телемеханика и связь
на железнодорожном
транспорте
ВЫСШЕЕ
ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
УДК 621. 372.011.7:656.25 (075.8)
БКК 39.27
В48
В48
[Волков Е.А. , банковский Э.И., Сидорович Д.Ю. Теория линей-
ных электрических цепей железнодорожной автоматики, теле-
механики и связи: Учебник для вузов ж.-д. транспорта /Под общей
ред. проф. В.А. Кудряшова. —М.: Маршрут, 2005. — 509 с.
ISBN 5-8903 5-311-Х
Изложены методы расчета, используемые при анализе и синтезе
электрических цепей с сосредоточенными и распределенными пара-
метрами. Рассмотрено применение теории двух- и четырехполюсных
цепей при проектировании, эксплуатации и разработке фильтрующих и
корректирующих устройств железнодорожной автоматики, телемеханики
и связи на базе пассивных, активных RC и цифровых цепей; теории цепей
с распределенными параметрами для расчета условий передачи сигналов
по однородным и неоднородным линиям связи и рельсовым цепям.
Учебник предназначен для студентов вузов железнодорожного транс-
порта по специальности «Автоматика, телемеханика и связь на желез-
нодорожном транспорте» и может быть полезен инженерно-техничес-
ким работникам, занимающимся проектированием и эксплуатацией
систем автоматики, телемеханики и связи.
УДК 621.372.011.7:656.25(075.8)
ББК 39.27
Учебник написали: канд, техн, наук проф. В.А. Кудряшов —
введение; д-р техн, наук проф| Е.А. Волко(\ —гл. 1,2;| Э.И Санковскищ—
гл. 3,4 (п. 4.1—4.8, 4.11—4.14); Д.Ю. Сидорович — гл. 4 (п. 4.9, 4.10), 5.
Рецензенты: зам. начальника Депаргамента связи и вычисли-
тельной техники ОАО «РЖД» Ю.И. Филиппов', зав. кафедрой
«Радиотехника и электросвязь» МГУПСа (МИИТ) д-р техн, наук профес-
сор ГВ. Горелов', начальник службы информатизации и связи
Октябрьской ж.д. Р.Д. Столбовский;
ISBN 5-89035-311-Х
© Коллектив авторов, 2005
© УМЦ по образованию на железно-
дорожном транспорте, 2005
© Издательство «Маршрут», 2005
ВВЕДЕНИЕ
Системы автоматики, телемеханики и связи на железнодорожном
транспорте, наряду с вычислительной техникой, представляют сего-
дня технические средства управления перевозочным процессом, спо-
собствующие повышению эффективности работы железных дорог, обе-
спечению безопасности движения поездов. Их роль и значение в си-
стеме управления непрерывно возрастают.
На сегодня к таким системам относятся системы диспетчерского
управления, системы интервального регулирования движением поез-
дов на перегонах, микроэлектронные системы обеспечения движения
поездов, микропроцессорные системы горочной и станционной авто-
матики, разнообразные виды автоматической локомотивной сигнали-
зации, системы поездной радиосвязи, все виды оперативно-технологи-
ческой связи и множество других систем. Создается информационное
пространство отрасли на основе вычислительных центров, соединенных
сетью передачи данных, организованной на волоконно-оптических и
спутниковых каналах, увеличивается число локальных сетей.
Вся эта новая и новейшая техника автоматики и связи основывается
на последних достижениях науки и техники, прогрессе в области
разработки новых электрорадиокомпонентов, микроэлектроники и
вычислительной техники.
Для анализа, синтеза, совершенствования системы проектирования
отдельных узлов и элементов аппаратуры требуются знания точных ме-
тодов расчета, которые в значительной степени основываются на поло-
жениях теории линейных электрических цепей (ТЛЭЦ).
Методы теории линейных электрических цепей чрезвычайно ши-
роки и разнообразны. Они применяются при рассмотрении сложных
систем, состоящих из отдельных элементов и простейших схем; изуче-
нии совместного действия всех образующих цепь элементов, вне зави-
симости от особенностей физических процессов, определяющих их ра-
боту, будь то источники электрической энергии, резисторы, транзисто-
ры, конденсаторы, частотно-зависимые элементы и др. Указанными ме-
тодами пользуются и в цифровой технике, и при расчетах СВЧ прибо-
ров, и при проектировании микроэлектронных структур. Методы ТЛЭЦ
имеют исключительное значение при рассмотрении условий передачи
сигналов по сложным трактам, каковыми являются цепи устройств
Г \’й.
3
автоматики (рельсовые цепи, цепи систем электрической централиза-
ции) и связи (цепи оперативно-технологической связи, локальные сети).
Только методы ТЛЭЦ позволяют адекватно оценить и оптимизировать
условия передачи сигналов.
Базовыми дисциплинами при изучении теории линейных электри-
ческих цепей являются математика, физика, теоретические основы
электротехники, электроника и вычислительная техника. При этом ис-
пользуются: теория матриц, операторный метод, гармонический ана-
лиз, известные из ТОЭ законы Ома и Кирхгофа, векторное представле-
ние сигналов, теория графов.
Целью ТЛЭЦ является разработка и использование инженерных
методов исследования процессов в любых по сложности цепях и уст-
ройствах. При разработке и совершенствовании систем автоматики и
связи очень часто приходится создавать цепи с заданными свойствами—
это можно выполнить используя методы ТЛЭЦ.
Теорию четырехполюсников успешно применяют при решении за-
дач разных типов, начиная от анализа свойств сложных, разветвленных
электрических цепей и электронных приборов и до создания электри-
ческих цепей с заданными передаточными характеристиками. Методы
ТЛЭЦ успешно применяются при синтезе цепей с заданными частотны-
ми характеристиками (электрические фильтры, линии задержки, корре-
кторы). При расчете рельсовых цепей железнодорожной автоматики
приходится прибегать к специальным разделам ТЛЭЦ, таким как
теория несимметричных и многопроводных линий. Методы ТЛЭЦ по-
могают в расчетах взаимных влияний между цепями автоматики и связи
и влияния на них со стороны линий электротяги и высоковольтных ли-
ний электропередачи. Методами, отличными от обычно применяемых,
рассчитывают групповые цепи оперативно-технологической связи.
Основными разделами теории линейных электрических цепей явля-
ются: теория четырехполюсника, теория электрических цепей, пара-
метры передачи цепей как четырехполюсш пса, методы анализа и синтеза
электрических цепей с заданными частотными или временными хара-
ктеристиками, электрические фильтры, в том числе активные фильтры.
Курс ТЛЭЦ направлен на углубленное изучение теории линейных
электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параме-
трами, а также на решение задач, связанных с передачей сигналов в
системах железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.
4
В учебном плане специальности «Автоматика, телемеханика и связь
на железнодорожном транспорте» дисциплина ТЛЭЦ изучается парал-
лельно с дисциплинами «Теория передачи сигналов» и «Линии железно-
дорожной автоматики, телемеханики и связи», что в комплексе да-
ет возможность освоить методику анализа, синтеза электрических це-
пей и их элементов, грамотно подходить к вопросам проектирова-
ния систем и устройств автоматики и связи. Теоретические положения
в этой области дают возможность обоснованно разбираться в проце-
ссах, происходящих в реальных системах автоматики, технологической
связи, и исключить аварийные ситуации в инженерной практике.
Основные положения, изучаемые в дисциплине «Теория линейных
электрических цепей железнодорожной автоматики, телемеханики и
связи», находят применение в дальнейшем при изучении общепро-
фессиональных дисциплин и дисциплин таких, как «Автоматика и
телемеханика на перегонах», «Станционные системы автоматики и
телемеханики», «Передача дискретной информации на железно-
дорожном транспорте», «Многоканальная связь», и др. Они используют-
ся в теории рельсовых цепей, при расчетах групповых цепей, в теории
электрических фильтров, входных и выходных цепей радиоустройств и
во многих других случаях.
Глава 1. УСЛОВИЯ РАБОТЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ
АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНИКИ И СВЯЗИ
1.1. Электрические цепи в устройствах железнодорожной
автоматики, телемеханики и связи
В устройствах железнодорожной автоматики, телемеханики и связи
электрические цепи выполняют важную роль по формированию и
передаче сигналов управления движением поездов и обеспечение
безопасности, контроля состояния путей, а также различной инфор-
мации, связанной с перевозками. Рассмотрим несколько примеров.
На рис 1.1 приведена схема организации каналов передачи диспет-
черской централизации «ЛУЧ». Она позволяет передавать сигналы
телеуправления (ТУ) спорадически и сигналы телесигнализации —
Канал
К объектам управления
Рис. 1.1
6
циклически: за 5—6 с контролируется состояние 1840 объектов. Число
команд телеуправления — 6400.
Для передачи сигналов телеуправления используется относительно-
фазовая модуляция (ОФМ). Из несущей (f= 500 Гц), вырабатываемой
генератором Г, разделителями фаз РФ формируются три синусоидальных
напряжения, отличающихся по фазе на 120 °. Смена фаз в направлении
<Р] _,ф2 ^(р3 соответствует передаче «1», а ф] _)ф3 _>ф2 соответствует
передаче «0». В приемных устройствах сигналов ТУ на линейных
пунктах эти смены фаз распознаются фазовым дискриминатором ФД,
производится их демодуляция, декодирование и через распределитель
(Р) сигналы телеуправления поступают к объектам управления. Сигналы
телесигнализации с выхода передающего устройства через полосовые
фильтры (ПФ), усилители (УС), демодуляторы (ДМ) поступают на табло
диспетчера. С передающего устройства на приемное сигналы
передаются по каналу тональной частоты (ТЧ). От контрольного реле
объектов телеуправления сигналы телесигнализации подаются обратно
по каналу ТЧ на табло диспетчера.
Как видно из блок-схемы рис. 1.1, сигналы телеуправления и
телесигнализации формируются устройствами: генераторами,
модуляторами, фильтрами, демодуляторами, усилителями, декодерами.
Каждое из этих устройств содержит как пассивные (ZC, 7?С-фильтры,
переходные цепи), так и активные (транзисторы) элементы. Поэтому
приведенные на рис. 1.1 устройства представляют собой нелинейные
электрические цепи с сосредоточенными элементами, которые, как
видно из короткого описания принципа работы системы «ЛУЧ»,
позволяют осуществить генерацию колебаний, модуляцию и демоду-
ляцию, усиление колебаний.
На рис. 1.2 приведена схема передачи телефонного разговора.
Каждый из переговаривающихся абонентов имеет в своем распоряже-
нии микрофон (М) и телефон (ТЛФ), абоненты через линии соединяются
при помощи автоматической телефонной станции, которая выполняет
роль обычного переключателя. В микрофоне под влиянием разговора
абонента изменяется звуковое давление на мембрану, что приводит к
изменению сопротивления микрофона гм = 7?[ 1 +fo(f)]4, где А:— коэффи-
циент пропорциональности, R — сопротивление микрофона при отсутст-
вии разговора (s(t) = 0), s(t) — звуковое давление. Вследствие измене-
ния сопротивления гм изменяется ток в цепи микрофона i = £ZR[1-+Jfcs</)],
7
Рис. 1.2
где Е — напряжение батареи, подаваемое из АТС. В телефоне
происходит обратное преобразование тока, изменяющегося во времени
в звуковое давление. Таким образом, преобразование звукового давления
в переменный ток происходит в электрической цепи, сопротивление
одного из элементов которой (гм) изменяется во времени. Поэтому цепь
микрофона представляет собой пример параметрической цепи.
На рис. 1.3 приведена блок-схема передачи сигналов при частотном
уплотнении.
Передаваемые сообщения через микрофоны Мр М2, ..., Мп
подводятся к модуляторам Модр Мод2, ..., Модп, ко вторым входам
которых подводятся синусоидальные сигналы Sp 5’2, ..., Sn.
Все модулированные сигналы на частотах /pTj, - • -’fn после фильт-
рации фильтрами (/] + ДЕ), (/2 + ДЕ), ..., (fn + ДЕ) подаются в общую
физическую цепь (например, кабель) и передаются на приемную
сторону. Каждый из переданных модулированных сигналов выделяется
соответствующими фильтрами (/j + ДЕ), (/2 + ДЕ), ..., {fn + EF) и после
демодуляции демодуляторами ДЕМр ДЕМ2, ..., ДЕМП подводятся к
абонентам ТЛФ,, ТЛФ2, ..., ТЛФ,,.
1’	2’	’ п
М, 		 V	Мод,		фильтр /i+AF				фильтр Д+ДГ		Дем]	
					Общая физическая					
л		J.									
Мэ 				фильтр				фильтр			н
_ 				/2+ДГ		> цепь		/2+Дл				Ьг
f2											IJ1Ф 2
M"<TZ s f И Jn		Мод„		фильтр X+AF				фильтр		Дем„	
										ТЛФ и
Рис. 1.3
8
Рис. 1.4
В описанной схеме выделение сигналов на передающей и приемной
стороне производится фильтрами, схемы которых могут быть представ-
лены, например, на рис. 1.4 (рис. 1.4, а — Т-образная схема, рис. 1.4, б —
П-образная схема).
Приведенные схемы фильтров представляют собой электрические
цепи с сосредоточенными постоянными (в них индуктивности и емкости
сосредоточены в одном месте).
В последнее время аналоговые фильтры (рис. 1.5) все чаще заменя-
ются цифровыми фильтрами. Схема цифровой фильтрации представ-
лена на рис. 1.5.
Аналоговый сигнал S(t) в аналого-цифровом преобразователе (АЦП)
преобразуется в последовательность импульсов в дискретные моменты
времени, а затем квантуется по уровню. Квантование заключается в
том, что каждый импульс измеряется и ему приписывается один из во-
зможных уровней. Таких уровней 2", где п — число двоичных разря-
дов. Например, если п = 8, то 28 = 256. Каждый из квантованных им-
пульсов заменяется //-разрядным двоичным кодом, в результате на вы-
ходе АЦП образуется цифровой сигнал.
Рис. 1.5
9
Цифровой фильтр представляет собой вычислительное устройство,
в котором над цифровыми сигналами производятся определенные ма-
тематические действия (сложение, умножение, сдвиг во времени) в со-
ответствии с заданным алгоритмом. В результате на выходе цифрового
фильтра возникают новые цифровые сигналы, соответствующие выхо-
дному отфильтрованному сигналу.
В цифроаналоговом преобразователе (ЦАП) цифровой сигнал пре-
образуется в аналоговый сигнал ступенчатой формы. В аналоговом
фильтре этот сигнал сглаживается, и в результате на выходе образуется
аналоговый сигнал S^f).
Представленная на рис. 1.5 схема цифровой обработки аналогового
сигнала дает пример дискретной цифровой цепи.
Приведенные примеры показывают весьма важную роль электри-
ческих цепей в устройствах железнодорожной автоматики, телемеха-
ники и связи. Как видно из изложенного, применяются линейные, не-
линейные и параметрические цепи, сосредоточенные и распределенные,
цифровые цепи. Во всех случаях их использования электрические це-
пи должны работать в условиях изменения в широких пределах усло-
вий окружающей среды (температура, влажность, механические пере-
грузки) и обеспечивать требуемые характеристики аппаратуры.
Это предъявляет повышенные требования к расчету и проектирова-
нию элементов электрической цепи, применяемых в устройствах же-
лезнодорожного транспорта.
1.2. Классификация электрических цепей и задачи
теории линейных электрических цепей
Во всех устройствах автоматики, телемеханики и связи независимо
от принципа их работы происходят одни и те же электромагнитные про-
цессы, подчиняющиеся одним и тем же физическим законам.
Электромагнитные явления и устройства, использующие эти явле-
ния, можно описать методами теории электромагнитного поля, кото-
рая позволяет описать электромагнитное поле в каждой точке прос-
транства с помощью дифференциальных уравнений в частных произ-
водных и оперирует такими понятиями, как плотность тока, напряжен-
ность электрического и магнитного полей. Однако эти методы весьма
сложны и на практике позволяют решить ограниченное число задач.
10
Методы теории цепей оперируют с такими понятиями, как ток,
напряжение, электродвижущая сила, и описывают процессы в электро-
технических устройствах, элементы которых заменены некоторыми
упрощенными моделями, приближенно отображающими свойства ре-
ального элемента. Эти методы позволяют решить большое число прак-
тических задач. Но они вследствие принятых допущений являются
менее универсальными, чем методы теории поля. Например, они не
применимы, когда размеры исследуемых элементов соизмеримы с дли-
ной волны воздействующего на устройство сигнала.
Электрической цепью называется совокупность элементов, образу-
ющих путь для протекания электрического тока, процессы в которой
могут быть описаны с использованием таких терминов, как электро-
движущая сила, ток, напряжение. Элементы электрической цепи
можно разделить на две группы: источники электрической энергии и
потребители (нагрузка). К источникам электрической энергии относятся
первичные (устройства, которые превращают различные виды энергии —
химическую, тепловую и др. — в электрическую) и вторичные (исто-
чники питания — выпрямители, стабилизаторы и др.). Потребители —
это элементы электрической цепи, в которых происходит преобразова-
ние электрической энергии в другие виды энергии: тепловую (резисто-
ры), магнитную (катушки индуктивности, трансформаторы), произво-
дится накопление электрической энергии (конденсаторы).
В теории цепей предполагается, что каждый элемент цепи полнос-
тью характеризуется зависимостью между токами и напряжениями на
его зажимах, при этом процессы внутри элемента не рассматриваются.
Зная зависимость между током и напряжением на зажимах любого
элемента цепи, можно, используя законы Ома и Кирхгофа, составить
дифференциальное уравнение цепи, решение которого дает исчерпы-
вающую информацию о процессах, протекающих в цепи. В зависимо-
сти от вида дифференциального уравнения, описывающего электриче-
скую цепь, различают электрические цепи с сосредоточенными пара-
метрами и распределенными параметрами.
Цепь с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенным
дифференциальным уравнением:
dny	dn~Xy
an — + an-\-—r + -+aOy = f(t),	(1.1)
dtn	dt 1
11
где fit) — внешнее воздействие, у — реакция этой цепи на внешнее
воздействие (у — это или ток в цепи, или напряжение).
Коэффициенты o,-(J = n, 0) определяются параметрами элементов
цепи (индуктивных элементов, конденсаторов, резисторов, нелинейных
элементов—диодов, транзисторов и т.д.). Число п—порядок дифферен-
циального уравнения — определяется количеством независимых
реактивных элементов; порядок дифференциального уравнения
совпадает с порядком цепи.
Возможность описания цепи дифференциальным уравнением вида
(1.1) вытекает из следующих физических соображений: если размеры
элементов цепи много меньше длины волны происходящих в цепи ко-
лебаний, то с большой точностью можно предположить, что процессы
накопления магнитной энергии сосредоточены в индуктивных элеме-
нтах, процессы накопления электрической энергии сосредоточены в ем-
костных элементах, а процессы превращения электрической энергии в
тепловую — в резистивных элементах.
Если хотя бы один из коэффициентов уравнения (1.1) зависит от
реакции (у), то такая цепь будет нелинейной и в ней будет хотя бы один
нелинейный элемент:
dny , ,dn-}y
а" + а"-1 О')	+ •  • + «оУ = /(0 .	(1.2)
dt	dt 1
В этом уравнении коэффициент a„_j(y) зависит от у, следовательно
это уравнение описывает нелинейную цепь.
Если хотя бы один из коэффициентов уравнения (1.1) зависит от
времени, то такое уравнение будет линейным дифференциальным
уравнением с переменными коэффициентами, а цепь — параметри-
ческой, т.е
dn у	d^y	^dn~2y
ап — + «л-1 —“Г + а«-2(0—-4 + -+о0У = /СО • (1-3)
dt	dt 1	dt L
В этом уравнении коэффициент ап 2(t) зависит от времени t,
следовательно оно описывает параметрическую цепь.
Если в уравнении (1.1) есть коэффициенты, зависящие от реакции у
и от времени t, то такое уравнение и описываемая им цепь называются
линейно-параметрическими:
12
dny	^dn~{y	dn~2y
an + a«-l+	<0——7 + - + aoy = /(*)• (1.4)
dt	dt 1	dt 2
В этом уравнении коэффициент (у) зависит от у, а коэффициент
я„_2(0 зависит от времени t.
Если ни один из коэффициентов уравнения (1.1) не зависит ни от
реакции^, ни от времени t, то такое уравнение называют обыкновенным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Оно
описывает линейную электрическую цепь с постоянными параметрами.
Если размеры элементов цепи становятся соизмеримы с длиной
волны происходящих в цепи колебаний, то в этом случае электрическая
и магнитная энергии распределены по элементам цепи, на тепло энергия
рассеивается также по всем элементам. Токи напряжения становятся
зависимыми не только от времени, но и от пространственной координаты.
Такая цепь называется распределенной, она описывается дифферен-
циальным уравнением в частных производных.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.1
На рис 1.6 приведен участок рельсовой цепи.
г, L, С, g — погонные сопротивление, индуктивность, емкость и
проводимость, учитывающие обе рельсовые нити;
и — напряжение между верхней и нижней рельсой в сечениях;
13
At/ — приращение напряжения на участке Ах;
i — ток в сечении х, — приращение тока на участке Ах.
В соответствии с уравнениями Кирхгофа получим
* z • г di. .
Ли = (ri + L—)Ax
dt
.. , ^ди.А
Л1 -(gu + C—)Лх.
dt
Разделив обе части уравнений на Ах и устремив Ах—>0, получим
ди , di
—= n + L—
дх dt
di	_ ди
,дх * dt
(1-5)
Уравнения в частных производных (1.5) описывают линейную рас-
пределенную цепь. Задав начальные и граничные условия для уравне-
ний (1.5) и решив их, получим напряжение и ток вдоль рельсовой нити
как функции времени и координаты (длины рельсы):
i = i (x,Z); и = и (х,1).
Пример 1.2
Последовательный колебательный контур (рис. 1.7): —внутреннее
сопротивление источника; L, С, R — параметры контура. Дифферен-
циальное уравнение для тока в контуре
Рис. 1.7
di 1 г
L — + — J idt +	+ R)i = е(/).
Дифференцируя обе части уравнения,
получим дифференциальное уравнение 2-го
порядка, линейное с постоянными коэффи-
циентами, в котором wq = 1/LC, e'(f) —
производная по времени от внешнего
воздействия e(t).
14
Пример 1.3
Цепь с диодом (рис. 1.8).
Диод VD имеет вольт-амперную характеристику
1 = /0(Л'-1),
где i — ток диода, и — напряжение на нем. ।--1 I---
Решая последнее уравнение относи-
тельно напряжения и, получим
1 , /z + z o
и = —1п(— ---)
^0 z0	____________
Тогда дифференциальное уравнение
цепи относительно тока i будет	рис ] g
г di .	1 . i + zn , „
L -—ь п + -— In	 = e(t).
di bo
Здесь коэффициент при нулевой производной зависит от тока,
следовательно, это уравнение нелинейное 1-го порядка.
Пример 1.4
Микрофонная цепь (см. рис. 1.2) приве-	£
дена на рис. 1.9.
L dt +' [1 + Я3(/)]
Здесь коэффициент при нулевой произ-
водной зависит от времени, следовательно, 1---------------
это — линейное уравнение 1-го порядка с	Рис [ 9
переменными коэффициентами, а цепь
(рис. 1.9) — параметрическая.
Классификация цепей по типу дифференциального уравнения не яв-
ляется единственным признаком.
В зависимости от топологических особенностей электрические це-
пи бывают планарные, непланарные (объемные); разветвленные и не-
разветвленные; простейшие (одноконтурные, двухузловые) и сложные
(многоконтурные, многоузловые).
По энергетическим свойствам цепи могут быть активными и
пассивными.
15
Активные содержат активные элементы-источники, пассивные
не содержат источников.
По числу внешних выводов электрические цепи могут быть дву-
хполюсниками, четырехполюсниками, многополюсниками.
Из указанных выше типов дифференциальных уравнений в на-
стоящее время наиболее полно разработана теория линейных урав-
нений, имеющих вид (1.1), где я (у = 1, и) являются либо постоянными,
либо зависят только от времени. В частности для этих уравнений
справедлива теорема наложения (суперпозиции).
Если у. является решением уравнения
dny, dn-[y:	_
ап — - + ап-\ (у) „тр + - + aQyj - fj{t) (j = 15и), то
at	dt
п
у =	является решением уравнения (1.1), в котором правая
7=1
п
часть /(z) =
7=1
На теореме наложения базируется широко используемый в теории
цепей принцип наложения (суперпозиции): реакция линейной цепи на
сложное воздействие, представленное линейной комбинацией простых
т
воздействий x(t) = ОС ,х,-(^), равна линейной комбинации реакций,
7=1
вызванных каждым из простых воздействий в отдельности:
т
y(t) ~^а]У	гдеуМ — реакция линейной цепи на воздействие
7=1
Применение принципа наложения существенно облегчает решение
многих задач в линейных электрических цепях.
Весь дальнейший материал будет относиться к линейным электри-
ческим цепям с постоянными параметрами.
Применительно к этим цепям в их теории решаются две задачи: ана-
лиза и синтеза.
16
Задача анализа формулируется следующим образом: заданы входное
воздействие и линейная цепь с параметрами элементов, требуется най-
ти реакцию цепи на заданное воздействие.
Задача синтеза формулируется следующим образом: заданы входное
воздействие и требуемая реакция цепи на это воздействие; необходимо
найти электрическую цепь и ее параметры, преобразующую входное
воздействие в выходную реакцию.
1.3.	Модели линейных электрических цепей
Реальная линейная цепь включает в себя резисторы, конденсаторы,
катушки индуктивности, трансформаторы, диоды, транзисторы, опе-
рационные усилители, источники питания и сигнала и т. д. В каждом
из элементов электрической цепи при протекании тока происходят
электромагнитные процессы, связанные с превращением подводимой
к элементу энергии в энергию магнитного либо электрического поля,
либо в тепловую энергию. Каждый из этих процессов связывают с оп-
ределенным элементом: например, превращение энергии в тепло свя-
зано с элементом «сопротивление», запасание магнитной энергии — с
элементом «индуктивность», «взаимная индуктивность», запасание
электрической энергии — с элементом «емкость». Поэтому модели ре-
альных элементов должны отражать протекающие в них процессы. Так,
например, резистор, основная функция которого превращение электри-
ческой энергии в тепло, имеет выводы, которыми он устанавливается в
схему и которые имеют индуктивность. Кроме того, между этими вы-
водами существует емкость. Поэтому модель резистора будет иметь вид
рис. 1.10, а. Конденсатор также имеет выводы, с помощью которых он
устанавливается в устройство, следовательно, он имеет индуктивность
выводов. Кроме того, в нем за счет переменного электрического поля
происходит переполяризация диэлектрика, на что затрачивается энер-
гия. Это явление учитывается наличием в модели конденсатора сопро-
тивления г (рис. 1.10, б), сопротивление выводов учитывается сопро-
тивлением RB.
Рассуждая аналогично, модель индуктивной катушки получим в виде
(рис. 1.10, в), где Rl — сопротивление провода намотки, RH3 —
сопротивление изоляции, CL — межвитковая емкость. В моделях
рис. 1.10 R, L, С— это идеальные элементы: сопротивление, индук-
2 Теория линейных зл. целей	1 7
г—-——	г.
Рис. 1.10
тивность, емкость, т.е. в них происходит только преобразование энергии
внешнего источника в тепло, в магнитную и электрическую энергию,
соответственно; ZB, CR, RB, г, Rr, Cr, Rm—это тоже идеальные элементы,
они неизбежно сопровождают R, L, С, поэтому они называются
паразитными. В зависимости от диапазона частот, в котором исполь-
зуются элементы, их модели могут быть упрощены.
Часто в электрической цепи катушки индуктивности бывают связаны.
Поэтому имеет смысл рассмотреть модель индуктивно связанных кату-
шек. Две индуктивно связанных катушки описываются уравнениями
dt dt
U2=L2~+M^-,
1	1 dt dt
(116)
где C7j, z'| — напряжение и ток первой катушки, [72, i2 — напряжение и
ток второй катушки, L}, L2 — индуктивности катушек, М— взаимная
индуктивность между катушками; знак «+» соответствует согласному
включению катушек, знак «—» встречному включению.
Пусть катушки включены в цепь последовательно —(рис. 1.11, а, б).
Рис. 1.11, а соответствует согласному включению катушек: токи ij и
z2 текут одинаково относительно одноименных зажимов катушек
(отмеченных звездочкой *), а рис. 1.11, б соответствует встречному
включению катушек.
18
Рис. 1.11
В соответствии с рис. 1.11, а, б и = к, + н2; i = i, = z‘2. Используя
уравнения (1.6), получим для напряжения для обеих катушках
М = (Т1+Т2±2М)^ = £экВ^,
т.е. последовательное включение связанных катушек приводит к
эквивалентной индуктивности (рис. 1.11, в):
ТэкВ = (Т1+Т2±2ЛТ).	(1.7)
Таким образом, моделью двух последовательно включенных
связанных катушек индуктивности является L3№ (рис. 1.11, в).
Модели других соединений индуктивно связанных катушек
(параллельное, замыкание одной из них и т.д.), а также трансформаторов
рассмотрены в курсе «Теоретические основы электротехники». Модели
транзисторов приведены в курсе «Электроника».
В качестве модели источника сигнала часто в теории цепей приме-
няют идеализированный источник напряжения или тока.
Идеализированным источником напряжения (генератором ЭДС)
называют источник, напряжение на зажимах которого не зависит от
тока, потребляемого от него (рис. 1.12, а).
Рис. 1.12
19
Идеализированным источником тока (генератором тока) называют
источник, ток через который не зависит от напряжения на его зажимах
(рис. 1.12, б).
Идеальные источники не могут быть реализованы, так как в про-
тивном случае они имели бы бесконечную мощность.
Реальные источники имеют зависимости между током и напряжени-
ем на выходе, показанные на рис. 1.13.
Для генератора напряжения максимальное напряжение на выходе
источника обеспечивается при токе нагрузки i = 0 (рис. 1.13, а) и при
коротком замыкании (/ю) напряжение на выходе и = 0. Эту зависимость
описывает выражение
w = «xx-/?Ii,	(1-8)
где Rj = и**! 7КЗ — внутреннее сопротивление генератора ЭДС.
Для генератора тока максимальный ток ir = I в режиме короткого
замыкания нагрузки, а при увеличении сопротивления нагрузки ток
падает до нуля при 7?и—Эту зависимость (рис. 1.13, б) описывает
выражение
i = Iia-Giu,	(1.9)
где G-— внутренняя проводимость генератора тока.
На основании (1.8) и (1.9) моделями реальных источников ЭДС и
тока будут схемы, приведенные на рис. 1.14.
е
В со ответствии с рис. 1.14, а напряжение на нагрузке г и =-
1 + Rflr
и при R'« г реальный источник ЭДС приближается к идеальному
(имеющему = 0).
20
Рис. 1.14
В соответствии с рис. 1.14, б ток в нагрузке г i - -—, где
g = У г, и при Gj«g реальный источник тока приближается к идеальному
(имеющему Gf- = 0).
В приведенных моделях реальных резисторов, конденсаторов, ка-
тушек индуктивности (одиночных и связанных), трансформаторов, би-
полярных и полевых транзисторов, источников напряжения и тока
каждый элемент является идеальным сопротивлением, емкостью,
индуктивностью, идеальным источником тока или напряжения.
Используя приведенные модели и заменяя ими реальные элементы
на схеме устройства, получим модель этого устройства, состоящего из
идеальных элементов, т.е. электрическую цепь.
1.4. Характеристики линейных электрических цепей
Свойства электрической цепи определяются реакцией ее на то или
иное воздействие. В качестве воздействий в теории цепей принимают
элементарные тестовые сигналы. Реакции цепи на эти сигналы и опре-
деляют ее характеристики. Тестовые сигналы должны отвечать следу-
ющим требованиям.
1. Расчет или экспериментальное определение реакции цепи на их
воздействие должны быть достаточно простыми.
2. Суммой тестовых сигналов должно определяться любое сложное
воздействие на цепь.
Выполнение этих требований дает возможность при расчете реак-
ции цепи на сложное воздействие применять принцип суперпозиции:
найдя реакцию цепи на тестовое воздействие (т.е. характеристику
цепи) и представив реальный сигнал суммой тестовых сигналов, реак-
21
б
O(t-T)
Рис. 1.15
в
u(t)
U
цию цепи на сложное воздействие получим как сумму реакций цепи на
каждый тестовый сигнал в отдельности.
В качестве тестовых сигналов применяют:
-	гармоническую функцию единичной амплитуды
и - cos (f>t, и = sin (f>t или и = exp jatt;
-	единичный скачок (функцию Хевисайда) ©(/);
-	единичный импульс (дельта-функцию Дирака) 5(г).
Суммой гармонических функций можно представить как периоди-
ческий, так и непериодический сигнал, удовлетворяющий условиям Ди-
рихле или абсолютной интегрируемости.
Единичный скачек имеет вид, показанный на рис. 1.15, а.
Функция <5(t) определяется следующим образом:
О	при t < О
о(0 = Д/2 приГ = 0
(1.10)
1 при t > 0.
Функция о(г), запаздывающая на время т, приведена на рис. 1.15,6.
Она определяется следующим образом:
0	при t < т
о(?-т) = (1/2 при/ = т
(1-11)
1 при t > т.
Такими функциями можно представить любые импульсные функции.
Например, прямоугольный импульс амплитудой Uи длительностью т
(рис. 1.15, в) можно описать как u(t) = U<5{t)-U<5(t-x).
Единичный импульс, или дельта-функция Дирака, определяется как
предел импульса Д(/) при т 0 (рис 1.16).
22
Рис. 1.16
Очевидно при т —э О длительность стремится к 0, а амплитуда к «>.
Но площадь импульса S - j&(f)dt -1 при любом t. Это и определяет
название «единичный импульс».
О	ОО
Так как А(0 — симметричная функция, то f = f А(/)Л, т.е.
	—©о	0
5(0 = 5(-0- Поэтому можно написать	
' [°	при? < 0
|5(0^ = ]1/2	приг = 0	(1-12)
[1	при t > 0.
Сравнивая (1.10) и (1.12), получим	
t |5(0^/ = о(/) или	. <fc(0 8(0=	(1.13)
Формулы (1.13) связы вают единичный скачек и единичный импульс.
Дельта-функция может быть определена как
ч °° при/ = 0
5(0 =
[0 приГ^О.
23
Если дельта-функция запаздывает на время t, то она определяется как
<=о при t = т
О при t -* т.
Как будет показано ниже, суммой дельта функций может быть
представлено любое сложное воздействие.
Рассмотрим интеграл /= Jw(z)A(Z — t^)dt ? где u(t) — гладкая
функция (непрерывная и имеющая производную), а Д(/ - Q импульс
вида рис. 1.16, запаздывающий на t = t0 (рис. 1.17).
Если т — мало, то w(Z) за это время изменится мало, поскольку в
пределе при т —> О А( t - tQ ) —> 8( t -10 ). Поэтому I = t/(Z0), так как
?о+т/2
j5(z-z0)<* = l-
f0-t/2
Полученный результат выражает важное фильтрующее свойство
(/-функции: интеграл от произведения гладкой функции на (/-функцию
равен значению гладкой функции в точке, где (/-функция отлична от
нуля.
Соответственно реакциям на тестовые сигналы различают следу-
ющие характеристики линейной электрической цепи.
•	Комплексная характеристика — это реакция цепи при нулевых
начальных условиях на гармонический тестовый сигнал.
24
•	Переходная характеристика — это реакция цепи при нулевых
начальных условиях на единичный скачок.
•	Импульсная характеристика — это реакция цепи при нулевых
начальных условиях на 5-функцию.
Перечисленные характеристики могут относиться как к характерис-
тикам передачи (в этом случае они называются соответственно
комплексным коэффициентом передачи, переходной передаточной и
импульсной передаточной характеристиками цепи), так и к входным и
выходным функциям цепи (входные сопротивления и проводимости).
Для определения передаточных характеристик рассчитываются
выходная реакция цепи на входное тестовое воздействие. Входные
сопротивления вычисляются как отношение входного напряжения к
входному току, а проводимость — величина, обратная входному
сопротивлению. Выходное сопротивление вычисляется как отношение
выходного напряжения к выходному току, а проводимость—величина,
обратная сопротивлению.
Рассмотрим более подробно характеристики и методы их расчета
или экспериментального определения.
Комплексные характеристики
Комплексным коэффициентом передачи цепи K(jK>) называется
отношение комплексной амплитуды напряжения (тока) на выходе U2
к комплексной амплитуде напряжения (тока) на входе [/|, т.е.
= U2 /Uj. Если передается тестовый сигнал единичной
амплитуды, то K(j(£>) = (72 .
Для расчета можно воспользоваться методом комплексных
амплитуд.
Комплексная величина А'(/'(й) = | К(усо) | где |К(усо)|,
<р((0) — модуль и аргумент комплексного числа.
Модуль |А7(/со)| называется амплитудно-частотной характерис-
тикой цепи (АЧХ), она показывает зависимость от частоты коэффи-
циента передачи цепи.
Аргумент J((0) называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ)
цепи, она показывает зависимость сдвига фаз между входным и
выходным напряжением (током) от частоты.
25
</ф(О))
Величина ——-----г3 называется групповым временем задержки
(ГВЗ), она показывает время задержки сигнала с частотой (О при
прохождении через цепь.
Приведем примеры.
Пример 1.5
Для цепи рис. 1.18, а
1
1
Х(» =---------—=—-—=-^==e-j&Kt^c,
/?+1/ ja>C jaC 1 + jRaC	+
АЧХ=|К(»| =
1
71 + (£«Q2
ФЧХ= argA'(/co) = -arctgjRcoC,
rrt4 .	RC
I DJ- —--------------— —
3 dt
1 + (А(оС)2‘
Для цепи рис. 1.18,6
1
1
1
X(jco) =--------------------_ — „
R+ j(f>L+ i/j&C jaC i - co2£C+ jRaC
RwC
e l-w LC
V(1-w2LQ2 + (ЛюС)2 ’
A4X= | КОСО) | =		1	,
V(1-®2£Q2 + (7?coC)2
ФЧХ= argX(jco) - -arctg—,
1-co2LC
26
в	R
Рис. 1.18
ГВЗ-/3=-
/?С(1 + со2£0
(1-со2 LQ2 +(RaC)2'
Для цепи рис. 1.18, в
jaL
гтт	♦
JK - /arctg---—5----
e^Le R^LC>
A(1 - co2 LQ + ja>L ^R2(l-Gi2LQ2 +a2I2
. M	<o£
j я/2-arctg—-=—
солЛ
Jt?2(1-«2LQ2 + co2L2
A4X=|W»)I =
(i>L
^R2(l-G)2LQ2+a>2l}

Л	COb
ФЧХ= argX(jco) - — arctg----------
2	R(l-a2LQ
При расчете ФЧХ использована формула Эйлера
е^2 =cos7t/2 + jsinn/2.
гвз-г3=-
/д1+со2лд
^(l-^LQ2 +(a>L)2 ’
27
Если цепь очень сложная (например, длинная рельсовая цепь), то
АЧХ, ФЧХ и ГВЗ могут быть измерены экспериментально.
Переходные и импульсные характеристики
Для расчета переходных или импульсных характеристик цепи
можно использовать классический метод решения дифференциальных
уравнений и операторный метод. Применение классического метода
предполагает при использовании законов Ома и Кирхгофа составление
дифференциального уравнения цепи и решение его при нулевых на-
чальных условиях для внешнего воздействия в виде единичного скачка
Д(г), либо S-функции. Применение операторного метода представ-
ляется более простым. Оно сводится к выполнению следующих шагов.
1.	Внешнее воздействие (в данном случае Д(<) или 5(f)) заменяется
изображением по Лапласу:
о(/?)= fa(f)e ptdt=—, т.е. о(0-ь—.
о	р	р'
(1.14)
8(/?) = j 8(f)e ptdt=1, те. 8(f) -s-1.
о
В последнем интеграле использовано фильтрующее свойство
8-функций.
2.	Элементы цепи заменяются операторными сопротивлениями
(проводимостями): R + R-,L + pL\ С + \/рС.
В результате схема цепи заменяется своим операторным эквива-
лентом.
3.	По операторной схеме замещения, используя законы Ома и Кирхгофа,
находятся операторные изображения переходной а(р~) или импульсной
/г(р) характеристик. Изображения а(р) или h(p) будут иметь вид
В(р)
где А(р), В(р), С(р), D(p) — полиномы по комплексной переменной р, те.
А(р) = атр'" + ат_1рт~1 +... + а0;
(1.15)
В(р) = Ь„р" +Ьп_]рп ’+...+Ь0;
28
C(p) — Cmp +Cm—iP + ... + Cq,
D(p) = dnpn +dn_}pn i+...+ d0.
Значения переменной p, при которых a(p) или h(p) обращаются в
нуль, называются нулями а(р) или h(p). Очевидно, чтобы найти нули
а(р) или h(p), необходимо приравнять А(р) = 0 или С(р) = 0 и решить
полученные уравнения относительно р.
Значения переменной р, при которых а(р) или h(p) обращаются в
бесконечность, называются полюсами а(р) или Мр). Очевидно, чтобы
найти полюсы а(р) или h(p), необходимо приравнять В(р) = 0 или
D(p) = 0 и решить полученные уравнения относительно р.
Если найдены корни уравнений А(р) = 0, В(р) = 0, С(р) = 0, D(p) - О,
то в соответствии с теоремой Виета:
А(Р) = ат(р- рт )(р -	)...(р - Pi)',
В(Р) = Ьп{р- рп ){р - рп_х )...{р - р});
С{р) = ст (р - рт)(р - рт^)...(р - Pi);
D(P) = dn(p- рп)(р - pn~i)...(P ~ Pi)-
(1-16)
4.	Используя обратное преобразование Лапласа, по изображениям
а(р) или h(p) находятся оригиналы, т.е. переходная a(f) или импульсная
А(0 характеристики цепи:
с+у~
= — ^a(p)eptdp;
J c-j<^
(1.17)
C+yoo
Л(0 = — ^h(p)ep,dp.
J П__ ir-v,
Обратное преобразование Лапласа (1.17) применимо к функциям,
а(р) —» 0, h(p) -> 0, при р —» оо. Учитывая (1.15) и (1.16), это требование
можно выполнить в том случае, когда степень полинома числителя
меньше степени полинома знаменателя, т.е. т < п. Однако это не всегда
выполняется. Если т > п , то числитель в (1.15) делится на знаменатель
по правилам деления многочлена на многочлен до тех пор, пока степень
29
числителя остатка не станет меньше степени знаменателя. Например,
пусть т > п. Тогда деление А (р) на В(р) дает
а^ + а^р'"-' +^2p-4...+a0|V4^!pn-'+W~2+-.-+4
________А, с,_______________ Ь" {ь’> bn J
	__w-l , ^И-1	(	Л >	wf-2 (
	р	h ь„	а"’-1 ь"	р +...
а1Грп-2
Ьп-1
Ьп
атЬпА
Ьп
Как видно, в результате двух шагов степень числителя остатка
понизилась на 2 и стала т - 2. Если т — 2 > л, то процесс деления
продолжается до г шагов, пока не станет т-г<п.
В итоге изображение а(р) может быть представлено в виде
Г	1	/ rn~r 1 7 гп-г-1 .1
. «(р)=+gm-^Pm-n-' +-+gu]+'”-fP
(1.18)
ГДе gm-n , > gm-n-\ ~ , am-l ,
bn	bn	bn
Таким образом, если степень многочлена числителя больше степе-
ни многочлена знаменателя, то делением многочлена на многочлен у
изображения [н(р) или Л(/7)1 может быть выделена целая часть (в ква-
30
дратных скобках 1.18) и дробная. Для дробной части степень мно-
гочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя и ус-
ловия применимости обратного преобразования Лапласа выполне-
ны. Целая часть (1.18) особенностей не имеет. Интеграл (1.17) в этом
случае разбивается на 2:
2л/ <
2п/ J.	В(р)
c-j^L
ep,dp.
(1-19)
Для случая, когда степень многочлена числителя меньше степени
многочлена знаменателя подынтегральной функции в (1.17),вычисле-
ние интегралов в (1.17) и от дробной части в (1.19) производится с
применением теоремы вычетов, т.е.
«(/’)]
Л(р)/
п
ep,dp = ^,res(j> = р^.
1=1
(1.20)
Вычет res (p = p,) в (1.20) вычисляется по формуле
res(/? = /?,) =
1 dk~X
(k-V\P™Pldpk-'
a(p)
h(p)
<p-Pi)kept
(1-21)
где к—кратность полюсар = pi (кратность корня уравнения знаменателя).
Рассмотрим обратное преобразование Лапласа от целой части в
(1.19), т.е.
X,ч/-""'-' + -+g«l epldp = I. (1.22)
2л/ J
 C-J~
В соответствии с суммой в квадратных скобках он разбивается
на сумму интегралов. В соответствии с (1.14) 5(р)= 1, следова-
31
J C+
тельно -г~. J g(Ppldp = go5(Z). По теореме дифференцирования
c-J°°
1 c+/“
pnF(p)^fn\t), поэтому -2-	=
Z7U J
c-J°°
~ JSm-n-XP^'-^dp =	(t),
2711 J
где 6('” ")(Z), n	— производные порядка (m-ri), (m-n-V) от 6(r).
Таким образом обратное преобразование Лапласа от целой части
(1.19) равно
1	+ Я,„-„-,8,'’’-"|Ч/) +... + гоВД. (1-23)
Приведем примеры.
, Пример 1.6
Для цепи рис. 1.19, а найдем a(t) и h(t).
Операторная схема замещения цепи рис. 1.19, а для расчета а(р)
приведена на рис. 1.19, б.
По ней получим а(р) =	, гдет = /?С; 1 + рт 1 C+J ^(0 = — J 2ni J c-J •" ft- •	eptdp = res(p = px). l + рт _L	1 б pC.	в pC Рис. 1.19
32
Подынтегральная функция имеет однократный полюс р —1/т,
поэтому
/>+1/т
р1=е-1,\
a(r) = res(j> = --)= lim --—- г
т
Операторная схема замещения цепи рис. 1.19, а для расчета h(p)
приведена на рис. 1.19, в. По ней получим
h(p) ~	, где t = RC.
рт+1
Изображение h(p) имеет степень числителя равным степени знаме-
нателя, поэтому к ней обратное преобразование Лапласа неприменимо.
Разделим числитель на знаменатель, получим
h(p) = l-
1
pi +1
Применяя обратное преобразование Лапласа к этой функции,
получим
eptdp = §(/) - res(/> = /Л )-
Подынтегральная функция имеет один полюсpx = -\Jt. Поэтому
res(/> = р\) = Пт ——^—ept =—е1,х.
Р-^Р^р-Pl) J *
Итак, импульсная характеристика h(t) = 8(f) —е	.
т
Пример 1.7
Для цепи рис. 1.20, а найдем а(1) и h(f).
Операторная схема замещения цепи для расчета а(р) приведена на
рис. 1.20,6. По ней получим
p{p2RLC+ p(L+ RrC) + (R+r)]
3 Теория линейных зл. целей
33
Корни знаменателя р^= О,
- (£+ RrQ ± д/(£+ RrQ2 - 4RLQR+ 7)
1RLC
1 С+У“	р	3
°(0=— J —-——------------------Лр = Хге8(^ = А);
2nJ r-i RLC^P - Р2)(р ~Рз)
С у00
res(/> = р\) = lim
р—Л
р cpt
LCp^p- р2)(р~ Рз)
1___
РСР2РЗ ’
res(j> - р2}~ Нт ----———---------ept =-------------еР2‘;
р-^р2[РСр(р-р2Хр-р3) J LCp2(p2-p3)
res(p-p3)- lim ---——--------ept =-----------ePi‘.
p^p7lC^p-p2)(p-p3) J LCpiiPi-p^
Произведя сложение, получим
1
1
eP2t eP2f
LC p2p3
Р2~РЗ
Р2
Рз
Рис. 1.20
34
Операторная схема замещения цепи для расчета h(p) приведена
па рис. 1.20, в. По ней получим
А(р) = —х-------------------------.
р RLC+ p(L+ RrC) + (/?+ г)
Корни знаменателя/>2 з найдены выше. Поэтому
1 c+j°°	1
М = — ( 777------------7-------zep,dp = £res(p = pz);
2л/ e-> LC{p ~ /’г)(/’ - /’з)	^з
res(p = p2)= lim
P~*P1
(P-Pl) ept
LC(p- p2)(p- />з)
res(j9 = /J3) =
lim Г-----------------eP‘
p~>p3\_LC(p- p2)(p~ Рз)
J___L_eW.
LC Pl ~ Рз
J____1__^.
£С/>з-р2
A(Z) =
J____L__U'
ЬС(р2~Рз)
1.5.	Операторное, частотное и временное представление
непрерывных и импульсных воздействий и реакций цепей
Выше были перечислены характеристики линейных электрических
цепей, рассматриваемые как реакции цепи на элементарные тестовые
сигналы: sin COZ, cos cor, exp jcoz, единичный скачек a(r) и единичный
импульс 5(г). Однако этими сигналами далеко не исчерпывается
перечень воздействий, которые имеют место на практике. В реальных
устройствах автоматики, телемеханики и связи воздействующие на цепи
сигналы имеют сложную форму. Очевидно и реакция iюпи на него тоже
достаточно сложна.
При расчете реакции линейной электрической цепи на сложное
воздействие часто применяют принцип наложения, согласно которому
решение этой задачи разделяется на три этапа.
1.	Вычисление реакции цепи на каждый из простых сигналов.
2.	Представление сложного сигнала в виде суммы простых.
35
3.	Вычисление реакции цепи на сложное воздействие путем сумми-
рования реакций на все простые сигналы.
Первый этап рассмотрен в 1.4. Поэтому рассмотрим второй.
1.5.1. Разложение сложных сигналов на сумму простых
В общем случае сложный сигнал S(t) можно представить в виде
суммы простых сигналов
2V
S(t)= Yan^n(t),
и=1
(1-24)
где (ри (?) — базисные функции, принимающие действительные
значения, а коэффициенты ап подбираются такими, чтобы обеспечи-
вался минимум величины ошибки:
Д =
^-J
N
n=0
2
dt.
(1.25)
В качестве базисных выбираются ортогональные функции, т.е. такие,
которые удовлетворяют условиям
1
~ J Фл (О Фл; (О
1
= 0
*0
при п Ф т
при п = т.
(1.26)
Интервал [Zp Z2] называется интервалом ортогональности.
Используя условие (1.26), найдем коэффициенты а из (1.24) такими,
чтобы величина Д из (1.25) приняла минимальное значение. С этой целью
продифференцируем (1.25) по а и приравняем производную нулю:
ЭД
Эа„,
1
z2
f2
J2 S(Z)-£an<p„(z) [-фт(/)]Л = 0,(ш = 0,1,2,
6
п=0
N

Из полученного уравнения, принимая во внимание условие ортого-
нальности (1.26), получим формулу для расчета коэффициентов ат:
36
1
а„; =------------=== J S(f)<p„, (t) dt,
(?2 - )tpnl(t) t.
(1-27) .
где обозначено ф™ (0	------- [фт(О<# (т = 0, 1,2,..., N).
Если ф,„(0 означает ток или напряжение, то ф^(/) имеет физический
смысл средней мощности базисной функции, выделяющейся на
сопротивлении R = 1 Ом.
Разложение (1.24) с коэффициентами, определяемыми по формуле
(1.27), наилучшим образом в среднем приближает многочлен (1.24)
к функции S(t). Приближение становится более точным при увеличении
числа членов, т.е. при N когда многочлен превращается в ряд
S(t^^an(pn(t),	(1.28)
п=0
называемый обобщенным рядом Фурье. Он сходится, если на интервале
ортогональности [Z}, ?2] S(t) имеет конечное число точек разрыва l-ro
рода и, кроме того, S(t) вместе со своей первой производной абсолютно
интегрируема, т.е. существуют
?2	Ь
JlsXOI^frc00; JI s'(t) | dt <
Z]	Z|
Найдем ошибку Л. С этой целью раскроем выражение (1.25):
—[s2(f)dt+——
Е>Г N "Г 2 '2 W
J	dt-----— ^S(t)^anqn(t)dt.
_n=$	_	/j H=0
(1-29)
A i 2
Первый член выражения (1.29)-----J S' (t)dt = P по физическому
смыслу представляет собой усредненную за время (Zj - Z2) мощность
сигнала.
37
Второй член выражения (1.29)
-12
1 N
-----J^a^,(t)dt
(2~(1 ;)fl=o
N -------
/2=0
1 I ”
JL
z, L»i=o
li N	N -------
~ J У,алал;Фл (О фл>(0^ — У ап Фл(0,
'2“'1 / „=0
т=0
пфт
Z2 -I]
2
так как в силу ортогональности фи(?) и фП|(?) второй интеграл равен нулю,
z,	.__
1	?	2
Из выражения (1.27) ~ I ^(0фП1 (0^~ Фш(0, поэтому
Г2~Г1 z,
третий член выражения (1.29) принимает вид	;
2	Af	N -------
—— Jsw X а«ф« wdt - -2 X «л Фи (0-
/	ц=0	п=0
ч
Таким образом, выражение (1.29) будет иметь вид
д=р + X а« ф« - 2У>2п<& w=р - X а« <р«	<1 -3°)
л=0	л=0	л=0
Выражение (1.30) дает возможность вычислить ошибку от представ-
ления сложного сигнала в виде конечной суммы базисных функций.
В этом выражении Р и (?) — усредненные за время (?] - ^2) мощности
сложного сигнала и базисной функции. Поэтому по физическому
смыслу Д>0ииз(1.51) получаем неравенство Бесселя
N ------
^апЧ>п(0,	(1.31)
л=0
показывающее, что мощность сложного сигнала больше или равна
сумме мощностей составляющих его простых сигналов.
38
При У -э <», Д -> 0 и (1.31) превращается в равенство Парсеваля
(1.32)
п=0
позволяющее вычислить мощность Р сложного сигнала, если известны
2 2
мощности ап <ри (/) его составляющих.
В качестве базисной могут быть использованы любые ортогональ-
ные системы функций: тригонометрические, показательные, Чебышева,
Лежандра, Эрмита, Лагерра, Уолша. Выбор базисной системы ортого-
нальных функций, обеспечивающих заданную точность разложения А
при минимальном числе членов многочлена N, производится с учетом
характера разлагаемой функции S(t).
Рассмотрим частные случаи.
1. Тригонометрическая система функций cos п(М, sin п(М, ортого-
2 л
нальна на интервале [—Т/2, 772], где 7 —	— период этих функций.
СО
Г	Т
ТГ -	2Z.X 1 f cosneor2	1. ,.2/л 1 f 1
Для этой системы <р„(t) = —- J ------>rtr = —, VOV)-” J -1-
Т т sin пог	2	1 т
~2	~2
В соответствии с (1.27) коэффициент при cos not
L
2 i
a„=— I S(t) cos nUMdt, а коэффициент при sin nCOC
т Л
2
T	Г
2	2	1	Г
bn= —	fs(f)sin лСОСб/С, a0 =—	[sV)Jz.
T	JT	T	JT
39
Тогда ряд Фурье (1.28) по системе тригонометрических функций будет
S(t) = ао + У(а,; cos пом+bn sinncoz).	(1.33)
и=1
Ряд (1.33) неудобен тем, что в нем явно не выделены амплитуда и
фаза гармонического колебания частоты и®. Представим в (1.33) ка-
ждое из слагаемых в виде
ап cos паи+ bn sin not = Ап cos(na>t + <pw) =
- An cos <p„ cos not — An sin (p„ sin not.
Приравнивая выражения при cos n(f)t и sin n(f)t слева и справа, получим
= А» с08 Фи > bn = -Ап sin <ри, откуда найдем Ап = ^а„+Ь„ ;
+ Ьп
<р„ =arctg----
Таким образом, ряд (1.33) приводится к виду
S(f) = до + У, Ап cos(nffl/ + <р„),	(1.34)
И=1
в котором выделены амплитудаЛя и фаза фи гармонического колебания
частоты п(й.
Множество амплитуд Ап и фаз jn (п = 0,1, 2...) гармонических
колебаний частот «со, в сумме составляющих сложный сигнал S(t),
называют спектром амплитуд и фаз этого сигнала. Спектры амплитуд и
фаз графически могут быть представлены в прямоугольной системе
координат следующим образом (рис 1.21).
Спектр амплитуд
Спектр фаз
2со Зсо
со 2<о
Рис. 1.21
40
2. Система показательных функций е7”®* t где п принимает значения
целых чисел от — до «>.
Для комплексно-значных функций условия ортогональности (1.26),
формула для вычисления коэффициентов ряда (1.27) и сам ряд (1.28)
должны быть изменены. Чтобы не вводить новых формул, получим их
из (1.27) и (1.28), используя формулу Эйлера exp joc = cosa + jsin а.
Применяя ее, представим в (1.34) каждое из слагаемых под знаком
суммы в виде
Ап cos (ncoz + фп ) = — [exp jnotA,, exp jcpn + exp(-jni£)t) An exp(-)]=
= [a„ exp Jncot + A_n exp(- /no)/)]
где An = An exp уф„ — комплексная амплитуда колебания частоты «СО,
Л__„ = Ап ехр(-уф„)— комплексно-сопряженная ей величина.
С учетом полученного формула (1.34) примет вид
5(Z) = a0+| X^’exP./«“z £ЛгехР./ио», ^‘35)
/1=-~	,г=-оо
где обозначено Ао = 2	. Коэффициенты Ап ряда (1.35) являются комп-
лексными и могут быть представлены в виде Ап = Ап cos ф„ + jA„ sin ф„.
Но в соответствии с полученным выше Ап cos ф„ = ап, Ап sin ф„ = —Ьп.
Поэтому, используя формулы для тригонометрического ряда Фурье,
получим
Г
2 2
= ап - jbn = — J SXOCcos «со/ - j sin «со/]Л =
Г т
2
Г
2 2
= — J S(t) ехр(-улСОГ) dt.
Т т
(1.36)
2
41
Формула(1.35) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме,
а(1.36) позволяет вычислить его коэффициенты, если известна периоди-
ческая функция времени S(t), имеющая за период конечное число
разрывов 1-го рода. При этом ряд (1.35) сходится к S(f) в точках ее
ад+эд
непрерывности и к значению-------- в точках разрыва, где S(a) и
S(b) — значения функции S(t) слева и справа от точки разрыва.
При использовании ряда (1.35) спектры амплитуд и фаз пред-
ставляют собой множество модулей и аргументов комплексных чисел
Ап (п = 0,1,2,...).
Пример 1.8
Для прямоугольных импульсов длительностью т, следующих с пери-
одом Г, найти спектры амплитуд и фаз (рис. 1.22). Используя (1.36), по-
лучим
exp(~jnat)d/ =--^ 1  e~jntot
TJQ	Т -jno
f jniox	- jmot
2U e 2 -e 2
ТП£> j
2Ui
. nan
sin---
2
-
? 2
ЭД1
Рис. 1.22
42
Спектр амплитуд | Ап |=
поте
I 2 J
sinx
Огибающая спектра амплитуд имеет вид функции -, обраща-
ющейся в ноль при------ки (к = 0, 1, 2, ...), отсюда па> = к— .—
2	т
точки на оси частот, в которых огибающая спектра амплитуд обращается
в ноль. Графически спектры амплитуд и фаз изображены на рис. 1.23.
Как видно из рис 1.23, а, ширина спектра сигнала зависит от длитель-
ности т: расширяется при уменьшении т и сужается при увеличении т.
Спектр периодического сигнала — линейчатый, дискретный.
Расстояние между отдельными составляющими спектра равно 0)= —.
.	sinx	пап
Спектр фаз получен с учетом знака-по уравнению (р = л--
х	2
2л	4л
при---<И0)<----.
т	т
а	б
фл А
О со 2со Зсо 4со2тг
У s
Рис. 1.23
43
Пример 1.9
Для периодической последовательности импульсов (рис. 1.24) найти
спектр амплитуд, спектр фаз, рассчитать ошибку при представлении
ряда (1.28) тремя, пятью членами, записать равенство Парсеваля.
В соответствии с (1.36)
Т
9 2 1
1 Л
2
-	Ue-^dt + - ( Ue~j,mtdt =-2*Le-J™t
T J	Г J	jTno
__i_	о
2
2U
jTn(£)
e-jnK)t
0
2U
jTn&
A.p-Jn(At
2-2-------—------
2
AU
,	nioT
1 - cos----
jTntti |_	2
Подставив в это выражение Т—
2л
получим
44
О прии — четном
2(7
А» =----(1 - coshtc) = 4(7
jnn	---- прии — нечетном
(jnn
Поэтому ряд (1.35) для этого сигнала будет
у 4(7
п(2т + 1)я
J?7=0 V	'
СТА-1 У	у(2ти+1)сы _
ЭД-2Д7(2т + 1)ле
е/(2лг+1)со/ _ е-7(2ин-1)<а/1 щ
У
sin(2m + l)o)Z
я “ 2ш + 1
777=0
4U
Таким образом, спектр амплитуд--------------(т = 0,1,2,...), спектр
я(2/и+1)
фаз <р;г - 0\/п.
Если использовать 3 члена ряда, то
1
4U .	1 . о 1 . с
S(t) = — sino)Z +—sin3o)/ + — sin5o)Z ,
я L	з
а ошибка в соответствии с (1.30)
16 fl
1111
a=c724i—X 1+11+1Х
я2!/
Если использовать 5 членов ряда, то
1 • . . . 1 • -
2 9 2 25
= 6,69 10“2(72.
„ ч 4U	.	1	. о 1	. с 1	. „	1	. п
S(l) =— smco/ + -sin3co/ +—sm5oo/ +—sin7co/ +—sm9ooz ,
n L 3	5	7	9
а ошибка
3	5
1
3
5
1
1
7
9
11 IX IX IX'
2 9 2 25 2 49 2 81
2
= 4,04-10“2(/2.
16/1
7Г2 k2
В соответствии с (1.32) равенство Парсеваля для этого импульсного
8(72 v 1
сигнала имеет вид р = —у- > ------у.
7? „to(2m + l)2
45
3. Функции Уолша ортогональны на интервале [0,1]. Первые 8 из
них приведены на рис. 1.25.
Обозначение функции включает в себя:
-	номер функции (первая цифра в скобках);
-	аргумент функции (0 — в скобках).
Существует несколько способов нумерации (упорядочения) функций
Уолша. Наиболее употребляемыми являются упорядочения по Пэли,
Адамару и Уолшу.
На рис. 1.25 функции упорядочены по Уолшу. Номер функции озна-
чает здесь число пересечений с графиком функции оси абсцисс в инте-
рвале [0,1].
Функции Уолша обладают следующими свойствами:
—	ортогональность на интервале [0.1], т.е.
I
J wal(n, 0) wal(m, 0)<7О
0
1
0
при т = п
при т Ф п;
—	мультипликативность, т.е. перемножение двух функций Уолша дает
функцию Уолша wal(«,01)wal(n,02) = wal(«,0] ©02),где п © т —
сложение по модулю 2, т.е. без переноса в старший разряд;
-	свойство симметрии, состоящее в том, что свойства функций,
отмеченные относительно п, справедливы и относительно 0. Например,
мультипликативность относительно 0 означает, что
wal(z»,0])wal(«,02) = wal(«,0i ©02);
-	умножение любой функции Уолша на саму себя дает функцию
Уолша нулевого порядка wal2(«,0) = wal(O,0), а умножение ее на
функцию Уолша нулевого порядка не изменяет этой функции.
Любую интегрируемую на интервале [0,1] функцию можно
представить рядом Фурье (1.28), в котором в качестве базисных функций
ф„(0 используются функции Уолша.
Пример 1.10
Прямоугольный импульс, представленный на рис. 1.22, разложить
по функциям Уолша. Обозначив 0 = t / Т, где Т — период повторения
1
импульсов, найдем при т = — Т \
46
wal(O,0)
6
-I--------1--------1-------1--------1-------1--------1--------
1/8 V4 3/8	5/8	3/4	7/8	1
wal(l,0)
wal(2,0)
wal(3,0)
wal(6,0)
0
wal(7,0)
0
Рис. 1.25
47
Aq = j S(t) wal(O,6) de = - U;	Ax = j S(t) wal(l, 6) d6 = -U;
o	2	о	2
Л„=0(л = 2, 3, 4,...).
Таким образом, ряд (1.28) в базисе функций Уолша
5 (Г) = Ао wal(0,0) + А\ wal(l, 0) = ~ U [wal(0,0) + wal(l, 0)]
содержит всего две составляющие.
Сравнивая разложения в ряд Фурье по базисам показательных (или
тригонометрических) функций (пример 1.8) и Уолша, можно сделать
вывод, что для импульсных сигналов при соответствующем выборе ин-
тервала разложения функции Уолша обеспечивают точное разложение
при минимальном числе членов ряда. Если t ф Т/2, то спектр Уолша
будет содержать много составляющих.
1.5.2. Разложение непериодических сигналов
Для периодического сигнала разложение в ряд Фурье дается форму-
лой (1.35), где коэффициенты ряда рассчитываются с помощью выра-
жения (1.36).
Если же сигнал непериодический, одиночный, то на отрезке времени
[—772, 772] он может быть представлен рядом (1.35) при <*>
L
2
5(0= lim - ^AneJ,m' = lim 1 £ ~
7^“2Й=_М	7'^“2,г=_ т т
2
При Т —> оо
J S(t)e~J,mtdt = J S(t)e~j^dt = G(Q)
т	т
— спектральная функция сиг-
2	2
нала 5(0-
48
Тогда
Я0=	| £ |б(п®Иг<п,= lim у- £ yW"*".
°° z /г=-оо	1 w=-©o
При Т—>°°— угловая частота со = 2п/Т превращается в бесконечно
малое приращение частоты JQ, частота исо — в текущую частоту Q,
а операция суммирования — в операцию интегрирования. Поэтому
последнее выражение принимает вид
S(t) = jG(Q)eyn,JQ,	(1.37)
где
G(Q) =	(1.38)
Выражения (1.37) и (1.38) называют парой преобразований Фурье.
Второе из них позволяет по функции времени S(t) вычислить спектраль-
ную функцию G(Q), а первое по известной спектральной функции по-
зволяет восстановить сам сигнал S(t). Преобразования (1.37) и (1.38)
существуют только для абсолютно интегрируемых функций,
т.е. для таких, которые имеют J| S(t) | dt <«».
Физический смысл выражения (1.37) состоит в том, что сигнал S(t)
представлен им в виде бесконечной суммы (интеграл) функций exp(/'Q/)
с бесконечно малыми амплитудами колебаний d Л(£2) = — G(Q) JQ. -
ы	1
Из последнего равенства следует ——— - — СЦ4.2), т.е. модуль спекг-
й£2 л
ральной функции G(Q) характеризует плотность распределения амп-
литуд составляющих спектра непериодического сигнала по частоте.
Спектральная функция является комплексной и, как любое комплек-
сное число, может быть представлена в алгебраической и показатель-
ной формах, т.е.
4 Теория линейных зл. целей
49
G(Q) = c(Q) + jb(£l) = | G(Q) | exp j(p(Q),
причем | G(Q) |= J«2(Q) + /?2(Q); (p(Q) = arctg^^.
c(Q)
Модуль |G(Q)| спектральной функции G(Q) называют спектром ам-
плитуд, а аргументj(Q)—спектром фаз. Как видно из формул для | G(Q)|
и j(£l), спектр амплитуд является четной функцией частоты Q, а спектр
фаз — нечетной ее функцией.
Пример 1.11
Для одиночного импульса (рис. 1.26) найти спектральную функцию,
спектры амплитуд и фаз.
Подставив S(f) в выражение (1.59), получим
G(Q) = \Uej€ltdl
О
r filt -filt
_Ц_ е 2 -е 1
Q j
j£l 10
-filt
? 2 = Ut 
' jQ.t -fiU '
1-е 2 e 2
. Qx
sin—
___2_
Qx

Итак, G (Q) = Ut
Спектр амплитуд | G(Q) |= Ut
sm----
2
Рис. 1.26
спектр фаз ф(П) = Ал- —
50
Графически |G(Q)| и <p(Q) представлены на рис. 1.27. При Q=0
|G(fi)|=W.
т
Это следует из формулы G(Q) = j Ue'^'dt при Q-»0 и выражает
О
площадь импульса. Нули функции |G(Q)| имеют место при -— = Ал,
2
откуда П = —к (к = 1,2,...).
т
sin—
___2_
Qt
описывается прямой
Спектр фаз с учетом знака функции
От
линией ф(£2) = Ал—— .
Спектры амплитуд и фаз одиночного импульса сплошные, т.е. содер-
жат в своем составе теоретически все частоты с амплитудами и фа-
зами, определяемыми функциями |G(Q)| и <р(П).
51
Если импульс S(t) (см., например, рис. 1.27) периодически повторять
с частотой МТ (Т — период), то комплексная амплитуда частоты
2я
по- п— будет (см. формулу (1.36))
7 о
Спектральная плотность одиночного импульса на частоте по
примет вид
G(Q = по) = J S(t)e~jnMdt.
О
Сравнивая два последних выражения, получим
2
4,=-G(n(0).	(1.39)
Формула (1.39) показывает, что функция G(Q) является огибающей
дискретного линейчатого спектра периодически повторяющихся им-
пульсов, т.е. | G(Q)| и /(Q) на рис. 1.27 и огибающие (пунктирные кри-
вые) на рис. 1.23 одинаковы. Соотношение (1.39) позволяет по спек-
тральной функции одиночного импульса G(f>) рассчитать комплексные
амплитуды гармоник Л при его периодическом повторении с пери-
одом Т. Для этого достаточно в выражение для G(Q) подставить значе-
ние частоты О = по и умножить на число ИТ. Так, взяв из примера 1.11
G(Q), получим
2	2
Ап =—G{Tl = no)^—Ux
1.5.3. Обобщение преобразования Фурье.
Преобразование Лапласа
Как указывалось выше, преобразование Фурье применимо только к
абсолютно интегрируемым функциям. Не все используемые в радио-
технике и связи функции удовлетворяют этому требованию. Например,
единичный скачок
52
. not
sm----
2
not
2
(О при Z<0
a(z) = <
|1 при Z>0.
Применяя к о(0 прямое преобразование Фурье (1.59), будем иметь
If...
= —— 1- lime
Q jQ \ t ~>°о

G(Q) = J o(z)e"ynz Jz =	e-ynz
Функция e^1' при z->°o не имеет предела. Поэтому спектральную
функцию G(Q) по формуле (1.38) найти нельзя. Причина состоит в том,
что o(Z) не абсолютно интегрируема.
Для того чтобы освободиться от требования абсолютной интегри-
руемости, обобщим преобразование Фурье. Пусть S(t)—функция, не
интегрируемая абсолютно. Умножим ее на е~С1‘, где С\ >0, константа
достаточно большая, чтобы функция [S(z) e-C|Z] стала абсолютно
интегрируемой. Тогда прямое преобразование Фурье от нее (1.38) будет
[s(/)e-C|Z ]eyX2z dt = J S(J)e~(C'+jn)t dt.	(1.40)
G(Q+jQ) =
о	о
В выражении (1.40) полагаем S(f) = 0 при t < 0. Применяя к функции
S(t) е~С,г обратное преобразование Фурье, получим
1
S(t)e~C'‘ = — fG(q +
lit '
Так как интегрирование в последнем выражении производится по
Q, то умножая обе его части на e~(,t, будем иметь
(1-41)
^(0 = “ JG(G + yQ)e(C,+yn)zJQ.
Сделав замену переменных Ct + jQ =р в выражениях (1.40), (1.41),
найдем
G(p) = °\s(t)e~ptdt,
0
(1-42)
53
с,+>
S(f) = — jG(p)ep,dp.	(1.43)
Выражения (1.42), (1.43) представляют собой соответственно прямое
и обратное преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа является обобщением преобразования
Фурье. Переход от первого к последнему производится заменой р на jQ.
(т.е. С) = 0), если на оси /Q нет полюсов подынтегральной функции G(p).
Пример 1.12
Найдем спектральную функцию единичного скачка (рис. 1.28)
G(p) = lc(P)e~ptdt = ~e~pt =-(1-lime“pz) = -,
0	Р 0 Р	Р
так как lim е pt - lim (е C|Zе j£it) = 0.
Тогда при С] = Op -jkl и G(Q) = 1//Q.
t
0
Рис. 1.28
1.5.4. Свойства преобразования Фурье
Рассмотрим некоторые свойства преобразования Фурье.
1.	Свойство линейности
к
Если сигнал S(t) =	а спектральные функции каждого из
А-=1
слагаемых известны, т.е. G^(Q) =	dt (k = 1, 2
К), то
К
спектральная функция сигнала S(t) G(&) = ^Gfc(fl).
А=1
54
Доказательство этого свойства проводится путем подстановки S(t)
в (1.42) и использования свойств интеграла.
2.	Теорема запаздывания
Пусть сигнал S(t) имеет спектральную функцию G(Q). Сигнал, за-
паздывающий на время t, можно записать как S(t - т). Найдем спек-
тральную функцию сигнала S(t - т).
GT(p) = js(t-T)e~JQ,dt.
Замена переменной при t - т = 6 (dt = d6, t = 0 + т);
при t —»-оо0—при t —> °° 0 —» <*> приводит интеграл к виду
DO	DO
Gx(p) = \s(Q)e~j^xe~jSlQdQ = e~jQ-x \s(Q)e~j™dQ = e~jClxG(£l),
—oo	—oo
так как G(O.) = JS(t)e~jntdt.
Таким образом, запаздывание сигнала на время т приводит к
умножению спектральной функции исходного сигнала S(f) на e~Jnt, т.е.
GZ(Q)= G (Q)e“^
Пример 1.13
Спектральная функция единичного
скачка, запаздывающего на время т о(/-т)
(рис. 1.29), равна Gx(p) = — ё~рХ.
р	,--------------------
При р - j£l
I
0
GT(Q) =— e~jQx= —е I 2'.
£1	Рис. 1.29
55
Пример 1.14
Пользуясь свойством линейности и теоремой запаздывания, найдем
спектральную функцию прямоугольного импульса длительностью т
(см. рис. 1.26).
Этот импульс можно представить как S(t) = U [G (/) - о (t - Т )], где
о(г) и о(/ - т) — единичные скачки, совершаемые при t = 0, t = т.
Если спектральная функция первого скачка G(Q) = (см. при-
j'Q
мер 1.12), а спектральная функция второго скачка GT(Q) =—е^х
№
(см. пример 1.13), то спектральная функция прямоугольного импульса
в соответствии со свойством линейности G(Q) = —— (1 — е~^х ) —
jQ
сравните с примером 1.11.
Пример 1.15
Пользуясь теоремой запаздывания и свойством линейности, най-
дем спектральную функцию пачки из W равно отстающих импуль-
сов (рис. 1.30).
Если спектральная функция 1 -го импульса G(Q), то по теореме запаздыва-
ния спектры 2-го импульса G(£l)e~j пг, 3-го импульса G(Q)e“7^7,...,
N-ro импульса G(Q)e“-/
Применяя свойство линейности, получим спектральную функцию
пачки из N импульсов
G£(Q) = G(Q)[1 + e~jnT + e~J2S1T +... + e-A7V"l)nr ].
Рис. 1.30
56
0 J_______2п 2л 2л	2—
3 т т т	т
Рис. 1.31
При £2 = klit/T, где к — целое число, каждое из слагаемых в квад-
ратных скобках равно 1.
2тс'
Поэтому к -у = NG
к2п
~Т~
Таким образом, на частотах £2 =-- модуль спектральной функции
Т
пачки в N раз больше модуля спектра одиночного импульса. Это
происходит потому, что на указанных частотах спектральные
составляющие складываются с фазами, отличающимися на 2л. При
частотах, обращающих в нуль слагаемые в квадратных скобках, |G(£2)|
обращается в нуль. На рис. 1.31 приведена спектральная функция
пачки из трех равноотстоящих импульсов. Пунктиром показана
спектральная функция одиночного импульса. Всплески соответствуют
о
частотам £2 = 0, —...
Т
С увеличением числа N до °° получается периодическая последова-
тельность импульсов, спектральная функция становится линейчатой
(всплески возрастают, провалы между ними уменьшаются).
3.	Теорема подобия (изменение масштаба времени)
Если сигнал S(t) сжимается или растягивается во времени, то это
соответствует изменению масштаба времени, новый сигнал будет S(at),
где а > 1 соответствует сжатию, а < 1 — растяжению.
57
Ту
Пусть сигнал S(t) имеет G(Q) = Js(/)e ^dt.
О
Ill
a
Спектральная функция сигнала S(at), будет Ga (р) = JS{at)e ^dt.
0
Сделав в последнем интеграле замену переменной at = т, получим
tu	-jax
Ga(p) = — f ° di. Ho
a 0
Ga(Q) = lG|-
a I a
- jQt
I 5(т)е ° dT = G| —
О
поэтому
спектральная функция сигнала, растянутого или сжа-
Q
a
того во времени в а раз, сжимается или растягивается в а раз, причем
модуль ее увеличивается или уменьшается также в а раз. Рассмотрим, на-
пример, спектральную функцию прямоугольного импульса (пример 1.11,
рис. 1.27). При сжатии (а > 1) т становится меньше, что ведет к расши-
рению спектра (нули функции G(Q) уходят вправо) и уменьшению мо-
дуля, при растяжении импульса (а < 1) — наоборот.
4.	Теорема о свертке
Пусть сигнал S(t) = S-^t) S2(t), причем спектральные функции обоих
сигналов известны и равны
G,(Q)= $Si(t)e~jntdt; G2(Q) = $ S2(t)e~jnt dt.
В соответствии с (1.42) спектр сигнала S(t) равен
G(Q) = j S(t)e~jn,dt = р] (t)S2 (t)e~jntdt. (1.44)
—oo	—oo
В соответствии с (1.43) каждый из сигналов S^t) и S2(t) может быть
представлен в виде
S]	(г) = — 7 Gi (Q)eynzJQ; S2(t) = — ?G2 (o))ejat da.
2n J	2it J
—oo	—oo
58
Подставляя в (1.44) вместо S2(f) его представление Фурье, получим
G(Q) = j S}(t) — jG2(cD)e7°yJ(D е~^Л=— j G2(cd) p1(Oe'-/(Q~w)zdt .
2tc	2tt
Ho J -S) (t)e	tdt = Gy(^l-оз), где G](Q-co) —спектральная
функция сигнала S) (г) при значении аргумента Q — СО (вместо Q). Таким
образом
G(Q) = y- Jg2(w)G1(Q-w)Jco,
(1-45)
т.е. спектральная функция произведения двух сигналов S^t) и S2(t) равна
свертке их спектральных функций, умноженной на 1/2л.
Из (1.44) и (1.45) при Q = 0 получим (заменив со на Q)
Г S] (t)S2 (t)e~jntdt = — f G2 (Q) G] (-Q) JQ =
J	2n J
jG2(Q)Gf(Q)c/Q,
(1-46)
где G]*(Q) — комплексно-сопряженная функция к G](Q).
Из выражения (1.46) найдем распределение энергии в спектре
непериодического сигнала. При S^t) = S2(t) = S(f)
^S}(t)S2(t)dt= ^S^(t)dt=3— энергия сигнала, G2(Q) = G((Q) и
G2(Q)G]’(Q) = IG^Q)!2, поэтому Э = — [|G](Q)|2 dQ. — равенство
2л J
59
Парсеваля для непериодического сигнала, аналогичное (1.31). Так как
|G](Q)|2 — функция четная, то равенство Парсеваля принимает вид
Э = - f|G1(Q)|2i/Q-
710
(1.47)
Пример 1.16
Для единичного скачка (см. рис. 1.28) найдем в соответствии с (1.47)
1	2	1
энергию сигнала G(jQ) =	; | G(jQ) | = ——;
э=-Г-уЛп=-Ц-
Я J Q2	ПО 0
1 г 1
= — lim —
Энергия единичного скачка бесконечна, поэтому эта функция не
абсолютно интегрируема и к ней неприменимо прямое преобразование
Фурье. «
Пример 1.17
Найдем энергию сигнала w(?) = е at (рис. 1.32). В соответствии с (1.42)
С(;п)=—Ц-; |G(^)l2= -21-2-
a+j£l	a2+Q2
Применяя (1.47), получим
Э=11
1	1	Q
—----- d£l =--arctg—
a2+Q2	ла	а 0
1
2a
60
Прямое вычисление энергии приводит к результату
5.	Дифференцирование и интегрирование сигнала
Если сигнал S(f) имеет спектральную функцию G,(Q), то производ-
ная сигнала S'(t) имеет спектральную функцию
G2(Q) =
Найдем G2(Q). Для этого последний интеграл возьмем по частям.
Получим g2(Q) =	+ j’Q JSltyT^dt = j£lGx (£2),
так как при t —» ±, S(f) —> 0 (S(t) — абсолютно интегрируемая функция),
a J S(f)e~^atdt = Gj (£2). Итак, спектральная функция G2(£2) производ-
ной S|(Z) выражается через спектральную функцию Gj(£2) исходной
функции следующим образом:
G2(O)=j£lG}(£X).	(1.48)
Пусть сигнал S(t) имеет спектральную функцию G|(£2). Найдем
спектральную функцию G2(£2) интеграла от S(t), т.е. спектральную
t
функцию сигнала S(t) = js(t)dt. Применяя (1.42), получим
о
G2(Q)= \s(t)e~ja,dt= j р(/)Л e~jQ*dt.
—ео	—со О
Интегрирование по частям дает
+^-Gi(Q).
61
Если J S(t)dt при /—>°o обращается в ноль, то
0
G2(^) = ~Gl(^')-	(1.49)
Пример 1.18
Используя спектральную функцию единичного скачка (пример 1.12)
G[ (Q) = —, найдем спектральную функцию дельта функции 8(/)
yQ
G2(Q) = 1. Прямое применение (1.38) к 8(7) дает G2(Q) = ^(t)e~^'dt = 1
(см. фильтрующее свойство 8-функций).
С помощью обратного преобразования Фурье (1.37) найдем
Пример 1.19
Найдем спектральную функцию гармонического сигнала
S(f) = Д) cos(co t+<р).
J<?ejox +е-^еЧы‘
_ 4)
2

