъ.
1=1
Указания: 1) Свести к случаю, когда b = 0. 2) Доказать, что
отображение гр: а{ —> bi продолжается до гомоморфизма В-
модулей из К = idw (Л) в В-модуль U (В), причем наше утвержде-
ние равносильно тому, что Кег ф = М П К.
4.10.9.	Пусть X — непустое множество, V — многообразие
над бесконечным полем Л, Л = В (X, F), YGL таково, что Y
линейно независимо mod L2 и L/L2 порождается образом множе-
ства Y. Верно ли, что Y — свободное порождающее множество
для В? Для каких многообразий V это верно?
4.10.10.	Пусть F cz _У2 — многообразие колец Ли, выделенное
в N2 тождеством 2ху = 0, L = L ({а, Ь}, F). Доказать, что элемен-
ты а, 2Ъ линейно независимы по модулю В2, но не порождают сво-
бодную алгебру многообразия F.
4.10.11.	Пусть L — L (X, V) — свободное кольцо в полиод-
нородном многообразии колец Ли F, Y cz L таково, что Y порож-
дает F Г| Л-свободное кольцо, являющееся прямым слагаемым
в ЫЬ2. Тогда alg (У) — свободная со свободным порождающим
множеством У.
4.10.12.	Привести контрпример к теореме монотонности 4.3Ч3
в случае алгебр над кольцом.
4.10.13.	Доказать утверждения из п. 4.3.8.
4.10.14.	Пусть V — многообразие алгебр Ли над полем харак-
теристики нуль. Тогда [F, BJ] — неразложимое многообразие.
4.10.15.	Доказать равенства (основное кольцо — поле):
a)	(^i U ^2) V = V±V U V2V\
б)	(^i П ^2) F = иу П V2V-
в)	[С\, СГ2] F = [(7ХУ, f72F].
4.10.16.	Показать, что
и (vT U F2) о Г/Fl U
и (V, n f2) cz uv. n uv2,
причем включения могут быть строгими.
4.10.17.	Показать, что многообразия U [F15 F2] и [J7FX, <7F2]
могут быть несравнимыми.
4.10.18.	Пусть J7, F — многообразия колец такие, что U Q
п F = Е. Тогда UV (\VU = U()V.
4.10.19.	Пусть U. Z) U2 ZD • • • — убывающая цепь многооб-
оо	оо
разий. Тогда <7 ( f| Fi) = f| (7F*. Сформулировать и доказать
г»=1	г=»1
аналогичное утверждение для бесконечного объединения.
192	ГЛ. 4. МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
4.10.20.	Которое из тождеств х (yz) uv = 0, (xyz) uv = 0 вле-
чет другое? Почему они неэквивалентны?
4.10.21.	Доказать, что относительно свободная алгебра конеч-
ного ранга над бесконечным полем не может быть отображена на
себя гомоморфно с нетривиальным ядром (т. е. является так назы-
ваемой хопфовой алгеброй).
4.10.22.	Доказать, что если в алгебре Ли над полем характе-
ристики нуль выполняется тождество
ххх2 . . . хсхг = 0,
то эта алгебра нильпотентна.
4.10.23.	Проверить утверждение из ш 4.2.4, касающееся тож-
дества энгелевости.	3
4.10.24.	Доказать, что многообразие, порожденное конечной
нильпотентной алгеброй Ли, не является полиоднородным (основ-
ное кольцо А конечное).
4.10.25.	Построить базисы сплетений одномерных алгебры
Wi = <ei> wr<e2>, JT2 = <€?!> wr^ <е2>.
4.10.26.	Найти базисный ранг многообразия см2.
4.10.27.	Какое из тождеств метабелева многообразия над
бесконечным полем характеристики р > 0 влечет другое:
(а)	= 0, Р2 = xf.:. х*у?. . . ур = 0;
р—1
(б)	= о, Vt = Л1. . . хр = 0.
г=»1 \
4.10.28	(в обозначениях из п. 4.8.4). Какое из канонических
тождеств g а = 0 пятой степени влечет нильпотентность какой-
тг г
либо ступени? Разрешимость?
4.10.29	(в обозначениях из п. 4.8.4). Доказать, что gd* = 0
эквивалентно стандартному тождеству (см. п. 4.10.3). Тождество
= 0 эквивалентно такому свойству: куб внутреннего диффе-
ренцирования является дифференцированием.
4.10.30.	Если мощности всех сомножителей ультрапроизведе-
ния не превосходят фиксированного натурального числа п, то мощ-
ность ультрапроизведения также не превосходит п.
4.10.31.	Конечная алгебра G лежит в qvar (Я), где Н — конеч-
ная алгебра, в том и только том случае, когда G лежит в прямой
степени алгебры Н.
4.10.32.	Пусть G — трехмерная нильпотентная алгебра Ли
над конечным полем А. Доказать, что var (G) =^= qvar (G).
4.11.	Комментарий
Впервые краткое изложение теории многообразий алгебр Ли
появилось в книгах [130, 136]. Многие предварительные результа-
ты — общие для многообразий произвольных алгебр. Изложение
теории многообразий в таком общем виде см. в книге А. И. Маль-
цева [80]. Большое влияние на автора оказала книга X. Нейман
[89]. Процессы линеаризации из раздела 4.2 являются классиче-
скими, их преломление в свете тождеств изложено в [11]. Тео-
рема 4.2.6 сформулирована в работе В. Дренски [41]. Ряд ре-
зультатов раздела 4.2 —аналоги теоретико групповых результатов
4.11. КОММЕНТАРИЙ
193
из книги [89]. Теорема 4.2.9 основана на работах [1, 11]. Дальней-
шие результаты, касающиеся вопроса о совпадении класса инва-
риантных и вербальных подалгебр см. в [16]. В связи с теоремой
4.2.11 отметим, что открытым остается вопрос о хопфовости конеч-
но порожденной F-свободной алгебры, где V — многообразие ал-
гебр Ли над конечным полем. Теорема о возможности задания про-
извольного полиоднородного многообразия независимой системой
тождеств принадлежит А. Ю. Ольшанскому [90]. В случае конеч-
ного поля возможность такого задания — открытый вопрос. Раздел
4.3 построен на работах автора [9, 10, И], В. А. Парфенова [92,
93] и Г. К. Генова [35]. В случае поля Z2’ группоид v (Z2) неассо-
циативен [12]. Вопрос о неразложимых многообразиях тщательно
изучен в работе М. В. Зайцева [47]. Раздел 4.4 построен на работе
[127] А. Л. Шмелькина. Раздел 4.5 основан на работе автора [138].
Впрочем, доказательства, приведенные здесь — новые. В этой же
работе вычислено точно значение базисного ранга многообразия Nc
над произвольным коммутативным кольцом. Базис тождеств группы
треугольных матриц нашел Н. С. Романовский (Алгебра и логика,
1971, 10, № 4, с. 401—406). Теорема 4.6.7 была получена автором
сначала в случае дю ля характеристики нуль [9], затем в случае
бесконечного поля [И]. Окончательный результат принадлежит
М. В. Зайцеву, статье [48] которого мы здесь и следуем. Резуль-
таты раздела 4.7 в случае поля характеристики нуль восходят
к А. Л. Шмелькину. Случай поля характеристики р >• 0 изучен
автором [13] и М. Вон-Ли [184]. Случаю конечного поля (он не
вошел в эту книгу) посвящены работы Г. В. Шеиной [116, 117].
Раздел 4.8 в основном методического плана. Полное описание ре-
шетки центрально метабелевых многообразий дано С. П. Мищенко
[88]. Он же дал и полное описание решетки многообразия Fx гипер-
центрально метабелевых алгебр Ли над полем характеристики
нуль. Решетка подмногообразий для F2 = N2A Q AN2 описана
В. Дренски [42]. Числовые ряды, связанные с многообразиями,
почти не изучены. Исключение составляют ряды Гильберта сво-
бодных алгебр многообразия, порожденного алгеброй si (2, А)
над полем характеристики нуль [152]. Интересные применения тео-
рии представлений симметрической группы к изучению многообра-
зий алгебр Ли дал И. Б. Воличенко. В частности, он нашел [29]
многообразие алгебр Ли G над полем характеристики нуль, наимень-
шее среди тех, которые не удовлетворяют никакому стандартному
/G G \
тождеству. Оно порождается алгеброй Ли вида ( q \ , где G —
бесконечномерная алгебра Грассмана (см. 6.4.6), а О—нулевая
алгебра. Базисный ранг многообразия G бесконечен, а любое его
собственное подмногообразие имеет конечный базисный ранг.
7 Ю, д. Бахтуриц
Глава 5
ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
5.1. Постановка проблемы
5.1.1. Зависимость от основного кольца. Один из ос-
новных вопросов теории тождеств любого класса ал-
гебр — вопрос об эквивалентности произвольной системы
тождеств конечной системе (проблема конечной базируе-
мости). Этот вопрос, разумеется, получает отрицательный
ответ, если основное кольцо Л не является нётеровым.
В случае алгебр Ли достаточно рассмотреть многообра-
зие А П Ом (см. 4.1.6), где М — идеал кольца, не имею-
щий конечной порождающей системы. Система тождеств,
определяющая данное многообразие, имеет вид {ху = 0}(J
(J {Хж = 0 | X ЕЕ М}. Допустим, что эта система эквива-
лентна некоторой конечной системе {vQ = 0,	= 0, . . .
. . ., vm = 0}. Поскольку каждое тождество является след-
ствием конечного числа тождеств из первой системы, мож-
но считать, что все имеют вид vt = i = 1, 2, . . .
. . . , т, а и0 = ху. Пусть N — идеал в А, порожденный
элементами Хх, . . ., Хт, и % е= М \ N. Тогда в абелевой
Л-алгебре AJN с нулевым умножением выполняются все
тождества hiX = 0, i = 1, . . ., т, но Кх а 0 не тождест-
во, так как К (1 + N) = К + N Ф 0.
Таким образом, при изучении проблемы конечной ба-
зируемое™ в дальнейшем мы будем считать, что основное
кольцо А нётерово.
5.1.2. Аксиоматический ранг многообразия. Если V —
конечно базируемое многообразие, т. е. если V может быть
задано конечной системой тождеств {рх е 0,	= 0, , . ,
, .	==« 0}, то число переменных, входящих в запись
многочленов рх, р2, , , f, vm, разумеется, конечно. Мини-
мальное число переменных с помощью которого могут
быть записаны тождества, задающие некоторое многооб-
разие F, называется аксиоматическим рангом многообра-
зия V и обозначается через ra (F). Таким образом, ra (F) —
это натуральное число или +оо в зависимости от того,
может или нет многообразие быть задано СИСТЕМОЙ тож-
деств от конечного числа церемонных
5.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
195
Предложение. Аксиоматический ранг любого
нильпотентного многообразия V конечен. Если V £ 2ГС,
то ra (F) < с + 1.
Доказательство. Как отмечено в 4.2.12, каж-
дое тождество эквивалентно системе нормальных тож-
деств, т. е. имеющих вид /	х2, . . ., хп) = 0, где каж-
дый одночлен в / содержит в качестве сомножителей все
переменные хх, х2, . . ., хп. Если V z Jc и и > с + 1, то
f = 0 является, таким образом, следствием тождества
хгх2 . . . xc+i = 0, справедливого в V. Значит, система
всех тождеств, справедливых в F, эквивалентна подси-
стеме, состоящей из нормальных тождеств от числа пере-
менных, меньшего с -J- 1, и тождества нильпотентности
х±х2 . . . хп+1 = 0. Предложение доказано.
5.1^3. .Шпехтово многообразие. Многообразие ^ ал-
гебр Ли называется шпехтовым (в честь немецкого мате-
матика В. Шпехта), если каждое подмногообразие 17 cz F
(включая само F) является конечно базируемым. Если
L = L (я:х, х2, . . ., хп, . . .) — свободная алгебра Ли от
счетного числа переменных, то вербальные идеалы, оп-
ределяющие подмногообразия, лежащие в F — это вер-
бальные идеалы алгебры L, содержащие идеал V = F (4).
Если 4 (т) = L (хх, . . ., хт), то вербальные идеалы,
определяющие подмногообразия, которые могут быть за-
даны внутри F тождествами от числа переменных не
более лг,— это вербальные идеалы алгебры L (т), содержа-
щие Vm = V (L (т)). Назовем алгебру G вербально нёте-
ровой, если в G обрываются возрастающие цепочки вер-
бальных идеалов.
Предложение. Для конечно базируемого много-
образия эквивалентны следующие условия:
(i)	F шпехтово.
(ii)	Решетка X (F) артинова.
(iii)	Алгебра L/V (L) вербально нётерова.
Если га (17) т.для любого подмногообразия U cz F, то
эти условия эквивалентны следующему:
(iv)	Алгебра L (m)/V (L (т)) вербально нётерова.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку решетка под-
многообразий многообразия F антиизоморфна решетке
вербальных идеалов, содержащих F (4), где L = L (х^
x2J . . ., Хп, . . .), то (ii) и (iii) эквивалентны. Если вы-
полняется (i), то любой вербальный идеал, содержащий
F (4), конечно порожден, т. е. не может быть объединени-
ем строго возрастающей цепочки вербальных идеалов,
7*
196 fjl. О. ПРОБЛЕМА конечной ЬазируёмосМ
содержащих F (L). Обратно, пусть U == U (L) — некото-
рый вербальный идеал, содержащий V (L). Тогда в силу
нётеровости найдется конечная система элементов {vn
г2, . . ., vs} такая, что
V = V (L)C={F, M(b)CZ
С {7,1;1,1;2}(Л)с=...С={У,р1, • • - »*} (L) = V(L) - U.
Поскольку V — конечно порожденный вербальный идеал,
то объединение его конечной порождающей системы с мно-
жеством {р-р р2, . . ., ps} дает конечную порождающую си-
стему для U. Эквивалентность условий (i), (ii) и (iii) до-
казана. Если рассмотреть L (т) как подалгебру в L,
порожденную множеством {xv . . ., хт}, то Vm =
= V (L (т)) = V (L) Q L (т) (см. доказательство теоре-
мы 4.3.2). При нашем условии также и V (L) — Vm (L).
Эти соотношения показывают, что LIV (L) вербально не-
терова тогда и только тогда, когда L (m)/V (L (т)) вер-
бально нётерова. Предложение доказано.
5.1.4.	Теорем а. Тождества нильпотентного мно-
гообразия допускают конечный базис (основное кольцо нё-
терово).
Доказательство. Согласно предложениям из
пп. 5.1.2 и 5.1.3 достаточно доказать вербальную нётеро-
вость алгебры L (с + 1)/LC+1 (с + 1). Однако эта алгебра —
конечно порожденный A-модуль, порождающими кото-
рого являются одночлены от хг,. . ., яс+1 степени меньшей
с + 1. В силу нётеровости кольца Л этот модуль нёте-
ров. Теорема доказана.
5.1.5.	Конечная базируемость и операции над много-
образиями. Разумеется, пересечение двух конечно бази-
руемых многообразий является конечно базируемым. Оно
задается объединением двух конечных систем тождеств,
определяющих многообразия, пересечение которых мы
рассматриваем. Однако вопрос о конечной базируемости
объединения двух конечно базируемых многообразий уже
является открытым. Нет окончательного ответа и на воп-
рос о конечной базируемости произведения и коммутато-
ра двух конечно базируемых многообразий. На этот счет
имеются лишь частичные результаты автора [11] й
М. В. Зайцева [46]. Для изложения этих результатов нам
понадобится понятие строго конечно базируемого много-
образия. Именно, F —строго конечно базируемое много-
образие, если F (L) есть Л-оболочка значений в L ко-
нечного числа элементов из F (L).
5.1. ПОСТАНОВКА Ш>ОБЛЁМЬ1	(97
Предложение, (i) Любое нильпотентное много-
образие над нётеровым кольцом является строго конечно
базируемым.
(ii)	Любое конечно базируемое полиоднородное много-
образие является строго конечно базируемым*
Доказательство. Если L — свободная алгебра
Ли счетного ранга, иг = 0, . . ., и% = 0 — базис тождеств
в нильпотентном класса с многообразии V, включающий
тождество нильпотентности ступени с, то F (L) строго
порождается конечным множеством многочленов вида
. xtUi (у1ч . . ., ys); имеющих степень не выше с, где
переменные xt, . . .,Sxt различные и отличны от . . .
. . ys, a t с. Если же V полиоднородно и = 0, . . .
. . ир = 0 — его полиоднородный базис тождеств, то
А-оболочка "значений многочленов vx, . . ., vp автоморфно
допустима и полиоднородна, значит, по теореме 4.2.9
является вербальным идеалом, т. е. совпадает с V (L),
Предложение доказано.
5.1.6.	Теорема. Пусть U — конечно базируемое
многообразие, V — строго конечно базируемое многообра-
зие. Тогда U V, [U, F] — конечно базируемые многообра-
3U Я/.
Доказательство. Если V — строго конечно
базируемое многообразие, то в вербальном идеале V =
= F(Lоо ), где Lоо	свободная алгебра Ли счетного ран-
га, можно найти конечное множество многочленов
р2, . . ., vs таких, что любой элемент v ЕЕ V является
A-комбинацией значений этих многочленов в алгебре L^.
Записав элементы v14 и2, . . ., vs на непересекающихся мно-
жествах свободных порождающих, мы получим элементы
р2, • • м v'&4 сумма и = v (хх, . . ., хп) которых так-
же строго порождает идеал V. Выберем теперь в U =
= U (Loo) конечную систему нормальных многочленов,
замкнутую относительно взятия частичных линеариза-
ций (см. 4.2).
I. Рассмотрим сначала случай произведения много-
образий W = U F. В этом случае W — это идеал ал-
гебры Л»,, порожденный всеми элементами вида щ (уг, . . .
. . ., yti), i = 1, . . ., s, где у; ЕЕ V = V (L). Каждый эле-
мент yt есть линейная комбинация значений многочлена
v в Loo с коэффициентами из А. Так как система {их, . . .
. . ., ит} замкнута относительно взятия линеаризаций,
то можно считать (см. 4.2.5), что	v(. . .). Таким
198 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
образом, идеал порождается системой элементов вида
Щ (Х^1, Х2г?2, . . Xsz/),	(1)
где i = 1, 2, . . ., тп, Хх, Х2,. .., Xs ЕЕ А ($ зависит от
О, vq = v (xqn+1, . . ., xqn+n)> Q =	2, . . . Конечная
базируемость будет доказана, если мы ограничим чи-
сло наборов (Хх, . . ., Xs). Запишем (#х, . . ., х8),в
г
виде линейной комбинации У базисных одночленов.
jt=i
Тогда для любого набора (Хх, . . ., Xs) ЕЕ А8 получим
г
Ui (ХхфХ9 . . ., Xs#s) = У| TjUjWj. Таким образом, построе-
j«=i
но отображение ф: А8 —> Аг, задаваемое правилом
ф (Х1? . . ., Xs) = (yt, . . ., yr). A-модуль Аг является нёте-
ровым, значит, A-подмодуль Аф (А8) также конечно по-
рожден, причем в качестве его конечного порождающего
подмножества можно выбрать конечное число векторов
ф (X1), . . ., ф (X") ЕЕ ф_(А8), К* = (Х|, . . ., i = 1, . . .
. . ., р. Для любого X = (Хх, . . ., Xs) найдутся ах, . . .
. . ., ар €ЕЕ Л такие, что
Ф (X) = ахф (X1) + . . . + арф (Хр).
Положим ф (X) = (ух, . . ., уг), ф (Хг) = ($, . . ., угг), i =
= 1, . . ., р. Тогда
Ui (Хр?!, . . ., Xsxs) =	+ . . . +	=
= («iTi + • • •+ <M?) Hi^i + • • •
. . . + (ai$ + . . . + apy?) prwr =
= »i	+ • • •+ YrHr^r) + • • •
• • • + Up	+ • • • + VrPrWr) =
== OLyUi (Xx«2?i, . • hgXg) —|— ... —|- OLpUi (Xx#x, . • hgXg)»
Таким образом, в качестве порождающих идеала W
достаточно взять элементы (1), в которых множество на-
боров коэффициентов (Хх, . . ., Xs) для любого i конечно и
выбраны только что указанным способом как (XJ, . . .
. . ., Xg), . . ., (Хх, . . ., X?). Таким образом, многообразие
W — UV конечно базируемо.
II. Переходя kJF =117, F], заметим, что W = W(L) =
= U (L) V (L). На этот раз будем считать, что не только
V (L), но и V (L) порождается одним элементом, скажем
5.1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
199
и и v соответственно. Будем считать, что v строго порож-
дает идеал V (L). Тогда, записав и — и (хъ . . ., хп), v =
= v (л?п+1, ...» хт), мы получим порождающее множе-
ство для W в виде
(•^m+l^m+2 • • •	(%1+1 • • •	(2)
Применяя правило дифференцирования: (ab) (cd) =
— a (bed) — b (acd), мы йрлучим, что достаточно рассмат-
ривать лишь произведения; (2) вида uxt+r . . . xsv. Одна-
ко элемент я#+1 . . . xsv лежит в идеале V (L), значит, по
выбору элемента v является линейной комбинацией зна-
чений элемента v. Таким образом, вербальный идеал W (L)
порожден одним элементом и(хъ . . ., хп) v (хп+1, . . .
. . ., хщ). Конечная базируемость многообразия [17, F]
доказана. '
5.1.7.	Следствие. Пусть U, V — конечно бази-
руемые многообразия над нётеровым кольцом А, причем
многообразие V. полиоднородное или нильпотентное. Тог-
daUV и [U, F] конечно базируемы.
5.1.8.	Следствие. Пусть А — бесконечное поле.
Многообразие W = UV конечно базируемо тогда и только
тогда, когда конечно базируемы многообразия U и V.
Доказательство. В силу предыдущего утвер-
ждения достаточно показать, что из конечной базируе-
мое™ для W следует конечная базируемость многообра-
зий С7 и F. Допустим, 4toF не является конечно базируе-
мым. Тогда идеал V = F (L) представим в $иде объеди-
ОО	X
нения строго возрастающей цепи V = U V\ вербальных
i=i
оо
идеалов алгебры L. Значит, W = W (L)= U U (FJ.
1=1
В силу теоремы монотонности 4.3.2 все идеалы U (7Г) раз-
личные. Поэтому W не является конечно базируемым мно-
гообразием. Если многообразие U не является конечно
оо
базируемым, то U = TJ (L) = U Ui9 где Ui CZ Ui+1 и
оо	i —1
W = W (L) = U Ui(V). Так как V — свободная алгеб-
i=i
ра Ли счетного ранга (см. 2.4.4), все идеалы Ui (V) раз-
личные, и снова W —многообразие, *не имеющее конеч-
ного базиса тождеств. Следствие доказано.
Для доказательства теоремы об объединении много-
образий нам понадобятся следующее утверждение,
200 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
5.1.9.	Лемма. Пусть U — вербальный идеал свобод-
ной алгебры Ли счетного ранга L. Для любого п 1 идеал
U П Ln конечно порожден как вербальный тогда и только
тогда, когда это верно для вербального идеала U Q Ln+1.
Доказательство. Пусть L (n) = L (х1? . . .
. . ., яп) CZ L. Взяв нормальные многочлены, порождаю-
щие идеал U р| Ln, получим, что он порожден как- вер-
бальный идеал идеалом U Q (L (n))'1 + U Q Ln+X. Од-
нако имеют место следующие соотношения между Л-мо-
дулями:
U П (L (n))n + U П Ln+1/U П Ln+1
= и п (Ь (п)У/и П (L (n))”+1 и П (L (п)Г +
+ (L (ri))n^/(L (n))n+1 с (L (п))п/ (L (n))”+1.
Так как последний модуль—конечно порожденный и,
следовательно, нётеров A-модуль, мы получаем, что UQ
П Ln порождается как вербальный идеал порождающими
идеала U П Zft+1 и конечным множеством прообразов Л-
порождающих модуля U Q (L (п))п + U П LU^!U Q
П Ln+1. Поэтому часть «тогда» в лемме доказана.
Допустим теперь, что идеал U р| Ln вербально ко-
нечно порожден. Пусть {и1? . . ., и3,	. . ., vr} — его
конечная нормальная порождающая система, ...
. . ., и3 U(~] Ln+\ . . ., vr ЕЕ U Г| Ln+1, и множе-
ство {i?!, . . ., vr} замкнуто относительно взятия частичных
линеаризаций. Пусть z — некоторый элемент из {х1ч . .
. . ., хп, . . .}, не входящий в запись указанной системы.
Составим систему Р неассоциативных многочленов из
U П Ln+1, в которую входят все и1? . . ., vr, а также эле-
менты вида zut (#!, . . ., xk) и Ut (х1ч . . ., zxj, . . ., xk), i =
= 1, 2, . . ., s, / = 1, 2, . . ., k, где k — число перемен-
ных, от которых зависит нормальный многочлен Пусть
w — произвольный нормальный элемент из U р| Ln+1.
Поскольку w U Г| Ln, этот элемент представим
в виде w =	+ м?2, где лежит в идеале, порожденном
системой {v14 . . ., vr}, a w2 — в идеале, порожденном
системой {иъ . . ., и3}. Разобьем w2 в сумму w2 =
= w2 + w"2 + w'2". Здесь w2 есть линейная комбинация
элементов вида щ (glf . . ., gk), где хотя бы одно gj ле-
жит в L2; w2 есть линейная комбинация элементов вида
Sk+iui • • •» элемент ш2' есть линейная комбинация
значений элементов вида . . ., и3от порождающих хъ
х2, . . хп, . . . Ясно, что элементы w2 и w2 лежат в вер-
бальном идеале, порожденном системой р. Ззяв вместе
5.2.	ВПОЛНЕ ЧАСТЙЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 201
w'2' эквивалентный ему нормальный многочлен, мы полу-
чаем элемент е (w) U f] Ln+1. Элемент е (w) можно
считать зависящим от переменных . ., xt, п. По-
этому совокупность Е всех е (w), w Ez U \ } Ln+1, лежит
в конечно порожденном Л-модуле, состоящем из линей-
ных комбинаций значений многочленов и1? . . ., us от пе-
ременных х1ч . . хп. Взяв конечное порождающее мно-
жество модуля АЕ вида е1 = е (w^, . . ., eq = е (wq), мы
получим конечное порождающее множество Р J {ег, . . .
. . eq} для вербального идеала U f] Ln+1. Лемма до-
казана.
5.1.	10. Т е о р е м а. Пусть U, V — многообразия ал-
гебр Ли над нётеровым кольцом Л, причем многообразие V
нильпотентно. Тогда объединение W = U (J V конечно
базируемо тогда и только тогда, когда U конечно бази-
руемо.
Доказательство. Поскольку V се Nc для под-
ходящего с, имеем (U |J Ю U Уе = U ^с- Таким об-
разом, утверждение теоремы достаточно доказать в слу-
чае V = JTe. В этом случае речь идет о вербальном идеале
U р| Lc+1, где U — U (L). Ясно, что теорема верна при
с = 1. Значит, можно применить индукцию по с. Шаг ин-
дукции обеспечивается леммой 5.1.9. Теорема доказана.
Вопрос о конечной базируемости объединения двух ко-
нечно базируемых многообразий без наложения . ограни-
чений на компоненты остается открытым.
5.2. Метод вполне частично упорядоченных множеств
5.2.1.	Определение. Частично упорядоченное множе-
ство Р с упорядоченностью называется вполне частично
упорядоченным, если в любом непустом подмножестве Q
имеется конечное число минимальных элементов . . .
. . ., qr таких, что для любого q ЕЕ Q найдется i такое, что
qi q. Например, если А, В — два вполне упорядочен-
ных множества, то их прямое произведение Р = А X В
с упорядоченностью «(а, Ь) (а', Ъ') тогда и только тогда,
когда а а', Ъ Ь'» является вполне частично упорядо-
ченным множеством. Действительно, очевидно, что в Р
выполняется условие минимальности. Допустим теперь,
что в некотором непустом множестве Q имеется бесконеч-
ное число минимальных элементов (ux, vt), (u2, v2)> • • •
Переписывая эти элементы так, что последовательность
их < и2 < • • • — строго возрастающая, получим, что
202 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЁМОсТЙ
последовательность > v2 > . . . строго убывающая.
Последнее невозможно, так как В — вполне упорядочен-
ное множество.
5.2.2.	Предложение. Множество (Р, явля-
ется вполне частично упорядоченным тогда и только тог-
да, когда для любой бесконечной последовательности ри
р2, . . . элементов из Р найдутся номера i <Z] такие, что
Pi Рр	1
Доказательство. Необходимость этого усло-
вия очевидна. Докажем достаточность. Пусть Q — не-
пустое подмножество в Р. Обозначим через Qq множество
минимальных элементов подмножества Q. Это подмноже-
ство конечно, так как любые два элемента из Qq или сов-
падают или несравнимы. Это множество непусто: дей-
ствительно, допустим, что некоторый элемент аг не явля-
ется минимальным. Тогда найдется а2, аг а2. Продол-
жая рассуждать подобным образом, из соотношения Qo =
= 0 мы получим бесконечную строго убывающую по-
следовательность at > а2 > . . . Ясно, что этд противо-
речит нашему условию. Предложение доказано.
5.2.3.	Следствие. Если А, В — вполне частично
упорядоченные множества, Р = А X В — прямое произ-
ведение этих множеств с покомпонентной упорядоченно-
стью (как в 5.2.1), то Р — вполне частично упорядоченное
множество.
Доказательство. Заметим, что любая беско-
нечная последовательность элементов вполне частично
упорядоченного множества содержит бесконечную воз-
растающую подпоследовательность. Действительно, обо-
значим через аА = oq множество элементов х подмножест-
ва Q таких, что а х. Если а2, . . ., а8 — конечное
подмножество последовательности Q = {а19 а2, . . .} та-
кое, что Q = aix (J а^ . . . аг^, то одна из подпоследова-
тельностей . . ., а^, скажем а£, бесконечна. Обозна-
чим через Qx подпоследовательность \ {ай} и проде-
лаем с ней ту же процедуру, т. е. разложим в объеди-
нение Qx = bx U . . . U Ьг- Если Ьх бесконечно, то пусть
Q2 == bx \ {bi}. В результате такого процесса получает-
ся бесконечная возрастающая последовательность <
<&!<... Рассмотрим теперь бесконечную последова-
тельность (alf Ьх), (а2, Ь2), . . ., (о,г, Ьп), . . . элементов мно-
жества Р. Согласно только что доказанному можно счи-
тать, что ах а2	... В силу предложе-
5.2. ВПОЛНЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 203
ния 5.2.1 найдутся i <Z j такие, что bj. Тогда (аг,
&i) (ay, bj). Снова применяя предложение, видим, что
Р — вполне частично упорядоченное множество. След-
ствие доказано.
5.2.4.	Упорядоченность типа делимости. Пусть Р —
частично упорядоченное множество. Обозначим через
D (Р) множество конечных последовательностей (рл, . . .
. .., рк) элементов из Р, упорядоченное так: (р19 . . рк) <
С (Яъ • • •> <li) в том и только том случае, когда найдется
сохраняющая порядок инъекция гр множества натураль-
ных чисел N в себя такая, что гр (к) I и pt < q$(i) для
любого i = 1, . . ., к.
5.2.5.	Теорема. Если Р — вполне частично упоря-
доченное множество, то D = D (Р) — также вполне час-
тично упорядоченное множество.
Доказательство. Как и в 5.2.3, аА обознача-
ет множество элементов b таких, что а Ь. Заметим, что
если для любого а множество D \ аА вполне частично
упорядочено, то и D вполне частично упорядочено. Дей-
ствительно, если Е =/= 0, Е Q D паЕ Е, то рассмотрим
Е \ аА. Это подмножество во вполне частично упорядо-
ченном множестве D \ аА. Значит, либо Е cz аА, либо
найдутся . . ., Ь8 такие, что для любого Ъ ЕЕ Е \ аА
существует i такое, что bt Ь. В обоих случаях в Е есть
конечное минимальное множество, содержащееся в {а,
di, . . ., bs}. Значит, при выполнении этого условия мно-
жество D вполне частично упорядочено. Поэтому допус-
тим, что это условие в D не выполнено. Докажем, что в D
есть подмножество D', которое также не является вполне
частично упорядоченным, но в котором для любого р ЕЕ Р
множество D' \ (р)А уже вполне частично упорядочено.
Для этого построим цепочку вложенных друг в друга не
вполне частично упорядоченных множеств S$, полагая
= D и, если St уже построено, то 5f+1 равно Si в том
случае, когда для всех р ЕЕ Р множество Si \ (р)А явля-
ется вполне частично упорядоченным. В противном слу-
чае полагаем Si+1 = St \ (Pi)\ где PiEP - произ-
вольный элемент такой, что множество St \ (р^ не яв-
ляется вполне частично упорядоченным. Цепочка
5	. .3 St 2	. стабилизируется на конечном
шаге, так как с ней связана последовательность pt, р2, . . .
. . ., Pi, . . . элементов из Р, в которой ни для какой пары
i < j не выполняется pi С pj (именно, Pj р?). Если
Sj = Si+1 = то полагаем D' = S$. Поскольку D'
204
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
не является вполне частично упорядоченным, согласно
началу доказательства найдется последовательность и
минимальной длины в D' такая, что D' \ иА не является
вполне частично упорядоченным множеством. Если и =
= (Ръ • • •, Рк)у то к > причем для v = (рх, . . pw)
и р = рк множества D' \ vA и D' \ (р)А вполне час-
тично упорядочены. Любой элемент w из £>' \ допус-
кает разбиение на три компоненты (любая из них может
быть пустой) w — (а, Ъ, с), где а ЕЕ D' \ ра, Ь ЕЕ Р, с ЕЕ
G= D' \ (р)А. Действительно, если и? Е Й' \ v\ то пола-
гаем а = w, Ь = с = 0. Если w ЕЕ уа, то w = («, 6, с),
где Ъ ЕЕ Р, (а, Ь) ЕЕ v\ v Ясно, что с е£ (р)л, так
или иначе w Е ^А. Таким образом, элементы из D' \ иА
можно рассматривать как элементы из (D' \ vA) х Р X
X (£>' \ (р)А). Это множество с упорядоченностью пря-
мого произведения, согласно 5.2.3, вполне частично упо-
рядочено. Значит, и Df \ иА с его упорядоченностью та-
ково же. Противоречие. Значит, предположение о том, что
D не является вполне частично упорядоченным множест-
вом, неверно. Теорема доказана.
Для обобщения теоремы 5.2.5 рассмотрим множество
Dk = Dk (Р) конечных последовательностей (ix, . . .,
Pi, . . ., ps), где к фиксировано, гх, . . ., ik ЕЕ N, рх, . . .
. . ., р8 ЕЕ Р- Допустим, что Р частично упорядочено, и
положим (гх, . . ik; рг, . . ps) < (ух, . . д; qu . . qr),
если существует сохраняющая порядок инъекция N —>
-* N такая, что g (гх) = /х, . .	| (гх.) = д; g (s) < г;
Pl	• • •, Р* < 9g(s)-
5.2.6.	Теорема. Если Р — вполне частично упоря-
доченное множество, то Dk (Р) — также вполне частично
упорядоченное множество.
Доказательство. Пусть ах, а2, . . .— последо-
вательность элементов множества Dk. Поскольку множе-
. ство с упорядоченностью, как выше, является вполне
частично упорядоченным (ср. 5.2.2), можно считать, что
в последовательности аъ а2, . . . первые к компонент каж-
дого вектора образуют возрастающую последователь-
ность. Таким образом, если = (ix, . . ., ik-, рх, . . ., ps),
ai+1 = (71» • • -» 7^5 ^i» • - •» Яг), то существуют такие, что
(h) =71» • • •»	(h) = ik- Переставив единообразно
местами первые к компонент в ах, а2, . ; . так, чтобы они
нестрого возрастали в а19 мы увидим, что то же самое будет
верно и для а2, Лз, . . . (в силу того, что элементы со-
храняют порядок). Будем считать поэтому, что в нашей
5.2. ВПОЛНЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 205
последовательности а19 а2, . . . в каждом члене первые к
компонент образуют (нестрого) возрастающую последова-
тельность. В этом случае компонента р19 . . ., ps элемента
at разбивается на к + 1 часть (некоторые из них могут
быть пустыми):
4 = (pi, ..рй-1), 4 =	Р1г-г), ...
• • • > ci — (Pijg+li • • •» Ps)-
Все cl лежат в D (Р) U 0. Будем считать, что 0 — наи-
меньший элемент в D (Р) U 0. Теперь бесконечную воз-
растающую подпоследовательность из а19 а2, . . . выберем
следующим образом. Сначала выберем ту бесконечную
часть, в которой возрастает последовательность с}, 4» • • •
(см. 5.2.5). При этом для любого i будет построена инъ-
екция г|) такая, что г|) (^ — 1) <	— 1 и рг g^(1), . . .
. . ., p^-i С	Ясно, что г|) может быть изменена
так, что все выписанные неравенства сохраняются и при
этом -ф (4) =	(h), • • •,	(^) —	(*&)• Затем из полу-
ченной последовательности выберем бесконечную подпо-
следовательность, в которой элементы pit возрастают.
Далее перейдем к бесконечной подпоследовательности, в ко-
торой 4, 4, . . . образуют бесконечную возрастающую по-
следовательность. При этом найдется для любого i инъек-
ция % такая,’ что Л + 1 < % (h + 1), X G2 — 1) < /2 — 1
и Рй+1<?х(ч+1), • • Ph+i < Как и прежде, %
можно дополнить значениями ранее построенной инъек-
ций г|). Продолжение этого процесса приводит к построе-
нию бесконечной последовательности al, а'%, . . .и для лю-
бого i изотонной инъекции т: N —» N такой, что т (и) =
= h (Q =71, • • •, т (h) = Bi (ifc) = 7»; * (s) < Г, pt <
ps < Значит, Dk (P) — вполне час-
тично упорядоченное множество. Теорема доказана.
5.2.7. Обобщение теоремы Гильберта о базисе. Пусть
R — кольцо многочленов от переменных х19 х2, . . .
. . ., хп, . . . над нётеровым кольцом Л, М — свободный
Я-модуль со счетным множеством t19 t2, . . ., tn, ... сво-
бодных порождающих. Пусть Т* — множество сохраняю-
щих порядок инъекций из N в N. Подмодуль Т модуля М
называется ^-подмодулем 9 если для любого элемента р ~
= S/i (^1, х2, . . .) tt Т и любого г|) ЕЕ Т* элемент
Ф (р)	S/i (^Ф(1)» ^(2)7 * • •) ^“Ф(г)
лежит в Т.
206 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
Теорема. Модуль М удовлетворяет условию мак-
симальности для ^-подмодулей.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Р — множество ко-
нечных последовательностей неотрицательных целых чи-
сел. Введем на Р полную упорядоченность, полагая
(ii, . . ., 1т)	(j*i, . . ., /п) в том случае, когда либо по-
следовательности совпадают, либо т <Z п, либо т = п
и для некоторого г ir<Z ]'г, причем is == j8 для всех s> г.
Будем рассматривать также на Р и упорядоченность
множества D (N JJ {0}). Определим теперь вес wt (и) од-
ночлена и == 'kxjxf . . . x£ как строку (ix, i2» • • • » U £=
Р. Если / — многочлен, то wt (/) есть вес его старшего
члена, т. е. ненулевого одночлена с наибольшим (в смыс-
ле упорядоченности =^) весом. Если теперь у — некото-
рый элемент из М вида
2/==:	/Л»
' ।	i=l
то положим wt (у) = (n, wt /п). Наконец, положим 0 (у) =
~ (X, wt (у)), 0 (0) = (0, 1, 0), где % —- коэффициент при
старшем члене. Таким образом, 0 (у) ЕЕ Q = Л X
X N х Р. Упорядочим N х Р как Dx (N). Назовем под-
множество Q' cz Q замкнутым, если из того, что (Хх, пх,
рх), . . ., (Xfe, Пк, vk) ее Q', следует, что любой элемент
(X, п, v) такой, что % ЕЕ ЛХх + . . . + AXfc, (пх, гх), . . •
. . ., (nk, (n, v), также лежит в Q'. Заметим, что для
любого Y-подмодуля М’ £ М множество Q' = 0 (М‘)
замкнуто. В самом деле, очевидно, что wt (ф (у)) = ф (wt у).
По условию найдутся у1? . . ., yft ЕЕ М’ такие, что wt (ух) =
= (пх, рх), . . ., wt (у^) = (nfe, vfc). Таким образом, суще-
ствуют ф1,. . ., ф*. ЕЕ Y такие, что wt (у) = фг (wt (ух)),...
. . ., wt (у) = фй (wt (yfr)). Если % = рхХх + . . . +	,
то элемент z =	+ . . . + p^y^. Е М' и0 (z) = (%, п, v) ЕЕ
ЕЕ Q'. Далее, каждое замкнутое подмножество Q' cz Q
является замыканием своего конечного подмножества.
Действительно, определим Q' (n, р) ((n, р) G N х Р) как
множество элементов Z Е А таких, что (X, п, р) ЕЕ Q'-
Тогда Q' (п, р) — идеал, и если (п, р) (пх, рх), то Q' (п,
р) £ Q' (nx, рх). Упорядочим множество {(Q' (п, р), п, р) |
(п, р) ЕЕ N X Р}, полагая (Q' (n, р), п, р) (Q' (^i» Pi)»
ni» Pi)» если (n, р) (nx, рг) и Q" (n, р) = Q' (п1ч рх). В силу
указанной монотонности и нётеровости кольца Л мно-
жество полученных троек является вполне частично упо-
б.З. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА	207
ряДоЧёННЫм (см., например, 5.2.2). Пусть Q' (nt, /7t),. . .
. . ., Q' (пк, pk) таковы, что для любого (и, р) ЕЕ N X Р
существует i такое, что (Qf (nf, pf), n^pi) (Qf (n, p),
n,p). Тогда (nnpf)<(n,p) nQf (n, p) = Q' (n^pt). В силу
нётеровости ' кольца Л найдутся xrJ- & Л такие, что
Q' (пь Pi) = Лх?1 + . . . + i = 1, . . ., к. Значит,
Q' является замыканием конечного множества троек вида
(хо-, nt, Pi), j = 1, . . ti, i = 1, . . к.
Для завершения доказательства осталось показать, что
если Q' = 0 (ЛГ') — замыкание конечного множества, то
подмодуль М’ — конечно порожденный Т-подмодуль. От-
сюда читатель стандартными рассуждениями выведет вы-
полнимость условия максимальности. Итак, пусть . . .
. . yt €= М' таковы, что Q' есть замыкание множества
0 (У1) = (&1» «1» Pi), • •	0 (Ук) = (h, пк, р^). Покажем,
что М' порождается элементами у1ч . . ., ук. Пусть у ЕЕ М'
и 0 (у) = (X, п, р). В силу замкнутости множества Q’, в
^-подмодуле, порожденном элементами уг, . . ., най-
дется z такой, что 0 (z) =х(Х, п, р). Рассмотрим элемент
у' = у — z. В силу совпадения старших членов элемен-
тов у и z получим (п', р')	(п, р), (и', р') #= (и, р), где
0 (у') = (X', п', р'). Упорядоченность является пол-
ной, значит, процесс перехода от у к у' не может продол-
жаться неограниченно, и через конечяое число таких пе-
реходов у выразится через . . ., у*. Теорема доказана.
5.3. Метод вполне частично упорядоченных множеств
(применения)
В этом разделе, используя разработанную в 5.2 тех-
нику, мы сначала докажем конечную базируемость мета-
белевых многообразий над произвольным нётеровым коль-
цом (теорема 5.3.2). Затем будет доказана шпехтовость
многообразия Н^А (теорема 5.3.4) и, в большей общности,
многообразия NCA Q (теорема 5.3.7) над произ-
вольным полем Л характеристики, отличной от двух.
В дальнейшем будет показано (см. 5.4.4), что в случае ха-
рактеристики р > 0 любое многообразие А не является
шпехтовым.
Нам понадобится несложное утверждение. .
5.3.1. Лемма. Пусть G — алгебра Ли, Н — ее вер-
бальный идеал. Алгебра G вербально нётерова тогда и
только тогда, когда G/Н вербально нетерова и в Н выпол-
208 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
няется условие максимальности для вербальных идеалов
алгебры G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. В одну сторону утвержде-
ние очевидно. Допустим теперь, что выполнено условие
максимальности на G/Н и Н. Пусть У! с; . cz Уп cz
cz Fn+1 ... — возрастающая цепь вербальных идеалов
алгебры G. Тогда Ух + Н/Н о . . . с; Vn + Н/Н с
cz Fn+i + Н/Н cz ... — возрастающая цепь вербаль-
ных идеалов алгебры G/H, &V1f}H^...cz.Vnf\Hc^
cz 7n+1 р| H cz < . . — возрастающая цепь вербальных
идеалов алгебры G, лежащих в Н. По условию эти
цепи стабилизируются, скажем, на шаге п. Тогда
Vn + Н/Н = 7п+1 + Н/Н и Fn П 7п+1 П Н. Пусть
х е Fn+i, тогда х G Vn + Я, т. е. х = vn + fe, vn ЕЕ
Е h ЕЕ Н. Отсюда h = х — vn е Q Н =
= Vn Г| Н. Значит, х е Vn + Vn р| Н = Vn. Таким
образом, 7n+i z: Vn. Значит, и исходная цепь стабили-
зируется на шаге п. Лемма доказана.
, 5.3.2. Теорема. Пусть Л — нётерово кольцо
с 1, F cz А2— произвольное метабелево многообразие.
Тогда V обладает конечным базисом тождеств.
Доказательство. Как отмечено в 5.1, для
доказательства шпехтовости многообразия U достаточно
доказать выполнимость условия максимальности для вер-
бальных идеалов свободной алгебры Ли счетного ранга
Ьоо, содержащих идеал U = U (L), а также конечную
базируемость идеала U (L) как вербального идеала.
В данном случае это эквивалентно доказательству вер-
бальной нётеровости свободной метабелевой алгебры L =
= L/(L2)2. Согласно 5.3.1 достаточно доказать вербаль-
ную нётеровость алгебры L/L2 и условие обрыва возра-
стающих _и;ег1ей вербальных идеалов, содержащихся в L2.
Так как L/L2 — свободная абелева алгебра, т. е. нильпо-
тентная, то ее вербальная нётеровость следует из 5.1.4.
Поэтому основной вопрос — условие _ максимальности
для вербальных идеалов, лежащих в L2. Мы докажем
более сильное утверждение: в L2 выполняется условие
максимальности для Т — идеалов алгебры L, т. е. идеалов
устойчивых относительно эндоморфизмов алгебры L ин-
дуцированных отображениями yt	i = 1, 2, . . .,
где ф: N -> N — изотопная инъекция, а | 1=
= 1, 2,. . .} — свободное порождающее множество для L.
Воспользуемся сначала следствием теоремы вложения
4.4.5. Согласно этому следствию алгебра L изоморфна под-
5.3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
209
алгебре полупрямого произведения 5 = А х М, порож-
денной элементами yt = xt + tt, i = 1, 2, . . ., где
{rr1? x2, . .	— базис свободной абелевой алгебры
A, {t14 t-z, . ..} — базис свободного A-модуля М. Как от-
мечено в 4.4.5, М — свободный /2-модуль, где R =
— U (А) =Л [#i, я-2,. . J с базисом {^, /2,	•}• При этом
образ любого Т-идеала, содержащегося в L2, лежит в М
и является там Т-подмодулем. В силу теоремы 5.2.6
в М выполняется условие максимальности для ^-подмо-
дулей. Значит, любая ^возрастающая цепь ^-идеалов
алгебры L, лежащих в £2, обрывается. Таким образом,
в L выполняется условие обрыва вербальных идеалов.
Поскольку А2 задается одним тождеством (ху) (zu) = О,
мы получаем, что любое подмногообразие F Е А2 конеч-
но базируемо. Теорема доказана.
5.3.3.	Многообразие №2А. По определению многооб-
разие №2А состоит из алгебр, являющихся расширением
нильпотентного ступени 2 идеала при помощи абелевой
алгебры. Иными словами, если G е= 3Г2А, то (G2)3 = {0}.
Пусть F — свободная алгебра многообразия 'N2A со счет-
ным множеством {уъ у2, . . .} свободных порождающих.
Как мы знаем, доказательство шпехтовости сводится к до-
казательству условия максимальности для вербальных
идеалов алгебры F. Заметим, однако, что, согласно тео-
реме 5.3.2, такое условие выполняется для идеалов, со-
держащих (F2)2. Если мы теперь докажем выполнимость
этого условия для вербальных идеалов, лежащих в (F2)2,
то, согласно 5.3.1, будет доказана выполнимость условия
максимальности для произвольных вербальных идеалов
алгебры F. Для выяснения структуры идеала (F2)2 важ-
но такое утверждение:
Лемма. Подмодуль (F2)2 является Л-оболочкой
множества элементов вида
У^. • • ^(т) М №>• . .^УъУь (1)
где а (г) и р (г) — неотрицательные целые числа, г =
=1,2,...
Доказательство. Согласно 2.4.2, если
L (х1? х2, . . .) — свободная алгебра счетного ранга, то
система свободных порождающих ее коммутанта состоит
из всех одночленов вида х^х^. . . xtsxis+v h > &2 > • • •
• . . > Ц < h+ii W s > 1. Алгебра F2/(F2)3 есть сво-
бодная нильпотентная ступени 2 алгебра, свободным по-
рождающим множеством которой служит совокупность
210 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ ЙАЗЙБУЁМОС'ТЙ
образов этих одночленов при отображении у^ . . *
. . i = 1, 2, . . . Базис для (F2)2, таким образом, со-
ставляют упорядоченные произведения этих образующих,
т. е. элементы вида
иа(т) 7/7/Л 7/Р(1)	7/₽(ГП)7/ 7/
\У1 • • • Ут	УъУ]) У1 • • • Ут УкУь
Применяя тождество Якоби, легко приходим к системе од-
ночленов (1) из формулировки леммы. Лемма доказана.
5.3.4.	Теорема. Пусть Л — поле характеристи-
ки^ не равной 2. Многообразие над Л является
шпехтовым.
Доказательство. Сопоставим каждому эле-
менту вида (1) строчку 5 = (Z, /, &, Z, а, 0), где а =‘
= (а (1), . . ., а (тп)), 0 = (0 (1), ...» 0 (п)) (разумеется,
тп и п не являются фиксированными). На множестве S
всех таких шестерок введем две упорядоченности и
=^. Упорядоченность лексикографическая: 5	s', ес-
ли первая слева компонента, на которой различаются
s и s', меньше в шестерке s. При этом упорядоченность
первых четырех компонент — это обычная упорядочен-
ность неотрицательных целых чисел, а компонент а и 0 —
как упорядоченность весов многочленов (см. начало до-
казательства теоремы 5.2.6). Вторая упорядоченность
вводится в два этапа. Для s = (i, /, k, I. a, 0) и s' =
=($', /', &', Z', a', 0') запишемs^s', если существует инъ-
екция ф ЕЕ Y такая, что ф (Z) = i', ф (/)= /', ф \k) = k',
ф (I) = Z', a (r) a' (ф (r)), 0 (r) < 0' (ф (г)) для всех г
(a и 0 рассматриваются как функций натурального аргу-
мента, почти всюду равные нулю). Множество Р пар
(а, 6), где а, Ь — неотрицательные целые числа, является
вполне частично упорядоченным, если положить (a, Ь)
<^i(a', Ь') тогда и только тогда, когда a^a', 6^ b'. Пара
(а, 0) может быть рассмотрена как конечное множество
пар рх = (a (1), Р (1)), р2 = (а (2), р (2)), . . рт =
= (а (ап), 0 (ап)), где т таково, что а (п) = 0 (п) = О
для пт. Итак, S состоит из строк вида (Z, /, A, Z;
Pi, Ръ, • • •> Рт), причем упорядоченность на S совпа-
дает с ранее введенной и рассмотренной в теореме 5.2.5.
Значит, (5, <^) — это вполне частично упорядоченное
множество. Теперь запишем s s', если s 2 s' и
оо	оо
У 0 (г)	0' (г) (mod 2). Из предложения 5.2.2 без труда
Г—1	г=з1
получаем, что (S,	— вполне частично упорядоченное мно-
жество.
5.3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА	21-1
Возвращаясь к подпространству (F2)2, отметим, что,
согласно лемме из 5.3.3, каждый его элемент представим
в виде линейной комбинации элементов вида (1): й =
= К1и1 + Xnun. Сравним с помощью лексикогра-
фической упорядоченности шестерки ...» sn, со-
поставляемые этим элементам, и выберем из них наи-
большую s = Si (для подходящего i такого, что
А,.:/=0). Эта шестерка называется весом элемента и. Мы
видели, что множество S весов с упорядоченностью
является вполне частично упорядоченным. Значит, лю-
бое замкнутое относительно подмножество в S (см.
доказательство теоремы 5.2.6) является замыканием ко-
нечного подмножества. Таким образом, для завершения
доказательства нашей теоремы осталось показать, что
множество весов элементов произвольного вербального
идеала I cz (F2)2 является замкнутым.
Итак, пусть h — элемент из (F2)2 с весом s, a s' — не-
который элемент из S такой, что s Докажем, что
в вербальном идеале, порожденном элементом Л, содер-
жится элемент Л', вес которого равен s'. Пусть ф — инъек-
ция из определения отношения	и £ (уг) =
г Е N. Тогда вес элемента h" = £ (Л) равен (Г, у', А',
Z', а*, 0*), где для всех г а" (г) а' (г), Р" (г) Р' (г)
и X (Р* (г) — Р" (г)) = 0 (mod 2). Если т ЕЕ N таково ,
что а' (г) = а№ (г) = 0 при г тп, то возьмем элемент
g вида
а__,,.а'(1)-а*(1) а'(2)-а"(2)	а'(т)-а"(т) уг	/о\
5 — У1 У*	• • - Ут п •	(4)
Как и элемент Л", этот элемент лежит в вербальном идеа-
ле, порожденном элементом fe, и имеет вес (Г, у', Г,
а', Р"). Проводя индукцию по (Р' (г) — Р" (г)), видим,
что достаточно ограничиться случаем, когда 3 (Р* (г) —
— Р" (г))==2. Пусть р, q—натуральные числа (необяза-
тельно различные) такие, что Р' (г) = Р" (г) при г Efc {р, q},
причем Р' (р) — Р" (р) = 2, если р = д, и Р' (р) — Р"(р) =
= Р' (<7)“ Р* (?) = 1» если Р Я- Пусть п — натураль-
ное число такое, что у„ не присутствует в записи элемен-
та g. Определим эндоморфизм 0, полагая 0 (уг) =^= уг+
+ УпУг> г = 1» 2, . . . Тогда, чтобы получить из g эле-
мент веса (Г, у', к', I', а', Р'), достаточно рассмотреть
элемент gr = 0 (g) — yng — g и затем перейти от gx =₽
= gl (у ) К элементу g2 = (ур + yq) — gt (ур) — gt (yq)
(т. е. линеаризации по переменной уп, входящей в g^ ъо
' 14*
212 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
второй степени). В самом деле, используя то, что (F2)3 =
= {0} и обычные правила дифференцирования, мы полу-
чаем, что старший член элемента gT равен старшему чле-
ну элемента
7,а'(1)	77а'<т) /7/.,77 .A 7?/т, I
У1 • • • Ут \Уг У] ) УпУ1 • • • Ут Ук'У1' ~г
“г УпУ1 • • ’Ут \Уг'УГ) УпУ1 ’ • ’ Ут Ук’УГ •
Применяя линеаризацию, получим, что старший член
элемента g2 равен старшему члену элемента
- 2уГ(1) • • • ^'(то) (УГУ.) УРУ^ • • • yt^yryi’ +
+ уГ(1) • • • П (У1-УГ)	.  • уПь-Уг +
I «'(D	„а'(тК, 6/. 7/.\ 7/ 7Л'(1)	7Z(zn,7/, z7/ Z
г У1 • • • Ут Уд хУг’Уэ') УрУ1 ’ • • Ут Ук'У/-
Поскольку характеристика основного поля отлична от 2,
старший член элемента g2 имеет вес (&', к’, Г, a', |J').
Теорема доказана.
5.3.5.	Многообразие NCA Q 'N2NC. Пусть L — сво-
бодная алгебра Ли счетного ранга над полем Л, X =
= {хъ х2, . . .} — ее свободное порождающее множество.
Обозначим через L (п1? п2, . . ., пк) произведение идеа-
лов Ьп'Ьщ . . . ЛЛ&, а через Qp, q (1 р < q к) идеал
вида
Qp,q(ni,.. .,«fc)= 3 b(ni,...,rai + l,...,nk) +
i^P, Q
+ L (zii,..., ng, 2, Wg+1,..., nfc) -J- Zr (2,7^1»..., n^),	(3)
В этих обозначениях вербальный идеал V тождеств мно-
гообразия №СА П имеет вид
V = L (2, 2,..., 2) + L(с + 1, с + 1, с + 1).
с+1
При доказательстве условия максимальности для вер-
бальных идеалов алгебры L, содержащих У, нас будут
интересовать лишь идеалы, содержащиеся в (L2)3, т. е.
в L (2, 2, 2) (в силу доказанной в 5.3.4 шпехтовости мно-
гообразия N2A), Задача состоит, таким образом (см.
5.3.1), в построении убывающей конечной цепочки идеа-
лов от L (2, 2, 2) до 7, каждый фактор которой удовлет-
воряет условию максимальности для образов вербальных
идеалов алгебры L.
Предложение. Существует убывающая ко-
нечная цепочка идеалов алгебры L, соединяющая L (2, 2, 2)
5.3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
213
и V, каждый член которой имеет вид
причем для следующего члена М' выполняется включение
Z; S Qp{j\ q{j} , ^V(j))
(1<Р(7)<^(7)<^(/)» 7=1,-..J).
Доказательство. Индуктивный процесс по-
строения упомянутой цепочки состоит в следующем. Для
каждого L (пь ...» nfc), входящего в разложение уже
построенного идеала Af, мы выбираем пару индексов р, q
такую, что 1	и nq — наибольшие среди
пь . . ., пк. Строим Qp,q (nlt . . ., пА). Этот идеал есть
сумма некоторых L (ni, . . ., nk). Взяв сумму получае-
мых таким образом идеалов, мы получаем идеал М'.~
Наша задача — показать, что через конечное число пере-
ходов такого сорта все вновь получаемые L (п[, . . ., п£)
лежат в V. Заметим, что в любом L (п11 . . ., nfr), возни-
кающем в данном процессе, три максимальных индекса
отличаются друг от друга не более чем на 1. Это так для
первого члена нашей цепочки, именно для L (2, 2, 2).
Поскольку все nlt . . ., nk не меньше 2, то при переходе
к следующим членам достаточно в формуле (3) рассмат-
ривать лишь слагаемые под знаком суммирования. Очевид-
ный перебор показывает справедливость нашего утвержде-
ния. Рассмотрим теперь идеалы L (пь п2, . . ., М» возни-
кающие после 5 = с2 + с — 6 переходов. Если k с -|- 1,
то из того, что увеличение числа индексов происходит
приписыванием числа 2, видим, что такое L (nlt п^ ...,. пк}
лежит в L (2Г 2,. . 2). Если же к < с + 1, то наибольший
с+1
индекс не меньше с+ 2, так как в противном случае сумма
индексов будет меньше (с + I)2, а из формулы (3) видно,
что она не меньше $ + 6. В силу утверждения о трех мак-
симальных индексах найдутся пь п}-, щ > с + 1, откуда
L (тгь п2, . . ., пк) cz L (с + 1, с + 1, с + 1). Предло-
жение доказано.
В силу нашего построения цепи идеалов от L (2, 2, 2)
до V эта цепь уплотняется рассмотрением «элементарных»
переходов от L (ть, .. . ., пк) к Qp,q = QPyq (пь . . ., пк).
214 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
5.3.6.	Лемма. Линейное пространство L (пъ . . .
. . ., nk)/Qp,q является линейной оболочкой одночленов вида
7.а(1)	п	7/В(т)/7	л	(4}
У1 ... Ут а^ . . . aqgi . . . Ут dq+1 • • • fyn
где а{ — правонормированный одночлен от уъ у2, • • •
степени у1ч у2, ...—образы элементов х2, ...в L/Qp>q,
a (0» 0 (О > 0, i = l, ...» т.
Доказательство. С помощью формулы (3) и
правил дифференцирования легко доказываются следую-
щие соотношения, верные в L . . ., nfr)/ Qp,q (в них
gi — элемент из образа идеала Lni, I = 1, . . ., k, b GE
€= L/Qp.q)-
. . . g^i (bgj) . . . gk = 0	(/ Ф р, g),
gl • • • gq~-l (bgq) gq+1 • • • gk	gl • • • gq—l^gq • • • gk) (5)
gl • • • gp-1 (bgp) gp+1 • • • gk	bgl • • • gk
— gi - - -bgq. . . gk . . .
Например, для доказательства третьей формулы достаточ-
но записать
bgi... gp... gq • • • gk = 3 gl--- (bgi) ---gk +
i¥-p,g
+ gi • • • (bgp) ...gq...gk + gi-.-gp-- • (bgq) ...g^.
В силу (3) все слагаемые под знаком суммирования рав-
ны нулю. Остается перенести последний член влево и ис-
пользовать второе из соотношений (5), доказываемое ана-
логичным приемом. Теперь вспомним, что L (пъ п2, . . .
. . м пк) = Ln*Ln* . . . Lnfc есть вербальный идеал, являю-
щийся линейной оболочкой элементов вида ы± . . . wk,
где wi — правонормированные одночлены из Lni, I =
= 1, . . ., к. В силу первых двух соотношений (5) каж-
дое такое произведение является линейной комбинацией
тех из них, где все кроме, возможно, wp, wq, имеют
степень ровно П}. В силу последних двух соотношений
можно считать, что и wp, wq имеют степень nQ, но тогда
приходится рассматривать одночлены вида (4). Лемма
доказана.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основ-
ную теорему настоящего раздела. Ее доказательство очень
Похоже на доказательство теоремы 5.3.4 и, как и прежде,
состоит в переводе нужного нам утверждения на язык
вполне частично упорядоченных множеств.
5.3. ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА
215
5.3.7. Теорема. Многообразие алгебр Ли NСА р|
р над полем характеристики, отличной от 2,
шпехтово.
Доказательство. Мы докажем, что в L (пъ . . .
. . ., nft) выполняется условие максимальности для обра-
зов вербальных идеалов алгебры L (мы будем называть
их вербальными подпространствами). Определим вес
одночлена (4) как строку i2, . . ., in\ а, (J), где аг . . .
. . . а* = УъУь • • • У1п, п = пх + . . . + пк. Множе-
ство S весов упорядочим, как в доказательстве теоремы
5.3.4, именно, лексикографически (полная упорядочен-
ность) и частично, полагая (ilt . . ., tn* a, (J)	(i{, . . .
. . ., i'n\ а', Р'), если существует изотонная инъекция
ф: N -> N такая, что ф (it) = ii, t = 1, 2, . . ., п, и a (Z)
СФ (0)» Р (0 С Р' (Ф (0)» t = 1, 2, . . ., наконец^
2 Р (г) = 2>Р' (г) (mod 2). Как и в доказательстве тео-
г	г
ремы 5.3.4, используя теорему 5.2.6, видим, что множе-
ство S вполне частично упорядочено. Теперь определим
вес произвольного элемента из L (пх, . . ., nk)/Qp,q как
максимум весов одночленов вида (4), входящих в запись
этого элемента с коэффициентами, отличными от нуля.
Как и в 5.3.4, достаточно доказать, что если h GE L (п1? . •/.
. . ., nk)/Qp,q имеет вес s и s', то в вербальном замы-
кании элемента h есть элемент hr, вес которого равен s'.
Если s' = (${,.. in, а', Р')> и ф: N -> N, как выше, то,
применяя эндоморфизм (Уг)= Уф(г), И ДОМНОЖаЯ на 2/1, .. .
• • Ут в подходящих степенях (см. 5.3,4), получим элемент
g — yi ... ут' «1 . . .	. . . ут' ttq+1 . . . ak
из вербального замыкания, имеющий вес s" = (^,.. ., i'n\
а', Р")	s'. Далее, применяя индукцию по 3 (Р' G) -=
— Р"(г))> можно считать, что эта величина равна двум.
В этом случае последовательности р' и Р" различаются
не более чем на двух местах. Рассуждая, как в 5.3.4,
выберем t, t' (возможно t = t'), 1 t, t' m', такие, что
при t = t' имеем p' (t) — P" (t) = 2, а при t Ф t', P' (t) —
— P* G) = Pz (O— P* G9 = 1- Пусть yl не входит в запись
элемента g. Определим эндоморфизм 0Z, полагая 0Z (уг) =
= уг + УгУт Для всех г = Л 2, . . . Как и в 5.3.4, опре-
делим gt (yt), полагая gx = gx (у,) = 0, (g) — ytg — g.
Тогда элемент g2 искомого веса из вербального, подпро-
странства, являющегося замыканием элемента h, будет
216 гл. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗЙРУЁМОсТЙ
иметь вид
gi = gi (Vt + Ус) — gi (Vt) — gi (Уг)-
Проведем соответствующие вычисления. Заметим, что для
любого одночлена а по модулю идеала (А2)2 имеется равен-
ство 0; (а) = а + уга. Используя его, равенство (3)
и соотношения (5), получим следующее равенство по мо-
дулю идеала QPi q (w — одночлен (4), являющийся стар-
шим членом элемента g):
(М = (2/1 + 2//2/i)a (1) • • • (Ут' + У1Ут')а'(т^'1 • • •
• • • “p-i (а'Р + У&р) ар+1. .. <4-! (aq + у fa) (yr +	. .
• • • (Ут' 4“ УМт')^ ^q+1 • • • ак •
Вспоминая, что L (пъ ..., np_i, 2, тгр+1, . . . , пк) и L (2,
п1ч . . ., пк) входят в Qp,q, видим, что
9j (w)== 2/1 () • Ут' ^i • • • ftp-i (&р 4~ yflp) ^p+i • • •
• • • aq-l (flq 4“ yfiq) 2/1	• • • 2/m' ^q+1 • • • &k •
В силу той же причины элемент yt можно переставлять
с 2/1, • • •, Ут'- Используя то, что умножение на yt есть
дифференцирование, и соотношение (5), получим, что
старший член элемента равен старшему члену элемента
9/	— yiw — w =
—	2/1	• • • Ут' #1 . . . (Lqyi Уг ... Ут' Qq+l • ••Щ ir
Т 2/1	• • • Ут' yfll • • • ^2/z2/l	• • • Ут' aq+l • • - ак •
Переходя к w2 — старшему члену элемента g2,— получим,
что он равен старшему члену выражения
— ^У1	• • - Ут' . . . CLqytyt'yi • . . Ут' ^q+1 • • • ^к
- уГХ}... у^т’}у^1...	. У%тК+1 •••«; -
- УЧ'т • • • уШг- «1 • • • aqytyTW  • • У^т’}^1 • • • 4 •
Понятно, что вес этого старшего члена равен (i{, . . .
. . ., in] а', р'). Тем самым доказано, что любое вербаль-
ное подпространство U в L (пъ . . ., 1ц) / Qp,q порож-
дается конечным множеством элементов, веса которых об-
разуют конечное множество минимальных элементов
в множестве весов для ?7, лежащем в S.
Для окончания доказательства теоремы вспомним, что,
согласно предложению из п. 5.3.5, в вербальном идеале
5.4. МНОГООБРАЗИЯ БЕЗ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ 217
L (2, 2, 2) = (L2)3 есть конечная убывающая цепь идеа-
i
лов вида М = 2 L (пр\ ..., nfyy), причем следующий
член М' содержит сумму вида 2j QP(j), «(» (П1Л, • • •, иад)
для подходящих пар (р (/), q (/)), 1 < р (/) < q (/) < к (/).
Тогда между М и М' есть следующая цепь идеалов Ма,
s = 1, 2, . . к - 1:
S	I
S (?р(Л, «о + 3 L (п1\  •  ’ гай)) -
;=>1
Все факторы этой цепи являются гомоморфными образа-
ми пространств вида L (п1? . . ., nfe) (с естественной вер-
бальной структурой). Так как условие вербальной нёте-
ровости доказано для таких пространств, оно выполняет-
ся и для идеалов в L (2, 2, 2) (см. 5.3.1). Теорема доказана.
5.4. Примеры многообразий, не допускающих
конечного базиса тождеств
В настоящем разделе нашей целью является построе-
ние примера многообразия алгебр Ли над любым полем
характеристики р 0, не допускающего конечного ба-
зиса тождеств (теорема 5.4.3), а также конечномерной ал-
гебры Ли над любым бесконечным полем характеристики
р 0, тождества которой не допускают конечного 'ба-
зиса (теорема 5.4.7).
5.4.1. Алгебры Ап и их дифференцирования. Пусть
Л — поле характеристики р 0. Для любого натураль-
ного п обозначим через Тп множество всех подмножеств
в {1, 2, . . ., 2п — 1}. Если т е= Тп, то | т| — число
элементов в т. Рассмотрим алгебру Ап над Л, базисом
которой является множество символов
a?\ b | о, те Гп, | т | нечетно,
5 = 2, 3, . . ., р — 1},
а таблица умножения такова (для удобства мы полагаем
Лтр) = 0 при | т | < 2п — 1 и ат\ = Ь):
4s)a<r) =
(—	если а П т == 0> 5 + г<Ру,
] о | + | т | = 1 (mod 2),
О	р противном случае,
(!)
gk (4S)) = I
218 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
В частности, произведение любого элемента на Ь равно
нулю.
Рассмотрим также множество линейных операторов
на Ап вида
{gk, | %, р, ЕЕ Tn, | X | нечетно, | р, | четно}, (2)
действующих на базисе пространства Ап следующим об-
разом:
если % Па=0 и | о | четно,
О в противном случае,.
h (>)\ = / s4uo’ если Н Г) в= 0,
ц' а '	1 0 в противном случае.
На элемент b эти операторы действуют нулевым образом.
Предложение. Для любого натурального п
алгебры Ап — метибелевы нильпотентные алгебры Ли
ступени р, а (2) — множество попарно коммутирующих
дифференцирований этой алгебры.
Доказательство. Для проверки тождества
Якоби в алгебре достаточно взять попарно различные
«р\ 4°, В силу (1) одно из чисел | р |, | а |, | т |,
скажем | р |, нечетно, а остальные четны. Кроме того,
рП<у = РГ1^ = огПт = 0, а г + $ + J < р. При
этом
Up Uq ах и$ ах Up ax Up u$ —
__ At „(sk/t+г)	//%<r+S>_ z/s+*+r)	„(«+F4-S) . П
— v -f- aG Лтир — ux Up—.^ojnup — ^T’jptjo — v.
Антикоммутативность умножения очевидна из (1). Мета-
белевость также следует из (1), так как А% — линейная
оболочка- некоторых из а^ таких, что | ст | — нечетное
число. Далее, произведение любых р + 1 элементов из
Ап равно пулю, а и^а(0 . . . а^ат\ = 6 =# 0. Пока-
р-1
жем теперь, что gK (4S) 4°) = g% (4°) 4° + 4Р&, (4°).
Здесь | X | нечетно иХр|о = %Пт = (уП'г = 0’ Ле-
вая часть всегда нуль в силу сказанного относительно
Ап- Если | о | и | т | имеют разную четность, то | X (J ст |
и | т |, а также | о | и | % (J т | имеют одинаковую чет-
ность. В этом случае и правая часть равна нулю. Если
же | о | и | т | имеют одинаковую четность, то, по опре-
делению оператора g^ имеет смысл рассматривать лишь
6.4. МНОГООБРАЗИЯ БЕЗ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ 219
случай, когда | о | и | т | четны. Тогда & (а£°) $ 4.
+ Л (4°) = в <4° 4- 4”4 = (- 1)1М+|01 виг +
+ (—1)1°1^и«иг = о. То, что feflj где | ц | четко,— диф-
ференцировайие, а также коммутативность множества
(2) непосредственно вытекают из определения.
Пусть Dn — абелева подалгебра в Der (Л^), порож-
денная множеством (2). Образуем полупрямое произведе-
ние (см. 1.4.4) Bn = Z)n X Лп, п = 1, 2,... Очевидно, что
Вл £ /I3 П №РА и что в Вп выполняется тождество
X} (#2#з) (^4^5) • • • (^2Р» ^2р+1) =	(3)
5.4.2. Алгебры Сп. Основную роль в дальнейшем
будет играть подалгебра Сп алгебры Вп, порожденная
множеством
^0» ^{2,3b ^{4,5}» • • •» ^j2n-2, 2n-i}}.	(4)
Лемма. Если аъ а2 е Ап, съ с2, . . ., cs е Сп\
аь а2 е Л, то
(ad (а^ + а^))13"*1 (cic2 • • •	(<М1 + «2^2)) =
= а? (ad (с^... с^) + af (ad a2)p"1(cic2’... csa2). (5)
Доказательство. В силу линейности по cv
с2, . . ., cs и того, что А%+1 = {0}, достаточно считать,
что съ с2, . . ., с8 — элементы множества (4), а аъ а2 —
линейные комбинации элементов базиса, у которых
верхний индекс равен 1. Поскольку gl (Лп) = {0} и в силу
коммутативности алгебры Dn, достаточно рассмотреть
лишь два случая:
(О ci =	• • •» cs = и тогда с±с2 . . . csa
=	(а) (или нуль), где р, = |J • • • U Hs.
(ii) Ci = hp„ c2 = hp2, . . . , Cs-i = fyis-p c8 = g^t,
и тогда сгс2 ... c3a = ± g^ (а) (или нуль), где » =
= Hi U Ha U • • • U Hs-i U {!}•
В первом случае достаточно показать, что
(ad а)р (hp) = 0, во втором,— что
(ad (ajai 4- а2а2))р (gx) = а? (ad	4-
4-а? (ad а2)₽ (gx). (6)
Ha самом деле, в случае (i) уже (ad а)2 (Ли) = о. Линеа- '
ризацвя этого равенства по а показывает, что достаточно
проверить два соотношения
= 0 и c^a^h^, 4-	= О,
220
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА ЙОНЁЧНОЙ БДЗЙРУЁМОСТЙ
Первое очевидно, так как | р. | четно. Левая часть вторО-
ро либо равна нулю, либо принимает вид
- (- l)l°l - (- 1)|T|•
При этом, если | а |, | т | одной четности, то | а | +
+ | т (J р, | е= О (mod 2)h|t|+|o(Jp| = 0 (mod 2),
т. е. оба произведения равны нулю. Если | а | и | т |
разной четности, то одно из чисел (—1) 1а1 и (—1)1Т1 равно 1,
а другое —1. И в этом случае в левой части стоит нуль.
Случай (i) рассмотрен.
Перейдем к случаю (ii) и равенству (6). Для его дока-
зательства достаточно показать, что для любых аъ а2, . . .
. . ., ар вида а^ справедливо
aiaz . . . apg% = aixai2 . . .	(7)
где /2> • • •> ip — перестановка чисел 1, 2, . . ., p.
В силу метабелевости алгебры Ап в ней справедливо ра-
венство xyzu = yxzu, значит, в (7) можно произвольно
переставлять	а2, . . ., ар_2- Далее, заметим, что
gk (а((Р) = 0, если 5 > 1, т. е. gK (4*) = {0}. Поэтому
1 ^pgk ^p^p—igk И- (^p—i^p) gk • ^p^p—igk* Наконец,
O'p—lO'p-^O'pgk “F (^p—2^p—1) ^pgk
== ^p-l^p-2^p^X “F ^p (^p-2^p-l) gk O'p-lG'p-vG'pgk*
Значит, (7) доказано. Тогда к левой части формулы (6)
применима формула бинома Ньютона:
(ad (czi^ + а2а2))Р (g%) =
р
= У, а^аГ* ( к ) (ad «i)fc (ad а2)₽-» (gx) =
fc=0
= af (ad ax)P (gx) + af (ad a2)P (g%),
так как коэффициенты при остальных членах биномиаль-
ного разложения равны нулю. Таким образом, равенство
(6), а с ним и вся лемма доказана.
Введем теперь в рассмотрение неассоциативные одно-
члены
us = (ad (хм))*’1 (х^ . . . х^х^). s = 1, 2,. . . (8)
5.4.3.	Теорема. Пусть Л — произвольное note
характеристики р 0. Тогда система U тождеств
{us = 0 | 5 = 1Л 2, . . .} независима и, следовательно,
М. МйбгооЁРАзия без конечного БаЗйса тождёсТБ 221
многообразие, определенное этой системой, не допускает
конечного базиса тождеств.
Доказательство. Покажем, что для любого
п — 1, 2, ... тождество ип = 0 не выполняется в алгебре
Сп, в которой выполняются все тождества и8 == 0 при
$ < п. Действительно,
Un	^2, 3}> • • •» ^{2п-2, 2П-1Ь #{!}) =
= (adag^r^ = Ь^0,
т. е. ип (СЛ) у= {0}. Для проверки выполнимости тождест-
ва us = 0, s <Z п, достаточно, согласно лемме из 5.4.2,
показать, что
(ad 4))р~1(с1с2 . . . с84х)) = 0,
где Ci — некоторые дифференцирования из (4), выбран-
ные по правилам (i) или (ii). Равенство нулю очевидно,
если а =# 0. Если же а = 0 и s< п, то в левой части
получится элемент вида ±Ял\ где | л | < 2п —- 1. По
нашему соглашению (см.начало в 5.4.1) этот элемент ра-
вен нулю. Из проведенного рассуждения вытекает, что
ип 0 не следует из совокупности тождеств us = 0,
где s <Z п. Заметим, что в силу однородности системы U,
если ип = 0 — следствие из некоторого подмножества
W cz U, то ип = 0 следует и из части подмножества W,
состоящего из тождеств степени, меньшей или равной п.
Поэтому, согласно доказанному, система U независима.
Теорема доказана.
5.4.4.	Следствие. Пусть Л — произвольное поле
характеристики р > 0. Тогда V = A3 Q WPA не яв-
ляется шпехтовым многообразием. Более того, у этого
многообразия имеется несчетное число подмногообразий.
Доказательство. Присоединим к системе U
тождеств из предыдущей теоремы однородные тождества
S3 (хг, . . . х3) = 0,
(x^x^j (х3х&)-. . . (^2p+l*^2p+2) := 0»
определяющие многообразие А3 П WpA. Поскольку
алгебры Сп лежат в этом многообразии (см. 5.4.1), дока-
зательство теоремы показывает, что вновь полученная
система тождеств также независима. Однако эта система
уже определяет подмногообразие в 43р №рА. Поэтому
первая часть следствия доказана.
222 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОПЕННОЙ ЁАЗЙРУЁЙОСТЙ
Пусть теперь & — множество подмножеств в N. Для
любого 5е S =/= 0, определим Us как подмногооб-
разие многообразия F, выделенное внутри F тождест-
вами {us = 0| $ е= £}. Тогда Us =j^ UT, если] S Т.
Действительно, если 5 — наименьшее из (S \ Т) (J
□ (Т \ S) и, например, $ принадлежит S, то, согласно
доказательству теоремы, тождество us = 0 не является
следствием системы тождеств {ип = 0 | п Ez Т}. Следствие
доказано.
5.4.5.	Алгебры Сп (продолжение). Для любой пары
(Л, п), к <z п, определим отображение г|>: Сп -> по-
лагая ф (gln) = g(ll, ф (4°) = с®, ф (М = fyr, где
о' = о \ {2&, . . ., 2п — 1}. Отметим, что базис алгебры
Сп может быть взят в виде
{^(gE Т„), gtl}, h-,hl2t3}, . .	^{2n-2, 2n-l} }•	(9)
Лемма. Пусть Л — бесконечное поле характери-
стики р 0. Любое тождество алгебры Ск выполняется
в Cfiy к п.
Д о к а з. ательство. В силу бесконечности поля
можно рассматривать только полиоднородные тождества
р (хъ х2, ...» хт) = 0, причем степень многочлена v
относительно xt равна р1'* (см. 4.2.4). Более того, если не-
которое v = 0 не является тождеством в Сп, то некоторое
его следствие v' = 0 такого же вида не обращается в нуль
при подстановке элементов базиса (9) алгебры Сп (см.
