? Л. Лопсц
И. 3. Шор

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНСКОЙ ССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ
Г. А. Донец, Н 3. Шор
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ
ПОДХОД
К ПРОБЛЕМЕ
РАСКРАСКИ
ПЛОСКИХ
ГРАФОВ
КИЕВ «НАУКОВА ДУМКА» 1982

УДК 519.174
Алгебраический подход к проблеме раскраски плоских графов /
Донец Г. А., Шор Н. 3.- Киев: Наук, думка, 1982.— 144 с.
В монографии рассматривается ряд экстремальных и комбинатор-
комбинаторных задач, возникающих при алгебраическом исследовании проблемы
раскраски плоских графов. С помощью системы линейных и нелинейных
уравнений исследуется проблема четырех красок. Приводятся более
простые доказательства справедливости теоремы для некоторых
классов плоских графов и алгоритм раскраски плоских графов четырь-
четырьмя красками.
Рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся вопро-
вопросами теории графов.
Ил. 33. Библиогр.: 141—142 D0 назв.).
Ответственный редактор И. В. Сергиенко
Рецензенты А. Я. Дороговцев. В. В, Шкурба
Редакция физико-математической литературы
Д-
Издательство «Наукова думка», 1982

ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1976 г. проблема четырех красок была положительно
решена американскими математиками Аппелем. и Хейкеном, работаю-
работающими в Иллинойском университете. Этому событию предшествовала
работа ученых (и не только математиков) различных стран на протя-
протяжении болееста лет. Притягательнаясила данной проблемы заключается
в доступности ее формулировки. За ее решение до сих пор берутся раз-
различные любители, которые приводят свое, очень простое «доказательст-
«доказательство» проблемы. Действительно, если воспользоваться элементарными
понятиями из теории графов, то формулировка проблемы четырех кра-
красок звучит просто.
Необходимо доказать, что все вершины произвольного плоского
графа могут быть раскрашены четырьмя красками таким образом, что
любые две смежные вершины получат различные цвета.
Решение этой проблемы может иметь два направления:
1) для произвольного плоского графа строится алгоритм, дающий
правильную раскраску вершин четырьмя красками;
2) доказывается существование такой раскраски для произвольно-
произвольного плоского графа. Очевидно, что из первого следует справедливость
второго.
Если проследить всю историю решения этой проблемы, то можно
убедиться, что почти все исследователи избрали второй путь, который
и завершился в совместной работе Аппеля и Хейкена. Они пришли
к успеху после семилетнего кропотливого труда, при этом огромную
часть вычислений провели с помощью современных ЭВМ. Но их доказа-
доказательство настолько сложно и объемно, что за пять лет, прошедших с тех
пор, не появилось ни одного сообщения о том, что оио кем-то полностью
проверено. Поэтому не прекращаются попытки решить проблему че-
четырех красок с использованием других подходов так, чтобы проверка
ее решения была общедоступна. В этом отношении примечательно
сообщение о заседании 10 октября 1978 г. Московского математического
общества, на котором выступил Коэн (Нью-Йорк) с изложением своего
метода, использующего факты из теории стохастических матриц и ли-
линейной алгебры, позволяющего несколько упростить доказательство
проблемы, данное Аппелем и Хейкеном. К сожалению, до сих пор
3

упомянутый метод нигде не был опубликован: Кроме того, вполне спра-
справедливо считать проблему полиостью закрытой, если будет построен
эффективный алгоритм раскраски произвольного плоского графа.
В настоящей работе предлагается алгебраический подход к рас-
раскраске плоских графов. Первоначальные результаты монографии были
получены авторами в работах начиная с 1967 г. Большинство же резуль-
результатов, описанных в книге, получено в последнее время и публикуется
впервые. Возможно, предлагаемый подход при его усовершенствовании
сможет привести к более простому доказательству теоремы о четырех
красках и построению достаточно простого алгоритма раскраски.

ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГИПОТЕЗЫ
ЧЕТЫРЕХ КРАСОК
В настоящей главе описывается путь, прошедший
математиками при доказательстве проблемы четырех кра-
красок, начиная с самых элементарных шагов и кончая работой
Аппеля и Хейкена. Предполагается, что читателю известны
необходимые определения из теории графов. При изложении
данной главы авторы, в основном, использовали работы
[1, 28, 30).
1. Историческая справка
История возникновения гипотезы четырех красок
во многом неясна. Предполагается, что Мебиусу она была
известна еще в 1840 г., однако первое упоминание о гипо-
гипотезе относят к 1852 г., когда студент Лондонского универ-
университетского колледжа Гутри изложил эту проблему де Мор-
Моргану, а последний описал ее в письме к Гамильтону. В 1878 г.
знаменитый английский математик Кели выступил перед
членами Лондонского математического общества с сообще-
сообщением о задаче четырех красок, сказав при этом, что сам он
вот уже несколько дней (!) как не может ее решить.
В 1879 г. в Шотландии Тэйтом было опубликовано пер-
первое решение изложенной выше проблемы. Он свел раскраску
вершин исходного графа к раскраске ребер двойственного
графа и предположил, что эта задача всегда имеет решение.
В 1880 г. в Лондонском журнале «Nature» («Природа»)
появляется статья адвоката Кемпе «Как раскрасить карту
четырьмя красками», в которой автор доказывает, что, при-
применяя определенные правила перекраски, всегда можно
решить поставленную задачу. Это доказательство не под-
подвергалось никаким сомнениям в течение десяти лет. Как
остроумно замечает Рингель в своей книге «Проблема рас-
раскраски графов»: «Десятилетняя жизнь доказательства Кем-
Кемпе без какого-либо его подтверждения может служить

свидетельством того, что математики того времени были столь
же мало склонны читать работы своих коллег, как и в на-
наши дни».
В 1890 г. молодой английский математик Хивуд обнару-
обнаружил ошибку в доказательстве Кемпе, заключающуюся в
том, что не всегда можно применить указанные правила
перекраски. Однако, используя это, Хивуд показал, что
если в гипотезе четыре заменить на пять, то она легко до-
доказуема. Проблеме четырех красок Хивуд посвятил всю
свою долгую жизнь (он прожил почти 90 лет) и написал
много статей, где он обобщал эту проблему на более слож-
сложные, чем плоскость, поверхности, но саму ее так и не решил.
Если до этого момента все пытались решить проблему
непосредственно путем различных раскрасок и перекрасок
графа, то после Хивуда основные усилия математиков
были направлены на поиски доказательства существования
правильной раскраски.
В 1913 г. Биркгоф ввел понятие неприводимого графа
и доказал ряд теорем о свойствах таких графов. Пользуясь
этими результатами, американский математик из Филадель-
Филадельфии Франклин в 1920 г. доказал, что гипотеза четырех кра-
красок верна для всех плоских графов с числом вершин, не
превышающим 25. Это направление получило дальнейшее
развитие в работах Эрреры [23], Винна [38]. В 1926 г. Рей-
Рейнольде довел число вершин графов, для которых справед-
справедлива гипотеза четырех красок, до 27. В 1936 г. снова Франк-
Франклин увеличил это число до 31. Затем Винн в 1938 г. довел
это число до 35. И хотя в 1975 г. профессор французской
литературы Майер довел это число до 96, стало ясно, что
дальнейшее его увеличение не приведет к решению пробле-
проблемы, необходим коренной поворот в исследованиях, который
бы дал возможность решить проблему целиком.
Таким поворотом можно считать появление в 1969 г.
работы Хееша [28], в которой он свел вопрос о справедли-
справедливости гипотезы четырех красок к исследованию достаточно
большого так называемого неустранимого множества кон-
конфигурации. При этом основной метод, используемый Хее-
шем,— изобретенный им метод «нейтрализации». Хееш пред-
предполагал, что этот метод, если его в достаточной степени
развить, приведет к решению проблемы четырех красок.
Для многих математиков эта работа осталась почти неза-
незамеченной, остальные (в том числе и авторы данной книги,
которые в 1970 г. познакомились с работой Хееша) были на-
настроены пессимистически относительно перспектив данного

направления. Семь лет понадобилось последователям Хее-
ша Аппелю и Хейкену, чтобы этот путь привел их к желае-
желаемому результату.
2. Доказательства Тэйта,
Кемпе н Хиву да
Рассмотрим произвольный связный плоский граф
G, у которого степень каждой вершины больше двух. Пра-
Правильной раскраской графа будем называть такую раскраску
его вершин (ребер), при которой смежные из них получают
различную окраску. Наименьшее число красок, необходи-
необходимое для правильной окраски вершин (ребер) графа, назы-
называется его хроматическим числом (классом).
В терминах этих понятий гипотеза четырех красок рав-
равносильна высказыванию, что хроматическое число плоского
графа равно четырем.
Поместим внутри каждой грани st графа G вершину х*;
каждому ребру и графа G поставим в соответствие ребро
и*, соединяющее те вершины х\ и х), которые соответствуют
граням S; и Sj по обе стороны ребра и. Полученный таким
образом топологический граф G* является плоским, связ-
связным и называется двойственным к G. Двойственным к G*
является исходный граф G.
Очевидно, что правильной раскраске вершин графа G
соответствует такая раскраска граней графа G*, что любые
две из них, имеющие общее ребро, получат различную окрас-
окраску. В такой именно постановке и возникла проблема че-
четырех красок, известная как «задача раскраски карт», по-
поскольку каждой стране на географической карте соответ-
соответствовала одна грань плоского графа. Тэйт первым перешел
к раскраске вершин графа. Рассмотрим в графе G каждую
нетреугольную грань, и путем добавления ребер разобьем
ее на несколько треугольных граней. В результате получим
максимальный плоский граф G, все грани которого будут
треугольными. Двойственным ему будет однородный граф
Н степени три, или кубический граф, для которого справед-
справедлива следующая теорема.
Теорема I. (Тэйт [35]). Пусть Н — плоский однород-
однородный кубический граф без перешейков; необходимое и доста-
достаточное условие возможности такого раскрашивания граней
графа четырьмя цветами, при котором никакие две смеж-
смежные грани не окрашиваются в одинаковый цвет, состоит в
том, чтобы хроматический класс графа Н был равен трем.

Здесь не учитываются графы с перешейками, так как
в этом случае к перешейку с двух сторон подходит одна и
та же область, что исключает правильную раскраску гра-
граней. Если ребра графа Н правильно раскрашены тремя
цветами (обозначим их цифрами /, 2 и 3), то легко полу-
получить раскраску граней четырьмя цветами а, р, у и б. Для
этого раскрасим произвольную грань цветом а и положим,
что этот цвет через ребро цвета
1 (будем говорить: ребро /) со-
соседствует с цветом р\ через реб-
ребро 2 — с цветом v и через ребро
Рис. 1.
Рис. 2.
3 — с цветом б. При этом, как видно из рис. 1, цвет у
соседствует через ребро / с цветом б и через ребро 3 с цветом
р. Цвет р соседствует с цветом б через ребро 2. Очевидно,
что при такой раскраске граней две соседние грани не по-
получат одинаковую раскраску, ибо это будет означать, что
существует вершина, которой смежны два одинаково окра-
окрашенных ребра, а это противоречит исходной раскраске ре-
ребер. Пусть п — число вершин, т — число ребер и/ — число
граней графа G. По формуле Эйлера
я —/л + / = 2. A.1)
Так как все грани графа являются треугольными, то отсюда
следует
m = 3L A.2)
Для двойственного графа Н число вершин п* = /, число
граней /* = п и число ребер т* = т. Таким образом,
в графе Н число вершин четно и равно 2п — 4. Предполо-
Предположим, что граф Н гамильтонов, т. е. в нем существует га-
мильтонов цикл. Так как в цикле число ребер четное, то
можно попеременно закрасить их цветами 1 и 2. В каждой

вершине циклу принадлежат ровно два ребра, следователь-
следовательно, среди оставшихся ребер ни одна из пар не будет смеж-
смежной. Закрасив все эти ребра цветом 3, получим правильную
раскраску ребер графа Н тремя цветами, что равносильно
правильной раскраске вершин графа G четырьмя цветами.
Тэйт высказал предположение, что всякий плоский ку-
кубический граф без перешейков имеет гамильтонов цикл.
Если бы ему это удалось доказать, то тем самым была бы
решена проблема четырех красок, хотя сам Тэйт и не об-
обнаружил этой зависимости. Однако Татт [36] показал, что
это предположение неверно, и привел пример кубического
графа с 46 вершинами, не являющегося гамильтоновым
(рис. 2). Так как ребра графа однозначно соответствуют
ребрам двойственного графа Н, то теорему Тэйта можно
выразить в эквивалентной форме относительно максималь-
максимальных плоских графов.
Теорема 2. Для того чтобы хроматическое число плоского
максимального графа G было равно четырем, необходимо и
достаточно, чтобы его ребра допускали такую раскраску
тремя цветами, при которой никакие два ребра одной грани
не были бы окрашены одинаково.
Предположим, что нам удалось закрасить ребра графа
G согласно теореме 2. Выделим произвольную грань. Вер-
Вершину а этой грани, смежную с ребрами 1 и 2, окрасим цве-
цветом а, вершину Ь, смежную ребрам 1 и 3,— цветом р*, а
третью вершину с окрасим цветом у. Начиная раскраску
с вершины цвета а по всем ребрам 1, будем попеременно
окрашивать вершины графа цветами а и р. В результате
получим связный двухцветный подграф, который обозначим
через G^p. Затем от вершины с цвета v по всем ребрам 1,
окрашивая попеременно вершины графа в цвета у и 6,
получаем двухцветный подграф G\(,. Если за начало пути
всегда принимать вершины а, Ь и с, то, проведя аналогич-
аналогичную раскраску по ребрам 2, получаем подграфы Glay и Gp6,
а раскраска вдоль путей из ребер 3 дает подграфы Ga6 и
GPv. Выбирая в качестве начальных вершин другие, можно
распространить правильную раскраску на весь граф, при
этом получаем различные двухцветные подграфы Glst, i =
= 1, 2, ..., где s и t — любая пара цветов из набора а, р\ у
и б. Если в одном из таких подграфов поменять местами цве-
цвета s и t, то правильность раскраски графа G не нарушится.
На этом факте основываются почти все дальнейшие исследо-
исследования по раскраскам графов. Обозначим операцию переста-
9

новки красок s и t в подграфе G[t, к которому принадлежит
вершина х, через q^ (st). Так как на эту операцию впервые
обратил внимание Кемпе, такие подграфы иногда называют
двухцветными цепями Кемпе. Для удобства в дальнейшем
будем говорить, что вершины х и у связаны двухцветной
цепью Кемпе ц (st) цветов sat, если эти вершины принадле-
принадлежат одному подграфу G\t-
Свое доказательство Кемпе проводил по индукции.
Пусть п0 — наименьшее число вершин плоского графа, ко-
который нельзя правильно раскрасить четырьмя красками.
а
В плоском графе всегда можно найти вершину х, степень
которой d (x) <; 5. Выделим эту вершину, а оставшиеся
«о — 1 вершин правильно раскрасим четырьмя красками.
Если d (х) = 2 или d (х) = 3, то раскраска легко распро-
распространяется на вершину х. Остаются случаи d (x) — 4 и
d \х) — 5. Рассмотрим первый из них: d (х) = 4.
Пусть все вершины, смежные с х, получат раскраску
различными цветами (рис. 3, а). Если между вершинами /
и 3 существует цепь ц (<ху), то вершины 2 и 4 нельзя соеди-
соединить цепью ix (P8). В этом случае к вершине 2 можно при-
применить операцию ф2 (|3б) и вершина 2 приобретет цвет б,
а вершине х можно присвоить цвет р. Если же вершины /
и 3 нельзя соединить цепью \х (а, у), то, применяя операцию
Фз (av)> получаем для вершины 3 цвет а, а вершине х можно
присвоить цвет у.
Аналогично рассуждал Кемпе и для случая d (x) = 5.
Тогда в окружении вершины х один цвет встречается дваж-
дважды — это цвет Р (см. рис. 3, б). Если не существуют цепи
[I (ау) или ц (аб), соединяющие вершину / соответственно
с вершинами 3 и 4, то, применяя операцию <р3 (ау) (или
Ф4 (аб), исключаем цвету (или б), который и присвоим вер-
вершине х. Следовательно, необходимо предположить суще-
10

ствование цепей ц (ау) и ц (аб). Применим операцию
ф2 фб), в результате которой вершина 2 приобретает^вет б.
Затем, применяя операцию <р5 фу), получаем для вершины 5
цвет у. Тем самым цвет f$ исключается, и его можно при-
присвоить вершине х.
Ошибка в рассуждениях Кемпе состояла в предполо-
предположении непересекаемости цепей ц (ау) и ц (аб). Если же
они пересекаются, как показано на рис. 3, в, то, применяя
операцию <р2 (|3б), можно разрушить цепь \х (аб), и тогда
операция ф6 фу) приведет к одновременной перекраске вер-
вершин 5 и 3, т. е. ни одна из красок не исключается. То же
самог произойдет, если сначала применять операцию tp6 фу).
Эти перекраски можно усложнять, однако, предполагая
пересекаемость соответствующих цепей, всегда получаем
один и тот же результат.
На эту ошибку указал Хивуд. Если окружение вершины
х окрасить пятью красками, то, применяя метод перекраски
цепей, легко исключить один цвет, который можно при-
присвоить вершине х. Тем самым Хивуд показал, что пяти кра-
красок достаточно для правильной раскраски вершин плоского
графа.
3. Приводимость графов
и конфигураций
Биркгоф первым поставил вопрос о том, какими
свойствами должен обладать наименьший плоский граф, ко-
который не раскрашивается четырьмя красками. Назовем та-
такой граф неприводимым. Легко показать, что неприводи-
неприводимый граф должен быть максимальным и степенфкаждой
его вершины должна быть больше четырех. В дальнейшем
будем рассматривать только такие графы, которые обозна-
обозначим G = G (X, U), где X = {*!, х2, ..., хп}, U = [иъ и2, ...
..., ит). Обозначим через aL число вершин графа G, степень
которых равна i. Тогда
'max
A.3)
'max
1=5
n
> a \Xi) = /i
i=\
t
m == '
max
s
=5
Используя формулу Эйлера, получаем
п 'max
? |6 - d (xt)l = ? F - 0 at = 12. A.4)
1=5 {=5
И

Таким образом
at=l2 + a1 + 2at + 3a9 + 4a10 + ... A.5)
Назовем вершину степени / г-вершиной. Любая вершина х
степени шесть или пять будет называться минорной,- осталь-
остальные вершины — мажорные. Вершины, смежные с вершиной
х, назовем соседками; если соседка является г-вершиной,
то назовем ее г-соседкой.
Выделим в графе G произвольный простой цикл Ск
длины k. Он разбивает граф G на две области — внутрен-
внутреннюю и внешнюю. Биркгоф показал, что в неприводимом гра-
графе k ]> 5 и если k = 5, то внутренняя часть состоит только
из одной вершины. В общем случае пусть внутренняя
область состоит из г| вершин (т) ^ 1). Назовем подграф, оп-
определяемый внутренней областью и циклом Ck, конфигура-
конфигурацией К, подграф на множестве внутренних вершин — фи-
фигурой F, или Ft,, а сам цикл Ск — краем фигуры и обозна-
обозначим через R (F). Очевидно, если задана фигура F и степени
ее вершин, то тем самым однозначно определяется и конфи-
конфигурация.
Конфигурация К называется приводимой, если она не
может быть подграфом неприводимого графа.
Очевидно, что все подграфы неприводимого графа яв-
являются неприводимыми конфигурациями. Однако опреде-
определенно утверждать, что какая-то конкретная конфигурация
является неприводимой, нельзя, так как не был построен ни
один неприводимый граф. Более доступным оказалось по-
построить приводимые конфигурации. Дадим конструктивное
определение одного из классов приводимых конфигураций.
Для этого введем на конфигурации операцию стягивания
ребер, О принадлежащих краю фигуры R (F). В резуль-
результате этих стягиваний фигура F трансформируется в какую-то
фигуру D|, где Ь, <ть которая может состоять из несколь-
нескольких компонент. Краем этой фигуры R (D) будем считать
подграф, в который превратится край R (F). При обходе
края R (D) некоторые ребра будут встречаться дважды, но
в разных направлениях. Поэтому всегда будем считать,
что R (D) так же, как и R (F), является циклом (рис. 4).
Фигуру D| с числом вершин I <i], полученную в резуль-
результате стягивания ребер в конфигурации К, будем называть
производной от фигуры Ft,.
По определению граф, полученный из G в результате
операций стягивания, допускает правильную раскраску
'вершин четырьмя красками. При этом R (D) получает оп-
12

ределенную раскраску. Восстановим теперь исходный граф
G и зафиксируем раскраску R (F), такую, как и для R (D).
Начиная с этой раскраски, можно попытаться раскрасить
фигуру F. Если это удается, то, очевидно, граф будет при-
приводимым. Будем говорить в этом случае, что раскраска края
фигуры Я (F) индуцируется на фигуру F.
Конфигурация К называется приводимой, если для ее
фигуры F найдется такая производная фигура D, что при
любой ее раскраске соответствующая раскраска края R (D)
всегда индуцируется на фигуру F.
Рис. 4.
В настоящее время известно очень много приводимых
конфигураций. В основном, они определяются числом 5-
вершин, принадлежащих фигуре F. Перечислим некоторые
из них:
Ki- 5-вершина приводима, если у нее есть три после-
последовательные 5-соседки;
К2: 5-вершина приводима, если все ее соседки минорны;
К3: 6-вершина приводима, если все ее соседки минорны;
Кц\ 7-вершина с более чем четырьмя последовательными
5-соседками приводима;
Къ: «-вершина в неприводимой конфигурации не мо-
может иметь больше п — 3 последовательных 5-соседок
при четном и не более п — 2 таких соседок при нечетном п.
При доказательстве приводимости той или иной конфи-
конфигурации часто используется множество всех раскрасок вер-
вершин цикла Ck, которое обозначим через Фк, при этом под
двумя различными раскрасками вершин будем подразуме-
подразумевать две такие раскраски, при которых соответствующие
разбиения вершин на четыре класса не совпадают.
13

Рассмотрим на примере подсчет числа раскрасок <pft
простой цепи, состоящей из k вершин. Это число понадобит-
понадобится для дальнейших вычислений. Если k — 1 вершин цепи
уже раскрашены, то последнюю вершину можно раскрасить
тремя цветами. Единственное исключение составляет слу-
случай, когда эти k — 1 вершин раскрашены только двумя
цветами. В этом случае раскраска последней вершины дает
только два варианта: в первом варианте раскраска продол-
продолжается одним из двух ранее использованных цветов, во
втором варианте третий и четвертый цвет дают только один
класс разбиения вершин. Таким образом,
<рЛ = Зф*_1 — 1. . A.6)
Продолжим эту зависимость в сторону уменьшения k сле-
следующим образом:
9фй_о — 3,
A-7)
Используя начальное условие ф2 == 1 и складывая все ра-
равенства A.6) и A.7), получаем решение в виде
Ф* = 2 • A-8)
Определим теперь число раскрасок вершин цикла Ck, ко-
которое обозначим через / (k). Использовав известный комби-
комбинаторный принцип, составим соотношение
/(*) = Ф*-/(*-!)• 0-9)
Продолжая его, получаем
—/ (* — О Ф*-1 + / (* — 2),
A.10)
Учитывая, что / C) = 1 и складывая A.9) и A.10), прихо-
приходим к соотношению
/ (к) = ФЛ-Ф *_! + ... + (-1)*ф4 -(-!)*• A.П)
Подставляя значение фА из A.8) в выражение A.11), окон-
окончательно получаем
f{k)= 3*-ЧЗ(-1)Ч2 > (М2)
14

Значения / (k) очень быстро растут, что видно из следующего:
k
4
4
5
10
6
31
7
91
8
274
9
820
10
2461
11
7381
12
22144
Проверка всех производных фигур и поиск среди них таких,
которые дают приводимость конфигурации К, является тру-
трудоемким процессом. Поэтому естественным покажется тот
факт, что до тех пор, пока не стали использовать современ-
современные вычислительные машины, поиск приводимых конфигу-
конфигураций для больших п носил случайный характер.
Производная фигура D, гарантирующая приводимость
конфигурации К, называется редуцентом этой конфигу-
конфигурации.
4. Четыре типа приводимости
конфигурации
Обозначим через У. (F) множество раскрасок кон-
конфигурации К с фигурой Ft,, а множество соответствующих
раскрасок края фигуры через Ф (Fт,). После операций стя-
стягивания внутренних ребер получаем фигуру Dj, где г\ >
> ? ;> 0. Пусть X (D|) — множество раскрасок трансфор-
Риа. 5.
мированной конфигурации с фигурой D$, а Ф (D|) — мно-
множество соответствующих раскрасок края R (D|). Часто
1=0, поэтому, как правило, Ф (D|) = X (D|).
Конфигурация К с фигурой F^ называется Л-приводи-
Л-приводимой, если существует производная от F^ фигура D| (g < т)),
для которой выполняется условие
Ф(^)ПФ(О|) = Фф|). A.13)
Фигура D| в этом случае называется Л-редуцентом конфи-
конфигурации К.
15

Л -приводимость впервые использовал Биркгоф. В ка-
качестве примера рассмотрим следующую конфигурацию:
5-вершину с четырьмя последовательными 5-соседками
(рис. 5, б). Рассмотрим в качестве Л-редуцента граф, по-
полученный из фигуры F стягиванием всех ребер в фигуру на
Р
«*
Рис. 6.
рис. 5, а, т. е. в D|, где I = 0. Раскраска края R (D), пе-
перенесенная на край R (F), легко индуцируется на фигуру
F. Из названных выше конфигурация Къ также является
Л-приводимой. В качестве Л-редуцента, как правило, вы-
выбирается пустой подграф, т. е.
вся конфигурация стягивается в
дерево. После Биркгофа были
еще открыты Л-приводимые кон-
конфигурации. Франклин [24] от-
открыл конфигурации, указанные
на рис. 6. Винн [39] доказал
Л-приводимость конфигурации,
представленной на рис. 7. Во
всех этих конфигурациях Л-ре-
Л-редуцентом является пустой граф,
т. е. конфигурация К стягива-
стягивается в дерево таким образом,
чтобы отмеченные одинаковой
краской вершины совпадали. Можно непосредственно удос-
удостовериться, что такая раскраска R (Do) индуцируется на
фигуру F.
Рассмотрим плоский максимальный граф G, правильно
раскрашенный четырьмя красками. Если в нем выделить
двухцветный подграф Gag, образованный на вершинах с
цветом а и р, то подграф Gy~ определится однозначно. Под-
16
а
Рио. 7.

графы Gap и Gve определяют первое разбиение вершин гра
фа G. Пусть число компонент первого подграфа равно Х-,.
а второго — Х2. Если зафиксировать цвет в одной из компо
нент подграфа Gap, а также в одной из компонент подграф;)
Gve, а в остальных производить в произвольных комбина
циях операции ф (а$) и <р (уб), то в результате получим
2^+*"~2 — 1 новых раскрасок графа G. Будем говорить,
что эти раскраски принадлежат одному классу эквива
лентности первого разбиения. Очевидно, такие же рас
суждения можно привести и для второго разбиения, кото
рому соответствуют двухцветные подграфы Gay и Gpa, или
для третьего разбиения, соответствующего подграфам Gaf
и Gpv.
Рассмотрим теперь множество раскрасок Фв. Число раз
личных раскрасок вершин цикла длины 6 равно 31. Они
представлены в виде диаграммы 1:
1
2
34
56 7
8 9 Ю
11 12 13
М 15 16 П 18 1У
262728 29 303/
От каждой раскраски можно перейти к другой, если
производить операции <р (sf), где s, t — пара из множества
2 1-1333
17

{a, p, у, 6} и s Ф t. Поэтому все перекраски составляют
три разветвления по числу разбиений графа. Каждому раз-
разбиению графа соответствует разбиение вершин цикла на
двухцветные группы, которые чередуются друг с другом.
Относительно этих групп можно предположить, что они
принадлежат или различным компонентам, или одной ком-
компоненте соответствующего двухцветного подграфа. Каждой
такой комбинации будет соответствовать свой класс экви-
эквивалентности. Если таких групп только две, то, очевидно,
в этом случае класс эквивалентности будет состоять только
из одной исходной раскраски. Составим множество экви-
эквивалентных раскрасок (диаграмма 2), взяв за исходную
диаграмму 1.
Рассмотрим, например, раскраску с номером 11. Первому
разбиению соответствуют две группы: в первой группе
вершины 6, 1 и 2 окрашены в цвета а и |3, во второй
группе вершины 3, 4 и 5 окрашены в цвета у и 8.
Операции <р (а$) и <р (уб) здесь неприменимы. Этому раз-
разветвлению не соответствует ни одна новая раскраска.

Это изображено на диаграмме 2 точкой в конце первой
верхней ветви. Второму разбиению соответствует шесть
групп: по одной вершине в каждой группе. Зафиксируем
цвет вершин 1, 2, к остальным применим операции (р (ау)
и ф (рб). Здесь возможны пять классов эквивалентностей:
1) вершины 1, Зи5 принадлежат одной компоненте; тогда
перекраска вершин 4 и 6 дает три раскраски из Ф„— 14, 27
и 28; 2) вершины 1 и 3, следовательно, и вершины 4 и 6
принадлежат одной компоненте; в результате перекрасок
получаем из Ф„ раскраски 12, 26 и 31; 3) вершины 1 и 5 при-
принадлежат одной компоненте; получаем раскраски 13, 27
и 30; 4) вершины 3 и 5 принадлежат одной компоненте; по-
получаем раскраски 1,14 и 17; 5) вершины 1, 3 и 5 принадлежат
разным компонентам; получаем раскраски 17, 30 и 31. В тре-
третьем разбиении получаем четыре группы: 1; 2 и 3; 4; 5 и 6.
Фиксируем цвета в первой и второй группах, к осталь-
остальным применим операции ф (аб) и ф фу). Здесь два класса
эквивалентности: 1) вершины 1 и 4 принадлежат одной ком-
компоненте; получаем раскраску 8; 2) вершины 1 и 4 принадле-
принадлежат разным компонентам; получаем раскраску 5.
Рассмотрим произвольную конфигурацию К с фигурой
F, краем которой является цикл Ck. Пусть для некоторой
производной фигуры D не выполняется условие A.13),
т. е. фигура D не является Л-редуцентом конфигурации К.
Отсюда следует, что часть раскрасок края производной фи-
фигуры Ф (D) принадлежит множеству Фк \ Ф (F). Однако,
если для каждой такой раскраски всегда существует пере-
перекраска, в результате которой получается раскраска из мно-
множества Ф (F), то тем самым будет доказана приводимость
конфигурации К-
Обозначим Ф (F) через Фо (F), а через Фо" (F) — множе-
множество тех раскрасок изФк\Ф0(Р), для перекрасок которых
существует хотя бы одно разветвление, где каждый класс
эквивалентности содержит хотя бы одну раскраску из
Фо (F); Фх (F) = Фо (F) U Ф^ (F).
Конфигурация К. с фигурой Fn называется Б-приводи-
мой, если существует производная от F^ фигура Dg (g < tj),
для которой выполняется условие
Ф1(дПФ(О|) = Ф(% A.14)
Фигура ?>| в этом случае называется Б-редуцентом конфи-
конфигурации К.
В качестве примера рассмотрим конфигурацию Ki, при-
приводимость которой доказал Биркгоф [20] (рис. 8). Все рас-
раскраски края фигуры D представляют собой раскраски в Ф„
о*
г 19

под номерами 5, 11, 14, 23, 27, 28. Из них все раскраски,
кроме 14, непосредственно индуцируются на фигуру F, т. е.
они принадлежат множеству Ф (F). Изобразим Ф (F) в виде
диаграммы, где ольшими кружочками отмечены номера
раскрасок ф (F) (рис. 9, а). Отсюда видно, что множество
Ф (F) состоит из раскрасок {5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 16,
18, 19, 20, 23, 27, 28,
30, 31}. Рассмотрим рас-
раскраску 14. С помощью
диаграммы 2 узнаем, что
третье разбиение не да-
дает новых раскрасок,пер-
раскрасок,первое разбиение содержит
класс эквивалентности
из одной раскраски 4,
которая не входит в Ф^).
Второе разбиение состо-
Рис. 8. ит из пяти классов эк-
эквивалентности, и в каж-
каждом из них найдется хотя бы одна раскраска 11, 16 или
18, принадлежащая Ф (F). Следовательно, фигура D
на ркс. 8 является Б-редуцентом конфигурации К\.
Если проанализируем все раскраски множества Ф6\ Ф(^).
то убедимся, что множество Ф^ (F) состоит из рас-
раскрасок 1, 14, 17, 26, 29. Это отражено на диаграмме
рис. 9, б, где большими кружочками отмечены раскраски
Ф1 (F). Отсюда легко видеть, что для фигуры D выполняется
условие A.14). Пользуясь подобными диаграммами для всех
46 возможных производных фигур, можно обнаружить еще
четыре 5-редуцента конфигурации Кх- Укажем еще несколь-
несколько В-приводимых конфигураций, открытых различными ав-
авторами: 6-вершина с тремя последовательными 5-соседками;
5-вершина с тремя последовательными 6-соседками и двумя
5-соседками (Франклин [24]); 6-вершина с пятью 6-сосед-
6-соседками и одной 5-соседкой (Винн [40]).
Рассмотрим множество раскрасок ФА \ Фх (F). Обозна-
Обозначим через Ф^ (F) подмножество раскрасок этого множества,
для перекрасок которых существует хотя бы одно развет-
разветвление, где каждый класс эквивалентности содержит по
меньшей мере одну раскраску из множества Ф1 (г). Опре-
Определим множество Фг (F) = Фх (F) и Ф^ (F). Очевидно, что
если для какой-то производной фигуры D существует
П A.15)
20

то путем не более двух перекрасок можно перейти от раскра-
раскрасок множества Ф2 (F) к раскраскам множества Ф (F), т. е.
конфигурация К с фигурой F будет приводима. Можно оп-
определить индуктивно: Ф+ (F) есть подмножество раскрасок
множества Фк \ Фу (F), для перекрасок которых существу-
вует хотя бы одно разветвление, где каждый класс эквива-
эквивалентности содержит по # #
меньшей мере одну рас- # #
краску из Фу (F). Тогда . . . ,
Фу+1 (F) = ф, (F) U • • • • • •
U Ф$ (F). В 1937 г. Винн ••• •••
[38] ввел понятие С- • • • • • •
приводимости, которое •••••• ••••••
обобщает понятие А- *11*11 Z 111 11
и В- приводимости. * f . ,,
Конфигурация К с ф°"> щг'
фигурой F^ называется а 5
С-приводимой, если су- Рис 9.
ществует производная от
/•^ фигура D| (I < ц), для которой найдется число v (?>)>
> 1 такое, что выполняется условие
A-16)
причем это условие не выполняется для чисел, меньших
v (D). Фигура D в этом случае называется С-редуцентом
конфигурации К.
В качестве примера рассмотрим конфигурацию Кг и про-
проверим производную фигуру D, изображенную на рис. 10
вместе с диаграммой для Ф (D).
Множество Ф (D) состоит из раскрасок {4, 14, 16, 24,
28, 29}. Фигура D не является В-редуцентом для Kt, как
это видно при сравнении диаграмм Ф (D) и Ф1 (F) на
рис. 9, б, куда не входят раскраски 4 и 25. Находим мно-
множества ф+ (F) для v = 0, 1, 2, ...:
®t(F)={\, 14, 17, 26, 29},
= {3, 4},
= {2\, 22, 24, 25}.
Так как Ф8(Р) - O0(F) U <I>t(F) U ®t (F) J <#(F), то
Для него выполняется условие A.16)
21