кр |е-у(П+<о)/Л+е7<р р-ЛЯ-<0)^ .=
= у [е-7<₽2я8(«+<о)+еу<₽2л8 (Q -©)]= Д)л[е7<₽8 (Q -ю)+(Q+ю)].
62
Таким образом, на комплексной плоскости спектральная функция
гармонического сигнала образует два всплеска при Q = ±Q. В част-
ности, при Q = 0 спектральная функция постоянной составляющей
G(Q) = 2 лЛ08(О).
Таккак —sin((iH+<p) = jcos(w/+<p)Jz, то, пользуясь формулой (1.49),
найдем спектральную функцию сигнала Sj (z) = Д, sin(co t+<р).
-о) + е 2ф8(£1+<о)]=
Д)Я(О
I	( к I
- у <р+—
'8(Q-w) + e V 2J8(Q+w)
Изложенное выше преобразование Фурье позволяет сложные воздей-
ствия и реакции цепи, заданные во временной области, представить в
частотной области в виде счетного (при периодическом сигнале) или
несчетного (при непериодическом сигнале) множества гармонических
составляющих. При этом обратное преобразование Фурье (или его обо-
бщение — преобразование Лапласа) позволяет представить воздейст-
вие или реакцию цепи, заданные в частотной области, как функцию
времени.
Пример 1.20
Пусть спектральная плотность сигнала G(Q) = — (1
(см. пример 1.11). Найдем соответствующий ей сигнал как функцию
времени. В соответствии с (1.37) будем иметь
S(t) = — 7 — (1 - e~jQx )ejnTd£l
Сделав замену переменной j'Q = р, получим
63
ер^
dp.
Первый из интегралов соответствует о(/), второй — о (/ — т).
Следовательно, S(/) = t7[a(Z) - о(/ - Т)] — прямоугольный импульс
длительностью т и амплитудой U.
Разложение сложного сигнала на сумму единичных скачков рассмот-
рим на примере сигнала рис 1.33.
Представим сигнал в виде суммы единичных скачков:
-	в момент t = 0 совершается скачок х(0) о(/);
-	в момент t = 0| совершается скачок Ax(0f) о( t - 00; и т. д.
Рассуждая аналогично, можно написать
7V
х(/) = х(0)о(г) +	Дх(0„ )о (t - 0„ ).	(1 50)
Л=1
При увеличении N точность представления возрастает.
Сложный сигнал можно также представить в виде суммы 5-функций
(рис 1.34). Элементарный импульс длительностью Д0, амплитудойх(0^)
можно выразить как x(OA)[o(f-0A)-a(f-0A -ДО)]- А сам сигнал
будет иметь вид
, о .. O(Z-0A.)-O(Z-0r — Д0)	. ч
Так как а (/) = 5(f), то l|m ---------—----------= 5(/-0А).
де->о	Д0
64
Поэтому
x(t) = YSk^t-Qk\	О-51)
к
где Sn = л'(0л.) А0 — площадь элементарного импульса.
Таким образом, произвольное воздействие или реакция цепи х(г)
могут быть разложены на сумму тестовых сигналов G (/) или 5(/).
1.5.5.	Z -преобразование
В настоящее время в связи широко применяются дискретные
последовательности S(nT), являющиеся выборками аналогового сигнала
5(/) в дискретные моменты времени t = пТ, где Т — период дискретиза-
ции. Для описания дискретных последовательностей может быть
использовано дискретное преобразование Лапласа, которое получается,
если в (1.42) подставить выражение для дискретного сигнала:
5д(0= £s(«n8(/-«0-
п~-©о
Получим прямое дискретное преобразование Лапласа
6дОД = Д5(иП]= ^5(пТ)е-рпТ	(L52)
л=0
Тогда обрагное преобразование Лапласа для дискретного сигнала будет
-1	1
S{nT) = L~[бд(л)] = — \GR{P)epnTdp (1 53)
J G+JCO
5 Теория линейных эл. целей	65
Вычисление интеграла в (1.53) производится при помощи теории
вычетов.
Пример 1.21
Пусть дискретная последовательность
5(«7)=
о”гприп>0
О прип<0;а<1.
Тогда дискретное преобразование Лапласа будет
оо	J
Ga{p)=	апТe~hnT =----—, как сумма бесконечно убывающей
„=0	1-ае~р
геометрической прогрессии. Изображение <7д(р) содержит 1 полюс
ер - а. Поэтому обратное дискретное преобразование Лапласа для нее
будет S(nT) = res (у; = р,) = lim
еР-\ т
-----РРпТ
еР-\
- апТ
при ер -> а.
Дискретное преобразование Лапласа содержит трансцендентные
функции ё~рпТ, что неудобно.
Прямое Z-преобразование получается из дискретного преобразо-
вания Лапласа заменой z=epT, т.е.
S(z) = ^S(nT)z-\	(1.54)
При такой замене трансцендентные функции преобразуются в
рациональные полиномы от z.
Прямое Z-преобразование (1.54) определено только в области сходи-
мости ряда. Известно, что степенной ряд сходится в круге сходимости
радиуса г0, т.е. |5(и7)| S с г$ , где с > 0 (постоянная). Ряд (1.54) по
отрицательным степеням Z имеет область сходимости У? > г0.
Пример 1.22
Единичный скачек о(н) =
при п > О
описывается рядом
при п < О
66
5(т)= z к =-----—- = ——. Функция S(z) имеет zG = 0—нуль и полюс
к=0	1-z	2-1
Радиус сходимости г0=1. Ряд сходится при Izl > 1.
При переходе от комплексной плоскостир = a +j'co в плоскость
z = x+jy изменяется форма кривых, областейр-плоскости.
Пусть имеется точка в д-плоскостирх= G] + у’СОр При переходе в
плоскость z она будет Z] = _xj + jy =е^О1+/<й^=еО1Гсоь(В17'+ jeO1^sina>]7^
откуда получаем Xj = e°1^cos(0|7’, y\ = e°irsin(0|7’.
Поэтому начало координат в плоскости р(о = 0, со=0) переходит
на плоскости z в точку с координатами (1,0).
Ось ординат в плоскостир отображается в окружность единич-
ного радиуса в плоскости z, так как при о = 0 x=coswT, j> = sina>T, а
х2 + у2 = 1 — окружность единичного радиуса.
Левая полуплоскость плоскостир ( -j°° <G>< j<=°	< о < 0 ) отоб-
ражается во внутренность круга единичного радиуса в плоскости z:
х= е~сТ cosGiT, у = е~сТ sinGiT; х2 + у2 = е~2сТ—окружность радиуса
е . 11ри изменении о от - °° до 0 радиус окружности будет меняться
от 0 до 1, заполняя внутренность круга. Правая полуплоскость плоскости
р ( -уоо со < joo, 0 < о < °о) отображается во внешность круга единичного
радиуса в плоскости z: х2 + у2 = е2°^ — окружность радиуса есТ.
При изменении о от 0 до оо радиус этой окружности будет меняться
от 1 до оо, заполняя внешность круга единичного радиуса.
Таким образом при Z-преобразовании, т.е. переходе от перемен-
йой р к переменной z, левой полуплоскости переменного р будет
соответствовать внутренность круга единичного радиуса на плоско-
сти z, а правой полуплоскости переменногор будет соответствовать
внешность круга единичного радиуса на плоскости z.
Обратное Z-преобразование позволяет найти всю совокупность
отсчетов дискретной последовательности.
67
Пусть S(z) = aQ + a\z~l + —+amz~m —функция комплексного
переменного z.
Умножим левую и правую части ее на zm~l, получим
„т-1 о/	„т-1 , _ „т-2 ,	,	-1
z o(zj — ciqz + ujZ + ...+ amz
Возьмем интеграл от обеих частей последнего выражения по контуру
в области аналитичности функции S(z) и охватывающему все полюсы
этой функции. Получим
fzm-1S(z)dt = f[aOzm~1 +aizm-2 + ...+amz-l]dz. (1.55)
В правой части интеграл распадается на сумму интегралов, причем
только один из них amz~ldz # 0, а остальные равны нулю. В самом
деле, найдем, например, интеграл ф am_i z~2 dz = j а”^1 dz. Заменив
z
переменную z = e7<₽, dz- jd^e^ и подставив это в интеграл, получим
.	„ 2л	. 2л .
$am_\z~az = J	j е7<р Jtp - \am_\e~^dty = 0, так как функция е 7<₽
о ej2<f	о
периодическая с периодом 2л. Таким же образом можно показать, что
и все интегралы в правой части (1.55), кроме последнего, равны нулю.
В то же время
jamz~idz = 2Tijam-	(1.56)
Последнее получено следующим образом: взяв контур интегриро-
вания в виде окружности единичного радиуса z = (охватывает
единственный полюс z - 0) и подставив его в интеграл, получим выра-
жение (1.56).
Подставив (1.56) в (1.55), получим формулу для вычисления
обратного Z-преобразования:
Ora = ^p(z)z'”“1Jz,w = 0,l,2...	(1.57)
Нахождение отсчетов ат по формуле (1.57) производится с приме-
нением теории вычетов (см. формулу (1.21)).
68
Пример 1.23
Пусть Z-преобразование последовательности
эд,	.
z -2zcosoJ0r+l
Найдем саму последовательность. Приравнивая нулю знаменатель
функции S(z), найдем ее полюсы:
znl,n2 = cos <оо Г+ 7cos2 ®0	1 =cosw7^ + jsin(o07’=e_/<o0r.
Оба полюса однократные. Вычет в полюсе zn]
zsin© 7Iz-znl)
_____0______
(z-znl)(z~zn2)
z —> znl. Вычет в полюсе zn2
zsin® T(z-zn2)
res(z = zn2) = lim----------—Z'”-
[(z-znl)(z-zn2) Z
z —> znj. Последовательность отсчетов (m = 0,1,2,... )
res(z = znl) = lim
_ sin(O07^j
znl - zn2
Sin (Bq 7^2
zn2 -znl
am =—f S(z)z'”-1 dz = res(z = znl) + res(z = zn2) =
2л/J
sin(o0re>“07’ sm©nTe->“o7'
= —77т-----TTt +----= sin m (Oo T.
eJ(t>oT-e-ju>oT	e~j(OoT _ ej(OoT	<>
Таким образом Z-преобразование функции S(z) соответствует последова-
тельности S(mT) = sinmu)0T m = 0,1,2,...
Приведем некоторые свойства ^преобразования.
1.	Линейность. Если Sj (кТ) <-> Sj (z), S2 (кТ) <-> S2(z), то при любых
действительных числах аха2
S'3(z) = aj5j(z) + a25'2(z) <-> a\S\(kT) + a2S2(kT) - S^(kT).
2.	Задержка. Если Si (кТ) Si (z), то
S2(kT) = Si(kT-nT) S'2(z) = z~nSi(z),
69
3.	Свертка. Это последовательность чисел, общий член которой
оо
имеет вид Sm = У S] (kT)S2 (тТ - кТ)  Z-преобразование свертки
Л=о
5(z)= X	=
m=0к=0
= У У Sx(kT)z~kS2l<'m~k)T]zAm"k'> = YS\(kT)z~k ^S2(kT)z~n,
ш=0 к=0	А=0	л=0
где обозначено п = m - к. В последнем выражении первый сомно-
житель — это Z-преобразование последовательности 5] (кТ), второй
сомножитель — это Z-преобразование последовательности S2(nT).
Поэтому S(z) = S\ (z)S2(z).
Таким образом, свертке двух дискретных сигналов соответствует
произведение их Z-преобразований.
Глава 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
2.1.	Расчет реакции линейной цепи на заданное
воздействие методом преобразования Лапласа
Расчет реакции линейной цепи на заданное воздействие в общем
случае заключается в решении дифференциального уравнения с правой
частью, описывающего цепь. В зависимости от порядка дифферен-
циального уравнения и сложности внешнего воздействия решение
задачи может быть существенно затруднено. Кроме того, учет началь-
ных условий усложняется при увеличении порядка цепи. По этим
причинам классические методы расчета переходных процессов в
электрических цепях, основанные на прямых методах решения диф-
ференциальных уравнений, применяются только для цепей низкого
порядка и простых форм внешнего воздействия.
Операторный метод является символическим методом, в котором
операции над функциями времени заменены операциями на символами
(изображениями). Взаимно однозначное соответствие между функцией
времени y(t) и ее изображением Y(p) в операторном методе устанав-
ливается с помощью прямого (1-52) и обратного (1.53) преобразований
Лапласа. Это соответствие указывается знаком соответствия <=>.
у(0 <=> Y(p).
Исходная функция у(?) по отношению к Y(p) называется оригиналом,
a Y(p) — изображением функции у(0- Комплексное число р — <5 + JG1
Общая схема применения операторного метода к решению диффе-
ренциа ।иного (или интегродифференциального) уравнения цепи
заключается в следующем:
1.	Левая и правая части уравнения подвергаются прямому
преобразованию Лапласа (1.52). При этом используются свойства
преобразования Лапласа, устанавливающие связь между изображе-
ниями функций и их производных, между изображениями функций и
интегралами от них и т.д. При этом учитываются начальные условия.
2.	Из преобразованного по Лапласу уравнения находится изобра-
жение искомой функции (решения уравнения) Y(p).
3.	По изображению Y(p) при помощи обратного преобразования
Лапласа (1.53) находится решение уравненияy(t) — оригинал. При этом
71
могут использоваться все известные методы нахождения оригиналов
по изображению: по таблицам изображений и оригиналов, теоремы
разложения, теорема вычетов.
Для пояснения схемы применения метода напомним свойства
преобразования Лапласа.
1.	Линейность: если yt(t) <=> Yj(p), y(t) = ^lkjyj(t),
i
Tj\e —постоянные, то
y(t) & Y(p) = У, kj yt (p).	(2.1)
i
2.	Дифференцирование оригинала: если y(t) <=> У(р),то
^^<=>рУ(/?)-у(0+),
at
(2.2)
гдеу(0+)—предел дифференцируемой функции в точке t - 0 справа.
Если начальные условия нулевые, т.е. у(0+) ~ то
ф(0 vz ч
-~<^pY(p).
al
производной 77-ГО ПОрЯДКЭ
(2-3)
dt	dtk 1
/ = 0.
(2-4)
3.	Интегрирование оригинала: если y(t) <=> Y(p), то
t
О
Y(p)
р
(2.5)
4.	Дифференцирование изображения: если >(/)<=> Y(p),то
Н)-.Х() = ^И
dp
(2.6)
72
5.	Интегрирование изображения: если y(t) <^> Y(p), то
(2.7)
1 О
6.	Запаздывание оригинала: если y(t) <=> Y(p), то
y(t-l0)^Y(p)e-P^.	(2.8)
7.	Смещение изображения: если y(t) <=> Y(p), то
у(Р+ ос) <=> Х0е~а/ 	(2-9)
8.	Произведение изображений: если у>|(/) <=> Щр), a у2(0 <=> ^(рХ то
Щр)Ъ(р)	J J'10~ x)y2(x)dx= j_У](л)y2(t-x)dx.	(2.10)
о	0
9.	Изображение по Лапласу единичного скачка: если y(f) -	то
Y(p)=k/p.
Используя перечисленные свойства преобразования Лапласа, по
исходному дифференциальному уравнению находится алгебраическое
уравнение относительно изображения искомой функции, найдя которое,
обратным преобразованием Лапласа находят оригинал искомой функ-
ции — решение уравнения цепи.
Пример 2.1
Для цепи рис. 2.1 дифференциальное уравнение имеет вид
(7(0 = ri + L— +—f idt + (7(0),
dt С
где (7(0)—начальное напряжение на конденсаторе, (при t - 0). Пусть
внешнее воздействие w(/) = U(p), а ток i(t) = 1(р). Тогда в соответствии
Рис. 2.1
73
с уравнением (2.2) L— = Lpl(р) - Li(O), где z(0) — начальное, при
dt
t = О, значение тока в цепи; U(O) = ^^- — в соответствии с (2.11);
1г.,	1	ч
— lidt - —— 1{р) в соответствии с (2.5).
СJ	рС
Подставляя приведенные выше изображения членов уравнения в
исходные уравнения и решая его относительно 1(р), получим
U(p)-^- + Li(Q)
Р
г + pL +
рС
Как видно, после замены искомых функций, внешних воздействий,
производных и интегралов их изображениями дифференциальное
уравнение стало алгебраическим, из которого можно найти изображение
искомой величины (в данном случае тока /(f)).
Одновременно в процессе такого преобразования учитываются и
начальные условия: напряжения на конденсаторе и ток в катушке индук-
тивности. Оригинал i(f) по изображению 1(р) найдем при помощи
вычетов. Для определенности положим
Д при t< О
Д при t > О,
так что 17(0) = Д, z(0) = 0. Получим
ЕС
р
1(р) =---------------= —z----—--------, Е = Е2 - Д.
p(r + pL + l/рС) p2LC + prC+1
Корни знаменателя
-rC±^(rC)2-4LC
Р\ 2 ~-------------
2LC
74
1 C+J'°° гг	'
/(0 = -— j ----------------e₽zJr = ^resO -Pi),
cJ^p2LC + prC+l
rcs(p = Pi) =
lim
p-*p{
ECjp-pj)
LC(p-pl)(jJ-p2)
ept
--------e™,
L(Pi~P2)
resO = p2) =
lim
P~+P2_
EC(p-p2)
LC(p - p\)(p - p2)
ept
--------ep*,
L{p2-P\)
L(Pl~P2)
В результате получено решение исходного дифференциального
уравнения при заданных начальных условиях.
Однако составление дифференциального уравнения цепи и его
преобразование в алгебраическое уравнение для изображений можно
заменить составлением уравнения для изображений по операторным
схемам замещения цепи.
Теоретической основой получения уравнений цепи, как известно,
служат законы Кирхгофа для узлов и контуров:
£*HO=0;£^t(O = £e/(O.
к	к	i
Применяя свойство линейности преобразования Лапласа к уравне-
ниям для узлов и контуров, получим
Х4(л)=о;
к
YUk(P>YEJ^
к	j
первый и второй законы Кирхгофа для изображений.
(2-12)
(2-13)
75
IR(P)
Zr(p) = R
Pnc. 2.2

Рассмотрим операторные схемы за-
мещения идеализированных двух-
полюсников с учетом начальных усло-
вий. В сопротивлении подводимая
энергия преобразуется в тепло, в нем не
запасается энергия, поэтому оператор-
ная схема замещения резистора имеет
вид рис. 2.2.
Операторная проводимость YR(p) =
= G= 1/R. Напряжение и ток емкости
связаны соотношениями
'С - С~^ ’	~
Применяя к этим соотношениям формулы дифференцирования (2.2)
и интегрирования (2.5) оригинала, получим
Ic(p) = pCUc(p)-CUc(O),	(2.14)
Uc(p) = ^^-+-~Ic(P)-	(2.15)
Р Р<~
При нулевых начальных условиях С/с(0) = 0 и Ic(p) = pCUc(p);
иС(Р) = -^Гс(Р)-
рс.
Отношение операторного напряжения двухполюсника к оператор-
ному току через него называют операторным входным сопротивлением
двухполюсника, т.е. Z(p) = U(p)/I(p). Величина, обратная Z(p),
называется операторной входной проводимостью двухполюсника
Y(p) = l/Z(p) = I(p)/U(p).
Для емкости при нулевых начальных условиях
Zc(p) = l/pC; Yc{p) = pC.
Уравнениям (2.14) и (2.15) соответствует параллельная (рис. 2.3, а}
и последовательная (рис. 2.3, б) операторные схемы замещения емкости.
<76
Рис. 2.3
На рис. 2.3, в приведена операторная схема замещения емкости при
нулевых начальных условиях.
Напряжение и ток индуктивности связаны между собой соотно-
шениями
Ul=L^ iL = id^ +
-[uLdt.
Применяя к ним формулы дифференцирования (2.2) и интегриро-
вания (2.5) оригиналов, получим
UL(p) = pL/L(p)-LiL(O),	(2.16)
Il(p) = ^+-^L7l(p).	(2.17)
При нулевых начальных условиях UL(p)- pLIL(p), Ii,(p) =—,
pL
операторное сопротивление индук-тивности ZL(p) = рЦ операторная
проводимость YL(p) = l/pL.
Уравнения (2.16) и (2.17) позволяют построить последовательную
(рис. 2.4, а) и параллельную (рис. 2.4, б) операторные схемы замещения
индуктивности.
На рис. 2.4, в приведена операторная схема замещения индуктив-
ности при нулевых начальных условиях.
Используя операторные схемы замещения идеализированных
пассивных элементов, можно составить операторную схему замещения
77
Рис. 2.4
всей цепи. Для этого каждый из двухполюсников цепи надо заменить
его операторной схемой замещения, а источники тока или напряжения
представить их операторными изображениями.
Пусть на параллельный контур рис. 2.5, а действует источник тока
О при t < О
/(/) =
COS(1H При />0.
Найдем напряжение на контуре U(t) при Uc(0)*0, iL(0)^0.
Заменив двухполюсники С, L параллельными схемами замещения, u(t)
изображением U(p), найдя для тока /(/) изображение в соответствии
с (1.42) 1(р) = 1т - ?—z-, получим операторную схему замещения
р1 +со2
(рис. 2.5, б) цепи. По схеме найдем
I(p) + CUc(P)-1-^
и(р) =--------------.
pC+G + 1/pL
а	б
Рис. 2.5
78
Подставив 1(р), получим для
_ Ц1тР2 + pCUc(0)(p2 + <о2) - (р2 + со2ХНО)]
\Р)	о ч п
(р2 +(й2)(р2ЬС+ pLG+l)
Степень полинома числителя (относительно р) меньше степени
полинома знаменателя, поэтому обратное преобразование Лапласа (1.43)
применимо, т.е.
~ - 1 СТ ^тР2 + PCUC^P2 + 0>2) ~ (Л2 + СО2)/л(0)] »/.
MV) ~	. I	Э О О	е иР'
Д.	(Л2 + co2)(p2LC+ pLC+1)
v J
Корни знаменателя
-LG±J(LG)2 -4LC
P\,2 = ±Jto; p3>4 =-------—-----------.
£ JLj
4
Поэтому u(t) = £ res (p = p,);
»=1
,	4 j(nlmejat	, ч ](й1те~^
res(p = p,) =-----— ---------; res(p = До)  -----------------г ;
2C(p! —p3)(pi -p4)	2C(p2 -Рз)(Р2 -Лд)
reef n - n > - l7™^2 + P3CUc(^)(P32 + G)2) - (P32 + Ю2)/д(0)] p3t.
C(P3 + /<о)(Рз - Jto)(p3 - p4)
rPQ/n_n ч _ [/щ^42 + PlCUciVXpA2 + CO2) - (P42 + to2)/L(0)] P4t
4	С(Л4 + Jto)(p4 - jco)(p4 - Рз)
Просуммировав все вычеты, получим выражение для напряжения
на контуре u(t).
2.2. Расчет реакции линейной цепи на заданное
воздействие в частотной области
Для расчета реакции линейной цепи на заданное воздействие приме-
няется комплексный коэффициент передачи, определенный выше как
отклик цепи на гармоническое воздействие единичной амплитуды. Если
воздействие не единичное, а имеет амплитуду Е, то комплексный
коэффициент передачи определяется как
79

(2.18)
где 17gfi6 , E — комплексные амплитуды выходного напряжения и
входного воздействия для частоты СО.
Зная комплексный коэффициент передачи (АЧХ, ФЧХ), можно при
известном входном воздействии в соответствии с (2.18) найти напря-
жение или ток на выходе.
2.2.1. Периодическое воздействие
Если воздействие моногармоническое e=Ecos (СО/+у), то комплексная
амплитуда напряжения на выходе будет
С7Вых =	= Ее™ |А(У®)|е7(р(ш) = £|х(усо)|е7[ч,+(₽(ш)],
где £|X(j<o)| — действительная амплитуда напряжения на выходе,
[у + ср(со)] — фаза напряжения на выходе, и следовательно, напряжение
как функция времени будет:
м(0вых =£|X(jco)|cos[cor + y + (p(co)].	(2.19)
Если воздействие е негармоническое, сложное, но периодическое
(например, периодическая последовательность импульсов), то оно
1 00
может быть представлено рядом Фурье, т.е. е = —	Ёпе^п<ап.
Применяя принцип наложения, выходное напряжение найдем в виде
"(') = | ХЕ,Л(7№)еУ"“ =| XE„|E(>a)|e«~V"“' =
П=-ОО
= - £ Ё„|Х(7«®)|
80
В выражении (2.20) Еп — действительная амплитуда гармоники с
частотой «со, у — ее фаза; KQnai)— комплексный коэффициент пере-
дачи цепи для частоты //СО, у( /гео) — сдвиг фазы, осуществляемый цепью
для частоты п(£>.
Применяя в (2.20) формулу Эйлера к слагаемым при п и—п, получим
1	00
w(/) = — EqK(P) + У, Еп | K(jnC0)| cos [/г ОД +	+ <р(/г®)],	(2.20)
2	/г-1
где Ео — постоянная составляющая в спектре воздействия е;
К(0) — коэффициент передачи цепи для постоянной составляющей.
Таким образом, использование комплексного коэффициента пере-
дачи позволяет найти амплитуду и фазу напряжения любой гармоники
на выходе цепи.
Пример 2.3
Найти выходное напряжение цепи (см. рис. 1.20, а) при воздействии
периодической последовательности импульсов (см. рис. 1.22).
Комплексный коэффициент передачи
К(Л>) =-----------—-----------------= \К0(Е)\еМ,
(R + r) — El2 RLC + jQ(£ + RrC)
где
АЧХ |*C/Q)| = .	R .............. ;
J[(R + г) - E12RLC\ 2+£1\l + RrC)2
ЛТТЛЛ	Q(£+ RrC)
ФЧХ <pfQ) - -arctg--------------——.
R + r-£l2RLC
Спектр амплитуд и фаз импульсов (см. рис. 1.33)
( . /гОЛ
, sin-----
I л I 2С/Т 2 Z X
А =-----------— ; ф(со) =--------•
I	I т пал. ’	2
в Теория линейных эл. целей
81
Тогда выходное напряжение получим в виде
R
Ui R
u(t) =------+-----/
Т R+r
. исот
sin---
____2	-	_у
yl[(R+r)-^2RLq 2+£l2(L+ RrQ2
nan no(L+ RrQ
xcos not--arctg---—, -—
2	R+r-noRLC
2.2.2. Воздействие непериодическое
Если входное воздействие е непериодическое (например, одиночный
импульс), то оно в соответствии с (1.38) может быть представлено
в виде бесконечной суммы (интеграл) гармонических составляющих
с частотами Q (от до °°) и комплексными амплитудами G(Q)i/Q, т.е.
е = — JG(Q)e^dQ. Умножив G(Q)dQ на	получим комплекс-
ную амплитуду напряжения частоты Q на выходе цепи. Тогда реакция
цепи на все воздействие е в соответствии с принципом наложения будет
найдена как бесконечная (интегральная) сумма реакций цепи на все
гармоники воздействия, составляющие в сумме е, т.е.
“(Овых =	JG(Q)^(jQ)e^^Q.	(2.21)
82
Пример 2.4
На идеальный фильтр нижних частот Л'(/О)=Л'0е^/йх (т = const)
(рис. 2.6) воздействует 5-импульс. Найти реакцию фильтра. Так как для
6-импульса G(Q) = 1, то
©о	£2В
«(Овых f	do.=— Jl  Кое-^е^ JQ =
—©о	— £2B
= ^0 fl.g^-x)jQ^ XQ--g7Q(^) B = _^_x
2л J	2лу(/-т)	л(/-т)
—L2B	в
eyQB(z-T) e-jnB(t-x) _ A?0QB sinQB(/-r)
2 j	л QB(t — t)
AT Q
График функции приведен на рис. 2.7. Максимум ее, равный —Q—',
л
располагается при t = х, а нули находятся из условия QB(t - т) = п х л,
7t
откуда получаем t = т + п-----(п = 1,2,...).
Рис. 2.7
83
В примере 2.4 спектральная функция G(Q) простая (Q = 1) и
|K(jQ)| - Kq = const, поэтому интеграл для wBbIX(0 вычисляется просто.
В общем случае G(Q) и АГ(Д2) сложны, вычисление интегралов (2.21)
производится с использованием теории вычетов. Для этого в (2.21)
путем замены переменной j'Q =р осуществляется переход к преобразо-
ванию Лапласа с последующим применением формул (1.20), (1.21).
Пример 2.5
Найти отклик цепи (см. рис. 1.20, а) на прямоугольный импульс
единичной амплитуды S(t) = o(t) - сг(/ - tu ). Получим
К(р) = —-------------—-----, где t = RC.
р iL + p(L + n) + (г + R)
Для прямоугольного импульса (см. пример 1.14) G(p) =— (1-е pZ“),
мвых (0 —
R(i-ept“)
=	---К(1 е— ----------eptdp = Yres(p = pn).
21ZJ c-jeo d-P xL + P(L + rr) + (r + R)] n
Найдем корни знаменателя подынтегральной функции: р^-0,
1 (£ + П)	jl (Z + П)2 r + R
Р2,3~ 2 т£ у 4 т2£2 xL
Все корни однократные. Применяя (1.21), получим
res(p = л = 0) =
^(l-e^Je^
lim ---------------
P->P1=0 xLp(p - р2)(р - р3)
( ч	/?(1-е-^)(£-£з)е^
res(p = р2)= lim -------------------
Р-^Р2у xLp(p -р2)(р -р3)
R{\-e~p^)ePlt
^Р2(Р2~Рз)
84
.	.	..	/га-^'ОО’-Рз)^ R(l-e~P3t«)ePi‘
rcs(j? = p3)= lim — -------———-------- --  -------------.
P-+P3 tLp{p-р2)(р~Рз) т^Рз(Рз ~Pl)
В результате найдем
мвых W
R(l-e~p^)
тЬр2(р2-рз)
^Рз(Рз~Р1)
2.2.3. Условия неискаженной передачи сигналов
При передаче сигналов через линейные электрические цепи сигнал
S(f) претерпевает изменения: меняется его уровень, он задерживается
во времени, меняется его форма. Допуская изменение уровня и задержку
во времени, найдем условия, при которых он, проходя через цепь,
Не меняет своей формы.
Если цепь имеет K(j£l) = К$е ^х в пределах —где
Т = const, то воспользовавшись выражением (2.21), будем иметь
“(Овых \G^l)ejQtKoe~jClxd^ = ^ jG(Q)e^('-x)JQ.
Но интеграл — JC(Q)ez^^-T*<yQ соответствует сигналу S(t),
задержанному на время т вследствие прохождения через цепь. Таким
образом, п(/)вых = KqSQ - т), т.е. при таких характеристиках цепи сигнал
изменился по уровню в К() раз и задержался на время т. Графически
АЧХ и ФЧХ цепи с X(jQ) = KGe~^x приведены на рис. 2.8.
Следовательно, для неискаженной передачи сигнала через линей-
ную цепь необходимо, чтобы АЧХ ее не зависела от частоты, а ФЧХ
была линейной. При этом наклон а — arctg
cftp(Q)
c7Q
= arctgT определяет
85
Рис. 2.8
задержку сигнала во времени.
Линейность ФЧХ означает, что все
составляющие спектра сигнала
задерживаются на одно и то же
время, поэтому искажения формы
сигнала отсутствуют. Однако требо-
вания постоянства коэффициента
передачи и линейности ФЧХ в
пределах (0, в реальных условиях
невыполнимы. Поэтому искажения
сигнала будут минимальны, если
эти требования будут выполнимы в
пределах ширины спектра передава-
емого сигнала (спектра, содер-
жащего > 95 % энергии сигнала).
2.2.4. Связь между временными и частотными
характеристиками цепи
Если в выражении (2.21) в качестве G(Q) использовать спектральную
функцию 5-импульса, для которого G(Q) = 1 во всей полосе частот
от -оо < Q < <» то выходное напряжение цепи будет ее импульсной
характеристикой, те. будем иметь
л(0 = у- J^C/coR^Q.
(2.22)
Но если существует обратное преобразование Фурье (2.22), то имеет
место и прямое преобразование, те.
K(jGi)=
(2.23)
Таким образом, комплексный коэффициент передачи X(/Q)
и импульсная характеристика цепи связаны между собой парой
преобразований Фурье.
86
R
Рис. 2.9
Пример 2.6
Для интегрирующей цепи (рис. 2.9) комплексный коэффициент
передачи ^(7®)- j + где Т = RC. Используя выражение (2.22),
получим импульсную характеристику h(t) - — J
------ejQtd£l.
1 + jQt
Для вычисления интеграла перейдем от преобразования Фурье
к преобразованию Лапласа, получим
й(0 = у-7 ( t'" eptdp = res(p = --) = —
2п/ J. 1+рт	т т
Пример 2.7
Для цепи (см. рис. 1.20, а) найти импульсную характеристику.
В примере (2.3) для нее найден комплексный коэффициент передачи
R
K(j£l) =------——
(R + r-GTRLC) +	+ RrC)
Поэтому в соответствии с (2.22)
Rej(Sytd(i>
*>=^J
(R + r — orRLC) +	+ RrC)
Переходя в последнем выражении от преобразования Фурье к пре- •
образованию Лапласа (полагая j(S)=p), получим
1 г	Reptdp
'i.itj (R + г) + p2RLC + p(L + RrC)'
87
Корни знаменателя
(Z + rRC) ± y/(L + rRC)2 - 4(r + R)RLC
Pl’2 ~	~ 2RLC
2
однократные, поэтому h(t) — res(j> = /?,). Находя
i=l
вычеты
res(p = pi)= lim
P-^P\
R(p — p\)ept
RRC{p- P2^P- P-l)
eP}t
Lc(P{-P2V
res(p = p2) - lim
P~>P2
R(p-p2)ept
RLC(p — p\)(p — p2)
ePlt
LC(P2~Pl)’
получим h(f) =---------(c/,|Z - eP2> ).
LC(pi -p2)
Предположим, что (L+rRC)2 < 4(R+r) RLC. Тогда/?] и p2 будут равны
(Z + 2RC) о
a ±jb, где а =	- ; р =
A,2
-J4(r + R)RLC ~{L + rRC?
2RLC
e^at
В этом случае h(t) =-----sin(Pz). Импульсная характеристика будет
pzc^
иметь вид синусоидального напряжения с частотой Р, с экспонен-
циально затухающей амплитудой.
2.3.	Расчет реакции линейной цепи на заданное
воздействие во временной области
Реакция линейной цепи на заданное воздействие во временной
области рассматривается с использованием переходной a(t) и импульс-
ной h(t) характеристик.
88
2.3.1.	Использование переходной характеристики
В п. 1.5 (формула (1.50)) произвольное воздействие на линейную цепь
представлено в виде разложения на сумму единичных скачков. Так как
реакция линейной цепи на каждый из единичных скачков известна: это
есть переходная функция цепи, а к самой цепи применим принцип
наложения, то реакцию цепи на воздействие (1.50) можно записать
N
y(t) = a(t)x(0) + У a(t - 0„ )Дх(0„ ).	(2.24)
Л=1
При N —> оо и А0„= (0„_i - 0„)—>0 ступенчатая функция будет
с/х
стремиться к своему пределу х(Г). При этом ДЛ(0) = — dQ = х'(0)с/0.
с70
Тогда (2.24) принимает вид
t
y(t) = a(/)x(0) + fa(t - 0)л'(0)с76.	(2.25)
0
Выражение (2.25) носит название интеграла Дюамеля. Взяв в (2.25)
интеграл по частям, получим
t
y(t) = a(O)x(t) + J a(t - 0)x' (0)c76.	(2.26)
0
Выражение (2.26) представляет вторую форму интеграла Дюамеля.
Обе формы приводят к одним и тем же результатам. Предпочтение той
или иной форме интеграла Дюамеля отдается исходя из простоты и
удобства вычислений.
Пример 2.8
Для цепи рис. 2.10, а найти выходное напряжение при воздействии
входного напряжения U(t) (рис. 2.10, б), пользуясь переходной
характеристикой a(t).
Приведенное на рис. 2.10, б внешнее воздействие может быть
представлено следующей функцией:
w(0 =
ct + Uq при 0 < t < tn
-dt + g при tn <t<t3,
(2.27)
89
Рис. 2.10
E-Uq Е	El3
где С=-----d = ——; g=—
Zn	1з tn t3 tn
Найдем переходную характеристику a(t). Операторный коэффи-
циент передачи цепи (рис. 2.10, а) при воздействии единичного скачка
о(е) = \/р имеет вид
а(р) =--— -----, где t - RC
гр{р+2!т)
Степень полинома знаменателя больше степени полинома числителя,
поэтому функция а(р) удовлетворяет требованиям обратного
преобразования Лапласа.
Корни знаменателя р\ = 0;р2 =-2/т —однократные. Поэтому
1	7
J
2щ J
7 с-у<
ept
тр(р + 2/т)
dp = res(p = pi) + res(p = p2);
pept
res(p = P]) = hm —-----——-
р-ю тр(р + 2/т)
(р + 2/т)ер<
res(p = p2)= lim
P-^P2 тр(р + 2/т)
£
2’
2t
--e T
2
90

(2.28)
Для вычисления реакции цепи на воздействие (2.27) целесообразно
воспользоваться формулой (2.25), так как после дифференцирования
воздействия получим постоянные величины (2.27—уравнения прямой
линии) и полученные интегралы будут легко вычисляться.
Интервал интегрирования (0—t) разбиваем на три участка:
tn > t > 0; t3 > t > ?n; t > t3 в соответствии с интервалами непрерывности
функции U(t).
На первом интервале
y(t) = u0±
2(7-6) Л
т cde=
На втором интервале
На третьем интервале
Построив по интервалам зависимость y(f), получим выходное напря-
жение цепи, изображений на рис. 2.10, а при воздействии импульса
(2.27), показанного на рис. 2.10, б.
91
2.3.2.	Использование импульсной характеристики
В п. 1.5 (формула (1.51)) внешнее воздействие произвольной формы
представлено в виде разложения по 5-функциям, сдвинутым одна
относительно другой на время t - Тд.+1 = Дт^.. Реакция линейной
цепи на каждый 5-импульс известна—это импульсная характеристика
цепи Л(0- Применяя к цепи принцип наложения, реакцию ее на воз-
действие (1.51) можно записать
ЯО = У Skh{t - Тд.) = У	- Тд.)Дт,	(2.29)
к	к
где Х^)—ордината кривой x(t)—внешнего воздействия в точке t=
h(t-T0 — импульсная характеристика цепи — реакция на 5-импульс
при t =	Дт — шаг разбиения интервала существования x(t) —
(см. рис. 1.34).
Устремляя Дт—>0 и переходя от суммирования в (2.29) к интегриро-
ванию, получаем
i
y(t) = J Хт)Л(? - т)<й.	(2.30)
0
Выражение (2.30) представляет собой одну из форм интеграла
Дюамеля. Другую форму получим из (2.30), если сделаем замену
переменной/—т=0. Получим
t
Х0 = /х^-б)Л(0Х0.	(2.31)
О
Пример 2.9
Для цепи рис. 2.10, а найти выходное напряжение при воздействии
прямоугольного импульса Х0 = МрЮ - о(/ - /„)] е использованием
импульсной характеристики h(t).
Изображение импульсной характеристики
Кр) = —5—, T=RC.
рт + 2
92
eptdp
ip+ 2
.	..	(/?ч-2/т) pt
= res(p = Pl)= lim	epl
„^_2L(p + 2/t)-i:
В соответствии с (2.30)
2(/-e)
’ dd=--e
i2
Первая часть формулы для y(t) описывает передний фронт, вто-
рая—задний.
2.3.3.	Особенности вычисления импульсных характеристик
узкополосных систем
Узкополосные системы (резонансный контур, фильтр) описываются
дифференциальными уравна юями как минимум второго порядка. При
вычислении импульсной характеристики порядок системы равен числу
полюсов подынтегральной функции в формуле обратного преобразо-
вания Лапласа, а чем больше полюсов, тем сложнее вычисляется
импульсная характеристика. Однако, используя свойство узкопо-
лосности, можно понизить порядок уравнения, что приведет к упроще-
нию при вычислении импульсной характеристики. Рассмотрим эти
особенности.
Если на вход цепи, имеющей комплексный коэффициент пере-
дачи X't/co) подать 5-функцию 5(Г), то реакцией цепи на этот
5-импульс будет импульсная характеристика h(t), которая равна
1
A(/) = ^ J^(7W)e-/tn/Ja).
Разобьем этот интеграл на два:
0	оо
/г(0 = — J K(Ja)ejlo,da+ ~-j K(ja))e^ da.
—oo	0
(2.32)
93
В первом слагаемом сделаем замену переменной со = - (С00 +Q), где
С00 — резонансная частота цепи. Получим
1 °°	1
|к(7со)Лсо = -^ ]4-у(Юо +Q)]e-^e->n,JQ =
О	оо
= _L e-JW 1 К[-№О + Q)] e-jntd£l.
2л J
Во втором слагаемом сделаем замену переменной со = (соо + й),
получим
—J K(J(o)eJvytd(o = — рф (®0 + ^)] ej(0otejni d£l =
о
= J*№o + Й)]Лй
Ч)
Так как полоса пропускания цепи узкая, т.е. |А’(усо)| при удалении
от C0q (увеличении Q) быстро уменьшается, то пределы интегрирования
можно расширить до Тогда в итоге получим
h(t) =—e~jaot _7(соо + Q)]e-ynzJQ +
2л J
= у- ej^ J К [/(соо + Q)] ejntdQ.
В последнем равенстве первое и второе слагаемые являются комп-
лексно сопряженными величинами; складывая их, получим
A(c) = 2Re-
у- J/r[/(®0 +Q)]e7Gz<ZQ
(2.33)
eJ^‘
94
Комплексный коэффициент передачи К[/(®0 + Q)], полученный из
исходного	путем смещения частоты из окрестности соо в нулевую
точку й, называется низкочастотным эквивалентом частотно-избира-
тельной системы:
^нч(7«)=адю0+п)].
Подставляя низкочастотный эквивалент в выражение для h(t),
получим
WO = R (Jtyejn,d£l,	(2.34)
где Лнч(0 — низкочастотный эквивалент импульсной характеристики
частотно-избирательной системы.
Тогда импульсная характеристика узкополосной избирательной
системы будет
A(0 = Re[2AH4(r)eM'].	(2-35)
Поясним введенные термины. На рис. 2.11, а приведена АЧХ
узкополосной избирательной системы с резонансной частотой соо.
На рис. 2.11, б приведен низкочастотный эквивалент АЧХ, (см.
рис. 2.11, а). Он получен путем переноса центра АЧХ в ноль, ход кривой
в точности соответствует ходу правой ветви АЧХ и напоминает фильтр
нижних частот.
а

Рис. 2.11
95
Пример 2.10
Рис. 2.12
К(7со) =
Для резонансной цепи рис. 2.12 найдем
импульсную характеристику.
Комплексный коэффициент передачи
Я+
-	т 1
J®C
-	г 1
JO)L+ ——
jaC
R
R+^-
i-tf-LC
тт	2	1
Для резонансной системы, как известно, со0 =----резонансная
частота; = Q —добротность (Q»Y). Поэтому
R
1
1
K(ja>) =------------
, /Ссосор
1	7 Э
(со-сор)
1 +
.((0-С0о) 2
Q «о
где, поскольку система узкополосная, то со + соо = 2(0, со - соо = й,
2
_	—постоянная времени контура.
Таким образом, путем переноса начала координат (со - соо = й)
в нуль, получен низкочастотный эквивалент частотно-избирательной
системы
1+j^Q
Исходный порядок системы (см. рис. 2.12) — второй, так как
содержит два энергоемких элемента (L и С), а порядок низкочастотного
эквивалента—первый. Найдем
W0 = — [к(уЙ)еуп'г7Й = — J ejCltd&.
2n J	2n_J l+jTjt«
96
Перейдем к преобразованию Лапласа, приняв JQ =р. Получим
. с+J°°
W0 = — J ~^—eptdp.
2njJjJ + TkP
Подынтегральная функция имеет степень числителя, равную степени
знаменателя. Поделив числитель на знаменатель по правилам деления
многочлена на многочлен, будем иметь:
Анч(0 = 77 f 1 -	— eP‘dP = 5(0 - Tes(p =	) =
c—j°°u	-*
= 5(0- lim —/? + 1/Ч....е^=5(0-—e~tlXk.
p-+-Altk(p + \l'Zk'Ytk	тк
Тогда в соответствии с (2.35)
cos(co00-
2.3.4. Связь между переходной и импульсной характеристиками
цепей
При воздействии скачка Х0 — лп(0 отклик линейной цепи имеет
вид Х0 = xa(t). Если использовать импульсную характеристику цепи,
то реакцию ее на тот же скачок можно вычислить, используя выра-
жение (2.30), т.е.
t	t
y(t) = J xe(t)h(t - 0)<i0 = aJ h(t - 0X0.
0	0
Сравнивая оба отклика, получим
t	t
a(t) = \h(t- 0X6 = J	(2.36)
0	0
7 Теория линейных эл. целей
97
Последнее выражение получено после замены переменной t - 0 = т.
Дифференцируя (2.36) по t, получим
Л(0 = а'(0-	(2.37)
Таким образом, импульсная характеристика есть производная
от переходной и наоборот, переходная характеристика может быть
получена интегрированием импульсной. Однако выражение (2.37)
не учитывает наличие скачков у переходной характеристики.
Если известна с(0, то a(f) = 0 при t < 0 и равна a(t)(5(t) при t > 0.
Дифференцируя последнее равенство как произведение и учитывая
(1.34), получим
/ф) = й'Иф/)+й(0)5(ф	(2.38)
где с(0)—скачок переходной характеристики при t = 0. Формула (2.38)
позволяет вычислить обобщенную производную от а(/), которая
совпадает с обычной производной при отсутствии скачка (а(0) = 0).
Пример 2.11
Рис. 2.13
ept
Для цепи рис. 2.13
а(р) =------
p(pL+R) p + RIL
Переходная характеристика
,	( R
dp = res р =--
I L
1
R
= e L
(p + RIL) pt
lim —-------ер
R (p + RIL)
1 J
a(t) = — f
2nj J. p + RIL
c J°°	r L
Импульсная характеристика при a(0) = 1 имеет вид
R
h(f) = 8(f)-—e L'.
L
Импульсную характеристику можно вычислить и непосредственно
по цепи. Получим
,, ч PL 1 R
Л(р) =	— = 1---------;
pL+R pL+R
1 C+j°°	п	(к
= ~ I П-------—]Лр = б(/)-ге8 /> = -*
2тус-,тс	pL+R	I L
R
L
«.	T)t С/х	"7”^
= 5(0- hm 7 (e^ = 5(0--e L
L
98
Как видно, импульсные характеристики, вычисленные по переходной
характеристике и прямо по цепи, полностью совпадают.
2.4. Расчет характеристик разветвленных линейных
цепей
В предыдущих разделах рассматривались только простые, одно-
контурные линейные цепи, для расчета характеристик которых доста-
точно было применения законов Кирхгофа. Однако на практике такие
простые цепи применяются крайне редко.
На рис. 2.14 приведены схемы простейших фильтров нижних частот
(рис. 2.14, а) и полоснопропускающего (рис. 2.14,6), на рис. 2.15, а —
схема мостового четырехполюсника, который может быть либо
фильтром, либо фазовым корректором (в зависимости от характеристик
двухполюсников Z] и Z2), а на рис. 2.15,6-— схема амплитудного
корректора. На рис. 2.16 приведена схема однокаскадного усилителя
при простейшей модели транзистора (обведена пунктиром). Даже этот
короткий перечень примеров показывает, что на практике имеют дело
со сложными, разветвленными цепями. Поэтому возникает задача
расчета характеристик сложных, разветвленных линейных цепей.
Рис. 2.15
99
2.4.1. Методы расчета характеристик разветвленных цепей
Расчет характеристик таких цепей можно производить с исполь-
зованием законов Кирхгофа, методами контурных токов и узловых
напряжений. Все эти методы приводят к одним и тем же результатам.
Но число уравнений, а следовательно, и трудоемкость расчета, в каждом
из них разное.
При использовании законов Кирхгофа число линейно независимых
уравнений, описывающих цепь, составляет q-1 уравнений, составлен-
ных для узлов по 1-му закону Кирхгофа и р - (q - 1) уравнений,
составленных по 2-му закону Кирхгофа, где pvtq — число ветвей и
узлов цепи соответственно. Общее число уравнений равно/?—числу
ветвей.
В методе контурных токов уравнения составляются относительно
токов, замыкающихся в контурах. Для схемы, содержащейр ветвей и q
узлов число линейно независимых уравнений составляет р - q +1.
Контуры (а соответственно и уравнения) будут независимы, если
каждый последующий кон тур будет отличаться от предыдущего хотя
бы одним элементом. По сравнению с методом, основанном на непо-
средственном применении уравнений Кирхгофа метод контурных токов
позволяет сократить число уравнений, описывающих цепь, что
приводит к сокращению трудоемкости расчета цепи.
100
Пример 2.12 (рис. 2.17)
Эта схема содержитр = 5 ветвей и q = 3 узла, поэтому число незави-
симых контуровp~q+\ =3. Выберем контуры, совпадающими с токами
/j(p), /2(д), ^(/О- Применяя 2-й закон Кирхгофа, получим
71(д)[ Zx(p) + Z2(p)] -/2(р) Z2(p) = ех(р);
- Ix(p) z2(p) + I2(p)[ z2(p) + z3(p) + z4(p)] -z3(p) z4(p) = 0;
- /2(д) Z4(p) + /3(д)[ Z4(p) + Z5(p)] = - e2(p).	(2.39)
Элементы цепи — комплексные сопротивления Zp Z2, Z3 —
заменены операторными схемами замещения (при нулевых начальных
условиях), а внешние воздействия е^/) и e2(f) преобразованы по Лапласу.
Сумма сопротивлений, входящих в контур, называется собственным
сопротивлением контура: в контур I входят Zx(p) и Z2(p), поэтому
Zx(p) + Z2(p) = Zx j—собственное сопротивление I контура; Z2(/j), Z^p\
Z^p) входят во II контур, поэтому Z2(p) + Z3(y) + Z4(p) = Z29(p) —
собственное сопротивление II контура; Z4(p) и Z^(p) входят в III контур,
поэтому Z4(p) + Z5(p) =Z33(p)—собственное сопротивление III контура.
Сопротивления, входящие одновременно в разные контуры, назы-
ваются взаимными сопротивлениями. Так Z2(p) = ZX2(p) — взаимное
сопротивление I и II контуров; Z4(p)=Z23(p)—взаимное сопротивление
II и III контуров.
Если направление обхода контуров выбрано совпадающим с
положительным направлет тием контурного тока, то падение напряжения
в собственном сопротивлении от контурного тока берется положитель-
ным . Если токи в общем сопротивлении контуров направлены встречно,
то при обходе I контура падение напряжет тпя от тока II контура берется
со знаком «минус».
Рис. 2.17
101
Учитывая изложенное, систему уравнений (2.39) представим в виде
/](р) Zn(p) -I2(p) Zl2(p) = et(p);
-Ц(р) z2v(p) + 12{р) z22(p) - I3(p) z23(p) = 0;	(2.40)
-	Z32<P) + Z3<P) Z33<P) = “ e2^)'
Взаимные сопротивления Z12(p) = Z2](p), Z23(p) = Z32(p).
В общем случае, если цепь имеет и независимых контуров, то
система уравнений будет иметь вид:
zn(p) Ц(Р)+ Z]2(p) /2(р)+... + Zln(p) 1п(р) = ех(р)-,
Z2X(p)Ix(p)+ Z22(p) I2(p)+... + Z2n(p) ln(p) = е2(р\,	(2.41)
Znl<P) W+ Zn2<P) 4W+-+ Znn(p) W =
где £j(p) (J - l,n) — контурная ЭДС, т.е. алгебраическая сумма ЭДС,
действующих в контуре; Zjj (р) (jr = l,n) —собственное сопротивление
j-ro контура; Z^p) (i,k = 1,и) — взаимное сопротивление i-го и к-го
контуров.
Запись системы (2.41) можно сократить, если ввести понятие вектора
и матрицы. Обозначим е(р) — вектор внешних воздействий (ЭДС),
1(р) — вектор контурных токов, Z(p) — матрица сопротивлений цепи, т.е.
	^1(7?)				zn(p)	Z!2(P)	... z}n{p)
£(/?) =	^2 Ср)	; 1{р}=	Ыр)	; z(p)=	Z2l(P)	^22^P)	... z2„(p)
	л(р).		Jn(p)_		_Z«1(P)	Znl^P}	••• Zw/iCp)_
Тогда система уравнений (2.41) может быть записана в виде
Z(p)I(p) = е(р).
(2-42)
102
Решение системы уравнений (2.42) можно получить:
1) с использованием обратной матрицы, т.е.
I{p) = Z{pYxe{p).
(2.43)
где Z(p) 1 — матрица, обратная к матрице Z(p\,
2) по правилу Крамера, согласно которому ток в J-ом контуре равен
Z11(P)	Zl2(p)	...	ej(p)	...	Zln(p)
l_Z2l(p)	Z22(p)	-	e2(p)	...	Z2n(p)
A ..................................
Zu] (Z7)	Zn2{p)	...	en(p>)	...	Znn(p)
где A — определитель системы (2.42), а определитель в квадратных
скобках получен из определителя системы А путем замены его j-ro
столбца на вектор внешних воздействий.
Вычисляя определители в последнем выражении, получим ток ву-м
контуре.
Обратная матрица вычисляется следующим образом.
1.	Исходную матрицу Z(p) транспонируют, т.е. заменяют строки
столбцами, получают транспонированную матрицу ZT (р).
2.	Каждый элемент транспонированной матрицы заменяется мино-
ром, т.е. определителем, полученным в результате вычеркивания строки
и столбца, соответствующих данному элементу.
3.	Каждый минор заменяется алгебраическим дополнением, т.е. он
умножается на (-1),+А, где i, к — номера строки и столбца, на пересе-
чении которых находился элемент транспонированной матрицы.
4.	Вычисленные алгебраические дополнения делятся на опреде-
литель системы А.
Для примера 2.12:
<Р) =
ei(p)
О
~е2(р)
Ыр)
КР)= Ыр)
h(p\
Z(p) =
ZM
-ZM
0
-Z12(p)	0
Z22(p) ~Z22(p)
Z22(p) Z^p)
где
Z\ 1(р) = Z](p) + Z2(p); Z12(p) = Z21 (p) = z2(p);
Z22^ = Z2(p) + Z3(p) + Z4(p); z23(p) = Z32(p) = Z4(p).
103
Определитель системы
Д - Z11 (p)[Z22 (p)z33 (р) “' Z23 (р)] “ z?2 (Р)^зз (Р)-
Применяя правило Крамера, получим

е1(р)
О
-ег(Р)
-z12(p)
Z22(P)
-Z32(P)
О
_^23(Р)
2зз(р) .
= J^Lel(p)-^rLe2(P) ,
Д Д ’
где Дц = (-1)
^+1	Z22(p)
~Z32(p)
~Z23(p)
гзз(р).
- Z22 (P)Z33 (P) ~Z23 (P)’
3+1 —2 (/О	0
A3I-(~1)3+1	12L7	=Zl2(p)Z23(p).
LZ22(P) ~Z23(P)J
Вычислим обратную матрицу к матрице Z(p).
1. Транспонированная матрица
zT(p)=
zll(p)
-Z21(P)
О
-zl2(p) О
Z22(p) ~Z32(p)
~Z32(p) Z33(p)
2. Каждый элемент матрицы ZT (p) заменим алгебраическим допол-
нением, т.е. минором — определителем, полученным из исходного
путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент, умноженным на (_1),+\ где i, к номера строки и
столбца. Получим
где
Z,T(p) =
Z22(P)
-Z23(P)
Д11
Д21
_Д31
Д12 Д13
Д22 Д23 >
Д32 Д33.
~Z32(P)
Z33(p) .
- Z22 (p)Z33 (p) -Z23 (p);
Д11 =(-l)’+I
104
1-	Д12=(-1)'+;	Z12(p)	Z32(P.	- zi2(p)z33(p);
		- 0	Z33(p)	
i	д1з=(-1)1+3	~Z\2^P) Z22(P) 0	~г2з(Л	J=Z12(^)Z23(/?);
	Д21=(-1)2+1	~'г21(/’)	0 .~Z23(P) Z33(p)j	= Z2l(P)Z33(py,
	Д22=(-1)2+:	z}l(p)	0 . °	Z33^P)_	~ zu(p)z33(p)',
	Д23=(-1)2+3	Zll(P) ~Z21(p)' °	~Z23(P)	= Z11(P)Z23(P)‘,
f. i- & p.	A31=(-1)3+lf-Z21(;?)	0 .Z22(P) ~Z32(P)		~ Z2\(P)Z32(P);
	A32=(-l)3+2[ Z]i(P) ° ~Z12(P) ~Z32(P)		~ Z1\(P)Z32(P)',
Д33=(-1)3+3|	~Z21(p)l
L~^12(p) Z22(p) ]-ZH(p)Z22(p)^Z22(p)
3. Обратная матрица равна
A
Д11
Д21
Д31
Д12
д22
д32
д13
Д23
дзз_
105
4. Вектор контурных токов
Д12 А13
Д22 А23
q(p)
о
Дц	А)2	А13	^i(p)	Ц(р)
Д21	Д22	Д23 •	0	= ЛСр)
Д31	Д32	А33_	~е2(р)	Ji(p).
h(p)
h(p)
где z1(/?) = ^U-e1(p)—^-е2(^); I2(p) =^ZLei(p)-^-e2(p);
А А	ДА
Л	е2
А	А
Последние равенства получены путем умножения обратной матрицы
Z(p)~l на вектор внешних воздействий е(р) по правилу «строка
на столбец».
Учитывая правила получения обратной матрицы Z(p~)~l и последний
пример, в общем случае ток в /-ом контуре может быть получен путем
умноженияу-й строки матрицы Z(p)-1 на вектор внешних воздействий, т.е.
/’zS,+1A-
//(/’) = X -^-еп(р), [J = 1,(Р-1 + Ш
, А
(2-44)
Методом узловых напряжений определяются напряжения в узлах
электрической схемы относительно базисного (опорного) узла. Эти
напряжения именуются узловыми напряжениями. За положительное
направление узлового напряжения принимается направление от узла п
к базисному. Число уравнений, составленных для цепи этим методом,
составляет q - 1, где q — число узлов в схеме. Этот метод выгодно
применять по сравнению с методом контурных токов в том случае, когда
схема имеет мало узлов.
Метод узловых потенциалов базируется на 1-м законе Кирхгофа.
Поэтому при составлении уравнений цепи этим методом обычно эле-
менты цепи характеризуют проводимостями, а внешние воздействия —
генераторами тока. В общем случае цепь, содержащая q узлов, описы-
вается уравнением
Y(p)U(p) = W>,
(2-45)
106
где U(p) -— вектор узловых напряжений, 1(р) — вектор задающих токов,
Y(p) — матрица проводимостей цепи, равные
<7(р)=	' Ц(Р) ' t/2(p) y9-i(p)_	; i{p) =	' Л(р) ' htp)	3
 *п(р)	^(Р) - w ч	*210)	Y22(p) ... *(р) =			Y4<j-	)(p) I)(p)
*(g-l), ,1(Р) ^(д-1),2(Р) -				
В матрице Y(p) элементы Yli(p),Y22(p'),...,Y^_V)^-\)(p) называ-
ются собственными проводимостями узлов 1, 2, ..., q -1, а элементы
У,д.(д) (ik)— взаимными проводимостями узлов i и к.
Уравнение (2.45) может быть решено либо обратной матрицей, либо
методом Крамера, описанными выше.
Пример 2.13 (рис. 2.18)
В качестве базисного примем узел 3. Схема имеет три узла, следова-
тельно число независимых уравнений q - 1 = 2.
Собственные проводимости узлов 1) ] (р) = У](р) + К3 (/?);
У22(Р) = 53(Р) + ВД-
Взаимные проводимости узлов 1 и 2 У22(р) ~ ^з(Р)+ ^г(р)-
Следовательно, уравнение (2.45) будет
У1](р)^1(р) + У12(р)^2(/’) = Л(р);
Y2Ap)U^p) + Y22{p)U2(p) = I2(p).
Решение последней системы уравнений имеет вид:
д д
107
Рис. 2.18
ВД=-^(р)+^%).
А	А
Используя методы контурных токов или узловых на! щяжений, можно
найти характеристики цепи: комплексный коэффициент передачи,
переходную и импульсную характеристики.
Если используется метод контурных токов, то для расчета комплекс-
ного коэффициента передачи входное воздействие полагают гармони-
ческим и q (л) = Д — комплексная амплитуда гармонического воз-
действия, = Z^fja) (остальныекомпоненты вектора е(р) равны
нулю). В результате решения уравнения (2.42) находят контурные токи,
а по ним — выходное напряжение цепи Uвых Тогда
*(» = %*
д
„	-	z ч 1
Для расчета переходной характеристики цепи полагают ei (р) =-
Р
изображение единичного скачка (осталы 1ые компоненты вектора Др)
равны нулю). В результате решения уравнения (2.42) находятся
изображения контурных токов цепи. Выходное напряжение цепи
бувых</0 = «(т) = /7(/-?)-гвых<л), где lj{p) — контурныйток, опреде-
ляющий выходное напряжение, ZBUX (р) — операторное сопротив-
ление, определяющее выходное напряжение. Обратное преобразование
Лапласа от а(р) дает переходную характеристику цепи.
108
Импульсная характеристика цепи находится аналогично переходной,
только вместо ч(р) = — надо подставить еЛр) = 1 (изображение
„	Р
о-функции). Кроме того, импульсная характеристика цепи может быть
найдена обратным преобразованием Фурье от комплексного коэф-
фициента передачи K(j(£>).
Если используется метод узловых напряжений, то для расчета
комплексного коэффициента передачи по току входной ток q (р) = 7] —
комплексная амплитуда тока внешнего гармонического воздействия
с частотой со (остальные компоненты вектора 7(д) равны нулю),
^А-(р) -	результате решения уравнения (2.45) находят
узловые напряжения. Выходной ток 7ВЫХ = ЕВЬ1Х1ВЫХ, гДе 17вых —
напряжение выходного узла, У^ых проводимость элемента, с которого
снимается С7ВЫХ. Тогда K(jai) — - В.Ь|Х .
Л
Переходная характеристика цепи находится следующим образом:
ттолагаем 1\ (р) = — (остальные компоненты вектора 1(р) равны нулю).
Р
В результате решения уравнения (2.45) находят изображения узловых
напряжений. Тогда выходное напряжение (7ВЫХ дает переходное
сопротивление цепи. Чтобы найти переходную передаточную харак-
теристику (по току), надо определить /ВЬ1Х = 17ВНХГВЬ1Х > гДе ^ых(Р) —
проводимость выходного элемента цепи. Обратное преобразование
Лапласа от /вых(р) дает переходную характеристику цепи.
Импульсная характеристика цепи может быть найдена аналогично
переходной при ц(р) = 1, либо обратным преобразованием Фурье
от комплексного коэффициента передачи.
Изложенные выше методы контурных токов или узловых напря-
жений используются тогда, когда надо определить реакцию всех (или
многих) ветвей схемы на входные воздействия. В том случае, когда
требуется найти реакцию только одной или небольшого количества
ветвей, то сократить трудоемкость вычислений помогают основные
теоремы теории цепей: теоремы взаимности, компенсации и об
эквивалентном источнике.
109
2.4.2. Метод сигнальных графов
Направленным или сигнальным графом называется графически
изображенная связь между причиной и следствием. С точки зрения
теории цепей он представляет собой наглядное графическое изображе-
ние системы уравнений, описывающих электрическую цепь. Узлы
(вершины) такого графа не узловые точки схемы, а неизвестные
величины, входящие в систему уравнений, описывающей цепь (токи и
напряжения ветвей, контурные токи, узловые напряжения), а также
величины, характеризующие внешние воздействия (токи независимых
источников тока, ЭДС независимых источников напряжения). Ветви
сигнального графа отображают причинно-следственные связи между
величинами, соответствующими отдельным узлам. Каждой ветви графа
приписывается определенное направление, указываемое стрелкой, и
проставляется весовой коэффициент, который называется передачей
ветви. Узлы графа обозначаются теми же буквами, которыми обознача-
ются величины, им соответствующие. Под коэффициентом передачи
понимается отношение выходной величины к входной.
Если ветвь с передачей а направлена от узла 1 к узлу 2 (рис. 2.19, а), то
х2=ах1.	(2-46)
Из уравнения (2.46) найдем xj = — х2.	(2-47)
а
Сигнальный граф, построенный по уравнению (2.47), приведен на
рис. 2.19, б. Как видно, от сигнального графа рис. 2.19, а он отличается
величиной и направлением, следовательно, вид сигнального графа зави-
сит от того, какая из величин является причиной, а какая следствием.
Если в узле хк сходятся несколько ветвей (рис. 2.20, а), то сигнал в узле хк
будет складываться из сигналов, подходящих к узлу, т.е.
хк - ак1х1 + ак2х2 + акЗхЗ + ЯА-4Х4-	(2.48)
. При этом передача отходящего узла (х5) не учитывается. Здесь
ЯА1 ~ хк /Х1 — передача от узла Xj кхЛ; = xk /х2 — передача от узла
х9 кх(.и т.д. Еслихд. иху (J = 1,4) токи или напряжения (одновременно),
то 0 =1,4) —безразмерные величины. Если хк—ток, а Xy(j=l,4)—
напряжения, то ац — проводимость и, наоборо т, если хк— напряже-
ние, ах.— ток, то а]д — сопротивление.
110
a
a
*О-------->-----Ox
Рис. 2.19
В число ветвей, направленных к узлу хк, входят и ветви, начина-
ющиеся и заканчивающиеся в одном узле (рис. 2.20, б). Такие ветви
называются петлями.
Для графа, приведенного на рис. 2.20, б, сигнал в узле 4 будет:
= #4	+ ^42-^2 ^43^3 #44 *4
Как видно из (2.49), наличие петли приводит к появлению пере-
менной, соответствующей узлу, к которому подключена петля, не
только в левой, но и в правой части уравнения.
Истоком называется узел сигнального графа, от которого направлены
все примыкающие к нему ветви.
Узел сигнального графа, к которому направлены все примыкающие
к нему ветви, называется стоком.
Узлы, которые имеют как входящие в них, так и исходящие из них
ветви, называются смешанными. Так в графе (см. рис. 2.19, а) X] —
исток, х2— сток; в графе (см. рис. 2.20, а) узлыхрХ2, х3, х4— истоки,
х5 — сток, хк — смешанный.
Если сигнал, соответствующий некоторому узлу сигнального гра-
фа, не выражается через сигналы других узлов, то такой узел называет-
Рис. 2.20
111
ся независимым. Если сигнал, соответствующий какому-либо узлу гра-
фа, выражается через сигналы других узлов, то такой узел называется
зависимым. Независимыми узлами являются истоки, зависимыми —
стоки и смешанные узлы.
Пример 2.14
Для сигнального графа (рис. 2.21) составить систему уравнений.
Получим
х3 = ai%l+й8л4; x4=a]QX2 + a9x2 + ai2X^',	= o2x3 + t73J\5’
= «]]Х4x7 =«4X5 + 05X9; x^=ai4x6 + a-jx2;
x9=a6xl+al6xl0’ Xio=«i5Xg; -Xj! =017X10-
Непрерывная последовательность одинаково направленных ветвей,
связывающая узлы Xj и х/( и проходящая через каждый узел графа не
более одного раза, называется путем. Произведение передач ветвей,
образующих путь между узлами Xj и хк, называется передачей 11ути Pjk .
Так в графе (рис. 2.21) между узлами xq и Х[ j имеются следующие пути:
O]iZ2fl4°7°i5fZ17; а1а9а11°14а15а17’ между узлами х2 и Х|] имеются
следующие пути: ОюДцО^о^о^ и ^ю^8^2^4^7^15^17‘ Д^я определе-
ния передачи каждого из путей надо перемножить передачи ветвей,
образующих каждый из путей.
Замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одном и том
же узле, называется контуром. Петля является также контуром. Произве-
дение передач всех ветвей, входящих в контур, называется передачей
контура Lj. Так, в графе (см. рис. 2.21) имеются следующие контуры:
й8й9; ацй12; а3; а13; а5а6; fl5a7Cj5«16.
Два контура или контур и путь, имеющие общие узлы, называются
соприкасающимися. Если же они не имеют общих узлов, то они не
являются соприкасающимися. Например, в графе контуры а$а9 и
й12°11 соприкасающиеся, так как имеют общий узел х4; контур а3 и
путь а]а2О4О7«15Щ7 соприкасаются, так как имеют общий узел х5.
Выше было показано, как по сигнальному графу можно построить
соответствующую ему систему уравнений. Однако может быть решена
и обратная задача: построение графа по системе уравнений, либо по
электрической цепи.
112
Для построения сигнального графа по системе уравнений послед-
нюю надо привести к причинно-следственной форме, т.е. из системы
уравнений каждая из неизвестных должна быть выражена через осталь-
ные переменные и свободные члены уравнений. Поскольку это можно
сделать различными способами, то каждому из этих способов будет
соответствовать свой сигнальный граф. Но так как эти графы соответст-
вуют одной и той же системе уравнений, то они называются равно-
сильными, т.е. приводят к одному результату. Приведем примеры постро-
ения сигнального графа по системе уравнений и по электрической цепи.
Пример 2.15
Построим сигнальный граф, соответствующий системе уравнений
О]]Х] + О]2^2 ^13-*3 &14х4 ~ ^15
О21Л1 ^22х2 °23-*3 *" О24Л4 = Oj
й31-^1 *" ®32х2 *" а33х3 *" ^34X4 = Ьэ',
О4]Х] + ^42х2 °43^3 044X4 = &3-
Приведем данную систему уравнений к причинно-следственной
форме. Из каждого из уравнений выразим по одному неизвестному
ор ар ар ,	.
Х1=-^Х2-айХз-айХ4+^
a?i	О2з	а?4
Х2 =---~Х1----~х3---~х4'->
O22	а22	@22
8 Теория линейных зл. целей
113
_	«31	°32	г. °34 х.	.	Ь2 •
Xi —-----X]-----Ху-------Ха т----,
«33	«33	«33	«33
_	«41	«42	_«43	,	Ь3
лд —-----Л]-----Х2-------х$ т----•
#44	#44	#44	#44
Число вершин графа равно числу неизвестных и числу ненулевых
свободных членов. Поэтому искомый граф будет содержать 7 вершин
(узлов). Он приведен на рис. 2.22. Если исходную систему уравнений
разрешить относительно неизвестных другим способом, например, так:
Ч =	«42 v	«43	«44 v , Ь3 	%-		y. 	* «41	«41	«41	«41
Х2 =	«31	_ «33	«34	b2 . Л4 Г	, «32	«32	«32	«32
х3 =	_£2JL	_£22	«24 Л1	J. 1 «23	«23	«23
%4 =	«11 v «12 ..	«12 v , 	X]	X2	x3 ’	’ «14	«14	«14	«14
то получим граф, приведенный на рис. 2.23. Сравнение графов, приве-
денных на рис. 2.22 и 2.23 показывает, что они разные, но так как графы
соответствуют одной и той же системе уравнений, то они являются
равносильными.
114
Рис. 2.23
Пример 2.16
Составить сигнальный граф для цепи, приведенной на рис. 2.24.
Если использовать для описания схемы метод контурных токов,
то узлами сигнального графа будут контурные токи 1к\,1к2^кЗ-
Для этой схемы система уравнений, составленная для комплексных
амплитуд, имеет вид:
41 (3) + ) - 4г Л =
- ik\z\+4г(^1 + ^2+z3) - 4згз - о;
- 4г^з + 4з (^з + ^4 + Z5) = 0.
Рис. 2.24
115
Приведем эти уравнения к причинно-следственному виду:
41 - 7	+ 4г 7 ?7 -аЁ+ik2b',
А) + -ч	Zo + Z1
Z • Z
'а = 'и Z, + zj +Z, +-'в Z, +z3+z3 =с'и +<?'и;
 _ ; Z3 ' ;
4з - 42 „ , „ , „ - е1к2>
z3 +Z4 +z5
д Zo+Zi’ Z0+Zj’ z1+z2+z3’
d = ——; e= Z3 .
Zj + Z2 + Z3	Z3 + Z4 + Z3
Сигнальный граф, соответствующий схеме рис. 2.24, приведен
на рис 2.25.
Если в схеме имеется несколько источников, то используется
принцип наложения и находится передача по каждому источнику.
Вычисление передачи по сигнальному графу осуществляется двумя
путями:
- упрощением графа по определенным правилам до получения
конечного графа, не содержащего смешанных узлов и имеющего в своем
составе только истоки и стоки;
— применением формулы Мезона.
Рассмотрим правила упрощения графа.
116
Рис. 2.26
1. Объединение параллельных ветвей (рис. 2.26).
В соответствии с рис. 2.26, а х2 = (ос + Р)хр Поэтому параллельные
ветви ОС и Р можно заменить одной ветвью с передачей (ос + Р) —
рис. 2.26, б. Итак, две параллельные ветви ОС и Р могут быть заменены
одной ветвью с передачей (а + Р).
Правило объединения параллельных ветвей может быть распрост-
ранено на любое число параллельных ветвей, в частности, при помо-
щи этого правила можно объединить петли, подключенные к одному
узлу (рис. 2.27, а и б).
Рис. 2.27
2.	Объединение последовательных, одинаково направленных ветвей
(рис. 2.28).
По графу (рис. 2.28, а) найдем х2 - Cttj; х3 = Рх2.
а
Рис. 2.28
117
Подставляя первое уравнение во второе, получим х3=аРх].
Следовательно, две последовательные одинаково направленные ветви
с передачами а и Р могут быть заменены одной ветвью с передачей «Р
(рис. 2.28, б).
3.	Устранение простой узловой точки, т.е. точки, в которой сходятся
несколько входящих или выходящих ветвей.
На рис. 2.29, а приведен граф, в узел х4 которого входит одна ветвь,
а выходят две ветви. По графу найдем Х4 = 0СХ];х2 = Р^д; =Y-Y4-
Исключая из этих уравнений х4, получим х2 = офк]; х3 = осух].
По полученным уравнениям построен граф (рис. 2.29, б).
На рис. 2.30, а приведен граф, в узел х4 которого входят две ветви,
а выходит одна ветвь. По графу имеем х4 - Pxj + ух2; х3 = ох4. Исключая
х4, получим х3 =aPxj + осух2. Этому уравнению соответствует граф,
приведенный на рис. 2.30, б. Таким образом, простая узловая точка
может быть устранена.
118
4.	Устранение контура на пути.
Изображенному на рис. 2.31, а графу соответствуют уравнения
Х2=ол\+ух3\ х3=Рх2. Подставив первое уравнение во второе,
получим Х3 = Рах] + Рух3. Этому уравнению соответствует граф,
приведенный на рис. 2.31, б.
5.	Устранение петли.
В уравнении х3 = pcoq + Рух3 приведем подобные члены, получим
x3(l-Py) = Paxi или
*3 =
Ра
-----Х1.
п-Рт;
Этому уравнению соответствует граф, приведенный на рис. 2.31, в.
Таким образом, устранение петли приводит к конечному графу
Рис. 2.31
Пример 2.17
Упростить граф, приведенный на рис. 2.32, а. Этому графу соответст-
вует система уравнений х4 = axj + Рх2 + Хх4; х3 = х48. Подставив х4
во второе уравнение, приведя подобные члены, получим
г - 6a . Р6
3 1-Х 1 l-у 2’
Рис. 2.32
119
Этому уравнению соответствует граф, приведенный на рис. 2.32, б.
Как видно, устранение петли изменяет передачи ветвей ос и Р в 1/(1- у)
раз, а затем устраняется узловая точка х4, изменяя при этом передачи
ветвей (умножение на 8).
6. Инверсия (изменение направления) ветви.
Графу, изображенному на рис. 2.33, а соответствует система уравне-
ний = ах] + Р*2! *з = Iх4 > гДе Х| и х2 — причины, а х4— следствие.
Изменим причинно-следственную связь: пусть будутх2 и х3 причинами,
а — следствием, т.е.
1 ₽
*1 = а 4~ос 2’ X3=W
Этому уравнению соответствует граф, приведенный на рис. 2.33, б.
Как видно из рисунка, при изменении направления одной из ветвей
изменяются направления ветвей, входящих в тот же узел, что и изменя-
емая ветвь. Передачи каждой из этих ветвей делятся на передачу ин-
вертируемой ветви.
7. Расщепление узла.
Рис. 2.33
Сигнал в каждом узле графа определяется передачами ветвей,
входящих в этот узел. Исходящие ветви на сигнал в узле не оказывают
влияния. Поэтому каждый узел, в который входят ветви и из которого
выходят ветви рис. 2.34, а, может быть расщеплен на два узла: один
из них содержит только входящие ветви рис 2.34, б, второй — только
исходящие (рис. 2.34, в).
120
Рис. 2.34
8. Удлинение узла.
Иногда при преобразовании сигнальных графов возникает необхо-
димость во введении дополнительного узла, сигнал в котором совпада-
ет с сигналом одного из узлов. В этом случае вводимый вновь узел
соединяется с удлиняемым узлом ветвью с передачей, равной единице.
Например, на рис. 2.34, в проведено удлинение узла х2: введен допо-
лнительный узел х6, соединенный с узлом х2 ветвью с передачей, рав-
ной единице.
Применяя изложенные правила упрощения сигнального графа,
приводят последний к конечному, т.е. такому, который содержит только
исток и не подлежит дальнейшему упрощению. Тем самым находится
передаточная характеристика цепи, которой соответствует упрощенный
граф.
Пример 2.18
Упрощая граф (см. рис. 2.25), найдем передаточную характеристику
цепи (см. рис. 2.24).
Схему на рис. 2.24 описывает система уравнений
Ik\=a^+ik2b', h'2.=ch\+dIk^ Ьз=е1к2-
Подставляя 3-е уравнение во 2-е, получим /fc2 =

Системе уравнений = аЕ + J
Ikz ~ \ d соответствУет
граф, приведенный на рис. 2.35, а. Устраняя контур в графе, получим
граф (рис. 2.35, б), который может быть заменен конечным (рис. 2.35, в)
с передачей, указанной на ветви.
121
в асе
(l-de-bc)	js
Е
Рис. 2.35
Итак, в результате преобразования сигнального графа схемы (см.
рис. 2.24) получено выражение для передаточной проводимости цепи
(передача конечного графа — рис. 2.35, в).
Для расчета передаточной характеристики по напряжению надо
найденную передаточную проводимость умножить на Z5.
Иногда приведение исходного графа к конечному может оказаться
трудоемким. Если требуется найти передачи нескольких путей, то пре-
образования графа требуется повторить несколько раз. В этом случае
для нахождения комплексных частотных характеристик или неизвест-
ных токов и напряжений применяется формула Мезона, которая поз-
воляет вычислить передачи ветвей конечного графа непосредственно
по исходному графу цепи, не прибегая к его упрощению. Формула
Мезона имеет вид
i Р(^к
’	(2-46)
где Д — определитель сигнального графа, численно равный определи-
телю исходной системы уравнений;	—передача k-го пути от истока
Xj к стоку хjJ —алгебраическое дополнение А-го пути. Суммиро-
вание в (2.46) производится по всем возможным путям из узла Xj в
узел Xj.
122
Определитель сигнального графа вычисляется по следующей
формуле:
Л = 1 - ХЛ- + X - X LiLjLm +...,	(2.47)
i ij IJjn
где уд. — сумма передач всех контуров сигнального графа;
i
'LLjLj — сумма произведений передач всех возможных пар несо-
‘J
прикасающихся контуров;
X LiLjLm — сумма произведений передач всех несоприкаса-
i,j,m
ющихся троек контуров и т.д.
Алгебраическое дополнение к-го пути также вычисляется по
формуле (2.47), но при этом учитываются только контуры, не касающиеся
пути Р$.
Пример 2.19
Для схемы на рис. 2.24 найдем передаточную проводимость по графу
цепи (см. рис. 2.25), используя формулу Мезона. Граф имеет два контура
Ьс и de с передачей Г] = be и Г2 = de. Оба контура соприкасаются в узле
1к2  Поэтому определитель системы Д = 1 - be - de. Граф имеет один
путь с передачей = асе. Так как граф не имеет несоприкасающихся
контуров, то алгебраическое дополнение Д] = 1. Подставляя полученные
величины в формулу Мезона (2.46), получим передаточную проводи-
мость (от входа к узлу Д) (см. рис. 2.35, в)
(7 =--——.
1 — be — de
Сравнение полученного результата с результатами, полученными в
примере 2.18 путем упрощения графа, показывает их полную иден-
тичность.
2.5.	Моделирование электрических цепей на ЭВМ
Расчет сложных разветвленных линейных цепей представляет весьма
сложную задачу, решить которую ручными способами зачастую не пред-
ставляется возможным. Поэтому в настоящее время все чаще расчет
таких цепей выполняется при помощи ЭВМ.
123
Как видно из рассмотренных выше методов расчета и приведенных
примеров, расчет линейной электрической цепи состоит из следующих
этапов:
1.	Переход от электрической схемы к модели.
2.	Составление уравнений.
3.	Решение уравнений и представление результатов.
На первом этапе реальные элементы схемы (резисторы, конденса-
торы, катушки индуктивности, диоды, транзисторы и т.д.) заменяются
своими моделями (эквивалентными схемами). В результате получается
модель всей схемы, содержащая только идеальные элементы (сопроти-
вления, емкости, индуктивности, идеальные источники тока или на-
пряжения).
На втором этапе для выбранных переменных (напряжения и токи
ветвей, контурные токи, узловые потенциалы) составляется система
уравнений, описывающая поведение электрической цепи. При этом мо-
гут использоваться законы Кирхгофа для узлов и ветвей, методы конту-
рных токов или узловых потенциалов.
На третьем этапе составленная система уравнений решается одним
из известных методов решения линейных уравнений (метод Крамера,
метод обратной матрицы, метод Гаусса или Z, 17-разложения), полу-
ченные результаты представляются либо в виде таблиц, либо в виде
графиков.
Наибольший выигрыш от применения ЭВМ для расчета электриче-
ских цепей ( сокращение времени и трудоемкости расчета, повышение
точности и надежности получаемых результатов) получается в том слу-
чае, когда ЭВМ применяется на всех этапах расчета: от получения элек-
трической схемы до решения уравнений и представления результатов.
Получение электрической схемы (рисование) и переход от нее к мо-
дели особых трудностей не вызывает: на место каждого реального эле-
мента ЭВМ должна подставить модель каждого элемента и запомнить
эквивалентную схему всего устройства — электрическую цепь. Полное
описание модели схемы должно содержать следующую информацию:
1) способ соединения ветвей; 2) опорные направления для токов вет-
вей и напряжений; 3) характеристики ветвей.
Информация по первым двум пунктам может быть получена из то-
пологии схем, которая рассматривает только такие свойства сложных
124
схем, которые связаны с соединением ветвей. С этой целью вводится
понятие направленного графа, соответствующего данной схеме, и вы-
полненного в соответствии со следующими правилами: каждый двух-
полюсник схемы заменяется линией, которая соединяет узлы, между
которыми был подключен двухполюсник. На этой линии, называемой
ветвью графа, наносится стрелка в том направлении, в котором прини-
мается положительное направление тока через двухполюсник. Эта
стрелка служит также для обозначения опорного направления для на-
пряжения ветви: стрелка направлена от вывода с положительным по-
тенциалом.
На рис. 2.36, а приведена схема, а на рис. 2.36, б—соответствующий
ей граф. Такой граф, на котором показаны опорные направления для
токов ветвей и напряжений, называется направленным или ориен-
тированным. Если опорные направления не нужны, то стрелки на вет-
вях графа могут быть опущены.
Тогда граф, соответствующий схеме рис. 2.36, а, будет иметь вид,
приведенный на рис. 2.36, в. Как видно, такой граф содержит информа-
цию только о способе соединения ветви. Этот граф называется нена-
правленным, или неориентированным.
В отличие от сигнальных графов, описанных в п. 2.4, графы, приведен-
ные на рис. 2.36, б, в, соответствуют электрической схеме (рис. 2.36, а).
Узлы графа (1,2,3,4) соответствуют узлам схемы, а ветви (a, b, с, d, e,f) —
ветвям схемы (Z,, Z2, Z3, Z4, г, e). Такие графы будем называть графами
схемы. Дадим некоторые определения.
Набор ветвей а^,а2, ...апв графе является путем между двумя узлами
V: и Vk, если этот набор удовлетворяет следующим требованиям:
1) следующие одна задругой ветви я(иа.+) всегда имеют общие концы;
2) ни один из узлов графа не является концом более, чем двух ветвей
набора; 3) узлы К- и Vk являются концами только одной ветви набора.
Например, в графе рис. 2.36, б набор aedf не является путем между
узлами 1 и 4, так как узел 1 является концом 3-х ветвей набора; наборы
deb, ab, de — пути между узлами 1 и 4.
Ненаправленный граф (например, рис. 2.36, в) называется связным,
если имеется путь между любыми узлами графа. Схема и соответству-
ющий ей направленный граф называются связными, если соответству-
ющий ненаправленный граф является связным. Подграф Gs графа Gf|
125
Рис. 2.36
называется контуром, если подграф является связным и любой узел
подграфа имеет две ветви графа, сходящиеся в нем. Например, в графе
рис. 2.36, б подграф abf является контуром, подграф acebd не является
контуром, так как не выполняется второе условие.
Подграф Gs графа G(; называется деревом, если подграф связан,
содержит все узлы графа G и не имеет контуров. Например, из графа
(рис. 2.36, б) можно образовать подграфы (рис. 2.37, а, б, в), каждый из
которых связан, содержит все узлы и не имеет контуров. Следовательно,
каждый из этих графов является деревом графа рис. 2.36, б.
Набор ветвей связного графа называется сечением, если устранение
этого набора ветвей (но не их окончаний) приводит к графу, который не
является связным, а после устранения набора ветвей восстановление
любой ветви из этого набора вновь приводит к связному графу.
Например, в графе рис. 2.36, б устраним набор ветвей d, е, с. В результате
получим граф (рис. 2.38, а), который очевидно не связан, так как нет
пути к узлу 2 из узлов 1, 3, 4. Восстановление любой ветви из набора,
например ветви е, делает граф связным (рис. 2.38, б).
Рис. 2.37
126
Введенные понятия используются при анализе сложных разветв-
ленных цепей; контуры являются подграфами, к которым применяется
второй закон Кирхгофа для напряжений; сечения являются подграфами,
к которым применяется первый закон Кирхгофа (для токов). Понятие
дерева используется при формировании независимых уравнений цепи
при помощи ЭВМ. Сами графы трудно поддаются формальному
описанию, реализуемому на ЭВМ. Но с графами связаны топологи-
ческие матрицы инциденций, сечений и контуров, которые могут быть
сформированы ЭВМ.
2.5.1.	Топологические матрицы цепи
Для направленного графа с п узлами и b ветвями матрицей инци-
денций является п х Ь матрица Аа = [а-], в которой элемент а^= 1, если
ветвьj принадлежит узлу i и стрелка направлена от узла i; а у=-1, если
ветвь j принадлежит узлу i и стрелка направлена к узлу z; а~ = 0, если
ветвь j не соединяется с узлом i. Например, для направленного графа
(см. рис. 2.36, б) матрица инциденций имеет вид
Ветви
abode f
1	0	0	1 О	-Г
О	0-1-1	1	0
-1	1	0	0-1	о •
0-1	1001
Как видно из графа и полученной для него матрицы инциденций Аа,
каждая ветвь соединяется с двумя узлами, поэтому только два элемента
127
каждого столбца ненулевые, остальные равны нулю. Сумма элементов
каждого столбца равна нулю. Поэтому любую из строк матрицы Аа
можно исключить, не потеряв при этом информации о цепи, поскольку
матрица всегда может быть восстановлена путем дополнения каждого
столбца до нулевой суммы. Матрица Аа называется полной матрицей
инциденций. Матрица, получившаяся из Аа исключением какой-либо
строки называется редуцированной и обозначается А.
Обозначим через i вектор-столбец токов ветвей схемы, причем к-я
строка вектора i будет соответствовать к-му столбцу матрицы Тогда
систему уравнений по 1-му закону Кирхгофа для узлов схемы можно
записать в виде матричного уравнения
(2-48)
Однако система уравнений (2.48) не является линейно независимой:
любое из уравнений системы является следствием остальных, т.е. оно
может быть получено из остальных уравнений системы. При этом
максимальное число линейно независимых уравнений системы,
составленной по первому закону Кирхгофа, определяется редуциро-
ванной матрицей инциденций, т.е.
Ai =0.
Матрицу А можно представить в виде
A = [AT':Al],	(2.50)
где ЛТ соответствует дереву графа, a Al—связям (хордам).
Например, если дерево графа (см. рис. 2.36, б) выбрано в виде
подграфа, приведенного на рис. 2.37, а, то
(2-49)
1	0
-1 1
0 -1
128
Для того чтобы получить компактную запись системы уравнений,
составленных по второму закону Кирхгофа, вводится матрица контуров
Ва. Она строится в координатах «ветви-контуры»: элемент b - матрицы
Ва равен 1, если ветвь j входит в контур i и их направления совпадают;
элемент by = -1, если ветвь j входит в контур i и их направления
противоположны; элемент матрицы Ва by = 0, если ветвь j не входит в
контур i.
Пример 2.20
На рис. 2.39, а приведен граф цепи (рис. 2.36, а), на нем выбраны кон-
туры 1,2,3 и указаны направления этих контуров стрелками. Направле-
ния ветвей также указаны стрелками на самих ветвях. Матрица контуров
Ветви
К	а	b	с	d	е	f
° 1	Г1	0	0	-1	-1	0‘
Д; = т 2	0 11	0	10.
УЗ	1	1	0	0	0	1
Р
Если обозначить через V— вектор-столбец напряжений на ветвях
графа, причем нумерация строк вектора Vсоответствует нумерации вет-
вей, то систему уравнений, составленных для схемы по второму закону
Кирхгофа, можно записать в виде

(2.51)
Например, для схемы рис. 2.36, а такая система уравнений имеет вид
	1	0	0	-1	-1
ВаУ=	0	1	1	0	1
	1	1	0	0	0
0
Уа
Уь
Ус
yd
Уе
vf
где Va,Vb,Vc,Vd,Ve,Vj напряжения на ветвях a, b, с, d, e,f соответственно.
Однако не все уравнения, входящие в систему (2.51), являются
линейно независимыми. В теории цепей доказывается, что макси-
мальное число линейно независимых уравнений в системе (2.51) равно
9 Теория линейных ал. целей	1 29
Рис. 2.39
b - п + 1, где b — число ветвей, п — число узлов цепи. Если в графе,
соответствующем схеме, выбрано дерево, т.е. граф, содержащий все
узлы и не имеющий контуров, то ветви, не вошедшие в дерево, образуют
дополнение к дереву и называются хордами. Контур, образуемый
некоторыми ветвями дерева и хордой и имеющий направление, сов-
падающее с направлением хорды, называется главным контуром.
Поскольку граф, имеющий//узлов и b ветвей, имеет b-и + 1 хорд,то
число главных контуров будет b - п + 1. Матрица В, построенная с
использованием главных контуров, называется матрицей главных
контуров, а система линейно независимых уравнений, полученных
с использованием второго закона Кирхгофа, будет иметь вид
BV=0.	(2.52)
Любая матрица главных контуров В может быть представлена в виде
В=[ВТ:1],	(2.53)
где матрица В1 соответствует ветвям дерева, а 1—единичная матрица,
соответствующая хордам.
Например, если выбрать дерево в соответствии с рис. 2.37, а, то граф
схемы (см. рис. 2.36, а) с направлениями ветвей и главных контуров
примет вид, приведенный на рис. 2.39, б, где сплошными линиями
показаны ветви дерева, а пунктиром—хорды. Тогда матрица главных
контуров будет иметь вид
О
В= 1
о
1
о
1 1
1 ; о
о ; о
1
О
1
1
Как видно, матрица 2?т соответствует ветвям графа, образующим
дерево, а единичная матрица — ветвям дополнения (хордам). Граф
130
(рис. 2.39, б) имеет 6 ветвей и 4 узла, поэтому число линейно-
независимых уравнений в системе (2.52) составляет 3, единичная
матрица имеет размер 3x3.
Топологическая матрица сечений является естественным обобще-
нием первого закона Кирхгофа, который в общем виде гласит:
алгебраическая сумма всех токов через сечение всегда равна нулю.
Сечение разделяет граф на две части, причем границей является линия
сечения. На рис. 2.39, в изображен граф цепи (см. рис. 2.36, а) с
выбранными сечениями I, II, III, IV. На каждом сечении стрелкой
обозначена ориентация сечения. Матрица сечения для направленного
графа с b ветвями и п(. сечениями составляется следующим образом:
элемент матрицы сечения а- = 1, если ветвь j находится в сечении i и
их ориентации совпадают; а- = -1, если ветвь j находится в сечении i,
но их ориентации противоположны; — 0, если ветвь /не находится в
сечении i. Например, для графа (рис. 2.39, в) матрица сечений
Ветви
С	а	ь	с	d	е	f
е I	1	0	0	1	0	-f
„	4 П	-1	1	0	0	-1	0
= е н Ш	0	-1	1	0	0	1
и IV	0	0	1	1	-1	0
Я
Если вектор-столбец токов ветвей i = [zfl ib ic ie if]?, гдеТ—знак
транспонирования, то система уравнений, составленных по первому
закону Кирхгофа для цепи (рис. 2.36, а) будет Dj = 0. И вообще для
любой цепи, если найдена матрица сечений, система уравнений будет
Dai = 0,	(2.54)
где /—вектор-столбец токов ветвей.
Система уравнений (2.54) избыточна, так как не все уравнения
линейно независимы. Получить линейно независимую систему ура-
внений, а следовательно, и безизбыточную, можно с использова-
нием дерева графа.
Сечение графа, выбранное таким образом, что в него входит ветвь
дерева и некоторая часть хорд, называется главным сечением для этой
131
ветви дерева. Опорное направление сечения выбирается одинаковым с
направлением ветви дерева. Для графа, имеющего п узлов, имеется п-1
ветвей дерева. Матрица, составленная для п - 1 главных сечений, назы-
вается матрицей главных сечений. Например, для графа (рис. 2.40)
матрица главных сечении
D =
100:0—1	1
0105—1	0-1
0 0 15—1—1	0
На рис. 2.40 ветви дерева графа изображены сплошной линией,
хорды — пунктиром. Каждой ветви дерева соответствует свое сечение
(I, П, Ш).
Используя матрицу главных сечений D, систему уравнений,
составленных по первому закону Кирхгофа, можно записать
Di = 0,	(2.55)
Как видно по матрице D, она может быть разбита на две субматрицы
2? = [15£>л],	(2.56)
где 1 — единичная матрица (п - 1) х (п - 1), DL — матрица, соответст-
вующая хордам.
Единичная матрица показывает, какие ветви образуют дерево графа,
а матрица DL — какие ветви графа образуют дополнение.
В уравнении (2.52) матрицу главных контуров В представим в виде
(2.53), а вектор напряжений ветвей Vпредставим в виде
v= V >	(2.57)
J
где VT — вектор напряжений на ветвях дерева, а Ед — вектор напря-
жений на хордах.
Подставляя (2.53) и (2.57) в (2.52) и перемножая, получим
BVL
= +VL =0; откуда получаем

