studies in Mathematics and its Applications
Volume 2
Editors: J.-L. Lions, Paris, G. Papanicolaou, New York,
R. T. Rockafellar, Seattle
NAVIER—STOKES EQUATIONS
theory and numerical analysis
Roger ТЕМАМ
Universite de Paris-Sud, Orsay, France
Ecole Polytechnique, Palaiseau, France
Revised Edition
1979
North-Holland Publishing Company
Amsterdam • New York. Oxford

p. ТЕМАМ
УРАВНЕНИЯ
НАВЬЕ"- СТОКСА
ТЕОРИЯ
И ЧИСЛЕННЫЙ
АНАЛИЗ
Перевод с английского
В. А. НОВИКОВА и А. М. ФРАНКА
под редакцией
Б. Г. КУЗНЕЦОВА и Н. Н. ЯНЕНКО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА
1981

в монографии известного французского математика
рассматриваются вопросы существования, единственности и регулярности
решений краевых задач для уравнений Навье—Стокса, а также
устойчивости и сходимости методов численного решения этих
уравнений. Разобрано большое количество соответствующих
алгоритмов (метод Галёркина, метод конечных элементов и др.),
поэтому она служит хорошим дополнением к монографии О. А.
Ладыженской «Математические вопросы динамики вязкой
несжимаемой жидкости» (М.: Наука, 1970).
Для специалистов, заии.чающихся аналитическими и
численными исследованиями движения жидкостей, аспирантов и
студентов старших курсов университетов.
Роже Темам
УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ - СТОКСА ТЕОРИЯ И ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
г научн редактор В. И. Авербух. Мл. редактор Ю. С. Андреева Художник
. В. Шипов. Художественный редактор В. И. Шаповалов. Технический
редактор Г. В. Алюлина. Корректор Т. П. Пашковская.
ИБ № 1833
дано в набор 01.12,30. Подписано к печати 23.05 81. Формат 60Х907«. Бумага
шографская Хг 1. Гарнитура латинская Печать высокая. Объем 12,75 бум. л.
ел печ л 25,50. Усл. кр отт. 25,50. Уч.-изд л 23,18. Изд. .Чз 1/0172. Тираж 8000 экз.
Зак. 1226 Цепа 1 р . 90 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «,\\ИР», .Чосква, 1-П Рижский пер., 2
тпсчатаио с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
наменн Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома
J11 Государственном комитете СССР но дела.м издательств, полиграфии и книжной
)рговлн, Москва, ;М-54, Валовая, 2S, в Ленниградской типографии № 2 головпо.м
)^днриятни ордеиа Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
Гохнич1^ская книга» им Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном
змитето СССР но делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г.
Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
Редакция литерат^р]йвйШ^'*лте%тгиче^ШШ наукам
702070000
202оа—030 вп_о1 © North-Holland Publishing Company 1977
041(01) 81 olf ч» * @ Перевод на русский язык, «Мир», 1981

от РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Теория вязких течений несжимаемой жидкости представляет
»'обоП один из важнейших для практики и наиболее интересный
дли математических исследований раздел гидродинамики. Не слу-
NMlhio именно в задачах динамики вязких течений Лерэ и Шау-
дером были сделаны первые шаги по применению методов
функционального анализа, а в последнее время уравнения Навье — Стокса
1ЧИЛ11 одним из первых объектов применения численных методов.
Мн(1гпе из задач динамики вязкой жидкости, например задача о
•ин'Лонном исследовании течений при больших до- и закритиче-
• них числах Рейнольдса, вплоть до настоящ,его времени не
решены II настоятельно требуют своего решения.
Предлагаемая вниманию читателей книга известного француз-
I кого математика Роже Темама посвящена достаточно
обстоятельному изложению вопросов теории и в особенности
вычислительным аспектам задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.
IJ книге приведены необходимые для понимания существа де-
||в и тестные результаты о существовании, единственности и ре-
I ули()110сти решений уравнений Навье—Стокса. Вместе с тем
приводится большое число соответствующих дискретных апнро-
исимаций дифференциальных задач: метод конечных разностей,
Mt'To/i конечных элементов, экономичные разностные схемы.
Разумное сочетание строгости и доступности изложения мате-
|ишла делают монографию Р. Темама весьма полезной не только
дли научных работников, интересующихся численны.ми методами
дипнмики вязких течений, но и для аспирантов и студентов
t гиртих курсов университетов.
05 актуальности данной книги свидетельствует тот факт, что
уже через два года после ее появления (1977 г.) вышло второе,
исправленное и дополненное издание (1979 г.), с которого и
имполнен настоящий перевод. Работа над переводом была суш,е-
t'l'uciiiio ускорена благодаря тому, что Р. Темам любезно предос-
гинил нам полный список изменений, исправлений и дополнений,
миесонных им в текст первого издания. Мы искренне
признательны е.му за это.
Н. Н. Яненко
Б. Г. Кузнецов

ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей книге мы изложим ряд результатов,
касающихся теории н численного анализа уравнений Навье —Стокса,
которые описывают движение вязкой несжимаемой жидкости.
Нас будут интересовать следующие две темьг. с одной
стороны, описание известных результатов о существовании,
единственности и, иногда, регулярности решений в линейном и
нелинейном, стационарном и нестационарном случаях; с другой стороны,
аппроксимация этих задач с помощью дискретизации конечно-
разностными методами и методами конечных элементов по
пространственным переменным, конечно-разностными методами и
методами дробных шагов по времени.
Вопросы устойчивости и сходимости соответствующих
численных схем рассмотрены со всей возможной полнотой. При этом
мы не ограничиваемся одними теоретическими аспектами; в
частности, в приложении подробно описывается, как
запрограммировать один из приведенных в основном тексте методов.
Фактически многие из изучаемых в книге методов применялись на
практике; однако у нас нет возможности излагать подробности
эффективной вычислительной реализации всех этих методов. Что
же касается теоретических результатов (существование,
единственность и т. д.), то мы представили лишь самые основные из них,
и ни один из этих результатов не нов; тем не менее мы
попытались, насколько это было возможно, дать простое и
независимое их изложение. Энергетический метод и метод компактности
являются центральными для двух интересующих нас тем и
служат естественным связующим звеном между ними.
Дадим более подробное описание содержания книги. Мы
рассматриваем вначале линеаризованные стационарные уравнения
(глава 1), затем нелинейные стационарные уравнения (глава 2)
II, наконец, полные нелинейные эволюционные уравнения (глава 3).
На каждом этапе мы вводим в дело новые математические
средства, полезные сами по себе и подготавливающие последующие
шаги.
В главе 1 после краткого изложения результатов о сущест-
во.вании н единственности мы описываем аппроксимацию задачи
Стокса £ помощью различных конечно-разностных и конечно-

Предисловие
элементных методов. Тем самым нам представляется удобный
случай для введения различных методов аппроксимации солено-
идальных вектор-функций, которые (методы) важны также при
рассмотрении численных аспектов задач, изучаемых в главах 2
и 3.
В главе 2 приводятся результаты о компактности как для
непрерывного, так и для дискретного случаев. Затем
распространяются на нелинейный случай результаты, полученные в
предыдущей главе для линейных уравнений. Глава завершается
доказательством неединственности решения стационарных
уравнений Навье— Стокса, основанным на теории бифуркаций и
топологических методах; изложение этого вопроса по существу не зависит
от предыдущего.
В главе 3 рассматриваются полные нелинейные эволюционные
уравнения. Вначале представлено несколько результатов,
позволяющих судить о современном состоянии математической теории
уравнений Навье —Стокса (теоремы существования и
единственности). Затем дается краткое введение в численные аспекты
задачи; здесь мы комбинируем дискретизацию по пространственным
переменным, обсуждаемую в главе 1, с обычными методами
дискретизации по временной переменной. Вопросы устойчивости
и сходимости изучаются энергетическим методом. Рассмотрены
также метод дробных шагов и метод искусственной сжимаемости.
Приведенного краткого описания содержания достаточно,
чтобы понять, что эта книга никоим образом не претендует на роль
систематического исчерпывающего трактата по данному предмету.
Здесь мы не касаемся многих аспектов теории уравнений
Навье —Стокса. Ничего не сказано о целом ряде интересных
подходов к задачам существования и единственности, таких как
методы полугрупп, сингулярных интегральных операторов, рима-
новых многообразий. Что касается численных аспектов задачи,
то мы не рассматриваем ни метод частиц, ни родственные ему
методы, разработанные в Лос-Аламосской лаборатории.
Кроме того, мы строго ограничиваемся уравнениями Навье —
Стокса, совсем не касаясь широкого круга других задач, которые
можно изучать теми же методами. Не касаемся мы и трудных
задач, связанных с турбулентностью и течениями при больших
числах Рейнольдса.
Материал этой книги читался в Мэрилендском университете
в первом семестре 1972 —73-го учебного года как часть годового
курса по уравнениям Навье—Стокса и нелинейным уравнениям
в частных производных. Записи этих лекций, изданные Мэри-
лендским университетом', представляют собой первый вариант
данной книги.
' См. Темам [9].—Прим. ред.

8 Предисловие
Я чрезвычайно признателен моим коллегам с
математического факультета и из Института гидродинамики и прикладной
математики при Мэрилендском университете за интерес,
проявленный к изданию этих лекционных заметок. Непосредственный
вклад в подготовку рукописи внесли Арлетт Уильямсон и профессора
Дж. Осборн, Дж. Сэзер и Ф. Уолфи; я благодарен им за
исправление моих ошибок в английском и ценные замечания и
советы, способствовавшие улучшению рукописи. Рядом полезных
указаний я обязан также г-же М. Пелисье, М. Фортэну и Ф. То-
массэ. Наконец, я хотел бы выразить благодарность секретарям
математических факультетов Мэрилендского и Орсэйского
университетов за помош,ь при подготовке рукописи.

ГЛАВА I
СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТОКСА
Введение
В этой главе мы изучим стационарные уравнения Стокса,
т. е. стационарную линеаризованную форму уравнений Навье —
Стокса. Изучение уравнений Стокса полезно само по себе, а
также позволит нам ввести некоторый аппарат, необходимый
для исследования полных уравнений Навье — Стокса.
В § 1 рассматривается ряд функциональных пространств
{пространства солеиоидальных вектор-функций с компонентами
из Р). В § 2 мы даем вариационную формулировку для
уравнений Стокса и доказываем существование и единственность
решений с помощью проекционной теоре.мы. В § 3 и 4
напоминаются некоторые определения и результаты по аппроксимации
нормированных пространств и линейных вариационных
уравнений (§ -3). Затем мы описываем несколько способов аппроксима-
IUIH некоторого, играющего фундаментальную роль в
последующем изложении, пространства V солеиоидальных вектор-функций,
включающих в себя аппроксимацию посредством метода
конечных разностей (§ 3) и посредством согласованного и
несогласованного методов конечных элементов (§ 4). В § 5 обсуждаются
конкретные аппроксимационные алгоритмы для уравнений Сток-
ся и соответствующие им дискретные уравнения. Эти
алгоритмы вводятся для преодоления затруднений, связанных с условием
div « = 0. Как будет показано, преодолеть эти затруднения
тгогда не просто.
Наконец, в § 6 мы изучим линеаризованные уравнения слабо
сжимаемой жидкости и их асимптотическую сходимость к
линейным уравнениям несжимаемой жидкости (т. е. к уравнениям
Стокса).
§ 1. Некоторые функциональные пространства
В этом пар'аграфе мы введем и изучим некоторые основные
функциональные пространства. Эти результаты важны для
дальнейшего, но методы, используемые в данном параграфе, в
дальнейшем не применяются, так что читатель может бегло просмот-

10 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
реть доказательства и запомнить лишь общие обозначения,^
описанные в п. 1.1, и результаты, подытоженные в замечании
1.6.
/./. Обозначения. В евклидовом пространстве R" мы
обозначаем через ei = (l, О, ..., 0), е.^ = {0, 1, О, ..., 0), ..., е„ =
= (0, ..., О, 1) канонический базис и через х = {х-^, ..., дг„),
y'^iiJu • ••. «/п). ■s' = (2j, ..., г„), ...—точки пространства.
Дифференциальный оператор
обозначается через D,-, и если / = (/i, ..;, /„) —мультииндекс,
то Di — это дифференциальный оператор
DJ = DI^ ... D'n = ^ . ^'" ^ . , (1.1)
1 л dxh ... dxln ' '' ■'
1 n
где
1/1=/i+•••+/„• (1-2)
Если /,- = 0 для некоторого i, то D(' —тождественный оператор;
в частности, если |/| = 0, то Di — тождественный оператор.
Рис. 1.
Множество Q. Пусть Q —открытое множество' в R" с
границей Г (рис. 1). Нам потребуется, чтобы Q обладало некоторыми
свойствами гладкости. Иногда мы будем предполагать, что
Qявляется гладким в следующем смысле:
*1
Граница Г есть (/г—1)-мерное многообразие
класса 'в'' (значение г ^ 1 должно быть
уточнено), и Q расположено локально по одну
сторону Г. (1.3)
' Часто в качестве синонима слова „множество" мы будем в настоящем
переводе использовать слово „область". Автор всюду употребляет термин set
(множество).— Прим. перев.

§1. Некоторые функциональные пространства И
Мы будем говорить, что область Q, удовлетворяющая условию (1.3),
принадлежит классу 'ё''. Однако это условие слишком сильно для
многих практических приложений (например, при рассмотрении
течения в канале прямоугольного сечения), и все основные
результаты будут доказаны нами при более слабом условии:
Граница области Q локально-липшицева. (1.4)
Это означает, что Г в окрестности любой своей точки х допускает
представление в виде гиперповерхности y„ = Q{yi, ••-, y„-i), где О
удовлетворяет условию Липшица, а (г/^, ..., г/„) —координаты в R"
в некотором ортогональном базисе, который может отличаться от
канонического базиса е^ е„.
Конечно, если область Q принадлежит классу Чё^, то она
локально-липшицева.
Для последующего полезно отметить тот факт, что область Й,
удовлетворяющая условию (1.4), локально-звездна. Это означает,
что каждая точка Лу^Г имеет открытую окрестность в/, такую
что множество 0/ = Qn6y звездно относительно одной из своих
точек. Более того, согласно (1.4) мы можем при этом
предполагать, что граница б] липшицева.
Если граница Г ограничена, то ее можно покрыть конечным
семейством таких областей бу, j^J; если Г не ограничена, то
семейство (бу)/бУ может быть выбрано локально-конечным.
Всюду далее предполагается, что Q удовлетворяет условию (1.4),
если только явно не сказано, что й—произвольное открытое
множество в R." или же не наложены какие-нибудь другие
требования гладкости.
LP и пространства Соболева. Пусть Q —произвольное открытое
множество в R". Через Lp{Q), I < р <+оо, (соотв. L°°(Q))
обозначим пространство определенных на Q вещественных функций,
абсолютно интегрируемых с р-й степенью (соотв. существенно
ограниченных) но лебеговой мере dx=dXi ... dx„. Это
пространство с нормой
ll«i!LP(Q, = (Sl«WI''d^)'^'. (1-5)
соотв.
||«!|£.~(Q)=esssup(«(A:)(,
а
является банаховым пространством. При р = 2 мы получаем
гильбертово пространство L^(Q) со скалярным произведением
(и, v)=l a{x)v{x)dx. (1.6)
Пространство Соболева W'"' p(Q) — 3to пространство функций из
JLp{Q), все частные производные которых до порядка т включи-

12 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
тельно принадлежат ^(il) (m —целое, l^p^^ + oo). Это
—банахово пространство с нормой
1 и !!;.'"-(.>=( ^ |Р^и|,^ (.))''"• (1-7)
При р^2 пространство И^'"'-^(Й) = Я'"(Й) представляет собой
гильбертово пространство со скалярным произведением
((и. г»))я«.(й)= 2 (D>a, D/г»). (1.8)
I / к m
Пусть ®(Q) (соотв. ®(Й)) обозначает пространство функций
класса ^°° с компактным носителем, содержащимся в й (соотв. Q).
Замыкание ®(й) в U^''»'P(Q) обозначим через ^^'^'•''(Q) (через
Я2'(Й) при р-2).
Мы напомним, когда это потребуется, классические свойства
этих пространств, такие как теоремы о плотности или теоремы
о следах (при соответствующих предположениях о
регулярности Q).
Мы часто будем иметь дело с тг-мерными вектор-функциями,
компоненты которых принадлежат одному из определенных выше
пространств. Будем использовать обозначения
LP (Q) = {LP (Й)}«, W"' р (Й) = {IF"»' /> (Q)}",
Предполагается, что эти произведения пространств снабжены
обычной нормой произведения или какой-нибудь эквивалентной нормой
(за исключением Й)(Й) и ®(Q), которые не являются
нормированными пространствами).
Наиболее часто мы будем использовать следующие
пространства :
АМЙ). /-ЧЙ), //J(Q), //J(Q).
Скалярное произведение и норму в U- (Q) или U (Й) будем
обозначать через (■, •) и |-(, в //ЦЙ) и //^(й) —через [•, •] и [■].
Напомним, что если й ограничено в некотором направлении ' ,
то имеет место неравенство Пуанкаре
|! и 1и ,й) s^ с (Щ Du \Ь iQ, Va 6 HI (Й), (1.9)
где D —производная-"*в этом направлении, а с(Й) —константа,
зависящая только от Й (ограниченная величиной 2/, где / —диа-
'• То есть Q лежит внутри „полосы", ограниченной двумя
гиперплоскостями, ортогональными к этому направлению. Минимальное расстояние между
такими парами гиперплоскостей называется толщиной (или шириной) Q в
соответствующем направлении.

§1. Некоторые функциональные пространства 13
метр Q или толщина Q в каком-либо направлении). В этом случае
норма [•] в ЯЦЙ) (или в //J(fi)) эквивалентна норме
(л \1/4
2jOy«l^j • (1-10)
Пространство Щ (Й) (соотв. Щ (Й)) является также гильбертовым
пространством с ассоциированным скалярным произведением
({и, V))='ZiDiU, D,v). (1.11)
i = i
Это скалярное произведение и эту норму в Hi (Q) и Щ (Q) (где Й
ограничена в некотором направлении) будем обозначать через
((•. ■)) и |i-|l-
Пусть 'J'^ — следующее пространство (без топологии):
^=|и€<0(Й), diva = 0}. (1.12) .
Замыкание ^ в L^{Q) а в Щ (Й) дает два основных пространства
при изучении уравнений Навье —Стокса; мы обозначим их через Н
и V. Результаты настоящего параграфа позволят нам дать
некоторую характеризацию этих пространств.
1.2. Теорема о плотности. Пусть £ (й) — следующее
вспомогательное пространство:
Будучи снабжено скалярным произведением
((и, v))EiQ) = {u, t>) + (div«, div-D), (1.13)
оно становится гильбертовым пространством. Очевидно, (1.13)
есть скалярное произведение в Е (й), и легко видеть', что Е (Й)
полно в ассоциированной норме
ЦиИе.й) = {((«, И))£(Q)}^/^
Нашей целью является доказательство некоторой теоремы
о следе: для вектор-функции и^Е{0) можно определить
значение на Г ее нормальной компоненты «•v(v —единичный вектор
нор.мали к границе). Мы будем использовать классический метод
Лионса — Мадженеса [1]. Начнем с доказательства следующей
теоремы.
Если Ид,—последовательность Коши в E{Q), то и^ будет также
последовательностью Коши в £2 (Q)- ц^ сходится к некоторому пределу и в
L^ ф.) и divMm сходится к некоторому пределу g в L^ (Q), причем обязательно
g=u\vu; поэтому tt^E{Q) и Ит сходится к и в E{Q).

14 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Теорема 1.1. Пусть Q — липшицева открытая область в R". Тогда
множество вектор-функций, принадлежащих Si (^)> плотно в Е (Q).
Доказательство. Пусть и — некоторый элемент из^ (Й). Мы должны
доказать, что а есть предел в Е {Q) вектор-функций из ^(Й).
(!) Если й неограничена, то мы вначале аппроксимируем а
функциями из Е {Q) с компактными носителями в Й (т. е.
функциями с ограниченными носителями).
Пусть ф€^(К"), 0:с^ф^1, ф=1 при |л:|^1 и ф = 0 при
\х\'^2. Для а>0 пусть ф^ — ограниченная на Q функция
x>-^(f{x/a). Легко проверить, что (fi^a^E(Q) и ф^и сходится к и
в этом пространстве при а—>-оо.
Функции с ограниченным носителем образуют плотное
подпространство в Е (й), и мы можем предположить, что и имеет
ограниченный носитель.
(и) Рассмотрим сперва случай Q = R«. Итак, a^E(U.") на
имеет компактный носитель. В этом случае результат доказывается
с помощью регуляризации. Пусть pg®(R") —функция класса ^°°
с компактным носителем, такая что р^О, ^ д„р(л:) с1л;= 1. Для
6^(0,1) пусть Ре обозначает функцию хь-*. (1/8") р(х/8). При 8—* О
функция ps сходится в смысле теории распределений к
распределению Дирака и справедлив следующий факт, являющийся
классическим результатом':
Рв*г>->г> в L2(R«)v^gL2(IR«). (1.14)
Далее, вектор-функция ре*и принадлежит ^(R"), поскольку она
имеет компактный носитель (csupp pe-f supp и), а ее компоненты
принадлежат классу ^°°. Согласно (1.14), ре*и сходится к а
в 1,2(R") при 8 —i-О и dlv (ре* и) = ре*dlv и сходится к diva
в L^ (R") при 8 --> 0. Следовательно, а есть предел в Е (R")
функций из ^(R'').
(lii) В общем случае (Q^R") воспользуемся замечанием,
сделанным после (1.4): область Й локально-звездна. Множества Й,
(бу)/б/ образуют открытое покрытие й. Рассмотрим разбиение
единицы, отвечающее этому покрытию:
1 = ф + S Ф/,^где Ф € ® (Й), Фу € ® (б/)- (1.15)
Звездочка обозначает оператор свёртки:
{f*g)(x)='l^J(x-y)g{y)dy.
Если f^f-^R,"), g^L/'lR"), l^p < 00, то свёртка f*g определена и
принадлежит Lp(R").

§ 1. Некоторые функциональные пространства
Мы можем записать
И = фИ+ 2 Ф/И.
причем сумма 2; фактически конечна, поскольку носитель а
компактен (в Q). Так как функция фи имеет компактный носитель
в Q, то можно показать, как и в (ii), что фи является пределом
в E{Q) функций, принадлежащих ^(й) (функция фИ,
продолженная нулем вне Q, принадлежит E{R."), и для достаточно
малых е свёртка р£*(фи) имеет компактный носитель в Q).
Рассмотрим теперь одну из функций aj = (pja, не равную
тождественно нулю. Множество б/ = б^ П ^ звездно относительно одной
из своих точек; после надлежащего переноса начала в R" мы
можем считать, что это точка 0. Пусть а^, Я, =7^ О —линейное
преобразование x^-^hc (гомотетия с коэффициентом Х). Поскольку
область б/ липшицева и звездна относительно О, то ясно, что
б/С0;сая0/' для Я>1,
аяб'/са^/сб} для 0<Х<1.
Пусть a;^ о V обозначает функцию x^-^v{a),(x))•, как следует
из доказываемой ниже леммы 1.1, сужение на б/ функции а^, о Иу,
Я.> 1, сходится к Иу в •£'(6;) (или в E(Q)) при Я,—* 1. Но если
115^. б ® (ах (б/')) и 113^=1 на 6/, то, очевидно, функция ijiy (ах о и)
принадлежит В (R"). Следовательно, нам достаточно вместо
функции ttj аппроксимировать функцию \j^E (Q), являющуюся
сужением на О, некоторой функции Wj^E{R"') с компактным носителем
(возьмем 'гг»у = 'фу (ах о и)). Поэтому наше утверждение следует из
пункта (ii). □
Осталось доказать лемму 1.1, содержащую утверждения, уже
использованные выше, и утверждения, которые понадобятся нам
позже.
Лемма 1.1. Пусть б —открытое множество, звездное
относительно 0.
(i) Для всякого распределения p^S>' (б) можно определить
распределение а^о р в S>' (а^б) по формуле
<ох о р, ф> = ^-" <Р, о„х о ф> Уф 6 ® (а^б) (Я > 0). (1.16)
Производная от а^о р связана с производной от р равенством
Di(ot^op)=.'koxo{Dip), l<i<rt. (1.17)
При Я,—* 1, Я,> 1 сужение на б функции охо р сходится к р
в смысле теории распределений.
(И) Если p^L°-(6), 1<а< + оо, то а^ о pgL"(ax0). При
?^-^ 1, Я.> 1, сужение на б функции а^о р сходится к р в L°-{6).
Доказательство, (i) Ясно, что отображение фн-» (1/А,") <р, Oi/x ° ф>

16 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
линейно и непрерывно на eD{oi6) и, следовательно, определяет
некоторое распределение, которое мы обозначили а;, о р.
Формула (1.17) получается так:
<0,-(алор), Ф>=—<(o^op), Л,.ф> = —-р-<р, а1/хо(0,.ф)>
Для Я> 1, X—f 1 функции ai/хоф имеют компактный носитель
в б для достаточно маленьких X—1 и сходятся к ф в ®(б)прн
Х-И.
(а) Ясно, что
5 Ко,ор)(г/)|«(1г/=Х«5|р(х)Г(1д;,
Отсюда следует, что достаточно доказать сходимость сужения
а;, о р на б к р для р, принадлежащих некоторому плотному
подпространству в L" (б). Но ® (б) плотно в L" (б), а для p^S>(6)
результат очевиден. Q
1.3. Теорема о следе. Мы предположим здесь, что Q
—открытая ограниченная область класса 'ё^. Известно, что тогда
существует непрерывный линейный оператор 7о € -^ {^' (^). ^^ (Г))
(оператор следа), такой что 7о" = '^У*бнню и на Г для каждой
функции u^H^(Q), дважды непрерывно дифференцируемой в й.
Пространство Щ{0.) совпадает с ядром уо-Образ уо(Я^ (Q)) оператора
следа является плотным подпространством в L- (Г); оно
обозначается через Я1/'^ (Г); пространство /Я'-^ (Г) может быть снабжено
нормой, индуцированной из Я'(Q) с помощью у„. Кроме того,
существует непрерывный линейный оператор /о £ ^ (Н^'^ (Г),
Я' {Q)) (называемый оператором поднятия), такой что у^ о /q есть
тождественный оператор в Я^/'^ (Г). Эти результаты доказываются,
например, в книгах: Лионе [1], Лионе и Мадженес [1].
Мы хотим доказать аналогичный результат для
вектор-функций из E(Q).
Пусть ^/~^/2 (Г) —пространство, сопряженное к Н^'- (Г); так
как lf^/•^ (T)cU{T), пр'йчем вложение непрерывно, то L^(Y)
непрерывно вложено в ^*1/2(Г). Справедлива следующая теорема
о следе (которая означает, что мы можем определить и-\\т для
и^Е):
Теорема 1.2. Пусть Q — открытая ограниченная область класса 'ё*.
Тогда существует непрерывный линейный оператор Yv € 'S? {Е (Q),
Н~ 1/- (Г)), такой что
уф—~сужению UV на Г для каждого u^S){^)- (1.18)

§ 1. Некоторые функциональные пространства 17
Для всех a£E(Q) и w^H^ (fi) верна следуюш,ая обобщенная
формула Стокса:
(и, graday)4-(div и, ay) = <Yv«, 7оЧг'>. (1-19)
Доказательство. Пусть ф^Я'/^р ^ для w^H^{Q) пусть уо^^=Ф-
Для и g £ (Q) положим
Xu(((>) = ][diva(x)w{x) + a{x)gradw{x)]dx
== (div и, ш) 4-(и, grad tiy).
Лемма 1.2. Х„(ф) не зависит от выбора w, при условии что
шбЯ^(Й) и 7оЧг'=ф-
Доказательство. Пусть w^ и w^ принадлежат Н^ (Q) и Y„te;i=Yo^'^2=9'
Положим te; = te;i —tiyj. Нам надо показать, что
(diva, Wi) + {a, gradte;i)= (div и, ии^) + (а, gradti^j),
•т. е. что
(diva, ш) + (и, gradte;) = 0. (1.20)
Но поскольку w^H^{Q) и y„w = 0, то te; принадлежит Яо (fi) и
является пределом в Я^ (О) гладких функций с компактным
носителем: te;=limte;„, w^^^{Q). Очевидно, что
(diva, wj + (u, gradte;J = 0 '¥w^^S>{Q),
и (1.20) получается отсюда при т—>оо. □
Возьмем теперь ш=1ц(р (см. выше). Тогда, в силу
неравенства Шварца,
и так как h 6 ^(Я^/^ (Г), H'(Q)), то
I Хи (ф) кс„ ii и\е (П) |1 Ф |!„1/2 (Г)< (1-21)
где с„ —норма оператора Iq.
Следовательно, ф1-^Х„(ф) есть непрерывное линейное
отображение из Я1/2 (Г) в R. Таким образом, существует g=g{tt)^
^//-1/г(Г)^ такое что
Xu{ip)-=<,g, Ф>. (1.22)
Ясно, что отображение ai-^g^(a) линейно, а ввиду (1.21)
|1ёГ'н-1/2(Г)<С„|!а:|£(£2). (1.23)
Это доказывает, что отображение аi-^g (а)--ууИ непрерывно
действует из Е(Щ в Я-1/2 (Г).

I^ Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Нам осталось лишь доказать (1.18), ибо (1.19) непосредственно
следует из определения у^а.
Лемма 1.3. Для и€й)(^)
у^а = сужению и-\ на Г.
Доказательство. Для таких а и для любых te; ^ ^ (й) (или для
а и W, дважды непрерывно дифференцируемых в Q) имеем
^и(7о^) = \ div (aw)dx= \^w{a-v)(iT
-I г
= J («•v)(7otiy)dr (no формуле Стокса) = <a-v, Y„te;>.
г
Так как для указанных ш следы у,^) образуют плотное
подмножество в //1^2(1"). то формула Xu(ф) = <и■v, ip> верна по
непрерывности для каждого ср^Н^'^ (Г). Сравнивая с (1.22), получаем
Замечание 1.1. Теорема 1.1 не используется явно при доказательстве
теоремы 1.2, но теорема о плотности в сочетании с леммой 1.3 показывает, что
оператор у^ определяется единственным образом, так как известны его
значения на всюду плотном подмножестве.
Замечание 1.2. В действительности оператор yv отображает £ (й) «в Я~'^^^ (Г).
Пусть ф —заданная функция из Н- '^^ (Г), такая что <ф, 1>=0.
Тогда задача Неймана
Лр = 0 в Q,
др р (1.24)
имеет слабое решение р = р (ф) € Л^' (^2). которое единственно с
точностью до аддитивной постоянной (см. Лионе и Мадженес [1]).
Для любого из этих решений р положим a==gradp. Ясно, что
иб£(й) и YvИ = ф• Кроме того, понятно, что существует вектор-
функция По с компонентами из ^^(й), удовлетворяющая
условию Yv«o=l- Поэтому для каждого ij; из //'/^ (Г), записав
^ ^ ' mes Г,.' ^ ^ mes Г ' ^ '
можно определить _2Л«мент и = и(г|з), такой что у^и = \)5, по
формуле
й = gradp(ф)+^и„. . (1.26)
Кроме того, i|;i—»и(г|;) есть непрерывное линейное отображение
из Я~1/2(Г) в Е (Q) (т. е. некоторый оператор поднятия, как
и /а). П

§ 1. Некоторые функциональные пространства 19
Пусть £„ (Q) —замыкание ^(Й) в E(Q). Имеет место
Теорема 1.3. Ядро оператора yv совпадает с Eff{Q).
Доказательство. Если и^Е^ (Й), то по определению этого прост-
рмпства существует последовательность функций tt„€S)(^),
сходящаяся к и ъ E{Q) при т—>оо. Из теоремы 1.2 вытекает, что
Yvttm = 0 и, значит, 7vtt= Vim yyU„ = 0.
Обратно, покажем, что если и ^ Е (Q) иу^и = 0, то и является
пределом в ^(Q) вектор-функций из S>{Q)". Пусть Ф —пропз-
мольиая функция из ®(К") и ср —ее сужение на Q. Так как
7vtt==0, то <7vtt, 7оФ> = 0; это означает, что
S
[div u-(p + a-grad(p]dx=0.
Следовательно,
И потому
div и = div и, (1.27)
где V обозначает функцию, равную о в Й и нулю в Си. Таким
образом, u^EiR").
Рассуждая точно так же, как и при доказательстве теоремы 1.1
(см., в частности, пункты (i) и (ii)), мы можем свести общий
случай к случаю, когда носитель функции и принадлежит одному из
множеств бу ПЙ. Но если и —такая функция, тойб£(К") и а^ои
имеет компактный носитель в 6} для О < >. < 1 (множество 6J
предполагается звездным относительно 0). По лемме 1.1 сужение
Од, о и на 6/ (соотв. й) сходится к й в £(6/) (соотв. в ^(й)) при
X—> 1. Тем самым задача свелась к аппроксимации функции и
с компактным носителем в Й элементами из ^(R"), а это,
очевидно, можно сделать с помощью регуляризации (как и в пункте
(ii) доказательства теоремы 1.1). П
Замечание 1.3. Некоторые частные результаты остаются справедливыми и в слу-
4fie, когда область Q неограничеиа или имеет негладкую границу. Например,
если Mg£(Q), то мы можем определить YvK на каждой ограниченной части Го
границы Г класса ^^ и yvU^H~i/'2 (Га). Если область Q .-ладкая, но
неограниченная или если ее граница состоит из объединения конечного числа
ограниченных (п—1)-мериых многообразий класса ^'^, то y\tt определено
вышеуказанным способом на всей границе Г. Тем не менее обобщенная формула Стокса
(I.I9) в этом случае не имеет места.
Эти результаты можно уточнить, если имеется больше информации о следе
функций из № (Q). Предположим, что выполнены следующие условия:
~ существует оператор yo6-5? (^^ (^)• ^^(Г)), такой что ^оИ = и|г для
Киждого U^S>(Q). Обозначим yo{H^(Q)} через ПЧ^Г);

20 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
— существует оператор поднятия /д6"^ (36^'''(Г), •^М^)), такой что-
Vo о Iq—тождественный оператор; ЗС^/'^ (Г) снабжено нормой, индуцированной у^;
— U—липшицева область.
Тогда все предыдущие результаты могут быть распространены на
рассматриваемый случай. Справедливы теоремы 1.1 и 1.3. Доказательство теоремы 1.2
приводит к определению yv" как некоторого элемента пространства ЭС~^'^(Г),
сопряженного к 9€''2(Г). Имеет р:есто обобщенная формула Стокса (1.19).
/.4, Характеризация пространств Н и V. Напомним
обозначения, введенные в конце п. 1.1;
// — замыкание f^ в L^(Q),
К —замыкание f^ в Hl{Q).
Характеризация градиента распределения. Пусть Q —открытое
множество в R" и р —некоторое распределение на Q, pg®'(Q).
Легко проверить, что для каждого ь^Ч^ мы имеем
л п
<grad р, г»> = 2 <^fP. У;> = — 2 <Р. ^Л> =
= —<р, divt» = 0. (1.28)
Справедливо и обратное утверждение. Это важное свойство можно
доказать, используя следующий глубокий результат де Рама ':
Предложение 1.1. Пусть Q — открытое множество в R" и j ~
— i/i. • ■ •. fn\' fi€®' (^)> '' = 1. .-., п. Для того чтобы
/=gradp (1.29)
' Набросаем контуры этого доказательства, которое лежит в стороне от
основного русла изложения. Рассмотрим
1=1
и формы класса С'" степени п—1 с компактным носителем
п
ti=2 (—I)'u;i«dA:,A...Adj:/_iAdA:,-+iA...AdA:„, и,б®(Й).
(=1
Ясно, что dt> = О тогда и только тогда, когда t> = {^i, ..., t'„} ^ К (т. е. dlv t) = 0)-
Теорема 17' на стр. 154 книги де Рама [1] утверждает, что для/g®'(Й)
тогда и только тогда f—ug, g^S>' {Щ (т. е. fi — Dig, K(<n), когда
</, гг> = 0 для каждой формы v указанного вида. Это эквивалентно
утверждению предложения 1.1 (Ж.-Л. Лионе, личное сообщение).
В замечании 1.9 приведено доказательство предложения 1.1, основание^
на элеменгарных соображениях и предложении 1.2. См. также комментарий
в конце книги.

a. § 1. Некоторые функциональные пространства 21
для некоторого р из S>' (Q), необходимо и достаточно, чтобы
</, ф> = 0 Vve^^^. (1.30)
Этот результат будет в дальнейшем играть существенную роль
при интерпретации вариационной формулировки уравнений Навье—
Стокса и родственных им уравнений.
Приведем теперь ряд других результатов.
Предложение 1.2. Пусть Q — литиицево ограниченное открытое
множество в R".
(i) Если у распределения р все производные первого порядка
DiP, ls^i<n, принадлежат L^iQ), то p^L^{Q) и'
||/D;|iLMQ)/R<c(Q)||gradp|iMQ). (1.31)
(ii) Если у распределения р все первые производные D^p, 1 ^ t ^ п,
принадлежат /^~^(Q), то p^L^{Q) и
1Р h' (fi)/R < с {Q) Ii grad р \\н-^ (Q>. (1.32)
В обоих случаях, если Q — произвольное открытое множество в R",
"10 реЦоАЩ-
Доказательство. Утверждение (i) доказано у Дени и Лионса [1]
для ограниченного звездного открытого множества Q. В нашем
случае из этого результата следует, что р принадлежит L^ на
каждом шаре, содержащемся в Q вместе со своим замыканием, н
на всех множествах 6), определенных после (1.4). Так как
конечный набор этих шаров и множеств 6} покрывает Q, то наше
утверждение доказано.
Утверждение (ii) доказано у Нечаса [2].
Для области, не обладающей никакими свойствами
регулярности, мы применяем уже полученные результаты для каждого
шара, содержащегося в Q вместе со своим замыканием, и
получаем лишь, что р ^ Lfoc (й). □
Замечание 1.4. (i) Объединяя результаты предложений 1.1 и 1.2, мы видим,,
что если /CЯ-M^) (соотв. Ц^ (Q)) и (/, ») = 0 V»€9^' то /=grad р и
/'e^-L(^)■
Если, кроме того, Q—липшицево открытое ограниченное множество, то р€^^ (^)
(соотв. т (Й)).
(ii) Из п. (ii) предложения 1.2 вытекает, что оператор grad осуществляет
изоморфизм L-(Q)/R bH~^{Q); следовательно, образ этого оператора замкнут.
Напомним, что (для ограниченного Q) L^ (Q)/R изоморфно подпространству
в L" (Q), ортогональному константам:
LHQ)/R===ip^L'{Q), J/7(A:)dA: = 0\_
См. (6.12)—другой вариант оценки (1.32).
' Отиоснтельно обозначения L'^ (ii)/R см. п. (ii) замечания 1.4 ниже.—
Прим. ред..

22 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса »
Характеризация пространства Н. Теперь мы можем
следующим образом охарактеризовать Н и Н^ (ортогональное
дополнение к Я в L4^))-
Теорема 1.4. Пусть 0,—липшицево открытое ограниченное мно-
jHcecmeo в R". Тогда
Hi-^{tt^L^{Si), a=gradp, р^Н^{Щ, (1.33)
H={u^L'iSi), div« = 0, Y,« = 0}. (1.34)
Доказательство. (1.33): Пусть й принадлежит пространству в
правой части (1.33). Тогда для всех ю^Ф
(и, V) = (grad p,v) = — (р, div v) = 0; (1.35)
следовательно, а ^ Я-'-. Обратно, Н^ содержится в пространстве
в правой части (1.33). Действительно, если и^Н^, то (й, Z') = 0
yv<^'¥^ и, по предложению 1.1, « = gradp, p^®'(Q). Поэтому
из предложения 1.2 следует, что p^H^{Q).
(1.34): Обозначим пространство в правой части (1.34) через Я'
и докажем, что HdH\ Если и^Н, то и== Ит и^, й^б"^; из
ЭТОЙ сходимости в Z." (Q) вытекает сходимость в смысле теории
распределений; так как дифференцирование является непрерывным
оператором в пространстве распределений и div й„ = О, то div й = 0.
Поскольку divй,л= div и=0, а й^ и й принадлежат £ (Q) и
1; и - й„ \\е (Q) = 11 и - и„ lli^ CQ), (1.36)
то и„ сходится к и в £■ (Q) и Yv« = Ит Yv«m = О (Yv«m=«m• v |г==0
m ->■ 00
Уи^е^^^). Следовательно, и^Н\
Предположим теперь, что Я не совпадает с Я", и пусть Я" —
ортогональное дополнение к Я в Я". В силу (1.33), каждый
элемент и^Н" есть градиент некоторого элемента р^Я^(й); более
того, р удовлетворяет уравнению
Ap = diva = 0, a-v|r = |j|^ = 0, (1.37)
а это означает, что р .есть константа и и = 0; поэтому Я'" = {0}
и Я = Я-. П
Замечание 1.5. В случае когда Q — произвольное открытое множество в R",
-то доказательство равенства (1.33), с небольшими видоизменениями, показывает,
■что
//-L = ]Bgi2(Q), B = gradp, p^Lioc(Q)}. (1.38)
Жсли и неограничено, но удовлетворяет условию (1.4), то
/^-L = {и6^:n^). a=gradp, р^1\о^{Щ\. (1.39)

§ 1. Некоторые функциональные пространства 23;
Теорема 1.5. Пусть Q — открытое ограниченное множество класса
^\ Тогда
1.ЧЙ) = ЯфЯ,ея„ (1.40)
еде Н, Hi, Н^—взаимно-ортогональные пространства,
Н,=^{а^1Ц0), u = gradp, p^H'iQ), Др = 0}, (1.41)
H,=={u£U{Q), u = gradp, р^НКЩ}- (1.42>
ДоказательстЕО. Ясно, что Н^^ и Н^ содержатся в Н-^ и что
любые два из пространств Н, Я, и Яг пересекаются по {0}.
Пространства Hi и Н^ ортогональны; если и = grad p£H^,v — grad q g H^,
TO а^Е{й) и, используя обобщенную формулу Стокса (1.19), мы
получаем, что
(в, V) = (и, grad q) = <у^и, y„q> — (di v в, q)
обращается в нуль, так как yoq—O и div« = A/t7 = 0. Нам
осталось доказать, что произвольный элемент и из L" (й) может быть,
записан в виде суммы элементов «„, Ui, и^ из Н, Н^ Н^. Для
такого и пусть р —единственное решение задачи Дирихле
^p = d\va^H-^{Q), p^Hl(Q).
Возьмем
«2 = grad р. (1.43>
Пусть (7 —решение задачи Неймана
Д'7 = 0, |j|^-Yv(«-gradp). (1.44>
Заметим, что div (и —gradp) = 0, так что и —gradp£E{Q) и
Vv(w —gradp) определено как элемент Н~^-'^{Г), а по формуле-
Стокса (1.19)
<Yv(« —gradp), 1>= 5 div(« —gradp)dA; = 0.
Q
Согласно одному результату Лионса и Мадженеса [1], задача
Неймана (1.44) имеет решение, единственное с точностью до
аддитивной постоянной. Положим
«1 = grad (7, (1.45>
Ио=и —«1 —«2- (1.46>
Нам надо показать, что а„^Н. Но div и„ = div(« —и, —Bj) =»^
м div а — Ар = 0 и
YvBo =- Yv (и — «1 — Иг) = Yv (и—grad уо) — dq/dv = 0. Q

24 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Замечание 1.6. (i) Обозначим через Ри ортогональный проектора L^ (Q) на//;
очевидно, Рн — непрерывный оператор в L^ (Q). На самом деле Рн также
отображает H^ (И) в себя и непрерывен в норме Н^ (Q). Предположим в
доказательстве теоремы 1.5, что и^//^ (й); тогда divBg/Zj(Й)П//^ (Q); И—gradp
принадлежит //'(Q) иуу(и—grad р) принадлежит //^/^(Г). Наконец, мы
заключаем на основании (1.44), что ^^//^(tJ) и
РнИ = и—grad {p + q)^H^ (Й).
Понятно также (см., например, Лионе и Мадженес [1]), что отображения
UI—*-pi—>и—gradpi—*9 непрерывны в соответствующих пространствах, и
мы получаем, что Pff непрерывно действует из //i(Q) в № (U):
II Рна li/,. ,Q, < с (Q) ;| и [|„, ,п) VB € № (й)- (1.47)
В случае когда Q—множество класса 4?''+', г — целое^!, аналогичные
соображения показывают, что если u^H''{Q), то Рf^a^.H'' (^^) и оператор Рн
линеен и непрерывен в норме Я'' (Q):
\\PHa[\„r(Q.,<c{r,Q)\\a\yrfi,,, Vu^H''(Я)- (1.48)
(ii) Одно ортогональное разложение Н (для случая когда Q неодносвязно)
дано в приложении I.
Характеризация пространства V.
Теорема 1.6. Пусть Q — открытое ограниченное липшицево
множество. Тогда
V = {uGHl{Q), div« = 0}. (1.49)
Доказательство. Обозначим через V' пространство в право'й части
(1.49). Ясно, что VcV-; действительно, если и^^. то и = Ити„,
li^Gif^', из этой сходимости в Hl{Q) следует, что divB„ сходится
к div« при т-^оо, и поскольку div«„ = 0, то div« = 0.
Для того чтобы доказать, что V^V', мы покажем, что любая
непрерывная линейная форма L на V', которая обращается в нуль
на V, тождественно равна пулю. Заметим прежде всего, что L
допускает (неединственное) представление вида
^^W = i]<^-,у/>, /,е//-чй). (1.50)
1=1
в самом деле, V- является замкнутым подпространством в Hli^)=
=-[/7Ji(Q)]"; произвольная непрерывная линейная форма на V'
может быть продолжена до непрерывной линейной формы на
Hlip:), а эта форма—того же вида, что и в правой части (1.50).
Далее, распределение 1 = {1-и •••> ^п) принадлежит Я~^(Q) и
</, и>==0 "ivGii^- Ид*'Т1редложений 1.1 и 1.2 следует, что I —
= grad/t7, pgL^ (Q); таким образом,
</,., у..> = <D,.p, v.y = - ip, D/y,.> Vy,. e H\ (Q).
Следовательно, L равно нулю на всём V-, поскольку
п
L(г») = ;i</,., у,.> = — <р, divo> = 0 ^v^V-. П
<=1

§ 1. Некоторые функциональные пространства 2S
Замечание 1.7. (i) Предположим, что Q—ограниченное открытое миожестио,
глобально звездное относительно одной из своих точек, скажем нуля, а также что
o^Q СГ й для каждого \, О < \ < 1, где о^ обозначает, как и прежде,
линейное преобразование xi—*■ А.х. В этом случае мы можем дать более прямее и
более простое доказательство равенства (1.49). Пусть и^К'. Тогда функция
o-^ott принадлежит HUOyQ) и divo^oB = 0. Функция и^, равная с^ои
в Оур. и нулю в QXOj^Q (О < \ < I), лежит в H\(Q) и divB^ равняется
^a^(divB) в Oj^ (fi) и нулю в Q\a^Q; следовательно, divB^ = 0, и^
принадлежит V' и имеет компактный носитель в Q. В таком случае с помощью
регуляризации легко проверить, что u^^V, и так как Uy^ сходится к и в H\(Q)
при \—► 1, то BgV' и V = V".
(ii) Если предположения теоремы 1.6 (о том, что область й ограничена
и лнпшицева) не выполнены, то равенство (1.49) может и не иметь места. Как
и при доказательстве теоремы 1.6, обозначим пространство в правой части
(1.49) через V'. Мы имеем VdV, и неизвестно, будет ли V— V', когда Q
ограничена, но не липшицева. Если Q не ограничена, то, как следует из одного
примера Хейвуда [4], V может отличаться от V'; в действительности, в этом
примере dim(l/7V)=l. У Ладыженской и Солонникова [2] даны примеры
других неограниченных открытых областей Q, таких что d\m{V'VlV) = k, где
k—произвольное целое число.
Замечание 1.8. Наиболее часто в этой книге будут использоваться
предложения 1.1, 1.2 и теоремы 1.6 и (несколько реже) 1.5.
Замечание 1.9. Один результат, более слабый, чем предложение 1.1, но
достаточный для наших последующих целей, может быть доказан другим методе м,
без привлечения теории де Рама (см. фразу перед предложением 1.1).
Предположим, что Q. — липшицева открытая Ограниченная область
в R" и что f£H~^(Q) удовлетворяет условию </, Р> = 0, Vv£f^
(соотв. V). Гогйв/=grad р, где p£L^{Q). (1.51)
Для произвольной открытой области Q с R" имеет место такой же
результат, только p^L^ociQ). (1.52)
Набросаем доказательство этого результата, принадлежащее Тартару |1]
и основанное на предложении 1.2 и замечании 1.4(ii). Понятно, что
существует возрастающая последовательность открытых липшицевых областей
^т (^^/л СГ йдаф]). объединение которых есть Q. Пусть А (соотв. А^)
обозначает оператор gradgif (LЧ^). Н-^ (Q)) (соотв. (^JSiL^iQ^), //"M^m))).
и пусть A*^je(HUQ), LH^)) (соотв. A*^^Je (Hi (Qm)> ЬЦИ„)))-его
сопряженный. Согласно замечанию 1.4(ii), образ оператора А (обозначаемый
через Я (А)) является замкнутым подпространствол в Я~^(Q)■. Из теории
линейных операторов известно, что ортогональное дополнение к кег А*
совпадает с замыканием R (А) и, следовательно, с Я (А); здесь кег Л*—ядро
оператора А*:
кегЛ*={и, BgWj(Q), divB = 0}'.
Аналогичное утверждение имеет место и для А^.
Пусть теперь / удовлетворяет условию из (1.51), и пусть и^кегИщ. Если
и есть функция и, продолженная нулем вне Q^, то u£Ho(Q) и divB =
■=div« = 0. Поскольку И имеет компактный носитель в Q, то, используя
регуляризацию, легко получ_ить, что и является пределом в н1 (Q) элементов
из f^; значит, a^V и </, и>==0. Поэтому сужение / иа Q^ ортогонально
' В теореме 1,6 доказано, что кег А* совпадает с V, но этот результат
еще не был нам известен, когда мы доказывали предложение 1.1.

"26 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
к кег Лт и, следовательно, принадлежит R (Л^), т. е. /—gradp,„ на Q^,
p„gL^(Q^). Так как fi„—возрастающая последовательность областей, то
Pm + t—p„ = const на Qff,; мы можем выбрать Pm+i так, чтобы эта константа
■обращалась в нуль. Тогда /=gradp, p^LfocC^)- Этого уже достаточно для
(1.52). Для доказательства (1.51) (p^L^(Q)) используем тот факт, что Q
локально-звездна (см. п. 1.1). Пусть (IO/)i^i^j—конечное покрытие Г, такое
что б^ = б/П^ звездны для всех /. Если а£Щ{в'Л и diva = 0, то Oj^ou
принадлежит Q для О < \ < I. Как и выше, </, й>=0, а тогда/=grad (/у
в б/- Qf^L^idi)' Qj = P на Qj и р^^Чб/) ДЛя всех /, так что p^L^{Q).
§ 2. Существование и единственность решения
для уравнений Стокса
Уравнения Стокса — это линеаризованная стационарная форма
полных уравнений Навье—Стокса. Мы дадим здесь
вариационную формулировку задачи Стокса, докажем одну теорему суще-
-ствования и единственности, использующую проекционную
теорему, и сделаем ряд замечаний, касающихся случая
неограниченной области и регулярности решений.
2.1. Вариационная формулировка задачи. Пусть Q
—открытая ограниченная область в R" с границей Г и /GL^{Q) —
заданная вектор-функция на Q. Мы ищем вектор-функцию «=(«i, ..., м„),
представляющую скорость жидкости, и скалярную функцию р,
представляющую давление, которые определены в Q и
удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям (где
константа V —кинематический коэффициент вязкости):
— vAa4-gradp=/в Q (v>0), (2.1)
diva = 0 в Q, (2.2)
а = 0 на Г. (2.3)
Если /, й и р —гладкие функции, удовлетворяющие (2.1) —(2.3),
то, умножая (2.1) скалярно на функцию v^f^, мы получаем
(—vAe + gradp, v) = {f, v)\
при интегрировании по частям член (—Дй, V) дает'
S (grad Ui, gradvi) = ((», v)), (2.4)
i=i у.
a член (grad p, v) дает
— {p, div'») = 0;
в результате приходим к равенству
y>jS.tt,v)) = {f,v)Vv^'r>. (2.5)
' См. обозначения, введенные в конце п. 1.1.

§ 2. Существование и единственность решения 27'
Так как каждая часть этого равенства линейно и непрерывно
зависит от V (в топологии ЯЦО)), то оно по непрерывности верно
и для каждого v из У —замыкания f^ в 7/J(Q). Если Q —область
класса ^^, то удовлетворяющая условию (2.3) (гладкая) функция а
принадлежит НЦО) и поэтому, в силу (2.2) и теоремы 1.6, a^V.
Таким образом, мы получили следующее утверждение:
и принадлежит V и удовлетворяет равенству
v{(u,v))^if,v) yfv^V. (2.6)
Обратно, предположим, что и удовлетворяет (2.6), и покажем,,
что тогда и удовлетворяет (2.1) —(2.3) (в некотором смысле).
Поскольку й принадлежит лишь ЯЦЙ), мы имеем меньшую
гладкость, чем ранее, и можем надеяться только на то, что а
удовлетворяет (2.1) —(2.3) в каком-то более слабом, чем классический,
смысле. В действительности из того, что и^НЦЩ, следует, что^
следы Yo"/ 6^ компонент равны нулю в Н'^^^ (Г); из того что а^У,
вытекает (в силу теоремы 1.6), что diva = 0 в смысле теории
распределений; используя (2.6), находим, что
Тогда из предложений 1.1 и 1.2 вытекает существование
распределения pG^.'M-^). такого что
— vls.u—f= — grad р bQ
в смысле теории распределений. Таким образом, доказана
Лемма 2.1. Пусть Q —открытая ограниченная область класса 'ё^.
Тогда следующие условия эквивалентны:
(i) tt^V удовлетворяет (2.6);
(ii) й принадлежит ЯЦО) и удовлетворяет (2.1) —(2.3) в
следующем слабом смысле:
существует p£L^ (Q), такое что — v Ай +
+ gradp=/ в Q в смысле теории
распределений; (2.7)-
diva==0 б Q в смысле теории распределений; (2.8)
7„й = 0. (2.9)
Определение 2.1. Задача „найти функцию U^V,
удовлетворяющую условию (2.6)" называется вариационной формулировкой
задачи (2.1) —(2.3).
Замечание 2.1. Прежде чем изучать сушествование н единственность решения-
,ч(1дачи (2.6), сделаем несколько замечаний.
(i) Вариационная формулировка задачи (2.1) —(2.3) была введена Лерэ
|1—3]. Она сводит классическую задачу (2.1) — (2.3) к нахождению одного
только и; существование р вытекает тогда нз предложения 1.1.
(ii) В случае когда область i^ негладкая или неограниченная, мы имеем
два пространства, которые при доказательстве теоремы 1.6 были обозначены-

28 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
через V и К' и которые могут не совпадать между собой (V С V'; см.
замечание 1.7(П)):
V—замыкание "У^ ъ Н\ (Q),
V = \a^Hl(Q.), divB = 0}.
Поэтому мы можем дать две (возможно, различные) вариационные
формулировки; либо (2.6,i, либо та же ^задача, но с V, замененным на V'. В общем
случае соотношение между V и V, а тем более между этими двумя
вариационными задачами, неизвестно. Соотношение между этими задачами для
некоторых частных случаев изучено в работах: Хейвуд [2], Ладыженская и
Солонников [4j (см. замечание 1.7(ii)).
По техническим причинам, особенно важным в нелинейном случае, мы.всегда
будем иметь дело с пространством V и рассматривать только вариационную
задачу (2.6).
В качестве дополнения к лемме 2.1 заметим, что для произвольной
области Q, если и удовлетворяет (2.6) (или (2.6) с V, замененным на V'), то оно
удовлетворяет (2.7), с тем лишь ограничением, что p^Liot (Q), удовлетворяет
(2.8) без каких-либо оговорок и удовлетворяет (2.9) в том смысле, что BgffJ(Q);
более точное толкование этого смысла зависит от теорем о следе, имеющих
место для Q.
2.2. Проекционная теорема. Пусть Q —произвольная
открытая область в R", удовлетворяющая условию
Q ограничена в некотором направлении. (2.10)
Согласно (1.10), ЯЦЙ) —гильбертово пространство со скалярным
произведением (2.4); 1^ определено в (1.12); У —замыкание 1^
в ЯЦО).
Теорема 2.1. Для произвольной открытой области QciR",
ограниченной в некотором направлении, и для каждого f ^ U {Q) задача
(2.6) имеет единственное решение и. (Результат остается верным,
если f € Н~^ (Q).) Более того, cyui^ecmeyem функция р g L'for (й),
такая что выполнены (2.7) —(2.9).
Если Q.— открытая ограниченная область класса 5»^, то р^ ^-Ч^)
и для и и р выполнены (2.7) —(2.9).
Эта теорема является простым следствием предыдущей леммы
' и следующей классической проекционной теоремы.
Теорема 2.2. Пусть W —сепарабельное вещественное
гильбертово пространство (с нормой \,-lw), и пусть а {и, V)—непрерывная
билинейная форма на WxW, которая коэрцитивна, т. е.
существует ее > О, такое чщо
а {и, a)-~^a[uh VaeW7. (2.11)
Тогда для каждого I из W — пространства, сопряженного к W,—
существует один и только один элемент u^W, такой что
а (а, v) = <l, vy Vv^W. (2.12)
, Применяя эту теорему к (2.6), мы, конечно, берем в качестве
W пространство V, снабженное нормой, ассоциированной с (2.4),.

§ 2. Существование и единственность решения 29
полагаем а(й, v) = v((a, v)) и в качестве Vi-^*'<Z, v> берем форму
V<-*{/, v), которая, очевидно, линейна и непрерывна на V.
Пространство V сепарабельно как замкнутое подпространство сепара-
бельного пространства HI (Q).
Доказательство теоремы 2.2. Единственность. Пусть Ui и и^—
Лиа решения уравнения (2.12), и пусть и = й, — »2. Имеем
а («1, v) = a («2, v) = </, v> Vz» g U7,
а{и,-и.„ v) = 0 Vv£W.
Положив v = u в последнем равенстве, заключаем на основании
(2.11), что
cc||«|iV^fl(a, й) = 0
II, следовательно, й = 0.
Существование. Так как U7 сепарабельно, то существует
последовательность элементов Wi, w^, ..., а;„, ... из IF, которые
лпиейно-независимы и порождают всюду плотное подпростран-
стио в W. Пусть 1^„ —пространство, натянутое на Wi, ..., W^.
Лля каждого фиксированного целого т определим приближенное
решение уравнения (2.12) в W^ как вектор «„б^т-
m
«.= 2^/.л-. ^/..ек, (2.13)
(=1
удовлетворяюш,ий условию
a{u„,v)--=<t,vyWv£W,„. (2.14)
Покажем, что суш,ествует один и только один элемент й^, такой
что (2.14) имеет место. Уравнение (2.14) эквивалентно системе т
уравнений
а{и„, Wj) = {l, w^>, /=1, ...,m; (2.15)
(2.15)—это линейная система т уравнений для т компонент
t/,« вектора и„:
т
^^,^^{^1, Wj) = <l, Wj>, /=1, ...,m. (2.16)
Существование и единственность й,„ будут доказаны, если мы
||(1К(1жем, что линейная система (2.16) невырожденна. Для того
'||ч»бы это показать, достаточно установить, что однородная линей-
имн система, ассоциированная с (2.16), т. е.
т
^lia(Wi, ОТ/) = 0, / = 1, .... т, (2.17)
«tMi4«T только одно решение Si= ... =g„ = 0. Но если ^j, ..., |„
у;<иилетворяют (2.17), то, умножая каждое уравнение (2.17) на

30 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса ;
соответствующее £/ и суммируя эти уравнения, мы получим
или, с учетом билинейности а,
/ т т \
Используя (2.11), находим, что
т
1=1
откуда вытекает, что ?„ =...=£„=^0, поскольку от^ w„
линейно-независимы.
Переход к пределу. Полагая v = tt„ в (2.14), мы получаем
а(й,, aj = </, й„>. (2.18)
Отсюда, в силу (2.11), следует, что
^]\ttjy<a(a„, »J = </, й„><||/||г-||и„||г,
\\uJiw<-^\\iyr, (2.19),
это доказывает, что последовательность и„ ограничена в W. Так
как замкнутые шары в гильбертовом пространстве слабо
компактны, то найдутся элемент и из W и подпоследовательность
Um', т'-'—*-оо, последовательности й„, такие что
Вш' —* и при т' -^ оо в слабой топологии W. (2,20)
Пусть V —произвольный фиксированный элемент из Wj для
некоторого /. Для всех т' ^ / мы имеем v^ W^, и, согласно (2.14),
а{а.п„ v) = <l, vy.
Используя доказываемую ниже лемму, мы можем перейти в этом
уравнении к пределу при т'- —*■ оо к получить
fl(»,'Р) = </, ■г'>. (2.21)
^' 00
Равенство (2.21) сд1раведливо для каждого v^^Wj, а так каи
это множество плотно в W, то равенство (2.21) справедливо по
непрерывности для всех v из W. Этим доказано, что и является
решением уравнения (2.12). □
Лемма 2.2. Пусть а {и, v) —непрерывная билинейная форма на
гильбертовом пространстве W. Пусть ц>^ {соотв. ^•^) — последо-
еательность элементов из W, которая сходится к ц> {соотв. к ^)

§ 2. Существование и единственность решения 31
в слабой (соотв. в сильной) топологии W. Тогда
lima(t|:„, ф„) = а(г|:, ф), (2.22)
Ита(ф„, Ч^„) = а(Ф, -ф). (2.23)
Доказательство. Запишем
«{^™. Фт)-а(^. Ф) = й(^т-^. ФЛ-а(^. Ф^-ф).
Так как форма а непрерывна, а последовательность ф„
ограничена, то
I^C^^--*. Фи,)Кс||'Ф„-'Ф||и.||ф„:|и'<с'||'Ф„-'Ф||иг;
правая часть стремится к О при /п—<-оо. Заметим теперь, что
линейный функционал 'Оь-*а{^, v) непрерывен на W и,
следовательно, существует элемент из W, зависящий от г|5 (обозначим
его через А (i|:)), удовлетворяющий условию
а(г|:, г)) = <Л(г|5), щ> V©eH7. (2.24)
Мы можем написать
«(^. Фш —Ф) = <^(^). Фи —Ф>-
Правая часть этого равенства стремится к О при т-^оо, так
как последовательность ф,„ слабо сходится. Итак, (2.22) доказано.
Для доказательства (2.23) достаточно применить (2.22) к
билинейной форме а*(и, v) = a{v, и). П
Замечание 2.2. (i) Теорема 2.1 верна также, если /G//~^(i2).
(ii) Можно показать, что сама последовательность {Um}, построенная при
доказательстве теоремы 2.2, сходится к решению а уравнения (2.12) в
сильной топологии W. Мы не будем здесь доказывать этот результат, так как он
окажется следствием теоремы 3.1
(iii) Используя линейный функционал А (г|)), введенный при доказательстве
леммы 2.2 (см. (2.24)), можно записать уравнение (2.12) в виде
<А(а), t» = </, v>,
или, эквивалентно, в виде
Д(а) = / в Г'. (2.25)
Другое классическое доказательство проекционной теоремы состоит в
проверке того, что оператор а^—^А(и) осуществляет изоморфизм W на Я7', см.
Темам [8]. _ ,
Вариационное свойство.
Предложение 2.1. Решение и задачи (2.6) является единственным
элементом из V, таким что
E{u)^Eiv)yveV, (2.26)
E{v)='v\\vf-2(f, V). (2.27)

32 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Доказательство. Пусть и — решение задачи (2.6). Тогда,
поскольку [и —"01(^^0 VtJgl/, мы имеем
vluf + vfvf-2v{(u, v))^0. (2.28)
Но, в силу (2.6),-v|la|p = v|!a|;2-2(/, и) = Е{и),
—2v((«, v)) — —2{f, v)i так что (2.28) в точности дает (2.26).
Обратно, если a^V удовлетворяет (2.26), то для любых
v^V и K^R. мы имеем Е(и) ^Е{u + Kv). Отсюда можно
вывести, что
у>К^ IIV f + 2kv ((и, V)) — 2К (/, V) > О VX б К. (2.29)
Это неравенство может иметь место для любого л g 5? только
тогда, когда V ((и, V)) == (/, V), т. е. и и в самом деле есть решение
задачи (2.6). Q
Замечание 2.3. Если пространства V и V' из замечания 2.1 различны, то
теорема 2.2 дает также сушествование и единственность элемента н^'/',
такого что
v((a, »)) = (/, t>) v»6K'. (2.30)
Предл()жение 2.1 остается справедливым, если и и V заменить на и и I/'.
2.3. Случай неограниченной области. Д\ы рассмотрим здесь
случай, когда область Q неограничена и не удовлетворяет (2.10).
В этом случае, даже при условии что Q —область класса ^^,
задача (2.1) —(2.3) уже не эквивалентна задаче (2.6) (ср. с
леммой 2.1). Причиной этого является то, что если и —
классическое решение задачи (2.1)—(2.3-, то без дополнительной
информации относительно поведения и на бесконечности не ясно,
принадлежит ли и пространству //' (Q); поэтому возможно, что
U^V VI равенство (2.5) нельзя продолжить по непрерывности на
V, замыкание f^. Кроме того, возникают трудности при попытке
решить задачу (2.6) непосредственным применением теоремы 2.2:
предположение (2.11) не выполнено, ибо V — гильбертово
пространство с нормой
М=У/ир4-^а|Р,
которая не эквивалентна нррме [м|!, поскольку мы лишены теперь
неравенства Пуанкаре.
Для того чтобы сформулировать и решить вариационную
задачу в обш,ем случае, введем пространство
У —пополнение Т^ в норме ||-||. (2.31)
Так как ||и|К|[а|, то ясно, что Y шире, чем V:
VcY. (2.32)

§ 2. Существование и единственность решения 33
Лемма 2.3. Для п^З
Y<=\u^L'^(Q), DiU^L'{Q), l<t<n}, (2.33)
где а = 2п/{п — 2). Для п~2
Ус{абг-Ро<(Й), D,«6LM^), ' = 1, 2} Va>l. (2.34)
Эти вложения непрерывны.
Доказательство. Вложение (2.33) следует из неравенства Соболева
(см. Соболев [1], Лионе [1], а также гл. II)
lkI|i«(Q)<c(a, n)|lgгadф||^.«,0) Уфбй)(0), (2.35)
где а = 2п/(п —2). Если tt^Y, то существует последовательность
элементов и^^'Р, сходящаяся к и в Y; в силу (2.35),
II«»,-«plU«(Q) <с'(а, «)||а„-ар||,
\\u„~u,\\z<.(f'\\u„-u^\\, (2.36)
где Z обозначает пространство в правой части вложения (2.33) и
I'lz—естественная норма в Z:
|«ik = |laiU«(Q) + ||a||.
При т н р, стремящихся к бесконечности, правая часть (2.36)
стремится к 0. Значит, и„ есть последовательность Коши в Z;
ее предел и принадлежит Z. Ясно также, что ||а||^г^с"||и|, с той
же константой с", что и в (2.36) {с"=с"(п)).
Вложение (2.34) доказывается аналогично (надо рассмотреть
последовательности Коши в L^ (й'), где й' — компактное
подмножество в й).
Теорема 2.3. Пусть О, — произвольная открытая область в 5?", и
пусть/ принадлежит Y' — пространству, сопряженному к Y из
(2.31). Тогда существует единственный элемент «^ Y, такой что
v((a. ©)) = </. v> Vc^y. (2.37)
Далее, существует p^L'U (Q), такое что удовлетворяется (2.7)
и Справедливо (2.8).
Доказательство. Применив теорему 2.2 к случаю, когда W==Y,
а{и, v)=v((u, V)) и /==/, получим единственный элемент и,
удовлетворяющий (2.37). Далее, из замечания 1.4 (г.) следует
существование р^Цос{^), для которого удовлетворяется (2.7);
справедливость (2.8) проверяется без труда. Наконец (2.9)
удовлетворяется в некотором смысле, зависящем от того, какая
теорема о следе выполняется для Y (или для пространства Z из
правой части вложений (2.33) и (2.34)). П
Если область Q локально-липшицева, то, как показывает
предложение 1.2, p^Lioa{Q),
2 р. Темам

34 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Замечание 2.4. По лемме 2.3, для/бЛ«'(П) (1/а+!/«'== О
»—>^/-»dx (2.38)
й
есть непрерывная линейная форма на К. Поэтому в теореме 2.3 можно взять
любое/gLa'(Q) (a=-2n/(n —2), П5з3).
2.-^. Неоднородная задача Стокса. Рассмотрим теперь
неоднородную задачу Стокса.
Теорема 2.4. Пусть О, —открытая ограниченная область класса
^■2 в К". Пусть заданы f^H-^'{Q), g^L^Q), ^feH^'ЦT), такие
что
lgdx=^\^-vdT. (2.39)
а г
Тогда существуют
a6№(Q), peL^Q),
являющиеся решением неоднородной задачи Стокса
—vA« + gradp=/б Q, (2.40)
d\wa = geQ, (2.41)
ТоИ = Ф. т. е. и = ц> на Г, (2.42)
причем н единственно, а р единственно с точностью до
аддитивной постоянной.
Доказательство. Так как Я*'^ (Г) = y^fP (Q), то существует
itf,^H^{Q), такое что УоКо"Ф- Тогда, в силу (2.39) и формулы
Стокса,
] (§■ —div«o) с1д; = 0.
Применяя доказываемую ниже лемму 2.4, мы заключаем, что
существует элемент щ^Щ{Щ, такой что divKi = g—div «„.
Полагая г) = а —»o~Wi, сводим (2.40)-~ (2.42) к однородной
задаче Стокса для v.
—vA© +gradp^f-v^{щ + Ui)е //-' (Й),
divщ =0 в й_^*"*
щ==0 на 5Q.
Отсюда следуют существование и единственность щ и р (а
значит, и и р). П
Лемма 2.4. Пусть О. ~ липшицева открытая ограниченная область
в R". Тогда оператор div отображает Щ{Щ на L?(Q)/IR, m. е.

§2. Существование и единственность решения 35
на пространство
{g^[J{Q),lgix)dx=0}. (2.43)
п
Доказательство. Согласно предложению 1.2 и замечанию 1.4 (ii),
оператор Л =grad g^(L''(Q), Я~^(Q)) осуществляет изоморфизм
пространства (2.43) на свой образ R (Л). При помощи
транспонирования ' получаем, что его сопряженный А* = —div g^(Wi(,Q),
/J(Q)) осуществляет изоморфизм ортогона.'лгаго дополнения к'
R (А) на пространство (2,43); в частности, А* отображает Щ (й)
на IJ(QW. П
Замечание 2.5. Теорема 2.4 легко распространяется на случай, когда Q
является лишь лиишицевой открытой ограниченной областью в R", прн условии
что ф представляет собой след некоторой функции (р^из H^(Q) и (2.39), (2.42)
понимаются в следующем смысле:
\^gdx={ciivq)odx, (2.39')
Q у
U~q>o^HUQ). (2.42')
Мы просто берем «о=(ро-
2.5. Результаты о регулярности. Классическим результатом
для задачи Дирихле —A^u + U=f является тот факт, что
решение u^Hiiil) принадлежит W'"+?(Q), как только f^H"'(Q) (и
Q достаточно гладка). Естественно возникает вопрос, имеют ли
место аналогичные утверждения о регулярности для задачи Стокса.
Этот результат и аналогичный результат для L^-пространств
даются следующим предложением.
Предложение 2.2. Пусть Q —открытая ограниченная область
класса 'ё'', г = max (m + 2,2), m — целое > 0. Предположим, что
и б W' " (Q), p^W'-''^ (Й), К а < + оо (2.44)
— решение обобщенной задачи Стокса (2.40) —(2.42);
—vAtt-f gradp=/б Q, (2.40)
Aivu = geQ, (2.41)
7о« = ф, т. е. u = if на Г. (2.42)
Если/£}¥'"•'^{Q), g^W"'*'-"^^) и (peW'»+?-^''«>"(r), 2
то
йб W'"+ba(Q), pelF'"+i'«(fi) (2.45)
/ См. Лионе и Мадженес [1].—Прим. перев.
2 Пространство iV^+^-i/»-« (Г) = уо№""+"'" (Q) снабжено нормой
1|г1)||1У""+2-1/"'"(Г)= in[ \\a\\w"'*^'"'(Q).
2*

36 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
и существует константа Сд (а, v, т, Q), такая что
||w|jw« + 2, а (£>) + ! pfw"*'. а (П)/К ^Со {ii/ilw". ай +
+ |!Я||и'л + ',а(й) +]fphv'n+2-,/a.a (Г) + da li «ill.a (й)^ (2.46)
где da = О для а > 2, d^ = 1 Зля 1 < а < 2.
Доказательство. Это предложение вытекает из результатов статьи
Агмона, Дуглиса и Нирепберга [2], которая при дальнейших
ссылках будет обозначаться через АДН, где даны априорные
оценки решений общих эллиптических систем.
Пусть a„+i = (l/v)p, « = («1, ...,u„+i),f = {fi/v,...,fjv,g).
Тогда уравнения (2.42) и (2.43) примут вид
^lu{D)uj^f,., l<f<n+l, (2.47)
/=i
где /,-/(5), ? = (?! In)€'^" есть матрица, задаваемая
следующим образом:
'„..-./(5) = -//.„+! (?)=£/, l</<«, (2.48)
'n+i, «+1 (s) = 0,
Возьмем (см. АДН, с. 38) Si = 0, ^,- = 2, It^t^n, s„^i = —1,
/„+.1 = 1. Как и требуется, deg/,.,-(^Xs,4-^у. 1<«, /<« + 1. и
'И1)=^7©- Нетрудно вычислить, что L (|) = det Z;7(s) = |5p",
так что 1{^)Ф0 для вещественных Е:#=0, а это обеспечивает
эллиптичность системы (АДН, условие (1.5) на стр. 39). Ясно,
что условие (1.7) на стр. 39 справедливо с m = n. Условие на L
также выполнено: L(c-i-f^') = 0 имеет ровно п корней с
положительной мнимой частью, и эти корни все равны
Что же касается граничных условий (см. стр. 42), то имеется
п граничных условий и
^л/ = ^л/('^и'^'волКронекера) для Is^ft^n, 1:^/^п+1.
Положим Гд = —2 для"Л=1, ..., п. Тогда, как и требуется,
degBft/^r^ + ^z, и му.-ймеем ^й/ = Вд/- Остается проверить
условия дополнительности. Легко видеть, что
Л1+(?) = (т-т+(?))«,
N
где т+(|) = т+(|, V). Матрица с элементами S^л/(5) ^''* (^) есть
просто матрица с элементами 1^^&^ ^^h, k^n, —/^ „+i(S),

§ 2. Существование и единственность решения 37
l^h^ti. Тогда линейная комбинация 2^^ '^B^jW' равна
(Q(g+Tv)^ c„(s+тv)^ 2c,-(g, + Tv,)),
а это равно нулю по модулю М*, только если Ci = ...=C„ = 0.
Таким образом, условие дополнительно выполнено.
Теперь применим теорему 10.5 из АДН, стр. 78. В результате
получим (2.45) и (2.46) с ^„=1 для всех а. Согласно замечанию
после теоремы 10.5, можно взять da == О для а ^ 2, поскольку
решение и, р из (2.41)—(2.42) необходимо единственно (р единственно с
точностью до аддитивной постоянной): если (и«, р«), (и««, р«,) —два
решения, то и = и, —и^„ р = р« — р*« —решение задачи (2.7) —
(2.9) с/ = 0 и, следовательно, й = 0 и р = const. Q
Замечание 2.6. Для а = 2 и m^R, m^—1 имеют место результаты,
аналогичные предложению 2.2. Для доказательства надо использовать
интерполяционные методы, см. Лионе и Маджепес [Ij.
Предложение 2.2 не утверждает существования в, р, удовлетворяющих
(2.45), (2.46) (для заданных /, g, ср), а дает только результат о регулярности
возможных решений. Существование решений обеспечивается теоремами 2.1 и
2.4, если а = 2. Следующее предложение дает общий результат о
существовании и регулярности решения для « = 2 или 3.
Предложение 2.3. Пусть Q, — открытая область в R", п = 2 или 3,
класса ^'', г =тах (т4-2, 2), т —целое ^—1, и пусть заданы
/gW'"'«(Q), gfg W""+i-a(Q), фе\У'"+'--1/'^'='(Г), удовлетворяющие
условию согласования
I gdx-^lip-vdV. (2.49)
Тогда существуют единственные функции и и р (р единственно о
точностью до аддитивной постоянной), являющиеся решением
задачи (2.40)—(2.42) и удовлетворяющие (2.45) и (2.46) с da = 0 для
всех а, 1 <а <сю.
Доказательство. Этот результат о суш,ествовании и регулярности
не следует полностью из теории Агмона — Дуглиса — Ниренберга
[1], что и является причиной ограничения размерности
пространства случаем п = 2 или 3. Предложение 2.3 полностью
доказано в статье Каттабриги [1] для случая п — 3 (и даже для
т = —1). Для п = 2 задачу можно свести к классической бигар-
монической задаче. Существует функция щ^ W'"+2.«(Q), такая что
div»=g, (2.50)
у„щ = ф. (2.51)

38 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Такая функция v может быть определена формулой
где 9 G \Г'"+3'" (Q) —решение задачи Неймана
AO = g в Й, (2.53)
|£ = ^.v на Г, (2.54)
а функция а^ Ц7'"+8, ос(й) будет выбрана позже.
Задача Неймана (2.53)—(2.54) имеет хотя бы одно решение 9,
так как выполнено (2.49), а используя стандартные результаты
о регулярности для задачи Неймана, легко видеть, что9 ^ U7'«+s, «(Q).
Условия на а определяются исключительно граничными
условиями на Г и имеют вид
^ (=танге]1циальная производная ота) = 0,
до , , ае
^ ( = нормальная производная от а) = ф-т — -^ .
Поскольку ф-т —ае/атб \Г'"+2-1'''^''^(Г), существует об 1?7'"-'3'«(Г)
0 700 = 0, Yi0' = 9-T —йО/йт. При таком определении а и О вектор г)
в (2.52) принадлежит W'™+2. ='(й) и удовлетворяет (2.50)—(2.51).
Кроме того, отображение \g,^\^-^'0 линейно и непрерывно.
Если положить w = u — v, то задача (2.40)—(2.42) сводится
к задаче о нахождении w б Ж™*^' '^ (Q), р ^ H7'»+i' " (й), таких что
- ^^W + grad р =/' ,/'=/+ v^V, (2.55)
divw-O, (2.56)
y„w = 0. (2.57)
Есл'1 область Q односвязна, то, согласно (2.56), существует
такая функция р, что
w^{D,p,~DiP). (2.58)
Условие (2.57) сводится к условию р = др/дх — 0 на Г, и (2.55)
дает после дифференцирования —vA(D2«>i — Z)i«>2) = £>2/i — ^i/2-
Таким образом, мы поручаем
vA^p = D,n -ргП G W™-^' ° (Q), (2.59)
Р = 0,% = ОпаТ. (2.60)
Бигармоническая задача (2.59), (2.60) имеет единственное решение
p^W'"*^'"-{Q), а функция W, определенная посредством (2.58),
является решением задачи (2.55)—(2.57) и принадлежит W™+^' =" (Q).
Если Q пеодносвязна (рис. 2), то условие (2.56) позволяет нам
получить (2.58) лишь локально, т. е. р может и не быть одно-

§ 2. Существование и единственность решения 39
значной функцией. Однако, используя (2.57) и доказываемую
ниже лемму, можно показать, что р необходимо будет
однозначной функцией, удовлетворяющей условиям
р = 0 на Гц, р = const на Г,-, t = l,2 (2.61)
|В = ОнаГ, (2.62)
где Г = Г„иГ1иГа... — разложение dQ на связные компоненты,
Г„^одна из этих компонент (например, внешняя граница й,
если Q ограничена), а Г^, Г^, ... —остальные компоненты. Тогда
Рис. 2.
задача (2.55)—(2.57) сводится к уравнению (2.59) (относительно р)
с граничными условиями (2.61)—(2.62). Как и прежде, бигармо-
ническая задача (2.59), (2.61), (2.62) имеет единственное решение
p^W'"*^'°^{Q), и функция W, определенная посредством (2.58),
является решением задачи (2.55)—(2.57) и принадлежит
W'«+''-"(Q). П
Лемма 2.5. Предположим, что вектор-функция «>gWJ'^(Q) соле-
ноидальна (й — открытая область в 5?^). Тогда существует
единственная однозначная функция р g W'^' ^ (й), которая удовлетворяет
условиям (2.61), (2.62) и
w = {D,p,—D,p). (2.63)
Доказательство. Докажем этот результат для гладких функций w.
Затем его можно распространить на общий случай, используя
соображения плотности.
Пусть Г„, Г]^, Гз, ... обозначают связные компоненты
границы Г = 5Й. Произведем гладкие разрезы S в й (рис. 2), такие
что Q = SUQ, где й — односвязное открытое множество. Тогда для
данной гладкой функции w существует функция р, такая что
(2.63) выполняется в Q. Ясно, что р —гладкая функция в
замыкании Q, а поскольку w = 0 на Й2, то gradp равен нулю на dii,
так что р постоянна на каждом Г,- и др/д\ равно нулю на dQ.

40 Гл. I. Стационарные уравнения Стскса
Мы сделаем р единственной с помощью выбора значения р на Т^:
р-=0 на Г(,.
Пусть теперь р± обозначает значения р на 2+ и 2]-~Д°У^
сторонах 2- Д'^'' произвольной функции W они могут быть
различными, но если w равно нулю на с^ и р постоянна на
каждом Г,-, то они должны быть одинаковыми. Действительно, если
М±, Р± — две точки на 2±, M±^dQ, то мы имеем
р(Я+) —p(Af^.)= е wdx=. f wdx
= Р(^-)-р(Л1-),
и поскольку p(Af+ ) = р(Л1 _), мы видим, чтор(Р+) = р(Я_) на 2- П
2.6. Собственные функции для задачи Стокса. Пусть О.—
произвольная ограниченная область в R". Отображен не Л:/H^(l/v)a,
определяемое теоремой 2.1, очевидно, линейно и непр.ерывно
действует из L^(Q)b у и, следовательно, в//J (й). Так как Q
ограничена, то естественное вложение Hl{Q) в L'^(S) компактно'
и, следовательно, Л, рассматриваемый как линейный оператор
в L^{Q), компактен. Этот оператор также самосопряжен, ибо
(ЛЛ,/г) = v((а 1, «,))=(/(, Л/з), где Л/,. =.-«,., i=l,2.
Следовательно, оператор Л обладает ортонормированной
последовательностью собственных функций w/. AWj — 'kjWj, /^1, ^^/> О,
?1у -н- 4- оо, / -+ + сю:
Wj 6 V, {{W,; V)) = 'kj {Wj, V) V© б V. (2.64)
Как обычно,
{{w,;W,)) = X,8,., V/, k. (2-65)
Используя опять теорему 2.1, мы можем интерпретировать (2.64)
следующим образом: для каждого / существует р, б iL (^)» такое
что
— \AWj + grad Ру = XjWj в Q,
d\\Wf = 0 в Q, (2.66)
y„Wj==0 на Г.
Если Q — липшицева'Область, то pf^L''{Q), в силу
предложения 1.2. Если Q —о.бласть класса ^™ (т—целое ^2), то
повторное применениег*"предложения 2.2 показывает, что
Wj 6 Я™ (Q), р, 6 //"-^ (Й) V; > 1. (2.67)
Если Q — область класса 'ё"', то, ввиду (2.65),
и>уб^~(^), P/6i?"(^) V/> 1. (2.68)
' Теоремы о компактности в пространствах Соболева напоминаются в
гл. II, § 1.

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (!) 41
§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I)
В п. 3.1 мы рассмотрим общее понятие аппроксимации
нормированного пространства, а в п. 3.2 приведем одну общую
теорему сходимости для аппроксимации общей вариационной задачи.
Последний пункт, а также весь § 4 посвящены описанию
некоторых конкретных аппроксимаций основного для уравнений
Навье — Стокса пространства V. Мы дадим соответствующие
численные схемы для уравнений Стокса и затем применим к этому
случаю общую теорему сходимости.
В п. 3.3 рассматривается метод конечных разностей. Методами
конечных элементов мы займемся в следующем параграфе
(пп. 4.1—4.5).
Вводимые ниже аппроксимации пространства V будут
использоваться на протяжении всех последующих глав; они будут
обозначаться через (АПР1), (АПР2), ...
3.1. Аппроксимация нормированного пространства. При
использовании вычислительных методов некое нормированное,
пространство W должно быть аппроксимировано семейством
(^л)йбЖ нормированных пространств W^. Множество индексов Jtf
зависит от типа рассматриваемой аппроксимации; ниже мы
рассмотрим основные имеющиеся здесь случаи: ^ = Н (положитель-
п
ные целые числа) для метода Галёркина; ^=11(0, /i°] для ме-
тода конечных разностей; Ж= множеству триангуляции области Q
для методов конечных элементов. Знать точный вид Ж нет
необходимости; достаточно знать, что на Ж существует некоторый
фильтр, с тем чтобы можно было переходить к пределу по этому
фильтру. Для простоты мы всегда будем говорить о предельном
переходе „при /i—^-0", хотя, строго говоря, эта терминология
корректна только для случая конечных разностей; все
определения и результаты легко могут быть перенесены на другие случаи.
Определение 3.1. Внутренняя аппроксимация нормированного
векторного пространства W — это некоторое семейство троек
Wh^ Ph' '■?.}. h^^, где
(i) Й7^ —нормированное векторное пространство;
(ii) Рд—линейный непрерывный оператор из W/^ в W;
(iii) Гд —оператор (возможно, нелинейный) из 1^ в W^.
Естественный способ сравнения элемента u^W и элемента
«ft G ^\ заключается либо в сравнении p/^U/, и и в W, либо
в сравнении % н Г/^и в W/^. Первая точка зрения, конечно, более
привлекательна, так как мы производим сравнение в
фиксированном пространстве. Тем не менее и сравнение в И7^ также может
оказаться полезным.
Другой путь сравнения ц и Ид заключается в следующем:
сравнивается некий образ соц элемента и в каком-либо другом

42 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
пространстве F с неким образом рдИ/, элемента и^ъ F (см. рис.3).
Это приводит к понятию внешней аппроксимации пространства W,
включающем в себя понятие внутренней аппроксимации как
частный случай.
Определение 3.2. Внешняя аппроксимация нормированного
пространства 1У—это пара, состоящая из
(i) некоторого нормированного пространства F и
изоморфизма со пространства W в F;
(и) семейства троек {И7^, рд, rf^\hese, где для каждого h
Ц7д —нормированное пространство;
/J/J —непрерывное линейное отображение из И7^ в F;
Гд —отображение (возможно, нелинейное) из 1^ в И7^.
В случае когда F=W и ю — тождественное отображение, мы,
конечно, получаем внутреннюю аппроксимацию пространства W.
Всё последующее легко конкретизировать для этого частного
случая.
Чаще всего W^—конечномерные пространства; операторы р^
довольно часто инъективны. Иногда операторы Г/, линейны (на
всём W или на некотором его подпространстве), однако нет нужды
налагать это требование в общем случае; мы не будем также
требовать непрерывности г^.
Операторы р^ и г^ называются соответственно операторами
продолжения и сужения. Если пространства W и F гильбертовы
и все пространства Wf^ тоже гильбертовы, то аппроксимацию
называют гильбертовой.
Определение 3.3. Для заданных h^^, u^W, Ид € 1Ул назовем
(i) \\<аи — pfiUfy''у— невязкой между и а и,,,
(ii) !1и« —/'ft^liy^^ — (дискретной невязкой между и и и^,
(iii) Цаи—p^rf^afp'*^ошибкой аппроксимации для и.
Определим теперь устойчивые и сходящиеся аппроксимации.
Определение 3.4. Скажем, что операторы продолжения р/,
устойчивы, если их нормы
\РН,= sup llphUhF

§3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 43
ограничены равномерно по h. Скажем, что аппроксимация
пространства W устойчива, если устойчивы операторы продолжения.
Теперь посмотрим, что происходит „при h—>-0".
Определение 3.5. Будем говорить, что семейство % сильно
(соотв. слабо) сходится к а, если PhUfi сходится к сои при ft —* О
в сильной (соотв. слабой) топологии F. Будем говорить, что
семейство tt/, дискретно сходится к и если
iim \\и^-'Г/,и[^ =0.
й -> о "
Определение 3.6. Будем называть внешнюю аппроксимацию
нормированного пространства W сходяи^ейся, если выполнены
следующие два условия:
(С1) для всех tt^W
Iim р,,Г/^и = (ли (в сильной топологии F)\
ft->0
(С2) для каждой последовательности Uh' элементов Wh' (ft' —»- 0),
такой что ph'Uh- сходится к некоторому элементу ц> в слабой
топологии F, мы имеем (f^aW, т. е. ф = сйи для некоторого u^W.
Замечание 3.1. В случае когда со сюръективно, в частности в случае
внутренней аппроксимации, условие (С2) выполняется автоматически.
Следующее предложение показывает, что условие (С1) можно
до некоторой степени ослабить, и для внутренней, и для внешней
аппроксимаций.
Предложение 3.1. Пусть дана устойчивая внешняя аппроксимация
пространства W, сходящаяся в следующем ограниченном смысле:
операторы г^ определены лишь на некотором плотном
подмножестве W в W и условие (С1) из определения 3.6. должно
выполняться только для и, принадлежащих W {условие (С2) остается
прежним). Тогда можно продолжить операторы сужения г^ на
всё пространство W так, что условие (С1) будет справедливо для
каждого u^W и, следовательно, аппроксимация пространства W
будет устойчивой и сходящейся уже без каких-либо ограничений.
Доказательство. Пусть u^W, u^W; нам надо каким-то образом
определить r/^u^Wfj для всякого ft так, чтобы р1^Г/^и—*(ли при
ft —> 0. Элемент й можно аппроксимировать элементами из W',
которые в свою очередь могут быть аппроксимированы элементами
из пространства PhW/i', нам нужно только подходящим образом
объединить эти две аппроксимации. Для каждого целого п ^ 1
существует u„^W', такое что \\u^-—a\\w^l/n и, следовательно,
;|СОИ„ — СйМ,|/7^Со/п, (3.1)
где б'о —норма изоморфизма со. Для каждого фиксированного

44 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
целого п сеть' РнГнЧп сходится к сой„ в F пр_и Л—>-0. TaKHvf
образом, найдется •п„ > О, такое что \pj,r^u„ — '(i^u„\p^\ln при
|ft| <Tin- Mbi можем предположить, что ti„ меньше, чем t}„_i и 1/п,,
так что т}„ есть строго убывающая последовательность сходящаяся
к нулю:
О < Л«+1 <•■.<%; Т1„ -> 0.
Определим г^и равенством
г^и = /■ft«„ для т)„+, < I /I к т)„.
Ясно, что для •п„+1<|ЛКт1„
И поэтому II сои — рд/'йй If^ (1 + '^о)/» Для | /г К т]„. Отсюда следует
сходимость pi,r^u к сой при Л —* 0. □
Замечание 3.2. Предложение 3.1 показывает, что если отображение г^
определено на всем пространстве W, а условие (С1) имеет место для всех н^^,
то мы можем изменить величину лдИ на дополнении ^ так, чтобы ус.швие
(С1) удовлетворялось для всех u^W.
Галёркинская аппроксимация нормированного пространства.
В качестве простого примера определим галёркинскую
аппроксимацию сепарабелыюго нормированного пространства W. Пусть Wf,,
Л g N = ^,— возраст,.ющая последовательность конечномерных
подпространств W, объединение которых плотно в W. Для
каждого h пусть Pft —каноническое вложение W^j в Ц7 и для каждого
u^Wf^^, которое не принадлежит W^^_^, пусть г^и~0, если
ft^/ij," и г^и = а, если /i >/j„. Понятно, что р/,г^^и-^и при
h-^ оо для всех ag и ^^^л- Оператор г^ определен только на
множестве W= U ^^л- плотном в W. Поскольку операторы про-
должения имеют норму, равную единице, то они устойчивы и по
предложению 3.1 операторы г^ можно продолжить некоторым
способом (неважно как»м) на всё пространство W так, чтобы
получилась устойчивая ,.сходящаяся внутренняя аппроксимация
пространства W: это rf^ecTb галёркинская аппроксимация для W.
3.2. Общая теорема сходимости. Рассмотрим теперь вопрос
об аппроксимации общей вариационной задачи (2.12). Пусть U>'—
гильбертово пространство, а (и, г») —коэрцитивная непрерывная
в дальнейшем иногда сети (обобщенные последовательности) мы будем
называть просто последовательностями.— Прим. перее.

§3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 45
билинейная форма на WxW:
а(и, и)^а[и\1Ь ^U^Wia>0) (3.2)
и I — линейная непрерывная форма на W. Обозначим через и
единственное решение в W уравнения
а (и, v)=<l, v> >fv^W. (3.3)
Имея в виду аппроксимировать этот элемент й, зададим какую-
либо внешнюю устойчивую и сходящуюся гильбертову
аппроксимацию пространства W, скажем {Wf^, рц, г^]н^ж- Для каждого
Н^Ж зададим также
(i) непрерывную билинейную форму а^{и^, Vt,) на WfiXW^,
которая коэрцитивна, а более точно, удовлетворяет условию.
Эа„ > О, не зависящее от ft, такое что
«ft (йл. «ft) >«о \ Uh 'й ^и^ € Wft. (3.4)
где II-lift —норма в W,^,
(ii) непрерывную линейную форму 1^ па 1Уд{/д€Щ)| такую
что
ii/ft':,ft<p, (3.5)
'Дб IMI*ft —нор'^з в И7|, и Р не зависит от ft.
Теперь мы свяжем с уравнениями (3.3) слелую;цее семейстсо
аппроксимирующих уравнений.
Для фиксированного Н^Ж найдем и^€ ^л. такое что
аП%. «»ft) = </ft, г»д> "iVn^W^. (3.6)
В силу сделанных выше предположений, из теоремы 2.2 (в
которой вместо IF, W, а и I надо взять Wf,, Wj,, а^ и /^ ссответ-
ственно) следует, что уравнение (3.6) имеет единсгвспное решение;
будем говорить, что это решение Ид является приближенным
решением уравнения (3.3).
Прежде чем формулировать обш,ую теорему о сходимости
приближенных решений «ft к точному решению, уточним, как
согласованы формы йд и /ft с формами awl. Мы примем следующие
предположения о согласованности:
Если семейство Vf, слабо сходится к v при
ft-^ О и если семейство w^ сильно сходится
!, V. w при ft —»■ О, то
Иш ад(г»й, w^,)^a{v, w),
-/■ h-*o
,'■ lim «л(Той, v^) = a{w, V). (3.7)
6-»-о

46 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Если семейство v^ слабо сходится к v при
h-^0, то
lim <//„ i»ft> = </, г»>. (3.8)
ft-> о
Общая теорема о сходимости звучит так:
Теорема 3.1. При выполнении предположений (3.2), (3.4), (3.5),
(3.7) и (3.8) решение U/, уравнения (3.6) сильно сходится к
решению и уравнения (3.3) при h —*0.
Доказательство. Полагая v^ — u^ в (3.6) и используя (3.4) и (3.5),
находим, что
Ал («л. Uh) = <Ih> Ил>. (3-9)
«о i! «л % < I! 1н и '1 «л 'ft < Р!! «ft lift;
отсюда
i:«ft!ift<p/^o. (3.10)
Так как операторы рд устойчивы, то найдется константа Сд,
мажорирующая нормы всех этих операторов;
IРлi! = !iPfi i> (w^. F)^c,; (3.11)
следовательно,
1РнинЬ<с^/а,. (3.12)
При этих условиях существуют tr>^F а сходящаяся к нулю
последовательность h', такие что И.'п ph'Uh' = ^ в слабой топологии F;
h' -►о _
согласно условию (С2) из определения 3.6, cp^coU^, т. е. (р = ы/.'^
для некоторого U^^W, так что
lim ph'Uh' =(ли, (в слабой топологии F). (3.13)
ft'->0
Покажем, что и^.^~и. Для произвольного фиксированного v^W
запишем (3.6) с г',^ = г^г» и перейдем к пределу по
последовательности h', используя (3.7), (3.8) и (3.13):
iim ah'iUh', rh'V)==a{U:„ v),
ft" -J- 0 _^*
lim </ft-, гн' 'v> = <l, vy.
h' -> 0
Окончательно получаем а(и„ «») = </, vy; в силу произвольности
г»6^. и* есть решение (3.3), а поэтому и^~и.
Точно таки.м же образом можно показать, что из любой
подпоследовательности сеги PhUh можно выбрать
подпоследовательность, которая сходится к сои в слабой топологии F. Отсюда

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 47
вытекает, что и вся сеть р^Ид сходится к сои при ft —*- О в слабой
топологии.
Докажем теперь, что фактически здесь имеет место сильная
сходимость. Рассмотрим выражение
Xft = ад («ft — ГдИ, ин — г^и),
ила
В силу (3.7)-(3.9),
lim ад(Ий, u^) = il, и>,
а-* о
lim «ft(Ид, г^и)= lim ад(ГдИ, Ил) =
а->- о а -i- о
= lim Од(/-дИ, г^и) = а{и, и).
h->- о
Следовательно,
lim Хд = — а (и, и) + </, и> = О, (3.14)
h ->■ о
согласно (3.3) (при v = u). Учитывая (3.4) и (3.11), получаем
поэтому
о < 1! РнЧн - РнГнЧ If < (с?/ао) -^л -* О-
Используя теперь условие (С1) из определения 3.6 и неравенство
II РдИд - ЫИ If < li рдИд - РдГдИ I/.+ II РдГдИ- ЫИ \\р,
мы заключаем, что левая часть стремится к нулю при Л—i-0. □
Замечание 3.3. Как было указано в замечании 2.2(ii), теорема 3.1 применима
к галёркинской аппроксимации уравнения (3.3), использованной при
доказательстве теоремы 2.2. Беря W/, = W„ yh = m^^, ^— Ц, так же как и
в примере в конце п. 3.1, получаем галёркинскую аппроксимацию
пространства W. Полагая
afi(v,w) = a{v, W), </д, »> = </, »> V», w^W
и применяя теорему 3.1, убеждаемся, что ttm сходится к » в сильной
топологии W при т—> 00.
Замечание 3.4. Если семейство {та',-й}^ < ,• < д,,;,, образует базис в W^, то
аппроксимирующая задача (3.6) эквивалентна некоторой невырожденной
линейной системе относительно компонент Яд в этом базисе: если
л/(ft)

48 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
^ lifflh(W{h' Wff^i^Klh^ w/f;>, KKN{h). (3.15)
i=[
Решение линейной системы (3.15) находится обычными методами.
Если базис в W^ построить трудно (а это иногда случается в задаче
Стокса), для решения уравнения (3.6) приходится подыскивать какой-нибудь
специальный метод.
3.3. Аппроксимация с помощью конечных разностей.
Мы рассмотрим здесь аппроксимацию пространства ЯЦЙ), а затем
и пространства V' с помощью конечных разностей и
аппроксимацию задачи Стокса соответствующей разностной схемой. Эту
аппроксимацию для V будем обозначать через (АПР1).
3.3.1. Обозначения. Имея дело с конечными разностями, мы через
h будем обозначать вектор /i==(ftj, ..., h„), где /i,- —шаг в
направлении Xj и
О < /I,- < hj
для некоторых строго положительных чисел ft°; следовательно,
^=И(0. ft?)- ' (3.16)
1 = 1
Нас интересует переход к пределу при h—*0. Введем следующие
обозначения {h g Ж):
(i) Af —вектор h^e^, где е,- — вектор, /-я координата которого
есть 6,у (символ Кронекера);
(ii) R^ — множество точек из К" вида /iAi+• • •+/„А„, где
/; —целые числа любого знака (/,-6Z);
I 1
J—1 г- '-Т
1 I ' ' 1 I—I
• М I I .Ml \ М
/■=0 г=\ r=Z
Рис. 4. Примеры множеств (Тд(М,г) на плоскости.
(iii) сг^ (Л!) для Mfiiii, ..., [х„) — множество
п
t=i
называемое блоком;
(iv) сг^(Ж, г) —множество
и сГд(Ж+(а/2)А,)
I < i< п
-/■< а< г
(см. рис. 4); конечно, Стд (Л!, 0) = ст/, (Af);

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 49
(v) WhM—характеристическая (индикаторная) функция
блока СТд(Ж);
(vi) б,д (или б,., если это не может привести к
недоразумениям)—конечноразностный оператор
(6.ф) (X) = Ф(^ + ^.-/2)-ф(^-^-/2) . (3.17)
если / = (/f, ...,/„) ^№ — мультииндекс, то б/ (или просто б-')
будет обозначать оператор
б/ = б('...б^ (3.18)
> (vii) Каждому открытому множеству Q в R" и каждому
неотрицательному целому числу г мы поставим в соответствие
следующие множества точек:
й;; = {жеКб, ай(ж, г)сй}, . (злэ)
Qk = {MuRH, (^н{М, г)п^ф0\. (3.20)
(viii) Иногда мы будем использовать и другие конечноразно-
стные операторы, например следующие операторы v,ft и V/^
(которые будут обозначаться также через V,- и V,);
у,,ф(х) = ^(^±М21Ф(£), ^ (3.21)
^.^^,^)^£(±z|i^M. " (3.22)
3.3.2. Внешняя аппроксимация пространства Ho{Q). Пусть
Q — липшицева открытая ограниченная область в R". Пусть,
далее, W = Ио{'^), F = L^{Q)"*'- (с естественным гильбертовым
скалярным произведением) и ю — отображение
иb-s-wtt-= (и, DiU, ..., D^u) (3.23)
из W в F. Ясно, что ||с1)и||/7=|1и|,^1(д^, так что оз —изоморфизм
из Г в F.
Пространство Wj^. В предыдущих обозначениях, tt7^ —это
пространство ступенчатых функций вида
Ил(^)= 2 tt^{M)w,^{x), «,(Af)€R". (3.24)
Функции WfjM для Af g Qft линейно-независимы и порождают
пространство W^\ они образуют базис в W^. Размерность W,, равна п,
умноженному на Л^ (h)—число точек Ж 6^^; ^п конеч[юмерно. Оно

50 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
снабжено скалярным произведением
1и^, Vnln = S «ft (х) г»л [х) Ах+ 2 S 8,Ил {х) б,г»л (л:) (1л:, (3.25)
которое делает его гильбертовым пространством.
Как следует из определения пространства W/^ и множества Q^,
функции Uf^ и S(«^, 1 ^ t :^ п, имеют компактные носители в Q.
Следовательно, их можно рассматривать как вектор-функции,
определенные на Q ила на R".
Операторы р^. Операторы продолжения р^ суть дискретные
аналоги оператора со:
PftWft = («л. S,«ft, .... S„tt^) Уйд € tt^'ft- (3.26)
Нормы Pft в точности равны единице:
11;'л«л1!^=![«а1л>
и они устойчивы.
Операторы г^. Ввиду предложения 3.1 нам достаточно
определить операторы г^ лишь на W — S){^, являющемся плотным
подпространством в Hi(Q); положим
{г^и)(М) = и{М) ^M^Ul Уй€Й)(Й); (3.27)
это полностью определяет г^и 6 ^д.
Предложение 3.2. Построенная выше внешняя аппроксимация
пространства Щ{0.) является устойчивой и сходящейся.
Доказательство. Эта аппроксимация устойчива, так как операторы
продолжения устойчивы.
Мы должны проверить выполнение условий (С1) и (С2) из
определения 3.6.
Лемма 3.1. Условие (С1) выполнено: Vttg^(Q)
r^U-^u в L^(Q), (3.28)
Ь^г^и -^ DiU в и (Й) (3.29)
при ft —»■ 0. „
Доказательство. Пуст^ u^SD (^)i и пусть h настолько мало, что
носитель и содержится в множестве
Q(/i)= и о^Щ). (3.30)
Для всех M^Ul и для всех х^о^Щ) формула Тейлора дает
при и^-=г^и)
\и^{х)-и{х)\ = \и {M)-tt(x)\^Ci (и) 1Ж-л:К2->С1 (tt)|ft|,

§3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 51^
где
Cj (й) = sup I grad а (л:) |, (3.31)
/ п \1/2
\h\^[^hij . , (3.32)
Тогда
sup |йл(л:)-и(л:)К2-1с1(й)|/1|. (3.33)
Хбй (ft)
На множестве Q\Q(/i)
I й (д;) |<Ci (и) d (д;, Г),
IИ/,{х)-и {X) \<.с,{и) d (Q(/i), Г). (3.34)
Следовательно,
sup 1 «л {X) - м (х) КсЛй) {2-11 /11 + d (Й (/I), Г)^; (3.35)
НО Правая часть стремится к нулю при /г—»-0; значит, йд
сходится к й в L°°(Q), а так как Q ограничена, то и в L''(Q).
Для того чтобы доказать (3.29), опять применим формулу
Тейлора: УЖе^л "ix^a^iM)
\biU„{x)-DiU(x)\
Un[M^^h^-U,[M-^K)]-D^u{x)\ (3.36)
<.c^{u)\h\,
где Ca (и) зависит только от sup-норм вторых производных от и.
На множестве Q\Q(/z)
|D,.и(л:)KcUй)d(Q(A), Г),
а тогда па всем множестве Q
|б.иЛ^)-^),•иWKcЛй)|/l|-fcИи)d(Q(/l),.Г). (3.37)
Правая часть сходится к нулю при /i —* 0; этим доказана
сходимость б;Ид к D,-M в sup-норме и L^-норме. П
Лемма 3.2. Условие (С2) выполнено.
Доказательство. Пусть задана последовательность й/i'б Wh', /i'—*-0,
такая что рл'Ил' сходится к ф в слабой топологии F при /i'—>0.
Это означает, что
lim «л' = Фо,
ft'-o (3.38)
lim б/л'И/г' = ф,-, 1 < i < ft,
h'-*u

52 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
в слабой топологии /.'■'(Q); Ф = (Ф^, ...,ф„). Так как функции йй',
biUh' имеют компактный носитель в Q, то мы имеем также
Ит«л=фо.
"'-*» . (3.39)
lim б,.Ил'=ф;, l<t<ft,
Л'->0
в слабой топологии U (О?"); здесь g обозначает функцию, равную
g на Q и нулю на дополнении к Q. Дискретный аналог формулы
интегрирования по частям дает
\ ^ih'Uh' (х) а(х)йх = — 5 йл' (х) bih-a (х) их (3.40)
R" R"
для каждого а £ ® (R"). При /i' —♦ О левая часть (3.40) сходится к
\ Ф; (л:) а (л:) с1л:,
R"
а правая часть —к
— \^>a{x)Dia{x)ux,
так как (по лемме 3.1) fi^^a сходится к DiO в ^(0?"). Итак,
\ Ф,. (х) а (X) dx = — 5 ф„ (л:) D,a (л:) dx Va G ® (R"),
R" R"
ИЛИ, другими словами,
Ф, = 0..ф„, l<f<;ft, (3.41)
в смысле теории распределений. Далее, ясно, что Фо€^(^").
а поскольку ф„ равно нулю на дополнении к Q, то фо
принадлежит Hl{Q). Таким образом, q>^aW,
Ф=«Т*, 4>o^Hl(Q). П (3.42)
3.S.3. Дискретное неравенство Пуанкаре. Следующее дискретное
неравенство Пуанкарг^.{си. (1.9)) позволит нам наделить
пространство Wf^ (см. (3.2?)) другим скалярным произведением ((•, •))д,
дискретным аналогом скалярного произведения ((•, •)) (см. 1.11)).
Предложение 3.3. Пусть Q — область, ограниченная в направлении х,-,
и Uf^—скалярная ступенчатая функция типа (3.24) («^(Ж)^^)-
Тогда
|Ий|<2/|б,.,«,1, (3.43)
где I —ширина Q в указанном направлении.