Это свидетельствует о том, что фигура D является С-реду-
центом конфигурации Kv Здесь v (D) = 3.
В качестве других примеров С-приводимости перечис-
перечислим конфигурации, описанные Винном в работах [38, 39,
40]: 5-вершина, соседки которой составляют последователь-
последовательность степеней E, б, б, 5); 5-вершина с б-соседками; б-вер-
ч.
* •
в в «
в » •
в • в
• в
в в
в в •
• • О • •
<Р(П)
Рис. 10.
шина, соседки которой составляют одну из последователь-
последовательностей степеней E, 6, 5, 5), E, 5, б, б, 5), E, 6, 5, 6, 5)
или E, б, б, б, 5).
Назовем множество Фо" (F) первой соседней раскраской
для края F; <X>f (F) — второй соседней раскраской для
края F; Ф$ (F) — (v -f 1)- й-соседней раскраской для края
F. Будем говорить, что множества Фу (F) и Ф (F) разделяет
хроматическое расстояние, величина которого равна v + 1,
где v = 0, 1, ...
Так как ФА — конечное множество, то найдется такой
номер v, что Ф-ь (F) будет пустым множеством, т. е.
Ф^+1 = Ф^ (F). Назовем последнее множество верхним мно-
множеством раскрасок края фигуры F и обозначим его через
Ф(^).
Если фигура D является С-редуцентом конфигурации
К с фигурой F, то среди множества раскрасок Ф (Ь) найдет-
найдется хотя бы одна такая, которая принадлежит ФцО)_1 (F),
где 1 ^ v (D) ^ v. Можно подобрать такую перекраску,
которая каждый элемент множества Ф^о)_] (F) превра-
превратит в элемент множества Ф^О)-2 (F) и т. д. Таким образом,
22

все раскраски множества Ф (D) можно с помощью цепочки
перекрасок длины не более v (D) превратить в раскраски
множества Ф (F).
По аналогии предположим, что производная фигура D
находится на хроматическом расстоянии v (D) от фигуры
F, если выполняется условие Ф (D) с: Фур) (F) и если
оно не выполняется для чисел, меньших v (D). Обобщая
понятие С-приводимости, назовем производную фигуру D,
которая находится на хроматическом расстоянии К (О ^
<; К <; v) от фигуры F С^-редуцентом конфигурации К-
Для Я ^ 2 это будет обычный С-редуцент, В-редуцент в но-
новом обозначении представляет собой Q-редуцент, а С0-ре-
дуцентом является Л-редуцент.
Верхнее множество раскрасок Ф (F) состоит из v + 1
непересекающихся классов раскрасок, где каждый из них
соответствует величине хроматического расстояния v (v =
= 0, 1, ..., v), причем нулевому классу соответствует мно-
множество Ф (F). Обозначим W (F) = фк \"ф (F). Предполо-
Предположим вначале, что W (F) Ф 0. Раскраски из этого множе-
множества обладают тем свойством, что от них невозможно ни-
никакими перекрасками перейти к раскраскам множества
Ф (F). Если для каждой производной фигуры D существует
такая раскраска края, которая принадлежит множеству
W (F), то это означает, что для данной конфигурации не су-
существует С-редуцента (так же как А- или 5-редуцента).
Пусть теперь W (F) = 0, что равносильно равенству
Ф* — Ф (F). Это означает, что какую бы производную фи-
фигуру D ни взяли, она всегда будет С-редуцентом конфигу-
конфигурации К. Поэтому вопрос о приводимости конфигурации
можно иногда решать, не прибегая к проверке конкретной
производной фигуры. Этот случай позволяет определить
новый тип приводимости.
Конфигурация К с фигурой F называется D-приводи-
D-приводимой, если для ее края справедливо соотношение
Ф('?)=Ф* (Ы7)
и если для К не существует никакой другой собственной
части F* с краем С*«, для которой
ф(/?*) = ф,,.
Так как v определяет число классов множества ФА,
конфигурация К называется D-приводимой конфигурацией
V-ro класса.
23

Рассмотрим два примера для иллюстрации
мости.
1. Конфигурация К, представленная на рис. 5. Множе-
Множество Ф (F) состоит из элементов {1, 3, 6, 7, 8,11, 12,
13, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 28, 30, 31}. Из диаграм-
диаграммы 2 находим
<Djf(F)={14, 17, 26, 29},
Ф+^)={5, 22, 24},
<t>t(F)={2, 4, 9, 10),
Таким образом, Ф4 = Ф (F) = Фв и К есть D-приводимая
конфигурация четвертого класса.
2. Конфигурация Kt (см. рис. 8):
<D(F)={5, 6, 7, 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 23,
27, 28, 30, 31},
={1, 14, 17, 26, 29},
={3, 4},
= {21, 22, 24, 25}
-{8, 9, 10},
Здесь Ф5 (F) = Ф (F) = Ф6, поэтому /Сх есть D-приводимая
конфигурация пятого класса. В качестве примера D-непри-
водимой конфигурации рассмотрим фигуру F, представляю-
представляющую треугольник из 5-вершин. Для нее Ф (F) = {3, 4,
15, 17, 19, 20, 22, 24, 26, 27, 28, 29, 30, 31}, Ф^ (F) =
- {11, 12, 13}, но ФТ (F) = 0. Здесь Ф (F) =*= фх (F) ф
Ф Фв, т. е. условие D-приводимости не выполняется.
5. Метод нейтрализации
и его развитие
Методы приводимости, начало которым положил
Биркгоф, применялись различными авторами, среди кото-
которых наряду с упомянутыми Франклином, Эррерой и Винном
следует назвать Хайнацки [22], Бернгарта [18], Оре и Стем-
пла [31], Бернхарта [19], Аллеера и Сварта [14] и Майера
24

[29]. Методика расчета у всех была почти одна и та же.
Появление вычислительных машин позволило переложить
на них самую трудоемкую часть в вычислениях, что при-
привело вскоре к открытию новых приводимых конфигураций
с довольно большим внешним циклом. В свое время Бирк-
гоф высказал три возможные альтернативы дальнейших
исследований проблемы четырех красок:
1) гипотеза не верна;
2) можно найти такое множество приводимых конфигу-
конфигураций, что любой плоский граф содержит хотя бы одну
из них;
3) потребуются более сложные методы исследований.
Относительно этих трех альтернатив мнения исследователей
разделились. Следуя первой из них, Мур развил метод
конструирования графов, которые не содержат в качестве
подграфов приводимые конфигурации, опубликованные к
концу 70-х годов. В марте 1977 г. он сконструировал граф
из 846 вершин, который не содержит приводимые конфигу-
конфигурации внутри любого цикла длины не более 11. Проверка
показала, однако, что этот граф содержал приводимую кон-
конфигурацию с внешним циклом длины 12. Этот пример по-
показал, что доказательство гипотезы будет довольно слож-
сложным и оно требует изучения конфигураций с внешним цик-
циклом большой длины.
В работе [28] Хееш начал детально исследовать струк-
структуру плоских графов. Еще примерно в 1950 г. он предложил
уточненную версию второй альтернативы Биркгофа: «Мож-
«Можно найти неустранимое множество неприводимых конфигу-
конфигураций, ограничиваясь окрестностями второго порядка двух
смежных вершин». Он также предложил новый метод ис-
исследования, который получил название метода нейтрали-
нейтрализации. Исходным принципом его является то, что первона-
первоначально каждой г-вершине присваивается заряд, равный
60 F — i). Таким образом, из всех вершин графа только
5-вершины получают положительный заряд +60, а 6-вер-
шины остаются нейтральными, все другие вершины полу-
получают отрицательные заряды. Если воспользоваться равен-
равенством A.4), то можно увидеть, что сумма зарядов всех
вершин графа равна положительному числу 720. Затем по-
положительно заряженные 5-вершины распределяют свои
заряды равномерно на все смежные г-вершины (г ф 5). В ре-
результате «нейтрализации» в каждой j-вершине (i ^ 6) скла-
складывается новый заряд, величину которого легко подсчи-
подсчитать. Если 5-вершина смежна с Я (к ^ 3) 5-вершинами, то
25

по ее 5 — Я. ребрам распространяется заряд, равный ^—г .
Пусть данная i-вершина имеет v 5-соседок, среди которых
\х 5-соседок смежны точно с X 5-вершинами (X ^ 3, Svx = v).
Тогда заряд /-вершины в результате нейтрализации выра-
выражается формулой
z(/) = 30v3+20v2 + I5v,+ 12ve +60F — 0, A-18)
2г@ = 720. A.19)
В последнюю сумму 5-вершины не включаются. В дальней-
дальнейшем положительная или отрицательная вершина будет
упоминаться только в смысле
формулы A.18). Рассмотрим,
например, 8-вершину А на
рис. 11.
Для ее 5-соседок имеем
v3 == 2; v2 = 1; Vj = 3; v0 =
—0. Поэтому
z (A) = 30 • 2 + 20 • 1 +
+ 15 • 3 + 60F—8) = + 5.
Аналогично можно говорить
о положительных или отри-
отрицательных конфигурациях,
если сумма зарядов вершин
соответствующих фигур положительна или отрицательна.
Так как сумма всех зарядов вершин равна 720, то можно
ограничиться исследованием только положительных кон-
конфигураций. Используя этот факт, можно произвести на-
направленный перебор конфигураций, отбрасывая при этом
заведомо приводимые или отрицательные. Хееш исследовал
некоторые специальные классы графов, рассмотрим один
из них.
Пусть в графе ав = а7 = 0. Если /-вершина имеет ровно
/5-соседок, то для нее может быть vs <; / — 2. Как извест-
известно, для четных i I ^ / — 3, поэтому v3 ^ i — 5, в частнос-
частности, если v3 = i — 5, то v2 <I 3. Для нечетных i получаем
V3 ^ ' — 4, и если vs = i — 4, то v2 = 2. В общем случае
для заряда i-вершины справедливы следующие неравен-
неравенства:
для четных i: г (i) < 30 (i — 5) + 20 • 3 + 60 F — i) =
= 270 — 30/; A.20)
для нечетных / : г (i) < 30 (t — 4) + 20 • 2 + 60 F — 0 =
= 280 — 30/.
Рис. 11.

Положительный заряд ^-вершина получает для / = 8, воз-
возможно для i = 9, но для i — 10 имеем г A0) ^ —30.
Для всех случаев i = 9 при v3 > 3 получаются приводи-
приводимые конфигурации, для v3 = 3 имеем
z(9)<30-3 + 20-4 —3 • 60 = —10. A.21)
Таким образом, остается рассмотреть только положитель-
положительные значения z для i = 8. Для 8-вершины Хееш доказывает,
что существует только 16 неприводимых конфигураций с
положительным зарядом, при этом шесть 5-соседок распреде-
распределяются в соотношении 4 + 2. Если две оставшиеся являют-
являются 9-вершинами, то легко подсчитать, что конфигурация
с добавлением этих вершин будет отрицательна. Следова-
Следовательно, эти две вершины являются 8-вершинами, причем они
должны быть отрицательными, так как в противном случае
потребуется такое количество 5-вершин, что образуется
приводимая конфигурация. К полученным конфигурациям
применяется второй шаг нейтрализации, который в общих
словах заключается в том, что добавляются новые вершины
с условием, чтобы общая конфигурация оставалась положи-
положительно заряженной. Хееш показал, что если это условие
соблюдать, то всегда получается приводимая конфигура-
конфигурация, тем самым доказано, что в данном классе графов все
положительные конфигурации приводимы.
Хейкен, будучи студентом Кильского университета,
слушал доклад Хееша и познакомился с основными труд-
трудностями на пути к доказательству гипотезы. В 1970 г. Хееш
сообщил ему неопубликованный результат, который он
считал как финитизацию проблемы четырех красок. Хеешу
удалось доказать, что после первого шага нейтрализации
остается около 8900 положительных конфигураций, боль-
большинство из которых неприводимы. Он надеялся, что если
использовать достаточно большой набор приводимых кон-
конфигураций, то после второго шага нейтрализации можно
получить множество «неустранимых» конфигураций. Хееш
предложил Хейкену разработать алгоритм нейтрализации,
чтобы с помощью ЭВМ произвести необходимые расчеты.
Хейкен вначале разработал простой метод расчета для гра-
графов без 6- и 7-вершин, затем усовершенствовал этот метод
для общего случая. Так они работали вместе до октября
1971 г., пока не появилась работа Шимамото якобы с реше-
решением проблемы. В 1971 г. Хееш сообщил Хейкену ряд
результатов о приводимых конфигурациях. Он рассматривал
три препятствия к приводимости: 1) наличие вершины,
27

смежной с четырьмя вершинами края конфигурации; 2) на-
лкчие вершины, смежной с тремя вершинами края, и уда-
удаление которой делает конфигурацию несвязной; 3) наличие
лвух смежных 5-вершин, имеющих связь только с одной
вершиной фигуры. Присутствие хотя бы одного препятствия
делает конфигурацию неприводимой (если в ней нет соб-
собственной приводимой части).
После Шимамото Татт и Уитни разработали специаль-
специальную теорию препятствий к приводимости [37].
В начале 1972 г. Хейкен предложил разработать такую
процедуру нейтрализации, в результате которой получают-
получаются конфигурации, не содержащие двух первых препятствий
(географически хорошие конфигурации). Осгуд [32] выпол-
выполнил исследования в этом направлении для специальных гра-
графов с 5-, 6-, 8-вершинами.
В мае 1972 г. Хейкен привлек к исследованиям Аппеля,
и до 1975 г. они совместно значительно улучшили проце-
процедуру нейтрализации. ЭВМ использовалась для проверки
внутри положительных конфигураций наличия приводимых
собственных частей (или подозрительных на приводимость).
Если программа нейтрализации приводила к нежелатель-
нежелательным случаям, авторы меняли процедуру нейтрализации,
чтобы избежать их.
В 1974 г. авторы доказали существование конечного
неустранимого множества географически хороших конфи-
конфигураций и описали алгоритм построения такого множества
117]. К сентябрю 1975 г. стало ясно, что дальнейшее улуч-
улучшение процедуры нейтрализации не дает желаемого эффекта,
поэтому было принято решение направить усилия на про-
программирование алгоритма проверки приводимости конфигу-
конфигураций. Эта работа была выполнена совместно с Дж. Кохом.
В 1977 г. удалось получить с помощью ЭВМ множество
неустранимых конфигураций и показать, что все они являют-
являются приводимыми. Тем самым доказательство гипотезы было
завершено.

ГЛ ABA 2
УРАВНЕНИЯ ХИВУДА
В настоящей главе в качестве символов раскра-
раскрасок графа используются элементы конечных алгебраических
полей. Это дает возможность свести проблему раскраски
плоских графов к изучению алгебраических уравнений.
Изучается ряд комбинаторных свойств специально постро-
построенных полиномов. Приводятся некоторые алгоритмы рас-
раскраски плоских графов.
1. Задача о четырех красках
и группа подстановок
Рассмотрим симметрическую группу подстановок
S4 — группу взаимнооднозначных отображений множества
Mi из четырех элементов на себя. Элементы этой группы
будем обозначать как обычно:
/1 2 3 4\
а~ V»i h h hi'
Здесь во второй строке под числом / стоит число i/t в кото-
которое переходит / при подстановке а. Порядок группы St
(число элементов) равен 4! = 24. Как известно, любая
подстановка может быть представлена в виде произведения
транспозиций, т. е. подстановок, представляющих собой
перестановку двух элементов множества. Это представле-
представление не однозначно, однако, инвариант различных предста-
представлений — четность числа транспозиций. Поэтому можно
выделить подгруппу четных перестановок Л4 (знакопере-
(знакопеременную группу степени четыре) —подстановок, они могут
быть представлены в виде произведения четного числа тран-
транспозиций. Эта подгруппа содержит 12 элементов в виде
произведения независимых циклов: е (единица группы)
= A23); s2 ~ A34); s8 = A42); s4 = B43);
= A24); se = A32); s, - A43); s8 « B34).
2»

Подстановки е, tt, t2, t3 образуют абелеву подгруппу груп-
группы At порядка четыре, которая называется клейновской
группой и обозначается буквой В, являющуюся нормаль-
нормальным делителем. Фактор-группа AJB изоморфна цикличе-
циклической группе С3 порядка три.
Сопоставим каждой паре вида (llt i2), ilt h? U» 2, 3,
4), элемент группы В, имеющий подстановку вида fx -*- i2.
Это отображение однозначно. Обозначим его У в O'i. h)-
Пусть задан граф G (W, R), правильно раскрашенный че-
четырьмя красками. Рассмотрим цепь, определяемую верши-
вершинами а»в1, wa>, ..., wa , и соответствующую раскраску
i (aj, i (a2), ..., i (а„) ? М4 = {1, 2, 3, 4}. Тогда каждому
ребру (wak__v wak) соответствует пара i (ak^), i (ak), ко-
которая отображается в элемент группы В Чв (i (<Zk-\),
k—i
i (ak)) ф e. Отметим, что Чв (i (a,), / (aA)) = П WB (i (a,),
i (a/+i)), k = 1, 2 n.
Рассмотрим поле характеристики два Z\ из четырех эле-
элементов 0, 1, a, p со следующей таблицей сложения и умно-
умножения:
1 + а = р; 1 + Р = а; о + р=1;
Легко видеть, что абелева группа сложения этого поля изо-
изоморфна группе В.
Сопоставим каждой вершине w{ графа G (W, R) z (wt) —
элемент поля Z\- Тогда условием правильной раскраски
графа G (W, R) будет следующее:
z (и»?) + z (w,) = у(i ф 0, (i, j) ? /?. B.1)
Для произвольного цикла (w^, wit, ..., win,, = wlt) долж-
должно выполняться условие
S »'*'*+! = 0; У*/** ф 0> / = *- 2 п-
Пусть задан связный граф G (W, R). Запишем систему соот-
соотношений вида B.2) для полной системы независимых цик-
циклов графа G. Обозначим соответствующую систему соотно-
соотношений над полем Z\ через 5 (G).
Теорема 1. Каждому решению системы S (G) вида B.2)
при фиксированной раскраске z (w0) однозначно соответ-
соответствует правильная раскраска графа G четырьмя красками.
30

Доказательство. Для заданной вершины wa ? W
рассмотрим произвольную цепь Са = (w0, wcit, .... o?ft(a)l
wa), соединяющую w0 с wa, и примем
На)
г (wa) = г (w0) + ? ^+р B.3)
где {#</} — решение системы S (G).
В силу B.2) значение г (доа) не зависит от выбора цепи С.
Для двух смежных вершин wa и wa> выражения для
г (wa) и г (wa.) отличаются на величину уаа- ф 0. Таким
образом, раскраска задаваемая формулой B.3), правиль-
правильная. Теорема доказана.
Пусть в графе G задана упорядоченная тройка вершин
{Wiit wit, wia}, которой соответствует цикл длины 3 с ребрами
h = lh, i2V> гг = ih, hh rs = Us, hi
Если г (WiJ, г (w(i), г (wis) принимают три различных зна-
значения из поля Z\, то уц = г (w() + г (Wj) Ф 0, /, / ? [ilt
Ь, ia), i Ф /. Пусть у (rj = ytlU; у (r2) = yttft\ у (г,) = yiih
(рис. 12). Введем следующее обозначение:
Легко проверяются следующие свойства:
а) [У (ri)> У (rt)> У (гз)} является некоторой перестановкой
A. а, Р};
б) Ф (а. г2) = ф (г„ г3) = ф (г„ гх) ? (а, р};
!) ф (г„ г,) = ф-1 (г,, г,).
Таким образом, каждой упорядоченной тройке вершин wlt,
wit, wi% можно поставить в соответствие один из элементов
a, p поля Z\:
V(h, i%, h) = ф(г„, г<а) = ф(Г;2, ггз) = ф(гй, г„), B.4)
где Y (t\, fj, t3) инвариантна по отношению к циклической пе-
перестановке индексов /j, t2. 'э и зависит в определенном
смысле от «ориентации» треугольника [wit, wlt, wti]
(см. рис. 12), диктуемой порядком, в котором расположены
его вершины.
Заметим, что мультипликативная группа поля Z\ изо-
изоморфна аддитивной группе вычетов по модулю 3 Zs с элемен-
элементами A,0, —1}.
Для определенности можно принять следующее соответ-
соответствие при изоморфизме:
а_*1;Р-к_1. B.5)
31

Пусть Т — максимальный плоский граф, изображенный на
двусторонней плоскости, причем с одной из сторон все тре-
треугольные грани ориентированы по часовой стрелке.
Допустим, что вершины этого графа правильно раскрашены
элементами поля Z\ так, что вершине wt соответствует
г (w{) ? Z\. Тогда с учетом введенной ориентации каждой
треугольной грани Aw = [wtl, wtl, wt,] соответствует
W (Лц) — Y (ilf i2, *з), где индексы iu i2, i3 расположены по
часовой стрелке. Рассмотрим подмножество Ма треуголь-
е
Wj,
Рис. 12.
Рис. 13.
ных граней, имеющих wa в качестве своей вершины. Тогда
в силу определения функции Y (Д) имеем
П
С учетом B.5) Y (Ай) можно представить в виде переменной
Хц, х^ ? Zs (а' = а; а = 0; а0 = е). Тогда соотношение
B.6) перепишется в виде
S *„е{1; -l}c=Z, B7)
Пример. На рнс. 13 представлен фрагмент правильно
раскрашенного плоского графа, включающий вершину и
инцидентные ей вершины. По формулам B.4) легко подсчи-
тываются V (Лц); |* =- 1, 2, 3, 4, 5; Y(AX) = Р; Чг (А2) = р;
f(A3) = P; Y(A4) = P; Ч?(Д6) = а и проверяются соотноше-
соотношения B.6) и B.7):
П
*ц = — 1 — 1 — 1 — l-fl=0(mod3).
Назовем плоский граф треугольным или Г-графом, если
его связность больше 1, все его грани, кроме, может быть,
32

внешней, треугольники. Пусть А — множество внутренних
вершин Т-графа G, Ма — множество индексов треуголь-
треугольных граней, инцидентных вершине а. Сопоставим каждой
треугольной грани Дй переменное *й и запишем систему
уравнений над полем Za вычетов по модулю 3:
2 % = 0, а ? А,
?М
4=1. V?M, B-9)
где М — множество индексов треугольных граней.
Теорема 2. Каждому решению задачи о раскраске Т-графа
G элементами поля Z\ соответствует решение {*й} системы
B.8), B.9) такое, что если iu i2, i3 — вершины грани Дй,
расположенные по часовой стрелке, то
? (Дй) = ? (ilt i2, i3t) = о»». B.10)
При условии заданной раскраски двух смежных вершин гра-
графа G каждому решению {х^} системы B.8), B.9) можно
однозначно сопоставить правильную раскраску графа G, при
которой выполняется условие: W (Дц) = а**1.
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает
из приведенного выше обоснования соотношения B.7). До-
Доказательство второй части проведем индукцией по числу
внутренних треугольных граней \ М \. При | М | = 1 система
B.8) и B.9) сводится к одному соотношению х\—\, имею-
имеющему два решения: х!1' = 1, *!2> = —1, которым соответ-
соответствуют две возможные раскраски третьей вершины при фик-
фиксации раскраски двух вершин. Пусть теорема справедлива
для Т-графов с числом треугольных граней k. Докажем ее
для случая | Af | = k + 1.
Если граф G двусвязен и число граней больше единицы,
то он разделяется ребром на два подграфа, каждый из ко-
которых имеет число граней, меньшее или равное k, при этом,
согласно такому разделению, система B.8), B.9) разбивает-
разбивается на две независимые подсистемы (А) и (В) для каждого
из подграфов. В силу предположения индукции при фикси-
фиксированной раскраске вершин разделяющего ребра раскраска
каждого из подграфов однозначно восстанавливается с со-
соблюдением соотношения B.10) по решению соответствую-
соответствующих подсистем вида B.8), B.9). Комбинация из раскрасок
подграфов дает раскраску графа G, соответствующую ре-
Щению системы B.8), B.9), составленного из решений для
подсистем (А) и (В). Если граф G имеет связность больше 2,
3 1-1ззз 33

то рассмотрим две смежные вершины w1 и ада, принадлежа-
принадлежащие внешней грани. Они должны принадлежать также внут
ренней треугольной грани Дц., причем третья вершина wa
этой грани должна быть внутренней (иначе граф G окажется
двусвязным). Удалив из графа G ребро (wlt w2), получи\
Г-граф G' с числом гранен k, которому соответствует систе-
4 ма уравнений вида B.8), B.9),
отличающаяся от системы урав-
уравнений для графа G отсутствием
уравнения л?. = 1 и уравнения
Л *ц = 0. Пусть {х'р} — ре-
Рис 14
шение системы S' вида B.8),
B.9) для графа G'. Согласна
предположению индукции при
фиксированной раскраске двух
смежных вершин графа G' каждому решению системы S' одно-
однозначно соответствует раскраска графа G. Если при раскраске
соответствующей {х'п}, г (wx) = г (w2), то будет выполнять-
выполняться соотношение ? Хц = 0, т. е. решение {х^} не может
й?=й
быть продолжено с х^* = ± 1 на решение системы S для
графа G. Но при этом раскраска вершин не будет являться
правильной для графа G.
Если при раскраске G', соответствующей {х^}, г (wj Ф
Ф г (wz), то s = J] х^ Ф 0, и выбрав х^, равным —s,
6Al
получим, что решение системы S продлено на решение си-
стемы S. При этом соответствующая правильная раскраска
графа G' остается правильной и для графа G.
Теорема доказана.
Систему уравнений вида B.8), B.9) для частного случая
максимальных плоских графов впервые рассмотрел Хивуд
в 1890 г. [27 J. Поэтому назовем эту систему системой урав-
уравнений Хивуда для графа G.
Значения х^ ? [—1, 1] для правильно раскрашенных
треугольных граней Ац можно интерпретировать следую-
следующим образом. Рассмотрим тетраэдр, вершины которого пе-
перенумерованы определенным образом, а грани расположены
по часовой стрелке, если смотреть со стороны вершины, не
принадлежащей грани (рис. 14). Зададим ориентирован-
ориентированную определенным образом плоскость Р и совместим одну
34

из граней тетраэдра с плоскостью Р. Это совмещение может
произойти так, что ориентация грани совпадет с ориента-
ориентацией плоскости или будет противоположна ей. Каждому
такому положению тетраэдра можно сопоставить цикличе-
Рис. 15.
скую перестановку (ilt i2, i3), где ilt i2, i3 — его вершины,
находящиеся в плоскости Р, расположенные в порядке,
соответствующем ориентации Р. Тогда для случая совпа-
совпадающей ориентации получаем следующие циклические под-
подстановки: st = A23); s2 = A34), s3 = A42); s4 = B43). Они
принадлежат знакопеременной группе Л4. Легко показать,
что su s2, s3
ности по нормальной подгруппе В:
еA23) = A23); /хA23) = A34);
4A23) = B43);
a Sg, se, s,, s8 образуют второй класс смежности по нормаль-
нормальной подгруппе В. Смежным классам по группе В можно
поставить в соответствие элементы фактор-группы AJB.
Эта группа изоморфна аддитивной подгруппе вычетов по
модулю 3.
Классу подстановок Кг = (st, s2, s3, s4) сопоставим для
определенности вычет -(- 1 (mod 3), а классу /С2 = (s6, se,
S7. ss) — вычет —1 (mod 3).
Пусть теперь задана правильная раскраска вершин
Т'-графа символами {1, 2, 3, 4}. Тогда каждой треугольной
грани однозначно соответствует определенное положение по
отношению к плоскости графа раскрашенного тетраэдра.
Например, фрагменту Фх соответствуют положения раскра-
раскрашенного тетраэдра, приведенные на рис. 15, а фрагменту
Фг — положения, представленное на рис. 16.
3* 35

Теперь легко видеть, что с точностью до симметрии рас-
раскраске Ам с % = 1 соответствует положение тетраэдра
с подстановкой, принадлежащей классу /С2 (вершиной
«вверх»), а % = —1 — Кг (вершиной «вниз»),
В работе Э. Г. Белаги [2] получены интересные резуль-
результаты, связанные с указанным выше соответствием между
гранями ориентированной правильно раскрашенной триан-
Рис. 16.
гуляции сферы и гранями ориентированного тетраэдра о
пронумерованными вершинами.
Пусть вершина а окрашена символом i ? A, 2, 3, 4}.
Тогда каждой грани, инцидентной вершине а, можно со-
сопоставить одну из трех граней тетраэдра ylt y2> Ys. примы-
примыкающих к вершине с номером i тетраэдра. Согласно этому
отображению множество Ма граней, инцидентных вершине
а, разобьется на три подмножества:
где Aty —
гранью V/
Теорема
Тогда
До к а з а
ма
= М
¦ подмножество
тетраэдра.
3. Пусть
т е л ь с т
SaU)
Jet =
в о.
V: | | /иУ* | | \ЛУ>
a U '''а и 'via >
граней Ма,
= Jl Xn(mod3)
ii Г" АА'!
Покажем, что
отобр ажающихся
, /=1,2,3.
B.11)
С(П СB) ОЙ
огу — Осе ¦— Oqj •
Рассмотрим два случая.
1. Окрестность вершины а окрашена двумя красками.
Тогда все грани из Ма принадлежат одному подмножеству,
например М?, - М% == MJ =5 0. В этом случае знаки
36

соседних граней противоположны, поэтому их четное число
3),
Утверждение теоремы выполняется.
2. Два множества, например, М„ и Ml' не пусты. Рас-
Рассмотрим ребро тетраэдра, лежащее на границе между гра-
гранями Vi и ?2- Выделим з
подмножество ребер
nTlV2, инцидентных вер-
вершине а, отображающих-
отображающихся на это ребро тетраэд-
тетраэдра. Каждое такое ребро
я ? nVlV! граничит с дву-
двумя треугольными граня-
гранями множества Ма, при-
причем для различных ре-
ребер из Пу1Уг эти пары не пересекаются. При этом воз-
возможны такие ситуации (рис. 18). Ситуации А и В вносят
нулевой вклад в Sa" и S®, а ситуации С, D — одинаковый
Рис. 17.
Рис. 18.
вклад (+1 или —1) в Si" и Sf>. Таким образом, S^0 =
Аналогично доказывается, что S^ = S^K
Тогда sg» = № - S<?>.
Следовательно, 5j *u = SS^1' ?e= 0 (mod 3), что соответ-
и?Ма
ствует условию B.11).
Теорема 4 [2]. Пусть М — множество треугольных гра-
граней сферической триангуляции. Тогда для любой правиль-
правильной раскраски
? *ц = 0 (mod 4).

Доказательство. Доказательство проводится по
той же схеме, что и для предыдущей теоремы. Множество М
разбивается на четыре подмножества: Мъ. Му\ Му\ Му>.
Множество М = (] М\ где Му' — совокупность
гра-
ней триангуляции, отображающихся на грань y< тетраэдра.
Покажем, что S, = XI х» Рав"
ны между собой, при / = 1,
2, 3, 4.
Выберем ребро тетраэдра,
инцидентное граням <yi и Уг-
Совокупность ребер раскрашен-
2 ной триангуляции, отображаю-
отображающихся на это ребро, обозначим
через Г12. Каждое ребро г ? Гп
разделяет две треугольные грани,
при этом для различных г ? Г12
эти грани непересекающиеся (два одинаково раскра-
раскрашенных ребра не могут принадлежать одной и той же
грани). Тогда из анализа возможных случаев А, В, С,
D (см. рис. 18) следует, что каждый из них вносит оди-
одинаковый вклад в Sj и S2. Отсюда получаем, что St = S2, ана-
аналогично — Si = S3 = 54. Таким образом, Xj xh — 4Si ^
^ 0 (mod 4), что и требовалось доказать.
В работе [5] получен более общий результат.
Теорема 5. Пусть задан правильно раскрашенный че-
четырьмя красками максимальный плоский граф. Тогда для
любого фрагмента этого графа, ограниченного двухцветным
циклом, выполняется условие
где Ф — совокупность граней, принадлежащих указанному
фрагменту.
Доказательство. Выделим два цвета, например,
/ и 2, которыми окрашены вершины граничного цикла
(рис. 19). Тогда точно так же, как в предыдущей теореме,
можно показать, что SVl = Sy
= Sv., где Sy, =
Ф, — множество граней, отображающихся в ft. (Непосред-
(Непосредственно нельзя лишь доказать, что SVl = Syt) Отсюда
следует,
45Vt s 0 (mod 4).