VL=-BrVT.
(2.58)
132
Уравнение (2.58) позволяет найти напряжения на хордах графа через
напряжения на ветвях дерева VT.
В уравнении (2.61) матрицу главных сечений D представим в виде
(2.56), а вектор токов ветвей i в виде
z — [z’y: z-£ ,	(2.59)
где iT— вектор токов ветвей дерева, a iL — вектор токов хорд.
Подставляя (2.56) и (2.59) в (2.55) и перемножая, получим

Di = \y,DL\
= z’y + DLiL - 0. Отсюда получаем
iT~-DLiL.	(2.60)
Уравнение (2.60) позволяет найти токи ветвей дерева iT через токи
хорд z£.
Между матрицами главных контуров В и главных сечений D имеют
место соотношения ортогональности
В В? =0 или DB^ =0,
(2-61)
где Z>T, Вт — транспонированные матрицы главных сечений и главных
контуров.
Учитывая выражения (2.53) и (2.62), получим
133
Подставляя (2.59), (2.56) и последние выражения в (2.61), получим
Вт = -Ь[, Dl = -Bj.	(2.62)
Полученные соотношения позволяют по матрице главных контуров
В получить матрицу главных сечений D и, наоборот, по матрице главных
сечений D получить матрицу главных контуров В.
Используя полученные уравнения, можно записать уравнения для
цепи с помощью независимых токов и напряжений. Токи ветвей состо-
ят из токов дерева и токов хорд
(2.63)
При выводе (2.63) использовано (2.60), а затем (2.62).
Выражение (2.63) показывает, что, имея матрицы главных контуров,
все токи ветвей можно выразить через токи хорд iL, т.е. через незави-
симые токи.
Напряжения ветвей V состоят из напряжений ветвей дерева VTn
напряжений хорд KL,T.e.
1
ут = DrVT.
(2.64)
dl
Из (2.64) следует, что, имея матрицу главных сечений D, все
напряжения ветвей можно выразить через независимые напряжения
ветвей дерева И7,
2.5.2.	Топологические методы формирования уравнений пени
В качестве источников воздействий в цепи могут действовать неза-
висимые источники тока и источники ЭДС. Они должны быть учтены
в уравнениях цепи: либо в ветвях дерева, либо в хордах. Из уравнения
(2.60) следует, что токи хорд являются независимыми. Поскольку токи
независимых источников тока не могут быть зависимыми, то источни-
ки тока должны включаться в хорды, а не в дерево.
134
Из (2.58) видно, что напряжения ветвей дерева являются независи-
мыми переменными. Поэтому независимые источники ЭДС должны
включаться в дерево.
Для получения матриц В и D в виде (2.53) и (2.56) соответственно
уже на стадии формирования топологических уравнений необходимо
придерживаться следующих правил нумерации ветвей:
1.	Нумеруются сначала источники ЭДС и помещаются в дерево графа.
2.	Дерево графа дополняется пассивными элементами, они нумеру-
ются последовательностью целых чисел, начиная с единицы.
3.	Продолжается нумерация остальных пассивных элементов.
4.	Нумеруются источники тока.
Направление ветвей источников указывается стрелкой. Независимые
источники включаются в соответствующие топологические матрицы.
Пример 2.21
Для цепи, приведенной на рис. 2.41, а, найдем матрицу главных
сечений D.
Граф цепи приведен на рис. 2.41, б, где сплошными линиями
обозначены ветви дерева, а пунктиром—хорды. Схема содержит 5 узлов
(считая и нулевой), следовательно, она имеет 4 ветви дерева. Соответ-
ственно ветвям дерева выбираем сечения I, II, III, IV. Ориентация
сечений показана стрелками. Получим расширенную матрицу сечений
Dp. Субматрица De описывает способ включения независимого
источника ЭДС, Dj— субматрица, описывающая способ включения
135
е(р)	1	2	3	4	5	6	1(р)—ветви графа	
'i ;	0	0	0	-1	0	0	О'	
0	1	0	0	0	-1	-1	-1	
о 	0	1	0	1	1	1	1	
-° '	0	0	1	1	1	0	0	
Для машинного анализа линейных цепей применяются в основном
методы узловых потенциалов и контурных токов. Рассмотрим форми-
рование уравнений узловых потенциалов. Предположим, что все источ-
ники ЭДС в цепи преобразованы в эквивалентные источники тока. Все
пассивные элементы в цепи описываются компонентными уравнениями
Ув(р) ^в(р) =	где	—операторная проводимость ветви, а Кв(р),
/В(р) — операторные напряжение и ток ветви. В целом для всех ветвей
цепи компонентное уравнение будет иметь вид
Y(p)V(p)=I(p),	(2.65)
где Y(p)—диагональная матрица операторных проводимостей цепи,
У(р) — матрица-столбец операторных напряжений на ветвях цепи;
1(р) — матрица-столбец операторных токов ветвей.
Расширенная матрица сечений может быть представлена в виде
Dp=[D:Dj],	(2-66)
где D — матрица сечений пассивной части цепи, D- — субматрица,
учитывающая способ включения в цепь независимых источников тока.
Вектор токов цепи может быть представлен в виде суммы двух
субвекторов:
W)
КР) =
(2-67)
где 1в(р)—вектор токов ветвей дерева, J(p)—вектор токов независимых
источников.
Подставляя (2.72), (2.73) в (2.61), получим
4(р)
[Z»;n7] ... =DIB(p) + DjJ(p) = 0.
(2.68)
J(p)
136
Подставив (2.71) в (2.74) и учитывая (2.70), получим
DY(p)DTVT(p) = -DjJ(p).	(2.69)
Уравнение (2.69) позволяет рассчитать узловые потенциалы (вектор
VT(pJ), а затем, используя (2.64), найти напряжения на остальных ветвях
графа схемы. Выражение DY{p)D^ представляет собой матрицу прово-
димостей цепи (см. пример 2.30).
Пример 2.22
Для цепи рис. 2.42, а составить уравнения узловых потенциалов.
Граф цепи приведен на рис. 2.42, б, где сплошными линиями
показаны ветви дерева и источников тока, а пунктирными—ветви хорд.
Номера узлов показаны в кружках, а сечения пронумерованы римскими
цифрами.
Для графа (рис. 2.42, б) расширенная матрица главных сечений
имеет вид
1 0 0
1	0
-1 1
0 -1
1 0
0 1
1 : 1
0  -1
-1 • о
о
1 =[^Д/]-
-1
Вектор напряжений ветвей дерева ГДр)-[!)(/>) l^C?) 1^(р)]Т,
где Т—знак транспонирования, вектор независимых источников тока
Рис. 2.42
137
Диагональная матрица проводимостей цепи
	yap) 0 0 0 0 0	0 Y2(p) 0 0 0 0	0 0 YAP) 0 0 0	0 0 0 YAP) 0 0	0 0 0 0 YAP) 0	0 0 0 0 0 YAP).	•
Подставляя D, Dj,		Y(p), Рт(р)^(р)		в уравнение (2.69), получим			
						-YAP)	
-*№)		[Y2(p)+Y4(p) + Y5(p)]				-yap)	X
-W			-YAP)		[ВД + ВД + ВД].		
И(р)
Р2(р)
>з(Р).
~^(Р)
J}{P)~J2{P)
J2(P)
Рассмотрим формирование уравнений контурных токов. Допустим,
что все источники тока преобразованы в эквивалентные источники ЭДС.
По схеме находится граф и по нему — расширенная матрица главных
контуров
Вр=[ВЕ:В],	(2.70)
где ВЕ — субматрица, описывающая способ подключения в цепь
независимых источников ЭДС, В — матрица главных контуров,
описывающая соединение пассивных элементов цепи.
Вектор напряжений ветвей графа схемы Рр может быть также
представлен в виде двух субвекторов
(2-71)
где Е — вектор независимых источников ЭДС, V — вектор напряжений
ветвей пассивных элементов цепи.
138
Учитывая (2.52), получим
BpVp=BEE+BV = 0.	(2.72)
Напряжение на каждом пассивном элементе подчиняется компонент-
ному уравнению
Z(p)Z(p) = K(p),	(2.73)
где Z(p) — диагональная матрица операторных сопротивлений пас-
сивных элементов цепи; 1(р) и Г(д) — векторы-столбцы операторных
токов и напряжений на элементах цепи.
Подставляя (2.73) в (2.72) и учитывая (2.63), получим
BZ(j>)BTIL(p) = -BEE.	(2.74)
В уравнении (2.80) 1Е(р) — вектор контурных токов BZ(p)B^ —
матрица сопротивлений цепи, аВЕЕ — вектор контурных ЭДС.
Пример 2.23
Для цепи (рис. 2.43, а) составить уравнения контурных токов.
Граф цепи приведен на рис. 2.43, б, где сплошными линиями показа-
ны ветви дерева, пунктирными линиями — хорды, цифрами в кружках —
узлы графа. Выбирая контуры, соответствующие ветвям 4, 5, 6, а
направления контуров — совпадающими с направлениями хорд, полу-
чим расширенную матрицу главных контуров
Рис. 2.43
139
Диагональная матрица сопротивлений цепи
	'ZAP)	0	0	0	0	0
	0	zap)	0	0	0	0
	0	0	zap}	0	0	0
	0	0	0	zap}	0	0
	0	0	0	0	z5Cp)	0
	0	0	0	0	0	zap}.
Вектор токов хорд (контурных токов) IL(p) = [Z4(p) I5(p) 76(р)]т,
где Т — знак транспонирования; нумерация токов соответствует нуме-
рации ветвей на рис. 2.43, б. Вектор независимых источников ЭДС
£=[е](р)е2(/’)ез(р)]-
Подставляя В, ВЕ, Z(p), IE(p), Е в (2.74), получим систему уравнений
контурных токов цепи (см. рис. 2.43, а).
[ZAp)+ZAp)+ZAp)\		-ZAP}		zap)	
-zap)	[z2(^)+z3(p)+z5Cp)]				zap)	X
ZAp)		zap}	\zAp)+zap)+zm			
	'W)		eAP)~e2^P)		
X	iAp}	—	С2СР)-ез(.Р)		
	JAp).				
2.5.3. Решение уравнений цепи
В результате применения топологических методов сформированы
уравнения для узловых потенциалов (2.69) или контурных токов (2.74).
Оба уравнения — линейные. Для их решения могут быть применены
различные методы: обратной матрицы, метод Крамера, метод исключе-
ния Гаусса, метод L{/-разложения.
При использовании методов обратной матрицы и Крамера, как
показано в предыдущих разделах, необходимо вычислить определитель
системы, который в радиоэлектронных схемах часто бывает близок к
нулю. Это приводит к большим ошибкам в вычислениях. Кроме того,
оба эти метода требуют много операций при реализации на ЭВМ.
140
Методы исключения Гаусса и АСУ-разложения не требуют использо-
вания определителя и наиболее экономичны при реализации на ЭВМ.
Поэтому ниже они и будут рассмотрены.
Метод Гаусса рассмотрим на примере системы уравнений (2.75)
«11^1 + а12х2 + «13*3 + — + ai„x„ =bf,
«21*1 + «22*2 + «23*3 +- + а2пхп = Ь2;
........................................ (2-75)
«л1*1 + ®п2х2 + ®пЗхЗ «лл*л ~^п-
В первом уравнении (2.75) разделим обе части на afl, получим
Я] 2	Я12	di„	bi
xi+-^-x2+-^x3+... + -^x„=^-.	(2.76)
а\ 1	а11	«11	«11
Уравнение (2.76) умножим на -а2| и сложим почленно со вторым
уравнением (2.75). Получим
а22х2 + «23*3 + — + «2л*л =	’	(2.77)
(1)	«12	0)	«13 СП	«1л
где 42;=Ц22-«21—; «23 -О23-О21 —;•••; «2Л =fl2»-«21—;
«11 «11 «11
, (1) _, _
°2 _«2 «21 -Уравнение (2.76) умножим на -а-,, и сложим с
«11
третьим уравнением системы (2.75). Получим
«32 х2 + «33 *3 + — + «Зл хп =	1	(2.78)
(1)	«12	(1)	«13	(1)	«1л
где <$2 -«32-«31------; «33 =а33-«31-------; «Зл =«3л-«31--------;
«11 «11 «11
*3(1)=Z’3-«31—
«н
Продолжая этот процесс, последнее уравнение системы (2.75)
преобразуем к виду
141
«и2*2 + апЗхЗ + -+ «ии*и =	(2.79)
(1)	«12	(1)	«13 (П	«12
где <?п2 — «и2 яп] , ап$ — апз ап\ , ..., а11п —апп—апу ,
«11 «11 «11
^и° =^„-ani—
«11
В результате проделанных шагов система уравнений (2.75)
преобразуется к виду
у, +л0)у . „(1)у . .„О),. _Л(1).
«22-^2 + «23 х3 + + а2пхп ~ «2 ’
............................................ (2.80)
А, +Л7(1)Г, + + Л -h^-
ап2х2 + апЗх2 + — + «ии хп — оп ,
г	(1)	«12	(1)	«13	(1)	«1и
где обозначено а\2 =----; а^' =----;  ; а\я--^—.
«11 «11 «11
Как видно из (2.80), во всех уравнениях, кроме первого, одно
неизвестное Xj исключено.
Теперь возьмем второе уравнение системы (2.80). Разделим обе его
части на а22> а затем последовательно умножая полученное уравнение
на коэффициент при х2 с обратным знаком уравнений 3-го, 4-го и т.д. и
складывая каждое из них со вторым уравнением, исключим из системы
(2.80), начиная с третьего уравнения, переменное х2. Продолжая
процесс, получим систему уравнений в виде
у,+/70)у , _0)у ,	, П)у _,(1).
х2 + «23^3 + - + «£4 =	;
х3 + «34*4 +- + «Зихи =
X =Ь(п}
ип .
Как видно из (2.81), в результате исключения неизвестных, одно из
них определено после п шагов исключения. Чтобы определить осталь-
142
ные (п -1) неизвестных, надо проделать обратную подстановку, которая
в общем виде записывается как
И
xi =bj- У, ау ^bjJ; i = п -1, п — 2,1.	(2.82)
j=i+l	3
п
Алгоритм исключения Гаусса требует выполнения = — операций
(умножение + вычитание), где п — порядок матрицы. Обратная
2
п
подстановка выполняется за = — операций.
Рассмотрим метод /.(/-разложения. Предположим, что матрицу А						
системы уравнений						
			Ax = b			(2.83)
можно представить в виде						
			A=LU,			(2-84)
где						
		0	0 •••	0 '		
	^21	/22	0	0		
L =	Л1	132	(зз "	0	5	(2.85)
	Л1	412	413	4?л _		
	1	(712	(7]3	иь		
	0	1	(72з	и2п		
и=	0	0	1	и3„		.
	...	...		...		(2.86)
	0	0	0	0	1		
Матрица L является нижней треугольной, а матрица U — верхней
треугольной, причем на главной диагонали ее стоят единицы. Следо-
вательно, определитель матрицы А равен произведению диагональных
членов матрицы L.
Система уравнений (2.89) после подстановки в нее (2.90) будет иметь
вид LUx = b.	(2.87)
Обозначим Ux = Z.	(2.88)
Подставив (2.88) в (2.87), получим LZ = Ь.	(2.89)
143
В (2.89) подставим L из (2.85), Z и b представим в виде вектора-
столбца. Получим систему уравнений (2.89) в виде
/ц7] = fy;
/2]Z] +/22Z2 = Z>2’
/31^1 +/32Z2 +/33/3 = ^;
М "*"^л2^2 +••• + InпZn —Ьп-
Из этой системы находим:
7 _ Ь1 .
«и
z2=-^-(b2-i2lzly,
‘22
Z3 = ~(b3~hiZl ~132г2У’
l33
I	л-1
z„=—(fe„-XW-
Ч1П	j—]
Этот процесс называется прямым ходом. Найденный вектор-столбец
Z подставим в (2.88), получим его в виде
X] +W|2X2 +w]3*3 + — + и\„хп =zi '>
х2 + w23x3 +... + и2пхп = Z2;
Х„_] + U„_\ nxn Zn-l ’
хп ~' Zn •
Из последней системы уравнений компоненты вектора х находятся
последовательно, начиная с последнего:
хп — Zn ’
п
Xi=Zj— ^juijxj', i = n — 1, п — 2,...,1.
j=i+\
144
Этот процесс называется обратным ходом. Число операций для
прямого и обратного хода составляет ~ л2, где п — размер матрицы. .
Разложение матрицы А на матрицы LmU может быть произведено
при помощи алгоритма Краута, который заключается в следующем.
Перемножим матрицы L (2.85) и U (2.86) по правилу «строка на
столбец». Получим
Z11	1х\и\2	1\\и\п
д = ^21 ^21“12+^22	^21М1л + ^22и2п
L л1 л! 12 л2	л1 1л л2 2л	ли.
Сравнивая элементы произведения матрицы LU с элементами
матрицы Л, получим: = ац (i = 1, 2, ..., л). Используя найденные
/н (i = 1, 2, ..., л) из первой строки произведения, получим
Mlj = «1/'11 (/ = 2, 3, ..., и). Используя найденные коэффициенты
матриц L и U, из второй строки произведения матриц найдем
l22 = а22 ~l2\u\2', u2j ~(a2j ~l2\u}j)/l22 (J = 3, 4, ..., л).
Продолжая процесс, можно найти все коэффициенты матриц LtaU.
В общем случае они равны
Л-1
hk ~~ aik ~	(2.90)
л;=1
1	к~}
ukj ~ ~ (akj ~ '^'jkmumj )> j > к.	(2.91)
‘ЛЛ	т=\
В процессе получения уравнений цепи элементы матрицы А зано-
сятся в память ЭВМ. Элементы матрицы А используются только для
расчета элементов матрицLuU, причем поскольку матрица L является
нижней треугольной, a U — верхней треугольной, то элементы этих
матриц могут разместиться в памяти ЭВМ на месте матрицы А.
По сравнению с методом исключения Гаусса метод £ [/-разложения
имеет следующие преимущества:
1.	Легко вычисляется определитель матрицы А. Он равен
л
deM = fJZl7.	(2.92)
/=1
10 Теория линейных зл. целей
145
2.	Не требуется дополнительной памяти для запоминания матриц L
и U (они могут быть записаны на место матрицы А).
3.	При изменении правой части уравнения (2.83) не требуется
проводить разложение матрицы А на L и U матрицы; достаточно
провести только прямую и обратную подстановки.
По объему вычислений методы L [/-разложения и метод Гаусса
примерно эквивалентны.
2.6. Двухполюсники
Двухполюсники входят в состав сложных разветвленных цепей. Их
свойства определяют характеристики всей цепи. Поэтому в этом разде-
ле будут рассмотрены свойства двухполюсников.
Двухполюсником называется любая электрическая цепь, рассматри-
ваемая относительно двух зажимов, т.е. имеющая два внешних зажима.
Двухполюсники бывают линейные и нелинейные. Двухполюсник
будет линейным, если он не содержит в своем составе нелинейных эле-
ментов. Он описывается линейным дифференциальным уравнением.
Если в составе двухполюсника есть нелинейные элементы, то он будет
нелинейным. Такой двухполюсник описывается нелинейным диффе-
ренциальным уравнением.
По числу элементов двухполюсники различаются как одноэлемент-
ные (содержат один элемент), двухэлементные и л-элементные (содер-
жат п элементов).
По характеру элементов двухполюсники могут быть реактивные и
диссипативные. Реактивные двухполюсники состоят только из инду-
ктивностей и емкостей. В таких двухполюсниках не происходит по-
терь энергии на тепло. Диссипативные двухполюсники имеют в своем
составе, кроме индуктивностей и емкостей, еще и сопротивления, ко-
торые обуславливают в таких двухполюсниках превращение подводи-
мой энергии в тепловую.
Двухполюсники могут быть активными и пассивными. Пассивный
двухполюсник не имеет внутри себя источников энергии и поэтому мощ-
ность на нем не может превышать ту, которая к нему подведена. Актив-
ный двухполюсник имеет в своем составе источники энергии. Двухпо-
люсник характеризуется либо сопротивлением Z(p), либо проводимос-
тью Y(p) = \/Z(p). Зависимость сопротивления или проводимости от
146
частоты называется частотной характеристикой двухполюсника. Эта
зависимость определяется структурой и числом реактивных элементов
двухполюсника.
Для изучения частотных характеристик двухполюсников выведем
общее выражение для его сопротивления (проводимости).
Для изучения частотных характеристик двухполюсников выведем
общее выражение для его сопротивления (проводимости).
Если известна схема двухполюсника, то используя, например, метод
контурных токов и выбирая ij(p) в качестве тока первого контура,
получим систему уравнений схемы (рис. 2.44) в виде
2(р)г(р) = е(р),	(2.93)
где i(p) = [i| (р)/2 (р)... in (р)]Т — вектор-столбец контурных токов;
е(р) = [е1 (р) 0  •  0] — вектор-столбец задающих ЭДС;
	’2ГцСр)	Zi2(p) 	 Z\n(P)	
	^21Ср)	%22(р) 	 Z2n{p)	— матрица сопротивлений цепи.
		Zn2(P) 	• znn (p)	
Решая систему (2.93) относительно q (р) методом Крамера, получим
D1
Д ’
где Z)| — определитель матрицы
(2-94)
Рис. 2.44
147
e\(p)
0
Z12(p) ... Zln(p)
z22(p) ... Z2n(p)
(2.95)
0
Z„2(/?) ... Z„„(p)
а Д — определитель системы уравнений, т.е. матрицы Z(p).
Разложив его по элементам первого столбца, получим
Г>1=(-1)1+|Дц=Д11,	(2.96)
где Д| ] —минор для элемента ej(p), т.е. определитель матрицы, полу-
ченной из (2.95) путем вычеркивания первой строки и первого столбца.
Подставив (2.96) в (2.94), получим i\(p) = е\(р)^±-, или
Д
7	Л
Элементы каждого из определителей Д и Дц в общем случае
имеют вид
1	( И
^ц(р) = гц + рЬц+—~; zik{p) = - rik+ pLik+—— ;
P4i	(	pcik J
подставив последние выражения в (2.97), получим
Z (п) = апРП+ап-\Рп 1+-+«о = N(p)
Ътрт +Ьт-Лрт~'+...+Ь0 М(р)
(2.98)
На практике часто потерями в двухполюснике можно пренебречь,
т.е. гц = rik = 0. В этом случае выражение (2.98) будет представлять
входное сопротивление реактивного двухполюсника, у которого
2 г и.
Р Lik+~Z~
cik
1	1	7	]
(р) ~ P^ii — (р Д’/ +
рСп Р Си
7 ( Л 1
2д(р) =----
Р
Определитель Д системы (2.93) имеет порядок п — число независи-
мых контуров цепи, определитель Дц имеет порядок и - 1. Поэтому,
подставив в (2.97) выражения для Z(I(p) и Zik(p), получим
148
7 , у а2пР2п+ а2п-2Р2п 2+... + а2Р2 + ар
p[b2n-lP2”~2 +t>2n-3P2n~4+-+b3P2 + Л )	(2-"Э
Приравняв нулю числитель выражения (2.99) и решив полученное урав-
нение относительно р2, получим корни уравнения р2 = р2к-ъ
обращающие ZBX(p) в нуль. Такие значения/? называются нулями. При
2	2
p = J<£> Р2к-\=~(й2к-\-
Приравняв знаменатель выражения (2.99) нулю и решив полученное
уравнение относительно р2, получим значения р, обращающие ZBX (р)
2
в бесконечность р = р2к. Такие значения р называются полюсами
ZbxО)• При р = jo Р2к = -j®2k, {к = \,п-\у.
Найдя корни числителя и знаменателя выражения (2.98), можно в
соответствии с теоремой Виета разложить их на множители. Тогда
получим
Л о1Ар2-рЪ(<р1-рЪ-^р1-Р2п-\>
%вх.(Р)	,	2	2Х, 2 2Ч z 2	2	'	(2.100)
Pb2n-\{p ~Р2){р ~pf)-{p -Р2п-2}
Умножив числитель и знаменатель (2.100) на р и обозначив
а2и/^2и-1 - bi ПРИ Р = ja получим
jmH(O2- а^хсо2- СО?) ...(СО2— со?, ,)
где со0= 0.
В выражении (2.101) частоты с нечетными номерами являются
нулями ZBX(j<y), а частоты с четными номерами — полюсами этой
функции.
2.6.1. Канонические схемы реактивных двухполюсников
Выражение (2.101) может быть представлено в следующем виде
ZBX(/to> =	1 + X... а2к'2..-
А=1® -®2Л-2
(2.102)
и™ (&2 ~&2k-2)ZeX{j^
nie а2л-2 = lim -------—--------,
149
а единица в (2.102) получена при делении многочлена числителя на
многочлен знаменателя (степень числителя больше степени знаменателя
относительно со2 на едишщу).
Сумма первых двух слагаемых в выражении
соЯ-
гдеЯ„ = Я, Со=--------.
а0Я
Величина Н> 0, а 0^ вычисляется как предел (2.102) при со —» 0. Так
как степень числителя и знаменателя в (2.101) отличаются на единицу,
то Оф < 0 и Со > 0.
Выражение (2.103) соответствует последовательному соединению
индуктивности £2п и емкости С().
Остальные слагаемые в (2.101) имеют вид
„	,. .	.	ЯС/.э/._э
Zlk-2 (j®) =	----V— •	(2.104)
® -®2А--2
Выражение (2.104) соответствует параллельному соединению индук-
тивности L2k_2 и емкости С2£_2, т.е.
Z2/c-2 C/®)  --2------------ —2---2----’	(2.105)
l-(0 ^2к-2С2к-2	°> -®2i-2
1
где ®2<-2 = —г --- =--—резонансная частота параллельного кон-
уЩк-2С2к-2
тура L2k_2 и С2к_2.
Сравнивая (2.104) и (2.105), получим L2k_2=-Н	> т к- °Zk-2 <
Емкость С2/с 2 вычислим как С2к_2 = ~2------- В результате полу-
®2i-2^2<-2
чим схему реактивного двухполюсника, входное сопротивление кото-
рого описывается выражением (2.101).
150
Схема двухполюсника, приведенного на рис. 2.45, называется кано-
нической (приведенной).
По уравнению (2.101) можно построить другую схему канонического
двухполюсника. От входного сопротивления в уравнении (2.101) пе-
рейдем к проводимости. Получим
; “Ь - <“>2 - <°U>-. (2.106)
УСОН(СО“-СО1 )(со -С03)...((0 -С02,г-1)
Разложив (2.106) на сумму дробей, получим
=	,	(2.Ю7)
Н А-=1© “ ©211-1
R	I,™ Г(“2-^-1)Гвх(Уи)
ю->ю2И-1[	- У©#
Каждое слагаемое в выражении (2.107) соответствует проводимости
двухполюсника, состоящего из последовательно включенных C2lt-1
иСЖ1,т.е.
/©Д^Рг/с-! __1 j®C2k-\&2k-\
“2 - “2fc-l	+--------- “2 “ “2А-1
j®&2k-\
1
где ©2/c-i = '/='. 1.—резонансная частота последовательного
ylhk-lC2k-l
контура L2k^ и C2k_v
Рис. 2.45
151
Сравнивая левую и правую части последнего равенства, получим
с _ Я~К--1	1	_	1
'-'2£—1	о	2 z г»	2	’
ю2А'-1	®2Jl-l(^P2jt-l)	ю2/с-1^2/с-1
где L2k_l - W2^l 
В результате получим схему канонического двухполюсника.
Схемы канонического двухполюсника, изображенные на рис. 2.45
и 2.46, являются наиболее общими. Из них, как частные случаи, можно
получить другие схемы. В частности, если в схеме рис. 2.45 отсутствует
емкость Со, то будем иметь каноническую схему, приведенную на
рис. 2.47.
Входное операторное сопротивление двухполюсника (рис. 2.47)
имеет вид
£=]! + /> С2А.С2д.
+ Р Lin
Его можно привести к виду
7 < гЛ - а2п+\Р1п+Х +а2п-\Р2п 1+... + азР3+а1Р
t>2nP2n +b2n~lP2,l~2 + -+b2P2+b0
(2.108)
Частотную характеристику двухполюсника (рис. 2.47) получим
из выражения (2.114) аналогично формуле (2.101). она будет иметь вид

7С0Я(И2 -Ю2)(Ю2 _ю2) (ю2 _^п1) н а2п+х
(С02-С0|)(С02-С0^)...((02-С02!_2)	’ Ь2п
(2.109)
А,
Ьз
Рис. 2.46

152
Рис. 2.47
Другие две формы канонических реактивных двухполюсников,
полученных из схемы рис. 2.45 при отсутствии индуктивности L2tl
и обоих элементов (L2„ и Со), приведены на рис. 2.48.
Для схемы (рис. 2.48, а) входное операторное сопротивление
2вх(р) = Х------------
к=\^ + Р ^1кС2к РС0
Оно приводится к виду
2л	2л—2	2
z ( у _ ainP + ^2п-2Р	+ - + ^2Р +^0
ь2п+^+ь2п^^+...Щр
1
и имеет частотную характеристику
Для схемы (рис. 2.48, б) входное операторное сопротивление
Zix(ri = S—.
Л-ll + p hkc2k
Рис. 2.48
153
Оно приводится к виду
^вх(Р) -
а2л-\Р2п Х+-+а\Р
ЬпР2” +^г-2Р2п~2+-+Ь2Р2 + Ьо
и имеет частотную характеристику
Z	„11П
<Ю2-<^)(О2-Ш^)...(0)2-И^)	( 	*
К одной из четырех форм канонического двухполюсника (рис. 2.45,
2.47 и 2.48) путем преобразований может быть приведен любой
реактивный двухполюсник. Как видно из выражений (2.101), (2.109),
(2.110) и (2.111), частотная характеристика любого из канонических
двухполюсников определяется нулями и полюсами входного сопротив-
ления и может быть построена, если известны эти нули и полюсы и
найдена постоянная Н. Последняя может быть рассчитана из выражения
для входного сопротивления, если известно входное сопротивление
двухполюсника для частоты, не совпадающей пи с нулем, ни с полюсом.
По выражениям (2.101), (2.109), (2.110) и (2.111) можно построить
частотные характеристики входного сопротивления канонических
реактивных двухполюсников. Они приведены на рис. 2.49.
Четными номерами на оси частот со (рис. 2.49) обозначены полюсы,
нечетными — нули частотных характеристик. Внутренние полюсы
ю2 +ю2л-2 соответствуют частотам резонанса параллельных контуров
канонических схем двухполюсников. Внутренние нули соответствуют
частотам последовательного резонанса. Частотные характеристики
двухполюсников, приведенные на рис. 2.49, отличаются только внеш-
ними нулями и полюсами. Рис. 2.49, а соответствует канонической
схеме двухполюсника, изображенного на рис. 2.45. Внешний полюс при
частоте С00 = 0 обусловлен сопротивлением емкости Со, а внешний
полюс при СО —> — индуктивностью L2n. Рис. 2.49, б соответствует
схеме двухполюсника, приведенной на рис. 2.47. Внешний нуль при
частоте COj - 0 обусловлен тем, что двухполюсник пропускает
постоянный ток, а внешний полюс при со —> °°—индуктивностью Ь2п.
Рис. 2.49, в соответствует схеме двухполюсника, приведенной на
рис. 2.48, а. Внешний полюс при соо = 0 определяется емкостью Со,
а внешний нуль при СО —> обусловлен тем, что сопротивление
154
двухполюсника |Zbx| —> 0 при со —> Рис. 2.49, г соответствует схеме
двухполюсника, приведенной на рис. 2.48, б. Двухполюсник пропускает
постоянный ток и в то же время |Zbx| —> 0 при со —> Поэтому частотная
характеристика имеет два внешних нуля.
По уравнениям (2.109), (2.110), (2.111) можно построить параллель-
ные схемы реактивных двухполюсников, аналогично тому, как это
было сделано по уравнению (2.101). С этой целью в уравнениях (2.109),
(2.110), (2.111) перейдем от сопротивлений к проводимостям и, рассуж-
дая аналогично тому, как это было сделано при выводе выражения
(2.107), получим параллельные схемы канонических двухполюсников.
Они приведены в табл. 2.1.
2.6.2. Свойства функций входных сопротивлений
и проводимостей двухполюсников
Рассмотрим свойства пассивных двухполюсников.
1.	Для реактивных двухполюсников
^Вх(Р) _ dZJJvf) > 0
dp d(jai)
155
Для канонической схемы «а» (см. табл. 2.1) имеем
Zbx (Р) = X Г~	+ pLln +	’
к=\1 + Р Ъ?.кС2к	РС0
dZBx(P) _ у 1^(1-р2!^С2к)	_ 1
к=1 (\ + Р2^2.к^2к)2	P2Q
При р = j(p получим
dZBX(jw) _ у b2fc(l+a)2£2A.C2fcJ	1	„
“й ri-<o2wW ®2с0 
Для других схем реактивных двухполюсников результат будет
аналогичен.
Из этого свойства можно сделать вывод относительно частотных
характеристик реактивных двухполюсников: если наклон частотных
характеристик реактивных двухполюсников положителен, то нули и
полюсы этих характеристик должны чередоваться; в противном случае
возникают участки частотной характеристики, где наклон их отрица-
телен, что противоречит доказанному свойству.
Приведенные на рис. 2.49 частотные характеристики канонических
схем реактивных двухполюсников, как видно, доказанному свойству
соответствуют.
Пример 2.24
Модель (одночастотная) кварцевого резонатора изображена на
рис. 2.50, а, где Со — емкость кварцедержателя, С(/,	—
индуктивность, емкость и активное сопротивление кварцевой пластины.
Построить частотную характеристику кварцевого резонатора при
условии г9«со/^.
Так как двухполюсник не пропускает постоянного тока, то при
С00 - 0 Zbx будет иметь полюс. Поскольку нули и полюсы частотной
характеристики чередуются, то следующим за полюсом при (00 = 0 будет
нуль при со - (йр а за нулем — полюс при СО = С02. При со —> °°
двухполюсник будет иметь нуль, обусловленный емкостью Со.
156
Частоты
Рис. 2.50
называются частотами последовательного и параллельного резонанса
кварца. Первая определяется резонансом в последовательном контуре
LqCq, вторая — резонансом во всей цепи (рис. 2.50, б).
Для входной проводимости, например, параллельного двухполюс-
ника типа «б» (см. табл. 2.1)
РСк 1
2л-1
Гвх(^)=1	2	-	,
k=l l + P LkCk
гт	^х(д) v^GO-p^G)	1
Производная —5	= > ———_	---—,прир=/со
dp & (1+Лед2 Р2Ь
получим
^х(» _ 2у1 GO + <o24G) , 1 . о
Й (1-co24G)2 ®2д
2.	Для диссипативного двухполюсника активная часть входного
сопротивления (проводимости) является четной функцией частоты,
а реактивная — нечетной функцией частоты.
157
Uh
00
Таблица 2.1
Схемы канонических двухполюсников
	Последовательная схема								Параллельная схема			Частотная характе- ристика
а	l/i	L4 -ГГГ^	_r^r^ T									X			Рис. 2.55, а
		a X				Gn-2-			ь2и		сз		
									ки-i "Сч_ !			
										ZW4	И		
										II		
6	^2	^'4	l-C.n—1								Z,			Рис. 2.55, 6
	- G HP		c4 HP			£ * L2n C2n-2^r^—				Х*-1 .А»-!		
									II			
в									_£i. „С1			Рис. 2.55, в
	-dh_		Q- X	-c4 Lil—			Cliv- x			Т	Н		
										н £*2и-1		
									II			
г	l2 l4	l2„_2									к		Рис. 2.55, г
		a 4k		c4 41-			Qn-: -4k			£2п-‘ й		
										II		
Для доказательства воспользуемся методом математической ин-
дукции.
Как следует из (2.97) Zm(p) = Д/Д| j. Предположим, что опреде-
литель системы
2ц(р) Zj2(p)
Z21(p) Z21(P)_
Тогда Aj j = Z22(p). При/? =/C0 Z;/ (jco) = г,-,- + у(ю^-
r- ,	aCii
1
Zik(f$) ~ Чк + J ^^~ik
> (A*=1,2).
coC/k JJ
Подставляя значения сопротивлений в определители А и Дц,
получим
Г, (со )+jCOoq(COZ)
(2.112)
где
2	2
J?l(CO ) = ГцГ22-СО -
1
ю2Си
4г—А—
С22
7
~г12г21+ю Дг-
1
(02С12
1
.2-
41 - z
со С21
^(ог)-^! 1^2
1
С1ГС22
1
C£?Qi
“Й2 41
1
co2C2i
-r2i Аг-
1
co2Q2
+г22 Д1
n(co2) = r22; ^i(®2) =
42---2—
со С22,
Выражение (2.112) приводится к виду
^1)	= П (ю2) 4 (со2)+<о2 Aj (ю2) jg (со2)+ХИ (ю2) Zj (со2) - Д (со2)^ (со2)] =
г2(со2)+со2а^(со2)
= ^x(t02)+jco4x(t02)-
159
Таким образом, в случае двухполюсника с матрицей 2x2 активная
часть входного сопротивления является четной, а реактивная —
нечетной функцией частоты.
Теперь предположим, что это утверждение верно для матрицы п х п
и докажем, что оно выполняется для матрицы (и+1)х(н+1), т.е. если
входное сопротивление двухполюсника с матрицей п х п
^,(co2) + ycoX„(co2)
, 2ч •	/ 2ч ’	(2.113)
г„(со ) + усох„(со )
где 7?/;(со2), coZ„(co2)—действительная и мнимая части определителя
п х и, а гп (со2 ), сол;! (со2) — действительная и мнимая части определи-
теля Aj! (размера (п - 1 )х(и - 1)).
Определитель матрицы (п+1 )х(п +1) имеет вид
Zn(jco)
Z12(yco) ...	Z1(,(yco)
An+1 -
^22 (7ю)
^и+1)1(7ю) ^-(п+1)2(7ю) ••• ^п+1)п(7ю)
г1(и+1)(7ю)
Z2(n+l)(7a>)
2сп+1)(п+1)(7ю)

^2/, (7ю)
Разложив определитель А(.+1 по элементам последнего столбца,
получим сумму произведений (-l)-/±(n+1) Zjn+\ (,/со) A jn+i, (j = 1, п +1).
Каждый из определителей и-го порядка A jn+\, (j = 1, п +1) представ-
ляется в виде 7^ (со2) +JcoZ„(co2), а
^j,п+1 (7ю) rj,n+\ "* 7ю Lj n+\
1
“29,n+l > ‘
Перемножая их и суммируя все слагаемые, получим
дп+1 =^1+1(со2) + усоХ„+1(со2).
Определитель Ан —и-го порядка и его можно представить в виде
Д11 = гп+1 (“2) + 7<o^+i (ю2)-
160
Поэтому входное сопротивление двухполюсника с матрицей
(и—1)х(и—1) будет
2	-	2
= *Д4-1((0 ) + ^+1(Ю ) = ^+D((02) + 7(qY(^1)((02);
г„+1((о )+;<йх„+1(® )
|де Я^+1) (со2 ) = Я„+1 (со2 )гп+1 (со2 ) + и2Уи+1(®2 )хп+1 (ю2);
*1х+1) (®2) = 51+1 (®2 )^„+i (ю2) - R„+1 (со2 )хл+1 (со2).
Таким образом, мы доказали, что у двухполюсника с матрицей
(и+ 1)х(и+1) действительная часть входного сопротивления является
четной функцией, а реактивная часть — нечетной функцией частоты.
Следовательно, утверждение доказано.
Проводимость
у (уо) =	1	=___________1_________— *вх((о )~jClYbx(co ) _
zbx(» Abx(®2) + jcoYbx(®2) Лвх(®2) + ®2^вх(®2)
= gBx(®2)-./co/X(o2).
Из полученного выражения видно, что и д ля проводимости двухпо-
люсника действительная его часть является четной, а мнимая—нечет-
ной функцией частоты.
Из свойства четности активной и нечетности реактивной составля-
ющих входного сопротивления следует, что при со —> 0 или со —> «>
активная составляющая будет стремиться к постоянной величине,
а реактивная—к нулю или бесконечности.
Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником,
равна i2 Re[ZBX(»]>0. Таккак j2 >0, то Re[ZBX(jco)]>0; т.е.актив-
ная часть входного сопротивления диссипативного двухполюсника
неотрицательна. Это же можно утверждать и относительно активной
части входной проводимости.
3.	Расположе! 1ие нулей и полюсов входного сопротивления (проводи-
мости).
Для двухполюсника рис. 2.44 найдем импульсную характеристику.
Учитывая (2.98), получим
с+7°°
7г(/) = —2_ J -^^Лр = ^ге5(р = р,).
11 Теория линейных ел. целей
161
Для вычисления вычетов в полюсах подынтегральной функции
надо найти корни знаменателя, решив уравнение М(р) = 0. При этом
возможны следующие варианты:
-	все корни однократные (они могут быть действительными и комп-
лексными);
-	кратные корни.
Так как коэффициенты уравнения М(р) = 0 действительные, то
комплексные корни могут быть только комплексно сопряженными
парами.
Вычет в полюсе кратности п равен
z ч 1 dn~X f, N(p) pt'
res(p = pi) = --— lim —-A(p-pt) -тт^еР k (2.114)
(n-iy.p-^pt dpn 1 I	M(p)	v ’
Если корни однократные, то каждому корню р, = а, + j[3z будет
соответствовать выражение
reS(p = P/.) = -^Mea''?₽<
М (pt)
где М {р)=	.
(P-Pi)
В зависимости от знака ос;- импульсная характеристика при г —> <*=
будет неограниченно возрастать (а, > 0), либо уменьшаться ( а, < 0).
Случай ос, = 0 является граничным, он соответствует существованию
гармонических колебаний в двухполюснике. Пассивному двухполюс-
нику соответствует случай ос, < 0. Поэтому действительные части
корней должны быть отрицательными.
Если корни кратные, то вычет в полюсе кратности п вычисляется по
формуле (2.114). Рассмотрим его. Обозначим	(р-р,)п = А(р).
М(р)
Тогда производная
тИ-1 Г	1	п-1	п-1
^{4(р)е^}= ХС^(т)(р)(^‘)п-1-т = ^Сп-1А(т)(рГ-т-1еР‘,
dp	/п=о	/и=о
где —число сочетаний из п -1 по т;	(р) производная порядка
т от А(р).
162
Подставив выражение для производной в (2.120), получим вычет в
и-кратном полюсе Pj.
rest, = й) = -2-	(2.115)
Как видно из (2.115) поведение res(p = р^ при t существенно
зависит от знака действительной части корня pt и кратности корня п.
Если Re pt < 0, то при любой кратности п res(p =р/)—> 0 при t —> Если
Re Pi = 0 (корень мнимый), то при п > 1 res(p = р;)-> °° при /-»<», что не
соответствует пассивному двухполюснику.
На комплексной плоскости (рис. 2.51) Rep; < 0 соответствует левая часть
плоскости, Re pt > 0 — правая полуплоскость, a Rep( = 0 — мнимая ось.
Действительным корням отвечает ось Re р. Если двухполюсник
пассивный, то резюмируя изложенное, можно сделать следующие
выводы:
1.	Полюсы его входного сопротивления располагаются в левой части
плоскости (Re /г < 0), они могут быть кратными.
2.	Если полюсы располагаются на мнимой оси (Re pt = 0), то они
должны быть однократными.
3.	Комплексные полюсы располагаются в левой части плоскости
комплексно сопряженными парами симметрично относительно
действительной оси.
Чтобы установить место расположения полюсов входной проводи-
мости, найдем импульсную характеристику для тока через двух-
полюсник (рис. 2.52).
pt*
р\ Р}
*
pi*
Im р
ру
, * Rep
Р\
Рис. 2.52
Рис. 2.51
163
Изображение импульсной характеристики
/?(р) =
1
Др)
М(р)
ЩрУ
Импульсная характеристика
2pJ>, N(p)
Рассуждая аналогично предыдущему, можно сделать следующие
выводы.
1.	Если двухполюсник пассивный, то полюсы его входной проводи-
мости располагаются в левой части плоскости (Re р • < 0). Они могут
быть кратными.
2.	Если имеются полюсы на мнимой оси, то они должны быть
однократными.
3.	Комплексные полюсы располагаются в левой части плоскости
комплексно сопряженными парами симметрично относительно
действительной оси.
Так как полюсы входной проводимости являются нулями входного
сопротивления, а полюсы входного сопротивления являются нулями
входной проводимости, то можно сделать выводы относительно
расположения нулей и полюсов входного сопротивления (проводи-
мости). Нули и полюсы входного сопротивления (проводимости)
пассивного двухполюсника находятся в левой части плоскости или на
мнимой оси; в последнем случае они должны быть однократными.
4.	Два двухполюсника, имеющие разную структуру, эквивалентны
в электрическом смысле, если их сопротивления или проводимости
равны во всем спектре частот. Очевидно, эквивалентность имеет место,
если совпадают их нули и полюсы и постоянные Н.
5.	Два двухполюсника называются обратными, если произведение
их сопротивлений или проводимостей равны постоянной величине.
Очевидно, это свойство выполняется, если нули и полюсы одного двух-
полюсника совпадают с полюсами и нулями другого.
164
Например, если
1	((D2-^)^-®2)...^2-®2^)
=__(®2-®g)(®2-c^)-(®2-®^_2)
1 уюНг!®2-®?)!®2-^) -t®2-®^-!)
н
Тогда	= —-=const и двухполюсники I и II являются обратными.
Н2
Пример 2.25
Последовательный (рис. 2.53, а) и параллельный (рис. 2.53, б) кон-
туры являются взаимно обратными.
2посл =r + j(G)L—i—) = r(l + jQa), где 2 = ^^; —-^- = а;
®С	г ®0	®
z	L/c
(£>С
где
1	r	L о Р2 „
Г1 <<	(&L, п + Г2 — г, — — р ,	— Rqq , -ZnocjI.Znap — rRoc — const.
0)C	C r
Следовательно, параллельный и последовательный контуры взаимно
обратны.
165
2.6.3. Синтез схем двухполюсников по заданной функции
входного сопротивления (проводимости)
Задача синтеза заключается в построении схемы двухполюсника
по заданной функции его входного сопротивления или проводимости.
В отличие от задачи анализа, которая решается однозначно, задача
синтеза имеет несколько вариантов решения, каждый из которых
сводится к отысканию комбинации элементов электрической цепи,
в целом удовлетворяющей функции входного сопротивления или
проводимости. При этом используются свойства функций ZBX(p) или
Квх(р) и составных элементов.
Синтез состоит из двух этапов.
1. Разложение ZBX(p) или Увх(р) на составляющие их элементы.
2. Реализация.
При разложении ZBX(p) или Увх(р) на составляющие их элементы
используются свойства этих функций. Этап реализации может быть
решен только в том случае, если двухполюсник может быть составлен
из положительных вещественных элементов: сопротивлений, индуктив-
ностей, емкостей. При этом в физической реализуемости, осуществи-
мости можно убедиться заранее, если провести исследование свойств
ZBX(p) или Увх(р), описанных в п. 2.6.2.
Синтезируемый двухполюсник будет реализуем, если
-	коэффициенты полиномов числителя и знаменателя ZBX(p) или
Увх(р) положительны;
-	отсутствуют нули и полюсы ZBX(p) или Увх(р) в правой полуплос-
кости комплексного переменного р;
-	нули и полюсы ZBX(p) или Увх(р), расположенные на мнимой оси,
однократные;
-действительные части ZBX(p) или Увх(р) положительны или равны
нулю.
Для построения двухполюсника по заданной функции ZBX(p) или
Увх(р) применяют:
-	метод последовательного выделения нулей и полюсов;
-	метод разложения ZBX(p) или Увх(р) в непрерывную дробь.
166
Метод последовательного выделения нулей и полюсов
Пусть 2^х(р) = -^Р +^г )Р.	Все коэффициенты cij {j -1, п),
Ь1пРт^Ьт-\р1П +с\)
bj (j - 1,т) положительны. Если степень полинома числителя больше
степени полинома знаменателя, то поделив числитель на знаменатель
по правилам деления многочлена на многочлен (см. глава 1), получим
ZBX(p) = а-Р + ^P'”+^-iP'w~1+--+flo = а р + z
где =—--------действительная положительная величина. Прир =у®
Ьт
а^р- ja^G), т.е. на мнимой оси Re(aTOp) = 0. Так как Re2^x(p)>0
прир =7®, то Re^6in>>0 и ^(j®) удовлетворяют условиям реализу-
емости.
Если Z] (р) ( а следовательно и ZBX(p)) имеет полюсы рк = ± j(S)k и
р = 0 с вычетами ак и а0, то Z, (р) можно разложить на элементарные
дроби:
+Z2(p)=^+i-^+Z2(p). (2.116)
Р к=1Р +(0/<
, «А

Р к^Р+^к P-J^k
Каждое слагаемое под знаком суммы в (2.116) соответствует паре
комплексно сопряженных корней знаменателя на мнимой оси.
тт	«о 2о.кр
На миимои оси выражения — и —---------z- принимают чисто
р p2+®i
мнимые значения и поэтому ReZ2(p) > 0, т.е. функция Z2(p) удовлет-
воряет условиям реализуемости.
Функция Z2(p), получившаяся из функции Zj(p) после выделения
из последней всех полюсов, лежащих на мнимой оси, может иметь
полюсы в левой полуплоскости.
167
Если Z2(p) не имеет полюсов в левой полуплоскости, то в
соответствии с теоремой Лиувиля она равна постоянной а0.
Если же Z2(p) имеет полюсы в левой части плоскости, то, найдя их,
получим	/
^(Р) = Х
А=1
_ у ЛУк (р + P/J - 8Аюа1 , „
k=i (Р+$к) + (йк
У к + fok , У к - fok
р+$к-№к p+vk+jtok
+ а0 -
(2.117)
Из (2.117) видно, что корни в левой полуплоскости комплексного
переменного р имеют комплексно сопряженные вычеты. Каждое
слагаемое под знаком суммы в (2.117) соответствует паре комплексно
сопряженных корней в левой полуплоскости. Так как в результате
выделения полюсов в Z2(p) оставшаяся часть функции особенностей
не имеет, то она равна постоянной а0.
Учитывая (2.116), (2.117), функция ZBX(p) может быть представлена
в виде
Z (гА-а п + а°+^ 2акР +У ^^(Р + Ра)-8^] , п хэ11СЧ
zbx (Р)~ а~Р + — + Т,—з у + /,----т , + «0 • (2.118)
Р к=\Р +(йк к=\ (Р + Ра) + ®А
В результате функция ZBX(p) разложена на составляющие элементы.
Перед реализацией необходимо определить коэффициенты (У^,с^,и.к,ук.
ап
Коэффициент осте - Для определения коэффициента а0 умножим
левую и правую части (2.118) на р и перейдем к пределу. Получим
lim [р-4х(р)] = Нт аозр2 +
р—>0	р—>0
у 2«аР у 2-УкР(Р+$к) ,
а0 + Z~2-----2 +L 2 7R-------72 + а0Р b
к=\Р + ®А k=lP + 2РаР + Ра
Из последнего соотношения получим
«0 = lim[pZBX(p)].	(2.119)
Для определения умножим обе части (2.118) на (р2 + <о2.) и,
перейдя к пределу при р-э j(ok, получим
168
Um[(P1 2+®bz«(P)], *=(U)-
Z J^k
(2.120)
Для определения (Yfc + j'Sjt) умножим обе части (2.118) на
(р + - j(£>k) и перейдем к пределу при р -э (-р^ + j(Ok). Получим
(Tjt+y'Sjt)= Дт [(p + Pfc - j(Hk)Zex(p)l к = 0,1).	(2.121)
Для определения (Ya--jS^) умножим обе части (2.118) на
(р + Ра + J^k) и перейдем к пределу при р -э (-р^ - j(f>k). Получим
(7k~fik)= lim [(P + $k + Mzex(P)lk = (lJ)- (2.122)
Д->(-₽а-М)
Решая совместно (2.121) и (2.122), получим ук,8к (к = 1,1).
Рассмотрим реализацию. Первое слагаемое в (2.124) означает полюс
при р следовательно, в схеме двухполюсника это слагаемое
реализуется индуктивностью -а.^. Второе слагаемое — имеет
Р 1
полюс при р —> 0, что равносильно наличию в схеме емкости Q =—.
«о
Каждое слагаемое в первой сумме соответствует параллельно включен-
1	1 Э 1	--
ным емкости Ск =---и индуктивности 1^=——--------------,к=(1,д).
^к	(йкСк Lkck
Каждое из слагаемых во второй сумме выражения (2.118) приводится
к виду
З-ЧкР + 2faPfc ~ ?>к®к )
Р2 + 2PfcP + Р^ + 0)2
Сравним полученное выражение с сопротивлением двухполюсника
Zk(p), приведенного на рис. 2.54.
1
-------------------------р +_д—
^кгк---------------------^-к^кгк
Rk . 1
Zk(P) =---
2
; ^1=——
4 + гло2	4Q-
----
гк
р +р — +------
4 скгк
169
R*
Рис. 2.54
Если 2yfc = -А-; 2(yA.pfr - 5А.юА.) =	; 2₽Л = + -Д-;
Ck>'k	4&krk	4: Ck>'k
у у Rl. Hh Л7 2
Pt- + a>£ =---—	, то каждое слагаемое во второй сумме (2.118)
Гк
может быть реализовано двухполюсником (рис. 2.54). Для расчета
параметров двухполюсника имеется требуемое число уравнений.
И, наконец, последнее слагаемое в (2.118) реализуется сопротив-
лением г = а0.
Таким образом, применение метода последовательного выделения
нулей и полюсов приводит в общем случае к реализации двухполюсника
в виде Увх(р).
Если в качестве характеристики синтезируемого двухполюсника
задана проводимость Квх(р), то синтез проводится таким же образом,
как показано выше. При этом в качестве реализации получается двухпо-
люсник, обратный приведенному на рис. 2.55.
Рис. 2.55
Метод разложения в непрерывную дробь
При синтезе этим методом используются канонические цепные
схемы (рис. 2.56).
170
Рис. 2.56
Для такой схемы
Z=Zj +
1
1
1
1
1
'п
Синтез двухполюсника этим методом производится следующим
образом. Допустим, что заданная функция входного сопротивления
двухполюсника ZBx(p) удовлетворяет условиям реализуемости:
7 < п\ =	= а2"р2П +а2п-2РЪ' 2 +—+Q2P2 +а0
^{р) М(Р) ' Ь2п^ +Ь2п_3р^ +...+Ьзр3 +Ь.р 
Степень полинома числителя больше степени полинома знаменателя
на единицу. Тогда, поделив числитель на знаменатель, получим
„ , ч «2и	а1п	1
Ь2п-Х М(р) Ь1п_/ М{р1
М(т)
где остаток от деления N (р) имеет степень старшего члена (2/7-2),
а М(р) — степень (2и-1). Поэтому, разделив М(р) на Nfp), получим
2вх(т) = ^Р+---------
b2n-l	dp + -^
М(р)
171
Первое слагаемое в последнем выражении имеет нуль при р = О
и полюс прир —> со, следовательно оно реализуется индуктивностью,
^2
т.е. = Ц. Второе слагаемое {dp) имеет полюс прир - 0 и нуль
при р > оо. Следовательно, оно реализуется емкостью, т.е. d=Ci. Кроме
того, Мх(р)—остаток отделения М{р) на Р/Х(р)—имеет степень меньше
степени полинома N^(p). Поэтому
Zbx(p) = ЦР +---——
РС'+~ЩР)
Мх(р)
Разделив (р) на (р), получим
М(Р) _	. М2{р) ~
M,(rt-^+M,(/»OCTaTOK
Nz(p) отделения Nr(p) на М^{р) имеет степень меньше на единицу, чем
полином М г(р), поэтому
Zbx (р) = Ц Р +--------г-----•
рСу+------^-у—
рЬ2+~М^р)
Ni{p)
Деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится сопро-
тивление или проводимость известного двухполюсника.
В итоге получаем полную схему реактивного двухполюсника рис. 2.57.
При синтезе путем разложения в непрерывную дробь схема
синтезируемого двухполюсника зависит от того, как расположены
Рис. 2.57
172
Рис. 2.58
полиномы N(p) и М(р)—по восходящим или нисходящим степеням р.
Выше был рассмотрен способ, когда полиномы расположены по
нисходящим степеням р. Теперь расположим их по восходящим
степеням, т.е. пусть
7 (	ао + а1Р2+а4Р4 + +а2пР2п
хР М(р) bip + b3p3+b5p5+...+b2fl_lp2"~i
Разделив N(p) на М(р), получим
1
_ . . «л	1	1	1
^ВХ (р) — ~Г	» YZ X /	г *	]
b\p М(Р)/	Л pCi __________1________
/М(р)	,	1
рЦ+--------1—
РС2+-------
pL2+...
В результате получим двухполюсник, приведенный на рис. 2.58.
Аналогично можно синтезировать двухполюсник по заданной
проводимости Увх(/?).
2.7. Четырехполюсники
Четырехполюсником называется любая электрическая цепь, име-
ющая две пары зажимов (рис. 2.59). Зажимы, к которым подключается
источник сигнала, называются входными, а к которым подключается
нагрузка, называются выходными.
В зависимости от типа дифференциального уравнения, которыми*
описываются четырехполюсники, они могут быть линейными или не-
линейными.
173
Рис. 2.59
Линейный четырехполюсник описывается линейным дифференци-
альным уравнением, нелинейный четырехполюа шк—нелинейным ди-
фференциальным уравнением.
В зависимости от типа линейного дифференциального уравнения,
которым описывается четырехполюсник, последние могут быть с сос-
редоточенными или распределенными параметрами. Линейный четы-
рехполюсник, описываемый линейным дифференциальным уравнени-
ем с постоянными коэффициентами, является четырехполюсником с
сосредоточенными параметрами. Примерами таких четырехполюсни-
ков являются фильтры, транзисторы. Линейный четырехполюсник с рас-
пределенными параметрами описывается линейным диффсреш шаль-
ным уравнением в частных производных. Rpi [мером такого четырехпо-
люсника является рельсовая цепь.
Четырехполюсники могут быть активными или пассивными. На вне-
шних зажимах активного четырехполюсника обнаруживаются напря-
жения, либо токи через двухполюсники, подключаемые к его внешним
зажимам. Появление напряжений или токов на внешних зажимах четы-
рехполюсника является следствием наличия внутри него нескомпенси-
роваиных источников энергии. На внешних зажимах пассивного четы-
рехполюсника не обнаруживается напряжений и токов (при подключе-
нии к нему двухполюсников), что говорит либо об отсутствии внутри
него источников энергии, либо об их скомпенсированное™ относитель-
но внешних зажимов.
Например, в четырехполюснике (рис. 2.60) имеется три источника
напряжения U. Однако относительно внешних зажимов они скомпен-
сированы и напряжения на выходе и входе равны нулю. Поэтому, не-
смотря на наличие внутри него источников энергии, данный четырех-
полюсник является пассивным.
Активный четырехполюсник называется автономным, если при от-
соединении его от остальной схемы на его внешних зажимах обнару-
живаются напряжения. Если источники внутри четырехполюсника за-
174
и и
Рис. 2.60
висимы, то при отключении его от остальной цепи напряжения на ра-
зомкнутых зажимах четырехполюсника не обнаруживаются. Такой че-
тырехполюсник называется неавтономным. Примером такого четырех-
полюсника является модель транзистора.
Четырехполюсники бывают обратимые и необратимые. Обратимые
четырехполюсники подчиняются принципу взаимности. Такие четы-
рехполюсники имеют матрицу сопротивлений или проводимостей, сим-
метричную относительно главной диагонали (см. пример 2.9). Необра-
тимые четырехполюсники имеют матрицу сопротивлений или прово-
димостей, несимметричную относительно главной диагонали. Они не
подчиняются принципу взаимности. Примерами таких четырехполю-
сников являются схемы, содержащие зависимые источники тока или
напряжения (см. пример 2.11).
Четырехполюсник называется симметричным, если перемена места-
ми его входных и выходных зажимов не изменяет токов и напряжений
в цепи, к которой он подключен. В противном случае он несимметри-
чен. Симметричный четырехполюсник всегда обратим.
Большим достоинством теории четырехполюсника, обусловившим
ее широкое применение, является следующее.
1.	Пользуясь обобщенными параметрами четырехполюсника, мо-
жно рассчитать напряжения и токи на его входе и выходе, не производя
расчеты внутри цепи, рассматриваемой как четырехполюсник. Это да-
ет возможность оценить передающие свойства цепей, различных по
своей структуре (например, фильтр, рельсовая цепь).
2.	Сложная электрическая цепь (например, канал связи, рельсовая
цепь большой протяженности с разветвлениями) может быть разбита
на ряд четырехполюсников, включенных последовательно, параллельно
или комбинированно. Зная параметры отдельных четырехполюсников,
можно получить формулы для расчета характеристик всей цепи через
параметры составляющих ее четырехполюсников.
175
2.1 Л. Системы уравнений четырехполюсника
При выводе уравнений четырехполюсника будем пользоваться
методом комплексных амплитуд. Предположим, что на вход четырех-
полюсника (рис. 2.61, а) действует входное напряжение с комплексной
амплитудой Ц, за счет чего на его входе ( на ZH) возникает выходное
напряжение с комплексной амплитудой Ц = 72^, гДе 72—комплекс-
ная амшп 1туда тока на выходе.
В соответствии с теоремой компенсации сопротивление ZH на
рис. 2.61, а можно заменить источником Й2, что не изменит токов и
напряжений в четырехполюснике. В результате получим схему,
приведенную на рис. 2.61, б.
В общем случае четырехполюсник может представлять собой
сложную цепь, имеющую много узлов и ветвей. Используя метод
контурных токов, получим систему уравнений, описывающую
четырехполюсник
ZI = U,	(2.123)
где Z—матрица сопротивлений, равная
Рис. 2.61
176
Решая методом Крамера уравнение (2.123) относительно входного
/| и выходного /2 токов, получим
/,=А;
1 А А
где А — определитель матрицы Z, a Dj и Z>2 — определители матриц
Й Z]2 ... Z]„		Zu Й] ... Z]„‘	
Йг Z22 ... Z2n		-^21 ^2 — Z2n	
			, соответственно.
0 Zn2  Znn.		Zn\ 0	Znn_	
Разложив определители и D2 по элементам столбца, содержащего
задающие напряжения Й] и U2, получим
A =	^11 ц + (_1)2+1 Й21 й2 = --И-Ц -	Й2;
А	А А А
- 4 = (-1	Ц + (-1)м ^иг =	</,	<4,
А	А А А
где A j j, А21, А}2, А22—алгебраические дополнения элементов Z] j, Z21,
Z|2,Z22.
Полученную систему уравнений запишем в виде
А = Ч1Ц + ^12^2
Л = ВД + ВД>’	(2124)
где обозначено	= ^11; })2 = _^2£.	=-^L_
AAA	A
Уравнения (2.129) называются системой Y.
Физический смысл параметров в системе (2.124) можно выяснить,
проделав опыты короткого замыкания на входе и выходе.
При [Л, = 0 (короткое замыкание на выходе) из системы (2.124)
А
получим If] = -г- — входная проводимость четырехполюсника при
й
12 Теория линейных эл. целей
177
коротком замыкании на выходе; v — h_ —взаимная проводимость
Ц
между входом и выходом при закороченных выходных зажимах.
При Ц = О (закорочены входные зажимы) из системы (2.124)
v А>
получим /22 ~ ----входная проводимость со стороны выходных
с/2	
зажимов при замкнутых входных зажимах; lf2 = -----взаимная
проводимость между входом и выходом при закороченных входных
зажимах.
Решая систему (2.124) относительно напряжений на входе и выходе,
получим
Ц = А
A = z21A + z22/2,	(2Л25)
гпе7 _^2.7 _ ^2.7 _ %1.7 _М1
где Zji—— ,42-—,Z2j	,
Ду	Ду	Ду д
Ду = 111122-^21 lf2—определитель системы (2.124).
Система (2.125) называется системой Z.
Физический смысл параметров системы (2.125) можно выяснить,
проделав опыт холостого хода на входе и выходе четырехполюсника.
При холостом ходе на выходе (/2 =0) из (2.125) получим Zu =-^- —
Л
входное сопротивление четырехполюсника при холостом ходе на
7
выходе; -£21 = ~Г~—взаимное сопротивление между входом и выходом
Л
при холостом ходе на выходе четырехполюсника.
При холостом ходе на входе (/1 = 0) из (2.125) получим: Zj2 =^- —
взаимное сопротивление между входом и выходом при холостом ходе
„	^2
на входе четырехполюсника; Z22 =	— входное сопротивление
h
четырехполюсника со стороны выходных зажимов при холостом ходе
на входе.
178
Переход от системы Y к системе Z можно коротко записать так:
41 2i2 _	-Уп/^y
Z2\	~Y21/^Y М1/Ау .
Соотношение (2.126) называется формулой перехода.
Если из системы (2.124) найти Ц и У) , то получим
ц -41^2 +
/1 = Al^2 + A22h’
(2.126)
(2.127)
л Y22 л 1 л Ay л *11
где 4i =-^- Ап А21=--У; А22 = -^.
*21	*21	*21	*21
Система уравнений (2.127) называется системой А.
При холостом ходе на выходе (12 = 0) из первого уравнения (2.127)
л
получим 41	—затухание четырехполюсника по напряжению при
f/2	.
холостом ходе на выходе, а из второго уравнения 4г1 = -Д-—переход-
U2
ная проводимость при холостом ходе на выходе.
При коротком замыкании на выходе ( U2 = 0) из системы (2.127)
Й.
получим 4 г = •—переходное сопротивление четырехполюсника при
^2
коротком замыкании на выходе;	=Д- — затухание четырех-
/2
полюсника по току при коротком замыкании на выходе.
Формула перехода от системы Y к системе А имеет вид
А=
41 4г _ — *22/^1 V^l
_А2\ 422.	~^y/Y2\ Y\\!Y2\_
Найдя из уравнений (2.127) U2 и 12, получим
/2 = ^21^1 +в22ц,
(2.128)
(2.129)
179
где
о _ 412 . о _ 42 . о _ 421 .
41 - -г—’ 4г »-41	>
Ад Ад Ад
А
4г =——; Ал = 41422 - 41421 •
Ад
Для обратимого четырехполюсника Л12=Д21, 4г~~ 4г Поэтому
д _	, Y22Yn-Yl2Y2i _	_	.
Ад  ----j— +-----2--------1, 41 - А22,
Y11 *fl
412 = “4г; 41 =-4ь 4г = 41-
Формула перехода от системы А к В в общем случае имеет вид
[41 411 Г ^111А а “42/Ад1
.41 42. .“41/Ад	41/Ад .	(2-130)
При холостом ходе на входе ( Л = 0) из уравнений (2.129) получим:
„ й2
41	—комплексный коэффициент передачи четырехполюсника
Ь
при холостом ходе на входе; 2?2] =	— переходная проводимость
ц
четырехполюсника при холостом ходе на входе.
При коротком замыкании на входе ( ц = 0 ) из уравнений (2.129)
й2
получим В\2=^~ — переходное сопротивление при коротком
h
замыкании на входе; 4г =• —комплексный коэффициент передачи
h
четырехполюсника по току при коротком замыкании на входе.
Из системы уравнений (2.127) найдем Ц и 4, получим
= //ц/2 + Hy2U2
\12 = нпц+н22и2,	(2131)
180
rr -4? TT A J TT 1 rr	r,
где «п =——; Hn =——; «21 =~7—; #22 =——• Для обратимого
422	422	A22	A22
четырехполюсника AA = 41A22 ~ ^214г = 1 и #12 = V422 = #21 
Система (2.131) называется //-системой.
Формула перехода от системы А к системе Н имеет вид:
н_ #11 #12 _ 4г/422	^а/А22
.#21 #22.	. 1/422	“421/422.
При коротком замыкании на выходе (Ц = 0 ) из системы (2.131)
получим Нц =-^~ —входное сопротивление четырехполюсника при
h
коротком замыкании на выходе; Н21 = • —комплексный коэффициент
h
передачи четырехполюсника по току при коротком замыкании на
выходе.
При холостом ходе на входе ( Д = 0) из уравнений (2.131) получим
Ц
7/12 =	— затухание четырехполюсника по напряжению при
U2
.. h
холостом ходе на входе; 7/22 = -проводимость четырехполюсника
и2
со стороны выходных зажимов при холостом ходе на входе.
Решая систему уравнений (2.137) относительно Д,	получим
Д =Сц(Д +#12^2
U2 = G2XUX+G22i2,	(2ЛЗЗ)
где Gn =^;С12=-^;#21 =-^;#22=^- Система(2.133)
Ая	Ьн
называется G-системой. Формула перехода от системы Н к системе G
имеет вид
181
Gil
р21
(712 _ Н22/ДН -Н\11^Н
^22_	_-#21/ДЯ	#11/ДЯ
(2.134)
При холостом ходе на выходе ( /2 = 0 ) из уравнений (2.133) получим
„ А
G] ] = -т4-входная проводимость четырехполюсника при холостом
Ц
ходе на выходе; G2j = -А — комплексный коэффициент передачи
Ц
четырехполюсника при холостом ходе на выходе.
При коротком замыкании на входе ( й2 =0) из уравнений (2.133)
„ А
получим G12 = ----затухание по току четырехполюсника при
h
„ U2
коротком замыкании входа; G22—входное сопротивление
h
четырехполюсника со стороны выходных зажимов при коротком
замыкании входа.
Таким образом, в любой системе уравнений четырехполюсник
характеризуется в общем случае четырьмя параметрами. Если
четырехполюсник обратим, то Д]2 - Д2] и он может характеризоваться
тремя параметрами. В случае симметричного четырехполюсника
ДП = Д22, откуда следует Уц = T22,Zn = 222ит.д. Это сокращает число
необходимых параметров до двух.
Формулы перехода из одной системы уравнений в другую,
аналогичные приведенным (см. (2.126), (2.128), (2.130), (2.132), (2.134)),
могут быть получены так же, как получены упомянутые.
Связь между параметрами различных систем уравнений приведена
в табл. 2.2.
Параметры любой из систем четырехполюсника могут быть либо
рассчитаны любым методом анализа линейных электрических цепей,
либо из опытов холостого хода или короткого замыкания. Пример
применения одного из методов анализа линейных цепей (контурных
182
Таблица 2.2
	Y	Z	A	в	Н	G
Y	Y У '11 42 У У 2Г22	?22 ~^12 дх дх ~21 гп дх дг	^22 "ДЛ 2г 2г 1 ~All 2г Ai2	"^11 1 ^12 ^12 ~^В ^22 ^12 ^12	f a? <*|af -аг аГ|аГ	Г. 1	О| > К 1о С> _ КГ-'	Ю I-J
Z	У -У *22 42 ДУ Ду Ду Ду	21^12 z,] z22	An ~ДЛ 2л л21 1 ~A22 A2l ^21	_^22 JL ^21 Й21 ДД 21 2i 21	<Ч| <4 аГаГ sra аГаГ < (а:	।	1	С12 21 21 21 дс 2i 21
А	_L *21 *21 *21 *21	Z\\ ~^7_ 7 7 ^21 zl 1 ~^22 Z2| z21	All Ап ^1^2	г:	~i cq EQ |< Jr г	дн 21 2i 21 2г 1 2i 21	1 -22 2i 21 21 "дс 2i 2i
В	*12 *12 ДУ Y22 *12 *12	-N| — _N,J4 N> I	N> K) -N N	^22~^I2 дл дл А А ^21 2и Ал Ал А А	212г 212г	Az2i 2г 2г 7/^2 Т^2~^2	"Ад 2з 2г 2г z2iX 2г 2г
Н	1 ~*12 *il *il *21 ДУ *il *П	ДХ 2 2 Z22 2z2 -221 1	^2 ДЛ ^22 ^22 AzA.1 212 ^22	-l«= <ъ=	к>	2г ~2г Ag дс ~21 21 дс дс
		z22 z22				
G	ДУ *12 *22 *22 ~ *21 1 *22 *22	1 ~^12 21 21 211 ДХ Zi\ Z\\	^21 ДЛ 2i 21 1 ~А12 2i 21	"2i I 2г 2г Дд 2 г 2г 2г	2г 2 г дн дн ~2i 21 дн дн	212г 212г
токов) дан в начале этого раздела. Рассмотрим ряд примеров применения
опытов холостого хода или короткого замыкания для расчета параметров
четырехполюсников.
183
Пример 2.26
Для четырехполюсника рис. 2.62, а найдем параметры в системе А.
В режиме холостого хода на выходе (/2 = 0) из схемы получим
л . . Л 1
Л[ j = -т— = 1; /121 =	= —, в режиме короткого замыкания на выходе
1/2	б2 Zj
(Й2=0)
Л.	7.	А А 1
42--j~-Z2>	Z22=~r-	= —;
72	У2	Z1
т -	^1	= ^1(Z1 +z2) J _ Ц
1 Z1Z2 ZjZ2 ’	2” z2'
zl + z2
*		Z
Подставив /1 и /2 в выражение для Л22, получим Л22 =1 + —.
Z1
Таким образом, матрица^ для четырехполюсника (рис. 2.62, а)
имеет вид
1
1
А=
LZ1
Z2
Zi
Пример 2.27
Найдем матрицу А четырехполюсника, приведенного на рис. 2.62, б.
В режиме холостого хода на выходе ( /2 = 0 ) найдем Й2 -	t
Рис. 2.62
184
.	<7j Z^+Z . Сх	л Л 1 _
поэтому 41=“=—-----;/i=--1, поэтому 4г1=^~-—-Врежиме
<72 Z3 4+Z3	^2 Z3
f71Z3
короткого замыкания по выходу (/2 = 0) Z2 = /гг ~
4(^+Z3) + Z2Z3
Поэтому 42 Л = *1(Z2 +Z3) + Z2Z3  =	<7,(Z2 + ZQ 
/2	Z3	Z1(Z2 + Z3) + Z2Z3
Zl z2 + z3
поэтому 4гг	~
Матрица^ для четырехполюсника на рис. 2.62, б имеет вид
ZKZz+Zjj+Z^
z3
Z2+Z3
4
Пример 2.28
Найдем А матрицу для мостового четырехполюсника, приведенного
на рис. 2.63,0.
В режиме холостого хода на выходе (Z2=0) — см. схему
рис. 2.63, б — получим U2 =	---^2-------------L_Поэтому
Z]+Z2 Z1+Z2 Z2 + Zx
Л Л 2
поэтому л21 = -7~ =---
U2 Z2-Z1
л _Z2+ZX_ 1 • _	<71
Д | — —-— —--- — 1л —-----
U2 Z2-Z1	2 Zj+z2
Рис. 2.63
185
В режиме короткого замыкания по выходу (U2 = 0) — см. схему
рис. 2.63, в — получим
г J. j _Щ. J _1 ц. > -1//1
1 1
2 Z2Z3
A z^
 U\ Zj+Z2	. t/j 2ZjZ2 .	/] Zj + Z2
h =—поэтому Я12 = -Д- =---A22=~ = —------.
2 ZiZ2	I2 Z2-Zi’ I2 Z2-Z{
Таким образом, /(-матрица для четырехполюсника рис. 2.63, а
имеет вид
Z2-Zi
2
A =
2Z;Z2 '
z2-z{
Z\ + Z2
Z2-ZiJ
Lz2-Z!
Матрицы в других системах могут быть получены из Л-матриц при
помощи формул перехода, приведенных в табл. 2.2.
В цепях с распределенными параметрами широко используются
другие матрицы, характерные для волновых процессов. Они связывают
между собой падающие и отраженные волны, возникающие в линии
с распределенными параметрами (рельсовая цепь, кабель в устройствах
связи). На рис. 2.64 изображен линейный четырехполюсник, ко входу
и выходу которого подключены две линии с волновыми сопротив-
лениями ZB1 и ZB2- Линейный четырехполюсник можно описать
уравнениями
Ц - д 1 й2 + 42/2
/1 = Z2\U2 + А2212.
(2.135)
Комплексные амплитуды напряжений , U2 и токов Ц, /2
связаны, как известно, с комплексными амплитудами падающих
и отраженных волн следующим образом:
^пад+Йотр А	= ^2пад + ^2ОТр;
ZB1 zB1
j _ ^2пад ^2отр
ZB2 ZB2
(2.136)
186
Отраженные волны
t/1
Линейный
4-полюсник
О2
Падающие волны
Рис. 2.64
Если соотношения (2.136) подставить в (2.135), то можно получить
шесть систем уравнений, в каждой из которых связаны между собой
комплексные амплитуды падающих и отраженных волн на входе
и выходе линейного четырехполюсника. Из всех возможных шести
систем уравнений применяются две.
1. Приняв за независимые переменные комплексные амплитуды
напряжений падающей и отраженной волн на выходе четырех-
полюсника, получим систему уравнений
^1 пад —	1 ^2пад + ^12^2отр
187
41 4г
Т2\ Т22
MaTpi ща коэффициентов системы уравнений (2.137) Т=
называется волновой матрицей четырехполюсника.
2. Если за независимые переменные принять комплексные
амплитуды напряжений <71пади (/2отр, то получим систему уравнений
^4отр ~ *-41^4 пад + Дз^2отр>
^2пад — *$21^-4 пад + *%2^2отр>
(2.139)
гле 9	V _ (414г-42^21). о _ 1 . о _ 42
где лп-—, д12--------------—г>21-—, г>22-~—
41	41	41	41
*$П
.•$21
512
S22
назы-
Матрицу коэффициентов уравнений (2.139) 5 =
вают матрицей рассеяния четырехполюсника.
Широкое применение волновой матрицы Ти матрицы рассеяния 5
обусловлено тем, что в них отсутствуют токи, которые трудно измерять
при волновых процессах. Кроме того, существуют устройства (например,
фильтры на поверхностных акустических волнах), в которых токи
и напряжения носят формальный характер, но мощность, переносимую
волной измерить можно. Поэтому вводят понятия волновых амплитуд
или нормированных напряжений падающих и отраженных волн:
у, _ ^4пад . г\ _ ^4отр .
^2пад . тг	^2отр
^Н2пад--7===, ^НЗотр-"/==,
V2ZB2	V2ZB2
(2.140)
Волновые амплитуды 0 н1пад, (^Н1отр> ^Н2пад> 4 |12отр имеют раз-
мерность корня квадратного из мощности. Поэтому для вычисления
мощности необходимо найти квадраты модулей соответствующих
волновых амплитуд, т.е. 4 пад = ^Н1падПн1паД;
188
Дотр - ^HlOTp ^Н1отр ,-^пад = ^Н2пад ^Н2пад 5 -^2отр = ^Н2отр ^Н2отр >
где * — означает комплексное сопряжение.
Подставив (2.140) в (2.137), получим систему уравнений для
нормированных амплитуд
^Н1пад ^Н1^н2пад ^Н12^Н2отр’
^Н1отр ^Н21^н2пад ^Н22^н2отр’
в которой нормированная волновая матрица 7^ =
'^вг т
2bi
Таким же путем получают нормированную матрицу рассеяния
5”н =
$22
Выясним физический смысл волновых параметров четырехполюс-
ника. Если в матрицах Y, Z, А, В, Н, G физический смысл параметров
связан с режимами холостого хода или короткого замыкания, то в
матрицах Т и S физический смысл увязывается с согласованным
режимом нагрузки четырехполюсника, при котором U = 0. В этом
режиме из (2.143) и (2.145) получим
у, _ ^1пад.	™ ^1отр _	„ Цотр. с ^2пад
2ц — —----,	У?]-------, oil =—.----, 071	----.
^2пад	^2пад	^1пад	^1пад
Коэффициенты TJi, Tjb *^1Ь *^21 определяют параметры четырех-
полюсника, нагруженного на согласованную линию, при прямой
передаче. Коэффициент ] определяет отношение амплитуд напряже-
ний падающих волн на входе и выходе четырехполюсника и называется
коэффициентом передачи. Коэффициент/? ц называется коэффициентом
отражения во входной линии при согласовании выходной. Коэффициент
189
•$21 называется коэффициентом пропускания. Коэффициент Г91
<11 Zl
связывает отраженную волну на входе с падающей волной на выходе
четырехполюсника.
Коэффициенты S22 и 512 имеют такой же физический смысл, как и
Sj j и 521, только при изменении направления передачи на обратное.
2.7.2. Характеристические параметры четырехполюсника
Приведенные в п. 2.7.1 параметры четырехполюсника в системах
У, Z, А, В, Н, G называются первичными параметрами четырех-
полюсника. Используя их, рассмотрим параметры четырехполюсника,
определяющие его передаточные характеристики.
Характеристическими сопротивлениями четырехполюсника
называется пара сопротивлений ZC1 и ZC2, которые выбраны таким
образом, что при подключении к зажимам 2-2' сопротивления Zffi= ZC2
входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1-1'
равно ZC1, а при подключении к зажимам l-l'conpoTHBneHHaZH1 = ZC1
входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2-2'
равно Zc> Сопротивление ZC1 называют входным, aZC2—выходным
характеристическими сопротивлениями четырехполюсника.
Возьмем систему А (2.127)
Ц = 41^2 +42^2
[А = а2\02 + л2272.
Входное сопротивление четырехполюсника со стороны входных
зажимов
7	_ 41^2 + 4г^2 _ 4 iz2 + 4г
Л 421^2 + ^22^2	421^2+4z2
с2
где Z2 =	— сопротивление нагрузки на зажимах 2-2 . Нагрузим
h
четырехполюсник на выходе на сопротивление Z2 -Z2C. Тогда
в соответствии с определением должно выполняться равенство
Zibx ~ 2\с- Поэтому из последнего соотношения получим
190
AlZ2C + A2
A21Z2C + A22
(2.141)
Изменим направление передачи в четырехполюснике на обратное и
возьмем систему В (2.129)
^2 = ВП^1 +В12^1
Л = ^21^1 + В22 А-
Входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2-2'
Z =	_ ВА^+В12^1 _ g114 + g12
72	^21^1 + B22h	B2\Z\ + ^22
7 ц	,
где Zj = ——сопротивление нагрузки на зажимах 1-1 .
h
Нагрузим четырехполюсник на входе сопротивлением Zj = Z1C.
Тогда в соответствии с определением должно выполняться равенство
Z2bx = Zzc  Поэтому из последнего соотношения получим
z _ В\\Лс + В\2
2С B21Z1C+B22
(2.142)
Принимая во внимание формулы перехода (2.130) и изменение
направления передачи (А 12 и J21 изменят знак), получим (2.142) в виде
7 z22zic + 4г
Z2C -~T~2Z--77“
л214с + 41
Из уравнений (2.141) и (2.143) получим
414г. 7 _ М224г
422421	V 41Л1
(2.143)
(2.144)
Режим четырехполюсника, когда он нагружен на характеристические
сопротивления, называется режимом согласованной нагрузки, или
согласованного включения.
191
Сопротивления Zj с и Z2C относятся к характеристическим парамет-
рам четырехполюсника. Другими характеристическим параметрам
являются постоянные передачи. Рассмотрим их.
Как показано в предыдущем разделе (2.7.1), для обратимого четырех-
полюсника ДА - А^А22 - 4г41 ~ Последнее равенство можно
записать в виде
(-J4M22 У “ С/4г41 У ~1 	(2.145)
Если обозначить д/41422 - ch g,то (2.151) можно записать в виде
ch2g-sh2g = l, т.е.74г41 = shg.
Преобразуем систему уравнений (2.127). Используя выражение
(2.144) и обозначения ch g и sh g, получим
4i	4г - V4c4cshg; 4г -.-z~chg;4zi g~=
V 4c	V 4c	V4c4c
Тогда уравнения (2.127) будут иметь вид
Ц =|^chg(72 + ^Z^shg Z2 = J^-(c2chg + Z2ci2shg),
V 4c	V 4c
*	shg и2 + P^cbgi2 =
V4c4c V 4c
u Й2 . "I
Z2chg+—^-shg
4c 4c ,
(2.146)
При согласованном включении четырехполюсника
Z2c4-H2, —^- = 72.
4с
Тогда из (2.146) получим
Й1 = J^-(^2chg + Z2c/2shg)= j^-U2e8,
V 4с	V 4с
<2147>
V 4с
где eg - ch g + sh g.
192
Из (2.147) получим затухание четырехполюсника по напряжению
и току в согласованном режиме
*4 _ /Z1C ся. lZ2C cg
^2 11Z2C h 11 Z1C
Постоянная g является мерой передачи четырехполюсника, g=a+jb,
где а—затухание четырехполюсника, а b — коэффициент фазы.
Так как ch g = 741422, sh g = 74г4гь то ?S = ^41Лг + 74гЛ1 •
Поэтому g = 1п(741422 + д/42421 )= 41422 + 742-411+ .А где
b = arctg--—, а = ln|741z22 + л/424211-
Ree* I	।
В случае симметричного четырехполюсника Z1C = Z2C и из уравнений
(2.147) получим ^-=^- = eg, или g = ln-^-=ln-^-, « = 1п—= 1п—.
h ^2	^2	^2	^2 Л
Величина а называется собственным затуханием четырехполюсника;
оно вычисляется либо в неперах, либо в децибелах.
1 U1 ,
Затухание а в 1 непер соответствует анеп =1п—- = 1, т.е.
= 2,718 = е — основание натурального логарифма.
U2
Таким образом затухание а = 1 Нп соответствует уменьшению
напряжения на выходе по сравнению со входом в 2,718 раза.
Затухание в децибелах «дБ = 101g-~y- = 201g-|^- - 201g—Из
ОгЪ С2 -*2
равенства 201g— = 1 получим — = 1,12, т.е. затухание в 1 дБ
С2	и2
соответствует уменьшению напряжения на выходе по сравнению со
входом в 1,12 раза.
Соотношения между непером и децибелом составляют:
1Нп = 8,686дБ; 1 дБ = 0,115 Нп.
13 Теория линейных зл. целей
193
Таким образом, четырехполюсник характеризуется вторичными,
собственными параметрами: характеристическими сопротивлениями
Zlc, Z2C и постоянными передачи —собственным затуханием а и
коэффициентом фазы Ь.
Пример 2.29
Найдем характеристические параметры четырехполюсника, приве-
денного на рис. 2.63, а:
Z1C = ^2С = a/Zi-Zz; а-In
Z2-Zj
, ImC
o = arctg--
ReC
где
^ + Z]+a/2Z2Z1(Z2 + Z1)
22-2^
2.7.3.	Входные и передаточные характеристики
четырехполюсника
Выше входные и передаточные характеристики четырехполюсника
определялись в согласованном режиме, когда четырехполюсник по
входу и выходу нагружается характеристическими сопротивлениями ZC1
и Z^. В общем случае, когда сопротивления нагрузки произвольные,
входное сопротивление четырехполюсника со стороны входных
зажимов
_ 41^2 + 4з^2 _ 41^2 + 42
4вх -	• т -	„	,	(2.148)
^21^2 + ^22-^2 Z21Z2 + J22
^2
где Z2 = ^-—сопротивление нагрузки.
^2
Входное сопротивление четырехполюсника со стороны выходных
зажимов, нагруженного по входу на Zj, равно
-7	- ^22-4 + 4г
Z2»"^,z1 + 4i'	(2149)
194
Формулы (2.148) и (2.149) получены с использованием систем
уравнений (2.127) и (2.129) с учетом формул перехода (2.130) и изме-
нения направления передачи (в (2.130) меняются знаки А ]2, ^21).
Передаточной характеристикой четырехполюсника называется
отношение комплексной амплитуды напряжения (тока) на выходе
к комплексной амплитуде 1ыпряжа шя (тока) на входе, т.е. комплексный
Й2
коэффициент передачи по напряжению—это Ку =-г-, а комплексный
Л и'
коэффициент передачи по току—это Kj	Модуль комплексного
Л
коэффициента передачи называется амплитудно-частотной характе-
ристикой (АЧХ) четырехполюсника, а аргумент комплексного коэф-
фициента передачи называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ).
Используя систему уравнений (2.127), получим
К	^2	_	1	.
41^2 + 42^2	+ 4г	(2.150)
z2
-41^2 +	-41^2 + ^22
где Z2—сопротивление нагрузки.
По формулам (2.150), (2.151) можно рассчитать комплексные коэф-
фициенты передачи четырехполюсника при произвольной нагрузке Z2.
При согласованной нагрузке из уравнений (2.147) получим
J =		(2.152)
Ц v 4с	/] у z2c
Для симметричного четырехполюсника ZC1 = ZC2, поэтому
Ku=K/=e~g.
2.7.4.	Согласование четырехполюсника с генератором
и нагрузкой
Четырехполюсники предназначены для передачи мощности
сигналов. Эффективность этой передачи определяется не только
параметрами самого четырехполюсника (постоянная передачи,
характеристические сопротивления), но и сопротивлением нагрузки и
195
внутренним сопротивлением генератора, питающего четырехполюсник.
Для эффективной передачи необходимо, чтобы эти внешние сопротив-
ления были связаны с внутренними параметрами четырехполюсника.
На рис. 2.65 изображен четырехполюсник с внешними цепями:
нагрузкой Z2, генератором с внутренним сопротивлением Zr
Рассмотрим входную цепь. Активная мощность, потребляемая
нагрузкой (в данном случае Zj вх) равна
Р-[1Г_ —У -г1вх—  у Ивх,	(2.153)
\^т + ^вх| (бг + бвх)~ (Лг '’’•Ibx)~
где Zr = гг +jxr, Z1BX = r)BX + yx1BX.
Если считать (г1вх + гг) постоянным и менять только (лу вх + хг), то
элементарные исследования на экстремум выражения (2.153) приводят
к выводу, что максимум активной мощности на входе четырехполюсника
будет выделяться при х1вх=-хг При этом она будет равна
IУ г
Р = ----^-у.	(2.154)
v г + г1вх /
„	dP П2(г1вх+гг-2г1вх)
Производная-------= —с у1в^.
^Ивх (гг+г1вх/
„	dP п
При 7'1вх = гг —--= 0 и во входное сопротивление четырехпо-
«Пвх
люсника от генератора передается максимальная активная мощность.
1 t72
Она равна Р =-----.
4 г1вх
Рис. 2.65
196
Таким образом, условиями передачи максимальной активной
мощности в нагрузку являются: равенство активных частей сопро-
тивлений генератора и нагрузки (в данном случае /]вх = гг ) и противо-
положные знаки при равенстве абсолютных значений реактивных
частей этих сопротивлений.
Эти условия коротко можно записать так:
^=4^	(2.155)
где *—означает комплексное сопряжение.
Рассматривая выходную цепь четырехполюсника как генератор
с выходным сопротивлением ZBbIX, работающий на нагрузку Z2, можно
найти условия передачи максимальной активной мощности в нагрузку
Z2. Они имеют вид ZBbIX = Z^.
Затухание четырехполюсника, которое он будет иметь при
включении между генератором и нагрузкой (см. рис. 2.65), называется
рабочим. Для него имеет место соотношение
/7 г- — /7 4- In	А+Ас	+ 1п	А + Ас	+ 1п|	1 — И1И0/?	1	О ISA'»
ираб и ~111	2-J ААс		WaAjc			
«2 =
A~Z2C
Z2 + Z2C
где «1 =
А ~ Ас.
Zr + Ас
В выражении (2.156) а—собственное затухание четырехполюсника;
второе слагаемое дает затухание вследствие несогласованности Zr и
Zlc на входе четырехполюсника; третье слагаемое дает затухание
вследствие несогласованности сопротивлений нагрузки Z2 и Z2C;
четвертое слагаемое дает затухание вследствие взаимодействия отра-
жений на входе и выходе четырехполюсника; и и2—коэффициенты
отражений на входе и выходе, возникающие вследствие разницы
нагрузочных и характеристических сопротивлений.
При Zr=Zj с, Z2 и Z2C рабочее затухание равно собственному,	=а.
2.7.5. Соединения четырехполюсников
На практике простые четырехполюсники, для которых легко рас-
считываются параметры, используются редко. Достаточно привести та-
кие примеры, как фильтры и корректоры в технике связи, рельсовые
цепи большой протяженности с разветвлениями, звенья в автоматике,
197
корректирующие амплитудно-частотную и фазочастотную характери-
стики в обратной связи авторегулирования. Для таких сложных четы-
рехполюсников рассчитать характеристики достаточно сложно. Одна-
ко имеется возможность разбить сложные четырехполюсники на эле-
ментарные, а затем, зная уравнения элементарных четырехполюсни-
ков, получить уравнения сложного четырехполюсника, определенным
образом составленного из элементарных. При этом элементарные че-
тырехполюсники могут соединяться каскад но, последователь! ю, парал-
лельно, параллельно-последовательно, последовательно-параллельно.
Рассмотрим такие соединения.
1.	Каскадное соединение четырехполюсников.
Каскадным (цепным) соединением четырехполюсников называется
такое соединение, при котором входные зажимы последующего четы-
рехполюсника присоединяются к выходным зажимам предыдущего
(рис. 2.66).
На рисунке обозначено:	7, \	—входные и выходные
токи и напряжения первого четырехполюсника;—
входные и выходные токи и напряжения второго четырехполюсника;
Л > Ц ^2 — входные и выходные токи и напряжения сложного
четырехполюсника; [Я®],	— матрицы в системе^ первого и
второго четырехполюсников соответственно.
Для получения уравнений сложного четырехполюсника при таком
соединении воспользуемся системой А. Уравнения первого четырех-
полюсника
'и[»~ л«.= Т	Т ( П	1 ’Ы	>	где /Р = /<2>	Гл(1)	Л(1) _ л11	л12 " нФ	Л(1) L Л21	Л22		(2.157)
	[Л(1)]			[Л<2>]	'2 - '2	
U1 = ц<»						
						