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (!)
53
Доказательство. Возьмем для простоты i=\. Поскольку н^ имеет
компактный носитель, то для любого M^Rh
U!.{Mr = ^{[tt^(M-lh,)f-[u^(M-{j+\)h,)f}
( = 0
00
так что
+ оо
+ \u^{M-(i+\)h,)\];
(3.44).
написанная сумма в действительности конечна. Далее, Ui,{M+ihiY
для любого i^Z мажорируется в точности тем же рядом /.
Имеется менее чем ///г, значений i, таких что u^(M+ihi)^0,
поскольку Xi-ширина Q меньше 1. Следовательно,
2 U!,{M + ih^Y^lI/hi.
(3.45)
Обозначим через аГ^ (Ж) цилиндр и ai^(M-\-ih^). Мы можем ин-
терпретировать (3.45) следующим образом;
+ °°
Просуммировав последнее неравенство по всем цилиндрам аГд1Л1),,
получим
J и„ {xf dx < / JI б,йЫй(х) III «й (х + -i А,)
+ |ua(^x—i-Ai Шал:.
+

64 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Применение неравенства Шварца дает теперь
+1 "л {x—J f^i) f ] dx I < 2/18i^u^ \-\Uf,\,
откуда и следует (3.43). □
Предложение 3.4. Пусть Q — ограниченная липшицева область.
Если ввести в пространстве W/^ скалярное произведение
п
((«ft, v^))h = 2 S ^ihUh^ihOH^x, (3.46)
mo мы опять получим устойчивую сходяш^уюся аппроксимацию
для m{Q).
Доказательство. Операторы продолжения будут устойчивы
вследствие предложения 3.3. П
Замечание 3.5. Используя разностные операторы V/ft или Vift> или вообще
любую „разумную" аппроксимацию оператора дифференцирования д/дх{, можно
определить много других аналогичных аппроксимаций пространства Н1 (Й). При
этом изменяется: скалярное произведение (3.25), где 6,-^ нужно будет заменить
на Vift! • • •> множество Qh, которое нужно будет определить подходящим
образом, и некоторые пункты в доказательствах лемм 3.1 и 3.2.
То же самое неравенство Пуанкаре справедливо и для операторов ViA
'И V/ft, но не для более общих операторов.
Замечание 3.6. В случае когда область Й неограничепа, можно определить
внешнюю аппроксимацию пространства //о(й), используя пространство IF^,
состоящее
— либо из ступенчатых функций вида ^ Я,д,е1^д,, имеющих компактный
Me hi
носитель (мы ограничиваемся суммами по конечному числу точек M^Qh),
— либо из ступенчатых функций вида ^XjyjW/^jyj, причем М берется из
м
пересечения Йй с некоторым „большим" шаром 1х:|<р(/г), где р (/i) ».+оо
при h —>. 0. f..
Во втором случае IF^ конечномерно; в первом случае это не так.
Оставляя все другие элемент1^-»'аппроксимации без изменения, мы, понятно, получим
устойчивую сходящуюся аппроксимацию пространства н1 (Й) для
неограниченной локальпо-линшицевой области Q.
Дискретное неравенство Пуанкаре сохраняет силу, '^если Q ограничена в
одном из направлений xi х„.
3.3.4. Аппроксимация (АПР1) пространства V. Пусть Q
—липшицева ограниченная область в R", f^ — обычное пространство
(1.12) и У —его замыкание в WJ(Q).

§3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 55
Мы определим сейчас некоторую аппроксимацию пространства V,
используя конечные разности; эту аппроксимацию мы будем
обозначать через (АПР1). 5
Пусть /^ = L^(Q)""''^ (с естественным гильбертовым скалярным
произведением). Определим отображение а)^^(У,р)
следующим образом:
й1-9-й)й = (й, D,«, ..., D„tt).
Ясно, что 1|о}и'||/;=[[й|, так что © — изоморфизм из V в f.
Пространство V^.. (В дальнейшем мы пишем У^ вместо Wf^.)
Уд — пространство ступенчатых функций вида
йд(х)- S tt^{M)wMx), Uf,m^R", (3.47)
которые дискретно соленоидальны в следующем смысле:
2Уйй,ЛЛ1) = 0 ^Мф\, (3.48>
(=1
■ или, эквивалентно,
iv,-.a,.,(^) = 0 >fx^9.{h). (3.49)
Никаких доступных базисов в У^ в нашем распоряжении нет;
ясно только, что Уд — конечномерное пространство размерности
меньшей или равной tiN {h) — N (h) = (n—\) N {h), так как все
функции вида (3.47) образуют пространство размерности nN {h) и
имеется не более чем N {h) независимых линейных связей (3.48);
неясно, будут ли связи (3.48) всегда линейно-независимы, так
что неизвестно, равна ли размерность Уд в точности {n—l)N{h).
Пространство Уд снабжается одним из скалярных произведений
((»ft, ^п))п = i S S,«ft (X)• б,-г»д (X) dx, (3.50)
'■=42
lUn,V!,U^l a^{x)v^(x)dx + {(Uf„ Vn))h. (3.51)
S3
Из предложения 3.3 (дискретного неравенства Пуанкаре) следует,
что Уй, снабженное любым из этих скалярных произведений,
будет гильбертовым пространством.
Операторы рд. Это —дискретные аналоги оператора со:
Pft«ft = {«ft, ^i»ft. •••. D„u^\. (3.52>
Эти операторы устойчивы, поскольку, в силу (3.43),
11Рй«й1/^ = 11«йк<с1|Ид1|д Уйд€1/л. (3.53)

56 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Операторы г^. Мы определим ГдИ лишь для и из
9'^—плотного подпространства в V; для всякого M={myh-i^, ..., m„/i„) б У»
значение (ГдИ) (Ж) определяется посредством равенства
Ui,^{M) (т. е. г-я компонента вектора Ий) = среднему
значению U{ на грани х, = [m,-—^\к1ЧМож&стъаа1^{М).{'^.Ъ'^)
Такое сложное определение г^и необходимо, если мы хотим,
чтобы элемент Ид принадлежал V^.
Лемма 3.3. г^иG V^ для каждого и^7^.
Доказательство. Имеем
^ih''ih{M)-
^^-Л-^И u,ix)dx-^ «,(x)dx|.
где 2/ ^ 2' ~ соответственно грани х,- = (т,- + 1/2) /i/ и л:,- ==
= (т, —l/2)/z; множества Од(Л1). Это равенство можно
переписать так:
где V обозначает единичный вектор внешней нормали к границе
множества ст^ (Л/). Поэтому для любой точки ЖбЙ^,
V V,ft«ift(^I) = 7i Г~ J «-vdr (по формуле Стокса)
= -т 7- \ div«dx-=0,
так как div« = 0. Условие (3.48) выполняется. Q
Предложение 3.5. Описанная выше внешняя аппроксимация
пространства V является устойчивой и сходяи^ейся.
Доказательство. Уствйчивость уже была доказана.
Проверка выполн.впия условия (С1) аналогична
соответствующей проверке в л€мме 3.1, и мы не будем здесь повторять все
детали. Для х£а^{М), М^й\
1 "/ft W - ",• (Х) I --= 1 "/ft il) - «/ (Х) I,
где I — некоторая точка грани Xi--{mi — \/2)hi множества cjft(M);
следователь! ю,
1"/л W — Ui {х) i <ci(«Л 1 х-?. Kq(«,-) \h\,

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 57
И (3.35) заменяется на
sup\i^^lx)-uix)\^cliu){]h] + d{Q{h), Г)}. ■ (3.55)
Проверка выполнения условия (С2) аналогична доказательству
леммы 3.2; точнее, соверишнно так же, как и при доказательстве
леммы 3.2, показывается, что если
ph'Un' -*ц в слабой топологии F при h' —* О,
_ <
то ф = ©и = (и,0,и, ..., D„u), где u^HHQ). Ввиду теоремы 1.6
доказательство того, что и G V, сводится к проверке того, что
div«=0. Как мы сейчас покажем, это следует из (3.49). Пусть
а —какая-либо пробная функция из @(Q). Предположим, что h
настолько мало, что носитель а лежит в Q (/г). Из (3.49) вытекает»
что тогда
Sf i(V,-A«,ft)(x)]a(x)dx = 0,
S (i(V,-ft«,.,)(x))a(x)dx = 0. (3.56)
С помощью дискретной формулы интегрирования по частям легко
проверить, что
'\{VcH^){x)-oix)dx:=~ I 0(x)(V^(T)(x)dAr. (3.57)
Поэтому (3.56) принимает вид
S .i[«,-n^)-(V,ftO)(x)]dx = 0. (3.58)
или
R«'='
Рассуждение, основанное на формуле Тейлора (аналогичное
использованному при доказательстве леммы 3.1), показывает, что
VihO-*—Dia при h-*0 (3.59)
в (зир-норлш и) 1,^-иорме. Так как Цц, сходится к И/ в слабой
топологии L^ (R"), то, устремляя h—* О в (3.58), мы получаем
>: Uiix)-Diaix)
I'sl
dx = 0. (3.60)
Из этого равенства, верного для любых og@(Q), вытекает, что
div« = 0, а значит <f = wa, где u^V. D

58 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Замечание 3.7, Замечание 3.5 может быть распространено на данный случай,
-с одним, однако, ограничением: условия (3.48) — (3.49) в определении
пространств Vfi не могут быть заменены аналогичными соотношениями с другими
разностными операторами; например, нельзя, по-видимому, заменить (3.49) на
п
2 6,а«;й(^) = 0, (3.61)
1=1
так как (3.61) тре^^ует много больше алгебраических соотношений, чем (3.49),
и, возможно, даже слишком много соотношений (так что может получиться
1^й = {0}).
Замечание 3.8. В случае когда область " неограничена, можно, применяя
методы, упомянутые в замечании 3,5, определить некоторую устойчивую и
сходяш,уюся внешнюю аппроксимацию пространства' /, введенного в (2.31).
5.5.5. Аппроксимация задачи Стокса. Используя построенную
выше аппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы
можем теперь предложить некоторую конечноразностную схему
для аппроксимации задачи Стокса. Возьмем в (3.6)
^^(Ий, ■»/.) = v((«ft, Vf>i\, (3.62)
<h,'OH>=-{f,'On), (3.63)
где Vft и ((•, •))>! —определенные выше пространство и скалярное
произведение, а г» и / те же, что и в п. 2.1. Задача,
аппроксимирующая задачу (2.6), формулируется так:
Найти элемент и^^У,^, такой что
v((«ft, г»^), = (/, г»^ yv^eV^. (3.64)
Предложение 3.6. Для всех к£Ж решение tt^ задачи (3.64)
существует и единственно; при /г —> О решение и^ задачи (3.64)
сходится к решению и задачи (2.6) в следующем смысле:
и„-^и в L^(Q), (3.65)
8i^u^-^DiU в LHQ). (3.66)
Доказательство. Нам надо только проверить, что применима
теорема 3.1. Выполнение условия (3.4) очевидно (а„=:1); что
касается условия (3.5), то заметим, что |<;^, ©ft>| = lCf> ^ft)|^
^|/|-|г»д[^ (в силу' дискретного неравенства Пуанкаре)
^ (^) I/1II ^ft 11й ^^'ft € Кй.^Хледовательно,
||/ftk<c(Q)|/|, (3.67)
и (3.5) выполнено.
Переходя к проверке условий (3.7) —(3.6), отметим, что
Ph'V/i —* «г» слабо (соотв. р^гУд —> ©w сильно) означает, что ©^ —>- г»
« ^ihPh-*^i'0 в L^(Q) слабо (соотв. w^—>w и ^i^Wfi—^D^w

§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (I) 59
В L^(Q) сильно), и ясно, что это влечет за собой соотношения
({«'ft. 'а'й))й-> ({г», w)),
(/, «'ft) -»(/, г»). D
Аппроксимация давления. Мы хотим теперь представить
„приближенное" давление, которое неявно содержится в (3.64), точно
так же как точное давление р неявно содержится в (2.6).
Пространство Уд (см. (3.47)) является подпространством
пространства \Fft (см. (3.24)), а именно оно состоит из тех V/^^W/^,
которые удовлетворяют линейным связям (3.48).
Форма V!i>--^v({u^, Vh))h — (f^ ^ft) ^'^ть линейная форма,
определенная на W/^ и обращающаяся в нуль на Уд.
Следовательно, вводя множители Лагранжа, соответствующие линейным
соотношениям (3.48), мы получим с помощью классической теоремы
линейной алгебры, что существуют Хдг € R и Л1 € Йд, такие что
равенство
v((«ft,t'ft))ft-(/,z»ft)= S ^л, 2 {^iH-Ot^M)) (3.68)
имеет место для любого г»д ^ Wf^.
Введем теперь оператор Df^^jS: (W,,, L^^))'-
п
D^Vn {X) = S V«f,-ft {X) VxJft e Wn\ (3.69)
1=1
его сопряженный D^ б JZ' (L^ (Q), W^ определяется равенством
(D;0, г»д) = (0, 0,г»д) Уг»,еП vegLH^). (3.70)
Пусть Яд—ступенчатая функция, равная нулю вне Q(/i)= U Ok{M)
и удовлетворяющая условию
Лд(а;) = Яд(Ж) = ^-^ Ух^о^{М), Мф\. (3.71)
Тогда (3.68) можно записать в виде
^((йд, г»д))й-(/, '»д) = (Я;„ Одфд),
или, эквивалентно, в виде
v({йд, г»д))д-(О^Лд, г»д) = (/, Фд) Vz^fteW'ft. (3.72>
Беря последовательно v^ = w^nie/ для Л^^^й, /=1, ..., п, мы
можем интерпретировать (3.72) следующим образом:
-у2б^л(М)+(удЛд)(Ж)=/й(Л1), мей1, (з.73>
»=1

60 Гл. I. Стационарные урсшнения Стокса
где Уй(Лй(Ж))-вектор (У.^л^ (Ж) ^ппП^(М)) и
^^(^^^/1, ..'./■„ I /(A:)dA;. (3.74)
Уравнения (3.73) и
п
2(7,й«,-й)(Л1)-о, Ж€^lt. (3.75)
(=1
представляют собой дискретную форму уравнений (2.7), (2.8);
— О^л^ —„аппроксимация" grad р; —Di —дискретный оператор
grad.
Замечание 3.9. Как было сказано в замечании 3.4, решить задачу (3.G4)
непросто, поскольку нам неизвестен никакой простой базис в V^. В качестве
одного из возможных способов решения задачи (3.64) можно было бы
попытаться решить систему (3.73), (3.75), которая является линейной системой
относительно неичвестных м,й(Ж), ..., «„/г(Л/), Яд (Л/), М^й},. Эта система
имеет единственное решение с точностью до аддитивной постоянной для
Я/1 (М); эта неединственность затрудняет нахождение решения; кроме того,
тматрица этой системы плохо обусловлена.
Более эффективные способы фактического вычисления приближенного
решения будут даны в § 5.
Невязка. Предположим, что точное решение удовлетворяет
условиям и£^^{И) и pGK^(Q). Тогда, используя формулу Тей-
.лора, мы получаем
-V i {ЬУни){М)-{\,р){М)^/{М) + г,{М), (3.76)
1=1
где ГдИ—функция из V^, определенная посредством (3.54), а 8й(-'^)
есть „малый" вектор:
|бй(уИ)|<с(й, р)И|, (3.77)
где с {а, р) зависит только от sup-норм хретьих производных
от и и вторых производных от р. Обозначим через л^ функцию
^ р(Ж)йУйд1. Тогд^_ равенство (3.76) эквивалентно равенству
^({г„и, г»й))й^(л^, Dft©ft) = (/-f Ед, ф,.) (3,78)
для любого ©й € ^h (см- (3.24)) и влечет
^(.{гф, г»д)), = (/+8;,. г»й) (3.79)
для любого ©й € Vft. Вычитая это равенство из (3.64), мы получаем
v(l»ft-/-^a, ©A))ft--=(8ft, ©ft) (3.80)

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II)
61
Я, полагая v^^u^—rf^a, видим, что
Таким образом, мы получаем следующие оценки для дискретной
невязки:
|Иа-^и|!л '^-с{^', а, p)\h\,
\a,-r,a\^^c'{Q, и, p)\h\. '
(3.81)
(3.82)
§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II)
Мы изучим здесь дискретизацию уравнений Стокса при
помощи методов конечных элементов. Результаты будут менее общие,
чем в предыдущем параграфе, и будут меняться в зависимости
от размерности. Мы последовательно рассмотрим следующие
согласованные конечные элементы: кусочно-полиномиальные
степени два в двумерном случае (п.4.2), кусочно-полиномиальные
степени три в трехмерном случае (п.4.3) и
кусочно-полиномиальные степени четыре в двумерном случае. В заключение мы
рассмотрим одну внешнюю аппроксимацию посредством
несогласованных конечных элементов для случая произвольной
размерности (п.4.5).
4.1. Предварительные результ-аты. Мы будем иметь дело
€ кусочно-полиномиальными функциями, определенными на п-мер-
лых симплексах. В связи с этим напомним здесь некоторые
определения и введем обозначения, приспособленные к нашей ситуации.
Барицентрические координаты. Пусть в R" заданы п -\-1 точек '
. Лх, ..., Л„+1 (с координатами Я;,,-, ..., l^i^« + l), которые
не лежат в одной гиперплоскости; это означает, что п векторов
w4|/1,,, .... /4i/4„+j линейно-независимы, или что матрица
а,
а.
Ч, п + 1
(^■it пЛ
*п, I
^П, П+1
(4.1)
t в этом параграфе, где речь идет о конечных элементах, заглавные
"буквы А, В, М, Р, ... (иногда с индексами) обозначают точки аффинного
■пространства R". Парой таких букв, например АВ, мы обозначаем вектор
R" с началом А и концом В.

62
Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
невырождеина. Для любой данной точки Р £ R" с координатами
ATi, ...,х„ существуют п+1 вещественных чисел 1, = ХДР),
l^t^n+1, таких что
ОР = 2 >^iOAi, (4.2)
с = \
п+\
2>^,-=1, (4.3)
i = t
где О —начало координат в R".
Для того чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что
(4.2) и (4.3) эквивалентны линейной системе
Л
а,
К
(Xi\
(4.4)
которая имеет единственное решение, поскольку матрица J. не-
вьфожденна по предположению. Числа к( называются
барицентрическими координатами точки Р относительно п -\-1 точек
yli, ..., ^„+1- Согласно (4.4), числа к[ представляют собой
линейные, вообще говоря, неоднородные функции от координат
X,, ..,, х„ точки Р:
(4.5)
где матрица ^ = {bf^f) обратна к матрице Л. Легко видеть, что
если точку О в (4.2) заменить любой другой точкой из R", то
значения барицентрических координат не изменятся; следовательно,
2Я,.РЛ,. = 0. (4.6)
Ясно, что барицентрические координаты не зависят также и от
выбора базиса в R". ».
Выпуклой оболочкдй /г+1 точек Л^ является в точности
множество точек в?», барицентрические координаты которых
удовлетворяют условиям
0<А.,<1, 1<1</г+1. (4.7)
Эта выпуклая оболочка ^ называется п-мерным симпжксом,
порожденным точками Л,-, которые называются вершинами
симплекса uf. Барицентр G симплекса eS^—это точка из eS^,
барицентрические координаты которой все равны между собой и,

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (И) 63
следовательно, равны 1/(/г+ 1); т-мерной гранью симплекса ^
называется всякий т-мерный симплекс {\ ^т^п—1),
порожденный т-\-\ вершинами of (конечно, эти вершины не лежат ни
в каком (т—1)-мерном подпространстве IR"). Одномерные грани
называются ребрами.
Двумерные симплексы (n = 2) являются треугольниками;
вершины и ребра такого симплекса —это просто вершины и стороны
треугольника. Трехмерные симплексы представляют собой
тетраэдры; их двумерными гранями служат четыре треугольника,
образующие границу тетраэдра.
Один интерполяционный результат.
Предложение 4.1. Пусть Л^ ..., Л„+1 суть п-\-\ точек из R",
не лежаи^их в одной гиперплоскости. Для любых данных п +1
веи^ественных чисел а^, ..., а.„^.^ существует одна и только одна
линейная функция и, такая что и(Л;)=о',-. l^i^«+l; она
задается формулой
u{P) = ''toc,Ki{P) VP6K", (4.8)
(■=1
где Я,,.(Р) — барицентрические координаты точки Р относительно
точек Ai, ..., Л„+1.
п
Доказательство. Пусть ы(х)= ^ Рл+Р„+1—такая функция. Не-
известными здесь являются р^ ..., P„+i, которые удовлетворяют
следующим уравнениям, означающим, что ы(Л,) = а,-:
п
Матрицей этой системы служит матрица ^Л, транспонированная
к Л, поэтому функция и существует и единственна. Остается
проверить, что формула (4.8) задает требуемую функцию. Но,
действительно, и{А^)=а^-, 1^/^/г+1. поскольку Я,;(Лу)=б,у
(символ Кронекера) для любых i и /. □
Замечание 4.1. Интерполяционные формулы более высоких порядков,
использующих барицентрические координаты, будут даны позже (см. пи. 4.2—4.4).
Некоторые дифференциальные свойства барицентрических
координат. Мы укажем здесь некоторые дифференциальные свойства
барицентрических координат Я,,., рассматриваемых как функции
от декартовых координат х^, ...л:„ точки Р\ ниже D обозначает
оператор градиента: D = {Di, ..., D„).
n + l
Лемма 4.1. ^DK; = 0, (4.9)
■ DXi{P).PAj = 8ij-k,{Py, l<t, /<n+l. (4.10)

64 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Доказательство. (4.9) немедленно вытекает из тождества (4.3).
Согласно (4.5),
поэтому
Dki(P)-PA^. = Dki(P)-OA,-DXi{P).OP
п п п
= Д ^л Л, / - 2 бл Л = 2 Ь/. л,,+ь,. „+1 - л,
«=1 к=1 fc=l
(мы воспользовались тем, что ЗВ = Л~^^). П
Лемма 4.2. Пусть &' — произвольный п-мерный симплекс с верши-
нами Ai, ... Л„+1 и р' —наименьшая верхняя граница диаметров
всех шаров, содержащихся в if. Тогда
|DX,.j<l/p', l<f<n+l, (4.11)
где |DA,,. —эвклидова норма п-мерного вектора ОК/.
Доказательство. Имеем
\DKi\ = DKrX, (4.12)
где дг —единичный вектор, параллельный DXi; но мы можем
записать х = (1/р') PQ, где Р и Q принадлежат of. Обозначим
через n-i, ..., \x„+i барицентрические координаты точки Q
относительно Ai, .. , A„+i. В силу (4.2) —(4.3),
п+1 л+1
PQ=X\^fPA,; 2tA/=l.
/=1 (=1
Поэтому
/•/!+! » л + 1
тг^ = -^фХ,)-(^£ t^/^^/) = -^E ti,DX^.P^,
/г+1
= (согласпо (4.10))-7-Х, M-/(S,7 —М=-77"(1^'~^')- '
*^ /=1 ^^
^,
Поскольку Р и Q пp^^нaдлeжaт ^, то О^^К,^ 1, О^ц,,.^1 для
каждого 1, l<t^"ri+I, а значит, —1 ^ц./ —А,,-^ 1, так что
|ОА.,-д:К 1/р', откуда и следует (4.11). П _
Нормы некоторых линейных преобразований. Пусть <У и #" —
два п-мерных симплекса с вершинами А^, ..., Л„4-1 и
Л1, ..., Лл+f. Обозначим через р (соотв. р') диаметр наименьшего
шара, содержащего <У (соотв. диаметр наибольшего шара, содер-'
жаш,егося в <^у, обозначения р и р' имеют аналогичный смысл.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 65
Произведя, если нужно, переносы, мы можем считать, что
^1 = ^1 = 0; обозначим через Л линейное преобразование в R",
такое что
Af = hAf, 2<t<rt+l. (4.13)
Нормы операторов Л и Л~^ могут быть следующим образом
оценены через р, р_', р, р'.
Лемма 4.3. ||Л|Кр/р', ЦД-^Кр/р'. (4.14)
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.2, пусть
д: —произвольный вектор из R" с нормой 1. Тогда x = {\lp')PQ,
гд,е Р и Q принадлежат <У. Ясно, что Ах— (1/р') PQ, гд,еР=АР,
Q = AQ. Но Р и Q принадлежат ^, поскольку
0Р =
АОР
п+1
: 2 kfiA,,
1= I
п+\
= .2 KOAi,
0<Я,<1,
»
1=1
так что барицентрические координаты Р относительно Ai ^п-и
совпадают с барицентрическими координатами Р относительно
Ai,..., A„+i. Следовательно, I^Qj^p и |Лд:|^р/р'. Первое
неравенство (4.14) доказано. Второе становится очевидным, если
поменять местами 3' w ^. П
Для соленоидальных вектор-функций оказывается полезной
следующая лемма.
Лемма 4.4. Пусть xi~^ и{х) — соленоидальная вектор-функция,
определенная на ^ (или на R"), и х—* и{х) —функция,
определенная на ^ равенством
u(Jc)=Au{A-^x) Vjre^ {или Ю- (4.15)
Тогда и —также соленоидальная вектор-функция.
Доказательство. Пусть а^у и (З^^ обозначают элементы матриц Л
и Л~^. Тогда
dui
l,k
3 p. Темам
■I.^nhf^i''^-'^)

66 Гд. /. Стационарные уравнения Стокса
-I.
^-|(л-^)=о. а
Регулярные триангуляции открытой области й. Пусть О, —
открытая ограниченная область в R", и пусть (^^ — некоторое
семейство /г-мерных симплексов; такое семейство будем называть
допустимой триангуляцией области Q, если выполнены следующие
условия:
Q(/z)= и с^сЙ; (4.16)
если <ir и &" ^S',,, то <^п=^' = 0 (гдес^ —
внутренность (5^ ') и (5^ Г) <^' либо пусто, либо
является т-мерпой гранью одновременно для
of т &" (для какого-либо т, О^/тг^п—1). (4.17)
Обозначим через [S"^\г1^ж семейство всех допустимых
триангуляции области Q; с каждой допустимой триангуляцией S'li мы
свяжем следующие три числа:
р(/г)= sup р^, (4.18)
р'(/г)= inf р'^, (4.19)
a{h)= sup (р^/р;^), (4.20)
где, как и прежде, р = р^—диаметр наименьшего шара,
содержащего of, а р'— р^—диаметр наибольшего шара,
содержащегося в of.
В методах конечных элементов нас будет интересовать
переход к пределу при р (/г) —^ 0. Как мы увидим ниже, для
получения сходящихся аппроксимаций необходимы некоторые
ограничения на o(h).
Подсемейство семейства допустимых триангуляции {аГ^}й£эг
будем называть регулярной триангуляцией области Q, если
величина о {h) остается ограниченной при р (/г) —>■ 0:
a(/tXa< + oo при р(/г)-*0, (4.21)
и Q (/г) сходится к Q в следующем смысле:
' То есть множество точек из cjP, барицентрические координаты которых
относительно вершин ^ удовлетворяют соотношениям О < ^,- < 1, Kt<«+1-

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 67
ДЛЯ каждого компактного
множества К czQ существует такое
6 = 6(А:)>0, что p{h)^6(K)^
^Q{h)=)K. (4.22)
Обозначим через S^a множество всех допустимых
триангуляции Q, удовлетворяющих условиям (4.21) и (4.22).
Замечание 4.2. В двумерном случае, когда cjP есть треугольник, известно, что
1 ^ РсУ ^ 2
п. ^ п sin О'
2 tg Y t^cjP
где О—наименьший угол в #". Условие (4.21), таким образом, означает, чтс
наименьший угол для всех треугольников af^S'h остается ограниченным
снизу:
е^ео>0. (4.23)
Наша цель теперь —сопоставить данному регулярному
семейству триангуляции {S" f^^^% области Q различные типы
аппроксимаций интересующих нас функциональных пространств.
4.2. Конечные элементы степени 2(п = 2). Пусть Q—лип-
шицева открытая ограниченная область в IR". Мы опишем одну
внутреннюю аппроксимацию пространства Hl{Q) (для любого и),
а затем одну внешнюю аппроксимацию пространства V (только
для п —2). Аппроксимирующие функции кусочно будут
полиномами степени 2.
4.2.1. Аппроксимация пространства Ml{Q). Пусть J^^, —какая-
нибудь допустимая триангуляция Q.
Пространство W^. Это —пространство непрерывных вектор-
фуикций, которые равны нулю вне множества
Q(/i)= и "^ (4.24>
и компоненты которых суть полиномы степени два' на каждом-
симплексе ^^оГ^. Оно является конечномерным
подпространством в Но{^). Снабдим его скалярным произведением,
индуцированным из //o(Q):
((«ft. ^й))л = ((Ил, г»л)) ^и„ V^eW^. (4.25)
Базис в Wf^. Как и прежде, обозначаем вершины /г-мернога
симплекса <У через А^, ..., A„+i; обозначим, далее, через Л;^
среднюю точку ребра А^А^-.
' Под полиномом степени два здесь понимается полином степени меньшей
или равной двум.
3»

68 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Прежде всего, имеет место
Лемма 4.5. Полином степени меньшей ила равной двум
единственным образом определяется своими значениями в точках Л,-,
Л,у, 1^1, /^/г+1 {вершинах и серединах ребер п-мерного
симплекса 9'). Он задается через барицентрические координаты
относительно А^, ..., Л„4-1 по формуле
п + \
Ф (X) = S (2 {h {х)У - h W) Ф (^/) +
+ 2 "i ХМ^(х)Ч>(Ли). (4.26)
I. ;"= I
Доказательство. Покажем вначале, что (4.26) удовлетворяет
указанным требованиям. Функция в правой части (4.26) есть
полином степени два, поскольку А,,-(х) —линейные (неоднородные)
функции от Xj, ..., х„ (см. (4.5)). Если обозначить эту функцию
через 'ф(х), то
4'(^*) = Ф(^*). так как Xi{A„)=^8.,^, и
г1з(Л,Л = Ф(Л4г), так как Я,.(Ли) = (S,., + 6,.,)/?.
Таким образом, ij? — такая функция, как нужно.
Далее, полином степени два имеет вид
п п
ф(л-)=ао + 2 (а,.л;,.4-М?)+ 2 а,-/^/-^/. (4-27)
(=1 £./=1
( < /
так что ф определяется (n +1)(/г + 2)/2 неизвестными
коэффициентами а„, а,-, Р,., а,./. Имеются n-j-l точек Л,- и п{п-\-1)/2
точек Aij-, следовательно, условия на ф
Ф(Л,-) заданы, Ф(Л;,) заданы (4.28)
дают (п+ 1) (n4-2)/2 линейных уравнений для неизвестных
коэффициентов. Согласно (4.26), эта система имеет решение для
произвольного набора данных в (4.28); таким образом, эта линейная
система регулярна ' и решение, даваемое формулой (4.26),
единственно. П
Теперь обозначим через 41^ множество всех вершин и середин
ребер п-мерных симплексов ^ 6 J^^. Обозначим, далее, через 41^ те
точки из 4/д, которые принадлежат внутренности О. (/г). Согласно
предыдущей лемме, в Wf^ имеется не более одной функции я^,'
которая принимает заданные значения в точках Л^'Йд. В
действительности справедливо более сильное утверждение.
' Мы используем гог хорошо известный фякт, что в КОИ', чномерных
пространствах линейные операторы, являющиеся операторами „на",
взаимнооднозначны.

§4. Дискретизация уравнений Стокса (И) 69
Лельма 4.6. Существует одна и только одна функция U/t^W^,
принимающая заданные значения в точках М^Ч1^.
Доказательство. Как мы уже видели, такая функция необходимо
единственна. Далее, по лемме 4.5 существует функция и^, ком-
' поненты которой кусочно являются полиномами степени два,
принимающая заданные значения в точках Ж 6 ^л и равная нулю
в точках Жб^йЧ^л " ^"^ ^^W- Достаточно проверить, что эта
функция непрерывна. На любой {п—1)-мерной грани ^' симплекса
^^<^/1 каждая компонента и,^ функции а^, есть полином степени
два, который имеет два (возможно, различных) значения uot
и UJJ,. Но u^h и wfft — полиномы степени не выше двух от /г—1
переменных, совпадающие в вершинах и серединах ребер <У;
лемма 4.5, примененная к соответствующему [п—1)-мерному
симплексу, показывает, что uf},--^urt, па of". Следовательно, и^
непрерывна, а значит принадлежит W/^. П
Повторяя рассуждение из предыдущего доказательства, мы
видим, что существует единственная скалярная непрерывная
функция, являющаяся полиномом степени два на каждом
симплексе &'^(^^, принимающая заданные значения в точках
М^'й^ н равная нулю вне Q{h). Обозначим через Whj» функцию
такого типа, определенную условиями
(4.29)
Наконец, имеет место
Лемма 4.7. Функции WhrnBi, M^4lf,, i—l, ..., п, образуют базио
в Wfi, и размерность Wf, равна nN {h), где N (h)—число точек
Доказательство. Эти функции линейно-независимы, и ясно, что
каждую функцию «й^^л можно записать в вял^
п
Uh{x)= 2 'IiU,-^{M)eiWhM{x),
или
Ий== 2 и„{М)ы)нм. и (4.30)
Оператор р^. Оператор продолжения рд тождествен:
Pftttft-a, Уй^еГ^. (4.31)
Операторы р^ имеют норму единица и поэтому устойчивы.
Оператор г^,. Мы определим г^и для u^Sii^\ положим
'.' (гд«)(Ж) = а(Ж) VMe'Mft. (4.32)

70 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Предложение 4.2. Описанная выше внутренняя аппроксимация
пространства Hl{Q) является устойчивой и сходящейся, если h
принадлежит регулярной триангуляции Жо. области Q.
Доказательство. Достаточно доказать, что РйГдИ —+ а в //J (Q) для
каждого а€й)(^) при р(/г)—сО, К^Жа.- Если h достаточно
мало, то Q(/i) содержит носитель а, а тогда, в силу приводимой
ниже леммы,
II риГнЧ - а |К с (а) р2 (/г) • а (/t) < с (а) ар" (/г), (4.33)
откуда и следует паше утверждение. □
Лемма 4.8. Пусть of—некоторый п-мерный симплекс,
ф—скалярная функция из 'ё^ {S') и ф — интерполируюи^ий ее полином
степени два, такой что
Ф(Л,.) = Ф(^;), ф(Л,у) = ф(Л,^.) для l<t, /<п4-1.
Тогда
5ир|ф(х)-ф(х)|<с(ф)р^, (4.34)
sup
Эф
pj-
^Л>^)-^М) <С(Ф)^. (4.35)
Р^
еде с (ф) зависит от sup-норм третьих производных от ф.
Эта лемма — частный случай общих теорем, касающихся
полиномиальной интерполяции на симплексе в связи с конечными
элементами.
Полиномиальная интерполяция на симплексе. Пусть <У —
некоторый п-мерный симплекс и S — конечное множество точек из <У,
обладающих следующим свойством: для любого семейства
заданных чисел ум^^> M^S, существует единственный полином р
степени не выше k, такой что
р{М) = ум VMe^. (4.36)
Такое множество S будем называть, следуя Сьярле и Равьяру
[I], k-унисольвентным; например, согласно предложению 4.1 и
лемме 4.5, вершины А^, ..., Л„+1 симплекса ^ образуют 1-уни-
сольвентное множество, а точки А;, Л,у, 1 ^ i, j^n+l,
образуют 2-унисольвентно'ё множество.
Обозначим через_^^*- полином степени k, такой что
p,.(M,.)=l, Р,-(М,.) = 0, М^фМ^, Mj^S. (4.37)
Тогда полином р в (4.36) можно записать так:
/'= S Ум.Рг. (4.38)

_ § 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 71
Теперь предположим, что задана функция (pg^*+^(uf), и
пусть ф —интерполирующий ее полином степени к,
определенный условием
ф{М) = ф(М) VMe^, (4.39)
Т. е.
Ф= 2 ф(М,)а;,. (4.40)
Используя формулу Тейлора, можно доказать, что для любого
мультииндекса
/ = Ни ■■■, in) с I Л = /1 +...+/„< /г
Д^ф(Р)=0/ф(Р) + ^-^ £ £ {D^ц>{P,).M,P^\x
xDfpi(P), (4.41)
где Р; —некоторая точка открытого интервала (М,, Р),
D' = D''. ,. D'", М,.Р' = £'• .. . е "
для M,.P = (ei^,..., е„р, / = (/,, ...,/„).
Отклонение ф от ф оценивается на ^ так:
^ 8ир|0^ф(Р)-0/ф(Р)|<сг,,^Лф)Р^"/рЗ^' (4.42)
ДЛЯ \j\ = ji+---+j„ = 'n^k, где р^ и р^ —величины,
определенные в п. 4.1 '. Это следует из (4.41) и следующей оценки
для pi'.
sup \DJpi {х) I < с/р'^ для I /1 = /и < fe. (4.43)
Доказательство соотношений (4.41) и (4.43) читатель может
найти в работах: Сьярле и Равьяр [1], Равьяр [4], Стрэ'йг и
Фикс [1]; по поводу частного случая леммы 4.8 см. также Сьярле
и Уэгшолл [1].
4.2.2. Аппроксимация (АПР2) пространства V. Ниже Q —открьт-
тля ограниченная область в R^; мы определим некоторую
внешнюю аппроксимацию пространства V.
Пространство F, оператор со. Пространство F—это НЦО), а
<й —тождественный оператор:
ш = и Vtt^V; (4.44)
<о — изоморфизм из к в f.
' lift (<Р) = sup sup {\DJ(f(x)\}.
X 1 / l = ft
■Супремум по X берется на ^^ в других местах, где используется это обо-
значение, предполагается, что супре)яум берегся по всему,носителю ф.

72 Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
Пусть <^д —произвольная допустимая триангуляция Q.
Пространство V^ft. Это — подпространство пространства Wfi,
определенного выше, а именно пространство непрерывных
векторов-функций йд, которые равны нулю вне
Q(A)= и df, (4.45)
компоненты которых являются полиномами степени два на
каждом симплексе of G ^н " для которых
\ divBftdA; = 0 V^e<^ft. (4.46)
•у
Условие (4.46) является дискретной формой условия div« = 0.
Функции Ufi^V^ принадлежат //"(Q), но не V; V^ ф V. Мы не
имеем в своем распоряжении никакого простого базиса для У/^;
соглас1Ю лемме 4.7, любая функция й^ g 1/^ может быть записана
в виде
но функции WiiM че принадлежат V^. Лемма 4.7 и ,(4.46)
показывают также, что
u\mV^^2N(h)-N' (h),
где Л/(/г) —число точек в ^2/^ и N'(h) — число треугольников
^ ^S"yi- Снабдим пространство V^ скалярным произведением из
Яa^) (как и Wft):
((«ft, '»^))ft = ((«ft, 'Он))- (4.47)
Оператор Pfi- Оператор р^ тождествен (напомним, что У^с//?, (Q)).
Операторы продолжения имеют норму единица и поэтому
устойчивы.
Оператор Гд. Операторы сужения определить труднее, так
как /-дй должны удовлетворять условию (4.46). Пусть й
—некоторый элемент из 9^^;^ положи1\4
/•йй = йд = й],.+ й^ (4.48)
где tt'h и и\ по отдельности принадлежат Wf^\ и\ определяется,
как в (4.32), условием
йиЛ1) = й(М) VMe'iift. , (4.49)
Нет никаких оснований ожидать, что и\ принадлежит!/-^, и
фактически u'h будет „малой поправкой", обеспечивающей выполнение
условия йй + Ил^Уд. Мы определим функцию ui с помощью ее

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 73
значений в точках М^'й,,; еслиМ = Л;—вершина треугольника,
то ай(Л,) = 0; если М = Л,/ —середина стороны треугольника,
то, обозначая через v^y один из двух единичных векторов,
ортогональных к AiAj, положим
uUAij)-AiA, = Q,
UH[Aij).Vij = -\^tt{Atj)^^U{A,) + \tti,Aj)yXi,
1
+ |J«(M, + (l-0/l;)-V;yd/. (4.50)
о
Лемма 4.9. Функция Uf,, определенная посредством (4.48)—(4.50),
принадлежит V^.
Доказательство. Основная идея определения (4.50) состояла в
Том, чтобы выбрать ui так, чтобы
\ Un-VijAl= \ u-v,jul. . (4.51)
Если считать уже доказанным, что (4.51) удовлетворяется, то мы
имеем для любого треугольника <^
] d\vUf,dx= ] Uf,-v<il= ] tt-vd/ = ] (iivu<ix = 0,
тлк как a^f^ (где v —единичный вектор внешней нормали
к д^У).
Докажем (4.51). Функция u'f, равна
й|- 2 al(M)w,M. (4.52)
На отрезке AjA, функция хюца-,—единственная из функций хюцм
в предыдущей сумме, которая не равна тождественно нулю.
Используя определение WhA,., легко проверить, что
wnA.^(tAi + {l-t)Aj) = 4t{l-t), 0<t<\. (4.53)
Аналогично
tth= 2 ttl{M)WhM,
Мб'Йд
где из функций w^m лишь функции шлд^, whaj, WkAj. не равны!
нулю па A/Aj. Нетрудно показать, что
WHA.{lAi + {l-t)Aj) = {t-l){2t-\),
WHAy{tAi + {\-t)Aj)=^t{2t-\). (4.54)

74 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Тогда
Ь
Ai о
= |-й|(Л,^.)•v,v + |йU'4,v)•v,^ + l{иЦЛ,.) + й^,(Л;)^•v,,
= (в силу {A.50))\u(tAi + (\-t)Af)-v;jut
о
предложение 4.3. Описанная выше внешняя аппроксимация
пространства V является устойчивой и сходящейся, при условии
что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию Ж^
области Q.
Доказательство. Проверим вначале выполнение условия (02^ -з
определения 3.6. Нам надо показать, что еслп нос ледова тель-
ность Ph'Uh', Uh'^Vh', слабо сходится к ф в f, то ф = и б V. Па
теореме 1.6 достаточно установить, что
diva = 0. (4.55)
Пусть 0 —произвольная функция нз 3){Q); в силу (4.46),
5(div«ft)0ft('x = O, (4.56)
Q
где 6ft —определенная выше ступенчатая функция, равная на
каждом симплексе ofgcFft среднему значению О на <5^ и рав1!ая
нулю вне Q(h). Легко видеть, что, когда suppOcQ(/i),
sup|Oft(A:)-0(A:)|<c(O)p(/i),
так что 0ft сходится к 0 в Ь°°-а L^-нормах; таким образом, мы
можем перейти к пределу в (4.56) и получить
J div«-OdA;=*-0 V 0 6®(Й),
чем и доказа1ю (4.55).
Условие (С1) из определения 3.6 таково:
limpftrfta='©« Уй€^. (4.57>
ft->0
Это эквивалентно тому, что
lim|K-rft«| = 0 Уяе^. (4.58)

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 75
Предположим, что p(/i) настолько мало, что О (Л) содержит
носитель и. в силу леммы 4.8 и (4.42), на каждом треугольнике
sup I и {х) —и\ {х) I < сщ (и) р^,
sup I DiU {х) - DiU\ {х) I < ст1з (й) 9%.l9'^.
Из доказательства леммы 4.9 вытекает, что
А J А,
I и\ (Ац) ■ V,,. = -^^ J й^ (X) ■ v,.j dl = j^ J [й (Jf) -ttUx)]vty dl
Ai Ai
1
= S (Й - Й» (M,. + (1 - 0 Л/) • v,^ d^. (4.60)
0
Следовательно, оценивая (4.60) с помощью (4.59), получаем
|aИ^//)l = |ah(^//)•v,;|<crlз(й)p5.. (4.61)
Далее, согласно (4.43), мы имеем
sup \Whm(x)\<,c,
sup \DiWt,M{x)\<,clp'^, i=l, ..., п.
Комбинируя (4.61) —(4.62) с (4.52), приходим к опенкам
(4.62)
sup |й|(л:)Ксг1з(й)р^,
sup |0,.йИл:)1'^сг1з(а)р5./р'^.
(4.63)
Наконец, объединяя (4.59) и последние неравенства, видим, что
sup I й (л:) — Ий {х) I < сг1з (й) р (/г)^
5ир|0,.й(л:) —0,.Ий(л:)Кст1з(й)р(/г)'а(/1) (4.64)
<сг1з(и)ар(/1)^ П
Замечание 4.3. Если Q — многоугольник, то можно выбрать триангуляцию 5"^
тпк, чтобы Q(h) = Q, что обычно и делается в практических вычислениях.
И этом случае мы можем провести предыдущие выкладки для произвольной
функции и^н1(Я)^'ё^ (Q.) и получить
i' я — '■ft» II < сг]з (и) а (/г) р (/г)'^. (4.65)
4.2.3. Аппроксимация задачи Стокса. Используя описанную выше
йппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы можем
TtMiepb предложить одну конечно-элементную схему для
аппроксимации двумерной задачи Стокса.

76 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Возьмем в (3.6)
aft(«ft. l'ft) = v((ttft, fft)), </ft, VH> = {f, fft), (4.66)
где f и / такие же, как и в. 2.1 (см. теорему 2.1).
Аппроксимирующая задача (3.6) принимает тогда вид
найти «ft б Vf^, такое что v ((я^, г»^)) =
= (/. t>ft) Vt»ft€Kft. (4.67)
Решение Uf, задачи (4.67) существует и единственно; более того,
имеет место
Предложение 4.4. Если p(/i)-*0 и a{h)^a {т.е. h^S^a), то
решение Uf, задачи (4.67) сходится к решению и задачи (2.6) е
норме //„(Q).
Доказательство. Легко видеть, что теорема 3.1 применима в этом
случае и в точности дает утверждаемый результат о сходимости. □
Аппроксимация давления. Мы введем аппроксимацию давления,
как в п. 3.3.
Форма г»,,!—»v((ttft, Vfi)) — {f, Vii) является линейной формой
на Wfi, обращающейся в нуль на Vf^. Поскольку Кд
характеризуется набором линейных связей (4.46), то, как известно,
существует семейство чисел К^,^^,^/,,— множителей Лагранжа,
ассоциированных со связями (4.46),—таких что
v((«ft, fft))-(/. ^''•^^^J^^^'^'l S divKftdA Vt»ft6W'^.
(4.68)
Пусть Xh^" обозначает характеристическую функцию треугольника
^, а Лд —ступенчатую функцию
Тогда мы имеем уравнение
v((ttft, г»,Л)-(лл, clivt»ft) = (/, z»ft) Vt»ft6irft, (4,70)
представляющее собой дискретный аналог уравнения
v((B, г»))-(рГс11уг») = (/, г») УьеЩ(^). (4.71)
Заме<!ание 4.4. Поскольку базис пространства Кд нам нсизБестен, решить
задачу (4 G7) непросто. Эффективные вычислительные алгорит.мы будут
приведены в § 5.
Невязка между а и й^. Предположим, что границей Q является
многоугольник (Q с: R^) и что и^'б^ (Q), а рgif' (Q). Тогда,
согласно замечанию 4.3,
\\а~г^п\\<^с{п, a)p^/J)^ (4.72)

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (И) 77
Мы можем положить v = v^ = af, — rf,u в (4.70) и (4.71); вычитая
(4.71) из (4.70), получим
V((Bft-и, Un-ГпП)) = (.^ft-р, div(Bft-г„и)). (4.73)
Пусть n'h обозначает ступенчатую функцию
' ^^ 4x)Ax\xh^. (4.74)
Тогда правая часть (4.73) равна {щ—р, div (йд —ГйИ)) и
оценивается величиной
I л^- р I. I div (Bft - r^u) I < I nk—p I II «ft— TftB ||.
Следовательно,
v{(Uh-U, »ft-'-6«))<|jt; —р|[[Ий-ГйИ||,
VII «ft - '■ft» IP < {| л;-p I + VIIИ-TftB 11} II Bft- /-ftW II,
l|Иft-rйй||<v-l|л^-^7| + ||й-r^,в||. (4.75)
Легко видеть, что \л^ — р\ оценивается величиной с 'ni(P)p(/^)>
и поэтому мы имеем, во всяком случае,
II «ft - г^и II < с (й, р) р (/г),
|1й^-й1Кс(й, р)р(/г), ^^■^''>
а следовательно, в силу (4.64),
1|%-и||<ст1,.(й, p)p{h). (4.77)
Если граница Q —не многоугольник, то, как обычно, в правых
частях (4.76), (4.77) появляется некоторая дополнительная ошибка
порядка р (/г).
Замечание 4.5. Оценка (4.77) неудовлетворительна, так как она означает, что
невязка между к и к^ имеет порядок p(h) (в норме Hi){Q)), в то время как
расстояние между к и V'ft имеет порядок р (Л)^, поскольку это расстояние
оценивается величиной (I к — ''ftK К (см. (4.64)). Нам неизвестно, является ли это
следствием того факта, что оценка (4.76) неоптимальна, или, действительно,
ошибка )) а—Kft II имеет порядок р (Л). Цель следующего подпункта —
построить улучшенный алгоритм, позволяющий получить приближенное рещение,
для которого ощибка в норме Но {Q) наверняка порядка р (Л)^.
4.2.4. Использование функций-колоколов. Мы приведем здесь еще
«диу аппроксимацию пространств Hl(Q) и V, приводящую к
алгоритму аппроксимации задача Стокса, который слегка
отличается от (4.67) и для которого ошибка имеет оптимальный
порядок (см. замечание 4.5). Соответствующая аппроксимация
пространства V обозначается через (АПР2'), а аппрокси.мирующие
пространства обозначаются через Wf^, V^, ...; для пространств,
1и?еде1П1ЫХ при изучении аппроксимации (АПР2), мы сохраняем
обозначения IF^, V/,

78 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Аппроксимация пространства //о(Ц. Пусть Q — открытая
ограниченная область в R? и d'"-, — какая-либо допустимая
триангуляция Q.
Пространство Wf^ —это пространство непрерывных вектор-
функций, которые равны нулю вне Q(/j) и компоненты которых
на каждом треугольнике <^^<0'^ равны сумме некоторого
полинома степени 2 и так называемой функции-колокола: функция-
колокол ' на аР — это функция
Р (л:) = X, {х) Х^ (х) Xs {х),
где К; — барицентрические координаты относительно вершин ^.
Заметим, что р(л;)='0 на д<^ и р(л;)>0 внутри ^. График Р
похож на колокол, прикрепленный к границе of.
Для каждого (У 6<^4 обозначим через Р/,^ непрерывную веще-
■ственнозначную функцию на Q, равную функции-колоколу на аР
и нулю вне ^. Пусть ^ft —пространство всех функций вида
х^ Z о,{^)^п^(х), a^(^)6K^ (4.78)
Тогда пространство Wf^ можно записать как сумму
rft = tt7ft + Sft, (4.79)
где tt7^ —пространство, введенное в п. 4.2.1. Поскольку Wf^n
(]S3fi =Щ, то произвольный элемент г'д из W^ допускает
единственное разложение вида
iH = Vf, + tf„v^eW^, t^e^n- (4.80)
Снабдим пространство Wfi (вложенное в Hl{Q)) скалярным
произведением, индуцированным из Hl(Q):
(Сап, v,)) = {Cun, in)) -ittn^Vn^^n- (4.81)
Возьмем pf^ равным тождественному оператору и определим ГдИ,
й G ® (^), просто положив
r^Bett^^ci^ftl, г^й(М) = й(М) V/M64Z,.
Тогда из доказательства предложения 4.2 немедленно следует
Предложение 4.5. Описанная выше внутренняя аппроксимация
пространства Hl{Q) является устойчивой и сходящейся, при
условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию Ж^,
области Q.
Аппроксимация пространства V (АПР2'). Как и ранее,
пространство F — это Hl{Q) и оператор со тождествен: ыа — и Уи^К;
' В оригинале u^iib function.—Ярил, перев.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 79
(!) — изоморфизм из V Ё F. Пусть «^^ — некоторая допустимая
триангуляция Q.
Пространство V/,. Это — некоторое подпространство
пространства Wf,, а именно пространство всех функций Ufi^W^, таких
что (ср. (4.46))
для любой линейной функции q
\q(i\vizf,dx = 0 V^e'^h- (4.82)
Хотя пространство Wf,, очевидно, вложено в W^, пространство
V,, не содержится в V^; функции из 1/^ — более общего вида (из-за
наличия функции-колокола), но они удовлетворяют
алгебраическим соотношениям (4.82), которые более ограничительны, чем
(4.46). Мы укажем позже некоторые весьма специальные связи
между пространствами Vf^ и V^ и, в частности, покажем, что
dim Vft = dim Уд.
Снабдим пространство 1/^, вложенное в //J(Q), скалярным
произведением (4.81).
Оператор р^. Оператор рд тождествен. Операторы
продолжения имеют норму единица и поэтому устойчивы.
Оператор г^. Операторы сужения будем обозначать через г^.
Они строятся довольно сложным образом. Пусть и — некоторый
элемент из 'V; положим
r^a---=un=^Un + tf„ (4.83)
где Ид+ ^ft —разложение (4.80) элемента ГдИ; определим Ид
формулой
Ид = гди, (4.84)
где Гд —оператор сужения для аппроксимации (АПР2) (см. п. 4.22).
Остается выбрать ^д^53д, такое что Ид-Ь^дбУд- Нижеследующая
лемма показывает, что условие (4.82) определяет единственный
"элемент t/^ и что
^ft= 2 ад(ЛРд^, (4.85)
Ч-('^) = Ы^' I Xi{u,.v)dT-\ ии^йхХ t= 1, 2. (4.86)
Лемма 4.10. Определенный с помощью соотношений (4.83) — (4.86)
элемент Ид принадлежит Уд.
Доказательство. Нам надо показать, что (4.82) выполняется для
q{x)=\, Xi, х^ и для каждого S'^S'^. В случае ^=1 заметим,

80 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
что
5 А\уи^йх==] (iivafi<ix+\ й\\ t/tdx;
jr Jf ^ ^
интеграл ^ u'w U/tdx равен нулю, поскольку и^ = Г/,а^У/1 и
I d\vtf,dx= S tf,-vdr
обращается в нуль для каждой функции-колокола t^^SBti, так
как tfi — 0 на д<^.
Теперь проверим выполнение условия (4.82) для q = Xi, i = 1, 2.
В этом случае его можно записать так:
0=\ XI Aiv ttfi<^х = ] Xidiiv Ufidx+\^ л;,-div^йdx, (4.87)
^ jr ^
или, поскольку Pftj. равно нулю вне ^,
5 Xi div (Oft (<^) Pft,y) dA; = — 3 X; div Ид dAf,
= —5 div(A;,Bft) dA:+] ид. dA: = — ] x ,■ UfiV dT + \^ Un.dx.
Для того чтсбы преобразовать левую часть последнего равенства,
заметим, что
(б,у —символ Кронекера). Применяя формулу Грина и учитывая
тот факт, что Pftd'=0 на ^о?', получаем отсюда
согласно нижеследу{ощей лемме, эта величина равна
—60~* (mesc!5'')6,y. Окончательно, требуемое соотношение
эквивалентно соотношению
■aft
..{<^)= J" Xi{Uf,-v)dx—'\^Uh.dx, / = 1, 2,
60
которое в точности совпадает с (4.86). □
В этом доказательстве мы использовали следующий результат.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 81
Лемма 4.11. f рй^.{л;)с1л; = 2^. (4.88)
Доказательство. (W l.^) = ^-i (^) ^-2 W ^з W Для x^af, где >.,•
—барицентрические координаты относительно вершин <^. Рассмотрим
линейное преобразование Л в R^, действующее по правилу
x^(Xi, x^)t—^x = {Xi, лГа) = (^-1 (^), K{x))'i оно переводит #" в
треугольник
^ = {х; 0<1,., t=l, 2, -^i + ^a^l}-
Имеем dx = J их, где J обозначает якобиан Л,
mes^"
y=^ = E£i£=.2mes<^.
J dx
Поэтому
\ h<y{x)ux==\ x^x^il—Xi — x^) J dx.
Интеграл J XyX^{\ — x-^ —x^ dx вычисляется элементарно; он pa-
вен 1/120, откуда и следует (4.88). П
Предложение 4.6. Описанная выше внешняя аппроксимация
пространства V является устойчивой и сходящейся, при условии что
h пробегает некоторую регулярную триангуляцию Ж о. области i\.
Доказательство. Условие (С2) из определения 3.6 проверяется
точно так же, как и в случае предложения 4.3. Выполнение
условия (С1) нз определения 3.7 будет доказано, если мы
установим, что lim|;« —ГйИ|'| = 0 ^tt^'V.
h -> о
Ввиду (4.58) и определения г^, для этого достаточно показать, что
lim|/J| = 0, (4.89)
ft ->0
где tf^ определено посредством (4.85), (4.86). Поскольку div й=0,
то
\ Xi{a, v)dr-^ 5 div(;f,«)dx = 5 Uidx;
."JTO дает другое (эквивалентное) выражение для 0ft.:
•^"/(=^^ = ^^1 S x,.(«A-«)-vdr~5 [Uh.-Ui)dx\,
t=l, 2. (4.90)

82 Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
Из оценок, полученных при доказательстве предложения 4.3,
вытекает, что
sup |«ft(;f)-«{;^)Кс'Т1з(«)р»,. • (4.91)
Комбинируя (4.90) с (4.91), находим, что
К(^)|<^С^ + т)р^(ибо^Р:А<те5^)
<с"'т1,(и)^, . (4.92)
Теперь можно оценить \t^\\. Мы имеем на аг'
и так как |>и, (л:)К1 и |D>u,-Kl/Pj, (см. (4.11), то
I D^ft К ca^Tig (и) p^/pj, < са\^ (а) р [hf,
5 I Dtn р >\х ^с^а-'т]! (И) р {hf (mesQ). (4.93)
й
в результате получаем
[ h\=\ Dh W (Q) < c^'^s (») P m (4.94)
u (4.89) доказано. □
Замечание 4.6. Из (4.83) и оценок (4.59), (4.63), (4.93) вытекает, что при
достаточно малых h
supjB {x)—~rhU(x) Ксг1з(и)(1+а')р(Л)8,
(4.95)
sup I DjU (x) — DirhU (x) I < cria (a) a (1 ■\-a^) p {hY<
VB^"?^, i=\, .. ., n. Если Q = Q [h), TO соотношения (4.95) справедливы для
каждого u^V[\'ё^ (Щ, и мы имеем, в частности,
11и-7йа||<сг1з(»)а(1+аЗ)р(/г)2. (4.96)
Аппроксимация задача'Стакса. Используя описанную выше
аппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы можем
предложить другую конечно-элементную схему для аппроксимации
двумерной задачи Стокса.
Возьмем в (3.6)
ал(йй, ^A) = v((«ft, v^)), (4.97)
<^й, ^й>-(/. in)- (4.98)

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 83
Аппроксимирующая задача (3.6) принимает тогда вид
найти UH^Vh, такое что v((uh, v^}) = (f, i^) уЬ^^У^.
(4.99)
Решение задачи (4.99) существует и единственно; более того,
применяя теорему 3.1, мы получаем следующий результат о
сходимости.
Предложение 4.7. Если p(/i)—1-0 и a(h)^a (т.е. h^.9^a), то
решение % задачи (4.99) сходится к решению и задачи (2.6) в
норме Н1{0.).
Преимущества этой схемы перед схемой (4.67) будут видны
после того, как мы опишем аппроксимацию давления и дадим
оценку ошибки.
Аппроксимация давления. Введем аппроксимацию давления так
же, как и в (4.70), причем приближенное давление я^ будет
теперь функцией, кусочно-линейной на каждом треугольнике of.
Форма Ofti—>v((Bft, Vh)) — {f, Vh) есть линейная форма на W^,
равная нулю на Vf^. Так как Кд характеризуется набором
линейных связей (4.82), где ^=1, х^, х^, то существует семейство
множителей Лагранжа ^-j», i = 0, 1, 2, af^S'ui таких что
V((«ft, Ол))-(/, Ол)= 2 %J'J\ ^\^V^AX
2
+ 2 2' У^^{\х^6Ху1Ч}^^х).
Пусть Лд обозначает скалярную функцию на Q, равную нулю
вне Q{h) и равную "^■\-x^l.^^-{-х^%^^ п. в. на каждом (i^gj^^.
Тогда правая часть последнего соотношения равна
S
а
И мы имеем
v((%, 'Ол))-(лд, divz>ft) = (/, щ\ ^v^^W^; (4.100)
это соотношение снова является дискретным аналогом (4,71).
Невязка между и и и^- Предположим, что QczR^ имеет гра-
шшей многоугольник, Q = Q{h), u^'e^{Q), p^'e^-{Q). Тогда,
согласно замечанию 4.6,
|;«-;;,й||<с(й, a)p(;i)^ (4.101)
Положим v-=Vh = U)i — ~rhU в (4.100) и (4.71). Вычитая (4.71) из
^4.100), получаем
V ((йд-и, йн-г^и)) = (лд-р, div (йд-Гл«)). (4.102)

84 Гл. I. Стационарные уравнения LmoKca''
Обозначим через л,,^ кусочно-лине11ную функцию, на каждом
треугольнике #" равную
p{G) + {x-G)-Vp(C),
где G —барицентр (центр тяжести) <^. В силу формулы Тейлора,
sup \л:,(х)—р{х)\^с(р)р''^,
sup I я,, (л;) ~р (X) Кс (р) р (/i)?. (4.103)
Однако правая часть (4.102) равна (я^ —р, div (Вд —г^и)), а
учитывая (4.103), мы можем оценить модуль этого выражения
величиной
<c{p)p(hYfu^-''r^u\\.
Следовательно,
vi йд ~ л> 1р < {| л;;- р I + V1И - ?йИ 11} I! й„ - г\и Ц,
1%-ГйИ!К-1Яй-/)Ц-||И-Лдй|,
II «л - '^htt 11 < I с (р) р (Л)^ + с («, р) р (ft)?.
Окончательно
11«л-И',|<с(й, p)p(ft)^ (4.104)
« мы имеем ошибку оптимального порядка, т. е. порядка
расстояния между и и V^. D
Алгебраическая связь между V^ и Vf,. Теперь мы хотим указать
простую алгебраическую связь между Vf^ и Vf^; а именно, мы
покажем, что существует весьма простой изоморфиз.ч Л^ из У^ в V/^.
Эго означает, что V^. и V^ имеют одинаковые размерности и что
схема (4.99) может быть интерпретирована как схема в V^. Тем
самым мы найдем схему в У^, дающую в некотором смысле оигибку
оптимального порядка'. Интересно также от.метить, что (4.99)
эквивалентна некоторо^й схеме в V^; схемы в У^ более просты для
решения, чем схемы в V^, поскольку вместо трех линейных
связей на каждом c^gj^^ мы имеем одну (см. (4.46) и (4.82)).
Произвольный элемент Uh, принадлежащий Wf^, можно
единственным образом записать в виде Uft + tf,, u^^W^, tf^^SBh- От-
' Мы получим :|« — a^:|<^c(«, р)р(/г)''*, но, очевидно, не ;|в—Ллйл,'1 ^
. (в, j»)p(/i)2. Нам неизвестно, справедлива ли оценка ЦЛдйд—Ид[,^с(:>(/г)2.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 85-
ображение U/,>—^ttf, есть линейный проектор из Wf, на W,,.
Обозначим через Л;^ сужение этого проектора на V^.
Лемма 4.12. Af, —изоморфизм из V^ на V^.
Доказательство. Покажем прежде всего, что ЛйВд= «д=Ид — ^н€
^Кд, если ttfi^V^. Действительно, на каждом af^<^^
5 div Ид d;^ = 5 div u^dx — \^ div tf^ dx,
^ if ^
a выражение справа равно нулю, поскольку Идб^д и, как мы
уже отмечали,
ir
Как проекционный оператор Лд сзапмно-однозпачен. Остается
проверить, что Л^ есть отображение на. Надо показать, что для
любого заданного Ид^^^ найдется такое /д = ^/ЛИд) б'^л. что
«л € ^л и ^^h^^^h^^h («л)' т. е. Л^^Вд = Ид. Это доказывается так
же, как и в лемме 4.10, причем соотношения, задающие t/^, в
точности те же, что и (4.85), (4.86). □
Из леммы 4.12 вытекает, что мы кюжем записать схему (4.99)'
в следующем виде:
найти % g V^, такое что
V ((«д + h (%). v^ + h iv^))) = if, v^ f-1^ iv^)) ^v, e Vft,
(4.105)
где ^;ЛИл)€^л задано в терминах Вд леммой 4.11 и формулами
(4.85), (4.86). Решение и^^ задачи (4.105) отличается в „лучшую"
сторону от решения Ид задачи (4.67), и улучшение состоит в том,
что ||и —Л^^Вд] имеет оптимальный порядок (если, как обычно,.
Q{h)=Q и ие'ё^^-), pe^'(^))•
4.3. Конечные элементы степени 3(л = 3). Пусть Q —лип-
шицева открытая ограниченная область в R^. Вначале мы опишем
внутреннюю аппроксимацию пространства Щ (Q), а затем внешнюю
аппроксимацию пространства V. Аппроксимир^'ющие функции
кусочно будут полиномами степени 3.
4.3.1. Аппроксимация пространства Щ(0,). Пусть «0'"^ —некоторая
допустимая триангуляция Q, и пусть
Q(;i)= . и <У. (4.106)
Если сУ —трехмерный симплекс (т. е. тетраэдр), то мы обозначаем
через Л,, ..., Л^ его вершины и через В^, ..., 64""барицентры
его двумерных граней сУ;, . . ., еУ,. Обозначим, далее, через Sn '^'"о-
жество вершин симплексов о5^€#'д, а через «^^ ~~ ^'но^^ство бари-

«6
Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
центров двумерных граней симплексов df, принадлежащих <^/^;
Sh =Sh USl-
Прежде всего докажем следующее утверждение.
Лемма 4.13. Полином степени три в К" единственным образом
определяется своими значениями в точках A,,Bi, l^t^4, и
значениями своих первых производных в точках Л/. Он выражается
через барицентрические координаты относительно Л, А^ по
формуле
Ф W = S [1 - 2 (Х,-(Ar)f + 3 (>., (^)П Ф ('^г)
1=\
1 V ^'. (>c)...K(x)
27ф(В,)-7 Хф{Ла)
4
(,/=1
-L ^^^17(^[0фИ,-)-лл].
а= I
аФ i
(4.107)
i. /= 1
Доказательство. Доказательство точно такое же, как и
доказательство леммы 4.5. Коэффициенты ф являются решениями
некоторой линейной системы, в которой количество неизвестных
совпадает с количеством уравнений; достаточно проверить, что
полипом в правой части (4.107) удовлетворяет всем требуемым
условиям при произвольпо.м наборе данных ф(Л,), ф(5,), Оф(Л,). П
Из этой леммы следует, что скалярная функция ф^^
определенная на Q,(h) и являющаяся полино.мом степени три на каждом
симплексе 'if ^^h, полностью определена, если заданы ее
значения в точках Aj^Sh и Bj^Sh а также значения ее производной
Офй в точках A/^Sh- Такая функция (р^ дифференцируема на
каждом <^ £^h< 40 отсюда вовсе пе следует, что эта функция
должна быть дифференцируема или хотя бы непрерывна на Q (/i).
В действительности фу«кции (f/, все-таки по меньшей мере
непрерывны: на двумерных гранях ^' тетраэдра of ^S"^ функция ф^
принимает два (возмб!й<но, различных) значения, ф^ и ф;^; ио ф^ и
Ф^ —полипомы степени три, которые имеют одинаковые значения
в вершинах и барицентрах о5^'; первые производные от фй+ и ф;^
также равны в вершинах &" (они равны касательной производной
от фл относительно &"). Теперь можно точно так же, как в
леммах 4.5 и 4.6, доказать, что фл'=ф/Г-
Обозначим через ш^^,, Mg^^, скалярную функцию, которая
является кусочно полиномом степени три на fi (/i) и удовлетворяет

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 87"
условиям
Dw,^(P)^oypesi ^^-^^^^
Для M^Sh, 1=1,2,3, обозначим через wj,% скалярную
функцию, которая является кусочно полиномом степени три на Q(hy
и удовлетворяет условиям
wk'k{P)=oypeS;.,
Dw'.'h (P)=OVPeSlP¥=M, (4.1 G9>
Ош),%М = e,., i = l,2, 3.
Все функции Wf^^, w^|^l^ непрерывны на Q{h).
Пространство W^- Пространство W^ — это пространство
непрерывных вектор-функций K^ из Q в R' вида
3
й^= S й,{М)ш,д,+ S liD,Un(IA)wi;%, ■ (4.110)
которые обращаются в нуль вне Q.{h). Понятно, что Uh{M.)--^^
для каждой точки М ^^^ U^^ Ci), но так как касательные
производные от % равны нулю на гранях тетраэдров еУ,
содержащихся в il{h), то производные DiU^{M), УИ €^/1U6Q{/i), не
являются независимыми.
Пространство W^ есть конечномерное подпространство в Н1{Щу
снабдим его скалярным произведением, индуцированным из //J(Q):
{{Uh,'Oh))h-{{Uh,'0^)) VB;„«»;,€W,. (4.111>
Оператор р^. Оператор продолжения р^ тождествен.
Операторы Рй устойчивы.
Оператор г^. Для Mg^(Q) определим и^^г^и так: «4 = О,
если носитель и не содержится в ii{h), а если носитель и
содержится в Q (h), то
u^(M) = a{M)VMeSh, Z;Hft(M) = DK(Al)VMf.^U4.112)
Предложение 4.8. Описанная выше внутренняя аппроксимация
пространства HI (Q) является устойчивой и сходящейся, при
условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию Ж а
'области Q.
Доказательство. Достаточно доказать, что и,, = г^и—> и в Щ{0.)
для каждого U^S){^ при p(/i)-^0, к^Жа- Доказательство
этого факта аналогично доказательству предложения 4.2. Аналог
оценки (4.42) для интерполяционных полиномов эрмитова типа

(4.113)
88 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
(см. Сьярле и Равьяр [1]) дает
sup \и(х) — Ид {х) I < щ^ (и) рУ
sup I Ои {х) — DUf, {х) I < сц^ (и) Р&-/Р&-.
Следовательно,
sup I и W - Ид {х)\^с (и) р ф)*,
(4 114)
sup I Da {х) - Оид (х) К с (и) р (/I)' а (Л); ^ '
В частности,
||и-Ид!!<ссс(и)р(;1Г, (4.115)
в случае если suppwcz Q(ft). П
Аппроксимация (АПРЗ) пространства V. Напомним, что Q —
ограниченная область в R*.
Пространство F, оператор а». Пространство f —это Щ{^) и
« — тождественный оператор. Пусть J^^ — некоторая допустимая
триангуляция Q.
Ярос/пранс/пбо Кд. Это —подпространство введенного выше
пространства Wf^, а именно пространство всех u^^W^, таких что
5 div«^dA- = 0 У<У€=^й- (4.116)
J*
Снабдим пространство Уд скалярным произведением (4.111),
индуцированным нз //о (Q) и 1^д.
Оператор р^. Это—тождественный оператор (напомним, что
Оператор /-д. Оператор Гд строится по тому же принципу, что
и в п. 4.2. Пусть и —произвольный элемент из f^; положим
r^U = u\ + ul (4.117)
где Uh и ul принадлежат W^; itj, определяется точно так же, как
в (4.112):
duum)=d»{m) vMesi ^ '
Поправка af, определяется так:
«^(M) = 0, Da^M) = 0 VMg^Ji, (4.119)
и в точках M^Sh составляющая иЦМ), касательная к той
грани 1^', барицентром которой является М, равна нулю; нормаль-

§ 4. Дискретивация уравнений Стокса (П) 89-
пая составляющая и^-v определяется из условия
\u^{x)-\AY=^\u{x)-\AT. (4.120)
Можно доказать ', что существует константа d, такая что
J ul(x)-xuT = d{mQs^')ttl{M)-\,
и (4.120) означает, что
«aM)-v^^(j3dy") \{Ч-ан){х)-хйТ. ^4.121)
. «5"
Тогда ясно, что и^ принадлежит V^, поскольку для каждого
5 div Bft d;f = 5 «^•'v dr= J и-v dr^ \divBdA; = 0.
d* ed* асУ c>"
Предложение 4.9. Описанная выше внешняя аппроксимация
пространства V является устойчивой и сходящ,ейся при условии, что h
пробегает некоторую регулярную триангуляцию Ж а области Q.
Доказательство этого предложения аналогично доказательству
предложения 4.3.
Аппроксимация задачи Стокса может быть изучена точно так
же, как в п. 4.2.
4.4. Внутренняя аппроксимация пространства V.
Предположим, что Q —открытая ограниченная область в R^ с лип-
тицевой границей. Для простоты будем считать, что Q односвязпа;
относительно многосвязного случая см. замечание 4.7.
В двумерном случае условие div«=0 имеет вид
и означает, что существует функция г|; {функция тока), такая что
Функция xj) определена локально для произвольной области И и
глобально—для односвязной.
Таким образом, в рассматриваемом случае мы можем
сопоставить каждой функции из V соответствующую функцию тока v|).
Условие и=0 на дО. означает, что касательная и нормальная
производные от г|; на dQ равны нулю. Тогда \|; постоянна на дО.,
а поскольку ■^ определяется лишь с точностью до аддитивной
> Принцип доказательства тот же, что и в лемме 4.9,

"90 Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
постоянной, ТО можно предположить, чтог15 = 0 на 1\ следовательно,
■фбЯо(^)- Поэтому отображение
есть изоморфизм из Щ{И) на V.
Теперь нашей целью является построить некоторую
аппроксимацию пространства Яо (Й) с помощью кусочно-полиномиальных
функций степени 5, а затем получить с помощью изоморфизма
(4.124) внутреннюю аппроксимацию пространства V,
Внутренняя аппроксимация пространства HI {Q). Пусть «^^j —
какая-нибудь допустимая триангуляция области Q и
Q{h)= и ,У. '(4.125)
Двумерные симплексы —это треугольники. Пусть сУ —некоторый
треугольник с вершинами Л,-, А^, Ag, обозначим через Bf, fig, В^
или Лгз. ^13. ^12 средние точки сторон А^А^, А^А^, А^А^; далее,
пусть Vjy обозначает единичный вектор, нормальный к стороне
Ai Aj, l<i, /<3.
Отметим вначале следующий результат.
Лемма 4.14. Полином ф степени 5 в R^ определяется единственным
образом следующими своими значениями и значениями своих
производных:
ОХЛ,.), l<i<3, |аК2, (4.126)
Зф
здесь А; —вершины треугольника of, а А^—средние точки его
■сторон.
Доказательство. Мы наметим лишь принцип доказательства.
Видно, что имеется столько же неизвестных (21 коэффициент для ф),
-сколько линейных уравнений относительно этих неизвестных (21
соотношение, соответствующее (4.126) — (4.127)). Как ивлеммах4.5
и 4.13, достаточно показать, что решение существует для
произвольного набора исходных данных в (4.126) —(4.127), а это
может быть доказано явцым построением ф, приводящим к формуле,
аналогичной (4.26) илр (4.107). Мы опустим доказательство этого
чисто технического .фйкта; его можно найти у Женишека[1] или
Зламала [1]'. Q
/ Принцип построения таков. Пусть Xj, Xj, Х^ обозначают
барицентрические координаты относительно А^, А^, As- Аффинное отображение х^—^у —
= (Xi{x), Xi (х)) переводит треугольник SP в треугольник ^, определяемый
условиями i/[- = Xf^O, у2=Х2^0, 0^i/i + i/2 = X( + X2^ 1- На 3^ функция
-ц) (х (у)) строится элементарно; используя обратное отображение у\—^х,
получав..; функцию ф (л:).
^.{Aif), l<i,/<3, i^j- (4.127)

§ 4, Дискретизация уравнений Стскса (11) Г1'
Из ЭТОЙ леммы следует, что скалярная функция ф^, которая
определена на Q(/i) и является полиномом степени 5 на каждом
треугольнике ^^i"^, полностью определена, если заданы ее
значения в точках Л,-^^й, Bi^Sl и значения ее первых и вторых
производных в точках Aj^Si, где
(^1, —множество вершин треугольников с5^ g
^(^ft, содержащихся во
внутренности Q(h),
^ft —множество средних точек сторон
треугольников <y^t^ft, содержащихся во
внутренности Q(/i),
SH = S\[iSl. (4.128)
Такая функция ф;^ бесконечно дифференцируема на каждом^ б «^л,
но совсем не обязательно, чтобы она была столь же гладкой на
всём Q{h). В действительности функция ф^ непрерывно
дифференцируема на Q (/г). Пусть ф^ и ф^ обозначают значения ф^
с разных сторон стороны А^А^ треугольника of ^^^', ц>н и ф^ суть
полиномы степени не выше 5 на А^А^ и совпадают вместе со
своими производными первого и второго порядков в точках А.^ и
А^ (шесть независимых условий); следовательно, ф^ =Фй".
Касательные производные 5ф^/(5т и дц1;;/дх, х = A^AJl A^A^l, также
совпадают. Покажем, что и нормальные производные dif^/dv-i^ и
дц!й/дх^2 равны на А^А^. Эти производные являются полиномами
степени не выше 4 на А^А^; они совпадают между собой вместе
со своими первыми производными в точках Л, и Лз и совпадают
между собой в точке А^^. Следовательно, они равны на А^А^.
Это доказывает, что ф^ непрерывно дифференцируема на Q(/i).
Каждой точке M^Sl сопоставим функцию '^1м^ являющуюся
кусочно полиномом степени 5 на Q,(h) и такую, что
■^'^1м{М) = \, а все другие значения \|;^m
в узлах равны нулю, т. е.
^(Р) = 0 ^P^Sl РфМ, (4.129)
Каждой точке M^Sj, сопоставим шесть функций г|з^м. •••,'Фйм>
определенных следующим образом: они являются кусочно
полиномами степени 5 на Q (h) и
il3hAi==l; все другие значения ^р^м в узлах
равны нулю; (4.130)

92 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Dytt'(Л^) —й// ДЛЯ t=l или 2; все другие
значения \|3^Xf^ в узлах равны нулю; (4.131)
0Жм(Л1) = 1, DiD,i|)^M(A^) = U D\^U-^\
все другие значения i^Jai, 'Фйм и ф^д] в узлах
равны нулю. (4.132)
Все эти функции непрерывно дифференцируемы на Q.{h).
Пространство Х^. Пространство Х^ — это пространство
скалярных непрерывно дифференцируемых функций на Q (или R^)
вида ■
Фй= S I'm^hm+I, S ?WftM, Vm^^. (4.133)
Эти функции равны нулю вне Q{h), и поскольку они непрерывно
дифференцируемы в Q, то
^JA(M)=ovMeShndQ{h). ^"^-^^^"^
Пространство Xf^ есть конечномерное подпространство в Hl(Q);
мы снабдим его скалярным произведением, индуцированным из
((^ft. Фй))л =((%. Фл))я^'(0) Vi);^, ф^ е Х„. (4.135)
Оператор р^. Возьмем в качестве р^ тождественный оператор
(так как Х^а Щ{0.)).
Оператор г^. Для ф из S>{Qi) (плотного подпространства
в //о(^)) определим функцию /-ft\l) = \|)^ следующими значениями
в узлах:
О^ф^(М) = D^if(М) УМе^),, |а|<2.
Предложение 4.10. Семейство троек (Х^, р^, z-^) задает
устойчивую и сходящуюся внутреннюю аппроксимацию НЦЩ, при
условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию §Са.
области Q. ■•'*'
Доказательство. Достаточно показать, что для каждого ij5^^(Q)
г^г1)-^1|5 в Я5(Й) при р(/г)->0. (4.137)
Это следует из аналога оценки (4.42) для интерполяционных
полиномов эрмитова типа (см. Сьярле и Равьяр[1], Стрэнг и Фикс[1],

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 93
Женишек [1], а также Зламал [1]):
sup 1 if^ W-t W Kcrie {^) pj-,
АГбсУ
sup 1 D,4^ (X) - D,4^ (x)! <СГ), (1);) -^ ,
sup 1 ОЧл (>^) - ^"t (>^) 1 <СГ), (t) — ,
f = l,2,
1^1 = 2.
(4.138)
(4.139)
(4.140)
Из этих оценок видно, что
Учитывая (4.22), заключаем, что
i^^<Q4Q<H„ —О при Р(^)-> 0. П (4.142)
Внутренняя аппроксимация (АПР4) пространства V.
Напомним, что Q —ограниченная односвязная область в R}. Определим
внутреннюю аппроксимацию пространства V, используя
описанную выше аппроксимацию лространства НЦО) и изоморфизм (4.93).
Пусть задана некоторая допустимая триангуляция S'^
области Q. Сопоставим этой триангуляции пространство У^ и
операторы р^, г^ следующим образом.
Пространство У^. Это —пространство определенных на Q
(или R^) непрерывных вектор-функций и^ вида
д^-1г\
дхл
(4.143)
где ij5^ принадлежит построенному выше пространству Х^. Ясно,
что Uf, равна нулю вне Q(/j) и непрерывна, поскольку ij^^
непрерывно дифференцируема, и что div«^ = 0. Следовательно, Wft^V
и Vf^ есть конечномерное подпространство в V. Снабдим У^
скалярным произведением, индуцированным из V:
((йй. «»,)), = ((«„ г»,)). (4.144)
В частности,
\(а 1 —2 /
Оператор р^. Это тождественный оператор.
Оператор г^. Пусть и^1^ и г|з — соответствующая функция
тока (см. (4.124)); понятно, что 'фб^(^). и мь1 можем
определить il^ftg^ft с помощью (4.136). Положим теперь

94 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Предложение 4.11. Описанная выше внутренняя аппроксимация
является устойчивой и сходящейся при р (Л) —* О, при условии
что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию S^^
области Q.
Доказательство. Достаточно доказать, что
а,, = г^и-*и bV Vuef^- (4.147)
Согласно (4.124), (4.145), (4.146), мы имеем || % — и 1! < || Фд — t If^i ^Qy
Поэтому (4.147) следует из (4.141) и (4.142). П
Аппроксимация задачи Стокса. Возьмем в (3.6)
«ft (Ил. ■»ft) = v((«ft, «'ft))ft = v((a,„ Z'ft)), (4.148)
<l^,v^>==<f,v^>, (4.149)
где г» и / те же, что и в п. 2.1 (см. теорему 2.1).
Аппроксимирующая задача, ассоциированная с (2.6), такова:
найти Uf,eV/^, такое что v(,{ttf„ Vf,)) = <f, Vf,> Vz»ft6Vft-
(4.150)
Решение и^ задачи (4.150) существует и единственно, и, как
следует из теоремы 3.1 и предложения 4.8,
«ft —♦ й в У сильно при p{h)—^0, h^S^a- (4.151)
/Невязка между и и и^. Предположим, что граница области Q —
многоугольник, так что мы можем выбрать триангуляцию (0'^^,
для которой Q (h) = Q. Предположим, что решение а задачи Стокса
обладает следующей гладкостью: и 6 ^-(^)'. тогда, в силу (4.141)'
и (4.145),
1|й —/■ййКс(м, а)р(/г)». (4.152)
Равенства
V((и, V)) = </, vy Vz»еУ, V((Ил, z'ft)) = </, Z'ft)VVf^eV
дают v((« —«л, riitt — Uf,)) = 0. Следовательно,
|и—йй!;2 = ((и-Ий, й —/■йИ)х;|и—ИйЦи—ГйИЦ,
и с учетом (4.152) мы получаем
||и-Иft|;<<^й,a)p(/г)^ (4.153)
Замечание 4.7. Если Q—неодносвязная открытая область в R^ и и принад-
• лежит V, то, согласно лемме 2.4, существует функция ij), удовлетворяющая
(4.123). Поскольку и обращается в нуль на 3Q, то ij) необходимо однозначна,
5'ij)/3v равняется нулю на dQ, ^ равняется нулю на Го—внешней части 3Q —
' Ради простоты (4.141) было доказано для 'ij)£^ (й); по доказательство
годится и для любого 'ф^ё" (Й)П^о (^).

§4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 95
II принимает постоянные значения на Tj, i\, ...—внутренних компонентах dQ.
Отображение (4.124), ij)i—>и — {(^ф/Злга, —d}^/dxi}, устанавливает изоморфизм
между пространствами
X = iij)g№(fi>), 1|; = о на Г„, i|) = const на Г,-, -j^=0 на дй\ (4.154)
м V.
Несложная модификация предложения 4.10 приводит к некоторой
аппроксимации пространства X, и как и в предложении 4.11, мы можем получить
Н1 нее аппроксимацию пространства V в неодносвязиом случае.
Замечание 4.8. (i) Внутренняя аппроксимация пространства V с
кусочно-полиномиальными функциями степени 6 построена в работе Томассэ [1].
(ii) Для /1 = 3 никаких внутренних аппроксимаций пространства V неиз-
мсстно.
4.S. Несогласованные конечные, элементы. Из-за условия
diva = 0 невозможно аппроксимировать V с помощью самых
простых конечных элементов, кусочно-линейных непрерывных
функций. Это было показано Фортэном [2]. Наша цель здесь —описать
некоторую аппроксимацию пространства V с помощью линейных
несогласованных конечных элементов, которые в этом случае
являются кусочно-линейными, но разрывными функциями. Это
приводит к аппроксимации пространства V, обозначаемой нами
(ЛПР5). Затем мы сопоставим этой аппроксимации некоторую
новую аппроксимирующую схему для задачи Стокса.
4.5.1. Аппроксимация пространства HJ(Q). Предположим, что
Q — ограниченная липшицева открытая область в R". В
настоящем подпункте мы будем аппроксимировать Щ (Q) с помощью
несогласованных кусочно-линейных конечных элементов.
Пусть t^ft обозначает некоторую допустимую триангуляцию
области Q. Для симплекса ^^^^л мы обозначаем через Л,, ...,
/1„ + 1 его вершины, через t^,- —его (п—1)-мерную грань, не
содержащую Л,-, и через Б,- —барицентр грани а^;. Если через G
обозначить барицентр ^, то, поскольку барицентрические
координаты В; относительно Лу, j^i, равны 1/п, мы имеем
GB.-=i:^ = E-/-^. (4.155)
1Ф1 /=1
или
GBi=-j-GAi, (4.156)
га+1
ибо 2 GAj = 0 (барицентрические координаты G относительно
^i> •••> ^n+i равны 1/(п4-1). Отсюда вытекает, что
nBiBj = п {GBj - GB]) = GAi -GAj = —AiAj (4.157)

96
Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
И, следовательно, векторы В^В,, / = 2, ...,п+1>
линейно-независимы, подобно векторам Л,Л/, / = 2, ..., п-{-\. Благодаря
этому могут быть определены барицентрические координаты точки Р
относительно В^, ..., B„+j; обозначим эти координаты через [Xj,
.. ., n„+i. Заметим еще, что для каждого заданного набора n-f 1
чисел Pi, ..., P„+j существует одна и только одна линейная
функция, принимаюи1ая в точках Bj, ..., B„+i значения pj, ..., P„+i,
и эта функция ц имеет вид (см. предложение 4.1)
й(P)=^P,•^i,•(/')• (4.158)
Пространство IF^. Это— пространство вектор-функций и,,,
которые линейны на каждом <^ Q<^j„ равны нулю вне Q{h)' и
таковы, что значение и^ в барицентре В, некоторой (п—1)-мер-
ной грани <^1 симплекса ^^(0"^ равно нулю, если эта грань
принадлежит границе Q(/i); если эта грань пересекается с
внутренностью Q (h), то значение й^ в В, будет тем же самым, что
и в случае, когда В, рассматривается как точка, принадлежащая
двум различным смежным симплексам.
Обозначим через 11^ множество всех точек В,, которые
являются барицентрами некоторых (?? — 1)-мерных граней
симплексов ■S'^S'ii и которые принадлежат внутренности Q (/г). Функция
tth^^h полностью определяется своими значениями в точках
Обозначим через к'^д, где В —точка из 41 f^, скалярную
функцию, которая линейна на каждом симплексе ^б^*.
удовлетворяет тем же граничным условиям и условиям согласования, что
и функции из Ж'\, и, кроме того, условию
Шл« (В) = 1, w^„ {М) = О VM 6 '^ft, МфВ. (4.159)
Такая функция ш\д имеет носитель, равный объединению двух
смежных с В симплексов (рис. 5).
Рис. 5. Два смежных треугольника (п = 2).
' Как и прежде, Q (Л) = у ^.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (If) 97
Лемма 4.15. Функции w^gBi из W,^, где В ^41^ и 1 <1<л, обра-
иуют базис в W^. Следовательно, размерность Wf^ равна nN (h),
еде N(h) —число точек в 41,^.
Доказательство. Ясно, что эти функции линейно-независимы и
что их линейная оболочка совпадает со всем Wf^: из
предложения 4.1 следует, что любой элемент и^^^н может быть записан
В виде
Ий= S Uh{B)w^^. (4.160)
Пространство IF^ не содержится в HI {О.); фактически
производная /3,.йй функции Uh^W,^ есть сумма распределений Дирака,
сосредоточенных на гранях симплексов, и некоторой ступенчатой
функции Dif^Ufi, определенной почти всюду равенством
D,^Uf,(x)^D,ttn{x) Ух^^ V^e^^ft. (4.161)
Так как и^ линейна на of, то О^ф,^ постоянна на каждом
симплексе.
Снабдим IFft следующим скалярным произведением:
п
l[«ft.«'Jft = (%.«'/i')+2 (^5,ft«ft. Di^v^), (4.162)
которое является дискретным аналогом скалярного произведения
в Щ (Й):
5й, г'Ц^ча, г')+1 (D,.a, О.-г»). (4.163)
Пространство F, операторы со, р^. Положим, как и в п. 3.3,
F — L^C^)"'^'-, а в качестве со возьмем изоморфизм
й е я; (Q) ^ йи = (и, 0,и, ..., 0„и) ^F. (4.164)
Аналогично оператор р^ определим правилом
Иле«^л'->Рлйл = (Ий, DiftWft, ..., D„ft«ft) б F. (4.165)
Операторы р^ имеют норму единица и устойчивы.
Оператор z-^. Определим Г/^и=и^ для иб^(й) равенством
Ий(В) = и(5)УВе'М^. (4.166)
Предложение 4.12. Если h пробегает некоторую регулярную
триангуляцию Жа. области Q, то описанная выше аппроксимация
пространст£а Hl(Q) является устойчивой и сходящейся.
Доказательство. Нам надо проверить выполнение условий (С1)
и (С2) из определения 3.6.
4'; Р. 1еман

98 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Для проверки условия (С2) нужно показать, что для каждой
функции йб®(й)
Ий-и в £2(Й) при р(Л) —О, (4.167)
D,.ft«ft — D,.« в L^ (Q) при р (/г) — 0. (4.168)
На каждом симплексе uf мы можем применить оценку (4.42)
к каждой компоненте и; это дает
sup \и{х) — «ft {Х)\ <СТ1, (й) Pj.,
'^''*' , (4.169)
sup I 0,.и(л:)—D,.«ft(A;)Kcr]2(«)pj'/pj-.
Следовательно,
II Рл% - шй ||;.< с (И) ар (/г) + la])/^!,^^^,^),, (4.170)
но правая часть этого неравенства стремится к нулю при р (ft) -^ 0.
Для проверки условия (С1) предположим, что Ph'Uh' слабо
сходится в F к Ф == (фо> • • • > Фп); это означает, что
»А'—^Фо слабо в L2(Q), (4.171)
Di^Uh'-^((>i слабо в L^(Q), l<t<«- (4.172)
Поскольку эти функции имеют компактный носитель,
содержащийся в £2, то (4.171) и (4.172) означают, что
Ий'-^Фо слабо в L2(R''), (4.173)
^/л«й'-^Ф/ слабо в L=(IR''), l<t<n (4.174)
(здесь g обозначает функцию, равную g в Q и нулю в CQ). Если
мы покажем, что
Ф,. = 0;ф„, l<j<n, (4.175)
то отсюда будет следовать, что fpa^ff^i^"^) и, значит, фо€^о(^).
Ф; = 0,ф„, а это и означает, что ф = (i)w, я = фд.
Пусть 9 —какая-либо пробная функция из ®(IR"); тогда
^ ufb'{Dfi)dx-^ I (f,{Dfi)dx, 5 (D,ftMft')t)dA;-^
\ <ffi dx.
Rn
Равенство (4.175) будет доказано, если мы установим, что
j Ф/Й dj; =е — 5 фв (Dfi) (1л; Ve 6 ^ (R»)
к» R»

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 9g .
ИЛИ что
Я'= S hH{Dfi)ux+ S {Di^UH')Qux~*0 при р(/г')--0
R" Rn
для каждого 9^^(R"). Но из оценок, полученных в п. 4.5.4
(см. (4.218)), вытекает, что
\П\^с{п, Q)ap(/j)i|01|H.(Q,||«JL (4.176)
откуда ясно, что f-j,—>'0 при р(/г) —*-0. □
Дискретное неравенство Пуанкаре. Доказываемое далее
дискретное неравенство Пуанкаре позволит нам наделить описанное
выше пространство W/^ другим скалярным произведением ((•, •))^—
дискретным аналогом скалярного произведения ((•, ■)) в Hl(Q)
(см. (1.111) и предложение 3.3).
Предложение 4.13. Предположим, что Q — ограниченная область
в R". Тогда существует константа c(Q, а), зависящая только
от Q и постоянной а в (4.21), такая что
I й JZ^Q, < с (Q, а) i I 0,,и, \Ь (Я, (4.177)
(=1
для любой скалярной функции вида (4.160):
Ил= 2 a^iB)w^s- (4.178)
Аналогичное неравенство справедливо для вектор-функций вида
(4.160):
|%U4Q,<c'(fi,«)||«ft||ft ya^^W^, (4.179)
еде
\\Un\k^[t\Di^u^\Ua,y. (4.180)
Доказательство. Неравенство (4.179) немедленно следует из (4.177).
Для того чтобы установить (4.177), мы покажем, что
S Иа9 их
<c(Q, a)|9|^.,g,l|«ftL (4.181)
для каждой функции % вида (4.178) и для каждой функции 9
из ^(Q); (4.177) вытекает из (4.181), поскольку S){Q) плотно
в L^Q).
Обозначим через % решение задачи ,Дирихле
А2С = 9 в Q, 2c€//i(Q);

100
Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
X есть функция класса t?" на £2 и
\\x\\tiHii^<c,(Q)\mLHi».'
Тогда мы имеем
и из формулы Грина вытекает, что
f «ftAxdjf= \ «^Ij-dr-CgradeA-gradxdJC.
Следовательно,
\ «ft9 dx
я
<11%1к!1х11я.(й>Н-|1^А|
где
Ясно, что
1^й = 2я.
где
дх,-
(4.182)
(4.183)
(4.184)
(4.185)
и Vi, ..., v„ — компоненты единичного вектора v, нормального
к д^. Согласно формуле Грина,
\ «ftXtV.-dr= r^(aa/)dx,
так что
П-=\щ(и,^^х.
' Строго говоря, это неравенство справедливо только тогда, когда Q —
достаточно гладкая область. В общем случае (4.182) имеет место, если
определить X как решение задачи Дирихле Дх = 6, хб^о(О'). где Q'—гладкая
область, удовлетворяющая условию Q' ZiQ. В дальнейшем изложеиии это
ничего не меняет.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 101
Мы уже рассматривали это выражение при доказательстве
предложения 4.12. Используя оценку (4.176), получаем
lfH<c(«, Й)ар(/1)||Х;||я.сй)1«л|1л.
|К1<с(«, Q)ap(/I)ixl|ячй)>лL•
Из (4.182) и (4.184) следует, что
|Л|<с(«, Q)ap(/i)|eb(Q)||KAL. (4.186)
Комбинация (4.183) и (4.186) дает в точности (4.181) с констан-
,той e(Q, a)=c(Q) + c(n, Q)ap(/i)'. Q
Предложение 4.14. Пусть Q — ограниченная липшицева область.
Предположим, что пространство W,, снабжено скалярным
произведением
((Ил. ■»й))й =Д {D,„tt^, D.^vn), (4.187)
а остальные требования из предложения АЛ2 остаются без
изменения. Эта видоизмененная аппроксимация пространства //J(Q)
снова является устойчивой и сходящейся.
Доказательство. Единственное различие между этим
предложением и предложением 4.12 заключается в доказательстве
устойчивости операторов Pf^, но эта трудность полностью устраняется
предложением 4.13 и оценкой (4.179), которые дают
1 а, I < 1и,Ь < с (Q) 11 й^ II, У и, е W^. а (4.188)
4.5.2. Аппроксимация (АПР5) пространства V. Пусть Q
—липшицева ограниченная область в R", '^ —наше обычное
пространство (1.12) и У —его замыкание в Я^ (Q). Определим
аппроксимацию пространства У, аналогичную последней аппроксимации
пространства Hl{Q). Как и прежде, положим F = L^(Q)''+i и возьмем
в качестве со g J2' (У, F) линейный оператор
a£V^-^u)tt = \tt, D^tt, ..., D^tt\. (4.189)
Пространство У^. Это — следующее подпространство
описанного выше пространства W^'
Ун-[ин^ W^A- 2 DiHUiH = О[. (4.190)
Содержащееся в (4.190) условие относительно дивергенции Ид
9квивалентно условию
с11уИй-0 в сГУ^е-^л. (4.191)
I Функция р(Л), очевидно, ограничена; например, р (Л) ^ diam i2.

102 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Снабдим пространство Vf^ скалярным произведением ((м^,, г»й))й'
индуцированным из W^,.
Оператор р^. Как и прежде, р^и^ = \и,„ 0^,^и^, ...,D„^u^\.
В силу (4.179) (или 4.188)), операторы р^ устойчивы.
Оператор г^. Мы определим г^а — u,iky Для и G'V'. Поскольку
п,1 должны удовлетворять условию (4.191), оператор г,^,
использовавшийся для аппроксимации пространства Щ, (Й), не
удовлетворяет всем требованиям. Вместо него возьмем такой оператор г^.
Функция Uf^^Tffl. определяется своими значениями «й (^)> ^ €"^ft;
если В^Ш^, то В есть барицентр некоторой (п—1)-мерной грани
^' некоторого п-мерного симплекса ^^<^f,, и мы полагаем
J"
Покажем, что Un^V^\ поскольку divaA = const на каждом
симплексе &', то условие (4.191) эквивалентно условию
применяя формулу Грина, получаем
f divKhdx= V f Ий-v^'dr,
где 5+cS''— множество (n—1)-мерных граней df; в силу (4.182),
сумма справа равняется
^ J «•vj.'dr= J Kvdr= J divr?dx;
HO последний интеграл равен нулю, так как div« = 0.
Предложение 4.15. Описанная выше внешняя аппроксимация
пространства V является устойчивой и сходяш,ейся, при условии
что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию f(a
области Q.
Доказательство. Мы уже отметили, что операторы /Эд устойчивы.
Проверим условие (С2) из определения 3.6. Предположим, что
Ph'tth—>-ф слабо в F. (4,193)
Точно так же, как и.-в предложении 4.12, мы видим, что
Ф = сои, u^HliQ). (4.194)
Здесь нам нужно, кроме того, показать, чтои€^, т.е. div» = 0.
Но (4.193) означает, в частности, что
п
^ Dih'Uih' —^ div и слабо в L? (й),
»=1

§4. Дискретизация уравнений Стокса (!!) ^03
и поскольку сумма 2-i ^ih-iUh- тождественно равна нулю, то
1=1
div и —0.
Проверим условие (С1). Для u^'V обозначим через а^,
функцию г^,и, а через г»/,—функцию из W д, определенную условием
г>д (В) = а(6) V6 €^д. В предложении 4.12 доказано, что
ИРл^л —"И If< с (и) ар (/г)+11 и]!ям'.г\Ы(Л)). (4.195)
Нам достаточно показать, что
||/ЭйИл-/0л'»й,1^ = 1Ил-'»л]1л —О при p(h)-.0. (4.196)
В силу неравенства (4.188), достаточно установить, что j! и^—"О^^—*^
при p(h)—vO. Каждая точка Й из Чу^ есть барицентр пекоторой
грани uf некоторого симплекса &'\ мы можем записать
п
И (X) = И (В) + £ 1^ (6) (X, - и + а (х). (4.197)
где (Pi, ..., р„) —координаты точки В и
|CT(A;)Kc(K)p^'Vxe<^. (4.198)
Интегрируя (4.197) по &", получаем
так как \ (х; —|3,)dx = 0. Из (4.198) следует, что
a,{B)-v^iB) = E^{B), (4.199)
left(S)l<c(a)pk (4.200)
Внутри симплекса <lf с гранями dJ^,, ..., <^„+i
Uh ix) — v^ (X) = X кл (В/) м-/ (л:),
1 = 1
)-де Hi, ..., }А„ —барицентрические координаты точки х
относительно Bj, ..., В„+1. Следовательно, в Sf
I grad («ft - г»й) К с (и) р^ X. 1 g»"^^ (^/
п + 1
(=1

104 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
И, в силу^ леммы 4.2 и (4.21), |grad (Ид —©ft)|^G(«)pj./pj'.
Поэтому на всём Q
I ^,л («ft -■г>н) {X) I <с (й)ар (Л), (4.201)
откуда
1! Ил - ■»л L < с (и, а, Q) р (А), (4.202)
так что
Црййл —coK||f<c(«)ap(/i) + [[«I^4Q\U(ft)i- ' (4.203)
4.5.3. Аппроксимация задачи Стокса. Используя последнюю
аппроксимацию пространства У и общие результаты п.3.2, мы
можем предложить еще одну схему для задачи Стокса.
Пусть / принадлежит L^ (й) и v > 0. Положим, в
предыдущих обозначениях,
«л(и%. ■»*)== ^((Мд, Vn))H'^UH, v^^V^, (4.204)
</ft. ■»/.>-(/- ■»A)Vi'ft€ Ул. (4.205)
Аппроксимирующая задача такова:
найти Ил€Ул, такое что v((«a, Vn))h = {f^ »л)'''«'л€ Ул-
(4.206)
Решение Яд задачи (4.206) существует и единственно. Если р (ft)—*0,
причем h пробегает некоторую регулярную триангуляцию S^^y то
Ий -* и сильно в L' (Q), 207)
Dihtth—^Ditt сильно в L^[il), 1<г<п. ^ " '
Это сразу следует из теоремы 3.1.
Мы можем, как в п.3.3 и как для других аппроксимаций,
ввести дискретное давление. Это —ступенчатая функция лд вида
лд= 2] ^^{^)lhjf, (4.208)
где я^,(с5Р) —значение Лд на «5^, л^^((5^)€К, а хй.»"
—характеристическая функция &'. Функция Яд такова, что
v((«A, '»л))й-^л„ mnVn)^i.f. 'O^^'^V^W^, (4.209)
где
П
divAi»ft = 2 D,^t.,^. (4.210)
(=1
Невязка между и и Яд —решениями задач (2.6) и (4.209)
соответственно — может быть оценена, как и в п.3.3. Предположим,
что граница Q —многоугольник, такчтой(Л)=й, и пустьа€^^(£^),
р^'ё^(й). Мы можем определить аппроксимацию АдИ по формуле,

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса ("//) 105
аналогичной (4.192), и нетрудно видеть, что оценка (4.203) все
еще будет иметь место:
\\рнГнП — ^п\\р<с{и, oc)p(h). (4.211)
Чуть ниже мы докажем следующую лемму.
Лемма 4.16, Обозначим через и, р точное решение задачи (2.6)—
(2.8) и предположим, что и € ^^ (й)- Тогда
an(tt, Vn) = {f, v^) + Ih(Vh)'^'O^^V^, (4.212)
где
|/л(г'л)|<с(й, p)9mVHk- (4-213)
Если принять временно, что эта лемма уже доказана, то мы
видим, что
Ч («л - и. ■»л) = /й (г»л) Уг»л € V^,
Полагая v^ = Uf^ — r^u и используя (4.205), получаем
VII Ид - Гди i < VIIИ - гди и Ий - ГдиЦд +1 /л (Ил - ГдИ) I.
Оценки (4.211) и (4.213) дают тогда
г|Ид-ГлИ|1й<с(а, р, а, Q)p{h). (4.214)
Более точно, константа с в (4.214) зависит только от норм и
в g^(Q) и р в ^i(Q).
Доказательство леммы 4.16. Умножим скалярно в L? (Q) уравнение
— vAH + grad/?=/ (4.215)
на г»д; так как Q = Q{h), то мы получим
Y. { —v(A«, 'jjA)^ + (grad/?, Vf,)^ — (f, г»л)^[ = 0.
Формула Грина, примененная на каждом симплексе i^, дает
2 {—v(^u, v^)^ + (graup, Vf,U-[f, г»д)^}
= ад(и, v^)-(f, г»л)-/д(г»й) = 0,
где
'.(^.)= L Uvgi.,-pi.,vyr'. (4.216)
Оценка (4.213) для 1^ доказывается теперь точно так же, как и
в леммах 4.17—4.19 (см. п.4.5.4). П
' в этой формуле V обозначает единичный нормальный вектор к Oaf, не
путать с константой v > 0.