2. О системах уравнений по модулю 3
Рассмотрим систему уравнений вида
рг(х1, *„..., xn) = 0(mod 3), r = l, 2 /л, B.12)
где pr — многочлен с целыми коэффициентами. Эта система
уравнений эквивалентна системе уравнений вида:
Рг(хи х,,..., хп) = 0, г = 1, 2,..., т, B.13)
где Рг — многочлены над полем Zz вычетов по модулю 3,
причем Рг(хи х2, ..., хп) = 7>г (хи х2, .... хп) (mod 3).
Система B.13) равносильна следующему уравнению над
полем Zs:
^ = 11A-/>?)= 1. BЛ4)
В самом деле, если Рг = О, г = 1, 2, ..., т, то F = I.
Если Рг фО хотя бы для одного г, то F = 0, и равенство
в B.14) не выполняется.
В связи с приложениями к задачам о раскраске особый
интерес представит рассмотрение систем следующего вида:
над полем Z3:
R (*„ х2 хп) = 1; х] = 1, i = 1, 2 п. B.15)
Обозначим через ^ [R] полином, который получается из
R (*ii *s. • м хп) в результате подстановок следующего вида
х?-+ 1; *f+1 ->х„ I = 1, 2 п; k = 1, 2,...
Система уравнений
ЗЧ^И*!, х«,..., *„)=!; *?«1, f-1, 2 r B.16)
равносильна B.15).
Полином & [R], записанный в канонической форме, имеет
вид
где tnn — множество подмножеств множества A, 2, ..., п).
Лемма 1. Если полином Я (xlt x2, ..., хп) принимает над
полем Za лишь два значения: 0 и 1, то необходимым и до-
достаточным условием того, что система B.15) имеет реше-
решение, является
Р[Я] (*!,*, хп)ф0. B.18)
Доказательство. Необходимость очевидна.
99

Для доказательства достаточности заметим, что, так как
при х\ = 1,
i — 1, 2 п, 9 [R] (*1( х2,..., дг„) = R (xv х2,..., *„),
то система B.16) равносильна системе
f(xu х2 хп) = V[R] (хь xv ... ,хп) фО; ?=.1. B.19)
Существование решения для систем вида B.19) легко дока-
доказывается индукцией по п.
Пусть
/ (xlt х2,.... хп) = ? aN П х1Ф 0. .
Без ограничения общности можно считать, что п ? N та-
такому, что a.jj Ф 0. Тогда
/С*а> хъ •••» хп) ~ Xnh(xi> хъ> ••• > ¦*-"— О "Т* /a (*ii -^a
причем Д (^, ^2, .... хп-\) Ф 0 и имеет вид
У а{ы] П ^.
В силу предположения индукции система
M*i, *2. »г хп-1)ф0; ^?=>1, i=»l, 2 п — 1,
имеет решение (**, а4 ..-i xij_i). Тогда отновительир
*„ получим систему вида
± хп + к (х*> х*2, .- , *n-i) #0, 4 — 0,
которая, как легко проверить, имеет решение х„ в поле Z3.
Тогда х* = (х'и #2, ...» Д^п) будет решением системы B.20).
Лемма доказана.
Из леммы 1 следует, что для доказательства существования
решения системы B.15) достаточно показать для некоторого
N ? ЯК„, что аи ф 0.
Лемма 2. Если полиномы /х (xlt xs, ..., хп) и /а (хи х2, ...
..., #„) имеют вид B.20), Д # /я ы ^ и /а могут принимать
лишь Обозначения 0 и 1 при х\ =1, i = 1, 2,..., п, /по си-
м f hixi, х% хп) = 1; в ih (хи х* - , *«) = 1;
|^=з 1, / — I, 2 п; \х1 =а 1, /« 1, 2 п,
мб равносильны.
40

Доказательство. Так как /х — f2 ф 0, то из
леммы 1 следует, что найдется х* = (х], х\, ..., х*п), х\ = 1,
i => 1, 2 п, что h (x*)—h (х*)фО. Так как Д и /,
могут принимать лишь два значения 0 и 1, то х* является
решением одной из систем (А), (В) и не является решением
другой. Лемма доказана.
Обозначим через Zf* = Z3Z3...Z3 — n-мерное векторное
пространство над полем Z3; Mn cr Zf1 = \xlx\ =1; t = 1,
2, ..., п). Из леммы 2 следует, что каждому подмножеству
К ? Мп однозначно соответствует полином вида B.20),
принимающий на Мп два значения 0 и 1 и такой, что К —
максимальное подмножество Мп, все элементы которого
являются корнями уравнения f (х) — 1, x^Zf\
Это соответствие будем выражать в виде
*-*-/[*](*). B.21)
Оно индуцирует соответствие между К и коэффициентами
un в представлении вида B.20): К -> un (К) так что Дк] (х) =
aN(K)Ux(.
„
Найдем «явное» представление для аи (К).
Рассмотрим
где
RlKi (хь х2,..., хп) = 2 П [1 - (х, - а,)аЬ B.22)
Легко проверить, что при х ? К R\k] (х) = 1, при л; 5 Я
#[*]'(#) — 0» следовательно, Ф [R[k.]\ (л:)Акак раз и дает
отображение К -> /[j<j (jf).
Из B.22) получаем
/S ПаЛПх!.
41

Учитывая, что at принимают значения ±1, 1=1, 2, ...»
п, введем обозначения
'=' к = Kt и
Из B.23) получаем
^ (— 1 )"+¦ (\К\ + \Kt\) (mod 3). B-24)
Пример. n = 2/t=- {A; 1); A; -1)}.
ВЫЧИСЛИМ f[K] (X).
\Kt\ = 2; |К&| = 2; щи = 1; I^.dI = 1; |/С| = 2;
а0 (/С) = _ 1 B + 2) = (- 1) (mod 3); ат (К)ш*-\ (mod 3);
а{2} (К) ss 0 (mod 3); a{U> (/С) = 0 (mod 3).
Таким образом, Дк] (х) = —1 —хг.
Легко проверить, что при х = К Дк] (х) = 1, а при л; G
6 М2 \ К Кк] (х) = 0.
Замечание. Для N = 0 (свободный член) Kb = К,
а® (К) = (—1)" \ К \, т. е. свободный член flK] (x) с точнос-
точностью до знака совпадает по модулю 3 с числом решений си-
системы: Дк] (х) = 1; х ? Мп.
Рассмотрим частный случай системы вида B.13), когда
Рг представляют собой линейные формы от п переменных
над полем Z3:
Pr (*i. х2 *„) = 5] аг, х, = 0, г = 1, 2,.... т. B.25)
/=i
Без уменьшения общности можно считать, что строки мат-
матрицы
А = {ar,} r=i'l'*.".7,m линейно независимы (в противном
случае часть уравнений можно отбросить, получив при
этом систему, равносильную системе B.25)). Поэтому бу-
будем считать, что ранг системы B.25) равен т.
Система B.25) равносильна уравнению
т ',
F{x) = l, где F(х) = П [1 -Pl(x)\. B.26)
42

С другой стороны, разрешив систему B.25) относительно т
базисных переменных, обозначив их символами уи yit ..., ут,
а остальные при определенной перенумерации zu z2, ...
получим' эквивалентную систему следующего вида:
= 0, /= 1, 2,...,m. B.27)
Система B.27) равносильна уравнению
&(у,г)=>1, B.28)
где
tn п—тп,
tn п—m
= (- \)m П (tt + ? Ь„г, + 1)^+2 b{j2, - 1)].
B.29)
Представляют интерес решения B.29), удовлетворяющие
условию
^ = Z/= 1, «= 1, 2,..., m; /= 1, 2 п — тп,
т. е. у?~Мт; г?М„-.т.
Получение этих решений связано с изучением полинома
где $> [Sf ] — полином, получающийся из 3" {у, г) в резуль-
результате подстановок вида «/?-> 1, i = 1, 2, .... tn; if -> 1, / =
= 1, 2, ..., « — т.
Рассмотрим полином
(г) = 2 flw».w, П г,,
где yv* = {1, 2, ..., m}; 5s* [#"] (г) можно интерпретировать
как коэффициент & W\ {у, г) при Пус, если PIS'] (у, г)
рассматривать как полином от у, считая г константой.
Из B.29) получаем
3» [Г] (г) = ^((-irvfl ("f V/ + а<I • B-31)
43

где Q = Мп-т — множество (п — т)-мерных векторов
координатами ± 1.
Несложный анализ показывает, что
т
^П№ + щ) = 2* П /?». B.32)
а?П/=1 1=1
Это тождество легко доказывается индукцией по т. Из
B.31), B.32) получаем
{т In—т \ \
(-i)Tn( s V,- И
<=i \ /=i /J
ПB V/1 (mod3). B.33)
Таким образом, составляющая полинома Ф [fr] (у, г), де-
лящаяся на Г[у{, имеет вид B.33). С другой стороны, для
решения системы B.27) с у{ Ф 0, i = 1, 2, ..., т\ zt=^ О,
/ «= 1, 2, ..., я — т, достаточно решить систему
п—т
? Ьиг,ф0, i=\, 2,..., т;
2/= !. /'= !. 2. •••> п —/и,
которая равносильна системе
O, z?Mn-m,
или
n(S ftr/Z/j^O, zGM«_m. B.34)
Согласно лемме 1 система B.34), а значит, и система B.25)
при х ? Мп будет иметь решения тогда и только тогда,
когда
[т /п—т \~\
nfSV/jl^O- B-35)
Из приведенных выше рассуждений вытекает следующая
теорема.
Теорема в. Для того чтобы система уравнений B.25)
п
с матрицей ранга т: J] о*/*, = 0; i = 1, 2, ..., т, имела
44

решение х* ? Мп, необходимо и достаточно, чтобы f (z),
определяемый B.35), был отличен от нуля. Коэффициент
as полинома Ф [3~ (х)}, определенного по B.30), при N =
= N* U N', где N* — множество индексов исключаемых ба-
базисных переменных, N' — множество индексов небазисных
переменных, равен коэффициенту аы- полинома / B), где
N" — множество индексов переменных х{, соответствующих
переменным xk, k ? N'.
Перейдем теперь к исследованию системы уравнений ви-
вида B.8), B.9) для максимальных плоских графов с п вер-
вершинами. Линейная часть системы содержит (« — 3) урав-
уравнения и Bя — 5) неизвестных. Эти уравнения являются
линейно независимыми, и, выбрав (п — 3) базисных пере-
переменных и решив систему B.8) относительно них, запишем
эквивалентную систему следующего вида:
у{ + f,- (г) = О, I = 1, 2, . , п - 3; г ? Z^~2\ B.36)
где fi (г) — линейные формы от г.
В систему B.36) не входит переменное *2л-4, соответ-
соответствующее внешней треугольной грани. Так как любая грань
в планарном графе при определенном отображении его на
плоскости может оказаться внешней, то выделение какой-
либо одной грани является неестественным. Добавим к си-
системе B.8) еще одно уравнение вида
^ *и = 0 (mod 3),
где а* — некоторая вершина внешней треугольной грани.
Теперь получим следующую систему:
' а \Х) = 2_) Ху. = V, OS = W U a i /о о7\
"а
4 = 1, A=»1, 2,..., 2я-4, B-38)
линейная часть которой содержит (п — 2) уравнения и
Bя — 4) неизвестных.
Пусть
2" Ос) ="п[1—Ра (*J, х = (хи х2,. ,, жап-0, B.39)
Ф (*) =
Условие ф (х) ф 0 является достаточным для существова-
существования решения системы B.38).
45

Выделим подмножество индексов переменных nit содержа-
содержащее (п — 2) элемента, которые соответствуют выбранным
(п — 2) базисным столбцам системы B.37), П2 — дополни-
дополнительное подмножество индексов. Получим условия следую-
следующего вида:
%i + ft (x [П,]) = 0, I ? Пх; * [П2] = {Xj\ /бп„
х ? М2п-4,
где Д(*[Па]) —линейные формы от переменных, индексы
которых принадлежат П2.
Рассмотрим полином
}
Из теоремы 6 немедленно вытекает следующее утверж-
утверждение.
Теорема 7. Для того чтобы система B.37), B.38) имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы R (#[П2]) #0,
для произвольного множества Г^ индексов, соответствующих
совокупности базисных переменных. Коэффициент ап.илг
полинома ф {х) равен аы- полинома R (х Ш2 ]) при N' s Па.
Пусть В ((nj) —матрица коэффициентов линейных форм
fi(x[n2]), при определенном упорядочении индексов пере-
переменных, входящих в Па.
Теорема 8. Перманент матрицы В [nj не зависит от
выбора системы базисных переменных. При любом Ut
per В (tnj) = (— /)" per A2n-i, где А2п-4 —матрица, кото-
которая получается из матрицы системы B.37), если каждую
ее строку записать дважды.
Доказательство. Полином 3 (х), определяемый
B.39), имеет степень B/г — 4) и зависит от Bп — 4) пере-
переменных. Пусть N* = {1, 2, ..., 2п — 4}. Тогда a/v поли-
полинома ф (х) = Ф [9~ (х) \ совпадает с коэффициентом & (х) при
24
2«—4
П
;' B.40)
Легко видеть из B.40), что per A2n-i — 2"~ с, где с —
2«—i
коэффициент при П х{ полинома 3 (л;). Таким образом,
46

яд,. = с = B"-2Г' per А-ы-i -¦ (—1)" per A2n-4 (mod 3).
С другой стороны, в силу теоремы 7 а,у совпадает с ап2 —
старшим коэффициентом полинома R (х Ш2]), который ра-
равен per В [П, ]. Таким образом, над полем Z3
регБ1П1]=(—1)"регЛ2л-4.
Теорема доказана.
Теорема 9. Число решений задачи о раскраске максималь-
максимального плоского графа при фиксированной раскраске вершин
одного из ребер сравнимо по модулю 3 с коэффициентом при
старшем члене аы* полинома ф (х) (см. B.39)).
Доказательство. В силу теоремы 2 число ре-
решений задачи о раскраске максимального плоского графа
Тп при фиксированной раскраске одного из ребер совпадает
с числом решений системы B.37), B.38). Пусть К s 7И2я_4 —
множество решений системы B.37), B.38). Коэффициент аы*
полинома ф (х) выражается в соответствии с формулой
B.24) следующей величиной:
Из теоремы 4 вытекает, что для любого х ? К
2*^ = 1*+1 - |Л~| = 0 (mod 4). B.41)
Здесь Х+ — подмножество компонент х, принимающих зна-
значение + 1, Х~ — принимающих значение —1.
Из B.41) вытекает
\Х+\ — \Х~\ = 2п — 4 — 2 |Л~| я 0 (mod 4),
|Х~|=зп (mod 2).
Таким образом, при п четном КИ* ~ 0, /<ut« = /С; при
п нечетном /Слл = К, К~ы' = 0-
Отсюда UN-- = \ К |. Теорема доказана.
Теорема 10. Допустим, что максимальный плоский граф
Тп является критическим по отношению к раскраске четырь-
четырьмя красками. Тогда граф 7^_ь который получается из Тп
путем стягивания по некоторому ребру г должен иметь
число решений, кратное трем.
Доказательство. Так как граф Тп является
критическим, то, если удалить ребро г, оставший я частич-
частичный граф Тп будет иметь только такие правильные раскрас-
раскраски четырьмя красками, при которых вершины, инцидентные
47

г, имеют одинаковые раскраски. Но тогда существует
взаимнооднозначное соответствие между множеством пра-
правильных раскрасок графа Т'п и графа 7^_i. Система урав-
уравнений относительно графа Т'п вида B.8), B.9), если в каче-
качестве внешней грани принять четырехугольник, диагональю
которого служило удаленное ребро г, содержит (я — 4)
уравнения относительно Bл — 6) неизвестных. Система ви-
вида B.37), B.38) для графа Тп-\ будет содержать (п — 3)
уравнения относительно тех же Bп — 6) неизвестных. Мно-
Множества Кг и /Сс решений этих систем совпадают, поэтому
должны совпадать в силу леммы 2 и соответствующие по-
полиномы / \КГ\ и / 1КС]. Но полином / [Кг] не может иметь
степень, выше Bя — 8). Следовательно, старший член / [Кс]
2п—е
при П -V*jv (ТСп~\) должен быть равен нулю. Из тео-
ремы 4 вытекает, что | Кс \ = 0 (mod 3). Теорема доказана.
Таким образом, если будет установлено, что для некоторого
графа Тп per А2п-4фО (mod 3), то не только этот граф мо-
может быть правильно раскрашен четырьмя красками, но этим
свойством обладает и любой граф Тп+и из которого граф Тп
получается путем стягивания по некоторому ребру.
3. Алгебраические неравенства, связанные
с раскраской треугольных графов
тремя красками
Назовем граф G Д-графом, если каждое его ребро
гх инцидентно двум ребрам г2 и г3 таким, что ребра гъ га,
г3 образуют цикл длины 3 (треугольник).
Рассмотрим алгебраическую задачу, эквивалентную за-
задаче о правильной вершинной раскраске А-графа G тремя
красками. Сравним каждую вершину w( с переменными xit
принимающими значения над полем П, и рассмотрим множе-
множество А = {CfcJfcLi циклов длины 3 такое, что любое ребро
графа G принадлежит хотя бы одному из циклов Ci ? A.
Выберем коэффициенты а, р* ? П таким образом, чтобы
уравнение над полем П, имеющее вид
х**=ах + $, B.42)
содержало три различных корня уъ у2, у3 ? П. В силу тео-
теоремы Виета Vi + Yz + Ъ = 0.
Вопрос о правильной раскраске графа G тремя красками
48

сводится к сопоставлению каждой переменной х1 одного из
значений уц 7г. Тз таким образом, чтобы инцидентным вер-
вершинам соответствовали два разных значения. Тогда пере-
переменные вершин «„ i2, i3, принадлежащие одному треуголь-
треугольнику, должны удовлетворять соотношению
xix + xt2 + xt3 = 0; xix ф xi2; xi2 Ф xib\ xi{ Ф xi3\
B.43)
x) = axi + p, i = ilt t2) i3.
Легко проверить, что система соотношений B.43) избыточна
и может быть заменена эквивалентными системами
Xtx + Х{2 + xl3 = 0; *,, Ф Xi2\
х] « axt + P, i = h, it, B-44)
или
xf = axt + p; i = flt «2, «3; д;^ # xti; x'2 Ф Ъ# Ь± ^ ^.
B.45)
Задача о правильной раскраске графа G эквивалентна по-
получению решения для системы соотношений вида B.44) или
B.45), выписанных для всех циклов Cl ? А. Соотношения
типа B.44) позволяют исключить часть переменных х{. Это
можно сделать, применив следующую последовательную
процедуру.
Обозначим через Gk частичный подграф графа G, сово-
совокупность ребер и вершин которого является соответствен-
соответственно объединением ребер и вершин, принадлежащих циклам
С?, Сг,..м С*; х (к), х <*>, х <*> — вершины, инцидентные цик-
<i h 1з
лу с|; gn = g.
На первом шаге исключения используем соотношение
B.44) для исключения переменной х (d : x m = —х ,и —х A).
Система соотношений для графа Gt приобретает следующую
форму:
где Х0) — вектор неисключенных переменных графа G^,
х A) назовем исключенной переменной. Далее по индукции.
Пусть для графа Gk, k <. N, Х(к) — упорядоченное
4 1-1333 49

множество (вектор) неисключенных переменных Yik) — мно-
множество исключенных переменных. Тогда ему соответствует
система соотношений вида
?Rk; B.46)
Х(к\ B.47J
Ylk), B.48)
где Rk — множество индексов неравенств; сра, ft — линей'
ные функции от вектора Х{к). Для общности будем писать
Xj = // (Х(к)), если Xj ? Y{k\ Каждому решению системы
B.46) — B.48) можно сопоставить правильную раскраску
графа Gk. Рассмотрим граф Gk+u который получается пу-
путем добавления к графу Gk цикла С{+\-
Возможны следующие случаи:
a) C|+i не имеет с графом Gk общих вершин. В этом случае
система соотношений B.46) — B.48) пополняется следую-
следующими:
Ф 0; B.49)
Xt = <XXi + р, * = *i , 12 1 (Z.DU)
B.51)
б) d-н имеет с графом Gk одну или две общие вершины,
причем вершина х.<*+п не относится к графу Gft. Система
соотношений B.46) — B.48). пополняется следующими:
<+„ (Х(к)) - /„,+„ (Х(*>) gfc 0, B.52)
если ребро [х $+1), х (k+i)] не входило в граф Gk;
11 12
х? = аж, + р B.53)
для той вершины wlt i ? {i\k+1), /2*+I)}, которая не при-
принадлежит Gk (если такая имеется);
<+> /г(+) ( /,(+, () B.54)
в) Ctt-i имеет с графом Gfc три общие вершины. В этом
случае соотношения B 46) — B.48) пополняются следую-
следующими:
/,<ft+I> (Х'к)) - /,<*+,, (Х(*() Ф 0, B.55)
50

где вершины w (k+\) и w {k+i) инцидентны ребрам CL_r,
'2 lp
не входящим в Gk.
В результате описанного выше процесса исключения пе-
переменных получаем для графа G = GN систему условий от-
относительно неисключенных переменных вида
фа (Хт) Ф 0; B.56)
Xi = CCXf -f- р, Xt t Л , (/.О/)
где фа — линейные функции.
Каждому решению системы B.56), B.57) будет соответ-
соответствовать правильная раскраска графа G, и, наоборот, от-
отсутствие решения будет свидетельствовать о невозможности
раскраски графа G тремя красками. Полученная система
соотношений может рассматриваться над произвольным по-
полем П, в котором уравнение х3 = ах + E имеет три различ-
различных корня, в частности над полем комплексных или веще-
вещественных чисел.
С точки зрения комбинаторики наибольший интерес
представляют соотношения вида (А) : х] = *(; (В) : х\ = 1.
Первое соотношение имеет в поле вещественных чисел
три корня: 0, 1 и — 1. Они сохраняются и для любого ко-
конечного поля характеристики р ф 2. В поле характеристи-
характеристики 2 имеется лишь два корня: 0 и 1, так как 1 = —1.
Соотношение (В) : х] = 1 имеет три различных корня
в поле комплексных чисел и в полях характеристики р Ф 2,
в которых уравнение &2 + k + 1 = 0 (mod p) имеет реше-
решение. Докажем лемму.
Лемма 3. Сравнение k2 + k + 1 нз 0 (mod p) справед-
справедливо для бесконечного числа простых чисел р.
Доказательство.
jJ B.58)
Из закона взаимности для квадратичных вычетов для р > 3
имеем /— i-j = 1, если р е= 1 (mod 6).
Таким образом, уравнение B.58) имеет решение
выражающееся в форме р — 6/г + 1, где п — целое
для р,
число.
51

По теореме Дирихле об арифметической прогрессии простых
чисел вида F/г + 1) бесконечно много. Примерами таких
чисел являются 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67 и т. д.
Доказательство леммы закончено.
Заметим, что вопрос о существовании бесконечного ко-
количества простых чисел, представимых в виде р = k* + k +
+ 1, где ft — целое число, до сих пор не решен [11].
Рассмотрим одно из простых чисел р вида Fя + 1) и
найдем два решения сравнения х2 + х + 1 == 0 (mod p).
Легко видеть, что если х1 — один из корней, то хг => х\
также удовлетворяет этому сравнению. В самом деле,
*? + *,+1 =*} + *?+1 =
= D+ *i + !)(*? — *i + l)=»0(modp).
Корни хи хг и 1 образуют три решения уравнения хъ as 1
над полем характеристики р.
Лемма 4. В поле характеристики для 1\ уравнение х3 = 1
имеет три корня, если г — четно.
Доказательств о, Пусть г =ч 2т. Справедливо
соотношение х2'-х —1=0 [111. При г = 2т 2Г — 1 «
= 4т — 1=0 (mod 3). Поэтому справедливо разложение
хг—1 — 1 = (х3 — 1) Р, где Р — некоторый полином
степени 2Г — 3 — 1. Таким образом, имеются три элемента
поля Z?, удовлетворяющие уравнению х3 — 1=0.
Лемма доказана.
В частности, при г =¦ 2 в поле Z\, состоящем из четырех
элементов 0, 1, а, р\ уравнению х3 — 1 удовлетворяют 1, а
и р. Пусть над полем П задана система соотношений.
U ta, «2. • • •. Хп) ф 0; а ? [ 1, т\\ B.59)
X) = J а,*;, t=l, 2, ..., я, B.60)
где /а — полиномы от п переменных.
Рассмотрим полином
& (X) - П /а(*1, *а Хп) И Р (X)
где f^ 1^" (х) | — результат подстановок вида
**-*?сс^ в У (ж).
«•«-о
52

Теорема 11. Если поле П имеет не менее k элементов,
а уравнение B.60) — k различных корня, то для существо-
существования решения системы B.59) и B.60) необходимо и доста-
достаточно выполнение условия Р (х) ф 0.
Доказательстве Если х = (xlt хг, ..., хп) удов-
удовлетворяет Bj60), to <f (х) = Р (х). Если х_ удовлетворяет
B.59), то 9~ (х) Ф 0. Таким образом, если х удовлетворяет
B.59), B.60), то Р (х) = & (х) Ф 0, и необходимость по-
показана.
Докажем достаточность условия Р {х) Ф 0.
Лемма 5. Если множество A s П имеет не менее k эле-
элементов, и в полином ф (х) =ф (Жц #2| ••••> хп) Ф 0 каждая
переменная х{ входит в степени, не превышающей (k — 1),
то существует решение неравенства ср (xlf х2, ..., хп) Ф 0
такое что xt ? А.
Доказательство. Доказательство проведем ин-
индукцией по п. При (п = 1) уравнение ф (хг) = 0 имеет не
более (k — 1) решений, следовательно, существует х{ ? А
такое, что ф (xt) ф 0.
Пусть лемма справедлива для п = р ^ 1. Докажем ее
для п = р + 1.
ft-i г
ф {хи хг хр+1) = ^ у?г(х1,х2,...,Хр)хр+и причем хотя
бы для одного г ? {0, 1, ..., k — 1} Y- ф 0. Из предполо-
предположения индукции вытекает существование вектора хи х2, ...
...,хр?А, для которого ур- (xlt xit ..., хр) ф0. Уравнение
S ^"гС^и хы •••• хр) Хр+\ = 0 имеет не более (k — 1) реше-
ний. Следовательно, найдется хр+1 ? А такой, что ф (хи
хъ ..., хр+\) Ф0. Лемма доказана.
Теорема непосредственно вытекает из доказанной леммы,
если в качестве А взять множество решений уравнения
B.60).
Для частного случая П3 остатков от деления на 3
имеется единственное уравнение третьей степени, опреде-
определяющее три различных элемента, а именно х3 = х. Это
Уравнение тождественно выполняется для всех элементов
поля П,{1, 0, -1}.
Пусть Фа(Х(Л°)^0, а?А; B.61)
*? = *,; х^хМ B.62)
53

Система соотношений, полученная для графа G над полем
П3. Среди линейных форм <р2 (Х(ЛГ>) найдем максимальную
систему линейно независимых {фр}, Р?В и выразим
остальные как линейную комбинацию {фр}. Относительно
переменных фр получим систему соотношений
ФРеП3; B.63)
<х?А\В, B.64)
где La — линейная функция, выражающая фа через фр.
Так как соотношение фр Ф О эквивалентно фр?= 1 (mod 3),
то вопрос о раскраске графа G сводится к существованию
решения следующей системы:
B.65)
B.66)
Применим описанные выше рассуждения к задаче о трех-
трехцветной реберной раскраске графа G, двойственного к пло-
плоскому максимальному графу Тп с п вершинами. Граф G
пленарный, однородный, степени четыре, можно предста-
представить себе образованным вершинами Rh лежащими на реб-
ребрах rt графа Тп, причем ребрами соединены те и только те
вершины, которые соответствуют ребрам одной и той же
треугольной грани графа Тп. Для графа G естественным об-
образом определяется система циклов длины 3 Cl, получаю-
получающихся из вершин Ru Rt, R%, относящихся к ребрам гаи
г%, г%, принадлежащим к общей треугольной грани Да.
Граф G имеет (Зп — 6) вершин. Сопоставим каждую вер-
вершину Rt переменному xt.
Согласно предыдущим рассуждениям, каждой треуголь-
треугольной грани Да будет соответствовать система соотношений
над полем П3 вида
5 B-67)
х(фхи I, i?Ma. B.68)
Выберем в графе Тп произвольное остовное дерево D, ко-
количество ребер которого равно (п — 1). Переменные *,-,
соответствующие ребрам, не входящим в D, образуют базис
линейной системы B.67). Обозначим множество переменных
(и соответствующих им ребер), входящих в D через О (D),
а дополнительное множество, образующее базис системы
B.67) (и соответствующих им ребер),— через Б (D). Базис
Б (D) содержит Bм — 5) элементов, которые линейно вы-
выражаются через переменные, входящие в О (D).
54

Таким образом, каждое xt представимо в следующем ви-
>(?)*„. B.69)
С другой стороны, из B.67) следует, что
L? (X) = х( + ? Р«/«; р
Так как сумма коэффициентов fa равна нулю, то
Е a|f)(D)=l, t=l,2 3/г —6.
)
B.70)
Рассмотрим систему С^ циклов графа G. Воспользуемся
приведенной выше последовательной процедурой исклю-
исключения соотношений, частично упорядочивая множество С„
следующим образом: 1) в ка-
качестве С? выберем треуголь-
треугольник графа G, две вершины ко-
которого соответствуют ребрам,
принадлежащим О (D); 2)
пусть исследовано k циклов
вида Ся, тогда в качестве
(k -j- l)-ro цикла рассмотрим
треугольник графа G, у кото-
которого две вершины или соот-
соответствуют ребрам из О (D),
или принадлежат уже рас-
рассмотренным циклам. При этом получим Bя — 5) соотно-
соотношений вида B.65).
Пример, п = 8.
На рис. 20 изображен граф Т8, максимальный плоский
граф G с восьмью вершинами. Внешняя грань — треуголь-
треугольник. Имеется B/г — 5 = 11) внутренних треугольных гра-
граней и соответствующих им циклов длины 3. Римскими циф-
цифрами обозначены номера этих циклов.
Система неравенств имеет следующий вид:
Рис. 20.
/. х1—х2фО;
П. хъ — (—х1 — *2
III. х2 — х3фО;
IV. хв — х7фО;
V. (—xi — x3) —
хь Ф 0;

VI. х3-х4фО; B.71)
VII. х2 + х3 + хв + х7 — (— х3 — х4) —
= хг — * з + *4 + «в + х7 Ф 0;
г 111т Ху ""^ ^—~ Д^д —— ^^ —- Д^ —|- л^/ ¦*¦"•
= — *7 + хв + х2 — хх Ф 0;
IX. х4 — хьф0;
X. x2 + xi — xi — (—xt — x5) = x2 + xb + x^0;
XI. х1 + х2 — хъ — (— х2 — х4 + хъ — *в) =
= *! — х2 + xt + хъ + хв ф 0;
Таким образом, если есть максимальный плоский граф
Тп, то каждому остовному дереву D этого графа соответ-
соответствует система линейных неравенств относительно перемен-
переменных, соответствующих ребрам остовного дерева, следую-
следующего вида:
fli(x) = LF(x)-Lf(x)ф0¦, B.72)
где (?, /) ? R (D), R (D) — множество, состоящее из B/г —5)
пар ребер, таких, что элементы пар принадлежат одной
и той же треугольной грани.
Линейные выражения /,/(*) зависят от (п — 1) перемен-
переменных, принадлежащих О (D). Но в силу B.70) сумма коэф-
коэффициентов линейных форм fn (x) равна нулю. Следова-
Следовательно, ранг матрицы системы B.72) В (D) не превышает
(п — 2). Легко показать, что ранг матрицы В (D) в точности
равен (п — 2).
Выберем (п — 2) строки матрицы В (D), образующие
подматрицу ранга (п — 2) и соответствующие линейным
выражениям из B.72): /(|) (х), f2) {x), ..., f ~2 (х) и сделаем
замену переменных: yt = f!) (x), i= 1, 2, ..., п — 2.
Тогда система неравенств B.72) в новых переменных примет
следующий вид:
Ф*(У)ФО, а= 1, 2, ... , п — 3; усф0,
t=l, 2, .... п — 2, B.73)
или
Фа(у)ф0, сс=1, 2, .... /г-3; tf-l,
t=l, 2, ..., /г —2, B.74)
где Фа (у) • ¦ линейные формы от уи у2 #„_2. В силу
теоремы 11 для существования решения системы B.74) не-
56

обходимо и достаточно следующее условие:
[л—3 Л
П Ф« (у) #0, где #> [<F] — результат подста-
новок вида у{-*-1 в полином d .
Пример. Продолжим рассмотрение системы B.71)
для графа Т8. Если в качестве уъ уг, у3, уА, уъ, ув принять
соответственно линейные выражения /, ///, VI, IX, X,
IV из B.71), то система B.74) будет иметь следующий вид:
$1 (У) = У1 — У2 — Уз — У4 Ф 0;
Ф6 (У) = У1 — У2 — Уз +Уъ Ф 0.
Непосредственным подсчетом можно убедиться, что
В частности, коэффициент при УхУчУхУьУъ полинома Р [у)
равен — 1.
Систему уравнений вида B.37), B.38) изучал в свое вре-
время Хивуд [27]). Правда, он рассматривал уравнения от-
относительно всех п вершин графа, включая и вершины внеш-
внешней грани. Так, как каждое переменное входит с коэффи-
коэффициентом, равным единице, в три уравнения, то сумма всех
левых частей системы вида B.37) равна нулю по модулю 3.
Отсюда следует, что по крайней мере одно уравнение яв-
является следствием остальных (п — 1) уравнений.
Хивуд рассматривал также систему из (п — 1) уравне-
уравнения вида
К[ — аа, ее = 1, 2, ... , п — 1; xl = 1,
A=1, 2 2я — 4, B.75)
для произвольного вектора правой части {аъ аг,..., fln-i}G
?Z%~1) . Он проводил эксперименты с уравнениями, по-
полученными при рассмотрении раскраски четырьмя цветами
максимального плоского графа, соответствующего скелет-
скелетной схеме правильного многогранника икосаэдра, и убедил-
убедился, что не при всех правых частях соответствующая система
57

имеет решение. Он также показал, что система уравнений
вида B.75), построенная для любого максимального плос-
плоского графа, не при всех правых частях имеет решение.
Это легко следует из предыдущих рассуждений. Ведь си-
система B.75) при da = О эквивалентна система B.37) с
(п — 2) уравнениями. Поэтому, если правые части первых
(п — 2) уравнений равны нулю, то правая часть (п — 1)-го
уравнения (вершины при ее = п — 1 и а = п смежны) мо-
может равняться только нулю. Сформулируем следующую
гипотезу.
Гипотеза 1. Система из (п — 2) уравнений Хивуда, со-
составленная относительно всех вершин, кроме двух смежных,
имеет решение при произвольной правой части для любого
максимального плоского графа Тп.
Правдоподобность этой гипотезы подтверждается тем
фактом, что если число решений задачи о раскраске для
графа Тп не делится на 3, то для этого графа утверждение
гипотезы справедливо. В самом деле, система
х* = аа, а=1, 2, . .,л — 2; 4=1»
|*=1, 2 2rt —4,
эквивалентна уравнению
,06=1
Коэффициент при старшем члене полинома ? (х) совпадает
с коэффициентом при старшем члене полинома <f {х) B.39).
По теореме 9, если число решений задачи о раскраске не
кратно 3, то этот коэффициент отличен от нуля, и по лемме
1 уравнение W (х) = 1 имеет решение.
Интерес представляет и более слабая гипотеза.
Гипотеза 2. Система из (п — 3) уравнений Хивуда, со-
составленная относительно (п — 3) внутренних вершин мак-
максимального плоского графа Тп, имеет решение для любого
(п — 3)-мерного вектора правой части. Эта гипотеза яви-
явилась бы следствием следующего утверждения, которое ка-
кажется в достаточной степени правдоподобным.
Гипотеза 3. В разложении полинома
58

существует хотя бы один одночлен степени Bп — 6) с от-
отличным от нуля коэффициентом.
С гипотезой 3 тесно связана следующая.
Гипотеза 4. Для произвольного максимального плоского
графа Тп п > 4 найдется такое ребро г, что граф Т'п_х (г),
полученный из Тп путем стягивания по ребру г, имеет число
решений задачи о четырех красках, не кратное 3.
В работе [13] была предложена следующая гипотеза о
границах числа решений задачи о четырех красках для
максимальных плоских графов с п вершинами.
Пусть максимальный плоский граф имеет связность 5.
Рассмотрим одно из уравнений Хивуда
„ = О (mod 3); ** = 1. B.76)
Пусть | Ма | = k > 5.
Для k = 5 из 32-х возможных комбинаций с Ху, = ±1 урав-
уравнению B.76) удовлетворяют 10.
Вообще, если обозначить через / (й) число комбинаций
Хц = ±1, удовлетворяющих уравнению B.76), то получим
рекуррентную формулу
из которой легко следует, что
Г 2/( 1 Г 2* 1
/ (k) = -g- для нечетного k, a / {k) = -j- +
+ 1 —для четного k.
Обозначим через q (а) «коэффициент отсева» уравнения Хи-
Хивуда B.76):
<7(а)=-^. где k = \Ma\.
при \Ма\>5; -^-<^(а)<4г- BJ7)
Если считать, что каждое уравнение Хивуда «независи-
«независимо отсеивает» решения, то для пятисвязного графа Тп, у
которого Bп — 5) неизвестных и (п — 3) уравнения, можно
получить такую эвристическую оценку для числа решений
учетом B.77) можно высказать следующую гипотезу
59