4.2.6). Не теряя общности, можно заменить многочлен
р' на р. Итак, существуют элементы съ е2, . . ., ст из мно-
жества (9), такие, что р (сх, с2, . . ., ет) =# 0. Непосредст-
венная проверка с использованием индукции по степени
многочлена р показывает, что если р (сх, с2, . . ., ет)
=/: 0, то
v (Ф (ci), Ф (с2)» • • •> ф (ст)) = Ф V (сь С2, . . Ст).
(Ю)
Далее , из определения операций в Вп следует, что базис-
ный элемент из (4) с нижним индексом о может встретиться
более одного раза в р(сп е2, . . ., ст) лишь в том случае,
когда о = 0. Поэтому совпадение нижних индексов
в (10) следует из того, что для р П а = 0 справедливо
(Р U Q) \ г (Р \ т) U (о \ т)- Верхние же индексы
не зависят от того, где производятся вычисления, в Сп
или Ск. Теперь для завершения доказательства леммы
5.4. МНОГООБРАЗИЯ БЕЗ КОНЕЧНОГО БАЗИСА ТОЖДЕСТВ 223
остается отметить, что значение каждого одночлена в
v (съ . . ., сп) есть элемент вида Ка^\ где а и 5 фиксиро-
ваны, a 0. Поэтому v (ф^), . . ., ф (сп)) —	=/= 0,
где о' = а \ {2к, . . ., 2п — 1}. Лемма доказана.
5.4.6.	Алгебра X, не имеющая конечного базиса тож-
деств. Обозначим через L подалгебру алгебры С2, порож-
денную множеством
{а(0, а$, з}» £{ib ^01-
Алгебра L имеет размерность 2р + 3, и ее базисом яв-
ляется множество
М(1) т/1)	у/1) J1)	„(Р-D	л h \
» Я{2, 3|j a{lh а{1,2,3}>	» а{1} , а{1,2,ЗЬ а(1,2, 3}» #{!)> "0J-
Лемма. Если и (хъ х2, . . ., хт) = 0 — тожде-
ство в алгебре L, то найдется натуральное п такое, что
v (хъ . . ., хт) = 0 — тождество в алгебре Сп.
Доказательство. Если допустить противное,
то с помощью леммы 5.4.5 мы можем считать, что v —
полиоднородный многочлен степени d, причем степень
однородности по Xi равна pki9 0, причем v (хъ х2, . . .
. . ., хт) не обращается в нуль при подстановке элемен-
тов съ с2, . . ст базиса (9) алгебры Сп при подходящем п.
Можно также считать, что n > d. Заметим, что если ба-
зисный элемент с нижним индексом а подставлен вме-
сто переменной xt степени однородности > 1, то
а = 0. Возникают две возможности: первая, когда эле-
менты вида а^ подставляются вместо переменных xt
степени однородности кг 1, вторая, когда некото-
рый, элемент вида а^ подставлен вместо некоторого ли-
нейного аргумента х^
В первом случае а = 0, s — 1, kt = 1 и и (съ с2,...
. . ., ст) = кал\ Более того, нижние индексы у элемен-
тов Cj могут быть ОТЛИЧНЫ ОТ 0, ЛИШЬ если Cj — это
дифференцирования, причем дифференцирований меньше,
чем d — 1. Так как нижние индексы у дифференцирова-
ний — это не.? более чем двухэлементные подмножества,
имеем | л |	2 (d — 1) < 2п — 1. Поэтому а{^ = 0,
т. е. первая возможность не реализуется.
Во втором случае будем использовать отображение
ф: Сп -> С2. Соотношение ф (у (сь . . ., ст)) = v (ф (cj),...
, , ф (ст)) дозволяет считать, что п == 2, Поскольку
224
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
базис алгебры С2 отличается от базиса алгебры L лишь
элементом А{2,зп т0 °ДИН из элементов съ . . ст, скажем
ст, равен Ясно, что кт — 0. Будем считать, что
ct = причем = 0. Итак, v (а„\ с2, . . ., ст-1У
fy2 3}) =5^ 0. Однако очевидно, что при наших предполо-
жениях
V (Яа\ С2, . . ., Ст_1ч &{2, 30 = V (лаи{2, 3}» с2» • • •> Ст-1, Ьф)*
Правый член последнего равенства есть уже значение эле-
мента v от элементов алгебры L, т. е. равен нулю. Про-
тиворечие. Значит, и вторая возможность не реализуется.
Таким образом, найдется п такое, что v . . ., хт) =
= 0 выполняется в Сп. Лемма доказана.
5.4.7.	Теорема. Над каждым бесконечным полем
Л характеристики р 0 существует алгебра Ли L раз-
мерности 2р 3, тождества которой не допускают ко-
нечного базиса.
Доказательство. Допустим, что тождества
алгебры L из 5.4.6 допускают конечный базис = 0, . . .
. . ., vt ==> 0. Тогда, согласно леммам 5.4.5 и 5.4.6, найдет-
ся п 2 такое, что все эти тождества выполняются в Сп.
Заметим, что, согласно 5.4.3, тождество ил == 0 не выпол-
няется в Сп. Рассуждение, проведенное в 5.4.3, показы-
вает, что для определения равенства нулю многочлена
ил в С2 достаточно рассмотреть элемент
(ada^-1 (с±с2 ... cs а^) = ± а£\
причем сг, с2, . . ., с8 — дифференцирования. Здесь о = 0,
а нижние индексы у дифференцирований е1? г2, • • сз —
это {1} и 0. Понятно, что л #= fl, 2, 3}, откуда а^ = 0.
Значит, ип := 0 — тождество в L. Противоречие. Теорема
доказана.
5.4.8.	Замечание. Над бесконечным полем характе-
ристики 2 тождества алгебры матриц второго порядка не
допускают конечного базиса (см. [184, 43, 28]).
5.5.	Проблема конечной базируемости
над полем характеристики нуль
5.5.1.	Система тождеств Капелли. Пусть Л — некото-
рое поле характеристики нуль. Для любого к обозначим
через Ск многообразие алгебр Ли над Л, определенное
зоемц тождествами вида = 0? где d — произвольная
5.5.	СЛУЧАЙ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ НУЛЬ 225
диаграмма Юнга, число строк в которой не менее к (см.
раздел 4.7). Идеал Ск = Ск (Loo) свободной алгебры Ли
счетного ранга называется системой многочленов Ка-
пелли, а совокупность всех тождеств вида f = 0, где
f ЕЕ Ск, — системой тождеств Капелли порядка к. По-
скольку любое тождество вида /Td = 0, определенное таб-
лицей Юнга rd, число I строк в которой строго меньще
чем &, эквивалентно тождеству от I < к переменных (см.
раздел 4.8), справедливо следующее утверждение.
Предложение. Для любого к = 2, 3, . . . лю~
бое собственное подмногообразие V в Ск выделяется в Ск
системой тождеств. в -запись которых входит не более
чем к переменных.
5.5.2.	Теорема. Над любым полем Л характери-
стики нуль система тождеств Капелли порядка к допус-
кает конечный базис.
Доказательство. Заметим, что система тож-
деств Капелли порядка к допускает также описание и как
совокупность следствий всех полилинейных тождеств ви-
да f (хх, х2. . . ., хк. хк+1. . . ., хт) кососимметричных по
хг, х2, . . ., хк. Это позволяет придать смысл системе тож-
деств Капелли данного порядка и в случае поля ненуле-
вой характеристики, причем наша теорема остается спра-
ведливой и в случае, когда характеристика поля Л боль-
ше порядка к. Для доказательства справедливости такого
описания заметим, что, с одной стороны, тождества, как
в 5.5.1, имеют такой вид. Обратно, если п — степень мно-
гочлена / (хх, х2. . . ., хп), то, обозначив через ц сумму
идемпотентов групповой алгебры Л5П, кратных элемен-
там eTd, таким, что d имеет не менее к строк, а через v
сумму идемпотентов, отвечающих остальным exd. мы полу-
чим 1 = и + v и / = uf+vf = uf. так как р/ = О —
это следствие из / = 0, зависящее от числа переменных
I < к.
Итак, будем рассматривать тождества вида
S	• • • а2ь#а(2) • • • <fyi. • •
а	• • •	— О’
Нетрудно понять, однако, используя обычные правила
дифференцирования и индукцию по к с очевидным осно-
ванием, что система таких тождеств эквивалентна системе
тождеств вида
51	(Л11 • • • «1^а(1)) (^21 • • * а2г2^о(2)) • • •
• • •	= О*
8 Ю. А. Бахтурин
226 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
Мы будем для краткости записывать это тождество в виде
2	(ai^Q(l)) (^2^0(2)) • ♦ •	= О,	(1)
где ai — ассоциативное слово aiA . . . ацг Покажем, что
все тождества вида (1) являются следствиями тех, у кото-
рых длина слов ах, а2, .... ак не превосходит числа к — 1.
Это и будет доказывать конечную базируемость системы
тождеств Капелли порядка к.
Обозначим через £ (ах, а2, . . ., ак) левую часть тожде-
ства (1). Если у — некоторая новая переменная из мно-
жества X = {хх, х2. . . г = г (£х, . . ., ек) — многочлен
от переменных tly . . ., tk над Л, то можно определить неас-
социативный многочлен (ах, . . ., ак), полагая
° £ (®1* • • •’	= 1 (‘Чу91, • • •/
Если sx, s2, • • •» sk ~ симметрические многочлены от
fx, f2, . . ., tk, то для любого т = 1, 2, . . ., к тождество
(ах, . . ак) = 0 — следствие тождества 5 (<Ч> • • •
. . ., ак) = 0. Для того чтобы убедиться в этом, достаточ-
но выбрать любые т индексов fx,v . . ., im из 1, . . ., к
и сделать подстановку элементов ух{1 вместо xiv . . .,
yxim вместо xim, а затем просуммировать все полученные
выражения. Используя формулу Виета
(т — *1) (v — Q . (т — tk) = / — «у-1 + ... ± вк,
мы видим, что ti =	— s2ii~2 4- . . . ± sft. Таким об-
разом, для любого ц 1 < i к. тождество 5 fai» • • •
. . .,	. . ., ак) == 0 является следствием тождеств
£ (ах, . . ., aly9, . . ., ак) = 0 при q = О, 1, . . ., к — 1.
Теперь рассмотрим тождество f (Ьх, . . ., Ъ^. . ., Ьк) == О,
где длина слова bt не меньше чем тп; пусть bi = хгх2 . . .
. . . хг, г к. По модулю^следствий из тождеств вида
£ (сх, . . ., ску= 0 меньшей степени переменные xlf гг2, . . .
• • м ^коммутируют. Теперь г рассмотрим Ьг = хх . . .
. . . х^к. Тогда Е; (Ьх, . . ., Ь’ук, . . ., Ь*)	0 — следствие
тождеств (Ьх, . . ., Ь'у9, . . , Ьк) = 0 меньшей степени.
Используя линеаризацию и упомянутую перестановочность
переменных хг. . . ., хг (здесь нужно ограничение на ха-
рактеристику поля, если она ненулевая), мы получаем,
что^ (Ьц . . ., bi. . . ., bk) = 0— следствие из тождеств
Капелли порядка к и строго меньшей степени. Теорема до-
казана.
5.5. СЛУЧАЙ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ НУЛЬ 227
Используя предложение из 5.5.1 и только что доказан-
ную теорему, получаем-
5.5.3.	Следствие. Пусть V — многообразие ал-
гебр Ли над полем характеристики нуль. Если V GCk1 то
V имеет конечный аксиоматический ранг, точнее,
5.5.4.	Многообразие 3^4 над полем характеристики
нуль. Рассмотрим тождество (1). Если для некоторого i
ассоциативное слово в левой части этого тождества
непусто, то а&сф — элемент коммутанта. Кроме того,
для любого /, / = 0,... , [-rrj — 2, имеем
2j SqU^a(2j+l)^Q(2j+2) V =	3	(^G(2j+l)^O(2j F2)) У•
a	a
*	O<2j-H-)«42j+2)
Поэтому при k 2c 4- 2 тождество (1) справедливо в лю-
бой алгебре, коммутант которой нильпотентен ступени с.
Таким образом, NCA cz Ck. В силу следствия 5.5.3 много-
образие NCA и все его подмногообразия имеют конечный
аксиоматический ранг г, ограниченный числом 4 (с 4- 1)а.
В силу 5.1.3 для доказательства шпехтовости этого мно-
гообразия достаточно доказать вербальную нётеровость
свободной алгебры F из NCA, имеющей ранг г. Согласно
теореме о вложении 4.4.6 алгебра F = L ({a^, . . ., хг}>
N0A) вкладывается в^нильпотентное ступени с сплетение
W = A witfc В свободной нильпотентной ступени с ал-
гебры Ли А со свободными порождающими у19 . . ., уТ
и свободной абелевой алгебры В с базисом %, . . ., zr.
Отображение	4- i = 1, 2, . . ., г, дает вложе-
ние алгебры F в W. Сформулируем основной результат
настоящего раздела.
5.5.5.	Теорема. Над любым полем Л характери-
стики нуль при любом с > 1 многообразие NCA является
шпехтовым.
Доказательство. Проведем индукцию по с
с очевидным основанием при с = 1 (теорема 5.3.2). Пусть
Н — последний ненулевой член нижнего центрального
ряда алгебры F2. Достаточно показать, что в Н обрывают-
ся возрастающие цепи идеалов, допускающих все эндо-
морфизмы фхг- Xj Xj + kxiXj, 1 i г, где Z G Л,
i = 1, 2, . . ., г. Как векторное подпространство в W
идеал Н порождается элементами вида
(*Г“...	(*?** • •. J... № • • •	(2)
8*
228
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
гДе eilii = XiiXh = У^Н + yifrl — 'Уз,гИ' 1 < ll < Г’
I = 1, . . с. Легко проверить, что действие эндоморфизма
флг на элемент (2) состоит в домножении каждого сомно-
жителя на 1 Пусть Й — кольцо многочленов над Л
от	иг;	vr\ . .	wr (всего с типов
переменных по г переменных каждого типа), М — сво-
бодный Й-модуль, свободно порождённый элементами
а (У1У2 • • • We), 1 < Ji < и, I == 1, 2,. . ., с. Опре-
делим А-линейное отображение 0: М —> Я, полагая образ
элемента
• • • V?r...	. w7ra (iШ . • ide)
равным элементу (2) из Н. Пусть
= (1 4~	(1 + Хй$) •••(!+ Хшр.
Заметим, что фх, (0 (а)) = 0 (фца) для любого а Е= М.
Пусть 7?х — подалгебра в R, порожденная всеми ЭЛе-
мёнтами & (ke A, I = 1, 2, . . ., г). Мы видим, что пол-
ный прообраз йри 0 поДЛлГебры из Я, выдерживающей все
эндоморфизмы (X GE Л, i = 1, 2, . . ., г), является
^-подмодулем в М. Поэтому достаточно показать, чТо
М — нётеров Ях-модуль. Фиксируем I, 1 I г.
Тогда q%i = 1 -j- X (ux -|-	4- . . . -|- u>j) -|- X2 (игР; -{-•••
.. .-{-uzwz-|- . .	. -j- K°utVi. . . wt. Придав Индексу X
с +1 различное значение, получим, что симметриче-
ские многойлеиЬ! йх) = щ -}- vt 4- . . . -}- ivt, . . OcZ) =
= ищ. . . w( лежат в Ri для любого 1 = 1,2,..., г.
Таким образом, Ях порождается симметрическими много-
членами От, 1	1 «С i г, значит, 7?х — нёте-
рова алгебра. Поскольку М — конечно порожденный
л-модуль, остается заметить, что R — конечно порожден-
ный /^-модуль относительно умножения. Это доказывает-
ся таким же приемом, как и в 5.5.2, с использованием
формул Виета. Как и в 5.5.3, R порождается над Ях одно-
членами, в которые каждая из переменных их,. . ., wr вхо-
дит в степени, строго меньшей числа с. Теорема доказана.
5.6.	Тождества алгебры Ли 81 (2, А)
В этом разделе мы покажем шйехтовость многообра-
зия алгебр Ли V, порожденного алгеброй Ли gl (2, А)
матриц второго порядка над полем А характеристики
нуль. Над полем характеристики 2 это утверждение пере-
5.6. ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛЙ 4 (2, А) >	229
стает быть верным (см. 5.4.8). Поскольку в случае по-
ля характерйстикй, отличной от 2, var(gZ(2, Л)) =
= var (si (2, Л)), в дальнейшем мы будем исследовать именно
алгебру si (2, Л) матриц со следом нуль.
5.6.1.	Слабые тождества. Пусть (Я, G) — пара, состоя-
щая из ассдциативной алгебры R и подалгебры Ли G с
cz [Я] над полем Л. Соотношение f = 0, где / = f (хъ
я2, . . ., хп) — многочлен из свободной ассоциативной ал-
гебры А (х19 х2,. . ., #tl), называется слабым тождеством
пары (Я, G), если для любых g2, . . ., gn^G справед-
ливо f (g1? g2, • • •> gn) = 0. Положим а о b = ab -|- ba.
Тогда (Л2, si (2, Л)) удовлетворяет слабому тождеству
[ж <> у, z] = 0.	(1)
Лемма. Следующие слабые тождества вытекают из
(1) (т. е. выполняются в любой паре, в которой выполняет-
ся (1)):
{ж, у, z] ~ 2 (х о у) z — 2 (х о z) у.	(2)
х (go[z, и]) = (х ° у) [z, и] — (х о z) [у, и] 4- (хои)[у. z],
(3)
4 (х О у) lz, и] = [z, X, у9 и] + [z, у, X, и] —
— [я, и, у, z] — [у, и, х, zl. (4)
Доказательство. Первое тождество получает-
ся раскрытием скобок с применением тождества (1). Ум-
ножив обе части в (3) на 2 и перенеся первый член из пра-
вой части в левую, С использованием (1) и (2) получим
в каждой из частей
2 (р [z, и]) х — 2(у ° х) [z, и] [у, [z, и], х] =
= [у, ж, и, z] — 2 [у, (х О z) и} +2 [у, (х О и) z] —
= [у» Я, U. г].
Это доказывает (3). Для доказательства тождества (4)
раскроем каждый член правой части с помощью (2) и
с учетом (1):
[z, х, у, и] ~ 2 [z, (х о у) и] — 2 [z, (х о и) у],
[z, у, х, и] = 2 [z, (у о х) и] — 2 [z, (у о и) х],
[ж, и, у, z] = 2 [ж, (и о y)z] — 2 lx, (и о z) у],
— [у, и, х, z] = — 2 [у, (йох)г] 4- 2 [у, (u°z) ж].
После сложения и приведения подобных членов (с учетом
центральности членов вида а о Ь) получим 4 (х° у) {z, и].
Лемма доказана.
230 ГД. б. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
5.6.2.	Теорема. Любое слабое тождество пары
(A2,sZ(2, А)) над полем К характеристики нуль является
следствием слабого тождества (1).
Доказательство. Пусть / (хи х2, х3,. . .
. . ., Xi) — ассоциативный многочлен из свободной ассо-
циативной алгебры А (хих^ . . .,xz)h/' = /(х2,Хх,х3,...
. . .,#/). Индукцией по I покажем сначала, что найдется
полилинейный многочлен v ух, . . ., ^-2) такой, что
f — f' = v ([хх, х2],	• • •» xi)	(5)
— следствие слабого тождества (1). Заметим, что при-
менение тождеств (1), (2) и (3) позволяет записать / в виде
С-линейной комбинации коммутаторов первой и второй
степени от х19 x2,...,xh где С — подалгебра в
А (хх, . . .,xz), порожденная элементами вида ^©Х; и х;о
© [xj, хк], 1 Z, j, Z, образы которых в Л2 централь-
ны. Действительно, каждый многочлен есть линейная
комбинация произведений коммутаторов. Согласно (1)
и (2) каждый коммутатор сравним с С-линейной комби-
нацией коммутаторов степени 1 и 2 по модулю тождества
(1). Поэтому остается показать, что произведение xt [х^, хк]
сравнимо с С-линейной комбинацией коммутаторов сте-
пени 1 и 2. Однако
1 1
xi	J = — хг ° xk] + — [*i, xk]] =
= 4“ °	+ (*i °	— (xi ° xk) xr
Проведенное рассуждение, а также тождество (3) показы-
вают, что для доказательства существования следствия
вида (5) тождества (1) достаточно брать / в одном из видов:
1) / = [хх, х2]; 2) / = (хх ©х2); 3) / = (ххо х3) х2\ 4) / =
= [хх, х3]©х2. В случае 1) достаточно положить i?(y0) =
= у0; в случае 2) v = 0. В случае 3) (хх о х3) х2 — (х2©
° хз) xi =	1#з> х1> Хг1 и полагаем v — Va Itfi, Уо1-
В случае*4) заметим, что 0 = [х, у © z] = [х, у] о z +
+ х о [у, zl. Поэтому / = [хх, х3] © х2 = х3 © [хх, х2],
и мы приходим к случаю 1).
Теперь допустим, что/ = 0— слабое тождество, тогда
/'==0 — также слабое тождество и, значит, v ([хх, х2Ь
х3, . . ., хг) = 0 —слабое тождество. Поскольку si (2, А)
совпадает со своим коммутантом, v (ух, у2,. . ., уьх) = 0 —
слабое тождество в (A0, $Z(2, А)). По индукции (с очевид-
ным основанием) оно является следствием тождества (1).
5.6. ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛИ si (2, А)
231
В результате / — /' = 0 — следствие из (1). В силу про-
извольности выбора пары (хи х2) можем считать, что для
любой перестановки о индексов 1,2, . . ., I
f (#1?	• • ч	f (#0(1)? ^0(2)? • • ч #<У(1)) = О
— следствие тождества (1). Суммируя по всем о G=
получаем
ft f (#1, #2» • • • »	3 ^0(1)^0(2) • • •	= О
OESj
— следствие из (1), где % — подходящий элемент из А.
Подставляя хг = х2 = . . . = хг = h—	получим
% hl = 0, т. е. X — 0. Итак,/(хп я2, . . ., xt) = 0 — след-
ствие из тождества (1), и теорема доказана.
5.6.3.	Некоторые тождества алгебры зЦ2, А). В силу
трехмерности алгебра G = si (2, Л) удовлетворяет стан-
дартным тождествам
а #2, • • ч #п-Ь 0, п == 5, 6, . . .	(6)
Черточки означают, что по переменным х19 х2, . . ., хп^
ведется альтернирование. Докажем, что для любого на-
турального к в si (2, Л) выполняется тождество
(ad #)2fc+1 ([у, d) = [(ad x)2fe+1 (у), z] + [у, (ad #)2fc+1 (z)l.
(7)
Действительно, согласно (4),
4я2 [ж, у] = (ad х)9 (у).	(8)
Поэтому
(ad x)2*+1 ([у, d) = 22кх2к [ж, у, d =
= [22кх*к Lr, у], z] + [у, 29кх2к [ж, dl =
= [(ad x)2fc+1 (у), z] + [у, (ad z)2ft+1 (z)J.
Обращаясь к тождествам минимальной, пятой, степени
(тождества меньшей степени влекут разрешимость), заме-
тим, что, согласно 4.8.4, пространство Ръ (X) всех поли-
линейных коммутаторных многочленов (т. е. многочленов
Ли относительно операции коммутирования) есть прямая
сумма пяти неприводимых 55-модулей
— ^fadi ф	ф 4/r8ds Ф A fa ф A fa.
Обозначив через Р'5 (F), V — var (G), пространство поли-
линейных тождеств пятой степени? справедливых в
232
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
получим
р; (F) =	© л/а.
В самом деле, согласно 4.8.4, -каждый 55-подмодуль в Р6
есть сумма некоторых из Afxd, xd е Т. В этом случае
достаточно проверить справедливость тождеств gXiai == О
в G. Тождество g^ = [ух, у2, у3, у^ ух] = 0 есть след-
ствие из (6) при п = 5. Далее,
2 [Уи [уъ Уз], У1, У2] = - j" (2 (ad ^i)8 ([^з, Уг]) —
— 2 [(ad ytf (у3), Уз] — 2 [уз, (ad у^9 (у2)]).
Поэтому g^a* = 0 — следствие из (7) при к = 1. Далее,
= 2 (ad ж)4 (у),	= 2[ух, у2, у3, ух, у2], gx^ =
— 2 [[ух, у2], ух, ух, у2]. Выбрав в si (2, Л) базис вида
е = (о 0/’ '=и О/’ h =(о — 1/ с таблиЧеи умножения
[fe, е] = 2е, [h, f] = —2/, le, f] = hy получим, что gx^
не обращается в нуль при х = hy у = е} gx& не обра-
щается в нуль при уг = е, у2 = f, у3 = fy, gx^ не обра-
щается в нуль при уг = е, у2 = /.
Нам понадобятся также два тождества шестой степени:
[ж, х. х. у, z, и] = [х, у, z, х, х, и] — [я, у, я, и, х, z], (9)
[z, й, Ху Ху Ху у] = [Zy Ху Ху Uy Ху у] — [ж, [й, Ху у], Ху z], (10)
Они получаются с использованием следствий слабого тож-
дества (4): тождества (8) и тождества
4ж2 [у, z] = [у, Ху Ху z] — [я, Zy Ху у].
В самом деле,
[ж, Ху Ху у у Zy и] == 4я2 [ж, у, Zy й]. = [ж, у у 4я2 [zy й]] =
= [я, У. Zy Ху Ху у] — [ж, у, Ху Uy Ху z]y
[Zy Uy Ху Ху Ху у] == 4х2 [Zy Uy Ху у] ==
= [Zy Ху Ху их Ху у] — [ж, [и, Ху у], Ху г].
Впоследствии (теорема 5.6.5) мы докажем, что тождество
(6) при п = 5 и тождество (7) при к = 2 составляют ба-
зис тождеств алгебры si (2, Л), где Л — поле характери-
стики нуль. Метод доказательства аналогичен применен-
ному в теореме 5.6.2. Кусок доказательства теоремы, где
применяется этот метод, мы выделим в отдельную лемму,
5.6.-ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛЙ si (2, А)
233
В формулировке этой леммы обозначение [... 2^..*
. . .	. . . %it . . .] используется для симметрической
суммы
a Gljf («1, • • Xt, . . xh . . Xz) = fj(x15
. . Xi. . . ., x^. Знак над буквой означат, что она
должна быть пропущена.
5.6.4.	Лемма. В многообразии алгебр Ли. опреде-
ленном тождествами
1^1, 5^2» *^3> ^4» *£5! == О
U
(ad х)3 ([у. z]) =• [(ad х)3 (у), z] + [у, (ad х)3 (z)]
для любого полилинейного степени 1^> коммутаторного
многочлена f и любых i. j. 1 i < 7 п. выполняется
тождество
f	&i jf = £	• • •» *^г» • • • >	• • • ? xl.
— [^7, ^1, . . ., Xi. . . ., ±h . . ., tfj) + V (Хг. . . .
. . ., [ХЬ Xj], . . ., Zj, . . ., Xi). (11)
гд& v — полилинейный коммутаторный многочлен степе-
ни I — 1. Более того, при нечетном I коэффициент с
в формуле (11) равен нулю.
Доказательство. Без ограничения общности
будем считать, что i = 1, j — I. Поскольку базис в
Л (#i> • • •» %i) составляют одночлены вида [^o(d, хо^ъ • • *
. . ., x0(i~D. rrj (см. 4.8.1), то можно рассматривать только
одночлены / = [a?a(i)> • • •,	• • •,
При 1 = 5 достаточно рассмотреть / в одном из видов
[•^2> X3i *^4> Х1) З'бК [*^2> X3t Х1) Х4)
U2, Х19 ^3, *^4»	[*^1,	Х3) X4t
В первом и втором случаях представление (11) с с = 0
получается применением тождеств антикоммутативности
и Якоби. Для рассмотрения оставшихся случаев заметим,
что любое коммутаторное тождество пятой степени, выте-
кающее из (1), является тождеством в si (2, Л) степени 5,
и потому, согласно разложению для Рь (F) в 5.6.3, сле-
дует из двух указанных в формулировке леммы тождеств.
Поэтому для нахождения представления (11) в степени 5
можно использовать слабое тождество (1) и его следствия.
234
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
Имеем
[•^2»	^3, *^4> £5]	[«^2» *^5» *^3» *^4> *^11	2	С^З °
оХ^) Х§]	2 [х2,	(Ж3 ° ^б) *£4]	2 1*^2> *^5» (Ж3 ° ^4) ^11
+ 2 [х2, х6, (х3 о хг) х4] = 4 (х3 о х4) [х2, Х1У х5] —
[*^2?	(#3 ° хь) хг 2 (х3 © х±) хъ, х^]==
—" 4 (х3 о Х4)[х2,	3'5^	[*^2> 1*^3» ^5» *^1К «^4! •
Применяя (4) при х = х3, у = х±, z = х2, и = [х19 х5],
получим сумму коммутаторов, в каждом из которых есть
сомножитель [х1? х5], что и требуется?Далее, согласно (2),
(«£ц Х2] *^3).*^49	1*^5» *^2» Х3, *^4> *^11
== 2 (#3 ° Х4) (t^l? *^2»	^5» *^2» *^10	2 («£3 0 Xg) [^1,
*^2» *^4] ~Н 2 (х3 ° Хх) 1*^5» »^2» *^4^ — (*3 ° *£4) [*^2> *^1»	~Ь
( 2 (х3 о Х-±) Х& —— 2 (х3 о Х&) Хх,} Л*2» *^4^ ==:
= 2 (х3 о х4) [х2, Хг, х5] + [[х3, хп х5], [х2, х41].
Применяя (4), как и выше, получаем представление вида
(11) с с = 0.
Перейдем теперь к случаю I > 6. Сначала заметим, что
коммутатор / вида [хх, х2, . . ., хг-и xf] 'может быть пред-
ставлен в виде суммы многочлена /0 = ta?i, £2> • • •,
и суммы коммутаторов вида/j = 1^, х2, . . ., [#$,	. . .
. . ., #z-i, xt] (с точностью до перестановки переменных
х2, . . ., a;z_i). Если I четно, то для / = /0 имеем представ-
ление (11) с коэффициентом с = 1 и v = 0. Для / = fa
применимо предположение индукции, и тогда с = 0.
Забегая вперед, отметим, что в 5.6.5 из представления
(11) для коммутаторных многочленов / степени I таких,
что /	0 — тождество в si (2, Л), будет выведено, что
тождество / = 0 вытекает из тождеств меньшей степени.
Это позволяет при нахождении представления (11) для
тождеств степени Z > 7 пользоваться тождествами шестой
степени (9) и (10). Итак, мы рассматриваем случай, когда
I — нечетное число не меньше 7. При этом предположение
индукции с с = 0 применимо к коммутаторам вида 1я2»
ж3, [. . ., х19 . . ., х(-19 Xj]] (нужно рассмотреть сомножи-
тель [. . ., хх, . . ., х^_1, xj степени I — 2). В случае ком-
мутатора [х2, хх, х3, . . xw, xj, по предположению ин-
дукции, имеем
/ — Out = с ([*2, ®1, ^3, • • •» ^1-ь жг] —
’	*^3» • • •» ^1—1» З'!.!) “1“ 1^2’ V	^3. • • • ^1—1)1"
5.6. ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛИ si (2, А)
235
Последнее слагаемое имеет нужный вид. Для преобразо-
вания первого следует заметить, что оно является линеа-
ризацией такого многочлена
с ([я2, Xi, у,..., у, хД — [х2, хь у...., у у #1]).
Гз '	’ Кз '
Уменьшаемое и вычитаемое в скобках следует преобразо-
вать с помощью тождества
[z, и, Ху х,..., ж, у] = [z, х, Ху и, х,..., Ху у] —
2к	2fc-l
— [ж, [Uy Ху . . . у Ху у]у Xr z]y
2к-1
вытекающего, из (10). Получим
1* *^2»	^3» • • •»	[*Г2> ^3» *^4»	5» • • •> ^'/“’1?
1^4? 1^'1, %5» • • •» ^1—2?	^7—1»
Можно применить предположение индукции к [£3, £4,
£б, • • •> #2-1, и подходящим сомножителям степени
I —1 во второй симметрической сумме коммутаторов.
Осталось рассмотреть два случая: ‘
1) / = [xlt £2, • • •>	^]. Здесь можно применить
полную линеаризацию тождества (7) (при 2к + 1 —
= 1 — 2), вытекающего из (7) при к = 1.
2) / = [хп х2, . . ., [жо zi+i], . . ., xt_i, zz]. В этом слу-
чае, по предположению индукции,
/ — tfiz/ = с' (1^1, ^2» • • •»	. • м ^-1, fy] —
—[д:/, х%, . . ., [#j,	. . ., Xj.] -|-
+ v' (hi, xt], x2,. . [a?b zi+i], . . ., ^-1). (12)
Последнее слагаемое имеет нужный вид. Для преобразо-
вания первого используем следствие тождества (9), имею-
щее вид
[ х,... , Ху у, z, и] = [я,... у Ху у у Z, Ху Ху и} —
t '	'
— [Ху. . . у Ху у, Ху и, Ху z].
Многократное применение этого тождества дает
[а:...х, у, z, и] = 3 [®. х, у, w’i} + 2 [«, у, u’j, Vj], (13)
*	i
236
ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
где uj, i?i, w\ — коммутаторы от х, z, и. Запишем элемент
§ • • •> • • •» ^/—1»
в виде линейной комбинации коммутаторов вида [. . . [xh
Xi+1]j. Элемент g симметричен по	xi4L, xi+2, . . .
. . x^t. Применяя линеаризацию тождества (13), полу-
чим
g = S ±	, Хр, Xq, xt, Wil + 2j ± [®1, Хр, Xt, US, V}] 4-
i	j
+ 3 zb xi, bk, cj,
к
где bfc, u;-, Pj, — коммутаторы от переменных,
отличных от хг, хг. Таким образом, с g можно обращаться,
как с коммутаторным многочленом степени 5. Значит,
и первое слагаемое в (12) имеет представление (И). Лемма
доказана.
5.6.5.	Теорема. Тождества алгебры Ли G =
= si (2, Л) над полем Л характеристики нуль допускают
базис из двух тождеств:
[#1, ^2» #3, ^4» *^5! = 0,	(14)
(ad х)3 ([у, z]) === [(ad х)3 (у), z] + [у. (ad х)3 (z)]. (15)
Док азательство. Отметим, что если / = 0 —
полилинейное тождество степени I алгебры 6?, то в пред-
ставлении (11) можно считать, что с = 0. Действительно/
достаточно подставить в эту формулу xt = е, Xj == /,
xt = h (t i, j). Поскольку l четно и f = 0 - тожде-
ство, левая часть обратится в нуль, и мы получим
0 = с (Z - 2)! 2м h + v (Л,. . ., к, /], . . ., h).
Так как [е, f] = Ьи многочлен v — коммутаторный, полу-
чим с (I — 2)! 21-1 = 0. Поскольку char Л = 0, имеем
с = 0. Итак, для любого полилинейного тождества / = 0
степени / > 6 и для любой пары £, 7, 1 < i <Z ] и, для
подходящего коммутаторного полилинейного многочлена
v степени I — 1 имеем, что
f — Oi]f= V (Xi, . . [хг, Жу],	Xi)
— следствие из (14) и (15). Поскольку f — Otjf = 0 —
тождество в G и G = G2, г = 0 — тождество в G степени
L— 1. По предположению индукции v = 0 следует из (14)
й (15). Значит, и/— Oaf ^0 следует из (14) и (15). Те-
5.6. ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛИ si (2, А)
237
перь понятно, что для любой перестановки т Е тожде-
ство / — т/ = 0 — следствие из (14) и (15). Суммируя Щ?е
тцкие следствия, получим, что
= 3 т/
— следствие из (14) и (15). Правая часть есть кратное сум-
мы 2 (Яш), #т(2), . .	#т(о1> т. е. тождественный нуль.
reSj
Итак, в силу ограничения на характеристику поля,
/ == 0 — следствие из (14) и (15) для любого полилиней-
ного тождества f = 0 алгебры G. Теорема доказана.
5.6.6.	Свободная пара. Пусть X =	я2, . . ., хп,. . .}
— счетное множество, А — А (X), L = L (X) — сво-
бодная ассоциативная алгебра и свободная алгебра Ли
со свободным порождающим множеством X, I — идеал
алгебры А, состоящий из всех многочленов / (жх, . . .
. . ., ят) таких, что f (х1У . . ., хт) = 0 — слабое тожде-
ство пары (Л2, si (2, Л)). Обозначим через (Alt Lr) пару,
в которой Ах = АН, a Lr = L + ill. Множество слабых
тождеств пары (Ах, Lx) совпадает с множеством слабых
тождеств пары(Л2, si (2, Л)). Обозначив образы элементов
{ях, х2, . . .,\ут,. . .} множества X в Ах снова теми же
буквами, увидим, что, как и в доказательстве теоремы
5.6.2, любой элемент а из Ах представим в виде а = с + у,
где с — центральный элемент в Ах, a v — линейная ком-
бинация коммутаторов от X первой и второй степени
с коэффициентами из С. Это представление на самом деле
единственно. Действительно, если с + у (хи . . ., хг) =
== 0, то v (ях, . . ., ^)] = 0. Поэтому U/j-ь у] = 0 —
слабое тождество в (Л2, si (2, Л)). Поскольку si (2, Л) сов-
падает со своим коммутантом и в силу тождества (3) зна-
чение многочлена v в si (2, Л) есть линейная комбинация
значений элементов вида
К ° vit) . . . (via о v}g) (Pfc, где v^, . . <=sl (2, Л).
Цо формуле (4) значение этого элемента фактически лежит
в si (2, Л). Так как si (2,Л) над полем Л характеристики,
отличной от двух, не имеет центра, v обращается в нуль
при любой подстановке элементов из si (2, Л), т. е. v =
= 0 —слабое тождество, в (Л2, si (2, Л)). (Таким образом,
v (жх, . . ., zz) = 0, и указанное представление элемента
<4 = с + v — однозначно.
238 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
5.6.7.	Лемма. Пусть и (хх, . . ., хг) ЕЕ L19 S —-
идеал алгебры Lu порожденный элементами вида [р0,
и (vv . . ., vj], где vQ, . . ., vt EE L14 T — идеал ал-
гебры 4г, порожденный множеством S. Тогда S = Lr П Т.
Доказательство. Очевидно, что 5 с Г Q
П Lr. Для доказательства обратного заметим, что эле-
мент из Т представим как линейная комбинация много-
членов от образующих вида хи . . ., хп, . . . и [р0, и}
в первой степени. Используя слабое тождество (1), при-
ведем этот элемент к виду с + *>> где с ЕЕ С" — многочлен
от образующих вида х{ о xj, хг о h>0, и] и х{ © [xj, [р0, и]].
Эти элементы лежат в центре алгебры 4Х. Элемент v
представим в виде линейной комбинации коммутаторов
первой и второй степени с коэффициентами из С". Таким
образом, в записи одночленов, слагающих элемент р,
[u, о] встречается в одном из сомножителей вида [р0, и],
Vq. и], (xi © [р0? и]) хк, (^©Гх;, хк- Поскольку
[x^, Pq, и] есть линейная комбинация элементов вида
h>o, и'] = [i?o, и (р{, . . ., vj)l, а ° fyo» х* с помощью
формул (3) и (4) преобразуется к виду линейной комбина-
ции элементов вида [i?o> и"} ЕЕ S, мы получаем искомое
представление. Допустим теперь, что а ЕЕ Г П Zx. Пред-
ставим а в виде а = с + г, где с лежит в центре алгебры
А19 a v Е S. Тогда с + v = z е Lr. По формулам (2),
(3), (4) любой коммутатор является линейной комбина-
цией коммутаторов первой и второй степени. В силу заме-
чаний перед формулировкой леммы, с = 0, v = z. По-
этому а Е= S, и, значит, S э Г Q f Лемма доказана.
5.6.8.	Нильпотентные элементы^в свободной Тиаре.
Только что доказанная и следующая леммы являются
промежуточными этапами в доказательстве теоремы о том,
что всякое собственное подмногообразие в F = var (si (2, A))
лежит в ТГСА для подходящего с. В процессе доказа-
тельства этой теоремы мы столкнемся с тем, что в неко-
торой свободной паре (4, L) с тождеством (1) элемент
является нильпотентным ({хх, х2, . . ., Хп, . . .} —
свободное порождающее множество рассматриваемой
пары). Пусть в этой ситуации 4' — подалгебра в 4, по-
рожденная элементами vrv2v3 (vx, и3 ЕЕ L).
Лемма. Подалгебра 4' нильпошентна.
Доказательство. Пусть /0 =	0 —
слабое тождество рассматриваемойжпары. Докажем, что
/ =	• • • (хтУт%т) 0 — также1 слабое тождест-
во этой пары. Рассмотрим R == &8зт. Представим*! гиз
5*6. ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ ЛИ si (2, А)
239
R (см. 3.2.7) как сумму идемпотентов, отвечающих^стан-
дартяым таблицам Юнга, и запишем / = erf -J- erf, где
ег — линейная комбинация элементов егсь отвечающих
диаграммам d, в которых число строк не меньше 4. Тогда
erf есть «линейная комбинация полилинейных многочле-
нов, каждый из которых кососимметричен по набору
переменных, состоящему не менее чем из четырех пере-
менных. Поскольку (2, Л) трехмерна, erf — 0 — слабое
тождество. Далее, запишем е2 = е2 + е2, где ^е'2 есть
линейная комбинация элементов отвечающих диа-
граммам, в которых число столбцов больше тп. Тогда
erf будет линейной комбинацией полилинейных много-
членов, в каждом из которых есть группа симметричных
переменных, состоящая не менее чем из тп 4- 1 перемен-
ных. Так как все переменные в / разбиты на тройки аль-
тернирующих переменных, erf = 0. Наконец, ё2 — ли-
нейная комбинация элементов eXd, отвечающих диаграмме
				
		...		
				
Для любой таблицы xd такого вида отождествление
переменных по строкам в етс//, очевидно, дает кратное
исходного многочлена /0, т. е. exd f = 0 — слабое тождест-
во в (Л, L). Таким образом, erf = 0, а значит, и/ = 0 —
слабое тождество в (Л, L). Лемма доказана.
5.6.9.	Теорема. Всякое собственное подмногооб*
разие U многообразия V, определенного алгеброй si (2, А)
над полем А характеристики нуль, лежит в АСЛ при
подходящем с.
Доказательство. По условию имеется тож-
дество и (хг, . . ., xt) = 0, верное в U и не выполняющееся
в V. Пусть (Л, L) — свободная пара, определенная сла-
бым тождеством (1), а Лх, 5, Т обозначают то же, что и
в 5.6.7 (заметим, что [и (хг, . . ., Xi), Я7+1]	0 — не
тождество в si (2, А), так как si (2, А) не имеет центра).
Если <р: Лг —» Arfl — естественный гомоморфизм, то пара
(ф (-41)» ф (Ьх)) свободная, причем (р (Lrf = LrfS. Ясно,
что свободная алгебра счетного ранга многообразия U
является гомоморфным образом алгебры (р (Lrf. Поэтому
достаточно показать, что ср (Lrf лежит в VCA при под-
ходящем с. Взяв подпару (Л2, Lrf в (ср (Лх), q> (Lrf), по-
рожденную тремя элементами х, у, z, мы увидим, что
в терминах из 6.1.1 Л2 — конечно порожденная ассоциа-
240 ГЛ. 5. ПРОБЛЕМА КОНЕЧНОЙ БАЗИРУЕМОСТИ
тивная PI-алгебра. Радикал Джекобсона J этой алгебры
является йильидеалом (см* 6*1.4). Факторалгебра A2IJ
есть подпрямое произведение матричных алгебр ограни-
ченного порядка над подходящими телами* Образ алгебры
Ли L2 в каждой из этих алгебр есть неприводимая алгебра
Ли линейных операторов конечномерного векторного
пространства. Такая алгебра либо абелева, либо содер-
жит подалгебру Р такую что, /m = sZ(2, М) для под-
ходящего расширения М поля Л (см. 6.4.5). По-
скольку по условию второй случай невозможен, комму-
тант алгебры L2 лежит в J. Элемент Xyz лежит в идеале,
порожденном коммутантом I& т. е. (£yz)w = 0 для неко-
торого т. По лемме из 5.6.8 подалгебра А' алгебры <р (AJ,
порожденная элементами вида а^а^ GE ф (LJ, ниль-
потентна. Пусть теперь v2 (= L*. Тогда в силу слабого
тождества (1) о р2еЛ'. Воспользовавшись слабым
тождеством (2),получим, что [рх, и2, . . ., v2m+il = 0 Для
любых у2» • • •> ^2m+i <Р (М)2. Таким образом, алгебра
Ф (Z/J2 нильпотентна, и теорема доказана.
5.6.10.	С л е д с т’Й’е. МнЬгЬобразие V = var (si (2,
А)) над полем А характеристики нуль шпехтово.
Доказательство. Достаточно применить
теоремы 5.6.10, 5.6.5 и 5.5.5.
5.7. Упражнения
5.7.1.	Пусть многообразия СТ, V удовлетворяют условию мини-
мальности для подмногообразии. Тогда U р F и U (J F также
удовлетворяют этому условию.
5.7.2.	Доказать, что тождества Капелли порядка 3 следуют из
стандартного тождества четвертой степени.
5.7.3.	Доказать конечную базируемость многообразий конеч-
ного аксиоматического ранга, лежащих в ANC. У казание. Ис-
пользовать 6.6.1.
5.7.4.	Многообразие, порожденное конечномерной алгеброй
йад полем характеристики нуль, имеет конечный аксиоматический
ранг.
5.7.5.	Пусть П — множество неубывающих последовательностей
(т19 . . ., тг) натуральных чисел со следующей упорядоченностью:
(mi, . . ., тг)	. . ., m't) в том случае, когда г t и mi т\
(i = 1, . . ., г). Является ли это множество вполне частично упоря-
доченным?
5.7.6.	Доказать, что в паре (Л2, si (2, Л)) выполняется слабое
тождество [xyz, и] = 0 (черточки означают альтернирование).
5.7.7.	Проверить, что в Л2 выполняется сильное тождество
хугй — 0.
5.7.8.	Доказать, что в si (2, Л) выполняется тождество
5;8. КОММЕНТАРИЙ
241
5*8. Комментарий
Теоремы 5.1.6 и 5.1.10 принадлежат М. В. Зайцеву [461. В слу-
чае бесконечного поля основное следствие 5.1.8 было ранее доказано
автором [И]. Метод вполне частично упорядоченных множеств
восходит к Г. Хигману [157]. Впервые для решения проблемы ко-
нечной базируемости тождеств он был употреблен Д. Коэном [148],
доказавшим шпехтовость многообразия А9 в случае групп. Теоре-
ма 5.3.4 принадлежит Р. Брайанту и М. Вон-Ли [147]. Ее обобще-
ние (теорема 5.3.5) на случай многообразия NCA f| N2NC принадле-
жит Г. В. Шеиной [118]. Следует отметить, что шпехтовость много-
образия NCA Г) ANC имеет место над произвольным нётеровым коль-
цом [181]. Первый пример многообразия, не имеющего конечного
базиса тождеств, был построен М. Вон-Ли [185] в случае поля ха-
рактеристики 2. Раздел 5.4 основан на работе В. Дренски [41],
распространившего результаты М. Вон-Ли на случай произвольной
простой характеристики. Заметим, что В. Дренски [43] построил
и пример локально конечного бесконечно базируемого многообра-
зия. И. Б. Воличенко [28] построил пример почти конечно базируе-
мого многообразий алгебр Ли над полем характеристики 2. Приме-
ры конечномерных линейных алгебр (не алгебр Ли) над произволь-
ным полем, не допускающих конечного базиса тождеств см. в [75,
84, 95]. Систему тождеств Капелли ввел в активное использование
для нужд теории многообразий Ю. П. Размыслов [103]. Теорему
5.5.2 доказал В. В. Стовба [109]. На справедливость этой теоре-
мы в случае системы слабых тождеств Капелли впервые указал
Ю. П. Размыслов [97]. Шпехтовость многообразия NCA над полем
Характеристики нуль впервые доказал А. Н. Красильников [60].
Этот результат является частным случаем такой теоремы
В. В. Стовбы: конечно базируемым является любое многообразие
конечного аксиоматического ранга, лежащее в произведении NCNа
над полем А таким, что | А | с. За пределами книги остался важ-
ный результат И. Б. Воличенко [30], доказавшего, что над полем
характеристики нуль многообразие Л2У2 шпехтово. Результаты раз-
дела 5.6 принадлежат Ю. П. Размыслову [101]. По-видимому, имеет
место и конечная базируемость тождеств алгебры si (и, А) над по-
лем А характеристики нуль и для произвольного п 2. Основной
открытый вопрос в этой области — вопрос о существовании много-
образия над полем характеристики нуль, не допускающего конеч-
ного базиса тождеств. Этот вопрос не имеет ответа и в случае тож-
деств конечномерной алгебры. Следует ожидать положительного ре-
шения проблемы конечной базируемости и для подмногообразий
в N^A над полем характеристики р > 0. Интересен и вопрос о ко-
нечной базируемости произведения двух конечно базируемых много-
образий над конечным полем, причем даже в случае, когда первый
сомножитель нильпотентен. Неизвестно, существует ли конечно
базируемое многообразие, система тождеств которого, зависящая
от двух переменных, не имеет конечного базиса. Не получил еще от-
вета вопрос о конечной базируемости тождеств алгебры Wn даже
в случае п = 1.
Г л а в а в
СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ:
СТРУКТУРА, ТОЖДЕСТВА, ПРИЛОЖЕНИЯ
В этой главе мы займемся кругом вопросов, относя-
щихся к связям между алгебрами Ли с тождествами и
ассоциативными алгебрами с тождествами. Здесь мы не-
сколько отходим от принципа замкнутости изложения.
Впрочем, все утверждения, которые мы не доказываем,
могут быть найдены в достаточно широко распространен-
ных книгах. Эти результаты собраны в двух предвари-
тельных разделах — 6.1 и 6.2. В первом из них мы фор-
мулируем некоторые результаты об ассоциативных ал-
гебрах. Во втором приводятся некоторые факты о конеч-
номерных алгебрах Ли. Три следующих раздела посвя-
щены специальным алгебрам Ли — весьма широкому
классу бесконечномерных алгебр Ли, определенному на
языке тождеств, вместе с тем сохраняющему ряд привыч-
ных свойств класса конечномерных алгебр Ли. В конце
главы мы возвращаемся к универсальной обертывающей
алгебре и доказываем теорему о необходимых и достаточ-
ных условиях на алгебру Ли, при которых ее универ-
сальная обертывающая алгебра является Р1-алгеброй.
Эта теорема находит приложение к теории представлений
алгебр Ли.
6.1.	Сводка некоторых результатов
об ассоциативных PI-алгебрах
6.1.1.	Определение. Ассоциативная алгебра R над
коммутативным кольцом А с 1 называется Р 1-алгеброй,
если найдется ненулевой допустимый многочлен / (хи ...
. . . , без свободного члена в свободной ассоциативной
алгебре А (х1У ж2, . . ., жп, . . .) счетного ранга такой, что
/ (ги г2, . . ., гп) = 0 для любых гп г2, . . ., гп £ й.
При этом многочлен / (хи .. ., хп) называется допустимым,
если хотя бы один из коэффициентов при одночленах
наивысшей степени равен 1. В любой PI-алгебре R вы-
полняется степень стандартного тождества (см. [69,
стр. 339; 161, стр. 59]). Таким образом, если М — рас-
6.1. АССОЦИАТИВНЫЕ PI-АЛГЕБРЫ
243
ширение основного кольца Л, то Л-алгебра R является
PI-алгеброй тогда и только тогда, когда Rm (см. 1.1.6) —
Р1-алгебра.
Алгебра R называется примитивной, если она обла-
дает точным простым модулем. Алгебру R можно рас-
сматривать как неприводимую алгебру эндоморфизмов
A-модуля М.
6.1.2.	Теорема плотности. Пусть R —
неприводимая алгебра линейных операторов в линейном
пространстве V над полем Л. Тогда централизатор
алгебры R в End^P есть телоИ, являющееся расширением
поля Л. Если dim/) V = п<^оо, то R=Dn. Если
dimpF — оо, то для любого п в R есть подалгебра, гомо-
морфным образом которой является Dn (см. [39, стр. 59;
111, стр. 47]).
6.1.3.	Теорем а. Пусть R — примитивная ал-
гебра над полем Л, удовлетворяющая тождеству степени
d. Тогда центр Р алгебры R — поле и dimpfl ld/2]2
(см. [111, стр. 151]).
В формулировке теоремы [а] — целая часть числа а.
Определим радикал Джекобсона J (R) алгебры R
как пересечение аннуляторов простых левых модулей.
Эквивалентно, J (R) есть пересечение ядер всех непри-
водимых представлений. Любой односторонний нильидеал
алгебры R (т. е. идеал, в котором каждый элемент ниль-
потентен) лежит в J (R).
6.1.4.	Теорема. Радикал Джекобсона J (R) ко-
нечно порожденной PI-алгебры R над полем А является
нильидеалом (см. [131]).
6.1.5.	Теорема. Пусть G — алгебра Ли над
полем A, U — U (G) — ее универсальная обертывающая
алгебра. Тогда J (U) = {0} (см. [39, стр. 40]).
Пусть R — ассоциативная алгебра над полем А.
Назовем алгебру S с единицей над . А классическим пра-
вым кольцом частных для R, если R — подалгебра в S,
каждый неделитель нуля из R обратим в S и каждый
элемент s из S представим в виде ху"1, где х, у R и у
не является делителем нуля в R. Если R не имеет делите-;
лей нуля, то будем говорить о классическом теле частных.
Далее, скажем, что алгебра R первична, если произве-
дение IJ ненулевых двусторонних идеалов I, J кольца
R отлично от нуля.
6.1.6.	Теорем а. Пусть R — первичная Р1-алгебра.
Тогда ее классическое кольцо частных S существует и
244	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
является изоморфным кольцу матриц Dn над телом D,
конечномерным над своим центром. Если R не имеет де-
лителей нуля, то п = 1.
6.1.7.	Понятие высоты. Пусть и — ассоциативный
одночлен от переменных х1, ж2, . . ., хп вида
и = х^хъ . . . х^, где ir У= jr+i, г = 1, . . ., h — 1.
Число h называется высотой одночлена и относительно
указанного. множества переменных. Если R — ассоциа-
тивная алгебра, порожденная конечным множеством
{г1? ...» гп}, А = А {хг, . . ., хп) — свободная ассоциа-
тивная длге^ра, свободно пррощденная множеством
{хх, . . ., хп}, F = {/х, . . ., fi} — конечное множество
однородных многочленов из A, v = v {х±, . . ., хп) -— од-
ночлен из, А, то высота qs одночлена v = и (гг, . . . , гп)
относительно. F = {/х.(г1, • • •»	• • • , fi (гх, . . ., rn)}
определяется как наименьшее' число q среди максимумов
высот одночленов иг, . . ., щ во всевозможных представ-
лениях вида
V = %XUX (/х, ...» /;)+•••+ ^tul (/1» • • •> Л)-
Если высоты всех одночленов относительно F в R огра-
ничены некоторым числом h, то наименьшее h с таким
свойством называется высотой алгебры R относительно f7.
6.1.8.	Теорем а. Пусть R — ассоциативная PI-
алгебра с нетривиальным допустимым тождеством сте-
пени d и конечным порождающим множеством {гх, ...
. . ., гп}. Тогда R — алгебра конечной высоты относи-
тельно множества слов от . . ., гп длины меньшей d
(см. [45], стр. 128]).
Ассоциативная алгебра R над Л называется алгебраи-
ческой, если каждый ее элемент г есть корень многочлена
fr (t) GE Л М со старшим коэффициентом 1. Если fr (t) =
= то говорит, что R — нильалгебра. В последнем
случае говорят, что каждый элемент из R нильпотентен.
Следствие. 1) Конечно порожденная ассоциатив-
ная алгебраическая РХ-алгебра над кольцом конечномерна
{см. 1.1.7).
2)	Конечно порожденная ассоциативная нильалгебра
с нетривиальным допустимым тождеством над коммута-
тивным кольцом нильпотентна.
6.1.9.	Рост многообразия ассоциативных алгебр. Пусть
V — многообразие ассоциативных алгебр над полем Л.
6Л. АССОЦИАТИВНЫЕ PI-АЛГЕБРЫ	245
Аналогично проделанному в 4.7.7, определим Рп (F)
как фактормодуль модуля Рп всех ассоциативных поли-
линейных полиномов от п церемонных по подмодулю
Рп (^)» состоящему из таких многочленов /, что / = 0 —
тождество в F. Пусть сп = dim Рп (F). Как отмечалось
в 4.7.7, рост многообразия алгебр Ли может быть сверх-
экспоненциальным. В случае ассоциативных алгебр
такое невозможно. Мы приводим это утверждение с до-
казательством, поскольку она еще не появилась в книгах
на русском языке.
Лемма. Количество перестановок s = (i^g . . .
. . . in) из первых п натуральных чисел, в которых любая
выборка из d чисел для некоторого фиксированного d,
2 <1 d п, содержит по крайней мере один порядок,
не превосходит числа (d — 1)2п.
Доказательство. Пусть Zn = {1, 2, ...
. . ., п}. Фиксируем перестановку $ такого вида, как
в формулировке леммы, и определим частичную упоря-
доченность на Zn, полагая i < /, если (i, /) — порядок
в 5. Тогда в Zn любые d элементов содержат по крайней
мере одну пару сравнимых элементов. В этом случае
Zn распадается в непересекающееся объединение не
более чем d — 1 непересекающихся цепей (см., например,
J [112, лемма 7.2.1]). Поэтому любая перестановка, как
* в условии леммы, определяется разбиением множества Zn
в объединение d — 1 непересекающихся цепей и состав-
лением из таких цепей перестановки с сохранением по-
рядка внутри каждой цепи*. Разумеется, разбиений на
d — 1 цепь имеется не более чем (d — 1)п (это число
отображений из Zn в Zd_i). Далее, на каждом из п мест
перестановки 5 стоит один из элементов одной из
d — 1 цепей. Поэтому способов составления не больше
чем {d — 1)п. Таким образом, лемма доказана.
6.1.10.	Теорема. Для любого многообразия V
ассоциативных алгебр над полем Л найдется константа
d {степень любого нетривиального тождества, выполняю-
щегося в V) такая, что сп = dim Рп (F) {d — 1)2П.
Доказательство. Применяя линеаризацию
(4.2.1) для ассоциативных алгебр, видим, что в F спра-
ведливо тождество
У1У2 • • • Уd— 3 ^d7o(i)Jfa(2) • • • ^a(d)» GE A. (1)
Теорема будет доказана, если мы покажем, что по модулю
246
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
подпространства Рп (V) пространство Рп порождается
одночленами ха^х0(^ . . . яа(П>, для которых перестановка
s = о (1) а (2) ... а (п) удовлетворяет условиям леммы
6.1.9. Пусть и — наименьший в лексикографическом
смысле одночлен из Рп, не удовлетворяющий этим усло-
виям. Тогда он содержит подслово вида
и = (^ai • • • x0i)	• • • {xad_± • • •	xad>
причем а2	ad. Подставив в (1) уг = яа... .
. . . яр., i == 1, . . ., d —- 1, yd = Xad, получим, что по
модулю подпространства Pn(F) одночлен и представим
в виде
И = 3	ЕЕ А>
о	'
где Е Рл — некоторые одночлены, лексикографически
меньшие чем и. Противоречие. Теорема доказана.
6.1.11.	Тензорное произведение А-алгебр. Тензорное
произведение Т = А 0д В двух алгебр А и В над полем
Л — это тензорное произведение соответствующих
пространств с операцией • умножения такой, что
(г 0 $) (г' 0 s') = гг' 0 ss'. Здесь г, г' ЕЛ, s, s' 6Е В.
Если С — ассоциативная Л-алгебра, порожденная подал-
гебрами Л'= Л, В' ^В, элементы которых попарно ком-
мутируют, то изоморфизмы Л на Л' и В на В' продолжа-
ются до гомоморфизма из Т на С.
Теорема. Пусть А и В — PI-алгебры над полем
Л. Тогда алгебра Т = Л 0д В — также Р1-алгебра.
Доказательство1. Пусть V — вербальный
идеал свободной ассоциативной алгебры Лоо (X) счетного
ранга, причем V (Л)= V (В) = {0}. Допустим, что в V
есть нетривиальный многочлен некоторой степени d,
2 d. Пусть т± (я), . . ., mq (я) — одночлены, состав-
ляющие базис в Рп (X) по модулю идеала 7, q < (d — 1 )2Л.
Для любой перестановки О' ЕЕ 5П получим, что при под-
ходящих X! (о), . . .,	(о) е Л
я
«о(1). • . «о(п) » 3 К (<0 тг (х)
i=l
— тождество в Л и В. Найдем многочлен
/ (#1» • • • » хп) == 3 Та^а(1) • • • xc(ri)i
6.2. КОНЁЧНОМЁРНЫЁ АЛГЕЁРЫ лй	24?
где Е Л такой, что / = О — тождество в А ®л 5.
Имеем
/ (®1 ® ^1» • • •» ®n ® &n)	?o®a(i)- --^аСп) ® ^а(1) • • • ^о(п) =
aesn
’	9 ч
= S 3 3 Ш (о)	(а) ® mj (Ь)-
i=i G<^sn
Для достаточно больших п справедливо q2 (d — 1)4П <
< п!, поэтому система линейных уравнений от п\ неиз-
вестных уа вида
S (ст) Xj (ст) у0 = О
°=sn
имеет нетривиальное решение уа = а выражение вида
/ (#1» ...» %п) = S ?<т^а(1) • • • ^о(п) “ О
<^Sn
— тождество в A (х)д В. Теорема доказана.
6.2.	Некоторые дальнейшие результаты
о конечномерных алгебрах Ли
6.2.1.	Определения. Алгебра Ли L над полем
А называется полу простой, если L не содержит абелевых
идеалов, отличных от нуля. Из определения разрешимого
радикала S (L) алгебры L (см. 1.9.3) следует, что фактор-
алгебра Ы8 (L) произвольной алгебры Ли L по ее раз-
решимому радикалу является полупростой.
Теорема. Пусть L — конечномерная алгебра Ли
над полем А характеристики нуль, 8=8 (L) — ее
разрешимый радикал. Тогда существует полупростая
подалгебра G такая, что L = G ф 8. Далее, всякая
полупростая алгебра представляется в виде
G = б?! ф G2 Ф . • • ф Gt,
где G19 G2, . . ., Gt — идеалы, являющиеся простыми ал-
гебрами Ли. Идеал N = [G, 5] — нильпотентный.
Любая подалгебра G, удовлетворяющая заключению
теоремы, называется подалгеброй Леви, а первая часть
теоремы — теорема Леви (см. [23, § 6]).
6.2.2.	Строение конечномерной полупростой алгебры
Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики
нуль. Пусть L — алгебра Ли, Н — ее подалгебра. Рас-
248
ЕЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
смотрим L как присоединенный Я-модуль. Для любой
линейной функции а ЕЕ Я* положим
La = {х | [h, х\ = a (h)(x) для любого h е Я}.
Теорема. Пусть L — полупростая алгебра Ли
над алгебраически замкнутым полем характеристики
нуль. Тогда в L найдется абелева подалгебра Я и конечное
подмножество R о Я*, 0 Я, такие, что Я = Lo и
L—H ф 51 Дх»
причем dim La = 1 для любого а ЕЕ R. Если а Е Я, то
и —а е Я.
Подалгебра Я из формулировки теоремы называется
подалгеброй Картина. Множество Я называется системой
корней алгебры L относительно подалгебры Картана Я.
Для любого корня а Е Я подпространство. La называется
корневым. Каковы бы ни были a, Р Е Я, произведение
[Яа, Яр] либо нулевое, либо равно Яа+р, если а + р Е Я.
Для любого а Е Я подпространство Ьл ф [Яа, £_а] ф
ф — подалгебра в L, изоморфная алгебре si (2, Л).
В этом случае базис {еа} в каждом из La может быть
выбран так, что, полагая [еа> £-а] = получим a (ha) =
= 2. Любое подмножество В = {ах, . . ., aj CZ Я, такое,
что В — базис в Я* и каждый элемент а из Я представим
в виде a = fk1a1 ф . . . ф где все . .,	— одно-
временно неотрицательные или одновременно неположи-
тельные целые числа, называется базисом системы кор-
ней Я. Те корни, для которых . . ., ^ > О, называются
положительными корнями, остальные — отрицатель-
ными. Множество положительных корней обозначается
через Я+, множество отрицательных — через Я_. Имеет
место так называемое треугольное разложение полупро-
стой алгебры Ли
L = Я_ ф Я ф Я+,
где Я — подалгебра Картана,
N+= 3	N_= 3 La.
asR+	aeB-
Понятно, что N+ и AL — нильпотентные подалгебры,
а подалгебры Я ф N. и Я_ ф Я — разрешимые (см
[24, стр. 329]).
6.2.3.	Конечномерные представления. Как мы знаем
из 2.5.3, любая алгебра Ли L над полем Л изоморфна
6.2. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ	249
подалгебре алгебры Ли вида [А], где А — ассоциативная
алгебра, В случае конечномерной алгебры над полем ас-
социативную алгебру А можно взять конечномерной.
Точнее, справедливо следующее утверждение.
Теорема Адо — Ивасавы. Конечномерная
алгебра Ли над полем А обладает точным конечномерным
представлением.
Понятно, что если V — пространство представления,
о котором идет речь в формулировке теоремы, то в ка-
честве ассоциативной алгебры А можно взять алгебру
Епс1л7 всех линейных операторов пространства V над Л.
Мы дадим доказательство этой теоремы в случае, когда
основное поле имеет характеристику р 0, так как
в дальнейшем нам понадобятся некоторые методы из
этого доказательства. Сначала приведем важное вспомо-
гательное утверждение.
Лемма. Пусть Л — поле, char Л = р О, G —
алгебра Ли такая, что dim G = п. Тогда универсальная
обертывающая алгебра U (G) алгебры G есть конечно
порожденный свободный модуль над подходящей централь-
ной подалгеброй, изоморфной кольцу многочленов от п
переменных.
^Доказательство. Пусть {еп е2, . . ., еп} —
базис в G. По теореме 2.5.3 базис в U (G) может быть
выбран в виде
№ . . .4П, Ц = 0,1, 2, . . ., * = 1,2,.. ., п. (1)
Рассмотрим операторы (pf = ad et G= Е = EndAG. По-
скольку dim Е = п2, то для любого г > п2 операторы
г
<Рь <рГ, . . ., ср? линейно зависимы, т. е. существуют %0,
Хх, . . ., не все равные нулю, такие, что
• • • +	= 0.
Обозначим через fa = Д (/) многочлены Д (£) = Хо£ -|-
4-	+ . . . + KrtpT, такие, что Д (ad et) =0, t =
= 1, 2, . . ., п. Согласно 1.11.1, 2), (ad[j^)p = adt/ef.
Поэтому
A (ad Ci) = S (ad etf3 =	ad eJ = ad Д (e{).
j=0	j=0
Если x e G, to [/,• (e;), x] = ad ft (et)(x) = ft (ad et)(x) =
== 0. Поскольку G порождает U (G), то элементы (e,)
250	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
лежат в центре алгебры U(G). Положим = Д (ef), Z —1,2,...
. . ., п. Пусть di — степень многочлена ft. Докажем, что
базис в U (G) может быть составлен из одночленов вида
4'4’ • • • «ппУ1Уй • . . Упп,
0 li < di4 Si >> 0, f = 1, 2, . . ., п, (2)
Действительно, легко понять, что элементы вида (2)
порождают пространство U (G): элемент eft — линейная
комбинация элемента и в?, к dt- Обозначим через
VQ1<72...q подпространство в U (G), порожденное одно-
членами в (2) такими, что sx дх, . . ., sn <1 qn. Запись
каждого yi как многочлена от показывает, что Vqi(h„,qn
порождается над А одночленами вида (1), в которых
h (?/ + 1) di — 1, i = 1, 2, . . ., п. Легко подсчи-
тать, что число одночленов обоих видов, порождающих
, одинаково. Значит, Система одночленов вида (2)
с ограничениями sx ?х, . . ., sn qn линейно незави-
сима при любом выборе набора (дх, . . qn)- Поскольку
любая конечная система элементов вида (2) лежит в под-
ходящем Vqiqi„.qn, линейная независимость также доказана.
В частности, подсистема системы (2), в которой Zx =
== Z2 ==...= Zn = 0, есть базис центральной подал-
гебры 7?, являющейся алгеброй многочленов А [у1? . . .
. . ., уп]. Базисом для правого (левого) Я-модуля U
является совокупность одночленов вида (2), в которых
0 = $х = . . . = ап. Так как число этих одночленов равно
drd2. . . dn, то U — свободный Я-модуль конечного
ранга drd2 . . . dn- Лемма доказана.
6.2.4.	Доказательство теоремы 6.2.3
(в случае, когда А — поле характеристики р 0).
Примем обозначения из леммы 6.2.3. Пусть I — под-
пространство в U (G), порожденное одночленами (2),
в которых для некоторого i = 1, 2, . . ., п имеем =# 0.
Очевидно, что I — двусторонний идеал в U (G). Кроме
того, U (G) = Е ф I, где Е — подпространство, порож-
денное одночленами (2), в которых $х = ...== sn = 0.
В силу значительной произвольности выбора многочленов
fi можно считать, что di 1 для всех Z = 1, . . ., п.
В этом случае G^E, и при композиции естественных ото-
бражений
=4
6.3. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ 251
G изоморфно вкладывается в ассоциативную алгебру А
такую, что dim A <1 drd2 . . . dn < оо. Таким образом,
G изоморфно вложима в алгебру Ли вида (Л], где А —
конечномерная ассоциативная алгебра с единицей. Иско-
мым представлением является левое регулярное представ-
ление алгебры А (см. конец п. 1.6.2). Теорема доказана.
6.2.5.	Простые модули в характеристике нуль.
Теорема. Пусть G — полупростая алгебра Ли
над полем Л характеристики нуль. Тогда всякий конеч-
номерный G-модуль V разлагается в прямую сумму
простых G-модулей, (см. [23, стр. 67]).
Если Л — алгебраически замкнутое поле, G — полу-
простая алгебра Ли с подалгеброй Картана Н и базисом
В системы корней Я, то любой конечномерный простой
G-модуль М однозначно определен линейной функцией
со ЕЕ Н* (старший вес) такой, что со (Ла) есть целое неот-
рицательное число для всех a ЕЕ В. Если p = -i- а,
а-К-ь
то размерность такого модуля М определяется формулой
(см. [24, стр. 334—336]). Понятно, что число* простых моду-
лей любой фиксированной размерности конечно. Функция
со есть вес модуля М, и если v — ненулевой вектор веса
со в Л/, то М является линейной оболочкой множества
всех векторов вида
е\. . . e-asv, ах, ...» а, е -Я+, Pi, . . Р, > 0.
Отсюда видно, что для любого натурального I число про-
стых G-модулей М, в которых е1ах = 0 для всех а ЕЕ В
и х е М, конечно.
6.3.	Общие результаты о специальных алгебрах Ли
6.3.1.	Определение и примеры. Алгебра Ли L над
коммутативным кольцом А с 1 называется специальной
алгеброй Ли, если она изоморфна подалгебре алгебры Ли
вида [Л], где А — ассоциативная PI-алгебра над А.
Разумеется, абелева алгебра Ли над произвольным
кольцом является специальной. Следующий пример (см.
[124]) показывает, что существуют конечномерные ниль-
потентные алгебры Ли над подходящим А, которые не
252	ГЛ. 6. спёцйальнЬхё алгёёрЬг Лй
1
вложимы ни в какую ассоциативную алгебру (не только
в PI-алгебру). Пусть Л — факторкольцо кольца Z2 [£1?
f2, *31 от трех переменных t2, t3 над полем Z2 по идеалу,
порожденному одночленами 4» 4» 4» a L — свободная
нильпотентная ступени 2 алгебра Ли над Л со свободными
порождающими х19 х2, я3. Обозначим через Х2, Х3
образы порождающих элементов кольца многочленов
в Л. Обозначим через М идеал в L, порожденный элемен-
том и = ,к1х1 + Х2я2 -j- Х3я3. Этот идеал является Л-обо-
лочкой элементов и, х±и = ^2ххх2 4“	х2и =
=	+ Х3Я2Я3, Х3и = ХрЕз#! + Х2я3я2. Понятно, что
тогда элемент v = Ъ^х^ 4-	+ ^^х2х3 не лежит
в М. Пусть <р — любое отображение из L в ассоциативную
Л-алгебру А, такое, что (р (аЬ) — [<р (а), (р (&)]. Тогда
(ф (w))2 = V2 (ф (*1) Ф (®г) + Ф (®2)’ф («1)) +
4- ХхХ3 (<р (хх) <р (х3) + <р (®8) ф (жх)) +
+ Х2Х3 (ф (х2) ф (х3) 4- ф (х3) ф (ж2)) =
= 'Хх%2 [ф (ягх), ф (х2)] + 1хХ3 [ф (жх), ф (xs)] +
+ М>з 1ф (*а)» Ф (®з)1 = Ф (у)-
Это показывает, что при любом гомоморфизме алгебры
ЫМ в алгебру, вида [А], где А — ассоциативная алгебра,
ненулевой элемент v 4- М переходит в нуль.
Все же, если Л — поле, то любая конечномерная ал;
гебра Ли является специальной. Действительно, согласно
теореме Адо — Ивасавы (см. 6.2.3), алгебра L обладает
точным конечномерным представлением, т. е. вложима
в алгебру Ли вида [Епс1дУ], где dim V < оо. Поскольку
конечномерная ассоциативная алгебра удовлетворяет стан-
дартному тождеству подходящей степени, алгебра Ли L —
специальная. Ниже мы увидим, что нильпотентная ал-
гебра Ли L над кольцом А такая, для которой каноничес-
кое отображение е: L —> U (L) инъективно, является спе-
циальной (см. 6.3.7).
6.3.2.	Вопрос о наследственности. Последнее замеча-
ние из 6.3.1 позволяет легко построить пример специаль-
ной алгебры Ли, гомоморфный образ которой не является
специальной алгеброй. Для этого достаточно в качестве
основного кольца А' взять любое целостное кольцо,
гомоморфным образом которого является А из примера
6.3.1. В качестве алгебры Ли следует взять свободную
нильпотентную ступени 2 алгебру Ли N над основным
кольцом А' достаточно большого ранга (такого, чтобы L
6.3. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,О СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ 253
была гомоморфным образом алгебры N). Алгебра N
является свободным А'-модулем, значит, согласно тео-
реме Пуанкаре — Биркгофа — Витта (см. 2.5.3) вложима
в U (N). Согласно 6.3.7 А— специальная алгебра Ли, а
ее гомоморфный образ L/М не является специальной ал-
геброй. В^качестве А' можно взять, например, целостное
факториальное кольцо 2	/2, £3] целочисленных мно-
гочленов от трех переменных. В случае, когда А — поле,
вопрос о гомоморфном образе специальной алгебры Ли
остается открытым.
Вопрос о переходе к декартовым произведениям и
подалгебрам, решается следующим образом.
Предложение. Пусть G — специальная алгеб-
ра Ли над кольцом А и Q — квазимногообразие, порожден-
ное алгеброй G (см. 4.9). Тогда любая алгебра L из Q яв-
ляется специальной., В частности, любая свободная
алгебра многообразия V = var (G) является специальной.
Доказательство. Согласно 4.9.3 квазимно-
гообразие — это непустой класс, замкнутый относитель-
но перехода к подалгебрам и фильтрованным произведе-
ниям. В нашем случае достаточно брать подалгебры филь-
трованных степеней алгебры G. Но если G — подалгебра
ассоциативной PI-алгебры А, то L — подалгебра филь-
трованной степени алгебры А относительно того же
фильтра, т. е. по теореме Биркгофа о многообразиях
является подалгеброй ассоциативной PI-алгебры. Пред-
ложение доказано.
6.3.3.	Присоединенная ассоциативная алгебра. Пусть
G — алгебра Ли над кольцом А. Ассоциативная подал-
гебра Ad (G) алгебры EndA<? всех эндоморфизмов А-моду-
ля G, порожденная эндоморфизмами вида ad g, g Е G,
называется присоединенной ассоциативной алгеброй
алгебры Ли G.
Предложение. Пусть G — алгебра Ли такая,
что Ad (G) есть Vi-алгебра иНЕ var (G). Тогда Ad (Н)
также является Р1-алгеброй.
Доказательство. Представим И в виде
П = ИМ, где L — свободная алгебра многообразия
V = var (G), а М — идеал в L. Мы знаем (см. 4.1.4),
что L — подалгебра в декартовой степени G1, где I —
некоторое множество индексов. Пусть а Е Ad (L).
Тогда
а — 3 ad.. . ad
ii,..., it
254	ГЛ. 6. СПЁЦЙАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
где х^ е= L. Переходя к значениям на индексах, получаем
Для любого a S I
а (а) = У1 ad xit (а) . . . ad xit (а) (= Ad (G).
Для любого многочлена / (ух, . . ., ур) видим, что
[/ (ах, . .	ар)(у)] (а) = / (а2 (а), ар (а))(у (а)).
Если / (ух, . . Ур) = 0 — тождество в Ad (G), то из по-
следнего равенства следует, что это — тождество и в
Ad (L). Далее, алгебра Ad (Я) является гомоморфным
образом алгебры Ad (L), значит, также является PI-
алгеброй. Предложение доказано.
6.3.4.	Теорема. Пусть G специальная алгебра
Ли над произвольным полем А. Тогда присоединенная
ассоциативная алгебра Ad (G) является PI-алгеброй.
Доказательство. Пусть А — ассоциативная
PI-алгебра (с единицей) такая, что Gcz[A]. В алгебре
EndAA мы рассмотрим подалгебры Аг и At, порожденные
всеми операторами га и Za, а ЕЕ А, такими, что га (х) —
= ха, 1а (х) = ах, где х ЕЕ А. Тогда А изоморфна алгебре
Аг и антиизоморфна алгебре At. Алгебра Ad ([А]) яв-
ляется подалгеброй в алгебре ArAz, порожденной опера-
торами вида ad а = 1а — га. Так как элементы подалгебр
Аг и Аг попарно коммутируют, то из свойства универ-
сальности тензорного произведения (см. 6.1.11) следует»
что ArAi — гомоморфный образ алгебры Ar (g) А/.
Использовав теорему из 6.1.11, мы увидим, что A^i —
ассоциативная PI-алгебра. Рассмотрим теперь подалгебру
S в AjAh порожденную операторами adA х, х ЕЕ G. Она
является ассоциативной PI-алгеброй и G инвариантна
относительно S. Взяв ограничения операторов из S на
G, получим, что алгебра Ad (G) — гомоморфный образ
алгебры S. Итак, Ad (G) — ассоциативная PI-алгебра.
Теорема доказана.	• -
6.3.5.	Следствие. 1) Любая алгебра без центра
из многообразия, порожденного специальной алгеброй Ли,
сама является специальной.
2)	Пусть G — специальная алгебра Ли. Тогда G удов-
летворяет нетривиальному тождеству как алгебра Ли.
Доказательство. 1) Пусть алгебра Ли G
удовлетворяет условиям этого утверждения. Тогда Ad (G)
является PI-алгеброй. Так как ad: G -> Ad (G) — гомо-
морфизм, ядром которого является центр алгебры G,
то G G/Z (G) является специальной алгеброй Ли.
6.3. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ 255
2)	Согласно предложению из 6.3.3, если G не удовлет-
воряет нетривиальному тождеству, то свободная алгебра
Ли L от произвольного числа порождающих является
специальной. Однако Ad (L (хх, . . ., хл, . . .)) не являет-
ся PI-алгеброй: если / (у1? . . ., ур) = 0 — тождество в
Ad (£(#!,. .., ^п, . ...)), то f (ad хъ . . ., ad хр) (хр+1) = 0.
Используя линейную независимость в свободной алгебре
всевозможных одночленов вида silt . . ., xikxp+i,
у= яр+1 (см. 4.8.1), видим, что / = 0. Следствие доказано.
Первое из достаточных условий специальности ал-
гебры Ли над кольцом А дается ниже. Для простоты
формулировки мы ограничимся случаем свободного
А-модуля.
6.3.6.	Теорема. Пусть алгебра Ли L является
свободным модулем над целостным кольцом A, N — ниль-
потентный идеал в L и G — L/N. Если универсальная
обертывающая алгебра U (G) для G является Р1-алгеброй,
то L — специальная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть сначала А — поле.
Положим N* = L. Пусть Nc ф {0}, а 7VC+1 = {0}.