Рис. 2.66
198
Уравнения второго четырехполюсника
Ц(2)
7<2)
=М<2>]
где А^ =
Г42)
|_л21
4?
/2)
л22
(2.158)
При таком соединении четырехполюсников (см. рис. 2.72)
/,(1) = /j, С7,(1) = Ц,	= j.(2),	= Ц(2), 12 = 12}, № = й2.
Поэтому, подставляя в (2.157) значение вектора [i/j2^ i[2^]z из (2.158),
получим
'и2
_h J	L-*2 J
А1
.^2.
гдеИ=[Л(1)][Л(2)].
_h.
Таким образом, при каскадном соединении четырехполюсников они
могут быть заменены одним четырехполюсником с матрицей А, равной
произведению Z-матриц соединяемых четырехполюсников, т.е.
[А] =[/^1)] [Z®]. Этот результат можно обобщить на произвольное
число соединяемых каскадно четырехполюсников
Л = ПкА)]-	(2.159)
fc=l
Каскадное соединение четырехполюсников широко применяется, так
как каналы связи и автоматики образуются из отдельных звейьев,
включенных последовательно друг за другом. Однако с целью обеспе-
чения наилучшей передачи мощности сигнала стремятся согласовать
характеристические сопротивления звеньев.
Пусть включены N четырехполюсников каскадно (рис. 2.67),
имеющих меры передачи gp g2,...gN и характеристические сопро-
тивления zf”),^”)(n = l,2V).
Ж
Рис. 2.67
199
Последний четырехполюсник нагружен на сопротивление ZH.
В соответствии с (2.147)
I 7О)	I у(2)	I
Ъ3Ж ; 3 Ж3Ж
V ^2С	V ^2с	V Z2C
Если четырехполюсники включены согласованно, т.е.
4с = 4с’4с =	=4с }’4с} =ZH>TO из последних
соотношений получим
4 = Ж J—exP(gl + g2 +••+ gw)-
V Ж:
Таким образом все У четырехполюсников можно заменить одним
четырехполюсником с характеристическими сопротивлениями 2^ и
W
2^) и мерой передачи g = ^,gfc- Если четырехполюсники будут
fc=l
включены несогласованно, то возникнут дополнительные затухания от
несогласованности.
2.	Последовательное соединение четырехполюсников (рис. 2.68).
На рисунке все величины с индексами (1) относятся к верхнему
четырехполюснику, с индексами (2) — к нижнему, без индексов —
к общему четырехполюснику, полученному при соединении двух
первых. При таком соединении используется система «Z». Уравнения
четырехполюсников
(7®
(7®
=И>]
j/2)
2
7® ’
Складывая левые и правые части последних уравнений, получим

200
Рис. 2.68
При таком соединении четырехполюсников, если	= А,
= /2, то ц(1)+ц(2) = йх, й^} + й^> = й2.
А
Л
Учитывая эти равенства, получим
где
[z]=[z*-1^] +[2fty - Таким образом, при последовательном соединении
четырехполюсников их матрицы Z складываются, и четырехполюсники,
приведенные на рис. 2.68, могут быть заменены одним с матрицей
Ичг^+Е^Ч
3.	Параллельное соединение четырехполюсников (рис. 2.69).
На рисунке так же, как и ранее, величины с индексом (1) относятся к
верхнему четырехполюснику, с индексом (2)—к нижнему, без индекса—
к общему четырехполюснику, полученному в результате параллельного
соединения верхнего и нижнего.
Для расчета матрицы общего четырехполюсника воспользуемся
системой «У».
В соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 2.69, урав-
нения четырехполюсников будут
’ЙО)'
й®
201
Рис. 2.69
ЕслигУР = <7f2) =Ц, ^=й^ = й2-, jfD +jf2) = 7Ь j® +42) = j2;
то с учетом этих равенств, складывая почленно последние два урав-
нения, получим
=m[^
Ы
А
Л
где [У] = [У0] + [У2)].
Таким образом, при параллельном соединении четырехполюсников
их входные и выходные токи суммируются, напряжения на входе и
выходе равны, а матрицы « У» суммируются.
4.	Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников
(рис. 2.70).
На рисунке величины с индексами (1) относятся к верхнему четырех-
полюснику, с индексами (2) — к нижнему, а величины без индекса —
к четырехполюснику, полученному в результате соединения верхнего
и нижнего.
Здесь четырехполюсники соединены последовательно по входу
и параллельно по выходу. Для обоих четырехполюсников можно
записать системы уравнений
/0)
'2
г(2)
Л
и?
202
Рис. 2.70
Если для схемы рис. 2.70 справедливы равенства:	= /р) = Д,
= /2; Ц(1)+= Ц;	) = ^г2) = ^2 > то из последних
уравнений (складывая их почленно) получим
А
.h
=[Н]
V
.А.
, где [я]=[//1)] +[//2)1-
Таким образом, при последовательно-параллельном соединении
четырехполюсников их входные напряжения и выходные токи сумми-
руются, токи на входе и напряжения на выходе равны, а оба четырех-
полюсника могут быть заменены эквивалентным с матрицей Н, равной
сумме //-матриц соединяемых четырехполюсников.
5.	Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников
(рис. 2.71).
Здесь четырехполюсники соединены параллельно по входу и после-
довательно по выходу. Так же как и ранее, величины с индексами (1)
относятся к верхнему (по схеме) четырехполюснику, с индексами (2) —
к нижнему, а без индексов — к четырехполюснику, полученному в
результате соединения верхнего с нижним.
Для каждого из четырехполюсников уравнения в системе G-пара-
метров имеют вид
к
= [G(1)]
Г № 1
1 
=[GW]
Я1) ’
7 2 J
203
Рис. 2.71
Если для токов и напряжений схемы (рис. 2.71) справедливы ра-
венства /](1) + А(2) = A; = 42) = z2;	=ср=Ц;
то, складывая левые и правые части последних уравнений, получим
А
<А>
А
А.
= | С] -
, где [g]=[(A+[(A]-
Таким образом, при параллельно-последовательном соединении токи
на входе и напряжения на выходе складываются, напряжения на входе
и токи на выходе одинаковы. Параллельно-последовательно соединен-
ные четырехполюсники можно заменить одним эквивалентным четы-
рехполюсником с матрицей [G]=[G^+[A где [G^ и [<У<2)] -
матрицы соединяемых четырехполюсников.
При выводе выражений для матриц эквивалентного четырехпо-
люсника, полученного в результате параллельного, последовательно-
го, последовательно-параллельного и параллельно-последовательного
соединений четырехполюсников, предполагалось, что токи в вер-
хнем и нижнем зажимах каждого из соединяемых четырехполюсни-
ков равны по величине и противоположны по направлению. Со-
единение четырехполюсников, удовлетворяющее этому условию,
называется, регулярным. Это условие может нарушаться из-за свя-
зей, возникающих из-за соединения четырехполюсников.
204
Пример 2.30
На рис. 2.72 два Г-образных четырехполюсника соединены после-
довательно.
Если в схеме (рис. 2.72, а) токи Д и /2 принять за контурные токи,
то напряжение на параллельном соединении сопротивлений Zt и Z2
с	(} Т \ Zl Z2
нижнего четырехполюсника будет равно vi " ^2/—а ток в
Zi+Z2
., /.	 \ Z-)
нижнем выводе верхнего четырехполюсника Vi - /2/--~— * Л-
Zj +Z2
Таким образом, токи в нижнем и верхнем выводах четырехполюсника
не равны. Поэтому соединение четырехполюсников, показанное на рис.
2.72, а, нельзя считать регулярным и его матрицу Z нельзя найти
сложением Z-матриц верхнего и нижнего четырехполюсников. Из схемы
(рис. 2.72, 6) видно, что 1\ = 1\. Поэтому такое последовательное
соединение четырехполюсников является регулярным и матрица Z всего
четырехполюсника может быть получена как сумма Z-матриц
соединяемых четырехполюсников.
Этот пример показывает, что прежде чем находить матрицу сложного
четырехполюсника по матрицам соединяемых четырехполюсников,
необходимо убедиться в регулярности такого соединения.
Рис. 2.72
205
Проверку регулярности соединения делают следующим образом:
1.	При последовательном соединении проверка осуществляется в
соответствии с рис. 2.73.
Если при прямой (рис. 2.73, а) и обратной (рис. 2.73,6) передачах
напряжение между разомкнутыми выводами четырехполюсников
U= 0, то такое соединение будет регулярным.
2.	При параллельном соединении регулярность проверяется в
соответствии со схемами рис. 2.74.
Если при прямой (рис. 2.74, а) и обратной (рис. 2.74, б) передачах
напряжения между замкнутыми выводами четырехполюсников U = О,
то соединение регулярно.
3.	При последовательно-параллельном соединении проверка
регулярности соединения производится по схемам рис. 2.75.
Последовательно-параллельное соединение четырехполюсников
будет регулярным, если при прямой передаче напряжение между замк-
Рис. 2.74
206
Рис. 2.76
нутыми выходными зажимами (рис. 2.75, а), а при обратной передаче—
между разомкнутыми входными зажимами (рис. 2.75, б) U = 0.
4.	Регулярность при параллельно-последовательном соединении про-
веряется по схемам, приведенным на рис. 2.76.
Соединение четырехполюсников будет регулярным, если при прямой
передаче (рис. 2.76, а) напряжение между разомкнутыми выходными
зажимами, а при обратной передаче (рис. 2.76, б) напряжение между
замкнутыми входными зажимами (7=0.
Приведем несколько примеров.
Пример 2.31
Для Г-образного четырехполюсника (рис. 2.77, а) найти 24-
матрицу и характеристические параметры..
Четырехполюсник (рис. 2.77, а) можно представить в виде каскад-
ного соединения четырехполюсников	и А@) (рис. 2.77, б).
Для первого четырехполюсника уравнения в системе «А» имеют вид

о
1
.^J [za
; А®= 1
Za
0"
1
й2
А
207
a
б
в
Рис. 2.77
Для второго четырехполюсника такая же система имеет вид
i/i = t72 + ztj2 ц
|_А
1 А
О 1][/2]’ L° 1.
Поэтому матрица Г-образного четырехполюсника
А=^А™ =
1
1
4
4
Л
4
1
I
А
о
1
1
о
А
1
Характеристические параметры Г-образного четырехполюсника
(рис. 2.77, а)
414г
Л1422 а
; Z2C = 2^242. = /Z(Z +z);
4,+4 2C ^2141 v c c
Ас -
ch g = д/414>2 =
1+Л
А
Пример 2.32
Найти /4-матрицу и характеристические параметры четырех-
полюсника (рис. 2.77, в).
Этот четырехполюсник можно представить в виде каскадного
соединения четырехполюсников и А^ (рис. 2.77, б), но включен-
ных в обратном порядке. Поэтому матрица/! этого четырехполюсника
1
1
А
о
1
/4 = Л<2^ =
1 zc
О 1
А
1
4;
А
1
208
Рис. 2.78
Характеристические параметры четырехполюсника
А .
А + А
- A/ZC(ZO + ZC); Z2C -Za
, I. Zc
; chg= 11 + —^.
V
Пример 2.33
Найти A-матрицу и характеристические параметры Т-образного
четырехполюсника, приведенного на рис. 2.78, а.
Этот четырехполюсник можно представить в виде каскадного соеди-
нения двух Г-образных четырехполюсников (рис. 2.78, б). Поэтому его
матрица
4-^
A
Характеристические параметры четырехполюсника
Ас = 3>с = A(Za+Zc); cbg =1 + 2^-
а
Пример 2.34
Найти A-матрицу и характеристические параметры П-образного
четырехполюсника, приведенного на рис. 2.79, а.
Этот четырехполюсник можно представить в виде каскадного
соединения двух Г-образных четырехполюсников (см. рис. 2.77, а и б).
14 Теория линейных эл. целей
209
б
Поэтому его матрица
Рис. 2.79

Характеристические параметры четырехполюсника
ch g = 1 + 2—^.
7
Рассмотренные в примерах 2.31 — 2.34 четырехполюсники ис-
пользуются в качестве звеньев фильтров в аппаратуре связи или корре-
ктирующих звеньев в автоматике.
Наряду с рассмотренными выше регулярными соединениями четы-
рехполюсников на практике применяются нерегулярно включенные че-
тырехполюсники, на основе которых могут быть созданы различные
фильтрующие и согласующие устройства. Например, на рис. 2.80 при-
ведены схемы нерегулярно включенных четырехполюсников.
Четырехполюсники в виде распределенных линий на рис. 2.80 обве-
дены пунктиром.
Как видно из приведенных схем, токи в верхних выводах линии и
нижних не равны, следовательно, четырехполюсники включены
нерегулярно. Однако, если рассмотреть схемы на рис. 2.80 относительно
210
зажимов 1-1'и 2-2", то видно, что токи в нижних зажимах равны токам
в верхних зажимах и противоположно им направлены, т.е. удовлет-
воряются условия регулярности включения.
При помощи схем четырехполюсников, приведенных на рис. 2.80,
можно получить схемы фильтров верхних частот — рис. 2.80, а, б;
полосовых—рис. 2.80, в, г, д с одновременной трансформацией сопро-
тивлений, т.е. приведенные схемы могут быть использованы и в
качестве согласующих устройств.
а
г
Рис. 2.80
<211
Для облегчения расчета параметров нерегулярно включенных че-
тырехполюсников вводятся сопротивления перегиба. Сопротивлениями
перегиба называются входные сопротивления двухполюсников, обра-
зованных из четырехполюсников в соответствии со схемами, приведе-
нными на рис. 2.81.
На схемах ИТ— идеальный трансформатор с коэффициентом
трансформации Г. 1. Он предназначен для того, чтобы сделать рав! 1ыми
друг другу токи, входящие в четырехполюсник по верхнему проводу и
возвращающиеся из него по нижнему проводу. Для четырехполюсника,
у которого эти токи не равны, все последующие выводы будут неверны.
Сопротивления перегиба Zin,ZIV, Zv, ZVI можно выразить через
Л-параметры.
В соответствии с рис. 2.81 можно написать следующие
соотношения для схемы:
я Uq = ZmlQ= Ц= С2; /0=71 -I-f,
б Ц) = ^IvA) ~ Ц - ^2’ А)= А + ^2’
в UQ = ZVIQ = tZ| + t/2; Iq=I\ =-I^
г =^vi^o ~ Ц - ^2’ A> ~ A ~ h-
212
Учитывая эти соотношения, из системы уравнений (2.127) получим
~	А2	Z	42
Z1II - А - А-Т---7; ZIV - л , А—Л ' 77 •	(2.160)
41+^22-ДЯ-1	41+422+А/1+1
Zv =——(4i +А22 + Дд +1); ZVI =——(4i + А22-Дд_1)-
4zi	4zi
Для симметричного четырехполюсника (Д^, A j j = Л 22 )
ziii =^t4’Z^ = ^T^;Zv =-7~(^ +1);ZV1 = V-<41 -!)•
2(4i-i)	2(4! +1) z2i	4>i
Уравнения (2.160) можно разрешать относительно Z-параметров
четырехполюсника, в результате получим возможность выразить их
через сопротивления перегиба. Для симметричного четырехполюсника
получим
1	4n+4v 44n4v	1	44n+4/i 44h4i
4ii~4v. 1	4n+4v.	4	44h+4'l
4/“44v
42[v+Zy 44v4/	1 Zy+Zyj 42уДл
4 44v+zv Zy— Z^I 4 Zj+Zjy
(2.161)
В некоторых случаях идеальные трансформаторы в схемах расчета
сопротивлений перегиба (рис. 2.81) могут быть исключены:
-	в схеме а, когда четырехполюс! шк разрывный, либо симметричный
относительно продольной или поперечной оси, либо трехполюсный;
-	в схеме б, когда четырехполюсник разрывный либо симметричный
относительно продольной оси;
-	в схеме в, когда четырехполюсник разрывный;
-	в схеме г, когда четырехполюсник разрывный либо трехполюсный.
При выполнении этих условий схемы расчета упрощаются и прини-
мают вид, приведенный на рис. 2.82.
213
При помощи сопротивлений перегиба достаточно просто находятся
параметры сложных четырехполюсников.
Пример 2.35
Используя сопротивления перегиба, найти Л-матрицу мостового
четырехполюсника (см. рис. 2.63, а).
Так как четырехполюсник симметричный, то, выполняя схему
(рис. 2.82, а), найдем	азатем> выполняя схему (рис. 2.82,6),
получим Z[V = — Zp Подставляя полученные сопротивления перегиба
в (2.161), получим матрицу мостового четырехполюсника (сравните с
примером 2.28).
.	1	(Z^+Zj) 2ZjZ2
А =------
Z2-Z![	2	(Z2 + Z])J
Используя сопротивления перегиба, можно найти схему замещения
нерегулярно включенного четырехполюсника. Известно, что схема
замещения обратимого четырехполюсника может быть построена в виде
полного четырехугольника (рис. 2.83, а), который характеризуется
шестью параметрами (У] -г У6). Если четырехполюсник симметричен
относительно продольной и поперечной осей, то число параметров
снижается до трех (У] ч- У3) — рис. 2.83, 6.
Вычислим для четырехполюсника (см. рис. 2.83,6) сопротивления
перегиба, заменив их проводимостями, т.е.
Мп = 2(У2 + У3); }fv = 2(Y{ + У3); Ууи = 2(Х + У2).
Рис. 2.83
214
Решая последние уравнения относительно Ур У2, ^з> полУчим
}[ = 0,25 (-1щ + Ifv + Jvn); *2 = 0,25 (Jfn - Ifv + W;
y3 = 0,25(lfIl + Jfv-ivil)-
Таким образом, зная проводимости перегиба Ущ, TjV, yVJ1, можно
построить схему замещения нерегулярно включенного четырехпо-
люсника.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.36
Для четырехполюсников, приведенных на рис. 2.80, а, б, получить
схему замещения.
Заменяя обведенные пунктиром нерегулярно включенные четырех-
полюсники полным четырехугольником, получим для схем рис. 2.80, а, б
соответственно рис. 2.84, а и б.
Обе схемы в результате преобразуются к П-образному четырех-
полюснику (рис. 2.85), для которого могут быть найдены параметры в
одной из систем уравнений.
Рис. 2.84
Рис. 2.85
215
Пример 2.37
Получить схему замещения для четырехполюсников, приведенных
на рис. 2.80, в, г.
Заменяя нерегулярно включенные четырехполюсники (обведены
пунктиром) полными четырехугольниками, получим схемы, приведен-
ные на рис. 2.86, а, б.
Каждая из схем преобразуется к П-образному четырехполюснику
(рис. 2.87, а, б).
Таким образом, чтобы найти параметры нерегулярно включенного
четырехполюсника, необходимо следующее.
1.	Заменить нерегулярно включенный четырехполюсник полным
четырехугольником, параметры модели которого можно найти, исполь-
зуя сопротивления перегиба.
2.	В соответствии со схемой включения нерегулярно включенного
четырехполюсника привести его к одному из известных видов
(П-, Т-, Г-образные, мостовые).
3.	Найти параметры полученного четырехполюсника в одной
из систем уравнений.
Рис. 2.87
216
(2.161)
(2.162)
2.7.6. Свойства функций четырехполюсников
Как показано в п. 2.7.3, четырехполюсник имеет входные сопро-
тивления (проводимости) и передаточные характеристики, определя-
емые выражениями (2.148), (2.149) и (2.150), (2.151). Анализ поведения
этих функций четырехполюсника при произвольных нагрузках Zj, Z2
достаточно сложен. Поэтому ограничимся случаем Zj = Z2=0 при
изучении входных функций и ZH—> °° — при изучении передаточных
характеристик.
Из (2.148), (2.149) при Zt = Z2= 0 получим
7 -	_ 1 _ А . 7 _ 4г _ 1 _ А
1ВХ А22	^11	Д11 2ВХ 41	Y22	Д22
Из (2.156) при IZHI получим
1 _ ^1 _ д12
41	?22 Д22
где A, Ay (z, j = l,2)—определитель и алгебраические дополнения сис-
темы уравнений, описывающей четырехполюсник (см. п. 2.7.1).
Выражения для входных сопротивлений (2.161) аналогичны входно-
му сопротивлению двухполюсника (2.96). Поэтому свойства входных
сопротивлений (проводимостей) четырехполюсников аналогичны
свойствам входного сопротивления (проводимости) двухполюсника, т.е.:
-	они не имеют нулей и полюсов в правой части плоскости ком-
плексного переменного р;
-	комплексные нули и полюсы располагаются в левой части плос-
кости комплексно сопряженными парами;
-	нули и полюсы на мнимой оси являются однократными.
Полюсы входных сопротивлений определяются, как видно из (2.161),
нулями многочлена Д22- Нулями этого же многочлена определяются
полюсы и передаточной характеристики (2.162). Поэтому передаточная
характеристика четырехполюсника не будет иметь полюсов в правой
полуплоскости комплексного переменного р. Однако нули передаточ-
ной характеристики, определяемые нулями многочлена Д]2, могут рас-
полагаться как в левой, так и в правой полуплоскости. При этом свойст-
ва четырехполюсников, имеющих нули и не имеющих нулей в правой
полуплоскости, существенно отличаются.
217
В общем случае коэффициент передачи четырехполюсника (2.162)
может быть выражен в виде отношения полиномов
К (р}~ а"РП + ап-\РП 1+-+^о _ Мр)
и Ьтрт+Ьт_1Рт-1+...+Ь0 М(рУ
(2.163)
Чтобы пояснить влияние расположения нулей на свойства переда-
точной характеристики, рассмотрим пример. Возьмем два четырехпо-
люсника А и Б с коэффициентами передачи
р + а	р — а
КА^Р) = ~7^ КБ(р) = ^—~.
р+Ь	р+Ь
Полюсы у обоих четырехполюсниковр=-Ь расположены в левой
полуплоскости, а нуль четырехполюсника Бр = а находится в правой
полуплоскости комплексного переменногор. На комплексной плоскости
(рис. 2.88, а) сумма р + Ь изображается вектором из точки о = - Ь
в точкуjo, сумма р + а—вектором из точки G = - а в точку jo, а сумма
р-а — вектором из точки о = а в точку jo (рис. 2.88, б).
Модули комплексных коэффициентов передачи четырехполюсников
кА=кБ=
, а фазовые углы	= arctg
со
~Ь
=as-₽S = rc-arctg — -arctg
la )
Таким образом, оба четырехполюсника имеют одинаковые модули
коэффициента передачи, а аргумент четырехполюсника, нули которого
расположены в правой полуплоскости, больше, чем у четырех-
Рис. 2.88
218
полюсника, нули которого расположены в левой полуплоскости. Если
рассматривать общий случай передаточной характеристики (2.163), то
решив уравнения N(p) = 0, М(р) = 0, можно разложить числитель и
знаменатель на множители и найти модуль и аргумент передаточной
характеристики. Однако качественно вывод, сделанный на простом
примере, не изменится.
Четырехполюсники, не имеющие нулей в правой полуплоскости
называются четырехполюсниками минимальной фазы, а имеющие нули
в правой полуплоскости называются четырехполюсниками немини-
мальной фазы. Смысл названий состоит в том, что четырехполюсник
минимальной фазы обеспечивает минимальный сдвиг фазы сигналу,
проходящему через такой четырехполюсник. У четырехполюсника
минимальной фазы имеется однозначная связь между амплитудно-
частотной и фазочастотной характеристиками. Для четырехполюсника
неминимальной фазы такой однозначной связи между характеристи-
ками нет. В то же время неминимально-фазовые четырехполюсники
обладают интересными свойствами: обеспечим в четырехполюснике Б
2	2
а +со
со
=1, а Тя(со) = л-2arctg —
а
равенство | а | = I b |, тогда КБ =
т.е. модуль равен 1 и не зависит от частоты, а аргумент меняется от л до О
Ъ2+со2
при изменении частоты со от 0 до <». Четырехполюсник с амплитудно-
частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками такого типа
называется четырехполюсником чисто фазового сдвига или фазовым
контуром. Такие четырехполюсники применяются для коррекции ФЧХ
без изменения АЧХ.
Пример 2.36 (рис. 2.89)
Рис. 2.89
219
См. пример 2.25.
.	.	Z2+4 Р pC р2 LC+X
41 = 4г = ———=--’
4-4 l__L p2lc-\
Рс
1[^\рС
2—
4,п-244^_ С = ______
Z2-Zl"pL--L'p2ZC-l’
4i=z4=4l^^c=^='^=J?^|=1fF^=i'2e'
4-4 р LC-\	VC \Z2C
Коэффициент передачи по напряжению
^и(р) = уг = е g;chg = 4i;shg = 74241-
Cl
Тогда
KU (р) = е g =	1	= -----j -	=
chg + shg 41+V4241
1
р2ЬС+\
p2lc-\
2 — рС+1
с Г
1рС+\
p2LC-\
1
p2lc-\ __р 4lc
C+2pjLC+l p + ^'
>[lc
LC-1
Нули и полюсы этого четырехполюсника расположены симметрично
относительно нуля. Поэтому |К{7(р)| = 1, этот четырехполюсник
является фазовым контуром.
220
Установим связь между АЧХ и ФЧХ минимально-фазовых четырех-
полюсников. Пусть К(р) — операторный коэффициент передачи
четырехполюсника, который не имеет нулей в правой полуплоскости
комплексного переменного р. Возьмем натуральный логарифм от К(р),
т.е. положим	=lnK(jai) = ln|X(jco)| + у<р(<в). Так как К(р) не
имеет нулей в правой полуплоскости, то 0(р) = 1пХ(р) не имеет
полюсов в правой полуплоскости. Поясним этот вывод. Пусть
К(р) = ——где р01 — нуль в правой полуплоскости. Тогда
Т’ + Т’ГП
0(р) = 1пХ(р) = 1п(р-ро1)-1п(Т’ + Рп1) Если T’oi ~ НУЛЬ’ то
ln(p - pq\) = -«j, т.е. 0(р) будет иметь полюс в правой полуплоскости.
Итак, 0(р) не имеет полюсов в правой полуплоскости. Возьмем
интеграл I	dp по контуру, указанному на рис. 2.90.
Подынтегральная функция в правой полуплоскости (включая
мнимую ось) имеет единственный полюс р = ycoj, так как функция
0(р) в правой полуплоскости полюсов не имеет. Полюс при р = Jcoj
обойдем по полуокружности радиуса г. Тогда в области с исключенной
особой точкой подынтегральная функция будет аналитической и в
соответствии с теоремой Коши
-«!Й_ф=о.
p-j®l
(2.164)
221
Интеграл в (2.164) можно представить в виде
j(&l-r) jR
J+ J+H=o,
"-Л -,sy(v,lw<ra
7(wi-r)
где J — интеграл по мнимой оси от - jR до начала окружности
-уЛ
уЛ
радиуса г; J — интеграл по мнимой оси от конца окружности
Ж+')
радиуса г pojR; J — интеграл по полуокружности радиуса г с центром
(')
в точкеусОр
—интеграл по полуокружности радиуса R.
y(cq-r) jR jR
Таккакг->0,то j + j = J .Интеграл по полуокружности радиу-
-jR ji^+r) -jR
саг,переходякполярпойсистемекоординат[(р- /СО]) = rejfp,dp = rje'^dtp],
получим в виде
я/2
J - j dp = J =
Так как в правой полуплоскости &(р) полюсов не имеет и при R —> <*>
Q(p) —> 0, то j —> 0 при R —> оо в соответствии с известной леммой
(R)
Жордана.
Учитывая изложенное, интеграл (2.164) получим в виде
jnQ(J®i) + Г dp = 0.
-j^P-J^
222
При Р= J(£>, dp = jd(£> получим J7te(j<Bi)+ [ Jco = O.
J CO—Gh
Подставляя в последнее выражение 0(jco) = ln|X(jco)| + jcp(co) и
разделяя действительные и мнимые части, получим
1п|1С(усо1)| =-- J da, cpCwj) = - J da. (2.165)
1	K_J	лД CO —CO!
Соотношения (2.165), известные как преобразования Гильберта,
дают связь между АЧХ и ФЧХ минимально-фазового четырехполюс-
ника. Они позволяют найти значение АЧХ в точке со=С0р если известна
функцияу(со) в диапазоне (-<», оо) и, наоборот, найти значение ФЧХ
в точке со = COj, если известна функция 1п|Х(/ю)| в диапазоне (-«>, °<>).
С расположением нулей и полюсов входных сопротивлений (прово-
димостей) или передаточных характеристик связано понятие устойчи-
вости равновесия (отсутствие автоколебаний) или стационарных коле-
баний. В п. 2.6.2 было показано, что в зависимости от расположения
нулей и полюсов входного сопротивления двухполюсника, его им-
пульсная характеристика будет либо неограниченно возрастающей (если
имеются нули или полюсы в правой полуплоскости или многократные
на мнимой оси), либо убывающей при t —> °° (если нет нулей и полюсов
в правой полуплоскости, а на мнимой оси они однократные).
Причинами появления нулей полюсов входного сопротивления в пра-
вой полуплоскости могут быть элементы с отрицательным сопротивле-
нием (например, туннельный диод), положительные обратные связи и
др. Было бы желательно, до расчета корней полиномов, определяющих
нули и полюсы, определить наличие (или отсутствие) их в правой по-
луплоскости. С этой целью разработано много критериев, позволяющих
решить эту задачу.
2.7.7. Синтез линейных цепей по заданным функциям передачи
Синтез линейных цепей и, в частности, четырехполюсников можно
проводить в частотной и временной областях.
При синтезе в частотной области по заданным операторным вход-
ным и передаточным характеристикам задача может быть сформули-
рована по-разному.
223
1. По заданным первичным параметрам четырехполюсника в одной
из систем требуется получить схему, имеющую требуемые первичные
параметры.
2. По заданной передаточной характеристике четырехполюсника по-
лучить схему, реализующую требуемую передаточную характеристику.
Независимо от того, как поставлена задача синтеза, решается она в
два этапа.
На первом этапе проверяются условия реализуемости заданных ха-
рактеристик. При этом так же, как и при синтезе двухполюсников, под
реализуемостью понимается возможность составления синтезируемо-
го четырехполюсника из положительных элементов R, L, С. А чтобы
до решения задачи быть уверенным в реализуемости синтезируемого
четырехполюсника, необходимо проверить выполнение некоторых
условий, которым должны удовлетворять функции синтезируемого че-
тырехполюсника. Свойства функций четырехполюсников подробно об-
суждаются в п. 2.7.6. Условия реализуемости сводятся к следующим
требованиям:
-	нули и полюсы входного сопротивления или проводимости дол-
жны находиться в левой полуплоскости комплексного переменного р
или на мнимой оси, в этом случае они должны быть однократными;
-	полюсы передаточной характеристики должны находиться в ле-
вой полуплоскости комплексного переменногор, а нули могут нахо-
диться как в левой, так и в правой полуплоскости.
На втором этапе решается задача получения четырехполюсника с
заданными характеристиками. При этом могут использоваться многие
методы, из которых ниже будут изложены два:
-	сведение задачи синтеза четырехполюсника к синтезу двухполю-
сников;
-	последовательное выделение простейших четырехполюсников.
Сведение задачи синтеза четырехполюсника к синтезу двух-
полюсников
Пусть заданы Z-параметры четырехполюсника Z] j, Zj 2, Z2 ।, Z22, т.е.
уравнения, описывающие синтезируемую цепь, имеют вид
Ц = z\\i\
^2 ~Z2lh + Z22h-
224
Заменим четырехполюсник эквивалентной Т-образной схемой
замещения (рис. 2.91). Из схемы имеем:
при 72 = 0;Zn =Z] + Z2; Z2X=^- = ^^ = Z2,
h h
при 71=0; Z22 = -(Z2+Z3); Zi2=-t---Z2.
•*2
Решая совместно полученные уравнения относительно Zp Z2, Z3,
получим ZX=ZXX+ZX2, Z2=-Z12; Z3=-Z22+Z21.
Таким образом, синтез четырехполюсника по заданным первичным
Z-параметрам сведен к синтезу трех двухполюсников Zx, Z2, Z3. Синтез
двухполюсников изложен в п. 2.6.3. Однако перед синтезом необходимо
убедиться в реализуемости двухполюсников Zx, Z2, Z3,
Двухполюсник ZX=ZXX +Z12 из которых Zx j не имеет нулей и полюсов
в правой полуплоскости, а на мнимой оси — нули и полюсы только
однократные; Z12 имеет нули в обеих полуплоскостях, а полюсы—
только в левой полуплоскости или на мнимой оси (однократные).
Для реализуемости двухполюсника Zx надо исключить нули Z12 в правой
полуплоскости.
Двухполюсник Z2 будет также реализуем, если ZX2 не будет иметь
нулей в правой полуплоскости.
Двухполюсник Z3= -Z22+ Z21 из которых Z22 не имеет ни нулей, ни
полюсов в правой полуплоскости, а на мнимой оси — нули и полюсы
однократные, a Z2. может иметь нули в правой полуплоскости. Для
ОДПVKpd. 1НЫС, d.	МиЖс! HMClb riyjlH прсШСШ llVJIj'iUlwvixwV 1 n. /цлл
реализуемости двухполюсника Z3 надо исключить нули Z2X в правой
полуплоскости комплексного переменного р.
15 Теория линейных эл. целей
225
Рис. 2.91
Таким образом, рассчитанные по первичным Z-параметрам
двухполюсники Z(, Z2, Z3, будут реализуемы, если передаточные
характеристики четырехполюсника Z12 и Z21 не будут иметь нулей
в правой полуплоскости, т.е. если четырехполюсник будет минимально
фазовым.
Синтезируя двухполюсники Z,, Z2, Z3 методами, изложенными
в п. 2.6.3 и подставляя их в схему рис. 2.91, получим четырехполюсник
с заданными первичными Z-параметрами.
Последовательное выделение простейших четырехполюсников
Пусть задана передаточная характеристика четырехполюсника, на-
груженного на согласованное сопротивление R. Требуется реализовать эту
передаточную характеристику в виде конкретной электрической схемы.
Идея метода сходна с методами последовательного выделения ну-
лей и полюсов двухполюсника и получения таким образом простей-
ших одно-, двух- и более элементных двухполюсников.
Итак имеем передаточную характеристику требуемого четырехпо-
люсника:
(p+Pi^p+pMp+Ptl-ip+pi,,,) '	*
где Q = const.
Передаточная характеристика не имеет полюсов в правой полуплос-
кости, но имеет нули как в правой (например, рх,р^, р5), так и в левой
(например, рц) полуплоскостях.
Пусть рj = aj, р3 = а3 + jb3, р5 = а3 -jb3, т.е. передаточная харак-
теристика имеет однократный нуль на действительной оси и пару
комплексно-сопряженных нулей в правой полуплоскости. Остальные
нули расположены в левой полуплоскости.
р+рХ Р+Р3 Р+Р5
Умножим К(р) (2.166) на следующий множитель р+р{ р+р3 р+р5'
равный единице, и представим передаточную характеристику (2.166) в ввде
К(р) = QP~Pl  (P~P^(P~Ps) (Р + рМр + РзХр + РзУАр + Рп) =
р + 1 (р + р3)(р + р5)	(Р + Р2)(Р + Р4)"-(Р + Р2т)
Кх{р}К2{р}Кз{р}К^р\т№Кх(р) = Q, К^р)^-,
/> + 1
226
К (р\ ~(Р~Рз)(Р~Р5). к ( ч = (Р + Pl)(P + Рз)(Р + Р5>"(Р + Рп)
3	(Р + Рз)(Р + РзУ 4 (Р + Р2)(Р + Р4>--(Р + Р2т)
В результате синтезируемый четырехполюсник может быть представ-
лен в виде рис. 2.92.
Передаточная функция первого четырехполюсника Kx(p}=Q не
зависит от частоты. Следовательно ей соответствует четырехполюсник
постоянного затухания. Его реализация в виде мостового четырех-
полюсника имеет вид, представленный на рис. 2.93.
Коэффициент передачи такого четырехполюсника

1
^11 + V А\2 А2\
/?2 +	2 /?2 А]	_	2
где 41 = Л22 = ——, Л,2 =	А» -
Подставляя значения ^-параметров в выражение Кх(р) получим
К\ (р) = ————.	= Q. Получили одно условие для расчета
/?2 + -Я] +
значений /?(и R2. Второе условие получим, учитывая, что четырех-
полюсник нагружен на согласованное сопротивление R и, следовательно,
Рис. 2.92
Рис. 2.93
227
его характеристическое сопротивление ZM =	= К- Из этих двух
C?+1
условий найдем: R2 = R——; Д =—. Передаточная функция K2(p)
0-1 R2
при р = j(o имеет вид К2 (/со) - JG> Q|, |К2 (/со)| = 1. Следовательно,
/co+aj
второй четырехполюсник, имеющий нуль в правой полуплоскости,
является четырехполюсником чисто фазового сдвига. Он реализуется
схемой рис. 2.93, б. Значения его элементов рассчитываются из двух
условий:
= R
-	согласованное включение, т.е. Zj = ф
__________________________________1_
, ,	г, \ Р -JTc j®-a\
-	коэффициент передачи К(р) = ———-— =-------.
р+* Ja+al
-Jlc
R 1
Из этих условий найдем L =—; С =----.
Ц|	ci\R
Передаточная характеристика третьего четырехполюсника
К2(р) = т^——^1; имеет два комплексно-сопряженных нуля
(Р + Рз)(Р + Р5)
в правой полуплоскости и два комплексно-сопряженных полюса в левой
полуплоскости. Нули и полюсы расположены симметрично относи-
тельно мнимой оси. Следовательно, третий четырехполюсник имеет
|Х3(/СО)|= 1 т.е. это будет чисто фазовым контуром, реализуемым четырех-
полюсником, приведенным на рис. 2.93, в. Для этого четырехполюсника
L 1
рС pLttiO 2	1 „ z ч ,	1 Д2+СОа
Zi(p) =-----2-, где Об =	Z2(p) = pL + — =
р£ + — />£ + соо	Lc	Рс <$рС
Характеристическое сопротивление ZM =	(p)Z2 (p) =	=
228
Передаточная характеристика К-^(р) =-.	=
41 +742^21
1 ____________ А(р)-У4(р)
4Zj(p)^(p) у1а(р) + >!а(р)'
А(р) + А(р) _______________
Al(p) ~ А (Р) ' V [Z2(p) - A (p)F
Так как четырехполюсник включается согласовано, то
Zm = Vzi(p)z2(p) = R, откуда получаем А	ч 
^2\Р)
Подставив это соотношение и выражение Z2(p) в Кт,(р), получим
к (р) = Z2~R = р2-р(1^>оС) + (йо = (р~Рз)(Р~Р5)
z2 + r р1 +р(Аю2О + <00 (Р + Рз)(Р + Р$)
Ro>qC± /чМсол - A2coqC2
Нули К3(р) рХ5=-	..------------°—. .
Сравнивая действительные и мнимые части корней р3 ир5, получим
два уравнения для расчета индуктивности L и емкости С взаимно
обратных двухполюсников, образующих мостовой четырехполюсник
(рис. 2.93, в);
l/tagc=a3;	=Z>3.
Четвертый четырехполюсник не содержит нулей в правой полуплос-
кости — он минимально-фазового типа. Он может быть реализован
в виде мостового четырехполюсника, нагруженного на согласованное
сопротивление. В этом случае его характеристическое сопротивление
ZM - ^zi(p)z2(p) = К, а передаточная характеристика	=	 R,
Z2(p) + R
р2
откуда получаем Z[(p) = — т.е.двухполюсники Z,(p) и Z2(p),
Z2\P)
реализующие мостовой четырехполюсник с передаточной функцией
ZQ(p), взаимно обратные, а входное сопротивление двухполюсника
229
2/г.(р) =	так как R и К£р) известны, то Z2(p) будет найдена.
l-A^Q?)
По ней может быть реализован двухполюсник с сопротивлением Z2(/?),
а найдя ему обратный, получим Zy(p). В результате будет реализован
синтезируемый четырехполюсник, полученный как каскадное
соединение мостовых четырехполюсников (рис. 2.92). Таким образом,
синтезируемый четырехполюсник с передаточной функцией (2.166) ре-
ализован в виде каскадного соединения согласованно включенных че-
тырехполюсников. Каждый из согласованных четырехполюсников на-
гружен на сопротивление R и имеет входное характеристическое со-
противление, равное R, не зависящее от частоты. Такие четырехполюс-
ники, имеющие вещественное входное сопротивление, независящее от
частоты, называются цепью постоянного активного сопротивления.
Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
(ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНИИ)
3.1. Электрические линии железнодорожной
автоматики, телемеханики и связи, рельсовые цепи
В автоматике, телемеханике и связи на железнодорожном транспо-
рте по сравнению с другими отраслями народного хозяйства широко
используют электрические линии самых различных конструкций, ра-
ботающие в условиях взаимных влияний со стороны устройств элект-
рической тяги и линий электропередачи. Так, например, на участке с
электрической тягой на переменном токе вдоль железнодорожного по-
лотна расположены контактные провода и питающие их высоковольт-
ные линии; рельсовые цепи, по которым проходит тяговый ток и кото-
рые используются также для целей железнодорожной телемеханики (ав-
тоблокировки и автоматической локомотивной сигнализации); высоко-
вольтные линии автоблокировки; кабели связи; радиоволноводы, обе-
спечивающие радиосвязь с электроподвижным составом, и др. Поэто-
му процессам, происходящим в электрических линиях, уделяют особое
внимание, причем рассматривают процессы в уединенной и во взаимо-
связанных линиях.
Для цепей воздушных и кабельных линий связи, высоковольтных
линий, радиоантенн, полосковых линий в радиоустройствах, выполнен-
ных с использованием печатного монтажа, рельсовых цепей и др. хара-
ктерно изменение тока в каждой точке цепи вследствие наличия полной
проводимости, распределенной по ее длине. Этим электрические ли-
нии, являющиеся цепями с распределенными параметрами, отличают-
ся от цепей, рассматривавшихся ранее, которые являются цепями с со-
средоточенными параметрами.
Электрические цепи с сосредоточенными и распределенными па-
раметрами. Во многих практических задачах, связанных с расчетом
электрических цепей, ток в которых обычно имеет малые частоты, ис-
точником энергии является один определенный элемент цепи, а по от-
ношению к пассивным элементам можно с достаточной точностью до-
пустить, что каждый из основных параметров цепи — сопротивление,
индуктивность и емкость — сосредоточен в своем месте. Это значит,
231
Рис. 3.1
что электрическое и магнитное поля разделены пространственно (первое
связано с конденсатором, второе — с катушкой). Схема такой цепи при-
ведена на рис. 3.1, а, она правильно отражает свойства цепи при отно-
сительно малых значениях паразитных параметров элементов цепи и
емкости соединительных проводов. При удовлетворении этих условий
цепь называют электрической цепью с сосредоточенными параметрами.
Для рассматриваемой цепи характерны одинаковые значения токов
во всех ее последовательно соединенных частях. Считая, что цепь име-
ет сосредоточенные параметры г, L и С, изучают только процессы на-
копления и преобразования электромагнитной энергии в ее элементах,
пренебрегая процессами распространения электромагнитной энергии в
окружающей среде.
Источник u(f), поставляющий энергию в цепь, и расходующий ее
пассивный элемент могут быть рассмотрены как элементы, входящие в
состав данной цепи, или как внешние по отношению к ней. В простей-
ших случаях резистор считают элементом цепи, а источник — внешним
по отношению к ней. Цепь, схема которой приведена на рис. 3.1, а, со-
стоит из двух двухполюсников: активного источника ЭДС u(t) и пассив-
ного, содержащего г, L и С. Источник ЭДС u{t) отражает связь рассмат-
риваемой цепи с внешней средой, посредством которой энергия из внеш-
ней среды поступает в цепь, а элемент с сопротивлением г отражает
связь, посредством которой энергия из цепи уходит во внешнюю среду
в виде тепла, механического движения и т. д.
232
При большой длине соединительных проводов, т. е. передаче элект-
рической энергии, особенно высокочастотной, по линии, длина которой
соизмерима с длиной волны электромагнитного колебания, нельзя не
учитывать сопротивление, индуктивность и емкость, распределенные
по всей ее длине. Электрическое и магнитное поля в этом случае рас-
пределены вдоль линии и пространственно совмещены. Такую линию
называют электрической цепью с распределенными параметрами.
Для цепи с распределенными параметрами характерны неодинако-
вые токи в различных ее точках вследствие наличия токов смещения
между отдельными частями цепи (а часто и токов проводимости из-за
несовершенной изоляции). Рассматривая цепь, как обладающую рас-
пределенными параметрами, изучают процесс распространения элект-
ромагнитной энергии в ней.
Цепь с распределенными параметрами может включать в себя также
распределенные источники напряжения или тока (рис. 3.1, б). Электри-
ческая цепь, изображенная на этом рисунке, получает энергию от ис-
точника ЭДС u(t), подключенного к ней в точках 1 и 2. Поступающая в
цепь энергия частично расходуется на нагревание ее проводов и изоля-
ции, частично передается приемнику (нагрузке) с сопротивлением Ян,
подключенному к цепи в точках 3 и 4. Если источник и приемник счи-
тать внешними элементами по отношению к цепи, то последняя пред-
ставляет собой четырехполюсную цепь, или четырехполюсник. Моде-
лируя электрическую цепь составлением ее эквивалентной схемы как
цепи с сосредоточенными или распределенными параметрами, мы оп-
ределенным образом аппроксимируем свойства этой цепи и тем самым
в значительной степени предопределяем характер рассматриваемых про-
цессов и результаты последующего анализа.
Поскольку до сих пор наиболее широко применяемой электрической
линией является цепь, образованная двумя одинаковыми параллельны-
ми проводами, принято изображать цепи с распределенными парамет-
рами электрической схемой (см. рис. 3.1,б).
Соотношения между напряжениями и токами, характеризующие про-
цессы в такой цепи, являются общими для всех технических разновид-
ностей электрических линий и применяются для расчетов линий всех
конструкций в самых разнообразных отраслях электротехники.
При изучении процессов распространения электромагнитной энер-
гии вдоль электрических цепей с распределенными параметрамии сами
233
цепи характеризуются их параметрами, а процессы в них—напряже-
ниями и токами, которые зависят от двух переменных: времени и
пространственной координаты.
Для получения исходных соотношений, определяющих процессы в
цепях с распределенными параметрами (линиях), используют так
называемые первичные параметры цепи: сопротивление проводов
R, Ом/км, их индуктивность L, Гн/км, проводимость изоляции G, 1/Ом/км,
емкость проводов С, Ф/км. Физически эти параметры представляют те
же свойства цепи, что и в цепи с сосредоточенными параметрами.
Если значения первичных параметров линии остаются неизменными
по всей ее длине, линию называют однородной.
3.2. Уравнения однородной уединенной линии
в установившемся режиме гармонического
переменного тока
Уравнение равновесия напряжений цепи (см. рис. 3.1, а) в установив-
шемся режиме переменного тока имеет вид
rZ(co) + /C£>Z>( со) + -Д- /(а) = V«0).	(3 ] ч
jcoC	v ’ >
Оно вполне определяет процессы в цепи, поскольку по частотной
характеристике Z(ro) = г + j(i)L+—-—, пользуясь связями между
уюС
характеристиками, можно получить сведения о поведении цепи при
воздействиях любой формы.
Поэтому рассмотрим цепь с распределенными параметрами также
в установившемся режиме переменного тока и определим для нее необ-
ходимые частотные характеристики. Проводимость Си емкость С,
распределенные вдоль всей длины линии, вызывают утечку тока,
который неодинаков в различных ее точках. Поэтому для расчета
условий передачи энергии по линии нельзя применять уравнение цепи
с сосредоточенными параметрами, выведенное в предположении, что
ток остается неизменным вдоль всей неразветвленной цепи.
Однако если участок линии dx столь мал, что изменениями тока и
напряжения вдоль него можно пренебречь (рис. 3.2, а), то для этого
234
а х	Ас	г	i (x)+di(x)
	Rdx, Ldx, Cdx, Gdx	
UG)		U(x)+dU(x)
6 Л*)	Rdx	Ldx	i(x)+di(x)
С(х)		1	Д. Z Z Cdx Gdx 	Tip	U(x)+dC{x)
Рис. 3.2
участка линии можно составить эквивалентную схему (рис. 3.2,б). Здесь
Rdx—активное сопротивление участка линии; Ldx—индуктивность
участка линии; Cdx—емкость между проводами; Gdx—проводимость
изоляции между проводами на участке линии.
Эквивалентная схема только приближенно отображает свойства участ-
ка цепи с распределенными параметрами. В линии утечка тока проис-
ходит по всей длине участка, а эквивалентная схема отражает утечку
тока только на его конце. Однако при интегрировании дифференциаль-
ных уравнений, устанавливающих связь между напряжениями и тока-
ми участка dx линии, получаются результаты, точно отображающие
взаимозависимости между й{х) и /(%) в линии конечной длины.
Применяя закон Ома к эквивалентной схеме, найдем падение напря-
жения в проводах на участке- dU = (Л+ j&L)dxl.
Соответственно утечка тока: -di = (G + j(£)C)dx\U + dU).
Знак минус указывает на то, что приращения dV и di отрицательны.
Разделив - dll и-dl на и исключив во втором случае бесконечно
малую величину второго порядка, получим
-^ = (Z?+y<aL)Z = Znp/;
dx
di		(3-2)
-^-={G+jG>C)U = YmU.
dx
Это дифференциальные уравнения линии, которые характеризуют
цепь с распределенными параметрами, так же как уравнение (3.1) —
.неразветвленную цепь с сосредоточенными параметрами.
235
Так же как уравнение (3.1), независимо от конструкций, входящих в
цепь катушек индуктивностей, конденсаторов и резисторов, уравнение
(3.2) справедливо для всех конструкций однородных линий. Изменение
конструкции линии приводит только к новым численным значениям па-
раметров R, L, С и G.
Наиболее характерные конструкции линий и картины соответству-
ющих им статических электрического и магнитного полей приведены
на рис. 3.3. Во всех случаях часть пространства, охваченного электро-
магнитным процессом, ограничена поверхностями металлических про-
водников, форма которых определяет структуру соответствующих по-
лей и возможные направления их движения (вдоль линий). Каждая по-
следующая конструкция линий может рассматриваться как видоизме-
нение предшествующей.
Если нижний провод двухпроводной линии (рис. 3.3, а) разрезать по
радиусу Оа и развернуть, то получается однопроводная линия над про-
водящей плоскостью (рис. 3.3, б). Если проводящую плоскость одно-
проводной линии завернуть вокруг цилиндрического проводника,
получается коаксиальный кабель (рис. 3.3, в). Сплющив последний и
отбросив несущественные для процесса удаленные короткие стенки,
придем к полосковой линии (рис. 3.3, г). Совершенно очевидно, что рас-
смотренные деформации границ пространства не могут существенно
влиять на физическую природу электромагнитных процессов. Во всех
случаях они остаются процессами распространения электромагнитных
Полей вдоль металлических границ. Поэтому рассмотрение процесса в
какой-либо одной из линий приводит к выводам, справедливым в ос-
новном и для всех других.
Рис. 3.3
В простых случаях (например, для двух-, однопроводных и коакси-
альных линий), когда распределение магнитного и электрического по-
лей известно, первичные параметры можно вычислить с достаточной
для практики точностью. В более сложных случаях, например, для рель-
совых цепей, когда проводники-рельсы имеют сложное поперечное се-
чение, первичные параметры находят измерением. Проводимость изо-
ляции для всех типов линий устанавливают опытным путем.
Решение уравнений линии. Для перехода к уравнению, содержащему
одну функцию, продифференцируем первое уравнение (3.2) по х:
d2U _7 dl
dx2 ~^dx
и подставим сюда значение di !dx из второго уравнения
= 7 у (j
dx2 А,риз
Обозначив ZnpYli3 = (R+jaL)(G+ JcoC)-?2, получим
d2U	2/, d2U	2-
—— = у U или —<“Y v =0.
dx2	б/л2
Аналогичное уравнение можно получить и для I. Это обыкновенное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффи-
циентом. Его общий интеграл
+А2е^^Х
(33)
U(х) = А[в	+ А2е^ = y4je
где U(x), Aj, А2 —напряжения;
Y= y/ZnpYll3 — комплексный коэффициент, называемый коэффи-
циентом распространения волны.
Соответствующее уравнение для тока можно получить, воспользо-
вавшись исходным дифференциальным уравнением первого порядка:
--Г = (R + jnL)i = Znpi,
dx
(3.4)
237
_ • у dU у dU
R + j(£>L dx Znp dx
Подставляя в это выражение значения Uи? формулы (3.4) и выполняя
дифференцирование по х, получим
^пр
Обозначим величину, имеющую размерность проводимости,
у _ У _ Ig+j(oC_ 1
Znp R+j(oL \R+j(£>L ZB
Величину ZB называют волновым сопротивлением линии. Тогда
решение системы дифференциальных уравнений (3.2) примет вид
l7(x) = А]е~ух + А2еух;
/(x) = dLe^_^eyx	(3.5)
ZB ZB
где
у = J(R + jwL)(G+j©C) = ^Z„pYm,
z _ Ir + j(dL __ lznp	(2.6)
B \G + jo)C \y„3’
Величины уи ZB называют вторичными или вол! ювыми параметрами
линии.
3.2.1. Волновые процессы в линии. Волновые параметры
Падающая волна напряжения. Рассмотрим, что представляют собой
физические процессы в линии, описываемые уравнениями (3.5).
Пусть в нихх = 0. Тогда напряжение в начале линии 17(0) = А\ + А2.
Здесь А ] и А2 — составляющие напряжения в начале линии. Будем
поэтому вместо А ] писать 17' (0) и вместо А 2— 17" (0).
Рассмотрим первое слагаемое первого уравнения (3.5):
l7'(x) = U'(0)e~yx.
238
Полагая, что комплексный коэффициент у состоит из действи-
тельной и мнимой частей
Y=a + JP,	(3.7)
получим	U'{x) = e~axe~J^‘x.	(3-8)
Соответствующий этому выражению характер изменения вектора
напряжения U'(x) вдоль линии графически показан на рис. 3.4, а и б.
Из выражения (3.8) и его графического изображения следует, что вектор
напряжения, имеющий в начале линии значение й'(0), с возрастанием х
уменьшается по модулю и меняет свою фазу.
Мы пользовались до сих пор символическим методом, в котором
зависимость величин от времени задается выражением eJ(al.
Множитель е,ы1 ранее был опущен как общий. Теперь можно его
учесть, чтобы одновременно с зависимостью напряжения и тока
от координаты х рассмотреть также зависимость от времени t. Тогда
вместо выражения (3.8) имеем
1?(х,0 = Й'(0)е~с“е"У₽хе7Ш/ = U'(Q)e~axe'<i>,^x.	(3.9)
На комплексной плоскости выражение (3.9) изображают враща-
ющимся вектором с начальной фазой Рх Проекция этого вектора на
ось действительных величин плоскости комплексного переменного дает
мгновенное значение косинусоидального напряжения.
Рис. 3.4
239
Таким образом, мгновенное значение напряжения
U'(x,t) = t7'(O)e-ar cos(art - рх).	(3.10)
Для каждого момента t - tj уравнение (3.10) дает изменение мгновен-
ного значения напряжения вдоль линии (рис. 3.5). В каждой точке линии
х=х) мгновенное значение напряжения меняется по закону косинуса.
С увеличением t аргумент со/ - рх остается неизменным, если х
также будет возрастать со скоростью v = G)/p. Следовательно, двигаясь
по линии со скоростью v, можно наблюдать мгновенное значение
напряжения U'(x,t) соответствующее одному и тому же фазовому
состоянию, например и’(0)е~са cos 0. Скорость перемещения по линии
каждого фазового состояния г = (й/р называют фазовой скоростью.
Для цепей воздушных линий с медными проводами на частотах более
300 Гц фазовая скорость близка к скорости света в пустоте. Для цепей
воздушных линий со стальными проводами и для кабельных линий эта
величина значительно ниже и в большой степени зависит от частоты
тока, еще меньшие значения имеет она для рельсовых цепей.
Выражение (3.9) математически представляет собой волну, движу-
щуюся от начала линии к ее концу. Эту волну называют падающей.
Уменьшение напряжения при движении вдоль линии объясняется
выделением энергии в виде тепла вследствие активного сопротивления
проводов и проводимости изоляции каждого элемента линии. Изменение
фазы напряжения от точки к точке обусловлено запаздыванием
240
колебательного процесса в точке х по сравнению с колебанием в начале
линии, связанным с определенной скоростью движения.
Уменьшение вектора напряжения и изменение его фазы при движе-
нии волны вдоль линии определяют двумя частями комплексного кило-
метрического коэффициента распространения волны:
Y=a+j0.
Километрический коэффициент затухания а—действительная часть
комплексного коэффициента распространения волны. Километрический
коэффициент затухания показывает, как убывают векторы напряжения
вдоль линии вследствие потерь энергии в проводах и изоляции линии.
Численное определение а можно получить из соотношения (3.9)
„-СИ _ W
из этого выражения е - уу'тт >
U’(x)
t>'(0) ’
C/'(x)
Таким образом, километрический коэффициент затухания измеря-
ется натуральным логарифмом модуля отношения напряжений в нача-
ле и конце участка линии длиной 1 км. Формула (3.11) определяет зату-
хание ах в единицах затухания, называемых неперами (Нп), Определе-
ние единицы затухания рассматривается далее.
С увеличением частоты затухание возрастает, так как растут сопро-
тивление проводов вследствие поверхностного эффекта и диэлектриче-
ские потери в изоляции.
Километрический коэффициент фазы 0 — мнимая часть комп-
лексного коэффициента распространения волны и представляет собой
сдвиг фаз между векторами напряжения в начале и конце участка линии
длиной 1 км; 0х — угол между U (0) и 0 (х) .
Разность фаз напряжения в двух точках линии, находящихся
на расстоянии х друг от друга, 0х = СОГх,где a>tx — угол, на который
поворачивается вектор [)' (0) за время tx; tx — время пробега волной
расстояния х, после которого в точке х появляется напряжение
U'(Q)e~^.
16 Теория линейных эл. целей
241
Если по линии передаются токи с несколькими частотами, то их
коэффициент Р неодинаков и тогда д ля оценки запаздывания используют
г/Р(со)х
величину tx = -	- , которую называют групповым временем
did
прохождения.
Расстояние между точками линии, в которых фазы напряжения отли-
чаются на угол 2л, называют длиной волны и обозначают символом X.
Отраженная волна напряжения. Проанализируем второе слагаемое
первого уравнения (3.5):
й'\х} = U"(G)e^ = [Г'^е^е^.	(3.13)
Соответствующее изменение вектора напряжения вдоль линии
показано на рис. 3.6.
При переходе к мгновенным значениям имеем:
= Г'(0)^ cos(o)/ + р.х).	(3.14)
Здесь аргумент со/ + Р% остается неизменным, если с увеличением t
х уменьшается с той же скоростью, что и в случае падающей волны,
v = со/р. Это свидетельствует о движении к началу линии.
Таким образом, уравнение (3.14) соответствует волне, движущейся
от конца линии к началу и называемой отраженной. Падающая и
отраженная волны вместе называются бегущими.
242
Напряжение в каждой точке линии (см. 3.5) равно сумме напряжений
падающей и отраженной волн:
U(x) = U\x) + U'\x) = ицая (х) + £7отр(х).	(3.15)
Переходя к току, представляемому вектором /(х), перепишем второе
уравнение (3.5) в виде
[7„ял(х)	^ОТп(Х)		1
Ях)_	~	~	Атад(х)_ ЛэтрС*)-	(3.16)
ZB	ZB
Здесь можно повторить все рассуждения, проведенные для напря-
жения. Следовательно, ток в каждой точке линии равен разности токов
падающей и отраженной вол! 1, так как ток отраженной волны направлен
навстречу току падающей волны.
Волновое сопротивление линий. В падающей и отраженной волнах
напряжение и ток связаны соотношением
Т, ч ^пад(х) ^отр(х) „
Дл)=	.- = -Zb.	(3.17)
^пад('')	Л)тр(-')
Волновое сопротивление ZB определяет отношение напряжения к
току в отдельной волне падающей или отраженной — в любой точке
однородной линии. Комплексную величину ZB принято представлять в
показательной форме:
ZB=|ZB|^.	(3.18)
Угол фа определяет сдвиг фаз между векторами й и / в каждой
из волн—падающей или отраженной—в любой точке линии.
Волновое сопротивление ZB связывает напряжение и ток в бегущей
по линии волне, но не определяет непосредственно потери в ней.
Действительно, ZB вычисляют по формуле (3.6), которую можно
записать в виде Zq =^^]р2^13, riieZi[p—сопротивление проводов линии
д линой 1 km;Zh3—сопротивление изоляции линии длиной 1 км.
Абсолютное значение |ZB| растет с увеличением сопротивления
проводов линии. В этом случае рост |ZB| сопровождается возрастанием
потерь. Значение |ZB| будет расти также с увеличением сопротивления
243
изоляции линии. В этом случае рост |ZB| сопровождается уменьшением
потерь в линии. В зависимости от частоты модуль сопротивления всех
типов реальных линий связи уменьшается. Угол сдвига фаз между
векторами напряжения и тока в бегущей волне фв определяет характер
мощности волны. Модуль волнового сопротивления рельсовых цепей
с увеличением частоты растет. Это характерно для линии с потерями в
изоляции. Если фв = 0, как это бывает в линиях без потерь, для которых
при R = 0 и G — О
/ R+ j&L _ [L
В \G+/coC УС’	(319)
то векторы напряжения и тока находятся в фазе и переносимая волной
мощность чисто активна. В случае фв тЮ мощность, переносимая волной,
содержит реактивную составляющую; в существующих линиях
различной конструкции обычно емкостную. Таким образом, волновое
сопротивление показывает характер переносимой волной мощности, а
также относительную роль магнитного и электрического полей в этом
переносе. Из выражения (3.19) для линии без потерь
I L	^пад
Vc= В=Т“'
¥	1 пад
Если теперь возвести левые и правые части в квадрат, то можно
видеть, что
ей1 й2
2 ~~2~’
т. е. в бегущей волне энергии электрического и магнитного полей равны
и в равной степени участвуют в транспортировке энергии вдоль линии.
Способы описания волновых процессов. Полная картина распре-
деления векторов напряжения и тока при передаче энергии переменного
тока по электрической цепи с распределенными параметрами и при
наличии в линиях только падающей волны приведена на рис. 3.7, а, б.
Этот рисунок иллюстрирует совместное изменение векторов U и 1
вдоль линий, рис. 3.8 — распределение по линии и изменение во
времени мгновенных напряжений и токов в падающей волне.

244
Пользуясь символическим представлением U и I, получаем
решение, не содержащее времени и определяющее только распреде-
ление напряжения и тока вдоль линии в установившемся режиме
гармонического переменного тока в виде векторов.
Уравнения (3.5) определяют постоянное распределение амплитуд и
фаз этих векторов вдоль линии. Получающиеся для каждой точки ли-
нии действующие значения и фазы результирующего вектора напряже-
ния или тока можно найти путем измерений.
Для более полного объяснения распределения векторов напряжения
и тока вдоль линии, а также механизма передачи энергии целесообраз-
но переходить к мгновенным значениям напряжения и тока и рассмат-
ривать движущиеся вдоль линии падающие и отраженные волны на-
пряжения и тока.
245
В установившемся режиме падающие и отраженные волны в отдель-
ности наблюдать, проводя измерения, нельзя, так как в каждой точке
линии напряжение равно сумме напряжений падающей и отраженной
волн, а ток—разности токов этих волн.
В переходном режиме падающие и отраженные волны можно прак-
тически наблюдать в отдельности. Эта возможность использована, на-
пример, в импульсных приборах, предназначенных для обнаружения
повреждений в линиях.
Волновые процессы в электрических линиях можно рассматривать,
характеризуя их зарядом и напряженностями электрического и магни-
тного полей. В качестве поясняющего примера рассмотрим волну в ли-
нии без потерь, возбужденную подключенным к ее началу источником
постоянного напряжения. Движение электромагнитного поля вдоль ли-
нии в первый момент после подключения источника иллюстрируется
рис. 3.9, а.
Скорость движения волны v определяется следующим рассуж-
дением. Пусть q—заряд линии длиной 1 км, тогда ток в проводе I = qv.
Следовательно, U = —, но q — С U, a ¥- = Z% = J—.
q	INC
Отсюда	[j - = 1 -__1__	(3.20)
q CU JLC
Рис. 3.9
246
По истечении времени t = И v волна дойдет до конца линии, и если
она разомкнута, то дальнейшее движение зарядов невозможно. На конце
линии произойдет скопление зарядов, сопровождающееся увеличением
напряженности электрического поля (рис. 3.9, б). Поскольку такое со-
стояние долго существовать не может, начнется встречное движение за-
рядов. Это и есть отраженная волна, которая здесь несет обратно всю
энергию, доставленную падающей волной. Нетрудно видеть (рис. 3.9, в),
что наличие зарядов на проводах линии повышает напряжение между
ними независимо от направления движения этих зарядов. Из этого
следует, что напряжение между проводами линии есть сумма напря-
жений падающей и отраженной волн.
Ток в данной точке линии, естественно, зависит от направления дви-
жения зарядов. Встречное движение зарядов приводит к уменьшению
тока, так как ток линии есть разность токов падающей и отраженной
волн.
Если бы провода линии на ее конце были замкнуты накоротко, то
произошло бы увеличение напряженности магнитного поля полное от-
ражение (рис. 3.9, г).
Коэффициент отражения. Рассмотрим зависимость между векто-
рами напряжения и тока отраженных и падающих волн на конце линии,
для чего введем понятие отношения напряжения отраженной волны к
напряжению падающей волны, называемое коэффициентом отражения:
ЙОтр(^) _ ДэтгрСО _
^пад(^) АтадСО
Для численного определения коэффициента отражения рассмотрим
условия равновесия напряжений и токов в конце линии (рис. 3.10), где
из-за удобства изображения показана только однопроводная линия. Все
выводы будут справедливы для однородных линий всех конструкций.
На рисунке условными обозначениями, напоминающими своими очер-
таниями гребень волны на поверхности воды, показаны падающий и
отраженный волновые потоки.
В точке Б, где к линии подключен приемник с сопротивлением ZH
должны выполняться два условия:
- напряжение в линии слева от точки Б, представляющее собой сум-
му напряжений падающей и отраженной волн, должно быть равно на-
247
///// /// /// /////У /// /// ////// ////// /7/777
Рис. 3.10
пряжению нагрузки справа от точки Б, определяемому падением на-
пряжения на сопротивлении ZH:
^пад(0 + ^оП>(^) = 2н/Ю.
-ток в линии слева от точки Б, представляющей собой разность
токов падающей и отраженной волн, должен быть равен току нагрузки:
4ад(Л-/отр(^) = Ш
Представляя каждое напряжение как произведение тока и сопротив-
ления и умножая уравнение для токов на ZH, получим
^вЛтад + ^вАггр =	-^нЛтад — ^нЛ>тр =	
Вычитая из первого уравнения второе, найдем:
^отр _ ^отр _ Zh -Zb
4ад *>паД ZH+ZB	<3’21>
Из последнего выражения видно, что коэффициент отражения равен
нулю при равенстве сопротивления приемника на конце линии ZH
волновому сопротивлению линии ZB. При этом отраженные волны в
линии отсутствуют. Линию с нагрузкой ZH =ZB называют согласованно
нагруженной, а эту нагрузку—согласованной.
Отраженные волны являются следствием перераспределения энер-
гии на конце линии в тех случаях, когда отношение напряжения к току
248
в падающей волне, подошедшей к концу линии, не соответствует отно-
шению напряжения к току, которое может существовать в нагрузке.
Рассмотрим численные значения коэффициентов отражения в трех
случаях:
-холостой ход линии: ZH=°°, ц = +1. Коэффициент отражения
равен единице. Амплитуды отраженных и падающих вол! i равны. Полное
напряжение на конце линии равно удвоенному напряжению падающей
волны. Полный ток равен нулю. Энергия из линии не потребляется;
-короткое замыкание линии: Z^ =0, Т|=—1. На конце линии пол-
ное напряжение равно нулю, полный ток—удвоенному току падающей
волны. Энергия из линии, как и в первом случае, не потребляется, так
как приемник фактически отсутствует;
-линия замкнута на согласованную нагрузку: ZH =ZB, ц = 0. От-
раженных волн нет. Вся энергия, пришедшая к концу линии, потребля-
ется нагрузкой. Это возможно только при равенстве отношений напря-
жения к току в волне и нагрузке.
Удвоенное напряжение на конце разомкнутой линии или удвоенный
ток на конце короткозамкнутой линии по сравнению с напряжением
или током в падающей волне в действительности появляется вследст-
вие перехода энергии магнитного поля в энергию электрического поля
(при холостом ходе) и наоборот (при коротком замыкании).
Коэффициент бегущей волны. Когда в линии имеются падающие и
отраженные волны, полное напряжение Й(л) в любой ее точке есть
сумма напряжений падающей и отраженной волн:
i/(x) = Йпад(х) + 17отр(х).
Поскольку фазы векторов напряжения волн при переходе от точки к
точке вдоль линии принимают новые значения, векторное напряжение
U(л) с изменением х будет меняться волнообразно.
В точках, где векторы Йпад и Йотр совпадают по фазе, U(x)
максимально |^(х)|тах = рпад| + [^отр|-
В точках, в которых векторы Йпад и Йотр противоположны по
фазам, Й(%) минимально и |^(-x)|min = |^пад|~|^отр|- Чем больше
амплитуда отраженной волны, тем значительнее колебания напряжения.
249
Если потери в линии малы и ими можно пренебречь и коэффициент
отражения равен 1, то амплитуды отраженной и падающей волн равны
|^отр| = |^пад| и й(х) изменяется от 0 до 2(7пад(л). В этом случае в
линии устанавливается режим так называемых стоячих воли.
Т) =
^пад
^'oip 1 — Т]|
max
^пад
^отр
(3.22)
min _
Для оценки сложившегося в линии режима в технике сверхвысоких
частот используют коэффициент бегущей волны.
Этот коэффициент равен единице, когда г| = 0 и в линии имеется
только бегущая волна. Равенство его нулю соответствует режиму стоя-
чих волн.
3.2.2. Распределение напряжений и токов вдоль линии
Проведенный в предшествующих главах физический анализ реше-
ний дифференциальных уравнений линии показал волновую природу
процессов передачи электрической энергии по линиям. Опираясь на
основные свойства волновых процессов, можно получить соотноше-
ния, связывающие полные напряжения и токи на входе линии, в произ-
вольной точке и на ее конце.
Связь между напряжениями и токами на входе и выходе линии ха-
рактеризует передающие свойства последней и позволяет определить
напряжение и ток на входе линии, которые обеспечивают на ее выходе
напряжение и ток, необходимые для работы приемника.
Связи между напряжениями и токами на концах линии и в произ-
вольной точке используются при рассмотрении взаимных электромаг-
нитных влияний между параллельно расположенными цепями. Рассмот-
рим рис. 3.11, на котором условно показаны падающие и отраженные
волны и связи между ними. Мы знаем (и это показано на рисунке), что
падающая волна в конце линии Спад(^) = <7пад(0)е"^, отраженная
волна в конце линии Сотр(^) = 1/пад(^)г|, отраженная волна в начале
250
Ц>тр (0) = 1/пад(0) е-^	=Чад'
%(0)	4аД«=^пад(0)е-ух
(0)e-WTKY<*~r)
е-х
^W=t^(o)e-y'
----^7?
^ = йп^(0)е^
-------и
Рис. 3.11
линии Потр(0) = Йотр(7)е у( и что полное напряжение в любой точке
линии есть сумма напряжений падающей и отраженной волн.
Поэтому можно написать:
Й(0) - ип (0) + Йо(0) - ип (£)е* + Йп (7 )П е~уе.	(3.23)
Кроме того, Щ£) = 6/п«) + йо(£) - Йп(7)(1+т])-
Здесь 67пад = Un и йтр = йо.
Йп(Л = Й(Пт^--
Подставляя выражение (3.24) в формулу (3.23), получим
77(0) = й(()еуе 1+П<?
1 + Т]
Отсюда
(3.24)
(3.25)
7(0)=^(йп(0)-Йо(0))=®е^ -L^L=j(£)e^L^L, (3.26)
ZB	ZB	1+Т]	1—Т)
Выражения (3.25) и (3.26) определяют коэффициенты передачи по
напряжению и току.
Условие работы передатчика характеризует входное сопротивление:
Й(0) _ Йп(0) + Йо(0) _ 1
/(0)	7п(0)-7о(0)	В1-п<?-2^'	(3-27)
251
Напряжение и ток в произвольной точке линии, находящейся на
расстоянии* от ее начала и (l-х) от конца, найдем аналогично:
й(х)=ад+ад=(7п(0>-^+(7о(0)^=
1+Т]<? у
(3.29)
ZB 1+Т|е 1
При расчетах электромагнитных влияний линий друг на друга часто
пользуются преобразованными выражениями (3.28). Рассмотрим способ
преобразования на примере связи между (7(х) и (7(0).
1 +T,p-2Y(f-^)
(/(^(О)^*1-^ - 2. .
1+т|е у€
Представим коэффициент отражения выражением rj = elnп, под-
ставим это в формулу для (7(х) и вынесем за скобки в числителе e-yf,
е-ух, е1"^ и знаменателе е~^х, е1п^. После сокращений получим
ch[y£ - In д/т]]
Выражения (3.26) и (3.27) являются общими, охватывающими все
многообразие возможных особенностей параметров и режимов работы
линии. Во многих практически важных частных случаях они
упрощаются. Рассмотрим эти случаи.
Согласованная линия. Довольно часто с известным приближением
линии связи можно считать нагруженными согласованно. При этом
ZH = ZB, г] = 0. В линии нет отраженных волн, поэтому в соотноше-
ниях, определяющих связи между напряжениями и токами, пропадают
слагаемые, соответствующие этим волнам. Из выражений (3.25) и (3.26)
получаем
(7(0) = U(f.)e*; 7(0) = i(t)e^;
„ _ (7(0) _ 1/(7) _ „
Z-RV — •	—* •	—'	•
7(0)	/(£)
(3.30)
(3-31)
252
Электрически длинная линия. Линию называют электрически
длинной, если |yf| > 23 Нп и |е~2у£| <0,01. Физически это означает,
что амплитуда напряжения отраженной волны в начале линии по мень-
шей мере в 100 раз меньше амплитуды напряжения падающей волны.
Пренебрегая в выражениях (3.25) и (3.26) слагаемым t]e~2yf,
получим
ZH;
аЛ
ZH г
£7(0) = U(£)± е* (1+-^В
S'(O) = S(f)e+2ye (Zh. + Zb) . ,
4ZHZB
(3.32)
где S(0) и S(£) — мощности на входе и выходе линии.
Линии без потерь. Многие устройства — фидеры, питающие
радиоантенны; сами радиоантенны; линии сильного тока при исполь-
зовании их для передачи сигналов, а также кабели, применяемые при
монтаже устройств СВЧ,—характеризуются весьма малыми потерями
и сильно выраженными волновыми процессами. Если потери в линии
настолько малы, что можно считать R « (nL и G « (йС, то
£
у= у’Р = jo^LC, ос = 0, ZB =
Коэффициент распространения в этом случае оказывается чисто
мнимой величиной. Подставляя у- у’Р в уравнения (3.25) и (3.26) и
имея в виду, что в этом случае е^е = е$е, получим
£7(0) = й(£)е^е 1+Т1е 7 Р ;
1+Т|
ZB 1+Т|
(3.33)
253
Уравнения (3.33) применимы для линий, у которых R « coL и G
« (ОС, а £ соизмеримо с длиной волны X.
Характерным для линий без потерь является чисто активное их
,	(о 1
волновое сопротивление, а фазовая скорость v = — = не зависит
от частоты тока. При согласованной нагрузке линии без потерь на соп-
ротивление = Rq = напряжения и токи в линии связаны
соотношениями
Й(0) = Й(^)е7Р£ 2(0) = Й(£)е7^.	(3.34)
Векторные напряжения и ток не изменяются вдоль линии.
Вследствие того, что ZB активно, напряжение и ток бегущей волны
находятся в фазе и передаваемая волной мощность чисто активна.
Линия потребляет от питающего ее генератора активную мощность,
которую передает к выходу для питания приемника. Напряжение и ток
вдоль линии меняются только по фазе на значение = 2t/(z/v).
Совсем иначе происходят процессы в линии без потерь, если на конце
ее нет приемника. Поскольку в самой линии потерь нет, энергия
падающей волны при отсутствии приемника на конце израсходована
быть не может и полностью возвращается в виде отраженной волны.
В установившемся режиме в линии с разомнутыми или замкнутыми
концами одновременно существуют два равных по значению потока
энергии, движущихся во встречных направлениях. Энергия, воспри-
нятая линией от генератора, через время t = 2£ / v возвращается обратно
в генератор. Распределение напряжения и тока вдоль линии при этом
определяется соотношениями:
при холостом ходе (т]-1) из выражений (3.25) и (3.26)
U(x) = Й(4еу₽(^л) +	= 6’(0cosp(f - х);
/(%) = y-^==sinP(f-x);	(3.35)
при коротком замыкании (Т|=-1)
254
Й(л) = j/(€)ZBsinP(7-x);
Z(x) = Z(7)cosp(7-x).	(3‘36)
Как следует из выражений (3.35) и (3.36), в этих режимах каждой
точке линии соответствуют свои значения (/(%) и 7(х), при одних х
они достигают максимума й(£) или 7(f), при других — нуля. Эти
выражения определяют режим стоячих волн в линии. Такой режим
характерен для радиоантенн.
Со стороны входа линия ведет себя как реактивное сопротивление
и значение его определяется как 17(0) / 7(0) = jZBX. При холостом ходе
это будет - yVZCctgP^; при коротком замыкании j^LClgfif.
При Р7 = 2л /№, что соответствует 7 = Х/4, входное сопротивление
ZBX кз = 00 ’ zbx хх 0. Входное сопротивление разомкнутого отрезка
линии длиной А/4 равно нулю. Эта величина четверть волнового
отрезка линии без потерь, замкнутого накоротко, бесконечно велика.
Не менее замечательные свойства имеет отрезок линии д линой А, / 4,
замкнутый на произвольное сопротивление 7?н.
Подставив эти значения в уравнения (3.33), получим
.я	. „ .п
С(0) = С(7)/2-^; 7(0) = ^ А
1+T1	ZB
Отсюда
2вх=7йМ/Лн' рз7)
Таким образом, четвертьволновая линия без потерь может быть
использована как трансформатор для согласования сопротивлений.
Для приложений существенны также частотные зависимости вход ных
сопротивлений: ZK3 = jjLTCXgfif и Zxx =-j-JZ7CctgP7 .Так как для
линии без потерь р = ayjLC, то получаем
^<з = л|-Й^® и zxx =-7\HctgZG),
где t-f!v- fjLC.
255
X
Рис. 3.12
Частотные зависимости ZK3 и Zxx линии без потерь подобны таковым
реактивных двухполюсников (рис. 3.12).
Электрически короткая линия. Электрически короткой называют
линию с малыми затуханием и фазовым сдвигом. В такой линии
волновые процессы проявляются слабо и связи между напряжениями
и токами на входе и выходе линии можно охарактеризовать, используя
вместо волновых параметров Z& и у( первичные параметры линии
гл = W и Ул = Ую£.
Признаком электрически короткой линии является такое малое
значение величины у£, при котором выполняется соотношение
3
(Y0- « у(.
При этом множители eyf и е~уе в уравнениях (3.25) и (3.26) можно
заменить разложениями их в ряд, удержав только три первых слагаемых,
и принять
2	2
Эта подстановка и дает уравнения электрически короткой линии.
256
Раскрыв также в уравнениях (3.25) и (3.26)
ZH-ZB. = + n =р ZB 1
ZB + Zg 1+T] ^2 2ZB j 1 + T]	2 2Zpj j
получим