Гипотеза 5. Если максимальный плоский граф Тп имее
связность 5, то число решений задачи о раскраске удовлея
воряет неравенствам
Эта гипотеза хорошо согласуется с результатами числов!|
экспериментов [131.
4. Об алгоритмах раскраски плоских графов
четырьмя красками
Как известно, задача о нахождении хроматиче
ского числа графов принадлежит к классу так называемы.
yVP-полных проблем [21 ], т. е. является алгоритмическ*
сложной, так как нахождение полиноминального по числу
операций алгоритма решения этой задачи маловероятна
(хотя вопрос о несуществовании такого алгоритма теорет!
чески до конца не решен). Более того, NP-полной являете
задача приближенного нахождения хроматического числ,
графа с относительной погрешностью менее чем в два раза
[261, а также с аддитивной точностью до nl~E [9], где п —
число вершин графа, е > 0 — фиксированное число.
В настоящее время не существует ни одного алгоритма
с полиномиальным временем решения задачи определения
хроматического числа графов, который обеспечивал бы ко-
конечную относительную погрешность. Наилучший из извест-
известных полиномиальных алгоритмов определения хромати-
хроматического числа обеспечивает относительную погрешность
. , J, . где С > О — определенное число, | V| — числе
вершин графа. Известны и более точные результаты. На-
Например, в работе [33] показано, что вопрос о существованш
раскраски тремя цветами для плоских графов является
NP-полной проблемой, даже в предположении, что
степени вершин не превышают четырех. А как обстоит дело с
полиномиальным алгоритмом раскраски плоских графов
четырьмя цветами?
Теорема о существовании конечного числа неустрани-
неустранимых С и D-приводимых конфигураций [15, 16], т. е. конеч-
конечного множества приводимых конфигураций, такого, что для
любого максимального плоского подграфа найдется под
граф, изоморфный представителю этого множества, от;.
60

крывает путь к построению полиномиального алгоритма
раскраски плоских графов четырьмя цветами.
В самом деле, пусть U — множество неустранимых при-
приводимых конфигураций. В [16] перечислены эти конфигу-
конфигурации, число их равно 1482. Основной результат, доказан-
доказанный в [15], предшествующий теореме о четырех красках,
состоит в том, что любой максимальный плоский граф со-
содержит элемент U.
Так как раскраска произвольного плоского графа че-
четырьмя цветами может быть сведена (в общем случае неод-
неоднозначно) к раскраске максимального плоского графа за
счет добавления ребер, то будем рассматривать раскраску
максимальных графов четырьмя красками. Пусть задан
максимальный плоский граф Тп. Последовательно прове-
проверяя, содержатся ли в нем конфигурации из множества U,
найдем F ? U, содержащуюся в Тп, Стягивая граф Тп по
внутренним ребрам, принадлежащим конфигурации (к ре-
редуценту, в случае, С-приводимости), придем к графу Тп>,
с числом вершин п', меньшим п. Допустим, что получена
правильная раскраска четырьмя цветами графа Тп>. Тогда
нахождение правильной раскраски графа Тп сводится к пе-
перекраске внешней по отношению к краю F части графа Тп>,
включая край таким образом, чтобы полученная после пе-
перекраски раскраска края принадлежала Фк (F) (k — число
вершин R (F)). Для этого нужно определить тип раскраски
/ ? Фк, индуцированный раскраской Тп>, с помощью таб-
таблицы разложения типа диаграммы 2:
Ф*« U ^(F)[](D(F),
r=l
и к какому классу эквивалентности и классу Ф* (F) при-
принадлежит /. Если /?Ф^ (F), это значит, что для полу-
получения необходимой перекраски края нужно (г* + 1) раз
применить перекраску двухцветных компонент графа Тп>,
что требует порядка О (п) операций. Поиск в графе Тп вхо-
входящей в него конфигурации F ? U требует, как легко уви-
Деть, также порядка О (п) операций.
Таким образом, процесс редуцирования раскраски графа
*п к раскраске графа Тп> с меньшим числом вершин и об-
обратного перехода требует О (п) операций.
Замечание. Эти рассуждения остаются в силе и для слу-
случая С-приводимости конфигурации F. Если в процессе по-
последовательного редуцирования графа Тп будут получены
61

максимальные плоские графы, у которых имеются вершин*
степени четыре, то в качестве сводимой конфигурации мож
но рассматривать конфигурацию, состоящую из одной вер
шины. Легко предусмотреть редуцирование и в других слу
чаях вырождения.
Так как общее число этапов редуцирования не превышае
п, то для раскраски графа Тп требуется О (и2) операций
Таким образом, на основе работы [16] можно построив
полиномиальный алгоритм раскраски плоского графа че
тырьмя цветами со сложностью О (я2). Однако простота этогг
алгоритма обманчива. Константа, стоящая при я2, имее.
порядок 105— 10е, а требуемая память порядка 106. Этс
связано с тем, что край F может содержать до 14 вершин
и число раскрасок края /14 = | Ф14 \ = 199291. Данную
раскраску края нужно идентифицировать с одной из /х
раскрасок, затем проанализировать компоненты связносп
для трех типов разбиения края и выбрать целесообразнук:
последовательность двухцветных перекрасок. Порядка 105л
операций может потребовать подпрограмма нахождения для
графа Тп подходящей конфигурации F ? U. Ведь | U \ ^
^ 103, да и проверка изоморфности окрестности некото-
некоторой треугольной грани графа Тп определенной конфигура
ции из множества U может потребовать 102—103 операций.
Таким образом, несмотря на свою полиномиальность,
алгоритм четырех раскрасок, построенный на основе дока
зательства теоремы о четырех красках [15], может оказаться
практически не очень эффективным для сравнительно не-
небольших п. Кроме того, он мало приспособлен для получе-
получения всех решений задачи о четырех красках.
Для проверки правдоподобности гипотезы о числе рас-
раскрасок четырьмя цветами максимальных плоских графов
(§ 3) еще в 1967 г. была составлена программа получения
всех раскрасок четырьмя цветами максимального графг
для ЭВМ М-20. В основе алгоритма лежит идея направлен
ного перебора (алгоритм типа «back — track»). Программа
была расчитана на анализ максимальных плоских графов
с числом вершин п ^ 63. Варианты раскраски графа в про-
процессе счета по программе перебирались'последовательно,
но на печать выдавались периодически лишь отдельные ва-
варианты.
Чтобы избежать перебора тех вариантов, которые полу-
получаются простой перестановкой цветов, фиксируются цвета
начальных трех вершин (опорный треугольник). Исходные
данные, содержащие информацию о топологии графа, за-
62

писываются непрерывным массивом. Перед тем как запи-
записывать исходные данные на бланки, специальным образом
производится нумерация вершин графа. Сначала выбирает-
выбирается произвольный опорный треугольник, вершинам кото-
которого присваиваются номера 1, 2, 3. Затем используем метод
индукции: если k вершин пронумеровано, то номер k + 1
присваиваем вершине, которая смежна не менее чем с двумя
вершинами, уже имеющими номер. Это возможно ввиду
максимальности графа. Когда каждой вершине соответ-
соответствует номер, будем считать ребра дугами с ориентацией от
меньшего номера к большему. Каждой вершине поставим
в соответствие входящие в нее дуги.
Под спектром вершины будем подразумевать множество
цветов, которыми запрещено окрашивать данную вершину.
Полным спектром вершины назовем спектр, состоящий
из четырех цветов.
Алгоритм раскраски плоского графа состоит из следую-
следующих последовательных шагов. Вначале закрашиваем опор-
опорный треугольник.
Прямой шаг. Пусть окрашено k вершин. Определяем
спектр (k -\- 1)-й вершины, объединяя цвета начальных
вершин дуг, входящих в (k + 1)-ю вершину. Если спектр
не полный, то присваиваем (k + 1)-й вершине свободный
цвет, добавляем этот цвет к ее спектру и делаем следующий
прямой шаг. Если спектр полный, то (k + 1)-ю вершину
окрасить невозможно.
Обратный шаг. Переходим к вершине с номером, на
единицу меньшим. Если спектр этой вершины полный, де-
делаем снова обратный шаг. Если же спектр не полный, при-
присваиваем вершине свободный цвет, прибавляем этот цвет
к спектру вершины и делаем прямой шаг.
Как только будет окрашена п-я вершина, получается
один вариант раскраски графа. Чтобы с этого места перейти
к поиску следующего варианта, необходимо воспользоваться
обратным шагом. Признаком того, что состоялся перебор
всех вариантов, будет невозможность сделать прямой шаг
для четвертой вершины.
Так как нумерация вершин графа есть неоднозначая опе-
операция, то возникает вопрос, как, применительно к из-
изложенному алгоритму раскраски, нумеровать вершины'гра-
фа, чтобы время счета программы было наименьшим. Оче-
Очевидно, если к вершине идет не более трех дуг, то ее окраска
всегда возможна, и алгоритм будет работать без задерж-
задержки. Если же входящих дуг больше трех, то возникают
63

ситуации («тупики»), когда окраска этой вершины невозмож-
невозможна. В этом случае необходимо делать обратные шаги до тех
пор, пока не появится возможность сделать прямой шаг.
Способ нумерации вершин графа для данного алгоритма
может представлять собой самостоятельную задачу. По дан-
а
24
30
35
40
62
Л/
296
1652
4758
28 041
142
5 м
3 м
6 м
76 м
7 м
д
4
200
500
2000
—
т
1319
7780
22 617
532 831
15 624
4,4
4,7
4,75
19
ПО
at
а
1,312
1,318
1,303
1,319
—
ной программе были получены варианты раскраски графов
с количеством вершин п = 24, 30, 35, 40, 62. Результаты
расчета указаны в таблице. Здесь обозначено: п — число
вершин; N — количество вари-
вариантов; t — время счета вместе о
выдачей на печать; Д — период
выдачи на печать вариантов;
Т — количество «тупиков»; а =в
Полученные результаты хо-
. рошо согласуются с гипотезой о
числе различных раскрасок
графа.
рио 21. Последний случай при п = 62
не был просчитан до конца вви-
ввиду большого времени счета.
Из таблицы видно, что при п = 30, 35 время счета про-
против ожидания небольшое, если сравнивать его со временем
счета при п = 24,40. О величине времени счета можно
судить и по количеству «тупиков», а точнее по отношению
количества «тупиков» к числу всех вариантов. Для п = 30,
35 этот коэффициент растет медленно, а дальше происхо-
происходит резкий скачек. Как выяснилось, причина этого заклю-
заключается в разных способах нумерации графа. Эксперимент
вначале проводился для п = 24, 40. При этом граф нуме-
нумеровался по общему правилу и не изыскивался какой-либо
метод, способствующий уменьшению времени счета.

Однако сразу же после получения результатов счета
были сделаны некоторые выводы о способах нумерации
вершин графа, которые выражаются в следующих простых
правилах.
1. Любая вершина с номером k (ft < n) должна быть
соединена ребром с вершиной под номером k + 1.
2. Если представится случай, изображенный на рис. 21,
то следует присваивать вершине А номер k, вершине В —
(k + 1). В противном случае в вершине А будут образо-
образовываться «тупики».
3. Стремиться к тому, чтобы «тупиковые» вершины (в
которые входит более трех дуг) имели по возможности наи-
наиболее высокие номера.
Так как эти правила все равно не позволяют однозначно
нумеровать вершины графа, то здесь требуется некоторое
искусство.
Практика показала (для п = 30, 35), что, применяя эти
правила, можно значительно сократить время счета. Для
случая п = 62 эти правила не соблюдались, так как не
ставилась задача получения всех вариантов (по гипотезе
их должно быть примерно 6 • 107).
Один из интересных эвристических комбинаторных ал-
алгоритмов предложен в работе [34]. К сожалению, он пока
еще не реализован в виде программы для ЭВМ.
5 l-itti

ГЛАВА 3
КОМБИНАТОРИКА ПАРОСОЧЕТАНИП
И РАСКРАСКА ГРАФОВ
В главе исследуется взаимосвязь решения задач
о раскраске плоских графов и подсчета числа паросочета-
ний специальных графов и мультиграфов. При этом исполь-
используются свойства пфаффиана кососимметрических матриц.
Исследуются системы алгебраических уравнений по моду-
модулю 2, а также задачи булева программирования, связанные
с проблемой раскраски плоских графов.
1. Пфаффиан и совершенные
паросочетания графа
Рассмотрим кососимметрическую матрицу А раз-
размером п X п с буквенными элементами a (k, k')\ n = 2m;
a (k, k') = —a (k', k). Пфаффиан матрицы А определяется
следующим образом:
Pf А = ?' гоа (klt k2) a (k3, fe4) ... а (*„_,, kn) =
р
= (m! 2V1 2 гра (klt k%) a {k3, kt) .. . a (kn-u K), C.1)
p
где символ 2' означает суммирование по всем так называе-
р
мым пфаффовым перестановкам р = [klt k2, •••, kn} множе-
множества {1, 2, ..., п], которые удовлетворяют условиям
(A) kx < k2; k3 < k4; ... ;kn-i
3 g
{B)kl<k3<kb< ¦¦¦ <&„_,,
a 2 означает суммирование по всем перестановкам множе-
множества {1, 2, ..., «},
_ f 1, если р — четная перестановка;
" 1 —1, если р — нечетная перестановка.
С понятием пфаффиана тесно связаны задачи о совер-
совершенных паросочетаниях графа — подмножествах ребер, по-
66

парно не смежных между собой и в совокупности покрываю-
покрывающих все вершины графа. Рассмотрим полный п-вершинный
граф Кп, п — 2т. Сопоставим каждому ребру Гц (i, j —
номера вершин инцидентных этому ребру, i < /) символ
а (г, /)• Тогда каждой пфаффовой перестановке будет соот-
соответствовать одно и только одно совершенное паросочетание.
Действительно, пусть задана перестановка п {klt k2, ¦¦¦
..-. kn}, удовлетворяющая C.2), ей однозначно соответст-
соответствует подмножество ребер R (я) = {rk3t_Xi k2i }2=ь являющее-
являющееся совершенным паросочетанием, и член разложения
т
пфаффиана C.1) еяПа (?2г-ь &2i)- Наоборот, если задано
совершенное паросочетание графа Кп, то упорядочим входя-
входящие в него ребра в порядке возрастания меньших но-
номеров вершин, инцидентных этим ребрам. Это упорядо-
упорядочение индуцирует определенное упорядочение номеров
вершин графа Кп: сначала идут в порядке возрастания но-
номера вершин, инцидентных первому ребру, затем второму
и т. д. Легко видеть, что это упорядочение вершин соответ-
соответствует некоторой пфаффовой подстановке вида C.2). Ана-
Аналогичную связь можно установить между совершенными
паросочетаниями произвольного графа G с п = 2т верши-
вершинами и пфаффианом определенной кососимметрическои мат-
матрицы A (G). Идея состоит в Том, чтобы аннулировать в сим-
символической записи C.1) те члены разложения Р{ А, которые
содержат символы а (г, /) такие, что номера (?, /) соответ-
соответствуют несмежным вершинам графа G. Это легко сделать,
поставив в соответствующие места кососимметрическои мат-
матрицы вместо a (i, /) нули. Таким образом, графу G можно
поставить в соответствие кососимметрическую матрицу
A (G) — [aij] следующего вида:
0, i = /,
atl{G)=
C.3)
— а (г, /) 8A, i > /,
где^ {bijIj=x — матрица инциденции вершин графа G. Каж-
Каждый ненулевой член разложения Pf A (G) соответствует
некоторому совершенному паросочетанию графа G.
Вернемся к рассмотрению полного n-вершинного графа
^п» п ~ 2т и матрицы А — {a,/}"=i, ац = — %, i < /.
Зафиксируем два совершенных паросочетания графа Кп-
%х и #„. Каждой вершине инцидентно по одному
67

ребру из множеств /?г и R2. Поэтому множество Rx [J Щ
распадается на непересекающиеся циклы с четным число:
ребер и изолированные ребра (циклы длины 2), принадле-
принадлежащие /?! П #2-
С другой стороны, рассмотрим произвольное подмноже-
подмножество R ребер такое, что к каждой вершине примыкает либо
одно изолированное ребро, либо два ребра, входящие в не-
некоторый четный цикл, составленный из ребер, принадле-
принадлежащих R. Пусть число четных циклов, состоящих из ребер,
входящих в R, равно k (R). Тогда множеству R можно по-
поставить в соответствие 2*(Ri пар совершенных паросочета-
ний. Действительно, в каждом четном цикле можно выде-
выделить два класса несмежных ребер, покрывающих все вер-
вершины цикла. Каждый из этих классов может служить фраг-
фрагментом некоторого совершенного паросочетания Rlt в то
время как другой класс — фрагментом паросочетания R2,
изолированные ребра, входящие в R, принадлежат как Ru
так и R2. При этом получим два совершенных паросочета-
паросочетания /?! и R2 таких, что Rx \J R2 — R. «Склеить» /?х (и, соот-
соответственно, R2) из фрагментов можно 2*<Л) способами. Та-
Таким образом, получаем 2*(Л) различных пар паросочета-
ний (Rlt R2) таких, что /?! U R2 = R. Парам паросочета-
ний можно сопоставить определенным образом элементы
det А, где
А = {at,}; щ, = а (i, /), i < /; ац=*—а (г, /),
Элемент определителя матрицы А имеет вид
где л — {р (/)} — перестановка множества {1,2, ..., я};
. . (О, для четной перестановки;
Ф (я) = {
[ 1, для нечетной перестановки.
Перестановка я однозначно представляется в виде произ-
произведения циклических перестановок (циклов). Пусть в пере-
перестановку я входит нечетный цикл С = (ilt i2, ..., hk+\)>
Ему соответствует четное число транспозиций. Перестанов-
Перестановке л', отличающейся от п только тем, что цикл С-заменен
на обратный С = (i2*+i> *2ь ••-, h), также соответствует
четное число транспозиций. Четность перестановок q> (я)
68

я Ф (я') одинакова, но
П oyw = (- lf+1 П ач+х1,.
1=1 i=\
Здесь i ы+2— «1 в силу кососимметричности матрицы
А. Таким образом, г (я) -f г (я') = 0, т. е. члены опреде-
определителя матрицы А, содержащие нечетные циклы, взаимно
уничтожаются.
Рассмотрим две подстановки я4 и я4, отличающиеся друг
от друга только одним членом разложения на циклы. Под-
Подстановка я4 содержит цикл вида С = (ilt i2, ..., i2k), n't —
вида С = (i2k, i2k~\, ¦¦¦, t'i). Как С, так и С' соответ-
соответствует нечетное число транспозиций, но
П atl = П at г
?=i Hi
Здесь j2fc+i = iv
Таким образом,
г(я4) = г(я;). C.4)
Заметим, что при к = 1 я4 = п'4.
Пусть перестановка л разлагается в произведение опреде-
определенного числа циклов длины 2 и k четных циклов длины,
превышающей 2. Используя разложение я на циклы и за-
заменяя некоторое подмножество этих циклов на обратное,
можно получить 2* различных подстановок яа, которым
соответствуют согласно C.4) одинаковые значения г (яа).
Таким образом, существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между неаннулирующимися членами определителя
матрицы А и парами совершенных паросочетаний графа Кп-
Из выражения C.1) следует
(Pf А? = [? V (*i. h) ¦ • • а (?„_,, kn)f =
= ?' ?' ePl ер, П а (/, я @) (- 1)в@, C.5)
где
( ° если
если i > я (г).
Для произвольного члена разложения C.1), соответ-
соответствующего перестановке я, существуют т\2т в некотором
смысле эквивалентных перестановок, отличающихся от л
69
/л _ ( °-
1 1,

порядком пар (&2/-—ь k2r) и перестановкой индексов внутри
пары. Заметим, что для любой такой перестановки я' имеем
п п
еЛ' П ak- k> = в„ П а*г_1*2/->
так как транспозиция пар не меняет четность перестановки,
а перестановка индексов внутри пары меняет четность, но
это компенсируется изменением знака: CLk2r_xk2r — —ak2r_\k2r.
Если имеется пара членов разложения Pf А, которым
соответствуют пфаффовы подстановки л1 и л2, то можно
найти эквивалентные подстановки щ и л2 такие, что для
каждого индекса i имеем a'i (i) + а2 (i) = 1, i — 1, 2, ..., п,
где
' /л _ | 0, если i на четном месте в щ;
' 11, если на нечетном месте.
Тогда произведение двух членов Pf А, соответствующих
перестановкам nL и л2, будет выражаться следующим об-
образом:
где {я (t)} — некоторая перестановка индексов {1, 2,..., п).
Покажем, что четность перестановки л (/) совпадает с чет-
четностью Л\ П2.
Установим соответствие знаков между членами опреде-
определителя det А и членами разложения (Pf АJ. Знак члена
определителя det Л, соответствующего перестановке л,
разлагающейся в произведение четных циклов, определяет-
определяется (—1)СТ'+СТ!) где aj — число четных циклов разложения,
сравнимое по модулю 2 с числом транспозиций в перестанов-
перестановке л, в2 — количество элементов, для которых i > л (/).
Рассмотрим пару совершенных паросочетаний р1 и pv
Ей соответствует определенное множество S {plt p2) совпа-
совпадающих по значению членов определителя det А, которым
соответствуют перестановки, разлагающиеся в произведе-
произведение четных циклов (различные перестановки отличаются
между собой ориентацией циклов).
Пусть совершенному паросочетанию рх соответствует
пфаффова подстановка лг Рассмотрим совершенные па-
росочетания р\, р2> получаемые из р1 путем элементарных
преобразований двух видов: вместо пары ребер (а|3),
70

a < В, (y6), y <S введем пару (ay), (Вб) (вид I) или (аб),
(By) (вид Г Г).
Пусть sign p — знак члена Pf A, соответствующего со-
совершенному паросочетанию р. Тогда
где q (pi,Pt) — число знаков больше в соотношениях между
а и у, Р и б. В самом деле, количество транспозиций в
пфаффовой подстановке п\, соответствующей ри отличает-
(X
I
oo d
сх
/
V
Рис. 22.
ся по модулю 2 от числа транспозиций л на величину 1 +
Н- q(pltp'i) (единица соответствует транспозиции 6 и у,
q (pvp[) соответствует числу транспозиций, необходимых
для перехода от полученной перестановки к пфаффовой).
Аналогично правило знаков справедливо и для р\:
sign />, = sign p (_i)«(p"p1)+1, где q (plt p\) равно числу
знаков больше в соотношениях между а и 6, В и Y-
Парам совершенных паросочетаний (pv p2) и (р\, р'2)
будет соответствовать множество четных циклов графа
К.2тС и С. Для уточнения взаимосвязи С к С рассмотрим
следующие три случая.
1. Ребра (аВ) и (y6) принадлежат одному и тому же
циклу и ориентированы одинаково (рис. 22, а). При пере-
переходе от pt к р\ количество циклов сохраняется, один из
циклов меняется (см. рис. 22, а). Так как при переходе от
Сг к С\ нечетное число ребер (между В и у) меняет ориен-
ориентацию, то изменение знака соответствующих членов опре-
определителя равно (—II4**"!».
71

2. Ребра (af>) и фу) принадлежат одному и тому же
циклу, но ориентированы в разные стороны (рис. 22, б).
При переходе от рх к р[ количество циклов увеличивается
на единицу, обратная ориентация ребра (уб) компенсирует-
компенсируется обратной ориентацией ребра (|}6). Таким образом, и в
этом случае изменение знака членов определителя при пе-
переходе от рх и р\ выражается множителем (—1I+<7(р" р\).
3. Ребра (а$) и (уЬ) принадлежат двум различным цик-
циклам множества С. При переходе от р1 к р\ (рис. 22, в) коли-
количество циклов уменьшается на единицу, изменение
ориентации нечетного числа ребер между у и б ком-
компенсируется обратной ориентацией ребра ф8). Таким обра-
образом, и в этом случае изменение знака соответствующего чле-
члена определителя выражается множителем (—\^
Аналогичные рассуждения справедливы для перехода от
р1кр1. На основании сказанного выше сформулируем лемму.
Лемма 1. Пусть совершенное паросочетание plt {p\) по-
получается из совершенного паросочетания р^ путем элемен-
элементарного преобразования вида I (вида II).
Рассмотрим произвольное совершенное паросочетание
р2, пары совершенных паросочетаний (рг,р2), (pi, p2) и (р\,
р2) и соответствующие им члены определителя det Л: s,
s' (s"). Изменение знака при переходе от s к s' (s") coot-
ветствует изменению четности подстановки при переходе
от пг к щ (щ), где лг, л,, щ —пфаффовы подстановки,
соответствующие ри р\, р\.
Так как путем последовательного применения элемен-
элементарных преобразований вида I или II можно от любого
совершенного паросочетания перейти к любому другому,
то в силу леммы 1 достаточно соответствие знаков проверить
для случая рх = р2. Тогда произведения соответствующих
одинаковых членов Pf А дадут знак плюс, и соответствую-
соответствующий член определителя также даст знак плюс, так как ему
будут соответствовать m циклов длины 2, в каждом из ко-
которых обратная ориентация встречается по одному разу.
Таким образом, справедлива лемма.
Лемма 2. Знак произведения двух членов Pf A, которые
относятся к двум совершенным паросочетаниям р1 и р2,
совпадает со знаком чинов определителя det А, соответ-
соответствующих паре (pv p2).
Установлено полное соответствие между членами произ-
72

ведения Pf Л • Pf А и членами определителя det А, вклю-
включая соответствие знаков.
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 1. det A = (Pf ЛJ.
Другие, чисто алгебраические способы доказательства
этой теоремы приводятся, например, в монографиях [3, 8].
Формулу det A = (Pf ЛJ в некоторых случаях удается
приспособить к подсчету числа различных совершенных па-
росочетаний графов. Существует изящный способ определе-
определения числа совершенных паросочетаний для плоских гра-
графов. Его основная идея состоит в том, чтобы в матрице А
присваивать элементам а.ц значения ±1 таким образом,
что при этом все члены разложения Pf А после подстановки
конкретных значений ац оказались бы равными единице.
Так как множество членов Pf А взаимно однозначно отобра-
отображается на множество различных совершенных паросочета-
паросочетаний, то полученное при подстановке конкретных значений
пц — ± 1 значение Pf А дает число различных совершен-
совершенных паросочетаний.
Рассмотрим связный плоский граф G без висячих вер-
вершин. Он разбивается на грани. Ориентируем его ребра та-
таким образом, чтобы граница (край) каждой грани содержала
нечетное число ребер, ориентированных по часовой стрелке.
Назовем такую ориентацию ориентацией по правилу (О),
которая всегда возможна. Это легко доказывается индук-
индукцией по числу граней.
Действительно, для графа, состоящего из одной грани,
ориентация по правилу (О) получается тривиальным об-
образом: нужно сориентировать все ребра, кроме одного,
против часовой стрелки. Пусть данное утверждение спра-
справедливо для произвольного связного без висячих вершин
плоского графа, содержащего k граней. Рассмотрим плос-
плоский связный без висячих вершин граф, содержащий k + 1
грань. Выберем ребро г, принадлежащее внешнему краю
графа. Сориентируем остальные ребра так, чтобы подграф,
состоящий из k граней, не содержащих ребро г, и был
сориентирован по правилу (О).
Теперь, придав ребру т ориентацию по часовой стрелке
Либо против часовой стрелки, добьемся того, чтобы и ориен-
ориентация края (k + 1)-й грани удовлетворяла правилу (О).
Обозначим через A (G) матрицу смежности оргграфа G,
полученного из графа G после ориентации его ребер по
73

правилу (О). Получаем кососимметрическую матрицу, эл*
ментами которой являются 0, 1 и —I.
Пример, (рис. 23)
A(G)
0
J
1
0
0
I
0
— 1
— 1
0
— 1
1
0
— 1
1
0
1
1
0
— 1
0
0
— 1
1
0
0
0
1
1
1
0
0 —1
¦1—10
Лемма 3. Если плоский граф без висячих вершин ориенти-
ориентирован по правилу (О), то для любого простого цикла кола
чество ребер, ориентированных по часовой стрелке, нечетно,
если число внутренних вершин четно, и
наоборот.
Доказательство. По фор-
формуле Эйлера для подграфа, ограничен-
ограниченного простым циклом, получаем т 4
+ 1 = / + п, где т — число ребер
/ — количество граней; п — вершин
Тогда т = тх + т2, где тг — длине
цикла; тг — число внутренних ребер
Каждое внутреннее ребро для одной nz
смежных граней ориентировано по ча-
часовой стрелке, для другой — против
где Si — число ребер, ориентированных
стрелки, в i-я грани, суммирование идет
Рис. 23.
Пусть S = 2s,-,
против часовой
по всем граням.
Если граф ориентирован по правилу (О), то s == / (mod 2)
Для того чтобы получить число ребер, ориентированны!
против часовой стрелки во внешнем цикле, нужно из S вь
честь т2.
Тогда S — тг = (/ — т2) (mod 2). Отсюда S — /и2 == п —
. — тх— 1 = я + /т^ + 1 ==з 2тг + пг + 1 = (пг + 1)
(mod 2), где щ — число внутренних вершин.
Таким образом, лемма доказана.
Лемма 4. Пусть A (G) — кососимметрическая матрица
смежности плоского связного без висячих вершин графа G,
с четным числом, вершин, ориентированного по правилу
(О). Тогда любой ненулевой член разложения det A (G),

соответствующий перестановке, содержащей только четные
циклы, равен +1.
Доказательство. Ненулевой член разложения
det A (G) имеет вид (—1)а«+а>, где ах — число транспо-
транспозиций в некотором разложении соответствующей переста-
перестановки; а2 — количество элементов щ,^ матрицы A (G),
входящих в соответствующий член определителя и прини-
принимающих значение (—1) (соответствующее ребро W, р (/)]
имеет ориентацию от р (i) к /). Пусть перестановка р разла-
разлагается в произведение четных непересекающихся циклов
С{, С2 Ck. Каждый цикл с числом элементов, больших
или равных 4, представим в виде последовательности вер-
вершин, записанных по часовой стрелки или против. Так как
внутри четного цикла находится нуль или четное число
вершин, соответствующих другим четным циклам, то из
леммы 3 получаем, что число отрицательных ребер нечетно.
Количество транспозиций, соответствующих четному циклу,
нечетно. Таким образом, вклад каждого четного цикла
в сумму Ох + а2 четный.
Для циклов длины 2 вида (iu i2) вклад в сумму аг + а2
также четный: одна транспозиция и один отрицательный
элемент. Таким образом, ах + а2 = 0 (mod 2), и лемма дока-
доказана.
Теорема 2 *. Количество различных совершенных паросоче-
паросочетаний плоского графа G без висячих вершин определяется фор-
формулой
П(О = V det A (G),
где A (G) — кососимметрическая матрица смежности орг-
графа G, получающегося из графа G путем ориентации ре.
—+
бер по правилу (О).
Доказательство. Как показано выше, суще-
существует взаимно однозначное соответствие между множеством
пар паросочетаний графа G и ненулевыми членами разложе-
разложения определителя A (G), которым соответствует переста-
перестановка, задаваемая в виде произведения четных циклов.
Каждый такой член det Л (G) по доказанной лемме 4 равен
+1. Таким образом, det A (G) дает число всевозможных пар
* Прикладная комбинаторная математика/Под ред. Э. Беккенбаха.—
М. :Мир, ...—с. 18—29.
75

совершенных паросочетаний графа G, что равно квадрату
числа совершенных паросочетаний графа G. Теорема до-
доказана.
Замечание. Аналогичная теорема справедлива и для про-
произвольного плоского графа. Изменение состоит в том, что
те ребра, которые не являются краем некоторой грани, мож-
можно ориентировать при переходе от графа G к G произвольным
образом. Для ребер, которые являются краем грани, оста-:
ется в силе правило ориентации (О).
2. О подсчете числа паросочетаний графа,
двойственного к максимальному плоскому
графу
Пусть Тп — максимальный граф с п вершинами,
т. е. плоский граф, у которого край каждой грани (в том
числе и внешней) представляет собой треугольник. Введем
в рассмотрение двойственный граф Dn, который получается
следующим образом: каждой грани в Тп ставим в соответст-
соответствие вершину из Д,, две вершины в Dn смежны, если соответ-
соответствующие им грани имеют общее ребро. Число вершин
в Dn равно 2я — 4, т. е. числу граней в Тп. Dn — однород-
однородный граф степени три. Задача о правильной четырехцвет-
четырехцветной вершинной раскраске графа Тп сводится к задаче о пра-
правильной трехцветной реберной раскраске графа Dn.
Допустим, что такая раскраска получена. Тогда ребра, окра-
окрашенные в одинаковый цвет, образуют совершенное паросо-
четание графа Dn. Таким образом, каждой правильной
реберной раскраске графа Dn соответствуют три непересе-
непересекающихся совершенных паросочетания графа Dn.
С другой стороны, если существует пара совершенных
непересекающихся паросочетаний, то ей однозначно со-
соответствует третье паросочетание и определенная с точ-
точностью до перестановки цветов правильная реберная рас-
раскраска графа Dn. Определенной реберной раскраске графа
Dn соответствуют шесть упорядоченных пар непересека-
непересекающихся совершенных паросочетаний графа Dn.
Сориентируем граф Dn согласно правилу (О), получим
-¦ ¦ -¦
оргграф Dn и соответствующую матрицу A (Dn). Просум-
мируем те члены разложения определителя A (Dn), кото-
которые не содержат циклов длины 2. Тогда в соответствии с лем-
леммой 4 их число будет равняться числу непересекающихся.
76

пар совершенных паросочетаний. Каждой тройке взаимно
не пересекающихся пар совершенных паросочетаний со-
соответствует определенная (с точностью до изоморфизма)
реберная правильная раскраска тремя красками графа Dn
и шесть членов разложения определителя А (?>„), соответ-
соответствующих шести возможным парам паросочетаний: A,2),
A,3), B,1), B,3), C,1), C,2).
Таким образом, число неизо- z
морфных решений задачи о
правильной реберной раскрас-
п
/
7
5
/•
8
\
Рис. 24.
Рис. 25.
ке графа Dn тремя красками выражается числом е ( "",
где под det А понимается выражение, аналогичное опреде-
определителю, в котором аннулируются члены, содержащие про-
произведение симметричных элементов матрицы А. Используя
формулу «включения — исключения», получаем следующий
результат.
Теорема 3. Число решений задачи о реберной раскраске
графа Dn равно -* det (A (?>„)), причем
л—2
4=0
C.6)
где W2k =
pe«2
det A (A2* (p));
A2Ji (p) — два ориентированных подграфа оргграфа
4—
Оп>полученные в результате деления Bп — 4) вершин Dn
на два подмножества, в одном из которых 2k вершин, а
в другом — остальные. Ориентация ребер сохраняется
такой оке, как в Dn. Суммирование производится по все-
всевозможным разбиениям р указанного типа.
Доказательство. Число W<2k выражает количест-
количество пар совершенных паросочетаний графа Dn, имеющих не
менее k общих ребер. Если зафиксировать k ребер, то им
77