Выберем базис Е для L в виде непересекающегося объе-
динения Е = Eq J Ег U. • • • U Ес, где Ei U Ем (J ...
. . . U^c — базис для i = 1, 2, . . . Определим вес
элемента х е Е, полагая wt (х) — I, если х Ez Е^ Пусть
— произвольная, полная упорядоченность на Е такая,
что из wt (х) wt (у) следует х у. По теореме’ Пуан-
каре — Биркгофа — Витта (см. 2.5.3) базис алгебры
U (L) образован единицей 1 и всеми упорядоченными од-
ночленами вида
eje2. . . еп, ^ =<	=<...=< en, n> 1.	(1)
Если т — элемент вида (1), то положим wt (тп) = wt (ej +
+ . . . + wt (еп). Если и =	гДе 0 Ф а$ ЕЕ А и
8
ms — одночлен вида (1), то полагаем wt (и) =
= min {wt (ms)}. Положим для удобства wt (0) = + оо
и wt (1) =0. Поскольку в L выполняется 2W] cz
cz Nl+j для всех i, / = 0, 1, . . ., с, мы видим, что
wt ([ж, у]) > wt (ж) + wt (у), где х, у L. Это соотно-
шение позволяет доказать для любых, возможно’неупо-
рядоченных, /1? . . ., fq с= Е неравенство wt (Л . . . fq)>
wt (/i) + . . . + wt (fq). Отсюда для любых u, V ЕЁ
FE U (L) получаем
wt (uv) wt (u)"+ wt (v),	(2)
256	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Поэтому для каждого $ = О, 1, 2, ... множество U8
всех элементов и из U (L) таких, что wt (и) > 5 является
идеалом в U (L). На самом деле, U[ cz Us и Us f] L =
= {0} для всех s с + 1. Первое из соотношений, оче-
видно, следует из (2). Второе следует из того, что веса
ненулевых элементов алгебры L ограничены числом с.
Для окончания доказательства теоремы заметим, что из
соотношения L Г) E7c+i = {0} вытекает изоморфная
вложимость алгебры L в факторалгебру А = U/Uc+i.
Алгебра А является PI-алгеброй, поскольку в ней есть
нильпотентный идеал С71? являющийся в то же время
ядром естественного гомоморфизма из U (L) на U (G) =
= U (L/N). Поэтому, если w = 0 — нетривиальное тож-
дество в U ((?), то wc+l = 0 — нетривиальное тождество
в А. Значит, L — специальная алгебра Ли.
В случае произвольного целостного кольца А пере-
ходим к полю частных М для А и рассматриваем алгебру
LM (см. 1.1.6). Теорема доказана.
Если G = L/N абелева, то U (G) коммутативна. По-
лучаем такой результат.
6.3.7.	Следствие. Пусть L — алгебра Ли с ниль-
потентным коммутантом, в частности нильпотентная
алгебра, являющаяся свободным модулем над целостным
кольцом А. Тогда L — специальная алгебра Ли.
Следующее утверждение важно при изучении расши-
рений специальных алгебр Ли.
6.3.8.	Предложение. Пусть L — алгабра Ли
над кольцом А с рядом идеалов
L = Zq О* Z>2 О • • •	/>п+1 = {0}>
А = Ad (L), Ai — ассоциативная алгебра эндоморфизмов
в	i = 1, . . ., п, индуцированная алгеброй А.
Алгебра А является PI-алгеброй в том и только том слу-
чае, когда для любого 1 = 1, . . ., п алгебра Ai является
PI-алгеброй.
Доказательство. ^Переход от А к At очеви-
ден, так как все At — гомоморфные образы алгебры А.
. В обратную сторону утверждение столь же очевидно,
так как расширение PI-алгебр есть снова Р1-алгебра.
Предложение Т доказано.
6.3.9.	Примеры. 1) Пусть’’ L — алгебра без
центра, в которой есть идеал М такой, что L/M — спе-
циальная алгебра и [L2, М] = {0}. Тогда L — специаль-
6.3. ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О СПЕЦИАЛЬНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ 257
нал алгебра Ли. В этом случае имеется ряд идеалов
L [> М [> {0}. Имеем (Ad	Ad (ЫМ) — спе-
циальная алгебра по 6.3.4, (Ad (L))M — коммутативная
алгебра (детали см. в 6.5.4). По предложению 6.3.8
Ad (L) является PI-алгеброй и L cz Ad (L).
2)	Пусть G — конечномерная неабелева алгебра над
полем характеристики^нуль с точным абсолютно непри-
водимым бесконечномерным представлением р: G->
-> End М. Тогда по л у прямое произведение Ы— G М
не является специальной алгеброй Ли. Действительно,
поскольку при расширении основного поля алгебра Ли
остается специальной и в силу абсолютной простоты
модуля М, можно считать, что основное поле алгебраи-
чески замкнуто. В силу теоремы 6.5.3 любой G-эндомор-
физм модуля М скалярен. Алгебра (Ad (L))|M прими-
тивная с модулем М и централизатором А. По теоремам
6.1.2 и-6.1.3 и в силу сказанного выше размерность М
над А должна быть конечной.
3)	В качестве иллюстрации общего правила примера 2
укажем алгебру Ли L АЪГ2, не являющуюся специаль-
ной. Пусть G = (х, у. z | ху = z, xz = yz = 0), М =
— А [fl. Превратим М в G-модуль, полагая
* ° 7 (0 = /' U), y°f (0 = tf (t), zof (t) = f (t).
Если char A = 0, то M — абсолютно неприводимый
G-модуль и L = G X M — необходимый пример.
4)	Нам понадобится в дальнейшем и пример абсолют-
но неприводимого G-модуля, где G — двумерная мета-
белева алгебра G = (я, у | ху — у). Снова в качестве М
можно взять кольцо многочленов A [fl и положить xf (t) —
= tf (fl, yf (fl = f(t — !)• Как и прежде, L = G/ М-
алгебра Ли (на этот раз из J3), не являющаяся специ-
альной.
5)	Пусть G — алгебра Ли, gl (G) — алгебра Ли
ее А-эндоморфизмов, А = Ad (G) — присоединенная
алгебра. Централизатор С (G) множества А в gl (G)
называется центроидом алгебры G. Понятно, что ес-
ли G — простая алгебра Ли, то по лемме Шура С (G) —
поле, содержащее А (его в этом случае тоже можно
считать полем). Из предыдущих утверждений и теоремы
плотности 6.1.2 без труда выводится, что простая спе-
циальная алгебра Ли является конечномерной над своим
центроидом.
9 Ю. А. Бахтурин
258
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
6.4.	Структура специальных алгебр Ли
над полем характеристики нуль
6.4.1.	Теорема Адо для специальных алгебр Ли.
Классическая теорема Адо 6.2.3, состоящая в том, что
каждая конечномерная алгебра Ли над полем характе-
ристики нуль обладает точным конечномерным представ-
лением, может быть переформулирована следующим
образом. Каждая конечномерная алгебра Ли L изоморф-
на, подалгебре алгебры Ли вида [А], где А — конечномер-
ная ассоциативная алгебра. Эта теорема, впрочем, оче-
видна для алгебр Ли с нулевым центром: достаточно рас-
смотреть гомоморфизм ad: L -> End L. Рассмотрение
общего случая в характеристике нуль сводится, согласно
теоремам Леви 6.2.1 и Ли 1.8.3, к случаю алгебр вида
L = G ф М, где G — полупростая подалгебра (для нее
теорема справедлива как отмечено выше), а М — разреши-
мый радикал, причем идеал N = [L, М\ нильпотентен.
Прямым обобщением этой ситуации является следующее
утверждение.
Теореца. Пусть L — алгебра Ли над полем А,
представленная в виде L = ОфМ, гдеG — специальная
алгебра Ли, а идеал N = [L, М] нильпотентен. Обозна-
чим через V аннулятор' присоединенного G-модуля N
в U (G). Если U (G)/V является Pl-алгеброй, то L — спе-
циальная алгебра Ли.
Для доказательства понадобятся две леммы. Доказав
тельсгво первой — непосредственная проверка — остав-
ляется читателю.
6.4.2.	Лемма. Пусть L — алгебра Ли вида L =
= G ф М, где G — подалгебра и М — идеал. Определим
отображения л: М -> [EndAU (М)] и (р: G -> [EndAt7 (М)],
полагая л (т)(и) = mu, <р (g)(m) == [g,rTn]. Тогда отобра-
жение ф: L -> [EndA U (M)]J такое, что ф (g + т) =
= Ф (g) + л (тп), является гомоморфизмом алгебр Ли.
6.4.3.	Лемма. Пусть G — алгебра Ли и N — под-
модуль G-модуля М такой, что GM cz N. Пусть Тс —
подпространство тензорной алгебры Т = Т (М) = ф М®1
• t=o'
(здесь М®° = А-1), порожденное всеми тензорами вида
?П1 ® тп2 ® . . . ® где mt ЕЕ М и по меньшей мере
с + 1 из элементов mi лежат в N. Допустим, что
U(G)/Ann N — PI-алгебра. Тогда и U(G)/Ann (Т/Тс) —
также Р1-алгебра.
6.4. СТРУКТУРА fi СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0	259
Доказательство. Положим Q = U (G). По
определению структура G-модуля на
является композицией естественной U (£)®*-модульной
структуры на М®*, т. е. такой, что для любых иъ . . .
. . ., Щ G—- U (G) и . ., mi 6— М
0 . . . 0 и,) (тх ® . . . (х) mt) = u^in1 0 . .. 0 ищ, (1)
и гомоморфизма At: G-> U (G)®*, определенного по за-
кону
4 (g) = ,g 0 1 0 . . . 0 1 + 1 ® g 0 . . . 0 1 + . . .
. . . + 1 0 1 0 . . . 0g.
Поэтому достаточно доказать, что существует полиноми-
альное тождество, которому удовлетворяет гомоморфный
образ каждой алгебры U (G)®1 в алгебре Endft (М®ЧТС Q
Далее, поскольку Q/AnnQ(N) является PI-алгеб-
рой, Q/Arhq (М) — также PI-алгебра. Понятно, что
@®fyAnnQ®t(M®*) является гомоморфным образом алгеб-
ры [(УАдшр(М)]®*. Действительно, если (gb . : ., qt) s
ЕЕ ((>/AnnQ(Af), . . ., (>/AnnQ (Л/)), то можно определить
отображение
(«1, • • М ?/)**?! ® ... ® й 4- AnnQS((M<?f). (2)
Если gi = q{ + р, где р G AnnQ (М), то дх ®	® qt—
— q'i 0 . . Qt = Р ®	и этот элемент аннули-
рует М®К По свойству универсальности тензорного про-
изведения отображение (2) продолжается до эпиморфизма.
Поскольку Q/Aurq^M) есть PI-алгебра, по теореме 6.1.11
то же самое верно и для каждого тензорного произведения
[(>/AnnQ®t (М)]®*, значит, и для каждой алгебры
(>®VAnnQ®t(M®*). Пусть w (хь . . ., хп) = 0 — полилиней-
ное тождество, верное во всех этих алгебрах при t = 1, . . .
. . ., с. Докажем, что w (хъ . . ., хп) = 0 выполняется
в образах всех Q®* в End^ (Л/®7ТС Q М®г). Можно,
конечно, предполагать, что t с + 1. Из соотношения (1)
понятно, что образ алгебры Q®* является суммой образов
подалгебр Qivic, являющихся линейной оболочкой тен-
зоров ® . . 0 ип в которых векторы, отличные от
единицы, могут быть лишь на местах ..., ic, 1	...
9*
260	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
» • •	Каждая из этих подалгебр изоморфна
алгебре Q®c и действует на М®1 так же, как Q®c действует
на М®с. Если, далее, (гь . . ., i„) (ju . . ,х jc) hue
е ic \ Qh ’с> Qh jc \ Qit icl то uv дейст-
вует на М®*/Те П М®* тривиально. Следовательно,
при вычислении значения многочлена w (хи . . хп)
в образе алгебры Q®1 мождо ограничиться подстановкой
элементов из некоторой подалгебры Qil.<с. Таким обра-
зом, w (жх, . . хс) = 0 — тождество в образах всех
Q®*. Наконащ поскольку G-модуль Т является прямой
суммой G-модулей Л/®*, алгебра (2/Annq (Т/Тс) является
PI-алгеброй.
6.4.4.	Док азательство теоремы 6.4.1.
Поскольку . G — специальная алгебра Ли, существует
гомоморфизм а из L в PI-алгебру А такой, что Кег а =
= М. Допустим, что нами построен гомоморфизм 0
в другую PI-алгебру В такой, что Кег 0 М = {0}.
Определим у:	X В, полагая у (Z) = (a (Z), 0 (Z)).
Тогда у — необходимый мономорфизм алгебры L в PI-
алгебру. Для построения гомоморфизма 0 мы будем дейст-
вовать, как в теореме 6.3.6. Обозначим через W пересе-
чение идеала Uc+l с U = U (М) {с — ступень нильпо-
тентности идеала N). Пусть л, (р, ф — те же самые, что и
в лемме 6.4.2. Поскольку W инвариантно относительно
л, (р, то же самое верно для ф. Поэтому имеется гомомор-
физм ф: L -+ EndA(ZZ/W). Докажем, что ф (U (L)) ~
PI-алгебра. Из определения универсальной обертываю-
щей алгебры 2.5.1 легко вывести, что алгебра U (М)
изоморфна факторалгебре тензорной алгебры Т (М) по
идеалу, порожденному тензорами вида а 0 b — b 0 а -—
— [а, Ь], а, Ь^М. Далее, G-модуль U (М) является фак-
тормодулем G-модуля Т (7И), и образы элементов из Те
имеют вес с + 1 в U (L) (мы снова используем обозначе-
ния теоремы 6.3.6). Следовательно, на самом деле U/W
является фактормодулем модуля Т/Тс. Если S — анну-
лятор модуля U/W в Q = U (G), то по лемме 6.4.3 мы
видим, что Q/S является PI-алгеброй. Пусть w (хъ . . .
. . ., хп) = 0 — полилинейное тождество^ верное в Q/S.
Мы покажем, что
w (хи . . ., xn)c+1 = 0	(3)
тождественно выполняется в ф (U (L)). Заметим прежде
всего, что если Р — идеал, порожденный идеалом N
в U (L), то ф (Рс+1) = {0}. ДействительнОд каждый эле-
6.4. СТРУКТУРА В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0 261
мент из Рс+1 имеет вес + 1 и является линейной
комбинацией одночленов
• • • eite'h ’ ’ ’ ГДе eii' ’ ’	Е И
. , eir е Е, U . . . U Ес. (4)
Мы можем записать Ео = Eq (J X? г№ Е'о — базис для
G, a Eq U Ег U . . . U Ес — базис для М, так что для
некоторого 5 имеем eit, . . ., eig ЕЕ Eq, eis , . . ., eit Eq.
Применяя гр к (4), мы получаем
’f («ix • • • eir)(?n) =	eis, eis+1 . . . e.rm].
Правая часть имеет вес ;> с + 1, т. е. лежит в W.
Теперь гр (U (L)) является расширением идеала
(Р) при помощи алгебры гр (U (L))/Ip (Р). Последняя
алгебра является образом алгебры U (L/P) = U (L/N),
универсальной обертывающей для G X M/[L, М}. Уни-
версальная обертывающая прямого произведения есть
тензорное произведение U (G) ® U (M/[L, М]). По-
скольку образ гр (U(G)) удовлетворяет полилинейному
тождеству w (хь . . ., яп) == О и так как алгебра
U М]) коммутативна, w	хп) = 0 выпол-
няется в гр (CZ (Ь))/ф (Р). Поэтому (3) выполняется в
гр (tZ (L)), и доказательство закончено.
6.4.5.	Разрешимые идеалы в специальных алгебрах
Ли над полем характеристики нуль.
Лемма. Пусть L — алгебра Ли над полем Л харак-
теристики нуль с точным конечномерным модулем У,
простым над некоторым расширением Л Z) Л. Тогда
каждый разрешимый идеал М алгебры L централен в L.
Если L некоммутативна, а поле Л алгебраически замкну-
то, то в ней имеется подалгебра, изоморфная алгебре
si (2, Л).
Доказательство. , Используя доказательство
теоремы Ли 1.8.3, нетрудно понять, что элементы идеала
N = [L, М\ действуют на V нильпотентно. По теореме
Энгеля 1.7.3 в V есть максимальное ненулевое подпро-
странство W такое, что NW = {0}. Это подпространство
устойчиво относительно L, т. е. W = V. В силу точности
модуля V имеем N = {0}. Таким образом, разрешимый
радикал алгебры L совпадает с ее центром. В силу тео-
ремы Леви 6.2.1 L = G ф Z (L). Значит, если L некомму-
тативна, то G Ф- 0. Согласно 6.2.2 в G есть noflanreepaj
262	ГЛ. в. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
изоморфная алгебре si (2) (если Л — алгебраически замк-
нутое поле). Лемма доказана.
Теорема. Пусть Л — поле характеристики нуль
и М — локально разрешимый идеал специальней алгебры
L. Тогда идеал N = [L, М\ локально нильпотентен.
Доказательство. Достаточно ограничиться
случаем, когда L —-конечно порожденная алгебра.
Тогда L — подалгебра конечно порожденной ассоциатив-
ной PI-алгебры А. Радикал Джекобсона J алгебры А
является нильалгеброй (см. 6.1.4). Факторалгебра A/J
является подпрямым произведением примитивных алгебр
Аа, иЕЕ I, конечномерных над своими центрами Аа.
Каждая алгебра Аа порождена образом алгебры L при
гомоморфизме уа: А -> Аа. Поэтому La = уа Ф) являет-
ся алгеброй Ли с точным простым модулем (можно взять
модуль для Ла) над Аа- По лемме образ Ма = уа (М)
централен в La, т. е. [Z/a, Ма] £ J Для всех аЕ /.
Поскольку пересечение всех Кег уа лежит в /, N = [L,
М] с J. Каждая конечно порожденная подалгебра идеа-
ла N лежит в конечно порожденной подалгебре В радика-
ла J. Так как J — нильалгебра, по следствию 2 теоремы
6.1.8 алгебра В нильпотентна. Стандартное рассуждение
(см. 1.7.3) показывает, что если В нильпотентна ступени
с, то В нильпотентна ступени, не превосходящей 2с — 1
как алгебра Ли. Теорема доказана.
Следствие, (i) Пусть R, N — соответственно
локально разрешимый и локально нильпотентный ради-
калы специальной алгебры L над полем А характеристики
нуль. Тогда [L, Я] cz N. (ii) Пусть А — поле характе-
ристики нуль, L — специальная алгебра над Л, G — раз-
решимая подалгебра в L, х — элемент из G2. Тогда внут-
реннее дифференцирование ad х нильпотентно.
6.4.6.	Основная теорема о конечно порожденных спе-
циальных разрешимых алгебрах Ли. Алгебра Ли L на-
зывается почти разрешимой, если она обладает разре-
шимым идеалом конечной коразмерности. Для описания
почти разрешимых специальных алгебр Ли нам понадо-
бится одна лемма.
Лемма. Пусть А — конечно порожденная ассоциа-
тивная PI-алгебра. Если J — ниль-идеал в А, конечно
порожденный как идеал алгебры А, то он нильпотентен.
Доказательство. Пусть {аь . . ., ап} —-
порождающее множество алгебры Л, {Ьъ . . ., Ът} — по-
рождающее множество идеала /. Рассмотрим свободную
6.4. СТРУКТУРА В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0 263
алгебру F многообразия V ассоциативных алгебр, по-
рожденного алгеброй F, со свободным порождающим мно-
жеством {хъ . . .,	. ., ут}. Согласно теореме о вы-
соте 6.1.8, если d — степень нетривиального тождества
алгебры F, то F имеет ограниченную высоту (скажем, h)
относительно конечного множества W одночленов в ал-
фавите {хъ . . ., ут} степени, не превосходящей d — 1.
Значит, любой элемент из F есть линейная комбинация
одночленов вида
. Wi\ е W, s < h.	(5)
Построим . отображение (p: FА, полагая <p (xt) = a,-,
ф (yf) = i = 1, . . ., n, j = 1T . . m. Пусть T —
подалгебра алгебры J, порожденная конечным множест-
вом одночленов . . cr, г < d — 1, где с19 . . ., сг —
это элементы из {а19 . . ., Ьт), причем по меньшей мере
один из элементов с19 . . ., сг лежит в {Ьь . . ., Ьт}. Тогда
Т — конечно порожденная ниль-алгебра, т. е. по след-
ствию из 6.1.8 Т — нильпотентная алгебра ступени,
скажем, I. Пусть теперь q hl. Доказательство леммы
будет завершено, если мы покажем, что любое произве-
дение вида	*
t = ufii.Vi . . . UgbiVq,	(6)
где izi, У], ..., uq, vq — произведения элементов множе-
ства (а19 . . ., а„), равно нулю. Элемент (6) есть
образ элемента t' вида щу^'х . . . u'qyiqvq, где uj, i^, . . .
. . . , uq, v'q — слова в алфавите хъ . . ., хп. Как и любой
элемент в F, элемент f представим в виде (5). Тогда эле-
мент (6) представим в виде линейной комбинации про-
изведений вида	. -Wis- Степень элемента (6)
относительно множества {^, . . ., ут} равна q^> hl. Зна-
чит, буквы из {ух, . . ., ут} входят в некоторое в степе-
ни к{. I. Тогда Wi,i = 0. Итак, элемент (6) равен нулю.
Лемма доказана.
Теорема. Пусть Л — поле характеристики нуль
и L — специальная алгебра над Л. Если L разрешима, то
L2 локально нильпотентна. Если L — конечно порожден-
ная (почти) разрешимая, то она (почти) алгебра с ниль-
потентным коммутантом. Существуют разрешимые спе-
циальные алгебры Ли L с ненильпотентным коммутан-
том L2.
264	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Доказательство. Первое утверждение непо-
средственно следует из теоремы п. 6.4.5. Пусть, далее,
L — подалгебра Ли ассоциативной PI-алгебры А. По-
скольку L — конечно порожденная алгебра, то же самое
можно предполагать справедливым для А. По предполо-
жению L обладает разрешимым идеалом М таким, что
dim (L/M) < оо. То же самое рассуждение, что и в тео-
реме 6.4.5, показывает, что N = [L, М} лежит в радикале
Джекобсона J алгебры А. Алгебра L/N является расши-
рением идеала M/\L, М] при помощи факторалгебры L/M.
Поскольку обе алгебры конечномерны, L/N конечномерна
и А — конечно порожденный идеал в L (см. 6.5.6). Пусть
I — двусторонний идеал алгебры Л, порожденный идеа-
лом N. Поскольку L порождает А, I — конечно порожден-
ный двусторонний идеал алгебры А. Идеал J/I является
идеалом ассоциативной алгебры А/Z, являющийся гомо-
морфным образом универсальной обертывающей алгебры U
для L/N. Известно (это будет доказано в 6.6.1), что U —
нётерова алгебра, и, таким образом, J/I — конечно порож-
денный идеал в АН. Следовательно, J — конечно порож-
денный идеал в Л. Применяя лемму, мы видим, что, как
и требовалось, А = [L, М] — нильпотентный идеал. Если
L — разрешима, то М = L, и, значит, идеал L2 ниль-
потентен.
Докажем последнее утверждение теоремы. Для этого
возьмем поле А характеристики =/=2 и допустим, чтд
L = G X М, где G — алгебра Грассмана с порождающим
множеством {хг, . . ., хп, . . а М — левый регуляр-
ный G-модуль (см. 1.6.2), т. е. то же самое векторное про-
странство относительно умножения на элементы из G слева.
Алгебра G является алгеброй Ли относительно коммутатора
[ж, у] = ху — ух, & М — абелева алгебра Ли. Базис для G
образован элементами вида х^х^. . . Xin, ii<[ • • •
. . . < in, n > 1. Чтобы избежать двусмысленности, обо-
значим соответствующие элементы из М буквами у^ Итак,
коммутатор двух элементов х^ . . . х^ из G и у^ . . .
из М дан формулой
[^ . . . Xim, ук... у}п] = yil . . . У1тУ* . . . у}п.
Понятно, что М является левым G-модулем, если G рас-
сматривается как алгебра Ли. Таким образом, L — алгебра
Ли. Понятно, что G удовлетворяет тождеству [[ж, у], z] = О,
т. е. является нильпотентной ступени 2 алгеброй Ли. По-
6.4. СТРУКТУРА В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0	265
этому L является разрешимой алгеброй Ли. Производная
алгебра L2 для L натянута на xiy. ... х^ и у^ук . . . у.^
где t, г > 1. Таким образом, для любого п 1, следую-
щий коммутатор элементов из L2 не равен нулю
[^1^2» #3X4, . • ., ^2n-1^2n, У2п+11 = У1 • • • I/Sn+l*
Поэтому L не является алгеброй с нильпотентным комму-
тантом. То, что L является специальной алгеброй Ли,
легко вытекает из теоремы 6.4.1. Доказательство теоремы
закончено.
В работе [27] отмечено, что алгебра L, построенная
в только что доказанной теореме, допускает представление
т	G\ „
в виде L = К где G — то же, что и в теореме, отно-
сительно обычной операции взятия коммутатора двух
матриц. Отсюда также вытекает специальность алгебры L.
Следствие. Гомоморфный образ конечно порож-
денной разрешимой специальной алгебры Ли над полем
харакшерцстики нуль является специальной алгеброй Ли.
Для доказательства основного результата настоящего
раздела нам понадобится одно вспомогательное утвержде-
ние.
6.4.7.	Лемма. Пусть G — конечномерная полупро-
стая алгебра Ли над полем Л характеристики нуль и
V — некоторый G-модуль. Допустим, что аннуляторы всех
главных факторов модуля V принадлежат конечному мно-
жеству {Л, ...» Л} идеалов алгебры U (G), причем
dim U (G)/Pi < оо. Тогда V — локально конечномерный
модуль.
Доказательство. Достаточно рассмотреть
случай, когда V — циклический модуль. Поскольку
U (G) — нётерова алгебра (см. 6.5.1), модуль Vf нётеров.
Пусть Т — произвольный подмодуль в V такой, что
dim V/Т < оо. В силу полупростоты алгебры G V/Т —
прямая сумма модулей с аннуляторами из множества
{Р1?..., Ps}(cm. 6.2.5). Поэтому, если Z = Anni7(G) (7/Т),
то dim U (G)/I m для некоторого целого тп. Это пока-
зывает, что dim V/Т ограничена числом т. Пусть под-
модуль То таков, что dim (У/То) — наибольшая возмож-
ная конечная размерность. Поскольку V нётеров, То Ф V
и TQ конечно порожден. Если То нетривиален, то анало-
гичный аргумент может быть применен к циклическому
фактормодулю модуля То, в результате чего получается
подмодуль Тг модуля TQ, для которого dim (У/То) <
263 .	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
< dim (7/Ti) <Z 00 • Таким образом, То тривиален, и до-
казательство закончено.
6.4.8.	Теорема. Пусть Л — поле нулевой харак-
теристики и L — конечно порожденная почти разрешимая
специальная алгебра' Ли. Тогда L является расщепляемым
расширением конечномерной полупростой подалгебры G и
разрешимого идеала М таким, что каждый главный фактор
естественного G-модуля М имеет ограниченную конечную
размерность.
Доказательство. Пусть М — разрешимый
идеал алгебры L такой, что G = L/M — конечномерная
полупростая алгебра Ли. По теореме из 6.4.6 N = [L,
Ml — нильпотентная алгебра Ли, a L/N— конечномер-
ная алгебра. Применяя теорему Леви (см. 6.2.1), мы ви-
ним, что
L/N = G/N х M/N.
где G = G/N — полупростая подалгебра и MIN — цен-
тральный идеал. Алгебра G естественным образом пред-
ставлена эндоморфизмами пространств A*/A*+1, t =
= 1, . . ., с, где Ас =/= {0}, Nc+1 = {0}. Чтобы убедиться
в этом, определим 6г, t 1, . . ., с, таким образом. Пусть
х G= G, g + N — соответствующий смежный класс из
G/N (g ЕЕ G), у = п + Ni+1 — элемент из	(п ЕЕ
G А*). Положим
«г (*) (у) = [g, n] + Nt+1:	(7)
Поскольку N централизует каждый фактор А*/А*+1, это
определение корректно.
Заметим, что, взяв конечное расширение основного
поля, можно считать алгебру G и все ее конечномерные
представления такими же, как в случае алгебраически
замкнутого поля. В этом случае говорят, что алгебра G
является расщепленной. Итак, допустим сначала, что
алгебра G расщепленная. Пусть Т — конечно порожден-
ная подалгебра алгебры L такая, что Т + N/N = Я ®
ф А— Алгебра Т является специальной разрешимой
алгеброй Ли, что позволяет применить теорему 6.4.6.
Существует натуральное число d такое, что любое ассо-
циативное произведение не менее d элементов из Т2 рав-
но нулю. Аналогично, существует п такое, что любое
произведение не менее п элементов из ассоциативного
идеала С, порожденного идеалом N в А, равно нулю.
Пусть еа = ха + N, ha == уа + А, ха, уа е Т. Тогда
6.4. СТРУКТУРА В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0	267
жа 4" N =	= — 2 1 xa<i уа] 4“ ЛГ, т. е. ха = 2 1 Ii/а»
яа] + р, Р е N- Вычислим a£+n“1 = (2"1 [уа, ха] 4- p)d+n-1.
Правая часть является линейной комбинацией одно-
членов вида
[^а> Уа]8 Р1Р2 • • • Pd+n-1-s?
где 0 < s < d 4- П — 1 и Рх, р2, . . Pd+n-i-s е С.
Отсюда и следует желаемое. Поскольку G конечномерна,
рассуждая точно так же, мы получаем систему элементов
ха, а ЕЕ 7?, и натуральное число Г такие, что еа = жа4-
4- N и х1а = 0. Вспоминая определение (7) представле-
ния 6^, мы выводим существование числа I такого, что
Sz (х)1 = 0 для всех х ее AL. Согласно 6.2.5 существует
лишь конечное число неприводимых представлений
Pi, . . •, Pq таких, что каждый главный фактор из Nl/Ni+l
изоморфен модулю одного из р1? . . ., рд. Поэтому только
конечное число идеалов Р1? . . ., Ps алгебры U (G) могут
быть аннуляторами неприводимых модулей, встречающих-
ся в и dim U (G)/Pi < 00, i= 1, . . ., s, t = 1, . . , с.
Если отказаться от предположения, что G = ЫМ —
расщепленная полупростая алгебра Ли, то существует
конечное расширение Л поля Л такое, что алгебра Ли
Ga = G ®Л Л расщепленная полупростая алгебра.
Понятно, что G^^L^IM-^ Поскольку [X, У]д =
= [Х^, Уд], X, У с L, все предыдущие рассуждения
применимы и к L%. Следовательно, лишь конечное число
идеалов Q14 . . ., QT алгебры U (G-) = U (G)^ могут быть
аннуляторами главных факторов бг^-модулей	=
(7Vf/2V<+1)^. Допустим, что Р аннулятор в U (G)
некоторого главного фактора S модуля 7VZ/7VZ+1. Тогда
Р%— аннулятор модуля 8^ в U (G^). Известно (см., на-
пример, примечание на стр. 42), что 8^ — прямая сумма
конечного числа неприводимых G—подмодулей. Значит,
Рд = Qu П • • • П Qis> 1 < *1, • • •» h < г- Отсюда вы-
текает, Что конечно и число аннуляторов вида Р. Тем
самым наше утверждение об ограниченности размерности
главных факторов доказано и в общем случае.
Для завершения доказательства теоремы нам нужно
показать, что L является расщепляемым расширением
идеала М при помощи подалгебры G' = G. Применим
индукцию по с, ступени нильпотентности идеала N.
268	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Поскольку L/N расщепляема, базис для индукции имеет-
ся. Для доказательства индуктивного шага допустим, что
G' — подалгебра в L ^акая, что G' ZD Nc и G'INC = G.
Пусть {е19 . . ., еп} — базис в G' над Nc. Тогда [еь ej] =
=	+ “о. где е Л и ui} ЕЕ №. Пусть V —
подмодуль G-модуля 7VC, порожденный элементами
1 г, ] п. По лемме 6.4.7 модуль у конечномерен.
Обозначим через G подалгебру в L, порожденную элемен-
тами е19 . . ., еп. Понятно, что G Q Nc = V и GIV
= G + Nc/Nc с; G'!NC = G. Поэтому G конечномерна.
По теореме Леви существует подалгебра G алгебры^ G,
изоморфная алгебре G. Поскольку G полупроста, G Q
П М = 0 и, следовательно’, L — расщепляемое расшире-
ние идеала М при помощи подалгебры G. Каждый глав-
ный фактор S модуля М как G-модуля изоморфен неко-
торому главному фактору из N^N^1 или MIN как G-
модуля. Из 6.2.5 и леммы 6.4.7 получается, что dimA (S) —
конечное ограниченное число. Теорема доказана.
Из только что доказанной теоремы и теоремы 6.4.1
получается основной результат настоящего раздела.
6.4.9.	Теорема. Пусть Л — поле характеристики
нуль. Конечно порожденная почти разрешимая алгебра Ли
L является специальной тогда и только тогда, когда она
является полупрямым произведением конечномерной полу-
простой алгебры G на разрешимый идеал М такой, что
N = [L, М} нильпотентен и все главные факторы G-
модуля М имеют конечную ограниченную размерность. М
имеет конечное число порождающих как алгебра Ли.
Доказательство. Необходимость доказана
в 6.4.8. Для доказательства достаточности следует заме-
тить, что факторалгебра U (G)/Annu^N в данном случае
является PI-алгеброй, и применить теорему 6.4.1. Дока-
зательство последнего утверждения с использованием
теоремы Пуанкаре Биркгофа — Витта 2.5.3 и леммы
6.4.7 оставляется читателю в качестве упражнения.
Теорема доказана.
6.5.	Тождества специальных алгебр Ли
над полем характеристики нуль
6.5.1.	Специальные многообразия алгебр Ли. Много-
образие алгебр Ли над коммутативным кольцом Л на-
зывается специальным, если оно порождается некоторой
6.5. ТОЖДЕСТВА В СЛУЧАЕ ПОЙЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0 269
специальной алгеброй Ли. В настоящем разделе мы изу-
чаем специальные многообразия над полем нулевой ха-
рактеристики. Заметную роль в изучении специальных
многообразий играет следующий результат.
Предложение. Пусть L — свободная алгебра
некоторого многообразия V алгебр Ли над полем А
характеристики нуль, aZ — Z (L) — центр этой алгебры.
Допустим, что LIZ — специальная алгебра Ли. Тогда и
L — специальная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть X — свободное по-
рождающее множество алгебры L. Поскольку L ~
F/V (F), где F — свободная алгебра Ли, а V (F) —
ее вербальный идеал, причем, согласно 4.2.9, идеал
V (F) устойчив относительно дифференцирований, то
любое отображение множества X в L продолжается до
дифференцирования алгебры L (см. 2.5.6). Мы рассмотрим
тождественное отображение множества X. Оно продол-
жается до дифференцирования d: L L, при котором
любой однородный элемент а степени п переходит в па.
Таким образом, Кег d = {0}. Взяв М = Ad X L, мы
получим алгебру Ли М без центра, в которой L лежит
в качестве идеала. Рассмотрим ассоциативную алгебру
Ad (М) и ее .подалгебру S, порожденную всеми внутрен-
ними дифференцированиями adM#> ХЕЕ L. Тогда, посколь-
ку Z (М) = 0, отображение х adM£ есть мономорфизм
из L в [5]. В то же время 5 — это PI-алгебра. Действи-
тельно, пусть f (хх, .. ., хг) = 0 — нетривиальное тож-
дество алгебры Ad (LIZ) (см.^теорему 6.3.4). Тогда
х0/ (^1? • • ., хт) = 0 — нетривиальное тождество в Ad (L).
Поскольку L <] М, видим, что
X()f (х1 > • • • > Хг) ХГ+1-0
— тождество в ассоциативной подалгебре S. Таким об
разом, L — специальная алгебра Ли; Предложение до
казано.
Напомним, что подмножество решетки R называется
ее идеалом, если для любых х, у ЕЕ S, а ЕЕ R имеем
х\/ у Е S х /\аЕ 8, где\/ — операция объединения,
а Д — операция пересечения.
6.5.2.	Предложение. Совокупность s (А) спе-
циальных многообразий над полем А характеристики
нуль является идеалом решетки v (А) всех многообразий
алгебр Ли над А.
270	гл. е. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Доказательство. Пусть Г, F Е5 (А), т. е.
существуют специальные алгебры Ли G ЕЕ U, Н ЕЕ V,
порождающие эти многообразия. В этом случае прямое
произведение К = G X Н порождает многообразие
TJ (J V и, очевидно, является специальной алгеброй.
Поэтому U U V Es(A). Допустим, далее, что U —
подмногообразие в специальном многообразии V. Рас-
смотрим свободную алгебру L счетного ранга многообра-
зия U. Пусть G — специальная алгебра, порождающая
многообразие V. По лемме из 6.3.3 Ad(L) является PI-
алгеброй (условия этой леммы выполнены, так как по тео-
реме 6.3.4 Ad (G) является PI-алгеброй). Таким образом,
6/Z — специальная алгебра. Согласно предложению из
6.5.1 и сама алгебра L является специальной. Поскольку
L порождает U, видим, что U — специальное многообра-
зие. Предложение доказано.
Основной результат настоящего раздела — необходи-
мые и достаточные условия, при которых произведение и
коммутатор двух многообразий являются специальными
многообразиями.
6.5.3.	Теорема. Пусть U,V — два неединичных
многообразия .алгебр Ли над полем А характеристики
нуль. Произведение UV является специальным тогда и
только тогда, когда U нильпотентно, а V абелево.
Доказательство. Каждое ненулевое многооб-
разие алгебр Ли содержит многообразие А абелевы^
алгебр Ли, а каждое неабелево многообразие алгебр Ли
над бесконечным полем содержит многообразие
Таким образом, еслиР неабелево, то F Е a UV
2 A~N\. Однако алгебра L из примера 3 п. 6.3.9 лежит
в АТ?2 и не имеет центра. Согласно 6.3.5 тогда многообра-
зие AN2 не является специальным. В этом случае по
6.5.2 и многообразие UV не является специальным.
В дальнейшем считаем, что V = А.
Рассмотрим теперь вербальное 17-сплетение двух одно-
мерных алгебр L = (Аа) wr^ (АЬ) (см. 4.4.1). Алгебра L
лежит в TJА и является расширением 17-свободной алгеб-
ры счетного ранга при помощи одномерной алгебры.Число
порождающих алгебры L равно двум. Допустим, что
многообразие U А специально. Тогда А = Ad (L) являет-
ся PI-алгеброй. Алгебра А — конечно порожденная PI-
алгебра. Согласно 6.1.4 и лемме из 6.4.6 любой конечно
порожденный идеал из радикала Джекобсона нильпотен-
тен. Если все примитивные факторы алгебры А коммута-
6. и. ТОЖДЕСТВА В СЛУЧАЕ ПОЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0	271
тивны, то алгебра L разрешимая. Действительно, в этом
случае коммутант этой алгебры лежит в конечно порож-
денном идеале алгебры 4, лежащем в J 4). Следователь-
но, разрешимой является и 17-свободная алгебра счетно-
го ранга, являющаяся подалгеброй в L. Итак, многообра-
зие U разрешимо. Согласно 4.6.2 либо U нильпотентно,
либо U содержит многообразие Д2 всех метабелевых ал-
гебр Ли. Во втором случае UA Д3, а это многообразие
не является специальным.
Допустим теперь, что не все примитивные факторы ал-
гебры 4 коммутативны. Тогда и у алгебры L имеется го-
моморфный образ, изоморфный некоторой некоммутатив-
ной алгебре Ли М, являющейся неприводимой алгеброй
Ли линейных операторов некоторого конечномерного
вёйторного пространства над подходящим расширением
Л' поля Л. Тензорно умножая на алгебраическое замы-
кание Л" поля Л', мы видим (см. 6.4.1), что в многообра-
зии UА лежит алгебра G = si (2, Л") матриц второго
порядка со следом нуль. В силу определения произведе-
ния многообразий коммутант алгебры G = si (2, Л") дол-
жен лежать в U. Поскольку G = G2, видим, что G ЕЕ
В алгебре G есть двумерная неабелева подалгебра Н.
Она ненильпотентна и, значит, порождает многообразие
А2. Снова UА Д3, следовательно, многообразие UА
и в этом случае не является специальным. Итак, если НА
специально, то U нильпотентно, и теорема в одну сторону
доказана. В обратную сторону утверждение теоремы вы-
текает из 6.3.6. Впрочем, достаточно использовать тот
факт, что А^Д порождается алгеброй Ли верхних тре-
угольных матриц порядка с + 1 (см. 4.5.6, пример 2).
Теорема доказана.
6.5.4т	, Коммутаторы специальных многообразий. Тео-
рема 6.5.3 не дает новых примеров специальных многооб-
разий. В этом смысле представляет интерес теорема о ком-
мутаторах многообразий, приводимая в этом пункте. Для
ее доказательства нам понадобится одно вспомогательное
утверждение.
Лемма. Пусть М— идеал алгебры Ли L такой, что
CL (М)	L2. Если Ad (ЫМ) является PI-алгеброй, то
и R'~ Ad (L) — также PI-алгебра.
Доказательство. Согласно доказательству
предложения 6.3.9 лемма верна, если мы докажем, что
(Ad (L))M — коммутативная алгебра. Однако если а —
= ad . . . ad ea, b= ad Д . . .ad ft—два произвольных
272	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
одночлена из Ad (L), то
[а, 6] = У, ad ev.. ad е^г ad	. ad ad [ei9 fj] ad ei+1... ad ft-
i, d
Видно, что [а, M GE Аппр (M), что и требовалось дока*
зать. Лемма доказана.
Т е о р е м а. Коммутатор [U, V] двух специальных
многообразий над полем А характеристики нуль специа-
лен тогда и только тогда, когда одно из этих многообра-
зий абелево.
Доказательство. Допустим, л что ни одно
из U, F не является абелевым. Тогда [U, V] [jV2,
Последнее многообразие по определению есть не что иное,
как АА72 — многообразие, не являющееся специальным.
Противоречие. Для доказательства теоремы в обратную
сторону, рассмотрим свободную алгебру L счетного ранга
многообразия [17, А]. По определению в L есть идеал М
такой, что ЫМ ЕЕ 17, причем \М, L2] = {0}. Как и преж-
де, Ad (ЫМ) является PI-алгеброй. Применяя лемму,
видим, что Ad (L) — также PI-алгебра. Согласно предло-
жению из 6.5.1 алгебра L специальная. Поскольку много-
образие [U, А] порождается алгеброй L, оно специально,
и теорема доказана.
6.5.5.	Ряд коразмерностей специального многообразия.
Пусть F — специальное многообразие алгебр Ли над по-
лем A, S = L (X, V) — свободная алгебра счетного
ранга многообразия F. Тогда L cz А, где А — некоторая
PI-алгебра, порожденная множеством X. Пусть F =
= F (X, W) — свободная алгебра многообразия W ассо-
циативных алгебр, порожденного алгеброй А. Тогда
тождественное отображение множества X продолжается
до гомоморфизма <р из F в А. При этом, очевидно,
Рп (Ю <Р {Рп (TF))- Это рассуждение и теорема 6.1.10
показывают, что справедливо следующее утверждение.
Предложение. Рост любого специального мно-
гообразия алгебр Ли над полем не превосходит экспонен-
циального.
6.6.	Универсальная обертывающая
конечномерной алгебры Ли.
Некоторые результаты и приложения
В этом разделе мы докажем в основном вспомогатель-
ные результаты, относящиеся к структуре и представле-
ниям универсальной обертывающей алгебры конечномер-
ной алгебры Ли.
i	6.6. ЕЩЕ ОБ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 273
I 6.6.1. Теорема. Пусть G — конечномерная алгебра
Ли над полем A, U (G) — ее универсальная обертывающая
алгебра. Тогда U (G) — нётерова алгебра.
I	Доказательство. Рассмотрим U = gr U (см.
<	2.5.4). Как мы знаем, если {е±, е2, . . ., еп} — базис алгеб-
i ры G, то Е7 изоморфна алгебре многочленов A [еп . . ., еп]
при изоморфизме ег et + /70, i = 1, . . ., п. Докажем,
что любой, скажем, левый, идеал I алгебры U порождает-
ся конечным числом элементов. Для этого рассмотрим
> идеал I = gr I (см. 1.10.4). По теореме Гильберта о бази-
се I — конечно порожденный идеал. Пусть элементы
u1? и2, . . ., ит из U таковы, что gr . . ., gr ит —
. порождающие в I. Докажем, что любой элемент и I
лежит в идеале, порожденном . . ., ит. Допустим,
что и ЕЕ Us. Рассмотрим ах, . . ., ат такие, что
gr и = gr argr иг + . . . + gr am-gr ит =
= gr (aiux + . . . + атит).
1 Элемент и —• а^ — ... — атип лежит в Gs_j Q I.
Индукция по s с очевидным основанием при s = 0 завер-
шает доказательство теоремы.
6.6.2.	Эндоморфизмы простых 6г-модулей. Согласно
лемме Шура кольцо D эндоморфизмов простого G-модуля
М — тело, являющееся алгеброй над основным полем А.
Если М конечномерен над основным кольцом А, а А
алгебраически замкнуто, то, разумеется, D == А. Однако
если М бесконечномерен, то такое утверждение для про-
извольной алгебры Ли уже неверно (см. 6.8). Здесь мы
v докажем это утверждение в случае, когда dimG<;oo.
| Сначала одно вспомогательное утверждение. В формули-
ровке этого утверждения символом А/, где А — комму-
тативная А-алгебра, а / — элемент, не являющийся дели-
телем нуля, обозначено подкольцо кольца частных для А,
порожденное кольцом А и элементом
Лемма. Пусть А — коммутативное кольцо без де-
лителей нуля, В — коммутативная А-алгебра с конечным
ь числом порождающих и с 1, а М — некоторый конечно
порожденный В-модуль. Тогда существует элемент / ЕЕ
Е Л \ {0} такой, что At 0 М — свободный Армодуль.
Доказательство. Проведем индукцию по чис-
лу порождающих модуля М. По индукции достаточно
4 считать, что М — циклический модуль, т. е. фактормо-
дуль модуля В. Поскольку фактормодуль в данном слу-
274	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
чае есть конечнопорож денная коммутативная алгебра,
достаточно рассмотреть сам А-модуль В. Пусть {хх, . . .
. . .,хп} — порождающее множество для А-алгебры В.
Для v = (тг, . . vn) Gz Nn положим xv = х*1 . . . a?nn.
Рассмотрим на N” упорядоченность прямого произведе-
ния упорядоченных множеств (см. 5.2.1). Положим
# bv= з #;= S AxV'-
v'<v	v'<v
Пусть x* — образ элемента xv в BvIBy. Обозначим через
Iv аннулятор элемента х% в А. Тогда понятно, что если
vi < v2» то Л2. Пусть S — подмножество в Nn,
состоящее из тех v, для которых Iv =/= {0}. Согласно 5.2.3
в S имеется лишь конечное множество минимальных эле-
ментов, причем каждый элемент мажорирует некоторый
минимальный. Если v1? . . ., vr таковы, то • • •>	—
минимальные идеалы. Поскольку в А нет делителей нуля,
идеал I = IV1 П • • • П ненулевой. Возьмем f I.
Тогда для каждого v А/-модуль At 0 (BylBy) либо
нулевой, либо свободный. Поскольку At 0 В — после-
довательное расширение свободных А/-модулей, то он
свободен. Лемма доказана.
6.6.3.	Теорема. Пусть Х-алгебра С наделена воз-
растающей фильтрацией {(7°, С1, С2, . . .}. Допустим,,
что ассоциированная градуированная алгебра С = gr С
конечно порождена и коммутативна. Рассмотрим простой
С-модуль М и допустим, что D — тело С-эндоморфизмдв
модуля М. Если d ЕЕ D, то d алгебраично над Л.
Доказательство. Пусть А есть Л-подалгебра
в D, порожденная элементами Ind. Если d трансцендент-
но, то А = Л [d]. Обозначим через V алгебру А 0 С.
Тогда М естественным образом превращается в У-модуль,
если положить (d 0 с)-т = d (cm), d ЕЕ А, с ЕЕ С, т ЕЕ
ЕЕ М. Алгебра V фильтрована подпространствами Vr =
= А 0 Сг. Если mQ — ненулевой элемент в М, то М
становится фильтрованным У-модулем, если положить
Mr = Ypn^. Таким образом, VrMs cz Mr+s для любых
г, s = 0, 1,2,... Если рассмотреть gr М, то этот мо-
дуль — циклический gr У-модуль. Алгебра gr У — конеч-
но порожденный A-модуль. По лемме 6.6.2 найдется / =/=
=# 0 такой, что А/ 0 gr М — свободный А/-модуль. По-
скольку А/ — кольцо главых идеалов, то прямые слагае-
мые свободного модуля свободны, т. е. для любого г =
— 1,2,... МГ!МГ_Х — свободный Ay-модуль. Отсюда
6.6. ЕЩЕ ОБ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ ’ 2/5
и Af 0 М — свободный Агмодуль. Пусть теперь g =/= 0 —
элемент из А, не являющийся делителем никакой степени
элемента /. Тогда отображение а ga кольца Af в себя
не сюръективно. Поэтому и умножение на g в Af 0 М
не сюръективно. Однако g (а 0 тп) = ga 0 тп= а 0 gm.
Поскольку g EzD, отображение g gm — изоморфизм
по лемме Шура. Противоречие. Теорема доказана.
Назовем G-модуль абсолютно простым (абсолютно не-
приводимым), если он остается простым при любом рас-
ширении основного поля.
। л е д с т в и е. Пусть G — конечномерная алгебра Ли
над полем Л, М — абсолютно проетой G-модуль. Тогда
любой' G-эндоморфизм модуля М скалярен.
Доказательство. Достаточно в качестве С
в теореме взять универсальную обертывающую алгебру
U (G) с ее естественной фильтрацией. Любой эндоморфизм
G-модуля М есть эндоморфизм U (С)-модуля М. Пусть
d — этот эндоморфизм. Тогда, взяв алгебраическое замы-
кание Л поля Л, можно рассмотреть G.-модуль Л 0 М.
Оператор 1 0 d лежит в алгебре G--эндоморфизмов этого
л
модуля. В силу абсолютной простоты модуля М получен-
ный модуль Л 0 М — это простой U (G)--модуль. По
____________________________________ Л
теореме оператор 1 0 d принадлежит Л. Однако 1 0 d
переводит 1 0 М в себя. Значит, d ЕЕ Л, что и требова-
лось. Следствие доказано.
6.6.4.	Теорема Гильберта о нулях.
Пусть Л* — расширение поля Л такое,, что А' —
конечно порожденная А-алгебра. Тогда расширение Л'
алгебраическое.
Доказательство. По условию Л' Л [хп . ..
. . ., хп]/1, где I — максимальный идеал. Таким образом,
Л' — простой G-модуль, где G—абелева алгебра с базисом
{жп . . ., хп}. Кроме того, Л' С2 Endo Л'. Значит, по
теореме 6.6.3 все элементы из Л' алгебраичны над Л.
Теорема доказана.
Непосредственным следствием доказательства этой тео-
ремы является то, что если G — конечномерная абелееа
алгебра Ли, то любой неприводимый G-модуль конечно-
мерен.
6.6.5.	Простые (7-модули в случае, когда основное
поле имеет положительную характеристику. Как следует
из примеров п. 6.3.9, нйд полем характеристики-нуль
276 *
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
конечномерная алгебра Ли может иметь бесконечномер-
ные простые модули. Сейчас мы покажем, что в случае
поля характеристики р 0 любой простой G-модуль,
где dimG<oo, конечномерен. Такой модуль является
фактормодуйем универсальной обертывающей алгебры
U (G) по максимальному левому идеалу I. Согласно лем-
ме из 6.2.3 в U (G) есть центральная подалгебра Ях,
изоморфная кольцу многочленов от п переменных, где
п = dim G, и такая, что U (G) — конечно порожденный
7?-модуль. Базис алгебры U (G) имеет вид
• • • еппУ1 . . . JZnn> где 0 < lt < dt, 0<sb
причем ух, . . ., Уи центральные. Они и порождают цен-
тральную подалгебру R — Л [у1? . . ., уп}. Значит, если
тп0 — ненулевой элемент из М, то М — линейная обо-
лочка элементов вида
«1 • • • е1ппУ1 • • • Уппт0, 0 < It < dt, 0< sb (1)
Заметим, что элементы yt перестановочны с ej, т.е. как
элементы алгебры EndA М они лежат в End<j М. В силу
теоремы 6.6.3 элементы уг алгебраичны, i = 1, . . ., п,
т. е. найдутся многочлены gf е Л U] такие, что
Si (Уд то = 0- Если qi — степень многочлена gh то вид-
но, что М — линейная оболочка элементов вида (1), где
уже Si < qb i = 1, . . ., п. Значит, М конечномерен.
Теорема. Пусть G — конечномерная алгебра Ли
над полем Л характеристики р 0 и М — простой,
G-моду ль. Тогда dim М <оо. Более того, если А —алге-
браически замкнутое поле, то размерность dim М огра-
ничена константой, зависящей только от G.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая часть теоремы уже
нами доказана. Для доказательства второй части достаточ-
но заметить, что в случае алгебраически замкнутого поля
числа qi, определенные выше, равны 1, т. е. М есть линей-
ная оболочка элементов (1), где = . . . == sn = 0.
Таким образом, dim М ограничена числом dx. . . dn, не
связанным с М. Теорема доказана.
6.6.6.	Финитно аппроксимируемые алгебры Ли. Мы
применим полученные результаты к изучению одного из
условий конечности для бесконечномерных алгебр Ли —
финитной аппроксимируемости. Алгебра Ли G называет-
ся финитно аппроксимируемой, если дли любого g =/= 0
из G найдется гомоморфизм ф из G в конечномерную ал-
гебру F<p такой, что ф (g) #= 0 в F<p. Подобно, любому
условию конечности (это можно принять за определение
6.6. ЕЩЕ ОБ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ
277
условия конечности) данное условие выполняется в лю-
бой конечномерной алгебре Ли, но не выполняется в не-
которой бесконечномерной алгебре. Разумеется, любая
абелева алгебра Ли над полем является финитно ‘аппро-
ксимируемой. Однако уже нильпотентная алгебра ступе-
ни 2 не обязана быть финитно аппроксимируемой. Напри-
мер, алгебра Н с базисом {xt, yt, z | i ЕЕ Z} и таблицей
умножения, в которой произведение двух базисных эле-
ментов равно нулю во всех случаях, кроме =
= —y^i = z, i GE Z, не является финитно аппроксими-
руемой. Действительно, лри^любом гомоморфизме (р:
Н F, где F — конечномерная алгебра, <р (z) = 0. Для
доказательства этого заметим, что найдутся не все нуле-
вые %!, . . ., такие, что Ххф (х/ ) + . . . +	(х^ =
— 0. Если 0, то запишем:
о = (Х.1Ф («,,) + . . . н- Х&Ф (xik)) <р (yti) =
= <р ((Vn + • • • +	у и) =	(2),
что л требуется. Этот пример показывает, что вопрос
о финитной аппроксимируемости наиболее интересен в слу-
чае конечно порожденных алгебр Ли.
Теорема. Пусть S — конечно порожденная алгебра
над полем Л с абелевым идеалом А и факторалгеброй G —
= S/А такой, что алгебра G конечномерна, а если Л —
поле характеристики нуль, то дополнительно G абелева.
Тогда S — финитно аппроксимируемая алгебра.
Доказательство. Как ^отмечалось в 1.6.6,-
абелев идеал А является G-модулем, если л сложить
ga = [ж, а} для g = х + А. Пусть . . ., sn —
порождающие для S. Отметим, что G-модуль А — конеч-
но порожденный модуль. Действительно, представим S
в виде факторалгебры конечно порожденной свободной
алгебры L (х1, ...» хп), и пусть R при этом соответствует
идеалу А. Тогда L/R — конечномерная алгебра. Бело
{et, . . ., вт} — базис для L по модулю R, то для любых
1 Ь 7 < 7П» имеем
т
rij = [ег9 ejl Sj cijek й,
К=1
где Cij — структурные константы конечномерной алгеб-
ры LIR в базисе {е± + R, . . ., ет й}. Покажем, что
ги, как многочлены ют хг, . . ., хп,— порождающие идеа-
ла R. Действительно, пусть J — идеал, порожденный эле-
ментами rih 1	, 7 иг. Тогда, с одной стороны, J CZ й.
278	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Значит, отображение х1	хп sn продолжается
до гомоморфизма из LU на LIR. С другой стороны, если
rtj = 0 в некоторой факторалгебре алгебры Z, то эта
факторалгебра имеет размерность <; п. Значит, J = R,
что и требовалось. Теперь понятно в силу абелевости идеа-
ла А, что он является конечно порожденным G-модулем.
Для доказательства финитной аппроксимируемости алгеб-
ры S достаточно доказать, что для любого s^= 0 имеется
идеал I конечной1 коразмерности такой, что s I. Если
5 А, то в качестве I достаточно взять А. Остается для
любого а Е Л найти в А G-подмодуль Т такой, что
dim AIT < оо и а & Т. Возьмем максимальный G-под-
модуль Q такой, что а Q. Такой подмодуль существует
по лемме Цорна. Тогда факторалгебра S/Q удовлетворяет
всем условиям теоремы, но дополнительно ее идеал М,
порожденный элементом а = а + Q, ненулевой, содер-
жащийся в любом другом ненулевом идеале. Мы назовем
М монолитом алгебры S/Q. Итак, будем считать с самого
начала, что S — монолитная алгебра, т. е. с ненулевым
монолитом М. Достаточно доказать, что тогда А — конеч-
номерный G-модуль. Заметим сначала, что монолит М —
это простой G-модуль. Согласно 6.6.4 и 6.6.5 модуль М
конечномерный. Пусть R = Л [у1? . . ., уп] — централь-
ная подалгебра в U (G) такая, что U (G) — конечно по-
рожденный Я-модуль. Такая подалгебра существует
в случае, когда char Л = р > 0 по лемме 6.2.3. В слу-
чае, когда char Л = 0, алгебра G по условию абелева, и
можно положить R = U (G). Пусть г s R Q Апп^ М.
Рассмотрим убывающий ряд {/-подмодулей А0 — А, At =
= ггА, i = 1, 2, . . . Либо найдется $ такое, что As = {0},
либо At э Ммы всех i = 1, 2, . . . Допустим, что спра-
ведливо второе. Рассмотрим {/-подмодули Bt = Кег гг,
i = 0, 1, 2, . . . Поскольку U — нётерова алгебра,
а модуль А — конечно порожденный {/-модуль, А — нё-
теров {/-модуль. Значит, найдется номер р такой, что
Вр = Вр+1 = . . . По выбору элемента г имеем также
Вр М. Пусть т 0 — элемент из М. Тогда найдется
а А такой, что т = гра =/= 0. Однако 0 = гт =
= гР+1а = 0. Поэтому а ЕЕ Вр+1 \ Вр. Противоречие.
Значит, грА = 0. Итак, любой элемент г Е Я П АппуМ
действует в А как нильпотентный оператор. Отметим, что
в силу конечномерности модуля М имеем dim/J?/(fi Q
П Аппц М) < оо. Тогда для любого у^ i = 1, . . ., и,
найдется многочлен gj ЕЕ Л U] такой, что gi (yt) Е Л П
6.6.гЕЩЕ ОБ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 279
П Ann М. Как и в доказательстве теоремы 6.6.5, А
является линейной оболочкой элементов вида
,>	4 • • • el”yil. .. ynnz£... z*ait i =
<где a19 . . aq — образующие (7-модуля Л, zt = gt (yt),
i = 1, . . ., n, причем 0< Zf	deg gb 0 < ti <
<Z nt, где число ni таково, что z^A = {0}. Значит, А —
конечномерное векторное пространство над А. Теорема
доказана.
6.6.7.	Примеры. Приведем примеры конечно по-
рожденных алгебр Ли, достаточно близких к метабелевым
(про которые мы только что узнали, что они финитно
аппроксимируемы), но не являющихся финитно аппро-
ксимируемыми.
1)	Пусть char А = 0, L — алгебра из примеров 3),
4) п. 6.3.9. Тогда L = G М, где dim G = 2, 3, а М —
простой бесконечномерный G-модуль. Алгебра L не яв-
ляется финитно аппроксимируемой, так как при любом
гомоморфизме из L на конечномерную алгебру идеал М
отображается в нуль. Заметим, что в случае, когда алгеб-
ра G трехмерная нильпотентная, L е= AN %.
2)	Над любым полем можно построить конечно порож-'
денную центрально метабелеву алгебру L, которая не
является финитно аппроксимируемой. Для этого нужно
взять алгебру Н из первого абзаца п. 6.6.6 и определить
дифференцирование d: Н -> Я, полагая d	—
—xi+i, d (i/i) = у^ — yi+1, d (z) = 0, i EE Z. Читатель легко
проверит, что d — действительно дифференцирование.
Построим полупрямое произведение L = Ad X Н (см.
1.4.4). Алгебра1 L может быть порождена элементами
d, Xq, хг, yQ, yv Кроме того, она содержит подалгебру Н,
обладающую тем свойством, что при любом гомоморфизме
в конечномерную алгебру ее элемент z отображается
в нуль. Значит, L не финитно аппроксимируема.
Эти примеры приводят к следующим задачам: 1) Опи-
сать все многообразия, в которых все алгебры — финитно
аппроксимируемые. Эта задача, очевидно, имеет смысл
лишь в случае конечных полей. 2) Описать все многообра-
зия, в которых все конечно порожденные алгебры финит-
но аппроксимируемые. Обе задачи пока не решены.
6.6.8.	Аппроксимация и сплетение. Алгебра G назы-
вается нильпотентно аппроксимируемой, если для любого
0 #= g G G найдется гомоморфизм <pg из G в нильпотент-
280	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
ную алгебру Ng такой; что <pg (g) =/= 0. Эквивалентное
условие: пересечение членов ниж^го центрального ряда
алгебры G равно нулю. Действительно, если П Grt={0},
П=1
то для любого 0 =/= g ЕЕ G найдется п такое, что g Gn.
При естественном гомоморфизме G-+ G/Gn имеем
en (ё) =# 0, a G/Gn — нильпотентная алгебра. Обратно,
оо
пусть G — нильпотентно аппроксимируема и gE П Gn.
Если g 0, то для некоторого (р: G -> 7V, где N ниль-
потентная ступени с алгебра, имеем <р (g) =/=(). В то же
время (р (Gc+1) = (<р (G))c+1 = 7VC+1 = {0}. Так как g е
S Gc+1, имеем (р (g) ЕЕ <р (Gc+1) = {0}. Противоречие.
Эквивалентность условий доказана.
Для приложений к теории групп нам понадобится такое
утверждение.
Предложение. Пусть W = A wtu L, где L —
нильпотентная алгебра, а А — свободная алгебра полиод-
нородного многообразия U над полем Л. Тогда W ниль-
потентно аппроксимируема.
Доказательство. Примем обозначения дока-
зательства теоремы 6.3.6, причем в данном случае L
совпадает со своим нильпотентным идеалом N. Пусть
U3, s = 0, 1, 2, . . ., — идеал ассоциативной алгебры
U (L), являющийся множеством всех элементов веса,
большего или равного 5. Согласно предложению 4.4.2 W =
=L X К, где К является 17-свободной алгеброй со свобод-
ным порождающим множеством Y вида
их, где u = ех... ei > ... >	х Е X, « > 0,
(2)
X — свободное порождающее множество для А. Опреде-
лим вес элемента (2) как wt (и) + 1. Если а — одночлен
от порождающих элементов вида (2), то определим его вес
как сумму весов порождающих элементов, произведению
которых он равен. Пусть теперь Кп — линейная оболоч-
ка одночленов от Е, имеющих вес не меньше п. Тогда
Кп — идеал в К. Более того, если et ЕЕ Е, и — одночлен
из Un-i, то (ad ei) (их) = (etu) х. Так как е^и <=Е Un, то
(ad et) (их) ЕЕ Кп+1, т. е. Кп — идеал в W. Поскольку
каждый элемент из К имеет вполне определенный вес,
оо
понятно, то П ^« = {0}. Далёе, для любого 5 алгебра
8=1
6.7. ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 281
W/Ks нильпотентна. Действительно, применим теорему
1.7.8 к»алгебре ИУ/G и ее идеалу К + Ks/Ks. В силу от-
меченного выше свойства еКп cz Кп+1, мы видим, что
алгебра (W/KS)/(K +	нильпотентна. Поскольку
K/Ks нильпотентна, то и W/Ks — нильпотентная алгебра.
Итак, Ж аппроксимируется набором нильпотентных алгебр
вида И7А’з, $ = 1, 2, . . . Предложение доказано.
6.7. Тождества универсальной обертывающей алгебры
Особый класс специальных алгебр Ли составляют такие
алгебры Ли G, для которых уже универсальная оберты-
вающая алгебра U (G) является PI-алгеброй. Мы дадим
полное описание этого класса, что, помимо понятного соб-
ственного интереса, имеет приложения к теории представ-
лений алгебр Ли в характеристике р 0.
6.7.1.	Описание универсальных обертывающих алгебр
Ли с тождеством в случае, когда char Л = 0. Здесь мы
покажем, что если U (G) является PI-алгеброй, то G —
абелева алгебра Ли.
Лемма. Любая конечномерная неабелева алгебра Ли
G над алгебраически замкнутым полем содержит либо
двумерную метабелеву, либо трехмерную нильпотентную
подалгебру.
Доказательство оставляется читателю в качестве не-
сложного упражнения, связанного с рассмотрением соб-
ственных значений операторов ad я, х ЕЕ G.
Заметим, что если G обладает бесконечномерным абсо-
лютно простым модулем М, то U = U (G) не может быть
PI-алгеброй. Действительно, согласно теореме плотности
6.1.2, если I = Аппс/М, то для любого п в U/I есть подал-
гебра, гомоморфным образом которой является алгебра
Лп. Дело в том, что согласно 6.6.3 в этом случае EndcF ==
= Л. По теореме 6.1.3 в U не может выполняться нетри-
виальное тождество. Отсюда вытекает, что над алгебраи-
чески замкнутым полем характеристики 0 алгебра U (G),
где G — конечномерная неабелева, не может быть PI-ал-
геброй. Остается осуществить переход к произвольному
полю характеристики 0 и произвольной размерности ал-
гебры G. Первое — просто. Действительно, если U (G) —
PI-алгебра, то в ней выполняется нетривиальное поли-
линейное тождество. Далее, если Л — алгебраическое
замыкание поля Л, то U (Л 0 G) = Л 0 U (G). По-
этому Л 0 G — абелева алгебра, т. е. и G — абелева
282	гл. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
алгебра. Теперь пусть G — алгебра произвольной раз-
мерности над полем Л, a U (G) — PI-алгебра. Согласно
6.1.5 и 6.1.6 U (G) вкладывается в тело D, конечномерное
над своим центром Z. Алгебра Ли G = GZ cz D конечно-
мерна над Z. Ее базис над Z может быть выбран из эле-
ментов elf . . ., еп алгебры G. Рассмотрим универсальную
обертывающую V конечномерной Z-алгебры Ли G.
Ее ассоциативная А-подалгебра W, порожденная А-под-
алгеброй Ли G, является PI-алгеброй (как гомоморф-
ный образ алгебры U (G)). С другой стороны, V = WZ,
так как, согласно 2.5.3, базис для V над Z состоит из
упорядоченных одночленов от е19 . . ., еп. Таким образом,
V является PI-алгеброй, и по первой части доказатель-
ства G абелева. Тогда и G абелева. Итак, имеем
следующий результат.
Теорема. Пусть А — поле характеристики нуль.
Универсальная обертывающая алгебра U (G) для алгебры
Ли G над А является PI-алгеброй тогда и только тогда,
когда G — абелева алгебра.
Основной нашей темой в остальной части настоящего
раздела будет случай поля простой характеристики. Сле-
дующий пункт посвящен доказательству вспомогательного
результата. Предварительно определим ширину элемента
х алгебры Ли G как число Ъ (х) = dim G/Gg (х).
6.7.2.	Теорема. Пусть G — алгебра Ли над полем
А такая, что для некоторого натурального Ъ имеем
Ь (х) <Z Ъ для любого х ЕЕ G. Тогда dim G2 < b2.
Доказательство. Нам будет удобно перейти
на язык билинейных отображений. Мы рассмотрим более
общую задачу: дано билинейное отображение (р: U X
X V W. Если и ЕЕ U, то (u) = dim (7/Аппф и),
а (у) = dim (7/Аппф и). Понятно, что (и) =
= dim <р (и, 7), Ьф (у) = dim ф (t7, v). Поскольку
ф (U, 7) — не обязательно подпространство в W, то через
W обозначим линейную оболочку множества ф (U, 7).
Допустим, что существуют натуральные г, 5 такие, что
для любых и ЕЕ U, v ЕЕ V Ь<р(и) < г, Ьф(г) <1 5. Понятно,
что для доказательства теоремы достаточно показать,
что dim W' гз. Действительно, в этом случае можно
положить U, 7, W равными (?, а в качестве ф взять ото-
бражение ф: G X G -> G такое, что ф (g1? g2) = gigz-
Ясно, что линейная оболочка Аф (G, G) тогда равна G2.
Итак, будем решать задачу о билинейном отображении.
Допустим, что г з, и проведем индукцию по г с очевид-
6.7. ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 283
ным основанием при г = 0. Таким образом, если
(и) г — 1, то dim W' < (г— 1) 5. Возьмем теперь
ux е U тдкой, что Ьф (их) = г. Пусть X = Аппф (и^ cz
о У, Y = Аппф (X) cz U. Рассмотрим естественное ото-
бражение W -> ТУ1 — И7ф (иъ У), и пусть фх —
билинейное отображение <рх = 'фз.ср: U X У -> Wv При
этом, понятно, Аппф1 (и) = У. Заметим, что для лю-
бого V 6= U \ Y имеем (и) г — 1. Действитель-
но, ^в этом случае существует элемент х ее X такой, что
\р (и, х) 0. Тогда и ф (и + иъ х) 0. Положим tZ* =
= Au + Au2 = А (и +	+ Au, и T = Аф (CZ*, У).
Тогда
Т = ф (и, 7) + <р (иь У) = ф (и, У) + ф (и + иь У).
Поскольку, далее, <р (в, V) П Ф (и + мь У) 3 Ф (и, х) =
= ф (и + «1, ж) =/= 0, имеем dim Т 2г — 1. Поскольку
dim ф (ult У) = г, получаем
ЬФ1 (м) = dim фх (и, У) dim 77ф (ult У) г — 1.
Если теперь и для всех i/Е У имеем ЬФ1 (у) г — 1, ’
то, по предположению индукции, dim Лфх (С7, У) =С
(г — 1) s. Тогда все доказано, поскольку
dim Лф (U, У) = dim Лфх (U, У) + dim ф (иХ) У)
(г — 1) s + г (г — 1) з + з = rs.
В противном случае мы найдем элемент щеУ такой, что
&Ф> (иг) = г. Обозначим через ф2 естественное отображение
из в W2 = И\/ф1 (и2, У). При билинейном отобра-
жении ф2 = трафх: U X У -> 1У2 имеем АппФ, (щ) =
= АпПф, («х) = У- Если У, то ф2 (и, У) = фх (и, У) +
+ Фх (“а, Ю/ф1 (“а, У)- Как и прежде, &ф2 (и) < г — 2
для всех и е U \ Y. Рассуждая в том же духе, мы
или получаем последовательность билинейных отображе-
ний фх, ф2, . . ., ф| и линейных отображений ч|?х, . . ., ip,,
t г, таких, что:
(i)	фг+i = ’ЬмФь dim (Кег 1|>г) = г,
(ii)	Ьф. (w) г — i для всех и У,
(iii)	b<pt (у) < г — t для всех у е У,
или г = t. В случае г = t имеем Лфг (U, У) = Лфг (У, У)
и Лф (U, У) — Лф (У, У), поскольку Кег (фг. .ipx) £
сг Лф (У, У). Однако если {i>x, . . ., vr} — базис для У
284
ГЛ. б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ’АЛГЕБРЫ ЛИ
по модулю подпространства X, то
Лер (У, V) = ср (У, гх) + . . . + ф (У, vr) + ф (У, X).
Поскольку ф (У, X) = 0 и ф (У, vt) $, имеем dim W' <
rs. Если t <Z г, то поскольку b<pt (и) г — t, имеем
по индукции dim Лф^ (17, V) (г — t) s. Однако
dim Лф (С7, V) = dim Лф^ (U, V) + dim Кег (г^ . . .xpx)<^
{г — t) s + tr (г — t) s + ts = rs,
Тем самым теорема полностью доказана.
6.7.3.	Теорема. Пусть G — алгебра*Ди над не-
которым полем простой характеристики р 0. Ее уни-
версальная обертывающая алгебра является Р1-алгеброй
тогда и только тогда, когда выполняются два следующих
условия:
1)	G содержит абелев идеал Н такой, что
dim (б/Я)< оо;
2)	для любого х ЕЕ G внутреннее дифференцирование
ad х алгебраично ограниченной степени, зависящей только
от G.
Доказательство. Необходимость этих условий
будет доказана в теоремах 6.7.6 и 6.7.9. Покажем их до-
статочность.
Представим алгебру G как прямую сумму подалгебры
Н и некоторого дополнительного подпространства
F: G = Н ф F и выберем некоторый вполне упорядочен-
ный базис Е в Н и базис {/х, /2, . . ., /п} в F, где п =
= dim (G/Н). Тогда по теореме Пуанкаре — Биркгофа —
Витта 2.5.3 базис в U (G) можно выбрать в виде
. .fnn, > е2> . . .> et, ei^E,r}^0.
Согласно 6.2.3 можно найти р-многочлены фх, ф2, . . ., фп
так, что фг (ad fa) = 0 и = фг (fa) Z (U), i = 1, 2, . . .
. . ., п, причем базис алгебры U можно выбрать в форме
Л	Л „Si Si	Sn	ХГП	/Л\
е^въ. . . e^Zi z2 . . . zn fa fa • • • fn 9	(1/
*!>•••> ^9 d S E, Sj >0, 0 < Г; < deg Ф;.
Легко видеть, что элементы (1) при гх = г2 = . . . = гп =
= 0 образуют коммутативное подкольцо S кольца U —
кольцо многочленов Л [£*; zx, z2, . . ., zn] и что U — сво-
бодный левый 5-модуль с конечным числом d порождаю-
щих: d (deg фх). . . (deg фЛ). Рассмотрим Ends (U) и
вложим U в Ends (U), переводя элемент х в Нх, х ЕЕ U.
6.7. ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 285’
Это определение корректно, так как U — левый 5-модуль,
a Rx —-умножение справа. Однако Ends (U) Sd
удовлетворяет стандартному тождеству степени d + 1 и,
таким образом, является PI-алгеброй. То же самое верно
и для U. Достаточность условий теоремы доказана.
Перейдем к доказательству необходимости) условий
этой теоремы. Пусть G — алгебра Ли над некоторым по-
лем Л, Дп — Дп (G) — множество всех элементов х ЕН G
таких, что b (х) п (см. 6.7.1). Тогда, хотя Дп не являет-
ся даже подпространством, мы скажем, что элементы
хх, х2, . . ., хт линейно зависимы по модулю Дп, если
i существуют не все равные нулю ах, о^, . . ., ат СЕ Л
такие, что а1х1 + а2я2 + • • •+ Vm е Дп.
6.7.4.	Предложение. Предположим, что для
алгебры Ли G существуют натуральные числа т, п такие,
что любые т элементов алгебры G линейно зависимы по
модулю &п. Тогда G обладает подалгеброй Н такой, что
dim (G/Н) и dim (Я2) конечны.
Доказательство. Пусть т — наименьшее
число с таким свойством, и выберем некоторые ег, е2, . . .
. . ., линейно независимые по модулю Дп. Обозна-
чим через Н подалгебру, порожденную множеством Дп.
Тогда Н = Дп + Н Р) Е, где Е — линейная оболочка
множества {ег, . . ., так как по нашим условиям
для любого h ЕЕ Н имеем h +	+ а2е2 + . . .
• • • + ате-1«т-1 s Ап- Пусть {/х, /2,	— базис под-
пространства Н Q Е. Заметим, что если х,уЕ Дп (G)t
то х + у и [х, у] е Д2п (G), поскольку, скажем,
CG (х + у) CG (х) П CG (у) и dim (G/Cg (х) Q CG (у)) <
2п. Используя это замечание, легко найти такое поло-
жительное число N, что bG (h) N для любого h ЕЕ Н.
Действительно, каждый элемент из Н представим в виде
линейной комбинации не более чем т слагаемых, имею-
щих вид х Е Дп или Pf/j, i = 1, . . ., q. Каждый из этих
последних элементов лежит в Н = alg (Дп) и, значит^
представим в виде конечного числа одночленов некоторой
конечной длины относительно ДЛ. Теперь, понятно,
bH (h) bG (h) N для всех h s Н. По теореме 6.7.2
тогда dim (Я2) N2, причем неравенство dim (G/Н) <
< оо следует из Я 2 Дп. Это и требовалось доказать.
6.7.5.	Предложение. Пусть G — алгебра Ли
над некоторым полем Л и А — ее абелева подалгебра ко-
нечной коразмерности/ Тогда G обладает абелевым идеа-
лом Н также конечной коразмерности в G.
286
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Доказательство. Обозначим через [nG, А] =
= IG, . : G, А] подпространство алгебры G, порож-
п
денное одночленами вида
§2» • • •» Sm Si GA = 1» 2, . . ., п, а ЕЕ А,
п >
и определим неубывающую цепочку подпространств
i =0, 1, 2,. . ., полагая Во — А, Bs+1 = В8 + [($+ 1) G, Al.
По нашему условию для некоторого г имеем Br+1t=
= Вг, и легко видеть, что Вг — идеал алгебры G. Пусть
теперь т — dim (G/А), и пусть gx, g2, . . gm образуют
базис алгебры G по модулю подалгебры А. Определим
невозрастающую цепочку абелевых подалгебр Ау, / =
= 0, 1, 2, . . ., полагая Ао = А 4 взяв в качестве А/
подмножество элементов х из Az-X таких, что [ж, gj] ЕЕ
ЕЕ А/-!, у = 1, . . ., т. Ясно, что [G, AJ с; Ahl. Пока-
жем, что также
1)	dim (G/Az) < оо, I = 0, 1, 2, . . .,
2)	[Az,	= 0, I = 0, 1, 2, . . .,
для чего используем индукцию по Z, причем случай
I = 0 тривиален. Рассмотрим тогда билинейное отобра-
жение Ai-г X G -> G -> G/Ai-i, индуцированное умноже-
нием в G. Так как Az — левое ядро этого отображения и
поскольку dim (G/Az-f) < оо по предположению индую-
ции, dim (Af-i/Aj) конечна, значит, то же самое верно и
для dim (G/Az). Утверждение 2) столь же просто. Дей-
ствительно, если уже [Аг__ВЬ1] = {0}, то по тождеству
Якоби'
[Аь = [Az, Bi-! + ZG, ЛИ =[AZ, Bi-!\ + IAZ, ZG, A] =
= I [A„ Gl, l(Z -1) G, A]] + [G, Ab (Z - 1) G, A] о
[Az_i, B^] = 0.
Рассмотрим теперь идеал Br алгебры G и обозначим через
Н его центр. Тогда, согласно 1) и 2), имеем
dim (Вг/Н) dim (Br/Ar) dim (G/Ar) < оо.
Поскольку центр идеала — сам идеал, доказательство
предложения полностью закончено.
6.7.6.	Предложение. Пусть G — алгебра Ли
над некоторым полем Л, U (G) — ее универсальная обер-
тывающая алгебра, удовлетворяющая нетривиальному
полиномиальному тождеству. Тогда существуют нашу-
6.7.	ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 287
ральные числа*т и п такие, что любые т элементов алгеб-
ры G линейно зависимы по модулю Дп (G).
Доказательство. Так как U (G) не имеет де-
лителей нуля, то применима теорема 6.1.6. Обозначим
размерность тела частных Q алгебры U = U (G) над своим
центром Z через т — 1. Тогда, если даны произвольные т
элементов хъ х29 . . ., хт из алгебры G, то существуют
не все равные нулю центральные элементы a^i1, а2Ъ^\ . ..