IQP 1л. I. Стационарные уравнения Стокса
Замечание 4.9. В двумерном случае у Кд имеется простой базис. См. Крузей[1].
Несогласованные конечные элементы, являющиеся кусочно полиномами
степени k>\, также применялись для аппроксимации пространств ЛГо (Q) и F.
Фортэн [2] указал, что пространство V не может быть аппроксимировано
согласованными конечными элементами первой степени (т. е. кусочно-
линейными функциями). По этой причине аппроксимация, изученная в данном
пункте, весьма важна для задач Стокса и Навье—Сто'кса.
Некоторые вычисления для вязких несжимаемых жидкостей, использующие
рассмотренные здесь элементы, были проведены Томассэ [2].
4.5.4. Вспомогательные оценки. Здесь мы докажем некоторые
вспомогательные оценки, которые уже использовались выше и
потребуются также в гл. II. Эти оценки касаются интеграла
n = \-kX^^n^)^^ ' (4-217)
и
для Ufi^W^, i—U •••< "v и для различных типов функций ф.
Приводимые ниже доказательства можно было бы упростить,
если привлечь общие результаты о конечных элементах.
Предложение 4.16. \Н\^с{п, Q)ap{h)\\(plH4ii)]Uh\\ff (4-218)
для ц: е //' (Щ и ttf,^ Wf,.
Доказательство этого факта мы разобьем на ряд лемм.
Лемма 4.17. fi= 2 ^ ^ «йФVi. .у-с1Г, (4.219)
где д'''(У —множество (п—\)-мерных граней of ', а vj, ^' есть
i-я компонента единичного вектора внешней нормали к &'.
Доказательство. Так как функции, фигурирующие в (4.219),
равны нулю вне Q(/i), мы имеем
П= \ [Ил(0,.ф) + (0,/^и^ф]с1х
а (ft)
= Е $[Ий(£';Ф)+ (£>/«*) Ф]с1х= £ \D,{tt„^)Ax.
Формула Грина —Стокса дает
\ 0Дм^^ф)с1х= Е \ Bдфv,■, ^'dr. П
Лемма 4.18. В обоз1^0чениях леммы 4.17,
П= 1. Е 5 (Ил(^)-Иа(В))(ф(^)-
~ip{^'))v. ^'dr, (4.220)
' Таких граней я+1.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 107
еде В — В^—барицентр &", а ц)(<11")—среднее значение Ц1 на &".
Доказательство. Вначале покажем, что
Тн= ^ 1 S (йлW-«л(5))фWv,•, ^'dr.
(4.221)
,/Ы установить это равенство, достаточно доказать, что
^ Ъ ^ Ka(S)9Wv,, ^'С1Г = 0. (4.222)
Но для всякой грани of', принадлежащей границе Q(/i), йд(5) = 0
и вклад этой грани в сумму равен нулю. Если же &" принад-
лежлт границе двух смежных симплексов, то эта грань дает
в сумме два различных члена; %(5) и ф(х) в них одни и те же,
а Vj, ^' равны по величине, но имеют противоположные знаки.
Следовательно, гумма (4.222) равна нулю.
Равенство (4.220) легко выводится из (4.221), если доказать,
что
2 2 S (ид(x)-йд(5))ф(<5^')v., ^-аг=о.
(4.223)
Для доказательства (4.223) заметим просто, что
\ [и^ (X) - Ид (S)] ф {&") Vi, ^^ йТ = О,
так как ^{^') и V(_ ^' постоянны на ^' и так как
5 ад(х)с1Г = Ид(В) J аГ, (4.224)
ибо «ft линейна на 05^', а 5 —барицентр <Sf". Q
Лемма 4.19.
\n-^,^c(n)V^9WnttHk
xf I ^ f (ф(х)-ф(<5^'))МГу^\ (4.225)
Доказательство. Поскольку Ид (х) — Ид(В) —линейная функция
на (У, обращающаяся в нуль при х = В, мы можем записать ее
на Sf так:
Л^)-и,(В) = £'^(^,-Р^),

108 Га. I. Стационарные уравнения Стокса
где Pi, ..., р„ —координаты точки В. Следовательно,
I Ид (X) - ttft {В) К PJ. I grad Ид I V;f е <5^
и
5 (и, {X) - Ид {В)) (ф (;f) - ф (<5Р')) Vi, ^. dr
J"
<p^/C|gradHj^dry^Yf (ф(^)-ф(<5Р'))«ёГу'\
Но так как grad Ид постоянен на of", то
S (grad Ид)^ dr = mes„_i (&") \ grad Ид р.
Обозначим через | расстояние между ^' и противоположной
вершиной 'if. Хорошо известно, что mes„((5^) = n~4 mes„_i((5^').
Следовательно,
mes„_i (^') = (n/l) mes„ {^) < (n/pj.) mes„ (^), (4.226)
поскольку
pis'< I. (4.227)
(Причина, no которой (4.227) имеет место, ясна: наибольший
шар, содержаш,ийся в ^, имеет диаметр, равный р^, и этот шар
лежит в множестве, ограниченном гиперплоскостью, содержаш,ей
(У, и параллельной гиперплоскостью, проходяш,ей через
противоположную вершину.) Поэтому
С (grad Ид)^ dr < 4- mes„ {^) \ grad Ид |
^ -^ t I grad Ид 1^ dx
х/'51ф(х)-ф(<5Р')рёГу^\ (4.228)
Используя (4.20), (4.21) и применяя неравенство Шварца,
получаем отсюда (4.225). □

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 109
Лемма 4.20.
5 (ф(л;)-ф(<?"))МГ<с(п)а»р(/1)5 (gracl9)"djt. (4.229)
Л" J*
И И S (Ф(^)-Ф(<^0)"с1г
<e(n)ap(/i) 5(ёгас1ф)''с1д:. (4.230)
Доказательство. Неравенство (4.230) непосредственно следует из
(4.229). Неравенство (4.229) становится очевидным следствием из
теорем о следах в Н^{&'), еслк заменить константу c(n)а^ в
правой части (4.229) некоторой константой с{^), зависящей от
выбора симплекса ^■, преимущество оценкт-! (4.229) заключается
в том, что она равномерна относительно симплексов &" из S'f,-
Для доказательства (4.229) мы произведем преобразование
координат, переводящее &' в некоторый фиксированный симплекс &",
применим в &' теорему о следе \\ вернемся назад к of.
Предположим для простоты, что /4,= О, 'if' содержится в гн-
перплоскостп х„ = 0 и вершины &" cyib Ai, ..., Л„; упомя^ну-
тый выше фиксированный симплекс &"—это симплекс со
следующими вершинами/4j, ...,/4„+j: Л,=0, Л,Л,+,^е;, i = \, ...,п.
Грань, соответствующая (5^', —это грань ^' с вершинами
А^, ..., Л„. Обозначим через Л линейный оператор в R",
определяемый равенством Л, = ЛЛ,, (=2, ..., п + 1, и через А'_—
линейный оператор в R"~S определяемый равенством Л; = ЛМ,.,
1 = 2, ..., п. Производя соответствующую замену переменных
в интеграле в левой части (4.229), получаем
S
ГД?
o{x) = tt{x)~_tdB), (4.231)
а{х) = а{х), х = А-'х. ' (4.232)
Для симплекса Sf неравенство из теоремы о следе и неравенство
Пуанкаре дают (напомним, что а{В) = 0)
Ja4£)(ir<c(^)i:J-^(x>d£
T^i^ ^*у

110 Гл. /. Стационарные уравнения Стокса
Вернемся назад к &' w координатам х,. Запишем
|w=-tv(^)(AJ),
t|i^a|-<,A-.pt||LM|-.
Следовательно,
pnx)dr<c(^)llA-4p[(i: |^|(A;^)f)dj.
<с {¥) I det АIIIЛ-1 f \ (grad ст)^ dJC.
Мы приходим к неравенству
I (X,- (X) - ti {B)Y dr < с i|^ IIЛ-ЧК (grad x,r dAT.
Для доказательства (4.229) осталось показать, что
(|detA|/|detA' |)|1 А'Ч^^сар (/i). (4.233)
Так как det A/det А'= det A'-i/det Л"! =Л„„' и |Л„„|<|А|1, то
левая часть (4.233) оценивается величиной ||Л||||А~Чр. По лемме
4.3 это произведение оценивается величиной
(Pji/P^) (pJ'/pip)^ <с (^) ар^ <с (^)ар (К),
откуда и следует (4.233). П
Оценка (4.218) теперь очевидным образом следует из (4.225)
и (4.230). П
Следующее неравенство, доказываемое аналогичными методами,
будет нам полезно в гл. II.
Предложение 4.17.
\Гн\^с{п, р.,^ Q) а^ (^ Д I Д,ф 1^,.^^^) (^2 I D,,a, ^ ^^^
(4.234)
для ф е П. '' (Q), ttЛ^h^ W = 1 - Vq, 1/<7= l/p-l/n, 1<р<п.
Отправляясь от выражения (4.220) для ^J,, мы действуем по
существу так же, как и в леммах 4.19 и 4.20, с той лишь
разницей, что неравенства Шварца для интегралов заменяются на
неравенства Гёльдера с подходящими показателями.
' Ляп—это (п., /г)-элемент матрицы Л; заметим, что Л/„ = 0, 1<1</г—I,
в силу нашего выбора осей координат.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (И) 111
Лемма 4.21.
\Гн\< !> 2 P.^(mes„_i(<5^'))^^^'
Xlgrad^Kj/J |xa^)-X,•(<^')rdГy^ (4.235)
где grad^Mft обозначает значение gradw^ на ^(l^t^n).
Доказательство. Как и в лемме 4.19, имеем на грани ^'
п
«,(^)-a;,(B) = £gj(^,-f3,)
и поэтому
I йй (х) - Un (В) I <.pj. I grad «ft i Vx е <5^.
Пусть у —некоторое вещественное число, 1 < у < оо (оно будет
уточнено позже), и пусть у' —сопряженный показатель, 1/у+
+ 1/у' = 1. Тогда
< р^ I grad «й I I IX/ (х) — X,- («5^') I dr (по неравенству
Гёльдера)
<р^ (mes„_i (<5^'))'/^'1 grada^ I Л 1Х/W-X/(<5^')Г dry^\
откуда после суммирования и следует (4.235). Q
Лемма 4.22. Пусть
y'=q{n-lyn, Y = y'/(y'-l). '4.236)
Тогда для l^i^n
^с(п, р)^""''"-'^']]" 9^(1 |gradx,r d^Y'"'. (4.237)
Доказательство. Поступим точно так же, как в лемме 4.20,
используя те же обозначения. Полагая а(л:) = ф(л:) —ф(^'), имеем
Л I а (^) 1^ dr^.у^'= I det Л'|-^/^ ( S I а (i) |v dr^,у^'.
Применим неравенство Пуанкаре и теорему вложения Соболева
иа „стандартном" симплексе ^i

112
Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
\о\ у __ ^(в силу неравенства Соболева на ^'с R"~^)
^Со{п, р)\о\ ^,1/Q. Q' ,jy,^^(no теореме О следе, см. Лионе [1])
^ q (п, p)\g\^i,q' ,^^ ^ (в силу неравенства Пуанкаре)
Ах
Используя оценку, полученную в лемме 4.20, заключаем, что
до ,—,
дх)
да
ci9')\\^-4[Z\w;.m
1/2
да ,. -,
1/0'
/=1
Таким образом,
!/»•
\' = l J'
Возвращаясь назад к симплексу ^, получаем
<с(аУ)сЛп, p)|cletA|i/«'|A-4i
dx
1//
Наконец,
(1
I a w I ^ аг^Л ^^^ < с(#-) с, (n, p) ,L^^iAJ-!^jl Л-Ч1
[detA'l '/''"
5"
xiijl^r'-»'
i/«'
Мы завершим доказательство, заметив, что
detA = ^Il^!i^, detA'=^H!!-i^
mes„(^) mes„_i (^')
И, согласно лемме 4.3, |!Л-^|)^р^/р^. □
' Константы Ci(n, р) зависят также от ^', но грань ^' фиксирована.

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) ИЗ
Лемма 4.23.
\П\<с(п, р)а^( 2^ I D,,u, 11/'<.,)(.|,I D^^ 1 L''(Q,)- (4-238)
Доказательство. Для того чтобы доказать (4.238), объединим
(4.235) и (4.237). Мы получим (l/v+1/v'= 1):
\fi\^c(n,p,Q) у: p^(mes„(<5^))-'^*'(mes„_,(<^'))
X 1 grad d-Mft I А I grad 7; I«'(1л:у ' .
С учетом (4.226) имеем
\fi\^c(n,p,Q) S ap^(mes„(^)^^4grad»J
(^J|gradф|'''d^У'. (4.239)
X
поскольку mes„_i {^') < (n/piy) mes„ (^) < (na/p^) mes„ (^). Ho
п-мерная мера ^ больше, чем «-мерная мера шара диаметра pj»;
следовательно, (piy)" ^ с (п) mes„ (^) и
pj. < ар^ < с (п) а (mes„ (^))*''".
Используя эту оценку, получаем из (4.239)
|^',|<с(п, р, Q)a^ 2 (mes„(c5^))i/p|gradj.%|
^5 |gгadф|'''dл:)^/'''.
Х^
Применяя к этой сумме неравенство Гёльдера с показателями
q и q', приходим к опенке
X ( 5 \gr&d ^\o' AxX"'. (4.240)
VQ(ft) /
Доказательство (4.238) свелось, таким образом, к доказательству
следующего неравенства:
( 2 ines„(oJ^)«/''lgrad^»J«V^'
<( S mes„{S')\gvadu^\py"', (4.241)

114 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
так как правая часть этого неравенства равна
а это легко оценивается величиной
(й)
С точностью до обозначений, (4.241) доказывается в следующей
лемме. D
Лемма 4.24. Пусть а^, Zj суть N пар неотрицательных чисел,
и пусть р, п, q те же, что и прежде. Тогда
/ N \\lQ / п \1/р
(^gafz/j <(.2vfJ • (4-242)
Доказательство. Для N =2 доказательство элементарно. Полагаем
а^г^ + а^гЧ = р, Zf = ((р — а^г^Уа^у^Р
и замечаем, что функция
г, ^ a'J'zi + a'i'zl = af" ((р - a.ziyai)"'' + af'zi
достигает своего максимума на интервале [О, (р/а^У"] в концевой
точке и этот максимум равен р^/р.
Проведем теперь индукцию по Л^. Предположим, что (2.57)
верно для iV—1, и запишем
/ N \l/Q / N \l/q
^{al"'zl-\-a,'^''lif, (4.243)
где a^ = z^ = i 2 ^/2'J- Г . Используя уже доказанное
неравенство для iV=2, видам, что правая часть (4.243) оценивается
величиной
/ N \1/р
(а,г? + а,2?)'/'' = (^2«;2Р/] .
откуда и следует (4.242). □

§5. Численные алгоритмы 115
§ 5. Численные алгоритмы
Мы видели, что дискретизация уравнений Стокса не решает
полностью задачу численной аппроксимации этих уравнений;
для фактического вычисления решения нам надо еще иметь базис
в пространстве V^, такой что аналог (3.6) приводит к линейной
алгебраической системе уравнений относительно компонент и^
с достаточно разреженной матрицей. Это имеет место только для
схем, соответствующих (АПР4) и (АПР5); для дискретной задачи,
соответствующей аппроксимациям (АПР1) — (АПРЗ), мы даже не
имеем явного базиса в V/j.
В пп. 5.1—5.3 мы изучим два алгоритма, весьма полезных
для практического решения дискретизированных уравнений.
В пп. 5.1 и 5.2 мы рассмотрим непрерывный случай, а в п. 5.3
вкратце объясним, каким образом построенные алгоритмы могут
быть приспособлены к дискретным задачам.
Результаты, доказываемые в п. 5.4, также связаны с задачей
численной аппроксимации и, кроме того, показывают, каким
образом несжимаемую жидкость можно рассматривать как
предельный случай „слабо" сжимаемой жидкости.
S.I. Алгоритм Удзавы. В предложении 2.1 мы
интерпретировали задачу Стокса как некоторую вариационную задачу — задачу
оптимизации с линейными ограничениями. Алгоритмы,
описываемые в этом и следующем пунктах, являются классическими
алгоритмами оптимизации. Мы опишем эти алгоритмы и изучим
их сходимость без каких-либо ссылок на теорию оптимизации,
хотя их идея и доказательство их сходимости заимствованы из
теории оптимизации.
Рассмотрим функции и и р, даваемые теоремой 2.1. Мы
получим и, р как пределы последовательностей и", р'", которые
вычисляются гораздо легче, чем и и р.
Алгоритм начнем с произвольного элемента
P'^LHQ). (5.1)
Если р" уже известно, то определим и"""^', р"''*'' (т^О)
соотношениями
v{{u'"+\'v))~{p'",u\wv) = {f,v)yv^m{^)] (5.2)
p-^+^^L^Q),
(p».+i_p»», ^) + p(divM"'+i, ^) = 0 >/q^mQ). (5.3)
Мы предполагаем, что p>0 — некоторое фиксированное число;
позже будут даны другие условия на р.
Существование и единственность решения «""+1 задачи (5.2)
являются очень простым следствием проекционной теоремы (тео-

116 Гл. I. Стационарные уравненая Стокса
ремы 2.2). Действительно, и"** есть решение задачи Дирихле
«'»+^€//„'(Q), (5.4)
— V ^u"^^^ = grad р" +f^H-^ (Q).
Если и""*' известно, то р""** явно задается формулой (5.3),
которая эквивалентна следующей формуле:
р"'+1 = р"' —р div »-«+*€ i--(^)- (5.5)
Сходимость алгоритма.
Теорема 5.1, Если число р удовлетворяет условию
0 < р < 2v, (5.6)
то а"^*^ сходится при т—*оо к и в Hl(Q), а /з""** сходится к
р слабо в D (Q)/R.
Доказательство. Уравнение (2.7), которому удовлетворяют и н р,
эквивалентно следующему:
V ((а, V)) - (р, div V) = (/, г;) V© 6 т {^). (5.7)
В уравнениях (5.2) и (5.7) возьмем г» = ц'"+*—и и вычтем одно
из другого получающиеся уравнения; это даст
v||a"'+* —ир = (р'» —р, div»"-*!),
или
VII г»»** II2 = (9'», div г»""**), (5.8)
где мы положили
г>'»+1 = и"'+1 —и, (5.9)
q'^^p'^ — p. (5.10)
Взяв q~p"'*^ — p в (5.3), получаем
{q"'+^ — q'", (/"'+i) + p(div»'"+i, 9'"+»)=:О,
что эквивалентно равенству
1 ^""+11 ^ — I ^^ \\-\-\ ^'»+* — <?" I ^=?—2р (div г;»*!, ^"'+11). (5.11)
Умножая теперь (5.8) на 2р и складывая результате (5.11),
приходим к равенству
I ^ffl + l I 2 _ I ^я, I 2 ^ I ^ffl+j. _ ^я, I а ^ 2pv 11 V""*^ \\ 2
= —2p{й\\v'"^'^.q"^^'^ — q"^). (5.12)
Правая часть (5.12) оценивается величиной 2р | div v'"*^ | j ^'"+*—q"" |,

§5. Численные алгоритмы 117
которая не превосходит 2р;!г>'"+4|^'"+^ —^""1, так как .
|(Цуг»К|»||Уг»еЯий)'. (5.13)
Последнее выражение можно оценить величиной 61^"+* — Q'"\^+
+ (pV6)||«''"**l|*, где б, 0<б<1, пока произвольно.
Следовательно,
I ^« + 1 I 2 _ I ^Ш I 2 ^ ( 1 _ 5) I ^« +1 _ ^т I 2
+ p(2v-p/6)||z;«'+ip<0. (5.14)
Если мы сложим неравенства (5.14) для т = 0, ..., N, то найдем
л/
|(уА/+1|2 _(.(1_б) 2 |^« + l_^«|2_(.(2v_p/6)p
m=0
N
X 2 i«'»+4P<U"|^ (5.15)
m=0
В силу условия (5.6), существует б, такое что 0<p/2v<6<l,
и, значит, (2v —р/б)>0. Зафиксируем это б. Неравенство (5.15)
показывает тогда, что
|^>n + l_(^m|2^|pm + l_pm|2__^0 ПрИ /П —* ОО,
|i^«+jjj2==|l„m+i_„||2_^0 прит-^оо. ^ '
Таким образом, сходимость v'"*^ к и доказана. Далее, из (5.14)
видно также, что последовательность р"' ограничена в L*(Q).
Поэтому мы можем выбрать из р'" подпоследовательность р"^',
слабо сходящуюся в L^ (Q) к некоторому элементу /?,.
Уравнение (5.2) дает в пределе
V ((и, V))- (р„ diV г») = (/, г») V» 6 //J(£2);
сравнивая его с (5.7), получаем
{р-р^, (11уг;) = 0 Vveffli^),
откуда
grad(p —р,) = 0, р, = р +const.
Из каждой подпоследовательности последовательности р'" можно
выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к р-\-с;
следовательно, и вся последовательность р"» сходится к р в слабой
топологии L''(Q)/R. D
' Это неравенство легко устанавливается для V ^Й5(£2), а по
непрерывности оно имеет место для каждого v ^ Но {Щ- Тем же способом можно проверить*
что в случае п — 2 или 3
|lt-||2 = |divt.||,(a) + |rott-(i.(a), «»e^'o(^^

118 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Замечание 5.1. Доопределим р, наложив требование
[ р(х)йх = 0.
Предположим, что р» £ L^(Q) выбрано так, чтобы
[ po(x)dx = 0.
Тогда, очевидно, мы имеем
[ р" {x)dx = 0, m^ 1,
и вся последовательность р" сходится к р слабо в пространстве L^ (Й). Q
5.2. Алгоритм Эрроу—Гурвица. В этом случае функции и
и р также будут пределами двух последовательностей и", р"",
которые определяются рекуррентно.
Алгоритм начинается с произвольных элементов и", р":
u'^miQ), p'^L^Q). (5.17)
Если р'" и и" уже известны, то определим р'"^^ и «"'+'■ как
решения задач
Ццт + 1 _ „т^ щ)) ц. pv ((дяг, ^)) _ р (р-»^ dJV «>) (5.18)
= р(/, г») Уг»е//^(й),
а(р'«+1-р'», ^) + p(divM'«+S^) = 0 V(7 6^Ч^)• ^^'^^^
Пока мы предполагаем лишь, что р и а — строго положительные
числа; дaльнeйuJиe требования на них появятся позже.
Существование и единственность элемента и'"'*'^ ^Hl{Q),
удовлетворяющего (5.18), легко установить с помощью проекционной
теоремы; и""** есть решение задачи Дирихле
— Ди"'+*= —Aw' + pv Аи"—pgrad p'" + pf,
Тогда ^?"'+'■ явно задается формулой (5.19), которая эквивалентна
следующей:
рт + 1 -_=рт_ (р/ос) diV и"*! б ^' (й)- (5.21)
Сходимость алгоритма.
Теорема 5.2. Если числа аир удовлетворяют условию
0<p<2av/(av2-fl), (5.22)

§5. Численные алгоритмы 119
то И"» сходится при т—*оо к и в Hl{Q) и р"" сходится к р
слабо в L2(Q)/R.
Доказательство. Пусть
«>"' = «"' —и, (5.23)
q'"^p'" — p. (5.24)
Уравнения (5.18) и (5.7) дают
Полагая г> = г>"'"^^, получаем
|;^/я + 1 || 2 _ !j ^т 11 2 _j_ jl ^m + 1 _ ^/s j, 2 _|. 2pv Iv'"-*-^ I] ^
= 2pv ((«>"' + ', v">+^ — v"'))-\-2p{q"', сПуг^'^^')
^6||^».+i_^».||2^.(p2v2/6):|^m+i||2^.2p((/'«, d'wv"'^^), (5.25)
где 6>0 пока произвольно. Уравнение (5.19) с q=q"'-^^ даст
a|^»>+i(2_o, |(;'я|2_{.а|(^'я+»_(^'я|2=,_2р(^ш+1^ divM'"+^)
= —2р(^'«, divг^'"+^) —2p(^'"+i —^'», div«>"'+')
<—2р(<?"', divг»'"+^) + 2p|(J'«^•^ —^«ll div zj^+i]
<—2p(^"', div«>'«+i) + 2p \q'"-*-^ — q'"\\\v'"^^l^
(в силу (5.13)). Наконец, если б такое же, как прежде, то
ос I ^»»+1 I 2 _ ^ I ^Ш I 2 Ц_ сх I ^»Ч-1 _ ^ffl I 2
< —2р {q-", div г»""*!) + аб | ^"'+* — (/^ | ^ + (р^^б) HtC'+i Ц ^
(5.26)
Складывая неравенства (5.25) и (5.26), получим
ос I ^т +1 I 2 _^ II щ». + 1 р _ С^ I ^т I 2 _ .j ^т !,_{. СХ (1 _ §) I ^ш + 1 _ ^т I 2
— (1 — б) || z^^+i — г»"" ;| + р (2v — pvV6 — р/аб) |' г^^+Ч'' < 0.
(5.27)
Если выполняется условие (5.22), то 2v>pv^ + p/a и для
некоторого б, 0<6< 1, достаточно близкого к 1, мы опять имеем
2v > Y~*(pv^ + p/a), так что
p(2v —pvV6 —р/аб)>0. (5.28)
Складывая неравенства (5.27) для m = 0,...,N, мы придем
к неравенству того же типа, что и (5.15), и доказательство
завершается, как и в теореме 5.1. П
Замечание 5.2. Замечание 5.1 легко раЛространяется и на этот алгоритм.
б.З. Дискретная форма представленных выше
алгоритмов. Мы опишем дискретную форму этих алгоритмов в конечно-
разностном случае (аппроксимация (АПР1)).

120 Гл. 1. Стационарные уравнения Стокса
Для Того чтобы фактически вычислить ступенчатые функции
а^ и Л/^, которые являются решениями уравнений (3.64), (3.71)
и (3.73), мы определим две последовательности ступенчатых
функций «f, nff вида
и?= 2 ёлШйж, ёжбК" (т. е. ий'€«^'л). (5-29)
пй'= S 'nrnWhAi, r\M^R; (5.30)
Meh\
они определяются рекуррентно по аналогии с приведенными выше
алгоритмами.
Алгоритм Удзавы. Алгоритм начинается с произвольного
элемента л^ вида (5.30). Если л^* уже известно, то мы определяем
»ft'+' и лй''^' соотношениями
v((«r-, г»1))^-(я?, Ол) = (/. «»*) Vz»ft е ITft, (5.31)
лГ' (М) = л^» (М) - р (£»^и?+') (М). (5.32)
где D^ — дискретный оператор div, определенный в (3.69).
Если р удовлетворяет тем же условиям (5.6), то повторение
доказательства теоремы 5.1 показывает, что при m-* оо
иЦ^-^щъ Гд, (5.33)
л^ —>- Лд с точностью до константы; (5.34)
сходимость имеет место для любой нормы в рассматриваемых
конечномерных пространствах.
Алгоритм Эрроу — Гурвица. Алгоритм начинается с
произвольных ul, л1 вида (5.29) и (5.30) соответственно. Если Ий*,
л^ уже известны, то мы определяем й/Г'^Ч л^'''' соотношениями
((иГ - ui. vn))n + pv {{ul^, v^)\ - p (л^, D^, v^) = (/, v^)
yv^ e W^, (5.35)
л?+^(Л1) = лй'(Л1)-(р/а)0йИГМЛ*) VM6S^ (5.36)
Для случая, когда p удовлетворяет условию (5.22),
соответствующее распространение доказательства теоремы 5.2 дает
соотношения сходимости (5.33), (5.34).
Дискретный алгоритм Эрроу — Гурвица. Задачи (5.31) и (5.35)
являются дискретными задачами Дирихле, и они решаются просто
и вполне стандартно. Все же интересно отметить, что в
конечномерном случае мы можем использовать другую форму алгоритма
Эрроу — Гурвица, для которой не надо решать никаких краевых
задач по ходу итерационного процесса.

§5. Численные алгоритмы 121
Если Uh', n'h уже известны, то определяем и^+' из соотношений
ttf,'*' € Wf,, {иГ' - ttl\ v^) + pv ((йГ, v^)\ - p (яГ, D^v^)
= p(/.f,) Vt.^eWJ'A, (5.37)
a затем ^2*+' опять определяется формулой (5.36). Вариационное
уравнение (5.37) эквивалентно следующим уравнениям:
/I
ar4M) = «J,"(M) + pv2 {Ьки^){Щ-
1=1
- !> (Vb^^") (Ж) + рЛ (Л*) VAI € Й^, (5.38)
где Tft и /^ были определены в (3.74).
Доказательство теоремы 5.2 может быть распространено на
этот случай следующим образом. Так как U^'^^ — конечномерное
пространство, то все нормы на W/^ эквивалентны между собой
и, следовательно, существует константа S (Л), зависящая от h,
такая что
||aJi,<S(A)(«,| V«,€W',. (5.39)
/ п у/а
В ГЛ. III МЫ вычислим S(h) (5 (А) = 2(2 (Vj?) ) ) и будем
широко применять это замечание. Теперь, если р удовлетворяет
условию
О < р < 2av/(av2S^ (А) + 1), (5.40)
то сходимость (5.33) —(5.34) имеет место также для алгоритма
(5.36) —(5.37).
Доказательство точно такое же, как и для теоремы 5.2.
Неравенство (5.25) заменяется следующим неравенством {рн — tif — й^,
=2 pv ((г»Г\ г»Г'-fn)A+ 2p (X,-, D^t»r')
<2pv|'t»r'iAl|f?-'-»g'iiA + 2p(x^', D^t»r')
<2pvS (/I)II«ГЧ! A I^r'-<I+ 2p(xg', D^vr^) ■
< б I г»Г' - к И+ S-ip^vi^S^ (A) Ivr' |1й + 2p (xg", £>*»?*').
(5.41)
Неравенство (5.27) соответственно заменяется на следующее:
а I яГМ' + ! г»ГЧ'-а Ил" Р —l^'/T И+а(1 — б) |^tГ^-^«ft" I*
+(1 — б) (г»Г' —vf\^-\-p{2v — pv^S^. {h)/8 — р/аб).
x||t»r'IU<0, (5.42)
С учетом (5.40) неравенство (5.42) приводит к тому же
заключению, что и (5.27).

122 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
§ 6. Слабо сжимаемая жидкость
Стационарные линеаризованные уравнения слабо сжимаемой
жидкости имеют вид
—vA«E —e-igrad div ЙЕ=/ в Q, (6.1)
«е=0 на dQ, (6.2)
где е>0 „мало". Уравнения (6.1) — (6.2) являются также
стационарными уравнениями Ламе из теории упругости.
Мы покажем, что задача (6.1) — (6.2) имеет единственное
решение «g для каждого фиксированного е > О и что Ие сходится
к решению и задачи Стокса при е —>- 0.
Первоначально уравнения (6.1) —(6.2) использовались как
„аппроксимирующие" для уравнений Стокса — один из путей
преодоления трудности „divM=0" состоял в том, чтобы решать
уравнения (6.1) —(6.2) с достаточно малым е вместо того, чтобы
решать сами уравнения Стокса. В напш дни, поскольку уже
известно много эффективных алгоритмов для решения уравнений
Стокса и поскольку дискретизация уравнений (6.1) —(6.2)
приводит при очень малых е к плохо обусловленной матрице, можно
попытаться сделать обратное: вычислить Ue для малых е,
используя уравнения Стокса.
В п. 6.1 мы укажем связь между Ие и и, а в п. 6.2 дадим
асимптотическое разложение щ при е—^-0. Затем в п. 6.3 мы
покажем, как можно построить вычисление «g для малых е,
используя это асимптотическое разложение.
6.1. Сходимость и^ к и.
Теорема 6.1. Пусть Q —ограниченная липшицева область в R".
Для всякого фиксированного е > О существует единственный
элемент tte£ Н1(^), который удовлетворяет (6.1). Если е—<-0, тх)
и^—*и в норме ffo(Q), (6.3)
—&~'-dtvUe-*p в норме /J(Q), (6.4)
где и и р определены в (2.6) —(2.9) и, кроме того,
[p(x)dx = 0. ^ (6.5)
Доказательство. Лег*е6 показать, что задача (6.1) —(6.2)
эквивалентна следующей вариационной задаче:
найти Uf, б Н\ (Q), такое что
v((a„»)) + e-Mdivae, divt») = (/, г») ^v^Hl{Q). (6.6)
Действительно, если щ удовлетворяет (6.1) —(6.2), то Ue,^H\{Q)
и удовлетворяет (6.6) для каждого г» g<g)(Q). По непрерывности и^
удовлетворяет (6.6) также и для v^Hli^). Обратно, если

§6. Слабо сжимаемая жидкость 123
!
и, ^ffq(ii) —решение (6.6), то «^ удовлетворяет (6.1) в смьиле
теории распределений и (6.2) в смысле теорем о следе.
Существование и единственность Ие, удовлетворяющего (6.6),
являются следствием проекционной теоремы: мы применяе.м
теорему 2.2 с
W = tfl,{Q), а{и, «»)==v((«, v)) + e-'-(divu, divt»),
<l,V> = (f,V).
Коэрцитивность a и непрерывность а и I очевидны.
Для доказательства (6.3) вычтем (2.7) из (6.1); это дает
— уД (Mg — tt) —e~igrad div «E = grad p, (6.7)
a тогда
v((«e—«, t»)) + e-i(diva8, div ») = — (/?, div»)
Vt»e^UQ). (6.8)
Справедливость уравнения (6.8) для г»б<2)(^) легко следует из
(6.7); по непрерывности (6.8) удовлетворяется для каждого
г»6Яо(^)- Положим г»=-йр —й в (6.8); мы получим
v||«8 —«,f+ е-' I div «,|2 = (—/?, div«EX|/j||div«g|
<(2e)-^|div«,p + (e/2)|/?p,
так что
VII «е-и i;' + (2е)-11 div и, \' < (е/2) | р \\ (6.9)
Этим доказано (6.3). Теперь (6.7) показывает, что
д ( div Не \ др „ „,
в норме //~^(Q), i=l, ...,п, ибо Д(й —«) сходится к нулю
в //~^(Q), в силу (6.3). Согласно доказываемой ниже лемме,
п
, div Bt I ,^ V^ li f^ / , div Ир Ml //.,,4
'■'■I ^il^-*^' V ^ J\\h-HQ.) ^ '
поскольку \ {рЛ- '^, '^ ) d^: = 0, что следует из (6.5) и того, что
Kg равняется нулю на дО,. Тем самым сходимость (6.4) доказана. Q
Лемма 6.1. Пусть О, — ограниченная липшицева область в R".
Тогда существует константа c = c(Q), зависящая только от Q,
такая что
|a(.M.,<c(Q)||Jad;.| + i|||^||,_.J (6.12)
для каждого о из L'^iii).

124 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
Доказательство, Обозначим через [а] выражение в фигурных
скобках в правой части (6.12); [о] задает некоторую норму в L\Q,)\
действительно, очевидно, что это полунорма, а если [а]=0, то
а == const (так как да/дХ/~0, i = l п) и эта константа равна
нулю, поскольку ^ а (Зл; = 0. Далее ясно, что существует константа
Q
c'=c'(Q), такая что
[a]<c'(Q)|a|tMQ) Va^LMS). (6.13)
Если мы покажем, что L^(Q) полно по норме [о], то по теореме
о замкнутом графике [а] и j а [ — эквивалентные нормы в L^(Q) и
(6.12) будет доказано.
Докажем, что L^(Q) полно по норме [о]. Пусть а^
—произвольная последовательность Коши в этой норме. Тогда интегралы
\ а^ dx образуют последовательность Коиш в R, а производные
Й
dajdx, являются последовательностями Коши в Н~^ (Q):
\ja^dx—>-X при /я—соо, (6.14)
о
^-^Х/ при т-^оо вЯ-^(Q), 1<1</г. (6.15)
Ясно, что <grada„, г»> = 0 "^v^f^ н, в силу (6.15),
Согласно предложению 1.1, существует распределение а, такое
что y^i = daldxi, l^i^/г. Предложение 1.2 показывает, что
a£L^(Q). Мы можем выбрать а так, чтобы \adx----'k, и легко
видеть, что последовательность а^ сходится к этому элементу а
из L'^iQ.) в норме [а]. Q
Замечание 6.1. Если область й несвязна, то оценка (6.12) останется
справедливой, если заменить \ adjc на 2 \ '^ ^'^ .гдей/—связные компоненты й.
Чтобы распространить jgepeMy 6.1 на этот случай, надо просто
доопределить р, положив
С рс1л;=:0 V% (6.16)
6.2. Асимптотическое разложение для и^. Начиная с этого
места, будем обозначать решение задачи Стокса,
удовлетворяющее (6.5), через и", р" (вместо и, р). Покажем, что Ие имеет

. §6. Слабо йжимаемая жидкость 125
асимптотическое разложение
и. =-- и" + ей' + е^й'= Л h в^и^+ .... (6.17)
где все а' принадлежат H\(Q).
Функции и' и некоторые вспомогательные функции /?'
определяются рекуррентно следующим образом:
и", р" уже известны; (6.18)
если и'""'-, р"'"^ (т^ 1) известны, то а", р" определяются как
решение неоднородной задачи Стокса
W-^m^Q), p"'€L^Q), (6.19)
— vAK" + grad/?'« = 0, (6.20)
dive'»= —р^-Ч (6.21)
lp'"dx = 0. (6.22)
Существование и единственность и'", /?"" следует из теоремы 2.4.
Условие (6.22) полезно в двух отношениях: оно гарантирует
единственность /?"», которое в противном случае было бы
единственно лишь с точностью до аддитивной постоянной; оно
гарантирует также условия согласования, необходимые для
(/п+ 1)-го шага:
J div й"»*! dx = J u^^'v dr = О = J /?-» dx. (6.23)
Й г a
Обозначим через Ue, ре, ^'^ h величины
N
_ tte^'Z ^"'tt'", (6.24)
/n=0
N
P^ = 2 e^p». (6.25)
m=0
Теорема 6.2. Пусть Q — ограниченная область класса 'ё'^ в (R".
Тогда для каждого т ^ 1 существуют однозначно определенные
функции а", р", удовлетворяющие соотношениям (6.19) — (6.22).
Для каждого N"^0 при е—»-0
е-л'(йе-й^)-^0 в норме ЯЦЙ), (6.26)
e-A'(_g-j(}ivBE —р^)-*0 в норме L^(Q). (6.27)
Доказательство. Существование и единственность уже были
установлены выше. Умножим (6.20) на е", т = \, ..., N, и сложим
все эти уравнения. Затем прибавим к полученному уравнению
уравнение, которому удовлетворяют и" и р" (раньше обозначав-

126 Гл. I. Стационарные уравнения Стокса
шиеся через и и р): —vAa° + grad/?"=/. В результате получим
— vAa^ —е-* grad div и'^ =/—e'^'grad р^.
Сравнивая с (6,3), находим, что
Пг-и^^НЦа), p^^L^iQ), (6.28)
— vA(ee-af) —6-1 grad div (й -a^') = e^^grad p^^. (6.29)
Как и при доказательстве (6.8), убеждаемся, что (6.29)
эквивалентно уравнению
v({tte-tt^, t»)) + e-i(div(a,-e^, div г»)
= _ еЛ' (pW^ div г») Vt» 6 ff\ (Q). (6.30)
Полагая v = Ue — Ue в (6.30), получаем
VI Яг- й^ г + е-Ч div (й. - й;' )!■■' = - р^ (Р^, div (йе - й^))
<e^p^||div(йe-Я^)|^(2e-^)|d^v(йв-йf)|^ +
+ (e^^r+V2)|p^|S
так что
v||йe-ttiУ|,^^-(2e)-l|div(ttp-й'ЛI'^(e^^+V2)|p^^ (6.31)
Из неравенства (6.31), очевидно, следует соотношение (6.26).
Из него в свою очередь вытекает, что (1/е-'^) Д (Ие — йе) —>-О
в Н~^{Щ, поэтому (6.29) показывает, что
Но
N
— e-^gгad div й^= — e~^ 21 е" grad div й"
m = 1
N
= 8-1 2 e'»grad/?'»-i = grad(p^ —е-^/?л'),
откуда, с учетом (6.32), следует, что
Наконец, (6.27) есть'следствие (6.22), (6.25) и леммы 6.1. □
Замечание 6.2. Замечайие 6.1 легко распространяется на теорему 6.2; а именно,
эта теорема справедлива и для несвязной области Q, если заменить условие
(6.22) на условие
\ p'"dx = (j (6.33)
fia каждой связной компоненте Qj области Q.
Замечание 6.3. Дискретный вариант теоремы 6.2 был дан Фолком [1].

§ 6. Слабо сжимаемая жидкость 127
6.3. Численные алгоритмы. Наметим вкратце, как можно
распространить алгоритмы, описанные в п. 5, на случай
неоднородной задачи Стокса (6.19) —(6.22); решение этой задачи —в
данный момент единственное препятствие для практического
вычисления асимптотического разложения (6.17) для й^.
Рассмотрим лишь алгоритм Удзавы. Несколько изменяя паши
обозначения, запишем задачу (6.19) —(6.22) следующим образом:
найти г», р, такие что
v^HliQ), peL^Q), (6.34)
— vAv + gTadp = 0, (6.35)
div«»^^9, (6.36)
'\p(x)dx = 0, (6.37)
"й
где ф удовлетворяет условию
$Ф(л;)с1л; = 0. . (6.38)
Существование и единственность v и р уже известны.
Алгоритм начинается с произвольного
ро^ЬЦО.), такого что 'j^p«(x)dx = 0. (6.39)
Q
Если р" найдено, то определяем г»"'*^ (т ^ 0) из соотношений
V {{v'"+\ w)) — (р", diV да) = О Vw б ЯЬ (Q), (6.40)
^?'»■^-^б^'(^).
(Z?'"-^^ —/?">, 0)4-P(divt»'»+i —ф, е) = 0 Q^I.4Q). (6.41)
Уравнение (6.40) —это задача Дирихле для
— vAi»'»+i = —grad/?'»e^-i(Q), (6.42)
и (6.41) непосредственно дает /j^+i;
/?"'"-^ = р'»—p(div«»'»+i—ф)e^.м^)• (6.43)
Заметим, что
[p"'dx=-0 Vm>0. (6.44)
Как и в случае теоремы 5.1 (см. также замечание 5.1), можно
доказать следующий результат.
Теорема 6.3. Если число р удовлетворяет условию
О < Р < 2v, (6.45)
то v"'^' сходится при т—^оо к v в норме ЯЦО), а р'"*^
сходится к р слабо в L^(Q).

ГЛАВА II
СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСА
Введение
В этой главе мы будем заниматься стационарными
уравнениями Навье — Стокса; рассмотрения ведутся с той же точки
зрения, что и в предыдущей главе, т. е. нас интересуют
существование, единственность и численная аппроксимация решения.
Тем не менее имеются три важных отличия от линейного
случая; это:
— введение методов компактности. Для перехода к пределу
в нелинейном члене нам нужны результаты о сильной сходимости.
Они будут получены из соображений компактности.
— некоторые технические трудности, связанные с нелинейным
членом и неравенствами Соболева. Следствие этих трудностей ~
такая трактовка уравнений, которая слабо меняется п
зависимости от размерности пространства.
— вообще говоря, неединственность решения. Единственность
имеет место, только когда „исход!'.ые данные достаточно малы"
либо „вязкость достаточно велика".
В § 1 мы опишем некоторые теоремы существования,
единственности и регулярности в различных ситуациях
(ограниченные и неограниченные области й, однородные и неоднородные
уравнения и т. д.). В п. 2 мы докажем дискретные неравенств
Соболева и дискретные теоремы о компактности для простраист
ступенчатых функций, рассмотренных при аппроксимации (АПР1;
пространства V (аппроксимация с помощью конечных разностей)
и для несогласованных конечных элементов, фигурирующих
в аппроксимации J^KUPb) пространства V. Аналогичные
результаты для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4) будут следствием
теорем, доказанных в непрерывном случае. В § 3 мы займемся
аппроксимацией рассматриваемой стационарной задачи —
дискретизацией и решением дискретизированных задач. Цель §4 —дать
пример неединственности решения стационарных уравнений
Навье—Стокса. Доказательство основано на рассуждениях,
связанных с понятием топологической степени. Этот параграф по
существу не зависит от предыдущего изложения.

. § 1. Теоремы существования и единственности 129
'§ 1. Теоремы существования и единственности
В настоящем параграфе мы получим некоторые результаты
о существовании и единственности для стационарных (нелинейных)
уравнений Навье—Стокса. Теоремы существования будут
получены с помощью построения приближенных решений для этих
уравнений методом Галёркина и последующего перехода к
пределу, как в линейном случае. Как уже было сказано, для
перехода к пределу нам нужны, в нелинейном случае, некоторые
результаты о сильной сходимости; они будут получены при помощи
методов компактности.
В п. 1.1 мы }1апомним неравенства Соболева и некоторые
теоремы о компактности в пространствах Соболева; эти теоремы
являются основой метода компактности. В п. 1.2 мы дадим
вариационную формулировку для однородных уравнений Навье—Стокса
(т. е. уравнений Навье—Стокса с однородными краевыми
условиями); будут изучены некоторые свойства нелинейной
(трилинейной) формы, которая фигурирует в вариационной
формулировке. Затем мы дадим весьма общую теорему существования и
довольно ограниченный результат о единственности. В п. 1.3
рассматривается случай, когда область Q неограничена и
доказываются результаты о регулярности решений. Наконец, п. 1.4
посвящен неоднородным уравнениям Навье — Стокса.
7.7. Неравенства Соболева и теоремы о компактности.
Теоремы вложения. Мы напомним теоремы вложения Соболева,
которые, начиная с этого места, будем часто использовать. Пусть
т — некоторое целое число, а р —произвольное число, большее
или равное единице, р^1. Тогда если 1/р —т//г= 1/<7 > О, то
пространство W'"'P{U'') вложено в Li(U"), причем вложение
непрерывно. Если ы^ UJ"">^'(R") и \/р — т/п~0, то и принадлежит
£"(6) для любой ограниченной области б и любого q, 1 ^^ < оо.
Если 1/р —/п//1<0, то всякая функция из UJ''"'^'(IR") почти всюду
совпадает с некоторой непрерывной функцией; такая функция
принадлежит также к соответствующим классам Гёльдера или
Липшица, но здесь эти свойства использоваться не будут; если
данная функция принадлежит U7'»>^(R«) с 1/р — т/п<.0, то ее
производные порядка а принадлежат UJ''"-». p(R«) и для этих
производных справедливы теоремы вложения, аналогичные
предыдущей, если 1//? —(/я—а)//г> 0.
Для ueW'"'P{U''), т>1, \<р<оо,
если _-.^ = -1>0, тo|ы|^.9(5J„)<c(m,p,л)||ы||^m.Я(R„,}
р п q
Р
1 ^-.
если-—— =0, то \uy^0■^i^e{m,p,n,q,в)lu\\^m.p^f^ni
* р. Темам

130 Гл. II. Стационарные уравнения Навье—Стокса
для любой ограниченной области 0cR" и любого q,
1<<7<°°; (1-1)
если-—-^<0, то |w|go(0)<c(m, л,/?, б)||u||^yш.;.(д„,
для любой ограниченной области 0cR".
В случае когда Q —произвольная открытая область в R",
результаты, аналогичные (1,1), обычно можно получить, если Q
достаточно гладка, а именно если
существует непрерывный линейный оператор продолжения
U^^iW^-PiQ), W^'PiW)). (1.2)
Свойство (1.2) выполняется, например, для всякой локально-
липшицевой области Q. Если (1.2) выполнено, то утверждения
(1.1), примененные к Пи, u^W"''P(Q), m^l, 1</?<схз, дают:
если = —>0,
Р п q ^ '
то I " II"(Q)<c(m,p,n, Q)i иlym,p (£2,;
1 m r,
если =0,
P n '
™ I " У (6) < <^ (m, p, n, q, 0, Q) II и \\^m, p ^^^
для любого q, \^q<.oo, и любой ограниченной
области 0сЙ; (1,3)
если < О,
р « ^ '
то l«lgo(0)<c(m, р, п, q, Q, &)\\ul^m,p ^^.^
для любой ограниченной области (оси.
Если u^W'^'Pi^), то функция и, равная и в Q и нулю в CQ,
принадлежит UJ'"»-? (R"), и, следовательно, утверждения (1.3)
имеют место без каких-либо предположений относительно Q.
Особый интерес для нас представляет случай р~2, т=1.
т. е. случай пространства Щ(й). Не требуя никаких свойств
регулярности от Q, мы имеем для u^ffl{Q)
« = 2: \u\^tj^^c{g, б, S)l|u||„i(a)
для любой ограниченной области 0(zQ и
любого д, 1 ^ ^ < оо;
«-3: |«iL.(a,<c(Q)|u^(^,; (1.4)
/г = 4: («iL4Q)<c{Q)||ui„i(^);
n>3: (u|^a«/(«-.,^^j<c(Q)i«^,a,.

;? /■ Теоремы существования и единственности 131
Теоремы о компактности.
Теорема 1.1. Пусть О. —произвольная ограниченная открытая
область в R", удовлетворяющая условию (1.2). Тогда вложение
W^^P{Q)c:L^^^{Si) (1.5)
компактно для любого q^, l^q^^C оо, если р'^п, и для любого q^,
^^Я1^Я (^д^ Я задается условием \/p—l/n^l/q), если 1^р<п.
При тех жь значениях р и qi вложение
#'i./'(Q)cL«.(Q) (1.6)
компактно для любой открытой ограниченной области Q.
В качестве частного случая теоремы 1.1 отметим, что для
любой неограниченной области Q, если и £ W^' р (Q), то сужение и
на всякую ограниченную область б, удовлетворяющую условию
0c6cQ, принадлежит L«i (6) и это отображение сужения
\^1. Р (Q) _^ L,, (Q) (1.7)
компактно (значения р и q^ те же).
Что касается указанных выше свойств пространств Соболева,
то читатель отсылается к литературе, приведенной в § 1, гл. I
(см. также в конце книги комментарии к гл. I).
1.2. Однородные уравнения Навье — Стокса. Пусть Q —
липшицева ограниченная открытая область в R" с границей Г и
/feL^(Q) — заданная вектор-функция. Мы ищем вектор-функцию
й = (И1, ...,и„) и скалярную функцию р, представляющие
скорость и давление жидкости, которые определены в Q и
удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям:
п
—vAa + 2 a,Aa + gradp=/ в Q, (1.8)
1=1
diva = 0 в Q, (1.9)
и = 0 на Г. , (1.10)
Точно так же, как в п. 2.1 гл. I, если/, и, р — гладкие
функции, удовлетворяющие (1.8)—(1.10), то и^У и для каждого г>g9^^
v{{u,v))-^b(u,u,v) = {f,v), (1.11)
где
п
b(U,V,W)= 2 \Ui{DiVj)W,UX. (1-12>
'. /=1 а
Далее, соображения непрерывности показывают, что уравнение
(1.11) удовлетворяется для любого г» б ^-Обратно, если й
—функция из V, такая что (1.11) имеет место для каждого v^V, то,
в силу предложения 1.3 гл. I. существует распределение р, для

132 Гл. II. Стационарные уравнения Навье—Стокса
которого удовлетворяется (1.8), а (1.9)—(1.10) будут выполнены,
поскольку u^V.
Для и и г> из V выражение b {и, и, v) не обязательно имеет
смысл, и поэтому вариационная формулировка задачи (1.8)—(1.10)
не совпадает в точности с формулировкой „найти й€ К, такое что
(1.11) имеет место для каждого v^V". Она будет немного
отличаться от нее, и мы выясним, в ч м это отличие заключается
после того, как изучим некоторые свойства формы b{tt,'0, w).
Введем сначала следующие пространства:
У-замыкание 9^^ в Я^(Й)Л£-"(Й); (1.13)
конечно же, Щ (Q) П L" (Q) и V наделяются нормой
M\н^(Q) + \»W(Q)■ (Ы4)
Вообще говоря, V —подпространство в V, отличное от V, но, в
силу (1.4), V = V для п = 2, 3, 4 (в случае когда область Q
ограничена);
У^ —замыкание 'Г' в Щ{0){\№{Щ (s>l); (1.15)
опять подразумевается, что Яо(й) Л Я^(й) и У^ наделены
гильбертовой нормой
Vg вложено в V.
Трилинейная форма Ь. Форма b трилинейна и непрерывна на
различных комбинациях пространств V, V, V^- Наиболее
подходящим для нас результатом относительно этой формы является
следующий результат, не зависящий от каких-либо свойств Q.
Лемма 1.1. Форма b определена, трилинейна и непрерывна на
Яо(й)хЯо(й)х(//3(й) Л ^."(й)), независимо от того, ограничена
или неограничена область Q и какова размерность пространства R".
Доказательство. Если и, v^V к w^V, то, согласно (1.4), при
п>3
В силу неравенства Сёльдера, Ui(PiVj)Wj принадлежит L» (Q) и
^ I И/ li i!n/(n-2)(Q) I D^Vj |l2(Q) I Wj |£n(Q). (1.17)
5 ttiDiVjWjdx
Поэтому b (й, V, w) определено и
\biu,v, w)\^cin)\\u\\„i^Jvl^^^^lwUi^a^^^„^^y (1.18)
Форма b, очевидно, трилинейна, a (1.18) гарантирует ее непре-

§ 1. Теоремы сущесгтоеаиия и единственности 133
рывность. В случае п = 2 мы имеем тот же результат {HI (Q) П
nL^{Q) = /il(Q)), только (1.17) надо заменить на
\uiDiVjW/ux ^\tti\L'm\DiVj\L4a)\Wj\LHQ)- О (1.19)
В частности, справедлива
Лемма 1.2. Для произвольной открытой области Q форма b есть
трилинейная непрерывная форма на VxVxV. Если О, ограничена
и «^4, то b — трилинейная непрерывная форма на VxVxV.
Мы докажем, когда потребуется, и некоторые другие свойства
формы Ь, аналогичные приведенным выше; доказательство всегда
такое же, как и для леммы 1.1 (используются неравенство Гёль-
дера и теорема вложения (1.4)).
Обозначим через S (й, г>), и, vQHl(Q), линейную
непрерывную форму на V, определенную следующим образом:
<:B{u,v),w> = b{tt,v,w), u,veHl(Q), "Vw^V. (1.20)
Для случая u = v положим
В{и)=В{и,и), а^НЦЩ. (1.21)
Другое фундаментальное свойство формы b таково:
Лемма 1.3. Для любой открытой области О,
b(u,v,v) = 0 Wu^V, ©€//i(Q)nL«(Q), (1.22)
Ь{и, v,w) = — b{u,w,v)yu^V, V, a)€i^J(S)nL«(Q).
(1.23)
Доказательство. Свойство (1.23) вытекает из (1.22) (надо заменить
V на v + w и воспользоваться полилинейностью 6). Докажем (1.22).
Достаточно установить это равенство для и^'У^ и "О^ЗЦЩ.
Но для таких й и г>
j ttiDiVjVj dx = J a,D,. -^ dx = — Y J D,»,. {VjY dx,
Q Q Q
n
Ь(й,©, ©) = --i^ fdivй (©;)== dA; = 0. П (1.24)
Вариационная формулировка. Для ограниченной области Q и
произвольного п сопоставим задаче (1.8)—(1.10) задачу
найти u^V, такое что
v{{u,v)) + b{u,u,v) = {f,v) yv^V (1.25)
(f —заданный элемент из £-^(й)). Из (1.11) и (1.13) ясно, что
если и и р —гладкие функции, удовлетворяющие (1.8)—(1-10),

134 Гл. //■ Стационарные уравнения Навье—Стокса
то и удовлетворяет (1.25). Обратно, если u^V удовлетворяет
(1.25), то
Аа€Я-1(Й),/61-4^) и UiDlU^L'^'{Q) (1/п' = 1-1/п),
поскольку tti^L^"'^"-''^iQ), в силу (1.4), и Z),■йбI'M^)• Далее,
согласно предложениям 1.1 и 1.2 гл. 1, существует распределение
р€Дос(й)'. такое что (1.8) удовлетворяется в смысле теории
распределений, а тогда (1.9) и (1.10) удовлетворяются соответственно
в смысле теории распределений и теоремы о следе.
Теорема 1.2. Пусть Q—ограниченная область в R" и
f—заданный элемент из Я~* (Q). Тогда задача (1.25) имеет по крайней
мере одно решение it^V и существует распределение jo6Lioc(^),
такое что уравнения (1.8) —(1.9) удовлетворяются.
Доказательство, Нам надо только доказать существование и;
существование р уже было установлено и интерпретация (1.8)—(1.9)
была дана. Существование и докажем методом Галёркина —
построим некоторое приближенное решение задачи (1.25), а затем
перейдем к пределу,
Пространство V сепарабельно как подпространство в Hl(Q).
В силу (1.13), существует последовательность Wu ..., w^, ...
линейно-независимых элементов из f^, которая тотальна ^ в V. Эта
последовательность линейно-независима и тотальна также и в V.
Для каждого фиксированного целого т ^ 1 определим
приближенное решение и„ задачи (1.25) с помощью соотношений
т
й„=2?/.»ге;„£,.„€К, (1.27)
(=1
V ((и„, w^)) -f b (и„, и„, a)ft) = </, a)j>, ft = 1 m. (1.28)
Уравнения (1.27) —(1.28) представляют собой систему нелинейных
уравнений относительно ?i, „,-••,?„, „, и хотя существование
решения этой системы не очевидно, оно вытекает из следующей
леммы.
Лемма 1.4. Пусть X—конечномерное гильбертово пространство
со скалярным произведением [., .] и нормой [•], и пусть
Р—непрерывное отображение X в себя, такое что
[Ра)Л]>^'''для [i] = fe>0. (1.29)
' Предложение 1.1.1 показывает, что р существует как распределение,
p^D' (Q). Предложение 1.1.2 и дальнейшие соображения, связанные с
регуляризацией, показывают, что р как функция принадлежит (во всяком слу-
'^*)^1ос(а)-
2 То есть порождает всюду плотное линейное подпространство.— Прим. ред.

§ I. Теоремы существования и единственности 135
Тогда существует элемент 1^Х с [|] ^ fe, для которого
Р(|)=0. (1.30)
Доказательство леммы 1.4 последует за доказательством теоремы.
Мы применим эту лемму для доказательства существования и,„
следующим образом. Возьмем в качестве X пространство,
натянутое на Wi, ...,w,„\ скалярным произведением в X пусть будет
скалярное произведение ((•, •)), индуцированное из V, а Р = Р„
определим так:
[Р„ (и), г»] = ((Р„ (и), V)) = V ((й, V)) + b (и, й, V) -(/, V)
У а, vex.
Непрерывность отображения Р„ очевидна; покажем, что
выполнено (1.29):
[Р„(и), м]- v}uf + b(a, й, и)-</, и>-=(в силу (1.22))
= v|lйf-</,и>>v||йf-)l/iVgiи||,
[P„^U),U]^luU^U\\-\\f\\v: (1.31)
Отсюда следует, что [Р„ (м), й] > О для j| и J = й, если k достаточно
велико (точнее, если й > (l/v),i/j|i/'). Предположения леммы 1.4
выполнены, и, значит, существует некоторое решение й^
уравнений (1.27)-(1.28).
Переход к пределу. Умножим (1.28) на |^, „ и сложим
получающиеся равенства для k—l, ..., т. Это дает
^|й„|р + Ь(й„, й„, И„) = </, й„>,
откуда, ввиду (1.24),
V11 и» 1== = </,«„>< 1/HI»» 11-
Отсюда получаем априорную оценку
WaJ^^-'IfWv. (1.32)
Так как последовательность й„ остается ограниченной в V, то
существуют такое и б V и такая подпоследовательность т'—»-оо, что
и,п'—<-и в слабой топологии V. (1.33)
Теорема 1.2 о компактности показывает, в частности, что
вложение V в L^ (Q) компактно; следовательно,
Ищ'—>-и в норме L^{Q). (1-34)
Примем временно на веру следующую лемму.
Лемма 1.5. Если u,i сходится к а слабо eV и сильно в L^(Q), то
b (Иц, Иц, v)-^b {tt, й, V) Vr> € '^- (1 -35)
Тогда мы можем перейти в (1.28) к пределу по подпоследователь-

136 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
нести т'—*-оо. Из (1.33) —(1.35) вытекает, что
V ((и, V)) + b (й, и, V) = </, v> (1.36)
для любого v = Wu ...,w^, .... Равенство (1.36) справедливо
также для любого v, которое является линейной комбинацией
Wi, ...,W„, ... . Так как эти комбинации плотны в V, то
соображения непрерывности показывают, что (1.36) имеет место для
каждого V^V и что й —решение задачи (1.25). П
Доказательство леммы 1.4. Эта лемма —простое следствие теоремы
Брауэра о неподвижной точке. Предположим, что Р не
обращается в нуль в шаре DaX с центром в О и радиусом k. Тогда
преобразование |i-*5(|) = — kP{l)/[P{l)] отображает D в себя
и является непрерывным. Из теоремы Брауэра вытекает, что 5
имеет неподвижную точку в D: существует точка 1о б D, такая
что — feP(lo)/[/'(lo)] = lo-- Если мы возьмем норму от обеих
частей этого равенства, то увидим, что [|„] = й, а если умножим
обе части равенства скалярно на |„, то найдем, что [|„p = ^2=
«=—й[/'(|„), ^„]/[/'(!„)]. Это равенство противоречив (1.29), и,
таким образом, Р (|) должно обращаться в нуль в некоторой
точке шара D. D
Доказательство леммы 1.5. Легко показать, как и в случае (1.22)—
(1.23), что
Ь(йи, Иц, г>) = —Ь(йц, г>, йц) = — 2 \ Иц. %,£>,•«»/dx.
{.i=■^Q ' ^
Но Иц сходится к «^ сильно в Р (Q); так как DjVj б ^°° (^). то
легко проверяется, что
] Иц. йц DiVj dx-^] UittjDiVj dx.
Следовательно, b (йц, v, Иц) сходится кЬ{а, v, u)~ — b (и, и, v). Q
Единственность. Что касается единственности, то мы имеем
лишь следующий результат:
Теорема 1.3. Если п^4 и v достаточно велико или f
„достаточно мало", так что
v^>c(n)|!/li;;, (1-37)
то существует едш^твенное решение и задачи (1.25).
Константа с{п) в (1.37) —это константа с{п) из (1.18); ее
оценка связана с оценкой констант в (1.4); последняя дана,
например, у Лионса [1].
Доказательство. Мы можем положить v = tt в (1.25), так как
^жт]/ для п<4; учитывая (1.22), получим
vJ«r-</.«><l/|i"itt||, (1.38)

§ 1. Теоремы существования а единственности 137
так что всякое решение и задачи (1.25) удовлетворяет неравенству
ll»|l<v-Mi/llu'. (1.39)
Пусть теперь и, и и„—два различных решения задачи (1.25), и
пусть и = й»—и««. Вычтем друг из друга уравнения (1.25),
соответствующие и, и и„. Получим
V ((и, V)) + Ь (и„ и, г>) + & (и, й„ г>) = О Vt» е V. (1.40)
Взяв v = U в (1.40) и снова используя (1.22), приходим к
равенству v||a||'' = — b{u,u„u). Вместе с (1.18) и (1.39) это дает
(для и = и.)
VII й 11^ < с (п) 1 и f II а, II < (с (n)/v) I/II,. II и Г,
(v-(c(n)/v)||/||K,)||«|p<0.
Ввиду (1.37) отсюда следует, что ||и|| = 0, т. е. й, = й,,. П
Замечание 1.1. Решение задачи (1.25), вероятно, неединственно, если (1.37)
не выполняется, или по крайней мере неединственно для достаточно малых v
(при фиксированном /). Результат о неединственности для малых v будет
доказан в § 4 для задачи, очень похожей на (1.25).
Замечание 1.2. Для п>4 теорема 1.2 гарантирует суш,ествование решения и
задачи (1.25), удовлетворяющего (1.39); действительно, оценки (1.32) и (1.33)
дают
1|я||=« lira ||am'|l^v-i|i/llv". (1.41J
Тем не менее доказательство теоремы 1.3 нельзя расмространить на этот
случай; (1.40) имеет место для каждого v^V, и нельзя взять v = U.
1.3. Однородные уравнения Навье—Стокса(п^родолжение).
Неограниченный случай. Мы можем изучить случай
неограниченной области Q, используя те же пространства, что н
в п. 2.3 гл. I. Напомним, что
F —пополнение пространства f^ в норме | • |. (1-42)
Рассмотрим также пространство Y:
F —замыкание f^ в пространстве УП^"(Й), (1-43)
снабженном нормой
1|и|| + ||и1к»(а).' (1.44)
Напомним, что, в силу леммы 2.3 гл. I, для п|>3 имеет место
непрерывное вложение
Ус{й€1-"(Й), DlU^LЦЩ, !<<<«}, (1.45)
' Для гладких открытых областей Q пространство Y, вероятно, совпадает
о Yf]L" (^). но этот результат не доказан.

138 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
где
а = 2п/(п —2). (1.46)
Так как область Q неограничеиа, то пространства L'^{Q) не
убывают с возрастанием у, как в ограниченном случае, и УфУ
даже для п^4. Лемму 1.2 нельзя распространить на
неограниченный случай; тем не менее справедлива
Лемма 1.6. Для п^З форма b определена, трилинейна и
непрерывна на У хУхУ и
b(u,v,v)'=0 Уи^У, -о^У (1.47)
Ь(и, V, w) = ~b(u, W, V) "^и^У, ©,0)6У. (1.48)
Доказательство. Для и^З выполняется неравенство (1.17);
поэтому для и, "О^^Уу w^Y мы имеем
Q
так что
U{DiVj Wfdx
^C\\U\\Y\\v\\Y\\Wly,
I b{tt, V, w)\^c{n)\\u\\Y\\v\\y\\w\\y. (1.49)
Соотношения (1.47) и (1.48) доказываются теперь точно так же,
как (1.22) и (1.23): мы проверяем их для и, V, w^f^, а затем
переходим к пределу. □
Вариационная формулировка задачи (1.8) —(1.10) для случая
неограниченной области Q и и ^ 3 такова:
найти и^У, такое, что
v{{u,v)) + b{tt,tt,v)=<f,v> Wv^Y- (1.50)
Теорема 1.4. Пусть Q — открытая область в R", и^З, и пусть
f—заданный элемент из У — пространства, сопряженного к У.
Тогда существует по крайней мере один элемент и^У,
удовлетворяющий (1.50).
ДоказательстБО. Доказательство очень похоже на доказательство
теоремы 1.2 (ограниченный случай). Существует
последовательность Wi, . .., w„, ..,, линейно-независимых элементов из f^,
которая тотальна в X, а следовательно, и в У; эта
последовательность необязательно та же, что и прежде. Определим
приближенное решение и„ с помош,ью соотношений
т
«„ = S Ел «W/. !,•,»€ R; (1.51)
''{{»„, 'W^)) + b{tt„, и„, w^) = <f, Wft>, fe=l, ...,m.(1.52)
Существование и^, удовлетворяющего (1.51) —(1.52),
устанавливается в точности так же, как и выше, с использованием лем-

§ 1. Теоремы существования и единственности 139
МЫ 1.4. Мы имеем априорную оценку, аналогичную (1.32):
\\tij<v-'\\f\\v' (Ц.Ц-норма в Y). (1.53)
Поэтому существуют такая подпоследовательность т'—юо и
такой элемент u^Y, что
и„—* и слабо в У. (1-54)
Доказательство завершается, как и в ограниченном случае, за
исключением перехода к пределу в нелинейном члене b (Ит-, Um-, Ч));
неверно, что Um- сильно сходится к и в L^(Q), поскольку,
вообще говоря, и даже не принадлежит L*(Q) (F ф £-^(Й)). Однако
справедлива следующая лемма. П
Лемма 1.7. Если и^х, слабо сходится к и в Y, то
b (Иц, йи, v)-*b (и, и, V) Vv € f^. (1.55)
Доказательство. Мы можем показать, что
и^—^а сильно в L'ioc(Q). (1.56)
т. е. что
Ид—и в Щ6) (1.57)
для каждой ограниченной области бей. Действительно, пусть
^б^(К"), 115=1 на 6, и пусть Q' —какая-нибудь ограниченная
подобласть в Q, содержащая носитель ij). Тогда функции \|зИц
принадлежат Hl{Q'), и поскольку й^ слабо сходится к и в У,
то г(зиц —>• г!)» слабо в Hl{Q'). Следовательно, Щц-^Щ сильно
в L^{U'); поэтому мы имеем
J I и,. - а 1" (1д: < 5 ij)» I Ид —и |« dx — О,
Q У
откуда и следует (1.57).
Так как йа сходится к а в норме L* на носителе функции v,
то сходимость (1.55) теперь доказывается, как в ограниченном
случае:
Ь(й.,, й„, v) = — b(Ui„v,tta)-*—b(u,v, u) = b{u,a,v).Q
Замечание 1.3. (i) Для п = 2 элемент и из К не принадлежит, вообще говоря,
никакому пространству L^ (Q). По этой причине доказательство леммы 1.6 не
проходит и i> не определено на YXYXY.
Мы можем заменить задачу (1.50) следующей задачей: найти и^К, такое
что
v((a, v))+b la, и, с) = </, с> •^v^f^.
То же самое доказательство, что и для теоремы 1.4, показывает, что такой
•лемент и существует для любого заданного / из Y'.
(ii) Поскольку Y ^Y (ни при каких п), то нельзя положить v = u
в (1.50) Следовательно, доказательство теоремы 1.2 не распространяется на
неограниченный случай даже для п<4.

140 Гл. //. Стационарные уравнения Наеье—Стокса
Регулярность решения. Если размерность п не больше трех,
то мы можем получить некоторую информацию относительно
произвольного решения и задачи (1.25) или (1.50) посредством
повторения следующей простой процедуры. Та информация
относительно и, которой мы уже располагаем, дает нам некоторые
п
свойства регулярности нелинейного члена 2 4,-0lU. Запишем
(1.8) —(1.10) в таком виде:
п
— vAa + gradp=/—2 й,0,.а в Q, (1.58)
1=1
diva = 0 в Q, (1.59)
и = 0 на Г; (1.60)
используя имеющиеся в нашем распоряжении свойства
регулярности / и предложение 2.2 гл. I, мы получаем новую
информацию о регулярности и. Если вловь полученные свойства и будут
лучше, чем прежде, то мы можем повторить процедуру.
Докажем, например, следующий результат:
Предложение 1.1. Пусть Q—открытая область класса 'ё°° в Ш
или R^, и пусть f задано в ^°° (Q). То^а любое решение {а, р)
задачи (1.8) —(1.10) принадлежит i?°° (Й)х5?" (Q).
Доказательство, Начнем со случая, когда область О. ограничена.
п п
Нелинейный член 2 ир^а равен 2 Di{UiU), ввиду (1.59). Если
и = 2, то Uj принадлежит Z,"(Q) для любого а, l^a<-j-oo
(в силу (1.4)), а значит и,-»/ принадлежит £"(0) и Di{UiUj) при-
гадлежит li^'-*' "(Q) для любого такого а. Предложение 2.2 гл. I
показывает, что и тогда принадлежит W^' " (Q), а р принадлежит
L°'(Q) для любого а. Для а> 2 мы имеем W^- "(Q) с: L°° (Q) (это
следует из (1.3)); следовательно, UiDiU^L°'{Q.) для любого а.
Поэтому предложение 1.2.2 показывает, что »€W^'"(Q),
p^W^-"' (Q) для любого а. Легко проверить, что й,0,й € W^- " (Q),
так что a€W''"(Q). Повторяя эту процедуру, мы находим,
в частности, что ..
иеЯ'»(0), j2.€^'»(Q) для любого т> 1. (1.61)
Те же свойства имеют место для любой производной от и или р;
из (1.3) вытекает тогда, что любая производная от и или р
принадлежит ^ (Q), а это и утверждалось.
Для п = 3 заметим, что U{^L*{Q,) (в силу (1.4)), а потому
UiDiUj^L^'^ifi). Из предложения 1.2.2 следует, что й^ W^' ^^Ч^):
но (1.3) показывает, что U^L"'{Q.) для произвольного а, 1^а<
< + с» (/? = 3/2, т~ 2, п= 3). Следовательно, D,- (й,Иу) € t^'-' "(й)

g 1. Теоремы существования и единственности 141
ДЛЯ любого а, и вам остается только повторить доказательство,
данное для п=2.
Если Q неограиичена, то мы получим ту же самую гладкость
на любом компактном подмножестве Q, применяя описанный выше
метод к -фи, где г|з —некоторая срезающая функция, '^^£D(IR."),
115=1 на рассматриваемом компактном подмножестве Q. П
Замечание 1.4. (i) Ясно, что можно предположить меньшую гладкость /и
получить меньшую гладкость и и р.
(ii) Для п^4 этот метод пе проходит. Например, для ограниченной
области Q и п=4, если записать нелинейный член в виде Diyttiu), то мы имеем
только UiUj^L'^ (Q), Di(UiU)^H~^ (О), так что и^н1(0)\ если записать
нелинейный член в виде uiDiU, то мы имеем uiDiU^L*^^ (й), так что
u^W^' *1'^ (О); но это не дает ничего лучшего, чем Ui^L* (Q.), D lUj ^L^ {О),
что мы знали и раньше.
1.4. Неоднородные уравнения Навье — Стокса. Пусть Q —
открытая ограниченная область в R". Рассмотрим теперь
следующую неоднородную задачу Навье—Стокса: пусть заданы две
вектор-функции / и ф, определенные соответственно на Q и на Г
и удовлетворяющие некоторым условиям, которые будут уточнены
позже; найти и и р, такие что
п
—гДи+ 2 UiDiU + gTa(ip=f в Q, (1.62)
div«==OBQ, (1.63)
«=Ф на Г. (1.64)
Будем предполагать, что Q —область класса io^, / задаго в
H~4Q), а ф задано в следующем "слегка ограничительном виде':
где
Ф = го1е, (1.65)
leH'iQ), Di^eL"(Q),^eL-(Q); . (1.66)
rot обозначает обычный оператор ротора для п = 2, 3, а для
п^4 — некоторый линейный дифференциальный оператор с
постоянными коэффициентами, такой что div(rot ^)^0^.
' Ср. с условием (2.1) и замечанием 2.1 из приложения I.
п
г rotS=(^it; Л„£), Rii=y. a.uhDjlk\ Достаточно, чтобы ^ ау*=0
/.ft ^=1
V/, k, Ki, k<n.

142 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Теорема 1.5. При указанных выше предположениях существуют
такой элемент a^H^{Q) и такое распределение р на Q, что
имеют место (1.62) —(1.64). '
Доказательство. Пусть о]; —произвольная вектор-функция,
принадлежащая ff^{Q)nL"{Q), такая что .
■\i>eH'-{Q)r\L'4Q), divi|) = 0 в Q, 11) = ф на Г. (1.67)
Положим и = и—ij). Тогда и принадлежит H4Q) и удовлетворяет
(1.63); (1.64) означает, что
u^V. (1.68)
Уравнение (1.62) эквивалентно уравнению
п п п
vAa-f 2 ЙАи-f 2 a;£>,4-f 2 bD.u+gradp=f,{l.69)
(=1 1=1 /=i
n
где/=/+vAtl)—2 Ч»/^!^- Заметим, чтo/^Я~^(Q). Действи-
1 = 1
тельно, очевидно, что /+vAi|)^ Я~^(Q); далее, \J5,.D,-a|5 ^ L"'(Q),
где l/a'-J- 1/а= 1,а = 2п/{п — 2), если /г^З, и а> 2 произвольно,
если /г = 2; так как ^J(Q)cL"(Q), то 'ф,/?,'^!' также
принадлежит Я-1(Й).
Как и в п. 1.2, мы сможем показать, что задача (1.68) —(1.69)
разрешима, если найдем элемент u^V, такой что
v((», v)) + b{tt, и, v) + b{a, t, v) + b{^, it, ») = </, г»>
Уг»е^. (1.70)
Существование элемента u^V, удовлетворяющего (1.70), можно
доказать точно так же, как в теореме 1.2, при условии что
существует Р > О, для которого *
\\\vf + b{v, V, v)+b{v, г|), v) + b{'^, V, i>)>P||i»f
или, в силу (1.22),
v'ivf + biv, ^.'■v)>^\\vf ^veV. (1.71)
Оценка (1.71) заведвйо будет выполняться, если нам удастся
найти гр, удовлетворяющее (1.67) и неравенству
\b(v, гр, v)\^{v/2)\\vf yv^V. (1.72)
Но такое "ф действительно существует, как показывает следующая
лемма. П
Улучшенный ввриант »той теоремы дан в приложении I.

§ 1. Теоремы существования и единственности 143
Лемма 1.8. Для любого v > О существует функция ^~'^{у),
удовлетворяющая (1.67) и условию
\b{v, ^, г»)|<711»11' Vi»6y. (1.73)
Прежде чем доказывать эту лемму, предварительно докажем
еще две леммы.
Лемма 1.9. Пусть p{x) = d{x, V) —расстояние от х до Г. Для
любого е > О существует функция 6^. G 5?' (й), такая что
0е^ 1 в некоторой окрестности Г (зависящей от г)- (1.74)
ее(л;) = 0, если р(А;)>2б(е), где б(е)=ехр(—1/е); (1.75)
DA (х) I < е/р (х), если р (^Х 26 (е), fe = 1 п. (1.76)
Доказательство. Рассмотрим, следуя Хопфу [2], функцию ^.н->
•—*-^е(^). определенную для К'^0 формулой
( 1 при к<Ь{г)\
ge(?^) = | е1п(б(е)А) при 6{гГ<Х<Ь{г), (1.77)
(о при ;^>б(е),
и обозначим через Хе функцию
Хв(^) = ^в(р(^)). (1.78)
Так как р принадлежит 'e^{Q), то функция Хе удовлетворяет
(1.74)—(1.76), и бе получается ее регуляризацией. П
Лемма 1.10. Существует положительная константа с^, зависящая
только от Q, такая что
\p-^vW^o,<CiM^^^^^ yvemi^). (1.79)
Доказательство. Используя разбиение единицы, соответствующее
некоторому покрытию Г, и локальные координаты вблизи
границы, мы можем свести нашу задачу к задаче, в которой Q есть
полупространство {л; = (л:„, л: ), х„ > О, х' = {х^, .. ., a:„_i) ^ R.'^-^}.
В этом случае р(х)~х„, и достаточно проверить, что
{^ux^c,^\D^v{x)\'ux Уг»б<2)(й). (1.80)
Последняя оценка становится очевидной, если доказать следующее
одномерное неравенство:
V {S)
ds<2 I г»'(s) р ds Vi»6<2)(0, +«>). (1.81;

144 Гл. //. Стационарные уравнения Навье—Стокса
Это—классическое неравенство Харди. Чтобы его доказать,
запишем s — e", t = e^ и
^'W{t)dt, v'=w,
s s
0
где & обозначает функцию Хевисайда: ^(а)=1 для а>0 и
& {а) = 0 для а < 0. С помощью обычного неравенства для свертки
последнее выражение оценивается величиной
-«> / -со о
откуда и следует (1.81). П
Доказательство леммы 1.8. Покажем теперь, что 'Ф = го1(9еО
удовлетворяет (1.67) и (1.73). Справедливость (1.67) очевидным
образом следует из (1.65) и (1.74). Далее,
фу(л:) = 0, если р(;с)> 26(e),
l^/Wl<o,(^UWH-|£>^(^)|). если р(;«)<2б(8),
(1.82)
( п \ 1/2
где |D^(;c)|=< 2 l^f^/C^if)! f • Так как мы предполагали, что
^,-Gb"(Q), то из (1.82) выводим, что
\bix)\<Cs{B/p{x) + \Dp{x)\) V/. р(;сХ 26(e).
Следовательно,
\Vib\^Ho,<cJz\f\^^+( J vl\Di\^dxY'\. (i:83)
I \p < 26 (E) / I
Ho, в силу HepaBeHcfBa Гёльдера,
\P < 26 (e) /
где l/a=l/2-l/n и ^-(e)-] J \D^{x)\" dxY'"; ц(е)-^0
\р(л:)< 26(e) j
при s^^0, поскольку D 1^,1-^1"(Q), l<t, /<n. с учетом послед-

§ 1. Теоремы сущестзованая а единстзекноста 148
ней оценки, (1.4) и леммы 1.10, из (1.83) вытекает, что
I г»/*/ \l' (й) =s; о, (81 г» 1 + ц (е) I г» |^а ,ц,)
<c,(8+ti(8))||i»ll, l<t, /<n. (1.84)
Теперь уже легко проверить (1.73); для каждого v£f^
b{v, ф, v) = ~b{v, V, ij)),
\biv, V, 11))|<||г»|||Д^г»,я1);||< (в силу (1.84))
<с,(е + '}г(~8))ИГ. (1.85)
Если 8 настолько мало, что с, (е + р,(е)) < у, то мы получаем
(1.73) для каждого v^f^, а по непрерывности для каждого
Замечание 1.5. (i) Для пО условия (1.66) сводятся к условию t^H^(Q),
в силу теорем вложения Соболева (см. (1.3)).
(ii) Легко записать в виде (1,65) граничные условия для классических
задач гидродинамики, таких, как задача кавитации, задача Тейлора и т. д.
См. также приложение 1.
Замечание 1.6. Легко распространить предложение 1.1 на случай
неоднородных задач. Если выполнены предположения этого предложения и, кроме того,
«рб^^'Ц'), то решение {и, р} задачи (1.62) —(1.64) принадлежит ^~ (Q)X
Х^" (й). Доказательство этого факта проводится, как и в предложении 1.1,
непосредственно для уравнений (1.62) — (1.64) (т.е. без введения в).
Имеет место теорема единственности, аналогичная теореме 1.3:
для /г ^4, „больших" v и „малых" / решение единственно.
Теорема 1.6. Предположим, что п^4, норма ср в L"{Q)'
настолько мала, что
\b(v, (p,v)\^{v/2)\\vf yveV, (1.86)
и V настолько велико, что
v'>4c(n)jf\\v', ' (1.87)
еде с{п) — константа из (1.18) и
/=/+vДф-i)ф,.D,.ф. (1.88)
Тогда существует единственное решение и, р задачи (1.62) —(1,64) ^.
Доказательство. В леммах 1.1—1.3 было доказано, что
b{v, ф, v) = ~b{v, V, ф) и \b{v, V, ф)|<с||г»Пф|^„да^.
' В случае п = 2 пространство L" (Q) заменяется на L* (Q) для некоторого
«>2.
* Как обычно, р единственно с точностью до постоянной.

146 Гл. //. Стационарные уравнения Наеье—Стокса
Следовательно, условие (1.86) выполнено, если |ф|£Л(П) достаточно
мало; это означает, что (1.72) удовлетворяется при а|5==ф и в этом
случае мы не нуждаемся в предварительном построении ij).
Доказательство существования проходит точно так же с ф = ф.
Если й, —некоторое решение задачи (1.62)—(1.64), то щ—а^—Ц)
есть решение задачи (1.70) с 4" = ф- Полагая v = Ui в (1.70), имеем
v|»i|r=-6(»i, ф, Иг) + </. »i><(v/2)|»if + i/||r|»ii||
(мы воспользовались (1.86)) и, следовательно,
l;«,li<2v-4|/||r. (1.89)
Предположим, что Пд, »f —два решения задачи (1.62)—(1.64);
пусть »(, = »(, —ф, и, = и, —ф, и = Ио —«li Ио и »i удовлетворяют
(1.70) с а|; = ф:
v((»o. v)) + b(U(„ «0. v) + b{ag, ф, v) + b{ц>, iig, v) =
v((«i, v)) + b(Ui, tti, v)+b{ai, Ф, г») + Ь(Ф, а^, г») =
= </, v>, vev.
Возьмем в этих уравнениях г» = й и вычтем второе из первого;
после некоторых преобразований получим, используя (1.22),
\\\uf = — b{u, tti, u) — b(u, ф, и). (1.90)
Согл^асно (1.86), ~Ь{а, Ф, tt)^{v/2)\\u\f. В силу (1.18), —Ь(а,
Йц «)^c(n)|ai||||'»|p. С учетом (1.89) это оценивается величиной
(2/v)c(n)||/|v/'|и|р. Окончательно мы приходим к неравенству
(v/2-(2/v)c(n)||/l|r)||ar<0,
из которого ввиду (1.87) вытекает, чтб и = 0.
Если Uo — tti, то ясно, что gradpj = grad pj и, следовательно,
Ра и Pi отличаются на константу. □
Замечание 1.7. Для задач41Д1.62) — (1.64) доказаны в двумерном случае
некоторые результаты о неединственности, для определенных конфигураций; см.
Рабинович [2], Вельте [J^*'''^] и § 4 этой главы.
§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности
Прежде чем проводить численную аппроксимацию
стационарных уравнений Навье — Стокса, нам надо ввести новый
технический аппарат —дискретные аналоги (для ступенчатых функций и
несогласованных конечных элементов) неравенств Соболева и тео-

ff 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 147
ремы о компактности (теоремы 1.1). Получение этих и некоторых
других неравенств соболевского типа и является целью этого
параграфа. Он до некоторой степени технический, и детали
доказательств в последующем изложении нам не понадобятся.
2.1. Дискретные неравенства Соболева для
ступенчатых функций. Мы используем те же обозначения, что и для
конечных разностей, см. п. 3.3 гл. I. Напомним, в частности,
что Rft — это множество точек с координатами /n,/ii, ..., mji„,
nii^Z, h^{h^, ..., Л„), Л,-> 0; 0^^^—характеристическая
функция блока
<>л(Л1)= n(fA,--V2. ti/ + V2). M = {]xt, ..., ti„); (2.1)
t= 1
6,-;^ — разностный оператор:
б,лФ {X) = hi' [ф (х) -f А,/2)-(р (л:-А,/2)], (2.2)
->
где А,—вектор с t-й компонентой Л, и всеми прочими
компонентами, равными нулю.
Теорема 2.1. Пусть р —произвольное число, удовлетеоряюш/ее
условию 1<р<п, и q определено равенством \/q=l/p—l/n. Тогда
существует константа с = с{п, р), зависяищя только от пир,
такая что
(2.3)
{=\
для каждой ступенчатой функции а^:
%= 2 й^{М)ш^м, (2.4)
С компактным носителем.
Доказательство, (i) Рассмотрим скалярную функцию s—^g(s) =
= -.|s|(«-i)p/<«-p). Так как (п —1)р/(/г—р)> 1, эта функция
дифференцируема, и ее производная равна
g' (s) = '^——!i21 s |<" (p-2)+p)/("-p) s.
По формуле Тейлора
g(sO-g(sJ = (Sx-s,)g'(?^Si-i-(l-?^)s,), J^6(0. 1),

148 Гл. //. Стационарные уравнения Новы—Стокса
откуда
\ё{ч)-и{4) \<Ci{n,p)\Si-s,\{\ Si I" <p-i)/(«-p) +
+ |s^|«(P-i)/(«-P)}. (2.5)
(ii) Пусть M принадлежит R^; применим (2.5) о 8£ = Ид(Л1 —
— гА,), S2 = »ft(vM —(/■+!) Л,-); получим
I % (vM- гЛ,) I'"-!) p/f"-") — I Ил (vM —(г + 1) A,, l^-i) p/(«-P)
<Ci(n, p)\Ui,{M-rhi)-a^{M-{r+\)%i)\
X{|%(vM-rA,)|"<p-iV(«-'')
+1 «ft (Ж- (r + 1) A,) I" («'-i)/)«-P)}.
Суммируя эти неравенства для r^O, найдем (сумма фактически
конечна)
+ ~
Xi|»ft(vM-/-A,)l"^''"'>'"'"''^
+ |Ил(Л1-(/'+1)А,)|»(р-1)/(п-Р)}. (2.6)
Усилим неравенство (2.6), заменив сумму в правой части суммой
по г б Z; тогда мы можем интерпретировать эту сумму как
интеграл и оценить величиной
Ciin, р) I |6,ftU;(ii;, li)\\ ^\Щ{\1{Л1
-ffft,)|''"""'"'"'Jdg,.
где (fij, ..., fi„) — координаты точки М и р,, =(nj, ..., p,,._j,
t^/+t. • •» М-я)' Аналогично обозначим через Xi вектор {х^, ...,
*/-»> ^/+1» ••••■'fj и запишем л? = (^;, д;,). Для любого х^а^{М)

I
X
§ 2. Дискретные неравенства а теоремы о компактности 149
неравенство (2.6) дает
00
<Ci(n, р) 5 |6;ft«ft(i;, li)\
— 90
\l^^\uH[Xi,li + -Y-) jell,. (2.7)
Положим теперь
w, (X) = m;, (i,.) = sup I Uf, (x) Ip/c-"). (2.8)
Тргда liKy, (Jc,)|»~* оценивается через правую часть (2.7), еледова-
тельно,
X
[ti%(:^.^^,+^-)r""'""i^^'-^^^
^(в силу неравенства Гёльдера)
(1 « \(Р-1)1Р
^_Janixt,li+cch,)\'>uXidlA
Поэтому
J te;/ (i,)»-» их I < с, (n, р) 16,ft»ft |^_^, (^„) | % |[Г(Й''. (2.9)
Далее, мы имеем
S |aj?d;c< S П sup I «ft (x„ jf,)p/<«-p)d;;
R" Rn'=» 'i
< S П '^i (^') ^^'
Rn'=l
Согласно неравенству, даваемому нижеследующей леммой, это
оценивается через
г=1 \кп-1 J
1/(1-1)

150 Гл. II. Стационарные уравнения Навье—Стокса
и ИЗ (2.9) следует, что
I а, \1,,пп,<с, {п, р) {п I б,.% \х:; ] I и, iXuiT-'"'
I«. 12'^%"")' <^3 («, р) {п I б,..а, !;';;■-;;
I «ft It" R(«, < ^4 («- Р) ( П I S.-ft»ft I^P (R«, f '
n
l»ftL''(R",<^5(«. /'JS |б,;,%|^;,^^„^. D
Лемма 2.1. Пусть w^, ..., w„ —измеримые ограниченные
функции на R'^ с компактными носителями, причем ш, не зависит
от Xj. Тогда
\Jlw,{x,)dx^U{ ] \wi(Xi)\"-^uxA . (2.10)
R» '=1 '=1 (R«-< ;
Это неравенство—частный случай одного неравенства Галь-
ярдо [1]; см. также Лионе [1], стр. 31.
Замечание 2.1. В случае р = п, если носитель и^ содержится в некотором
ограниченном множестве Q, то
для каждого вд вида (2.4) и всякого q, 1<^< + оо. Действительно, любое
такое q, большее чем р, может быть записано как Pin/{n—p-j), где К pi < п.
Тогда применимо неравенство (2.3) с с=с(п, р) = с'(п, q):
п
Неравенство Гёльдера показывает, что
где Q' содержит носитель .б/йИ/,. Если мы предположим, что 1А| ограничено
единицей (или некоторЫГ константой d), то mesQ' оценивается величиной
(mes £2)Xconst; комбинируя последние два неравенства, получаем (2.11).
Для двумерного и трехмерного случаев мы докажем сейчас
другое полезное неравенство, родственное предыдущему.
Предложение 2,1. Предположим, что размерность
рассматриваемого пространства равна двум или трем. Для любой
ступенчатой функции Ufi вида (2.4) с компактным носителем справедливы

§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности
1б1
оценки'
12 Ц/4
если rt = 2,
|«ft|t4R»)<2l/^.33/M«A|Z^^R»)|2|6,-ft»ft|i.(R»,|'"\
если п = 3.
(2.12)
(2.13)
Доказательство. Используем неравенство (2.7) с п = 2 и р = 4/3;
более тщательный анализ доказательства (2.7) показывает, что
в данном случае с^{п, р) = 2; действительно, g{s) = s^ и для (2.5)
мы, очевидно, имеем
U(Sx)-e^{s,)|<2|s,—s,n|s,| + |s,|}.
Поэтому для любых л; б Oft (Л1) и Л1 6 1^а
x(ilJ«A(i,-,B, + T^)||d?,. (2.14)
Так как правая часть (2.14) не зависит от Xi, мы получаем
00
sup|a^WP<2 Г |й,айа(^/. £,■)!
x|^i:J«A(i^. + ^^)|}d|,. (2.15)
Теперь мы можем записать в двумерном случае
J I Un {X) М;с < 5 [sup I «ft (л:) \П [sup | а^ {х) П dx
R» R* L *i J L *« J
<П [suplttAWI^Jd^rJI J [sup|«A(;c)p]d;cj
' Аналогичные оценки для непрерывного случая будут даны в гл. III
(лемма 3.3).

|б2_
Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
(в силу (2.15))
X
KR'
(2.16)
Ввиду неравенства Шварца и того факта, что
JI «А {h + ^ , *.) f dij dx, = Jl ЙА (*)1^ Axi dA;,=l«A|b(R,„
(2.17)
правая часть (2.16) оценивается величиной
36 {I бцЙА \lhR') I »ft |f-'(Rn} {I Saftttft |f-4Rn | «a if-MR')}
< 18|йй|Ь(к»)< 2 |8/A»A|i»(R»)f'
Тем самым (2.12) доказано.
В трехмерном случае, используя (2.12) и (2.15), запишем
S|«ft(;c)|*dx<I8S|[SittAM^idx,]
R' \
X 2 S 16,A«A 1^ d;ci dx, > dx^
< 18 |sup 5 I «J^ dx, dx,| 121 6,.ft«ft 11. (R,) |<(B силу (2.15))
<3б|2 |б,^йЛмв.)}|||6зййй(>з, x,)|
X
a=-l
dA;[^(B силу неравенства
Шварца
< 3^2= I «ft |l4R3) I ЙзаИа |lmr«)| 2 I 6,A«A lb(R») I
<3'2^| «ft|f.,(R3,1 2 |6/A«A ibcR')/ ". (2-18)
и (2.13) доказано. П

§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 1БЗ
Замечание 2.2. Неравенства (2.3), (2.11) и (2.12) могут быть распространены
По непрерывности на классы ступенчатых функций с неограниченным
носителем.
22. Дискретная теорема о компактности для
ступенчатых функций. Мы дадим здесь один дискретный аналог
теоремы 1.1, а более точно, того факта, что вложение W^'P{Q,) в
L"» (Q) компактно, если
1^р<п и 9j —любое число, такое что
1<<?1<<7, где 1/(7=1/р-1//г, (2.19)
либо же
р~п ш 9j —любое число, I^9i< + °°« (2.20)
Теорема 2.2. Пусть Sh — ^f^i^opoe (быть может, пустое)
семейство ступенчатых функций вида (2.4) и
S= и Sh- (2.21)
предположим, что .
функции «А «3 S имеют носители,
содержащиеся в некотором фиксированном
ограниченном множестве в R.", скажем Q; (2.22)
Тогда если р и qi удовлетворяют условиям (2.19) —(2.20), то
семейство S относительно компактно в L"' (R") (или в L"» (fi)).
Доказательство. Согласно одной теореме М. Рисса [1], нам нужно
доказать следующие два свойства:
(i) Для каждого е > О существует компактное множество/Ссfi,
такое что
J |«fth dx<e Vtt^^S. (2.24)
Q\K
(ii) Для каждого e > О существует л > О, такое что
Ki«ft-«Jf^9,^„,<e (2,25)
для любого «ft 6 <^ и любого / = (/i, ..., /„), где | /1 ^ т); т^
обозначает оператор сдвига:
(х1Ц>)(х) = ц>{х + 1). (2.26)
Докажем (i). Как следует из неравенства Соболева (2.3) и
(2.11), семейство (^ ограничено в L9(Q), где q задается формулой
(2.19), если р<,п, и равняется какому-нибудь фиксированному

154 Гл. //. Стационарные уравнения Навье — Стокса
числу, большему q^, в противном случае (р = п). В силу
неравенства Гёльдера имеем
J l«Al<''dx<c(mes(Q\/<'))i-'''/'' V«ft6<^-
Правую часть (2.27) (a следовательно, и левую) можно сделать
меньше, чем е, выбирая компакт К достаточно большим; тем
самым (i) доказано.
Докажем (ii). Вначале покажем, что (2.25) может быть
заменено аналогичным условием на | т^и^—и^ | ;, (условием (2.30) ниже).
Случай (а): qi^p. Для любой функции /6L'»(Q), мы имеем
f^L'''{Q), а также /€L''(Q), поскольку область Q ограничена,
а Qi^p <q- Далее, 0^ I/^i — Vp < 1. В силу неравенства
Гёльдера,
l/L.,,,<(mesQ)^/-^/^/|^,^^^^ = const|/|^,^^.
Случай (Ь): (?i > р. Для любой функции /б Li (й) имеем,
в силу неравенства Гёльдера,
Sl/hdx = 5|/|»«'|/p-'''"dA:
где 9^(0, 1), р>1 и, как обычно, l/p'-j-1/р= 1. Мы можем
выбрать О и р так, чтобы q^Qp^p, qi{\—Q)p'=q; этими
условиями числа р и 9 определяются единственным образом, и они
принадлежат предписанным интервалам [Qqi(q—qi){q—p)—p{q—qd
и P(<7 —9i) = 9 —P]- Тогда
\\fr Ax^{\\f\P йхУ"{\\Г\1 Axf. (2.28)
В частности, для любых / и и^
I ЪЧн - Щг 1^<?., к„,,.< I "^г"* - «А 1^9 (V)' '^^^^^ ~ "" ^1"
(.R")
Так как семейство S ограничено в L<i{R"), то
h.«A-ttJ^,<;-^R„,<c|t,«/,-«,f,^^„^. (2.29)

§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 153
Неравенство (2.29) показывает, что достаточно доказать условие
, (ii) с 9i. замененным на р:
Уе>0Э11:1т,ИА-Ий|^я,к„,<8ДЛя|/Кг1 и и^ 6(^. (2.30)
Выполнение условия (2.30) легко следует из (2.23) и следующих
двух лемм. П
п
Л^мма 2.2. |т,«,-«,:^,^^„^^2 |т.Иа-й.|^,^^„^. (2.31)
-> ->
где 1/ обозначает вектор lih/.
Доказательство. Обозначая через / тождественный оператор, имеем
легко проверяемое тождество
т,-/ = |т....т._^(т.-/). (2.32)
Это тождество позволяет оценить норму | x^tt^—Ид | ;, величиной
п
/Til k ii-i\ и "Mifin^
Вспоминая, что
|т„/| „ =1/1 „ (2.33)
ДЛЯ любогоа б R» и любой функции/6^(К"), получаем (2.31). Q
Лемма 2.3.
(2.34)
Доказательство. Так как \%^Uh — u.f,\ „ =|т -*ttu — ttu\ „ ,
мы можем предположить, что /;^0; запишем
^ = (°'/+Pi)''i> где а,.—целое> О,
0<р, <1, l<i<n. (2.35)
Имеем
«1-1
Т^Ий - «А = 2 Т,:^_ {'^-^Щ - Ид) + ta.ft. (Т^ н.йд—И^). (2.36)
Из (2.36) и (2.33) вытекает оценка
I /. * *k^(R«)
а,—1
< 2 I -^^Щ - я к^" (R«) + 11-. Ил - Ил I i^ (R»). (2.37)

156 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Но Т-»—I = h{x.-* 6i^, и сумма в правой части (2.37) равна
^hi\hhtth\,p^fi^n)- Поскольку ai/if</i., получаем
(2.38)
Оценим теперь норму т -j-W/j —и^. Для л;бСТд(Л1), л; = (л;^, ....х^)
и M^^h, М = {m-jhi, ..., fn„h„), имеем
1^рД,Ий(д;)-Ий(х)
О, если (/И(—у^Л1<л:£<(т^ —р1 + -5-)Л£,
/гАлИА^Ж^-^-), если
(/"1 —Pi + y) ^i <-^1 < (/" + у)/ii.
Следовательно,
Суммируя ЭТИ равенства для различных точек М из R^, получим
It -*tth — Uu\ р =pl'''/ii|t-». 6iA«A|,p
Так как h ограничено, a Pi/ti^/i, то правая часть меньше, чем
ell'" 16iA«A l^p ^|^„^, откуда следует (2.34) для i = 1; для i = 2 n
доказательство то же самое. П
Замечание 2.3. В наиболее часто встречающихся случаях применения теоремы
2.2 семейство ^ представляет собой последовательность элементов и^, , где h^
стремится к нулю. Следовательно, ,^^^ = {а^^} и ^^ пусто, если h не равно h^.
Замечание 2.4. Предположим, что область Q ограничена и что
(^= и (^А. (&. = {и눫^А. l|aAllft<l}. (2.39)
lftl<c„
л
где IFft—аппроксимация пространства Но(^) конечными разностями, (АПР1).
Мы заключаем на основании теоремы 2.2, что ^—относительно компактное
подмножество в ^^(Q). Определенное ниже множество ^', являющееся
подмножеством (^, также относительно компактно L^ (Q):
(^' = и S'h, S'h= {ан 6 Vft, II Ил lift < 1}; (2.49)
|ft|<Co
Vh соответствует аппроксимации (АПР1) пространства V,

§ 2, Дискретные неравенства и теоремы о компактности 157
2.3. Дискретные неравенства Соболева для
несогласованных конечных элементов. В оставшейся части этого
параграфа используются те же обозначения, что и в п. 4.5 гл. 1.
Мы напомним, в частности, что «^^ обозначает некоторую
регулярную триангуляцию открытой ограниченной области Q; 'U^ — это
множество точек В, которые являются барицентрами (м-1)-мер-
ных граней симплексов i^6«^A и принадлежат внутренности
Й(Л)'; Wf^g, В ^4lf^,— скалярная функция, линейная на каждом
симплексе ^^<^^, равная нулю вне Q{h) и принимающая в
узлах следующие значения: W/,g{B)=l, w^g{M) = 0 для всех М,
отличных от В—барицентров (м—1)-мерных граней симплексов
Для любой функции «А вида
Иа= 2 Иа(М)шйм (2.41)
Df^U/, есть ступенчатая функция, равная нулю вне Q{h) и такая,
что
D.ftBft (л;) = D,«ft {X) V;c 6 ^ V^ 6 <^н-
Теорема 2.3. Пусть р — некоторое число, удовлетворяющее
условию ls^p<n, и q определено равенством l/q==l/p—\/n. Тогда
существует константа с = с{п, р, Q), зависящая только от п, р,
Q, такая что
\n,\^,,^,<c{n,p,Q,a)±\D,,u,\^,^^^ (2.42)
для каждой функции % вида (2.41).
Доказательство. Доказательство существенно опирается на
предложение 4.17 гл. I. Для того чтобы установить (2.42), нам надо
показать, что для каждой функции 6 из S)(Q)
|J«,9dx|<c(n,p.Q)9|^,.^^^(^|D,,«,|^,^^J^ (2.43)
где q' определено равенством \/q+l/q' = 1. Обозначим через х
решение задачи Дирихле Ах = в в Q, / — О на 3Q. Функция %
принадлежит классу is" в Q, и, согласно результатам о
регулярности для эллиптических уравнений,
IX U^ ?',Q) < с (п, р, Й) I в 1^, ^^^ (2,44)
'Q(A)= и <*'•

где
158 Гл. II. Стационарные уравнения Наеье — Стокса
(заметим, что \ <q, q' <оо). В силу неравенства Соболева,
производные ti = Di% (l^i^n) принадлежат l^^•*'(fi), а следова-
вательно L^'{Q), где 1/рЧ-1/р=1:
<с(п, р, ^)\Q\^^я'^Qy li = Da, l<t<n. (2.45)
Используя функцию X. запишем
Я = - S SD,«,D,xdx = -5D,^ttftD,xdx,
Имеем
5«ft9d;c <i]|fl|. (2.46)
Для того чтобы доказать (2.43), мы установим некоторые оценки
типа (2.43) для выражений \'fi\, O^t^n. Для ^^ легко полу-»
чаем, привлекая неравенство Гёльдера и оценку (2.45):
<c(n,p,Q)|0|^,.^^^(||D,,«J^,^^^). (2.47)
Для 'fi, l<i^n, используя (1.4.234) с ф = х,' = ^^Д. находим
\n\<cin, р, Q. а)(^| 1 Од,!,,',,,)(! I ^^/.«. 1,я,, j.
I Л1<с(п, р, Q, а)|х1й7а.?'Ш)
х(.||0,,и,|^^,^^<(всилу (2.44)
<c(n,p,Q,^}|9|^,,^^^(||D,,«,|^,J. П
Замечание 2.5. В отличие от обычных неравенств Соболева (см. § 1 и
теорему 2.1 для дискретного случая) неравенство (2.42) содержит коэффициент
с (л, р, Q), который зависит от Q. В обычных неравенствах Соболева
коэффициенты не зависят от носителей рассматриваемых функций. Мы потеряли
некоторую информацию, но это не очень важно для последующего.
Замечание 2.6. Случай п=р может быть рассмотрен так же, как в
замечании 2.1. Пусть р—произвольное число, удовлетворяющее условию \^р<.п,

§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 159
IHO равенств
соотношение (2.42) дает
И q определено равенством 1/0 = 1/0 —1/«. Для всякой функции Иь вида (2.41)
'2.42!
Согласно неравенству Гёльдера,
10/А«л 1^/,^^^ < (mes Й)1-Р/« I £),йИа |f.„(a,.
Следовательно, с некоторой другой константой с (ft, /?, й, а),
I«aU, <'^(«. р. ^. «) 21^«"аЬ(й)- (2-48)
Изменяя обозначение константы е (ft, р, Q) и замечая, что ? может быть
любым числом ^ 1, запишем (2.48) в следующем виде:
п
для каждой функции и^ вида (2.41) с носителем в Q и для каждого q.
Замечание 2.7. Одно неравенство, аналогичное (2.13) (П = 3), будет дано в гл. 111.
Нам неизвестно, справедливо ли для несогласованных конечных элементов
в двумерном случае неравенство, аналогичное (2.12) (п = 2). Некоторое более
слабое неравенство будет приведено в гл. 111. П
2.4. Дискретная теорема о компактности для несо-
гласованых конечных элементов. Мы дадим теперь
дискретный аналог теоремы 1.3, а более точно того факта, что
вложение HI (Q) в L" (fi) компактно для любой ограниченной области Q.
Однако из-за трудностей технического характера результат будет
доказан только в двух- и трехмерном случаях.
Пусть {с^"й}ft 6 ж„—• некоторое регулярное семейство
триангуляции Q. Для каждого h рассмотрим пространство У^ всех
скалярных функций % вида (2.41):
Uh--= ^ и^{М)ы,ш, ИА(М)еК. (2.50)
Эти функции линейны на каждом симплексе <^6i^, равны нулю
вне Q(/i)= ^J of и непрерывны в барицентрах (м—1)-мерных
граней симплексов <^6«^л. Пространство Уд наделяется скаляр-

160 Гл. II. Стационарные уравнения Heme — Стокса
ным произведением
п
1 = 1
Теперь сформулируем теорему.
Теорема 2.4. Пусть п=2 или.З и ^^, h^S^a,— некоторое
регулярное семейство триангуляции области Q. Пусть S^ — некоторое
(быть может, пустое) семейство функций вида (2.50) и
<В= и <8н- (2.52)
Предположим, что
^"Р.11йл11.< + оо. (2.53)
Тогда семейство <В относительно компактно в L*(Q).
Доказательство. Основная идея доказательства основана на том
факте, что пространство (кусочно-линейных) согласованных
конечных элементов является подпространством пространства (кусочно-
линейных) несогласованных конечных элементов. Мы докажем
теорему, используя „недискретную" теорему о компактности
(теорему 1.1) и полученные выше априорные оценки.
Пространство У^ (см. (2.50)) содержит пространство Х^
непрерывных кусочно-линейных функций, обращающихся в нуль на
границе Q(/j) (согласованные элементы). Так как Х^ и F^
конечномерны, то они являются гильбертовыми пространствами со
скалярным произведением ((•, •))а (см. (2.51))'; следовательно, можно
рассмотреть ортогональный проектор щ из f^ на Х^; из
определения такого проектора следует, что
{{^httn, v^)\ = {(U^, v^)) Wu^eY^ Vz»;,e^ft, (2.54)
\\^hUhI<\\uJ,^u,^Y^. (2.55)
Рассмотрим теперь элементы u^ из S. Из (2.55) вытекает, что
семейство {яг^Ил lijff^i^} ограничено в Hl{Q). Действительно,
поскольку XftC://J(Q) и для согласованных элементов норма
|-||^ совпадает с нормой в ^J(Q) (||-|]), то
sup Л^аИа ||я; (Q) = sup l^ftWft lift < sup II «A Ia < + OO.
t Это свойство уже отмечалось и использовалось несколько раз.