67(0) = 67(6)1
1+Т]	1 + T]
• ( (уб)^
= U(f) l+^y-
+i(WZB-,
y6
i(0)=u(£)^-+i(f) i+^
Zr	2
(3.38)
ZB
Воспользуемся соотношениями (3.6). Из них следует, что
zB 2 Z
Подставив эти значения в уравнения электрически короткой линии
(3.38), получим
Z Y
67(0) = 6/(6)+ 7(6)Zn + 67(6)-^-;
Z у	(3 39)
7(0) = 7(6) + 6/(6)Ул+7(6)~^.
Эти уравнения, не содержащие волновых параметров, и используют
для расчетов режимов электрически коротких линий.
Сравним уравнения (3.39) с уравнениями симметричных схем
замещения Т и П. Зависимость 67(0) электрически короткой линии от
67(6) и 7(6) точно совпадает с аналогичной зависимостью симметрич-
ной схемы замещения П, в которой Zj и Z2 заменены Zn и 1/Кл.
Зависимость 7(0) от 67(6) и 7(6) электрически короткой линии
отличается от аналогичной зависимости для схемы П на величину
Z,
4Z2'
Зависимость для 7(0) электрически короткой линии точно совпадает
с аналогичной зависимостью для симметричной схемы Т.
Это обстоятельство используют при расчетах коротких линий для
замены их эквивалентными схемами замещения.
67(6)
17 Теория линейных эл. целей
257
3.3. Однородная уединенная линия как четырехполюсник
Параметры пинии как четырехполюсника. Любую пассивную
линейную электрическую цепь с постоянными параметрами и четырьмя
зажимами, используемую для передачи электрической энергии в
качестве промежуточного звена, можно рассматривать как четырех-
полюсник. К числу таких цепей относят однородную уединенную
электрическую линию.
Уравнения линии как четырехполюсника должны связывать четыре
величины: £Д0), ^(0), t/(^), 7(^)- Для их получения вернемся к
выражениям (3.25) и (3.26):
[7(0) = £/(ф^1 + Пе Y ;
1+T]
ZB 1+п
Преобразуем выражения (3.25) и (3.26), подставив в них значение
T] = (Zh -Zb)/(Zh +Zb) и заменяя (7(7)/ZB на 7(7). Имея в виду, что
1 _	. Л _ 1 ^в
1+т] 2 2Zpj 1 + т] 2 2ZH
получим
(7(0) = (7(7)eyf —= С7(^)сЬу€ + 7(7)ZBshy7;
1 + Т]	1+Т]
/(0)=^^-1_-
ZB 1+т] Z'B 1+т] Zb
7(7)сЬ?7.
Здесь величина U{t)—— = — [(7(7)-ZB7(7)] представляет собой
1+Т] 2
отраженную, а величина й(£)—-— = — [(7(7) + zBi(d — падающую
1 + т] 2
волны напряжения на выходе линии.
258
(3.40)
(3-41)
fA
C D
\ J
Обозначим С^(0) = С70; 7(0) = ZB; U(£) = U(; i(£) -Ц и сопос-
тавим уравнения электрической линии и четырехполюсника:
й0 = й( chy£ + Ц shy£
/0 = t/o —~~sh yf. + If ch yf..
ZB
Ul=AU2+Bi2;
iy = cu 2 + Di2.
Из сопоставления этих уравнений следует, что матрица параметров
линии
chyf	ZBshyZ'
—J—sh у? chyZ
ZB	)
Здесь, как и у каждого пассивного обратимого четырехполюсника,
выполняется соотношение, выражающее свойства обратимости:
AD-BC= 1, так как ch2y£-sh2yf = 1.
Линия как четырехполюсник симметрична, так как Л = D.
Совершенно очевидно, что уравнения линии можно представить
всеми формами уравнений четырехполюсника. Матрица проводимостей
линии
( 1
----cthyf
1
ZBsh y£
1 , „
---cthyf
ZB
(3-42)
ч ZBshyf
а матрица сопротивлений
ZBcthy^ -^fi-
sh ye
-fB- ZBcthyZ
shyZ
259
Таким образом, однородную линию рассматриваемую как симмет-
ричный четырехполюсник, можно характеризовать двумя независи-мыми
комплексными коэффициентами, задаваемыми различными способами:
первичными параметрами Zn и Yn, волновыми или вторичными
параметрами ZB и у£, третичными параметрами А, В, С, а также
матрицами проводимостей и сопротивлений.
Все эти способы взаимозаменяемы и в одинаковой степени могут
характеризовать линию как систему передачи. Выбор того или иного
из них зависит только от удобства его использования при решении
конкретной задачи.
Линию как систему передачи сигналов наиболее удобно характе-
ризовать волновыми параметрами: волновым сопротивлением ZB и
коэффициентом распространения у£. (рис. 3.13). Волновое сопротив-
ление показывает, как следует подобрать сопротивления генератора и
приемника, чтобы в линии отсутствовали отраженные волны. Коэффи-
циент распространения волны у£ указывает на потери и фазовый сдвиг,
возникающие при пробеге волны вдоль линии. Величины ZB и у£
вполне характеризуют передающие свойства линии при согласованной
нагрузке.
В общем случае, рассматривая линию как четырехполюсник, условия
передачи энергии от генератора к приемнику в схеме, приведенной на
рис. 3.13, можно характеризовать входным сопротивлением, сопротив-
лением передачи или приведенным сопротивлением. Из формул (3.41)
и (3.27) получаем
_ Alfa + В _	7?Hchyl + ZB shyl _	1 + це~2^
Ofa + D~ В T^shye + ZBchY^ ” Bi_ne~2< (3‘44)
260
Выражение (3.44), как и аналогичные последующие, одинаково
верно при активных RH и комплексных ZH сопротивлениях нагрузки.
В частных случаях при /<н = 0 (короткое замыкание) и = °°
{холостой ход) получим
ZBX RH=0 =	= "р- = ZB thy£,	(3.45)
ZBX RH=~ ~ Zxx = zi1 = ZB cthyf.	(3-46)
Сопротивла те передачи и приведенное сопротивление линии
znep = ZBX ~= =	+ Б = RH ch у€ + ZB sh y€ = ZBe7£ ——---; (3.47)
ZnPHB = ZbK7+ Rr Znep -AR^+DR^ +CRliRr + B = (Rr +RH W +
^bx
+fz -Л*н
+ Z,n H---
ZB
,h _£ye (Ar+ZjB)+(ZB-Zr)
1-T]
(3.48)
При Rr =	= R
rz	ya 1 - T]2e“
Znpne— (^+ ZB)e	-——	(3.49)
Сопоставляя выражения (3.47) и (3.49), можно видеть, что наличие
отраженных волн в линии в большей степени влияет на величину Z
и в меньшей — на ZnpiIB, так как в последнем в числителе стоит Г]2.
Использова! и те понятий Zncp и ZnpHB облегчает решение многих задач
при определении напряжений и токов в линиях.
Определение параметров линии из опытов холостого хода и
короткого замыкания. Параметры электрической линии, как и всякого
четырехполюсника, могут быть установлены из опытов короткого
замыкания и холостого хода. ТЛЭЦ позволяет получить новый вариант
их определения, который может быть использован для вычисления
параметров любых четырехполюсников.
Если в результате измерения входного сопротивления линии
оказалось возможным определить ZK3 = |Z^3|e7<₽K3 и Zxx = |Zxx|e-/<₽IiX,
то все параметры линии можно рассчитать исходя из этих опытных
данных.
261
Умножив и разделив выражение (3.45) на (3.46), получим
Zb =	= 7ЙЫ е'°’5(^+<₽») = ZBe^,	(3.50)
(3-51)
где
ФГ = 0,5(фкз-фхх).
Обычно значение у£ находят по частям, пользуясь формулами
e2w = l+7^ = MZ.
1-7^Ч>г
(3-52)
„ 1.
<х£ = -1п
2
1 + Те/<Рг
1-7е/<₽г
(И = 0,50.
(3-53)
Рассчитанное можно использовать сразу. При вычислении
фазового угла Р£ возникает затруднение. Выражение (3.53) определяет
его неоднозначно. Приближенное значе! те находят, сопоставляя длину
линии с длиной волны. Километрический коэффициент фазы
„ (01) + кк
Р €
где к находят подбором.
Если известно волновое сопротивление линии ZB и постоянная
передачи у€ =	+ ]$(’, то можно вычислить Zn и Ул :
Zn=(R+j<nL)£ = y£ZB,	(3.54)
в произведении y€ZB действительная часть равна R£, а мнимая— <о1/:
Yn = (G + jo)Q( = yf/ZB.	(3.55)
в отношении у? действительная часть равна G, мнимая — &С(.
262
Для пояснения способа выбора значения к рассмотрим численный
пример на определение параметров линии по результатам измерений
входных сопротивлений холостого хода и короткого замыкания. Пусть
при измерении входного сопротивления двухпроводной цепи ка-
бельной линии связи на частоте f = 800 Гц получено:	= 383 -L-4
с
и Zxx =627 ±“ . Знак ± читается «с углом». Длина линии £ = 12 км.
По формуле (3.50) волновое сопротивление линии
ZB =	= з/з83±-4' 627 ±“78 = 490 ±-41’ .
Для определения комплексной постоянной передачи yt восполь-
зуемся формулой (3.51):
thy£ =	= ^383±-4° /627±~78° = 0,782±37° .
Найдем а£ и	по формулам (3.52) и (3.53):
ос€ = —In 2	1 + Те'4’7’	=—In 2	1 + 0,782<?j37°	= 0,521 Ни.
	1-7W4’7'		1 - 0,782<?^37°	
километрическое затухание а = 0,521/12 = 0,0434 Нп/км, фазовый угол
(Р€)’ =0,50 = 0,588 рад
Коэффициент к, необходимый для определения , выберем
следующим образом. Примем фазовую скорость для цепи кабельной
линии связи, равной примерно 2-105 км/с.
Длина волны равна произведению фазовой скорости и периода тока:
А = v// = 2 105/102 = 250 км.
Из сравнения длины линии € = 12 км с длиной волны А = 250 км
следует, что по длине линии в рассматриваемом случае укладывается
малая часть волны. Это значит, что угол Р€ должен иметь значение
12
Р€ = 2л	и коэффициент к следует взять равным 0. Найдем значение
километрического фазового коэффициента:
Р =	+ в = 0,049 рад/ км.
263
Следовательно,
у = а + /р = 0,043 + у0,049 ±48’73 -
Полное сопротивление проводов линии длиной 1 км можно
вычислить по формуле (3.54):
гл = (К+/coL) = yZR = 0,065 ±48>73° -490 ±^°’88° = 31,94 ±7’85" .
Разлагая произведение yZB на действительную и мнимую части,
получим
К+ jmL=31,64 + 7'4,36.
Определим полную проводимость между проводами линии длиной
1 км по формуле (3.55):
Ул =(G+7<oC) = y/ZB =13310“6 ±89’61° = (0,905+ 7'133)10-6;
Zn = (R + >£) = yZB = 0,065 ±48’73 - 490 X-40’88" = 31,94 ±7’85° .
Окончательно для первичных параметров линии получим
Я = 31,64Ом/км; L= —= 0,8710“3 Гн/км;
со
G = 0,90510-6 —-—; С = —310 = 26,5КГ9 Ф/км.
Ом км со
При определении параметров линии измерением ZK3 и Zxx по
изложенному методу следует выбирать небольшие участки линии, для
которых at < 1,5... 2 и ZK3 * в противном случае точное вычисле-
ние затухания линии по th затруднительно.
3.4. Линия, возбуждаемая распределенными источниками
Линия, возбуждаемая распределенной ЭДС. Мы рассматривали
случаи возбуждения электромагнитного процесса в линии генератором,
подключенным к ее входу. Это обычно бывает при использовании линии
для передачи электрической энергии или сигналов управления и связи
и если она является уединенной.
Однако все линии в большей или меньшей степени подвержены
воздействию внешних электромагнитных полей, наводящих в них
напряжения и токи. Двухпроводные цепи линий связи испытывают
264
Рис. 3.14
влияние электротяги, электромагнитных полей от радиостанций, со
стороны других цепей той же линии связи. Во всех этих случаях внешние
влияния не меняют условий работы цепи, им подверженной. Если при
передаче по линиям электрической энергии большими напряжениями
и токами такими влияниями полностью пренебрегают, то при передаче
сигналов связи малыми напряжениями и токами с ними необходимо
считаться. В связи с этим возникает необходимость рассмотрения линии,
волновой процесс в которой непрерывно возбуждается внешними
полями. Их действие можно заменить действием источников напря-
жения или тока, распределенными по длине линии.
Пусть под воздействием внешнего переменного магнитного поля,
создаваемого другой влияющей цепью, в каждом элементе цепи связи
наводится ЭДС E(jx)dx (рис. 3.14). Зависимость Ё(х) обусловливается
изменением значения влияющего тока в соответствии с выражением
(3.28) или расстояния между влияющей и рассматриваемой линиями.
Указанная ЭДС распределена по всей длине линии. Таким образом,
линию, находящуюся под воздействием переменного магнитного поля,
можно представить как бы питаемой распределенным источником с
плотностью напряжения Ё(л) В/км.
ЭДС £(х)бДвызовет ток в каждом элементе линии и обеспечит в
линии воз! п (кновепие волнового процесса, для расчета которого следует
решить дифференциальные уравнения линии с учетом внешнего
воздействия. Как и при изучении уединенной линии, составим
эквивалентную схему малого участка линии, подверженной влиянию
(рис. 3.15 сравним с рис. 3.2).
265

t7(x)
i(x)+di(x)
C/(x)+dU(x)
Рис. 3.15
Уравнения для приращения напряжения и тока на этом участке:
- dU ~(R+ j<^l2)dxl + E^dx, -dI=(G + j&C)dxU.
При отсутствии источников на концах линии величины и и /
вызваны здесь источниками, распределенными по ее длине. Разделив
эти уравнения на dx, взяв в первом из них вторую производную по х и
исключив di/ dx, получим
d2ll
-^--Y2C7 = F(x).	(3.56)
Это уравнение в отличие от уравнения (3.3) неоднородно. Общее
решение его есть сумма общего решения однородного и частного
решения неоднородного уравнений. Частное решение неоднородного
уравнения
С/(х) = — J Е (х) sh у(х - и)du
характеризует волновые процессы, вызванные распределенными
источниками.
Определение произвольных постоянных интегрирования приводит
в рассматриваемом случае к громоздким выкладкам, поэтому восполь-
зуемся волновыми свойствами однородной линии, ее свойствами как
четырехполюсника и принципом наложения.
Принцип наложения позволяет утверждать, что, поскольку цепь
линейна, элементарная ЭДС dE(x) в каждом бесконечно малом
элементе линии действует независимо и вызывает свою реакцию.
266
// z/7 /// /// 7/7/7/' /7/ /7/ ////// 7//7/7
Рис. 3.16
Результат действия полной ЭДС есть сумма результатов от действия
всех г/Ё(х) 
Рассмотрим действие ЭДС dE(x), находящейся в точке, удаленной
на расстояние х от начала линии (рис. 3.16). В этой точке возникают
две волны с напряжениями 0,5 <7Ё(х) и -0,5 с1Ё(х), соответственно
расходящиеся в стороны концов линии АВ. Напряжение волны,
падающей в точке .Л линии, равно 0,5Е(х)е-1К, а падающей в точке 5 —
0,5dE(x)e~^(~x).
Если в линии dE (х) действует ЭДС Е(х), распределенная по всей
ее длине, то напряжение падающей волны:
в начале линии
, С
U*a/0) = -\dE(x)e-yx,	(3 57)
2 о
в конце линии
. i
^падЮ = "Д’ Jdk(x)e-^~x\	(3 58)
zo
При согласованных нагрузках на концах линии величины С7пад(0)
и Спад(€) являются напряжениями на концах линии, а токи соот-
ветственно:
ДО) = i>naa(0)/ZB и /(£) = Cnafl(€)/ZB.
При несогласованных нагрузках на концах линии возникнут отражен-
ные волны, которые наложатся на падающие здесь волны.
Напряжение суммарной волны, падающей
на нагрузочное сопротивление Zn, включенноевначалелиниивточкеЛ:
^пад(О) + ^отр(0)Л^е У	(3.59)
267
на нагрузочноесопротивлете7н,вкшочешоевконцелиниивточкеБ:
«+(>отр(0)По<'’7' = 17В.	(3.60)
Определим ток, возникающий в сопротивлении ZH. Для упрощения
расчета суммарную волну напряжения Со, падающую на сопротив-
ление ZH, заменим эквивалентной ей по действию на сопротивление
ZH падающей волной в точке А линии. Последняя должна иметь
напряжение йве^е.
Допустим далее, что волна с напряжением (7В, падающая в точке В,
вызывается не внутренними ЭДС линии, а генератором с сопротив-
лением Zr, и ЭДС Eq, подключенными к входу Л линии. В отношении
действия на сопротивление ZH, существенно напряжение, а не причина
возникновения волны. Таким образом, приходим к эквивалентной схеме
линии (рис. 3.17).
Для возбуждения такой волны ЭДС генератора с внутренним
сопротивлением Zr должна быть:
Ёэ = —— UBey({ZB + Zr').
ZB
Ток в сопротивлении ZH
д€)= Ёэ _йвеуе(гв+гг)
ZnpHB ^В^прпв
(3.61)
(3-62)
Здесь Znpiw определяется выражением (3.48), a t7B —выражением
(3.60). Подставляя его значение в формулу (3.62), получим
/(£) = —------Ь„ад(О^ (ZB + Z,) + Cna4(0)(Zr - ZB)]. (3.63)
^вАтрив
£.
С е<2
В
--------------О-
z,
ZH
// '777 777 777777777 777777 77777777'777
Рис. 3.17
268
W V V U W W£U U V W w
o

Z.
ZH
77/77 777/7/ ////// 7/7 77/ 7/7777777
Рис. 3.18
Аналогично можно получить выражение тока, проходящего через
сопротивление Z г на конце А линии.
Линия, возбуждаемая распределенным источником тока. Если
цепь связи находится в переменном электрическом поле (рис. 3.18). то
каждый элемент провода представляет собой как бы обкладку
конденсатора и в нем индуцируются электрические заряды. Эти заряды,
растекаясь по проводам, создают ток, значение которого в месте его
возникновения зависит не от сопротивления цепи, а от значения
вызвавшего его заряда. Таким образом, линию, находящуюся под
воздействием переменного электрического поля, можно представить
как бы питаемой распределенным источником тока, возбуждающим в
линии волновой процесс, проходящий аналогично таковому при
действии распределенных источников ЭДС.
Эквивалентная схема бесконечно малого элемента линии приведена
на рис. 3.19. Задача по определению возникающих на концах линии
токов и напряжений и в этом случае может быть решена определением
реакции от элементарного источника тока и интегрирования по длине
линии. Здесь в отличие от рассмотренной задачи о линии с источником
ЭДС напряжение волн, расходящихся из точки приложения источника х,
будет 0,5iZZ(x)ZB, и обе волны напряжения будут одного знака. При
наличии распределенных ЭДС и токов действие тех и других сум-
мируется в соответствии с принципов наложения. Все изложенное по
отношению к линии вообще справедливо при решении практических
задач по расчету подверженных внешним влияниям двух- и однопро-
водных цепей связи различных конструкций.
Эквивалентная схема линии с распределенными источниками.
Действие распределенных по линии источников на нагрузки с сопротив-
лениями Zr и ZH, включенные на концах линии, вполне определяется
волнами, падающими из линии на ее концы.
269
'(X)
U(X)
Rdx Ldx
Рис. 3.19
В случае распределенных ЭДС напряжения этих волн С,,ад(0) и
^пад(^) определяются выражениями (3.59) и (3.60). Это обстоятельство
позволяет построить схему замещения линии с распределенными
источниками как пассивной линии с генераторами соответствующих
волн на ее концах.
Для составления схемы генератора бегущей волны заметим, что для
этой волны обязательным является соотношение Спад(0) = 2в/пад. Это
значит, что в указанную схему должен быть включен генератор с ЭДС
Ё = ^пад и сопротивлением Zr = 0 и генератор тока /пад = —Спад и
ZB
Yr = 0 (рис. 3.20, а).
Допустим, что с двух сторон образованного таким образом активного
четырехполюсника включены сопротивления ZB. Тогда в левом
сопротивлении будет ток
j _ ^пад 1 Ц,ад _ ^пад .
лев 2ZB 2 ZB ZB ’
в правом сопротивлении будет ток
г _ ^пад 1 Цтад _ п
•прав-	„	— V.
ZZB 2 ZB
Как видно, имеет место необход имое одностороннее действие. Пусть
теперь одно из сопротивлений ZH ZB (рис. 3.20, б), тогда
/	-	^пад	^пад ZH	_ ^пад
прав	zH+zB zB zH + zB zB Пн’
j (x)+dl (x)
1/(л)+«Л7(х)
270
т.е. при согласованной нагрузке 7прав = 0, при несогласованной
Л1рав = т1нЛтад-
Ток в сопротивлении ZH
Алев —
^пад | ^пад ZH
ZH + ZB ZB ZH + ZB
— (1 Л)Л1ад-
Токи, вызванные в сопротивлении ZH и в линии, полностью
соответствуют создаваемым падающей волной с напряжением (7пад.
Используя рассмотренную схему замещения генератора волны, пост-
роим схему замещения линии (рис. 3.20, в). Она содержит независи-
мые источники напряжения и тока и называется схемой активного ав-
тономного четырехполюсника.
Можно построить вариант схемы замещения, в которой все эквива-
лентные источники находятся с одной стороны пассивной линии. Так,
если перенести источники с конца В схемы, приведенной на рис. 3.20, в,
влево с одновременной заменой их эквивалентными, получим схему
(рис. 3.20, г). Здесь
{>э=^пад(0)-{>Пад(^;
1 Г	1	(364)
4=^^пад(0) + г>пад(^].
ZB
Рассмотренные в этом разделе приемы с успехом применяются при
расчете влияний между линиями.
Рис. 3.20
271
;	3.5. Волновые параметры линий автоматики,
телемеханики и связи и их частотные зависимости
Частотные характеристики волновых параметров линий. В ус-
тройствах железнодорожной автоматики, телемеханики и связи широ-
ко применяют цепи с распределенными параметрами — проводные,
кабельные и рельсовые линии.
В установившемся режиме гармонического переменного тока усло-
вия передачи электрической энергии по линии зависят от частоты тока.
Это влияние проявляется в отклонении параметров R и L вследствие
поверхностного эффекта и параметра G из-за изменения диэлектриче-
ских потерь. Сопротивление проводов или рельсов R и проводимость
изоляции G с увеличением частоты тока растут, а индуктивность L
уменьшается.
По линиям электропередачи передают электроэнергию с какой-
нибудь одной частотой тока, по рельсовым цепям — с одной или не-
сколькими фиксированными частотами тока в диапазоне от 25 до 500 Гц
(в некоторых специальных видах рельсовых цепей используют и более
высокие частоты); радиоантенны, питающие их фидеры и линии СВЧ
работают в относительно узкой полосе частот.
По линиям проводной связи передают разнообразные сложные сиг-
налы, содержащие токи с различными частотами. Сигналы, посыла-
емые по каждой линии связи, как правило, занимают совместно широ-
кую полосу частот. По стальным цепям воздушных линий связи пере-
дают сигналы с частотами до 30 кГц, по цветным цепям — до 150 кГц,
симметричным парам кабелей дальней связи — от 12 до 552 кГц и
коаксиальным парам кабелей связи — от 60 кГц до 6 МГц и выше.
Условия передачи сигналов по линиям во многом зависят от их вол-
новых параметров. Если цепь замкнута с обоих концов на согласован-
ные сопротивления Zr=ZH = ZB, то условия передачи полностью опре-
деляются выражениями (3.30):
С(0) = С(€И; 7(0) = 7(€)е^; ® = ® =
т. е. значениями волновых параметров
у = V(/? + jcoi)(G + jtoC) = а + ур; ZB =	= |ZB|е7фв. (3.65)
у о + JCOC
272
Для расчета волновых параметров линий связи и установления
зависимости их от частоты используют формулы (3.65), значения
первичных параметров в которые подставляют с учетом зависимости их
от частоты.
Общий характер изменения волновых параметров линий связи на
примере цепи симметричного кабеля с жилами диаметром 1,2 мм ил-
люстрируется рис. 3.21, а и б и 3.22.
На рис. 3.21, а и б и рис. 3.22 приведены частотные зависимости
соответственно километрического коэффициента затухания, фазовой
скорости и модуля и аргумента волнового сопротивления. Так как про-
вода существующих линий всех типов по конструктивным соображе-
ниям располагают по возможности близко друг к другу, то всегда вы-
полняется неравенство R/C > L/C. Этим объясняется уменьшение мо-
дуля волнового сопротивления линий с увеличением частоты и отри-
цательный знак аргумента волнового сопротивления.
Поскольку емкость от частоты не зависит, а индуктивность уменьша-
ется, изменение знака последнего неравенства с возрастанием частоты
тока может произойти только вследствие изменения R и G в том случае,
если увеличение проводимости изоляции G будет превышать рост сопро-
тивления проводов R. При больших потерях в диэлектрике может быть
R/C> L/C, и тогда угол волнового сопротивления будет положительным.
Рис. 3.21
18 Теория линейных эл. целей
273
В рельсовых линиях емкостной составляющей проводимости изо-
ляции можно пренебречь. С учетом этого их волновые параметры
y=^k+>l)g.
V G
Поэтому аргумент волнового сопротивления рельсовых линий ос-
тается положительным во всем диапазоне частот. Модуль и аргумент
ZB, а также коэффициенты а и р рельсовой линии с увеличением ча-
стоты возрастают (рис. 3.23 и 3.24).
Отличительной особенностью рельсовых линий является большая
проводимость изоляции G (нормативное значение G для магистральных
дорог равно 1 См/км). Поэтому рельсовые линии, несмотря на их отно-
274
a,
Нп/км
p,
рад/км
a = Ft(/)
₽ = W
200 400 600 800 1000f, Гц
Рис. 3.24
потерями, фазовая скорость распространения сигналов в которых значи-
тельно ниже скорости света и находится в пределах от 500 до 6500 км/с.
В общем случае аналитическое исследование частотных зависимос-
тей волновых параметров линий связи и рельсовых линий затруднитель-
но, и, как правило, используют их экспериментальные характеристики.
В отдельных случаях волновые параметры можно рассчитывать по
более простым приближенным формулам. К таким случаям относятся:
1)	вычисление параметров воздушных и кабельных цепей связи при
условии, что R « g>L и G «<вС. Здесь можно использовать прибли-
женные формулы, полученные из равенства (3.65):
(3.66)
P = a>VZC;
Zb=JiTc,
(3.67)
(3.68)
где a— километрический коэффициент затухания; Р—километри-
ческий коэффициент фазы; ZB—волновое сопротивление.
По формулам (3.66)—(3.68)следуетрассчитывать параметры цветных
цепей воздушных линий связи, работающих в диапазоне звуковых частот
и выше, и параметры цепей симметричных кабелей при передаче по ним
сигналов частотами порядка 50 кГц и выше;
2)	вычисление параметров цепей симметричных кабелей связи, по
которым передаются сигналы низкими частотами, когда R » олЬ и
G «<вС. В этом случае
y = ylj<oRC; a = p = Vw/?C/2; ZB = yjR^jaC);
275
3)	вычисление параметров коаксиальных кабелей и высокочастотных
параметров линий электропередачи, когда потери в изоляции значи-
тельно меньше потерь в проводах и имеет место сильный поверхност-
ный эффект:
R RC . гу
a^2ZB~2^’
zB=ylUc=^ic-
4)	вычисление параметров рельсовых линий при передаче по ним сиг-
налов с относительно высокими частотами (выше 400 Гц), когда R «coL:
Y = 7j^LG\ а = Р = -JaLGH-, ZB = JjaL/G.
Следует подчеркнуть, что зависимости волнового сопротивления,
затухания и фазовой скорости от частоты представляют собой крайне
нежелательное явление, так как приводят к искажениям передаваемых по
линиям сложных сигналов.
Условие минимума потерь в линии. Из соотношений (3.65) следует
зависимость волновых параметров линии — километрического коэф-
фициента затухания, километрического коэффициента фазы и волно-
вого сопротивления от ее первичных параметров. Выясним, какие долж-
ны быть значения индуктивности и емкости линии, чтобы при задан-
ных активном сопротивлении R проводов и проводимости изоляции
линии Скилометрическое затухание было наименьшим. Для этого оп-
ределим мощность потерь в бесконечно малом элементе линии dx при
прохождении по нему одиночной волны с напряжением й и током I.
Эти потери складываются из потерь в активном сопротивлении
проводов I R и потерь, вызванных проводимостью изоляции U2/с.
Для участка dx первая часть потерь
5
I2Rdx=
Zb
с_,27	.
Rdx, где о - / ZB -—,
ZB
вторая часть потерь (j 2Gdx=|sZB|GJx
276
(3.69)
Полная активная мощность потерь в элементе dx линии
На рис. 3.25 приведена графическая иллюстрация выражения (3.69)
как функции модуля волнового сопротивления. Мощность потерь как
функции модуля волнового сопротивления имеет явно выраженный
минимум при потерях в сопротивлении, равных потерям, обуслов-
ленным проводимостью изоляции. Отсюда условие минимума потерь:
Rl\Zz\ = G|ZB|; Z?/G = |ZB|2;
или при ZB = 4lJc; R/G = LI C.
Условие минимума потерь является в то же время и условием мини-
мума затухания, так как затухание есть величина, характеризующая
потери в логарифмическом масштабе.
Преобразовав формулу (3.69) и воспользовавшись условием миниму-
ма километрического затухания, получим
Y= V(/?+ j(dL\G + j(£>C) = Jrg( 1 + j—1
< R >
отсюда затухание и километрический коэффициент фазы
a = >lRG; p = o>VZc.
(3.70)
Рис. 3.25
277
Согласно выражению (3.70) километрический коэффициент затуха-
ния а в данном случае зависит от частоты лишь косвенно, поскольку от нее
зависит активное сопротивление проводов и проводимость изоляции.
Коэффициент фазы Р при независимости индуктивности линии от
частоты (что имеет место на высоких частотах) прямо пропорциона-
лен частоте; следовательно, фазовая скорость не является функцией час-
тоты, как и в линиях без потерь. Соответствующий комплекс волново-
го сопротивления
z [НК=[Г |1
в \G + jcoC \С VG
содержит только вещественную составляющую. Если первичные
параметры линии удовлетворяют условию минимума потерь, то ее
волновые параметры минимально зависят от частоты тока.
Для существующих типов воздушных и кабельных линий связи
условие минимума затухания из-за конструктивных возможностей не
выполняется. На кабельных линиях для уменьшения затухания иногда
искусственно увеличивают индуктивность (пупинизация).
Единицы затухания и уровни сигнала
Единицы затухания. Если линия согласована и в ней имеются только
падающие волны, то напряжения и токи в начале и конце линии связаны
уравнениями (3.30), из которых следует, что
t)(0) _ 7(0)
{?(€) 7(7)
[/(€) J
Приравнивая в формуле (3.71) действительные части, найдем, что
1*; у£ = а£+./Р€ = 1п е$е =
= 1п®
С/(«)
+ jP£.
а£ = 1п
U(£)
, ДО)
= 1п-А^-
/(€)
(3.71)
(3.72)
Величину (^называют собственным затуханием линии. Эту
величину можно выразить через мощности в начале линии 5(0) и конце
ее S(£):
2 5(7)
278
Затухание в линии можно также рассчитать по системе десятичных
логарифмов. В этом случае собственное затухание линии
= 2lg^>
1(1)
=2ig^
t/(Q)
t>(€)
(3.73)
= 201JW
= 201gB
e/(€)
S(l)
Затухание в цепях автоматики, телемеханики и связи измеряют и рас-
считывают в специальных единицах: децибелах (дБ), белах (Б) и неперах
(Нп). Основной единицей затухания является децибел. Децибел — это за-
тухание, при котором отношение мощности на входе линии к мощности
на выходе ее равно 1,26. Собственное затухание линии в децибелах опре-
деляют по следующим формулам:
"ЭД
Бел — это затухание, при котором мощность в начале линии больше
мощности в конце ее в 10 раз. Один Б в 10 раз превышает один дБ. Затуха-
ние в белах рассчитывают по формуле (3.73). Если отношение напряже-
ний и токов на входе линии к этим же параметрам на ее выходе е = 2,718,
то говорят о затухании 1 Нп. Затухание в неперах определяют по форму-
лам (3.71) и (3.72).
Между децибелами и неперами существуют следующие соотношения:
1 дБ = 0,115 Нп, 1 Нп = 8,68 дБ.
Уровни напряжения, тока и мощности. Логарифмические едини-
цы — бел, децибел и непер — вполне определяют отношение двух на-
пряжений, двух токов или двух мощностей. Если задать определенные
значения тока и мощности, то всякие другие значения этих величин мо-
жно измерить в логарифмических единицах относительно заданных.
При этом число логарифмических единиц, показывающих, во сколько
раз одна величина больше другой заданной, называют уровнем изме-
ряемой величины. Уровни напряжений, токов и мощностей широко при-
меняют в технике связи, и, в частности, это очень удобно при измере-
нии затуханий. Если, например, задано напряжение 1 В, то уровень
напряжения 2,718 В равен +1 Нп по отношению к 1 В, так как
2 718
I*1”— = +1. Уровень напряжения 0,1 В (0,1/1) равен-20 дБ по отноше-
нию к напряжению 1 В, так как 201g0,1 = -20.
279
В приведенных примерах величины +1 Нп и -20 дБ называют отно-
сительными уровнями напряжений 2,718 и 0,1 В относительно напря-
жения 1 В. При использовании относительных уровней следут зада-
вать величину, относительно которой идет отсчет. Понятие относитель-
ного уровня применимо к любой величине.
В технике передачи сигналов по каналам связи мощность 1 мВт,
напряжение 0,775 В и ток 1,29 мА приняты за мощность, напряжение и
ток нулевого уровня. Эти величины получаются в случае выделения
мощности 1 мВт на сопротивлении 600 Ом.
Результат измерения мощности, напряжения или тока в логарифми-
ческих единицах по отношению к величинам нулевого уровня называ-
ют абсолютным уровнем измеряемых величин. Например, мощности
1 Вт соответствует абсолютный уровень мощности +3,45 Нп, так как
1, 1000	_ .с тт	„	„
—In—j— = +3,45. Напряжение 7,75 В имеет абсолютный уровень
7 75
+20 дБ или 2,3 Нп, так как 201g—-— = +20.
0,775
Если уровни измеряемых значений мощности, тока или напряжения
больше значений соответствующих заданным для сравнения величинам,
то абсолютный уровень этих величин положителен, в противном случае
отрицателен.
Общие выражения для абсолютных уровней:
в неперах	вдецибеллах
/Ь=1п-^;
и 0,775
Р/ Ь 1,29-10-3’
Ps = 1п^Ц-;
НО'3
Pu=20lg-^—-,
U 0,775
7}=201g	1	;
1,29 IO-3
Ps = 101g—
110~3
Если напряжения и токи в начале и конце согласованной линии
измеряют в уровнях, то собственное затухание линии, дБ,
а£ = р(0) - р(£) = 201g-® - 201g-^- = 201g ®.
0,775	0,775
280
Уровень напряжения измеряют вольтметром, шкала которого
проградуирована в неперах или децибелах.
В несогласованных цепях связи при определении затухания
возникает необходимость в расчете разности уровней мощности на
входе и выходе цепи:
Ps(0)-Ps(€) = 101g^.
Если учесть, что
S(0) = U2(0)IZBX, а 5(€) = (72(£)/Zh,
где ZBX и ZH соответственно входное сопротивление линии и
сопротивление нагрузки, то
Ps(0) - Ps(£) = 101g	= [201g® + 201g Ж .
C/2(OZBX L	VZbxJ
Характеристика условий передачи узкополосного сигнала по од-
нородной согласованной линии. Диаграмма уровня. Передача сигна-
лов по линиям связи представляет собой случайный процесс, который
с достаточной точностью можно считать стационарным и характери-
зовать спектром мощности.
Если по линии передаются сигналы, частотный спектр которых за-
нимает относительно узкую полосу, в которой параметры линии на всех
частотах остаются практически неизменными, то вместо передачи ре-
ального сигнала можно рассматривать передачу установившегося си-
нусоидального напряжения (или тока) средней частоты.
Форма сигналов при передаче их по линиям связи меняется вследст-
вие самого прохождения по линии и наложения на них посторонних
напряжений и токов—помех. Передаваемые по линии синусоидаль-
ные напряжения и токи остаются синусоидальными и подвергаются
затуханию, сдвигу фазы и воздействию помех.
Изме! юние мощности узкополосного (одночастотного) сигнала вдоль
линии вследствие затухания и соотношение его с помехами отобража-
ют обычно диаграммой уровня. Характерный вид диаграммы уровня
для линии без усилителей приведен на рис. 3.26, а, а для линии с
усилителем — на рис. 3.26, б. Здесь рвых — выходной уровень. Его
устанавливают обычно для различных систем передачи сигналов в пре-
делах от +1,74 дБ (+0,2 Нп) до 17,4 дБ (+2 Нп), в отдельных случаях
281
Рис. 3.26
до 40 дБ (+4,6 Нп), что определяется в основном двумя соображени-
ями: стремлением ограничить мощность выходных устройств передат-
чиков и уменьшить влияние на соседние цепи. рпр min —минимально
допустимый уровень приема. Его значение определяется необходимым
превышением уровня полезного сигнала над уровнем помех, при кото-
ром обеспечивается прием необходимой информации.
Необходимое превышение уровня сигнала над уровнем помех зави-
сит от свойств приемника (его способности отличать сигнал от поме-
хи) и вида помех. Помехи обычно подразделяют на шумы и переходные
сигналы. В линиях, по которым передаются сигналы с относительно низ-
кими частотами (20—100 кГц), шумы являются следствием влияний
со стороны различных промышленных и энергетических установок.
В линиях, сигналы в которых имеют более высокие частоты, уро-
вень шумов значительно ниже и определяется тепловыми процессами
в проводниках и элементах аппаратуры. Переходные сигналы есть следст-
вие влияния параллельно идущих цепей такого же назначения. Шумы,
обусловленные внешними влияниями, могут быть снижены экраниро-
ванием цепей линии, а переходные сигналы — уменьшением связи ме-
жду цепями.
Для каждой системы передачи сигналов задаваемой величиной яв-
ляется разность рвых -рпр min - а , определяющая допустимое затуха-
ние передачи. Эта величина зависит от диаметра проводов цепи и дру-
гих ее конструктивных особенностей. По отношению «/« = (. судят о
дальности передачи сигналов данной частотой.
Если передаются сигналы несколькими частотами, то диаграмму
уровня строят для наивысшей из них.
282
3.6. Передача по линии широкополосных сигналов.
Искажения сигналов
Условия передачи сигнала, спектр которого занимает относительно —
узкую полосу частот, достаточно точно определяются условиями пере-
дачи одной средней частоты. Если же спектр сигнала занимает широ-
кую полосу частот, в которой параметры линии ос, Р и ZB заметно
изменяются, следует рассматривать условия передачи всех или наибо-
лее важных частотных составляющих сигналов.
Для упрощения передаваемый сигнал удобно предположить периоди-
ческим. В этом случае его можно представить рядом Фурье. Сигнал в
комплексной форме ряда Фурье
С00=2я/Г,
п
где ()Оп — амплитуда п-й гармоники напряжения сигнала, прило-
женного в начале линии, представленная вектором на комплексной
плоскости.
Ток на входе линии также можно выразить суммой гармонических
составляющих:
п ^вх (”®0)
Периодическую функцию при несущественных фазах частотных со-
ставляющих удобно изображать спектральной диаграммой (рис. 3.27).
Последняя дает наглядное представление о распределении амплитуд
гармоник по спектру частот. Спектральная диаграмма периодической
функции заданной частоты содержит дискретные частотные составляю-
щие, равно отстоящие по оси частот друг от друга на частоту основно-
го колебания.
Для каждой пары величин Uqh и =UOn/Zbx(h(B0), являю-
щихся гармоническими установившимися напряжением и током,
напряжение и ток на выходе согласованной линии
Uin=UOne^-, iin=iQne~^,
где у вычисляют на частоте (и<в0).
283
Полные напряжения и ток в конце линии также можно представить
суммой гармонических составляющих теми же частотами
п
п
где Ц-л — амплитуда гармоники напряжения сигнала на выходе линии;
1;п — амплитуда гармоники тока на выходе линии.
Напряжение и ток как функции времени:
щ(Z) = Ref/,- (/); ц(?) = Re/, (/).
Изложенный метод расчета условий передачи периодических сигна-
лов позволяет полностью учесть свойства линии, но весьма громоздок
из-за необходимости учитывать большое число гармоник.
В ряде случаев, например при изучении условий телефонной пере-
дачи, реальный сигнал аппроксимируется набором нескольких
некратных составляющих. Для отображения речи используют, напри-
мер, совокупность частот 300,400,600, 800,1000,1200,1400,1600,2000,
2400 Гц. В таком случае условия передачи речи также изучают рас-
смотрением передачи различных ее составляющих.
Рассмотрим в качестве примера передачу по линии импульсных сиг-
налов. Допустим, что импульсы посылаются непрерывно, так что про-
цесс можно считать периодическим. Тогда напряжение сигнала u(i) мож-
но представить суммой гармонических составляющих (рис. 3.28). Сле-
довательно, в этом случае вместо передачи по линии прерывистого на-
пряжения (рис. 3.29, а) можно рассматривать передачу по ней суммы
синусоидальных напряжений и постоянного тока (рис. 3.29, б).
284
Рис. 3.28
Рис. 3.29
Составляющие сигнала с разными частотами 0; ©о, 2<о0, За>о и т.д.
при передаче по линии ослабляются различно, получают неодинако-
вые фазовые сдвиги, а в случае несогласованной нагрузки и отраже-
ния. Вследствие этого изменяются соотношения между амплитудами
и фазами составляющих сигнала в конце и начале линии. Поэтому при
суммировании напряжения с частотами 0; (О0,2<в0,3<Во и т.д. сигнал
в конце линии отличается по форме от исходного.
Отличие формы временных зависимостей напряжений на выходе
линии и ее входе есть искажение сигнала при передаче. Изменения в
форме сигнала, вызванные искажениями в линии для рассматриваемо-
го случая передачи, показаны на рис. 3.30.
Различают амплитудно- и фазочастотные искажения. Амплитудно-
частотными называют искажения, обусловленные зависимостью за-
тухания линий от частоты, приводящей к неодинаковому затуханию
разных частотных составляющих (рис. 3. 30, а). Фазочастотными на-
зывают искажения, связанные с зависимостью фазовой скорости от час-
тоты, и, следовательно, с неодинаковым временем прохождения раз-
личных частотных составляющих сигнала (рис. 3.30, б). При передаче
сигналов по цепям проводных линий связи одновременно присутству-
ют и накладываются друг на друга оба вида искажений. Общий харак-
тер искажения одиночного импульса, переданного по цепи кабельной
линии связи, показан на рис. 3.31. Изменение формы импульса при пе-
редаче по линиям рассматривается подробнее в следующем параграфе.
Для неискаженной передачи по линии сигналов сложной формы не-
обходимо, чтобы затухание линии, фазовая скорость, волновое сопро-
тивление и сопротивление нагрузки не зависели от частоты. Фазовая
285
скорость не зависит от частоты в линиях, километрический фазовый
сдвиг которых прямо пропорционален частоте. В этом случае время
прохождения /3 = d(P£)/cfa> для всех частотных составляющих оди-
наково. Практически этим условиям достаточно удовлетворяют па-
раметры цветных цепей воздушных линий связи на высоких частотах
(f > 1000 Гц) и параметры цепей широкополосных коаксиальных кабе-
лей связи. Воздушные линии связи со стальными проводами и сим-
метричные кабели связи вносят значительно большие апмлитудно- и
фазочастотные искажения.
Различные системы связи неодинаково относятся к искажениям сиг-
налов. Так, например, ухо человека нечувствительно к фазочастотным
искажениям звуковых колебаний и определяет смысловое содержание
звукового колебания в основном по спектральному составу. Изменение
Рис. 3.31
286
амплитуд отдельных частотных составляющих звуковых колебаний ве-
дет к новому смысловому содержанию речи. Поэтому при проектиро-
вании устройств телефонной связи принимают меры для возможного
уменьшения амплитудно-частотных искажений. Отсутствие указанных
искажений обеспечивает сохранение спектрального состава сигнала,
но не формы кривой w0 (/).
Рассмотренные нами искажения называют линейными. Они проис-
ходят в цепях, напряжения и токи в которых пропорциональны друг
другу. В таких цепях, как мы видим, возможно различное изменение
амплитуд и фаз частотных составляющих сигнала, но не могут появить-
ся новые составляющие. Последние, кроме всего прочего, возможны в
нелинейных цепях. Такие искажения называют нелинейными.
Для устранения линейных амплитудно- и фазочастотных искаже-
ний сигналов или уменьшения их до допустимого значения в тракт пе-
редачи цепочечно включают специальные четырехполюсные цепи —
амплитудные и фазовые корректоры. Устройство и расчет последних
рассматриваются далее.
3.7. Временные характеристики однородной линии
В ряде случаев сигнал, передаваемый по линии, удобно изображать
отдельными импульсами или интегралом наложения. Поскольку в ли-
нейных цепях импульс может быть заменен двумя единичными напря-
жениями противоположных знаков, включенных со сдвигом по време-
ни, то достаточно рассмотреть передачу по линии единичного напря-
жения. Зная характер нарастания й((1) и q(/) при воздействии еди-
ничного напряжения на вход линии, можно судить об условиях передачи
импульсных и других сигналов. Хотя при этом форма сигнала на входе
максимально упрощена, задача остается еще весьма сложной и следует
ввести упрощающие предположения относительно свойств линии. Во
многих практически важных случаях, когда линия может считаться
электрически короткой, расчет можно проводить по схеме замещения.
В других случаях необходимое решение можно получить, если счи-
тать, что линия не имеет утечки тока (G = 0) и параметры R и L не
зависят от его частоты. Эти допущения практически оправдываются
при передаче сигналов, занимающих относительно узкую полосу в
области низких частот.
287
При этих предположениях для согласованной линии из выражения
(3.65) получаем
ZB=l^^=Jj-y/p2 + 2ap;
V рС \ С р
у=yf(R+pL)pC =—yjp2 + 2ар,
v
rflev = l/VEC; a = RI(2L).
Изображение напряжения на входе будет U(p) - Uq—, а тока
I( Up _ UqJc/l Р
pZB (р) yjp2 + 2ар
Из операционных соотношений следует:
 Г- 1	= е~а% {jaty
ур1 + 2ар
Тогда
,___ f R \
i0(Г) = UQ4ciLe и Jo j—t	(3.74)
\ J
Изображение тока на выходе
/Др) Так как 1 / 2 - е у]р +2ар Следовательно, /<(0=1^ 288	t70	UqJC!L ~v4p2^aP —	е = .	е у р2+2ар to-vP1+2aP _ -at г (  1,2 „2^	1 Jo-то ; ОТ0=-. V	7	v i— R	(	I	7 \ ’c	r . * 2 e	i iie	<375) < /
Как видно, ток в конце линии изменяется по тому же закону, что и в
начале ее, однако в конце линии он появляется только по прошествии
_ €
времени > необходимого на прохождение волной расстояния €.
Формулы (3.74) и (3.75) отображают процессы, происходящие в
линиях, весьма приближенно, так как они получены в предположении,
что Rr = О, G = 0, а параметры RnL приняты независящими от р, т. е.
от частоты, что можно считать справедливым только в узком диапазоне
частот. Формула (3.75) дает для линий различных длины и затухания
неодинаковый характер нарастания тока (рис. 3.32, а). В различных точках
реальных линий благодаря появляющемуся искажению формы волны
ток возникает не толчком (см. выражение (3.75)), а нарастает плавно.
Если постоянное напряжение включается и выключается через
короткие интервалы времени, то получающиеся импульсы содержат зна-
чительное число частотных составляющих и предположение о незави-
симости параметров линии от частоты делается практически неприем-
лемым. В этом случае необходимое решение можно получить подходящей
аппроксимацией частотных зависимостей волновых параметров линии.
Частотные зависимости волновых параметров цепей воздушных и
кабельных линий связи при ZB = -JlIC в ряде случаев достаточно точ-
но аппроксимируются выражениями
а = а0 + а-х/со; р =—+а-х/со.
v
С этими выражениями частотных зависимостей а и Р, справедливых
при незначительных потерях в изоляции, и в предположении, что
R = kjf, имеем:
Y= a+j’P = a0 + a-x/co + J— + jajar,
v
Y(p) = oco + а-Jp/j + — + aJjp = cx0 + — + -x/2 aJp,
v	v
так как
aJpH + aJjp =a
= ajpy[2.
19 Теория линейных эл. целей
289
Для согласованной линии при напряжении на входе Uq/ р:
ие{р) = -иое^ =-Uoe
Р	Р
F{p) = ^Sl=—e~a^e
U0(p) р
Найдем
На основании свойств ^-преобразований первый множитель в
выражении F (р) выносится за знак преобразования как независящий
от р. Второй множитель на основании теоремы о сдвиге дает сдвиг по
оси t на Uv, что соответствует запаздыванию сигнала.
Третий множитель имеет табличный оригинал:
—е~^ = 1 - ег/-А-
Р
Таким образом, окончательное решение будет
Я(Г) =
^(0
U0(t)
= e“a«Z	1	г 1 .	
	/-	1
	
	1	* v J
(3.76)
290
Для функции erf (Z) = Ф (Z), называемой интегралом вероятности,
составлены специальные таблицы.
Решение (3.76), как и (3.75), предполагает согласованность нагру-
зки линии, т. е. такую же, как у ZB, зависимость сопротивления прием-
ника от параметра р (частоты). Практически неточность согласования
наиболее проявляется в области относительно низких частот, в кото-
рой изменение волнового сопротивления в зависимости от частоты про-
исходит наиболее резко. Поэтому для получения более верной зависи-
мости по формуле (3.76) в качестве в последнюю следует под-
ставлять затухание цепи, измеренное на постоянном токе, независимо
от того, какое значение п0 было использовано при аппроксимации а.
Это значит, что в формулу (3.76) вместо множителя е а°^ следует
подставлять отношение /(^/ +	)> где 7?н — сопротивление на-
грузки, а /?£ — сопротивление проводов линии.
Характер изменения напряжения на согласованном с линией при-
емнике при включении и выключении напряжения на входе линии, рас-
считанное по формуле (3.76), иллюстрируется рис. 3.32, б. На этом ри-
сунке напряжение на входе линии uQ(f) показано таким, каким его прак-
тически вырабатывает генератор, нагруженный на активное, не зави-
сящее от частоты сопротивление. При подключении к генератору ли-
нии, входное сопротивление которой зависит от частоты (на низких ча-
стотах оно больше), форма импульса на входе изменяется тем в боль-
шей степени, чем выше внутреннее сопротивление генератора (мень-
ше его мощность), причем формы импульсов напряжения и тока иска-
жаются по-разному. В импульсе напряжения составляющие низких ча-
стот подчеркиваются, в импульсе тока подавляются.
Практически наблюдаемые формы импульсов напряжения, переда-
ваемых по кабелю, иллюстрируются рис. 3.32, в. Здесь ряд осцилло-
грамм показывает изменение формы импульса напряжения от входа к
середине линии и ее концу. На рис. 3.32, г показано изменение формы
импульса тока. Если сопротивление приемника активно, то формы им-
пульсов напряжения и тока на выходе линии совпадают.
3.8. Рабочие параметры передачи однородной линии
Волновые параметры линии (волновое сопротивление, собственное
затухание и фазовый сдвиг) определяют условия передачи сигналов по
линии, если последняя замкнута на согласованную нагрузку и в ней
291
отсутствуют отраженные волны. При несогласованной нагрузке в линии
в общем случае имеют место отраженные волны, возрастают потери, а
отношение напряжения к току уже не определяется величиной ZB.
Условия передачи сигналов по несогласованно нагруженной линии
определяются уравнениями (3.25), (3.26), которые значительно сложнее
уравнений (3.30) согласованной линии. Для расчета условий передачи
по линиям и рельсовым цепям сильного тока, когда вычисления
необходимо провести для одной частоты, можно пользоваться уравне-
ниями (3.25), (3.26) или их разновидностями.
При расчете по этим уравнениям условий передачи сигналов по ли-
нии связи потребовались бы те же громоздкие вычисления для ряда
частот. Для упрощения расчетов вводят рабочие параметры передачи
линии и рассматривают зависимость их от частоты. К наиболее часто
используемым рабочим параметрам линии связи относят ее входное
сопротивление и рабочую постоянную передачи.
Входное сопротивление линии измеряют отношением полного
напряжения на ее входе к полному току
_t7(0)_t>nafl(0) + t>oip(0)_7 l+ne~2yg
ВХ ДО) 7пад(0)-/отр(0)	В1-Пе-2^’	(3’77)
Входное сопротивление определяет нагрузку, создаваемую линией
питающему ее генератору. Это важнейшая характеристика работы ге-
нератора.
Входное сопротивление согласованной линии
равно волновому, так как в этой линии есть только падающие волны и
нет отраженных Г] = 0.
Входное сопротивление электрически длинной линии
Эта величина равна волновому сопротивлению линии, так как
в данном случае в начале линии нет отраженных волн е 2у | —>0, а
292
в падающей волне отношение напряжения к току неизменно по всей
длине линии и равно волновому сопротивлению.
Входное сопротивление линии в общем случае сложно и зависит от
многих факторов: параметров линии ZB и у, в свою очередь зависящих
от частоты тока, длины линии £ и сопротивления нагрузки ZH, входя-
щего в формуле (3.77) в коэффициент отражения. Рассмотрим сначала
некоторые частные случаи.
Короткое замыкание на конце линии
ZH=0; n=ZH Zb =~1,
ZH+ZB
ZBX = ZK3 = ZB 1 + e-2Yf = ZB еу€ +е-у€ = ZB th	(3-78)
Выражение (3.78) можно представить в виде
Z -Z ~e~aZ)cosP^+ +e~<x/)sinp£
К3" В +e-^ )cos₽£ +-<Ta€ Jsinp£ '
при P^=0,71,2л:,...ля sinpf = O, cosP£ = l,
_g-a?
ZK3 = ZB	_af ~ ZB
6	+e at
при р^ = я/2,Зл/2,5д/2,...,(2л-1)л/2 cosp£ = 0, sinP£ = l,
+ e~a.t
ZK3 ~ ZB	~ ZB cth &£•
КЗ и	в
„	ZH—ZR
При холостом ходе на конце линии, когда ZH = <», Т] = —s-— = 1;
ZH +ZB
eyf- +
ZBK = Zxx = ZB —e = ZB cth y£.	(3.79)
Характер изменения модуля входного сопротивления линии для двух
предельных значений ZH при изменении длины линии, вызывающем
изменение аргумента у£, показан на рис. 3.33, где &£ и Р€ условно
293
отложены на одной и той же оси. Аналогична и частотная зависимость
ZBX. Следует, однако, иметь в виду, что |ZB| с увеличением частоты
уменьшается.
В общем случае конечного ZH
7	-7 l + ne~2Y€
Ах В1-пе-2^'
2^ — 2
Подставим в эту формулу выражение Т] = ——-— = 1 и преобра-
zH+zB
зуем его:
В	ZhH-e-*)+ZB(e* +«Г*)’
Разделим далее числитель и знаменатель дроби на ZB (еу€ +	) :
Z = Z	!ZB) + thy£ _ Zp{ + ZK3 _ ZH + ZK3
BX B l + (ZH/ZB)thy£ ~ 1 + ZH/ZXX " XXZH + ZXX’
294
Эта формула позволяет рассчитать входное сопротивление линии
по измеренным сопротивлениям Zxx и ZK3.
Обозначая отношение ZH/ZB =th_yn имея в виду формулу
th(x+ у) = thx+ thy(l + thxthy) получим другую формулу:
= ZB th(y£ + н)
Входное сопротивление нагруженной, но не согласованной линии
изменяется по тому же закону, что и входное сопротивление коротко
замкнутой или разомкнутой линии, но в меньших пределах. График
изменения входного сопротивления нагруженной линии приближает-
ся к графику ZK3, если ZH < ZB, и к графику Zxx, если ZH > ZB.
Сложное и весьма нежелательное волнообразное изменение вход-
ного сопротивления в зависимости от длины линии и частоты объясня-
ется наличием в линии падающих и отраженных волн. Если фазы на-
пряжений падающей и отраженной волн на входе линии совпадают, то
получается максимум полного напряжения и соответственно максимум
входного сопротивления. При другой длине линии на ее входе могут
совпадать фазы токов. Тогда получается максимум полного тока и ми-
нимум входного сопротивления. Фазы напряжений и токов могут со-
впадать не только на входе, айв других различных точках линии, так
как в падающей волне С7пад и /пад сдвинуты по фазе на угол <рв , а в
отраженной волне—на угол <рв + 180°. Ток отраженной волны вычи-
тается из тока падающей волны, напряжения же складываются.
В короткихлиниях(прималых значениях собственного затухания al)
амплитуды отраженных волн на входе линии соизмеримы с ампли-
тудами падающих волн, и поэтому в результате их суммирования в
зависимости от фазовых соотношений получаются резко отличные
полные значения напряжения и тока.
В длинных линиях (т. е. при больших значениях al) амплитуды от-
раженных волн на входе линии малы по сравнению с амплитудами па-
дающих волн и незначительно влияют на полные значения напряжения
и тока. Этим объясняется то обстоятельство, что с увеличением I гра-
ницы изменений входного сопротивления сужаются.
Если не учитывать волновых процессов в линии и подойти к оценке
сопротивления линии с точки зрения ТЛЭЦ с сосредоточенными пара-
метрами, то можно было бы предположить, что сопротивление между
входными зажимами линии растет с увеличением ее длины. В действи-
295
тельности (см. рис. 3.33) с возрастанием длины линии ее входное со-
противление то растет, то снижается в зависимости от фазовых соотно-
шений напряжений и токов падающих и отраженных волн.
Наиболее ярко волновой характер процессов в линии проявляется
при рассмотрении входного сопротивления линии с малыми потерями,
длина которой t = А / 4, где А — длина волны. В этом случае при ра-
зомкнутых выходных зажимах линии
= ZB cth yf = ZB cth j‘P£ - -jyjLIC ctg	= - j^LIC ctg to—;
v
при£ = А/4, р£ = я/2, Zxx = -jy/L/Cctg(n / 2) = 0.
Этот результат означает, что на входе линии падающие и отражен-
ные волны одинаковы по амплитудам. Фазовые их соотношения тако-
вы, что напряжения взаимно уничтожаются, а токи складываются. Таким
образом, в линии при отсутствии напряжения на входе проходит ток.
При замкнутых накоротко выходных зажимах этой линии ее вход-
ное сопротивление
= ZB thy£ = ZB th jp£ = j^LIC tgto—,
v
при£ = А/4, р£ = л/2, 4<3 = yVZ7ctg7r/2 = oo.
В этом случае в начале линии токи падающей и отраженной волн
взаимно уничтожаются и полный ток на входе линии равен нулю, не-
смотря на наличие напряжения.
Входное сопротивление коротко замкнутой или разомкнутой линии
без потерь чисто реактивно и с изменением частоты при
Р£ = (йу/LCI = л / 2 обращается соответственно в <=° или 0. Таким обра-
зом, четвертьволновые отрезки линии подобны резонансным контурам.
Эти свойства входного сопротивления линии находят практическое
применение в технике связи. Так, например, короткие отрезки линий с
малыми потерями, имеющие на высоких частотах в режимах короткого
замыкания и холостого хода чисто реактивные сопротивления, исполь-
зуют в фильтрах.
В рельсовых линиях вследствие высокой проводимости изоляции
затухание велико и даже на низких частотах (50—75 Гц) их следует
относить к линиям с большими потерями. Поэтому волновой характер
процессов в рельсовых линиях, в частности изменение входных сопро-
тивлений, выражен в меньшей степени, чем в линиях связи.
296
Иногда резонансные свойства входных сопротивлений линии ведут
к нежелательным явлениям. Если напряжение в линиях электропередачи
или тяговых проводах электрифицированных железных дорог содер-
жит гармоники, то при совпадении частот отдельных из них с резо-
нансными частотами входных сопротивлений амплитуды этих гармо-
ник резко возрастают.
Часто применяют схему передачи сигналов из многих пунктов с ис-
точником тока на приемном конце (рис. 3.34). Замыкание ключа на од-
ном из пунктов меняет режим работы линии с холостого хода на режим
короткого замыкания и соответственно входное сопротивление линии
в пункте приема. В результате изменения последнего параметра через
обмотку реле К, принимающего сигналы, начинает проходить другой
ток. Параметры такой линии рассчитывают по формулам (3.78) и (3.79).
При передаче сигналов по рассматриваемой схеме можно столкнуть-
ся и с крайне неприятным проявлением волновых процессов в линиях.
Действительно, из графиков (см. рис. 3.33) видно, что замыкание клю-
ча, расположенного от приемного реле на расстоянии четверти или по-
ловины волны, резко меняет входное сопротивление линии и ток в реле.
Если это расстояние составляет одну восьмую или три восьмых длины
волны, то замыкание ключа на условия работы реле не сказывается.
Рабочая постоянная передача линии, как всякого симметричного
четырехполюсника, определяется выражением
^1рив
Sраб =	=	+ -^Рраб’
где араб—рабочее затухание линии;
Рраб— рабочий фазовый коэффициент.
Собственное затухание линии характеризует отношение напряжений
или токов в начале и конце согласованно нагруженной линии. Если
линия не согласована с нагрузкой, то часть электрической энергии под-
297
ходящей к ее концу, отражается и возвращается к генератору, частично
рассеиваясь вдоль линии. Для отраженной волны нагрузкой линии яв-
ляется сопротивление подключенного к ней генератора.
Многократный пробег волн вдоль линии с несогласованными на-
грузками на обоих концах приводит к дополнительному рассеиванию
энергии, т.е. к дополнительному затуханию. В теории передачи сигна-
лов потери мощности в линии принято характеризовать рабочим зату-
ханием линии. Эту характеристику с успехом можно применить и при
оценке условий передачи сигналов автоматики и телемеханики:
Драб —	^прив 2д/ZT Zp[	= -ln 2	So se	(Hit) = 101g	So Se	(ДБ),
(3.80)
-2 Ё2
где 50 =	----мощность, которая может быть получена от
генератора сопротивлением 7?г, развивающего ЭДС Ё, на непосредст-
венно подключенном и согласованном с ним приемнике (рис. 3.35, а)',
S( =iftZH —мощность, поступающая к приемнику с сопротивлением
ZH через систему передачи (рис. 3.35, б).
Рассмотрение мощностей при оценке условий передачи сигналов
по несогласованной линии обусловлено тем обстоятельством, что при
наличии помех в линии и использовании помехоустойчивых методов
приема успех борьбы с помехами определяется отношением мощности,
сигнала к мощности помехи, которое должно быть как можно больше.
В волновой трактовке 50 — мощность волны, падающей на вход
линии; S{ — мощность волны, выходящей из линии и поглощаемой
приемником.
Как следует из выражения (3.80), рабочее затухание линии измеря-
ется половиной натурального логарифма модуля отношения мощности,
Рис. 3.35

298
66Z
9££ эил
И §^^”7 —
Си-оМ^ч-3™/*
’ .г
01/ид£_зтеи/-^-
('li-lU-^A Л-зот7 —
г^л^-э^/
.°1»й1.Л(г_этеи/<
vX’”"'’*011’1^”'
Z у VBLy
// /// /// /// /7/ /'/////// /// 7/7 /7/7/7 /7/ /// /7/ 7 7 /// /// /7/ /7
‘>U . ac'w7 = di°/
/А>—
ВЯОХ ВНИОЯ КВННЭЖВЙГО ХЭВЯИНЕОЯ ШШШГЭПНОЯ
Я OX ^aZ * HZ) ХяеХсЬвн отХннвяоэвихоээн вн вхХняиве кинин инод
. Hz+Jz = „
3f-~
вввф и вИХхиипив эд
•иосвф ионнэнэиеи о иэтхХхвк хиПохис1н вяох никоя иинии Хйноя д
(aZ +	= FBUZ ганиоя иэнюгеИви яод
•Хиояошгоя оняис! эинэияихоЛюэ эонНохя и ох ‘хэн эПтэ ниоя
хнвнэжвскоииниияхнэикжхохеаявяявд вяох никоя квГпошНетг
хэвяинеоя иинии я хнэиок хохе д д Dl/G и JZ иэинэияихо4поэ э
doxBcfowoj xoiBHonofiZoH И1эинэкаихо(1иоэ гачяониоя э иинии я xnawow
и^охояэн я охи ‘эдээ ииявхэйМц (9£ £ ’ond) иинии ионнвяоэвилооэп
он вяох 3HH3HBdxoodn3Bd wHdxowooBj кэйПвн ‘9^ ‘Д ‘JZ 'Э
мяннвПве ndu (О8'£) эиА^оф он кинвхХхве oxahogBd BxanoBd ки^/
•иинии ккинэиявсИ он HhBHadoii иияоиоЛ xahond иодоэ хэкнэиве
эинэиэиычя охд ‘яинигаийи—кинин—doxedoHOj гиивй^эн кшэхэио иээя
и он ‘иинии оячиох эн HOXHX3Hd9XXBdBX кэхэкияк эинвхЛхве ээиодвд
 Д и 9Z WBdXOWBdBII Э HbBirodOU
Кнэхэиэ £9d3h HZ W3HH3HHHXOdHO3 э Аяиннэисйл хэвПхо но oiXdoxox ‘ихэон
-Hiow я ‘XxHHHOHdn иин э Хионнвяоэвихоэ doxBdoH9J нд ивСхо oiXdoxox
/тгт —
где Т|/ = —--— — коэффициент отражения в конце линии.
ZH + ZB
Ток в нагрузке при этом равен разности токов падающей и отражен-
ной волн
Отраженная волна тока 7паде~^т], распространяется по линии от
ее конца к началу. Вследствие наличия затухания и фазового сдвига в
j-	—2v£
начале линии отраженная волна тока 'пал? Ле-
Как отмечалось, нагрузочным сопротивлением для отраженной
волны, пришедшей на вход линии, является сопротивление генератора.
Если последнее не равно волновому сопротивлению линии (Zr Ф ZB),
то на входе линии также происходит отражение. Пусть коэффициент
Zr- — ZR
отражения на входе линии пп = “-----— тогда здесь вследствие
Zt+Zb
отражения возникает вторая падающая волна	которая
движется от начала линии к ее концу.
Ток, являющийся разностью между током первой отраженной волны,
подошедшей к входу линии, и током второй падающей волны, движу-
щейся от входа линии, проходит через генератор. Тем самым генератору
возвращается часть энергии, переданной в линию при подключении.
Вторая падающая волна при подходе к концу линии определяется
выражением /паде T]fT]0. Здесь повторяется процесс отражения,
имевший место при подходе к концу линии первой падающей волны.
Возникает вторая отраженная волна тока гпаде	а разностный
ток /паде-3^(1-Т|^)г]£Во проходит через нагрузку и складывается с
током первой падающей волны. Процесс отражения волн от несогласо-
ванных концов линии повторяется многократно (см. рис. 3.36).
Полный ток нагрузки равен сумме токов всех падающих волн
h =^а/<Л1-П€)(1-е_2т%По	+•••)=
1-е ^ПеПо
300
Мощность, выделяющаяся в нагрузке, — S2 ZH.
Составим отношение
Sb = Ё2/^) _	+ZH)2(l-g-2Y4nJ
4%	(l-nJ2ZH4Zr
Заменить т^в знаменателе последней формулы его выражением
П/ =
ZH~ZB
Zh + Zb
После преобразования получим
$b _ к2 _ ye Z + ZH
Se Р [z^Zh)
\2/
7 I
ZB + ZH
27(ZBZH)
(3.81)

Это отношение называют рабочим коэффициентом передачи
мощности. Более формально этот коэффициент можно найти, восполь-
зовавшись его связью с приведенным сопротивлением
(3.82)
Величину ZnpHB следует определить по сигнальному графу линии с
несогласованными нагрузками по концам (рис. 3.37), из которого
i = £ 1	е~7' 2Zb
zr + ZB 1 - е-27€Т]оТ]€ ZH + ZB
Отсюда
7	_	(zt + zbXzH + zb)(1	1
ZnPHB = 7- = e ----—--------\1-£? ЛоПгЛ (З еЗ)
ZZb
Подставляя значение ZnpHB из выражения (3.83) в формулу (3.82),
получим то же значение кр, что и определяемое выражением (3.81).
301
_1_	—е -	i-n= 2ZB
E„* Zr+ZB *1 e 2у/П0П1 9 r znP+zB j
Рис. 3.37
Рабочее затухание
4
яраб
I . м
— In —
2
= 1п|лр | = al + In
Zr +zh | zb +zh
2у1(гггв) 27(zBzH)
+ In I — e —	"E A^3-
(3.84)
В этой формуле первое слагаемое — собственное затухание линии,
второе — затухание вследствие несогласованности сопротивления ге-
нератора и волнового сопротивления линии, третье — затухание из-за
несогласованности линии и нагрузки и, наконец, последнее — затуха-
ние взаимодействия отражений.
Зависимость рабочего затухания от частоты тока иллюстрируется
рис. 3.38. Зависимость этой величины от длины линии аналогична и
отличается тем, что слагаемое а становится пропорциональным .
Из формулы (3.80) следует, что рабочее затухание представляет со-
бой выраженную в логарифмических единицах меру использования
приемником мощности генератора. Если приемник получает мощность,
которую может отдать ему согласованный с ним генератор с заданной
ЭДС Е и внутренним сопротивлением Zr то говорят о наилучшем
использовании приемником мощности генератора (ораб = 0). Известно,
что при активной согласованной нагрузке генератор отдает наибольшую
мощность, его КПД при этом равен 50 % .
Стремление получить от генератора наибольшую мощность и КПД
50 % при передаче сигналов объясняется и тем обстоятельством, что при-
меняемые при этом генераторы маломощны и стоимость потребляемой
ими электрической энергии весьма мала по сравнению со стоимостью
самих генераторов. Повышение мощности генераторов в этом случае
затруднительно и приводит к значительному их удорожанию.
302
Рабочее затухание может увеличиваться вследствие роста потерь в
линии, соединяющей генератор с приемником. В этом случае возраста-
нию рабочего затухания соответствует уменьшение КПД установки.
Рабочее затухание может расти и при увеличении несогласованности
между внутренним сопротивлением генератора и входным сопротивле-
нием линии. Если входное сопротивление линии больше внутреннего
сопротивления генератора, то росту рабочего затухания соответствует
увеличение КПД установки. Однако возрастание КПД в этом случае
сопровождается уменьшением мощности, выделяющейся в приемни-
ке, и является нежелательным.
Вносимое затухание. Для оценки условий передачи электрической
энергии в системе передачи генератор—линия—приемник наряду с
понятием о рабочем затухании применяют понятие о вносимом за-
тухании

°ВН ~ 2
7П, где SH= . g2ZH^;
St (zr+zHf
Вносимое затухание измеряется половиной натурального логариф-
ма модуля отношения мощности, которую отдавал бы генератор непос-
редственно подключенному к нему приемнику, к мощности, отдаваемой
этому же приемнику через линию с заданными параметрами
303
1,
Яви =-In
= 11Л*н
2 St So
~ араб
+ -1П
2