• . •»	ЕЕ СЛ 1 <1 i нг, такие, что
4“ *^2^2 ^2 4“ • • • 4“ ^т^т^тп = 0.	(2)
♦
Пусть х — произвольный элемент из G; взяв коммутатор
равенства (2) с х, умножая обе части на bib2. . .Ьт и заме-
тив, что aibi1^ . . .bm = bv . .b^aib^bi. . .bm = Ci EE U9
i = 1, . . ., m, мы получаем	k
x] Ci 4" [x2, *^1 ^2 4“ • • • “I” ^m ==
где не все. Ci равны нулю. Рассмотрим 7? = gr (U) =
= Л [G], где G отождествляется с подпространством эле-
ментов степени 1 в кольце многочленов Л [G]. Обозначим
через Д, Д, • • •> fm образы элементов с2, . . ст в R.
Тогда мы имеем равенство
[#!, х] fi 4“ [х2, х] f2 4" ... 4“ [#т» fm = 0	(3)
в R = Л [G], верное тождественно для любого х ЕЕ G.
Теперь мы можем рассмотреть систему
Ml + ^хгД 4“ • • » + Яхт^т
х е G, axt= [х, xj, (4)
линейных уравнений в кольце многочленов R = Л [G],
имеющую нетривиальное решение (Д, Д, . . ., fm) из (3).
Тогда, так как кольцо R не имеет делителей нуля, сущест-
вует некоторое Z, 0 М I < иг, такое, что все миноры из
матрицы коэффициентов системы (4), имеющие порядок
Z, равны нулю. Выберем Z минимальным с этим свой-
ством. Если Z = 0, то axi = [х, xj = 0 для всех х е G,
откуда Xi ЕЕ Z (G) £ Д„, п > 0. Если Z > 0, то сущест-
вует нетривиальный минор Р порядка Z с элементами
Уъ Уг, • • -,yi^ G, К, «2, • • й} с {1, 2, . . т}.
Пусть ii+i ЕЕ {1, 2, . . ., тп}\ {Z1? Д, . . ., ZJ, х — произ-
вольный элемент из G. Тогда, разлагая следующий минор
288
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
порядка I + 1


Д . л . л . л .
xii XI» хг1 xif+i
[j/t,	[t/i,
[Ур 41 ••• [Уг> *iZHyp *i.+1]
[х,	... [я,	[х,«4г+1]
по последней строке, мы получим соотношение вида
1®ь х] g! + [х2, х] g2 + . . . + [хт, х] gm = О, ф
где не все glt g2, . . gm равны нулю (например, £;;+1 =
= Р =£ 0). Более того, если V— подпространство алгеб-
ры G, порожденное элементами [ys, xir], 1 > I. то
dim (Г) < I (I 4- 1)< mz и gx, g2, . . ., gm i= Л [V].
Положим теперь n = m2 и, предполагая, без потери
общности, что gm Ф 0, докажем, что элементы х17 х2, . . .
. . ., хт линейно зависимы по модулю Ап (6?). Проведем
индукцию по числу ненулевых коэффициентов в (5). Если
т = 1, то [хт, х] gm = 0 влечет в Я, йе имеющем делите-
лей нуля, равенство [жт, я] = 0 для любого х = G, т. е.
хт ЕЕ Z (G) С An, n> 1. Пусть тогда т > 1 и, например,
gr =/= 0. Предположим сначала, что для некоторого i
lx;, х] ЕЕ V для всех х ЕЕ G. Тогда , 6?] cz V и b (xi) =
= dim (G/C (xi)) dim V <Z тп2, так что Xi An, и все
в порядке. Пусть теперь существует y^EG такое, что
[#i, Уо! = е <?= V. Выберем линейный базис в G, включаю-
щий базис гля V и е, и положим [х;, у01 =
i = 2, . . ., т; элементы hi записаны на элементах это-
го базиса без е. Подставляя у0 в (5), мы получаем
* (#1 + ОМЬ + • • . + «т^т) +	+ . . . + hmgm = 0.
Используя стандартный базис кольца многочленов, мы
выводим из этого равенства
gi + a2g2 + . . . + amgm = 0,
что превращает (5) в равенство
\х2 — ал, х^\ g2 + [я3 — аз#!, zj g3 + . . .
• • • 4“	gm = 0,
Это позволяет применить предположение индукции. От-
мечая, что нетривиальная зависимость элементов
я2 — ал, - - хт —	по модулю Ап влечет и не-
тривиальную зависимость xt, ж2, . . ., хт, мы заканчи-
ваем доказательство предложения.
6.7.	ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 289
Следствие. При тех же условиях, что и в пред-
ложении, G обладает подалгеброй Н такой, что
dim Н2 < оо и dim (G/H) < оо.
Доказательство немедленно получается из только что
доказанного' предложения и предложения 6.7.4.
Нашей целью сейчас является
6.7.7.	Теорема. Пусть G — алгебра Ли над не*
которым полем А, и предположим, что ее универсальная
обертывающая алгебра U (G) является PI-алгеброй. Тогда
G обладает абелевым идеалом конечной коразмерности, ог-
раниченной числом, зависящим только от степени нетри-
виального' тождества, выполняющегося в U (G).
Мы начнем с примера алгебры Ли, универсальная
обертывающая которой не является Р1-алгеброй.
Пример. Пусть Hd+1 — нильпотентная алгебра Ли
класса 2 с базисом {хъ х2, . . ., xd+l, уг, у2> • • •, Уа+ъ z)
и таблицей умножения
У}1 = Sf/Z,	xj] = [yi, yj] = [xh z] = [yh z] = 0,
где 1 i, f	$ij — символ Кронекера. Покажем,
что U (Hd+1) не удовлетворяет никакому полиномиаль-
ному тождеству степени d. В самом деле, пусть
Х1Х%. . . Xd + 5j <XqXG(i)Xq(2) .•. XG(d) = 0	(6)
— тождественное соотношение степени d, верное в U (Яй+1).
Упорядочим базис алгебры Hd+1 так, чтобы
Xt >я2
*d+i > У1 > У 2
У<м > z-
Тогда по теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта 2.5.3
базис алгебры U (Hd+i) образован одночленами
. .Хануку? ... уа№ (sit r}, t > 0).	(7)
Чтобы вычислить значение левой части равенства (6) при
Хг = ®iy2, Ха = Здз, . . Xd = xdyd+lt мы нуждаемся
в следующем рассуждении.
Пусть Q = (qij) — верхнетреугольная d X d-матрица,
каждый столбец которой содержит ровно один ненулевой
элемент, равный] 1. Тогда для каждой перестановки
<т е Sn элемент
• • • жо(<оУс<а)+1
«о Ю. А. Бахтурин
290
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
может быть представлен в виде суммы
S +	((ad (Увт+1)  .
. ..(adaro(d))^ (z/o(11)+i),	(8)
где суммирование производится по всем матрицам указан-
ного вида. Это утверждение легко доказывается прямым
вычислением с использованием индукции по d, если иметь
в виду, что элемент (ad Xi) (у^) централен. Каждое слагае-
мое в (8) либо равно нулю, либо является базисным эле-
ментом алгебры U (Я^+1). Рассмотрим множество тех сла-
гаемых, которые имеют вид (7) при t d — 1. Очевидно,
что такой одночлен получается лишь тогда, когда Q —
единичная матрица, т. е. qu = 1 для любых 1 i d.
Этот единственный одночлен равен
± ЯЪ(1) (ad #а(2)) (Уа(1)+1)« • • (ad#a(d)^ (y(j(d-i)+i)y<T(d)H	. (9)
Если 0 = 1, то (9) равно x^^iz^1, в противном случае
для некоторого ] имеем о (/)=/= <1(7 — 1) -f-1, так что
(ad #(j(j}) (?/(T(;-i)+i) = [#<j(j)» 2/a(j-i)+i] = 0-
Из этого рассуждения следует, что упомянутое выше зна-
чение левой части равенства (6) не равно нулю, что про-
тиворечит нашему предположению. Таким образом, чтобы
получить пример нильпотентной ступени 2 алгебры Ли,
универсальная обертывающая которой не является PI-
алгеброй, достаточно рассмотреть алгебру Н = Я», с той
же таблицей умножения, что и в Hd+1, но с бесконечным
множеством базисных элементов у^
6.7.8.	Доказательство теоремы 6.7.7.
По следствию, предшествующему теореме 6.7.7, достаточ-
но ограничиться случаем алгебры Я, в которой
dim (Я2) < оо:. Предположим, что мы доказали теорему
для*Я и нашли в Я абелев идеал К конечной коразмер-
ности. Тогда К — абелева подалгебра конечной кораз-
мерности в G, так что остается применить предложение
6.7.6. Возвращаясь к началу доказательства, рассмотрим
С = Сн (Н2)- Согласно 1.5.4 С — идеал конечной кораз-
мерности в Я. Понятно, что С — нильпотентная алгебра
ступени нильпотентности 2. По той же причине, что и
прежде, достаточно показать, что центр алгебры С, Z =
— Z (С),'имеет конечную коразмерность в С. Более того,
дальнейшая редукция может быть получена следующим
образом. Так как dim (С) = t < 00 и С2 cz Z (С), пред-
6.7. ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 291
ставим {0} как пересечение подпространств i =
= 1^2^..! dim C2JDt = 1. Тогда С подпрямое
произведение алгебр Ct = Cl Di таких, что dim (С?) =
= 1. Другими словами, отображение <р: С -> Ц Сц опре-
деленное равенством <р (с) = (с + 2>х, . . ., с+ Dl), яв-
ляется мономорфизмом таким, что проекция алгебры
<р (С) на Ct равна Ясно, что U (С^ — PI-алгебра (как
гомоморфный образ алгебры U (С))1 и поэтому нам до-
статочно показать, что ее центр имеет конечную кораз-
мерность в Однако так как С* одномерна и порождает-
ся, скажем, элементом е, умножение в Ci определяет зна-
копеременную форму (ж, у) = а, если [ж, у] = ае. Хоро-
шо известно см. [73, стр. 415], что такая форма имеет
канонический базис {хи . . ., xsy, . . ylt . . ., уг, ; .
Zi, z2, . . .} такой, что (yr, xs) = — (xa,yr) = Ser, (xhxj) =
= (yti yj) = zi) = (Vii zi) = (zh zi) = 0. Если центр
алгебры Ci не имеет конечной коразмерности, то для лю-
бого а > 0 Ci содержит подалгебру, изоморфную алгебре
из примера, предшествующего настоящему доказатель-
ству, и мы видим, что U (Ci) не может удовлетворять не-
тривиальному полиномиальному тождеству. Противоречие.
Теорема доказана.	4
Займемся теперь внутренними дифференцированиями
в алгебрах Ли, универсальные обертывающие которых
являются Р1-алгебрами.
6.7.9.	Теорема. Пусть G — алгебра Ли над полем
Л простой характеристики такаяг что U (G) — PI-
алгебра. Тогда для любого х СЕ G} ad х алгебраично степе-
ни Dt причем D зависит только от G.
Щ Д оказательство. Предположим, что U (G) яв-
ляется PI-алгеброй, удовлетворяющей полилинейному
тождеству
Р (Хх, Х2»...»Xd) = atfXa(i)Xa(2) • • • XO(d) = 0, (10)
5d — группа всех перестановок множества {1, 2, . . ., d},
at 0. Предположим сначала, что существуют линейно
независимые элементы v0 = р, = (ad g) (и), . . .,	=
= (ad g)2V+1 (у), где 2У = 1+ р+р2 + -- - + p2d. Оче-
видно, что тогда система g, г?0, vu . . .3vN линейно неза-
висима. Включим эту систему в качестве начального от-
резка в некоторый вполне упорядоченный базис алгебры
G. Тогда базис алгебры U (G) образован одночленами
юф
292
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
вида
,	(И)
где ех е2 > et и почти все неотрицательные це-
лые числа и, п01 пи . . ., nN, lu l2, . . ltl . . . равны
нулю. Покажем, что элемент
_	' а
р (gpvpd*i> g*1»^, ...,gp Vp2d)	(12)
является ненулевым элементом алгебры U (G), что про-
тиворечит (10). В самом деле* (12) является линейной ком-
бинацией одночленов вида
— gp	^Vpd+o(2') • • • gp ^pd+o(d)«	(13)
Лемма. Пусть Q = (g^) — верхнетреугольная
d X d-матрица такая, что все элементы каждого
столбца, кроме одного, равного единице, равны нулю.
Тогда Во из (13) представим в виде
• • • ppd+a(d-l)+7ddpo(d)^pd+o(d)»	(14)
где суммирование производится по всем матрицам описан-
ного вида.
Доказывается индукцией по d, причем лемма тривиаль-
на при d = 1. Общий случай рассматривается преобразо-
ванием начального отрезка элемента (13) без gp vpd+a(d)
с использованием предположения индукции и ПОСЛеДуЮ-
щим переставлением элемента gp с «^-концом» формулы,
учитывая, что коммутирование является дифференцирова-
нием таким, что (ad gp) (ц.) = (ad g)p (vr) = vr+p.
Обычные вычисления с использованием 1.11.1 оставляют-
ся читателю. Теперь понятно, что по нашим условиям
элементы
ppd+e+eiP+eip8+e _ + edpd, = 0, 1, г = 1, 2, . . ., d, (15)
являются различными элементами выбранного базиса
алгебры G при различных последовательностях ($, еи е2,...
• • -1 зД 1 s d. Обозначая, через М элемент наивыс-
6.7. ТОЖДЕСТВА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОБЕРТЫВАЮЩЕЙ 293
шей степени в представлении некоторого^одночлена М из
(14) в виде (11), мы легко видим, что М отличается от
М-только порядком «р-сомножителей», т. е. сомножи-
телей вида (15).
Итак, выберем из (14) единственный одночлен Са,
в котором только один «^-сомножитель» имеет вид (15) при
8i = 8г “ • • • =	= 0. Ясно, что этот сомножитель
имеет вид
= ^pa(1)ppd+<i(i)+pa(2)i;pd+o(2)+pa(3) • • • ypd+a(d) (16)
и линейно независим от множества всех остальных одно-
членов такого же вида для остальных о. Предположим,
что = CQ для некоторого о. Тогда, понятно, р°^ = р1,
откуда о (1) = 1. Следовательно, vpd+o(1)+pO{2) = vpd^^
и поэтому о (2) = 2. Продолжая далее аналогичным обра-
зом, увидим, что о==1. Итак, С± линейно независим от
остальных слагаемых в (12) и имеет коэффициент 0.
Полученное противоречие показывает, что если дан
g ЕЕ С, то для любого v ЕЕ G существует многочлей
Фг (О СЕ Л U] такой, что (<рг (ad g)) (i>) = 0 и deg фр<
N + 1. Рассмотрим в этом случае алгебру G как перио-
дический Л Ш-модуль относительно действия tv =
=^(adg) (р) и разложим Св прямую сумму примарных
компонент фСц, где |х — произвольный неприводимый
многочлен из Л [Д. Очевидно, что в разложении ненуле-
выми могут быть не более чем N + 1 компонента. Теперь,
так как каждое Сц. аннулируется оператором щ (ad g)N+\
оператор ad g аннулируется многочленом (щр^. . . Pdv+i)^1
и, следовательно, является алгебраическим ограниченной
степени D. Это и доказывает теорему 6.7.9, а вместе с ней
и основную теорему 6.7.3.
Приложением теоремы 6.7.3 к изучению специальных
алгебр Ли являются следующие достаточные условия спе-
циальности алгебр Ли над полем простой характеристики.
6.7.10.	Теор е м а. Пусть char Л = р 0. Допу-
стим, что L — алгебра Ли с разрешимым идеалом М та-
ким, что М2 нильпотентен и dim ЫМ оо. Если естест-
венное действие алгебры L на М/М2 алгебраично ограничен-
ной степени, то L — специальная алгебра Ли. В частности,
если L обладает идеалом М конечной коразмерности та-
ким, что [L, М] — нильпотентная алгебра, то L — спе-
циальная алгебра Ли.
294
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
6.8.	Приложение: описание алгебр Ли,
все неприводимые представления которых
имеют конечную ограниченную степень
6.8.1.	Теорема. Пусть Л — алгебраически замк-
нутое поле характеристики р> 0 и G -— алгебра Ли над
Л. Все неприводимые представления алгебры G имеют ог-
раниченную конечную размерность тогда и только тогда. *
когда:
1)	G обладает абелевым идеалом) Н конечной кораз-
мерности*.
2)	все внутренние дифференцирования ad х. х ЕЕ G. ал-
гебраичны*.
3)	dimA (Я) < | Л ].	'
Следствие. В условиях теоремы алгебра Ли яв-
ляется конечномерной, если выполнено любое из двух условий:
1)	G конечно порождена*.
2)	Л счетно.
В случае характеристики нуль имеем такой результат.
6.8.2.	Пр ед л о ж е н и е. Пусть Л — алгебра Ли
над алгебраически замкнутым полем характеристики
нуль. Все неприводимые представления алгебры G имеют
ограниченную конечную размерность тогда и только тог-
да. когда G абелева и dim (G)	| Л |.
Нам понадобится вспомогательное утверждение.
6.8.3.	Лемма. Пусть Л — алгебраически замкнутое
поле. X — некоторое множество переменных и А =
= Л [X] — кольцо многочленов над Л. Тогда А обладает
ненулевым бесконечномерным неприводимым представле-
нием тогда и только тогда, когда | X |	| Л |.
Доказательство. Заметим сначала, что еслиЛ/—
простой A-модуль, то М АП. где I — максимальный
идеал в А. т. е. М — расширение поля А. Поэтому, если
X конечно, то М — поле, конечно порожденное над А
как А-алгебра. В этом случае по теореме 6.6.4 М алге-
браично над А, значит, М = А. Итак, можно считать,
что X бесконечно. Более того,
dim (М) = dim (АП) < dim (А) = | X |.
Рассмотрим теперь элемент и ЕЕ АП, и пусть В = А (и) —
подполе в А/I. порожденное элементом и. Если и транс-
цендентен над А, то dim (В) = | A I. Действительно,
А (и) содержит подсистему {(и — а)"1| а ЕЕ А}, являю-
щуюся линейно независимой и имеющую мощность
6.8. ПРИЛОЖЕНИЕ
295
| Л |. Поэтому dim (В) ;> | Л |. Обратное неравенство сле-
дует из того, что В, как кольцо, порождается множеством
В = {и, (и — а)"11 а е Л},
мощность которого также равна | Л |. Таким образом,
если А обладает неприводимым представлением в М =
= АН и в то же время | X | < | Л |, то любой элемент
и ЕЕ АН алгебраичен над Л, т. е. dimA (Л/Z) = 1, что
невозможно. Если же | X |	| Л |, то любое отображе-
ние из X на R продолжается до эпиморфизма из А =
= Л [X] на В = Л (и). Поэтому А обладает бесконечно-
мерным неприводимым представлением. Лемма доказана.
6.8.4.	Лемма. Допустим., что Л — алгебраически
замкнутое поле характеристики р 0. Если G — алгеб-
ра Ли над Л, удовлетворяющая условиям 1) и 2) теоремы
6.8.1, то G обладает бесконечномерным неприводимым
представлением тогда и только тогда, когда таким пред-
ставлением обладает подалгебра Н.
Доказательство. Пусть {е1? е2, . . ., еп} — ба-
зис алгебры G по модулю подалгебры Н. Согласно 6.2.3
существуют многочлены /х, /2, . . .,/п такие, что —
= A (*i), *2 = /г (^г)» • • •» zn = fn (*n) — центральные в
U = U (G). Рассмотрим подалгебру В в U (G), порожден-
ную элементами zlt z2, . . ., zn вместо с U (В). Поскольку
%, z2, . . ., zn центральны, В — абелева. Более того, по-
скольку U (G) — свободный левый В(В)-модуль, ба-
зисом которого являются одночлены е™1. . .е™п (^тг
0), подалгебра В изоморфна кольцу многочленов
Л [zj, z2, . . ., zn, ua| a e В], где {ua | a е В} — базис
для H над Л. Поскольку, очевидно, достаточно рассмот-
реть случай бесконечного множества В, В ~ U (В) =
= Л [iza j а е= В]. Это показывает, что В обладает бес-
конечномерным неприводимым представлением] тогда и
только тогда, когда это имеет место для В.
Допустим, что В не обладает бесконечномерным пред-
ставлением. По лемме 6.8.3 dimA (В) < | Л |. В этом слу-
чае U (G) — конечно порожденный модуль над В, причем
размерность алгебры В равна размерности подалгебры В.
Значит, размерность алгебры U (G) над Л равна dim (В),
и по предыдущему dim (В (б)) < | Л |.
Любой простой U (б)-модуль изоморфен некоторому
U (G)H, где I — максимальный левый идеал в U (б).
Пусть В — наибольшая подалгебра в В (G), содержащая/
и такая, что I — двусторонний идеал в В (G). Известно
296
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
(см. [39, стр. 44]), что тогда К — ВИ — тело, и по теоре-
ме плотности 6.1.2 либо dimK (U (G)/I) конечна, либо
для каждого натурального п матричное кольцо Кп явля-
ется гомоморфным образом некоторой подалгебры в U (G).
По теореме 6.7.3 алгебра U (G) удовлетворяет нетривиаль-
ному тождеству. Это тождество должно выполняться
в Кп для любого п, что невозможно по теореме 6.1.4.
Остается рассмотреть случай, когда dim# (U (G)/I)
< оо. Тогда в силу алгебраичности тела К над Л имеем
К = Л. Алгебраичность выводится так. Предположим,
что и (== К трансцендентен на/t Л. Как в лемме 6.8.3, по-
лучим dim (Л (и)) = | Л |. Это противоречит первона-
чальному предположению
dim (Л (u)) < dim (К) < dim (В/I) < dim (U (G)/I) <
<dim(tf(G))<|A|.
в другую сторону лемма доказывается еще проще.
Пусть V — бесконечномерный простой левый Я-модуль.
Рассматривая U (G) как первый Я-модуль, построим
левый U (С)-модуль, полагая W == U (G) ®r V. Отож-
дествим V с подмодулем 1 ® V в W. Взяв ненулевой эле-
мент v FE V, рассмотрим циклический U (С)-модуль У',
порожденный этим элементом. Пусть М — максимальный
U (С)-подмодуль Б W, не содержащий v (он существует по
лемме Цорна). Из Я-неприводимости модуля V следует,
что М Г) V = {0}. Рассмотрим теперь U (С)-подмодуль
V" — V' + М. Очевидно, что Т = У/М — простой
U (С)-модуль. С другой стороны, рассматривая Я-модули,
получим
V V/V П М V + М/М CZ Г + М/М = У/М = Т,
откуда следует, что Т бесконечномерен над А. Лемма дока-
зана.
6.8.5.	Д о к а з а т^е л ь с т]в о теоремы 6.8.1 и
предложения 6.8.2. Допустим сначала, что G —
алгебра Ли, все неприводимые представления которой
имеют конечную ограниченную размерность. Из полупро-
стоты алгебры U (G) .следует, что U (G) — подпрямое
произведение примитивных алгебр, имеющих, согласно
предположению, ограниченную размерность. Таким об-
разом, U (G) удовлетворяет нетривиальному тождеству,
и можно применить теорему 6.7.3, из которой следует
выполнение условий 1) и 2) теоремы 6.8.1, или теорему
6.9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ 297
6.7.1	в случае, когда char (Л) - 0. В последнем случае
G — абелева алгебра. Условие 3) вытекает из леммы 6.8.4
в случае поля характеристики р ^>0, а из леммы 6.8.3 в
случае поля характеристики нуль следует, что dim (G) <"
< IЛI-
Эти же леммы используются для доказательства в дру-
гую сторону. Действительно, при выполнении условий
1)?| 2), 3) G не может обладать бесконечномерным непри-
водимым представлением. Если же М — конечномерный
неприводимый G-модуль и dimA (М) = п, то по теореме
плотности алгебра Л* — гомоморфный образ алгебры
U (G).Поскольку U (G) удовлетворяет нетривиальному тож-
деству, это ограничивает п и доказывает теорему.
6.9.	Описание супералгебр Ли, универсальная
обертывающая для которых — PI-алгебра
6.9.1.	Основные определения. Методы предыдущих
разделов оказываются эффективными и при решении за-
дачи о нахождении необходимых и достаточных условий
на супералгебру Ли L = Lo ф (см. определение в
1.10.2(iii)), при которых ее универсальная обертываю-
щая алгебра U (L) является PI-алгеброй. Понятие уни-
версальной обертывающей алгебры для супералгебры Ли
вполне аналогично определению универсальной оберты-
вающей для обычной алгебры Ли. Дело в том, что если
А = А о ф — 22-градуированная ассоциативная ал-
гебра, то, полагая
[ж, у] = ху — (—1)а& ух, где х е Ла, у е Л3,
мы получаем новую 22-градуированную алгебру, на этот
раз супералгебру Ли[Л]. Ассоциативная2а-градуированная
алгебра U (L) с единицей 1 называется универсальной
обертывающей для супералгебры Ли L, если существует
градуированный гомоморфизм супералгебр Ли е: L —>
—> [U (L)], такой, что для любого градуированного го-
моморфизма ср: L —» [Л], где А — ассоциативная 22-гра-
дуированная алгебра с 1, существует единственный гра-
дуированный гомоморфизм ф: U (L) —> А ассоциативных
алгебр с 1, такой, что гре = ф. Аналогично проделанному
в 2.5.3, видим, что U (Z) и е существуют, причем справед-
лив аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.
Теорема. Пусть А — поле характеристики, не
равной 2, L = Lo ф L± — супералгебра Ли над А, Е =
298
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
«=	— базис в LQ, F =	— базис в L^, причем I,
J —линейно упорядочены. Тогда базис в U (L) составляют
1 и одночлены вида
* (*«,) е (ei2) . . . е (ei(_) е (/л) 8 (/л)	. 8 (/л),	(1)
где
ч г2	^s>	71 /г	it*
В силу теоремы е инъективно. Отождествляя L с ее
образом в U (L), видим, что базис в U (L) составляют 1 и
одночлены
ег^ • • • eiJjJh •• - fit	С1')
с теми же условиями на индексы, что и в (1).
Как и в 6.8, можно установить связь вопроса о наличии
тождества в U (L) с вопросом об ограниченности степеней
неприводимых представлений супералгебры Ли L. Впро-
чем, эта связь является более слабой, чем в случае обыч-
ных алгебр Ли, поэтому мы не будем останавливаться на
(вполне естественном) определении представления супер-
алгебры Ли, а перейдем к формулировке основной тео-
ремы.
6.9.2.	Теорема. Пусть Л — поле характеристики
нуль, L = Lo ф — супералгебра Ли над Л, U =
= U (L) — ее универсальная обертывающая ассоциатив-
ная алгебра. Алгебра U является PI-алгеброй в том и толь-
ко том случае, когда
(1)	Lq абелева;
(2)	в Ьц-модуле Lx есть Ь^-подмодуль М конечной кораз-
мерности, такой, что [М, М] = {0};
(3)	dim [Lo, М] < оо.
6.9.3.	Доказательство достаточности условий теоремы
6.9.2. Пусть N = [Lo, М]. Тогда L О L' = LQ ф М [>
О N. Если U' — универсальная обертывающая для
L', a U" — универсальная обертывающая для абелевой
супералгебры L" — LQ ф (М/N), то
U" U (Ьо) ® Е (MIN),
где Е (M/N) — внешняя алгебра векторного пространства
М/N. Алгебра Е (М/N), как отмечено в заключительной
части п. 6.4.6, удовлетворяет тождеству [ж, [у, z]] = 0.
В силу его полилинейности и алгебра U" удовлетворяет
тому же тождеству. Если теперь р = dim N, то из (1')
видно, что произведение более, чем р элементов из К —
ядра естественного гомоморфизма из U' на U" — равно
6.9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ 299
нулю. Таким образом, U' удовлетворяет тождеству
[ж1? [уг. zj] . . . [rrp+i, [yp+i, zp+1]] = 0.
Далее, U — свободный левый модуль конечного типа над
Uf (число порождающих в U равно 2dim<LiW). Как и в
п. 6.7.3, видим, что U вложима в алгебру эндоморфизмов
конечнопорожденного модуля над PI-алгеброй UT. Хоро-
шо известно (см. Procesi С., Small L. Endomorphism
rings of modules over Pl-algebras. — Math. Z., 1968, 106,
p. 178—180), что в этом случае U сама является Р1-ал-
геброй.
Заметим, что в этом пункте поле А является произволь-
ным.
6.9.4.	Доказательство необходимости условии, когда
[Ln Lt] = {0}. Методами, близкими к использованным
в 6.7.7 и 6.7.9, можно доказать справедливость следую-
щего результата.
Лемма 1. В каждом из указанных ниже случаев ал-
гебра U = U (L). где L = LQ ф Lr. LQ = Ах и LJ =
= 0, не является PI-алгеброй.
(i)	А произвольно. = <у0, уг. . . ., ут. . . . >,
[я,	= yi4 i = 1, 2, . . .;
(ii)	А бесконечно, [ж, у] = у для любого у е= Lx,dim Lr=
(iii)	char Л = 0, Lr = <yv y2, . . ym, . . .> ©
© <z15 z2, . . zm, . . .>, [ж, yj = zf, [x, zf] =0, i =
= 1, 2, . . .
Доказательство. Если, напротив, предполо-
жить, что
S' aQ^CJ(l)-^a(2) • • • ^Q(n) = 0
— полилинейное тождество, справедливое в U (L). при-
чем =/= 0, то мы достаточно легко придем к противоречию,
если подставим вместо следующие элементы из U (L).
Случай (i): Xt —> xl~lyin. i = 1, 2, . . ., n.
Случай (ii): Xt -> х1у(№ . . . где набор эле-
ментов при различных i. j образует линейно незави->
симую систему, a (s1? . . ., sn) — произвольный набор не-
отрицательных целых чисел, i == 1, 2, . . ., п.
Случай (iii): Xt -> х^уц. . . . Уд.-м-ь где = 1, а
+ i - 1?	2? . . ., п — 1,
300	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
В случае (i) получим, что базисный одночлен
Уп+1У$п+2У&п+3 • • • Уп
входит с коэффициентом аг В случае (ii) найдется набор
($i, $2» • • •» $п)> такой, что коэффициент при
(1) (1)	(1)	(п)	(п)
ХУ1 Уъ • • • Уз. • • • Ух • • • У\п
равен аг В случае (iii) с коэффициентом, равным ненуле-
вому целому кратному а1? войдет базисный одночлен вида
*1*2 . . . Z&^ys . . . уг.
Детали вычислений мы оставляем читателю. Лемма дока-
зана.
Близко к доказательству части (iii) из этой леммы до-
казательство следующего утверждения.
Л ем м	а 2. Пусть Л — произвольно, LQ =	#2»	• • •
• •	м хт> •	•	= Сип • • •» Ут, • • •> ®	*2>	• • •
. .	., zm, .	. .>, [LJ LJ = {0}, [x^ yj = Zu	[z£, z}}	= 0
при любых i. ], [xb yj] = 0 при i /. Тогда U (L) не явля-
ется PI-алгеброй.
Фиксировав x EE Lq, мы получаем, что оператор
ad х |ь алгебраичен ограниченной степени (следует из
(ii)), что в разложении Фиттинга LT = Lr (0) ф Lr (0) от-
носительно ad х коразмерность нулькомпоненты Lr (0)
ограничена (следует из (ii)), что коразмерность централи-
затора для х в Lr (0) также ограничена (следует из (iii)).
Взяв х^ ее Lo, для' которого dim L1!L1 (0) наибольшая,
довольно стандартными рассуждениямиТполучаем, что
Lr (0) лежит в нулькомпоненте любого х ЕЕ LQ. В дальней-
шем мы^можем предполагать, что действие любого эле-
мента х ЕЕ Lq на Lr нильпотентно ограниченного индекса
ни л ьпотентно сти.
Подобно определению из п. 6.7.3, введем подмножество
Др (£1) = {у е L11 dim (у) < р},
где Сц (у) — централизатор элемента у в £0. Копируя до-
казательство предложения 6.7.4, видим, что если най-
дутся натуральные числа р, г, $, такие, что dim (х)
г для1 любого х е= а любые $ элементов из Lr ли-
нейно зависимы по’ модулю Др (£1), то в можно найти
Lo-подмодуль М, такой, что dim ЫМ s, a dim tb0, М]
psr. Следует отметить, что теорема 6.7.2 используется
здесь в том объеме, в котором она и доказана, т. е. для
билинейных отображений.
6.9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ СУПЕР АЛГЕБРЫ ЛИ 301
Пусть теперь число q таково, что (ad х [jJ* = 0 для
любого х ЕЕ Lq. В силу коммутативности алгебры Lo,
применяя 1.8.8, мы видим, что для любых х1? . . ., xq ЕЕ
е= Lq оператор
ad хг ... ad xq
действует на Lr тривиально. Рассмотрим в Lt ряд Lo-
подмодулей
L± =? [Lo, =5 • . . [Lq, • • •» Lq, Z/j] z? {0}.
-------------------------------
Индукция no q с очевидным основанием при q = 1 позво-
ляет свести доказательство необходимости условий теоре-
мы к доказательству следующего утверждения.
Лемма 3. Пусть в Lt есть LQ-nodмодули Р и Q, та-
кие, что [Lo, LJ cz Р, [Lo, ()] = {0} и dim Р/Q < оо. Тог-
да в Lr есть LQ-подмодули М и N, такие, что dim LIM,
dim N < оо, a LL0, М] cz N.
Доказательство. Пусть т — максимальное
натуральное число, такое, что существуют yt, . . ., ут
(== Lt, ху, . . ., хт ЕЕ Lq, для которых элементы =
=	У th i = i, . > т, лежат в Q, линейно независи-
мы, причем , yj] = 0 при i /. В силу леммы 2 число
т ограничено сверху. Выберем теперь подпространство
==	(х1) П • • • П (хт)‘
Согласно отмеченному выше, подпространство R имеет
ограниченную коразмерность. Возьмем ут+1 р 7? и рас-
смотрим подпространство [Lo, ym+i\- Пусть d =
= dim PIQ. Если dim [Lo, Ут+il + d, to ym+1 (=E
Am+d. В противном случае, обозначив через Sm ли-
нейную оболочку векторов zr, . . ., zm, мы увиДим, что
найдется хт+! ее Lq, такой, что zm+1'=[xm+l, ym+i] <=Е
(ЕЕ Q \ Это противоречит максимальности числа т.
Таким образом, R cz Am+d- Применив сказанное после
определения пространства &P(L^), находим в Ly подмодуль
М, такой, что [Lo, М] = N конечномерно. Лемма доказана.
6.9.5.	Доказательство необходимости в случае тривиаль-
ного JDo-модуля £i. В случае [Lo, LJ = {0} ассоциативная
подалгебра Uq = U (Lq), порожденная в U (L) четными
элементами, является центральной целостной. Положив
Z = Uq \ {0}, построим кольцо частных Uz элементов
из U со знаменателями из Z. Пусть К — подполе порож-
денное элементами из Uq. Легко видеть, что Uz удовлетво-
302
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
ряет всем полилинейным тождествам алгебры /7. Бели
F =	— базис в то базис в Uz, как векторном
пространстве над К, составляют 1 и одночлены вида
fjJb • • - fit 0’1 < /2 < • • • < Л).
Кроме того, — [fa, />•], где a°b = аЪ + Ъа. Заметим»
что билинейное симметрическое отображение ив Lx X Li
в Lq может быть рассмотрено как симметрическая /£-би~
линейная функция ф из KLX X KLX в К. Здесь V = KLi
рассматривается как /^-подпространство в Uz, натянутое
на F. Построив алгебру Клиффорда С,(ф) [73, стр. 411],
из свойства ее базиса увидим, что UZ^C (ф). Пусть
W = Кег ф, а ф — билинейная функция, индуцированная
функцией ф на V/W. Рассмотрим каноническое отображе-
ние а: С (ф) С (ф). Поскольку С (ф) Uz является
PI-алгеброй, то же верно и для С (ф).
Выберем в VIW подпространство произвольной четной
размерности р < dim V/W, ограничение <р функции ф на
которое является невырожденным. Имеем С (ф) CZ С (ф).
Алгебра С (ф) — центральная простая над К размерности
2Р. По теореме 6.1.3 в С (ф) и, значит, в С (ф) не может
выполняться никакое тождество степени 2Р+1.
Итак, в пространстве V = КЬг есть /^-подпространство
W конечной коразмерности, такое, что [Ж, KLX] — {0}.
Для вывода отсюда следствия о структуре Л-пространства
Lx удобно ввести множество
6р (Li) = {у Li I dim LJCLl (у) < р}.
Лемма. В условиях теоремы найдутся числа puq,
такие, что любые q элементов из Lx линейно независимы по
модулю бр
Доказательство этой леммы в основных чер-
тах следует доказательству предложения 6.7.5. При этом
равенство (3) из доказательства этого предложения заме-
няется на равенство вида
Г1 (У1 ° У) + ъ(у2 О у) + . . . + Гд (Уд О у) = 0,
где q — 1 = dimK 7/Кег ф, ух, . . ., yq — произвольные
фиксированные q элементов из Lx, г1? г2, . . ., rq — эле-
менты из Uq, такие, что г1у1 + г2у2 -{-... + rqyq <=
ЕЕ Кег ф, у — произвольный элемент из Лемма дока-
зана.
Используя рассуждения, аналогичные примененным
в 6,7,4, найдем в Lx подпространство М конечной пораз*
6.9. УНИВЕРСАЛЬНАЯ ОГ ЕРТ Ы БАЮЩАЯ СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ 303
мерности, лежащее в 6(д+1)р. Снова применяя теорему
П. Неймана 6.7.2, приходим к тому, что dim [М, М]
(q + 1)2р2- Значит, если Л0-модуль Lr тривиален,
в нем есть подпространство М конечной коразмерности,
такое, что dim [М, М} < оо.
6.9.6.	Доказательство необходимости в общем случае.
Пусть L = Lq ф — произвольная супералгебра Ли
над полем А. С ней связана супералгебра Ли L на том
же 22-грагуированном векторном пространстве Lo ф L1%
умножение в которой отличается от умножения в L
^шь тем, что [Z>1? Li] = 0. Читатель легко проверит,
что L — действительно супералгебра Ли (1.10.2). Если
U — U (L), a tZ — U (L), то связь между U nU следую-
щая. Определим в U возрастающую цепь подпространств,
полагая
U-x = {0}, UQ = U (Lo), Ur = Uo ф UqL14 . . .
...,Un+1=Un®UnLu...	(2)
Легко проверить, что (2) — возрастающая фильтрация в
U (L). Использование теоремы из 6.9.1 показывает, что
градуированная алгебра 6? = gr (£Z), ассоциированная с
алгеброй U (L) согласно фильтрации (2), изоморфна ал-
гебре U — U (L). Таким образом, если U (L) — PI-ал-
гебра, то же верно и для £7. Применяя результаты п. 6.9.3,
мы выводим, что в таком случае структура Л0-модуля
L± (а она одинакова в L и в L) следующая: имеется Lo-
подмодуль М cz L, такой, что dim LJM оо, dim [Lo,
М] <Z
Без потери общности отождествим L3 с М. Тогда мы
будем иметь дело с супералгеброй Ли L = LQ ф Lx,
в которой dim [Lo, LJ <С °°- Положим = [Lo> LJ и по-
родим этим множеством в L идеал Р Ро ф Рг Посколь-
ку [Lq, Lo] = 0, легко вывести, что dim Ро (dim PJ* <
< ос. Рассмотрим факторалгебру L/P = Lq/Pq ф LJP^
Алгебра L/Р подпадает под условия п. 6.9.5. Значит, в L^Pi
можно найти Lo-подмодуль Q!Pr конечной коразмерности
такой, что пространство RIPq — [QIP^ QIP^ конечномер-
но. Переходя к прообразам, получим, что в Lx есть Lo-
подмодуль Q конечной коразмерности, такой, что R =
= [(?, (Ч — конечномерное пространство. Разумеется,
сохраняется и условие dim [Lo, (>] < оо.
304
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
Это позволяет считать, что мы работаем с супералгеб-
рой L = Lq ф £х, такой, что L2 — [Lx, LJ ф [Z/0, Lr] —
конечномерное пространство. Пусть {хк, . . ., хп} — базис
в [Lx, LJ. Обозначим через централизатор элемента х
в£х. Если z ЕЕ Го а ж ЕЕ Lq, то	*
[[ж, z], Xf] — — \хг, [ж, z]] = —[ж, [ян z]] -J- [[я, z\ ==
= 0.
Таким образом,	—£0“Подмодульв£1. Его коразмерность
в силу 6.9.3 ограничена. Положим Т — Q Тг. Подпро-
г=1
странство Т также является /^-подмодулем конечной
коразмерности в Lt. Заменяя Lr на Т, мы можем считать,
что [Lx, L^ \ централизует Lx, и, кроме того, dim [Lx, LJ
ОО.
Рассмотрим подалгебру D = [1/1? LJ ф Lr. Нетрудно
убедиться в том, что D — идеал в //..Обозначим через С
центр идеала Z). Ясно, что С — однородный идеал в L,
C = Cq® (\, [Zo, CJ CZ Сх и [С1? CJ = {0}. Значит,
Сх — /^-подмодуль в Lx, такой, что [Сг, Сг] — {0}, при-
чем dim [Lo> Ci\ dim [Lo, LJ < оо. Если мы докажем,
что dim L1!C1 оо, то, положив М = С19 мы закончим
доказательство теоремы.
Лемма. Пусть L = Ах ф — супералгебра Ли,
такая, что [ж, 1^]*= {0}. Если U — U (L) является PI-
алгеброй, то центр С супералгебры L имеет конечную
коразмерность.
Доказательство этой леммы представляет со-
бой облегченный вариант рассуждений из 6.9.5. В данном
Случае ядро билинейного отображения имеет конечную
коразмерность $ — 1 над полем Л (х). Взяв у19 у2, . . ., ys ЕЕ
е Lt, получим, что найдутся многочлены /3 (х), f2 (х), . . .
. •, fs (х) €= Л IsL такие, что
/1 (х) У1 + К (х) Уэ + • • • + fs (х) Уз е Ann <р.	(3)
Для любого у е Lr имеем (р (у, yt) — лг- (у) х, где
Lx —» Л — линейная функция. Применяя (3) к произволь-
ному у ЕЕ Lt, получим после сокращения на хг
fi (х)	(у) + /а (ж) «2 (у) + • • • + fs (X) л8 (у) = 0. (4)
Так как не все многочлены нулевые, то, приравнивая нулю
коэффициенты при некотором х*, таком, что х* с ненулевым
коэффициентом входит в некоторое (х), мы получим не-
6.10. УПРАЖНЕНИЯ
305
тривиальное соотношение
Mi '(у) +	(у) + •• +	(у) = 0.
В этом случае получаем, что для любого у ЕЬг выпол-
няется
0 = <Р (t/,	+ ^2?/2 + • • • + КУз) —
— 1у> ^>1У1 + ^2.Уг + • • • + ^s^sl-
Значит,X1z/1 4- К2у2 4 . . . 4- Ksys - С1Т и лемма доказана.
Осталось завершить доказательство теоремы. Итак,
мы имеем супералгебру Ли D — [Lx, LJ © где
dim [Lx, LJ — г оо и [[L1? LJ, Lr} = {0}. Предста-
вим нулевое подпространство в виде пересечения Pt р|
П р2 П • • • П Рт, где Рп Р2, . . ., Рг — (г — ^-мер-
ные подпространства в [L1? LJ. Понятно, что Рг — идеал
в Z), z' = 1, 2, . . ., г. Супералгебра Ли DIPt удовлетворя-
ет условиям доказанной леммы. Тогда С — D Р| С", где
С' — центр в DIPy ф . . . © DIPr, имеет конечную ко-
размерность в D. Теорема доказана.
6.9.7.	Мотивировка изучения супералгебр Ли дается,
например в книге Ф. А. Березина «Введение в алгебру
и анализ с антикоммутирующими переменными».—М.:
Изд. МГУ, 1983. Ряд результатов о супералгебрах Ли
можно найти также в книге Scheunert М. The theory of
Lie superalgebras. Leet. Notes Math., 716.— Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1979.
6.10.	Упражнения
6.10.1.	Пусть L — метабелева алгебра Ли. Ad L — ее присое-
диненная алгебра. Найти тождество степени 3, выполняющееся
в Ad L. Если L — свободная метабелева алгебра, то в Ad L не вы-
полняется тождество меньшей степени, чем 3.
6.10.2.	Пусть А — свободная ассоциативная алгебра со счет-
ным свободным порождающим множеством X и тождеством [яг, г/] z =
= 0, a L — подалгебра Ли в А, порожденная множеством X отно-
сительно операции коммутирования. Доказать, что L свободна,
и найти тождества этого многообразия.
6.10.3.	Для каких п можно гарантировать, что алгебра Ли со
стандартным тождеством степени п является специальной?
6.10.4.	Привести пример алгебры Ли, в которой выполняется
система тождеств Капелли некоторого порядка, но которая не яв-
ляется специальной.
6.10.5.	Привести пример локально нильпотентной ненильпо-
тентной специальной алгебры Ли над полем характеристики нуль.
6.10.6.	Привести пример локально нильпотентной алгебры Ли,
не являющейся специальной.
306	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ
6.10.7.	Найти точную верхнюю грань размерностей неприводи-
мых модулей над двумерной метабелевой алгеброй Ли над алгеб-
раически замкнутым полем характеристики 2.
6.10.8.	Согласно 6.7.1 в каждой неабелевой конечномерной
алгебре над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль
есть метабелева подалгебра размерности 2 или нильпотентная алгеб-
ра размерности 3. Верно ли это над полем, которое не является ал-
гебраически замкнутым?
6.10.9.	Доказать, что конечно порожденная финитно аппрокси-
мируемая алгебра Ли является хопфовой, т. е. не может быть отоб-
ражена на себя с ненулевым ядром.
6.10.10.	Скажем, что алгебра L аппроксимируется алгебрами
из класса М, если для любого х =/= 0 из L найдется идеал Н <] L
такой, что хф Н и L/Н е М. Доказать, что для любого п 3
свободная алгебра ранга п аппроксимируется свободными алгебра-
ми ранга п — 1.
6.10.11.	Алгебра Ли G называется финитно отделимой, если
для любой конечно порожденной подалгебры Н и элемента g дё Н
найдется гомоморфизм <р: G G', где dim G' < оо, такой, что
Ф (g) ф ф (Я). Пусть G = А х Р, где А — абелева алгебра с бази-
сом {ж, у}, Р = A <z> — групповое*кольцо бесконечной цикличес-
кой группы <z>. Превратим Р в А-модуль, полагая ха = za,
у а = z~ra, а е Р. Проверить, что G — конечно порожденная алгеб-
ра Ли, не являющаяся финитно отделимой. Является ли G финитно
аппроксимируемой?
6.11.	Комментарий
Глава построена в основном на результатах автора [10, 14, 134,
135, 139]. Теоремы 6.1.8, 6.1.11 принадлежат А. Регеву, их настоя-
щее изложение принадлежит В. Н. Латышеву [72]. В разделах
6.3 и 6.5 есть результаты С. А. Пихтилькова [94]: пп. 6.3.4 и 6.5.1.
Результаты пп. 6.6.1—6.6.3 можно найти в книге Ж. Диксмье [40],
теорема 6.6.5 принадлежит Ч. Кэртису [151]. Результаты из 6.6.6
принадлежат автору (см. также [130]). Описание алгебр Ли G таких,
что U (G) — PI-алгебра, в случае характеристики* нуль дано
В. Н. Латышевым [71]. В случае характеристики р >> 0 соответст-
вующий результат доказан автором [135]. Теорема 6.7.2 — это ре-
зультат П. Неймана [174]. Результаты из 6.8 принадлежат автору
[134]. Открытыми остаются следующие вопросы. Является ли спе-
циальным центральное расширение специальной алгебры над по-
лем? Этот вопрос эквивалентен (см. [94]) вопросу о специальности
гомоморфного образа специальной алгебры Ли [72]. Нет описания
специальных разрешимых многообразий алгебр Ли. По-видимому,
корректным является вопрос об описании структуры специальных
алгебр Ли при некоторых разумных ограничениях (см., например,
[8]). Интересным является вопрос о шпехтовости специальных мно-
гообразий над полем характеристики нуль. Отметим, что, согласно
свежему результату С. П. Мищенко, энгелевы специальные много-
образия нильпотентны (см. Добавление). Раздел 6.9 состоит из
результатов автора. Некоторые упрощения доказательств из раз-
дела 6.4 возможны за счет привлечения теоремы Ю. П. Размыс-
лова — А. Р. Кемера — А. Брауна о нильпотентности радикала
Джекобсона конечно порожденной Р1-алгебры [103, 51, 146].
Г л а в a 7
ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Основной целью настоящей главы является доказатель-
ство конечной базируемости тождеств конечной алгебры
Ли над конечным коммутативным кольцом, в частности
конечного кольца Ли. В некоторых своих частях вто до-
казательство близко к схеме Л. Ковача и М. Ньюмена
доказательства теоремы Оутс — Пауэлла конечной бази-
руемости конечной группы [164]. В то же время во многих
частях, особенно там, где речь идет об ограничении числа
переменных в базисе тождеств конечной алгебры Ли, для
преодоления возникающих трудностей применяется суще-
ственно новая техника. Разработанные методы применяют-
ся для получения других результатов о локально конеч-
ных многообразиях.
7.1.	Некоторые условия конечности
Пусть А — коммутативное кольцо е единицей и
G — алгебра Ли над А. Предположим, что для каждого
g EzG существует многочлен fg (t) со старшим коэффициен-
том 1 такой, что (ad g) = 0. Тогда алгебра G называет-
ся алгебраической. Любая конечномерная алгебра над
некоторым полем является алгебраической. В этом раз-
деле мы докажем две теоремы об алгебраических алгебрах
Ли, которые аналогичны известным теоретико-групповым
теоремам.
7.1.1.	Теорема. Пусть А — поле простой харак-
теристики р >> 0, G — конечно порожденная алгебра Ли
над А, Н — ее подалгебра конечной коразмерности п.
dim (GIH) — п. Пусть, далее, существуют элементы
ег. е2. . . .. еп ЕЕ G. линейно независимые по модулю И.
и ненулевые /х, /2> ♦ • •, fn^ ЛИ, для которых fa (ad et) =
= 0, i = 1, . . ., п. Тогда Н — конечно порожденная ал-
гебра Ли.
Доказательство. Пусть вначале Л алгебраи-
чески замкнуто, и обозначим через U = U (G) универсаль-
ную обертывающую алгебру алгебры G. Согласно 6.2.3
308
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
многочлены можно исправить так, чтобы = ft (ef)
были” центральными в U, и так, чтобы базис алгебры U
был образован элементами вида
. z*nnu,	*(<)
0 <С deg Л-,	0, и (== U (Н).	*
Пусть I — линейное подпространство алгебры U, порож-
денное теми многочленами вида (1), для которых $г 4-
4-	. 4-	0. Тогда легко видеть, что I — идеал
алгебры U такой, что U (ff) Р|7 = СГ|7 = 0. Следова-
тельно, G и U (Н) могут быть изоморфно вложены в Q =
= U (G)fl.
Рассмотрим теперь р-подалгебру Ли R (соответствен-
но S') в р-алгебре (), порожденной алгеброй G (соответ-
ственно подалгеброй Н). Тогда, понятно, R — конечно
порожденная р-алгебра Ли, и более того, dim (R/S) <
< оо. Докажем это последнее утверждение. Действитель-
но, достаточно показать, что система элементов
е? *, i = 1, 2, . . ., m, 0	< deg fh
порождает JR по модулю S над Л. Однако, согласно
1.11.3, R порождается над Л р*-ми степенями элементов
е2, . . ., еп и Ъ (= Я. Так как fa (е,) = 0, I = 1, 2, . . .
. . ., т, и Ър f== S по определению подалгебры S, то наше
утверждение справедливо. Теперь, снова используя след-
ствие из 2.7.5, мы видим, что S является конечно порож-
денной р-алгеброй Ли. Заметим, между прочим, что ввиду
1.11.3 любой элемент из S является линейной комбина-
цией элементов из Н в некоторых p-степенях. Поэтому
мы можем предполагать, я что ” S ’обладает конечной
системой р-образующих вида Ьт, Ь3, . . ., Ьг, Ь9 <== Н. До-
кажем, что те же самые элементы порождают Н как обыч-
ную алгебру "Ли. Пусть Ь — некоторый элемент из Я,
и предположим, что
aiO^o + 5	+ • • • + fytWit»	(2)
i	i	i
где Wff — значения базисных одночленов некоторой сво-
бодной алгебры Ли L ранга г на Ъ2, . . ., Ьг. Так как
поле А алгебраически1 замкнуто, то существуют ЕЕ
А такие, что ац = 0% для" всех индексов г, /. Тогда
вследствие 1.11.1 (3) существует элемент Ъ' из обычной
подалгебры алгебры Ли Я, порожденной элементами
7.1: НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ	309
&х, 62, . . ., Ьг, т. е. 6' ЕЕ Н, так что
b' + S + • • • + 3	—
i
= (З Pil^il + . . . + 3 Х) •	(3)
i	i
Согласно равенству (2) левая часть равенства (3) лежит
в Ни является p-степенью некоторого элемента из U (Н).
Однако по теореме Пуанкаре — Биркгофа — Витта
(2.5:3), никакой ненулевой элемент из Н не может быть
федставлен как p-степень некоторого элемента из U (Я).
Таким образом, левая часть равенства (3) равна нулю и
Ъ = 2aio^io — b' ЕЕ Н, так что в случае алгебраически
замкнутого поля доказательство завершено.
Предположим теперь, что Л — произвольное поле ха-
рактеристики р > 0 и Л* — его алгебраическое замыка-
ние. Вложим G канонически как Л-подпространство в
б?д* = Л* ® д G и обозначим через Яд* подалгебру ал-
гебры бгд*, порожденную алгеброй Я и равную Л* ®д Я.
Очевидно, что бгд* и Яд* удовлетворяют условиям тео-
ремы, так что по первой части существуют^ Ь*, &*,•••
. . ., Ь?, порождающие Яд* как алгебру Ли над Л*.
Каждый из этих элементов имеет вид
bt = ап ® Ьц + . . . + <*i9i ® i = 1, 2, . . ., s,
(Xij е Л*, Ьи (= Я.
Теперь понятно, что Я может быть порождена системой
элементов | i = 1, 2, . . ., 5; 7 = 1, 2, . . ., sj, что
и заканчивает доказательство теоремы.
Заметим, что без условия алгебраичности заключение
теоремы неверно, даже если дополнительно предположить,
что алгебра G метабелева. Например, пусть G = М (хъ
х2) — свободная метабелева, алгебра. Тогда dim (G/G2) =
= 2, в то время как G2 — свободная абелева алгебра Ли
бесконечного ранга (см. 4.6.1). Важным следствием дока-
занной теоремы является следующее.
7.1.2.	Т е о р е м а. Пусть А — конечное коммутатив-
ное кольцо с единицей и G — конечно порожденная алгеб-
раическая алгебра Ли над Л. Пусть дана' подалгебра Я
конечного индекса (как абелева подгруппа в G). Тогда Н —
конечно порожденная алгебра Ли.
Доказательство. Пусть] J — радикал Дже-
кобсона кольца Л, т. е. максимальный нильпотентный
идеал в Л. Используя рассуждение, аналогичное дока-
310 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
зательству теоремы о порождающих нильпотентной ал-
гебры (см. 1.7.2), легко вывести, что Н может быть порож-
дена любым множеством элементов, порождающих Н по
модулю JH, Более того, так как Н р| JG/JH является
конечным модулем, достаточно доказать, что Н/Н f] JG—
конечно порожденная алгебра. Так как, далее,
Н/Н f]JG^H + JG/JG = H^G = G/JG,
то можно ограничиться 'случаем полупростого кольца (в
котором J ~ {0}). Пусть тогдА {е1? 82, • • •> М — полная
система попарно ортогональных идемпотентов кольца
А, т. е.
А = Ав! ф Ле2 ф • • • ф Л8П
и Ае^ — поле, i = 1, 2, . . ., п. Ясно, что
G= S 3	=
так что каждое 8$Я — подалгебра конечного индекса в
алгебре 8 причем последняя является уже алгеброй над
полем Ае^. Поэтому можно применить теорему 7.1.1. Тео-
рема доказана.
Последняя теорема этого раздела нуждается в более
ограничительных условиях.
7.1.3.	Теорема. Пусть А — конечное коммутатив-
ное кольцо с единицей 1, G — конечно порожденная алгебра
Ли над A, f — многочлен со старшим коэффициентом 1
из А к] такой, что / (ad g) = 0 для любого g ЕЕ G. Тогда
для любого положительного числа п в G имеется лишь ко-
нечное число подалгебр данного положительного индекса п.
Доказательство. Покажем, что если А —
поле, то существует единственный р-многочлен, который
аннулирует ad (g) для любого g ЕЕ G. В самом деле, если
/ имеет степень т,
tpt = f(t)qi (t) + rt (t), i = 0, 1, 2, . . m, deg (r^) < m.
Так как подпространство всех многочленов степени <jn
является тп-мерным, то существуют не все нулевые
т
а0, аь . . ат ЕЕ А такие, что а{гг = 0. Однако тогда
т
f является делителем р-многочлена Jj a^pl. Итак, мы
предположим ? что /(/) сам является р-многочленом и? бо-
7.1. НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ
311
лее того, что / (/) имеет степень d > р и не содержит сво-
бодного члена.
Чтобы доказать теорему в случае, когда Л — конечное
поле, мы сопоставим каждой подалгебре Н индекса п ли-
нейное представление степени (п + 1) dn и покажем, что
для различных Н эти представления неэквивалентны.
Так как G конечно порождена и алгебра A(n+1)dn конечна,
из этого будет следовать справедливость нашей теоремы.
С этой целью фиксируем Н и выберем базису, е2, . *. , еп
алгебры G, дополняющий некоторый базис алгебры Н.
Обозначая через элементы f (ef), мы получим, как и
прежде, что базис алгебры U (G) образован одночленами
еМ*...4М‘4’...4пЬ,	(4)
где 0 st d, li 0, i = 1, 2, . . ., и, Ь — некоторый
базисный элемент алгебры U (Н). Пусть Vh — подпро-
странство алгебры U = U (G), порожденное теми одночле-
нами (4), в которых либо Ь =/= 1, либо 1г -}- 12 + . . . + 1п >
> 2. Тогда легко видеть, что Vh — подмодуль левого
G-модуля U, Обозначим через рн соответствующее пред-
ставление алгебры G в U(Vн- Это и есть желаемое пред-
ставление. Действительно, покажем вначале, что
Рн (f (х)) = 0, если х е Я, и рн (/ (х))	0, если х ф Н.
Первое утверждение очевидно, так как / (х) централен в
Я и в то же время является элементом подалгебры U (Н).
Чтобы доказать второе, рассмотрим фильтрацию
алгебры Я, введенную в 2.5.4. Тогда, если дан элемент
х = aiei + а2б2 + • • • + апеп + &, Е Я, е Л,
i = l, 2,...,н, используя то, что / есть р-многочлен,
р = char (Л), мы получаем
f (х) = f (а^) + / (а2е2) + •.•+/ (апеп) + и,
и е Я^1.	(5)
Вспоминая, что / (et) = zh i = 1, 2, . . ., п, можно пере-
писать (5) в виде
/ (х) = afzj + a2z2 4- • • • + anZn + f (h) + v,
VEU^. (6)
Последнее выражение (6) показывает, что
Рн (/ (х)) (1 + VH) = f (x) + Vh Ф o,
если для некоторого i выполняется 0. Поэтому в
случае поля теорема доказана.
312 гл. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Пусть, далее, А — конечное? коммутативное кольцо с
радикалом Джекобсона J, J1* = {0}. Если J = {0} и
8П е2> • • • » £s — полная система попарно.ортогональных
идемпотентов кольца А, то G = ^G ф &%G ф . . . ф 88G,
где &iG — конечно' порожденная алгебра) Ли над е^А.
Так как в нашем случае] любая подалгебра Н является
прямой суммой своих проекций на 8/г, 82G, . . .
. . ., 8SG, то случай J = {0} исчерпывается предыдущим
рассуждением для] полей. Если J =# {0}, то проведенное
рассуждение доказывает, что существует лишь конечное
число подалгебр вида Н + JG, где Н — произвольная
подалгебра индекса п в G. Взяв это утверждение за основа-
ние индукции, докажем, что для любого s 0 существует
лишь конечное число подалгебр вида Н J\G, | G : Н\ =
= п. Действительно, пусть С = Н J*G — одна из
этих подалгебр. Тогда С = Н + JD, где D — Н +
+ Но, будучи подалгеброй конечного индекса в
G, D — конечно порожденная алгебра, следовательно, из
| DIH | п следует конечность числа подалгебр вида С
в D. Однако по индукции число подалгебр вида D само
конечно, что и доказывает шаг индукции. При s = I мы
получаем утверждение теоремы.
И в данном случае легко показать, что условия теоре-
мы не могут быть отброшены.
7.2.	Одна характеризация многообразия,
порожденного конечной алгеброй Ли
7.2.1.	Класс С(/, т, с). Пусть А —конечное коммута-
тивное кольцо с 1 и G - конечная алгебра Ли над А.
Обозначим черезF = var (G) многообразие, порожденное
алгеброй G. Согласно 4.1.5 V — локально конечное мно-
гообразие. Дадим более точную характеризацию много-
образия F. Для этого введем класс С (f, т, с) алгебр Ли
над А, определенный двумя натуральными числами ап, с
и многочленом / от одной переменной со старшим коэф-
фициентом 1. Скажем, что Q — фактор алгебры L, если
Q = RIS, где 7?, S -— подалгебры в L и S — идеал в R.
Фактор Q называется главным, если это главный фактор
присоединенного L-модуля L (см. 1.6.2). Алгебра L над
А принадлежит классу С (f, т, с), если:
1)	для любого х ЕЕ L имеем / (ad х} = 0;
2)	для любого главного фактора М алгебры L имеем
I М | < т\
7.2. МНОГООБРАЗИЕ, ПОРОЖДЕННОЕ КОНЕЧНОЙ АЛГЕБРОЙ 313
3)	для любого нильпотентного фактора N алгебры L
выполняется Nc+1 = 0.
Мы увидим впоследствии, что каждый такой класс
является конечно базируемым многообразием алгебр Ли.
Однако в этом разделе мы в состоянии доказать только
следующий результат.
7.2.2.	Предложение. Пусть G — конечная ал-
гебра Ли из некоторого класса С (/, тп, с), V = var (G).
Тогда V cz С (f, т, с).
Доказательство. Предположим, что L ЕЕ F,
и покажем, что L удовлетворяет условиям 1), 2), 3).
1)	выполняется тривиальным образом, так как это
условие эквивалентно тождественному соотношению
/ (ad х) (у) = 0, выполняющемуся в G и, следовательно,
в любой алгебре из F.
2)	Предположим вначале, что L конечна. По конструк-
ции из теоремы Биркгофа 4.1.4
п
L^B/С,	G^G, i=l,2,... ,п,
i=i	(1)
где п — некоторое натуральное число. Любой главный
фактор алгебры Р изоморфен (как абелева группа) неко-
торому главному фактору алгебры Gt "2 G, и поэтому его
порядок ограничен числом т. Так как, согласно 1.6.4,
главные факторы подалгебры и факторалгебры изоморфны
(как абелевы группы) подфакторам главных факторов
всей алгебры, условие 2) в этом случае выполняется.
Пусть теперь L бесконечна и предположим, что М — ми-
нимальный идеал алгебры L порядка ^>тп. Рассмотрим
тогда конечный Л-подмодуль N cz М такой, что | N | >
> тп. Для любого 0 Ф х N существует конечное число
элементов ах, а2, . . , а3 из L таких, что alg ({ах, а2, . . .
. . ., ап, ж}) 3 N. Пусть тогда D — конечно порожденная
(и, следовательно, конечная) подалгебра алгебры L, со-
держащая ЛГ, такая, что любой идеал алгебры Z), имеющий
нетривиальное пересечение с ЛГ, содержит эту алгебру.
Тогда, если Т — максимальный идеал алгебры D такой,
что # П Г = 0, и 5 — минимальный идеал алгебры D.
содержащий Т, то главный фактор SIT имеет порядок,
больший чем | 7V | ^> тп, что противоречит уже рассмот-
ренному случаю.
3)	Так как любой фактор алгебры из F сам является
алгеброй из F и так как алгебра имеет класс нильпотент-
314
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
ности с тогда и только тогда, когда это верно для ее (с +
+ 1)-порожденных подалгебр (5.1.2), мы можем огра-
ничиться только случаем нильпотентной (с + ^-порожден-
ной (и поэтому конечной) алгебры В, представимой в виде
(1). Пусть сначала С cz ф (В), где Ф (В) — подалгебра
Фраттини алгебры В. Тогда по теореме 1.7.6 В нильпотент-
на и поэтому таковы же ее проекции на Gf, имеющие по
нашим предположениям относительное ступени Те-
перь В и, следовательно, В имеют ступени с, что и тре-
бовалось. Предположим теперь, что С Ф (В) и В —
минимальная подалгебра такая, что (1) имеет место. По
нашим предположениям относительно С, существует мак-
симальная подалгебра М алгебры В такая, что В = М +
+ С. В этом случае L (М + С)/С s М/М Q С, что
противоречит минимальности подалгебры В. Поэтому
и 3) имеет место. Предложение доказано.
Дополнительную информацию о классе С (j, т, с) дает
следующее предложение.
7.2.3.	Предложение. КлассС (j, т, с) локально
конечен.
Доказательство. Выберем конечно порожден-
ную алгебру L Е С и обозначим через F пересечение всех
главных централизаторов алгебры В, т. е. централи-
заторов главных факторов М алгебры В. Согласно 1.5.4
| LICl (М) | тт. По теореме 7.1.3 существует лишь
конечное число таких централизаторов, так что | L/F | <<
< сю. Используя теперь 7.1.2, мы видим, что F — идеал
алгебры В, конечно порожденный как подалгебра этой
алгебры. Обозначим также через Q пересечение всех идеа-
лов конечного индекса в В и покажем, что 1) | L/Q | <^ оо,
2) Q = {0}. Итак, пусть N — некоторый идеал конечного
индекса в В и — F П N. Рассмотрим главный ряд ал-
гебры LIN-l, который является уплотнением нормального
ряда LlNr > F/Ni > По определению алгебры F
все главные факторы, которые лежат между F/N1 и Nt/N19
центральны, и поэтому F/Nt нильпотентна ступени с.
Так как кольцо Л конечно, порядок алгебры F/N1 ограничен
только числами | Л |, с и числом порождающих в F.
Снова по теореме 7.1.3 существует только конечное число
подалгебр в F и, следовательно, | LIN | есть также ог-
раниченная величина. Это доказывает 1). Второе утверж-
дение теперь может быть доказано непосредственно.
Действительно, по теореме 7.1.2 Q конечно порождена,
и если @=#{0}, то существует 7?<]В такой, что Q/B —
7.3. КРИТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
315
главный фактор алгебры L. По определению алгебры Q
величины, | L/R | и, следовательно, | Q/R | бесконечны,
что противоречит определению класса С. Итак, L = L/Q
^рнечна. Предложение доказано.
7.3.	Критические алгебры
7.3.1.	Определение. Пусть G — алгебра Ли, Q — ее
фактор RIS (см. 7.2.1). Мы скажем, что Q — собственный
фактор, если либо R G, либо S {0}. Конечная алгебра
G называется критической, если она не лежит в многооб-
разии, порожденном всеми ее собственными факторами.
Примеры критических алгебр читатель найдет в упражне-
ниях. Значение критических алгебр показывает следую-
щее утверждение.
Лемма. Любое локально конечное многообразие V по-
рождено своими конечными критическими алгебрами.
Доказательство. Так как любое многообразие
V порождается совокупностью своих свободных алгебр
Gn = L (п, V) конечного ранга, то оно порождается и со-
вокупностью своих конечных алгебр. Индукцией по по-
рядку конечной алгебры G покажем, что она лежит в мно-
гообразии, порожденном своими критическими факторами.
Действительно, если G не лежит в многообразии, порожден-
ном своими собственными факторами, то она критическая,
и все доказано. Если же G лежит в многообразии, по-
рожденном ее собственными факторами Qt, . . ., Qr, то
I Qi I <С I I» и к алгебрам Qt, i = 1, . . ., г, применимо
предположение индукции. Так как факторы алгебр Qi,
I = 1, . . ., г,— это факторы алгебры бг, то лемма доказана.
В следующем разделе мы докажем, что в каждом клас-
се С (J, т, с) число попарно неизоморфных критических
алгебр конечно. Для этого нам понадобится одно достаточ-
ное условие некритичности конечной алгебры Ли.
7.3.2.	Предложение. Пусть G — конечная ал-
гебра Ли, обладающая множеством {Мг, М2, . . ., М8}
идеалов и подалгеброй L такой, что:
1)	G = alg (L, Мг, . . ., М8);
2)	G=£ alg (L, Мг,.., Mi, . . ., Af8), где л означает, что
данный идеал должен быть опущен, при любом Z = l,
2,..., 5;
3)	Мя(1)ЛГЯ(2) . . .	= {0} для любой перестановки
л индексов 1,2, . . ., s.
Тогда G — некритическая алгебра.
316
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Доказательство. Положим BQ L, Bi
М\, i = 1, 2, . . ., s, и Р = Во* . . . В8 (см. 2.6).
Обозначим через 0, эндоморфизм алгебры Р, индуцирован-
ный тождественным отображением Bi~+ Bi, если i j,
и нулевым отображением Bj —» {0}; пусть также К =
= П Ker 0j. Ясно, что любой элемент из К представим
;=1
в виде линейной комбинации коммутаторов, каждый из
которых включает сомножители из каждого Ви В2, . . .
. .	В8. Поэтому, если а — гомоморфизм алгебры Р на
G, индуцированный изоморфизмами Во —» L,	Mt,
i — 1, 2, . . ., s, то по 3) К СЕ Кег а.
Теперь рассмотрим элемент w = (1 — 0^ (1 — 02) . . .
... (1 — 0S) и, где и — некоторый элемент из Р. Тогда
ясно, w е К, и поэтому мы имеем
U =	+ р2 + . . . + У/,	(1)
где Vi = +	(и), причем pf — непустое произведение
эндоморфизмов 0j, i = 1, 2, . . ., fr, w СЕ Кег а. Обозначим
теперь через Gt алгебры Gi = apf (Р). Тогда по условию
2) все Gi, i = 1, 2, . . ., собственные подалгебры ал-
гебры G. Чтобы завершить доказательство предложения,
достаточно показать, что G представимо в качестве го-
моморфного образа прямого произведения 5 = Gx X G2 X
X . . . X Gt. Итак, представим S как факторалгебру ал-
гебры Р, полагая ф (u) = (a (vj), а (v2), . . ., а (vt)) для
любого u Р, имеющего вид (1). Очевидно из определений,
что Кег ф cz Кег а, и, следовательно, G — факторалгебра
алгебры S. Предложение доказано.
В следующем разделе нам понадобится и такое утверж-
дение:
7.3.3.	Лемма. Пусть Мг, М2, . . ., М8 — ненильпо-
тентные идеалы конечной алгебры G такие, что alg (Мг,
М2, . . ., М8) = MrxM2 х ... X М8. Тогда G обладает
подалгеброй L, для которой G — alg (Ь,Мг, М2, . . ., М8)
uG^^tL^, . . , Mi, . . .,M8),i = 1,2, . ..,s.
Доказательство. Пусть L — минимальная
подалгебра в G, для которой G = alg (L, Мг, . . ., М8),
и предположим, без потери общности, что G = alg (L,
М2, . . ., М8). Положим М = Mt X М2 X ... X М8 и
М* = М2 X ... X М8. Тогда G = L4-M = Z/ + М*.
Согласно модулярному закону М = М* + М Q L. Если
теперь N = М* р| L, то Мх М!М^ = М Q L +
'	7.1. КРИТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ	317
+ s М Q.L/M* П L = М П LIN, так что идеал
М f] LIN не является нильпотентным в LIN. Соглас-
но 1.7.6 МП LIN Ф (L/7V), откуда для некоторой
максимальной собственной подалгебры LJN алгебры
LfN имеем М f) LIN + LJN = LIN. Используя послед-
нее равенство, имеем L =	+ М р) L и, далее, G =
= L + M = L1-\-M{}L-[- М, что противоречит ми-
нимальности алгебры L. Итак, лемма доказана.
7.3.4.	Минимальное представление. Множество ал-
гебр называется факторно замкнутым, если все факторы
алгебр из & снова лежат в Sf. Пусть U = var (£7), где
£7 — некоторое конечное факторно замкнутое множество
конечных алгебр Ли над Л. Тогда любая конечная алгеб-
ра G ЕЕ U по построению из теоремы Биркгофа 4.1.4 изо-
морфна фактору конечного прямого произведения Р алгебр
из <$7:
п
G = В/С, BQP=[isit	i = 1...п. (1)
ki—1
Без потери общности предположим, что | Sx |	| S2 |
| Sn|. Тогда представление алгебры G в виде
(1) называется минимальным, если строка порядков
(I I? 1 $2 I» • • •» 1 $п 1 ) является лексикографически
наименьшей возможной. Некоторые свойства минимальных
представлений перечислены ниже.
Предложение. Пусть (1) — минимальное пред-
ставление конечной алгебры G в многообразии U, порож-
денном конечным факторно закнутым множеством & ко-
нечных алгебр. Тогда*.
1)	все алгебры Si, i = 1, 2, . . ., п, критические;
2)	В — подпрямое произведение в Р;
3)	подалгебра D cz St является идеалом в St тогда и
только тогда, когда BD с_ D;
4)	любой нетривиальный идеал D cz. Si имеет нетри-
виальное пересечение с В ;
5)	С f] Si = 0 для любых t = 1, 2, . . ., п.
Доказательство. 1) Если некоторая алгебра
Si не является критической, то Sf изоморфна фактору ко-
нечного прямого произведения своих собственных фак-
торов, имеющих меньшие порядки. Это приводит к про-
тиворечию с минимальностью представления (1).
2)	Если tti — проекция алгебры Р на Si, i = 1, 2, . . .
. . ., п, то В фактически является подалгеброй алгебры
(В)	X л2 (В) X . . . X лп (В). Минимальность пред-
318 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
ставления (1), очевидно, влечет равенства (В) = 5/,
i = 1, 2, . . ., n.
3)	немедленно следует из 2).
4)	Если это не так, то для некоторого нетривиального
идеала D алгебры, скажем, Sr. имеем D П В = 0, так что
В изоморфна подалгебре алгебры (SJD) X S2 X . . .
... X *Sn, что противоречит минимальности представле-
ния (1).
5)	Предположим, что {0} Ф D <] Sx — идеал алгебры
S1 такой, что D р| С =# {0}. Тогда С изоморфна фактору
алгебры SJD С х S2 х . . . X Sn.
7.3.5. Предложение. Пусть G — конечная ал-
гебра Ли из многообразия U .порожденного конечным фактор-
но замкнутым множеством SP конечных алгебр таким, что
порядки критических алгебр из If ограничены некоторым
натуральным числом q. Тогда G обладает полупростым
рядом (см. 1.6.4) длины, не превосходящей q.
Доказательство. Пусть (1) — минимальное
представление алгебры G в 17. Используем предложение
из 7.3.4. Согласно 1) все Si — критические алгебры с мо-
нолитами Согласно 3) и 4) каждый монолит Mt —
минимальный идеал вВ, i = 1,2, . ... п. Обозначим через
Qx прямое произведение Qlt = М\ X М2 X ... X Мп-
Очевидно, что BlQ1 изоморфно подалгебре алгебры
SJM1 х S2/M2 X ... X SnIMn. так что можно восполь-
зоваться предположением индукции по q. По предполо-
жению индукции BlQr обладает полупростым рядом
длины, не превосходящей г?—1, полные прообразы членов
которого вместе с образуют полупростой ряд
В = Qq Qq-1 — • • • =5 Ql — Qq = 0
алгебры В. Чтобы получить полупростой ряд алгебры
В/С. достаточно применить 1.6.4.
7.4.	Критические алгебры из класса С (f, vn. с)
7.4.1.	Нильпотентный радикал в конечной алгебре Ли.
Мы будем использовать в этом разделе структурную тео-
рию конечных алгебр Ли, развитую в разделе 1.9. Итак,
пусть G — конечная алгебра Ли, N — ее нильпотентный
радикал, (р — ее идеал Фраттини, Мг. М2. . ., М8 — идеа-
лы алгебры G такие, что N/q = M-Jy ф M2lq ф . . .
. . . ф MJy. причем Mily —минимальный абелев идеал
алгебры G/ф, L — подалгебра алгебры G такая, что
'7.4. КРИТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗ КЛАССА С (/, т, с) 319
G/ф =* Л7фф-£/ф. Пусть также С — централизатор ал-
гебры TV/ф в G и F —пересечение всех главных централи-
заторов. *
Лемма. F = N. Более того, если G — разрешимая
алгебра Ли, то С = N.
Док авательство. Так как подалгебра F цен-
трализует свои G-главные ряды, она обладает центральным
рядом, т. е. нильпотентна. Следовательно, F cz N. Рас-
смотрим теперь нижний центральный ряд алгебры N\ его
члены G-инвариантны, и поэтому мы можем рассмотреть
главный ряд алгебры G, уплотняющий G-ряд вида G О
О N О N2 О . . . О Nd+1 О {0}. Любой член получаю-
щегося ряда либо расположен «над» N, либо нахо-
дится «внутри» N, и в обоих случаях централизуется
алгеброй N. Однако любой главный фактор конечной ал-
гебры по теореме 1.6.3 изоморфен некоторому фактору лю-
бого, фиксированного главного ряда и, следовательно,
централизуется подалгеброй N. Окончательно, NQF, и
доказательство завершено в общем случае.
Предположим, что алгебра G разрешима. Если С
N, то можно рассмотреть абелев главный фактор
DIN, содержащийся в CIN. Так как D централизует N/q>
и поскольку TV/ф нильпотентен, алгебра Dlq> нильпотентна.
В этом случае, однако, согласно 1.7.6 D сама нильпотентна,
что противоречит определению идеала N как наибольшего
нильпотентного идеала алгебры G.
7.4.2.	Лемма. Пусть G — критическая алгебра из
класса С (f, т, с). Тогда | JV/ф \ тс и | G/С | ттс.
Если Gразрешима, то ее порядок ограничен только числом,
зависящим от С. Таким образом, в С имеется лишь конеч-
ное число разрешимых критических алгебр.
Доказательство. Если | Л7ф | тс, то к
системе Мг, М2, .. ., Ms, L применимо предложение 7.3.2,
поскольку, очевидно, | Mi/ф | < т, и поэтому з^> с,
так что Мл(1)Мя(2) . . . МЯ(8) = 0. Два других условия
предложения 7.3.2 также легко проверяются. Поэтому
| JV/ф | тс и s с. Однако С — пересечение главных
централизаторов, именно, централизаторов главных фак-
торов Mi/ф, i = 1, 2, . . ., 5. Используя 1.5.4, видим, что
| Gt С | < (тп™?.
Если алгебра G разрешима, то по лемме 7.4.1 имеем
| G/ф |	7п(ш+1)с, и, следовательно, G может быть порож-
дена не более чем тп<т+1)с элементами. Рассмотрим тогда
свободную алгебру многообразия, определенного тожде-
320
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
ством / (ad х) (у) = 0 ранга, не превосходящего числа
^(m+Dc ц0 теореме 7.1.2 ее подалгебра индекса d
< т(7П+1)с имеет не более а = a (f, т, с) порождающих.
Та же самая величина а ограничивает, понятно, и число
порождающих в <р (6г). Так как идеал (р (G) нильпотентен
ступени, не превосходящей с, и поскольку основное коль-
цо Л конечно, его’ порядок ограничен некоторым числом
& = &(/, т, с), зависящим только от.С. Итак, порядок
| G \ = | GAp | • I ф I ограничен, и лемма доказана.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основной
результат этого раздела.
7.4.3.	Теорема. Чньсло критических алгебр в любом
классе вида С (f. т, с) конечно с точностью до изморфизма.