будет соответствовать 2k вершин. Подграф, образованный
этими вершинами, обозначается D{$. Ему будет соответство-
соответствовать центральный минор матрицы A (Dn). Количество нену-
ненулевых членов определителя А (?>„), содержащих циклы
длины 2, являющиеся ребрами D{$, равно числу совершен-
совершенных паросочетаний подграфа D^', умноженному на опре-
определитель дополняющего минора, который обозначим Да (р).
Число совершенных паросочетаний подграфа D»' рав-
равно ' detD^. Отсюда и получается формула C.6).
Пример. Для графа (рис. 24) Wo = 9; W2 = 6; Wt =
— 3. Число раскрасок: —~ ' —
Для графа ?>6 (рис. 25)
= 1.
' О
— 1
О
1
— 1
о
о
о
1
о
— 1
о
о
1
о
о
1
О
О
о
о
— 1
о
— 1 —1
W, = 78;
— 1
О
— 1
О
о
о
о
о
— 1
о
о
1
о
1
о
о
о
— 1
о
о
— 1
о
1
О"
о
о
1
1
о
1
о
V. = 36;
Число раскрасок:
81 — 108 + 78 — 36 + 9
6
= 4.
3. Подсчет коэффициентов
некоторых полиномов по модулю 2
и модулю 3 с использованием формул,
связанных с подсчетом числа
паросочетаний
Лемма 5. Число совершенных паросочетаний пол-
полного графа Kim с числом вершин 2т выражается формулой
П Bт) = 1 • 3 • 5 • ... • Bт — 1). C.7)
Доказательство. Для т — 1 формула оче-
очевидна. Пусть она справедлива для т = к. Докажем, что
она справедлива для т = k + 1. Рассмотрим /Сг<*+1).
Зафиксируем вершину этого графа. Ей инцидентны 2 (k +
78

+ 1) — 1 ребер. Так как любые два из этих ребер не могут
входить в одно и то же паросочетание, а после отбрасыва-
отбрасывания двух вершин остается подграф, изоморфный Kik, то
общее число совершенных паросочетаний равно [2 (k +
+ 1) - 1] П Bk).
Формула C.7) доказана.
Рассмотрим систему 2т однородных линейных неравенств
по модулю 3 с га неизвестными:
?0(mod3). C.8)
Образуем полином Р (х) = П (? а^х,) и Р (х), который
получается после подстановок вида да = дс, в Р (х)
и приведения подобных членов.
Условие Р (х) Ф 0 эквивалентно существованию реше-
решения системы C.8). Рассмотрим коэффициент при старшем
члене Пх, полинома Р (х). Для этого поставим согласно
системе C.8) мультиграф следующим образом: каждому
неравенству сопоставим вершину графа, две вершины i и i'
соединим между собой числом ребер, равным б«', где
б(с == (ah at-) (mod 3), [at, ar) — скалярное произведение
вектор-строк at и а,>, соответствующих неравенствам / и i'
системы C.8). Для определенности Ьи- будем принимать
значения из множества {0, 1, 2}. Обозначим полученный
мультиграф с 2т вершинами через М (S), где символом
S обозначена система неравенств C.8).
Теорема 4. Число различных совершенных паросочетаний
мультиграфа М (S) сравнимо по модулю 3 со старшим коэф-
коэффициентом полинома Р (х).
Доказательство. Рассмотрим разложение по-
полинома Р (х) в виде суммы одночленов (до приведения по-
подобных членов) и выделим те члены разложения, в которые
Xj входят только в четной степени. Каждому такому одно-
одночлену соответствует разбиение строк по столбцам, причем
к определенному столбцу относится нулевое или четное
число строк. Если каждому столбцу / соответствует в точ-
точности по две строки ir (/), i2 (/), то получим определенное
паросочетание строк, которому будет соответствовать член
tn
П aiMtjaiAMx). В остальных случаях хотя бы к одному
79

столбцу относится четыре или более строк. Множеству,
этих строк можно сопоставить паросочетания полного-
подграфа с числом вершин, равным числу строк, отно-
относящихся к данному столбцу. В силу леммы 5 количество
совершенных паросочетаний полного графа с четным числом
вершин 2т при т > 2 делится на три, т. е. равно нулю
по модулю 3.
2т
Рассмотрим выражение вида 5 = 5j S^ №/!"]<'>> где
я /[я] *=1
/ In] (i) — отображение, характеризующее разбиение строш
по столбцам такое, что j In] (jj = / [п] (j2), если пар*
(t'i, i2) входит в совершенное паросочетание п полногс
графа строк, суммирование производится по всевозможным
отображениям / In] (i) и всевозможным совершенным паро-
паросочетаниям. Изменив порядок суммирования, получим
5 = S П (a(l, ait), где (а^, aij — скалярное произведе-
Я Р(Я)
¦ ние двух вектор-строк а^ и atll, произведение П берется
Р(я)
по всем парам (ilt i2). входящим в паросочетание п, сумми-
суммирование производится по всем совершенным паросочетаниям.
Согласно изложенному выше 5 совпадает по модулю 3 с
коэффициентом при старшем члене полинома Р (х), так как
коэффициенты при других членах входят в выражение для 5
с коэффициентом, делящимся на три. Если рассмотреть
мультиграф М (S), то количество различных совершенных
паросочетаний, рассматриваемых как подмножество ребер,
совпадает по модулю 3 с 5 = ? П (а(, ш>).
я спел
Таким образом, теорема доказана.
Рассмотрим систему L линейных многочленов от п пере-
переменных над полем Z2: Ц (х), L2 (x), .., him (x).
2т
Пусть Р (х) = П L, {х), где Р (х) — результат после-
довательного применения к Р (х) подстановок вида xi -*¦
-*• xt, t = 1, 2, ..., 2т. Многочлен Р (х) будет иметь вид
2т
P« = ?avrU;'(v>> ave{0, 1}; tt(v)?{0, 1,2}.
(V) (=1
где {ti(v)} пробегает всевозможные последовательности-
2т
вида {^(v), .... ^2m(v)}, 4G{0, 1, 2}; ? << < 2т.
80

2m 2m
Пусть P (x) = ? Рц П *?' , ? P; (И) = 2m.
(v) 1=1 l=\
Рассмотрим связь между коэффициентами полиномов
Р (х) и Р (х).
Пусть av = }] Рц, где
р, ((х)=0, если tt (v) = 0;
i: pi (ii) нечетное, если ^(v) = l;
pi (|x) четное =? 0, если t{ (v) = 2.
Отсюда видно, что ]? Рд = ? an (mod 2). Здесь Л1 —
множество ц, соответствующее одночленам разложения
Р (х), у которых все xt в четной степени; М' — множество
тех v, для которых tt (v) принимают значение нуль или два.
Теорема 5. ? ^ == Q (G (L)) = Ц , а^, где Q (G (L)) —
И€М ел!'
число совершенных паросочетаний графа G (L), получаемо-
получаемого следующим образом:
сопоставим каждому линейному многочлену Lt (x) вершину
w{, пусть 8tj e= (lit lj) (mod 2) ? {0, 1}, где (/г, //) —
скалярное произведение вектор-строк коэффициентов Lt (x)
и Lj (x). Вершины соединены ребром в том случае, если
bi, = I (mod 2).
Доказательство. Каждому ц ? М можно
сопоставить некоторое разбиение строк по столбцам /ц =
^ {/и @) такое, что к каждому столбцу относится четное
2т
число строк. Если Рц = 1, то это означает, что Па^) =
= 1. Каждому разбиению /ц, (х ? М можно сопоставить
граф Gjj, с 2т вершинами, у которого вершины ix и i2 соеди-
соединены ребром в том и только в том случае, если /д (ii) =
= h(h), %,/д(',) = %,/ц(г.) = 1 • Граф G» состоит из
определенного числа компонент, каждая из которых
представляет собой полный граф. Если Рд = 1, ц ? М,
То а'/д@ = 1> 1 = 1. 2 2т, и каждая из компонент
графа йд будет представлять собой полный граф с четным
числом вершин. Из леммы 5 следует, что число совершенных
паросочетаний полного графа с G» вершинами сравнимо
с единицей по модулю 2. Отсюда вытекает, если Рд = 1,
№ ? М, то число совершенных паросочетаний графа
6 1-1ззз 81

Од Q (бд) н 1 (mod 2). Если рм = 0, то Q (G^) = 0. Таким
образом,
Ри = Q(Gn) (mod 2). C.9)
Рассмотрим мультиграф G с 2т вершинами; каждой
паре коэффициентов cut/ =щ^ сопоставляется ребро г}'1,-,,
соединяющее вершины (i"i, i2) мультиграфа G. Легко видеть,
что каждому совершенному паросочетанию мультиграфа G
соответствует в точности одно совершенное паросочетание
графа Сц, при некотором (х ? М. Обозначим Q (G) — число
совершенных паросочетаний мультиграфа G. Тогда из
C.9) следует, что
? рдВ.<2(б)(тос12). C.10)
€Л1
Пусть ребро г$2 входит в некоторое совершенное па-
паросочетание G. Тогда при замене этого ребра другим ребром,
соединяющим (ilt i2), также получаем совершенные паросо-
четания. Число ребер, соединяющих it и i2, определяется
по модулю 2 скалярным произведением вектор-строк
Utt> h,). Таким образом, если произвести расчеты по мо-
модулю 2, то можно заменить подсчет числа совершенных
паросочетаний мультиграфа G подсчетом числа совершен-
совершенных паросочетаний графа G (L), у которого соединены реб-
ребром те и только те вершины ilt i2 с S(lt-2 = (/tl, /,-,) за
= 1 (mod 2). Из C.10) получаем
^Q(G(L)) (mod2),
что и требовалось доказать.
Пусть 5ЭТ — некоторое подмножество множества пере-
переменных Xi. Обозначим через L/ЗЛ систему линейных поли-
полиномов, которая получается после аннулирования в L пере-
переменных, принадлежащих 9W. Используя правило «включе-
«включения — исключения», получаем следующее: коэффициент при
старшем члене полинома Р (х), т. е. av, соответствующее
v, для которого t( (v) =2, t =з 1, 2, ..., п, выражаете*
следующей формулой:
аь = ?<2 (G (L№)) (mod 2), C.11|
где суммирование идет по всем подмножествам множества
{xt}, включая пустое. Обозначим через L [) М линейную

систему, которая получается путем присоединения к L ли-
линейных выражений вида La = ха, ха ? М. Легко видеть,
что а'щм равно коэффициенту av полинома Р (х), для ко-
которого /, (v) = 1 при х{ ? М, tt (v) = 2 при xt <? М.
Коэффициент at/an дает Ov полинома Р (х), для которо-
которого tt (v) = 2 при Х[ ? 9Л; t{ (v) = 0 при xt ? 9W. Если
М и Ш! — два непересекающихся подмножества мно-
множества {х{}м, то a'njM/ЗЛ совпадает с ocv для такого
v, для которого tt (v) = 1 при х ? М; t{ (v) = 0 при xt ?
? 9Я и tt (v) = 2 при xt g M U 9Л-
Теорема 6. Для того чтобы полином Р (х) не был тож-
тождественно равен нулю по модулю 2, необходимо и достаточно,
чтобы нашлась пара непересекающихся подмножеств М
и 5ЭТ множества {xt}"=i (в частности, М и 5ЭТ могут быть
пустыми), для которой Q (G (L \J M/4R)) =s I (mod 2).
Доказательство. Из формулы C.11) вытекает,
что если для любых М и (ЗЯ, М ("| 'ЭК =0,
Q (G (L U M/9W)) = 0 (mod 2),
то полином Р (х) ss 0.
Если все коэффициенты Р (х) av ^ 0 (mod 2), то равны
нулю и коэффициенты полиномов, соответствующих систе-
системам L U /И/5ЭТ, и из теоремы 5 получим, что Q (G (L (J
U Л1/ЗЛ)) я 0 (mod 2).
Доказательство теоремы 6 закончено.
Пусть задан максимальный плоский граф Gn. Как было
показано в § 3, гл. 2, решение задачи о раскраске четырьмя
цветами графа Gn можно сопоставить с решением системы
линейных неравенств вида
S ацг,*= 0, i = 1, 2, .... 2л-5, C.12)
относительно (л — I) неизвестного при ограничениях
г? = а2/ + р, /=1, 2 я-1, C.13)
причем эти неравенства можно рассматривать над произ-
произвольным полем, в котором уравнение г8 = аг + Р имеет
три различных решения. Для существования решения
системы C.12), C.13) достаточно, чтобы хотя бы один коэф-
коэффициент полинома Р (х), который получается после подста-
2п—5 л—I
новок вида г/ -¦• аг; + р в полином Р (г) = П $] a^z,,
в* 83

*5
был отличен от нуля. Если аир — целые числа, то доста-
достаточным условием существования решения системы C.12),
C.13) является отличие от нуля коэффициента полинома
Р (х) по любому модулю. Используя теорему 5, можно
свести вычисление коэффициентов полинома Р (z) по моду-
модулю 2 для условий вида 2/ = г, к подсчету числа совершен-
совершенных паросочетаний определенных графов по модулю 2.
Так как при вычислениях по модулю 2 знаки слагаемых
не имеют значения и а = а2, то ис-
используя формулу det/4 = (PL4J, по-
получаем, что вычисление числа совер-
совершенных паросочетаний произвольно-
произвольного графа G по модулю 2 сводится
к подсчету определителя матрицы ин-
циденции вершин графа G по моду-
модулю 2.
пусть л ={a,/}d.2:::::2^s—мат-
={a,/}d.2:::::2^s—матрица коэффициентов системы нера-
венств C.12). Построим расширенную
матрицу В, которая получается путем присоединения к мат-
матрице А строк Ь{ вида @, 0 1, ..., 0), в которых едини-
единица стоит на t'-м месте, i = 1, 2, ..., п— 1. Обозначим
через В (М/Щ подматрицу матрицы В, которая получа-
получается после вычеркивания столбцов, принадлежащих 5ЭТ,
и тех строк bit индексы которых не входят в М. Здесь М
и ЗЛ — два подмножества множества индексов {1, 2, ...
..., п— 1), М ПЭД=0. Согласно теореме 6 построим граф
G (L U М1Щ. Матрица инциденций J (L [} /И/ЭД) этого
графа формально записывается следующим образом (в поле
Z2): J (L U МЩ =d(J (L[) МЩ), где/ (L U A1/9W) =
= В (МШ) • Вт (М/'Ж); d — операция, заключающая-
заключающаяся в том, что члены на главной диагонали обращаются
в нуль.
Теорема 7, Для того чтобы система неравенств
f-,1,2 2л-5,
Рис. 26.
при ограничениях 2/ = 2/, / = 1, 2 п — 1 имела реше-
решение, достаточно, чтобы нашлись два подмножества М и 9Я,
множества {1, 2 п—1} таких, что М П 9Я =^= 0,
det J (L [} МЩ в 1 (mod 2).
Пример. Рассмотрим граф Ge (рис. 26). Система
неравенств вида C.12), соответствующая этому графу,
84

записанная по модулю 2, имеет следующий вид:
Ь + ХлФО;
ха + х,ф0;
+ хг + хз + х* + хь ф 0;
+ х3 Ф 0;
+ хъ ф 0;
+ х3 + xt + хъ ф 0.
Пусть 9Я ={1,5}; М = [2].
Тогда
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0
0
1
1
1
0
1
1
2
0
0
0
0
1
1
0
0
3
1
0
0
1
0
1
1
1
4
1
0
1
0
0
1
1
1
5
1
1
0
0
0
0
0
1
6
0
1
1
1
0
0
1
0
7
1
0
1
1
0
1
0
1
8
1
0
1
1
1
0
1
0
и det J (L U М/Щ в 1.
4. Анализ системы уравнений
по модулю 2
Рассматривается произвольный максимальный
плоский граф Т. А — [а] —множество треугольных гра-
граней, R — {г{} — множество ребер, ба — множество ребер,
инцидентных грани а. Если п — количество вершин графа
Т, то | А | = 2п — 4; | R | = Зп — 6.
Задача о вершинной раскраске Т четырьмя красками
эквивалентна разбиению R на три класса, так что каждой
грани а принадлежит в точности по одному ребру из каж-
каждого класса. Если сопоставить каждому ребру rt перемен-
переменные Х(, xt, принимающие значения из множества {0, 1},

то можно записать следующую систему соотношении:
«,sl (mod 2), а ? А; C.14)
м tm I (mod2), а?А; C.15)
' = 0 (mod 2), t ? / == {I, 2 3/г — 6}. C.16)
Решение системы C.14) — C.16) разбивает R на три непе-
непересекающихся класса:
I. x,sl; % == 0 (mod 2);
II. х, зз 0; xi =з 1 (mod 2);
III. xi=xi=0(mod2).
Легко видеть, что каждой грани а соответствует точно
по одному представителю из каждого класса. Таким обра-
образом, решение системы C.14) — C.16) в определенном смыс-
смысле эквивалентно решению задачи о четырехцветной рас-
раскраске Т.
Рассмотрим линейную систему C.14). Она эквивалентна
следующему уравнению:
Р (*) = П / ? хА = 1 (mod 2); х
ел уее /
Полином Р (х) в поле Z2 характеристики 2 после под-
подстановок вида х? = Х[ и приведения подобных членов запи-
запишется в виде суммы одночленов, каждый из которых пред-
представляет собой произведение некоторого подмножества пе-
переменных xt. Соответствующий полином обозначим через
Р (х), а одночлен, представляющий собой П х( — УИц, где
ц — некоторое подмножество индексов множества {1,2, ...
..., 3/г — 6}, и пусть К — совокупность ц, для которых
Л4ц входит в разложение Р (х) с ненулевыми коэффициен-
коэффициентами, т. е. Р (х) зз J] Мц, (mod 2).
ел
пе
Лемма 6. Для того чтобы система C.14) — C.16) имела
решение, необходимо и достаточно, чтобы нашлись щ,
Ни ? К такие, что цх П Иг == 0-
Доказательство. Рассмотрим полином Р (х,
х') над полем характеристики 2, который получается после
подстановок вида х,х^ -*- 0 из полинома Р (х) Р (х').
86

Система C.14) — C.16) эквивалентна системе уравнений
')ssl (mod 2),
' = 0 (mod 2), l?l. C.17)
В самом деле, если X = {х, х'} — решение системы
C.14) — C.16), то Р (х,?) = 1 (mod 2). Если X = [х,х') —
решение системы уравнений C.17), то Р (х) Р (х1) = Р (х,
х') = 1 (mod 2), откуда Р (х) = Р (?) == 1 (mod 2), т. е.
выполняются условия П (Yt Xi) = П (Yi x't) = 1 (mod 2).
Значит, Y xi = S * — 1 (m°d 2), а ? Л, i ? ба, а ? А,
т. е. выполняются условия C.14) — C.16).
Система C.17) имеет решение, если Р (х, х') Ф- 0. До-
Докажем более общее утверждение: если задан такой поли-
полином F (х, х'), который не содержит члены, включающие
произведение вида х{х;, то сравнение F (х, х') н= 1 (mod 2)
имеет решение, такое, что XiXi s= 0 (mod 2) для всех i.
Доказательство проведем индукцией по размерности
пространства переменных х. Для размерности к = 1 имеем
три варианта уравнений: 1) F (х, х') = х = 1; 2) F (х, х') —
= х' = 1; 3) F (х, х') == х + х' = 1.
Для первого варианта искомым решением будет л: = 1;
х' =0; для второго —х = 0; х' = 1; для третьего
—х = 1; х' =0 или х = 0, лс' = 1. Пусть утверждение
справедливо для k = п. Докажем его для k = п + 1.
Полином F (х, х') представим в следующем виде:
F (х, х') = xxF (х, х') + x[F2 (x, x'),
где х, х' содержат п координат, а полиномы Ff и F2 облада-
обладают свойством, указанным в формулировке данного утвер-
утверждения, и хотя бы один из них отличен от нуля. Если по-
полином Fx (x, х') отличен от нуля, то найдем (л:*, х'*) такой,
что Fi (x*, х'*) =1. Тогда относительно хъ х\ получим
первый или третий вариант уравнения. Если Fx (x, x')s=s
^ 0, то найдем (х**, х'**), такой, что F2(x**, x'**) ^
s I (mod 2).
Тогда относительно х{, х\ получим уравнение вида вто-
второго варианта. Таким образом, сформулированное утвержде-
утверждение справедливо.
Полином Р (х, х') будет отличен от нуля в том и только
87

в том случае, если Р (х) будет содержать пары членов с не-
непересекающимися подмножествами индексов переменных.
Если таких пар нет, то Р (х) Р (х') будет во всех членах со-
содержать выражение вида хсх1, т. е. Р (х, х') = 0.
Лемма доказана.
Лемма 7. Подмножество индексов \i? К тогда и только
тогда, когда количество решений системы C.14) таких,
что х{ = 0 при i ? |х, нечетно.
Доказательство. Сравнение Р (х) э= 1 (mod 2)
выделяет множество р решений системы C.14). Если х ?'
Е р, то Р (х) = 0. Рассмотрим произвольный полилиней-
полилинейный полином Pi (x) с коэффициентами {0,1} над полем Z2.
Если Р{ (х) ф Р (х) (mod 2), то множество решений сравне-
сравнения Pi (х) = 1 (mod 2) не совпадает с р, так как сравнение
Рг (х) — Р (х) з= 1 (mod 2) имеет непустое множество ре-
решений. Таким образом, коэффициенты полинома Р (х)
однозначно определяются множеством его решений.
Зп—6
Рассмотрим выражение Р (х) = ? П [1 + (xt +
сер *=i
+ at)], где 0 = (о?!, а2 а3л_6). При х ? р Р (х) =
= 1 (mod 2), при х ? р Р (х) = 0 (mod 2).
Таким [образом, множество решений сравнения Р(х)э
s= I (mod 2) совпадает с р. Это значит, что Р(х) совпадает
Зл-6
с Р{х). Далее Р(х) = Р(х)='? П [х, + A + at)] =
0€р f=l
= S П х, / 2 _П A + с()\ =Р ^Сц, где Сц — число
и' ец. wep^en / и <еи
элементов а множества р таких, что at = 0, при всех i ?
? (х.
Лемма доказана.
Рассмотрим произвольное остовное дерево D графа Т.
Переменные xit не соответствующие ребрам этого дерева,
образуют базис системы C.14), т. е. любое переменное од-
однозначно выражается через переменные, принадлежащие
ребрам D. Таким образом, в силу леммы 6, если ц пред-
представляет собой подмножество индексов ребер, дополнитель-
дополнительное к / (D) =я {i : rt P ?>}, то ц G /С.
Лемма 8. ц ? /( тогда и только тогда, когда дополнение
к Мц = (г, : i ? |а} образует остовное дерево или остовное
квазидерево, т. е. частичный граф, не содержащий нечетных
циклов,
8S

Доказательство. Система C.14) при фиксиро-
фиксированном значении части переменных может иметь пустое
множество решений, одно решение или 2* решений (k ^ 1).
Любой простой цикл триангуляции Т можно представить как
сумму циклов, образующих треугольные грани, при этом
четному циклу будет соответствовать четное число циклов
длины 3, а нечетному — нечетное число. В силу системы
C.14) 5] xi = 0 (или единице по модулю 2) в зависимости
rfiC
от четности или нечетности цикла. Если существует связ-
связный частичный граф G графа Т, то можно выбрать в нем
остовное дерево D, и переменные, соответствующие его
ребрам, приравнять нулю. Если G представляет собой ква-
квазидерево, то все переменные, соответствующие ребрам G,
окажутся равными нулю, тогда существует в точности одно
решение системы C.14), удовлетворяющее этому свойству.
Если G не является квазидеревом, т. е. содержит нечет-
нечетные циклы, то хотя бы одно переменное, соответствующее
ребру G, должно принимать значение единицы, т. е. не су-
существует ни одного решения системы C.14), при котором
значения всех переменных ребер, принадлежащих G,
обращались бы в нуль.
Если G — подграф графа Т, не содержащий остовного
дерева, то ребра, не принадлежащие G, не образуют бази-
базиса. Это значит, что если xt = 0 для {i; rt ?G}, то система
C.14) при этом условии либо вЪвсе не будет иметь решения,
либо будет иметь четное число решений B при k^ 1).
Таким образом, в силу леммы 7 ц ? К тогда и только
тогда, когда ребра, соответствующие индексам, не при-
принадлежащим ц, образуют остовное квазидерево.
Лемма доказана.
Теорема 8. Задача C.14) — C.16) разрешима тогда
и только тогда, когда существует такое дополнение к ос-
товному квазидереву, которое не содержит нечетных циклов.
Доказательство. Согласно лемме 6 условием
разрешимости задачи C.14) — C.16) является наличие двух
непересекающихся множеств \ii, \аг ? К- В силу леммы
8 дополнению к Цх соответствует некоторое остовное квази-
квазидерево. Так как (хх П Щ = 0> то 14 входит в дополнение
к ц2. Так как дополнению к ц2 должно соответствовать
квазидерево, то цх не должно содержать нечетных циклов.
Обратно, если [h? К и соответствующий частичный
подграф не содержит нечетных цикюв, то он может быть
дополнен до квазидерева. Дополнением ко множеству ин-
89

дексов ребер, принадлежащих этому квазидереву, будет
fi2 ? К и такое, что н-i П Ця = 0-
Теорема доказана.
Рассмотрим решения системы C.14) с минимальным чис-
числом единиц. Каждой треугольной грани будет соответство-
соответствовать единственное ребро, для которого хе, равное единице.
Каждое такое ребро принадлежит двум смежным треуголь-
треугольникам. Если рассмотреть двойственный граф G*, вершины
которого соответствуют треугольным граням в Т, то ребра
этого графа однозначно соответствуют ребрам Т, и указан-
указанному решению системы C.14) будет соответствовать совер-
совершенное паросочетание двойственного графа, т. е. справед-
справедлива теорема.
. Теорема 9. Задача C.14) — C.16) разрешима тогда
и только тогда, когда двойственный граф G* имеет два
совершенных паросочетания, не имеющих общих ребер.
5. Задача выбора и раскраска графов
Задача булева программирования вида
п
mi п 2 CjXj C.18)
при ограничениях
п
~ =1, /=1,2, , т; C.19)
х,<={0, 1}, /=1,2 п, C.20)
при условии, что ас/ принимают значения 0, 1, называется
задачей выбора.
Рассмотрим множество ?>0, вырезаемое ограничениями
C.19), C.20), его выпуклое замыкание Dw и многогранник
D, образованный ограничениями C.19) и
<1, /=1, 2, ..., п. C.21)
В. А. Трубин доказал замечательную теорему [12].
Теорема 10. Всякое ребро многогранника Dw (если это
множество содержит более одной точки) является ребром
многогранника D.
Доказательство. Пусть х = {*,•}, у = {ус) —
две различные вершины многогранника Dw- Они являются,
очевидно, и вершинами D. Рассмотрим множество столбцов
90

J матрицы A = {o//}L,ds> Для которых x, Ф yh и
вычеркнем из соответствующей подматрицы Aj строки,
удовлетворяющие условию 2 йцх^ = 2 ачУ1 ~ О- Легко
видеть, что эти строки состоят только из нулевых
элементов. Обозначим оставшуюся матрицу через В (х, у).
Пусть элементы этой матрицы {bij\, / ? J; i — 1, 2, ..., k.
Каждая строка этой матрицы содержит два ненулевых
элемента.
Действительно, так как X/ -\-¦ У/ = 1, / ? J, S ЪцЩ —
= S Ъцу, = 1, то Ц ftv (л:,- + <//) = S to/ = 2.
/ev /еу са
Ранг матрицы fi (х, у) Rb меньше или равен \J\ — 1, так как
решение уравнения В (х, у) z = Ik не единственно Aк —
вектор размерности k с компонентами, равными единице).
Выберем Rb линейно независимых строк матрицы В (х, у).
Пусть В — подматрица матрицы В (х, у), образованная эти-
этими строками. Уравнение Bz — Irb эквивалентно уравне-
уравнению Ъг = /ft.
Матрице В сопоставим граф G-g инцидентности перемен-
переменных Z/ (/ ? У): вершины /j и }2 соединены ребрами в том
и только в том случае, если найдется строка s такая, что
&s/, = bSja =1. Граф Gb имеет одну или более компо-
компонент связности. Если для всех переменных zjt относящихся
к определенной компоненте связности, сделать замену пе-
переменных вида 2/ = 1 — Z/, то в новых переменных система
примет прежний вид. Таким образом, для каждой компо-
компоненты (подсистемы) число переменных по крайней мере
на единицу больше числа уравнений. Так как количество
ребер в каждой связной компоненте равно числу уравнений,
а число вершин равно числу переменных, относящихся к этой
компоненте, то отсюда следует, что каждая связная компо-
компонента представляет собой дерево. Как известно, дерево
имеет два варианта двухцветной вершинной раскраски сим-
символами 0 и 1. Легко видеть, что каждой такой раскраске
будет отвечать решение соответствующей данному дереву под-
подсистемы уравнений. Переход от одного решения подсистемы
к другому соответствует замене значения единицы одной
из переменных на нуль, что равносильно исключению со-
соответствующего столбца из базиса, т. е. переходу по ребру
От одной вершины многогранника D к другой.
91

Пусть число компонент связности графа Gb равно k.
Тогда система уравнений Bz = 1Ь имеет 2* допустимых
булевых решений, которые можно интерпретировать как
вершины ft-мерного параллелепипеда Пк Е Dw s D,
ребра которого являются ребрами D. Переход от х к у
соответствует переходу по диагонали этого параллелепипе-
параллелепипеда. Если k = 1, то вершины хну многогранника Dw ле-
лежат на одном ребре, если k~> 1, то х и у не лежат на одном
ребре многогранника Dw, так как переход от х к у осущест-
осуществляется через внутренние точки грани большей размернос-
размерности. Таким образом, произвольное ребро многогранника Dw
является ребром многогранника D.
Задача о вершинной раскраске графа может быть пред-
представлена как задача выбора.
Пусть речь идет о вершинной раскраске графа G (W,
R) s красками. Сопоставим каждой вершине i ? W перемен-
переменные xit, Xi,, ..., XiS; xij принимает значение единицы, если
вершина i окрашена символом /, и 0 в противном случае.
Тогда условие правильной раскраски можно записать сле-
следующим образом:
txlf=.l, i?W\ C.22)
/=i
*/./ + *w + Уь1 = 1 > &. h) ?R\ /=1,2 s; C.23)
xth yif.U{0, 1}. C.24)
Пусть Dw — выпуклое замыкание решений системы
C.22) — C.24). Воспользуемся предыдущим анализом для
характеристики в терминах раскраски графов того, что
представляет собой переход от одного решения системы
C.22) — C.24) к другому, лежащему на другом конце реб-
ребра многогранника ZV. Несложные рассуждения показывают,
что движению по ребру соответствует такая перекраска
связного подграфа (всего графа), что любая частичная
перекраска этого подграфа (графа) не дает правильной рас-
раскраски. Под частичной перекраской понимается перекрас-
перекраска части вершин, раскраска остальных остается первона-
первоначальной. Частным случаем движения по ребру является
инверсная перекраска связной двухцветной компоненты.
К сожалению, даже в случае раскраски плоских графов
четырьмя красками легко построить пример, когда пере-
переход от одной правильной раскраски к другой невозможно
осуществить путем последовательной перекраски двухцвет-
92

ных компонент и замены раскраски отдельных вершин,
при которой раскраска остается правильной.
В графе на рис. 27, а любая двухцветная перекраска
создает изоморфную раскраску (эквивалентна перестановке
красок). С другой стороны, существует неизоморфная рас-
раскраска (рис. 27, б).
Теорема 10 в принципе показывает путь решения зада-
задачи выбора путем спуска из некоторой начальной допусти-
допустимой точки по ребрам многогранника Dw, или по ребрам много-
многогранника D, ведущим в целочисленную точку. При этом
происходят процедуры, близкие к обычному симплекс-
методу. Однако эффективность такого рода процедур, как
показано в работе Л. Н. Землянухиной [6], оказывается
во многих случаях низкой из-за сильной вырожденности
задачи, при этом выбор подходящего ребра спуска связан
с переборными процедурами.
Задачу о четырех красках с помощью указанных проце-
процедур можно решать следующим образом: получить некото-
некоторую начальную раскраску пятью или большим числом кра-
красок, сформулировать ограничения соответствующей зада-
задачи выбора C.22) — C.24), при этом в качестве критерия
взять линейную функцию с положительными коэффициента-
коэффициентами от переменных Хц для / :> 5. Тогда оптимальному ре-
решению задачи выбора будут соответствовать раскраски
четырьмя красками, для которых целевая функция будет
принимать нулевое значение.
Рассмотрим задачу о паросочетании как задачу выбора.
Пусть задан граф G (W, R). Сопоставим каждому реб-
РУ i"i ? R переменную х;. Задача о максимальном паросо-
паросочетании ставится следующим образом:
93

найти max 2х,- при ограничениях ? *,<1; w,? W; ж,-?
? {О, 1}, гдеМ/ — множество ребер, инцидентных вершине wh
Для совершенного паросочетания справедливо
2 xt=l; w,?W; C.25)
*,€{0, 1}- C.26)
Обозначим через Dw выпуклое замыкание множества ре-
решений C.25) — C.26). Рассмотрим два различных решения
хA> и хB>, т. е. две вершины Dw- Совокупность ребер,
принадлежащих хотя бы одному из заданных паросочета-
ний, разобьется на совокупность ребер, образующих циклы
четной длины, и изолированные ребра.
Из анализа, проведенного выше, следует, что переход
по ребру в многограннике Dw соответствует переходу х{ ->
-*¦ 1 — х{ для подмножества ребер, образующих четный
цикл. Таким образом, от одного совершенного паросочета-
паросочетания к другому всегда можно перейти путем последователь-
последовательной инверсии переменных ребер определенных четных цик-
циклов.