S 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 161
В силу теоремы 1.1, семейство ^/,«^ относительно компактно в
L^ (Q), и, значит, существуют подпоследовательность /i'- —*- О и
элемент «6L''(Q), такие что ль-иы—^ и в L" (Q) при /i'-—►О.
Доказательство будет завершено, если мы покажем, что
nh'Uh'—Uh' -* о при h' -* 0. (2.56)
Но (2.56) немедленно следует из приводимой ниже леммы. П
Лемма 2.9. Для каждого Vf, из Y^
\^h^h-'Oh\LHQ)<cia, Q)p{h)\\v^U. (2.57)
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.3, пусть
О — произвольный элемент из ® (Q) и х обозначает решение
задачи Дирихле Ах = О в Q, % = 0 на dQ. Для того чтобы оценить
норму \v^—ЛflVf,\LHQ), рассмотрим выражение (v^ — •^л^л. 6) =
~ iVf,—л^v^„ А5(). Как и в доказательстве теоремы 2.3,
п
{•Он-^н-0,, Ах) = ((Дйг>й-г>й, х))л+ S К " (2-58)
%= 2 \Di{{v,-n^Vf,)D.t)Ax.
В силу предложения 4.16 гл. I ',
1 ^11 < с (Q, а) р (ft) 1 г», ~n^v^ 1U | е |i..,a). (2.59)
Учитывая (2.53) и (2.55), получаем
\f\\^cp{h). (2.60)
Чтобы оценить {{^^—л^^^, х))л. рассмотрим функции Хл.
задаваемые следующим образом: Хл € ^л- Хл (^) = X (^) ^^ 6 "^^ (это
функции, интерполирующие х; заметим, что х непрерывна в Q,
/Я (Q)c:e'''(Q) для п<3, см. (1.3)). Из общих результатов об
интерполяции, которые напоминались в гл. I ^, вытекает, что
||Х-Хл1Кс(а)р(/г)|х|/я(а)<(в силу определения х)
<cp(ft)|e|L>(s,. (2.61)
Используя (2.54), заключаем, что
((г>л-Яйг>й, х))л = ((^л-'^л'»л. Х-Хл))л.
' Здесь существенно предположение, что семейство триангуляции
регулярно, а/,<а< + оо уй.
2 См. (4.42), (4.43). Эти результаты установлены для L°°-HopM. Мы
используем здесь аналогичные результаты, имеющие место для L^-норм, см. Сьярлв
и Равьяр [1], теорема 5, стр. 196.
р. Темам

162 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
а значит,
I ((г>л - ^f^Vn, х))л I < 11'»л - ^h-Vh lift IIX - Xft II л < Ф (h).
Соотношение (2.57) установлено. □
Замечание 2.8. В наиболее часто встречающихся приложениях теоремы 2.4
семейство ^ представляет собой последовательность элементов м^ , р (h„) —>■ О,
a{h„)^a. Следовательно, Sh„ = {<^h„} " <Bh = <3 Для h, не совпадающих с
hm- Если ЦЯй^Цй^^с, то последовательность Uf, относительно компактна
в L2 (Q).
§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений
Навье—Стокса
Мы обсудим здесь аппроксимацию стационарных уравнений
Навье-г-Стокса с помощью вычислительных схем того же типа,
что и использовавшиеся для линейной задачи Стокса. В п. 3.1
мы дадим общую теорему о сходимости; затем применим ее в п. 3.2
к вычислительным схемам, основанным на аппроксимациях
(АПР 1), ..., (АПР5) пространства V. В п. 3.3 мы распространим
на нелинейный случай численные алгоритмы, описанныев§ 5 гл.,1.
В целом весь этот параграф посвящен распространению
результатов, полученных для линейного случая в §§ 3 — 5 гл. I, на
нелинейный случай. Однако результаты будут не так сильны,
как в линейном случае, в частности из-за неединственности
решения задачи в точной постановке.
3.1. Общая теорема о сходимости. Пусть
Q—ограниченная липшицева открытая область в R" и / задано в L'* (Q). По
теореме 1.2 существует по крайней мере один элемент и из V,
такой что
v((«, v)) + b{u, и, ») = (/, V) VveV. (3.1)
По теореме 1.3 этот элемент и единствен, если /г:^4 и v
достаточно велико.
Наша цель здесь — обсудить аппроксимацию задачи 3.1. Пусть
вначале задана некоторая внешняя устойчивость и сходящаяся
гильбертова аппроксимация пространства V, скажем (ю, F),
(Уп< Ph< '■й)йбЖ- гд^-^'^й конечномерны; в качестве такой
аппроксимации можно взять, например, любую из аппроксимаций
(АПР 1), ..., (АПР5), описанных в гл. I. Предположим, что
заданы некоторые согласованные аппроксимации билинейной
формы V ((и, V)) и линейной формы (/, v), удовлетворяющие тем же
предположениям, что и в § 3 гл. I:
(i) a^(Uf,, V/,) для каждого h^^ есть непрерывная
билинейная форма на VfyX^/I, равномерно коэрцитивная в следующем

§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 163
смысле:
Зац > О, не зависящее от h, такое что
ал(ИА. «ft)>aoll«ft!|L Un^V^, (3.2)
где |-|!л обозначает норму в К^.
(И) //, для каждого h^^ есть непрерывная линейная форма
на Vft, такая что
!I'aV,<P- (3.3)
Принимаемые нами предположения о согласовании таковы:
Если семейство г»/, слабо сходится к ©при /i-^O, а семейство
w^ сильно сходится к W при Л—♦О', то
limaft(T>A, 'Шд)=у((г>, w)),
limflftiTOft, г>л) = у((гг>, г>)). (3.4)
й-*0
Если семейство v^ слабо сходится к v при Л—»-О, то
lim</ft, г>й> = (/, г>). (3.5)
Для аппроксимации формы b предположим, что заданы
непрерывные трилинейные формы b/^iUf,, Vf,, w^) на V^,, такие что
*л(Ий. «'ft. «>/.) = О V«^, г>л€1'л; (3.6)
если семейство Vf, слабо сходится к v при Л —*■ О и гг>
принадлежит f^, то
Ит6й(г»л, г>л, r^w) = b{v, v, w). (3.7)
Иногда полезно быть более точным в отношении
непрерывности bfi и требовать, чтобы
УИй, г>„-^^eV;., (3.8)
где константа с = с{п, Q) зависит от п и Q, но не зависит отh;
неравенство, такое же как (3.8), но с константой с, зависящей
от h, очевидно, так как оно эквивалентно непрерывности
трилинейной формы bf,.
Теперь мы можем определить аппроксимирующую задачу для
(3.1):
найти u^^V^, такое что
ал(Ид, Vf,) + bf,{u^, Uf,, г>л) = </л, »й>. (3.9)
Имеет место
' Нап'чннм, что его означает следующее: Ра*й—>• we слабо в F,
niflVfi —>■ (огв) сильно в F.

164 Гл. П. Стационарные уравнения Навье—Стокса
Предложение 3.1. Для каждого h существует по крайней мере
один элемент м^ из Vf^, являюи^ийся решением задачи (3.9). Если
выполнено (3.8) и
al>c(n,Q)f,, (3.10)
то Uf, единствен.
Доказательство. Существование и^ следует из леммы 1.4.
Применяя эту лемму, мы возьмем X равными Vf,, которое
представляет собой конечномерное гильбертово пространство со
скалярным произведением ((•,•))/!• Оператор Я из У,, в У^, определим
равенством
((^(Ил). ''л))л = ал(Ил,г>д) + 6л(Ил, «л, г>л) —</л, г>й>(3.11)
УИй, Vf,eV,.
Оператор Р непрерывен, и нам остается только проверить
выполнение условия (1.29); но, согласно (3.6),
((Я («J, и„)),, = а„{и„, «ft)-</^, Ий>Хвсилу(3.2)-(3.3))
> «о II «л 1 - II /ft Wvi, 1 «л |1л > («о II Ил lift - Р) 1 «л h-
Следовательно, {{Р{и^), и„))„>0, если 1|Ий|д = Л и k>^/a^.
Лемма 1.4 гарантирует существование по крайней мере одного
элемента «,,, такого что P{Uf,) = 0, или
{{Piun), v,))f,^-OVv„eV„. (3.12)
Но это в точности совпадает с (3.9).
Предположим, что выполнены (3.8) и (3.10), и покажем, что
элемент и^ единствен. Если ul и «Г —два реиюиия задачи (3.9)
и Ид = и; —иГ, то
взяв Vf, = Uij и воспользовавшись (3.6), найдем, что а^, (m^, и^) =
= bf,(Ui,, «ft, «л). В силу (3.2) и (3.8), имеем
aolttni<c\\ulU4hH (3.13)
Если мы положим Vffi= ul в уравнении (3.9), которому
удовлетворяет и'н, то получим a„{ul, ul) = <:lf„ Uh>, а ввиду (3.2) и (3.3)
aol;«hg<pf«;L. ||и^|к<Р/ао- (3.14)
Используя эту оценку и (3.13), находим, что
(а„-ф/а„)||ил1|^<0; (3.15)
отсюда видно, что если (3.10) имеет место, то a^ = 0. Q
Теорема 3.1. Предложим, что выполнены условия (3.2) —(3.7),
и пусть Uf, —некоторое решение задачи (3.9). Если п<4, та

§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 165
семейство \Pf,U/,\ содержит подпоследовательности, которые
сильно сходятся в F. Любая такая подпоследовательность сходится к
<йи, где и — некоторое решение задачи (3.1). Если решение задачи
(3.1) единственно, то и само семейство {p^Uf} сходится к сои.
Если п^Ъ, то справедливо то же самое заключение, только о
заменой сильной сходимости в F на слабую.
Доказательство. Пусть пока п произвольно. Полагая v^=u^ в
(3.9) и используя (3.2), (3.3) и (3.6), находим, что
ай(Ил. Ил) = <'л. Ил>, ао||Ил|;л<р. (3.16)
Так как операторы Pf, устойчивы, то семейство {р^и^\
ограничено в F; следовательно, существуют подпоследовательность Л' —*- О
и элемент (f^F, такие что рд-Ий- —* ф слабо в F. Условие (С2)
из определения сходящейся внешней аппроксимации
нормированного пространства означает, что необходимо cpgcoV, т. е. (р = сои,
Ph'Uh—*■ сои слабо в F при Л'—>-0. (3.17)
Пусть г> —произвольный элемент из 1^\ запишем (3.9) с г»/, =/"/,©:
«л(«л. rnV) + b^{Uh, Ил, r^v) = <l^, rf,vy. (3.18)
При Л'—>0, согласно (3.4), (3.5) и (3.7), имеем ОД' (ил-, ГА-г»)->
-<-v((H, V)), Ьп'{иц', ин', rH'V)~^b{u, a,v),<lh', гл-г») — (f, v).
Следовательно, и принадлежит V и удовлетворяет условию
v((H, v)) + b(u, и, v) = {f, V) Уг>е^. (3.19)
Если п^4, то равенство (3.19) выполняется по непрерывности
для каждого v^V; если п ^ 5, то мы заключаем по
непрерывности, что (3.19) удовлетворяется для каждого V^V. В обоих
случаях и есть решение стационарных уравнений Навье —Стокса.
В точности тем же методом можно доказать, что любая
сходящаяся подпоследовательность семейства р^^л сходится к сои,
где и —некоторое решение задачи (3.1). Если это решение един--
ственно, то и всё семейство p^Un слабо сходится к сои в F.
Докажем сильную сходимость при п^4. Как и в линейном
случае (см. теорему 1.3.1), рассмотрим выражение Х^ =
" a/,(«ft —ГдИ, Ий-г^и). Разлагая его и используя (3.9) е г?д«= и^,
получаем
^л =•<'*. «ft>—ал(Ил, г^и)-а^{г^и, Uf,)+a^ [г^и, г^и).
В силу (2.4), (3.5) и (3.17), Xw~^<f, иУ—а{и, и) при Л'^О.
Беря г? = и в (3.1) и применяя (1.22), находим, что </, и> =а

166 Гл. //■ Стационарные уравнения Навье — Стокса
— а{и, и)'\ следовательно,
Xh'->0 при Л'->0. (3.20)
Теперь доказательство завершается, как в линейном случае;
неравенство (3.2) показывает, что |,'Ил' —Гй-м/у —*-0. Поскольку
операторы Рй устойчивы, отсюда вытекает, что
IIPh'Uh- — Ph'rh'U [|f< i Ph' \\je( Vft,. F) II Uh' — rh'U Wit' -> 0.
Теперь запишем
I) ph'Uh' — СОЙ ]f < II Ph'Uh- — Ph'rh'U у +.1' ph'fh'U — COM IIf .
Оба члена в правой части этого неравенства сходятся к нулю
при Л' —0 2. □
3.2. Прилоокения. В этом пункте мы применим общую
теорему о сходимости к аппроксимирующим схемам,
соответствующим аппроксимациям (АПР1), ..., (АПР5) пространства V.
Аппроксимация (АПР1). Выберем а^ и /,,, как в линейном
случае (см. (1.3.62) и (1.3.63)):
«л(Ил. «'л) = ^((Мл, г»л))л, (3.21)
<lH,'0,y = if,Vf,). (3.22)
Прежде чем определить Ь^, введем трилинейную форму Ь{и, V, wf.
b(u, V, w)-=b' {u,v, w) + b"{u, V, w), (3.23)
b' (И, «>. «») =4- Z I "'• (^'^/) ^^/ <^^' (3-24)
i, i=l a
b"iu,v,w)^~-^ ^ ^UiVj(D,Wj)dx. (3.25)
Нетрудно видеть, что
b (и, и, v) = b (и, и, V) v« е vvv е ^, (з.2б)
о для других значений аргументов b н b различны. Определим
*Пврь Ь,, следующим образом:
fcft(«A, г>л, Wf,) = bh[Un, г>л, Wn) + b"h{u^, v,,, w„), (3.27)
n
ЬИ«л,г'л.'а»л) = -|- ^ J u,.^ (6,.^u,.J ш^л dx, (3.28)
1 " С
K{u^,v^,w„) = —^ Y, ]f^ih^ih{^ih^/h)<^x- (3-29)
I. / = 1 Q
' Это равенство несправедливо для л ^5, и именно здесь причина того,-
почему нельзя распространить доказательство на этот случай.
^ Напомним, что_для каждого M^V и каждого h^;^ существует г/^и^У/,,
такое что Phr/tU—>-а)и сильно в F при h—>-0 (см. предложение 3.1).

§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 167
Ясно, ЧТО b'h, К, а значит, и &,^ —трилинейные формы на V,,;
так как V^ конечномерно, эти формы непрерывны.
Нам надо проверить выполнение условий (3.6) и (3.7);
условие (3.6) очевидным образом выполняется, в силу нашего выбора
формы Ь^, а проверку условия (3.7) мы оформим в виде
нижеследующей леммы.
Лемма 3,1. Если р^и^ сходится к сои, то
Ъп {Ч> «л. гп-о) — Ь (и, и, V) Vv е ^. (3.30)
Доказательство. Утверждение, что р^Ид слабо сходится к сом,
означает, что
Ufi—^u слабо в L'^{Q) (3.31)
и
б,дИд-*0,и слабо в L''(Q), l<i<n. (3.32)
Теорема 2.2 о компактности применима в данной ситуации и
показывает, что
Ид —<■ и сильно в L^ (Q). (3.33)
Нам известно, что если v^f^, то p,ir^v сходится к сог> сильно
в F; но из доказательств леммы 1.3.1 и предложения 1.3.5
вытекает, что фактически
r^v-^v в норме L~ (Q), (3.34)
^ih''hV -*■ DfV В норме L" (Q). (3.35)
Если мы докажем, что
b'hiUn, и^, rjV)-^b'(u, и, V), (3.36)
Ы {Uf,, Uf,, r^v) -* b" (и, и, V), (3.37)
то, согласно (3.26), доказательство (3.7) будет завершено. Чтобы
доказать (3.36), запишем
\bh{Un, Uf,, rf,V)—b'(U,U,V)\^
<c„
+ Co
2
./=1
n
+
J itiV^(6if,u,f, — DjUj)dx
Bee эти интегралы сходятся к нулю, и (3.36) доказано; (3.37)
устанавливается аналогично. П
Результат о сходимости, даваемый теоремой 3.1, означает
следующее (п :^ 4):
Hh'—>■ и сильно в L^{Q), (3.38)
bih'Uh' -* DiU сильно в L*(Q), 1^г<л. (3.39)

168 Гл. If. Стационарные уравнения Навье—Стокса
Точно так же, как в линейном случае, можно показать, что
существует ступенчатая функция
JTa= 2 ЛлШ)Щл1, (3.40>
для которой
V ((Ил. -0,))^ + (Va. ^л) = (/. Vf,) VVf, € W^; (3.41>
следовательно, некоторое решение Мд задачи (3.9) является
ступенчатой функцией
«ft= Е u^(M)Wf,M, (3.42>
такой что
и
у: (V.^m,J (М) = о VAI б ^i (3.43>
( = 1
- V i; 6f,«, (Ж)+m »,д (Л1) б,й»д (Ж)
- Y L e.-ft (И/йИл) (Л1) + ^дл^ (Ж) =Л (Л1) УЖ € Й^. (3.44>
1=1
где
^'^^^^'=h~h, J -^W^^- (^•45>
Если удовлетворены условие (3.8) и некоторое условие,
аналогичное (3.10), то «й и и будут единственны и невязка между к
и Uf, может быть оценена, как в линейном случае, если, кроме
того, u^'e^(Q) и pg^^(Q). Используя формулу Тейлора, можно
записать
п п
-^ L Ф1гпЧ) (Ж) +4- Е (^йИ)г (Ж) б,й (гдв) (Ж)
1 = 1
= /(Ж) + вл(Л1) УЖбЙ^, (3.46>
причем
|е,(Ж)|<с(и, р)|/г|, (3.47)
где с (И, /5) зависит только от sup-норм вторых и третьих произ-

§ S, Аппроксимация стационарных уравнений Навье—Стокса 169
ВОДНЫХ от а и вторых производных от р. Уравнения (3.46)
показывают, что
(3.48)
для каждого V/^^W^, где л^—ступенчатая функция
Щ=> ^ PiM)Wf,„. (3.49)
Me ii\
Вычитание (3.48) из (3.9) дает
V ((%-'■*«. «'ft))ft--= —&ft(«ft, «ft, Vf,)+bi,irf,u, гф, г>л)
+ (ел. »ft) Vz?ft€W7ft.
Возьмем Vf,='Uii —Г/^и; испсУльзуя (3.6), получим
v|l«ft-'-A«|=—&д(Ил-ГдИ, Ид, Ил-Гдй)+(8л, щ — г^и).
с учетом (3.8) и (3.47) имеем
vl«ft-r^«|<c(n, ^)|l«ft|!fti«ft-rftag +
vj«ft-r^Mift<c(n, S)l«AlJ|«^-/-ft«l|ft + c(«, p)|/iK
(в силу (3.16)) (p/a„)c(rt, S2)|iaft-.rftM||ft—с(и, р)|/г|.
Окончательно
(V -(р/а„) с (п, Q))|l «ft- TftBlift < с (и, л)| Л |. (3.50)
Если
va„>pc(rt, Q), (3.51)
^с(/1, й) — константа из (3.8)), это дает следующую оценку невязки:
a».-^.«L<,_(pS/;.0) HI- (3.52)
Аппроксимация (АПР2). В двумерном случае мы можем
сопоставить аппроксимации (АПР2) пространства V, описанной в
п. 1.4.2, некоторую новую схему дискретизации для уравнений
Навье—Стокса. Напомним, что для этой аппроксимации
пространство Vf^ является подпространством в ^t(Q), и мы возьмем,
как в линейном случае,
%(Ил. «'ft) = v((aft, T>ft)). (3.53)
<1н. «»*> = (/, v^), . (3.54)
тде ((., .))—скалярное произведение в V^ и в ЯJ (fl). Определим
форму bfi равенством
ftft(«ft. «>/.. tWft)=.6(aft, ©ft, TWft) V»ft, ©ft, tWA^Vft, (3.55)

170 Гл. И. Стационарные уравнения Навье — Стокса
где b определено формулами (3.23) —(3.25); так как Кд
—пространство ограниченных вектор-функций, то формы 6^ определены
на Уд; они трилинейны и, следовательно, непрерывны.
Условие (3.6), очевидно, выполнено, в силу нашего выбора bf^•,
проверке условия (3.7) посвящена нижеследующая лемма.
Лемма 3.2. Если p^u^ = Uf, сходятся к сна, то
bf,(u^, и^, rf,v)-^b(u,tt,v) Vve^. (3.56)
Доказательство. Напомним, что /" = //'(Q), а ю и р^ —
тождественные операторы. Утверждение, что р^м^ слабо сходится к сой
в F, означает, что
и^-*и слабо в т(Q). (3.57)
Теорема 1.1 о компактности показывает тогда, что
Мй-*■ м сильно в L* (^)• (3.58)
Доказательство проводится далее точно так же, как и
доказательство леммы 3.1, если заметить, что
r^v—^v в норме L°°(Q), (3.59)
D/ft© -* Div в норме L°° {Q), 1 < i < n; (3.60)
ВТО фактически было доказано в предложении 1.4.3 (см. (4.63)). Q
Теорема 3.1 дает нам следующий результат о слабой (или
сильной) сходимости:
если р (Л) —* О, причем a(h)^a (т. е. /i € -^а)»
то Uh'-*u в ^J(Q) слабо (или сильно). (3.61)
Точно так же, как в линейном случае (см. п. 1.4.2), можно
показать, что существует ступенчатая функция я^:
ял= 2 ^H(^)%h^ (3.62)
iXh^ — характеристическая функция симплекса <У, такая что
^((«л. «>/.))+ Ьл(«л. «л. «'ft)-К. divT>ft) = (/, г>л)
vt»;.ew7ft. (3.63)
Это уравнение —дис1деётный аналог уравнения
v((«, v)) + b(u, и, v) — {p, divT>) = (/, V)
Vv e m (Q) n L" (Q). (3.64)
Поскольку размерность n = 2, то b есть непрерывная
трилинейная форма на ЯЦЙ) и существует константа с, такая что
|6(м, V, w)^c\\tt\\lvilwl Vm, V, w^Hoifi). (3.65)

§3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 171
Эта оценка может быть установлена тем же методом, что и
оценка (1.18): следовательно, имеет место (3.8) с с{п, Q)==c. _
Получим оценку ошибки, предполагая, что и б ^* (Й), р^^^ (Й)
и выполняется одно условие, аналогичное (3.51). Возьмем г»/, =
= r^u — Uf, в уравнении (3.63) и v = r^u — u^ в уравнении (3.64);
вычитая одно уравнение из другого, найдем
V ((и -Ид, /■/,И-Ид))+Ь (и, и, Г^и~и„)-Ь{Щ, Kft, Г^и-Щ)
— (р —лд, div(r^a —Ил)) = 0. (3.66)
Так как div(r/,a —%)—ступенчатая функция, постоянная на
каждом симплексе <5^6^л> то мы имеем
(р-Лд, (11у(/-/,и-И/,)) = (р-Лй, (11у(/-/,й-И/,)),
где Ял определено формулой
"^= X Ш^([р'^'')^''\и&'. (3.67)
Следовательно,
Кр-Лд, (11у(/-/,а-Ид))К1лй-р|(11у(Г/,и-Ил)|
<|л;-р1|ий-глай. (3.68)
Оценим разность
Ь{щ, и^, г^и — и) — Ь(и, и, г^и~и)
=-b{u^-r^tt, «ft, Г/,й-а/,)+Ь(Г/,и, Ид, г^и-и^)
—Ь{и, и, Г/,и — и) = Ь(и^ — г^и, И/,, г^и — щ)
По абсолютной величине эта сумма может быть оценена, в силу
(3.65), величиной
11щ\\г^а-иА'+^{\г^а\\М\и\)\\г^и-а\\\\г^и-а^\. (3.69)
Напомним, что v||И/,Ц" = </, и^) и, значит, ||И/,Ку~^1/|.
Поэтому сумма (3.69) не превосходит
(C/V) I /11; И/, - г„а II»+с {|| г^а Ц+1 и ||[ ||г/,и - и || || г^и - щ \.
(3.70)
Используя оценки (3.68) и (3.70), получаем из (3.66)
(V - (C/V) I f I) II И/, - Гй« Г < VII И/, - г^и 1111 и - г^и 1!
+ |л;-р|||Ид-Гйа|+с-{||ГйИ|1+||и||[||и-Гйаи1|ИА~'-л«1-'

172 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Окончательно
■ (v_(a/v)|/|)||aft-r^,B||<v||B-r,ai
+ |я;-р|+3{||г«и||+|и||}||и-г^и1. (3.71)
При предположении
v^>cl/| (3.72)
неравенство (3.71) дает сиенку невязки между й/, и г^и, а
следовательно между и и Oft.
Аппроксимация (АПРЗ). Как и в линейном случае, метод
изучения этой аппроксимации очень похож на метод,
использованный для аппроксимации (АПР2).
Аппроксимация (АПР4). Напомним, что здесь Й должна быть
односвязной открытой областью в R^. Так как (АПР4)
—внутренняя аппроксимация пространства V, то простейшая схема (3.9)»
связанная с этой аппроксимацией, такова:
найти й^б^л. такое что
v((»/,. г»,)) + Ь(»„ и„ г»,)=</, г»л> Vt»,6V^ft. (3.73)
Теорема 3.1 применима и показывает, что
»ft — » в F при р (/г) -+ О, (3.74)
при условии что ст(/г)^а (т. е. Лб-^а). Невязку между и и йд,
можно оценить следующим образом (если имеет место
единственность). Возьмем v = u — Uf, в вариационных уравнениях, которым
удовлетворяет и:
v((fl, г»)) + Ь(и, и, г») = (/, v) Vz»6V.
Затем возьмем v= г^а — и^ в (3.73); вычитая эти уравнения одно
из другого, найдем
— Ь{а, и, г^и — и^). (3.75)
Разность й(И/„ йд, г^п — и^) — Ь{и, и, г^и — и^) равняется
b{tth--u, Ий, ГйИ-йл) + Ь(й, йл-и, г^и — и^)
+ Ь(и, tth — Uy^ht^ — и) = Ь{и^~и, щ, г^и — и)
+Ь{и^ — и, и, и~и^)+Ь{и, а^ — и, rf,a~tt).
Ввиду (1.18), выражение справа оценивается величиной
o{lul + \\ttJ\\\u^-ttJlr^u-tt\\+c\\a\\\\tt-u^f.
Напомним, что v|l«|p = </, й>, ||и|< v-4|/||^, и аналогично
v|«aJ*'«</, йд>, |ид|^у~'||/;|1/,. Поэтому последнее выражение

§3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 173
оценивается величиной
(2c/v) I/11 й/, - й 11 г/,и - й II + (C/V) II/1II а - Ил f.
Тогда из (3.75) вытекает, что
(v—^|/|)||a,-fl|p<(v+^|/|)ila,-a||||r;,a-a||,
(v—7l/l)llил-и||<(v+?^|/|)|lr,й-иi. (3.76)
Неравенство (3.76) показывает, что если
^^>с||/1им (3.77)
то невязка Цй/, —й|| имеет тот же порядок, что и Цг^а —и(|. Так
как с—это константа с(«) для п = 2 в (1.18), то неравенство (3.77)
есть в точности то неравенство (1.37), которое гарантирует
единственность решения й задачи в точной постановке.
Аппроксимация (АПР5). В случае когда рассматривается
аппроксимация (АПР5) пространства V, мы можем положить
«ft (Ий. Vh) = V ((йд, г»/,))/,, (3.78)
</й. «'*> = (/. ^й), (3.79)
Ь/,(Ил, v„, гУ/,) = ЬИИл. 'Ол, '^h) + bh{tth, v„, w^), (3.80)
1 Л Р
bft (Ил, г»/,, 'а'л) = -2- 21 J «/л(^/л^/л)'^/л d^. (3.81)
1 " Г
bft (Oft, z»ft, гУл) = — у Y, J "'А^/л (^/А^^/л) 'l^- (3-82)
i. / = 1 n
Ясно, что bft, b'h и b/, —трилинейные формы на V^, и так как Кд
конечномерно, то эти формы непрерывны.
Мы должны проверить (3.6) и (3.7); (3.6) очевидно в силу
нашего выбора формы Ь,^, а доказательству (3.7) посвящена
следующая лемма.
Лемма 3.3. Пусть ns^3. Если р^и,, слабо сходится к сои, то
Ьн (йл, «л, r^v) ~* Ь (и, и, V) Уг» 6 ^. (3.83)
Доказательство. По предположению,
Ил — и слабо в L^ (Q), (3.84)
D,ftMft — D,H слабо в V (Q), К f < п. (3.85)
Теорема 2.4 о компактности показывает, что
и^—* а сильно в L^(й). (3.86)

174 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Нам известно, что если г'б'^. то p/^r^v сильно сходится к сог» в F;
далее, из доказательств предложений 1.4.12 и 1.4.15 вытекает, что
Г/^г —*• г» в норме L* (Q), (3.87)
Di^r/^v — DiV в норме L~ (Q). (3.88)
Доказательство (3.7) будет завершено, если мы покажем, что
Ьй(Ий, »л, rhV)-*b'{tt, и, V), (3.89)
Ь'н (Ил, »л, гдг») — Ь" (и, и, V). (3.90)
Чтобы установить (3.89), запишем
|ЬИИа, Ил.'■/,«')-Ь'(»,», г») I <
^0 S j(«i/.^'/ft-«i^'/)^£u''/ud^
'. /= 11 а
+
Все эти интегралы сходятся к нулю, и (3.89) доказано.
Доказательство (3.90) аналогично. П
Результат о сходимости, даваемый теоремой 3.1, означает, что
Uh'—^u сильно в L^{Q), (3.91)
Z)fft,«ft. -* DiU сильно в Z.2 (Q), 1 < t < n (3.92)
(напомним, что n = 2 или 3). Точно так же, как в линейном
случае, можно показать, что суш,ествует ступенчатая функция л^,,
постоянная на каждом <5^6^л» равная нулю BHeQ(/i) и такая, что
v((«A. '»л))л + ^л(Ил, Ий. г»л)-(л;^, diVftZ»ft) = (/, г»й)
Vv.^W,. (3.93)
Если удовлетворены условие (3.8) и некоторое условие,
аналогичное (3.10), то й/, и и единственны и невязка между ними
может быть оценена, как в линейном случае, если, кроме того,
ие'ёЦй) VI р^'6''(Й).
Лемма 3.4. Пусть и, р—тонное решение задачи (1.8) —(1.10).
предположим, что a^^^'(Q), рб^''(Й) и Q=Q(/i). Тогда
v((»,'P/,))/,+bAla,a,z»^)-(p,divz»A)=(/,z»ft)+//,(«'/,), (3.94)
где ■^■
1^л(г'л)1<с(и, р)р(?1)|1г»л||л. (3.95)
Доказательство. Возьмем скалярное произведение в L^ (Q) элемента
^ft 6 й^л ^ уравнением (1.8), записанным в виде
п.

§3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье — Стокса 176
Так как Q = £i(/i), то мы получим
Х{—v(A». v^)^ + j{UiDiU + Di{uiU), v^)^
of
+ (gradp, Vh)<f-if, ©ft)<y| =0.
Формула Грина, примененная несколько раз на каждом
симплексе of, показывает, что левая часть последнего соотношения
равна
{v((«, Vh))h + b{tt. И, v^)-{p, diVft v^)-{f,z'ft)-;ft(z'ft)}=0,
где
Оценка (3.95) для l/iiv^) легко следует из предложения 1.4.16. П
Далее действуем, как и при доказательстве (3.71). Возьмем
Vfy=Uh — r^u в соотношениях (3.93) и (3.94) и вычтем одно
соотношение из другого. Получим
v{(u-u^, tt^-r^u))^ + b^(u, и, щ-г^а)
(3.96)
Так как div^, (Г/,и —И/,) равняется нулю, то соответствующий член
пропадает. Оценим разность
Ь/,(Ий, й/,, щ — г^и) — Ь^[и, и, Щ-г^и)
= bh{Uh-r^u, Ий, Щ — г^и)
+ Ь^{г^и, Ид, Ид-Г/,и)-Ьй(и, и, Щ-г^и)
= bh{Uh-<'hU, Ил, Uh-rnU)
+ Ь^{г^и, г^и — и, щ — Гни) + Ьн{г,,и—и, и, и^ — г^и).
Абсолютную величину этой суммы можно оценить, используя
(1.18) и (3.65), как
с \\ Ил \н К - ГлИ lift + с {II ГдИ lift +1 и 1} II г^и - и р^ 1 и^ - г^и I,
(3.97)
Напомним, что VIIИ/, 1 = </, И/,> и, следовательно, Ци^!'/, <v-4/l.
Поэтому сумма (3.97) не превосходит
(c/v)|/liHft-rfta||+c{|lrft»l^+ll»i}|kfttt-alU|rfta-M,;!^.
(3.98)

176 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Используя эту оценку и (3.95), получаем из (3.96)
(V - (C/V) I/1) I Ид - r^tt \i < VI И/, - г/,и lift 1 й - Г/,и lift
+'''{lk/.«l/.+llai[i«ft-rft«|ftl|«-rft«|lft
4-с(и, p)p{h)\u^-r^ub,. ^ (3.99)
Окончательно
(v-(c/v)|/|)|aft-rft«||ft<v||tt-rfttt;ift
+с{||ГлИ||л + ||и|1Я1и-'-йИ|1л+с(и, р)р(/г). (3.100)
В предположении что
v='>c|/|, (3.101)
неравенство (3.100) дает оценку невязки между И/, и г,^и, а
следовательно между и а Ufi-
3.3. Численные алгоритмы. В последующем анализе мы
ограничиваемся случаем ns^4. Наша цель —распространить на
нелинейный случай численные алгоритмы, описанные для
линейного случая в § 5 гл. I.
Заметим, что стационарные уравнения Навье— Стокса не
являются в отличие от уравнений Стокса уравнениями Эйлера ни
для какой задачи оптимизации. Поэтому приводимые ниже ал- ,
горитмы представляют собой некоторое расширение классических
алгоритмов Удзавы и Эрроу —Гурвица, относящихся лишь к
задачам оптимизации.
Всюду в оставшейся части этого параграфа мы будем
использовать трилинейную форму b (и, V, w), определенную формулами
(3.23)—(3.25). Это непрерывная трилинейная форма на Н1,{9.)х
xH],{Q)xH{ (й), и существует константа с = с{п), такая что
|Ь(и, г», гу)Кс(«)||и||1|г»||||гу|| У и, v, w^HliQ) [п^А).
(3.102)
Как мы уже отмечали,
Ь(и, V, w)=b{u, V, W), если u€:V, v, w^Hl{Q), (3.103)
Ь(и, V, г») = 0„,и, vemi^)- (3.104)
Алгоритм Удзавы. Для того чтобы аппроксимировать решения
задачи (1.8)— (1.10), йы, как и в § 1.5, построим две
последовательности элементов
W^^HliO.), p-"^L^{Q). (3.105)
Это построение осуществляется относительно легко потому, что
для аппроксимирующих уравнений условие diva = 0 пропадает.
Мы начинаем алгоритм с произвольного
р'б^М^)- (3.106)

§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье—Стокса 177
Если р"' уже известно, то определяем и"'*^ как некоторое
решение задачи
и'"+^6//;(^), v((a'"+i, v))+bia'^+\ u"'^\ V)
= (р-, divz») + (/, V) Уг»6Я„ЧЙ). (3.107)
Далее, определим р"''^^ посредством соотношений
(pm+i_pm^ (7)+P^diva'"+\ q)==OVq^L'(Q). (3.108)
Позже мы дадим условия, которым должно удовлетворять число
Р>0.
Существование й""*"', удовлетворяющего (3.107), не очевидно,
но его можно доказать, используя метод Галёркина, точно так
же, как в теореме 1.2, и мы опустим это доказательство.
Нетрудно видеть, что и"''^^ является решением следующей
нелинейной задачи Дирихле:
П
—\'Аи'"+1 + У tif^'-DiU"'^^ +4- (div «"+') W+i
,=1 "^
= -gгadp'"^-/6Я-м^)• (3.109)
Решение задачи (3.107) —(3.109), вообще говоря, неединственпо.
Если «""""i известно, то р"*"*"' явно задается посредством
соотношения (3.108), которое эквивалентно следующему:
р'»+1 = р'" —pdivй'"+^6^."^^). (3.110)
При исследовании сходимости мы будем предполагать, что
v-(c(«)/v)|!/||h-=v>0; (3.111)
в силу (3.102), (3.103) и теоремы 1.3, условие (3.111)
гарантирует единственность решения задачи (1.8) —(1.10); р единственно
с точностью до аддитивной постоянной. Зафиксируем эту
постоянную, потребовав, чтобы
Jp(x)dA; = 0. (3.112)
Предложение 3.2. Пусть п^4 и выполнено условие (3.111).
Предположим, что число р удовлетворяет условию
0<p<2v. (З.ПЗ)
Тогда при т—* оо
и"'—^и в норме Hl{Q), (3.114)
pm _^ р слабо в L" (Q), (3.115)

178 Гл. II. Стационарные уравнения Нсшье — Стокса
где {и, р)—единственное решение задачи (1.8)—(1.10),
удовлетворяюще (3.112).
Доказательство. Положим
г»™+» = и'»+* —и, (?'"+»=:р'»+1 —р (3.116)
и будем действовать, как при доказательстве теоремы 1.5.1. Вычтя
уравнение (3.107) из уравнения
v((a, v))+l{u, и, v)-{p. divv) = <f, v>Vve Щ(^)
(3.117)
и взяв v=v'"'*'^, получим
v||z»'»-'4P = (^'". divz»'»+')+b(a, и, г»"**)
— b(u'"*\ и™*', 1»"+^) = —((?"»+1 —9"», divv"*^)
— ((j^+S divг^'"+^) + Ь(г^'"+^ и, V"*^)
(в силу (3.102) и (1.39)) —((j-'+i —(?«», div©'»+i)
— ((j-'+i, д\vv""^^) + {cM\\f\\v,\\v"'*^f. (3.118)
Положив q = q'"*^ в (3.108), найдем, что
|^». + l|2_|^m|2_(.|^m + l_^m|2 = _2p((livZ»'» + *, (?'" + 1).
(3.119)
Умножим неравенство (3.118) на 2р и сложим его с (3.119); это
дает неравенство
|Q«» + ip_|^™|2 + l^m + l_^m|2_,_2p(V-(C/v)|/||v,)||Z»'" + lp
< —2p((?'»+^-fl'", divt»"-*!), (3.120)
которое аналогично равенству (5.12) из доказательства теоремы
1.5.1 с константой v, замененной на v (см. (3.111)).
Доказательство завершается теперь точно так же, как в теореме 1.5.1 □
Замечание 3.1. В общем случае, когда не предполагается единственности, мы
можем доказать результаты о слабой сходимости для средних значений
л/ 'W
Эти последовательности ограничены в //J (£2) и L'(£2), и каждая их слабо
сходящаяся подпоследовательность сходится к паре {и, р), которая является
решением задачи (1.8)—(1.10).
Алгоритм Эрроу — Гурвица. Мы построим последовательность
пар {и™, р'"} следующим образом. Начнем алгоритм с произволь-

§3. Аппроксимация стационарных уравнений Наем—Стокса 179
ных элементов
и^^НЦО), p'eL'iQ). (3.121)
Если р", W" уже известны, то определим р"**, и""** как
решения задач
»'"*^6ЯЛЙ), ((и™+'•-«'», г»))+ pv ((««», г»))
+ Ь(и'", и'^+\ v)-p{p'", uivv) = p{f, V) Уг'бЯоЧЙ),
(3.122)
а(р'»+^ —р"", q) + p{d\vu'"+\ q) = 0 Vq^mQ). (3.123)
Предположим, что р и а — строго положительные числа; условия
на р и а будут даны позже.
Существование и единственность и'""^^ 6//J(Q),
удовлетворяющего (3.122), являются простым следствием проекционной теоремы;
(3.122) — линейное вариационное уравнение, эквивалентное задаче
Дирихле
П
—Ли'»+^ + р X. uTDitt"'^^ + (р/2) (div и"") W^^^
= —Aa"' + pva'" + pgradp'»+/. (3.124)
Следовательно, p'""*■^ явно задается равенством (3.123), которое
эквивалентно равенству
p"'+^-=p'" — {p/a)uivu'"^^eL^Q). (3.125)
Сходимость удается доказать лишь при более сильных
условиях, чем использовавшиеся в предложении 3.2.
Предложение 3.3. Предположим, что п^4,
V—^|!/||v'-^||/|- = v*>0 (3.126)
и
0<P<2(5W)- (3-127)
Тогда при m -^ оо
и-"-*и в норме /fh(Q), (3.128)
р'"-*р слабо в L^Q), (3.129)
где \и, р\ —единственное решение задачи (1.8)—(1.10),
удовлетворяющее (3.112).
Доказательство. Мы опять используем обозначения (3.116).
Возьмем г' = 2г'"'+^ в (3.117) и (3.122) и вычтем эти уравнения

180 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
ОДНО ИЗ Другого; это дает
II ^я> + 11|2 _ 1 ,рт |2 _|. II ^т + 1 _ ^ш |2 Ц. 2pv II г»'" + 1 f
= 2pv((z»'» + \ г»"'+^ —z»'")) + 2p((j'«, div©"'+i)
+ 2Ь(и'", «'"+S v'"*^) — 2b(u, и, V"^"-)
^4-1||^т + 1_^т1|2_|.4р2.у2||^т + 1||2ц.2р(^'», diV Z»'" + l)
+ 2Ь(г»'" —z»'"+S и, г»'"+^) + 2Ь(г»'"+^ и, z»'"+iX(b силу
(3.102) и (1.39)Х4-Ч|г»'"+1 —z»'"|;''4-4p''v2'iz»'»+4i''
+ 2р {q'", divг»'"+1) + (2c/v)Ц/Цу,, Цг»""*!—г»""i:i|г»""*!||
+ (2c/v) ll/lv, i; v"*"- f < 2-1II v"'+^ — v'" f + 4p4''
+ (43vv^)i/iv, + (2c/v) |]/|^,) 11V"*' f + 2p (<?-, div г»'»+1).
(3.130)
Возьмем (j = 2(?'"+' в (3.123):
ajij'^+ip—а|^"р = 2р((?'"+1, divt)"'+^) = —?p((7'", divz»'"+i)
— 2p((?'"+i —f?", divi""+iX —2p((?'», divz»'"+i)
+ 2p I ^'«+1 — 9» I |i v'"+^ II < (a/2) I q"'+i — q"' p
+ (2р''«/а)|!г»'"+Чр —2p((?'", divz»'"+i) (3.131)
(cm. соотношения (5.13), (5.25), (5.26) гл. I). Сложив неравенства
(3.130) и (3.131), получим
а I (jei+i |2 _(х I ^т |2 _|. 2-11 ^^"=+1 — q'" р Ч-]|г;"+1 ll'i — Цг»"" |р
4-2-11|г»"*!-о»,Г + 2р (V-(2a/v)||/||^,-(4avv^)|i/||i>,
— 2pv'' — (2р/а) i; V"+1 ll'' < 0. (3.132)
Условия (3.126)—(3.127) гарантируют, что коэффициент при
||^m+i||2 (3.132) строго положителен; поэтому это неравенство
аналогично неравенству (5.27) в доказательстве теоремы 1.5.2;
мы завершаем доказательство, как и в той теореме. Г]
§ 4. Теория бифуркаций
и результаты о неединственности
Единственность решения стационарных уравнений HaLbe —
Стокса была устанбвлена лишь в предположении, что v
достаточно велико или что заданные силы и граничные значения
скорости достаточно малы. Поэтому можно ожидать, что в
противном случае решение неединственно, и это действительно было
доказано Юдовичем [1, 2], Рабиновичем [2] и Вельте[1, 2]. Две
первые работы имеют дело с задачей Бенарда (уравнения Навье—
Стокса плюс уравнение теплопроводности), а в третьей
устанавливается неединственность решения задачи Тейлора.

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 181
В этом параграфе мы докажем неединственность решения
задачи Тейлора, следуя Вельте [2]. В п. 4.1 приводятся
постановка задачи и некоторые предварительные результаты; в п. 4.2
напоминаются основные результаты из теории топологической
степени, которые нам потребуются дальше, а в п. 4.3 дается
доказательство теоремы о неединственности.
4.1. Задача Тейлора. Предварительные результаты.
4.1.1. Уравнения. В задаче Тейлора изучается течение вязкой
несжимаемой жидкости в области пространства R'\ ограниченной
двумя бесконечными цилиндрами радиусов г^ и /-„ {г^ > ''i > 0).
имеющими общую вертикальную ось. Внутренний цилиндр
вращается с угловой скоростью а, а внешний покоится.
Поскольку мы ищем осесимметричные решения, будем
использовать цилиндрические координаты в R^, скажем г, О, г, где ось г
совпадает е осью цилиндров. Таким образом, жидкость заполняет
следующую область Q:
ri<r<r^, — оо<2< + оо. (4.1)
Обозначим через и, v, w компоненты вектора скорости в
цилиндрических координатах, а через р —давление. Безразмерная фирма
уравнений движения для осесимметричного течения такова:
где
-i(''"-|r)+"#+»4-fi^+#-».
И Я,= Re —число Рейнольдса:
^,= Re = artv-i. (4.5)
Граничные условия на боковых поверхностях цилиндров таковы:
u — w = 0, t»= 1 для r = ri, „.
u = v = w = 0 для f = /-j.

182 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Известно одно очень простое решение задачи (4.2), (4.3), (4.6),
которое мы будем обозначать через и„, Уо, w^, р^\
Uo = w^ = 0, ye(r) = -j-L-(-9-_rV
r-i.—ri \ ' I
Po (0 = fo In r +const.
(4.7)
В связи G этим можно искать решение задачи (4.2), (4.3), (4.6)
в виде
й = ы„+и, t» = y„ + y, ш = ау„+ау, р = р„ + Р-
JVlbi получим для и, V, W, р следующие уравнения:
' / и.. и \ , ди , ди 1 „ 2 , др п
(4.8)
1 л 1 dw , dw , dp „
, dun
гдеУв=-д7,
§p{ru) + -^{rw) = 0, (4.9)
я следующие граничные условия, вытекающие из (4.6):
u = v = w = 0 для /■ = /-! и г = Г2. (4.10)
Заметим, что граничных условий (4.10) недостаточно для того,
чтобы хорошо поставить задачу (как и условий (4.6) недостаточно
в случае уравнений (4.2), (4.3)): нужно еще добавить некоторые
граничные условия при г = ± оо. Мь1 можем искать либо решения
и, V, W, обращающиеся в нуль при г = гЬоо, либо решения, не
зависящие от г, либо решения, периодичные по г. Первая
возможность в точности соответствует типу задач, изученному в § 1;
вторая возможность тоже, поскольку дело сводится к нахождению
двумерных решений. Задача третьего типа (периодичные по г
решения) не совпадает ни с одной из задач, рассмотренных в § 1,
но очень близка к Ним, и в действительности решения такого
вида наблюдаются в^-эксперименте. Мы будем искать решения
задачи (4.8)—{А. \0)^' которые периодичны по г с периодом L.
Напомним, что всегда имеется тривиальное решение u = v = w^p = 0\
мы хотим показать, что в некоторых случаях существует еще и
нетривиальное решение.
4.1.2. Функция тока. Из (4.9) вытекает, что существует функция
] = f(r, г), такая что
^,[rf) = ru, l[rf)~-=-rw. (4.11)

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 18S
Граничное условие (4.10) гарантирует, что / — однозначная
функция. Представляет интерес записать уравнения (4.8), используя
только зависимые переменные /, и. С этой целью
продифференцируем первое уравнение (4.8) по г, а третье по г и вычтем одно
из другого полученные уравнения. Член с давлением исчезнет'^
замечая, что
§-г-^'. |и»)-г'(-1^).
где
О'_ Л —L - ^ 4-1 ^-1--^—1
МЫ получим после приведения подобных членов
^4+^{a^£ + M{f, t-))=0, (4.12>
где
'"С.") —l(S-8'n + i[l(|W))j'f]+±|(„.,.
Второе уравнение в (4.8) может быть записано следующим образомг
^v + k(^b-^ + N{f, t-)) = 0, (4.13>
где
Граничные условия (4.10) принимают вид
/ =-|^=f = 0 для г = г, и г = /-2. (4.14>
Итак, задача свелась к нахождению нетривиальных периодичных
по 2 с периодом L решений /, v задачи (4.12)—(4.14).
4.1.3. Ассоциированное функциональное уравнение. Поскольку
функции f ц V периодичны по г с периодом L, достаточно
рассмотреть сужение этих функций на открытую область
6L = \{r, 2)|г,<г<г„ -Lf2<z<L/2\.
Обозначим через Н''(6; L) пространство всех функций,
удовлетворяющих следующему условию: если функцию продолжить на.
область
6=i(^ 2)IГ1 </-</-J, г^Щ

184 Гл. II. Стационарные уравнения Навье—Стокса
как периодичную функцию периода L, то продолженная функция
будет принадлежать Я* для любой ограниченной подобласти
области б*. Фактически Н''(6; L) является в точности
подпространством в H''{6l), состоящим из тех функций v, для которых
Введем теперь пространства lF = lF,xWjj и V = V'jxVj:
W.^i^f^H^iO; L)|/ = | = 0 при r = ri и г = л,|,
W'2 = {u€№(6; ^-)lf = 0 при г=^г^ и г^г,},
К, = Я»(б; L)nWi, V, = W,.
Ясно, что Wi, W^, Ki, V^, снабженные нормами,
индуцированными соответственно из H^{6i), Н^ (61), H^{Qf), H^(Q,), являются
гильбертовыми пространствами. Снабдим V нормой произведения,
индуцированной из Н^ {(Э1)У.Н^ {Ql), однако W наделим другим
скалярным произведением:
((Фь Ф2))1^ = ((/ь /2))i^. + (K. v^))w., (4.15)
((/i. /2))*',= S Sfr<Sf,rArAz,
6l
где ф^. = {/;, Vj) — элементы из W. Соответствующая норма в W^,
очевидно, эквивалентна норме, индуцированной из H^{Qi), а
соответствующая норма в W-i, согласно приводимой ниже лемме 4.1,
эквивалентна норме, индуцированной из Я*(6J. Таким образом,
W является гильбертовым пространством со скалярным
произведением (4.15).
Лемма 4.1. Норма ||/|ц7, в Wi эквивалентна норме,
индуцированной из Н^ (0^^).
Доказательство. Легко видеть, что если fug принадлежат W-i, то
01 " 6l
Поэтому если f ^Щ4'н -2'/ = О, то J =2^/•/г dr dz = О и / = 0,
6l
в силу (4,16). Следовательно, |/|и7,—норма. Эта норма в W^
эквивалентна норме \Sf\i''(Qi), а последняя эквивалентна норме,
индуцированной из Н^ф,), как показывает применение теорем
о регулярности к оператору ^—эллиптическому оператору
второго порядка (см., например, Агмон, Дуглис, Ниренберг [1]). П
' Такая функция может принадлежать Я* (0), только если она нулевая.

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 185
Оператор Т. Определение оператора Т будет дано после двух
нижеследующих лемм.
Лемма 4.2. Для заданного g^L^ (di) существует единственное
ы С IFj {соотв. V 6 Wi), такое что
^u = g (4.17)
(соотв. S''v = g). (4.18)
При этом и^Н^ (0i), V € Я* (0^,).
Доказательство. Как легко проверить, используя (4.15), эти
задачи эквивалентны соответственно следующим:
найти и € Wj, такое что
найти V 6 W^i, такое что
\ Sv-^Vt-rdrdz^ \ gv^rdrdz Vy, € li^i-
Существование и единственность решения этих вариационных
задач следуют из леммы 4.1 и проекционной теоремы (теоремы 1.2.2).
Из теорем о регулярности для эллиптических операторов (здесь
операторов S п £'^) вытекает, что u^H^{6i), а v^H*{6i). П
Лемма 4.3. Для {f, v}^V функции
ag + A4(/, V), b^+N{f,v)
принадлежат L^{6[).
Доказательство. Достаточно доказать, что М (/, v) и N (/, v)
принадлежат L^ (6i). Это можно показать, используя теорему
вложения Соболева, которая дает, в частности (см. п. 1.1): Н^ {Qi)tz.
cz^^^i)) ^^ (6[)czL*{6[). Старшие члены в М (/, v) таковы:
дгдг =^' дгдг^-^!''
если {/, у} 6^, то / принадлежит Н'^ {&{), d^f/drdz и ^^f
принадлежат H^ {6i), а значит и L^ {6i), а их произведение принадлежит
L^{6l); df/дг лежит в Н"" {6[), а значит в ^"(0i), д/дг{^[)~
в L''{6i), а произведение этих членов—в L^{6i). Для других
членов в М и iV доказательство аналогично. □
Теперь мы можем ввести оператор Т. Согласно леммам 4.2
и 4,3, для всякой пары {/, v} из V существует единственная пара
{/', у'}, принадлежащая V, а также Н* (6i)xH^ (6i), такая что
(4,19)

186 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Определение 4.1. Обозначим через Т отображение V в себя,
действующее по правилу {/, f}i—*{/', v').
Связь этого оператора с нашей задачей такова:
Предложение 4.1. Следующие две задачи эквивалентны:
найти пару {f,v)^'V, удовлетворяющую (4.12) —(4.14);
найти элемент Ф = {/, v} из V, такой что
Ф = >1Гф. (4.20)
Доказательство очевидно. □
Начиная с этого места, мы будем изучать задачу (4.12) —(4.14)
в ее функциональной форме (4.20). Следующий подпункт
посвящен изучению оператора Т.
4.1.4. Свойства оператора Т.
Лемма 4.4. Т—компактный оператор в V.
Доказательство. Пусть ф„ = {/„, у„} —произвольная ограниченная
последовательность в V и Фп= {/т, U/i} = 7"ф„- Более пристальный
анализ доказательства леммы 4.3 показывает, что advjdz +
M(/„, у„) и Ь(Э/„/(Эг + Л^ (/„, f„) —ограниченные последовательности
в L^{6[). Поэтому ^^fn и .S'v^ — ограниченные
последовательности в ^^{6i), fn и у,', —ограниченные последовательности
в Н^(6[) и H^{6i), а тогда они являются относительно
компактными последовательностями соответственно в H^{6i) (или Vj) и
в H^{6i) (или V^) (см. теорему 1.1). П
Рассмотрим линейный оператор В, определенный следующим
образом:
Для всякого ф б А7 существует единственная пара {/", у"} из
IF, которая удовлетворяет (4.21) (см. лемму 4.2). Поэтому В —
непрерывное линейное отображение из W в W {\ \Н^ {Qi)x Н^ (6i)).
Используя опять теорему 1.1, получаем такой результат.
Лемма 4.5. В —компактный линейный оператор в W и в V.
Между операторами Т и В существует следующая связь.
Лемма 4.6. Оператор В —это производная (по Фреше) оператора
Т в точке 0.
Доказательство. За1}Ишем У?ф = ф* = Гф — 5ф = ф' — ф", (f^V.
Имеем
^^•« —М(/, у), =2'tc = —iV(/, у). (4.22)
Так как Г0 = 0, то нам надо показать, что
Ф'11к/|1ф'|1к~*0 при II ф 11^ — 0. (4.23)

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 187
Используя (4.22) и рассуждения из доказательства леммы 4.3,
легко убедиться, что
|Л1(/, ")и.(0,)<Со1|ф||^,|Л^(/.с)|,.(0,)<С1||ф||^
(с,- — константы). Тогда по лемме 4.2
i^* i и^ (6i) < ^21 W (/. f) 1L. (0i) < Сз 11ФIIV,
II ^* \ н' (Ql) < ^^41 Л^ (/. V) I;,, (0^) < cJI ФIII.
В частности, |'ф*1! г ^cj| фЦ-, откуда и следует (4.23). Q
4.1.5. Один результат о единственности. Прежде чем
приступать к доказательству неединственности решения, мы установим
один простой результат о единственности (для „малых" ^),
который представляет собой не что иное, как адаптацию теоремы 1.6
к задаче Тейлора.
Предложение 4.2. Если X достаточно мало:
0<>t<c(ri, г,)', (4.24>
то задача (4.12) —(4.14) (или (4.20)) не имеет решений в V,
отличных от тривиального.
Доказательство. Пусть ф = {/, у} — некоторое решение задачи
(4.12) —(4.14). Умножим (4.12) на /, (4.13) на у и
проинтегрируем эти уравнения на б^ по мере rdrdz. Имеем
5 [M(/, u)-/-iV(/, y)-y]/-drd2 = 0.
6l
Используя (4.16), получаем
Q
L
01
Интегрируя по частям, видим, что правая часть последнего
соотношения равна
% С (a4-b)f^rdrd2.
Это оценивается как
<^(r„r,)J[|^/P + |^|4||>drd^,
Ql
' c{ri, гг) — некоторая константа, зависящая от rt и г^. Относительно во-
явного вида см. доказательство предложения 4.2 ниже.

Гл. 11. Стационарные уравнения Навье — Стокса
так как
sup |a + bl = -y^4.
ri< г < г, Гг — п Гу
' ^' L' (0t) ^ '^°"^* И1'ЗгГ + |1гГ)^^''*^^ (неравенство
Пуанкаре),
ISL» (0i)^^^"^^ ■\^f\l' (0i) [(см. лемму 4.1).
Окончательно,
{\-Щг,,г,)]1 [|^/|* + ||l|4|-g-|-]rdrd2<0,
6l
так что / = t» = 0, если имеет место (4.24). П
Замечание 4.1. Незначительно видоизменяя предыдущее доказательство, можно
установить единственность решения для к < к, где к—наименьшее
собственное значение оператора (В-\-В*)12, который компактен и самосопряжен в W.
Замечание 4.2. Наша цель—доказать в некоторых случаях неединственность
решения для достаточно больших к.
4.2. Одно спектральное свойство оператора В.
4.2.1. Некоторые разложения в ряд Фурье. Если / принадлежит
L^{6i), то / обладает разложением в ряд Фурье:
/ - 2 (/„ (г) cos (пог) + Г„ (г) sin (noz)) (4.25)
п = 0
{а = 2л/Ц, где /„ и /„ принадлежат D на интервале [г^, г^].
Кроме того, сумма
оо _ \ 1
S (I /п I 1' (Л„ Г,) + 1 /„ I !• (Г,. Г.)) (
1 = 0 }
конечна и определяет в L^{6i) некоторую норму, эквивалентную
обычной.
Функции из Я*(0;/,) (^^1) аналогичным образом обладают
разложением в ряд Фурье вида (4.25), где /„, /„—функции из
//*(/-!, г^). Сумма ■■*■'
I i S п^ЧНУн^-ип, r.^ + lTnlWnr.. r.,)}'^' (4.26)
1,л = 0/=0 J
конечна и определяет в Н" (б; L) норму, эквивалентную норме,
индуцированной из H''{6i).

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 189
Рассмотрим подпространство V ь V, содержащее все пары
{/. ^\> удовлетворяющие условиям
f{r,~z) = ~f {г, г), у (г, — г) = у (г, г).
Такие функции f п v допускают разложения в ряд Фурье вила
/==2 /„sin(rtaz), и= 2 v„cos{naz). (4.27)
He составляет труда конкретизировать предыдущие замечания
для таких функций (V, а значит и V, является замкнутым
подпространством в //^(6; L)x//'(0; L)).
Далее, если Ф = {/, и}€К, то ф" = Вф={/", v"\ также
принадлежит V и ряды Фурье для /" и и" получаются решением
следующих одномерных краевых задач:
{a£-(nofrfn{r) = anav„{r),
~ {а£-(паГ) VI {r) = bnaf„ (г), (4.28)
dr- ' г or r^
с граничными условиями
П (г) = ^ (г) = у„ (О = О при г = /-1 и г - г,. (4.29)
Обозначим через В„ линейное отображение {/„. и„} !—>{/«. ^Л»
которое непрерывно действует из L^ {г^, /-j) х L^ {г^, г^) в Н* (г,, rj X
4.2.2. Свойства операторов В„. Отметим следующий результат,
доказательство которого можно найти, например, у Карлина [1]
или Кирхгэснера [1].
Лемма 4.7. Пусть M = a{r)-r-j+f){r)-т- + у{г), где а, ^, у
четырежды непрерывно дифференцируемы на [—1,1], а>0, у<0.
Тогда
(i) функция Грина G (г, s) для оператора М с граничными
условиями G (± 1, s) = 0 отрицательна для г, s6(—1, +1);
(ii) функция Грина H(r,s) для оператора М^ с граничными
условиями Н {±1, s) = {dH)/dz {+1, s) = 0 положительна для
r,s€(-l,+l).
Из этой леммы вытекает
Лемма 4.8. Функции Грина Н {k; г, s) и G{k; г, s) для операторов
(ed — krY и —{<Л — Щ на интервале {г^, г^) с граничными
условиями (4.29) положительны на {г^, г^хХг^, г,).

190 Гл. II. Стационарные уравнения Наеье — Стокса
Используя эти ядра, мы можем превратить (4.28), (4.29)
в интегральные уравнения
fn{r) = tia\^G {па\ r,s)a(s)v„ (s) ds, (4.30)
r,
v"„ (r) =т\н («a; r, s) b/„ (s) ds. (4.31)
Собственный вектор оператора В„ —это пара функций •{/„,«„},
такая что В„ {/„, u„} = ?t{f„, и„} для некоторого X £ R. В этом
случае выполняются соотношения (4.28), (4.29) с /" = Х/в> К='^'^п'
Они эквивалентны следующим интегральным уравнениям,
которые выводятся из (4.30), (4.31):
'•2
/^ (г) = 'кпо\0 (по; г, s) а (s) v„ (s) ds, (4.32)
»•.
v„ (г) = 'кпа\н {па; г, s) bf„(s) ds. (4.33)
Исключая у„, получаем
f„ (г) = 11^ К {па; r,s)f„ (s) ds, (4.34)
где ji = X2 и
К (k; r,s) = k^\G (k; г, t) H(k;t,s)a {t) b At. (4.35)
Укажем теперь некоторые свойства собственных значений
операторов В„. Они основаны на следующем результате,
доказательство которого можно найти, например, у Виттинга [1]'.
Лемма 4.9. Пусть К (г, s) обозначает некоторую вещественную
непрерывную функцию, определенную на квадрате [rj, г^х\^г^, г^
и строго положительную внутри этого квадрата. Задача на
собственные значения ;_
'■«
f{r) = 'k\K{rrs)f{s)us, r^<r<r„ (4.36)
' Этот результат—частный случай общего результата Крейна—Рутмана [1],
касающегося линейных компактных операторов, которые оставляют
инвариантным некоторый конус в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают на
бесконечномерный случай хорошо известную в линейной алгебре теорему
Перрона — Фробениуса для положительных матриц (см., например, Варга [1])»

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 191
имеет решения \ > О, отвечаюш,ее собственной функции f g
€^"([''i>'■•2]). для которой / (г) > О для г^<,г <Сг^. Любое
другое решение задачи (4,36) будет отвечать собственному значению
%, такому что |^|>^i.
Лемма 4.10. Оператор В „обладает собственным значением ^Jj > О,
которому отвечает собственный вектор {/„, v\\ с f\ (г) > О,
v\ (г) > О для г^<.г <. г.^. Любое другое собственное значение к
оператора В„ удовлетворяет условию \X\yXl,.
Доказательство. В силу (4.34), ]/„, vj является собственным
вектором S„ с собственным значением к^ тогда и только тогда,
когда/„ есть решение задачи (4.34) с |х = Ц. Но к уравнению (4,34)
применима лемма 4.9, и тем самым наша лемма доказана, за
исключением утверждения о положительности v\. Положительность v\
вытекает из леммы 4.8, положительности Д и соотношения (4.33),
записанного с У„=и^, fn'=fh- О
Нам понадобятся и другие спектральные свойства операторов В„.
Лемма 4.11. Пусть Х„ —некоторое собственное значение
оператора В„. Тогда
1К\Ж> г-п-7ГГ«^<^'- (4-37)
I «1-^ " ^^ max |a+i> I ^ '
Доказательство. Лемма 4.10 дает |Х.„|>>^,\.
Докажем второе неравенство в (4.37). Имеем
(cS~(no)Yrn{r)^%'nanovl,(r),
-(<=#- (по)) V], (г) = X\bnof\ (г). ^^-"^^^
Умножим первое равенство на rf]t{r), второе —на ги„(/-), сложим
и проинтегрируем. После интегрирования по частям получим
'Я
J {!)г, v^n) = Кпо S (а + Ь) f^nv^r dr, (4.39)
где
Jif, v) = ][iaSf)^ + 2(na)^(^[^y + ±p)
+ («а)*Я + (з^)' + -^ t»= + {tio)^v^\ г dr.

102 Г д. II. Стационарные уравнения Навье—Стакса
Правая часть (4.39) оценивается величиной
К^па max I а + Ь I ^ I f)iVn \ г dr
Г]
/fa Гг \
^ X'па mах-1^±М „а j j/J, р Г dr + ^ J 10^ IV dr
\ г, г, }
. Х\ \п+Ь\ , ,п л.
^(И^^тах ^—J(Jn, v„).
Мы можем поделить на У(Д, uj,), которое отлично от нуля,
откуда и следует (4.37). П
4.2.3. Одно спектральное свойство оператора В. Заметим вначале,
что если {/, v\ — собственный вектор оператора В с собственным
значением К, то {/„, v„}, соответствующие разложению (4.27) для
\f, v\, будут собственными векторами операторов В„ с
собственным значением X. Наоборот, мы выведем из результатов п. 4.2.2
одно спектральное свойство оператора В.
Рассмотрим все К^, "^1. даваемые леммой 4.10. Из (4.37)
вытекает, что XJ,—»-оо при п—»-оо и, следовательно, inf Х' коне-
чен и строго положителен. Обозначим через т наибольшее
целое п, такое что X.Jj = infX.'. Может случиться, что k]„==kl, дЛя
некоторых других значений п, п<.т. Мы хотели бы избежать
такой ситуации, и, действительно, справедлива
Лемма 4.12. Можно выбрать период L так, чтобы Х\ > Ц Vn > 1.
В этом случае Х\ = inf^,', обозначим через К^; л, является простым
собственным значением оператора В в V, и любое другое
собственное значение К оператора В удовлетворяет условию Ikl^Kj^.
Собственный вектор ф^ = {/^, v^\, отвечающий к^, допускает
разложение Фурье вида (4.27) с Д = и^ = 0 Vn> 1.
Доказательство. Пусть L выбрано произвольно, a = 2n/L и т
определено, как выше (равно наибольшему п, такому что
kl,i — \nlkn). Положим о* = то, L* = L/m. Для соответствующего
/г>1
оператора В число V есть собственное значение оператора В^ и
^1 <^п Vn> 1. Другие свойства, утверждаемые в лемме, теперь
очевидны. П .>!•■*'"
До конца этого параграфа мы будем предполагать, что L
выбрано так, как указано в лемме 4.12.
Наш следующий результат касается степени к^ как
собственного значения оператора В. Степень ^i — это размерность ядра
кег (/—X.iB)'', которая не зависит от р для больших р.
Лемма 4.13. В условиях леммы 4.12 к^ является собственным
значением оператора В степени 1.

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 193
Доказательство. Покажем, что если (/ —>^1В)''ф = 0 для р^2,
то (I — liB) = 0, так что кгх {1— 'кф)Р равно кег(/ —>tiB) для
каждого р и его размерность равна единице, по лемме 4.12.
Проведем доказательство индукцией по р. Нам достаточно
показать, что из {I — XiBYif = Q вытекает, что {I — 'кф)(р = 0. Пусть
функция ф" удовлетворяет условию {I— 'к^Ву^^'^^О).
Предположим, что вектор (/ — 'k^B)ff'^ не равен пулю. Тогда этот вектор
равен, с точностью до постоянного сомножителя, собственной
функции ф*:
ф1 = (/_^^В)фО, ф1 = ^1Вф1. (4.40)
Имеем ф° = Х.{В(ф" + ф1). Это равенство означает, что
J?r = ^^la^(t<" + t'^), Sv'==X,b^^{r + n (4.4U
Напомг.им, что /^ (г, г) = Д (г) sin(az), t)^ (г, г) = и1(г)соз(аг).
Рассмотрим ряды Фурье для /" и и°:
/° = S Д sin (mz), и" = 2] "n cos (пог).
t=l л=1
Из (4.41) вытекает, что
(4.42)
и для п ^ 2
(Л - ст2)2 ^0 _ y.^aanv",,, —{oS- а^) и» = л^Ьоп/».
Так как "к^ не является собственным значением В„ для п ^ 2
мы видим, что /" = и^=0 для п^2.
Перейдем теперь от (4.42) к соответствующим интегральным
уравнениям, как в (4.30), (4.31). Так как {/^1, «1} —собственный
вектор оператора В^, мы получим
' 3
^? (г) = >.( S G (а; г, S) а (S) от» (S) ds 4-/i (О.
vl {Г) = Х,\Н{а;г,5) bafl (s) ds + v\ {г).
Исключая v\ и используя ядро К, введенное в (4.35), мы
приходим к уравнению
Га
/; (г) -К\К (а; г, S) Л (S) ds = 2/1 (г). (4.43)
7 р. Темам

194 Гл. II. Стационарные уравнения Навье — Стокса
Это уравнение удовлетворяет альтернативе Фредгольма. Поэтому
fl ортогонально собственной функции gj сопряженного урав1":-'я:
дг(г) ~~Ч1 К (о; S, Г) g,{s) ds==0.
По лемме 4.9 функции fl и gi положительны на (г^, г^), а это
противоречит условию ортогональности
Sft(s)gi(s)ds = 0.
п
Значит, (1 — \В)ц,'> = 0. D
4.3. Некоторые элементы теории топологической
степени. Напомним несколько определений и свойств из теории
топологической степени. За доказательствами и дальнейшими
результатами читатель' отсылается к основополагающей работе
Лерэ и Шаудера [1] или к книгам Красносельского [1], Нирен-
берга [1], Рабиновича [4].
4.3.1. Топологическая степень. Пусть Т — компактный оператор
в нормированном пространстве V и S —/ — Т (/—тождественный
оператор в V). Пусть, далее, со, со; обозначают ограниченные
области в V, (О и йсо —замыкание и границу со.
Если (О —ограниченная область в V, v^V и u^S(d(o), то
можно определить некоторое целое число d {S, со, v), называемое
топологической степенью оператора S относительно со
в точке V.
Основные свойства степени таковы:
(i) Если ro = cOiU<»2> b)ino>2 = 0' ^'C'S(^®i) и v^S{dti)^), то
v^S(do)) и
d(S, м, v) = d{S, щ, v) + d{S, щ, v).
(ii) Если d(S, ш, v) = Q, то ^^^(o)); последнее означает, что
уравнение
iI-T){u) = v
имеет по крайней мере одно решение в со.
(iii) Степень d(S,»o), и) остается постоянной, если 5, и, и
непрерывно изменяются таким образом, что v никогда не
принадлежит S(dti)). ' ■■*""
4.3.2. Индекс. Пусть «„ —некоторая точка из F и v = Suo-
Предположим, что уравнение Su = v допускает лишь это решение «„
в некоторой окрестности «„• В таком случае для достаточно ма-
' Непрерывное изменение S означает следующее: S = S(X,) = / — Т {%),
Я ^ R (или какому-нибудь другому топологическому пространству) и
отображение Xt—>7'(Х,)ф является равномерно непрерывным относительно ф (ф € ^)'

§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 195
лых е можно определить степень d(S, cog (и„), и), где о)е(«„)
—открытый шар радиуса е с центром в «„• Согласно свойству степени
(iii), это число не зависит от е при е —* 0.
Определим индекс оператора S в точке «„, как эту
степень для достаточно малых е:
i (S, Uo) = d {S, (О, (u„), v), e < e^.
Ниже приведены некоторые основные свойства индекса:
(i) Если уравнение Su~v обладает в некоторой
ограниченной области со конечным числом решений и^ и не имеет
решений на да), то
d{S, со, v) = ^i{S, Mj).
k
(ii) Индекс тождественного оператора (7"==0) в любой точке
«о равен единице:
I" (/,«„)=!.
(iii) Предположим, что Т обладает в точке и„ производной
Фреше А. Тогда оператор А компактен, как и Т. Если
оператор / — Л взаимно-однозначе. (т.е. 1 не является собственным
значением А), то и„ есть изолированное решение уравнения
5и = «,, и можно определить индекс ((S, и„). Имеют место
равенства:
i(S,u,) = i{l-A,0)^i(I-A).
(iv) Если Л —компактный линейный оператор в V и оператор
/ — Л взаимно-однозначен, то индекс оператора / — Л равен ±1 '.
Аналогично индекс оператора I— ХА определен на каждом
интервале V ^>i,^>:", не содержащем собственных значений А;
этот индекс постоянен на таких интервалах и равен ±1. В
частности, i (I — 'кА)=1 на интервале (О, ^i), где ^, — наименьшее
положительное собственное значение оператора А.
Если X проходит через некоторое спектральное значение А,,
оператора А, то индекс i {I— КА) умножается на (—1)", где
пг —степень ki, т.е. размерность ядра кег(/ —?^,-Л)*, которая не
зависит от k для достаточно больших k.
4.4. Теорема о неединственности. Маша цель —доказать
следующий результат.
Теорема 4.1. Для достаточно больших % и подходяищх значений
L задача (4.2), (4.3), (4.6) допускает периодичные по z решения
периода L, отличные от тривиального решения (4.7),
' Индекс оператора / — А можно определить тогда и только тогда, когда
он взаимно-однозначен; если индекс определен, то он один и тот же в
каждой точке щ.
7*

196 Гл. //. Стационарные уравнения Навье—Стокса
Доказательство. Мы покажем, что уравнение (4.20) имеет
нетривиальное решение в V, когда ^ достаточно велико. Согласно
лемме 4.12, существуют такие L, для которых Х^ есть простое
собственное значение оператора В ъ V\ это и будут „подходяш,ие"
значения L. Из предложения 4.2 известно, что для достаточно
малых 1- Q^^ci^r-y, г^); см. (4.24)) (4.20) допускает лишь
тривиальное решение. Если уравнение (4.20) имеет нетривиальное
решение уже для некоторого ?iG[0, >ti], то доказывать нечего.
Поэтому мы будем предполагать, начиная с этого момента, что
Ф = 0 является единственным решением уравнения
Ф = Х.Гф для любого Xg[0, ^^J. (4.44)
При этом предположении в последующих леммах устанавливается,
с использованием теории степени, существование ненулевого ф
из V, удовлетворяющего уравнению ф = >^,Гф с >^ > >^1. D
Лемма 4.14. Пусть со — открытый шар в V с центром в нуле.
Существует б > О, такое что уравнение (p = 'kT(f не имеет
решений на границе дм шара м ни для какого Х из интервала
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Если наше
утверждение неверно, то найдутся такая последовательность ^„,
убывающая к Х^, и такая последовательность и^,
принадлежащая дш, что и^ — Х„Ти„. Так как последовательность и„ огранТ!-
чена, то последовательность Ти„ относительно компактна (по
лемме 4.4) и у нее существует подпоследовательность Тищ,
сходящаяся к некоторому пределу v из V. Тогда игц^ХщТищ
сходится к Х^р. Поскольку оператор Т непрерывен, то Х^у^Х^Т {Х^ v).
Значит, Х.,и —решение уравнения ((-^^Х{Гц>, и из (4.44) вытекает,
410 X{u = Q, и = 0. Это противоречит тому, что норма |J?^iUI|k равна
радиусу шара со (норма ]lu„j| равна радиусу со Vn). □
Лемма 4.15. В предположении (4.44), если ы и Ь таковы, как
в лемме 4.14, уравнение ф = ХГф не имеет решений на дсо ни для
каких Х^ [О, >:i + 6).
Это — очевидное следствие леммы 4.14.
Лемма 4.15 позволяет нам определить степень d{I — XT, со, 0)
для Хе[0, Xi-Ьб).
Лемма 4.16. Если б ц ю такие же, как прежде, то d{I — XT,
ю, 0)-1 для ^е[0, ^1^6).
Доказательство. В силу свойства степени (iii), d{I~ХТ, (о, 0) =
= d(/, со, 0) = 1 (/), а* этот индекс равен единице (как индекс
тождественного оператора). П
Лемма 4.17. В предположении (4.44) для любого X^{X^,Xi-\-b)
суш,ествует по крайней мере одно нетривиальное решение
уравнения ф = Х.Т'ф.
Доказательство. Согласно лемме 4.13 и свойству индекса (iv),
индекс i{I~XB) равен 1 на [О, Х^ и —1 на (Х.^, Х.^ + б). В силу

§■ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 197
свойства индекса (iii), 1(1 — 17, 0) равняется +1 для Х^ф, к^)
п —1 для ^€(^1. ^1 + 6)- Если ^G(^i. ^i + S) и если только
пуль является решением уравнения ф = Х.7"ф, то мы получаем
({{1—ХТ, со, 0) = j(/—>i,r, 0), согласно свойству индекса (i).
Но мы доказали, что d{I — 'kT, ю, 0) = +1, i{I — XT, 0) = — 1,
"k^Q^i, 'ki-\-b). Значит, уравнение ф = >^,Гф имеет нетривиальное
решение для любого Xg(^i, ^,4-б)- П
Замечание 4.3. Условие „Х, достаточно велико" означает, что угловая
скорость а велика или что вязкость v мала (для фиксированных г^, г,).
Замечание 4.4. Если условие (4.44) выполнено, то для каждого Х,^(Л], А.,+6)
существует нетривиальное решение ф^^ уравнения (4.20). Можно доказать, что
ф, —>-0в V, если Х убывая сходится к %i. Таким образом, имеет место бифур»
нация.
В случае задачи Бенарда ситуация очень похожая, но удается доказать,
чго для Х^[0, X,ij существует лишь тривиальное решение. Поэтому
предположение (4.44) не нужно н тем самым доказано наличие бифуркации (см. Юдо-
лич [2], Рабинович [1], Вельте [1]).
Изучение задачи Тейлора аналитическими методами предпринято в работе
Ра'''иновича [5].
Благодарность. Автор весьма признателен П. X. Рабиновичу за полезные
замечания к § 4.

ГЛАВА III
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСА
Введение
В этой заключительной главе рассматриваются полные, т. е.
эв'люционные, нелинейные уравнения Навье—Стокса. Сначала
мы изложим несколько основных результатов, касающихся
существования и единственности решения, а затем исследуем
аппроксимацию этих уравнений с помощью различных методов.
В § 1 мы кратко изучим линейные эволюционные уравнения
(эволюционные уравнения Стокса). Этот параграф содержит
некоторые технические леммы, используемые при рассмотрении
эволюционных уравнений. В § 2 приведены теоремы компактности,
дающие возможнос1ь получить результаты о сильной сходимости
в эволюционном случае и перейти к пределу в нелинейных
членах.
В § 3 представлены вариационная формулировка задачи
(слабые, или турбулентные, решения в смысле Лерэ [1—3] is Хог.'фа
[2]) и основные результаты о существовании и единственности
решения (для двумерного или трехмерного пространства); с^уще-
ствсвание доказывается с помощью построения приближенного
решения по методу Галёркина. В § 4 даны дальнейшие
результаты о существовании и единственности; здесь доказательство
существования проводится с помощью полу дискретизации по
времени и остается в силе для пространства произвольной
размерности.
В последующих параграфах мы исследуем аппроксимацию
эволюционных уравнений Навье —Стокса в двух- и трехмерном
случаях. Рассматриваются некоторые разностные схемы,
отвечающие какой-нибудь классической дискретизации по времени
(неявной, Крэнка—Николсона, явной) и какой-нибудь из дискретизаций
по пространственным переменным, введенных в гл. 1 (конечные
разности, конечные элементы), ^\ы завершаем главу изучением
нелинейной устойчивости этих схем, а именно \станавливаем
достаточные условия устойчивости и доказываем сходимость всех
этих схем при наличии устойчивости.

§ t. Линейный случай 199
§ I. Линейный случай
В этом параграфе мы обобщим на нестационарный случай ряд
результатов о существовании, единственности и гладкости
решений линеаризованных уравнений Навье — Стокса. После введения
некоторых обозначений, полезных как в линейном, так и
нелинейном случаях (п. 1.1), мы приводим классическую и
вариационную постановки задач и формулировку основ1юго результата
о существовании и единственности решения; доказательства
существования и единственности даются затем в пп. 1.3 и 1.4.
/./. Обозначения. Пусть Q —открытая липшицева область в К";
для простоты мы предполагаем, что она ограничена; относительно
случая неограниченной области см. ниже замечания из п. 1.5.
Напомним определения пространств f^, V, Н, которые будут
основными пространствами и в этой главе:
'r^={u^S>{Q), cliv» = 0}, (1.1)
V —замыкание '5^ в ЯJ(Q), (1.2)
//—замыкание 1^ в L'^{Q). (1.3)
Пространство Н снабжено скалярным произведением (•, •)
индуцированным из L^(Q); пространство V является гильбертовым
со скалярным произведением
{{u,V)) = ^^{D,tt,DiV) (1.4)
(область й ограничена!).
Пространство V вложено в // и плотно в нем, причем
вложение непрерывно. Пусть Н' и V обозначают пространства, сопря-
же1шые к Я и F, а i —оператор вложения V в Я. Сопряженный
к нему оператор i' является непрерывным линейным оператором
из Я' в V', который взаимно-однозначен, так как i(y) = V плотно
в Я; обратно, i'{Н') плотно в V', так как i
—взаимно-однозначен; поэтому Я' может быть отождествлено с некоторым плотным
подпространством в V'. Отождествляя, далее, по теореме Рисса
Я и Я', мы приходим к включениям
УсЯ = Я'сУ', (1.5)
где каждое пространство плотно в последующем и вложения
непрерывны.
В силу указанных отождествлений, скалярное произведение
в Я элементов/G Н и u^V совпадает со значением функционала/
на элементе и в смысле двойственности между V' и V:
</, м> = (/, и) Vf^H Vu^V. (1.6)

200 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — С такса
Для каждого и \\з V форма
v^V-^{{u, г»))еК (1.7)
линейна и непрерывна на V\ следовательно, существует элемент
из V\ который мы обозначим через Ли, такой что
<Ли, г»> = {(и, г»)) Vt»eV. (1-8)
Легко видеть, что отображение а—^Аа линейно и непрерывно;
в силу теоремы 1.2.2 и замечания 1.2.2, оно является
изоморфизмом V на V".
Если область Q неограничена, то пространство V наделяется
скалярным произведением
Ци, vl--={{u, v)) + (a, V); (1.9)
при этом отношения включения (1.5) сохраняют силу. Оператор А
по-прежнему непрерывный линейный оператор из V в V', но уже,
вообще говоря, не изоморфизм; однако для каждого е > О
оператор Л 4-е/ есть изоморфизм V на V'.
Пусть а, b — два числа на расширенной вещественной оси,
— oo^a<fe:^-f-°o. и X —некоторое банахово пространство.
Для данного а, 1^а< +оо, пусть L" (а, Ь\ X) обозначает
пространство L^-фуикций (функций, интегрируемых в степени- а)
из [а, Ь] в X, которое является банаховым с нормой
||/(0llxd4 . (1.10)
Is"
V а
Пространство L'"{a,b, X) —это пространство
существенно-ограниченных функций из [а, Ь] в X; оно является банаховым с нормой
ess sup 11/(0 Их. (1.11)
[4,6]
Пространство i?([a, 6]; X) —это пространство непрерывных
функций из [а,Ь'\ в X, если —oo<a<b<-f-oo, то оно является
банаховым с нормой
sup 11/(01|х." (1.12)
<6[а, 6]
Наиболее часто в качестве интервала [а, Ь] будет использоваться
интервал [О, Г], где Г > О фиксировано; если это не может
привести к недоразумению, мы будем использовать сокращенные
обозначения
L°'(X) = L°'(0, Г; X), 1<а< + оо, (1.13)
i?(X) = i?([0, Г]; X). (1.14)

§ I. Линейный слцчай 2 01
Остальная часть этого пункта посвящена доказательству
следующей технической леммы, касающейся производных от функций
со значениями в банаховом пространстве:
Лемма 1.1. Пусть X — банахово пространство с сопряженным
X', и пусть и и g—функции, принадлежаи^ие L^{a, b; X). Тогда
следующие три условия эквивалентны:
(i) и п. в. равна первообразной от g:
tt{t) = l + lg{s)ds,leX, дляп.в.' te[a,b]; (1.15)
о
(ii) для каждой пробной функции (p^S>{{a,b))
ь ь
'\^u{t)i^' {t)ut = ~-^g{t)^{t)ut (ф'=^); (1.16)
а о
(iii) для каждого ц^Х'
^<и, Ti> = <gr, п> (1.17)
в смысле скалярных распределений на (а, Ь).
Если условия (i)—(iii) выполнены, то и, в частности, п. в.
равна некоторой непрерывной функции из [а, Ь] в X.
Доказательство. В качестве интервала [а, Ь] возьмем для простоты
интервал [О, Т]. Законное здесь интегрирование по частям ^лока-
зывает, что из (i) следуют (ii) и (iii); остается проверить, что
из (iii) следует (ii), а из (ii) следует (i). Если выполнено (iii)
и фё^((0, Т)), то по определению
г т
5<и(0. ^>^'{t)<it = -\<g{t), y]>q>{t)dt, (1.18)
о о
или
т т
{lu{t)(p'{t)ut + \g{t)^{t)ut, п) = 0 Ут1€Г,
о о
так что имеет место (1.16). Докажем теперь, что из (il) вытекает (i).
Мы можем свести общий случай к случаю g—0. Для того чтобы.
убедиться в этом, положим v = u — Ио. где
«„(0=Sg'(s)ds; (1.19)
' В зависимости от контекста „ц. в." означает либо „почти всюду", либо
„почти все".— Прим. ред.

202 Гл. 111. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
ясно, что и„ — абсолютно непрерывная функция и что Ua = g;
следовательно, (1.16) выполняется с и, замененным на н,,-l-v, и
7
]v{t)(i^'{t)ut = (i Уф 6® ((О, Г)). (1.20)
о
Доказательство свойства (i) будет завершено, если мы покажем,
что из (1.20) вытекает, что v не зависит от /. Пусть фо —некото-
т
рая функция из S)((0, Т)), такая что 5фо(/)(1^=1. Любая
о
функция ф из ®((0, Т)) может быть записана в виде
7
Ф = Яф„ + г1)', Я-5ф(0(1^ 1^^6®((0,Г)); (1.21)
о
г
в самом деле, так как ] (ф (О —?^Фо (0)^^ = 0, то первообразная
о
от ф—Хфо, обращающаяся в О при t — T, принадлежит ®((0, Т)),
и г!? в точности совпадает с этой первообразной. Согласно (1.20)
и (1.21),
г
5(г'(0-1)ф(0^^ = 0 V.|6®((0, Л), (1.21а)
о
т
где I = J V (s) Фо (s) ds. Чтобы заверишть доказательство, остается
о
показать, что из (1.21а) следует, что v{t)==% п. в., т.е. что
функция W, принадлежащая L}(X) и такая, что
7
\w{t)if{t)ui = Q Уф 6® ((О, Г)), (1.22)
о
равна нулю почти всюду. Этот хорошо известный факт
доказывается с помощью регу'ляризации: если w —функция, равная w
на [О, Т] и нулю вне_лЭтого интервала, и р^ —какая-нибудь
гладкая регуляризующая функция, то для достаточно малых е
свертка рр*ф принадлежит ®((0, Т)) Уф б® ((О, Т)) и
7 00
\w{t){p^.^){t)ut= \ w{t){p^,^){t)ut
= \ (ре.а»)^^)Ф(О^< = 0.

§ 1. Линейный случай 203
Следовательно, для любого фиксированного т^ > О свертка ре'И»
равна О на интервале [т^, Т~т\\ для достаточно малых е; когда
8—>0, ре.о» сходится К W ъ L^ {—оо, +00; X). Таким образом,
W равно нулю на [т^, Т~у\\, а так как ti > О произвольно мало,
то W равно нулю на всем интервале [О, Т]. П
1.2. Теорема существования и единственности. Пусть
Q —ограниченная липшицева область в IR", и пусть Т>0
фиксировано. Обозначим через Q цилиндр Qx(0, Т). Линеаризованные
уравнения Навье—Стокса — это эволюционные уравнения,
соответствующие задаче Стокса:
найти вектор-функцию
и: Qx[0, T]^R"
и скалярную функцию
р: Qx[0, T]^R,
представляющие соответственно скорость и давление потока,
такие что
|^-aAa + gra(lp=/ в Q = Qx(0, Т), (1.23)
divB = 0 в Q, (1.24)
и = 0 на aQx[0, Г], (1.25)
и(х, 0) = и„(л;) в Q, (1.26)
где / и Ио —заданные вектор-функции, причем / определена
на Qx[0, Г], а «„ —на Q; соотношения (1.25) и (1.26) дают
соответственно граничные и начальные условия.
Предположим, что и и р —классические решения задачи
(1.23) —(1.26), скажем нб^М^). P6^4Q)- Если © —
произвольный элемент из f^, то как легко видеть,
-If, t»)+v((«, г»)) = (/, г»). (1.27)
По непрерывности равенство (1.27) выполняется для каждого
v^V; мы видим также, что
-^,г»)=-^(и, V).
Это приводит к следующей слабой постановке задачи (1.23) —
(1.26):
для заданных f и и,,:
/6LM0, Т; V'), (1,28)
и„еЯ, (1.29>
найти функцию и, такую что
ueL^iO, Т; V) (1-УО)

204 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
-~{и, v) + v{{u, г»)) = </, vy Vt»6V, (1.31)
н(0) = и„. (1.32)
Если и принадлежит L^(0, Т; V), то условие (1.32), вообще
говоря, не имеет смысла; прежде чем объяснять, как его следует
понимать, сделаем два замечания.
(i) Пространства в (1.28) —(1.30) представляют собой
пространства, для которых будут доказаны существование и
единственность решения; ясно во всяком случае, что каждое гладкое
решение и задачи (1.23) —(1.26) удовлетворяет (1.30).
(ii) Мы не можем сейчас проверить, что решение задачи
(1.30) —(1.32) есть, в некотором слабом смысле, решение задачи
(1.23) —(1.26), и поэтому отложим исследование этого вопроса
до п. 1.5.
Используя (1.6) и (1.8), мы можем записать (1.31) в виде
^<н, vy=^<f-vAa, vy Wv^V. (1.33)
Так как А — непрерывный линейный оператор из У в V" и и g L^ (У),
то функция Ли принадлежит L^iy')\ следовательно, /—vAu-^
^L^{V'), и из (1.33) и леммы 1.1 вытекает, что
и'^ЬЦО, Г; V') (1.34)
и что и п. в. равна некоторой (абсолютно) непрерывной функции
из [О, Т] в V'. Любая функция, удовлетворяющая (1.30) и (1.31),
становится, после изменения на множесте меры нуль,
непрерывной функцией из [О, Т] в V'; следовательно, условие (1.32) имеет
смысл.
Предположим снова, как и в (1.28), что f^L^{V'). Если и
удовлетворяет (1.30) и (1.31), то, как видно из вышесказанного,
и удовлетворяет (1.34) и (1.33). Согласно лемме 1.1, равенство
(1.33) эквивалентно следующему:
u' + vAu=f. (1.35)
Обратно, если и удовлетворяет (1.30), (1.34) и (1.35), то и,
очевидно, yдoвлeтвopяef (1.31) >fv^V.
Другая формулировка слабой задачи выглядит следующим
образом: даны/ и «„, удовлетворяющие (1.28) —(1.29); найти а,
такое что
ueL'(0, Т; V), u'eL'iO, Г; V'), (1.36)
a' + vAu^f на (О, Г), (1.37)
и (0)---««. (1.38)

§ 1. Линейный случай 205
Любое решение задачи (1.36) —(1.38) служит решением задачи
(1.30) —(1.32), и, наоборот.
Относительно существования и единственности решения этих
задач мы докажем следующую теорему:
Теорема 1.1. Для заданных f и Uq, удовлетворяющих (1.28) и
(1.29), существует единственная функция а, которая
удовлетворяет (1.36)—(1.38). При этом
йе^([0, Т]; Я). (1.39)
Доказательство существования дается в п. 1.3, а
единственность и включение (1.39) будут доказаны в п. 1.4.
1.3. Доказательство существования. Применим метод
Фаэдо —Галёркина. Так как V сепарабельно, то существует
последовательность линейно-независимых элементов w^, ..., w^, ...,
тотальная в V. Для каждого т определим приближенное
решение н„ уравнений (1.37) или (1.31) следующим образом:
т
И. = 2^ §,•.(/)«;,•, (1.40)
(«;,, Wf) + v{{u^, wj)) = <f, Wjy, /=1, .. , m, (1.41)
и.(0) = Ио.. (1-42)
где «o„ —это, скажем, ортогональная проекция в Н элемента н»
на подпространство, натянутое на zUj, ..., w^ '. Функции §,„,,
l^i^m,— это скалярные функции, определенные на [О, Т],
а (1.41) есть система линейных дифференциальных уравнений
относительно этих функций; в самом деле, мы имеем
т т
2 {W„ Wjlg'im (t) + V ^2 {{Wi, Wj)) gi„ (0
= <f{t), Wjy, i= ],..., m; (1.43)
поскольку элементы w^, ..., w^ линейно-независимы, то, как
хорошо известно, матрица с элементами (ш,-, Wj) (l^J, j^m)
невырожденна; следовательно, обращая эту матрицу, мы можем
свести (1.43) к линейной системе с постоянными коэффициентами
т т
g;-m(0+2«//g/«(0=2P/;</(0,'а);>, 1</<т, (1.44)
где а,-/, Pf/^R. Условие (1.42) эквивалентно т уравнениям
§г„(0) = 1'-я компонента «„„, i=l, ...,т. (1-45)
Иот может быть любым элементом подпространства, порожденного
«»£, ..., и»ет. удовлетворяющим условию Ио»,—»■ Ио в норме Н при т—>■ ее.

206 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Система линейных дифференциальных уравнений (1.44) с
начальными данными (1.45) единственным образом определяет g,„ на
всем интервале [О, Т]. Так как скалярные функции t —> </(0. '"'/>
интегрируемы с квадратом, то это верно и для функций g,„ и,
следовательно, для каждого т
и„6^М0, Т, V), a'm^L^ij), Т- V). (1.46
Далее мы получи.м не зависящие от т априорные оценки дл
функций и„, а затем перейдем к пределу.
Априорные оценки. Домножим уравнения (1.41) на g(m{t) и
просуммируем их для /=1, ..., т. Получим
(и;.(О, u^{t)) + v\\u^{t)f = if{t), и^{ф.
Но, в силу (1.46), 2{u',n{t), u^{t)) = -^\u^{t)\\ и это дает
4-|«„(OI^ + 2v||«„(0|i^ = 2</(0, a^{t)y. (1.47)
Правая часть (1.47) ограничена сверху величиной
2:i/(n:!.-ii«„(0!i<v|«,(or+v-^ii/(oii^.
поэтому
-^l«.(0|^ + vi|«„(i)lP<v-41/(OII^'. (1-48)
Интегрируя (1.48) от О до s, О < s < Г, находим, что
S Т
l«»(s)P<|Ho„|^ + 4j'i|/(Oil^'di<l«oP + vj"!l/(OI!^d^.
о о
(1.49)
Отсюда
т
sup |a,(s)p<|a„|^+4f||/(0l^di. (1.50)
ss[0, Г] V J
Правая часть (1.50) конечна и не зависит от т; следовательно,
последовательность н„ ограничена в L°°(0,T; Я). (1.51)
Проинтегрировав (l.CS) от О, до Г, получим
т т
\u^(T)\'+vUu^it)rut^\uoj'+^l\\f(m,dt
т
<\Uo\' + ^llf{tm.ut. (1.52)

§ 1. Линейный случай 207
Отсюда следует, что
последовательность и„ ограничена в iL*(0, Т; У). (1.53)
Предельный переход. Априорная оценка (1.51) показывает, что
существуют элемент и в L" (О, Т; Я) и подпоследовательность
т' —>■ оо, такие что
Um'—* и В •ч-лабой топологии L''(0, Т; Я); (1-54)
(1.54) означает, что Vz» 6 Ь^ (О, Г; Я)
г
5(н^, (О —н(/), ©(O)di-^O при т'-^оо. (1.55)
о
Из (1.55) следует, что подпоследовательность н^' ограничена
в L^(0, Т; V); поэтому, еще раз переходя к подпоследовательности,
убеждаемся, что существуют элемент tt»gL^(0, Т\ V) и
подпоследовательность (обозначаемая ниже через ИтО. такие что
ttm~-* Пщ В слабой топологии L^(0, Т, V); (1.56)
(1.56) означает, что
г
5<й„,(0-н,(0. '»(0>d^ —О Уг»бЬЧ0, Г; П- '
о
в частности, принимая во внимание (1.6), имеем
т 7
5 (и„, (О, V it)) ut -^ I (и. it), V it)) dt ^ i 37)
о о
для каждого v^L^{0, Т\ Я). Сравнивая это с (1.55), мы видим,
что
т
l{u{t)-a,{t), v(t))ut^O (1.58)
о
для каждого v^L^ (О, Т\ Я); следовательно,
и = и.6^-М0, Т; У)П^"(0, Г; Я). (1.59)
Для того чтобы перейти к пределу в (1.41) и (1.42), рассмотрим
скалярные функции г!?, непрерывно дифференцируемые на [О, Т]
и такие, что
1)3 (Г) = 0. (1.60)

208 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье ~ Стока
Домножим (1.41) на я|) и проинтегрируем по частям:
т т
\ (и; it), Wj) г|; (О di = - S (и„ {t) ^' {t), w,) d.t
-(«„(0), W/)^(0).
Таким образом,
т т
- \ («„ (О, V (О Щ) d^ + V S ((И„ (t), ^ if) •OQj)) At
о о
т
-(И„„, W,)^^) + l<f{t), Wj>At. (1.61)
о
Используя (1.54), (1.57) и (1.59), нетрудно перейти к пределу
при т — т'-^оо в интегралах в левой части; заметим еще, что
йои—»-Но сильно в Н. (1.62)
В пределе получим
г г
-\{u{t), ^'{t)w,)d.t+v\{{u{t), ^{t)wj))d.t
о о
т
= {tt„ Wj)^m + \<f{t), Wjy^{t)At. (1.63)
о
Равенство (1.63), которое имеет место для каждого /, позволяет
(по линейности) написать
г г
- 5 (и (О, г») г|)' (О d^ + V J ((и (О, V)) г|) (О di
о о
г
= (Ио, г»)г1)(0) + 5</(0. '»>^l)(/)d^ (1.64)
для всякого г», которое^-является линейной комбинацией Wj. Так
как каждый член в (L64) зависит от v линейно и непрерывно
в норме V, то равеиетво (1.64) выполняется по непрерывности
для всех v^V.^ частности, записывая (1.64) с г|;=(р^®((0, Т)),
мы получим следующее равенство, которое выполняется в смысле
распределений на (О, Т):
-^(й, v) + y{{u, г»)) = </, ©> >fv^V- (1.65)
это в точности совпадает с (1.31). Как было показано перед
формулировкой теоремы 1.1, из этого равенства и (1.59) следует, что

§ 1. Линейный случай 209
и'6^-40, Т\ V') И
й' + уЛи=/. (1.66)
Наконец, остается проверить, что и(0) = а„ (непрерывность и
доказывается в п. 1.4). Для этого домножим (1.65) на ^{t)
(г)) то же самое, что и раньше) и проинтегрируем по частям:
г т
J-^(«(0, v)^{t)At = -^{u{t), v)^'{t)ut
о о
+ (и(0), г»)гр(0).
Получим
г т
- \ {и it), V) г!)' (О di + V 5 ((и (О, г»)) г!) (О d/
о о
т
= (и(0), г»)г1)(0) + 5</(0. vyyp{t)dt. (1.67)
Сравнивая с (1.64), заключаем, что (и„ —и(0), г»)'ф(0) = 0 для
любого v^V и любой функции г|5 рассматриваемого типа. Мы
можем выбрать г|) так, чтобы \1)(0)=^0, поэтому (и (0) —и„, г») = 0
Vv£V. Из этого равенства вытекает, что и(0)=Ио, чем и
завершается доказательство существования.
1.4. Доказательство непрерывности и единственности.
Это доказательство основывается на следующей лем.ме, которая
является частным случаем общей интерполяционной теоремы
Лионса—Мадженеса [1]:
Лемма 1.2. Пусть V, Я, V' — тройка гильбертовых пространств,
каждое из которых вложено в последующее, как в (1.5), причем
V' — пространство, сопряженное к V. Если функция и
принадлежит L^ {О, T;V), а ее производная и' принадлежит L^ {О, T;V'),
то а п. в. равна некоторой непрерывной функции из [О, Т] в Н и
имеет место следующее равенство, которое выполняется в смысле
скалярных распределений на (О, Т):
^^ир-2<и', и>. (1.68)
Равенство (1.68) имеет смысл, так как обе функции ^i-»| и (01^
и t>~-^<_а'{t), u(t)y интегрируемы на [О, Т].
Ниже мы дадим доказательство этой леммы, более
элементарное, чем приведенное у Лионса и Мадженеса [1].
Если принять, что лемма 1.2 уже доказана, то (1.39)
становится очевидным, и остается только проверить единственность
решения. Предположим, что н и V — два решения задачи (1.36)—
(1.38), и пусть w==u — v. Тогда w принадлежит тем же прост.