4
„	*$о (Zr+Zpj)~
Но принимая во внимание, что -гЕ- = —--получим
5Н 4ZrZH
авн
араб
-In
Zr +ZH
2-^ZfZh
(3.85)
Вносимое затухание меньше рабочего на затухание несогласован-
ности генератора и приемника. При Zr = ZH рабочее затухание равно
вносимому.
Затухание вследствие несогласованности сопротивлений соединя-
емых четырехполюсников в общем случае
Да-1п
Z1+Z2
2Д^
(3.86)
Вносимое затухание наряду с рабочим находит широкое использо-
вание при оценке свойств неоднородных линий.
3.9.	Неоднородные электрические линии
В целом ряде радиотехнических и электронных устройств для фор-
мирования импульсов, согласования сопротивлений, в качестве элементов
фильтров и для других целей широко применяют неоднородные ли-
нии. Параметры таких линий изменяются вдоль ее длины от точки к
точке по какому-либо закону. Обычно это линии с весьма малыми по-
терями.
Для получения уравнений, приближенно описывающих процессы в
неоднородных линиях, следует в уравнениях (3.2) пренебречь парамет-
рами R и G и посчитать £ и С зависящими от координаты х. Это дает
«С/	- ,Z \ Ш	ч.'г
- — = J®Z,(x); - — = усоС(х)£/.	(3.87)
ах	ах
304
Как и в случае однородной линии, перейдем к уравнению, содержа-
щему одну неизвестную функцию U. Для этого возьмем вторую
dU
производную по х от----:
dx
d2U . r. di . dL(x)h .
—- = j(0L(x)—+
dx	dx dx
Исключим теперь [ и dl I dx, подставив их значения из первого и
второго уравнений (3.87):
d2U
dx2
= /со£(х)С(х)С +
1 dL(x) dU
L(x) dx dx
Последнее уравнение можно записать также в виде
d2U ,, 	. dL(x) г
-/(х)[/ = 7(о—
Jx2	dx
(3.88)
Сравнивая уравнение (3.87) с (3.3) и (3.56), можно процессы в неод-
нородной линии интерпретировать как волновые. Они, однако, отлича-
ются от процессов в однородной линии. Во-первых, постоянная рас-
пространения g(x) (в линии без потерь фазовая скорость v) зависит отх
у = ./<йЛ/С(х)С(х) = ур(х); v = и/р = 1/,Д(х)С(х).	(3.89)
Во-вторых, в каждой точке линии имеется как бы источник ЭДС,
порождающий новые волны, накладывающиеся на бегущую по линии
волну и деформирующие ее. Эта деформация изменяет отношение на-
пряжения к току в волне при переходе от точки к точке и является следст-
вием зависимости от х волнового сопротивления линии:
ZB=7ZO/CO.	(3.90)
Более конкретные результаты при описании процессов в неодно-
родных линиях можно получить, задавшись определенным законом
изменения £(х) и С(х). В частности, если Б(х) = и C{x)=CGeKX,
линию называют экспоненциальной.
У экспоненциальной линии
ZB = L(x) / С(х) =-J LG / CG екх; v = l/^L0/C0.	(3.91)
2G Теория линейных эл. целей
305
Скорость распространения волны вдоль экспоненциальной линии
сохраняется постоянной. Отличие от процессов в однородной ли-
нии здесь сводится только к деформации волны из-за непрерывного
отражения.
ЗЛО. Волновые процессы в несимметричных
двухпроводных линиях и рельсовых цепях
Практические задачи. В теории однородной уединенной линии
предполагалось, что ток в обоих проводах линии один и тот же и линия
не подвержена никаким внешним влияниям. В уединенной линии име-
ется одна цепь тока, и, таким образом, понятия «линия» и «цепь» то-
ждественны.
Все соотношения, определяющие процессы в такой двухпроводной
линии, называемой также симметричной, полностью справедливы и для
однопроводной линии.
В действительности, даже уединенные двухпроводные линии, а также
рельсовые цепи не свободны от влияний земли (утечка тока в землю).
Это положение усугубляется различием параметров самих проводов цепи.
Кроме того, в большинстве случаев цепи многопроводных линий
располагают на общих с другими цепями того же, а иногда и другого
типа опорах. Современные воздушные линии связи содержат до 40 про-
водов, влияющих друг на друга, а кабели связи — большое число жил,
заключенных в общую оболочку; высоковольтно-сигнальные линии ав-
тоблокировки несут на общих опорах высоковольтные и сигнальные
провода; линии электропередачи часто состоят из двух цепей; линии
связи местами проходят вблизи линий электропередачи, на участках с
электрической тягой — параллельно тяговому проводу дороги. Естест-
венно, что в этих условиях неизбежно должно проявляться взаимное
влияние линий.
Все это говорит о том, что при расчете различных устройств не всегда
можно применять теорию однородной уединенной линии. Следует
вопросы работы цепей с распределенными параметрами рассматривать
в условиях взаимных влияний между ними. При применении мер по
устранению взаимных влияний (скрещивание цепей воздушных линий
связи, скручивание в группы жил симметричных кабелей, транспони-
306
рование проводов линий электропередачи, стремление к одинаковым
параметрам симметричных цепей всех типов) во многих случаях можно
для каждой отдельной цепи пользоваться уравнениями уединенной
линии, что чрезвычайно упрощает расчеты условий передачи энергии.
Однако ряд практических задач (например, учет взаимного влияния
разных линий друг на друга, использование для передачи энергии всей
совокупности проводов линии (пучка), как при организации поездной
радиосвязи и передаче высокочастотных сигналов по высоковольтным
линиям электропередачи, учет влияния неоднородности проводов цепи,
включая обрыв одного из них, на условия передачи по ней и др.) требует
более строгого и точного анализа процессов, учитывающих взаимодей-
ствие всех проводов влияющих линий. Всю совокупность вычислений
по общему решению этих задач из-за их громоздкости и сложности
следует разделить на ряд более мелких.
Любая задача в области теории линий содержит три части.
1.	Вычисление первичных параметров проводов и цепей многопро-
водной линии, включая взаимные сопротивления и проводимости.
Расчет собственных и взаимных сопротивлений и проводимостей про-
водов (или цепей) при наличии большого их числа с учетом близости
земли или проводящей оболочки, конечной проводимости последних и
наличия конструктивных неоднородностей оказывается во многих слу-
чаях также весьма сложным. Поэтому значения собственных и взаимных
йараметров часто устанавливают измерениями.
2.	Вычисление волновых параметров многопроводной линии.
3.	Выявление влияния несогласованности нагрузок на концах линии
и определение рабочих условий передачи энергии.
При решении любой практической задачи следует определять собст-
венные первичные параметры, а затем (при необходимости) учитывать
волновой характер процессов в линии и состояние ее концов.
Уравнения однородной уединенной линии (3.2) отражают процессы
в линиях определенной конструкции (см. рис. 3.3). Электромагнитные
процессы в этих линиях определяются одним током и одним напря-
жением. В любой точке линии токи в обоих проводах одинаковы по
значению и противоположны по направлению. Процессы в двухпро-
водной линии можно характеризовать одним напряжением и одним
током только в том случае, если можно пренебречь присутствием вбли-
зи проводов земли и или других проводящих поверхностей, напри-
307
мер кабельных оболочек. Во многих практически важных случаях яв-
ления в линиях следует рассматривать с учетом близлежащих прово-
дящих поверхностей.
Уравнения двухпроводной линии над проводящей поверхностью.
Двухпроводная линия (рис. 3.39) образована двумя проводами, пара-
метры которых в общем случае могут быть различны. Токи двух про-
водов этой линии из-за утечки части их в землю различны. Такие ли-
нии называют несимметричными.
Пусть первичные параметры однопроводных цепей, образованных
каждым из проводов с возвратом тока по земле, соответственно будут:
^1, Z/], Cj, C?i, Ь2, С2, g2.
Емкость и проводимость провода относительно земли зависят от
того, как их измеряют: в присутствии или в отсутствии второго прово-
да. Штрихи у величин С и G' означают, что они измерены в присутствии
второго провода или вычислены с учетом этого присутствия. Величины
С и G' называют частичными емкостями и проводимостями линии.
Кроме собственных первичных параметров, двухпроводную линию
характеризуют взаимными параметрами: /?|2, Л/12, G12,CI2. Взаимное
сопротивление Л12— общая часть сопротивления петель (контуров):
первый провод — земля и второй провод — земля; Л/12 — взаимная
индуктивность этих же петель; Gj2, С\2 — соответственно взаимные
проводимость и емкость.
Схема замещения бесконечно малого элемента двухпроводной линии
с учетом влияния земли приведена на рис. 3.40 (сравним с рис. 3.2).
Составим дифференциальные уравнения двухпроводной несиммет-
ричной линии, применяя законы Ома и Кирхгофа к эквивалентной
схеме ее бесконечно малого элемента, как это было сделано ранее по
отношению к симметричной или однопроводной линии.
7/ 777 777 /// /////7/// 7/Х.////// ///77/7//////////7 77/7/7 /7/777
Рис. 3.39
308
Изменение напряжения на бесконечно малом участке первого провода
складывается из падения напряжения на полном сопротивлении прово-
да и напряжения, наведенного в этом элементе током второго провода:
- dU [—(/?] + joL^dxi^ + (7?j 2 + УюЛ/12)^^2’	(3.92)
аналогично для второго провода
— С?С?2 = (^12 + y®A/]2W-^A 3"С^2 3" j^>LQ.)dxi2.
Утечка тока с каждого провода в любом элементе линии происходит
как в землю за счет напряжения провода относительно земли, так и на
второй провод, если его напряжение относительно земли не равно
напряжению рассматриваемого провода:
-dix = (G'x + jmC})dxUx +(Gi2 + jaCi2)dx(ul -й2)=
= |(zj + G)2 +	+ C12)] dxUj + (c?|2 + ycoCj2)] dxU2‘,
— dl2 =[“(6) + jcoC12)] dxU\ +[^2 +C?i2 +	+ Q?)] dxU2.
Обозначим
Ri + jmLi = Zu; Ry + jfaMjj;
^7 Gy — Gjj, Cj +Cy — Сц,	(3.93)
Gn + j^>Cn — Уц, — {Gy + jmCy) — Yy.
309
В принятых обозначениях уравнения двухпроводной линии будут
---~^1/ +^12-^2 i	V^ = Z21A +Z22^2’
dx	dx
di, •	- di-, 		(3-94)
~~7~ = K1A +*12^2; ~~7~ = Г21Л +Y22h-
dx	dx
Систему (3.94) можно записать в матричной форме
-® = (2ПРЬ; -® = (ГИЗХС?)- (3.95)
dx	dx
Эта система матричных уравнений соответствует системе уравнений
однопроводной линии (3.2). Здесь, как и при переходе от неразветвлен-
ной цепи к разветвленной, характеристики проводов Znp и YH3 замени-
лись матрицами:
pn Z12A ( .(Гц Y12)
7	7 К \ из} у у
/-21 z22 J	/21 y22 J
Продифференцировав первое и второе уравнения системы (3.94) по х
и заменив производные оттоков по х их значениями, взятыми из третьего
и четвертого уравнений, получим уравнение второго порядка, содержа-
щее только напряжения:
2 *
^rP = (Znp)(Y„3)(t7)-	(3.96)
dx
В нематричной форме уравнение (3.96) имеет вид
-7У’-(г11111 +г12^2^1 +(^11I12+Z12J22XA2 = 711^1+712^2’
dx*
d*u	.	...	(397)
~ '22 -(^12^1 +г22112ХГ1 + (^12^12 + ^22^22 XZ2 = Т2.Р\ +Т22^2-
dx*
Решение уравнений двухпроводной линии. Матричное уравнение (3.96)
совершенно подобно уравнению (3.3) однопроводной линии. Использо-
вание матричной формы записи позволяет формально по аналогии между
уравнениями сразу составить решение уравнения (3.96) и результаты,
полученные для двухпроводной линии, распространить на линии с лю-
бым числом проводов.
310
Составим решение матричного уравнения (3.96) в виде выражений (3.5):
U(x) = А\е ^х - А2е^х',
-Л2г^’
(3.98)
В этих решениях U, 1, Al,A2,y2,ZB — матрицы. Для перехода к
нематричной форме решений прежде всего следует найти значения
vY и е^х. Последнее можно осуществить, пользуясь теоремой
Сильвестра, для чего в свою очередь необходимо определить характе-
ристические числа матрицы у2 - к2, являющиеся корнями уравнения
= 0.
(3.99)
Уравнение (3.99) — биквадратное и имеет четыре попарно сопря-
женных КОрНЯ ±Л)(2-
Опуская довольно громоздкие промежуточные выкладки, выпишем
окончательные решения:
U. (х) = (4 ь е~к'х +АЩ ек'х )+ (л12[ ё~к^х +	);
+Л12^|Х)+(Л21^2Х +Лг2^2Х);
Л W = ~~ U1, е~к'х - Aj J2 ек,х )+ у- (4 2] е~к1Х - А{ 21 екгХ );
Zbi	Zb2	(3.100)
h (а2 j е~к,х - А2 ч ек,х )+ у- (л22] е~к1Х - А221 е1Х ).
ZB1	ZB2
Здесь
ZB1 =7~(Z11 -T11Z12^ ZB2	-T12Z12);	(3.101)
K]	K2
^=-^72’ 112=7I~2-	(3.102)
Yll-*2 Th-^
Значения коэффициентов У у определены выражениями (3.97).
311
Из выражений (3.100) при сопоставлении их с выражениями (3.5)
следует, что в двухпроводной линии могут быть два типа падающих и
отраженных волн. Первый тип волн характеризуется километрическим
коэффициентом распространения: = ci] + yPi и волновым сопро-
тивлением ZB1, а второй тип волн — соответственно величинами
к2 - ос2 + 7₽1 и ZB2- Напряжения и токи обеих волн присутствуют в
обоих проводах линии. В линии, состоящей из N проводов, в общем
случае могут существовать N пар волн, характеризуемых N различными
коэффициентами распространения и N различными волновыми
сопротивлениями.
Постоянные интегрирования Ад есть амплитуды падающих, а Ад—
отраженных волн напряжения. Как и в случае однопроводной линии,
их определяют через напряжения и токи в начале или конце линии.
Схема замещения несимметричной двухпроводной линии. Если
определить постоянные интегрирования через напряжения и токи
проводов в начале линии Ц (0), U2 (0), 1\ (0) и /2 (0), то для бесконечно
длинной линии, в которой имеются только падающие волны, из урав-
нений (3.100) получим
-nA(0)]+Zbi [А(0)+n2>2 (0)V,x +
2(1-Т11П2)
+-~л П1 ;{-T12f>i(0)+t72(0)]+ZB2[niZi(0)+/2(0)t-^.	(ЗЛ°3)
2(1- Tli Пг)
Выражение для й2(х) получается перестановкой индексов 1 и 2
у напряжений, токов и коэффициентов Г].
В выражениях, определяющих отраженные волны, (I/ + ZZ)
заменяются на (U — ZI). Ток волны получается делением напряжения
на соответствующие ZB. Уравнения несимметричной линии впервые
были получены В. И. Коваленковым. Двухпроводная линия над землей
(или в экране), в которой рассматриваются напряжения каждого из
проводов относительно земли (или экрана), является 2(2+1)-полюс-
ником (рис. 3.41).
Уравнения двухпроводной линии как 2(2+1)-полюсника довольно
громоздки.
Из уравнения (3.103) следует, что по простым законам, соответству-
ющим законам преобразования напряжений и токов в уединенной одно-
312
г
°1
Рис. 3.41
родной линии, изменяются линейные комбинации напряжений и токов
проводов:
(ц-тц^г); (А _ЛгЛ); (_'ПгЦ +^2)’ (тьА+Л)-
Преобразование напряжений и токов на входе линии в напряжения и
токи на выходе можно представить как последовательность следующих
преобразований:
ц(£)—Ь'ю+п#(4 Д(€)=ho+n2/"(4
—kt/i2W = [-V (€)+/"(€)].
1-т11т12
U(£) = и (0) ch кх£ - 7(0)Zbi sh kxt,
= —\-U (O)sh kx£+/'(O)Zbi ch
U(£) = U(0)chk2£-i\0)ZB2 shk2£;
(2)	(3.104)
I (€) = ——U (G)shk2£ + I (O)chfc2Z.
^bi
L7'(o)=[c7i(O)-mt72(o]; Ло)=—[A(0)+n272(0)];
1-П1П2
c7"(0)=[-n2t/i (0)+u2 (0)1 z"(0)=—!— kA(O)+i2 (0)].
1-П1П2
313
Zbi - (1 - Л i1!2 )ZB1 	105)
^B2 =(1 “'01'02 )^B2-	(3.106)
Из соотношений (3.104), если их читать в порядке (3), (2), (1), следует,
что приложенные к проводам в начале линии напряжения и токи
1/1(0), Л(0), Uг (0) и /1(0) преобразуются в новые независимые пере-
менные U (0), I (0), U (0) и I (0) в соответствии с формулами (3); эти
новые независимые переменные передаются на выход линии по
независимым трактам, характеризуемым постоянными передачи к{ и
к2 волновыми сопротивлениями ZB1 и ZB2, превращаясь в величины
U (£), / (/), U (£) и / (£) в соответствии с формулами (2); на выходе
линии эти независимые переменные U (£), U (£), / (£)и/ (£) вновь
преобразуются в напряжения и токи проводов С\(£), /](£),с72(Л и А(0
в соответствии с формулами (1).
Схема замещения. В соответствии с выражениями (1), (2) и (3)
соотношений (3.104) построена схема замещения двухпроводной
ли-нии над землей как 2 (2+1)-полюсника (рис. 3.42, а); структура
2 (2+1)-полюсников 1,2, и 3 в свою очередь показана на рис. 3.42, бив;
Рис. 3.42
314
2(2+1 )-полюсник 3 представляет собой соединение четырех трансформато-
ров ссоответствующими коэффициа стами трансформации; 2(2+1) -полюс-
ник 2 есть два независимых четырехполюсника с общим заземлением;
2(2+1)-полюсник 1 — то же, что и 3, но включен в обратную сторону.
Таким образом, схема замещения несимметричной двухпроводной
линии представляет собой схемы двух взаимосвязанных трактов передачи.
Симметричная двухпроводная линия над землей или в экране.
Двухпроводную линию, провода которой расположены вблизи земли
(проводящей поверхности) и имеют одинаковые параметры, называют
симметричной.
В этом случае Zn = Z22.	= ^22, Bl =1> Лг =~1- Выражения,
определяющие коэффициенты распространения волн и волновые
сопротивления, упрощаются:
К -	(3.107)
ZBi=^Zu-ZMYn-Yl2).	(3.108)
Электрические и магнитные поля, соответствующие этому типу
волн, связаны с проводами (фазами) линии. Сами волны поэтому
принято называть межпроводными или междуфазовыми (рис. 3.43, а).
Сравнивая картину распределения векторов Е и Нс аналогичной кар-
тиной для уединенной двухпроводной линии (см. рис. 3.3, а), легко заме-
тить, что это тот тип волн, которые существуют в уединенной линии.
Эти волны вызываются симметрии! !ыми напряжениями на входе линии.
Для второго типа волн
k2 = V(ZH+Z12X*fi+lf2),	(З.Ю9)
ZB2 = V(Zn+Zi2)/(l[i + lf2).	(3.1 Ю)
Электрическое и магнитное поля, соответствующие этому типу волн,
связаны с обоими проводами линии и землей (проводящей поверхнос-
тью) (рис. 3.43, б, сравним с рис. 3.3, б). Волны этого типа в случае воз-
душных линий принято называть земляными. Они появляются при при-
ложении напряжения между обоими проводами линии и землей (про-
водящей поверхностью).
В общем случае, если не равны Ц и Й2 или ZH, и ZH2,to в
двухпроводной симметричной линии возникают волны обоих типов.
Появление земляных волн в двухпроводных линиях связи крайне неже-
лательно, так как это ведет к увеличению взаимного влияния линий.
315
Рис. 3.43
Так как междуфазовая и земляная волны в симметричной линии могут
существовать одновременно и независимо друг от друга, их можно при-
менять для одновременной передачи двух различных сигналов (рис. 3.44).
Это свойство двухпроводных симметричных линий начали использовать
в технике связи для одновременного телефонирования и телеграфирова-
ния задолго до разработки теории многопроводных линий. Тот же прин-
цип реализован в рельсовых цепях на участках с электротягой для отде-
ления тягового тока от сигнального.
Напряжение в проводе электрически длинной двухпроводной симме-
тричной линии, подвешенной над землей.
to=fe (0) - й2 (0)]+ zB1 [А (0) - /2 (0)]}е-*>х +
+^{k(0)+t>2(0)]+zB2[A(0)+/2(0)]}e-^x.
Это выражение получено из формулы (3.103) подстановкой в нее
значений тц = 1 и т]2 =-1.
Выражение для напряжения второго провода получается переста-
новкой индексов 1 и 2 у напряжений и токов выражения (3.111). В линии
конечной длины амплитуды отраженных волн напряжения содержат
разности [(7(0) -ZZ(O)]. Амплитуды токов во всех случаях отличаются
1
от напряжений соответствующих волн множителем % 
Если к двухпроводной симметричной линии приложены симмет-
ричные напряжения и нагрузки проводов одинаковы, то Ц = -U2
и А = -72. При этом
йх-й2 = 1щ-, il-i2 = 2ix-, C71+f72=°; А+Л=°- (з.пг)
316
LIE
9 ‘g^'E ’and вн внэ!Гэаис1п
woVoaodn WHHHBadogo э иинии кинэ!пэиве Bwaxj (» ‘$р'£ ond)
эьвни чхиявхэоэ онжо1м caXdoxon ‘frp'£ and вн снХннэ1Г9яийц ‘Хкэхэ
я KOJ.aXxBdgoadn ]-= Ш и 1= 4i иди (£р'£ and wo) кинэШэиве вмэхэ
ээ Btfxox ‘KBHhHdxawwHO чиэп охь ‘нихаХпо'п' эппчя 3i4HH3dxowaoBd
‘ИИНИИ HOHtfoaodHxXiatf КИНЭЙГЭМВЕ КмЭХЭ И KHH3HHBdX 41HH9WHdu
ондойХ эвьХиэ woxe я ии^эне HhBtfadan иияоиэЛ кинэнэкня кеЦ1
•кэхэвж1гопос1п ниране BhBiradau aovoaodn ей олонйо afliadgo
ndn HiaoHxdaaon HahiKtfoflodn HojXdi/ иЕиидя иии иэютэе йвн и нэп
HHHaxoironoBd ndjj оихаонтгоп KoxaBirrecbiadn XxHHivandn я BdoiBdanax
10 HHidane BhBtfadau aotfoaodn ей ojohEo aaradgo ndn ox ‘внэнийэХ чпэи
bwbo в ‘ипэп HOHlToaodnxXatf HWBtfoaodn №жэн гчнэьоигяя HHHwandn и
doxEdanax инэд vgoaodu огондо oendgo хипаокэХ g nmdanc vhDQadajj
иэн on HHxdaHE HhBffadan
кинaiпвdяэdп ojohitoh хэвяненя эн иинии flotfoflodn ей олонйо aniadgo
ndn ‘ишяэЕ CHqxaoHxdoHon nataKiroflodu гвн HOHHaxoirauoBd ‘иинии
HOHtfoaodnxXatf я впих oxodoxH ниоя кинвяояхээШХэ чхэонжокЕод
7
(ЯГЕ)	• хг7_э[(0)	+ (0) т/5] = СО */2
МОХЕ. Hdn ‘ВН1ГОЯ КВНК1ГИЭЕ ОЯЧ1ГОХ кэхээми
и хэХяхэхХахо внкоя квяоЕвфКйжэм ox ‘ zl = */ и zn =	ииод
7
(£Т ГЕ)	xtyj’ffo) 7iaZ + (0) [л] Y = (х) 1Л
(EDI E) KHHOHHBdX ец
'ОИГХн BHHBd ВйХхИИШМВ ЭЭ ЯВЯ ЯВХ ‘ХЭН ИИНИИ Я НН1ГОЯ ИОНК1ПЧЭ£
рр'е эиа
Рис. 3.45
В большинстве практических случаев затухание тракта земляной
волны Re/c2 значительно больше затухания тракта межпроводной
волны Re/q. Поэтому тракт земляной волны можно считать элект-
рически длинным, передаваемой через него долей энергии можно
пренебречь и заменить в схеме только входными сопротивлениями
(рис. 3.45, в). Учитывая пересчет сопротивления автотрансформатором,
получим эквивалентную схему передачи энергии по двухпроводной
цепи (рис. 3.45, г). Последнюю схему можно применять для расчета
условий передачи сигнала в аварийных случаях обрыва провода и
расчета контрольного режима рельсовых цепей.
3.11. Расчет условий передачи сигналов по неоднородным
трактам автоматики, телемеханики и связи
Во многих случаях тракт передачи сигналов автоматики, телемеха-
ники и связи наряду с линиями включает в себя четырехполюсные эле-
менты с сосредоточенными параметрами. Условия передачи по неод-
нородным трактам можно рассчитать по тем же методам, что и условия
передачи по однородным линиям.
Затухание четырехполюсника. Затухание, определяемое в общем
случае в неперах как 0,5 In
А
S2
и в децибелах 101g
А
s2
, может характе-
318
ризовать соотношения между мощностями в различных частях системы
передачи энергии.
На практике чаще всего приходится рассматривать следующие
мощности:
So = Ё2 l(4Zr) —мощность, отдаваемую генератором с внутренним
полным сопротивлением Zr, и ЭДС Ё согласованной с ним нагрузке;
Sh =£2^н /(2г + ZH)2 — мощность, отдаваемую генератором
непосредственно присоединенной к нему нагрузке с сопротивлением ZH;
>$2 = ZH/2 — мощность, получаемую приемником с сопротив-
лением ZH через систему передачи;
Sj = Е 2^x1 ^(2т + 2^х]) —мощность, входящую в систему пере-
дачи с входным сопротивлением ZBxl;
Ё2 (Zr — Z, )2
SOTD =	~ Si = —————— х|— мощность, отражающуюся от
4Zr(Zr + ZBxl)2
входа системы передачи с входным сопротивлением ZBxl.
Отношения между рассматриваемыми мощностями определяют
затухания, характеризующие условия передачи энергии через систему.
Наиболее употребительны:
собственное затухание при ZH = ZX2
1. Si
а =—In—
2 S2
«=Ю1ёД;
s2
рабочее затухание
So
_ 1 1
«раб-~1п^:
s2’
«раб = 101g
S2
вносимое затухание
1, Sh
2 5-2
Sh.
S'2’
-ln-Д, aBH = 101g-^i
входное затухание
«вх — 21П
A
Si
«ВХ
= 101g|v
S1
319
затухание передачи при ZH # ZX2
1. Sj
= —ln-А
1
anep-2*“s2’
anep
= 101g^-;
Л2
(3.115)
затухание отражения или несогласованености (эхо)
яотр — 2
sb
*$отр
аотр
= 101g
Sb
*%тр
Рабочее затухание несимметричного четырехполюсника, выра-
женное через параметры системы, по аналогии с формулой (3.84)
. Z^- + Zxi
+ 1п
ZX2 + ZH
2VZX2^H
+ lnl-e
(3.116)
Zr — Zxi Zjj — Zxi
где rii = — --—; T]2 = —-----
Zr + Zx/ ZH + ZX2
Здесь ZXj и ZX2 — характеристические сопротивления четырех-
полюсника co стороны входа и выхода (у симметричного четырех-
полюсника они равны); g—постоянная передачи. Формулы д ля расчета
характеристических сопротивлений и постоянной передачи рассматри-
ваются ниже.
Вносимое затухание рассчитывают по формуле (3.85), измененной
в соответствии с формулой (3.116).
Из определений затуханий вытекают соотношения
йраб ~ авх йпер»
(З.П7)
(3.118)
Затухание тракта передачи, образованного цепочечным соеди-
нением четырехполюсников. При расчете различного рода устройств
автоматики и связи нередко целесообразно рассматривать полный путь
передачи сигнала от генератора к приемнику как цепочечное соедине-
ние нескольких четырехполюсников, каждый из которых отражает свой-
320
ства одного из элементов сложной цепи передачи. В этом случае, как и
при характеристике условий передачи энергии через один четырехпо-
люсник, можно использовать понятия собственных, называемых также
характеристическими, и рабочих параметров передачи.
При цепочечном соединении четырехполюсников характеристи-
ческие параметры всего соединения определяются произведением
матрицы (А) или (7).
Характеристические параметры целесообразно определять в тех слу-
чаях, когда система передачи состоит из многих элементов, но с повто-
ряющимися характеристиками, так что для установления условий пе-
редачи достаточно рассмотреть группу из двух-трех включенных цепочкой
четырехполюсников. При этом удается найти и частотные зависимости
характеристических сопротивлений и затухания системы.
Если же система состоит из большого числа четырехполюсников с
различными характеристиками, то вычисление параметров соединения
перемножением матриц оказывается крайне громоздким. В таких слу-
чаях целесообразно оперировать рабочими параметрами передачи:
2-вх И Араб-
Входное сопротивление цепочки находят последовательным определе-
нием этой величины для каждого четырехполюсника, начиная с конца,
полагая, что ZBX последнего играет роль ZH для предпоследнего, и т. д
Для определения рабочего затухания цепочки рассмотрим схему на
рис.3.46.Пусть Si, S2,...,SN—мощносгинавходахчетырехполюсников
1,2,..., N; SN+i — мощность в приемнике на выходе системы передачи.
Тогда
йраб ~
1, ЗЬ
—In 
2 K+i
J_jn Sb S/v+i SN
2 Ц S2'" SN SN+i
m=N
i, Sb	sm
= -ln^-+ > —ln^-S-
2 1 Sil “i 2 >,„+1
Рабочее затухание цепочки четырехполюсников равно сумме входного
затухания и затуханий передачи отдельных четырехполюсников. При-
Рис. 3.46
21 Теория линейных эл. целей
321
менение логарифмической меры затухания позволяет заменить много-
кратное умножение матриц сложением затуханий.
При большом числе участков сложной передающей системы расчету
затуханий передачи их должен предшествовать расчет входных сопро-
тивлений от конца системы к началу. При этом сопротивлением нагру-
зки для каждого четырехполюсника следует считать входное сопроти-
вление четырехполюсника, следующего за ним.
Затухание передачи полного четырехполюсника. Затухание
передачи четырехполюсника определяется выражением (3.115)
где Sj — мощность на входе четырехполюсника;
S2 — мощность на его выходе.
Заметим, что затухание передачи не зависит оттого, какой генератор
подключен к входу четырехполюсника. Допустим поэтому, что к входу
четырехполюсника подключен генератор с внутренним сопротивлением
Zr = ZX| (рис. 3.47). Вычислим затухание передачи «пер=яраб~авх-
(см. формулу 3.117).
Рабочее затухание в соответствии с формулой (3.116) при ZT = ZX1
2VZX2ZH
Входное затухание в соответствии с формулой (3.118)
2т/^Х1^вх1
Zxi Zxi
Рис. 3.47
322
Таким образом,
апер=а + 1п
2VZH +ZX2
XI^bxI
Затухание тракта передачи, содержащего неполные четырех-
полюсники или ответвления. Сложные тракты передачи сигналов
автоматики, телемеханики и связи часто содержат двухполюсники,
включаемые параллельно (рис. 3.48) или последовательно (рис. 3.49).
В соответствии со схемой, приведенной на рис. 3.46, такие элементы
следует рассматривать как неполные четырехполюсники.
Имеются две возможности учета затухания, появляющегося при вклю-
чении таких неполных четырехполюсников. Первая состоит в том, что
рабочее затухание всего тракта передачи рассматривается как сумма вхо-
дного затухания и затуханий передачи всех четырехполюсников. При этом
необходимо иметь формулы, определяющие затухание передачи непол-
ных четырехполюсников.
Для схемы (см. рис. 3.48)
где ZBX=ZHZ2/(ZH+Z2).
Рис. 3.48
Рис. 3.49
323
Для схемы (см. рис. 3.49)
_ 11 *->
апер — 2
S) 1. , Zy	1 ZBX
—S- =— lnl + —L = -ln-5x-,
2 ZH	2	ZH
ZX
Z,
s2
ZH
ZB
(3.120)
1
2
где ZBX =Zi+ZH.
Включение в тракт передачи неполного четырехполюсника увеличи-
вает затухание передачи тракта в соответствии с выражением (3.119) или
(3.120). Кроме того, изменяется входное сопротивление тракта и соот-
ветственно входное затухание. Таким образом, добавочное рабочее за-
тухание, появляющееся в тракте передачи при включении неполного че-
тырехполюсника, состоит из затухания передачи последнего и дополни-
тельного входного затухания.
Вторая возможность учета дополнительного затухания, вызываемо-
го включением в тракт передачи неполного четырехполюсника, заклю-
чается в вычислении добавочного рабочего затухания непосредственно,
минуя расчет затухания передачи. Этот способ особенно удобен при учете
увеличения рабочего затухания вследствие ответвлений линии и в неко-
торых других случаях.
Вычислим добавочное рабочее затухание, вызванное ответвлениями
от линии. На рис. 3.50 показано сечение тракта передачи до включения
ответвления, а на рис. 3.51 — с ответвлением.
Рис. 3.50
А
Рис. 3.51
324
До подключения ответвления в точке А соединились два участка трак-
та: первый с выходным сопротивлением Zj и второй с входным сопро-
тивлением Z2. Допустим, что затухания участков достаточно велики,
чтобы можно было пренебречь дополнительным затуханием, связанным
с отражениями. Тогда при Zz Z2 в месте соединения участков из-за
несогласованности соединений [см. формулу (3.86)] возникает дополни-
тельное затухание
Рассмотрим теперь, насколько изменится дополнительное затухание
в точке А , если в стыке участков включить ответвление с сопротивлени-
ем Zo = 1 /Ко (см. рис. 3.51). Дополнительное затухание в этом случае обус-
ловливается отбором ответвлением из тракта некоторой мощности и из-
менением соотношения между сопротивлениями предшествующей и по-
следующей частей тракта.
Дополнительное затухание вследствие отбора энергии ответвлением
оценивают затуханием передачи ответвления
к
s2
1, -
Да> =—In —
2 Г
Дополнительное затухание вследствие изменения соотношения между
сопротивлениями в точке А
Полное дополнительное рабочее затухание, вызванное включением
ответвления,
Да = Д«1 + Да2 = In 1 +
У1+У2
Связь рабочего затухания составного тракта с функциями пере-
дачи по напряжению. Как известно, затухание между какими-либо точка-
ми трактов передачи сигналов удобно измерять разностью уровней. При
этом, учитывая, что напряжения могут быть измерены на различных
сопротивлениях, необходимо пользоваться уровнями мощности. В то же
время измерительные приборы измеряют уровни напряжения.
325
В групповых линиях сопротивление меняется от точки к точке,
поэтому уровни напряжения не определяют распределения затухания,
однако контроль распределения напряжения для правильно спроекти-
рованного тракта является удобным способом проверки его исправнос-
ти. Поэтому при проектировании целесообразно задавать напряжения
(уровни напряжения) для точек подключения передатчиков и приемни-
ков, а при эксплуатации их контролировать. Покажем, как рабочее зату-
хание тракта связано с напряжениями в отдельных его точках:
араб —
-In
2
se
So = £2 ZH = ^(OX^+ZbJ2 1
Se 4Zr f/2(/)	4Zr a2(/)
(Zr+ZBX)2Z Й2(0) Ц2 U2 _(Zr + ZBX)2 ZH|-r 1 .
4Z2XZ£ H ul ul U2(£) 4^xZr ^X1/1FW-’
Коэффициент изменения тока тракта передачи. При анализе и
расчете цепей железнодорожной автоматики и телемеханики, в частнос-
ти рельсовых цепей, необходимо учитывать непрерывные воздействия
(плавное изменение входной функции напряжения или тока, колебания
первичных параметров линии и т. д.) и дискретные воздействия, изменя-
ющие структуру схемы (короткое замыкание, шунтирование, обрыв эле-
ментов и т. д.).
Сложные электрические цепи при непрерывных и дискретных воздей-
ствиях целесообразно анализировать по схемам замещения, позволяю-
щим использовать известные разделы теории четырехполюсников и ли-
ний и представить цепи автоматики и телемеханики в виде каскадного
соединения четырехполюсников. Полную схему замещения (см. рис. 3.46)
можно упростить, оставив в ней четырехполюсник, замещающий линию,
а части схемы относительно входных и выходных зажимов линии заме-
нить их входными сопротивлениями (см. рис. 3.47).
Подобные схемы широко применяют при анализе основных инфор-
мационных устройств железнодорожной автоматики и телемеханики—
326
рельсовых цепей. Особый интерес при их расчете представляют частные
случаи дискретных воздействий на рельсовую линию — наложение
поездного шунта и излом рельсов. В этих случаях рельсовая цепь долж-
на среагировать на дискретное воздействие снижением тока в приемнике
до значения, обеспечивающего достаточную информацию о занятости
или неисправности контролируемого участка пути.
Реакцию цепи на дискреп юе воздействие удобно количественно характе-
ризовать коэффициентом изменения тока тракта передачи сигналов
£т = /н
где /н — ток в нагрузке до воздействия на цепь;
^'н — ток в нагрузке при дискретном воздействии на цепь.
Токи в нагрузке соответственно
Al ~ ^-прив> ! ^прив>
где ZnpHB = A Z^ + B + (CZB + D)Zr — приведенное сопротивление
цепи до воздействия на нее;
Z npuB = AZB + В' + (C'ZH + D )Zr —приведенное сопротивление
цепи при дискретном на нее воздействии.
С учетом последних выражений
_ Z прив _ A Zj| + В + (С Zj4 + D )Zr
^прив AZ^ +B+(CZh+ DyZy.
Понятие коэффициента изменения тока тракта передачи можно ис-
пользовать при анализе рельсовых цепей, работающих в режимах на-
ложения шунта (шунтовом) и изломе рельсов (контрольном).
Глава 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ ЧАСТОТНЫМИ
И ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ,
ИХ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ
4.1.	Устройства железнодорожной автоматики,
телемеханики и связи со специальными
характеристиками
В любой из применяющихся на железнодорожном транспорте сис-
тем телемеханики и связи можно выделить, по крайней мере, две основ-
ные части: устройства сбора и распределения информации и устройства
передачи ее на расстояние.
Указанные устройства должны обеспечивать передачу по любым ли-
ниям связи (волоконно-оптическим, проводным, радио или смешанным)
заданного количества информации с заданной верностью в условиях
подверженности искажениям и воздействиям посторонних электромаг-
нитных процессов — помех. Обе эти задачи (передача необходимого
количества информации и обеспечение ее достоверности) решают за
счет использования в передающих устройствах сигналов специальной
формы, обеспечивающих их устойчивость при передаче в условиях на-
личия искажений и помех, и применения в приемниках специальных
устройств, восстанавливающих по возможности переданные сигналы
путем специальной обработки принятых сигналов. Как при формиро-
вании сигналов в передающих устройствах, так и при восстановлении
их в приемных в качестве основных электрических цепей наряду с элект-
ронным и цифровыми находят применение специальные аналоговые
электрические цепи с соответствующими характеристиками.
В широком смысле любые устройства, преобразующие электриче-
ские сигналы, называют фильтрами. Электрические цепи (в них могут
быть применены разные базовые элементы, в том числе и активные),
используемые для получения сигналов определенной формы, называ-
ют формирующими фильтрами. Цепи, наилучшим в каком-то смысле
образом восстанавливающие сигналы в приемных устройствах, назы-
вают оптимальными фильтрами.
Для отделения сигналов друг от друга или помех в тех случаях, ког-
да и те и другие содержат частотные составляющие, занимающие не-
328
прерывающиеся полосы частот, используют частотные фильтры. Этот
тип фильтров появился раньше других и нашел наиболее широкое расп-
ространение в устройствах передачи сигналов.
При передаче сигналов по цепям проводных линий связи вследст-
вие зависимости от частоты затухания и фазовой скорости (или, что то же
самое, времени распространения) происходит изменение их формы—
искажение. Для устранения этих искажений или уменьшения их до до-
пустимого значения в тракт передачи сигналов включают корректоры,
придающие характеристике затухания и фазы желательную форму. Ко-
рректоры, как и частотные фильтры, можно встретить в любых систе-
мах передачи сигналов.
Частотные фильтры. В соответствии с местоположением поло-
сы пропускаемых частот частотные фильтры делят на фильтры нижних
частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ)
и режекторные фильтры (РФ). Все эти термины поясняются рис. 4.1.
На рисунке полосы пропускания частотных фильтров показаны резко
ограниченными частотами среза <вср, за которыми идет полоса за-
держивания. В реальных частотных электрических фильтрах с из-
менением частоты переход от пропускания к непропусканию все-
гда происходит более или менее плавно и тем плавней, чем проще
схема фильтра и больше потери в ее элементах.
Пропускание	Задерживание
ФНЧ
Задерживание	Пропускание
ФВЧ
Задерживание	Пропускание	Задерживание
ППФ
О
Пропускание	Задерживание	Пропускание
О
Рис. 4.1
329
Фильтры из пассивных элементов подразделяют на цепочечные,
построенные по схемам Т, П и Г, и мостовые, выполненные по схеме
моста. В зависимости от используемых элементов фильтры классифи-
цируют на гС (рис. 4.2, a), LC (рис. 4.2, б), кварцевые, магнитострик-
ционные, электромеханические, цифровые и т. д.
Фильтры, образованные только из элементов гС(пассивные фильтры гС),
имеют худшие, чем у фильтров LC, фильтрующие свойства. Для прос-
тейших ФНЧ это различие иллюстрируется рис. 4.2, в. Однако если
цепи гС использовать совместно с усилительными элементами в со-
единении с обратной связью, можно получать так называемые актив-
ные фильтры гС, характеристики которых не уступают фильтрам LC.
Рассмотрим использование частотных фильтров для разделения сигна-
лов, передаваемых одновременно по общей линии. Разделение сигна-
лов возможно, если их спектры занимают разные неперекрывающиеся
полосы частот. Это свойство имеют сигналы и [(f) и w2(f), спектры кото-
рых Ц(/) и 6'2(/) показаны на рис. 4.3, а. На рис. 4.3, б приведены
характеристики затухания aj(/) и а2(/) двух фильтров. Первый приспо-
соблен для пропускания частотных составляющих и [(f) и задерживания
частотных составляющих w2(f); второй — наоборот. Характеристики
затухания ax(f) и а2(/) соответственно у ФНЧ и ФВЧ, простейшие схемы
которых приведены на рис. 4.3, в. На рис. 4.3, г показано включение
фильтров в линию, при котором возможна одновременная и независи-
мая передача двух сигналов.
При применении полосовых фильтров с соответственно сдвинуты-
ми полосами пропускания могут быть одновременно переданы многие
Рис. 4.2
330
Рис. 4.3
сигналы. Частотные электрические фильтры используют также для
отделения сигналов от помех, ограничения частотного спектра си-
гналов, устранения переменных составляющих напряжений питания.
Свойства фильтров пропускать или задерживать гармонические коле-
бания с разными частотами характеризуются частотной зависимостью
какой-либо функции передачи, определяющей изменение амплитуды
колебания при прохождении его через фильтр. Практически используют:
модуль функции передачи фильтра
[F(<b)]=
Ц(<в)
логарифмическую амплитудно-частотную характеристику фильтра
в децибелах Цои) =20 lg|F(co)|;
затухание фильтра, в децибелах,
=2018Й-
«(со) = 201g рЖ
t/2(co)
Зависимости |F (со)|, А(со) и «(со) для простейшего фильтра нижних
частот приведены на рис. 4.4.
331
Рис. 4.4
Корректоры амплитудно- и фа-
зочастотных искажений. Способ
выбора характеристик корректоров на
примере корректора амплитудно-
частотных искажений поясняется
рис. 4.5, где показано (рис. 4.5,а)
включение корректора с затуханием
як(со) между системой передачи и
приемником. Предполагается, что
включение согласованно. В этом
случае затухание всего соединения
для каждой частоты сигнала равно
сумме затуханий корректора и сис-
темы передачи.
Зная, как зависит от частоты
затухание системы передачи ал(со),
можно подобрать ак(со) так, чтобы их
сумма не была функцией частоты
(рис. 4.5, 6). Простейшая схема
корректора, затухание которого увеличивается с возрастанием частоты
тока, приведена на рис. 4.6,а. Корректоры фазочастотных искажений
должны без ослабления передавать все частотные составляющие
сигналов с изменением их фазы. Простейший пример такой цепи
приведен на рис. 4.6, б.
Формирующие устройства. Примерами простых, но весьма рас-
пространенных в электронной аппаратуре цепей для получения сигна-
лов определенной формы могут служить интегрирующие и дифферен-
цирующие цепи.
Рис. 4.5
332
В системах телемеханики и связи все чаще применяют сигналы, сос-
тоящие из последовательности узких импульсов. Спектр напряжения
узких импульсов занимает соответственно широкую полосу частот.
Ее сужение приводит к расширению импульсов, необходимости увели-
чения расстояния между ними и замедлению передачи. Важной прак-
тической задачей является формирование импульсов, являющихся по
возможности узкими, спектр которых занимал бы в то же время возмож-
но узкую полосу частот. Этому условию удовлетворяют импульсы
так называемой колокольной формы. Схема, используемая для форми-
рования таких импульсов, элементы которой подбирают специаль-
ным образом, приведена на рис. 4.7.
Приведенные примеры иллюстрируют разнообразие задач по пост-
роению электрических цепей с заданными характеристиками. Свойства
любой цепи, как известно, могут быть определены по разным эквива-
лентным и взаимозаменяемым характеристикам: частотной, оператор-
ной, временной. Их применяют при синтезе цепей, однако методы
синтеза цепей по частотным (операторным) характеристикам разрабо-
таны значительно более полно и пока практически чаще используются.
Рис. 4.7
333
4.2.	Электрические фильтры LC. Условия пропускания
и задерживания цепочечных фильтров
В устройствах автоматики, телемеханики и связи часто возникает
задача выделения полезных сигналов из смеси различных сигналов и
помех. Если полезные сигналы и помехи различаются занимаемыми
частотными полосами, то такое разделение осуществляют частотными
электрическими фильтрами. Частотные фильтры, отделяющие элект-
рические колебания токов с одними частотами от колебаний с другими
частотами, применяют в самых разнообразных частотных диапазонах.
Простейшими фильтрами могут служить цепи гС, или реактивные двух-
полюсники, рассмотренные в главе 2.
Однако наиболее распространены фильтры, представляющие собой
четырехполюсники, составленные из реактивных двухполюсников по
цепочечным или мостовым схемам. Эти фильтры отличаются от прос-
тейших фильтрующих цепей более качественными частотными ха-
рактеристиками. По сравнению с используемыми в качестве филь-
тров цепями гС они имеют в полосе пропускания теоретически нуле-
вое, а практически весьма малое затухание. От активных фильтров
гС их отличает возможность работы при больших токах, например, в
цепях тяговых сетей и рельсовых цепях. В то же время фильтры LC
имеют и недостатки: невысокую добротность элементов (особенно
катушек индуктивности) и значительные габаритные размеры, что за-
трудняет их использование на сверхнизких и высоких частотах.
Учет влияния сопротивления нагрузки фильтра требует полного
анализа его свойств как четырехполюсника. Последнее может быть
осуществлено использованием любого полного набора параметров че-
тырехполюсника.
Для анализа и синтеза реактивных фильтров наиболее удобно исполь-
зовать собственные параметры передачи g и Zx. Цепочечные фильтры
представляют собой каскадное соединение Г-, Т- или П-образных
четырехполюсников, содержащих реактивные сопротивления (рис. 4.8).
Как было показано в главе 2, собственные параметры передачи этих
четырехполюсников определяются по следующим уравнениям:
ZT = JZ1Z2(1 + '^z2 ]’	(4.1)
334
Рис. 4.8
Sh —=
2
(4.2)
(4.3)
Выражение (4.3) справедливо для Т- и П-образных четырех-
полюсников. Для Г-образного полузвена постоянная передачи в 2 раза
меньше.
Из определения электрического фильтра следует, что его затуха-
ние в полосе пропускания должно быть минимальным (теоретически
равняться нулю), а в полосе задерживания — зависеть от частоты
(быть максимальным). С учетом этого можно получить условия про-
пускания и задерживания цепочечных фильтров, анализируя зависи-
мость постоянной передачи цепочечных схем от параметров схемы
(4.3) в широком диапазоне частот.
Напомним, что собственная постоянная передачи g — а + jb опре-
деляет затухание и фазовый сдвиг четырехполюсника в условиях
согласованной нагрузки (ZH = Zx). Проанализируем выражение
g (а .Ь\ а b . ,а . b I Z]
Sh — = Sh — + /— = Sh —cos — + /ch —sin — = ——.	(л да
2 L2 2 J 2	2	2	2	\4Z2	1	}
При чисто реактивном характере сопротивлений Z] и Z2 возможны
два варианта их соотношений.
Вариант 1. ВеличиныZj hZ2—реактивные сопротивления одного
I Zt I х/
знака, в этом случае = J — — положительное вещественное
число, не зависящее от частоты.
335
Тогда из равенства (4.4) получим два уравнения:
, а b
sh—cos—
2	2
ch—sin—= 0.
2	2
(4-5)
Так как ch^ не может быть равным нулю, то из уравнений (4.5)
. b п	b
следует, что sin— = 0, ПРИ этом cos — = 1.
(4-6)
Таким образом, четырехполюсники, сопротивления Zj и Z2 которых
имеют одинаковые реактивные знаки во всем диапазоне частот (рис. 4.9),
не могут быть фильтрами, поскольку их затухание является постоянной,
не зависящей от частоты величиной. Это обычные делители напря-
жения.
Рис. 4.9
Вариант 2. Величины Zj и Z2 — реактивные сопротивления
различных знаков, тогда
мнимое число, зависящее от частоты. В этом случае равенство (4.4)
распадается на два уравнения:
, а . b
ch—sin—
2	2
sh—cos— = 0.
2	2
(4.8)
336
Система уравнений (4.8) допускает два решения.
Первое решение:
ch—= 0; а = 0; ch—= 1; sin—
2	2	2
Второе решение:
b	. b
cos — = 0; b = +n; sin—=
2	2
*1
4x2
= /«»).
(4.9)
*1
4x2
Здесь возможны два режима: режим пропускания, соответствующий
первому решению, когда затухание а = 0, и режим задерживания,
соответствующий второму решению, когда а Ф 0. Следовательно,
четырехполюсник цепочечной схемы, образованный из реактивных
сопротивлений Z| и Z2 разных знаков, является электрическим
фильтром.
Рассмотрим условия, при которых действует каждое из решений
системы и соответственно имеет место пропускание или задерживание.
Так как выражение sm — = ±.
. а
сп —=
2
= /«
имеет смысл только на тех частотах,
*1
< 1, то в этом случае действует решение (4.9). Это режим
на которых
пропускания. Совокупность частот, на которых |xj| < |4х2|, образует
полосу (или полосы) пропускания фильтра
*1
4х2
, а I Х1
Выражение спу-J ——
имеет смысл только на частотах, для
которых
*1
4х2
1, при этом действует решение (4.10). Это режим
задерживания. Совокупность частот, на которых |xj > |4х2|, образует
полосу (или полосы) задерживания фильтра.
Частоту, на которой |xj| = |4х2|, называют граничной, или частотой
среза.
22 Теория линейных эл. целей
337
Если Zj и Z2 — взаимообратные реактивные сопротивления, то
Z]Z2 -к2 = R2. Цепочечные фильтры, содержащие такие сопротив-
ления, называют фильтрами типа к. Условие их пропускания
4x2
<1
в этом случае можно также представить в виде
*1
4х2
xf	=		< 1 или
4xjX2		4R2	
|х]|<2Я
(4.И)
Частоту среза определяют из условия
|xj| = 2R	(4.12)
Величину R называют поминальным характеристическим сопротив-
лением фильтра.
Если сопротивления Zj и Z2 невзаимообратны, то они могут быть
различными по знаку только в каком-либо конечном диапазоне частот.
Вне этого диапазона схема не является фильтром, а представляет собой
делитель напряжения.
Все выводы, вытекающие из анализа формулы (4.4), можно получить,
рассматривая любую другую гиперболическую или показательную
функцию от g.
4.3.	Характеристики фильтров типа к
4.3.1.	Фильтр нижних частот типа к
Фильтр нижних частот должен пропускать токи с со < соср, включая
постоянный ток, и задерживать токи с более высокими частотами. Эти
свойства имеет цепочечный четырехполюсник, у которого в качестве
Zj включено индуктивное сопротивление, а в качестве Z2—емкостное.
Варианты таких схем приведены на рис. 4.10.
Для них
Zi=jcoZ; Z2=—~~; ZiZ2 = R2; R=J^-	(4.13)
jcoC	VC
338
'ср
Фильтры, схема которых приведена на рис. 4.10, а, оказывают
нулевое затухание токам с частотами, для которых | xj | < 2R и конечное
затухание токам с частотами, для которых |xj| > 2R. Частоту среза со(
определяют из условия (4.12): |Xj (соср )| = 2R.
Отсюда |xi (соср)| = (ocpL= 2R =2-jLIC ; соср=-^==.	(4.14)
Для определения характеристик фильтра по формулам (4.9) и (4.10)
рассмотрим, как изменяется в зависимости от частоты отношение
Zj _ jab g?LC_ со2 _ _ /2 _ _q2
4Z2 4—L	4
усоС
где О—относительная, или нормированная, частота.
Следовательно, фильтр пропускает все частоты ниже ®ср, для
которыхО<1. Подставляя значения ^^=|х1х2| = /?2 и ——=——=-О2
4Z2 4х2
в выражения (4.9) и (4.10), найдем их конкретные формы для ФНЧ.
В полосе пропускания на частотах со < соср, О < 1, а = 0.
(4.15)
.2
. b со
sin— = —
2 ]|«i
?	f
>ср	2 ср
(4.16)
339
В полосе задерживания при и < wcp, £2 < 1
b = n,
а = 2 Arch£2 = 401g[ £2+Vi!2 -1 I дБ.
(4.17)
Частотные зависимости затухания и фазовой постоянной звена
ФНЧ приведены на рис. 4.10, б и в. Эти зависимости одинаковы для
схем Т и П, так как их постоянная передачи задана одним и тем же
выражением. Для схемы Г следует брать и Знак фазового сдви-
га выбран в соответствии с тем, что на частотах полосы пропускания
ток, а следовательно, и напряжение на выходе отстают по фазе от этих
величин, действующих на входе.
Из зависимостей а = a (£2) и b = b (£2) видно, что даже составлен-
ный из чисто реактивных сопротивлений идеальный фильтр в широ-
ком диапазоне частот не имеет желаемых характеристик. В полосе
задерживания этого фильтра затухание растет довольно медленно,
а его фазочастотная характеристика в полосе пропускания нелиней-
на. Последнее может приводить к фазовым искажениям сигналов,
передаваемых через фильтр.
Наклон фазочастотной характеристики определяет время задержки
сигнала на выходе фильтра по сравнению с сигналом на его входе.
У фильтров с меньшей частотой среза это время больше.
Во многих случаях вместо зависимости от частоты фазового сдви-
га удобнее рассматривать зависимость от частоты группового време-
ни прохождения:
, db	db(£l)
^Гр.пр- , ИЛИ ^rp.njPnp “	•
F d&	d£l
Имея в виду, что из выражения (4.17) следует b = 2 arcsin (В. для
Ар.пр юср в полосе пропускания получим
/гр пр =	= — 2 arcsin£2 = 2-. 1.
ф р da da
340
В полосе задерживания b = я, Zrp пр = 0- Зависимость для zrpnp от
<Bcp(Q) приведена на рис. 4.10, в.
Кривые, определяющие зависимость от частоты собственных па-
раметров передачи фильтров, состоят из различных участков, отно-
сящихся к частотным полосам пропускания и задерживания, что яв-
ляется их характерной особенностью. Важной характеристикой вся-
кого четырехполюсника является его характеристическое сопротивле-
ние Zx. Оно показывает желательные сопротивления генератора /?г и
приемника /?н, при которых четырехполюсник (в рассматриваемом
случае фильтр) нагружен согласованно и имеет собственное затуха-
ние а и фазовый сдвиг Ь. Если полного согласования добиться не уда-
ется, сравнение характеристического сопротивления фильтра с сопро-
тивлением генератора /?г и сопротивлением приемника /?н позволяет
оценить вызванное несогласованностью изменение затухания а и со-
ответствующее изменение b или zrp пр. Для схем Т и П характеристи-
ческие сопротивления неодинаковы. Схема Г имеет различные харак-
теристические сопротивления: с одной стороны сопротивление схе-
мы Т, а с другой — схемы П.
Для установления частотной зависимости характеристических соп-
ротивлений ФНЧ по схемам Т и П воспользуемся выражениями (4.1)
и (4.2). Подставляя вместо Zj и Z2 их значения, получим
= W1-Q2;
Зависимости Zj и Zn от относительной частоты, соответствующие
формулам (4.18) и (4.19), приведены на рис. 4.10, г и д. Из этих зави-
симостей следует, что характеристическое сопротивление схемы,
составленной из чисто реактивных элементов, на частотах, лежащих
в полосе пропускания, оказывается активным. Активное входное
сопротивление означает, что фильтр способен воспринимать от гене-
341
ратора энергию с определенными частотами и передавать ее прием-
нику, поскольку в схеме фильтра нет элементов, способных ее погло-
щать. Такой фильтр аналогичен линии без потерь также с чисто ак-
тивным волновым сопротивлением.
На частотах полосы задерживания сопротивление фильтра реак-
тивно, он не воспринимает энергии от генератора. Знак реактивности
легко устанавливается из следующих соображений: если реактивное
сопротивление растет с частотой, то оно имеет индуктивный характер
(для ФНЧ—ZT), если уменьшается—емкостный (для ФНЧ—Zn).
При постоянном токе (ю = 0) характеристическое сопротивление
фильтра R --	Это значит, что сопротивление фильтра со стороны
входных зажимов равно сопротивлению нагрузки, подключенной к нему.
Дальнейшее изменение Zx с увеличением частоты предполагает, что
нагрузки с обоих концов остаются согласованными и сопротивления
jRr и /?н изменяются с частотой так же, как и Zx. На частотах полосы
задерживания должны быть реактивны как /?г и RH, так и ZBX ф = Zx.
На достаточно высоких частотах в случае схемы Т генератор и приемник
как бы отключены от фильтра индуктивностями, имеющими на этих
частотах очень большие сопротивления. В схеме П на высоких частотах
генератор и приемник зашунтированы емкостями с соответственно
малыми сопротивлениями.
Для определения значений индуктивности и емкости фильтра не-
обходимо знать частоту среза и сопротивления нагрузок, между кото-
рыми фильтр должен работать. Так как характеристическое сопро-
тивление фильтра не остается постоянным в пределах полосы про-
пускания и согласовать нагрузки на всех частотах нельзя, то в про-
стейших случаях фильтр согласовывают по номинальному характе-
ристическому сопротивлению. Это приводит к условию
соср£=2Лн,	(4.20)
в котором	Rh = R=.^.	(4.21)
Из формул (4.20) и (4.21) получим
2R _ R C L 2	__--
®ср ^./ср	R~ (BCpR nfopR (	)
342
Следует отметить, что формулы (4.22) дают полные значения
элементов L и С, тогда как в схемы надо вводить также и 0,5L или
0,5С (см. рис. 4.10, а). Схемы Т и П называют звеньями ФНЧ, схему
Г—полузвеном.
4.3.2.	Фильтр верхних частот типа к
Фильтр верхних частот должен пропускать с нулевым затуханием
все токи с частотами выше заданной (<в > <вср ) и задерживать токи с
более низкими частотами и постоянный ток. Этим требованиям
удовлетворяют цепочечные схемы Т, П, и Г с емкостным сопротив-
лением в качестве Z] и индуктивным в качестве Z2 (рис. 4.11, а). Здесь
2'=^с’^==>Д2'?г=1='!2’й=Л-	<4-23)
Пользуясь общим условием (4.12), характеризующим частоту среза
|аг1((йср)| = 2/?, найдем:
^1(“ср)1 = ^С = 2/?=2/1 ;Й>СР = 2ТЁС’	(4’24)
Для определения характеристик фильтра по формулам (4.9) и (4.10)
рассмотрим, как изменяется в зависимости от частоты отношение
2 у2
Zl 1 ®ср fcp 1
(425)
Рис. 4.11
343
Четырехполюсник пропускает все частоты выше ®ср, Q>1.
Формулы, определяющие затухание и фазовый сдвиг ФВЧ, получим,
1
если значение —— =--- подставим в общие выражения (4.9) и (4.10).
42г Q
В полосе пропускания при <в > <вср, Q > 1.
л • ь /®ср 1
a=ft мпГ-|У=“п <4'26)
В полосе задерживания <в < <в,.„, Q < 1.
ч?
а = 2 Arch— = 401g
, дБ.
(4-27)
Частотные зависимости затухания и фазовой постоянной ФВЧ при-
ведены на рис. 4.11, б и в. Знак фазового сдвига выбран здесь проти-
воположным знаку этой величины ФНЧ, поскольку, как это хорошо
видно, в области достаточно высоких частот при последовательно
включенных конденсаторах ток и напряжение на выходе опережают
по фазе эти величины, действующие на входе.
Найдем выражение для группового времени прохождения.
Из выражения (4.26) для полосы пропускания найдем
b = -2arcsin—.
Тогда
_ J6(Q) _	1
'гр-п^ср- -2 г—
„ <«8>
Q2
В полосе задерживания tгр. пр®ср = 0 (см. рис. 4.11, в).
344
Рассмотрим характеристические сопротивления:
fl I, rVs22-1
=—б-'
।	\	7
- [b I _ RQ.
L ^q2-1
V <o2
(4.29)
(4.30)
Частотные зависимости этих сопротивлений приведены на
рис. 4.11, г и д.
Расчетные формулы для определения элементов получаются
аналогично формулам для ФНЧ.
Из условия | Ху | = 2R на частотах (В=С0ср и R = J L/C найдем
С=—-— = —-—; L=Cl^=-^— = —^—.	/43П
2/tocp 4nfcpR	2шср 4л/ср
Здесь в отличие от ФНЧ согласование с нагрузкой проводится на
бесконечно большой угловой частоте (со —> В остальном о фильтре
верхних частот можно повторить все, что было сказано о ФНЧ.
Характеристическое сопротивление ФВЧ на очень высоких часто-
ft
тах активно и равно J—• Это значит, что сопротивление фильтра со
стороны входных зажимов равно сопротивлению подключенной к не-
му нагрузки.
На частоте среза имеют место резонанс напряжений в схеме Т и
резонанс токов в схеме П, обращающие характеристическое сопро-
тивление фильтра в нуль или бесконечность. Предполагается, что с
дальнейшим понижением частоты нагрузка остается согласованной,
т. е. реактивной, и, следовательно, входное сопротивление фильтра
делается реактивным; фильтр не воспринимает энергии от генерато-
ра, причем в глубине полосы задерживания (т. е. на частотах, близких
к нулю) в случае схемы Т генератор как бы отключен от фильтра кон-
денсатором, имеющим при этом весьма большое сопротивление, в слу-
чае же схемы П генератор шунтируется индуктивностью, имеющей
на этих частотах малое сопротивление.
345
В случаях параллельного соединения нескольких фильтров умень-
шение до нуля входного сопротивления одного из них шунтирует и
остальные, чем нарушает их работу. Поэтому фильтры для параллель-
ной работы строят по схеме Т, в случае же индивидуального включе-
ния фильтр рекомендуется выполнять по схеме П. На выбор схемы
может влиять также наличие реактивной составляющей в сопроти-
влении нагрузки. Схему фильтра следует выбирать так, чтобы избе-
жать непредусмотренных резонансных явлений.
4.3.3.	Полосовой фильтр типа к
Полосовым фильтром называют четырехполюсник, который
пропускает без затухания электрические колебания с угловыми
частотами, лежащими в полосе от <Bj до (»2, и оказывает затухание
колебаниям с частотами вне этой полосы. Схемы полосового фильтра
типа к приведены на рис. 4.12, а. В последовательной их ветви
содержатся емкость, препятствующая прохождению тока с низкими
частотами, и индуктивность, преграждающая путь току с высокими
частотами. Емкость и индуктивность параллельного контура, наоборот,
беспрепятственно пропускают токи с очень низкими и очень высокими
частотами. На частотах, близких к резонансным, который наступает
одновременно во всех ветвях на частоте <в0 , последовательная ветвь
имеет малое сопротивление, а параллельная — большое, и, таким
образом, фильтр пропускает энергию относительно свободно.
Свойства ПФ можно определить сравнением его с ФВЧ и ФНЧ. На
частотах ниже резонансной сопротивление Z] имеет емкостный
характер, а сопротивление Z2 — индуктивный. Поэтому на указанных
частотах полосовой фильтр ведет себя как ФВЧ. На частотах выше
резонансной сопротивление Zj носит индуктивный характер, а
сопротивление Z2 — емкостный, и полосовой фильтр ведет себя как
ФНЧ. Сказанное иллюстрируется рис. 4.12, б, где приведены частотные
зависимости сопротивлений Z] и Z2 фильтров верхних, нижних частот
и полосового. Из этого рисунка видно, что условие |xj | = 4|х2| или
|х| | = 2R для ПФ наблюдается дважды: на частоте ®|, меньшей ю0 и на
частоте со2, большей (О0. В первом случае имеет место переход от
задерживания к пропусканию, а во втором, наоборот, от пропускания к
задерживанию.
346
Таким образом, в каждой из частотных полос схему ПФ можно
заменить более простой эквивалентной схемой, действительной для
данной полосы. Такие эквивалентные схемы приведены на рис. 4.12, в.
Из них следует, что характеристики ПФ представляют собой как бы
соединение соответствующих характеристик ФВЧ и ФНЧ (рис. 4.13).
Согласно определению фильтров типа к сопротивления Z| и Z2
должны быть взаимообратны. Для ПФ это возможно при
-/£2с2’
г	л	\
„ jL\ 7	2\	- т ®	®0
Z1 =—L(co2-coo) = jcoo^i-----— ;
СО	|^С00	СО J	(4.32)
Z ю 1	-	1	1
2 jC2 со2 -coq	<в юо
со0 со
347
Отсюда
Тад
= R.
(4-33)
Для угловых частот среза СО] и (02, при которых (х, | = 2R, с учетом
формулы (4.32) получим
coL_®O
(00£i	= -2R; ©оА
^С00	(01 J	^(00	(01
После преобразований с учетом формул (4.32) и (4.33) из уравнений
(7.34) получаем выражения для угловых частот среза
(00	(01
= 2R.
(4-34)
1 t 1 t 1
Л]С2 Zj Ci
Из последних равенств следуют такие выражения:
2
(01 =
1 1 1
-------+-------------...	; со? =
С]С2 AiQ
2
(О]Ю2=соо; СО] -со2 =
(4.35)
348
Для аналитического исследования свойств ПФ с учетом уравнений
(4.32) найдем отношение:
4Z2	4	0 "
<0р
®0 (й /
Если учесть выражения (4.35) и ввести следующие обозначения:
®0	лл “	ГТЛ
п =-----— и Q =------нормированная частота ПФ, то из предыду-
©1 - со2
щего уравнения получим
А.Д„ГП_±

(4.36)
4Z2
Q
Параметры a, b, ZT, Zn ПФ можно определить по тем же формулам,
что и параметры ФНЧ, с заменой в них R и Q в соответствии с выраже-
ниями (4.33) и (4.36). По ним и построены частотные зависимости
на рис. 4.13.
Формулы для расчета параметров ПФ найдем по заданным частотам
среза <В],(В2, и 7?н = R с учетом выражений (4.33), (4.34) и (4.35):
2Я _ R . q _	1	_ ю2 ~	_ /2 ~ /1 .
®2““1 ^(/2-/1)’	1	2Ю1Ю2Л 47j/i/2/?’
С	2	-	1
2 R2 A(<o2-<Oi)	7^(/2-/j)’	(4-37)
_ ^(/2~./i)
С2 2<Oj(b2	47tfi/2
При неодинаковых требованиях к ослаблению нежелательных ча-
стотных составляющих, лежащих ниже и выше полосы пропускания,
часто применяют более простые схемы полосовых фильтров. Их строят
исключением из схем, приведенных на рис. 4.12, а,* какого-либо одного
элемента. Если, например, из сопротивления Zj исключить катушку ин-
дуктивности , оставив конденсатор , то получаются схемы полосо-
вых фильтров, обеспечивающих более сильное подавление частот,
лежащих ниже полосы пропускания. Тот же эффект достигается при
исключении из указанных схем конденсатора С2 (рис. 4.14, а и б).
Обратный эффект — более сильное подавление частот, лежащих
выше полосы пропускания, — получается при исключении Ct или £2 .
349
Схема (см. рис. 4.14, б) содержит соединения трех индуктивностей.
Известно, что связанные индуктивности (рис. 4.14, в) могут быть заме-
нены эквивалентной схемой (рис. 4.14, г). Используя такую эквивалент-
ную замену, можно получить полосовой фильтр эквивалентный схеме,
приведенной на рис. 4.14, б, если выполнить его по схеме (рис. 4.14, б).
Преимущество этой схемы заключается в том, что при пробое конденса-
торов вход и выход фильтра остаются изолированными друг от друга,
вследствие чего этому способу реализации фильтров в ряде случаев
отдают предпочтение. Такой фильтр должен быть рассчитан как фильтр
(см. рис. 4.14, б) по формулам
Ч - “г"77---77’ С1 ~ ~и г 7 г>’ ^2 ~ л г г—•	(4.38)
(Л “ /1)	fi R	fi
Затем «звезда» из индуктивностей должна быть заменена эквивалент-
ным трансформатором с индуктивностью обмоток L = 0,5+ L2 и
коэффициентом взаимоиндукции М = L2.
Если в схемах Г, Т, и П в качестве Zj и Z2 взять соответственно
контуры резонансов токов и напряжений (рис. 4.15, а), то эти схемы
будут пропускать все частоты ниже Wj и выше со2 и вносить затухание
на частотах, удовлетворяющих условию < со < <в2. Такие четырех-
полюсники называют режекторными фильтрами (РФ) типа к. Их
характеристики приведены на рис. 4.15, б и в.
350
Рис. 4.15
4.3.4. Преобразование масштаба частот
Из изложенного можно заключить, что все рассмотренные схемы
фильтров исследуют одинаково. Задаваясь видом двухполюсников Zj
Z1
и Z2, из которых составлена схема, выражения —— представляют в
4Z2
виде функции от со и затем строят характеристики затухания и фазы,
4^2
руководствуясь соображением о значении
|х]| по сравнению с 2R. Различия в свойствах отдельных схем
обнаруживаются при этом в связи с соответствующей зависимостью
сопротивлений Zj и Z2 от частоты.
Замеченное обстоятельство позволяет при исследовании свойств
фильтрующих четырехполюсных схем пользоваться преобразованием
частот. Последнее заключается в следующем: Зная свойства какой-либо
по сравнению с 1 или
351
схемы, например ФНЧ, и желая определить свойства другой схемы,
получающейся заменой сопротивлений Zj и Z2 другими, в формулах,
характеризующих свойства первой схемы, угловую частоту со заменяют
функцией от со, соответствующей выполненной замене сопротивлений.
Действительно, для ФНЧ Z] = ja>Lu Z2 =-—. Если заменить Zj
j
на-----, a на /со£, то, как известно, получится ФВЧ. Его свойства
легко устанавливаются, если во всех характеристиках ФНЧ ----
®ср	1	®ср
заменить----или, что то же, £2—на —  Переход от ФНЧ к ПФ требует
со	£2
замены Q величиной т].
Преобразование частоты при переходе от одного типа фильтра к
другому иллюстрируются табл. 4.1. Применение преобразования
частоты особенно удобно при исследовании сложных схем и количест-
венном определении влияния потерь на свойства фильтров. При учете
Таблица 4.1
Преобразование частоты при переходе от одного типа фильтра к другому
Фильтр	*,(«)		Условие |x^(coCp^ =27?	Расчетные формулы из условия	
				И=2Я	W=R
ФНЧ	xi^a)=co£= = ~2R ®ср	Х2^=~аС= _РсрК ~ (0 2	(0 £=2R ср	“сР	c=L= — R2 <%/?
ФВЧ	Л’1(“)=~соС = J&2R а	л'2(со)=со£= _ (0 R со 2 ср	—~~p.=2R	с= 1 2соср/г	Л=СЛ2=-^- 2“cp
ПФ	ог-(о2 г.=	 1	(0 “	СО 2 oP-ccg 1 хс2	со2-со 2 -2—2л=2Я со 1 C0q=C01<O2	. 2R 1 ®r®i’ Шо	c =h.. 2 • 2 R2 (COj-COj)/?’ W0 ;
РФ	х- ® х V (02-0)2 X ч	2 со 2	со 1	 Л> со2-со2 Cj = 2Л	С1 2Я(со,-со,)’ ЛС1=^ w0	-^((Oj-co^’ £2Q=^
352
влияния потерь следует в рассматриваемых схемах чисто реактивные
сопротивления, например уа>А заменить на + уа>А- Получаемые
изменения в свойствах схемы можно определить, заменяя угловую
. л
частоту со комплексной величиной со-у—, которая при умножении
А
на уА дает полное сопротивление rt + усоА, так как в случае чисто
реактивного сопротивления при умножении со на JL получаем jaL.
4.4. Влияние потерь и несогласованности нагрузок
на характеристики фильтров
Влияние потерь. Практически фильтры вследствие потерь в эле-
ментах имеют затухание в полосе пропускания, не равное нулю, а в по-
лосе задерживания—меньшее, чем в идеальном фильтре. Обусловли-
вается это в основном потерями в катушках индуктивности.
Потери в кадушке оценивают ее добротностью Q-—^~ или обратной
величиной, называемой коэффициентом потерь. Величины Q и d
1
Q
г
mL>
d =
катушек с ферромагнитными сердечниками в большой
степени зависят от частоты (рис. 4.16).
Характеристики фильтра с учетом потерь можно рассчитать по тем
же формулам, что и характеристики идеального фильтра с той только
разницей, что относительная частота, определяемая из условия
4Z2
в случае фильтра с потерями будет комплексным числом.
23 Теория линейных ел. целей
353
Например, для ФНЧ, у которого
Z1=ri+j<»A=j(»Z4(l-jd) и Z2=~7—,
уюС
имеем	7
= -^^(1 - jd) = -Q2 (1 - jd).
4Z2	4	7	7
Затухание и фазовый сдвиг фильтра с потерями можно рассчитать
по формуле
g = 201g(A+jBQ.
(4.39)
Матрица параметра передачи симметричного четырехполюсника
схемТ
Z = l + ^ = l-2Q2(l-jrf);
zz2
ВС= -4Q2 (1 - jd)(l - О2(1 - jd));
4ВС = j2Q-Jl-Q2(l-Jd).
Подставляя А и -JbC в (4.39) получим
g = 20 Igf jtoyll^jd + 71 - Q2 (1 - jJ)=
, V	7	(4-40)
= 401g	+ V1 - q2C" Jd) •
Отсюда затухание фильтра с потерями равно модулю выражения
а = 401g jQ.y/1-jd + 71-O2(l-ji/) ,
а фазовый сдвиг Ь, как угол аргумента,
b = 2arg^ j’Q 71 “ Jd + 71	(I- jd)
Аналогично учитывают потери и в конденсаторах.
354
Влияние несогласованности на затухание фильтра. Фильтры обыч-
но работают между постоянными активными нагрузками. При расчете
фильтров сопротивления нагрузок предполагают равными характерис-
тическому сопротивлению фильтра во всем диапазоне частот. Несогла-
сованность нагрузок дополнительно приводит к отклонению кривой за-
тухания от теоретической.
В рабочих условиях затухание фильтра в полосе пропускания не рав-
но нулю, а в полосе задерживания может быть меньше собственного
затухания а, определяемого формулой (4.17).
Для вычисления рабочих параметров фильтра при Rr - 7?н = R
воспользуемся выражением
?раб ~ араб 7^раб — S
R ! zx
2ZX 27?
shg -.
Из этого выражения следует, что
i i. 1
apa6=lnchg + -
2^ZX
В полосе пропускания фильтра a = Q,g—jb, Zx активно. Имея это в
виду и учитывая, что chjb = cosb и sh jb =jsinb, получим
on, , .if 7? Zx\ ,
Опяб=201g cos d+ i---+—— smo =
R .
7?
shg.
(4-41)
Ораб=201g cos 6+j- —
21 Zx
7?
=101g со^7>+— -^-+5?
4 Zv R
sini =101g 1+-
4|ZX
7?
о
sin b
(4.42)
•[ 4lzx
Как видно, рабочее затухание фильтра в полосе пропускания не равно
нулю и изменяется в зависимости от частоты, поскольку от последней
зависят фазовая постоянная b и Zx.
Исследуем формулу (4.42) применительно к схеме Т ФНЧ. Для нее
ZX = 7?V1-Q2; sin| = Q..
Отсюда
b L -lb L T~2
cos—=11-sin — =vl-Q ,
2 V 2
355
sin* = 2sin—cos— = 2£h/l-Q2;
2	2
sin2 b=4Q2(1 - Q2); cos2* = 1 -sin2 b = 1 - 4Q2(1 - Q2);
\2
4а2(1-АП2
^2) 1 л2+л2(1-п2)
fl^lOlg 1-4Q2|1-Q2J+- ---- 	<
41 /rvi-n2
(4.43)
= 101g[l+Q6].
Из формулы (4.42) можно видеть, что араб будет иметь макси-
мальное значение на тех частотах, на которых sin2* будет наибольшим.
Поскольку максимальное значение sin2* = 1, то наибольшее значение
рабочего затухания в полосе пропускания
(4.44)
= 2°Ц
2Lzx
«раб = Д« = 101ё 1 + ^i z
\ X
R
R
В частности, для частоты среза Q = 1 из выражения (4.43) получим
«раб = 101g2= ЗдБ.
В полосе задерживания а ^0, * = +р, Zx = jx* =j|Zx|.
Из выражения (4.44) получим
«раб
= in ch а +
•lted_2L
Я |Zxl
sha
Имея в виду, что при больших затуханиях ch а = sh а = еи, найдем
«раб —
1,	1 2а
—in — е
2	4
4^ R |ZX| J 4
(4.45)
356
Рис. 4.17
Величина
Г* И)
JZxl к )
входящая в выражение (4.45), имеет
минимум при R = |ZX| и равна 2. Этому соответствует наименьшее
рабочее затухание в полосе задерживания:
«раб = а - 201g2 = а - 6, дБ.
Возможность такого уменьшения рабочего затухания фильтра по
сравнению с собственным следует учитывать при расчете.
Таким образом, вследствие потерь в элементах фильтра и несогласо-
ванности его с нагрузками кривая затухания фильтра в реальных
условиях отличается от кривой собственного затухания идеального
фильтра (рис. 4.17, а).
Влияние несогласованности на фазовый сдвиг. Несогласованность
фильтра с нагрузкой вызывает также изменение частотных зависи-
мостей фазового коэффициента b и группового времени прохождения
4s.iS по сравнению с собственными параметрами.
Воспользуемся выражением (7.42) и определим рабочий фазовый
сдвиг для частот полосы пропускания:
gpa6 = ln cosh+j-l
2l ZX
R Z*
sin 6 .
R
7 J
Рабочий фазовый сдвиг £>раб есть угол комплексного числа, стоящего
под знаком логарифма.
1
Z>pa6 = arctg —
2l zx
R
R
,	_	_ ^раб
tg0 ; zrp.np - 'гр.раб
(4.46)
357
В частности, для фильтра типа к, выполненного по схеме Т, при 7?н = R
Zx = 7?V10-Q2; sin- = Q; tg- = . Q =,
2	2 Vl-Q2
_ b .----------
, 2tg2 2QV1-Q2
tgi =---^7- =-----.
-	2 b 1 —эй2
l-tg2- 1
Подставляя эти значения в выражение (4.46), получим
,	(2-Q2)q
ipa6 = arctg^——(4.47)
На рис. 4.17, б приведены рабочие характеристики ^раб(^) и
/гр прюср раб(^) для ФНЧ, существенно отличающиеся от соответст-
вующих собственных характеристик.
4.5. Фильтры типа т
Рассмотренные выше электрические фильтры типа к имеют два су-
щественных недостатка. Первым из них является медленный рост за-
тухания фильтров на частотах полосы задерживания, вторым—значи-
тельная зависимость их характеристических сопротивлений от часто-
ты, не позволяющая достаточно точно согласовать фильтры с нагру-
зками на всех частотах полосы пропускания, вследствие чего затуха-
ние фильтра на этих частотах возрастает. Таким образом, фильтры ти-
па к можно применять при невысоких требованиях к ослаблению не-
желательных частот и согласованию.
Качественным следует считать фильтр, имеющий активное и неза-
висящее от частоты характеристическое сопротивление в полосе про-
пускания и достаточное постоянное затухание в полосе задерживания.
Приближением к этому идеалу в известной степени являются комби-
нированные фильтры, содержащие звенья типа т. Принцип устройства
таких фильтров рассмотрим на примере ФНЧ. Преобразованием час-
тоты все полученные результаты можно перенести на ФВЧ, ПФ и РФ.
Получение большего затухания на частотах, близких к часто-
те среза. Большее затухание, чем от ФНЧ (рис. 4.18, а), на частотах,
близких к частоте среза, можно получить введением в схему ФНЧ
358
резонансных ветвей, обрывающих или шунтирующих цепь тока на
резонансной частоте (рис. 4.18, би в). Резкое увеличение затухания
цепи на частоте резонанса, которую обозначим <вр, называют всплес-
ком затухания. Применяя математическую терминологию, часто
всплеск называют полюсом затухания. Изменяя частоту резонансов ко-
нтуров, включенных в схему фильтра, можно менять соответственно
требованиям крутизну кривой затухания.
На рис. 4.18, б приведена схема последовательно-производного по-
лузвена типа т, а на рис. 4.18, в—параллельно-производного полу-
звена типа т. Смысл этих названий ясен из рисунков. На рис. 4.18, б и в
показано также, какими должны быть значения элементов схемы.
Вывод соответствующих выражений дается ниже.
Частотные зависимости затухания исходного фильтра, называемого
в этом случае прототипом, и нового фильтра—производного фильтра
типа т, приведены на рис. 4.18, г и д.
Собственное затухание фильтра типа т, кроме всплеска, характер-
но еще уменьшением своего значения на угловых частотах, превыша-
ющих резонансную частоту <вр. Это объясняется тем, что на указанных
частотах оба сопротивления, образующие схему фильтра, представля-
ют собой реактивные сопротивления одного знака (рис. 4.18, е), так
как сама схема преобразуется в делитель напряжения и теряет свойст-
359
ва фильтра. Рабочее затухание звена типа т при нагрузке его на актив-
ное сопротивление после некоторого уменьшения растет.
Фильтры типа т вследствие малого затухания, обеспечиваемого ими
в глубине полосы задерживания, большей частью применяют не само-
стоятельно, а в комбинации с фильтрами типа к.
На рис. 4.19 приведены варианты схем и частотная зависимость за-
тухания ФНЧ, составленного из полузвеньев типов к и пг. Затухание
имеет достаточную крутизну вблизи соср и характеризует определенное
затухание, вносимое ФНЧ токам всех частот полосы непропускания.
Однако для получения затухания комбинированного фильтра, равного
сумме затуханий фильтров типов к и т, оба фильтра должны быть рас-
считаны на одну и ту же частоту среза и иметь одинаковые характерис-
тические сопротивления в месте соединения. В противном случае
вследствие несогласованности увеличится затухание комбинированно-
го фильтра в полосе пропускания. Согласование характеристических
сопротивлений фильтров типа т с фильтрами типа к осуществляется
специальным подбором их элементов.
Подбор элементов фильтров типа т. Комбинированный фильтр,
частотная зависимость затухания которого приведена на рис. 4.19, в,
можно получить цепочечным соединением полузвена типа к с после-
довательно-производным (рис. 4.19, а) или параллельно-производным
(рис. 4.19, б) полузвеном типа т.
В первом случае фильтр строят по несимметричной схеме П, во вто-
ром случае — по несимметричной схеме Т. В месте соединения полу-
Рис. 4.19
360
звеньев необходимо согласовать их характеристические сопротивления.
В схеме (см. рис. 4.19, а) должны быть согласованы сопротивления
и ZWi, а в схеме (см. рис. 4.19, б), имеющей ту же характеристику зату-
хания, сопротивления Znfc и Zro77.
Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять элементы по-
лузвена типа т для равенства сопротивлений Zr^ и ZTOI на всех частотах.
Очевидно, что в соответствии с выражением (4.1) должно быть
zlz2 \=ZimZ2m\l+
4Z2
Am
где Zlw7 и Z^—сопротивления, образующие схему т.
Поскольку сопротивления Zf и Zlm одного знака, положим
Апг=тА’
(4.48)
где т — постоянное число,
тогда
откуда
7	_ Ат . у 1 т
Ат ~----+ Z1 —--
т 4т
(4.49)
что и дает значения элементов, указанных на схеме, приведенной на
рис. 4.18, б.
Формулы (4.48) и (4.49) показывают, что согласование характерис-
тических сопротивлений возможно при различных значениях коэффи-
циента т, который, однако, не должен быть больше единицы. В против-
ном случае Z2w? содержит отрицательное сопротивление. При т = 1
получаем фильтр типа к.
Для определения элементов параллельно-производного полузвена
следует приравнять сопротивления Znj. и Zmf Положив
Z
Ап, ~	*
т
найдем
1	1	1 1-m2
An, mZi + Z2 4т
(4-50)
(4-51)
(см. рис. 4.18, в).
361
Затухание и фазовый сдвиг звена типа т. Численные значения
затухания и фазового сдвига полузвена ФНЧ типа т на различных
частотах, как и всякой другой цепочечной схемы, определяются
выражением (4.3).
Z	1-zn2
При.	Zyn=mZ\ и Z2W= —+ Zj—--------
т	4т
р
получаем shy =
m2Zx
А_|
4Z2
4Z2 1+-т4-
££----------(4.52)
Если Zj и Z2 представляют собой реактивные сопротивления разных
знаков, то из формулы (4.52) следует:
при 0 < со < соср а = 0 ;
, а т£1
при со < со < сото	ch — = .	.	(4.53)
2 ^|1-П2(1-/и2)|
т£1
Обозначив I	= %, получаем
J 1-£12(1-/и2)
fl = 401g Х +
(4-54)
После частоты соте знаки сопротивлений Zlm и Z2m становятся одина-
ковыми, и в соответствии с выражением (4.52) затухание следует
рассчитывать по формуле
я?11- ,	« = 401g(X + Vjr2 +1). (4.55)
2 J|i-ri2(i-™2)|
При со —> оо величина sh
а т
2 71-си2
Из выражения (4.55) видно, что а —> °о При £12 = £12 = —.
1-си2
362
Отсюда (!)„
Таким образом, изменяя коэффициент т, можно перемещать
максимальное затухания по оси частот. Общий характер зависимости
а от О и т показан на рис. 4.20.
Рассмотрим зависимость от частоты фазового сдвига:
- при 0 < to < соср
. b п£1	„
sin — = ;-.......;	а = 0;
2 Jl-O2(l-/n2)
(4.56)
-	при соср < со < соте b = п;
-	при со > сотс b = 0 ;
Зависимость &(£!) иллюстрируется рис. 4.21.
Частотные зависимости затухания и фазового сдвига для звеньев
типа т сложнее, чем для звеньев типа к, и определяются величиной т.
Рис. 4.21
363
Характеристические сопротивления фильтра типа т. Каждое
полузвено фильтра типа т имеет два характеристических сопротивления,
одно из которых является характеристическим сопротивлением прото-
типа. Так, согласно формуле (4.18) последовательно производное полу-
звено ФНЧ со стороны Т имеет характеристическое сопротивление:
ZTm=ZTA.
Найдем его характеристическое сопротивление со стороны П по
общей формуле (4.2):
7
'1+^-
4Z2»i
I (7	1	2>
^+Zl^-
m 4m
V	/
1+___________
(Z2	1—m21
A _£j_7._
V 4Z2
Zj m2
4 -^+Zj
m
4Z2
4Z2
4m |
~zXlk
l+^-Cl-m2) = -. R [1—fl2(l—m2
. 4Z2 J
(4.57)
Аналогичное выражение можно получить для ZTm параллельно-
производного полузвена:
v _ 7?V1-Q2
ZTm	т •)
[1-£Г(1-т2)]
(4.58)
Зависимости характеристических сопротивлений фильтра типов т
от относительной частоты при различных значениях коэффициента
т приведены на рис. 4.22. Из кривых видно, что при т = 0,59...0,61
характеристические сопротивления меньше всего зависят от £2 в по-
лосе пропускания. Это обстоятельство используют для согласования
фильтров с нагрузками включением на входе и выходе многозвенных
фильтров полузвеньев тийа т с т = 0,59 или близким к нему значением.
В полосе непропускания на частоте wa сопротивление ZTm ->«» ,
a Zr, = 0, так как ^Tffl = R .
Пт	R
364
Рис. 4.22
Из выражений (4.52), (4.56) и (4.57) следует, что при т = 1, QTC=«»
фильтр типа т преобразуется в фильтр типа к. Таким образом, фильтр
типа к можно считать частным случаем фильтра типа т.
Переход от ФНЧ типа т к ФВЧ или полосовым фильтрам можно
осуществить преобразованием частоты. Следует отметить, что при
to	СО™
переходе от ФНЧ к ФВЧ заменой--- на —- в случае фильтра типа т
СОСр	со
в одноэлементном двухполюснике изменяется знак реактивного
сопротивления. Второе сопротивление, образуемое двухэлементным
двухполюсником, не меняется. Схемы ФВЧ и ПФ типа т, построенные
в соответствии с выражениями (4.48)—(4.51), приведены на рис. 4.23, а и б.
365
4.6. Требования к электрическим фильтрам.
Пример расчета
Электрический фильтр должен пропускать без потерь электричес-
кие колебания с одними частотами (например, ФНЧ при 0 < Q < 1) и
оказывать сопротивление колебаниям с другими частотами. Для того
чтобы фильтр на частотах полосы пропускания был приспособлен к
отбору энергии от генератора и передаче ее нагрузке, он должен иметь
активное и не зависящие от частоты в этом диапазоне характерис-
тическое сопротивление.
На частотах полосы задерживания фильтр должен иметь постоян-
ное затухание, соответствующее заданному ослаблению токов со все-
ми частотами полосы задерживания.
Поскольку электрические фильтры имеют зависящее от частоты
характеристическое сопротивление и не дают постоянного затухания
в полосе задерживания, при проектировании каждого фильтра следу-
ет устанавливать допустимые отклонения характеристик фильтра
ZX(Q) в полосе пропускания (у ФНЧ при 0 < Q < 1) и a(Q) в полосе
задерживания (у ФНЧ при 1 < Q < <») от идеальных.
Характеристики фильтров по сопротивлению. Неравенство
характеристического сопротивления фильтра сопротивлению наг-
рузки 7?нна каких-либо частотах полосы пропускания приводит к по-
явлению на этих частотах дополнительного затухания Да, значение
которого оценивается выражением (4.44):
1 (R" Rx'
~ apa6 ~ 201g	+
Z^ZX ZH >
Эта величина равна нулю, если 7?н= Zx.
Из выражения (4.44) следует, что при проектировании фильтров
необходимо добиваться возможного улучшения согласования его с наг-
рузкой. Последнее достигают двумя способами. Первым простейшим
из них является расширение полосы пропускания фильтра по сравне-
нию с полосой частот, которая должна быть пропущена фильтром с
малым затуханием, и выбор оптимального сопротивления фильтра
Zx(0) в соответствии с рис. 4.24, а (на примере фильтра ФНЧ, выпол-
ненного на схеме Т). Как видно из рисунка, сопротивление фильтра
точно равно сопротивлению нагрузки 7?нна некоторой средней часто-
366
a
б До, Нп
Рис. 4.24
те полосы пропускания £2 = к. На краях полосы пропускания на час-
тотах £2 = 0 и £2 = к\ сопротивление фильтра в Zx(0) / 7?н раз больше,
или в Zx(0) / 7?н раз меньше сопротивления нагрузки. Такой выбор
Zx(0) при заданном 7?н является оптимальным, поскольку обеспечи-
вает наименьшее увеличение затухания при данном значении вели-
чины к\, называемой коэффициентом использования полосы пропус-
кания. Чем точнее мы хотим согласовать фильтр с нагрузкой, тем мень-
шей следует выбирать величину кх.
Найдем связь между величинами Zx(0) /7?н и ку Для фильтра типа к,
выполненного по схеме Т,
ZT (£2) = Zx (£2) = Zx (0)Vl-£22.
При £2 =kx
Zx(*i) = Zx (O)VTI2 =	/Zx (0).
Отсюда	Zx(0)/^H	(4-59)
Таким образом, для фильтра типа к при оптимальном выборе Zx(0)
наибольшее рабочее затухание в полосе пропускания в соответствии с
выражением (4.44).
1

7?н	Zx(0)
= 201g
(4.60)
Соответствующая выражению (4.59) зависимость Да от кх приведена
на рис. 4.24, б. Она позволяет по заданному значению Да найти
367
необходимое значение к^. Как видно из этой зависимости, фильтры типа к
дают хорошее согласование с нагрузкой и малое значение Да только
при весьма малом использовании полосы пропускания: fcj < 0,8.
О фильтрах типа к и других, зависимость сопротивления от частоты
которых подобна зависимости, приведенной на рис. 4.24, а, говорят,
что они являются фильтрами первого класса по характеристическому
сопротивлению.
Вторым более эффективным способом улучшения согласования
фильтра с нагрузкой является построение фильтра с сопротивлением,
как у фильтра типа т (рис. 4.25, а) (фильтры второго класса по характе-
ристическому сопротивлению). Такой фильтр, как и фильтр типа к, можно
рассчитывать на сопротивление Zx(0), равное 7?н, или на оптимальное
сопротивление, при котором можно получить равномерное отклонение
Zx (0) от 7?н в полосе частот 0 < Q < к у
Решение задачи определения оптимального значения Zx(0) в этом
случае:
Zx(0)_ I 2^1-4,2
«н	<4-61>
Как видно из выражения (4.60), фильтр второго класса по сопротив-
Zx(°)
лению —~— также можно представить в виде функции от к,.
Это позволяет связать Да с кх. Соответствующая зависимость для
оптимального Zx(0) иллюстрируется рис. 4.25, 6.
368
Характеристика фильтров по затуханию. Всякий фильтр, в том
числе и фильтр типа к, на некоторых частотах может дать неограни-
ченно большое затухание. Необходимо, однако, чтобы некоторое ми-
нимальное заданное затухание amin поддерживалось постоянным на
всех частотах полосы задерживания. Вследствие несогласованности
Zx и /?н в полосе задерживания в соответствии с формулой (4.45) араб
меньше собственного затухания а на 6 дБ. Это обстоятельство должно
быть учтено при расчете фильтра. Требования к затуханию фильтра
(как и при обеспечении характеристик фильтра по сопротивлению)
выполняют ограничением полосы его пропускания и усложнением схемы.
На рис. 4.26, а на примере фильтра типа к показано, что затухание
flmin обеспечивается фильтром на всех относительных угловых частотах,
превышающих величину к2, называемую коэффициентом использования
полосы задерживания. Более высокое затухание вносится тем же фильт-
ром только при меньшем использовании полосы задерживания.
Применение комбинированных фильтров позволяет полнее исполь-
зовать полосу задерживания или при том же использовании получить
большее затухание (рис. 4.26, б). Приближением всплесков затухания
к частоте среза увеличивается использование полосы задерживания,
но уменьшается amir| и наоборот (см. рис. 4.20).
На практике приходится составлять фильтры, содержащие до двух,
трех и более звеньев с разными значениями коэффициента т. Правильный
выбор этих значений является одной из основных задач конструирова-
ния фильтра. Имеются аналитические методы расчета фильтров, осно-
ванные на использовании теории наилучших приближений и приме-
няющиеся при проектировании фильтров многоканальной связи, в которой
требования к фильтрам наиболее высоки. Однако наряду с методами
аналитического синтеза фильтры рассчитывают и методом подбора.
24 Теория линейных ал. целей
369
Пример расчета фильтра методом подбора. Пусть требуется рас-
считать фильтр для работы между генератором и приемником с соп-
ротивлениями 7?н по 600 Ом, который пропускал бы все токи часто-
тами ниже 2400 Гц с затуханием не более 1,3 дБ и оказывал бы токам
с частотами свыше 3200 Гц затухание не менее 45 дБ. Фильтр будем
рассчитывать по формулам, определяющим его характеристические
параметры, учитывая влияние несогласованности фильтра с нагру-
зками. Последнее ведет к увеличению затухания фильтра в полосе про-
пускания, особо возрастающего вблизи частоты среза, и к уменьше-
нию затухания в полосе задерживания до 6 дБ. Поэтому расчет следу-
ет вести по кривой затухания 1 (рис. 4.27, а) на Gmin = 45 + 6 = 51 дБ.
Не учитывая затухания, возникающего вследствие потерь в эле-
ментах фильтра, определим коэффициент использования полосы про-
пускания по кривой (см. рис. 4.24, б).
При Аа = 1,3 дБ, /С] = 0,94; /ср = 2400/0,94 = 2550 Гц.
Соответствующее кх оптимальное сопротивление найдем по фор-
муле (4.58)
Zx(0) =	=7Г 600~ 2~=1030’ Ом-
tfl-k? yl-(0,94)2
Перейдем к обеспечению характеристики фильтра на частотах по-
лосы задерживания. Поскольку для получения затухания в глубине за-
держивания необходимо включение в схему фильтра звена или полу-
звена типа к, рассчитаем элементы последнего по формулам (4.22):
Рис. 4.27
370
£=_5_=адо)=2озо_=О428Гн
nfcp	я-2550
С = —------=---------= 0J21 • 10~6Ф.
n/CpZx(0) л-2550-1030
По формуле a = 401g^Q + VnI 2-1^ построим характеристику
зату-хания звена типа к.
Задавая частоты, лежащие в полосе задерживания, получим
f	2600	2800	3000	3200	3600	4400	6000
fi = ///cp	1,019	1,098	1,176	1,255	1,412	1,725	2,353
а,дБ	3,43	7,63	10,17	12,15	15,27	19,83	26,06
Сравнение затухания одного звена типа к с требующимся
показывает, что в схему фильтра следует включить два звена;
затухание этих звеньев характеризует кривая 2 (см. рис. 4.27, а).
Дальнейшее приближение кривой затухания фильтра к заданной
можно получить, включив в схему фильтра звено типа т. Поскольку наи-
большее приращение затухания должно быть на частоте / = 3200 Гц,
примем эту частоту за f„.
I I Т
d	жл	н fcp L (2550)	_ _
Рассчитаем коэффициент т = ,1—v=Jl-^—Аг =0,6.
V fl V (3200)2
По формулам (4.54) и (4.55) для т = 0,6 найдем затухание звена:
f	2600	2800	3000	3200	3600	4400	6000
Q = ///cp	1,019	1,098	1,176	1,255	1,412	1,725	2,353
а, дБ 5,86 15,76 23,74 — 21,82 16,36 13,86
Из кривой 4 (2 + 3) (см. рис. 4.27, а) видно, что наименьшее сум-
марное затухание будет на f = 3500 Гц: а > 51 дБ. Следовательно,
заданные требования удовлетворены. Схема этого фильтра приведена
на рис. 4.27, б.
371
Объединяя индуктивности звеньев типов кит, получим схему
(рис. 4.27, в), в которой в соответствии с параметрами звена типа т
LX=L4=^ = Гн; L2 = £3 = | (1 + т) = 0,1024 Гн;
r L 1 «г2 „	„
£5 =-----= 0,068 Гн.
2 т
Сх = С3 = 0,121 • 10~6 Ф; С2 = у т = 0,0363 • 10~6 Ф.
4.7. Мостовые фильтры
Условия пропускания и задерживания мостовых фильтров. В уст-
ройствах автоматики, телемеханики и связи находят применение мо-
стовые реактивные фильтры, которые отличаются от цепочечных бо-
лее разнообразными частотными характеристиками и позволяют доби-
ваться существенного улучшения частотной характеристики затуха-
ния. Условия пропускания и задерживания мостовых фильтров отлича-
ются от цепочечных. Если цепочечный фильтр не пропускает колеба-
ния благодаря обрыву или шунтированию цепи, то мостовой задержи-
вает колебания при уравновешивании моста.
Собственные параметры передачи симметричной мостовой, или что то
же скрещенной схемы (рис. 4.28, а) определяются следующим образом:
ZM=JZ^; =
„	,	. R sha + isinb IZ}
Так как g = a+jb, то th — =-------= —-.	(4-62)
2	ch a + cos b у Z2
Если Zj и Z2 представляют собой реактивные сопротивления разных
знаков, то из выражения (4.62) следует:
К1 л. • Hl s11 а л л.
—1-=±J —; ------------= 0; а = 0;
у Z2 \ х2 cha + cosb
sinb _ b _+ Xj
1 + cosb ^2 у x2
372
Рис. 4.28
Мостовая схема, составленная из реактивных сопротивлений разного
знака, пропускает сигналы без затухания.
Если Z] и Z2 — реактивные сопротивления одного знака, то из
выражения (4.62)
sha
ch я + cos й
-	=0.
cha + cosZ?
373
Возможны два варианта решения полученной системы:
1 l л l ! sha а Гх^
1. о = 0; coso = l; -------= th— = —L.
ch a +1	2 yx2
Поскольку гиперболический тангенс (th) не может быть больше еди-
ницы, данное решение возможно при |xj < |х2|.
Так как cth больше единицы, то [xj > |х2|.
EchhZi=Z2; th~ = cth—= 1, то ачто соответствует пол-
ному равновесию плеч моста.
Для получения фильтрующих свойств Zj и Z2 следует выбрать
таким образом, чтобы на частотах полосы пропускания они были реак-
тивными сопротивлениями разных знаков, а на частотах полосы задер-
живания — реактивными сопротивлениями одного знака.
Простейший мостовой фильтр нижних частот (рис. 4.28, б).
Для этого фильтра
Z] = jwLj; Z2 = (со2 - со2р ).
На рис. 4.28, б, в иг соответственно даны распределения полюсов,
и нулей функций сопротивлений Zj и Z2, зависимости их от частоты и
характеристики фильтра. При равенстве сопротивлений Z{ и Z2 мост
уравновешен и затухание фильтра а = °°. По сопротивлению этот фильтр
подобен фильтру типа к, затухание же его соответствует затуханию звена
типа т. При tn = 1 затухание соответствует таковому у фильтра типа к.
Характеристики фильтра по сопротивлению и затуханию опреде-
ляются выражениями
zM=тад = 7£1£2(®сР	=*Vi-q2,