ГЛАВА 4
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РАСКРАСКИ
ПЛОСКИХ ГРАФОВ
В этой главе выводится система уравнений в поле
характеристики 2, которая позволяет построить направлен-
направленный алгоритм раскраски плоского графа. Этот алгоритм
прост в реализации, так как не требует накопления про-
промежуточных данных и сводится к проверке на цикличность
определенной последовательности ребер графа.
1. Вывод системы уравнений.
Частный случай
Будем рассматривать максимальный четырех-
связный плоский граф G. Если он правильно раскрашива-
раскрашивается четырьмя цветами, то по теореме 2 это означает, что
его ребра можно так раскрасить тремя цветами, что в каж-
каждой треугольной грани все ребра будут окрашены по раз-
разному. Если обозначить номера цветов цифрами 0, 1, 2,
то их двоичная запись будет @0), @1) и A0). Обозначим
через х( и yit i = 1, 2, 3, соответственно первый и второй
разряды двоичной записи номеров цветов для любого
треугольника. Тогда раскраска ребер согласно теореме
2 будет эквивалентна решению системы уравнений для каж-
каждого треугольника
#! + *2 + *3 = 1 (mod 2),
У1 + Уг + Уз^ 1 (mod 2), D.1)
Х1У1 = ЧУч. = *зУз = 0 (mod 2).
Будем называть \ji двойственными переменными по от-
отношению к xt. По теореме Татта [36] рассматриваемый
граф G является гамильтоновым. Гамильтонов цикл делит
граф на две области, которые обозначим через Ri и Rt
и изобразим вместе с гамильтоновым циклом. Если для гра-
графа G построить двойственный граф G*, то областям Ri
и #а будут соответствовать два произвольных дерева со сте-
степенью ветвления три, которые будут соединяться друг
95

с другом ребрами, двойственными к ребрам гамильтонова
цикла.
Рассмотрим случай, когда оба эти дерева являются
простыми цепями. Для примера исследуем граф
на рис. 28, а, б, где отдельно изображены области Rx и R2.
Занумеруем ребра гамильтонова цикла последовательно
по часовой стрелке. Как видно из рис. 28, внутренние реб-
ребра области Ri естественным образом упорядочиваются.
9 10 II J2 а
16
14
10 ?9 28 27 25 25 24 23
a
я w й . '6. /7 _ » ,э
Обозначим в нарастающем порядке слева направо перемен-
переменные, соответствующие этим ребрам, через а{, i = 1, 2, ...,
а двойственные переменные — через щ. Пользуясь соотно-
соотношениями D.1), выразим переменные at и а, через перемен-
переменные, которыми обозначены ребра гамильтонова цикла,
; D-2)
В дальнейшем треугольники, с которых начинают упо-
упорядочивать внутренние ребра, будем называть опорными.
Из этой системы видно, что возрастающей последова-
последовательности переменных щ (а также сц) однозначно соответ-
соответствует определенная последовательность ребер гамильто-
гамильтонова цикла (или соответствующих переменных х и у).
96

Эту последовательность легко определить: S = A,
2, 3, 4, 34, 33, 5, 6, 32, 7, 31, 30, 8, 29, 28, 27, 9, 10, 26,
11, 12, 13, 25, 14, 15, 24, 16, 17, 23, 18, 22,.21, 19). Обоз-
Обозначим через Si (или S;) сумму первых t членов этой после-
последовательности из переменных х (соответственно у). Тогда
систему D.2) можно переписать так:
D.3)
Последнее из уравнений D.1) представим в виде 1 +
¦\-Xi\ji--1, и, применив его к переменным а,- и щ, окончатель-
окончательно получим
D.4)
Назовем эту систему основной для области Rlt Произве-
Произведение всех равенств даст соотношение для разрешающего
полинома в виде
FAX, Y) = \. D.5)
Если найдется такая пара векторов (X, Y), которая удов-
удовлетворяет D.5), то можно решить систему D.4), что задает
некоторую правильную раскраску вершин графа G без
Учета ребер области Rz. В системе D.4) для области Rt
7 1-1333 97

отсутствуют переменные под номером 20. Если в области
R2 заштриховать треугольник, основанием которого явля-
является ребро 20, то тем самым область R2 разделится на две
части. В левой части будем упорядочивать внутренние реб-
ребра слева направо, а в правой части — наоборот. Этому раз-
разделению будут соответствовать два опорных треугольника
и две последовательности ребер гамильтонова цикла, ко-
которые возникают так же, как и при составлении уравнений
для области /?!. Эти последовательности следующие:
Р= G, 8, 9, 10, 6, И, 12, 13, 5, 14, 4, 3, 15, 2, 16, 17, 1, 18,
34, 19) и Q = B5, 26, 27, 28, 24, 23, 29, 22, 30, 31, 21,
32, 33).
Так же, как и для области Rlt будем обозначать
через Pi (P{) и Q, (Qi) сумму первых i членов последова-
последовательностей Р и Q, составленных из переменных х (у).
Основная система для области R2 имеет вид
Р20 + PwP'2o = 1; D.6)
1 + Q13Q13 = 1.
Назовем совместную систему D.4) и D.6) канонической
системой графа G. Произведение всех равенств D.6) дает
полином в виде
Ft(X,Y)~l. D.7)
Объединяя оба полинома и подставляя Xt вместо х\,
получаем разрешающий полином для всего графа
Ft(X, Y) F2(X, Y) = F(X,Y) = l. D.8)
По определению, если хотя бы один коэффициент этого по
линома отличен от 0 (mod 2), то системы D.4) и D.6) имеют
решение, а граф G правильно раскрашен четырьмя крас-
красками.
Прежде чем исследовать коэффициенты полинома D.8),
выведем несколько свойств, которыми обладает операция
умножения и поле характеристики 2.
1. ab = а (а + Ъ + 1) — это видно из того, что а2 = а,
поэтому ab = ab + а2 -f а = а (а + Ъ + 1).
98

2. Для произвольных л^ ? Z2 выражение (дгх + л:2) х
X (х2 + х3) X... х (*п + а;х) равно тождественно нулю для
п = 1 (mod 2) и не равно тождественно нулю для п =з
== 0 (mod 2).
Возьмем два первых множителя и применим свойство 1.
Тогда (*! + хг) (хг + х3) = fo + х2) (хг + х3 + 1).
Добавим третий множитель и тогда согласно свойству
1 получим (*! + Х3+ I) (х3 + х4) = (*! + а;3 + 1) (*i +
+ дг4).
После умножения k множителей всегда образуется
множитель ta + а:&_{_1 + ^ +. 1). Подставив k =п, хп+\ = ^i,
имеем (*! + a;j + п + 1) = (п + 1). откуда и следует
справедливость утверждения.
В дальнейшем будем называть исходное выражение
циклическим произведением.
3. Обозначим а + 1 через а, а + b + 1 через (а + Ь).
Пусть в циклическом произведении (х^ -f- x2) (х2 +
-f х3) ... (хп + Xi) встречается X множителей с отрицанием.
Тогда выражение равно тождественно 0 (mod 2), если
п + X + 1 =. О (mod 2).
Применяя тот же метод, что и при доказательстве свой-
свойства 2, видим, что всегда образовывается множитель (л:х +
+ Xk+\ + k + v + 1), где v — число множителей, встречав-
встречавшихся до сих пор с отрицанием. Подставим k = п, хп+\ = хх
и v = X, получим Xj + jq + п + 1 -j- X = п + X + 1,
откуда и следует справедливость утверждения.
4. П (fl/ + &,*) = | П (я, + &,) + П а,\х +
(=1 b=i '=i J
+ Па, для x?Z2. D.9)
В результате всех умножений и применения тождества
х* = х в правой части получим окончательно Ах + В.
п
Положим х = О, тогда В = П а,-. Чтобы получить значение
п
А, положим х = 1. Тогда Л + В = П (а( + bt), откуда
и следует формула D.9).
5. П (о, + btx + с(у + dtxy) =
D.10)
7* 99

где D = П а(; С = П (а( + ct) -f П а,;
«=1 г=1 <=1
Я = П (о, + bt) + П а,;
i=i i=i
п п
А = П (а, + Ь, + ct + d,) + П (а, + Ь{) +
Эти формулы легко получить, если последовательно под-
подставлять в обе части тождества значения переменных:
1) х = 0, у = 0; 2) х = 1, у == 0; 3) х = 0, у = 1; 4) х =
= «/ = 1.
Пользуясь этим приемом, можно распространить фор-
формулу D.10) и на большее число переменных.
Рассмотрим произвольный n-мерный вектор X. Уста-
Установим некоторые необходимые признаки того, что он явля-
является решением канонической системы D.4) и D.6). Будем
обозначать через x(i) переменную из последовательности
S, стоящую на i-u месте.
Лемма 1. Пусть х (i) = 1. Тогда S, =э (i + I) (mod 2).
Доказательство проведем в два этапа. Пусть
/ — четное. Запишем уравнение из системы D.4) в виде
1+S,_,S;_, = 1; St + S't+StS't^l. D.11)
Так как у (i) = 0, то S^ = S't, a S,_! = St + 1. Под-
Подставим эти значения в первое уравнение D.11) и получим
Отсюда имеем S{ = 1.
Пусть теперь i — нечетное. Для него справедливы следу-
следующие соотношения:
S,_, + S't-i + St-iSi-i = 1; 1 + StS't = 1. D.12)
Подставив в первое уравнение S<_i и St-u получим
s, + i+s;+s;(s? + i) = i; i+s,s; = i.
В результате находим, что S, = 0. Сравнивая оба слу-
случая, убеждаемся в справедливости леммы.
Лемма 2. Начальная серия из нулей в последователь-
последовательности S имеет нечетную длину.
Начальная серия из нулей прерывается после появле-
появления первой единицы. Но по лемме 1 S( = i + 1 = 1.
Отсюда i эв 0 (mod 2), т. е. первая единица стоит на места
100

с четным номером, следовательно, начальная серия состоит
из нечетного числа нулей.
Лемма 3. Серия из нулей, расположенных между после-
последовательными сериями единиц, имеет четную длину.
Действительно, пусть р — номер последней единицы
из левой серии единиц, а / — номер первой единицы из
правой серии единиц. По лемме 1 справедливо, что
Sp = p+l; St = i+l.
Но St отличается от Sp только на единицу, так как между
р-и и 1-м местами находятся только нули. Поэтому
St = Sp+l
или I + 1 = р + 1 + 1, откуда и получаем р = i + 1,
т. е. число нулей четно.
Очевидно, что леммы 1—3 справедливы и для последо-
последовательностей Р и Q, а также для переменных у.
Легко установить, что из справедливости лемм 2 и 3
вытекает справедливость леммы 1.
2. Некоторые условия разрешимости
канонической системы
Рассмотрим полином D.5) и выделим в нем сла-
слагаемые, в которых отсутствуют двойственные переменные
yt. Обозначим эту совокупность через Ах (G). Чтобы по-
получить Ах (G) в явном виде, необходимо выделить в каждом
уравнении D.4) ту часть, которая не содержит перемен-
переменных у{. Для уравнений с четным номером это будут слагае-
слагаемые S^ k = 1, 2,..., для остальных уравнений —
единицы. В результате Ах (G) можно представить в виде
Al(G) = StSt...S30Ssz. D.13)
Пользуясь свойством 1, сделаем упрощения для двух пос-
последних множителей:
xC2)]. D.14)
Продолжим те же преобразования до самого начала
.. [хC1) +жC2)].
Подставим соответствующие переменные вместо Х{ из S:
Ах (G) = (хг + хг) (xs + х4) (*34 + х33) ... (хгг + х21). D.15)
Аналогично для области /?2 из системы D,6) определим
величину
А2 (G) = /у4 ... P20Q2Q< ...Ql9 D.16)
101

и окончательно получим
- • • (^32 ~Г -*-Зз)* '^-' ')
Если обозначить A (G) = Аг (G) Л2 (G), то A (G) — это и
есть та часть полинома D.8), которая не содержит перемен-
переменных у(. Для удобства А1 (G) и Л2 (G) будет изображать в
эквивалентной форме в виде разбиения последователь-
последовательностей S, Р и Q на пары, где над соответствующими пара-;
ми будет стоять знак отрицания:
В, = A, 2) C74) C4733) E76) C277) (ЗТТЗО) (8729)
B8727) (9ГПГ) B67ТТ) (Т27ТЗ) B57Т4) (Т5724)
(Т67Т7) B3718) B2ДГ); D.18)
В2 = G,8)(9, 10) F, 11) A2, 13) E, 14) D,3) A5, 2)
(Т67Т7) (I7T8) C47Т9) B5, 26) B77^8) B471*3)
B9722) (ЗОТЗТ) BТ732). D.19)
Составим последовательности пар таким образом, что-
чтобы конец предыдущей пары совпадал с началом следую-
следующей, хотя при этом и придется некоторые пары записы-
записывать в обратном порядке. Так как в каждом разбиении
любое число может встретиться только один раз, то пары
поочередно будут принадлежать то Blt то В2. В результате
получим следующие последовательности:
1) A, 2) B715) A53) B1725) B3ГЩ A8Л);
2) G, 8) (8729) B9722) B272Т) BТ732) C277);
3) B5, 26) B6, 11) (И, 6) F, 5) E, 14) A4, 25);
4) C^) D73); 5) (97Т0) (ШГ9); 6) (ТгТТЗ) (Тз7Т2);
7) (Гб7Т7)A77Тб); 8) B8727) B7728); 9) (ЗТТЗО)
C0,31);
10) A9, 34) C4, 33).
Первые девять последовательностей являются циклами,
которым в выражении A (G) соответствуют циклические
произведения переменных. В первых трех из них отрица-
отрицание встречается нечетное число раз. Так как все циклы
четной длины, то по свойству 3 первые три цикла превра-
превращают A (G) в тождественный нуль. В каждом из этих цик-
102

лов есть единственный множитель без отрицания, который
соответствует опорному треугольнику областей R± или /?2.
Для удобства запишем полученные последовательности
в виде набора цепей (в случае циклов — замкнутых), где
дугой будет отмечена пара ребер, соответствующая множи-
множителю без отрицания:
В= A^2—15—24—23—18—1) G^8"—29—22—21-32—7)
B5^26-11— 6-5-14-25) C-4—3) (9—10-9) A2—13—
12) A6—17—16) B8—27—28) C0—31—30) A9, 34,33). D.20)
Очевидно, что если для графа G задан гамильтонов цикл,
то В определяется однозначно. Назовем В каноническим
разбиением графа G. В новых терминах для рассматривае-
рассматриваемого класса графов можно сформулировать следующее.
Первое условие разрешимости. Каноническая система
D.4) и D.6) для графа G разрешима, если его каноничес-
каноническое разбиение не содержит циклов с ребрами, принадлежа-
принадлежащими нечетному числу опорных треугольников.
Так как для данного примера первое условие не выпол-
выполняется, то в разложении полинома D.8) отсутствуют сла-
слагаемые, не содержащие переменных yt. Исследуем теперь
необходимые условия того, что коэффициент при какой-
либо переменной у( был отличен от нуля. Для этого рас-
рассмотрим сначала последовательность S. Будем говорить,
что переменная yt = у (k) имеет четное вхождение в область
Rlt если k =21, и нечетное вхождение в противном слу-
случае. Другими словами, номер места переменной в последо-
последовательности S определяет четность вхождения этой перемен-
переменной в область R±. Рассмотрим оба случая.
1. Переменная yt имеет нечетное вхождение, т. е. k =
= 2/+ 1.
Запишем уравнения системы D.4) в виде
$2/ "Т" ^2/ + S21S2I = 1J
l + ly(k) + S2l]S2!+l = \;
+ У (k) (I + S2/+2) + • •' - U D-21)
103

Чтобы получить коэффициент при y(k), воспользуемся форму-
формулой D.9). Здесь х = у (k), а под а( подразумеваются члены
уравнений, не содержащие переменных у. Как показано
п
выше, в этом обозначении П at = О, поэтому в формуле учи-
п
тывается только П (at + bt). Тогда для системы D.21)
коэффициент при у (k) равен S2S4...S2* (I + S2*+i) О +
+ S2l+3) ... A + 583) [1 + х (k)].
Используя свойства 1—3, преобразуем три множителя сле-
следующим образом: S2i (l_+_Su+i) U 4- х (k)] = S2t (S21 4-
+ S21+1) x(k) = S2i x (k) x (k) = 0. Следовательно, неза-
независимо от того, какое вхождение имеет у( в область R2,
коэффициент при yt равен нулю. Нетрудно представить,
что то же самое получится, если yt имеет нечетное вхожде-
вхождение в последовательность Р или Q.
2. Переменная yi имеет четное вхождение в обе области
Ri и #2, т. е. k = 21.
Рассмотрим систему D.4) в следующем виде:
S21 + S21-1 + у (k) A + S21) + • • • ==1; D.22)
1 + ly(k)+ .--lSe-1;
l + x(k)y(k) = l.
Кадффициеит при уь равен
S2St ... S2/-2 A + S2/+1) A + S21+3) • • •
...(l+S^n+ *(*)]. D.23)
По свойству 1 имеем A + SS1) A + SS3) = A + S31) x
X [хC2) + л; C3)]. Продолжая те же преобразования, дой-
дойдем до множителя A + S2i+i). Так как S2/+i == S21-2 +
+ xBl-l) + xBl) +xBl+\), то Зи-гA+Зя+1)[1 +
+ x(k)] = S2i-2[xBl— \) + xBl+\)]x(k). И выражение
D.23) окончательно запишется в виде
Щ. D.24)
104

Если сравнить эту величину с А{ (G), то видно, что ее мож-
можно получить из последовательности S тем же разбиением
на пары, если предварительно изъять элемент на k-м месте.
При этом появляется множитель х (k), а множитель [я (k —
— 1) + х (k + 1)] запишется без отрицания.
Следует заметить, что переменные, принадлежащие опор-
опорному треугольнику, всегда имеют четное вхождение. При
этом, когда образуются выражения типа D.24) для этих
переменных, то над первым множителем появляется отрица-
отрицание.
Перейдем теперь к области R2. He нарушая общности,
будем считать, что переменная yt соответствует номеру
ребра, занимающего s-e место в последовательности Р. Мож-
Можно показать, что для переменной у (s) выражение типа D.24)
легко образовать из Аг (G), если выполнить те же опера-
операции: изъять s-й элемент из Р, образовать пары множителей
из оставшихся элементов Р и Q, соответствующий множи-
множитель записать без отрицания. Умножая выражения, полу-
полученные для областей R1 и R2, образуем коэффициент при
переменной у(, который обозначим С (yt). Этим операциям
можно задать естественную геометрическую интерпретацию.
Если в графе G сделать стягивание вдоль ребра, соответ-
соответствующего переменной yit то можно получить граф С. Если
образовать выражение А (С), то все его множители цели-
целиком войдут в С (yt), только добавится еще множитель xt,
а два множителя [я (k — I) + х (k + 1I (для S) и [х (s —
— 1)-f x(s+ 1I (для Р) запишутся без отрицаний. Фор-
Формально это можно представить так:
D.25)
В зависимости от того, какое вхождение имеет fe-e ребро
в область /?! и R2, можно все ребра гамильтонова цикла
разделить на четыре непересекающиеся множества, которые
обозначим соответственно R00, R01, R10 и R11, где индекс
О означает четность, а 1 — нечетность, первый индекс от-
относится к области Rlt а второй индекс — к области R2:
Я00 = B, 7, 10, И, 13, 14, 17, 18);
R? = A, 4, 6, 21, 24, 27, 29, 30, 32, 33);
R10 = C, 8, 19, 22, 23, 25, 26, 28, 31); ( '
R11 = E, 9, 12, 15, 16, 34),
105

На первом этапе можно рассматривать переменные у{, ко-
которые принадлежат только множеству R00.
1) Для переменной у2 получаем следующие разбиения:
В, B) = (ГЗ) D734) Щ~5) FГ32) (ТТзТ) C078) B9Т28) B779)
A0, 26) A1, 12) A3, 25) A4, 15) B4, 16) A7, 23) A8, 22) B1, 19)
2; Вг B) = G,8) (9, 10) F,11) A2,13) E,14) D,3) A5, 16)
A7, 1) A8, 34) 2 {25, 26) B7, 28) B4,23) B9,22) C0, 31) B1, 32).
В разбиении В B) наряду с другими последовательностями
имеем цикл G—8—30—31—7), в котором только один мно-
множитель без отрицания, что дает С (уг) = 0.
2) Для переменной у7 запишем разбиения Вх G) =
= A,2) (ЗД) C4, 33) E76) C2, 31) C0,8) B9728) B779) A0,26)
A1, 12) A3J5H14, 15) B4, lfSMlT^) A8j_22) J21_, 19) 7;
B1G)=(8,9) A0, 6И1_1, 12) A3,5) A4, 4) C,15) B,16) A7, 1)
A8, 34) 7 B5, 26) B7, 28) B4, 23) B9, 22) C0^31) B1, 32).'
В разбиении В G) получим цикл (I—2—16—24—23—
17—1), который также превращает С (у7) в нуль.
Если проверить переменные 10, 11, 13, 14, 17, 18, то для
них также коэффициенты будут равны нулю.
Исследуем теперь необходимые условия того, что коэф-
коэффициент при произведении переменных y(yf, который обо-
обозначим через С (у{, у,), будет отличен от нуля. Пусть в об-
области Ri им соответствуют переменные у (k) и у (I), k <С I.
Как было доказано, k = 0 (mod 2). Рассмотрим для / два
варианта.
1) / = 0 (mod 2).
Запишем систему D.4) в виде
l+S3S'3=\;
It Q с' _ 1 .
Sk)+ ... =1;
у (k) Sk+1 + ..- =1;
D.27)
y(*)Si_,+ ••• -1;
l+i+ .-. =1;
106

l+x(k)y(k) = l;
Воспользуемся формулой D.10). Так как коэффициенты
В, С и D для данного графа равны нулю, то необходимо
п
вычислить П (а, + bt + с{ + dt). Для этого в левые час-
части уравнений D.27) подставим значения у {k) = у (I) = 1,
остальные yv (v Ф i, /) приравняем нулю и, умножая все их
левые части, получаем выражение
в которое подставим S, = S;_i + л: (/). Тогда
A + S,_,) S^ = A + S,_,) [S,_, + x (/)] J@ = 0.
Таким образом, / Ф 0 (mod 2).
2)/= 1 (mod 2).
Система D.4) запишется так:
5ft)+ ... =1;
\+y(k)Sk+1+ ••• =1;
D.28)
SL-i + y(k)(l+Si-O+ ¦¦¦ =1;
l+ly(k)+y(I)\St+ ¦¦¦ =1;
+ [y (k) + у (I)] A + St+l) + ¦¦¦ =1;
Рассуждая так же, как и относительно системы D.27),
получаем выражение
.. S.._2 (I + Sk+l) (I + Sk+3) ...
. (l + S,-2)S<+i ... ЩЩ. D.29)
107

Проведем ряд упрощений х (k) Sk-2 (I + S*+i) = S*-2 (Sk-2 +
+ Sk+i) x (k) = S*_2 [x (k — 1]_+ X(k) + x(k+ 1)] x (k) =
Это соответствует преобразованию при поиске коэффициента
при у (/^равного A + S,_2) S[+ixlJ) = A + S/-2) (S/__2 +
+ Sl+l) x (/) = A+ S,_2) [л; (/ - l)_+x (/) + x(l+l)]x (I) =
Данное преобразование аналогично преобразованию при
поиске коэффициента при у (I). Таким образом, выражение
D.29) можно получить из Аг (G) путем последовательного
двукратного выполнения таких операций, которые прово-
проводились при определении коэффициента для одного пере-
переменного у (k). Если / Ф k + 1, то в результате получаем
еще два множителя, у которых отсутствует отрицание. Рас-
Рассмотрим случай, когда / = k + 1, и из выражения D.29) выпи-
выпишем множители, которые легко преобразуются следующим об-
образом: Sk_2Sk+2xJk) x(k+l) = S*_2(Sk-2 + Sk+2 + 1)хЩ
s(fe+l) = S»-2 [x (k —\)+x(k) + x(k+ 1)
x(k) x(k + 1) = Sk-2[x {k — \) + x(k + 2)] x{k)x(k + 1).Это
означает, что если yt и yj стоят рядом, то знак отрицания
не снимается.
Рассмотрим теперь область R2. Здесь возможны два случая.
1) Переменные yt и у/ входят в одну из последователь-
последовательностей Р, или Q.
Если yt = у (р), у} = у (s), то обязательно min (p,-
s) = 0 (mod 2),- a max (p, s) = I (mod 2).
2) Переменные г/,- и г// входят в разные последователь-
последовательности Р и Q. В этом случае обязательно они имеют четное
вхождение. Для двух переменных перебор возможных ком-
комбинаций уже достаточно большой. Это такие пары: B, 34),
B, 16), B, 32), C, 31), B, 28), B, 25), B,23) B, 22), D, 8),
C3,31), C3, 28), C3, 26), C3, 25), C3, 22), F, 8), C0,26),
C0, 25), C0, 28), G, 9), G, 12), G, 15), G, 16), C0, 23), B9, 26),
B9, 28), B9, 23), B7, 25), B7, 26), A0, 15), A0, 16), A1, 12),"
A1, 15), A1, 16), A3, 15), A3, 16), A4, 15), A4, 16).
Рассмотрим два из этих наборов:
1) у2,уы. Для них
Вг B, 34) = A,3) D, 33) E, 6) C2, 7) C1, 30) (8, 29) B8, 27)
(9, 10) B6, 11) A2, 13) B5, 14) A5, 24) A6,17) B3, 18) B2, 21);
В, B, 34) = G, 8) (9, 10) F, U) A2, 13) E, 14) D, 3) A5, 16)
A7, 1) A8, 19) B5,26) B7,28) B4, 23) B9,22) C0,31) B1, 32).
108

В разбиении B,34) получим цикл B5—26—11—6—5—
14—25), который дает С (уг, у34) = 0.
2) Узз, Ую- Для них
Вг C3, 22) = A, 2) C, 4) C4, 5) F,32) G, 31) C0,8) B9, 28)
B7, 9) A0, 26) A1, 12) A3,25) A4, 15) B4, 16) A7,23) A8,21);
В2 C3, 22) = G, 8) (9, 10) F,11) A2, 13) E, 14) D, 3) A5, 2)
A6, 17) A, 18) C4, 19) B5, 26) B7, 28) B4, 23) B9, 30) C1, 21);
В C3, 22)_= B4—16— 17—23—24) D—3-4) A9—34^5-
14—15-?4—18—21— 31— 7—8—30^29—28—27—9—
10—26^25—13—12—11—6—32).
В этом каноническом разбиении два цикла, но они содер-
содержат четное число отрицаний, поэтому С (у33, у22) Ф 0.
Из всех наборов пар это единственная, которая дает
коэффициент, тождественно отличный от нуля.
3. Общее условие разрешимости системы
Предположим теперь, что для любого числа двой-
двойственных переменных, меньшего k, коэффициенты при на-
наборе этих переменных в разложении полинома D.8) тож-
тождественно равны нулю. Перейдем к рассмотрению коэффи-
коэффициента при любом наборе k переменных ytt, yi , yik.
Не нарушая общности, будем полагать, что в последова-
последовательности S этому набору соответствуют места с номерами
Sj, s2, ..., sk, расположенные в порядке возрастания. Пусть
в области R.2 этим переменным соответствует / элементов
последовательности Р и т элементов последовательности
Q, номера мест которых соответственно р1<.р2<--
...< р, и <7i < q2 < ...< qm (I > 0, m > 0, / + m = k).
Будем называть набор переменных ytlt yi2 yik пра-
правильным, если для его номеров мест в последовательностях
S, Р и Q выполняется условие
S,saPf = GtE==(*+l)(mod2). D.30)
Лемма 4. Если набор переменных yilt yit, ..., yik непра-
неправильный, то в полиноме D.8) коэффициент при наборе этих
переменных тождественно равен нулю.
Доказательство будем проводить по индукции.
Для k = 1 лемма справедлива. Предположим, что лемма
верна для k — 1 числа переменных. Очевидно, что доказа-
109

тельство достаточно привести только для области Ri.
Пусть набор переменных «//,, ytt, .... щк будет неправиль-
неправильным, тогда покажем, что коэффициент при нем будет тож-
тождественно равен нулю. Если нарушение правильности на-
набора наблюдается в первых (k — 1) переменных, то спра-
справедливость леммы следует из предположения. Рассмотрим
случай, когда правильность набора нарушается номером
sk, т. е. пусть Sfc_i + sk = 0 (mod 2).
Представим систему D.4) в виде
1 +x(sl)y{s1)= 1;
1 + х (sk) у (sk) = 1;
ad + а[у (sx) + aiy (s2) + • • • + a[y (sk) + bl = 1,
i = 2, 3, ... , 33. D.31)
Здесь йо для четных i равно S,-, для нечетных i равно еди-
единице; b' ¦— слагаемые с переменным у, не входящими в дан-
данный набор. Величины а,- (/ > 0) также легко вычислить:
для S; > i они равны нулю, для s;- <! i при четном i a\ =
= 1 + St и при нечетном i a) = St. Если перемножить
левые части этих уравнений, то при наборе у (Sj) у (s2) ...
... у (sk) получится коэффициент, равный П («о + а{ + ...
1=2
...+ пк). Выделим в этом произведении множитель,
соответствующий уравнению, где впервые появилась пере-
переменная y{Sk-\). Вклад каждого уравнения в произведение
можно легко определить. Если i — четное, то он равен
S{ -f (I + 5()v, если i — нечетное, то он равен 1 + S,v,
где v — число переменных из данного набора, участвующих
в этом уравнении. Если s*_i = 2 г, то это уравнение имеет
четный номер, а число переменных в нем нечетно, и множи-
множитель равен S2r + A + S2r). Если s^-i = 2r + 1, то урав-
уравнение имеет нечетный номер, число переменных в нем чет-
четно, и множитель также равен единице. Для Sk-\ = 1r пос-
последующие множители будут A + 52r+i) A + 5гг+з)...,
пока в уравнении с номером 2t не появится у (sk), здесь
число переменных будет четно и появится множитель 5г/.
Тогда A + S2,_i) S2t7(sd = A + Sa-i) (S2/-1 + S2t) x~&) =
= A +S2t-i)x(sk)x~(s^ = 0.
E<yiHs*_i =3 2r + I.to последующие множители будут A +
НО

4- S2r+z) ... A + S2r+4)..-. пока в уравнении с нечетным номе-
номером 2t + 1 не появится у (sk), но здесь число переменных
будет четно, поэтому уравнение даст вклад S2t+i. Тогда
A + S») S2;+i s fa) == A + S2,) (S2, + S2(+1) Tfa) = A +
+ S») x fa) л; fa) = 0.
Тем самым показано, что, если sk~\ + sk == 0 (mod 2),
коэффициент при наборе переменных </,„ г// yift
будет тождественно равен ну-
нулю. Это противоречит усло-
условию леммы, отсюда следует
Sk-\ + sk == 1 (mod 2), а это
и означает, что данный на-
набор переменных правиль-
правильный.
Аналогично определению
коэффициента разложения
полинома при одной переменной у (k) можно получить
коэффициент при наборе переменных ytt, г/,-,, ..., yik пос-
после стягивания графа по ребрам, соответствующим этим пе-
переменным. Для полученного графа Gk построим выражение
A (Gft). Чтобы получить С (ytl, yi%, ..., yik), необходимо до-
добавить множитель *(,, Xia, ..., xik и расставить знаки отри-
отрицания над нужными множителями в выражении A (G). Для
этого вместо выражения A (G) рассмотрим новое выражение
Л* (G), которое также будет представлять собой про-
произведение двучленов, соответствующих разбиению на пары
последовательностей S, Р и Q. При этом над множителем
(xjt + х/г) будет стоять такое число отрицаний, сколько
внутренних ребер находится между ребрами ]\ и /2 гамиль-
тонова цикла. Для исходного графа G выражения Л (G)
и Л* (G) совпадают, так как только для переменных, со-
соответствующих ребрам опорного треугольника, не будет
отрицаний, а для остальных множителей будет ровно
одно отрицание. Если преобразовать граф G путем стяги-
стягивания, то при этом появляются кратные ребра, которые
не будут заменяться одним ребром; при подсчете внутрен-
внутренних ребер, расположенных между ребрами /г и /2, эти
ребра будут учитываться. По этому правилу имеем
С (yh, у,ж, ... , yik) = W, ... \А* (Gk). D.32)
Например, для графа Gk, приведенного на рис. 29, выраже-
выражение A* (G) имеет вид Л* (G*) = D, 6) A6, 8) (9, 12) A0, 11).
111

Используя замену а —а, получаем A* (Gk) =D,6) A6,8)
(9, 12) A0, 11).
Общее условие разрешимости системы уравнений D.4) —
D.6) для графов указанного класса можно теперь сформу-
сформулировать в виде теоремы.
Теорема 1. Система уравнений D.4) — D.6) для графа
G имеет решение в том и только в том случае, если найдет-
найдется такой правильный набор переменных yh, yi, yik,
k^O, что в выражении A* (G), составленном для графа
Gk, полученного из G путем стягивания ребер, соответству-
соответствующих переменных указанного набора, будут отсутствовать
циклические произведения с нечетным числом отрицаний.
Если условия теоремы 1 выполнены и найден соответ-
соответствующий набор переменных г/,,, ytt, ..., г/1/г, коэффициент
при котором D.32) тождественно отличен от нуля, то нетруд-
нетрудно найти и решение системы D.4) — D.6) с помощью сле-
следующей теоремы.
Теорема 2. Если С (у,,, </,-,, ..., г//й) = 0, то, подставляя
в выражение D.32) значения:
1) Уи =yit = ••• = &* = 1->
2) остальные yt = 0;
3) xh =xit = ... =xik =0;
4) X/, Ф Xj, в множители типа (x/t + х,-,);
5) xjt = Xj, в множители типа (л:/, + */,), получаем,
решение системы D.4) — D.6).
Доказательство приведем только для области
Ri, так как для R% оно аналогично. Первое уравнение си-
системы D.4) выполняется по условию теоремы. Рассмотри»
произвольное /-е уравнение системы D.4) и покажем, что
указанные значения переменных ему удовлетворяют. Ес-
Если в этом уравнении нет переменных из набора yh, </,¦„ ...
..., yik, то S'j = 0. Так как S2 = [х A) + х B)] и по усло-
условию теоремы х A) Ф х B), то S2 = 1. Для всех 2r ^ /
будет Sir = 1, так как в выражении A* (Gk) им соответ-
соответствуют множители (л:/, + Х/г), для которых x-h + X/, —
= 0, и S2r ничем не отличается от S2. Таким образом, при
четном / имеем S,- + S/ + SjSj — 1, S/ = 1, а при нечетно*
/ получаем 1 + S/S/ = \, т. е. всегда /-е уравнение вы
полняется.
Пусть теперь в /-м уравнении встречается / переменны:
из набора ytv yit, ..., yik. Возможны два случая:
Ш