Доказательство. Ввиду предыдущей леммы и
ее доказательства достаточно показать, что если G — кри-
тическая алгебра в С, N — ее нильпотентный радикал,
С — централизатор фактора^ЛГАр, то порядок | ог-
раничен числом, зависящим’только от С. По лемме 7.4.1
идеал N представим в виде N = П (С П С,), где Ci —
i=i
централизатор некоторого главного фактора алгебры G.
Предположим, что t минимально для такого представления
идеала АГ; тогда, для каждого i = 1, 2, . . ., t, Hi =
= П (С П Cj) собственным образом содержит N и’
3^1
alg (ЯХ/АГ, Я2/ЛГ, . . ., Ht/N) =
= HJN X HJN X ... X Hi/N.
Выберем минимальные идеалы Nt/N алгебры G/N в
HtlN, i = 1, 2, По той же причине, что и в дока-
зательстве леммы из 7.4.1, каждое NJN ненильпотентно.
По лемме 7.3.3 существует подалгебра LIN, которая по-
рождает алгебру G/А вместе с множеством {NJN, . . .
. . ., Nt!N}, но ни с 1 жим его собственным подмножест-
вом. Для того чтобы применить предложение 7.3.2, доста-
точно показать, что для некоторого t, зависящего только
от С, имеем
Afjt(i)2Vл(2) • • • АГЯ^> = {0}.
Для этого выберем элементы Ъи Ь2, . . ., bt из N\, N2, . . .
. . ., Nt соответственно и обозначим через В подалгебру,
порожденную этими элементами и N. Алгебра В является
разрешимой, и если 52, . . ,	— ее критические фак-
торы, тогда их порядки по лемме 7.4.2 ограничены неко-
7.4. КРИТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ ИЗ КЛАССА С (ft т, с) 321
торым числом q, зависящим только от С. Применяя предло-
жение 7.3.5 к В Е var (<$^), где — множество факторов
алгебры В. мы видим, что В обладает полупростым рядом
длины, не превосходящей q. Ясно, что полупростой ряд
(относительно В) длины, не большей д, может быть выбран
и в В-идеале N:
N = Zg Z^ з Zx => Zo = 0.	(1)
Предполагая теперь, что t — 1 + qmm, выберем подмно-
жество, скажем, {Ь1? Ь2, • • •> множества {Ь1? Ь2,...
. . ., bt} и главный фактор TjZr^3 В-ряць (1). Докажем,
что если дан х ЕЕ 7\, то
. Ь х ЕЕ Zr.	(2)
m
В самом деле, любой В-фактор является В-изоморфным
В-подфактору некоторого главного G-фактора (1.6.4).
Таким образом, T\!Zr является В-изоморфным некоторому
В-подфактору главного G-фактора XJY^. Пусть С% —
централизатор фактора XJY^ и U == C^JN Q (Nt/N X
X ... X N^m/N). Покажем, что U — произведение не
которых из Nt/N, 1 i < тт. В самом деле, если 0 =#
и + N ее U, то и = ^di + N, di е Af, если, далее,
di TV, то, так как NJN — минимальный и неабелев,
для некоторого d{ е JV} 0 =/= (и + N) (d[ 4- N) = dtd[ -|-
+ N ЕЕ NJN. Согласно минимальности идеала N\/N он,
очевидно, лежит в U. Так как | G/C% | тт, то же самое
верно для (NJN X ... X N mlN)IU, и по только что
доказанному некоторое из Ьъ Ь2,.. ., Ътт, скажем Ь1? при-
надлежит идеалу С%. Поэтому brT^,^Zr. Поскольку
и Zr В-инвариантны, утверждение (2) доказано. По
определению ряда (1) каждый ого фактор является пря-
мой суммой главных факторов, имеющих рассмотренный
выше вид T^IZr, Поэтому предыдущее рассуждение пока-
зывает, что ЪгЪ2 . . . Ъ mZr cz Zr+i. Так как алгебра B/N
абелева, имеем
Ь±Ъ2 . . . Ь^тЬ = ЬХЬ2 . . . bt = 0.
Это позволяет нам применить предложение 7.3.5, если до-
пустить, что t^> 1 + qmm. Значит, такое допущение не-
возможно. Таким образом, t 1 + qmm, и поэтому поря-
11 ю. А. Батурин
3*>2 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
♦
док | С/N | ограничен только в терминах класса С. Теоре-
ма полностью доказана.
7.4.4.	Теорема. Для любых параметров f, т, с
класс С (/, т, с) — многообразие.
Доказательство. Обозначим через G конечное
прямое -произведение критических алгебр из С и через V
многообразие var (б?), порожденное алгеброй G. Чтобы до-
казать равенство V = (7, достаточно показать, что любая
конечно порожденная подалгебра В любой алгебры С е
е С принадлежит многообразию V. Если С конечно
порождена, то С —«конечная по предложению 7.2.3, и
В лежит в многообразии, порожденном ее критическими
алгебрами, которые по предложению 7.2.2 являются кри-
тическими алгебрами класса С. Предположим теперь, что
С — произвольная алгебра из С и идеал V (В) ненулевой.
По предложению 7.2.2 B/F(B)(=var (G)czC. В част-
ности, алгебра ВIV (В) конечна и идеал V (В) — конечно
порожден как идеал алгебры В. Теперь, аналогично дока-
зательству предложения 7.2.2, существует максимальный
идеал N алгебры С (следовательно, алгебры В) такой, что
N CZ V(В). Пусть М — пересечение всех С-идеалов, соб-
ственным образом содержащих ДГ; по выбору алгебры N
имеем М э V (5), и, более того, MIN — главный фактор
алгебры С. Поэтому | MIN | т. Положим теперь L =
= V(B) П N и рассмотрим В/L. Так как F(B)!L
= F(B) + N/N czMIN к любой главный фактор
алгебры BIL изоморфен либо главному фактору алгебры
ВIV(В), либо главному фактору алгебры F(B)1L, то все
главные факторы алгебры BIL имеют порядок, не боль-
ший т. Далее, поскольку BIL — фактор алгебры С, то
он ограничен параметрами си/. Следовательно, BIL е С,
и по первой части доказательства BIL Е F. С другой сто-
роны, V(BIL) = V(B)IL 0, что невозможно. Следова-
тельно, наша теорема доказана.
7.5.	Многообразие F<n>
7.5.1.	Определение. Пусть F — многообразие и п
натуральное число. Пусть Vn — множество тождеств, вы-
полняющихся в F и зависящих не более чем от п перемен-
ных. Тогда под F<n> мы будем подразумевать многообра-
зие всех алгебр, удовлетворяющих всем тождествам v =
s 0, v ЕЕ Vn. Эквивалентно, F<n) — класс^всех алгебр
Ли, чьи г-порожденные подалгебры лежат в F, г
r	7.5. МНОГООБРАЗИЕ Г<»)	323
n. Ясно, что F czF<n) для всех n = 1, 2\ . . . Если
F — конечно базируемое многообразие, то оно может
быть задано единственным тождеством (см. 4.2.12). Тогда
для подходящего п V = Частичным обращением это-
го факта является следующее предложение, которое в то
же самое время показывает значение таких многообразий
для изучения тождеств в конечных алгебрах.
Предложение. Пусть F — локально. конечное
многообразие над некоторым кольцом А и п — нату-
ральное число. Тогда — конечно базируемое многооб-
разие.
Доказательство. В самом деле, если дана
свободная алгебра счетного ранга L = L (X), ее подал-
гебра L' = L ({#!, я2, . . ., хп}), еХ, и вербальный,
идеал V= F (L), определяющий многообразие F, то лег-
ко видеть, что Vn эквивалентно V Q L' — F (£')• По на-
шему условию L4V (£') —конечная алгебра. Следова-
тельно, F (ZZ) конечно порожден как идеал алгебры Z/,
тем более как вербальный идеал этой алгебры. Предложе-
ние доказано.
7.5.2.	Предложение. Предположим, что
ТТ —? конечно базируемое подмногообразие многообразия
С (J, т, с) и многообразие W таково, что W <^ТТ. Тогда
W — конечно базируемое многообразие.
Доказательство. В самом деле, согласно
7.3.1 любое локально конечное многообразие, в частности
С, W и ТТ (см. предложение 7.2.3), порождено своими кри-
тическими алгебрами. Теорема 7.4.3 доказывает, что С (f,
т, с) имеет конечное число подмногообразий. В частности,
существует цепочка
w = w0 CZ w. cz... CZ ws l
подмногообразий такая, что нет подмногообразия F с
Wt CZ F cz fFi+i, i = о, 1, 2, . . ., 5 — 1. Будем прово-
дить доказательство индукцией по 5^ причем случай 5 = 0
является тривиальным. Пусть иг = 0, . . ., ut = 0 — ко-
нечный базис тождеств, выполняющихся в 17, и ut+i s
= 0 — тождество в W^, которое не выполняется в U =
= Ws. Пусть V — многообразие, определенное системой
иг == 0, и2 = 0, . . ., ut = 0, uf+1 == 0. Тогда Ws^ cz
cz F CZ. Wsn, следовательно, F = Поэтому Ws-! —
конечно базируемое многообразие, и, по предположению
индукции, то же самое верно для W. Предложение дока-
зано.
11*
324 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Следствие. Пусть G — конечная алгебра и V ='
= var (6?). Тогда V конечно базируемо тогда и только
тогда, когда для некоторых п, f, т, с выполняется V® cz
cz С (j, т, cL
Доказательству того, что такое число п существует
для любых /, т, с таких, что G ЕЕ С (f, т, с), будут по-
священы этот и следующий разделы. В итоге мы получим
возможность утверждать (теорема 7.6.4) шпехтовость мно-
гообразия, порожденного - конечной алгеброй Ли. В нас-
тоящем разделе мы сможем доказать лишь частичный ре-
зультат (см. 7.5.6). Для его доказательства понадобятся
три леммы.
7.5.3.	Лемма. Пусть G — конечная алгебра и V =
= var (G) cz С (j, т, с). Предположим, что п т + 1.
Тогда существует такое q = q (F), что для любого одно-
члена х^хц . . . xisy, ij ЕЕ {1, 2, . . ., m}, существует од-
ночлен x^Xj* . . . Xjry, jt EE {1, 2, . . ., m}, причем r < q,
так что
Xl?it . . . Xity =3 xjtxjt . . . xJry	(1)
— тождественное соотношение в многообразии F<n>.
Доказательство. Согласно 7.2.3 свободная
алгебра L многообразия F, порожденная элементами хг,
х2, . . ., хт, у, конечна, и, таким образом, число многочле-
нов вида Xjtxjt . . . Xjry в L конечно. Взяв в качестве q.
максимум степеней этих многочленов, мы убеждаемся в
справедливости нашей леммы. Лемма доказана.
7.5.4.	Лемма. Пусть G — конечная алгебра и V =
= var (G) £ С (/, т, с). Предположим, что	1.
Тогда существует г = г (F) такое, что если:
1)	Р Е F^ и М — минимальный идеал алгебры Р,
2) Q — подалгебра алгебры Р такая, что | Р/Q | т,
3) N — идеал алгебры Q такой, что {0} =/= N се М,
то | М |< | N | г.
Доказательство. Пусть X! + Q, х2 + Q, . . •
. . ., хт + Q порождают Л-модуль Р/Q и q — число, най-
денное в предыдущей лемме. Рассмотрим Л-подмодуль
q	т
8== 3 где	А» • • •
fc=0	ii, iz, ... , ^=1
и докажем, что он является P-модулем. Согласно тождест-
вам вида (1) XiS cz S. Чтобы доказать замкнутость под-
7.5. МН0Г00БРАЗИЕ1Г(п)
325
I
модуля относительно Q, положим Тг = 2 и заметим,
К«=0
что TQ = N и Tq = S. Используя индукцию по Z, пока-
жем, что аТг cz Тг для любого a ЕН Q. Случай I = 0 яв-
ляется тривиальным по условию 3). Теперь для а ЕЕ Q
имеем
m
aTt = aT	Ti-i + S. (axit) • • • xii^ —
ii, ... , г^=1
•	m
S Ti-i +	3	Xi.axj,. .. xitN +
ii, ... , ij“l
m	m
+	3. axiixi2 • • • xiiN£^-1+ J3 xiTT-i + CZ Ti»
ii, ••• , i/el	ii=l
Здесь было использовано тождество Якоби и предполо-
жения индукции. Поскольку | х^х^ . . . XitN |	| N |,
видим, что
=|ЛГГ,
где г зависит только от F. Для завершения доказательства
остается заметить, что поскольку М минимально, имеем
М — S. Лемма доказана.
7.5.5.	Лемма. Пусть G — конечная алгебра u V =
— var (G) cz (7 (/, тп, с). Предположим, что п т + 1.
Тогда существует s = s (F) такое, что если:
1)	Р — конечная алгебра из F<n>,
2)	М — минимальный идеал алгебры Р такой, что
Р/М е с (/, т, с),
3)	I М I > т,
то существует подалгебра Q Р, порожденная не более
чем s элементами и обладающая минимальным идеалом
N таким, что \ N \ > т.
Доказательство. Пусть Q — минимальная
подалгебра алгебры Р, обладающая минимальным идеа-
лом порядка тп. Тогда Q — расширение идеала Q f)
П М ЕЕ С при помощи подалгебры Q + М/М е С, и так
как порядки главных факторов в С ограничены числом
тп, существует подалгебра (даже идеал) J в Q такая, что
I QU I т- Минимальный /-идеал имеет порядок т
и, следовательно, по предыдущей лемме | N | тг. Из-за
минимальности идеала N для каждого собственного Л-под-
326 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
модуля V идеала N существует элемент xv ЕЕ Q такой,
что xyVgt V. Так как число подмодулей в АГ, очевидно,
не превосходит числа 2тГ, то достаточно положить 5 =
= 2т\ поскольку в силу минимальности алгебры Q она
порождается всеми элементами вида xv и любйм ненуле-
вым элементом из N. Это доказывает лемму
7.5.6.	Предложение. Пусть G — конечная ал-
гебра Ли и V = var (G) СС (/, тп, с). Тогда существует
число t 0 такое' что любая конечная алгебра РееУ{Г> f~]
п С2 леэющп в С.
Доказательство. Если п max {2, с + 1},
то, так как все n-порожденные алгебры из F<n> лежат
в F, предложение 7.2.2 дает справедливость тождества
(/ (ad х) (у)) = 0 в Р и ограниченность ступеней нильпо-
тентности нильпотентных алгебр числом с. Достаточно
поэтому ограничить порядки главных факторов в конеч-
ных алгебрах Р Е F^ Q С2 числом тп, где t max {п, «}
(5 — такое же, как и в лемме 7.5.5). Предположим, что
Р — алгебра минимального порядка, которая не принад-
лежит классу С. Вследствие минимальности порядка Р
обладает минимальным идеалом М Ф {0} таким, что
| М | т. По нашему условию также М Р, и поэто-
му PIM, М ЕЕ С. Однако в этом случае лемма 7.5.5 обес-
' печивает существование некоторой «-порожденной под-
алгебры Q cz Р, обладающей минимальным идеалом N
с I N I Это невозможно по предложению 7.2.2, так
как <2 Е F сС (/, zn, с). Доказательство предложения
закончено.
7.6. Главные централизаторы и максимальные
подмногообразия
Мы продолжим изучение многообразия F — var (G),
порожденного конечной алгеброй Ли G над некоторым ко-
нечным кольцом Л. Теперь мы уже знаем, что F обладает
конечным числом подмногообразий. Выберем некоторое
максимальное подмногообразие F 0.
’7.6.1. Лемма. Пусть В — конечная алгебра из V
и У о (В) — вербальный идеал алгебры В, отвечающий мно-
гообразию V 0. Тогда либо Уо (В) = {0}, либо Fo (В) —
прямая сумма минимальных идеалов алгебры В.
Доказательство. Ясно, что мы можем вы-
брать критические алгебры Go, бгх, G2, . . ., Gs ЕЕ У сле-
дующим образом. Алгебры Glt G2, . . ., Gs — это все кри-
7.6. ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ И ПОДМНОГООБРАЗИЯ 327
тические алгебры многообразия Fo, Go Fo, а многооб-
разие, порожденное собственными факторами алгебры 6?0,
лежит в Fo. Следовательно, V порождено факторно замк-
нутым множеством^ всех факторов алгебр Go, Gu . . ., Gs.
Если М0 — монолит алгебры Go, то по условию Fo (6?0) =
= Мо. Рассмотрим минимальное представление
B = CID,	i = l, 2,
{i=l
для алгебры В в многообразии var (<$Р) == F. Тогда по
предложению 7.3.4, 1) все алгебры St критические. По
нашему предположению все они, за исключением некото-
рого числа изоморфных копий Sr, S2, . . ., St алгебры Go,
лежат в Fo. Следовательно, Fo (Р) c^V0 X X . . .
. . . X St) = Мг X . . . X Mt, где Mi M0 — мини-
мальные идеалы алгебры а значит, по предложению
7.3.4, 3) и 4) — минимальные идеалы алгебры С. Поэто-
му имеем
Fo (С) Т = X М2 X . . . X Mt о С,
т. е. Fo (С) является идеалом цоколя (суммы минимальных
идеалов) алгебры С. Как отмечено в 1.6.4, Fo (С) — пря-
мая сумма минимальных С-идеалов. Рассмотрим теперь
Fo (CID). Это образ идеала Fo (С) при С-гомоморфизме
С -+СЮ, равный Fo (С) -\-DID. Имеет место С-гомомор-
физм
Fo (С) + DID Fo (C)/Fo (С) П D.
Таким образом, поскольку Fo (С) + DID — фактормо-
дуль полупростого модуля, он сам является полупростым
как С-модуль, и поэтому как CID-модуль. Другими сло-
вами, Fo (СЮ) — прямая сумма минимальных идеалов
алгебры СЮ, что и^доказывает лемму.
7.6.2.	Формула Все оставшиеся рассуждения
этого раздела связаны с формулами, позволяющими огра-
ничить индексы некоторых главных централизаторов в ал-
гебрах, в которых они выполняются. Эти формулы зави-
сят от двух положительных чисел d, s и неассоциативного
многочлена v. Обозначим их через fdt s- Тогда
fd,s = (Va, zn . . ., Zt) [(.V^, x2, . . ., xd) (av (zn . . .
. . ., zt) = axrv (zn . . zt) = ...
. . . = ax± . . . xdv (%, . . ., zt) = 0) =>
=» (Vyp . . y9). (ayx . . .ysv (zv . . ., z^ = 0)]. .
328 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Ясно, что формулы FS, s» в которых $ < d, тождественно
истинны в любой алгебре. Значение этих формул для изу-
чения главных централизаторов показывает следующий
факт.
Лемма. Предположим, что F^s+i истинна в не-
которой алгебре Ли G, и пусть у = v (z?, . . ., z?) ее G.
Элемент а лежит в Св (/), где I = ide ({у}) тогда и толь-
ко тогда, когда
av = axtv = . . . = ахг . . . xsv = 0	(1)
для любых хг, х2, . . ., xs ЕЕ G.
Доказательство. Заметим сначала, что Fs” s+i
следует из Fs-i, В самом деле, допустим, что F”-i, s ис-
тинна в алгебре G. Для того чтобы вывести F”, s+ь доста-
точно показать, что если равенства (1) верны в G, то для
любых уг, у2, . . ., ys+1 е G имеем ауг . . . ys+1v = 0. Од-
нако согласно тождеству Якоби
аУ1У2 • • •	= У1ЛУ2 • • • Уз+iV + («У1)	• • • Уз+1» =
= Ьу2 . . . ys+1v, (2)
где Ь = ауг. Так как F”-i,s истинно в G, то для того что-
бы показать равенство нулю последнего члена в (2), доста-
точно показать, что bxtx2 . . . xrv = 0 для любых х±,
х2, . . ., xr ЕЕ G, г <Z s. Однако, снова используя тождест-
во Якоби и (1), мы получим, что
Ьх±х2 . . . xrv = (ауг) хг . . . xrv =
= ау1х1 . . . xrv— yioxt . . . xrv — 0,
так как г -f- 1 <1 5.
Продолжим доказательство самой леммы. Так как не-
обходимость условия (1) очевидна, то достаточность мо-
жет быть доказана последовательным применением фор-
мул Fs, s+i, F7+i, s+2> • • •> Fr-i,r для любого r>s, так
как любой элемент из I представим в виде линейной ком-
бинации одночленов вида угу2 . . . yrv для некоторых
Ух, Угч • * •» Уг из G. Таким образом, лемма доказана.
Возвратимся теперь к многообразию V, порожденному
конечной алгебройG, и предположим, что G ЕЕ С (f, т, с).
Пусть также Fo — максимальное подмногообразие мно-
гообразия V и v (z1? z2, . . ., zz) = 0 — тождественное со-
отношение, выполняющееся в Fo- Тогда верна следующая
лемма,
7.6. ГЛАВНЫЕ ЦЕНТРАЛИЗАТОРЫ И ПОДМНОГООБРАЗИЯ 329
7.6.3.	Лемма. Формула fm-i, s истинна в любой
алгебре многообразия F.
Доказательство. Ясно, что можно рассмот-
реть только конечно порожденные и, следовательно, ко-
нечные (в силу локальной конечности многообразия F)
алгебры. Таким образом, предположим, что a, z19 . . .
. . ., zt — элементы конечной алгебры Н €= F, и для всех
хьх^ . . . , а?™-! имеем
av (z1? .'. ., zt) = axrv (zn . . ., zt) — . . .
. . . = a^. . . xm^v (zn . . ., zz) = 0.
Если v (zn . . ., zz) = 0, то доказывать нечего. Предпо-
ложим, что v (%, z2, . . ., zz) =/= 0. Используя лемму из
t
7.6.1, представим v в виде v= У i\, где Vi — элементы
из некоторых минимальных идеалов алгебры Н. Что-
бы доказать истинность формулы fm-i, s в Я, достаточно
показать, что ауг . . . ysVi = 0 для всех yr, . . .,ys^H.
По предложению 7.2.2 |	| i = 1, 2, . . ., г, и,
следовательно, ряд
0 с с Я (Ayf) + Avt с
СЯЯ (Лу£) + Н (Avt) + Avi с . . .
обрывается не позже чем на тп-м члене. Это означает, что
любое произведение вида ауг . . . ysVt может быть пред-
ставлено в виде линейной комбинации произведений вида
ахфъ . . . xTvt, где г т — 1. Эти последние произведе-
ния по нашим предположениям равны нулю. Лемма дока-
зана.
Теперь мы в состоянии перейти к доказательству од-
ной из основных теорем этой главы.
7.6.4.	Теорема. Тождественные соотношения ко-
нечной алгебры Ли над конечным кольцом допускают ко-
нечный базис.
Доказательство. Теорема доказывается ин-
дукцией по числу собственных подмногообразий много-
образия F, порожденного конечной алгеброй G. Это
корректно, так как, с одной стороны, число таких подмного-
образий конечно, а с другой стороны, каждое такое подмно-
гообразие порождено прямым произведением своих кри-
тических алгебр, т. е. одной конечной алгеброй. Важную
роль в доказательстве теоремы играет следующая лемма,
в которой Vq (zx, z2, . . ., zz) = 0 — тождественное coot-
330
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
ношение, определяющее максимальное подмногообразие
V0, конечно . базируемое по предположению индукции.
Число g есть порядок алгебры G, g = | G |.
Лемма. ПустьPe^V<п>,где+ g +
и Q/I — главный фактор алгебры Р. Если С — централи-
затор фактора Q/I в Р и Q/I 0, то | Р/С | С g.
Доказательство. Конечно, можно ограйи-
читься случаем I = {0}. Предположим, что 1~ {0} и
| PIC | g. Желаемое противоречие будет получено,
если мы построим тождество от числа переменных, не пре-
восходящего п, выполняющееся в F, но не в Р., Так как
Р ^Fo, Fo определено тождеством го = О и Q — мини-
мальный идеал алгебры Р, то для некоторых z?, z?, . . .
..., z? этот идеал порожден элементом и0 (zi> • • •>
Пусть id?, а?, . . ., a?g— элементы из различных классов
алгебры Р по С. Формула истинна в V и включает
переменных. Поэтому она выполняется в F<n\ откуда
по лемме из 7.6.2- существуют х?, . . ., Xr s Р, 0 г
т — 1, такие, что 0 =/= а?я? . . . a;?v0 (z?, . . ., z?),
и поэтому тождественное соотношение (а^	.. ., хг\
z1? . . ., zt) = агхг . . . xrv = 0, выполняющееся в Fo, не
выполняется в Р. Используя теперь	мы можем
найти Хг+1, . . ., Xr+s в Р^О	— 1, так что
(а? — а?) хг+1... Хг^ (а?; ж?, . . ., ж?; z?, . . ., z?) =/= 0.
Положим
(02 — ах) яг+1 . . . Хг-^ (ах; хъ . . ., xr\ zn . . :, zi) =
=	(^1> ^2» ^1» • • •» *^r+s» zl» • • ч zl)>
Действуя далее аналогично, мы получаем многочлен
== g(g~rl) (^1» * • • ’	^1» • • • »	^1» • • • » zl)>
2
зависящий от числа переменных, не превосходящего п
(переменные а$, xj, zs), который не обращается тождест-
венно в нуль на алгебре Р и включает в качестве сомно-
жителей все переменные Oj, . . ., ag и их разности at — aj,
i j. На каждом шагу построения мы применяли форму-
лы m 0	, которые истинны в F и, так
как они зависят не более чем от п переменных, они истин-
ны также ив Ge FH С другой стороны, v = 0 — тож-
7.7. ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ *АЛГЕБР ЛИ 331
дество в G, так как из'| G | = g следует, что либо значение
некоторой из переменных at равно я; для i Ф либо зна-
чение некоторой переменной я< равно нулю. Лемма дока-
зана.
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть 5 — целое
число, найденное в лемме 7.5.5, п — то же самое*, что и в
предыдущей лемме, t = max {5, п}. Используя следствие
предложения 7.5.2, видим, что достаточно показать, что
F(0 cz С (f, т, с), еслиК ci С (/, тп, с). Так как по пред-
ложению 7.4.4 С — многообразие, остается показать, что
конечно порожденные алгебры Pe=F<*) лежат в С.
Рассмотрим вербальный идеал С (Р) одной из та-
ких алгебр Р, отвечающий многообразию С. Предполо-
жим, что С (Р) Ф {0}. По нашему предположению и пред-
ложению 7.2.3, алгебра Р/С (Р) конечна и, следователь-
но, Q = С (Р) — конечно порожденный идеал алгебры Р.
Следовательно, существует максимальный идеал I
алгебры Р, содержащийся в Q и такой, что I =/= Q. Чтобы
получить противоречие, достаточно показать, что РП ЕЕ
ЕЕ С. Поэтому мы предполагаем, что I = {0}, т. е. Q —
минимальный идеал алгебры G. Докажем, что . Q — ко-
нечная алгебра из С. В самом деле, по теореме 7.1.2 Q
конечно порождена как подалгебра, и если <2 ЕЕ Fo CI С,
то Q конечна. Если R — централизатор идеала Q в Р,
то либо R Q и тогда Q d С (так как из Q е F<n> cz
cz F^ следует, что ЕЕ F cz С), либо R П Q = {0}
и | Q | С I PIR I- Если Q Fo, то по предыдущей лемме
| Р/R | g, что дает @ ЕЕ F (действительно, Q ЕЕ FtOc
с F&)).
Итак, Р — конечная алгебра из F<#> Q С2, п s,
так что по предложению 7.5..6 Р е С. Однако по предпо-
ложению С (Р) = Q #= {0}. Противоречие. Таким образом,
основная теорема доказана.
Следствие. Для любых параметров f, т, с класс
С (j,m, с) — конечно базируемое многообразие.
%
7.7.	Локально конечные многообразия алгебр Ли
7.7.1.	Многообразия Кросса. В силу ряда причин мно-
гообразие алгебр Ли F над*конечным кольцом А, порож-
денное конечной алгеброй G, называется многообразием
Кросса (или кроссовым многообразием). Оно может быть
охарактеризовано также тремя свойствами:
a)	F — локально конечное многообразие;
332 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
б)	V — конечно базируемое многообразие;
в)	V содержит лишь конечное число попарно неизо-
морфных критических алгебр.
То, что V = var (G), | G | < оо, удовлетворяет усло-
виям а), б), в), есть содержание разделов 7.1—7.6 настоя-
щей главы. Обратно, если К удовлетворяет условиям
а) — в), то оно порождается одной конечной алгеброй —
прямым произведением своих попарно н^изоморфных кри-
тических алгебр. Важной характеризацией многообразия
Кросса является возможность его вложения в один из
классов вида С (/, тп, с) (см. 7.2). Согласно 7.4.4 класс
(7 (/, тп, с) — многообразие Кросса, причем (см. 7.5) лю-
бое его подмногообразие — также многообразие Кросса.
Все эти факты позволяют считать, что локально конечные
многообразия, являющиеся многообразиями Кросса,—
хорошо устроенный класс многообразий.
Следующий шаг на пути описания локально конечных
многообразий алгебр Ли — описание таких многообра-
зий, которые сами не являются многообразиями Кросса,
но любое их собственное многообразие уже кроссово. Мы
будем называть такие многообразия почти кроссовыми.
Важность изучения таких многообразий иллюстрирует-
ся следующим.
Предложение. Любое многообразие, не являю-
щееся многообразием Кросса, содержит почти кроссово
подмногообразие.
I** Доказательство. Перейдем к рассмотрению
вербальных идеалов свободной алгебры Ли счетного ран-
га. Пусть — множество вербальных идеалов свободной
алгебры Ли L^, содержащих вербальный идеал V, опре-
деленный тождествами некроссова многообразия V и со-
ответствующих некроссовым подмногообразиям в V. Пусть
F = FocViCZ...CFn(Z...CC7= U Vn
— бесконечная возрастающая цепь элементов множества SP.
Ее объединение U есть вербальный идеал алгебры L^,
который, очевидно, не может быть порожден конечным
числом элементов как вербальный идеал. Таким образом,
U не может отвечать кроссову многообразию, т. е. U ЕЕ
ЕЕ S5. Таким образом, к множеству можно применить
лемму Цорна. В’результате мы получаем вербальный идеал
W, отвечающий некроссову подмногообразию W много-
образия такойа что всякий содержащий его вербаль-
7.7.	ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ 333
ный идеал задает кроссово многообразие. Итак, W — поч-
ти кроссовр многообразие, содержащееся в некроссовом
многообразии V. Предложение доказано.
Отметим также, что знание почти кроссовых многооб-
разий позволяет ответить на, вопрос: определяет или нет
произвольное тождество w х2, . . ., хп) = 0 многооб-
разие, порожденное некоторой конечной алгеброй. Для
этого достаточно проверить выполнимость этого тождества
в свободной алгебре ранга п каждого почти кроссова мно-
гообразия.
7.7.2.	Метод изучения почти кроссовых многообразий.
В этой книге мы ограничиваемся изучением разрешимых
почти кроссовых многообразий алгебр Ли. В отличие от
неразрешимых почти кроссовых многообразий, сущест-
вование которых доказано в [99], разрешимые допускают
полное описание (теорема 7.8.9), получение которого яв-
ляется основной целью ближайших двух разделов. Как
мы увидим в 7.7.5, любое разрешимое почти кроссово
многообразие локально конечно и удовлетворяет тождест-
ву вида / (ad х) (у) = 0. Несколько позднее в этом пункте
мы покажем, что в локально конечном многообразии F
совокупность VLn всех локально нильпотентных алгебр —
подмногообразие. В этом случае либо V ln = F, либо
V ln cz 2VC при подходящем с. В самом деле, если V ln ф
то Vln кроссово и порождается одной локально
нильпотентной конечной алгеброй, т. е. нильпотентно.
В первом случае, очевидно, порядки главных факторов
в алгебрах из F ограничены числом д, где q = | Л |, а сту-
пени нильпотентности нильпотентных факторов неогра-
ниченны. Во втором случае можно сделать вывод о том,
что в многообразии F имеется последовательность алгебр
Zn, п = 1, 2, . . ., с главными факторами Мп (их можно
даже считать минимальными идеалами), порядки которых
не ограничены в совокупности. В самом деле, в обоих слу-
чаях, если допустить обратное, то F cz С (/, тп, с) для под-
ходящих параметров /, тп, с. Отсюда, ввиду полученных
ранее результатов, вытекала бы кроссовость многообра-
зия F. Таким образом, изучение разрешимых почти крос-
совых многообразий распадается на две существенно раз-
личные части: 1) изучение локальнотнилыютентных раз-
решимых почти кроссовыхТмногообразий;7 2) изучение
разрешимых почти кроссовых многообразий,^не^являю-
щихся локально нильпотентными. Осуществлению пер-
вой части этой программы посвящается оставшаяся часть
334 ГЛ- 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ/АЛГЕБРАХ ЛИ
настоящего раздела. Будет показано, что в случае, когда
Л — поле, такое многообразие существует и единственно.
Вторая часть реализуется в следующем разделе. Его ос-
новной результат — доказательство того, что почти крос-
совых разрешимых многообразий над конечным полем,
не являющихся локально нильпотентными, нет. Затем бу- *
дут получены основные теоремы и некоторые следствия
алгоритмического характера.
Мы завершим этот пункт доказательством вспомога-
тельного утверждения.
Лемма. Пусть F — локально конечное многообра-
зие алгебр Ли над конечным кольцом Л. Тогда совокуп-
ность VLN локально нильпотентных алгебр из V также !
является многообразием.
Доказательство. Используем теорему Бирк-
гофа 4.1.4. Понятно, что класс V ln замкнут относительно
перехода к подалгебрам и факторалгебрам. Пусть теперь
{Ga I а Е /} — набор локально нильпотентных алгебр 1
из F. Рассмотрим подалгебру Н в G = JJ Ga, порожден-
a&I
ную элементами	hs. Если На — ядро проекции
алгебры Н на Ga, то П На. = {0}- Поскольку Н конеч-
ael	1
на, для некоторых аь . . ., at имеем На± П • • • П	==
= {0}. Отсюда Н cz H/Hai X ... X Н/Н^. Но для лю-	)
бого а алгебра Н/На изоморфна конечно порожденной
подалгебре в Ga, т. е. нильпотентна. Отсюда понятно, что
и Н — нильпотентная алгебра Ли. Лемма доказана.
7.7.3.	Пример разрешимого почти кроссова многооб-
разия алгебр Ли над конечным полем характеристики |
р > 0. Рассмотрим многообразие ЛГ, заданное тождества-
ми (см. обозначения в 4.7.3):
(О	(ад) s 0;
(ii)	xvyz == 0;
(iii)	xpyp = 0. -
Как видно, многообразие if срстоит из метабелевых ал-
гебр. Оно также локально нильпотентно: действительно,
согласно (ii), многообразие if энгелево, поэтому 4.7.2
показывает, что оно локально нильпотентно. Заметим, что
элемент вида (iii) лежит в центре алгебры с тождествами
(i), (Н):
zxp-1ypx = xp~lyP^zyx = xP-^zx — xpyp~1zy = 0.
' 7.7. ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ 335
Поэтому если алгебра^ с тождествами (i), (ii) не является
нильпотентной, то и ее факторалгебра по вербальному
идеалу, отвечающему тождеству (iii), также ненильпотент-
на. Теперь, чтобы показать, что М ненильпотентно, дос-
таточно взять алгебру Ли из примера 1.8.7. Покажем
теперь, что любое собственное подмногообразие в М яв-
ляется нильпотентным. Пусть V — вербальный идеал
свободной метабелевой алгебры М (X) счетного ранга,
определенный тождеством xpyz = 0. Поскольку (и +
4- v)pyz = upyz + vpyz, то идеал V полиоднороден. Ес-
ли W ZD V — вербальный идеал в М (X), определенный
по модулю идеала V тождеством (iii), то
хР"1 (и + v)P_1 х (и + v) = х^ЧР-^хи + xp^1vp~1xv + Р,
где
р-1 /р —
Р = а;Р-1 I ) ufvV -^XV +
s=l \ s /
р~2/р —1\
4- х?-1 2j I	)	=
s-o V	s	j
= xp У I	I	us~1vP'~1--suv 4-
e=i \	5	/
Pr1
4- XP-1 3 I U^VPSXU +
4	.	s=l \ s /
Pr2 / p — 1 \
4- tfP""1 Zi I I ubjP-^-^XU —
'	s=0 \ s /
P“1fp\
= X?-1 У1 ufvP-i^xu = 0.
s=*0 \s /
Значит, свободная алгебра F (X) = M (X)/T7 полиодно-
родна. Поэтому многочлен от X равен нулю в F (X) тогда
и только тогда, когда все его полиоднородные компонен-
ты нулевые. Пусть теперь / (х^ . . ., хп) = 0 — нетри-
виальное тождество многообразия М. Если оно полили-
нейное, то имеет вид
п
3 ^1*^1. . .	. .. xnXjXn-±-i == 0. >
Подставляя х;хп+2 вместо х; такого, что aj 0, получаем
тождество нильпотентности.
Допустим теперь, что степень к по некоторой перемен-
ной, например хъ больше 1. Тогда к р. Проведем
336 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫ^ АЛГЕБРАХ ЛИ
линеаризацию по xv Согласно замечанию о полиоднород-
ности достаточно ограничиться рассмотрением полиодно-
родной компоненты. Она имеет вид
Р = Р (^1) = S g^u gi = gi (®2, • • • , хп).
i=l
Мы перейдем к Р (xr + #п+1) — Р — Р (хпА1) и рас-
смотрим компоненту степени к — 1 по и 1 по ял+1. Она
имеет вид
Qi ~	+ (к — 1) S	=
i	г
i	i
Если к =/= p, то следствием из Q = 0 при яп+1 = хг явля-
ется Р = 0. Поэтому многочлен Q нетривиален в F (X).
В нем степень по хг уменьшилась, и все в порядке. При
к — р следует отметить, что в М справедливо тождество
xypz г zypx или (условно) xzyp = zxyp. Поэтому Р — 0
приобретает вид Р = P'xh где Р' — одночлен от х2, . . .
. . ., хп. Тогда Q приобретает вид Q = P'x^Xn+t. Отсюда,
используя пример из 1.8.7 (можно также 7.7.4), мы найдем
номер i, 2 I тг, такой, что Р делится на хр. Тогда
Р = Р"хрхр = 0 в силу тождества (iii) многообразия М.
Значит, если Р нетривиально, то и Q — нетривиальный
многочлен. Снова получили понижение степени по хг.
Проведенная редукция позволяет считать, что / (х^ . . .
. . ., жп) — полилинейный многочлен. Согласно доказан-
ному выше тогда из / == 0 вытекает тождество нильпо-
тентности. Наше утверждение доказано. Итак, М — при-
мер разрешимого локально конечного почти кроссова мно-
гообразия над конечным полем Л характеристики р 0.
Нам предстоит показать, что это — единственное^ разре-
шимое почти кроссово многообразие над конечным*полем.
Изучим сначала свободные алгебры этого многообразия.
7.7.4. Строение свободной алгебры многообразия М.
Пусть Л — поле характеристики р 0, В — абелева ал-
гебра над Л с базисом {zf | £ ЕЕ I}. Рассмотрим абелеву
алгебру А с базисом /^, где/ — одночлен из A[z{pG:/L
не делящийся на Zj, г, / ее I. Удобно считать, что
fti = 0, если / делится на zp для некоторого /. Превратим
А в В-модуль, полагая Zj □ (fit) = (zjf) ti. Тем самым А
7л. локально' конечный мйоРообразйя АЛГЁЁР ЛЙ 337
становится модулем ^ад AUf | i ее Л (модульное дейст-
вие, обозначим кружочком о), и определена алгебра Ли
К = В К А — полупрямое произведение алгебры Вдна
алгебру А (см. 1.4.4).
Лемма. 1) Алгебра К принадлежит многообразию
М. 2) Элементы уi = zt + tt свободно порождают М-сво-
бодную' алгебру.
Доказательство. 1) Очевидно, что К — мета-
белева алгебра. Пусть, далее, х — Ъг Ц- ах, у = ь2 +
z = 63 + а3, bi В, at A, i = 1, 2, 3. Тогда
xvyz = bi (Ms — b3a3) =
= (3 «я)р ° (3/i°«i)=3	= о.
3	i	i, j
Кроме того,
ХР~гуРХ =	^Г1 (Ml — М2) = &1 ХМ1 ~ &2 *^2 = 0
так же, как и в предыдущей выкладке.
2) Покажем, что любое соотношение между элемента-
ми уг, i ЕЕ I, является тождеством алгебры К. Тем самым
лемма будет полностью доказана, так как в случае беско-
нечного множества I алгебра К не нильпотентна, а зна-
чит, var К = М, поскольку любое собственное подмного-
образие в М, согласно 7.7.3, нильпотентно. Итак, пусть
F (Уъ • • •» Уп) = 0. В полупрямом произведении К
элемент F (Ьг + а1? . . ., bn + ап) = F (Ьх, . . ., Ьп) +
+ 2/ (Ьь • • •» М ° Так как F (zu . . ., zn) +
+ 3/i (Zl* • • •» Zn) °	= 0, то по отдельности F (zr, . . .
. . ., zn) = 0 и (*i> . . ., Zn) O = 0. В силу определе-
ния векторного пространства А каждый одночлен
многочлена /<, i Е Д делится на т. е.
Однако в этом случае, если bjik = 2jaszs, то
3
fik (blt. .. , ь„)=3 аЖ (61,.... 6„),
S
так что fil£ (Ъъ Ьп) о аг =0. Очевидно, что и F (Ьь . ..
. . ., Ьп) = 0, и лемма доказана.
7.7.5. Предложение. Пусть V — (локально)
разрешимое многообразие алгебр Ли над конечным полем
характеристики р 0, в котором не выполнено тож-
дество вида / (ad х) (у) — 0 ни для какого многочлена f
со старшим коэффициентом 1. Тогда V ~Э М.
338 Itt. 7. ^ОЗЙДЕСТЙА В КйНЁЧНЬ1Х АДЁЁЁРА& ЛИ
Доказательство. Рассмбтрим многообразие
W всех метабелевых алгебр, лежащих в F. Допустим,
что / (ad х) (у) = 0 в W для некоторого многочлена f со
старшим коэффициентом 1. Тогда, если (2 порожденные)
алгебры многообразия V имеют ступень разрешимости,
не большую Z, то J1"1 (ad х) (у) = 0 в F. Поэтому доста-
точно предположить, что F метабелево. Пусть теперь G —
свободная алгебра со свободными порождающими ж, у.
Из условияЪредложения следует, что элементы ху, х2у, . . .
. . ., хпу, . . . линейно независимы. Пусть t = ху и L —
подалгебра, порожденная элементами х и t. Напомним,
что в метабелевой алгебре тождественно xyzt = yxzt. Как
и в 7.7.3, это соотношение позволяет придать смысл запи-
си / fo, . . ., хп) ху, где / е Л [^, . . ., Zn]. Каждое не-
тривиальное тождество метабелевой алгебры эквивалент-
но системе тождеств вида
3 ^i/i («^1» ^2» • • • »	=-s= 0»	(1)
г=з2
Предположим, что в L выполнено некоторое тождество
(1), где все Аг 0. Подставим в это тождество вместо xt
элемент -j- Mt, где а; £ Л, /г, ЕЛ [ж], г = 1, 2, . . .
. . п. Получим
3 Mfi (“I®. “2®. • • • »ап«)(а4ж + М)(“1® + Mt)-
Пусть ft = fu + fi2 + • • - + fit — разложение много-
члена fi на однородные компоненты. Тогда имеем
3 М 2j h} (“I» «2, • • • , а»)	(а4Л1 — аД) t = 0.
i
Так как t — образующий свободного модуля над Л [я],
то равны нулю в отдельности коэффициенты при различ-
ных степенях элемента х. Положим сначала= 1, hj =
= 0 при ] Ф i 1. Тогда получим
ai/f/ («1» • • an) = 0 Для любых an . . ., an е Л. (2)
Полагая hr =» 1, hj = 0 при / =/= 1, получим
п
S M^ifij (“1,. . . , a„) = 0.	(3)
i=2
для любых «1, аа, . . an S А.
7.7.'ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ 339
Сделаем теперь "небольшое отступление. Пусть одно-
родный многочлен F от переменных . ., tn таков, что
F	»п) = 0 при любых аь а2, . . апеЕ Л. Пусть
F = 2 рЛ, где Мк — одночлены (одной и той же сте-
пени). Пусть, наконец, Мъ . . ., Mt -— одночлены, сте-
пень которых по любому Xi меньше где q — число эле-
ментов в поле Л, a М/+1, . . ., Mt — остальные одночле-
ны. Обозначим через I идеал кольца Л Ьх, . . ., £Л], по-
рожденный многочленами	i = 1, 2, . . ., п. По-
скольку F ее /, то, заменяя Мъ . . ., Mt на равные им но
модулю идеала I редуцированные одночлены Л3\, . . .
. . ., получим F s I- Поэтому, с одной стороны, F =
= 0, а, с другой стороны, многочлен F равен сумме реду-
цированных многочленов Р = 2	= 3 Pi-W’i И Q =
i=l	i=i
t
= 2 Следовательно, P = 0, так как иначе degP >
deg Q (F однороден!) Вычислим значение левой части
равенства (1) при xt = yi = Zi + ti (см. лемму из 7.7.4):
— 3 kfi (Уъ  ,Уп) УгУ1 = 3 Kfi (Z1, • • • , zn) (Zif4 — Zih) =
1=2	1=2
5= 3 <Z1> • • • , Zn) ° 3 (Z1Zi _ Zi^) =
j	i=2
= 3 hi (Zl, . . . , ZB) Zi о 3 ^ti — 3 3 hZifij (Zl, • • • , Z„) о h.
j	г	j г
Из замечания об однородных многочленах и из равенств
(2) и (3) следует, что в многочленах/^ и 2 каждый
одночлен делится на z? для подходящего г. Теперь из
определения алгебры К и,леммы из 7.7.4 следует, что (1)' —
тождество многообразия М. Значит, V var L ZD М,
и предложение доказано.
Следствие. Пусть V — почти кроссово (локаль-
но) разрешимое многообразие. Тогда для некоторого f 6=
Е A[f] со старшим коэффициентом 1 выполнено тож-
дество
f (ad х) (у) = 0	(4)
и V локально конечно.
340
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Доказательство. Первое утверждение сле-
дует из того, что в М выполняется тождество хр+1у — 0
из 7.7.3, предложения 7.7.5 и того, что почти кроссовы
многообразия не могут быть связаны отношением включе-
ния. Второе утверждение доказывается с помощью теоре-
мы 7.1.1, заключающейся в том, что подалгебра конечного
индекса конечно порожденной алгебры, в которой любые
два элемента связаны соотношением вида (4), имеет ко-
нечное число порождающих. Нужно лишь провести ин-
дукцию по ступени разрешимости конечно порожденной
алгебры многообразия V (ср. 4.7.2). Следствие доказано.
Теперь мы в состоянии доказать основной результат
настоящего раздела.
7.7.6. Предложение. Пусть F = VLN — раз-
решимое локально нильпотентное почти кроссово много-
образие алгебр Ли над конечным полем Л характеристики
р >* 0. Тогда V = М.
Доказательство. Заметим, что V — нениль-
потентное многообразие. Кроссовость нильпотентного мно-
гообразия ступени с можно вывести из того, что оно лежит
в классе С (tG, q, с), где q == | Л |, и теоремы 7.6.4. Далее,
пусть многообразие V неметабелево. Тогда, если i Е F,
то алгебра L/(L2)2 нильпотентна и L2 нильпотентна, так
как эти алгебры имеют меньшую ступень разрешимости,
а значит, лежат в собственном, т. е. кроссовом, подмного-
образии многообразия F. Отсюда по теореме 1.7.8 любая
алгебра L ЕЕ F нильпотентна, что противоречит нашему
предположению.
Итак, F — метабелево многообразие. Пусть L — сво-
бодная алгебра многообразия F со свободными порождаю-
щими {хг, х2, . . хп, . . .}. Пусть М (L) — вербальный
идеал алгебры L, соответствующий мгогообразию М. Пред-
положим, что F М. Тогда алгебра ЫМ (L) лежит в
F П-М М. Так как М — почти кроссово, алгебра
ЫМ (L\ — нильпотентная алгебра ступени, скажем, с.
Поэтому хгх2 . . . яс+1 е М (L). В то же время любой эле-
мент из М (L) может быть записан в виде линейной ком-
бинации произведений одного из двух видов
wt. . . wswf+1ws+2ws+3 и . u>,u>!7M+a»«+i-	(5)
Умножая на хс+2 и производя возможную перенумерацию
индексов, получаем (см. 7.7.3), что
XlXz . . . Xc+2 wn . . . winiwft n.+l w.t ni+2^i, nj+3-	(6)
7.8. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 341
В силу метабелевости многообразия V и полилинейности
произведения, стоящего под знаком суммы, по всем’аргу-
ментам wik. можно считать, что каждое слагаемое имеет
ВИД
УХНХг» • • •	• • • xit.i	(7)
причем к 2, у СЕ Л, а одночлены вида (7) таковы, что
набор переменных . . ., xiv совпадает с набором^, . . .
. .	жс+2. Е этом случае, однако, в правой части равенст-
ва (6) будет стоять линейная комбинация одночленов, сте-
пень которых строго больше степени левой части. В силу
того, что алгебра L F-свободна, полученное равенство яв-
ляется тождеством в F; значит, £с+2 = £с+3 (= Lc+4 =
= ...). Так как ввиду локальной нильпотентности мно-
гообразия F пересечение членов нижнего центрального
ряда в L равно нулю, получаем, что Lc+2 = {0}. Это про-
тиворечит замечанию в начале доказательства. Поэтому
F з ЛТ, и тогда, конечно, F = М. Предложение доказа-
но.
7.8. Описание разрешимых
почти кроссовых многообразий
7.8.1'. Порождающая последовательность почти крос-
сова многообразия. В первых семи пунктах настоящего
раздела F — разрешимое почти кроссово многообразие
алгебр Ли над конечным полем А, отличное от многооб-
разия М (см. 7.7.3). Как отмечалось в 7.7.2, в таком мно-
гообразии должна существовать последовательность ко-
нечных алгебр Ln с минимальными идеалами Мп такая,
что последовательность dim Мп, п — 1, 2, . . ., не огра-
ничена сверху. Производя факторизацию каждой из ал-
гебр Ln по максимальному идеалу, пересечение которого
с Мп равно нулю, можно считать, что на самом деле все
Мп — монолиты алгебр Ln. Мы подвергнем последова-
тельность Ln, п = 1, 2, . . ., являющуюся на самом деле
порождающей для F, тщательному изучению. Сначала
мы увидим, что наше допущение о существовании много-
образия F, как выше, приводит к тому, что порождающая
последовательность может быть выбрана в AN~C для под-
ходящего с\ затем окажется, что можно взять с = 1. Это
немедленно вступит в противоречие с неограниченностью
последовательности dim Мп, п = 1, 2, . . . В итоге мы
получим, что разрешимое почти кроссово многообразие
342 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
F, отличное от М, не существует. Это позволит нам за-
вершить описание разрешимых почти кроссовых много-
образий сначала над конечным полем, а затем и над про-
извольным конечным кольцом. Итак, в первых семи пунк-
тах речь пойдет о несуществующих объектах. Разумеется,
изменив соответствующим образом формулировки утверж-
дений в этих пунктах, мы можем получить и аналогичные
им содержательные утверждения.
Сейчас полезно сделать такое замечание. Пусть G —
алгебра Ли над кольцом Л, А — ее абелев идеал. Если
С = Cq (А) — централизатор идеала А в G, то, как в
1.6.6, А можно превратить в G/А- и G/C-модуль и рассмот •
реть полупрямые ’произведения В = GfA X А и D =
= G/C X А.
Лемма. В, D ЕЕ var G.
Доказательство. Рассмотрим два изоморф-
ных экземпляра 6rlt G2 алгебры G. Пусть при фиксирован-
ном изоморфизме между Gr и G2 идеалы Ах и А2, изоморф-
ные А, соответствуют друг другу. Рассмотрим диагональ
G прямого произведения Е = Gx_X G2, отвечающую тому
же изоморфизму. Тогда G G, А А._Пусть Н = Аг +
+ G. Очевидно, что А <] Н, а К_ = Н/А есть полупрямое
произведение идеала (Ах + А)/А и подалгебры G/А. Тог-
да К изоморфно В. В силу теоремы 4.1.4 В ЕЕ var G. Да-
лее, D — факторалгебра алгебры 5, т. е. и D ЕЕ var G.
Лемма доказана.
Из доказанной леммы вытекает, что в V имеется после-
довательность Кп = Gn X Мп, п = 1, 2, . . ., конечных
полупрямых произведений, в которых идеал Мп — не-
приводимый Сп-модуль и dim Мп -> оо при п -> оо. Так
как V — минимальное некроссово многообразие, то
var {Кп | п = Ф,,2, . . .} = F. Такое рассуждение будет
встречаться в ближайших пунктах неоднократно. Следую-
щие две леммы направлены на получение порождающих
последовательностей с нужными нам свойствами.
7.8.2. Лемма. Пусть подалгебры Нп cz Gn, п =
= 1, 2, . ,. таковы, что размерности факторпро-
странств Gn/Hn ограничены в совокупности по п. Тогда
алгебры Кп = Нп X lFn, г®е Wn — произвольный непри-
водимый Нп-подмоду ль модуля Мп, п = 1, 2, . . ., порож-
дают многообразие F.
Доказательство. Пусть Wn — неприводи-
мый Яп-подмодуль модуля Мп. Опустим индекс п и обо-
значим через ег, е2, . . .tem базис пространства G по моду-
1в. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВ Ы МНОГООБРАЗИЯ 343
лю подпространства Н. Если d — степень многочлена Д
для которого / (ad х) = 0 для любого х ЕЕ К, то подпро-
странство
V= 3	. &W,
(ki, к», ... , кт)
1 = 1,2,иг,
является G-подмодулем модуля М, размерность которого
ограничена числом, зависящим лишь от т, d и dim W.
Так как W Ф {0}, то W = М, и поэтому dim Wn -> оо
вместе'с dim Мп (разумеется, за счет выбора подпоследо-
вательности можно считать, что dim Мп -> оо, а не про-
сто неограниченна). Лемма доказана.
. 7.8.3. Лемма. Пусть L — алгебра Ли, V = Vr ф...
. . . ф Vn — модуль такой, что все прямые слагаемые
суть 'неприводимые ^изоморфные L-модули. Пусть U —
конечное подмножество в V. Тогда U содержится в некото-
ром L-подмодуле W, порядок которого ограничен в терми-
нах | U | и | Vi |.
Доказательство. Пусть — проекция мо-
дуля V на Vi, i = 1, 2, . . ., п, a {<р</} — система согласо-
ванных изоморфизмов <р^: Vi -> Vj, т. е. таких,ч что
Фм = фгкФк/. а 1у. = ФоФя, 1 < i, к < п. Назовем
подмодули Vi и Vj эквивалентными, если коммутативна
следующая диаграмма:
Очевидно, что введенное отношение действительно явля-
ется эквивалентностью на множестве {У1? V2,. . ., Уп},
а также, что число классов s этой эквивалентности ограни-
чено в терминах чисел | U | и | Ух [. Пусть Мх, М2, . . .
. . ., Ms — прямые суммы подмодулей, составляющих
классы эквивалентности, а D2, • •	— диагонали
в Мг, М2, ...» Мв относительно изоморфизмов (pfJ-. Тогда
| Dr | = | D2 I = . . . = | Ds | = | Vr |. Кроме того, U cz
cz ф D2 ф . . . ф Ds. Этот последний модуль и при-
мем за W. Лемма доказана.
7.8.4. Первая основная редукция порождающей по-
следовательности разрешимого почти кроссова многооб-
разия. В этом пункте мы покажем, что порождающая по-
344 tVI. t ТОЖДЕСТВА В КОНЁЙНЬТХ АЛГЁЁРАХ ЛЙ
следовательность Кп = Gn X Мп, п = 1, 2, . . ., разре-
шимого почти кроссова многообразия V М может быть
выбрана так, что все алгебры Gn нильпотентны. Начнем
с простой леммы.
Лемма. Пусть G — конечная разрешимая алгебра
ступени I. Тогда G = N + Н, где N — разрешимый
идеал алгебры G ступени, меньшей I, а Н — нильпотент-
ная подалгебра.
Доказательство. Достаточно в качестве N
взять С2, а в качестве Н — подалгебру минимального по-
рядка такую, что G2 + Н = G. Из минимальности сле-
дует, что Н Р| G2 cz Ф (Я), где Ф (Я) — подалгебра Фрат-
тини алгебры Я. Но так как Я/Яр| G2 абелева, то Я ниль-
потентна по теореме 1.7.6. Лемма доказана.
Сделаем одно замечание. Пусть U — некоторое мно-
гообразие Кросса, Р — конечная алгебра и М — конеч-
ный P-модуль такие, что Р X М ЕЕ U. Обозначим через
Мо нулевой подмодуль модуля М и определим цепочку
подмодулей MQ, Мг, . . ., Мг, . . . по индукции правилом:
Mi+1 есть подмодуль модуля М такой, что Mi+1 Z)
и Mi+JM} есть сумма всех минимальных подмодулей мо-
дуля M/Mi. Полученная возрастающая цепочка называ-
ется цокольным рядом P-модуля М. Используя 7.3.5 и ре-
зультаты из 1.6, мы видим, что длина цокольного ряда
ограничена константой, зависящей только от 17.
Предложение. Пусть _Кп = Gn X Мп, . п =
= 1,2,...,— последовательность конечных алгебр, по-
рождатдщая почти кроссово многообразие V, причем Мп —
абелев идеал в Кп, неприводимый как Сп-модуль, и ступень
разрешимости алгебр Gn строго меньше ступени разреши-
мости многообразия V. Предположим, что Gn = Nn +
+ Нп (как в предыдущей лемме). Тогда существует глав-
ный фактор Ln в Н^-модуле Мп такой, что последователь-
ность Кп = Нп X Ln, п = 1, 2, . . ., порождает много-
образие V.
Доказательство. Рассмотрим последователь-
ность алгебр Тп = Nn X Мп, п = 1, 2, . . . В силу то-
го, что ступень разрешимости алгебр Тп строго меньше
ступени разрешимости многообразия V, все алгебры Тп
лежат в некотором кроссовом подмногообразии многооб-
разия V, т. е. длины полупростых рядов ^-подмодулей
в Мп ограничены некоторым числом $. Будем вести дока-
зательство леммы методом от противного, предполагая
$	0 минимальным. Индекс п будет далее нами опус-
7.8. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 345
каться. Итак, пусть
{0} = Мо (Z мг cz... С Ms = м
— цокольный ряд TV-модуля М. По теореме 1.6.5 каждый
его фактор	i = 1, 2, . . ., s, является прямой
суммой изоморфных неприводимых TV-модулей.
Пусть сначала MJM^ есть прямая сумма неограни-
ченного по п числа таких TV-модулей и L — произвольный
неприводимый Я-подмодуль модуля М. Рассмотрим под-
множество L + M^IM^ лежащее в	Порядок
этого подмножества ограничен величиной | L |, поэтому
по лемме 7.8.3 в MsIMs4L найдется TV-подмодульDIMS^
3 L + TWs-i/TWg-! такой, что | D/M^ | есть величина
ограниченная, т. е. при некотором п подмодуль Dn не сов-
падает с Мп. Однако D L, значит, наименьший G-под-
модуль модуля ТИ, содержащий L, лежит в TV-подмодуле
Z>, что невозможно в силу неприводимости G-модуля М.
Таким образом, достаточно ограничиться случаем, когда
есть прямая сумма ограниченного числа TV-под-
модулей. Так как эти последние имеют ограниченный по-
рядок, то величина | MJM^ | ограничена по п и s 1.
Используя, например, Я-главный ряд модуля М, выбе-
рем в М подмодуль Я, порядок которого ограничен, но
больше |	Это можно сделать, так как по пред-
положению главные факторы Я-модуля М имеют огра-
ниченный порядок. Пусть, далее, С — централизатор под-
модуля U в Я. Тогда | Я/С | — ограниченная величина,
и по лемме 7.8.2, если R = N + С , а И7 -— неприводимый
Д-подмодуль модуля ТИ, то последовательность алгебр
Дп X ^п, п = 1, 2, . . ., порождает многообразие V.
Кроме того, так как| U |	| MJM^ |, то | U р| Мw | —
— | U | : | U + М^/ТИ^ | ^> 1, поскольку Tlfs_.х Q U —
ненулевой С-подмодуль TV-модуля Ms_t (С действует три-
виально на U). Понятно, что наименьший Д-подмодуль
W модуля ТИ, содержащий U р М8-ъ лежит в Mg-*.
Поэтому последовательность Дп х n = 1, 2, . . .,
порождающая многообразие F, состоит из алгебр, в кото-
рых Wn является Яп-модулем с длиной полупростого ря-
да, меньшей 5, поскольку W с; Ms_x. Это противоречие
доказывает предложение.
В заключение пункта отметим, что если V — разреши-
мое многообразие ступени Z, а К = G М — алгебра
из V (т. е. К (Z+1) = {0}) такая, что М — неприводимый
G-модуль, то G^M С М П #(0- Отсюда G^ {G^M) £
346 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
GM (М n КМ) = {0}. Так как GMM есть ^подмо-
дуль модуля Af, то, значит, GMM = {0}, т. е. GM cz
С Cq (М). Поэтому можно от произвольного порождаю-
щего множества алгебр Gn X Мп. п = 1, 2, . . ., для мно-
гообразия V перейти к такому, в котором алгебры Gn
нильпотентны.	*
7.8.5.	Случай подмногообразий в ЛАГв. Итак, мы рас-
сматриваем порождающую последовательность разреши-
мого почти кроссова многообразия F, состоящую из ал-
гебр Кп = Gn х п 1, 2, . . ., в которой все
алгебры Gn нильпотентны, а Мп — неприводимые 6?п-моду-
ли. Как следует из замечаний в 7.7.2, многообразие F
ограничено по параметру с, поэтому существует наимень-
шее натуральное число с такое, что все алгебры Gn нильпо-
тентны ступени, не превосходящей с. Факторизация по
Сап (Мп) позволяет считать, что 6?п-модули 7Ип-точные.
Ограниченность, как и прежде, рассматривается в зави-
симости от п, даже если этот индекс будет нами опущен.
Поскольку F порождается любой бесконечной подпосле-
довательностью алгебр Кп, для которой последователь-
ность размерностей монолитов не ограничена, то неогра-
ниченность* тех или иных рассматриваемых величин ап
будет означать, что ап -> оо при п -> оо. Сначала дока-
жем вспомогательную лемму.
Лемма.’ Центр алгебры G имеет ограниченный по-
рядок. Если с 1, У/Z — центр алгебры G/Z, а С =
= Cq (У) — централизатор подалгебры Y в G, то вели-
чина | GIC | неограниченная. а величина | GICq (у) | огра-
ниченная для любого ytE-Y.
Доказательство. Центр Z алгебры G. очевид-
но, лежит в кольце эндоморфизмов D для G-модуля М.
По лемме Шура D — тело, а, значит, поле в силу конеч-
ности (теорема Веддерберна). Условие (4) показывает, что
любой элемент z центра удовлетворяет уравнению / (z) =
= 0, т. е. | Z | deg /. Далее, поскольку Cg (у) есть
ядро линейного отображения х »-> ху пространства G в Z,
а порядок | Z | ограничен, то величина \ GICq (у) | ограни-
ченная. Заметим теперь, что ступень нильпотентности ал-
гебры С меньше с. Действительно, С0"1 cz Gc-1 cz У,' зна-
чит С0"1 cz С ПУ, так что Сс = {0}. Из ограниченности
величины | G/C I по лемме 7.8.2 мы получили бы, что V =
= var {Сп | п = 1, 2, . . .}, где Wn — неприводи-
мый Сп-подмодуль модуля Мп. Это, однако, противоречит
мздцадальностд чцсда с. Лемма доказана.
7.8. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 347
Для доказательства центральной леммы этого раздела
нам понадобится хорошо известная теоретико-чисцовая
теорема Варнинга.
Теорема. Пусть Л — конечное поле. fa.
многочлены без свободных членов в Л [flt . . ., t8] ^степеней
г
...» dr соответственно. Если s > 3 d{. то у этих
♦	г=1
многочленов есть нетривиальный общий нуль.
Доказательство этой теоремы можно найти, например,
в книге Ленга [73, стр. 163].
7.8.6.	Лемма. Если с > 2, то можно выбрать эле-
менты gx, . . .,ft gG, У1, . . У*£Е Y. z^Z. z^= О,
такие, что:
1)	giUj = 0 при i > /;
2)	giUt = z-
3)	подалгебра Н. порожденная элементами g1? .
. . ., g8. у!. . . ., у8 имеет ступень нильпотентности,
меныиую чем с\
4)	величина s = s (п) неограниченная.
Доказательство. Проводимые ниже рассуж-
дения имеют смысл, если G = Gn и п достаточно велико.
Заметим, что произведение хгх2 . . . хе полилинейно и его
величина зависит лишь от смежных классов по G2. в кото-
рых лежат элементы х{. Легко видеть также, что С G2.
Выберем элемент gt из G \ С произвольным образом. За-
тем подберем Е К так, чтобы g1y1 был ненулевым эле-
ментом центра Z. Размерность пространства Св (у^)1С
не ограничена, как видно из леммы 7.8.5. Значит, не яв-
ляется ограниченной и размерность пространства A-JG2 —
прямого дополнения к С/G2 в Сg (yJ/G2. Рассмотрим про-
изведения fa вида х^х2 . . . хс. где xt — это либо gx, либо
Xi = х ее AJG*. Значения этих произведений зависят
от х. лежат в Z, и если ввести системы координат в ArIG2
и в Z. то координаты значений произведений /а являются
однородными многочленами степени, меньшей чем с. от
координат элемента х. Поскольку степень и число этих
многочленов ограничены в терминах с и | Z ], а число пе-
ременных (=dimA1/G2) не ограничено, то по теореме
Варнинга найдется g2 ЕЕ Аг \ G2. так что любое произве-
дение длины с элементов и g2 равно нулю. Так как g2
С. то найдется элемент у2 ЕЕ Y такой, что g2y2 =/= 0.
Теперь, пользуясь леммой из 7.8.5, замечаем, что размер-
ность пространства С (ух) Г) С (у2)/С не ограничена. Вы
348 ГЛ- ?• тождества в конечных алгебрах ли
бираем в С (уг) П С (y2)/G2 дополнение A2IG2 к CIG2, рас-
сматриваем произведения хгх2 . . . хс, где либо хг = gt,
либо xt = g2, либо xt = х е A2/Ga. Как выше, найдем
g3 е А2 \ G2 (значит, g3 С) так^ что произведение
хгх2 . . . хс равно нулю, если вместо х^ i = 1, 2, . . ., с,
подставлять любой из элементов g2, g3. Снова найдет-
ся элемент у3 ее У такой, что g3y3 0. Таким образом,
при достаточно большом п можно выбрать сколь угодно
большое число t = t (п) пар gt, уь которые удовлетворя-
1—1
ют условию 1), поскольку gi ЕЕ А С (ук). Ввиду того, что
к=1
число значений произведений giyt ограничено порядком
центра, найдется неограниченно много произведений, рав-
ных одному и тому же элементу z Е причем z 0.
Следовательно, после изменения' нумерации получим эле-
менты . ., gs, yr, . . ., ys, z, удовлетворяющие усло-
виям 1), 2) и 4). Условие 3) также выполнено. Действи-
тельно, при подстановке в произведение х±х2 • . - хс эле-
ментов . ., gs, . . ., ys мы получим либо gigi* . . .
. . . gic, либо ... у; .. . gic. Первое произведение рав-
но нулю по построению системы g2, . . gs, а второе
равно нулю, так как с 2, у; лежит в У — втором чле-
не верхнего центрального ряда алгебры G. Лемма дока-
зана.
7.8.7.	Вторая основная редукция порождающей по- ,
следовательности разрешимого почти кроссова многообра-
зия. В этом пункте мы покажем, что порождающая после-
довательность = Gn X Мп разрешимого почти кроссо-
ва многообразия F =/= Л£ может быть выбрана так, что все
Gn — абелевы алгебры. Сначала — легкое вспомогатель-
ное утверждение.
Лемма. Пусть Н — конечномерная нильпотентная
алгебра ступени 2, причем Н2 — одномерная алгебра.
Тогда Н является суммой двух абелевых идеалов.
Доказательство. Билинейное отображение’
(х, у) ху является кососимметрической формой на Н/Н2
из-за одномерности пространства И2. Выберем в Н/Н2
гиперболический базис {а2 + Я2, Ьг + Я2, . . ., аг + Я2,
Ь г+ Я2, сг + Я2, . . ., сг + Я2}, т. е.	= 6oz, где
{z} — базис в Я2, ataf = bfij = atCj = btCj = 0. Тогда
требуемыми идеалами являются линейные оболочки си-
стем {а1? . . ., ar, z} и {Ьг, . . ., Ьг, . . ., ch z}. Лемма
доказана.
7.8. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 349
Предложение. Пусть Ln = Gn х. Мп, п =
= 1,2,...,— порождающая последовательность разре-
шимого почти кроссова многообразия V такая, что все
Мп — неприводимые Сп-модули, a Gn — нильпотентные
ступени не выше с алгебры Ли над конечным полем Л. Тог-
да с ^1.
Доказательство. Покажем сначала, что с
2. Допустим от противного, что с 2. Пусть Я = Нп -—
подалгебры в Gn, построенные в лемме 7.8.6. Рассмотрим
в М как в Я-модуле главный ряд
О CZ Я1 CZ N2 CZ . . . CZ Nt = м.
Заметим, что найдется номер г такой, что линейный опе-
ратор, индуцированный элементом z в Nr/Nr-U не явля-
ется нулевым. Действительно, в противном случае Mzl =
= 0. Тогда подпространство Q такое, что Qz = {0},— не-
нулевое, G-инвариантное. Следовательно, Q = М. Одна-
ко тогда z действует в М нулевым образом, что противоре-
чит точности G-модуля М. Итдк, пусть z действует нену-
левым образом в W = Nr/Nr^. Тогда для любой пары
индексов i j элемент yt — yj действует ненулевым об-
разом в W, ибо в противном случае на W одинаковым обра-
зом действуют элементы g^ = z и gtyj = 0. Теперь из
неограниченности числа s = s(n) элементов уг,..., ys сле-
дует неограниченность порядка Я — главного фактора W.
Отсюда, как обычно, следует, что V = var {Нп А Жп|
п = 1, 2, . . .}, что противоречит минимальности числа
с и лемме 7.8.6. Полученное противоречие показы-
вает, что следует принять с = 2.
Покажем теперь, что на самом деле с = 1. Допустив
противное, мы выведем из леммы 7.8.2, что индексы всех
абелевых идеалов в Gn сколь угодно велики при достаточ-
но большом п. Заметив это, сделаем следующее построе-
ние. Пусть yr е G и х1у1 0. Поскольку алгебра G
совпадает со своим вторым центром Y, по лемме 7.8 5
идеал Вг = С (х^ р| С (у2) имеет ограниченный индекс
в G, так что при достаточно большом п найдутся элементы
х2, Уг €= такие, что х2у2 =/= 0. Далее, повторяем эту
процедуру, полагая В2 = Я, Q С (х2) Q С (у2). Поль-
зуясь ограниченностью порядка центра | Z | (лемма 7.8.5),
как и в лемме 7.8.6, найдем неограниченное число пар
{хь Уг}» = 1, ...» 5, с условием x^i = z, где z — один
и тот же ненулевой элемент центра. Ясно, что {z} — базис
для Я2, где Я — подалгебра, порожденная всеми элемен-
350 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
тами xh yi, i = 1, 2, . . ., s, так как xtyj = 0 при i j.
Далее, так же как и в первой части доказательства,
найдем неприводимые Яп-модули Wn такие, что V. =
= var {Нп X Wn | п = 1, 2, . . . }. В силу деммы мы мо-
жем представить подалгебру Н в виде суммы А + В
двух абелевых идеалов. Из неприводимости модулей Wn
и того, что Wnzn^= {0}, следует, что ступень разрешимости
алгебры Я X Ж равна трем. Отсюда и из предложения
п. 7.8.4 мы получаем, что V = var {Вп х Ln | п = 1,
2, . . .}, где L — фактор S-модуля W. Но в таком случае
с = 1, так как В —абелева алгебра. Противоречие. Зна-
' чит, мы должны принять, что все алгебры Gn из порождаю-
щей последовательности абелевы. Предложение доказано.
7.8.8.	Основная теорема о разрешимых почти кроссо-
вых многообразиях алгебр Ли над конечным полем.
Теорема. Многообразие М, определенное в 7.7.3 —
единственное разрешимое почти кроссово многообразие ал-
гебр Ли над конечным полем характеристики р.
Доказательство. Согласно 7.7.3 М — почти
кроссово метабелево многообразие. Обратно,' допустим,
что V М — некоторое разрешимое почти кроссово мно-
гообразие. Тогда, согласно 7.7.2, 7.7.6 и основным редук-
циям 7.8.4 и 7.8.7, можно считать, что V = var {Gn X
X Мп | п = 1, 2, . . . }, где Gn — абелевы алгебры, не-
приводимо и точно действующие на Мп, а размерность
модулей Мп не ограничена. В такой ситуации лемма
7.8.5 ограничивает порядки алгебр Gn, а лемма 7.8.2 —
размерности модулей Мп, так как в этом случае {0} —
идеал ограниченного индекса в Gn. Противоречие. Теоре-
ма доказана.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основной
результат.
7.8.9.	Теорема. Пусть Л — конечное коммутатив-
ное кольцо с 1. Тогда любое разрешимое почти кроссово
многообразие V над Л имеет вид где I — максималь-
ный идеал кольца Л. Оно задано тождествами гх = 0,
rG Д « также системой тождеств 1), 2), 3), где р —
характеристика поля А/I (см. 7.7.3).
Доказательство. Пусть V — почти кроссово
разрешимое многообразие алгебр Ли над Л. Обозначим
через J нильпотентный радикал кольца Л, а через W под-
многообразие, выделенное в V всеми тождествами вида jx^
= 0, j ЕЕ J- Если W Ф F, то W — многообразие Кросса,
т. е. подмногообразие в некотором многообразии вида
7.8. РАЗРЕШИМЫЕ ПОЧТИ КРОССОВЫ МНОГООБРАЗИЯ 351
С (/, т, с). Рассмотрим теперь алгебру G ЕЕ V. Тогда для
любых х, у G имеем f (ad х) {у) =	/2 (ad х) (у) е
J2G и т. д. Поскольку Jk = {0} для некоторого к, то
fk (ad х) (у) = 0. Аналогичные рассуждения показывают,
что нильпотентные алгебры из многообразия V имеют сту-
пень, не большую ск. Пусть Н/К — главный фактор ал-
гебры G. Он изоморфен либо главному фактору алгебры
GIJG <Е W, либо фактору H-JK^ где Н1 cz JG, поэтому
абелев, так как JG — нильпотентный идеал. В первом
случае порядок фактора Н/К не превосходит т. Во вто-
ром случае из JkH = {0} следует, что JH с: a JG cz С,
где С — централизатор фактора Н/К. Полупрямое про-
изведение D = (G/C) X (Н/К) принадлежит многообра-
зию V (по лемме из 7.8.1), а поэтому и многообразию W.
Осталось заметить, что Н/К — минимальный идеал ал-
гебры D. Следовательно, | Н/К | m и 7 сС (/*, ап,
ей). Здесь мы получаем противоречие, так как подмного-
образие многообразия Кросса является многообразием
Кросса.
Таким образом, W = F, и все алгебры многообразия
V можно считать алгебрами над кольцом S = Л/J. Хоро-
шо известно, что S — прямая сумма полей Дх, Л2, . . .
. . ., Лп. Отсюда видно, что любая 5-алгебра есть прямое
произведение Лгалгебр, а многообразие V порождается
п подмногообразиями вида Mjr (см. формулировку тео-
ремы)/ Наконец, поскольку F почти кроссово, V =
для некоторого г. Теорема доказана.
I Следствие. Пусть F — разрешимое почти крос-
сово многообразие колец Ли. Тогда либо V = А — много-
образие всех абелевых колец, либо V = Мр — многообра-
зие, заданное тождеством рх =0 (р — некоторое простое
число) и системой тождеств 1), 2), 3) из 7.7.3.
Доказательство. Пусть F — почти кроссово
многообразие колец. Хорошо известно, что любое собст-
венное подмногообразие в А выделяется тождеством пх =
== 0, а значит, порождается кольцом с нулевым умноже-
нием, аддитивная группа которого — циклическая поряд-
ка п. Поэтому А — почти кроссово, и, если F =/= А, то
в многообразии F тождественно пх = 0 для некоторого
натурального п, т. е. F состоит из Z/nZ-алгебр. Остается
применить теорему 7.8.9, выбрав А = Z/nZ. Следствие
доказано.
7.8.10.	Класс алгебр Ли Si(f9 с). Введем класс алгебр
Ли Si (f, с), состоящий из разрешимых А-алгебр Лц
352
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
ступени, не большей Z, с тождеством (4), нильпотентные
факторы которых имеют ступень нильпотентности, не
большую с. Из результатов настоящей главы без труда
выводится, что с) — многообразие. По теореме 7.8.9
это многообразие кроссово, так как в М имеются нильпо-
тентные алгебры сколь угодно высокой ступени. Отсюда
вытекает, что многообразие V разрешимых Л-алгебр яв-
ляется кроссовым тогда и только тогда, когда V содержит-
ся в некотором классе (f*c) для подходящих значений
параметров Z, /, с. Кроме того, получаем, что разрешимое
многообразие W не является кроссовым тогда и только
тогда, когда оно содержит нильпотентные алгебры сколь
угодно высокой ступени нильпотентности.
Внутри многообразия St разрешимых алгебр Ли сту-
пени, не большей Z, эффективно решается следующий во-
прос: определяет ли тождество и (х1ч . . ., хп) ~ 0 все тож-
дества некоторой конечной алгебры? В случае положи-
тельного ответа можно даже построить саму конечную
алгебру, тождества которой имеют в качестве базиса упомя-
нутое одно тождество. Вообще вопрос о нахождении
базиса тождеств конечной алгебры (не обязательно разре-
шимой) также эффективно разрешим. Конкретные алго-
ритмы оставляются читателю для самостоятельного по-
строения (см. упражнения).
7.9.	Скелеты локально конечных многообразий
В настоящем разделе мы исследуем вопрос о порож-
дающих классах алгебр локально конечных разрешимых
многообразий.
7.9.1.	Определение. Скелет £7 (F) многообра-
зия F над конечным кольцом Л — это пересечение всех
факторно замкнутых классов, порождающих это много-
образие. Обозначим также через & (F) класс всех конеч-
ных алгебр из F. Пусть М — единственное разрешимое
почти кроссово многообразие над конечным полем Л ха-
рактеристики р 0 (см. 7.8.8). Основная цель настояще-
го раздела — доказательство теоремы 7.9.3 о том, что
(М) = f (-2И). Важным следствием являются необхо-
димые и достаточные условия, при которых многообра-
зие, порожденное локально конечной разрешимой алгеб-
рой, может быть порождено одной конечной алгеброй,
т. е. кроссово. Этд, условие состоит в том, что найдется
конечная алгебра из Jf, которая не содержится среди
факторов исходной алгебры.
7.9. СКЕЛЕТЫ ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 353
7.9.2.	Многообразие Мп. Класс $ (п, г, в). Пусть А'—
конечное поле характеристики р, п — натуральное чис-
ло, делящееся на р. Обозначим через Мп подмногообразие
в А2, заданное дополнительным тождеством xnyz = О,
а через Мп подмногообразие в Мп, заданное дополнитель-
ным тождеством хпуп =0 (см. обозначения в 4.7). Как и в
7.7.3, легко видеть, что если G ЕЕ Мп, то G/Z (G) ЕЕ Мп.