210 Гл. 111. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
ранствам, что и и г», и
w'+ \Aw = 0, «;(0) = 0. (1.69)
Умножая первое равенство (1.69) скалярно на w{t), находим, что
<1!о'{1), w(t)y-\-v\\'W(i)Y = 0 п.в.
Используя теперь (1.68) с и, замененным на w, получаем
^|tc;(0P + 2v||w(niP = 0, |t£;(OP<w|(0)p = 0, /6[0, П.
откуда u{t) = v{t) для каждого i. Тем самым доказательство
теоремы 1.1 полностью завершено.
Доказательство ле мы 1.2. Элементарное доказательство леммы 1.2,
о котором упоминалось выше, мы оформим в виде двух
следующих лемм. □
Лемма 1.3. В предположениях леммы 1.2 справедливо равенство (1.68).
Доказательство. Регуляризуя функцию й, действующую из R
в 1/ и равную и на [О, Г] и О вне этого интервала, мы легко
получаем последовательность функций и^, удовлетворяющую
условиям
н„ для всякого т есть бесконечно
дифференцируемая функция из [О, Г] в V\ (1-70)
при т—юо
и,„~^а в Lfo, (]0, Г[; V), и-^-^и' в L^ (Р, Т[; V'). (1.71)
Ввиду (1.6) и (1.70) равенство (1.68) очевидным образом
выполняется для и„:
^ I и. (О Р = 2 {и'„ it), «„ (0) = 2 <tt'n, it), и„ (t)> Vm. (1.72)
Из (1.71) следует, что при т—<-оо
I и„ р ^ I й р в Цог (]0, Т[), <а'^, и„> -^ <«', и> в L|oc(]0, Г[).
Здесь сходимость также понимается в смысле теории
распределений; итак, мы можем перейти к пределу в (1.72) в смысле
теории распределений; в'пределе получим в точности (1.68).
Так как функция^-< — <н'(О, н(/)> интегрируема на [О, Т],
равенство (1.68) показывает, что функция и из леммы 1.3
удовлетворяет условию
' u^L-{0,T,H). (1.73)
В том частном случае, когда функция и удовлетворяет (1.36)—(1.38),
это было доказано непосредственно, в п. 1.3. Согласно лемме 1.1,
и — непрерывная функция нз [О, Г] в V'. Поэтому, используя
еще (1.73) и приводимую ниже лемму 1.4, получаем, что и — слабо

§ 1. Линейный случай 211
непрерывная функция из [О, Т] в //, т. е.
Уг>€Я функция ti—»-(u{t), V) непрерывна. (1-74)
Приняв пока на веру этот факт, мы можем завершить
доказательство леммы 1.2. Нам надо показать, что для каждого ^„^[0, Т]
|и(0-в(/„)|^ —О при t — io. (1.75)
Распишем выражение слева:
|и(0Р+1«(ир-2(и(0, и(<о))-
Когда t—<-ig, |и(Ор-* |и(^о)Р- Действительно, в силу (1.68),
|и(/)|^ = |иа„)Ц-2$<и'(5). M(s)>ds,
а в силу (1.74), (и (0. '^(^j))-^ |и(^о)|^- Тем самым (1.75) доказано. П
Используемую в доказательстве леммы 1.2 лемму мы
сформулируем в немного более общем виде, чем это там нужно.
Лемма 1.4. Яг/сть X uF — два банаховых пространства, таких что
XcY, (1.76)
причем вложение непрерывно. Если функция ф принадлежит
L"(0, Т; X) и слабо непрерывна как функция со значениями в Y,
то ф слабо непрерывна как функция со значениями в У.
Доказательство. Заменив, если надо, Y на замыкание X в F, мы
можем считать, что X плотно в Y. Тогда плотное непрерывное
вложение X в У дает по двойственности плотное непрерывное
вложение Y' (сопряженного к F) в X' (сопряженное к X):
Y'cX'. (1.77)
По предположению, для каждого r\^Y'
<ф(0. -Л) — <Ф {to)< Л> при t — /„ V/„, (1.78)
и нам надо показать, что (1.78) верно также для каждого "п^Х'.
Покажем сначала, что ф(0€Х для каждого t и
lk(Olix<lkl|Loo(o.r;X) V/e[0. Г]. (1.79)
В самом деле, регуляризуя функцию ф, равную ф на [О, Т] и О
вне этого интервала, мы получаем последовательность функций ф,„,
действующих из [О, Т] в X, таких что|;ф„(0 ||х < |Mk<»(jr) VmV/ £ [О, Т]
и <Фи(0. 11>-* <"JP(0. 11> при т~^оо >/'ц£У'. Так как
1<Ф»,(0. 11>|<||ф1|/-<»(Х)|1т1||х'Vm V/, мы получаем в пределе
|<ф(0. 11>| <|ф!к<»(Х)||11:1х' Vig[0, rjVrigF'. Из этого равенства
следует включение ф(^)^Х и неравенство (1.79).

212 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье—Стокса
Наконец, докажем (1.78) для г\£Х'. Так как К' плотно в X',
то Ve > О 3r\s£Y', такое что Ц "Л — ilt IU'^ ё- Запишем
<ф (О — Ф (U. 11>=<ф (О — Ф (^о). т] — т1е> + <Ф(/) — ф(/„), 11,>^
1<Ф (О - Ф (<„), Г1> I < 28II ср l^^x) + |<Ф (О - Ф (/„), г\г> \.
Так как r\g^Y', то по предположению о непрерывности имеем
<ф(0 —ф(^о)> 'Пг>—^ О при i—* tg и, следовательно,
iim 1 <ф (^) — Ф {to), т|> X 2е II ф |!loo(X).
Так как е > О произвольно мало, то этот верхний предел равен О,
и (1.78) доказано. П
1.5. Разные замечания. В этом пункте мы приведем
некоторые замечания и дополнения к теореме 1.1.
Одно обобщение теоремы 1.1. Теорема 1.1 является частным
случаем одной абстрактной теоремы, в которой речь идет об
абстрактных пространствах 7 и Я и абстрактном операторе А; см.
Лионе и Мадженес [1].
Если взамен (1.28) мы предположим, что
/=/i +Л, /, € L^ (О, Т; У), Л € L' Ф, Т; Н), (1.80)
то все утверждения теоремы 1.1 верны с одним только изменением:
и' £L^{0, T;V') + L^{0,T;H). (1.81)
В доказательстве существования мы пишем после (1.47)
^1 и„ it) n2v 11 «„ (О IP < 2 l|/f(/) Iv II »„ (011+2 I/, (i) 11 ujt) I
<v\\u„{i)f + ^\\A{tn^' + \fAt)\{l+\u„it)n- (1.82)
Отсюда
^{i+l«.(0in<4ll/i(0ll&' + l/aW|{i + I»„(0Pb(i-83)
Умножая это на expl — J |/г(<^)И°'( > приходим к неравенству
A|exp^-J.f/,(a)|day(l+|a„(Ol^)J
Интегрируя его от О до s, s"^ О, получаем равномерную по т
оценку, аналогичную (1.50), откуда следует (1.51). Интегрируя

§ 1. Линейный случай 213
затем (1.82) от О до Т, получаем (1.53). Доказательство
существования проводится далее в точности так же, как в п. 1.3.
Что касается производной и', то мы имеем
»'=-vA«+/i+/,eLMO, Г;У') + /-МО. Г; Я). (1.84)
Легко видеть, что лемма 1.2 верна также, если
u^L' (О, Т\ V) П Г (О, Г; //), и' € D (О, Г; У) + U (О, Т\ Я).
(1.85)
Заметив это, мы можем доказать единственность и непрерывность"
в, «€^([0, Г]; Н) точно так же, как в п. 1.4.
Случай неограниченной области Q. Для эволюционной задачи при
рассмотрении неограниченных областей Q введение пространства Y,
привлекавшегося в стационарном неограниченном случае (гл. I, п, 2.3),
не является более необходимым. Все предылущие результаты
остаются верными, если область Q неограничена, а V снабжено
нормой (1.9). Предположим, в самом общем случае, что/
удовлетворяет (1.80). Мы имеем в точности такие же результаты, как
в теореме 1.1, если / удовлетворяет (1.28), и такие же
результаты, как в (1.81), если / удовлетворяет (1.80). Единственное
отличие заключается в том, что мы должны вместо (1.82)
использовать следующее неравенство:
ii««(Op+2vi:«„(or
<^fAt)\\v'la„{tn + 2\f,it)\\u„{t)\
<v||«„(0|P + v|a„(0|^ + :^||/aOl'+l/.(OI(l+I«»(Oh
Отсюда
(1.86>
^{l + l«.(OP}<(l/JOl+v){l+|a„(Oin+|ll/i(0!l^.
(1.87)
К этому неравенству применяется далее точно та же процедура,
что и к неравенству (1.83), для получения утверждения (1.51).
После этого, интегрируя (1.86) от О до Т, приходим к оценке
г
Sll««(0!i'd/<const.
о
Эта оценка вместе с (1.51) дает (1.53). Доказательство
существования, единственности и непрерывности решения проводится далее
точно так же, как выше.
Интерпретация вариационной задачи. Мы хотим теперь
уточнить, в каком смысле функция м, определяемая теоремой 1.1^
является решением исходной задачи (1.23)—(1.26).

'214 Гл. 111. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Предложение 1.1. В предположениях теоремы 1.1, существует
распределение р на Q = Qx(0, Г), такое что функция и,
определяемая теоремой 1.1, м р удовлетворяют уравнению (1.23) в смысле
распределений на Q; уравнение (1.24) также выполняется в смысле
распределений, а (1.26) удовлетворяется в таком смысле:
u{t)-^u, в L2(Q) при / — 0. (1.88)
Доказательство. Равенство (1.24) непосредственно следует из
того, что a£L2(0, Г; I/); (1.26) и (1.88) также немедленно
следуют из теоремы 1.1; (1.25) выполняется в том или ином смысле,
в зависимости от подходящей для Q теоремы о следе, поскольку
и принадлежит L^(0, Г; Щ(^)). Для того чтобы ввести давление,
лоложим
t t
£/(0 = Sa(s)ds, F(/)=5/(s)ds. (1.89)
о о
Очевидно, что во всяком случае CAg ^ ([О, Г]; 7), F^%^,T\V').
Интегрируя (1.31), мы видим, что
{u{t)-u„ v) + v{{U(i),v))^<F{t), v>yte[0,T] Vv^V,
«ли
<a{i)-Uo-vAU(t)-F{t),v> = 0>/t£[0,T]>/veV. (1.90)
Используя предложения 1.1.1 и 1.1.2, находим, что для каждого
^€[0. Т] существует функция P(t)^L^(Q), такая что
u{t)-u,-vAU{i) + gvaAP{t) = F{t). (1.91)
В силу замечания I.1.4(ii), оператор градиента является изомор-
-физмом из L2(Q)/R в //-'(Q). Замечая, что
gradP = F + vA/7-B + «o. (1-92)
мы заключаем, что grad Р принадлежит ^ ([О, Г]; Я"* (й)), как и
лравая часть (1.92); поэтому
Ре^([0, r];LMQ)). (1.93)
Это позволяет нам продифференцировать (1.91) по t в смысле
распределений на (^^"Qx(0, Т); полагая
Р = ^, (1-94)
мы получаем в точности (1.23). П
Относительно р у нас нет, вообще говоря, информации
большей, чем (1.93) —(1.94). В следующем предложении мы получим
большую гладкость р, предположив большую гладкость данных
/ и а„.

<^ /. Линейный случай 215-
Некоторые результаты о регулярности. Предполагая, что
данные Q, /, а„ являются достаточно гладкими, мы можем получить
какую угодно регулярность функций аир. Мы докажем лишь
один наиболее простой результат тако10 типа.
Предложение 1.2. Пусть Q принадлежит классу io^,
f^mO,T;H) (1.95)
и
и £V. (1.96>
Тогда
а^ЬЦО,Т;НЦЩ, (1.97)
и'£1Ц0,Т;Н), т. е. и'^L^Q), (1.98)
р е L^O, Т; Н'{Q)). (1.99)
Доказательство. Сначала установим (1.98); этот факт доказывается
с помощью дополнительных априорных оценок для
приближенного решения а„, построенного методом Галоркина. В
обозначениях п. 1.3, умножим (1.41) на g}m{i) и просуммируем
получающиеся равенства для / = 1, ...,т; это дает
или
2|a„(0P + v^lJ«„(0r = 2(/(0>«m(0). (1.100)
Теперь проинтегрируем (1.100) от О до Т и применим
неравенство Шварца; получим
г т
2 5 I а; (О р d/ + v|l и„ (Т) Г= v)ia„^ f + 2 J (fit), u:„ (/)) At
0 0
r r
0 0
T T
J|«;(/)pd/<v!!a„„f-f Sl/(ON/. (1.101>
0 0
Базис Wj, используемый в методе Галёркина, можно выбрать так,
чтобы Wj^V для каждого /, и мы можем положить a,,^, равным
проекции в V функции и, на подпространство, натянутое на Wi,
..., w„. Тогда
а„„.~*ао в V сильно при т—*оо (1.102)
и
II «„„К II «о II. (1.103)

216 Гд. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Благодаря такому выбору w^ и Ио„ из (1.101) вытекает, что
последовательность и'т ограничена в L*(0, Г; Я), (1.104)
и (1.98) доказано.
Теперь возвратимся к равенствам (1.23) —(1.25) и применим
теорему о регулярности для стационарного случая (теорему 1.2.4):
для почти всех t из [О, Т]
-vAa{t)+graAp{t)=f-u'^L^O,T;mQ)),
div«(0 = 0 в Q, (1.105)
и (0 = 0 на dQ,
так что a{t) принадлежит H'{Q) и p{t) принадлежит Я'(Q).
Далее, поскольку отображение f{i) — u(t)i-^{u{t), p{t)\ линейно
и непрерывно действует из L^(Q) в Я"^ (Q) х № (Q) (в силу (1.2.40))
и поскольку f — u'^L^{0,T;L^(Q)), то очевидно, что (1.97) и
(1.99) выполнены. П
§ 2. Теоремы о компактности
Теоремы о компактности, представленные в гл. II,
недостаточны для нелинейных эволюционных задач. Наша цель теперь—
доказать некоторые теоремы компактности, которые подходили бы
для нелинейных задач, рассматриваемых далее в этой главе.
После одного предварительного результата, излагаемого в
п. 2.1, мы установим в п. 2.2 теорему о компактности для
банаховых пространств. В п. 2.3 мы докажем две другие теоремы о
компактности для гильбертовых пространств; в одной из них
фигурируют дробные производные по времени.
Позднее мы изучим некоторые дискретные аналоги этих теорем.
2.1. Один предварительный результат. Доказательства
теорем о компактности в следующих двух пунктах основаны на
приводимой ниже лемме.
Лемма 2.1. Пусть Х^, X и Х^ — тройка банаховых пространств,
удовлетворяющая условию
A'ocXcXi, " (2.1)
причем вложение X .ег'Х^ непрерывно, а
вложение Х„ в X компактно. (2.2)
Тогда для каждого т] > О существует константа с,,, зависяищя
от г\ (и от пространств Хд, X, XJ, такая что
1»ik <Г]IIг>||х, + c^\\vilx, Vt>е X,. (2.3)
Доказательство. Будем рассуждать от противного. Утверждение,
что (2.3) не выполняется, равносильно тому, что существует та-

§ 2. Теоремы о компактности 217
кое т] > О, что, каково бы ни было с^К, |1'^ !1х ^ "Л 1 ^ [х„ + с||г> ||х,
по крайней мере для одного v. Беря с = т, мы получаем
последовательность элементов v^, удовлетворяющих условию !|г>„ \х^Ц^т ;Uo+
+ m||u„,||x, Vm. Рассмотрим теперь нормированную
последовательность w^ = VJ\ v„ ||х„; она удовлетворяет условию
llw„i:x^Ti-fm|ia»„;U,Vm. (2.4)
Так как ||tw„|ix„=l, то последовательность w„ ограничена в X
и из (2.4) следует, что
1!^и1!х,^ О при т—>-оо. (2.5)
Далее, в силу (2.2), последовательность w^ относительно
компактна в X; следовательно, мы можем выбрать из нее некоторую
подпоследовательность гг'ц, сильно сходящуюся в X. Из (2.5)
следует, что предел гУц должен равняться О, но это противоречит (2.4),
ибо ||гу^1;г^т1>0 V[x. П
2.2. Теорема о компактности для банаховых
пространств. Пусть Xj, X, Xj —тройка банаховых пространств,
удовлетворяющая условию
Х„(=Х(=Х„ (2.6)
где вложения непрерывны и
X, рефлексивны, t = 0,l, (2.7)
вложение Хд —>- X компактно. (2.8)
Пусть, далее, Г > О—фиксированное конечное число и «„, «i —
два конечных числа, таких что се,-> 1, i = 0,l. Рассмотрим
пространство
2/-Й/(0, r;a„,ai;X„, Xi), (2.9)
a/ = |t>eL«o(0, Г;Х„), t>'=^€L«.(0, Г; Xi)|. (2.10)
Пространство ?y, снабженное нормой
II «'На/ =|| "О ||l«o (О, Т: X.) -{- II V |li.a,(0. Г; X,), (2. 11)
является банаховым. Очевидно, что &c:L°-<> (О, Т; X), причем
вложение непрерывно. Докажем, что в действительности это
вложение компактно.
Теорема 2.1. В предположениях (2.6) —(2.9) вложение?^ в L"«(0, Т;Х)
компактно.
Доказательство, (i) Пусть в^ —произвольная последовательность,
ограниченная в *y. Нам надо показать, что эта
последовательность содержит подпоследовательность w^,, сильно сходящуюся в
L"» (О, Г; X). Так как пространства X,-рефлексивны и 1 <а,. < + оо,
то пространства L"/(0, 7; X,); t = 0, 1, также рефлексивны и.

■218 Га, III, Эволюционные уравнения Навье — Стокса
следовательно, 2/ тоже рефлексивно. Поэтому существуют такое
Л^Й/ и такая подпоследовательность а^, что
а^—* а слабо в & при (х —<- оо, (2.12)
т. е.
а,а — а слабо в L"» (О, Т; Х^),
и\-^ и' слабо в L"' (О, Т; Х^). (2-13)
Достаточно показать, что
г),, = Иц — а -^ О сильно в /.«»(О, Г; X). (2.14)
(ii) Теорема будет доказана, если мы установим, что
г>ц — О сильно в L«- (О, Г; Х^). (2.15)
Но действительно, в силу леммы 2.1,
II^KI.'z.ao(0, Г; X) ^ Л Ii ^.< il i,«o (О, Т; Х„) +'^П i^tiiLao(0. Г; X,).
а так как последовательность г>ц ограничена в й/, то
II Уд fcao <0. Г: X) < СТ1 + С^ II г>ц |, «о (О, Г; X,). (2.16)
Переходя к пределу в (2.16) и учитывая (2.15), получаем
jX—>-оо
Поскольку Т1 > о из леммы 2.1 может быть взято произвольно
малым, этот верхний предел равен О, и, таким образом, (2.14)
доказано.
(iii) Для того чтобы установить (2.15), заметим, что
2/с^([0, Г]; Xi), (2.18)
причем вложение непрерывно; включение (2.18) следует из
леммы 1.1, а непрерывность вложения проверяется без труда.
Отсюда мы выводим оценку
||г>ц(0||х,<с V^e[0, Г] Vfx. (2.19)
Согласно теореме Лебега, (2.15) будет доказано, если мы
покажем, что для почти всё'х / из [О, Г]
»и(0~^0 силб'но в Xi при [Х-+0О. (2.20)
Докажем (2.20) для t = 0; доказательство для других значений t
аналогично. Запишем
Щ (0) == чУц (О — \ "0'^ (т) dT.

§ 2. Теоремы о компактности 219
Интегрируя по ^ от О до s, получаем
, S S / ч
^0 0 0 '
так что
«'ЛО) = «^^ + *ц. (2.21)
где
a^ = -^'^v^{t)dt, b^^--^'^{s-t)vl{t)ut. (2.22)
о о
Для заданного е > О выберем s так, чтобы
Тогда для этого фиксированного s при ц—>-оо мы имеем а„ —>-О
слабо в Х„, а значит, сильно в Xi, для достаточно больших [х
выполняется неравенство jj а^ |'.у, ^ е/2, откуда и следует (2.20)
для ^ =0. □
2.3. Теорема о компактности с дробными производными.
Следующая теорема о компактности для гильбертовых пространств
использует понятие дробных производных. Предположим, что
Х„, X, X, —гильбертовы пространства, такие что
X„cXcXi, (2.23)
причем
вложение Xj в X компактно. (2.24)
Для всякой функции г> из R в Xi мы обозначаем через v ее
преобразование Фурье:
ос
^(т)= J e-2'""t>(0d/. (2.25)
Производной по t порядка у от функции v называется обратное
преобразование Фурье функции (2im:pv:
Dlvx) = {2inx)'v{x).' (2.26)
Для произвольного 7>0^ определим пространство
9£у (R; Х„ X,) = {г» е L' (К; ^о), А^г» е L' (R; Xj)}. (2.27)
' Для целых у определение (2.26) согласуется о обычным.
^ В приложениях обычно О < ^^Ь

220 Г/i. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Это —гильбертово пространство с нормой
^^«V (R; X,. X.) = {i t^ib (R: X„) + li I T \^Ь ^г (r, x,)^'^.
Произвольному множеству /Cc R поставим в соответствие
подпространство S^\ в ^"1, состоящее из тех функций и^Ж'^, носитель
которых содержится в К'-
Ж1 (R; Х„, Xi) = {и € ^^ (R; ^0. ^i), supp а с /С}. (2.28)
Теперь можно сформулировать теорему о компактности.
Теорема 2.2. Пусть Хц, X, Х^ — гильбертовы пространства,
удовлетворяющие условиям (2.23) и (2.24). Тогда для любого
ограниченного множества К и любого y>0 вложение 5^(R; Xg, XJ
в L^ (i?, X) компактно.
Доказательство, (i) Пусть у и К фиксированы и в^
—ограниченная последовательность в ,9^^ (R; Xj, Xj). Нам надо показать,
что и„ содержит подпоследовательность, сильно сходящуюся
в L^(R; X). Так как 5^^ (R; Х„, Xj) — гильбертово пространство,
то последовательность а^ содержит подпоследовательность Иц,
слабо сходящуюся в этом пространстве к некоторому элементу а.
Очевидно, что и также должен принадлежать .^'J^; поэтому,
полагая г>ц = аи —а, получаем ограниченную последовательность v^
элементов из i^/^(R; Х„, XJ, которая слабо сходится к О в S^-'^;
это означает, что
Vfx-*0 слабо в L^ (R; Х„), (2.29)
I т 1^^,. -^ О слабо в L^ (R; XJ. (2.30)
Теорема будет доказана, если мы покажем, что Вц сильно
сходится к и в L^(R; X), или, что то же самое,
Vi,-*0 сильно в L'{R; X). (2.31)
(И) Наш второй шаг заключается в доказательстве того факта,
что (2.31) будет доказано, если мы установим, что
Vfx-^0 'сильно в L' (R; Xi). (2.32)
По лемме 2.1
!; v^ II' (r; X) < 11|г>ц \]l^ (R; x„) + Cr, i; Vn у (R; X,)' (2-33)
a так как последовательность v^ ограничена в L^ (R; Xg), то
il't'nli'L» (R: X) <C11-|-C1l|it>n|;L« (R; XJ- (2.34)
Предположим, что выполнено (2.32), Устремляя [i—i-oo в (2.34),
получим
lIm'i»nj|£«(R; х)<ст].

§ 2. Теоремы о компактности 221
Поскольку Т1 в лемме 2.1 может быть взято произвольно малым,
этот верхний предел должен быть равен О, откуда и следует (2.31).
(iii) Наконец, докажем (2.32). В силу равенства Парсеваля,
и= 5 \:V^(t)\^,dt= J |,Ч»ц(т)||1,(1/. (2.35)
где v^, обозначает преобразование Фурье функции ©д. Нам надо
показать, что
/ц—»-0 при fi—*оо, (2.36)
Имеем
/ц= ^ |1^д(т)Гх.(1т+ ^ (l + |x|2V)||a^(T)|ii.--^
с
J |1^Дт)!Гх.с1^
^l + Al^v
1т1<Л(
ибо v^ ограничена в W^. Для заданного е> О выберем такое М,
что с/(1 + М'^Х е/2. Тогда
\т\<М
И (2.36) будет доказано, если мы покажем, что для этого
фиксированного М
■и= ^ |^ц(т)!|5,, dx^O при fi->oo, (2.37)
Зто устанавливается с помощью теоремы Лебега. Если через х
обозначить характеристическую функцию множества ^С,то г'цХ = ©и
и
+ сю
Поэтому
II ^ц (т) ||х. < II v^ llz.. (R; X.) II е-^'"'^х lit' (R),
II «'nW Ik < const. (2.38)
С другой стороны, для каждого 0 из Х„ и каждого фиксировак-
лого т
+ 00
((^^т), 0))х„ - S ((г»д(/), e-^'"'^x(0'^))Aod^;

222 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
ввиду (2.29) этот интеграл стремится к О при pi—+сю.
Последовательность г^и (т) слабо сходится к О в Х„ и потому сильно в К
и Xj. Учитывая это последнее замечание и (2.38), по теореме
Лебега получаем (2.37). П
Используя метод теоремы 2.2, мы можем доказать другую
теорему о компактности, аналогичную теореме 2.1, но не
содержащуюся в ней и не содержащую ее.
Теорема 2.3. В предположениях (2.33) и (2.24), вложение 2/(0, Т;
2,1; Xfj, Xj)' в 1^(0, Т; X) компактно.
Доказательство. Пусть и„ — ограниченная последовательность
в пространстве Й/. Обозначим через и„ функцию, определенную
на всей числовой прямой IR, равную и,„ на [О, Г] и О вне этого
интервала. Согласно теореме 2.2, наше утверждение будет доказано,
если мы покажем, что последовательность и„ остается
ограниченной в пространстве S^^ {R\ Х„, Х^) для некоторого у > 0. По
лемме 1.1 каждая функция и^ является, с точностью до
изменения значений на множестве меры О, непрерывной функцией из
[О, Г] в Xj, причем вложение 2/-в ^([0, Г]; Х,) непрерывно.
Поскольку функция и,„ имеет разрывы в точках О и Г, то, как
хорошо известно, ее обобщенная производная выглядит так:
^ й„ = i„ + »„ (0) б„ - й„ (Г) Ьг, (2.39)
где б„ и б^ —дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках О
и Г, а
§■„ = «;„ —производная функция и„ на [О, Г]. (2.40)
Применяя преобразование Фурье, получаем из (2.39)
2ттй„ (т) = g„ (т) + и„ (0) - и,„ (Т) ехр (- 2inxT), (2.41)
где km ^ «„ — преобразования Фурье от ^^ и «^ соответственно.
Так как последовательность g^ ограничена в L^ (О, 7'; Х^), ю
последовательность g^ ограничена в О (R, Xj), а
последовательность g^ ограничена в L" (R; Xj):
II g'™(^)l!A,< const V,«Vx€R. (2.42)
Как мы только что отмечали, вложение 2/ в 'S {[О, Т]; X,)
непрерывно; поэтому |:и„(0)|л. <const, [а„{Т)\\х, <const, и из (2.41)
следует, что
^Р1«шМ1Га,<с Vm Vt€R. (2.43)
' Относительно определения этого пространства см. (2,9)—(2.10).

§ 3. Теоремы существования и единственности ( Ж 4) 223
Теперь заметим, что для фиксированного у < 1/2
|Tr<,„(Y),J+,t-v> ^^€R.
Поэтому из (2.43) получаем
+ 00 +«
-00 -03 ' '
+ 00 +00
^ ^1 I 1 , l.'L-v) + ^« (V) J II й™ (T) fv, dr.
- 00 ' ' -00
+ oo
Так как у < 1/2, то интеграл \ ^,. ,,. сходится; далее, в
— СО
силу равенства Парсеваля,
+ 00 г
J ||a„(T)|&.dT=5||M„(0||x,d^
-00 о
И ЭТИ интегралы ограничены. Отсюда заключаем, что^»
+ 00
S ^P^I«™Wlix,dT<c„ (2.44)
— 00
где Са зависит от у. Очевидно, что последовательность а„
ограничена в :^^ (R; Х„, Xj), и тем самым доказательство завершено. П
Замечание 2.1. Предполагая, что только Xi — гильбертово пространство, а
Хо, X банаховы, можно аналогичным образом доказать, что вложение 2/(0, Т;
otoi 1; Хо, Xj) в L"° (О, Т; X) компактно для любого конечного ао > 1.
§ 3. Теоремы существования и единственности (я ^4)
Этот параграф посвящен теоремам существования и
единственности слабых решений полных уравнений Навье — Стокса (для
п^4). В п. 3.1 мы, следуя Лерэ, дадим вариационную
формулировку этих задач и сформулируем одну теорему существования
для таких решений (для п^4). Доказательство этой теоремы,
принадлежащее Лионсу, дано в п. 3.2. Оно основано на
построении приближенного решения методом Галёркина с последующим
предельным переходом, в котором используются, в частности,
априорные оценки дробных производных по времени от
приближенного решения и теоремы о компактности из § 2. Другое
доказательство, основанное на полудискретизации по времени и
верное для пространств любой размерности, обсуждается в § 4.

224 Гл. HI. Эволюционные уравнрния Навье — Стокса
В п. 3.3 мы установим теорему единственности слабых
решений (для п = 2). В трехмерном случае (п = 3) имеется „зазор"
между классом функций, для которого известно существование
решений, и более узким классом, для которого доказана
единственность; пример соответствующ,ей теоремы единственности
приведен в п. 3.4. В п. 3.5 мы докажем для двумерного случая
существование более регулярного решения, предполагая большую
регулярность данных; сходный результат имеет место и в
трехмерном случае для локальных решений, определенных на
некотором „малом" интервале времени, в предположении что дан}1ые
достаточно малы.
3./. Одна теорема существования для R" (я ^4). Все
обозначения здесь те же, что и вьш.с (ем., в частности, начало п. 1.1);
Q —открытая липн]ицева область, которую для простоты мы
считаем ограниченной: случай неограниченной области обсуждается
в замечаниях 3.1 и 3.2. Напомним', что поскольку размерность
пространства не превосходит 4, то можно определить на HJ (й) и,
в частности, на V трилинейную непрерывную форму Ь, положив
b(u,v,w)= X lui(DiV/)Wjdx. (3.1)
с, /=1 Q
Если u^V, то
Ь{а, v,v) = 0 Wvemi^). (3.2)
Для и, V из V обозначим через В {а, v) элемент из V',
определяемый равенством
<B(u, V), w>^b{a, V, W) Vz«€V, (3.3)
и положим
В{и) = В(а, u)eV' VueV. (3.4)
В классической формулировке начально-краевая задача для
полных уравнений Навье —Стокса выглядит следующим образом:
найти вектор-функцию а: Qx[0, T]—>R" и скалярную
функцию р: Qx[0, rj—^R, такие что
.* л
~—vAtt-^^^UiDia+gradp=f в Q = Qx(0, Т), (3.5)
(=1
divM = 0 в Q, (3.6)
и = 0 на (3iJx(0, Т), '(3.7)'
а {X, 0) = м„ (х) в Q. (3.8)
' См. п. 1.1 гл. II.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 225
Как и выше, заданные функции / и и„ определены на Qx[0, Т]
и Q соответственно.
Предположим, что и и р —классические решения задачи (3.5)—
(3.8), скажем u€^MQ). Рб^ЧО)- Очевидно, и^ЬЦО, Т; V), и
легко проверяется, что если г» —элемент из ^, то
^ (м, г») + V ((и, V)) + Ь(и, и, v) = </, v>. (3.9)
По непрерывности равенство (3.9) будет выполняться для
каждого v^V. Этим подсказывается следуюш,ая слабая формулировка
задачи (3.5)—(3.9) (см. Лерэ [1—3]):
Задача 3.1. Для заданных Uf, и /:
/€Р(0. Г;Г), (ЗЛО)
й„€//, (3.11)
найти функцию а, удовлетворяющую условиям
ае1Ц0,Т;У) (3.12)
и
■^ (а, v) + v,(», V)) + b {а, и, v) = </, v> Vt» € V, (3.13)
»(0) = и„. (3.14)
Если и только лишь принадлежит Р (О, Т; V), то условие (3.14)
не имеет смысла. Но если и принадлежит L^{0, Т; V) и
удовлетворяет уравнению (3.13), то, как и в линейном случае, можно
показать (используя лемму 1.1), что и п. в. равна некоторой
непрерывной функции, так что (3.14) приобретает смысл. Прежде
чем доказывать это, напомним, что мы рассматриваем случай
ns:$4; в случае большей размерности мы немного видоизменим
предыдущую формулировку (см. п. 4.1).
Лемма 3.1. Предположим, что размерность пространства п^4
и что а принадлежит D (О, Т\ V). Тогда функция Ви,
определяемая равенством
<Bu(t), v> = b(u{t), а it), v) Vv^V п. в. на [О, Т],
принадлежит L^(0, Т; V').
Доказательство. Для почти всех / значение Ви {t) является
элементом из V', и, как легко проверить, функция /£[0, Т]>-^Bu{t)^V'
измерима. Далее, поскольку Ь —трилинейная непрерывная форма
на V, то
lBw\\v'^c\\wf WweV, (3.16)
так что
т т
\lBtt{t)lv''ut^clltt{t)fdt< + oo. а
о о
8 р. 1 емам

226 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Теперь, если и удовлетворяет (3.12)—(3.13), то, согласно (1.6),
(1.8) и предыдущей лемме, (3.13) можно записать в виде
■^j <и, г»> = </ — vЛи — Ви, v> Vz» 6 V.
Так как Аи принадлежит L^(0, Т; V"), то, как и в линейном
случае, функция f—vAu — Bu принадлежит L'(О, Т; V'). Из
леммы 1.1 вытекает, что
u'^D{0, Т; V'), tt'=f-vAu~Bu (3.16)
и что и п. в. равняется некоторой непрерывной функции из [О, Т]
в V'. Таким образом, условие (3.14) имеет смысл.
Другая формулировка задачи (3.12)—(3.14) выглядит так:
Задача 3.2. Для заданных f и и,,, удовлетворяющих (3.10)—(3.11),
найти функцию и, удовлетворяющую условиям
иеЬЦО,Т;У), u'^LHO,T;V'), (3.17)
а' + vAu + Btt^f на (О, Г), (3.18)
м(0)-м,. . (3.19)
Мы показали, что любое решение задачи 3.1 является
решением задачи 3.2; обратное проверяется очень легко, и,
следовательно, эти задачи эквивалентны.
Существование решений этих задач гарантируется следующей
теоремой.
Теорема 3.1. Пусть п^4, и пусть заданы f и м„,
удовлетворяющие (3.10)—(3.11), Тогда существует по крайней мере одна
функция а, удовлетворяющая (3.17)—(3.19). При атом
ael^"(0,T; Щ (3.20)
и а слабо непрерывна как функция из [О, Т] в Н ^.
Доказательство существования функции и, удовлетворяющей
(3.20), проводится в п. 3.2; утверждение о непрерывности есть
прямое следствие (3.20), непрерывности а в V' я леммы 1.4.
Замечание 3.1. (i) Теорема 3.1 остается справедливой, если предположить,
что f=^f,+fi; /, € L.^ (О- Т; V'), /з 6 ^^ (0. Т; Н). По поводу
соответствующих видои:4менений в доказательстве теоремы отсылаем читателя к п. 1.5.
(ii) Теорема 3.1 вер^а также, если область Q неограничена; подробнее об
этом см. замечание 3.2. □ !
3.2. Доказательство теоремы 3.1. (1) Как и в линейном
случае, мы воспользуемся методом Галёркина. Поскольку V се-
парабельно, а 'У^ плотно в V, то существует последовательность
W,, .., zy„, ... линейно-независимых элементов '^, которая
' То есть ^v^h скалярная функция П—*•(«(<), v) непрерывна.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 227
тотальна в V. ' Для каждого т определим приближенное решение
а„ уравнения (3.13) следующим образом:
т
u,n=1.eiAt)w„ (3.21)
(й;„(0, w,) + y{(u„{t), Wy)) + b{u„{t), и At), wj)
=^<f(t), Wj>, /€[0, Л- У = 1 rn, (3.22)
«™(0)=Мо., (3.23)
где м„„ —ортогональная проекция в Н функции м„ на
подпространство, натянутое на W,, . . ., W^'^. Уравнения (3.22) образуют
нелинейную систему дифференциальных уравнений относительно
функций gi„, ..., g
mm'
2 (Wi, W/)gL(0 + v2 ((w,-, Wj))gi^(t)
m
+ 2 b{w„Wi,Wj)giAt)g^At) = <f{t),Wfy. (3.24)
Обращая невырожденную матрицу с элементами (w,, Wj), l^i,
у ^ m, мы можем записать эту систему в обычном виде:
m m
gim (О + 2 ^ijgim (О + 2 ^ijkejn, (О gft« (О
m
= 2Р,7</(0. w,>, (3.25)
где а,.у, а,.у;^, р,/€К. Условие (3.23) эквивалентно т скалярным
начальным условиям
§/„(0) = 1'-я компонента Мот- i=l. •••. /"■ (3.26)
Нелинейная система (3.25) с начальными условиями (3.26) имеет
„максимальное" решение —решение, определенное на некотором
максимальном интервале [О, /„]. Если t^ < Г, то | и^ (t) \ должно
стремиться к 4- °о при t —► t^\ априорные оценки, которые .мы
получим ниже, показывают, что этого не может быть и поэтому
^ т ' ■
(ii) Первая априорная оценка получается так же, как в
линейном случае. Умножим (3.22) на gj^ (t) и просуммируем эти
уравнения по /=1, ..., т. Приняв во внимание (3.2), получим
(a'mit), «„(0) + viM„(0|r-</(0, И™(Ф- (3.27)
- ' Функции Wj выбраны из "У^ ради простоты. С некоторыми техническими
видоизменениями мы могли бы взять их из V.
2 Мы могли бы взять в качестве Uo,„ любой элемент этого подпространства,
тякой что последовательность Иот—»■ "о в Н при т—»-оо.

228 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье—Стокса
Далее,
± I й„ (01^ + 2v II а„ (О f = 2 </ (/), а„ (0>
\nf{t)\\v'\\ttAt)\\<ylttAt)f+\\\f{^r
так что
■^ I »™ (О Р + VII й„ (О IP < ~ 11/(0 f.'. (3.28)
Интегрируя (3.28) от О до s, находим, что
S Т
о о
Следовательно,
г
sup \u^{s)\^^\u,\'+^Uf{t)ll'At, (3.29)
его. ТЛ ^ J
S6[0, Г]
откуда вытекает, что
последовательность м„ ограничена в L°°(0, 7"; Я). (3.30)
Интегрируя теперь (3.28) от О до Т, получаем
т т
\itAT)Y^y[\\ttAt)fAt<^\u,^Y + ^l\\f{t)fv'At
т
<1 йо 1^ + 1^ 1/(0 irv'df.
о
Эта оценка показывает, что
последовательность й„ ограничена в Р(0, Т\ V). (3.31)
(iii) Пусть а„ обозначает функцию, действующую из R в I/,
которая равна и^ на [О, Г] и О на дополнении к этому
интервалу. Преобразование'Фурье от и„ обозначим через й„. В
дополнение к предыдущим /»це1^;ам, аналогичным оценкам для
линейного случая, мы xol^M показать, что
+ 00
S I ^ l^'^ |Ия (т^) 1^ d^ < const для некоторого у > 0. (3.32)
— оо
Вместе с (3.31) это будет означать, что
последовательность »„ ограничена в ,^^(R; V, Н), (3.33)

где 6о» бг~дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках
О и Г, и
§ 3. Теоремы существования и единственности (п ^ 4) 229
И даст нам возможность применить теорему о компактности 2.2.
Для того чтобы доказать (3.32), заметим, что (3.22) можно
переписать в виде'
■^(а„, W,) = </„, «;,> + (йо„, w,)6o
-(а„(Т), Wj)8r, i==l,...,m, (3.34)
ш }
Л=/„ на (0. П ^^-^^^
Применяя к (3.34) преобразование Фурье, получаем
2тт(и„, w,) = </„, Wy> + (ao«, Wj)
-(tt^iT), Wj)e%p{—2mTx), (3.36)
где u„ и /„ обозначают преобразования Фурье функций и„ и /^
соответственно. Домножим (3.36) на gj^ (т) (преобразование Фурье
gy^) и сложим получившиеся уравнения для /=1, ..., т; это
дает
2тт|»„(т)р = </«(т), и„(т)> + (ао„, »„(т))
-(»„(Г), »,(т))ехр(-2штГ). (3.37)
Вследствие неравенства (3.15),
т ~ т
SllA(Ollv'd/<S(||/(Oiv"+v||a„(0|i + c||a„(Olhd^ ,
о о
а это выражение ограничено в силу (3.31). Отсюда sup ||/„ (т) ||v'^
те R
< const Vm. В силу (3.29), |й„(0)К const, |»„(r)Kconst, ц
мы выводим из (3.37), что |т| \й„{х)\^<,с^\й^{%)\+с^\и„{х)\^
или
l^ll«»(T)P<cJia„(T)i. (3.38)
Для фиксированного у, Y < 1/4, имеем
' Ср. с доказательством теоремы 2.3.

230 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Поэтому
4- 00 , + со
J|Tpv|„^(x)|MT<c,(Y) |-1±Ш-^|й„(т)р(1т,
— со —ОС '
+ 00 ^ +00
<(в силу (3.38))с„ J-i^^ii-dT + c, J ||«„(T)|pd/.
— ОС —со
Вследствие (3.31) и равенства Парсеваля последний интеграл
ограничен при т—>-оо; таким образом, (3.32) будет доказано, если
мы покажем, что
+ iXJ
f .^"i^i'-iv dx<const. (3.39)
Согласно неравенству Шварца и равенству Парсеваля, мы можем
оценить этот интеграл величиной
1/2 г 1/2
lo^rhr) (I'"-«'■«)
которая конечна, так как у < 1/4, и ограничена при m —* оо,
в силу (3.31), Доказательство (3.32) и (3.33) закончено.
(iv) Оценки (3.30) и (3.31) позволяют нам утверждать, что
существуют элемент uQL^iO, Т; V)(]L°°{0, Т; Н) и
подпоследовательность Um', такие что
и,п' --* и слабо в L2 (О, Т; V)
и *-слабо в L°°(0, Т; Н) при т' —> оо. (3.40)
Ввиду (3.33) и теоремы 2.2 имеем также
ttm'-^tt сильно Б L»(0, Г; Н). (3,41)
Результаты о сходимости (3.40) и (3.41) позволяют нам перейти
к пределу. Мы поступаем в основном так же, как в линейном
случае. Пусть г|5— непрерывно дифференцируемая функция на [О, Г]
с 'ф(Т') = 0. Домножим (3.22) на -^{t) и проинтегрируем по частям.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 2?!
Это приводит к равенству
7 Т
- j (»«(О, ^' (0) W/ d< + vj ((»„ (О, w,Ti,(0)) d/
о о
г
+ J&(»„(0. й.СО. w,^{t)}dt^iu,„, гг>,)г1)(0)
о
г
+ J</(0. W/i|5(0>d<. (3.42)
В линейных членах переход к пределу по последовательности т'
тривиален; для нелинейных членов мы применим приводимую
ниже лемму 3.2. В пределе получим, что уравнение
Т 1
+^b{uit), tt{t), V^{t))At^{tt„ ©)г1)(0)
о
т
+ J</(0,'D^(0>d< (3.43)
о
удовлетворяется для v^Wi, w^, ...; по линейности это
уравнение выполняется для любой линейной комбинации элементов Wj,
а по непрерывности —для любого v^V. Записывая, в
частности, (3.43) для г|з = ф^®((0, Т)), мы видим, что и
удовлетворяет (3.13) в смысле теории распределений.
Наконец, остается показать, что и удовлетворяет (3.14). Для
этого мы умножим (3.13) на \р и проинтегрируем. После
интегрирования первого члена по частям получаем
т т
-J(»(0. v^{t))dt + v^{{u{t), v^p{t)))dt
'.' '''
,i? + J & (»(О, »(0. «^ (0) dt = (»(0), V) г!) (0)
V "
+ ^<f{t),V^{t)>dt. (3.44)
0
Сравнивая с (3.43), заключаем, что (»(0) —»о, т») ф (0) == 0. Мы
можем выбрать г|з так, чтобы ilJ(0)=l; тогда (й(0) —ы^. ©) = 0
^v^V, откуда и следует (3.14).

232 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Доказательство теоремы 3.1 будет полностью завершено, как
только мы докажем следующую лемму.
Лемма 3.2. Если Ир, сходится к и слабо в L^{0, Т; V) и сильно
в L* (О, Т\ Н), то для любой вектор-функции w с компонентами
us «1(0)
г т
5&(и^(0. йц(0. w{t))ut-^lb{u{t),ttit),w{t))dt. (3.45)
о о
Доказательство. Запишем
1ь{и^, Ир,, w)d^ = —5б(йд, W, Ид)
о о
т
'•/=' о Q
Эти интегралы сходятся к
„г т
— ^ J J «/ф/ОУ/) Иу d* d/= 5 fc (и, w, tt)ut
*>'"' о Q О
Г
=a.Jb(«, «, «;)d^ П
о
Замечание 3.2. (i) Неограниченная область. В случае когда область Q неогра-
ничеиа, (3.30) и (3.31) доказываются так же, как мы это делали в п. 1.5
для линейного случая. Далее (3.32) и (3.33) получаются, как и выше. Главное
отличие заключается в том, что вложение V в Я ие является более
компактным. Тем ие менее мы можем извлечь подпоследовательностьИт', котора^я
удовлетворяет (3.40). Для любого шара Q, содержащегося в Q, вложение ffi (0)
в L^ (б) компактно, и из (3.33) следует, что
последовательность и„\^ ограничена в
J5f^ (R; Я1 (0), L^ (6)) V6. (3.46)
Поэтому, в силу теоремы ^.S, И/п'1я—*■"(« сильно в Z,'^ (О, Т; L^ (Q)) V0,
т. е. Urn'—>■» сильно в Z,^ (О, Т; LiocjP))- В частности, для фиксированного /
имеем в^, [д, —>. и [д, сильно в L^ (О, Т; i" (Q')), где Q' обозначает носитель «ly.
Это црзволяет перейти к пределу в (3.42).
(11) Энергетическое неравенство. Интегрируя (3.27), находим, что
|Ия. »r+2vC|l»„(sj|p ds = |e„„|4-2 5</(s), «„(s)>
ds.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 233
Домножим это уравнение на (f(t), где ф^® (]0, Т[), (p(t)^O, и проинтегри-
()уем по t:
т , т ,
W l«»(OP+2v5||K„(s)iPdsU(Od/
п ^ о )
= J<l«omP+2 J </(s), K„(s)>dsU«)
,. At.
о V о '
Используя (3.40), Перейдем в этом соотношении к нижнему пределу. В
результате получим
5|(KWP+2v5l|K(s)|PdsU(Od'
т , t
< W 1 «о Р+8 S </(s). и (s)> ds U (О <И
для всех ф5®(]0, Т[), ф^О. Это равносильно тому, что
t t
\u{t)\^+2v 5l!a(s)INs<i«„|=4-2j</(s), K(s)>ds (3.47)
0 0
для почти всех i^[0, Т].
Это и есть энергетическое неравенство, которому удовлетворяет функция и
из теоремы 3.1. Позднее будет показано, что соответствующее неравенство
выполняется и при /г = 2 (см. теорему 3.2 и лемму 2.1). Мы не знаем,
выполняется ли соответствующее неравенство в общем случае (ср. с теоремой 3.9).
3.3. Регулярность и единственность (я=2). В двумерном
случае решение задачи (3.17) — (3.19), существование которого
гарантируется теоремой 3.1, единственно и обладает некоторыми
дополнительными свойствами регулярности. Доказательство этих
фактов основано на следующих леммах.
Лемма 3.3. Если л =2, то для произвольной открытой области Q
IIV \Ь ,Q, < 21/4IIV |В\й, II grad VII t'\Q) Vt) € Щ (Й). (3.48)
Доказательство. Достаточно доказать (3.48) для u£®(Q). Для
таких V имеем
и поэтому
v'{x)^2Vi{x,), (3.49)
где
+«
Щ (х,) == S I о (li, X,) 11 Djt» (is, X.) I dli. (3.50)

234 Гя. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Аналогично
v^x)^2vAx.), (3.51)
где
+ 00
f.Ui)= S \v{Xi, l,)\\D,viXi, y|d|„ (3.52)
<- во
a следовательно,
^ у* (x) dx < 4 J Uj {Xi) Uj (JCj) dx
R2 R2
C + 00
с
4(^ S иИ^^й^с^Д S fa(%) d;fij
< 4II и lib (R.) II Div IIls (r.) II Djt) у (Rg,
^2||u|!LMR2)||grady||L2(R.). a
Лемма 3.4. Если n = 2, mo V», v, w^Hl (Q)
\b(u, V, w)K2i/2 |a|i''2|ja||i/2 |i^fj^|i/s||^|ji/a, (353)
Если и принадлежит L^{0, Т; V)r\L°°{0, Т; Н), то Ви
принадлежит Е'^ф, Т; V') и
[BuWrno. r:V')<2i/2 |ittiz.oo(o, 7-1Я)!1и||г.мо, r^V). (3.54)
Доказательство. Несколько раз применяя неравенства Шварца
и Гёльдера, находим, что
2
|Ь(и, V, гг»)К 2 \\ui{DiVi)Wf\ux
2
< 2 \\Ui\\l4Q)\\Dflj\\tz(Q)lWj\L*(Q)
( 2 \i/a / 2 \1/а / 2 \1/з
Согласно (3.48),
2 II«; lib (Q) <У'2 2 (i ",• Ь (й) IIgrad щ ||l. (qj) <^2 | « У и|.
Используя аналогичное неравенство для w, получаем (3.53). Если
и, V, W принадлежат V, то соотношение Ь{и, V, w) = — b (и, w, v)
дает другую оценку для Ь:
(3.56)

§ S. Теоремы существования и единственности (п ^ 4) 23S
В частности,
\Ь{и, и, г»)|<21/2|и|||и|||'о!| Уи, v^V (3.56)
и поэтому
'I Ва Iv < 21/31 и I !1 и li Vtt 6 V. (3.57)
Если теперь «^^^(О, Г; V)nL"(0, Т; Я), то Bu{t)
принадлежит V для почти всех /, а оценка
iBa{t)\y < 21/^1 а (О 111 и (Oil (3.58)
показывает, что Ви принадлежит L^{0, Т; V'), откуда и вытекает
неравенство (3.54). □
Теперь мы можем сформулировать и доказать основной
результат (ср. Лионе и Проди [1]).
Теорема 3.2. В двумерном случае решение и задач 3.1—3.2
единственно. Кроме того, а п. в. равна некоторой непрерывной
функции из [О, Т] в Н и
a(t)-* Uo в Н при t -^ 0. (3.59)
Доказательство, (i) Сначала мы докажем утверждение о
регулярности. Согласно (3.18) и лемме 3.4, и' =f~vAu — Bu, и так как
каждый член в правой части принадлежит пространству L^ (О, Г; V'),
то и' также принадлежит ему. Таким образом, здесь мы имеем
больше, чем в (3.17):
и' ^L'[0, Г; V'). (3.60)
Это улучшение условия (3.17) позволяет нам применить лемму 1.2,
которая утверждает, что и п. в. равняется некоторой непрерывной
функции из [О, Г] в Н. Таким образом,
tt€i?([0, Г]; Н), (3.61)
откуда немедленно следует (3.59). Напомним также, что лемма 1.2
утверждает, что для любой функции и из L^ (О, Т\ V),
удовлетворяющей (3.60), выполняется уравнение
-~\u{t)\' = 2<u'{t),u{t)>. (3.62)
Этот факт будет использован в доказательстве единственности,
к которому мы сейчас приступим.
(ii). Предположим, что tii и щ—ж^^ решения задачи (3.17)—
(3.19), и пусть o = tti —«2. Как показано выше, о^, и^» ^ значит,
и и удовлетворяют (3.60). Разность »=i»| —я, удовлетворяет
условиям
и' +vAu=-~Buy + Bu^, (3.63)
.' а(0)-0. (3.64)

236 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Применим обе части равенства (3.63) как элементы из У к u{t)
при почти всех t. Используя (3.62), получим
^|tt(0l^ + 2v|ia(0|p = 2b(«,(a «2(0. й(0)
-26(«1(0, Uiit), uit)). (3.65)
Вследствие (3.2) правая часть этого соотношения равна—26 (и (0.
«2(0i tt(t)). В силу (3.53), мы можем оценить это выражение
величиной
23/21 й (011 и (О IIII и. ФII < 2v 1 й it) \f. +-L \tt{t)n Щ it) f.
Подставляя это в (3.65), находим
'ir\tt{t)\^<^\uit)\^lttAt)f.
Так как функция t~-*\\Ui(t)\f интегрируема, получаем
J-|exp(^-i-J||tt,(s)fds^.|«(0|^|<0.
Интегрируя и применяя (3.64), заключаем, что|и(0|*=^0 \W
g[0, Т]. Таким образом, и1 = и^. П
Замечание 3.3. Как следует из (3.48), (единственное) решение уравнений
Навье—Стокса удовлетворяет условию
a€i*(Q) (« = 2). (3.66)
Замечание 3.4. Теорема 3.2 охватывает как случай ограниченной, так и
случай неограниченной области; доказательство не изменяется.
3.4. О регулярности и единственности (я=а=3).
Результаты п. 3.3 не могут быть распространены на более высокие
размерности из-за отсутствия информации о регулярности слабых
решений, даваемых теоремой 3.1. Тем не менее мы докажем здесь
некоторые дополнительные свойства регулярности решения,
несколько более слабые, ^ем те, которые были получены в
двумерном случае. Затем mjt приведем одну теорему единственности
в классе функций, для которого существование неизвестно; этот
результат, однако, показывает, как связана с единственностью
информация о регулярности слабых решений.
Диалогом леммы 3.3 служит
Лемма 3.5. Если л = 3, то для любой открытой области Q
IV\\L. ^а, <2^/2iVlli\B,Igrad v 1|E'.\«, Vy 6 Щ {.^i). (3.67)
i

■§3. Теоремы суи^стеования и единственности (п<,4) 237
Доказательство. Достаточно доказать (3.67) для yg®(Q). Для
таких V, применяя (3.48), получаем
Г и* (л;) d л; < 2 J I ( f У' dXi йх^ j
R3 -00 "• ^R2 '
. (S 2^(D,t,)«dx,dx,j|dx3
< 2 f sup 5 u^' Ax^ <\хЛ( 2 I! Div lib (R3) j. (3.68)
Ho
■«■3
уз(л;) = 2 5 «(jci, JCa, У Ози(;с1, jc^, У dig
— 00
+ ее
<2 5 |и(л;1, jc^, ^з)||Ози(;с1, jc^, ?з)Н?з.
— 00
и поэтому
sup J и^ dxi dxa < 2 5 I w 11D3UI dA; < 2II у Ц^. (r.) \\ D^v \\t, (r.,.
*3 R! RS
Используя это неравенство, выводим из (3.68), что
WM^;)dJ(;<4||u||i,MR»)i-D3ullLMR»)( 2 IDiVft^ (r.
Ra \г=1
<4||u||lmr3)( 2 i-Dfi'IliMR»
)
откуда и следует (3.67). П
Теорема 3.3. Если и==3, то реиление задачи ф.П) — {Ъ.Щ,
даваемое теоремой 3.1, удовлетворяет условиям
u.^Di^{0, Т; L'(Q)), (3.69)
u'eL^'40, Т; V). (3.70)
Доказательство. Для почти всех t, согласно (3.67), имеем
\]u(t)U'w<c,\u(t)\^'^\\u{t)r'\ (3.71)
Функция в правой части неравенства принадлежит L^^^ (О, Г);
следовательно, то же верно и для функции в левой части. В гл. II,

238 Гл. HI. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
используя неравенство Гёльдера, мы вывели неравенство'
|Ь(я, и, v)\ = \b{u, 1> «Kci!!tt|jlM9)||e»|| Va, v, eV.
(3.72)
Поэтому если u^L^{Q, Т; V)nL°°(0, Г: Я), то Ви принадлежит
Z-*/»(0, Т; V'), ибо
\\Bu{t)\\v'^c,la{t)fiuQ), (3.73)
1Ви(01у'<с,1иЦ)'е"1и{П'г" п. в. (3.74)
В двумерном случае мы установили, что любое решение
задачи (3.17) —(3.19)_ удовлетворяет (3.60) и (3.66) и в суш,ности
именно это свойство позволило нам доказать единственность.
Для п = 3 соотношения (3.60) и (3.66) заменяются более слабыми
соотношениями (3.69) —(3.70).
Теперь мы гюкажем, что в некотором классе функций, более
узком, чем тот, для которого получено существование, может
существовать не более одного решения.
Теорема 3.4. Если и = 3, то у задачи 3.2 существует не более
одного решения, удовлетворяющего условиям
и^1Ц0,Т; V)nL'°{0, Т; Н), (3.75)
ие1Ц0, Т; L*(Q)). (3.76)
Если такое решение существует, то оно является непрерывной
функцией из [О, Т] в Н.
Доказательство, (i) Из неравенств (3.72) —(3.73) вытекает, что
если и удовлетворяет (3.76), то
Ba^L^O, Т; V') (по меньшей мере). (3.77)
Поэтому если и удовлетворяет (3.75) —(3.76) и (3.18), то
«'€^-40, Т\ V'), (3.78)
и, согласно лемме 1.2, и п. в. равняется некоторой непрерывной
функции из [О, Г] в Н.
(и) В силу неравенства Гёльдера и оценки (3.67),
I b (И, И, г») к Со I и 'Ь «!) IIV \\L^. (П) II и !i,
\b{u, и, г')|^Сг|й|1/Ч|а!1'/*|!©|!г.мй,. ^ ^ ^
(iii) Предположил*Г*что и, и и^ — ]\ьа решения задачи (3.17) —
(3.19), удовлетворяющие (3.75)— (3.76), и пусть » = ai —«2- Как
и в доказательстве теоремы 3.2, можно показать, что
^|tt(0r + 2vi»(0lp = 2b(o(0, й(0, йЛО). (3.80)
' Это неравенство с константой с, зависящей от п, имеет место для
любой размерности пространства.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п ^ 4) 239
Ввиду (3.79) правая часть оценивается величиной
Таким образом, -д--1 и (0|2<С2| «2(0И^мп)! «(01^-Поскольку
функция ^ —* I «2 (t) |£4 (П) интегрируема, мы можем завершить
доказательство так же, как в теореме 3.2. П
Замечание 3.5. Приведенное доказательство годится как для ограниченной
так и для неограниченной области Q.
Замечание 3.6. Существует много аналогичных результатов о единственности,
отвечающих некоторым другим предположениям о свойствах регулярности.
Например (см. Лионе [2], стр. 84), единственность имеет место (для случая
любой размерности пространства), когда и удовлетворяет вместо (3.76) условию
tt^L^iO, Т; L'-(Q)), (3.81)
где
2/s+rt/r<l, если О ограничена, с^ ао\
2/s-\-n/r — \, если Q неограничена.
3.5. Более регулярные решения. Цель этого
пункта—доказать для двумерного случая тот факт, что, предполагая большую
регулярность данных, можно получить большую регулярность
решений. В трехмерном случае существование таких более
регулярных решений доказано на любом временном интервале при
условии, что данные Ug и f „достаточно малы" или что v
достаточно велико.
8.5.1. Двумерный случай.
YeopeMa 3.5. Пусть п—2, и пусть
/,/'€140. Т; V'),/{0)€Я, (3.83)
Ио€ЯМЙ)ПК. (3.84)
Тогда единственное решение задачи 3.2, даваемое теоремами 3.1
ы 3 2, удовлетворяет условию
tt'QL^O,T;V)nL''{0,T;H). (3.85)
Доказательство, (i) Прибегнем снова к галёркинскому
приближению, использовавшемуся при доказательстве теоремы 3.1. Нам
достаточно показать, что это приближенное решение
удовлетворяет также двум априорным оценкам, содержащимся в
следующем утверждении:
последовательность ы^ ограничена
в LHO,T;V) П L^(Q,T;H), (3.8 6)
В пределе из (3.86) следует (3.85). Так как Ыо€ Vf]H^{Q), мы
можем взять в качестве и^^ ортогональную проекцию в VClH^iQ)

240 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
функции «о на подпространство, натянутое на w^, ■ • •, w^. Тогда
Ио„-^ИоВ Я^(Й) при т-^оо, ||Ио„||№(й)<|Ио||№(й). (3.87)
(ii) Умножим (3.22) на gpiit) и просуммируем получившиеся
равенства по / = 1, ..., /п. Это дает
u'mit)) = <fit), и;(0>- (3.88)
в частности, при ^==0 получаем
\итФ)\'=(/{0), a;„iO))+v(Att„,, иЦО))-Ь(Ио», и„„, и;„(0)),
(3.89)
так что
1 Ит (0) i < 1/(0) i + V I ДИо„ I + I Btto„ I (3.90)
Из (3.87) ясно, что | АИотКс„||Ио„|№(Н) ^СоЦИоЦ^-да. Для Ви„„
мы имеем, согласно неравенству Гёльдера,
\Ь{и, и, v)\^Ci\\ulLus)\grauu\L*(Q)\v\
^(в силу (3.48) и неравенства Соболева»
< с, II и iII и llffMQ) I»! Va € ЯЧО) V© €/-МЙ)
и поэтому
\BUoJ<c,\\UoJ\\u,Jhhs)< (в силу (3.87)) <ф^;'„,^^у
(3.91)
Наконец, (3.90) и предыдущая оценка показывают, что
последовательность и'т{0) ограничена в N. (3.92)
(iii) Мы можем продифференцировать (3.22) по t. Так как /
удовлетворяет (3.83), получим
(о;, W^) + v({tt'm^ Wj)) + biu'm, «„, Wf) + b{U„, U'm, Wj)
= if',w,>, j=l, ...,m. (3.93)
Умножая (3.93) на g'jmit) и суммируя получившиеся уравнения
по / = 1, ...,т, приходим (с учетом (3.2)) к равенству
= 2</'(0, »m(0>. (3.94)
в силу леммы 3.4,
2\b{u'rn{t),u„{t),u:Am<2'|^\u'r,г{t)\\\u'rnm\\ttлm
<v||tt;,(0lp + 4ll«»(0ri«;n(0P.

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 241
Поэтому из (3.94) вытекает, что
где
cp„(0=2/v||»„(0r.
Тогда, по лемме Гронуолла,
A||»;„(0pexp|'-j9„(s)ds^|<4l/'(<)|^.
откуда
|a;(OI^<<j|a;n(0)|^ + |J|/'(s)l^'ds|expj9js)ds.(3.96)
Поскольку последовательность а„ ограничена в L^ (О, Т\ V)
(ср. (3.31)), а также вследствие (3.92), правая часть неравенства
(3.96) равномерно ограничена по sG[0. 7"] и по т:
последовательность и'т ограничена в L" (О, Г; Я). (3.97)
Из (3.97) и (3.95) легко следует, что последовательность aU огра-
ничена в 1^(0, Т; V). О
Теорема 3.6. Пусть выполнены те же предположения, что и в
теореме 3.5. Кроме того, мы предположим, что Q — ограниченная
область класса 'ё^ и
/6L°°(0, Г;Я). (3.98)
Тогда функция а удовлетворяет условию
иеЬ°° (О, Т; Н' (Q)). (3.99)
Доказательство, (i) Запишем (3.18) в виде
V ((и (/), V)) = {g{t), V) yv 6 V, (3.100)
где
g{t)' = f{t)-u'{t)-Bu{t). (3.101)
Доказательство основано на двух последовательных применениях
предложения 1.2.2.
(ii) Так как tt^U°{Q, T;V) и
I b {и {t), а it), v)\^cju (t) |L^ (й) II и it) ill V lU. (Q)
<Ci||a(OiPI|f|kMQ). (3.102)
TO Ва£1Г{0, r;LV3(Q)). Поэтому (/-и'€^°°(0, Т; Щ)
g^L•^{0,T^,L^''{Q)). ' (3.103)

242 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Из предложения 1.2.2 следует, что аб-^°°(0, Г; W^-«/^ (Q)). Но
по теореме Соболева W^-*/^ {Q)c:L°°{Q), значит, ueL°°iQ).
(iii) Теперь мы можем улучшить (3.103). Заменим (3.102)
неравенством
\b{u(t), u(t),v)\<c,\\u\\L^^Q,luit)l\\vl
из которого следует, что Bu^L°° {О, Т\ И). Отсюда видно, что
g-gL°°(0, Т; Н). Снова применяя предложение 1.2.2, получаем,>что
»6L~(0, Г; №(Q)). П
Замечание 3.7. Последовательным применением предложения 1.2.2 легко теперь
доказать, точно так же как в случае предложения I1.I.1, что если Q—область
класса "ё", Bq задано в ^^ (Q), а /—в "ё" (Q), то решение а принадлежит
^* (Q). Тем же самым методом могут быть получены и различные
промежуточные результаты о регулярности решения при соответствующих
предположениях о данных.
3.5.2. Трехмерный случай. Мы докажем здесь для п = 3 некоторые
свойства регулярности, аналогичные тем, которые были получены
для п = 2; однако теперь это будет сделано лишь в
предположении достаточной „малости" начальных данных.
В следующей теореме с обозначает некоторую константу,
такую что
|^)(«, г», «>)Кс||и|||1г»||ге)|| yu,v,w£V. (3.104)
Теорема 3.7. Предположим, что п = 3 и что заданные функции/
и «о удовлетворяют условиям
aoe№(Q)nV, (3.105)
/eL'°(0,T;Hy,/'eL'{0,T; Н) (3.106)
и одному дополнительному условию, которое будет
сформулировано по ходу доказательства теоремы и которое выполняется,
если V достаточно велико или если / и tig „достаточно малы"'.
Тогда у задачи 3.2 существует единственное решение, которое
удовлетворяет, кроме того, условию
и' 6 L^ (О, Т; V) П L" (О, Т; И). (3.107)
Доказательство, (i) Лрежде всего заметим, что единственность
есть просто следств^ке-'-теоремы 3.4, поскольку такое решение
удовлетворяет условию
а е L" (О, Г; V), (3.108)
а тогда из включения УсЬЧ^) следует (ом. (3.76)), что
и€/."(0, Г; L*(S)). (3.109)
' См. (3.U5).

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 243
(ii) Первые шаги доказательства существования те же самые,
что и в теореме 3.4. А именно, мы используем метод Галёркина,
выбирая базис и и„ таким образом, чтобы выполнялось (3.87).
Оценки (3.90) и (3.91), а поэтому и (3.92) по-прежнему имеют
место:
I и'т (0) К di = I/ (0) 1 + VCo II И„| „а ,й, + Ci 1 Щ Ц?,^ (,„. (3.1 10)
Тем же путем, что и раньше, мы получаем уравнение (3,94), а
из него, привлекая (3.104), выводим, что
^^lu'^{t)\^ + 2(v-clu„(tmu;„{tW<2{f'it)\\u'^{t)\.
(3.111)
(ill) Из (3.28) и (3.29) следует, что
V!|а„(0f < -'-■ il/{t)III', -2 (и„ (0. u'm(0) < ^\\f (t)§'
+2|»„(0||»;„(<)|<^ + 2(|»op + ^)''Vm(/)|, (3.112)
где
'^2 = li/l!i.»(o. r:V'). (3.113)
Учитывая (3.110), получаем из (3.112) при ^ = 0
vlu^{0)!^^dJv + 2d,{\Ub\' + Td,M4-^ -=^3- (3.114)
Дополнительное условие, упомянутое в формулировке теоремы,
таково:
d. = | + (l + df)(jB,p + ^)^'%xp(j|/(s)lds)<J.
(3.115)
Так как ds<.d^, то, в силу (3.114) —(3.115), v||»„(0)|:2<d, <
^^4<г'/с^ а потому V—с|!и„(0)|1 > 0. Отсюда заключаем, что
выражение 'v—c'iu„{t)\\ остается положительным на некотором
интервале с начальной точкой в 0. Обозначим через Т,„ первую
точку t ^Т, такую что v—Ci|»„(7'„)|| = 0; если такой точки нет,
то полагаем Т^ = Т. Тогда
v-c||a„(Oil>0, 0<<<Г„. (3.116)
(iv) Используя (3.116), выводим из (3.111), что
~\ii'At)\'<2\f'it)\\u'^{t)\,
^(l+|«m(On<l/'(Ol(l+)»m(OP).

•<o,
244 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Следовательно,
4{(l+l»-(0P)expr-J|/'-(s)|ds)'
H-|»m(OP^(H-|»;n(0)p)expQ)/'(s)|ds^
и, в силу (3.110),
H-(»m(0P<(H-df)exp(S|/4s)|ds), 0<^<Г„. (3.117)
Из (3.112), (3.115) и (3.117) получаем ^ '
v-G|i«„(0||>v-cK4/v>0, 0</<Г„.
Значит, Т^ = Т и из (3.111) вытекает, что
^\tt'n.m+2{v-cVdj'v)\\u'^m <'^\f кШи'гггт,
0<^<7'.
Отсюда легко следует, что
последовательность и'щ ограничена
в Р (О, Т: V) П L" (О, Т; Н) (3.119)
Тем самым существование доказано. П
Как и в двумерном случае, мы имеем также следующий
результат.
Теорема 3.8. Если в дополнение к предположениям теоремы 3.7
потребовать, чтобы Q была областью класса Й"", то функция и
будет удовлетворять условию
u€L'"{0,T; HHQ)). (3.120)
Доказательство. Запишем (3.18) в виде v{{u{t), v)) = (g{t), v)
V© 6 V, где g{t) =f{t\-u'ii)-Bu(t). Так как/-»' 6 L°°{0, Т\ Н),
то (3.120) вытекает из'йредложения 1.2.2, если только показать, что
Ви^Гф, ТК'Н) (а значит, g^U°{<d, Т; Я)). (3.121)
Этот результат снова устанавливается с помощью повторного
применения предложения 1.2.2 и различных оценок для формы Ь.
Согласно неравенству Гёльдера,
j b (и {t), и (О, f) К Со ;| и (t) ||i. (Q) I и (t) II j V Ua (H),
\b{u{t). u(t), f)|<cj|a(0f||t»|ii3(a). (3.122)

§ 3. Теоремы существования а единственности (п ^ 4) 245
Из (3.122) (И включения аб^^СО, Т; V)) вытекает, что Bu^L^iQ,
Т; L8/2(Q)), g^L"(P,T;L'>'^Q)). Предложение 1.2.2 показывает,
чгои6^°°(0, Т; W2- 3/2(Q)), а потому (поскольку W^- з/2(Q)c:L*'(^)
для /г = 3) u^L°° (О, Т\ и (Q)). Используя опять неравенство Гёль-
дера, получаем для b оценку
b{u{t), U(t), V)^C^tt{t)\\L'm\\U{t)\\lV\\L»n^^y
Отсюда Ви, g^L^iO, Т; L^/^{Q)) и, в силу предложения 1.2.2,
И6Ь"(0, Г; W^-^^^(Q))czL"(Qx[0, Г]). (3.123)
Из (3.123) и включения «€/-"(0, Т; V) легко следует (3.121). П
Замечание 3.8. Справедливо замечание о регулярности, аналогичное
замечанию 3.7.
Введение давления (п^4). Для того чтобы ввести давление,
положим
t t t
U{t) = \u{s)us, P(0=-S5a(s)ds, F{t)==\f(s)us.
0 0 0
Если и — решение задачи (3.17) —(3.19), то для любого /г^4
и, Р, /^€^([0, Т1Г). (3.124)
Интегрируя (3.18), находим, что
V {{U{t), V)) = <g it), vyyveV "it e [0, Г], (3.125)
где g[t) = F{t)-^{t)-u[t) + tt,, ff6 5f([0, Г]; V). Применяя
предложения I.I.I и 1.1.2, получаем, что для каждого ^6[О, Г]
существует функция p{t) G L^ (й), такая что — v ^U{t) + grad р {t)=
--git), или
a(t)-Uo-vAUit) + ^(t) + gTaup{t)=^F(t). (3.126)
Согласно замечанию 1.1.4, оператор градиента является
изоморфизмом пространства L^{Q)/R в H~^{Q). Замечая, что gradp =
g~vAU, мы заключаем, что gradp принадлежит i? ([О, Г];
Н~^ (Q)) и потому
ре^{[0,Т]; L^Q)). (3.127)
Это позволяет нам продифференцировать (3.126) в смысле теории
распределений в Q = Qx(0, Г); полагая
p = dp/dt, (3.128)
получаем
• п
^ - V Ди - £ н,./)^а + grad p=^f в Q. (3.129)

246 Гл. III. Эволюционные уравнения Нсшье — Стоках
В общем случае давление вводится как распределение на Q,
определяемое соотношениями (3.127) —(3.128). В предположениях
теорем 3.6 {п — 2) или 3.8 (/г = 3) применение предложения 1.2.2
показывает, что
peL^{0,T;H'{Q)). (3.130)
3.6. Связь между задачами о существовании и
единственности (я = 3). В предыдущих пунктах наше внимание было
сосредоточено на двух важных вопросах теории уравнений На-
вье — Стокса в трехмерном случае:
— единственность „очень слабых решений", т. е. решений,
существование которых гарантируется теоремой 3.1;
— существование „в целом" — и для любых данных—более
регулярных решений, например решений, существование которых
обеспечивается теоремой 3.4, или решений, существование
которых доказано при одном дополнительном ограничении в
теореме 3.7.
Для краткости вплоть до конца этого параграфа мы будем
называть слабыми решениями решения и задачи (3.13), (3.14),
такие что
u€L^O,T;V)nL°'{0,T;H) (3.131)
и поэтому (теорема 3.2)
U^L^'^O, Т; L*(^)). a'^L^'HO, Т\ V')\ (3.132)
сильными решениями —решения v задач (3.13), (3.14), такие что
выполняются условия (3.131), (3.132), и, кроме того,
veL»{0,T; ЬЧЩ). (3.133)
Согласно теоремам 3.1, 3.2, 3.4 и 3.7, мы знаем о
существовании, по не о единственности слабых решений и знаем о
единственности, но не о существовании сильных реигений (за
исключением отдельных весьма частных случаев).
Заметим, что слабые решения из теоремы 3.1 удовлетворяют-
энергетическому неравенству (3.47) (см. замечание 3.2):
t t
\а(t)|*+ 2v J\\a{s)f ds<IИоP + 2 S </(s), и(s)>ds
0 0
V^6[0, Г]. (3.134)
В силу теоремы 3.4, включения (3.78) и леммы 1.2, сильные
решения (если они существуют) удовлетворяют вместо (3.134)

§ 3. Теоремы существования и единственности (п^4) 247
внергетическому равенству
\v(t)\' + 2v\lv{s)\\-ds^\tt,\' + 2l<fis),v(s)->ds
о о
Vte[0,T]. (3.135)
Вопросы о единственности слабых решений и о существовании
сильных решений связаны между собой следующим образом.
Теорема 3.8. Пусть п = 3, и пусть
f^mO,T; И), а„6//. (3.136)
Если cyu^cmsyem решение v задачи (3.13), (3.14),
удовлетворяющее (3.131), (3.133) (т. е. сильное решение), то не сущстеует
никакого другого решения и этой задачи, удовлетворяющего (3.131),
(3.132) и (3.134) (т. е. слабого решения, удовлетворяющего
энергетическому неравенству).
Этот результат был доказан Дж. Сэзером и Дж. Серрином
(см. Серрин [3]).
Доказательство. Пусть и и г» —два решения, о которых
говорится в формулировке теоремы; и удовлетворяет (3.134), v
удовлетворяет (3.135). В приводимой ниже лемме мы покажем, что
t
{и it), t») + 2vS((«(s), t»(s)))ds = |«. р
о
+ \<f{s), u{s) + v{s)>us-lbi<w{s), w{s),v{s))ds,
(3.137)
где w = u—v. Сложим (3.134) и (3.135) и вычтем удвоенное (3.137)
из получившегося неравенства. После некоторых преобразований
придем к неравенству
t t
\w(t)\^ + 2v'\\\w{ fus^2'\b(w{s),w{s),v(s))us. (3.138)
о о
в гл. II, используя неравенство Гёльдера, мы вывели оценку
\b(w(s), w{s), v{s))\^Ci\\w(s)\\L,^a^|w{s)\\\\v{s)\\LUQ).
В силу леммы 3.5, мы можем оценить выражение справа
величиной
о, I W (S) \''* IW (8) II'/*IIV (S) it* (О) < VIIW is) ff

248 Гл. III. Эволюционные уравнения Наем — Стокса
Учитывая эту оценку, получаем из (3.138)
t
IW (t) 1^ < 2с4 I w (s) p I! V (s) |)i4 (Й) dx.
0
Так как функция ^i—»а(<) = 2Сз|г»(^)|'4(а) интегрируема (г»
удовлетворяет (3.133)), то неравенство Гронуолла дает
t
I да (^) р < 5 а (S) I да (s) р ds < 0.
Таким образом, да = и —1»==0. П
Остается доказать (3.137).
Лемма 3.6. Для и и v из теоремы 3.9 выполняется равенство
(3.137).
Доказательство. Пусть р g ® (R) — некоторая регуляризующая
функция, удовлетворяющая условиям р^О, р(—t) = p{t), p{t) = 0
при \t\~^\ и ^p(Od^=^l; пусть, далее, ре определяется
Равенна
ством ре(^) = (1/8)р(^/8). Всякой функции W, определснной на
[О, 7'], поставим в соответствие функцию да на R, равную W
на [О, Г] и О вне этого интервала. Используя (3.18), запишем
a' + vЛи + 5и=/на ]0, Г[, (3.139)
V' + MAv + Bv^f на ]0, Т[. (3.140)
После регуляризации получаем из (3.139)
-gj (»*Pe*Pe) = (/ —5Й—уЛа)*Ре*Ре на je, Т— &[.
(3.141)
Из (3.139) и (3.141) следует, что на ]8, Т — е[ "ьшолняются
следующие соотношения:
gj (г», tt » Р(, * pg) = <г»' tt * Ре * ре> + <г», и' * Ре * ре>
= </ —уЛг» —5©, a»Pe*Pe> + <f, (/—5» —уЛи)»Ре*Ре>.
Так как функция рр четная, имеем также
4(г», ае)=</—vЛг^—5г», u,>+<Ve.f—Bu—vAtt>, (3.142)
где ае = а*ре*ре, г»е = г»*ре*ре.
Теперь проинтегрируем (3.142) от s до ^ 8<s<^<7'—е; по-

§ 3. Теоремы существования и единственности (п < 4) 249
г — """■ ~~~ ~~
лучим
t
{v(t), tt^{t))-{vis), tte(s)) = S</(a), uAo) + Ve{o)>da
0
/
-vj{((t»(a), ae(o))) + ((fe(o)> tt{a)))\(la
s
/
- 5 \b(v{o),v{a), а,{о)) + Ь{и{а), u{a),Ve{a))} da. (3.143)
s
. в силу (3.131), (3.132) и (3.133),
йе-й в LfocGo, П; V) и miQo, т[; L*(^)), .о ,44^
Ve — v в Ll,QO,T[;V) и Llc{]0,T[- L^{Q)). ^- ^>
Теперь можно перейти к пределу в (3.143); мы видим, что для
почти всех S и t, О <.s <.t <,Т,
i
{V it), и it)) - {V (s), u{s)) + 2v S ((a (a), v (a))) da
s
= 5</(a), u{a) + v{opdo-l\biv{o), v{a), и {a))
s s
+ b{u{a), и {a), v{a))\da. (3.145)
Поскольку функция и слабо непрерывна в Н (теорема 3.1),
II функция V сильно непрерывна в Я (теорема 3.4), функция
ti—*-{u{t), v{t)) непрерывна и поэтому (3.145) имеет место для
ьсех S и t, 0^s<.t^T. Полагая s = 0 в (3.145), получаем
в точности (3.137), если заметить, что b{v, V, u) + b(u, u,v) —
b(tt — V,U,V)=b(U — V,U — V,V). П
3.7. Использование специального базиса. Если Q
—ограниченная липшицева область в R" {п = 2, 3), то в качестве базиса
н методе Галёркина (п. 3.2) можно использовать базис из собст-
11011НЫХ функций Wp введенный в гл. 1, п. 2.6. Это позволит нам
получить дополнительные априорные оценки решения и
некоторые результаты о существовании регулярных решений, немного
отличающиеся от приведенных в п. 3.5.
,4.7.1. Предварительные результаты. Нам будут полезны
следующие леммы.
Лемма 3.7. Пусть И—ограниченная область класса 1^^ в R." (п про-
шюольно). Тогда \Аи\ является нормой в пространстве V{\H^{Q),
эквивалентной норме, индуцированной из //^(Q).
Доказательство, Для u^V, f^L'^{Q) равенство
Ла=/эквивалентно равенству
((». »))-(/. V) Wv^V. (3.146)

250 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Рассматривая (3.146) как линейную задачу Стокса и применяя
предложение 1.2.2, получаем ЦигА/г;^) ^Сц |/|==Со| Ла|. Обратное
неравенство тривиально. П
Лемма 3.8. Пусть область QcR" (п = 2, 3) ограничена и
принадлежит классу 'ёК Если u^V(\H^(Q), то BukHc:U(^) и
\Bu\^Ci\tt\^i^\\u\-\AaYi^ для /г = 2, (3.147)
\Bu\^c,\\uf'^\AaY!' для п = 3. (3.148)
Доказательство. В случае п — 2 применяем неравенство Гёльдера
с показателями 4, 4, 2:
] Uf{DiUj)VfdX <|«;JLM«)|^^;«/(LMQ)|U/|i.MQ)-
Q
в силу (3.48)', правая часть ограничена величиной
с, I Ui |1/2 I grad Uf 11 grad D,h, | v^ | v, |,
откуд^а \b{u, u, v)\^Ct\a\^'^lulJulH'\n)\v\. Привлекая лемму
3.7, получаем (3.147). В случае л = 3 применяем неравенство
Гёльдера с показателями 6, 4, 12 и 2:
lluiiDiUyjv^dx <S|«,||D,«/|i/M0,«,|i/4t»,|^ ■
(а £3
< I ui It» (Q) I Diu, Il4Q) I D{Uf Iti'a) | v^ |t« (Я).
Согласно теоремам вложения Соболева, это не превосходит
Сб I "<• \нча) I 'D^Hy |//мо) I Vf \i2 (Q),
откуда \b{u, и, v)\^c^ia\\^/^\\ufilHQ)\v\, чем (3.148) и
доказано. П
3.7.2. Двумерный случай.
Теорема 3.10. Предположим, что Q —ограниченная открытая
область в R^ класса 'S^. Пусть заданы f и щ, такие что
«об Я, (3.149)
feL'{0,T;H). (3.150)
Тогда у задачи 3.2 существует единственное решение, которое
удовлетворяет, кроме того, следующим условиям:
VtU^lJ(0, Т; ЯМЙ))П^"(0, Т; V),
VTu'^L^{0,T; Н). (3.151)
' Неравенство (3.48), установленное для v^Ho(ii), верно также для
v£H'-{ii); коэффициент 2^'''' заменяется при этом некоторой константой
fi = c(ii2) (см. Лионе и Мадженес [1\),

§ 3. Теоремы суш/гствования и единственности (п < 4) 251
Вели »о€^. то
иеЬ^ (О, Т; Н' т П L°° (О, Т; У), а' g L^ (О, Г; Я). (3.152)
Доказательство. Начнем со случая u^^V. Рассмотрим опять
галёрки некое приближение, использовавшееся при доказательстве
теоремы 3.1. Функции Wj возьмем на этот раз те же, что ив гл. I,
п. 2.6, и предположим, что Uo^^SplWi, ...,w„]' выбраны так,
что Uom —* Ио сильно В V при ш—* оо. Соотношение (3.22) можно
,'111 писать в виде
(Um, w^) + {vAu^ + Bu„, Wj) = (f, Wj), 1^/^m. (3.153)
В силу (1.2.64),
({Wf, V)) = (AWf, V) = I, (Wj, V) Vv e V. (3.154)
Поэтому мы можем переписать (3.153) (после умножения на к^)
11 виде
((а;„ Wj)) + v((Au„, AWf) + (Bu^, Aw,)^(f, Aw,).
Умножая это равенство на gf (см. (3.21)) и суммируя по /=1,
..., т, получаем
\Tt\\uJf + ^\AuJ^-\-{Bu„, Aaj = (f, Auj. (3.155)
Из леммы 3.8 выводим, что
Tsll«'»li' + ^l^«'»l'<l/ll^««l+^il«'»l^''i«'»lll^««.l'''
Отсюда
±lu„f + v\AuJ^^^\f\^ + 2c,\uJ^\luJ\ (3.156)
В частности, полагая о^ (t) = 2с, | и„ (t) \^ \\ и„ (t) |^ получаем
id/dt)\\uj^^{2/v)\f\^ + ajuj\ В силу оценок (3.30), (3.31),
т
\ a^(t)dt ^ const —Cg. На основании леммы Гронуолла и (3.153)
заключаем, что
последовательность м„ ограничена в L°° (О, T;V). (3.157)
' Sp обозначает взятие линейной оболочки (от английского span).— Прим.

252 Га. III. Эволюционные уравнения Наем — Стокса
Возвращаясь к (3,156), имеем теперь
г г
ll««(7')IP + vfHa„pd;<||a„„f + -|-fl/N!5
г
о
таким образом, в силу (3.157) и леммы 3.7,
последовательность и„ ограничена в L* (О, Г; № (Q)).
(3.158)
Отсюда легко следует, что последовательность а„ сходится к
некоторому и, причем aei^°°(0, Г; K)nL2(0, Г;//2(Й)). Из
леммы 3.8 вытекает, что Bu^L* (О, Т; Н); с другой стороны, Аи^
^1Ц0,Т;Н) и, вследствие (3.18), и' ^f—Btt-vAtt^L^{0,T;H).
Тем самым для случая u^^V теорема доказана. В случае Uo^H
мы умножим (3.156) на t:
и получим, что последовательность \^Ти„ ограничена в L" (О, Т; V)
и в L^(0, Т; Н^{0.)). Предельный переход при т—*оо дает
первое включение (3.151); включение У^Ти' ^L^{0,T; Н)
устанавливается аналогично: в силу (3.147), Vta' = Vt{f—Bu — vAtt),
очевидно, принадлежит L^ (О, Г; Я). П
3.7.3. Трехмерный случай.
Теорема 3,11. Пусть Q—ограниченная открытая область в R'
класса '6^. Пусть заданные функции йо и f удовлетворяют условиям
UaeV,feL''{0,T;H). 13.159)
Тогда можно указать такое Г», что на интервале (О, Т»)суш/естеует
единственное решение и задачи 3.2; а именно, Т^=т\п{Т, Т^), где
Гf = 3/4c,(л^ (3.160)
^1 = 4 max ditto IP, 2N (f)Vc,,v^), ЛГ(/) = |/|^«(о. г:Я) (3.161)
Кроме того,
а € L" (О, Г.; 1^) П L' (О, Г.; Н' (Q)), (3.162)
и'^1Ц0,Т,;Н). (3.163)
Доказательство. Поступаем так же, как при доказательстве
теоремы 3.10, вплоть д® уравнения (3.155). Применяя лемму 3.8,

§ 3. Теоремы существования и единственности (п ^ 4) 253
получаем
2 d^"
^,i\AuJ' + ^\f\' + ^\AuJ' + cJu„,
Отсюда
d^ II -mil 1 • I '■-») I -^ V
Согласно лемме 3.7, | Лф| ^СюЦфЦ и'поэтому
^l«JP+Cf„v||aJi^<|
.4ll«.r + v|^flJ^<4i/(^ + 2cJ|aJf. (3.164)
i\\uJ^+CioЦuJf^^N{Л + 2cJuJr (3.165)
Теперь мы утверждаем, что
1|а„(0Г<(л, 0<i<ri, . (3.166)
при условии что II ttom II =^II''о |; ЭТО условие выполняется,
например, если Ug„-=P^U(i (проекция »„ (в V или в Н) на
подпространство, натянутое на Wi, ..., «>„). В самом деле, пусть
г = щах (^/2, |a„f). Тогда, согласно одному хорошо известному
результату Стампаккьи [1], функция г почти всюду
дифференцируема и dz/dt = 0, если \\u^f ^\i/2, и dz/dt = (d/dt)\\u„f в
противном случае. Следовательно, dz/dt ^2с^г'^, г(0) = (л/2, так что
1/(л2^4(1 — Ce^ix^)/^*,^^ 1/г2 для t^Ti. Мы заключаем, что
последовательность а„ ограничена в L°° (О, Г«; V), а значит, как и
выше, в L^ (О, Г«; //^ (Q)). Также и последовательность и^
ограничена в L^{0, Г»; Я). Предельная функция и является единст-
иенным решением задачи 3.2 на [О, Т»]. П
Замечание 3.9. Рассуждая непосредственно или переходя к нижнему пределу
1) (3.156), (3.164), можно показать, что
A|]«!P + vH«p^|-|/P+2c,|«P||«f (n = 2,0<t<T), .(3.167)
^l|«ll^ + vM«P<l|/|2 + 2e,|lK|i'' (« = 3, Q<t<T^). (3.168)
5.5. Частный случай /=0. Мы хотим показать, что для
/ ^0 течение стремится к состоянию покоя при t-^-oo.
Теорема 3.12. Предположим, что Q —ограниченная открытая
область в R" (я = 2, 3) класса 'ё^, Uq^V, а / = 0. Если п = 2,
/по и принадлежит L" (О, oo\V) и стремится к О в К при t —>- оо.
Если п = 3, то и принадлежит L" (О, Tj; К) П^'"(Т'з, оо; V) для
некоторых Т^ и Tg (О < Г, С^ Г,), оцениваемых снизу, и стремится
к Q в V при !? —»- -]г оо.

254 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Доказательство. Пусть и —некоторое решение задачи 3.2,
даваемое теоремой 3.1 (единственное при п — 2). В силу (3.47),
|a(OP + 2v5j(a(s)!Ms<|a„p Vi>0, .(3.169)
о
и из (3.167), (3.168) следует, что
|i;ap+c,„v||M|p^c„|ia!;^», (3.170)
где Cii = 2c, |а„|2 для п = 2 и 6,, = 2с, для п = 3.
Если для некоторого t^ мы имеем u{t.^)^V и норма |itt(<i)||
настолько мала, что
!ltt(^)P*"-"<vc,„/2c„-, (3.171)
то (d/dO|;tt(^)ir + (Wio/2)[a(ii)||^<0, так что после момента /j
норма |!й(011 будет убывать; более того, (3.171) остается верным
для любого <>/,, U^L'"(t^, оо;1/) и :!ц(/)||—*0 экспоненциально
при i —* + оо. Существование ^i, для которого выполняется (3.171),
вытекает из (3.169). Действительно, в противном случае мы должны
были бы иметь |И|| р > 2v^j (vc,o/2c,i)*/<"~'>, а это невозможно для
достаточно больших t^.
В случае п = 3 мы можем в качестве Т^ взять Tj из
теоремы 3.11. Или можно рассуждать непосредственно: (d/dO|lwF^
^Cnllall" дает \\u{i)ls^\\u,y(\-2c,,tlUofy^' для i < Т, =
= (2cii|a„|;n-*. D
§ 4. Другое доказательство существования
(с помощью полудискретизации)
Теперь мы приведем другое доказательство существования
слабых решений для уравнений Навье — Стокса, пригодное для
любой размерности пространства. С помощью полудискретизации
по времени строится приближенное решение, а зате.ч производится
переход к пределу, с использованием соображений компактности.
В п. 4.1 мы переформулируем задачу в виде, подходящем для
любой размерности, и сформулируем результаты о существовании;
в п. 4.2. описано построение приближенного решения; пп. 4.3 и
4.4 посвящены априорным оценкам и предельному переходу.
4,1. Формулировка задачи. Прежде чем приводить теорему
существования для более высоких размерностей, мы должны
переформулировать задачу о слабых решениях. Как и в стационарном
случае, при п > 4 форма b не является непрерывной трилинейной
формой на V и формулировки типа (3.10) —(3.14) не имеют смысла,
поскольку член b{u{t), u{t), v) в (3.13) может быть не опреде-

■ § 4. Другое доказательство существования 255
лен. Чтобы преодолеть это затруднение, мы снова введем (см.
Гл. II, п. 1.2) пространства V,:
V,-замыкание ЧГ в //'o(Q)n//M^), s>l. (4.1)
Пространства //J (Q) П//* (Q) и V, снабжены обычной гильберто-
1ЮЙ нормой из Н' (й):
ilttW^(Q) = i 2 \D^\A'" (s-целое). (4.2)
Очевидно (s^ 1),
l^.cK, (4.3)
причем вложение непрерывно и V^ плотно в V.
Форма b определена на VxYxV^, если s^n/2:
Лемма 4.1. Форма b является непрерывной трилинейной формой
на VxVxV^ при s>n/2, и
\b(u,v,w)\^c\u\\\vU'Oi>\\vs-' (4-4)
Доказательство. Для и, "О, w^T^ имеем, в силу неравенства
Гёльдера,
\Ь{и, -о, w)\ = \b{u, W, v)\
п
<, X l"/lb(Q)!l^<^/ll L''(K)!i^/li£2n/(n-2)
', /=I
(fi)
<(B силу вложения Hl(Q)c:L^"'<-''-^HQ))
n
I, 1 = 1
Так как s^n/2, TO Я''"^ (Q) вложено в L*(Q), где
\lq-^\l2 — (s—\)ln,q-^n. (4.5)
Если zugK^, TO DiWj принадлежит Я*~^(fil) и Li {Q). Поскольку
DiWj принадлежит LiiQ)[\L^{Q), то D/Wj^L^iQ) и Й^^ьУ/кж^, <
^Ci||zu|ii/ , так что
\b(u, V, lu) КCj I ц 11!Ф IP! ги||v^, (4.6)
Эта оценка показывает, что по непрерывности мы можем
распространить форму & с'^х'^Х^'^ на l/xKxK^ и даже на/yxVx V.S,
II силу (4.6). П
Лемма 4.2. Если и принадлежит L^(0, Т\ V)r\L°°{0, Т; Н), то
Ви принадлежит L'^(0, Г; У'^) для s^n/2.
Доказательство. Согласно определению В и оценке (4.4),
' Размерность—лю^ая, область Q может быть н неограниченной.

256 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
I<Ви(t), г»>I = IЬ(и(О, а {t), v)\-^c\u(t)\\\u(t)11|vjv^ V©61^.,
откуда
||Бй(0||^;<с|и(0|||»(01! для п.в. i€[0, Г]. П
Для любой размерности пространства мы можем дать
следующую слабую формулировку задачи Навье—Стокса.
Задача 4.1. Для заданных / и »„:
/6Z-M0, Т; V'), (4.7)
И„6Я, (4.8)
найти функцию и, удовлетворяющую условиям
цбР(0, Т; K)nL~(0, Т; Я), (4.9)
-^(и, v) + v((», V)) + b{u,u,v) = </, v>VveV,(s^n/2),
(4.10)
и(0) = »„. (4,11)
Если и удовлетворяет (4.9) и (4.10), то -тт<и, v> — <g, vy Vz^gK,,
где g=f—Bu — vAu. В силу леммы 4.2, Ви принадлежит
1^(0, Т; V's), и поскольку f—vAu принадлежит L^{0, Т; К'), то
geL40, Т; V's). (4.12)
Из леммы 1.1 следует тогда, что
tt'eL^O, Т; V's), v'=f-vAtt-Bu, (4.13)
поэтому и п.в. равняется некоторой непрерывной функции из
[О, Г] в V', и (4.11) имеет смысл.
Другая формулировка задачи 4.1 выглядит следующим образом.
Задача 4.2. Заданы f и и„, удовлетворяющие (4.7)—(4.8). Найти и,
такое что
ueLHO, Т; V)[]L-(0, Т; Н), u'eL'{0, Т; V's)(s^n/2),
(4.14)
u'+vAu + Bu==f на {О, Т), (4.15)
и(0) = и„. (4.16)
Формулировки (4.9)—(4.11) (4.14)—(4.16) эквивалентны.
Существование решений этих задач обеспечивается следующей
теоремой, из которой следует, в частности, теорема 3.1.
Теорема 4.1. Пусть заданы f ц ц„, удовлетворяющие {4.7)—(4.8).
Тогда существует по крайней мере одно решение и задачи 4.2.
При этом и является слабо непрерывной функцией из [О, Т] в Н.
Эта теорема доказана в пп. 4.2 и 4.3; утверждение о слабой
непрерывности непосредственно следует из (4.14) и леммы 1.4.

§ 4. Другое доказательство существования 257
4.2. Приближ:енные решения. Пусть Л/ —целое число, которое,
II дальнейшем мы устремим к бесконечности, и пусть
k^TlN. (4.17)
Сейчас мы рекурсивно определим семейство элементов из V,
скажем и", и', ..., и^, такое что и" будет в некотором смысле
аппроксимировать искомую функцию и на интервале mk <.t <.
<(" + !)*.
Определим сперва следующие элементы /^, ..., /^ из V':
mk
/"■ = 4 I f(t)dt, т=\ N;f"'^V'. (4.18)
(m-lift
Теперь положим
«" = «„ (заданные начальные данные). (4.19)
Если и", ..., а™"* уже известны, то определяем »"" как
элемент из V, удовлетворяющий соотношению
(a'" — a'"-^)lk + vAu'" + Ba'"=f'"; (4.20)
и™ зависит от k, но для простоты записи мы обозначаем его,
через ц™ вместо u'k-
Существование такого и"' гарантируется леммой 4.3,
доказательство которой мы отложим на конец этого пункта.
Лемма 4.3. Для каждого фиксированного k и каждого т^ 1 су-
Iцествует по крайней мере одно ц™, удовлетворяющее (4.20); кроме
того,
I цт |2 _ I ц«-1 |2 _|_ j цт _ д(Я -1 ]2 _|_ 2y^V ;) Ц™ IP < 2k </"', Я™).
(4.21)
Для каждого фиксированного k (или N) сопоставим элементам
ц', ..., и'^ следующие аппроксимирующие функции:
и,: [О, Т]-^ V, и,(i) = u'-,ie[{m-l)k, mk],
m = l N; (4.22)
Wj,: [0, Г]-Ч-Я, zUft —непрерывная функция^
линейная на каждом интервале [(m— 1)^, mk],
и zUft(тй) = а™, т = 0, ..., N. (4.23)
П п. 4.3 мы получим априорные оценки для этих функций,
а затем перейдем к пределу при k—>-0 (п. 4.4).
Доказательство леммы 4.3. Уравнение (4.20) должно
рассматриваться в пространстве, более широком, чем V', например в
пространстве V's, S ^ п/2. Оно эквивалентно следующему уравнению:
(а™, v) + kv({u'", v)) + kb{u'^, ц™, ■o)^<u"'-^+kf"',-o>
V© € l^^. (4.24)
f p. Темам

258 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Мы используем метод Галёркина, по существу точно так же, как
в теореме II. 1.2. Выберем какую-нибудь последовательность
линейно-независимых элементов w^,'..., ги,-, ... из V^, тотальную
в Vs, а поэтому и в V. Применяя лемму 1.4, получаем, что для
каждого г существует такой элемент ср^ (зависящий от г, k, т),
что
^r-Y^b,rW,, (4.25)
t= 1
^KW^-^ + kf", ■0>V©GSp(zUi, .... w,). (4.26)
Теперь нам надо получить не зависящие от г априорные оценки
и перейти к пределу при г—>-оо (k и т фиксированы). Беря
г» = Ф;. в (4.26), приходим к равенству
(Ф.-и--', Ф,)-f *©IIф.Г = *</", Фг>- (4.27)
Далее,
2{а-Ь, а) = \а\'-\Ь\^-\а-Ь\^Уа, Ь^Н, (4.28)
поэтому из (4.27) следует, что
|ф,|^ + |ф,-и'»-Ч'-2Ь||ф,|р = |и'»-Ч^ + 2й</», ф,>
<1и'»-'Р + 2й|/"'11к'!Фг1
<|и"'-^p+vй||ф,|p-f(й/v)||/"'|l^,. (4.29)
Отсюда
|ФгP + |Фr-и'"~Ч' + Ь||ф,||2^|и'»-Ч^+(*/v)||/'»i|^.(4.30)
Неравенство (4.30) показывает, что последовательность ф,
ограничена в V, Поэтому мы можем извлечь из нее
подпоследовательность фг', такую что
фг—►ф слабо в V при г'—<-оо. (4.31)
Используя стандартные рассуждения, переходим затем к пределу
в (4.26) и доказываем, что ф—»" удовлетворяет (4.24).
Остается установить (4.21). Это было бы очевидным, если бы
мы могли положить v = u'" ъ (4.24); поскольку, вообще говоря,
^^m^^s^ "^ь! поступим иначе, а именно перейдем к нижнему
пределу в (4.29) (заметим, что норма полунепрерывна снизу в слабой
Топологии): |фр< Ит|фг'|«, IIф 11»< Ит IIфг'|р. П

^ § 4. Другое доказательство существования 259
4.3. Априорные оценки.
Лемма 4.4. |a'»p<di, m=l, .... N; (4.32)
N
2 |a'»-a'»-4''<di, (4.34)
m=l
еде di зависит только от данных:
т
dr = \Uo\' + ^'^lf(s)fv'us. (4.35)
о
Доказательство. Как уже отмечалось в доказательстве леммы 4.3,
мы не можем скалярно умножить (4.20) на W", по крайней мере
для п>4 {Bu'"^V'). Роль уравнения, которое мы получили бы
после этой процедуры, будет для нас играть (4.21).
Оценивая правую часть неравенства (4.21) величиной
2kll/™ 111/' II W" II < ^v 11 ц" li'' + {k/v) II/"» \P', получаем
|ц'»,2-|»'»-ЧЧ-|и'"-и'""М' + *^||ц'»|р<|-|1/'»|^, (4.36)
m=l, ..., N. Суммируя неравенства (4.36) для m=l, ..., N,
находим
N N
|и^|'+ Ц jw™—a^-'p + v* X. 11 и" 11'
m = l m=l
<l«oP+vLi/''lfv"- (4.37)
Суммируя неравенства (4.36) для m = l, ..., г и отбрасывая
члены вида IW'f, получаем
|и'1^ <l«oP + 4i; W^P <|ИоР + 4 L i/^fv". (4.38)
/n = ! m=I
г==1, ..., N. Лемма вытекает теперь из (4.37)—(4.38) и оценок
правых частей этих неравенств, даваемых следующей леммой. П
Лемма 4.5. Пусть/'" определено формулой (4.18). Тогда
k XWf'l^'^lWfWfvAt. (4.39)

260
Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Доказательство. В силу неравенства Шварца,
тк ш тк
J fit) At <1 J wfm^t.
WMv-
1
(m-l)ft V' (m—i)ft
Суммируя эти неравенства по m= 1, ..., N, приходим к (4.39). П
Получим последнюю априорную оценку:
N
Лемма 4.6. Сумма k 2^ т—
т = \
Доказательство. Из (4.20) вытекает, что
^^ ограничена равномерно по k.
Ни:»
- и™-! ||2
,;<с,{|/'"1Г,<+||и-|Г, + ||Ба'»|у.
В силу (4.4) и (4.32), ЦВи-» 1^,^-<с,! ц™ рЦ и-»f ^ cjj ц"f,
Следовательно,
N N
*L -
— И"
m = I
'^^^..^Zdi/^if^'+N^f)-
m = l
Применение оценки (4.33) и леммы 4.5 завершает доказательство.П
Представляет интерес проинтерпретировать изложенное выше
в терминах аппроксимирующих функций:
Лемма 3.7. Последовательности и^ и w^ ограничены в L^ (О, Г; V) П
ni-°°(0, Т; Н), последовательность wii ограничена в D (О, Т; V[) и
Ui^ — W^-^O в L^(0, Т; Н) при k-^oo. (4.40)
Доказательство. Оценки для и^^ и ги^ —это просто другая
интерпретация оценок (4.32)—(4.33) и леммы 4.6; (4.40) следует из
(4.34) и приводимой ниже леммы. П
Лемма 4.8. | и^—zu^Ilmo, т-. щ=у —{ 2 [и™ —и""' р] .
Доказательство. Имеем
Wk{t)-Uk{t)=^~^{a'"-u'"-^)Ann (m-
mft
J |zUft(0-«*(0N;=|-|»'"-»'»-4'-
(m-I) *
Суммируя, получаем (4.41). Q
\)k:
(4.41)

§ 4. Другое докааателктво существования 261
4.4. Предельный переход. Согласно лемме 4.7, мы можем
Извлечь из Mfc подпоследовательность itk', такую что
Uk—u слабо в ЩО, Т; V) и *-слабо в L" (О, Т; И).
(4.42)
Мы хотим показать, что и является решением задачи (4.14) —
(4.16); для того чтобы перейти к пределу в (4.20), нам
необходим результат о сильной сходимости и^. Функции w,, будут играть
полезную вспомогательную роль.
Мы можем выбрать подпоследовательность k'', такую что '
Wk- —^ и* слабо в L^ (О, Т; У) и *-слабо в L" (О, Т; Н),
(4.43)
-^ — и: слабо в L^ (О, Т\ V',). (4.44)
В силу (4.40), а = и^. Из теоремы 2.1 следует, что
Wk'-*u в L^ (О, Г; Я); (4.45)
поэтому, снова в силу (4.40),
Uk--*u в L2(0, Г; Н). (4.46)
Уравнения (4.20) могут быть интерпретированы так:
, ^ + Д„, + В„,=/„ (4.47)
где
f^(t)=f'", (m—l)k^t<mk, m=l, ..,, N.
Вследствие (4.42), (4.46) и лемм 3.2 и 4.2 BUk'—*-Bu слабо
в L^(0, Г; V's). Согласно приводимой ниже лемме 4.9, f^—*f
» L^{0, Т; V'); поэтому мы можем перейти к пределу в (4.47),
Получим и' +\Au + Bu=f. Из (4.43), (4.44) и леммы 4.1
вытекает, что
<W,(t), а>-*<й(0, а> VaeV'V^e[0, Т].
Поскольку Wk' (0) = а„, получаем й(0) = й„.
Мы показали, что и удовлетворяет (4.14)—(4.16). Итак,
доказательство теоремы 4.1 будет завершено, как только мы докажем
следующ,ую_ лемму.
Лемма 4.9. Д—/ в L^{0, Т\ У'-) при k-^0. (4.48)
Доказательство. Заметим, что отображение f^—^-fi, является ли-
m.'ii)ibiM усреднением в L*(0, Т\ У); 3to отображение непрерывно
' Строго говоря, если Щ^У, то Wj (06*^ Д-"^ Q<t^k; в этом случав
MI.I просто заменяем i,*(0, T\V) на Lfoc ([О, Г]; V) всюду, где появляются
функции Wji.