1) I — четное число. Тогда S) = О, и для нечетного /
уравнение 1 + SjS) = 1 удовлетворяется автоматически.
Поэтому остается доказать, что для четного / всегда S/ =
= 1. Так как Sj содержит четное число переменных, от-
отличных от x-h, xtt, ..., xir и набору переменных yilt yt,, ...
..., ytl соответствует четное число неравенств д:/, Ф xh,
то отсюда следует St = (S2 + /) (mod 2) = 1;
2I — нечетное число. Тогда S] = 1 и для четных / урав-
уравнение Sj + S] + SjS] = 1 удовлетворяется автоматиче-
автоматически. Остается доказать, что при нечетном j Sj = 0. Так как
S/ содержит четное число переменных, отличных от Xit, Х{„...
..., Xiv и набору переменных yti, yit, ..., yt[ соответствует
нечетное число неравенств */, ф X/,, то S/ ^ (S2 + Z)
(mod 2) = 0. Тем самым показано, что решение, заданное
в условиях теоремы, удовлетворяет любому уравнению
системы D.4).
Рассмотрим на примере данного графа, как определить
коэффициент полинома при наборе переменных г/2, уъ, у-,.
Исходя из разбиений D.18) и D.19), получаем разбиения
Вх B, 5, 7) = (п~3) DT1S4) C3, 6) C2, 31) (ЗОГЩ B9Г28)
B7, 9) A0, 26) A1, 17) A3, 25) A4, 15) B4, 16) A7, 23) A8,
22) B1, 19); В2 B, 5, 7) = (8, 9) A0, 6) A1, 12) A3, 14)
D, 3) A5, 16) A7, 1) A8, 34) B5, 26) B7, 28) B4, 23) B9^23)
B9722) (ЗОГЗГ) BГГЗТ); В B, 5, 7) = A9—21—32^31—
— 30 — 8—9 — 27 — 28 — 29 — 22- 18 — 34 — 4—3 —
1 — 17 — 23 — 24 — 16^~15 — 14^Тз — 25~^П>6 —
10 —6^~33) A1 — 12 — 11).
В этом каноническом разбиении один цикл, но он со-
содержит четное число отрицаний, поэтому С (г/2, уь, у7) Ф
Ф0. Согласно теореме 2 построим решение системы D.4)
следующим образом:
1. у2 = уь = у, = 1; все остальные г/, = 0.
?. х2 = хь = х7 = 0; xw =* д?21 == -^32 ^ -^31 = -^зо == ^в == *в ==
23 И 16 т 15 14 ^ 13 25 т гв W в ^
Ф x3s; xn = х12. Здесь возможны варианты в зависимости от
того, какое значение будет задано х33 нуль или единица.
Пусть Хаз = *ii = 1 • Теперь каждой паре значений {xtyi)
будет поставлен в соответствие один из трех цветов: @0) =а,
@1) = Ь, A0) = с. Раскрасим все ребра гамильтонова
8 1-1333 ИЗ

цикла в эти цвета, соответственно значениям: 1 = с, 2 = Ь,
3 = с, 4 = с, 5 = Ь, 6 = а, 7 = Ь, 8 = с, 9 = с, 10 = а,
11 =а, 12 =а, 13 =с, 14 = а, 15 = а, 16 = с, 17 = с,
18 = с, 19 = а, 20 = 6, 21 ^ а, 22 = с, 23 = с, 24 = с,
25 = с, 26 = а, 27 = с, 28 = с, 29 = с, 30 = с, 31 = с,
32 = а, 33 = с, 34 = с.
S 27 e 26 a 25 Л 24 « 2J p 2?a2l ?
Рассмотрим опорный треугольник в области Rt и закра-
закрасим его вершины цветами а, р и у. Далее по правилам,
описанным в гл. 1, распространим эту раскраску по ребрам
гамильтонова цикла на все остальные вершины, т. е. по
ребру а раскраски фу) и (аб), по ребру b раскраски (ау)
и (Ру) и по ребру с раскраски (ар) и (уб). В результате по-
получим раскраску графа на рис. 30, а, б. Нетрудно убедить-
убедиться, что эта раскраска является правильной.
4. Исследование системы уравнений
для общего случая
Рассмотрим произвольный максимальный плос-
плоский граф G. Как и в § 1, выделим в графе гамильтонов цикл,
который разбивает его на две области i?x и R2 (рис. 31, а, б).
Пусть в двойственном графе G* каждой из этих областей
соответствует произвольное дерево со степенью ветвления
три (рис. 32, 33).ч
Пронумеруем ребра гамильтонова цикла в порядке
возрастания по часовой стрелке и составим для области
7?! систему уравнений, аналогичную системе D.4). Нетруд-
Нетрудно заметить, что вся система разбивается на несколько под-
114

систем, которые постепенно объединяются друг с другом.
Для удобства обозначений изобразим все подсистемы в виде
вершин S(, тогда вся система будет схематично представ-
лена в виде дерева dt (рис. 32), где вершины степени три
изображают треугольники, которые назовем предельными
для двух подсистем. Например, подсистема Sx включает
переменные A, 2, 3, 4, 5, 45, 46, 47), а подсистема 52 —
C9, 40, 41, 42, 43, 44). Их объединение и переменные F, 7,
36, 37, 38) в совокупности определяют подсистему S3 и т. д.,
пока не получим подсистему S7, включающую все перемен-
переменные. Как видно из рисунка, объединение подсистем опреде-
определяется неоднозначно. Те подсистемы, которым в дереве
dx соответствуют висячие вершины, называются незави-
независимыми. В каждой независимой подсистеме есть пара со-
соседних переменных, соответствующих ребрам опорного
треугольника. Начиная с этой пары, можно все перемен-
переменные подсистемы естественным образом упорядочить в по-
порядке перечисления внутренних ребер. Затем в силу
8* ПБ

упорядоченности вершин S{ можно это упорядочение продол-
продолжить на всю систему уравнений для области Rx. Обозначим
через Si/ (Sij) сумму первых / прямых (двойственных) пере-
переменных независимой подсистемы St. Тогда первая подсисте-
подсистема примет вид
1+1
S, \°
D.33)
s3
Рио.
S,,B
/;
s7
32.
+ s{
t
5s
1
j записывается
S22
4- S'
1 +
, + s^
0
»\
/
1
и вторая
1 С с'
,2 т '^г.г'^а
52,3^2,3 =>
,8=1.
J ft
Рио. 33.
подсистема
_ i.
1;
/
Л
D
/
/«!
Ч
Q2
.34)
5г,б + S2.6 + 52,б52,б >= 1.
Для подсистемы S3 второй индекс будет принимать значе-
значение, равное сумме максимальных вторых индексов подси-
подсистем Sx и S2, т. е. первое уравнение для S3 запишется так:
SiM + S'3M + S3.14S3.14 « 1, D.35)
где S3,u = Si,8 + S2,6.
Нетрудно заметить, что в каждом уравнении, записан-
записанном прежде, появилась новая переменная (и ей двойствен-
двойственная). Уравнения типа D.35), в которых не появляются новые
переменные, будем называть уравнениями предельных тре-
треугольников.
Продолжая дальше объединять системы по тому же
принципу, запишем последнее уравнение всей системы
Sim + U.46 + S7mStm «¦ 1, D.36)
lie

где S7.46 равно сумме всех прямых переменных за ис-
исключением хм. Рассмотрим теперь область R2 и заштри-
заштрихуем в ней треугольник с основанием на ребре 29. Тогда
/?2 разделится на две части, и каждой части так же, как
и в области Rv можно сопоставить схематическое изобра-
изображение подсистем в виде деревьев d2 и da (рис. 33). Соста-
Составим уравнения для этих подсистем по тому же принципу,
что и для подсистем St:
l + Pi.oPi э = 1;
Р2.2 + P'i.2 + Р2,2Р2,2 =
P2.S + P2.S + P2,SP2,S = 1J D.37)
1 + P3.17P3.17 = 1;
Qi,2 + Q'i,2 + QiM'1,2 = 1;
1 + Q3.23Q3.23 — l.
Систему D.33) — D.37) будем называть общей канонической
системой графа G. Если перемножить все левые и правые
части уравнений D.33) — D.37), затем произвести подста-
подстановку х\ = Xi, yi = yt, то получим полином
, Y)=\. D.38)
Система D.33) — D.37) имеет решение тогда и только тогда,
когда хотя бы один коэффициент полинома & (X, Y) тож-
тождественно не равен нулю.
Прежде чем исследовать коэффициент полинома, рас-
рассмотрим детальнее структуру образования графа. Будем
называть подсистему четной или нечетной, если она вклю-
включает в себя четное или нечетное число прямых переменных.
В зависимости от четности двух исходных подсистем бу-
будем различать три типа их объединения в новую подсисте-
подсистему. Объединение будет называться объединением нулевого
типа, если обе исходные подсистемы четные, объединением
первого типа,— если обе подсистемы разной четности
и объединением второго типа — если обе подсистемы
117

нечетные. Исследуем теперь часть полинома & (X, Y), не со-
содержащую двойственных переменных, которую обозначим
через A (G).
Лемма 4. Если в графе есть хотя бы одно соединение
ненулевого типа, то A (G) =з 0 (mod 2).
Доказательство. Воспользуемся тем фактом,
что A (G) равно произведению различных сумм вида Si,2t,
Pj,2m и Qk,2n, у которых вторые индексы являются чет-
четными числами. Если в графе присутствует соединение
нулевого типа, то обязательно в системе D.33) — D.37)
найдутся три уравнения:
"Т" Su,2r ~Ь ^u,2r^u,2r = 1»
v,2t + Sv,2t + Sv,2t Sv,2t =» 1; D.39)
По определению Sv+i,2r+2t = Su,2r H- 50,и. Эти уравнения
вносят следующий вклад в A (G): SUt2r S0,a So+i,2r+2/ =
= Su,2rSv,2i (Su,2r + SVi%) = 0 (mod 2), что и требовалось до-
доказать.
Так как система D.33) — D.37) определенным образом
упорядочивает переменные, будем полагать, что области
Rx соответствует упорядоченная последовательность ребер
гамильтонова цикла S = A, 2, 47, 46, 3, 4, 5, 45, 41, 42,
43, 40, 39, 44, 38, 6, 37, 36, 7, 12, 13, 14, 11, 10, 15, 9, 8,
16, 23, 24, 25, 22, 26, 21, 20, 32, 27, 28, 31, 30), а области
i?2 — аналогичные две последовательности: Р = A0, 11,
12, 9, 13, 14, 8, 15, 16, 20, 21, 22, 19, 23, 18, 17, 24, 25,
7, 6, 26, 5, 27, 28, 4) и Q = C5, 36, 37, 34, 33, 38, 32,
43, 44, 42, 45, 41, 40, 46, 39, 47, 1, 31, 2, 3, 30).
Предположим теперь, что в графе G нет объединений ну-
нулевого типа. Рассмотрим объединение первого типа, кото-
которое в данном примере соответствует образованию подси-
подсистемы Ра. Выпишем следующие уравнения:
1 +Pi.»/'i>e- 1;
D.40)
1 +Р3.17Р3.17 = 1;
Эти уравнения дают следующий вклад в A (G) :
Подставим Рз.18 = Pi,s + xie + P2,s + х,5, тогда вклад бу-
Ш

дет равен
Pl.8P2,8 (Pl.8 + Хи + Р2,8 + Х2&) = PijJ>2S (*16 + *25)-
Рассмотрим объединение второго типа, как при образовании
подсистемы Q3. Выпишем соответствующие уравнения из Qt
и Q2:
1 -hQa.9Qa.9= 1; D.41)
Q3.16 + Q3.16 + Q3.i6Q3.i6 = 1.
Здесь вклад в A (G) равен Q1.6Q2.eQ3.i6- Но Q3,ie = Qi,e +
+ х32 + Q2,8 + xi7, поэтому вклад будет равен
Qi,6Q2.e(Qi.6 + х32 + Q2,8 4- х„) = Qi.eQas (хю + х„).
Таким образом, в объединениях подсистем первого и второго
типа множитель из двух прямых переменных, соответству-
соответствующих двум ребрам, прилегающим к предельному треуголь-
треугольнику, входит в A (G) без отрицания. Если вспомнить прин-
принцип построения выражения A* (G), то можно убедиться, что
он справедлив и здесь, так как между ребрами, прилегаю-
прилегающими к предельному треугольнику, находится два внутрен-
внутренних ребра, что соответствует ' количеству отрицаний над
указанными множителями. Пользуясь полученными в § 1
результатами, составим по аналогии для области 7?х выра-
выражение
Bj, = A,2) (Щб) (Зф E^5) D1,42) (ЩО) (Щ?) X
X ("Щ) (Щб) A2,13) (ЩТ) (ШД5) (Щ G,16) C5j7) x
X C4,18) A9,33) B3,24) B5,22) B6,21) B0,32) B7,28) C1,30).
D.42)
Выражение Вг составлено из формальных соображений,
так как для нашего примера A (G) = 0 из-за наличия в гра-
графе объединения нулевого типа
В2 * A0,11) A2,9) A3,14) (8,15) B0,21) B2,19) B3,18) X
X A7,24) A6,25) G,6) B6,5) B7,28) C5,36) C7,34) C3,38) х
X D3,44) D2,46) D1,40) D6,39) C2,47) A,31) B,3). D.43)
119

Так же, как и для простого случая, на основании В{ и Ва
составим каноническое разбиение
В = C0 — 31 — f 2 — 3 — 4) E — 45 — 42^41 — 40 —
— 43^44 — 39 — 46 — 47^32^20^21 — 26 — 5) х
ХF — 38 — 33— 19 — 22 — 25^~Тб^7 — 6) (8 — 9 —
— 1^ТЗ —14— ff^TO —15 —8) A7 — 35^36 — 37 —
— 34 — 18 — 23^~24 — 17) B7 — 28 — 27). D.44)
Будем называть пары ребер, соответствующие множителям
без отрицаний, помеченными. В этом разбиении первая
последовательность является цепью, третья, четвертая,
пятая и шестая последовательности соответствуют цикли-
циклическим произведениям в A (G), в которых число отрицаний
четно. Вторая последовательность соответствует цикличе-
циклическому произведению в Л (G), но число отрицаний в ней не-
нечетно, поэтому в результате будет A (G) = 0 (mod 2).
На основании этого можно сформулировать следующее.
Первое общее условие разрешимости. Общая канони-
каноническая система D.33) — D.37) для максимального плос-
плоского графа G разрешима, если граф не содержит объеди-
объединений нулевого типа, а его каноническое разбиение не со-
содержит циклов с нечетным числом помеченных пар.
Исследуем теперь, каким необходимым условиям должна
удовлетворять двойственная переменная yt, чтобы коэффи-
коэффициент при ней в разложении полинома & (X, Y) был тож-
тождественно отличен от нуля. Первое условие определено для
частного случая, оно остается в силе и для общего случая:
yt должна иметь четное вхождение для обеих областей Ri
и R2. Следует заметить, что четность вхождения переменной
yt определяется не по разбиениям Bi или В2, а по самой
системе D.33) — D.37). Считая, что первое условие для
выбранной переменной выполняется, рассмотрим различные
типы объединений подсистем и выясним, как они влияют
на значение коэффициента при yt. Обозначим через
х (/) Iff (/И прямую (двойственную) переменную, которая
соответствует /-у месту в порядке записи в фиксированной
подсистеме. Номер места переменной / равен значению вто-
второго индекса в символе Stj; при записи уравнения, где
эта переменная впервые появляется, в подсистеме St.
1. Объединение нулевого типа. Рассмотрим две четные
120

подсистемы Sr и 5, с числами прямых переменных соответ-
соответственно 2/ и 2т, которые объединяются в подсистему St+\.
Пусть фиксированная двойственная переменная у Bk) х
X (k ^ /) входит в подсистему Sr. Тогда Sr дает вклад
в коэффициент при у Bk)
Sr,2Sr.t .. . S,,2ft-2 A + Sr,2k+l) ... A + Sr,2/_l) X~Bk).
Вклад подсистемы St будет без изменений
St,2StA ... Stl2m. D.45)
Подсистема St+i дает множители
A + S<+l,2/+2m+l) A + St+\,2l+2m+3) .... D.46)
но Si+wf+toH-i — Sr,2/_i + х B/) + 5<i2m + * B/ + 1m + 1)
И A + Sr,2l-\) Stfim A + S/+l,2;+2m+l) = A + Sr,2l-\) St,2m X
X [xBl) + xBl -f 2m + 1)]. Для подсистемы Sf после ряда
преобразоваий получим
+ жBА + 1)] ... хЩ, D.47)
т. е. такой же результат, как для простого случая. В общем
можно сделать вывод, что если граф G стянуть по ребру
с номером 2k в граф Glt то коэффициент при у Bk) будет
равен х Bk) A* (G^, где звездочка означает, что число
отрицаний над парой переменных приравнивается числу
внутренних ребер, расположенных между соответствую-
соответствующей парой ребер гамильтонова цикла.
2. Объединение первого типа. Пусть подсистема Sr будет
с числом переменных 21, а подсистема St будет с числом пере-
переменных 2т + 1. Так как подсистемы неравноправны, здесь
возможны два случая:
а) двойственная переменная у Bk) входит в Sr (k ^ t).
В результате подсистема S, даст такой же вклад, как и в
п. 1, т. е. D.47), a St дает вклад D.45). Подсистема S<+i
дает множители D.46), где также 5;_)_i,a-|-2m+i = Sr,2i—i +
+ xBt)+ Stl2m + x B1 +2m + 1), но x B1 + 2m + 1)
принадлежит подсистеме St. Формально получаем тот же
результат, что и в п. 1;
б) двойственная переменная у Bk) входит в St A <
<k^.m). В этом случае подсистема Sr дает вклад Sr,2Sr,4 ...
... Sr,2t, а подсистема St — St^StA ... S<,2*_i A + 5/,2*+i) ...
... A + St,2m+\) x Bk).
121

Подсистема 5<+i дает множители A + S<+i,2/+2m+i) (I +
+ S<+1.2'+2m+3) ••• ТЭК Как Sf+i,2f+2m+l = Sr,2l + S<,2m-fb TO
SrjU A + St,2m+l) A + Sr,2l + St,2m+l) = 0 (mod 2).
Следовательно, здесь искомый коэффициент тождественно
равен нулю. С другой стороны, если стянуть граф G по
ребру с номером 2k в граф Gl5 то получим объединение ну-
нулевого типа (подсистема St трансформируется в четную
подсистему), а тогда A* (GJ = 0 (mod 2).
3. Объединение второго типа. Обе подсистемы Sr и
St нечетные с числом переменных соответственно 2/ — 1
и 2т + 1. Пусть у Bk) входит в Sr (k ^ / — 1). Формаль-
Формальная запись вкладов подсистем такая же, как ив п. 1.
Здесь
St+^,п+2m+^ - S,.m_i + х B1 + 2т) + St2m + х B1 + 2т + 1),
где х B1 + 2т) принадлежит подсистеме St. Тогда A +
+ Sr,2/-l) Sf,2m (I + 5<-fl,2/+2m+l) = A + S/-,2f-l) St,2m [X B1 -f
+ 2m) + a; B/ + 2m + 1)]. Объединяя все три пункта, мож-
можно сделать вывод, что_коэффициент при двойственной пере-
переменной у(: С (yt) = X[A*(G), где Gt — граф, полученный
из G путем стягивания по ребру, соответствующему
переменной г/*. Из всех стягиваний только одно приводит
к отрицательным результатам, если подсистема, ребро
которой стягивается, нечетная и объединяется с четной под-
подсистемой.
Так как изменение четности подсистемы S/ влечет за со-
собой изменение четности всех последующих подсистем на пути
от Sj до Sp, где р — максимальное значение, т. е. Sp равна
всей системе для области Rlt то справедлива следующая
лемма.
Лемма 5. Если в полиноме & (X, Y) коэффициент при
двойственной переменной yt тождественно не равен нулю,
то в обеих областях Rx и R2 Ус имеет четное вхождение;
на пути от подсистемы, в которую входит yi, к подсистеме
с максимальным номером не существует нечетной подсисте-
подсистемы, объединяющейся с четной подсистемой.
Висячие вершины, кроме тех, что с максимальным но-
номером деревьев du a\ и d8, обозначим через нуль и единицу,
в зависимости от того, четная или нечетная соответствующая
независимая подсистема. Назовем переменные подсистемы,
которые не входят ни в одну из составляющих подсистем,
собственными. Тогда четность подсистемы, не являющейся
независимой, равна сумме по модулю 2 четностей составля-
составляющих подсистем и числа собственных переменных. Сумму
четностей двух подсистем припишем вершинам степени три,
122

которыми обозначены предельные треугольники, в каждой
вершине Slt P/, Qk припишем четность соответствующих под-
подсистем. Из трех отрезков, сходящихся в вершине степени
три, два сориентируем в направлении увеличения номеров
вершин (рис. 32, 33). Если теперь отсечь от дерева все ветви
по дугам, оба конца которых помечены единицами, то пере-
переменные yit удовлетворяющие лемме 5, надо искать среди
подсистем, соответствующих оставшемуся дереву. В данном
примере в дереве dx отсечется подсистема Se, а в дереве
d2 — подсистема Рх. Выпишем среди оставшихся перемен-
переменных те, которые имеют четное вхождение в R^ и R2, при
этом обе переменные опорных треугольников имеют четное
вхождение. Таких переменных всего семь F, 18, 28, 36, 40,
44, 45). Учитывая тот факт, что подсистема S3 является
объединением нулевого типа, надо выбрать переменную,
принадлежащую одной из подсистем Slt или S2. В резуль-
результате из семи переменных для проверки остаются только три:
D0, 44, 45).
Составим разбиение для yi0: Вг D0) = A,2) D7, 46)
(ЗТ4) EГЩ D1, 42) D3, 39) D4, 38) (бТ37) (ЗбЛ) A2, 13)
A4, 11) A0, 15) (9, 8) A6, 35) A7, 34) A8, 19) B3, 24) B5, 22)
B6, 21) C3, 20) C2, 27) B8, 31); Вг D0) =. A0, 11) A2, 9)
A3, 14) (8, 15) B0, 21) B2, 19) B3, 18) A7, 24) A6, 25) G, 6)
B6, 5) B7, 28) 4 C5, 36) C7, 34) C3, 38) D3, 44) D2, 45)
D1, 46), C9, 47) C2, 1) C1, 2) C, 30).
Каноническое разбиение будет иметь вид_
В D0) = (Г^2 — 31 — 28 — 27 — 32^1) D — 3 —
— 30) E — 45 — 42^41^46 — 47 — з1Г^43^4^38 —
— 33^20^~21 — 26 — 5) F — 37 — 34 — 17—24^23 —
— 18 — 19 — 22 — 25^Пб^35^з? - 7 — 6) (8 — 9 —
— 12^13 — 14 — lT^lO — 15 — 8).
Здесь все последовательности удовлетворительные, за ис-
исключением второй, которая соответствует циклическому
произведению с числом отрицаний, равным семи, что дает
в результате A*(Gx)=0 (mod 2). Аналогично, для уи
получаем в разбиении В D4) следующий цикл:
E _ 45 — 4Ь^~42 — 43 — 40 — 46 — 47 — 39 — 38 —
— 33^20^21 — 26 —5), а для В D5) — C9 — 4^~43 —
— 40 — 46 — 47 — 39), которые превращают выражение
Л* (Gj) в тождественный нуль.
123

б. Условие решения общей канонической
системы и вопросы построения алгоритма
раскраски
Рассмотрим произвольный набор двойственных
переменных N = {г/;,, г//,, ..., yik). Пусть в области R±
каждой подсистеме St принадлежит v( собственных и v,
остальных переменных из набора N, т. е. 2v? = k. Обо-
Обозначим через st (i), &j (t), ..., Sv, (i) номера собственных пере-
переменных из набора N в порядке их записи в подсистеме S,.
В области /?а пусть распределение будет следующим: каж-
каждой подсистеме Pj принадлежит т|/ собственных и т),- осталь-
остальных переменных из набора N, каждой подсистеме Q/
принадлежит к{ собственных и Xt остальных переменных из
набора N. При этом 2 Ц/ = 2 h — k- Обозначим номера
собственных переменных из набора N в порядке их записи
в подсистемах Р/ и Q, соответственно через рх (/), р2 (/), ...
..., ръ. (/) и <7i (/), <72 (/), ..., qt,{ (/)• Будем говорить, что
набор N имеет правильное вхождение в системе D.33) —
D.37), если выполняются равенства у* + sr (О s'П/+
+ Рг (/) = h + ЯЛ!) = (г + 1) (mod 2),
1, 2, .... v^ для подсистем Sh
где г= 1, 2, ..., r\t для подсистем Ph D.48)
1, 2, ..., %i для подсистем Qt.
Обозначим через р (S,) четность подсистемы Slt при этом
для четных подсистем р (S*) = 0, а для нечетных —
p(Sd =1.
Назовем индексом подсистемы S, относительно набора
двойственных переменных N величину
indS, = [1 + p(S() + v, + vj (mod 2). D.49)
Аналогично определяются индексы и четности для подсистем
области R2.
Лемма 6. Если в полиноме 3 (X, Y) коэффициент при
наборе двойственных переменных N = {yilt yit, ..., yt }
тождественно не равен нулю то
а) набор N имеет правильное вхождение в систему
уравнений D.33) — D.37),
124

б) для любых объединяющихся подсистем произведение
их индексов равно нулю.
Для доказательства леммы покажем, что если не выполня-
выполняется хотя бы одно условие а) или б), то коэффициент при
наборе N в полиноме 3- (X, Y) тождественно равен нулю.
Не нарушая общности, предположим, что условие б) впер-
впервые нарушается для подсистемы St для определенного и,
т. е. v, + su (t) ф (и + 1) (mod 2) или \t + и =
е= su (t) (mod 2). Если St — независимая подсистема, или
V; = 0, то данный случай простой, для него не выполняется
условие D.30), и лемма справедлива. Пусть S( — составная
подсистема, у которой v^ ф. 0. Рассмотрим два случая.
1. sa (t) = 2v. Тогда vt + и = 0 (mod 2), и в системе
уже использовано v( + и — 1 или 1 (mod 2) переменных
из набора N. Переменная у Bv) впервые появляется в урав-
уравнении
St,2v + yBv)(\ + St,2v)+ ••• «1.
Вклад предыдущего уравнения и данного в коэффициент при
наборе будет равен
[1 + S,l2o_i (V, + U + 1)] [St,2v + (V, + И) A + St,2v)]
Подставим значение S<,2P = St,2v—i + x Bv). Тогда
A + S^-i) [S«.to_i -f x Bv)] xBv) - 0.
2. Su (t) = 2v + 1. Тогда vt + и ^ 1 (mod 2), и в систе-
системе уже использовано vt + и — 1 или 0 (mod 2) перемен-
переменных из набора W. Переменная у Bv + 1) впервые появится
в уравнении
lB lS ••• =1.
Вклад этого уравнения и предыдущего в коэффициент при
наборе N равен
(v, + и + 1) A + St,2v)] [1 + S,i20+1 (и + v,)] х Bv + 1).
Подставим значение 5/,2b+i = S<> + x Bv + 1),
S«> [1 + Sii2v + x Bv + 1)] xBv+ 1) a 0.
Первая часть леммы доказана. Пусть для двух подсистем
St и Sq не выполняется условие б), т. е. indS^ind Sa = 1.
Это равносильно двум равенствам:
v< + v,-0 и p(Se)-|-ve.f ve = 0.
125

Так как коэффициент при наборе переменных равен xi^ ...
...xikA* (Gk), где граф Gk получится после стягивания гра-
графа G по ребрам гамильтонова цикла, соответствующих пере-
переменным набора N, а четности подсистем S, и SB в графе
Gk будут соответственно равны р (St) + v( + v, и р (SJ) +
+ Ve) + Уш, то, очевидно, в графе Gk появится объединение
нулевого типа, что дает С (<#,, yit yik) = 0. Но это
противоречит условию леммы, следовательно,
ind St ind Sa> =¦ 0.
Тем самым доказана справедливость леммы.
Используя условия леммы 6, можно строить наборы
и составлять для них выражения Л* (GA) по тому же прин-
принципу, что и для простого случая. Если для какого-то набора
N найдется такое разбиение В (N), в котором все циклы
будут с четным числом отрицаний, а в графе Gk отсутствуют
объединения подсистем нулевого типа, то тем самым пока-
показана разрешимость основной канонической системы. Это
утверждение можно высказать в виде теоремы.
Теорема 3. Система уравнений D.33) — D.37) для произ-
произвольного плоского максимального графа G имеет решение
в том и только в том случае, если найдется такой набор
k переменных N = {г/,,, г/,,, ..., y[k\ (k ^ 0), удовлетворя-
удовлетворяющих условиям леммы 6, что в выражении A* (Gk), состав-
составленном для графа Gk, полученном из G путем стягива-
стягивания ребер, соответствующих переменным из N, будут
отсутствовать циклические произведения с нечетным чис-
числом отрицаний.
Если такой набор найдется, то нетрудно найти само ре-
решение системы D.33) — D.37). Об одном из возможных ре-
решений гласит следующая теорема.
Теорема 4. Если С (#,, у1ж, ..., yik) ф 0 (mod 2), то
одно из решений системы D.33) — D.37) можно получить,
подставляя в выражение A* (Gk) следующие значения:
1) если yt ? N, то у{ = 1, х{ = 0;
2) yt = 0, если У1 ? N;
3) Xft t= хи для множителей типа (*/, + Xjt);
4) x/t Ф х/, для множителей типа (х/, + х/г).
Так как условие 2 леммы 6 выполняется независимо от
значений переменных, теорему нужно доказывать, опира*
ясь только на условие 1. Доказательство приведем только
для области Rlt для /?, оно будет аналогичным.
т

Рассмотрим произвольное уравнение системы D.33) —
D.37) и покажем, что указанные значения переменных ему
удовлетворяют. Для любой независимой подсистемы St
уравнения удовлетворяются в силу теоремы 2. Предполо-
Предположим, что теорема 4 верна для двух подсистем St и Su. По-
Покажем, что она верна и для системы Su+u полученной в ре-
результате объединения подсистем St и Su. По условию
теоремы ind St indSu =0. Рассмотрим два случая.
1. ind 5, =indSa =0.
Это условие равносильно следующему: р (St) + vt + vt =
= Р (su) + v, + vu э 1 (mod 2). Пусть в систему St и Su
входит соответственно / (f) и / (и) основных переменных.
Тогда
&,,«) = v, + v, = [p (St) + I] (mod2),
S'u.m = vu тЬ vu = tP (SJ + 1] (mod 2).
Выделим в подсистеме Sa (a = t, и) уравнение с максималь-
максимальным номером rta, для которого собственная переменная
У (Па) $ N. Если па — четное, то у (па + \) ? N имеет
нечетное вхождение в подсистеме Sa и в уравнения с номера-
номерами па и па — 1 входит нечетное число переменных из на-
набора N, поэтому Sa,na — 5atna_i = 1. Из уравнения
1 + Sa,na_lSa,na-.i = 1 следует, что Sa,na_i = 0. Если
па — нечетное, то у (па + 1) ? N имеет четное вхож-
вхождение в подсистеме Sa, и в уравнения с номерами na и п« —
— 1 входит четное число переменных из набора W, поэтому
S'a.na = Sa,na-1 и °- Из ^
+ Sa,na_iSa,na_i =- 1 следует, что Sa Паг~\ = 1'. В общем
случае Sa,^a_i ^ na (mod 2). Так как для всехг> пах (г) =
= 0, то для Sa.ua) s=z [щ + х (па)] (mod 2). В уравнениях
с номером г > па последовательно появляется еще / (а) —
— па переменных из N. Так как / (a) = p (Sa) (mod 2),
то / (а) — па = 1р Eа) + «a] (mod 2). Особо следует вы-
выделить случай, когда па — j (а) Так как / (а) = р (Sa)
(mod 2), то па == (va + va + 1) (mod 2). Отсюда следует,
что у (па — 1) ? #, иначе в силу D.48) va + va = па
(mod 2). Если tta — четное, то Sa,na-i = 1. и из урав-
уравнения 1 + Sa.n^-iSi.ng-i = 1 следует Sa.nar.i = 0. Если
127

ria — нечетное, то S'a,na-i = 0 и из уравнения Sa,na-i +
+ S'a,na-i + Sa,noi-i S'a,na-i = 1 следует Sa.na-i = 0.
В обоих случаях Sa,na-\ = na (mod 2) и SaJm = [na +
+ х (па)] (mod 2), т. е. формулы остаются прежними.
Для подсистемы Sa+\ имеем Su+i.no+ци) = р (St) + p (SJ,
Su+uw+ци) =lnt + х (nt) + пи + х (пи)] (mod 2). В про-
произведение A* (Gk) входит множитель [х (nt) -f x (na)l с
числом отрицаний, равным сумме чисел переменных из на-
набора N, имеющих в подсистемах St и Su номеру вхождения,
больше, чем щ и пи, т. е. равные / (t) — щ + / (и) — пи =
= [р (St) + nt + p (Sa) + nj (mod 2). Если это число чет-
четное, то по условию теоремы х (п() Ф х (пи), если нечетное,
то х (nt) — х (пи), т. е. в первом случае х (щ) + х (пи) =
=5 1, во втором случае х (nt) + х (пи) = 0. В общем случае
х(п<) + х (пи) = [р (St) + nt + P (SJ + nu + 1] (mod 2).
D.50)
Используя это равенство, находим Su+i,/<<)+/(u) = р E^) +
+ Р EЫ) + 1. Легко видеть, что независимо от значе-
значений p(Sf) и р (Sw) начальное уравнение для системы
Su-i-i, с четным или нечетным номером, всегда выполняется.
Действительно, Su+i,/(o-(-/(u) + Su+i,/@+/(«) = 1» а^«
X Su+i,/(q+/(u) » 0, поэтому всегда справедливо
* • D-51)
Рассмотрим теперь /-е уравнение подсистемы Su+i,
где / > / (г) + / (ы), которое можно записать в общем виде
/ + И + 1) (Su+u + S'u+u) + Su+i./S'a+i,/ = 1. D.52)
При этом номер /-го уравнения определяется номером пере-
перемёт hqu, которая в нем появляется впервые. Это означает,
что уравнения предельных треугольников не имеют номеров.
В зависимости от четности / получаем четное или нечет-
нечетное уравнение. Нетрудно убедиться, что это уравнение ав-
автоматически выполняется при Su+Ji/ = / + 1, или S«+t./ ==
= / -{- 1. Если в нем нет собственных переменных из набора
N, то прямым собственным переменным с номерами г [/ (f) +
+ / (и) < г ^ /] в А * (Ok) будут соответствовать множите-
множители типа (л:/, + х/), для которых хд + хи = 0. Поэтому
для / вв [/ (t) + / (иI (mod 2) будет Su+ij = Su+i,/(<)+/(u)>
123

a S'u+i,j = p (St) + p (Su) — j (mod 2), для которых
всегда справедливо D.51). Возьмем (/ + 1)-е уравнение,
для которою у (i + l)?N. Для него Su+i,/+i = Su+\,i =
гз / (mod 2), поэтому уравнение удовлетворяется авто-
автоматически. Пусть теперь в /-е уравнение входит и соб-
собственных переменных из набора N. Если и — четное
число, то в выражении A* (Gk) четное число раз для прямых
собственных переменных с номерами г [/ (f) + / (ы) < г ^
<; /] будет присутствовать неравенство х/, Ф х;-2, такое, что
для / = [/ (t) -f / (и)] (mod 2) в любом случае будет рав-
равно Su+ij = ?u+\,i(t)+i(u) =/+ l»5u+i,;- =/ и доказатель-
доказательство будет аналогично приведенному выше. Если и — не-
нечетное 4hcj.o, то в силу тех же рассуждений для
/ == [/ (О + J (и)) (mod 2) получим Sa+iil = /, S'a+\.j =
= / + 1, которые удовлетворяют любому уравнению.
Для выбранного / у (/) ^ N, иначе по D.48) будет
или р (St) + р (SJ =; [р (St) + p (Sa) + 1 ] (mod 2), что невоз-
невозможно.
Возьмем (/ — 1)-е уравнение, если для него справедливо
#(/+1) ? v- Та« «ак в нем 5"+i,/+i = 5«+i./+i =
= /+1, то уравнение удовлетворяется автоматически.
Тем самым гервая часть теоремы доказана.
2. ind St Ф ind Su. He нарушая общности, будем счи-
считать, что ind St = 1, ind Su = 0. Эти условия равносиль-
равносильны следующдм:
Р (Si) + v, + v, = 0 (mod 2), р (SJ + vu + vu = 1 (mod 2).
Тогда, согла:но обозначениям в первой части,
S'w) - v, f v( = р (S,), SL./(U) = vu + vu = p (SJ + 1.
Пусть также па — максимальный номер уравнения под-
подсистемы Sa (x — t, и), для которого собственная перемен-
переменная у (па) ? N. Для Sa, как и в первом случае, получим
s'u,M = Р Eи) + !» 5«./(«) =[пи + х (пи)] (mod 2). Пока-
Покажем, что Д1я St nt = j (t). Действительно, пусть щ Ф
ф j (t). То^а в последнем уравнении подсистемы St по-
появляется переменная из набора N, для которой по D.48)
справедливо v, + v, = / (t) + I, или vt + vt = p (St) + 1,
что противоречит начальным условиям. Следовательно,
9 1-1883 129