При п = р получаем М = Мр. Пусть г, $ — натуральные
числа. Определим (см. 7.7.4) алгебру G (и, г, s) как полу-
прямое произведение абелевой алгебры В = В (г) с ба-
зисом {z1? . . ., zr} на В-модуль А = А (п, г, 5), опреде-
ленный следующим образом. Рассмотрим кольцо R =
= В(п, г), являющееся факторкольцом кольца многочленов
A [z1? . . ., zr] по идеалу, порожденному одночленами
Zi/. . ., z?. Тогда А есть свободный В-модуль со свобод-
ным порождающим множеством {а1? . . ., as}. Алгебра
В —подалгебра Ли в В, порожденная множеством
{z1? . . ., zr} относительно операции коммутирования, А —
левый регулярный В-модуль (см. конец п. 1.6.2). Как и
в 7.7.4, легко проверить, что G ЕЕ Мп- Полезно отметить,
что при s > 1 алгебра G (п, г, $) изоморфна подалгебре в
G (п, г -|- 1, s — 1), порожденной элементами z1? . . ., zr,
а1? . . ., ad_i, Zru^i- Понятно и то, что если As = Ras, то
В + А8 G (n, г, 1), a G (n, г, s) / А8 G (п, г, 5 - 1).
Пусть — «А (и, г) — категория всех В-модулей, или,
что то же самое, В-модулей А с условием z^a = 0, а ЕЕ
Е= A, i = 1, . . ., г. Заметим, что В — монолитная алгеб-
ра с монолитом Az?”1 . . . Zr”1. В силу 3.3.1 тогда В —
фробениусова алгебра. Поскольку В-модули А (п, г, $) —
свободные В-модули конечного ранга, используя 3.3.2,
мы видим, что эти модули инъективные. Иными словами,
модули A (n, г, s), $ — 1, 2, . . ., — инъективные объек-
ты категории Л. Еще раз применив 3.3.2 и коммутатив-
ность кольца В, увидим, что А А* = Нот (А, А).
Если теперь М — произвольный В-модуль такой, что
dim М' = s, то Af* — гомоморфный образ для А*, т. е.
М есть В-подмодуль в А.
Наконец, обозначим через $ (и, г, 5) класс метабеле-
вых алгебр Ли G, являющихся расширением В (г)-модуля
А = А (п, г, $) при помощи алгебры В (г). Расщепляемое
расширение такого вида есть не что иное, как алгебра
G (п, г, $). Резюмируя сказанное в этом пункте, получаем
следующее.
12 Ю. А. Бахтурин
354 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Предложение. Пусть G ЕЕ f (4fn).  Если
dim G2 = s, dim GIG2 — г, то G вкладывается в алгебру
G (га, г, з).
Доказательство. То, что G вкладывается в
алгебру из класса $ (га, г, а), следует из сказанного выше.
Действительно, GIG2 В (г). Далее, В (г)-модуль G2 вло-
жим в А = А (п, г, з). Значит, G вложима в алгебру Glt
являющуюся расширением В (г)-модул# А (п, г, а). при
помощи В (г). Покажем, что Gx Gr Мп. Для этого доста-
точно показать, что в Gt выполнено тождество Л/п = 0.
Действительно, Gx = G 4-4, причем в G это тождество
выполнено. Положим х = g1 -|- ах, у = g2 -|- а2, gx, g2 GE
(— G, rax, a2 t— А. Тогда
(.Si 4- ai)n + ®2)n r(Si 4~ ai)(S2 ai) —
=	(?1«2 —	= g2-1gl«2 — SVgZdl = 0.
Для завершения доказательства предложения остается
воспользоваться вспомогательным утверждением: алгебра
из класса & (п, г, 5), в которой выполняется тождество
хпуп = 0, обязательно является расщепляемым расши-
рением, т. е. изоморфна алгебре G (п, г, $). Технически дос-
таточно сложное доказательство этого утверждения будет
приведено в конце раздела (см. п. 7.9.6). Предложение
доказано.
7.9.3.	Теорема. Пусть Л — конечное поле харак-
теристики р> 0, п — натуральное число, делящееся на
р. Тогда скелет (ЛГп) многообразия Мп совпадает с мно-
жеством f (Мп) его конечномерных алгебр.
Доказательство. Пусть X — факторно
замкнутый класс, порождающий многообразие Мп. В
7.9.2 отмечено, что любая конечная алгебра из & (Мп)
вкладывается в алгебру G (п/ г, $), а эта алгебра в свою
очередь вкладывается в алгебру G (n, гх, 1) для подходя-
щего гх. Таким образом, для доказательства теоремы дос-
таточно показать, что монолитная алгебра G (п, г, 1)
лежит в классе X. Поскольку в G (и, г, 1) не выполнено
тождество . . . Xr~*yz = 0, оно не выполнено в неко-
торой алгебре G из X. Пусть элементы gx, . . ., gr ЕЕ G и
а А = G2 таковы, что gi"1 . . . gJHa 0. Положим
G' = alg (gx, . . . ,gr, А), В' = G’/A. Пусть А’ есть В'-
подмодуль в А, порожденный элементом а. Покажем, что
А' выделяется прямым слагаемым в В'-модуле А. Дейст-
вительно, пусть линейное отображение <р: В (г) -> В'
7.9. СКЕЛЕТЫ ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 355
таково, что ф (z$) = gt ф A, i = 1, . . ., г. Тогда А' яв-
ляется и В (г)-модулем. Пусть ф — гомоморфизм свобод-
ного В (г)-модуля А = А (п, г, 1) в Л', при котором
ф (aj = а. Так как ф (г""1 .. . z”"1^) = gi"1 . . . g”-1a 0,
то при гомоморфизме ф монолит модуля Aq отображается
нетривиально. Следовательно, ф — изоморфизм модулей.
Из точности действия алгебры В на А вытекает, что и
Ф — изоморфизм. В 7.9.2 отмечено, что А—инъективный
В-модуль. Значит, и А' — инъективный В'-модуль.
Поэтому А' выделяется в А прямым В'-слагаемым, т. е.
существует ^'-подмодуль Л" в Л такой, что Л = Л' ф
ф А". В этом случае G'/А" есть, с одной стороны, алгебра
из X, с другой — алгебра из S (n, г, 1). Использовав факт
о расщепляемости (см. 7.9.6), видим, что G'/А" G (п,
г, 1). Теорема доказана.
7.9.4.	Тождества we,i. Пусть с, I — целые неотрица-
тельные числа. Положим (ж1? . . . , хс, у, z) =	. . .
. . . 3?cyz. Пусть Wc,i (G) — соответствующий этому тож-
деству вербальный идеал алгебры Ли G. Тождества wCti =
= 0 обобщают тождество энгелевости. Мы приведем не-
которые свойства этих тождеств, обобщающие те, с кото-
рыми читатель познакомился в главах 1 и 4.
Предложение, (i). Пусть U — ненильпотент-
ное метабелево многообразие над полем Л, char Л = р > 0;
если == 0 — тождество в U, то т^>р и существуют
числа I, с > 0, причем р | I такие, что wCti = 0 — тож-
дество в U, a Wrj-i = 0 не является тождеством ни для
какого натурального г.
(ii)	Пусть G — метабелева алгебра. Если Wc,n (G)
cz Wlti (G), то для любого натурального d найдется на-
туральное е такое, что We,n (G) W&9i (G).
Доказательство, (i) Полная линеаризация
тождества xmyz = 0 по х в метабелевом многообразии при-
водит к тождеству т\ х1 . . . xmyz = 0 (см. 4.7). Если
т < р, то приходим к тождеству нильпотентности. Пусть
теперь I — минимальное из чисел к таких, что для не-
которого с > 0 в U выполняется тождество юс,ь = 0.
Тогда с, I — искомые числа. То, что р | I, легко вытекает
из процесса линеаризации в метабелевом многообразии.
Действительно, если xlyz = 0, то и (хх -|- x$xl^yz = 0.
Раскрывая скобки и отбрасывая нулевые члены, получаем
Ix^x^yz = 0. В силу минимальности числа I получаем
Р И-
12*
356 гл. тождества в Конечных алгввВаХ лй
Индукцией по j = 0, 1, . . . докажем, что для любых
ёп • • •» gc £= G выполняется
gl . • . gcWjtl (G) cz wj+ltl (G).
При j = 0 утверждение эквивалентно условию леммы.
При j > 0 в силу метабелевости имеем
gl . . • gc ( 3 gWj-!, I (G) J = S g (gl • • •	1 (G)) £
g^G	g=G
gZG
Теперь становится понятным, что для завершения дока-
зательства достаточно положить е = cd. Предложение
доказано.
7.9.5.	Теорема. Пусть F — разрешимое локально
конечное многообразие алгебр Ли над конечным полем Л.
Если V не является кроссовым, то £7 (П Z? & (му, где
М — единственное разрешимое почти кроссово многооб-
разие над Л.
Доказательство. Пусть Jl о — факторно замк-
нутый класс конечных алгебр, порождающий многообра-
зие F = Fo. Так как V не является кроссовым, то F 2
Э М (7.8.8). Пусть Хг — подкласс локально нильпотент-
ных алгебр из Хо. Поскольку ступень нильпотентности
нильпотентных алгебр в М неограниченна, Fx = varfXJs
= Jf. ’ Пусть JT2 — подкласс метабелевых алгебр из
Хг. Применяя 1.7.8, видим, что F2 = var (Х2) — нениль-
потентное локально нильпотентное многообразие. В силу
локальной нильпотентности F2 удовлетворяет тождеству
xmyz = 0. По предложению 7.9.4 в JT2 выполнено тож-
дество wc,i = 0 для подходящих с, Z, р\1 и не выполнено
тождество = 0 ни для какого г = 0, 1, . . . Пусть
JT3 — подкласс в JT2, состоящий из алгебр с тождеством
wld = 0. Тогда по предложению 7.9.4 (ii) в Jl3 не
выполнено тождество ы?г,г-1 = 0 ни для какого г > 0.
Имеем: F3 = var (Х3) причем в F3 не выполнено
тождество wr,z-i = 0 ни для какого г. Переходя к фактор-
алгебрам по центру (см. 7.9.2), получаем факторно замк-
нутый класс Xi = JT3 Q Мh в котором для любого г > 0
не выполняется тождество х1^ . . . х1^1 yz == 0. Именно
для такого класса доказательство теоремы 7.9.3 дает
Xi з f Поскольку р | Z, очевидно, что М cz
т. е. JC4 f (М). Теорема доказана.
7.9. СКЕЛЕТЫ ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ МНОГООБРАЗИЙ 35?
Следствие. Пусть G — разрешимая локально
конечная алгебра Ли над конечным полем Л характе-
ристики р > О, В — конечная алгебра из многообразия М.
Если В не является фактором алгебры G, то многообразие
var (б?) кроссово.
7.9.6.	Расщепляемость алгебр из $ (n, г, s) П Мп.
Пусть G — расширение из класса (и, г, s) р| Мп, G =
= В ф А, где В = В (п, г), А = А (п, г, з) (прямая сум-
ма векторных пространств). Согласно 1.6.8 умножение
в G определено элементом / ЕЕ Я2 (В, А). Расширение
G расщепляется тогда и только тогда, когда / = dh, где
А ЕЕ С1 (В, А), т. е. когда существует линейная функция
h: В -> А такая, что
/ (ж, у) = xh (у) — yh (ж).	(1)
Так как G ЕЕ Мп, то / удовлетворяет дополнительному
условию
у) = о.	(2)
Действительно, в Мп выполняется тождество = 0.
Взяв х, у еВ и использовав формулу (5) из 1.6.7, полу-
чим (2). Поскольку Of = 0, то, принимая во внимание
формулу (3) из 1.6.7, получаем
.	(у, z) + yf (z, х) + zf (ж, у) = 0.	(3)
Итак, чтобы доказать расщепляемость алгебры G ЕЕ
ЕЕ $ (п, г, $) Г| нужно для билинейной кососиммет-
рической функции /: В X В А с условиями (2), (3) по-
строить линейную функцию h: В -> А с условием (1).
Поскольку А (п, г, s) ф A^,	= A (n, г, 1), то, взяв
г=1
композиции отображения / с проекциями на прямые сла-
гаемые, получим, что достаточно рассмотреть случай
5 = 1, т. е. когда А — свободный В (п, г)-модуль ран-
га 1. Отождествим А с R (п, г). Тогда можно считать, что
все коциклы / суть многочлены от переменных zn . . ., zr.
Пусть ftj — f (z^, Zj). Из условия (2) и кососимметрично-
сти вытекает, что /ц = Zjgl — z^}, i < /. Запишем
fij = «/gi — Zig j + ZtZjgij,	(fik)
где gi не делится на zt. Положив g\ = g и =0, получим,
что (4) имеет место для всех i, j, 1 f, j г. Из условия
(3) и тождества xnyz == 0 в G имеем z^z^fij = Zi~rZjfi1c.
358
ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
Используя (4) и сокращая на zf"1 (что допустимо), полу-
чаем ZxZjgi = ZjZkgi. В этом случае найдется многочлеп
gi такой, что Zjgl — Zjgi для всех j Ф I. Выделим это
утверждение в виде отдельной леммы.
Лемма 1. Пусть qr. . . ., qm s R (п, г), т г.
Если zkz:qk = zkziq: для всех к, I. 1 /с, I тп, то най-
дется многочлен q ЕЕ R (п. г) такой, что для любого к.
1 к т. имеем zkqk = zkq.
Доказательство. Индукция по т с очевид-
ным основанием при т = 1. Пусть т > 1, и допустим,
что многочлен q таков, что zkq = zkqk. 1 к < т. За-
пишем:
Ч — Plzm Pi + Zi ...	4- /Г,
„ ___„п-1 2 ।	п-1	п-1 2 । о
Чт — zm Pi 4" Z1 • • • Zm-lPz “Г Pi
где p1. p2 не лежат в идеале, порожденном элементами z^1
и Zi ... zm_x. По условию zmzkqm = zmzkqk = zmzkq
(к < тп). Значит, z^p1 == zmzkp2 (к < тп). В силу опре-
деления элементов р\ р2 имеем р1 = р2 = р°. Теперь в
качестве q достаточно взять элемент q = pJzX1 + Р^Г”1...
. . . Zm-i + р°. Лемма доказана.
Возвращаясь к рассуждениям, предшествовавшим
лемме, видим, что для некоторых многочленов gx, . . ., gr
имеем fa = z^i — ztgj 4- ZiZjgtj. Поскольку Zjgi — zfgj
является кограницей, то ZiZjgij также коцикл, причем
для него выполнено условие (2). Чтобы показать, что f —
кограница, достаточно, таким образом, показать, что
коцикл вида ZiZjgij с условием (2) является кограницей.
Положим gijk = gu +gjk +gki. Тогда, используя (3),
получаем
zizjzkSijk zi(zjzkSjk) 4“ zj (zizkSki) 4~ zk (zizjgij) —
= zifjk 4- zjfki 4- zkfij = 0.
Нам понадобится еще одно вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Пусть gtjk — семейство многочленов из
R (п. г), 1 i.j.k т г, кососимметрически завися-
щее от индексов. Допустим, что ztZjZkgijk = 0 для
всех значений индексов. Тогда найдутся многочлены gv ...
. ... gm такие, что ZjZjgij = ztZj (gi — gj). 1 < i.j < m.
Доказательство. Если уже gijk = 0, то дос-
таточно положить gi — gtl. 1 г т. Легко найти мно-
гочлены gi и в случае, когда Zigijk = 0. Действительно,
7.9. СКЕЛЕТЫ ЛОКАЛЬНО КОНЕЧНЫХ МНОГООБРАЗИИ 359
заметим, что верно соотношение
gijk = Slij + gijk + glkb	(5)
отсюда
zl8ijk “ zl8lij + zlgljk + zlglki == 0.
Это показывает, что элементы лежат в монолите ал-
гебры R (п, г). Понятно, что поправка элементов gt, как
выше, на элемент из монолита алгебры R (п, г) не изме-
няет равенства, требуемого в заключении леммы.
Рассмотрим более общий случай, когда известно лишь,
ЧТО ZiZjgift = 0. ПОСКОЛЬКУ ZjZkgijk = ZkZigijk = 0, то
при I < / < к получим соотношение
gijk ~ h}k + hki + hij,
где
Г i п-1 п-1 г zj n-1 n-1J iJ* «п-1 п-1 к
hjk — zj zk gjki “'ki— zk zi ^kii ^>ij~—zl zj ^iji \u) .
eh, tij EE R (n, г). Доопределим элементы hij для
всех i, у, к по кососимметричности. Из (6) получим
Zjhjk =	= 0. Используя (5), получим z^g^ =
= ZiZigijk. Значит, верно соотношение
Z}Z]hjk = ZiZ]hjk.	(7)
Фиксируем пару индексов /0 < fc0. Рассмотрим набор
элементов h}^, i /0, к0. Пусть В — подалгебра в В,
порожденная элементами j =/= /0, к0. Обозначим через
R В-подмодуль, порожденный элементом	По-
скольку Zjtfjjb = zkJ^oko = 0, видим, что элементы
i ф j0, к0, лежат в Л. Из (7) и леммы 1 получаем, что су-
ществует элемент такой, что для всех i /0, kQ
справедливы соотношения	= Zih^. Поскольку
fyofco е Л, имеем zhh^ =zk9hjok9 = 0. В силу . произволь-
ности выбора пары i0, j0, с учетом кососимметричности для
всех i, 7, к, 1 i, j, к получаем соотношение
zi^jk ~ zi^jk,> zjhjic = zkhjk 0*	(&)
Положим gjk = gjk — hjk. Для вновь полученного косо-
симметрического набора элементов имеем Zjzkgjk == .
= zizkgjk- Далее,
gijk = gijk —	+ hjk + hki) —
~ (h}k — hjk) -J- (hit — hk^ 4- (fejj —
360 ГЛ. 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕРБАХ ЛИ
Используя (8) и аналогичные соотношения для полу- *
чаем Zigijk = 0, что возвращает нас к уже рассмотренно-
му ранее случаю.
Рассмотрим, наконец, самый общий случай, когда из-
вестно лишь, что ZiZjZkgijk = 0. Тогда для i < j < к (а
значит, как ранее, и для всех 1 i, ]\ к т) найдутся
р}к такие, что
г । j । к i	п—1 i
Sijk — Pjk + Pki + Pjk = zi Qjk^
(У)
j „п-l J J'
Pki — zj Чки Pij — zk Qij-
Видно, что ZiPft = 0. Фиксируя i — г0> рассмотрим под-	4
алгебру В с базисом {zt | i =/= j0) и ^-подмодуль В. по-
рожденный элементом z?/1, причем видно, что рг& ЕЕ В.
Применяя индукцию по г с очевидным основанием, най-
дем элементы рг£ ЕЙ (/	j0) такие, что
zjzkP'jk = ZjZk № — Рк)-	(10)
Поскольку эти элементы лежат в В, выполняется также
z^p}° = Положив pl = 0, увидим, что найдены элемен-
ты р} со свойством
zjzkPjk = zjzk (Pi Рк)*	j
Положим теперь	— (р/ — pl). Тогда
zjzkSijk = ZjZk [gijfc — (p • — pl + p3k — pf + Pi— Pfr)] =
= ZjZk [РЛ’ — (pj— Pk) + Pki— (Pk — Pi) + Pi— (pi — Pi)] =0-
Поскольку ZtZjgtj = ZiZjgij, мы попадаем под условия
ранее рассмотренного случая. Лемма доказана.
Последняя лемма позволяет закончить наши рассуж-
дения, касающиеся расщепимости алгебр из 2? (п, г, $) Q
П Мп. Действительно, используя обозначения, введен-
ные перед формулировкой леммы 2, и саму лемму, мы
найдем многочлены gi Ez R, i = 1, . . ., г, такие, что
Z/Zygo = zizi (Si — Sj)- Тогда fij = Zj (zigt) — z^Zjgj).
Таким образом, / является кограницей 1-коцепи, сопостав-
ляющей элементу zt многочлен Zigf. Это и доказывает рас-
щепимость алгебр из (n, г, s) Q Мп. Вместе с тем полу*
ищется и полное доказательство теорем 7,^.3 и 7.9.5,
7.11. ЁОММЁН^ГАРЙЙ
361
7.10.	Упражнения
7.10.1.	Пусть V — А2 — многообразие всех метабелевых ал-
гебр над полем A, charA=/=2, W = Доказать, что базис
тождеств многообразия W состоит из одного тождества (х2у) ху = 0.
7.10.2	Найти базис тождеств алгебры М =к у \ ху — уу
над полем А из q элементов.
7.10.3.	Пусть G — критическая алгебра, которая может быть
порождена п элементами, но не имеет порождающего множества из
меньшего числа элементов. Пусть Н есть m-порожденпая алгебра
такая, что var (G) == var (Я). Доказать, что п т.
7.10.4.	Пусть G, Н -— две конечные простые алгебры такие,
что var (G) = var (Я). Доказать, что G Я.
7.10.5.	Пусть G, Н — две критические нильпотентные алгебры
такие, что var (б?) — var (Я). Обозначим через 67, V многообра-
зия, порожденные собственными факторами алгебр G, Я соответ-
ственно. Доказать, что U — V.
7.10.6.	Доказать, что конечная алгебра Ли не лежит в мно-
гообразии, порожденном, ее факторалгеброй по цоколю.
7.10.7.	Пусть Gil Я — две критические алгебры с неабелевыми
монолитами, U и V — многообразия, порожденные их собственны-
ми факторами. Если var (G) = var (Я), то U = F.
7.10.8.	Пусть А2 — алгебра Ли матриц поряда 2 над полем
А таким, что | А | = 2П. Показать, что Л2 — критическая алгебра.
Верно ли это утверждение над конечным полем характеристики,
отличной от 2?
7.10.9.	Пусть L — критическая алгебра, монолит которой не-
абелев. Если L е var (G), G — конечная алгебра,тоL изоморф-
на фактору алгебры G.
7.10.10.	Для каких п многообразие, выделяемое в Si стандарт-
ным тождеством степени п над полем Zp, порождается конечной
алгеброй?
7.10.11.	Провести полное доказательство того, что класс
Si (f, с), определенный в 7.8.10,— многообразие Кросса.
7.10.12.	Пусть тождество v (xl9 . . ., хп) = 0 не выполняется
в многообразии М над полем характеристики р. Тогда оно опреде-
ляет V = var (G) для подходящей конечной алгебры G. Ограничить
ступени нильпотентности нильпотентных факторов алгебры G чис-
лом с = с (р, п. I).
7.10.13.	Вывести явную формулу для верхней границы поряд-
ков главны^ факторов в алгебрах из Si (/, с).
7.10.14.	Вывести явную формулу для верхней границы поряд-
ков критических алгебр из многообразия С (f, т, с).
7.10.15	(см. 7.10.11). Описать алгоритм построения алгебры
G такой, что var (G) равно многообразию, определенному внутри Si
тождеством и (х±, . . ., хп) = 0.
7.11.	Комментарий
Результаты главы основаны на работах [17, 18] автора и
А. Ю. Ольшанского. Раздел 7.9 основан на работе Е. В. Риттера
[104]. Следует отметить, что многообразие М впервые появилось в
работе В. А. Артамонова [7] в связи с изучением цепных многооб-
разий алгебр. В работе М. В. Волкова и А. Г. Гейна [33] дано
362 ГЛ- 7. ТОЖДЕСТВА В КОНЕЧНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
•
обобщение основного результата настоящей главы и результата о
конечной базируемости нильпотентных колец на случай некоторых
конечных расширений нильпотентных колец. Неизвестно, не будет
ли конечно базируемым произвольное почти нильпотентное кольцо
Ли. В работах Г. В. Шеиной изучены локально конечные метабе-
левы многообразия А-алгебры Ли, т. е. такие, в которых все ниль-
потентные алгебры абелевы [116, 117]. Показано, что решетка та-
ких многообразий не является дистрибутивной (в отличие от ана-
логичной ситуации в группах). В. С. Дренскп [44] нашел базис
тождеств и критические алгебры в многообразии, порожденном
алгеброй матриц порядка 2 над конечным полем А, | А | = 2П.
Г. В. Шеина нашла базисы тождеств в некоторых конечных мета-
белевых алгебрах Ли [115]. Этим ограничивается список конечных
алгебр, для которых вычислен базис тождеств. Интересно было бы
найти базисы тождеств в известных простых алгебрах Ли, так как
они однозначно определяются своими тождествами. Интересен
также и вопрос об условиях совпадения var (G) и qvar (G) в случае
конечной алгебры G. В случае групп ответ дан А. Ю. Ольшанским
(Сиб. матем. ж., 1974, 15, .№ 6, с. 1409—1413). Отметим также ряд
работ, в которых изучались локально конечные многообразия в
других классах линейных алгебр [76, 77, 78, 84, 85, 86].
Г л а в a 8
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
8.1.	Построение группы по алгебре Ли
8.1.1.	Проективный предел. В этом пункте слово ал-
гебра обозначает не обязательно линейную алгебру над
кольцом, а просто множество с фиксированным набором
операций й. Пусть I — частично упорядоченное множе-
ство, {Та, фар | а, Ре/}- некоторое множество алгебр
с фиксированным набором операций и эпиморфизмов
фар-’ -> 7а, где а < р, таких, ЧТО фарф|3у = фау,
фаа = 1та. Рассмотрим декартово произведение С =
= 1К Совокупность функций / €= С таких, что / (а) =
ае!
= фар (/ (Р)) Для любых а, р, таких, что а р, называет-
ся проективным пределом семейства {Та, фар) и обозна-
чается через lim Та. Понятно, что покомпонентное вве-
дение операций на множестве lim Та превращает его в
алгебру с тем же набором операции, что и у алгебр из
исходного семейства.
В качестве примера проективного предела рассмотрим
группу G с убывающим рядом нормальных подгрупп
{Wn}n>i- Пусть Gn = G/Nn, п == 1, 2, . . . Для любых
тп п пусть фтп: Gn —> Gm — естественный гомоморфизм,
т. е. отображение, задаваемое правилом фтп (gNn) =
— gNm- Тогда G = lim Gn — также группа. Сопоставим
каждому элементу G функцию g ЕЕ G такую, что
g (п) = gNn. Тогда отображение g g — это гомоморфизм
оо
из С в G, ядром которого является подгруппа N — П
П—1
8.1.2.	Пополнение одного класса топологических ал-
гебр. В этом пункте мы предполагаем, что читатель зна-
ком с основными понятиями топологической алгебры, на-
пример в объеме гл. 20 книги [25]. Пусть R—некото-
рая линейная .алгебра и
001
7? э л<°> э э э /?<"»> = ..., П. я(т) = {0}
т=0
364	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
— убывающий ряд идеалов в R. Определим топологию в R
следующим образом. Назовем элемент г ЕЕ R пределом
последовательности {гп}, если для любого т = 1, 2, . . .
найдется натуральное число N такое, что для всех п > N
имеем - г Е Я<т). Подмножество S CZ R называется
замкнутым, если оно содержит предел любой последова-
тельности своих элементов, имеющей предел в R. Понят-
но, что сами идеалы являются при этом как открыты-
ми, так и замкнутыми подмножествами. Последователь-
ность {гп} называется фундаментальной, если для лю-
бого т = 1,2, . . . найдется N такое, что для всех п1? п2 ЕЕ
N имеем гП1 — гП2 ЕЕ 7?(ГП). Если любая фундаменталь-
ная последовательность имеет предел, то говорят, что
R — полная топологическая алгебра. Подмножество S
плотное в R, если R — его замыкание, т. е. любой эле-
мент из Я — предел некоторой последовательности эле-
ментов из 5. Если S — плотная подалгебра в полной то-
пологической алгебре R, то любой непрерывный гомомор-
физм из S в полную топологическую алгебру R' продол-
жается до непрерывного гомоморфизма из R в R'. Заметим,
что если топология в R определена убывающим рядом
{ДС™)}, а в — убывающим рядом {/?iW)}, то гомоморфизм
(р является непрерывным тогда и только тогда, когда для
любого п = 0, 1, 2, . . . найдется п' такое, что (р СЕ
£Е R^\ Если топологическая алгебра S — плотное под-
множество в полной топологической алгебре R, то мы
говорим, что R — пополнение алгебры S и пишем R = S-
Пополнение единственно с точностью до непрерывного
гомоморфизма. Пополнение алгебры строится с помощью
проективного предела (см. 8.1.1). Положим 7?(т) =RIR^,
тп = 0, 1, 2, . . . Для любого т < п пусть <pmn — это
естественное отображение 7?(n) -> 7?(т>, сопоставляющее
элементу г + элемент г -\-R(m\ Положим R =\imR{my
Рассмотрим убывающий ряд идеалов состоящих
из элементов f ЕЕ R таких, что / (1) = . . . = / (т) = 0.
Алгебра R является полной топологической алгеброй с
топологией, определенной рядом R(m}. Действительно,
если /i, f2, . . ., fn, . . . — некоторая фундаментальная
последовательность, то ее пределом является последова-
тельность f, определяемая следующим образом. Для лю-
бого т = 0, 1, 2, . . . пусть {с (т)} — возрастающая
последовательность натуральных чисел такая, что для
I
8.1. ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ПО АЛГЕБРЕ ЛИ 365
* любых п1ч с (т) имеем /П1—/Л8(=Я(т). Тогда по-
ложим f (пг) = fc(tn) (т). Если т < п, то <pmn (/с(п) (п)) ==
= fc(n) (т) = /с(ш) (т). Это показывает, что f ЕЕ R.
Теперь покажем, что {fn}~+f- Возьмем N= с (т) для
* любого т = 0, 1, 2,. . . Если n>N и 1^т, то n>e (Z),
откуда /п (Z) — f (l) = fn (I) — /с(0 (I) = 0. Далее, R не-
• прерывно изоморфна подалгебре R в R, состоящей из
функций г таких, что г (п) = г -f- Я<п), п = 0, 1, 2, . . .
Понятно, что если / ЕЕ R и rm -|- Я<т) = / (тп), то {fm} ->
->'/• Итак, R — пополнение алгебры R. В полной топо-
। логической алгебре можно обычным образом говорить о
сходимости и расходимости бесконечных рядов. Отметим
оо
лишь, что ряд 51 хп является сходящимся тогда и толь-
ко тогда, когда {хп} -> 0. Если R — пополнение для
) ~
Я, то любой Элемент а ЕЕ R представим в виде а= 51
П=э1
, где я2> • • • — элементы из R. Наконец, если в алгебре
R имеется другой ряд
Я = /?(0)э/?(1)э-...=э/?(то)	П /?(т)={0},
т=о
|	Я^Я(т), тп = О, 1, 2,..
и R — пополнение относительно топологии, определенной
этим рядом, то тождественное отображение из R в R про-
должается до непрерывного эпиморфизма ф из Я на Я.
I Оно определено так. Если f ее R, то ф (/)_=/', причем,
если / (fc) =	+ R^\ то f (к) — гк + R(k)- Заметим,
что если, обратно, любой член первого ряда содержит
некоторый член второго ряда, то ф — инъективное отоб-
ражение. Действительно, допустим, что / — ненулевой
элемент из Я и для некоторого к элемент / (к) = гк -|-Я(/с) —
ненулевой. Пусть I таково, что RM Я^. Если
I / (I) = 1*1 + Я(0, то /' (Z) = г? + Я<г). Допустив, что
/' (Z) = 0, мы получим Г; R'l} cz Я<г). Но гк + Я^> =
= r7 + RW. Поскольку Я<^ з Я<°, получим гк -ф- Ж^==
= Я<к\ что противоречит нашему допущению.
Наконец, если Я — алгебра некоторого многообразия,
то Я принадлежит тому же многообразию как подалгеб-
ра декартова произведения факторалгебр алгебры Я.
366
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
8.1.3.	Пополнение градуированных алгебр. Пусть R=
оо
= 21 Rn— градуированная алгебра. Тогда положим 2?(7П)=
п=о
т
= 2 Rn- Имеем RlR^ 3 R** Пусть cpmn есть проек-
n>m	К=1
п	т
ция подпространства	R*	на	2j R*-	Тогда	lim	R/R{m^
u=i	к=1	*—
состоит	из	функций	/	таких, что	/ (т) =	.	+ гт,
/ (тп + 1) = Г! + ... + гш + гш+1, где т\ s Rf Видно, что
оо
такая функция равна сумме бесконечного ряда У rm, где
т=о
гт €= Rm* Именно в таком виде мы рассматриваем элемен-
ты пополнения R алгебры R. Бесконечные ряды такого
вида можно перемножать по закону дистрибутивности,
так как в образовании каждой однородной компоненты
участвует лишь конечное число элементов. Если S ~ од-
нородная подалгебра в Я, то, очевидно, R CZ 8. Если R и
S — две градуированные алгебры, то их тензорное произве-
дение (см. 6.1.11) — также градуированная алгебра Т =
= R ® a S с однородными компонентами Тп, имеющими
вид
.	п
Тп = 2 Rm $п-т-
т=0
Как и выше, определена алгебра Т — пополнение алгеб-
ры Т относительно введенной градуировки. Наконец,
если/: 2? -> S — гомоморфизм такой, что/ (/?<”>) с: 8<п) для
всех п = 0, 1, 2, . . ., то / продолжается до непрерывного
0°	оо
гомоморфизма ft R-+ St если а = San, то /(а) = 3/(«»)•
п=0	п=0
8.1.4.	Топология на свободной ассоциативной алгеб-
ре и свободной алгебре Ли. Критерий Фридрихса. Рассуж-
дения предыдущего пункта применимы к свободной ас-
социативной алгебре А = А (X) и ее подалгебре — сво-
бодной алгебре Ли L = L (X). Таким образом, тополо-
гия в L определяется нижним центральным рядом. Как
и в предыдущем пункте, получаем пополнения А =
= А (X) и L = Г(Х). Алгебра /Г(Х) называется алгеб-
рой Магнуса. В случае X = {/} имеем: А = Л И —
кольцо многочленов от одной переменной и А = Л [И] —
в.\ ПОСТРОЕНИЕ ГРУППЫ ПО АЛГЕБРЕ ЛИ 367
кольцо формальных степенных рядов от одной перемен-
ной. Мы установим критерий того, что элемент а ЕЕ 4
лежит в L. Для этого рассмотрим однородный гомоморфизм
Д: А —» А 0 А, продолжающий отображение х х 0 1+
-|- 1 0 х. хеХ. Тогда, как отмечено выше, Д продол-
жается до гомоморфизма Д: А -> А 0 А.
Теорема. Элемент а ЕЕ А лежит в L в том и
только том случае, когда Д (а) = а 0 1 -|- 1 0 а.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай
элемента « Е А. Тогда Д (а) = Д (а). Без ограничения
общности рассмотрим только случай однородных элемент
тов. Достаточность почти очевидна: если а а 0 1 4-
-|-1®аиЬн>Ь®1-|-1®Ь, то
[а, b] -> [а 0 1 + 1 ® а, Ь 0 1 + 1 0 Ь] = [а, Ы 0 1 +
+ 1 0 [а, Ы,
поскольку элементы 1 0 и и v 0 1 коммутируют при лю-
бых и, р Е Л.
Обратно, предположим, что Д(а) = а 0 1 4- 1 0 а,
а £= А. Выберем в L какой-нибудь вполне упорядочен-
ный базис W из одночленов (см. 2.3.1) и напомним, что
базис алгебры А образован произведениями вида b ~
— wrw2 . . . ws. где	. . . > ws — элементы
выбранного базиса алгебры L. Тогда Д (Ь) = (wr 0 1 4-
+ 1 0 Wi) (а>2 0 1 + 1 0	• • • (ws 0 1 + 1 0 a>s)
по первой части доказательства. Ясно, что
Д(Ь)= 2 Wit. . . wit 0 wjt.. . Wjr
r-|-t=s
и &!>... > it. Ji > jr. т. e. Д (Ь) записы-
вается как сумма базисных элементов пространства
А 0 А (мы используем канонический базис тензорного
произведения). Пусть теперь b' = w{w2 . . .w'S',
JE	> w's'. Предположим, что Д (Ь) и Д (6')
имеют подобные члены в их представлении через базис-
ные элементы пространства А 0 А. Тогда . . wit 0
0 wh . . . wjr = wmt . . . u^, 0 w\ . . . wir,. Ясно, что
t = f, r — г', и поэтому s = s', Следовательно, множест-
ва {wr. . . ., ws} и {ir{, . . ., wfs} совпадают; так как, да-
лее, они упорядочены, имеем Ь =	. ws ==	.
. . . w's = b'. Таким образом, если в базисную запись
элемента а входят одночлены Ъ с 5 > 1, то Д (а) включает
в свое базисное разложение одночлены, отличные от
368
гл. 8. приложения к теории групп
WjWi. . . wt 0 1 и 1 0 wxw2 . . . ws; поэтом/ Д (a) a 0
0 1 + 1 0 а. Следовательно, s = 1, t. e/a e L.
/ oo
Перейдем к отображению А. Если a/= 5j япЕЕ Д т- е«
.	'	п=0
если On G= £п, п — 0, 1, 2, . . то
А(а)= 3 д (ап) = 2!(«®1 + 1®а) =
п=0	п=0
= ( 3 ап) ® 1 + 1 ® ( S ая) = « 0 1 + 1 ® «•
п=о	п=0
Если, обратно, Д (a) = а ® 1 -|- 1 (g) а, то проведенное
рассуждение дает ап е Ln для любых п = 0, 1, 2, . . .,
следовательно, « Е1. Теорема доказана.
8.1.5.	Группа Магнуса. Пусть Л [[0] — кольцо фор-
мальных степенных рядов, где Л — некоторое поле ха-
рактеристики нуль, и el, In (1 t) — его элементы вида
°° ц	°°	чл
e*=iE in(i+o=£,(-i)-‘v-
п—0	п 1
Пусть В — полная топологическая алгебра как в 8.1.2
й <р: Л [[/]] -> В — непрерывный гомоморфизм. Тогда
п=-0	п=0
является вполне определенным элементом алгебры В,
обозначаемым через Аналогично определяется и
In (1 + Ф (0). Используя замечание в конце п. 8.1.3,
видим, что отображение t In (1 -р 0 и t е1 — 1 про-
должаются до непрерывных гомоморфизмов алгебры
Л[[0] в себя. Непосредственная проверка показывает,
что eln <1+<) = 1 + t и In е* — t.
Аналогично, если а ЕЕ А (X)— элемент без свободного
члена, то отображение t >-> а продолжается до непрерыв-
ного гомоморфизма алгебры Л [[0] в себя. Обозначим че-
рез М идеал алгебры А (X), состоящий из всех таких а.
Пусть также G = G (X) = 1 М — множество рядов с
постоянным членом 1. Тогда G — группа относительно
умножения, поскольку (1 — a)-1 = 1 а Ц- а2 . . .
По предыдущим замечаниям, отображения a >-> еа, 1 +
+ а In (1 4- а) являются взаимно обратными биек-
циями идеала М на G и подгруппы G на М соответственно.
г
8	.i. йосТроёнйё Группы ПО айгёбрё лй 369
( 0 £
Рассмотрим также множество eL, что корректно, так как
L cz М. Следующая теорема является принципиальным
пунктом наших рассуждений.
Теорема. Подмножество eL — подгруппа группы G.
*	Доказательство. Так как е°еь — ес для лю-
бых a, и некоторого с ЕЕ М, то достаточно показать,
что с ЕЕ Чтобы сделать это, отметим, что если а и Ъ комму-
тируют, то, очевидно, ааеь = еа+1). Тогда с = а + b ЕЕ L,
и все в порядке. В общем случае запишем с = In (еаеь) и
применим к обеим частям полученного равенства непре-
. рывный гомоморфизм А из п. 8.1.4. Легко видеть (мы
। опускаем некоторые промежуточные детали), что справед-
ливы равенства
А (е) = A (In (епеь)} = In (е^е^) =
1	= In [(eV ® 1)(1 0 eV)] =
= In (eV 0 1) + In (1 0 eV) =
= (In (eV)) 0 1	1 0 (In (eV)) = c 0 1 4* 1 0 c.
По теореме из 8.1.4 c 6= •£, и теорема доказана.
8.1.6.	Группа полной топологической алгебры Ли.
Пусть, далее, X — {х, у}, А = А (X), L = L (X). Рас-
( смотрим единственный элемент хоу е= L такой, что ехеу =
= ех°У. Если дана некоторая алгебра Ли В, топология в
которой определена некоторым убывающим рядом идеа-
лов Вп с нильпотентными факторалгебрами ВГВп, то в В
можно ввести новую бинарную операцию о, полагая
4 Ь о с = $ (х ° у), где ф — непрерывное продолжение
гомоморфизма ф алгебры L в В, при котором х Ъ,
у с. Существование такого продолжения будет показано
ниже.
Предложение. <В , о> — группа.
Доказательство. Заметим сначала, что го-
моморфизм ф: L —> В, продолжающий упомянутое отоб-
4 ражение, является непрерывным. Действительно, по-
скольку алгебра alg ({6, с}) 4- Вп1Вп нильпотентна класса,
скажем, с (п), то ф (Вс(П)+1) = ф (Z,c(n)+i) cz Вп для лю-
бых п = 0, 1, 2, . . . Значит, гомоморфизм ф непреры-
j	вен, т. е. допускает продолжение до непрерывного гомо-
।	морфизма ф алгебры L в В. Групповые аксиомы для опе-
рации о достаточно ^проверить только в случае В =
370	Гл. 8. ПРИЛОЖЕНИЙ К ТЕОРИЙ ГРУПП
= L ({я, у, z}) с~. А ({ж, у, z}). Так как х* 0 = 0 о х =$
= х и х о (—х) = (—х) о х — 0, то достаточно показать,
что X О (у о z) — (х о у) О z. Однако
(х о у) о z = In e^xo^oZ = In е^е2, = In (ехеу) ez =
= In ex(eyez) = In exe^oz = In exo^ = x о (у о z),
так как экспоненты — элементы ассоциативной алгебры
А. Предложение доказано.
Мы будем называть <В,о> группой алгебры Ли В и
обозначать через В°.
Замечания. 1) Пусть С с В — замкнутая подал-
гебра в В. Тогда С — подгруппа группы В°, более того,
эта подгруппа тождественно изоморфна группе С°. Мы
обозначаем ее также через С°.
2)	Пусть (р: В -> D — непрерывный эпиморфизм пол-
ных алгебр В и D. Тогда (р сохраняет умножение о и,
следовательно, является гомоморфизмом группы Б° на
D°. Мы обозначим его через (р°.
3)	Любой замкнутый идеал С может быть рассмотрен
как ядро некоторого непрерывного гомоморфизма <р:
В —> BIC. Согласно (2) его ядро Кег (р = Кег <р° является
нормальной подгруппой в BQ. Применяя еще раз теорему
о гомоморфизме, получим В°1С°	(В/С)°.
8.1.7.	Формула Кемпбелла — Хаусдорфа. Часто по-
лезно иметь явную форму для х о у как элемента из А (я,
у), т. е. ряда от х, у. Эту форму можно найти, используя
еще один критерий принадлежности элемента а из А (X)
подалгебре L (X). Напомним (см. 2.5.6), что если л —
однородное отображение из А (X) в L (X) такое, что
Л (1) О, Л (хг . . . ХпХп+1) (^1, • • •»	^г+11»
то элемент а ЕЕ An, п 1, является элементом алгебры
тогда и только тогда, когда л (а) = па.
Обещанный явный вид для х°у получается теперь в
результате следующего вычисления:
хоу = 1п(Л»)=1п(1+ V =
п-]-т>1
-Е< 1>-1 НЕ- S>0	П-|-7П>1 =Е<-‘)-‘4- Е	п т \ s х	у Г _ п!	/и! J »i! mJ тг2! т21 . . . ng! mg! •
8?2. ТЕОРИЯ МАГНУСА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ
371
Пусть (х о у)гч— однородная компонента степени г. Тог-
да, применяя сформулированный критерий, видим, что
г (х ° у)г является линейной комбинацией одночленов
вида
(ad х)п* {sd у)т'... (ad х)п* (ad у)™8'1 (у),
если ms 0, и вида
(ad x)ni (ad у)т* . . . (ad х)п& 1 (ж),
если т8 = 0. В результате получается формула Кемпбел-
ла — Хаусдорфа
х°У =
ks-i
(ad *)% . . (ad у)™8 1 (у)
r=l s>l
nJ . . . m8l
П14-..-+пв=р
р+?=г, n^m^l
> П1+...+п8=р
nh+...+ms=q
p+Q=r
ni+wi>l
' (ad a)W1.. . (ad y)^1 (ad x^s"1 (a?)
nt! . . . 7ns-1! ng!
В частности, (x о y)0 = 0, (x о у)г = x + у, (ж о у)% =
= у[х’ н Т- е-
X О у = X + у +	[ж, ?/] +	[х, X, у] +	[?/, У, ®] + • • •
8.2.	Теория Магнуса свободной группы
8.2.1.	Свободные группы. Пусть X и X”1 — два не-
пустых множества и х ж"1 — биекция множества X на
множество X"1. Рассмотрим полугруппу W = W (X (J
(J X"1) слов в алфавите 'X (J X”1 относительно операции
приписывания. Обозначим пустое слово через 1 и скажем,
что два слова и и и эквивалентны, и ~ у. если и может
быть получено из v конечным числом (возможно равным
нулю) вставок и вычеркиваний подслов вида жж”1 и х^х
для некоторого ж GE X. Легко видеть, что это отношение
действительно является отношением эквивалентности.
Мы обозначаем класс эквивалентности элемента и через
372	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
[и]. Слово и называется неприводимым, если ц не содержит
никакого подслова вышеупомянутого вида.
Лемма. Любой класс [и] содержит в точности одно
неприводимое слово.
Доказательство. Обозначим через р (и) един-
ственное неприводимое слово, получаемое из и последо-
вательными вычеркиваниями подслов вида х?х~£ (т. е.
хЪГ1, если е = 1, и х~гх, если 8 = —1) справа налево.
Тогда, понятно, р (u) ~ и и р (и) = и, если слово и не-
приводимо. Далее, р (uv) = р (up (г)), откуда р (uxParev) =
= р (uv), е = ± 1. Рассуждая индукцией по длине
слова и, мы получаем р (uv) = р (и) р (v). Пусть теперь
и ~ v — два неприводимых слова. Тогда, по определе-
нию, существует последовательность
и = иг, и2, . . ., ит = v
такая, что ui+i получается из ut одним вычеркиванием или
одной вставкой подслова вида жеаг8, е = ±1, х (= X.
По нашим формулам тогда р (ui+i) = р (щ). Отсюда р (и) =
= р (v) и, так как и, v — неприводимые слова, и = V.
Лемма доказана.
Теперь введем операцию на множестве F (X) классов
слов, полагая [u][y] = [uv\. Это определение корректно,
так как из u ~ u', v ~ v' следует, что р (и) = р (и'),
р (v) = р (v') и, используя р (uv) = р (р (и) р (у)), полу-
чаем р (uv) = р (и'у')« Значит, uv ~ uv'. Ассоциативность
полугруппы F (X) следует из ассоциативности W (X (J
(J Х')\более того, [1] является единицей в F (X) и [и”1] —
обратный элемент к [и], где и*1 — образ элемента и
при гомоморфизме полугруппы W, индуцированном отоб-
ражением х аГ1, у~г у, х, у ЕЕ X.
Предложение. Группа F (X) порождена эле-
ментами [х\, х ЕЕ X. Более того, если дана другая группа
G и отображение (р: X -+G, то существует единствен-
ный гомоморфизм ф: F (X) -+G такой, что ф ([я]) =
== (Ф (а:)).
Доказательство. Только второе утверждение
нуждается в проверке. Рассмотрим отображение %: X (J
U X”1 ->бг, определенное правилом % (х?) = (ср (х))г,
где 8 = ± 1. Тогда существует единственный гомомор-
физм полугрупп % из W в G,” продолжающий %. Ядро
Кег % этого гомоморфизма, очевидно, содержит —. Зна-
чит, х индуцирует единственный гомоморфизм ф: F =
8.2. ТЕОРИЯ МАГНУСА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ 373
== W/ ~ -bjG. Ясно, что ф — уже гомоморфизм групп,
причем выполняется требуемое условие. Предложение
доказано.
Мы будем опускать квадратные скобки в записи эле-
ментов группы F. Получаемая группа F называется сво-
бодной группой с множеством X свободных порождающих.
Таким образом, произвольный элемент группы F един-
ственным образом представим в виде х^х^ . . . Хпп,
Xt ЕЕ X, Gi = ± 1 И &i Ф — 8i+i, I = 1, 2, . . ., п — 1.
Следствие. Любая группа изоморфна фактор-
группе свободной группы.
В настоящем разделе мы коснемся лишь таких вопро-
сов теории свободных групп, которые связаны с кольца-
ми Ли. Другие примеры и теоремы читатель сможет найти
в ряде известных книг по теории групп (см. [50, 67,74, 79]).
Покажем сначала, что рассмотренная выше группа
Магнуса G = G (X) = 1 + М £ А (X) содержит много
свободных подгрупп.
8.2.2.	Теорема. Пусть Л — произвольное комму-
тативное кольцо с 1. Фиксируем для каждого х ЕЕ X эле-
мент у (х) ЕЕ А (X) без однородных компонент нулевой и
первой степеней. Тогда множество элементов вида
{ах = 1 + х + у (х) | х е X}
порождает свободную подгруппу в G (X) и является ее сво-
бодным порождающим множеством.
Доказательство. Переходя к факторкольцу
Л/ЛГ, где М — максимальный идеал, можно считать, что
Л — поле. Допустим сначала, что у (х) = 0 для всех
х ЕЕ X. Рассмотрим гомоморфизм из F (X) в 6г, продолжаю-
щий отображение х •-> ах, х ЕЕ X. Обозначая образ
элемента b е F через 5, покажем, ч^о если b 1, то и
5 =/= 1. Итак, представим Ъ в виде Ъ = х™'х™* . . .
где mt 0, Xi xi+1, i = 1, 2, . . ., п — 1. Тогда
5 = (1 + £i)W1 (1 + я2)Ш2 •••(!+ ^n)Ww-
Согласно биному Ньютона
>	(1 + Xi}™1 = 1 + UiXi + ViX* + . . .
Найдется =Н= 0 такое, что коэффициент ищ при xSi не
равен нулю. Поэтому в Ъ одночлен х^х^ . . . х™ входит с
коэффициентом	. wn^0. Таким образом, 5 дей-
374	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
ствительно отличен от 1, и для частного случая теорема до-
казана. Обозначим через Н свободную подгруппу груп-
пы 6?, порожденную элементами 1 + х, х е X. Для пере-
хода к общему случаю рассмотрим непрерывный гомомор-
физм ср: А (X)	(X), индуцированный отображением
х »-> х + у (х), хеХ. Легко видеть, что отображение ф
инъективно. Поэтому ф: Н ->gp ({ах | х е X}) — изо-
морфизм групп. Теорема доказана.
Следствие. Рассмотрим группу L° полной топо-
логической алгебры Ли L, гдеЬ — L (X) — свободная алгебра
Ли. Пусть С = С (X) — подгруппа, порожденная мно-
жеством X. Тогда С — свободная группа со свободным
порождающим множеством X.	•
Доказательство. По определению операции
в L° эта группа изоморфна группе eL. При этом изомор-
физме подгруппа С изоморфна подгруппе Т = gp {ех |
х ЕЕ X} в eL. По только что доказанной теореме Т —
свободная группа, свободно порожденная указанным
множеством. Следствие доказано.
8.2.3.	Коммутаторное исчисление. Пусть G — неко-
торая группа, а, & — ее элементы. Обозначим символом
(а, Ъ) коммутатор элементов а, Ь, т. е. выражение (а, Ъ) =
= a^b^ab. Полагая а±ь = Ъ^а&Ь, можно записать (а,
Ъ) = В этих обозначениях имеем следующие тож-
дества Холла:
(ab, cd) = (a, d)b (a, c)db (b, d^b, c)d,	(1)
((а, Ъ), са)((с, а), ЬС)((Ь, с), аь) = 1.	(2)
Для их доказательства заметим, что если g Е G, то отоб-
ражение х >-> ху — автоморфизм группы G. Тогда
(ab, cd) = (аЬуЧаЬ)'* = Ь^аГ^ЬЬ^а^а^ =
= (а, d)b(a, с^Ъ^Ь^Ь^ = (a, d)\a, c)db(b. d)(b, c)d,
что и доказывает тождество (1). Для доказательства тож-
дества (2) вычислим значение его левой части:
((а, Ъ), са) = (а, ЪУ'с-Ца, Ь)са = (b, ajd^c^a (а, tya^ca =
Переставляя буквы циклически, мы получаем
((с, a), bc) = a~1c~1ab~1a~1cac~1bc,
((Ь, с), аь) =
8.2. ТЕОРИЯ МАГНУСА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ
375
Перемножая три полученных элемента и сокращая взаим-
но обратные буквы, получаем единицу.
Пусть, далее, А, В — две подгруппы группы G. Их
взаимный коммутант (А, В) есть подгруппа, порожден-
ная всевозможными коммутаторами вида (а, 6), где а ЕЕ
ЕЕ А, Ь е В. Поскольку (а, Ь)"1 = (Ь, а), понятно, что
(А, В) = (В, А). Если А и В — нормальные подгруппы в
G, то (А, В) — также нормальная подгруппа.
Лемма. Пусть А, В, С — нормальные подгруппы в
группе G. Тогда
((Л, В), С) с ((В, С), Л) ((С, Л), В).	(3)
Доказательство. Достаточно доказать, что
элемент левой части вида и = (u1? и2), где иг ЕЕ (А, В),
и2 ЕЕ С, лежит в правой части соотношения (3). Предста-
вим и± в виде произведения их — v±v2 . . . vt коммутато-
ров (xi, yt), где xtу yi — элементы из А и В (или В и А).
Используя (1), мы получаем
(VjV2 , . . vt, и2) - (ylt u2)v* •" Bi(v2, U2)°a " 0 . . . (vt, и2).
Однако
(г{, и2) = ((а:{,^),(<1 Л) =
=	«uf1 > *i)> у^У1 ЕЕ
е((В,С),Л)((С,Л),В).
Для завершения доказательства остается заметить, что
если X, Y — две нормальные подгруппы группы В, то
XY = YX. Лемма доказана.
8.2.4.	Центральные фильтрации. Аналогично тому,
как это сделано для алгебр Ли (см. раздел 1.7), мы можем
ввести понятия нижнего центрального, верхнего централь-
ного рядов и ряда коммутантов группы. Таким образом,
G = 71(0 = 60(G), и определим ys (G) = (G, ?3-i(G)),
s > 1; 6r (G) = (6r_i (G), 8r-i (G)), r > 0. Положим так-
же to (G) = {1} и определим & (G) как подгруппу
в G, содержащую £f-i (G), и такую, что	(G) —
центр группы G/St-i (G). Назовем ряды {y8(G)}8>i,
{6r (G)}r>o и {(G)}t>o соответственно нижним централь-
ным рядом коммутантов и верхним центральным рядом
группы G. Первые два из них — невозрастающие, по-
следний — неубывающий. Кроме того, последователь-
ные факторы всех трех рядов yilyi+i,	—
абелевы группы.
576	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К 'ТЕОРИИ ГРУПЙ
Нижний центральный ряд группы G — это частйыи
случай так называемых центральных фильтраций груп-
пы G. Именно, невозрастающее семейство / = {Gn}n>i
нормальных подгрупп группы G называется центральной
фильтрацией этой группы, если для всех s, г = 1, 2, . . .
имеем (Gs, Gr) £ Gs+r. Для нижнего центрального ряда
по лемме из 8.2.3 имеем
(Ts(G), Tr(G)) = ((G,	(<?)), Tr(G))c
£((?s-i(G), yr(G)), G) ((yr (G), G), ys_i(G)).
Остается применить индукцию no s с очевидным осно-
ванием при 5=1.
Рассмотрим теперь произвольную центральную филь-
трацию / = {Gn}n>i группы G. Тогда, как легко понять,
Ln (G) = GnIGn+i — абелева группа. Рассмотрим адди-
тивную абелеву группу
Z/(G) = © Lfn(G).
71=1
Превратим ее в градуированное кольцо Ли. Определим
коммутатор двух элементов % EF т| ЕЕ Lfr, полагая
U, nJ = у) Gs+r+1 £ bU, где g = xGs+l, т] = yGr+1.
Это определение не зависит от выбора представителей в
| и т]. Действительно, если х = xz, у' = yw, z ЕЕ G8+i,
w ЕЕ Gr+i, то, согласно (1),
(х\ у') = (х, w)z(x, y)wz(z, w)(z, y)w = (x, у) (mod Gs+r+i)
по определению фильтрации. Тождество Якоби и закон
дистрибутивности достаточно проверять для однородных
компонент. Эти соотношения являются легкими следст-
виями из (2) и (1). Например, рассуждая в духе доказа-
тельства леммы из 8.2.3, мы видим, что п [g, т| ] = [ng, т]] =
= II, пт]]. В самом деле,
n [g, г|] = (х, y)4Gs+rV1 = (х\ y)Gs+r+1 = (х, уп) Gr^x.
Кольцо Ли, получаемое из группы G с помощью ее ниж-
него центрального ряда, обозначается просто L (G) и на-
зывается кольцом Ли группы G.
Главной целью настоящего раздела является исполь-
зование лиева кольца L (F) свободной группы F для
описания структуры нижнего центрального ряда свобод-
ной группы F.
8.2. ТЕОРИЯ МАГНУСА СВОБОДНОЙ ГРУППЫ
377
8.2.5.	Нижний центральный ряд свободной группы.
Пусть F' = F (X) — свободная группа со свободным по-
рождающим множеством X, А = А (X), L = L (X), Л,
L, М — алгебры, введенные в предыдущих пунктах. Для
любого х е= X фиксируем элемент у (х) алгебры А (X)
без компонент нулевой и первой степени. Отождествим
группу F с подгруппой в 1 + М cz Л, используя изомор-
физм продолжающий отображение х 1 + х + у (х), х ЕЕ X.
Пусть М71 — множество элементов из Л вида а= as,
s>n
as EE As. Покажем, что уп (F) cz 1 + М71. В самом деле,
У1 (F) = F El i + М. Если, далее, с = (g, h), где g
ЕЕ уп-1 (F), h ЕЕ F, то, по предположению индукции, g =
= 1 + gn~i + Sn + • • •» & — 1 +	+ ^2 “Ь • • • Непо-
средственное вычисление дает
с = g^h^gh =
— (1 — gn-l + gn + • • •) (1—Й-1 + Й2 + • • •) (1 +
+ gn-l + .£n + • • •) (1 +	+ ^2 + • • •) —
— (1 + gn-1^1 — hign-i + Cn+i + •••)» ^n+i €= Лп+1. (4)
Обозначим через Fn пересечение группы F и подгруппы
1 + М\
Предл о ж е н и е. Ряд {Fn}n^ — центральная
фильтрация группы F такая, что Fn э yn (F). Пересе-
оо
чение И Yn (^) членов нижнего центрального ряда сво-
п=>1
водной группы F тривиально.
Доказательство. Пусть g = 1 + gs + gs+1 +
+ ...eFsn^=l+fer + hr±i + . . . Fr. Такое же
рассуждение, как в (4), показывает, что справедливо со-
отношение
с = (g, h) = 1 + (gshr — hrg8) + с8+г+1 + • •
Cs+r+l G Лз+г+1.	(5)
Таким образом, c Ez Fsir. Включение Fn yn (F) уже
доказано в (4). Последнее и главное утверждение предло-
жения теперь тривиально, поскольку
П Tn(^)G П (1 + Мп) = {1}.
П=>1	П=1
Предложение доказано.
Теперь мы можем сформулировать основной резуль-
тат этого раздела.
378
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
8.2.6.	Теорема. Пусть L = L (X) — свободное
кольцо Ли, F = F (X) — свободная группа, L (F) — коль-
цо Ли группы F. Пусть — элемент кольца L (F) вида
tx = ^2 (Л> хЕХ. Тогда отображение х*-+ %х, х ЕЕ X,
продолжается до изоморфизма градуированных колец Ли.
Доказательство. По определению свободного
кольца Ли такой гомоморфизм (р существует. Остается
доказать, что он -биективен. Используя предложение
8.2.5, мы сначала построим кольцо Ли Lf (F), используя
введенную ранее центральную фильтрацию f = {Fn}n>i.
Поскольку Fn э уп (F) Fn+1 yn+i (F), существует
естественный гомоморфизм абелевых групп Ln (F) ->
-> Lfn (F), который очевидным образом продолжается до
гомоморфизма ф градуированных колец из L (F) в Lf (F).
Нужно также рассмотреть отображение % из Lf (F) в А,
получающееся так. Пусть g = 1 + g8 + gs+i + . . . е=
и |li = gFs+1 (напомним, что мы отождествляем F с
подгруппой в 1 + М). Положим % (р) = g8. Легко видеть,
что это определение не зависит от выбора представителя.
Кроме того, согласно (5), отображение % — гомоморфизм
колец Ли. По построению т = Хфф: L А — гомомор-
физм колец Ли, причем для любого х ЕЕ X
т (х) = хфф (х) = xt (&х) = X ((1 + х + V (ж))Г2) = х.
Используя следствие из теоремы 2.3.6, мы видим, что отоб-
ражение т инъективно. Поэтому ф также инъективно.
Более того, из определения кольца Ли группы легко ви-
деть, что L (F) порождается множеством {|х | х €= X}. Это
показывает, что ф биективно. Поскольку ф (Zn) £ Ln (F),
гомоморфизм ф — это гомоморфизм градуированных ко-
лец Ли. Теорема доказана.
Следствие, (i) Для любого п = 1, 2, . . . группа
Тл (F)/yn+i (F) — свободная абелева группа, канонически
изоморфная группе Ln (X).
(ii)	уп (Л = Fn, п = 1, 2, . . .
Доказательство. Первое утвержденье — не-
посредственное следствие теоремы 8.2.6 и теоремы 2.3.6.
Докажем второе утверждение. Понятно, что ух (F) = Fr =
= F. Предположим, что yn_i (F) = Fn^. Заметим, что
Fn уп (Л и что отображение Ln (F)	(F) инъек-
тивно. Однако, по определению, его ядро равно Fnlyn (F).
Отсюда, кодецно, Fn =	(Л- Следствие доказало,
8.3. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ
379
8.3.	Изоморфизм категорий нильпотентных jD-rpynn
и нильпотентных рациональных алгебр Ли
8.3.1.	Нильпотентные группы. Группа G называется
нильпотентной ступени с, если для некоторого с 1
имеем yc(G) {1} и yc+i (G) = {1}. Повторяя рассуждения
раздела 1.7, мы легко видим, что группа G имеет ступень
нильпотентности с тогда и только тогда, когда с — наи-
меньшее положительное число такое, что для любых gx,
g2, . . ., gc+i и любой расстановки скобок
(gi, gz, • 	£с+1) = 1
или, эквивалентно,
(Xj, #2, • • •» •^с+1)_== (^Т> (*^2> • • •> (*^с? Жс+1) • • • )) —
является тождеством в G. Как и в 1.7, это дает, что лю-
бая подгруппа, факторгруппа и декартово произведение
нильпотентных групп ступени с сами нильпотентны сту-
пени, не превосходящей с. Другими словами, класс всех
нильпотентных групп ступени, не превосходящей с, есть
многообразие групп, обозначаемое через ДГС.
Для наших дальнейших целей нам нужно более деталь-
ное изучение конечно порожденных нильпотентных групп
без кручения. Начнем с предложения, относящегося к
произвольным конечно порожденным нильпотентным
группам.
Предложение. Пусть G — нильпотентная
группа, порожденная конечной системой элементов вида
{gi, g2, . . ., gn}. Тогда для любого s 1 подгруппа у8 (G)
может быть порождена конечным множеством всех не-
тривиальных коммутаторов вида
(gi,, git,   -, gir), 1 < ii, . . ir < m,
i — 1, 2,. . ., r; r s. (1)
Более того, любая подгруппа А группы G конечно порож-
дена.
Доказательство. В самом деле, достаточно до-
казать, что каждый коммутатор вида w = (и, у)(Е?п+1(^)»
где и ЕЕ уп (б?), v ее G, может быть представлен через
(1) и их обратные элементы. Итак, пусть и — и^ . . . щ,
где Ui имеют вид (1) с г > п, и р =	. . vq,vi — либо
порождающие gf, либо элементы, обратные им. Исполь-
зуя формулы коммутаторного исчисления из 8.2.3, мы
можем представить w как произведение коммутаторов
380
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К 'ТЕОРИИ ГРУПП
вида (1) с г > w и их сопряженных некоторыми элемен-
тами из G. Однако заметим, что аи = а(а, Ь) и
= (abi)b8 = аъ^ (а, btf* = а (а, Ь2)(а, \)((а, М-
Эти соотношения помогают нам представить w в нужной
форме, что и доказывает первую часть предложения.
Вторую часть можно доказать, используя, индукцию
по с с тривиальным основанием при с = 0» 1. Положим
с >> 1 и пусть А — подгруппа группы G. Тогда
Л ус (G)/Yc (®) конечно порожденная подгруппа груп-
пы 67ус (6г), ступень нильпотентности которой строго
меньше ступени нильпотентности группы G. Пусть
а2, . . ., aq Е А таковы, что а^, . . . , aqye порож-
дают группу Аус/ус и aQ4i, . . ., at — порождающие
элементы подгруппы A f) ус конечно порожденной абе-
левой группы ус = ус (G) (она конечно порождена по
первой части доказательства). Тогда, очевидно, если дан
элемент ю е Л, то wyc = w (а^, ...» aqyc) = w (ах, . . .
. . ., aq)yc. Таким образом w = w (an . . ., aq)w\ где
w' е Тс- Понятно, что w' Е Тс П Л. Значит, w' =
—wf (aq+i,.. ., at). В результате группа А порождена эле-
ментами ах, . . ., at. Предложение доказано.
Следствие. Любая неубывающая цепь подгрупп
конечно порожденной нильпотентной группы стабилизи-
руется на некотором конечном шаге. Иными словами, если
Н1 е Н2 е . . . е Hq е Яд+1 Е . . . — такая цепь, то
для некоторого q 1 имеем Hq =	= . . .
8.3.2.	Монолитные нильпотентные группы. Назовем
группу G монолитной, если пересечение всех ее нееди-
ничных нормальных подгрупп само неединично. Наи-
меньшая неединичная нормальная подгруппа М в этом
случае называется монолитом группы G. Перед форму-
лировкой теоремы, дающей описание конечно порожден-
ных нильпотентных монолитных групп, сформулируем
несколько вспомогательных утверждений. Первые три из
них доказываются аналогично тому, как это сделано в
случае нильпотентных алгебр Ли в разделе 1.7.
1)	В нильпотентной группе G верхний и нижний цент-
ральные ряды имеют одну и ту же длину, равную ступени
нильпотентности этой группы.
2)	Пусть Н — подгруппа нильпотентной группы G и
Ng (Н) — ее нормализатор, т. е. подгруппа, состоящая
из всех элементов х ЕЕ G таких, что x~rHx Е Н; тогда
Н G влечет NG (Н) ф Н.
а.З. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ	331
3)	Пусть Н — подгруппа группы G такая, что Ну2 (G) =
= G. Тогда Н = G.
Кроме того, нам понадобится и такое утверждение.
Лемма. Конечно порожденная нильпотентная
группа с конечным центром конечна.
Доказательство. Индукция по ступени ниль-
потентности с группы G. Если с = 1, то G = £х (G). Так
как | ?i (G) | < оо, то все доказано. В случае 1 рас-
смотрим Gr = Git* (G) и докажем, что центр t>2 (G)/?i (G)
группы Gjl конечен. Тогда можно будет применить
предположение индукции. Однако (G)lt* (G) — ко-
нечно порожденная абелева группа, и достаточно пока-
зать, что все ее элементы имеют конечный порядок.
С этой целью положим п = | £х (G) | и рассмотрим произ-
вольный элемент х из £2 (&)• Докажем, что х* €=	(G). Дей-
ствительно, в силу тождеств коммутаторного исчисления
(«”, g) = (ж, g)*-1	g)™. . . (X,g) = (X, g)n = 1.
Здесь мы использовали то, что (х, g) централен и что по-
рядок всех элементов центра делит п. Лемма доказана.
Теорема. Каждая конечно порожденная монолит-
ная нильпотентная группа является конечной р-группой
для подходящего простого числа р.
Доказательство. Покажем сначала, что ко-
нечная монолитная нильпотентная группа является
р-группой при некотором простом р. Действительно,
в противном случае найдутся два простых числа p,q таких,
что силовские р- и ^-подгруппы Sp и Sq нетривиальные и,
следовательно, отличные от группы G. По теореме Си ло-
ва [67, стр. 344], если Np — нормализатор, скажем, под-
группы 8р в G, то Nq (Np) == Np. Используя утвержде-
ние (2), приведенное выше, видим, что Np = G, т. е. что
Sp — нормальная подгруппа в G. То же самое, конечно,
верно и для подгруппы Sq. Противоречие, поскольку,
с одной стороны, Sp f] Sq = {1}, а, с другой стороны,
Sp р| Sq М Ф {1}, так как группа G монолитна. Про-
должая доказательство теоремы, проведем индукцию по с.
Утверждение тривиально при с = 0. Поэтому предпо-
ложим, что^(в) Ф {1} и рассмотрим монолит М группы G.
Так как каждая подгруппа центра £х (G) нормальна в
G и поскольку центр — конечно порожденная абелева
группа, либо £х (G) — циклическая порядка р1 для не-
которого р, либо ti (G) — бесконечная циклическая груп-
па. Поскольку в £х (G) есть минимальная подгруппа, ос-
382	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
тается лишь первая возможность. Согласно лемме группа G
является конечной. Применяя первую часть доказа-
тельства теоремы, видим, что действительно G v- конеч-
ная р-группа. Теорема доказана.
Полезным является такое замечание (оно вытекает из
8.3.1 и леммы настоящего пункта).
Следствие. Любая конечно порожденная перио-
дическая нильпотентная группа является конечной.
8.3.3.	Извлечение корней в нильпотентных группах.
Определим еще один класс групп, называемых Р-груп-
пами. Под D-группой мы будем понимать группу G, в ко-
торой для каждого целого и =/= 0 и каждого g Е G урав-
нение хп = g имеет единственное решение. РольР-групп
в нашем контексте объясняется тем, что P-группами яв-
ляются группы полных топологических алгебр Ли над
произвольным полем характеристики нуль. В самом деле,
явный вид формулы Кемпбелла — Хаусдорфа показы-
. 1
вает, что х — пх, откуда — g — единственное решение
уравнения хп = g, п Ф 0, в такой группе.
Одна из главных целей настоящего раздела — пока-
зать, что любая нильпотентная группа без кручения сту-
пени с изоморфна подгруппе нильпотентной Р-группы
той же ступени нильпотентности с. Чтобы сформулировать
этот результат более корректно, нам нужно понятие
изолированной подгруппы в группе. Именно, подгруппа
Н группы G называется изолированной, если для любого
g е G такого, что gn еН, где п — некоторое ненулевое
целое число, имеем gEzH. Наименьшая изолированная
подгруппа группы G, содержащая Н, называется изоля-
тором подгруппы Н в G и обозначается IG (Н). Обозна-
чим также через У Н множество элементов g е G таких,
что для некоторого натурального п имеем gn Е Н. Оче-
видно, что если УН — подгруппа группы G, то IG (Н) =
= УН. Следующая лемма показывает, что это всегда
так для нильпотентных групп.
Лемма. Пусть Н — подгруппа нильпотентной
группы G. Тогда IG (Н) = У Н.
Доказательство. Как замечено выше, дос-
таточно показать, что Я — подгруппа группы G. Мы бу-
дем проводить доказательство индукцией по ступени с
нильпотентности группы G. Основание индукции при
8.3. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ
383
с = 1 тривиально. Поэтому предположим, что с > 1 и
хЛ, ут ЕЕ Н. Положим А = gp ({ж, у}) и рассмотрим ниж-
ний центральный ряд группы A: {yf (A)}i<i<c- Применим
предположение индукции к подгруппе А Г) Н = (А Г)
р| Я)ус (А)/ус (А) как подгруппе группы А/ус (А). Тогда
для каждого а = аус (А) существует целое $=/= О такое,
что а8 ЕЕ А П Я. Иными словами, as ЕЕ (А р| Н)ус (А).
Докажем, далее, что ус (А) ст |4А Q Н- Пусть сначала
z Е ус (А) имеет вид (а, 6), где а ЕЕ yc-i (А), ЬеА.
Тогда Е (А П Я)?с (А), У Е (А П Н)ус (А), т. е.
а8 = h1z1, br = h2z2. Используя формулу (1) коммутатор-
ного исчисления (см. 8.2.1) и центральность всех комму-
таторов, возникающих в процессе ее применения, мы
видим, что
(a, b)sr = (а8, Ьг) = (Л^, h2z2) = (h*, h2) e A Q H.
Отсюда (a, b) EE j/~AQH, Далее, произвольный элемент из
ус (А) является произведением попарно перестановочных
коммутаторов, имеющих вид уже рассмотренного. Это и
доказывает наше утверждение относительно ус (А).
Вспомним теперь, что для любого a Е А мы нашли не-
нулевое целое $ такое,что a8 = hz, hEEA р| Я, zEEyc(A).
По только, что доказанному утверждению, однако,
zr ЕЕ А П Я для некоторого г. Поскольку A, z комму-
тируют, asr = hrzr ЕЕ A Q Я, что и доказывает лемму.
Важные свойства извлечения корней в нильпотентной
группе без кручения приведены в следующем предложе-
нии.
8.3.4.	Предложение. Пусть G — нильпотентная
группа без кручения,
1)	Если хп = уп для некоторых х, у ЕЕ G и ненулевого
целого п, то х = у.
2)	Члены верхнего центрального ряда £s (G) группы G —
изолированные подгруппы для всех s = 0, 1, 2, . . .
Доказательство. 1) Проведем индукцию по
ступени с нильпотентности группы G с очевидным осно-
ванием при с = 1. По предположению индукции, приме-
ненному к 6/^(6), имеем xt* = т. е. х = yz для
некоторого z ЕЕ (G). Однако тогда уп = хп = ynzn,
т. е. zn = 1. По нашему условию тогда z = 1, откуда
х = у.
2) Достаточно ограничиться случаем 5 = 1, так как
дальше можно провести индукцию по ступени нцльцфт
384	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
тентности группы G. Итак, пусть gn е (G) для некото-
рого g ЕЕ G и некоторого ненулевого п. Тогда для лю-
бого а е G имеем g™ = a~1gna = (а~^а)п, откуда по 1)
g = a^ga. Таким образом, geCi(G). Предложение
доказано.
Отметим, что из доказанного предложения легко вы-
вести, что в произвольной группе G для любого натураль-
ного п имеем Ууп (G) = IG (уп (G)).
Интересный способ получения D-групп содержится в
следующем предложении.
8.3.5.	Предложение. Пусть л — бесконечное
множество простых чисел, и допустим, что для каждого
р ЕЕ л группа Gp — нетривиальная конечная р-группа
ступени нильпотентности, не превосходящей фиксирован-
ного натурального числа с 1. Пусть Т=Ц Gp —
рал
декартово произведение всех Gp, р ЕЕ л, и S = II G — его
рел
подгруппа, равная прямому произведению того же множе-
ства групп (функции с конечным носителем). Тогда T/S
есть D-группа ступени нильпотентности, не превосходя-
щей с.
Доказательство. Заметим сначала, что в лю-
бой конечной группе G уравнение хп — а, а ЕЕ G, в кото-
ром п — ненулевое число, взаимно простое с порядком
группы G, однозначно разрешимо. Кроме того, G явля-
ется D-группой тогда и только тогда, когда однознач-
но разрешимо уравнение вида xq — а, а ЕЕ G, в кото-
ром q — произвольное простое число. Используя эти за-
мечания, мы видим, что достаточно доказать, что в груп-
пе Т/S однозначно разрешимо любое уравнение вида
хр = а, где р ЕЕ л, а ЕЕ Т/S. Пусть а = fS, где / —
произвольная функция из Т. Умножая обе части равен-
ства на подходящий элемент из S, мы можем считать, что
/ (р) = 1. По, первому замечанию из доказательства
для некоторого Ъ ЕЕ Т имеем Ър = f, и, следовательно,
bS — решение уравнения хр = а в Т IS. Чтобы доказать
однозначность решения, заметим, что по нашим условиям
группа Т имеет ступень нильпотентности, не превосходя-
щую с, и что S == |Л{1} — изолированная подгруппа
группы Т. Следовательно, TIS — нильпотентная группа
без кручения, что позволяет применить предыдущее
предложение. Доказательство закончено,
8.3. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ
385
Для вложения произвольной нильпотентной группы
без кручения в D-группу нам нужен еще один результат.
8.3.6.	Предложение. Пусть G — конечно по*
рожденная нильпотентная группа без кручения, р —
простое число, Gp& —подгруппа, порожденная элемента-
ми gpS для всех g ЕЕ G, s = 0, 1, 2, . . . Тогда f| GpS = {1}.
s=0
Доказательство. Покажем, что для любого
1 =/= х ЕЕ G существует s > О такое, что х GpS. Проведем
индукцию по ступени нильпотентности группы G. Со-
гласно 8.3.4 это предположение применимо к G/£j (G).
Поэтому, если х (G), то xt^ (G)	(G/^i(G))pS =
= GP Ci	Для некоторого 1. Ясно тог-
да, что х GpS, и все в порядке. Поэтому пусть'1 ф
=£ х ЕЕ Ci (G). Рассмотрим непустую неубывающую
цепь нормальных подгрупп Кг <3 G, t = 1, 2, . . . ,
таких, что х ф Kt и хр ЕЕ К. i (такая цепь существует,
так как <жр>, циклическая подгруппа, порожденная эле-
ментом хр, обладает этим свойством). По следствию пред-
ложения из. 8.3.1 эта цепь обладает максимальным эле-
ментом К. Теперь в силу максимальности подгруппы К
группа GIK является монолитной. Действительно, любая
нормальная подгруппа этой группы содержит {1} =/= М =
= <я> К/К. По теореме 8.3.2 группа G/K — конеч-
ная (/-группа для некоторого простого числа q. В то же
время G/К содержит элемент хК порядка р. Следователь-
но, G/К является на самом деле конечной р-группой по-
рядка, скажем, р1, 1^1. Тогда К 2 Gp и x^Gp.
На языке аппроксимационных свойств (ср. с 6.6.6)
мы доказали, что для любого простого р любая конечно
порожденная нильпотентная группа без кручения аппрок-
симируется конечными р-группами.
8.3.7.	Теорема. Каждая нильпотентная группа
G без кручения ступени с может быть вложена в нильпо-
тентную D-группу G* той же ступени нильпотентности
такую, что любой гомоморфизм <р группы G в любую D-груп-
пу Q однозначно продолжается до гомоморфизма <р* груп-
пы G* в Q.
Доказательство. Предположим сначала, что
G конечно порождена. В этом случае группа G счетна.
13 Ю. А. Бахтурин
386	гл. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
Значит, существует биекция х w- рх группы G на неко-
торое бесконечное множество $ простых чисел. Построим
Т = И Gp и S = П Gp как в предложении 8.3.5, причем
рвл	Р~Л
для р = рх группа Gp — это факторгруппа группы GIGP\
где $ — целое число такое, что х ф GpS (см. предложение
8.3.6). Используя следствие из 8.3.2, видим, что для лю-
бого р ЕЕ я группа Gp — это конечная р-группа. Теперь,
по предложению 8.3.5, Р = Т/S является D-группой.
Определим i: G -> Р, полагая i (у) = fyS, где fy (р) —
образ элемента у при естественном отображении группы
G на Gp. По определению г — гомоморфизм. Предположим,
далее, что i (у) = 1 для некоторого у е G. Тогда fy ЕЕ
ЕЕ 5, так что fy (р) Ф 1 только для конечного подмно-
жества л. В этом случае существует ненулевое целое п
такое, что /уП (р) = 1 для всех р Е я. По выбору
подгруппы Gp это дает уп = 1. Значит, у = 1. Таким об-
разом, i — инъективный гомоморфизм. Используя i, мы
можем отождествить группу G с ее образом в Р. Согласно
предложению 8.3.5 ступень нильпотентности группы Р не
превосходит с.
Возьмем теперь в качестве G* изолятор Ip (G) группы
G в Р. Тогда G*—это D-группа ступени нильпотентности,
не большей с, откуда по лемме 8.3.3 G* = ]/"G. Обозначим
через g^n единственный элемент х ЕЕ Р такой, что =
= g ЕЕ Р. Тогда любой элемент из G* имеет вид g1^,
g ЕЕ G, и п Ф 0. Пусть теперь Qx есть D-группа и ср: G ->
Q — гомоморфизм группы G в Q. Определим тогда
Ф*: G* -> Q, полагая ф* (g^n) = (ф (g))1/n. Определение
корректно, так как из g1/n = А1/”1 следует (ф* (gMn))mn =
== (ф(£)1/п)тл ~ Ф = Ф Wn = (ф* (h^n))mn. Посколь-
ку Q является D-группой, cp*(g1/n) = ф* (hWm). Подобным
же образом можно проверить, что ф* — гомоморфизм.