262 Гл. 111. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
по лемме 4.5, и это позволяет нам заключить, что
\\fk\\L'iO.T;V)<\\fkuO.T:V'). (4.49)
Поэтому достаточно доказать (4.48) лишь для / из некоторого
плотного подпространства в L*(0, Т\ V'); для / из ^([0, Т]; V')
этот результат элементарен, и мы опустим его доказательство.Q
Замечание 4.1. Суммируя равенства (4.21) для т—1, ..., г и отбрасывая
члены [и™ — и'"~Ч^ получаем
г г
1и'-р+2Ь 2 ||и'»||2<;|ио|2+2й 2 </"■ «">• С'-^О)
Это неравенство можно интерпретировать так:
l«ft(0P + 2v J ||Hft(s)IPds<lH„p+ J </j(5), Hft(s)>ds. (4.51)
0 0
где
fi: = {m+l)k для mk<.t < (m-\-\)k. • (4.52)
Для каждого фиксированиого ( значения И^ (<) ограничены в Я равномерно
по k; при fe' —»• О последовательность В]^. {() слабо сходится к а (/) в V';
поэтому'
u^,(t)-^a(t) сла^о в Я при ^' — О v<610, Г]. (4.53)
Затем мы переходим к нижнему пределу в (4.51) (/ фиксировано, к'—► 0),
используя (4.42) и (4.53). Это приводит к следующему энергетическому
неравенству:
t t
|H(/)P+2v J||H(s)|Pd5<;|H„p + 2 J</(5), H(s)>ds. v^eiO. T]. (4.54)
0 0
в случае n = 2, используя (3.62) легко непосредственно доказать
энергетическое равенство
t t
l«(OP+2vJ||a(s)|pds = lHoP + 2 J</(s). u{s)>us\/te\0, T].
0 0
(4.55)
§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса.
Общие теоремы об устойчивости и сходимости
Этот параграф посвящен общему обсуждению дискретизации
эволюционных уравнений Навье—Стокса. Здесь мы рассма.три-
ваем полную дискретизацию этих уравнений, одновременно по
пространственным и временной переменным:
' Доказательство от противного.

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 263
— Дискретизация по пространственным переменным
осуществляется путем введения какой-нибудь внешней аппроксимации
пространства V, например одной из аппроксимаций (АПР1) —
{АПР4), соответствующих конечным разностям либо конечным
элементам. Эти конкретные примеры более подробно разобраны
в работе Темам [9].
— Для дискретизации по временной переменной мы
предлагаем, кроме многих естественных и классических схем, четыре
двухслойные схемы (полностью неявная схема, схема Крэнка —
Николсопа, схема неявная в линейной и явная в нелинейной
части уравнений и схема явного типа).
После описания схем, подлежащих рассмотрению, мы
приступаем к изучению устойчивости этих схем. Под задачей об
устойчивости в численном анализе понимают задачу о получении
априорных оценок для приближенных решений. Классическая
дискретизация одновременно по временной и пространственным
переменным может приводить к неустойчивым или условно
устойчивым схемам: приближенные решения неограничеиы, если
параметры дискретизации не удовлетворяют некоторому ограничению.
Мы обсудим во всех подробностях численную устойчивость
четырех упомянутых выше схем. Насколько иам известно,
используемые здесь методы не являются традиционными при исследовании
устойчивости нелинейных уравнений. Изучение нелинейной
неустойчивости— задача сложная; наше исследование, основанное
на энергетическом методе, дает только достаточные условия
устойчивости; полученные условия устойчивости представляются
близкими к необходимым, однако проблема нахождения необходимых
условий устойчивости в книге не рассматривается.
Последняя тема этого параграфа — сходимость схем. В
подходящих пространствах доказываются две общие теоремы сходимости
для различных схем. Доказательство сходимости основано на
дискретных аналогах теорем о компактности. Из-за отсутствия
единственности слабых решений в трехмерном случае результаты
о сходимости в двух- и трехмерном случаях различны и лучше,
конечно, для п = 2.
Распределение всего этого материала по пунктам таково.
В п. 5.1 описаны основные типы дискретизаций и численных
схем, которые будут изучаться. В пп. 5.2—5.4 мы
последовательно изучаем устойчивость схем 5.1 и 5.2 (п. 5.2), 5.3 (п. 5.3)
и 5.4 (п. 5.4). Пункт 5.5 посвящен вспомогательным априорным
оценкам технического характера (в которых фигурируют
дробные производные по времени от аппроксимирующих функций).
В п. 5.6 приводятся предположения о согласованности,
формулировки общих теорем о сходимости и доказательства этих теорем.
Приложением этих результатов к случаю различных
конкретных аппроксимаций пространства V мы займемся в § 6. Там же

264 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
МЫ рассмотрим практические методы решения дискретных зад;гч
(описание некоторых практических примеров дано в приложении 11).
В § 7 и 8 будет излох'ен ряд других методов аппроксимации
нелинейных эволюционных уравнений Навье —Стокса, в том числе
метод дробных шагов (или проекционный) и метод искусственной
сжимаемости.
Начиная с этого места, мы ограничимся „реальными"
размерностями пространства, п = 2 и n — S.
5.1. Описание аппроксимирующих схем. Итак, мы будем
иметь дело с аппроксимацией решений уравнений Навье—Стокса
исключительно в двух- и трехмерном случаях и лишь для
ограниченных областей Q. Ради простоты мы предполагаем, что
данные /, Мо удовлетворяют условиям
/€LMO, Г; Щ (5.1)
и, как и выше,
И„6Я. . ■ (5.2)
Теоремы 3.1 и 3.2 говорят нам, что у задачи 3.2 существует
единственное решение, если « — 2, и по крайней мере одно
решение, если п = Ъ.
Пусть задана некоторая устойчивая и сходящаяся
аппроксимация пространства V, скажем {(V^^, р^, '■д)лбЖ, (ш, F)};
предполагается, что Vti — конечномерные пространства. Это может быть
любая из аппроксимаций (АПР1)—(АПР5), описанных в гл. I.
Для простоты мы допустим, что
VftC:LH^)Vfte.%; (5.3)
это условие выполняется для всех указанных выше
аппроксимаций. Пространство Vц снабжено, таким образом, двумя нормами:
нормой 1 • |, индуцированной из L^ (Q), и своей собственной
нормой \\. Поскольку уf^ конечномерно, эти нормы должны быть
эквивалентны: их отношение ограничено константой, которая
может зависеть от h. Более точно, мы предположим, что
1«лН;^о:|и!|, Уи.е^л, (5.4)
где do не зависит от h, и
l«A<S(/i)|«JV«,eV;,. (5.5)
Константа S{j\), которая, как правило, действительно зависит
от h, играет важную роль при изучении устойчивости численных
аппроксимаций. По этой причине S(/i) называют иногда
константой устойчивости. Обычно S (ft) —»■ -f- оо при Л —»• 0.

§ 5. Дискретизация уравнении Навьг — Стокса 265
Пусть на Vf^ задана непрерывная трилинейная форма
A/J ,U/i, v^, W/i), удовлетворяющая условиям
&л(Ил- «'л. «'/,) = О Уид, Vf,^V^, (5.6)
(5.7)
{dj не зависит от h) и ряду дополнительных условий, которые
будут накладываться по мере надобности (при исследовании
устойчивости и сходимости схем). Разобьем интервал [О, Т] на
N частей длины k:
k = T/N. (5.8)
Как п в § 4, для данного k сопоставим всякой функции /
элементы /1, ..., f^:
mk
f^^T I f{t)<it, ni^l, ..., N-f^^L^Q). (5.9)
(m-l)*
Из большого числа интересных схем, предложенных для
уравнений Навье — Стокса, многие из которых уже стали
классическими, мы опишем и изучим четыре основные схемы.
Для всех четырех схем мы рекуррентно определим для каждого
Л и каждого k некоторое семейство элементов ul, .. •, Uh из V^.
В действительности эти элементы зависят от Л и fe (и от данных),
и их следовало бы обозначать через и^г; однако для простоты
мы не будем подчеркивать в записи эту зависимость.
В каждой из четырех схем мы начинаем рекуррентный
процесс с
г^л = (ортогональная проекция в L^(Q) функции м„ на V^^);
(5.10)
ввиду (5.3) это определение имеет смысл. Отметим сразу, что
|«S|<i«o|V/i. (5.11)
Схема 5.1. Если Мд. •••. "JT"* уже известны, то в качестве uli^
берется решение в V^ уравнения
1.{а^-иГ\ v^) + v{{u^, v^))^ + b^{ar\ «IT, v^)^
= {/"•. V,) Уv,^V,. (5.12)
Схема 5.2. Если а%, ..., Ил'~^ уже известны, то в качестве и'н
берется решение в V^ уравнения
+ \Ь^{иГ\ иГ' + К, v^) = (/«». «д) УодбV*. (5.13)

266 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Схема 5.3. Если и\, .. ., tth~'' уже известны, то в качестве Пн
берется решение в Vf^ уравнения
= (/"•, г»*) Vir, 6 V;i. (5.14)
Схема- 5.4. Если ul, • • •, иГ"* уже известны, то в качестве ий*
берется решение в V'j, уравнения
= (/;,",«'») V^ft€V;i. (5.15)
Для всех этих схем уравнение, определяющее vC^i, эквивалентно
линейному уравнению вида
%«. «'а) = ^л(^л) ^г»й€^й, (5.16)
где Lf^ зависит от т, а Яд, зависит от т для схем 5.1 и 5.2 и не
зависит для схем 5.3 и 5.4.
Ясно, что во всех четырех случаях
a^{Vn,v„)^k-^\v^,\\ (5.17)
поэтому существование и единственность решения задачи (5.16)
вытекают из проекционной теоремы (теоремы 1.2.2).
Замечание 5.1. (i) Вычисление ил* требует обращения соответствующей матрицы;
для схем 5.1 и 5.2 эта матрица положительно-определённа, несимметрична и
зависит от /п; для схем 5.3 и 5.4—положительно-определенна, симметрична
и не зависит от т.
(ii) Схема 5.1—это стандартная полностью иеявиая схема; схема 5.2
представляет собой интерпретацию классической схемы Крэнка—Николсоиа.
Схема 5.3—это частично неявная схема, а именно неявная только в линейной
части оператора.
(in) Схема 5.4 является явной или, точнее, некоторой модификацией
явной схемы, поскольку в схемах явного типа BJf находится без обращения
какой-либо матрицы, а в нашем случае из-за дискретного аналога условия
diVH=0, фигурирующего в определении пространства Vf^, определение иЙ*
необходимо связано с обращением матрицы. Это обстоятельство существенно
ограничивает интерес к этой схеме, но мы тем не менее считаем ее достаточно
интересной.
(iv) Помимо этого обсуждения типов схем см. § 6, где описаны
практические методы вычисления ил^.
Замечание 5.2. Некоторые родственные схемы, (i) Схемам 5.1 и 5.2 родственны
их нелинейные формы:
Схема 5.1' L{u'R—uf-\ ■Pa) + v ((нГ, ■Он))н
+ 6ft Каи, иР, ■Pft) = (/'», ©ft) vi-Ae ^ft• (5.18)

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 267
Схема 5.2'. ^{иЧ}-иГ\ 1Га)+|{(аГЧий', vh))h^\ &а(иГЧи".
t^~'+ttf, Vh) = if'", Vh)^Vh^Vh. (5.19)
(ii) Схеме 5.3 родственна схема Крэнка—Николсона, неявная в ее
линейной части:
Схема 5.3'. 1(иГ-н^-', 1»*)+^((иЯ-ЧиГ. ^н))н
+ bh(u-"-\ а-»-!, ■Рл) = (/'". "*) V»a€^'a- (5-20)
(iii) Эти схемы могут быть исследованы теми же методами, что и схемы
6.1—5.4.
6.2. Устойчивость схем 5.1 и 5.2. Наша задача —доказать
некоторые априорные оценки для приближенного решения.
5.2.1. Схема 5.1.
Лемма 5.1. Решение uf задачи (5.12) остается ограниченным в
следующем смысле:
\K\^^d„ m = 0, .... Л^, (5.21)
^\a'^-ur^V<d„ (5.22)
т = \
N
I
kY.\\un<\d„ (5.23)
m=I
еде
■у ^
d. = |«„|44-il/(s)Ns. (5.24)
Доказательство. Полагаем г»;^ = иУ в (5.12). Вследствие (5.6) и
тождества
2(а-6, а) = |ар-|6|^ + |а-6р Va, b^Ui^^) (5.25)
имеем
= 2(/'», иг'Х2/г|/»|1мй'1<(в силу (5.4))
<2fed„I/'»I||Kg'L <bl|ag'g + (^dS/v)|/'»^ (5.26)
Отсюда
\иП-\пГ'\^Л-\и1-иГ'\^^Щиг%<.Щ-\Г''\\ (5.27)

268 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
т=^1, ..., Л^. Суммируя эти неравенства по т=1 N,
получаем
N
I и/Г р + ZI »;г-йГ1^+^v XII И?"!
m=l m=1
kdo
ttSI^+^Zl/"P- (5-28)
msl
Как И В лемме 4.5, можно проверить, что
N
Т
feS l/"P<Sl/(s)|«ds; (5.29)
m=l о
поэтому ИЗ (5.11) и (5.29) следует, что правая часть (5.28)
ограничена константой
da = l«ol' + ^Jl/(s)Ns. (5.30)
о
Тем самым доказаны (5.22) и (5.23). Теперь просуммируем
неравенства (5.27) для т—\, ..., г; отбрасывая некоторые положи-
г
тельные члены, получаем \Uh\^^\ul\^ + {к(Д/\) ^ \f"'\'^ ^d^
mssl
(в силу сказанного выше); (5.21) также доказано. П
5.2.2. Схема 5.2.
Лемма 5.2. Решения uf задачи (5.13) остаются ограниченными
в следующем смысле:
|и;Г|'<^г, т=\, .... N, (5.31)
N
т= 1
еде da mo же, что и в (5.24).
Доказательство. Положим г'д, = м^4-и™~' в (5.13). В силу (5.6),
|<l^-l«r'l^ + 2fevKC+«r')/2||^ = ^(/'», < + иГ')
<2Ы„l/"'|i|(иГ+иr^)/2|iA<H(иГ+иr^)/2|i+/г(tй/v) I/" 1^
(5.33)
Поэтому
I ий* Р + Ь ||(и^ Ч- <-')/21^ ^ 1 и?-^ р + (Wg/v) I f- \\ (5.34)
Суммируя эти соотношения для т=1, .., N, получаем
«.+«ft_i^iE.^ (5.32)

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 269
(но тем же соображениям, что и выше); тем самым (5.32) дока-
, зано; суммируя теперь соотношения (5.34) для т=1, ...,ги
опуская ненужные члены, находим
г
ш = 1
откуда следует (5.31). Q
5.2.3. Теоремы об устойчивости. Сначала напомним определение:
Определение 5.1. Бесконечное множество функций S называется
LP (О, Т\ Х)-устойчивым тогда и только тогда, когда оно является
оераниченным подмножеством в Lp {О, Т; X).
Представляет интерес вывести некоторые результаты об
устойчивости из предыдущих оценок. Чтобы сделать это, введем
аппроксимирующие функции и^:
а^: [0,Т]-.У^, (5.35)
ttn{t) = Uh, {m—\)k^t <.mk (схема 5.1),
(5.36)
«ft{t) = {К + «ft'~^)/2, (m—l)k^t<mk (схема 5.2),
m = l, ..., N. В силу 5.1 и 5.2,
sup I Ил (OK/4. (5.37)
т
..' IWu^mdt^dJv. , , (5.38)
о
Поскольку операторы продолжения p^^^^{Vf^, F) устойчивы,
мы имеем
IPhfthlF^d^lUh'ln Va^eV^A (4 не зависит от h). (5.39)
На основании (5.38) заключаем, что
т
liPnUnimut^didjv.
о
Эти замечания позволяют нам сформулировать следующую
теорему об устойчивости;
Теорема 5.1. Функции и^, h^,9C, соответствующие схемам 5.1 и
5.2, безусловно L°° (О, Т; £'■* (0.))-устойчивы; функции р^и,, безусловно
JJ{0, Т; руустойчивы.
Замечание 5.2. Оценка (5.22), как и некоторые аналогичные оценки для
других схем, которые мы дади.ч позднее, не имеет отношения к результатам об
устойчивости, но пригодится при доказательстве сходимости схемы. По поводу
«палогнчной оценки для схемы 5.2 см. п. 5.4.3.

270 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
5.3. Устойчивость схемы 5.3. Из (5.5) и (5.7) вытекает, что
< d^S' {К) I и J • 1 Ил \н I v^ I Уй;,, Vn е Vft. (5.40)
Иногда эту оценку можно улучшить, и это приводит к
существенному ослаблению некоторых ограничительных условий
устойчивости, о которых пойдет речь позднее в этом параграфе; имея
это в виду, запишем
1Ьа(Ил. «а. v^)\<,Si{h)\nn\\\uJAv„\'^u^, v^^V^, (5.41)
где, во всяком случае,
Sj (h) < diS^ {К). (5.42)
5.3.1. Априорные оценки.
Лемма 5.3. Предположим, что k и h удовлетворяют условиям'
kSl{h)^d', kS^{h)^d", (5.43)
где d' и d" — некоторые константы, зависящие от данных {их оценки
будут даны по ходу доказателы:тва). Тогда и'^, задаваемые
уравнением (5.14), остаются ограниченньши в следующем смысле:
lK?|<d„ m = 0 N, (5.44)
S 1и?-иГЧ'<^4. (5.45)
k 2 \\mi<^d„ (5.46)
где d^ —константа, зависящая только от данных, d' и d".
Доказательство. Запишем (5.14) с Vf^ = u^h• Используя опять (5.25),
получим соотношение
:=-2kb„(ur\ аГ\ u'S) + 2k{f", иП (5.47)
В силу (5.6), правая часть (5.47) равна —2kb^(uff~^, и?"',
«h'—Ил'~^) + 2/г(/'я, иЧ^У, это выражение не превосходит (см. (5.4)
и (5.41)) 2/г51(/1)|йГЧ11«ГМл1и/Г-»*ГМ + 2Ы„|/'»1|ийЧ!„ а
значит и fevi| и Д+2/г^5КЛ)| иГЧ'\ ur^'й+(lm\af^-ttГ'\'+W/v)\f'-\\
Поэтому
- 2k'Sl (h) I иГ' \' 1 «Г^ i < {kdlM i/"" 1^ (5.48)
' Практически одно из приводимых ниже двух условий всегда является
следствием другого (какое именно, зависит от значений S и Si).

§ 5. Дискретизация уравнений Наем — Стокса 271
Просуммируем эти неравенства для т==1, ..., г:
г г
m =1 m = l
-2k^S\ (ft) 2 1 <-^ 1^ II иГ' \l < K^ (5.49)
■■^„ = I К1^+^ L 1/» P + 2k^S\ (h) I »g 1^ I ttlIIL (5.50)
m =1
Предположим, что
2^Sf (ft) )кд, ^ V — б для некоторого б, О < б < v. (5.51)
Если это неравенство выполнено, то по индукции легко
доказать, что
г г
Iи' I' + Т X I«"-«"-'Р + *6 Ц IIиг*! <^. (5.52)
m=l m = l
r = l, ..., Л/. В самом деле, неравенство (5.48), записанное для
т= 1, показывает, что (5.52) верно для г —I. Допустим, что (5,52)
верно для г—1, и покажем, что оно верно и для г. По
предположению,
iWUl'^^k^^kN, m=l r-l. ("..БЗ)
Поэтому, в силу (5.51),
^й^suft)i: \ur'\'\\ur4<2k'S\{h)XN 1 ^iur'k
m=2 m=2
<2A:^S?(ft)?./v i luP%<k{v-6) i-jJCI.
m=l m = l
Подставляя эту оценку в (5.49), получим (5.52). Доказательство
будет завершено, если мы покажем, что из некоторого условия
типа (5.45) следует (5.51). Согласно оценкам, использовавшимся
в леммах 5.1 и 5.2 (см. (5.11), (5.29)),
о
<(см. (5.5) и (5.24)) с1, + 2к'81{к)8ЦН)\ио\К
(Следовательно, если (5.43) выполнено, то 2kSl(h)kfl/
*^ 2d'(dj+Sd'd-1 и„ р), а правая часть не превосходит v —б, если
d' и d" достаточно малы:
2d'(dj + 2d'd"i»„|?Xv-6. D (5.54)

272 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса ■
5.3.2. Теорема об устойчивости. Для схемы 5.3 мы определим
аппроксимирующие функции Ид так:
tiH{t)=-uf, {m—\)k^t<mk, m — l Л^. (5.55)
Из (5.39), (5.44), (5.45) вытекает, что если выполняется (5.43), то
г
sup lu^OKKdl, [\\p^af,(t)§ut^d,d,.
teio.n о
Таким образом, верна
Теорема 5.2. Функции Uf, и Pf,Uf„ h £ Ж, оттчаюище схеме 5.3,
соответственно L°°(0, Т, L*(Q))- и L*(0, Т; Р)-устойчивы, если к
и h удовлетворяют условиям (5.43).
Определение 5.2. Условия типа (5.43) называются условиями
устойчивости. Они являются достаточными для устойчивости
схемы. Схема называется условно или безусловно устойчивой
в зависимости от того, появляются в доказательстве ее
устойчивости такие условия или нет.
5.4. Устойчивость схемы 5.4.
5.4.1. Априорные оценки.
Лемл^а 5.4. Предположим, что к и h удовлетворяют условиял.
feS2(/2X(l—6)/4v для некоторого б, 0<б< 1, (5.об)
kSt{h)^v8/8d^, (5.57)
где
т
Тогда ий*, задаваемые уравнением (5.15), остаются ограниченными
в следующем смысле:
|игР<4, т = 1 Л^, (5.59)
N
*2 l!«?l<2d./6v, (5.60)
/n=l
2 \и^-иГ p<(d,/6)(2-6) + 4r\|/(s)Ns. (5.61)
m=l
Доказательство. Заменяя v^ на Uh^ ^ ^ (5.15) и используя
тождество
2{a-b, ft) = |ap-|ftp-|a-^r- Va, 'j^L\Jj, (5.62)

§5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 273
находим
I И,? Г -1 <-' I"" -1 И? - иГ' р + 2kv II иГ' I
==2k (/'», ut) < 2Ы„ 1/" III и?i; ^ v/fe ;| uf ||й + ^ 1/" Г.
|tt^|2_|„--4^_|„-_„--42^A;v|K-4g<^|/»l.(5.63)
В отличие от (5.26) здесь член \u'h—U'h~^Y входит в левую часть
со знаком минус, и поэтому мы вынуждены его оценить. Для
того чтобы это сделать, запишем (5.15) с v^ = а'н — a1l~^. Это дает
21 u'R- аГ-' 1^ = ~2kv({ur\ uf - и^Г-'))^
-2kb^{u'S-\ af-\ U^-ur') + 2k{f'", К-иГ^). (5.64)
Последовательно оценим все члены в правой части, используя
(5.5), (5.41) и неравенство Шварца:
-2kv {{ur\ ttf - аГ'))н < 2Ь ;| иЦ-' 11К - иГ' 'к
^2kvS{h)\\ar"U\u^S-ur'\n
< 11 <- <-' 1,1 + W^'S-^ {К) II иГ'Ь
" —2кЬ^{иГ\ К~\ и-^-иГ')
< 2kS, {h) 1 иГ' 111W^-' \п I <- иг"^' I
<\\uf-urr + ^k'Sl{h)\ur'\'\\ttr4l;
2k{f", и2'-иГ')<2^:|/»||и;Г-иГЧ
Таким образом, из (5.64) следует, что
I Uh - Ий"' I' < 4/fe^v2S-^ (/г)II ий""' %
+4fe^SU/i)|«r4M«r'iH-4fe4/"'r<(B силу (5.56))
< A;v (1 - 6)1; иГ' % + 4*^5,^ (/I) I ИХ-' I' 1 иГ'\1 + 4А;^ 1/"" h
(5.65)
поэтому (5.63) дает
W1^ -1 и?-' Р + fe (vS-4feS? (/I) I <-' p) IIИ?-' |||5
<k{^^ + ^k)\f-\^^k(j^^^T)\f-Y (5.66)
(поскольку k^T). Суммируя эти неравенства для m=l, ..., г,
получаем
I и;. Р + ^ 2 (v6 - ikSl [h) I «2"' r^) II аГ' [^ < i^n (5.67)
m = l

274 Гл. 111. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
где
\^г=\а1\'+к(^ + Ат) £ \f-t (5.68)
Используя (5.57), докажем теперь по индукции, что
г
|KU== + xZll«^-MK<t^r. ^=1 ^- (5.69)
Прежде всего заметим, что
7
о
Для г = 1 неравенство (5.69) очевидно; действительно, записывая
(5.66) для т=1 и учитывая (5.57), получаем
\aU' + Ьб I! al |F< | al \' + k (d?/v + 47)1/4^
+ ik^Sl(h)I и:; 1^i!и),|<t4 + (v6/2)II<II,
T. e. в точности (5.69) для r=l. Предположим теперь, что (5.69)
верно для г —1, и докажем, что оно верно для г. По
предположению индукции
\K-4'<l^r-i<^N<d, (5.71)
(в силу (5.70)). Поэтому из (5.67) вытекает, что
lu^nl' + kvdt \\иГЧК\^г
г г
+^k^S\ (h) d, £ II иГ' К t^, + ^ Б II <-^ i. (6-72)
т. е. (5.69) верно для г. Остается доказать (5.61). Для этого
вернемся к (5.65); используя (5.56) и (5.57), получаем
I и^ - <-Ч' < *v (1 - 6/2) I ur^ \1 + "^kT I/'» 1^ (5.73)
Суммируя эти неравенства и учитывая (5.29), приходим к (5.61), □
5.4.2. Теорема об устойчивости. Положим теперь
и^: [0,r]-.V„ (5.74)
«ftCO^wg--', {m—\)k^t<mk, m=l, ..., N. (5.75)
Имеет место

§5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 275
Теорема 5.3. Функции Uf, и p^Uf^, h^a^, отвечающие схеме 5.4,
соответственно L°° {О, Т; L^{Q))- и L*(0, Т; Р)-устойчивы, при
условии что k и h связаны соотношениями (5.56) — (5.58).
5.5. Одна дополнительная оценка для схемы 5.2.
Используя те же методы, которые мы широко применяли в пп. 5.3 и
5.4, мы можем дополнить результаты п. 5.2 для случая схемы
5.2 одной оценкой, аналогичной оценке
N
2 К —«?'-4'<const, (5.76)
т = \
полученной нами для схем 5.1, 5.3 и 5.4. Как было указано
в замечании 5.2, эти оценки пригодятся при доказательстве
сходимости.
Лемма 5.5. Функции a'h, определяемые равенствами (5.13) {схема
5.2), удовлетворяют оценке
^\u1^-ur'\'<d{l+kS*{h)), (5.77)
где d — константа, зависящая только от данных.
Доказательство. Положим ©^ = 2fe(«h' —«ff~^) в (5.13). Имеем
21 и^ - а^-Ч^ = -kv 11 uf \l + kv II ar^ lil
<(B силу (5.40) и (5.5))-Ь|иг'| + А:у||иГ-Ч1
+ kd,S' (ft) I а)Г-Ч IIM?" + и^Г-^ L1 tt^-uf-' I
+ 2^:|/"'||йй'-йГ^
<-kv\\u'ji%+kv\tt's-'i+{\m\K-ttr'Y
+ {k^i2) dtS« {h)I аГ' Pi air + ar'li
Поэтому
N
+1- d? S* (h) £ I аГ^ \' IIИ? + аГ^ |Й
m = l
<(B силу (5.5), (5.11), (5.29), (5.31), (5.32))
r
<Ь5Ч/1)|Ио1' + 2Г 5 I/(s)|4s +1dMlA:S« (ft). D
0
5.6. Другие априорные оценка. Для того чтобы доказать
результаты о сильной сходимости, мы установим некоторые
дополнительные априорные оценки, касающиеся дробных производных

276 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
по t от аппроксимирующих функций. Результаты настоящего
пункта носят в основном технический характер и предназначены
для использования в п. 5.7, где доказывается сходимость
различных схем.
Для всех четырех схем обозначим через W/^ функцию из R
в Vfi, определяемую следующим образом:
Wfy —непрерывная функция из R. в V/^,
линейная на каждом интервале [mk, {m + l)k], и
zCft (mk) --=a1!-, m = О, ..., jV — 1; w^^Q вне
интервала [О, Г]. (5.78)
Лемма 5.6. В предположении, что выполнены те же условия
устойчивости, что и в теоремах 5.1—5.3', преобразование Фурье w^
функции Wf, удовлетворяет оценке
I I т 1'^ l^ift (т) I'' dx < const для О < у < 1/4, (5.79)
-8
где константа зависит от у и от данных.
Доказательство. Каждое из четырех уравнений (5.12)—(5.15) можно
трактовать как уравнение
А («,, (О, v^) = {{g^ it), v^)), Vz», ^V„t^ (0, T), (5.80)
где функция gf^ удовлетворяет условию
т
Sllff/.(OLd^<const. (5.81)
о
Например, для схемы 5.1 функция g^ определяется равенством
((gnin, г'л))л = (/'". v^)-b^{ur\ a,f. z»J-v((a^, v^})^
V©ft6V^, im~l)k^t<mk.
Неравенство (5.81) вытекает из (5.4), (5.7) и предыдущих
априорных оценок:
S IIgH (t)Iut^k^ (d„I/» I + diII ttr''kIIИ"I + VII Й"lift);
правая часть последнего неравенства ограничена по лемме 5.1.
Теперь выведем (5.79) из (5.80)—(5.81). Продолжая gf^ нулем
вне [О, Т], мы получаем функцию g^, для которой на всей пря-
Условия (5.43) для схемы 5.3, условие (5.56)—(5.57) для схемы 5.4; для
схем 5.1 и 5.2 — ннкакил условий.

, § 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 277
мой t выполняется следующее уравнение:
-{af!, v^)br Vz»^€V^ft, (5.82)
где бц и bj обозначают дельта-функции Дирака, сосредоточенные
в точках О и Т. Применяя преобразование Фурье, приходим
к равенству
—2i T{Wf,(T), г»й) = ((^л(т), v^)) + {al v^)
— (tth, fft) exp (—2ттГ)
(g^ —преобразование Фурье функции g^. Полагая ©^^^(^(т) и
оценивая модуль левой части, получаем
2я 1 т 11 w^ (т) р <IIg/, (т)LIIW;,(т) 1U + с, I гг;, (т) I
(поскольку ul и tth, остаются ограниченными). В силу (5.81) имеел»
г
II ^л (^) 1к < 5 II ^й (О |1л d'< const = с,;
о
следовательно,
|T(|Wft(T)|^<c,||Wft(x)||;,. ■ (5.83>
Теперь заметим, что для всякого фиксированного •у< 1/4
M-^^<c,(y)(1 + |t|)/(H-1t|i-='v) Vt^R.
Отсюда
+ 00 +00
?|ТГ|^^(Х)РС1Т<СЛ7) [ ';^aLj^/»WNT
О »/ J -)~ 1 Т J '
— 00 —00
+ 00 + OW ^
<(в силу (5.83)) сЛу) I |^,(t)Nt + cJ l^^^p-d-v
+ 00
^(в силу неравенства Швараа) с^\ \Wfi (т) Y d^^
— 00
+ с. (I ^-^^^il^)'" ( f II w, (X) I 6.у. (5.84>
+ 00
Для 7 < 1/4 интеграл J (1 4-|t|i-2v)-2clx конечен. Поэтому правая-
— ас
часть последнего неравенства конечна и, согласно предыдущим.

278 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
оценкам и равенству Парсеваля, ограничена:
+ 00 +00
\ I w^ (т) 1^ dT <d^ \ II iv^ (т) I dT (5.85)
— 00 — ао
Г
= d5Sllw^(0|d/<const. и
3,7, Сходимость численных схем. Наша цель
сейчас—доказать сходимость схем 5.1—5.4 в некотором, смысле, который будет
уточнен позднее. Сначала мы сформулируем предположения о
согласованности и компактности, которым должны удовлетворять дис-
кретизованные данные, для того чтобы была обеспечена
сходимость. Затем сформулируем и докажем теоремы о сходимости.
5.7.1. Предположения о согласованности и компактности. Эти
предположения легче будет формулировать после следующей леммы:
Лемма 5.7. Пусть {(Vf^, Pf^, /'/^)/,бэг, (w, F)\ — устойчивая
сходящаяся внешняя аппроксимация пространства V. Предположим, что
для некоторой последовательности /г' —*■ О семейство функций Uh'-
[О, Г] —* Vh' удовлетворяет, условию
Ph'Uh- -* Ф слабо в L^iO, Т; F) при h' ~* 0. (5.86)
Тогда ц) (t) = (ои (t) для почти всех i и
й = 5-1фе^М0, Г; F). (5.87)
Доказательство. Пусть 9= произвольная функция из ®((0, Г)).
JlePKo проверяется, что
г т
5 Ph'Uh- (О 9 (О d^ -* S Ф it) 9 (О it при h' ~* 0.
о о
Но условие (С2) из определения 1.3.6' показывает нам, что тогда
г
\ ф(/)9(Od/gcoK. Поскольку, по определению, соК изоморфно V,
о _
то соК является замкнутым подпространством пространства F;
выбирая какую-нибудь последовательность функций 9е,
сходящуюся к распределению Дирака, сосредоточенному в точке s,
^£{0,-Т), мы видим, что для почти всех s из [О, Т]
т
^Ф(0в8(/)d^-*ф(s) в F,
I Сходящейся ваешасй аппроксимации нормированного пространства.

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стскса 279^
а потому ф(8)^м1/ п. В. Поскольку м — изоморфизм, отсюда
вытекает, что м~1ф определено и принадлежит L^ (О, Т; V). П
Эта лемма —достаточно общая, но в рассматриваемой нами
ситуации мы предположили, что
V^cZ-M^) V^; (5.88)
поэтому может оказаться, что для некоторой последовательности-
tth- -* и слабо в L^ (О, Т; L^ (Q)),
Ph'Uh' —* Ф слабо в L^ (О, Т; F).
В силу леммы 5.7, ф = сии„ a,^L^{0, Т\ V). Без дополнительной
информации Мы не можем заключить, что а = а^. Однако эта
будет доказано для каждой из исследуемых нами аппроксимаций.
Таким образом, наше первое предположение о согласовании
звучит так:
Пусть Uh' — последовательность функций из
[О, Г] в Vh', такая что при h' —* О
ан-*и слабо в ЬЦО, Т; L^Q)),
Ph'Uh' —* Ф слабо в L^ (О, Т; F).
Тогда и^ЩО, Г; К) и ф = (йй. - ^ >.89>
Дальнейшие предположения о согласовании таковы':
Пусть Vh', Wh—две последовательности
функций из [О, Т] в Vh', такие что при Л--♦О
Ph'Vh' ~* т> слабо в L^ (О, Т\ F),
ph'Wh'—*(iiW сильно в L^(0, Т; F).
Тогда при h' —* О
т т
S {(Vh' it), Wh- (0)V <ii -* S {(.V (t), w it))) dt. (5.90).
0 0
Пусть Uh', Vh—две последовательности
функций из [О, Г] в Vn-, такие что при ft' —♦ О
Ph'Uh-—* (ли слабо в Ь^{0, Т', F),
tth'-* и сильно в LMQ). Q = Qx(0, Т),
Pw'Oh' —*■ сог» слабо в L^ (О, Т\ F).
i^Cp, со стационарным случаем (гл, 1, (3,7), \,3,бу, гл. 11, (3,4), (3,7)).

280 Гл. III. Эволюционные ураенемия Навье — Стокса
Тогда при h' ~*0
т
о
т
->$Ь(и(0, v{i), ^^{t)w)dt
о
для каждой скалярной функции "ф € ^'" (0. 7")
и каждого w^f^. Если, кроме того,
последовательность функций \^к' такова, что
1}з<г- -* ^ в L°° (О, Т) при k' — О, то при h' -^ О,
к' -^0
7
0
г
-*Jb(«(0, v(t}, ■^{t)w)dt. (5.91)
При проверке факта сильной сходимости, о котором идет речь
ъ (5.91) {tth-—*tt сильно в L^{Q)), мы будем использовать
следующее предположение о компактности:
Пусть Vh—последовательность функций из R
в Vw с носителем в [О, Т], такая что
т
о
+ "
J I т l'^'^ I Vti' (t) I^ dr ^ const для некоторого
7 > О, где Vf,— преобразование Фурье
функции Vh-. Тогда последовательность Vw
относительно компактна в U- (Q). В частности,
из нее можно извлечь подпоследовательность
{снова обозначаемую через Vw), такую что
p^Vv—^fov слабо в L^(0, Г; F),
Vh--^v сильно в LHQ). (5.92)
•5.7.2. Теоремы о сходимости. Теоремы о сходимости
формулируются по-разному в зависимости от размерности пространства
\п = 2 или 3) и рассматриваемой схемы. Напомним, что элементам
tth' мы сопоставляем функцию и^: [О, Г] —^F^, определяемую не.м-
iioro по-свое.му для каждой из tlcTbipex схем (см. (5.36), (5:55),

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стскса 281
(5.75) ':
для {m—\)k^i<mk {т=\, . ., N)
и^ (схемы 5.1 и 5.3),
u^(t)=l ^(йй'+йГ') (схема 5.2), (5.93)
[ ы^^~^ (схема 5.4).
Вот формулировки теорем о сходимости:
Теорема 5.4. Пусть размерность пространства п = 2 и выполнены
предположения (5.1)—(5.7), (5.9), (5.10), (5.41) и (5.89)—(5.92).
Обозначим через а единственное решение задачи 3.1. Имеют место
следующие утверждения о сходимости: при h и k—*0
и„-^а сильно в L^(Q) и "-слабо в L°° (О, Т\ LM^)). (5.94)
p^U^-^oiU слабо в 1^ф,Т; F), (5.95)
если вьтолнены следующие условия:
(i) схема 5.1: никаких условий,
(ii) схема 5.2: к8ЦН)-^0, (5.96)
(iii) схема 5.3: (5.43),
(iv) схема 5.4: (5.56)—(5.57).
Замечание 5.3. (i) Для схем 5.1 и 5.2 можно доказать, без всяких
дополнительных предположений, что
Ph^h —* ми сильно в I? (О, Г; f) при h, k —>■ 0. (5.97>
(ii) Тот же результат верен для двух других схем, если предположить-
еще, что
k^\(h)—*Q и ftSM/i)—^0 (схемы 5.3 и 5.4). (5.Г8)
(Hi) Предположение (5.96), используемое при доказательстве сходимости
схемы 5.2, не является, вероятно, необходимым, поскольку эта схема
безусловно L^ (О 7"; F)- и L°° (О, Т; L'^ (Й))-устойчива.
Теорема 5.5. Пусть размерность пространства п = 3, а в
остальном предположения те же, что и в теореме 5.4. Тогда
существует (двойная) последовательность h', k'—*0, такая что
Uh' -^ и сильно в L^iQ), (ЪЛ,9)
tth' — а слабо в L~(0, Т; 1Ц0,)), (5.100)
Ph'Uh' -> о)м слабо в ЬЦО, Т\ F), (5.101)
где и —некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой
последовательности h', k' -^0, для которой вьтолнены условия (5.99)—
(5.101), и должно быть решением задачи 3.1.
Подчеркнем, что И/, зависит от ft и fe; только ради гфостоты мы
обозначили эти функции через Ид вместо и/^^.

•282 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Замечание 5.4. Из-за отсутствия единственности решения задачи 3.1 мы не
можем доказать сходимость всей последовательности. Мы также не можем
доказать сильную сходимость в L'' (О, Т; F) из-за отсутствия энергетического
равенства для точной задачи (задачи 3.1) (для п = 3 мы имеем лишь
энергетическое неравенство; см. замечание 4.1).
Эти две теоремы будут доказаны в оставшейся части
настоящего пункта. Мы докажем со всеми подробностями лишь
теорему 5.4 для схемы 5.1 (включая (5.97)), а в остальных случаях
только набросаем доказательства, которые в действительности
все очень похожи.
5.7.3. Доказательство теоремы 5.4 {схема 5.1). Согласно теореме
устойчивости (теореме 5.1) и условию (5.89), существует
последовательность h', k' —*0, такая что
Ил- -* а *-слабо в L°°(0, Т; L^ (Q)),
ph-Uh'-*Mtt слабо в ЬЦО, Т; F) \ ■ >
для некоторого и из L*(0, Т\ V)r\L'"{0, Т\ Н). Рассмотрим
кусочно-линейную функцию Wf^, введенную в п. 5.6 (см. (5.78)).
В силу леммы 5.6 и оценок на Uh, имеем
|ге)йк~(о, r;i4a))<const, ||/7й'а>л|Ь(0. г-, л <const,
+ 0О
S |t|2v |'^/^(T)pdT5:;const.
Следовательно, согласно (5.92), последовательность /i', k'—»-0
может быть выбрана так, чтобы
Wt,'-*w *-слабо в L"(0, Т\ L^(Q)),
Wn'~*w сильно в L^(0, Т; 1''{Щ), (5.103)
Ph'Wh' —>-соге) слабо в L^(0, Т; F),
где w^L'^ifi, Т; V)r\L°°{0, Т; Н). Теперь заметим, что
справедливы следующие факты:
Лемма 5.8. a^ — w^—^0 сильно в L^(0, Т; L*(Q)) при h, k—*0;
(5.104)
zy = a; (5.105)
Uh'-^tt сильно в 1Ц0, Т; Щ^)) при h', k' -^0. (5.106)
Доказательство. В точности так же, как в лемме 4.8, мы
убеждаемся в том, что
|йл-^лкчо,г:£чй)) = ^^(2|иЙ'-йГЧ^)'^ (5.107)
\ /«=1
Поэтому (5.104) следует из оценки (5.22); утверждения (5.105)
и (5.106) являются очевидны.ми следствиями (5.102), (5.103) и
(5.104). а

§5. Дискретизация уравнений Навье—Стокса 283
Теперь докажем, что и есть решение задачи 3.1.
Лемма 5.9. Функция И {см. (5.102), (5.103), (5.105)) является
решением задачи 3.1.
Доказательство. Как нетрудно видеть, (5.12) можно переписать
в следующем виде:
^(«'^(О-^л) + ^((йй(0. Vn))H + b^{u^(t-k), щ(1), v^)
= (Л(0> ^й) V/6[0, Г] Угг^е1/д, (5.108)
где
f^{t)=f'", {m—\)k^J<mk. (5.109)
Пусть© — произвольный элемент из "Р. Положим Vit = г^г» в (5.108).
Пусть г|5 —непрерывно дифференцируемая скалярная функция на
[О, Г], такая что
г1з(Г) = 0. (5.110)
Умножим (5.108) (с v^ — r^v) на \Sf{t) и проинтегрируем по /.
Интегрируя первый член по частям, получаем
-S (^й (0. ^' (О ^^) ti/ + V j ((йл (/). ^ (О '•й«'))д di
о о
г
+ 5Ьа(йл(^-*). «ft(0. ^(0^д^)<1/
о
г
= (»!;, ^ft«')^(0) + S(A(0. ^(О'•*«') d^ (5.111)
о
Теперь, используя (5.90), (5.91), (5.102), (5.103) и лемму 5.8,
перейдем в (5.111) к пределу по последовательности Л', k —>-0;
напомним еще, что
ff^v-^inv в F (сильно), (5.112)
al-*a, в L^(Q) (сильно)', (5.113)
fk~*f в 1Ц0, Т; L^Q)) (см. лемму 4.9). (5.114)
' Напомним, как доказывается соотношение (5.113): вследствие (5.11)
достаточно_доказать его для tto^f^, а в этом случае |»J—»о 1 < | r/tUo—tta К

284 Гл. in. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
В пределе получим
т t
- \ {а (/), ^р' (О г») d/ + V 5 ((й (/), г|; (О V)) d/
о о
г
+ 1ыи{(), u(t), i^v)dt
о
г
= (и„, v)^{0) + l(f{t), v)^{t)dt. (5.115)
о
Из этого равенства мы выводим, что а является решением
задачи 3.1, точно так же как мы выводили это в доказательстве
теоремы 3.1 из равенства (3.43). Q
Поскольку решение задачи 3.1 единственно (см. теорему 3.2),
рассуждением от противного, которое мы уже неоднократно
использовали, получаем, что
утверждения о сходимости (5.102) и (5.103)
верны для всей последовательности h, k—*0. (5.116)
Это завершает доказательство теоремы 5.4.
5.7.4. Доказательство утверждения (5.97). Для полноты
изложения мы докажем еш,е (5.97). При этом нам понадобится один
предварительный результат, который является весьма обш,им и
интересен сам по себе.
Лемма 5.10. Пусть {(V/,, Р/,, г^)^, (со, F)\ — устойчивая сходя-
и>,аяся внешняя аппроксимация пространства V. Для заданного
элемента v из L^{0, Т; V) можно определить для каждого h^fC
функцию V-, ^L^(0, Т; V^), такую что p/^Vji —»-шг» в L^(0, Т; F)
при h -* 0.
Доказательство. Доказательство по существу то же самое, что
и для предложения 1.3.1 Утверждение очевидно, если v —
ступенчатая функция, так как ступенчатые функции плотны в L^{0,
Т. V). В общем случае результат получается с помощью
двойного предельного перехода, как в предложении 1.3.1. П
Лемма 5.11. Пусть размерность пространства л =2; тогда для
схемы 5.1
Рйй/,-->-(ои в L^(0, Т\ F) (сильно) при h, k—*0. (5.117)
Доказательство. Рассмотрим выражение
N
ш = 1
-■-' о

§ 5. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 285
где Uf, определяется так же, как в лемме 5.10. Согласно (5.21)
(лемма 5.1), Iti^'l^const; следовательно, существует
подпоследовательность h', k'—>-0, такая что
Uh'-^l слабо в L%Q). (5.118)
Примем временно на веру, что
(Х-й(Г), v) = 0 Vveff, (5.119)
и докажем, что Хн' —* 0. Положим X/, =« Xji + XI + XI, где
т т
X\=^\tt{T)Y + 2v\\\uUt)\lAt-*\u{T)Y + 2x] \\u{t)fut.
о о
(в силу леммы 5.10 и условия (5.90)),
г т
- 4v 5 ((«,(/), ИлМО))лй< — - 21 й (л P-4v5 I! й (О IN/
о о
(в силу леммы 5.10 й условий (5.90), (5.118)—(5.119); напомним
также, что и{Т)^Н) и
т=\ J
= I «ft^ Р + 2] I И" - <-' P + 2fe 2 IIК I- (5.120)
m—\ m=i
Суммируя уравнения (5.26) для m=l, .... N, получаем
N Т
XI = I al Y-^2kY. (f, a^) = IиХp + 2 S (Л(/), Мл(t))dt.
Далее, очевидно, что
г
Х^ —|йоР+2 5(/(0. и(0)(1/приЛ, Л-.0. (5.121)
о
Отсюда
г
а:^' —|й„р + 2$(/(о, tt{t))dt-\u{T)f
•2vj||«(0|pd/. (5.122)
и, как следует из (4.55), этот предел равен 0. Рассуждая от
противного, мы показываем, что и вся последовательность Хд

286 Гл. III. Эволюционные ураененая Навье — Стокса
сходится к 0: Х/,-->-0 при Л, k—^O. В частности,
г
г /Г
SllP^W-wMCOIIJ^di^c \\\a^{t)~uS(i)\lut
о \о
т
+ l\\p^ut{t)-wu{imut\ -*о,
откуда и вытекает (5.117). Остается доказать (5.119). Суммируя
(5.12) для /п—1, ..., N, приходим к равенству
«-4, гГй) + *^2 (W, г»/.))*
m = l
m = l m = l
Полагая v^ — r/^v, v^f^, легко переходим к пределу и получаем
/ 7
(Х-и„, v) + v\{{u(i), v))ut + \b{u{t), u(t), v)ut
о о
т
Поскольку интегрирование (3.13) дает аналогичное уравнение с %,
замененным на и (Г), мы заключаем, что (i~u(T), v) — ()'^v^'f^,
откуда и следует (5.119), ибо f^ плотно в /У. П
5.7.5. Доказательство теорем 5.4 и 5.5 (прочие случаи). Для
схем 5.2—5.4 в случае п=2 доказательство проводится
аналогичным образом, с использованием соответствующих априорных
оценок.
Для схемы 5.2 мы ввели условие (5.96) как некое достаточное
условие для (5.104); более точно, в этом случае аналог (5.104)
.является следствием (5.77), (5.107) и (5.96). Для схем 5.3, 5.4
условия устойчивости (5.43), (5.56), (5.57) просто обеспечивают
ограниченность Я/, и р^а^ в надлежащих пространствах.
Условие (5.98) появляется при доказательсткр (5.97)
следующим образом:

§ б. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 287
— Для схемы 5.4 „естественным" выражением, аналогичным
Xft в лемме 5.11, является
Г,. = |й(У-и(Г)|^-2|и"-«ГЧ^
+ 2^\\\u^{t)-ui{t)ldt;
для того чтобы вывести (5.97) из того факта, что У/, —* О, до-
N
статочно, чтобы ^ | м^* — М;Г"Ч^ —*■ 0. а это следует из (5.98).
т=\
— Для схемы 5.3 мы рассматриваем то же самое выражение
X/,, но из-за присутствия некоторых членов, содержащих Ь,^
(см. (5.47)), выражение Х\ не такое простое, как (5.121); (5.98)
показывает, что дополнительные члены в Х\, содержащие Ь^,
сходятся к 0.
'Что касается случая п = 3, то заметим прежде всего, что хотя
условия устойчивости не упоминаются явно в формулировке
теоремы 5.5, на самом деле именно с помощью этих условий и
априорных оценок, которые из них вытекают, доказывается
существование подпоследовательности /i', Л'—>■ О, для которой
выполняются условия (5.99)—(5.101). То что й является решением
задачи 3.1, доказывается точно так же, как выше.
§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса.
Приложение общих результатов
Мы хотим теперь явно сформулировать все предположения и
заключения теорем об устойчивости и сходимости (теорем 5.1 —
5.5) для конкретных аппроксимаций пространства V. Напомним,
что окончательный вид и эффективность рассмотренных в § 5,
схем также зависят от выбора аппроксимации пространства V
т. е. дискретизации по пространственным переменным.
В п. 6.1 рассматривается аппроксимация пространства V
конечными разностями (АПР1). В п. 6.2 мы будем иметь дело с
методами согласованных конечных элементов: аппроксимацией V
будет одна из аппроксимаций (АПР2) —(АПР4). Б п. 6.3
исследуются методы несогласованных конеч1гых элементов
(аппроксимация (АПР5)). Затем в п. 6.4 мы изучим некоторые алгоритмы
для црактического решения возникающих конечномерных задач
(т. е. практического вычисления я^" для одной из схем 5.1 и 5^4).
6.1. Конечные разности ((АПР1)). Возьмем в качестве
аппроксимации пространства V, рассмотренной в начале п. 5.1, кои-
кретйую аппроксимацию (АПР1). Мы будем последовательно

288 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
проверять и интерпретировать для этого случая предположения
теорем 5.1—5.5.
6.1.1. Вычисление S(h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно, выполнены;
согласно предложению 1.3.3,
l«.|<d„,Uft|ift, rf„ = 2/, (6.1)
где / — наименьшая ширина области Q в направлениях х^, ...,х„.
В следующем предложении наша цель — проверить (5.5) и явно
вычислить вид S (/i).
Предложение 6.1. Для аппроксимации (АПР1)
S(ft) = 2(i/Jry' Vft = (/Ji h„). (^2)
Доказательство. Имеем
'i«fti= 2 \hj'\\tti^{x+'h,l2)-tttH{^-h,l2)\^ux\
i. 1=1 \ <j I
<2 i Ihr S (|a,.H^ + V2)l' + |a,-ft(x-V2)P)clx
i, i=l \ |;n
'.1=1 \ R" I \^=1 /
откуда и следует (6.2). П
6.1.2. Форма bft и Si (ft). Для аппроксимации (АПР1) мы
выбираем опять форму Ь/,, определенную в § 3 гл. II (см. (3.27) —
(3.29)):
6ft(%, ttft, Wf^)=-K{ttn, V^, W;,)+bl(Uf„ Vh, «Jft), (6.3)
к («ft. ■»/,. 'K)ft) = 2-1 ^ ^ u,/, (6,.ftU^.ft) ш,л Лх, (6.4)
Ы (ЙЛ, ©ft, «Jft) =.^'h («ft, Wh, ©ft). (6.5)
Очевидно, bft является непрерывной трилинейной формой на
VftXF/iXV/, и что (5.6) выполнено; для того чтобы получить опенку
константы dj в (5.7), докажем следующие леммы.
Ле ?ма 6.1. Для п--=2 или 3
i-^\u,Vi^,u^\V^v,\ \w, Y'- |«;лГ (я= 2), ^g_g^
" 1 33/^ I «ft p/* i! «ft Tl V, :|ft I Wft |^/'^ II «)ft r^ (n = 3).
^f-j;^|aft.i>/^||flft|iri«rft|^/=i|t.ftl|V = ||«;ft|!ft (n = 2), ^g_^^
"^ 1 33/^ i «ft |V4 II Bft I'' I t»ft |i/* II t»ft IP/^ II 'KJft Pft (Я = 3).

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 289
Доказательство. Доказательство основано на предложении П.2.1.
В силу (П.2.12) и (II.2.13),
ili",-/.llb(fi, < 3К 2|| |«,,I (^ ij б^,«,, \^Y }<ЗК2|йл|;!й,1й
(6.8)
для п=2, а для п = 3
i 11«,, |.,^, < 2.33/^ ^^ I !>,, \Ц1^^ (,21 S;/.«/b li.(a,y"}
:^ (в силу неравенства Гёльдера) 2-3^/^1 ^ |"/л|[2т))
X (^ 2 J б;ли,л |^(Ц,У^' < 2.3^/= I а, l^/" 1 Ил Щ/^ (6.9)
Снова используя неравенство Гёльдера, получаем
'^ п
I Ьк (ЙЛ. «ft. ^h)\ < Т S II "i-Л II/-VQ) il S,-ft У^-л 1|£.^(й) II И^уй |li.(Q)
n
|Ь"(йй, ©л. 'K'ft)|<4 X 1".'л1Ь(а)11У/л1Ь(а)||б,-лШул||х..(а)
i. i = l *"
/ 1 N 1/2 / n \ 1/2
^Л11Л-
Поэтому для n = 2, применяя (6.8), заключаем, что
\Ь', (й„ V,, w,)\^^\tt, |V2 II а, |;V^ il г-., 11,1 w, \l'4w,%'\
Для rt = 3, используя (6.9), также получаем утверждения (6.6) и
(6.7). П
Лемма 6.2,
|&ft(«ft, ©л, 'a)^)l<dillaft|lftll'»ftllft|l«'/,i:ftVaA, ■»„ w^eV/,,
(6.10)
di = 6K"2/ Зля п=2; di = 63/2/T Зля п^З. (6.11)
10 р. Темам

290 Гл. III. Эволюционные уравнения Иавье — Стокса
Доказательство. Эта оценка немедленно следует из (6.1), (6.3),
(6.6) и (6.7). D
Предложение 6.2. Для аппроксимации (АПР1) неравенство (5.41)
выполняется с
с ./,ч_|ЗК2"5(Л) прип^2,
^ЛЩ~\2.3«/^ S«/^ {К) при п - 3, ^^-^^^
где S(h) задано равенством (6.2).
Доказательство. Используя (6.1), (6.6) и (6.7), мы можем записать
<-pL-S(/i)|aJiM^|iJ«;,i (n = 2),
I b'^ {tt„ tt^, w^) I < З''/'^ I ЙЛ 1'^^ IIЙЙ %'' IIV, \^ I w^ |v^ 11 w^ ly*
<,^'i-S^i4h)\un\lttn\\H\w^\ (« = 3),
Ibl(U/,, tt/,, W/,) I < Y=-1 ЙЛ III ййliftllWftlift
^-^S(h)\tt,\\\tt,l\w,\ (n=2).
\blittj,, Mft, «;ft)l<33/4aftP'=!|Mft,K'i|tyfti!ft
<3»/^SV^(/i)|aft|paft||ft|te;ft| (n = 3),
откуда легко получаем (6.12). П
6.1.3. Приложение теорем об устойчивости и сходимости. Схемы
5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости схемы 5.3
даны в теореме 5.2 и лемме 5.3:'
'^-'^- k{t,^j<min[^,,^), (6.13)
'^ = 3:^=(t^Y<4.fe(t^)<^. (6.14)
где д! и d" определены в доказательстве леммы 5.3.
' Второе из условий (6.14) является следствием первого для достаточно
палых /i.

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 291
Для схемы 5.4 условия устойчивости, указанные в теореме 5.3,
имеют следующий вид:
'.-2:*(t4)<i^',*(t^)<34;. №.15)
"=3:*(|:i|)<i^;*(i^)"'<5^; (^-'6)
ДЛЯ некоторого б, 0<б< 1; d. задано равенством (5.58).
Теоремы 5.4 и 5.5 дают (в случае если они применимы)
и^-^и сильно в L^Q) и *-слабо в L"(О, Т; L^Q)), (6.17)
bi^u^i—* DjU сильно или слабо в L^{Q) (6.18)
(и зависимости от того, какая сходимость имеет место в L^{0, Т; F),
сильная или слабая).
Теоремы 5.4 и 5.5 основаны на предположениях (5.89) —(5.92).
Мам надо проверить, что эти условия выполнены; этой техничеб-
кой частью доказательства мы сейчас и займемся.
6,1.4. Проверка условий (5.89) —(5.92).
Проверка условия (5.89). Если
Uh- -* и слабо в L2 (О, Т\ и (Q)), (6.19)
p^,'Uh' -* 4' = (Фо. • • •. Фк) слабо в L2 (О, Т; F), (6.20)
то (по лемме 5.7) ф должно равняться со©, где v^L^{0, T;V).
С другой стороны, по определению р^,
Рй'Мл'—*-Фо = '» слабо в L4Q); (6.21)
сравнение (6.19) и (6.21) показывает, что v = u (как элементы
из L^(Q)). Следовательно, ф (/) = (»«(/) п. в. и uQL^{0, T;V).
Проверка условия (5.90). Если Ph'Vh' —«-со© слабо в L^(0, Т\ F),
Ph'Wh'—>■ (0W сильно в L^(0, Т\ F), то б,дг;/г'—»-D,© слабо в L^ (Q),
tiih'Wh' —>■ DfW сильно в L^ (Q) и ясно, что
т т „
5 {{Vh' (О, Wh' mh' d^ = 5 S 2 (6,ft'»ft') (bih'WH') dx dt
0 . 0 Й '=1
-* И ( ^ 0,г;0,.гг;) dxdt=l {{v (t), w (t))) dt.
Проверка условия (5.91). Доказательство аналогично
доказательству леммы 11.3.1. Предположим, что
Мй'—> и сильно в L^iQ), (6.22)
, Ph'Vh'~^'^v слабо в L2(0, r;f), (6.23)
, %'-> я|; в L" (О, Г), (6.24)
10*

292 Гл. III. Эволюционные уравнения Нсшье — Стокса
И пусть гг> —фиксированный элемент из 9!^. Из (6.23) следует, что
Vh'-*v слабо в L^iQ), (6.25)
bih'Vk'-*DiV слабо в L^Q), 1<«, /<я. (6.26)
С другой стороны, как было отмечено в доказательстве леммы 11.3,
r^w-*w в норме L'"(Q), (6.27)
б/л''л«'-> Д-и» в норме L" (Q), 1<1<я. (6.28)
Рассмотрим сначала форму Ь^;
г
S b'h («л (0. ■»* (0. ^л (О гдгг») d/
о
п Т
2
Из (6.22), (6.24), (6.26) и (6.27) вытекает, что для всех i и /
т т
\ \ Uih- {bih'Vjh') %Wjh' dxdt-*] ]ui (DiVj) ^фшу dx dt
on 0 a
И, следовательно,
T
^bk, {tth' (t), Vk' (/), ifft' (/) n'W) dt-^ i-J Ь(и(0, f(0. •t(0«')d^.
0 0
Аналогично
T
I bl {Uh' (0. Vh' (0, %' (0 Tft' гг>) d^ -*
0
T T
-i- J & (a (0. ^ (0 w, V (t)) dt = ^^b{u{t),v{t),^^ (t) w) dt,
0 0
чем (5.91) и доказано.
Проверка условия (5.92). Пусть {©л-} —последовательность функ-,
ций из R в Уд с носителем в [О, Т] (или в любом фиксирован-;
ном компактном подмножестве прямой R), таких что s
]
\\\Vh'{i)\l,dt^cousi, (6.29)'?
о
S I т l^v i^ft, (т) р dt < const (Y > 0). (6.30)

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 293
Ним надо доказать, что эта последовательность относительно
компактна в L^{Q). Поскольку операторы рд устойчивы, имеем
т
llph'Vh'imdt^const, (6.31)
U
fl, следовательно, последовательность h' 'содержит
подпоследовательность (также обозначаемую через h'), такую что
PH'Vh' -^ мг» слабо в L* (R; F), (6.32)
Vk-*v слабо в Р (R; L^ (Q)), (6.33)
где © — некоторая функция из IJ(R;V), равная О вне интервала
10, 7] (здесь мы использовали (5.89)). Достаточно установить,
что сходимость (6.33) сильная, т. е. что сходится к нулю
следующее выражение:
/л'= S \vh'{t}-v{t)\'dt^ J \in'{r)-v(x)\^dx (6.34)
— oe — 00
(последнее равенство справедливо в силу формулы Парсеваля).
Следуя доказательству теоремы 2.2, запишем
/Л'= S |©h'(T)-©(T)pdT
|т|<Л1
х1>М
< S |©h'(x)-©(x)pdT
|т|<М
+ттм^у J (1+кт^^(х)-©(т)Мт
<
г I Vh' (т) V (х) !'■' dt ■
1 + M^v
|т|<М
(в силу (6.1), (6.29) и (6.30)). Для заданного е>0 выберем М
так, чтобы С/( 1-f M^v) ^ е/2. Тогда
h'^Jh- + e/2, (6.35)
где
Jh'= 5 |©ft.(x)-©(x)Mx, (6.36)
\х\<М
И сходимость /л' к нулю будет установлена, если мы покажем, что
Jh'-^O при h', k' -^0. (6.37)

294 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Это последнее можно доказать, воспользовавшись теоремой Лебега.
А именно, для каждого х
+ 00 +00
^ft,(T)== \vh■{t)e-'^'^'Чt= \ Vk'{t)x{t)e-^''^'^dt, (6.38)
— о» — о»
где X — произвольная гладкая функция с компактным носителем,
равная 1 на [О, Т] (так что Vh' = tVh''^h'). Тогда
I ih' (х) КIVH' Ilmr; i' (Q)) IIe-^^^*^ %\\щю <const = Q, (6.39)
\Ш'(х)-г>{х)\^^2{С! + \^(х)\')Ут , (6.40)
и, согласно (6.33) и (6.38),
+ 00
Vh'{t:)-^v{t)= 5 v{t)%{t)e-^'^"^dt слабо в L^Q) (6.41)
для каждого т. Далее, в силу (6.38),
11'0л'(х)к( 5 \\Vh'{t)fdt] |e-^'"'^xlb(R)<const.
Эта последняя оценка и дискретная теорема о компактности
(теорема II.2.2 и замечание II.2.4) показывают, что утверждение
о сходимости (6.41) имеет место также в норме L^{Q): Ivh'ix) —
—г;(х)|2 —?-О Vx. Применяя теорему Лебега, заключаем на
основании (6.40) и уже полученных результатов о сходимости, что
справедливо (6.37).
6.2. Согласованные конечные элементы {{А1\Р2) — (АПР4)),
8 качестве аппроксимации- пространства V, рассмотренной в
начале п. 5.1, выбираем теперь одну из аппроксимаций (АПР2) —
(АПР4). Проверим и проинтерпретируем для нее предположения
теорем 5.1—5.5. Для всех этих методов
V^c=m{Q), ||ал|1л = ||иЛУИд6^д, (6.42)
9 рд —тождественный оператор V/i.
6.2.1. Вычисление S{h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно,
выполнены; согласно неравенству Пуанкаре (см. (1.1.9)),
|«лК^„|1Ил||д, do-2/, (6.43)
где / — наименьшая ширина области Q в направлениях %, . ., д;„.
Для (5.5) имеем
Предложение 6.3. Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4)
Sih)^cjp'{h), (6.44)

§ 6. Дискретивация уравнений Навье — Стокса 295
eik с ^ — константа, зависящая от степени q рассматриваемых
Ш'-ментов'.
Доказательство. Пространство Уд — это пространство полиномов
степени не выше q=2,3 или 4 для аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ),
(ЛПР4) соответственно. Константа устойчивости S (Л) мажорируется
киадратным корнем из выражения
sup I i S I grad и,.д {х)\^ dx/i S I «,л {x)Y d^l (6.45)
Оценка этого супремума связана с оценкой супремума выражения
J |gradф(л;)|''dл:/5 |ф(x)2dx (6.46)
110 всем функциям ф, которые являются полиномами степени не
выше q, и всем ^^S'l^. Действительно, пусть р,^—какая-нибудь
ш'рхняя граница для этого супремума; мы можем тогда записать
для всех i=-\, ..., п и cfgс^д
5 I grad «,.д {х)\^ dx < [Хд 5 I ы,.д (х)|2 Ах,
где «ft принадлежит Уд, а q имеет значение, соответствующее
действительному выбору пространства Уд. Суммируя по t и (5'',
41()лучаем
|ttлlte = gSlgradн,.д(д;)pdд;
>,2 S|u,•д(д:)pdx = ^lJttд|^ (6.47)
1 = 1 о
так что можно положить
5(/1)=Км;. (6.48)
Для того чтобы оценить (6.46), мы используем линейное
отображение Л: ху-^х, переводящее в ^ стандартный и-симплекс ^\
_ п
0^д;,-^1, S-"^!^!- Функция ф{Лл;) является полиномом сте^
1=\ _
пени не выше q на of. Заметим, что функционалы
\\\gr&u^{x)\^uxY'" и И_|я|;(^)|^ё;^у^'
р' (Л) было определено в (1.4.19).

296 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
представляют собой соответственно полунорму и норму в
конечномерном пространстве полиномов степени не выше q на of. Поэтому
существует константа |х^, зависящая только от q (и cf), такая что
\\ gra d ^ (х) р А'х < [i, 5_| 4- (х) Нх
Л' ^
для всех таких полиномов il^. В частности,
LJ |аГф{Л^)[ dx<^, J |ф(Л^)|Мх (6.49)
для рассматриваемых полиномов ф. Но
п
/=1
SI^'"r=S{
£^ф(Лх)Л,,
<1
Отсюда и из (6.49) вытекает, что
fc=l
^ ^
Возвращаясь к симплексу of с помощью новой замены
переменных х = К~^х, получаем
5 I grad ф (X) р dx < ^Л Л If S I Ф (X) р dA;.
Согласно лемме 1.4.3, |1Л||:^р^/р^. Для рассматриваемой
триангуляции р^^р'С»); следовательно, ||Л|| :^р^^р'(ft) и мы можем
положить M.,= lAg(pj?/p'(Л))^. Таким образом, (6.44) выполняется с
c, = )^f^«P»F- □ (6-50)
6.2.2. Форма Ьд и Si{h). Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4)
мы рассмотрим опять форм.у Ь^, определенную в § 3 гл. II
' и ЛII—норма линейного оператора Л, отвечающая эвклидовой норме в R«.

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса
297
(СМ. (3.55)):
bft(ttft, ©ft, W^)=b'(Uf„ V^, W„)+b''{U^, Vf,, W^), (6.51)
b'{u, V, w)=-Y ^ J Ut{DiVj)wyux, (6.52)
&"(«, V, w) = —b'(tt, w, V). (6.53)
Форма b/i является непрерывной трилинейной формой на
V^xV^xV/t, удовлетворяющей (5.6); оценка констант d, и Si{h)
будет вытекать из следующей леммы.
Лемма 6.3. Для п = 2 или 3 и для и, ©, w^HliP)
\ttYi^\ufi'\\v\\wYi'\wfi^ (tt = 3),
(6.54)
\b"{u, V, «»)|<
[\u\^''\\uf"\v\^"\\vf''\\w\\ (tt = 3).
(6.55)
Доказательство. Для n = 2 результат следует из леммы 3.4, если
заметить, что Ь'{и, V, w) = (l/2)b{u, V, w), b-{u, v, w) =
= —(1/2)&(и, w, v). Для n = 3 доказательство основано на
лемме 3.5:
3
lb'(и, V, w)l<Y L Sl"n^/"y)^/|d^
3
<T S. ||"/llLMQ)||C>/W/lL»(fi)H/tHQ)
. i/a / 3
<
y(E ii^/^/iib(«)) (£i«/ib(Q)j (^£H>ii'<Q)j •
(6.56)
в силу (3.67),
i II И/ IJL^(Q) < 2 S (1Ы, lUU II grad M, lliifa))
<2 (^i II u,llb(a))''* (g 1 grad u^ ft.(o, j * < 21«|^^ || ы
(6.57)

298 Гл. III. Эволюционные уравнения Наем — Стокса
Аналогично
3
^\\WjtK0)<2\w\^i^\\wfi\ (6.58)
/=i
и (5.64) следует теперь из (6.56). Для Ь" мы просто заметим, что
Ь"(и, V, w) = —b' {и, W, V), и применим (6.54). П
Лемма 6.4.
1Ь,(и„ v^. гг;д)|<й.|Ид||||г»д||||гУл||Уй„ v^, w^^V^, (6.59)
где
di = 2 /2? для п = 2, di = 2^/^ [П. для п = 2,. (6.60)
Доказательство. Это немедленно следует из (6.43), (6.51), (6.54)
и (6.55). D
Предложение 6.4. Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4)
неравенство (5.41) выполняется с
Si (h) = l/~2S (Л) прип=2. Si (ft)=2S3/2 (Л) при п=3, (6.61)
где S{h) задано равенством (6.44).
Доказательство. В силу (6.43), (6.54) и (6.55), имеем
I Ь'п («д, v^, w^}\ < -^ S (Л) I Ид 11 Ид \\\wjin = 2),
|&л(Ил> «й. «'Л < 53/^/1)1 Ид III мд(||гг;д| (я = 3),
|Ьл(Иа. «л. гг;дЖ:^5(Л)|ид|||«д|||гг;д| (п = 2),
|&а«л. г;д, гг;д)|<5'/Ч/1)|йй1|Ил1||ВДд| (я=3).
6.2.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости. Схемы
5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости схемы 5.3
даны в теореме 5.2 и лемме 5.3:
"=2:f7i)F<mm(-£^,Q. (6.62)
где d' и d" определены в доказательстве леммы 5.3, а с,—в
доказательстве предложения 6.3. Для схемы 5.4 условия
устойчивости даны в теореме 5.3 и лемме 5.4:
— 9 fe ^ 1 — 5 k v6 cfi fi4V
для некоторого б, 0<6< I; d^ задано равенством (5.58).

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 299
Интерпретация теорем о сходимости (теорем 5.4 и 5.5) очень
проста в рассматриваемом случае, поскольку F = //J(fi). Имеем
и^-*и сильно в L^Q) и «-слабо в L"(0, Т; I,«(Q)), (6.66)
«ft -н- м в L^ (О, Г; Щ (Q)) сильгю или слабо (6.67)
(в зависимости от того, какая сходимость имеет место в L^ (О, Т; F) —
сильная или слабая).
Предположения (5.89) —(5.92), на которых основано
доказательство этих теорем, проверяются совсем легко, поэтому мы
остановимся на этом лишь очень бегло.
Проверка условий (5.89) —(5.91). Условие (5.89) выполняется
тривиальным образом, когда f = //J(Q), а операторы со и р^
являются тождественными.
Условие (5.90) сводится к утверждению, что если Vh' —* v
слабо в ЬЦО, Т; НЦЩ) и ww—^w сильно в 1^ф, Т; Hl{Q)),
то
т т
о о .
но это очевидно.
Условие (5.91) можно доказать точно так же, как это уже
было сделано несколько раз в аналогичных ситуациях '.
Наконец, условие (5.92) выполняется в силу теоремы 2.2.
6.3. Несогласованные конечные элементы (АПР5). В
качестве аппроксимации пространства V, рассмотренной в начале
п. 5.1, выбирается теперь аппроксимация (АПР5)
(кусочно-линейные несогласованные элементы). Проверим и проинтерпретируем
для этого случая предположения теорем 5.1—5.5.
6.3.1. Вычисление S{h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно,
выполнены; согласно предложению 1.4.13,
l«J<dol«ft|L (6.68)
где da—c'{Q, а) —константа, зависящая от Й и а (см. (1.4.179),
явно вычислить которую довольно трудно; а имеет тот же смысл,
что и в (1.4.21)).
Предложение 6.5. Для аппроксимации (АПР5)
S{h)=Co{n)/p'{h), (6.69)
где с^(п) —константа, зависяш,ая только от п, а р'(Л)
определена так же, как в (1.4.20).
' Напомним, что для всех рассматриваемых методов конечных элементов
toQf^, riiW—>-w в £" (Q), 1>,тдК)—>-£>,•«) в L'" (Q), \<i<n, при h—*0.

300 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Доказательство аналогично доказательству предложения 6.3.
Константа S (h) ие превосходит квадратного корня из
sup I i 5 Igrad н,.д (x)l^ dx/i 5 I ы,д (х)Г^ йх\. (6.70)
Как и в (6.48), можно показать, что S{hy ограничено
супремумом [Aj выражения
5 I grad ф (л:)|Мл;/$ I Ф (д;)|Мх:
по всем линейным функциям ф и всем ^GJ^^. Используя
линейное аффинное преобразование Л, отображающее на <S^ стан-
_ я
дартный tt-симплекс <^ uR":O^Xi^l, ^ Xi^.l, заключаем, что
1=1 '
[Aj =iAi(p^/p'(Л))^ где |j,i —супремум по всем линейным
функциям т|; отношения
5|gгadф(]c)Nx/J \^^{x)\■'dx.
Следовательно, (6.69) выполняется с
Co(tt)=|/fi,Pjir. П ■ (6.71)
6.3.2. Форма &д и Sj (ft). Для аппроксимации (АПР5) рассмотрим
опять форму Ъ^, определенную в п. 3.1 гл. II (см. (3.80) —(3.82)):
Ьл(Ил. '»A. гг>д) = ЬИи^, ©л. «'л)+ЬИ«л. ■»/,. «'л). (6.72)
&И«л.'0^. «'л) = ^ L J «/й(ДЛл)а^/лс1-^. (6.73)
1, /=1 й
6И«л. '»л. «'а) = —&л(«л. 'K'ft. '»ft). (6.74)
Ясно, что &h, &й и Ьд —непрерывные трилинейные формы на
V^xV^xVa и что выполнено (5.6). Значеггие константы й^ из (5.7)
можно найти из доказательства следующей леммы.
Лемма 6.5. Лля п = 2
\Ьн{ин, г'л. «Уй)!
(6.75)
|&й(Ил. «'л. «'л)|
<с,(Й, ос, 8)|йдР-/^|ид|Г'''Чг'йР-'/1|г;,|Г'^'^1М;Л!л

§ 6. Дискретиаация уравнений Навье — Стскса 301
при любом о < е < 1, где Ci(Q, а) зависит только от Q, а и е.
Для п — 3
1 Ь',{и„ V,, w,)\^c,(Q,a) I и, |>/^ 11 и, ГIIV, 11W, |1/^ 1W, \Г,
(6.76)
\b'i,(u„ v„ «),)|<с,(й,а)|й,|1А|й,Пг»,11/М1г»ЛП«)л!1й.
Доказательство. Опенки для b'l, получаются из оценок для b'h
простой перестановкой v^ и W;,. Используя неравенство Гёльдера,
как в лемме 6.1, находим
(6.77)
Для того чтобы оценить Z,*-HopMbi Ы/ft и y,ft, применим
теорему II.2.3 и замечание II.2.6. В случае n = 3 неравенство Шварца
позволяет нам записать
1 и%йх ^(lujhdxY''(^u%dxY^^\ui;,\c{n, p,Q, a)\\u,,,\i
Q \ii J \ii J
(b силу (II.2.42), я=2, p = 2). Отсюда
2 i "/ft ||Ь(П) <с, (Q, a)| u, l^/» i И, $'\ (6.78)
1=1
и оценка (6.76) для b^ следует из этой оценки и (6.77). В случае
11 = 2 из-за отсутствия оценок такого типа, как в предложении
II.2.1, мы поступим иначе. Ввиду неравенства Шварца,
а Q
< П и% dxY'^'Y S I «,, |^(з + е)/х + в ^Л'
+ 8/2
<c(Q, а, e)lм,.J^-«iн,Д+
(вcлeдcтвиe (II.2.48)). Поэтому
2
2|l"/ftl|b(Q)<c,(Q, а, e)laji-^l|ajr, (6.79)
откуда и следует оценка (6 75) для fc^. Q
Из леммы 6.5 в сочетании с (6.68) легко получается (5.7):
bft (йй, г»й, Юл) < dy II йй ||л |1г»й lift II Юд Цд Уйд, v^, w^ е Уп'
(6.80)
константа di зависит от Q и а.

302 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Предложение 6.6. Для аппроксимации (АПР5) неравенство (5.41)
выполняется с
{с^{^,а,е)8{Ну+^дляп^2, " (6.81)
*^ '~\c,{Q,a}S[hyi^ для я = 3, (6.82)
где е — произвольное число, удовлетворяющее условию 0<е<1,
а S{h), с,, Са заданы в (6.69), (6.75) и (6.76).
Доказательство. В силу (6.69), (6.75) и (6.76), мы имеем для n=2
\K[ttn, й„ Wft)(<c,(Q, а, е)5(/г)»+=|йй|!)й,!л|«),|.
\bl{ttn, и^, w^)]^c,{^, а, e)S(ft)i«|aJi|aJ|JwJ,
а для п=2>
\ь',(и„ и„ w,)|<cл^, a)S{hY'^\Uf,\\\ttnUw^\,
\b-k{tt^, йй, Wft)|<c,(Q, а)5(/г)з/ЧйЛ|йй1Ук;л|. П
6.5.5. Применение теорем об устойчивости и сходимости.
Схемы 5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости
схемы 5.3, приведенные в теореме 5.2 и лемме 5.3, выглядят
следующим образом:
..п. k ^ d^ k ^ d"
(6.83)
k d' k d"
где d', d" —константы, определенные в доказательстве леммы 5.3
(е^произвольное фиксированное число, удовлетворяющее
условию 0<е<1). Для схемы 5.4 условия устойчивости,
приведенные в теореме 5.3 и лемме 5.4, выглядят так:
" ~ ' i7IS)F ^ 4vc„^ If' т^ <^+^' ~^ 84с?с§ <^^=' ' ^ '
для некоторого S, 0<б<1, некоторого е, О < е < 1, и dj,
заданного формулой (5.58).
Конечно, условия устойчивости (6.83) — (6.86) не являются
вполне удовлетворительными, поскольку мы имеем лиихь
приблизительную информацию о константах в правых частях этих
неравенств.
Интерпретация утверждений теорем о сходимости (теорем 5.4
и 5.5) очень проста:
Hft -* й сильно в L^ (Q) и »-слабо в LT (О, Т; U (Q)),
(6.87)
Dif^Uf^—*D^u в L^^Q) сильно или слабо

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 303
(в зависимости от того, какая сходимость, сильная или слабая,
имеет место в L^(0, Т; F)).
Теоремы 5.4 и 5.5 основаны на предположениях (5.89) —(5.92).
Нам надо показать, что эти условия выполнены; проверка их
выполнения осуществляется точно так же, как п для случая
конечных разностей,— нужно просто повторить рассуждения п. 6.1.4,
заменяя везде б,.,^ на D^^.
6.4. Численные алгоритмы. Аппроксимация давления.
Практическое вычисление элемента йй* из Кд, определяемого по
одной из рассматриваемых схем, нетривиально. Основная
трудность связана с условием „div« = 0", которое входит в
определение пространства V^, и фактически ситуация здесь та же, что
и в гл. I для задачи Стокса. В этом пункте мы покажем, как
алгоритмы, описанные в § 5 гл. 1 (решение задачи Стокса), можно
обобщить до алгоритмов, дающих решение задач (5.12) —(5.15).
Одновременно мы введем дискретную аппроксимацию давления.
6.4.1. Аппроксимация давления. Для каждого типа
аппроксимаций Vf^ пространства V мы определили также некоторую
аппроксимацию Wf^ пространства НЦ^) (см. гл. I, § 3 и 4). По
существу элементы йд из W^ являются элементами того же типа, что
и эле.менты йд из V^, только отсутствует условие на дивергенцию.
Позднее в этом пункте мы покажем, как элемент й^* из Vf^ может
быть аппроксимирован последовательностью йft'■^ г—\ оо,
элементов из W^.
Аппроксимация (АПР1). Пространство И^^-это пространство
ступенчатых функций
йл= 2 Im^^HiA, I^^R". (6.88)
Дискретное давление является элементом пространства Хд
ступенчатых функций вида
Ял = S ЛжО'лж. Чм € R- (6.89)
Для йд G ^h мы определили дискретную дивергенцию Рдйд как
ступенчатую функцию из Хд, задаваемую следующим образом:
DhUh=^ 2 (Олйд(М))дадЛ1,
(6.90)
0/.«ft(M)=S ^,д«,-д(М)Умей},.
1=1
Элемент йд из W^ принадлежит Уд, если и только если
О,йд = 0. (6.91)
Точно так же, как в п. 3.3 гл. I (см. (I. 3.72)), мы доказываем,

30-4 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
что если u'h есть решение уравнения (5.12) (схема 5.1), то сущ
ствует ступенчатая функция nj:^ вида (6.89), такая что
-(nf, D,v,) = (/-, г»,) Уг», e "^н- (6-9:
Основные отличия (6.92) от (5.12) заключаются в появлении член
— {nf, DfjV^) и в том, что (6.92) выполнено для всех v^m W^
т. е. даже для г»;,, не удовлетворяющих условию (6.91) („иесс
леноидальных").
Для схем 5.2—5.4 верны те же утверждения. В этих тре
случаях существует функция л^ вида (6.89), такая что соотве'
ственно
k-^{ttf-uf-\ г»й) + 2-^((йг + «Г\ г'й))й
+ 2-1ЬЛйГ\ WS + ur', Vn)
-{nf, D^v^) = if'", v^) "^v^^W^, (6.9:
(схема b.i
k-'{ttf-ttr\ г»л) + г((й|Г, «ft))ft + ^(ttr\ ur\ v^)
-(я;Г, Ол) = (/-, T»J Уг»,€Г^, (6.94
(схема Ъ.с
-«, D^)*=(/", г»,) >fv^^W^. (6.9£
(схема 5.4
Другие аппроксимации. Для других аппроксимаций имею
место те же самые результаты; разница только в определении D/,
пространства Х;,, которому принадлежит я^ (и, конечно, в опре
делении Уд и IF^).
Для аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ) и (АПР5) пространство X
есть пространство ступенчатых функций
"д = 2 4^1^, Ц^^^,' (6.96
где х»**—характеристическая функция симплекса ^. Дискретна;
дивергенция понимается как ступенчатая функция вида (6.96)
определяемая соотношениями
Функция йд из 1^д принадлежит Уд, если и только если ступен
чатая функция D^% является нулевой. При таком определени1

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 305
МЫ также получаем существование функции л/f, удовлетворяющей
соответственно (6.92) —(6.95) (схемы 5.1 —5.4), в случае
аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ), (АПР5).
Аналогичный результат можно получить и для
аппроксимаций (АПР4), но здесь построение пространства Х^ i^'h^^h)
технически более сложно.
6.4.2. Алгоритм Удзавы. Рассмотрим применение алгоритма Удзавы
к решению задач (6.92) —(6.95). Пусть элементы (т—1)-го слоя
уже вычислены и нам надо вычислить неизвестные
и;Г€^л и n,-eXft. (6.98)
Мы хотим получить их как пределы двух последовательностей
элементов
W^-'^Wf, и л^-'^Х^, г = 0, 1, .... оо. (6.99)
Как и в пп. 5.1 и 5.3 гл. I, начинаем с произвольного
11^'"€Х;^. (6.100)
Если n'h-'' уже известны, то мы определяем и^'''+' и n'f^- ''■*■* (г ^ 0)
из уравнений:
схема 5.1, или (6.92): u1^-''-^'^W^ и
W- '^\ г»л) + Ь {{и^- ^+\ V,)), + kb, {иг\ ut '^\ г»,)
(6.101)
лг-'-^'€Хл и
(я?•^«-яГ^ QH) + P{DnU'^'^\ (7ft) = О >fq^^Xh. (6.102)
Существование и единственность решения «"•''+' уравнения (6.101)
следуют из проекционной теоремы (задача линейна относительно
-йй*'''"'"'). То же соображение применимо и к (6.102), но в
действительности (6.102) дает л;?*-''+' явно, без обращения какой-либо
матрицы. Определение и'/Г' '^^ сводится к решению дискретной
задачи Дирихле (см. гл. I, п. 5.1).
Для схем 5.2 — 5.4 (т. е. (6.93) —(6.95))мы оставляем (6.102)
без изменения, а вместо (6.101) используем соответственно:
схема 5.2, или (6.93): и'^-'-"'^Wf^ и
(«r^-^S г»б) + (Ь/2)((йГ'-Ь йГ^-Ч v^)),
+ (k/2)b^(ur\ йГ' + й;Г-^^\ v^)-kin^'^, DftWft)
={К-\ Vf,)+k{f'-, v^) Vv^^W^, (6.103)
схема 5.3 или (6.94): й?''"' 6 W^ и
(af/'^^S г»л) + Ь((й;Г'^*\ Vf,))^ + kb^{ur\ йГ\ v,)
-k{n'S-', D^, v,)^(ur\ v,)+k(f"', V,) >fv,^W„
(6.104)

306 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
схема 5.4, или (6.95): tt'ff'-'^^W^ и
-k{nf' \ D^v^) = {ur\ Vn) + k{f', vn) V»^ € W^'/i. (6.105)
Подчеркнем, что все элементы (m—1)-го слоя известны и для
того, чтобы вычислить af, л^, мы производим итерации по г,
вычисляя tt'h-''*\ я^''■+Ч
Что касается сходимости этого алгоритма, то весьма
интересно, что критерий сходимости здесь почти тот же самый, что
и для линейной задачи.
Предложение 6.7. Если число р удовлетворяет условию
0<p<2v/n ', (6.106)
то n't'' сходится при г—* оо к и'/{ в W^, а п'ц''—к n'h в A'^/R.
Доказательство. Мы проведем доказательство лишь для схемы 5.1
(уравнения (6.101) и (6.102), cooTBerctByrouxHe (6.92)). Опуская
индексы т и h, положим
v'-=u'^-'-u^, (6.107)
я'- = л;,«'' —л^. (6.108)
Вычитание (6.92) из (6.101) дает: '^v^^W^
(г»^ + \ v^) + kv((v'^\ v^))^ + kb^{ur\ v'*\ «й) '
при ©ft--=©'■+' получаем (с учетом (5.6))
|^r+i|2_j_^v|i©'-+ij!,; = *(ii', Df,V*'). (6.109)
Вспоминая, что Ода^ = 0, так как u'^'^Vf,, мы можем записать
(6.102) в виде
(Il'+^-я^ 9ft) = -p(DftZ»^+^, 9;,) Vq^eX^;
полагая ^й = п''+\ получаем
I п'-+1 Р — I яЧ' + I л'-+^ — л'' |2 = — 2р (DftZf+\ я''+i). (6.110)
, Далее продолжаем так же, как в доказательстве теоремы 1.5.1.
Правая часть(6.110) равна — 2р (DftZf+\ я'-+*—я^ — 2р{D^v'-+\n')
и, как мы докажем ниже,
I {D^v^, Hft) I < /rt I Ял 111 T»ft k V^ft e Xft, T»ft € W7ft. (6.111)
Временно приняв это на веру, оцениваем правую часть (6.110)
величиной
— 2p(Dft©'-+i, я'-) + 2р1/'п11г»'-+1||й|я'-+^ —ji'l
б
<S|я'+^-яЧ=+^ё^||г''+l| + 2p(Dftг»'+^ лО.
'п = 2 или 3 (размерность пространства).

§ 6. Дискретизация уравнений Навье — Стокса 307
Теперь прибавим уравнение (6.110), умноженное на k, к
уравнению (6.109), умноженному на 2р. Приведя подобные члены,
получим
k 111'-+» \^ — k\n'-\'-\-{l-8)k\ п'-+^ — п'- р
+ Iг»'-+11 + ^р (2v-pn/6)II W+iIP <0. (6.112)
Если р удовлетворяет (6.106), то найдется такое б, 0<б<1,
что 2v —ря/б>0. Суммируя неравенства (6.112) для г = О, ...,s,
приходим к неравенству
S
/^|я*+1р+ 2 {k(\—6)\n'-+'- — n'\-' + \V+^m
S
+ ^p(2v-pn/6) ЦЦг'-'+ЧР ^/fe|ii4'. (6. ИЗ)
г = 0
Это показывает, что ряды ^ [Vf, ^ |»''p
сходятся и, следовательно,
г,'--^0 в Гд при г-^оо. (6.114)
Неравенство (6.113) показывает также, что последовательностьл*
ограничена. В силу (6.102) и уже доказанного, любая сходящаяся
подпоследовательность последовательности я* должна сходиться
к О в Xft/R. Поэтому и вся последовательность л* сходится к О
в Xf^iR (т. е. в Х^ с точностью до аддитивной постоянной). □
Остается доказать (6.111).
Лемма 6.6. Для аппроксимаций (АПР1) —(АПРЗ) и (АПР5)
I (D^v^, я,) \^Vn\n,\]v, I ^я, € Xf, Уг», € W^. (6.115)
Доказательство. Для случая конечных разностей ((АПР1)),
поскольку функция я^ постоянна на блоках О/^ (УИ), М ^ щ, имеем
("л. ^л^л) = S ^н {х)[ 2 ^ih^ih {X) ) dx.
Согласно неравенству Шварца, эта величина оценивается как
<\4\Vn(j: S|V,-^ft(^)Pdx

308 Гл. III. Эволюционные уравнения Наеье — Стокса
Но
J I "^IH^IH (Х) р dx = -1- J I Vi^ (X + hi) - V{^ {X) I» dx
= -^ j \viH[x + jhi^~Vif,(^x-^hi'j\'ux
R"
a значит,
Для случая конечных элементов мы снова замечаем, что п^
постоянна на каждом симплексе ^С^й> '^^^ ''то
("л. ^л^л) = S "л (X) div ©ft (X) dx.
а
Поэтому, в силу неравенства Шварца,
1(Пй. ^ft«'ft)KI"J|divPft|<l^rinft|||»ft||. П
6.4.3. Алгоритм Эрроу — Гурвица. Мы вычисляем йЛ*, п^ как
пределы двух последовательностей элементов ttJf-''glFft, яУ'''^Х;^,
г^О, определенных немного иначе, чем в предыдущем подпункте.
Введем два положительных параметра р и а. Алгоритм
начинается с любых
и^'^еп, ji^-e^ft. (6.116)
Если ng*' '■ и Mft"'' уже известны, то мы определяем п^'''+' и
цт, г+1 р^ак решения уравнений:
схема 5.1, или (6.92): и^-''+'€ ^7^ и
fe ((йГ- '■^' - ий*' % «»ft))ft + («?"• ^ г^л) + kv (W- \ z»ft))ft
+ kb„ {uf-\ ul^' ^ v^) - ^ (яй=. % D,z»ft)
= («Г'.г»й) + ^(/'«,г»,)Уг»лей^'л. (6.117)
а(я-,^+1_л^,^, ^^) + p(Dft«^.^+\^,) = 0 V^^ftCXft. (6.118)
Существование и единственность и"-'''*■' следуют из проекционной
теоремы, то же верно и для я^*' '^■*'^, хотя в этом последнем
случае проще заметить, что n{f'''+* определяется из (6.118) явно.
Для других схем (схемы 5.2—5.4, т.е. (6.93) —(6.95)) мы
оставляем (6.118) без изменений, а вместо (6.117) используем

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 309
соответственно:
схема 5.2, или (6.93): Wff- '•■^^ ^^^ к
k{{WS' '^^-WS- ^ г»й)Ы-(йГ ^ г»й)+(Ь/2) ((иг '■^иГ\ Vh))h
^{kl2)bj,{ttt-\ иr^ + <■^ г»ft)-A;(яг'.^ D^v„)
= (a;r-\ г»,) + НГ, v^) Vt», e W^'ft, (6.119)
схема 5.3, или (6.94): и?- ^+' e W^'^ и
k {{K- ^^' - uf- % Vf,))^ + («Г % Vf,) + A!v ((и;Г. % Vf,)\
+kb^{K-\ иГ\ г'л)-^№^ Oft, ©л)
= («r\^ft) + ^(/'".^ft)Vt»fteW^'ft, (6.120>
схема 5.4, или (6.95): W^-'^-'^W^ и
fe {{up '*' - a^"- ^ г»й))й + «■', г»й) + kv ({иГ\ v^)\
+kb^{ur\ ur\ г»ft)-A;(nГ^ D^v^)
=^{u'r\v^) + k(f'",v^) >fv^^W,. (6.121)
Что касается сходимости, то имеет место
Предложение 6.8. Предположим, что р и а удовлетворяют условию
О < р < 2av/(av2 + п) '. (6.122)
Тогда Ий*'' сходится при г —* со к uf в W^, anh'''~K nj^ в X/,/R.
Мы опустим доказательство этого предложения, аналогичное
доказательствам теоремы 1.5.2 и предложения 6.7.
§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса
при помощи метода дробных шагов
В этом параграфе мы рассмотрим аппроксимацию уравнений
Навье — Стокса методом дробных шагов. Метод дробных шагов,
или метод расщепления,— это метод аппроксимации
эволюционных уравнений, основанный на разложении операторов, фигури-
рующих в уравнениях. Сначала мы изложим идею метода на
следующем простом примере. Предположим, что
аппроксимируется линейное эволюционное уравнение
й'+^и=0, 0</<Г, (7.1)
' й(0) = и„, (7.2)
где и (О —конечномерный вектор, u{i)^R", а с/^ —квадратная
матрица порядка т. С помощью обычной неявной схемы
(аналогичной схеме 5.1) определим последовательность векторов W",
m-~0,...,N, соотношения.ми (T' = ^yV, ^ —шаг по времени^
' п = 2 или 3 (размерность пространава).

310 Га. и J. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Л' —целое число):
«° = и,., (7.;
{u''*^ — u^«)/k+Au"^*^ = Q,m = 0,.. ,N — 1. (7.'
Метод расщепления базируется на каком-либо разложении .
в сумму:
d='^di. {7.1
Начиная опять с
й» = и„, (7.е
мы рекуррентно определяем семейство элементов «'"+'''',/ft = О,..
...,N — 1, (=1, ■.•,q, полагая
i = 1, . ., q, т = 0, ..., N~l.
Если W" уже известно, то а'"+^ может быть вычислено в случа^
обычной неявной схемы (т. е. (7.4)) с помощью обращения матрищ
1-\-кЛ; в случае метода дробных шагов (т.е. (7.7)) для вычис
ления и"*"- необходимо обратить q матриц {I-\-kJli), • • ■> (^+^'^в)
алгоритм целесообразен, если все эти q матриц вместе обратит!
проще, чем одну матрицу l-\-kd.
Эгот метод может быть применен к уравнениям Навье — Стоксг
многими различными способами, соответственно различным воз
можным-разложениям операторов. Мы рассмотрим два из них
В первом q = 2,
п
^^й = — V Ди + 2 и,Аю> (7-8'
1 = 1
а су/з — некоторый эвристический оператор, учитывающий члеь
grad/? и условие divtt = 0. Позднее мы аккуратно всё опишем,
а сейчас лишь отметим, что в случае уравнений Навье — Стокса
метод, который мы будем рассматривать, является некоторой
интерпретацией, а не просто частным случаем метода дробных
шагов, представленного формулами (7.5) — (7.7).
Во втором разложении Л мы имеем q = n-\-\\ оператор </?„+]
похож на предыдущий оператор Л^, а операторы Л^, ..., Л^
определяются равенством
Л1и= — уО}и+и101и, /==1, ...,/г. (7.9)
Мы можем также совместить этот метод с некоторой
дискретизацией по пространственным переменным. Изучать все
возможные комбинации было бы бессмысленно и утомительно. Поэтому
мы ограничимся двумя характерными случаями: рассмотрим пер-

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса ЗИ
вое ИЗ приведенных выше разложений вообще без аппроксимации
по пространственным переменным (п. 7.1), а второе—с
дискретизацией при помощи конечных разностей (пп. 7.2 и 7.3).
7.1. Схема с двумя промежуточными шагами. Мы
опишем здесь аппроксимацию уравнений Навье —Стокса методом
дробных шагов без дискретизации по пространственным
переменным.
7.t.l. Описание схемы. Размерность пространства п—2 или 3.
Мы хотим аппроксимировать решение задачи 3.1 (или 3.2). Для
простоты предположим, что
feLHO,T;H)- (7.10)
и, как и выше,
й„б//. (7.11)
Пусть интервал [О, Т] разбит па N интервалов длины k (T=kN).
Положим
mk
/'"=Х J /(^)d^ m^l, ...,N. (7.12)
(m- 1) *
Мы определим сейчас некоторое семейство «'" + '''2, г = 0, 1,
т = 0, ..., N — I, элементов из L^{Q). Эти элементы вычисляются
последовательно в порядке возрастания значения дробного
индекса т + i/2. Начинаем с
и'' = йо- (7.13)
Если и"' уже известно (/л^О), то последовательно определяем
j^ffl + i/2^//i(Q) и Й-*(И"'+1^''—и"», t>)-rv((M"'+i/S о))
+й(и'"+l/^ й'"+l''^ ©)=(/"', г>) vt>ея^(й), (7.i4)
ди+1^// и (и"'+\г>) = (и'"+1/^, V) Vv^H. (7.15)
Здесь й —это форма, введенная в гл. II, кососимметричная часть
формы Ь:
Ъ{и, V, w) = 2-^ {Ь{и, V, w) — b{u, W, V)}. (7.16)
Поскольку ns^3, ясно, что В является, как и Ь, непрерывной
трилинейной формой на Hl(Q) и
b {и, v,v) = 0 Уи, V е HI (Q). (7.17)
Уравнение (7.14), определяющее и'" + '/^, представляет собой
>1елинейное уравнение, очень похожее на стационарное уравнение
Навье—-Стокса, и доказательство существования по крайней мере

312 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
одного элемента am+i/^, удовлетворяющего (7.14), проводится
точно так же, как в теореме II. 1.2, с использованием методг
Галёркина и (7.16).
Соотношение (7.15) означает, что «""+* является
ортогональной проекцией элемента и'"+1^^ на Н в L^{Q). Поэтому элемент
/1"+^ вполне определен равенством (7.15); запишем
»"»+! = р^й'^+1/S (7.18]
где Р/^ обозначает ортогональный проектор в L^{Q) на
подпространство Н. В силу характеризации Н и Я-L, данной в теореме
1.1.4, разность ««+1/2 —и"'+^ есть градиент некоторой функции
из fP (Q). Обозначая эту функцию через kp'"'^'-, имеем
(и'»+^ —a'"+^/2)/fe + gradp"'+i = 0, р'"+^ е^^Ч^^)- (7.19)
Соотношение (7.15) эквивалентно двум условиям, а именно (7.19) и
W^^^eL^Q), diva'"+i = 0, у^и'"+^=-0. (7.20)
Замечание 7.1. Соотношение (7.14), определяющее и""*^^^,— это, по существу,
нелинейная задача Дирихле; записывая (7.14) для v^^{Q), получаем
п
+^<+'^'0,-a'" + i/2+-i(dlv и'" + 1'''')и'" + 1''*=/'я. (7.21)
1=1
Замечание 7.2. Соотношения (7.19), (7.20), определяющие и'"■'"•^'* н р'" + ^,
эквивалентны некоторой задаче Неймана относительно р^ + Ч ' Применение
оператора div к обеим сторонам (7.19) приводит к уравнению
др'п+1 = й-1 diva'"**'"' (ибо diva'» + '=0), (7.22)
а применение оператора yv (взятие нормальной компоненты на dii) приводит
к условию
ap'» + V3v = 0 на T = dQ, (7.23)
так как yv u"^^^^ — уу и"^'*'^^^=0. Интересно отметить, что граничное условие
„др/д\ = 0 на Г" не выполняется для „настоящего" давления; это влияет на
точность, с которой yo^+i аппроксимирует р; однако, как будет показано
позднее, это не влияет на сходимость схемы. В другом методе дробных шагов,
■разбираемом в п. 7.2, эта особенность не возникает.
Наша цель теперь —получить априорные оценки для и'"'^'^'',
а затем исследовать схему на сходимость.
7.1.2. Априорные оценки (/).
Лемма 7.1. Элементы й'"+'/2 остаются ограниченными в следую-
' Если р'" + '-- известно, то я"» + * непосредственно определяется из (7.19)^

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — С такса 313
Ш^м смысле:
|M'»+'/2|2^d2, m==0, ...,iV —1, i*=l,2, (7.24)
N-l
k ^ ||a'»+^p<4/v, (7.25)
N-l
2 la^+i —й'"+'/2|2^4, (7.26)
■ m =0
W-1
2 I и'"+1/'' - й"" I' < d^ (7.27)
/71 = 0
где
т
d. = |MoH-(d?/v)J|/(s)|^ds. (7.28)
о
Доказательство. Записывая (7.14) с v^W"*^'^ и принимая во
внимание (7.17), получаем
|дт+1/2|2_|^^».|2^|Ят+1/2_д-я]2^2Ь1|й'"+1/2р
= 2k (/", Й'" +1''^) < 2;% I/"» 11 И'"+ I/'' I 2 < ' 2Ыо I /"»I 1 И'" + '/^ 11
< kv II и'"+1/^ II ^ + (W;7v) I/'" I ^ (7.29)
Отсюда
I дт + 1/2| 2_| j^m j2_{_ j j^m+l/2_^m |г^у^^||дОТ+1|2
<(^S/v)|/'»|^ (7.30)
Мы можем записать (7.15) с г>=и"'+1; это дает (и"** —и'"+1/%
й««+1) = 0, или
I a-^ + l 1 2 _ I ит+ 1/2 I 2 ^ I дИ+1 _ „«1+1/2 j 2= 0. (7.31)
Суммируя соотношения (7.29) и (7.30) для /л ==0, ..., Л^ — 1,
получаем
N-1 N
+ kv 2 |tt"^^^'■'V^\u,\' + ikdlM 2 1/"!'
m = 0 m=l
<(всилу (5.29)) |a„|^ + (d?/v)5|/(s)hds = d,. (7.32)
о
Это доказывает оценки (7.25) —(7.27). Теперь просуммируем
соотношения (7.30) для т = 0, ...,/■ и соотношения (7.31) для
т = 0, ..., г—1. Опуская некоторые положительные члены.
^ lol<afo||»| y^v^HliQ).