щ =/(/). Для него S'tM = vt + v, = р (St). Если / (t)
четно, то S/,/(/) + St,nt) + 5/,/,/, S<>/(/) = 1 и St,nt)= 1,
если /" (t) нечетно, то S/,,(/) = 0. В общем случае St,nt) =
Рассмотрим /-е уравнение подсистемы S/д/,, где
/ == [/ (^) + / (м) + II (mod 2). Если в этом уравнении нет
собственных переменных подсистемы Su+\ из набора N,
то прямым собственным переменным с номером г [/ (t) +
+ / (и) + 1 < г ^ /I в А * (GA) будут соответствовать множи-
множители типа (Xjl + X/,), для которых х/, + Х/а = 0, поэтому
Su+\,i — S«+i./tt)+/oo+b a Su+i./ = v, + v^ + vu + vu =
= p (St) + p (SJ + 1 = / (mod 2), Su+1,/(/)+/(U)+i = S/,/@ +
+ nu+x (nu) + x [j (t) + j (u) + II. В произведение Л* (Gft)
входит множитель [х (пи) + x (j (t) + j (u) + 1)] с числом
отрицаний, равным сумме переменных из набора N, имеющих
в подсистеме Su номера вхождения, больше, чем пи, т. е.
равные / («) — пи — [р (Su) + пи] (mod 2). Рассуждая
так же, как и в случае 1, получаем х (пи) + х [/ (/) + / (и) +
+ II = р (SJ + пи +1. Тогда Su+i,/(<)+/(U)+i = p (St) +
+ 1 + р (Su) + 1 = р (St) + р (Su) = / + 1. Тем са-
самым, независимо от типа, /-е уравнение выполняется.
Так как SB+i,/_i = /, то (/ — 1)-е уравнение выполняется
автоматически.
Пусть теперь в /-е уравнение входит и собственных пере-
переменных из набора N. Если и — четное, то для / = [/ (t) +
+ j (и) + II (mod 2) S'u+i,f = /, a Su+iii = j + 1, и ра-
равенство выполняется. Если и — нечетное, то для / =
= f/ @ + / (M)I (m°d 2) в силу тех же рассуждений полу-
получим Su+i.j = /; S'u+\,i =/+ 1. которые удовлетворяют
любому уравнению. Для выбранного / у (/) ? N, иначе
по D.48) 1 + / @ + / (и) = / + 1 = v, + v, + vB + vB +
+ и или 1 + р (S,) + р (SJ = р (S/) + р (SJ, что не-
невозможно.
Возьмем (/ — 1)-е, или (/ + 1)-е уравнение, если для
него выполняется у (/ ± 1) ? N. Так как в нем Su+i,/+i =
= /'+1, то это уравнение выполняется автоматически.
Тем самым показано, что приведенные в теореме 4 значения
переменных удовлетворяют любому уравнению подсистемы
Su+i, что и требовалось доказать,
Обозначим через 9R множество из (п — 1) ребер гамиль-

тонова цикла, которым соответствуют переменные в систе-
системе D.33) — D.37). Аналогично будем обозначать через Sit
.Pj и Qk упорядоченные подмножества этих ребер, которым
соответствуют подсистемы с теми же нижними индексами.
Собственным переменным определенных подсистем будут
соответствовать собственные ребра подмножеств с теми
же обозначениями. Каждому ребру из ЗК соответствует
определенный номер места в подмножествах St, Р{ или Qk.
Собственное ребро с номером места sa в каком-либо под-
подмножестве обозначим через г (sa). Будем говорить, что
произвольное подмножество ребер ц, множества 9R имеет
правильное вхождение в 3R (или называется правильным),
если набор двойственных переменных, соответствующих
элементам (л, удовлетворяет условию 1 (или условиям
1 и 2) леммы 6.
Введем понятие интервала. Интервалы бывают двух ро-
родов. Выделим в множестве S некоторую последовательность
из I (I ^ 1) ребер, номера мест которых строго упорядоче-
упорядочены: vx <; v2 < ... <; V;. Пусть эти ребра являются собствен-
собственными ребрами подмножеств S,,, S/,, ..., S/ . Такая после-
последовательность ребер, обозначенная через/t = (v1? v2, ..., v/),
называется интервалом первого рода, если в ней для вся-
всякого а A ^ а <С I) выполняются следующие условия:
1) для собственных ребер г (va) и г (уа+\) из одного
подмножества всегда va+i = va + 1;
2) для собственных ребер г (va) ? &р и г (va-fi) € Sy
из различных подмножеств Sp и Sv, где Р < у и р\ у ?
G (Л. Л. •¦¦> /m}> всегда va — наибольший номер в Sp,
а va+i — наименьший номер места собственного ребра
в Sv, кроме того, подсистема Sp является одной из двух
составляющих подсистемы Sv.
Рассмотрим теперь две последовательности из 1г и /2
ребер, где 1г ^ 1, /2 > 1, 1Х + /2 — I, номера мест которых
тоже строго упорядочены: vt < v2 < ... < v/, и % <
< тJ <!...< т)/2. Составная последовательность ребер,
обозначенная через /2 = (vlf v2, ..., v/,; i^, т]2, ..., т)/,),
называется интервалом второго рода, если для нее выпол-
выполняются следующие условия:
1) последовательности (v,, v2, ..., vtl) и (%, ц2, .... щ,)
являются интервалами первого рода;
2) V/, и т);2 являются наибольшими номерами мест для
соответствующих подсистем Sp и Sv:
3) г (v;,) и г (т)(а) смежны с одним и тем же предельным
треугольником.
9* 131

Нетрудно убедиться, что ребра интервала первого рода
принадлежат одному подмножеству, имеющему максималь-
максимальный индекс, т. е. S/m. Соответственно ребра интервала вто-
второго рода принадлежат двум подмножествам: Sp и Sy.
Собственные ребра интервала любого рода будем считать
распределенными по т подмножествам. Число / называется
длиной интервала. Аналогично определяются интервалы
для множеств Р и Q.
Замыканием интервала называется пара ребер с номе-
номерами мест v0 и v, таких, что последовательность (v0, v1(
v2, ..., v/( v) является интервалом первого рода, а последо-
последовательность (v0, vt, ..., v/t; v, Th, ..., т]/2) — интервалом
второго рода.
Для произвольного интервала элементы v0 и v не всегда
существуют, а если и существуют, то не всегда определяются
однозначно. Если v существует, то для интервала первого
рода он определяется однозначно. Элемент vn определяется
не однозначно в случае, когда vx является наименьшим но-
номером собственного ребра какого-либо подмножества S(,
Р/ или Qk, но не независимого. Так как ребра опорного
треугольника равнозначны при образовании подсистемы,
то номера их мест также могут быть взаимозаменяемы в ка-
качестве элемента v0. To же самое можно сказать и об элементе
v для интервалов второго рода. Интервал вместе с замыка-
замыканием называется замкнутым интервалом.
В произвольной последовательности ребер можно выде-
выделить несколько интервалов. Относительно такой фиксиро-
фиксированной последовательности всякий интервал, не являющий-
являющийся частью другого интервала из этой же последовательности,
называется собственным. За редким исключением будем
полагать, что для интервала первого рода элемент v всегда
существует.
Лемма 7. Если набор переменных N = {ytt, yi,, ..., yik}
удовлетворяет условиям 1 и 2 леммы 6, и р переменных
соответствует ребрам опорного треугольника, то для вся-
всякого собственного интервала длины I из ребер, соответству-
соответствующих этим переменным, и распределенного по т подмноже-
подмножествам множества S (или Р, или Q) в выражении A* (G*)
всегда однозначно найдется множитель lx (v0) + х (v)l
с числом отрицаний, равным (I + р + т +1 ) (mod 2).
Доказательство. Сначала покажем, что для
132

любого интервала, удовлетворяющего условиям теоремы,
существует замыкание, причем оно определяется одно-
однозначно. Так как v для интервала первого рода всегда су-
существует, то остается показать, что v0 выбирается одно-
однозначно. Тем самым будет доказано, что и для интервала
второго рода замыкание определяется однозначно. По ус-
условию теоремы N имеет правильное вхождение, поэтому
в него не могут входить обе переменные, соответствующие
ребрам опорного треугольника, т. е. v0 всегда существует.
Если ребра опорного треугольника оба можно поставить
в соответствие элементу v0, то это означает, что \t = 3.
Но это невозможно, так как в любом правильном наборе
первая переменная имеет четный номер места. Рассмотрим
теперь случай, когда vx — наименьший номер собственного
ребра какого-либо подмножества St, образованного из
двух подмножеств Sp и Sv. Пусть в подсистеме Sp содер-
содержится А,р, а в подсистеме Sv содержится A.v переменных
из набора N. Так как набор N правильный, то Vx = (А,р +
+ Ху) (mod 2). При образовании пар в подмножествах
Sp и Sv наряду с ребрами, соответствующими набору N,
будет использовано (А,р + iy) (mod 2), или vx (mod 2) ре-
ребер. Но так как в этих двух подмножествах всего ребер
Vj — 1, то всегда одно ребро будет лишним. Оно и будет
соответствовать элементу v0.
Таким образом, элементы v0 и v определяются одно-
однозначно. Покажем теперь, что при образовании пар в произ-
произведении A* (Gk) всегда появится множитель [х (v0) -f- х (v)].
Допустим обратное, т. е. для данного интервала х (v0) об-
образуем пару с переменной х (а), где а < v0. Так как у (vx)
имеет правильное вхождение, то по D.48) г = vx (mod 2),
где г — число переменных из набора N с номером мест,
меньших v, а число переменных с номерами мест, меньших vb
равно Vjl — 1 или сумме числа переменных, образующих пары,
и числа г переменных из набора N, т. е. (сравнимо с г)
г (mod 2). Отсюда \г — 1 = vx (mod 2), что приводит
к противоречию. Тем самым показано, что х (v0) должно обра-
образовать пару с переменной, имеющей больший номер места,
чем в данной подсистеме. Для интервала первого рода
этой переменной будет х (v). Действительно, если интервал
первого рода распределен по нескольким подмножествам,
то все остальные составляющие подмножества S/m явля-
являются либо четными подмножествами, либо нечетными, но
133

с нечетным числом ребер, соответствующих переменным
из набора N, иначе интервалу будут соответствовать ребра
с неправильным вхождением. Следовательно, в этих под-
подмножествах все пары будут образованы, и ближайшей пе-
переменной, которая образует пару с х (v0), будет х (v). Для
интервала второго рода х (v0) и х (v) равноправны и должны
образовать пару. Число отрицаний над множителем
[х (v0) + x(v)] равно числу ребер, расположенных между
ребрами с номерами vft и v. При этом ребро опорного тре-
треугольника не дает отрицаний, а предельный треугольник
(их всего т — 1) добавляет одно отрицание. Таким образом,
число отрицаний равно I -\- т — 1 + р, или (I -\- m -\-
+ р + 1) (mod 2). Лемма доказана.
Как было показано, для интервала из правильного набо-
набора N всегда найдется элемент v0. Если для интервала перво-
первого рода не существует элемент v, то ему в Л* (GA) не соот-
соответствует никакой множитель.
Теорема 5. Для того чтобы система уравнений D.33) —
D.37) была разрешимой, необходимо и достаточно, чтобы
множество ребер гамильтонова цикла ЗК допускало разбие-
разбиение на три такие взаимно не пересекающиеся подмножества
\ilt щ и цз, что
1) только одно из них может быть пустым;
2) каждое из них является правильным.
Необходимость. Пусть существует решение системы
D.33) — D.37), т. е. найдется такой набор переменных
N = {Уи> У'» •••> У к} (* ^ 0). коэффициент при котором
отличен от нуля. Положим \il = {/1( i2, ..., ik), для остав-
оставшихся ребер (л2 = [i/x( = 1}, ц« — {//*/ = 0}, причем
\i2 и \i3 сохраняют упорядоченность множества S. По лемме
6 подмножество \it является правильным. Это разбиение
будет удовлетворять требованиям теоремы, если будет
доказано, что (л2 и ц3 являются правильными. Сначала
докажем, что они имеют правильное вхождение в SR. Так
как (л2 и (х3 взаимозаменяемы (для них можно поменять
местами значения х{ = 0 и х,- = 1), то достаточно доказать
это утверждение для одного из них, например для \i2.
Для (л2 = 0 это утверждение справедливо. Предположим,
что оно верно для г — 1 ребер из jx2 (г ^ 1), и докажем его
для г ребер. Рассмотрим вначале случай, когда (г — 1)-е
и r-е ребра (г ^ 2) являются собственными ребрами како-
какого-либо Подмножества S/. Так как (г — 1)-е ребро имеет
134

правильное вхождение, то для него по D.48) справедливо
«,_,(/) = г (mod 2). D.53)
Это ребро и r-е ребро разделяют / ребер, принадлежащих
подмножествам цг и \х,3. Если все эти ребра принадлежат
Hi, то получаем интервал первого рода, у него замыка-
замыканием являются ребра из подмножества (л2, которому в
A* (Gft) должно соответствовать равенство х (v0) =
= х (v). Отсюда следует, что / — четное число. Пусть
указанные I ребер представляют собой совокупность зам-
замкнутых интервалов первого рода и набор пар из ребер под-
подмножества Цз- Если замыканием служат ребра из \i3, то
интервал четной длины, если же замыкание состоит из ре-
ребер различных подмножеств, то интервал нечетной длины,
но ребро замыкания из |л2 в число I не входит, поэтому
в любом случае / получается четным. Отсюда для г-го
ребра справедливо
sr(/) = [sr-i <j)+l+l] (mod2) = (г + 1) (mod2). D.54)
Эть означает, что r-е ребро имеет правильное вхождение.
Пусть теперь предыдущие г — 1 ребер подмножества
|л2 распределены по т таким подмножествам S/,, S,-s, ...
...,S,m (jm < /), что любое подмножество Sa (a < /), включаю-
включающее в себя хотя бы одно из подмножеств S/ (v = 1, 2,..., т)<
не содержит собственных ребер из \i2. Все эти ребра из
\i2 имеют правильное вхождение, и если они распределены
в соответствующих количествах А^, К2, ..., %т, то для них
справедливо s\v (jv) = (^v + 1) (mod 2) (v = 1, 2, ..., m).
Может случиться, что одно или даже все А^, = 0, тогда в ка-
качестве S/v выбираются подмножества, соответствующие неза-
независимым подсистемам. Между ребрами из подмножества
fis с максимальными номерами sxv (/v) в подмножествах
S/v и r-м ребром в подмножестве Sj находятся ребра из
подмножеств ^ и \i3. Ребра из |л.х представляют собой ин-
интервалы, а ребра из ц3 образуют пары. Произвольный
интервал может содержать в себе несколько предельных
треугольников или вовсе их не содержать. Если интервал
не содержит предельных треугольников, то, как и в предыду-
предыдущем случае, число ребер всегда будет четным. Так как
пары ребер из |л8 не могут содержать предельные треуголь-
треугольники, то на всякий предельный треугольник найдется ин-
интервал, который его содержит. Если оба ребра замыкания
135

принадлежат ц2 (интервал второго рода) или \х,3, то из ра-
равенства х (v0) = х (v) в A* (Gk) по лемме 7 следует, что
сумма числа ребер интервала и числа предельных треуголь-
треугольников, содержащихся в нем, является четной величиной.
Если ребра замыкания принадлежат к разным подмножест-
подмножествам, то из неравенства х (v0) Ф х (v) в Л* (Gk) по лемме
7 следует, что сумма числа ребер интервала и числа пре-
предельных треугольников является нечетной величиной. Но
так как ребро замыкания из |.i2 не учитывается, то в обоих
случаях число ребер интервала вместе с ребрами замыкания
сравнимо по модулю 2 с числом предельных треугольников,
содержащихся в нем. Чтобы из т подсистем образовать одну
подсистему S,-, необходимо использовать т — 1 предель-
предельный треугольник. Вычислим теперь номер места г-го
ребра из ц2:
v=l v=l
m
так как ^J "К, — t — 1. то
5r(/)-=(r+l)(mod2). D.55)
Так как г выбиралось произвольно, то |л2 имеет правильное
вхождение в 9R.
Для доказательства того, что |л2 является правильным,
предположим обратное, т. е. что найдутся две такие под-
подсистемы S'u и Su, объединяющиеся в одну подсистему, для
которых относительно подмножества |л2 справедливо
indSu indSD= I (mod 2). D.56)
Если обозначить через %и и Ко число ребер из |л2, соответ-
соответственно принадлежащих подмножествам Su и Sv, то это
равенство будет равнозначно двум следующим:
=l. D.57)
Рассмотрим подмножествоЗ и. Пусть ребра из (л2 рас-
распределены в нем по т таким подмножествам S/,, S/s, ...
...,Sim, что любое подмножество Sa, где а$ {/lt /2, .... jm},
не содержит ни одного собственного ребра из fx2. Если реб-
ребра распределены в количестве А^ А,,..., %т, то для них спра-
справедливо
sk, (/v) = (^. + П (mod 2), v = 1, 2, .... т. D.58)
136

Между ребрами из |л2 подмножеств S/v с максимальными
номерами мест и предельным треугольником, объединяющим
подсистемы Su и Su, находятся ребра двух подмножеств
[Xj и (л3. Ребра из \it представляют собой совокупность ин-
интервалов, а ребра из \i3 образуют пары. Рассуждая анало-
аналогично приведенному выше, можно показать, что интервалы
вместе с замыканиями и пары в сумме используют число
ребер, сравнимое по модулю 2 с числом предельных тре-
треугольников, необходимых для образования подсистемы- Su
из т составляющих, т. е. т — 1. Число неиспользованных
ребер (остаточные ребра) в подмножестве Su равно по моду-
модулю 2 числу
v=l v=l
m
Так как ? Xv == Xu, а из D.57) следует р (Su) = %u, то это
число равно
[P(Su) + К+П (mod2) = 1 (mod2). D.59)
Таким образом, в подмножестве Su нечетное число ребер
из подмножеств jXj и ц3 не принадлежит ни одному интер-
интервалу и не образует ни одной пары. Очевидно, в это число
входит только одно ребро из. |j.s, имеющее наименьший сре-
среди них номер места, остальные (их число может быть равным
нулю) принадлежат \iv Эти остаточные ребра могут обра-
образовать интервал или пару с ребрами из другого подмножест-
подмножества, например из Sv. Но в Sv точно так же остаточное чис-
число ребер нечетное и состоит из одного ребра из щ, остальные
принадлежат ц,1. Указанные ребра нз двух подмножеств
Su и Sv могут образовать интервал (или пару) только в со-
совокупности. В выражении A* (Gk) им соответствует мно-
множитель [х (v0) + х (v)] с четным числом отрицаний. Но
тогда х (v0) Ф х (v), и оба ребра замыкания (или пары)
не могут одновременно принадлежать подмножеству [is. Это
противоречие разрешимо только тогда, когда одно из ра-
равенств D.57) не выполняется, т. е. если ind Su ind Sv = 0.
Это условие означает, что подмножество |л2 (аналогично
и fx8) правильное, что и требовалось доказать.
Достаточность. Пусть множество ЗК разбито на три
подмножества цх, ц2 и jis, удовлетворяющие условиям
теоремы. Покажем, что если переменным заданы следующие
137

значения:
1) yi = U xt = 0 при i?\iii
2) t/f == 0, х{ = 1 при 1?ц.г; D.60)
3) y( = Xt = O при t f ц,3.
то можно получить решение системы уравнений D.33) —
D.37).
Запишем произвольное /-е уравнение системы в общем
виде аналогично D.52)
j+(j+l)(S, + S',) + S,S',= l. D.61)
В это уравнение впервые входит какая-то переменная
величина, соответствующая ребру одного из подмножеств
fix,.^ или |л3. Рассмотрим все три случая.
1) Ребро принадлежит \iv Так как ребро имеет правиль-
правильное вхождение и номер места ребра равен /, то по D.48)
получаем / = (S,- + 1) (mod 2), или S,- = / + 1. Легко
видеть, что это значение удовлетворяет уравнению D.61).
2) Ребро принадлежит ц2. Так же, как и в случае 1,
для ребра справедливо / = (S,- + I) (mod 2), что также
удовлетворяет уравнению D.61).
3) Ребро принадлежит \i3. Так как ребро имеет правиль-
правильное вхождение, то для / === 1 (mod 2) это ребро с четным но-
номером, следовательно, S,- + S,- = 1, а для / s= 0 (mod 2)
это ребро с нечетным номером, и здесь также Sj + St = I.
В обоих случаях S/S/ = 0, поэтому уравнение D.61) удов-
удовлетворяется.
Покажем теперь, что решения D.60) удовлетворяют
уравнению любого предельного треугольника. Прежде всего
исследуем решения уравнения D.61). Непосредственно мож-
можно найти следующие решения:
1) Sj = j, S;=/+l;
2) Sy=/ + 1, S;-/; D.62)
з) s, = s;=/ + i.
Пусть две произвольные подсистемы Su и Sv с числом
переменных соответственно /х и /2 объединяются в одну
подсистему St. Запишем последние уравнения подсистем
и уравнение предельного треугольника:
к + (к + 0 E«.л + S'u.h) + su,,\s'u.h = !.
h + (/2 + 1) (Su,i, + S'Util) + SD,jtS'Olt, - 1, D.63)
138

(h + h) + (/l + /2 + 1) (Su,f, + Sv,/t + S'a,k + Si,,;) +
Если вычесть из последнего уравнения два предыдущих,
то можно получить условие, при котором удовлетворяется
уравнение предельного треугольника:
+ Su.,lS'v.,t + S'u.h S;./,= l. D.64)
Рассмотрим последовательно все решения D.62) и пока-
покажем, что для заданных множеств |ль [л2 и (л3 всегда выпол-
выполняется уравнение D.64):
!) •SHl/l = /1) S'ujl= j+ 1.
Так как нужно вычислять индексы подсистем относи-
относительно каждого из подмножеств \ilt \х,2 и |л3, то номер под-
подмножества будем обозначать цифрой вслед за символом ин-
индекса, например indx Su, ind2 Su - и т. д. ind2 Su = 1 +
+ р (SJ + SB.,,= 1 +jl + j1= 1.
Так как fi2 правильное подмножество, то ind2 Su ind2 So =
= 0. Отсюда ind2 Sv = /2 + 1 + 5и,/8 = О, или
¦^o./a ~ /2 + 1- Подставив все известные значения в ле-
левую часть D.64), получим /х (/2 + 1 + S'0,!t) + /2 +
+ iX.u + (/1 + 1) (h + 1) = /J, + h + hS',.u +
+ J2 + hSD,i, + hh + h + /2 + 1 = 1.
2) Su,h = /x + 1, S'u,h - /V indi Su = SLj, + 1+ p (Su) = 1.
Так как fxt правильное подмножество, то indx Sv = 0.
Отсюда p (Su) + 1 + So,/, == 0, или S'v,it — /2 + 1.
Подставим все значения в левую часть D.64): Д E0/г +
+ /, + 1) + /а + (/1 + 1) (/2 +1) + /is»./. - /is;.,, +
+ /1/2 + /1 + /1 + hh + /1 + /2 + 1 -1- hSVli, =1.
3) S^^S^^h+1.
Пусть число ребер из fx3 в подмножестве Su равно а1(
а в подмножестве Sa — о^. Так как число всех ребер в Su
равно /1( то Д = Su,/, + Su,^ + ctj, или, учитывая
заданные значения, jt — av
Отсюда ind3 Su = 1 + р (SH) + ах. Число ребер в Sa рав-
равно /2, т. е. /2 ¦= S0(/, + Si,,/, + а2, или а2 = /2 + SBi/, +
+ SD,/,. Так как ц3 правильное подмножество, то
139

ind3 So « 0. Отсюда 1 + p (Sa) + ай =* 1 + /a + /¦ +
+ Se./, + s*/. = 0 и s ; л = sOi/i + i.
Подставим все полученные значения в левую часть
D.64): lt + (J, + 1) (S8i/, + 1) + (Л + 1) SeJt =
= /i + (Л + 1) S0>/l + h + 1 + (/i + 1) So>/| = 1.
Таким образом, во всех случаях определенные в D.60)
значения переменных удовлетворяют уравнению D.64)
или уравнению любого предельного треугольника. Очевид-
Очевидно также, что для достаточности условий обязательно тре-
требуется, чтобы все подмножества \iv ц2 и \х3 были правиль-
правильными. Если какое-либо из них не будет правильным, то
в соответствующем случае уравнение D.64) допускает ре-
решение, где левая часть превращается в нуль.
Первое условие теоремы является очевидным, так как
ребра опорного треугольника всегда принадлежат различ-
различным подмножествам, т. е. наименьшее число подмножеств —
два. Этим и завершается доказательство теоремы.
Следствие. Каждому решению системы D.33) — D.37)
можно поставить в соответствие еще пять решений этой
системы, которые можно получить путем перестановок под-
подмножеств |ilt |A2 и |is, а также прямых и двойственных пере-
переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белага Э. Г. Мини-геометрии (четыре фрагмента математики XX ве-
века).—М.: Знание, 1977, с. 22.
2. Белага Э. Г. Об одной интерпретации 4-раскраски плоского графа.—
Успехи мат. наук, 1972, 27, вып. 3, с. 191.
3. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.—М.: Наука, 1979.—624 с.
4. Донец Г. А. Исследование вопросов раскраски плоских графов:
Автореф. дис. ... каид. физ.-мат. наук.— Киев, 1970.— 17 с.
5. Донец Г. А. О свойствах раскрашенных плоских триангуляции.—
Управляемые системы, 1973, вып. 11, с. 55—60.
6. Землянухина Л. Н., Шор Н. 3. Некоторые комбинаторные задачи
теории графов, связанные с максимальным внутренне устойчивым
множеством.— Мат. методы исслед. и оптимизации систем, 1970,
вып. 5, с.
Ч.Зыков А. А. Теория конечных графов.— Новосибирск: Наука,
1969.— 543 с.
8. Лэнг С. Алгебра.—М.: Мир, 1968.—564 с.
9. Нигматуллин Р. Г. О приближенных алгоритмах с ограниченной
абсолютной погрешностью для дискретных экстремальных задач.—
Кибернетика, 1978, № 1, с. 95—101.
10. Постников М. М. Теория Галуа.—М.: Физматгиз, 1963.—220 с.
11. Траст. Э. Простые числа.— М.: Физматгиз, 1959.— 135 с.
12. Трубин В. А. О методе решения задач целочисленного программи-
программирования специального вида.— Докл. АН СССР, 1969, 189, № 5,
с. 952—954.
13. Шор Н. 3., Донец Г. А. Алгебраический подход к исследованию
задачи о четырех красках. — Теория оптим. решений, 1967, № 3,
с. 57—72.
14. Allaire F., Swart E. R. A Systematic approach to the determination
of reducible configurations in the fourcolor conjecture.— J. Combi-
Combinatorial Theory (B).
15. Appel K., Haken W. Every Planar Map is four colorable. Pt. 1: Dis-
Discharging.—3. J. Math., 1977, 21, N 4, p. 429—490.
16. Appel K., Haken W., Koch J. Every Planar Map is Four Colorable.
Pt. 2: Reducibility.— 111. J. Math., 1977, 21, N 4, p. 491—567.
17. Appel K., Haken W. The existence of unavoidable sets of geographi-
geographically good configurations.—111. J. Math., 1976, 20, p. 218—297.
18. Bernhart A. Another reducible edge configuration.— Amer. J. Math.,
1948, 70, p. 144—146.
19. Bernhart F. On the characterization of reductions of small order,—
J. Combinatorial Theory (B).
20. Birkhojf G. D.— Amer. J. Math., 1913, 35, N 2, p. 115—128.
21. Cook S. A. The complexity of theorem proving procedures,—In:
Proo, 3rd ACM Symp. on Theory of Computing, 1971.
141

22. Choinacki С. A contribution to the four color problem.— Amer. J,
Math., 1942, 64, p. 36—54.
23. Errera A. Uni Contribution an probleme des quatre couleurs,— Bull.
Soc. Math. France, 1925, 53, S. 42—55.
24. Franklin Ph. The Four Color Problem : Diss. — Amer. J. Math., 1922,
44, N 3, p. 225—236.
25. Garey M. R., Johnson D. S. Computers and Intractability. A Guide to
the Theory of NP-completeness. W. H. Freeman and company. San
Francisko. 1979. 338 pp.
26. Garey M. R., Johnson D. S. The Complexness of Near-optimal Graph-
coloring.—J. ACM, 1976, 23, N 1.
27. Heawood P. J. Map —Colour Theorem.— Quart. J. Math., 1890, N 24,
p. 332—338.
28. Heesch H. Untersuchungen zum Vierfarbenproblem.— B—J—Hoch-
Schulscripten 810/810a/810b.— Mannheim etc. Bibliogr. Inst., 1969.
29. Mayer J. Probleme des quatre couleurs, un contre-exemple doit avoir
au moins 96 sommets.— J. Combin. Theory (B).
30. Ore 0. The Four Color Problem.— Pure and Appl. Math., 1967, 27.
31.' Ore 0. and Stempl J. Numerical calculations on the four color prob-
problem,—J. Combin. Theory, 1970, 8, p. 65—78.
32. Osgood T. An existence theorem for planar triangulations with verti-
vertices of degree five, six and eight: — Ph. D. Thes. Urbana; Illinois :
University of Illinois at Urbana-Champaigu, 1974.
33. Stockmeyer L. J. Planar 3-colorability is polynomial complete.—
SIGACT NEWS, 1973, 5, N 3.
34. Sykow A. A., Kesaelman D. Ja., Neimark Ju. J., Podcorytov W. N.
Uber ein verfahren гиг farbung ebenen triangulationen.— Math. Nach-
richte, 1969, 40, S. 51—59.
35. Tait P. G. Remarks on the colouring of maps.— Proc. Royal. Soc.
Edinburgh, 1880, 10, p. 729.
36. TutteW. T. On hamilton circuits.— J.London Math. Soc, 1946,21,
p. 98—101.
37. Tutte W. Т., Whitney H, Kempe chains and the four colour problem.—
Utilitas math., 1972, 2, p. 241—281 Reprinted in Studies in Graph
Theory, Studies in Math., Math. Assoc. Amer., 1976, 12.
38. Wlnn С. Е. A Case of coloration in the four color problem.— Amer.
J. Math., 1937, 59, p. 515-518.
39. Winn C. E. On certain reductions in the four color problem.— Amer.
J. Math, and Physics, 1938, 16, p. 159—171.
40. Winn С. Е. On the minimum numbers of polygons in an irreducible
map.—Amer. J. Math., 1940, 62, p. 406—416.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. Основные этапы доказательства гипотезы четырех
красок ....... 5
1. Историческая справка 5
2. Доказательства Тэйта, Кемпе и Хивуда 7
3. Приводимость графов и конфигураций , 11
4. Четыре типа приводимости конфигурации ..... 15
5. Метод нейтрализации и его развитие 24
Глава 2. Уравнения Хивуда
1. Задача о четырех красках и группа подстановок 29
2. О системах уравнений по модулю 3 39
3. Алгебраические неравенства, связанные с раскраской
треугольных графов тремя красками 48
4. Об алгоритмах раскраски плоских графов четырьмя
красками , 60
Глава 3. Комбинаторика паросочетаний и раскраска графов
1. Пфаффиан и совершенные паросочетания графа 66
2. О подсчете числа паросочетаний графа, двойственного
к максимальному плоскому графу 76
3. Подсчет коэффициентов некоторых полиномов по мо-
модулю 2 и модулю 3 с использованием формул,- связан-
связанных с подсчетом числа паросочетаний 78
4. Анализ системы уравнений по модулю 2 85
5. Задача выбора и раскраска графов 90
Глава 4. Об одном алгоритме раскраски плоских графов
1. Вывод системы уравнений. Частный случай .... 95
2. Некоторые условия разрешимости канонической си-
системы 101
3. Общее условие разрешимости системы 109
4. Исследование системы уравнений для общего случая 114
5. Условие решения общей канонической системы и во-
вопросы построения алгоритма раскраски 124
Список литературы 141

ГЕОРГИЙ АФАНАСЬЕВИЧ ДОНЕЦ
НАУМ ЗУСЕЛЕВИЧ ШОР
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ПРОБЛЕМЕ РАСКРАСКИ
ПЛОСКИХ ГРАФОВ
Утверждено к печати ученым советом
Института кибернетики АН УССР
Редактор М. К. Пунина
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор Г. М. Терезюк
Корректоры Т. Я- Норная, Л. М. Тищенко
Ивформ. бланк № 4276
Сдано в набор 10.06.81 Подп. в печ.
04.12.81. БФ 01191. Фбрмат 84x108/32.
Бумага типогр. № 1. Лит. гари. Вые
Печ. Усл. печ. л. 7.56,- Усл. кр.-отт. 7,98.
Уч.-изд. л. 7,41. Тираж 1460 экз. Заказ
№ 1733. Цеиа 1 руб. 10 коп.
Издательство «Наукова думка», 252301.
Киев, ГСП. Репина, S.
Изготовлено Нестеровской городской ти-
типографией, г. Нестеров, Львовской обл.,
ул. Горького, 8 с матриц Головного пред-
Приятия РПО «Полнграфкннга», 252057,
Киев-Б7, Довженко, Зж
Зак. № 281.