Этим доказательство в случае конечно порожденной
группы закончено.
Пусть теперь дана произвольная нильпотентная груп-
па G без кручения. Рассмотрим множество всех символов
вида g1/», g ЕЕ G, где п — положительное целое число.
Скажем, что g1^ эквивалентно Л1/”1, gl n ~ Л1/7П, если#т =
= Лп. Пусть G* — множество классов эквивалентности
этих символов. Если gx, g2 — два элемента группы G,
Gt = gp ({g1? g2}), G* — некоторое пополнение группы Gn
то умножение в G* может быть введено, если мы поло-
8.3. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ	387
ЖИМ А/т£,п = g3/z, как только это равенство выпол-
няется в G*. Для доказательства корректности Ьтого оп-
ределения допустим, что g{im ~ gi™',	~ g2/n, и
пусть gl/tn'g2/n' = ^Рассмотрим G2 = gp ({gn g2» Sv
g2}) cz G и Gf = ]/G2. Тогда (g1/™)™' == g™' = g? =
— (gi/m )mmz- Таким образом, g^m = g{/m' в G*. Аналогично
g2/n = g2/n B G2. В этом случае и g%1 — в G*. От-
сюда gg = gg. Это дает g}/l ~ g%1'. Остальные необ-
ходимые свойства могут быть проверены аналогичным
способом.
Теорема доказана.
Единственная с точностью до изоморфизма 7)-группа
G*, построенная в только что доказанной теореме, назы-
вается мальцевским пополнением группы G.
8.3.8.	Группа нильпотентной алгебры Ли. Пусть S —
нильпотентная алгебра Ли над некоторым полем А ха-
рактеристики нуль. Возвращаясь к рассуждениям из
8.1.2, рассмотрим в S топологию, построенную по ряду
5 ZD {0}. Тогда S — дискретная топологическая алгебра.
Как и прежде, обозначим через S° группу алгебры S
(см. 8.1.6). Используя замечания из 8.1.6 и дискретность
топологии в S, видим, что если R — идеал в S, то Я ° —
нормальная подгруппа в S° и S°/R° = (S/R)°. Более того,
уп (S°) = (5n)°, п — 1, 2, . . . Действительно, пусть с —-
наименьшее число, такое, что Sc+1 = {0}. Прямые вычис-
ления с использованием формулы Кемпбелла — Хаус-
дорфа показывают, что
(а1? а2, . . . ., ап) == [ап а2, . . ., ап] + t,
teSn+1, п = 1,2, . . ., (2)
причем расстановка скобок в обеих частях равенства (2)
оДна и та же. Из этого равенства мы немедленно полу-
чаем, что (5С)° = ус (5°). Применяя индукцию по ступени
нильпотентности алгебры 5, получаем
Tr (Л/т. (5°) = Vr (57Тс (5°)) = Tr (№е)°) -
- (Sr)°/(SC)° = (Sr)°/yc (S°),
откуда Tr (5°) = (Л° Для любого г — 1, 2, . . с.
Предложение. Любая изолированная подгруп-
па группы S° имеет вид R°, где R — подалгебра алгебры
S; кроме того, если R° — нормальная подгруппа группы
S°, то R — идеал алгебры S.
13*
388
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
Доказательство. Обозначим через Т эту под-
группу и рассмотрим подалгебру Я, порожденную множе-
ством Т. Формула Кемпбелла — Хаусдорфа (8.1.7) по-
казывает, что Т + Я2 — подалгебра алгебры S. Тогда
R = т + Я2 и
Я7?2 (д°) = Я/(Г2)° = (Я/Я2)°.
Таким образом, Я° порождена по модулю у2 (Я°) множе-
ством Т. По лемме Бернсайда (свойство 3) из 8.3.2) ви-
дим, что Я° = Т. Предположим теперь, что Я° нормаль-
ная в S°, и выберем х е S, у е Я. Пусть Р = alg ({ж, у}).
Тогда Я° П Р° — нормальная подгруппа группы Р° с
абелевой факторгруппой Я7Я° П Р°. Это дает Я° П Р° —
Э у2 (Р°) = Р и [ж, г/1 Е Я р Р с Я, т. е. Я < 5. Лем-
ма доказана.
8.3.9.	Свободная нильпотентная D-группа. Для даль-
нейшего нам нужны два понятия. Именно, пусть X — не-
пустое множество ис — натуральное число. Рассмотрим
факторгруппу G = F/yc+1 (F), где F = F (X) — свобод-
ная группа со свободным порождающим множеством X.
Понятно, что если дано любое отображение множества X
в произвольную группу ступени нильпотентности не выше
с, то существует единственный гомоморфизм группы G
в эту группу, продолжающий данное отображение. Груп-
па G называется поэтому свободной нильпотентной груп-
пой класса нильпотентности с со свободным порождающим
множеством X. Из теории Магнуса свободной группы
(см. следствие теоремы 8.2.6) видно, что G — группа без
кручения, и поэтому обладает мальцевским пополнением
G*. Мы будем называть группу G* свободной нильпотент-
ной D-группой ступени нильпотентности с со свободным
порождающим множеством X. Понятно (см. 8.3.7), что
группа G* обладает в классе нильпотентных P-групп сту-
пени не выше с тем же свойством, что и G в классе всех
нильпотентных групп ступени не выше с. Пусть теперь
S — свободная нильпотентная алгебра Ли ступени ниль-
потентности с с тем же множеством X свободных порож-
дающих над полем Q рациональных чисел.
Лемма. 5° = G*, где изоморфизм продолжает тож-
дественное отображение множества X.
Доказательство. Воспользуемся обозначения-
ми раздела 8.2. Согласно следствию из 8.2.2 подгруппа
С — gp ({ех | х е X}) группы 1 4- Л/п £ Л, порожден-
ная множеством элементов е*, канонически изоморфна
8.3. ИЗОМОРФИЗМ КАТЕГОРИЙ
389
группе F = F (X) и уп (С) = С П (1 + ^п) для всех
п 1. Пусть D — подгруппа, порожденная множест-
вом X относительно операции о. Тогда D F (X). Ло-
гарифмируя равенство для уп (С), получаем уп (D) '=
— D Р| (Ln)°. Следовательно,
D/yn(D) D о (Zn)7(Ln)°S L°/(Ln)°	(L/Ln)° = S°.
(3)
Это показывает, что подгруппа Т группы 5°, порожден-
ная множеством X, является свободной нильпотентной
группой, изоморфной группе G. Остается показать, что
изолятор этой подгруппы совпадает с 8°. Как отмечено в
8.3.8, у2 (S°) = (*S2)°. Поэтому 8° порождена по модулю
подгруппы у2 (8°) элементами х = х™* , х Er X, ЕЕ
ЕЕ Z, т. е. S° = У Ту2 (8). Поскольку всегда УТ cz
с:	(Г), то имеем 8° = Is° (Т) у2 (8). Снова применяя
лемму Бернсайда (свойство 3) из 8.3.2), видим, что 8° =
= Is° (Т). Вследствие единственности пополнения теперь
Лемма доказана.
Теперь мы можем доказать основную теорему этого
раздела.
8.3.10.	Теорема. Каждая нильпотентная D-груп-
па является группой некоторой единственной с точностью
до изоморфизма нильпотентной алгебры Ли над полем ра-
циональных чисел.
Доказательство. Пусть- В — произвольная
нильпотентная D-группа. Представим ее в виде фактор-
группы подходящей нильпотентной D-группы. В силу лем-
мы существует свободная нильпотентная алгебра Ли 5
над полем рациональных чисел и ее идеал R такие, что
В S°/R° = (S/R)°. Это доказывает, что отображение
Г н- Г, сопоставляющее каждой нильпотентной алгебре
Ли над полем рациональных чисел ее D-группу, является
сюръективным. Допустим теперь, что U, Т — две ниль-
потентные алгебры Ли над Q и /: Т° —» U° — гомо-
морфизм групп. Представим Т° в виде TQ S°/R°, и
пусть е: S —» Т — естественный эпиморфизм алгебры 8
на Т. В силу замечаний из 8.1.6 отображение 8°: 8°
—> Т° — естественный эпиморфизм групп. Положим их =
= (/8°) (ж), х е X. Рассмотрим единственный гомомор-
физм л: S —» U, продолжающий отображение х их,
х ЕЕ X. Тогда л °—единственный гомоморфизм групп S° —»
390
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
—> £7°, продолжающий то же самое отображение. Значит,
л ° = /е°. Это позволяет корректно определить гомомор-
физм алгебр Ли ф: Т-» £7, полагая <р (£) = л (е""1 (t)).
Ясно, что <р° = /, причем ф — единственное отображение
такое, что ф° = /. Теперь ясно,, что если Т, U — две ал-
гебры Ли такие, что Г° = £7°, то и Т . Доказатель-
ство теоремы закончено.
Следствие. 1) Любая нильпотентная группа G
без кручения является подгруппой группы 5° некото-
рой нильпотентной алгебры Ли S над Q такой. что
]rG = 5°.
2)	IG (7n (G)) = Vn (G*) П G.
Доказательство. Первое утверждение — не-
посредственное следствие из 8.3.7 и 8.3.10. Далее, S — QG,
откуда уп (G*) = Sn = Qyn (G), п = 1, 2, ...
8.3.11.	Следствие. Категории и ЛСр соответ-
ственно нильпотентных алгебр Ли над полем рациональ-
ных чисел и нильпотентных D-групп изоморфны.
Доказательство. Две категории (см. 3.4) на-
зываются изоморфными, если существует пара взаимно
обратных функторов из одной из них в другую. По тео-
реме существуют взаимно однозначные соответствия
Т ь* Т° их объектов и ф ф° их морфизмов такие,
что (4г)° = 1г° и (фф)° = ф°^°- Следствие доказано.
8.3.12.	Группы лиевского Ьгипа. Последнее утвержде-
ние этого раздела связано с так называемыми.группами,
аппроксимируемыми нильпотентными группами без кру-
чения. Группа G является такой, если для любого g G G,
g s/= 1, существует нормальная подгруппа Ng такая, что
g Ng. причем GlNg — нильпотентная группа без кру-
чения. Согласно теории Магнуса из 8.2 к этому классу
групп относится свободная группа. Ниже — это одна из
основных целей следующего раздела — мы увидим, что
свободная разрешимая группа также является группой,
аппроксимируемой нильпотентными группами без кру-
чения. Приведенное условие эквивалентно такому. Пусть
In (G)' = IG (уп (G)). п = 1, 2, изоляторы членов
нижнего центрального ряда группы G. Тогда эквивалент-
co
ным условием является П /n(G) = {l}. Мы оставляем
4	п=1
доказательство этого факта читателю. Будем называть груп-
пы этого класса группами лиевского типа. Причина тако-
го названия ясна из следующего результата.
8.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА
391
Предложение. Любая группа лиевского типа
изоморфна подгруппе группы Т° некоторой алгебры Ли Т
над полем Q рациональных чисел.
Доказательство. Пусть {G(n> = GHn (G), -
<Pnm: ? GW GW I и > иг > 1} -— проективная система
групп и их гомоморфизмов, построенная при помощи
G так же, как и в п. 844. Обозначим через TW алгебру
Ли такую, что = (G<rn>)*, п = 1, 2, . . . Обо-
значим также через фпт эпиморфизмы фпт: TW —> TW
такие, что фпт = Ф*тп- Положим Т = lim TW и превратим
Т в топологическую алгебру так же, как и в п. 8Д.2»
Тогда
G Q G = lim GW cz lim = (lim TW)° = Г°,
что и завершает доказательство.
8.4.	Многообразия групп лиевского типа
8.4.1.	Свободная группа многообразия. Все определе-
ния и простые результаты, связанные с многообразиями
алгебр Ли из 44, точно так же звучат и в случае много-
образий групп. Так, многообразие групп F — это класс
групп, удовлетворяющих некоторой фиксированной си-
стеме {v (хг, х^, . . .,	= 1 | v GE V cz F (ж)} тождест-
венных соотношений, или просто тождеств. Непустой
класс F групп является многообразием тогда и только
тогда, когда F замкнут относительно взятия гомоморф-
ных образов, подгрупп и декартовых произведений (ср.
с теоремой 44.4). Вербальная подгруппа V(G) группы G,
соответствующая множеству слов v GF F, является под-
группой, порожденной всеми элементами вида v (gt, g2> • • •
• • •, gn), #2, • • м gn^ G. Полное множество правых
частей тождеств, выполняющихся в некотором многооб-
разии F, образует вербальную подгруппу свободной груп-
пы Feo счетного ранга. Подгруппа V свободной группы F
вербальная тогда и только тогда, когда она выдерживает
все эндоморфизмы этой группы. Если даны множества V с:
Л» и X =# 0, то группа F (X, F) = F (Х)/7 (F (X))
называется свободной группой * многообразия V или
просто F-свободной группой с множеством’ X свобод-
ных порождающих. Это и есть тот класс групп, которым
мы будем интересоваться в настоящем разделе этой главы.
Назовем многообразие групп многообразием лиевского
типа, если его свободные группы произвольного ранга —
392
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
группы лиевского типа. По теореме 8.2.6 многообразие О
всех групп и многообразия с 1, всех нильпотент-
ных групп ступени, не выше с, являются многообразиями
лиевского типа. Как мы видели (см. 8.3.12), между груп-
пами лиевского типа и алгебрами Ли существует тесная
связь. Такая же связь будет установлена и между много-
образиями групп лиевского типа и многообразиями ал-
гебр Ли над полем рациональных чисел. Нам понадобятся
вспомогательные результаты об изолированном нижнем
центральном ряде группы. Определим ранг rk (4) конеч-
но порожденной абелевой группы А как число бесконеч-
ных слагаемых в разложении А в прямую сумму цикличе-
ских групп.
8.4.2.	Предложение. Пусть дана произвольная
группа G. Обозначим через In, п 1, подгруппы 1п =
= IG (уя (G)). Тогда:
(1)	если G есть V-свободная группа, то все 1п — вер-
бальные подгруппы9,
(2)	множество {In}n>i — центральная фильтрация в G;
(3)	если G конечно порождена, то rk (In/In+1) =
= rk (?я (G)/?n+1 (G)).
Доказательство. Как мы видели в 8.3.4, Is =
= Уу8(@)- Поскольку (F), очевидно, выдерживает
все эндоморфизмы группы F, то вербальность подгруппы
Is в G для всех $=1,2, ... доказана. Докажем теперь,
что (Ir, Is) cz Ir±s. Действительно, возьмем х ЕЕ 1г, у ЕЕ
Е= 18- Положим для краткости уп = уп (G). Тогда для не-
которых п, т 0 имеем ЕЕ уг, У™ GE и поэтому
(я*, ут) ЕЕ yr+s cz /r+s. Пусть Ж, у — образы элементов
х. у в нильпотентной группе без кручения С = G/Is+r.
Тогда имеем %п = у~тхпут = (у~тхут)п. Из 8.3.4 следует,
что у = или (£, у) = 1. Окончательно (х, у) ЕЕ
ЕЕ Ir+s, и (2) доказано. Чтобы доказать (3), напомним
читателю, что если А — свободная абелева группа не-
которого конечного ранга и В — ее подгруппа конечного
индекса, то rk (А) = rk (В). Группа уп П Л+i/Tn+i ко-
нечная и уп/уп П Z„+1	уп1п+1/1п+1 С ЛДп+х- Следо-
вательно, группа ”уп/уп П 4+х свободная абелева и
Yn^Yn+1 = Vn П ^n+l/Tn+l=Vn^n+l/'^n+l-
Достаточно поэтому показать, что rk (УпЛ+х/^п+х) =
= rk (/„/Z„+1). Однако это непосредственно вытекает из
предыдущего замечания, поскольку группа /„/упДич пе-
8.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА	393
риодическая, следовательно, конечная. Предложение до-
казано.
8.4.3.	Теорема. Пусть X — счетное множество,
R — L (X, V)— свободная алгебра Ли в некотором мно-
гообразии V алгебр Ли над полем Q рациональных чисел.
Существует многообразие V° групп лиевского типа со
следующим свойством. Пусть R = Я<°) ZD 7?(1) ~Э . . .—
убывающий центральный ряд идеалов алгебры R такой,
что для любого к = 0, 1, 2, . . . найдется I такое, что
Rk R®. Тогда подгруппа G = gp (X) с: Й°, где R —
пополнение в топологии, определенной указанным рядом,
является V °-свободной с множеством X свободных порож-
дающих.
Доказательство. По замечанию из конца
п. 8.1.2 пополнение R алгебры R по нижнему центрально-
му ряду изоморфно вложимо в пополнение R этой алгебры
по ряду, указанному в формулировке теоремы, причем
изоморфизм индуцируется тождественным отображением
алгебры R, Поскольку X GZ R, то формула Кемпбелла—
Хаусдорфа показывает, что G = gp (X) £ R- Это позво-
ляет ограничиться случаем пополнения по нижнему цент-
ральному ряду.
Чтобы доказать, что G — свободная группа некото-
рого многообразия групп лиевского типа, достаточно по-
оо
казать: (1) П (G) = {1}; (2) любое соотношение между
п—1
свободными порождающими из множества X является
тождеством в G, Однако ул (G) £ Rn. Так как Rn замкну-
то относительно умножения на рациональные числа, то
и In (G) £ Rn. В силу 4.2.10 fl Rn = {0}. Поэтому (1)
П»1
доказано. Далее, RlRn s R/Rn — свободная алгебра не-
которого нильпотентного многообразия алгебр Ли, сле-
довательно, в силу 8.3.11 R°l(Rn)° = (R/Rn)° — свобод-
ная группа некоторого многообразия нильпотентных D-
групп. Поэтому, если v fo, а^, . . ., хп) = 1 — некоторое
соотношение между х2, х2, . . ., хп, то оно выполняется
оо
тождественно в каждой группе Ral(Rn)°. Однако П (а )° =
= {1},т. е. £°(=var {Я°/(ДП)° | п = 1, 2, . . .}.^ Следова-
тельно, v (хг, х2, . . ., хп) = 1 — тождество в R°. Таким
394
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
образом, и (2) доказано. Итак, G = gp (X) — свободная
группа некоторого многообразия групп, которое мы обо-
значим через F°. Теорема доказана.
Только что доказанная теорема устанавливает соответ-
ствие g: V н- F° между многообразиями алгебр Ли над
полем рациональных чисел и многообразиями групп лиев-
ского типа. Покажем, что это соответствие сюръективно
(см. 8.4.5).
8.4.4.	Теорема. Пусть дано многообразие групп
' лиевского типа F. Тогда существует многообразие U ал-
гебр Ли над Q такое, что для любого непустого множест-
ва X свободная группа F (X, F) многообразия F изоморфна
подгруппе группы (L (X, СГ))0, порожденной множеством X,
причем пополнение берется по нижнему центральному
ряду свободной алгебры L (X, 17) многообразия U.
Доказательство. Ясно, что достаточно рас-
смотреть случай счетного множества X. Обозначим через
G группу F (X, F) и применим конструкцию из 8.3.12.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, что подалгебра
L алгебры Т, построенной в этом пункте, порожденная
множеством X, является 17-свободной для некоторого мно-
гообразия алгебр Ли над полем Q. Достаточно показать,
что любое отображение множества X в Т продолжается
до гомоморфизма алгебры ЬъТ, или, другими словами,
что если v (хъ х2, . . ., хт) = 0 для некоторого v, то v (zx,
z2, . . ., zm) = 0 выполняется в Т тождественно. Напом-
ним читателю, что каждый элемент х множества X, рас-
сматриваемого как подмножество проективного предела
Г, имеет вид функции 3, х (п) ЕЕ T(n), п = 1, 2, . . . Поэ-
тому, если v (#!, Ж2, . . ., #т) = 0, то v (х± (п), х2 (п), . . .
. . ., хт (п)) — 0 в каждом Лп>. По предложению 8.4.2
каждая группа 7’<п> — группа, свободная в некотором
многообразии нильпотентных групп, свободно порожден-
ная множеством X (и). Поэтому v (zx, z2, . . ., zm) = 0 —
тождество в Z<n>. По построению проективного предела
Т ее var ({T<w> | п = 1, 2, . . .}), следовательно, v (zx,
z2, . . ., zm) = 0— тождественное соотношение в Г, и, та-
ким образом, мы доказали, что алгебра L является 17-
свободной для некоторого многообразия U алгебр Ли над
Q. Далее, поскольку группы, составляющие проективное
семейство, строились как факторгруппы группы G по
членам изолированного центрального ряда, видим, что то-
пология в L — замыкании алгебры L в Т — определена
нижним центральным рядом. Поэтому, согласно предыду-
8.4.-МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА 395
щей теореме, G — свободная группа многообразия 17°.
Теорема доказана.
Свободная алгебра Ли L многообразия U из только
что доказанной теоремы может быть получена и другим
способом» По предложению 8.4.2 в произвольной группе G
ряд {Тп (£г)}п>1 — центральная фильтрация. Образуем
градуированное кольцо Ли Lf (G), используя эту филь-
трацию (см, 8.2.1). Так как однородные компоненты коль-
ца L? (G) — свободные абелевы группы, оно является под-
кольцом алгебры Ли X (G) — Q Lf (6?), являющейся
градуированной алгеброй, однородные компоненты кото-
рой — пополнения групп Jn//n+1, п = 1, 2, . . .
8.4.5.	Теорема. Пусть F = F (X, F) — свободная
группа в некотором многообразии групп лиевского типа F,
свободно порожденная множеством X. Тогда М = X (F)~
свободная алгебра Ли некоторого многообразия алгебр Ли
U над полем Q рациональных чисел, свободно порожденная
образом множества X. Обозначив V через £ (V), получим
(S?(F))° = F.
Доказательство. Как и в предыдущей теоре-
ме, мы будем рассматривать группу F вложенной в проек-
тивный предел Т. Пусть L = alg (X) в Т. Покажем сна-
чала, что Ln = L П Тп, п = 1, 2, ... Так как включе-
ние Ln cz L П Тп очевидно, то рассмотрим элемент Ли
w fo, я2, . . ., х3) ЕЕ Тп. Представим w в виде iz? = wx +
+ u?2 + . . . + wn_r + wn + . . . + wm, где Wi — одно-
родная компонента степени i. По нашей конструкции и в
силу 8.3.11 любая алгебра *- относительно свобод-
ная, порожденная множеством Х(п). Таким образом, все
Wi = 0, 1 I п — 1,— тождественные соотношения,
выполняющиеся в Так как Т аппроксимируется ал-
гебрами ТЛ, п == 1, 2, . . ., то + w2 + . . .+ w>n-i —
^0 — тождество в Тп, следовательно, в L. Поэтому w ЕЕ
ЕЕ Ln, и, значит, Ln 5 L П Тп.
Теперь, так как обе алгебры L и М градуированы и в
силу «одинаковости» умножения в обеих алгебрах гомо-
морфизм из L в М может быть задан, если положить
w fo, . . ., xs) w fo, . . ., zs) 7n+1,
где w fo, x2, . . ., xs) — линейная комбинация с целыми
коэффициентами базисных одночленов степени п относи-
тельно X, w fo, х2, . . ., х$) — соответствующий коммута-
тор в группе F. В силу только что доказанного равенства
Ln = L П ?п это отображение корректно и является
396
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
инъективным. Его сюръективность вытекает из того, что
как£, так и М порождены множеством X. Теорема дока-
зана.
Из доказательства видно, что кольцо Ли L (F) также
является свободным в некотором многообразии колец Ли.
Это многообразие будет обозначаться через L (F)T
8.4.6.	Произведения многообразий групп. Многообра-
зие W называется произведением многообразий U и V (и
обозначается через UV), если W является классом всех
групп G таких, что G обладает нормальной подгруппой
Н EU такой, что GIH eV- Предположим, что многооб-
разие U определено множеством слов tZ, a F — множест-
вом слов V. Пусть также F^ — свободная группа счетно-
го ранга. Тогда W = UV определено множеством слов
U (7 (F^)). Действительно, G = FJU (V (Роо)) = UV
(в отличие от случая алгебр Ли вербальная подгруппа
нормальной подгруппы всегда нормальна во всей группе).
Поэтому W (F) cz U (V (F)). Обратное также очевидно.
Аналогично, если дано некоторое непустое множество X,
то F (X, tZF) F (X)/U (7 (F (X))).
Наша ближайшая цель состоит в том, чтобы предста-
вить свободную группу некоторого ранга из произведе-
ния многообразий через свободные группы того же ранга
из многообразий-сомножителей.
8.4.7.	Сплетение групп. Мы начнем с конструкции, иг-
рающей важную роль в теории групп. Пусть А и В —
группы. Образуем декартово произведение Р = ТТ АЪ1
ь^в
Аь = А для всех & ЕВ, и зададим действие В на Р, по-
лагая /Ь1 (Ь) = / (&!&), / ЕЕ Р, Ъ, Ez В. Расщепляемое
расширение S группы В при помощи Р как В-группы на-
зывается декартовым сплетением групп А и В и обозна-
чается через S = A Wr В. Таким образом, любой элемент
из S имеет вид Ь/, bEBJ ЕР, причем= bbjbl ft.
Предложение. Пусть G — расширение группы .
А при помощи В,т.е. А <] G и G/А = В. Тогда существу-
ет мономорфизм р: G —> S = A Wr В такой, что р (4) с
с; р, и если р: G/A —» SIP, mo\L = 1В.
Доказательство. Пусть s\ В G — вложение
такое, что Ь8 — представитель смежного класса b Е В и
1. Определим р: G S, полагая р (g) = gfg, где
g = gA и fg (ft) = ((gty^gb8. Очевидно, что fg (b) E A
для всех g и b. Покажем, далее, что р — гомоморфизм.
В самом деле, у. (gxga) =	где fgig, (b) =
8.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА
397
~ ((ё&Ъ)*)"^^. С другой стороны,
И (gi) И (gz) =	= gigJgfgJ
поэтому достаточно сравнить «P-компоненты» обеих час-
тей равенства
(W (Ь)=/g (Ъ) и (b)=fgl ы fg2 (b) =
= ((gigJyT1 gi (g£f (HT1 g2y=
= ((gig2b)‘)-1gig2b’ = /gl&(b).
Далее, из p (g) = 1 следует, что g = 1, т. e. что g E 4.
Но тогда fg (1) == (gl)8 gl8 = g, откуда g = 1. Предло-
жение доказано.
Близкая конструкция, аналогичная рассмотренной
в разделе 4.4 для случая алгебр Ли,— это вербальное спле-
тение групп. Пусть V — многообразие групп, А — груп-
па из этого многообразия, В — произвольная группа.
Группа W = A wtf В называется вербальным сплетени-
ем (у-сплетением') групп Л и В, если выполняются сле-
дующие условия:
1.	W = gp (Л, В).
2.	Пусть Р — нормальная подгруппа в W, порожден-
ная группой А. Тогда Р Е F.
3.	Если ф: Л —» G, ф: В —> G — два гомоморфизма
групп Л и В в группу G такие, что:
a)	G = gp (<р (А), ф (В)),
б)	нормальная подгруппа Г, порожденная группой
ф (Л) в бг, принадлежит многообразию F,
то существует гомоморфизм %: W — > G такой, что х|д = ф
И х|в =
Точно так же, как и в случае алгебр Ли, существова-
ние сплетения доказывается с помощью свободного про-
изведения Ф = Л * В групп Л и В (определение перефор-
мулирует определение из 2.6). Пусть Q — нормальная
подгруппа группы Ф, порожденная группой Л, и V(Q) —
вербальная подгруппа группы Q, соответствующая много-
образию F. Тогда F (Q) — нормальная подгруппа груп-
пы Ф и Ф/VtQ) — расщепляемое расширение группы В
при помощи Q!V{Q) (ср. с 4.4.1). Теперь нетрудно непо-
средственно проверить определяющие свойства сплете-
ния для группы Ф^(0.
Одним из важных результатов теории многообразий
групп является следующий. z
8.4.8.	Теорема. Пусть G = F (X, 17F), Л ==
= F (У, 17), В = F (Z, F), где все множества X, Y, Z
398
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
имеют одну и ту же мощность, причем биекции между
ними — это х у z. Образуем U-сплетение W =
= A wrr В. Тогда отображение х yz продолжается до
мономорфизма группы G в W.
Доказательство. По построению W ЕЕ UV, и
поэтому отображение х yz продолжается до гомомор-
физма а группы G в W. Рассмотрим также S = V (G) Wr В.
По предыдущему предложению существует мономорфизм
р: G —» S такой, что р (F (G)) cz Р. Пусть р (х) = bxfx.
Тогда отображения у >-> fx и z Ьх продолжаются до го-
моморфизмов (р: А V (G) и ф: В В. Так как Р, как
декартово произведение групп, изоморфных группе V (6?),
является U-группой, по определению сплетения сущест-
вует гомоморфизм %: W —» S, продолжающий гомоморфиз-
мы ф и ф. Диаграмма
коммутативна. Это и доказывает, что а — мономорфизм.
Теорема доказана.
Заметим, что, согласно свойствам универсальности
сплетения В = A wr& В, оно является расщепляемым
расширением 17-свободной группы Р, свободно порож-
денной множеством {яь | х ЕЕ X, ЬёВ} при помощи
группы В, причем действие группы В в Р задается посред-
ством Ъ'11хьЬ1 = хь\ b,bl ЕЕ В. Для формулировки сле-
дующей теоремы напомним читателю, что если W =
— L wrr В есть V-сплетение свободной алгебры много;
образия V и нильпотентной алгебры В, то, по предложению
со
4.4.8,	имеем П Wn = {0}, так что можно говорить о по-
п=1
полпенни алгебры W относительно центрального ряда,
образованного этими идеалами. Замыкание К идеала К —
= idpr (L) в соответствующей топологии есть его пополне-
ние относительно центрального ряда, состоящего из идеа-
лов Кп = К П РИ*. Пусть Y — произвольное конечное
подмножество канонического порождающего подмноже-
ства для К (см. 4.4.2),^ R — порожденная им подалгебра.
Тогда центральный ряд идеалов 7?<m) = Кт Q R облада-
ет тем свойством, что для любого к = 0, 1, 2, . ... найдется
I такое, Что Rk Поэтому по теореме 8.4.3 подгруц-
8.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА 399
па А, порожденная множеством Y в К,— свободная в мно-
гообразии групп F°. В силу произвольности подмноже-
ства Y то же самое можно сказать и о подгруппе, порож-
денной всеми каноническими порождающими алгебры К.
8.4.9.	Теорема. Пусть L = L (X, V) есть V-
свободная алгебра Ли над Q, В — нильпотентная алгебра
Ли, W = L wtf В — их V-сплетение, W — его пополне-
ние по нижнему центральному ряду. Тогда подгруппа Т,
порожденная множеством X и В° в 1т °, изоморфна, группе
А ч/ТуВ0, где А является U-свободной группой, порожден-
ной множеством X, U = F°.
Доказательство. Для доказательства теоре-
мы достаточно показать, что элементы хь = b~rxb, хЕЕ X,
Ъ ЕЕ В, составляют свободное порождающее множество
той подгруппы, которую они порождают в пополнении
сплетения W. Из формулы Кемпбелла — Хаусдорфа 8.1.7
вытекает такое равенство (см. упражнение 8.7.1):
ОО	п
XV-1 = уху-1 = Y	(ж) = ead (ж),	(1)
п=0
т. е. внутренний автоморфизм группы L°совпадает с внут-
ренним автоморфизмом алгебры L. Согласно 4.4.1 KIK?
является свободным В- и, следовательно, U (В)-модулем.
Ясно тогда, что его пополнение К!К2 по ряду идеалов
X2 + Кп!К2, п = 1,2, ...,является свободным U (^-мо-
дулем, где U (В) — пополнение алгебры U (В) по ряду
из идеалов Us, 5=1,2, ... (см. 4.4.8). Чтобы доказать
линейную независимость элементов хь, х ЕЕ X, b ЕЕ В,
достаточно доказать, что элементы еь линейно независи-
мы при различных Ъе^В и фиксированном х. Это можно
сделать, используя индукцию по размерности алгебры В.
Пусть z — ненулевой элемент из центра алгебры В, и
предположим, что существуют ненулевые элементы
Х2, . . ЕЕ Л такие, что
+ . . . +Хтеь™ = 0.
Обозначим через Вг факторалгебру Bl Az. Так как канони-
ческое отображение U (В) —> U (BJ непрерывно,
4~	4“ . . . 4“ т == 0»	(2)
где Ъ, = bi + Az, i = 1, 2, . . ., m. По предположению
400	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
индукции тогда можно считать, что все Ьг в (2) совпада-
ют и некоторые из %,, i = 1, 2, . . ., т, отличны от нуля.
Запишем bi = и + p$z. Тогда, поскольку z централен,
(2) можно переписать в виде
еи + X2^z + . . .+	= 0
или
kme^mZ = 0.	(3)
Дифференцируя достаточное число раз по z, видим, что
такое равенство возможно лишь в том случае, когда не-
которые из совпадают.
Заметим теперь, что поскольку элементы вида хь зави-
сят от X только в первой степени, то их линейная комби-
нация попадает в К2 тогда и только тогда, когда она рав-
на нулю. Это показывает, ч!о для любых х2, . . .,
Е X и Ь1? Ь2, . . ., Ьп е В можно найти целое 1 и
элементы и2, . . ., ип в К такие, что х? — щ ЕЕ К8 и
Ui линейно независимы по модулю К2. В качестве
элементов щ следует взять достаточно длинные начала
рядов (1), построенных для каждого ofy, i — 1, . . ., и.
По теореме 4.2.11 элементы u1? и2, . . ., ип — свободные
порождающие той подалгебры, которую они порождают.
Пусть теперь v (^i1, х%, . . ., xfy = 0 — некоторой со-
отношение между х%, . . ., хь^. Тогда и v (u1? и2,. ..
. . ., ип) = 0. В самом деле, записав щ + щ,
видим (см. (1)), что щ выражаются через свободные по-
рождающие идеала К. отличные от тех, через которые
выражаются элементы щ. Поскольку равенство элемента
нулю в свободной алгебре многообразия над полем ха-
рактеристики нуль влечет равенство нулю его полиодно-
родных компонент/получаем v (u1? u2, . . ., ип) = 0. Поэ-
тому v = 0 — тождество в F. Итак, элементы ж6»,	...
. . . , хп — свободные порождающие в V-свободной под-
алгебре. Значит, порожденная ими подгруппа ^-сво-
бодна. Теорема доказана.
Основным следствием доказанной теоремы является
8.4.10.	Теорема. Пусть U и V — многообразия
групп лиевского типа. Тогда и многообразие UV есть мно-
гообразие групп лиевского типа.
Доказательство. По теореме 8.4.8 достаточно
показать, что сплетение Т = A wr^ В является группой
лиевского типа, где А и В — соответственно свободные
8.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА
401
группы многообразий U и F. Если V — нильпотентное
многообразие, то все следует из только что доказанной
теоремы и уже упомянутого факта, что In (TF°) cz Wn.
Редукция к нильпотентному случаю может быть проведена
следующим образом. Чтобы доказать, что Т — группа
лиевского типа, достаточно для каждого а =/= 1 из Т най-
ти нормальную подгруппу Qa такую, что T!Qa — ниль-
потентная группа без кручения и aQa 1. Если а Е^Р,
то аР ЕЕ 18 (В) для некоторого s > 1, так что искомой
подгруппой является PIS (В), Пусть, далее, а ЕЕ Р- Тог-
да а = w (я^, я^8, . . . , я^™), где я?* — свободный порож-
дающий группы Р. Выберем s таким, чтобы bi и bib]1 2
не были элементами подгруппы Is (В), 1	тп,
j ^=/, и обозначим через Вг факторгруппу ВИs (В). Рас-
смотрим также Тг = A wr^ Br. Тогда, обозначая Ь18 (В)
через 5, мы видим, что отображение b 5, хь я? про
должается до гомоморфизма группы Т на группу Ти при
котором а w (я^, я!8, . . ., я^) =/= 1, так как яЬ — раз-
личные свободные порождающие группы Рг. Это и есть
редукция к нильпотентному случаю. Теорема доказана.
В частности, мы можем утверждать, что если дана
свободная разрешимая группа G некоторой ступени
оо
Z, то П Tn(G) = {l}. Другая группа, представляющая
интерес, — это свободная полинильпотентная группа,
т. е. свободная группа R произведения многообразий вида
оо
• .ЛГСв.Согласно доказанной теореме П Тп(Я) = {1}.
71=»1
8.4.11.	Магнусовы группы. Группа G называется маг-
нусовой, если:
(1) П Тп (<?) = {!}>
п=1
(2) уп (6?)/?пр1 (G) — группа без кручения, п = 1,2,. . .
Дословный перевод на язык колец Ли дает понятие маг-
нусова кольца Ли. Многообразие групп (соответственно
колец Ли) называется магнусовым многообразием, если
все его свободные группы (соответственно свободные
кольца) являются магнусовыми.
Предложение. Пусть U, F — магнусовы поли-
однородные многообразия колец Ли. Тогда их произведе-
ние — также магнусово многообразие.
402	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
Доказательство. Рассуждая, как в 4.3.1 с
использованием 4.2.9, мы видим, что вербальный идеал
свободного кольца Ли, определяющий многообразие 17 F,
есть U (F(Z/oo)). Без ограничения общности будем считать,
что L = L (X) — свободная алгебра Ли конечного ранга.
Так как F определено полиоднородными тождествами, то
F (L) является однородным подкольцом кольца L (X)
таким, что LIV (L) не имеет кручения. По теореме 2.4.5
F (L)— свободное кольцо Ли. Значит, F (L)fU (V (£)) —
магнусово кольцо. Поэтому абелева группа L/IT (V (£))
есть расширение свободной абелевой группы L/V (L)
при помощи группы без кручения F (L)TU (V (L)),
т. е. также не имеет кручения. Поскольку UV определено
полиоднородными тождествами, кольцо Т = LIU (V (L))
°°	со
градуировано. Значит, П 2”1 = {0}	yn/yn+i
П»1	П=1
Поэтому каждая подгруппа Tw/7’n+1 не имеет кручения,
что и требовалось доказать.
8.4.12.	Лемма. Пусть U, F — два многообразия
групп лиевского типа, X (17), X (F) — соответствующие
им многообразия алгебр Ли над полем Q рациональных
чисел (см. 8.4.5). Тогда X (UV) = X (17) X (F).
Д о к а з а т е-ль с т в о. Любое многообразие алгебр
Ли над полем характеристики нуль порождается своими
нильпотентными алгебрами. Итак, пусть Р Е 7 (17F),
где Р нильпотентна. Тогда, согласно 8.4.5, Р° е 17F.
Поэтому Р° О QQ е U и Р°/(?° = (PIQ)° е F. Снова при-
меняя 8.4.5, видим, что Q е X (U) и P/Q е X (F), от-
куда Р G= X (U) X (F). Поскольку обратное включение
очевидно, лемма доказана.
8.4.13,	• ТеЬ р ема. Пусть U, F — два магнусова
многообразия групп. Тогда их произведение UV также
является магнусовым.
Доказательство. Обозначим через L (U) и
L (F) магнусовы многообразия колец Ли, определенные
многообразиями 17 и F. Поскольку, по определению, сво-
бодные алгебры этих многообразий градуированы и не
имеют кручения, они задаются полиоднородными тожде-
ствами. Согласно предложению из 8.4.12 произведение
L (U) L (F) — магнусово многообразие.
Пусть F = F (X) — свободное кольцо этого многооб-
разия и G = G (X) — свободная группа многообразия
17F, имеющая тот же ранг. Чтобы доказать нашу теоре-
му, достаточно установить, что L (G) = F при канониче-
4.4. МНОГООБРАЗИЯ ГРУПП ЛИЕВСКОГО ТИПА
403
ском отображении, индуцированном тождественным
отображением множествах. Сначала докажем, что L (G)^
(=Е L (17) L (F). Действительно, уп (G)/yn+i (G) Является
расширением группы yn+1 (G)(F (G) П Yn (G))/yn+i (6)
при помощи уп (G)/yn+1 (G) (F (G) Г) уп (G)) для каждого
п > 1. Поскольку
Tn (G)/?nM (G)(V (G) П Yn «?)) =
= Yn (О/Yn (G) П (Yn+i (G) V (G)) s
= Yn (G) V (G)/yn+1 (G)F(G) yn (G/F(G))/y^+1(G/F(G)),
то второй фактор изоморфен yn (G/V (G))/yn+1(G/V (G))\
первый изоморфен F (G) Q yn (G)/V (G) Q yn+i (G).
Поэтому L (G) — расширение алгебры L (G/V (G)) = L (F)
при помощи идеала T, построенного (см. 8.2.4), исходя из
F (G), с использованием ряда
F (G) ZD F (G) П Y2 (G) ZD F (G) П Уз (G) ZD . . - (4)
Но L (7 (G)) L (17). Тогда, используя то, что F (G)Q
П Yn (G) =2 Yn (G)) для любого п, мы видим, что каж-
дое полиоднородное тождество, верное в L (V (G)), вы-
полняется также и в кольце Г, построенном по ряду (4).
Поскольку L (U) определено своими полиоднородными
тождествами, получаем Т f=^L (17). Итак, L (G)
(== L (17) L (F). Мы можем утверждать, что тождествен-
ное отображение множества X продолжается до эпимор-
физма	(G). Покажем, что <р — изоморфизм.
Действительно, заметим, что Fq = Q ®z F — свобод-
ная алгебра многообразия X (U) X (F) (как абелева груп-
па F — это прямая сумма двух свободных абелевых групп,
являющихся аддитивными группами свободных колец в
L (17) и L (F)). По лемме X (U) X (V) = X (UV), так
что Fq — свободная алгебра многообразия X (FF>. Сле-
довательно, n-я однородная компонента алгебры^ равна
пополнению группы In (G)/Zn4i (G), п = 1, 2, . . . Поэ-
тому в силу предложения 8.4.2 ранг группы F^/F^^
равен рангу группы уп (G)/yn+1 (G). Так как, кроме того,
Fn/Fn+1 отображается при ф на уп (С)/уа+1 (G) и f] Fn = {l},
п=»1
на самом деле фл — изоморфизм. Теорема доказана.
Таким образом, свободные разрешимые группы произ-
вольного ранга — магнусовы группы. Таковы же и сво-
бодные полинильпотентные группы.
404
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
8.5. Многообразия и a-функция Размыслова
8.5.1.	Конструкция и соотношения одной матричной
пары. Пусть Р — коммутативная алгебра над полем С
комплексных чисел с 1, системой порождающих {аг, Ьг,
сг|г=1,2,...}и определяющими соотношениями вида
arbr = a,j£r = brcr = 0, а* = b2r = с2-	(1)
Из этих соотношений, разумеется, вытекает, что af = Ъ* =
= cl = 0. В матричной алгебре Р2 рассмотрим бесконеч-
ное множество X матриц из si (2, Р) вида
(a i
г
и 	•
-br + cri
~br + cri
-v
r = l,2,...
Пусть (7?, G) — пара, состоящая из соответственно ассо-
циативной алгебры и алгебры Ли, порожденных множест-
вом X относительно операций умножения и коммутирова-
ния. Пара (Я, G) принадлежит многообразию пар, опреде-
ленному тождествами пары (С2, si (2, С)); см. 5.6.1. Таким
образом, в (Я, G) выполняются следующие слабые поли-
линейные тождества:
(i)	[ж о у, z] = 0,
(ii)	[ж, у, z] = 2 (х о у) z — 2 (х о z) у\
(iii)	х (у о [z, и]) =
= (х о у) [z, й\ — (х о z) [у, и] + (х о и) [у. zL
Непосредственным следствием из (i) является
(iv)	lx, у] © z = х о [у, г].
Выведем также соотношения (в которых р Е (?)
(v)------------xrvxr =-----(хг о v) xr = vx*r,
[xr,xr,v] = -^vx*.
Действительно, любая матрица v ее G имеет вид v =
= Pi?i +	+ Рз®з» где
Используя (1), получаем
х^Хг = («А 4- Ьгб2 4- сте3) 4-	4- сге3) =
2 3 I 12	।	2	2
-г Ь^в2в^в2 -j-
$.5. МНОГООБРАЗИЯ И а-ФУНКЦИЯ РАЗМЫСЛОВА 405
Аналогично
2	2
Х^в3Х^ — СЬ^е3»
А так как х* = —За*/?, где Е — единичная матрица, то
первое из соотношений (v) проверено. Остальные два —
его простые следствия. Из соотношения (v) легко выво-
дится „
(vi)	[xr, zs] axr = xra [х8, xr], а ЕЕ R, г, 5= 1, 2, . . .
В самом деле, любой элемент из R есть линейная комбина-
ция элементов вида а =	. . . vk, где р1? . . ., vk ЕЕ G.
Проведем индукцию по к с очевидным основанием при
к = 0 (следует использовать (i)). При к = 1 используем
(v):
[хг, я8] vxT — xrv [#з, хг] = хг [ж8, V] Хг — XsXrVXr + xrvxrx8 =
==------ Хг (IX, V] — x8v + vx8) =0.
При к > 1 используем (i), индуктивное предположение
и очевидное равенство 2vtv2 = о р2 + 1р1» уг1:
2 X, zj w3 • • •	zs] (vt о v2) v3 . . . vkxr +
+ X, zj [i>i, v2] v3 • • • vkxt = 2xrpx . . . vk X, xrJ.
Назовем теперь 2-словом любое слово от X, имеющее
степень 2 по каждой из входящих в него переменных.
Полиоднородный многочлен от X называется 2-элементом,
если он является линейной комбинацией 2-слов. Нам по-
надобится также соотношение"
(vii)	Если ахгЬ есть 2-элемент, то [a, xr] Ъ = а [хг, Ь],
а, Ъ ЕЕ А, г— 1, 2,... Это соотношение эквивалентно равен-
ству [ab,xr] = 0. Для любого 5=1,2, . . .,$=/= г, либо аЪ
не содержит х8, либо имеет вид ab = csxsdsxses. Тогда
[йЬ, д?г] = X IX» sr] d8x8e8 +*c8x8d8 |Х, хг] e8).
8
Каждый член под знаком суммы равен нулю в силу (vi).
Таким образом, (vii) проверено.
8.5.2.	Определение и свойства a-функции Размыслова.
Можно вывести канонический вид элементов в алгебре
R. Заметим, что в силу определяющих соотношений (1)
алгебры Р степень ненулевого многочлена от X не превос-
ходит 2 по каждой переменной.
Пр едложение. Пусть а — полиоднородный мо-
мент из R степени 2 по жГ1, . . хГк и степени 1 по х8„ . . .
406
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
. . Тогда
X2	хг
а =	(2)
где л (а) — полилинейный многочлен, зависящий от xSl, . .
. . xSl, причем это представление в R единственно.
Доказательство. Возможность представле-
ния (2) достаточно доказать в случае, когда а — одночлен.
Применяя соотношения (i)**n (v) из п. 8.5.1, получим
х^а'хт = — xsXra'xr + (хг о ж8) а'хг —
X2
= — xsXra'xr + а' (хг о х3) хг — — х3хга'хг 4- 2а'х3 -4-.
о
Преобразование такого вида уменьшает расстояние меж-
ду Двумя вхождениями переменной хг; таким образом,
возможность представления (2) имеется. Заметим далее,
х2
что, с одной стороны,-—-... —з---это скалярная матри-
ца, на диагонали которой стоит элемент из Р вида
(—. . . а*к- С другой стороны л (а) — это матрица
с коэффициентами, не зависящими от переменных аГ1,
сГ1, . . ., Огк, ЪГк, сГк. В силу соотношений кольца Р
а = 0 влечет л (а) = 0. Предложение доказано.
Ограничение функции л на пространство 2-элементов
является отображением в С и обозначается через а. Та-
ким образом, каждый 2-элемент а единственным образом
представим в виде
2
Произвол в способе приведения 2-элемента к каноническо-
му виду показывает, что справедливы такие свойства функ-
ции а:
(*)	Если / — полилинейный многочлен, a g — мно-
гочлен такой, что fg есть 2-элемент, то a (fg) = а (/л (g)).
(**	) Если а — перестановка на множестве {1,2,...
. . ., I}, a v есть 2-элемент от хг, . . ., xh то
a (v (xlt . . xt)) = a (v (хо(1), . . xoW)).
8.5.3.	Билинейная функция, связанная с а-функцией.
Определим множества С и С в алгебре R как наименьшие
8.5. МНОГООБРАЗИЯ И а-ФУНКЦИЯ РАЗМЫСЛОВА
407
подмножества такие, что
(а)	X с С, С;
(б)	если vx, v2 Е С, то -у-[pi, v2] ЕС, С;
А
(в)	если е с, V2, V3 е С, то -у Р1(р2 О V3) ЕЕ С.
Обозначим через 5, 8 аддитивные подгруппы в Я, по-
рожденные в R множествами Си С соответственно.
Лемма. Абелева группа S порождается элементами
вида
1 * 1
хп “2“ (ЖП ° XS1) • • • "у* (xrjc °	(3)
[*п> жт]“J" (xi\ ° xSi) • • • у °	(^)
Для любого полиоднородного w ЕЕ 8 имеем п (w) ЕЕ 8.
Доказательство. Проведем рассуждение, ана-
логичное использованному в 5.6.1. Обозначим через М
подгруппу, порожденную элементами (3) и (4). Пусть w Е=
ЕЕ С. Применяя индукцию по степени относительно X,
видим, что w = -y [vx, р2], v2 ЕЕ М. Так как xro xs ле-
жит в центре алгебры Д, то достаточно проверить, что эле-
менты вида.
“2“	J » “2“ [“2"	^«1» "у Р?/» #u] J
лежат в М. При проверке следует использовать слабое тож-
дество (ii) из п. 8.5.1. Перейдем теперь к M=spXy (v2ov3) €=
Ее£, Pi, v2, v3 е М. По той же причине, что и прежде,
достаточно рассмотреть случай, когда рх, р2, v3 — комму-
таторы степени 1 или 2 из С. При этом нужно использо-
вать соотношения (ii), (iii), (iv) из п. 8.5.1, а в случае,
когда v2 и v3 имеют степень 2, применить такое следствие
соотношений (iv) и (ii):
Х$\ °	» хи^ == ХТ ° 1*^8> xti Жи1 ==
== 2 (хг о Хи) (Д/4 о Xi) 2 (жг о Xf) (xs о хи)»
Для доказательства второй части достаточно рассмотреть
случай, когда элемент о? имеет вид (3) или (4). Индукция
по числу круглых скобок в записи элемента w. При к = 0
л (ip) == w. При к 0 все ясно в случае, когда w полили-
408
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
неен, так как тогда л (w) = w. Если же хг встречается в
w два раза, то возможны три случая:
1.	п = т = г. Тогда w = л (w) = 0.
2.	w = vf — (хг о хг). Тогда л (w) = л I 3w'I =
= Зл (w') Е 5 по индукции.
3.	w = w’ (яг)у (яг о #8), г =/=s. Применяя соотношение
(v) и используя центральность элемента хг о xs, получаем
„2
А	ХТ
w — w (xs) и л (w) = л (и/ (a;s)) 6Е 5 по индукции.
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь свободное кольцо Ли L = L (ух,
у2» • • •)• Пусть L% — пространство полилинейных много-
членов из L полистепени %. Определим как свободную
абелеву группу со свободными порождающими вида
Ут (УтгУз,) • • • (ynyS(), где supp X = {ym, yrt, ySl, . . .
• • > У TV Ув(}> когда |Х | нечетно, или вида [ymi/nl (Уг.Уз,) • • •
• • • {yrtyst), где suppX = {yTO,i/n,7/ri, ySi, .. yrt, yst}, ког-
да | К | четно. В записи свободных порождающих мы упо-
требили формальные символы, не означающие операций
умножения или коммутирования.
Пусть <р: уг >->• xr, г = 1, 2, . . . Это отображение про-
должается до гомоморфизма <р кольца L на лиево кольцо
S (относительно операции у [х, у]), а также до гомомор-
физма абелевой группы М% в S, если положить
Ф (Ут (УгУъ) . • • {УпУп)) =	(«г, ° Хч) . . . (жп О Х^),
Ф ([УтУп] (2/r,2/s.) • . .	=
11 1
== ”2~ ^n-l ° ^si) • • • ~2~~ (хп ° *£$/) •
Заметим, что ф — сюръективное отображение в силу лем-
мы. Введем билинейное . отображение < , >: L% X Мъ,
->С, полагая
<Аг>=-|-а(ф(/)ф(£))-
Предложение. При | А, | > 1 введенное отобра-
жение принимает только целые значения.
Доказательство. Индукция по | X |. При
| % | = 2 имеем / = [yr, ys], g = [yryj. Производим вы-
8.5. МНОГООБРАЗИЯ И а-ФУНКЦИЯ РАЗМЫСЛОВА 409
числения с использованием соотношений (v), (ii) и (vii)
из п. 8.5.1:
1	/ 1 г 1 1 г 1\	1/1 г	,\
6 а \ 2	2 J — а	Xr* / —
= 24 ®	(#s ° *^r) 2хг (х& о 3JS) Xj.'j =
= -^a(2-~^-x2x2s — ix2x^ = — 1.
Пусть | % | > 2. По аддитивности достаточно рассмотреть
случай, когда / — правонормированный коммутатор, а
g — некоторый порождающий в Мк- Тогда / = [yr, fr]
для некоторого уг такого, что % (уг) = 1. Применяя свой-
ства функции а и соотношение (vii) из п. 8.5.1, получим
-J- а (Ч> (/) Ф (?)) =-g- а (ф (fi) [®Г. Ф (£)]) —
= - 4-а (ф №п (-г ф <*н)) •
В силу предыдущей леммы л (у[жг, Ф (g)]j е S. Поскольку
отображение ф сюръективно, видим, что* для некоторого
gi е Мк> выполняется </, g> = </n gi>, где /х, gr зависят
от меньшего числа переменных. По индукции число </1? gx>
целое. Предложение доказано.
Заметим, что фактически доказано более сильное ут-
верждение:
Следствие. Если f ЕЕ S линеен по переменишь
хГ1. . . ., хГ1( и квадратичен по некоторым другим пере-
менным, a g ЕЕ 8 линеен по xrv . . ., хГк и не зависит от
других переменных, то a (/g) — целое число.
8.5.4. Многообразие, связанное с a-функцией. Фикси-
руем далее простое число р и свободную алгебру Ли X
над Zp. Имеем X ЫрЬ. Если Д — /2 = р/з» то Для
любого g Е Ж имеем </n g> — </2, g> = р </3, g>. По-
этому корректно определение вычета </, g> из Zp, где
/ — уже элемент из Хк- Обозначим через Ann Мк мно-
жество многочленов / из Хк таких, что </, g> = 0 для
любого g е= Мк-
Лемма. Пусть | % | ^> 1, / — полилинейный много-
член из Хк и f (X) — вербальный идеал алгебры X. отве-
чающий тождеству f = 0. Если / ЕЕ Ann Мк, то для
любого р такого, что Х^ полилинейно, имеем
f (X) П Ann
410
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
Доказательство. Достаточно рассмотреть
случаи: (1) | р | = | % |; (2) | р | = | к | -j- 1. В случае
(1) можно воспользоваться свойством (**) функции а
(см. п. 8.5.2). В случае (2) многочлен /' такой, что /' =
= 0 — следствие из f == О, достаточно взять в циде f =
= [/, у1+11 или f ([уи у1+1], у2, . . ., уг). Первая из этих
возможностей сводится ко второй путем дифференцирова-
ния (ср. с 4.2.7). В оставшемся случае имеем
</ ([за» Ум], Уч,-- • > yi}’ ё (Уъ Уч,  • • , УмУ> =
= -д- (а ^(/) (4"	Ж2) • • • ’	ж2’- • •»хм))=
—4"а (4~ г®1* ®/+1Ь х^---’хм))=
= <(f, «рл (ф (?)) (4" [*'+!> Ж1]» ®2’ • • • ’ Хм)У = 0.
Здесь мы последовательно использовали соотношение (vi)
из п. 8.5.1, свойство (*) функции а и сюръективность
отображения <р. Лемма доказана.
Определим теперь многообразие J8P над полем Zp,
полагая JRP (L) р| = Ann М% для любого 1 такого,
что | % | ?> 1 и	— полилинейно. Это определение
корректно в силу доказанной леммы и вполне задает мно-
гообразие _Вр.
Теорема. Многообразие алгебр Ли Ир неразреши-
мое.
Доказательство. Пусть 6П . ., х2п) —
левая часть тождества разрешимости ступени п. Индук-
цией по п покажем, что 8п Rp (X)- При п = 1 в силу
предложения из п. 8.5.3 имеем
<[У1’ 3/2], ы>=4“а (4~ I®1» ®2i 4" I®1» ®20=~1-
При п^> 1, применяя соотношения (v) и* (ii) из п. 8.5.1,
получим
1 Г 1 г -1 1 Г ,1	1 / ч
"2"	“2“	J • “2“ (*, ° %t) —
2	^2
= ~g 2~ |	”2" 1^8’ •^и]^==	^'s]°^'v)^'sz==
Ж2 1	Ж2 xf 1
= —g— • —(х8 о [#г, #u]) *^s :t= з 2~ Е‘^г’	(*0
Пусть supp 1 = {хг, х^ . . ., #2п_2, хт}. Представим Sn
8.5. МНОГООБРАЗИЯ И ОгФУНКЦИЯ РАЗМЫСЛОВА
411
в виде
6п = 6П_2 ([(gl, у2], [у3, у4]], . . lly2n_s, У2п_2], [y2n_x, J/2n]]).
По индукции существует gx Ez Л/х такой, что </х, gx> =# О,
где /х = 6п_2 ([ух, yj, . . [у2п_з, у2п]), Положим g =
=gi (УгУз)-  • (У2"_ЛП-?- Применяя (5), получим}
<8n. g> =-§"а(я ^Хг ° Хз) • • • 4’^2п-2°Х2п-1)Х^10==
= </ь gi>¥=0.
Теорема доказана.
8.5.5. Некоторые тождества многообразия JR2. Опре-
делим теперь класс тождеств многообразия -Еа,
тесно связанных с тождеством энгелевости. Обозначим
через Дт> i (z15 . . ., zi) многочлен вида
2 di. .. dm,	(6)
а>’-’а7И
где каждое непустое слово dt имеет вид zitzie . . zit
Gi < *2	причем слово ах. . . am полилинейно
степени Z. Основное свойство многочлена AmU следующее:
Дщ, I (Z11 • • •> zb zi+l? • • •> zl)
(zl> • • •» Zi+V> zii • • •> zl) =
“	(Z1> • • •> ^zb • • •» zl)* (7)
Действительно, если разбить (6) на две части: /х — сум-
ма слагаемых, в которых zi? zi+1 входят в разные слова
«!,•••> ат> и / 2 — сумма остальных слагаемых, то
симметрично по zf, zi+1; слагаемые из /х в левой части
равенства (7) сократятся. Далее, если слово d8 зависит
от z^, zi+1, a ds получается из него перестановкой этих
элементов, то оставшиеся после сокращения членов из /х
‘слагаемые левой части разбиваются на пары вида
di . . . Z^ . . . Z|Zj4-i . . . Z^ . . . dm
dl . • •	. . . Zj+iZj . . . Z^ . . . dm —
as
= d± . . . Zjt . . . [Z|, Z$+1] . . . Z^ . . . dm,
as
412	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
где as — упорядоченное слово от новых переменных
zx, . . ., [zb . ., Zp причем мы считаем, что
Zj < . . • < Zj-i <с [zf, Z$+x] < Zf+2 <z . . • <Z Zp
Второе свойство многочлена такое:
I ^3> • • •> zl) ~
= ^m,l-i (^2> z3» • • •> zl) 4"	(t, t, Z3, . . ., Zj), (8)
где hm (z1? . . ., zt) — целочисленный полилинейный мно-
гочлен, t — некоторый элемент свободного порождающего
множества. Доказательство аналогично предыдущему.
Положим теперь
4m,i (Ух, Уъ • • •» Ум) = Amu (adyi, • • ady,) (у1+1).
Лемма. Для любых т^> 2, Z > т, qm (у±, у2, . . .
. . ., уг+1) = 0 — тождество многообразия J?2-
Доказательство. Индукция по I. При I = т
нужно проверить выполнимость тождества qm,m (Ун Уъ, • • .
. . ., ут+1) = 0, т > 2. Непосредственно из (6) видно,
что всякое такое тождество — следствие тождества
<7з,з (У1> Уъ У&> Уь) — 0 (все эти тождества суть линеари-
зации тождества энгелевости тех же степеней). Запись
тождества у3>3 = О в виде
[[•^1?	(«£3, •^4!] 4“	*^3^»	^4]] 4““ #зК	=== О
показывает, что над полем характеристики 2 оно симме-
трично по всем четырем переменным. Таким образом, для
доказательства выполнимости этого тождества в Т?2
достаточно установить, что число <у3>3, [yiyj (УаУз)^ яв-
ляется четным. Применяя соотношения из 8.5.1, получим
<0з,з, [01?м] (3/зУз)>= 4- “ (2 4 {[Х1’ Ж2’ ®2’	+
11 \
“Г" fl'll *^2,	4- [*^2» fl'Si fl'll • 2	)-
= 4~ a (2 [«1, ж4]2 + 4~ (2 (x2 ° Xi) [x2, ж4] —
— 2 (x2 о [x2, «4]) Xt) [Xi, ®4]) =
= 4~ a (2 [жъ ж4]2 + 4~ [«!, Ж4]2) = —10.
Для проведения шага индукции по I воспользуемся
соотношением (7). Из этого соотношения видно, что для
любой перестановки о на множестве {1, 2,..., 1} тождество
0mu (У1,   •, Уь Ум) — Ят,1 (0а(1), • • ; УоЦ), Ум) == 0
8.5. МНОГООБРАЗИЯ И а-ФУНКЦИЯ РАЗМЫСЛОВА
413
является следствием тождеств qmtk (у1? у2, . . ., ук) ~ О,
к I. По свойству (**) функции а левая часть этого
тождества лежит в Ann где supp X = {ух, . . ., Уг+^}.
Поскольку в данном случае I 2, проведенное рассужде-
ние показывает, что достаточно установить четность числа
<9m,i (У1, Уг, • • •» Уш), gi (У1°Уа)>,
где gr не зависит от уг, у2. Применяя соотношение (v) из
8.5.1 и равенство (8), мы получаем
<9m, z, gi (.У1 ° Уг)> =
= 4" а (^т, I (4" ^1. 4"	’ * • • ’ 4" Жг’ Ж'+1)	=*
=4"а (Дт (4" (ad • • • > 4" <ad +
1//1 1 1\ \
+ 2- -g-а (йЦ-у-ad хьad Xi,. .., -у adxj(a:z+1) <p (gi)J .
В силу целочисленности значения -у а (<р (и) ср (и)) (см.
следствие 8.5.3) второе слагаемое четно. Каждый право-
нормированный коммутатор в первом слагаемом имеет вид
у]=У x*v (см’ (v)из 8-5.1). Поэтому для не-
которого полилинейного многочлена d имеем
<Ятл (У1, - • м У1+1), gl (01°у2)> = 2<d, &>.
По предложению 8.5.3 <d,	— целое число. Тем самым
лемма доказана.
Теперь мы в состоянии перейти к основной теореме
настоящего раздела. Для пояснения ее формулировки
отметим, что, согласно классическому результату И. Н. Са-
нова [105] (читатель сможет восстановить ее доказатель-
ство, пользуясь указаниями в упражнениях 8.7.6—8.7.10),
любая конечно порожденная группа экспоненты 4, т. е.
с тождеством ж4 = 1, является нильпотентной.
8.5.6.	Теорема. Существует неразрешимая группа
с тождеством х* = 1.
Доказательство. Рассмотрим свободную ал-
гебру L — L (У, -В2) наД полем Z2 со свободным порож-
дающим множеством У = {^, у2, . . Поскольку Н2
задано полилинейными тождествами, L = Lr ф L2 ф . . .
. . . ф Ln ф . . ., где Ln — однородная компонента сте-
пени п относительно У. Рассмотрим ассоциативную подал-
гебру F присоединенной алгебры Ad L, порожденную эле-
414	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
ментами zt = ad i = 1, 2, . . . Имеем F = Ft ф
ф F2® • . .ф Fn ф . . где Fn — однородная компонен-
та степени п относительно {zn z2, . . Рассмотрим в ал-
гебре F идеал 7, порожденный элементами i =
= 1, 2, . . ., a Ez F. Пересечение этого идеала с простран-
ством полилинейных (относительно Zf) элементов алгебры
F равно нулю. * Рассмотрим факторалгебру F = F/I и
присоединим к ней внешним образом 1. Элементы gt =
= 1 i = 1, 2,	., лежат в группе F* обратимых
элементов алгебры F. Пусть Л — порожденная этими
элементами группа. Если с (gt, g2, . . ., gk) — некоторый
групповой полилинейный коммутатор от g14 . . .,
с (zj, z2, . . ., zv) — соответствующий коммутатор в смыс-
ле алгебр Ли от z2, . . ., zk, то верно равенство
с (gl, . . gk) = 1 + С (zn . . zt).
Поэтому из разрешимости группы ступени I мы имели
бы 6Z (zx, . . z2j) = 0, т. е. что ad 6Z (ух, . . y2l) = О,
в частности (бг (ух, . . у^), g2z+1l = 0 (мы помним,что в
I нет полилинейных элементов). В этом случае алгебра L
была бы разрешимой, что не так по теореме 8.5.4. Таким
образом, Я — неразрешимая группа. Покажем теперь,
что в Я выполняется тождество ж4 = 1. Вычислим
g4 — 1 для произвольного g е Я. В силу равенства
g4 — 1 = (g — I)4 над полем Z2 и так как (1 4- гг)-1 =
= 1 -j- zt, получим
g4 — 1 = ((1 4-гг,)...(1 4- ггг) - I)4
для некоторых . . ., if. Используя соотношения
Ziazt = 0, мы видим, что правая часть является суммой
произведений ага2а3а^ где = zif^ . . .	(^<. . . < sr),
i = 1, 2, 3, 4, причем a1a2a3a4 полилинейно. Фиксируя
полистепень таких произведений, мы получим элементы
Д4 (zip, . . ., Zip ), которые равны нулю в F согласно
лемме 8.5.5. Таким образом, g4 = 1, и группа Л имеет
экспоненту 4. Теорема полностью доказана.
8.5.7.	Применение к проблеме энгелевости. Одним из
важнейших следствий проведенных построений является
следующий контрпример Ю. П. Размыслова. Обозначим
чере р многообразие алгебр Ли с тождеством (ad я)р”2 =
= 0 над полем характеристики р 0. Как уже отмеча-
лось, согласно теореме А. И. Кострикина [56], многообра-
зие -Вр-2, р локально нильпотентно.
8.6. РЕШЕТКИ МНОГООБРАЗИЙ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 415
Теорема. При р 5 многообразие -Ер_2, р не
является нильпотентным.
Мы ограничимся здесь лишь случаем р = 5 и полем
Z5. В этом случае достаточно доказать, что указанное
тождество энгелевости выполняется в JB5, поскольку это
многообразие по теореме 8.5.4 неразрешимо. Повторяя
рассуждения начала доказательства леммы 8.5.5, заметим,
что в случае поля Z5 тождество ?3,3 (у1? у2, у3, у J = О
симметрично уже только по переменным уг. у2, у3. По-
этому для проверки его выполнимости в дополнение
к уже произведенной в лемме проверке нужно еще дока-
зать, что <д3,'3, [i/x У^УзУ^У делится на 5. Производя
выкладки с учетом соотношений из 8.5.1, получаем
1 VI
<<7з,з, [У1У2] (»)>=	{[*1, *4, *2, Я4] Ь [ж2, я4, хъ х4] +
+ [х4, ХЪ Х2, Х4] + [я4, *2, *1, #4]} • у [Ж1, ?2]) =
= -g- а Ц — 2[жх, х2]—2[х2, ®i]+-g-[[x4, «1], [ж2, ж4]] +
+-£ [[*«’	[Ж1’	х2] Д 0.
Таким образом, в обоих случаях получилось число,
делящееся на 5. Это показывает, что J®5 — подмногообра-
зие в Ер-2, п- Поэтому Ер-2, р — неразрешимое многообразие.
8.6.	Решетки многообразий нильпотентных групп
8.6.1.	Решетки. В разделах 4.7 и 4.8 мы уже касались
некоторых вопросов, связанных с решетками. Элементы
теории решеток (в другой терминологии — структур),
достаточные для наЩих целей, читатель может найти
в книгах [107, 108, 20]. Для удобства читателя напомним,
что решетка — это множество с двумя ассоциативными
коммутативными операциями Д, V (пересечение, объе-
динение) , удовлетворяющими тождествам
х/\х = X = х\/ X и (х [\у}\/ у = у = (x\J у) /\у.
Решетка превращается в частично упорядоченное мно-
жество, если положить х < у в том случае, когда х Д у —
= х (эквивалентно, когда х \/ у = у). Обратно,- частично
упорядоченное множество, в котором каждое двухэле-
ментное подмножество имеет точную верхнюю и точную
нижнюю грани, превращается в решетку, если положить
х \/ у = sup {х, у}, х /\у = inf {ж, у}.
416
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
Решетка называется дистрибутивной, если в ней выпол-
няется любое из тождеств
(« \/y)/\Z =(x/\z) V (У А«),	ж
А у) V 2 = (х V г) Д (у V Z).	u
К числу дистрибутивных решеток относится решетка
подмножеств произвольного множества, относительно
обычных операции объединения и пересечения. Решетка
X называется модулярной (дедекиндовой), если для любых
х, у, z тытх, что х z, имеем (х V у) Д z = х \/ (у Д
Д z). К числу модулярных решеток относятся решетки
ж	подмодулей в модулях, решетки
идеалов в кольцах, решетки нор-
КАЛ	мальных подгрупп в группах
Jxxxxl	относительно операций пересе-
,	/д1/\	чения и взятия наименьшего
у\у\хпС	подмодуля (подгруппы, идеала)^
содержащего два данных. Чи-
\	Хххх хх х татель легко проверит, что три
элемента а, Ь, с модулярной
\Х\/	решетки порождает дистрибу-
1Х/ДХ1	тивную подрешетку в том и
LAyAJ	только том случае, когда одно
\J/	из соотношений (1) выполняется
для х = а, у — Ъ, z — с (см.
также [20, § II.7]). Поскольку класс модулярных реше-
ток может бытьгвыделен в классе всех решеток тождест-
вом (замените в (1). элемент z на х V z), то существуют
свободные модулярные решетки. Приведем (см. [20,
§111.61) диаграмму свободной модулярной решетки с
тремя свободными порождающими (нам удобно обозначить
эти порождающие буквами U, V, N) — см. рисунок.
Если U2EE. X и Ur С72, то говорят, что ((71?
С72) — интервал решетки Ж. Интервал (U^ U2) перспек-
тивен интервалу (71? У2), если Ur = U2 A V19 U2 V
V Vi = V2. Наименьшее отношение эквивалентности на
множестве интервалов, относительно которого эквива-
лентны все перспективные интервалы, называется отно-
шением проективности.
8.6.2.	Вербальные подгруппы и решетки. Пусть с —
положительное число, F — свободная нильпотентная
группа ступени и ранга с со свободным порождающим
множеством X. Каждое нильпотентное многообразие
групп ступени не выше с задается внутри многообразия
8.6. РЕШЕТКИ МНОГООБРАЗИЙ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 417
2У0 множеством тождеств, зависящих от числа перемен-
ных, не превосходящего с (ср. с 5.1.2). Таким образом,
существует антиизоморфизм между решеткой вер-
бальных подгрупп в F и решеткой X (Ус) всех подмно-
гообразий в №с. Нас будет интересовать совокупность
с£о (AQ нильпотентных многообразий V ступени с,
в которых свободные группы произвольного ранга не
имеют кручения. Легко понять (с помощью теоремы Бирк-
гофа), что это свойство эквивалентно тому, что V порож-
дается своими группами без кручения. Отсюда понятно,
что если U, V ЕЕ <5% т0 и ^.Д S 5>о С^с)- За-
метим, что если V — вербальная подгруппа в F, опреде-
ляющая многообразие У ЕЕ <5% (^Ус)» т0 FIV — группа
без кручения, т. е. If (У) = V. Это позволяет определить
U V как многообразие, вербальная подгруппа которого
равна Ip (UV). Решетка таких.вербальных подгрупп группы
F с операциями С7Д7 = С7р|Уи U\/ V = Ip(UV) обозна-
чается Ж®. Именно эта решетка и будет объектом нашего
изучения. Легко проверяется равенство If (UV) П W =
= Ip (U (V П' Ю)> гДе U. V, W — изолированные под-
группы такие, что U CZ W. Значит, Ж® — модулярная
решетка. Далее, согласно 8.2.6, группы Fly* (F) не имеют
кручения, т. е. (F) ЕЕ Положим ус (F).
8,6.3.	Пред л о ж е ни е.- Пусть U, V е Ж?.
Тогда подрешетка 3) в порожденная тремя элемен-
тами U, V, N, является дистрибутивной.
Доказательство. Допустим противное. Со-
гласно отмеченному в 8.6.1 тогда не выполняется ни одно
из равенств (1) при х = С7, у — У, z — N. Таким образом,
= (U Д N) V A N) — собственная подгруппа
в U2 = (U V V) /\ N, a Уг = (U Д 7) V W “ собст-
венная подгруппа в У2 = (U V ^0 A (V V ^)- Пред-
ставим решетку 3) как гомоморфный образ свободной мо-
дулярной решетки, изображенной на стр. 416, порожденной
элементами С7, У, N, при гомоморфизме, тождественно
отображающем порождающие элементы. Тогда прообразы
интервалов (С7П С72), (Уп V%) изображены двойными реб-
рами на границе диаграммы справа. Видно, что они
проективны одному и тому же интервалу, включающему
двойное ребро в середине диаграммы. Поэтому и
(С71, С72), (У1? У2) — проективные интервалы в исходной ре-
шетке 3). Покажем, что в этом случае в UJUr есть под-
группа конечного индекса U2lUu изоморфная подгруппе
14 ю. А. Бахтурин
418	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
V'dVi конечного индекса в У1/Р2- Действительно, доста-
точно рассмотреть случай, когда интервалы перспектив-
ны. Тогда V2 = IfC&zVi) и = иг Q V2. Отображение
uU1^uV1 является вложением. В силу вербальности
всех рассматриваемых подгрупп оно даже перестановоч-
но со всеми эндоморфизмами группы F, т. е. является
End F-мономорфизмом. Далее, V2 — конечно порожден-
ная нильпотентная группа, a If (C72Vi) =	Таким
образом F2/t727! — конечно порожденная периодиче-
ская нильпотентная группа. Согласно 8.3.1 F2/C72Fi — ко-
нечная группа. Можно положить t/2,
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что 1УХ 2V, а
Только что доказанное утверждение показывает, что
имеется End F-изоморфизм некоторого фактора группы
F/N и группы N. В частности, 72/^i — абелева группа
без кручения. Рассмотрев вместо V2/Vi факторы вида
ViVk-1 (Л/^гП ViVk (F), к = 1, 2, . . ., мы найдем,
что при подходящем к (максимальном, для которого не-
единичен указанный фактор) найдется (End FJ-изоморфизм
(р некоторого неединичного фактора без кручения группы
(F)/yk (F), 1 <1 к с, и некоторого фактора без
кручения группы ус (F). Рассмотрим теперь эндоморфизм
а группы F, переводящий каждый элемент множества X
в его квадрат. Если w принадлежит любому фактору
группы (F)/yfc (F), то по формулам Ф. Холла (см.
8.2.1) имеем a (w) — ю2*"1* Поскольку (р (а (ш)) =
= а (<р (ш)), получаем (<р (ip))2*”1 = (ср (w))2C. Поскольку
к с, а рассматриваемые группы — абелевы без кру-
чения, 2fc"1 = 2е. Противоречие. Предложение доказано.
Введем в рассмотрение подрешетку в состоя-
щую из вербальных подгрупп V группы F таких, что
Ук (F)=>7=0TfeH (F).
Следствие. Решетка является подпрямым
произведением решеток li, . . ., 1с.
Доказательство. Используя индукцию по с
с очевидным основанием, видим^ что достаточно показать,
что — подпрямое * произведение решеток Л"с-1 и
1С. Заметим, что] в] дистрибутивной решетке для любых
я, у, z из x\/z — y\/zHx/\z = y/\z легко вытекает
х = у. Определим <р: Ж® —>	х 10, полагая <р (J7) =
8.6. РЕШЕТКИ МНОГООБРАЗИЙ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУПП 419
= (U V N, U Д N). Читателю оставляется проверка
того, что при отображении (р сохраняются операции, т. е.
что <р — гомоморфизм решеток. Далее, отмеченное выше
свойство показывает, что ф инъективно. Наконец, очевид-
но, что композиция отображения ф и проекций на ^c-i и
1С сюръективны. Следствие доказано.
8.6.4.	Описание решетки Обозначим через Dn (к)
множество диаграмм Юнга порядка п, содержащих не
более к строк. Рассмотрим группу G = GL (QA) невы-
рожденных линейных операторов Л-мерного линейного
пространства над полем Q рациональных чисел. Пусть
Ln (Ст) означает п-ю однородную компоненту свободной
алгебры Ли, порожденной множеством Q/l в тензорной
алгебре Т (Q4) относительно операции коммутирования
(см. 3.4.1). Для любого d ЕЕ Dn (к) обозначим через
m (d) кратность простого ^-модуля Од, каноническим
образом ассоциированного с d в разложении полупростого
G-модуля Ln (Q*) (см. 3.3.10). Если I — натуральное
число, то пусть S (I) — решетка, изоморфная решетке под-
пространств в Z-мерном линейном пространстве Q1 над но-
лем Q. Наконец, обозначим через <2Jn, п = 1, 2, . . ., с,
прямое произведение решеток S (m (d)), d е Dn (с). Те-
перь мы в состоянии доказать основной результат настоя-
щего раздела (заметим, что числа т (d) вычисляются по
формулам предложения п. 3.4.7).
Теорема. Для любого с 1 решетка Ж® всех ниль-
потентных многообразий групп ступени, не превосходящей
с, свободные группы которых не имеют кручения, изоморфна
подпрямому произведению решеток с£2, . . ., Жс.
Доказательство. Рассмотрим мальцевское
пополнение F* группы F (см. 8.3.7). Согласно 8.3.9 F* ка-
ноническим образом превращается в свободную нильпо-
тентную алгебру Ли над полем Q рациональных чисел
того же ранга, что и F, т. е. ранга с. При этом вербаль-
ные подгруппы группы F* — это в точности вербальные
идеалы алгебры Ли F*. Вербальные подгруппы, содержа-
щиеся между yn (F*) и yn+i (F*) — это вербальные идеа-
лы, содержащиеся между (F*)n и (F*)”41. В силу полиод-
нородности (см. 4.2) каждый такой идеал V имеет вид V =
= Vn ф (F*)n+1, где Vn — подпространство многочленов
степени п из V. Подпространство V такого вида является
вербальным идеалом тогда и только тогда, когда Vn устой-
чиво относительно эндоморфизмов алгебры F*, индуци-
14*
420	ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
руемых линейными операторами пространства QX, где
X — свободное порождающее множество для F (и для ал-
гебры Ли F*). Так как группа G = GL (QX) неприводи-
ма в QX, достаточно ограничиться невырожденными ли-
нейными операторами. Таким образом, мы получили биек-
цию решетки вербальных идеалов, заключенных между
(F*)n и (F*)n+1 и рейгетки G-подмодулей в Ln (Qc). Наконец,
если Н — вербальная подгруппа группы F, заклкь
ченная между уп (F) и yn+1 (Я), и такая, что F/Н не
имеет кручения, то Я* = /р* (Я) есть подгруппа в F*t
заключенная между уп (Я*) и yn+i (Я*). Заметим, что
если Н* = Я* для таких подгрупп, то и Нг = Я2.
Это очевидно из того, что Я* = ОЯ. Обратно, пусть
Т — вербальная подгруппа группы Я* из промежутка
Уп (F*) ZD Тп+1 (Я*). Тогда подгруппа Я = Т Q F являет-
ся изолированной в F. Если теперь ф End Я, то он
однозначно продолжается доч ф* е= End F* такого, что
ф* |Р = ф. Поскольку ф* (Г.) с ? и ф* (Я) cz ф (F) cz Я, то
Ф (Я) = ф* (Т П F) cz Т П F = Я, т. е. Я — вербаль-
ная . подгруппа. Значит, Я Я* Я* есть изоморфизм
решетки 1п и решетки G-подмодулей в Ln (Qc). 1 п с.