374
Сравним с выражением (4.18)
р-
Поскольку затуханию а = °° соответствует значение th—= 1, по-
стольку относительная частота Q удовлетворяет условию
Jol-L
или т2 =1---—.
cd
Из характеристик фильтра следует, что значение определяется
соотношением между значениями и £2, а входящий в выражение
g
для th— коэффициент т имеет то же значение, что и для цепочечных
фильтров типа т.
Вид характеристик мостового ФНЧ указывает на эквивалентность
его однозвенному фильтру типа т (рис. 4.29, а и б). Схемы, приведенные
на этих рисунках, по условиям передачи полностью эквивалентны друг
другу на всех частотах, но физическая сущность изменения условий
передачи в них различна. Например, всплеск по затуханию в мостовой
схеме получается вследствие равенства сопротивлений Zj и Z2 и
Рис. 4.29
375
уравновешивания моста, а в цепочечной схеме Т — в результате
обращения Z2 в нуль и закорачивания тем самым тракта передачи.
Таким образом, мостовые фильтры ФНЧ имеют цепочечный
эквивалент в виде производных звеньев типа т, которые при т = 1
преобразуются в звенья типа к.
Сравнение схем мостового ФНЧ и последовательно-производного
звена типа т ФНЧ показывает, что они имеют одинаковые свойства,
но содержат различное число сопротивлений: в схему моста входят
четыре сопротивления, а в схему Т — только три. Это обстоятельство
заставляет при изготовлении фильтров отказаться от схемы моста со
сложными реактивными сопротивлениями в каждом плече и выполнять
фильтры по другим эквивалентным схемам (рис. 4.29, в и г). Любую из
схем (см. рис. 4.29) можно рассчитать как по формулам для звеньев типа
т, так и по формулам, определяющим параметры передачи моста.
Выполнение фильтра по мостовой схеме требует более точного по
сравнению с фильтром, построенным по цепочечной схеме, подбора
индуктивностей и емкостей. Вследствие этого иногда отдают предпоч-
тение цепочечным схемам.
Простейший фильтр верхних частот (рис. 4.30, а). Для этого
фильтра Z] =	; Z?_ = — (со2 - ®2р)-
jcoQ	со р
На рис. 4.30, бив приведены схемы расположения полюсов и нулей
соответственно для Z, и Z2, зависимости их от частоты и характеристики
фильтра.
Простейший мостовой ПФ. Схема фильтра и его характеристики
приведены на рис. 4.31 (а, в). В отличие от простейших мостовых
ФНЧ и ФВЧ простейший мостовой ПФ эквивалентен ПФ типа к.
Его затухание не имеет всплесков. На практике мостовые полосовые
фильтры строят по схеме, приведенной на рис. 4.31, г.
Построение мостовых фильтров с более совершенными характери-
стиками. Затухания ФНЧ, построенных по схемам (см. рис. 4.29), име-
ют один всплеск и затем уменьшаются. Для получения более постоян-
ного затухания в какой-либо полосе частот в случае выполнения фильт-
ра по цепочечной схеме следует последовательно первому звену вклю-
чить второе с такой же частотой среза, но имеющего всплеск зату-
376
Рис. 4.30
хания на другой частоте. При выполнении фильтра по мостовым
схемам тот же эффект увеличения затухания в полосе задержива-
ния может быть достигнут усложнением сопротивлений Z( и Z2.
Это является одной из особенностей мостовых схем.
Рассмотрим схему (рис. 4.32, а). Она является схемой ФНЧ, но с
более сложными образующими его сопротивлениями. В данном случае
А=—
со
Z2 = ,/со/.2
2	2
<0 - ®ср
2	2~’
со — <оп
где соп — резонансная угловая частота в полосе пропускания.
Распределение нулей и полюсов функции сопротивлений, а также
зависимости Zj (со), Z2(co), а (со), ZM(co) приведены на рис. 4.32, б, в и г.
377
Рис. 4.31
Характеристики фильтра определяются выражениями:
ZM = Jzfa =	£jZ2(®2 - ®2р) = /?V1 - Q2; R =
±£= IW= Ui <02-<0n	_//i(Q2-n2).
2 VZ2 ]L2 co2(co2-<o2p) qVq2-1
(4.63)
®cp
®n
a = ——
®cp
378
Характеристика сопротивления этого фильтра по-прежнему подоб-
на характеристике фильтра типа к, характеристика же его затухания
соответствует двухзвенному фильтру типа т.
Таким образом, усложнение частотных зависимостей сопротивле-
ний Z] и Z2 введением в них резонанса на угловой частоте соп, лежащей
в полосе пропускания, эквивалентно добавлению в схему цепочечного
фильтра звена типа т с другим значением коэффициента т, определя-
емым величиной а.
Для выявления возможности изменения свойств мостового фильтра
по сопротивлению рассмотрим схему (рис. 4.33, а). Для нее
кх (со2-со2).	<O((O2-tOcp)
1	7® (со2 -со2)’	2 j (co2-co2)(co2-co2)
379
Здесь зависимости сопротивлений Z( и Z2 от частоты содержат резо-
нансные частоты соп и со3, где со3 — частота, лежащая в полосе задер-
живания (рис. 4.33, б), Зависимости Z((®), Z2(co) , а (со) , ZM(co) для
этой схемы приведены на рис. 4.33, виг.
Характеристики фильтра определяются выражениями:
(®2- С^)2
2	2
<0 ~0)ср
®сп
Я= р ,
J#1^2
7q2-i
Я(О2-₽2)’
(4.64)
где
Рис. 4.33
380
Сравним с выражением (4.58), определяющим ZTzn :
th^= /а=	0)2 ~ 0)2 -7/1 ~ а_2) •
2	\Z2 ^2 со2(со2-со2р) Qa/q2-1
тг	соп
Я1 = а>сР,	а = —•
Vfc2 °>ср
ФНЧ (см. рис. 4.33) имеет такую же характеристику затухания, что
и фильтр (см. рис. 4.32). Усложнение сопротивлений Zt и Z2 введением
резонансов на угловой частоте со3 изменило характеристику этого фильт-
ра по сопротивлению, превратив его в эквивалентное ZTn|. В этом про-
является вторая особенность мостовых фильтров, заключающаяся в воз-
можности изменения свойств фильтра по сопротивлению независимо
от его свойств по затуханию, и наоборот. Для фильтров, выполненных
по цепочечным схемам, это невозможно.
Как следует из формул (4.63) и (4.64), свойства фильтра по затуханию
определяются резонансными угловыми частотами соп для Zj и Z2, ле-
жащими в полосе пропускания и называемыми контрольными часто-
тами полосы пропускания, а свойства фильтра по сопротивлению —
контрольными частотами со3 полосы задерживания.
Для получения необходимого затухания в полосе задерживания при-
ходится строить многозвенные цепочечные схемы или мостовые схе-
мы с многоэлементными сопротивлениями, для которых функция th—
2
содержит несколько контрольных частот.
Все сказанное о мостовых ФНЧ при преобразовании частоты
переносится на ФВЧ и ПФ. Например, для получения из схемы ФНЧ
(см. рис. 4.24, б) равноценного по характеристикам ФВЧ следует
СО	®ср
во всех характеристических выражениях----заменить на —т. е.
®ср	со
в качестве Zj вместо катушки применить конденсатор. Схема Z2 при
указанном преобразовании частот не меняется. ПФ можно получить,
2	2
СО — СОп
заменив в схеме (см. рис. 4.28, б) со на-, т. е. включив в схему в
со
качестве Zt вместо катушки колебательный контур и сооответственно
усложнив Z2. Совокупность схем полосовых мостовых фильтров не
исчерпывается схемами, которые можно получить такими преобра-
381
зеваниями из схем ФНЧ, однако установленные выше общие законо-
мерности сохраняют силу для всех мостовых фильтров.
4.8.	Полиномиальные фильтры LC
Полиномиальные фильтры LC строятся по цепочечным схемам двух-
сторонне нагруженных четырехполюсников.
Электрические фильтры с передаточными функциями вида
_____________________________1__________
l + aip + a2P 2 + ... + а„рп
где р =j(i> называются полиномиальными.
При расчете электрических фильтров обычно задаются требова-
ниями к амплитудно-частотной характеристике в виде требований к
частотной зависимости рабочего затухания. Рабочее затухание в пре-
делах полосы пропускания не должно превышать заданной величины
Пр тах> а в пределах полосы задерживания фильтра не должны быть
меньше заданного ар min. Нормированная характеристика рабочего
затухания фильтра низких частот приведена на рис. 4.34.
При синтезе фильтров для упрощения вычислений широко исполь-
зуют нормирование сопротивлений по заданному нормирующему и
частоты о по нормирующей частоте соо, т.е.
382
— = ZH — нормированное комплексное сопротивление;
Ro
= Q — нормированная частота;
«о
= £н — нормированная индуктивность;	(4.66)
Ro
(O0CR() = Сн — нормированная емкость;	(4.67)
— = 7?н — нормированное резистивное сопротивление.	(4.68)
Rq
В качестве нормирующего сопротивления используется обычно соп-
ротивление нагрузки, а в качестве нормирующей частоты — частота
среза фильтра. Истинные значения элементов определяются из выра-
жения (4.66 — 4.68) следующим образом:
г _ RqLh соо	(4.69)
®oRo	(4-70)
Rn =RRo-	(4.71)
Изменяя Wq и Ro можно получить схемы устройств, работающих в
различных диапазонах частот и различных нагрузках.
Виды аппроксимации, применяемые при синтезе фильтрующих
цепей. Задачи реализации и аппроксимации. Определенную зависи-
мость функции передачи цепи от частоты (параметра р) можно полу-
чить разными способами. Эти способы зависят от элементов, исполь-
зуемых для построения фильтра (RL, LC, отрезки линий, усилители), и
их соединений между собой.
Построение цепи по заданной реализуемой функции F(p) называют
реализацией. Реализации должен предшествовать выбор соответству-
ющей реализуемой функции, представляющей собой рациональную
дробь с необходимыми свойствами. Определение вида функции пере-
дачи реальной электрической цепи с достаточной степенью точности,
приближающейся к желаемой, называют аппроксимацией.
383
Рассмотрим решение задачи аппроксимации на примере ФНЧ. Функ-
ция передачи в общем виде может быть представлена выражением
(4.65).
Чем выше порядок фильтра п, тем больше элементов в его схеме и
более резко осуществляется переход от полосы пропускания к полосе
задерживания. Однако ни одна реальная схема, содержащая конечное
число элементов, не может дать желаемой характеристики (рис. 4.35, а).
И таким образом, встает задача приближения указанной зависимости к
функции вида (4.65) — задача аппроксимации. Способы приближения
функции составляют особый раздел математики. Последняя распола-
гает значительным числом решения задач подобного типа.
При расчете фильтров в зависимости от конкретных требований,
предъявляемых к нему со стороны системы, элементом которой он явля-
ется, применяют нескольких видов приближения функции передачи филь-
тра к идеальной. Эти виды аппроксимации показаны на рис. 4.35, б
(максимально плоская), рис. 4.35, в (равноволновая), рис. 4.35, г (об-
ратная Чебышевская), рис. 4.35, д (эллиптическая).
Максимально плоская аппроксимация. Фильтры Баттерворта. Пе-
редаточная функция фильтра является комплексной и характеризуется
модулем и фазой. Свойства частотных фильтров пропускать или задер-
живать колебания с различными частотами определяется модулем функ-
ции передачи. При использовании максимально плоской аппрок-
симации модуль функции передачи фильтра аппроксимируется
монотонной кривой в полосе пропускания и задерживания.
Для определения модуля функции передачи фильтра следует исклю-
чить из рассмотрения фазочастотную характеристику. Это можно осу-
ществить, перейдя в формуле (4.65) к квадрату модуля функции переда-
чи и учитывая, что р - j'Q:
|F(Q)|2=F(jQ)F(-jQ) =
 1 
1 + +... +
(4.72)
384
Из выражения (4.72), следует; что при £2 < 1 младшие степени вно-
сят большой вклад в знаменатель, и, следовательно, приводят к сущес-
твенному уменьшению коэффициента передачи фильтра. Поэтому для
того, чтобы функция передачи была максимальна плоской на частотах,
меньших частоты среза, необходима зависимость функции |/г(£2)| только
от старшей степени £2. Учитывая это, можно написать:
|Я£2)|2=—-	2п.	(4.73)
Для того чтобы на частоте среза (£2 = 1) квадрат модуля функции
передачи фильтра быв равен |F(£2)|2 = 1/2, следует выбрать К2п = 1.
Таким образом, модуль функции передачи фильтра, имеющего свойст-
во максимальной гладкости
<4-74’
определяется выражением (4.74), которое называется функцией Баттер-
ворта. Фильтры с функцией передачи, построенной на ее основе,
называются фильтрами Баттерворта.
Рабочее затухание фильтра Баттерворта
ар = 101g(l + £22”).	(4.75)
Крутизна частотной характеристики рабочего затухания зависит от
степени п. Чем больше степень п, тем больше крутизна характеристики
рабочего затухания. Таким образом для удовлетворения требований в
полосе задержания необходимо выбрать необходимый порядок фильт-
2	1
ра из условий £23aD(£23)>amin , отсюда £23 >——---------. Логариф-
10°’lemm -J
мируя обе части неравенства, получим
lg(10°’le™ -1)
п 2---------------
21g(£23)
(4.76)
Нахождение коэффициентов функции передачи вида (4.75), модуль
которой удовлетворяет выражению (4.74), приводит к многочленам,
25 Теория линейных ел. целей
385
называемым многочленами Баттерворта. Проиллюстрируем решение
этой задачи на примере фильтра второго порядка. Нормированная фун-
кция передачи фильтра второго порядка имеет вид
И/П) =--------------р
1 +
отсюда
|F(fi)|2 =	=-----— ----l—-----—-.
1 + afQ2 -2a2Q2 +a^Q4
Сравнивая полученные выражения с (4.73), видим, что а2 - 1, а
a2Q2-2Q2=0 и, следовательно, aj =-J2 = 1,414. Таким образом,
комплексный коэффициент передачи фильтра Баттерворта второго по-
рядка имеет вид
F(jfi) =------1-----
1 + 1,414/Q-Q2
Многочлены знаменателя функции передачи Баттерворта и соответст-
вующие им коэффициенты приведены в справочной литературе.
Равноволновая аппроксимация. Фильтры Чебышева. Эту аппрокси-
мацию осуществляют на основе использования полиномов Чебышева.
Аппроксимирующая функция в полосе пропускания фильтра имеет ко-
лебательный характер с равными отклонениями от заданной функции и
монотонный — в области задерживания, что определяется свойствами
полиномов Чебышева. Нормированные полиномы Чебышева имеют вид
Тп(О) =
cos(n arcos(Q))
ch(n arch(Q))
при 0 < Q < 1
при Q > 1
Функция колеблется в пределах ±1 в интервале |Q| < 1 и мо-
нотонно возрастает при |Q| > 1. Приняв arcos(Q) = <р, a Q = cos(tp) и
выразив cos(n(p) через сумму членов, содержащих степень косинуса от
cos(<p) до cos(n(p), можно получить алгебраическую формулу полино-
мов Чебышева:
Т„ (Q) = Q” + с h2 Qn~2 (fl2 -1) + с h4 fl”"4 (fl2 -1) +.. .
В алгебраической форме полиномы Чебышева имеют следующий
вид:
r,(Q) = Q; T2(£1) = 2Q.2-I; T3(fi) = 4fi3 -3Q; Т4(П) = 8П4-8П2+1.
386
Любой полином Чебышева при п > 2 можно вычислить по реку-
ррентной формуле Тп (Q) = 2Q7’„_] (Q) - Т„_2 (^)-
Любой полином Чебышева из всех многочленов степени п наименее
уклоняется от нуля в отрезке -1 < Q < 1, что является важной их осо-
бенностью. Благодаря этому они вносят наименьшую максимальную
ошибку аппроксимации в данном интервале.
Квадрат модуля функции передачи фильтра низких частот, постро-
енный на основе полиномов Чебышева, имеет вид
|F(Q)|2 =----; ар = 10 lg(l + eV2 (Q)).	(4.78)
1	+ е2Г2(П)
Фильтры с функцией передачи, определяемой выражением (4.78),
называются фильтрами Чебышева.
Функция передачи Чебышева достигается наибольшего значения в
тех точках полосы пропускания, где значения Тп(£1) = О.На частотах
на которых тп (Q) = ±1, рабочее затухание достигается величины
артах  «ртах = 101g(l + E2).
Размах колебаний характеризуется коэффициентом неравномер-
ности Е2:
е2 =1оо,1вт1П -1
2
При Е = 1 фильтр имеет наибольшую допустимую неравномерность
затухания в полосе пропускания, равную 3 дБ.
С ростом значений полинома T„(Q) на частотах Q>1 рабочее зату-
хание монотонно растет. На рис. 4.36 приведена частотная зависимость
рабочего фильтра Чебышева третьего порядка.
387
Чтобы рабочее затухание фильтра в полосе задерживания отвечала
требованиям, необходимо выбрать порядок фильтра п. Для полосы
задерживания Тп (£2) = ch (warch(Q)), следовательно
l + e2ch2n arch(£23) >1Оо,,а™п,
отсюда ch(narch(£23)) =
100,le™n -1
\	7
arch
Тогда п>
arch(£23)
10°’lemin -1
10°>lemax _ J
или n>
+ >fl0o™n — ю^о,пах
lg(Q3+7^-1)
Таким образом, фильтры Чебышева характеризуются двумя парамет-
рами — порядком и допустимой неравномерностью затухания в полосе
пропускания. Выражения для многочленов знаменателя комплексных
функций передачи фильтров Чебышева при различных значениях не-
равномерности приводится в справочниках.
Обратная Чебышевская аппроксимация. Этот вид аппроксимации
характеризуется монотонностью аппроксимирущей функции в поло-
се пропускания и колебательным характером в области задержива-
ния. Квадрат модуля функции передачи при этом имеет вид
(4-79)
388
Функция передачи монотонна в полосе пропускания фильтра
(т.е. О > 1), если аргументы многочлена Тп (Я) больше единицы. По-
следнее достигается заменой £2 на 1/Q, где £2( =—СО] —начальная
G)j
частота области задерживания.
Фильтры, модуля функции передачи которых определяется выраже-
нием (4.79), называют обратными (инверсными) фильтрами Чебышева.
Квадрат модуля функции передачи таких фильтров колеблется в облас-
ти задерживания с амплитудой |Д^| = ~—-у. Выражения для функции
передачи обратных фильтров Чебышева более сложные и приводятся в
справочниках для различных значений неравномерности затухания в
области задерживания.
Таким образом, использования полиномов Чебышева дает возмож-
ность получить равноволновое приближение аппроксимирующей функции
к заданной в полосе пропускания или в области задерживания фильтра.
Эллиптическая аппроксимация. Она позволяет добиваться равно-
волнового характера приближения аппроксимирующей функции к
заданной в полосе пропускания и в области задерживания фильтра, для
чего используются эллиптические функции Якоби.
Выражение функции передачи фильтра, построенного на основе
эллиптической аппроксимации, аналогично выражению для обратного
чебышевского фильтра. Определение коэффициентов многочленов
числителя и знаменателя является очень сложной задачей. Коэффици-
енты для фильтров различных порядков для некоторых значений нерав-
номерности затухания в полосе пропускания и в области задерживания
приводятся в справочниках. Аппроксимация функций передачи фильт-
ров верхний частот и полосовых также может быть осуществлена на
основе использования указанных выше функций соответствующим
частотным преобразованием.
Разнообразие видов аппроксимации естественно приводит к вопросу
о том, какому из них отдать предпочтение. Выбор того или иного вида
аппроксимирующей функции зависит от конкретных требований, пре-
дъявляемых к фильтру со стороны системы, элементом которой он
является. Можно однако, сделать несколько общих замечаний относи-
389
тельно различных видов аппроксимации. У фильтров Баттерворта мень-
шая, чем у фильтров Чебышева или эллиптических фильтров того же
порядка, крутизна нарастания затухания в области задерживания, одна-
ко они имеют максимально плоскую характеристику в полосе пропус-
кания. В тех случаях, когда можно допустить некоторую неравномер-
ность затухания в полосе пропускания за счет увеличения крутизны
нарастания затухания в переходной области, предпочтительны фильтры
Чебышева или же эллиптические, обладающие лучшими свойствами,
чем чебышевские, однако более сложные в реализации. Если необходи-
мо обеспечить значительную крутизну нарастания затухания в переход-
ной области и плоскую характеристику в полосе пропускания фильтра,
то используют обратные фильтры Чебышева.
Помимо модуля функции передачи, важными характеристиками
фильтра являются фазочастотная и переходная. Известно, что услови-
ем отсутствия фазочастотных искажений является линейность фазо-
часточной характеристики системы передачи. Фазочастотная характе-
ристика фильтров, построенных на основе рассмотренных видов
аппроксимации, тем больше отклоняется от линейной, чем ближе
модуль функции передачи их к идеальной. С этой точки зрения, чем
выше порядка фильтра, тем значительнее отличается его фазочастот-
ная характеристика от линейной. С другой стороны , фильтры Чебы-
шева имеют худшую фазочастотную характеристику, чем фильтры
Баттерворта, при том же числе элементов, а эллиптические — худшую,
чем фильтры Чебышева.
Временная переходная характеристика фильтра представляет собой
реакцию на единичное ступенчатое воздействие. Чем ближе модуль
функции передачи к идеальной, тем больше время установления и
колебательность процесса на выходе фильтра. Фильтры Баттерворта
имеют меньшее время установления и амплитуду колебания переходной
характеристики, чем фильтры Чебышева и эллиптические. С увеличе-
нием неравномерности затухания в полосе пропускания также возрастает
время установления и колебательность процесса на выходе фильтра.
390
4.9.	Активные 7?С-фильтры
4.9.1.	Передаточные функции фильтров
До недавнего времени экономичность и эффективность обработки
сигналов переменного тока с использованием АС-фильтров не вызыва-
ла сомнений. Однако наряду с известными достоинствами фильтры и
корректоры, построенные на основе АС-цепей, имеют недостатки, ко-
торые вступают в противоречие с возможностью их широкого исполь-
зования в современных электронных устройствах железнодорожной ав-
томатики и связи. К ним, прежде всего, относят их большие массу и
габаритные размеры, растущие на низких частотах, сложность и срав-
нительно высокую стоимость изготовления.
Достижения микроэлектроники обусловили интенсивную разработку
и широкое использование активных АС-фильтров и корректоров. Эти
устройства обеспечивают возможность формирования разнообразных
частотных характеристик, имеют малые габаритные размеры, облада-
ют невысокой стоимостью, хорошо вписываются в конструкцию совре-
менных устройств автоматики и связи, просты в реализации.
Активные АС-фильтры относятся к линейным схемам с сосредото-
ченными параметрами. С помощью активных АС-фильтров нельзя
получить идеальные формы частотных характеристик со строго посто-
янным коэффициентом передачи в полосе пропускания, бесконечным
ослаблением в полосе задерживания и бесконечной крутизной спада
при переходе от полосы пропускания к полосе задерживания. Проекти-
рование активного фильтра всегда представляет собой поиск компро-
мисса между идеальной формой характеристики и сложностью ее
реализации. Это называется «проблемой аппроксимации». Передаточная
функция линейной цепи F(p) порядка т, характеризуется рациональ-
ной дробью вида
= Р(Р> - А"РП +Ап-1РП~1 +- + A}p + Aq
’ ад в,рт+в„_1Р'п-,+...+в1р+в0’	(4-80)
где Р(р) — полином числителя;
А(р) — полином знаменателя;
р = у<о — оператор Лапласа;
Л[л...О] и А[/и...О] — вещественные коэффициенты.
391
Рис. 4.37
Полиномы передаточной функции можно разложить на множители
первого и второго порядков с вещественными коэффициентами.
Следовательно, нужную характеристику можно получить, включив
последовательно несколько фильтров первого и второго порядков.
Во многих случаях требования к качеству фильтрации позволяют
обойтись простейшими фильтрами первого или второго порядков.
4.9.2.	Характеристика ФНЧ первого порядка
Отдельные звенья первого и второго порядков могут быть реали-
зованы на операционных усилителях (ОУ). Например, для выделения
низкочастотных составляющих сигнала или подавлении высоко-
частотных помех применяют фильтр нижних частот (рис. 4.37).
Он представляет собой простейший фильтр нижних частот, а при
2?3 = °° (резистор отсутствует) осуществляет операцию интегрирования.
Действительно
г гм- ^г(Р) _	1
ос) zx(p) ^(1+сед’	(481)
1	R
При ----= <ос и--1 = k, передаточная функция
... ч
Л'',,=7+<	(482)
что соответствует амплитудно-частотной характеристике ФНЧ с часто-
той среза <ос. На рис. 4.38 эта /'ИХ приведена в двойном логариф-
мическом масштабе.
392
Полагая в выражении (4.81) Я3 = находим
ад=-
1
fliQ/
(4.83)
Следовательно, схема интегрирует входное напряжение с постоянной
времени T^=R^C.
4.9.3.	Характеристика ФВЧ первого порядка
Схема неинвертирующего усилителя, дополненная разделительным
конденсатором для ослабления нижних частот, представляет собой
фильтр верхних частот первого порядка (рис. 4.39).
Коэффициент передачи по напряжению
Z2(P) _ R3
Rx+ —
1 PC
R3 Pc
R] pC +1
^oc(p)
(4.84)
393
гт 1	*3	,	.
При-----= ojc и----- = к , передаточная функция
R\C	R\
<4-85’
что соответствует амплитудно-частотной характеристике ФВЧ с
частотой среза ®с .
Операционный усилитель имеет весьма высокое входное и незначи-
тельное выходное сопротивления. Это значит, что в отличие от пассив-
ных LC или RC звеньев, равноценное по АЧХ звено первого порядка,
построенное на ОУ, допускает его сопряжение по входу и выходу с ана-
логичными звеньями или нагрузкой самого различного характера. При
каскадном соединении звеньев, построенных на основе ОУ, характерис-
тики отдельных звеньев не изменяются. Это дает возможность форми-
ровать частотную характеристику тракта передачи сигнала отдельны-
ми, заранее известными элементами. Наличие ОУ не только исключает
появление дополнительных затуханий при сопряжении звеньев между
собой, но и дает возможность в необходимых случаях получать требу-
емое усиление. И, наконец, безразличен в принципе порядок располо-
жения звеньев при реализации полной схемы устройства. Его частотная
характеристика в любом случае будет одной и той же.
4.9.4.	Звенья второго порядка
Передаточные функции ФНЧ и ФВЧ первого порядка имеют одно
общее свойство: в выражение их передаточной функции К(р) операторр
входит в первой степени. Поэтому, эти схемы называют звеньями
394
первого порядка. Они характеризуются монотонностью изменения АЧХ
(см. рис. 4.38). В тех случаях, когда требуется получить АЧХ более сложного
вида, а также при необходимости в формировании относительно крутых
характеристик среза АЧХ и ФЧХ, применяют звенья второго порядка.
В общем случае коэффициент передачи по напряжению звена второ-
го порядка
Кос
х а2р +ахр + ай
'Р'	,	2 г г
t>2P +^Р + Ьо
(4.86)
где Ь{ — вещественные постоянные коэффициенты, удовлетво-
ряющие условию устойчивости
sig n(b2) = sig n(b}) = sig n(b0).
Передаточная функция ФНЧ второго порядка имеет вид
(4-87)
2	2
Р +
Qf
где к — коэффициент передачи на постоянном токе,
®п — частота полюса,
Qf — добротность фильтра.
1
При Qp > ~ на АЧХ появляется выброс на частоте
(4.88)
L 1 \
~®п.|(1	2^~Юп
V 2Q2F
(4.89)
при больших Qp
Значение коэффициента передачи на этой частоте равно
. kQ\ ~kQF
V 4Qf
(4.90)
при больших Qf.
Причем частота среза по уровню -3 дБ составляет
_____________2
/ х I/ \2	2
®-ЗдБ=®п
1- 1
2C/J 11
1---1~2
^Qf
-1
(4-91)
395
Для ФНЧ при малых QF, т.е. QF< —, полюса передаточной функции
вещественные, и его АЧХ оказывается плоской. Выражение для
характеристики второго порядка можно разложить на два сомножителя
первого порядка. Когда же QF превышает —, на АЧХ появляется
«всплеск». АЧХ схем с большой добротностью имеет значительный
выброс.
Передаточная функция ФВЧ второго порядка имеет вид
, kf--------------------------------.
p2+_JL5 + t02
Qf
где/:—коэффициент передачи на высокой частоте.
1
При Qf> — на АЧХ как и у ФНЧ появляется выброс на частоте
(1-----
2Qf
(4-92)

= <оп
(4-93)
при больших Qf
Значение коэффициента передачи на этой частоте равно
К(р)= rkQF -kQF
а—Ц-)
v
(4.94)
при больших Qf.
Частота среза по уровню -3 дБ составляет
®-ЗдБ =
(0п
1—Ц-
2Qf
\2
1---
2Qf
2 ’
2
(4-95)
396
Фазовый фильтр первого порядка строят по схеме, представленной
на рис. 4.40.
На низких частотах конденсатор С практически не влияет на работу
схемы, и она работает как повторитель с единичным коэффициентом
передачи. На высоких частотах конденсатор Спредставляет собой корот-
кое замыкание, и схема выполняет роль инвертирующего усилителя
/?3
с коэффициентом усиления „ • Из этого следует, что для получения
к2
одинакового коэффициента передачи на низких и высоких частотах
резисторы /?2 и должны быть равными. Фазовый сдвиг изменяется
от 0° на низких до -180° на высоких частотах. Если резистор
сделать переменным, схема превращается в регулируемый фазовра-
щатель.
Передаточная функция фазового фильтра первого порядка выглядит
следующим образом:
К(р) =--?---
1 + ^С
(4.96)
Фазовый сдвиг при R2 = R$ составляет:
<p = -2arctg(/^C(o).
Для получения плоской АЧХ с постоянным и не зависящим от
частоты коэффициентом передачи резисторы /?2 и &з должны быть
равными. Лучше всего использовать для этого интегральную
Рис. 4.40
397
согласованную пару резисторов. На высоких частотах появляется
погрешность фазового сдвига, связанная с конечной шириной полосы
пропускания ОУ. Для повышения точности фазового сдвига на высоких
частотах следует применять быстродействующий ОУ с широкой
полосой пропускания.
Схема обеспечивает изменение фазового сдвига от 0° до 180° при
увеличении частоты или R3 от нуля до бесконечности. Для получения
обратной зависимости (от 180° до 0°) нужно поменять местами Си R}.
В этом случае при /?2=/?з Фазовый сдвиг будет равен
ф = 180° - 2 arctg(/?|Cco).
Фазовый фильтр второго порядка строится на основе конвертеров
полного сопротивления (рис. 4.41).
Передаточная функция фазового фильтра второго порядка составляет
________^5-^8^7 К&КзСзСу
п2.п 1 . R2 ’	(4-97)
Г/ । U ————— -f-------
л8с7 r}r4r5c3c7
Остальные параметры определяются следующим образом:
| Ri
У -^1^4^5^3^7
Рис. 4.41
398
Q = G)qC7R$,	(4.98)
K = \.
Требуемое соотношение сопротивлений резисторов состав-
ляет^ = /?5-
Большие значения добротности Q (4.98) и невысокая чувствитель-
ность к отклонениям значений элементов от номиналов достигаются
за счет введения второго ОУ. Для настройки схемы можно использовать
следующую последовательность действий:
- установить <оо с помощью /?4 или /?5,
- установить Q с помощью 2?g.
4.9.5.	Выбор элементов активных йС-фильтров
При выборе элементов для построения активных фильтров следует
руководствоваться рядом рекомендаций. Для операционных усилителей
данные рекомендации касаются следующих параметров.
1.	Частотные свойства.
Используемый ОУ должен быть достаточно быстродействующим,
т.е. иметь достаточно большое произведение коэффициента усиления
на ширину полосы^, в противном случае качество фильтра будет
зависеть от динамических свойств ОУ и частотная характеристика
фильтра может быть искажена. Чем шире полоса пропускания ОУ, тем
меньше вносимая и частотная погрешность. Для схем с многопетлевой
обратной связью рекомендуется выбирать ОУ, у которого./^ более чем в
50 g2 раз больше коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания
для всего диапазона частот выходных сигналов. Для других схем следует
выбирать ОУ, у которого^, более чем в 100 Q раз больше коэффициента
передачи фильтра во всей полосе пропускания.
Основная проблема, связанная с динамической характеристикой ОУ,
состоит в том, что фильтр может оказаться неустойчивым и склонным
к самовозбуждению из-за недостаточного запаса по фазе. Некоторые
ОУ, как правило, быстродействующие, требуют внешней частотной
коррекции с помощью конденсатора небольшой емкости, значение
которой подбирается для конкретной схемы. Для ОУ с внутренней кор-
рекцией показателем хорошей устойчивости является его стабильная
работа с замкнутой петлей обратной связи в наихудшем случае, т.е. при
единичном коэффициенте передачи и емкостной нагрузке.
399
2.	Входное и выходное сопротивления.
Выходное сопротивление ОУ должно быть достаточно малым. Как
правило, для большинства из них оно не превышает 100 Ом. При рабо-
те на низкоомную или емкостную нагрузку, с чем приходится сталки-
ваться в некоторых схемах фильтров, может потребоваться дополнитель-
ный буфер.
К входному сопротивлению ОУ предъявляются более высокие тре-
бования. В некоторых случаях при использовании высокоомных резис-
торов (МОм и более) применяются ОУ с полевым транзистором на вхо-
де. При этом следует учитывать входную емкость ОУ, которая может
достигать десятков пФ.
3.	Напряжение смещения и входные токи ОУ.
Эти параметры не влияют на частотную характеристику фильтра, но
приводят к появлению на его выходе постоянного смещения. Если
фильтр не передает постоянной составляющей сигнала (ФВЧ или ПФ),
то эти смещения не играют роли, при условии, что они не приводят к
насыщению ОУ.
Минимальные значения резисторов ограничиваются либо максималь-
ным выходным током ОУ (обычно около 30 мА), либо конечными сопро-
тивлениями соединительных проводов, либо по соображениям рассеива-
емой мощности. Максимальные значения резисторов ограничиваются
входным сопротивлением ОУ, влиянием паразитных емкостей, сопротив-
лениями утечки и входными токами ОУ. При использовании ОУ с поле-
выми входами допускаются большие сопротивления резисторов. На вы-
соких частотах (выше 10 кГц) следует избегать применения высокоом-
ных резисторов (100 кОм и более) из-за влияния паразитных емкостей.
Если применяются дискретные элементы, лучше использовать ме-
таллопленочные резисторы и избегать применения угольных композит-
ных резисторов. Это связано с тем, что металлопленочные резисторы
имеют меньшие температурные коэффициенты (порядка 50 е”6) и луч-
шую временную стабильность. В прецизионных схемах применяются
металлофольговые или проволочные резисторы. Если для нормальной
работы схемы важно отношение сопротивлений резисторов, следует вы-
бирать резисторы в одном корпусе с тем, чтобы скомпенсировать их
температурные дрейфы.
Наименьшие значения конденсаторов на высоких частотах ограни-
чиваются паразитными емкостями схемы, которые достигают несколь-
400
ких пФ, а на низких частотах — сопротивлением изоляции и токами
утечки. Максимальные значения конденсаторов обычно ограничивают-
ся их физическими размерами и стоимостью. Обычно в фильтрах при-
меняются конденсаторы следующих типов.
Керамические — небольшие по размерам, обладают невысокой стои-
мостью, имеют диапазон емкостей от 10 пФ до 10 нФ. Наиболее пред-
почтительны для применения конденсаторы типа NPO, поскольку они
обладают малыми температурными коэффициентами емкости (ТКЕ) и
высокой стабильностью.
Металлизированные поликарбонатные — используются при боль-
ших значениях номиналов от 0,001 мкФ до 10 мкФ и превосходят по
своим характеристикам конденсаторы других типов с таким же диапа-
зоном емкостей.
Слюдяные — емкостью от 10 пФ до 10 нФ. Превосходят по габари-
там конденсаторы остальных типов. Прецизионные особо стабильные
конденсаторы, более дорогие.
Полистирольные — емкостью до 10 нФ обладают очень малым ТКЕ,
большим сопротивлением изоляции, но при этом чувствительны к пе-
регреву (максимум 70 °C).
4.9.6.	Фильтры высоких порядков
До сих пор рассматривались простые схемы фильтров первого и вто-
рого порядков, которые применяются в тех случаях, когда нет жестких
требований к качеству фильтрации. Однако часто необходимы филь-
тры, характеристики которых напоминают «кирпичную стену»: с бе-
сконечным ослаблением сигналов в полосе подавления и бесконечно
резким переходом между полосами пропускания и подавления. Полу-
чить такую характеристику с помощью активных ЯС-фильтров нево-
зможно, и передаточная функция может только приближаться к идеаль-
ной. Собственно, в этом и состоит проблема аппроксимации. Предъяв-
ляемые к фильтру требования обычно сводятся к обеспечению:
а)	приемлемой неравномерности коэффициента передачи в полосе
пропускания;
б)	максимального ослабления в полосе подавления;
в)	минимальной ширины переходного интервала между полосами
пропускания и подавления.
26 Теория линейных зл. целей
401
Эти параметры для случая ФНЧ показаны на рис. 4.42. Кроме амп-
литудной характеристики фильтра, могут оказаться важными его фазо-
вая и переходная характеристики.
Для получения такой характеристики может потребоваться фильтр
высокого порядка (выше второго). Чем выше порядок фильтра, тем точ-
нее он аппроксимирует идеальную характеристику с резкими граница-
Переходный
интервал
б
Выброс
Конечное
значение
Рис. 4.42
402
ми. Однако с повышением порядка фильтра возрастают его сложность,
размеры и стоимость. Поэтому часто приходится идти на компромисс
между требуемой характеристикой и сложностью схемы.
Проектирование таких фильтров состоит из двух этапов:
— определение требуемой математической передаточной функции;
- проектирование схемы для реализации найденной математической
функции.
Имеется несколько типов передаточных функций с различными
свойствами, со своими достоинствами и недостатками. Наиболее из-
вестны следующие типы передаточных функций — Баттерворта, Чебы-
шева и Бесселя.
Есть несколько способов определения наиболее подходящей пере-
даточной функции. Можно выбрать передаточную функцию исходя из
приведенного ниже описания фильтров различных типов. Можно
также выбрать ее по графикам необходимой зависимости коэффициента
передачи или фазы от частоты, или по переходной характеристике. Опи-
сание более формализованных подходов можно найти в специальной
литературе.
Рассматриваемые далее типы фильтров считаются нормированны-
ми, т.е. их коэффициент передачи в полосе пропускания равен 1 (0 дБ),
а частота среза — 1 рад/с. Для расчетов других фильтров (полосовых,
верхних частот и т.д.) необходимо провести операции преобразования
частот и масштабирования.
Фильтры Баттерворта (с максимально плоской характеристикой)
Эти фильтры отличаются наибольшей равномерностью АЧХ как в
полосе пропускания, так и в полосе подавления (рис. 4.43). Поскольку
на АЧХ отсутствуют пульсации (максимумы и минимумы), каждое зна-
чение коэффициента передачи появляется на конкретной частоте только
один раз. Такое свойство называется монотонностью характеристики
фильтра.
Спад АЧХ за полосой пропускания составляет 20 п дБ/декада, где
п — порядок фильтра.
Максимально плоская АЧХ в полосе пропускания достигается за счет
ухудшения линейности фазовой характеристики. Ее нелинейность при-
водит к фазовым искажениям, так как сигналы различных частот имеют
разное время задержки. На переходной характеристике фильтра при этом
403
a
Рис. 4.43
появляется выброс и переходные процессы на вершине выходного им-
пульса, величина которых возрастает при повышении порядка филь-
тра. Все корни передаточной функции ФНЧ Баттерворта являются по-
люсами, т.е. среди них нет нулей.
Фильтр Баттерворта можно использовать как хороший фильтр об-
щего назначения, поскольку он имеет максимально плоскую АЧХ,
404
умеренную фазовую нелинейность, приемлемую переходную характе-
ристику и достаточно крутой спад АЧХ вне полосы пропускания. Эти
свойства делают его одним из наиболее широко применяемых фильтров.
При заданных значениях 4Tlin, Лтах, со5, со/; необходимый порядок
фильтра определяется из выражения:
] 00Д Дпт
1g -------------
21g
со5

Поскольку Xmin и Лтах представляют из себя коэффициенты ослаб-
ления в децибелах, они всегда положительны. Так как п должно быть
целым, полученное по формуле значение округляется до ближайшего
целого числа.
Фильтры Чебышева (фильтр равных пульсаций)
Фильтр Чебышева характеризуется крутым спадом АЧХ и немоно-
тонностью коэффициента передачи в полосе пропускания. Крутизна
спада АЧХ достигается ценой появления существенных пульсаций на
характеристике в полосе пропускания. Их величина лежит между
уровнями 0,1 и 3 дБ.
Более крутой спад приводит и к увеличению нелинейности фазовой
характеристики в полосе пропускания. Следовательно, возрастают и
величина перерегулирования, и звоны на вершине выходного перепада.
Фильтры Чебышева также не содержат нулей в передаточной функции.
Фильтры Чебышева используются в тех случаях, когда требуется
наиболее крутой спад АЧХ за частотой среза. Фазовую характеристику
можно сделать более линейной, дополнив фильтр фазовращателем,
но при этом увеличивается общее время задержки.
Порядок фильтра Чебышева, необходимый для получения требуемой
АЧХ, определяется выражением
аге!
100,14nax „J
arch ——
405
При одинаковых параметрах АЧХ порядок фильтра Чебышева
обычно ниже порядка фильтра Баттерворта.
Фильтры Бесселя (фильтры с линейной фазовой характеристикой
или фильтры Томсона)
Фильтры Бесселя имеют фазовую характеристику, максимально
близкую к идеальной. Благодаря линейной фазовой характеристики,
сигналы всех частот в полосе пропускания имеют одинаковые времен-
ные задержки. Однако это характерно только для фильтра Бесселя
низших частот, другие фильтры Бесселя — ППФ, ПЗФ, ФВЧ — таким
свойством не обладают (линейность фазовой характеристики ФНЧ
Бесселя не сохраняется при операциях преобразования шкалы частот
для получения фильтров с другими АЧХ).
Переходная характеристика фильтра Бесселя имеет малую величину
перерегулирования. Это особенно важно при работе с импульсными
сигналами, которые надо передавать с минимальными искажениями.
Хорошая фазовая характеристика фильтров этого типа достигается
ценой ухудшения амплитудной характеристики. АЧХ не является
максимально плоской в полосе пропускания и не имеет крутого спада.
При этом она монотонна (рис. 4.44). Передаточные функции фильтров
Бесселя содержат только полюса.
Фильтры Баттерворта, Чебышева и Бесселя получили наибольшее
распространение. Рассмотрим кратко еще четыре типа — фильтры
Баттерворта-Бесселя, фильтры Лежандра, инверсные фильтры Чебышева
и эллиптические фильтры.
Фильтры Баттерворта-Бесселя
Эти фильтры имеют промежуточную характеристику между макси-
мально плоской АЧХ фильтра Баттерворта и линейной ФЧХ фильтра
Бесселя, в результате чего получается фильтр с приемлемыми значе-
ниями равномерности амплитудной характеристики и линейности
фазовой.
Фильтры Лежандра (или оптимально монотонные)
Они сочетают в себе свойства фильтров Баттерворта и Чебышева.
Их АЧХ не столь равномерна, как у фильтра Баттерворта, но не содержит
пульсаций, характерных для фильтров Чебышева. Характеристика
оптимально монотонная; более крутой спад, чем у фильтра Баттерворта,
достигается за счет ухудшения равномерности АЧХ.
406
Инверсные фильтры Чебышева
Этот тип фильтров является инверсией обычных фильтров Чебышева
в том смысле, что их характеристики монотонны в полосе пропускания,
но содержат равномерные пульсации в полосе подавления. Инверсный
фильтр Чебышева применяется в случаях, когда нет необходимости в
максимальном ослаблении сигналов вне полосы пропускания, но АЧХ
в полосе пропускания должна быть плоской. Пульсации коэффициента
передачи в полосе подавления возникают из-за появления нулей в
передаточной функции.
407
Эллиптические фильтры (фильтры Чебышева-Кауэра)
АЧХ фильтров этого типа имеет пульсации как в полосе пропускания,
так и в полосе подавления. При этом достигается максимальная крутизна
спада АЧХ.
4.9.7.	Определение требуемой передаточной функции
Преобразование и масштабирование. Соотношения, приведенные
выше соответствовали «нормированным» фильтрам с коэффициентом
передачи в полосе пропускания 0 дБ и граничной частотой 1 рад/с. На
практике такая ситуация может возникнуть чисто теоретически.
Масштабирование коэффициента передачи в полосе пропускания
производится умножением передаточной функции на требуемый
коэффициент.
Масштабирование частоты производится заменой рна р/сом,гдесом—
требуемая частота. При этом передаточная функция «растягивается»
или «сжимается» таким образом, что то, что происходило с ней при
со = 1рад/с, теперь происходит при со/сом = 1рад/с, т.е. когда со = сом.
До сих пор рассматривались только фильтры нижних частот. Дру-
гие типы фильтров, например полосовые, верхних частот или режек-
торные, отдельно не рассматривались, так как их можно преобразовать
к низкочастотным эквивалентам. Задача проектирования при этом сво-
дится к расчету ФНЧ. После этого полученная передаточная функция
вновь преобразуется к исходному типу фильтра (рис. 4.45).
Преобразование ФВЧ. Передаточную функцию ФВЧ можно
получить из функции ФНЧ следующей подстановкой в передаточную
функцию:
®НЧ
»(ФНЧ в ФВЧ)-»-^4-
Р
(4.99)
Преобразовать
параметры
ПФ/ППФ/ФВЧ к
параметрам ФНЧ
Рассчитать
передаточную
функцию ФНЧ
Преобразовать передаточную
функцию ФНЧ обратно к
необходимому типу фильтра
Рис. 4.45
408
При этом получается передаточная функция ФВЧ, имеющая такой
же коэффициент передачи на coBq, что и ФНЧ на юнч (рис. 4.46, а).
Чтобы избежать путаницы, принято сначала приводить требуемую
передаточную функцию ФВЧ к нормированному виду, а затем
применять вышеуказанное преобразование (рис. 4.45).
Преобразование ППФ. Передаточную функцию ППФ можно
получить из функции ФНЧ, применяя следующее преобразование:
/2	2
	>(ФНЧ в ПП<Э->^—ЬЮ-₽-ез),	(4.100)
®НЧ---------------------------------------^ПФР
где сорез — центральная частота полосы пропускания.
Значение йцф есть ширина полосы пропускания ППФ, причем
^ПФ=«’р2-(0д1и ®рез =^1^2, т.е. со/Я и сор2 расположены
симметрично относительно сорез. Преобразование фильтра нижних
частот в полосовой фильтр удваивает его порядок.
Полученный фильтр будет иметь такой же коэффициент передачи в
полосе пропускания на частотах сор] и 0)р2, как и ФНЧ на сонч. Чтобы
избежать путаницы, принято приводить требуемую передаточную
функцию ППФ к нормированному виду так, чтобы сорез = 1рад/с.
Кроме того, характеристика ППФ должна быть симметрична (рис. 4.46, б).
Преобразование ПЗФ. Передаточную функцию ПЗФ можно
получить из передаточной функции ФНЧ, производя подстановку:
>(ФНЧ в ПЗФ)^ *пзф'’у,	(4101)
°>НЧ	(р +юп )
где соп — центральная частота полосы задерживания
®п = л/®п1®п2 >
а 5ПЗф — ширина полосы задерживания
^пзф - ®п1 ~ ®п2-
Как и в случае с ППФ, преобразование ПЗФ (4.101) удваивает
порядок фильтра.
ПЗФ будет иметь такой же коэффициент передачи на частотах соп1 и
ип2, как и ФНЧ на <лнч. По-прежнему, чтобы избежать путаницы, при-
нято нормировать передаточную функцию ПЗФ так, чтобы соп= 1рад/с.
409
Нормированный ФНЧ
Юм(НЧ) ~ 1/Ю м(ВЧ)
Нормированный симметричный	Нормированный ФНЧ
полосовой фильтр _ (0м2 ~ <ОМ|
в	Шм(НЧ)-
®nl j СОм2 (0,2
Нормированный
симметричный
заграждающий
фильтр
со
К„,дБ
Нормированный ФНЧ
юм2 - ЙМ1
Рис. 4.46
410
Характеристика ПЗФ должна быть симметричной
®п =	~ x/Wm1®m2 •
Если данное условие не выполняется, то характеристику необходимо
превратить в симметричную тем же способом, что и в случае с ППФ.
Преобразование ПЗФ в ФНЧ показано на рис. 4.46, в.
4.9.8.	Переход от передаточной функции к схеме фильтра
После определения передаточной функции следующим шагом долж-
на стать разработка схемы активного ДС-фильтра, реализующего эту
функцию.
Имеются два основных способа проектирования схемы для реализа-
ции передаточной функции. В первом из них проектируется много-
каскадный фильтр, а второй основан на моделировании многозвенной
RLC-цепи.
Моделирование многозвенной RLC-цепи. Этот способ заключает-
ся в моделировании многозвенной Д£С-цепи с использованием актив-
ных элементов. Д£С-четырехполюсники можно имитировать прямой
заменой индуктивностей активными схемами (гираторами) или используя
многопетлевую обратную связь для реализации функций всей цепи.
Достоинства:
-	частотные характеристики RLC -четырехполюсников, как правило,
некритичны к допускам элементов, поэтому можно добиться точной
реализации требуемой частотной характеристики.
Недостатки:
-	сложная процедура моделирования;
-	требуется много ОУ;
-	сложность настройки из-за взаимного влияния элементов.
Данный способ рекомендуется использовать при производстве боль-
шого числа фильтров, требующих высокой точности АЧХ. К сожале-
нию, процедура проектирования фильтров такого типа довольно слож-
на, и рассмотреть ее в данном разделе не представляется возможным.
Многокаскадные фильтры. Этот способ основывается на разложе-
нии передаточной функции на сомножители первого и второго
порядков. Передаточную функцию каждого из полученных сомножи-
телей можно реализовать по отдельности каскадами первого или
второго порядков, причем их взаимное влияние исключается.
411
Пусть задана передаточная функция вида (4.80), которую можно
разложить на линейные (первого порядка) и квадратичные (второго
порядка) сомножители
F(p)=K	/+^UP+t0bn2 1	)	Р2+—2/’+<Ч)!22	(А'-ьсОо1з)
	Р2+^~Р+Щ)212	P2+^^^’+f4)122	С’+сЧ)2з)
(4.102)
первый сомножитель, второй сомножитель и т.д.
Достоинства:
—	простота проектирования;
-	простота настройки, так как каскады можно настраивать по-
отдельности;
-	малая потребляемая мощность, поскольку каждый каскад можно
построить на минимальном количестве ОУ.
Недостатки:
—	трудно обеспечить точную форму частотной характеристики, так
как погрешности всех каскадов суммируются.
Поскольку последовательность включения каскадов может быть
произвольной, имеется возможность получения оптимальной комбина-
ции полюсов и нулей передаточной функции (4.102). Оптимальная
комбинация зависит от конкретных условий, но в большинстве случаев
обычно требуются следующие свойства:
—	наибольший динамический диапазон, т.е. гарантия того, что ни
один из каскадов не войдет в насыщение раньше других;
-	минимальная зависимость от параметров ОУ;
-	простота настройки.
Общее правило заключается в том, что наибольший динамический
диапазон фильтра достигается при максимально плоской АЧХ на каж-
дом участке. Этого добиваются, объединяя в пары каскады с высоко-
добротными полюсами с каскадами, имеющими нули на максимально
близких частотах.
Как и при сдваивании полюсов и нулей, в каждом конкретном случае
можно найти оптимальную последовательность включения каскадов
фильтра с разной частотой среза.
412
1.	Для увеличения динамического диапазона добротность полюсов
каскадов должна увеличиваться от входа к выходу.
2.	При больших высокочастотных помехах каскад ФНЧ лучше вклю-
чать на входе для того, чтобы избежать погрешностей, связанных с
ограниченной скоростью нарастания сигнала ОУ.
3.	Каскад ФВЧ или ППФ должен быть последним каскадом всего
фильтра с тем, чтобы смещение по постоянному току определялось толь-
ко смещением этого последнего каскада (касается только ФВЧ и ППФ).
4.10.	Чувствительность фильтров
к изменению параметров элементов
Стабильность (чувствительность) фильтра определяется тем, как ска-
зываются на его характеристиках небольшие вариации параметров эле-
ментов схемы, возникающие из-за температурных дрейфов, погрешнос-
тей номиналов и старения. В некоторых случаях даже небольшое от-
клонение значения элемента фильтра от номинального может вызвать
значительные изменения его характеристик.
Для рассмотренных ранее схем фильтров такие основные парамет-
ры, как частота полюса (00, добротность Q и коэффициент передачи в
полосе пропускания К, можно представить в виде функций значений
элементов схемы:
K = fM,R2,...,Rn,C},C2,...,Cm),
Q=, Rn-.C\,c2,...,cm),
®0 =/<00(^l,^2’-’^n>C'bC'2> -,сте),
где Ry,R2,...,Rn,C\,C2,...,Cm —значения резисторов и конденсаторов.
Кроме того, в этих выражениях можно учесть такие побочные эффекты,
как паразитные емкости и ограничения, накладываемые ОУ.
Чувствительность какого-либо параметра фильтра/ к вариациям
конкретного элемента математически определяется выражением
¥
sf	f - & Xi
х.	Дх,- / / ’	(4.103)
х,-
где S* — чувствительность/к изменениям х{.
413
Чувствительности параметров К, <оо и Q к вариациям элементов
можно найти, беря частную производную соответствующего выражения
по конкретному элементу, умножая ее на значение элемента, а затем
деля результат на К, (00 и Q. Чувствительность равная 1 означает, что
изменение значения элемента на 1 % вызывает 1 %-ное изменение
параметра фильтра.
Общая погрешность параметра фильтра (в приведенном далее
примере это Q—добротность) при вариациях значений всех элементов
схемы находится суммированием чувствительностей по отдельным
элементам:
Q I 7?!
1^1 *21 r2
C2l С2
[с<? I
J Rn
(4.104)
п
причем вместо Q можно подставить любой другой параметр. Здесь пред-
полагается наихудший случай, когда погрешности, вносимые отдель-
ными элементами, суммируются.
Анализ чувствительности фильтра к вариациям элементов (4.103)
позволяет разработчику определить возможные для получения зада-
нной характеристики допуски, выявляет те компоненты, погрешности
которых сказываются на характеристиках фильтра в наибольшей сте-
пени, оценить необходимость введения подстроечных элементов.
Строго говоря, следовало бы определить в явном виде чувствитель-
ность всех параметров фильтра (К, соо и Q) к вариациям каждого элемента
схемы. Задача, в общем, несложная, так как обычно можно найти явные
зависимости К, <оо и Q от значений элементов, но она оказывается дос-
таточно трудоемкой из-за большого числа компонентов. Как правило,
после приобретения некоторого опыта, по виду выражений для К, (00 и
Q можно «на глаз» определить, вариации каких элементов в наиболь-
шей степени сказываются на характеристиках фильтра.
414
4.11.	Кварцевые, электромеханические фильтры
и фильтры на поверхностных акустических волнах
Кварцевые фильтры. Многие кристаллы, такие как кварц, турмалин
и др., обладают пьезоэлектрическим эффектом. Последний заключается
в появлении на поверхности определенным образом вырезанной из крис-
талла пластины электрических зарядов одного знака при механическом
ее сжатии и противоположного при растяжении. Пластина при заряде
сжимается или расширяется в зависимости от знаков заряда.
Кварцевая пластина, помещенная между плоскими электродами
(обкладками), к которым подведено переменное напряжение, совершает
колебательные движения и ведет себя как электрическая колебатель-
ная система. Благодаря большой механической прочности и упругости
кварца полученные таким образом колебательные системы оказываются
надежными и высокодобротными.
На рис. 4.47, а приведены условное изображение кварцевой пластины
с обкладками и ее эквивалентная схема. При подключении к зажимам
1-2 переменного напряжения кварц ведет себя как высокодобротный
трехэлементный двухполюсник LC с двумя резонансными частотами.
Это свойство кварца привело к широкому использованию его для
стабилизации частоты автоколебаний и при построении частотных элект-
рических фильтров. Наибольшее распространение получили полосовые
кварцевые фильтры, широко применяемые в аппаратуре связи и теле-
механики. Пример схемы такого фильтра и его характеристика затуха-
ния приведены на рис. 4.47, б, в и г.
Кварцевые резонаторы с высокой добротностью характеризуются не
только малым сопротивлением потерь, но и большой индуктивностью
Рис. 4.47
415
£j при малой емкости Ср при этом резонансные частоты получаются
близкими друг к другу.
Для расширения полосы пропускания кварцевых фильтров приме-
няют расширительные катушки индуктивности.
На рис. 4.48, а изображена схема фильтра с расширительными ка-
тушками. На рис. 4.48, бив приведены частотная зависимость сопро-
тивления плеч этой схемы и характеристики затухания фильтра.
При подключении расширительных катушек полоса пропускания
фильтра расширялась до частоты дополнительного резонанса в сопро-
тивлении Zj.
Расчет фильтра по эквивалентной схеме кварцевого резонатора не
отличается от расчета мостового фильтра LC.
Электромеханические фильтры. В последнее время в качестве ре-
зонаторов стали применять механические системы. Соответствующие
фильтры получили название электромеханических (ЭМФ). Электро-
механические фильтры с механическими резонаторами используются
в диапазоне частот 50 Гц—1 мГц. Такие механические системы изготов-
ляют в виде пластин и стержней, в которых возбуждаются механичес-
кие колебания. Особо удобным оказалось использование металлических
(из сплавов инварной группы) стержней, в которых возбуждаются кру-
тильные колебания. Распространение крутильных колебаний в стрежнях
круглого сечения подчинено тем же законам, что и распространение элек-
трических колебаний в линиях без потерь.
В качестве основных конструктивных элементов механических фильт-
ров используют стержни двух разных диаметров, одни из которых пред-
ставляют собой резонаторы, а другие — связки. Фильтр составляют из
цепочки чередующихся резонаторов и связок с электромеханическими
преобразователями на входе и выходе.
416
Пример построения звена такого фильтра и его эквивалентная схема
приведены на рис. 4.49.
Рис. 4.49
Фильтры на поверхностных акустических волнах. Существуют
разновидности ЭМФ, называемые фильтрами на поверхностных акус-
тических волнах (ПАВ). Эти волны являются разновидностью механи-
ческих колебаний, которые распространяются в тонком поверхностном
слое твердого тела, имеющего форму пластины или стержня. Возбу-
ждение ПАВ в кварцевой пластине показано на рис. 4.50, а. Между дву-
27 Теория линейных эл. целей
417
Рис. 4.50
мя тонкими электродами 7 и 2 в поверхностном слое пластины возни-
кает деформация растяжения—сжатия, как и в обычном пьезоэлектри-
ческом преобразователе. При этом возникают ПАВ, распространяющи-
еся к краям пластины. У этих краев размещаются поглотители П, пре-
дотвращающие отражение от них бегущих волн.
Возбудитель ПАВ в фильтре состоит из множества электродов, под-
ключенных к общим шинам 3, 4 (рис. 4.50, б), и называется встречно-
штыревым преобразователем (ВШП). На выходном конце фильтра также
имеется ВШП с общими шинами 5 и 6. ПАВ, возбужденные во входном
ВШП, распространяются к выходному ВШП, в котором они преобразу-
ются вновь в электрические колебания. Таким образом, промежуток меж-
ду входным и выходным ВШП является акустической (механической)
линией связи между ними с некоторым волновым сопротивлением г.
ВШП имеют две конструктивные особенности. Во-первых, расстоя-
ния между любыми двумя смежными электродами равны половине дли-
ны волны. Поэтому любой междуэлекгродный промежуток настроен в
резонанс и образует вместе с электродами пьезоэлектрический резона-
тор (см. рис. 4.47). Во-вторых, любые смежные электроды ВШП под-
ключены к противоположным шинам (см. рис. 4.50, б), которые имеют
потенциалы противоположной полярности. Поэтому электрические поля
в смежных пьезоэлектрических резонаторах имеют встречные направ-
ления. Следовательно, и механические колебания в смежных резонато-
рах происходят в противофазе. Таким образом, смежные резонаторы
нельзя считать соединенными параллельно, хотя их электроды подклю-
чены к общим шинам, поскольку параллельно включенные резонаторы
колебались бы в фазе.
Чтобы учесть противофазность колебаний смежных пьезоэлектри-
ческих резонаторов, их надо соединить полуволновыми отрезками ли-
нии с волновым сопротивлением г, которые являются продолжением
акустической линии связи между ВШП. При этом образуется эквива-
лентная схема звена ВШП, показанная на рис. 4.51. Следует учесть, что
в этой схеме проводимость В равна половине полной проводимости
пьезоэлектрического резонатора, который соответственно делится при
разбиении ВШП на звенья. Из таких цепочечно соединенных звеньев
состоит как входной, так и выходной ВШП. Следовательно, оба они пред-
ставляют собой многозвенные цепочечные пьезоэлектрические фильт-
ры, соединенные акустической линией связи.
418
Фильтры на ПАВ являются полосовыми фильтрами и используются
в диапазоне частот 1 МГц — 3 ГТц.
4.12.	Корректоры амплитудно-частотных характеристик
в системах автоматики, телемеханики и связи
Корректорами амплитудно-частотных характеристик называют че-
тырехполюсники, включаемые в тракты передачи сигналов систем ав-
томатики, телемеханики и связи для устранения амплитудно-частотных
искажений (см. рис. 4.5). Эти четырехполюсники могут быть и непол-
ными. В частности, плавное уменьшение затухания с увеличением ча-
стоты можно получить по схеме, приведенной на рис. 4.52, если подоб-
рать двухполюсник так, чтобы его сопротивление Zj((D) уменьшалось с
повышением частоты в заданном диапазоне.
В простейшем случае таким двухполюсником может быть конденса-
тор. Увеличивая или уменьшая его емкость, можно регулировать кру-
тизну кривой затухания. Лучшую кривую затухания можно получить,
применив достаточно сложный многоэлементный двухполюсник. Для
к	2,
Рис. 4.52
419
выбора элементов двухполюсника следует задать рад значений затуха-
ния на нескольких частотах (Ор <о2..., определив соответствующие зна-
чения Z/cOj), Z] (®2) и т. д.
Не исключено, что при попытках получить какую-либо зависимость
Z](co) для двухполюсника с конечным числом элементов выявится не-
возможность его реализации. Признаком этого являются отрицательные
значения параметров двухполюсника. В подобных случаях необходимо
увеличить число его элементов.
Недостаток корректоров, выполненных в виде неполных четырех-
полюсников, заключается в нарушении ими условия согласования на-
грузки с системой передачи. Поэтому их применяют только в устройст-
вах автоматики и связи, которые не соединены с линиями, преимущест-
венно в усилителях.
Если цепь используют для корректировки частотной зависимости за-
тухания линий и включают на ее входе или выходе, то должно быть по
возможности выполнено условие согласованности нагрузки. Волновое
сопротивление линий с малыми потерями в области достаточно высо-
ких частот почти активно и мало зависит от частоты. Поэтому коррек-
торы строят по четырехполюсным схемам с активным характеристи-
ческим сопротивлением. Таким сопротивлением обладают мостовые
четырехполюсники, у которых в качестве Zj(<o), Z2(<0) применены вза-
имообратные двухполюсники, частотные зависимости сопротивления
которых удовлетворяют условию Z](<o) Z2(co) = Л2. По формуле (4.62)
ZM =	=
Практически в последнее время корректоры амплитудно-частот-
ных характеристик преимущественно строят по схеме, приведенной
на рис. 4.53, а.
Постоянная передача такой цепи определяется выражениями
s Zi + R
es =—-----
R
у
o = 201gl + —,
7?
1д0,05л
(4.105)
Как видно, свойства указанной схемы определяются очень простыми
выражениями. Из них следует; что зависимость затухания от частоты
целиком характеризуется частотной зависимостью сопротивления Zf (со),
так как Z2(co) = R/Z}(_(o).
420
Выбирая в качестве Zj двухполюсники с разными частотными зави-
симостями сопротивления, можно получать различные частотные ха-
рактеристики затухания. Например, если в качестве Zx взять конденса-
тор, а в качестве ®2 — катушку без потерь, то получим схему, затухание
которой неограниченно велико при Z2 = 0 и уменьшается с ростом часто-
ты. Применив в качестве Z] катушку без потерь, а в качестве Z2 конде-
нсатор, получим схему, затухание которой на нулевой частоте равно ну-
лю и растет с увеличением частоты.
Если желательно, чтобы затухание, оказываемое схемой постоян-
ному току, не было неограниченно велико или равно нулю, то в схеме
(см. рис. 4.53, a) Zf и Z2 должны содержать также активные сопротив-
ления, подключенные к конденсатору параллельно, а к катушке после-
довательно. Сопротивления Zj = rt + усо£1 и Z2 = —------- будут
— + у®С2
г2
удовлетворять условию взаимной обратимости Z]Z2 = R2, если их
элементы подобраны так, что rxr2 = R2 = Lх/С'2. Действительно,
2 z - Г1+7Ю^1	_ ri+j<^2^2 _^2
1 2 (1/г2)+/гоС2 (r^/R2)+j(i)C2
Два сопротивления: одно, образованное последовательным, а дру-
гое — параллельным соединением активного сопротивления с реак-
тивным, оказываются взаимно обратными и в том случае, если реак-
тивные сопротивления сколь угодно сложны, но удовлетворяют условию
Г]Г2=Х1Л2 = /?2.
42Г
При подборе элементов схемы корректора мы сталкиваемся с задачей
аппроксимации, решаемой совместно с задачей реализации.
Для аппроксимации функции Ю0,05" =
значения затухания на различных частотах
следует задать
и получить необходимое
R
число уравнений для определения всех элементов двухполюсника
сопротивлением Zj. Чем точнее должна быть реализована кривая
затухания, тем более сложными должны быть взяты сопротивления Zj(co)
и Z2(co). Корректоры амплитуд но-частотных характеристик строят также
по мостовой или скрещенной схеме.
Сопротивления плеч моста Zf м и Z2M, эквивалентного схеме, приве-
денной на рис. 4.53, б, с сопротивлениями Z, и Z2 определяют по
соотношениям
1	1	2
~— = ~+v; Z2M = R+2Z2.	(4.106)
Z1M R Zj
Расчет корректора амплитудно-частотной характеристики.
Рассмотрим порядок расчета корректора на простом примере. Для оп-
ределенности предположим, что исходя из заданной кривой затухания
в качестве Z, выбрано параллельное соединение активного сопротивле-
ния и конденсатора (рис. 4.54, а). Затухание такой схемы уменьшается с
частотой и конечно на частоте (О = 0 (рис. 4.54, б). В этом случае
Г1 О
l + jWjCj 1 + уД.
*1
(4.107)
422
Затухание определяется из формулы (4.105), используя для замены
в ней выражение (4.107):
1q0,05o
l + -i + j(tirlC\
i+jconq
(4.108)
Для расчета требуемых значений элементов корректора следует,
задавшись затуханиями на двух частотах, определить /[ и С] схемы.
Подставляя заданные значения затухания и частоты в выражение (4.108),
можно получить два уравнения, необходимые для вычисления г j и
Ср Уравнение (4.108) определяет модуль комплексного числа, что
затрудняет вычисления.
Для решения задачи уравнение (4.108) перепишем в виде
fl+—1 +<о2г12С12
( R)___________
1+coWq2
(4.109)
Наибольшее затухание корректор оказывает токам с нулевой часто-
той. Оно определяется соотношением
z ч2
100>lfl°= 1 + -^ ,	(4.110)
где а0—затухание на частоте со = 0.
Затухание а0 и сопротивление R следует считать заданными.
Сопротивление q определяется из уравнения
Л =4о°’О5"°-1).	(4-И1)
Теперь в выражении (4.109) неизвестным остается только Ср
2 27	Г]2	7 2
Обозначим (0 q Q =-у=к со ,
xt
423
тогда
i z-iOjlflA г 2 _-2
100’1“ = —---(4.112)
1 + £2(02
Задаваясь теперь одним значением at на одной из частот рабочего
диапазона, например Ор найдем
j |1оОЛ«о _100,Ц
к = —J------„г-------•	(4.113)
®1V 1О0’1"' -1
После определения к = г jQ элементы корректора рассчитывают
по формулам
q = к/гу, r2 = R2lr}; 12 = CXR2. (4.114)
Строят кривую затухания по формуле (4.109) и сопоставляют ее с
заданной. Если расхождения между этими кривыми в рабочем диапазо-
не частот превышают допустимые по условиям задачи, то выполняют
новый расчет для более сложной схемы.
При проектировании корректоров имеются две возможности. Первая
построить однозвенный корректор с достаточно сложными многоэле-
ментными сопротивлениями Zj(co) и Z2(co), которые скорректировали
бы амплитудно-частотную характеристику (частотную зависимость
затухания) всего тракта передачи сигналов. Вторая — использовать
несколько одинаковых звеньев невысокого порядка, каждый из которых
корректирует часть тракта, и соединить их цепочечно.
Пример. Рассчитаем корректор амплитудно-частотной характерис-
тики, предназначенных для устранения искажений сигналов в диапазоне
частот от 300 до 3000 Гц в кабельной линии с точностью Да - ±0,5 дБ,
затухание которой зависит от частоты так, как это указано ниже.
Частота/, Гц	0	300	500	800	1000 2000 2400 3000
Затухание а, дБ	1,7	2,5	3,2	4,1	4,4	5,9	6,5 7,0
| ZB | = 400 Ом на всех частотах.
Так как суммарная характеристика затухания линии и корректора
ап + аК в корректируемом диапазоне частот не должна завесить от
частоты, то на первом этапе расчета может быть определена характе-
ристика затухания корректора акур:
йкТР =йх-йл-
424
Поскольку включение корректора неизбежно внесет некоторое до-
полнительное затухание током с самой высокой частотой, суммарное
затухание должно лежать в пределах - (1,1 ... 1,2) ал тах (ал тах—
максимальное затухание линии на верхней частоте корректируемого
диапазона). Заданное суммарное затухание = 1,1x7 = 7,7 дБ. Тогда
затухание корректора актр будет:
Частота/, Гц 0	300	500	800 1000 2000 2400	3000
Затухание ак, дБ	5,7	5,2	4,5	3,6	3,3	1,8	1,2	0,7
По формуле (4.111) найдем
Г1 = Я(100’05"» -1) = 600(1,027 -1) = 556,5 Ом.
Для определения через к по формулам (4.112) и (4.113) зада-
димся затуханием на одной из частот рабочего диапазона. Выберем в
качестве Д частоту 1000 Гц. На этой частоте затухание (см. рис. 4.55)
должно быть ал = 3,5 дБ.
Подставляя эти данные в формулу (4.112), получим
k = J_ lio°’lao-io()’1“i~_	1	/3,715 — 2,138 lg7 1q_4.
Ю0,1"1 -1	-2л-1000)| 2,138-1
Q = к! i\ = I’-?'10 = 3,36 • 10~7 Ф, r2 = R2 / п =	= 647 Ом;
556,5	556,5
/г = С1Я2= 0,121 Гн
425
Подставляя значения к2 в формулу (4.112) получим следующие
значения затухания:
Частота/, Гц
Затухание аК, дБ
Отклонения
затухания, Аа, дБ
О 300 500 800
5,7 5,33 4,79 3,87
0 0,13 0,29 0,27
1000 2000 2400 3000
3,3 1,5 1,14 0,79
0 -0,3 -0,06 0,09
По полученным данным строим зависимость затухания от частоты
(см. рис. 4.55). На этом рисунке показаны расхождения между заданным
(акТР—кРивая 7) и полученным (ак—кривая?) затуханиями. Посколь-
ку эти расхождения менее заданных Аа = ±0,5 дБ, на этом варианте ра-
счета можно остановиться. Если расхождения больше заданных, следу-
ет повторить расчет д ля другого варианта. Для уменьшения неточности
корректировки можно увеличить число входящих в корректор звеньев
или перейти к сложным схемам звеньев, например, содержащим двух-
элементные реактивные сопротивления (рис. 4.56, а).
Порядок расчета корректора с двухэлементным и реактивными
сопротивлениями. По формулам (4.107) и (4.108) можно рассчитать
и более сложные схемы. Рассмотрим, например, схему корректора,
частотная зависимость затухания которого приведена на рис. 4.56, 6.
Эту схему следует использовать для корректировки затухания линии,
если рабочие частоты лежат в полосе ниже со0 .
Рис. 4.56
426
Сопротивление г, рассматриваемой схемы рассчитывается по
формуле (4.107) через затухание на нулевой частоте. По уравнению
(4.108) по затуханиям а1 и а2 определяются два значения ко на час-
тотах/, и/2:
JigO,lao _|qO,1cj	Lq0,1co _|д0,1аг
ioo’la>-i ’ *2t0 V ю0,1"2 -1
Для рассматриваемой схемы
*1 А СО2 - О2 А СО2 - СОр
Как видно, в этом случае к зависит от частоты. Эта зависимость
определяется соотношением
ко2Ц - ко2р - Ао>2 Д = Pi.	(4.115)
Подставляя в эту формулу два значения ко и две частоты, получим
систему из двух уравнений:
А1<в2 / -к\О2Ц = q; к2о2Ц -к2с?рЦ = П 	(4.116)
с двумя неизвестными £j и ор Ц.
Решая систему уравнений (4.116), определяем Ц и ор Ц, апо ним
и остальные элементы схемы по формулам
2
С1=-4-; Г2=—; С2=Д//?2; ^С,/?2.	(4
со2/ П
Применение корректоров, составленных из нескольких рассмотрен-
ных звеньев (см. рис. 4.56), позволяет решать многие практические
задачи.
Более подробные сведения о расчете корректоров выходят за рамки
данной книги и могут быть найдены в специальной и справочной
литературе.
427
4.13.	Корректоры фазочастотных характеристик
трактов передачи сигналов
Тракты передачи сигналов в системах автоматики, телемеханики и
связи включают в себя линии, трансформаторы, фильтры и другие
устройства. Вследствие конечности фазовой скорости и изменения
напряжения и тока на выходе тракта передачи отстает во времени от их
изменения на входе. Это запаздывание характеризуется для каждой
частотной составляющей сигнала фазовым сдвигом или фазовым вре-
менем прохождения.
Если фазовая скорость v для различных частотных составляющих
неодинакова, то сигнал при передаче по тракту передачи подвергается
фазочастотным искажениям. В этом случае время прохождения харак-
теризуют величиной
^гр.пр=db(a>) / do,	(4.118)
называемой групповым временем прохождения. Значения группового
времени прохождения на определенной частоте <»1 - ^гр.пр(ю1)
характеризует время запаздывания огибающей группы частотных
составляющих сигнала, лежащих в узкой полосе частот вблизи со j.
Для корректирования фазочастотных искажений в тракты передачи
сигналов включают корректоры группового времени прохождения,
фазовые характеристики используемых в качестве корректоров
четырехполюсников подбирают так, чтобы время прохождения в
откорректированном тракте с включенным корректором
^гр.пр- ^гр.пр.тр+ ^гр.пр.к
независимо от частоты тока, или, что то же самое, чтобы
fe(<o) = Ww) + ^(«) = ^ + io-	(4.Н9)
Здесь ^гр.пр.тр — время прохождения сигналов по тракту;
^гр.пр.к — время прохождения сигналов корректора;
Z’(co) — фазовая характеристика откорректированного тракта;
frpp(co) — фазовая характеристика тракта;
Z>K(co) — фазовая характеристика корректора.
В качестве фазовых корректоров применяют четырехполюсники,
пропускающие все частоты с малым затуханием и не оказывающие
существенного влияния на характеристику тракта. Этому условию
428
удовлетворяют мостовые пассивные цепи и специально подобранные
активные гС-цепи.
Мостовая схема пропускает все частоты, если входящие в схему
сопротивления Zj и Z2—взаимообратные реактивные двухполюсники.
Для мостовой схемы с взаимообратными сопротивлениями харак-
теристическое сопротивление и постоянная передачи определяется
выражениями
-7 О.	^1 g R+Z[
= k V? £ ^’	<412°>
Независимость ZM от частоты позволяет хорошо согласовать эти
схемы с нагрузками. При реактивных сопротивлениях Zf и Z2:
Z]=jxi; =	=
2 R R
(4-121)
следовательно,
« = 0; g = jb\ tg^ = ^;
z К
eib^R+jxx
R-jxi ’
(4.122)
(4.123)
откуда
Лк = In
(4.124)
'гр.пр.к- d&
(4.125)
R+ jX\ n Xi
---= 2arctg—;
Я-Al bR
2 dxi
_dby. R da
x2 ‘
R J
Свойства такой схемы целиком определяются свойствами Xj. Практи-
чески фазовые корректоры строят по схемам, эквивалентным мостовым,
которые содержат меньшее число элементов.
Обычно для построения фазовых корректоров в сопротивлении Zj и
Z2 один или два элемента.
Такие схемы называются фазовыми звеньями первого и второго
порядка соответственно. Если фазовые звенья первого или второго
порядка не обеспечивают требуемую фазовую характеристику, соеди-
няют цепочечно несколько звеньев.
429
(4.126)
(4.127)
рис. 4.58, а.
(4.128)
Фазовый контур первого порядка. Сопротивления Zj и Z2 звена
первого порядка равны (рис. 4.57)
Zj = jcoZj и Z2 = 1 ; или Zi = pL, Z2 = ——,
усоС2	РС2
где р — в общем случае р = 5+j(ti. Подставив значение Zj и Z2 в
выражение (4.120) получим
g R+рЦ
R-рЦ
Корни числителя и знаменателя (4.126) равны:
_ R х
Р1~—и Р2=~ = °\-
ч	ч
Расположения нулей и полюсов показано на
Учитывая (4.127),
с	1 + -
eg - ^+8i _5i
Р“51
81
Из формулы (4.124)
1 + f
bk = -In--± = 2arctg^ = 2arctg<X~- = 2arctg^co), (4.129)
1-бГ
где h =—.
R
Групповое время прохождения
2k
Zrp.np.K -	,2 2'	(4.130)
1	+ fc со
Рис. 4.57
430
a
-8.
81

Фазовый контур второго порядка. Сопротивления Zj и Z2 фазового
контура второго порядка (рис. 4.59, а) содержат два элемента
уйД ]оЦ
7	7 ’
1-й ЦС\ . Й
1	2
ЙО
2	_ 1 _ 1	_ РЦ
где йо =----=-----, или Z, —--т----.
цсх 1^' \-р2цсх
Подставляя значение Zj в выражение (4.120) получим
g _ R+ р2L{C\R+ pL\
R+ р2 L\C\R— pL
(4.131)
учитывая, что
АС1 = ^С2=-4; Я=
ЙО
a
431
получим
2	2
g _ р + patent + g>q
e ~ 2	2’
p - pa^m + g>q
где
m = IK= S=^o£i.
Vz2 VQ к
Корни многочлена числителя и знаменателя равны:
(4.132)
\2
т
i
„ /исйп , . I (т
^’3=-2^±АГ 2
= -5п±7®п;
_/ЯЮ0
^.4- —
, .	, (т
±7“0Г“ "2
= 8п±У®п-
Функция коэффициента передачи (4.132) имеет два нуля (Рр Р3 ) и
два полюса (Р2, Л})- Нули и полюсы коэффициента передачи распо-
ложены симметрично относительно оси координат (рис. 4.58, б).
Для фазового сдвига и группового времени прохождения разложим
многочлен числителя и знаменателя на множители:
лЛР-Р1)(Р~Рз).
(р-р2)(р-р4У
! , СО-Юп t , Ю+ЮП
£К= 8п___________8п	(4.133)
! СО-СОп ! СО+СОп'
8П	8П
Используя выражения (4.124) и (4.133) найдем фазовый сдвиг
L П _ W-®n п , (0+(0п
Ьк = 2 arctg 8	+ 2 arctg g ,	(4.134)
где 8П =	1, или feK = 2arctg——— + 2 arctg ~^ + ~^п , где к -	1.
2а	k	к	R
432
Часто для расчета фазового сдвига контура второго порядка пользу-
ются другой формулой. Ее можно получить, подставив в выражение
(4.124) значение сопротивления Хр
Ьк - 2arctg^- = 2arctg
C0Z4
”7
R 1—
®о
_ kif
=2arctg7-t^’ (4Л35)
где	^ = —j-
* /о
Так как при частоте со = соо фазовый сдвиг равен 180°, а фазовый сдвиг
контура второго порядка равен 360° (рис. 4.59, в), ввиду этого выражение
(4.135) можно представить в виде
,	„ k,f
bK = 2arctg—5—v + ил.
1-¥2
(4.136)
Коэффициент п в интервале частот 0 ... соо равен нулю, а при со > соо
п = 2.
Групповое время прохождения корректора можно определить,
используя выражения (4.125) и (4.134):
dbK 1 dbv
t — к —___________к
грпрк" d({)-2K df,
(4.137)
Пример расчета фазового корректора.^ качестве примера
рассмотрим порядок расчета фазового корректора второго порядка
(см. рис. 4.59, а, б).
Пусть требуется рассчитать фазовый корректор для корректиро-
вания фазочастотной характеристики тракта передачи сигналов Ьтр п
(рис. 4.60) в интервале частот^
28 Теория линейных ел. целей
433
Отклонение фазовой характеристики корректора Ьк от требуемой
iTp к заданном диапазоне частот не должна превышать Ай , т.е.
|*тр.к-А|^-	(4-138)
Сопротивления нагрузок считаются заданными.
Задаются линейной зависимостью суммарной фазовой характерис-
тикой тракта передачи п и корректора Ьк в заданном диапазоне частот
Л -Л.
<>K + 4.n = «	<4лз9>
Производится расчет требуемой характеристики фазового сдвига
корректора Ьк по формуле
(4-140)
Эта разность с увеличением частоты должна монотонно возрастать.
Рассчитываются коэффициенты к\ и b в (4.135). Для нахождения
коэффициентов и b составляем два уравнения. С этой целью на
характеристике b к выбираются два значения Ki и йтр к2 на частотах
/j h^2 (см. рис. 4.60):
Л1Л	. ^тр.к!
7^ в~2~=а'-
k\f2	. ^тр.к2
^ = <8—= »2-	(4.141)
Решая уравнения (4.23) совместно определяют коэффициенты к^ и Ь:
b = —alf\~a\f2 .	(4 142)
к, = ala2^f2zfh	(4.143)
Используя выражение (4.136) рассчитывают частотную характерис-
тику фазового сдвига корректора ЬК и проверяют, удовлетворяет
ли ЬК требуемой фазовой характеристике йтр к с заданной точностью
(см. рис. 4.60).
434
Л, град
Рис. 4.60
Если разность (Ь к- Ьк ) на какой-либо частоте превышает заданную
величину Ай, то необходимо изменить частоты /j nf2 и повторить расчет.
При невозможности обеспечить заданную точность одним корректором
включают цепочечно два корректора.
После того как требуемая точность достигнута, рассчитываются
элементы схемы корректора:
£1=^,Гн; /о=,-=-------т= =-----Д=,Гц
2л	V b lUy/LiCi
q =	*	,Ф; L2 = C1R2,ra-, С2 С2 = ................
4л2/о2А	2 R2 2 4л2/02£2
(4.144)
,Ф.
Групповое время прохождения корректора пр к рассчитывается,
используя выражение (4.137).
Практически корректоры группового времени прохождения состав-
ляют из нескольких разных звеньев, представляющих собой фазовые
контуры второго порядка, включаемые цепочечно. Необходимая частот-
ная зависимость группового времени прохождения корректора получа-
емая как сумма частотных зависимостей группового времени прохож-
дения отдельных звеньев.
Активные корректоры фазочастотной характеристики рассмотрены
в п. 4.10.
435
4.14. Принципы построения фильтрующих цепей
на основе временных характеристик
Теория электрических фильтров представляет собой раздел ТЛЭЦ,
рассматривающий задачу построения цепи по заданным частотным
характеристикам. Свойства цепи можно отображать также временными
характеристиками. Поэтому всякую цепь, например электрический
фильтр, можно строить на основе заданной временной характеристики.
Пусть требуется построить электрическую цепь, в которой при воз-
действии на ее вход единичным скачком или импульсом напряжения
возникает ток, изменяющийся во времени по закону г =fit). Здесь fit)
произвольная функция времени, заданная уравнением или графиком.
Она может быть характеристикой фильтра, выравнивателя или другого
устройства.
При построении цепи, ток в которой должен изменяться точно по
заданному закону i —fit), в общем случае может появиться необходи-
мость сделать эту цепь бесконечно сложной. Поэтому при проектиро-
вании электрической цепи с заданной временной характеристикой сле-
дует прежде всего определить допустимую погрешность в воспроиз-
ведении функции fit).
Точность воспроизведения заданной функции fit) в линейных це-
пях можно выразить различными способами в зависимости от способа
представления самой функции. Например, если функция представлена
рядом Фурье в виде суммы синусоидальных составляющих, точность
воспроизведения ее вполне определяется числом и точностью воспро-
изведения отдельных гармонических составляющих. Если функция имеет
вид ступенчатой линии, полученной суммированием отдельных прямо-
угольников, то точность воспроизведения функции определяется числом
и точностью воспроизведения ординат. Оба способа представления
функции вполне равноценны и могут быть использованы для решения
поставленной задачи.
Рассмотрим построение цепи, переходная проводимость которой
получается суммированием гармонических составляющих (рис. 4.61).
Если все конденсаторы в цепи, представляющей собой сложный реак-
тивный двухполюсник с сопротивлением Z(co), заряжены до напряже-
ния и и затем разряжаются через индуктивности на сопротивление R,
436
Рис. 4.61
то полный ток разряда i(t) равен сумме токов отдельных ветвей. Ток
каждой ветви изменяется по закону затухающих колебаний с частотой,
равной частоте резонанса ветви.
При малых потерях и незначительном затухании колебаний ток в
каждом резонансном контуре
i=	=—си=&оски =
к dt dt к ° к
или
й
Выбором сопротивлений отдельных ветвей
можно
изменять токи с отдельными частотами в соответствии со спектральным
составом функции fit). Сумма всех синусоидальных токов приближенно
дает требуемую функцию. Электрические колебания с теми же часто-
тами и амплитудами возникают в ветвях цепи при подключении ее к
постоянному напряжению и без предварительного заряда конденсатора.
Таким образом, цепь имеет необходимую переходную проводимость
при единичном напряжении
N
A(t) = i(t) = 2Л sin соОлЛ	(4.145)
Л=1
Точность воспроизведения функции/(?) зависит от числа слагаемых
в разложении (4.145), т. е. от числа контуров в формирующей цепи.
Очевидно, что в качестве формирующих цепей можно использовать
также реактивные двухполюсники других схем.
437
Теперь обратимся к построению цепи, переходная проводимость
которой получается способом суммирования ординат (рис. 4.62, а).
На этом рисунке ЛЗ — линии задержки с временем задержки, равным
длительности входного импульса t, У1—У4—устройства, изменяющие
значение напряжения импульса.
Если значения напряжения импульса на выходе каждого из устрой-
ств У1—У4 установить равным fikt), то полный ток, появляющийся на
выходе всей системы в точке А, будет как раз представлять собой при-
ближенно функциюХО- Чем больше число линий задержки и чем мень-
ше длительность импульса, подаваемого на вход формирующей цепи,
тем точнее будет воспроизведена функция fit).
Точно так же можно строить функции переходной проводимости
при единичном напряжении (рис. 4.62, б).
Расчет временных характеристик фильтра по рабочему
параметру передачи. Временные характеристики фильтров широко
используют при исследовании условий передачи импульсных сигналов
и вполне определяются их частотными или операторными характерис-
тиками. Для простейших фильтров (рис. 4.63, а и б) временные
характеристики определяют отысканием L- или F-преобразования
соответствующих функций передачи, что является несложной задачей.
Однако трудности быстро возрастают с усложнением схемы.
Рассмотрим для примера схему (рис. 4.63, в). Это звено ФНЧ типа т,
нагруженное на постоянные активные сопротивления R.
438
Рабочий коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению
.	Е ZnpiiB
соответствующая функция передачи
,	1 2U2 ж
крГТ-Т - —	,
£ ^прив
гпе 7	- ^Z11 + R^R + z22) - Z12Z21
где ^прив ~	~
Z21
Имея в виду, что в рассматриваемом случае
Z11=Z22J Z12=Z2b Z11 =	+z125 Z12 ~
jcoC2
найдем
Znpm = 0? +
n t R + jaLj
 T	1
jcoC2
439
F - 2R
Гри-у----
^прив
т r J
, 1
У©Аг + . „
joC2

Сопоставляя схемы, приведенные на рис. 4.63, в и 4.18, б, заметим, что
mL	1-т2	2 Ц
Ц — -—, С2 — тС; Ln — L,------tn =----------;
2	4ж Ц + 21^
2 fam2 [	2	7 rm-
Wcp VZc VAQ ^С2(Д+2/2)’ Zjc( } vc“-Jc2’
„ 4l!C Z,.(0) 1 [l
Введем т =------- и v = —— = — I —, а также нормированную
co^p/?	R R V C
(0	©А	2Д	2
частоту т] = тсо, v = -—. Тогда -= mr\, ---- = v •
©cp	R	c2r
Имея в виду последние соотношения, представим FpU в виде
F(^ =___________у2-Т]2(1-Ш2)______________
(1 + jmr|)[v -т) (1-т ) + jmr|(l + jmri)]
Вводя р = /г|, получим
(4.146)
(l + mp)(v +тр+р )
Выражение (4.146) есть нормированная рабочая функция передачи
фильтра. Найдем корни многочлена знаменателя этого выражения и
представим его в виде суммы простых дробей.
Знаменатель выражения (4.146) имеет нули при
1
Р\~-----Р2,3 =
т
440
Рабочую функцию передачи фильтра теперь можно представить в виде

Р-Р\ Р-Р2 Р-РЗ
Если на вход фильтра воздействовать единичным напряжением 1 (/),
изображение которого по Лапласу Е[1(/)]=С7(р) = —, то выходное
Р
напряжение численно будет равно переходной проводимости при
единичном напряжении: H(t) =
Р
На рис. 4.63, г приведены зависимости нормированных значений
функции Я(/соср) для различных значений коэффициента т. Умень-
шение значения т соответствует снижению индуктивности в схеме
(см. рис. 4.63, в) и приводит к ускорению нарастания тока в сопротив-
лении R.
Для фильтра верхних частот (рис. 4.64, а) аналогичными рассужде-
ниями получаем
С2 = 2т2
Q 1 - т2
pC\R=P,
Zx(0) = 1 I2Z?
r r\ q
v;
p	v2(l-m2) + Hi2 p2	(4.147)
F(P) ~ ~2	2	2	2 Y~
v + p v +m p + m p
Кривые, характеризующие соответствующую выражению (4.147) пе-
441
Рассмотренные решения являются точными, вполне отражающими
свойства исходных схем.
Расчет по характеристическим параметрам передачи. Если тот
же способ решения — определение Л,аб(.Р) и H(t) = I7x —F(p)
_Р
применить для многозвенных фильтров, то решение будет затруднено
громоздкостью выражения для F (р). Поэтому при определении времен-
ных характеристик многозвенных фильтров выгоднее предполагать
согласованность нагрузки и пользоваться параметрами передачи g и
Zx. Для примера рассмотрим схему ФНЧ (рис. 4.65, а). Фильтр состоит
из трех звеньев и предполагается нагруженным согласованно.
Для ФНЧ на основании выражения (4.18)
И.
zx - ZT -
®cp
где сойб — угловая частота среза.
Изображение для тока на входе фильтра при действии единичного
напряжения
Ц(р) _ Ц(Р\
р2
<£р
По таблице операционных соотношений находим
»i(0 =
zx(p)
pJ~ylp2+®cP
==== = Jo (at),
Ip2™2
где JQ — функция Бесселя.
Рис. 4.65
442
Множитель 1/р в изображении соответствует интегрированию по t:
ПУ
<1 (0 = J Jo(®CpzW(®cpO.
Изображение тока на выходе фильтра
®ср
i2W =
_____ g~”g
P-J^y/p2+0)cp
где п — число звеньев фильтра.
ll + ^!—1 =1 + 2-2=—2-2-
2Z2
Следовательно, ё~^ можно представить так:
Г !----—	12
e~ng =
Z
е~8 =chg-shg = 14---—
2z?2
®ср
Р2
2
®ср ®ср
'1+-4—
(в СОсп
^ср СР
2п
е 8 =
Тогда изображение тока на выходе фильтра
' /------- I2"
ГТ" уР -*-®ср Р
По таблице операционных соотношений найдем
а
	