314 Гл. III. Эволюционные уравнения Наем — Стокеа
находим, что
Аналогично, суммируя соотношения (7.30) и (7.31) для т—0, ..., г,
получаем после некоторых выкладок
тем самым доказано и (7.24). Q
Аппроксимирующие функции. Введем „аппроксимирующие"
функции йу\ t=l, 2, и и^ следующим образом:
йУ': [О, T]-^LHQ),
uf (t) = й'"+'''^ для mk^t <{т+1)к,
/=1,2; (7.33)
ttf^ —непрерывная функция из [О, Г] в L^^),
линейная на каждом интервале \mk, {m-\-\)k\,
т — 0 Л^ — 1;
щ{тк) = и"', т = 0, ..., N. (7.34)
Из леммы 7.1 непосредственно вытекает
Лемма 7.2. Функции й^, а*/\ t'=l, 2, остаются ограниченными
в /."(О, Г; L^(Q)) при й—»-0. Функции ai^^ остаются
ограниченными в L^{0, Т; ffl{Q)).
Лемма 7.3. |й1"-й1'М1Мо. Г; £Мй»<К^2, (7.35)
I й^- й5^'' \l' <о. т: l^ т < КЩТЗ. (7.36)
Доказательство. Оценка (7.35) является прямым следствием леммы
7.1. Что касается (7.36), то вычисления из леммы 4.8 дают
N-1
|йй-й1'1Ь<0. Г; iMQ))=(*/3) 2 1й'» + 1-й-|\
т=0
Но
I й^+1—й«» К (й"+' — «'"+1'"' I +1 й""* 1''2 — й" I,
I й"»+1 — И"» р ^ 21 а"+^ — й'"+1/'' р + 21 й'"+1^^* — W" 1*
и потому, в силу (7.26)—(7.27), | й;, —и^"|Ь(о. г;1^(й))<(4-%/3)4- D
7./.^?. Априорные оценки (И). Для того чтобы применить методы
компактности, нам нужно оценить производную от щ по времени.
Продолжим функцию й^ нулем вне интервала [О, Т] и обозначим
через щ преобразование Фурье продолженной функции.

§7, Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 315
Лемма 7.4. Это преобразование Фурье я^ удовлетворяет оценке
J ltpv||ii;^(T)||^,dT<const, 0<Y<l/4, (7.37)
еде константа зависит от у и от данных.
Доказательство. Согласно теоремам 1.1.4 и 1.1.6, У = ЯпЯЦЙ) и
соотношения (7.14) и (7.15) выполняются для любого г> g V.
Суммированием получаем
у^-х(й'я+1 —и"*, г») + v((й'"+^/^ г»))+Ь(й"'+^/^й"'+^ V)
= (/", v)yveV, /л = 0 iV-1, (7.38)
а это уравнение эквивалентно уравнению'
= (Л(0, ®)V/e(0. T)yv£V, (7.39)
или
-^ (и, it), V) == <gft(t), v> V/ e (0, T) w e V, (т.щ
где
fk{t)=f'", mk<J<{m+l)k, m = 0, .... Л^-1, (7.41)
a g^(t)6V определено соотношением: Vv^V
<ffft(0, v>^~x{{a['\i), v))
-b{ui''{t),u'k'\t), v) + (A(t), V). (7.42)
Из свойств формы b очевидным образом следует, что
IIg, it)\\v < VII ui'' (/)II +c II ui'' (Of + 1Л (0 I, (7.43)
И HO лемме 7.2
последовательность g), ограничена в L^iO, Т; V). (7.44)
После этого мы можем в точности повторить доказательство
теоремы 2.2 и получить (7.37). П
7.1.4. Сходимость схемы. Поведение аппроксимирующих функций
й*\ и^ при k~^0 описывается следующими теоремами.
Теорема 7.1. Пусть размерность пространства п = 2 и
заданные функции /, и„ удовлетворяют (7.10)—(7.11); пусть, далее,
а—единственное решение задачи 3.1, и1'\ U/i — аппроксимирующие
' Шляпка над h не имеет никакого отношения к шляпке, обозначающей
преобразование Фурье.

316 Гл. III. Эволюционные уравнения Ншье — Стокса
функции, определенные в (7.33), (7.34). Тогда при й—+0
я*'', ttft сходятся к и сильно в L^ (Q)
и '-слабо в 1Гф, Т; L^Q)); (7.45)
й**' сходится к и сильно в D (О, Т\ Щ (Q)). (7.46)
Теорема 7.2. Пусть размерность пространства п — 3 и заданные
функции /, и, удовлетворяют (7.10) —(7.11). Тогда существует
последовательность k' —*■ О, такая что
U'k''\ Uk' сходятся к и сильно в L^ (Q)
и '-слабо в ^"(0, Т; L^Q)); (7.47)
и1'* слабо сходится к а
в L40, Т; ffl{Q)), (7.48)
где я — некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой
последовательности k'--*Q, для которой выполняются (7.47) — (7.48),
и должно быть решением задачи 3.1.
Доказываются эти две теоремы одинаково, за исключением
утверждения о сильной сходимости в L^(0, Т; НЦО.)).
7.1.5. Сильная сходимость в L^{Q). По лемме 7.2 существует под-
последовательгюсть k' —>■ О, такая что
ttV■''-*u'^' •-слабо в L" (О, Т; fJ(Q))
и слабо в ЩО, Т; ЯЦЙ)), (7.49)
ttl' — й'^> '-слабо в L'"(0, Т; L« (Q)), (7.50)
Uk' — й. «-слабо в L°° (О, Т; L"" (Q)). (7.51)
В силу леммы 7.3,
„(1) = „(2. = „^ (7.52)
Функции и*^', а значит, и функция й*'" принадлежат L" (О, Т\ Н).
■Отсюда вытекает, что
йЛО е ^i (Й) П Я= V' п. в.
■и, следовательно,
я.е^-МО, Г; V)nL~(0, Г; Я). (7.53)
Результаты о сильной сходимости в L^ (Q), нужные для того,
чтобы перейти к пределу, не получаются простым применением
теорем о компактности; они требуют некоторых дополнительных
соображений, которые мы сейчас и изложим. Напомним, что,
согласно определению dk\ значения u^h\t) принадлежат Н для
всех <6[0, Т], а по теореме 1.1.4 пространство L^(Q) является
прямой суммой // и его ортогонального дополнения /А.
Обозначая через Р„ и Я X ортогональные проекторы в L^(Q) на // и
н

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 317
Я-L, имеем й1'* = Р„й1^*+Я^хй*'*. а потому
(7,54)
I йУ> (t)-tti'> it) \' = I P^ui'^ it) -tti'' it) p + P^^tti^> it) p.
Ha основании (7.54) и (7.35) мы заключаем, что
. Р„й*/*-й1'*-^0 сильно в ЬЦО, Т; Н), (7.55)
Р jluV^ -^ о сильно в L2 (О, Т; U (Q)). (7.56)
н
Из замечания 1.1.6 и леммы 7.2 следует, что Pf^tti^^ является
ограниченной последовательностью в L'^ (О, Т; Н^ (й) П //); поэтому
мы можем выбрать упомянутую выше подпоследовательность k'
так, чтобы
Я„й1'*->Р„и, = я, слабо в L^(0, Т\ Я'(Й)ПЯ). (7.57)
Теперь применим теорему 2.1 следующим образом: положим
Хо = Я'(Й)пЯ, Xi = l^' ив качестве последовательностей {и„),
{v^) возьмем последовательности {ил-}, {P,.,u!-k\\. Эти
последовательности обладают всеми требуемыми свойствами. Далее, H^ (й) п
Г\Нс:Нс:У', и поскольку вложение H^{fi)nH в Я компактно,
то компактно и вложение Я'(Й)ПЯ = Х|, в l/'^X^. Теорема 2.1
позволяет нам утверждать, что последовательность Я^^ йь^*
относительно компактна в L'*(0, Т\ V') и поэтому
P„dk-^-^P„u,~-=u, сильно в L2(0, Г; V"). (7.58)
Применение леммы 2.1 с Х„ = Я1(Й)ПЯ, Х = И, Xi = V'
приводит к оценке
I Pfitlk' — М* |L2 (О, Г: W) ^ е I Pfjafe' — й» Jl2 (о, Г; № (а)П'/>
+ С (е) 1 Р„й1'' — и^ \\l> (0. Г: V'),
И так как последовательность Р^/Я*'' ограничена в L^ (О, Г; Я* (й)), то
|Р/^И^'*—М, |l.(o, т: Н)<Се + С(е)1|Р„и1*'> —й.!^(о. Г; V).
(7.59)
Переходя в (7.59) к верхнему пределу, получаем
lim 1РяИ*''— и. кмо, т; W)<C'e.
ft'-* о
Поскольку Б произвольно мало, этот верхний предел равен нулю
и поэтому
P„«i'' -^ и. в L^ (О, Т; Н) при k' -^ 0. (7.60)

318 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Сравнивая (7.56) и (7.60), заключаем, что
й1'' —и, в L«(0, Т; ЩО.)) (сильно) при А'-н-О. (7.61)
Наконец, из (7,35) и (7.36) вытекает, что
иР~^и, в 1Ц0, Т\ L^{Q)) (сильно) при k'-*0, (7.62)
Uw -* й* в L^ (О, Т; L" (Й)) (сильно) при k' -* 0. (7,63)
7.1.6. Доказательство теорем 7.1 и 7.2. Пусть -^ — произвольная
непрерывно дифференцируемая функция на [О, Т] и 'ф(Т') = 0.
Умножим (7.39) на ■\\:'{t) и проинтегрируем по t. Интегрируя первый
член по частям, получаем (йа(0) = йо)
о о
т
о
г
==(йо, 15(0)©)+$ (Л (О. v^p{t))dt V»€V.
о
в силу (7.49), (7.11) и (7.52),
т т
5 (м*- (/), г>ф' (0) di — S (й, (О, г>ф' (/)) d/,
о о
J ((я*-(О, г»г1,(<)))(1^-. $((йЛО. г»гр(0))(1^.
Вследствие (7.16), (7.61) и леммы 3.2,
т т
\b{u'k'\t), u'^^t), v^^{t))At-.]b(tt,{t), u^t),'04t))ut.
о о
Так как tt»{t)^V п.в,, из леммы 11.1.3 и (7,16) вытекает, что
b(Ut{t), tt.t{t), v) = b{u,it), я«(0. V) п.в. Из леммы 4.9 легко
выводим, что
7 Т
5(Л(о, v^(i))di-^i{f(t), v^{t))dt.

' g7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 319
Таким образом, в пределе получаем
о о
г
+ [b{tt,{t), U,it), V^pit))At
о
т
= (й„, г>г1>(0))+ 5 {fit), v\p{t)) dt WeV: (7.64)
о
Это уравнение в точности то же самое, что и уравнение (3.43),
и поэтому мы заключаем, как и в теореме 3.1, что я, является
решением задачи 3.1.
Те же рассуждения могут быть проведены для любой другой
сходящейся подпоследовательности последовательностей й^, я**.
Это завершает доказательство теоремы 7.2 для случая п = 3. Если
и —2, то существует только одно решение задачи 3.1; значит,
я, = й и сами последовательности Uk\ ttj^ сходятся к я, в смысле
(7.49) —(7.51). Остается доказать сильную сходимость в Ь^ф, Т;
Hoi^^)); этому посвящен следующий подпункт.
7.1.7. Доказательство теоремы 7.1 (сильная сходимость).
Лемма 7.4. Если п = 2, то u^=Uk -*и{Т) слабо в L^(Q.) при
Доказательство. Согласно (7.24), |я^|^const и, следовательно,
подпоследовательность k' можно выбрать так, чтобы
и^,^1 слабо в Я(я^ хеЯ). (7.65)
Интегрируя (7.39), получаем, что
г
(я,(Л. г») = (и^ г») = (я„, t»)-v J ((я^'>(0, v))ut
о
т т
-^biui'^t), ui'\t), •o)d<+J(/,(0, v)At Vt>6V.
0 0
в этом соотношении легко перейти к пределу по
последовательности k':
(Х. '0) = (Яо, г>)-v5((я(0, v))At
о
Т I
-]b(u{t), u{t), v)At+\{f{t), v)UU
о о
Сравнивая это с (3.13), проинтегрированным от О до Т,
заключаем, что (х, г>) = (я(Г), V) Vo^V, и так как х€^, то я (Г) = х-

320 Гл. III. Эволюционные уравнения Наеье — Стокса
Поскольку предел не зависит от выбора подпоследовательности У^',
соотношение (7.65) фактически справедливо для всей
последовательности k. П
Лемма 7.5. Если п = 2, то uV' —^и сильно в L^{0, Т\ НЦО,)).
Доказательство. Рассмотрим выражение
г
X^-^\tt''-u{T)\^+2v[\\u'k'\t)-tt{t)t dt.
о
Запишем Xft = X<i' + Xi'4X</>, где
г
о
г
Х^^> = -2(й^ и(Т))-Ах]Ы\1), tt{t)))ut,
о
т
xi'' =\w''\ -\-2x\\u\'\t)f At.
о
Член X"' не зависит от k\ в X'k' легко можно перейти к пределу;
вследствие (7.49) и леммы 7.4,
7
Xi^> -^ —2 j и (Г) р _4v 5 II й [t)f it = -2ХЧ>.
о
Для предельного перехода в Xi" доказанных результатов о слабой
сходимости недостаточно. Однако суммируя соотношения (7.29]
и (7.31) для /л = 0, ..., Л/ —1, мы можем записать
т=1 m = О
Л/- 1
m = О
Г
ИЛИ Xi''<|«ol- + 2S(A(0. и1'Ч0) d^ Переходя к верхнем)
о
г
пределу, получае.м lim Xi^'^Ащ]^+ 2 \{f{t), и (t)) At. В сил>
энергетического равенства для точной задачи (см. (4.55)), правам
часть последнего неравенства равна X*". Отсюда lim XJj'^^^X*''
ft -»■ о
Сопоставляя установленные неравенства, заключаем, что Иш Х^^
*-> о
^0. Это показывает, что Х^ -^ О при й —* 0. П

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 321
fi2. Схема с п-\-\ промежуточными шагами. Мы опишем
fry схему для случая, когда используется дискретизация по
пространственным переменным. А именно, мы рассмотрим аппрокси-
мпцию пространства Hl{Q) конечными разностями, изученную
и гл. I, и соответствующую аппроксимацию (АПР1) простран-
сгиа V. Последующее можно частично распространить и на другие
иппроксимации пространства V, но для них схема представляла
бы значительно меньший интерес, так как метод расщепления
наиболее эффективен в сочетании с конечно-разностными
методами.
7.2.1. Разложение операторов. Для каждого h — {h^, ..., h„),
Л(>0, мы определили, в гл. I, п. 3.3, аппроксимацию W^
пространства Hl{Q) и соответствующую аппроксимацию Vft простран-
отна V (конечные разности, аппроксимация (АПР1)). Оба эти
оннроксимирующие пространства конечномерны и снабжены либо
скалярным произведением (и, t?), индуцированным кз L? (Q), либо
скалярным произведением
п
((Ил. Vh))h = S (S,ft«ft, Sfft'Oft).
1=1
Определим на W^ (и, следовательно, на V^) п других скалярных
произведений
((Ий- 'Z'ft)b = (S,A«ft, 6,ftOft), l<t^«. (7.66)
С'огласно дискретному неравенству Пуанкаре (см. предложение
1.3.3),
l«ftKdol!«ftlUV/ieK^ft, 4 = 2/, (7.67)
где / обозначает теперь максимальную ширину Q в
направлениях X;. Из этого неравенства следует, что ЦЦ,^ представляет
собой норму в IFft, а ((•, О),/! —гильбертово скалярное произ-
иедение.
Далее, запишем трилинейную форму Ь/,, рассмотренную в (6.3)^-
(6.5), в виде
п
b„{Un, ■Oft, Wft)= 2 Ь,л(Ил. '«л. Wft), (7.68)
1 = 1
b,.ft(«ft, v^, ТОй)=Ь'(й(Ий, ■Oft, w^) + b"if,{u^, •Oft, TOft), (7.69)
1 " г
b'ift {Uf,, •Oft, TOft) -y ^ J «,.ft (6,./,o,ft) Wyftdx, (7.70)
/= 1 Q
1 " Г
b-ft («ft, •Oft, Wft) - — у ^ J M,ftU;ft (6,fti2)yft) Ax. (7.71)
/-1Q

322 Гл. т. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Все эти формы являются, очевидно, непрерывными трилинейным
формами на W,, X й^/, X W^; ясно также, что
7.2.2. Описание схемы. Данные / и «„ удовлетворяют (7.10)-
(7.11). Предположим,что нам задано следующее разложение/:
п
f=-l.fi'fieL^O, Т; Н), {7.7с
i= 1
это разложение может быть совершенно произвольным; простей
ший случай—9To/i=/, fi~0, t = 2, ..., п. Пусть интерна
[О, Т] разбит па N интервалов длины k{T = kN). Положим
(т+ l)ft
уш + ,79 = 1 Г f.(t)dt, i = \, ..., п, (7.74
тк
где
д=п+\. (7.75
Определим теперь семейство элементов Ий*'^*''''из W^, /п = 0, ...
N — 1, t = l q. Эти элементы определяются последователь
но в порядке возрастания значения дробного индекса m-\-i/q
Мы начинаем с
ul = (ортогональная проекция «„ на V^ в L^ (Q)). (7.76
3x0 определение имеет смысл, так как Wf^cL^{Q) и, очевидно
|И^,|<|И„| V/i. (7.77
Если и^ уже известны (т^О), то определяем и'"+Чч следующш
образом:
для l^i^n: uV''' € «^а и
+ 6,ft {ur^-"\ur^'\ ^ft) = (/'"+'•/», v^) ^v^eW^; (7.78
для t=« + l(=7): Kft'-^'e^ft и
{аГ\ т»,) = (йГ"^\ v,)yv,^V,. (7.79
Соотношение (7.79) означает, что й^"^' является ортогонально!
проекцией элемента «fT"^"^" на Уд в пространстве W,, со скаляр
ным произведением (•, •); таким образом, йа*"^' вполне опреде
ляется равенством (7.79).
Уравнение (7.78) линейно относительно и^''"''". Существова
нне и единственность Ий'"^'^' гарантируются проекционной теоре

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 323
МОЙ (теоремой 1.2.2). В самом деле, форма
+ b„(ur^-"\ «ft, V,) (7.80)
является непрерывной билинейной формой на Wfi, а форма
линейна и непрерывна; коэрцитивность формы (7.80) следует из
(7.72).
Замечание 7,3. (Интерпретация соотношения (7.79).) Мы дадим здесь
интерпретацию соотношения (7.79), которая позволит нам ввести аппроксимацию
давления. Поступим так же, как в п. 3.3. Элемент Ид'"''■'—И^'*'"''* из W/,
ортогонален к Vii (в смысле скалярного произведения (•, <)). Это равносильно
утверждению, что (и^"^"—и™"'""'''', Vfy) = 0, если Vh^^h и (определение V/,)
2 V/f//i(M)=0 vMgU^. (7.81)
В силу классического результата линейной алгебры, существует семейство
чисел Ям, М^й\, таких что
' {иГ' - чГ"". t'.) = Е/л. I 2 S/in^iH (М) ] VV, е W,. (7.82)
Ms&h '-'■=1 J
Пусть rtft'"'" 'обозначает ступенчатую функцию из Х^, определяемую равенством '
пГ'= У г^Ц-«".М. (7.83)
MiUh
Тосда отношение (7.82) можно интерпретирозать так 2;
fe-MиГ^-иГ"'^ •Рл)-(лГ\ Oftfft) = 0 VVhe^h,3 (7.84)
ИЛИ
fe-4«^+N^4)-«Dl^""{^4))+V,-ftnrNM)=0 УМ^Й^ (7.85)
' Ниже WfiM—характеристическая функция блока Oftf/Vn
г Ср. с (1.3.71) —(1.3.72).
п
i=\

324 Гл. ///. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Замечание 7.4. {Решение системы (7.7Ь)). Уравнения (7.78) эквивалентны
уравнениям
При вычислении И/^'*''''' неизвестными являются компоненты векторов
а^*^ ' (Щ', суть метода дробных шагов заключается н гом, что предыдущая
система в действительности распадается на несколько подсистем, содержащих
каждая лишь неизвестные ил'^'''(Л1), где точки М все лежат иа одной
прямой, параллельной направлению Xf. Благодаря этому система (7.78) очень
легко решается.
Замечание 7.5. {Решение системы (7.79).) Как и в замечании 7.2, мы можем
интерпретировать (7.79) как дискретизацию задачи Неймана для давления
п»» + 1 (с некоторым граничным условием, отличным от (7.23)):
1 ал""*! 1
ддяг +1 =_ djv U'" + "IV, -^ = у Yv""""^"'*. (7-^6)
Это позволяет нам решать вместо (7.79) соответствующую дискретную задачу
Неймана для ял'"*"'. По этому поводу см. Чорин [3], Фортэн [1]. В качестве
другой процедуры решения (7.79^ можно было бы взять итерационный
алгоритм типа рассмотренных в гл. 1, § 5, и в этой главе, п. 6.3. Ситуация здесь
аналогичная, и мы не будем на этом останавливаться.
7.2.3. Безусловные априорные оценки. Мы установим далее два
типа ап/иорных оценок: безусловные априорные оценки и
априорные оценки, полученные в предположении, что kwh
удовлетворяют некоторым условиям, аналогичным условиям устойчивости. Этот
пункт посвящен безусловным априорным оценкам; условные же
будут рассмотрены в п. 7.3.3, после изложения некоторых
предварительных результатов в пп. 7.3.1 и 7.3.2.
Лемма 7.6. Элементы uf'^^'^ остаются ограниченными в
следующем смысле:
\иГ'"\'<с1„ т-0 N-1, 1 = 1, .... д, (7.87)
JV-l
^Ullar^'ir^f'i^l. ..., n{^q-l), (7.88)
m=0
2 |йГ'"'-иГ'-^"Р<Й2. ' = 1 <7. (7.89)
m = 0
еде
^2=|й„Г + 2 U//(s)Pds. (7.90)

§ 7. Аппроксимация уравнений Новые — Стокса 325
Доказательство. Запишем (7,78) с V^ = Ut^'^'^''; используя (7.72),
получаем
-]-2kv\\ar"''fih
= 2/% (/"+'/«, йй'+'/''Х2/%|/"+'/«| jag*-^'/»!
<(в силу (7.67)) 2kd,\jr^"^\ ||йГ'"'11/д
<b]|ar'"'llm + (*^/v)|/'"-^'/»|?. (7.91)
Следователын;,
+ M\ur"4]h<{kdl/v)\f'"^"i\\ l<t<rt. (7.92)
Записывая (7.79) с v = uj^*\ находим, что
|йГЧ' + |и'"''"^'' |' + |йй*''^ —«^+""1" = 0. (7.93)
Суммируем все соотношения (7.92) и (7.93) для i = l, ..., п,
лг = 0, ..., Л/ — 1. После некоторых выкладок получим
1 < I' + S 'jj I иГ"' - иГ '■-^'' р + ь 'I;' "-^ II йГ+'" 11?^
г= 1 т = 0 1= 1 ;» = 0
<|аП^+^"Е Zl/"'"'P- (7-94)
1= i m = 0
Вследствие (7.77), |a^|^|ao| и поэтому, в силу (5.29),
N-\ Т
Таким образом, правая часть (7.94) не превосходит й^ и (7.88) —
<7.89) доказаны. Теперь при фиксированных г и/, O^r^iV—1,
1 ^ / ^ 9, просуммируем соотношения (7.92) и (7.93) для m = О, ...,
г —1,1 = 1, ..., qi, а также для /п = г, 1 ^i ^/'; опустив
некоторые положительные члены, найдем, что
т,
О < m + i/q < гл-j/q
(=1 т = 0
'■ = 0 N — \, /=1, .... (у.П
' Мы предполагаем, что 0<m-{-i/q<r-\-jJq,

326 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
7.2.4. Теорема об устойчивости. Введем аппроксимирующие
функции tth\ t = l, •••, q, и ttfi так:
й й': ГО П —»- W
й!,"'(0 = йГ^ '^' для /пА < / < (т + 1) А, 1=1 q, (7.95)
йд—непрерывная функция из [О, Т] в W,,, линейная на
каждом интервале {mk, (m+ 1)А],
m = 0, ..., iV —1, и Uf,{mk) = ttf,m = fi N. (7.96)
Из леммы 7.6 вытекает следующая теорема об устойчивости:
Теорема 7.3. Функции й/1"м й/,, определенные условиями (7.95),
(7.96), безусловно L°°(0, Г; L^ {0))-устоцчивы (1 ^i<. 7).
Функции ^ihUii'^ (1 ^ t ^ 'i) безусловно U- (О, Т; L" {й))-устойчиеы.
Замечание 7.6. (i) Из (7.89) следует, что
14"—«a""Umo. Г: /Mfi))< Vkd^, / = 2 я. .7.97)
(ii) Как и в лемме 7.3,
I Ий" —Ий I L' (О, Г; 1« (Q))< УЖ/2. (7.98)
В самом деле, используя вычисления из доказательства леммы 4.8, мы ви»
ДИМ, что
JV-l
« Х^ I m + i т 12
m=0 \г=1
m=0(=1
7.5. Сходимость описанной схемы. Мы хотим доказать сходимость
описанной выше схемы (7.78) —(7.79). Сначала нам придется
установить некоторые дополнительные априорные оценки.
7.3.1. Вспомогательные результаты. Обозначим через Л,-^ (1 ^ t ^п)
линейный оператор из W/, в W/,, определяемый равенством
(AinUn, ^ft) = ((aft. ^ft)),•ftVйft, Vf^^Wf,. (7.99)
Далее, обозначим через 5,д непрерывный билинейный оператор
из W^ X Wf, в Wf,, определяемый равенством
(5/л(«й. ^h)> дал)
= ^-а(йл. ^л. wJVWa, v„, w^^W^. (7.100)

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 327
В терминах этих операторов соотношение (7,78) может быть
записано в виде
+ Bi^{ttr'-^>\ иГ'"')=/Г"''. (7.101)
Лемма 7.7. Ila^i,^ <5,(/i)l а^ | Уй^б П. (7-102)
еде
■5,(А) = 2//г,(1<1<п). (7.103)
Доказательство. Это по существу доказано в предложении 6.1 '. □
Лемма 7.8. | А^^и^ \ <5,. (h) Ц и„ f ,л Уи„ € W^. (7.104)
Доказательство. Вследствие (7.99) и (7.102), |(^;йЙй,Ч7й)|
= I ((«A.«'ft))/ft 1<11 «ft II ,-ft 1! ^ft lift < Si (h) I йл ii ,ft I vn I Vttft, T»ft e tt^ft. a
7.3.2. Оценки для формы b,-/,.
Лемма 7.9. 5 случае п = 2
\Ь1н{и_н, ■Oft, Wft)|
</3 |aft|'/MlttftllKMl^ftll/ftl«'^|'/^|N,||i^% (7.105)
|&';л(й_л. «'ft, Wft)l
<1/з|йлГ1|ил1;/;1г»лПг»,к1ш,|и, (7.106)
|5ift(«ft. «'ft) I
<.2V-6S,{h)\u,rittAW\'Onr\\'OHfiL\ (7.107)
€5t {i, \] — произвольная перестановка множества {1, 2[.
Доказательство. Мы докажем (7.105) для i = 1, / = 2. Чтобы
упростить запись, опустим индексы h и положим й = {Й1, йгЬ t? = {Vi, v^),
'W=={'Wi, w^). По определению формы &,•,,,
1=1 Q
В силу неравенства Шварца,
5 |S,,t;,pdx\"'i \ \u,w,fAxX'\
R2 J I. R2 J
\ I Uiuy, p dx < 5 J sup I Ml (Xi, ia) jn J sup I Wi Hi, x^) f \ax.
R^ R» I, 52 j I ^2 /
' Доказательство предложения 6.1 надо рассмотреть для фиксированного/.

328 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
В последнем интеграле переменные интегрирования разделены^
поэтому
5 I U{Wi 1" dx < ] J sup «1 (Xj, ia) I'' dXi [
R! V _„ I» )
Согласно (11.2.15), supj щ {x^, %^f не превосходит
I:
2j \Kн^^г{>c,Л,)\^l £ K(^i.g.+^) |)d|..
-те \a=-I /
так что
5 {suplMi(>^i. yndXi<2.3'/^16,AMil|Mi|.
— oo Is
По тем же причинам
S sup|^,(gi, x,)|^dx,<2.3»/-^|6,fttt.,||t«,|,
и мы можем записать
5 luiUyJMx<12|Mil ISjftMil \wi\ \Kh^i\,
1 b., {tt,v,w)\^ V 3 SI «1 r'^ \Кни,Г I Sift«. 11 ^i V' ISift t^, Г'
Наконец, снова используя неравенство Шварца, мы оцениваем
правую часть последнего соотношения величиной
П 1«, ГI б,,«, Г [ i I \нЩ Y Х{Ж ' "^^ " ^"^''^' )
<K3|«j'/^|6,,«,rii'liftkni^r
<K3|«ni«tfili,|U|^nit^ll}^
откуда следует (7.10Ь), Для того чтобы установить неравенство
(7.106), мы просто заметим, что Ь"ш(,и,^, Vf,, Wh) = b'i^{u^, ^л. «'л),
и применим (7.105). Что касается (7.107), то здесь мы замечаем^
что

§7. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса 329
Лемма 7.10. В случае п = 3
ЩАа„ V,, w,)\<3^^-^\u,]'^'lajrh,h,\w,r^w,W\ (7.108)
1 b"t,{tt„ v„ w,)I <3^/^I a, r 11 a,r I^ft 1'^^II'г>нU"Iw,|,„ (7.109)
IВ in (Un. V;,) I < 3»/^ IЙ, r IIЙ, \r {S''' (h) IV, lU
+ S,(ft)!»J^/||i;,r}. (7.110)
Доказательство. Доказательство неравенств (7.108) и (7.109) то
же самое, что и для леммы 6.1; (7.110) является простым
следствием (7.108) и (7.109). П
7.3.3. Условные априорные оценки.
Лемма 7.11. Пусть п = 2. Предположим, что k и h
удовлетворяют условию
kSih)^^M, (7.111)
■где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда
^ Siw^^'^Kconst, /=1, 2, 3, (7.112)
еде константа зависит от М и от данных.
Доказательство. Будем работать со схемой в форме (7.101). В на-
!ием случае ^ = 3, и при t=2 уравнение (7.101) принимает вид
Беря от обеих частей норму ((-((j^, получаем
\\аГ'" и < II иГ'" и + Ь11 Л,, иГ'->' и
+ k\\В,^ {иГ^'\ К^'1')и + k\\fr"'U-
В силу (7,102), (7.104) и (7.107), правая часть этого неравенства
не превосходит
II иГ'" \ш + kvS, (hr 11 иГ'" IU + 2k yWs, {hy I иГ'" V"
\\ur'"U'- \tt Г''' V' II иГ"'Ж + kS^ {h)\f "''■'" |.
Согласно неравенству Шварца,
Вследствие оценок из леммы 7.6 и условия (7.111), результат
-суммирования правой части последнего неравенства по m от О
до Л/ — 1 ограничен некоторой константой, умноженной на й~*; тем
самым оценка (7.112) доказана для t = l. Чтобы доказать ее для
i = 2, записываем (7.101) при t = 2 (q = 3) в виде Ий*^''" ==
^ur"'-kvA,nur"'~kB^{ur'^\ ur'^')-kjf'''^\ а за-

330 Гл. ///. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
тем поступаем, как выше, только берем от обеих частей норму
I'litf Чтобы доказать (7.112) для i — Ъ, записываем (7.101) для
1 = 1(9 = 3) в шти^=иГ^"-к^А,^иГ"'-кВ,^{и11,иГ"')
—kfh^^'^, а затем берем от обеих частей последовательно нормы
II• lift и IM'aft и далее рассуждаем по существу также, как и выше. П
Лемма 7.12. Пусть п=3. Предположим, что k и h удовлетворяют
условию
kS{hy^'*^M, (7.113)
где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда
k 2K''^''i<const, t=l, 2, 3, 4, (7.114)
т = о
где константа зависит только от М и от данных.
Доказательство то же самое, что и для леммы 7.11. Оценки
(7.107) для В,й заменяются более грубыми оценками (7.110) и по
этой причине (7.111)заменяется болеесильным условием(7.113). П
Из приведенных выше лемм вытекает следующая теорема об
условной устойчивости:
Теорема 7.4. В предположении, что k и h удовлетворяют условию
устойчивости (7.111) {в случае п = 2) или (7.113) (в случае п = 3),
все функции bjf,u]i\ bjj^Ufi, t=l л+1, /=1, ..., п, являются
L^(0, Г; L" {й))-устойчивыми.
7.3.4. Теоремы о сходимости.
Теорема 7.5. Пусть размерность п = 2. Если k и h удовлетворяют
условию (7.111), то при k, h—*0
uji'. И/, сходятся к и сильно в L^{Q)
и*-слабо в L°°(0, Г, Ьца)), t = l, 2, 3; (7.115)
^/htth\ ^/htth слабо сходятся к D.u в L^{Q),
1=1, 2, 3, /=1, 2; (7.116)
S/ftttft" сильно сходится к DiU в L^(Q), i= 1,2, (7.117)
где и — единственное решение задачи 3.1, отвечающее данным
f, Uo {удовлетворяюи{им условиям (7.10), (7.11)).
Теорема 7.6. В случае когда размерность п^З, существует такая
сходяищяся к О последовательность h', k' ', что
иЯ\ Uh' сходятся к и сильно в L^ (Q) и *-слабо в
L"(0, Т; L^iQ)), (7.118)
bjh'U'h', S/ft', Uh' слабо сходятся к D^ue L^(Q),
t=l 4, / = 1, 2, 3, (7.119)
где и—некоторое решение задачи 3.1
1 У которой h' и к' удовлетворяют условию (7.113).

§ 7. Аппроксимация уравнений Навье — Стоква 331
Принцип доказательства этих теорем аналогичен принципу
доказательства теорем 7.1, 7.2, 5.4 и 5.5, и мы наметим лишь
главную линию рассуждений.
7.3.5. Доказательство сходимости.
■Лемма 7,13. При условии (7.111) (в случае п=^2) или (7.113)
{в случае n — S)
+»
J 1 т 1 ^■>' I Од (т) (^ dr < const для некоторого 7,0 < 7 < 1/4,
— 00
где Uft—преобразование Фурье по t от функции ttf^,
продолженной нулем вне интервала [О, 7"]. Константа зависит от у, М и
от данных.
Доказательство. Просуммируем (7.79) и (7.78) для =1, .... п;
получим уравнение
/i-^iar'-W^. v^)+ 2 iittr'"', 2'ft))/A
1^1 1=1
эквивалентное (см. (7.95) —(7.96)) уравнению
_d
df
n
^-(й,(0.г»й)+1;((4'''(0. Vk))iH-^
1=1
= ifiH it), v^) V/ e (0. T) vrTft en. (7.120)
Затем, используя предыдущие априорные оценки, мы повторяем
доказательство леммы 5.6. П
Доказательство теорем 7.5 и 7,6. По теореме 7.3 существует
последовательность h', k'—*0, такая что
й") _^ u^i) «-слабо в Г (О, Т; L' (Q)), i=\, ...,q, (7.121)
ttH'^u, «-слабо в L°°(0, Т; L^i^)). (7.122)
В силу замечания 7.6, а[') — а1'г^^ сильно сходится к О в L^{Q),
1 = 2, ..., q, и Uh' — UftV также сходится к нулю; поэтому все
пределы совпадают между собой:
а'1'=... = «"" = и.. (7.123)
Наша цель теперь —показать, что и, является решением задачи
3.1. Согласно теореме 7.4, последовательность h', k'--*-0 можно
выбрать так, чтобы
8jh'Uli'\ bjwUw-^DjU, слабо в L'^iff). (7.124>

332 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Ввиду леммы 7.13 и условия (5.92), которое было доказано в
п. 6.1.3 для конечных разностей,
«й'-^и. сильно в L2(Q)- (7.125).
Снова используя замечание 7.6, мы заключаем, что
uf.-*U, сильно в и{0), i=l, ..., q. (7.126>
Утверждения о сходимости (7.121), (7.122) и (7.124) —(7.126)
позволяют нам перейти к пределу в (7.120), как мы это делали
в доказательствах теорем 5.4, 5.5, 7.1 и 7.2. В результате
получаем, что и, является решением задачи 3.1. Если и = 2, то
решение задачи 3.1 единственно; поэтому й« = й и указанная выше
сходимость имеет место и для всей последовательности k, /г —*- 0.
Утверждение о сильной сходимости (7.117) (/г = 2) следует из лемм.
5.11 и 7.5, показываюш,их, что выражение
7
Х^=\и^-и (Г) р + 2v i J I D^tt {t) - 6,.^ »<,'•' (t) Y At
сходится К нулю при h, k—>-0. П
Замечание 7.7. Схема (7.78) — (7.79) является дискретизованным по [простран-
ственным переменным аналогом следующей схемы:
п
+ 2-1 (div u'^'rl-llQ^ „m + l/q^fm + itQ^ ,-^, „_ (7,27^
Для уравнений (7.127) ставятся подходящие красные условия: u'^*4i
обращается в нуль на некоторой части Г, которая зависит от i; более точно
(см. Темам [I]), и'"+"'''соз (V, Х{)—0 на Г. Элементы a'"'^^''^ удовлетворяют
априорным оценкам, аналогичным тем, которые были получены в лемме 7.6-
для u'h*'''''; однако из-за отсутствия априорных оценок, аналогичных
установленным в леммах 7.11 и 7.12, мы не можем доказать сходимость этой полудиск-
ретизованной схемы. В ситуации с полной дискретизацией как по временной,.
так и по пространственным переменным эта трудность снимается требованием,
чтобы k к h удовлетворяли некоторым условиям устойчивости ((7.111), (7.113)).
Эти условия устойчивости позволяют получить дсполпитсльпые априорныег
оценки, достаточные для осуществления предельного перехода.
§ 8. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса
при помощи метода искусственной сжимаемости
Б этом параграфе мы изучим численную аппроксимацию
уравнений Навье —Стокса при поыошд метода искусственной
сжимаемости. Это еще один метод преодоления вычислительных труд-

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 333
ностей, связанных с условием „diva = 0". Мы введем семейство
возмущенных систем (зависящих от положительного параметра е),
которые аппроксимируют уравнения Навье—Стокса и свободны от
этого условия. Одна из наиболее распространенных возмущенных
систем —это по сути дела система уравнений слабо сжимаемой
среды с искусственным уравнением состояния
р = Р(, + ер, где е>0 „мало"; (8.1)
здесь р —плотность, р —давление, а р,,-некоторая постоянная,
представляющая собой первое приближение для плотности'.
Линеаризируя по е уравнения движения, мы получаем в качестве
первого приближения уравнения:
п
ЕЕ _ vAa + Y,ufi,tt + grad р =/, (8.2)
(=1
E-^+diva=0. (8.3)
Эти уравнения и есть те возмущенные уравнения, которые
мы будем изучать. Их легче аппроксимировать, чем подлинные
уравнения Навье —Стокса, так как условие „div и = 0" заменено
эволюционным уравнением (8.3). Вопросы, подлежащие изучению,
таковы:
— существование и единственность решений возмущенных
уравнений (8.2) — (8.3) (с подходящими начальными и
граничными условиями);
— аппроксимирует ли решение Ие , Ре уравнений (8.2) —(8.3)
решение й, р уравнений Навье — Стокса?
— дискретизация возмущенной задачи; сходимость дискретных
аппроксимаций к решению уравнений Навье — Стокса.
В п. 8.1 мы точно поставим краевую задачу для уравнений
(8.2) —(8.3) и дадим соответствующие теоремы существования и
единственности (для фиксированного е > 0). Ситуация здесь по
существу такая же, как и для уравнений Навье — Стокса:
существование и единственность слабых решений в двумерном случае
и существование слабых решений в трехмерном случае ^. В п. 8.2
мы показываем, как решения возмущенных задач сходятся к
решениям уравнений Навье —Стокса при е—^0. Пункт 8.3
посвящен численной аппроксимации возмущенных уравнений.
Существует целое множество численных методов, пригодных для их
аппроксимации, и мы не собираемся давать здесь систематический
' Во всех предыдущих параграфах мы всегда выбирали ради простоты
Ро=1. Если р^ф I, то мы приходим к тем же результатам, разделив
уравнения движения па ро.
2 Мы не исследуем вопрос о существовании и свойствах сильных рещепий.

334 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
обзор различных методов; вместо этого мы предпочли подробно
обсудить аппроксимацию возмущенных уравнений одним методом —
методом дробных шагов. Мы построим неявную схему,
безусловно устойчивую в некоторых пространствах. Наконец, мы изучим
сходимость дискретной аппроксимации к решению уравнений
Навье —Стокса при в, h и k, стремяш,нхся к нулю.
8.1. исследование возмущенных задач.
8.1.1. Постановка задачи. Пусть размерность пространства п — 2
или 3 и область й ограничена. Мы предполагаем, что Ио задано,
как в задаче 3.1:
а„ € Я, (8.4)
и для простоты предположим, что/ лежит в L2(0, Т; Н):
f^LH^, Т; Н). (8.5)
Для произвольного заданного е>0 рассмотрим следующую
начально-краевую задачу: найти такую вектор-функцию Ие =
= {uie, ..., Um\ из Q = Qx(0, Т) В IR" и такую скалярную
4)ункцию рг из Q в к, что
1 = 1
-fgradpe=/ в Q, (8.6>
E-^g- Ьс1!уи8 = 0 в Q, (8.7)
йе=0, x^dQ, t^iO, Т), (8.8)
«е = «о 1;ри ^ = 0, (8.9)
Ре^Р, при ^ = 0. (8.10)
функция Ра, которая в задаче 3.1 не задана, выбирается
произвольно (но независимо от е):
p,eL4Q). (8.11)
Уравнение (8.6) содержит член П/2) (div Kg) йе, которого нет
1Ш в (8.2), ни в точной задаче (см. (3.5)). Это стабилизирующий
член, уже использовавшийся несколько раз в предыдущих
параграфах, который соответствует замене формы b на форму В'.
Предположим, что йе и Ре—классич^ские решения задачи
(8.6) —(8.10), скажем йе € ^МО). Ре € ^MQ)- Тогда если » С .2) (Й)
и q£S>(Q), то, умножая (8.6) на V, (8.7) на q и интегрируя по
'Напомним, что 6 (и, и, и) Ф О, если diva 5*0. По этой причине мы
ввели форму Ь: Ь(и, V, w) = b (и, v, w), если diva=0, иЬ {u,v, v)—0 \/u,v.
Это позволяет нам получить возмущенную задачу, разрешимую на всей
временной осн.

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 335
Q, МЫ легко получаем уравнения
-^ (йе, V) + V {itt>„ V)) + В (йе, йе, V) + (grad р^, V) = (/, V),
е-^(Р8, q) + (divtte, q) = 0.
Эти уравнения будут также выполняться по непрерывности для
любого V из Яо(й) и любого q из L^{Q). Это наблюдение
приводит к такой первой формулировке задачи:
Задача 8.1. Для фиксированного е>0 и заданных /, йо, Ро>
удовлетворяющих (8.4), (8.5) и (8.11), найти Ue, Ре, такие что
й,с/^МО, Г; я;(^)), р.€^-ПО, г; l^(Q)), (8.12)
-—(Й8, г») + г((йе, г'))4-Ь(Й8, йе, z)) + (gradpe. »)
=(/. V) vг»eя^(^), (8.13)
Е^(ре. <7) + (diVйe, С?) = 0 V9C^M^). (8.14)
йе(0) = й„, Р8(0) = Ро. (8.15)
Замечание 8.1. Если Ие и Ре удовлетворяют лишь (8.12), то условия (8.15),
вообще говоря, не имеют смысла. Нт^же мы покажем, что, как и для точных
, уравнений Навье—Стокса, если Ив, Ре. удовлетворяют (8.12) — (8.14), то
Юе и рр непрерывны (в достаточно широких пространствах), так что условиям
(8.15) можно придать смысл.
Для й, V, е HI (Q) определим В {а, v) С Н' (Q) и В (и) С Я'^ (Q),
положив
<В{и, V), wy = b{u, V, W), Уй, V, w^HliQ), (8.16)
В{и)=В{и, и). (8.17)
Лемма 8.1. Если и принадлежит L^{0, Т; Я^(й)), то функция
1^-^Ъ{иЦ)) принадлежит D (О, Т; Я-^(^))•
Доказательство. Как мы уже отмечали, форма Ь, задаваемая
равенством
S{u, V, w) = -^ {b{tt, V, w) — b(tt, w, V)}, (8.18)
является, как и b, непрерывной трилинейной формой на Яo(Q);
поэтому
\Ь{и, V, w)\<dAu\\ \\v\\ \\w\\ >fu, v,weHi{^),
\\B{tt, v)\\H-4a)<d4tt\\\\vllBiu)lH-HQ)<di\\ttl\ (8.19)
откуда и следует утверждение леммы. П

336 Гл. Ill. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Теперь, если Ug удовлетворяет (8.12) и (8.13), то, согласно
(1.6) и (1.8), уравнение (8.13) можно записать в виде
-^<й., o>=</+vAue-fi(ae). •»> yveV.
Ясно, что Atte^LMO, Г; Н-'{9.)), В(йе)е^МО, T•,H-^^(Q)), так
4To/+vA«8 —В (йе) принадлежит L'(О, Т; Я"^(й)), а значит,
по лемме 1.1,
a-.^DiO, Т; Н-'т, u;,=f + vAa,-B{u,). (8.20)
Аналогично из (8.12), (8.14) и леммы 1.1 вытекает, что
Pi^L'iO, Г; H-HQ)), Е^ +divae = 0. (8.21)
Другая формулировка задачи 8.1 выглядит поэтому следующим
образом:
Задача 8.2. Для фиксированного е > О и заданных /, и^, Ро,
удовлетворяющих (8.4), (8.5), (8.11), найти Ие. ре, такие что
tt,eL40, Г; mm, u'seL^O, Т-, Я-Ч^)), (8.22)
p.eL'iO, Т; mQ)), p'.eL^O, Т; Я-l(^)), (8.23)
K-vAu, + B{tte) + graup^=f, (8.24)
Ep; + d\wtt, = 0, (8.25)
иЛО) = йо, Ре(0)=-р„. (8.26)
Мы ул<е показали, что любое решение задачи 8.1 авляется
решением задачи 8.2; обратное проверяется очень легко (с
использованием леммы 1.1), и, таким образом, эти задачи эквивалентны.
Наша цель теперь —изучить вопрос о существовании и
единственности решения этих задач для фиксированного в > 0; затем
мы посмотрим, как решения этих задач аппроксимируют решения
задач 3.1 и 3.2.
8.1.2. Существование решений возмущенных задач.
Теорема 8.1. Для всякого фиксированного е > О и для любых /, и„,
Ра, удовлетворяющих (8.4), (8.5), (8.11), существует по крайней
мере одно решение {и^, рг] задач8.1 и 8.2. При этом
йе 6 L- (О, Г; L' т), Рг € L'° (О, Г; L' (Q)) (8.27)
и йе {соотв. Ре) слабо непрерывна как функция из [О, Т] в L^(Q)
(соотв. LM^))-
Существование устанавливается в следующем подпункте;
слабая непрерывность следует из леммы 8.1 и уже доказанной слабой
непрерывности Ие и pg как функций со значениями в Я~^(Q) и
я-^(^).
.Si.3. Доказательство теоремы 8.1. (i) Имея в виду применить
метод Галёркина, рассмотрим базис в Щ{Щ, состоящий из эле-

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 337
ментов ХУ;€<2)(^). ч базис в L-(Q), состоящий из элементов
r,.^S)(Q). Для каждого т определим приближенное решение
tte„, ргт задачи 8.1 соотношениями
т т
агт (О = S gin. (О Wt, Реш (О = 5 ?/„ (О Г/, (8.28)
1=1 /el
(й;„(0, 'Zyft) + V((ag^(0, Ws))+e(«em(0. ««m(0. 'O's)
+ (grad pem (0, гг)^) = (/ (0, w^), /fe = 1 m, (8.29)
e(p;m(0.'■^) + (divaem(0,'■<) = 0, Z = 1, •..."J. (8.30)
Кроме того, для этой системы дифференциальных уравнений
ставятся начальные условия
йет(0) = Ио«, Р>ш(0) = Р„„, (8.31)
где й„„ (соотв. ро„) —ортогональная проекция элемента йо (соотв.
Ра) в L^(Q) (соотв. L^{Q)) на подпространство, натянутое на
w„ ■..,w„ (соотв. Ti, ..., г J.
Уравнения (8.29) и (8.30) образуют систему нелинейных
дифференциальных уравнений относительно функций g^^, . .., g^^,
iim. ■■■Лтт- Как И В теорбме 3.1, существует решение,
определенное по крайней мере на некотором интервале [О, /^), О < /^ ^ Т,
а приводимые ниже априорные оценки показывают, что
фактически t^ = T.
(ii) Умножим (8.29) на ?й„(0. а (8.30) на £,„(/) и затем
просуммируем все эти уравнения по й= 1, ..., т, 1=1 т; в
результате получим
Wm, Uem) + ^lUemf+HUe„„ «em. tt,-,,,) +
(gradp.m, игт) + е(рт, P™) + (divaem. P^m) = {U Uem)-
В силу (8.18), &(И8т, Mrm, Й8т) = 0, И так как Uem обращается
в нуль на ай, то (grad Pern, Иет) +(Рет, divae,„) = 0. Поэтому
остается такое уравнение:
^ { I йет 1^ + 8 I Реп, П + 2v Ц U^m f = 2 (/, «,„). (8.32)
di
Его правая часть не превосходит 2|/|| Й8тК2с(о |/||й
^u,mf + (dlM\f\\ так что
еш!1^
-^{lK8mP + 6lPemin + v||ae^r<f 1/р. (8.33)

338 Гл. III. Эволюционные уравнения Новые — Стокса
Интегрируя (8.33) от О до s, получаем
S
о
т
Отсюда t„ = T »
sup {|й8^(8)р + е|реш(5)1П<^8." (8.34)
se[0. П
т
d3 = |a„P + b.P+4fl/(^)N^'- (8-35)
Теперь проинтегрируем (8.33) от О до Т'.
т
I йет (Т) Р + е I Ре„ (Л ^ + V 11| U.m d) f dt ^\ tt.
*om 1
I
0
T
Таким образом,
т
j!|Be,.„(0li-^cl/<rf3/v. (8.36)
о
(iii) Для того чтобы перейти к пределу в нелинейном члене,
нам пу/::но оценить дробную производную по времени от йет-
Полагая ф„ (О =/(0Н- v Аи^т — B{Ug,n), получаем из (8.36) и (8.19),
что
(P„(Ok-.(Q)<|/(OI + v||Kem(OII + '^ll|ae„,(0?- (8.37)
Следовательно,
последовательность ф„ ограничена в D (О, Т; Н~' ,Q)). (8.38)
' Нас интересуют малые значения е; поэтому мы можем, не уменьшая
общности, считать, что 8<1.

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 339
Соотношения (8.29) и (8.30) можно записать в виде
iUemit), Wk) + {grad p^^{t), Wk) = (4>„{t),Wk), k=\ m,
e(P8m(0. '■i) + (div»8m(0. '■г)=0. ^ = 1, •■.,m.
Как уже неоднократно делалось выше, мы продолжим все
функции нулем вне интервала [О, Г] и рассмотрим преобразование
Фурье соответствующих дифференциальных уравнений. На всей
прямой R справедливы следующие уравнения:
■j^ (Й8«, Wk) + (grad p^rn, Wtd = <Ф„, Wk> + (u,„, Wk) S (0)
-{u,^{T),w,)b(T),
e -^ (ргт, ri) + (diV йе„, Г;) = 6 (p„„, Г^) 6 (0)
- e(Pe.-n (Л. М МП-
После применения преобразования Фурье приходим к равенствам
2шт (йет (т), Wk) + (grad Ре„ (т), Wk) = <Ф„ (т), Wk>
+ (Ио«. "^к) ~ (Иеш (7^), 'ze'ft) ехр (— 2лtTT),
2ттб (рет (-1). '•г) + (div йе,„ (т), г^) = е (ро„, гЛ
-е(Р8т(7'), А,)ехр(-2штГ).
Умножим первое из них на g^^ (т) (§^„ — преобразование Фурье
от gkm), а второе —на |й„(т)(С„ —преобразование Фурье от |,„)
и затем просуммируем эти равенства по й = 1, ..., т,1=\, .. .,т.
Получим
2тТ { I Й„„ (Т) |2 + Е I Ре„ (т) Y) + (grad p^m (-г), «em (т))
+ (div «em (■г), Реш(т))=<ф„(т), «еш W>
+ (Moffl. «f« (Т:)) + е (Ро„, Pern (Т))
— {(йеш (7^). йет (т)) + е (ре„ (Г), ре,„ (т))} ехр (— 2шГт).
(8.39)
Член (grad Pern, и!8т) +(div йет.Рет) рэвен нулю. Учитывая это,
выводим из (8.39), что 2л |т| {|йет(т)р+е|р8;„(т)12} <| <ф„ (т),
Иет(т)>| + |й„„||йеш(т)| + е|р„„||Рзт(т)1 + |й8т(Г)||Й8т(т)|
+ е I рет {Т) 11 Рет (т) |. Ввиду оценок (8.34) и (8.36), 2я I т 1 й^^ (т) 1^ <
< II Ф« (-г) и-' ti II «em (Т) II + 2 Kd, I й„ (Т) I + 2 КЗ^Е I Ре„ (т) |. Но
i4'mWlk-'(Q)< S ||ф«(01к-ча)(1/<(в силу (8.37))
— оо
г
<S{l/WI+v||aem(Oil + doll«em(Oir}d^<COnst

340 Гл. III. Эволюционные уравнения Наеье — Стоках
(В силу (8.38)),
Н-ю Г
-е. о
<(в силу (8.34)) l/"i]/^r< const.
Окончательно получаем
2я I т II Ие„, (т) р < Ci I! и,^ (т) II + С,. (8.40)
Как и в доказательстве теоремы 2.2, из этого неравенства
вытекает, что
] I т l^v I йет (т) I*" dr ^ const ДЛЯ некоторого у, 0<v<
< 1/4. (8.41)
(iv) Мы хотим теперь перейти к пределу в (8.29) —(8.31) при
/п—>оо, используя оценки (8.34), (8.36) и (8.41). (Напомним, что
в настоящий момент е > О у нас фиксировано и мы имеем дело
только с предельным переходом при т—*оо.) Существует
последовательность т' —S- оо, такая что
Иеш'-^йе слабо В 1Ц0, Т] Hl{Q)), *-слабо (8.42)
в I" (О, Т; L^Q)) и (в силу (8.41) и
теоремы 2.1) сильно в L^{0, Г; L^iQ));
Ргт' -^ Рг *-слабо В L" (О, Т; L^ (Q)). (8.43)
Пусть г|)—произвольная непрерывно дифференцируемая скалярная
функция на [О, Г] с г|5(Г) = 0. Умножим (8.29) (соотв. (8.30)) на
■ф(/) и проинтегрируем от О до Т. Интегрируя первый член по
частям, получаем
г т
- 5 (а,„ (О, w,^' it)) dt + lv((йе^ (t), Wk^ (i))) dt
0 0
г
+ l{B{U,rn(t),Uem{t), ■K-Al|)(0) + (gradpem(0. WftlKO)} d/
0
r
= iao,„,w,)^{0)+[{f{t),w,y^{t))di, (8.44)
0
T T
— S e (ре,л (0. '■ж (0) d/ + 5 (div йе„ (0, O^ (^)) d/
0 0
= 6(p„„, г,)г1з(0), 1<^,/<m. (8.45)

§8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 34!
В равенствах (8.44) и (8.45) легко перейти к пределу по
последовательности /п':
т т
- S (йе (0. -W.^'it)) di + V S ((йе (О, Щ^ т <it
О О
г
+ I {biuAt), aAi), «;,il'(0)) + (gradpe(0. w,y^{t))}ut
о
т
=' {Uo, W,)Mi>(0)+l{f(t), W,^it))dt, (8.46>
0
T T
- E J (pe it), z-,^' (0) <ii + 5 (div tte (0. /-/^ (0) d/
0 0
= 6(p„, г^)г1)(0), 1<^:, /<m. (8.47)
Из (8.46) и (8.47) следует, что {и^, р^} является решением
задачи 8.1; доказательство такое же, как изложенное в п. 3.2 для
случая уравнения (3.43). Таким образом, суш,ествование решения
задач 8.1 и 8.2 доказано, чем доказательство теоремы 8.1 и
завершено.
Замечание 8.2. Имея в виду предстоящий предельный переход при е—»-0,
полезно установить для Ие> Рг некоторые априорные оценки, независящие от 8.
В силу (8.34), (8.36), (8.42) и полунепрерывности Liiiny нормы в слабой
топологии, имеем
I Ие 'l» (О, J-; i!(Q))< lira I Ие/п' |£.оо(о, Г; iMQ»^ V d^, (8.48>
Wl' -> со
||Bt:||i-MO, r;tfj (Й))< lim || Uem' \\L' (0. T: tfj (Q)) < V dj/V. (8.49>
Вследствие (8.34) и (8.43),
(8.50>
Аналогично, анализируя доказательство оценок (8.40) и (8.41), мы замечаем,
что фигурирующие в них константы не зависят от 8 (и, конечно, от т).
Поэтому, ввиду (8.42), мы получаем для О < v < '/4 оценку
+ 00 +О0
^ |TPV| Ие (T)|2d^< lim С |T|'''|aem'(T)Pcix<const (8.5I>
— oo .- oo
с константой, не зависящей от е.
8.1.4. Единственность решений возмущенных задач.
Теорема 8.2. Пусть п — 2, а все остальные предположения те же,
что и в теореме 8.1. Тогда существует единственное решение
{йе, Ре} задач 8.1 н 8.2, принадлежащее L°°(0, Т; L'^{Q))x

342 Га. hi. Эволюционные уравнения Наеье — Стокса
xL°°(0, Г; L^(Q)), причем и^ является непрерывной функцией из
[О, Т] в L^(Q).
Теорема следует из ряда лемм; некоторые из них дают
дополнительную информацию о свойствах регулярности «g.
Лемма 8.2. Пусть «= 2. Если a^L' (О, Т; Щ (Q)) П 1" (О, Т; L^ (Q)),
то
ueL40,T-L'm, (8.52)
Ви^1*/Н0,Т;1*/Цй)). (8.53)
Доказательство. Свойство (8.52) вытекает из леммы 3.3, дающей
оценку
1|а(0|£*мй,<^|а(0Р1а(01Г для п. в. t. (8.54)
Что касается (8.53), то заметим прежде всего, что
+-2 '^^ {div и) VjWj dx. (8.55)
Это равенство очевидно для U, v, w^Sii^)' no непрерывности
OHO справедливо также для и, v, w^ HI (Й). В силу неравенства
Гёльдера,
2
|&(а, г», ги)|< X \\^^ilLUQ)\ ^iVjlu m\w,\Li ai)
■^ Т 2-1 Hi V I^MQ) I '"j k* №) I i^/ k* (Й) (8-56)
H поэтому
|Ь(й, a, ги)|<с||а||11(й)|аМ1«'|кма)<(в силу (8.54))
< с I и |i/2 i a IP PII w ||i< (Й) Va e Я^ (Q) Voj e L' (^).
Так как пространство L*/'(Q) сопряжено к L*(Q), отсюда следует,
что
||^a|ii/.(Q)^c|a|V2||a||V^ ^и^Щ{0); (8.57)
(8.53) легко выводится из этой оценки. П
Лемма 8.3. Пусть п = 2. Если Пг —решение задачи 8.1,
принадлежащее Ь°° (О, Т; L^ (Q)), то
йе е L' (О, Г; //^ (Q)) П L* (О, Г; L* (Q)), ^ (8.58)
йе^ЬМО, Г; //-ЧЙ)) + ^*/МО, Г; LV3(Q)). (8.59)

§8, Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 34^
Доказательство. Это сразу следует из леммы 8.2; (8.58)
эквивалентно (8.52), а для (8.59) мы используем (8.24): ae=/+vA а^ —
— gradpe —БИе. Первые три члена в правой части принадлежат
L' (О, Т; Я-1 (Й)), а последний L4^ (О, Т; ЬЧ^ (Q)) (в силу (8.53)). Q
Лемма 8.4. Для любой функции Ue, удовлетворяющей (8.58) —
(8.59),
2<а;(0, аг(0>=^|ае(ОР (8.60)
в смысле распределений на (О, Т). Кроме того, такая функция Ug
почти всюду равна некоторой непрерывной функции из [О, Г]
в и (Й).
Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству
леммы 1.2, если заметить, что пространства, фигурирующие
в (8.58) и (8.59), находятся в двойственности. П
Доказательство теоремы 8.2. Нам остг.лось доказать
единственность. Пусть {aiPi}, («2, Рг} —два решения задачи 8.1 (для
простоты записи мы опускаем индекс е). Положим « = «1 —Яа, Р =»
— Pi — Pi- Вычитая одно из другого соотношения (8.24) (соотв.
(8.25)), записанные для Ui и и^ (соотв. для pi и р^), получаем
а'—vAa + gradp = ^a2 —^«1, ,„ „,,
6p' + diva = 0. (^-^^^
Умножая скалярно (8.60) на а(0. а (8.61) —нг. p{t) и складывая
получающиеся соотношения, находим
<а'(0, и(/)> + е(р'(0, P(/)) + v|la(OII^
= -b(a(/), а,(0. а(0); (8.62)
член
(gradp, а) + (р, diva)
исчез как равный нулю, и мы еще использовали то свойство
формы Ь, что b{v, W, ги) = 0 Yv, w. На основании леммы 8.4 мы
можем записать (8.62) в виде
A{|a(/)p+6|p(0in+2v|la(0IP=—2b{u{t),uAt),u(t)).
Неравенства, установленные при доказательстве леммы 8.2,
позволяют нам оценить правую часть этого уравнения величиной
c,\tt(t)\ltt{t)llttAt)\\+c,\u{t)\4^tt{t)fi'\tt,{t)ffHuAt)l
<y\\a{t)f + c,\\uAt)f\tt(t)\' + v\\uit}\\'
+ c,\uAt)\'\\ttAt)f\um.
Таким образом,
4- {I и (О Г + 61 р (О р} < а (О I и (/) Р, (8.63)

344 Гл. Ill, Эволюционные уравнения Навье — Стокса
где а —некоторая скалярная функция из L*(0, Т)\ более точно,
<з(t) = {Cf,-{-c^\u.i{t)f)\\Ui{t)p. В силу леммы Гронуолла и того
факта, что а(0) = 0, р(0) = 0, из (8.63) следует, что |а(0|''+'
-fe(p(OP = 0, О^^^Г, чем единственность и доказана.
8.2. Сходимость возмущенных задач к задаче Навье —
Стокса.
Теорема 8.3. Если п = 2, то при е —* О решения {tte, р^} задачи 8.1
сходятся к решению и задачи 3.1 и соответствующему ' давлению
р в следующем смысле:
и,-^и сильно в то, Т; Я'О))
*-слабо в Г (О, Т; U (Q)), (8.64)
grad Ре — grad р в Н-^ (Q). (8.65)
Теорема 8.4. Если п = 3, то существует последовательность Ием
Р-, решений задачи 8.1, такая что
Uy—^U сильно в и {О, Т; L^{Q)),
слабо в ЩО, Т; HU^))
и "-слабо в L" (О, Т\ и (Q)), (8.66)
grad/7е,-+grad р слабо в H~^(Q), (8.67)
где и — некоторое решение задачи 3.1, а р—соответствующее
давление. Для любой другой последовательности и^., р^,, для
которой имеет место (8.66) —(8.67), а должно быть некоторым
решением задачи 3.1, а р ~соответствующим давлением.
Доказательство теорем 8.3 и 8.4. Как мы отметили в замечании
8.2, построенные в теореме 8.1 решения ««, р^ удовлетворяют
априорным оценкам, не зависящим от в. Ввиду этих оценок
существует последовательность е'—► О, такая что
йе. -> й* *-слабо в L" (О, Г; L' (Q))
и слабо в L40, Г; Hl{Q)), (8.68)
/ё^Ре- — X '-слабо в L" (О, Т; U (Q)). (8.69)
В силу (8.68), (8.51) и теоремы о компактности (теоремы 2.1),
имеем также
Пг — а. сильно в D (О, Т\ и (Q)). (8.70)
Мы можем перейти к пределу (8.14) по этой последовательности е';
поскольку Ке'(d/dO (Рем ?)—►(d/dO(X> <7) в смысле теории
распределений, то е'(d/d/) (ре,, (?)—>-О в том же смысле, и (8.14)
' Термином „соответствующий" автор подчеркивает тот факт, что предел р
последовательности р^ определен однозначно, в то время как в задаче 3.1
давление определяется лишь с точностью до аддитивной постоянной.— Прим.
перев.

§8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 345
дает в пределе уравнение (divtt,, <?) = О V9 € L? (Q), которое
показывает, что diva, = О и, следовательно,
a.€L40, Г; V)r\L°°{0, Т; Н). (8.71)
Для элементов г» из '5^^ уравнение (8.13) принимает вид
-^(а , T') + v((fle, v))-\-b{tt^, и , v) = if, V), (8.72)
так как (gradps, v) = {p,-, div с) = 0. Пусты)) —произвольная
непрерывно дифференцируемая скалярная функция на [О, Г] с ар(Г) = 0.
Умножим (8.72) на ар(/) и проинтегрируем по ^; интегрируя затем
по частям, получим
т г
- S (йе(О, f 1|)'(0)dt + v\ ((йе(О, г^н?(/)))dt
о о
+ 1ь{аАП, Ие(0. fi|;(0)di
о
г
= (Ио. V)^(0) 4- S (/(0. 'ОФ{t))di ^v^V. (8.73)
о
Используя утверждения (8.68) о слабой и (8.69) о сильной
сходимости, мы можем перейти к пределу в (8.73). Получим
т т
- ] (И.(О, v^' {t))di +v J ((а(/), ■ог|)(0))dt
о о
т
+ \b(U{t), и it), V^p(i))dt
о
т
= (Ио, V} '^ (0) + 5 (/ (/), v^ (0) dt Vv е ^. (8.74)
Соотношение (8.74) совпадает с (3.43), и мы заключаем, как и
для (3.43), что а, является решением задачи 3.1.
Если п = 2, то решение и задачи 3.1 единственно и сама
полная последовательность Цд сходится к ц в смысле (8.68) —(8.69).
Сильная сходимость в L^(0, Т; HUQ)) устанавливается с помощью
уже использовавшегося ранее приема, который мы сейчас совсем
бегло напомним: сначала доказывается, что (Ие(Г) — а(Т'), г))-*0
VcgV, а используя этот результат в сочетании с уже
полученными результатами о слабой сходимости, можно показать, что

846 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
выражение
т
Xe = |aB(r)-a(ni^ + e|Pe(nP + 2vJ|aaO-a(OiNi
о
сходится к нулю при 8 —♦ о.
Остается доказать (8.65) и (8.67). С этой целью запишем (8.24)
в виде grad Ре=/—а'е + vA Яр —:Вйе- Результаты о сходимости
для Ks показывают, что правая часть сходится к/—а' 4-vAa —fia
Ф^Ви) в H'^iQ), а согласно (3.129) это выражение в точности
равно gradp. Следовательно, grad р^ —»• grad р в //~*(Q), причем
в случае п==2 сходимость является сильной и имеет место для
всей последовательности е, а в случае п = 3 является слабой и
имеет место лишь для некоторой подпоследовательности е'. □
8.3. Аппроксимация возмуи^енных задач. Наша цель
теперь— аппроксимировать возмущенные задачи —задачи 8.1 и 8.2,
Среди множества имеющихся здесь методов мы выбрали для
изучения один —аппроксимацию методом дробных шагов с
дискретизацией по пространственным переменным при помощи конечных
разностей. Это изучение будет во многих отношениях аналогично
изучению схемы дробных шагов в п. 7.2.
8.3J. Описание схемы. В качестве дискретизации пространств
//■^(Q) и V выбирается дискретизация (АПР1), и все обозначения
п. 7.2.1 сохраняются. Для аппроксимации давления нам
понадобится некоторая аппроксимация пространства L^ (Q); в качестве
таковой возьмем просто пространство Х^, которое уже неоднократно
использовалось; Xf, — это пространство ступенчатых функций вида
"й= 2 1м^ш< 1м ^^ Им-^^Лт. (8.78)
где ш^д}-характеристическая функция ячейки ай(УИ) с центром
в точке М, ребра которой параллельны осям л;,- и имеют длины
hi, t = l, ..., п. Пространство Х^ снабжено скалярным
произведением, индуцированным из L^ (Q):
(яд, n'h) = 5 Яд {х) лн {X) Ах = {hi, ...,h„) 2 "л Ш) ^'н (М).
(8.79)
Далее, данные Ро, «о» / удовлетворяют C8.ll), (8.4) и (8.5).
Выберем некоторое разложение /:
/=.i//, Л€ЬМО. Г; Я). (8.80)
Как и в случае (7.73), это разложение совершенно произвольно;
простейший случай: /i=/, // = 0, i = 2, ..., п. Интервал [О, Т

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье ■*- Стокса 347
разбит на Л^ интервалов длины k{T==kN), и мы полагаем
fmUln^]_ J f^(t)dt, l=\, ..., п. (8.81)
mk
Схема дробных шагов, которую мы будем изучать, содержит п
промежуточных шагов, где п —размерность пространства (п = 2
или 3). Мы определим семейство пар {йа'*'^", я^*'^"} из W/^xX^,
где т — О, ..., N —\ и t == 1, ..., п. Эти элементы определяются
последовательно в порядке возрастания значения дробного индекса
т + i/n.
Мы начинаем с
йд = {ортогональная проекция и^ на V^ в U (Q)),
"л — {ортогональная проекция р^ на Х^ в L* (Q)). ' ^
Эти определения имеют смысл {Vf^ с L^ (Q), Х^ с IJ (Q)), и стоит
отметить, что
|аХ|<|а„|, |яХ|<|р„| V/1. (8.83)
Если иГ^~^'\ nГ^-^"^ уже известны, то определяем ttГ^'\ яГ""
(т = О, ..., Л^ — 1, f = 1, ..., п) G помощью следуюш,их условий:
^ж+iln -. лу; m + i/n - V
«ft € V(/^, Лн С Ли и
+ 0;д1ай , «ft ', ©ft) —(Лй , V,-fty,ft)
= (/'"+<■/«, г»й) Vf^e^ft, (8.84)
е&-ЧяГ'^''-ял"-^'-^^ Дй) + (У,л«Г'^ Д^) = 0 Vn^eX,. (8.85)
Здесь нет никаких условий на дискретную дивергенцию
вычисляемых элементов и'п*^'", так как они могут принадлежать W^, а не
только Уд. Уравнения (8.84) — (8.85) образуют линейное
вариационное уравнение относительно пары {пн*''''', лй*"*"'^"} ^ и^'^хХд;
КОЭрЦИТИВНОСТЬ билинейной формы {(Яд, Л^), {и'н, Яй)}1-^у (Яд, «ft)
— v((aft, ай))^л4-х(Лй, Лй)4-Ь/йСйй'*'"^'''. «л- «ft)-("л. ^,й«.'й)
X{Vifi<^if,^h) обеспечивается равенством (7.72). Существование
йй''*"'^", Ль*''" следует из проекционной теоремы.

348 Га. т. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
Замечание 8.3. Как и в замечании 7.3, мы можем интерпретировать уравнения
(8.84)—(8.85) следующим образом:
А-1 (я^+'/" (М)-И^+'-1/'' (M))—vЬ}f,a'^*^''^ (М)
+lthK*^'" (Л1) =f^*4" {М) VAie&ft. (8.86)
€Й-1 (я^+'/" (Al)-n;f+ '-!/" (Al))+v,-ftUi;^+^'"(Al) = 0 ViWe^h, (8.87)
где
f^+il"(M) = - ^ 7- С /'" + '/" (л:) d^: ViWgUV (8.88)
"1 "n J
Когда мы вычисляем и^''*"'''", я^*''", неизвестными являются я компонент
вектора tt^*'^" {М) и числа я^*^'". Здесь снова (см. замечание 7.3) суть
метода дробных шагов заключается в том, что приведенная выше система
уравнений п действительности распадается на ряд значительно меньших подсистем,
которые содержат каждая лишь неизвестные и^"*"'^" (М), я^"*"'^" (М), соответ-
сгвующие узлам, расположенным на одной прямой, параллельной направлению л:;.
Это делает решение уравнений (8.86) и (8.87) очень легким.
8.3.2. Безусловные априорные оценки. Устойчивость описанной
схемы будет установлена с помощью априорных оценок двух типов
(как и в п. 7.2)—безусловных априорных оценок, приводящих
к безусловным теоремам об устойчивости, и условных априорных
оценок, приводящих к условным теоремам об устойчивости и
используемых также в доказательстве сходимости. Настоящий
подпункт посвящен выводу безусловных априорных оценок.
Лемма 8.5. Элементы и"*'^" остаются ограниченными в
следующем смысле:
\иГ""\' <d,. б|лГ''"Г<й,. ш = 0. .... Л/-1,
f=l л, (8.89)
k 2 \ttr"'4lh^djv, i=\, . ., п, (8.90)
m=0
'^'\иГ''"-иГ'~"''\'<а„ i = \, .. . п, (8.91)
e^S |"Г'''"-яГ'-^^"Г<й„ i = l. .... п, (8.92)
m = 0
<= 1 о

§8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 349
Доказательство. Запишем (8.84) с г)д = аГ"^'''"; вследствие (7.72)
имеем
\иГ'"'\'-\иГ'-''"\'+\аГ""-иГ'-""\' + 2ЦиГ''%
<2/г|/'"+'/«||аГ''1<(в силу (7.67)) 241/"'+'^" |||иГ'11л
<Ь (; иГ''" i?A + (kdl/v) |/-+'/« |^ (8.93)
После упрощения остается
f kv\\ur''"\h-^Hnr"\ V.-ft«"^''")<(Wv)l/'"+'Vnp. (8.94)
Далее, полагая п^=пп'^''^" в (8.85), получаем соотношение
+ 2к{пГ''\\,^иТ'^") = 0. (8.95)
>
Просуммируем все соотношения (8.94) и (8.95) для i=\, ...,п,
т = 0, ..., Л/ —1. После некоторых выкладок, отбрасывая часть
положительных членов, получаем
1 = 1 m = о
п N -I
4-б|Яд —Я(1 n+«V 2j 2j ||ЙЛ lift
' 1 = 1 m = о
i = I m = 0
Как уже делалось несколько раз в других случаях, оцениваем
правую часть этого неравенства величиной
«= ' о
(см. (8.83) и (5.29); напомним, что е^1). Поэтому из (8.96)
следуют (8.90) и (8.91).
При фиксированных г и /, О^г^Л/ —1, 1^/^п,
просуммируем соотношения (8.94) и (8.95) по m = О, ..., г — 1, t = 1, ...
..., q, а также по т = г, t=l, ..., /'; опуская часть положи-
' Суммирование распространяется лишь на пары т, i, удовлетворяюище
условию 0<m-J-»7n</'+/7n. •

850 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
тельных членов и производя некоторые упрощения, получаем
i, т
г = 0, ..., N—\, /=1, ..., п.
V
i=1m=0
Тем самым установлено (8,89). П
Аппроксимируюище функции. Мы рассмотрим следующие
аппроксимирующие функции, связанные с а/Г"*"'^", л"*'^":
a\i\ [О, П-^\(\,
u4\t) = Uh**>" АЛятк^1<{т-{-\)к,1^\, ,..,л, (8,97)
и^: [О, Т]—>- IF^ —непрерывная функция,
линейная на каждом интервале, {ink, (m + 1)^],
m = 0, ,..,Л/—1; a^{mk) = u'^,m==:0 N. (8.98)
Утверждения леммы 8,5 могут быть интерпретированы как
следующая теорема об устойчивости:
Теорема 8,5, Функции иР, U/,, определенные условиями (8.97) —
(8.98), безусловно Z,°°(0, Т; Ь^{0.))-устойчивы (\ ^i^n). Функции
^ihUh^' ^nhfih (l^'^'^) безусловно L^(0, Т; L'^{0.))-устойчивы.
Замечание 8,4, (i) В качестве следстния оценки (8.91) имеем
К'-«ft""к.(О, т: tMQ))^ ^^' '■=^' ■••■ "• (8.99)
(ii) Как и в лемме 7.3 и в замечании 7.6, имеем
N-1
k
т = й
т = й \i = 1 /
Л/-1 п
т=0 i = 1
Таким образом,
I <' -Яа к^ (0. т. I.' (Q)) < ^^*«^4/3. (8.100)

§8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 351
Замечание 8.5. Пусть п'^К пд обозначают функции из [О, Т] в Хд, опреде-
■яемые условиями:
<' [t)=^uf*''" для mk^t < (m+1) k, t = l,- ...., я, (8.101)
jij непрарыБна на [О, Т], линейна на каждом
интервале lotki {m+l)k] и Пд(тй) = яГ. (8.102)
Тогда (8.92) равносильно утверждению, что
Vl \ п^^ - п^ ' *' |lm 0. Г: £^ (Q)) < У^^ /• = 2* ..., я. (8.103)
С другой етороны, можно показать, как и в случае (8.100), что
V3 \ 4"^ - ял 1/.. ,о. Г; L. (Q), < ^^^i^^^• (8.104)
8.3.3. Условные априорные оценки. Последующие оценки
устанавливаются по методу лемм 7.11 и 7.12, с использованием, в
частности, лемм пп. 7.3.1 и 7.3.2. Удобно ввести в рассмотрение
линейные операторы D,.^, непрерывно действующие из Х^ в W^ и
чакме, что
(£'/Л. v^) = (^aV,7,^'/J Vn^ € Xft Уг»й € W^.' (8.105)
Привлекая операторы Л,,}, D;^, fi,.^, мы можем записать (8.84)
в виде
+0,,пГ''"=-/Г"'', т = 0, ..., N-1, 1=^1, ... п.
(8.106)
Лемма 8.6. | Di^n^ \ < S,- (ft) | л^ | Vn^ е Х^, S,- (/г) = 2//i,-. (8.107)
Доказательство. В силу (8.101),
I {ОгнПн, ■г'л) I = I ("й. VihVih) КI "л 11 ^ih^/h I = I "л 11 ^гн^щ I
<\nH\\\vJ,f,<.S,{h)\n^\\v^\Vv^eW^. П
Лемма 8.7. Пусть п~2. Предположим, что k и h удовлетворяют
условию
kS(hy^M, (8.108)
еде М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда
N-1
^ 2 ||иГ'^'lift <const, t = l, 2, (8.109)
m = 0
fde константа зависит только от М и от данных.
Доказательство. Запишем (8.106) с i = 2 (и д=2): ttg^+^ = tt^+"^ —
— kvA,^ur'~kB,^(ur"\ ur')-kD,^nr' + kJf*\ Беря норму
' По существу, 0,-/1щ — это вектор-функция, у которой отлична оТ нуля
только одна, i-я компонента, равная ^ih^^-

352 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
11 •'|1,д ОТ каждой стороны этого равенства и используя (7.102),
(7.104), (7.107), (8.107), получаем
+ k \\ /?,^яГ^ \\и к ит \\и < II иг Ъ^ + kvS, ih) S, {h)\\u1!
.m+i\\
II2A
+ kS,ih)SAh)\nr4 + kS,{h)\fr'\.
Согласно неравенству Шварца,
1 иГ Ч^ < 5 (1 + fe^^Si (WII ИГ'&
+ 6o*^s, (h) s, {hy I иГ'" III иг"Чш\ «Г' 11 «гми
+ 5fe^S, (/ly^ S, (ft)* I лГ'р+ 5*^Si (/1)Ч/ГЧ.
в силу оценок леммы 8.5 и условия (8.108), результат
суммирования правой части этого неравенства по /п от О до ЛА — 1
ограничен произведением k~^ на некоторую константу. Тем самым
(8.109) доказано для 1 = 2. Чтобы доказать, что
N-\
k ^l!«r"Ni2/.<C-onst,
m=0
МЫ записываем (8.106) с t = l и соответственным образом
оцениваем II-Пай-норму ИГ"^ D
Лемма 8.8. Пусть п = 3. Предположим, что k и h удовлетворяют
условию
kS{hY^i'lV&^M, (8.110)
где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда
А; 2 ||«r''"|'^<const, 1=1,2,3, (8.111)
m = 0
где константа зависит только от М и от данных.
Доказательство то же самое, что и у леммы 8.7 (и лемм 7 11,
7.12), только оценки (7.107) для В if, заменяются оценками
(7.110). П
Из этих лемм вытекает новый результат об устойчивости:
Теорема 8.6. В предположении что k, h и & удовлетворяют
условию устойчивости (8.108) {при п=2) или (8.110) {при « = 3),
все функции bj^uy\ \ ^J, /<«, являются L^(0, Т; L^{Q))-yc-
тойчивыми.
8.3.4. Теоремы о сходимости.
Теорема 8.7. Пусть д = 2. Предположим, что k, h, е связаны
условием (8.108). Тогда если k, h, е стремятся к нулю и
к/г-^О, (8.112)

§8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 353
то
uji'\ «й сходятся к и сильно в U (Q) и '-слабо
в L~(0, Г; L^Q)), t=l,2; (8.113)
S/fttth", ^/hU/t слабо сходятся к D.u в L^(Q),
l^r, /<2; (8.114)
б,йй^," сильно сходятся к DfU в L^ (Q), i = 1, 2, (8.115)
где и—единственное решение задачи 3.1, отвечающее данньш /, и^
{удовлетворяющим (8.4) и (8.5)).
Теорема 8.8. Предположим, что размерность п = 3. Существует
сходящаяся к нулю последовательность h', k', е' ', такая что
u!-h), tth' сходятся к и сильно в L^ (Q) и *-слабо
б L~(0, Г; LMQ)); (8.116)
^ih'UhU ^ih-4h' слабо сходятся к D.u в L^{Q),
l<t, i<3, (8.117)
где и —некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой
последовательности h', k', е'—с О, удовлетворяющей условию
k'/г'-^О (8.118)
и такой, что имеют место (8.116) и (8.117), и должно быть
решением задачи 3.1.
Основные моменты доказательства представлены в следующем,
заключительном подпункте.
8.3.5. Доказательство сходимости:
Лемма 8.9. Если выполнено условие (8.109) (б случае п = 2) или
(8.110) (б случае п = 3) и отношение k/e остается ограниченным,
то
■f во
\ h г i йй (т) 1" dt < const для некоторого у, О < v < 1/4, (8.119)
где и^ —преобразование Фурье по t от функции и^, продолщенной
нулем, вне интервала [О, Г], а константа зависит от у, М, от
верхней границы отношения k/г и от данных.
Доказательство. Просуммируем (по отдельности) соотношения
(8.84) и (8.85) для у=»1, ..., п; после несложных выкладок
' Для которой б', h', h' удовлетворяют (8.108) и k'/e'—>-0.

354 Гл. III. Эволюционные уравнения Иавье — Стокса
получим
п
1=1
= 2 if"'*"", V^)+ 2 (ЛГ'-ЛГ'^ V,;^jVy^6tt7„
i « 1 I ж: 1
(8.120)
= 2(V,.A«%"'-V,7,arft^'/". Jift) Уя^бХ,. (8.121)
t = i
Перепишем эти уравнения в виде
1=1
п
+ Х^-й("л'""(о. «к''(о. '»й)-(пгчо, 1^щ)
1=1
= Х(//й(0, г;й)+{Фй(0. -Ой) Vif^eWft V/€(0,r), (8.122)
/=1
е-^(Лй(0> Hft) + (D^<>(0, л^) = (е^(0, я^)
Vn; 6 X^V; € (О, Г), (8.123)
где фд и Э^ —ступенчатые функции из [О, Г] в W^ и Х^
соответственно, определяемые равенствами
i = l
m*<^<(m+l)^, (8.124)
/ = 1
m^<<<(m+l)^, m = 0, ..., ЛА —1. (8.125)
Оценка (8.119) выводится в принципе так же, как и
предыдущие аналогичные оценки (см. лемму 5.6 и доказательство
теоремы 8.1, пункт (iii)), единственный новый момент —это оценка

§8. Аппроксимация уравнений Нав^е — Стокса 355
членов, содержащих ф^ » ^н- Заметим, что для i^{mk, {m-\-\)k)
n-l I
1(Тл(0, 'Vh)\ =
Ъ{nr'-nr^'\ \iH'>iH)\
1-1 \-l^ f " \^l^
Поэтому, обозначая через Ц-Ц»^ норму, дуальную к норме ||-|l^
на W^, имеем
п
i = 2
так что
г
j': Jj|(rA(OP,d/<(B силу (8.92))<^d,^<const. (8.126)
' о
Аналогично для t^ [mk, {m+l)k)
1=2
И поэтому (вследствие (8.91), (8.108) и (8.110))
г
J|0^(<)pd<<const. (8.127)
о
Оценок (8.126) и (8.127) уже достаточно для того, чтобы оценить
члены в (8.122) и (8.123), содержащие ф^ и ^п- D
Доказательство теорем 8.7 и 8.8. (i) По теореме 8.5 существует
последовательность h', k'~*0, такая что
4'.' -* м" '-слабо в L" (О, Т; U (Q)), t = 1, ..., д, (8.128)
Ил- -* й, *-слабо в L" (О, L^ (Q)). (8.129)
В силу замечания 8.4, И//' —и^г'"'^' сильно сходится к О в L^{Q,)
(2^t^n) и м,,. —Mft"' тоже. Поэтому все пределы совпадают
между собой:
иЧ)^,..=„(») = „^. (8.130)
Мы утверждаем, что и« является решением задачи 3.1. Согласно
теореме 8.6, последовательность /г', &'—»• О можно выбрать таким

S56 Гл. III. Эволюционные уравнения Навье — Стокса
образом, чтобы выполнялись еще соотношения
6/ft,4". ^ih'Uh--*DjU» слабо в L4Q). (8.131)
При этом мы можем подобрать ее так, чтобы также k'/e' —»- 0.
Тогда ввиду леммы 8.9 и свойства (5.92)
Uh.-^U„ сильно в L^iQ}.' (8.132)
Снова используя замечание 8.4, получаем
mJ,'? -* и, сильно в L^ (Q), !</<«. (8.133)
(ii) Переходя к пределу в (8.85), покажем, что divu» = 0.
Пусть о —произвольная функция из S> (Q) и л^ —функция,
определенная равенством nl,{M) = a{M)'iM^Ul. Ясно, что
п;->а в L'"(Q) при /г->"0. (8.134)
Пусть, далее, г]; —произвольная непрерывно дифференцируемая
скалярная функция на [О, Т] с я|)(7') = 0. Умножим (8.85) на
1|з'" = г|з(тй), а затем просуммируем по т = 0, ..., М—1,
1=1, ..., т; в результате придем к соотношению
N
е S W, (r-я|5»-^)Itft)
m = l
п N-1
+ * 2] 2 i^iHufk'"", ГЯй) = е(я)1, Яая|;(0)). (8.135)
Используя оценки (8.89) для njf и указанную выше слабую
сходимость, легко перейти к пределу в (8.135). В пределе
получим
т
{ (div м, (О, аг]; (0) d^ = О, (8.136)
и поскольку а^®(й) и г]; были произвольны, то из (8.136)
следует, что divM, = 0. Таким образом,
И.6ЬМ0, Т; y)nL~(0, Г; Я). (8.137)
(iii) Остается перейти к пределу в (8.122). Пусть г;
—произвольный элемент из '^. Запишем (8.122) с чз^^г^чз, где г^
—оператор сужения для аппроксимации (АПР^) {Dfjf^v — ^'). Пусть
функция -^ такая же, как выше. Умножим (8.122) на i|)(<) и про-
^ См. п. 6.1.3.

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье — Стокса 357
интегрируем по t. Интегрируя затем по частям, находим
т т
п
-S(anO-^'(0»ft)d^-:S vS((4''(^)- v„^{t))),i,At
о ' = 1 о
п Т
1=1 о
п г
■• = '0
т
+ 5(Фй(0. ^k^(t))di. (8.138)
о
Переход к пределу (по последовательности h', k', е') во всех
членах (8.138), за исключением последнего члена в правой части,
осуществляется стандартным образом. Этот последний член
сходится к нулю в силу оценки (8.126) для ф^^ и предположения,
что k'/в' —»р. Эго единственное место в доказательстве, где
используется предположение о стремлении отношения k/e к нулю.
В пределе мы получаем уравнение, аналогичное (3.43) (с и,
замененным на и»), из которого мы заключаем (так же, как это
делалось при доказательстве теоремы 3.1), что м» является
решением задачи 3.1. В случае п = 2 решение задачи 3.1 единственно;
поэтому и*=и и установленные выше результаты о слабой
сходимости имеют место для всей последовательности к, h, в ~* О
(удовлетворяющей условиям (8.108) и k/e-^0). Утверждения
о сильной сходимости (8.115) следуют из того факта, что
X^ = K-a(r)|^ + e|nn^
2 I
+ 2v 2 5Р,-"(0-6,йИлЧ0И^ —О при /I, /г, s-*0. П
(=1 о

ПРИЛОЖЕНИЕ I I
СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА TOt И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
К ИЗУЧЕНИЮ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ
НАВЬЕ-СТОКСА
В настоящем приложении мы опишем некоторые
функциональные свойства оператора rot, действующего на ограниченном
множестве в R", п = 2 или 3, и, используя эти свойства, получим
усиленный вариант результата о существовании, представленного
в теореме 1.6 гл. II. В основном мы следуем изложению, данному
в § 1 работы Фояша и Темама [3].
/. Функциональные свойства оператора roti Пусть fi —
открытое ограниченное множество в R", д = 2 или 3. Мы
предполагаем, что
Q связно и принадлежит класву i?' (ср.
(1.1.3)), а его граница Г имеет конечное
число связных компонент Tj, .. Г^ (fe> 1). (1.1)
Множество Q может быть односвязным или неодносвязным.
В последнем случае мы, очевидно, можем сделать его односвяз-
Рио. 6.
ным с помощью конечного чиола гладких разрезов (см. рис. 6).
Более точно:
Обозначим через Sj, ..., S^v (yv>0)
многообразия класса i?* размерности п — \, такие
что 2; П Sy =: 0 для 1ф j и открытое мпо-
N
жествоП=-0\11, 2= и 2, односвязно
("1

Свойства оператора rot 359
И липшицево (т. е. 2^ не являются
касательными к Г). (1.2)
В остальном мы используем те же обозначения, что и раньше,
в частности обозначения для функциональных пространств,
введенные в § 1 и 2 гл. I и в § 1 гл. II (^, V, //, Я'»(Q), Я'»(Й),
Z/*^" (Г), Н'-^^ (Г), ...). Кроме того, нам понадобится еще
пространство Я'"-*''^ (Г), т —целое ^1, которое можно определить
следующим простым образом (ср. с подстрочным примечанием
к предложению 1.2.2): это пространство y^H'"(Q), т. е.
пространство следов функций из H'"(Q), снабженное нормой
Шн'"-инг)= '"^ ||«|lw«(Q). (1.3)
Систематическое обсуждение таких пространств можно найти
у Лионса и Мадженеса [1]. Напомним также ортогональное
разложение пространства L^(Q), даваемое теоремой 1.1.5:
£«(Й) = Я0Я10Я„ (1.4)
где Я( и Hi определены в (1.1.41), (1.1.42). Ниже будет указано
ортогональное разложение для Н.
/./. Ядро оператора rot. Нет необходимости напоминать
определение оператора rot в трехмерном случае. В случае п = 2 мы
полагаем rot«={—D^u, D^u} для скалярных функций u:Q—*R,
rotй =DjMa —Z^s"] для вектор-функций a = {«i,«J: Q—»-R'.
Оператор rot отображает L^(Q) в H~^{Q) в случае /г=3
(соотв. в Я"*(0) в случае д —2). Наша цель сейчас —описать
его ядро в L*(Q), ker(rot). Очевидно, что ker(rot) гз Я1фЯ2;
найдем элементы из кег (rot) П Я. Если и € кег (rot) П Я, то и
локально является градиентом некоторой функции; более точно,
tt — gradq в U, div а = ^д = 0, так что функция q принадлежит
классу 'S°° и однозначна на Q, а также принадлежит классу i?°°
в Q, за исключением окрестности множества Г П 2. В силу
(1.1.34) имеем также yy,u=^dq/dv = 0 иа Г.
Обозначим через 2+ и 2f две стороны 2j и через v;
—единичную нормаль к 2;, направленную от 2t к 2f. Если данная
функция 9 принимает различные значения на St и 2f, то мы
полагаем [9]/ = 9|2+—^Ij:-' Для функции q, о которой шла речь
выше, мы имеем [9]; = const, так как grad^ принадлежит классу
i?" и однозначен; пусть, скажем, [i?],-= а,-€ R- Чтобы полностью
охарактеризовать и н q, мы долло1Ы учесть еще, что diva^O
\2*

360 Приложение I
В Q. Для <f^S>{9.) имеем
<div и, ф> = —<grad9, grad9> = — J grad^-grad9dx
Q или Q
= (так как A9 = 0) = — ^ 1^ Ф dr
Отсюда вытекает, что [3<7/dv,],-= О, t = l, ..., N. Таким образом,
справедлива
Лемма 1.1. Пространство Я^ = кег (rot) П Я состоит из функций,
являющихся градиентами гармонических функций q, многозначных
в Q, однозначных е й и таких, что
dq/dv-^^.O на Y, (1.5)
[9];-= const, i=\, ..., N, (1.6)
[a<?/av,],=-0, i^l, ..., N. (1.7)
Мы хотим указать базис пространства Н^. Предварительно
докажем следующий результат:
Лемма 1.2. Для каждого i = l, ...,N существует функция q^,
единственная с точностью до аддитивной постоянной, такая что
Aqi^O в й; dqi/dv = 0 на Г;
[dq,/dv,l.-^Q, /-.1 N; Ыу = 0, j ^i; Ы,-=1- (1-8)
Доказательство. Рассмотрим следующую задачу, которая, как
будет показано, эквивалентна задаче (1.8):
Aq-i = 0 в Й; dq}/dv = 0 на Г; [dqydv^]j = Q, j=^l, ...,N;
(1.9)
[q'i]/ = 0, ]ф1\ [9(]; = (неопределенная константа);
\{dq'ddVi)A^^\.
Прежде всего заметим, что (1.9) является вариационной задачей.
Пусть Xi = {p^H^{Q), [p]; = const, [р]у = 0, j^i). Легко
проверить, что задача (1.9) сводится к нахождению элемента q't^Xi,
такого что
S gradergradpdA;=[p]/ Урб^;- (1-10)

Свойства оператора rot 361
Левая часть (1.10) определяет билинейную непрерывную
коэрцитивную форму на Х,/К, а правая часть есть непрерывная
линейная форма на Xi, которая обращается в нуль на постоянных
функциях и поэтому индуцирует непрерывную линейную форму
на Х,/К. На основании теоремы 1.2.2 заключаем о существовании
и единственности q'( в Xy/R.
Если q'i является решением (1.10), то а; = [7(]; =^^0 н qi =
~-{\ia;)q'i будет решением (1.8): а,-=7^ О, ибо в противном
случае q\ можно было бы продолжить до функции из Я^ (Q), дающей
решение однородной задачи Неймана в Q, так что q't была бы
постоянной, вопреки (1.10). Обратно, если qi является решением
-(1.8), то Р,-= ^ (3(/,-/3v,.) dS отлично от пуля и ^г—(1/р,)7,-служит
решением (1.9) (р,=5^0, ибо в противном случае 7,-было бы
решением уравнения (1.10) с нулевой правой частью и мы имели бы
^, = const( = 0 в XilR), в противоречие с тем что [7;],-=1). П
Лемма 1.3. Пространство Я^ = кег (rot) п Я порождается
элементами grad(/i, ..., grad^Af'- ^^о размерность равна N.
Доказательство. Если и£Н^, то « —grad^, где q удовлетворяет
N
условиям, указанным в лемме 1.1. Пусть а, — [q]i и г = q — ^ ^iQc
(=1
Очевидно, что функция г аналитична в й и Аг~Овй,дг/д\ = 0
на Г, [dr/dv]; --=0, [/"],• = О, i —1, ..., Л^. Следовательно, г посто-
янна и tt'^-S ^/grad^,-. Наконец, ясно, что функции grad^;
линейно-независимы. □
Замечание 1.1. (i) Если Q односвязно, то Л^=0 и Н^ = {0}.
(ii) Пространство Н^ изоморфно пространству одномерных когомологнй
области Q, т. е. факторпространству пространства замкнутых дифференциальных
форм па Q по подпространству точных дифференциальных форм на И
(см. де Рам |1]).
Лемма 1.4. Пусть Н^ — ортогональное дополнение к Н^ в Н. Имеет
место равенство
H,=lv£H, \v-vdi: = Q, i=l, ...,n\. (1.11)
Доказательство. Пусть v£H. Тогда v £ Н„, если и только если
(V, grad7,) = 0, I = 1, ..., Л^. Но согласно обобщенной формуле
I Функции grad qi понимаются здесь в классическом смысле. Обобщенные
градиенты qi представляют собой суммы этих функций и распределений
Дирака— [<?]/■ Vjdj., сосредоточенных на Ij.

362 ' Приложение I
Стокса (1.1.19),
откуда и следует (1.11). П
Замечание 1.2. (i) Легко видеть, что для v^H интеграл \ в• v dS не зависит
от разреза 2; (т. е. значение этого интеграла не изменяется при непрерывной
деформации разреза 2/): \ t».v d2= \ vv dl (см. рис. 7).
2; Sj
Рио. 7.
(ii) Можно непосредственно проверить, что если » £ Я^, т» = grad ^
и C»-vd2= С {dqjdv)dl = 0, 1 = 1, ...» N, то v=0.
Подытожим полученные выше результаты:
Предложение 1.1. В предположениях (1.1) и (1.2),
l4Q)==H,®H,®Hi®H„ (1.12)
ker(rot)==//e©//i©//a. (1.13)
где Яс, //о, -^i. Я^ —описанные выше пространства.
Замечание 1.3. (i) Обозначим через P^^ , Р;^. ортогональные проекторы в /L'Q
на Я,., Н;, ( = 0,1,2; проекторы Р^/, и Р//, были неявно введены и вычислены
в доказательстве теоремы 1.1.5 и в замечании 1.1.6. Если u^L^{Q), то
«a = ^«>« = g''adp, (1.14)
где р — решение задачи Дирихле
Аршй1\иеН~1{а), p^HUQ)i (1.16)
далее,
«i = P«i« = grade, (1.16)

Свойства оператора rot 363
где 7—решение задачи Неймана
Д(7==0 в Q, dq/dv = yx(u—gTadp) на Г; (1.17)
это определение корректно (см. (1.1.44) и сказанное вслед за этим соотпоше-
нием).
Проектор Ряс действует следующим образом:
N
'"•
где а; образуют решение линейной системы
N
2 а;/а/= \ «.vdS, 1</<Л?, (1.18)
г=1
2
a,,= ||2ld5:=|^^dS=(grad^,. grad,
(так что матрица, составленная из элементов а/у, невырожденна).
(И) Мы знаем (ср. замечание 1.1.6), что Я^^, и Р//, отображают//»»(Q)
в HiOH'"(Q),'ecm Q —область класса g', г:^т+2. Поскольку //сС^~(0)П
П^'(^). то же верно для Р^^ и Р//„.
/.2. Пространство гot(Я^(Q)). Прежде всего, справедлива
Лемма 1.5. TotH4Q) = Tot{ff (Q)nH,).
Доказательство. Если u^H^Q), то v = Pff^U = и —grad д, где
grad7^кег(rot) и потому rotг> = rota. П-
Лемма 1.6. Существует константа Co = Co(Q), такая что
||«i!№(n)<Co|rota|, (1.19)
|a|<e„|rottt| (1.20)
для всех u^fP-(Q)r\Ho.
Доказательство. У Дюво и Лионса [1] доказано (теорема 6.1
гл. 7), что
{u^ff{Q), Yva=fl-v|r"0}
-e{ltt6L»(Q), div«6L"(^). rotfl€i-4^). Yvtt=*0 на Г}
(1.21)
и существует константа Ci = Ci(Q), такая что
Il«lk40)<ci{|tt| + |div«| + |rot«|[ (1.22)
для всех а из пространства (1.21). Оценка (1.19) является
очевидным следствием (1.20) и (1.22). Чтобы доказать (1.20), будем
рассуждать от противного. Если (1.20) неверно, то существует
последовательность и„ G /f (й) п Яо. удрщтц.фтщая условию
l«„j>/n|rot«„|V/n. (1.23)

364 ■ Приложение I
Не уменьшая общности, можно считать, что |и„|=^1. Тогда,
в силу (1.22), последовательность и„ ограничена в fP{Q). Мы
можем извлечь из нее подпоследовательность (обозначаемую снова
через и„), которая слабо сходится в Я'(Q) к tt^Я^(Q)nЯo•, эта
сходимость будет сильной в /.^(Q), и поэтому |и|=1. С другой
стороны, вследствие (1.23), rottf-=0, так что м G Я^ П кег (rot) и,
значит, V--0, в противоречие с равенством |м| -1. [.]
Лемма 1.7. Подпространство rot Я'(Q) замкнуто в L^(Q) для
П---3 (соотв. в L-(Q) для п--2).
Доказательство. В силу (1.19), rot является изоморфизмом из
Я^ (Й) П Яо в L' (О) (соотв. в и (Q)). П
Характеризация подпространства (rot Я* (Щ)-'-- Обозначим
чергз (rotЯ^(Q))J- ортогональное дополнение к rotЯ(Q)
в L^Q) (п-=3).
Предложение 1.2. Для п =3 справедливо равенство (rot Я^ (Q))-'-==
= {m^L^(Q), M = gradp, PQH4Q), р = const на каждом Г J.
Доказательство. Если и G (rot Я' (Q))-^, то (м, rot ф) = О Уф 6 с2) (^)
и, следовательно, rota = 0. Тогда, поскольку и £ L^ {^) и
rot и 6-(^'М^), мы можем, согласно одной теореме о следах Дюво
м Лионса [1], аналогичной теореме 1.1.2, определить след
функции йЛу на Г, «Av|r € Я"'/2 (Г), и записать обобщенную
формулу Стокса
(й, rot(p) = (rota, q)) + <«Av|r, 7оФ> VфeЯ^(Q). (1.24)
Поэтому (и, rotq)) — <aAvlr, 7оФ>=0 УфбЯ^(О), так что
ttAv|r = 0 и (rotЯ^(^))^ = {и6^-M^). rotM=0, aAv|r = 0[.
Мы можем уточнить этот результат далее. Для таких и имеем
rot и = О, a = gradp, м€/^с0^10^2- Поскольку gradp =
= (3p/3v) v-l-VxP, где VtP —тангенциальная компонента gradp
на Г, условие aA^lr^O сводится к условию VtP = 0 на Г, так
что р постоянно на каждом Г;. Мы видим, что Pf^ (gradp)
необходимо равно О и, значит, p£H^{Q). Обратное проверяется
без труда. П
Предложение 1.3. В предположениях (1.1) и {\.2), для п=^3
справедливо равенство
rotH^Q)=iueL4Q), divtf = 0, Ja-vdT:
I г.
:0 Vl
Доказательство. Обозначим пространство в правой части этого
равенства через Y. Так как rot (Я' (Q)) замкнуто, достаточно
показать, что Y = (rot Я' (Q))-'- ^. Но если v = grad р £ (rot Я (Q))-'-
и ueL'^iQ), div« = 0, то
k
(и, ©)= 5 и-grad pdx='j^ у^ир6.Г= 2 Pi^i) S Yv^dT,

Свойства оператора rot 365
где р(Г;) —значение р на Г;. Так как р(Г,) —произвольные числа,
отсюда следует доказываемый результат. П
Замечание 1.4. Если граница Г связна, й=1, то установленное только что
равенство принимает вид
rotwм^)=-{иe^■-(^)^ divK=o}.
Замечание 1.5. Для п —2 имеют место аналогичные результаты (с теми же
доказательствами) для го[ И^ (й) и (rot//i (Q))-'-.
1.3. Замечание о регулярности. Мы можем до некоторой степени
дополнить результат Дюпо —Лионса (1.21) —(1.22):
Предложение 1.4. Пусть Q, —открытое ограниченное множество
в R", п~2, 3, и т —целое число'^\. Предположим, что имеют
место (1.1.), (1.2) и Q принадлежит классу 'S'', г~^т-\-\. Тогда
H"'{Q) = \u£LHQ), Totu£H"'-4Q),
и существует константа с^ = с^(т, Q), такая что
II и Ця". (Q) < «^^а I I а 1+ |! rot и ||Я»>- • (Q) +
|diva|tf«-MQ) + lTv«l//m-i/2 (Г)} (1-26)
для всех и£ Н'" {Q).
Доказательство, (i) Начнем со случая т= 1. Пространство в
правой части (1.25), очевидно, содержит H^ (Q); нам надо доказать
обратное включение. Пусть и —произвольный элемент этого
пространства н grad р —проекция и на Н-^фИ^. Мы знаем, что
р является решением задачи Неймана
Ар = diva в Q, dpldv-=tt-\ на Г. (1-27)
Поэтому V = и — grad р удовлетворяет условиям v € L'^ (^),
A'wv^UiiVjroiv^L^iQ.) и ^v^-^O на Г, так что V
принадлежит Я^ (Q), в силу (1.21), и м тоже, поскольку p^H''{Q),
согласно стандартным результатам о регулярности для задачи
Неймана (см. Агмон, Дуглис и Ниренберг [1] или Лионе и Мадже-
нес [1]). Далее, неравенство (1.26) следует из неравенств (1.22) и
|!Р||нМй)/,|Д<Сз{| Ap|z.MQ) -f l^/^"^Ui/2(r,}
(см. Агмон, Дуглис и Ниренберг [1]).
(ii) Проведем индукцию по т. Предположим, что (1.25) и
(1.26) доказаны для т—\. Покажем, что если и принадлежит
пространству в правой части (1.25), то u£H"'{Q). По
предположению индукции, м^Я'"~^(Q). Если D"''"^ —произвольный
дифференциальный оператор порядка ш—1, то v = D"'~^ и удовлет-

366 Приложение I
воряет соотношениям
и, значит, в силу (i), ©^//^(Q). Отсюда вытекает, что и 6 ^'"(^).
а теперь нетрудно уже установить и (1.26). Q
Замечание 1.6. (i) Это предложение можно вывести непосредственно из
результатов работы Агмона, Дуглиса и Ниренберга [1].
(ii) Оценку (1.26) можно заменить оценкой
II а —-Ряе» \\ffm (П) < fs {II rot и ||дт_, да)
+ ldiv«||/,m-.,a,+ lVv«l-^m-i/2,r)i- с-28)
2. Приложение к неоднородным стационарным
уравнениям Навье — Стокса, Следующий результат дополняет
теорему II. 1.5 для случая п = 2 или 3.
Теорема 2,1. Предположим, что п = 2 или 3 и выполнены условия
(1.1) и (1.2). Пусть заданы /е П-^ (9) " ф€//1/2(0. такие что
Jq).vdr = 0, 1=\ k. (2.1)
Тогда задачи (11.1.62) —(11.1.64) имеет по крайней мере одно
решение «e//^(^)> Рб^ЧЙ)-
Доказательство. Ввиду теоремы II. 1.5 нам достаточно показать,
что функция ф удовлетворяет условиям (II.1.65), (П.1.66), т.е.
(см. замечание II. 1.5 (i)) что
ц> ^ у, {rot НЧЩ- (2.2)
По предположению, ф удовлетворяет (2.1). Решая неоднородную
задачу Стокса —АФ + £гас[я = О в Q, div® = 0 в Q, Ф = ф на Г,
мы найдем по теореме 1.2.4 функцию 0^//*(Q), такую что
(1!уФ=0 и ф==7оФ- Вследствие (2.1), лемма 1.5 и предложения
1.3 существует функция ф^Я*(^)П-^о. такая что го1ф = Ф.
Замечая, что го1ц>£НЧ^) и используя предложение 1.4, мы
видим, чтофеЯМ^) и (2.2) (или (II. 1.65), (II. 1.66)) выполнены. П
Замечание 2.1. Как и в (1.2.49), необходимым условием на ф является условие
Сф.у(1Г = 0, (2.3)
которое слабее, чем (2.1).
Замечание 2.2. По поводу регулярности и и р см. вамечаии* II.1.6 и
предложение II.1.1.
Замечание 2.3. Для случая когда заданные функции / и ф несколько раз
непрерывно дифференцируемы, а ф удовлетворяет (2.1), Лерэ доказал в [1]

Свойства оператора rot 367
существование решений задачи (II. 1.62) — (11.1.64), которые несколько раз
непрерывно дифференцируемы.
Предложение 2.1. В предположениях теоремы 2.1, для любого
б > О существует непрерывное линейное отображение Лб из
//з/г(Г)=1(реЯ»/МГ), J(p-vdr=.0, f-1 k\ (2.4)
в Я'(Q), такое что
divA69 = 0 в Q, (2.5)
УоЛаф на Г, (2.6)
\b(v, Лйф, о)|<б|,ф|,,з/2(Г)Г|Р Vф6//5^ЧП VU6V. (2.7)
Доказательство. Нам надо только внимательно проанализировать
доказательства предыдущей теоремы 2.1 и теоремы II. 1.5.
Построенное в доказательстве теоремы 2.1 отображение ф1—>Ф является
непрерывным линейным отображением из Н^1^ (Г) в Я'(0)
(теорема 1.2.4). Согласно предложениям 1.3 и 1.4,
rotЯM^) = /йGЯl(^), divfl = 0, 5fl-vdr = OVt\,
а rot осуществляет изоморфизм Я* (Q) П Я, иа rot Н'^ (Q). Поэтому
Ф ^ rot Я^ (Q) и Ф = rot ф, ф ^ Я' П Яо, причем отображение
ф|-*Ф линейно и непрерывно действует из rot Я^(Й) (снабженного
нормой пространств;. Н^ (Q)) в Я^ (Q) П Я„. Теперь обратимся
к доказательству теоремы 11.1.5 и рассмотрим описанное там
соответствие ф = rot ф к->■ i|) = rot (беф). Отображение ф i-* б^ф, очевидно,
является непрерывным линейным отображением в Я^(й), и для
достаточно малого е, е^ео = ео(б), мы можем положить Леф =
= 113 = rot (беф). Тогда (2.7) будет удовлетворено, а (2.5) и (2.6)
выполняются очевидным образом (что касается (2.7), см. также
(II. 1.85)). а

ПРИЛОЖЕНИЕ II
Ф. Т0М.ЛСС9
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
НЕСОГЛАСОВАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(Аппроксимация (АПР5), двумерный случай)
0. Тестовые задана- Рассматриваются две тестовые задачи.
Задача 1. Течение в каверне: Q^(0, 1)Х(0, 1) —квадрат в
плоскости; граничное условие: и = 0 всюду па 3Q, за исключением
стороны у=\, где и={^/, 0}- {И должно быть задано).
Задача 2. Течение между несоосными вращающимися цилиндрами:
Q — кольцевая область плоскости ху, ограниченная двумя
окружностями Ci:x^ + y^ — 25 = Q и Cj: (л;—1)^ + ^^ — 4 = 0, которые
вращаются с (алгебраическими) угловыми скоростями о^ н о^
(последние должны быть заданы).
В обоих случаях объемные силы отсутствуют.
/. Триангуляция. Триангуляция <^^ задается перечислением
вершин и треугольников. Некоторый алгоритм автоматической
триангуляции выдает нам таблицы, представленные на рис. 8.
Х{-)
Х{1)
К(-)
У(1)
Nu(-,.)
^
Nu(1,y)
Nu(2,y)
Nu(3J)
(а) (b)
Рис. 8. (а) Координаты (-й вершины. (Ь) Номера вершин /-го треугольника.
Необходимо иметь возможность простым образом распознавать
граничные вершины; одни экономичный способ добиться этого
заключается в присвоении им номеров > Л^, где Л^ —общее число

Примеры применения несогласованных конечных элементов
369
внутренних узлов '. Существует два различных типа
автоматических триангуляционных алгоритмов^:
— метод последовательного подразбиения, приводящий к
регулярным сеткам;
— метод сокращения области Элана Джорджа, удобный для
областей с криволинейной границей.
Метод последовательного подразбиения. Сначала берется какая-
нибудь грубая триангуляция области, затем на каждом шаге
каждый треугольник разбивается на k'^ меньших треугольников.
Рис. 9. (а) k^2. (b) ft = 3.
Рнс. 10. (а) Начальная триангуляция: N=1, /Vi = 5, Л1=4. (Ь) Периое
подразбиение: Л^ = 5, /Vi=l3, Л1 = 1б.
' В случае областей с несколькими границами (т. е. неодносиязных
областей) нужны дополнительные меры, чтобы различать точки, принадлежащие
разным границам.
^ Речь идет в случае областей произвольной 4'ормы. Конечно, для данной
конкретной геометрии обл:1Сп.'Л, которая должна рассматриваться многократно,
можно найти более экономичные триангуляции, чем та, которую строит общая
программа.