-Согласно 3.3.8 Ln (Qc) ci Тп (Qc) разлагается в пря-
мую сумму простых G-подмодулей вида Qj, отвечающих
диаграммам Юнга d ЕЕ Dn (е) с кратностями m (d). Из
3.3.9 видно, что EndQGQS = Q. Пусть Md — сумма
всех G-подмодулей,изоморфных модулюQ2 при фиксирован-
ном d. Модуль Md полупрост над кольцом R (линейная
оболочка образа группы G в End Q^), причем I ==
= Ir (Md) = тп (d). Имеем Я Qs, s = dimQ Qd. Коль-
цо Я фробениусово, Md — регулярный Я-модуль. Пусть
С = Endtf (Md). Применим двойное централизаторное
свойство 3.3.4, а затем 3.3.6, поменяв С и Я местами.
Тогда увидим, что решетка Я-подмодулей в Md изоморфна
решетке левых идеалов в С Ог. Однако Qz Endo Q*»
и упомянутая решетка левых идеалов изоморфна решетке
подпространств в| Qz. Таким образом, для фиксирован-
ного d решетка подмодулей в Md- изоморфна решетке
S (m (d)). В силу полупростоты видим, что 1п Хп- Оста-
ется применить следствие из 8.6.3. Теорема доказана>
Поскольку свойство быть подпрямым произведением не
определяет решетку однозначно, то полученная в тео реме
8.7. УПРАЖНЕНИЯ
421
i
информация не является исчерпывающей. Однако она
позволяет получить полезные следствия.
8.6.5.	Следствие. Решетка дистрибутивна
* тогда и только тогда, когда с 5.
’	Доказательство. Как отмечено в разделе 4.8,
т (d)	.1 при d е Dn (с), с 5, и существует d0 ЕЕ De (6)
такое, что т (dQ)^> 1. Поскольку решетка подпространств
двумерного пространства недистрибутивна, следствие до-
казано.
j	На самом деле (см. [163]) решетка состоит из 39
элементов. Следует также отметить, что результат, ана-
- логичный , теореме 8.6.4, доказан и в случае решеток
многообразий нильпотентных р-групп ступени не выше
с, с <С Р- Эти результаты принадлежат А. А. Клячко [53]
и также могут быть найдены в [163].
f
8.7.	Упражнения
8.7.1.	Пусть А (х, у) — пополнение свободной ассоциативной
1 алгебры А (х, у). Показать, что
* ехуе~х = еаах (у).
Указание. Представить ad х — 1Х — гх.
8.7.2.	Привести пример группы G, в которой изолятор In (G)
1 члена нижнего центрального ряда с номером п не является вер-
бальной подгруппой.
8.7.3.	Вычислить ранги факторов изолированного нижнего
центрального ряда для свободной метабелевой группы ранга п, .
8.7.4.	Пусть G — нильпотентная группа ступени 2, х, у —
ее элементы. Доказать, что
4	n(n~D
(ху)п = хпуп (х, у) 2 ;
вывести аналогичную формулу для ступени 3.
8.7.5.	Пусть G, G* — нильпотентная группа без кручения и
ее малыцевское пополнение соответственно, X (G) и X (G*) — ал-
। гебры Ли этих групп над полем рациональных чисел. Тогда
& (G) X (G*)*.
8.7.6.	Пусть G — группа экспоненты 4, D — ее конечная под-
	группа, с — элемент такой, что с ф D, с2 е D. Показать, что для
!	любого R е D выполняется cRc = R^cR^cR*, где Я* еЛ.
8.7.7	(условия из 8.7.6). Показать, что соотношения из пре-
дыдущей задачи позволяют подслово вида
cSicRjcSi+1 . . . cR^^cS^cR^c
‘ привести к виду
j	cSiSi+1. . . SkR-kl . . . R-^cXicYiC . . . cYk.
422
ГЛ. 8. ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ГРУПП
8.7.8.	Показать, что если t > d, то в
слова
cS-^cR^c . . . eRte
результате сворачивания
(см. предыдущие задачи), где d= |D |, можно между какими-то
двумя соседними вхождениями буквы с получить подслово (или
обратное к нему)
SiSi+1 . . • StR? . ... R^R?,
равное 1 (Sj и Rj — элементы подгруппы D).
8.7.9	(условия предыдущих трех задач). Вывести из 8.7.8, что
подгруппа В = gp (с, D), ct D — те же, что и выше, конечна.
8.7.10.	Индукцией по числу порождающих доказать, что ко-
нечно порожденная группа экспоненты 4 является конечной (сле-
довательно, разрешимой) (теорема Санова). Указание. Ис-
пользовать задачи 8.7.6—8.7.9.
8.7.11.	Применить метод a-функции Размыслова для построе-
ния ненильпотентного многообразия с тождеством (ad х)р~2 — 0 над
полем характеристики р, р 7. Например, рассмотреть случай
Р = 7.
8.7.12.	Доказать, что при с —* оо базисный ранг многообразия
групп Л3 П Nc стремится к бесконечности. Указание: см. 4.5.
8.7.13.	Согласно [144] многообразие Si разрешимых групп
ступени не выше I порождается свободной группой ранга 2. По-
казать, что существует бесконечное число многообразий V алгебр
Ли над Q таких, что F° = Si для любого Z^3. Указание.
Применить 4.5.
8.8.	Комментарии
Результаты разделов 8.1 и 8.2 являются классическими. Со-
ответствие между нильпотентными D-группами и нильпотентными
алгебрами Ли над Q восходит к А. И. Мальцеву [81]. Раздел 8.4
построен в основном на работе А. Л. Шмелькина [127]. Соответ-
ствие между многообразиями групп и алгебр Ли изучалось
К. К. Андреевым [1, 2], Д. И. Эйделькиндом [129] и автором [138].
Сюръективность отображения V *-+VQ множества многообразий
алгебр Ли над полем Q в множество многообразий групп.лиевского
типа доказана К. К. Андреевым; в последних двух работах указа-
ны примеры неинъективности этого отображения. Теорема о вложе-
нии расширения групп в полное сплетение опубликована в работе
Л. А. Калужнина и М. Краснера (Acta Sci. Math. Szeged, 1951,
14,p.69—82). Раздел 8.5 целиком основан на работе [102] Ю.П. Раз-
мыслова. Следует отметить, что в работе [102] Ю. П. Размыслов
указывает и примеры неразрешимых групп любой экспоненты вида
р2, где р — простое число. Важность аппарата алгебр Ли для изу-
чения проблем бернсайдовского типа впервые была доказана
А. И. Кострикиным, связавшим эти проблемы с проблемами об
алгебрах Ли с тождеством энгелевости. Впрочем, это — тема,
заслуживающая отдельной книги. Результаты раздела 8.6 при-
надлежат А. А. Клячко [53]. Настоящая их интерпретация при-
надлежит Л. Ковачу [163].
Добавление
МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР ЛИ
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО РОСТА
В разделе 4.8 мы коснулись вопроса о росте многообразия V
над полем Л. Для каждого натурального п был введен 5п-модуль
Рп (F), изоморфный фактормодулю Рп!Рп (F), где р'п (F) — про-
странство неассоциативных полилинейных многочленов степени п
от переменных х±, . . ., хп, обращающихся в нуль на алгебрах
из F. Пусть сп (F) = dim Рп (F). Существуют многообразия F
(см. 4.8.7) такие, что рост последовательности cn(V) является
сверхэкспоненциальным. В то же время (см. 6.5.5) рост аналогич-
ной последовательности в случае нетривиальных многообразий
ассоциативных алгебр всегда не более чем экспоненциален. Основ-
ные результаты настоящего дополнения следующие.
Д.1. Теорема. Пусть F — многообразие алгебр Ли экс-.
поненциального роста над полем Л характеристики нуль. Допус-
тим, что в F выполняется тождество энгелевости (ad хр = 0.
Тогда F — нильпотентное многообразие.
В качестве непосредственного следствия с учетом замечаний
из 6.5 получаем результат о специальных алгебрах Ли.
Д.2. Теорема. Пусть F — специальное многообразие ал-
гебр Ли над полем Л характеристики нуль. Если в некоторой
алгебре L из V выполняется тождество энгелевости, то L ниль-
потентна.
Менее непосредственной является теорема о тождествах ал-
гебры Wjc (см. 1.2.3 и 2.1.3).
Д.З. Теорема. Пусть — многообразие алгебр Ли над
полем характеристики нуль, определенное тождествами алгебры
W%. Если в некоторой алгебре L е F^ выполняется тождество
энгелевости, то L — нильпотентная алгебра.
Д.4. Тождества типа Капелли. Пусть Ef обозначает много-
образие энгелевых алгебр Ли индекса I, т. е. с тождеством (ad х)1 =
= 0. Мы не знаем, выполняется или нет в Ei система тождеств
Капелли некоторого порядка (см. 5.5.1). В случае, когда V —
некоторое подмногообразие в Ei, рост которого не превосходит
экспоненциального, удается найти некоторый набор тождеств,
который почти так же хорош, как упомянутая система. Справед-
ливо такое утверждение.
Лемма. Пусть V — многообразие над полем характери-
стики нуль, рост которого не превосходит экспоненциального, при-
чем V CZ Ej для некоторого натурального числа I. Тогда найдется
такая таблица Юнга xd0 некоторой степени т, что в F выполня-
ются всевозможные правонормированные] тождества вида
3	• • хо(№уАт = 0»	(1)
?де 3 «сб = егй0-
°^8т
ДОБАВЛЕНИЕ
424
Доказательство. Заметим сначала, что для любого
натурального числа р найдется диаграмма Юнга d степени т та-
кая, что bd > рт, где = dim Та — размерность неприводимого
5т-модуля, отвечающего диаграмме d. Действительно, согласно
3.2.1 для любого т имеем т! = Далее, количество раз-
d
личных диаграмм Юнга степени т не превосходит числа 2т. Если
= max {bd | | d | — m}, to	Ясно, что при доста-
точно большом т имеем т\/2т > рт, т. е. и bd > р^чго и утвер-
ждается.
Далее, по условию леммы найдется числоq > 1 такое, что
сп (V) <qn, n = 1, 2, . . . Согласно предыдущему замечанию для
любого натурального I найдется диаграмма Юнга d0 степени т
такая, что bd* > (gZ)m. Если d — некоторая диаграмма Юнга сте-
пени п < 1т, содержащая dQ в качестве поддиаграммы, то bd >
> b^ > q*m qn. Тогда для любого т е Sn получим, что fxd =
= 0 — тождество в многообразии F. Более того, из правила Ри-
чардсона — Литтлвуда (см. стр. 114) немедленно вытекает, что
если w = хг. . . хп — произвольный неассоциативный одночлен и
Sm — группа подстановок на {tx, i2, . . ., im}, то exdw = 0 —
тождество в V. Упомянутое правило следует применить к пред-
ставлению группы Sn, индуцированному с тензорного произве-
дения представления Tdo группы Sm и регулярного представления
группы £Л-т- Полученное тождество имеет вид искомого, однако
на длины слов Ai пока имеется ограничение d (Л$) < I— 1. Для
снятия ограничения следует использовать тождество энгелевости.
Допустим, например, что d (4Х) = Z. Тогда Лх = а^. • -"ь Выпол-
нимость тождества (ad х}1 = 0 посредством линеаризации ведет к
ах«2. . . ajb = —	ап(1)аа(2)- • • aa(l)b
(см. 1.8.8). С другой 'стороны, по модулю тождеств вида (1),'в ко-
торых длина слов Ai меньшая, мы можем заменить <?х. . на
a<r(i) • •	например,.
ях02аз . . . aft = «МЛ • • • Gib + («1*2) аз • • •
Это рассуждение с применением индукции позволяет сделать вы-
вод о справедливости тождеств вида (1) уже без ограничения на
длины. Лемма доказана.
Прямым следствием доказанного является то, что если —
простой «^-подмодуль в Ln (F), отвечающий диаграмме Юнга d,
a dQ — фиксированная в лемме диаграмма, то d не содержит dQ
в качестве поддиаграммы. Огрубляя оценку, можно вывести, что
в описанной ситуации найдется натуральное т такое, что никакая
диаграмма, отвечающая ненулевому подмодулю Та С Ln (F), не
содержит квадрата клеток размером т X т. Для доказательства
теоремы Д.1, таким образом, достаточно найти натуральное число
N такое, что в F выполняется любое тождество вида fxd = 0, где
d — таблица степени п > N, не содержащая квадрата клеток
размера т X т. Иными словами, нужно доказать выполнимость
в F полилинейных тождеств достаточно большой степени, все
переменные в которых разбиты на ограниченное число симметри-
ческих и кососимметрических наборов.
ДОБАВЛЕНИЕ
425
Д.5. Переход к новому алфавиту. Будем рассматривать ас-
социативные и неассоциативные многочлены от конечного числа
букв из некоторого алфавита вида Y (J У, где У П У = 0. Каж-
дому правонормированному одночлену w поставим в соответствие
элемент л (и?) свободной алгебры L (X) счетного ранга, получаю-
щийся следующим образом. Если буква у е У входит в w г раз,
скажем, w = AtyA2y . . • AryAr+1, то заменим и? на
w ~ 3 ^1Д:0(1)^2а:о(2Г • •
Если у е У входит в w t раз, скажем, w = ВгуВ2у . . .
то заменим w на
oaSt
Проведем эту операцию со всеми буквами последовательно, ис-
пользуя каждый раз новые буквы алфавита X; получающаяся
в результате линейная комбинация и есть искомый элемент из
L (X). Обратно, если ' задано полилинейное тождество f = О,
в котором все переменные разбиты на непересекающиеся симметри-
ческие и кососимметрические наборы, то, записав тождество через
правонормированные одночлены и отождествив переменные каж-
дого симметрического набора с буквой из У, а переменные косо-
симметрического набора с буквой из У, мы придем к одночлену w
из L (У U У) такому, что л (w) ~ 0 эквивалентно / = 0. Воз-
можность записи любого одночлена в виде линейной комбинации
правонормированных позволяет распространить описанную про-
цедуру на любые полиоднородные многочлены w из L (У U У).
Скажем, что w = 0 (w е L (У U 19) выполняется в алгебре Ли G,
если в G выполняется соответствующее полилинейное тождество
л (w) = 0. Переход к новому алфавиту позволяет в компактной
форме записать некоторые следствия тождества энгелевости.
Д.6. Лемма. Пуст\ w — неассоциативный одночлен в ал-
фавите У U У, у е У (J У. Тогда w2iy = О — тождество мно-
гообразия Ei-
Доказательство. Пусть и = w2ly. Рассмотрим сна-
чала случай, когда w — буква. Если w е У, то соответствующее
полилинейное тождество имеет вид У] *o(i)’• •
что является полной линеаризацией тождества энгелевости. Если
w s У, то л (и) = 2 V<I(1/O{2) • • • хо(Ц)х<>- Группируя члены, как
в 5.5.4, видим, что
Л (w) ==	(*O(l)*O(2)) (*O(3)*G(4))- • • (*O(2?-l)*G(20^ ГС°*
(J(2i—l)>o(2i)
Перейдя к образующим коммутанта = x^xj (i > j), можно за-
писать
л (u) = fc(JZG(l) O(2)ZO(3)G(4)* • • 2O(2Z-1) o(2i)	$ У
Поскольку перестановка букв Zjy не меняет знака sQ, то каждая
3
426	ДОБАВЛЕНИЕ
полиоднородная компонента многочлена (2') от новых переменных 1
имеет вид
± S Чй’Ш)1 • -M/h)*0’
xefl
т. е., как и выше, обращается в нуль на алгебрах из ВЦ.
Переходя к произвольному w, в который буквы из Y входят
s раз, а буквы из Y входят г раз: w = w (ух, . . ., уг, ух, . . ., ys), ’
мы видим, что если s четно, то л (и) имеет вид линейной комбинации
произведений вида w (Хх) w (Х2) . . . w (X2j) я0> где Хх U . . .
. .. U ^2/ U {*o} (^i П Xi = 0) есть общее множество переменных,
от которых зависит л (и). Фиксируем разбиение Хх, Х2, • • •» %2l-
Тогда при четном s многочлен я {и) есть линейная комбинация
элементов вида
ш (*т(1))- • • w	s О*
При нечетном $ приходим к линейной комбинации элементов вида
2 8^ (Хт (1)). . . W (•Х’хф))	= 0.
теБ2г
Остается применить рассуждения рассмотренного выше частного j
случая.
Д.7. Минимальное нетождество. Введем отношение полного
порядка на элементах алфавита Y |J Y и упорядочим слова в •
этом алфавите лексикографически (см. 2.3.8). Этот порядок пе-
ренесем на правонормированные неассоциативные одночлены.
Согласно сказанному в конце п. Д.5, для доказательства теоремы
достаточно показать, что, начиная с некоторой степени любой
одночлен степени п N в алфавите Y |J Y от ограниченного
числа переменных тождественно равен нулю в F. Будем вести j
доказательство методом от противного. Взяв N сколь угодно боль-
шим, допустим, что М — минимальное в лексикографическом
смысле слово длины N в алфавите Y (J Y такое, что М=0 не
является тождеством в F. Идея доказательства теоремы Д.1 со-
стоит в расстановке на слове М скобок таким образом, чтобы
свойство быть нетождеством сохранялось, в выделении в полу- |
ченном одночлене т сомножителей так, чтобы их перестановка
вела к уменьшению лексикографического порядка слова, в при-
менении затем тождества (1). Снова апеллируя к 2.3.8, напомним,
что мы располагаем числом т, таким, что число симметрических
и кососимметрических наборов в возможных нетождествах огра-
ничено числом 2т. Поскольку длина слова М неограниченна, мож-
но считать, что в М имеется т сколь угодно длинных одинаковых
непересекающихся подслов Вх, В2, . . ., Вт таких, что:
(i)	максимальная буква х0, входящая в Вх, входит в него
сколь угодно много раз,	-	'
(ii)	последняя буква слова Bi совпадает с аг0,
(iii)	первая буква слова Bi отлична от я0,
(iv)	перед словом Bi стоит буква xQ.
Все эти условия, очевидно, могут быть выполнены из соображений
неограниченности длины и в связи с тем, что по лемме Д.6 ни одна
из букв не может стоять в М подряд более чем 21 — 1 раз.	i
ДОБАВЛЕНИЕ
427
Д.8. Переменные второго уровня. Каждое слово Bi можно
разбить на подслова вида	. х^, где > хъ х2, . . xt.
Расставим скобки на каждом из выделенных подслов следующим
образом:
xi (х2 (• • • (xt-i (((xtxo) жо) • • • хо)) • • • ))•
Полученные одночлены называются переменными второго уровня
(переменные первого уровня — это буквы алфавита Y (J У). На
множестве переменных второго уровня имеется упорядоченность
слов, из которых они получены расстановкой скобок. Перейдем
от тождества М = 0 к тождеству М = 0, расставляя указанным
образом скобки на переменных второго уровня. Затем, рассмат-
ривая полученный одночлен как элемент из L (У (J У), перейдем
к л (М) (см. п. Д.5). Например, если у2> ух, то от УхУйУхУ2У2 = О
перейдем к (ОаЖУхУа) У2) = 0, т. е. к УМ^У^ — У2У1У1У2У2 +
4- У2У1У2У1У2 — У1У2У2У1У2 + У1УФУ2У1 + • • • = 0. Легко видеть,
что относительно лексикографической упорядоченности старшим
членом получающейся линейной комбинации является исходное
слово М. Значит, вновь полученное тождество, по предположению,
не выполняется в многообразии V,
Лемма. Введено не более т — 1 различной переменной вто-
рого уровня.
Доказательство. Будем считать, что слова В19 • . •
. . Вт перенумерованы слева направо. Запишем их через пе-
ременные второго уровня. Допустим, что в Вг встречается т раз-
личных переменных второго уровня ux < и2 < . . . < ит. В каж-
дом из слов Bi выделим одно из вхождений переменной щ, Опустим
скобки во всех вхождениях переменных уровня 2, за исключением
выделенных. Получится одночлен Мг из L (У U У). Как и выше,
тождество Мх == 0 не выполняется в многообразии У. Если Afx =
= 17xux{72u2 . .	т0 согласно (1) Мх есть линейная ком-
бинация одночленов вида о (7ИХ) = UxUa{1}U2ua(^.
Пусть Bs — самое правое подслово в о (мх), в котором us заменено
на ui, 5 > t. Тогда а (М±) лексикографически больше, чем Мх =
== М (черточки обозначают соответствующие ассоциативные слова
или правонормированные одночлены). Высказанное очевидно,
если us и щ имеют одинаковую длину, а если us — правое под-
слово в то это вытекает из условия (iv) в п. Д.7. Поэтому
о (Мх) = 0 — тождество в F, т. е. Мх = 0 — тождество в много-
образии V, Противоречие. Лемма доказана.
Д.9. Окончание доказательства теоремы Д.1. Перейдем к за-
писи слова Вх на переменных второго уровня. Согласно нашим
предположениям и лемме Д.6 длина слова относительно новых
переменных сколь угодно велика, одна переменная не может сто-
ять подряд более чем 21 раз, количество переменных ограничено
числом т, Все это позволяет перейти к переменным третьего уров-
ня, получающимся’ указанной ранее расстановкой скобок на сло-
вах вида uxu2 . . . utu^ t, s 0, ux, . . .,	u0, и4повторить рас-
суждения п. Д.7. Увидим, что число переменных третьего уровня
также не превосходит т — 1.
Продолжив данный процесс, мы получим переменные уровня
2т, В слове М зафиксируем слева направо т одинаковых непере-
секающихся подслов Tl9 . . Тт, сворачивающихся в одну и ту
428
ДОБАВЛЕНИЕ
же переменную уровня 2т. Запишем Т\ через переменные уровня
21 — 1. Обозначим самую правую переменную через vi (она имеет
уровень 2i — 1). Опустим скобки во всех переменных, за исклю-
чением выделенных вхождений переменных vx, . . ., vm. Пусть М'
обозначает получившийся одночлен. Применим к . .,vm рас-
суждения из доказательства леммы п. Д.7. Очевидно, что мы при-
дем к противоречию, если покажем, что а (ЛГ) = 0 — тождество
в V для любой неединичной перестановки а из Sm. Пусть i —
самый правый символ такой,* что a (i) < i и а (у) = j при j > i.
Тогда в слове а (ЛГ) переменная уровня 21 — 1 заменена на пе-
ременную более высокого уровня 2к — 1. Ясно, что при этом число
подряд стоящих максимальных переменных старого уровня умень-
шится, что приведет к уменьшению лексикографического порядка
получающегося элемента. Таким образом, а (М') = 0 — тождество
в F. Согласно (1) и М’ = 0 — тождество в V. Противоречие. Тео-
рема полностью доказана.
Д.10. Доказательство теоремы Д.З. Для доказательства тео-
ремы 3 достаточно убедиться в том, что рост многообразия F& =
== var (Wk) не превосходит экспоненциального. Будем исполь-
зовать обозначения из 1.2.3. Базис алгебры Wk можно выбрать
в виде дифференцирований т.
1 дх.
„ э
менных х19 х2, . . ., х^. Пусть
, где тг — одночлен от пере-
п — натуральное число и
о е Sn. Вычислим значение правонормированного произведе-
ния (i)^a (2) • • • ха(П) на элементах базиса алгебры Wk вида
д
дх.

Tsik
хк
Согласно 2.1.3 достаточно рассмотреть случай, когда
к
результат упомянутой подстановки имеет вид X1 ft (a..) JL, где
Ь1 дХ1
ft (sij) *— многочлены, зависящие лишь от коэффициентов t, j =
= 1, . . ., к, i = 1, . . ., п., причем deg ft < n — 1. Размерность
пространства таких дифференцирований «общего вида» не пре-
восходит числа / (n + п 1 \ < 2(n+1) fc+n_1. Отсюда непо-
\ (n + 1) к — 1	/
средственно вытекает, что сп (Vк) <С (4*)п, 410 *и доказывает
утверждение о степени роста многообразия V'k* Теорема доказана.
Д.11. Комментарий. Теорема Д.З была первоначально дока-
зана С. П. Мищенко в работе «Тождество энгелевости и его при-
ложения» (Матем. сб., 1983, 121, № 3, с. 423—430). В этой же
работе показано, что произвольная алгебра Ли над полем харак-
теристики нуль или р > 7, все 2-порожденные подалгебры ко-
торой метабелевы, является разрешимой. Этот последний резуль-
тат интересен в сгязи со следующим открытым вопросом: будет
ли разрешимым многообразие алгебр Ли над полем характеристи-
ки нуль, не содержащее трехмерной простой алгебры Ли? Теорема
Д.1 и новое доказательство теоремы Д.З приведены в работе
С. 11. Мищенко «К проблеме энгелевости» (Матем. сб., 1984,124,
№ 1, с. 56—67). В заключение отметим, что недавно С. П. Ми-
щенко показал, что не существует многообразий алгебр Ли над
полем характеристики нуль, рост которых был бы промежуточным
между экспоненциальным и степенным*
ЛИТЕРАТУРА
1.	Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгеб-
ры. — Алгебра и логика, 1968, 7, № 4. с. 4—14.
2.	Андреев К. К. Нильпотентные группы и лиевы алгеб-
ры, II.— Алгебра и логика, 1969, 8, № 6, 625—635. Письмо в ре-
дакцию.— 1971, 10, № 2, с. 226—228.
3.	Андреев К. К., Шабельникова Д. Г. Характе-
ристические подалгебры относительно свободных алгебр.— Сиб.
матем. ж., 14, № 6, 1973, с. 1336—1337.
4.	Артамонов В. А. О многообразиях ограниченных;ал-
гебр Ли.— Сиб. матем. ж., 1974, 15, № 6, с. 1197—1212.
5.	Артамонов В. А. Проективные метабелевы группы
и алгебры Ли.— ИАН СССР: Сер. матем., 1978, 42, № 2, с. 226—
236.
6.	Артамонов В. А. Решетки многообразий линейных
алгебр.— УМЫ, 1978, 33, № 2, с. 135-168.
7.	Артамонов В. А. Цепные многообразия линейных ал-
гебр.— Тр. Моск, матем. о-ва, 1973, 29, с. 51—78.
8.	Бахтурин Ю.А. Артиновы специальные алгебры Ли.—
В сб.: Алгебра/ Поев. 90-летию со дня рожд. О. Ю. Шмидта.—
М.: Изд-во МГУ, 1982, с. 24—26.
9.	Бахтурин Ю.А. Два замечания о многообразиях ал-
гебр Ли.— Матем. заметки, 1968, 4, № 4, с. 387—398.
10.	БахтуринЮ.А. О специальных алгебрах Ли.— В сб.:
Алгебра.— М.: Изд-во МГУ, 1980, с. 26—30.
11.	Бахтурин Ю. А. О тождествах в алгебрах Ли, I.—
Вестник МГУ: Матем., мех., 1973, № 1, с. 12—18.
12.	Бахтурин Ю. А. О тождествах в алгебрах Ли, II.—
Вестник МГУ: Матем., мех., 1973, № 2, с. 26—33.
13.	Бахтурин Ю. А. О тождествах в метабелевых алгеб-
рах Ли.— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1975, 1, с. 12—18.
14.	Бахтурин Ю.А. Специальные многообразия алгебр
Ли.— Алгебра и логика, 1981, 20, № 5, с. 522—530.
15.	Бахтурин Ю.А. Тождества от двух переменных в ал-
гебре si (2, С).— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1979, 5, с. 205—
208.
16.	Б а х т у р и н Ю. А., О л ь ш а н с к и й А. Ю. Об ап-
проксимации и характеристических подалгебрах свободных ал-
гебр Ли.— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1976, 2, с. 145—
150.
17.	Бахтурин Ю. А., О л ь ш а н с к и й А. Ю. Разре-
шимые почти кроссовы многообразия колец Ли,— Матем. сб., 1976,
100, Ks 3, с. 384—399.
18.	Б а х т у р и н Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тожде-
ственные соотношения в конечных кодьцах Ли.— Матем. сб., 1975,
96, № 4, с. 543—559,
430
ЛИТЕРАТУРА
19.	Бенедиктович И. И., Залесский А. Е. Т-
идеалы свободной алгебры Ли с полиномиальным ростом последо-
вательности коразмерностей.— Весщ Акад, навук БССР, 1980,
№ 3, с. 5-10.
20.	Б и р к г о ф Г. Теория структур.— М.: Наука, 1983.
21.	Бок уть Л. А. База свободных полинильпотентных ал-
гебр Ли.— Алгебра и логика, 1963, 2, № 4, с. 13—20.
22.	Бокуть Л. А. Неразрешимость проблемы равенства
и подалгебры конечно-определенных алгебр Ли.— ИАН СССР:
Сер. матем., 1972, 36, № 6, с. 1173—1219.
23.	Б у р б а к и Н. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, сво-
бодные алгебры Ли и группы Ли.— М.: Мир, 1976.
24.	Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Кар-
тана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры
Ли.— М.: Мир, 1978.
25.	Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.— М.: Наука, 1976.
26.	В е й л ь Г. Классические группы, их инварианты и пред-
ставления.— М.: ИЛ, 1947.
• 27. Воличенко И. Б. Исследование некоторых экстре-
мальных многообразий алгебр Ли. Дис. на соиск. учен. степ. канд.
фйз.-мат. наук.— Минск, 1981.
28.	Воличенко И. Б. Многообразия центрально-метабе-
левых алгебр Ли.— Ин-т матем. АН БССР. Преп. № 1696, 1980.
29.	ВоличенкоИ.Б. Об одном многообразии алгебр Ли,
связанном со стандартными тождествами, I.— Весц! АН БССР:
Cept ф!з.-матем. навук, 1980, № 1, с. 23—30. II.— Там же, № 2,
с. 22-29.
30.	Воличенко И. Б. О многообразии алгебр Ли 5197г
над полем характеристики нуль.— ДАН БССР, 1981, XXV, № 12,
с. 1063—1066.
31.	Воличенко И.Б. О некоторых связях между энге-
левыми, двучленными и стандартными тождествами в алгебрах Ли.—
Ин-т матем. АН БССР. Препр. № 8, 1977.
32.	В о л к о в М. В. Структуры многообразий алгебр.—
Матем. сб., 1979, 109, № 1, с. 60—79.
33.	В о л к о в М. В., Г е й н А. Г. Тождества почти ниль-
потентных колец Ли.— Матем. сб., 1982, 118*, № 1, с. 132—142.
34.	Генов Г. К. Многообразия от алгебри на Ли.— Матем.
и математич. образов., БАН.— София, 1976, с. 135—138.
35.	Генов Г.К. О вербальных идеалах свободных алгебр
Ли.— Годишн. Софийск. ун-та: Матем. фак. (1971—72), 1974,
66, с. 177—189.
36.	Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры
Ли.— М.: Мир, 1982.
37.	Джеймс Г. Теория представлений симметрических
групп.— М.: Мир, 1982.
38.	Джек обе он Н. Алгебры Ли.—М.: Мир, 1963.
39.	Д ж е к о б с о н Н. Строение колец.—М.: ИЛ, 1961.
40.	Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры.—
М.: Мир, 1978.
41.	Д р е н с к и В. С. О тождествах в алгебрах Ли.— Алгеб-
ра и логика, 1974, 13, К® 3, е. 265—290.
42.	Дренски В.С. Представления симметрической груп-
пы и многообразия линейных алгебр.— Матем. сб., 1981, 115,
Кг 1, с. 98—115.
ЛИТЕРАТУРА
431
43.	Д ренски В. С. Разрешимые многообразия алгебр Ли.—
Длс. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук.— М., 1979.
44.	Д р е н с к и В. G. Тождества в матричных алгебрах
Ли.— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1981, 6, с. 47—55.
45.	Ж е в л а к о в К. А., С л и н ь к о А. М., Шеста-
ковИ.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциатив-
ным.— М.: Наука, 1978.
46.	Зайцев М.В. О конечной базируемости многообразий
алгебр Ли.— Матем. сб., 1978, 106, № 4, с. 499—506.
47.	Зайцев М.В. О разложимости в произведение комму-
таторов многообразий алгебр Ли и групп.— Матем. сб., 1981, 116,
№ 3, с. 312—330.
48.	Зайцев М.В. О шрейеровых многообразиях алгебр
Ли.— Матем. заметки, 1980. 28, № 1, с. 119—126.
49.	Капланский И. Алгебры Ли и локально компакт-
ные группы.— М.: Мир, .1974.
50.	Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Ос-
новы теории групп.— М.: Наука, 1972.
51.	Кемер А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность
радикала конечно порожденной Р 7-алгебры.— ДАН СССР, 1980,
245, Яг 4, с. 793—797.
52.	Клячко А. А. Однородные элементы Ли и многообра-
зия нильпотентных групп.— УМН, 1974, 39, № 6, с. 171 — 172.
53.	Клячко А.А. Связь между многообразиями групп и
колец Ли.— В сб.: Исслед. по алгебре, вып. 4.— Саратов: Изд-во
Саратовск. ун-та, 1974, с. 43—50.
54.	Клячко А.А. Элементы Ли в тензорной алгебре.—
Сиб. матем. ж., 1974, 15, № 6, с. 1296—1304.
55.	Кон П. Универсальная алгебра.— М.: Мир, 1968.
56.	К о с т р и к и н А. И. Кольца Ли, удовлетворяющие
условию Энгеля.— ИАН СССР: Сер. матем., 1957, 21, с. 515—
540.
57.	Кострикин А.И. О, связи между периодическими
группами и кольцами Ли.— ИАН СССР: Сер. мат., 1957, 21,
с. 289—310.
58.	Кострикин А. И. О проблеме Бернсайда.— ИАП
СССР: Сер. матем., 1959, 23, с. 3—34.
59.	Кострикин А. И. Введение в алгебру.— М.: Наука,
1977.
60.	Красильников А.Н. Конечная базируемость не-
которых многообразий алгебр Ли.— Вестник МГУ: Матем., мех.,
1982, № 2, с. 34-38.
.61	. Кукин Г. П. Алгоритмические проблемы для разре-
шимых алгебр Ли.— Алгебра и логика, 1978, 17, № 4, с. 402—415.
62.	Кукин Г. П. Базы свободной алгебры Ли.— Матем.
заметки, 1978, 24, № 3, с. 375—382.
63.	К у к и н Г. П. О подалгебрах свободных р-алгебр Ли.—
Алгебра и логика. 1972, И, № 5, с. 535—550.
64.	Кукин Г. П. О проблеме равенства для алгебр Ли.—
Сиб. матем. ж., 1977, 18, № 5, с. 1194—1197.
65.	Кукин Г.П. О свободных произведениях ограничен-
ных алгебр Ли.— Матем. сб., 1974, 95, № 1. с. 53—83.
66.	Кукин Г.П. Пересечение подалгебр свободной алгебры
Ли.— Алгебра и логика, 1977, 16, № 5, с. 577—587.
432
ЛИТЕРАТУРА
67.	К у р о ш А. Г. Теория групп.—3-е изд.—М.: Наука,
1967.
68.	К э р т и с Ч., Райнер И. Теория представлений ко-
нечных групп и ассоциативных алгебр.—М.: Наука, 1969.
69.	Л а м б е к И. Кольца и модули.— М.: Мир, 1971.
70.	Латышев В.Н. Алгебры с тождественными определяю-
щими соотношениями.— Сиб. матем. ж., 1963, 4, с. 821—829.
71.	Латышев В.Н. Два замечания о PI-алгебрах.— Сиб.
матем. ж., 1963, 4, с. 1120—1121.
72.	Латышев В.Н.К теореме Регева о тождествах тензор*
ного произведения PZ-алгебр.— УМН, 1972, 27, № 4, с. 213—214.
73.	Л е н г С. Алгебра.— М.: Мир, 1968.
74.	Линдон Р., Ш у п п П. Комбинаторная теория групп.—
М.: Мир, 1980.
75.	Л ь в о в И. В. Конечномерные алгебры с бесконечными
базисами тождеств.— Сиб. матем. ж., 1978, 19, № 1, с. 91—99.
76.	Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец,
I.— Алгебра и логика, 1973, 12, № 3, с. 269—297.
77.	Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец,
II.— Алгебра и логика,—1973, 12, № 6, с. 667—688.
78.	Л ь в о в И. В. О многообразиях, порожденных конечны-
ми альтернативными кольцами.— Алгебра и логика/ 1978, 17,
№ 3, с. 282—286.
79.	Магнус В., Кар-рас А., Солитэр Д. Комби-
наторная теория групп.— М.: Наука, 1974.
80.	М а л ь ц е в А. И. Алгебраические системы.— М.: Нау-
ка, 1970.
81.	М а л ь ц е в А. И. Нильпотентные группы без кручения.—
ИАН СССР: Сер. матем., 1949, 13, с. 201—212.
82.	М а л ь ц е в А. И. Об алгебрах с тождественными опре-
деляющими соотношениями.— Матем. сб., 1950, 26, с. 19—33.
83.	Мальцев А.И. Обобщенные нильпотентные алгебры и
их присоединенные группы.— Матем. сб., 1949, 25, № 3, с. 347 —
366.
84.	М а л ь ц е в Ю. Н., Парфенов В. А. Пример не-
ассоциативной алгебры, не допускающей конечного базиса тож-
деств.— Сиб. матем. ж., 1977, 18, № 6, с. 1420—1421.
85.	М е д в е д е в Ю.А. Кроссовы многообразия алгебр.—
Матем. сб., 1980, 115, № 3, с. 391—425.
86.	Медведев Ю.А. Тождества конечных Йордановых
алгебр.— Алгебра и логика, 1979, 18, № 6, с. 723—748.
87.	Мищенко С.П. Многообразия алгебр Ли со слабым
ростом последовательности коразмерностей.— Вестник МГУ:
Матем., мех., 1982, № 5, с. 63—66.
88.	Мищенко С.П. Многообразие центрально-метабеле-
вых алгебр Ли над полем характеристики нуль.— Матем. заметки,
1981, 30, № 5, с. 649-657.
89.	Нейман X. Многообразия групп.—М.: Мир, 1969.
90.	Ольшанский А.Ю. ^некоторых бесконечных систе-
мах тождеств.^— Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 1978, 13, с. 139 —
145.
91.	Ольшанский А.Ю. Разрешимые почти кроссовы
многообразия групп.— Матем. сб., 1971, 85, с. 115—131.
92.	Парфенов В. А. Об одном свойстве идеалов свободной
алгебры Ли.— Сиб. ь.атем. ж., 1969, 10, с. 940—944.
ЛИТЕРАТУРА	.	433
93.	Парфенов В. А. О многообразиях алгебр Ли.— Ал-
гебра и логика, 1967, 6, № 4, с. 61—73.
94.	П и х т и л ь к о в С. А. О специальных алгебрах Ли.—
УМН, 1981, 36, № 6, с. 225—226.
95.	Полин С.В. О тождествах конечных алгебр.— Сиб.
матем. ж., 1976, 17, № 6, с. 1356—1366.
96.	Постников М.М. Лекции по геометрии. Сем. V.
Группы и алгебры Ли.— М.: Наука, 1982.
97.	Размыслов Ю.П. Алгебры, удовлетворяющие тож-
дественным соотношениям типа Капелли.— ИАН СССР: Сер. ма-
тем., 1981, 45, № 1, с. 143—166.
98.	Размыслов Ю.П. Конечная базируемость некоторых
многообразий алгебр.— Алгебра и логика, 1974, 13, № 6, с. 685 —
693.
99.	Размыслов Ю.П. Об одном примере неразрешимых
почти кроссовых многообразий групп.— Алгебра и логика, 1972,
11, № 2, с. 186-205.
100.	Размыслов Ю.П. Об энгелевых алгебрах Ли.—
Алгебра и логика, 1971, 10, № 1, с. 33—44.
101.	Размыслов Ю.П. О конечной базируемости тож*
деств матричной алгебры второго порядка над полем характеристики
нуль.— Алгебра и логика, 1973, 12, № 1, с. 83—113.
102.	Размыслов Ю. П. О проблеме Холла — Хигмена.—
ИАН СССР: Сер. матем., 42, № 4, с. 833—847.
103.	Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в Р1-ьл-
гебрах.— Алгебра и логика, 1974, 13, № 3, с. 337—360.
104.	Риттер Е. В. Скелеты разрешимых многообразий ал-
гебр Ли.— Изв. вузов: Математика, 1980,* № 3, с. 50—61. 5
105.	Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для пока-
зателя 4.— Уч. зап. ЛГУ: Сер. матем., 1940, 55, № 10, с. 166—170.
106.	Серр Ж.- П. Алгебры Ли и группы Ли.—М.: Мир,
1969. .
107.	Скор н я ков Л. А. Элементы алгебры.— М.: Наука,
1980.
108.	Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры.— М.:
Наука, 1983.
109,	СтовбаВ.В. О конечной базируемости некоторых
многообразий алгебр Ли и ассоциативных алгебр.— Вестник МГУ:
Матем., мех., 1982, № 2, с. 54—58.
110.	Теория алгебр Ли. Топология групп Ли.— Сем. Софус
Ли.— М.: ИЛ, 1962.
111.	Херстейн И. Некоммутативные кольца.— М.: Мир,
1972.
112.	Холл М. Комбинаторика.— М.: Мир, 1970.
113.	Холл М. Теория групп.—М.: ИЛ, 1962.
114.	Шевалле К. Теория групп Ли.— М.: ИЛ, 1948;
т. 2: Алгебраические группы.—М.:И Л, 1958; т. 3: Общая теория ал-
гебр Ли. — М.:ИЛ, 1958.
115.	Шеина Г. В. Метабелевы многообразия алгебр Ли.—
УМН, 1978, 33, № 2, с. 209—210.
116.	Ш е и н аТ. В. Многообразия метабелевых А-алгебр Ли,
I.— Вестник МГУ: Матем., мех., 19774, с. 37—46.
117.	Шеина Г. В. Многообразия метабелевых А-алгебр Ли,
II.— Вестник МГУ: Матем., мех., 1978, Xs 3, с. 52—59.
434
ЛИТЕРАТУРА
118.	Ш е и н а Г. В. О некоторых многообразиях лиевых ал-
гебр.— Сиб. матем. ж., 1976, 17, № 1, с. 194—199.
119.	ШиршовА. И. О базах свободных алгебр Ли.— Ал-
гебра и логика, 1962, 1, № 1, с. 14—19.
120.	Ш и р ш о в А. И. Об одной гипотезе теории алгебр Ли.—
Сиб. матем. ж., 1962, 3, с. 297—301.
121.	Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотно-
шениями.— Матем. сб., 1957, 43, № 2, с. 277—283.
122.	ШиршовА. И. О свободных кольцах Ли.— Матем.
сб., 1958, 45, с. 113—122.
123.	Ширшов А. И. Подалгебры свободных алгебр Ли.— •
Матем. сбм 1953, 33, с. 441—452.
124.	ШиршовА. И. О представлении лиевых колец в ас-
социативных кольцах.— УМН, 1953, 8, № 5, с. 173—175.
125.	Шмелькин А. Л.- О связи между алгебрами Ли и
группами.— УМН,- 1978, 33, № 3, с. 193—194.
126.	Шмелькин А. Л. Свободные полинильпотентные
группы.— ИАН СССР: Сер. матем., 1964, 28, с. 91—122.
127.	Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их приме-
нение в теории групп.—Тр. Моск, матем. о-ва, 1973, 29, с. 247—
260.
128.	ЭйделькиндД. И. О группах Магнуса.— Матем.
сб., 1973, 92, № 2, с. 209—223.
129.	ЭйделькиндД. И. О точных представлениях отно-
сительно свободных групп.— Алгебра и логика, 1971, 10, № 4,
с. 449-473.
130.	A m а у о R., Stewart I. Infinite dimensional Lie
algebras.— Leyden: Noordhoof, 1974.
131.	AmitsurS. A generalization of Hilbert’s Null-stellen-
satz.— Proc. Amer. Math. Soc., 1957, 8, p. 649—656.
132.	A r t a m о n о v V. A. On chain varieties of Lie algeb-
ras.— Trans. Amer. Math. Soc., 1976, 221, p. 323—338.
133.	Artamonov V. A. The categories of free metabelian
groups and Lie algebras.— Comment, math. Univ. Carol., 1977, 18,
№ 1, p. 143-159.'
134.	Bahturin Ju. A. A remark on irreducible representa-
tions of Lie algebras.— J. Austral. Math. Soc., 1979, 27, p. 332—336.
135.	Bahturin Ju. A. Identities in the universal envelopes
of Lie algebras.— J. Austral. Math. Soc., 1974, 18, p. 19—27.
136.	В a h t u r i n Ju. A. Lectures on Lie algebras. — Berlin:
Akademie-Verlag, 1978.
137.	Bahturin Yuri. On homomorphisms of soluble Lie
algebras.— J. London Math. Soc., 1979, 20, p. 415—422.
138.	Bahturin Yuri. On identical relations in free polynil-
potent Lie algebras.— J. London. Math. Soc., 1980, 20, p. 39—52.
139.	Bahturin Yuri. On Lie subalgebras of associative PI-
algebras.— J. Algebra, 1980, 67, № 2, p. 257—271.
140.	BahturinJu. A. Simple Lie algebras satisfying a
nontrivial identity.— Сердика. Бълг. мат. списание, 1976, 2, № 3,
с. 241—246.	р т. -
141.	Barnes D. W. The Frattini argument for Lie algeb-
ras.— Math. Z., 1973, 133, № 4, S. 277—283. '
142.	Barnes D. W./ Newell M. L. Some theorems on
saturated homomorphs of soluble Lie algebras.— Math. Z., 1970,
115, S. 179-187.
ЛИТЕРАТУРА
435
143.	Baumslag G. Lecture notes on nilpotent groups.—
CBMS Reg. Conf. Ser. Math., № 2, Amer. Math. Soc.— Providence,
1971.
144.	Baumslag G., Neumann В. H., Neumann
Hanna, Neumann P.M. On varieties generated by a fini-
tely generated group.— Math. Z., 1964, 86, S. 93—122.
145.	Braun A. Lie rings and the Engel condition.— J. Algeb-
ra, 1974, 31, № 2, p. 287—292.
146.	Braun A. The Jacobson radical in a finitely generated
P. I. algebra.— Bull. Amer. Math. Soc., 1982, 7, № 2, p. 385—386.
147.	Bryant R. M., Vaughan-Lee M. R. Soluble
varieties of Lie algebras.— Quart. J. Math., 1972, 23, № 89,
p. 107—112.
148.	Cohen D.E. On the laws of a metabelian variety.—
J. Algebra, 1967, 5, p. 267—273.
149.	Cohn P.M. A non-nilpotent Lie ring, satisfying the
Engel condition and a non-nilpotent Engel group.— Proc. Cambridge
Phil. Soc.: Math, and Phys. Sci., 1955, 51, № 3, p. 401—405.
150.	Cohn P. M. On the embedding of rings in skew fields.—
Proc. London, Math. Soc., 1961, 11, № 43, p. 511—530.
151.	Curtis C. W. Noncommutative extensions of Hilbert
rings.— Proc. Amer. Math. Soc., 1953, 4, p. 945—955.
152.	D r e ns к у V. S. Codirnensions of T-ideals ans Hilbert
* series of relatively free algebras.— Доел. БАН, 1981, 34,J № 9,
c. 1201—1204. '
153.	Gilmore R. Lie groups, Lie algebras and some of their
applications.— N. Y.: Wiley, 1974.
154.	Hall M. A basis for free Lie algebras and higher commu-
tators in'free groups.— Proc. Amer. Math. Soc., 1950, 1, p. 575—581.
155.	H а И P. A contribution to the theory of groups of prime
power order.— Proc. London Math. Soc., 1932, 4, p. 29—95.
156.	Higgins P. J. Lie rings satisfying the Engel condition.—
Proc. Cambridge Phil. Soc.: Math, and Phys. Sci., 1954, 50,
p. 8-15.
157.	H i g m a n G. Ordering by divisibility in abstract algeb-
ras.— Proc. London Math. Soc., 1952, 2, p. 326—336.
158.	Hochschild G. P. Basic theory of algebraic groups
and Lie algebras.— Grad. Texts Math., 75.— Springer-Verlag, 1981.
159.	Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and
representation theory.— Grad. Texts4 Math., 9.— Springer-Verlag,
1972.
160.	Jacobson N.A note on Lie algebras of characteristic
p.~ Amer. J. Math., 1952, 74, № 2, p. 357—359.
161.	Jac o.b son N. Pl-algebras. An introduction. — Lecture
Notes Math., 1975, 441.
162.	Kerber A. Representations of permutation groups.
P. 1.— Lecture Notes Math., 1971, 240; P_. 2.— Ibid., 1975, 495.
163.	Kovacz L. G. Varieties of nilpotent groups of small
class,— Proc. 18th SRI.— Canberra, 1978, p. 205—229.
164.	Kovacz L. G., N e w m a n M. F. Cross varieties of
groups.— Proc Roy. Soc.: Ser. A, 1966, 292, p. 530—536.
165.	Kovacz L. G., N e w m a n M. F., P en tony P. F.
Generating groups of nilpotent varieties.— Bull. Austral. Math.
Soc., 1968, 14, p. 968-971.
ЛИТЕРАТУРА
436
166.	Kruse R. Identities satisfied by a finite ring.— J. Algeb-
ra, 1Й73, 26, p. 298—316.
167.	L a du t e P. Free Lie algebras as modules over their
enveloping algebras.— Proc. Amer. Math. Soc., 1978, 68, № 2,
p. 135—139.
168.	L a b u t e P. The lower central series of the group <xf у |
.rP = 1>.— Proc. Amer. Math. Soc., 1977, № 2, p. 197—201.
169.	Lazard M. Sur les grouped nilpotents et les anneaux
die Lie.— Ann. Sci. Ecole Norm. Super.. 1954, 71, p. 101—190.
170.	Levin F. On torsion free nilpotent varieties.— Comm.
Pure Appl. Math., 1973, 26, p. 757-765.
171.	M a c d о n a 1 d S. O. Various varieties.— J. Austral.
Math. Soc., 1973, 16, p. 363—367.
172.	Magnus W. Beziehungen zwischen Gruppen und Idea-
len in einen speziellen Ring.— Math. Ann., 1935, 111, S. 259—280.
173.	MagnusW. Uber Beziehungen zwischen hoheren Kom-
mutatoren, J. Crelle, 1937, 177, S. 105—115.
174.	Neumann P.M. An improved bound for BFC-groups.—
J. Austral. Math. Soc., 1970, 11, p. 19—27.
175.	Oates *S., Powell M. B. Identical relations in finite
groups.— J. Algebra, 1974, 1, p. 11—39.
176.	Passman D. Group rings satisfying a polynomial
identity.— J. Algebra, 1972, 20, p. 103—117.
177.	R о w e n L. Polypomial identities in ring theory.—
N. Y.: Academic Press, 1980.
178.	S e l.i g m a n G. Modular Lie algebras.—Ergeb. d.
Math. u. ihrer Grenzgeb., 40.— Berlin: Springer, 1967.
179.	Stewartzl. N. Infinite dimensional Lie algebras in the
spirit of infinite group theory.— Compos. Math., 1970, 22, № 3, .
p. 313-331.
180.	Towers D. A. A Frattini theory for algebras.— Proc.
London Math. Soc., 1973, 27, p. 440—462.
181.	V a u g h a n-L ее M. R. Abelian-by-nilpotent varieties
of Lie algebras.— J. London Math. Soc., 1975, 11, № 3, p. 263—
266.
182.	V a u g h a n-L ее M. R. Centre-by-metabelian Lie alge-
bras.— J. Austral. Math. Soc., 1973, 15, № 3, p. 259—264.
183.	V a u g h a n-L ее M. R. Generating groups of nilpotent
varieties.— Bull. Austral. Math. Soc., 1970, 3* p. 145—154.
* 184. V a u g h a n-L ее M. R. Varieties of Lie algebras.—
D. Phil. Thesis.— Oxford, 19V0.
185.	V a u g h a n-L ее M. R. Varieties of Lie algebras.—
Quart. J. Math., 1970, 21, p. 297—308.
186.	V i e n n о t J. Algebres de Lie libres et mono!des libres.—
Lecture Notes Math., 1978, 691.
187.	Wall G. E. On the Lie ring of a* group of prime expo-
nent.— Lecture Notes Math., 1974, 372, p. 667—690.
188.	Warn Zue-Xian. Lie algebras.— Oxford: Pergamon
Press, 1975.
189.	Winter D. J. Abstract Lie algebras.— Cambridge
(Mass.): MIT Press, 1972.
190.	Witt E. Die Unterringe der freien Lieschen Ring©.—
Math. Z., 1956, 64, S. 195-216.
191.	Witt E. Treue Darstellung Lieschen Ringe,— J, Crelle,
1937, 177, S, 152—160.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиоматический ранг 194
Алгебра 7
—	градуированная 53
---ассоциированная с фильтро-
ванной 53
—	дифференцирований Л-алгебры 12
—	конечно заданная 90
•--определенная 90
---порожденная 90
—	конечной длины 10
—	обертывающая 83
—	первичная 243
—	полная топологическая 364
—	примитивная 243
—	присоединенная ассоциативная
253
— свободная 64
---ассоциативная 67
— симметрическая фробениусова 116
— универсальная обертывающая
алгебры Ли 82
-------супералгебры Ли 297
—	фробениусова 115
Алгебра Ли 9
—	абелева 14
—	алгебраическая 307
—	аппроксимируемая алгебрами из
класса 306
—	вербально нётерова 195
—	критическая 315
—	метабелева 41
—	нильпотентная ступени с 34
—	нильпотентно аппроксимируе-
емая 279
—	ограниченная 55
—	относительно свободная (см. сво-
бодная в многообразии)
—	полинильпотентная 162
—	полупростая 247
---расщепленная 266
—	почти разрешимая 262
—	простая 23
—	разрешимая ступени I 40
—	свободная 65
---в многообразии 137
—	специальная 251
—	финитно аппроксимируемая 276
---отделимая 306
—	хопфова 192
—	центрально метабелева 184
—	энгелева 43
Ассоциативная билинейная форма
115
А-алгебра Ли 362
ofr-функция 406
Базис системы корней 248
—	Холла 73
— Ширшова 74
Базисное семейство 68
Базисный одночлен 69
— ранг 159
Вербальная подгруппа 391
Вербальное сплетение 397
Вербальный идеал 68
---, отвечающий многообразию 136
Вес элемента 211
Взаимный коммутант 375
Внутреннее дифференцирование 13
Вполне частично упорядоченное
множество 201
Высота алгебры 244
— одночлена 244
F -сплетение 155
Главный фактор 24, 312
— централизатор 314
Гомоморфизм L-модулей 22
Градуировка 51
Группа алгебры Ли 370
—, аппроксимируемая нильпотент-
ными группами без кручения 390
—	лиевского типа 390
—	Магнуса 368
—	магнусова 401	•
—	монолитная 380
—	нильпотентная 388
—	свободная многообразия 391
---со свободным порождающим
множеством X 373
Декартово произведение 14
— сплетение 396
Диаграмма Юнга 108
Дифференцирование 9
Длина Л-модуля 10
2-слово 405
2-элемент 405
D-rpynna 382
Задание алгебр Ли порождающими
и определяющими соотношения-
ми 90
Закон взаимности Фробениуса 130
Замкнутое подмножество W-моду-
ля 206
---топологической алгебры 364
Идеал вербальный 68
—	левый в Г (X) 77
—	первичный 57
—	решетки 269
—	Фраттини 38
Идемпотент 107
Изолированная подгруппа 382
Изолятор 382
Интервал решетки 416
Канонический гомоморфизм 83
Категория 123
438
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Квазимногообразие 190
Квазитождество 190
Классическое тело частных 243
Кограница 27
Кольцо 7
—	альтернативное 9
—	антикоммутативное 8
—	ассоциативное 9
—	йорданово 9
—	коммутативное 9
—	Ли 9
---группы 376
—	частных классическое 243
Коммутатор 10, 374
—	многообразий 155
— правонормированный 11
Корневое подпространство 248
Корни отрицательные, положитель-
ные 248
Коцепь 27
Коцикл 27
Край диаграммы ИЗ
Критерий Фридрихса 367
—	Шпехта — Вефера 88
Крюк диаграммы 113
Лексикографическая] упорядочен-
ность 74
Лемма Бернсайда 34
Линеаризации процесс 140
Линеаризация тождества 144
---полная, частичная 144
Линейная зависимость по модулю
Дп 285
L-модуль 22
L-подмодуль 23
L-фактор 23
£-фак$Ьрмодуль 23
А-алгебра 7
— конечномерная 10
Мальцевское пополнение 387
Минимальное представление 317
Младший член 51
Многообразие алгебр Ли 136
-------кроссово 331
-------метабелево 173
-------нетривиальное 136
-------пол иоднородное 140
-------, порожденное алгеброй 139
-------специальное 268
------- строго конечно базиру-
емое 196
---— шпехтово 195
-------шрайерово 166
-------энгелево 173
Многообразие групп 391
---лиевского типа 391
---магнусово 401
Многочлен допустимый 242
— неассоциативный 60
---нормальный 148
’— полилинейный 67
Модуль 7
—	абсолютно простой (неприводи-
мый) 275
—	инъективный "88
—	полупростой (вполне [приводи-
мый) 23
—	присоединенный 23
—	проективный 77
—	простой (неприводимый) 23
—	регулярный 24
Модуль n-мерных когомологий 27
— т-регулярный 117
Модулярный закон 416
Монолит 278, 380
Морфизм 123
Неассоциативный одночлен 60
Непорождающий элемент 34
Неприводимое слово в свободной
группе. 372
Нильалгебра 244
Нильпотентный элемент 244
Ножка в диаграмме 113
Норма многообразия 151
Нормализатор 380
Носитель «функции 15
Объединение многообразий 139
Объект 123
Однородная аддитивная подгруп-
па 52
Однородный элемент 51, 65, 67
Оператор кограницы 27
— симметризации 121
Пара 229
Пересечение многообразий 139
Подалгебра вполне инвариантная 145
—	декартова 101
—	инвариантная 145
—	Картана 248
—	Леви 247
—	максимальная 34
—	Фраттини 34
—	характеристическая 144
Поддекартово произведение 15
Подпредставление 22
Полилинейный элемент 65
Полиоднородный элемент 65, 67
Полистепень 64
Полупрямое произведение 17
Пополнение мальцевское 387
— топологической алгебры 364
Правило Ричардсона — Литтлву-
да 114
Правильная расстановка скобок 71
Правильное ассоциативное слово 74
Правонормированное произведение 9
Предел последовательности 364
— проективный 363
Представление алгебры Ли 21
-------неприводимое 22
-------присоединенное 21
-------регулярное 24
------- точное 21
Пример Кона 43
Проблема конечной базируемости 194
Проективные интервалы 416
Проекция 15
Произведение классов 150
— многообразий 150, 396
— подпрямое 15
—* прямое 15
Прямая сумма 15
р-алгебра Ли 55
---свободная 95
p-базисный одночлен 96
р-идеал 55
р-оболочка 55
р-подалгебра 55
р-приведенное множество 97 '
PI-алгебра 61
^-подмодуль 205
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
439
Радикал Джекобсона 243
—	нильпотентный 48
—	разрешимый 48
Ранг 137
Расширение алгебры 17
		расщепляемое 18
—	основного кольца 9
Решетка 415
—	дистрибутивная 416
—	модулярная (дедекиндова) 416
Рост многообразия 185
Ряд верхний центральный 21, 375
—	возрастающий центральный 21
—	Гильберта 186
—	главный 24
—	коммутантов (производный) 19,
375
—	коразмерностей 185
—	нижний центральный 19, 375
—	полупростой 24
—	разрешимый 19
—	убывающий центральный 19
—	цокольный 344
Свободная нильпотентная Р-груп-
па 388
— пара 237
Свободное порождающее множест-
во 67, 137
— произведение алгебр 91, 92
Свободный группоид 63
Семейство Холла 69
Система корней 248
— многочленов Капелли 225
— тождеств Капелли 225
'----независимая 148
Скелет многообразия 352
Слабое тождество 229
След 12
Следствие тождества 68
Сплетение 156
Старший вес 251
— член 51
Структурные константы 277
Супералгебра Ли 52
Б-неприводимый элемент 77
^-приводимый элемент 77
Таблица Юнга 108
Тензорное произведение алгебр 246
Теорема Адо — Ивасавы 249
—	Барнса 38, 47
—	Биркгофа 138
—	Варнинга 347
—	Витта 82, 98
—	Гильберта о нулях 275
—	Диксмье 274
—	Жордана — Гельдера 24
Теорема Леви 247
—	Ли 41
—	о монотонности 151
—	Пуанкаре — Биркгофа — Вит-
та 84
—	Санова 422
—	Тауэрса 50
—	Хиггинса 45
—	Ширшова 81, 93
— Шмелькина 158, 397
—	Энгеля 35
Тождество (тождественное соотно-
шение) 60, 391
—	антикоммутативности 8
—	нормальное 148
— однородное, полиоднородное, по-
лилинейное 68
—	Якоби 9
Топология 364 • '
Треугольное разложение 248
Ультрапроизведение 189
Условие конечности 276
Фактор 22, 312
— главный 24, 312
— собственный 315
Факторно замкнутое множество 317
Факторпредставление 22
Фильтр 189
— главный 189
Фильтрация 52
— центральная 376
Фильтрованное произведение 189
Формула Витта 105
— Кемпбелла — Хаусдорфа 370
Фундаментальная последователь-
ность 364
Функтор 124
Функция Мёбиуса 104
Центр 14
Централизатор 20
Центрально метабелево многообра-
зие 184
Центроид 257
Цоколь 48
— абелев 48
Ширина элемента 282
Эквивалентные расширения 28
— слова в свободной группе 371
— тождества 68
Элементарные преобразования 97
Ядро модуля 117
Якобиан 9
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N, Z, Q, R, С — множества натуральных, целых, рациональных,
действительных, комплексных чисел; Ав — множество отобра-
жений из множества В в множество А; А — основное коль-
цо, А [хр . . ., хп] — кольцо многочленов от п переменных
с коэффициентами из А; М <] L — М есть идеал кольца L
alg (X), alg (xj — подалгебра, порожденная множеством X, эле- ♦
ментом х 8	•
idB (X), idR (ж) — идеал алгебры Я, порожденный множеством X,
элементом х 8
Кег ф — ядро гомоморфизма ф 9
J (ж, у, z) — якобиан элементов х, у, z 9
х±х2 . . . хп, хп'у — правонормированные произведения соответст-
венно элементов х19 я2, . . ., хп и х, у; п е N 9
RM — Af-алгебра, полученная из A-алгебры R расширением' коль-
ца скаляров до М 9
ZA (Я) — длина Л-модуля R 10
I#» у] — коммутатор элементов х, у 10
[А1 — алгебра Ли ассоциативной алгебры А 10
[яр • • • > яп], [пх, у] — правонормированные коммутаторы со-
ответственно элементов х2, . . хп и ж, у; п is N 10, 11
End-дМ — ассоциативная алгебра] эндоморфизмов Л-модуля М 11
gl (М, Л) — алгебра Ли эндоморфизмов Л-модуля М 11
gl (и, Л), si (п, Л), so (га, Л) — алгебры Ли всех матриц порядка п,
матриц со следом 0 порядка п, кососимметрических матриц
порядка п И, 12
tr X — след матрицы X 12
DerA (R) — алгебра Ли дифференцирований Л-алгебры R 12
Wn (Л) — алгебра Ли дифференцирований кольца Л [sx, . . .
ad я — внутреннее дифференцирование, определенное элементом
х 13
Z (L) — центр алгебры Ли 14
IJ Яа — декартово произведение семейства (#a)aGj 14
a=J
JJ Ra — прямое произведение семейства (/?a)aeJ 15
ael
LA M, La^M — пол упрямое произведение, определенное гомо-
морфизмом ф: L Der (М) 17
Ln, — n-й член нижнего центрального ряда (производного
ряда) алгебры Ли L 19
CL (5, Г), CL (5) — централизатор в L множества S по модулю
множества Г, по модулю нуля 20
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
441
Zn (L) — п-й член верхнего центрального ряда алгебры Ли L 21
Сп (б?, М), Zn (G, М), Вп (G, М), Нп (G, М) - пространства
n-мерных коцепей, коциклов, кограниц, когомологий алгебры
Ли G со значениями в G-модуле М 27
Lf — (G, М, f) — стандартное расширение алгебры Ли G с по-
мощью G-модуля М и 2-коцикла /27
Ф (L), ф (L) г- подалгебра, идеал Фраттини алгебры Ли L 35, 38
6/ (яр . .	х^) — l-е разрешимое произведение 39
ntm (А) — алгебра Ли нильтреугольных матриц порядка т над
кольцом А 43
Sn — симметрическая группа (группа перестановок) степени п 46
S (L), N (L) — разрешимый, нильпотентный радикалы алгебры
Ли L 48
Soc (L), Яо (L) — цоколь, абелев цоколь алгебры Ли L 48
gr Р — градуированный модуль, ассоциированный с фильтрован-
ным модулем Р 53
г
хр — рг-я степень элемента х в р-алгебре Ли 55
algp (М) — р-подалгебра Ли, порожденная множеством М 55
sn	#n+i) ~ стандартный неассоциативный многочлен сте-
пени п 4- 1 61
Г (X) — свободный группоид над множеством X 63
d: Г (X) —> N — отображение степени 63
т: Г (X) —> Zx — отображение полистепени 64
supp а — носитель функции а 64	
F (X) — свободная неассоциативная алгебра со свободным поро-
ждающим множеством X 64
Ф — мнржество полистепеней 64
L (X) — свободная алгебра Ли со свободным порождающим мно-
жеством X 65
W (X) — полугруппа слов в алфавите X 67
А (X) — свободная ассоциативная алгебра со свободным порож-
дающим множеством X 67
Fn, Fa; Ln, La; An, Aa — множества однородных степени n, по-
листепени а элементов в F (X); L (X)\ A (X) 67
/ = 0 — тождество (/ e L (X)) 68
Я (X), Ял, Яа — базисное семейство, его компоненты 68 *
R — R (X) — базис Ширшова 74
U (G) — универсальная обертывающая алгебры Ли G 83
IP1 = Un (G) — п-й член фильтрации алгебры 85
(X | Я), (х1? #2, . . . |	= О, г2 = 0, . . .) — представление алгеб-
ры Ли в терминах порождающих и определяющих соотноше-
ний 91
П бч ♦ 62 * . . . ♦ Gn — свободное произведение семейства
ael
(СУаеР множества G14 G2, . . ., Gn 91
Lp (X) — свободная р-алгебра Ли со свободным порождающим
множеством X 95
GL (V) — полная линейная группа A-модуля V 101
ц (п) — функция Мёбиуса натурального аргумента п 104
Id (тг) — размерность п-й однородной компоненты свободной ал-
гебры Ли ранга d 105
AG — групповая алгебра группы G над кольцом А 107
442	УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
d, xd — диаграмма, таблица Юнга, где те 108
Cxd (Rtf) — подгруппы в 5П, фиксирующие элементы столбцов
(строк) таблицы Юнга d 108
exd — элемент из А5П, отвечающий таблице Юнга xd 108
d d' — отношение порядка на множестве диаграмм Юнга 109
Xd? ~~ размерность, характер 5п-модуля, отвечающего
диаграмме Юнга d; сам этот модуль 113	‘
rir lij ~ КРЮК диаграммы Юнга d с вершиной (i, /) и связан-
ные с ним понятия 113
х (х, ф), ф □ х, RM — билинейные отображения и ядро Я-модуля
М, где R — фробениусова алгебра 117
Т (V), Тп (V) — тензорная алгебра A-модуля V, ее п-я однородная
компонента 121
Vd — GL (У)-модуль, отвечающий диаграмме Юнга d 123
Ln, Сп — функторы V-*Ln(V), V_Cn(V) из категории
A-модулей в себя 124
Zn, сп — специальные идемпотенты алгебры ASn 125
Ag — <8>-бимодуль, 8 — первообразный корень степени п 125
ind б, def а — индекс и дефект перестановки а е Sn 126
— индуцированный G-модуль 131-
m (V, Т) — кратность подмодуля V в модуле Т 131
ф (п) — функция Эйлера натурального аргумента п 132
V — класс алгебр над фиксированным кольцом, многообразие 136
Ann V — аннулятор многообразия V 136
V (G), V (G)— вербальный идеал алгебры G, отвечающий мно-
жеству 7, многообразию V 68, 136
L (У, F) — свободная алгебра многообразия F со свободным по-
рождающим множеством У 137
JD(m, F),	(F) — свободная алгебра многообразия F ранга m 137*
var(Jf), var (G) — многообразие алгебр Ли, порожденное клас-
сом И, алгеброй Ли G 138, 139
U U F, П F — объединение, пересечение многообразий 139
Nc — многообразие нильпотентных алгебр Ли ступени 139
Si — многообразие разрешимых алгебр Ли ступени <7 139
А — многообразие абелевых алгебр Ли 139
Ом — многообразие ЛГ-периодических алгебр Ли, 139
Е — тривиальное многообразие алгебр Ли 139
v (А) — группоид многообразий алгебр Ли над А 150
N (F) — норма многообразия F 151
Р (q, . . ., ct) —полинильпотентное многообразие [алгебр Ли, от-
вечающее последовательности <4, . . ., ct е N 162
Aj — многообразие абелевых алгебр Ли с 7-кручением 167
«22(F) — решетка подмногообразий многообразия F 174, 182
А2 — многообразие метабелевых алгебр Ли 173
Рп — модуль полилинейных степени п многочленов свободной
алгебры Ли ранга п 177
/Td — полилинейный многочлен, отвечающий таблице xd 179
gxd — по ли однородный многочлен, отвечающий таблице xd 179
Рп (У) — модуль полилинейных степени п многочленов свободной
алгебры Ли ранга п многообразия F 183
с (F, t) ряд коразмерностей многообразия F 185
Hm(V, 0, Я (F, tt, . . ., tm) — ряды Гильберта многообразия F 186
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
443
(/) — фильтр на множестве I 189
qvar — квазимногообразие, порожденное классом У7 190
га (F) — аксиоматический ранг многообразия V 194
ал — верхний конус элемента а частично упорядоченного мно-
жества 202
D (Р),	(Р) — частично упорядоченные множества, ассоцииро-
ванные с частично упорядоченным множеством Р 203, 204
wt (/) —- вес элемента / 206, 255
L (пх, . . ., п&), Q}; i — идеалы частного вида в свободной ал-
гебре Ли 212 ’
I т I — мощность подмножества т 217
С]( — «пробные алгебры» при построении примеров многообразий
без конечного базиса тождеств 219
/ (Я) — радикал Джекобсона кольца Я 243
А 0Л В — тензорное произведение Л-алгебр А и В 246
Ad (G) — присоединенная ассоциативная алгебра алгебры Ли G ,253
__ 1-я тензорная! степень модуля М 259,
s (А) — идеал специальных многообразий над А 269
Ав — кольцо частных для А относительно В 273
— структурные константы алгебры 277
b (х) — ширина элемента х алгебры Ли 282
Ап = Ал (G) —- множество элементов ширины не выше п в G 285
Ар (Li), 6р (£х) — аналогично определяемые множества в одно-
родной компоненте супералгебры Ли L — Lq ф Lr 302
С (/, zn, с) — класс конечных алгебр Ли, ограниченных парамет-
рами /, тп, с 312
jz(n) — многообразие, определенное тождествами от п переменных
многообразия F 322
s специальные формулы для ограничения индексов центра-
’ лизаторов 327
М — многообразие Артамонова 334
Mj — многообразие Артамонова в случае конечного кольца 350
(F) — скелет многообразия F 352
(f> с) — класс разрешимых ступени не выше I конечных ал-
гебр Ли, ограниченных параметрами /, с 351
& (F) — класс конечных алгебр многообразия V 352
(п, г), & (п, г, s) — специальные классы коммутативных колец
и метабелевых алгебр Ли 353
wc i = 0 — обобщенные тождества энгелевости 355
НтТа — проективный предел семейства (Та)ае/ 363
Я — пополнение топологической алгебры] Я 364
G (X) — группа Магнуса в А (X) 368
Я0 — группа полной топологической алгебры Ли В 370
©° — гомоморфизм групп, отвечающий гомоморфизму алгебр Ли
ср 370
а^ь — сопряженный с элементом посредством элемента b 374
JVC — многообразие нильпотентных групп ступени 379
IG (Я) — изолятор подгруппы Н в группе G 382
У~Н — множество корней из элементов подгруппы Н 382
G* — мальцевское пополнение группы G 307
(а, Ь) — коммутатор элементов в группе 374
444	УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(А, В) — взаимный коммутант подгрупп Л, В 375
Ts = Ts (G), £s = Zs (G), 6S = 6S (6?) — s-й член нижнего централь-
ного, верхнего центрального рядов, ряда коммутантов груп-
пы G 375
V(G) — кольцо Ли, построенное по фильтрации f группы G 376
In = In (G) — п-й член изолированного нижнего центрального
ряда группы G 390
V (G) — вербальная подгруппа группы G 391
Р (^, Ю — свободная группа многообразия F со свободным по-
рождающим множеством X 391
ГМЛ) — ранг конечно порожденной абелевой группы А 392
F° — многообразие групп, ассоциированное с многообразием ал-
гебр Ли V 393
L (F), X (F) — многообразие колец Ли, алгебр Ли над Q, ассо-
циированное. с многообразием групп F 395, 396
A Wr В — декартово сплетение групп Л и В 396
Л wrF В — F-сплетение групп Л и В 397
а ( ), л (г) функции Ю. П. Размыслова 406
X — свободная алгебра Ли над Тр 409
Rp — многообразие алгебр Ли, ассоциированное с а-функцией 410
^р-2,р-многообразие (р — 2)-энгелевых алгебр Ли над полем ха-
рактеристики р 414
(Z7i, U2) — интервал решетки 416
—• решетка многообразий нильпотентных групп ступени
свободные группы которых не имеют кручения 417
End F — множество всех эндоморфизмов группы F 418
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................. 3
Глава 1. Введение в теорию алгебр Ли................... 7
1.1.	Основные определения...................... 7
1.2.	Примеры алгебр Ли........................ 10
1.3.	Алгебра дифференцирований алгебры	Ли. Центр	13
1.4.	По л упрямое произведение................ 14
1.5.	Ряды идеалов в алгебрах Ли ................... 18
1.6.	Модули................................... 21
1.7.	Нильпотентные алгебры Ли................. 32
1.8.	Разрешимые алгебры Ли.................... 39
1.9.	Теория Фраттини’для алгебр конечной	длины	.	.	47
1.10	Градуированные алгебры................... 51
1.11	Ограниченные алгебры Ли (р-алгебры	Ли) ...	54
1.12.	Упражнения.............................. 56
1.13.	Комментарий.................................  59
Глава 2. Свободные алгебры Ли......................... 60
2.1.	Алгебры Ли с тождествами...................... 60
2.2.	Свободная алгебра Ли.......................... 63
2.3.	Базисы свободной алгебры Ли................... 68
2.4.	Подалгебры свободных алгебр	Ли............... 76
2.5.	Универсальная обертывающая	алгебра............ 82
2.6.	Свободное произведение........................ 90
2.7.	Свободные ограниченные алгебры	Ли............. 95
2.8.	Упражнения................................... 100
2.9.	Комментарий.................................. 101
Глава 3. Однородная структура свободной алгебры Ли	.	103
3.1.	Введение.....................................  103
3.2.	Представления симметрической группы*..... 106
3.3.	Фробениусовы алгебры и модули над ними . .	.	115
3.4.	Структура GL (Р)-модуля Ln (V)........... 123
3.5.	Упражнения............................... 135
3.6.	Комментарий .................................. 135
Глава 4. Многообразия алгебр Ли ....	.......... 136
4.1.	Тождества и многообразия................. 136
4.2.	Полиоднородные многообразия. Процесс линеариза-
ции ............................................... 140
4.3.	Произведение многообразий................ 150
4.4.	Теоремы о вложении............................ 155
4.5.	Свободные алгебры многообразий. Тождества .	.	159
4.6.	Свободные алгебры многообразий. Подалгебры	.	166
4.7.	Метабелевы многообразия.................. 173
446
ОГЛАВЛЕНИЕ
4.8.	Диаграммы Юнга	и тождества................. 177
4.9.	Квазимногообразия.......................... 189
4.10.	Упражнения................................. 190
4.11.	Комментарий...............................  192
Глава 5. Проблема конечной базируемости................ 194
5.1.	Постановка проблемы............................ 194
5.2.	Метод вполне частично упорядоченных множеств 201
5.3.	Метод вполне частично упорядоченных множеств
(применения) ....................................... 207
5.4.	Примеры многообразий, не допускающих конеч-
ного базиса тождеств......................... 217
5.5.	Проблема конечной	базируемости над полем ха-
рактеристики нуль................................. 224
5.6.	Тождества алгебры Ли si (2, А)...............-	228
5.7.	Упражнения................................... 240
5.8.	Комментарий ................................. 241
Глдва 6. Специальные алгебры Ли: структура, тождест-
ва, приложения . . . . ;.............................. 242	-
6.1.	Сводка некоторых результатов об ассоциативных
Р 1-алгебрах.................................... 242
6.2.	Некоторые дальнейшие результаты о конечномерных
алгебрах Ли........................................ 247
6.3.	Общие результаты о специальных алгебрах Ли .	251
6.4.	Структура специальных алгебр Ли над полем харак-
теристики нуль ...................................  258
6.5.	Тождества специальных алгебр Ли над полем ха-
рактеристики нуль.................................. 268
6.6.	Универсальная обертывающая конечномерной ал-
гебры Ли. Некоторые результаты и приложения 272
6.7. , Тождества универсальной обертывающей алгебры 281
6.8. Приложение: описание алгебр Ли, все неприводи-
мые представления которых имеют конечную ограни-
ченную степень....................................... 294
6.9.	Описание супералгебр Ли, универсальная оберты-
вающая для которых — PI-алгебра.................... 297
6.10.	Упражнения................................ 305
6.11.	Комментарий............................... 306
Глава 7. Тождества в конечных алгебрах Ли............... 307
7.1.	Некоторые условия конечности.............. 307
7.2.	Одна характеризация многообразия, порожденного
• конечной алгеброй Ли....................... 312
7.3.	Критические алгебры............w............... 315
7.4.	Критические‘алгебры из класса С	(/, т, с)	.	.	.	318
7.5.	Многообразие .................................. 322
7.6.	Главные централизаторы и максимальные подмно-
гообразия .......................................  326
7.7.	Локально конечные многообразия	алгебр Ли	.	.	331
7.8.	Описание разрешимых почти кроссовых многооб-
разий ............................................ 341
7.9.	Скелеты локально конечных многообразий......	352
7.10.	Упражнения............................... 361
7.11.	Комментарий .................................. 361
ОГЛАВЛЕНИЕ	447
Глава	8. Приложения	к теории групп............ 363
8.1.	Построение группы по алгебре Ли............... 363
8	2.	Теория Магнуса	свободной группы............ 371
8.3.	Изоморфизм категорий нильпотентных D-групп и
нильпотентных рациональных алгебр Ли............. 379
8.4.	Многообразия	групп лиевского типа............ 391
8.5.	Многообразия	и а-функция Размыслова........... 404
8.6	Решетки многообразий нильпотентных	групп . . .	415
8.7.	Упражнения.................................... 421
8.8.	Комментарий................................... 422
Добавление. Многообразия алгебр Ли экспоненциаль-
ного роста...................................... 423
Литератур а........................................... 429
Предметный указатель.................................. 437
Указатель обозначений............................ ....	440
Юрий Александрович Бахтурин
ТОЖДЕСТВА В АЛГЕБРАХ ЛИ
Редактор Ф*. И. Кизнер
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры О. А. Сигал, Л. С, Сомова
ИБ № 12423
Сдано в набор 07.С6.84. Подписано к печати 20.12.84.
Формат 84xl08x/3t. Бумага для глубокой печати.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать.
Уст. печ. л. 23,52. Усл. кр.-отт. 23,52. Уч.-изд. л. 26,94.
Тираж 4300 экз. Заказ № 3642. Цена 4 р. 10 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Типография № 2 издательства «Наука».
121099 Москва, Шубинский пер., 6