2	2
р +а -р
= J„(aZ); п > 1.
Отсюда
‘2 W = \ £ J2n J(®cpO-
443
Характер изменения тока на выходе ФНЧ тот же, что и тока на входе
(рис. 4.65, б), однако с увеличением числа звеньев в фильтре повышается
,	/л 1	17sin®/ , _
порядок функции hi (/) = 1(f) = — ч— -д®. При этом удлиняется
2 л J а
промежуток времени до начала значительного роста тока и уменьшается
частота его колебаний.
При х < п функция Бесселя 7„(®ср/) весьма мала. Ее заметный рост
начинается только при х > п . Это соответствует используемому при
построении линий задержки свойству ФНЧ. Время, после которого
начинается заметный рост тока на выходе, возрастает с увеличением
числа звеньев.
Однако неправильно было бы считать, что ток на выходе фильтра
имеет место только при t >2п1(йср. Так как фильтр составлен из
сосредоточенных сопротивлений, то ток на его выходе появляется
одновременно с током на входе, но нарастание его во времени идет
сначала очень медленно и становится практически заметным только
при/>2и/юср.
Рассмотренное решение основано на известной идеализации —
предположении согласованности нагрузки, а также идентичности всех
звеньев фильтра. Сложность решения не зависит от числа последних.
Расчет по идеализированным характеристикам затухания а и
фазы Ь, не учитывающим условия физической реализации.
Практически фильтры содержат звенья типов к и т, различающиеся
своими параметрами. Практически существующая схема фильтра
и его характеристика приведены на рис. 4.66, аиб.
Совершенно очевидно, что в д анном случае для расчета переходной
функции оба рассмотренных выше способа не годятся. Здесь отказы-
ваются от исследования влияния каждого элемента схемы и аппрокси-
мируют свойства передающей системы целиком.
Рис. 4.66
444
Характеристика фильтра по затуханию показывает, что с известной
степенью приближения можно считать, что
О при 0<со<соср
о® при со > соср
b = т3со; Zx = Л
(4.148)
Пусть на вход фильтра действует единичное напряжение. Предста-
вим его интегралом Фурье
..	. 1 1 7sincoz ,
“1(0 = КО = -+- I------
2 п Jo со
Каждая частотная составляющая, лежащая в полосе 0 < со < соср будет
передана через фильтр без изменения амплитуды, но со сдвигом по фазе
на угол Ь(с£>) = т3со, что соответствует сдвигу соответствующей сипусои-
<й>_
ды по времени на ~ - "Ч- Все частотные составляющие, для которых
со > со^ не будут переданы вовсе.
Таким образом, выражение для £/2(Z) = H(l) будет иметь вид
СОСр
..1 1 г sinco(/-T3) ,
U2(t)=2+h J -------co----	(4-149)
Подстановкой co(z-T3) = x, co=----- интеграл в выражении
t —— T3
z .
Г S1HJC
(4.149) сводится к интегральному синусу: -dx= sinZ, для которого
о х
имеются таблицы. График и2(/) = #(K£>cp) приведен на рис. 4.67.
445
Хотя полученное решение в ряде случаев и с достаточной точностью
отображает процессы, оно имеет один существенный недостаток.
Напряжение н2(/)не равно нулю для отрицательных значений t. Это
значит, что оно появилось на выходе фильтра до включения напряжения
щ (t) на его входе. Это несоответствие объясняется тем, что характерис-
тики а( и) и/;(«), которые мы приписали фильтру, являются характерис-
тиками физически неосуществимой системы.
Несмотря на этот недостаток, решение (4.149) широко используют
для оценки влияния ширины полосы пропускания фильтра на скорость
нарастания сигнала, а также как первое приближение, на основе
которого могут быть получены другие более точные решения.
Если на вход фильтра действует напряжение в виде единичного
импульса
«1 (/) = 5(f) = — [ cosw/tfto,
71J
то на его выходе получим
СО™	•	'
If-	1 Sinwcp/
5(f,cocp) = — cosco/da = И/(/) =-т-—; I =1-т3.	(4 150)
F 7C ’	11 t	V •	/
0
Решение (4.150), полученное для идеального ФНЧ, можно
использовать для построения соответствующей характеристики ПФ.
Перепишем соотношения (4.148) в виде Е(со) = 1 при 0 < со < соср;
Е(со) = 0 при со > соср.
Аналогичная характеристика для ПФ будет:
Дсо) = 0при0 < со < со,;F(co) = 1 со,< со < со2; Дсо) = 0 при CDj > со2. Она
может быть рассмотрена как разность двух функций F2(co) и Fj(co),
каждая из которых есть характеристика ФНЧ (рис. 4.68). На основании
этого временная характеристика ПФ получается как разность
временных характеристик ФНЧ.
Представление характеристики передачи фильтра в виде нескольких
слагаемых можно использовать и для улучшения решения (4.145) более
точным представлением характеристик ФНЧ.
Так, например, амплитудно-частотную характеристику фильтра
с пологим срезом Д со) можно представить в виде суммы двух слага-
емых Fj+F2 (рис. 4.69);	— это характеристика идеального
ФНЧ; соср= cOj-Aco.
446
F2 определяется соотношениями
1 - sin 1 при|® - <П] I < Асо;
2Д® )	1	11
/<2(со) = О при|со- о>1| > Лео.
Это хорошая аппроксимация реальных ха-
рактеристик, которая приводит к простым
выражениям для Н (/) и W(/). В частности, при
d (?) на входе получаем
и/е а - JL 5*п(|)1г	cos А®/
(	'А2
1- I**
п
X 7
Суммой двух слагаемых можно представить
и фазовую характеристику фильтра. Так, на
рис. 4.70 показано, как фазовая характеристика
ФНЧ в полосе пропускания 0 может быть пред-
ставлена в виде суммы двух слагаемых 0 j и 02,
где 0j = сото и 02 -b sin сот.
Характеристика передачи в этом случае
n t
F(®) = |F(®)|et0T°-Z’sint0T =
= |F(®)|e“%-fcsintflT =
= Г(Юид>-6-^.
Интеграл Фурье с такой функцией может быть
вычислен. Вычисление приводит к следую-
щему выражению для W[t);
= J0(b)W0(t) + J, (b)[W0(t + T) - W0(t -?)]+
+ J2 Ф) [И£ (z + 2т) + W(t - 2t)]+ J3(b)
[И6(/ + Зт)-И6(/-Зт)]+...,	(4.151)
где Jt— функция Бесселя первого рода (i = 1,
2, 3 и т. д.);
1 ----------------------
°	со2 <0
1---------
Рис. 4.68
447
Wq(O—импульсная переходная характеристика для идеализирован-
ной системы с характеристикой) Д<о)11д.
Таким образом, отклонение фазочастотной характеристики от линей-
ной вызывает появление парных эхо-импульсов с амплитудами, опреде-
ляемыми выражением (4.151).
Рассмотренные в этой главе приемы определения искажений сигна-
лов при прохождении их через системы передачи с различными хара-
ктеристиками являются основой специальной дисциплины, называемой
обычно теорией систем.
В этом параграфе были рассмотрены приемы определения временных
характеристик электрических фильтров. Эти приемы весьма разнообраз-
ны и в подавляющем большинстве достаточно сложны. Объем необходи-
мых вычислений во всех случаях резко возрастает с усложнением схемы
фильтра. Этим и объясняется наличие многих приемов, различающихся
детальностью учета исходных данных.
Развитие автоматики, телемеханики и связи идет по пути использо-
вания все более и более сложных фильтров, в связи с чем возрастает
роль методов, заключающихся в замене реальных амплитудно- и фазо-
частотных характеристик фильтров идеализированными, временные ха-
рактеристики для которых определяются более просто.
ло
Рис. 4.70
Наряду с представлением хара-
ктеристик в виде, показанном на
рис. 4.46, 4.69, и 4.70, широко ис-
пользуют также метод, основаш 1ый
на замене логарифмических ампли-
тудно-частотных характеристик
асимптотическими характеристика-
ми, образованными отрезками пря-
мых. Этот последний метод нашел
особо широкое применение в тео-
рии автоматического регулирова-
ния и хорошо разработан. В справочной литературе можно найти боль-
шое количество таблиц и графиков, позволяющих относительно прос-
то и быстро получать приближенные временные характеристики
фильтров и других четырехполюсных цепей, амплитудно-частотные
характеристики которых представлены ломаными прямыми.
448
Глава 5. ДИСКРЕТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ
5.1. Цифровая обработка сигналов в линейных
электрических цепях
Получение, передача и обработка непрерывных сигналов, например
речевых сигналов в телефонии, сигналов ТУ-ТС в системах автоматики
и т.д., может осуществляться в аналоговой форме. На рис. 5.1 показана
/?С-цепь, у которой импульсная характеристика равна
__t_
—е RC.
RC
Если задано напряжение на входе цепи мвх(/) и нужно найти
напряжение на ее выходе ивых(0,то это можно сделать, воспользо-
вавшись интегралом свертки:
t
«Bbix(O = JwBX(W-x)rfr.	(5.1)
О
При передаче аналоговых сигналов необходимо учитывать влияние
помех и нестабильность параметров цепи, т.е. их зависимость от вре-
мени, температуры, влажности и т.д. Особенно сильно это влияние ска-
зывается на очень низких частотах (меньше 1 Гц) и на частотах выше
20 кГц. В диапазоне сигналов звуковых частот характеристики анало-
говых и дискретных цепей и сигналов сопоставимы, и выбор типа сиг-
нала определяется прогрессом в технологии изготовления и примене-
ния современных средств микроэлектроники, а они, в свою очередь,
ориентированы на цифровые устройства.
Заменим непрерывные сигналы в схеме рис. 5.1 и в выражении (5.1)
их дискретными отсчетами. Чтобы не вносить путаницы, время t заме-
ним дискретными значениями и У, а время X—дискретными значения-
ми тТ. Тогда интеграл придется заменить суммой составляющих и вы-
ражение (5.1) запишется в виде
“вых(«Г)= ^uBX(m7)/![(n-ffl)7'].	(5 2)
7И=0
29 Теория линейных зл. целей
449
R
Рис. 5.1
Вместо непрерывного сигнала ивх(/) мы будем иметь дело с диск-
ретным сигналом «вых(0 и вместо непрерывной импульсной харак-
теристики h(t) — с дискретной импульсной характеристикой
(п-т)Т
й[(п-/и)Г]=—— е	RC .
RC
Поскольку любой отсчет сигнала — это число, то выражение (5.2)
можно запрограммировать на языке вычислений. Останется лишь ввести
в цифровой вычислитель числа, соответствующие всем дискретным
отсчетам ивх(тТ) и /г[(п-т)т], и он вычислит отсчеты выходного
напряжения иВ1М(тТ). Выражение (5.2) на языке вычислительной тех-
ники называется алгоритмом вычисления выходного сигнала.
Пусть необходимо рассчитать отсчеты выходного напряжения
ыайб (и^) в Цепи; приведенной на рис. 5.1. Для расчета воспользуемся
формулой (5.2), подставляя в нее соответствующие дискретные отсчеты
входного сигнала wBX(n7’) и дискретные отсчеты импульсной харак-
теристики /г[(п — т)7'], графики которых приведены на рис. 5.1.
мвых (0) = мвх (0)Л(0) = 0-1 = 0;
«вых (Л = «вх (0) Л(1) + «вх (О МО) = 0 • 0,8+10 • 1 = 10;
450
ивых(2Г) = ивх(0)Л(2)+ивх(1)Л(1)+ивх(2)Л(0) = 0-0,5 + 10-0,8+20-1 = 28;
«вых (ЗГ) = ивх (0) Л(3) + ивх (1) Л(1) + ивх (2) Л(1) + wBX (3) Л(0) =
= 0-0,4 + 10-0,5 + 20-0,8 + 30-1 = 51.
Аналогичным образом рассчитываются ивых(4Г) = 68; ивых(5Г) = 80,5;
мвых(6^> = 91’ “вых(7^ = 100,3; ивых(8Г) = 108,6; нвых(97) = 83,4;
ивых(10^ = 59ит-Д-
График последовательности ивых(пТ) приведен на рис. 5.2.
Таким образом, дискретные сигналы удобны тем, что их можно
обрабатывать с помощью цифровых вычислителей. Однако не следует
думать, что дискретные сигналы вносятся в память цифровых вычис-
лителей с клавиатуры. Их можно вводить и выводить из нее непос-
редственно.
На рис. 5.3 показано, как это осуществляется. Непрерывный сигнал
wBX(0 подается на ключ, на выходе которого образуются дискретные
ИВх(иГ)	*^Ых(иГ)
451
отсчеты ивх(пТ). Но их еще нельзя ввести в память. Сначала нужно
перевести амплитуды отсчетов в двоичный код — ведь только такой
код понимает цифровой вычислитель. Выполняет эту операцию
кодер. Например, если отсчет имеет величину 30 В, то запись числа 30
в двоичном 8-разрядном коде будет такой: 00011110. Закодированные в
двоичном коде отсчеты на рисунке обозначены иВх (п^) •
Цифровой вычислитель может представлять собой персональный
компьютер на базе процессора или специализированное микропроцес-
сорное устройство. Главное состоит в том, что в памяти цифрового
вычислителя записана программа вычисления, например выражение
(5.2), и отсчеты импульсной реакции, например 7?С-цепи. Следователь-
но, в результате работы программы процессор будет выдавать закоди-
рованные в двоичном коде отсчеты мВых(л^) • Декодер преобразует код
в амплитуду, и на его выходе появляются дискретные отсчеты выходно-
го напряжения «вых(и7). Интерполятор восстанавливает функцию ме-
жду отсчетами. В итоге на выходе системы мы имеем аналоговый си-
гнал ивых(«^-
Цифровой вычислитель может сыграть роль реальной цепи. И хотя
физической цепи может и не быть в наличии, а задана она будет лишь в
виде отсчетов импульсной реакции и программы вычислений, на
выходе описанной системы можно будет видеть такое же выходное
напряжение «вых(0, как и на выходе реальной цепи.
Выражение (5.1) можно назвать математической моделью аналого-
вой цепи. При переходе к дискретным сигналам используют выраже-
ние дискретной свертки (5.2). Обозначим в этом выражении
Я”] = «вых («Л, Яти] = wBX(тТ) и h[n - m] = Л[(п - ш)Т].
Тогда оно запишется в виде
п	п
Яи]= ^,х[/и]Л[и —/и] = ^Л[т]х[п — т] =
т=0	т=0	(5.3)
= й[0] х[л] + Л[1] х[п -1] + й[2] х[п - 2] + К + Л[п] х[0].
Пусть необходимо рассчитать значения выходной последо-
вательности у[п] цепи, имеющей дискретную импульсную харак-
теристику hx(n) = {-1; 1; 2}, если входная последовательность имеет
вид х[п]= {-2; 1; 2: -1}. Графики х[п] и h^n) приведены на рис. 5.4, а, б.
452
Рис. 5.4
С помощью выражения (5.3) рассчитаем значения выходной после-
довательности у [и]:
Я0] = й[0]х[0] = (-1)(-2) = 2,
Я1] = Л[0] 41] + Л[1] 40] = (-1) • 1 +1  (-2) = -3,
у[4] = Л[0] 44] + Л[1] 43] + Л[2]42] + Л[3]41] + Л[4] 40] =
= (-1)0 + 1(-1) + 2-2 + 2-1 + 0-(-2) = 3.
График дискретного сигнала у[ л] приведен на рис. 5.4, в.
Вычисления по выражению (5.3) можно выполнить также с помощью
простого устройства. Запишем последовательности чисел х[л] и й[-л]
на отдельных полосках бумаги, как показано на рис. 5.5. На обеих
полосках пометим маленькими стрелочками точки и = 0. Обратим
внимание на то, что /г[-л] является обратной последовательностью отно-
сительно h[л], так что она строится в обратном направлении от л = 0.
453
и = О
______________♦________________
х[и] (о О 0-2 1 2 -1 0 0 0,)
й[-и] (о 0 0 2 1-1 О 0
— 4-*|
п = О
Произведение 0 0 0 44 О О О
Сумма произведений =	з = у[4]
и = 0
_________i________________
л[и] {о 0 0-2 1 2 -1 0 0~6)
/,[_„] ( 0 002 1-1 00^
♦
и = 0
Произведение 0 0 0 2 0 0
Сумма произведений =	2 = у[0]
Рис. 5.5
Будем сдвигать нижнюю полоску относительно верхней в направлении
стрелки. Вычисление суммы произведений стоящих друг против друга
чисел при каждом сдвиге дает последовательность у[п].
Если в качестве чисел h[n] взять дискретные значения щ =—e~^T,RC,
RC
то выражение (5.3) будет являться дискретной математической моделью
аналоговой RC-цепи, изображенной на рис. 5.1. Выбирая те или иные
значения Л[п], можно получить дискретные модели различных цепей.
Таким образом, формула дискретной свертки является универсальной,
пригодной для описания любых цепей.
Пусть на вход цепи поступает сигнал в виде дискретной S-функции.
Рассчитаем выходные последовательности у[п] цепей, имеющих
дискретные импульсные характеристики:
a)	h\n\ = {1; 1; 0; 0;...};
6)	Л[л] = {1;-1; 0; 0;...};
в)	Л[п] = 2е~”/2.
454
Графики дискретной S-функции 8[и] и импульсных характеристик
а, б, в приведены на рис. 5.6 и рис. 5.7 соответственно.
Значение у[и] вычисляется с помощью выражения (5.2), где
х[и] = 8[и] = {1; 1; 0; 0;...}.
Для цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику
я) Л[и] = {1; 1; 0; 0;...}, получаем
Я0] = й[0]3[0] = 1-1 = 1,
у[1] = й[0] S[l] + й[1] 8[0] = 1 • 0 +1 • 1 = 1,
у[2] = Л[0] 6(2] + Л[1] S[l] + Л[2] 8[0] = 1 • 0 +1 - 0 + 0 -1 = 0,
у[3] = Л[0]8[3] + Л[1] 8[2] + Л[2]8[1] + Л[3] 8[0] = 0.
Все остальные значения у[и] будут также нулевыми.
Для цепи с импульсной характеристикой
б) й[и]= {1; -1; 0; 0;...) получаем
Я0] = Л[0]8[0] = 1-1 = 1,
Я1] = А[0] 8[1] + Л[1] 8[0] = 1 • 0 + (-1) • 1 = -1,
Я2] = А[0] 8[2] + Л[1]8[1] + й[2] 8(0] = 0.
5[л] >
I’1
0	1 2 3 и
Рис. 5.6
455
Остальные значения у[п] равны нулю.
Для цепи с импульсной характеристикой
в) Л[и]= 2е-п/2 ={2; 1,22; 0,74; 0,45; 0,27;...} получаем
Я0] = Л[0]б[0] = 2,
ЯЛ = Л[0] 8(1] + Л[1] 8[0] = 1,22.
Все остальные отсчеты выходной последовательности у[и] повто-
ряют соответствующие отсчеты дискретной импульсной характе-
ристики h\n], так же как и в двух предыдущих случаях а и б. Этот вывод
очевиден, так как импульсная характеристика — это реакция цепи
на 8-импульс.
Графики у[п] будут такими же, как графики п[п] на рис. 5.7.
Анализ формулы (5.2) показывает, что в ней выполняется всего три
действия: умножение, сложение и задержка. На рис. 5.8 эти действия
представлены в виде элементов структурной схемы.
Операцию умножения дискретного сигнала х[п] на число К можно
представить в виде усилителя с коэффициентом усиления К. На его
выходе может быть получен сигнал у[п] = Ах[п]. Сложение чисел
естественно отобразить на схеме в виде сумматора. Получение отсчета
х[п — 1] =х\пТ — 7] изх[п] =х(пТ) можно связать с задержкой последнего
на время Т, т.е. на один «такт». Действие элемента задержки поясняется
на рис. 5.9.
Алгоритм вычислений дискретного сигнала у[п], описываемый
выражением (5.2), можно представить в виде структурной схемы.
Подобные структурные схемы называют дискретными цепями.
Составим структурную схему цепи, дискретная импульсная
характеристика которой h[n\ = {-1; 1; 2} (см. рис. 5.3).
В соответствии с алгоритмом (5.2) и с учетом заданных значений
характеристики Л[п] структурная схема цепи приведена на рис. 5.10.
х[л]
у [и] =Кх[и]
Я"], Q У И = х[и^
| ах[и-1]
х[^ гу~|Я”] =х[и-1]
Рис. 5.8
456
х[и]^ гу~| J [и] =x[n-l]
х[л]
1о
У[«] =x[n-l]
-2 -1 О
1 2 3 4 5 п
-2 -1 О
1 2 3 4 5 6 и
х[и]
Т — Т
У И =х[и-3]
х[И]
ЗТ
У[и] =А[и-3]
1
!<•
Л л] =х[и-3]
1
-2 -1 О
1 2 3 4 5 п
-2 -1 О
1 2 3 4 5 6 и
Рис. 5.9
Рис. 5.10
По этой схеме несложно определить выражение для выходной после-
довательности:
y[n] = x[n] + х[п -1] + 2х[п - 2].
Следовательно, в отличие от аналоговых цепей, которые представля-
ют собой соединение элементов, например R, ЬиС дискретная цепь —
это структурная схема алгоритма вычислений выходной последова-
тельности по входной. Она состоит из элементов задержки, сумматоров
и усилителей (умножителей).
457
5.2.	Области применения цифровых фильтров в устройствах
железнодорожной автоматики, телемеханики и связи
По своей природе все сигналы являются аналоговыми, будь то сиг-
нал постоянного или переменного тока, цифровой или импульсный. Тем
не менее, принято делать различие между аналоговыми и цифровыми
сигналами, которое выражается в том, что в природе все измеримые
физические величины представляются аналоговыми сигналами. Ана-
логовые сигналы характеризуются электрическими переменными, ско-
ростью их изменения и связанной с ними энергией и мощностью. Для
преобразования других физических величин (температуры, давления и
т.п.) в электрические сигналы используются датчики. Понятие норма-
лизации сигнала означает подготовку физических сигналов к обрабо-
тке посредством таких приборов, как датчики, измерительные и проме-
жуточные усилители и т.д.
Некоторые сигналы представляют собой реакции на другие сигналы.
Хорошим примером может служить отраженный сигнал, полученный
при измерении неоднородностей кабеля с помощью измерителя неод-
нородностей. С другой стороны, по другой классификации все сигналы
рассматриваются как цифровые, независимо от того, получены или
реальные сигналы в результате измерения или в результате преобразо-
вания в цифровую форму. Возможно, эти цифровые сигналы связаны с
реальными аналоговыми сигналами, но возможно, что между ними и
нет связи. В качестве примера можно привести передачу данных в ло-
кальных вычислительных сетях или в других высокоскоростных сетях.
В случае цифровой обработки сигнала (ЦОС) аналоговый сигнал пре-
образуется в двоичную форму с помощью АЦП. На выходе АЦП полу-
чается двоичное представление аналогового сигнала, которое затем об-
рабатывается арифметически цифровым сигнальным процессором
(ЦСП). После обработки содержащаяся в сигнале информация может быть
преобразована обратно в аналоговую форму с использованием ЦАП.
Другим важным моментом в определении сигнала является тот факт,
что сигнал всегда несет некоторую информацию. Это ведет к ключевой
проблеме обработки физических аналоговых сигналов — проблеме
извлечения информации.
Первоначальная причина обработки физических сигналов заключа-
ется в необходимости получения содержащейся в них информации. Эта
458
информация обычно присутствует в амплитуде сигнала, в частоте или в
спектральном составе, в фазе или в относительных временных зависи-
мостях нескольких сигналов.
В некоторых случаях желательно переформатировать информацию,
содержащуюся в сигнале. В частности, смена формата имеет место при
передаче звукового сигнала в телефонной системе с многоканальным
доступом и частотным разделением (FDMA—Frequency-Division Mul-
tiple Access). В этом случае аналоговые методы используются для
создания «стека» голосовых каналов в частотном спектре для передачи
через радиорелейную станцию микроволнового диапазона, коаксиаль-
ный или оптоволоконный кабель. В случае цифровой связи аналоговая
звуковая информация сначала преобразуется в цифровую с использова-
нием АЦП. Цифровая информация, представляющая индивидуальные
звуковые каналы, мультиплексируется во времени (многоканальный
доступ с временным разделением, TDMA — Time-Division Multiple
Access) и передается по последовательной цифровой линии связи (как в
системах ИКМ — импульсивно-кодовая модуляция).
Еще одна причина обработки сигналов заключается в сжатии поло-
сы частот сигнала (без существенной потери информации) с последу-
ющим форматированием и передаче информации на пониженных ско-
ростях, что позволяет сузить требуемую полосу пропускания канала.
Высокоскоростные модемы и системы адаптивной импульсно-кодовой
модуляции (АДИКМ) широко используют алгоритмы устранения
избыточности данных (сжатия), так же как и цифровые системы мо-
бильной связи, MPEG рекордеры и телевидение высокой четкости.
В устройствах автоматики системы сбора данных и системы управ-
ления используют информацию, полученную от датчиков, для выработки
соответствующих сигналов обратной связи, которые, в свою очередь,
непосредственно управляют процессом перевозок.
В некоторых случаях, в сигнале, содержащем информацию, присутст-
вует шум, и основной целью является восстановление сигнала. Такие
методы, как фильтрация, автокорреляция, свертка и т.д., часто использу-
ются для выполнения этой задачи и в аналоговой, и в цифровой областях
на железной дороге. В качестве практического примера использования
ЦСП можно рассмотреть аналоговый и цифровой фильтры нижних
частот, каждый с частотой среза 1 кГц. Цифровой фильтр реализован в
виде типичной дискретной системы, показанной на рис. 5.11.
459
Рис. 5.11
Учтем ряд допущений, во-первых, достаточное значение частот
дискретизации тракта АЦП/ЦАП, разрешающей способности и
динамического диапазона. Во-вторых, для того чтобы закончить все свои
1
вычисления в пределах интервала дискретизации —, устройство ЦОС
должно иметь достаточное быстродействие. В-третьих, на входе АЦП
и выходе сохраняется потребность в аналоговых фильтрах низкой
частоты, хотя требования к их производительности невелики. Приняв
эти допущения, можно сравнить цифровой и аналоговый фильтры.
Требуемая частота среза обоих фильтров — 1 кГц. Аналоговое
преобразование реализуется фильтром Чебышева первого рода шестого
порядка (характеризуется наличием неравномерности коэффициента
передачи в полосе пропускания и отсутствием неравномерности
коэффициента передачи вне полосы пропускания). Его характеристики
представлены на рис. 5.12. На практике этот фильтр может быть пред-
ставлен тремя фильтрами второго порядка, каждый из которых построен
на операционном усилителе и нескольких резисторах и конденсаторах.
С помощью современных систем автоматизированного проектирования
(САПР) фильтров создать фильтр шестого порядка достаточно просто,
но чтобы удовлетворить техническим требования по неравномерности
характеристики 0,5 дБ, требуется точный подбор компонентов.
460
Аналоговый фильтр	Цифровой фильтр
Фильтр Чебышева 6 порядка, 129-каскадный FlR-фильтр,
Представленный же на рис. 5.11129-каскадный цифровой фильтр с
конечной импульсной характеристикой имеет неравномерность харак-
теристики всего 0,002 дБ в полосе пропускания, линейную фазовую ха-
рактеристику, намного более крутой спад. На практике такие характе-
ристики невозможно реализовать с использованием одних только ана-
логовых методов. Другое очевидное преимущество схем состоит в том,
что цифровой фильтр не требует подбора компонентов и не чувствите-
лен к дрейфу частоты, так как частота стабилизирована с помощью квар-
цевого генератора. 129-каскадный фильтр требует 129 операций умно-
жения с накоплением для вычисления выходной выборки. Эта обработ-
ка должна быть закончена в пределах интервала дискретизации ~7~,
Jr
чтобы обеспечить работу в реальном масштабе времени. В этом приме-
ре частота дискретизации равна 10 кГц, поэтому для обработки доста-
точно 100 мкс, если не требуется производить существенных дополни-
тельных вычислений. Семейство ЦСП ADSP-21xxx (ххх—модель про-
цессора) может закончить весь процесс умножения с накоплением (и дру-
гие функции, необходимые для реализации фильтра) за один или даже
половину командного цикла. Поэтому, 129-каскадный фильтр требует
129
быстродействия--------= 1,3 млн операций в секунду. Существующие
100 мкс
ЦСП имеют намного большее быстродействие и, таким образом, не яв-
ляются ограничивающим фактором для этих приложений.
461
5.3.	Трансверсальные и рекурсивные цифровые
фильтры
Электрические свойства элементов схем задаются линейными
математическими операциями, совершаемыми над токами и напряже-
ниями. При этом в соответствии с законами Кирхгофа получают
системы линейных дифференциальных уравнений, характеризующих
конкретную линейную цепь. Элементы, на основе которых строятся
цифровые фильтры, выполняют не такие функции, как резисторы,
индуктивности и емкости. Они, как правило, характеризуются
зависимостью между входом и выходом, а не соотношением между
токами и напряжениями. Так,
-дляумножителя vk = а,ик,
-длясумматора vk = u\(k) + uz(k) +...+ ип(к),
-для элемента задержки vk = ик_\ (рис. 5.13).
Соединение элементов цифрового фильтра определяет действия над
сигналами, которые либо изменяются по величине, либо складываются
с другими сигналами, либо задерживаются. Это значит, что для системы,
состоящей из таких элементов, с одним входом и одним выходом можно
составить линейное разностное уравнение, описывающее ее поведение.
Пусть ик—к-й отсчет входного сигнала цифрового фильтра. Тогда
ик_г — отсчет того же сигнала в момент t = (k-r)T. Пусть требуется
вычислить величину к-го выходного отсчета \’к. При этом расчете, т.е.
в процессе обработки сигнала цифровым фильтром, используется
линейная комбинация предшествующих выходных отсчетов с
предшествующими и настоящими входными отсчетами. То есть,
Рис. 5.13
462
если в линейной комбинации используется (и + 1) входных отсчетов с
тп предшествующими выходными отсчетами, к-й отсчет выходного
сигнала будет определяться выражением
vk = а0ик + а\ик-\ + -+ апик-п ~(blvk-\ + •••+ bmvk-m\	(5-4)
где все коэффициенты являются действительными постоянными.
Линейное разностное уравнение (5.4) полностью описывает работу
линейного цифрового фильтра. Для анализа передаточных функций
463
дискретных систем используется рассмотренное ранее Z-преобразо-
вание. Передаточная функция определяется как отношение Z-преобразо-
ваний выходного и входного сигналов.
Передаточная функция, соответствующая соотношению (5.4),
задается выражением
H(z) =	= Qo+«1^ 1+-+«^ ".
t/(z) bQ+bxz-x+...+bmz-m
где V(z) и U(z)—Z-преобразования выходного и входного сигналов со-
ответственно. Выражение (5.5) задает передаточную функцию линейного
цифрового фильтра общего вида. Числитель и знаменатель передаточной
функции в общем случае не равны нулю. По виду передаточной функции
фильтры обычно классифицируют следующим образом.
Рекурсивные цифровые фильтры—фильтры с передаточной функ-
цией типа (5.5), не содержащей общих множителей и имеющей
ненулевые коэффициенты в знаменателе.
Нерекурсивные (трансверсальные) цифровые фильтры имеют переда-
точную функцию, которая принимает вид полинома по степеням z”1
после сокращения всех общих множителей в выражении (5.5) (рис. 5.14):
H(z) = Ao + hxz~x +...+ hnz~n.	(5.6)
5.4.	Характеристики цифровых фильтров и их расчет.
Оценка погрешностей
Частотная характеристика. Пусть на вход системы подается
комплексный синусоидальный сигнал е^Т, к = 0,1,2, ...,где
Н((0) =	+ aieMk-l)T + +апеМк-п)Т _
- (A] H(a)ej<s>kT+...+АтЯ(®)е /Ш“и)г)
или
Я(®)е/оЛГ(1 + b^e-j^ +...+V>“7’) =
= ej(AT(aG + axe~J&T +...+ ane~Jr№)T).	(5’7)
464
Сократив общий член е^т в обеих частях последнего равенства,
получим выражение
ао+а1е-^Т + ...+ апе-^Т
1 + Ь}е-^Т + ...+Ьте-'тшТ '
(5.8)
которое представляет собой частотную характеристику системы в
комплексной форме. Модуль H(ai) является амплитудной характерис-
тикой, а аргумент — фазовой характеристикой системы, заданной
соотношением (5.4).
Выражение (5.8) идентично выражению (5.6) для передаточной
функции, если в него вместо z-1 подставить е~^аТ. Это иллюстрирует
сущность оператора z-1 и полезность передаточной функции.
5.5.	Синтез цифровых фильтров
На основе сумматоров, умножителей и элементов задержки состав-
ляются блок-схемы реализации передаточных функций цифровых
фильтров. Эти блок-схемы называют также формами реализации
фильтров, поскольку для практического создания фильтра обычно
используют одну из этих форм.
Простейшую форму реализации получают, используя выражение
(5.5) для передаточной функции общего вида. Введение вспомогатель-
ного Z-преобразования X(z) позволяет записать передаточную функ-
цию H(z) в виде
1
V(z) X(z)	1	_j
-----7-^7(G0 +«1* +—+anz "). (5.9)
Z(z) t/(z) Y+b^z 1 +...+bmz m
Выражение (5.9) теперь можно представить как произведение двух
передаточных функций:
Hi(z) = oq +a}Z 1
, z~n
t/(z)’
Z/2(z) =__________________= Ж
\+bxz-x+...+bmz~m вд
Результирующую передаточную функцию H(z) получают при каскад-
ном соединении двух форм реализации, приведенных на рис. 5.15.
30 Теория линейных эл. целей
465
Рис. 5.15
Эта реализация ни в коем случае не является единственной, поскольку
можно получить и другие формы, которые приводят к той же
передаточной функции. Различные формы реализации заданной
передаточной функции подразделяют на канонические и неканони-
ческие. Под канонической реализацией подразумеваются формы, при
которых используемое число элементов задержки в точности равно
порядку передаточной функции (т.е. наивысшей степени полиномов
числителя и знаменателя).
Форма реализации, приведенная на рис. 5.15, требует (т + и) эле-
ментов задержки и, следовательно, согласно определению, не является
канонической.
Однако эту форму можно преобразовать к виду, показанному на
рис. 5.16, где предполагается, что п > т. Можно показать, что эта форма
реализации приводит к требуемой передаточной функции.
Особенно полезной разновидностью формы является такая, для
которой п = т = 2 (рис. 5.17).
Данная форма реализации называется биквадратной, и, поскольку
знаменатель ее передаточной функции является квадратным много-
членом, она дает два действительных или комплексно-сопряженных
полюса. Биквадратная форма используется для получения передаточных
функций более высоких порядков в канонической форме.
466
Рис. 5.16
Рис. 5.17
467
Передаточная функция общего вида может быть представлена
следующим образом:
Я(2) =
-1	-2'
a01+gnz + a2lz
l + ₽liz_1+p2iz_2
ay+ayz 1 + ayz
1 + Pj/z-1 + P^/z-2
(5.10)
где все коэффициенты являются действительными и постоянными. Нуль
или полюс первого порядка можно получить, приравнивая нулю
коэффициенты квадратичных членов в соответствующих дробях.
Отбирая дроби с квадратичными числителем и знаменателем и рассмат-
ривая их как отдельные передаточные функции, исходную передаточную
функцию можно реализовать путем каскадного соединения биквад-
ратных форм. Это соединение показано на рис. 5.18 и называется
каскадной канонической формой.
Другая каноническая реализация может быть получена в случае, если
передаточную функцию вида (5.5) разложить на элементарные дроби
следующим образом
я<г)=Уо+х—*»7“г%
+р2,г-2
где у0, ylt, i = 1,2,3,..., п, является постоянными коэффициентами.
Реализация для этого случая показана на рис. 5.19.
К примеру, необходимо найти передаточную функцию и построить
график АЧХ звена 2-го порядка (см. рис. 5.18) при a0 = = 1, оц = 2,
Р] = 0,2иР2=-0,4.
Рис. 5.18
468
Рис. 5.19
Передаточная функция такого звена равна
.	1 + z—1 - 2z-2
Я(£)—	1	т“-
1 - 0,2z-1 + 0,4z-2
Рекурсивную цепь с прямыми и обратными связями можно предста-
вить как каскадное соединение рекурсивного фильтра с передаточной
функцией H\(z) и нерекурсивного фильтра с передаточной функцией
Я2(г). Для звена второго порядка
#1(г) =--------Г------
1 - 0,2z~* + 0,4z~2
Я2 (z) = 1 ~ Z~X - 2z-2;
H(z) = ^(z)H2(z).
469
АЧХ для //2(z) нерекурсивного фильтра рассчитывается по формуле
Я2(П) = Т(^+ С] cos 2л£2 + а2 cos 4л£2)2 + (a] sin 2л£2 + а2 sin 4л£2)2 =
= 7(1 + 2cos 2tcQ + cos4tcQ)2 + (1 + 2sin 2tcQ + sin 4nQ)2 -
График АЧХ для /f2(z) приведен на рис. 5.20, а. АЧХ рекурсивного
фильтра рассчитывается по формуле
Нх{£1) =	1
7(1 - 0,2 cos 2tcQ + 0,4 cos 4nQ)2 + (-0,2 sin 2kQ + 0,4nQ)2
470
Графики	а0 и H(Q) =	Н2(О) изображены на рис. 5.20, б, в.
Цифровые фильтры могут быть синтезированы по данным анало-
говых фильтров.
Дискретная цепь может осуществлять любые операции: фильтрацию
сигнала, корректирование характеристик и т.п., т.е. выполнять функции
любой аналоговой цепи.
В частности, при синтезе цифровых фильтров нужно найти такие
коэффициенты передаточной функции (5.9), частотная характеристика
которой удовлетворяла бы нормам ослабления фильтра в полосах про-
пускания и задерживания (рис. 5.21). Определение коэффициентов — это
задача аппроксимации. Известен целый ряд методов ее решения.
Наиболее распространенным является следующий метод. Сначала
471
рассчитывают аналоговый низкочастотный (НЧ)-прототип и получают
его передаточную функцию Н(р), затем путем замены комплексной
переменной р = F{z] переходят от Н(р) к передаточной функции
дискретной цепи H(z). Использование стандартного преобразования
z =	или р =—In z не приведет к дробно-рациональнои функции.
Поэтому для ФНЧ применяют билинейное преобразование
1-z-1	z-1
1+z 1	z+1
где у — некоторый постоянный множитель, которое является первым
приближением стандартного преобразования при разложении его в ряд
Тейлора
(5-П)
1
T
1,	2 z-1 l(z-l)3	l(z-l)5	„
р — — 111 Z — —-----1------— 4--------— + К
T	r[z + l 3(z + l)3 5(z + l)5
(5-12)
Из разложения (5.12) следует, что необходимо выбирать у=—.
Однако далее будет показано, что удобнее брать другие значения коэф-
фициента у.
Билинейное преобразование (5.11) переводит все точки из левой
полуплоскости переменной р в точки на единичной окружности плос-
кости z. Так что, если была устойчива аналоговая цепь, будет
устойчивой и дискретная. Это можно подтвердить на следующем
примере.
Найдем положения точек на z-плоскости, соответствующих следую-
щим значениям переменной р\
= -2; р2 = “2 +72> Рз =j2.
Из формулы (5.11) можно определить выражение для расчета z:
z = 1±p
у-p
Подставляя в эту формулу значение полюсар = ру= -2, лежащего в
левой полуплоскости плоскости р, получаем
Z=t2.
у+2
472
Поскольку у— число вещественное и положительное, то числитель
(у - 2) меньше знаменателя (у + 2), и значит z < 1, т.е. точка z лежит
внутри единичной окружности, что говорит об устойчивости цепи.
При р =р2 = -2 + J2 получаем
г = 2-2 + у2
Г+2-7'2
Найдем модуль z:
_=У(У-2)2 + 22
(у+2)2+22
Он меньше единицы, поскольку модуль числителя меньше модуля
знаменателя, т.е. точка z также лежит внутри единичной окружности.
При р = р^ =j2 получаем
_г+;2_7т2+4
Модуль z равен 1, т.е. точкар =jl, лежащая на мнимой оси плоскостир,
переходит в точку на единичной окружности плоскости z при использо-
вании билинейного преобразования.	,
Переход к аналоговому прототипу применяется обычно для дискрет-
ных фильтров, имеющих бесконечную импульсную характеристику
h[n], принимающую ненулевые значения на бесконечном множестве
значений п = 0, 1,....
Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой,
принимающей ненулевые значения лишь при л = 0, 1, JV - 1, не
имеют аналогов среди пассивных электрических фильтров, поэтому для
их расчета применяются другие методы.
Нерекурсивные цифровые фильтры всегда имеют конечные импульс-
ные характеристики. Рекурсивные фильтры могут иметь как конечные,
так и бесконечные импульсные характеристики.
К примеру, найдем дискретные импульсные характеристики
фильтров, имеющих передаточные функции:
77](z) = 2 + 0,5z-1 — 3z-2;
473
1
l-0,5z-1’
1-z-5
я’(г)=ГИ'
Дискретная импульсная характеристика h[n\ — это обратное
Z-преобразованиепередаточной функции Hx(z), т.е. h[n] = z-l
Нерекурсивной цепи с передаточной функцией Hx(z) соответствует
Л[п] = {2; 0,5; -3}, те. это фильтр с конечной импульсной характеристикой.
Импульсная характеристика цепи с передаточной функцией H2(z) рас-
считывается по формуле h[n] = 0,5л, т.е. это рекурсивный фильтр с бес-
конечной импульсной характеристикой.
Отсчеты импульсной характеристики рекурсивной цепи с пе-
редаточной функцией H3(z) будут конечными и равными 1 только для
п = 0, 1, 2, 3, 4, а для п = 5 h[n] = 0. Значит; этот рекурсивный фильтр
имеет конечную импульсную характеристику.
В цифровом фильтре хранение и обработка чисел осуществляется в
устройствах (элементах памяти, умножителях, сумматорах) с конечным
числом разрядов. Поэтому расчет цифрового фильтра, помимо опреде-
ления передаточной функции H(z) фильтра и его структурной схемы,
включает в себя также расчет разрядностей АЦП и ЦАП и разрядно-
стей регистров оперативной памяти (умножителей, сумматоров).
Кроме того, при расчете цифрового фильтра предусматривают расчет
масштабных множителей, вводимых в схему для предотвращения пере-
полнения регистров фильтра, а также проверку устойчивости фильтра.
Пусть требуется определить передаточную функцию дискретного по-
лосового фильтра с параметрами: /^ = 140 Гц; /п1 = 15,5 Гц; /п2 = 30 Гц;
/3]= 7,75 Гц; = 60 Гц; АЛ = 0,5 дБ; Лтй = 40 дБ.
Требования к любому типу фильтра преобразуются в требования к
аналоговому ФНЧ-прототипу. Затем рассчитывается аналоговый про-
тотип и с помощью замены переменных переходят тН(р)ккН(г). Фор-
мулы замены переменных для разных типов фильтров даны в табл. 5.1.
Требования к цифровым фильтрам приведены на рис. 5.22.
Qnl = 15,5/140 = 0,110714; Qn2= 30/140 = 0,214286;
Q31= 7,75/140 = 0,055357;	Q32= 60/140 = 0,428571;
474
Рис. 5.22
у = ctg[Tt(0,214286 - 0,110714)] = 2,964087;
a = cos[7c(0,214286+ 0,110714)] _ 0 55 j 433-
cos[tc(0,2 14286-0,110714)]	’
B. . 2,9640870'5S1433:C“!:j”f5357 . -3.38,
sin 2n- 0,055357
q" =2,964087
<13	’
0,551433 —cos 2tc-0,428571
sin 2л-0,428571
= 9,92;
fl'a3 = min(3,38; 9,92) = 3,38.
По данным Паз= 3,38, ЛА = 0,5 дБ и ^min= 40 дБ из справочника
находим
475
Формулы замены переменных для разных типов фильтров
Таблица 5.1
Диск- ретный фильтр	Граничные частоты	Формула замены	Параметр	Связь между частотами	Граничные частоты аналогового фильтра
НЧ	II II С и а а	1 - z-1 Р~ Y	, 1 + z 1	Y = ctgit£2n	12 а = Y tgit £2	£2 аз = Y tgre£2 з
вч	II II с со а а	1 +z-1 Р = Y	г 1 -z-1	Y = ctgit£2n	£2 а = Y ctgit£2	£2 аз = YctgTt£23
ПФ	^П1 =Уп1 /Уд Q п2 =Уп2 /Уц ^31 = Уз1 /Уд ^з2= Уз2 /Уд	1 -2az-1 +z-2 P=Y	Y = Ctglt(£2 n2 “ £2nl) COSTt(£2 п2 + £2nl) a =		 СО8Л(£2П2 “ £2 nl)	„	a-cos2n£2 £2a = Y	 sin2n£2	£2 аз =minQ£)'a3|,|n^|), где _ a-cos27t£23i _ ьлаз — г—	, sin2re£2 3] О" _3,«~COs2?in32 12 аз — г	 sin2rcQ 32
ЗФ	^п1=Уп1 /Уд ^п2 =Уп2 /Уд Пз1 =Уз1 /Уд ^з2 =Уз2 /Уд	t N 7 _+ N | Д 8 €4 1 II	Y = Ctglt(£2 n2 - £2 nl) COSTt(£2 n2 + 12 nl) a 			 COSTt(£2 n2 “ £2 nl)	_	„ sin2it £2 £2a= Y	 a - cos2n£2	£2 аз ~ min(— |£2'аз |£2'аз |), где „	sin2n£2,i £2'аз = Y	—т—; a- cos2tcQ3i о«	sm2nQ32 12 аз Y a - cos2rcQ32
1
= 0,484123 ,
/?2+0,412569/? +1,144123
x
____________1____________
p2 +0,996024/? + 0,437016
Передаточная функция H(z) находится с помощью подстановки
/7 = 2,964087
1- 2- 0,55143 3z-1
1-z’2
-2
+ z
и разлагая каждый из двух полиномов четвертой степени (в знаменателе
H(z)) на множители (полиномы второй степени):
1-z-2
H(z) = 0,0035652------------т------------ х
1- 0,703705г-1 + 0,68397z-2
1-z"2
X--------------------------X
l-l,155395z-1 + 0,74163 8z~2
1-z'2
x------------------------r-X
1 —0,378998z-1 + 0,860199z-2
1-z-2
1 — l,479492z-1 +0,907562z~2 ’
5.6.	Методы анализа цифровых фильтров
Благодаря современным инструментам САПР, анализ и проектиро-
вание нерекурсивных фильтров выполняется относительно просто.
Проектирование нерекурсивных фильтров базируется, в первую
очередь, на том, что частотная характеристика фильтра определяется
импульсной характеристикой, а во-вторых, на том, что коэффициенты
фильтра определяются его квантованной импульсной характеристикой.
На вход фильтра подается одиночный импульс, и по мере прохождения
этого импульса через элементы задержки на выходе поочередно
формируются коэффициенты фильтра. Таким образом, процесс
477
проектирования нерекурсивного фильтра состоит в определении его
импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике
с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе
генерации коэффициентов фильтра.
Полезно сделать некоторое отступление и исследовать соотношения
между временным и частотным представлениями для лучшего понима-
ния принципов, лежащих в основе цифровых фильтров, в частности —
нерекурсивных фильтров. В дискретной системе операция свертки
может быть представлена рядом операций умножения с накоплением.
Операция свертки во временной или частотной области эквивалентна
умножению «точки на точку» в соответствующей дуальной области.
Например, свертка во временной области эквивалентна умножению
в частотной области. Это изображено графически на рис. 5.23.
Очевидно, что фильтрация в частотной области может быть
выполнена умножением на 1 всех частотных компонентов в полосе
пропускания и умножением на 0 всех частотных компонентов в полосе
задержки. И наоборот, свертка в частотной области эквивалентна
умножению «точки на точку» во временной области.
Рис. 5.23
478
Функция передачи в частотной области (1 или 0) может быть отоб-
ражена во временную область с использованием дискретного преобра-
зованием Фурье (ДПФ) (на практике используется БПФ). Во временной
области это дает импульсную характеристику фильтра. Так как умно-
жение в частотной области (спектр сигнала умножается на функцию
передачи фильтра) эквивалентно свертке во временной области (сигнал
свернут с импульсной характеристикой), то сигнал может бьггь отфильт-
рован путем вычисления его свертки с импульсной характеристикой
фильтра. Задача фильтрации с использованием нерекурсивного фильтра
является в точности таким процессом. Так как мы имеем дело с дискрет-
ной системой, сигнал и импульсная характеристика квантуются по вре-
мени и амплитуде, давая в результате набор дискретных отсчетов. Диск-
ретные отсчеты, включающие желаемую импульсную характеристику,
являются коэффициентами нерекурсивного фильтра.
Математический аппарат, применяемый при проектировании фильт-
ров (аналоговых или цифровых), в основном базируется на преобразо-
ваниях Фурье. В непрерывных по времени системах в качестве обобщен-
ного преобразования Фурье может рассматриваться преобразование
Лапласа. Подобным способом можно обобщить преобразование Фурье
для дискретных по времени систем, и результат такого обобщения из-
вестен как Z-преобразование.
Частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 5.24, а.
Соответствующая импульсная характеристика во временной области
представлена на рис. 5.24, б и является функцией sin(x)/x Если для реа-
лизации этой частотной характеристики использовать нерекурсивный
фильтр, то он должен иметь бесконечное число звеньев. Метод sin(x)/x
со взвешиванием заключается в следующем. Сначала импульсная характе-
ристика обрезается до разумного числа точек N, как на рис. 5.24, в.
Частотная характеристика, соответствующая рис. 5.24, в, имеет слишком
большое влияние боковых лепестков из-за разрывов в области конечных
точек в обрезанной импульсной характеристике. Следующий шаг в про-
цессе проектирования состоит в применении к обрезанному импульсу
соответствующей весовой функции (Хэмминга, Блэкмана, Хеннинга и
др.), как показано на рис. 5.24, г, обнуляющей конечные точки. Выбран-
ная таким образом весовая функция определяет спад характеристики
боковых лепестков фильтра. Как правило, существует несколько
479
6
Частотная характеристика Импульсная характерис-
Обрезанная импульс-
Рис. 5.24
приемлемых вариантов в зависимости от желаемой частотной характе-
ристики. Частотная характеристика фильтра с обрезанной импульсной
характеристикой sin(x)Zx (рис. 5.24, Э) представлена на рис. 5.24, е.
Метод рядов Фурье со взвешиванием заключается в начальном
математическом определении функции передачи H(f) и последующем
разложении ее в ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье определяют
импульсную характеристику и, следовательно, коэффициенты нерекур-
сивного фильтра. Затем импульсная характеристика должна быть об-
резана и подвергнута взвешиванию с использованием оконной функции,
как в предыдущем случае. После обрезания и применения оконной
функции используется БПФ для генерации соответствующей частотной
характеристики. Частотная характеристика может быть изменена вы-
бором различных оконных функций, хотя точное управление частотной
характеристикой в полосе задерживания затруднено при любом мето-
де, использующем взвешивание с функцией окна.
Проектирование по методу частотной дискретизации чрезвычайно
полезно при генерации нерекурсивного фильтра с произвольной час-
тотной характеристикой. H(f) определяется как набор точек амплитудной
и фазовой характеристик в частотной области. Затем точки преобразу-
480
ются в вещественные и мнимые составляющие комплексного спектра.
Следующим шагом является получение импульсной характеристик пу-
тем взятия комплексного обратного БПФ от частотной характеристики.
Далее импульсная характеристика обрезается до N точек и применяет-
ся взвешивание с функцией окна для минимизации эффекта обрезания.
Затем результат проектирования фильтра должен быть проверен путем
вычисления БПФ от импульсной характеристики и оценки получившейся
частотной характеристики. Для получения желаемой характеристики
может потребоваться несколько итераций.
Метод проектирования, основанный на использовании окон для об-
резания импульсной характеристики и получения желаемой частотной
характеристики, исторически был первым методом проектирования не-
рекурсивных фильтров. Метод частотной дискретизации был разрабо-
тан в 70-х годах и до сих пор популярен в тех случаях, где частотная
характеристика является произвольной функцией.
Сегодня доступны современные программы САПР, которые сущест-
венно упрощают проектирование НЧ, ВЧ, полосовых и режекторных
нерекурсивных фильтров. Популярная программа была разработана
Парксом и Макклилланом и использует алгоритм Ремеза. Проектиро-
вание фильтра начинается с определения параметров, представленных
на рис. 5.25: неравномерности полосы пропускания, неравномерности
полосы задерживания и области перехода. Специально для такого про-
ектирования предназначена программа QED1000 фирмы Momentum
Data Systems (демонстрационная версия свободно доступна по адресу
http://www.mds.com).
Пусть необходимо спроектировать звуковой НЧ фильтр, который ра-
ботает при частоте дискретизации 44,1 кГц. Фильтр определен соглас-
но рис. 5.25. Граничная частота полос пропускания составляет 18 кГц.
Полоса задерживания начинается при 21 кГц, неравномерность поло-
сы пропускания равна 0,01 дБ, а неравномерность полосы задержива-
ния — 96 дБ. Также необходимо определить длину слова (разрядность)
коэффициентов, которая в данном случае составляет 16 разрядов, при-
нимая во внимание, что используется 16-разрядный цифровой сигналь-
ный процессор (ЦСП) с фиксированной точкой.
Программа позволяет выбирать между проектированием, основан-
ным на взвешивании с использованием оконных функций, и проекти-
рованием фильтров с фиксированной неравномерностью Паркса-Мак-
31 Теория линейных эл. целей
481
— неравномерность в полосе пропускания
1
Л Частота начала
полосы задержки
Частота окончания Л>
полосы пропускания
g2= неравномерность
. в полосе задержки
| (ослабления)
Коэффициент g
неравномерности =
Частота
Рис. 5.25
клиллана. Если выбрать последний способ, то программа оценивает
число звеньев фильтра, требуемое для его реализации с соблюдением
сформулированных технических требований. В данном случае число
звеньев равно 69. Можно принять это число и продолжить проектиро-
вание или уменьшить число звеньев посмотреть, можно ли с меньшим
числом достичь требуемой спецификации.
Программа выдает частотную характеристику (рис. 5.26), реакцию
фильтра на ступенчатое воздействие (рис. 5.27), данные анализа в s- и
z- плоскостях и импульсную характеристику (рис. 5.28).
Затем программа QED1000 выдает квантованные коэффициенты
фильтра, которые служат исходными данными для программы, генери-
рующей реальный ассемблерный код для ряда популярных ЦСП, напри-
мер процессоров Analog Devices. Программа обладает достаточной сте-
пенью гибкости и позволяет пользователю выполнять ряд сценариев
оптимизации проектируемого фильтра.
Нерекурсивный фильтр с 69 звеньями требует 69 + 5= 74 команд-
ных цикла процессора ADSP-2189 быстродействием 75 МИПС
(MIPS—Million Instruction Per Second), дает полное время вычисления на
отсчет 74 • 13,3 нс = 984 нс. Интервал дискретизации равен 1/44,1 кГц,
или 22,7 мкс. Это дает 22,7 - 0,984 = 21 мкс для различных дополни-
тельных операций и реализации других алгоритмов.
482
Усиление
Рис. 5.26
483
Вследствие избыточности вычислительной мощности процессора в
данном случае появляется целый ряд возможностей, которые включа-
ют использование более медленного процессора для этого приложения
(3,3 МИПС), реализацию более сложного фильтра, который требует
большего времени вычисления (до N = 1700) или увеличения частоты
дискретизации до 1 МГц.
Преобразование спроектированной импульсной характеристики
НЧ фильтра в импульсную характеристику ВЧ фильтра может быть
выполнено одним из двух способов. По методу инверсии спектра знак
каждого коэффициента фильтра в импульсной характеристике НЧ
фильтра изменяется на противоположный. Затем к центральному
коэффициенту прибавляется 1. По методу реверсирования спектра
изменяется знак каждого второго коэффициента. Это приводит к
изменению характеристик в частотной области. Другим словами, если
частота среза НЧ фильтра равна 0,2/^, то результирующий ВЧ фильтр
будет иметь частоту среза 0,5/s- 0,2/Л = 0,3/?. Это должно приниматься
во внимание при проектировании исходного НЧ фильтра.
Полосовой и режекторный фильтры можно спроектировать, комби-
нируя надлежащим образом соответствующие НЧ и ВЧ фильтры. Поло-
совые фильтры проектируются посредством каскадного соединения НЧ
и ВЧ фильтров. Вычисляя свертку двух индивидуальных импульсных
484
характеристик, получают эквивалентную импульсную характеристику
каскадных фильтров.
Режекторный фильтр проектируется посредством параллельного под-
ключения НЧ и ВЧ фильтров и суммирования сигналов с их выходов.
Суммируя индивидуальные импульсные характеристики, получают эк-
вивалентную импульсную характеристику.
Как было упомянуто ранее, нерекурсивные фильтры не имеют реаль-
ных аналоговых эквивалентов. Самой близкой аналогией является фильтр ,
скользящего среднего со взвешиванием. Кроме того, частотные хара-
ктеристики нерекурсивных фильтров имеют только нули и не имеют
полюсов. С другой стороны, рекурсивные фильтры имеют традицион-
ные аналоговые эквиваленты (фильтр Баттерворта, Чебышева, эллип-
тический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы
с использованием традиционных методов проектирования фильтров.
Рекурсивные фильтры получили такое название, потому что их им-
пульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интер-
вале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивны-
ми, то есть используют обратную связь. Хотя рекурсивные фильтры
могут быть реализованы с меньшим, чем нерекурсивные фильтры ко-
личеством вычислений, рекурсивные фильтры не могут иметь таких
характеристик, которыми обладают нерекурсивные фильтры. Более то-
го, рекурсивные фильтры не имеют линейной фазовой характеристики.
Но вычислительные преимущества рекурсивного фильтра теряются, ко-
цда выходной сигнал фильтра подвергается децимации (прореживанию),
поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново зна-
чение выходной величины.
Рекурсивные фильтры обычно реализуются с помощью звеньев вто-
рого порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что
описываются биквадратным уравнениями в z-области. Фильтры высокого
порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев.
Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.
Структура биквадратного рекурсивного фильтра представлена на
рис. 5.18. Нули формируются коэффициентами прямой связи bG, Ь2,
а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи и а2.
Общее уравнение цифрового фильтра описывает обобщенную
передаточную функцию H(z) (5.9), которая содержит полиномы и в
числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют располо-
485
жение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение
нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по
этому уравнению рекурсивного фильтра более высокого порядка (так
называемая прямая реализация), накаплива-ющиеся ошибки квантования
(из-за арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова)
могут вызывать неустойчивость работ фильтра и большие ошибки. По
этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных
звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать
прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных
фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные
звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования
коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления.
Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их
эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в
них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошиб-
ками конечной разрядности данных.
Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на
рис. 5.29, требует использования четырех регистров.
Эта конфигурация может быть заменена эквивалентно схемой, пред-
ставленной на рис. 5.30, которая называется второй прямой формой
реализации и требует использования только двух регистров.
Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный фильтр
второй прямой формы реализации, такие же, как уравнения первой
прямой формы реализации. Как и в случае нерекурсивного фильтра,
система обозначений при изображении рекурсивного фильтра часто
упрощается, как показано на рис. 5.31.
Х(И)
Я")
Рис. 5.29
486
x(n)
b.
Рис. 5.30

Популярный метод проектирования фильтров с бесконечной импульс-
ной характеристикой — БИХ фильтров сводится к тому, что сначала
проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция пе-
редачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z). Проекти-
рование фильтров более высоких порядков выполняется каскадирова-
нием биквадратных звеньев. Наиболее популярным и аналоговыми
фильтрами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические
и Бесселя. Существует множество программ САПР, способных генери-
ровать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразова-
ния Лапласа.
Рис. 5.31
487
Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики
(также называемый фильтром с максимально плоской характеристи-
кой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и
в полосе задержки, то есть обладает монотонной характеристикой в
обеих полосах. Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад
частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном поряд-
ке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания.
Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации
(неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.
Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули частот-
ной характеристики; создает пульсации (неравномерность) и в полосе
пропускания, и в полосе задержки. Этот фильтр имеет более быстрый
спад частотной характеристики, чем фильтр Чебышева при том же числе
полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где
допускается несколько худшая фазовая характеристика. Наконец, фильтр
Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики,
обладает оптимальной импульсной характеристикой и линейной фа-
зовой характеристикой, но имеет худший спад частотной характеристи-
ки из всех типов приведенных фильтров при том же числе полюсов
(порядке).
Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в ли-
тературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц,
либо могут быть получены с помощью средств САПР. Существует три
метода преобразования изображения по Лапласу в Z-изображение: ме-
тод инвариантности импульсной характеристики, билинейное преоб-
разование и согласованное Z-преобразование. Результирующее Z-изоб-
ражение может быть преобразовано в коэффициенты биквадратного
фильтра. Эти методы достаточно распространены в математике и в даль-
нейшем не будут обсуждаться.
Подход САПР при проектировании рекурсивного фильтра подобен
программе Паркса-Макклиллана, используемой для нерекурсивных
фильтров. Эта методика использует алгоритм Флетчера-Пауэла.
При вычислении производительности ЦСП, предназначенного для
реализации рекурсивных фильтров, необходимо исследовать эталонные
требования эффективности вычислений для биквадратного звена фильт-
ра. Для получения выходного отсчета биквадратного фильтра при его
реализации на базе семейства процессоров ADSP-21xx требуется семь
командных циклов. Для DSP-процессора ADSP-2189, обладающего
488
быстродействием 75 МИПС, это соответствует 7 - 13,3 нс = 93 нс, что
дает максимально возможную частоту дискретизации 10 МГц (в пренеб-
режении дополнительным операциями).
Выбор между нерекурсивными и рекурсивными фильтрами может
быть своего рода состязанием в проектировании, но существует ряд
руководящих принципов. Как правило, рекурсивные фильтры более
эффективны, чем фильтры с конечной импульсной характеристикой
(КИХ фильтры), потому что они требуют меньшего количества памяти
и меньшего количества операций умножения с накоплением. Рекурсив-
ные фильтры могут быть разработаны, основываясь на предыдущем
опыте проектирования аналоговых фильтров. Рекурсивные фильтры
могут приносить проблемы неустойчивости, но это происходит реже,
если проектируемые фильтры высокого порядка реализуются как сис-
темы, состоящие из каскадов второго порядка.
С другой стороны, нерекурсивные фильтры требуют большего ко-
личества звеньев и, соответственно, операций умножения с накопле-
нием для реализации частотной характеристики с заданной частотой
среза, но при этом имеют линейную фазовую характеристику. Нере-
курсивный фильтр работает на конечном временном интервале данных,
поэтому, если часть данных испорчена (например, в результате сбоев в
работе АЦП), нерекурсивный фильтр будет «звенеть» только на времен-
ном интервале, соответствующем А- 1 отсчетам. Рекурсивный фильтр,
из-за наличия обратной связи, будет «звенеть» значительно более дли-
тельный период времени.
Если необходимы фильтры с крутым спадом и испытывается дефи-
цит во времени, отведенном для обработки, хорошим выбором являют-
ся эллиптические рекурсивные фильтры. Если число операций умно-
жения с накоплением не является чрезмерным и требуется линейная
фаза, то должен быть выбран нерекурсивный фильтр.
5.7.	Аппаратная и программная реализация
цифровых фильтров
Цифровая фильтрация является одним из наиболее мощных инстру-
ментальных средств ЦОС (цифровой обработки сигналов). Кроме оче-
видных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с флу-
ктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по темпе-
ратуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры
489
способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим
параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудно
или даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, ха-
рактеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены програм-
мно. Поэтому, они широко используются в системах связи, в приложе-
ниях адаптивной фильтрации, таких как подавление эха в модемах, по-
давление шума и распознавание речи.
Процесс проектирования цифровых фильтров состоит из тех же эта-
пов, что и процесс проектирования аналоговых фильтров. Сначала фор-
мулируются требования к желаемым характеристикам фильтра, по
которым затем рассчитываются параметры фильтра. Амплитудная и
фазовая характеристики формируются аналогично аналоговым фильтрам.
Ключевое различие между аналоговым и цифровым фильтрами заклю-
чается в том, что, вместо вычисления величин сопротивлений, емкос-
тей и индуктивностей для аналогового фильтра, рассчитываются зна-
чения коэффициентов для цифрового фильтра. Иными словами, в циф-
ровом фильтре числа заменяют физические сопротивления и емкости
аналогового фильтра. Эти числа, будучи коэффициентами фильтра, пос-
тоянно находятся в памяти и используются для обработки дискретных
данных, поступающих от АЦП для фильтрации.
Цифровой фильтр, работающий в реальном масштабе времени, опе-
рирует с дискретными по времени данными в противоположность
непрерывному сигналу, обрабатываемому аналоговым фильтром. При
этом очередной отсчет, соответствующий отклику фильтра, формиру-
ется по окончании каждого периода дискретизации. Вследствие диск-
ретной природы обрабатываемого сигнала на отсчеты данных зачас-
тую ссылаются по их номерам, например, отсчет 1, отсчет 2, отсчет 3 и
т.д. На рис. 5.11 представлен низкочастотный сигнал, содержащий
высокочастотный шум, который должен быть отфильтрован. Вначале сиг-
нал должен быть оцифрован с помощью АЦП для получения выборки
х[и]. Далее эта выборка поступает на цифровой фильтр, который в дан-
ном случае является фильтром НЧ. Отсчет выходных данных у[/?] ис-
пользуются для восстановления аналогового сигнала с использовани-
ем ЦАП с низким уровнем ложного сигнала.
Тем не менее, цифровые фильтры не могут являться решением всех
возможных задач фильтрации, возникающих при обработке сигналов.
Для работы в реальном масштабе времени, ЦСП должен быть рассчи-
490
тан на выполнение всех шагов в программе фильтрации в пределах про-
межутка времени, соответствующего одному такту дискретизации, то
есть \/fR. Высокопроизводительный универсальный ЦСП с фиксирован-
ной точкой типа ADSP-2189, обладающий быстродействием 75 МИПС,
способен выполнить операцию умножения с накоплением при реали-
зации одного каскада фильтра за 13,3 нс. ЦСП ADSP-2189 затрачивает
N + 5 инструкций при реализации фильтра с количеством каскадов N.
Для 100-каскадного фильтра полное время вычисления составляет при-
близительно 1,4 мкс. Это соответствует максимально возможной часто-
те дискретизации 714 кГц, ограничивая, таким образом, ширину полосы
частот обрабатываемого сигнала несколькими сотнями килогерц.
Можно заменить ЦСП специализированным аппаратным цифровым
фильтром, способным работать на частотах дискретизации, соответст-
вующих видеосигналу. В других случаях ограничения по быстродей-
ствию могут быть преодолены сохранением выборки данных, поступа-
ющих с большой скоростью от АЦП, в буфер памяти. Затем буферная
память читается со скоростью, совместимой с быстродействием цифро-
вого фильтра, основанного на ЦСП. Используя данный метод, может
осуществляться обработка сигнала в псевдореальном масштабе времени
в таких системах, как радар, где обычно обрабатываются пакеты дан-
ных, накапливаемые после каждого излучаемого импульса.
Другой подход заключается в использовании специализированных
микросхем цифровых фильтров, подобных фильтрам PulseDSP™ ком-
пании Systolix. 16-разрядный сигма-дельта-АЦП AD7725 имеет на сво-
ем кристалле фильтр PulseDSP, который может выполнять за секунду
125 млн операций умножения с накоплением.
В дискретных системах, даже с высокой степенью избыточной диск-
ретизации, требуется наличие аналоговых ФНЧ перед АЦП и после
ЦАП для устранения эффекта наложения спектра. Более того, с ростом
частоты, сигналы выходят за рамки возможностей доступных АЦП, и
цифровая фильтрация становится невозможной. Но на крайне высоких
частотах активная аналоговая фильтрация тоже невозможна из-за огра-
ничений, связанных с полосой пропускания и искажениями ОУ, и в этих
случаях требования фильтрации удовлетворяются пассивными элемен-
тами. Дальнейшее изложение будет сфокусировано, в первую очередь,
на фильтрах, которые могут работать в реальном масштабе времени и
могут быть программно реализованы с использованием ЦСП.
491
В качестве примера сравним аналоговый и цифровой фильтры,
показанные на рис. 5.12. Частота среза обоих фильтров равна 1 кГц.
Аналоговый фильтр реализован в виде фильтра Чебышева первого рода
6 порядка. На практике этот фильтр может быть собран на трех фильт-
рах второго порядка, каждый из которых состоит из операционного уси-
лителя и нескольких резисторов конденсаторов. Проектирование фильт-
ра 6 порядка является непростой задачей, а удовлетворение техничес-
ким требованиям по неравномерности характеристики в 0,5 дБ требу-
ет точного подбора компонентов.
С другой стороны, представленный цифровой фильтр с конечной
импульсной характеристикой имеет неравномерность характеристики
всего 0,002 дБ в полосе пропускания, линейную фазовую характерис-
тику и значительно более крутой спад частотной характеристики. Таких
показателей невозможно достичь аналоговыми методами. На практике
существует много других факторов, учитываемых при сравнительной
оценке аналоговых и цифровых фильтров. В большинстве современных
систем обработки сигналов используются комбинации аналоговых и
цифровых методов для реализации желаемых функций и используют-
ся преимущества всех методов, как аналоговых, так и цифровых.
Существует много приложений, в которых цифровые фильтры долж-
ны работать в реальном масштабе времени. В них накладываются оп-
ределенные требования на ЦСП в зависимости от частоты дискретиза-
ции и сложности фильтра. Ключевым моментом является то, что ЦСП
должен проводить все вычисления в течение интервала дискретизации,
чтобы быть готовым к обработке следующего отсчета данных. Пусть
ширина полосы частот обрабатываемого сигнала равна^. Тогда частота
дискретизации АЦП fR должна быть, по крайней мере, в два раза боль-
ше, т.е. 2f&. Интервал дискретизации равен 1//д- Все вычисления, свя-
занные с реализацией фильтра (включая все дополнительные опера-
ции), должны быть закончены в течение этого интервала. Время вы-
числений зависит от числа звеньев фильтра и быстродействия и эффек-
тивности ЦСП. Каждое звено при реализации фильтра требует одной
операции умножения и одной операции сложения (умножения с накоп-
лением). ЦСП предназначен для быстрого выполнения операций ум-
ножения с накоплением. Кроме того, многие процессоры имеют допол-
нительные особенности, такие как реализация циклической адресации
и организация программных циклов с автоматической проверкой усло-
492
вия продолжения цикла, минимизирующие количество дополнительных
инструкций, которые в противном случае были бы необходимы.
Существует два основных типа цифровых фильтров: нерекурсивные —
фильтры с конечной импульсной характеристикой и рекурсивные —
фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Как следует из
терминологии, эта классификация относится к импульсным характе-
ристикам фильтров. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев не-
рекурсивного фильтра, можно реализовать практически любую частот-
ную характеристику. Нерекурсивные фильтры могут иметь такие свойст-
ва, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации
(в частности, совершенную линейную фазовую характеристику). Но вы-
сокоэффективные нерекурсивные фильтры строятся с большим числом
операций умножения с накоплением и поэтому требуют использования
быстрых и эффективных ЦСП. С другой стороны, рекурсивные фильтры
имеют тенденцию имитировать принцип действия традиционных ана-
логовых фильтров с обратной связью. Поэтому их импульсная характе-
ристика имеет бесконечную длительность. Благодаря использованию
обратной связи, рекурсивные фильтры могут быть реализованы с мень-
шим количеством коэффициентов, чем нерекурсивные фильтры. Дру-
гим способом реализации КИХ или БИХ фильтрации являются решет-
чатые фильтры, которые часто используются в задачах обработки речи.
Цифровые фильтры применяются в приложениях адаптивной фильтра-
ции, благодаря своему быстродействию и простоте изменения характе-
ристик воздействием на его коэффициенты.
Элементарной формой нерекурсивного фильтра является фильтр
скользящего среднего, показанный на рис. 5.32.
Фильтры скользящего среднего популярны для сглаживания данных.
Входные отсчеты х(п) пропускаются через ряд регистров памяти (z-1 в
соответствии с представлением элемента задержки при /-преобразова-
нии). В приведенном примере имеется четыре каскада соответствующих
4-точечному фильтру скользящего среднего. Каждый отсчет умножает-
ся на 0,25, и результаты умножения суммируются для получения значе-
ния скользящего среднего, которое подается на выход у(п). На рисунке
также представлено общее уравнение фильтра скользящего среднего
на N точек. Необходимо обратить внимание на то, что N относится к
числу точек при вычислении фильтра, а не к разрешающей способно-
сти АЦП или ЦАП.
493
у(п) = А(0) х(и) + А( 1) х(п-1) + А(2) х(п-2) + /г(3) х(п-3) =
= -^-х(и) + -^-х(«-1) +-^-х(п-2) +-^-х(п-3) =
- "^~[x(w) + х(п-1) + х(п-2) + х(п-З)]
Для ^точечного	W-1
фильтра скользящего среднего >'(«) = ~j~r V, х(п - к)
П к=0
Рис. 5.32
С учетом равенства коэффициентов, наиболее простой путь испо-
лнения фильтра скользящего среднего представлен на рис. 5.33.
Первым шагом является запоминание первых четырех отсчетов х(0),
х(1), х(2), х(3) в регистрах. Эти величины суммируются и затем умно-
жаются на 0,25 для получения первого значения выхода у(3)- Началь-
ные значения выходов у(0), у(1) иу(2) некорректны, потому что, пока
отсчет х(3) не получен, не все регистры заполнены.
Когда получен отсчет х(4), он суммируется с результатом, а отсчет х(0)
вычитается из результата. Затем новый результат должен быть умножен
на 0,25. Поэтому, вычисления, требуемые для получения нового значения
на выходе, состоят из одного суммирования, одного вычитания и одно-
го умножения, независимо от длины фильтра скользящего среднего.
Реакция 4-точечного фильтра скользящего среднего на ступенчатое
воздействие представлена на рис. 5.34.
Обратите внимание, что фильтр скользящего среднего не имеет выб-
роса по фронту входного сигнала. Это делает его полезным в приложе-
ниях обработки сигналов, где требуется фильтрация случайного белого
шума при сохранении характера входного импульса. Из всех возможных
линейных фильтров фильтр скользящего среднего дает самый низкий
уровень шума при заданной крутизне фронта импульса. Это показано
на рис. 5.35, где уровень шума понижается по мере увеличения числа
точек.
494
ЯЗ) = 0,25 [	х(3) + х(2) + х(1) + х(0) ]
у(4) = 0,25 [	х(4) + х(3) +х(2) +х(1)	]
у(5) = О,25 [	х(5) + х(4) + х(3) + х(2)
у(6) = 0,25 [	х(6) + х(5) + х(4) + х(3)
у(7) = 0,25 [ х(7)+х(6)+х(5)+х(4)
Вычисление каждого выходного значения требует
1 умножения, 1 сложения и 1 вычитания
Рис. 5.33
7V-1
В общем: у{п) =	£ х(п - к)
з
Для N = 4: у(п) = х(п - к)
Рис. 5.34
495
I Исходный сигнал
О Номер отсчета 500 0 Номер отсчета 500
Рис. 5.35
Существенно, что время реакции фильтра на ступенчатое воздейст-
вие от 0 до 100 % равно произведению общего количества точек фильт-
ра на период дискретизации.
Частотная характеристика простого фильтра скользящего среднего
выражается функцией sin(x)/x. Она представлена в линейном масштабе
на рис. 5.36.
Увеличение числа точек при реализации фильтра сужает основной
лепесток, но существенно не уменьшает амплитуду боковых лепестков
частотной характеристики, которая равна приблизительно -14 дБ для
фильтра с 11 и с 31 отводами. Естественно, эти фильтры не подходят
в том случае, где требуется большое ослабление в полосе задержки.
Можно существенно улучшить эффективность простого нерекурсив-
ного фильтра скользящего среднего, выбирая разные веса или значе-
ния коэффициентов вместо равных значений. Крутизна спада может
быть увеличена добавлением большего количества звеньев в фильтр, а
характеристик полосы затухания улучшаются выбором надлежащих ко-
эффициентов фильтра. В отличие от фильтра скользящего среднего, для
реализации каждой ступени обобщенного нерекурсивного фильтра тре-
буется цикл умножения с накоплением.
496
Рис. 5.36
Обобщенная форма нерекурсивного фильтра с числом звеньев N
представлена на рис. 5.14, а. Нерекурсивный фильтр должен работать
в соответствии с уравнением, задающим свертку:
N-\
Y(ri) = h(k) х(п) = У, h(k)x(n — к),
к=0
где h(k) — массив коэффициентов фильтра и х(п -к) — входной массив
данных фильтра. Число N в уравнении представляет собой число звень-
ев и определяет эффективность фильтра, как было сказано выше. Нере-
курсивный фильтр с числом звеньев N требует N циклов (операций) ум-
ножения с накоплением.
Согласно рис. 5.37, диаграммы КИХ-фильтров часто изображаются
в упрощенном виде.
Операции суммирования представляются стрелками, указывающими
в точки, а операции умножения обозначают, помещая коэффициенты
h(k) рядом со стрелками на линиях. Элемент задержки z-1 показывают,
помещая его обозначение выше или рядом с соответствующей линией.
В рядах, задаваемых уравнениями нерекурсивных фильтров, предпо-
лагается последовательное обращение к N коэффициентам от /г(0) до
h(N- 1). Соответствующие точки данных циркулируют в памяти. При
этом добавляются новые отсчеты данных, заменяя самые старые, и каж-
дый раз производится вычисление выходного значения фильтра. Для
реализации циклического буфера может использоваться фиксированный
32 Теория линейных эл. целей	497
x(n-l) Z~* x(n-N+2) 2-1 x(w-W+l)
x(n) Z~l
о --------------
Л(0)
Л(1)
h(N-2)
y(n)

Рис. 5.37
объем оперативной памяти, как показано на рис. 5.38 для нерекурсив-
ного фильтра с 4 звеньями.
Самый старый отсчет данных заменяется новым после каждой опе-
рации вычисления свертки. Выборка из четырех последних отсчетов
данных всегда сохраняется в оперативной памяти.
Чтобы упростить адресацию, чтение из памяти старых значений на-
чинается с адреса, который следует непосредственно за адресом только
что записанного нового элемента выборки. Например, если значение
х(4) только что записано в ячейку памяти 0, то значения данных чита-
ются из ячеек 1, 2, 3 и 0. Этот пример может быть расширен примени-
тельно к любому числу звеньев фильтра. Используя адресацию ячеек
памяти таким способом, адресный генератор должен лишь вычислять
последовательные адреса, независимо от того, является ли данная опе-
рация чтением памяти или записью. Такой буфер в памяти данных на-
зывается циклическим, потому что, когда достигается его последняя ячей-
ка, указатель автоматически позиционируется на начало буфера.
Выборка коэффициентов из памяти осуществляется одновременно с
выборкой данных в соответствии с описанной схемой адресации, самый
старый отсчет данных выбирается первым. Поэтому сначала должна
осуществляться выборка из памяти последнего коэффициента. При
использовании адресного генератора, поддерживающего инкрементную
адресацию, коэффициенты могут быть сохранены в памяти в обратном
498
Ячейки
памяти
Чтение Запись Чтение Запись Чтение
Я3)=
Л(0)х(3) + Л(1)х(2) + Л(2)х(1) + Л(3)х(0)
Х4)=	/г(0)х(4) + Л( 1 )х(3) + Л(2)х(2) + /г(3)х(1)
Х5)= Л(0)х(5) + Л( 1 )х(4) + Л(2)х(3) + Л(3)х(2)
Рис. 5.38
порядке: h(N-Y) помещается в первую ячейку, а /г(0) — в последнюю.
И наоборот, коэффициенты могут быть сохранены в порядке возрастания
их номеров, если использовать адресный генератор, поддерживающий
декрементную адресацию. В примере, показанном на рис. 5.38,
коэффициенты сохранены в обратном порядке.
Простая итоговая блок-схема для этих операций представлена
на рис. 5.39.
Для ЦСП компании Analog Devices все операции, выполняемые за
один цикл фильтра, производятся за один командный цикл процессо-
ра (или половину командного цикла для ЦСП с архитектурой SIMD),
благодаря чему существенно увеличивается эффективность вычислений.
Данное преимущество известно как реализация циклов без дополнитель-
ных операций. Ассемблерный код нерекурсивного фильтра для семейст-
ва процессоров ЦОС ADSP-21xx с фиксированной точкой представлен
на рис. 5.40.
Стрелкам в тексте помечены исполняемые команды, остальная часть
кода—просто комментарии, добавленные для пояснения.
Первая команда (помеченная меткой fir:) инициирует вычисления,
очищая регистр MR и заполняя регистры МХО и MY0 первым значени-
ем данных и первым значением коэффициентов из памяти программ и
499
1.	Получение отчета от АЦП (обычно по прерыванию)
2.	Помещение отсчета в циклический буфер входного сигнала
3.	Обновление указателя цикличного буфера входного сигнала
4.	Обнуление аккумулятора
5.	Осуществление фильтрации (цикл по всем коэффициентам)
6.	Выборка коэффициента из цикличного буфера коэфициентов
7.	Обновление указателя циклического буфера коэффициентов
8.	Выборка отсчета из циклического буфера входного сигнала
9.	Обновление указателя циклического буфера входного сигнала
10.	Умножение коэффициентов на отсчет
------ 11. Добавление нового слагаемоно к промежуточному результату
12. Выдача отфильтрованного отсчета на ЦАП
ADSP-21XX Пример кода:
CNTR = N-
DO convolution UNTIL
convolution
MR = MR + MXO * MYO(SS), MXO = DM(10, Ml), MYO =
Рис. 5.39
-MODULE
-ENTRY
firs
convolution 5
-ENEMCD;
firsub;
FIR Filter Subroutine
Calleng Parameters
10--> OLdest input data value in delay line
14- -> Beginning of filter coefficient table
L0 - Filter length. (N)
L4 - Filter length (N)
Ml, MS - 1
CNTR - Filter length - 1 (N-l)
Return Values
MR1 - Sum of products (rounded and saturated)
IO-~> OLdest input data value in delay line
14--> Beginning of filter coefficient table
Altered REdisters
MXO,MYO,MR
Computation Time
(N-l) +6 cycles - N + 5 cycles
All coeffients are assumed be in 1.15 format. )
fir;
MR-0, MXO-DM(IO,M1) ,MY0-PM(I4,M5)
CNTR - N-l;
DO convolution UNTIL CE;
MR-MR+MXO*MYO (SS) , MXO-DM(IO,Ml) ,MY0-PM(14,M5)
MR-MR+MX0*MY0 (RND) ;
IF MV SAT MR;
RTS;
Рис. 5.40
500
памяти данных. Затем для вычисления суммы первых N-1 слагаемых,
N-1 раз в N циклах выполняется операция умножения с накоплением,
реализуя свертку выборки следующего набора данных и коэффициен-
тов. Заключительная команда умножения с накоплением выполняется с
включенным режимом округления для округления результата до ста-
рших 24 разрядов регистра MR. Затем регистр MR1 условно насыщает-
ся до своего наибольшего положительного или отрицательного значе-
ния, в зависимости от состояния флага переполнения в регистре М V.
Благодаря такому под ходу, при накоплении результата используются пре-
имущества регистра MR 40-разрядной точности. Насыщение происхо-
дит только в том случае, если вычисление заключительного результата
привело к переполнению 32 младших значащих разрядов регистра MR.
Ограничение на число звеньев фильтра, реализующего подпрограм-
мы нерекурсивной фильтрации в реальном масштабе времени, опреде-
ляется, прежде всего, длительностью процессорного цикла, частотой
дискретизации и требуемым объемом других вычислений. Подпрограм-
ма нерекурсивного фильтра, представленная в примере, требует общего
количества циклов N + 5 для фильтра с числом звеньев N. Для ЦСП
ADSP-2189, обладающего быстродействием 75 МИПС, один цикл ко-
манды выполняется за 13,3 нс, так что расчет фильтра с числом звеньев
100 требует
13,3 нс • 100 + 5 • 13,3 нс = 1330 нс + 66,5 нс — 1396,5 нс = 1,4 мкс.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АДИКМ — адаптивная импульсно-кодовая модуляция
АЦП — аналого-цифровой преобразователь
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика
БИХ фильтр — фильтр с бесконечной импульсной характеристикой
БПФ — быстрое преобразование Фурье
ВЧ канал — канал высокой частоты
ВШР — встречно-штыревые преобразователи
ГВЗ — групповое время задержки
ДК — декодирование (декодер)
ДМ — демодуляция (демодулятор)
ДПФ — дискретное преобразование Фурье
ИКМ — импульсно-кодовая модуляция
КИХ фильтр — фильтр с конечной импульсной характеристикой
НЧ канал — канал низкой частоты
ОФМ — относительно фазовая модуляция
ОЦ — операционный усилитель
П — поглотители
ПАВ — поверхностные акустические волны
ПЗФ — полосно-задерживающий фильтр
ППФ — полосно-пропускающий фильтр
ПФ — полосовой фильтр
Р — распределитель
РФ — режекгорный фильтр
САПР — система автоматизированного проектирования
СВЧ — сверхвысокая частота
ТЛЭЦ — теория линейных электрических цепей
ТС — телесигнализация
ТУ — телеуправление
ТЧ канал — канал тональной частоты
ФВЧ — фильтр верхних частот
ФНЧ — фильтр нижних частот
ФЧХ — фазочастотная характеристика
ЦАП — цифроаналоговый преобразователь
502
ЦОС — цифровая обработка сигналов
ЦСП — цифровой сигнальный процессор
ЭВМ — электронно-вычислительная машина
ЭМФ — электромеханические фильтры
DSP — Digital Signal Processor
FDMA — Frequency Division Multiple Access
MPEG — Motion Picture Experts Group
TDMA — Time Division Multiple Access
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.	Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей:
Учебник для вузов. — М.: Радио и связь, 2000.
2.	Бессонов П А. Линейные электрические цепи.—М.: Гардарики,2002.
3.	Калугин Ю.Е., Меренков М.Б. Основы теории цепей: Учебное
пособие.—Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001.
4.	Кудряшов В.А., Глушко В.П. Системы передачи дискретной
информации: Учебник для техникумов и колледжей ж.-д. транспорта. —
М.: УМК МПС России, 2002.
5.	Пейтон А. Дж., ВолшВ. Аналоговая электроника на операционных
усилителях. — М.: Бином, 1994.
6.	Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных
электрических цепей. — М.: Высшая школа, 1990.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................ 3
Глава 1. УСЛОВИЯ РАБОТЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ
АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНИКИ И СВЯЗИ........................ 6
1.1.	Электрические цепи в устройствах железнодорожной
автоматики, телемеханики и связи................... 6
1.2.	Классификация электрических цепей и задачи теории
линейных электрических цепей...................... 10
1.3.	Модели линейных электрических цепей............. 17
1.4.	Характеристики линейных электрических цепей....... 21
1.5.	Операторное, частотное и временное представление
непрерывных и импульсных воздействий и реакций цепей .... 35
Глава 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.................................... 71
2.1.	Расчет реакции линейной цепи на заданное воздействие
методом преобразования Лапласа.................... 71
2.2.	Расчет реакции линейной цепи на заданное воздействие
в частотной области............................... 79
2.3.	Расчет реакции линейной цепи на заданное воздействие
во временной области.............................. 88
2.4.	Расчет характеристик разветвленных линейных цепей. 99
2.5.	Моделирование электрических цепей на ЭВМ..........123
2.6.	Двухполюсники.....................................146
2.7.	Четырехполюсники..................................173
Глава 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
ПАРАМЕТРАМИ (ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЛИНИИ)......................231
3.1.	Электрические линии железнодорожной автоматики,
телемеханики и связи, рельсовые цепи................231
3.2.	Уравнение однородной уединенной линии в установив-
шемся режиме гармонического переменного тока......234
3.3.	Однородная уединенная линия как четырехполюсник ..258
3.4.	Линия, возбуждаемая распределенными источниками.264
505
3.5.	Волновые параметры линий автоматики, телемеханики
и связи и их частотные зависимости....................272
3.6.	Передача по линии широкополосных сигналов.
Искажения сигналов....................................283
3.7.	Временные характеристики однородной линии........287
3.8.	Рабочие параметры передачи однородной линии......291
3.9.	Неоднородные электрические линии.................304
3.10.	Волновые процессы в несимметричных двухпроводных
линиях и рельсовых цепях..............................306
3.11.	Расчет условий передачи сигналов по неоднородным
трактам автоматики, темемеханики и связи..............318
Глава 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ
ЧАСТОТНЫМИИ ВРЕМЕННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ,
ИХ АНАЛИЗ И СИНТЕЗ....................................328
4.1.	Устройства железнодорожной автоматики, телемеханики и
связи со специальными характеристиками................328
4.2.	Электрические фильтры LC. Условия пропускания и
задерживания цепочечных фильтров......................334
4.3.	Характеристики фильтров типа к...................338
4.4.	Влияние потерь и несогласованности нагрузок
на характеристики фильтров............................353
4.5.	Фильтры типа т ..................................358
4.6.	Требования к электрическим фильтрам. Пример расчета.366
4.7.	Мостовые фильтры.................................372
4.8.	Полиномиальные фильтры LC........................382
4.9.	Активные /?С-фильтры.............................391
4.10.	Чувствительность фильтров к изменению параметров
элементов...........................................  413
4.11.	Кварцевые, электромеханические фильтры и фильтры
на поверхностных акустических волнах..................415
4.12.	Корректоры амплитудно-частотных характеристик
в системах автоматики, телемеханики и связи...........419
4.13.	Корректоры фазочастотных характеристик трактов
передачи сигналов.....................................428
4.14.	Принципы построения фильтрующих цепей на основе
временных характеристик...............................436
506
Глава 5. ДИСКРЕТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ................449
5.1.	Цифровая обработка сигналов в линейных электрических
цепях............................................449
5.2.	Области применения цифровых фильтров в устройствах
железнодорожной автоматики, телемеханики и связи.458
5.3.	Трансверсальные и рекурсивные цифровые фильтры.462
5.4.	Характеристики цифровых фильтров и их расчет. Оценка
погрешностей.....................................464
5.5.	Синтез цифровых фильтров.......................465
5.6.	Методы анализа цифровых фильтров...............477
5.7.	Аппаратная и программная реализация цифровых
фильтров.........................................489
ПРИЛОЖЕНИЕ. СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.......................502
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ...........................504
Учебное издание
Евгений Арсентьевич Волков
Эдуард Иванович Санковский
Дмитрий Юрьевич Сидорович
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОЙ
АВТОМАТИКИ, ТЕЛЕМЕХАНИКИ
И СВЯЗИ
Под общей редакцией
профессора В.А. Кудряшова
Учебник для вузов
железнодорожного транспорта
Редактор В.А. Быков
Корректор И. Ф. Солодкова
Компьютерная верстка Н.В. Звонова
Изд. лиц. ИД № 04598 от 24.04.2001 г.
Подписано в печать 13.12.2005 г.
Формат 60x84 1/16. Печ. л. 32. Тираж 2000 экз. Заказ № 54 81
УМЦ по образованию на железнодорожном транспорте
Издательство «Маршрут»
107078, Москва, Басманный пер., д. 6
Отпечатано ООО «Прессиздат»
105094, г. Москва, ул. Золотая, д. 11, стр. 1
ISBN 5-89035-311-Х