370
Приложение //. Ф. Томасе»
подобных исходному (рис. 9). Процедура повторяется до тех пор,
пока мы не получим подходящего числа треугольников. Один
пример для k = 2 представлен на рио. 10.
Для данной триангуляции пусть Л^—число внутренних
вершин, Л^1 —общее число вершин, Л1—число треугольников. Пусть
Л^', N'l, М'-' — значения соответствующих параметров после того,
как выполнено разбиение каждого треугольника на k^
треугольников. Замечая, что 2C + Cj.^=3M, Cj.^ — Ni — N (где С и Qp —
соответственно число внутренних и число граничных ребер),
находим
m = 2-'^(k-\){k~2)Ni + 2--4k-\){3M + N-Ni) + N,
После n подразбиений имеем
Л1» = 2Л/'' + С?р +2(7-1), M'' = 2N'> + C% + 2{T-l),
где Т —число .дырок" в рассматриваемой области. Следовательно,
параметры триангуляции равны (/^" = 1^, ...)
yV" = 2-1 ((А>2» -i)MO—{k"- l)Qp) + N\
N^ = 2-1 ((^2" _ 1) М» + (A" + 1) CJp) + yV»,
Подчеркнем, что треугольники, получаемые подразбиением,
подобны треугольникам начальной триангуляции, поэтому углы
не становятся меньше, чем в начальной триангуляции.
Метод последовательного подразбиения может быть
распространен на области с простой криволинейной границей; мы просто
заменяем новые вершины, появляющиеся на граничных ребрах,
Рис. И. (а) Начальная 1риаигулядия. [Ъ) Первое подразбнеиие.

Примера праменеяая нещхлаеованных конечных элементов
37!
ИХ проекциями на границу области. Пример для k=.2
представлен на рис. 11.
Метод сокращения области. Идея метода заключается в том,
чтобы покрыть Q треугольниками, максимально близкими к
равносторонним (для которых числа Я/ ' минимальны, а потому и
величина погрешности минимальна). Задается некоторая начальная
дискретизация границы XI, образованная замкнутой ломаной.
Если область Q неодносвязна, вводятся дополнительные
искусственные границы, которые удаляются после того, как
триангуляция будет закончена. При заданном граничном многоугольнике
алгоритм строит треугольник^ одним из двух способов:
— вводится новый внутренний узел („зарубка");
— соединяются две последовательные граничные вершины
(„стёсывание").
Затем мы начинаем с новой области, образованной начальной
областью без последнего треугольника-, и так далее, пока область
не сведется к одному треугольнику (рис. 12).
О
0)
(11)
(Ш)
Рис. 12. (i
(iv)
i), (iv)—зарубка; (ii), (111) —стёсывание
по две триангуляции для
Примеры. На рис. 13—16 показано
двух рассматриваемых областей.
2, Узлы, Будем называть середины ребер узлами и значения
данной функции ф в узлах —«/зловьшн значениями. По заданным
таблицам X, Y, Nu мы образуем соответствующие таблицы для
узлов (рис. 17); граничные узлы нумеруются числами > Л^^,
где Л^да —число внутренних узлов; нумерация узлов сводится
к нумерации ребер.
/ ага=о(Л).—Прим. перев
'£
который область будет „сокращена".—Прим. ред.

s
\
\
\
\
\
\
\
/
/
/
/
у
\
iN
К
\
\
\
/
/
/
/
\
N
\
\
\
/
/
N
\
\
Ч
\
\
/,
/
/
/
/
\
\
\
\
/
/
/
/
Ч
\
\
\
/
/
/
/
/
/
/
\j
\
\
Л
/
/
/
/
/
/
\
\
\
/
/
/
/
/
у
/
/
A
/\
/,
/
N
N
\
\
\
\
/
/
/
/
N
\
\
N
\
N
\
/
/
A
/
A
\
, \
\
\
\
\
/
/
/
/
/
\
\
\
N
К
/
/
A\
/
/
\
К
\
[\
К
/
/
\
IN
\
\
\
/
/
/
\
N
N
к
\
К
/
/
/
/
/
ь
\
\
\
\
\
\
CO
■&

примеры применения несогласованных конечных элементов 37^^
Рис. 15.
Рис. 16.

374
Приложение II. Ф. Томассэ
^J')
и^")
U-)
ип
NU-..)
N"„;(1.y)
Nu^(2,;)
Nu^U.y)
(а) (b)
Рис. 17. (а) Координаты 1-то узла. (Ь) Номера узлов /-го треугольника.
TABVd.O
TABV(.,-)
TABV{Z,0
TABV(3,i)
TABVH.O
Рис. 18.
Рио. 19. Номера узлов, соседних с t-м
узлом.
Fuc. ;^0.

Примеры применения несогласованных конечных элементов 375
Позднее выяснится, что нам нужно уметь быстро определять
номера узлов, соседних с данным (т. е. принадлежащих тому же
самому треугольнику); очевидно, имеется максимум 4 соседних
узла (рис. 18). По этой причине мы вычислим по номерам Nu„
таблицу номеров соседних узлов (рис. 19).
3. Вычисление базисных функций для данного
треугольника. Пусть задан треугольник Т с вершинами М^, М.^, М^ и
серединами ребер Pi, Р^, Р^, и пусть Vj, v^, v, обозначают
соответствующие базисные функции (v/(Р/) = б,у). Введем
стандартный треугольник f и линейное отображение у, преобразующее f
в 7" (см. рис. 20):
/0(1.1) в(2.1)Л /G(3.1)\
M = y(M) = (^^^,2)G(2.2)j^ + VG(3.2)>
Мы вычисляем G(a, Р), используя уравнения Mj- = y(Af,-):
'G(l.l) G(2.1)V /(М,-МД(М,-Мз)Л-»
,G(1.2)G(2.2); \{M,-M,)AM,-M,)J
(/Mi-Msb iM2 — M3)J\-iMi-Ms)2 {M:-M^),
{Mj — Ma)i (Mi-M„h — (Mi—M3)i{Mi-M3)i
'(Mi-M,), (М,-М,)Л .
.(Mf-Mj, (М,-Мз),/ •
тде & —некоторая матрица размера 2x2, не зависящая от Т;
G(3.2)y~ ' VG(1.2)G(2.2)/ *•
Из формулы для у легко выводится соответствующая формула
для у"*:
M = y-(^^) = ^G^(,.2)Ga2.2)j-^+U(3.2)j-
Теперь у нас есть всё необходимое для построения базисных
функций. Пусть kj обозначают барицентрические координаты в Г,
относительно УИу(1,-(Му) = б;у). Имеем

376 Приложение II. Ф. Томассэ
Но
h{M) = x,{M),'kA^^)-i-Xi{M)-xA^),KiM)^i,{M),
3 ^1 Х2 ах, ах, - (77+7;qr2)! ■
г
Отсюда мы заключаем, что' area T'==2~i detG,
J V, dM == 3-1 area (Г), J v,v^ dM = З-^б,^ area (Г).
, Стоит заметить, что базисные функции ортогональны в Ь^(Г).
Используя матрицу G,, можно вычислить градиент v,:
2 ^ 2
S7 = G,(b 2). Щ = -ОЛи 1)-Са/.2),|^ = 0;(/, I).
S; = -2G>(i. 1). ■g = -2G,(i. 2), =iXi^2G,(/,l) +
+2Gi(/. 2).
Численное интегрирование правой части:
J/(A1)v,(M)dM«'-£^/(P,). i=l. 2, 3.
г
-#. Решение задачи Стокса.
4.1. Базисные функции. Базис пространства W^ (аппроксимации
пространства fil{Q)) можно построить с помощью следующих
функций Wi(i=\, ..., N^y. Wi линейна на каждом треугольнике;
W; = 0 на 5Q^; Wi~0 в каждом узле (т.е. в середине каждого
ребра), исключая i-й узел, где ш,(1)=1. (Сужение функции ш,-
на каждый треугольник Т совпадает с одной из трех функций Vy,
определенных в п. 3. Носителем w^ является объединение двух
треугольников, содержащих i-й узел.) А именно, одним из
базисов пространства Wf, служит
{{W,., 0), (О, ш,), /-1, .... NJ,
где yV^ —число внутренних узлов.
' Ниже area обозначает площадь.—Прим. ред.

Примеры применения несогласованных конечных элементов 377
Дискретная однородная задача Стокса приводит к решениям
вида
"л = (2//^/. §/.•«'/;. (4-1)
V 2 V'/C'yft == S /,ш, dM + >] Л, (Г)агеа (Г) ^ (Г),
(l<fe<yV„), с div(Uft) = 0 на ТУГ. Коэффициенты а^^
вычисляются по формуле
а/й= 2 агеа(Г)-уш/(Т)'У^й(Л.
г (/, ft)
где суммирование ведется по всем треугольникам Т, содержащим
узлы / и k.
Для неоднородной задачи мы введем еще ш,-, связанные с
граничными узлами (f > Л^„). Линейная система будет иметь тот
же вид, что и для (4.1), только в правых частях надо добавить
соответственно выражения
— 2 ^/«/ft. — 2 У/^/к
{Xj И Yf для / > Л^ известны; они задаются граничными
условиями).
4.2. Алгоритм Удзавы. Опишем теперь дискретный алгоритм
Удзавы. Мы начинаем с произвольного n\={ni{T), T^S'fi)
(например, с п\{Т)-=-0 УТ). Если л'^^ уже известно, то вычисляем
Uj+' по формуле
«Г' = (2^ГЧ. 1ХГ'Щ), (4.2)
V .2 ХГа,, = ^ f,w,dM-v .Д Х^,,
+l,nUT)area{Tf-^{T),
5л;
+ Еяй(Г)агеа(Л^(Л
(A;=l, ...). a затем вычисляем Лй+^ по формуле
л?" (Г) = яй (Г) - р div («Г') (Л Vr. (4.3)
13 р. Темам

378 ' Приложение II. Ф. Томасе»
Две компоненты скорости в (4.2) в действительности расщепляются;
нам нужно просто решать линейные системы вида
«™
S/yOC/ft-/ft, k^l, ...,N„. (4.4)
Для этого мы используем метод верхней релаксации (см. Варга[1]).
Оптимальное значение параметра релаксации. Легко проверить,
что матрица (а^^) симметрична и положительно-определенна. Пусть
0) обозначает параметр релаксации. Мы начинаем с некоторого
произвольного вектора Zf, если вектор Z" уже известен, то
вычисляем Z^+* по формуле
б)
(4.6)
Zr^(l-co)Zg-|^(S,ay.2r + Д^ -;.Z.-lf,j. (4
Условием окончания итераций служит, как обычно, условие типа
max|Zr'-Z?(<6,ei
Оптимальное значение параметра релаксации со можно
определить с помощью следующего алгоритма: применяем метод
Гаусса —Зайделя для решения однородной системы 2'^/С'/* = 0,
начиная с какого-нибудь вектора Z" с компонентами Z" > 0; имеем
полагаем для каждого п
р«^1 = min (Zr 4Zl), рГ' = max (Z^VZ?), (4.7)
k k
co"„« = 2/(1+1/1-p^+'), (Of* = 2/(1+ V\~9T'). (4.8)
Тестовые расчеты показывают, что и (of ^, и (Bg+^ сходятся к «opt ^
Хранение матрицы: см. рис. 21. Для решения системы (4.4)
можно использовать и прямые методы (метод Холеского,
фронтальный метод и т. д.), производя соответствующую
перенумерацию узлов. Однако в нелинейном случае применять эти
методы уже нелегко.
4.3. Численные результаты. Выбор параметра р в алгоритме
Удзавы производится экспериментально. Мы решаем несколько
тестовых задач с различными р и сравниваем результаты для
заданного числа итераций Удзавы (скажем, 10, 20, 30, ...).
•'Рр*^ и pg*' сходятся к р (J8?i)—спектральному радиусу матрицы Гаусса—
Зайделя,—н p{Bf = p{Xi), (aopt = 2/(l+ |/"l-p (fi)^).

Примеры применения несогласованных конечных элементов 379
А TABV
\U)
«f
А(1,-)
%1,
А(2,-)
«it
А(3,-)
А(4,-)
\ц
TABVd,-)
'l
TABV(Z,-)
^г
TABV(3,-)
^3
TABV(4,-)
^^
Рис. 21. ^1, (j, (3, (4—узлы, соседние с i-u узлом.
''Л
10'
10
10"
-5 _
/?=100
0.7
Теоретическая
граница
Рта%~
0.8
J L
О 095 1 р"
Рис. 22.
13»

380
Приложение II, Ф. Томасса
и Ц"'
Рис. 23.
Хорошим показателем сходимости служит величина
Cr = raax(div(M2)r|^
г
На рис. 22 и 23 приведены результаты для второго из
рассматриваемых нами случаев с v= 1, {ii = 0, о^ = \ (цилиндр Q
покоится, а цилиндр Сг вращается с единичной угловой скоростью,
' Это число, равное (1/())тах |п^""''*'(^) — яй (Т')!, характеризует
сходимость дискретных давлений. Мы рассматриваем также величину бш/| =»
= тах[|Х"+'—Х"|, 11'""'''—К"(], характеризующую сходимость дискретных
скоростей.

Примеры применения несогласованных конечных элементов 381
объемных сил нет). Из этих рисунков ясно видно существование
оптимального р; в данном случае popj = 0,96.
4.4. Метод расширенных лагранжианов. Это комбинация метода
штрафов с методом Удзавы. Мы просто добавляем к (1.4.209)
штраф (1/е)| diVftUftp, и это приводит к следующей системе
уравнений (Фортэн —Гловински):
■ ^((йй, Vf,))f, + -^{div^Uf,, div^Vf,)-{n^, diVf,Vf,) =
= (/. 'I'JVtf.eW^. (4.9)
Для (4.9) записываем алгоритм Удзавы. Полагая, как и выше,
мы должны только заменить левые части уравнений, приведенных
после формулы (4.2), на
т 1 1/п
+ Yr{DnyWj, D,,w,)}, (4.10)
т , \т
соответственно. Из (4.10) видно, что уравнения для компонент X
и У уже не расщепляются и нам надо решать линейную систему,
вдвое большую, чем в предыдущем случае при 1/е = 0. Далее,
хотя метод верхней релаксации применим и для решения
системы (4.10), параметр со уже нельзя найти с помощью метода,
описанного в п. 4.2; поэтому выбор со производится
экспериментально.
В результате тестовых расчетов для задачи 2 было выбрано
значение (0=1.6. Число итераций п^, необходимое для
достижения требуемой точности (Су* ?:; 10~?, бда^^ Ю"!*), убывает, когда
l/w возрастает (начиная с 0); в данном случае оно достигает
минимума для 1/е = 8, с наилучшим р = р(е) = 9.2. Требуемая
точность была достигнута всего за 15 итераций {п^= 15).
S. Решение уравнений Навье—Стокса. Мы используем
следующие обозначения: Wft —аппроксимация пространства Я^(01); #й —
аппроксимация пространства Я'(й); W",, — аппроксимация
пространства Щ{Щ; 1^л — аппроксимация пространства Hl(Q)\
Х/^ —пространство ступенчатых функций я,,, постоянных на
каждом ^^S"^ и равных нулю вне Q(/i). Пусть у^ —базисные
функции, порождающие IF/, (k^N^). Полагаем
S v% dM.

382
Приложение II. Ф. Томассэ
Рис. 24.
Рив. 25.

Примеры применения несогласованных конечных элементов 383
Напомним, что
\ v^VidM = 0 при кф1.
"ft
Как и выше, вводим дискретные операторы дифференцирования
Dft^u, Dfj^v и дискретную дивергенцию D^u = Dft^u^-|-Dftj,a,.
Обозначения bfi, «ft имеют тот же смысл, что и в гл. II (см. (II.3.78)
и (II.3.80)).
Дискретная задача поставлена в (II.3.93). Мы опробовали два
алгоритма из изложенных в гл. II.
Алгоритм 1 (алгоритм Удзавы, см. (II.3.107), (II.3.108)).
Начинаем с некоторого pi"''^Xfi (например, с pj^^ = 0). Если р^*"»
уже известно (т^О), то находим и^+^ из уравнений
v((ar\ v^))^ + b^{ar\ ar\v^) + e-^{D^ur\Df,v^)
= (рГ, D,v^) + (/, V,) Vtfft eWn (5.1)
(систему (5.1) можно решать методом нижней релаксации). Затем
вычисляем Ph'■^^■.
pГ^ = P^-pOлйГ^. (5.2)
Алгоритм 2 (неявный метод Эрроу —Гурвица, см. (II.3.122),
(II.3.123)). u'h'^^ находится из уравнений
+feft(a?,«r*.t'ft)-(pK',Dfttfft)-(f, г»й)] = 0 Vtfft€l^ft.(5.3)
Затем ^Jg^+^ вычисляется из уравнения
a(pГ^-Ю+pOййr^ = 0.
примеры. На рис. 24 показаны линии тока для течения в задаче 1,
ртвечающие наилучшему экспериментальному выбору р, а, в
(алгоритм 2, v=10"^ U = l, 512 треугольников; были
опробованы значения 1/е = 0, 5, 7, 10). На рис. 25 показаны линии
тока для течения в задаче 2 (v = 4.10~S о^=1, о^ — О, 412
треугольников, 655 узлов (рис. 16); параметры были выбраны такие:
р = 0, 1/6=10, а = 0.004).

КОММЕНТАРИИ
И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ
Глава I. Параграф 1 посвящен предварительному исследованию играющих
центральную роль в этой книге пространств V п Н. Теорема о следе доказана
методами, изложенными в монографии Лионса и Мадженеса [1]. Приведенная
5сарактеризация пространств Я и Я-'- основана на теореме де Рама из теории
потоков. Более элементарное доказательство дано в книге Ладыженской [1]
для п = 3. Упрощенный вариант доказательства Ладыженской, пригодный для
любой размерности пространства, приведен у Темама [9]. Другой способ
избежать применения теоремы де Рама указан в замечании 1.9.
Мы не даем ни систематического изложения, ни обзора теории пространств
Соболева, а ограничиваемся тем, что напоминаем свойства этих пространств
по мере надобности (см., в частности, пункты 1.1 глав I н И). Как уже
отмечалось в тексте, по поводу доказательств н дополнительных сведений
читатель отсылается к работам: Лионе [1], Лионе и Мадженес [1], Нечас [1],
Соболев [1] и др.
Вариационная формулировка уравнений Стокса была впервые введена
(в общем случае нелинейных уравнений) Лерэ [1—3] при изучении слабых,
или турбулентных, решений уравнений Навье—Стокса. Существование решения
вариациоиной задачи Стокса легко получается с помощью классической
проекционной теоремы, доказательство которой напоминается для полноты
изложения. Результаты, касающиеся задачи Стокса в невариационной постановке
и регулярности решений, основаны на статьях Каттабриги [1] (п = 3) и Агмона,
Дуглиса н Ниренберга [1] об эллиптических системах (любой размерности);
эти результаты проводятся без доказательства. Другой подход к регулярности
описан в работе Солонникова и Скадилова [1]. См. также Солонников [4],
Ворович и Юдович [1].
Понятия аппроксимации нормированного пространства и аппроксимации
вариационной задачи изучались многими авторами, в частности Обэном [1]
и Сеа [1]; здесь мы придерживаемся изложения, данного в книге Темама [8].
Дискретное неравенство Пуанкаре (п.3.3) и аппроксимация пространства V
конечными разностями имеются у Сеа [1]. Аппроксимация пространства К
согласованными конечными элементами была впервые изучена и использована Фортэном [2];
наше описание аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ) (согласованные конечные
влементы) в основном следует Фортэну [2]. В этой работе можно найти также
много результатов вычислений, использующих этот тип дискретизации. Идея
исклпьзования функций-колоколов принадлежит Равьяру; данное здесь
изложение зппроксимации (АПР2') является новым. Аппроксимация (АПР4) была
изучена и применена Томассэ [1]. Результаты, касающиеся использования
несогласованных конечных элементов для аппроксимации несоленоидальных
вектор-функций, принадлежат Крузею, Гловински, Равьяру и автору. Другие
аспекты этой темы (несогласованные конечные элементы высших степеней и
более тонкие оценки погрешности) представлены у Крузея и Равьяра [1]; по
поводу численных экспериментов см. Томассэ [2], а также Лайи [\] для
случая осесимметричного трехмерного течения.
Относительно других приложений конечных элементов в механике жидкости
см. Оден, Зенкевич, Гэллахер и Тейлор [1] и материалы конфереицин в Италии,

Комментарии и литературные указания 385
состоявшейся в июне 1976 г. (в печати). Что касается общей теории конечных
элементов, упомянем следующие работы синтетического характера: Бабушка
и Азиз [1], Сьярле [1], Равьяр [2], Стрэнг и Фикс [1], Азиз [ 1]. Дальнейшую
литературу по конечным элементам читатель найдет в этих работах. Описание
методов конечных элементов, приведенное в книге, почти полностью автономно;
мы лишь предположили справедливость нескольких конкретных результатов,
доказательство которых потребовало бы введения аппарата, далеко
выходящего за рамки наших рассмотрений.
После дискретизации задачи Стокса мы должны решать конечномерную
линейную задачу, где неизвестным является элемент Ил некоторого конечйо-
мерного пространства К/,. Здесь есть две возможности:
(a) либо пространство V/, обладает естественным и просты.м базисом, таким
что задача сводится к линейной системе с разреженной матрицей относительно
компонент вектора Ил; в этом случае мы решаем задачу, разрешая эту
линейную систему;
(b) либо это не так, и тогда конечномерную задачу не так просто решить
(приходится иметь дело с плохо обусловленными или неразреженными
матрицами), даже если она обладает единственным решением; в этом случае для
решения задачи должны быть введены подходящие алгоритмы; это и
составляет цель § 5.
Алгоритмы, описанные в § 5, были предложены для задач теории
оптимизации и экономики в книге Эрроу, Гурвица и Уд1авы [1]. Применение этих
методов к задачам гидродинамики изучалось в работах Сеа, Гловински и Не-
делека [1], Фортэна [2], Фортэна, Пзйрэ и Темама [1]. Экспериментальное
исследование проблемы оптимального выбора параметра р (или р и а)
проведено у Бежи [1] и Фортэна [2]; теоретическое решение этой проблемы для
одного весьма частного случая дано Крузеем [2].
Аппроксимацию несжимаемых течений слабо сжимаемыми, как в § 6,
изучали Лионе [4] и Темам [2|. Полное асимптотическое разложение Ие.
приведенное в § 6, является новым и принадлежит М. Пелисье. За дальнейшими
сведениями по этому вопросу мы отсылаем читателя к работе Пелисье [1].
См. также Фолк [1] и Берковье [1].
Глава //. В § 1 представлены некоторые стандартные результаты о
существовании и единственности решений нелинейных стационарных уравнений Навье—
Стокса. Мы следуем в основном Ладыженской [1] и Лионсу [2]. Более полное
обсуждение пэпроса о регулярности решений и теории гидродинамических
потенциалов можно найти у Ладыженской [1]; относительно регулярности см.
также статью Фудзиты [1]. Стационарные уравнения Навье—Стокса в
неограниченной области изучались финном [1—5], Финном и Смитом [1, 2), Хейву-
дом [1,-3].
Некоторые новые теоретические результаты, касающиеся стационарных
уравнений Навье—Стокса, получены в работах Фояша и Темама [2] и
Темама [ 11 ].
В § 2 приведены дискретные неравенства Соболева и теоремы компактности,
доказательства которых носят весьма технический характер. В принципе
доказательства для случая конечных разностей аналогичны соответствующим
доказательствам для непрерывного случая (см., например, Лионе [1], Лионе
и Мадженес [1]). Доказательство дискретных неравенств Соболева ранее не
публиковалось, доказательство дискретной теоремы о компактности можно
найти у Равьяра [1]. Для согласованных конечных элементов доказательства
_ намного более просты; в частности, для дискретной теоремы о компактности
дело совсем просто сводится к непрерывному случаю. Для несогласованных
конечных элементов доказательство неравенств Соболева основано иа
специфической технике теории несогласованных конечных элементов. Дискретная
теорема о компактности доказана с помощью сопоставления согласованных
И несогласованных конечных элементов; это новые результаты.
Обсуждение дискретизации стационарных уравнений Навье—Стокса ведется

386 Комментарии и литературные указания
в соответствии с принципами, развитыми в гл. 1. Общая теорема о сходимости
аналогична изложенной в гл. I, рассмотрены те же самые типы
дискретизации пространства V; разница заключается в отсутствии единственности
решения точной задачи. Численные алгоритмы п. 3.3 были предложены и
опробованы Фортэном, Пейрэ и Темамом [1].
В последние годы были достигнуты успехи в исследовании вопроса о
неединственности стационарных решений уравнений Навье—Стокса и
родственных им уравнений. Главные результаты в этом направлении принадлежат
Рабиновичу [2] и Вельте [1, 2]. В [2] Рзч'инович установил неединственность
решений задачи конвекции, явно построив два различных решения (первое,
тривиальное, отвечает покоящейся жидкости, второе строится при помощи
некоторого итерационного процесса). Работы Вельте основаны на
топологических методах, теории бифуркаций и теории топологической степени; задача,
рассмотренная в [1],—это задача о конвекции, как и у Рабиновича [2].
В [2] Вельте доказывает неединственность решения задачи Тейлора; интересно,
что ситуация здесь очень похожа на ту, для которой доказано существование
в § 1, хотя эти ситуации и не идентичны. Изложение, данное в § 4, близко
следует указанным работам. По поводу других приложений теории бифуркаций
см., в частности, сборник под редакцией Келлера и Энтмана [1]* книги Ниреи-
берга [1] и Рабиновича [4] и журнал Rocky Mountain J. of Math., 1973, 3,
№ 2.
Глава III. Результаты о существовании и единственности решений для
линеаризованных уравнений Навье—Стокса (§ 1) являются частным случаем общих
результатоз о существовании и единственности решений линейных вариационных
уравнений (см., например, Лионе и Мадженес [1, т. 2]). Для полноты мы
привели элементарные доказательства некоторых технических результатов,
обычно получаемых как простые следствия более сильных результатов (имеются
в виду, например, лемма 1.1, которая более естественна в рамках теории
векторнозначных распределений (Л. Шварц [2)), или лемма 1.2, которую
можно доказать интерполяционными методами (Лионе и Мадженес (1))).
Теорема 2.1—одна из стандартных теорем о компактности, используемых
в теории нелинейных эволюционных уравнений. Ряд других теорем о
компактности доказан и используется у Лионса [2].
Результаты о существовании и единственности, относящиеся к нелинейным
уравнениям Навье—Стокса и приведенные в §§ 3 и 4, являются теперь
классическими и продолжают ранние работы Лерэ [1—3]; см. Хспф [1, 2],
Ладыженская [1], Лионе [2, 3], Лионе и Проди [\\, Серрин [3]. Дальнейшие
результаты о регулярности решений и существовании дифференцируемых в классическом
смысле решений уравнений Навье—Стокса можно найти во втором издании
книги Ладыженской [1]. Относительно аналитичности решений см. Фояш
и Проди [1], Фудзита и Масуда [1], Кахан [1], Масуда [1], Серрин [3].
Упомянем также о двух новых и совсем других подходах к изучению
вопроса о существовании и единственности, которые мы здесь не рассматривали.
Первый принадлежит Фейбсу, Джоун.^у и Ривьеру [1] и основан на методах
сингулярных интегральных операторов. Он дает существование и единственность
в пространствах LP. Второй—это метод Эбина и Марсдена [1], сводящий
изучение задачи Коши для уравнений Навье — Стокса к исследованию
геодезических на некотором римаповом многообразии и, таким образом, использующий
методы глобального анализа.
Материал § 5, посвященного обсуждению устойчивости и сходимости
простых дискретных схем для уравнений Навье—Стокса, является в основном
новым; аналогичное исследование для Других уравнений или других схем
приведено в работах Темама [2—4]. Доказательство устойчивости и сходимости
некоторых безусловно устойчивых одношаговых схем можно найти у
Ладыженской [Б]; относительно схем дробных шагов см. Чорин [2], Ладыженская
и Ривкинд [1]. Во всех этих работах, исключая работу Чорииа [2], сходи.мость
доказывается, как и здесь, получением подходящих априорных оценок
приближенных решений н применением подходящей теоремы о компактности;

Комментарии и литературные указания 387
в [2J Чорин предполагает существование очень гладкого решения и
сравнивает приближенное и точное решения.
Пункт 7.1 служит в основном введением к п. 7.2. Схема дробных шагов,
описанная в п. 7.2 (проекционный метод), была независимо предложена Чо-
рином [1—3] и Темамом [3]; Чорин рассматривает несколько иную форму
схемы, без стабилизирующего члена (1/2) (div И) и (т. е. без замены b на Ь).
Приложения и другие аспекты этой схемы развиты, в частности, в работах
Чжу и Йоханссона [1], Чжу, Мортона и Робертса [1], Фортэна, Пейрэ
и Темама [1], Фортэна [1], Фортэна и Темама [1], Маршалла [1,2] и Пескина
[1, 2]. Эта схема является интерпретацией метода дробных шагов, введенного
и изученного Марчуком [1] и Яненко [1] (см. § 8).
Аппроксимация уравнений Навье—Стокса уравнениями слабо сжимаемой
жидкости (п. 8.1) была предложена Яненко [1], который рассматривал чуть
более сложные возмущенные уравнения. Введение этих возмущений позволило
Яненко использовать метод дробных шагов, который изучается в п. 8.2.
Отметим, что схемы § 7 представляют собой схемы дробных шагов, не требующие
рассмотрения возмущенных уравнений.
Доказательство сходимости схе.мы дробных шагов, приведенное здесь,
принадлежит Темаму [3, 4] и следует методу, предложенному в работе Темама (1 ].
Относительно других аспектов метода дробных шагов см. Марчук [1], Яненко
[1, 2] и указанную там литературу; см. также Темам [1,6, 7].
Другие типы возмущенных задач, целью введения которых является
преодоление трудностей, связанных с ограничением „divB = 0" (а не применение
метода дробных шагов), изучены в работах Лионса [4] и Темама [2].
Относительно методов переменных напраплений и дальнейших результатов по методам
дробных шагов см. Ладыженская и Ривкинд [1], Ривкинд и Эпштейи [1],
Эпштейн [1].
В §§ 5—8 представлена лишь весьма малая часть из большого количества
результатов по аппроксимации уравнений гидродинамики; самые последние
результаты н очень полезную библиографию можно найти в сборниках под
редакцией Белоцерковского [1], Холта [2], Кабанна и Темама [1], Рихтмай-
ера [1]. См. также Брайен [1], Чжу и Крейсс [1] и, наконец, библиографию,
подготовленную в Лос-Аламосской лаборатории (Los Alamos Scientific
Laboratory).
С помощью изложенных здесь методов можно решать много других задач.
Если говорить лишь о самих уравнениях Навье—Стокса, то можно рассмотреть
другие краевые условия (см. Йоосс [1]) или периодические решения (Проузе
[1, 2]), вариационные неравенства (Лионе [2]). В работах Бенсусана и Темама
[1], Фояша [1], Вишика и Фурсикова [1] изучались стохастические уравнения
Навье—Стокса. Задачами оптимального уравнения для систем, управляемых
уравнениями Навье—Стокса, занимался Кювелье [1].
Трудности, встречающиеся в математической теории уравнений Навье —
Стокса, побудили некоторых авторов к пересмотру гипотст гидродинамики,
приводящих к этим уравнениям, и предложению новых мзчелей с лучшими
математическими свойствами; см. Каниэль [1], Ладыженская [l].
Имеются аналогичные модели, связанные с другими уравнениями (чаще
всего это уравнения Навье—Стокса, объединенные с какими-нибудь другими
уравнениями), как-то: уравнения конвекции, рассмотрение которых почти
идентично рассмотрению уравнений Навье—Стокса; различные модели
жидкости; модели чагрязнения (Маршалл [1]) и кровообращения (Пескин [1]);
океанографические модели (в которых фигурирует уравнение для концентрации).
Более подробно исследованы уравнения магнитной гидродинамики и уравнения
Бингама (см. Дюво и Лионе [1, 2]), служащие примерами моделей неиьюто-
новой жидкости.
Математическая теория уравнений Эйлера здесь не рассматривалась.
Относительно одного подхода к ним, основанного на аналитических методах, см.
Бардос [1], Като [1, 2], Лионе [2], Темам [10, 12], Юдович [1].

388 Комментарии и литературные указания
Некоторые результаты о поведении решений уравнений Навье—Стокса
при V—>■ О есть у Лионса [2], Юдовича [1]. Аналогичная задача для одного
модельного уравнения типа уравнения Бюргерса полностью исследована в статье
Бронера, Пеиеля и Темама [1) и в диссертации Пенеля [1]; см. также работы
Бардсса, Фриша, Пенеля и Сулема в сборнике под редакцией Темама [12].
Добавление ко второму изданию
Укажем здесь самые последние результаты в области теории и численного
анализа уравнений Навье—Стокса.
Что касается теории, то получено небольшое усиление теорем
существования для стационарных нелинейных уравнений, представленное в
приложении I. Некоторые новые результаты относительно структуры множества
стационарных (и периодических по времени) решений уравнений Навье—Стокса
изложены в работах Фояша и Темама [2—3] и Темама [11], вышедших из
печати уже после появления первого издания; см. также Темам [13], Со
и Темам [1, 2], где применяются топологические методы (методы
трансверсальности), что даст возможность изучить задачу Коши для стационарных
линейных уравнений Стокса с возмущающими членами более низкого порядки.
Особенности, которыми могут обладать решения эволюционных трехмерных
уравнений Навье—Стокса, исследованы в работах Шеффера [1, 2], где оценена
хаусдорфова размерность этих особенностей.
Уравнения Навье—Стокса в областях с „большим" количеством дыр
рассмотрел Лионе [1] в связи с теорией гомогенизации, течениями в пористых
средах и законом Дарси. По поводу [продвижений в теории бифуркаций см.
Рабинович [1].
Что касается численного анализа уравнений Навье—Стокса, то среди
многочисленных новых публикаций, касающихся, в частности, применения методов
конечных элементов и методов переменных направлений, отметим следующие:
Гэллахер, Зенкевич, Оден, Моранди-Чекки и Тейлор [1], Фортэн н Томассэ [1],
Темам [14], Темам и Томассэ [1], Томассэ [3], Вирц [1]. С)тносительно
смешанных и гибридных конечных элементов см. Фортэн [3], Равьяр [3]. См. также
литературу, приведенную в указанных работах.

ЛИТЕРАТУРА'
Агмон, Дуглнс, Ниренберг (S. Agmon, А. DougliSj L. Nirenberg)
[1] Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential
equations satisfying general boundary conditions I, Comm. Pure Appl.
Math., 12, 1959, p. 623—727.
[2] Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations
satisfying general boundary conditions 11, Comm. Pure Appl. Math., 17,
1964, p. 35—92.
Азиз (A. K. Aziz)
[1] (ред.) Proceedings of the Symposium on Mathematical Foundations of the
Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations,
University of Maryland, Baltimore County (June 1972), Academic Press,
1972.
Аракава (A. Arakawa)
[1] Computational design '^i long-term numerical integration of the equations
of fluid motion: two-dimensional incompressible flow (part 1) J. Сотр.
Physics, 1, 1966, p. 119—143.
ApoHcoH (D. G. Aronson)
[1] Regularity property of flows through porous media, SIAM J. Appl. Math.,
17, 1969, p. 461—467.
[2] Regularity properties of flows through porous media: a counterexample,
SIAM J. Appl. Maht., 19, 1970, p. 299—307.
[3] Regularity properties of flows through porous media: the interface. Arch.
Rat. Mech. Anal., 37, 1970, p. 1—10.
Бабушка, Азиз (I. Babushka, A. K. Aziz)
[1] Lectures on Mathematical Foundations of the Finite Element Method,
Technical Report B. N. 748, Institute for Fluid Dynamics and Applied
Mathematics, University or Maryland, 1972.
Бардос (С. Bardos)
[1] Existence et unicite de la solution de I'equation d'Euler en dimension
deux, J. Math. Anal., Appl., 40, 1972, p. 769—790.
Бардос, Тартар (С. Bardos, L. Tartar)
{1] Sur I'unilcite retrograde des equations paraboliques et quelques questions
voisines, Arch. Rat. Mech. Anal., 50, p. 10—25.
Бежи (D. Begis)
[1] Analyse numerique de I'ecoulement d'un fluide de Bingham, These de 3*"'^
cycle, Universite de Paris, 1972.
Белоцерковский О. М.
[1] (ред.) Труды Первой международной конференции по численным методам
в гидродинамике, Новосибирск, август, 1969.—Изд. АН СССР, 1970.
^ Для переводных книг в скобках указан год оригинального издания
Если он больше года выхода в свет перевода, то это означает, что последний
делался с более раннего издания, чем то, на которое ссылается автор,—Прим.
ред.

390 Литература
Бенсусан, Темам (А. Bensoussan, R. Temam)
fl] Equations Stocliastiques du type Navier — Stokes, J. Funct. Anal., 13,
1973, p. 195—222.
Берковье (M. Bercovier)
[1] Regularisation duale et problemes variationnels mixtes, Tliese, 1976.
Борзенберже (A. Borsenberger)
|1| These de 3^""^ cycle, Universite de Paris-Sud, к paraitre.
Bpaiieii (K. Bryan)
[1] A numerical investigation of nonlinear model of a wind driven ocean,
J. Almos. Sci. 20, 1963, p. 594—606.
f2] A numerical method for the study of circulation of the world ocean, J. of
Сотр. Phys., 4, 1969, p. 347—376.
[3] (ред.) Proceedings of a Conference on Oceanography, held in 1972.
Бронер, Пенель, Темам (С. М. Вгаипег, Р. Penel, R. Temam)
[1] Sur une equation d'evolution non lineaire Неё a la theorie de Ja
turbulence, Annali, Sc, Norm. Sup. di Pisa, S. IV, vol. IV, N1, 1977, p. 101 — 128,
and the volume dedicated to J. Leray and H. Lewy.
Бужо, Суле, Темам (J.-P. Boujot, J.-L, Soule, R. Temam)
[1] Traitement Numerique d'un Probleme de Magnetohydrodynamique, in:
Холт |2].
Бюи Ah Ton (Bui An Ton)
[1) Nonlinear evolution equations of Sobolev—Halperin type. Math. Z, 151,
1976, p. 219—233.
Варга (R. S. Varga)
[1| Matrix Iterative Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1962.
Вельте (W. Velte)
[1] Stabilitatsverhalten und Verzweigung Stationarer Losungen der Navier —
Stokesschen Gleichungen, Arch. Rational Mech. Anal., 16, 1964, p. 97—125.
[2] Stabilitats und Verzweigung stationarer Losunger der Navier—Stokesschen
Gleichungen beim Taylor problem. Arch. Rational Mech. Anal., 22, 1966,
p. 1-14.
Вирц (H. J. Wirz)
[1] (ред.) Computational fluid dynamics, Agard Lecture Series n° 86, 1977.
Витт.цнг (H. Witting)
[1] Uber den EinfluB der Stromlinienkrtimmung auf die Stabilitat laminarer
Stromungen, Arch. Rat. Mech. Anal., 2 (1958), p. 243—283.
Вишик M. И., Фурсиков A. B.
[1] L'equation de Hopf, les solutions statistiques, les moments correspondants
aux systemes des equations paraboliques quasilineaires, J. Math. Pures
Appl., to appear.
Ворович И. И., Юдович В. И.
[1] Стационарные течения вязкой несжимаемо!! жидкости.—Матем. сб., 1961(
53, с. 393—428.
Гальярдо (Е. Gagliardo)
[1] Proprieta di al classi di funzioni in piii variabili, Richerche di Mat., 7,
1958, p. 102—137.
Гловински, Лионе, Тремольер (R. Glowinski, J. L. Lions, R. Tremolieres)
[1] Численное исследование вариационных неравенств.—М.: Мир, 1979.(1976).
Годунов С. К.
[1] Решение одномерных задач газовой динамики-на подвижных сетках.—Мл
Наука, 1970.
Головкин К. К.
[1] О теории потенциала для нестационарных линейных уравнений Навье—
Стокса в случае трех пространственных переменных.—Труды МИЛН
им. Стеклова, 1960, 59, с. 87—99.

Литература 391
[2] О плоском движении вязкой жидкости.—Труды МИАН им. Стеклова,
1960, 59, с. 37-86.
Головкин К- К., Ладыженская О. А.
[1] О решениях нестационарной краевой задачи для уравнений Навье —
Стокса.—Труды МИАН им. Стеклова, 1960, 59, с. 100—114.
Головкин К. К., Солонников В. А.
[1] О первой краевой задаче для нестационарных уравнений Навье—Стокса.—
ДАН СССР, 1961, 140, с. 287—290.
Гринспэн Д. (D. Greenspan)
[1] Numerical solution of a class of nonsteady cavity flow problems, B. I. Т.,
8, 1968, p. 287-294.
[2] Numerical studies of prototype cavity flow problems. The Computer Journal,
12, No. 1, 1969, p. 89—94.
[3] Numerical Studies of Steady, Viscous Incompressible Flow in a Channel
with a Step. J. of Engineering Mathematics, 3, No. 1, 1969, p. 21—28.
[4] Numerical studies of Flow between rotating coaxial disks, J. Inst. Maths.
Applies., 9, 1972, p. 370—377.
Гринспэн Д., Шульц (D. Greenspan, D. Schultz)
fl] Fast finite-difference solution of Biharmonic problems, Comm. of the
A. С M.
Гринспэн X. (H. P. Greenspan)
[1] The theory of rotating fluids, Cambridge University Press, 1969.
Гэллахер, Зенкевич, Оден, Моранди-Чекки, Тейлор (R. Н. Gallagher, О. С. Zien-
ckiewicz, J. Т. Oden, М. Morandi-Cecchi, С. Taylor)
[1] Finite Elements in Fluids, vol. 3, J. Wiley, 1978 (см. также первые два
тома).
Дени, Лионе (J. Deny, J.-L. Lions)
[1] Les espaces du type deBEPPO LEVI, Ann. Inst. Fourier, 5, 1954, p. 305—370.
Деннис (S. C. R. Dennis)
[1] The numerical solution of the vorticity transport equation, Report CERN,
Geneva, 1972.
Дюво, Лионе (G. Duvaut, J.-L. Lions)
[1] Les inequations en Mecanique et en Physique, Dunod, Paris, 1971, English
translation, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1977.
[2] Inequations en tnermoelasticite et magnetohydrodynamique, Arch. Rat.
Mech. Anal., 46, 1972, p. 241—279.
Женишек (A. Zenisek)
[1] Polynomial interpolations on the triangle, Numer. Math., 16, 1970,
p. 283—296.
Зламал (M. Zlamal)
[1] On the finite element method. Numer. Math., 12, 1968, p. 394—409.
[2] A finite element procedure of the second order of accuracy, Numer. Math..
14, 1970, p. 394—402.
Израэли, Гринспэн X. (М. Israeli, Н. P. Greenspan)
[1] Nonlinear motions of a confined rotating fluid, Report, Department of
Meteorology, M. I. T. To appear.
ЙООСС (G. looss)
[1] Bifurcation of a T-periodic flow towards an nT-periodic flow and their
non-linear stabilities, Archiwum Mechaniki Stojowane], 26, 5, 1974,
p. 795—804.
Кабанн, Темам (Н. Cabannes, R. Temam)
in (ред.) Proceedings of the Third International Conference on Numerical
Methods in Fluid Dynamics, Paris, July 1972, Lecture Notes in Physics,
18 and 19, Springer-Verlag, 1973.
Каниэль (S. Kaniel)
[1] On the initial value problem for an incompressible fluid with non-linear
viscosity, J. Math. Mech., 19, 1969—1970, p. 6fil—707.
Каниэль, Шинброт (S. Kaniel, M. Shinbrot)

392 Литература
[1] Smoothness of weak solutions of the Naviei—Stokes equations, Arch.
Rational Mech. Anal., 24, 1967, p, 302—324.
[2] A reproductive property of the Navier—Stokes equations, Arch. Rational
Mech. Anal., 24, 1967, p. 363—369.
Карлик (S. Karl in)
[1] Total positivity and applications V. I. Stanford University Press, Stanf.,
Cal. 1967.
Като (Т. Kato)
[1] On classical solutions of two dimensional nonstationary Euler equation,-
Arch. Rational Mech. Anal., 25, 1967, p. 188—200.
[2] Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in R^, J. Functional
Analysis, 9, 1972, p. 296—305.
Като, Фудзита (Т. Kato, Н. Fujita)
[1] On the stationary Navier—Stokes system. Rend. Sem. Univ. Padova, 32,
1962, p. 243-260.
Каттабрига (L. Cattabriga)
[1] Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes,
Rend. Mat. Sem. Univ. Padova, 31, 1961, p. 308—340.
Кахан (С. Kahane)
[1] On the spatial analytic!ty of solutions of the Navier—Stokes equations,
Arch. Rational Mech. Anal., 33, 1969, p. 386—405.
Келлер, Энтман (J. В. Keller, S. Antman)
[1] (ред.) Bifurcation Theory and Nonlinear Eigenvalue Problems, Benjamin,
New York, 1969.
Келлог, Осборн (R. В. Kellog, J. E. Osborn)
fl] A regularity result for the Stokes problem in a convex polygon, J. Funct.
Anal., 21, 1976, p. 341—397.
Кирхгэснер (К. Kirchgassner)
[1] Die Instabilitat der Stromung zwischen zwei rotierenden Zylindern gege-
nflber Taylor-Wirbeln fur beliebige Spaltbreiten. Z. A. M. P., 12, 1961,
p. 14-30.
Коллинз (R. Collins)
[1] Application de la mecanique des milieux continus a la Biomecanique,
Cours de 3«™« cycle, Universite de Paris VI, 1972.
Красносельский M. A.
[1] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений.—
М.: Гостехиздат, 1956.
Крейн М. Г., Рутман М. А.
[1] Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве
Банаха, —УМН, 1948, 3, № 1, с. 3—95.
Крузей (М. Crouzeix)
[1] Resolution Numerique des Equations de Stokes et Navier—Stokes Stati-
onnaires, Seminaire d'Analyse Numerique, Universite de Paris IV, .1971—72.
[2] Thesis, Universite de Paris VI, 1975.
Крузей, Равьяр (М. Crouzeix, P. A. Raviart)
[1] Conforming and non conforming Finite Element Methods for Solving the
Stationary Stokes Equations, RAIRO, Serie Anal. Num., 3, 1973, p. 33—76.
Кшивицкий (A. Krzywicki), Ладыженская О. A.
[1] Метод сеток для нестационарных уравнений Навье—Стокса. — Труди
МИАН им. Стеклова, 1966, 92, с. 93—99.
Кювелье (Cuvelier)
[1] Thesis, University of Delft, 1976.
Ладыженская О. A.
Jl] Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости.—M.i
Физматгиз, 1961.
[2] О новых уравнениях для описания движения вязких несжимаемых
жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач.—Труды МИАН
им, Стеклова, 1967, 102, с. 85—104.

Литература 393
[3] О модификации уравнений Навье—Стокса для больших градиентов
скоростей.—Записки научн. сем. ЛОМИ, 1968, 7, с. 126—154.
[4] Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для
уравнений Навье—Стокса при наличии осевой симметрии.—Записки научн.
сем. ЛОМИ, 1968, 7, с. 155—177.
[5] On convergent finite differences schemes for initial boundary value problems
for Navier—Stokes equations, Fluid Dyn. Trans., 5, 1969, p. 125—134.
Ладыженская О. A., Ривкинд В. И.
[1] О методе переменных направлений для расчета течений вязкой
несжимаемой жидкости в цилиндрических координатах.—ИАН СССР, 1971, 35,
с. 259—268.
Ладыженская О. Д., Солонников В. А.
[1] О разрешимости краевых и [)ачально-краевых задач для уравнений Навье —
Стокса в областях с некомпактными границами.—Вестник ЛГУ, 1977,
№ 13, с. 39—47.
[2] О некоторых задачах векторного анализа и обобщении урав[1ений Навье —
Стокса. — Записки научн. сем. ЛОМИ, 1976, 59, с, 81 — 116.
[3] Об однозначной разрешимости начально-краевых задач для вязких
несжимаемых течений однородЕЮй жидкости. — Записки научн. сем. ЛОМИ, 1975,
52, с. 52—109.
Лайи (Р. Lailly)
[1] These, Universite de Paris-Sud, Orsay, 1976.
Лаке, Вендрофф (P. Lax, B. Wendroff)
[1] Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy,
Comm. Pure Appl. Math., XVII, No. 3, 1964, p. 381—398.
Ласко (P. Lascaux)
[1] Application de la methode des elements finis en hydrodynamique bidimen-
sionnelle utilisant les variables de Lagrange, Technical Report, С E. A.
Limeil, 1972.
Лерэ (J, Leray)
[1] Etude de diverses equations integrales nonlineaires et de quelques problemes
que pose I'hydrodynarnique, J. Math. Pures Appl., 12, 1933, p. 1—82.
[2] Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des
parois, J. Math. Pures et Appl., 13, 1934, p. 331—418.
[3] Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant I'espace, Acta
Math., 63, 1934, p. 193—248.
Лерэ, Шаудер (J. Leray, J. Schauder)
[1] Topologie et equations fonctionnelles, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 3*'"^ Serie,
51, 1934, p. 45—78. [Имеется перевод: УМН, 1946, 1, № 3—4, 71—95.)
Лионе (J.-L. Lions)
[1] Problemes aux limites dans les equations aux derlvees partieiles. Presses
de rUniversite de Montreal, 1962.
[2] Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires,
Dunod, Paris, 1969.
[3] Quelques resultats d'existence dans les equations aux derivees partieiles
non lineaires, Bull. Soc. Math. France, 87, 1959, p. 245—273.
[4] On the numerical approximation of some equations arising in
hydrodynamics, A. M. S. Symposium, Durham, April 1968.
[5] Sur la regularite et I'unicite des solutions turbulentes des equations de
Navier—Stokes, Rend. Sem. Mat. Padova, 30, 1960, p. 16—23.
[6] Some problems with Navier—Stokes equations. Lectures at the Vlth
Latin-American School of Mathematics, Lima, July 1978.
Лионе, Маджепес (J.-L. Lions, E. Magenes)
[1] Неоднородные граничные задачи и их [триложения,—М.: Мир, 1971 (1972)_
Лиспе, Проди (J.-L. Lions, G. Prodi)
[1] Un theoreme d'existence et d'unicite dans les equations de Navier — Stokes
en dimension 2, С R. Acad, Sci. Paris, 248, 1959, p. 3519—3521,

394 Литература
Мадженес, Стампаккья (Е. Magenes, G. Stampacchia)
[1] I Problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellitticot Ann.
Scuola. Norm. Sup. Pisa, 12, 1958, p. 247—357, note (27), p. 320.
Марчук Г. И.
[1] In: Proceedings of the Intern. Congress of Mathematicians, Nice, 1970}
Gauthier-Villars, Paris, 1971.
Маршалл (G. Marshall)
[I] On the numerical treatment of viscous flow problems. Report NA-7, Delft.
1972.
[2] Numerical treatment of air pollution problems, to appear.
Масуда (К. Masuda)
[1] On the analyticity and the unique continuation theorem for solutions of
the Navier—Stolies equations, Proc. Japan Acad., 43 (No. 9), 1967,
p. 827-832.
Мёран (G. Meurant)
[1] Quelques aspects theoriques et numeriques de problemes de valeurs propres
non liueaires, These de 3^"® cycle, Universite de Paris-Sud, 1972.
Моретти (G. Moretti)
[1] Lectures in: Смолдерен [1].
Нечас (J. Necas)
[1] Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson, Paris»
1967.
[2] Equations aux derivees partielles* Presses de I'Universite de Montreal, 1965.
Ниренберг (L. Nirenberg)
[1] Лекции no нелинейному функциональному анализу.—М.: Мир, 1977 (1974).
Нох (W. F. Noh)
[1] А time dependant two spaces Dimensional Coupled Eulerian — Lagrange
Code, in: Олдер и Фербах [ 1 J.
Обэн (J. P. Aubin)
[1] Приближенное решение эллиптических краевых задач.— М.: Мир, 1977
(1972).
Оден (J. Т. Oden)
[1] Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.—М.; Мир,
1976 (1972).
Оден, Зенкевич, Гэллахер, Тейлор (J. Т. Oden, О. С. Zienkiewicz, R. Н.
Gallagher, С. Taylor)
[1] Finite element methods in flow problems, UAM Press, Huntsville,
Alabama, 1974.
Олдер, Фербах (В. Alder, S. Ferbach)
[1] (ред.) Methods in Computational Physics, Academic Press, New York, 1965.
Осборн (J. E. Osborn)
[1] Regularity of the Stokes problem in a polygonal domain, in: Numerical
Solution of P.D.E. (Ill), B. Hubbard editior, Academic Press, 1976.
Пелисье (M. C. Pelissier)
[1] Resolution numerique de quelques problemes raides en mecanique des
milieux faiblement compressibles, Calcolo, 12, 1975, p. 275—314.
Пеиель (P. Penel)
[1] Sur une equation d'evolution nonlineaire Неё a la thfeorie de la
turbulence, These, Universite do Paris-Sud, 1975.
Пескин (С. S. Peskin)
[1] Flow patterns around heart valves, J. of Сотр. Phys., 10 1972,
p. 252—271.
Пирронно (Pirronneau)
[If Sur les problemes d'optimisation de structure en mecanique des fluides,
Theses, Universite de Paris, 1976.
Проди (G. Prodi)
[1] Un teorema di unicita per le equazioni di Navier—Stokes, Annali di Mat.i
48, 1959, p. 173-132.

Литература 395
[2] Qualche resultato riguardo alle equazioni di Navier — Stokes nel caso bidi-
mensionale, Rend. Sem. Mat. Padova, 30, 1960, p. I—15.
Проузе (G. Prouse)
(IJ Soluzioni periodlche dell'equazione di Navier — Stokes, Rend. Acad. Naz.
Lincei, 35, 1963, p. 443—447.
[2] Soluzioni quasi-periodiche dell'equazione di Navier — Stokes in due d imen-
sioni, Rend. Sem. Mat, Padova, .33, 1963.
Рабинович (P. H. Rabinowitz)
[IJ Periodic solutions of nonlinear hyperbolic partial differential equations (I)
and (II), Comm. Pure Appl. Math., 20, 1967, p. 145—205, and 22, 1969,
p. 25-39.
[2] Existence and nonuniqueness of rectangular solutions of the Benard
problem. Arch. Rational Mech. Anal., 29, 1968, p. 32—57.
(3j Some aspects of nonlinear eigenvalue problems, M.R.C. Technical Summary
Report No. 1193, University of Wisconsin, 1972.
[4] Theorie du degre topologique et application a des problemes aux limites
non lineaires. Lecture Notes of a Course at the University of Paris VI
and XI, 1973.
[5] A priori bounds for some bifurcation problems in Fluid Dynamics, Arch.
Rat. Mech. Anal., 49, 1973, p. 270—285.
l&\ (ред.) Application of bifurcation theory, Acad. Press, New York, 1977.
Равьяр (P. A. Raviart)
[I] Sur I'approximation de certaines equations d'evolution lineaires et non
lineaires, J. Math. Pures Appl., 46, 1967, p. 11 — 107 and 109—183.
[2] Methode des Elements Finis, Cours de 3^"® cycle, Universite de Paris VI,
i972.
[3] Finite element methods and Navier—Stokes equations. Lecture at the
International Symposium on Numerical methods in Applied Sciences,
Versailles 1977, Proceedings edited by R. Glowinski and J.-L, Lions,
Springer-Verlag, to appear.
Pa.M, де (G. de Rham)
[I] Дифференцируемые многообразия.— М.: ИЛ, 1956 (1960).
Раупп (М. А. Raupp)
[1] Galerkin methods for two-dimensional unsteady flows of an ideal
incompressible fluid, Thesis, University of Chicago, 1971.
Ривкинд В. И., Эпштейп Б. С.
[1] ПроекционЕ1Ые сеточные схемы для решения уравнений Навье—Стокса
в ортогональных криволинейных системах координат.— Вестник ЛГУ,
1974, 3, № 13, с. 56—53, 156.
Рисе М. (М. Riesz)
[1] Sur les ensembles compacts de fonctions sommables. Acta Sci. Math.
Szeged, 6, 1933, p. 136-142.
Рихтмайер (R. D. Richtmyer)
[1] (ред.) Proceedings of the Fourth International Conference on Numerical
Methods in Fluid Dynamics, Boulder, June 1974, Lecture Notes in Physics,
35, Springer-Verlag, 1975.
Рихтмайер, Мортон (R. D. Richtmyer, K. W. Morton)
[1] Разностные методы решения краевых задач.—М.: Мир, 1972 (1967).
Сапчес-Паленсия (Е. Sanchez-Palencia)
[1] Existence des solutions de certains problemes aux limites en magneto-
hydrodynamique, J. Mecanique, 7, 1968, p. 405—426.
[2] Quelques resultats d'existence et d'uniclte pour les ecoulements magne-
tohydrodynamiques non stationnaires, J. Mecanique, 8, 1969, p. 509—541.
Cea (J. Cea)
[1] Approximation variationelle des problemes aux limites, Ann Inst. Fourier,
14, 1964, p. 345—444.
[2] Оптимизация. Теория и алгоритмы.—М.: Мир, 1973 (1971).

396 Литература
Сеа, Гловински, Неделек (J. Сеа, R. Glowinski, J. С. Nedelec)
[1 I Minimisation de fonctionelles non differentiables. Conference on
Applications of Numerical Analysis (Dundee, March 1971). Lecture Notes in
Mathematics No. 128, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1971.
Серрин (J. Serrin)
[IJ A note on the existence of periodic solutions of the Navier—Stokes
equations. Arch. Rational Mech. Anal., 3, 1959, p. 120—122.
[2] Mathematical Principles of Classical Fluid Dynamics, Encyclopedia of
Physics, vol. 13,1, Springer-Verlag, 1959.
[31 The initial value problem for the Navier—Stokes equations, in
„Nonlinear Problems", R. E. Langer editor. University of Wisconsin Press,
1963, p. 69—98.
[4] On the interior regularity of weak solutions of Navier—Stokes equations,
Arch. Rational Mech. Anal., 9, 1962, p. 187—195.
Смолдерен (J. J. Smolderen)
[1] Numerical Methods in Fluid Dynamics, AGARD Lecture Series, No. 48»
1972,
Co, Темам (J. C. Saut, R. Temam)
[1] Proprietes de Tensemble des solutions stationnaires ou periodiques des
equations de Navier—Stokes: genericite par rapport aux donnees aux limi-
tes, С R. Acad. Sc. Paris, Ser. A, 285* 1978, p. 673—676, and article to
appear.
[2] Generic properties of nonlinear boundary value problems, Comm. in P.I>iE.|
to appear.
Соболев С. Л.
[1] Некоторые применения функционального анализа в математическо!^
физике.— Новосибирск: Изд-во СОАН СССР, 1962.
Солонников В. А.
[1] Оценки решений нестационарной линеаризованной системы уравнений
Навье—Стокса.—Труды МИЛН им. Стеклова, 1964, 70, с. 213—317.
[2] О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для
нестационарной системы уравнений Навье—Стокса.— Труды МИАН
им. Стеклова, 1964, 73, с. 221—291.
[3] Об общих краевых задачах для эллиптических по Дуглису—Ниренбергу
систем. I.—ИЛИ СССР, 1964, 28, с. 665—706; П.—Труды МИАН
им. Стеклова, 1966, 92, с. 233—297.
[4] Об оценках тензоров Грина для некоторых краевых задач.— ДАН СССР;
1960, 130, с. 988—991.
Солонников в. А., Скадилов В. Е.
[1] О краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье—Стокса,—
Труды МИАН им. Стеклова, 1973, 125, с. 196—210.
Соссэ (,J. Р. Saussais)
[1] Etude d'un probleme de diffusion non lineaire lie a la physique des
plasmas. These de 3*™^ cycle, Universite de Paris-Sud, 1972.
Стампаккья (G. Stampacchia)
[1] Equations elliptiques du second ordre й coefficients discontinus. Presses
de rUniversite de Montreal, 1966.
Стрэнг, Фикс (G. Strang, D. J. Fix)
[1] Теория метода конечных элементов.—М.: Мир, 1977 (1973).
Сьярле (Р. G. Ciarlet)
[1] Метод конечных элементов для эллиптических задач.— М.: Мир^
1980 (1978).
[2] Numerical analysis of the finite element method. Presses de I'Universite
de Montreal, 1975.
Сьярле, Равьяр (P. G. Ciarlet, P. A. Raviart)
[1] General Lagrange and Hermite interpolation in R" with applications to
finite elements, Arch. Rational Mech. Anal., 46 (No. 3), 1972, p. 177-199.

Литература 397
[2] Interpolation theory over curved elements, with applications to finite
element methods. Computer Methods in Applied Mechanics and Engeneering,-
1, 1972, p. 217—249.
[3] The Combined Effect of Curved Boundaries and Numerical Integration
of Isoparametric Finite Element Methods, in: Бабушка, Азиз [1].
Сьярле, Уэгшолл (P. G. Ciarlet, G. Wagshall)
[1] Multipoint Taylor formulas and applications to the finite element method,-
Num. Math., 17, 1971, p. 84—100.
Сэзер (J. Sather)
[1] The initial boundary value problems for the Navier—Stokes equations
in regions with moving boundaries. Thesis, University of Minnesota, 1963.
Тартар (L. Tartar)
[IJ Nonlinear partial differential equations using compactness method,
M. R С Report 1584, Univ. of Wisconsin, 1976.
Темам (R. Temam)
[I] Sur la stallite et la convergence de la niethcde des pas fractionnaires,-
Ann. Math. Рига Appl., 74, 1968, p. 191—380.
[2] Une methode d'approxitnation de la solution des equations de Navier —
Stokes, Bull. Soc. Math. France, 98, 1968, p. 115—152.
[3] Sur I'approximation de la solution des equations de Navier—Stokes par
la methode des pas fractionnaires (I), Arch. Rational Mech. Anal., 32
(No. 2), 1969, p. 135—153.
[4] Sur I'approximation des equations de Navier—Stokes par la methode
des pas f^ractionnaires (II), Arch. Rational Mech. Anal., 33 (No. 5), 1969,
p. 377—385.
[5] Approximation of Navier—Stokes Equations, AGARD Lecture Notes
Series, No. 48, 197Э.
[6] Sur la resolution exacte et approchee d'un probleme hyperbolique non
lineaire de T. Carleman, Arch. Rational Mech. Anal., 35 (No. 5), 1969,
p. 351—362.
[7] Methodes de Decomposition en Analyse Numerique, Proceedings of the
International Conference of Mathematicians, Nice, 1970, Gauthier—Villars,
Paris, 1971.
[8] Numerical Analysis, Reidel Publishing Company, Holland, 1973 (in
English), and P.U.F. Paris, 1969 (in French).
[9] On the theory and numerical analysis of the Navier—Stokes equations,
Lecture Note No. 9, Department of Mathematics, University of Maryland,
1973.
[10] On the Euler equations of incompressible perfect fluids, J. Funct. Anal.,
20, 1975, p. 32—43.
[II] Une propriete generique de I'ensemble des solutions stationnalres ou
periodiques des equations de Navier—Stokes, Actes du Symposium Franco-
Japonais, Tokyo, Sept. 1976, Proceedings edited by H. Fujita, Japan
Soc. for the Promotion of Science, 1978.
[12] (ред.) Turbulence and Navier—Stokes equations, Lecture Notes in Math.,
vol. 565, Springer-Verlag, 1976.
[13] Qualitative properties of Navier—Stokes equations. Communication at
the International Symposium on Partial Differential Equations and
Continuum Mechanic, Rio de Janeiro 1977, Proceedings edited by
L. A. Medeiros, North-Holland, 1978.
[14] Some finite element methods in fluid flow, Lecture at the Sixth
International Conference on Numerical Methods in fluid mechanics, Tbilissi*
1978, ftoceedings edited by Belotserkovskii and Rusanov, Springer-Verlag,
to appear.
Темам, Томассэ (R. Temam, F. Thomasset)
[1] Numerical solution of Navier—Stokes equations by a finite element
method, Conference at Rapallo, Italy 1976
Томассэ (F. Thomasset)

398 Литература
[1] Etude d'une methode d'elements finis de degre 5. Application aux proble-
mes de plaques et d'ecoulement de Fluides, These de 3^™® cycle, Univer-
site de Paris-Sud, 1974.
[2] Methodes d'elements finis non conformes en hydrodynamique. Rapport IRIA
Laboria, a paraitre.
[3] Numerical solution of the Navier—Stokes equations by finite elements
methods, Lecture at the Von Karman Institute, Computational fluid
dynamic course, V.K.I., Rhode—Saint—Qenese, March 1977.
Уилкинз (Wilkins)
[IJ Calculation of elastic plastic flow, in: Meth. of Сотр. Phys., 3, Academic
Press, New York, 1964.
Фейбс, Джоунз, Ривьер (E. В. Fabes, В. F. Jones, N. Riviere)
[1] The initial boundary value problem for the Navier—Stokes equations
with data in LP, Arch. Rational Mech. Anal., 45, 1972, p. 222—240.
Финн (R. Finn)
[1] On the exterior stationary problem for the Navier—Stokes equations and
associated perturbation problems. Arch. Rational Mech. Anal., 19, 1965,
p. 363—406.
[2] On the steady state solution of the Navier—Stokes equations III, Acta
Math., 105, 1961, p. 197—244.
[3] Estimates at infinity for stationary solutions of the Navier—Stokes equa
tions. Bull. Math. Soc. Sci. Math. Phys, R. P. Roumanie, 3 (51), 1959
p. 387-418.
[4] On steady state solutions of the Navier—Stokes partial differential equa^
tions. Arch. Rational Mech. Anal., 3, 1959, p. 381—396.
[5] Stationary solutions of the Navier—Stokes equations, Proc. Symp., Appl
Math., 17, 1965, p. 121—153.
Финн, Смит (R. Finn, D. R. Smith)
[1] On the lirnearized hydrodynamical equations in two dimensions. Arch
Rational Mech. Anal., 25, 1967, p. 1—25.
[2] On the Stationary solution of the Navier—Stokes equations in two dimen
sions. Arch. Rational Mech. Anal., 25, 1967, p. 26—39.
Фолк (R. S. Falk)
[1] An Analysis of the penalty method and extrapolation for the Stationary
Stokes equations. Advances in Computer Methods for P.D.E's, Proceedings
of A.I.e.A. Symposium, R. Vichnevelsky editor.
Фортэн (M. Fortin)
[1] Approximation d'un operateur de projection et application a un schema
de resolution numerique des equations de Navier—Stokes, These de 3^™*
cycle, Universi te de Paris XI, 1970.
[2] Calcul numerique des ecouiements des fluides de Bingham et des fluides
newtoniens incompressibles par la methode des elements finis, These,
Universite de Paris, 1972.
[3] Resolution numerique des equations de Navier—Stokes par des elements
finis de type mixte, IRIA—LABORIA, Le Chesnay, France, rapport n"
184, 1976.
Фортэн, Пейрэ, Темам (М. Fortin, R. Peyret, R. Temam)
[1] Resolution nimeriques des equations de Navier—Stokes pour un fluide
incompressible, J. de Mecanique, 10, No. 3, 1971, p. 357—390; результаты
анонсированы в сб.: Холт [2].
Фортэн, Тема.м (М. Fortin, R. Temam)
[1] Numerical Approximation of Navier—Stokes Equations, in: Белоцер-
ковский [1].
Фортэн, Томассэ (М. Fortin, F. Thomasset)
[1] Mixed finite elements methods for incompressible flow problems. Rapport
de rUniversite Laval, Quebec 1977, and an article to appear.
Фояш (С. Foias)

Литература 399
[IJ Essais dans I'etude des solutions des equations de Navier—Stokes dans
I'espace—L'unicite el la presque periodicite des solutions petites, Rend.
Sem. Mat. Un. Padova, 32, 1962, p. 261—294.
[2] Solutions statistiques des equations d'evolution non iineaires, Lecture at
the C.l.M.E. on non-linear problems, Varenna 1970, Ed. Cremoneze
Publishers.
[3] Statistical study of Navier — Stokes equations 1 and II, Rend. Sem. Mat.
Un. Padova, 48, 1973, p. 219—348, and 49, 1973, p. 9—123.
[4] Cours au College de France, 1974.
Фояш, Проди (С. Foias, G. Prodi)
[1] Sur le comportement global des solutions non stationnaires des equations
de Navier—Stokes en dimension 2, Rend. Sem. Mat. Padova, 39, 1967,
p. 1-34.
Фояш, Темам (С. Folas, R. Temam)
[1) On the stationary statistical solutions of the Navier—Stokes equations
and Turbulence, Public. Math. d'Orsay, 1975.
[2| Structure of the set of stationary solutions of the Navier—Stokes
equations, Comm. Pure Appl. Math., 30, 1977, p. 149—164.
[3] Remarques sur les equations de Navier — Stokes stationnaires et les pheno-
menes successifs de bifurcation, Annali Scuola Norm. Sup. di Pisa, Ser.
IV, 5, № 1, 1978, p. 26—53 (and the volume dedicated to J. Leray and
H. Lewy, to appear).
Фромм (J. E. Fromm)
[1] The time dependent flow of an incompressible viscous fluid. Methods of
Сотр. Phys. 3, Academic Press, New York, J964.
[2] A method for computing nonsteady incompressible viscous fluid flows, Los
Alamos Sclent. Lab. Report LA 2910, Los Alamos, 1963.
[3] Numerical solutions of the nonlinear equations for heater fluid layer. Phys.
of Fluids. 8, 1965, p. 1757.
[4] Numerical solution of the Navier—Stokes equations at high Reynolds
numbers and the problem of discretization of convective derivatives.
Lectures in: Смолдерен [1].
Фудзивара, Миромото (D. Fujiwara, H. Miromoto)
[1] An Lr-iheorem of the Helmotz decomposition of vector fields. Journal of
the Fac. of Sc, Univ. of Tokyo, Sec. A, vol. 24, 3, 1977-, p. 685—700.
Фудзита (H. Fujita)
[1] On the existence and regularity of the steady-state solutions of the Navier—
Stokes Equations, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Section 1, 9, 1961, p. 59—102.
Фудзита, Като (Н. Fujita, Т. Kato)
[1] On the Navier—Stokes initial value problem 1, Arch. Rational Mech.
Anal., 16, 1964, p. 269-315.
Фудзита, Масуда (Н. Fujita, К. Masuda)
. [ 1 ] To appear.
Фудзита, Сауэр (Н. Fujita, N. Sauer)
[1] Construction of weak solutions of the Navier—Stokes equation in a noncy-
lindrical domain, Bull. Amer. Math. Soc, 75, 1969, p. 465—468.
[2] J. Faculty of Sciences of the University of Tokyo.
Харлоу, Эмсден (F. H. Harlow, A. A. Amsden)
[1] A Numerical Fluid Dynamics Calculation Method for all flow speeds,
J. Сотр. Phys., 8, 1971, p. 197.
[2] "Fluid Dynamics: A LAST Mohograph", Los Alamos Scientific Laboratory
report No. La-4700, 1971.
Харлоу, Уэлч (F. H. Harlow, J. E. Welch)
[i] Numerical calculation of time dependent viscous incompressible flow of
fluid with a free surface, Phys, Fluids, 8, 1965, p. 2182—2189.
Хейвуд (J. G. Heywood)
[1] The exterior ncnstationary problem for the Navier—Stokes equations.
Acta Math., 129, 1972, p. 11—34.

400 Литература
[2] On nonstationary Stokes flow past an obstacle, Indiana Univ., Math. J.,
24, 1974, p. 271—284.
[3] On some paradoxes concerning two-dimensional Stokes flow past and
obstacle, Indiana Univ. Math. J., 24, 1974, 443—450.
[4] On uniqueness questions in the theory of viscous flow, Acta Math., 136,
1976, p. 61-102.
Хёрш (J. E. Hirsh)
[1] The finite element method applied to ocean circulation problems, To appear.
Холт (M. Holt)
14 (ред-) Basic Developments in Fluid Dynamics, Vol. I, Academic Press,
New York, 1965.
[2] (ред.) Proceedings of the Second International Conference on Numerical
Methods in Fluid Dynamics, Berkeley, Sept. 1970, Lecture Notes in Physics,
8, Springer-Verlag, 1971.
[3] La Resolution Numerique deQuelques Problemes deDynamique des Fluides,
Lecture Notes Ко. 25, Universite of Paris-Sud. Orsay, France 1972.
[4] Numerical methods in fluid dynamics. Springer- Verlag, Series in
Computational Physics, 1977.
Хопф.. (E. Hopf)
[1] Uber die Aufangswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen,
Math. Nachr., 4 (1951), p. 213-231.
{2] On nonlinear partial differential equations, Lecture Series of the
Symposium on Partial Differential Equations, Berkeley, 1955, Ed. The Univ.
of Kansas (1957), p. 1—29.
Чжу, Йоханссон (С. К- Chu, G. Johansson)
[I] Numerical studies of the heat conduction with highly anisotropic tensor
conductivity II. To appear.
Чжу, Крейсс (С. К. Chu, Н.-О. Kreiss)
[I] Ccmputatirnal Fluid Dynamics, a book, in preparation.
Чжу, Мортон, Роберте (С. К. Chu, К- W. Morton, К- V. Roberts)
[1] Numerical studies of the heat conduction equation with highly anisotropic
tensor conductivity; in: Кабанн и Темам [1].
Чорин (А. J. Chorin)
[1] А numerical method for solving incompressible viscous flow problems, J.
of Сотр. Phys., 2, 1967, p. 12—26.
[2] Numerical solution of the Navier—Stokes equations, Math. Сотр., 23,
1968, p. 341-354.
[3] Numerical solution of incompressible flow problems. Studies in Num.
Anal., 2, 1968, p. 64—71.
[4] Computational aspects of the turbulence problem, in: Холт [2].
Шварц Л. (L. Schwartz)
[I] Theorie des Distributions, Hermann, Paris, 1957.
[2] Theorie des distributions a valeurs vectorielles, I, II, Ann. Inst. Fourier*
7, 1957, p. 1—139, and 8, 1958, p. 1-209.
Шептицки (P. Szeptycki)
[1] The equations of Euler and Navier—Stokes on compact Riemannian
manifolds, Technical Report, University of Kansas, 1972.
Шеффер (V. Schaeffer)
[1] Partial regularity ol solutions to the Navier—Stokes equations. Рас. J.
Math., 66, № 2, 1976, p. 535—552.
[2] Hausdorff measure and the Navier—Stokes equations, Comm. Math. Phys.<
55, 1977, p. 97-112.
Шинброт, Каниэль (М. Shinbrot, S. Kaniel)
[I] The unitial value problem for the Navier—Stokes equations. Arch. Ratinal
Mech. Anal., 21, 1966, p. 270 — 285.
Эбин, Марсден (D. G. Ebin, J. Marsden)
[1] Groups of diffeomorphisms and the motion of an incomprehensible fluid,
Ann. Math., 92, 1970, p. 102-163.

Литература 401
Эмсден, Хёрт (А. А. Amsden, С. W. Hirt)
[1] YAQUI: An arbitrary Lagrangian—Eulerian Computer Program for Fluid
Flow at all Speeds, Los Alamos Scientific Laboratory, Report LA-5100,
March 1973.
[2] A simple scheme for generating General Curvilinear frids, J. Сотр. Phys.,
to appear.
Эпштейн Б. С.
[1] О некоторой схеме переменных направлений для уравнений Навье — Сток-
са.—Вестник ЛГУ, 1974, 2, с. 166-168, 175.
Эрроу, Гурвиц, Удзава (К- Arrow, L. Hurwicz, Н. Uzawa)
[1] Исследования по линейному и нелинейному программированию.— М.: ИЛ^
1962 (1968).
Юдович В. И.
|1] Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися
цилиндрами.— ПММ, 1966, 30, № 4, с. 688—698.
[2] О возникновении конвекции.—ПММ, 1966, 30, №6, с. 1000—1005.
[3] Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости.— ЖВМ и МФ,
1963, 3, №6, с. 1032—1066.
[4] Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости.— ДАН СССР,
1960, 130, с. 1214—1217.
[5] Двумерная нестационарная задача протекания идеальной несжимаемой
жидкости через заданную область.— Матем. сб., 1964, 64, № 4, с. 562—588.
Яненко Н. Н.
[1] Метод дробных шагов решения многомерных задач математической
физики,—Новосибирск: Наука, 1967.
[2] In: Proceedings of the Intern. Conference of Mathematicians, Nice, 1970,
Gauthier-Villars, Paris, 1971,

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Агмон (S. Agmon) 36, 37, 184, 365, 366, 384,
Аэиэ iA. К. Aziz) 385, 389
Аракава (А. Arakawa) 389
Аронсов (D. G. Aronson) 389
Бабушка (1. Babushka) 385, 389
Бардос (С. Bardos) 387—389
Бежи (D. Begis) 385, 389
Белоцерковокий О. М. 387, 389
Бенсуоан (А. Bensoussan) 387. 390
Берковье (М. Bercovier) 385, 390
Борзеиберже (А. Borsenberger) 390
Брайеп (К. Bryan) 387, 390
Брон4р (М. С. Brauner) 388, 390
Бужо (J. р. Boujot) 390
Бюн АН Тон (Bui An Ton) 390
Варга (R. S. Varga) 190, 378, 390
Вельте (W. Velte) i46, 180, 18i, 197, 386,
390
Веидрофф (В. Wcndroff) 393
Вирц (Н. J. Wirz) 388, 390
Виттивг (Н. Witting) 190, 390
Вишик М, И. 387, 390
Воровнч И. И. 384. 390
Гальярдо (Е. Gagliardo) 150, 390
Гловински (R. Glowinski) 38i, 384, 385,
390, 396
Годунов С. К. 390, 391
Головкни К- К. 390
Грннспэн Д. (D. Greenspan) 391
Грннспэн X. (Н. Р Greenspan) 391
Гурвнц (L. Hurwlcz) 385, 401
Гэллахер (R. Н. Gallagher) 384, 388, 391,
394
Дени (J. Deny) 21, 391
Деннис (S. С. R. Dennis) 391
Джордж (А. George) 369
Джоунз (В. F. Jones) 386, 398
Дуглис (А. Douglis) 36, 37, 184, 365, 366,
384, 389
Дюво (G. Duvaut) 363, 365, 387, 39 i
Женишек (А. Zenisek) 90, 93, 39i
Зенкеонч (О. С. Zienckiewicz) 384, 388, 391,
394
Зламал (М. Ziamai) 90, 93, 391
Израэли (М. Israeli) 391
Йоосс (О. looss) 387, 39 i
Йоханссон (G Johansson) 387, 4 00
Кабанн (Н. Cabannes) 387, 391
Каниэль (S. Kaniel) 387, 391, 400
Карлин (S. Karlin) 189, 392
Като (Т. Kato) 387, 392, 399
Каттабрига (L. Cattabriga) 37, 384, 392
Кахан (С. Kahane) 386, 392
Келлер (J. В Keller) 386, 392
Келлог (R. В Keliog) 392
Кнрхгэснер (К. KirchgSssner) 189, 392
Коллинз (R. Collins) 392
Кравносельскнй М. А. 194, 392
Крейи М. Г. 190, 392
Крейсо (Н.-О. Kreiss) 387, 400
Крузей (М. Crouzejx) 106, 384, 385, 392
Кузнецов Б. Г. 5
Кшивицкий (А. Krzywlcki) 392
Кювелье (Cuvelier) 387, 392
Ладыженская О. А. 25, 28, 384—387, 391 —
393
Лайи (Р. Lailly) 384, 393
Лако (Р. Lax) 393
Ласко (Р. Lasoaux) 393
Лерэ (J. Leray) 5, 27, 194, 198, 223, 225, 366,
384, 386, 393
Лионе (J.-L. Lions) 13, 16, 20, 21, 23, 24,
33, 35, 37, 112, 136, 150, 209, 223, 235. 239,
250, 359, 363, 365, 384—388, 390, 391, 393
ДЛадженес (Е. Magenes) 13, 16, 23, 24, 35, 37,
209, 250, 359, 365, 384 — 386, 393, 394
Марсден (J. Marsden) 386. 400
Марчук Г. И. 387, 394
Маршалл (G. Marshall) 387, 394
Масуда (К. Masuda) 386, 394, 399
Мёран (G. Meurant) 394
Миромото (Н. Miromoto) 399
Мораиди-Чекки (М. Morandi-Cecchi) 388, 391
Моретти (G. Moretti) 394
Мортои (К. W. Morton) 387, 395, 400
Неделек (J. С. Nedelec) 385, 396
Нечас (J. Neias) 21, 384, 394
Ннренберг (L. Nirenberg) 36, 37, 184, 194,
365, 366, 384, 386, 389, 394
Нох (W. F. Noh) 394
Обэн (J. Р. Aubin) 384, 394
Оден (J. Т. Oden) 384, 388, 391, 394
Олдер (В. Alder) 394
Осборн (J. Е. Osborn) 8, 392, 394
ПеПрэ (R. Peyret) 385 — 387, 398
Пелисье (М*"^ М. С. Pelissier) 8, 385, 394
Пенель (Р. Penel) 388, 390, 394
Пескин (С. S. Peskin) 387, 394
Пирронно (Pirronneau) 394
Проди (G. Prodi) 235. 386, 393, 394, 399
Проузе (G. Prouse) 387, 395
Рабинович (Р. Н. Rabinowitz) 146, 180, 194
197, 386, 388, 395
Раиьяр (Р. А. Raviart) 70, 71, 88, 92, 161,
384, 385, 388, 392, 395. 396
Рам, де (G. de Rham) 20, 384, 395
Раупп (М. А. Raupp) 395
Ривкинд В. И. 386, 387, 393, 395
Ривьер (N. Riviere) 386. 398
Рисе М. (М. Riesz) 395
Рихтмайер (R. D. Richtmyer) 387, 395
Роберте (К. V. Roberts) 387, 400
Рутман М. А. 190, 392
Саичес-Паленсия (Е. Sanchez-Palencia) 395
Сауэр (N. Sauer) 399
Сеа (J, Сеа) 384, 385, 395, 396

Именной указатель
403
Серрии (J. Serrin) 247, 386, 396
Скадилов В. Е. 384, 396
Смит (D. R. Smith) 385, 398
Смолдереи (J. J. Smolderen) 396
Со (J. С. Saut) 388, 396
Соболев С. Л. 33, 384, 396
Солоиников В. А. 25, 28, 384, 391, 393, 396
Соссэ (J. Р. Saussais) 396
Стампаккья (G. Starapacchia) 253, 394, 396
Стрэиг (G. Strang) 71, 92, 385, 396
Суле (J.-L. Soule) 390
Сулем (Р. L. Sulem) 388
Сьярле (Р. G. Ciarlet) 70, 71, 88, 92, 161, 385,
396 397
Сэзер'(J. Sather) 8, 247, 397
Тартар (L. Tartar) 25, 389, 397
Тейлор (С. Taylor) 384, 388, 391, 394
Темам (R. Tetnam) 5, 7, 263, 332, 358, 384 —
388, 390, 39i, 396—399
Томассэ (F. Thoraasset) 8, 95, 106, 368, 384,
388, 397, 398
Тремольер (R. Tremolieres) 390
Удзава (Н. Uzawa) 401
Уилкинз (Wilkins) 398
Уильямсои (А. Williamson) 8
Уолфи (Р. Wolfe) 8
Уэгшолл (G. Wagshall) 71, 397
Уэлч (J. Е. Welch) 399
Фейбс (Е. В. Fabes) 386, 398
Фербах (S. Ferbach) 394
Фикс (D. J. Fix) 71, 92, 385, 396
Финн (R. Finn) 385, 398
Фолк (R. S. Falk) 126, .385, 398
Фортэн (М. Fortin) 8, 91, 106, 324, 381, 384—
388, 398
Фояш (С. Foias) 358, 385—388, 398, 399
Фриш (U. Frish) 388
Фромм (J. Е. Fromm) 399
Фудзивара (D. Fujiwara) 399
Фудзпта (Н. Fujlta) 385, 386, 392, 399
ФурсикоЕ А. В. 387, 390
Харлоу (F. Н. Harlow) 399
Хейвуд (J. G. Heywood) 25, 28, 385, 399
Хёрт (С. W. Hirt) 401
Хёрш (J. Е. Hirsh) 400, 401
Холт (М. Holt) 387, 400
Хопф (Е. Hopf) 143, 198, 386, 400
Чжу (С. К. Chu) 387, 400
Чории (А. J. Chorin) 324, 386, 387, 400
Шаудер (J. Schauder) 5, 194, 393
Шварц Л. (L. Schwartz) 386, 400
Шептицки (Р. Szeptycki) 400
Шеффер (V. Schaeffer) 388, 400
Шинброт (М. Shinbrot) 391, 400
Шульц (D. Schultz) 391
Эбин (D. G. Ebin) 386, 400
Эмсден (А. А. Amsden) 39?, 401
Энтмап (S. Antman) 386, 392
Эпштейн Б. С. 387, 395, 401
Эрроу (К. Arrow) 385, 401
Юдович В. И. 180, 197, 384, 387, 38В, 390, 401
Яненко Н. Н. 5, 387, 401

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
алгоритм Удзавы 115
— Эрроу — Гурвица 118
— — — дискретный 120
аппроксимация
в- внутренняя 41
I— внешняя 42
•— галеркниская 44
*— гильбертова 42
>- устойчивая 43
>— сходящаяся 43
^ (АПР!) 48
^ (АПР2) 71, 77
^ (АПРЗ) 88
^ (АПР4) 93
— (АПР5) 101
аппроксимирующая функция 314
ассоциированное скалярное произведение 13
барицентр 62
Сарицентрическне координаты 62
безусловно устойчивая схема 272
блок 48
вариационная формулировка 7
вершина 62
внешняя аппроксимация 42
внутренняя аппроксимация 41
галеркниская аппроксимация 44
гильбертова аппроксимация 42
грань 63
дискретная невязка 42
— сходимость 43
дробная производная 219
задача Бенарда 180
— Тейлора 181
зарубка 371
индекс 195
искусственная сжимаемость 332
константа устойчивости 265
лэкальио-звёздная область И
локально-липшицева граница И
«етод Галёркииа 134
— дробных шагов 309
— искусственной сжимаемости 332
— последовательного подразбиения 369
— расширенных лагранжианов 381
— раС11!,епления 309
— сокращения области 369
— Фаэдо ~ Галёркииа 205
«|>пязка 42
неравенство Пуанкаре 12
— — дискретное 52, 99
г— Соболева 33
— — дискретное 147, 157
— Харди 144
несогласованные конечные элементы 95
область 10
•^ класса ^'" 11
—' локальио-звёздная 11
— ограниченная в данном направлении 12
— о локально-липшицевой границей 11
ограниченность в данном направлении 12
оператор поднятия 16, 18
— продолжения 42
— — устойчивый 42
— следа 16
— сужения 42
ошибка аппроксимации 42
п. в. 201
полудискретизация 254
преобразование Фурье 219
проекционная теорема 28
пространства V, Я 13
•— Соболева i11
ребро 63
свёртка 14
сеть 44
сильная сходимость 43
сильное решение 246
симплекс 62
— стандартный 111
слабо сжимаемая жидкость 122
слабое решение 246
соленондальная функция 9
степень 194
стёсывание 371
схемы 5.1—5.4 265—266
сходящаяся аппроксимация 43
теорема вложения 129
— о компактности 131, 217, 229
— — — дискретная 153, 159
'— — неединственности 195
— — плотности 13
— — следе 16
толщина 12
тотальное подмножество 134
триангуляция допустимая 66
— регулярная 66
трилинейная форма Ь 132
узел 371
узловое значение 371
унисольвеитность 70 ^
уравнения Навье — Стокса 131, 141, 224
— Стокса 26. 34, 203
условие устойчивости 272
условно устойчивая схема 272
устойчивая аппроксимация 43
устойчивости константа 265
— условие 272
формула Стокса обобщенная 17
функция тока 89
фуикция-колокол 78
ширина 12
энергетическое неравенство 232, 262
fe-уиисольвентаое множество 70
LP (О, Т; A)-ycToft4K6ocfb 269

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов перевода . > . , 5
Предисловие • 6
Глава I. Стационарные уравнения Стокса 9
Введение 9
§ 1. Некоторые функциональные пространства 9
1.1. Обозначения 10
1.2. Теорема о плотности 13
1.3. Теорема о следе 16
1.4. Характеризация пространств // и К 20
§ 2. Существование и единственность решения для уранпенин Стокса . . 26
2.1. Вариационная формулировка задачи 26
2.2. Проекционная теорема 28
2.3. Случай неограниченной области , , , , 32
2.4. Неоднородная задача Стокса 34
2.5. Результаты о регулярности 35
2.6. Собственные функции для задачи Стокса 40
§ 3. Дискретизация уравнений Стокса (1) 41
3.1. Аппроксимация нормированного пространства 41
3.2. Общая теорема сходимости 44
3.3. Аппроксимация с помощью конечных разностей , 48
3.3.1. Обозначения 48
3.3.2. Внешняя аппроксимация пространства Но (Q) 49
3.3.3. Дискретное неравенство Пуанкаре 52
^.3.4. Аппроксимация (АПР1) пространства V 54
3.3.5. Аппроксимация задачи Стокса 58
§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (II) 61
4.1. Предварительные результаты 61
4.2. Конечные элементы степени 2 (я =2) 67
4.2.1. Аппроксимация пространства//о (й) 67
4.2.2. Аппроксимация (АПР2) пространства V 71
4.2.3. Аппроксимация задачи Стокса 75
4.2.4. Использование функций-колоколов 77
4.3. Конечные элементы степени 3 (я = 3) 85
4.3.1. Аппроксимация пространства//J (Й) 85
4.4. Внутренняя аппроксимация пространства V 89
4.5. Несогласованные конечные элементы 95
4.5.1. Аппроксимация пространства //J(Q) 95
4.5.2. Аппроксимация (АПР5) пространства V 101
4.5.3. Аппроксимация задачи Стокса , , 104
4.5.4. Вспомогательные оценки , . , , 106
§ б. Ч[и'^'''^нные алгоритмы , 115
5.1. Алгоритм Удзавы , , 1'5
5.2. Алгоритм Эрроу—Гурвица 118
5.3. Дискретная форма представленных выше алгоритмов 119
§ 6. Слабо сжимаемая жидкость 122
6.1. Сходимость Ub к и 122
6.2. Асимптотическое разложение для Ие 124
e.S. Численные алгоритмы ,,,,,, ,,,,.,... 127

406 Оглавление
Глава II. Стационарные уравнения Навье—Стокса 128
Введение 128
§ 1. Теоремы существования и единственности 129
1.1. Неравенства Соболева и теоремы о компактности 129
1.2. Однородные уравнения Навье—Стокса 131
1.3. Однородные уравнения Навье—Стокса (продолжение) .... 137
1.4. Неоднородные уравнения Навье—Стокса 141
§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 146
2.1. Дискретные неравенства Соболева для ступенчатых функций 147
2.2. Дискретная георема о компактности для ступенчатых функций 153
2.3. Дискретные неравенства Соболева для несогласованных
конечных элементов 157
2.4. Дискретная теорема о компактности для несогласованных
конечных элементов 159
§ 3. Аппроксимация стационарных уравнений Навье—Стокса 162
3.1. Общая теорема о сходимости 162
3.2. Приложения 166
3.3. Численные алгоритмы 176
§ 4. Теория бифуркаций и результаты о неединственности 180
4.1. Задача Тейлора. Предварительные результаты 181
4.1.1. Уравнения 181
4.1.2. Функция тока 182
4.1.3. Ассоциированное функциональное уравнение 183
4.1.4. Свойства оператора Т 186
4.1.5. Один результат о единственности 187
4.2. Одно спектральное свойство оператора В 188
4.2.1. Некоторые разложения в ряд Фурье 188
4.2.2. Свойства операторов В„ 189
4.2.3. Одно спектральное свойство оператора В 192
4.3. Некоторые элемешы 1еории юпологической степени 194
4.3.1. Топологическая степень 194
4.3.2. Индекс 194
4.4. Теоремя о неединственности 195
Глава III. Эволюционные уравнения Навье—Стокса 198
Введение 198
§ 1. Линейный случай , 199
1.1. Обозначения 199
1.2. Теорема существования и единственности 203
1.3. Доказательство существования 20?
1.4. Доказательство непрерывности и единственности 20f
1.5. Разные вамечания 2И
§ 2. Теоремы о компактности '.- 21(:
2.1. Один предварительный результат 216
2.2. Теорема о компактности для банаховых пространств 217
2.3. Теорема о компактности с дробными производными .219
§ 3. Теоремы существования и единственности (п^4) 223
3.1. Одна теорема существования для R"(n^4) 224
3.2. Доказательство теоремы 3.1 226
3.3. Регулярность и единственность (п = 2) 233
3.4. О регулярности и единственности (я = 3) 236
3.5. Более регулярные решения 239
3.5.1. Двумерный случай . , , . , 239
3.5.2. Трехмерный случай 24^
3.6. Связь между задачами о существовании и единственности (я=3) 246
3.7. Использование специального базиса 249

Оглавление 407
3.7.1. Предварительные результаты 249
3.7.2. Двумерный случай , 260
3.7.3. Трехмерный случай 252
3.8. Частный случай /=0 263
§ 4. Другое доказательство существования (с помощью
полудискретизации) 264
4.1. Формулировка задачи 264
4.2. Приближенные решения 267
4.3. Априорные оценки 289
4.4. Предельный переход 2в1
§ 5. Дискретизация уравнений Навье—Стокса. Общие теоремы об
устойчивости и сходимости 262
5.1. Описание аппроксимирующих схем 264
5 2. Устойчивость схем 5.1 и 5.2 267
5.2.1. Схема 5.1 267
5.2.2. Схема 5.2 268
5.2.3. Теоремы об устойчивости 260
5.3. Устойчивость схемы 5.3 970
5.3.1. Априорные оценки 270
5.3.2. Теорема об устойчивости 272
5.4. Устойчивость схемы 5.4 272
5.4.1. Априорные оценки 272
5.4.2. Теорема об устойчивости 274
5.5. Одна дополнительная оценка для схемы 5.2 276
5.6. Другие априорные оценки 276
5.7. Сходимость численных схем 278
5.7.1. Предположения о согласованности и компактипсги . . . 27Я
5.7.2. Теоремы о сходимости 280
5.7.3. Доказательство теоремы 5.4 (схема 5.1) 2Я2
5.7.4. Доказательство утверждения (5.97) 284
5.7.5. Доказательство теорем 5.4 и 5.5 (прочие случаи) , . . 28в
§ 6. Дискретизация уравнений Навье—Стокса. Приложение общих
результатов 2Н7
6.1. Конечные разности ((АПР1)) 287
6.1.1. Вычисление S (h) 288
6.1.2. Форма Ь^и Si{h) 288
6.1.3. Приложение теорем об устойчивости и сходимости . , , 290
6.1.4. Проверка условий (5.89)—(5.92) 291
6.2. Согласованные конечные элементы (АПРй)—(АПР4) 294
6.2.1. Вычисление S (Л) 294
6.2.2. Форма Ь^ я Si{h) 2Ш
6.2.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости . . . 298
6.3. Несогласованные конечные элементы (АПР5) 299
6.3.1. Вычисление S (Л) 29ft
6.3.2. Форма 6ft и Si (Л) ,300
6.3.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости . . . '102
6.4. Численные алгоритмы. Аппроксимация давления 30.'1
6.4.1. Аппроксимация давления Ж\
6.4.2. Алгоритм Удзавы ,106
6.4.3. Алгоритм Эрроу—Гурвица ;)()8
§ 7. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса при помощи метода
дробных шагов ;)()9
7.1. Схема с двумя промежуточными шагами ,111
7.1.1. Описание схемы '.'.... 211
7.1.2. Априорные оценки (I) ■'.'..!! 312
7.1.3. Априорные оценки (II) ...'.'. .114
7.1.4. Сходимость схемы . , 316

408 Оглавление
7.1.5. Сильная сходимость в L'-(Q) 316
7.1.6. Доказательство теорем 7.1 и 7.2 318
7.1.7. Доказательство теоремы 7.1 (сильная сходимость) . . . 319
7.2. Схема с я+1 промежуточными шагами 321
7.2.1. Разложение операторов 321
7.2.2. Описание схемы 322
7.2.3. Безусловные априорные оценки 324
7.2.4. Теорема об устойчивости 326
7.3. Сходимость описанной схемы 326
7.3.1. Вспомогательные результаты 326
7.3.2. Оценки для формы Ь{^ 327
7.3.3. Условные априорные оценки 329
7.3.4. Теоремы о сходимости 330
7.3.5. Доказательство сходимости 331
f 8. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса при помощи метода
искусственной сжимаемости 332
8.1. Исследование возмущенных задач 334
8.1.1. Постановка задачи 334
8.1.2. Существование решений возмущенных задяч 336
8.1.3. Доказательство теоремы 8.1 336
8.1.4. Единственность решений возмущенных задач 341
8.2. Сходимость возмущенных задач к задаче Навье—Стокса . . . 344
8.3. Аппроксимация возмущенных задач 346
8.3.1. Описание схемы 346
8.3.2. Безусловные априорные оценки . 348
8.3.3. Условные априорные оценки . 351
8.3.4. Теоремы о сходимости 352
8.3.5. Доказательство сходимости 353
Приложение I. Свойства оператора rot и их приложение к изучению
стационарных уравнений Навье—Стокса , . 358
1. Функциональные свойства оператора rot 358
1.1. Ядро операюра rot 359
1.2. Пространство rot (Я* (Q)) ■. . . . 363
1.3. Замечание о регулярности 365
2. Приложение к неоднородным стационарным уравнениям Нанье —
Стокса 366
Приложение II. Ф. Томассэ. Примеры применения линейных
несогласованных конечных элементов. Аппроксимация (АПР5),
двумерный случай 368
0. Тестовые задачи 368
1. Триангуляция 368
8. Узлы 371
3. Вычисление базисных функций для данного треугольника . . . 375
4. Решение задачи Стокса , . 376
4.1. Базисные функции 376
4.2. Алгоритм Удзавы 377
4.3. Численные результаты 378
4.4. Метод расширенных лагранжианов 381
5. Решение уравнений Навье—Стокса 381
Комментарии и литературные указания 384
Литература 388
Именной указатель 402
Предметный указатель ,,,....,,.,. 404